Lecture Notes in Mathematics An informai series of special lectures, seminars and reports on mathematical topics Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, Zürich
11 Jean -Pierre Serre Collège de France, Paris
Algèbre Locale· Multiplicités Cours au Collège de France, 1957 -1958 rédigé par Pierre Gabriel Seconde édition, 1965
1965
Springer-Verlag · Berlin · Heidelberg · New York
Ali rights, especially that of translation into foreign languages, reserved. It is also forbidden to reproduce this book, either whole or in part, by photomechanical means (photostat, microÎtlm and/or microcard) or by other procedure without written permission from Springer Verlag. @ by Springer-Verlag Berlin' Heidelberg 1965. Library of Congress Catalog Card Number 65-29123. Printed in Germany. Tide No. 7331.
Préface de la seconde édition
Cette édition diffère de la première par les points suivants 1 Un certain nombre de passages ont été récrits, notamment le § A du Chap.II , le Chap.III, le § B du Chap.IV et le § C du Chap.V. Ont été ajoutés: une Introduction, deux Appendices et une Bibliographie.
Le travail de dactylographie a été fait par les soins de l'Institut des Hautes Etudes Scientifiques. Je lui en suis très reconnaissant.
Jean-Pierre Serre
, T A BLE
DES
MATIERES
INTRODUCTION Chapitre I. DÉCOMPOSITION PRIMAIRE DES MODULES A) Généralités. 1. Radical de Jacobson de
A
1-1
2. Lemmes sur les idéaux premiers
1-3
3. Foncteurs additifs en théorie des modules
1-5
4. Modules noethériens
1-9
B) Décomposition primaire et théorèmes d'unicité
1-11
C) Quelques applications 1. Variété associée à un module
1-21
2. Idéaux étrangers
1-25
3. Modules de longueur finie
1-30
Chapitre II. OUTILS ET SORlTES A) Filtrations et graduations 1. Anneaux et modules filtrés
1I-1
2. Topologie définie par une filtration
1I-2
3. Complétion des modules filtrés
1I-3
4. Anneaux et modules gradués
1I-4
5. Où tout redevient noethérien; filtrations
1-adiques
6. Modules différentiels filtrés
II- 8 1I-13
B) Polynômes de Hilbert-Samuel 2. Fonctions additives sur les catégories de modules
1I-19 1I-20
3. Le polynôme caractéristique de Hilbert
1I-22
4. Les invariants de Hilbert-Samuel
1I-25
1. Rappel sur les polynômes à valeurs entières
, Chapitre III. THEORIE DE LA DIMENSION A) Dimension des extensions entières 1. Définitions
III- 1
2. Le premier théorème de Cohen-Seidenberg
III- 2
3. Le second théorème de Cohen-Seidenberg
III- 4
B) Dimension dans les anneaux noethériens 1. Dimension d'un module
III- 6
2. Le cas semi-Iocal noethérien
III- 1
3. Systèmesde paramètres
1II-10
C) Anneaux normaux 1. Caractérisation des anneaux normaux
1II-11
2. Propriétés des anneaux normaux
1II-14
3. Fermeture intégrale
1II-16
D) Anneaux de polynômes 1. Dimension de l'anneau
A[X 1 , ••• ,Xn ]
2. Le lemme de normalisation
1II-11 1II-20
3. Applications. I. Dimension dans les algèbres de polynômes
1II-22
4. Applications. II.Fermeture intégrale d'une algèbre de type fini
1II-25
5. Applications. III.Dimension d'une intersection dans l'espace affine
1II-21
Chapitre IV. DIMENSION ET CODIMENSION HOMOLOGIQUES A) Le complexe de l'algèbre extérieure (Koszul) 1. Le cas simple
IV- 1
2. Acyclicité et propriétés fonctorielles du complexe
de l'algèbre extérieure
IV- 3
3. La suite spectrale associée au complexe de l'algèbre extérieure 4. La codimension homologique d'un module sur un anneau semi-Iocal
IV- 8 IV-12
B) Modules de Cohen-Macaulay 1. Définition des modules de Cohen-Macaulay
IV-l1
2. Diverses caractérisations des modules de Cohen-Macaulay 3. Variété d'un module de Cohen-Macaulay
IV-19 IV-22
4. Idéaux premiers et complétion
IV-25
C) Dimension homologique des modules noethériens 1. La dimension homologique d'un module
IV-21
2. Le cas noethérien
IV-29
3. Le cas local
IV-33
D) Les anneaux réguliers 1. Propriétés et caractérisations des anneaux locaux réguliers
IV-35
2. Propriétés de permanence des anneaux locaux réguliers
IV-40
3. Délocalisation
IV-42
4. Un critère de normalité
IV-44
1
Appendice I. RESOLUTIONS MINIMALES
IV-46
1. Définition des résolutions minimales
IV-46
2. Application
IV-48
3. Cas du complexe de l'algèbre extérieure
IV-50
1
1
1
Appendice II. POSITIVITE DES CARACTERISTIQUES D'EULER-POINCARE 1
SUPERIEURES.
IV-53 1
Chapitre V. LES MULTIPLICITES A) La multiplicité d'un module 1. Le groupe des cycles d'un anneau 2. La multiplicité d'un module
V- 1 V- 2
B) La multiplicité d'intersection de deux modules
3. Anneaux réguliers d'égale caractéristique 4. Conjectures
V- 4 V- 6 V-12 V-14
5. Anneaux réguliers d'inégale caractéristiques (cas non ramifié) 6. Anneaux réguliers quelconques
V-15 V-18
1. La réduction à la diagonale 2. Produits tensoriels complétés
C) Raccord avec la géométrie algébrique 1. Formule des Tor
V-21
2. Cycles sur une variété affine non singulière
V-22 V-23 V-24 V- 27 V-21 V-2B
3. Premières formules
4. Démonstration du théorème 1 5. Rationalité des intersections 6. Images directes
1. Images réciproques B. Extensions de la théorie des intersections BIBLIOGRAPHIE
V-31 B-1
l N T R 0 DUC T ION =======================
Les multiplicités d'intersectionsde la géométrie algébrique sont égales à certaines "caractéristiques d'EulerPoincaré" fonnées au moyen des foncteurs Tor de CartanEilenberg. Le but essentiel de ce cours est d'établir ce résultat, et de l'appliquer à la démonstration des fonnules fondamentales de la théorie des intersections. Il a fallu d'abord rappeler quelques résultats d'algèbre locale: décomposition primaire, théorèmes de CohenSeidenberg, normalisation des anneaux de polynômes, dimension (au sens de Krull), polynômes caractéristiques (au sens de Hilbert-Samuel).
L'homologie appara!t ensuite, lorsque l'on considère la multiplicité
9-
= rapport à un
d'un idéal de définition
e tE,r)
d'un anneau local noethérien A-module E
nôme caractéristique
dans le poly[on note
A-module F
par
de type fini. Cette multiplicité
est définie comme le coefficient de
longueur d'un
A
J
la
• On démontre alors la fonnule
suivante, qui joue un rôle essentiel dans la suite: i=r
e (E,r)
-
q
=:
2:
i=O
(-l)i~(Hi(E,~))
-
H. (E,x)
où les
1.
2 -
désignent les modules d'homologie du
-
complexe de l'algèbre extérieure construit sur
E
au
x.
moyen des
1.
Ce complexe peut d'ailleurs être utilisé dans d'autrej questions d'algèbre locale, par exemple pour étudier la codimension homologique des modules sur un anneau local, les modules de Cohen-Macaulay (ceux dont la dimension de Krull coIncide avec la codimension homologique), et aussi pour montrer que les anneaux locaux réguliers sont les seuls anneaux locaux dont la dimension homologique soit finie.
Une fois la formule
démontrée, on peut aborder
l'étude des caractéristiques d'Euler-Poincaré formées au moyen des Tor. Lorsque l'on traduit dans le langage de l'algèbre locale la situation géométrique des intersections, on obtient un anneau local régulier Modules
E
et
F
de dimension
A,
de type fini sur A
les variétés correspondant à
F
et
A-
A , dont le produit
tensoriel est de longueur finie sur
E
n, et deux
~cela
signifie que
ne se coupent qu'au
point considéré). On est alors conduit à conjecturer les énoncés suivants :
i)
On a
dim. (E) + dim.
tF) ~ n
t "formule des dimensions").
i=n ii) L'entier XA(E,F) =
~ (_l)i IA(Tor~(E,F) ) est> O.
i=O iii) On a ~A(E,F) = 0 est stricte.
si et seulement si l'inégalité
i)
- J La formule
~*)
montre que ces énoncés sont en tout dim (F)
avec
cas vrais si
=n
- r
•
Grâce à un procédé, utilisant des produits tensoriels complétés, et qui est l'analogue algébrique de la "réduction à la diagonale", on peut en déduire qu'ils sont vrais lorsque
A
a même caractéristique que son corps des restes, ou bien quand
est non ramifié. A partir de là, on peut, en se
A
servant des théorèmes de structure des anneaux locaux démontrer la formule des dimensions général. Par contre, et
iii)
i)
complet~
dans le cas le plus
je ne suis parvenu, ni à démontrer
ii)
A , ni à en donner
sans faire d'hypothèses sur
des contre-exemples. Il semble qu'il faille aborder la question sous un angle différent, par exemple en définissant di-
rectement
(par un procédé asymptotique convenable) un entier ~
0
dont on montrerait ensuite qu'il est égal à
Heureusement, le cas d'égale caractéristique est suffisant pour les applications à la géométrie algébrique (et aussi à la géométrie analytique). De façon précise, soit une variété non singulière, soient variétés irréductibles de
V
A, A , A
Soient
V
v
1\1
i(V.w,c;lC)
Si et
=
"Iv
la formule
en
C
dim. V + dim. W
c =
VnW
x , avec (intersection "propre").
les anneaux locaux de
X, V et W en C.
désigne la multiplicité d'intersection de (au sens de lieil,
1
(Ee)
deux sous-
W
X , et supposons que
soit une sous-variété irréductible de dim. X + dim. C
et
X
i(V.W,C;X)
,~-;hevalley,
Samuel), on a
- 4 Cette fonnule tla "fonnule des Tor tl ) par réduction à la diagonale, en se ramenant à il est commode de prendre
se démontre
(*) .
En fait,
comme définition des multi-
plicites. Les propriétés de celles-ci s'obtiennent alors de façon naturelle: la commutativite resulte de celle des Tor l'associativité résulte des deux suites spectrales qui expr i ment l'associativité des Tor; la formule de projection résuIte des deux suites spectrales reliant les images directes d'un faisceau cohérent et les Tor (ces dernières suites spectraIes ont d'autres applications intéressantes, mais il n'en a pas été question dans le cours). Chaque fois, on utilise le fait bien connu que les caractéristiques d'Euler-Poincaré restent constantes dans une suite spectrale.
Lorsque l'on définit les intersections au moyen de la formule des Tor, on est conduit à étendre la théorie au delà du cadre strictement "non singulier" de lveil et de Chevalley. Par exemple, si d'une variété
X
f
:
X~
bliste à
est un morphisme
dans une variété non singulière
peut faire correspondre à deux cycles un "produit"
y
x'fY
xl\f-1 (y)
x et y
de
Y, on X et de
Y
qui correspond au point de vue ensem(bien entendu, ce produit n'est défini
que sous certaines conditions de dimensions). Lorsque
f
est
l'application identique, on trouve le produit ordinaire. Les formules de commutativité, d'associativité, de projection, peuvent s'énoncer et se démontrer pour ce nouveau produit.
I-1
, CHAPITRE I. - DECOMPOSITION PRIMAIRE DES MODULES 1
/
A) GENERALITES Ce paragraphe a pour but de rappeler un certain nombre de notions qui seront supposées connues, et de démontrer quelques lemmes préparatoires. Nous désignerons par unité, par
Ef
A un anneau commutatif, à élément
E
M un A-module unitaire. Un idéal
AIE
A et si
sera dit premier, si
est intègre.
1) Radical de Jacobson de
A.
Nous utiliserons cette notion seulement pour les anneaux commutatifs. Definition et proposition 1. - On appelle radical de Jacobson de A
~(A)
,et on note
oondi tions
, l'idéal de
équivalentes:
1)
~(A)
2)
xfr(A)(:<=~}1-xy
1)~2):
XY€!!!, et 1-xy
A défini par l'une ou l'autre des
est l'interseotion des idéaux maximaux de est inversible dans
En effet, pour tout idéal maximal
A
A pour tout
y€A
m ,xé!!!, et donc
1-xy f!!!, n'appartient à auoun idéal maximal de
A
,et est donc inver-
sible. 2)~1): Supposons que
où existe 1
y€A
= m+xy
1-xy
soit inversible pour tout
m est un idéal maximal de et
m~m
(oar ~
A. Il en résulterait qu'il
tels que: et
x
engendrent
yéA, et que
A).
l - 2 m = 1-xy
D'où
et le seoond membre ne serait pas inver-
sible, oe qui est absurde. Nakayama a trouvé une autre oaraotérisation du radioal que nous utiliserons oouramment par la suite: Lemme 1 (Nakayama):
~
Si
est un idéal de
A, les propositions sui-
vantes sont équivalentes: 1)
-q
2)
Pour un A-module de type fini(1) M, M M
-r(A).
C
=
s..M
entra1ne
0
Supposons en effet que
x , x , ••• ,xp 2 1
engendrent
et
M
qu'auoun d'eux ne soit oombinaison linéaire des autres. De que
p
p
, on déduit l'existenoe de
xp = o(1x1+ •• • +0( x p p
(1-0( )x
x
M = s,.M
p
=
o(1 x 1+ • •• + 0(
p- 1 x p-1
cf... 1 oc'p-1 ------- x + ••• + ------1-o(p 1 1-O
2)~1):
Sinon, soit
d...1
, et
X
p-1
Ëq -
,
i ~ P • D'où,
pour
, et oomme
, tels
0(1 ' • •• , o(p
0( 6. r(A) p
-
, on a
oontrairement à l'hypothèse.
m un idéal maximal tel que
S. ~
m
• Alors
et il y a oontradiotion. Corollaire 1. de
(1)
M tel que
MIN
Si
S,
c:
~(A)
, et si
soit de type fini et que
N est un sous-module
M=N + s,.M
(i.e. admettant un nombre fini de générateurs).
,alors
M= N •
I-3 En effet, ~.(M/N) ~ (N+~M)/N =
M/N;
d'où le résultat.
Nous nous servirons de oes résultats surtout dans le oas où
A
est looal , (o'est-à-dire ne pœsède qu'un seul idéal maximal, qui est alors maximum) ou aussi semi-looal (o'est-à-dire ne possède qu 1 un nombre fini d'idéaux maximaux). Corollaire 2: Si sur un anneau looal
A
~ (M ~:
Soit
A-mudules
(M)/mM)
M et
N sont des modules de type fini
, on a l'équivalenoe:
-
ou
0
=
N
m l'idéal maximum de
M et
~A/
N
=
0
A
• On a alors, pour tout oouple de
)
, une surjeotion oanonique de
(N/mN).
M~AN
On en déduit que oe seoond produit tensoriel
m
est également nul, o'est-à-dire que l'on a soit N/mN
=
(oar A/m est un oorps). Comme enfin
0
sur
de type fini, il en résulte que soit
M= 0
M/mM = M et , soit
o N
, soit sont
o
N=
(Nakayama) •
<==:
Clair •
2) Lemmes sur les idéaux premiers. Proposition 2: 1) Si
E
un idéal premier de
.... n 2) Si
a
A
~ p
oontient l'un des
•••
u
~ : (1 ~ i
sont des idéaux premiers de
sous-anneau (sans élément unité) de
u
sont des idéaux de
A et
, on a l'équivalenoe:
~~-
E1, ••• ,En
a1' ••• '~
A
•
A et a un
, on a l'équivalenoe:
est oontenu dans l'un des
~~~~--~-----------
p. (1<' i ,/ n). -~
~
I-4 La seule assertion non triviale est la suivante 1 ~ C E1 U •••
U En ~
~
est oontenu dans l'un des
p.
~
-].
Si elle n'était pas satisfaite, nous pourrions toujours supposer que: les
p.
n'est oontenu dans auoune réunion de i (1 ~ i .(. n)xi
soit alors, pour tout
1
-l.
a
Ur
n'appartenant pas à la réunion
P.
= x1x2···xi_1xi+1
et
Yi
f Ei
à auoun
Ei
••• x n
• D'où
• Alors
Yi€Ej
1) Si
pour
n'est oontenu dans un E1 U une !!ermutation si enfin
d'un
p.
-J
... U p-n de
s
n'appartient
et
E1, ••• ,~
sont deux
pour
= ;l;..1 n'
j
A
ri
, si auoun (res!!. dans
qué à D'où 2)
ES{i) P -i'
p.
(resp. Ek )
E'p
!!our
-].
p" k ),
U ... U Em' alors m = n et il existe '
(1, .•• ,n)
telle
Sous les hy!!othèses !!réoédentes,
~a
oonolusion reste
LJ
!!ar le signe
(l
En effet, de s(i)
ri
Y1 +·· .+Yn
satisfaite si l'on remplaoe le signe réunion
1)
j
, et
E1, ••• ,En
ensembles finis d'idéaux premiers de
interseotion
a
' qui est absurde.
Corollaire:
2)
un élément de
i
~~
Y1+Y2+· •• +Yn
d'entre
et soit
-J
j
Yi
n-1
p' C -i p! -l. C
tel que
E1
p U ... U -n
ES(i)
; le
montre qu'il existe un
= p' -t(i)
= n
;l;..s(i)
m~me
t(i)
,
on déduit l'existenoe
raisonnement, applitel que
et le résultat s'ensuit.
La démonstration est analogue.
ES(i) C Et (i)
l
-
5
3) Fonoteurs additifs en théorie des modules. On sait que oertaines parties de la théorie des idéaux s'étendent aux modules et même que la théorie peut s'en trouver simplifiée. La raison en est essentiel-lement que les
A-modules
unitaires forment une oatégorie abélienne. Nous aurons souvent à oonsidérer la situation suivante: ~:
Soient
A ---i B
M un
élément unité, B-module et à
et
M
N
~
un homomorphisme d'anneaux oommutatifs à A-module
Soit
N un F
,tel que
'f (7\ x) ~
= 'f'C'(\.). "f(x) ,
où
x é:.
M,
d'un sous-module
M'
de
M engendre
B-module que nous noterons abusivement
~
(M')
l'ensemble ordonné par inolusion de oes modules. L'image réoiproque
est un
N un
un homomorphisme des groupes abéliens sous jaoents
Alors l'image par dans
(bien entendu unitaire);
A-module.
Soit
~-1(NI)
d'un
B-sous-module de
N
E l'ensemble,ordonné par inolusion, de oes
images réoiproques. Alors on a les équivalenoes:
lfJ-1('i'(K') J ... M'~M'é E Cf ('t'-1 (N) = NI 4==:4 N' ~ F et sur
'Y F
induit sur
E un isomorphisme d'ensembles ordonnés de
E
1-6 Exemples. a) Soit
a
un idéal de
les applioations oanonique de N peut
~tre
A, B :: A/a A sur
B
N
F
M/a .M,
(resp. de
oonsidéré indifféremment oomme
A/a-module.
=
'f
M sur
(resp.
of)
N ).
A-module ou oomme
est formé de tous les sous-modules de
sous-modules de
et
N, E
des
M qui oontiennent aM
Enfin on a un isomorphisme naturel:
M ~ M/a.M est additif, exaot à droite, défini
Le fonoteur
sur la oatégorie des
A-modules, à valeur dans oelle des
A/a-mo-
dules.
~es
fonoteurs satellites sont les
b) Soit toujours o'est-à-dire le
un idéal de
sous-module des
x
A, B de
A, N = (
a
:~),
M tels que
rJ...E. a'
pour tout
'f
loi
a
Tor! (A/a,M) ]
et
-' 'f
sont les applioations évidentes:
~: A
)
A
'fI
)
M
E
N et
F
sont formés de tous les sous-modules de N •
On a un isomorphisme naturel:
Ce dernier module est en effet isomorphe au module des homomorphismes de
A dans
est exaot à gauohe.
M qui sont nuls sur [ses satellites sont les
a
• Le fonoteur
Ext~(A/a,M)J
M~ N
I-1 Au lieu de
a
(
1
M)
nous éorirons aussi Ann M(annulateur de br)
Plus généralement, si on note
(P:Q)
A
tels que
Q sont deux sous-modules de Q dans
P
, l'idéal de
M
A formé
ri.. QCP
(p :~J
De meme
et de
, trans]2orteur
0<. tels que
des
P
désigne le sous-module de
M formé des
x
a xCP
On notera les règles suivantes, dont la signifioation est évidente:
n ... f\Pn ):Q)=(P 1 :Q)n ... n (Pn:Q) (P: ( Q1 + • • • +Qn» = (P: Q1) n ... n (p : '~n )
((P
1
( (p 1 (\ • •• fi Pn ) : ~J = (p 1 : ~J (P:(a -
1
+ ••• + a
-;'l
0) Soit si
sES
et
n ...
IÎ
(p n : ~)
»
= (P:a )('\ •.. n(P:a ) - 1 -xl
S
une partie multiplioativement stable de
t E. S
s.t E:. S), (xs)s€.S
,alors
variables indépendantes, paramétrée par l'algèbre des polynômes en les
xs
S
A(i.e.
une famille de
,soit
A [Xs1 s é S
à ooeffioients dans
a
A
l'idéal de oette algèbre engendré par les éléments B= A [X s ] la le quotient de oette algèbre par (on le notera aussi AS ou S-1 A au lieu de B ).
(s Xx -1 )S6.S'
Soit
f
et
l'applioation oanonique de
des applioations oanoniques de dans
AS
• Alors
'f
A dans
définit sur AS
A dans
A [xs]
'f ( oC) .a,
où
et de
une struoture de
pour la loi: ct..a =
AS
cl.., é A, a € AS
,
oomposée
A [X s] A-module,
a
I-8 N = MS=AS~AM
Posons que de
M dans
x: s
Si de noter de
MS
dans
X
s
x:s®m ,
au lieu de
, on
AS
a l'habitude
et on démontre que tout élément
peut s'éorire sous oette forme, et que:
MS
mis = mt/s' .~(==:}} il existe dans
l'applioation oanoni-
et admirons la situationl
désigne l'image de
mis
~
, soit
s"
Ë
S,
tel que
s" (ms'-m's) = a
M En outre, les règles habituelles sur les fraotions sont
valables. Signalons qu'on peut tout aussi bien prendre oe de fraotions"
pour définition de
AS
et de
MS
On déduit en partioulier de oeoi, que le fonoteur est exaot, ou que
"AS
Dans oe oas, MS
• Si
la
S-oomposante
F
est
est formé de tous les
MI
M~
.S
A-plat".
M'est un sous-module de de
"oaloul
AS-sous-modules de
M
et sera notée dorénavant
S(M/M')
, ou
S(M') si auoune oonfusion n'est à oraindre: o'est le sous-module des
x € M , tels qu'il existe
L'ensemble Si
E
est formé des
111 = A,
S =(\ (A-Ei)
aveo
S-oomposantes
soxéM' oontenues dans
M
'r' induit une bijeotion des idéaux premiers de
A qui ne renoontrent pas Par exemple, si
sES
E1"",En
S
, sur les idéaux premiers de sont des idéaux premiers de
est multiplioativement stable dans
AS
A
A et les idéaux
I-9 premiers de
AS
sont les images des idéaux premiers de
dans l'un au moins de
p.; -1
a fortiori
AS
A oontenus
n'a qu'un nombre fini
d'idéaux maximaux (les images des idéaux maximaux de la suite
E1, ••• ,En ) Si
S
et
M
E
et
A est un anneau
semi-looal
= A - E , où E est un idéal premier, nous noterons A
E
au lieu de
E
et
AS
E
~
fait que
AS
IvI
S
E
est
A Tor (A s ,M) 1
A-plat, ou que
= 0 on
tire que la sui te suivante est exaotel
o -7
A Tor 1 (A S/A,M)
M~
--i
MS
(AS/A)®AM ~ 0
--1
et l'on a un isomorphisme naturell
Enfin, on notera les formules suivantes dont la signifioation est évidente. (2) Si
N est un sous-module de
type fini, S((N: ~)
a
M
P un sous-module de type fini de (S(N): a)
et
S((N:P»
=
un idéal de
A de
M , on a:
(S(N):P)
(3 )
En effet, oes deux dernières formules sont évidentes si ou
P
sont monogènes et se prolongent au oas général à l'aide
des formules
(1)
et
(2)
4) Modules noethériens: Nous nous oontenterons de rappeler des définitions et des résultats olassiques:
a
I-10
Un
A-module est
di~
noethérien
s'il satisfait aux trois
oonditions équivalentest 1) Tout sous-module de
M est de type fini;
2) Toute suite oroissante de sous-modules est stationnaire;
3) Toute famille de sous-modules On en dédui t que, si
ad~et un
0 ~
élément maximal.
loI' ~
M ----i Mil - - ) 0
est
une suite exaote de A-modules, on a l'équivalenoe: M
M'
noethérien~
noethérien et
Mit
noethérien.
En partioulier, toute somme direote finie de modules noethériens et noethérienne. De L'anneau
m~me:
A est dit noethérien, s'il est noethérien en lui-m~me.
tant que module sur
Si
A est noethérien, et si
une indéterminée, l'anneau des polynames en dans
A, A [x] Si
X
est
X à ooeffioients
, est noethérien.
A est noethérien, et si
M est un
A-module, on a
l'équivalenoe l4
est noethérien ~ M est de type fini.
Nous supposerons toujours dorénavant, sauf mention expresse du oontraire, que
A est noethérien et que
M est un A-module
de type fini. On notera qu'aveo les notations oi-dessus les modules M/aM , (0
:~)M
et
MS
sont noethériens si
M l'est.
I-11 ,
B)
,.
Si
M est un
bien entendu) et de
(NIM)
1
(A étant noethérien et
N un sous-module de a
M = A et
A
P
A/~
M de type fini ~(N)
,nous noterons
aq.MC:N
a
q
l'idéal
appartient à
•
~'!a(~
est un idéal
dont l'image dans
~(N) = ~((N:M»
et
N
M
dont une puissanoe
, autrement dit est telle que
Si
N
A-module
A formé des éléments
de
,
DECOMPOSITION PRIMAIRE ET THEOREMES D'UNICITE
est formé des éléments
est nilpotente. Ainsi
,et il résulte direotement des définitions que, si
sont deux sous-modules de
M
,et
a
un idéal de
A
,on
a:
m~me,
De
si
a
et
b
sont deux idéaux de
On aura soin de ne pas oonfondre ~(A)
r~(~)
qui désigne le radioal de l'anneau
Proposition et définition
3:
o
s'il est différent de
Un
A
A-module
A,
,ou
~(N)
aveo
,of. paragraphe
A,
M est dit ooprimaire,
et s'il satisfait aux deux oonditions
équivalentes: 1)
Pour tout
( i'a (x)=ax)
a~
soit 2)
Si
S
, l'homothétie
de
M déterminée par
a
, est soit nilpotente, soit injeotive; i.e. on a
o
pour.
n
assez grand, soit
a.xl 0
si
est une partie multiplioativement stable de
oation oanonique de
M dans
MS
x A
10 ,l'appli-
est soit injeotive, soit nulle;
I-12 i.e. on a soit
S(M/ 0) =
1)~2), En effet, si
r0
s.x
pour tout
L' S a n c:;.
grand
existe dono
S
S
S( 0 )
=M
S( 0 )
et si
n
que:
=0
a x.= 0 1
~(O)
s€S
~(O)
renoontre
on a alors pour
pour tout tel que
2)=) 1): En effet, si alors
M et tout
et
s tË S
, a
=M
S(M/ 0)
ne renoontre pas
x rOde
Si au oontraire n
!2ll
0
x
de
M
il
s.x = 0
a €A
S
, soit
= 1,a,a2 , ••• ,an , •••
• Si
est injeotif. Si au oontraire
x , ••• ,x engendrent m 1
pour tout
i
; d'où
M
, il existe un , et
al)r - 0
a
n
tel
est nil-
potent. Si dono de
A
M est ooprimaire et si
~ ~(
0)
On dit que
M est
Définition, est
et
~(O)
et
~(O )
qui n'appartiennent pas à
injeotifs et il en va de même de a.b
a
LO l a
b
sont des éléments
'fa
0 (f)
lb"
c.p 'ab
est un idéal premier
et
Lf'b
sont
• Autrement dit
E
E -coprimaire.
Un sous-module
N
de
M est dit
E-primaire si
M/N
E-ooprimaire. Aveo oette terminologie un module
module tel que
0
soit
E-primaire dans
E-coprimaire est un M
L'intérêt des notions que l'on vient d'introduire provient essentiellement des deux propositions qui vont suivre (et de leurs oorollaires),
1-1)
Proposition 4:
1) Si
N est un sous-module de
multiplioativement stable de
N est
2)
r-primnire
N , .•• ,Nr 1
Si
Si
P
S
Une partie
E-primaires de
M , alors
A on a l'équivalenoe:
<===?
sont des sous-modules
N=N ('\ N () ••• r'\N r 2 1
3)
M
est un sous-module
est un sous-module de
M , et
E-primaire. N un sous-module
E-primaire , A
(NIP)
4) Si de
a
si
{ idéal
est un idéal de
peN
E-primaire sinon. A
et
N
un sous-module
E-primai:r>8
M
(M (N:~
=
t
si
a
C
sous-module
(H:M) E-primaire de
M sinon.
1): La première assertion est une nouvelles formulation de la proposition préoédente; 2): Résulte de 1) et de l'égalitél S(N ('"\ ••• " Nr ) = S(N )", ••• ('\S(Nr ) 1 1 3): Il est olair que: (N:P)=A si P<:N. La seoonde partie de l'assertion résulte de la formule: S(N:P) 4)1 Démonstration analogue.
=
(S(N):P)
l-14 Proposition 5 (E.Noether): de
M ,distinot de
Un sous-module non primaire
N
M ,est interseotion de deux sous-modules
striotement plus grands. En effet, si
tfa
l'homothétie
N est non primaire, i l existe définie par
a
dans
ve, ni nilpotente. En outre, la suite Ker ~an, •••
ne soit ni injeoti-
M'= M/N
est une suite oroissante de sous-modules de
~= tfap:
\f
Ker'f
f
dono
'fn
lm~ =
0
f
'f
lm
0
M/N
Ker
('f
0
n)- p autre-
'f
~ ) = Ker
est interseotion de deux ,o.q.f.d.
N est non primaire, et distinot de
interseotion de deux modules N 2
en outre
et
0
sous-modules non nuls dans Ainsi, si
M'
n'est pas injeotif et n'est pas nul;
ment dit Ker
'ofa 2, ••• ,
Ker
Ker \of> a
Cette sui te est do no stationnaire, par exemple pour soit
tel que
aé.A
N
1
et
N
M
plus grands. Si
2
il est N
1
ou
n'est pas primaire, on reoommenoe pour oes modules, et ainsi
de suite: on oonstruit de oette manière un de modules au-dessus de
N
"arbre généalogique"
,et la oonstruotion s'arrête au bout
d'un nombre fini de pas (oar dans un ensemble ordonné où toutes les suites oroissantes s'arrêtent, tout
"arbre généalogique"
a un
nombre fini d'éléments). Autrement dit, au bout d'un nombre fini de pas, tous les modules atteints sont primaires et
N est interseotion de oes
modules primaires. Soit maintenant de
N
=~
N!
la déoomposition obtenue
1
N oomme interseotion finie de primaires et soit
ensemble de
l
tel que:
N=W
N!
1
et pour tout
J
iGJ
un sous-
1-15 Méprisons les éléments de (N~
)
e
i
1
pour
N=N
Pi -
1
correspondent aux idéaux premiers
Ek
l'intersection des
p.
-J
... ("\ Nr
pour
i
f
N.1 et
j
N
est
qui correspon-
r j
nf
p.-primaire, -1 pour
N.
1
i
On appelle décomposition réduite de de
• Soit
et admirons:
n N2 Il
f
,et supposons que les
J
1.( k " r,
dent à
I-J
1~ j
~r
N toute représentation
N comme intersection de sous-modules primaires satisfaisant
aux conditions précédentes.
Théorème et définition 1:
Tout sous-module
N de
M admet une
décomposition réduite. En outre, les idéaux premiers qui interviennent dans une telle décomposition ne dépendent Que de et de
N
M et non pas de la décomposition. Ce sont les idéaux
premiers essentiels de associé à
N dans
M • On apuelle idéal premier
M tout idéal premier essentiel de
l'ensemble de ces idéaux est noté
a
dans
M
Ass(M)
Il nous reste à montrer que les idéaux premiers essentiels de
N ne dépendent pas de la décomposition; comme ce sont
les idéaux premiers associés à
M/N
, i l suffit de prouver l'uni-
cité des idéaux premiers associeés à un module va résulter de, et
~tre
M
Cette unicité
précisée par, les deux propositions qui
suivent: La première proposition étudie les liens entre les décompositions réduites de
N et le foncteur
MS:
1-16
Soit
composition réduite de d'indices
A
, soit
et soit, pour
1)
(N.),., = M,.. ù
1
= N1 /\
••• t\Nr
p.-primaire, et
est
N.
une déItensemble
l
-1
De même
l'ensemble des -1
NS
S(M/N)
dans
e
tels que
l
N = S
n
iG Il
(Ni)S
MS
= S-comEosante de
aEEelle les comEosantes isolées de
1 c:
n
=
iE: l
1
s=
si
li
=
n
N (quand
N dans
S
et la dé-
M seulement
varie). On les
M et elles ne
déEenden~
S(N.)= 1
n
iE::-I'
N.
et la décomposition est
1
manifestement réduite. Il résulte alors de la bijection canonique des S-composantes de N
S
M sur les sous-modules de ;:
nrr
(N. ),
i€
1
Ù
M S
, que:
et qu'il n'y a pas de termes superflus dans
cette intersection. Corollaire 1.
Les idéaux Eremiers
E 1, ••• ,Er
ne déEendent Eas
de la décomposition; il en va de même des comEosantes Erimaires Ni
0
i El'
N
Eas de la décomEosition de
S(N)=S(. QI N.)
n
MS
S-comEosantes de
En effet:
-1
est une décomEosi-
N. 1 i é l' comEosition est réduite. En Earticulier, il y a dans
un nombre fini de
p.
