マルチボディダイナミクスの基礎―3次元運動方程式の立て方

マル チボディ ダイナ ミクス の

基 礎 方程式の立て方 ３次元運動

Fundamentals

of

Multibody

Dvnannics 田島 洋

東京電機大学出版局

MATLABは

米 国The

MathWorks,Inc.の

は 登 録 商 標 で す 。 本 文 中 で は,TMお

米 国 な らび に その 他 の 国 にお け る商 標 また

よ び 〓 マ ー ク は 明 記 して い ま せ ん 。

本 書 の 全 部 ま た は一部 を無 断 で複 写 複 製(コ ピー)す るこ とは,著 作権 法 上で の例 外 を除 き,禁 じ られ て い ます 。小 局 は,著 者 か ら複 写 に係 る 権 利 の 管 理 につ き委託 を受 けて い ます の で,本 書 か らの複 写 を希 望 され る場 合 は,必 ず 小 局(03-5280-3422)宛 ご連絡 くだ さい。

まえが き   マ ル チ ボ デ ィダ イ ナ ミク ス は,力 学 の 一 分 野 と して 認 め られ る まで に成 長 して き た。 ボ デ ィ とは 剛体 や 弾 性 体 な ど質量 の あ る要 素 で,車 両 や ロ ボ ッ トな ど多 く の 機 械 は,そ

の よ うな 要 素 が 複 数 集 ま り,ピ ン ジ ョイ ン トや バ ネ な どの 結 合 要 素

に よ っ て 結 ば れ た マ ル チ ボ デ ィ シス テ ム で あ る 。 マ ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミ ク ス の研 究 は1960年

代 の 後 半 か ら発 達 し始 め た とい わ れ て い る が,研 究 活 動 は今 日 ま す

ます 盛 ん で,実 用 化 も急 速 に進 ん で い る。   これ ま で の研 究 活 動 が 生 み 出 した 大 き な成 果 の 一 つ は,汎 用 性 の高 い マ ルチ ボ デ ィ ダ イ ナ ミ クス の 計 算 ソ フ トで,有 限 要 素 法 の 計 算 ソ フ トに 次 い で機 械 のR& Dに 用 い られ る よ う に な っ て き た 。 た だ し,市 販 の 汎 用 ソ フ トを 買 っ て きて 単 純 に 使 うだ け で,機 械 のR&Dが

う ま くゆ くわ け で は な い。 信 号 伝 達 の 仕 組 み

を知 ら な くて も使 え る 電 話 とは 違 っ て,基 礎 に な っ て い る力 学 を 理 解 した 上 で 目 的 に応 じた 技 術 の使 い 分 け が重 要 で あ る 。   一 方,マ

ルチ ボ デ ィ ダ イ ナ ミ クス の発 展 と と もに進 歩 し,認 識 が 高 ま っ て きた

力 学 の技 術 は,マ ル チ ボ デ ィダ イナ ミク ス を意 識 しな くて も基 本 的 で あ る。 マ ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミク ス の 基 礎 は 機 械 力 学 の 基 礎 と重 な っ て い る 。 本 書 の 目的 は, 機 械 力 学 の 最 も基 本 的 とい え る 部 分 を分 か りや す く解 説 す る こ と で あ る。   本 書 に は二 つ の キ ャ ッチ フ レー ズ が あ る。 まず,第 一 は 「は じめ か ら ３次 元 」 で あ る 。 高 度 に技 術 が 発 達 した 今 日,ロ ボ ッ トや 車 両 の ３次 元 運 動 を 表現 し,解 析 で き る こ とは 当然 の こ と と考 え た い 。 コマ の興 味 深 い 現 象 は ２次 元 で は 考 え ら れ な い し,二 輪 車 の 安 定 性 の 問 題 も ２次 元 で は 調 べ る こ とが で き な い。 ２次 元 は ３次 元 の 基 礎 と思 い が ち だ が,３ 次 元 は ２次 元 の 単 純 な延 長 で は な い 。 そ して , まず ２次 元 か ら と考 え て い て は,３ 次 元 を 学 ぶ タ イ ミ ン グ を逃 して し ま う。 逆 に,３ 次 元 が 理 解 で き れ ば,２ 次 元 は 簡 単 で あ り,２ 次 元 だ け の た め に 時 間 を 掛 け る の は もっ た い な い。   第 二 の キ ャ ッチ フ レー ズ は 「さ ま ざ ま な 運 動 方 程 式 の立 て 方 」 で あ る。 運 動 方 程 式 に は様 々 な 立 て 方 と様 々 な形 が あ る。 そ れ ら を学 ぶ こ とは,力 学 の 理 解 を 深

め る こ と に 繋 が り,幅 広 い応 用 力 を習 得 す る こ と に な る。 伝 統 的 な解 析 力 学 は抽 象 的 で 難 解 な 印象 が 強 い が,本 書 の 説 明 は具 体 的 で あ り,十 分 整 理 され て い る。 また,マ

ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミ クス の 発 達 と と も に重 要 視 さ れ る よ う にな っ て きた

ニ ュ ー フ ェー ス 的 な力 学 原 理 も解 説 し,運 動 方 程 式 に関 わ る 高 度 な技 術 の 説 明 も あ る 。 本 書 の 主 要 な 目的 は 運 動 方 程 式 の立 て 方 で あ る。   マ ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミク ス の 発 達 が もた ら した技 術 に は力 学 の 側 面 と数 値 計 算 技 術 の 側 面 が あ る と考 え られ る が,本

書 は 力 学 の 側 面 を 主 対 象 と した もの で あ

る 。 しか し,運 動 方 程 式 が 立 て られ る よ う に な れ ば,そ

れ を 用 い て 計 算 機 シ ミュ

レー シ ョ ンを 試 した くな る。 そ こ で 本 書 で は,MATLABを

用 いた順動力学 の数

値 シ ミ ュ レー シ ョ ンプ ロ グ ラ ム の事 例 を準 備 した。MATLABは,少

な い プ ログ

ラ ミ ン グ負 荷 で 本 書 の技 術 を試 す こ との で きる便 利 な環 境 を提 供 し てい る。 常微 分 方 程 式 求 解 用 の 組 み 込 み 関 数 を利 用 し,運 動 方 程 式 の情 報 な ど を プ ロ グ ラ ミ ン グす れ ば,容

易 に シ ミュ レー シ ョ ンを 実 行 で き る。 本 書 で 取 り上 げ た事 例 は,順

動 力 学 シ ミュ レー シ ョンの 入 門用 か ら最 近 の 高 度 な技 術 まで 幅 広 い 内容 を含 んで い て,幅 広 い 読 者 に役 立 つ よ う に 配慮 して あ る 。 初 学 者 も 自作 の課 題 を シ ミ ュ レ ー シ ョン で き る よ うに な るの で,本 書 を学 ぶ 楽 しみ は 大 きい はず で あ る 。   筆 者 は,機 械 メ ー カー の 研 究 部 門 で,マ

ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミク ス の 汎 用 プ ロ グ

ラ ム を 開 発 し,社 内 に 普 及 させ た 経 験 が あ る。 ま た,大 学 で 本 書 の 内 容 を 講 義 し,豊 富 な 内 容 の た め 厳 しい授 業 なが ら,分 か りや す さ を追 及 して教 育 効 果 を挙 げ て い る 。研 究 活 動 にお い て も,実 際 問題 に必 要 な 新 しい 技 術 の 開 発 を進 め て い る 。 本 書 は,そ   一 方,本

れ らの 活 動 か ら得 られ た様 々 な技 術 と経 験 を も とに して い る。

書 は 時 代 に即 した 新 しい 力 学 教 育 へ の 改 革 を 目指 した 試 み で もあ る。

マ ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミク ス は特 殊 な専 門分 野 で は な く,機 械 力 学 の 現 代 版 で あ る と と もに,基 礎 的 な学 術 で あ る。 本 書 の 内 容 は,半 年 ２単 位 の 講 義 に は多 す ぎる し,難 易 度 も低 くは な い か も しれ な い。 しか し,筆 者 は,内 容 の 取 捨 選 択 と講 義 の 進 め 方 を 工 夫 しな が ら,本 書 の よ うな 内容 を学 部 の2,3年 が,他

生 か ら教 え る こ と

の 科 目の 学 習 に も よい 影 響 を与 え る と感 じて い る。 内 容 的 に重 複 の あ る他

の 科 目 と の調 整 を行 い,全 体 で 一 年 間,あ

る い は,そ

れ 以 上 の 期 間 に わ た る講 義

体 系 を考 え る こ と も意 義 が 大 きい と思 わ れ る。 2006年

９月   田 島

洋

次

目 ま え が き ⅲ 本 書 の 構 成 と学 び 方 ⅹⅲ 記 号 な ど の ル ー ル ⅹⅹ 独 自色 の 強 い 事 項 に つ い て ⅹⅹⅶ

序 章   マ ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミ ク ス と は 

１

第Ⅰ 部   数 学 の 準 備 

１章

９

行 列 の 復 習 

  1.1  行,列,行

11

列 の サ イ ズ(大

  1.2  ゼ ロ行 列,正

方 行 列,長

方 行 列,対

ス カ ラ ー 行 列,上(下)三   1.3  ブ ロ ッ ク 行 列,対

き さ),列

行 列,行

行 列 

角 行 列,単

11

位 行 列,

角 行 列 

角 ブ ロ ッ ク,ブ

12

ロ ッ ク対 角 行 列,ブ

ロ ッ ク上(下)

三 角 行 列 

14

  1.4  行 列 の 等 値 性,行

列 の 和 と積,ブ

ロ ッ ク行 列 の 和 と積,

行 列 の ス カ ラ ー積    1.5  行 列 式,小

行 列 式,逆

  1.6  転 置 行 列,対   1.7  固 有 値,固

15 行 列 

称 行 列,交

有 列 行 列,対

代 行 列(歪

18 対 称 行 列) 

角 変 換 

20 21

  1.8  行 列 の トレ ー ス 

23

２ 章   列 行 列 を 変 数 と す る 関 数 の 微 分 

25

  2.1  行 列 が ス カ ラ ー ｔ(時 間)の

26

関 数 に な っ て い る場 合 

  2.2  ス カ ラ ー ｓが 列 行 列 ｖの 関 数 に な っ て い る場 合 

27

  2.3  列 行 列 ｆが 列 行 列 ｖの 関 数 に な っ て い る 場 合 

28

  2.4  ２階 時 間微 分 

30

  2.5  積 分 可 能 条 件 

32

  2.6  ヤ コ ビ行 列 の 時 間 微 分 

34

  2.7  ニ ュ ー ト ン ・ラ フ ソ ン法 

35

３ 章   ３次 元 空 間 の 幾 何 ベ ク トル 

38

  3.1  幾 何 ベ ク トル の 概 念 

38

  3.2  ３次 元 幾 何 ベ ク トル の基 本 的性 質 

39

  3.3  右 手 直 交 座 標 系 

40

第 Ⅱ部 運動力学に関わる物理量の表現方法 と運動学 の基本的関係

  43

４章   自 由 な 質 点 の 運 動 方 程 式 と そ の 表 現 方 法 

45

  4.1  ニ ュー トンの運動 方程 式 

45

  4.2  位 置 を表 す 変数(幾 何 ベ ク トル表現 と代 数ベ ク トル表現) 

46

  4.3  運動 学 的物 理量 の オブザ ーバ ー 

48

  4.4  速度,作 用 力,慣 性力 

49

  4.5  順動 力学解 析 の事 例:質 点 の放物 運動 

51

５章  自 由 な 剛 体 の 運 動 方 程 式 と そ の 表 現 方 法 

59

  5.1剛

59

体 の運 動 方程 式 

  5.2  オ イ ラーの 運動 方程式 

60

  5.3  剛体 の 運動 方程 式 に関連す るその他 の事 項 

64

６章   外 積 オ ペ レ ー 夕 ー,座

66

標 変 換 行 列 

  6.1  外積 オ ペ レー ター 

66

  6.2  座標 変換 行 列 

68

７章   ３次 元 剛 体 の 〓 転 姿 勢 と そ の 表 現 方 法 

70

  7.1  Simple Rotation(単 純 回転) 

71

  7.2  回転 行列 

72

  7.3  オ イ ラー角 

73

  7.4  オイ ラーパ ラメー タ 

76

８章   位 置,角

速 度,回

  8.1  位 置の 三者 の 関係 

転 姿 勢,速

度 の 三 者 の 関 係 

79 79

  8.2  角 速 度 の 三 者 の 関 係 

80

  8.3  回転 姿 勢 の 三 者 の 関 係 

81

  8.4  速 度 の 三 者 の 関 係 

82

９章 

84

３次 元 回 転 姿 勢 の 時 間 微 分 と 角 速 度 の 関 係 

  9.1  回 転 行 列 の 時 間 微 分 と角 速 度 の 関 係 

85

  9.2  オ イ ラ ー 角 の 時 間微 分 と角 速 度 の 関 係 

85

  9.3  オ イ ラ ー パ ラ メ ー タの 時 間 微 分 と角 速 度 の 関 係 

87

  9.4  順 動 力 学 解 析 の 事 例:近 拘 束 さ れ た コ マ(オ

似 ボ ー ル ジ ョイ ン トで 支 点 を近 似 的 に

イ ラ ー 角 の 利 用) 

  9.5  順 動 力 学 解 析 の 事 例:近 拘 束 さ れ た コマ(オ

似 ボ ー ル ジ ョイ ン トで 支 点 を 近 似 的 に

イ ラ ー パ ラ メ ー タ の 利 用) 

  9.6  順 動 力 学 解 析 の事 例:近 拘 束 さ れ た コマ(オ

10章

88

94

似 ボ ー ル ジ ョイ ン トで 支 点 を 近 似 的 に

イ ラ ー パ ラ メ ー タ の 拘 束 安 定 化 法) 

  ２次 元 の 代 数 ベ ク トル 表 現 

97

100

  10.1  ２次 元 問 題 の ３次 元 表 現 に よ る 取 り扱 い 

100

  10.2  ２次 元 問 題 の ２次 元 表 現 に よ る 取 り扱 い 

101

11章 

103

運 動 学 の 事 例 

  11.1  剛 体 振 子 と ３次 元 二 重 剛 体 振 子 

103

  11.2  ジ ャ イ ロ セ ンサ 

108

  11.3  ３次 元 三 重 剛 体 振 子 

109

第 Ⅲ部 動力学の基本事項  12章  力 と トル ク の等 価 換 算,三 質 点 剛体,慣 性 行 列 の性 質, 質 点 系,剛 体 系

115  117

12.1  力 と トル ク の 等 価 換 算 

117

12.2  三 質 点 剛 体 

118

12.3  慣 性 行 列 の 性 質 

123

12.4  質 点 系 

124

12.5  剛 体 系 

126

13章 

自 由 度,一

般 化 座 標 と 一 般 化 速 度,拘

束,拘

束 力 

  13.1  自 由 度    13.2  ホ ロ ノ ミ ッ ク な系,シ

131 131

ン プ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な 系 

133

  13.3  シ ンプ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な 系 の 事 例 

134

  13.4  一 般 化 座 標 

136

  13.5  一 般 化 速 度 

137

  13.6  拘 束 

140

  13.7  拘 束 力 

147

  13.8  拘 束 系 の 運 動 方 程 式 

148

14章 

運 動 量 と 角 運 動 量,運

動 エ ネ ル ギ ー と 運 動 補 エ ネ ル ギ ー 

151

  14.1  運 動 量 

151

  14.2  角 運 動 量 

153

  14.3  剛 体 系 の 運 動 量 と角 運 動 量 

154

  14.4  運 動 量 原 理 

156

  14,5  剛 体 系 の 運 動 量 原 理 

158

  14.6  運 動 エ ネ ル ギ ー と運 動 補 エ ネ ル ギ ー 

161

  14.7  剛 体 系 の 運 動 エ ネ ル ギ ー と 運 動 補 エ ネ ル ギ ー 

164

第 Ⅳ 部  運 動 方 程 式 の 立 て 方 

167

15章 

169

拘 束 力 消 去 法 

  15.1  順 動力 学 解析 の事 例:ボ ール ジ ョイ ン トで支点 を拘 束 され た コマ 

169

  15.2  質点系 の拘束 力消 去法 

176

  15.3  剛体系 の拘束 力消 去法 

176

  15.4  拘 束 力消 去法 の特 徴 な ど 

177

16章   ダ ラ ン ベ ー ル の 原 理 を 利 用 す る 方 法 

180

  16.1  拘 束 質点 系(ホ ロ ノ ミックな系 の場 合) 

180

  16.2  事 例:剛 体振 子 

183

  16.3  拘 束 質点 系(シ ンプル ノ ンホ ロノ ミックな系 の場合) 

185

  16.4  事 例:舵 付 き帆掛 け舟 

186

  16.5  拘 束 剛体 系 

187

  16.6  裏 の 表 現 

188

  16.7  滑 ら か な拘 束 

189

  16.8  時 間 を止 め る 意 味 

190

  16.9  事 例:時

191

17章 

間 の 関 数 と して 支 点 を動 か す 剛 体 振 子 

仮 想 パ ワ ー の 原 理(Jourdainの

原 理)を

利 用 す る 方 法 

193

  17.1  拘 束 質 点 系 

193

 17.2  拘 束 剛 体 系 

196

  17.3  裏 の 表 現,滑

らか な 拘 束,時

間 を 止 め る意 味,特

徴 な ど 

197

  17.4  ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 に 関 す る 補 足 

198

  17.5  事 例:ボ

200

18章

ー ル ジ ョイ ン トで 支 点 を拘 束 され た コ マ 

  ケ イ ン 型 運 動 方 程 式 を 利 用 す る 方 法 

202

  18.1  質 点 系 の ケ イ ン型 運 動 方 程 式 

202

  18.2  剛 体 系 の ケ イ ン型 運 動 方 程 式 

203

  18.3  裏 の 表 現 

204

  18.4  運 動 方 程 式 の 作 り方 

205

  18.5  運 動 方 程 式 の 標 準 形 

206

  18.6  速 度 変 換 法 

207

  18.7  事 例:転

209

19章

動 球 

  拘 束 条 件 追 加 法(速

度 変 換 法) 

213

  19.1  拘 束 条 件 追 加 法 の 導 出 

214

  19.2  拘 束 条 件 追 加 法 の 適 用 手 順 と特 徴 

216

  19.3  順 動 力 学 解 析 の 事 例:操

218

縦 安 定 性 の た め の 二 輪 車 モ デ ル 

  19.4  順 動 力 学 解 析 の 事 例:３ 次 元 三 重 剛 体 振 子 

224

20章

233

  微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 

  20.1  独 立 な拘 束 力 を 未 知 数 に加 え た 連 立 一 次 方 程 式 

233

  20.2  ラ グ ラ ン ジ ュ の 未 定 乗 数 の 利 用 

235

  20.3  拘 束 剛 体 系 の 微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 

237

  20.4  微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 の 特 徴 と数 値 解 法 に 関 わ る技 術 

239

  20.5  順 動力 学解析 の事例:ボ ー ル ジ ョイ ン トで支 点 を拘 束 され た コマ(微 分代 数 型運 動方程 式 を疎行 列用 の数値 解法 で解 く事 例) 

243

  20.6  順 動力 学解析 の事例:簡 単化 した ２次元 サス ペ ン シ ョンモ デ ル 

245

21章   木 構 造 を 対 象 と した 漸 化 式 に よ る 順 動 力 学 の 定 式 化 

254

  21.1  木構 造 

255

  21.2  運 動学 の漸 化計 算表 現 

259

  21.3  剛 体系 の ケ イ ン型 運動方 程式 

263

  21.4  動力 学 的 に加 速 度 を求 め るための漸 化 的方法 

264

  21.5  順 動力 学解析 の事例:３ 次元 三重 剛体振 子(漸 化 的方 法) 

266

22章   ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 を 利 用 す る 方 法 

273

  22.1  ラグ ラ ンジュ の運動 方程 式 

274

  22.2  ラ グラ ンジ ュの運動 方程 式 の使 い 方 

277

  22.3  事例:時 間の 関数 として支点 を動 かす剛 体振 子 

279

  22.4  循 環座標,変 数変換 によ る不 変性,ラ グ ラ ンジア ンの任 意 性 

280

23章   ハ ミ ル トン の 原 理 を 利 用 す る 方 法 

285

  23.1  ハ ミル トンの原 理 

286

  23.2  ラグ ラ ンジ ュの運動 方程 式 の導出 

289

  23.3  事例:舵 付 き帆掛 け舟 

293

24章   ハ ミ ル トン の 正 準 運 動 方 程 式 

295

  24.1  ハ ミル トンの正 準 方程式 

295

  24.2  修正 され たハ ミル トンの原理 

298

  24.3  事例:時 聞の 関数 として支点 を動 かす 剛体振 子 

299

  24.4  ハ ミル トニア ンの任 意性 

301

  24.5  正準 変換 

301

  24.6  事 例:１ 自由度 バ ネ-マ ス系 

306

付 録 Ａ   座 標 軸 を 表 す 幾 何 ベ ク トル と そ の 応 用 

308

  A1

座標 軸 を表 す幾 何 ベ ク トル 

308

  A2

座標 軸 を表す 幾何 ベ ク トルの時 間微分 

312

付 録 Ｂ  ３次 元 回 転 姿 勢 と 角 速 度 に 関 す る 補 足 

315

  B1  Simple Rotationか ら回転 行列 を作 る式 

315

  B2  ロ ドリゲ スパ ラメー タ 

317

  B3  2×2複 素行 列 に よる座標 変換 

318

  B4  オイ ラーパ ラメー タの三 者の 関係 

322

  B5  ロ ドリゲ スパ ラ メー タの三者 の関係 

323

  B6  再 び,オ イ ラーパ ラ メー タの三者 の関係 につい て 

325

  B7  三 度,オ イ ラーパ ラ メー タの三者 の関係 につい て 

326

  B8  角 速度 の 三者 の 関係 

328

  B9  オイ ラーパ ラメー タ,ロ ドリゲ スパ ラメ ー タの時 間微 分 と角 速度 の関係 

329

  B10  再 び,オ イ ラーパ ラメー タの時 間微分 と角速 度の 関係 

331

  B11  微 小 回転 

332

付 録 Ｃ  オ イ ラ ー パ ラ メ ー 夕 の 拘 束 安 定 化 法 

334

付 録 Ｄ  動 力 学 的 に 加 速 度 を 求 め る た め の 漸 化 的 方 法 

337

  D1  動 力学 漸化 式 の作 り方 ― そ の １ 

337

  D2  動 力学 漸化 式 の作 り方 ― そ の ２ 

344

  D3  漸化 計 算 に関 す る補 足 

346

付 録 Ｅ  作 用 力 の 事 例 

349

  E1  重力 

350

  E2  バ ネ とダ ンパ ーの力 

351

  E3  力 に よる加振(時 間依 存 力) 

352

  E4  乗用 車 や オー トバ イな どの タイヤ に働 く力 

353

付 録 Ｆ  運 動 方 程 式 の 線 形 化 

358

  F1  線形 化 の ポイ ン ト 

358

  F2  線形 化 の方 法 

360

  F3  拘束 条 件追 加法 の利 用 

362

  F4  線形 化 の事 例 

363

  F5  一般 化 座標,一 般化 速度 に拘 束が あ る場合 

365

  F6  順動 力 学 の計 算手順 を利 用す る方 法 

367

付 録 Ｇ 基 本 事 項 の ま と め  参 考 文 献 

379

付 録CD-ROMに あ と が き  索 引 

つ い て 

383

385 388

付 録CD-ROMの   MATLABプ

370

収 録 内容 ログ ラム

  シ ミ ュ レ ー シ ョ ン動 画

Quizの

解 答 は東 京 電 機 大学 出版 局 ホー ム ペ ー ジ

http://www.tdupress.jp/か

ら ダ ウ ン ロ ー ドで き ます 。

本書の構成 と学び方   本 書 の 内 容 は,も あ る が,日

と も と学 部 と大学 院 で 用 い た 半 年 二 単 位 の 講 義 用 テ キ ス トで

本 機 械 学 会 の 講 習 会 「運 動 方 程 式 の 立 て 方 七 変 化 」(2005年)の

テキ

ス ト と し て,２ 日間 用 に 圧 縮 し た もの 作 り,そ れ を ベ ー ス に,教 育 上,お

よ び,

技 術 上 の 重 要事 項 な ど を補 充 した 。 そ の よ う な経 緯 を反 映 して,順 動 力 学 を能 率 よ く学 べ る よ う に な って い る 反面,す

べ て を順 序 どお り学 べ ば よ い よ うな教 科 書

的 な構 成 か ら外 れ て い る面 が あ る 。 さ ら に,本 書 は教 科 書 だ け を念 頭 に 置 い た も の で は な く,多 少 高 度 な知 識 と技 術 で も,重 要 と思 わ れ る もの を追 加 し,幅 広 い 研 究 者 や 技 術 者 に も役 立 つ もの を 目指 した。 そ の た め,と

こ ろ ど こ ろ 難 しい 事 柄

が 出 て きて 読 み に く く感 じる こ と もあ る だ ろ う。 そ こ で,少 れ の ニ ー ズ に合 わせ た学 び 方 を 見 つ けや す くす る た め,本

しで も読 者 が そ れ ぞ

書 の 学 び 方 を書 い て み

る こ と に した 。   本 書 は 四 つ の部 か らな る。 そ れ ぞ れ の 主 要 な役 割 は 次 の とお りで あ る。

本書の構成

●

各部の主要 な役割

章番号

第 Ⅰ部

数学の復習

第 １章 ∼ 第 ３章

第 Ⅱ部

運動学の基本

第 ４章 ∼ 第11章

第 Ⅲ部

動力学の基本

第12章 ∼ 第14章

第 Ⅳ部

運動 方 程式 の 立 て方

第15章 ∼ 第24章

第 Ⅰ部 の 学 び 方

  第 Ⅰ部 は数 学 の 復 習 で あ る。 数 学 に 自信 が あ る読 者 は,節 の 項 目を見 て 必 要 な と こ ろ だ け を拾 い 読 み し,3.3節

の右 手座 標 系 あ た りか ら始 め て 第 Ⅱ部 に 進 め ば

よ い。   講 義 で は,受 講 者 の レベ ルや 講 義 時 間 に よ っ て,第

Ⅰ部 を 予 習 事 項 とす る方 法

もあ る。 そ の 場 合 で も,講 義 に 含 め る場 合 で も,第 を最 初 の 学 習(復 習)の ぶ(復

習 す る)こ

範 囲 と し,1.7節

１章 は,1.1節

∼1 .6節 まで

と1 .8節 は,先 へ 進 み な が ら途 中 で 学

と に して も よい 。 あ る い は,必 要 に な っ た と きに戻 っ て くる よ

う な進 め 方 もあ る 。   2.1節 ∼2.3節 は 比 較 的重 要 で あ り,し っか り確 認 した い。2.4節 ∼2.7節 も先 へ 進 み な が ら途 中 で学 ぶ こ と に して も よ く,あ るい は,必 要 に な っ た と き に戻 っ て くる の で も よい 。   3.1節 ∼3.3節 は この 順 に学 べ ば よ い。

●

第 Ⅱ部 の 学 び 方

  特 に ３次 元 問題 で は,運 動 学 を基 本 か ら抑 え てお か な い と,後 で 混 乱 が 生 じる 可 能 性 が あ り,第 Ⅱ部 は重 要 で あ る。 ３次 元 の 運 動 学 に あ る程 度 の 慣 れ が あ れ ば,本

文 だ け で 十 分 学 べ るが,混

乱 を 起 こ さ な い た め に は付 録 Ａ と と もに 学 ぶ

ほ うが よい 。   第 ４章 ∼ 第10章

まで は順 番 に 学 ぶ こ とが 標 準 的 で あ る。 た だ し,4.5節

と9.4

節 ∼9.6節 は,読 者 の 目的 に応 じて取 捨 選 択 して よ い。 これ らは,順 動 力 学 の 事 例 とMATLABプ

ロ グ ラ ム に 関 わ る説 明 に な っ て い る。 特 に4.5節

に は,他 の

事 例 の 計 算 プ ロ グ ラム に 関 わ る基 本 的 な 説 明 が 含 まれ て い る。 しか し,計 算 プ ロ グ ラ ム に 関 心 が な い か,あ

る い は,そ

の あ た りの 技 術 は十 分 持 っ て い る場 合 は ,

読 み飛 ば して もよ く,事 例 の運 動 方 程 式 の 説 明 だ け を読 む こ とに して も よい 。 講 義 で も,プ ロ グ ラ ミ ン グ を 含 め な い こ とが 多 い と思 わ れ る。 そ の よ う な場 合 は, 同 様 に取 捨 選 択 して い た だ きた い 。   第11章

は,Quizを

通 して 運 動 学 を深 め る狙 い を持 っ て い て,11.1節

そ れ 以 前 に学 ん だ 運 動 学 の 復 習 で あ る。 また,こ 元 三 重 剛 体 振 子 は,第

深 い 話 題 で あ る が,読

のQuizで

飛 ば して も一

は 角 速 度 の 性 質 を 考 え る興 味

み 飛 ば して も後 に 大 き な 影 響 が 残 る こ と は な い 。 ま た,

11.3節 の 最 後 のQuizは さ らに,こ

の 章 に 出 て く る剛 体 振 子 ∼３次

Ⅳ部 の 説 明 に も使 わ れ て い るの で,Quizを

通 りは 読 ん で お い た ほ うが 良 い 。 た だ し,11.2節

まで は,

第13章

の 拘 束 を学 ん で か ら考 え る ほ うが 理 解 しや す い 。

説 明 し よ う と して い る 運 動 学 の 方 法 は,微 分 代 数 型 運 動 方

程 式 な どに 関連 して 動 力 学 で 役 立 つ 可 能 性 が あ る とは い え て も,運 動 方 程 式 との 関連 で 見 れ ば 限 定 的 な事 柄 で あ り,必 要 を感 じて か ら戻 っ て くる ほ うが 能 率 的 か も しれ な い 。 そ こ で,運 動 学 へ の 寄 り道 を避 け て先 を急 ぎ た い 場 合 は,11.2節 や113節

のQuizは

飛 ば して も構 わ な い。

  付 録 Ａ のA1.1項 A1.3項

とA1.4項

とA1.2項 は,第

とA2.2項

６章 の後,読

は,第

５章 の 後,読

む こ とが で き る。

む こ と が で き る 。A2.1項

とA2.3項

は,

第 ９章 の 後 が 適 当 で あ る 。   付 録 Ｂ は,総 る。 ま た,第

じて 難 しい こ とが 多 い が,第

８章 の 後 にB8節

度 が 高 い の で,後 の 後,B4節

∼B7節

の 後 に,B11節

●

を読 む こ とが で き

を読 む こ と が で き る。 そ れ 以 外 の 部 分 は,少

し難

で 学 ぶ こ と に して も よい 。 学 ぶ 場 合,B2節

とB3節

は 第 ７章

は 第 ８章 の後 に 読 む こ とが で き る。B9節

とB10節

は 第 ９章

はB9節

  付 録 Ｃ は,9.6節

７章 の 後 にB1節

の 後 に読 め る。 難 度 の 高 い もの は,急

ぐ必 要 は な い 。

に 関 わ る事 柄 で あ る。

第 Ⅲ部 の学 び方

  第12章,第13章

は,動 力 学 の 基 礎 と して 重 要 な こ とが 書 か れ て い る。 順 にす

べ て を 学 べ ば よ い。 第14章

に も力 学 の 重 要 な 物 理 量 で あ る 運 動 量 と運 動 エ ネ ル

ギ ー な どが説 明 さ れ て い るが,こ

れ らは第 Ⅳ 部 を学 ぶ た め に,鍵

に な る もの で は

ない 。 こ こ で 学 ば な くて も,第 Ⅳ 部 は大 体 読 む こ とが で きる 。 講義 な どで も,時 間 の 節 約 の た め に飛 ば し,第 Ⅳ部 の 必 要 な と こ ろ で 簡 単 に 補 足 す る方 法 も あ る 。 また,第14章

の 運 動 量 の 説 明 は,モ

ー メ ン ト中心 に 関 して 厳 密 な扱 い を す る狙

い が あ っ て,複 雑 に な っ て い る うえ,本 書 の他 の 部 分 で 用 い な い 記 号 が 出 て くる た め,少

々面 倒 で あ る 。 運 動 量 原 理 や 運 動 量 保 存 の 法 則 は重 要 で あ る か ら,下 線

の 引 か れ た結 論 だ け学 ぶ の で も よ く,ま た,運 動 エ ネ ル ギ ー な ど につ い て は,記 号 上 の わず らわ し さ な どは な い の で,14.6節

と14.7節

だ け を読 む こ と も可 能 で

あ る 。 図 で 運 動 補 エ ネ ル ギ ー の概 念 を掴 む だ け で も良 い で あ ろ う。

● 第Ⅳ部の学び方   マ ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミ クス の 実 用 的 な 方 法 を 知 る だ け な ら ば,第19章,第20 章,少

々 難 解 な 第21章

を読 め ば よい 。 た だ し,第21章

の 方 法 は難 度 が 高 い 方法

なの で,基 本 的 な 面 だ け の 説 明 に な っ て い る。 以 上 を 読 ん で 納 得 で きな い こ とが あ っ た り,以 上 の 方 法 が,力 学 原 理 か ら どの よ う に 導 か れ るの か,あ 学 原 理 そ の もの を 理解 し た い な ら ば,第15章   第15章

る い は,力

か ら順 に読 む こ とに な る。

は,最 初 に事 例 が 説 明 さ れ て い る。 一 般 論 よ り,事 例 で納 得 しや す い

と考 え た か らで あ る 。 プ ロ グ ラム に 関 わ る 部 分 は,学 習 の 目的 に応 じて 取 捨 選 択 す れ ば よい が,大 体,順   第16章

は,16.1節

に全 体 を読 め ば よい 。

と16.2節

方 法 が あ る。 飛 ば した16.3節

の 後,16.5節 と16.4節

∼16.9節

は,第17章

を読 ん で,次

の 章 に移 る

の 後 の ほ うが 分 か りや す く,

あ る い は,力 学 の 理解 や 練 習 が 進 ん で 慣 れ て か ら に して も よい 。   第17章

は,順 番 に全 体 を 読 め ば よい が,17.4節

  第18章

は,18.5節

ま で,順

に 読 み,18.6節

を後 回 し に して も良 い 。 は,分

か り難 け れ ば 飛 ば して,

18.7節 へ 向 か っ て も よい 。   第19章

は,初 め か ら順 に,19.3節

進 め れ ば よい 。19.4節

の 事 例 は,少

の 事 例,あ

るい は,19.4節

の事 例 まで 読 み

し進 ん だ 運 動 方 程 式 を利 用 し て い る の で 後

回 しに して も よ い 。   第20章

は,初 め か ら順 に,20.5節

の 事 例,あ

るい は,20.6節

の事 例 まで 読 み

進 め れ ば よい 。   第21章

の 方 法 は,か な り難 しい 方 法 で あ る。 特 に,動 力 学 漸 化 式 の 導 出 は難

解 で あ り,そ の 説 明 は付 録 Ｄ に 譲 り,本 文 で は 導 出 さ れ た 式 の 利 用 方 法 を説 明 した 。 た だ し,こ の 章 を 学 ぶ こ と 自体 を後 に ま わ して も良 い 。 こ の 章 の 説 明 が 後 に 影 響 す る こ と は な い。 こ の 章 を 学 ぶ 場 合 は,順 番 に 読 ん で ゆ け ば よ い。21.5 節 の 事 例 は,こ