Alors:
p.AS· -1
dans q·-Erimaire -1
est
(Ni)S
i
l'idéal premier
q.
sinon. De Elus,
ù
tion rédui t.e de 2)
l'
itG.I'
PrOPosition 6: 1
N où
N
(1,2, ..• ,r) • Si S eat une partie multiplicativement
stable de
et
M
N un sous-module de
dont les idéaux Eremiers sont minimaux dans l'ensemble
I-11 En effet, si pour
E premier
S
désigne l'ensemble
E
A - E
on a l'équivalenoel S (N) f= S (N) ~
E
idéal premier
pour tout
(
c:
~
~
Si d'autre part
Corollaire 21 assooié à
P
Si
rédui te de
0
est un sous-module de
est assooié à
En effet, si
0
dans
- N (\ ••• (lNr 1
M ,on a aussi
0
= (N
1
P
n (Nr n p)
;
: en effet
p.-ooprimaire
-1
Aveo les notations oi-dessus, si
E-ooprimaire de
pour tout
f'\ ...
flP)
l!i-primaire dans
M
E
p.-ooprimaire si et seulement si ~ i
est assooié à
pn
i f= j
P
est un sous-
M ;
Pest
N. = 0 • En partioulier, 1 -
il existe des sous-modules de
Ei-coprimaires. Enfin, si P
est une déoomposition
~i-coprimaire.
Corollaire 31 module
M ,tout idéal premier
est un sous-module non nul du module
et est dono
p.
-1
M
Ni {\ Pest
p/pnN.1
est l'un des
est minimal,
p.
-1
P
l!
>
,et
M qui sont
P (\ (Ni+N .) - 0
-
J
alors
=0 En effet, l'idéal premier assooié à
Dire que
Pest
Pest assooié à
M
p.-ooprimaire signifie que la déoomposition -1
rédui te obtenue après le oontient le seul terme
"nettoyage" Ni (l P
de
0
= (N
1
('\ p) ('\ ••• (\(Nr ('\ p)
,0' est-à-dire que P n Ni
=
0
1-18
Ceci est le cas pour tout sous-module non nul de
M. = 1
n
j
P
~ i
P ('\ (N. +N .) = 0
• Enfin, si
N. J
est à la fois
et si
P
J
1
p.-coprimaire et -1
f
0
p.-coprimaire, ce qui est -J
absurde. Pr0Eosition 1:
Si
N est un sous-module de
( 0 : N)
miers essentiels de idéaux premiers
E
dans
de la forme
E
A
={
sont les idéaux premiers associés à aux Sous-modules mon°eiènes En effet,
de
N
1
est
sont associés à
,
0 : N)
et on peut
1
En particulier,
M
• Les
N convenable,
pour
(O:N)=(nN. :N)=()(N.:N)
m~me
se restreindre
, où, avec les
1
(N. :N) 1
N
4: Ni
(0 : N)
est
p.-primaire si -1
les idéaux Ere-
M
notations du corollaire précédent,
(N.:N)
M
,
M
si
= A
Ne N. 1
,
si
N
et
•
E-primaire dans
A
est
E-coprimaire, et la proposition sera démontrée si l'on montre que, pour tout module
E-coprimaire
d'un sous-module non nul de
N
E
est l'annulateur
N • Pour cela, nous aurons besoin
du lemme: Lemme.
Si
N
est un module noethérien sur un anneau noethérien
il existe un entier En effet, si soient
n
tel que
~ ( 0 )~
=0
~( 0 )
est engendré par ni tels que: a. N = 0 pour 1
suffit alors de prendre
n ~ n 1+ ••• n - p +1 p
• Il
,d'après la for-
mule du binôme. Soit donc
n
tel que
n
E .N
= 0 'En-1 N r.1 o
(N
étant
A
1-19
de nouveau supposé
f
et
x
et
E.(x)
E .::>
, on a
0
0
=
Corollaire 1c nul de
E-ooprimaire). Si alors
• D'où
(
0 c (x»
=(
E
Les éléments
, oar
0 cCx»~
de
0(
x
(x)
est
, o.q.f.d.
E1
U •.• U En divisent
M
D'autre part, oe sont les seuls, oar si
Corollaire 3: assooié à
Si
M==N
(0: M)
sentiels de
n (A-p.) -1
Si
, on en déduit que les idéaux premiers esdans
• Si
E Ax
E
Corollaire 4:
o=
M , tout idéal premier
dire que
M , o'est
isomorphe au module
E-ooprimaire
E-ooprimaire de
N
M/N
M admet une suite de oomposition
M C M C •.• CM o n 1 Mi +1 / Mi
est premier dans
A
=
M
N , il en résulte que
(sinon oe serait un sous-module est assooié à
M
M/N
est assooié à
E n'est pas assooié à
nN =0
telle que
N ou à
M est assooié à
oontient un Sous-module
et do no
A sont assooiés à
N est un Sous-module de
En effet, dire que
Ax
S ==
0) == 0
Corollaire 2:
A/E
E-coprimaire,
M , forment la réunion
zéro dans
(M/
n-1 E .N
A qui annulent un élément non
En effet, tous les éléments de
S
€
M
soit isomorphe à un module • En outre l'ensemble
oontient tous les idéaux premiers assooiés à
A/p. -1
où
p.
-1
(E o ' E1, ••• ,En -1 ) M
),
1-20
Ceci résulte directement des corollaires précédents. Proposition 8:
Si
N est un sous-module de
M
~(N)
est
l'intersection des idéaux premiers essentiels minimaux de
En effet, si !:. :>
r
N dans
est cette intersection, il est clair que
~(N) • D'autre part, si
a éA
a ~ !r.l:(N)
et
soi t
n 2 S = (1,a,a , ••• ,a , ••• ) Alors, par hypothèse,
s(MI
0
)
rM
, et donc
rencontre pas tous les idéaux premiers associés à Corollaire 1:
~(N)
En effet,
= ~(N:M)
~(N:M)
ne
M , c.q.f.d.
Les idéaux premiers minimaux associés à
sont les idéaux premiers (essentiels) de
S
MIN
dans
A
•
et cet idéal est intersection
réduite de deux familles d'idéaux premiers. Ces deux familles coincident donc. Corollaire 2:
Pour qu'un idéal premier de
A contienne
~(N)
il faut et il suffit qu'il contienne l'un des idéaux premiers minimaux associés à
MIN
M
1-21
C. - QUELQUES APPLICATIONS 1) Variété associée à un module Soit, oomme toujours,
A un anneau noethérien,
M un
A-module
de type fini. On définit alors: Définition et proposition 9:
Si
E
est un idéal premier de
A
les assertions suivantes sont équivalentes:
1)
E
est idéal
2)
M E
= AE®AM ,
3)
E :) Ann (M)
4)
E On
~remier
M
0
contient un i.d.éal aJ2~elle
essentiel d'un sous-module de
associé de
~remier
vari été associée à
M
,
M
et on note
V(M)
Supp(M))
(ou
l'ensemble des idéaux premiers satisfaisant à ces conditions. Si est un idéal de
A
,on écrira aussi
W(!J
au lieu de
V(A/a)
a •
La variété aS30ciée au module nul est v.ide.
1)~2): En effet, ceci est vrai si
M=
A/p
(alors
Il en résulte que la propriété est vraie si M contient un sous-module
d'où
Il
E
est associé à on tire donc
ME
E
est associé à
, on a bien
est premier essentiel d'un sous-module
M/p
=,=
; de 0
M
E
~
(M/p) --t E
M
AIE
isomorphe à
et comme Enfin, si
E
AIE ).
Q,u corps des fractions de
car
s'identifie
M
0
et
ME' P
de
(M/p) , E
o M
o
,
1-22
2)-----)3)1 En effet, si s.x
f
r0
s é A - ~
pour tout
0
ME
, i l existe
et
A - E
x€M
tel que
ne rencontre pas
Ann(M)
3)==) 4): Déjà vu • 4)====>1)1 Supposons en effet que associé à à
A/~
M
,et
Alors
et donc que
essentiel de
Corollaire:
M contient un sous-module
N'
Si
M/N' E
dans
A/p. -1
N isomorphe EI~
N/N'
isomorphe à
ou est un idéal premier
M
E€V(M)
p. -1
M/N'
idéal premier
N'isomorphe à
contient un sous-module
est associé à
o = MoC:M 1C: ••• C:Mn = M module
~
contienne
N contient alors un sous-module
Il en résulte que A/p
E
, i l existe une suite de composition de telle que
Mi+1/Mi
M
soit isomorphe à un
premier, où l'un au moins des p. -1
-
est égal à
P_
En effet, avec les notations de la démonstration précédente il suffit de mettre bout à bout une suite de composition de sui te de composition de
M/N'
N'et une
qui satisfait aux conditions du Corol·-
laire 4 de la proposition 1. Par exemple, si les idéaux premiers de n
V(A) =
M= A A
De
m~me,
w (0)
est l'ensemble de tous
si
est un idéal de
a
A et
un entier positif, on a les équivalencesl
La proposition suivante sera souvent utile dans les calculs:
•
1-23 1)
sui te exacte de
A-modules,
2)
Si
P
et
Si
0 --i' M' ~ M --1 Mil 4
Proposi tion 101
0
est une
V(M) = V(M') U V(M")
Q sont deux sous-modules de
M
V(M/P() Q) = V(M/P) V V(M/Q)
3)
Si
M et
N sont deux
V(M®A N) :: V(M)
n
A-modules (de type fini),
VeN)
,
La première assertion résulte trivialement de l'existence, pour tout idéal premier
o -7
Mt
E
E
de
A
de la suite exacte:
-4 M -7 Mil --i 0
E
E
La seconde n'est qu'une qutre formulation de l'égalité:
Enfin, pour la dernière assertion, on note que:
On est ainsi ramené au corollaire 2 de la propDsition 1. Si
Corollaire:
M est un
A-module et
a
un idéal de
A
,
= V(M)()W(a)
V(M/aM)
Enfin la démonstration des propriétés suivantes exigera du lecteur un travail insignifiant: Si
(~.)
est une famille d'idéaux de i6t qu'ils engendrent, on a: 1
n
i E. l
W(~) = W(~) ...
A
a
l'idéal
1-24 m~me
De
si
a
et
b
sont deux idéaux de
A
• W(~
Les idéaux de
A
satisfont donc, quand
V(M)
la topologie de Zariski de
Si
V(A)
V(M)
• Si
M est un
A -module,
sera la topologie induite dans
par la topologie de Zariski de
Dans
parcourt le treillis des
, aux axiomes des fermés d'une topologie. Cette topo-
logie est la topologie de Zariski de
V(M)
a
V(A)
toute suite décroissante de fermés est stationnaire.
V(M)
R est un idéal premier de
W(R)
est un fermé de
V(M)
et n'est pas réunion de deux fermés plus petits: on dit que
W(R)
est irréductible. Tout fermé irréductible est de la forme
et tout fermé
F
W(~)
est réunion d'un nombre fini de fermés irréductibles
ne satisfaisant à aucune relation d'inclusion entre eux et déterminés de manière unique par
F
Si
F = W(~ , ces fermés irréductibles sont
les
W(p.)
où
les
W(Ri)
sont les composantes irréductibles de
-~
i parcourt les composantœpremières minimales de W(~
a
:
(Ces
propriétés ne sont qu'une traduction de quelques lemmes, déjà démontrés, sur les idéaux premiers). Remarquons aussi au tout fermé de
V(M)
composantes connexes 1 car tout irréductible
a un nombre fini de W(R)
est connexe
(cela résulte de la définition de l'irréductibUité). D'autre part, W(~)
W(R)
\J
W(~)
est connexe si et seulement si
ne sont pas disjoints, c'est-à-dire si
nus dans une Si
m~me
R et
~
R
W(R) ~
et
et
sont conte-
idéal maximal. appartiennent à
V(M)
R
et
~
appartiennent
I-25 à la
m~me
composante connexe si et seulement si il existe une suite
d'idéaux premiersl Pi e V(M)
et que
2)
= ..'[)
p
-0
V W(Pi_1)
W(Pi)
soit connexe.
Idéaux étrangers
Nous allons d'abord rappeler brièvement quelques résultats élémentairesl Deux idéaux
a
et
b
de
a + b
qu'ils engendrent est
existe
a
dans
a
et
=a
1
Si
.ê:.1 ' • • • ,~
telles aue
a.
--'l.
et
alors
b
et b.
-J
et
A
a.
-1
et
, alors
tout entier, autrement dit s'il
A
dans
b
tels aue:
+ b b -b 1 ' • • • , -m
sont deux familles d'idéaux
sont étrangers pour tout couple -b 1 ·b - 2 ···b -m
à fortiori de m~me de a 1 (l ~ ... Enfin, si
sont dits étrangers si l'idéal
a.
sont étrangers, et il en est
n~
W(~
et
b1
n ~ ... n ~
sont étrangers deux à deux, pour
-J
-a1n~ -, ••• n a -n =a - 1 .a - 2 ···a -n
Avec ces définitions deux idéaux et seulement si
(i,j)
et
W(È0
a
et
b
sont étrangers si
sont disjoints.
Le but de ce paragraphe est alors la démonstration de la Prpposition 11:
Tout module
M admet une décomposition uniQue
M , •••• ,M s ' 1 dont les annulateurs sont étrangers deux à deux et qui n'admettent comme somme directe de modules
plus eux-m~mes de telle décomposition. Les variétés sont les composantes connexes de
V(M)
V(M 1), •.• ,V(M s )
1-26 Si
sont les annulateurs de
n
nê:.g :: ~1.a2 ••• ê:.g
~:: a 1 a 2 fl .. . seule représentation de
on a
a
et on obtient ainsi la
comme intersection d'idéaux étrangers
deux à deux et qui n'ont plus
eux-m~mes
de telle représentation.
Nous allons monter au ciel en nous tirant par nos lacets de chaussures (la démonstration est celle du théorème chinois; on peut l'ignorer sans préjudice): M = M f1 ... ()M s 1
Supposons d'abord donné une décomposition les
Mi
a
= (O:M)
::
(0:M a
-1
soit donc
a 1 , ••• ,ê:.g
ont des annulateurs étrangers deux à deux, soit
Alors:
1
)n ... n (O:M s )
n ... () -s a
b. = -a 1 ···a. 1 a i +1 ···ê:.g --'l. -
--'l.
Ni:: :M 1~··· ~
$ Mi-1
t'r.!.
q;7
Mi+1···~ ~, M s
n
j
f
a.
, pour
et
-J
i 1./ ~
où
i t.. s ~
On a alors les formules) suivantes: Lemme 1:
3)
M.1
1)
a.
(O:a.) --'l.
=
2)
(O:M. )
=
--'l.
1
b.M
--'l.
=
n
j
f
N.= 1
4)
N. J
i
En effet, la formule 1) est claire. Formule 2):
(O:N.) 1
Formule 3): de D'autre part Ax
(a. + b.) x --'l. --'l.
a. :: (O:M.)
~Ni
=
j
--'l.
a
1
:: a
et si
on tire
x~Ni
:: (O:N.), 1
b.
--'l.
nf
(O:b.) --'l.
(O:M .) i
(O:~) ~ Mi
n (O:~)
J
=
a. M •
--'l.
1-21
Formule 4): La démonstration est analogue. V(M.) = W(a.) 1 --'l.
D'autre part, a.
--'l.
et
a.
-J
et dire que, pour
sont étrangers, c'est dire que
V(M. )
et
1
1j
i
V(M.) J
sont
disjoints.
et
~1
' • • • '.ê:.s
Soit en effet
1 .( i, j ~ s
,
où
et où
miers associés à Comme, pour
et appartenant à
M
i
désignent les idéaux pre-
p. 1'···'P. -J; -J, t'J
1j ,
aucun
V(M .) =
J
p. -1,e
W(a.) -J
n'est contenu dans un
n'est pas contenu dans la réunion des p. k et p. P -i ,e -J, k -J, S. rencontre tous les p. et donc aussi a. • La S.-composante 1 --'l. 1 -1,e de
a dans M contient alors M.1 et coupe
Ni
suivant
a • On
a ainsi: S.
1
~~~!~~~~~~ID~~~=
a.
--'l.
'"' a 1
1
n ···n .ê:.s
sont étrangers deux à deux.
Soit alors j
Alors
= M.
supposons donnée une décomposition
~ où les
(Mio)
n1
b.M,
et
--'l.
i
M est somme directe des
dans la situation précédente:
Mi
et
a.
-1
i
~M. 1j J
, et l'on est
1-28
En effet, o(i €~
f3 i
et
Mi
~
ê ~
engendrent
M
cl.. 1. + /,l1 ~.
tels que
i
car pour tout
1
il existe
On en déduit
= 1.
l'égalitél
l = ~ l + 11(1 ( f:2 + 0(2( ~ 3 + ••• +
qui e8t du type
l = b
+ ••• + b
1
S
+
, où
0(
c
D'où
.
(~+~)
0
et
X
= A:x
. Si donc
b.N. --'l. 1 = 0
,
= 0
et
Reste à montrer que on tire que x€N.
a.
::> (O:M.) 1
0
, alors
f
, x
1
--'l.
V(M) = W(a)
connexes de
Si alors et
~
et
W(~ ) = li (a . 1) -~ --'l.,
et
V , ••• ,V 1
f
n ... nW(a--'l.,s. . ) :; 1
0
1
-
0
• D'où
a. 1, ••• ,a. --'l. , --'l. , s i
et soient
a
V.l
on a l'égalité i
li ( q . 1)
-1,
f
les primaires
et dont les idéaux
j
a = a () ••• 1
n~
car
n ... n
sont disjoints.
-J
On détermine ainsi une décomposition de
V(Mi)=Vi
M.
soient les composantes
s
sont étrangers pour
et
~
, et l'on vient de voir que si
appartiennent à
W(a.)
entratne
j
, alors
mais de
a. = (OIM. ): --'l. 1
a. = a. 1 ••• a. --'l. -1 , --'l. , si
aj
-1
x = 0
intervenant dans une décomposition de premiers associés
f
i
xE:MinN i
a.x = (a. + b.)x --'l. --'l.--'l.
Supposons finalement que
1
b M• • •• + -s
D'autre 12art la somme est directe carl b .• b. --'l. -J
et o(E s.
b. E b.
M.
1
ne peut
~tre
M en somme directe
décomposé davantage, car
est connexe. De m~me pour la décomposition de
~
qui
lui correspond. Enfin ces décompositions sont uniques car déter-
1-29
Corollaire 1:
V(M. )
complémentaire de la réunion des idéaux premiers de
M.l.
T.l.
Avec les notations ci-dessus, désignons par
est isomorphe au A-module sous jacent au
le
• Alors
l.
AT.-module l.
D'abord tels que:
rencontre
Ti
j ~ i
pour
, car si les
a .. l.J
sont
a .. +a .. = 1, a ..
Alors
l.J
Jl.
T.
contient
l.
l.J
Il en résulte que
a ..
J l.
~.l.
M.l.
D'autre part,
s'envoie injectivement dans
et il
M'l. T •
l.
suffit de montrer que cette application est surjective. Soit donc
mis
un élément de
MT.
,où
mE.M
l.
Comme il existe déduit que dans
~.
s a
i
et
séTi
n'appartient à aucun idéal premier contenant dans
a.
--'l.
et
m = ma + mbs
b
dans
et que
A
tels
mis
~ue
et mb/1
a+bs = 1
a.
--'l.
• On en
sont confondus
' c. q • f • d •
l.
Corollaire 2: A/a
b./a
M
= A/a
Mi
= ~/a
est composé direct des anneaux -
En effet, --'l. -
Si
A/~
• Mais, comme
et
b./a
--'l. -
N.l. = --'l.a./a
• Alors
, isomorphes à
A/a . •
est somme directe, comme A-module, des b .• b. = -J
--'l.
a
pour
composé direct en tant qu'anneau.
i
1 j 1"
A/a
•
est même
--'l.
1-30
Il en résulte en particulier que le treillis des idéaux de
A/~
3)
Modules de longueur finie.
•
A/~
est composé direct des treillis des idéaux des
Nous supposerons connus les résultats de Bourbaki, Algèbre, chapitre 1. Proposition 12: A/m
où
~
Les modules simples sur
A
sont les quotiena
A
est un idéal maximal.
En effet, tout module simple est monogène, i.e. de la forme A/a
où
a
est un idéal de
A
les sous-modules de
pondent bijectivement aux idéaux de est simple et seulement si
a
A
contenant
corres-
; donc
A/~
est maximal.
Il en résulte que les modules semi-simples sur sommes directes de corps isomorphes à Définition 2:
a
A/a
A/~
,m.
--'l.
A sont les maximal.
On appelle module de longueur finie un module
M
possédant une suite de Jordan-Helder. Nous noterons par la longueur de
M
On a alors la proposition: Proposition 131
Les modules nons nuls de longueur finie sont
ceux dont tous les idéaux premiers associés sont maximaux, ou encore c,eux dont la variété est formée d'idéaux maximaux.
La condition est nécessaire: On sait en effet que tout sousmodule et que:
N d'un module leM) ::
M de longueur finie est de longueur finie,
-l(N) + {(MIN)
I-31
E
Donc, si isomorphe à
est associé à
A/E •
idéal maximal
Si
E
M ,soit
N un sous-module de
M
n'était pas maximal, il y aurait un
m contenant
E ,et la sui te
une suite de composition infinie de
A/E
n m / (E
n
n m )
serait
N ne serait pas de
longueur finie. Réciproquement, on a vu que tout module de type fini tait une suite de composition: où
M./M. 1 1. 1.Si
V(M)
est isomorphe à
o A/p. -1.
= M
o
C
et où
M 1
C ... C. Mn
p. -1.
M admet= M
,
e V(M)
n'est formé que d'idéaux maximaux,
M est donc
extension d'un nombre fini de modules simples et est de longueur finie. Corollaire:
Tout module de longueur finie
M est somme directe
de modules coprimaires associés à des idéaux maximaux de En effet, les idéaux premiers associés à et donc étrangers deux à deux.
A
M sont maximaux
11-1
CHAPITRE
Conventions
II
OUTILS ET SORITES
les anneaux considérés sont supposés commutatifs à
1
élément unité, et les modules sont supposés unitaires. A - FILTRATIONS ET GRADUATIONS (Pour plus de détails, le lecteur se reportera à EoœBAKI, Alg. Comm., Chap.III.) 1. Anneaux et modules filtrés.
Définition famille
Nous appellerons anneau filtré un anneau
1~
(An)nEZ
A muni d'une
d'idéaux vérifiant les conditions suivantes:
= Ap .A q
C
Ap +q
Nous appellerons module filtré sur l'anneau filtré dule
M muni d'une famille
(Mn ) n4:Z
A un
A-mo-
de sous-modules vérifiant les
conditions suivantesl A p .M q
C Mp +q
~Noter que ces définitions sont plus restrictives que celles
--
de BOURBAKI, loc.cit.-1 Les modules filtrés forment une catégorie additive morphismes étant les applications que
u(Mn )
=
Nn • Si
P
(p ) n
n
= (M
n
+p)/p
Dans
FA
P
n
telles
par la filtration de
définie par la formule
n = M/P
appelle filtration quotient sur N
u: M -t
,les
est un sous-A-module du module filtré
on appelle filtration induite sur filtration
A-linéaires
FA
est l'image de
P
n
= P(\M
n
la filtration
M
M ,la
• De
m~me,
(n ) n
on
où
M n
,les notions de morphismes injectifs (resp. surjectifs)
11-2
sont les notions habituelles. Tout morphisme noyau à
Ker(u)
Ker(u)
et un conoyau
et
COker(u)
COker(u)
u: M
~
N admet un
: les modules sous-jacents
sont les noyau et conoyau habituels, munis
de la filtration induite et de la filtration quotient. On définit également
= Ker(N-t COker(u))
Im(u)
et
Coim(u) = COker(Ker(u) -t M).
On a une factorisation canonique : Ker (u) -t où
Coim( u) ~
M -t
lm (u) -t N--t
est bijectif. On dit que
g
u
Coker (u)
est un morphisme strict si
est
g
un isomorphisme (de modules filtrés); il revient au même de dire que u(M ) = N ('\ u(M) n n
neZ=
pour -tout
• Il existe des morphismes bijec-
tifs qui ne sont pas des isomorphismes
(FA
n'est pas une catégorie
abélienne au sens de Grothendieck). Exemples de filtrations: a)
Si
~
(resp. du
A-module
(resp. M
n )- 1
b)
est un idéal de
n
Soient
M)
= m~4 pour
=
n
de
A
pour
~
n) 1).
A un armeau filtré,
HomA(M, N)
~-adique
,on appelle filtration
la filtration pour laquelle
A-module. Les sous-modules sur
A
N un
HomA(M, Nn )
A-module filtré, et de
HomA(M, N)
M
un
définissent
une structure de module filtré.
2. Topologie définie par une filtration. Si
M
est un A-module filtré, les
et définissent sur
M n
forment une base de filtre,
M une structure uniforme (donc une topologie)
compatible avec Sa structure de groupe (cf.BOURBAKI, Top.Gén., Chap.III).
--
Ceci vaut en particulier pour to~ologique
Si
~
; de même,
A
lui-même qui devient ainsi un anneau
M est un A-module topologique.
est un idéal de
A, on appelle topologie
~-adique
sur un
II-3
A-module
Pro12osition 1 :
N
L'a.dhérence
Soit de
=
pas à
de
M
M
est égale à ( \ (N + M ) n
N
x
n'appartient pas à
(x + M )(\ N =
tel que
Z
un sous-module d'un module filtré
N
En effet, dire que n~
~-adique
M la topologie définie par la filtration
n
0
N
signifie qu'il existe
,d'où le fait que
x
n'appartient
N + M n
Corollaire!
M
n
est séparé si et seulement si
o
M n
3. Complétion des modules filtrés. Si
M est un A-module filtré, nous noterons
séparé; crest un
A-module.
On vérifie tout de suite qutil stidentifie A
tim. M/Mn
à
• Si Iron pose
~
..
A-module filtré, et de
Mn
..
M = n
Ker (M ~ M/Mn )
s'identifie à
M/M
Mn
n
,muni de la filtration induite par celle de Soit
~xn
,converge dans
x éM n
xn
M devient un
A
M/Mn
Pr012osition 2!
raI
..
M son complété-
est le complété M
M un module filtré séparé et com121et. Une série M si et seulement si son terme géné-
tend vers zéro.
La condition est évidemment nécessaire. Réciproquement, si x
n
7
0
, i l existe pour tout
n } n(p) tout
k~O
x €M n p
p
un entier
n(p)
tel que pour
• On a al or s
,et le critère de Cauchy s'applique.
Pr012osition 3:
Soient
A un anneau et
m un idéal de
A est sé12aré et complet pour la t01201ogie séries formelles (~, X)-adi'lue.
A [[X]
~-adique,
A
. Si
l'anneau de
est sé12aré et com12 1et 12 0ur la t01201ogie
11-4 L'idéal
(m, X)n
telles que
n-n a p €!!!. ~
idéaux sur
A[ [X]]
coefficients
ai
est formé des séries pour
~
0" p
• La topologie définie par ces
n
est donc la topologie de la convergence simple des
; en d'autres termes
groupe topologique) au produit Proposition 4:
,qui est bien sépar~ et complet.
Al
des idéaux maximaux deux à deux
Soient
distincts de l'anneau
est isomorphe (comme
A[[X]]
A
,et soit
r
=
m () ••• f)!!!.k 1
• On a alors
un isomorphisme canonique
..
A
où
.. A
~
m.
-J.
..
A est le complété de
~-adique,
A pour la topologie
est le complété -séparé de
pour la topologie
A
!!4.
et où
!!!oz A
!!!:i.
-.L
-adique.
~ On a un résultat analogue pour les modules.-'
Comme les
m.
sont deux à deux étrangers, on a
-J.
Am. /mr: -]. Am. --'l.
--'l.
(la démonstration donnée au Chap.1 dans le cas noethérien s'applique sans changement au cas général). On en déduit:
...
1 T (=im(A!!4. jmr:A~ ) 1", i , k
A
~
--'l.
Remarque~
La proposition s'applique notamment au cas d'un anneua
semi-local
A
de
A
, en prenant pour
; l'idéal
r
m.
--'l.
l'ensemble des idéaux maximaux
est alors le radical
de
A
4. Anneaux et modules gradués. Définition 2: Nous appellerons anneau gradué un anneau
A muni d'une
II-5 décomEosition en somme directea
>-
A=
An
néZ
telle que
= fOJ si nLO
A n
et
Ap .A q C
Ap +q
Nous appellerons module gradué sur l'anneau gradué A-module
M muni d'une décomposition en somme directe:
11
M =
Mn
nE.Z
telle que
n =
M
~ 01
si
Soit maintenant Nous noterons
dans
Ap .Mq CM p+q
et
n~O
M un module filtré sur un anneau filtré
gr(M)
ou
a(M)
la somme directe ~ Mn/Mn+1
gr n (M) = fil nlM n +1
groupes abéliens Ap X Mq
A un
Mp+q
A des
• Les applications canoniques de
définissent, par passage au quotient, des appli-
cations bilinéaires de
gr (A))( gr (M)
application bilinéaire
de
p
En particulier, pour
dans
q
gr(A) x gr(M) M= A
dans
gr p+q (M)
, d'où une
gr(M)
,on obtient sur
gr(A)
une structure
d'anneau gradué; c'est l'anneau gradué associé à l'anneau filtré De même, l'application structure de
gr(A)-module gradué • Si
de modules filtrés, mes degré
gr(A) ~ gr(M) ~ gr(M)
u
d'une
est un morphisme
,d'où un homomorphisme (homogène de
gr(u): gr(M) ~ gr(N)
Exemple . Soit
k
un anneau, et soit
k-algèbre des séries formelles. Soit munissons
gr(M)
définit par passage au quotient des homomorphis-
gr n (u) : MnlM n +1 ~ NnIN n +1 0)
u: M-i •
munit
A
A
= k[[X l , ••• ,XrJlla
m = (Xl' .•• ,X r ) , et
A de la filtration !!!-adique. 1e gradué associé
s'identifie à l'algèbre de polynOmes
k[X l , ••• ,X ] r
gr(A)
, graduée par
le degré total. Les modules
#0
M, M et gr(M)
se "resselnblent" beaucoup. Tout
II-6
d'abord: Proposi tion 5:
Les applications canoniques
.
...
M ~ M et
A~
..
... induisent des isomorphismes
gr(M)
gr(M)
=
et
gr(A)
A
gr(A) •
=
C'est immédiat. u: M ~
Proposition 6:
Soit
On suppose gue
M est complet,
jectif. Alors
u
N un morphisme de modules filtrés.
N séparé, et que
gr(u)
est sur-
est surjectif, c'est un morphisme strict, et
N
est complet.
Soit
n
un entier, et soit d'éléments de
~
gr(u)
Mn
est construit, on a monl.ire j.!existence de
mod.Nn +k + 1
; on prend alors
limites dans on a
n
xeM n
,
et
xk+1~
telle que
u(x )- YéN + k n k
xk
mod.Mn +k
et
tel que
x k+1 =
- tk
Soit
(xk )
comme
~
= lim.u(xk )
u(x) u
x
a
o
et la surjectivité de
t k E-M n +k
M de la suite de Cauchy
ce qui montre bien que logie de
• On va construire une suite
• On procède par récurrence à partir de
mod.N n+ k Si
yeN
u( t ) :. u(x k ) - y k
est égal à
l'une des
x Mn
est fermé, u(M )=N n n
Donc
y
est un morphisme strict surjectif. La topo-
N est quotient de celle de
X
,et c'est donc un module
complet. Corollaire 1:
Soient
filtre séparé,
(n. ) 1.
(X )
i
i
A un anneau filtré complet,
dans
gr n. (M)
• Si les
x.
1.
E. M
n.
, les
x.
1.
engendrent
M , et
engendrent le
M est complet.
M
• On note
1.
1.
gr(M)
un A-module
une famille finie d'éléments de
el
une famille finié d'entiers tels sue
l'image de
M
et
x.
1.
gr (A)-module
11-7 Soit
=
E
AI
, et soit
En
a. E A l. n-n.
le sous-groupe de pour tout
E
formé des
i E l . On définit ainsi
l.
une filtration sur produit de
AI
E
, et la topologie associée est la topologie
• Soit
u
1
E
~
M l'homomorphisme donné parc
C'est un morphisme de modules filtrés, et l'hypothèse faite sur les équivaut à dire que
X.
l.
gr(u)
est surjectif. D'où le résultat
d'après la prop.6. l-La démonstration montre en outre que tout entier
n
Corollaire 2; complet
A
Mn
=L An-n. x.
.:7 Si
pour
l.
l.
M est un module filtré séparé sur l'anneau filtré
, e t si
noethérier..), alors
gr(M)
est un
gr(A)-module de type fini (resp.
M est un module complet de type fini (resp.
noethérien, et tous ses sous-modules sont fermés). Le corollaire 1 montre directement que, si fini,
M
, muni de la filtration induite,
sous-gr(A)-module gradué de
gr(M); si donc N
est de type fini, et
fermé puisque Corollaire A/~
est de type
M est complet et de type fini. D'autre part, si
sous-module de
gr(N)
gr(M)
3:
M
est un
gr(n)
est un
est noethérien,
est de type fini et complet (donc ~1
est séparé); on en conclut bien ::a.ue
Soit
m un idéal d'un anneau
soit noethérien, que
~
m
A
~-adique.
est engendré par
quotient de l'algèbre de polynômes
Alors
x , ••• ,x r 1
est noethérien.
• Supposons que
soit de type fini, et que
séparé et complet pour la topologie En effet, si
gr(M)
n
A
A ~ est noethérien.
gr(A)
est
, donc est
11-8
noethérien. Le corollaire ci-dessus montre alors que Proposition intègre,
7: Si l'anneau filtré A est séparé, et si gr(A)
peut trouver et
est
A est intègre.
En effet, soient
x
A est noethérien.
y
n,m
x
et
tels que
y
deux éléments non nuls de
x. An -An+1
y
E
Am -A + m 1
définissent alors des éléments non nuls de
A
On
; les éléments
gr(A);
puisque
est intègre, le produit de ces éléments est non nul, et ~
gr(A)
xy
fortiori on a
~
a
d'où etc.
On démontre de façon analogue, mais un peu plus compliquée, que si
A est séparé, noethériep, si tout idéal principal de
fermé, et si
gr(A)
A est
A est
est intègre et intégralement clos, alors
intègre et intégralement clos (cf. par exemple Zariski-Samuel, Commutative Algebra, vol.II, p.250). En particulier, si noethérien, et intégralement clos, il en est de de
k
k
m~me
est intègre,
de
k X
et
X
Signalons aussi que, si
k
est un corps valué complet non
discret, l'anneau local noethérien factoriel (cela peut se voir au moyen du "Vorbereitungsatz" de Weierstrass).
5. Où tout redevient noethérien - filtrations
~-adiques.
A partir de maintenant, les anneaux et modules considérés sont supposés noethériens. On se donne un tel anneau de
A; on munit Soit
A de la filtration
somme directe des
q
~-adique.
M un A-module filtré par des
groupe gradué
A et un idéal
M n
(Mk) n)O
On lui associe le ; en particulier,
II-9 ~ n A='-s.
Les applications canoniques
A p X Mq - 1
A~ M
prolongent en une apllication bilinéaire de définit ainsi sur
A une structure de
M une structure de A
se
Mp+q
M ;
dans
on
A-algèbre graduée, et sur ~en géométrie algébrique,
A-module gradué
correspond à l'operation d'''éclatement le long de la sous-variété
s."J.
définie par Comme
S.
est de type fini,
A est une A-algèbre engendrée par
un nombre fini d'éléments, et c'est en particulier un anneau noethérien. Proposition 8!