の 難 しい 方 法 を具 体 的 で 分 か りや す く説 明 して い る。 た だ し,こ

の 事 例 を学 ぶ 場 合 は,そ の 前 に19.4節

の 同 じ事 例 の 通 常 の 解 法 を 読 ん で お く と

よい 。 事 例 を 学 ん だ 後 に,付 録 Ｄ を読 め ば よい が,こ

の付 録 は し っ か り と時 間

を か け る 必 要 が あ る。   第22章

∼ 第24章

は,古

くか らの 方 法 で あ り,他 の力 学 の 書 籍 で も学 べ る もの

で あ る 。 そ の 意 味 で,割 愛 す る こ と もあ る。 第22章 節 ま でが 最 初 の段 階 で,22.4節

は 少 し高 度 に な るの で 後 ま わ し に して も良 い 。

  第23章

は,す べ て を順 番 に 読 め ば よ い。

  第24章

は,全 体 に 少 し抽 象 度 が 高 い の で,後

も良 い。 最 初 の24.1節

だ け,あ

る い は,24.3節

け とい う考 え方 もあ る。 全 部 を読 め れ ば,さ れ な い 。 し っ か り した 理 解 を 得 る に は,多

●

を 学 ぶ 場 合 は,ま ず,22.3

で 時 間 を か け て 学 ぶ こ と に して を 読 ん で どん な もの か を知 る だ

らに他 の 書 籍 を読 み た くな る か も し くの 文 献 を読 む こ とが 重 要 で あ る 。

付 録 の 学 び方

  付 録A,B,Cに

つ い て は,第

Ⅱ部 の 学 び方 で述 べ た 。 付 録 Ｄ は,第

Ⅳ部 の 第

21章 の と こ ろで 触 れ た 。   付 録 Ｅ は,第 第19章,あ

Ⅱ部 で 本 書 の 記 号 に慣 れ た 後 な らい つ 読 ん で も よい 。 付 録 Ｆ は,

る い は,第20章

の後 に,必 要 に応 じて 読 め ば よい 。

  付 録 Ｇ は,本 書 全 体 の重 要 事 項 を 復 習 す る 目的 で 用 い る こ とが で き る 。 第 Ⅱ 部 以 降 を学 び な が ら,学 習 事 項 を確 認 す る意 味 で用 い て も よ い 。 ま た,基 本 的 な 記 号 や 関係 式 な ど を 整 理 して 記 憶 し,あ る い は,思

い 出 す た め に有 効 に 生 か せ

る。

●

講 義 などの 組 み立 て方 に関 す る参考

  筆 者 は,本 書 の 内 容 を半 年 ２単 位 の 講 義 と して,大 学 院,お た経 験 が あ る 。3.3節,4.7節,4.10節 や 細 か い 点 は 省 略 して い る が,そ る。 学 生 に テ キ ス トの 「読 習(独

よ び,学 部 で教 え

は省 略 し,そ れ 以 外 の 部 分 も難 しい事 柄 れ で も,か な り内 容 の 多 い,厳

しい 授 業 で あ

習)」 を求 め,練 習 問 題 な ど を準 備 し,教 え る

側 も教 え られ る側 もか な り頑 張 ら ない と中 途 半 端 に な る恐 れ が あ る。   MATLABに

関 して は,大 学 院 の授 業 で 事 例 の プ ロ グ ラ ム を 配 り,自 主 課 題 の

提 出 を求 め る 程 度 のや りか た を 試 して み た。 丁 寧 に プ ロ グ ラ ミ ン グ を教 え る こ と は せ ず,学 生 同 士 で の 自習 と多 少 の 質 問 に答 え る程 度 で,シ か せ る よ うに な る。 う ま くい け ば,MATLABで

ミュ レー シ ョン を動

動 か した 経 験 と,基 礎 的 な 力 学

の理 解 の両 方 に進 歩 が得 られ るが,ど

ち らか 一 方 の 負 担 を大 き く感 じす ぎて しま

う と 中途 半 端 に な る 。   ２ 日 間 の 講 習 会 の 場 合 は,さ

ら に 中核 的 な こ と だ け に絞 り,パ ワー ポ イ ン トを

用 い た 進 行 速 度 の速 い 講 義 を行 な っ た 。 経 験 の あ る技 術 者 や研 究 者 と教 育 関 係 者 な ど は,短 時 間 に ま と ま った 知 識 が得 られ る た め 満 足 度 は 高 い よ うだ が,初 学 者 は面 白み を 感 じなが ら も,相 当 の復 習 が 必 要 な 状 態 を残 して しま うの が 実 情 で あ る。 内 容 の 取 捨 選 択,話

し方 に,か

な りの 工 夫 が 必 要 で,復 習 しや す い よ う に,

考 え 方 を しっ か り伝 え る 努 力 が 重 要 で あ る。 時 間 の 少 な い 講 習 会 で運 動 方 程 式 の 立 て 方 を 一 通 り話 す と こ ろ まで を 目指 す 場 合,時

間 の制 約 を予 習 な どの 形 で 補 う

必要 が ある。   一 方,予

備 知 識 と して 必 要 な数 学 は,行 列 と偏 微 分 な どで,1.2節

要 だ が,学

部 ２年 後 半 程 度 の 学 生 を 対 象 と し た 講 義 も可 能 で あ る。 本 書 の 内 容

は,機 械 力 学 の 基 礎 と して の 重 要 さ,数 学 や 計 算 機 の活 用 の促 進,他

の 説 明 は必

の教 科 へ の

発 展 性 な ど を 考 え る と,低 学 年 の う ち に 学 ぶ こ と に よ る効 果 は 大 き い と思 わ れ る。 学 生 の 意 欲 が 高 け れ ば,上 記 の 半 年 の コ ー ス も可 能 で あ り,筆 者 も学 部 ２年 生 へ の 講 義 を体 験 して い る。   １年 間 ４単 位 程 度 の 講 義 を つ くる こ と も意 義 が あ る と思 わ れ る。 大 雑 把 な 時 間 配 分 と して,最 初 の半 年 は 本 書 の 第 Ⅲ部 ま で,後 の 半 年 で 第 Ⅳ部 を学 ぶ 方 法 が 考 え られ る。 前 半 は運 動 学 を中 心 と し,基 礎 を丁 寧 に学 ぶ こ とが で きる。 事 例,練 習 問 題,計 算 機 の 利 用 技 術 な ど,内 容 を拡 充 す る 方 向 は た くさ ん あ る。 ロボ ッ ト 工 学 の 関 連 技 術 な どを含 め る こ と もで き る で あ ろ う。 運 動 学 は設 計 工 学 的 な応 用 を考 えて ゆ け ば,発 展 性 の あ る学 問 で あ る。 最 適 設 計 な どの 方 法 と合 わ せ た 課 題 も興 味 深 い。 後 半 は動 力 学 が 中心 で あ る。 動 力 学 の 基 本 的 側 面 へ の掘 り下 げ,マ ルチ ボ デ ィ ダイ ナ ミ ック ス と して の発 展,制 御 技 術 と の接 点 な ど,こ ち らの 発 展 方 向 も多 様 で あ る。 な お,内 容 を拡 充 す る方 向 は 多 様 だ が,既 存 の別 の 講 義 との 調 整 な どが 重 要 に な っ て くるで あ ろ う。   本 書 の 多 くの 節 にQuizが

あ るが,学

生 の 訓 練 用 に十 分 な量 で は ない か も しれ

な い 。 注 意 を 喚 起 した い事 項,技 術 的 な発 展 事 項,説

明 の 補 足 事 項,教

育 上 の補

足 事 項 な どが 中 心 で あ り,各 章 や 各 節 にバ ラ ンス よ く出題 され て い る わ けで もな い 。 学 生 の 訓 練 用 に は,教 師 の 立 場 に あ る方 々 が 適 切 な補 足 を して い た だ け る こ

と を期 待 し て い る。 本 文 中 に も,ま た,Quiz自 ン トは,十 分,含

体 に も,訓 練 用 の 課 題 を作 る ヒ

まれ て い る 。 自習 さ れ る 方 々 に は,自

ら適 切 な 問題 を選 ん だ り

作 り出 す 努 力 を期 待 した い 。 実 際 にや っ て み る こ と の必 要 性 と効 果 は,本 書 の技 術 に つ い て は特 に大 きい と思 う。

記号 な どの ル ール   マ ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミク ス で は,多 数 の 記 号 が 必 要 で 複 雑 な 上 に,既 刊 の本 や 論 文 な ど に用 い られ て い る 記 号 も著 作 者 に よ っ て か な り異 な っ て い る。 本 書 も独 特 な視 点 か ら書 か れ て い て独 特 な記 号 使 い が 含 ま れ て い る た め,以 下 に,本 書 で 用 い て い る記 号 の 原 則 的 な ル ー ル を説 明 す る。 た だ し,こ の ル ー ル を事 前 に読 ま な くて も,本 文 の 中 に は記 号 の 説 明 が あ り,読 み 進 む に従 っ て 自然 に記 号 の ル ー ル を理 解 で きる よ う に書 か れ て い る。 さ ら に,こ こ に 書 い た ル ー ル は原 則 的 な も の で あ り,例 外 的 な もの に つ い て は本 文 中 の 該 当部 分 で 説 明 して い る。

①

行 列,列

行 列,行 行 列 に は,太 文 字 を用 い る 。 変 数 の持 つ 意 味 に応 じて立

体 の 太 文 字 と斜 体 の 太 文 字 が あ る 。 なお,行

列 と列 行 列 な ど を大 文 字 と小

文 字 で 区 別 す る よ う な こ と は して い ない 。 大 文 字 と小 文 字 の 使 い 分 け は 別 の 目的 に用 い られ て い る。 ②

立 体 の 太 文 字 は,速 度 と角 速 度 を 別 々 の 行 列 と して 扱 っ た 変 数 に用 い る。 斜 体 の 太 文 字 は,速 度 と角 速 度 を 一 つ に ま とめ た行 列 変 数 な ど に用 い る。 この 区 別 に無 関係 な 行 列 変 数 は,立 体 の 太 文 字 を用 い る。

表 １   太文 字 変 数 の立 体 と斜 体

立体 の太文字

速 度 と角 速 度 を別 々 の行 列 と して 扱 っ た式 に現 わ れ る変 数体 系

斜体 の太文字

速 度 と角 速 度 を一 つ に ま とめ た行 列 変 数 の体 系

お よ び,下 記 以 外

③

幾 何 ベ ク トル に は,斜 体 で 標 準 太 さ の 文 字(以 下,太 文 字 に対 して 細 文 字 と書 く)を 用 い,記 号 の 上 に 矢 印 を付 け る 。 な お,幾 何 ベ ク トル を要 素 に 持 つ 行 列 に は,矢 印 は付 けず,行 列 で あ る か ら太 文 字 とす る。

④

ス カ ラ ー 変 数 に は,斜 体 の細 文 字 を 用 い る。

⑤

な お,cosθ1,sinθ1を,c1,s1な

ど と略 記 す る こ とが あ り,こ れ らは ス

カ ラ ー で あ るが,立 体 で 表 現 して い る。 こ の よ う な特 例 に つ い て は,読 め ば 自然 に 理解 で き る よ う に配 慮 され て い る 。 ⑥

剛体 や 点 の 名 前 に は,大 文 字 で細 文 字 立 体 の ア ル フ ァベ ッ ト,数 字,ま

た

は,数 字 を 意 味 す る小 文 字 で 細 文 字斜 体 の ア ル フ ァベ ッ トが 用 い られ る 。 ⑦

二 つ の 変 数 の積 には,積

の 演 算 記 号 が 用 い られ る こ とが あ る。 幾何 ベ ク ト

ル 同 士 の 積 の場 合,内 積 に は ・が,外 積 に は × が 用 い られ る。 こ れ 以 外 の積 に は,原 則 と して,積

の 演 算 記 号 を用 いず に,単

に二 つ の変 数 な ど を

並 べ るだ け で あ る 。

表 ２ 積の記号 ・幾 何 ベ ク トルの 内積 ｘ

幾 何 ベ ク トルの外 積

記号な し

上 記 以外(実 数 と幾 何 ベ ク トル,実 数 と実 数)

⑧

時 間 変 数 ｔに よ る常 微 分 の 記 号 に は,ｄ とdtを 分 子 と分 母 に 並 べ た 通 常 の 微 分 記 号 が 用 い られ,こ れ ら に は細 文 字 の斜 体 が 使 わ れ る。 ま た,ｄ の左 肩 に 添 え字 を付 け た 微 分 記 号 が 用 い られ る こ とが あ り,こ れ は,幾 何 ベ ク トル を対 象 と した 時 間 微 分 の 記 号 で,左 肩 の添 え 字 は幾 何 ベ ク トル を時 間 微 分 す る場 合 の オ ブ ザ ー バ ー で あ る(オ

ブザ ーバ ー につ い て は本 文 参 照)。

幾 何 ベ ク トル 以外 の 時 間微 分 の場 合,文 字 の 上 に ドッ ト をつ け て 時 間 微 分 を 表 す こ と が あ り,こ れ はd/dtに

よ る 時 間微 分 と同 じ意 味 だ が,両 者

を混 在 させ て 用 い る こ と も あ る 。 ⑨

∂は 偏 微 分 を 示 す 記 号 と し て用 い られ る 。 こ れ は,斜 体 の 細 文 字 で 表 す。 なお,関

数 ｘに 変 数 ｙ を右 下 の 添 え 字 の 位 置 に 書 い て,Xyで

ｘの ｙに よ

る 偏 微 分 係 数 を表 す こ と もあ る。 こ の と き,ｘ と ｙが 添 え字 や 上 付 き記 号 や ダ ッ シ ュ を含 ん で い る こ とが あ り,ｘ が 複 雑 な 場 合 に は(X)yと す る こ と もあ る。 また,ｙ が ｘの す べ て の独 立 変 数 を含 ん で い る 場 合,Xyで,ｙ

で

偏 微 分 した残 りの 項 を示 す 。 ⑩

偏 微 分 を添 え字 を用 い てxyと 表 す 場 合,変

数 ｙが 列 行 列 の と き は太 文 字

  を用 い て 表 す こ とが 自 然 で あ る が,太 文 字 を 用 い な い こ とが あ る。 こ れ は,小

さ な 文 字 を太 文 字 にす る と見 難 くな る た め で あ る。xと

味 で 添 え字 な どの 複 雑 な構 造 を持 っ て い る 場 合,こ

ｙが 別 の 意

の 見 難 さ の軽 減 は特 に

必 要 に な る 。 しか し,こ の ル ー ル に よ り,ｘ が ス カ ラ ー の場 合,ｙ が列 行 列 で もXyに 現 わ れ る文 字 は す べ て 細 文 字 に な り,Xyが 行 行 列 に な っ て い る こ と を見 逃 して し ま い が ち に な る 。 細 文 字 で も ｙは 列 行 列 の 可 能 性 が あ る こ と を忘 れ て は な らな い 。 こ の ル ー ル は 第 Ⅲ 部 以 降 に適 用 され て い る が,添

え字 に よ る偏 微 分 の 表 現 は使 い 方 に パ タ ー ンが あ る の で,混 乱 す る

恐 れ は な い と考 え て い る 。 ⑪

δは ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 に お い て仮 想 変 位 を作 る オペ レー タで あ り,ハ ミ ル トンの 原 理 に お い て 変 分 を作 る オペ レー タで あ る 。 Δ は微 小 量 を示 す 。 あ る い は,関 数 の 微 小 量 を変 数 の 微 小 量 で 表 す た め の オ ペ レー タ で も あ る 。 δは斜 体,Δ

は立 体 で,細 文 字 が 使 わ れ る。

表 ３ 演算記号 時 間微分 Ａ をオ ブザ ー バ ー とす る幾 何 ベ ク トル の 時 間微 分 偏 微 分 に用 い る ダ ラ ンベ ー ル の原 理 の仮 想 変位,ハ

ミル トンの 原 理 の変 分

微少量

⑫

変 数 記 号 は,中 核 と な る 文 字,ダ 右 下 添 え 字,右 号,添

上 添 え字,左

ッ シ ュ(プ

ラ イ ム),文

字 の 上 の 記 号,

上 添 え字 か らな る。 ダ ッ シ ュ,文 字 の 上 の 記

え 字 は,変 数 の持 つ 意 味 に関 わ る た め,す べ て の 変 数 に 共 通 な使 い

方 に な る と は 限 ら な い。 ⑬

中 核 文 字 は,英 語 か ギ リシ ャ語 の ア ル フ ァベ ッ ト一 文 字 を用 い る 。 大 文 字 と小 文 字,立 体 と斜 体,太

⑭

文 字 と細 文 字 が あ る。

文 字 の 上 に 付 け る記 号 と して は,時 ダ,バ

ー,ハ

ッ ト,が

間微 分 の

用 い られ る 。 矢 印

以 外 に,矢 印,テ

ィル

は 幾 何 ベ ク トル で あ る こ

と を示 す 。 テ ィ ル ダ タ,お

よ び,そ

は,3×1列

行 列 か ら3×3交

代 行 列 を作 る オ ペ レー

の 拡 張 機 能 を持 つ オ ペ レー タで あ る。 バ ー,は

二つ の

異 な っ た 意 味 で 用 い られ て い る。 一 つ は,中 核 文 字 の上 に付 け て 拘 束 力 を 示 す た め で あ り,も う一 つ は,偏 微 分 後 の残 りの 項 を示 す 添 え字 に付 け ら れる。ハ ッ ト

は,仮 想 速 度 を表 す 記 号 で あ る 。

表 ４ 文 字 の上 の 記 号

記号

意味 時間微 分

ドッ ト

幾 何 ベ ク トル

矢印 テ イル ダ

3×3交 代 行 列 を作 るオ ペ レー タ,そ の拡 大 解釈

バー

(１)拘 束 力

ハ ッ ト

仮 想 速 度 を作 るオペ レー タ

⑮

(２)偏 微 分 後 の 残 りの項 の 添 え字

添 え 字 に は,右 下 添 え 字(最 大 ３文 字),右

上 添 え 字,左 上 添 え 字 が あ る。

表 ５ 添 え 字(原 則)

記号

意味

右 下 添 え字

[第 １]運 動 学 的物 理 量 の オ ブザ ー バ ー,代 数 ベ ク トル を作 る座 標系

(最大 ３文 字)

[第 ２]対 象 の 点 または 剛体,代 数 ベ ク トル を作 る座 標 系 [第 ３]座 標 成 分

右上添 え字

行 列 の転 置 Ｔ,逆行 列-１,転 置 と逆 行列 を合 わ せ た操 作-Ｔ, 加 速 度 レベ ル拘束 で,加 速度 レベ ル の変 数 を含 まな い残 りの項 を示 す Ｒ, 運 動 補 エ ネ ルギ ー*,ま た,複 素 数 の共 役 転 置* 拘 束 追加 前 と拘束 追 加 後 を表 す Ｈとｓな ど

左上添 え字

⑯

(１)モ

ダ ッ シ ュ(プ

ー メ ン ト中 心(２)ス

カ ラー行 列 の サ イ ズ

ラ イ ム)に は,単 一 ダ ッ シ ュ,二 重 ダ ッ シュ,た

ダ ッ シ ュ もあ る。 ダ ッ シュ の 重 要 な役 割 と して,そ

ま に,三 重

の 変 数 が ど の座 標 系 で

表 され た もの か を示 して い る こ とが あ る。 右 下 添 え字 中 の 左 か ら一 番 目の もの と 関連 す る座 標 系 で 表 され た変 数 に は ダ ッ シ ュ を付 け ない 。 右 下 添 え 字 中 の 左 か ら二 番 目の もの と 関連 す る座 標 系 で 表 さ れ た 変 数 に は ダ ッ シ ュ

を 付 け る 。 そ の ほ か,単

一 ダ ッ シ ュ,二

重 ダ ッ シ ュ,三

重 ダ ッ シ ュ は,単

に ダ ッシ ュ の 付 い て い な い変 数 と区 別 す る た め な ど に用 い る こ と もあ る。

表 ６ 単 一 ダ ッ シュ の主 要 な意 味 ダ ッシ ュな し

右 下 添 え 字 の 中の 左 か ら一 番 目の もの と関連 す る座 標 系 で 表 さ れた 変数

ダ ッシ ュあ り

右 下 添 え 字 の 中の左 か ら二 番 目の もの と関 連 す る座 標 系 で 表 され た 変数

⑰

太 文 字 で 斜 体 の 変 数 は,速 度 と角 速 度 を ま とめ た 変 数 な どに 用 い られ る。   こ の と き,速 度 と角 速 度 の 両 方 に ダ ッ シ ュ(プ ラ イ ム)の 付 く変 数 が 用 い ら れ て い る と き,両 者 を ま とめ た斜 体 変 数 に は二 重 ダ ッ シ ュ(ダ ブ ル プ ラ イ ム)を 付 け る 。 角 速 度 だ け に ダ ッ シ ュ が 付 い て い る場 合 は,両 者 を ま とめ た斜 体 変 数 に は 単一 の ダ ッ シ ュ を付 け る。

表 ７ 斜 体 太 文 字の 単 一 ダ ッ シュ と二 重 ダ ッシ ュ 単 一 ダ ッシ ュ

ダ ッシ ュ の ない 速 度変 数 とダ ッ シュ のあ る角 速 度 変 数 との組 み 合 わせ

二 重 ダ ッシ ュ

ダ ッシ ュ のあ る 速度 変 数 とダ ッ シュの あ る角 速 度 変 数 との組 み 合 わせ

⑱

剛 体 に 関 わ る 変 数 記 号 に は,原 則 と して 大 文 字 を 用 い る。 点 に 関 わ る変 数 記 号 に は 小 文 字 を用 い る 。

表 ８ 剛 体 に 関 わ る変 数,点 に 関 わ る変 数,そ れ 以外 剛 体 に関 わ る変 数

重 心位 置,重 心 速 度,角 速度,回 転 姿 勢,剛 体 の質 量,慣 性 行列, 重 心 に等 価換 算 して 合 計 した 力 と トル ク

点 に関 わ る変 数

剛 体上 各 点 の位 置 と速 度,各 点 に働 く力 と トル ク, 剛 体上 各 点 の もの と見 な した 角 速度, 質 点 の位 置 と速 度,作 用 力

剛 体 や点 に関 わ らな い量

一 般化 座 標

,一 般 化 速 度,そ の他

⑲

中核 に な る文 字 に は,以 下 の よ う な意 味 が あ る。

表 ９ 中核文字の意味

(注 １)Sは (注2)θ

⑳

オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ 関 係 と 一 般 化 速 度 の 両 方 に 用 い られ る 。 と ω は,一

軸 ま わ りの(ス

カ ラ ー の)角

度 と角 速 度 を 表 す こ と も あ る 。

筆 者 は,大 学 で の 講 義 用 テ キ ス ト,講 習 会 用 テ キ ス ト,本 書 の 原稿 の 作 成 に は,wordとmathtypeを

用 い た が,数

式 に用 い た 記 号 に 太 文 字 と細 文

字 の 両 方 を使 い 分 け る こ とは 手 間 が か か る た め,行 わ な か っ た 。 そ の た め 本 書 に 用 い た 記 号 は,太 文 字 と細 文 字 の 区 別 を 必 要 と し な い 。 こ の こ と は,黒 板 を用 い た 講 義 で 数 式 な ど を書 く と き に都 合 が よ い 。 さ ら に,本 書 で は ス カ ラ ー を 斜 体 で 表 す な ど,文 字 の 立 体 と斜 体 の 区 別 も行 っ て い る

が,並 進 を表 す 変 数 と回転 を表 す 列 行 列 を ま とめ て表 現 す る よ うな 場 合 を 除 い て,立 体 と斜 体 の 区 別 を行 わ な くて も変 数 が 重 な る こ と は な い 。 ノー トに書 き写 す と きに 楽 な変 数 の体 系 に な っ て い る。

独 自色 の強 い事項 について   筆 者 は,記 号 と用 語 の 使 い方 な どに,独

自 の工 夫 を し て い る 。 以 下 に,筆 者 の

独 自色 の 強 い 事 項 につ い て 説 明す る。 これ は,読 者 が 論 文 発 表 や そ の 他 の プ レゼ ンテ ー シ ョ ン時 な ど に 配 慮 で きる よ う にす る た め で あ る。 な お,ど

こ ま で を独 自

とい うべ きか 区 別 し難 い 事 柄 もあ り,不 完 全 な説 明 に な っ て い る こ と をお 断 りし て お く。  ①

本 書 に は,物 理 量 を表 す 記 号 に二 つ の 添 え 字 を付 け た もの が 出て くる(右

下 添 え 字)。 こ の よ う な 記 号 は,３ 次 元 問 題 を考 え る と き に 生 じが ち な誤 解 と混 乱 を 防 ぐため に役 立 ち,実 用 上 お よび教 育 上,大 者 は 長 年 使 い 続 け て い る 。 しか し,多 う少 し簡 略 で,本

きな メ リ ッ トを 持 って い て,筆

くの マ ルチ ボ デ ィ ダ イ ナ ミ クス の 書 物 は も

書 の記 号 使 い は少 々独 特 で あ り,わ ず ら わ しい と思 わ れ が ち で

あ る 。 そ れ で も,筆 者 は この 記 号 の使 い 方 を,む

しろ,本 書 の セ ー ルス ポ イ ン ト

と考 え て い る。  ②

二 つ の 添 え字 を持 つ 記 号 に ダ ッ シ ュ(prime)の

あ る もの と な い もの が

あ る。 この よ うな ダ ッシ ュ は,同 様 な意 味 で代 表 的 なマ ル チ ボ デ ィ ダイ ナ ミク ス の書 物 に も使 わ れ て い る。 本 書 で は二 つ の 添 え字 と と も に ダ ッシ ュ を用 い る こ と で,記 号 の 意 味 を 明確 な もの に して い る。 本書 で は さ らに,斜 体 文 字 と組 み 合 わ せ て ダ ブ ル ダ ッ シ ュ な ど を 用 い る こ とが あ る。 この 場 合 の 斜 体 文 字 は 並 進 運 動 と 回 転 運 動 を一 つ に ま と め た もの で,筆 者 の 選 ん だ 記 号 は,他 の 記 号 との 関 連 で分 か りやす い と考 え て い る が,こ の 記 号 の 良 否 を どの よ うに 感 じる か は,個

々人 の

違 い が あ りそ うで あ る 。 い ず れ に して も,マ ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミク ス は多 数 の記 号 を必 要 とす る た め,著 作 者 に よ って か な り異 な っ た記 号 使 い が 現 れ る 。 今 の と こ ろ,そ れ は や む を得 な い と考 え て い る。  ③

一 部 の 変 数 に 関 し て,大 文 字 を剛 体 に 関 わ る 量,ま

た は,剛 体 を代 表 す る

量 に用 い,小 文 字 を点 に 関 わ る量 に用 い て い る の は 筆 者 独 自 の工 夫 で あ る。  ④

文 字 の 上 の テ ィル ダ を,3×1列

行 列 か ら3x3交

代 行 列 を 作 る オ ペ レー タ

と し て用 い る 方 法 は古 くか ら行 わ れ て い る 方法 で あ る。 この テ ィル ダ を筆 者 は外

積 オ ペ レー タ と呼 ん で い るが,こ 外 積 オ ペ レー タ を3n×1列  ⑤

の 呼 び 名 は筆 者 独 自の もの で あ る。 また ,こ の

行 列 に も適 用 す る拡 大 解 釈 も筆 者 独 自の 工 夫 で あ る。

運 動 補 エ ネ ル ギ ー とい う言 葉 が 用 い られ て い る が,kinetic

co-energyの

訳 と して 用 い た。  ⑥

瞬 間接 触 点 とい う概 念 と呼 び 名 も筆 者 が 考 え た もの で あ る 。

 ⑦

拘 束 条 件 追 加 法 は,Velocity

Transformationと

呼 ばれ てい る方法 と同 じ

だ と す る 考 え方 が あ る。Velocity Transformationは,筆 思 い つ い た時 期 よ り,早

者が拘 束条 件追 加法 を

くか ら知 られ て い た もの で あ り,「 速 度 変 換 法 」 と い う

呼 び 名 も併 記 す る こ と に した 。 た だ し,拘 束 条 件 追 加 法 の 名 前 に込 め られ た こ の 方 法 の 位 置 付 け と速 度 変 換 法 の 位 置 付 け との 比 較 は,ま だ,筆 者 に とっ て 十 分 明 確 に な っ て い る とは い え な い(18.6節,19.2節

参 照)。

 ⑧

ケ イ ン型 運 動 方 程 式 は,筆 者 固 有 の 呼 び 名 で あ る(18.4節

 ⑨

運 動 方 程 式 の 標 準 形 も,筆 者 固 有 の 呼 び 方 で あ る。

 ⑩

拘 束 力 消 去 法 も,筆 者 固 有 の 呼 び 名 で あ る 。

  ⑪9・6節,お

参 照)。

よ び,付 録 Ｃ に説 明 さ れ て い るオ イ ラ ー パ ラ メ ー タ の 安 定 化 法

は 筆 者 等 の作 り出 した方 法 で あ るが,こ

れ まで に 同様 な もの が な い か ど う か まだ

不 明 で あ る。  ⑫

筆 者 は 一 般 化 座 標 に大 文 字 の Ｑ を用 い て い る 。 多 くの 力 学 書 で は,伝 統

的 に 小 文 字 の ｑ を 用 い て い て,大

文 字 の Ｑ は 一 般 化 力 を 意 味 す る こ とが 多 い 。

筆 者 は 一 般 化 力 に は特 別 の 記 号 を準 備 せ ず,作

用 力 に ヤ コ ビ行 列 を左 か ら乗 じた

よ う な形 の ま まで 表 して い る。 あ る い は,標 準 型 の 運 動 方 程 式 な どで 用 い るfH の よ うに,力 の 記 号 を そ の ま ま延 長 して 用 い て い る。  ⑬

幾 何 ベ ク トル の 時 間微 分 に必 要 な 時 間 微 分 の オ ブ ザ ー バ ー の 表 記 方 法 も筆

者 独 自か も知 れ ない 。 幾 何 ベ ク トル の 時 間 微 分 に 時 間 微 分 の オ ブ ザ ー バ ー が 必 要 な こ と 自体,明

白 に書 い て あ る 文 献 が 少 ない 。

  ⑭Simple

Rotationに

対 応 す る 適 当 な 訳 語 が 見 当 た らず,括

「(単純 回 転)」 と は書 い た が,Simple  ⑮

「三 者 の 関 係 」 と い う言 葉 で,位 置,回

メ ー タ),速 度,角

弧付 きで

Rotationを そ の ま ま用 い た。 転 姿 勢(回 転 行 列,オ

イラーパ ラ

速 度 の 重 要 な 関 係 を ま とめ た。 「時 間 微 分 の 関 係 」 と と も に,

運 動 学 の基 本 的 関係 を 二 つ の 言 葉 で 整 理 した が,こ

の よ うな 言 葉 遣 い は 筆 者 の 工

夫 で あ る。 ⑯

筆 者 は,位 置 レベ ル拘 束 を Ψ=0,速

くの 文 献 で は,位 置 レベ ル 拘 束 に Φ=0が と し て い る が,シ

度 レベ ル 拘 束 を Φ=0で 用 い られ,速

表 した 。 多

度 レベ ル 拘 束 は,Ф=0

ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ック拘 束 を含 む速 度 レベ ル 拘 束 を考 え る場

合 に は,異 な っ た 記 号 を 準 備 して お け ば,拘 束 の 数 の 変 化 に 対 応 しや す い 。 ま た,標 準 的 な 回 転 姿 勢 は,〓 を,Ψ 〓=0や ΨE=0の

や Ｅ な ど複 数 あ り,そ れ ら に よ る位 置 レベ ル拘 束

よ うに 区別 す る ほ うが 分 か りや す い こ と が あ るが,速

レベ ル拘 束 で は,角 速 度 Ω'を 標 準 的 と し て よ く,Φ=Φ む 場 合 が 多 い 。 Ψ=0と

Φ=0に

度

Ω'=0に 絞 っ た 説 明 で 済

分 けて お く こ とは,何 か と便 利 で あ る。

マル チ ボ デ ィダ イ ナ ミ クス と は

序章

  マ ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミ クス の応 用 分 野 は 多 岐 に わ た っ て い る。 ロ ボ ッ ト,自 動 車,鉄

道 車 両,建 設 機 械,産

祉 機 械,な

業 機 械,家 電 機 械,宇

宙 機 械,舶

用 機 械,医

療 ・福

どで あ る 。 要 す る に,可 動 部 分 の あ る機 械 は す べ て が 対 象 で あ り,さ

ら に,ス ポ ー ツ工 学 や 医 療 分 野 に お け る 人体 の モ デ ル な ど に も適 用 され て い る。   上 記 の 機 械 は,い ず れ も,剛 体 や 弾 性 体 を ジ ョイ ン トや 力 要 素 で 組 み 立 て た も の と見 な せ る。 ジ ョイ ン トに は,ピ

ン ジ ョイ ン ト,ボ ー ル ジ ョイ ン ト,テ レス コ

ピ ック ジ ョイ ン トな どが あ る。 力 要 素 に は バ ネ や ダ ンパ,電 ア ク チ ュエ ー タ,あ

気 の モ ー タ,油 圧 の

るい は,内 燃 機 関 な どが あ る。 モ デ ル 化 の考 え方 し だ い で,

内 燃 機 関 もマ ルチ ボ デ ィ シス テ ム で あ る。 剛体 や 弾 性 体 の ほ か に,塑 性 変 形 を起 こす 部 品 を含 むモ デ ル や ロー プ や紐 の よ うな 可 撓 性 を示 す もの,あ

るいは流体 や

流 動 性 の あ る も の な どを 含 め た モ デ ル 化 も研 究 対 象 に広 が っ て きて い る 。   以 上 の よ う なマ ル チ ボ デ ィ シ ス テ ム の動 力 学 が マ ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミ クス で あ る 。 特 に,汎 用 性 の 高 い マ ル チ ボ デ ィ シ ス テ ム の 解 析 ソ フ トがCAE(Computer Aided

Engineering)の

道 具 と して 開発 さ れ,そ の 実 用 性 が 明 らか に な る に つ れ

て,マ

ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミク ス は注 目さ れ る よ う に な っ て きた 。 汎 用 ソ フ トは,

汎 用 的 な モ デ ル の 捉 え方 と,そ れ を計 算 処 理 す る汎 用 的 な仕 組 み に支 え られ て い る 。 ジ ョイ ン トや バ ネ な どの 結 合 要 素 や 力 要 素 を ラ イ ブ ラ リ化 し,機 械 の 多 様 性 に対 処 で き る よ う に な っ て い る。   マ ルチ ボ デ ィ シス テ ム の解 析 と して は,順 動 力 学 解 析,逆 解 析 を代 表 と して,そ

の他,CAEと

動 力 学 解 析,運

動学

して 便 利 な さ ま ざ ま な 方 法 が 含 ま れ る 。

 順 動 力 学 解 析 は,力 や トル ク を与 え た と きに どの よ うな 運 動 す る か を 求 め る も の で あ り,生

じた 運 動,ま

た は,生

じ させ た い 運 動 か ら,そ の た め の力 や トル ク

を 求 め る逆 動 力 学 解 析 と対 を なす も の で あ る。 ロ ボ ッ トで 考 え る と分 か りや す い。 関 節 の モ ー タ に トル ク を加 え た と き,ロ ボ ッ トが どの よ う に動 くか が 順 動 力

学 解 析 で あ り,ロ ボ ッ トに特 定 の 動 き を させ た い と き,関 節 の モ ー タ に ど の よ う な トル ク が 必 要 か を考 え る の が 逆 動 力 学 解 析 で あ る。 順 動 力 学 解 析 と逆 動 力 学 解 析 には運動方程式 が必要 である。   運 動 学解 析 は,産 業 用 ロ ボ ッ トの 関節 角 を 定 め た と き,手 先 の位 置 と姿 勢 が ど の よ うに な る か,あ う に な る か,と

る い は,手 先 の 位 置 と姿 勢 を与 え た と き,各 関節 角 が どの よ

い う よ うな解 析 で あ る。 位 置 と回 転 姿 勢,お

よ び,そ れ らの 時 間

微 分 で 表 され る量 を運 動 学 的物 理 量 と呼 び,運 動 学 解 析 は これ ら運 動 学 的 物 理 量 の 間 の 関係 を解 析 す る もの で あ る。 なお,運

動 学 的 物 理 量 お よ び そ れ らの 間 の 基

本 的 関係 は,運 動 方 程 式 を 立 て るた め に も,当 然,必 要 で あ る。   マ ル チ ボ デ ィダ イナ ミク ス は,機 械 の 研 究 開 発 の 道 具 で あ る。 機 械 の 動 か し方 を 決 め た と き,必 要 な モ ー タの 大 き さ を計 算 す る こ とが で き る。 こ れ は 逆 動 力 学 解 析 を設 計 に用 い る事 例 で あ る 。 逆 に,選 択 した モ ー タ な どで 動 か した と き,機 械 が どの よ う に動 くか を調 べ る こ とが で きる 。 これ が,順

動 力 学 解 析 で あ り,性

能 確 認 作 業 で あ る 。 そ の解 析 を 通 して,機 械 を 動 か した と き に各 部 に 生 じ る負 荷 力 を計 算 す る こ と もで きる。 異 常 な 負 荷 力 が 生 じな い か ど うか,異 常 な 挙 動 が 生 じ な い か ど うか,を

予 想 す る こ とが で き る。 これ らは モ デ ル の 範 囲 内 の 計 算 で あ

る か ら,適 切 な モ デ ル と適 切 な シ ミュ レー シ ョ ン条 件,適 す る。 そ の 部 分 に技 術 者 の判 断 力 が 必 要 で あ る が,そ

切 な判 断基 準 を必 要 と

れ で も,試 作 機 を作 らず に

性 能 な どの 評 価 が で き る よ うに な れ ば,あ る い は,試 作 機 の 数 を減 らす こ とが で きれ ば,研 究 開発 費 用 の 削 減 と期 間 の 短 縮 に つ なが る。 あ る い は,商 品 を市 場 に 出 して か ら発 覚 す る不 具 合 を未 然 に 予 防 で きる 。   マ ルチ ボ デ ィ ダ イ ナ ミク ス は,制 御 系 設 計 に も役 に立 つ 。 動 的 モ デ ル は 様 々 な 形 で 制 御 系 の 設 計 に用 い られ,正 確 な モ デ ル の 重 要 性 が 増 大 す る傾 向 にあ るが, マ ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミ ク ス の発 展 に よ っ て複 雑 な系 の運 動 方 程 式 が 求 め や す くな っ た 。 ま た,平 衡 状 態 を求 め,線 形 化 して 固有 値 解 析 す る よ う な機 能 は 制 御 系 の 設 計 の 基 本 で あ る。 一 方,運 動 を伴 う系 の 振 動 問 題 や,ロ

ー タ ー ダ イ ナ ミ クス の

問題 な ど も,大 局 的 に はマ ルチ ボ デ ィ ダ イ ナ ミ クス の枠 組 み の 中 で調 べ る こ とが で き る。 現 在,マ 体,あ

ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミ ク ス の 分 野 で,弾

性体 や その ほか の柔軟

る い は,塑 性 を伴 う 問題 な どの技 術 が 盛 ん に研 究 され て い る。 従 来 の 有 限

要 素 法 に も影 響 を与 え そ う で あ る。 流 体 と の連 立 問 題 な どが 動 力 学 と して の 今 後

の 課 題 で あ ろ う。   図 １は,ブ

ル ドー ザ ー と 呼 ば れ る 建 設 機 械 で あ る 。60ト

ン程 も あ る 大 型 の車

両 が 突起 を乗 り越 え て 落 下 した と き に足 まわ り各 部 に 生 じる負 荷 力 を求 め よ う と した 。 この 図 は,そ の 順 動 力 学 解 析 の 結 果 か ら ア ニ メ ー シ ョ ンを作 っ た と き の一 つ の 場 面 で あ る。 図 ２は,パ ワ ー シ ョベ ル と呼 ば れ る建 設 機 械 で あ る。 この 図 は 機 械 を外 か ら見 た だ け の もの で あ る が,計

算 モ デ ル は,エ

ン ジ ンか ら油 圧 ポ ン

プ,油 圧 バ ル ブ,油 圧 シ リ ンダ な ど を含 み,作 業 者 の操 作 パ タ ー ン も入 力 さ れ て い る。 掘 削,旋

回,廃 土 の作 業 を 繰 り返 す と して,そ

の作 業 サ イ ク ル 中 に エ ンジ

ン出 力 が どの よ うに 変 化 す る か,そ の パ ワ ー が 油 圧 ポ ンプ,油 圧 バ ル ブ,油 圧 の 配 管 を通 っ て 油 圧 シ リ ン ダ に どの よ う に伝 わ り,ど こ で どん な パ ワ ー ロ ス を生 じ る か,作

業 機 が 行 う仕 事 に どれ ほ どが 結 びつ くか を解 析 した 。 図 ３は,ホ イ ー ル

ロ ー ダ と呼 ば れ る建 設 機 械 で あ る 。 この 計 算 モ デ ル も エ ン ジ ン,油 圧 系,そ 駆 動 系 を含 ん で い て,や へ の 廃 土,後

は り前 進,掘

削,後 退,方

向 を 変 え て 前 進,ダ

して

ンプ カー

退 を繰 り返 す 作 業 サ イ クル につ い て ,パ ワ ー シ ョベ ル と同様 の 解 析

を行 っ た 。 以 上 の 三 つ は筆 者 らが 開 発 した 汎 用 ソ フ トDSSを もの で あ る。 本 書 に 添 付 さ れ たCD-ROMに (DSSは(株)小

利 用 して 計 算 した

計算 結果 の動 画が 収録 されて い る

松 製 作 所 の 社 内 ソ フ ト)。

  図 ４は,逆 立 ち ゴ マ で あ る 。 こ れ は,運 動 す る 剛 体 は ひ とつ で あ るが,接 触 問 題 の 一 例 と して 解 析 した もの で あ る。 計 算 の 開始 時 は コ マ の 球状 の 部 分 が 水 平 面 と接 触 して い るが,接 触 点 は 次 第 に移 動 し,傾 い て ゆ く。 こ の と き,球 の 中心 か ら少 し外 れ た位 置 に あ る重 心 は,徐

々 に 高 くな る。 そ して,細 い 円 筒 状 の 棒 の端

部 が 水 平 面 と接 触 す る よ うに な っ て,急 に 球 状 の部 分 は水 平 面 か ら離 れ,逆

立ち

す る。 この 接 触 の 状 況 を合 理 的 にモ デ ル化 す る こ とは 案 外 厄 介 な 問 題 で あ る。   図 ５は,達 磨 落 しの シ ミュ レー シ ョ ンで,こ

れ も接 触 問題 の 難 し さが あ る。 逆

立 ち ゴ マ の 場 合 は,円 筒 の端 部 と平 面 の接 触 で あ っ た が,達 磨 落 しの 場 合 は,円 筒(図 に は八 角 柱 に描 か れ て い る)の 端 部 同 士 の接 触 で あ り,接 触 状 況 が 多 様 で 一 層 複 雑 で あ る 。 以 上 の 二 つ もDSSを 用 い て 計 算 した 。 こ れ ら もCD-ROMに 動 画 が あ る。   図6∼10は,マ

ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミ ク ス の 応 用 研 究 で あ る 。 図 ６は,地 雷 除

去 の 機 械 化 を 図 り,国 際 貢 献 を 目指 した壮 大 で 意 義 深 い研 究 の 一 環 で あ る。 図 ７

は,自 動 二 輪 車 の 安 定性 を 向上 させ る制 御 技 術 を 目指 した研 究 で あ り,新 しい制 御 技 術 を考 え る 上 で も興 味 深 い テ ー マ で あ る。 図 ８は,弾 性 車 両 の モ デ ルで,弾 性 構 造 物 の振 動 制御 技 術 の 適 応 性 を 広 げつ つ あ る一 連 の 研 究 の 一 環 で あ る。 図 ９ は,車 両 の運 転 者,お

よ び,乗 客 の 感 性 も含 め て ダ イ ナ ミ クス を考 え,環 境 も含

め て 良 好 な性 能 の 実 現 を 目指 した 一 連 の研 究 に用 い ら れ て い る ドラ イ ビ ン グ シ ミ ュ レー タ で あ る 。 図10は,鉄

道 車 両 の安 全 性 を 一 段 と高 め つ つ あ る輪 荷 重 制 御

の研 究 モ デ ル で あ る 。CD-ROMに,図

７ と異 な っ た モ デ ル 図 を用 い て い る が,

自動 二輪 車 の 動 画 が あ る。 こ れ らは 筆 者 の 周 辺 に あ る もの を列 挙 した だ けで あ る が,マ

ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミク ス の対 象 に な る課 題 は 無 数 に存 在 す る 。

  図11∼13は,学

生 の 自 主 課 題 か ら生 まれ た もの で あ る。 図11は

持 つ 車 両,図12は

歩 く自動 販 売 機,図13は

ジ ャイ ロ椅 子 と呼 ば れ る装 置 を体 験

して い る 様 子 の シ ミ ュ レ ー シ ョ ンで あ る。 こ れ ら は,MATLABを れ た もの で,動

図 １

画 がCD-ROMに

弾性 車体 を

用 いて計算 さ

収 録 さ れ て い る。

大 型 ブ ル ドー ザ ー の 突 起 乗 り越 え 時 に 生 じ る 足 回 り負 荷 力 の 解 析 [提 供:小

図 ２

松 製 作 所(小

松 技 法1987④VoL33

No.120)]

中 型 パ ワ ー シ ョベ ル の 作 業 サ イ ク ル シ ミ ュ レ ー シ ョ ン [提供:小

松 製 作 所(小

松 技 法1987④Vol.33

No.120)]

図 ３

ホ イ ー ル ロ ー ダ の 作 業 サ イ ク ル シ ミ ュ レー シ ョ ン

[提 供:小

図４

図５

松 製 作 所(小

松 技 法1987④Vo1.33

No.120)]

逆 立 ち ゴマ の シミ ュ レー シ ョン(接 触 問題)

達 磨 落 と しシ ミュ レー シ ョ ン(接 触 問題)

図 ６ 地 雷 除去 支 援用 多 機 能 ア ー ム[提

図 ７

図 ８

自動 二 輪 車[提

弾 性 車体 を持 つ 車両[提

供:千 葉 大 学 野波 研 究 室]

供:千 葉大学西村研究室]

供:日 本大学背戸渡辺研究室]

図 ９

ユ ニバ ー サ ル ドライ ビ ング シ ミュ レー タ

[提供:東 京大学生産技術研究所須 田研 究室]

(ｂ)

(ａ)

図10空

気 バ ネ に よる左 右 車 輪 の荷 重 制 御

[提供:東 京大学生産技術研究所須 田研 究室]

(ａ)

(ｂ)

図11弾

性車両

[学生の 自主課題]

図12歩

く 自動 販 売 機

[学生の 自主課題]

図13ジ

ャ イ ロ椅 子

[学生 の自主課題]

第 Ｉ部

数学の準備   本 書 を学 ぶ た め に必 要 と な る 数 学 は 初 歩 的 な もの ば か りで あ る。 行 列,ベ

クト

ル 解 析,微 積 分 学 の基 礎 的 事 項 を 知 っ て い れ ば よ く,い ず れ も大 学 初 年 度 で 学 ぶ 程 度 の も の で あ る。 しか し,複 数 の 多 変 数 関数 を簡 潔 に扱 うた め に行 列 を利 用 す る と便 利 で あ り,列 行 列(注)で列 行 列 を偏 微 分 す る よ う な操 作 が 必 要 に な る。 こ れ ら は工 学 で は よ く用 い ら れ る が,数 学 と して学 ん だ り,練 習 を積 む機 会 は少 な く,こ の よ う な 方 法 に不 慣 れ な読 者 も多 い と思 わ れ る。   ３次 元 空 間 に 描 か れ た 矢 印 を本 書 で は 幾 何 ベ ク トル と呼 ぶ 。 ベ ク トル解 析 で は 幾 何 ベ ク トル とい う言 葉 は用 い な い と思 うが,そ

の 内 積 や 外 積 な どが 出 て くる 。

こ れ らの概 念 は力 学 で も重 要 で あ る 。 一 方,数 値 計 算 に持 ち 込 む ため に は 座 標 系 が 必 要 に な る 。 そ の座 標 系 は ３次 元 の 場 合,３ 本 の 幾 何 ベ ク トル で で き て い る と 考 え るの が 妥 当 で あ る。   第 Ｉ部 の 第 １章 は,行 列 の 復 習 で あ る 。 第 ２章 は,列 行 列 に よ る微 分 に つ い て 書 か れ て い るが,本

書 の 内 容 に沿 っ た 形 の 説 明 に な っ て い る。 第 ３章 はベ ク トル

解 析 の 初 歩 と座 標 系 につ い て の 説 明 が あ る 。 第 Ｉ部 は本 書 で 使 用 す る数 学 を概 説 した もの だ が,第

２章 の最 後 の 節 に は ニ ュー トン ・ラ フ ソ ン法 が 出 て くる 。 これ

は運 動 学 な どで よ く用 い られ る数 値 解 法 で あ り,第

３章 の 座 標 系 と と もに,運 動

力 学 に 直接 関 わ る事 項 で あ る。

(注)n×1行

列 を本 書 で は 列 行 列 と呼 ぶ こ とに す る。 普 通,列 ベ ク トル な ど と呼 ばれ るが,本

書 で はベ ク トル とい う言 葉 を 第 ３章,第

４章 な どで 説 明 す る幾 何 ベ ク トル と代 数 ベ ク トル に 限

定 して使用 して い る 。 こ の両 者 の 明確 な認 識 を重 視 して い るた め であ る。

第 １章

行列の復習

  実 数,複 素 数,そ の 他 数 学 の対 象 と な る要 素 を長 方 形 状 に並 べ た もの を行 列 と 呼 ぶ 。 行 列 は マ ル チ ボ デ ィ ダ イナ ミク ス を扱 う た め の 重 要 な道 具 で あ り,本 書 を 学 ぶ 上 で 必 須 で あ る。   本 章 は,行 列 の 基 本 的事 項 の 復 習 で あ る。 ほ とん ど,大 学 の初 年 度 に学 ぶ 程 度 の事 柄 で あ り,各 節 の タ イ トル だ け を確 認 す る程 度 の 読 み 方 で十 分 な読 者 も多 い はず で あ る。 しか し,ブ ロ ッ ク行 列 の考 え方 を初 め て 知 る読 者 が い るか も しれ な い。 これ は難 しい こ と で は な い が,当

然 の こ との よ う に使 わ れ る の で 迷 い の ない

よ う に把 握 して お い て 頂 きた い 。 ま た,ス 称 行 列)と

カ ラ ー行 列 や,交 代 行 列(ま

い う言 葉 を初 め て 知 る読 者 もい るか も しれ な い が,そ

み だ け で も よ い で あ ろ う。 固 有 値 解 析,対

角 変 換,ト

たは歪対

の 部 分 の拾 い 読

レー ス に 関 す る説 明 は 必 要

が 生 じた と きに読 む こ と に して も よ い 。   こ の 章 で 扱 う行 列 は原 則 と して 実 数 を要 素 と して い る。 一 方,第

３章 や 付 録 Ａ

に は 幾何 ベ ク トル を要 素 とす る行 列 が 出 て くる。 た だ し,こ れ は,単 に行 列 の 形 式 と演 算 規 則 を利 用 し て い る だ け で あ り,そ の 場 で理 解 で き,使 い なが ら慣 れ て ゆ け る は ず で あ る。 ま た,付 録 Ｂ に は 複 素 数 を 要 素 と す る 行 列 が 出 て く るが, これ もそ の 場 の 説 明 だ け で 十分 だ と考 え て い る。

1.1

行,列,行

n×m行

列 の サ イ ズ(大 き さ),列

列 Ａ はn×m個

行 列,行

行列

の 要 素 を 次 の よ う に並 べ た もの で あ る 。

(1.1)

横 の 並 び を行,縦

の 並 び を列 と呼 び,こ

れ て い る。 また,こ

の 行 列 のサ イ ズ,ま

の 行 列 は ｎ個 の 行 と ｍ 個 の 列 で構 成 さ た は,大 き さ をn×mと

表 現 す る。Ａ の

(i,j)要 素 と はaijの こ と で,置 か れ て い る位 置 の 行 と列 の 番 号 が 添 え 字 に な っ て いる。 n×1行 列 は 要 素 が 縦 に 並 ん だ行 列 で,本 書 で は列 行 列 と呼 ぶ こ と にす る。

(1.2)

1×n行 列 は要 素 が横 に並 ん だ行 列 で,行 行 列 で あ る。 C=[C1C2…Cn]

(1.3)

1×1行 列 は単 独 の 要 素 と同 一 で あ る。

1.2

ゼ ロ 行 列,正

方 行 列,長

ス カ ラ ー 行 列,上(下)三

方 行 列,対

角 行 列,単

位 行 列,

角行列

  ゼ ロ 行 列 と はす べ て の 要 素 が ゼ ロの 行 列 で あ る。 大 き さ がn×mの

ゼ ロ行 列 を

0n×mと 書 くこ と も あ る が,本 書 で は,単 に ０ と書 い て 大 き さ を 明示 し な い。 式 の 中 や 文 脈 で 判 断 で きる と考 え ての こ とで あ るが,不 慣 れ な うち は 注 意 を要 す る。   行 と列 の 数 が 同 じ行 列 を正 方 行 列 と呼 ぶ 。

(1.4)

な お,一 般 の 行 列,あ

る い は,特 に正 方 行 列 以 外 の 行 列 を 長 方 行 列 と呼 ぶ こ とが

ある。   正 方 行 列 の 左 上 の 角 か ら右 下 の 角 に 向 か う対 角 線 上 の 要 素 を対 角 要 素 と呼 ぶ 。 式(1.4)右 辺 の 中 の 添 え字 がdjjと な る よ う な要 素 の こ と で,n×n行

列 に は ｎ個

の 対 角 要 素 が あ る。 そ して,対 角 要 素 以 外 の 要 素 が す べ て ０の 場 合 ,そ の よ う な 行 列 を対 角 行 列 と呼 ぶ 。 対 角 要 素 がf1,f2,…,fnの

対 角 行 列 Ｆ はdiag(f1 ,f2,

…

,fn)と

表 す こ と もあ る。

(1.5)

な お,こ

の 対 角 要 素 の よ う に,添

え字 の付 け 方 は融 通 を きか せ た考 え 方 をす れ ば

よい 。   す べ て の 対 角 要 素 が １の 対 角 行 列 を単 位 行 列 と呼 ぶ 。 本 書 で は 単 位 行 列 をIn と 表 し,サ イ ズ がn×nで 3×3の

単 位 行 列 で,本

あ る こ と を 明 示 す る こ とが 多 い。 た と え ば,I3は

書 に は頻 繁 に現 れ る。 単 位 行 列 の サ イ ズ を明 示 せ ず に,Ｉ

と表 す 場 合 もあ る が,い ず れ に して も,Ｉ は 単 位 行 列 を意 味 す る予 約 文 字(専 用 に 約 束 され た 文 字)と I=diag(1,1,・

す る。

(1.6)

・・,1)

  I1は ス カ ラ ー の １と 同 じで あ る が,2×2以

上 の 場 合,本

書 では単位 行 列 を １

と表 す こ と は な い。 た ま に,単 位 行 列 を １と表 記 して い る文 献 も あ る が,慣

れな

い う ち は 混 乱 の 原 因 に な るの で記 号 を 区別 す る ほ うが よい と考 え て い る 。   対 角 行 列 の 対 角 要 素 がすべ て等 しい場 合,そ の よ うな行 列 をス カ ラ ー行 列 と呼 ぶ 。

(1.7)

単 位 行 列 は ス カ ラ ー 行 列 で,そ

の ス カ ラ ー の 値 が １の場 合 で あ る。

  正 方 行 列 を対 角 要 素 とそ の 右 上 方 の 要 素,左

下 方 の 要素 の 三 つ に分 け,左 下 方

の 全 要 素 が ゼ ロ の場 合 を上 三 角 行 列 と呼 ぶ。 同 様 に,右 上 方 の 全 要 素 が ゼ ロ の場 合 は下 三 角 行 列 で あ る(ブ な お,上

ロ ッ ク上(下)三

下 の 三 角 行 列 は,LU分

解,QR分

角 行 列 の 式(1.11),(1.12)参 解,コ

照)。

レ ス キ ー 分 解 と呼 ば れ る数 値

計 算 の 方 法 に 出 て くる。 これ ら の 方 法 は運 動 方程 式 や 拘 束 式 の 数 値 解 法 に 密 接 に 関係 し て い るの で,他 に役 立 つ で あ ろ う。

の 文 献 な どで 学 ん で お くと,本 書 の 知 識 を発 展 させ る と き

1.3

ブ ロ ッ ク行 列,対 ブ ロ ック 上(下)三

 行 列 を適 当 に 縦,横

角 ブ ロ ッ ク,ブ

ロ ック 対 角 行 列,

角行 列

に 分 割 し,い

くつ か の 小 さ な行 列 が 長 方 形 状 に 並 ん で い る

と考 え る と便 利 な場 合 が あ る。 その よ うな小 さ な行 列 をブ ロ ッ ク と呼 ぶ こ とにす る と,ブ

ロ ック を要 素 と した 行 列 を考 え て い る こ とに な る。

(1.8)

ブ ロ ッ ク を要 素 と した行 と列 の 数 は,当 然,単

独 要 素 レベ ル で 見 た 行 と列 の 数 よ

り小 さ い か 等 しい 。 全 体 の 行 列 は縦 と横 の ま っす ぐな線 で 分 割 す るの で,一 つ の 行 に含 まれ る ブ ロ ッ ク の 行 の 数 は等 し く,一 つ の 列 に含 まれ る ブ ロ ッ クの 列 の 数 も等 しい 。 た だ し,分 割 が 等 分 割 と は 限 らな い の で,ブ

ロ ック の 大 き さ は様 々 に

な る。 この よ うに ブ ロ ック を明 示 した行 列 表 現 をブ ロ ック 表 現,そ

の よ う に把 握

さ れ た 行 列 を ブ ロ ッ ク 行 列 と呼 ぶ 。 ブ ロ ック 行 列 と は 特 定 な行 列 の 名 称 で は な く,行 列 の 捉 え 方 で あ る 。 ま た,p×qブ

ロ ッ ク行 列 とい え ば,ブ

ロ ッ ク単 位 で

数 え た 行 数 が ｐ,列 数 が ｑと解 釈 す る こ とにす る。   p×pブ

ロ ッ ク 行 列 Ａ は ブ ロ ック 単 位 の 行 数 と列 数 が 等 しい の で,正 方 的 ブ ロ

ッ ク行 列 と呼 ぶ 。 そ して,そ の よ う な場 合,Aiiの

よ う に 二 つ の 添 え字 が 等 し く

な る よ うな 位 置 に あ る ブ ロ ック が 対 角 ブ ロ ッ ク で あ る。 本 書 で は対 角 ブ ロ ックが 正 方 行 列 で な い場 合 も含 め て 考 えて い る。 す な わ ち,行 列 全 体 が 正 方 行 列 で な い 場 合 で も ブ ロ ッ ク 単 位 で は正 方 的 と見 な して 対 角 ブ ロ ッ ク を 考 え る こ とが あ る。 な お,対

角 ブ ロ ッ ク を 正 方 行 列 に 限 定 して い る文 献 もあ る の で 注 意 が 必 要 で あ

る。   対 角 ブ ロ ッ ク以 外 の ブ ロ ック が ゼ ロ行 列 の場 合,そ

の よ う な正 方 的 ブ ロ ック行

列 を ブ ロ ッ ク 対 角 行 列 と呼 ぶ 。対 角 ブ ロ ッ ク がD1,D2,…,Dpの

と き,ブ ロ

ッ ク対 角 行 列 を次 の よ う に 表 す こ とが あ る。 D=diag(D1,D2,…,Dp)

(1.9)

こ れ は 一 般 の 対 角 行 列 と同 じ表現 で あ る の で,区 別 して,次 の よ うに 表 現 す る こ

と もあ る。 D=block

(1.10)

_diag(D1,D2,…,Dp)

前 述 し た こ と だが,こ

の場 合 も本 書 で はDiを

正 方 行 列 に 限 定 して い な い。

  正 方 的 ブ ロ ック行 列 も対 角 ブ ロ ッ ク とそ の右 上 方 の ブ ロ ッ ク,左 下 方 の ブ ロ ッ ク に 分 け て 考 え る こ とが で き,左 下 方 の ブ ロ ッ クが すべ て ゼ ロ の場 合 をブ ロ ッ ク 上 三 角 行 列,右

上 方 の ブ ロ ック が す べ て ゼ ロ の 場 合 を ブ ロ ッ ク 下 三 角 行 列 と呼

ぶ。

(1.11)

(1.12)

な お,第21章

1.4

の 漸 化 式 に ブ ロ ック下 三 角 行 列 や ブ ロ ック 対 角 行 列 が 出 て くる。

行列の等値性,行 列の和と積,ブ ロック行列の和と積, 行列のスカラー積

  行 列 Ａ と Ｂ の サ イ ズ が 等 し く,対 応 す る 位 置 に あ る す べ て の 要 素 が 等 しい と き二 つ の 行 列 は等 しい とい う。 行 列 Ａ と Ｂ の和 も,サ

イズ が 等 しい 場 合 に だ け

考 え る こ とが で きる 。 和 も 同 じサ イ ズ の 行 列 に な り,そ れ を Ｃ とす る と,Ｃ の 各 要 素cijは Ａ と Ｂ の 対 応 す る位 置 にあ る 要 素aijとbijの   行 列 Ａ の サ イ ズ をm×k,Ｂ

の サ イ ズ をk×nと

和 で あ る。

す る と,二 つ の 行 列 の積AB

を 考 え る こ とが で き る。 そ の 結 果 の行 列 を Ｃ とす る と,そ の サ イ ズ はm×nで, (i,j)要 素cijは Ａ の 第 ｉ行 と Ｂ の 第 ｊ列 を用 い て 次 の よ う に計 算 さ れ る 。

図1.1行

列 の和 と積

(1.13)

行 列 Ａ と Ｂ の 積ABは,Ａ

の 列 の 数 と Ｂ の 行 の 数 が 等 しい と き存 在 す る。 積 の

場 合 は順 序 が 重 要 で,ABが

存 在 して もBAが

者 が 存 在 す る 場 合,ABとBAは 限 らず,サ 場 合,行

存 在 す る と は 限 らな い 。 ま た,両

正 方 行 列 に な るが,両 者 の サ イ ズ は 等 しい とは

イ ズ が 等 しい 場 合 も両 者 が 等 しい とは 限 ら な い 。ABとBAが

列 Ａ と Ｂ は交 換 可 能,あ

等 しい

る い は,可 換 で あ る とい う。

  ブ ロ ッ ク行 列 Ａ と Ｂ の 和 は 両 者 の ブ ロ ック行 数 と ブ ロ ッ ク列 数 が 等 し く,対 応 して い るす べ て の ブ ロ ック 同 士 のサ イ ズ が 等 しい 場 合 に 限 っ て考 え る こ とが で き,同 型 の ブ ロ ッ ク 行 列 に な る 。 こ れ を Ｃ とす る と,す べ て の ブ ロ ッ ク に つ い て次 の 関係 が 成 立 す る。

(1.14)

Cij=Aij+Bij   p×kの

ブ ロ ッ ク 行 列 Ａ とk×qの

と ｓに 対 し て 積AisBsjが

ブ ロ ッ ク 行 列 Ｂ に 関 し て,す

存 在 す る と き に 限 っ て,二

を 考 え る こ と が で き る 。 そ の 結 果 を Ｃ と す る と,そ p×qで,(i,j)ブ

ロ ッ クCijは

べ て の ｉと ｊ

つ の ブ ロ ッ ク 行 列 の 積AB の ブ ロ ック行列 サ イズは

Ａ の ｉ番 目 の ブ ロ ッ ク 行 と Ｂ の ｊ番 目 の ブ ロ ッ ク

列 を用 い て 次 の よ うに 計 算 さ れ る 。

(1.15)

  ブ ロ ッ ク行 列 の 和 と積 は 形 式 的 に は実 数 要 素 の 行 列 の和 と積 と 同 じで あ るが, 要 素 が 行 列 で あ る か ら,要 素 同士 の和 と積 が 成 立 す る こ と も必 要 条 件 で あ る 。 た とえ ば,次 の 積 が 成 立 す る た め に は ど ん な条 件 が 必 要 だ ろ うか 。

(1.16) まず,全

体 の積 が 成 立 す る よ うな サ イズ に な っ て い な けれ ば な ら な いが,そ

に,積AF,あ

る い は,BGが

の他

成 立 す る こ とが 必 要 で あ る。 あ る い は,全 体 の積

に 関 す る サ イ ズ の整 合 性 を 求 め ず に,AFとBGが

成 立 す る こ とが 必 要 と して も

よい 。 た だ し,ブ ロ ッ ク の考 え 方 自体 は 適 宜 変 更 して 考 え る こ とが で きる の で, 無 意 味 に形 式 に こ だ わ る こ とが 求 め られ て い る わ け で は な く,合 理 的 で矛 盾 の な い ブ ロ ッ ク の 見 方 が 保 た れ て い れ ば よい 。 なお,慣

れ ない うち は,常 時,サ

イズ

に矛 盾 が 生 じて い な い か ど う か を確 認 す る努 力 が 望 ま し く,こ れ は 単 純 ミス の 防 止 に 繋 が る。   行 列 の ス カ ラ ー 積 とは,行 列 の すべ て の 要 素 に そ の ス カ ラ ー を乗 じる こ とで あ る。 式(1.1)の Ａ にス カ ラー ｓを掛 け る と次 の よ う に な る。

(1.17)

ス カ ラ ー と は,こ

こで は,実 数 の こ とだ が,幾 何 ベ ク トル な どの 単 独 要 素 を掛 け

る場 合 で も同 様 の積 の ル ー ル が 成 立 す る と考 えて よ い 。   実 数 を 要 素 とす る1×1行 ｎが ２以 上 の 場 合,サ

列 は 実 数 そ の もの と同 等 と見 る こ とが で きる。 ｍ と

イ ズ がm×nの

行 列 と1×1の

行 列 の積 は 通 常 の 行 列 の積

で は 定 義 され て い な い 。 そ の 意 味 で,行 列 の ス カ ラ ー積 は 行 列 の積 に関 す る特 別 な ル ー ル で あ る 。 行 列 の 積 は一 般 に 可 換 で は な い が,行 け る と きは,sAと

書 い て もAsと

列 Ａ に ス カ ラ ー ｓを掛

書 い て も よい 。 もち ろ ん こ れ は,Ａ の 要 素 と ｓ

が 積 に 関 し て 可 換 で あ る こ と が 前 提 で あ る 。 行 列A,Bの を 掛 け る 場 合 も,sAB,AsB,ABsの   た だ し,ス

た は,SBを

考 え,ス

カ ラ ー ｓが 式(1.2)の

表 さ れ て い る と し よ う 。 こ れ をBs,お

考 え る と,一

ｂ と 式(1.3)の

よ び,SBに

ｃに よ

代 入 す る ことを

カ ラー 積 が 特 別 ル ー ル で あ る こ と が 原 因 で あ

列 の 積 の 結 合 法 則 と は,一

般 に,次

の 式 が 成 立 す る こ と を い う。

(AB)C=A(BC)

1.5

列 Ｂ の スカ

般 に積 の 結 合 法 則 が 成 り立 た な くな る。 通 常 の 行 列 の積 で は こ の よ

う な こ と が 生 じ る こ と は な く,ス る 。 な お,行

ス カラー ｓ

い ず れ で も よ い。

カ ラ ー 積 で は 次 の こ と に 注 意 が 必 要 で あ る 。 い ま,行

ラ ー 積Bs,ま りs=cbと

積ABに

(1.18)

行列式,小 行列式,逆 行列

  実 数 を 要 素 とす る正 方 行 列 Ａ に対 して,行 列 式￨Ａ￨と 呼 ば れ る実 数 を 対 応 さ せ る こ とが で きる 。 行 列 式 は 行 列 の 要素 を用 い て計 算 す る こ とが で き るが,行 列 の サ イ ズが2×2と3×3の

場 合 は 次 の よ う に な る。

(1.19)

(1.20) 大 き さn×nの

行 列 の 行 列 式 に つ い て,こ

こ で は,行 展 開 の 方 法 を 示 して お

く。Ａ の ｉ番 目の 行 に つ い て 展 開 す る と して,次 の 漸 化 的 な 関係 が 成 立 す る。

(1.21) ｉ番 目の 行 と して は どの 行 を 選 ん で も よ い。Mijは (n-1)×(n-1)行

Ａ の 第 ｉ行 と第 ｊ列 を 除 い た

列 の 行 列 式 で,小 行 列 式 と呼 ば れ る 。列 展 開 の 方 法 もあ り,

同 様 で あ る が,い ず れ に し て も ｎ個 の 小 行 列 式 が 決 ま れ ば￨Ａ￨を 求 め る こ とが で き る。 各 小 行 列 式 の 計 算 も同 様 に,一 回 りサ イ ズ の小 さい 行 列 の 行 列 式 か ら求 め

る こ と に し,こ れ を繰 り返 せ ば,2×2行

列 な どの 行 列 式 計 算 に帰 着 で き る。

  次 に,行 列 式 の 性 質 に つ い て 考 え る 。 まず,も

との 行 列 の 二 つ の行(ま

列)が 等 しい と き,行 列 式 は ゼ ロ に な る。 行 列 の ２つ の 行(ま え る と行 列 式 は 符 号 が 反 転 す る。 行 列 の あ る行(ま 列)の

た は列)に

定 数倍 を加 え て も行 列 式 は変 わ らな い 。￨AB￨,￨A￨,￨B￨が

た は列)を

たは 入れ換

別 の 行(ま

たは

存 在 す る と き,

次 の 関 係 が 成 り立 つ 。

￨AB￨=￨A￨￨B￨ n×nの

(1.22)

大 き さ の 行 列 Ａ に お い て,あ

倍 に な る 。n×n行

る 行(ま

列 Ａ の ス カ ラ ー 積(ａ

た は 列)を

倍)を

ａ倍 す る と 行 列 式 は ａ

作 っ た と き,そ

の行列式 は次 の

よ うに な る。

￨aA￨=an￨A￨

(1.23)

 正 方 行 列 Ａ の 行 列 式￨Ａ￨が ゼ ロ で な い 場 合,Ａ を求 め る こ とが で き,Ａ

とA-1と

の 逆 行 列 と呼 ば れ る 行 列A-1

は次 の よ う な関 係 に な っ て い る 。

AA-1=A-1A=I

(1.24)

右 肩 の-１ が 逆 行 列 を表 す 記 号 で あ り,ま た,Ａ

とA-1は

可 換 で あ る。 次 に,正

方 行 列 Ａ を係 数 行 列 と し,列 行 列 ｘ を 未 知 数 とす る 次 の よ う な 連 立 一 次 方 程 式 を考 え る。 Ax=b こ の 式 の 解 はA-1が

(1.25) 存 在 す る と き,こ

れ を用 い て 次 の よ うに 求 ま る 。

x=A-1b

(1.26)

た だ し,連 立 一 次 方 程 式 の 数 値 解 を求 め る実 際 の計 算 で は,逆 行 列A-1を た 後 に ｂ と の 積 を 作 る よ う な 手 順 は 計 算 時 間 的 に不 利 で あ り,直 接,連 方 程 式 を解 く方 法(ガ

求め 立一次

ウス の消 去 法 な ど)を 用 い る こ とが 多 い 。 そ の 意 味 で は式

(1.26)は 理 論 上 の 式 で あ る 。   逆 行 列 は次 の式 で 求 め る こ とが で き る。

(1.27) adj(A)は (1.21)に

余 因 子 行 列 と 呼 ば れ,そ

の(i,j)要

出 て き た 小 行 列 式 で あ る が,添

が 必 要 で あ る 。2×2行

素 は(-1)i+jMjiで

あ る 。Mjiは

式

え 字 の 順 序 が入 れ 替 わ っ て い る点 に 注 意

列 の 余 因子 行 列 は 次 の よ う に な る。

(1.28) した が っ て,逆 行 列 は 次 の よ う に求 ま る。

(1.29) ABとA-1,B-1が

存 在 す る と き,次

の 関 係 が 成 り立 つ 。

(1.30)

(AB)-1=B-1A-1 ａ を ゼ ロ で な い ス カ ラ ー と し て,A-1が

存 在 す る と き,次

の式 が成 り立 つ 。

(1.31) A-1が

存 在 す る と き,次

の 関 係 が 成 り立 つ 。

(1.32)

1.6

転置行列,対 称行列,交 代行列(歪 対称行列)

  サ イ ズn×mの

行 列 Ａ の(i,j)要

素 をaijと す る。 こ の と き,aijを(j,i)要

素

と し,他 の す べ て の 要 素 につ い て も行 と列 の 番 号 を入 れ 換 え た位 置 に 配 列 しなお した 行 列 を考 え る こ とが で き る。 そ の よ う な行 列 を Ａ の転 置 行 列 と呼 び,ATと 書 く。 右 肩 の Ｔが 転 置 を 表 す 記 号 で,ATの

サ イ ズ はm×nに

な る。 ま た,列 行

列 の 転 置 は 行 行 列 に な り,行 行 列 の 転 置 は列 行 列 に な る。 ス カ ラ ー,あ

る い は,

1×1行 列 を転 置 して も,転 置 前 の もの と同 一 で あ る。   次 に,ブ

ロ ッ ク行 列 の 転 置 を 考 え る。 た と え ば,

(1.33) こ の 場 合,Ａ

と Ｂ を,単

必 要 で あ るが,う

に,縦 に 並 べ 直 す だ け で は な く,Ａ と Ｂ 自体 も転 置 が

っか り しやす い の で 注 意 を促 して お く。

  正 方 行 列 Ａ の(i,j)要

素 と(j,i)要

素 が す べ て の ｉと ｊにつ い て等 しい と き,

これ を対 称 行 列 と呼 ぶ 。 次 の 式 は 対 称 行 列 の 必 要 十 分 条 件 で あ る 。 AT=A

(1.34)