Les trois propriétés suivantes sont équivalentes:
= -q.Mn
(a)
On a
(b)
Il existe un entier
(c)
M est un A-module de tlpe fini.
Mn +1
L'équivalence de pour un entier
(a)
n
pour
assez grand
m tel que
et
(b)
(c)
M ni donc
La filtration
(b)
(Mn)
de
k)O •
est vérifié
est engendré par
M
• Réciproquement, si
par des éléments homogènes de degrés
Définition~
k q .M pour m
est triviale. Si
m , i l est clair que
donc est de type fini; d'où
Mm+k
~ Mi
'
i~ m
est engendré
, i l est clair que l'on a (c) ~ (b).
M est dite
s.-bonne si elle
vérifie les conditions éQuivalentes de la proposition 8. (Autrement dit, on doit avoir égalité pour presque tout Théorème 1 (Artin-Rees): Si filtration induite sur
P
M +1Cq.M n
-
n
n
, avec
n.) P
est un sous-module de
M ,la
par la filtration s.-adique de
s.-bonne. En d'autres termes, il existe un entier pour tout On a évidemment
pour tout
; comme
M est
m tel que
k) a
M est de type fini, et que
-
A
1I-10
P
est noethérien,
est de type fini, aid.
L-Cette présentation du théorème d'Artin-Rees est due à Cartier; elle est reproduite dans Bourbaki, Alg.comm., Chap.III, 1~
Corollaire
Tout homomorphisme
u: M
~
N
3.-1
est un homomorphisme
de groupes topologiques lorsqu'on munit les modules topologies
§
M et
N
des
~-adiques.
Il est trivial que la topologie q-adique de de celle de
u(M)
est quotient
M ,et d'autre part le théorème 1 entraîne qu'elle est
induite par celle de
N
Corollaire 2
~
L'application canonique
et l'anneau
A
est
..
A ®A M
~
..
M est bijective,
A-plat.
La première assertion est évidente si
M est libre. Dans le
cas général, on choisit une suite exacte: L où les Â
1
~AL1
~
'f1~,. L Comme
0
..,
0
M -t
.
A ~ALo
~
L
~
1 et
0
\.g
en outre le foncteur A SAM
.
A®AM
~.J,
'Pot,.
'-Po
foncteur
L
sont libres. On a un diagramme commutatif à lignes exactes:
L. ,.
..,
1
-4
..
M
-t
0
~
0
sont bijectifs, il en est de même de
'f .
Comme
M est exact à gauche, il en est de marne du
(sur la catégorie des modules de type fini - donc
aussi sur celle de tous les modules), ce qui signifie bien que
A
est A-plat. Corollaire 3:
Convenons d'identifier le complété-séparé d'un sous-
module
M avec un sous-module de
N de
M
• On a alors les
1I-11
formules:
= A.N
N
N
1
,. + N
= (N 1 + N2 )
2
On laisse au lecteur le soin de faire la démonstration; elle ne fait d'ailleurs intervenir que les hypothèses noethériennes et le fait que
A est plat. En particulier, le corollaire 3 reste valable
l'on remplace le foncteur où
S
M par le foncteur "localisation"
est une partie multiplicativement stable de
Corollaire
4;
(i)
~
(ii)
Tout
lors~ue
MS
A
Les propriétés suivantes sont équivalentes:
est contenu dans le radical
~
r
A
A-module de type fini est séparé pour la topologie
~-adique.
(iii) Tout sous-module d'un A-module de type fini est fermé pour la topologie
>(ii) •
(i) de
P
(U)
a
P =
ceci entraîne
P
===* (iii).
N est un sous-module de
Si
soit séparé entraîne que (iii)-==}(i). Soit
fermé dans
A
Corollaire
5:
nr:J..n
a
~
P l ' adhérence de zéro; la topologie
est la topologie la moins fine, d'où
~ C~,
M/N
Soit
~-adique.
=
et comme
(lemme de Nakayama).
N
M
, le fait que
soit fermé.
m un idéal maximal de
,on a nécessairement Si
~.P
q -adique
A est local, et si
~ c~
~
A
• Puisque
d'où aussi
est distinct de
m est ~ ~
A
,on
Cela résulte du corollaire précédent. Définition~ On appelle anneau de Zariski un anneau topologique noethérien dont la topologie peut être définie par les puissances d'un idéal
~
contenu dans le radical de l'anneau.
r
1I-12 ~
Z-Cette condition ne détermine pas la vérifie on a m
~
n
m
et
C. ~I
pour des entiers
~' C ~
n
et
convenables~
Si
M
est un anneau de Zariski, et si
type fini, la topologie
~-adique
de
M
gie de
M
est un A-module de
ne dépend pas du choix de
(pourvu bien entendu que les puissances de
q
M • Si
NC.NCM
fermé dans
N est un sous-module de et M ).
N C. M C
M
et m~me
q
définissent la topolo-
A); on l'appelle la topologie canonique de M
séparée (cor.4) , ce qui permet d'identifier de
~'
en général; mais si
• Elle est
M à un sous-A-module
M ,on a les inclusions .... N = N (1M (puisque
N
est
1I-13 1
COMPLDŒNT
Soit
C une catégorie abélienne. On rappelle qu'un complexe
(de degré
s)
phismes de et où
n
dn+s.d n
Modules différentiels filtrés
K·
C
de
,soit
parcourt
z
=
C consiste en la donnée d'une suite de mord
n
.K.n
--?
Kn+s
,où
s
est un entier donné,
• On suppose en outre que, pour tout n
a
En particulier, soit catégorie
~
FA
l(.
un complexe de degré
+ 1
des modules filtrés sur un anneau filtré
de la A
(les
hypothèses sont celles du paragraphe 1). On notera toujours par G(A)
l'anneau gradué associé et par
gradués sur l'anneau gradué
A un tel complexe
la catégorie des modules
,le degré d'un morphisme étant
on a l'habitude d'associer une sui-
04 r 4. +
te de complexes la construction
K·
G(A)
GA
CD
,
dont nous allons rappeler
(Voir Godement, Théorie des faisceaux, Suites
spectrales, l, parag.4): Le module
n K
On désignera par
étant muni de la filtration
et
B
n r,p
les sous-modules:
~+1/(Kn+1)
p+r
)
et
1I-14
Dans ces conditions, on posera:
Si lion fixe
r
et
n
le module
En - EJ:1En r,· r,p
est muni natu-
rellement d'une structure de module gradué sur l'anneau gradué a(A)
• (Considérer
Si
r
<+
00
,
En r,p
)
comme quotient d'un sous-groupe de
les dérivations
d
n
de
K·
induisent des mor-
phismes:
et ces
font des
En outre,
En r+1 ,.
mologie de complexe Le module
En
supposera
~p
un complexe de degré
r
s'identifie au n-ième o~ ~oupe de coho-
(En r, •
)~
s'identifie à muni de la dérivation nulle). Le module gradué
E~ ,.
n'est donc que le gradué associé au module de cohomologie
Hn(K)
,filtré par les sous-modules
On construit de façon analogue, la "suite spectrale" K·
est un complexe de degré
-1
lorsque
• Nous nous proposons de montrer
se fait en deux pas
ici que l'étude de la suite spectrale bien distincts:
1°) Etudes des liens entre 20) Etude de la filtration de
et
pour
r(+
00
•
Hn(K·)
Les résultats seront simples si
A
est noethérien et est
.
1I-15 ~-adique, et si les
muni d'une filtration
de type fini munis d'une filtration Théorème: 1)
~
sont des A-modules
~-bonne.
Les conditions suivantes sont équivalentes:
Pour tout
n
r(n) ~ +
il existe un
00
tel que:
,
n n· n Er(n) ,. = Er (n)+1,. = ••• = Eoo , • 2)
Pour tout
n
il existe un entier
sen)
tel que:
O"p~+oo (Condition du type Artin-Rees, compare une filtration quotient et une filtration image). Si ces conditions sont satisfaites on dira que la suite spectrale converge. On va faire la démonstration dans le cas où le complexe est de degré
+1
Pour cela on note d'abord les inclusions sui-
Zn r,p
et
vantes:
Si donc Zn r,p
et
n Br,p
En r,p
est nulle et
a
-n B
s ,p
dans
C-Bn
s+, 1 p
C
B'n r,p
désignent pour
, alors
En s,p
-n .;-n Z B r, r,p •••
C-Bn
CD
,p
r.>s
l'image de
. En outre on a C-Zn
00
,p
C
•••
les images de
Zn r-1 ,p+1
dans
les inclusionsl
C-Zn
s ,p
= Ens , p
En s,p
1I-16 si et seulement si
Autrement dit on aura -n
et
B
00
,p
=0
et ces égalités entraineront toutes
les égalités "intermédiaires". Mais
-n
Z
00
signifie
,p
ou
Un calcul sans difficulté et sans poésie montre que cette condition équivaut à qui est la condition cherchée. D'autre part,
signifie
+ Zn
c
ou
s-1,p+1
Cette condition sera satisfaite si
n
n dn - 1 (K - 1 ) .
Kn C p
dn - 1 (K n - 1 ) p-s+1
et on retrouve la condition du '
théorème, c.q.f.d.
Corollaire:
Si
A est un anneau commutatif noethérien, à élément
unité, muni d'une filtration
~-adique,!i
gorie des modules de type fini sur ~-bonne,
degré
fA
désigne la caté-
A munis d'une filtration
alors toute suite spectrale associée à un complexe (de
:!:.. 1)
de
fA
converge.
Il va sans dire que la condition (2) du théorème est toujours trivialement satisfaite toutes les fois où la littérature
1I-17 se sert d'une suite spectrale. Le seul souci du littérateur est donc la filtration de Proposition:
Sous les hypothèses du corollaire précédent, la
f1'ltrat1' on de. ~
C
Hn(K·)
Hn(K·)
t
~
b onne. (Ell e es t d ' S1. onc é s paree
~-
!:.(A))
Hn(K e
En effet, Hn(K e )
tion de
~
tion que
)
p
est l'image de
Zn
n (Kn)p , et
est donc la filtration quotient de la fil tra-
induit sur
Zn
Terminons sur un exemple de complexe de degré -1: M et
~-adique.
Appelons module libre de
f· -A
tout module fil-
tré Somme directe de modules filtrés isomorphes à translaté
A(p)
de
A (A(P)k = ~p-k)
qu'il existe des résolutions de
~ Xn où les
X.1
di
A ou à un
• On voit alors facilement
M
d
-24xn-1 sont des modules filtrés libres de type fini et où
sont des morphismes stricts.
Munissons
la filtration somme évidente, on a un complexe de terme E
E
1
n'est autre que
TorG(A)(G(M),G(N)) n
est le gradué associé à une filtration
00
Soient
N deux A-modules de type fini que nous munirons de la fil-
tration
les
la filtra-
A
Torn (M,N)
f~
dont le
,dont le terme
~-bonne
de
• Cette suite spectrale est utile en géométrie algé-
brique "pour passer du cane des tangentes d'une variété à cette variété".
1I-18 Exemple 1 Si
~
k [x,Y]
A
=
t
M = A/(Y)
,N = A/(yS_x )
O--tA(1)~A~
(x,y), k
=
corps commutatif; on prend
s,,"t. On al
M~O
Les résultats sont résumés dans les diagrammes suivants:
nio -r
1 -- 2 -- 3
s-2 --- s-1 -- s -- s -
...
=0 1 -- 2 -- 3 -- 4
........ s-1 --- s
--- s -
s ---i' P
(où le nombre indiqué au point de coordonnées mension sur
de l'espace vectoriel
k
nto t-S+1) r
est la di-
Enr,p )
o ---
0 -- 0
(p,n)
1 -
1 -
1
......
11 1-1--1
(0)
(1)
(2)
1 --- 1 -- 1 -- 1 ----~
•••• (s-1)
(s) (s+1) ••••
p
1
to ---0 -- 0
o ---
0 -- 0 --
r} t-s+1 --- 1 -
(!) 1
1 (1)
1
1 --- 0 -- 0
(2) ••••• (t-1)
(t)
-------~
(t+1) •••• p
1I-19
'"
B) POLYNOMES DE HILBERT-S.A1VillEL
1. Rappel sur les polynômes à valeurs entières Soit
X l'ensemble des applications de
S [X]
des nombres entiers), coefficients dans
S
dans
=
(ensemble
Z
l'ensemble des polynômes en
X à p
(ensemble des nombres rationnels) et
l'en8emble des fonctions de
S [X]
Z
::
qui sont définies par des polynômes de
X
(auxquels nous les identifierons). ~
Soit
l'endomorphisme de groupe abélien de
( ~ f) (n)= f(n+1)- f(n)
, où
X défini parI
• Les propositions suivantes
féX ::
sont alors équivalentes:
a)
f~P ::
. t e un en t·1er c ) Il eX1S
r
Le plus grand entier (si
f
r
0
,
r fois Arf= (A., ~ ~
t e l que s
tel que
sinon on prend -1
En outre, les polynômes (;) = 1
,forment une
L1f
r
=
S[X]
. Ce degré
aXs /sl
f s
, où
si
a'Z=
k> 0
et le groupe abélien
P
Revenant au cas général, on définit dans Roo
)
X(X-1 ) ••• (X-k+1 ) k!
g,-base de
qu'ils engendrent coincide avec
valence
0
soit du type
f
A) (f)= 0
0 ~
est le degré de
0
pour degré de
est tel que le terme dominant de
et
"o...
~
X =
la relation d'équi-
que voici:
f ,v g (Roe ) (:::::::::> Il existe
neZ o
=
Nous identifierons dans la suite
tel que P =
f(n)= g(n)
si
n)n
avec son image canonique
o
1I-20 y
dans
p
(image qui est isomorphe à
=
qu'une fonction
f
de
X =
y
RaO -équiva-
• On remarquera que l'endomorphisme
=
passe au quotient dans
et on dira
est polynomiale si elle est
p
lente à une fonction de
)
=
, et ceci permet la traduction des cri-
=
tères précédents; les conditions suivantes sont équivalentes: a) b)
f est polynomial.
11 f
est polynomial.
c) Il existe un entier
r
Ll
tel que
rf
soit
-équivalent à
Rao
2. Fonctions additives sur les catégories de modules
Soit
C une catégorie abélienne (voir Grothendieck, Tôhoku Math.
Jour., August
Je
1957). Une fonction additive sur C est une application
des objets de Si la sui te
alors
C dans un groupe abélien 0 ~ 14
X (N)= 'X (M)
----4
N
----+ P
r
~ 0
telle que: de
C
est exacte,
+
De la définition on déduit sans difficulté les deux propositions suivantes: Si
M
est un module de
C
une suite de composition de i
=n
i
=
X(M)
exacte de
C
,alors
1
, et
oC Mo C
M •••• 1
M formée d'objets de
"\/(M./M. l'- 1 1-1)
p=n
L p=1
(-1)P
X (M) p
=
0
C
M = M n
C ,alors
0 •
1I-21
Exemplesl
a)
)C(M)
,pour
A est un anneau (noethérien, à élément unité),
C est
groupe multiplicatif des nombres rationnels positifs et MeC
,est l'ordre de b)
M (nombre d'éléments).
X(M)
la catégorie des A-modules (unitaires) de longueur finie et pour
M
e. C c)
)UM)
de longueur finie,
Ep (-1 )p t(Mn )
r:: z .
M (ici
de
A est un anneau gradué, A
=
leM)
, est la longueur
gradués sur
r le
C est la catégorie des groupes abéliens finis,
)
::
C est la catégorie des modules
r= ~
,et pour
M = (Mn) n C;Z ~
::
~
(CaractéristiClue d'Euler-Poincaré).
~
d)
(i.e.
A
n
=
0
A est un anneau gradué réduit à son premier élément si
n )
0
)
,
C est la catégorie définie dans
D la catégorie des complexes
K
(K , d) p
p
c),
de longueur finie sur
On définit alors comme dans c):
En outre, si H(K)~
alors
H désigne le foncteur homologiClue et si
K éD
C et il est bien connu Clue:
'X,(K)
Dans le cas où
A
est un anneau noethérien et
catégorie des A-modules de type fini, tout objet
C::
M de
~
la
C admet
une suite de composition dont les facteurs sont isomorphes à des
AIE
,où
E
est un idéal premier de
A
• Il en résulte Clue toute
A
1I-22 fonction additive
)C
f~
sur
est connutdès que l'on connait les
Cette remarque nous servira par la suite.
3. Le polynôme caractéristique de Hilbert. Dans ce paragraphe nous désignerons par anneau gradué commutatif
a)
H
b)
L'anneau
o
(H= Hilbert) un
tel que:
est un anneau d'Artin (i.e. de longueur finie).
Alors Ho
(H ) ne ~ n
H
H est engendré par
H o
et un nombre fini d'éléments
H est le quotient de l'anneau de polynômes
[X1'···'X~
par un idéal homogène (i.e. un idéal qui, avec
tout polyneme contient les composantes homogènes de ce polynôme). En particulier
H est noethérien et nous désignerons par
sous-catégorie de
9n
~H
la
(cf. § A, n04) dont J~s objets sont les
H-modules gradués de type fini, et dont les morphismes coincident avec ceux de Tout module gradué
9n M
=
,si
M et
(M ) n
de
N sont des objets de
est quotient d'une somme
directe finie de modules gradués isomorphes à tenus à partir de culier tous les
A
(ou de modules ob-
A par translation de la graduation). En parti-
Ho -modules Mn
sont de longueur finie et on peut
définir la fonction caractéristique de Hilbert de
à
M
l'aide des formules: X(M,n) = 0
si
La fonction X =
~H
n
<
0
,et
~ (M,n)
(M) n
b
"H
si
n} 0 .,
o
)(M,n) définit une application de
dans
et cette application est manifestement une fonction additive
1I-23
sur
~H
' à valeur dans le groupe additif de
L'image
Q(M,n)
de
'X.cM,n)
encore une fonction additive sur
dans
Y
X
~/Roo
en fait
~H
définit
Q(M,n)
est un
polynôme: Théorème 2 (Hilbert): inférieur ou égal à Si en outre
a)
Q(M,n)
est un polynôme en
n
, de degré
r-1 M
engendre
o
8-1 Q(M,n) leM o ) •(n+r-1) r-1
M comme A-module,
• Enfin l'égalité n'a lieu que si et alors l'application canonique de
Q(M,n)
=
[x 1 , ••• ,xr J
Ho
indui t un isomorphisme
M C:! Mo
sur
~ Ho o
[x 1 ;··· ,Xr]
et réciproquement.
a) La propriété est vraie si un module de type fini sur résulte que
M n
=
0
pour
A
n
o
r
=
0
en effet,
M est alors
et est donc de longueur finie. Il en assez grand.
Supposons donc la propriété démontrée pour les modules gradués de type fini sur
Ho [X , ••• ,X _ ] r 1 1
dule gradué de type fini sur
et démontrons la pour
H [X , ••• ,xr] o 1
noyau et le conoyau de l'homothétie
'P
• Soient
définie par
ce sont des modules gradués, et on a pour tout
N et
--~}
Q(M,n+1) - Q(M,n)
=
fl
dans
X
r
n
D'où l'égalité: Q(M,n) :: Q(R ,n+1) - Q(N ,n)
M , mo-
0
R le M
;
1I-24
Mais li
et
Xr
appartient aux annulateurs de
R
et
N
• Les modules
N sont donc des modules gradués de type fini sur et le dernier membre de l'égalité est un polynôme, Q(M,n)
et
le degré de
Q(N,n)
sont de degré inférieur à
est inférieur à
r-2
Q(R ,n)
Si
il en va donc de même du premier et aussi de
Q(M,n)
r-1
Mo [X 1 '··· ,xj = Mo ®H Ho [x 1 ' ••• ,xr ] o M est surjective. Si R est son noyau (gradué), on a donc
b) L ' application de dans
la suite exacte:
D'où
-l(M) n " et
L1r - 1
l«M o~rx , ••• ,xJ) ) r. n 1 Q(M,n)"
.l(M0 ).(n+r-11) r-
=
f (Mo )
Il est clair d'autre part que l'égalité a lieu si Supposons donc
R
r0
R
.e(Mn ) = l«M 0 [X1 ' ••• ,Xr
: Comme
J) n ) - ~R n )
tout revient à montrer que pour tout sous-module gradué de
Mo [X1 ' ••• ,xrl Pour cela, soit
,on a 0
tel que
Q(R,n) = t(R
R i.L r
Ri
-1
n
Mo
et soit
Ri:
i=s
..
. 1 1=
n
) = ~ ~(R1/R1-1)
,Ri/Ri-1
n
R non nul
0
C M1 c.. M2 C ... C MS = M = MO0 0 0 0 0
suite de Jordan-Holder de Alors
>
&-1 Q(R ,n)
=0
RnM~ [X 1 ' ••• • Mais si
une
,xJ i
est
est un sous-module gradué différent
1I-25 de
0
r,X 1 ' ••• ,Xr ( Moi/Moi-1) L
de
isomorphe à
k[X 1 ,··· ,xr
~(i/Mi-1
lateur de
ru
(f)
=
, et ce dernier module est
où
k
l
est le corps
(!!!. '" annu-
Ho/!!!.
dan ~. H ) Il en resu ' It e que si Q
Ri/Ri-1
0 0 0
contient l'élément tient
J
f.k
f
f
0
et homogène de degré
t
,Ri/Ri-1
con-
[x 1 , ••• ,xr J . D'où: (n-t+r-1) \
si
#
n
r-1
t
Finalement, Q (R,n) ;,
1n-t+r-1) \
si
r-1
n
>t
,d'où le résultat.
4. Les invariants de Hilbert-Samuel. Soit
A un anneau (noethérien, commutatif, à élément unité),
M un A-module (unitaire, de type fini) et que
M/~M
V(M)
Alors
~-bonne.
n W(~)
fortiori,
[(M/M) n
un idéal de
soit de longueur finie, ctest-à-dire tel que
soit composé d'idéaux maximaux. Soit enfin tion
~
(Mn)n
V(M/ ~n M)
et
=
est composé d'idéaux maximaux. Donc M/M
n
A tel
V(M)nW(~)
c: z une filtra= V(M)() W(~n) M/~n li!
sont des modules de longueur finie. Pour
est une fonction à valeurs entières, définie sur
et,
a
M fiMé, Z
En fait, on a le théorème: Théorème 3 (Samuel):
La fonction
dépend que du gradué
G(M)
.{,' (M/M )
associé à
n
(M ) n
est polynomiale et ne
1I-26
En effet, soit B = A/a
a
,et soit
de la filtration
l'annulateur de
E
~
l'image de
M dans
dans
E-adique, le gradué
H
A
,soit
Si nous munissons
B
= G(B)
associé à
B
B
satisfait
manifestement aux hypothèses du théorème de Hilbert. En outre, si Mn +1 = q.M - n
n ~ n0
pour
est engendré par
G(M)
,le gradué
Mo/M1 (f) •••
œMn /Mn +1 o
associé au
B-module
M
,et est donc de type fini.
0
On a donc les relations:
Ltc (M/Mn ) f(M/M n )
=
= l(M/Mn +1) - l(M/Mn )
=
.l(Mn /M n+ 1)
l.(G(M) ,1)+ X(G(M) ,2) + ••• +
'X (G(M),~
=
et
~(G(M) ,n)
D'où le théorème.
En fait, nous nous servirons surtout du théorème précédent dans
M est la filtration
le cas où la filtration de Nous noterons alors • Si une
~-bonne
liens entre
P
(M,n)
Si
P«M ),n)
P (M,n)
et
~
Proposition 9: a)
~
~
~-équivalent à
le polyname qui est
désigne de même le polyname défini par
n
filtration de
~-adique.
M ,la proposition suivante étudie les
I{(}.1n,) ,n)
(M,n)
=
, où
P«Mn),n) + R(n)
R(n) est un
polyname dont le terme de plus haut degré est positif et dont le degré est strictement inférieur à celui de b) Si est engendré par
a r
P
est l'annulateur de éléments, le degré de
~
(M,n)
M et si P
~
(M,n)
~ = (a+~)/~ eet,
in-
1I-21
férieur ou égal à
r
Ar
et
l'égalité n'a lieu que si
p 9, (M,n) ~ (a+9,)/~
G()l)
':::f
• En outre,
• [X 1,··· ,Xrl
(M/9,M)
(L'isomorphisme est défini par l'application canonique
J
(BlE) [X 1,···,Xr dans G(B) , où les
a) En effet si a pour
n
.. C'" Il n+n 0 .1'1 11;' -
G(B)
sur (X
no
déterminée par
1, ••. ,Xr )
engendrent
est tel que
M +
n 1
'f (Xi) E
M.q n -
f =
de image de
x.
1.
.)
si
'\
, on
nI; n o
grand, les inclusions:
n+n
o
D'où l'on déduit.
Il en résulte que, pour positif et que les deux
n grand,
polyn~mes
P
9,
(M,n)- P«Mn),n)
est
ont ma me terme de plus haut
degré. b) Cette assertion n'est qu'une traduction de la deuxième partie due théorème de Hilbert, si Iton remarque que le gTadué
t""
~
(g,n.~/g,n+1M) ~ •
es t engen d re• par
Mt. M ~~.~
n
Une bonne partie de la suite du Cours sera consacrée à l'étude du terme de plus haut degré du polyneme
P (M,n)
g, cela, besoin d'en connaitre quelques propriétés:
Proposition 10 (Additivité):
Si
0 ---t N ---t M
une suite exacte de A-modules de type fini et si finie, alors
NI g,N
et
pl g,P
• Nous aurons pour
---7 M/g,M
p --10
est
est ·:le longueur
sont de lonb'Ueur finie et on a:
1I-28
P (M,n) + R(n)
=
~
P (N,n) + P (P,n) ~
,où
~
R(n)
est un polynôme dont
le terme de plus haut degré est positif et dont le degré est strictement inférieur à celui de
P (N,n)
•
~
, la filtration ainsi définie sur
En effet, soit N
n
est
~-bonne,
((M/~~) D'où
et l'on a évidemment:
e(p/~~) +
=
P (M,n)
l(N/Nn )
P (P,n) + P(Nn ),n) ~
~
•
P«Nn ) ,n)
L'assertion résulte alors de la comparaison entre et
P (N ,n) ~
On a vu d'autre part que gradué
a(M)
associé à
engendre dans
a(A)
,
M si
.
ne dépendait en fait que du
P (M,n) ~
. Si donc
M
et
a(~)
désigne l'idéal que
q sont les complétés de
M
et
on a:
P~ (M,n)
=
P~('i,n)
/1 P De mame si
a
idéal contenu dans
~
=
PG(~)(a(M),n)
et
= Q (a(M) ,n)
(M,n)
désigne l'annulateur de ~,b
C
~
M et si
b
est un
, alors
, c'est-à-dire
P (M,n) ; P +b (M,n) ~
~-
Il en résulte la propriété suivante que nous utiliserons par
~ ~
t
II-29 la suite: Lemme:
Le
à.egr~
Autrement dit, si
P (M,n) ~
ont
a
=
degré: r
m~me
P (M,n)
du polynôme
V(M)
xr
n w(~)
:rI
n w( ~ ')
P ,(M,n) =
et
+ •••
V(M)
=
M et de
ne dépend que de
~
, alors
a '. x
~
r'
+ •••
r'!
r'
=
En effet, V(M)
1/
W(~) = W(~+~)
(~I+~)P
de
=
~ + a
W(~'+~) et
~
+
~
contient une puissance
(cela résulte du lemme à la proposition 7, chap.I).
D'où: (~I+~P C
~ + ~
(~'+ ~pn C. (~ + ~)n
et
P~ I+~ (M,pn) ., P~+~ (M,n) grand, c'est-à-dire
et
#
rI!
r
a R r!
pour
n
assez
ri} r
En échangeant les raIes de ri" r
ri \.
al~
,c'est-à-dire
~
et
~'
on trouverait de
m~me
,q.e.d.
Portons maintenant nos derniers efforts sur la localisation: soient
!!!.1' !!!.2'·····, , et
!!!.s
les idéaux premiers (maximaux) de
T. = A-m. 1.
--'l.
,1'(i~s
....
.....
somme directe de sous-modules isomorphes à
• Alors
N
=
NT. (Prop 11 et Cor 1 0 ,
1.
chap.I). ~lais
M/~n M est
, et finalement:
•
,
1I-30
ou s
Li=1
P (M,n) ~
(MT. ' n) ~
Il va de soi qu'aucun des polynômes Par contre, si et si
m est un idéal maximal de
T:: A - m
Proposition 11:
a)
L
P (M,n) ~
nul si et seulement si b)
P
T :: A-m
court les idéaux maximaux de
A
distinct des
A
M/q~
T rencontre l'annulateur de
D'où:
stable de
n'est nul.
!!!.
Si
S
4-
~T
A
Le polynôme
V(M)
n
(MT,n)
P
~
et
où est
(MT,n)
W(g)
est une partie multiplicativement
,on a:
-
avec
T:: A - m
La seconde partie reste seule à démontrer. Mais, si sont les idéaux maximaux de et
~+1'···'!!!.g
P
car:
~S
(!~ts ,n)
V(M)'f)
W(~)
ceux qui rencontrent
=
~T.
~
••• '~
qui ne rencontrent pas , on a:
S
t
t "Ç"" L-..J. i=1 ::
~1'
P
~ST.
~
~. ~
et
~
(MST . ,n)
L..-
i",1
~
MST .
~
::
MT. ~
p
'1T.
~
(MT. ,n) ~
S
III-1 t
THEORIE DE LA DIMENSION
CHAPI TRE II l
..
A - DIMENSION DES EXTENSIONS ENTIERES 1. Définitions. Soit
A un anneau (commutatif, à élément unité). On appelle
chaine d'idéaux premiers dans
d'idéaux premiers de L'entier
r
A
A
toute suite finie croissante
, telle que
Ei
r Ei+1
pour
0'
s'appelle la longueur de la chaine; l'idéal
i ~
Eo
r-1 (resp. p ) -r
s'appelle son origine (resp. son extrémité); on dit parfois que la chaine (1) joint
à
Les chaines d'origine de l'anneau
A/Eo
Eo
d'origine
correspondent bijectivement aux chaines (0)
; de même, celles d'extrémité
Er
d'extrémité l'idéal maximal
correspondent à celles de l'anneau local
de cet anneau. On peut ainsi ramener la plupart des questions relatives aux chaines au cas particulier des anneaux locaux intègres. On appelle dimension de
A
, et l'on note
dim.A
, la borne
supérieure (finie ou infinie) des longueurs des chaines d'idéaux premiers dans
A
• Un anneau artinien est de dimension zéro; l'anneau
est de dimension 1
• Si
l'anneau de polynômes
k
est un corps, on démontrera plus loin que
k[X , ••• ,x ) n 1
est de dimension ) n
dès à présent que sa dimension est chaine de longueur
Si
E
z=
n
; il est clair
, puisqu'il contient la
n
est un idéal premier de
A
, on appelle hauteur de
~
la
III-2
dimension de l'anneau local
A
E
; c'est la borne supérieure des
longueurs des cha!nes d'idéaux premiers de Si
a
est un idéal de
de
A/~
A
, et hauteur de
,on appelle cohauteur de a
a
E
la dimension
la borne inférieure des hauteurs des
E contenant a
idéaux premiers
A d'extrémité
W(~)
• Si l'on note
l'ensemble de
ces idéaux (cf. Chap.I), on a donc: (2 )
ht(~ =
En particulier, on a effet que le
coht(~ =
Inf E€ W(~)
Sup
ht.A
= dim.A
,et
coht.A
= -1
d'une famille vide est égal à
(on convient en
-1 , c'est la convention
la plus commode ici). Si
E est un idéal premier, on a évidemment:
mais l'égalité n'est pas nécessairement vraie, même si
A est un
anneau local noethérien intègre (Nagata). La proposition suivante est immédiate: Proposition 1: Si
~'
~ C~'
Si
,~
ht(~ ~ ht(~')
,coht(~)f coht(~') •
n'est contenu dans aucun des idéaux premiers minimaux de
a
on a coht(~ )
coht(~') + 1 .
2. Le premier théorème de Cohen-Seidenberg. Soit
B un anneau contenant
que tout élément
(4)
x
de
A et entier sur
B vérifie une
A
• Cela signifie
"équation de dépendance inté-
, avec
a. € A 1.
1II-3
Lemme 1: Supposons il suffit que Si
B
intègre. Pour que ce soit un corps, il faut et
A en soit un.
A est un corps, tout
intègre de type fini sur
A
xe. B
est contenu dans une
A-algèbre
(celle engendrée par les puissances de
x),
et l'on sait qu'une telle algèbre est un corps (Bourbaki, Alg.V, § 2, prop.1), d'où le résultat. Supposons que de
A
• Soit
équation
x
(4),
et l'on a
B soit un corps, et soit son inverse dans
B
a
un élément non nul
• L'élément
x
vérifie une
d'où
xéA
,cqfd.
Soient maintenant
et
E'
des idéaux premiers de
respectivement. On dira que
E'
est au-dessus de
Proposition 2: idéal Eremier (b) Si
(a) Pour tout idéal premier
- -de
p
E'
L'assertion
E
(b)
E (c)
fi
A
=
E •
il existe un
au-dessus d]l même
B
E
,pour Sl,ue
E
Boit maximal, il faut
résulte du lemme 1, appliqué à
résulte de
(c) B
,appliquée à
AIE C BlE'
A
E
C B
E
(on note
pour la partie multiplicative
E maximal; dans ce cas, on prend pour B
A
E'
E
Le même argument montre qu'il suffit de démontrer
idéal maximal de
si
B
le soit.
l'anneau de fractions de
local et
A et
,.2!!..J!:. E' = ~"
est au-dessus de
et il suffit Sl,ue
L'assertion
B Sl,ui est !lu-dessus de
A
E
E de
sont deux idéaux Eremiers de
E' C E"
(c) Si
B
de
E'
idéal premier
E
,et on applique le lemme 1.
(a) E'
lorsque
A-E
).
A est
n'importe quel
III-4 Corollaire: de
B
C ... Cp' -r
p'
(i) Si
-0
Ei = Ei(l A forment une chaine d'idéaux premiers de
,les
Eo C ... C Er
(ii) Inversement, soit de
,
et soit
p'
...
Cp' -r
dans
A
est une chaine d'idéaux premiers
au-dessus de
:..0
une chaine d'idéaux premiers
. Il
Eo
existe alors une chaine
B
, d'origine
p'
chaine donnée (i.e. on a
p! nA = p. -1. -1.
pour tout
p' C -0
La partie
(i)
pC ••• Cp -0 -r-1
Si
appliquée à
A/p -r-1
r
B/E;_1
)
i
p' C ... -0
.
de la prop.2. Pour r =a
,le cas
est relevée en
c:
(b)
est au-dessus de la
(ii)
étant trivial.
c. p' 1 -r-
, la prop.2, p'
,montre qu'il existe
-r
contenant
et au-dessus de
p' -r-1
Proposition 3:
On a
~ = ~'n A
si
, qui
-0
résulte simplement du
on raisonne par récurrence sur
A
dim.A = dim.B
,~ ht(~') ~ ht(~
L'égalité dim.A = dim.B en divisant par
• Si
a'
et
a
a'
et
est un idéal de
coht(~')
=
B
,et
coht(~
résulte du corollaire ci-dessus. On en déduit, coht(~')
,l'égalité
=
coht(~
• Quant à
l'inégalité sur les hauteurs, elle est immédiate dans le cas où
E'
est
premier, et le cas général se ramène tout de suite à celui-là.