対 称 行 列 は,対 角 要 素 に 関 して 対 称 的 な位 置 にあ る要 素 が 等 しい値 を持 っ て い る。   正 方 行 列 Ａ の す べ て の 対 角 要 素 が ゼ ロ で,こ の 対 角 要 素 に関 して 対 称 な 位 置 に あ る 二 つ の 要 素 の 和(aij+aji)が,す 列 を,交 代 行 列,あ

べ て のi,jに

対 して ゼ ロ の と き,こ の 行

る い は,歪 対 称 行 列 と呼 ぶ 。 次 の 式 は交 代 行 列 の 必 要 十 分 条

件 で あ る。

(1.35)

AT=-A

交 代 行 列 は,対 角 要 素 に 関 して 対 称 的 な位 置 に あ る 要 素 の 絶 対 値 が 等 し く,符 号 が反対 に なっている。   一 般 に,正 方 行 列 は 対 称 行 列 と交 代 行 列 の 和 に分 解 で き る。 こ の こ と は次 の 式 か ら明 らか で あ る。

(1.36) 積ABの

転 置 は,Ｂ

の 転 置 と Ａ の転 置 を こ の順 に掛 け た もの に 等 しい。

(1.37) ￨Ａ￨が 存 在 す る と き,こ

の 値 とATの

行 列 式 は等 しい 。

(1.38) A-1が

存 在 す る と き,そ

の 転 置 はATの

逆 行 列 に 等 し い 。 本 書 で は,こ

れ をA-T

と 書 く こ とが あ る 。

(1.39)

1.7固

有 値,固 有 列 行 列,対

実 数 を要 素 とす るn×n正 とが で きる 。 まず,次

角変 換

方 行 列 Ａ に 関 して,固 有 値 と固 有 列 行 列 を考 え る こ

の 式 を Ａ の 特 性 方 程 式 と呼 ぶ 。

(1.40) Ｓ は 未 知 の ス カ ラ ー 変 数Inはn×n単 ｎ 次 方 程 式 で,そ

位 行 列 で あ る 。 こ の 方 程 式 は ｓに 関 す る

の ｎ 個 の 根 λ1,λ2,…,λnが

を 満 た す ゼ ロ で な いn×1列

行 列Viは,λiに

Ａ の 固 有 値 で あ る 。 ま た,次

の式

対 応 す る 固 有列 行 列 で あ る。

(1.41) 固有 列 行 列 は,通 常,固 有 ベ ク トル と呼 ば れ て い るが,本 書 で は,第

Ｉ部 の 冒頭

の 脚 注 に 記 した 方 針 に従 っ て この よ う に呼 ぶ こ とに す る。 固有 値,お

よ び,固 有

列 行 列 の 要 素 は 複 素 数 に な る こ とが あ る。   式(1.41)の

意 味 は,固 有 列 行 列Viに

Ａ を左 か ら掛 け て で きる 列 行 列 がViの

λi倍に な る とい う こ とで あ る 。λiとViの 要 素 が 実 数 の場 合 は,Viに

Ａ を左 か ら

掛 け て も ｎ 次 元 空 間 に お け るViの 方 向 が 変 化 し な い こ と に な る。 一 般 に は, n×1列

行 列 に Ａ を 左 か ら掛 け た 結 果 は も と の 列 行 列 の ス カ ラ ー 倍 に は な らず,

ｎ次 元 空 間 に お け る方 向 が 変 化 す る が,こ の こ と と対 比 して 考 え る と固 有 列 行 列 と 固 有値 の イ メ ー ジが は っ き りす る で あ ろ う。 特 に,２ 次 元 か ３次 元 で 試 してみ れ ば わ か りや す い 。   viが λiに対 応 す る 固 有 列 行 列 の と き,Viの

定 数 倍 も λiに対 応 す る固 有 列 行 列

で あ る。 す な わ ち,固 有 列 行 列 は常 に定 数 倍 の 自 由 度 が あ る。 ま た,n×n行

列

Ａ の 固 有 値 は重 根 も含 め る と,必 ず,ｎ 個 あ る 。 Ａ の 要 素 が 実 数 の 場 合,複 素 数 の 固有 値 が あ れ ば そ の 共役 複 素 数 も固 有値 に な っ て い て,対 応 す る 固有 列 行 列 も 共 役 の 関 係 に あ る。   す べ て の 固 有 値 が 異 な っ た値 の と き,λiに 対 応 す るviは 定 数 倍 の 自 由度 を除 い て 定 ま る。 そ の と き,i=1∼nのviを

順 に並 べ て,次 の よ う な正 方 行 列 Ｔ を

考 え る。

(1.42) こ の と き,T-1は

必 ず 存 在 し,T-1ATはi=1∼nの

λiを 順 に 並 べ た 対 角 行 列 に

なる。

(1.43)

(1.44)

この よ う な Ａ へ の変 換 を対 角 変 換 と呼 び,Ｔ

は対 角 変 換 行 列 で あ る 。

  式(1.42)の 正 方 行 列 Ｔ の 逆 行 列 が 存 在 す る と き,ｎ 個 の 固 有 列 行 列vi(i=1∼ n)は,一

次 独 立 で あ る とい う 。 逆 に,ｎ 個 の 固 有 列 行 列Vi(i=1∼n)が

立 な ら,正 方 行 列 Ｔ は逆 行 列 が 存 在 す る 。 なお,任

意 のn×1列

一次独

行 列 は ｎ個 の一

次 独 立 な 固 有 列 行 列Viの 線 形 結 合 で 表 す こ とが で き る。 線 形 結 合 とは,ス

カラ

ー を掛 け て和 を と る操 作 で あ る。 ま た,一 次 独 立 で な い 場 合 は,一 次従 属 で あ る とい う。   実 数 を 要 素 とす る 対 称 行 列 を実 対 称 行 列 と呼 ぶ が,行 列 Ａ が 実 対 称 行 列 の場 合,固

有 値 は 実 数 に な る。 そ して,二

ば,VTiVjは ま た,こ

つ の 固 有 値 λiと λjが異 な る 値 を持 つ な ら

ゼ ロ に な る 。VTiVjを 二 つ の 列 行 列ViとVjの

の 内積 が ゼ ロに な っ て い る こ と をviとVjが

内 積 と呼 ぶ こ とが あ り,

直 交 して い る と表 現 す る こ

とが あ る 。 す な わ ち,実 対 称 行 列 の異 な る 固有 値 に対 応 す る固 有 列 行 列 は 直 交 し て い る。   実 対 称 行 列 Ａ の 固 有 値 に重 根 が 含 ま れ て い る場 合,対 応 す る 固 有 列 行 列 は 定 数 倍 以 外 に も 自 由 な 選 び 方 が で きる が,そ

の 場 合 で も,実 対 称 行 列 Ａ の 固 有 列

行 列 の す べ て を,相 互 に直 交 す る よ う に 選 ぶ こ とが で き る。   ViをVTiViが

１に な る よ う に 選 ぶ こ と を 固有 列 行 列viの 正 規 化 と呼 ぶ 。 実 対 称

行 列 Ａ の 固 有 列 行 列 が 相 互 に 直 交 して い て,か つ,正

規 化 され て い る と き,対

角 変 換 行 列 Ｔ は 正 規 直 交 行 列 に な る。 TT=T-1

(1.45)

こ の と き,対 角 変 換 は 次 の よ う に書 く こ とが で き る。 TTAT=A

(1.46)

  正 規 直 交 行 列 は,QR分

解 や特 異 値 分 解 と呼 ば れ る数 値 解 法 に 出 て くる 。特 異

値 分 解 も本 書 の 方 法 で 求 め た 関 係 式 を 数 値 的 に解 く場 合 に役 立 つ こ とが あ る 。6. 2節 の座 標 変 換 行 列(7.2節

の 回転 行 列)は

正 規 直 交 行 列 で あ る。 ま た ,12.3節

に 記 した 慣 性 主 軸 を求 め る た め に,慣 性 行 列(実 対 称 行 列)を

固 有値 解 析 し,正

規 直 交 行 列(座 標 変換 行 列)を 作 っ て対 角 変 換 を行 う方 法 が あ る 。

1.8行 n×n正

列 の トレ ー ス 方 行 列 Ａ の トレー ス は,対 角 要 素 の和 で あ る。

(1.47) 転 置 して も トレー ス は変 わ らな い 。

(1.48) ス カ ラ ー ｓに 対 し て,次

の 式 が 成 り立 つ 。

(1.49) Ｂ も 同 じサ イ ズ の 正 方 行 列 と して,次

の式 が 成 り立 つ 。

(1.50) トレー ス は全 固有 値 の和 に 等 しい。

(1.51) 二 つ のn×m行

列 Ｂ と Ｃ につ い て 次 ぎ の 関係 が 成 立 す る。

(1.52) こ の 式 を,二

つ のn×1列

行 列 ｂ と ｃ に 適 用 す る と,次

の よ う に な る。

(1.53) 最 後 の 式 は,付

録B7.2項

で役 に 立 つ 。

第２章

列行 列を変数 とする関数の微分

  本 章 は行 列 の微 分 に 関す る事 柄 の 説 明 で あ る。 そ の 内 容 は多 変 数 の微 分 学 と行 列 の 組 み合 わ せ で あ り,い ず れ も大 学 の 初 年 度 に学 ぶ事 柄 で あ る が,多 変 数 の微 分 学 が 十 分 実 用 的 な レベ ル に達 して い る か否 か とい う不 安 と,行 列 との組 み 合 わ せ に よ る混 乱 の 不 安 が あ る。 そ こで,本 書 を 読 む た め に 必 要 な数 学 的 操作 を ま と め て み た。 数 学 と して この よ うな 内 容 を学 び,練 習 す る機 会 は少 な い と思 われ る の で,時

間 を か け て,曖 昧 さ を取 り除 い て ほ しい 。 式 の 変 形 操 作 の制 限 や ス カ ラ

ー と列 行 列 の 違 い に よ る差 異 を理 解 し,形 式 的 な 類 似 に よ る誤 りに 陥 らな い よ う に注 意 を払 っ て 頂 きた い 。 第 Ⅱ部 以 降 を学 ぶ うち に疑 問 が 湧 い て くる こ と もあ ろ う。 そ の よ うな と きに は 再 度,こ

の 章 を復 習 して,数 学 的 な 操 作 とそ の 意 味 を正

し く把 握 し直 す よ うな 努 力 を期 待 した い 。 行 列 を利 用 した 関 数 操 作 は慣 れ て しま う と便 利 な道 具 で あ り,広   本 章 の 中 で,2.1節

く工 学 一 般 で 役 立 つ もの で あ る 。

∼2.3節 が 基 本 的 な 内容 で あ り,2.4節

∼2.7節 は そ の 応 用

と位 置 づ け る こ と も で きる の で,後 者 は 基 本 事 項 の 練 習 問題 と考 え て も よい 。2. 4節 の ２階 時 間微 分 は,位 置 に対 す る加 速 度 と考 え る こ とが で きる 。2.5節 の 積 分 可 能 条 件 は,第13章

で 学 ぶ ホ ロ ノ ミ ッ ク,ノ

に 関係 して い る。2.6節

ン ホ ロ ノ ミ ッ ク と呼 ば れ る事 柄

の ヤ コ ビ行 列 の 時 間微 分 で は,第22章

の ラ グ ラ ンジ ュ

の 運 動 方 程 式 導 出 過 程 で 必 要 に な る 関 係 式 を求 め て い る 。2.7節 の ニ ュ ー ト ン ・ ラ フ ソ ン法 は 運 動 学 で 必 要 に な る 道 具 で あ り,動 力 学 で も役 立 つ 数 値 解 法 で あ る 。2.4節 以 降 は 必 要 に な っ た と き に読 み 直 す よ う な や り方 で,本 書 を読 み 進 め て も よ い。   本 章 の 中 で は,ｓ と ｔを ス カ ラ ー,ｆ と ｖ と ｄ を列 行 列,Ａ そ の サ イ ズ は ｆがN×1,ｖ

がM×1,AがN×M,BがM×Mで

あ る。 列 行 列

ｄの サ イ ズ は 特 に定 め な い。 ま た,本 章 に 出 て くるs,fな の 関 数 で あ る こ と を 前 提 とす る 。C2級 の 関数 と は,二

と Ｂ を 行 列 と し,

どの 各 関 数 は,C2級

回 偏 微 分 可 能 で,そ

の結

果 が 連 続 に な る よ う な 量 で あ り,位 置 や 速 度 な ど本 書 で 扱 う物 理 量 は,通 常, C2級 と して差 し支 え な い 。

2.1行

列 が ス カ ラ ー ｔ(時 間)の

関 数 に な って い る 場 合

  ス カ ラ ー ｔは 時 間 を表 す 変 数 と し,ス カ ラ ー ｓ,列 行 列 ｖ,行 列 Ａ は こ の 時 間 を 変 数 とす る 関 数 とす る 。 s=s(t)

(2.1)

v=v(t)

(2.2)

A=A(t)

(2.3)

列 行 列 と行 列 の場 合,こ

の よ うな 表 現 はそ の行 列 を構 成 して い るす べ て の 要 素 が

時 間 の 関 数 に な っ て い る こ と を 意 味 して い る。

(2.4)

(2.5)

た だ し,時 間 の 関 数 とい っ て も一 般 論 で あ り,定 数 の場 合 も含 ま れ て い る。   さ て,こ れ らの 関 数 を時 間 で 微 分 す る こ と を考 え て み よ う。 記 号 の 上 の ・(ド ッ ト)に よ っ て も時 間微 分 を表 す こ と に して,次 の よ うに 書 くこ とが で きる。

(2.6)

(2.7)

(2.8)

行 列 の 時 間 微 分 は この よ う に行 列 の全 要 素 の 時 間微 分 を意 味 して い る。

2.2ス

カ ラ ー ｓが 列 行 列 ｖの 関 数 に な っ て い る 場 合

  次 に,ス

カ ラ ー ｓが 列 行 列 ｖ の 関 数 に な っ て い る と す る 。 ｖ の 関 数 に な っ て い

る とい う こ と は ｖの 要 素 の 関 数 に な っ て い る とい う こ とで あ る 。

(2.9) こ の と き,ｓ

を ｖ で 偏 微 分 す る と は,ｓ

を ｖ の 要 素 υ1,υ2,…,υMで

偏 微 分 した も

の を順 に横 方 向 に並 べ て行 行 列 を作 る こ と と約 束 す る。

(2.10) Sv(注)でこ の偏 微 分 を 表 して い る が,添

え 字 の ｖは 要 素 が 縦 に並 ん だ 列 行 列 で あ

り,ｓ をVTで 偏 微 分 して い る わ け で は な い 。 本 書 で は 行 行 列 に よ る 偏 微 分 は 考 え て い な い 。 た だ し,行 行 列 で偏 微 分 す る もの と定 め た り,要 素 で偏 微 分 した も の を縦 に並 べ る よ うに して い る 文 献 もあ り,注 意 を要 す る 。   今 度 は,ス

カ ラ ー ｓが 列 行 列 ｖ と ス カ ラ ー ｔの 関 数 で,ｖ

も ｔの 関 数 に な っ て

い る とす る。

s=s(v(t),t)

(2.11)

こ の と き,ｓ を ｔの 関 数 と見 な して時 間微 分 す る こ とが で き,次 の よ うに な る。

(2.12)

(注)偏 微 分 を添 え字 を用 い て 表 す場 合,添 え字 に 書 かれ る変 数が 列 行 列 で あ れ ば,そ の添 え字 は 太 文字 で 表す のが 自然 で あ る。 本 章 で は その よ うに して あ るが,第

Ⅲ部 以 降 で は,添 え 字 に

太 文 字 を用 い な い こ と を原 則 とす る。偏 微 分 の 対 象 に な っ て い る 関数 も含 め て,変 数 記 号 自体 が 別 の意 味 の添 え字 を持 つ な ど,複 雑 に な って くる と小 さ い文 字 は見 難 くな っ て くる。 そ の た め の止 む を得 な い処 置 で あ る。

こ の式 の左 辺 と右 辺 第 二 項 は ス カ ラ ー で あ り,右 辺 第一 項 は 二 つ の行 列 の 積 に な っ て い て,そ

の 結 果 が ス カ ラ ー で あ る。 第 一 項 左 側 の 行 列 は サ イ ズ1×Mで

り,右 側 の 行 列 はサ イ ズM×1で

あ

あ る。 行 列 の 式 は常 に和 や積 の 演 算 が 矛 盾 な く

行 わ れ る よ う なサ イズ 構城 に な っ て い る はず で,こ の 性 質 は式 の 変 形 な ど に よ っ て 崩 れ る こ と は な く,崩 れ た と き は何 らか の 誤 りが あ っ た と考 え て よい(た

だ

し,ス カ ラ ー積 は特 別 な演 算 規 則 で あ り,そ の ス カ ラー に行 行 列 と列 行 列 の積 を 代 入 す る と積 の 結合 法 則 が 成 立 しな くな る こ とが あ る 。 この 場 合 は単 な る誤 り と は 区別 して 考 え な け れ ば な らな い)。   さ て,式(2.12)は

次 の よ う に簡 略 に表 す こ と も で きる。

S=SvV+St

(2.13)

左 辺 の ｓ は ｓ を 時 間 だ け の 関 数 と 見 た も の で あ る が,右 と ｔの 関 数 と 見 た も の で あ る 。 そ し て,svとstも

辺 のsvとstは,ｓ

を ｖ

ｖ と ｔの 関 数 で あ る か ら,ｓ は

ｖ と ｖ と ｔの 関 数 に な っ て い る と 見 な す こ と が で き る 。 こ の 式 か ら ,ｓ を ｖ で 偏 微 分 し て,次

の 関係 が 得 られ る 。

(2.14)

2.3列

行 列 ｆが 列 行 列 ｖの 関 数 に な っ て い る場 合

 列 行 列 ｆが列 行 列 ｖの 関 数 に な っ て い る とい う こ と は,ｆ の 要 素 が ｖの 関 数 に な っ て い る と い う こ とで あ り,さ ら に詳 し くい え ば,ｆ の 要 素 が ｖの 要 素 の 関 数 に な っ て い る とい う こ と で あ る。

(2.15)

この と き ｆを ｖで偏 微 分 す る と次 の よ うに な る。

(2.16)

こ の 場 合 も,式(2.10)の

場 合 と同 様 に,列 行 列 に よ る偏 微 分 を横 方 向 へ 並 べ て,

列 を 増 や す 操 作 と して い る。   列 行 列 に よ る偏 微 分 を以 上 の よ う に定 め る と,そ の 結 果 を行 列 の 範 囲 に収 め る た め に は,ス

カ ラ ー と列 行 列 まで が そ の対 象 で あ り,行 行 列 や 一 般 の 行 列 を列 行

列 で 偏 微 分 す る こ と は で き な い 。 こ れ は行 列 の 範 囲 に 収 め る た め の 制 約 で あ る が,実

用 上 重 要 で あ り,し っ か り認 識 して お く必 要 が あ る 。 な お,fvの

ような

列 行 列 の 列 行 列 に よ る偏 微 分 は,ヤ コ ビ行 列 と呼 ば れ て い る。 正 方 ヤ コ ビ行 列 の 行 列 式 はヤ コ ビ ヤ ン と呼 ば れ て い る が,ヤ い る場 合 も あ り,多 少,言

コ ビ行 列 の こ と を ヤ コ ビヤ ン と呼 ん で

葉 づ か い が 乱 れ て い る よ う な気 が して い る。

  次 に,ｆ が ｖの 関 数 に な っ て い るだ け で な く,そ の ｖ も列 行 列 ｄの 関 数 に な っ て い る場 合 を 考 え る。

f=f(v(d)) こ の 場 合,ｆ 在 し,そ

(2.17)

は ｄ の 関 数 と見 な す こ と が で き る の で,ｆ

れ はfｖ とVdの

の ｄ に よ る 偏 微 分fdが

存

積 に な る。

(2.18) こ の積 は,当 然,順

序 を入 れ 換 え られ な い 。

ｆが ｖ と ｔの 関 数 で,ｖ

も ｔの 関 数 に な っ て い る 場 合 を 考 え よ う 。

(2.19)

f=f(v(t),t) こ の 式 を時 間微 分 す る と,式(2.13)と

同 様 の 式 が 得 られ る。

(2.20)

f=fvV+ft fvとftは

ｖ と ｔの 関 数 で あ る か ら,ｆ は ｖ と ｖ と ｔの 関 数 で あ る 。 そ こ で,ｆ

ｖ で 偏 微 分 す る こ と が で き,そ

れ はfvに

な る。

を

(2.21) こ の よ う な 関 係 は,2.6節

の 式(2.55)と

共 に,第22章

で ラ グラ ンジュの運動 方

程 式 の導 出 時 に利 用 さ れ る。

  以 上 の応 用 と して,次 こ で は,Ａ

の よ うな 式 変 形 が 成 り立 つ こ と を確 認 して お き た い 。 こ

と Ｂ は ｖの 関 数 で は な く,ｆ だ けが ｖの 関 数 に な っ て い る とす る 。

(2.22) (2.23) (2.24) (2.25) (2.26) 式(2.22)と(2.23)は

基 本 的 で あ る が,行 列 を扱 っ て い る こ とを念 頭 にお い て確 認

さ れ た い 。 式(2.24)∼(2.26)の ま れ て い る 。 そ の場 合,一

左 辺 の カ ッ コ 内 に は ｖ に依 存 す る 因 子 が 二 つ 含

方 を 定 数 と した偏 微 分 と他 方 を定 数 と した 偏 微 分 の和

を作 る必 要 が あ り,ま た,因 子 の積 が ス カ ラー の 場 合,そ

の積全体 の転置が利用

で き る。

Quiz2.1式(2.22)∼

式(2.26)は

納 得 で き る か 。確 認 せ よ。

2.4  ２ 階 時 間 微 分 式(2.11)の

ｓに 関 し て,式(2.13)を

も う 一 度 時 間 微 分 す る と,ま

ず,次

の よう

に書 け る。

(2.27) こ の 式 で は二 通 りの 時 間微 分 の 表 し方 を混 在 させ て い る が,両 者 は 同 じ時 間微 分

で あ り,単 に,簡 略 な記 号 だ け で は 生 じる恐 れ の あ る混 乱 を防 ぐた め に,こ の よ うに 表 現 して い る 。 この 式 の右 辺 第 一 項 と第 二 項 は い ず れ も行 行 列 と列 行 列 の積 に な っ て い て,結

果 は ス カ ラ ー で あ る か ら転 置 して 因 子 の 順 序 を入 れ 替 え る こ と

が で き る 。 た と え ば,SvVはVTSTvと

書 い て も よ い 。 と こ ろ で,STvは 列 行 列 で あ

り,ま た,ｖ と ｔの 関数 で あ る か ら,次 の 式 が 成 立 す る。

(2.28) Stも ｖ と ｔの 関 数 で あ る が,ス

カ ラ ー で あ る か ら,も

っ と簡 単 で あ る 。

(2.29) こ こ で,ｖ と ｔに よ る偏 微 分 は順 序 を入 れ 替 え て も変 わ ら な い 性 質 を利 用 して い る。 以 上 か ら式(2.27)は 次 の よ う に書 け る。

(2.30)   式(2.19)の

ｆに 関 す る 式(2.20)の

時 間 微 分 も,式(2.27)と

同 様 に,次

の ように

書 く こ と が で き る。

(2.31) し か し,今 N×M行

度 は 式(2.28)に

対 応 す る 式 を 作 れ な い 。fvは

列 は ｖ で 偏 微 分 で き な い か ら で あ る 。 そ こ で,次

ｖ と ｔの 関 数 だ が,

の よ うに す る 。

(2.32) ｖで 偏 微 分 す る場 合,ｖ は定 数 と考 え れ ば よい の で,偏 微 分 の 対 象 の 中 に含 め る こ とが で き る。 一 方,式(2.29)に

対 応 す る 式 は成 立 す る。

(2.33) 以 上 か ら,式(2.31)は

次 の よ う に な る。

(2.34) Ｓの場 合 に も こ の 式 と同 じ よ う に書 くこ とは で きる が,式(2.30)の

方が式 の変形

処 理 が 具 体 的 に 進 め られ た もの に な っ て い る。 ス カ ラー 関 数 と列 行 列 関 数 の 差 異 で あ る。

Quiz2.2式(2.30)と

2.5積

式(2.34)の

違 い を納 得 で き る か 。 確 認 せ よ。

分可能条件

  一 旦,行

列 か ら離 れ,ス

カ ラ ー 変 数 ｘ と ｙに よ っ て表 され る ス カ ラー 関 数 ｚを

考 え る。

z=z(x,y)

(2.35)

ｘ と ｙが 時 間 ｔの 関 数 に な っ て い る と す る と,ｚ も 時 間 の 関 数 で,ｚ

は,次

の よ

う に ｘ と ｙの 線 形 な 関 係 に な る 。

(2.36) こ の式 の 一 例 と して,次

の 具体 例 を考 え て み よ う。

(2.37) こ の 式 は,果

た し て 式(2.35)の 形 の 式 を 時 間微 分 す れ ば 得 ら れ る も の で あ ろ う

か 。 元 の式 は具 体 的 に ど ん な式 で あ ろ うか 。 答 え は次 の式 で あ る。

(2.38) こ の 式 を 時 間 微 分 す る と,確

か に 式(2.37)に

37)は 積 分 す る こ と が で き て,式(2.38)が

な る 。 逆 の 言 い 方 を す れ ば,式(2

得 ら れ る 。 た だ し,積

.

分 定 数 は適 当 に

付 け 加 えれ ば よい 。   そ れ で は,式(2.37)の

代 わ りに 次 の 式 で は ど うで あ ろ う か。

(2.39) 今 度 は 式(2.35)の   式(2.37)と

形 の 式 は 得 ら れ な い 。 す な わ ち,式(2.39)は

式(2.39)の

違 い は 何 で あ ろ う か 。 式(2.37)の

積 分 で きな い。

場 合,式(2.36)と

の対

比 で 次 の 関 係 が 得 られ る 。

(2.40) (2.41) 積 分 で きる か ど うか の 判 定 基 準 は次 の式 で あ る。

(2.42) ｚが 存 在 す る と し て,zxとzyに

相 当 す る 部 分 が こ の 式 を 満 た せ ば,積

分 で き る。

式(2.40)と

式(2.41)が

の 場 合 は 式(2.42)の

こ の 式 を 満 た す こ と は 直 ち に 確 認 で き る 。 一 方,式(2.39) 判 定 基 準 を満 た して い な い 。

  ３変 数 以 上 の 場 合 や,時

間 ｔを 陽 に 含 む 場 合 も 同 様 の こ と が 成 り立 つ が,そ

に つ い て,以

下 の よ う に行 列 を用 い た 表 現 で説 明 す る。

  式(2.13)か

ら式(2.30)を

求 め る 過 程 で,SvtとStvは

れ

等 しい と した 。

(2.43)

Svt=Stv

こ れ は,ｖ の 要 素 と ｔに よ る偏 微 分 を順 次 行 う と き,そ の順 序 は 問 わ な い こ と を 意 味 して い る 。 Ｓは ｖ と ｔの 関 数 で あ る か ら,ｖ の 要 素viとviに 次 行 う場 合 に つ い て も 同 様 の こ とが 成 立 す る は ず で,そ

よ る偏 微 分 を順

れ は(STv)vが 対 称 行 列 に

な っ て い る こ と と 同 等 で あ る。

(2.44) 以 上 の 二 つ の 式 を ま とめ て,次

の よ う に表 す こ と もで きる。

(2.45) こ の 式 の 左 辺 は,式(2.11)の

Ｓを ｖ と ｔで 二 回偏 微 分 した も の で あ る 。 た だ し,

二 回 目の 偏 微 分 は 一 回 目の 結 果 を転 置 して 行 わ れ る 。 こ の二 回 偏 微 分 後 の 行 列 を ス カ ラ ー 関 数 Ｓの ヘ シ ア ン行 列 と呼 ぶ 。 この 式 はヘ シ ア ン行 列 の 対 称 性 を 表 して い るが,こ

の 対 称 性 が 積 分 可 能 条件 で あ る。

こ こ で,式(2.13)と

同 じ形 の 次 の 式 を 考 え よ う。

s=av+b

(2.46)

ａ は サ イ ズ1×Mの

行 行 列,ｂ

は ス カ ラ ー で,い

ず れ も ｖ と ｔの 関 数 と す る 。

a=a(v,t)

(2.47)

b=b(v,t)

(2.48)

仮 に,式(2.11)を 式(2.43),式(2.44)に

時 間 微 分 し て 式(2.46)が

得 ら れ た と す る と,a,bに

つ いて も

対 応 す る 関係 が 成 立 す る こ と にな る。

(2.49)

at=bv

(2.50) 逆 に,こ

の 関 係 が 成 立 し な い と,式(2.46)を

表 現 が 得 ら れ な い 。 式(2.49)と(2.50)は,式(2.46)を め の 必 要 十 分 条 件 で あ る。

時 間 ｔで 積 分 し て 式(2.11)の

ような

積 分 した 表 現 が 存 在 す るた

  以 上 の 応 用 と して,式(2.25)と

式(2.26)の 右 辺 は い ず れ もス カ ラー 関 数 を ｖで

偏 微 分 し た もの で あ るか ら,こ れ らが 積 分 可 能 条件 を満 た して い る こ とは確 認 で きる はず で あ る。 ま た,た

と え ば,式(2.26)の

右 辺 を少 し変 更 したVT(B+2BT)

が 積 分 不 可 能 な こ と も判 定 で き る は ず で あ る。 式(2.24)の 右 辺 もス カ ラ ー 関 数 を ｖで偏 微 分 し た もの で あ る が,ｆ が ｖの 非 線 形 な 関 数 の 場 合 は,こ

の 式 の ま まで

は ヘ シ ア ン行 列 の 計 算 を具 体 的 に 進 め る こ と が で き な い 。 ｆの 中 味 が 必 要 で あ る。

Quiz2.3式(2.25),式(2.26)の vT(B+2BT)が

2.6ヤ

右 辺 が 積 分 可 能 な こ と を 示 せ 。 ま た,

積 分 で きな い こ と を示 せ 。

コ ビ行 列 の 時 間 微 分

  式(2.11)の 関 数 で,転

Ｓに 関 し て,式(2.14)か

らSvは

Ｓvに 等 し く,ま

置 す る と 列 行 列 に な る 。 こ の こ と か ら,Stvの

た,Svは

ｖ と ｔの

時 間微 分 は 次 の よ うに

書 け る。

(2.51) 一方

,式(2.13)を

ｖで偏 微 分 す る と

(2.52) こ の 式 を 転 置 し,式(2.43)と

式(2.44)を

な る こ と が 分 か り,結

の 関 係 が 得 られ る。

局,次

用 い る と,式(2.51)と

右 辺同士が等 しく

(2.53) Ｓの か わ り に 式(2.19)の

ｆの 要 素f1を

用 い て も式(2.53)の

関係 は 成 立 す る。

(2.54) Ｓ もf1も

ス カ ラ ー 関 数 で あ る 。f2以 下 に つ い て も 同 じ こ と が い え,結

い て,式(2.53)と

類 似 の式 が 成 り立 つ 。

局,ｆ

につ

(2.55) この 式 と式(2.53)は,時

間微 分 と ｖに よる 偏微 分 の順 序 を入 れ替 え て も よい こ と

を示 して い る。

Quiz2.4式(2.11)の

2.7ニ

とSvは

Ｓに 関 し て,

等 しい とい え るか 。

ュ ー ト ン ・ラ フ ソ ン 法

ス カ ラーxを

変 数 とす る ス カ ラ ー 関 数z(x)が

与 え られ て い る とす る 。 ニ ュ ー

トン ・ラ フ ソ ン法 は,次 の 方 程 式 を満 たす ｘ を数 値 的 に 求 め る方 法 で あ る 。 z(x)=0

(2.56)

z(x)は 一 般 に 非 線 形 の 関 数 で あ るか ら,解 析 解 が 得 ら れ な い こ とが 多 い が,運 動 学 な どに 出 て くる課 題 の場 合,関

数 は十 分 滑 らか で 解 の 存 在 が 明 らか で あ り,

解 の 近 似 値 を推 定 で きる場 合 が 多 い 。 運 動 学 や 動 力 学 で は ニ ュ ー トン ・ラ フ ソ ン 法 は よ く用 い られ る。   ま ず,解

の 近 似 値 をXEと す る。 この 値 に修 正 量 Δxを 加 え た ｘが 式(2.56)を

満 た す もの とす る 。

(2.57)

X=XE+ΔX

こ の 式 を 式(2.56)に 代 入 し,Δxが

微 小 量 で あ る と仮 定 し て 線 形 近 似 を行 う と,

次 の よ う にな る。

(2.58) Z'(XE)は,X=XEに

お け る 関 数 の 傾 き で あ る 。 解 が 存 在 す る よ う な 場 合,z'(XE)

は ゼ ロ で な い 適 当 な 値 に な っ て い る の で,こ

の 式 を ΔXに つ い て 解 く こ と が で き

る。

(2.59) この 値 を 式(2.57)に 代 入 して 得 られ るXは,解 て い る 。 これ を新 た なXEと

してZ(XE)が

の 近 似 値XEを

改 善 した値 に な っ

十 分 ゼ ロ に近 づ く ま で 計 算 を繰 り返 せ

ば,式(2.56)が

解 け た こ とに な る。

  こ の 方 法 は 計 算 機 の 利 用 が 前 提 で あ る 。 上 記 の プ ロ セ ス を プ ロ グ ラ ミ ングす る か,組

み 込 まれ た プ ロ グ ラ ム を 利 用 す る。 収 束 の 判 定 基 準 が 必 要 で あ り,ま た,

初 回 の解 の推 定値 と,関 数,お な らな い 。 な お,初

よ び,関 数 の 傾 きを 計 算 す る手 順 を 与 え な け れ ば

回の 解 の推 定 値 が 遠 す ぎ る と正 しい 解 に収 束 しな い こ とが あ

る。   次 に 複 数 の 変 数 を持 つ 複 数 の 関 数 の場 合 を考 え る 。 この 場 合 も,関 数 の 一 般 形 は 同 じで あ る。 f(v)=0

(2.60)

ｖ は Ｍ 個 の 要 素 を 持 ち,ｆ は Ｎ 個 の 要 素 を持 っ て い るが,こ る。 解 の 近 似 値 をVEと

こで はM=Nと

す

し,こ の値 に 修 正 量 Δvを 加 え た ｖが 式(2.60)を 満 た す

もの とす る。

(2.61)

V=VE+ΔV

こ の 式 を 式(2.60)に 代 入 し,Δvが

微 小 量 で あ る と仮 定 し て線 形 近 似 を 行 う と,

次 の よ う に な る。

(2.62) fv(VE)は,v=VEに f,(VE)の

お け る 正 方 ヤ コ ビ 行 列 で あ る 。 解 が 存 在 す る よ う な 場 合,

行 列 式 は ゼ ロ で な い 適 当 な 値 に な っ て い る の で,こ

の 式 を Δvに つ い て

解 くこ とが で き る 。

(2.63) この 値 を 式(2.61)に 代 入 して 得 られ る ｖは,解 て い る 。 こ れ を新 た なVEと

の 近 似 値VEを

改 善 した 値 に な っ

して が 十 分 ゼ ロ に 近 づ く ま で 計 算 を繰 り返 せ ば,式

(2.60)が 解 け た こ とに な る。   ニ ュ ー ト ン ・ラ フ ソ ン 法 は 運 動 学 の 数 値 解 を 求 め る 代 表 的 手 段 で あ る。11.3 節 に は そ の よ う な 問 題 が 示 され て い る 。 ま た,20.6節

に は順 動 力 学 解 析 の 初 期

値 を求 め る事 例 が あ る 。 そ れ らを待 た ず に,数 学 的 な事 例 を作 る こ と も簡 単 で あ る 。 式(2.56)の 事 例 と して は,適

当 な ｘの 関 数 ｚを定 め,そ

の値 が ゼ ロ に な る ｘ

を 見 つ け る 問 題 を 考 え れ ば よ い。 式(2.60)の 事 例 と して は,二 つ の平 面 曲 線 の交 点 を求 め る 問 題,空

間 曲 面 と空 間 曲 線 の 交 点 を求 め る 問 題 な どが 考 え られ る。 問

題 を 自作 し,MATLABな め に 最 も効 果 的 で あ ろ う。

どで 実 際 に解 い て み る こ と は,理 解 と 自信 を深 め る た

第３章

  位 置,速

度,角

３次元空間の幾何ベ ク トル

速 度,力,ト

ル ク な どを ３次 元 空 間 に 描 い た 矢 印 で 表 現 す る こ

とが あ る。 そ の よ う な矢 印 を,本 書 で は,幾 何 ベ ク トル と呼 ん で い る。 こ れ は矢 印 そ の も の で あ っ て,成 分 に分 解 した りはせ ず,ス

カ ラー と同様 に単 独 の 量 と し

て扱 う。 そ し て,そ の よ うな 矢 印 に も和 や積 を考 え る こ とが で き る。   3.2節 の 幾 何 ベ ク トル の 基 本 事 項(Quizの

形 に な っ て い る)は 大 学 初 年 度 で

学 ぶ 内 容 で あ り,自 信 が あ れ ば 読 み 飛 ば し て よい 。 しか し,3.3節 明 は,第

Ⅱ部 以 降 や 付 録 Ａ へ の 布 石 に な っ て い る。

3.1幾

何 ベ ク トル の 概 念

の座標系 の説

  空 間 に描 か れ た 矢 印 を幾 何 ベ ク トル と呼 ぶ こ と にす る 。 こ れ は,実 際 に描 か れ た もの で な くて も,頭 の 中 で認 識 され た も の で よい 。 た と え ば,時 計 の 針 を一 つ の 矢 印 と見 た て る こ とが で きる 。 す な わ ち,回 転 軸 の位 置 か ら針 の 先 端 に引 か れ た 矢 印 で あ る。 針 の 先 端 か ら回 転 軸 の 位 置 へ 引 か れ た 矢 印 を 考 え る こ と もで き る 。 ま た,短 針 の 先 端 か ら長針 の 先 端 に 向 け て 矢 印 を想 い 描 い て も よい 。 こ れ ら の 針 が 一 定 の 速 さで 回 転 して い る と して,長 針 の先 端 の 速 度 は 先 端 が 描 く円 の接 線 に 沿 う矢 印 で表 現 す る こ とが で き る。 こ の 場 合,速

さ を矢 印 の 長 さ に換 算 す る

取 り決 め が 必 要 に な る が,そ れ に よ っ て具 体 的 に矢 印 を決 め る こ とが で きる 。 長 針 の 角 速 度 も,長 針 の 回転 面 に垂 直 な 矢 印 で 表 す こ とが で きる 。 も し,長 針 が 滑 らか に一 定 の 角 速 度 で 回転 して い る とす れ ば,そ の 矢 印 は 変 動 しな い 。 右 ネ ジの ル ー ル に よ っ て,こ

の 矢 印 は 回転 面 の 奥 に 向 か う方 向 を持 って い る 。 そ して,そ

の 長 さ は 角 速 度 の 大 き さ に比 例 して い る。 短 針 の 角 速 度 を表 す 矢 印 に 比 べ れ ば, 長 さ は12倍

に な る はず で あ る。

  こ の よ う な 矢 印 は ロ ボ ッ トや 車 両 各 部 の 位 置,速

度,角

速 度'力,ト

ルクな ど

図3.1幾

何 ベ ク トル

を 表 現 す る た め の 手 段 と して 利 用 で き る が,こ け を行 わ ず に,単

こ で はそ の よ う な物 理 的 な 意 味 付

に,３ 次 元 空 間 に描 か れ た 矢 印 と考 え,幾 何 ベ ク トルa,b,c

な ど と呼 ぶ こ と に す る 。 記 号 の 上 の 矢 印 が 幾 何 ベ ク トル で あ る こ と を示 して い る。 本 書 で は幾 何 ベ ク トル を常 に この よ うに 表 す こ と にす る。 また,矢 が 付 い て い な い 端 点 を 幾 何 ベ ク トル の 始 点,矢

が 付 い て い る端 点 を終 点 と 呼 ぶ こ と に す

る。

3.23次

元幾何ベク トルの基本的性質

  以 下,Quiz形 のQuizで

式 で,３ 次 元 幾 何 ベ ク トル の 基 本 的 な性 質 を 復 習 す る。 こ れ ら

も,幾 何 ベ ク トル ａを,座 標 系 を用 い た 成 分 に 分 解 す る よ うな こ とは

考 え な くて よい 。 矢 印 を説 明 す る場 合 はそ の大 き さや 向 き につ い て の 説 明 が 求 め られ て い る。 答 の 幾 何 ベ ク トル を 問題 に与 え られ た幾 何 ベ ク トル との対 比 で 説 明 す る こ と も あ る だ ろ う。

Quiz3.1幾

何 ベ ク トルaに

負 号 を つ け た 幾 何 ベ ク トル-ａ

とは どの よう

な ものか。 Quiz3.2二

つ の幾 何 ベ ク トル ａと ｂが 等 しい と は どの よ う な こ とか。

Quiz3.3二

つ の幾 何 ベ ク トル ａと ｂの 和 は どの よ う に 定 義 され る か。

Quiz3.4a+b+c=0と

な る の は ど の よ う な場 合 か 。

Quiz3.5[Quiz3.4]中

に 出 て くる 式 の 右 辺 の ０ は ０ と書 くほ う が 適 当 か

も しれ な い 。 こ れ は ど の よ う な もの か 説 明 せ よ(本 書 で は ス カ ラー の ゼ ロ と幾 何 ベ ク トル の ゼ ロ は ０,行 列 の ゼ ロ は ０ と書 く。 行 列 の 大 き さ も含 め,そ の 意 味 は,式

の 中 に お か れ て い る状 況 や 文 脈 な どか ら判 断 で きる と考 えて い る)。

Quiz3.6幾

何 ベ ク トル の和 は交 換 可 能 か 。

Quiz3.7幾

何 ベ ク トル ａ とス カ ラー ｓの 積(saま

た はas)を

説 明 せ よ。

Quiz3.8幾 は,ス

何 ベ ク トル と ス カ ラ ー の 積 は 幾 何 ベ ク トル に な る か,あ

カ ラ ー に な る か,そ

Quiz3.9幾

れ と も,別 の もの に な るか 。

何 ベ ク トル 同 士 の 積 に は 内 積 と外 積 が あ る 。 まず,ａ

積(a・b)を

るい

と ｂの 内

説 明 せ よ。

Quiz3.10幾

何 ベ ク トル の 内 積 の結 果 は 幾 何 ベ ク トル に な る か 。 な らな い と

す れ ば何 に な る か 。 Quiz3.11幾

何 ベ ク トル の 内 積 は交 換 可 能 か 。

Quiz3.12幾

何 ベ ク トル ａ と ｂの外 積(a×b)を

Quiz3.13幾

何 ベ ク トル の 外 積 の結 果 は幾 何 ベ ク トル に な るか 。 な ら ない と

説 明せ よ。

す れ ば何 に な る か 。 Quiz3.14幾

何 ベ ク トル の 外 積 は 交 換 可 能 か 。

Quiz3.15幾

何 ベ ク トル の ス カ ラ ー 三 重 積a・(b×c)は

幾何 学的 に何 を意味

して い るか 。 Quiz3.16幾

何 ベ ク トルa,b,cの

×a),c・(a×b)の Quiz3.17幾

ス カ ラー 三 重 積 と してa・(b×c),b・(c

三 つ を考 え る 。 これ ら三 つ の 間 に は どの よ う な 関 係 が あ る か。 何 ベ ク トルa,b,cの

ベ ク トル 三 重 積a×(b×c)は

ｂの ス カ

ラ ー倍 と ｃの ス カ ラー 倍 の和 で 表 さ れ る 。 そ の 関係 を示 せ 。 Quiz3.18幾

何 ベ ク トルa,b,cの

b×(c×a),c×(a×b)の

ベ ク ト ル 三 重 積 と し てa×(b×c),

三 つ を考 え る。 これ ら三 つ の 間 に は どの よ うな 関 係 が あ

る か。

3.3右

手直交座標系

  幾 何 ベ ク トル は,位 置,速 で あ るが,数

度,角 速 度,力,ト

ル ク な ど を表 現 す る た め の 手段

値 計 算 を行 う た め に は,幾 何 ベ ク トル の座 標 系 成 分 を考 え る 必 要 が

あ る。 そ の た め に,座 標 系 が必 要 に な る が,本 書 に 出 て くる ３次 元 座 標 系 は,す べ て,右 手 直 交 座 標 系 で あ る 。   ３次 元 の座 標 系 は,三 つ の 座 標 軸 を表 す 単 位 長 さ の 幾 何 ベ ク トル で 定 め る こ と が で きる が,本 書 で は,そ の よ う な幾 何 ベ ク トル を基 底 幾 何 ベ ク トル と呼 ぶ こ と に す る。 座 標 系 Ｏ の 場 合,X,Y,Z軸

を 表 す 基 底 幾 何 ベ ク トル は,eox,eoY,

図3.2

eOZで

右 手 直 交座 標 系 とそ の 基底 幾 何 ベ ク トル

あ る 。 こ れ ら は 相 互 に 直 交 し,右

  こ こ で,eOX,eOY,eOZを

手 系 を な して い る。

要 素 と す る3×1列

行 列eOを

考 え る。

(3.1)(注)

こ の 列 行 列 を座 標 系 Ｏ の基 底 列 行 列 と呼 ぶ こ と にす る。 また,こ

の転置

は次

の よ う に書 け る。

(3.2) eOXな ど の 幾 何 ベ ク トル は ス カ ラー と同 様 な 単独 要 素(1×1行

列 に対応 す る も

の)で あ り,こ れ らに 転 置 記 号 を付 け る必 要 は な い 。 基 底 列 行 列 は,右 手 直 交 座 標 系 を構 成 して い る 三 つ の 幾何 ベ ク トル を単 に3×1列 の で あ り,式 表 現 の 簡 略 化 を狙 っ て い て,慣 標 系 Ｏ で あ る が,座

標 系 Ａ はeAで

行 列 に ま と め た だ けの も

れ る と便 利 な 道 具 で あ る 。eOは 座

あ り,そ の 成 分 はeAX,eAY,eAZで

ある。

  幾 何 ベ ク トル 同 士 の積 に は 内積 と外 積 が あ り,そ の 区 別 に ・(ド ッ ト)と ×(ク ロ ス)が 用 い られ る 。 普 通,実

数 同 士 の 積,実

数 と幾 何 ベ ク トル の積 には,積

の

記 号 を用 い な い こ と が 多 い。 本 書 で は,こ れ らの積 記 号 の 使 い 方 を厳 密 に守 る こ と に し,・(ド ッ ト)と ×(ク ロ ス)を 幾 何 ベ ク トル 同士 の 積 に 限 定 す る 。幾 何 ベ ク トル 同 士 以 外 の 積 に は 積 の記 号 を用 い ない 。 こ れ に よっ て 不 要 な 混 乱 を避 け る (注)基 底 列 行 列eOの

成 分 が幾 何 ベ ク トル で あ る こ と を明 示 す る た め にeOと

す る ほ うが 分 か

りやす い とい う意 見 もあ る。 しか し,本 書 で は 基底 列 行 列 以 外 に幾何 ベ ク トル を成 分 とす る行 列 は用 い ない 。ｅ と ｅを基 底 幾何 ベ ク トル,基 底 列行 列 用 の 予約 文 字 と し,基 底 列 行列 をeOな どとす るほ うが 数式 の 中で,簡 明 に なる と考 えて い る。

こ とが で き,式 の 操 作 時 な ど に生 じ る誤 りの発 見 な ど に も役 立 つ 。   eOと 〓 の積 は行 列 の 積 で あ る が,要

素 レベ ル で 考 え る と幾 何 ベ ク トル 同 士 の

積 で あ る か ら 内 積 か 外 積 か を 指 定 す る 必 要 が あ る。 そ こ で,内 eO･〓,外

積 の場合 は

積 の場 合 はeO× 〓 と書 くこ とに す る。 これ ら を要 素 レベ ル ま で 書 くと

次 の よ う に な る。

(3.3)

(3.4)   式(3.3),式(3.4)は

幾 何 ベ ク トル を要 素 に もつ 行 列 の 演 算 で あ る 。 本 書 の付 録

Ａ に は基 底 列 行 列 を用 い た 演 算 操 作 が 現 れ る が,そ

の場 合,幾

何 ベ ク トル と して

の 演 算 ル ー ル と行 列 と して の演 算 ル ー ル の 両 方 を守 りな が ら演 算 を 進 め る こ とが 必 要 で あ る。慣 れ る まで は注 意 深 く進 め な け れ ば な ら な い が慣 れ る と便 利 で あ る。   な お,基 底 幾 何 ベ ク トル の 直 交 性 を用 い る と,式(3.3),式(3.4)は

次 の よ うに

簡 単 に な る。

(3.5)

(3.6)

第 Ⅱ部

運動力学 に関わる物理量の 表現方法 と運動学の基本的関係   位 置,速 度,回 転 姿 勢,角

速 度,お

よび,そ れ らを 時 間 微 分 して 得 られ る量 を

運 動 学 的物 理 量 と 呼 ぶ 。 運 動 学 と は,機 械,あ

る い は,そ の モ デ ル 各 部 の 運 動 学

的 物 理 量 の 関 係 を 扱 う学 問 で あ る 。 一 方,力

や トル ク は 運 動 学 的 物 理 量 で は な

い 。 運 動 方 程 式 は動 力 学 の 基 礎 に な る もの で,機 械 に加 わ る力 や トル ク と機 械 各 部 の運 動 学 的 物 理 量 との 関係 を表 して い る 。   ３次 元 の 運 動 方 程 式 を理 解 す る た め に は,３ 次 元 の 運 動 学 的 物 理 量 と力 や トル ク を注 意深 く調 べ る 必 要 が あ る 。 第 Ⅱ部 で は,運 動 力 学 に関 わ る物 理 量 の 表現 方 法 と意 味 を説 明 して い る 。 出 て くる物 理 量 は,運 動 学 的 物 理 量 と,力,ト 質 量,慣 性 行 列 で,そ の 中 で,特 関 係 と時 間 微 分 の 関 係,の

ル ク,

に,運 動 学 的 物 理 量 とそ の 基 本 的 関 係,三 者 の

説 明 に 重 点 を置 い て い る。

  運 動 学 的物 理 量 の う ち 回転 姿 勢 を除 い た もの に は,幾 何 ベ ク トル に よ る表 現 と 代 数 ベ ク トル に よ る 表 現 が あ り,こ れ らの 明確 な 区 別 と相 互 の 変 換 関 係 は重 要 で あ る。 第 Ⅱ部 で は,最

も基 本 的 な 事 柄 に対 して だ け幾 何 ベ ク トル表 現 を示 し,す

ぐに,言 葉 に よ る説 明 だ け で代 数 ベ ク トル表 現 に 結 び付 け て い る。 簡 潔 に 実用 レ ベ ル へ 向 か うた め で あ り,慣 れ れ ば これ で十 分 で あ るが,数

学的表現 で相互 の変

換 を把 握 す る こ と も重 要 で あ る。 そ の 点 を付 録 Ａ で 補 っ た 。 こ の付 録 は 重 要 で あ る。   ３次 元 の 回 転 姿 勢 は,３ 次 元 の 複 雑 さ の 元 凶 の 一 つ で あ る。 しか し,こ れ に つ い て は,第

７章 ∼ 第 ９章 が し っ か り理 解 で きれ ば,基 礎 力 と して は 十 分 で あ る。

これ らに 関 す る 複 雑 な事 項 は付 録 Ｂ に 補 足 さ れ て い る。   ３次 元 が 分 か れ ば ２次 元 は容 易 で あ る が,第10章

に記 した ２次 元 用 の 手 法 は

便 利 で あ る 。 こ れ 以 外 は,通 常 の 考 え方 で ２次 元 問 題 を扱 う こ と が で き る。 第

11章 は,第

９章 まで の 基 本 事 項 の 運 動 学 へ の 応 用 で あ る。

  本 章 の 主 な 狙 い は運 動 学 で あ る が,ニ

ュ ー トンの 運 動 方程 式 と オ イ ラ ー の 運 動

方 程 式 か ら話 を始 め る 。 そ れ に よ り,本 章 で も順 動 力 学 解 析 の 計 算 プ ロ グ ラム 事 例 を示 す こ とが 可 能 に な っ た 。4.5節 に は質 点 の 放 物 運 動 が あ り,初 心 者 向 け の 入 門用 事 例 に な っ て い る。 また,9.4節

∼9.6節

に は コ マ の事 例 が 示 さ れ て い る。

第 ４章

自由な質点 の運動方程式 と その表現方法

  こ の 章 で は,自 由 な 質 点 の 運 動 方 程 式 に 出 て くる 物 理 量 の 表 現 方 法 を 説 明 す る。 自由 な 質 点 の運 動 方 程 式 は ニ ュー トンの 運 動 方 程 式 で,こ の 式 に位 置 と速 度 に 関 す る 運 動 学 の 関 係 式 を補 足 す れ ば,質 点 の 放 物 運 動 を計 算 す る こ とが で き る。 こ の 章 の 最 後 の 節 に,MATLABに

よ る質 点 の 放 物 運 動 計 算 プ ロ グ ラム の説

明 が あ る。 こ れ は,順 動 力 学 シ ミ ュ レー シ ョ ン入 門者 の た め の 簡 単 な事 例 で あ る が,そ

の 解 説 は,本 書 に 出 て く る他 の 順 動 力 学 シ ミュ レー シ ョ ンプ ロ グ ラ ム の説

明 の 基 礎 に もな っ て い る。   本 書 で は位 置 や 速 度 を表 す 変 数 に二 つ の 添 え字 が使 わ れ る。 そ の 必 要 性 は本 章 だ け で は明 確 で は な い か も しれ な いが,次

章 ま で 進 む と明 らか に な って くる 。 そ

の 後,本 書 全 体 を読 み 進 む に つ れ て二 つ の 添 え字 の 意 味 と効 果 を理 解 で き る は ず で あ る。

4.1

ニュー トンの運動方程式

  ３次 元 空 間 を 自由 に 運 動 す る質 点 Ｐの 運 動 方 程 式 を次 の ように書 くこ とが で きる。

(4.1)   こ れ は ニ ュー トン の運 動 方 程 式 で あ る。 この 式 を使 っ て,重 力 に よ る 質 点 の放 物 運 動 を計 算 す る た め に は,次 の 式 も必 要 に な る。

(4.2)   ニ ュ ー トン の 運 動 方 程 式 は 慣 性 系 Ｏ か ら観 察 し た 場 合 に 成 立 す る式 で あ る。 慣 性 系 と は,太 陽系 とか 銀 河 系,あ

る い は,そ れ 以外 の 宇 宙 全 体 の 星 雲 に対 して

固 定 さ れ た 系 な ど と説 明 さ れ て い る が,ロ

ボ ッ トや 車 両 の 運 動 を解 析 す る場 合,

近 似 的 に地 球 を慣 性 系 と見 な す こ とが 多 い 。 さて,慣 性 系 に は,す で に,右 手 直 交 座 標 系 が 固 定 さ れ て い る と し,そ の 右 手 直 交 座 標 系 とそ の 原 点 も Ｏ と 呼 ぶ こ

図4.1

慣 性 空 間 に固 定 した右 手 直 交 座 標 系 Ｏ と, 質点 Ｐの位 置,速 度,Ｐ に働 く作 用 力

とに す る。 な お,今

後,剛 体 に も座 標系 を 固定 す るが,本

書 で 扱 う座 標 系 は ,す

べ て,右 手 直 交 座 標 系 で あ る。 ま た ,こ こで は慣 性 系 に座 標 系 を 固定 す る と表 現 した が,両 者 を同 一 視 して,専

ら慣 性 座 標 系 と い う言 葉 を用 い た 説 明 も多 く,一

方,慣

性 空 間 とい う呼 び 名 が 使 わ れ る こ と もあ る。

4.2

位置を表す変数(幾 何ベク トル表現 と代数ベ ク トル表現)

  rOPは 慣 性 系 Ｏ か ら眺 め た 質 点 Ｐ の位 置 を座 標 系 Ｏ で 表 し た3×1列

行列で あ

る 。(本 書 で は,n×1の

形 の 行 列 を,列 行 列 と 呼 ん で い る。)こ の 記 号rOPの 説

明 に入 る 前 に,ま ず,位

置 を 表 す 矢 印 を 考 え る 。 す な わ ち,慣 性 系 Ｏ か ら眺 め

た 質 点 Ｐ の 位 置 を,慣 性 系 Ｏ 上 の 点 Ｏ か ら点 Ｐ に至 る 矢 印 で 表 す こ とに し,こ れ を γOPと 書 く こ と に す る(図4.1)。 (矢 の な い ほ うの 端 点)と 終 点(矢

こ の記 号 の 二 つ の添 え字 は矢 印 の始 点

の あ る ほ うの 端 点)で

あ る。 ３次 元 空 間(２ 次

元 問 題 の場 合 は ２次 元 空 間)に 描 か れ た,こ の よ うな 矢 印 を幾 何 ベ ク トル と呼 ぶ こ と にす る 。   幾 何 ベ ク トル γOP自体 は点 Ｏ と点 Ｐ が あ れ ば作 る こ と が で き るの で,座 標 系 Ｏ は幾 何 ベ ク トル 作 成 に 必 要 な わ け で は な い 。 ま た,矢

印 の始 点 は座 標 系 Ｏ の

原 点 で あ る 必 要 も な く,慣 性 系 Ｏ 上 の 別 の 点 Ｓ を用 い て γSPと して も,慣 性 系 Ｏ か ら眺 め た 質 点 Ｐ の 位 置 で あ る 。 た だ し,点 え て い る こ とが,こ

Ｏ や 点 Ｓ が 慣 性 系 Ｏ 上 の 点 と考

れ らの 記 号 を位 置 と して 捉 え る場 合 に 重 要 で あ る。 また ,矢

印 と して 異 な っ て い て も位 置 と して 同 じ もの に な っ て い る こ とに も注 意 さ れ た い 。 な お,幾 何 ベ ク トル とい う言 葉 は,位 置 に 限 らず,速

度,角 速 度,力,ト

ル

ク,な

ど を表 す 矢 印 に も使 われ る。

  次 に,座 標 系 Ｏ が 出 て くる。 γOPを 座 標 系 Ｏ と組 み 合 わ せ て,幾 何 ベ ク トル のXYZ成

分(三

がrOPで

あ る。

つ の ス カ ラ ー)を 作 り,そ れ ら を順 に,縦

に並 べ た3×1列

行列

(4.3)

γOPは 矢 印 で あ っ て,成 分 を考 え る 以 前 の もの で あ り,rOPと

γOPと は 別 物 で あ

る 。rOPの よ う な,幾 何 ベ ク トル と座 標 系 を 組 み 合 わ せ て作 っ た3×1列 代 数 ベ ク トル と呼 ぶ 。 γOPを Ｏ 以外 の座 標 系 と組 み 合 わ せ れ ば,rOPと 数 ベ ク トル に な る 。 図4.2は,一

行 列 を, は別の代

つ の 幾 何 ベ ク トル に 別 々の 座 標 系 を組 み 合 わせ

た 結 果 が 別 々 の代 数 ベ ク トル に な る様 子 を 図 式 的 に描 い た もの で あ る 。 なお,こ の 図 に は,座 標 軸 を形 成 して い る 単 位 長 さの 幾 何 ベ ク トル の記 号eOXな

ど も示 さ

れて いる。   ま た,慣 性 系 Ｏ か ら眺 め た 質 点 Ｐ の 位 置 を,慣 性 系 Ｏ 上 の 別 の点 Ｓ を用 い て γSPと して も よ い と書 い た が,こ

の γSPを座 標 系 Ｏ と組 み 合 わ せ た場 合,代 数 ベ

ク トル はrSPで あ る 。

図4.2

座標 系+幾

何 ベ ク トル ｂ⇒ 代 数 ベ ク トル

4.3

運動学的物理量のオブザーバー

  γOPに は添 え 字 が 二 つ あ る。 左 側 の 添 え 字 Ｏ は 原 点 Ｏ を 表 して い る が,こ

の

点 が 載 っ て い る慣 性 系 Ｏ や 座 標 系 Ｏ も暗 示 し て い る。 前 節 に 出 て きた γSPの左 側 の 添 え 字 Ｓ も こ の 点 が 載 っ て い る慣 性 系 Ｏ を 暗示 して い る。 事 前 に 幾 何 ベ ク トル の 始 点 が ど の 物 体 上 の 点 か を定 め て お く必 要 が あ り,こ こ で は Ｓ も慣 性 系 上 の 点 と し て あ る。 この 慣 性 系 Ｏ,あ る い は,座 標 系 Ｏ は,点

Ｐ の 位 置 を観 察

す る場 所 で あ り,オ ブ ザ ー バ ー と呼 ば れ る 。位 置 と い う概 念 は常 に オ ブ ザ ー バ ー か ら眺 め た も の で,「 ∼ か ら眺 め た」,ま た は,「 ∼ か ら観 察 した 」 と表 現 で きる 。 あ る い は,こ

の オ ブ ザ ーバ ー は 位 置 を特 定 す る た め の 相 対 的 基 準 物 と考 え る こ と

もで き,「 ∼ に対 す る 」,ま た は,「 ∼ に相 対 的 な」 と表 現 して も よ い。 な お,オ ブザ ーバ ー とい う概 念 は位 置 に 限 らず,速 度,角

速 度,回 転 姿 勢 な ど,運 動 学 的

物 理 量 に は必 ず 付 随 して い る。 オ ブ ザ ー バ ー は座 標 系 で も よい が,成 分 を作 る役 割 を利 用 して い る わ け で は な い。 広 が りの あ る剛 体 的 な もの な ら ば何 で も よ く, 慣 性 系 とい う概 念 もそ の よ う な もの と考 え る。 一 方,添

え字 が 表 して い る 点 そ の

もの は,広 が りが な い の で オ ブ ザ ー バ ー に は な れ な い 。 ま た,こ の オ ブ ザ ー バ ー は 制 御 工 学 の オ ブザ ー バ ー と は無 関 係 で あ る。 さて,こ

の段 落 の 最 後 に も う一 つ

の 添 え字 を説 明 して お く。 γOPの右 側 の 添 え 字 Ｐ は,位 置 を 特 定 す る 対 象 の 点 で あ る。   代 数 ベ ク トルrOPの 添 え 字 は幾 何 ベ ク トル γOPの添 え 字 とそ の 意 味 を踏 襲 して い る が,左 側 の添 え字 Ｏ に は,さ

ら に,別 の 意 味 が 加 わ っ て い る 。 点 Ｏ が 載 っ

て い る慣 性 系 に固 定 し た座 標 系 Ｏ で 成 分 を作 る とい う 意 味 で あ る 。 結 局,rOPの 左 側 の添 え字 Ｏ は矢 印 の 始 点 で あ る が,そ

の ほ か に,オ

ブ ザ ー バ ー と,成 分 を

計 算 す る 座 標 系 の,二 つ の 意 味 を合 わせ 持 っ て い る こ と に な る。   な お,添

え字 に煩 わ し さ を感 じ る読 者 もい る と思 わ れ るが,こ

の 煩 わ しさ は位

置 を表 す 変 数 が 本 来 持 っ て い る複 雑 さ で あ る 。 この 複 雑 さ を添 え字 な どの 形 で 明 示 す る こ とは,特

に ３次 元 問題 で,大

い に役 立 つ 。 こ れ に よ っ て,意 味 が 明確 に

な り,式 変 形 な どの作 業 が 明快 な も の に な る 。 本 書 の 内容 を習 得 す る につ れ て そ の 効 果 を感 じ る こ とが で きる で あ ろ う。   幾 何 ベ ク トル か ら代 数 ベ ク トル を作 っ た り,代 数 ベ ク トル か ら幾 何 ベ ク トル を

復 元 す る 数 学 的 操 作 に つ い て,付 録 Ａ に解 説 が あ る。 そ の 操 作 に,図4.2に され た 座 標 系 の 単 位 長 さ の 幾 何 ベ ク トルeOXな に 示 した 基 底 列 行 列eOな

どが 利 用 さ れ,3.3節

示

の 式(3.1)

どが 便 利 で あ る。 幾何 ベ ク トル 表 現 は ３次 元 の 運 動 学

的 物 理 量 や 力 や トル ク を把 握 す る た め に役 立 ち,代 数 ベ ク トル 表 現 は運 動 学 と動 力 学 の 数 値 計 算 に 必 要 で あ るが,こ

れ ら を関 係 づ け る 数 学 的 手段 は 式 の 変 形 操 作

な ど を 明 快 な もの に し,曖 昧 さ を 除 去 す る た め に 重 要 で あ る。 な お,こ は,力,ト で,第

ル ク,速 度,角

の付録

速 度,座 標 変 換 行 列 な ど も含 め た説 明 に な って い る の

Ⅱ部 全 体 を 読 ん だ後 に 再 読 す る こ と も効 果 的 で あ ろ う。

Quiz4.1慣 が あ っ て,そ

性 系 Ｏ 上 に 原 点 Ｏ と は 別 に 固 定 点 Ｓ を 考 え る 。 ま た,剛

体 Ａ

の 上 に 固 定 点 Ｏ'と Ｐ が あ る と す る 。 γOP,γO'P,γSP,γPO,γOSが

そ

れ ぞ れ 位 置 を 表 す と す る と,そ が 任 意 に 運 動 す る と き,こ

れ ら は ど こ か ら見 た ど こ の 位 置 か 。 ま た,剛

れ ら の 幾 何 ベ ク トル の う ち,長

体 Ａ

さ が 変 化 しない もの は

どれ か 。 Quiz4.2剛

体 Ａ 上 に 点 Ｐ,剛 体 Ｂ 上 に 点 Ｑ が あ る と き,二

トル γPQと γQPの 位 置 と し て の 意 味 と,二

つ の幾 何 ベ ク

つ の 幾 何 ベ ク トル の 関 係 γPQ=-γQPを

確 認せ よ。

4.4

速 度 ， 作 用 力,慣

性力

  慣 性 系 Ｏ か ら見 た 質 点 Ｐ の速 度 も矢 印(幾 何 ベ ク トル)で 表 現 す る こ とが で き,そ れ をvOPと

書 く こ と に す る。 添 え 字 の 意 味 は γOPと 同 様 で,左 側 の 点 Ｏ

が オ ブ ザ ー バ ー を 暗 示 し,右 側 の 点 Ｐ は 速 度 を 特 定 す る 対 象 の 点 で あ る 。 矢 印 の 始 点,終

点 の 意 味 は失 っ て い る。 続 い てvOPを 左 側 の添 え字 に 関係 す る座 標 系

Ｏ と組 み 合 わ せ る と,代 数 ベ ク トルVOPを 作 る こ とが で きる が,こ

れ も位 置 の場

合 と同 様 で あ る。

(4.4)

右 辺 列 行 列 成 分 の 三 番 目 の 添 え 字 は成 分 を作 る 座 標 軸 を表 して い て,式(4.3)の 場 合 も同様 で あ っ た。   vOPと γOPの 関係 は 次 の 通 りで あ る。

(4.5) そ して,こ

れ に対 応 す る 代 数 ベ ク トル の 関 係,す

な わ ち,VOPとrOPの

関係 が式

(4.2)で あ る。 こ れ ら は運 動 学 的 物 理 量 の 時 間 微 分 の 関 係 で あ る。 時 間微 分 の 関 係 は他 に,回 転 姿 勢 と角 速 度 の 関 係 な ど に現 れ る。 さ て,式(4.5)左

辺 には幾何

ベ ク トル の 時 間微 分 が 出 て くる が,幾 何 ベ ク トル の 時 間微 分 に は,必

ず,時 間 微

分 の オ ブ ザ ー バ ー を指 定 し な け れ ば な らな い。 左 辺 の 微 分記 号 の 左 肩 に 書 い て あ る Ｏ が そ の オ ブ ザ ー バ ー で あ る 。 幾 何 ベ ク トル の 時 間微 分 は矢 印 の 変 化 を 観 察 した 結 果 と して 定 ま る もの な の で,そ る。 さ て,こ の 式 の場 合,微

の矢 印 を観 察 す る 立場 が 必 要 に な るの で あ

分 の 対 象 に な っ て い る γOPの オ ブ ザ ー バ ー と時 間微

分 の オ ブ ザ ー バ ー が 一 致 し て い る が,そ

の よ う な場 合 に,こ の 式 は成 立 す る。 式

(4.2)は 式(4.5)か ら導 く こ とが で き るが,こ

れ につ い て も付 録 Ａ に説 明 が あ る。

  式(4.2)右 辺 の 時 間微 分 に は オ ブ ザ ー バ ー の 指 定 は 必 要 な い 。 代 数 ベ ク トル rOPの 成 分 は実 数 で,そ

の 時 間 的 な 変 化 は ど こか ら観 察 して も 同 じで あ る。 そ こ

で,文 字 の 上 に ・(ド ッ ト)を 付 け た 簡 略 な時 間微 分 表 示 を用 い る こ とが で き る。 式(4.1)のVOPはVOPの

時 間 微 分 で,慣 性 系 Ｏ か ら見 た 質 点 Ｐの 加 速 度 を 座 標 系

Ｏ で 表 した も の で あ る 。   質 点 Ｐ に働 く作 用 力 も幾 何 ベ ク トルで 表 す こ とが で き,そ れ をfPと す る。 力 は運 動 学 的物 理 量 で は な く,オ ブ ザ ー バ ー に よっ て 矢 印 が 変 化 す る こ とは な い 。 す な わ ち,力

に は オ ブ ザ ー バ ー とい う概 念 は な く,そ の た め,添

る。 こ のfPと 座 標 系 Ｏ を組 み 合 わせ た 代 数 ベ ク トル を,fOPと

え字 は 一 つ で あ 表 す こ とに す る。

(4.6)

この 場 合 の左 側 の添 え 字 は代 数 ベ ク トル を作 る た め の座 標 系 を意 味 して い る。 右 側 の 添 え 字 は 力 が 作 用 す る 点 で,幾 何 ベ ク トル の 添 え字 を 踏 襲 して い る。 最 後 に,mPは

質 点 Ｐ の 質 量 で,こ れ は ス カ ラー(実

数)で あ る。

  以 上 の よ う な 記 号 の 約 束 を も と に,式(4.1)と(4.2)の の 式 は,そ い て,コ

れ ぞ れ,ス

関係 が 成 立 す る。 こ れ ら

カ ラ ー レ ベ ル で 三 つ の 式 を 含 ん で お り,代

ンパ ク トな 表 現 に な っ て い る 。 な お,式(4.1)を

数 ベ ク トル を 用

幾 何 ベ ク トル で 表 す と

次 の よ う にな る。

(4.7) 式(4.1),ま

た は,(4.7)の

左 辺 に 負 号 を付 け た もの を慣 性 力 と呼 ぶ 。 自由 な質 点

の 場 合,作 用 力 と慣 性 力 の 和 は 常 にゼ ロ で あ る 。

Quiz4.3 vPO,vOSを

4.3項

の[Quiz4.1]と

同 じ 問 題 設 定 で,今

度 はvOP,vO'P,vSP,

考 え る 。 こ れ ら は そ れ ぞ れ ど こ か ら 見 た ど こ の 速 度 か 。 ま た,こ

ら の 中 に 長 さ ゼ ロ の 幾 何 ベ ク トル が あ る が,ど に 等 し い 幾 何 ベ ク トル の 組 が あ る が,ど Quiz4.4 剛 体 Ａ 上 に 点 Ｐ,剛

れ か 。 さ ら に,こ

れ

れ ら の 中 に,常

れ と どれ か 。

体 Ｂ 上 に Ｑ が あ る と き,vPQ=-vQPは

常 に

成 立 す る だ ろ うか 。

4.5順

動力学解析の事例:質 点の放物運動

● 順 動 力学 解 析 の 数 値 シ ミ ュ レー シ ョン   運 動 方 程 式 を利 用 した解 析 を二 つ に分 け て 考 え る こ とが で きる 。 順 動 力 学 解 析 と逆 動 力 学 解 析 で あ る。 順 動 力 学 解 析 は作 用 力 や 作 用 トル クが 既 知 の と き,そ れ らに よっ て 生 じる運 動(時

々刻 々の 運 動 学 的 物 理 量)を

求 め る作 業 で あ り,逆 動

力 学 解 析 は 運 動 が 既 知 の と き,そ の 運 動 を 生 じ させ る力 や トル ク を求 め る作 業 で あ る。 ロボ ッ トの モ ー タが トル ク を発 生 した と き ロ ボ ッ トが ど の よ う に動 くか と い う課 題 と,ロ ボ ッ トに生 じ させ た い運 動 を実 現 す る た め に 必 要 な モ ー タ トル ク を求 め る 課 題,と 考 え れ ば分 か りや す い 。順 動 力 学 解 析 は多 くの 場 合,計

算機 を

用 い た 数値 シ ミュ レー シ ョ ンに な るが,具 体 的 な プ ロ グ ラ ミ ン グ の仕 方 を理 解 す る に は,事 例 を見 る こ とが 最 も効 果 的 と思 わ れ る。 一 方,逆