3. Le second théorème de Cohen-Seidenberg. Proposition 4:
Soit
A un anneau intègre et intégralement clos, soit
son corps des fractions, soit
L
une extension quasi-galoisienne de
(i.~. "normale" dans l'ancienne terminologie de Bourbaki, Alg. V,
soit
B
la clôture intégrale de
K-automorphismes de groupe
L
,et
soit
A dans E
L
,soit
E
K
§ 6),
G le groupe des
un idéal premier de
A
• Le
G opère transitivement dans l'ensemble des idéaux premiers de
au-dessus de
K
B
III-5
Supposons d'abord que
G
idéaux premiers au-dessus de (g
parcourant
G
dan~ l'un d'eux
E • Les
q
de
x€:~'
deux
E
sont au-dessus de ~'
est contenu
alors
yq 'K()B :: A
part
yqE ~'nA = E
(puisque
géG
,
K
ce qui montre que
~
Soient
~'
et
M de
soi t
G(M)
le sous-ensemble de
~()M
en
L
,telle que
yq
yq€K
On a
est contenu dans xEg
K
-1
~
,
~
cqfd.
E • Pour chaque
au-dessus de
contenant
. C'est
,et il existe une puissance
, d'où
g(x) E ~
sous-corps
~'nM
K
est
est intégralement clos). D'autre
A
tel que
y = Tf g(x)
• L'élément
,donc radiciel sur
l'exposant caractéristique de
Cas général.
~'
(prop.2), ou m~me seulement dans leur réunion
G
Il existe donc
g.~
et
~
), et il suffit de montrer que
(cf. Chap.I, prop.2). Soit donc invariant par
et soient
soit~,
,quasi-galoisien et fini sur
G formé des
K,
g6 G qui transforment
évidemment un sous-ensemble compact de
G(M)
non vide d'après ce qu'on vient de voir. Comme les
G
forment une
famille filtrante décroissante, leur intersection est non vide, cqfd. Proposition
5:
Soit
A
un anneau intègre et intégralement clos. Soit
un anneau intègre, contenant
A
,et entier sur
A
pC ••• C p-r -0
une chaine d'idéaux -premiers de
dessus de
• On peut alors trouver une chaine
dans
B
A
• Soit
, et soit
p'
-r
au-
p'c •.. Cp' -0 -r
, au-dessus de la chaine donnée, et d'extrémité
p' -r
(En fait, la proposition est valable si l'on remplace l'hypothèse Il
B
est intègre"
par la suivante
sont pas diviseurs de zéro dans
B
"les éléments non nuls de ").
A ne
B
III-6 Le corps des fractions de fractions
K de
A
ne
M de
K
~
un idéal premier de
B
• Plongeons-le dans une extension quasi-galoisien-
,et soit
C la clôture intégrale de C au-dessus de
une chaine d'idéaux premiers de Si
G désigne le groupe des
montre qu'il existe q!
-1.
=
est algébrique sur le corps des
g€G
p' -r
g.;
M ,la proposition 4
si l'on pose alors
p'C .•• Cp' -0 -r
, il est clair que la chaine
gq.
-1.
c 9:r
Eo C ••• C Er
K-automorphismes de g9: :: r
M • Soit
9:0 C ...
, et soi t
C au-dessus de
tel que
A dans
répond à la question. Corollaire:
Soient
A et
B
deux anneaux vérifiant les hypothèses
de la proposition précédente; soit a
=
b
un idéal de
B
,et soit
• On a ht(~ = ht(pJ
Lorsque
b
est premier, cela résulte immédiatement de la propo-
sition. Dans le cas général, soit soit
E = E'
Comme
nA.
E' premier contenant
D'après ce qui précède, on
ht(pJ:: Inf.ht(E')
,on a
b
,et
ht(E'):: ht(E) )ht(.êJ •
ht(b) ~ ht(~
,et, en comparant
avec la proposition 3, on obtient l'égalité cherchée.
,
B - DIMENSION DANS LES ANNEAUX NOETHERIENS 1. Dimension d'un module. Soit
M un
homothéties de
A-module, et soit A
~:: A/Ann(M)
• On appelle dimension de
la dimension de l'anneau
~
• Lorsque
l'anneau des
M ,et on note
dim.M
M est de type fini, les
III-7
E de A contenant Ann(M)
idéaux premiers
V(M)
nent à la variété que
dim.M
de
sont ceux qui appartien-
M (cf. Chap.I, prop.9). On en conclut
est la borne supérieure des longueurs des chaines d'idéaux V(M)
premiers de
dim.M - dim. V(M)]
[ce que nous écrirons encore
,
c'est-à-dire: dim.M :: Sup.coht(l!)
E 6 V(M)
,pour
Dans cette dernière formule, on peut évidemment se borner à considérer V(M)
les idéaux premiers minimaux de
2. Le cas semi-local noethérien. A partir de maintenant, nous supposerons que ~(A)
noethérien; on notera idéal
de
~
r
A
M un
A/~
P (M,n) , P ,(M,n) ~
venable, on en tire
pour
P (M,n) n
~
Enfin, nous noterons
noethérien
~
A
~
(ce qui
est un idéal de définition
P (M)
9.
seM)
M
si
assez grand; comme ~
x , ••• ,x €r(A) n 1 Si
de
P ,(M,n) ~ P (M,nm)
montre que le degré de
Théorème 1:
r
est de longueur finie, ce qui permet de définir le
polynôme de Hilbert-Samuel
qu'il existe
A s'il est
est de longueur finie).
A-module de type fini. Si
M/~M
~
,son radical. Un
,et s'il contient une puissance de
équivaut à dire que
de
r
A est appelé un idéal de définition de
contenu dans
Soit
,ou seulement
A est semi-local
pour
ne dépend pas de
~ :::l ~' ~ '::> ~
n
m
, on a
pour
assez grand, ce qui ~
• On le notera
la borne inférieure des entiers avec
m con-
M/(x , ••• ,xn )M 1
n
d(M) • tels
de longueur finie.
M est un module de type fini sur un anneau semi-local ,~
dim.M = d(M) = seM)
lll-8 Etablissons d'abord un lemme: Lemme 2:
xEr
Soit
et soit
éléments annulés par
b) Soient
p. -l.
M formé des
sous-module de
x
les idéaux premiers de
V(M)
. Si
i
dim.M
=
c) Si
~
seM) ~ s(M/rlt) + 1 •
a) On a
dim.A/p. -l.
~M
x~ p. -l.
pour tout
est un idéal de définition de
9:
P ( M) 9: x
tels que
dim.M/xM ~ di Ir.• M
on a
A
,
-
1.
le EolyYlôme
- P (M/xM) 9:
~ d(M) - 1 •
est de degré
Les assertions
a)
et
b)
sont triviales. L'assertion
c)
résulte
des suites exactes
---+
O---..,M x
0--t
~ M
xM
~O
M 4xM
--7M/xM
~ 0
auxquelles on applique la proposition 10 du Chap.ll. On va maintenant démontrer le théorème 1 par un raisonnement i) On a
dim.M
~
d(M)
On raisonne par récurrence sur
et
., on peut
dim.A/p-0 = dim.M
M contient un sous-module
d(M) ~ deN) Soit alors
supposer N
Eo
isomorphe à
ep-1 c•• e P -0 • p -n
xe E1
n
~
n!:.
deN) ,avec
d(M) = 0
p ~ V(M)
et soit
tel
-0
minimal dans
V(M)
comme
A/p-0
,on est ramené à prouver notre assertion pour
On doit montrer que peut choisir
à partir du cas
d(M) d(M) ~ 1
qui est tri vial. Supposons donc que
"en cercle"
N
une chaine d'idéaux premiers dans
• C'est clair si
n
=
0
• Sinon, on
• Comme la chaine
A .
1II-9
appartient à
v(n/xN)
,le lemme 1 montre que
d(N/xN) ~ d(N)-1
et que
,'d'où notre assertion en vertu de l'hypo-
thèse de récurrence appliquée à ii) On a Soit L'idéal
d(M) " seM)
=~
+ ~n Ann(M)
P (M) = P (M)
et
N/xN
~C ~
a = (x , ••• ,xn ) ,avec 1 ~
~
~
P (M)
le degré de
a
iii) ~
est
V(M)
M/aM
de longueur finie.
'n
,d'où
d(M) ~ seM)
seM) ~ dim.M
tels que
n = dim.M
n). 1
et soient
dim.A/p. =n -1.
L:qui est fini, p. -1.
les idéaux premiers
ces idéaux sont minimaux dans
,donc en nombre fini. Ils ne sont pas maximaux puisque
Il existe donc montre que
A
9 du chapitre précédent,
• D'après la proposition
i)]. Supposons
V(M)
de
, et
est alors un idéal de définition de
On raisonne par récurrence sur d'après
dim.N/xN:: dim.N-1
xSr
, tel que
s(M).( s(M/xM) + 1
thèse de récurrence, on a
xJ, p.
"f
-1.
pour tout
i
Le lemme 1
,et dim.M )'dim.M/xM + 1
S(M/xM), dim.M/xM
n~ 1
• Par hypo-
,d'où le résultat
cherché, cqfd. Le théorème ci-dessus est le principal résultat de la théorie de la dimension. On en tire notamment: Corollaire 1:
On a
dim.M:: dim.M
Il est en effet clair que Corollaire 2:
d(M)
ne change pas par complétion.
La dimension d'un anneau semi-local noethérien
A est
finie. Cette dimension est égale au nombre minimum d'éléments de
~(A)
engendrant un idéal de définition. C'est l'égalité Corollaire 3:
dim.M
=
seM)
pour
M
A
Les idéaux premiers d'un anneau
no~hérien
vérifient
III-10 la condition des chaines descendantes. Par localisation, on se ramène au cas local, où notre assertion résulte du corollaire 2. Corollaire 4: de
A
Soit
,et soit
n
A un anneau noethérien, soit
E un idéal premier
un enti er. Les deux: conditions sui vantoes sont
équivalentes:
(ii) Il existe un idéal que
E
, d'où (i) A E un idéal de définition ,
A
n
n
=
Corollaire 5:
b
1
de a
W(~
A engendré par n E engendré par les xi
on retrouve le
Soit
"Hauptidealsatz"
éléments vérifie alors
p.
-1.
il y a égalité si et seulement si
les idéaux: premiers de
x
=
M un
V(M)
n'appartient à aucun des
Cela résulte du lemme 1, combiné avec les égalités dim(M/xM)
(ii)
de Krull.]
A un anneau semi-local noethérien, et soit
A-module de type fini. Soient
et
éléments, tel
aA est un idéal de définition -E Inversement, si (i) est vérifié, i l existe
. L'idéal
séA-E
["Pour
,engendré par
est vérifiée, l'idéal
de
xi/s
de
soit un élément minimal de
(ii)
Si
a
Ei
= seM)
dim.M
S(M/xM)
3. Systèmes de paramètres. Soit
A un anneau semi-local noethérien, et soit
de dimension
n
• Une famille
(x , ••• ,x ) s 1
appelée un système de paramètres pour
M si
M un
d'éléments de
A-module r(A)
M/(x , ••• ,xs )M 1
est
est de
.
III-11 longueur finie, et si
=n
s
• D'après le théorème 1, il existe
toujours de tels systèmes. Proposition 61
Soient
des éléments de
Pour qu'il y ait égalité, il faut et il suffit que fassent partie d'un système de paramètres de L'inégalité résulte du lemme 2, itéré si
x k + , ••• ,xn (n 1
M/(x1, ••• ,~)M
Inversement, si
x , ••• ,x 1 n x , ••• ,x n 1
n-k Q dim.M/(x , ••• ,x )M 1 k
Proposition 11
Soient
• On a alors:
x , ••• ,x k 1
M fois. S'il y a égalité, et
est un système de paramètres de
, le quotient
ce qui montre que
a
= dim.M)
k
r
M/(x , ••• ,x )M 1 n
est de longueur finie,
est un système de paramètres de est un système de paramètres de
M M
on
, cqfd.
x1, ••• ,~~~(A)
• Les conditions suivantes
sont équivalentes: (a) Les
x.
forment un système de paramètres de
M
(b) Les
x.
forment un système de paramètres de
M
(c) Les
x.
forment un système de paramètres de
~= A/Ann(M)
1 1 1
C'est évident.
C - ANNEAUX NORMAUX
1. Caractérisation des anneaux normaux. Un anneau
A sera dit normal s'il est noethérien, intègre, et
intégralement clos (dans son corps des fractions). Par exemple, tout
1II-12 anneau principal est normal; si
K[[X1, ... ,XnJJ
formelles
K est un corps, l'anneau de séries
K[x1, ••• ,xnl
et l'anneau de polynômes
sont des anneaux normaux. On rappelle d'autre part qu'un anneau
A est appelé un anneau de
valuation discrète s'il est principal, et s'il possède une seule classe d'éléments extrémaux; c'est un anneau local. Proposition 8: maximal
Soit
A un anneau local intègre noethérien, d'idéal
m • Les conditions suivantes sont équivalentes:
A est un anneau de valuation discrète.
(i) (ii)
A est normal et de dimension
A est normal, et il existe un élément
(iii)
qui engendre un idéal ~
(iv) L'idéal
(i)
~ (ii)
est pr:imipal et non nul.
car si
a
-1
C A
sur
est un élément non nul de A contenant
aA
m , l'idéal
, et
xa
-1 J, 'fA
m est un idéal premier
xtaA
!!!;XC aA
, tel que
• Si l'idéal
mxa
-1
aA
est donc
txa -1
est un élément de m
• On a donc
xa
-1
m
est entier
, ce qui serait contraire à l'hypothèse de normalité. Il existe
t fi ~ tel que y
"essentiel" de
était contenu dans
m est de type fini, on en conclurait que A
donc
que
et
Puisque
x~A,
, il existe
comme
Si
m
~-primaire.
(iii) ===::) (iv).
mxa
dans
~-primaire.
m est le seul idéal premier de
aA
ra
a
est trivial.
(ii) ~(iii)
bien
1
tA
, d'où
(iv)
soi t un élément inversible m , on a
y
=
( yxa -1)-1 u t
u
de
A
ce qui montre
1II-13
(iv)
===}
(i).
Si
pour tout élément non nul ~ n+1 y .,..!!!.
et
yA = tnA
d'où
y
A il existe
de
y = t nu
• On a donc
et comme
, on a
m '" tA
A
ye !!!.
A
est somme d'idéaux principaux,
on en conclut aisément que tout idéal de d'où
mn '" 0 n
tel que
u inversible dans
avec
comme tout idéal de
n
l1""\.,
A est de la formé
tnA
(i) •
Proposition 9:
Soit
A un anneau intègre noethérien. Pour que
A
soit normal, il faut et il suffit qu'il vérifie les deux conditions suivantes: (a) Si local
est un idéal premier de hauteur
E
1
de
,
A
l'anneau
est un anneau de valuation discrète.
A E
(b) Les idéaux premiers essentiels de tout idéal principal non nul de Si
A sont de hauteur
1
est normal, il en est de même de ses localisés
A
est de hauteur
E
, et la proposition 8 montre
dim(A ) = 1
1 , on a
si
A
E
r
que
A est un anneau de valuation discrète. De plus, si a 0 E et si E sAss(A/aA) la proposition 8, appliquée à A ,montre que
E
A
est un anneau de valuation discrète, et c'est en particulier un
E
ht(~)
anneau de dimension 1, d'où Réciproquement, supposons corps des fractions de sons que donc d'où A E
(a)
et
Soit
x
=
(b)
vérifiés, et soit
b/a
un élément de
K
K le ; suppo-
, pour ht(E) = 1 ; on a A E et d'après (b) ceci entraine b EaA
appartienne à tous les
x
be: aA
A
= 1
E
pour
. Ainsi,
ht(E) = 1
,
.
, pour ht(E) :: 1 Comme les E sont normaux, il en est de même de leur intersection, cqfd. x €A
on a
A ",nA
1II-14 Remarque:
La démonstration précédente montre que la condition (b)
équivaut à la formule Corollaire: hauteur
1
Si de
A est normal, et si A
p (n) = pnA nA
- E
(n
E
est un idéal premier de
,les seuls idéaux primaires pour
"puissances symboliques"
-
pour
A ...
2
(n)
E sont les
, définies par la formule
~ 1) •
En effet, les idéaux
E-primaires de
A correspondent bijective-
, lesquels sont évidemment -primaires de A - E E de la forme 'EnA n ) 1 ,puisque A est un anneau de val~tion E E discrète.
ment aux idéaux
pA
2. Propriétés des anneaux normaux. Pour un exposé systématique (dans un cadre un peu plus large, celui des
"anneaux de Krull" ), on renvoie à l'Idealtheorie de Krull, ou
à l'Algèbre commutative de Bourbaki. On va se borner à résumer les
principaux résultats.
Soit E
A un anneau normal, et soit
est un idéal premier de
A de hauteur 1, on notera
discrète normée associée à l'anneau que
v
E
~
n
son corps des fractions. Si
K
forment l'idéal
E
(n)
A
E
; les éléments
• Si
x
f
0
v
E
la valuation
xeA
,l'idéal
tels
Ax n'est
contenu que dans un nombre fini d'idéaux premiers de hauteur 1 ; on a donc
pour presque tout
aussitôt aux éléments
x
de
et cette relation s'étend
K~. Les valuations
v
E
vérifient en
outre le théorème d'approximation suivant: Proposition 10:
Soient
, des idéaux premiers de
1II-15 hauteur 1
K ,deux à deux distincts, et soient
de
. t e a lors x ' "c Kilt
Il
(1.( i "k)
n.~
=
-~
B
= AS
, et soit
n. ) 0 ~
• Il est clair Que l'anneau
dont les idéaux maximaux sont les correspondants les
A
n
(A - p.)
et
Supposons d'abord tous les Soit
~
t e l Que:
ex~s
v p. (x)
, l ' i 'k •
niE:
p.B
B
S
-~
est un anneau semi-local,
et les anneaux looaux
-~
• Comme ces derniers sont principaux, il en
p.
-~
est lui-m~me principal; si x/s, S€S n1 n" est un générateur de l'idéal R1 •••. Rk~ ,on voit tout de suite
résulte facilement Que
Que
x
B
répond à la Question.
Dans le cas général, on choisit d'abord un
< n. . Soient
(y) soient Ri premiers de hauteur 1 de A entiers
m. = v ~
<
soit
, et posons
0
~
,
Q.
J
v
Q.
(z) = s . . L'élément
x
J
-J
(y)
les idéaux
-~
v
Que
Q.
(y)
-J
D'après la première partie
-J
de la démonstration, il existe un et
' ... , ~ p. , tels
~1
autres Que les
-v
s.
tel Que les
yeK*
(z) = n. - m. Ri ~ ~ répond alors à la Question,
zc A
= yz
tel Que
v
cQfd. Un idéal
a
de
A est dit divisoriel si ses idéaux premiers
essentiels sont tous de hauteur proposition r\ (ni) 1 \ p. -~
9, il revient au
seulement si
avec
n. )' 0
x e A et
m~me
et
~
v p . (x) -~
1 ; en vertu du corollaire à la de dire Que
ht(p.) = 1 -~
~
n.
~
a
est de la forme
; on a donc
pour tout
i
xE:a
si et
On étend immé-
diatement cette définition aux idéaux fractionnaires non nuls de par rapport à
A
K
• Les idéaux divisoriels correspondent bijective-
ment aux diviseurs de
A
,c'est-à-dire aux éléments du groupe
abélien libre engendré par les idéaux premiers de hauteur
1 • Tout
1II-16 idéal principal est divisoriel, et le diviseur correspondant est dit principal (ce qui permet de définir un groupe de classes de di viseurs) • Un anneau
A est appelé un anneau de Dedekind s'il est normal
et de dimension
1
~
• Ses idéaux premiers de hauteur 1 sont alors E(n) = En
maximaux, et l'on a
Un anneau noethérien
• Tout idéal non nul est divisoriel.
A est dit factoriel s'il est normal et
si ses idéaux divisoriels sont tous principaux (il suffit d'ailleurs que ses idéaux premiers de hauteur même de dire que deux éléments de de
1
le soient); il revient au
A admettent un pgcd. Tout élément
A se décompose à la façon habituelle: x
où
Tr.
u est inversible et les
1.
irréductibles; cette décomposition
est essentiellement unique.
3. Fermeture intégrale. Proposition 11: et soit
Soit
A un anneau normal, de corps des fractions
L une extension finie séparable de
intégrale
B de
A dans
L
K
K
• La fermeture
est un anneau normal, qui est un
A-module
de type fini. Soit
Tr(y)
On sait que
la trace dans l'extension
Tr(y)EA
la forme A-bilinéaire l'ensemble des que
B
y~L
si
yeB
L/K
d'un élément
;deplus,puisque
L/K
Tr(xy)
est non dégénérée sur
tels que
Tr(xy)€ A pour tout
contient un sous-module libre
E
de rang
L
y
de
L
est séparable, • Soit
y€B
[L:K] ,
B~
; du fait B"" est
•
1II-11 contenu dans
E"" qui est libre, et comme
B est égale-
B CB*
ment un A-module de type fini; en particulier,
B
est un anneau
noethérien, donc un anneau normal, cqfd. Remarques: 1) L'ensemble à
B
B*
est un idéal fractionnaire de
,que l'on appelle différente inverse de
B
L
par rapport
par rapport à
Il est facile de voir que c'est un idéal divisoriel de
L
A
,et on
peut donc le déterminer par localisation en les idéaux premiers de hauteur 1. On est ainsi ramené au cas des anneaux de valuation discrète, pour lesquels on définit en outre discriminant, groupes de ramification, etc. 2) Lorsque l'extension
L/K
peut se faire que l.'anneau
n'est plus supposée séparable, il
B ne soit pas noethérien (et a fortiori
ne soit pas un A-module de type fini): on en trouvera un exemple dans Nagata (Note on intesr~l closures of Noetherian domains, Mem. Kyoto,
t.28, 1953).
... D - ANNEAUX DE POLYNOMES 1. Dimension de l'anneau Lemme 3:
Soit
A [X ' ••• , Xn] 1
A un anneau, soit
deux idéaux premiers de
B
EB
=
A[X]
E
de
A
E' C
,soient
,distincts, tels que
soient égaux au même idéal premier En divisant par
B
E'
• Alors
on se ramène au cas où
E
nA
E"
et
E"
nA
E' = EB a
• En localisant
1II-18 ensui te par rapport à
S
=
A -
{a}
,on se ramène au cas où
un corps, et le lemme est alors évident, Proposition 12: et
étant principal.
est comprise entre
dim(A) + 1
2 dim(A) + 1 Si
pose
Eo C. ••• C Er p!
-~
p.B
=
et si l'on pose
que l'on ne peut pas avoir de la suite des
p.
-~
,on
r+1 • Donc
dim(B) ~ dim(A) + 1
est une chaine d'idéaux premiers
p. = p! -~
A
et l'on obtient une chaine
B de longueur
P'C ... Cp' =-0 -s
Si maintenant B
est une chaine d'idéaux premiers de
.. p.B + XB ' P -r+1 -~
-~
d'idéaux premiers de
de
A[X]
La dimension de
A [X]
A est
-~
nA
Ei" Ei+1
, le lemme ci-dessus montre
= Ei+2
• On peut donc extraire
une chaine comprenant au moins
c'est-à-dire de longueur au moins
(s-1)/2
(S+1)/2
éléments,
(s-1 )/2 ~ dim(A)
d'où
cqfd. Remarque: Il Y a des exemples de Seidenberg montrant que
dim(B)
effectivement prendre toute valeur intermédiaire entre et
2 dim(A) + 1
peut
dim(A) + 1
• Voir également P. Jaffard, Théorie de la dimension
dans les anneaux de polynômes (Memorial Sci. Math., n 0 146, 1960). Toutefois, dans le cas noethérien, nous allons voir que l'on a nécessairement
dim(B)
= dim(A)
+ 1
Dans les deux lemmes ci-dessous, on pose un idéal de Lemme 4: de
A
Soit
,on note a
A minimal dans
minimal dans
W(~,)
a'
un idéal de W(~
l'idéal A
• Alors
aB
B
=~
,et soit E'
= A~J ~A
• Si
a
désigne
B
E un idéal premier
est un idéal premier de
B
1II-19 On peut évidemment supposer
a = a
• Si
E'
g.
i l contiendrait strictement un idéal premier
est minimal dans
A
n'était pas minimal,
• Comme
E'f"') A :: E et l'on
g. nA:: E
,on a nécessairement
obtient une contradiction avec le lemme 3.
5:
Lemme de
Supposons
A noethérien. Si
E
est un idéal premier
A n ... ht(E)
Soit un idéal
de
a
A
. D'après le corollaire 4 du théorème
1 , i l existe
,
E
engendré par
élément minimal de
W(~
élément minimal de
W(~,
éléments, tel que
n
. D'après le lemme ,
)
précédent,
soit est
E'
et le corollaire 4 du théorème 1 montre
ht(E') ~ n • L'inégalité opposée résulte de ce que toute chaine
que tEi!
d'idéaux premiers d'extrémité
tEi}
de même longueur et d'extrémité
Proposition 13:
B une chaine
E' •
dim(A[X , ••• ,X ]) =dim(A)+n. n 1 Il suffit évidemment de prouver ce résultat pour A [X] • On sait
déjà que
Si
E définit dans
dim(A lX]))/ dim(A) + 1 , et il s'agit de prouver la réci-
proque. Soit donc B = A[X]
de on a
r
A est noethérien, on a
,
p' ~
c:
et soient
~ dim(A)
c:
p' -r
n
p. = p! -1.
-1.
• Sinon, soit
une chaine d'idéaux premiers
j
A
• Si les
sont distincts,
p.
-1.
le plus grand entier tel que
pl. = p.B ,d'Où (lemme 4) p. = P'+1 • Vu le lemme 3, on a -J -J -J -J ht(p'.) = ht(p.) et comme ht(p'.) }/ j , on a ht(p.) .... j • Mais -J
-J
d'autre part, dans cqfd.
A
-J
p. CP. 2 L -J
• On a donc
-J+
... C
-J
p
-r
est une chaine d'idéaux premiers
r-j-1 + ht(p.) ./ dim(A) -J
~
f/
,d'Où
r-1.( dim(A) '"
1II-20 2. Le lemme de normalisation. Dans tout ce qui suit,
k
désigne un corps. Une k-algèbre
est
A
dite de type fini si elle est engendrée (comme k-algèbre) par un nombre fini d'éléments
x.
; il revient au même de dire qu'il existe
1.
un homomorphisme surjectif
Théorème 2:
Soit
A
~
k-algèbre de type fini, et soit
une suite croissante d'idéaux de
avec
A
a
'""".P
Il existe alors des éléments indépendants sur
k
b) Pour tout tel que
a.
n
C ... C. '""".P a
A A
, algébriquement
et tels 9.ue:
A soit entier sur
a)
de
f.
a
- 1
B
i
h(i) ~
il existe un entier
0
soit engendré par
B
(x 1 ' ••• , x h Ci)) • Remarquons d'abord qu'il suffit de démontrer le théorème lorsque --:L
est une algèbre de polynômes A
l'image réciproque de
de
A'
A'
dans
A'
par un idéal
a' ca' -1 x!
1.
ca' '""".P
C
, où
i
• Il est alors clair que les images dans
'> h(O)
A
, vérifient les conditions voulues.
Nous supposerons donc dans tout ce qui suit que et nous raisonnerons par récurrence sur A)
des éléments
x!1.
et soient
; notons
a'
-0
vérifiant les conditions du théorème vis-à-vis de la suite
-0
des
a.
--:L
• En effet, on peut écrire
1
comme quotient d'une telle algèbre
a!
--:L
k[Y , ••• , ymJ
A
A
=
k[Y ,···, Y ] m 1
p.
p = 1 • Distinguons deux cas:
A 1) L'idéal
a
1
est un idéal principal, engendré par
x , k • 1
,
1II-21 On a
x
= p(Y1 , ••• ,
1
Y ) m
, où
P
est un polynôme. Nous allons
voir que, pour un choix convenable des entiers B = k[x , x , ••• , xml 2 1
est entier sur
X
= y
i
i
ri 1
-
'>
0 , l'anneau
A
, avec:
(2~i
Pour cela, il suffit évidemment que
r.1.
~m).
soit entier sur
Y 1
B • Or
Y 1
vérifie l'équation:
Si l'on écrit
sous forme de somme de monômes
P
p'" (P1'.·.' Pm)
P =
.L a p yp
où
, l'équation précédente s'écrit:
u1 r 2 P2 r P ): a Y~1 ( x + y ) • • • (x + Y m) m - x = 0 • 1 p m 1 1 2 , et supposons les
Posons
r.
l.
choisis
de telle sorte que tous les
f(p)
soient distincts (il suffit par
exemple de prendre
, où
k
est un entier strictement plus
grand que tous les
p.). Il y aura alors un système
et un seul tel que
f(p)
J
soit maximum, et l'équation s'écrira:
2:
o
j (f(p)
équation qui montre bien que Ceci montre que donc les à
x.
l.
qE a1
nB
k(Y1' ••• 'Ym)
est entier sur
m
• De plus,
s 1 écr i t
q = x ql 1
~
E
est algébrique sur
sont algébriquement indépendants, et
k [X ' ••• ,X ]
1
Y 1
n B = (x 1 )
, avec
k(x 1 , ••• ,xm) B est isomorphe
; en effet, tout élément
q'E A(\k(x , ••• ,xm) 1
, et l'on
A ('\ k(x ' ••• ,xm) ... k[x 1 , ••• ,xm] puisque cet anneau est intégrale1 ment clos; donc q'&B , ce qui achève de démontrer les propriétés a)
a
et
b)
dans ce cas.
lll-22 A 2) Cas général. On raisonne par récurrence sur
m
, le cas ~
étant trivial. On peut évidemment supposer un élément non nul de
m=a
r
a
• Soit donc
t , ••• ,t 2 m
x 1 ' t 2 , ••• ,t m soient algébriquement indépendants sur
1 ,
C = k[x1 '
t2, ••• ,tm
et que
tels que k
k[t2, ••• ,tml
gèbre
1
et l'unique idéal
B) Passage de
p-1
t1, ••• ,tm
a
1
n k [t 2 , ••• , tmJ
des éléments de
a C -1
A satisfaisant aux conditions
... Ca1>-1
A 2), il existe des éléments
, et soit
...
,tJm
• En posant
x.1.
= h(p-1)
r
k [t r + ' ••• , tmJ 1
= t.1.
•
k[t r + , ••• ,t m] 1
x r + , •.• ,x de m 1
satisfaisant aux conditions du théorème pour a ()k't -p ~r+ 1,
• On voit
p.
à
du théorème pour la suite
l'idéal
x , ••• ,x m 2
x ,x , ••• ,x répondent à la question. 1 2 m
alors tout de suite que
D'après
A
satisfaisant aux conditions du théorème pour l'al-
k [t 2 , ••• , tm
Soient
, que
x AnC .. x 1C 1
D'après l'hypothèse de récurrence, il existe des éléments de
m= 1 )
ce n'est pas une constante puisque
D'après ce que l'on vient de voir, il existe
soit entier sur
m~me
(ou
pour
i "
et pour r
, on
obtient la famille cherchée, cqfd.
3. Applications. l. Dimension dans les algèbres de polynômes. Notation: noterons
Si
dim.alkA
fractions de
k
le degré de transcendance sur
k
k
, nous
du corps des
A
Proposition 14: corps
A est une algèbre intègre sur un corps
Soit
A une algèbre intègre de type fini sur un
• On a: dim(A)
=
D'après le lemme de normalisation (théorème 2), il existe une sous-al-
1II-23 gèbre
B de
A qui est isomorphe à une algèbre de polynômes
1
et qui est telle que
k [X 1 ' ••• 'Xn
la proposition 3, on a on a
dim(B)
n
=
dim(A) = dim(B)
,
A et de
L est algébrique sur
B
K
. D'après
B
et d'après la proposition 13
; d'autre part, si l'on déSigne par
corps des fractions de
puisque
soit entier sur
A
L
K les
et
,on a
• D'où la proposition.
Au lieu d'appliquer la proposition 13, on peut appliquer
Variante.
le lemme de normalisation à une cha!ne d'idéaux premiers de
A
• On
en déduit tout de suite que la longueur de cette chaine est inférieure ou égale à
n
Corollaire 1: soit
E
(avec Soit
B = k[X1, ••• ,~1)
et on conclut comme ci-dessus.
A une algèbre de type fini sur un corps
un idéal premier de
A
• On a
coht(E)
k
,et
= dim.alk(A/E)
C'est évident. Corollaire 2 ("Nullstellensatz u ): un corps
k, et soit
algébrique sur
Soit
A une algèbre de type fini sur
m un idéal maximal de
A
• Le corps
A/m
est
k
En effet, puisque
m est maximal, on a
coht(gJ
=a
,et l'on
applique le corollaire 1 • Proposition 15: corps
k
et soit
Soit
A une algèbre
intèt~e
de type fini sur un
n = dim(A) • Pour tout idéal premier
E
de
A
on a:
D'après le lemme de normalisation, il existe une sous-algèbre
B
de
A
1II-24
J , telle
k[X , ••• ,x n 1
isomorphe à
que
A soit entière sur
B
,et
que
Posons
;E'
=
;E
nB
• Comm
oC on a
ht(;E') ~ h
(X ) 1
;E'
c ... C
contient la chaine (X ' ••• ,~) 1
,et l'inégalité opposée résulte de ce que
est engendrée par
h
éléments; donc
ht(;E')
=h
;E'
• D'autre part
B/;E'- k[~+1' ••• 'XnJ ce qui montre que coht(;E') = n-h • Comme A est entier sur
B
,et que
de Seidenberg montrent que
B est
intéb~alement
ht(;E) = ht(;E')
et
clos, les théorèmes
coht(;E) = coht(;E')
D'où la proposition. Corollaire 1:
Les hypothèses étant celles du théorème 2, on a ht(a.) = h(i) --'l.
C'est en fait un corollaire de la démonstration. Nous dirons qu'une chaine d'idéaux premiers est saturée si elle n'est contenue dans aucune autre chaine de mêmes extrémités (autrement dit si l'on ne peut intercaler aucun idéal premier entre deux éléments de la chaine); nous dirons qu'elle est maximale si elle n'est contenue dans aucune autre chaine, ou, ce qui revient au même, si elle est saturée, si son origine est un idéal premier minimal et si son extrémité est un idéal maximal. Corollaire 2: corps
k
Soit
A une algèbre intègre de type fini sur un
• Toutes les chaines maximales d'idéaux premiers de
ont même longueur, à savoir
dim(A) •
A
1II-25 ~C
Soi t
E1 C •••
C
Eh
une chaine maximale d'idéaux premiers.