動 力 学 解 析 は計 算 技

術 上 の 難 し さは 少 な く,設 計 問 題 な ど,個 々 の 課 題 ご と に い か に応 用 力 を発 揮 す

る か が 鍵 で あ る。   本 書 で は,い

くつ か の 事 例 に つ い て 運 動 方 程 式 を実 際 に立 て て み る が,さ

らに

そ の 中 の い くつ か に つ い て 順 動 力 学 解 析 の 数 値 シ ミュ レー シ ョ ンプ ロ グ ラム を示 し,読 者 の シ ミュ レー シ ョン技 術 習 得 に役 立 て る よ うに した 。 シ ミュ レー シ ョ ン 環 境 と して は,プ

ロ グ ラ ミ ン グ に 関 わ る負 担 の 少 な いMATLABが

適 当 と考 え,

で き る だ け単 純 な プ ロ グ ラ ミ ン グ技 術 の範 囲 内 で シ ミュ レ ー シ ョ ン を 実 現 して, 本 質 的 な 技 術 を 習 得 し や す い よ う に 配 慮 し た。 計 算 プ ロ グ ラ ム は 付 録 の CD-ROMにMフ

ァ イ ル の形 で 収 録 して あ る。 な お,MATLABに

本 書 で は行 わ ず,読 者 の 自助 努 力 に任 せ る。 ま た,プ

関す る説明は

ロ グ ラ ミ ン グ技 術 に 関 す る

見 本 を提 供 して い る わ け で も な く,他 の プ ロ グ ラ ミ ング言 語 を用 い る場 合 に も共 通 な 基 本 的事 項 を具 体 的 に学 べ る よ う にす る こ とが 狙 い で あ る 。MATLABは

行

列 を用 い た計 算 処 理 に 関 す る便 利 な機 能 が 含 ま れ て い る言 語 で,本 書 に示 した 運 動 方 程 式 表 現 か ら の プ ロ グ ラ ミ ン グ に も適 して い る 。 た だ し,大 規模 な モ デ ル を 扱 う こ と は計 算 時 間 の面 な どか ら,実 用 性 に制 限 が あ る か も しれ ない 。

● ２次元放物運動   本 節 で は,最 初 の 事 例 と して 質 点 の 放 物 運 動 を取 り上 げ る 。 こ の 事 例 の 目的 は,初

心 者 に順 動 力 学 解 析 の 数 値 シ ミュ レー シ ョ ン と は どの よ う な もの か を示 す

こ とで あ り,質 点 に働 く作 用 力 は 重 力 だ け の 単 純 な モ デ ル を用 い る こ とに した 。 こ の モ デ ル は解 析 解 も得 られ る の で,数 値 解 と の比 較 も可 能 で あ る。 運 動 方 程 式 とそ れ に 随 伴 させ る運 動 学 の 関 係 式 に は,式(4.1)と(4.2)が

利 用 で き る。 た だ

し,質 点 の 放 物 運 動 は鉛 直 な ２次 元 平 面 内 の 運 動 と して モ デ ル化 で き るの で,式 (4.1)と(4.2)のrOP,vOP,fOPを

２次 元 の代 数 ベ ク トル と解 釈 す る。 す な わ ち,Ｚ

図4.3質

点 の放 物 運動

成 分 はゼ ロ と して よ い の で,そ の 部分 を省 け ば ２次 元 の式 に な る。   作 用 力fOPは,Ｙ

軸 負 の 方 向 に働 く重 力 だ け を 考 え れ ば よい の で,重 力 の 加 速

度 ｇ を用 い て 次 の よ う に表 され る。

(4.8)

fOP=-dYmPg

  こ こで,２ 次 元 問題 で 式 を簡 潔 に表 す た め の 記 号dYが

用 い られ て い る 。dxと

と もに便 利 な 道具 で,今 後 も事 例 な どで 頻 繁 に用 い る。

(4.9)   以 上 よ り,シ

ミ ュ レ ー シ ョ ン に 用 い る の は,２ 次 元 代 数 ベ ク ト ル を 利 用 し た 次

の 二 つ の 式 で あ る。

vOP=-dYg

(4.10)

rOP=vOP

(4.11)

  式(4.10)は

式(4.8)を

る 。 こ の モ デ ル の 場 合,質

式(4.1)に

代 入 し て,共

通 な 因 子mPを

除 いた もので あ

点 の 質量 の 大 小 は 運 動 軌 跡 に は 無 関 係 で あ る 。

● 常微分方程式初期値問題の数値積分   式(4.10)と(4.11)は,rOPとvOPに

含 まれ る四つ の変数 に関す る一 階の連 立常

微 分 方 程 式 に な っ て い て,計 算 機 を用 い た 数 値 解 法 の 適 用 が 可 能 な形 で あ る。 一 般 に 一 階 の 連 立 常 微 分 方 程 式 は,ス 形 に書 け,こ

の形 に対 して,数

図4.4数

カ ラー 変 数 ｘの 関 数 Ｙ につ い て 次 の よ う な

値 解 法(積

分 法)が

値 積 分 の イ メ ー ジ(式(4.13),Yiは

準 備 さ れ て い る。

Ｙ の 成 分)

(4.12)   右 辺 の ｆは Ｙ と ｘ の 関 数 で,ｆ と Ｙ は 同 数 の 成 分 を持 つ 列 行 列 で あ る 。 数 値 積 分 法 は,x=x1の

Ｙ の 値Y(x1)を

そ の傾 き は,x=x1+Δxに る 。 こ こで,Δxは

も と に 右 辺 を計 算 し,Ｙ の 傾 き を 求 め る 。

お け る Ｙ の 値Y(x1+Δx)を

推 定 す る た め に用 い られ

積 分 キ ザ ミ と呼 ば れ る微 小 量 で あ る 。Y(x1+Δx)の

推 定値 を

作 る最 も単 純 な 方 法 は 次式 で あ る。

(4.13) Y(x1+Δx)の

推 定 値 が 求 ま っ た ら,同

じ作 業 を繰 り返 せ ば,x=x1か

らx=x2ま

で の Ｙ の値 を計 算 す る こ とが で き る。   以 上 の 説 明 は 単 純 な概 念 を与 え る た め の もの だ が,実

際 に は,Y(x1+Δx)の

推 定 値 を精 度 よ く安 定 に 求 め る た め の細 か い 工 夫 が あ り,様 々 な方 法 が あ る。 そ れ ら の 方 法 は,積 分 ア ル ゴ リ ズ ム と呼 ば れ て い て,一 般 的 に 数 値 計 算 ソ フ トで は,ソ ル バ ー と呼 ば れ る形 で 内蔵 さ れ て い た り,ソ フ トウ ェ ア パ ッケ ー ジ の形 で 供 給 され て い る場 合 が 多 く,そ の部 分 の プ ロ グ ラム を書 かず に利 用 で きる 。 そ の 場 合,ユ

ー ザ ー は,常 微 分 方 程 式(4.12)の 右 辺 の 計 算 手 順,Y(x1)の

て,独 立 変 数 の 両 端 のX1とX2を か,そ

情 報,そ

し

計 算 機 に 与 え れ ば よ い。 他 に,積 分 キ ザ ミ Δx

れ を作 り出 す た め の 情 報 を与 え る場 合 が あ る。 常 微 分 方 程 式 の 右 辺 は,Ｙ

と ｘか ら Ｙ の 傾 き を 計 算 す る手 順 の 形 で 与 え る 。 順 動 力 学 解 析 の場 合,独 数 ｘ は 時 間 ｔで あ り,Ｙ 13章 参 照)と

は,通 常,独

呼 ば れ る変 数 で,Ｙ

立変

立 な一 般 化 座 標 と独 立 な 一 般 化 速 度(第

と呼 ぶ こ と に す る。Y(t1)は,状

の 傾 きは Ｙ の 時 間 微:分で あ る。 Ｙ を状 態 変 数 態 変 数 のt=t1の

値 で あ り,初 期 値 と呼 ば れ て

い る 。t1は ０ とす る こ とが 多 い 。

● プログラム構成 式(4.10),(4.11)の

場 合,状

態 変 数 Ｙ はrOPとvOPで

あ る 。

(4.14)

  微 分 方 程 式 の右 辺 は,位 置rOP,速 順 で あ る か ら,式(4.10),(4.11)を

度vOP,時

間 ｔか ら,rOP,vOPを

計 算 す る手

そ の ま ま プ ロ グ ラ ミ ング す れ ば よ い。 こ の 事

例 に は 時 間 ｔは 必 要 な い。 Ｙ の 初 期 値 は質 点 の 初 期 位 置 と初 期 速 度 で あ る。 この 事 例 に対 す るMATLABの め た(houbutsu

プ ロ グ ラ ム を,関 数 Ｍ フ ァ イ ル と呼 ば れ る 形 に ま と

_1.m,付

録 のCD-ROMに

用 す る ほ うが 一 般 的 と思 わ れ るが,関

収 録)。 ス ク リ プ ト Ｍ フ ァ イ ル を利 数 Ｍ フ ァイ ル は,利 用 す る い くつ か の 関

数 を一 つ の フ ァ イ ル に ま とめ て 書 くこ とが で きる た め,個

々 の事 例 を ひ と ま とめ

にで き,分 か り易 い と考 え た 。   プ ロ グ ラ ム の構 成 は,デ ー タ入 力,前 処 理,積 分 計 算,出 力 処 理 の 四 つ の 段 階 に 分 け て 考 え て い る。   第 一 段 階 の デ ー タ入 力 は,計 算 モ デ ル を構 成 す る 定 数,初 期 値,計

算 と出 力 に

関 わ る時 間 な どの デ ー タ を与 え る段 階 で,こ の 部 分 の 数 値 を変 え る こ とで 計 算 モ デ ル な ど を変 更 で き る。 質 点 の初 期 速 度 の入 力 に は,質 点 を投 げ 上 げ る 角 度 とそ の 方 向 の 速 さ を与 え る よ うに した 。MATLABの

ソ ルバ ー は 自動 キザ ミで ,キ ザ

ミを 制 御 す る 計 算 精 度 に関 す る情 報 に はデ フ ォル ト値 が 準 備 され て い る。 こ こで は,そ の デ フ ォ ル ト値 をそ の ま ま用 い る こ とに し,積 分 キ ザ ミに 関係 す る デ ー タ は入 力 して い ない 。   第 二 段 階 の 前 処 理 は,与 で,初

期 速 度 のXY成

え られ た デ ー タ を加 工 し て積 分 計 算 の 準 備 をす る段 階

分 を計 算 した り,第 三段 階 の 積 分 計 算 に 必 要 な形 で初 期 値

を準 備 し た り して い る 。 一 般 に は,右 辺 の 計 算 に用 い る定 数 を準 備 す る こ と もあ る。   第 三 段 階 の積 分 計 算 は,MATLABが

提 供 す る ソ ルバ ー を 呼 び 出 して積 分 計 算

を実 行 す る段 階 で あ る。 本 書 の 順 動 力 学 シ ミュ レ ー シ ョ ン の 事 例 に はode45と 呼 ば れ る 関 数 を用 い て い るが,こ

れ に は ４ 次 の ル ン ゲ ク ッ タ 法 と呼 ば れ る積 分

ア ル ゴ リズ ム が 用 い ら れ て い る。 関 数ode45を (微分 方 程 式 の 右 辺)を

計 算 す る 関 数 名(e_houbutsu_1),初

間 と最 終 の 時 間 の 並 び([t0:dt:tf]),Ｙ ョ ンの 指 定 が な い こ と を示 す[]を の 並 び(こ

呼 び だ す と き,Ｙ の 時 間微 分

の 事 例 の場 合,ｇ(重

期 の 時 間 と出 力 時

の 初 期 値(YINITIAL),特

別 なオ プシ

挟 ん で,右 辺 の 計 算 で 用 い られ る パ ラ メ ー タ

力 加 速 度)一 つ だ け),が

事 例 で 用 い た 関 数e_houbutsu_1は,houbutsu

_1.mの

入 力 さ れ て い る。 こ の

第 四段 階 の後 に記 述 さ れ

て い る の で,読 者 は式(4.10)と(4.11)が

こ の 関 数 の 中 で どの よ う に プ ロ グ ラ ミン

グ さ れ て い る か を確 認 さ れ た い 。 関数e_houbutsu_1の とvOP)の

ほ か に,重 力 の加 速 度 ｇ をパ ラ メ ー タ と して 引 き渡 す よ う に な っ て い

る。 こ の 関 数 の 出 力 は,Ｙ ode45の

入 力 は,ｔ と Ｙ(注)(rOP

出 力 は,全

の 時 間 微 分DY(rOPとvOP)で

出 力 時 間(tt)と

あ る 。 一 方,関

数

そ の 全 時 間 に 対 応 す る 状 態 変 数(YY)で

あ る。ttは,[t0:dt:tf]をMATLABに

従 っ て 展 開,転 置 して,列 行 列 に並 べ

た もの で あ る 。YYは,各

時 間 の Ｙ を 転 置 して 行 行 列 に した もの を 時 間順 に下

方 に積 層 した もの で,ttの

行 とYYの

入 出 力,お

よ び,関

数ode45の

行 が 対 応 し て い る 。 関数e_houbutsu_1の

入 出 力 の 間 に は,い

くつ か,当

あ る 。 状 態 変 数 Ｙ の 中 の 要 素 の 並 び とそ の 時 間微 分DYを の 並 び,ode45とe

_houbutsu_1の

で あ る。 なお,ode45に

然 な対 応 関 係 が

表す変 数の 中の要素

二 つ の 関 数 に 引 き渡 す パ ラ メ ー タ の並 び な ど

関 して,MATLABオ

ン ラ イ ンマ ニ ュ ア ル を 参 照 さ れ た

い 。微 分 方 程 式 の 初 期 値 問 題 に 関す る 数 学 的 説 明 も役 に 立 つ で あ ろ う。   第 四段 階 の 出 力 処 理 は,積 分 計 算 結 果 を処 理 して,グ

ラ フ とア ニ メー シ ョ ンに

よ る結 果 表 示 を行 う段 階 で あ る。 グ ラ フ は時 間 と状 態 変 数 Ｙ の 中 か ら選 択 した 変 数 を グ ラ フ の Ｘ 軸 と Ｙ 軸 に 指 定 す る こ とで 描 け る。 グ ラ フ の 描 画 に は様 々 な 機 能 が あ り,結 果 を見 や す くす る様 々 な方 法 が あ る が,こ 動 ス ケ ー ル に任 せ,各

こ で は 最 も単 純 に,自

軸 に割 り当 て た 変 数 の 意 味 だ け を軸 の ラ ベ ル に表 示 した。

ア ニ メー シ ョ ンで は,質 点 を小 さ な 四 角 い マ ー カ ー で 表 し,そ れ が 時 間 と と もに 動 く様 子 を動 画 に した 。 単 純 な放 物 運 動 で あ る か ら,た い して 見 栄 え の す る もの で は ない が,簡

単 な ア ニ メ ー シ ョ ン を実 現 す る 手段 の 一 つ と して,そ

のプ ログラ

ミ ン グが 参 考 に な る こ と も あ る だ ろ う。 時 々刻 々 の マ ー カ ー を残 して表 示 す る方 法 な ど も あ り,そ の よ う な様 々 な 方 法 の 習 得 は 読 者 の 努 力 に 任 せ る。

(注)Ｙ 1.mの

を 太 字 に し て い る の は,本 中 で も,そ

書 で の 記 号 の ル ー ル に 従 っ て い る か ら で あ る が,houbutsu_

の ま ま 変 数 と し て 用 い ら れ て い る(当

数 名 で あ り,[t0:dt:tf]も

然,太

字 で は な い)。DY,YY,ttも

プ ロ グ ラ ム 中 で は 斜 体 は 使 っ て い な い がMATLABの

変

表 現 で あ る。

● 計 算 の 実 行 と出 力,お よ び,放 物 運 動 シ ミ ュ レー シ ョンの 応 用   こ の プ ロ グ ラ ム を 動 か す に は,MATLABを

起 動 し て,カ

レ ン トデ ィ レ ク ト リ

を こ の Ｍ フ ァ イ ル の あ る デ ィ レ ク ト リ に 設 定 す る 。 あ る い は,こ の あ る デ ィ レ ク ト リ がMATLABの 後,コ

検 索 パ ス上 に く る よ う に す れ ば よ い。 そ の

マ ン ド ウ ィ ン ド ウ の プ ロ ン プ トにhoubutsu_1;な

キ ー を 押 せ ば,計

の Ｍ フ ァイ ル

ど と打 ち 込 ん でEnter

算 して 結 果 が 表 示 され る。

  本 書 の 順 動 力 学 シ ミュ レー シ ョ ンプ ログ ラ ム の 出 力 は グ ラ フ とア ニ メ ー シ ョン で あ る 。houbutsu

_1.mの

figure(2)(図4.5)は

出 力 は 表4.1に

自 動 ス ケ ー ル に な っ て い る の で,ほ

線 に な っ て い る が,水

平 軸(Ｘ

軸)の

て い る 。 ア ニ メ ー シ ョ ン で は,各 続 い て,そ

ま と め ら れ て い る 。figure(1)と と ん ど 同 じ形 の 放 物

数 値 は そ の 軸 に指 定 した変 数 の もの に な っ

時 間 ご と の 図 を 準 備 し て 取 り込 む 段 階 が あ り,

れ を 連 続 的 に 表 示 す る 段 階 を プ ロ グ ラ ミ ン グ し た 。 そ の た め,二

表4.1houbutsu_1.mの

グ ラ フ と ア ニ メ ー シ ョ ン 出 力

figure(1)(注)

時 間 に対 す る質 点 の高 さの グ ラ フ

figure(2)

質 点の 水平 位 置 に対 す る質 点 の高 さの グ ラ フ

figure(3)

ア ニ メー シ ョン

(注):figure(1)な

ど は,MATLABを

図4.5質

動 か した とき に出 て くる 図の 番号 であ る。

点の 軌 跡

回の

動 画 表 示 が あ る よ う に写 る 。   積 分 計 算 の 終 了 は,指 定 した計 算 時 間 内 で,指 定 した状 態 に な っ た と き とす る こ と も で きる 。 放 物 運 動 の 場 合,投

げ 上 げ た 質 点 が 元 の高 さ に 戻 っ て きた と き を

終 了 とす る よ う な指 定 で あ る。 この た め に は,MATLABのevent関 る もの を利 用 す れ ば よ い が,こ

数 と呼 ば れ

の プ ロ グ ラ ム で は,単 純 に,指 定 した 時 間 で 終 了

す る。   こ こ で は 最 も単 純 な放 物 運 動 を取 り上 げ た が,あ

る高 さ で は 横 風 の影 響 に よ っ

て 適 度 な横 力 が 働 き,Ｘ 軸 上 の あ る 範 囲 で は上 昇 気 流 の 影 響 で 上 向 きの 力 が 働 く とす れ ば,質 点 軌 道 の 放 物 線 は崩 れ た 形 に な る 。 ３次 元 的 な風 の 影 響 を 含 め た, ３次 元 の シ ミュ レー シ ョ ン も面 白 い だ ろ う。 風 な どの外 乱 が あ る状 況 で,質 点 の 落 下 位 置 を 目標 地 点 に 近 づ け る た め の 初 期 の打 ち 出 し方 向 と速 度 を探 す ゲ ー ム も 考 え られ る 。 そ の よ うな 遊 び心 をプ ロ グ ラ ミ ン グ して 計 算 して み れ ば,シ ー シ ョ ンが 身 近 に な る か も しれ な い 。

ミュ レ

第５章

自由な剛体 の運動方程式 と その表現方法

  ３次 元 問 題 の 難 し さ は,ま ず,剛 体 の 回 転 姿 勢 に あ り,さ

らに,剛 体 回 転 運 動

の 運 動 方 程 式 に あ る。 本 章 で は ３次 元 剛 体 の並 進 運 動 と 回転 運 動 の運 動 方 程 式 を 示 し,角 速 度,ト

ル ク,慣 性 行 列 な どの 回転 運 動 に 関 わ る物 理 量 と そ の 表 現 につ

い て 説 明 す る 。 第 ９章 にで て くる コマ の シ ミュ レー シ ョ ンは,本 章 で 説 明 す る運 動 方 程 式 を用 い る。 た だ し,こ の 運 動 方 程 式 導 出 の 説 明 は,第 れ ば な らな い 。 ま た,剛 体 の 回 転 姿 勢 につ い て は,第

Ⅲ部 まで 待 た な け

７章 ∼ 第 ９章 に 説 明 さ れ て

い る。

5.1剛

体 の運 動 方程 式

  ３次 元 空 間 を 自 由 に運 動 す る 剛体 の運 動 方 程 式 は,重 心 の並 進 運 動 と回 転 運 動 に分 離 して 表 す こ とが で き る。 剛 体 Ａ を考 え,そ の 重 心 と重 心 に 原 点 を一 致 さ せ て 固 定 した 座 標 系 も Ａ と呼 ぶ こ と にす る 。 剛 体 Ａ の 運 動 方 程 式 は 次 の とお り で あ る。

(5.1) (5.2) 運 動 方 程 式 を この よ うに 二 つ に分 離 で き る の は並 進 運 動 を重 心 位 置 で捉 えて い る か らで あ る。 そ れ 以 外 の 点 で 並 進 運 動 を表 す 場 合 は,一 般 に,並 進 と回 転 が 連 立 した 式 に な る(式(12.27))。   慣 性 系 Ｏ か ら見 た 重 心 Ａ の 速 度 を表 す 幾 何 ベ ク トル はVOＡ で あ る。 この 幾 何 ベ ク トル を座 標 系 Ｏ と組 み合 わ せ る と代 数 ベ ク トルVOAに

な る。

(5.3)

図5.1剛

体 Ａ の 重 心 速度 と角 速度,Ａ に働 く 等 価換 算 後 の 作 用 力 と作 用 トル ク

こ れ ら は 前 節 のvOP,VOPと

同 じ添 え字 の 使 い 方 で あ る。 大 文 字 と小 文 字 の使 い

分 け は 今 の と こ ろ 強 い 意 味 を持 っ て い る わ け で は な い。 剛体 に関 す る量 に は 大 文 字 を用 い,点 場 合,重

に 関 す る 量 に は小 文 字 を用 い る こ と を原 則 と して い る。 式(5.1)の

心 は 剛 体 の代 表 点 と考 え る の が 妥 当 で,大 文 字 を用 い て い る。 な お,３

次 元 剛 体 系 に 対 して,こ の 大 文 字 と小 文 字 を使 い 分 け る 主 な理 由 は,第17章 式(17.9)と(17.12)な

の

どの 区別 の た め で あ る。

  剛 体 上 の 各 点 に は 作 用 力 と作 用 トル ク が 働 くが,そ

れ ら を重 心 点 Ａ に等 価 換

算 し,合 計 す る と,一 組 の作 用 力 と作 用 トル ク に な る 。 そ の 作 用 力 を 幾何 ベ ク ト ル でFAと

書 くこ と に し,そ れ を座 標 系 Ｏ で表 した代 数 ベ ク トルがFOAで

これ も,前 節 のfP,fOPと

ある。

同 じ添 え 字 の 使 い 方 で あ る。

(5.4)

な お,力

と トル ク の 等 価 変 換 は,12.1節

明 と し て 必 要 な 最 後 の 記 号 はMAで,こ

5.2オ

に 説 明 さ れ て い る 。 さ て,式(5.1)の

説

れ は 剛 体 Ａ の 質 量 で あ る。

イ ラー の運 動方程 式

  式(5.1)は 重 心 位 置 に全 質 量 が 集 ま っ て い る と 考 えれ ば ニ ュ ー トン の 運 動 方 程 式(4.1)と 同 じで あ り,使 わ れ て い る 記 号 も 同様 で あ る。 一 方,回

転運動 の運動

方 程 式(5.2)は オ イ ラ ー の 運 動 方 程 式 で あ る が,こ

こに使 われてい る変数 は新 た

に 説 明 を要 す る。 ま ず,慣 性 系 Ｏ か ら見 た 剛体 Ａ の角 速 度 を 表 す 幾 何 ベ ク トル を ΩOAと 書 く こ と に す る。 慣 性 系 Ｏ が オ ブ ザ ー バ で あ る。 この 矢 印 の 向 き は, 慣 性 系 Ｏ か ら見 た 剛 体 Ａ の 瞬 間 回 転 中 心 軸 と平 行 で あ り,矢 印 の 長 さ は 回 転 の 速 さ を 表 す もの で,回 転 の 向 きは 右 ネ ジ のル ー ル で定 め る 。   さ て,こ る が,こ

の 幾 何 ベ ク トル と座 標 系 Ｏ を組 み 合 わ せ た代 数 ベ ク トル が ΩOAで あ

こ で は,剛 体 に 固 定 され た 座 標 系 Ａ を ΩOAと 組 み 合 わ せ て,別

の代 数

ベ ク トル を作 る こ と にす る。 そ の 代 数 ベ ク トル を Ω'OAと表 す 。

(5.5)

ΩOAの 二 つ の 添 え字 の う ち,左 側 の 添 え 字 に 関 係 して い る 座 標 系 と組 み 合 わせ た 場 合 が ΩOAで,右

側 の 添 え字 に関 係 し て い る座 標 系 と組 み 合 わ せ た 場 合 が Ω'OA

で あ る。 す な わ ち,ダ ッ シ ュ は右 側 の 添 え字 に 関係 す る座 標 系 と組 み 合 わ せ た こ と を意 味 し,ダ ッ シ ュが な け れ ば左 側 の 添 え字 に 関 係 す る座 標 系 と組 み 合 わ せ た もの とす る。 こ の ル ー ル はVOA,ROAな

どの 場 合 に も適 用 で き,こ れ ら と座 標 系

Ａ を組 み 合 わせ た代 数 ベ ク トル はV'OA,R'OAで

ある。

  Ω'OAは Ω'OAの三 つ の 成 分 か ら作 っ た,次 の よ う な3×3行

列 で あ る。

(5.6)

Ω'OAの上 の ∼(テ

ィル ダ)は3×1列

行 列 に作 用 して,こ

の式 に示 した よ う な成

分 配 置 の3×3行 列 を作 る オ ペ レ ー ター で あ る。 こ の オペ レー タ ー を 外 積 オ ペ レ ー タ ー と 呼 ぶ こ と にす る。 式(5.6)の 成 分 配 置 か ら分 か る よ う に,外 積 オ ペ レー タ ー を作 用 させ て作 っ た3×3行

列 の 転 置 は符 号 が 反 転 す る。

(5.7) こ の よ う な 性 質 を 持 つ 行 列 は,交 な お,Ω'OATは,(Ω'OA)Tを 用 さ せ,そ

代 行 列,ま

た は,歪

対 称 行 列 と呼 ば れ て い る。

意 味 し て い る 。 す な わ ち,Ω'OAに

外 積 オペ レー タ を 作

の 結 果 を 転 置 し た も の で あ る 。 先 に 転 置 す る と,外

用 す る こ と は で き な い の で,括

弧 を は ぶ い て,簡

積 オ ペ レー タ を作

潔 に表 現 す る こ とが で き る。

  剛 体 上 の 各 点 に 働 く作 用 力 や 作 用 トル ク を重 心 位 置 に 等 価 換 算 し,合 計 す る と 一 組 の 作 用 力 と作 用 トル ク に な る が ,そ の 作 用 トル ク を幾 何 ベ ク トル でNAと 書 く こ と に す る。 す な わ ち,前 節 の 式(5.4)の が,等

価 換 算 と合 計 の 結 果 で あ る。 このNAを

直 前 で 説 明 したFAと

,こ こ のNA

座 標 系 Ａ と組 み 合 わせ た代 数 ベ ク

トル がN'OAで あ る。

(5.8) N'OAの 右 側 の 添 え字 は トル クが 作 用 す る剛 体(ま

た は点)で

ベ ク トル を作 る た め の座 標 系 を暗 示 して い る 。 一 方,N'OAの 意 味 を持 っ て い な い 。FOAと

あ り,さ ら に,代 数 左側 の添 え字 Ｏ は

の 対 比 で 形 式 的 に Ｏ を付 け る こ とに して い るが ,

「座 標 系 Ｏ で は な く,Ａ で 表 した 」 とい う気 持 ち で捉 え れ ば よ く,Ｏ 以 外 の記 号 を用 い て も意 味 は 変 わ らな い 。   式(5.2)に 現 れ て い る変 数 はす べ て ダ ッ シ ュ が 付 い て い て,こ

れ ら は座 標 系 Ａ

で 表 さ れ て い る 。 実 用 上,回 転 運 動 に 関 わ る 量 は ダ ッ シ ュの 付 い た 変 数 を用 い る こ とが 多 い。 た だ し,作 用 トル ク にNOAが

使 わ れ る場 合 が な い わ け で は な く,

ま た,作 用 力 と してF'OAが 使 わ れ る場 合 もあ る 。 J'OAは 慣 性 行 列 と呼 ば れ る3×3対

称 行 列 で あ る。 こ れ は,剛 体 の Ａ 点 ま わ り

の 質 量 分 布 が持 つ 回転 運 動 の 慣 性 特 性 を表 す もの で あ り,慣 性 テ ン ソル と呼 ば れ る 物 理 量 を座 標 系 Ａ に よっ て 表 現 した もの で あ る。

(5.9) 座 標 系 Ｏ に よ っ て 表 現 した もの はJOAと 表 記 す る。 ま た,Ａ 点 ま わ りで あ る こ と を 明 示 す る場 合 はAJ'OAと 書 く こ と にす る 。 右 下 添 え字 の 右 側 の Ａ は慣 性 行 列 を表 現 す る た め の 座 標 系 で,左 上 の Ａ は モ ー メ ン ト中 心 で あ る。 両 者 が 一 致 し て,モ

ー メ ン ト中 心 が座 標 系 原 点 と一 致 す る場 合 は ,左 上 の 添 え字 を省 略 す る こ

と に して い る。   J'OAの 三 つ の 対 角 要 素 は,Ａ 座 標 系XYZ軸

ま わ りの 慣 性 モ ー メ ン トで あ り,

非 対 角 項 は慣 性 乗 積 と呼 ば れ て い る。 回転 運動 に 関 わ る量 に ダ ッ シ ュの 付 い た変

数 を 用 い る 理 由 ば,J'OAが

定 数 に な る 点 に あ る 。J'OAが 定 数 な ら,式(5.2)を

た 順 動 力 学 の 数 値 解 を 求 め 易 く,一 お,J'OAも,N'OAの

場 合 と 同 様,左

方,JOAは

回 転 姿 勢 と と も に 変 動 す る。 な

側 の添 え 字 は意 味 を持 っ て い な い 。

  ジ ャ イ ロ 効 果 な ど ３次 元 回 転 運 動 の 複 雑 さ は,オ 辺 第 二 項 の 存 在 と,第

イ ラ ー の 運 動 方 程 式(5.2)左

一 項 も含 め た 慣 性 行 列 に 起 因 す る 。 そ の 影 響 は 次 の よ う な

こ と に も 現 れ て く る 。 式(4.1)に vOP=const.と

用い

な る 。 す な わ ち,自

お い て,fOP=0と

す る と,vOP=0が

成 り 立 ち,

由 な 質 点 に 作 用 力 が 働 か な け れ ば,速

度は一

定 に 保 た れ る 。 自 由 な 剛 体 重 心 の 並 進 運 動 に つ い て も 同 様 な こ と が い え る が,剛 体 の 回 転 運 動 に つ い て は 同 様 と は い え な い 。 式(5.2)で,N'OA=0と Ω'OA=const.を

導 く こ と は で き な い 。 逆 に,Ω'OA=const.を

な ト ル ク はN'OA=Ω'OAJ'OAΩ'OAで

あ り,慣

性 乗 積 の 存 在 や,各

し て も,

維持 す るた めに必要 軸 ま わ りの 慣 性 モ

ー メ ン トの 違 い が こ の トル ク を 生 み 出 し て い る こ と が 分 か る 。J'OAが ス カ ラ ー 行 列 の 場 合 の み,こ

の トル ク は ゼ ロ に な る 。 ま た,Ω'OA≠0で

え る と オ イ ラ ー の 運 動 方 程 式(5.2)の こ の 場 合 も Ω'OA〓N'OAに

Quiz5.1

Ω'OA=0の

瞬 間 を考

左 辺 第 一 項 だ け の 影 響 が は っ き りす る が,

な っ て い る わ け で は な く,並

進 運 動 と は異 な っ て い る。

月 は 常 に地 球 に 同 じ面 を 向 け て,地 球 の ま わ りを 回 っ て い る。 月

の 自転 と公 転 の 周 期 は 等 し く,約27.32日

とい わ れ るが,こ

れは恒星系 に対す る

向 き を基 準 と して,一 周 す る 時 間 で あ る。 同 様 の意 味 で,地 球 の 公 転 の 周 期 は約 365日,自

転 の周 期 は約 １ 日(も う少 し正 確 に は １ 日弱)で

あ る。 さて,地 球 か

ら見 た 月 の 角 速 度 と は何 か 。 月 や 地 球 の 自転 や 公 転 との 関係 を説 明 せ よ。

図5.2太

陽(Ｓ),地

球(Ｅ),月(Ｍ)

Quiz5.2

剛 体 Ａ か ら見 た 剛 体 Ｂ の 角 速 度 ΩABと 剛 体 Ｂ か ら見 た 剛 体 Ａ の

角 速 度 ΩBAと は,ど

の よ うな 関 係 か 。

Quiz5.3

剛体 Ａ か ら見 た 剛 体 Ａ の 角 速 度 ΩAAは,ど

Quiz5.4

N'OA,J'OAの

左 側 の 添 え 字 の Ｏ は,い

た 。 Ω'OAの 左 側 の 添 え 字 の Ｏ は ど う で あ っ た か,再

5.3剛

ん な幾 何 ベ ク トル か。

ず れ の場 合 も無 意 味 で あ っ 確 認 せ よ。

体の運動方程式に関連するその他の事項

  順 動 力 学 の 数 値 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 行 う場 合,式(4.1)に 必 要 だ っ た よ う に,式(5.1)に

随 伴 さ せ て 式(4.2)が

は次 の 式 を随 伴 させ る こ とが 多 い 。

(5.10)

ROA=VOA

しか し,式(5.2)に

随 伴 させ る式 は,ま

だ,示 す こ と は で き な い 。 まず,３ 次 元

の 回転 姿 勢 に つ い て 知 る必 要 が あ り,そ れ らに つ い て は 第 ７章 ∼ 第 ９章 に説 明 が あ る。 な お,式(5.1),(5.2),(5.10)は,そ

れ ぞ れ,ス

カ ラー レベ ル で 三 つ 式 を

含 ん だ コ ンパ ク トな 式 に な っ て い る。 見 か け 上,三 分 の 一 に な っ て い る だ けで あ るが,随 分,見

通 しが よ い。

  式(5.1)と(5.10)に しか し,式(5.2)に

対 応 す る幾 何 ベ ク トル 表 現 は式(4.7),(4.5)と

同 様 で あ る。

対 応 す る幾 何 ベ ク トル表 現 は簡 単 で は な い 。 慣 性 テ ン ソル の

表 現 方 法 は馴 染 み が な い か らで あ る。 さ らに,第

７章 以 降 に 述 べ る ３次 元 の 回 転

姿 勢 は行 列 表 現 が 主体 に な る の で,回 転 姿 勢 と角 速 度 の 関係 を表 す 幾 何 ベ ク トル 表 現 は,通 常,用

い られ る こ とは な い。

  式(5.1),(5.2)は,三 方 程 式 と して,導

つ の質 点 が 三 角 形 を な して 剛 につ な が っ て い る 系 の 運 動

く こ と が で き,12.2節

に 説 明 が あ る。 そ こ で は,各 質 点 の 質

量 と そ の 点 の 剛 体 上 の 位 置 か ら,剛 体 の慣 性 行 列 が ど の よ う に作 り出 され る か, 明 らか に な る 。 同 じ方 法 で 多 数 の 質 点 が 剛 に つ な が った 系 を 考 え れ ば 質 量 が 連 続 的 に分 布 して い る 剛体 を近 似 して 考 えて い る こ とに な るが,そ の 運 動 方程 式 が 導 か れ る 。12.2節 の 方 法 は 第15章 じ運 動 方 程 式 の 導 出 は 第17章

の 場 合 も同 じ剛 体

の 拘 束 力 消 去 法 で あ るが,同

の 仮 想 パ ワー の 原 理 を利 用 す る方 法 や 第19章

の拘

束 条 件 追 加 法 で も行 え る。   式(5.1)の 左 辺 に負 号 を付 け た もの が(座 標 系 Ｏ で 表 さ れ た)慣 性 力 で あ る。 ま