Puisqu'elle est maximale, on a
~
=a
, et
est idéal maximal de
On a donc
D'autre part, puisque la chaine est saturée, on ne peut intercaler aucun idéal premier entre
et
; on a donc
et la proposition 15 permet donc d'écrire:
Comme bien
dim(A/~)
dim(A)
= dim(A)
,cqfd.
h
et
dim(A/Eh) = a
,on en déduit
Remarques: 1) On peut décomposer le corollaire 2 en deux parties: a) Pour tout idéal maximal
m de
A
, on a
dim(A )
dim(A)
m
b) Toutes les chaines maximales d'idéaux premiers de
A
m
ont
même longueur. Nous verrons au Chapitre suivant que la propriété
b)
est vraie,
plus généralement, pour tout anneau local qui est quotient d'un anneau de Cohen-Macaulay (et en particulier d'un anneau local régulier). 2) Le corollaire 2 peut, lui aussi, se déduire directement du lemme de normalisation.
4. Applications. II. Fermeture intégrale d'une algèbre de type fini. Proposition 16: corps
k
finie de
,soit K
Soit K
A une algèbre intègre de type fini sur un son corps des fractions, et soit
• La fermeture intégrale
B
de
A dans
L
une extension
L
est alors
un A-module de type fini (et en particulier c'est une k-algèbre de
A.
III-26 type fini).
~On
comparera ce résultat à celui de la proposition 11; nous
ne supposons plus que séparable
A
soit un anneau normal, ni que
isomorphe à
C
C
démonstration lorsque
à augmenter
A
dans
L
contenue dans
et
L
est une algèbre de polynômes. De plus, quitte
,l'extension A
dans
D
,donc sur L/K
A
L/M M
; si l'on sait que
Yi k
est finie B
est
L
est engendrée q
•
y~
, exprimés
1.
X . • L'extension J
L/K
est alors
,avec: -1
L'
la
,montrera que
les coefficients de tous les
L'/K
D
K
,telle que
comme fonctions rationnelles en les
-1
-1
= k'(X; , ••• ,X~ )
La fermeture intégrale de
A -1
B ' '" k'
cqfd.
L/M
D
, e t il existe une puissance
Y{ € K = k(X 1 , .. • ,Xn )
contenue dans
est quasi-ga-
est séparable. Soit
est radicielle. L'extension
de l'exposant caractéristique de
Soient
L/K
• Finalement, nous pouvons donc supposer
par un nombre fini d'éléments
B'
est évidemment la
• Il suffira donc de faire la
la proposition 11, appliquée à
que l'extension
et
B
M la plus grande extension radicielle de
fermeture intégrale de
finie sur
est entier sur une sous-
L, on peut supposer que l'extension
loisienne; si l'on note
A
A
k [X ' ••• ,xnJ 1
fermeture intégrale de
sur
soit
.J
D'après le lemme de normalisation, algèbre
L/K
dans
[x qi , ... ,Xnq
k(C;
k'
]
-1
)
est visiblement égale à
L' -1
, •.• ,c~
,
est un A-module libre de base finie. Donc
B
est fini
sur
A ,
1II-21 Remarque:
Dans la terminologie de Grothendieck (EGA, Chap.O, 23.1.1)
la proposition 16 signifie que tout corps est "universellement japonais". D'après Nagata, tout anneau de Dedekind de caractéristique zéro
z) ,
(en particulier
=
tout anneau local noethérien complet, est
universellement japonais (cf. EGA, Chap.IV, 1.1.4.)
5. Applications.
III. Dimension d'une intersection dans l'espace affine.
Il s'agit de démontrer que, si
V et
W sont deux sous-variétés
irréductibles d'un espace affine, et si ducti ble de
V
n li
T
est une composante irré-
,on a l ' inégali té:
cOdim(T) )
codim(V) + codim(W)
En langage algébrique, cela s'énonce ainsi: Proposition 11:
Si
E'
et
E"
sont deux idéaux premiers de l'algèbre où
un élément minimal de
W(E' + E")
k
est un corps, et si
E
est
,.2!!.....ê:.:
Démontrons d'abord deux lemmes: Lemme 6: sur
k
Soient
A'
et
A"
deux algèbres intègres de type fini
• Pour tout idéal premier minimal coht(E) = dim(A' ~k A")
E
de
on a:
A'QlA" k
= dim(A")
(En langage géométrique: le produit de deux variétés k-irréductibles de dimensions
r
et
s
se décompose en variétés irréductibles qui
ont toutes pour dimension Soient
B'
et
B"
r+s
.)
des k-algèbres de polynômes dont
A'
et
A"
III-28
soient extensions entières; soient fractions de
A' , A",. B',
B"
K' , K" , L' ,
• On a le diagramme d'injectionsl
0 --.-, L' ~k 1"
) KI
®k K"
r
i o ---+ B'
~k B"
) AI@
T est
K'
L'-libre
et
A"
k
T 0
0
Comme
les corps des
L"
est
K"
L"-libre,
K'
ek
K"
est
L' ®k L" -libre; en particulier, c'est un module sans torsion sur ~
E coupe donc
l'algèbre de polynômes
B'
B' ~k B"
et le théorème de Cohen-Seidenberg montre
sui vant
0
B" • L'idéal premier
que dim(B'
f\
B")
=
dim(B') + dim(B")
dim(A') + dim(A")
=
cqfd. Lemme 71
Soit
~: C.~A
A une
k-algèbre, soit
l'homomorphisme défini par
(i) Le noyau
d
de
C
= A®k
lÇ'(aeb)
est l'idéal de
A ab
=
engendré par les éléments
C
pour (ii) Si l'idéal
E'
E' ® A
E"
et
sont deux idéaux de
+ A C8I pli + d
Il est clair que Inversement, si
1
e
~ a.b. 1. 1.
est égale à
a - a ® 1
=0
~ a. ~ b. 1.
1.
aé A •
A , l'image par
E'
-p
de
E"
+
appartient à
d
pour tout
a
e.
A •
,on peut écrire:
2"(a.81 - 1 e a.)(1 1. 1. ce qui montre que
et soit
«> b.) 1.
appartient à l'idéal engendré par les
1II-29 (a.l. ~ 1 - 1
Qi)
a.) • L'assertion l.
(ii)
est triviale.
Nous pouvons maintenant démontrer la proposition. Posons C .. A® A k
AlE' ~ AlE" ,
D =
r
;E 'e A + A «;E" •
=
On a la suite exacte:
o ~ E. ---7 C ---t SOl.' t
P = lJj-1 (E) l
;
c'est évidemment un idéal premier minimal de
et son image minimal de
~
W(d') , en notant
le lemme 1 montre que on voit donc que D contenu dans
d
ht(~, ~
D ~ 0
dans d'
D est donc un idéal premier l'image de
d
est engendré par les n
• Soit
; on a a fortiori
So
dans n
D • Mais
éléments
un idéal premier minimal de • Mais, d'après
ht(g/Q ).( n --0
le lemme 6, on a dim(D/~) = dim(A/;E') + dim(A/;E")
;
comme dim(D/Q ) - dim(D/~ --0 on trouve: n~ht(~Sa) = dim(A/;E') + dim(A/;E") - dim(A/E)
Remarque:
La méthode de démonstration a consisté,
remplacer le couple
(E',
;E")
par le couple
(d,
grOSSO
E,)
,cqfd. modo, à
• C'est ce
que l'on appelle la réduction à la diagonale (c'est l'analogue algébrique de la formule
Vn w = (Vx W)n
!J. ) •
Nous verrons au
Chap.V que cette méthode s'applique à des cas sensiblement plus généraux, et permet notamment d'étendre la proposition précédente à tout anneau régulier.
IV-1
CHAPITRE
IV
DIMENSION ET CODnr:mSION HO!:JDWGIgtJES
,
,
A - LE COHPLEXE DE L'ALGEBRE EXTERIEJRE
1.
(KOSZtJL)
Le Cas Simple. La plupart des résultats des paragraphes
sans hypothèse noethérienne, soit donc
et 2
1
sont valables
A un anneau commutatif,
à élément unité, et x un élément de A. Nous noterons alors KA(x)
le complexe suivant:
KA(x) n
En fait, nous identifierons
=0
si
A et
e
de
du complexe
K(x)
x
dans
M est un
=
n ~ 0,
ces modules),
K(x,U)
K 1(x)
K(x,M) K(x,M) 1
ou
o
si
K(x)" AM
.. K (x)œAM 0
= K 1(x)" A.M
,défini
1
a
e
A
A-module unitaire, nous noterons
d : K(x,M) 1 ~ K(x,M) 0 d(e x e> m) - x.m
A sur
• La dérivation
a.x
le complexe produit tensoriel si
et nous choisirons
sera définie par la formule d(a e) x
Si
K 1(x)
• Alors
:::!:JI
K(x,M) K(x,M) n = 0
(nous identifierons
et la dérivation
est définie par la formule
1
m € M • Les modules d'homologie
sont tout simplement
et
K (x) o
une fois pour toutes un isomorphisme de par l'image
n ~ 0, 1
de
IV-2
M/x.M
Ho (K(x,M»
(0
Plus généralement, si
L
.
Proposition p
Sous les
des suites exactes
Ann(x)
est un complexe de K(x) ~ AL
modules d'homologie du complexe aux modules d'homologie de
(x»
A-modules, les
sont reliés simplement
L hypoth~ses
ci-dessus, on a pour tout entier
1
En effet, pour tout entier
p
,(K(x) ~ ALp_1)p
est une
somme directe
comme des on obtient ainsi une
A-modules,
suite exacte de complexes
et la suite exacte correspondante des modules d'homologie: d
~1
------.~ Ko ~ A Hp(L) ~ Hp(K~AL) --~~
~ K1Clt A Hp _ 1(L)
d4> 1> Ko ~ A Hp _ 1(L)
IV-3 La proposition en résulte, car
Corollaire: et si
x
est un complexe acyclique sur
Si
n'est pas diviseur de
est un comple~e acyclique sur
0
dans
M,
K(x)~AM
M, alors
M/xM
En effet, il suffit d'appliquer la proposition au complexe
L - M = (M) n
a
0 On obtient alors
si
p
>1
(x) )r:[
20
Acyclicité et propriétés fonctorielles du complexe de
l'alg~bre
extérieure sont
désignerons par
Alors
éléments de
r
est un
,
de
donné à
Ar
nous
A-module libre engendré par
e. «' 000
les
peme
Â
le complexe produit tensoriel
K(x 1,000,x) p
r
, d'où le nom de
,
, ou
e. l.
= e x.
l. produit extérieur
complexe de l'alg~bre extérieure
, et
IV-4 Si
M est
K(,!.,M) (x
K(x 1, ••• ,x ; M) r
A-module, on note
K(x1' ••• ,xr)~Al.i
le complexe produit
[x 1' ••• ,xr )
désigne la famille
e.
i 1<
i 2 <::. •••
<
q) A
•••
Kp (,!.,M)
A e i Ci!) AM p ip , et lap dérivation p d : K (x -, 11) ~ 1
011
K(,!.)G)AIJ
=
) • Le module
est ainsi somme directe des modules
ou
G!)
1
est donnée par la formule d( e.
;0\
\QI
•••
,...
"'"
1 1
e
<» m) iP
=
"(_1)k+1e. ~ L..J '"" 1 C
1 1
le
Dans la suite nous désignerons par
p Elme module
~(,!.,M) • On a manifestement
d'homologie du complexe
et
Les deux propositions suivantes étudient le cas où d'homologie sont nuls pour
Propo si tion
où
Xo
=0
2:
~,
p>O
sous les hypothElses précédentes, et pour tout
Hp(~,M)
, alors
=0
La proposition est vraie si
pour r
=1
p
>0
, car dire que
est nul, c'est dire que diviseur de
les modules
x 1 n'est pas
0
Supposons donc
r
>
1
et la propriété démontrée pour le
i
IV-5
K (x 1, ••• ,xr _ 1,M) o
alors l'applioation oanonique de
Ho(x p ••• ,x _ 1,M) = M/(x p ••• ,x _ 1)1I définit r r oomme oomplexe au-dessus de M/(x 1, ••• ,x _ 1)M r à la proposition 1 s'applique à notre oas. Proposition
3:
A noethérien et
Si, en plus des
M de type fini, et si les
appartiennent au radioal
r(A) de
suivantes sont éguivalentes
a)
tIp (~,M)
=
0
b)
H1(~,M)
-
0
0)
Pour tout
dans
K(x p ••• ,xr _ 1;M) et le oorollaire
préoédentes, on suppose
x.1.
A, alors, les assertions
1
p.)
1
x.1.
i
n'est pas diviseur de zéro
M/(xo ,x 1,···,x.1.- 1)111 Il reste à montrer que
si
hypoth~ses
dans
r
=
b) =;>0)
, oe qui a déjà été fait
1
On peut dono supposer que la démonstration a été faite pour K(x 1 ' ••• ,x _ 1;M) r Or
et la faire pour
la suite exacte
o ~Ho (K(xr )
~ H1(x 1, ••• ,x
r- 1;M» --?o"H1(x,~I)~ -
---?>H 1(IC(xr ) ~ H0 (x 1, ••• ,xr- 1;M» ~O entraîne que
H1(xp ••• ,xr_1;M)/xr.H1(xp ••• ,xr_1;M:)
H1(K(xr ) ~ li0 (x 1, ••• ,xp- 1;M»
sont nuls,
dono que
et
IV-6 li
(x 1,···,xr- 1;M)
et
1
H1(xr ;H0 (x 1,···,xr- 1;M»
le sont
(Nakayama) et, module d'hypoth~se de réourrenoe, oeoi entrafne le résultat oherohé. Corollaire;
La oondition
0)
La oorrespondanoe entre fonotorielle pour
~
M
ne dépend pas de l'ordre de la suite
et
K(~,M)
est évidemment est
donné, et le fonoteur
est une suite exaote,
exaot. Si on obtient une suite exaote de oomplexes :
et une suite exaote d'homologie
1
o~ Hr(~'M') ~ Hr(~,M) ~ Hr(~,M")~ Hr_1(~'I.i') ~ ••• ~H1(~,M")~ Ho(~,M')~ Ho(~,M)~ Ho(~,M")~O
.••
En outre
rr!(~,M) à
est naturellement isomorphe à
(A/x)~AM
(où
~
HomA(A/x,M)
désigne, par abus de notation,
l'idéal engendré par
x 1 , ••• ,x ) . Ces isomorphismes naturels de r fonoteurs se prolongent de mani~re unique en des transformations
naturelles
0/
et
cp
(Cartan-Eilenberg, Chap. III)
et
IV-7 Si les hypothèses de la proposition
KA(~)
une résolution projeotive A/x
isomorphisme ; en partioulier (voir le paragraphe
sont satisfaites pour
~(x) 0-
M = A ,l'applioation oanonique de de
2
de
sur
A/x
fai t alors
et de:vient un
A/x
a pour dimension homologique
r
C)
..
Nous laissons au soin du leoteur de démontrer que sous les memes ~ est un isomorphisme
hypothèses Hom(K.1(x) ,~,1) .-
sur
K
(Il existe un isomorphisme de qui oommute aveo les
. (x)®M
r-1. -
opérateurs bord).
B l'anneau des polynômes en
Dans le oas général, soit indéterminées B
=
X l' ••• ,Xr
A [X 1,··· ,xrJ
à ooeffioients dans A
• Définissons sur
de
B-modules par les égalités :
X.m 1.
=
x.m 1.
si
mE"M
résolution projeotive de
Alors A et
oontient
et
x
1
L'annulateur de
Ann M
On sait en effet que mais
et
M des struotures
Q€A
et
fournit une ;
D'où la
4:
A
si
on a dono l'isomorphisme naturel
Proposition
r
et
) Ext r-i( B A,M.
Iv-8 Enfin, on démontrererait sans diffioulté que si partie multiplioativement stable de
M
=
H(~,Ms)
et
.
H(~,M)S
A,
De même si
de type fini, et si l'on munit les
..
~-adique on a
"'"
=
K(~,M)
et
A est noethérien et A-modules de la filtration
..
=
H(~,M)
K(~,M)
K(~,M)
les relations entre
S est une
K(G(~), G(M»
.......:"-
H(~,M)
;
vont faire
l'objet du paragraphe suivant:
3.
La suite speotrale assooiée au oomplexe de ~nissons,
filtration
sous les
hypoth~ses
oi-dessus, le module
~-adique et désignons par
gradués assooiés à
M et A,
par
l'alg~bre
G(M)
M de la
G(A)
et
~ 1'· •• , ~r
extérieure.
les
les images de ou
l'idéal engendré par oette suite dans
G(A)
lorsqu'il n'y aura
pas de oonfusion. Le oomplexe
KG(A) (r)
Kp (~,~i)/ M Kp (~,~i+1) M
somme dire ote des modules noterons
K(~,M)
K
(~ , G. (M» pl].
applique
est manifestement que nous
• En outre, la différentiation
Kp(X,XiM)
dans
Kp_1(~'~
i+1 )
d définit sur
K( ~ ,G(M)
struoture de oomplexe, somme direote des oomplexes
= p+].=n $ Kpl' (~ G.]. (M»
de
et induit dono
M
une applioation
Cette applioation
d
une 1
IV-9 K(
En fait, la graduation de
~(~,M) aveo
3'
G(14»
définie par les
K(~,M)
est assooiée à une filtration de d
: désignons en effet'par
~(~,M)
Alors
d
la somme direote
.
ou
applique
~~(~,M)
dans
F~(~,M)
manifestement induit par
oompatible
,on a
dn
et
d
est
dans oe passage au quotient.
Nous nous trouvons ainsi dans la situation du Complément au Chapitre II,A, liE
o
Il
et il existe une
n'est autre que
Le terme
et qui aboutit à
(pour
p+i=n)
1 EP , 1 . (x,M) = IIp (K( _~ ,G.1. (M», .-
si
liE oeil
~Hp(~,M)
Hp(~,M)
on a
dont le terme
rrA(x -, 11)
de oette suite est donné par la formule
"E 1"
et est somme direote
Le terme
suite speotrale
des modules
que nous noterons
Hp (~,G.(M». _ 1.
peut être oonstruit de la mani~re suivante :
désigne l'image de
IIp(F~(~,M))
dans
FP+iH (x M) / F i + 1+PH (x,M). p -, p -
IV-10 rrp(~,M)
On sait que la filtration de la
est
x-bonne et que
au sens du Chapitre II •
suite speotrale oonverge
Pour l'étude plus préoise de oette suite speotrale, nous allons nous restreindre noethérien,
M est un
...
De merne,
~(~,M)
p ,
est
est annulé par
V(~(~,M» C V(M) (Î W(~)
A fortiori est un
M/~
A-module de type fini,
Alors pour tout entier
~(~,M)
A est
~ C ~(A)
de longueur finie et
x + AnnM
au oas suivant:
et
A-module de longueur finie.
(S,
H p -
est un
G(M»
longueur finie, et oomme o'est même un
G(A) / ~
en partioulier
Hp _
(S,
G(A)-module gradué de
~
appartient à son annulateur,
=
A/x-module
=
G.(M» 1.
de longueur finie si
0
Ceoi va nous permettre de oalculer la d'Elller-Poinoaré
X(H( ~ ,G(M»
i
est grand.
caractéristi qlle
= XC
p=r
i,
'" L
a(M))
(-1)P .e(H (~, G(M»
paO
En effet, oomme
Hp ( ~, Gi (M»
=
0
pour
= p -
i
grand,
on a
i=s-p
= D
isO
si
s
est assez grand
oelle de son homologie"),
(la
(-1)P .f(H (2',G.(M» p
J
1.
"oaraotéristique d'un oomplexe vaut
IV-11 j
'X (E; (~,M»
L j",o
'"
""
'"
=8
r
i~=S-f
t:
'X- (E~ (~,M) )
j=Û
( -1)P .f(Kp (~, G.l. (M») _
L p=Û
i..o
'"
~
( -1)P l(Kp(~,M)/Kp(~,~S-P+1M»
~
(_1)p(r) -e(M/x s - P+ 1M)
8paO
p
(_1)p(r) P (M,t-p) P ~
pour
t
grand
(t=3+1).
Nous laissons au leoteur le soin de vérifier que oette dernière r
quantité n'est autre que
~p
x
(M,s)
(aveo les notations du
Chapitre II), quantité que nous noterons désormais
y( ~,
Ainsi
-
G(M)
..
e (M,r). x
e (M,r) x
La oonvergenoe de la suite speotrale
1
entra!ne les égalités :
~(~, G(M» et cette
derni~re
= quantité vaut évidemment
1
, paroe que la filtration de est séparée
•
Iv-12 Nous pouvons résumer les résultats dans le Théor~me
1:
de l'anneau noethérien
Si l'idéal
A est contenu dans le radioal de A,
M/xM
type fini tel que a)
Les modules
b)
Si
-
~
alors
hp(~,M)
'X (~,M) = ex (M,r)
peut enoore se faire â l'aide des isomorphes â
modules
H (x,M)
p-
si
i
est assez grand.
La oodimension homologique d'un module sur un anneau semi-looal. Si
M est un module sur l'anneau semi-looal
désigne le radioal de .!.
sont de longueur finie, soit
(-1)P hp (~,M),
Le oaloul de
4.
M est un A-module de
soit de longueur finie, alors :
Hp(~,M)
X(~,M)
~
=
[a 1, ••• ,ap }
A
, on appelle
d'éléments de
r
A ,et si
Y-suite de
A
r
toute suite
quisatisfontauxoondi-
tions équivalentes :
a)
Pour tout
i
dans
ai
où
i!:o = 0
n'est pas diviseur de
et
est un oomplexe aoyolique (en dimension> 0 ) •
0)
H 1 (.!.,M)
= o
0
IV-13 L'équivalence de ces trois assertions a déjà été démontrée ; en particulier, ces conditions ne dépendent pas de l'ordre de
U.1.
la suite. Si l'on désigne par
si
b "" {bp ... ,beJ
{,!,l2.} ""
et seulement si dans
Cette
r
p
, et
-1.
M:-sui te.
existe (et poss~de au moins un élément) si
contient un élément qui n'est pas diviseur de si et seulement si
r
n'est pas
M p derni~re
condition équivaut encore à Itégalité
,
ou maximal de de
est une
c'est-à-dire
M
associé à
b
jÜ
Mp -sui te , la suite
[al"'. ,ap '
Une telle suite
o
est une
".
.~/ a.l.l
le module
(en effet, si aucun idéal
k == A/r
A n'est associé à
r
M
n'annule aucun élément
M et réciproquement), et ne dépend que du nombre
de la suite
~',
comme il résulte de la
Propo si tion
5:
Sous les
hypoth~ses
La proposition est vraie si pour tous les
A-modules
p=Û
N et les
M 1-suite, on a
à montrer que définie par
Hom(k,Mp )
• Supposons la donc démontrée N-suites de moins de
::=:
Comme
M
p
(a , ••• ,ap }
p 1 Ext - (k,M 1)
p 1 Ext - (k,M 1) ~ ExtP(k,M) a 1 dans
,et non
ci-dessus,
éléments, et montrons la dans notre cas: est une
p
2
,et i l reste
; mais l'homothétie
donne naissance aux sui tes exactes a1
--~> M ----) M 1
-->
0
et
IV-14
~
... --7 Ext P- 1 (k,M) --1 Ext P- 1 (k,M 1 ) Ext P- 1 (k,M)
Or, ExtP(k,M)
contient
Ext P- 1 (k,M ) 1
dans
III
ExtP(k,M)
Hom(k,M _ ) ... 0 p 1
Ann(k) = r ExtP(k,M)
Supposons maintenant
M
et
a
~
ExtP(k,M)
et l'annulalieur de l'homomorphisme de
1
est donc un isomorphisme, q.e.d.
r0
• La sui te d'idéaux ~o C !:1 ••• C!:i C ...
étant strictement croissante, il est clair qu'il existe une M-suite maximale a = {a 1 , ••• , a p } On a alors
ExtP(k,M)
r0
et
cette propriété; en particulier
p
p
est le plus petit entier ayant
ne dépend pas de la suite maximale
choisie. D'où la
Proposition et définition 61 nombre d'éléments, soit
m~me
Toutes les p
• Toute M-suite peut atre prolongée
en une M-suite maximale. L'entier tels que de
Extn(k,M)
r0
M-suites maximales ont le
p
est la borne inférieure des
et s'appelle la codimension homologique
M • (On l'appelle aussi la profondeur de
n codh
A
M
M .)
Corollaire: Avec les notations ci-dessus, codhA Mi = codA M - i La codimension homologique de de la variété
V(M)
associée à
M
M s'interprète aisément à l'aide En effet, toute
peut atre construite de -la manière suivante: cohauteurs des idéaux premiers associés à de
r
soit
M et
M-suite de
do a
1
la plus petite de un élément quelconque
qui n'appartient à aucun de ces idéaux premiers
aucun idéal maximal de
A n'est associé à
A
M ). Alors
(a 1 a1
existe si est le premier
IV-15 élément d'un système de paramètres de dans
•
d
des idéaux premiers associés à
la plus petite des cohauteurs
M 1
on a évidemment
. Je dis qu'en outrel
En effet, si
E
~ +
de prouver que socié à M1
1
dim M 1 ~ A 1
d
M1
est un idéal premier associé à (a ) 1
,ou comme
,c'est-à-dire que
0
M = M/a M ,on a les égalités: 1 1
; par suite, si
Désignons maintenant par
et
M et n'est pas diviseur de
do ~ dimA M
M , i l suffit ~
est contenu dans un idéal premier a
1
annule
Hom (A/E' M1 )
M 1
,que
E
as-
annule un élément de
r0
Mais on a la suite exacte:
o
a 1 --~ Hom(A/E' M) ---~ Hom(A/E, M) --~Hom(A/E' M1 ) --~
•••
(lemme de Nakayama) et n'est donc pas nul, c.q.f.d.
Si
d
1
r0
tient à aucun
,soit
idé~l
a
2
un élément quelconque de
premier associé à
M 1
• Alors
quels sont associés les nombres M-suite
{a 1 , a 2 , •••
fournit les égalitésl
'! .
qui n'appar-
[a , a 2 1
tient à un système œ~m~es et est une M-suite; soit On construit ainsi de proche en proche des modules
r
M 2
1
appar-
= M1/a 2 .M 1 •••
M,M ,M ••• 1 2
do' d 1 , d 2 , ••• , s1' s2' ••• '
Le procédé s'arrête lorsque
dp = 0
aux-
et la et
IV-16
La proposition précédente affirme que le nombre somme des "sauts",
s1 + ••• + s p
p
et la
, ne dépend pas de la construction
faite. En outre, si l'on compare le raisonnement fait avec la construction d'un système de paramètres, on voit que toute M-suite peut être prolongée en un système de paramètres:
7:
Proposition " dim AIE
S;...
E est un idéal premier associé
à
M
• Toute M-sui te peut Ihre prolongée en une sui te de
paramètres. Reste à établir quelques propriétés fonctorielles de codhAM La définition à l'aide des 0 --7 M'
Par exemple, si on a l'inégalité: De
Proposition 8:
..
maximale de
permet d'en étudier quelques-unes.
-7 M -~
Mil
--~
0
est une sui te exacte,
codhAM} Inf(codh M', codh A A
si l'on munit
m~me
"Ext ll
M de la topologie
Toute M-suite maximale de
M") ••.. ~-adique,
A est une
est une M-suite de
a = [a 1 , ••• ,ap
A on a les suites exactes:
a.
~
~ M.~_ 1 ~ M.~_ 1 ~ 7 M.~ ~( 0
..
M-suite
A.
En effetl si avec les notations ci-dessus,
o
on a
a.
O~M.~- 1 ~
et donc aussi
l
IV-11 ... La suite
a
...
est donc une M-suite de
A
• Si en plus
a
est
....
maximale pour
M ,elle est maximale pour
ru
(égalité des codimen-
sions). La codimension homologique est une notion locale, comme le montre la propositionl Proposition 91
codhAM
= Inf
où
m
parcourt 18s
m
idéaux maximaux de l'anneau semi-local On peut le démontrer à l'aide des
A "Ext", ou de la construc-
tion précédente, ou encore en remarquant qu'on peut supposer complet; mais alors plets) et
A
A est somme directe d'anneaux locaux (com-
M somme directe de modules sur ces anneaux locaux; le
résultat est trivial.
B) MODULES DE COHEN-MACAULAY Dans tout ce paragraphe, ~(A),
d'idéal maximal note
Ass(E)
et
E
A désigne un anneau local noethérien, désigne un
A-module de type fini. On
l'ensemble dea idéaux premiers de
A associés à
E
(cf.
Chap.I). 1. Définition des modules de COhen-Macaulay.
On sait (prop.1) que, pour tout Comme dim .E
dim.E ~
=
Sup.dim(A/E)
codh .E •
pour
PtAss(E)
EEAss(E)
,on a
dim(A/E)) cOdh(E).
,on a en particulier
IV-18 1~
Définition si l'on a
E
est un module de Cohen-Macaulay
= dim(E)
cOdh(E)
On dit que dule de
On dit que
A est un anneau de
Cohen-~Macaulay
Exemples.
si crest un mo-
Cohen~~acaulay
lui-m~me.
lorsqu'on le considère comme module sur
1) Un anneau local d'Artin, un anneau local intègre
de dimension 1, sont des anneaux de Cohen-Macaulay. 2) Un anneau local intègre et intégralement clos de dimension 2 est un anneau de Cohen-Macaulay. En effet, si nul de
!.(A)
, les
donc distincts de cOdh(A/xA) ~ 1
idéaux premiers !.(A)
d'où
puisque
E
de
est un élément non
x
Ass(A/xA)
sont de hauteur 1 ,
dim.A = 2. On en conclut que
,
cOdh(A) ~ 2
ce qui montre bien que
est
A
un anneau de Cohen-Macaulay. Proposition
Pour que le
10~
A-module
E
soit un module de
..
... Cohen4iacaulay il faut et il suffit que le
A-module complété
E
soit un module de Cohen-Macaulay.
...
Cela résulte des formules Proposition riens et soit
Soient
11~
'P:
A et
B
...
et
dim(E)
§i
E
= dim(E)
deux anneaux locaux noethé-
A --i B un homomorphisme qui fasse de
A-module de type fini. est un A-module de
codh(E) = cOdh(E)
B un
est un B-module de type fini, alors
Cohen~acaulay
E
si est seulement si c'est un B-module
de Cohen-Macaulay. Cela résulte de la proposition plus générale suivante: Proposition riens, et soit
12~
f:
Soient A
~
B
A et
B
deux anneaux locaux noethé-
un homomorphisme qui fasse de
B
un
•
IV-19 A-module de type fini. Si
E
est un
~
B-module de type fini,
alors:
~
L'homomorphisme
applique
~(A)
dans
un A-module de type fini; soit
r(B)
puisque
B
est
une E-suite maximale de
considéré comme A-module. Si l'on pose
, les
E
forment
b.
1.
une B-suite. De plus, cette B-suite est maximale; en effet, puisque (ai)
est maximale, il existe un sous-A-module non nul FI de
F = E/(a 1 , ••• ,a n )E F
sous-B-module de bien que COdhA(E)
F'
, et
qui est de longueur finie sur
b , ••• ,b n
B
engendre un , ce qui montre
est une suite maximale. On a donc
1
=n =
~(A)
qui est annulé par
co~(E)
• La formule sur la dimension se démontre
immédiatement.
2. Diverses caractérisations des modules de Cohen-Macaulay. Proposition dimension
n
Soit
13~
• Pour tout
E.
E.'
=
Cohen~~caulay
dim.A/E. = n
E.
n
de
, et
E.
Supp(E)
=
n
, puisque les termes extrêmes sont égaux. E.'
de
V(E)
on le sait; ce qui précède montre que
, et
dim(A/E')=n=dim(A/E)
, c.q.f.d.
Proposition dimension
, on a
contient un élément minimal
E.0' E Ass (E) d'où
A-module de
dim(E) ~ dim(A/E.) ~ codh(E)
On a en effet
ne plus,
un
E.€Ass(E)
est un élément minimal de
dim(A/E.) = dim(E)
E
14~
Soit
, et soit
E
un
x~~(A)
A-module de Cohen-Macaulay de tel que
dim(E/xE) = n-1
• Alors
IV-20
l'homothétie définie par
dans
.x:
E
est injective, et
E/xE
est
un module de Cohen-Macaula.y.
Soient l'un des
les élé;nents de
E1 ' ••• ,Ek
p.
-1.
,
dim(E/xE) )n
disons
. Donc
, on
E1 x
aurait
= codh(E) - 1
cOdh(E/xE)
fait que
e
x
dans
E
appartenait à
x
, d'où , ce qui
V(E/xE) p-1..
signi-
est injective. On a
(corollaire de la pxp.
6),
d'où le
est de Cohen~mcaulay.
E/xE
Théorème
E1
n'appartient à aucun des
fie que l'homothétie définie par alors
. Si
Ass(E)
2~
Si
E
est un module de Cohen-Macaulay, tout système
de paramètres de
E
est une
E-suite. Réciproquement, si un système
de paramètres de
E
est une
E-suite,
est un module de
E
Cohen-U~-
caulay. Supposons que et soit
E
(x , ••• ,x ) n 1
soit un module de
un système de paramètres de
montrer par récurrence sur que
E/(x , ••• ,x )E k 1
k
que
(x1'.'.'~)
E
de dimension
k
à
k+1
est une E-suite et k
=
a
en utilisant la prop.14, et en
dim(E/(x1, ••• ,~)E) = n-k
un système de paramètres de
n
• Nous allons
est un module de Cohen-Nacaulay. Pour
c'est évident. On passe de remarquant que
Cohen-~Iacaulay
puisque les
x.
1.
forment
E
La réciproque est triviale. Corollaire: est un idéal de de paramètres de
Si
E
est un module de
Cohen-~mcaulay,
A engendré par une partie à A
, le module
de dimension égale à
dim(E) - k
E/aE
k
et si
a
éléments d'un système
est un module de Cohen-!o1acaulay
IV - 21 Cela a été démontré en cours de route. La condition du th.2 yeut se transformer en utilisant les résultats
de
(A)
• Soit
E
x = (x , ••• ,x ) n 1
un
A-module de dimension
un système de paramètres de
l'idéal engendré par les
x
X.
1.
x nar rannort à E _... ... ...
plicité de
n
, et
E
soit
; on note également en(~,E)
• On désigne par
la multi-
Hq(~,E)
(cf. théorème 1), par
les
groupes d'homologie du complexe de l'algèbre extérieure défini par et
x
ax (E)
, par
E
~-adique.
filtration
Théorème 3: un module de x
=
ii)
E
un
Cohen~~caulay,
de
en (~,E)
ax (E)
E
A-module de dimension
H (~,E)
=
0
iV)
Hq (~,E)
=
0
[X1 , •••
tout
}20ur
conque de ces propriétés, Chacune des propriétés est une
d'autre part traîne
H.1.
(s _
i)
,a(E))
qui entraîne i Ù 1
i)
• Si
E
est
les propriétés suivantes:
,xJ
q)- 1
Réciproquement, si un système de paramètres de
x
n
pour tout système de paramètres
, on a
(E/xE)
iii)
que
fil tré par la
= l(E/XE) , . longueur de E/XE =
1
E
Avec ces notations, on a:
Soit
(x , ••• ,x ) n 1 i)
le module gradué associé à
E
et
ii)
pour
iii)
est équivalente au fait
et
iv)
, c'est la prop.3
sont équivalents (Chap.II, th.2);
d'après le théorème 1; enfin sont nuls pour
vérifie l'une quel-
est un module de Cohen-r':;acaulay.
i), ii), iii), iv)
E-suite:
E
i) 1
(cf. suite spectrale de
• Le théorème résulte de là.
ii)
iv)
entraîne que les , ce
et que A), n03)
en-
que
H. (x,E) 1. -
=
0
pour
IV - 22 3. Variété d'un module de Cohen-Macaulay. Théorème 4: et soient
Soit
E
un module de Cohen-)fucaulay de dimension
x1, ••• ,xr~ ~(A) ~
Tout élément
Ass(E/(x , ••• ,xr )E) 1
de
L'hypothèse signifie que système de paramètres de module quotient dimension
n-r
dim.E/(x , ••• ,xr )E 1
tels que
E
est tel que
x , ••• ,x r 1
=
n
n-r
dim(A/~) = n-r
forment une partie d'un
• D'après le corollaire au th.1, le
E/(x , ••• ,X )E r 1
est un module de Cohen-Y~caulay de
, et le théorème s'ensuit en appliquant la proposition 13.
Le th.4 caractérise les modules de Cohen-Macaulay. De façon précisel Théorème
5:
un module de dimension (x , ••• ,xr ) 1
pour toute famille dim.E/(x 1 ,··· ,xr)E on ait
=
n-r
d'éléments de
, et pour tout
dim(A/E) = n-r
Alors
E
On raisonne par récurrence sur Supposons donc
n) 1 •
d'éléments
' on voit que
comme
xi
dim(E)") 1
EEAss(E)
• Supposons que,
n
r(A)
tels que
E E:ASS(E/(x 1 ,··· ,xr)E)
est un module de Cohen-Macaulay. n
, le cas
n
=a
étant trivial.
En appliquant l 'hypothèse à la famille vide
, i l y a donc
dim(A/E)
=
x € ~(A) 1
• L'homothétie définie par
x
n
pour tout
qui n'appartient à aucun des dans
1
E éAss(E)
E
est alors in:j.ective,
et l'on a: cOdh(E) = COdh(E/x E) + 1 1
dim(E) = dim(E/x E) + 1 • 1
De plus, il est clair que le module th.5 avec
n-1
au lieu de
c'est donc un module de
n
E/x1E
vérifie les hypothèses du
; d'après l'hypothèse de récurrence
Cohen-)~caulay,
et il en est de même de
E
IV - 23 Théorème 6:
Soit
E
un module de
E e Supp(E). I l existe alors un entier
et soit éléments
E
E
est un
Soit
ments de
E
, et une partie à
veEl (x 1 ' ••• ,xr)E)
pour tout
• Comme
E
tient l'un des
' soit
Ei
effet, on aurait
, on a
dim(A/E)
p.
-1.
p. -1.
E ê V(E)
, et g,ue les
• Je dis g,ue
E
On a donc
p -
E1
=
dim(A/E1) = dim(A/Ei) E
E
x 1 '··· ,xr , et
E
con-
• Sinon, en
un élément
P -
f.
xr +
p. -1. 1
ferait alors
, contrairement au caractère
x , ••• ,x r 1
=
p -1
, ce g,ui montre g,ue les
x.
1.
condition de l'énoncé, et prouve en m~me temps g,ue xi
-1.
d'où
; le système
partie d'un système de paramètres de maximal du système
les élé-
p.
sont les éléments minimaux
, et on pourrait trouver dans
n'appartenant à aucun des
con-
i
EG. V(E/(x , ••• ,xr)E) 1
E1
<
E
; d'après le th.4, on a
= n-r
sont contenus dans
forment une
temps un système de paramètres, puisg,ue • Ceci prouve bien g,ue Macaulay de
E
et maximale pour cette propriété. Soient
Il en résulte en particulier g,ue les
De plus, les
dim(E ) = r
une partie d'un système de paramètres de
dim(A/p.) -1.
i
r
, tels g,ue
E
n-r,
=
n
E
ASS(E/(x , ••• ,xr )E) 1
pour tout
dim(A/E)
de dimension
A -module de Cohen-Macaulay.
x , ••• ,x r 1
tenue dans
de
r
d'un système de paramètres de • On a alors
et
Cohen~acaulay
r
, c.g,.f.d.
E
E
E
vérifient la dim(A/E) = n-r
, g,ui est en mame
est élément minimal de E
E
est un module de Cohen-
IV - 24 Corollaire 1:
Tout localisé d'un anneau de Cohen-Macaulay est un
anneau de Cohen-Macaulay.
Corollaire 2:
Soit
deux éléments de
E
un module de ,~
Supp(E)
d'idéaux premiers joignant
E
à
Cohen-~~caulay,
et soient
E' E'
E CE' • Toutes les chaines saturées E'
ont alors ma me longueur, à savoir
dim(A/El - dim(A/E') Il suffit de considérer le cas où c'est-à-dire où
1
dim.A ,/pA,
E - E
=
dim(A/E) - dim(A/E')
1
E
et
E'
sont consécutifs,
il faut alors montrer que
• Or, en appliquant le th.
5
au module
E
E'
on trouve: dim.E
E
dim.E
Eh ]!appliquant à
dim.E
E
E
E
1
-
dim.E , - 1
dim.A ,/pA t E - E
E
,on trouve:
dim.E
dim.E , = dim.E - dim.A/E' •
E
En éliminant bien
dim.E
E
et
dim.A/E - dim.A/E' Corollaire 3:
Macaulay, et soient
dim.E,
E
=
Soit EC:
de ces trois équations, on obtient
1
,c.q.f.d.
A
un anneau quotient d'un anneau de Cohen-
E'
deux idéaux premiers de
chaines saturées d'idéaux premiers joignant longueur, à savoir
E
à
E'
A
• Toutes les
ont alors ma me
dim.A/E - dim.A/E'
On se ramène aussitôt au cas d'un anneau de Cohen-Macaulay, qui est un cas particulier du cor.2 • Corollaire
4:
Soit
anneau de Cohen-Macaulê:l"
A
un anneau local intègTe, quotient d'un
et soit
dim.A = dim.A
E
+
E
un idéal premier de
dim.A/E
A
On a
IV - 25 Cela résulte du cor.} • Remarque. Ltintérêt des corollaires} et
4 provient du fait que tous
les anneaux locaux de la géométrie algébrique (ou analytique) sont des quotients d'anneaux de Cohen-Macaulay - et en fait mame des quotients d'anneaux réguliers, cf. § D).
4. Idéaux premiers et complétion. ,. Soi t
A un anneau, et soit
idéal premier de dans
A
A ; a priori
l'idéal
A E,A
., sa complétion. Si
E,
est un
n'est plus en général premier
, il se peut même que sa décomposition primaire
fasse intervenir des idéaux premiers immergés • On se propose de montrer dans ce qui suit que ce phénomène désagréable ne se produit pas lorsque
A
est un anneau de
Cohen-Y~caulay.
On va tout d'abord démontrer une proposition générale: Proposition 15 : B
étant une
Soient
A
et
A-algèbre. On suppose que
B
deux anneaux noethériens, B
est
A-plat. Soit
E
un
A-module de type fini. On a alors:
Soi t
EG Ass(E). On a une sui te exacte
d'où, puis'lue
E
est
et on en déduit que
a ---7 A/p
A-plat, une suite exacte a AssB(B/EB)
c:
AssB(E®AB)
que le membre de droite de la formule
(~)
~ E
--t E/E,E
~ E ®AE
• On a donc prouvé
est contenu dans le
membre de gauche. Pour prouver l'inclusion en sens inverse, soient
E,1,···,E,k
IV - 26 les éléments de
Ass(E)
, et soit
une décomposition
primaire réduite correspondant aux
-1.
dans la somme directe des
E/Qi
dans la somme directe des
E/Qi ~AB
On en déduit :
,et
U
ASSB(E"®AB) C
• Le module
p.
E ®AB
dit, on est ramené au cas où
se plonge donc aussi
, ASSB(E/Qi®AB)
AS~(E/Qi ~AB)
et l'on est ramené à voir que
se plonge
E
Ass(E)
= AssB(B/fiB) QUtrement
est réduit à un seul élément
E
Plaçons nous donc dans ce cas; on sait que l'on peut trouver une suite de composition de
E
où
est un idéal premier qui contient
E®AB
on en conclut que :
AsSB(E ®AB) où les
ASSB(B/EB)
C
0(
• Soit
homothéties définies par les éléments de E ~AB
pour tout tement
puisque
f' € Ass(E ®AB) , on a
E
B
est
S
; les
sont injectives dans
(A/ So< )S
0
, d'où
• On a donc
Ef
A-plat; on a donc
• D'autre part, puisque
~re AssB(B/~ B)
pour tout
• En passant à
u
LJ
contiennent strictement
donc aussi dans
A/~
formée de modules du type
(B/~ B)S
~C(
AS~(E ®AB)
nS
~
=
contient stricet
= 0
E
~r
nS f
n AssB(B/ ~o( B)
ce qui achève la démonstrationo Théorème 1: idéal premier de
Soit A
A un anneau de
• Tout élément
'"
dim,A/E ' ; dim.A/p
l'égalité
Cohen~acaulay,
... f'EAssÂ(A/fA)
(l'idéal
..
~A
et soit
E
un
vérifie alors
n'a donc aucune compo-
G.3.nte immergée).
r = dim.A - dim.A/p
Soit partie à
r
él éments
• D'après le théorème 6, il existe une d'un système de paramètres de
A
~ = ~ ,
IV - 21 telle que th·4
,
;e !;.Ass(E)
le module
. I l en est
dim.A/;e prop.5
E
E = A/(x , ••• ,xr)A 1
,où
• De plus, d'après le
est un module de Cohen-Macaulay de dimension
... donc de marne du module complété
(qui s'applique puisque
A est
E
A-plat) , on a
. D'après la
... ... Ass(A/;eA) c
...
<==
A
Ass(E) • Mais, d'après la prop.3 appliquée à ... vérifie dim.A/;e' = dim.E , d'où le résultat. Corollaire:
Soit
E
Cohen-~Macaulay, et soit
tel sue
=n
dim.A/;e
E
,tout
;e'&Ass(E)
un module de type fini sur un anneau de un entier ~ 0
n
• Si tout
, i l en est de m~me de tout
;eéAss(E) ...
est
;e'~Ass(E)
Cela résulte du th.1, combiné avec la prop.15 • Remarque.
On serait encore pl us content si l'on avait
avec les notations du th.1. (marne si
E,Â= nE,'
Malheureusement, c'est faux en général
A est régulier, cf. Nagata); c'est toutefois vrai pour les
anneaux locaux de la géométrie algébrique (théorème de Chevalley), et plus généralement pour les anneaux "universellement japonais" de Grothendieck (EGA, Chap.IV, § 1) •
C) DIMENSION
HOMOLOGIQL~
1
DES MODULES NOETHERIENS
1) La dimension homologique d'un module. Nous allons d'abord rappeler les définition d'Eilenberg-Cartan. Si
A est un anneau commutatif, à élément unité différent de
(noethérien ou non) et si
0
M est un A-module non nul (de type fini
ou non), on appelle: dimension homologie ou projective de (finie ou infinie)
dhAM
des entiers
M ,la borne supérieure p
tels que
ExtR (M,N)
t
0
IV - 28 pour au moins un A-module
N
dimension injective de
M
p
tels que
f
ExtÀ (N,M)
0
la borne supérieure
pour au moins un A-module
dimension homologique globale de des entiers
p
tels que
diAM
ExtÀ (M,N)
A
f
des entiers
N
,la borne supérieure 0
gldh A
pour au moins un couple
de A-modules. Dire que projectif
dhA(M) - 0
(resp. diAM
= 0)
c'est dire que
M est
(resp. injectif).
Les inégalités qui suivent sont des conséquences directes des propriétés des foncteurs Si la suite dhAM "
ExtÀ (M,N)
---7
0 -_.) M' ---t M ---7 Mil
sup(dhAM', dhAM")
on a:
est exacte, alors:
0
et si l 'inégali té stricte a lieu,
dh Mil = dh M' +1 A A
on a:
on a: De
dh M A m~me,
si
composition de
Proposition 16:
o
=
Mo C
M ,dhAM
Pour tout
=
dh M' A
M1 .(
c:. . .. sup
1 .( i .~ n
A-module
rieure des entiers. p
tels que
A-module de type fini
N
C Mn
=
M est une suite de
dhA(M./M. 1) 1.
M
ExtÀ(N,M)
1.-
diAM
r0
est la borne supépour au moins un
IV - 29 ~~
Soit en effet
diAM ~ dM
l'inégalité si
+
d}1::
Si
et l'égalité a lieu aussi manifestement
dM
Supposons donc
00
=
dM
cette borne supérieure. On a manifestement
o
0
homomorphisme de
a
dans
M
(Cartan-Eilenberg, Chap.I)
fini: pour tout idéal
=
diAM
d M
où
n
(n> 0 ) •
D'où
dM:: d N+1
et tout
M est injectif
d M
et montrons
il existe alors une sui te exacte du type
Q est un module injectif et
ment aussi
A
=0
dM
Supposons maintenant le résultat prouvé si le si
de
A : donc
se prolonge à
et
a
,et
diAM
diAN
=
=
diA N+1
d N
• On a manifeste-
(hypothèse de récurrence).
d M = diAM
Corollaire (Auslander):
gldh A
sup dh
M ,où
A
L
parcourt les
A-modules de type fini. En effet, si l'on désigne par , en t ~ers
t e l s que
p
gldh A = Sup M,N
Ext P (M,N) ;~ 0 A
M et
N
Sup N
Sup (Sup d(M,N))
N
la borne supérieure des
, on a les égalités:
M
d(M,N)) = Sup (Sup d (MIN)) M' N
:: Sup(Sup N M' où
d(M,N)
d (M,N)
Sup
parcourent les A-modules,
M' 1-1'
di
dh
A
A
N=
M'
les A-modules de type
foini. 2. Le cas noethérien. A partir de maintenant, rien et
A
sera de nouveau supposé noethé-
M sera un A-module de type fini:
Alors
dh
A
M est la borne supérieure des entiers
p
tels que
IV - 30
r0
ExtÀ (M,N)
pour au moins un A-module de type fini
Eilenberg, Chap.VI, prop.25). Or, tout composition où
p. -l.
O=NC ••• CN
o
=N
n
est un idéal premier de
N admet une suite de ~
telle que
A. Il en résulte avec les notad(M,A/p.)
i
A
M ~ Sup
d (M,A/E)
où
E
- A/p. -l.
N./N. 1 l. l. -
tions du paragraphe précédent que, d(M,N) ~ Sup dh
N (Cartan-
-l.
et que
parcourt les idéaux premiers de
A
p
La proposition 21, Chapitre VI, d'Eilenberg-Cartan peut ainsi s'énoncer: Proposition 17;
Les assertions suivantes sont ésuivalentes,
a)
dh M A
b)
n+1 ( M,A/ E) = 0 Ext A
c)
Pour toute sui te exacte
telle sue d)
n.
.(
---t Mn --1 ... --1
n- 1
A
Mo ---, M ----7 0
est projectif.
Il existe une suite exacte
où les
Mi
sont projectifs,
Bien entendu typ~
0
sont projectifs,
M , ••• ,M
o
de
pour tout idéal premier
fini si
ExtÀ(M,N)
M et
O-'i ~ n et
TorA (M,N) p.
N le sont: en eiret, si
sont des A-modules de M est de type fini, il
existe une suite exacte:
où les les
M. (i ~ 0) l.
ExtÀ(l,r,N)
dules de
et
sont des modules libres de type fini; les modu-
'1'~r~(M,N)
HomA(Mp,N)
et
sont donc des quotients de sous-mo-
Mp~A N
,et ces derniers sont évidemment
de type fini. Par un raisonnement analogue, on établit la
IV - 31 Proposition 18:
Si
M et
l'anneau noethérien
A
A dans un anneau
B
le déterminée par
~
N
,si
sont des modules de type fini sur
\f:
A
,si enfin
~
B
B
est un homomorphisme de
,muni de la structure de A-modu-
,est A-plat, alors en a des isomorphismes
naturels:
Faisons, par exemple, la démonstration pour les (Noter Clue celle pour les
"Tor"
vaut sans hypothèse de finitude).
Si avec les notations ci-dessus,
M est le complexe défini
Mn ~ B muni de l'augmentation projective de
(car
Mn Mais
"fut":
€® 1
est B-libre et le complexe ,fournit une résolution
M: ~ B • On a donc:
est un module libre de type fini). B
étant A-plat, on a évidemment: q.e.d.
Cette proposition s'applique si
...
indéterminée, si !!!,-adiClue et si stable de
B
B =A
[x] ,
où
X
est une
= A est le complété de A pour une topologie
B = AS
où
S
est une partie multiplicativement
A
Corollaire 1:
Si
(A,!!!,)
est un anneau de Zariski et
M un A-modu-
IV - 32 le de type fini, muni de la filtrat10n
~-adi~ue, ~
.. En effet, si Extn(M,N) ~ 0 Extn(M,N) n .. .. complété Ext (M,N) n'est pas nul: d'où
est séparé et son
L'inégalité opposée résulte de la propriété plus générale: Proposition 19:
Sous les hypothèses de la proposition précédente
--4 Mo
0 ~ Mn ~ •••
En effet, si
une résolution projective de
~ li! --70
est
M ,la suite est exacte;
d'autre part,
M
étant facteur direct d'un A-module libre,
n
est facteur d'un B-module libre et est donc B-projectif, d'où l'assertion. Corollaire 2:
dh
A
M
::5up
E
court les idéaux ,eremiers de
dh
A
!Il
E
E
Sup m
dh
A m
où
101
m
m les idéaux maximaux.
A et
En effet, d'après la proposition précédente,
dh
A
M p
g -
D'autre part, si
E par-
ExtÀ (lI'l,N) = P ~ 0
, Pm est différent de
/dhM
~
A
o
pour
au moins un idéal maximal, d'où l'assertion. Le corollaire 2 ramène l'étude de la dimension l'étude de la dimension
homologi~ue
homologi~ue
à
d'un module sur un anneau local:
IV - 33
3. Le cas local. Proposition 20: k
= A/~
Si
A est un anneau local,
son corps résiduel et si
m son idéal maximal,
M est un A-module (de type fini),
les propositions suivantes sont équivalentes: a)
M est libre
b)
M est projectif.
a) ~ b) :=) c)
Les implications
sont claires et il reste à montrer
c)~a) :
que
Supposons donc que éléments de Soit
P
soi t
'f
le A-module libre engendré par les lettres l'homomorphisme de
et soit
N = Ker'f
o~ P/mP
N
~ Comme
et
l.f
Tor (M,k) :: 0 et soient x ' ••• ,xn des 1 1 M dont les images dans M/mM forment une k-base.
~
dans
, L = Coker'f
M qui applique
e.
1.
sur
x.
1.
• On a alors une sui te exacte:
P ~ M---+L ---) 0
M/mM---7 L/mL
qp
P
e 1 ,···,e n
, qui entratne la sui te exacte
~0
est surjectif,
L/mL
est sur jectif. Ainsi la sui te
est nul, d'où
L:: 0
(Nakayama)
0 --4 N ~ P ~ M ---7 0
est exacte et donne naissance à la suite exacte:
Mais Corollaire:
-
~
Si
est injectif et
N/mN et N sont donc nuls, c.q.f.d.
A est un anneau noethérien et
M un A-module de
type fini,
M est projectif si et seulement si pour tout idéal maxi-
mal
A
m
àe
, Mm
est un A -module libre. m
Résulte de l'égalité:
dhAM:: Sup dhA Mm m m-
IV - 34 Théorème 8:
Sous les hypothèses de la proposition précédente;
les assertions a) b) c)
dhA M ~ n A Tor p (M,N)
~ui
suivent sont
si
= 0
p )
é~uivalentes:
n
et si
N est un A-module
A Tor n +1 (M,k) :: 0 I l est trivial ~ue
a) -=;)b) ~c) • Montrons ~ue
c) ~a):
en effet, il existe une suite exacte du type: fn-1 ~
les modules
o ~i ~
...
où
Mo ' M1 ,·····, Mn _1
sont libres. Soit donc
Zi:: Ker 'fi
n-1
Alors la suite
0
~ . 1
Z.1
~
Tor k (Zi ,k) = Tor k + (Zi_1 ,k) 1
M.1
---l ~
si
Z.1-1
k)/ 1
~
0
est exacte et
• Il en résul te ~ue:
Tor n (Z ,k) :: n Tor +1(M,k) o
o
d'où le résultat. Corollaire 11
Si
M est un module de type fini sur un anneau
noethérien, les propositions suivantes sont
l:-
n
a)
dhA M
b)
Tor p (M,N)
c)
A Tor p+ 1 (M,A/m)
.4.
é~uivalentes:
=0
n
et si
N est un A-module.
si
p )
0
pour tout idéal maximal
m
Résulte du théorème et des deux propositions précédentes.
IV - 35 Corollaire 2:
Si
a)
gldh A ~ n •
b)
Tor!+1
A est un anneau noethérien, on a les équivalenoes
(A/~, A/~ = 0 pour tout idéal maximal m
En effet, i l est trivial que A
Tor n +1 (A/m, A/~ = 0 maximal M
N)
•••
~
b) • Réoiproquement, si est nul pour tout idéal
A/n)
TorA(M,N)
oontient les annulateurs de
p
dhA(A/m) ~ n
• Dono
0----+ Ln --).
jeotive
Tor!+1(A/~,
(l'annulateur de
n
et de
,
a)
et il existe une résolution pro-
--7 Lo ----t A/m ~O
Mais oeoi entraine que
TorA n+ 1(M,A/~
=0
pour tout
M
d'où l'assertion.
1
D) LES ANNEAUX REGULIERS
On appelle anneau régulier un anneau noethérien de dimension homologique globale finie. 1. Propriétés et laraotérisations des anneaux looaux réguliers. A un anneau looal régulier, n = gldh A
Soit mal de dh et A
A
,k = A/m
oodh
A
et
"oodimension homologique":
dh M + oodh M = n A A
La proposition est vraie si une injeotion de
l'idéal maxi-
M un A-module. La proposition suivante oompare
M et justifie le nom de
Proposition 21:
,~
k
dans
M (0
exaot à gauohe, une injeotion de
oodh
---+ k
A
M= 0
~
,oar il existe alors
M ) , et, oomme
Tor n (k,k)
dans
Tor n
Tor n (M,k)
est
IV - 36
de
Mais,
Tor n (k,k)
de
Torn (M,k)
m~me
n'est pas nul (voir paragraphe 6) et il en va d'où
dh
A
M= 0
•
Supposons maintenant la proposition démontrée par récurrence pour tous les modules dont la codimension homologique est inférieure à
codhA M ,et prouvons la pour
M
Il suffit de considérer le cas où
codh M) 0 A qui n'est pas diviseur de 0
où il existe un a de "m
c'est-à-dire dans
M • On
a alors la suite exacte: a
o
---+ M ~ M ---7 M1 --i 0 Comme par l'hypothèse de récurrence,
cOdh M + dh M A 1 A 1
=n
, i l reste à prouver que
dh M A 1
Or, dans la suite d'homologie: Tor p (M,k) ~ Tor p (M,k) ~1 TorP (M ,k) ~ Tor p- 1(M,k) ~ Tor p- 1(M,k) , 1 a appartient à l'annulateur de
k
,et on a les suites exactes
parti~
les:
Comme la nullité de Tor on a l'équivalence: Corollaire 1: fit que
1(M,k)
entratne celle de
Torp (M ,k) :: 0 ~ Torp- 1 (M,k) = 0 1
Pour que
dh M soit égale à A
m soit associé à
Corollaire 2:
p-
Supposons que
n
Tor p (M,k) c.q.f.d.
, i l faut et il suf-
M dim.M = n
• Pour que
M soit un module
de Cohen-Macaulay, il faut et il suffit que ce soit un A-module libre. En effet
"M est libre " ~ dhAM
=
0 ~ codhAM :: n = dim.M
IV - 31 Corollaire 3:
Tout anneau local régulier est un anneau de Cohen-
Macaulay. M= A
Cela résulte du corollaire 2, appliqué à Proposition 22: et soit
Soit
A un anneau local régulier de dimension
B un anneau
l~,
de type fini (en tant que Cohen~acaulay,
•
de dimension
n
n
,qui soit une A-algèbre
A-module). Pour que
B
soit un anneau de
il faut et il suffit que ce soit un A-module libre.
Cela résulte de la proposition 11 et du Corollaire 2 ci-dessus. Corollaire:
Si
B
est régulier, c'est un A-module libre.
C'est clair. Ceci nous permet de trouver d'autres caractérisations des anneaux locaux réguliers: Théorème 9:
Les propositions suivantes sont équivalentes:
a)
A est régulier.
b)
m peut
c)
La dimension sur
k
d)
L'anneau gradué
G (A)
~tre
engendré par
de l'espace vectoriel
m
~-adique, est isomorphe
tion
r = dim A éléments.
!1m 2
,associé à l'anneau
est
m sur
k [x1 ••• XrJ
!!l!m 2
établit une
correspondance surjective entre les systèmes de générateurs de les k-bases de
2 !I~
.
Donc
que
d) ~c). Réciproquement
par
r
m et
b) ~ c). D'autre part, il est clair b) ~ d):
car si
éléments on a les inégalités: 1
•
A muni de la filtra-
à l'algèbre de polynômes
On sait que l'application canonique de
r = dim A
m est engendré
IV - 38 d'où
e m (A,r)
=
t(A/!Ù
et la proposition 9 du chapitre II
s'applique.
.
Montrons l'implication b) et d)~a) est un anneau de
Cohen~acaulay.
Si donc
x
d) entratne que
= {x1 ' ••• ,xr \
un système de paramètres qui engendre
m
trement dit, le complexe à gauche sur
k,K(~,A)
lution projective
m~me
(et
libre) de
,~
A
est
est une A-suite. Au,fournit une réso-
k
d
o
--1 Kn (~,A) -24 ...
€
KO(~,A) ~ A et
est l'application canonique de
Pour tout A-module En particulier
M on a donc l'égalité
Tor.1. (k,k) ZKn(x,k) -
A sur
k
•
Torn(M,k)~Hn(~,M).
= Hn(x,k) = K.(!J ~ 1. A
k
•
=r =n
<+
Mon trons enfin que:
a)
On a bien gldh A
De n
dh A A
=
= codhA A
0
et
~
dim A = r
00
,
===> c)
dh A + codh A A A
c.q.f.d. 1
=
n
on tire
codh A A
=
n
,et
•
Si, d'autre part, nous admettons que l'application canonique
~ = (x 1 '··· ,x s ) ,désigne une système minimal de générateurs de m ,i.e. dans
s } r
induit une base de
Tor.1. (k,k)
~m2
est une injection, où
(ceci est valable pour tout anneau local
AI pour une démonstration voir Appendice I) on trouve que
,
et donc que
n >7 r • D'où les inégalités: 2 r l!!Y'm : k) ~ n = codhA A ~ dim A - r et le résultat.
Torr; (k,k)
10
IV - 39 Corollaire 1 J
Si
~
=
fX 1 ' ••• ,xrl
engendrant l'idéal maximal
est un système de paramètres
m de l'anneau local régulier
M est un A-module, on a un isomorphisme naturel D'après le paragraphe mes
(A)
Tor. (k,M) 1.
Corollaire 3:
1.
1. -
•
dh M + codh M = r A A
(Théorème de syzygies): Si
régulier de dimension
Tor. (M,k) ~ H. (x,M) •
est nul si et seulement si
l'est. On retrouve ainsi l'égalite Corollaire 2:
et si
2, on a alors m~me les isomorphis-
TorAi ( k,M ) N- Hi ( ~,m ) N- Ext r-i A ( k,M) En particulier
A
A est un anneau local
n = dim A = gldh A
n
Un anneau local régulier
A est intègre et intégrale-
ment clos. En effet
a(A)
est un anneau de polynames et est intègre et in-
tégralement clos; mais si
a(A)
l'est,
A l'est aussi (si
A est sé-
paré). Corollaire 4:' (Auslander-Buchsbaum): Tout anneau local régulier est factoriel. C'est une propriété générale des anneaux intègres noethériens intégralement clos dans lesquels tout idéal admet une résolution finie par des modules libres (cf. Bourbaki, Alg.Comm., Chap.VII, §
4).
Les dernîers corollaires que nous donnerons concernent les anneaux locaux réguliers de petite dimension: Corollaire 5:
a est régulier si et
Un anneau, local de dimension
seulement si c'est un corps. Corollaire 6:
Un anneau local de dimension
1
est régulier si et
IV - 40 seulement si c'est un anneau de valuation discrète.
2.
Propriétés de permanence des anneaux locaux réguliers. Si
A est un anneau local régulier, on appelle système régulier
de paramètres de de
A
~ = ~1, ••• ,xnI
, tout système
A qui engendre l'idéal maximal
les systèmes de paramètres de
A
de paramètres
m • Nous savons déjà que tous
sont des A-suites. Parmi ces syaèmes,
les systèmes réguliers sont caractérisés par la Proposition 22: ximal
Si
{x , ••• ,xp \
sont
1
m de l'anneau local régulier
A
p
éléments de l'idéal ma-
, les trois propositions
suivantes sont équivalentes: a)
x , ••• ,xp
font partie d'un système régulier de paramètres de A • • sont linéaireLes images de 1
b)
ment indépendantes sur c)
L'anneau local
vaut
dim A - p
a) ~ b):
A/(x , ••• ,x p )
.(En particulier
où
p = -
b)
k-bases de
1
est un idéal premier.) A
!1m 2
En effet on a une suite exacte: 2
m
2
2
---7 !1m --i Efn --7 0
(x 1 ,···,xp )
~
(x , ••• ,xp )
En effet les systèmes réguliers de paramètres de
a), b) ==}c):
IJE"
est régulier, et sa dimension
1
correspondent aux
o --7
k.
et
!!. =
!!!lE
et donc les équivalences:
[ËlEn m2
Mais,
x , ••• ,x p 1
A, A/(x , ••• ,xp ) 1 c)~b):
faisant partie d'un système de paramètres de
a pour dimension
En effet
c)
dim A - p
, d'où le résultat.
équivaut aux deux conditions:
IV - 41
[El!!.2 : kJ
AIE
dim
Corollaire:
E
Si
et
A/p
b)
E
dim A - p A
,les deux
é~uivalentes:
est un anneau local régulier. est engendré par des éléments d'un système régulier de para-
A
mètres de
a)~b)
Seule l'implication ~
Mais si O---f.
AIE
est un idéal de l'anneau régulier
propositions suivantes sont a)
dim
=!lE ,
reste à démontrer:
on a toujours la suite exacte:
ElEn m2~!lm2~ EI!!2~ [Eln 2 :
[EiE n ,!!2
on a
AIE =
k]:: dim
~
:
, et comme
0
cohtA E
ht A E
::
R
sont donc des éléments de
Si
2
m , alors l'idéal
forme une k-base de
; d'où
est premier et de hauteur Proposition 23:
dont l'image dans
p = (x , ••• ,x ) , c.~.f.d. 1 P
E est un idéal premier de l'anneau régulier A
Si
A
alors l'anneau local
est régulier.
E
En effet, il résulte des propriétés démontrées dans le paragraphe (B)
~ue,
pour tout anneau noethérien
A
, on a l'égalité:
E parcourt les idéaux premiers de A
gldh A :: Sup gldh A
, où
Proposition 24:
A est le complété de l'anneau local
E
E
la topologi~ue
Si
~-adi~ue
('!! = radical de
A
En effet
G(A)
A) , on a l'é~uivalence:
A régulier
A régulier
= G(A)
A pour
IV - 42
Cette dernière caractérisation des anneaux locaux réguliers est très utilisée dans la "pratique" , à cause du théorème suivant: Théorème 10: A/~
Si
A est un anneau local complet, et si
A et
k =
ont m@me caractéristique (m = idéal maximal), les propositions sui-
vantes sont équivalentes: a)
A est régulier.
b)
A est isomorphe à un anneau de séries formelles b) ~ a)
En effet
k[[X , ••• ,x n 1
]J
trivialement.
Réciproquement, a)~b): admettons en effet que tout anneau local complet
A
, qui a
contient un corps
m~me
s'appliquant sur
k'
tout système régulier
{x 1 '··· ,xnl
alors un homomorphisme unique applique
X.
1.
sur
k'(LK 1 , ••• ,Xn]] G(~)
de
. Comme
x.
1.
• Enfin, comme
G(k'[(X , ••• ,x ]]) 1 n
Il en va de même de
caractéristique que son corps résiduel
~
f
k (théorème de Cohen) • Pour
de paramètres de
A
k' [x1 ' ••• ,xnJ
dans
de
A est complet,
'f'
il existe A qui
se prolonge à
A est régulier, l'application dans
G(A)
est un isomorphisme.
(Chapitre II).
On trouvera dans le séminaire Cartan-Chevalley de 19J5-1956 une démonstration du théorème de Cohen ainsi que des applications du théorème précédent (dérivations dans les anneaux locaux, factorialité, •••• Exposés Godement 17, 18, 19).
3. Délocalisation • Il résulte de ce qui précède que les anneaux réguliers sont les anneaux de dimension finie tels que pour tout idéal maximal Am
m
soit un anneau local régulier, et pour ces anneaux la dimension
k,
IV - 43 coïncide avec la dimension homologique globale: gldh A
dim A
si
A est régulier.
Les corps et les anneaux de Dedekind sont les "meilleurs" exemple d'anneaux réguliers. A partir d'eux on obtient les anneaux de polynômes à l'aide de la Proposition 25:
Si
des polynômes en et
gldh A~]
A est un anneau régulier et
X à coefficients dans
= gldh
A
A
AUcl
lX]
l'anneau
est régulier
A+ 1
Nous allons d'abord vérifier l'inégalité:
gldh A [X]
<.
gldh A + 1
Celle-ci est conséquence du: Lemme:
M est un
Si
x] (M)
A LJÇl-module, alors
dhAl
~ dhAM + 1
Nous allons d'abord préciser le lemme dans le cas où M = A LX] (2AN
,et où
avons vu qu'alors
N est un A-module (on posera
M = N[~l
dhA[X]N[x] ~ dhA N (voir paragraphe
(B):
): nous A (x]
est un A-plat) •
M est un Auq-module quelconque, c'est en particulier
Si maintenant
un A-module et nous désignerons par
par le A-module
M (Attention:
Mf!c]
X(a QS)A m)
A [~ -module défini
le =
(Xa) ®A m f
a®A m X ).