た,式(5.2)の

左 辺 全 体 に負 号 を付 け た もの は(座 標 系 Ａ で 表 され た)慣 性 トル ク

で あ る。 自 由 な 剛体 の 場 合,重

心 に等 価 換 算 し た作 用 力 と慣 性 力 の 和 はゼ ロに な

り,等 価 換 算 した作 用 トル ク と慣 性 トル クの 和 も ゼ ロ で あ る。

第６ 章

外 積 オペ レー ター,座 標 変 換 行 列

  前 章 まで に,位 置,速 度,角

速 度 と力,ト

ル ク,質 量,慣 性 行 列 を 表 す 記 号 を

学 ん で き た。 ま た,剛 体 の 回転 の 運 動 方 程 式 に は,角 速 度 に外 積 オ ペ レー タ ー を 作 用 させ た交 代 行 列 が 出 て きた 。 代 数 ベ ク トル 表 現 で は,こ れ らの記 号 が 簡 潔 な 運 動 方 程 式 表 現 を 支 えて い る 。   運 動 学 的物 理 量 と して,基 本 的 に重 要 な 量 は 四つ あ る 。 上 記 の位 置,速 速 度 と,も

度,角

う一 つ,回 転 姿 勢 で あ る 。 次 章 か らこ の 回転 姿 勢 の説 明 に 入 る が,そ

の 前 に,本 章 で は外 積 オ ペ レ ー タ ー の 基 本 的 関 係 式 と拡 大 解 釈 につ い て述 べ る。 また,代 数 ベ ク トル は組 み 合 わ せ る座 標 系 に よ っ て 異 な った もの に な り,そ れ ら は 座 標 変 換 と呼 ば れ る変 換 関 係 で結 ば れ るが,本

章 で,そ れ を支 え る座 標 変換 行

列 も説 明 す る 。

6.1外

積 オ ペ レー タ ー

● 外 積 オ ペ レー タ ー の基 本 的 性 質   角 速 度 Ω'OAに外 積 オ ペ レー タ ー を 適 用 し た 交 代 行 列 Ω'OAの 成 分 配 置 は,式 (5.6)に 与 え ら れ て い る 。 同様 な成 分 配 置 に よ っ て,任 意 の3x1列 代 行 列 を作 る こ とが で き る が,そ

行 列 か ら交

れ が 外 積 オ ペ レ ー ター の 役 割 で あ る。a,bを

3×1列 行 列 と して,外 積 オペ レー タ ー の 基 本 的 な性 質 は 次 の と お りで あ る。

(6.1) (6.2) (6.3) (6.4) (6.5)

(6.6) (6.7) 式(6.4)のI3は3×3単

位 行 列 で あ る。

(6.8)

式(6.7)の 両 辺 は 四 つ の 因子 の 積 に な っ て い て,最 後 の 二 つ の 因 子abは

共通で

あ る。 しか し,こ の 共 通 因子 を 落 と した よ う な関 係 が 成 立 す る わ け で は な い 。 こ の よ うな こ と は行 列 の積 で は よ くあ る こ とだ が,注 意 を要 す る。 ま た,こ した 式 は,実 数 以 外 の 要 素 を持 つ3×1列

こ に示

行 列 に も適 用 で き る が,行 列 の 要 素 間

の積 につ い て 積 の交 換 法 則 が 成 り立 って い る こ とが 前 提 で あ る。   外 積 オ ペ レー タ ー は 幾 何 ベ ク トル の 外 積 を代 数 ベ ク トル の 世 界(行 列 の 世 界) で 実 現 す る た め の も の で あ る 。 幾 何 ベ ク トルa,bを せ て 作 っ た 代 数 ベ ク トル をa,bと がabに

な る。 式(6.2),(6.3)が

  式(6.1)∼(6.6)は,具

式(6.7)を

同 じ座 標 系 で 表 した もの

外 積 の 性 質 で あ る こ と はす ぐに 分 か るで あ ろ う。

体 的 にa=[aX

(6.7)は,式(6.1)∼(6.6)の

Quiz6.1

す る と,外 積a×bを

特 定 な座 標 系 と組 み 合 わ

aY aZ]Tな ど を代 入 して 確 認 で き る 。 式

い くつ か を利 用 して 示 す こ とが で き る。

導 け。

● 外 積 オ ペ レー タ ーの 拡 大解 釈   こ れ ま で 外 積 オ ペ レ ー タ ー は3×1列 そ の 適 用 対 象 を3n×1列 3×1列

行 列 と し て,そ

行 列 の み に 適 用 で き る と 考 え て き た が,

行 列 に 拡 大 し て お く と 便 利 で あ る 。a1,a2,…,anを れ らを縦 に並 べ た 列 行 列 を ｚとす る。

(6.9)

こ の と き,こ

の ｚ に 外 積 オ ペ レ ー タ ー を 作 用 さ せ る こ と が で き,次

の ようになる

もの とす る。

(6.10)

こ の 拡 大 解 釈 は,n=1の

6.2座

と き,も

との 解 釈 と一 致 す る。

標変換行列

  ΩOAと Ω'OAとは 同 じ幾何 ベ ク トル を別 の 座 標 系 で 表 した 代 数 ベ ク トル で あ り, 次 の よ う な座 標 変 換 の 関 係 が 成 り立 つ 。

(6.11) COAは 座 標 系 Ａ か ら座 標 系 Ｏ へ の 座 標 変 換 行 列 で あ る 。 一 般 に,座 標 系 Ｂ か ら 座 標 系 Ａへ の 座 標 変 換 行 列CABは,3×3の

実 行 列(実

数 を要 素 とす る行 列)で

ある。

(6.12)

ｉと ｊ をX,Y,Zと eAi,座

し て,座

標 系 Ａ の ｉ軸 に 沿 っ た 単 位 長 さ の 幾 何 ベ ク トル を

標 系 Ｂ の ｊ軸 に 沿 っ た 単 位 長 さ の 幾 何 ベ ク トル をeBjと

eAiとeBjの

す る と,CABijは

内積 で あ る 。

(6.13)   VOAとV'OA,ROAとR'OAの FOAとF'OAの

間 に も 式(6.11)と

関 係,NOAとN'OAの

  i=X,Y,Zに

対 応 し たeAiを

ま と め たeAを

同 様 な 関 係 が 成 り 立 ち,ま

た,

関係 も同様 で あ る。 座 標 系 Ａ の 基 底 と 呼 び,こ

基 底 列 行 列 と 呼 ぶ(3.3節

を 簡 潔 に 定 義 す る こ と が で き,付

れ ら を3×1列

参 照)。 こ れ を 利 用 し て,座

行列 に

標 変換行列

録 Ａ に 説 明 さ れ て い る 。 そ の 方 法 は,次

に示

す 座 標 変 換 行 列 の 基 本 的 な性 質 の説 明 に も役 立 つ 。

CAA=I3

(6.14) (6.15)

CAC=CABCBC

(6.16)

座 標 変 換 行 列 は,式(6.15)の

後 半 の性 質 を持 っ て い る た め,正 規 直 交 行 列 で あ る 。

  座 標 系 Ｂ で 表 した 交 代 行 列 Ω’ABと,座 標 系 Ａ で 表 した 交 代 行 列 ΩABの 座 標 変 換 の 関 係 は 次 の よ うに な る。

(6.17) こ の 式 も 角 速 度 に 限 ら ず,式(6.11)の 対 し て 成 立 す る 。 同 じ こ と を,ｂ

よ う な 関 係 に あ る す べ て の 代 数 ベ ク トル に を3×1列

行 列 と し て,次

の よ う に書 く こ と も

で きる 。

(6.18) 式(6.17)は,付

録 Ａ の(A1.5),(A1.6),(A1.28)を

  な お,式(6.11)な は,慣

ど,運

利 用 して 示 す こ とが で き る。

動 学 関 係 の 各 式 に 出 て く る 添 え 字 Ｏ は 慣 性 系,ま

た

性 座 標 系 で な くて も よ い 。 運 動 学 は 慣 性 と い う概 念 と は 無 関 係 で あ る 。 剛

体 Ｏ,お

よ び,そ

の 上 に 固 定 し た 座 標 系 Ｏ と 解 釈 す れ ば よ く,Ｂ

や Ｃ な ど別 の

添 え 字 に 置 き換 え る こ と も で き る 。

Quiz6.2

付 録 Ａ の 方 法 に よ り,式(6.14)∼(6.16)を

Quiz6.3

式(6.18)を

Quiz6.4

Ω'AB=-ΩBAが

Quiz6.5

第11章

説 明 せ よ。

説 明 せ よ。

の11.1節

成 立 す る だ ろ うか 。 を 読 み,  Quiz11.1に

答 え よ。

第７ 章

３次元 剛体の 回転姿勢 と その表現方法

  ３次 元 空 間 にお け る剛 体 の 回転 姿 勢 は,そ の 剛 体 に 固 定 した 座 標 系 の 回 転 姿 勢 で 表 す もの とす る。 座 標 系 の 回 転 姿 勢 は 平 行 移 動 とは独 立 に考 え る こ とが で きる の で,二 つ の 座 標 系 の 対 応 す る 座 標 軸 が 平 行 に な っ て い る と き,両 者 は 同 じ回転 姿 勢 に な っ て い る と考 え る 。 あ る い は,二 つ の座 標 系 の相 対 的 な 回 転 姿 勢 は 原 点 が 一 致 す る よ う に平 行 移 動 して 考 え て も よい 。   本 章 で は,Simple Rotation(単 純 回 転),回 転 行 列,オ イ ラ ー 角,オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ,の 四 つ の ３次 元 回 転 姿 勢 表 現 を 説 明 す る。XYZの 三 軸 ま わ りの 回転 角 を単 純 に並 べ る だ け で は 回転 姿 勢 に は な らず,こ の 点 は 誤 解 が 多 い の で 注 意 を要 す る。 な お,上 記 の 四 つ 以 外 に ロ ドリゲ スパ ラ メ ー タ が あ るが,そ

の長所

が 生 か され る 場 面 は少 な い と 思 わ れ る の で,付 録 Ｂ に説 明 す る に と どめ た。 こ の 付 録 Ｂ に は,本 章 と は 異 な る オ イ ラ ー パ ラ メー タの 導 入 法,オ ー タ と ロ ドリゲ ス パ ラ メ ー タ に 関 す る 三 者 の 関 係(第 係(角

速 度 と の 関 係 。 第 ９章 参 照),角

速 度 の 三 者 の 関 係(第

な ど も説 明 され て い る 。

図7.1座

標 系 の相 対 的 な配 置 関係 (平行 移動+回 転変 位)

イ ラーパ ラメ

８章 参 照),時

間微 分 の 関

８章 参 照)の 導 出

7.1 

Simple

Rotation(単

  座 標 系 Ａ に 対 して,あ

純 回 転)

通 る 回 転 軸 λABを 考 え,そ

る 回転 姿 勢 状 態 の 座 標 系 Ｂ が あ る。 座 標 系 Ａ の 原 点 を の 軸 ま わ りに 座 標 系 Ａ を角 度 φAB(注)だ け 回転 す る と

座 標 軸 が座 標 系 Ｂ と 平 行 に な る とす る(図7.2)。

回 転 の 向 き は 右 ネ ジの ル ー ル

に よ っ て い る。 オ イ ラ ー の 定 理 は,座 標 系 Ａ に対 して 座 標 系 Ｂ が ど の よ うな 回 転 姿 勢 で与 え られ て も,こ の よ う な λABと φABの存 在 を保 障 して い る。 そ して, 任 意 の λABと φABは 座 標 系 Ａ に対 す る座 標 系 Ｂ の 回 転 姿 勢 を 一 つ 与 え る の で, λABと φABの 組 は 座 標 系 Ａ か ら見 た 座 標 系 Ｂ の 回 転 姿 勢 を 表 し て い る 。λABと φABは,座 標 系 Ｂ が 現 在 の 回転 姿 勢 に至 っ た経 緯 と は無 関 係 で あ り,現 在 の相 対 的 な 回 転 姿 勢 を仮 想 的 に一 つ の軸 ま わ りの 回 転 だ け で 実 現 す る こ と を考 えて い る。 こ の よ う な 回転 姿 勢 の 表現 方 法 をSimple

Rotation(単

純 回 転)と

呼ぶ。

  λABは 座 標 系 Ａ と組 み 合 わ せ て も,座 標 系 Ｂ と組 み 合 わせ て も 同 じ代 数 ベ ク トル λABに な る。 こ の λABを λABの 代 わ りに用 い て も よ く,そ の 方 が 他 の 回転 姿 勢 表 現 との 関係 を表 す 上 で 便 利 で あ る。 λABの 三 成 分 を,今 後,次

図7.2 

座 標 系 のSimple

Rotation(単

の よ う にlAB,

純 回 転)

(注)特 定 の軸 ま わ りの 回転 角 を表 す 単 位 は,「 度」 か 「 ラ ジ ア ン」 が 使 わ れ る 。度 は数 字 の 右 肩 に ゜を付 け て 表 す 。 ラ ジ ア ン は半 径 と 円周 に沿 っ た長 さ の割 合 で あ るか ら無 名 数 で,通 常, ラ ジア ンを付 け ず に用 い る。 た とえ ば,360゜=2π

とな る(π=3.14…)。

mAB,nABと

表 す こ とが あ る 。

(7.1)

λABは 方 向 を 表 す だ け で あ る か ら単 位 長 さ と して 差 し支 え な く,λABに は 次 の よ う な 条 件 を付 け る こ と にす る 。

(7.2)   Simple か し,こ

Rotation(単

純 回 転)は

回転 姿 勢 表 現 の 最 も基 本 的 な 概 念 で あ る。 し

の ま ま で は 二 つ の 回 転 の 合 成 が ど の よ う に な る か,ま

た,λABと

φABの

時 間 微 分 が 角 速 度 Ω'ABと ど の よ う に 関 係 す る か を 簡 潔 に 把 握 す る こ と が で き な い 。 こ の 表 現 方 法 は,別 の 表 現 方 法 の 基 礎 に な っ て い る と 考 え る の が 妥 当 で あ る 。

Quiz と し,次

7.1座 い で,座

標 系 Ｏ を そ の Ｚ 軸 ま わ り に90゜ 回 転 し て,座

標系 Ａ にな った

標 系 Ａ を そ の Ｘ 軸 ま わ り に90゜ 回 転 し て,座

標系 Ｂ にな った

と す る(図7.3)。

座 標 系 Ｏ か ら 見 た 座 標 系 Ｂ の 回 転 姿 勢 を 考 え,λOBは

う な 回 転 軸 で,回

転 角 φOBは い く つ だ ろ う か 。 さ ら に,座

わ り に90゜ 回 転 し て,座

図7.3 

Quiz

7.2 

標 系 Ｃ に な っ た と す る 。λOCと

Ｚ軸 ま わ り に90゜ 回 転 し,次

7.2[Quiz

い で,Ｘ

どの よ

標 系 Ｂ を そ の Ｚ軸 ま

φOCは ど う で あ ろ う か 。

7.1]と 同 じ状 況 で,λOBと

軸 ま わ り に90゜ 回 転 し た 座 標 系

λOCは どの よ う に な る だ ろ うか 。

回 転行 列

  座 標 変 換 行 列 は 二 つ の 座 標 系 間 の 関係 で あ るか ら,回 転 姿 勢 表現 の 一 つ と考 え る こ とが で き る。 そ こで,CABを

座 標 系 Ａ か ら見 た座 標 系 Ｂ の 回転 姿 勢 表 現 と

考 え,回

転 行 列 と 呼 ぶ こ と に す る 。 回 転 行 列 と い う 呼 び 名 を 用 い て も,式(6.14)

∼(6 .16)の 基 本 的 性 質 が 成 り 立 つ こ と に 変 り は な い 。Simple

Rotationの

表現 か

ら 回 転 行 列 を作 る 式 は 次 の 通 り で あ る 。

(7.3)

(7.4)

この 関 係 の 導 出 は付 録B.1節

に あ る。

  回 転 行 列 は座 標 変 換 行 列 で も あ り,両 方 の役 割 を持 ち なが ら,様 々 な 関 係 の 表 現 に不 可 欠 で,重

要 な 存 在 で あ る。 運 動 方 程 式 の 導 出 に も頻 繁 に 現 れ る。 しか

し,九 つ の ス カ ラ ー 成 分 は ３ 自 由度(自

由 度 につ い て は 第13章

参 照)の

回転姿

勢 を表 現 す る た め に は多 す ぎ る た め,回 転 姿 勢 の 基 本 デ ー タ と して は不 適 当 で あ る 。 む しろ,他 の 回 転 姿 勢 表 現 の 中継 的 な役 割 を 果 た し た り,回 転 姿 勢 が 関 わ る 様 々 な 関係 の表 現 に 用 い られ る。

Quiz 7.3[Quiz

7.3 

7.1]と 同 じ状 況 で,COBとCOCは

どの よ う に な る だ ろ うか 。

オ イ ラー角

  座 標 系 Ａ を そ の Ｚ 軸 まわ りに θ1回転 して 座 標 系B1に 標 系B1を

そ の Ｘ 軸 ま わ り に θ2回転 して 座 標 系B2と

な る とす る 。 次 に,座

し,最 後 に,座 標 系B2を

そ の Ｚ軸 まわ りに θ3回転 して 座 標 系 Ｂ に な る とす る 。 この と き,θ1,θ2,θ3は 座 標 系 Ａ か ら見 た座 標 系 Ｂ の 回転 姿 勢 を 表 現 す る 変 数 に な っ て い る。 す な わ ち, θ1,θ2,θ3を 任 意 に与 え た と き一 つ の 回転 姿 勢 が 定 ま り,ま た,任 意 の 回転 姿 勢 に対 して θ1,θ2,θ3を 定 め る こ とが で き る。   θ1,θ2,θ3を3×1列

行 列 に ま とめ て 次 の よ うに 表 す こ とにす る 。

(7.5)

こ の 三 つ の 角 を 狭 義 の オ イ ラ ー 角 と 呼 ぶ 。 三 つ の 角 は,順

に,ZXZ軸

の まわ り

に 回 し て い る 。 座 標 系 Ｂ を 座 標 系 Ａ の 姿 勢 か ら 順 に ま わ し て 行 く と 考 え れ ば, こ れ ら の 回 転 軸 は 座 標 系Bの 角 をZ'X'Z'軸

座 標 軸 で あ る 。 そ の 意 味 を込 め て 狭 義 の オ イ ラ ー

ま わ りの 回 転 と表 現 し,OZ'X'Z'ABと 表 す こ と に す る 。

  座 標 系 Ａ か ら 見 た 座 標 系B1の (0,0,1),φ

回 転 行 列CAB1は,式(7.4)に

を θ1と す れ ば よ く,次

お い て(l,m,n)を

の よ う に な る。

(7.6)

c1,s1はcosθ1,sinθ1を

略 記 し た も の で あ り,以

下 も同 様 の 省 略 形 を用 い る。

ま た,Ｚ

軸 ま わ り の 回 転 に 対 応 し た 回 転 行 列 を 回 転 角 θ1の 関 数 と 見 な し て

CZ(θ1)と

表 す こ と に す る 。 続 い て,座

CB1B2,座

標 系B2か

標 系B1か

ら 見 た 座 標 系B2の

ら見 た 座 標 系 Ｂ の 回 転 行 列CB2Bも

回転 行 列

同 様 に 考 え て,次

の よう

に書 くこ とが で きる 。

(7.7)

(7.8)

式(7.7)で 同 様 に,Ｙ

も,Ｘ

軸 ま わ り の 回 転 に対 応 し た 回 転 行 列 を θ2の 関 数CX(θ2)と

軸 ま わ り の 回 転 に 対 応 し た 回 転 行 列 を θ の 関 数 と し てCY(θ)と

こ と に し て お く と,こ

こ で は 用 い な い が,便

した 。 表す

利 で あ る。

(7.9)

式(7.6)∼(7.8)か

ら,座

標 系 Ａ か ら 見 た 座 標 系 Ｂ の 回 転 行 列CABを

作 る こ とが

で きる 。

(7.10)

これ は,狭 義 の オ イ ラ ー角 か ら回 転 行 列 を作 る式 で あ る。 なお,こ 段 階 で,式(6.16)の

の式の最初 の

関係 が 用 い ら れ て い る。

  狭 義 の オ イ ラー 角 の 回 転 軸 はZ'X'Z'軸

だ が,X'Y'Z'軸,あ

る い は,Z'Y'X'軸

な ど と して も回 転 姿 勢 を表 現 で き る。 また,狭 義 の オ イ ラ ー角 で は 回 転 の対 象 と な る座 標 系(OABの 座 標 系(OABの

場 合 は座 標 系 Ｂ)の 座 標 軸 を選 択 した が,回 転 の 規 準 とな る

場 合 は 座 標 系 Ａ)の 座 標 軸 を 回 転 軸 と し て,ZXZ軸

な ど とす る

こ と も可 能 で あ る。 こ の よ う に,回 転 の た め の座 標 軸 の 選 択 に は い ろい ろ な 方 法 が あ るが,そ

れ らを ま とめ て 広 義 の オ イ ラ ー 角 と呼 ぶ こ とにす る。 同 じ軸 を続 け

て選 ぶ よ うな 無 意 味 な選 択 は 避 け な け れ ば な らな い が,三 軸 の 選 択 の 仕 方 を明 確 に 定 め れ ば よ く,そ れ に応 じて,回 転 行 列CABも る。 座 標 系 Ａ のXYZ軸

を 回 転 軸 とす る 場 合,こ

式(7.10)と

は異 な った形 に な

の オ イ ラー 角 をO〓

と書 け ば

明確 で あ る 。   オ イ ラ ー 角 は座 標 軸 まわ りの 回転 の 組 み 合 わ せ とい え る が,座 標 軸 の 指 定 と と もに 回転 順 序 の 設 定 が 明確 に な っ て い る こ と を再確 認 して お き たい 。 順 序 の 指 定 が な い 座 標 軸 ま わ りの 回 転 角 は 回 転 姿 勢 表 現 に は な ら な い 。 た と え ば,Z',X' 軸 ま わ りに 順 に90゜ず つ 回転 した 場 合(図7.3)と,X',Z'軸 ず つ 回転 した 場 合(図7.4)と

ま わ りに順 に90゜

で は,結 果 の姿 勢 は 全 く異 な った もの に な る 。

  オ イ ラー 角 は,３ 次 元 回転 姿 勢 の代 表 的 な 表 現 方 法 で あ り,伝 統 的 に最 も頻 繁 に 用 い られ て きた 。 ３自 由 度 の 回 転 姿 勢 は 三 つ の変 数 で 表 す こ とが 望 ま し く,オ イ ラ ー角 は そ う な っ て い る。 しか し,オ イ ラ ー 角 に よ る回 転 行 列 に は,多

くの 三

角 関 数 が 含 まれ て い て 複 雑 で あ り,後 述 す る よ う に,オ イ ラー 角 の 時 間微 分 と角 速 度 と の 関 係 に も複 雑 な係 数 行 列 を必 要 とす る。 さ らに,角 速 度 か らオ イ ラ ー 角 の 時 間微 分 を求 め る 関 係 に,ゼ ロ 割 が 生 じる特 異 姿 勢 が あ り,そ の 近 傍 で も数値 誤 差 が 大 き くな る 。 これ らが オ イ ラー 角 の 弱 点 で あ る 。

図7.4 

Quiz

Ｘ 軸 ま わ り に90゜ 回 転 し,次

7.4[Quiz

7.1]と

い で,Ｚ

同 じ 状 況 で,狭

軸 ま わ り に90゜ 回 転 した 座 標 系

義 の オ イ ラ ー 角OZ'X'Z'OBとOZ'X'Z'OCは

どの よ うに な る か 。 Quiz

7.5図7.4の

ま た,こ Quiz

状 況 で,狭

義 の オ イ ラ ー 角OZ'X'Z'OBは ど の よ う に な る か 。

の 図 に 沿 っ て 広 義 の オ イ ラ ー 角 の 一 例O〓 7.6式(7.10)は,狭

を説 明せ よ。

義 の オ イ ラ ー 角 か ら回 転 行 列 を求 め る式 で あ る。

逆 に,回 転 行 列 が 与 え ら れ て い る と き,狭 義 の オ イ ラ ー 角 を 求 め る 手 順 を 考 え よ 。 Quiz

7.7式(7.6)∼(7.9)で

与 え ら れ た 関 数CX(θ),CY(θ),CZ(θ)を

θで

微 分 す る と,そ

れ ぞ れ 次 の よ う に な る 。 確 認 せ よ 。 な お,DX,DY,DZは,9.2

節 の 式(9.11)ま

た は,付

録 Ａ の 式(A1.16)∼(A1.18)に

与 え ら れ て い る3×1列

行 列 で あ る。

(7.11) (7.12) (7.13) Quiz 7.8広

義 の オ イ ラ ー 角O〓

に 対 応 す る 回転 行 列COAは

ど の よ うに

なるか。

7.4 

オ イ ラー パ ラ メー タ

  四 つ の ス カ ラ ー か らな るオ イ ラ ー パ ラ メ ー タ は座 標 系 Ａ か ら見 た 座 標 系 Ｂ の 回転 姿 勢 を表 現 す る 方 法 の ひ とつ で あ る 。EABは

オ イ ラ ーパ ラ メ ー タ ε0AB,ε1AB,

ε2AB,ε3ABを

成 分 と す る4×1列

行 列 で,  Simple

RotationのlAB,mAB,nABと

φAB

を用 い て次 の よ うに 定 義 す る こ とが で き る。

(7.14)

ε1,ε2,ε3を

ま と め て ε=[ε1ε2ε3]Tと

表 せ ば,次

の簡 潔 な表 現 に な る。

(7.15)

オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ は 四 つ の 実 数 の組 で あ るが,す

べ て が 独 立 で は な く,二 乗 和

が 常 に １に 等 しい。

(7.16) ま た,EABと-EABは

同 じ回転 姿 勢 を表 して い る 。

  次 の 式 は オ イ ラ ー パ ラ メ ー タEABか

ら 回 転 行 列CABを

作 る と きに使 わ れ る。

(7.17)

(7.18)

式(7.17)は,式(7.3)に,三

角 関数 の半 角 の 公 式,オ

イ ラー パ ラ メー タの 定 義 式,

二 乗 和 が １に な る 関 係 を用 い る と導 く こ とが で き る(読 者 は 自 ら導 い て み よ)。 こ の 式 に は 三 角 関数 は 現 れ て こ な い 。 す べ て の 成 分 は オ イ ラー パ ラ メ ー タの 二 次 式 に な っ て い て,オ

イ ラー 角 の場 合 に比 べ,簡

単で ある。

  オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ は,３ 自 由 度 の 回 転 姿 勢 に 四つ の ス カ ラー を用 い る 点 が 弱 点 で あ る。 し か し,関 係 式 に は 三 角 関 数 な どが な くて 比 較 的 簡 単 で あ り,さ ら に,特 異 姿 勢 が な い 。 宇 宙 機 械,サ

ッカ ー ボ ー ル,体 操 競 技 者 な どの よ う に,あ

ら ゆ る 回 転 姿 勢 が 現 れ る 可 能 性 が あ る 場 合,あ う に,ど

る い は,汎

用 プ ロ グ ラ ム な どの よ

の よ う な 回 転 姿 勢 で 使 わ れ る か 予 測 で き な い 場 合 に は,特

る 。 ま た,車

に,便

利であ

両 や ロ ボ ッ トの モ デ ル 化 に も 頻 繁 に 用 い ら れ る 。 第 ９章 に コ マ の シ

ミ ュ レ ー シ ョ ン プ ロ グ ラ ム の 説 明 が あ り,そ

こ に は,オ

イ ラ ー角 を用 い る場 合 と

オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ を 用 い る 場 合 の 両 方 が 出 て く る 。 ま た,四 い る 弱 点 に 対 し,そ

つ の ス カ ラ ー を用

れ を カバ ー す る 方 法 の 説 明 もあ る 。

  オ イ ラ ーパ ラ メ ー タ の成 分 の 幾 何 学 的 意 味 を考 え る必 要 は な い 。 オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ は 抽 象 的 で わ か り に く い が,上

記 の 長 所 が あ る の で よ く使 わ れ る 。 ま ず 使

っ て 慣 れ て み る こ と か ら 始 め る 学 び 方 も 一 つ の 方 法 で あ る 。 な お,付 複 素 数 を 用 い た 回 転 行 列 の 説 明 が あ り,オ

録 Ｂ には

イ ラ ーパ ラ メ ー タ と 関 連 して い て興 味

深 い。

Quiz

7.9EABと-EABが

同 じ 回 転 姿 勢 を 表 す 理 由 を 説 明 せ よ 。Simple

Rotationの{λAB,φAB}と{-λAB,-φAB}も

同 じ 回 転 姿 勢 を 表 す が,オ

イ ラ ーパ

ラ メ ー タの 場 合 の 理 由 は 同様 と はい え な い。 Quiz

7.10CABが

Quiz 7.11[Quiz

単 位 行 列 の と き,EABは 7.1]と

同 じ状 況 で,オ

ど う な るか 。 イ ラ ー パ ラ メ ー タEOBとEOCは

ど

うなるか。 uiz 7.12図7.4の Q Quiz 7.13式(7.18)は,オ る 。 逆 に,回 考 え よ。

状 況 で,オ

イ ラ ー パ ラ メ ー タEOBは

どうなるか。

イ ラ ー パ ラ メ ー タ か ら回 転 行 列 を 求 め る式 で あ

転 行 列 が 与 え ら れ て い る と き,オ

イ ラー パ ラ メ ー タ を求 め る手 順 を

第８章

位 置,角 速 度,回 転姿 勢, 速 度 の三 者 の関 係

  空 間 中 を 運 動 す る 剛 体A,B,Cを す る 。 ま た,剛 8.1)。

体A,B,C,そ

考 え,そ

こ れ ら を 利 用 し て,本

れ ぞ れ に 座 標 系A,B,Cを

れ ぞ れ の 上 に,点P,Q,Rが 章 で は,位

者 の 関 係 に つ い て 述 べ る 。 こ れ ら は,剛

置,角

速 度,回

固定

あ る と す る(図 転 姿 勢,速

体A,B,C,あ

度 に 関す る三

る い は,点P,Q,R

の三 者 の 間 の 相 対 的 関係 で あ る。   慣 性 空 間 Ｏ 上 に 座 標 系 Ｏ が 固 定 さ れ て い て,そ の 関 係 はO,A,B,あ た だ し,こ

る い は,S,P,Qの

の 上 の 点 Ｓ を 考 え れ ば,三

関 係 と し て 説 明 す る こ と もで き る 。

の 章 に 出 て く る 関 係 も 運 動 学 の 関 係 で あ り,6.2節

が 当 て は ま る 。 こ の 解 説 を 理 解 し て い れ ば,ど

図8.1 

者

の末尾三行 の解説

ち らで 説 明 して も 同 じで あ る。

位 置 の 三者 の 関係

8.1  位 置 の 三 者 の 関 係  幾 何 ベ ク トル 表 現 を用 い て,位

置 に関 す る三 者 の 関 係 は次 の よ う に書 く こ とが

で きる 。

(8.1) こ れ は,空 間 に あ る三 つ の 点 を矢 印(幾 何 ベ ク トル)で 結 び,矢 印(幾

何ベ ク ト

ル)の 和 を定 義 す る馴 染 み深 い 関 係 で あ る(図8   点 Ｐ と点 Ｑ は そ れ ぞ れ 剛体A,B上 ぞ れ,剛 体 Ａ か ら見 た 点 Ｒ の 位 置,同

.1)。

の 点 と した の で,は,そ

れ

じ く剛 体 Ａ か ら見 た 点 Ｑ の位 置 ,剛 体

Ｂ か ら見 た 点 Ｒ の位 置 で あ る。 こ の 三 者 の 関 係 を 代 数 ベ ク トル で 表 す と次 の よ うになる。

(8.2) ダ ッ シ ュ の 付 か ない 代 数 ベ ク トル を用 い た が,rPRとrPQは お り,rQRは

座 標系 Ａ で表 されて

座 標 系 Ｂ で 表 さ れ て い る。 そ の た め座 標 変 換 行 列CABを

用 い て,す

べ て の 項 を座 標 系 Ａ で 表 さ れ た もの に して い る。   ダ ッ シ ュ の付 く代 数 ベ ク トル を用 い る と,上 記 の 三 者 の 関係 は 次 の よ う に な る 。

(8.3) r'PRとr'QRは

座 標 系 Ｃ で 表 さ れ て お り,r'PQは

標 変 換 行 列CTBCが   式(8.1)か

座 標 系 Ｂ で 表 さ れ て い る の で ,座

用 い られ て い る。

ら(8.2),(8.3)へ

の 変 換,あ

る い は,そ

の 逆 は,付

録 Ａ の方法 によ

っ て 数 学 的 な操 作 と して 行 う こ とが で き る。

8.2  角 速 度 の 三 者 の 関 係  角 速度 の三 者の 関係 を幾何 ベク トルで表現す ると,位置 の場合 と同型 な式 になる。 (8.4) ΩAC,ΩABは 剛 体 Ａ か ら見 た 剛 体C,Bの

角 速 度 で あ り,ΩBCは 剛 体 Ｂ か ら見 た

剛 体 Ｃ の 角 速 度 で あ る。 位 置 の 場 合 は,図8.1に るが,角

示 された馴染 み深 い関係 であ

速 度 の場 合 は 明 らか とは い え な い 。 この 関係 は,次 節 に述 べ る 回 転 行 列

の 三 者 の 関 係 を時 間微 分 して求 め る こ とが で き る(付 録B8節   式(8.4)を,ダ

参 照)。

ッ シ ュ付 きの代 数 ベ ク トル で 表 現 す る と次 の よ うに な る。

(8.5) Ω'ACと Ω'BCは座 標 系 Ｃ で 表 さ れ て お り,ΩABは

座 標 系 Ｂ で 表 され て い る。 そ の

た め 座 標 変 換 行 列CTBCが 使 わ れ て い る。 こ れ は,CCBと 添 え 字 をABC順

書 い て も 同 じで あ るが,

の よ う に表 した 。

に並 べ た ほ うが 整 理 さ れ た 表 現 に な っ て い るだ ろ う と考 え て こ

8.3  回転姿勢の三者の関係 まず,回

転 行 列 の 三 者 の 関 係 は 次 の 通 りで あ る 。

(8.6)

CAC=CABCBC

こ れ は,座 標 変 換 行 列 の 基 本 的 な性 質 と して 説 明 した 式(6.16)と 同 じで あ る。   オ イ ラ ー パ ラ メー タの 三 者 の 関係 は次 の よ うに 書 くこ とが で き る。

(8.7)

EAC=ZABEBC ZABはEABの

四 つ の 成 分 か ら作 ら れ る4×4行

列 である。

(8.8)

な お,こ

のZABは,次

の よ う にEABとSABか

ら構 成 さ れ て い る とす る こ と が で

き る。

(8.9) このSABは,次

の よ う な3×4行

列 で あ る が,オ

イ ラ ー パ ラ メ ー タ の 時 間微 分 と

角 速 度 との 関 係 を記 述 す る と き に 利 用 す る こ とに な る。

(8.10)

  式(8.6)は,付

録 Ａ の 式(A1.25)を

導 く の は 簡 単 で は な い 。 付 録B4,  る 特 定 な 回 転 で 確 認 し た 後,ま

Quiz 8.1

  図7.4の

を 求 め て み よ。

用 い れ ば 簡 単 に 示 せ る 。 式(8.7)の B5,  B7節

ず,使

に 説 明 が あ る が,結

関係 を

果 を判定 で き

っ て み る こ と か ら始 め て も よ い 。

状 況 で,EOAとEABを

作 り,三

者 の 関 係 を 利 用 し てEOB

8.4  速度の三者の関係 速 度 の 三 者 の 関係 は,代 数 ベ ク トル表 現 で は 次 の よ う にな る。

(8.11) こ こで は,並 進 運 動 に ダ ッシ ュ の付 か な い代 数 ベ ク トル を用 い て い る。 幾 何 ベ ク トル 表 現 で は 次 の とお りで あ る 。

(8.12)   式(8.11)は 式(8.2)の 時 間微 分 で あ る 。 た だ し,そ の 時 間微 分 を 求 め る た め に は座 標 変 換 行 列 の時 間微 分 が 必 要 で あ り,そ れ は 次 章 で与 え られ る。 式(8.12)も 式(8.1)の 時 間微 分 で あ るが,直 接 時 間微 分 す る こ と を考 え る と,時 間 微 分 の オ ブ ザ ー バ ー が 位 置 の オ ブ ザ ー バ ー と一致 し な い場 合 の 処 置 が 必 要 に な り,本 書 で は 説 明 し て い な い(注)。た だ し,式(8.12)と