On a alors une suite exacte (cf. Bourbaki, Alg.VII,App.):
où
lf( L:
xi®A mi)
...
Ei
Xi m. ~
'f( Z;
Xi ®A mi) ::
.6i
Xi + 1 ® m. ~
i
et
i
'A
-
~.
L.:. X~ ®A Xm
i
IV - 44
Sup (dh M A
=
c.q.f.d.
Montrons enfin que est un idéal de tement
gldh A
A tel que
[xl
=
LX] ),
gldh A
dim A
ht
A
LxJ
~ htA LxJ~[x]
+ 1
gldh A + 1:
= dim
~
A = gldh A
~ ht A ~l (~~J
en effet si
m
,on a manifes-
, X) #
htA ~ + 1
>1
Corollaire (Théorème des syzygies):
Si
k
est un corps,
k~1, ••• ,xnl
est régulier. Comme toute algèbre affine est quotient d'anneau de polynômes, on retouve ainsi les propriétés des chaines d'idéaux premiers dans les algèbres affines.
4. Un critère de normalité. Théorème 11:
Soit
A un anneau local noethérien. Pour que
A soit
normal, il faut et il suffit qu'il vérifie les deux conditions suivantes: (i)
Pour tout idéal premier
neau local
est régulier
(ii)
ht(p) ~
Si
Supposons ht(E) ~ 1
A
,tel que
ht(E) ~ 1
ou
1).
,~
COdh(A ))/ 2 E A normal, et soit E un idéal premier de 2
,l'an-
(i.e. un corps ou un anneau de valuation
ht(E) = 0
discrète, suivant que
E de
A
• Si
,on sait que
A est régulier (cf. Chap.III, prop.9). Si E ; on sait (loc.cit.) ht (p) ), 2 ,soit x un élément non nul de EA E est de hauteur 1 ; que tout idéal premier essentiel de dans A
----
E
, ce qui montre bien que codh(A )~ 2 pA - E l! Inversement, supposons que A vérifie (i) et (ii) • Si l'on
aucun d'eux n'est donc égal à
sait déjà que
A est intègre, la prop.9 du Chap.III déjà citée montre
IV - 45 tout de suite que
A est normal. Dans le cas général, on commence
par établir directement que
A est réduit
(i.e. sans éléments nil-
potents), puis qu'il est égal à sa fermeture intégrale dans son anneau total de fractions. Je renvoie pour les détails à Grothendieck, EGA, Chap.IV, th.5.8.6.
IV - 46 APPENDICE
l
1
RESOIDTIONS MINIMAIES
Dans ce qui suit, on désigne par ~,de
d'idéal maximal
corps résiduel
sont supposés de type fini. Si
A un anneau local noethérien,
k. Tous les
A-modules considérés
M est un tel module, on note
i
le
MjmM
k-espace vectoriel
1. Définition des résolutions minimales.
Soient
L, M deux
un homomorphisme. On dit que
A-modules, u
est
L étant libre, et soit
u: L
~M
minimal s'il vérifie les deux conditions
suivantes: a)
u
est surjectif
b)
Ker(u) C mL
Il revient au même
(lemme de Nakayama)
de dire que
u-
L --) M
est
bijectif. Si une base
est donné, on construit un
M:
(ai)
, avec
du
k-espace vectoriel
j
u : L --3>)[
= MjmM
minimal en prenant
,et en la relevant en
e. €M 1.
Soit maintenant
•••
-~
L.
1.
...
~L
1
~L o
e
---)
IV - 47 une résolution libre
est une
minimal pour tout
)
Ker(L.1.- 1 ---.,1:.1.- 2)
résolution minimale
i , ainsi que
Proposition 1 : (a) (b)
Posons
1.- 1
1.
1.
L
M.
Im(L .....~ L.
N.
On dit que
de
L
Tout
e: Lo
A-module
Pour qu'une résolution libre
il suffit que les applications
de
d
est
-) N i
i
M soit minimale, il faut et
Ci : L.1. -) L.1.- 1
noyau, on choisit un homomorphisme minimal L
L
M
(a) : On choisit un homomorphisme minimal
(b) : Puisque
M si
possède une résolution minimale.
M
L
-7
de
soient nulles. e: Lo -4M
L 1 -) N 1
Si
•
N
1
est son
,etc.
est une résolution, les homomorphismes
L. -") N. 1.
1.
et
e
sont surjectifs. Pour qu'ils soient minimaux, il faut et il suffit que leurs soient contenus dans qui signifie bien que l'opérateur bord Corollaire. Si
L
= (L.) 1.
est égal à la dimension de
Ci de L.
mL.1. (resp. dans
-
~Lo)
, ce
doit être nul.
est une résolution minimale de
Tor~(M,k) 1.
En effet, on a :
---- L.1.
M , le rang de
L. l
IV - 48 Remarque. En particulier, on voit que le rang de résolution minimale
L.
L.
est indépendant de la
1
choisie. En fait, il est facile de démontrer
d avantb.ge : deux résolutions minimales de
sont
M
isomorphes
(non
canoniquement en général). Pour plus de détails, voir S. EILENBERG, Ann. of Maths., 64, 1956, p. 328-336 •
2.
Application.
Soit un
une résolution minimale de
complexe libre
muni d'une augmentation
K
o --~ M
K • =(K.) 1
M , et soit
Nous ferons en
outre les hypothèses suivantes :
est injectif. (Ci)
l'opérateur bord
d. : K.
l'application correspondante Puisque de
M dans
L
1
~
K.
1-
1
applique
K.
1
dans
mK _
i 1
d.1 : K./mK. ~ -mK.1- 1/-m2K 1. 1 est injective. 1 - 1
est une résolution de
M , l'application identique
M se prolonge en un homomorphisme de complexes
f
Proposition
1
2
facteur direct de
K -". L
L'application L.
f
est injective, et identifie
K
.
à un
(comme A-module).
Il faut voir que les
~ L. 111
f. : K.
sont inversibles à gauche.
Or, on a le lemme suivant (dont la démonstration est immédiate)
et
IV - 49 Lemme!
Soient
L et
L'
deux
un homomorphisme. Pour gue il faut et il suffit gue
A-modules libres, et soit
Ki
f.1
--~
.
Li
sont injectifs.
i
• On utilise le diagramme commutatif
Ko
Lo
- ----)
J
J ii
Le fait que
L'
~L' soit injectif (resp. surjectif).
g: L
On procède par récurrence sur
i =a
~
soit inversible à gauohe (resp. à droite),
g
Il nous faut donc prouver que les
a)
g: L
Ko -7 il
-i4
il
soit injectif suffit à entrafner que
Ko~ Lo
est injectif. b)
i
>, 1 • On utilise le diagramme commutatif
K.1
Puisque
)
.
est inversible à gauche, i l en est de meme
f. 1 : K. 1 -_. . L. 1 1-
de l'application
1-
-f.
1-
L.1
1-
;2
;2
1 : -mK.1- 1 -m K.1- 1~mL. 1 m L.1- 1 - 1- -
;
vu la condition
(Ci) , on en conclut que la "diagonale" du carré ci-dessus est une application injective, d'où (par un lemme bien connu de théorie des ensembles ••• ) l'injectivité de
K.1 '---T L.1
•
IV - 50
Corollaire: L'application canonique est injective pour tout
i Q
A
~
H. (K. ~k) 1
Tor. (M,k) 1
a
= K.1
En effet,
et
Tor~(M,k) = E.1 1
corollaire ne fait donc que reformuler l'injectivité de
3.
le
f.
1
Cas du complexe de l'algèbre extérieure.
A partir de maintenant, on prend M = k
, corps résiduel de
A
un système minimal de générateurs de
K
!!!., et soit
= K(~,A)
K.
dant. Le complexe
(muni de son augmentation naturelle
vérifie les conditions On a condition
(Co)
Ko
(Co)
et
(C)
du
L
A et l'application l -7k
AS
=
(e 1 , ••• ,e ) s
soit
est bijective. La
d
.
~
L
-")
~-1 L
(C).
la base canonique de
la base duale. On peut identifier
l'application bord
Ko--7 k)
nO 2
est donc vérifiée. Reste à vérifier
Posons
(e~, ••• ,~)
=
le complexe de l'algèbre extérieure correspon-
K.
1
à
~L
L et
.,
s'exprime alors de la manière
suivante :
dey)
j=s =
Lj=1
x. (y L e~) J
J
Le signe L désignant le produit intérieur droit
(cf. Bourbaki~ ~.III).
IV - 51 Il faut maintenant expliciter 2
..
mK i _ 1/ !!!. Ki_1
et
_/ 2 !;'!!!.
a
DA
'li
-d
K.1
; pour cela, on identifie
I\i- 1
-L
• La formule donnant
d
à devient
alors :
x.
J
avec des notations évidentes. Comme les l'équation dey)
Théorème.
a équivaut à
=
1 (y L
x.
J
y L e~ = J
~) J
forment une
a pour tout
base de j
,
d'où
ym
2
y=O
cqfd.
La dimension de
En effet, la prop.3, jointe au corollaire à la prop.2, montre que l'appli-
K.1
cation canonique de on a
dim.K.
1
=
est injective, et
dans
(~) 1
Compléments. On a en fait des résultats beaucoup plus précis (cf. les mémoires d'Assmus, Scheja, Tate cités dans la bibliographie)
Tor~(k,k)
est muni d'un produit (le produit ~ de Cartan-
Eilenberg) qui en fait une k-algèbre associative, commutative (gauche) et à élément unité ; ses éléments de degré impair sont de carré nul. L'isomorphisme d'algèbres
!/!!!.2 ~ Tor~(k,k)
1P : Ivym 2 -7
Tor~(k,k)
se prolonge donc en un homomorphisme qui est injectif (Tate) , ce qui
précise le théorème ci-dessus. L'anneau si
ql
A est régulier si et seulement
est bijectif (il suffit même, d'après Tate, que l'une de ses com-
posantes de degré
~
2
soit bijective). De plus,
A
Tor. (k ,k)
est munie
d'un co-produit (Assmus) qui en fait une "algèbre de Hopf". On peut donc
IV - 52 lui appliquer les théorèmes de structure de Hopf-Borel; en particulier, ~
cela rend évidente l'injectivité de gnements sur la série de Poincaré f'Y:'
PA (T)
Par exemple
=
~l -0
a.T l
(Tate, Assmus)
seulement si
PA(T)
i
• On obtient également des rensei-
PA(T)
où
a. l
A est une
est de la forme
de
..
Tor~(k,k) dim.Tor~(k,k) l
"intersection complète"
2 (1+T)n/( 1_T )d
,avec
n,d
si et
€
N
;
pour d'autres résultats analogues, voir Scteja. Signalons toutefois que l'on ignore si
PA est toujours une fonction rationnelle. tDomparer au
problème topologique suivant, également non résolu fini simplement connexe, et soit i l son Poincaré de
: soit
X un complexe
espace de lacets; la série de
.iL est-elle une fonction rationnelle]/
IV-53 A P PEN D l C E
POSITIVITÉ DES
CARACTHtISTlQUES
D'IDLER-POINCARÉ
On se place dans le cadre des sément, soit
.Q
II
SOPÉRIIDRES
catégories abéliennes. Plus préci-
une catégorie abélienne munie de
n
morphismes
du foncteur identique dans lui-même ; on suppose que les commutent deux à deux. Tout objet morphismes
xi (E)
sous-catégorie de pour
Si de
Si
C
formée des objets
JeI
et
J .. l
J ..
E est un objet de
mani~re
C
E
C
[2,nJ
, 'lue nous écrirons
n.1(x,E) -
xi
fabriquées au moyen des
; autrement dit,
caractéristiques d'Euler-Poincaré • Rappelons d'abord comment on
attache (d'apr~s Grothendieck)
un groupe
à toute catégorie
K(D)
• On forme d'abord le groupe libre
par les éléments de
D;
L(D)
o~
si
est une suite exacte dans de
sont
.QI
On va maintenant considérer les
D
K
se définit
,le complexe
annulés par tous les
ce sont des éléments de
E - E' - E"
on notera ~ la x.(E) = 0 tels que 1
évidente ; ses groupes d'homologie
des objets de
abélienne
,
(1,n]
=
1
.. C ; en dehors de ce cas, on aura
• On a
i E J
à considérer
.
X.
C est donc muni d'endo-
de
E
xi
D ;
E'
~
L(D) E
engendré
~E" ~
on lui associe l'élément
le groupe
K(D)
est le quotient
0
IV-54 de
L(D)
par le sous-groupe engendré par les éléments précédents
(pour toutes les suites exactes possibles). Si [E)
son image dans
K(D)
; les éléments de
positif si ils engendrent
sont dits
K(D)
, on note
E E D
K(D)
ainsi obtenus
; la somme de deux
éléments positifs est un élément positif. Tout ceci s'applique aux catégories Hi (~,E) € QI
E f C ; on a
soit
~
• En particulier,
,et la somme alternée :
+
a un sens dans le groupe cette caractéristique
K(QI)
• On peut donc se demander si
est ~O
?ri
•••
(au sens défini ci-dessus).
Nous allons voir que c'est bien le cas si
C vérifie la
condition suivante: (N) - Tout
E
eQ
vérifie la condition de chaine ascendante
(pour les sous-objets). Autrement dit : Theorème E~Q
Si
et tout
(N)
C vérifie i
·~O
Démonstration par récurrence sur a)
n
..;;C.::a:.=;s_...;.;;n_=--.1
Pour simpl ifier, on écrit Ho (x,E)
=
COl::er.x(E)
x et
au 1 ieu de H (x,E)
1
~:: 1
•
On a
= Ker.x(E)
• On doit montrer
IV-55 X(E) = [Coker .x(E)]
que la différence
K(9. 1)
dans et soit
(N)
x
m le noyau de
x
N
, les
et soit
• Or, soit
m
la
m
m-i~me
; les
N
m
est
On a une suite exacte
F = E/N
est nilpotent sur
x
n,
et injectif sur ~
(immédiat). D'autre part, on voit tout de suite que
,Z(E)
=
~(N) +
Z(F)
de composition dont les quotients successifs on a alors
est
=0
admet une sui te
N
Qi
F
Ker .x(F)
Puisque
• D'autre part,
:x:. )
D'apr~s
N leur limite,
par s'arrêter; soit m finissent
i. e.
(m=1,2, ••• ),
vont en croissant.
N
L'endomorphisme
additif
x
puissance de
~O
sont annulés par et
, d'où
finalement on trouve :
= b)
Passage de
n-1
,
a
n
[ Avant de faire la démonstration, remarquons que une fonction
additive
de
E
; par définition de
définit donc un homomorphisme de que l'on notera encore;t
dans
K(QI)
=.xo
K(Q)
est elle
,homomorphisme
.]
On utilise la prop. 1 de A) une suite exacte:
K(Q)
):::
• D'après cette proposition, on a
IV-56 en notant
la suite
~'
,
= H.1
H. (x' ,E) 1 -
appartiennent à la oatégorie
Si l'on passe dans
~
définie ci-dessus-
, on peut donc écrire :
K(QI)
=
•
On en déduit:
ç
c;x::::J
Xi CO!!:, E}
- [H 1(x
1'H~_l)]
+
(-1 }m( [Ho (x l'
H~+mD
-
[H
lx: 1'H~+m)] )
00
~ m ' + L..-.J (-1) X(xpH.+) m...o
[ La notation
'Y(x 1,.A--i ÎI ') A-
1
m
a un sens, en vertu de la remarque
faite plus haut.] Par hypothèse de récurrence,
K(~)
;
or, d'après
positif de
:t (x p
X~)
K(~)
est
a)
'Yi' ~
est un élément positif de
,l'opération ~
en un élément positif de
~
0
Comme
lement positif, on en déduit bien que
transforme un élément K(QI)
[H1(XpH~_1)J
; donc est trivia-
IV-57 Exemple.
Soit
syst~me
un
A un anneau local noethérien, soit param~tres
de
de
A
et soit
X1 '···'Xn
C la catégorie des
A-modules de type fini (munie des endomorphismes définis par les • La catégorie
Xi)
par les
xi
QI est la catégorie des A-modules annulés
; on vérifie tout de suite que la
un isomorphisme de
sur
longueur
définit
Z ,compatible avec les rela-
=
tions d'ordre. Le théorème ci-dessus fournit donc le résultat suivant
Si
E
est un
t .(:J;) ~
Remargue.
X.(E) = 0 ~
A-module de t;j7pe fini, l'entier
+ ••
= t(H. (x,E» ~
est :;t- 0
Dans le cas de l'exemple ci-dessus, on peut prouver que entraîne
H. (x,E) J -
=0
pour
Toutefois, la seule démonstration de ce fait que je connaisse est assez compliquée (elle consiste à se ramener au cas où
A
est un anneau de séries formelles sur un anneau de valuation discr~te ou sur un corps). J'ignore s'il existe un énoncé analogue
dans le cadre des catégories abéliennes.
V-1
CHAPITRE V.
LES MULTIPLICITES
/
A) LA MULTIPLICITE D'UN MODULE
1.
Le groupe des cycles d'un anneau. Si
et
A est un anneau (commutatif, à élément unité, noethérien)
V l'ensemble de ses idéaux premiers, on appellera cycle de A tout
élément du groupe abélien libre
Z(A)
V.
engendré par les éléments de
Z =LZ(E). E' avec E€.V
Un cycle sera dit positif s'il est de la forme
Le cas général se ramenant directement au cas IIlocal", nous SuppoSerons dorénavant l'anneau notera alors par
Zp (A)
le sous-groupe de
idéaux premiers de cohauteur directe des sous-groupes
A local et de dimension
p
dans
A
Z(A)
n
• On
engendré par les
• Le groupe
Z(A)
est somme
Zp (A),
Les cycles sont reliés aux A-modules de la manière suivante: Soit
Kp (A)
la catégorie abélienne des A-modules
dim~I ~ p, si si
0
---7 et
Iv!
K(A) M
P
longueur
---7 N
----; P
---1
appartiefment à
est une suUe exacte de
0
Kp (A)
,.e(r:I.) g.
,
alors
M é Kp (A)
K(A)
et
Ne K (A) P
,
et soit
9.
un idéal
A est de g. et cette longueur sat~sfai t manifestement à
A de cohauteur finie
tels que
la catégorie de tous les A-mpdules. Il est clair que
Dans ce s conditions, soit premier de
M
Alors le modtlle
p
sur
la propriété suivante: si
o
= MC •••
o
C. M. C ••• C 1
}JI
S
M
est une suite de composition de
V-2 dont les quotients
fil
mier de
A
e
~
(M)
Soit donc
L
coht
Zp (A)
est nulle sur
z: K p (A)
idéal pre-
--7
Z
p
(A)
la fonction telle que est une fonction
z
p
• La fonction K
r
quotients de la forme
~
• Il est clair que ~ =
A/r
pour
Kp (A)
additive définie sur la catégorie ordonné
l(M)
,alors il y a exactement
• On écrira
z(lVl)
sont de la forme
M./M. 1 1. 1.-
z
et à valeurs dans le groupe
prend des valeurs positives et elle
_ (A) p 1
Réciproquement il est clair que toute fonction additive sur Kp(A)
nulle sur
K
"se factorise par z" ; ou encore toute
p _ 1 (A)
fonction additive sur
K (A) p
, à valeur dans un groupe abélien ordonné,
et prenant des valeurs positives sur Si
A
est intègre,
tifie au rang du A-module
2.
n (A) ~Z...
se factorise par
pour
z
n = dim A , et ..(,
s'iden-
M
La mul tiplici té d'un module. Soit
un idéal
dim~ r
m l'idéal maximal de l'anneau local
~-primaire.·Alors,
Hilbert-Samuel
où
Z
Kp (A)
Pa (M,X)
pour tout A-module
M
A et soit
,le polynôme de
défini au chapitre II est de degré égal à
• En outre son terme de plus haut degré est du type
diltl~ et où e L'entier
l'idéal primaire
e a
a
e.Xr/r!
est un entier> a est, par définition, la multiplicité de On la notera
e (M) a
; plus généralement,
M pour
V-3 p li!
étant un entier positif et
E Kp (A)
. A. • d ~m HL
M un module tel que
=./
P
, on posera
=p
e (M)
si
dimAu
o
si
dimA:.o: ~ p
~
Il résulte alors des propriétés démontrées aU Chapitre Kp (A)
est une fonotion additive sur et dono que l'on a la
formule d'additivité
II
que
,nulle sur
:
C
ooht .9,.=P
~ ~
=
ooh t .9.. ~p .9..
En particulier si
A est
e (M) a
= e m(M)
Si
e (A)
En parti ouI ier
Si
Â
(~.T)
/J ~, \~.
int~gre,
~
est appelé la
est la
m
e (M,n) '" rg(M) e (A)
on a
multiplioité
et si
.
A est int~gre
on peut montrer que
,
~
A est égale à
que nous noterons i-~me
finie
~.
n
On sait,
éléments d'apr~s
x l' ••• ,xn
~-
pour tout
A-module
le 1,
A
int~gre.
A, o'est-à-
,formant une sui te
le Chapitre IV, qu'alors le
groupe d'homologie du oomplexe de Koszul h. (x,M)
A
A est régulier (Samuel, Nagata),
soit un idéal de définition de
dire qu'il soit engendré par
M.
d'apr~s
un exemple de Nagata montre qu'il ne suffit pas de supposer Enfin supposons que
de
de l'anneau looal
est régulier, sa multiplioité est égale à
Chapitre IV • Inversement si la multiplioité de
~
multiplioité
est de longueur
1'1, et que l'on a la formule:
V-4 n
L
e x (M,n)
(_1)i h. (x, M)
où l'on désigne par la mame lettre
1. -
i=o
l'idéal
x
et la suite
/
B) LA MULTIPLICITE D' IN'rERSECTION DE DEUX MODULES 1.
La réduction à la diagonale. Soient k
un corps commutatif algébriquement clos,
deux ensembles algébriques de l'espace affine la diagonale de l'espace produit est évidemment isomorphe à
(U X V)
n Ll
Un V
à
An (k)
A (k) ~ k
et
U
n
et
n
V
~
• Alors ~
An (k) )( An (k)!::::!. A2n (k)
et l'isomorphisme identifie
• Les "géomètres"
se servent couramment de
cette situation pour ramener l'étude de l'intersection de
U
et
V
à l'étude de l'intersection d'un ensemble algébrique avec une variété
linéaire. Or, au stade actuel de son développement, l' "algèbre" est souvent une transcription de résultats et malheureusement aussi de méthodes "géométriques". On en a vu un exemple pour le théorème du Chapitre III (Dimensions d'intersections dans les algèbres de polynames). En particulier dans le lemme 2 il "faut" considérer que A ®k A est l'anneau des coordonnées de A/!!®k A/9:. U X V et
(U ,)( V)
n~
et
Â
(A ®k A)/d (U
et
et U
An (k) X An (k)
sont les anneaux de coordonnées de
V irréductibles). L' "isomorphisme" de
n Vs' exprime alors
suivante:
où l'on identifie
,que
A et
(A~k A)/d
•
à peu près de la mani ère
7
V-5 Cette formule d'associativité se généralise ainsi: soit A une algèbre commutative avec élément unité sur un corps commu1
tatif
k
(non nécessairement alg~briquement clos); soient
N deux A-modules, engendré par les
B la k-algèbre
Œi 1
a
- 1~a
est une k-algèbre isomorphe à que
A®k A et a € A.
d
Alors
M et
l'idéal de
B
(A QQk A)jd
A et on considérera toujours
A est muni par cet isomorphisme d'une structure de B-module.
D'où la formule
(Cartan-Eilenberg, Homological Algebra IX 2.8),
Ainsi, si
est une résolution
(A~k A)-projective de
A
,le bifoncteur
est "résolvant", i.e.
A
Tor n (M,N)
s'iden-
tifie aux modules d'homologie du complexe particulier si variables
X.1.
KB( (X.1. ®
1 - 1
A sur
est une algèbre de polynames en K
,on sait que le complexe de Koszul
® X.) ,B) 1.
est une résolution libre de
A
,et dans
ce cas:
(3)
TorA(M,N) n
c:!
Hn (KB«x.1. ® 1 - 1 ~ X.), M®k N)) 1.
,xJ
k [X , ••• est régulier! 1 Dans la suite, la réduction à la diagonale interviendra
On retrouve que
par l'intermédiaire de la formule (2) convenablement généralisée. Dans un premier pas on peut, par exemple, supposer que
k
n'est pas nécessairement un corps mais un anneau commutatif avec élément unité, et que
A est k-plat. La formule (2) est alors rem-
placée par une suite spectrale (Cartan-Eilenberg, XVI, 4, 2 et 3) :
n
V-6
N), A)~TorAp+q (M,N).
TorB(Tork(M, p q
A = k~1, ••• ,xnJ
En particulier si Koszul
03 ((X. e 1
formée de
n
1 - 1 ® X.), B) 1
,le complexe de
est une résolution libre de
termes et on retrouve l'inégalité (k
A
est supposé
noethérien) :
~ dh k
dh A .. dh(k [X 1 ' ., •• ,xJ) Réciproquement, si finie
m
tel que
,
+ n •
est de dimension homologique globale
k
i l existe un k-module simple
k Tor (M,li) .. P .;. m
comme A-module, les
X.1
0
. Le module
annulant
M
m
n
1
d'après le Chapitre IV, A.2.
D'où
M peut alors
~tre
considéré
• Dès lors
TorB(Tork(M,M), A) .. H (J23«X. ® 1 - 1 n
M (voir Chapitre IV, C)
® X.), 1
TorA (M,M) m+n
cause du "principe du cycle maximum", et
p)) = p
= Tork(M,M) m
à
dh A J.. dh k + n
Ainsi trouve-t-on de "jolis" résultats dès que l'on a un "bon" anneau de base sur
k
• Si
k
et que l'on prend des produits tensoriels
A est un anneau commutatif quelconque, on le localise
en ses idéaux premiers, on complète ces localisés et, si ces localisés ont
m~me
caractéristique que leurs corps résiduels , ils con-
tiennent un corps de Cohen qui joue D, 2). Mahlheureusement si complet
A,
A~k
k
le rôle de
k
(voir Chapitre IV,
est un corps de Cohen de l'anneau local
A n'est plus noethérien et il faut apporter à
notre méthode les perturbations du paragraphe suivant.
2.
Produits tensoriels complétés. Soient
A et
k
un anneau commutatif noethérien à élément unité,
B deux k-algèbres unitaires, commutatives et noethariennes,
V-7 M (resp. N)
(M) p
filtration où
~
m et
B/~
un A-module (resp. B-module) de type fini muni d'une
(N) q
~-bonne (resp. d'une filtration
désignent des idéaux de
A et
B
tels que
soient des k-~odules de longueur finie. Dès lors
N/N q
et couple
(p,q)
U-bonne),
M/mPM, M/Mp'
d1entiers naturels. On munira ces couples de l'ordre NX N
=
=
Il est alors clair que pour tout entier naturel k
N/N q )
i
,les
peuvent atre munis d'une structure de système
projectif de modules et on définira les ...
et
sont des k-modules de longueur finie pour tout
produit évident dans
Tor.~ (M/M p ,
A/~
Tor-complétés par la formule:
k
Tor. (M,N) = ;im ~
(g,q)
i = 0
Pour M
,on obtient le produit tensoriel complété:
"
~ N = (lim (p,q)
Les groupes abéliens ainsi dé,finis ont les
propriét~s
suivantes: a) Si l'on désigne par
EB
"
k
Tor. (M,N)
le groupe gradué
CI=>
i
=
Tor.k (M,N)
A
o
~
anneaux gradués ..
"
k
Tor. (M,N)
sur
les structures de modules gradués sur les
Tor~(A/mP, B/nq)
des
Tor:(M/Mp,N/Nq )
définissent
une structure de module gradué sur l'anneau gradué
k
Tor (A,B) "
k
b) Le module
Tor (M,N)
choisie pour
M ou
ne dépend pas de la bonne filtration
•
N
,mais seulement de
du des idéaux maximaux de
A et de
M et de N (et bien enten-
B contenant
m
et
ll).
V-8 ~ X ~
c) La diagonale de
formant un sous-ensemble cofinal,
il suffit de prendre la limite projective sur cette diagonale: k
(6)
Tor. (M/M , N/N ) 1. P q De la
vant
p
m~me
manière on peut prendre la limite d'abord sui-
,ensuite suivant
Tor~(M,N) ~ ~
q
(im p
(=im q
Tor~(M:/M , N/N q ) 1. P
(lim q
(im p
k Tor. (IvI/M , N/N q ) 1. P
(Propriétés des systèmes projectifs sur des produits d'ensembles ordonnés. ) Ces assertions rendent possible l utilisation des méthodes du Chapitre II. d) Les applications canoniques de
M~ N dans
M/Mp ®k N/N q
induisent des applications
,.. et i l est clair que pour la topologie e) L'anneau ,..
M®k N s'identifie au complété de
(m. ®k B + A®k !0 -adique •
.'"
A ~k B est complet pour la topologie
,..
!. = !!!.~B + A ~!!.
"
et les
k
Tor. (M,N) 1.
la topologie !.-adique. Comme en outre A.
et que
M®k N
~-adique,
où
sont des modules complets pour
" (A~kB)/!. = (A/m) ~k (B/!0
A
(M ®kN)/r. (M®k N)
=
(M/mM) ®k (N/nN)
,le corollaire 3 /\
à la proposition 6 du chapitre II s'applique et
A~k B
est noethérien
V-9 f\
1\
M~ N
et
est un
(AQPk B)-module de type fini.
D'autre part la formule bien connue
2
... 1+x+x + •••
1
1-x montre que
r
est contenu dans le radical de
~
A ®k B
et les idéaux.
1\.
maximaux. de
A~k B
co~respondant à ceux. de
0 ~M' ~ (-- , M--~~1 M"
f) S1'
~ ---7 0
(A/m) I&k(B!n)
es t une SU1·t e exac t e d e
A-modules de type fini, les suites exactes ••• --)
Tor~(M!mPM,N/!!.qN)
Tor~_1 (Mt/Jl'
---}
n mPM,
--1 Tor~(M"!mPM" ,N!nqN)
N/nqN)
-4
--4
se remontent en une suite exacte ~ k ~ k ~ k ----1 Torn (M ,N) ----1 Torn (Mit ,N) ~ Tor n-1 (M' ,N) ~ •••
f:
On a en effet la propriété suivante: si et
\JJ
T
1
(P.) ~ (p'.') 1 1
(Pi) ~ (Pi)
sont deux. morphismes de systèmes projectifs
de k-modules sur un ensemble ordonné inductif, si les
P!
1
sont des
modules artiniens, et si les suites
'l'i ) P'.'1
P! 1
sont exactes, alors la suite
g) Supposons maintenant que et supposons que
{a1,···,ar~ tels que O· "
i
a + i 1
k
soit un anneau régulier de dimension
M , considéré comme k-module, admette une M-suite
i.e. qu'il existe
r
du radical de
éléments a.1
ne soit pas diviseur de zéro dans
~ r-1, a o = 0 •
Je dis qu'alors de le voir quand
...
k
Tor. (M,N) = 0 1
pour
i )
k
M/(a , ••• ,a i ) M 1
n-r
• Il suffit
N est un k-module de longueur finie, puisque
n
V-10 ...
k
.
...
k
Tori(M,N) = ~1m Tori(M,N/~
o~ ...
k
N)
• La suite exacte
a
M ~ M ---i M/a 1 M ---i 0
Tor i (M,N) = 0
o
si
>n
i
s'ensuit que
= 1
r
donne
,jointe au fait que la sui te exacte:
... k ~ Tor (M,N) n
Mais une puissance de
pour
n
...
Tor
k n
a
1
(M,N) ...
• Si
r
annule 0
N
...
Tor
donc aussi
k n
(M,N)
.Il
, ce qui démontre notre assertion
>1
exacte: a1
"
-~) Tor
k
n-
1 (M,N) , etc •••
Dans les exemples que nous utiliserons, l'algèbre toujours une A-suite formée de ...
que
k
Tor.(M',N)
=
1
le foncteur
0
si
...
k
Mt
n
éléments. Il en résultera
...
~M ~ N
0
• Dans ce cas
est le i-ème foncteur dérivé du
1
A
foncteur
i>
est A-libre et
M~Tor.(M,N)
A aura
• On en déduit que
k
Tor i (M,N)
est un
./\
A~k
B-module de type fini. Le monstre qui vient de nattre nous servira dans les deux
cas particuliers suivants: a)
k
est un corps,
A~B::::' k[[x i ,··.,xn]l ...
A
A ®kB
k
Tor.
Dans ce cas les
1
:
sont nuls pour
i>
0
• En outre,
est isomorphe à l'anneau des séries formelles
C ~ k [[x1'··· ,Xn ' Y1 ,···, Yn ]]
Si
E
est un idéal premier de
est un idéal premier de miers de
C
A
E ®k J3
C et toute chaine maximale d'idéaux pre-
A qui passe par
nes maximales de
A
, il est clair que
E
se prolonge facilement en des chai-
V-11 1\
dim M~ N = dim M + dim N
généralement:
Si maintenant idéal primaire de
B
est un idéal primaire de
~
"
1\
:1®kB+A®k~'
de
C
s
~'
un
G (M) ®k G ,(N)
, on graduera l'algèbre
par la graduation somme. On notera
A,
~
~
l'idéal primaire M~N
• Alors l'application de
dans
A.
M~k
N induit manifestement un homomorphisme d'anneaux gradués: Gq (M) ®k Gq ,(JI) ---~ Gs (M®kN )
-
-
-
Samuel a démontré que c'est un isomorphisme et il en résulte
,..
e (M~N, dim M + dim N) s Enfin si
que
...
= e (M, ~
dim M).e
~
,(N,
dim N)
...
et ••• ~L n
sont des résolutions
A
--J ... et
~L
0
---tN ~O
B-libres de
et
M
M~ N
est manifestement une résolution C-libre de En particulier si l'on identifie
p+q
,..
A au C-module
Cid
, où
d'où la formule de réduction à la diagonale: b)
k
est un anneau de valuation discrète, La lettre1t
de
k
et
k
A '::!. B !::! k
désignera un générateur de l'idéal maximal
désignera le corps résiduel
k/~k
Dans ces conditions
C = A~ B
k[[X 1 , •.• ,xn ;Y1' ••• 'Yn]]
A= A/n: A k [[x1 ' ... ,xJ] c
k[Lx 1 ,···,xn ; y1 , ••• ,Yn ] ] , (M ®k N) /1r . (M ®k N) = ~1/17; M®k =
1\
[Lx1 , ••• ,xJ]
A
A
N/1T: N
=n
V-12 I l en résulte que si 1t
n'est pas diviseur de
0
dans
M et
N
....
on a dim M ~k N = dim M + dim N - 1 Enfin, résolvant C-résolution projective de
M et
N comme dans
A = Cid
a), et prenant une
,on aboutit à une suite
spectrale:
La suite dégénère si
3.
tr
ne divise pas
dans
0
M
ou
N
Anneaux réguliers d'égale caractéristique. Le monstre étant avalé, nous allons essayer de le digérer.
Pour cela nous allons d'abord scruter le cas particulier cas le complexe de Koszul de
A = Cid
C
J
M et
• On en déduit que, si
A-modules de type fini, les
A l.
Tor. (M,N)
A
C
IV
N désignent toujours deux
s'identifient aux modules
C K ( (X
d'homologie du complexe de Koszul
Dans ce
est une résolution libre
K «X, - y ,), C) J
a).
j
- y
j)' M
,ou
A
Tor. (M,N) - H. (K «X. - Y.), M~k N)) l.
l.
J
J
Le théorème 1 du Chapitre IV s'applique à ce
comple~e
de
Koszul, et on trouve en particulier le résultat suivant:
Tor~(M,N) l.
est un A-module de longueur finie, les -
--
de longueur finie et la caractéristique d'Euler-PoincarÉ i=n , A (_1)l. l(Tor, (M,N)) est égale à la multiplicité ?-(IJI,N)= l. i=o
L
A
8
d (~I®k N, n)
"1(1\1 ,N) ~ 0
-du C-mod,üp
pour l'idéal
d
• Ainsi
, A l'~r-l = d'l.mA N d l.m
et
'JL(M,H) =
0
si et seulement si
dim
A
A M + dim N
sont
V-13 Ce résultat se généralise facilement qux anneaux réguliers de la géométrie algébrique. D'abord il est clair que tout anneau régulier
A est produit direct d'un nombre fini d'anneaux réguliers
intègres
(un anneau noethérien A tel que, pour tout idéal premier
Ap
p,
soit intègre, est produit direct d'un nombre fini d'anneaux in-
tègres). Si
A
est intègre, on dit que
E'
si, pour tout idéal premier
A/p
A est d'égale caractérisitique,
et
A ont même caractéristique.
Nous conviendrons qu'un anneau régulier
A sera dit d'égale caractéristique
si ses "composantes intègres ll sont d'égale caractéristique, ou encore
E ,l'anneau local A est d'égale caE
si, pour tout idéal premier ractéristique. Théorème 1:
ru
et
Si
A est un anneau régulier d'égale caractéristique,
N deux A-modules de type fini et
de
M
(1)
'X
eA N
(M,N) =
L
.
A
(-1)~ l(Tor. (M,N) ) ~
i=O .( ht
(3)
Enfin on a
"1.
~
un idéal premier minimal
,alors i=dim A
~
~
A
et
~
dim M + dim N ~
o
~
si et seulement si
~
(M,N) = 0 • En effet, on se ramène immédiatement au cas où par localisation en
l'anneau local
A
Tor. (M,N) ~
~
~
A
~
Tor~~ ~
,., A,., ... (M , N ) = Tor.~(M , N ) ~
~
~
~
~
A est de la
,et complétion de
V-14 On peut en outre compléter le théorème comme suit: Complément: si dans
A,
a + b
et
~
b
désignent les annulateurs de
m l idéal maximal A~,
dans
q. A
-
et si Y:1(~I,N)
A
A
'l!!!.
S
~
c
N
l'idéal engendré par
on a les inégalités:
't (M,N)
~
A
~
> 0,
e ~(M ,dim M ). e ~(N ,dim N ) m
A,
de
~
M et
~
<
A
e ~(M ,dim hl ) e ~(M ,dim N )
,
~
~
~
~
En effet, si
J(
déjà IP"U que
~
k
(M,N)
~
~
A ,on a
désigne un corps de Cohen de
~
est égal à la multiplicité A
A ®k A ~
A
engendré par les .'\
a
:!
~I k A
~
~
et où
d
est l'idéal de
C
A
a ®k 1 - 1 ®k a , a €A~ • Mais l'idéal
A
+ A
~
<& k
b
:!
=
f
et l'assertion résulte
annul e
des propriétés démontrées dans le paragraphe 2 et des inclusions: A
d + f
4.
::::>
A
c ®k A~ + A~ ~ ~
Conjectures. Il est naturel de conjecturer que le théorème 1 est vrai
pour tous les anneaux réguliers, pas seulement pour les anneaux réguliers d'égale caractéristique. On peut faire à ce sujet les remarques suivantes: a) Le théorème 1 est vrai sans hypothèse de régularité si les effet,
X.1.
M est
formant une A-suite. Alors en
M est de dimension homologique finie, les
TorA i
(M,N)
V-15
0«x. ) ,N)
sont les modules d'homologie du complexe
Xq (M:,N)
culier
-
b)
1.
A
= e x S:(N q , r), -g,
où
~
, et en parti-
est l'idéal engendré par les
-
Il suffit de faire la démonstration dans le cas où
A
x.1. •
est un
anneau local régulier complet. En effet on se ramène à ce cas par localisation et complétion. c)
Il suffit de démontrer le théorème 1 dans le cas où
M=
sont de la forme premiers de en
M et
A
AIE ,
N=
AIs: 'E
et
S:
M
et
N
désignent des idéaux
• On remarque en effet que fJ-M,N)
est "biaddi tif ll
N et le cas général se déduit du cas particulier en pre-
nant des suites de composition de de la forme
M et
N dont les quotients sont
AIE' AIs:
Dans le cas d'égale caractéristique on s'est d'abord servi de b), puis de a) par réduction à la diagonale. En fait ces remarques vont nous permettre de généraliser un peu le théorème 1.
5. Anneaux réguliers d'inégale caractéristique (cas non ramifié) • Théorème 2: "A
Le théorème 1 reste vrai si l'on remplace l'hypothèse
est un anneau régulier d'égale caractéristique" par l'hypothèse
plus générale: de
A
A
est un anneau régulier et pour tout idéal premier
, l'anneau local
A
E
E
est soit d'égale caractéristique, soit
d'inégale caractéristique et non ramifié. (En fait, il suffit que cette propriété p
so~t
est un idéal maximal. On démontre en effet que, si
vérifiée lorsque A est un an-
neau local régulier d'inégale caractéristique et non ramifié, tout anneau de fraction
est, soit du
m~me
type soit d'égale caracté-
v-16 ristique). On rappelle qu'un anneau local d'inégale caractéristique . 2 est dit non ramifié, si pê!!!.. , P ~!!!.. , où p désigne la caractéristique du corps résiduel et
m l'idéal maximal. Cohen a montré
(voir Samuel, Algèbre locale) qu'un anneau local complet négulier d'inégale caractéristique, non ramifié, est de la forme où
k([X1, ••• ,x~J
désigne un anneau de valuation discrète complet et non ramifié
k
(notations du paragraphe 2 b). Par localisation et complétion, on ramène donc la démonstration du théorème 2 à celle du Lemme:
Si
A
[[x 1 , ••• ,Xn]]
= k
discrète complet et si tels que
M
et
,où
k
est un anneau de valuation
N sont deux A-modules de type fini
soit de longueur finie, alors on a les inégalités:
X.(~I,N) =
n+1
L
.
(-1)~
A
..l(Tor. (M,N)) ) ~
i=o (2)
dim M + dim N
(3 )
En outre
~
ll(M,N)
a
et
dim A ::: n +1
f a
si et seulement si
dim M+dim N = dim A •
(Noter qu'il n'est pas nécessaire de supposer
k
non ramifiéo
Le lemme est donc, en un sens, plus général que le théorèmé 2.) D'après la remarque c) du nO 4 il suffit de faire la démonstration quand
M et
N sont "copremiers" (i.e. toute homothétie
est soit injective, soit nulle). On considère alors les différents cas que voici (
c()
1t désignant toujours un générateur de l'idéal maximal de k):
1r n'est diviseur de On sait qu'alors
a ni dans M,
ni dans
N:
V-17
et que
= En outre le complexe de Koszul libre du
l
B-module
A
KC((X.1. - Y.) , B) 1.
= cid.
est une résolution
La remarque a) du ~4 s'applique à
c(A,M~k N) ~)
Tt annule Alors
M
:M
et n'est pas diviseur de
= M/:JtM = M
et
M
0
dans
N
est un module sur
A = le
lx
1'···
,xJ
4, 2a et 3a)
On a donc une suite spectrale (Cartan-Eilenberg, XIV,
Tor!p(M, TorAq(A,N)) ===>3-Tor A p+q (M,N)
En fait la suite exacte : est de dimension homologique
=
montre que sur
A et que
ensemble des éléments de
N annulés par :Jt. •
La sui te spectrale se "réduit" donc à la sui te exacte :
...
~ To~1.- 1(M,-n-N)~Tor~(:M,N)~TO~(M,N/1'tN) ~ 1. 1. ~~
~ To1-_2(M,J'tN)~...
Mais nous supposons que
XN = 0
donc
= di~ + dirrÂr/n N
L
n
,
A
v-18 et l'inégalité stricte a lieu si et seulement si Comme
A A dim M = dim M,
et
~ A(M,Nj-n:: N)
a
A dim N/'fl: N = dimA NI ~ N = dimA N - 1,
la propriété est démontrée.
~)
"ft' annule
M et
N:
Considérant toujours
M comme A-module,
N comme A-module,
la suite spectrale reste valable et donne:
Mais dans ce cas suffi t donc de vérifier que
NI1r; N
=
~N
= N et
'X- A (M,N) = a
A dimA M + dimA N = dimA M + dim N
il
M ~A N = M«A N est un A-module de longueur finie, et
Mais comme
que le lemme est démontré pour
A
,on a
dir#. M + dli:r#. N " n
c.q.f.d.
6.
Anneaux réguliers quelconques. On ne sait pas encore étendre à ces anneaux les proprié-
tés (1) et (3) du théorème 1. Par contre, on peut démontrer l'inégalité (2)
(la "formule des dimensions" de la géométrie algébrique).
De façon précise: Théorème 3:
Soient
A un anneau régulier, E et
premiers de
A,
r
un idéal premier de
contiennent
E+
~
• On a alors:
En localisant par rapport à local
A
r
~
deux idéaux
A minimal parmi ceux qui
~,
et en complétant l'anneau
on voit qu'il suffit de considérer le cas où
anneau local régulier complet d'idéal maximal
r
A est un
• D'après un
+ 1
0
V-19 théorème de Cohen (voir Samuel, Algèbre locale),
A est de la
A /aA ,où A est un anneau de séries formelles sur un 1 1 1 anneau de valuation discrète complet k forme
Si l'on considère alors
t)
démontre comme dans le cas d'où
A/p
et
A/~
~A1(A/E' Aj~) = 0
du N° 5 que
dim A/~ + dim A/~
< dim
dim A/~ + dim A/~
'dim A = (dim A1 ) -1
A
comme A -modules, on 1
et
1
,c.q.f.d.
Signalons aussi le résultat suivant: Théorème 4: soient M~A
Soit
M et
A un anneau local régulier de dimension
N deux A-modules de type fini non nuls tels que
N soit de longueur finie, et soit
tel que
n
r0
Tor~1. (M,N) (~)
i
le plus grand entier
• On a alors:
i = dh(M) + dh (N) - n
Démonstration (d'après Grothendieok):
Soit
k
le corps résiduel de
On va déterminer de deux façons différentes le plus grand entier tel que le
"Tor triple"
a) La suite spectrale montre que
Donc
r
TorA i
=n
=
(M,N)
0 ~
soit';'
si
j
>i
+ n
TorA(Tor~ (M,N),k)';' 0 n 1.
et que ,
est un A-module non nul de longueur finie.
+ i
b) La suite spectrale montre que
r
A TorA (TorA (M,N),k) ===}Tor p +q (M,N,k) p q
Tor~(M,N,k) = 0
Tor~+ (M,N,k) 1. n puisque
TorA(M,N,k)
r
=
A A A Tor p (M,Tor q (N,k))~ Tor p +q (M,N,k)
dh(M) + dh(N)
(on applique encore une fois le
"principe du cycle maximum"). D'où
n+i = dh(M) + dh(N),
c.q.f.d.
r
A.
V-20 Corollaire: que
Les hypothèses étant celles du théorème
A
Tor i (M,N) = 0
pour
>0
i
, i l faut et il suffit que
soi.ent des modules de Cohen-Macaulay et que On peut écrire l'entier vante:
i
4, pour
dim M + dim N
=
M et
N
n
i du théorème 4 sous la forme sui-
(dh(M) + dim M - n) + (dh(N) + dim N - n)
=
+ (n - dim M - dim N) (dim M - codh M) + (dim N - codh N) + (n - dim M - dim N) Or, chacun des termes entre parenthèses est ). 0
(pour
les deux premiers, d'après le Chapitre IV; pour le troisième, d'après le théorème
3).
On a donc
i =0
,si et seulement si
chacun de ces termes est nul, d'où le résultat cherché. Remarque 1 on a
Lorsque les hypothèses du corollaire sont satisfaites,
'X-(M,N) =
.l(M ~A N)
; i l eBtprobable que la réciproque est
vraie. Plus généralement, on peut conjecturer que toutes les "caractéristiques d'Euler-Poincaré partielles"
~r(M,N) = sont
~
0
L
i ~ 0 et que
,
(_1)i
Xr
~(Tor~+ (M,N)), 1. r =
0
~
= 1 , ••• ,n
si et seulement si chacun des
A Toro+ (M,N) 1. r
est nul,cf. Chap. IV, App.II. C'est en tout cas vrai dans le cas d'égale caractéristique, d'après Auslander-Buchsbaum. Cela explique pourquoi la définition des multiplicités d'intersection de Grobner (au moyen de
1, (M ~A N))
ne donne un résultat "correct" que
lorsque les variétés sont localement de Cohen-Macaulay (voir les exemples construits par Grobner lui-m~me).
V-21 ;'
;'
;'
C) RACCORD AVEC LA GEOMETRIE ALGEBRIQUE
1.
Formule des Tor. Soit
X une variété algébrique, définie sur un corps
simplifier, nous supposerons que irréductible. Soient de que de
X,
k
• Pour
k
est algébriquement clos, et
X
U, V, W trois sous-variétés irréductibles
W étant une composante irréductible de
X (i.~. rencontre l'ouvert des points simples
W soit simple sur
m~me
X); il revient au
Un V • Supposons
de dire que l'anneau local
A de
X en
est régulier. On a alors (cf. § B, n03): dim U + dim V '"
( 1)
dim
X
+ dim W
Lorsqu'il y a égalité dans la formule ci-dessus, on dit que l 'intersection est propre en ment en
W (ou encore que
U
et
V se coupent propre-
W).
Soient
et
Ev
les idéaux premiers de l'anneau local
correspondent aux sous-variétés régulier, et
A/(Eu+EV)
U et
V
• Par hypothèse,
A
qui
A est
est de longueur finie.
La caractéristique d'Euler-Poincaré dim X
Li=O est définie; c'est un entier ~ Théorème 1:
(~
~ ~A(A/P1.J' (b)
Si
U
Si A/EV)
et
U
et
0 (cf. § B).
V ne se coupent pas proprement en
= 0
V se coupent proprement en
coIncide avec la multiplicité d'intersection et
V en
W,
W, j(A (A/Eu , A/EV) i(X, U.V, W)
W ,au sens de Weil, Chevalley, Samuel.
de
U
W
V-22 L'assertion (b)
(a)
résulte du théorème 1 du
§ B. Nous démontrerons
au n04, après avoir établi que la fonction
A
,:, (A/~ ,A/P'V)
2.
vérifie les propriétés formelles d'une "intersection".
Cycles sur une variété affine non singulière. Soit
X une variété affine non singulière, de dimension
d'anneau de coordonnées de dimension
, le cycle
a
~
A. Si
cycle positif de dimension Proposition 11 ~
Soient
a
...N
€
Za (M)
,et si
est défini (cf. § A); c'est un
a , nul si et seulement si
a,b,c
~
...N
dim.M (
Alors les cycles
,
a
Z (M) a
tels que
et le clcle intersection de la fonction
l
du
,
dim.N ~ b et
a+b ... n+c
dim.M ®AN
coincide avec le cycle
W une sous-variété irréductible de dimension
c
W dans le cycle
~
(_1)i
dim.N
ficient de
A
l'anneau local
A
r
7}(Mr , Nr ) en
M et
nO). Il en est de
Za(M).Zb(N)
B
X, cor-
est égal à:
"biadditif"
»,
soit
de
W). Par définition, le coefficient
c
cf. §
W dans
de
Z (TorA(M,N»
..(B(Tor~(M,N)r)
m~me,
N, et nul si
dim.M
• On est donc ramené au cas où
idéaux
p. et
:!
dant à des sous-variétés
U et
V de
X de dimensions respectives
et
A/:!
trivialement, du coef-
, les
M ... A/p'
, N ...
r
X en
Ce coefficient est donc
M, N
c •
•
(i.e. l'anneau local de
ou
• Soient
N»
respondant à l'idéal premier
(défini par linéarité à partir
(-1) i Zc ( Tor.A (M, 1. Soit
,
dim.M
sont définis, se coupent proprement,
Zb(N)
Za(M).Zb(N)
n01)
n, et
M est un A-module
A-modules tels que: (2)
de
w) ...
I(X, U.V,
b • Dans ce cas, le coefficient de
étant premiers et correspon-
W dans
Zc (TorA(M, N) )
est
a
V-23
I(X, U.V, w)
,cqfd.
Remarques. 1) La proposition 1 fournit un procédé très commode pour calculer l'intersection (au sens de la fonction que c'est aussi le sens habituel) de dimensions
M et
les
voulue
a
et
b
mais on verra plus loin
l
de deux cycles positifs
N de cycles
z
et
Supp(z') ), et le cycle
"cycle de
Tor(M,
N)"
et
z'
,se coupant proprement, on choisit des moduz'
tels que
(ce sera automatiquement le cas si
Supp(N)
z
z.z'
dim.M
eN
ait la dimension
Supp(M) - Supp(z)
et
cherché est simplement le
,i.e. la somme alternée des cycles des
Tor. (M,N) 1.
2) Dans le cas des variétés algébriques non nécessairement affines, les faisceaux cohérents remplacent les modules. Si ceau, avec
dim.Supp(!).(
a
M est un tel fais-
(ce que l'on écrit aussi
bien entendu), on définit de façon évidente le cycle position 1 reste valable, les modules les faisceaux
0 -A = ~
structural
3.
~ (M,
de
ID
les
Tor
A
Tori(M,N)
dim.M, a
za (!) • La pro-
étant remplacés par
étant pris sur le faisceau
x
Premières formules. Nous allons voir que le produit des cycles, défini au moyen de la
fonction
l
du n01 (i.e. en prenant la "formule des Tor" pour défini-
tion) vérifie les propriétés fondamentales des intersections; ces propriétés étant toutes de nature locale, nous supposerons que les variétés considérées sont affines et non singulières. Cela nous permettra d'appliquer la proposition 1 du nO précédent. a) Commutativité. Evidente à cause de la commutativité de chaque
Tor.
1.
V-24 b) Associativité.
Z,Z',Z"
On considère trois cycles a,a',a"
de dimensions respectives
z.z' , (zoz').z"
• On suppose que les produits
z (z' .Z")
(z.z').z"
~
z.(Z'oZ"). z,z'
Par linéarité, on peut supposer que
z"
et
l'anneau de coordonnées de la variété ambiante sa dimension. Choisissons un A-module et tel que
Z
a
et
z'
e-t
sont définis, et il s'agit de prouver que
0
pour
z' .z"
(M)
M'
; soient
= z
'Q a • Soit A
sont
X donnée, et soit
n
M de support égal à celui de
et
z,
des modules correspondants
M"
Z"
La formule cherchée va provenir de
"l'associativité" des Tor. D'après
Cartan-Eilenberg, cette associativité s'exprime par l'existence de Tor triples
Tor.A(M, l.
M', M")
et de deux suites spectrales:
(4)
TorA(M, TorA(M', Mil)) p q
~
Tor
(5)
A TorA( p Tor q (M,
=4
Tor
Posons
M'),
c:: a + a' + a" - 2n
Mil) ,et
b
= a'
A
(M,
A
(M,
+ a" - n
M'
, MI')
M'
, Mil)
•
• Puisque les inter-
sections considérées sont propres, on a dim.M'
e Mil
"
et
b
dim.M Gb M'
e Mil
"
c.
On peut donc définir les cycles:
L'invariance des caractéristiques d'Euler-Poincaré dans les suites spectrales, appliquée à
Li
(4),
donne: x
pq
V-25 et
Mais la proposition 1 montre que
L
(-1)qy
q
q
=
z'.z"
On a doncl
Li (5)
Utilisant
, on voit de
m~me que
L • 1.
(_1)ix. - (z.z').z"
,d'où
1.
la formule d'associativité cherchée. c) Formule du produit. On se donne deux variétés non singulières z1,z2 et
(resp. z1' z2)
z1.z2
portés par
X et
X'
X (resp. X'). On suppose que
sont définis. Alors les cycles produits
(portés par
X X X')
,et des cycles
z1 X z1
et
z1. z 2 z2)( z2
se coupent proprement, et l'on al
( 6) On peut supposer qu'il s'agit de cycles positifs, et que sont affines, d'anneaux de coordonnées sont des modules correspondants à de suite que le cycle associé à
M ®k M 1 1
M1' M2' M1' M2
A' • Si
z1' z2' z1' z2
X'
,on vérifie tout
(considéré comme module sur
= A ® k A' de X XX') est égal à z1 X z1 [on pourrait prendre ce fait comme définition du produit direct des cycles]
l'anneau m~me
A et
X et
B
La formule à démontrer résulte alors de la
"formule de Kllnneth"
1
•
d) Réduction à la diagonale. Soit ~
la diagonale de
valable quand les cycles Soit de
z1
X X X • Il s'agit d'établir la formule
et
z2
A l'anneau de coordonnées de
X)( X • Si
M 1
et
M
2
se coupent proprement.
X
et soit
B
= A~k
sont des modules correspondant à
A celui z1
et
V-26 respectivement, on a A(
B
Tor i M1' M2 ) • Tor i (M 1 ~kM2 ' A) cf. § B, n 0 1. La formule à démontrer en résulte en prenant la somme alternée des cycles des deux membres.
4. Démonstration du théorème 1. Il s'agit de prouver que les fonctions Commençons par traiter le cas où en
, avec
Eu
= dim.X
h
i
coïncident.
U est une intersection complète
W ; cela signifie que l'idéal
ments
et
l
du n 0 1 est engendré par
- dim.U = dim.V - dim.W
h
élé-
• D'après
le théorème 1 du Chap.IV, on a alorsl
où
x
désigne l'idéal de
A/EV
engendré par les images des
x.l.
Mais, d'après Samuel (Méthodes d'algèbre abstraite en géométrie algébrique, p.83), la multiplicité
ex (A/EV)
ce qui démontre bien l'égalité
l = i
i(X, U.V, W)
est égale à
dans le cas considéré.
Le cas général se ramène au cas précédent, en utilisant la réduction à la diagonale, qui est valable à la fois pour
que
l
et
pour
i • Du fait
~ est non singulière, c'est une intersection complète en tout
point, et l'on est bien dans les hypothèses du cas précédent, cqfd.
5. Rationalité des intersections. Bornons-nous pour simplifier au cas où neaux de coordonnées
A sur
0
Soit dim.M
o
M
0
~
un
A
0
• Soit
k
X est définie
dit (en style "Weil") que une sous-k -algèbre
k
X est une variété affine d'an-
de
A telle que
o
un sous-corps de sur
k
0
k
4
On
si l'on s'est donnée
A = Ao~k k 0
A -module (de type fini, comme toujours), avec 0
a • On peut considérer
Mo ~ k o
comme un
A-module, et l'on a
V-21 ~
k)
Un cycle
z
dim(M
o
,
Z (M
a , ce qui permet de définir le cycle
de dimension
a
sur
est différence de deux cycles
a
œk)
0
X est dit rationnel sur
Za (M0 ~ k)
et
Z (M' a 0
e k)
k
s'il
o
obtenus par
le procédé précédent. Le groupe abélien des cycles rationnels sur admet pour base l'ensemble des
Za (A 0/p ~ k) -0
"cycles premiers"
fo parcourt l'ensemble des idéaux premiers de
A
k
tels que
o
o
, où
dim(A o/p-0 )==a.
Cette définition de la rationalité des cycles est équivalente à celle donnée par Weil dans les Foundations; cela se voit en interprétant "l'ordre d'inséparab1.1ité" qui intervient chez Weil en termes de produits tensoriels de corps (cf. Samuel-Zariski, Chap.II,p.118, th.38). Théorème 2 (Weil)1 deux cycles de ni. Alors
Supposons
, rationnels sur
X
z.z'
est rationnel sur
On peut supposer A -modules
M
et
A
e
z
et
z'
k
k
et tels que
o
z
z.z'
et
z'
soit défi-
o
positifs, donc correspondant à des
• Le théorème résulte alors de la formulel
M'
0 0 0
Tor. (M 1. 0
X non singulière, et soient
k, M'o ~ k)
A
=
Tor. 0 (M , M') ~ 100
k.
6. Images directes. Soi t
f 1 X ~ Y un morphisme de variétés algébriques (sur un corps
algébriquement clos dimension
a
de
k, pour fixer les idées), et soit
X • On définit l'image directe
linéarité, à partir du cas où
f
:If
(z)
z
un cycle de de
z
par
z = W ,sous-variété irréductible de
Dans ce cas, on pose: f
JE
(W)
f.(W)
a si l'adhérence
= d. W'
,si
dim. W'
"degré" de l'application
W' =
a
de
f(W)
et si
<
est de dimension
d - [k(W) :k(W')]
a
est le
f 1 W----i W' •
Cette opération est toujours définie, et conserve la dimension; elle commute aux produits. Elle
est surtout intéressante lorsque
f
est
X.
v-28 propre
(ne pas confondre la propreté d'un morphisme avec celle dtune
intersection!), en vertu du résultat suivant: Proposition 2: de dimension Za(~
que
Soit
f : X --i y
de
X ,et soit
a
=z
Rqf(~
• Soit
un faisceau cohérent sur
(a)
On a
(b)
On a
f~(z)
""
un morphisme propre, soit
z
un cycle
M un faisceau cohérent sur
la q-ème image directe de
X tel
M ,qui est
(1héorème de Grothendieck).
Y
Za(ROf(~)
...
~
(-1)q Za(Rqf(!))
q
La démonstration se fait en se ramenant au cas où la restriction de au support de nuls pour
est un morphisme ~, auquel cas les
z
q
~
Rqf(~
f
sont
1
1. Images réciIroques. On peut les définir
diverses situations; je me contenterai
da~s
d'indiquer la suivante: f : X ~ Y un morphisme, avec
Soi t x et
et
y
des cycles de
= Supp(y)
fyl
dim.lx\
X et
Y non singulière, et soient
Y respectivement. Posons
Ixl=
Supp(x)
• On a alors:
n f-1 (/yf)
)/
dimlxl -
codim.lyl
Le cas "propre" est celui ou il y a égalité. Dans ce cas, on peut définir un cycle intersection
x.
f
de support contenu dans
y
Ixf(l f-1('yf)
par l'un des procédés suivants: a) Réduction à une intersection usuelle: on suppose
X affine (le
problème étant local), ce qui permet de la plonger dans une variété non singulière
V
z-7 (z, fez))
plonge
cycle
x
de
,par exemple un espace affine. L'application X dans
X à un cycle
VXY
1(x)
de
,donc permet d'identifier tout V XY
• On définit alors
x. f y
V-29 comme l'unique cycle de
X tel que:
(8)
r(x). (v xy)
le produit d'intersection du membre de droite étant calculé dans la variété non singulière
V"i.Y
indépendant du plongement
• On démontre que le résultat obtenu est
X~ V
M et
b) On choisit des faisceaux cohérents
x
cycles respectifs
et
y
et l'on définit
alternée des cycles des faisceaux pris ~ O~
Tor.
sont nuls pour
~
Cas particulier:
on prend
x.fY
~(M, f~
(et étant des faisceau sur
singulière, les
N sur
i
y
, les
> dim.Y x.rY
Y de
comme la somme Tor.
~
X) ; du fait que
x = X • Le cycle
et s'appelle l'image réciproque de
X et
étant Y est non
et la somme est finie. se note alors
~(y)
• Rappelons sous quelles condi-
tions il est définis
il
Y est non singulière cOdim.ly\
Aucune hypothèse sur
X n'est nécessaire.
Remarques. 1)
X
Quand
est non singulière, on a =
pourvu que les deux membres soient définis.
2)
Le cas particulier où
Y est une droite est le point de départ
de la théorie de l'équivalence linéaire des cycles. Formule de projection. C'est la formules
( 10) valable lorsque
f
f
jE
(x).y
est propre et que les deux membres sont définis.
La démonstration peut se faire en introduisant des faisceaux
et
N de cycles
x
et
y
M
,et en utilisant deux suites spectrales
V ...30
de
m~me
Tor
O~
étant pris sur
respectivement:
2
Tor i (Rjf(!), !)
et les
E
aboutissement et de termes
(cf. Grothendieck, EGA, Chap.III,
prop.6.9.8). Lorsque
X est non singulière, cette formule prend la forme plus
usuelle:
=
f (x.f~(Y))
(11 )
~
f (x).y
•
~
Exercices. g
1/ Soit On suppose
z
f
--t y
X et
--t X
,et soient
x,y,z
des cycles de
X, Y,Z
Y non singulières. Démontrer la formule suivante
(valable lorsque tous les produits qui y figurent sont définis): =
Retrouver (pour
=
f - g
=
1)
l'associativité et la commutativité du
produit d'intersection. Pour
en tirer la formule:
f = 1
X=Y,
(13 ) d'où
g~(x.y)
=
g~(x).g~(y)
lorsque
2/ M~mes hypothèses que dans singulière, mais que à
Supp(z)
g
Z est non singulière.
1/, à cela près que
est propre
Y peut ~tre
(il suffirait que sa restriction
le soit). Démontrer la formule:
( 14) valable lorsque les deux membres sont définis. (Pour
f
=1
,on
retrouve (10).)
3/
Donner les conditions de validité de la formule:
4/
Soient
soit
f : Y --.,. X, fi : y
g = (f,f') : Y~X)(XI
~
XI
,avec
X,X'
non singulières;
• Soient
x,x',y
des cycles de
V-31 X,X',Y
• Donner les conditions de validité de la formulel
=
( 16)
5/ Soient
f : Y ---t X et
Soient y,z
des cycles de
g
Y,Z
Z~ X
1
"produit fibré"
produi t fibré
Y et
duit lorsque
g
=
1
de
? Et lorsque
X non singulière.
• Définir (sous les conditions de
propreté habituelles) un Y X XZ
,avec
Z
Y.Xz
,qui est un cycle
au-dessus de
X
du
• Que donne ce pro-
?
X est réduit à un point
8. Extensions de la théorie des intersections. Il est clair que la "formule des Tor" permet de définir l'intersection de deux cycles dans des cas plus généraux que celui de la géométrie algébrique classique. Par exemplel i) Elle s'applique aux espaces analytiques (ou formels) • Il n'y a aucune difficulté, puisque tous les anneaux locaux qui interviennent sont d'égale caractéristique. Dans le cas des espaces analytiques complexes, le produit d'intersection ainsi obtenu co!ncide avec celui défini par voie topologique par Borel-Raefliger; cela se démontre par réduction au cas "élémentaire" 4.10 de leur mémoire. ii) Elle s'applique à tout schéma (au sens de Grothendieck) régulier X pourvu que les conjectures du § B aient été vérifiées pour les anneaux locaux de ce schéma; c'est notamment le cas lorsque ces anneaux locaux sont d'égale caractéristique. de type fini sur un corps
k
L lO1~me
lorsque
X est un schéma
,cela donne une théorie des intersections
un peu plus générale que la théorie usuelle; en effet, si parfait, il se peut que
X soit régulier sans ~tre simple
dans la terminologie de Grothendieck) ne s'applique qu'au cas
lisse.~
sur
k
k
n'est pas (i.e. lisse,
; or la théorie de Weil
V-32
iii) Plus généralement, la théorie des intersections s'applique à tout schéma
X qui est lisse sur un anneau de valuation discrète
On peut en effet montrer que les anneaux locaux de
C.
X vérifient les
§ B ~la démonstration se fait par un procédé de
conjectures du
réduction à la diagonale analogue - en plus simple - à celui utilisé au
§ B, n°5] • Ce cas est important, car il est à la bastde la
réduction des cycles de Shimura. Indiquons rapidement commente Soit
(resp. K)
k
le corps résiduel de
fractions). Le schéma ~
- XœCk
est de type fini sur
k
résiduel) ; de m~me,
~
cycle
~
tout cycle
X z
dimension
~
de
le schéma
K • On dit parfois,
est de type fini sur ~
z
est la réduction de
de dimension a+1
de
X
a
de
~
La projection Zn(X)
dimension
définit par adhérence un
~
Z (X)
• Le groupe
des cycles de
n
=
---+
Zn_1(~)
est donnée par la restriction
des cycles. Du point de vue des faisceaux, les cycles de respondent aux faisceaux cohérents l'uniformisante
11
de
qui sont plats
sur
C
C
M sur
; ceux de
Z(lk)
cor-
X qui sont annulés par
Z(~)
correspondent aux
M
(i.e. sans torsion); cette décomposition en
deux types intervenait déjà au
§ B, n05. , et soit
~
m~me
X se trouve ainsi décomposé en somme directee
zn (X)
considérer
Xk
sur le corps
définit, par injection, un cycle de
de dimension n
= X eC K ;
(c'est une "variété algébrique"
assez fâchausement, que
de
(resp. son corps des
X est somme disjointe du sous-schéma fermé
et du sous-schéma ouvert
Tout cycle de
C
-z
comme un cycle de codimension
son adhérence. On peut 1
de
vérifie tout de suite que le produit d'intersection
X
,et on
Y-33 (calculé sur est toujours défini; on a du cycle
z
~ e Zn(~)
X)
,on dit que c'est la réduction
• Cette opération peut d'ailleurs se définir sans parler
d'intersections (et sans hypothèse de lissité ni m~me de régularité): du point de vue des faisceaux, elle revient à associer à tout faisceau cohérent
M plat sur
C le faisceau
Mf~M
• L'hypothèse de lissité
intervient seulement pour démontrer les propriétés formelles de l'opération de réduction: compatibilité avec les produits, les images directes, les produits d'intersection; les démonstrations se font, comme dans les nOs précédents, à coup d'identités entre faisceaux, ou, au pire, de suites spectrales. La théorie des intersections sur
X donne d'ailleurs davantage que
la simple réduction des cycles. Ainsi, si de
~
la composante de
sant du couple section de
x
x, x' et
x'
x.x'
dans
Z(~)
x
et
x'
sont des cycles
donne un invariant intéres-
(bien entendu, il n'est défini que si l'interest propre); cet invariant est certainement
lié aux "symboles locaux" introduits récemment par Néron.
B - 1
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