式(8.11)は,一

方 か ら他 方 を 説 明 す

る こ と は 難 し くは な く,付 録 Ａ の 方 法 に よ れ ば よ い し,意 味 の 上 か ら も明 らか で ある。   式(8.12)の 速 度 の 三 者 の 関 係 は,式(8.1)の い な い こ と に注 意 を要 す る 。 速 度 の場 合,右

Quiz8.2 

剛 体 の重 心(代 表 点)速

位 置 の 三 者 の 関 係 と 同型 に な っ て 辺 第 三項 が 必 要 で あ る。

度 と角 速 度 を ま とめ て 三 者 の 関 係 を書 く

と次 の よ う に な る。

(8.13) この 表 現 で は,重 心(代

表 点)速 度 に ダ ッ シ ュの 付 か ない 記 号 を用 い た が,ダ

ッ

シ ュ の 付 く記 号 を用 い る と,こ の 三 者 の 関 係 は ど の よ う に な る か を考 え る。 ま ず,V'ABと

Ω'ABを縦 に並 べ て 一 つ に ま と め た もの を斜 体 文 字 を用 い てV"ABと 表

す こ と にす る。

(8.14)

(注)逆

に,式(8.1)と

式(8.12)か

ら,時

間微 分 の オ ブザ ーバ ー が 位 置 の オ ブ ザ ーバ ー と一 致 し

ない 場 合 の対 処 方 法 を簡 単 に求 め る こ とが で きる。

並 進 運 動 と 回転 運 動 に 関 わ る 物 理 量 を一 つ の 変 数 に ま とめ る場 合,本 書 で は この V"ABよ う に斜 体 文 字 を用 い て い る。 さて,同

様 にV"ACとV"BCを 作 り,こ れ らの 変

数 で 三 者 の 関 係 を表 す と次 の よ う な形 に な る。

(8.15) こ の よ う な 形 に な る こ と を 示 し,ГBCを と ГACを 作 る と,そ

求 め よ 。 ま た,ГBCと

同 じ構 成 で,ГAB

れ らの 間 に も 次 の 三 者 の 関 係 が 成 立 す る 。

(8.16)

ГAC=ГABГBC

こ の こ と も説 明 せ よ。   な お,式(8.14)のV"ABの

よ う な 変 数 も ３次 元 剛 体 の 運 動 方 程 式 表 現 に 用 い ら れ

る こ と が あ り,式(8.15),(8.16)の る 。 た と え ば,V"OAを

用 い,適

関 係 と と も に動 力 学 解 析 の 便 利 な 道 具 に な 切 に 他 の 変 数 も ま と め る と,式(5.1)と(5.2)を

つ の 式 に す る こ と が で き る(12.2節[Quiz

12 .2]参

照)。

一

第９章

３次 元回転姿勢の時 間微分 と 角速度 の関係

  回転 姿 勢 は い くつ か の ス カ ラー の組 で表 され る。 そ れ らの 時 間微 分 は 回転 姿勢 の 時 間 的 な 変 化 で あ るか ら,角 速 度 と密 接 に 関 係 して い る は ず で あ る 。 本 章 で は,回 転 行 列CAB,狭

義 の オ イ ラ ー角 〓,オ

イ ラ ー パ ラ メ ー タEABの

三つ の

回転 姿 勢 表 現 に つ い て,そ の 時 間微 分 と角 速 度 Ω'ABの関 係 を示 す 。   回 転 姿 勢 の 時 間微 分 と角 速 度 の 関 係 の 基 本 は,剛 体 Ｂ に 固 定 し た幾 何 ベ ク ト ル 〓 の 時 間 微 分 と角 速 度 〓ABの 関 係 に あ る 。 〓 の 時 間微 分 は,こ

の 場 合,剛 体

Ａ か ら見 た 時 間微 分 で,角 速 度 との 関 係 は 次 の よ う に書 け る。

(9.1) この 式 の 簡 単 な説 明 が 付 録A2節 の 各 座 標 軸 〓(i=X,Y,Z)も 式 が 成 り立 つ の で,そ

図9.1座

に あ る 。 そ して,剛 体 Ｂ に 固 定 され た座 標 系 Ｂ

剛 体 Ｂ に 固定 さ れ た 幾 何 ベ ク トル で あ り,同 様 の

れ を も とに 回 転 姿 勢 の 時 間微 分 を 考 え る こ とが で きる。

標 系(剛 体)Ａ か ら見 た,剛 体 Ｂ上 に固定 され た 幾 何ベ ク トル 〓

9.1  回転行列 の時間微分と角速度の関係 回 転 行 列CABの

時 間 微 分 と角 速 度 Ω'ABの関 係 は 次 の 通 りで あ る。

(9.2) こ の 式 の 導 出 は 付 録A2.3項 た Ω'ABを 用 い た が,ダ

に 示 す 。 こ こ で は 実 用 性 を 考 え て ,ダ

ッ シ ュ の 付 か な い ΩABを 用 い る と,次

ッ シュ の 付 い

の よ う な類 似 の 関

係 に な るの で注 意 を 要 す る。

(9.3) 回 転 を表 す 量 は ダ ッ シ ュ の付 く記 号 を用 い る こ とが 多 く,こ の 式 が 必 要 に な る場 合 は 多 くは ない 。 まず は,式(9.2)を

覚 え る ほ うが よい 。

9.2  オイラー角の時間微分と角速度の関係   オ イ ラ ー 角 の 考 え 方 は,座 標 系 Ａ ⇒ 座 標 系B1⇒ 座 標 系B2⇒ 座 標 系 Ｂ と,三 つ の 回転 を順 次 行 う とい う も の で あ る 。 角 速 度 も三 つ の角 速 度 の 合 成 と考 え られ る。

(9.4) この 式 を,ダ

ッ シ ュ をつ け た 角 速 度 の 代 数 ベ ク トル表 現 を用 い て 書 き換 え る と次

の ようになる。

(9.5) こ こ まで は広 義 の オ イ ラ ー角 に も適用 で き る 関係 で あ る。   狭 義 の オ イ ラ ー 角 の 場 合,式(9.5)右 軸,Ｚ

軸 ま わ り で,大

辺 の 三 つ の 角 速 度 は,そ

き さ は θ1,θ2,θ3で

あ る か ら,次

れ ぞ れ Ｚ 軸,Ｘ

の よ う に書 く こ と が で

きる 。

(9.6)

(9.7)

(9.8)

従 っ て,式(9.5)は(7.7),(7.8)も

用 い て 次 の よ う に 表 現 し,計

算 す る こ とが で

き る。

(9.9)

こ れ は オ イ ラ ー 角 の 時 間 微 分 か ら 角 速 度 を 求 め る 式 で あ る が,逆 ら れ た と き θ1AB,θ2AB,θ3ABを

に,Ω'ABが

与 え

求 め る 式 は 次 の よ うに な る。

(9.10)

θ2が ０ ま た は πの と き,こ の 逆 行 列 は存 在 せ ず,そ

の よ う な 姿 勢 を特 異 姿 勢 と

呼 ぶ。 オ イ ラ ー角 を 用 い る と きは 特 異 姿 勢 に近 づ か な い 範 囲 で 使 用 しな け れ ば な らない。   広 義 の オ イ ラ ー 角 を用 い る と き,式(9.6)∼(9.10)は,選

択 した オ イ ラー 角 に

対 応 して 変 更 しな け れ ば な らな い 。 式(9.10)に 対 応 した 関 係 を作 る と,選 択 した オ イ ラー 角 の 特 異 姿 勢 が わ か る。 広 義 の オ イ ラー 角 で 回転 軸 を選 ぶ と き に は 回転 姿 勢 の 変 動 範 囲 に特 異 姿 勢 が 含 まれ な い よ う な選 択 を す る こ とが 重 要 で あ る。   な お,式(9.6),(9.7)で つ 。 改 め て,ま

与 え たDz,DxはDYと

と もに,表 現 の 簡 単 化 に役 立

とめ て 書 い て お く。

(9.11)

Quiz  9.1 

広義 の オ イラー角 〓

は ど の よ う に な る か 。 ま た,Ω'0Aか

の 時 間 微 分 か ら 角 速 度 Ω'OAを 求 め る 式

ら 〓

を 求 め る式 は どの よ う に な るか 。

9.3  オイラーパ ラメータの時間微分と角速度の関係 角 速 度 か ら オ イ ラー パ ラ メ ー タの 時 間微 分 を求 め る 式 は次 の とお りで あ る。

(9.12) SABは

式(8.10)に

与 え ら れ て い る 。 式(9.12)を

成 分 レベ ル ま で 見 え る よ う に書 く

と 次 の と お りで あ る 。

(9.13)

この 式 とは逆 に,オ

イ ラー パ ラ メ ー タの 時 間微 分 か ら角 速 度 を求 め る 式 は次 の と

お りで あ る。

(9.14)   式(9.12),ま

た は,(9.13)と,式(9.14)は,式(9.10)と(9.9)に

行 列 が 簡 単 で あ る 。 さ ら に,式(9.10)に

比 べ て,係

数

あ る よ う な 特 異 姿 勢 も な い 。 し か し,３

自 由 度 の 回 転 姿 勢 を 表 す た め に 四 つ の パ ラ メ ー タ を用 い な け れ ば な ら な い 点 が オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ の 弱 点 で あ る 。EABも

次 の よ う な 関係 を満 た す 必 要 が あ る。

(9.15)   式(9.15)は (9.14)を B9,  B10節

式(7.16)を

導 く の は,多

時 間 微 分 し て 得 ら れ る 。 し か し,式(9.12),ま 少,手

た は,

間 が か か る 。 い く つ か の 説 明 方 法 が あ り,付

が 参 考 に な る で あ ろ う 。 こ れ ら も,結

果 の判定 が で きる特 定 な回転

姿 勢 な ど で 確 認 し,ま

ず 使 っ て み る こ と か ら 始 め て も よ い 。 た だ し,式(9.12)か

ら(9.14)を

の 逆 は,そ

Quiz9.2 

導 くか,そ

第11章11.1節

録

れ ほ ど 難 し い こ と で は な い(読 者 は 試 し て み よ)。

を 読 み,  Quiz11.2∼11.6に

答 え よ。

9.4  順動力学解析の事例:近 似 ボールジ ョイ ン トで支点を近似的に 拘束されたコマ(オ イラー角の利用) ● 計算モデル   本 書 の 主 目的 で あ る運 動 方 程 式 の 立 て 方 の 鍵 は,系

に含 まれ る拘 束 の処 理 方 法

に あ る 。 ボ ー ル ジ ョイ ン トで 支 点 を 拘 束 され た コマ(自

由 度 ３)は,３ 次 元 拘 束

剛 体 系 の 運 動 方 程 式 を立 て る 方 法 を説 明 す る た め に便 利 な事 例 で,第

Ⅳ部 に は そ

の 運 動 方 程 式 や シ ミュ レー シ ョ ン プ ロ グ ラ ム の 説 明 が あ る。 こ れ に対 し本 章(本 節 以 降 の 三 節)で は,ほ な わ ち,本

ぼ 同 様 な運 動 を す る コ マ を,自 由 な 剛 体 で 実 現 す る。 す

章 で 述 べ る コマ(剛

自 由度 に つ い て は第13章   図9.2と

図9.3は

体)に

は 拘 束 は な く,自 由 度 は ６で あ る(拘 束,

参 照)。

ボ ー ル ジ ョ イ ン トで 支 点 を拘 束 され た コ マ の 説 明 図 で,コ マ

の 支 点 Ｐ は 原 点Oに

一 致 させ て あ る が,本

章 の モ デ ル で は,支 点 Ｐ を 原 点Ｏ に

拘 束 しな い 。 拘 束 に代 わ っ て 堅 い バ ネが 二 点 間 に働 い て い て,二 点 が 一 致 して い な い と きは 近 づ け る方 向 にバネ力 が 作 用 す る もの とす る。 バ ネ は 十 分 堅 く,ダ ン ピ ング も効 か せ て,振

動 的 に な ら な い よ う にす れ ば,点

Ｐ は 原 点Ｏ か ら遠 くに

離 れ る こ と は で きず,近 似 的 に ボ ー ル ジ ョイ ン トに な る。 拘 束 を この よ う に近 似 的 に扱 う こ と で,拘 束 を含 む 運 動 方 程 式 を立 て な くて も実 用 的 な 計 算 を行 うこ と は 可 能 で あ り,実 際 問 題 に も適 用 で きる 。 た だ し,計 算 時 間 の 面 で 不 利 に な る場

図9.2 

慣 性 座標 系 Ｏ の 原点 にボ ー ル ジ ョイ ン トで支 点 を拘 束 され た コマ

図9.3 

コマ の座 標 系 か ら見 た 支 点 Ｐの 位 置

合 があ る。   こ の コ マ Ａ の 運 動 方 程 式 は,自 り,一

般 化 速 度 はVOAと

イ ラ ー 角 〓(以

あ

Ω'OAと す る こ と が で き る 。 一 般 化 座 標 に は,ROAと

下,〓

速 度 に つ い て は 第13章

由 な 剛 体 の 運 動 方 程 式(5.1)と(5.2)で

と 略 記)を 参 照)。

軸 の 順 に 回 転 角 θ1,θ2,θ3を

用 い る こ と に す る(一

こ の オ イ ラ ー 角 は,座

標 系 Ａ の Ｙ 軸,Ｚ

与 え る も の で,式(9.9),(9.10)に

作 り な お す 必 要 が あ る 。 コ マ の 角 速 度 Ω'OAは,〓ABの

般 化 座 標,一

オ 般化 軸,Ｙ

相 当 す る 関係 を

三 成 分 θ1,θ2,θ3に

よっ

て 次 の よ う に表 され る。

(9.16) (9.17)

(9.18) 式(9.16)と

は 逆 に,Ω'OAか

ら 〓OAを

求 め る 計 算 は次 の 式 に よ る。

(9.19) こ の オ イ ラ ー 角 の 場 合,sinθ2=0が 状 態 は,コ

マ の 回 転 軸(コ

特 異 姿 勢 に な る こ と が 分 か る。 眠 り ゴ マ の

マ に 固 定 し た座 標 系 の Ｙ 軸)が

鉛 直 軸(慣

性 座標 系

の Ｙ 軸)と

一 致 して 特 異 姿 勢 に な る た め,こ の オ イ ラ ー 角 を用 い た モ デ ル で は

計 算 で き な い 。 こ こ で は 歳 差 運 動 な ど を考 え て い て,運 動 中,コ マ の 回転 軸 が傾 い て い る状 況 を想 定 して い る。   ROAとVOAの

関係 は,回 転 運 動 の 場 合 に較 べ て 単 純 で あ る。

(9.20) こ の 式 と 式(9.19)の

二 つ が,運

動 方 程 式(5.1)と(5.2)に

の12個

態 変 数 Ｙ は, あ る 。 微 分 方 程 式 の 右 辺 は,こ る 計 算 で あ る が,Ron,〓OAに VOA,Ω'OAに い て,運

随 伴 さ せ る 式 で あ り,状

の ス カラー を縦 に並べ た列 行列 で

の Ｙ と 時 間 ｔか ら状 態 変 数 の 時 間 微 分 Ｙ を 求 め つ い て は 随 伴 させ る 式 を そ の ま ま用 い れ ば よ い。

つ い て は,FOAとN'OAが

求 ま っ て い れ ば,事

前 に〓

を計 算 して お

動 方 程 式 か ら 求 め る こ と が で き る 。 結 局,FosとN'OAを,ROA,〓OA,

VOA,Ω'OA,ｔ

か ら計 算 す る手 順 が あ れ ば よい こ と に な る。

  コ マ の 支 点 に 働 く 力fopは

次 の よ う に計 算 す る。

(9.21) バ ネ 力 と ダ ン ピ ン グ 力 は 異 方 性 を 考 え る 必 要 が な い の で,k1とC1は 十 分 で あ る 。 こ の 式 のropは

ス カラーで

次 の よ う に 求 め れ ば よ い。

(9.22) rAPは 支 点 の 位 置 を コ マ の座 標 系 で 表 し た 定 数 で あ る。 こ の 式 を時 間微 分 す る と,Vopを

求 め る式 に な る 。

(9.23) コマ が 徐 々 に運 動 エ ネ ル ギ ー を失 って 回転 数 を落 と して い く場 合 な ど を模 擬 す る た め に,支 点 Ｐ に お い て,角 速 度 に比 例 した 減 衰 力 を 与 え る こ と もで き る。

(9.24) 角 速 度 の 成 分 ご と に 滅 衰 力 を変 え る場 合 は,係 数 のc2を3×3対 対 角 成 分 を異 な っ た もの にす れ ば よ い 。付 録 のCD-ROMに プ ロ グ ラ ム で はc2を 対 角 行 列 と し,Ω'OAの Ｙ 軸 成 分(コ

角 行 列 と して,

収 録 したMATLAB マ の ス ピ ン)に 対 す る

減 衰 とそ れ 以 外 の 成 分 に対 す る減 衰 を別 々 に 与 え られ る よ う に して あ るが,さ

ら

に,各 成 分 に 関 す る 非 線 形 な特 性 を プ ロ グ ラ ム す る こ と も難 しい こ と で は な い 。 た だ し,減 衰 係 数 や 摩 擦 の よ う な特 性 を実 際 に 則 して 的 確 に把 握 す る こ とは,あ ま り容 易 な こ とで は な い。 さて,fopとn'opが

定 ま れ ば,そ

れ を 重 心 位 置 に等 価

換 算 し,重 力 も考 慮 して,重 心 位 置 に働 く力FoAと き る(等 価 換 算 につ い て は 第12章

トル クN'OAに す る こ とが で

参 照)。

(9.25) (9.26) ｇ は 重 力 の 加 速 度 で あ る 。 式(9.22),(9.23),(9.26)に は,オ

イ ラ ー 角 〓OAか

現 れ る 座 標 変 換 行 列COA

ら次 の よ う に作 る こ とが で きる 。

(9.27) こ の 式 の 右 辺 で 用 い た 二 つ の 関 数 は,式(7.6),(7.9)で   式(9.21)∼(9.27)を

与 え た もの で あ る。

整 理 す れ ば,ROA,〓OA,VOA,Ω'OAか

算 す る 手 順 に な る 。 こ の コ マ の 事 例 で は,Ｙ

らFOAとN'OAを

計

の 計 算 手 順 に 時 間 ｔは 現 れ て こ な い

が,こ

の こ と は モ デ ル の 考 え方 の 中 に 時 間 依 存 性 を持 つ 関係 が 含 ま れ て い な い の

で,始

め か ら わ か っ て い た こ と で あ る 。。

● 計算プログラム   以 上 の 準 備 の 下 にMATLABの m,付

録 のCD-ROMに

(houbutsu_1.m)の

プ ロ グ ラ ム を書 くこ と が で き る(koma_120.

収 録)。 プ ロ グ ラ ム の 全 体 的 な構 成 は 質 点 の 放 物 運 動 場 合 と 同 じで あ る。 第 一段 階 で は,ア

デ ー タ入 力 が 複 雑 で あ るが,ア

ニ メ ー シ ョ ンの た め の

ニ メー シ ョ ン は 計 算 結 果 の 妥 当性 を確 認 した り,

バ グ 取 りな ど に 役 立 つ 。 しか し,そ の プ ロ グ ラ ミ ン グ や デ ー タ入 力 は 面 倒 で あ り,初 学 者 は 計 算 の 仕 方 と グ ラ フ出 力 を 中 心 に シ ミュ レ ー シ ョ ン技 術 を学 ん で, 慣 れ て か ら ア ニ メ ー シ ョ ンの 技 術 を習 得 して も よ い。 第 三 段 階 で 用 い る微 分 方程 式 の右 辺 を計 算 す る 関 数 はe_koma_120で,上 ラ ム さ れ て い る 。 ま た,そ

記 の計 算 手 順 は この 関 数 に プ ロ グ

こ で必 要 に な る い くつ か の 準 備 は 第 二段 階 で 行 わ れ て

い る。   第 四段 階 の グ ラ フ と ア ニ メ ー シ ョン出 力 を 準 備 す る段 階 で は,MATLABの

場

合 の 特 別 な 方 法 を用 い て い る。 グ ラ フ に 状 態 変 数 Ｙ 以 外 の 変 数 を 出 力 し,ま た, ア ニ メ ー シ ョ ンに も Ｙ 以 外 の 変 数 が 必 要 な た め で,そ 出 力 時 間 に 対 し て,再 MATLAB関

度,微

の た め に積 分 計 算 後 の 全

分 方 程 式右 辺 の計 算 を行 っ て い る。 この方 法 は

係 者 も一 つ の 方 法 と して認 め て い る よ うで あ る が,こ

の よ うな 方 法

を講 じな くて も済 む よ う なMATLAB自

体 の 改 善 が 望 ま しい と思 っ て い る。 Ｙ

以 外 の変 数 が 全 出 力 時 間 に対 して 計 算 され た ら,グ ラ フ出 力 を 行 い,次

い で,ア

ニ メの た め の 静 止 画 作 りを行 う。 そ の 静 止 画 を全 時 間 にわ た っ て 連 続 的 に 表 示 し て,動 画 に な る 。 動 画 の 表 示 は計 算 機 の 処 理 速 度 に 依 存 す る た め,動 画 用 に圧 縮 され た フ ォ ー マ ッ トを 作 るMATLAB関

数 も準 備 さ れ て い るが,こ

て い ない 。 そ の た め,ア

ニ メ ー シ ョ ンが ス ムー ズ で な い 場 合 が あ る 。

  ア ニ メー シ ョ ンは,秒

間10か

こ で は用 い

ら30コ マ 程 度 の速 さ で 各 時 問 の静 止 画 を連 続 的

に 表 示 して 作 られ る。 座 標 系 Ｏ か ら見 た 剛 体 Ａ の 挙 動 の ア ニ メ ー シ ョ ン を作 る 場 合,計

算 結 果 か ら は各 時 間 のCOAとROAが

あ れ ば よい 。 剛体 Ａ の形 状 は,座

標 系 Ａ に 固 定 した 多 角 形 の 面 の 集 ま りで 与 え られ る。 まず,す

べ ての頂 点の位

置 を 与 え,次 に 面 を構 成 して い る 頂 点 の 組 をす べ て の 面 につ い て 与 え れ ば よい 。 座 標 系 Ａ か ら見 た 頂 点 の 位 置 は 時 間 に対 して不 変 で あ るが,COAとROAを

用い

て,各 時 間 ご と に座 標 系 Ｏ か ら見 た 頂 点 を 計 算 し,そ の 時 間 の 静 止 画 を作 る。 MATLABに

は こ の 最 後 の段 階 の 静 止 画 を作 る 関 数 が あ り,そ れ を利 用 す る。 ユ

ー ザ ー が 準 備 す る の は,COAとROAの

ほ か,ま ず,座

標 系 Ａ か ら見 た 頂 点 の 位

置 と面 な ど の形 状 情 報 で あ る。 こ れ に色 の 情 報 な どが あ っ て も よ い 。座 標 系 Ｏ か ら見 た形 状 情 報 もユ ー ザ ー が計 算 す る。 そ の ほ か に カ メ ラ が 映 像 を捕 ら え る範 囲 と方 向 な どの 情 報 が 必 要 に な る 。   コ マ の 場 合,座

標 系 Ａ か ら見 た 形 状 は Ｙ 軸 周 りの 回 転 体 で あ る か ら,Ｙ 軸 上

の位 置 と そ の位 置 にお け る半 径 の組,そ

して 円周 の 分 割 数 を入 力 と して,座 標系

Ａ 上 の頂 点 と面 の情 報 を作 り出 す よ うに す れ ば,形 状 入 力 が 容 易 に な る。 そ の よ うな 機 能 の 関 数(ANMYrev)を

作 成 し,用 い て い るの で,初 学 者 に は判 読 が 面

倒 な プ ロ グ ラ ム に な っ て い る。 Ｙ 軸 上 の位 置 と半 径 の組,お

よ び,円 周 の分 割 数

は 第 一 段 階 で 与 え,座 標 系 Ａ 上 の 頂 点 と面 の 情 報 は第 二 段 階 で 作 り出 して い る。 第一 段 階 で座 標 系 Ａ 上 の 頂 点 と面 の 情 報 を直 接 与 え る よ うな 単 純 な事 例 は,19. 4節 の 三 重 剛 体 振 子(sanjufuriko _1.m)で あ る。 こ の 場 合 は,剛

体 は三つ で ある

が,形 状 は直 方 体 で 簡 単 で あ る。   ANMYrevの LAB関

ほ か に も,プ ロ グ ラ ム を簡 潔 に す る た め に,い

数 を作 っ て 使 用 し て い る。Cy,Czは

で あ り,TILDEは

式(7.6),(7.9)の

くつ か のMAT計 算 を行 う 関数

外 積 オ ペ レー タ ー を 作 用 させ た交 代 行 列 を出 力 す る 関 数 で あ

表9.1koma_120.mの

グ ラ フと アニ メ ー シ ョン出力

figure(1)∼figure(3)

時 間 に対 す るオ イ ラー 角 の各 成 分

figure(4)

鉛 直 上 方 か ら眺 め た重 心 の軌 跡(Ｚ 成 分 に対 す る Ｘ 成 分)

figure(5)∼figure(7)

時 間 に対 す る重 心位 置(座 標 系 Ｏ)の 各 成 分

figure(8)

時 間 に対 す る支 点 Ｐの 原 点 Ｏ か らの距 離 の 二乗

figure(9)

アニ メー シ ョン

る。 こ れ らは,す べ て,同

じ Ｍ フ ァイ ル に ま とめ て 読 み や す く して あ る。

  グ ラ フ 出 力 は 八 つ あ る(表9.1)。

こ の シ ミ ュ レー シ ョ ンで は,支 点 の 近 似 拘

束 に 用 い たバ ネ 定 数 と ダ ン ピ ング 定 数 に よっ て,拘 束 の 状 況(figure(8))が

ど

の よ うに 変 化 す る か に注 意 を払 う必 要 が あ る 。 ま た,堅 す ぎ るバ ネ 定 数 な どが計 算 時 間 に どの よ うに 影 響 す るか も注 目すべ きで あ る。 た だ し,計 算 時 間 を は か る 機 能 は,ま

だ,プ

ロ グ ラ ミ ン グ さ れ て い ない 。

  ３番 目の オ イ ラ ー角 θ3(figure(3),図9.6(c))は

時 間 と と もに ど ん ど ん 増加

して い る。 も し,長 時 間 の シ ミュ レー シ ョン を行 う よ う な と き には オ ーバ ー フ ロ ー に 注 意 す る必 要 が 出 て くるか も しれ な い 。 た とえ ば ,ハ ー ドウ ェ ア を含 む リ ア ル タイ ム シ ス テ ム で,長

時 間 の試 験 を行 う と して,モ デ ル の 中 の 回 転 体 が オ イ ラ

ー 角 で 表 さ れ て い る よ う な場 合 で あ る。 対 策 方 法 は い くつ か 考 え られ る が,オ ラ ー 角 の 代 わ りに オ イ ラー パ ラ メ ー タ を用 い れ ば この よ う な 心 配 は な くな る。

図9.4コ

マ の アニ メ ー シ ョン

図9.5水

平 面 に投 影 した コマ重 心 の 奇跡

イ

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

図9.6 

オ イ ラ ー角 の 変化

9.5  順動力学解析の事例:近 似 ボールジ ョイン トで支点を近似的に 拘束されたコマ(オ イラーパラメータの利用)   前 節 で は,コ

マ の 回 転 姿 勢 を 表 す 一 般 化 座 標 と して,オ

い た 。 こ の オ イ ラ ー角 で は,眠

イラー角 〓

を用

りゴ マ の 状 態 が 特 異 姿 勢 に な っ て い る た め,そ の

よ う な姿 勢 を含 む シ ミュ レー シ ョ ンに は別 の オ イ ラー 角 を準 備 す る必 要 が あ る 。 さ らに,多 様 な 姿 勢 の 変 化 に対 応 す る た め に は複 数 の オ イ ラ ー 角 を切 り替 え なが ら計 算 す る こ と も考 え られ る が,煩 雑 で あ る。   こ れ に 対 し,オ イ ラ ーパ ラ メ ー タ に は特 異 姿 勢 が ない 。 本 節 で は,コ

マ の 回転

姿 勢 に オ イ ラ ーパ ラ メー タ を使 っ た プ ロ グ ラ ム を示 す 。 オ イ ラ ー パ ラ メ ー タの 定 義 な どは 分 か る が,ど の よ う に 使 うの か分 か らな い と感 じて い る 読 者 に役 立 つ で

あ ろ う。   オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ は ３ 自 由 度 の 回 転 姿 勢 を ４つ の パ ラ メ ー タ で 表 現 す る も の で あ る た め,４

つ の パ ラ メ ー タ の 二 乗 和 が １に な っ て い な け れ ば な らな い と い う

条 件 に 気 を配 る必 要 が あ る 。 オ イ ラ ー パ ラ メー タ関 連 の 関 係 式 は理 論 的 に は この 条 件 を 壊 す も の で は な い が,数 そ の 対 策 に は 触 れ な い が,次

値 計 算 の 誤 差 に対 して は 無 防 備 で あ る 。 本 節 で は 節 で対 策 方 法 につ い て 述べ る。

  前 節 の モ デ ル に 対 す る 本 節 の モ デ ル の 違 い は,オ

イ ラー 角 の代 わ りに オ イ ラー

パ ラ メ ー タ を 用 い る 点 だ け で あ る 。 状 態 変 数 Ｙ は,ROA,EOA,VOA,Ω'OAの13 個 の ス カ ラ ー を 縦 に 並 べ た 列 行 列 に な る 。 前 節 で は,運 に,式(9.19)と(9.20)を

動 方 程 式(5.1)と(5.2)

補 っ て 計 算 し た 。 本 節 で は 式(9.19)の

12)の 添 え 字 をABか

らOAに

変 え て 用 い る 。 ま た,座

ラ メ ー タ か ら作 る 必 要 が あ る が,式(9.27)に

代 わ り に,式(9.

標 変換 行 列 を オ イ ラ ー パ

代 わ っ て 式(7.18)の

添 え字 を 同 じよ

う に変 え て用 い れ ば よ い 。   以 上 の よ う に 変 更 し てMATLABの 140.m,付

録 のCD-ROMに

プ ロ グ ラ ム を 書 く こ と が で き る(koma_

収 録)。 第 一 段 階 で は 初 期 の 回 転 姿 勢 を 直 接 オ イ ラ ー

パ ラ メ ー タ で 入 力 す る よ う に し た 。koma い ず れ の 場 合 も,入

_120.mで

は オ イ ラ ー 角 で 入 力 し た が,

力 と計 算 時 の デ ー タ の持 ち 方 を異 な っ た もの にす る プ ロ グ ラ

ミ ン グ も 可 能 で あ る 。 そ の 場 合 は,入

力 デ ー タか らの変 換 は 第 二 段 階 で 行 え ば よ

い 。 第 三 段 階 で 微 分 方 程 式 の 右 辺 を 計 算 す る 関 数 はe_koma_140で オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ か ら 回 転 行 列COAや し,用

式(8.10)のSOAを

あ る 。 ま た,

計算 す る関数 を作成

い て い る(EtoC,EtoS)。

  グ ラ フ 出 力 は 十 ほ ど あ る(表9.2)。

表9.2koma_140.mとkoma_145.mの

そ の 中 か ら,時

間に対す る四つ のオ イ ラ

グ ラ フ と ア ニ メ ー シ ョ ン 出 力

figure(1)∼figure(4)

時 間 に対 す る オ イ ラーパ ラメ ー タ の各 成分

figure(5)

鉛 直 上 方 か ら眺 め た重 心 の 軌 跡(Ｚ 成 分 に対 す る Ｘ 成 分)

figure(6)∼figure(8)

時 間 に対 す る重 心 位 置(座 標系 Ｏ)の 各成 分

figure(9)

時 間 に対 す る支 点 Ｐの 原点 Ｏ か らの 距 離 の二 乗

figure(10)

時 間 に対 す る オ イ ラー パ ラメ ー タの二 乗和 か ら １を差 し引 い た値

figure(11)

ア ニ メー シ ョ ン

図9.7 

図9.8 

オ イ ラー パ ラ メー タの変 化

オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ拘 束 の ズ レ

ーパ ラ メ ー タ の グ ラ フ を 図9 .7に 示 す 。 この 図 と 図9.6の

３つ の グ ラ フ を対 比 し

て な が め る と興 味深 い 。 こ れ らは ほ と ん ど同 じよ うな 回 転 姿 勢 の変 動 を異 な っ た 回転 姿 勢 表 現 で 表 した もの で あ る 。 ま た,こ の シ ミュ レー シ ョ ンで は,最 後 の グ ラ フ(figure(10),図9.8)に

特 に興 味 が あ る。 オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ の 二 乗 和 か

ら １を 差 し引 い た値 は ゼ ロ を維 持 し て い る こ とが 望 ま しい が,ズ

レが あ る場 合,

ど の よ うに 変 化 す る で あ ろ う か。 故 意 に ズ レ を持 たせ る よ う な初 期 値 を与 えた 場 合 どの よ う に な る で あ ろ うか 。 こ の プ ロ グ ラ ム に は ズ レ を修 正 す る機 能 が 含 ま れ て い な い。

9.6 

順 動 力 学 解 析 の 事 例:近 拘 束 さ れ た コ マ(オ

  本 節 で は,前

似 ボ ー ル ジ ョ イ ン トで 支 点 を 近 似 的 に

イ ラ ー パ ラ メ ー タ の 拘 束 安 定 化 法)

節 に 引 き続 い て 回 転 姿 勢 に オ イ ラー パ ラ メ ー タ を用 い,さ

らに,

そ の 二 乗 和 を １に維 持 す るた め の安 定 化 法 を考 え る。 そ の 方 法 の 一 つ は,微 分 方 程 式 の 右 辺 の 計 算 を す る 関数 が,ode45な ラ メ ー タ を受 け 取 っ た 直 後 に,毎 回(ま

ど ソル バ ー か ら状 態 変 数 の オ イ ラー パ た は,何 回 か に 一 回),オ

イ ラー パ ラ メ

ー タの 正 規 化 を行 う方 法 で あ る。 剛 体 Ａ の オ イ ラ ーパ ラ メ ー タの 正 規 化 は 次 の 式 に よれ ば よい 。

図9.9 

オ イ ラー パ ラ メー タ拘束 のズ レ

(9.28) 単 純 な 方 法 だが,実 用 性 は 十 分 あ る。 た だ し,こ の正 規 化 さ れ た オ イ ラ ーパ ラ メ ー タは ソル バ ー 側 が 持 っ て い る値 に も反 映 させ る必 要 が あ る。   と こ ろが,MATLABで

は,ode45な

ど ソル バ ー側 が 持 っ て い る 値 を変 更 す る

た め に は 特 殊 な 手段 が 必 要 で あ り,そ の よ う な操 作 は,プ 意 味 で,通 常 は 推 奨 で きな い 。 そ こ で,式(9.28)の 法 を探 す こ と に す る。 第20章

ロ グ ラ ムの 混 乱 を防 ぐ

方 法 を あ き らめ,別

の安 定化

に 出 て くる微 分 代 数 型 の 運 動 方 程 式 で は,Baum

garteの 方 法 と呼 ば れ る拘 束 条 件 の 安 定化 法 が あ り,こ れ も有 効 と思 わ れ る 。 た だ し,コ マ の運 動 方 程 式 を微 分 代 数 型 で 表 し,二 乗 和 が １に な る拘 束 条 件 の 二 回 時 間微 分 と連 立 させ る よ う な方 法 は,オ

イ ラ ーパ ラメ ー タの拘 束 条 件 安 定化 だ け

の た め に は 重 過 ぎ る 印 象 が あ る。 そ こ で,こ

こ で はBaumgarteの

安 定 化 法 と類

似 の 考 え方 で 開 発 した簡 便 な方 法 を 以 下 に紹 介 す る 。   オ イ ラ ー パ ラ メ ー タEOAと 合,EOAの

角 速 度 Ω'OAを一 般 化 座 標 と一 般 化 速 度 に用 い る 場

時 間 微 分 と Ω'OAの関 係 と して,普 通,式(9.12)を

考 える。そ れに対

し,こ こで 紹 介 す る方 法 で は,次 の 式 を用 い る。

(9.29) τ は 誤 差 を ゼ ロ に 収 束 さ せ る 時 間 応 答 の 時 定 数 で,適

当 な正 の 値 をユ ー ザ ー が 与

え る。 この 少 し だ け複 雑 な 式 を用 い て 角 速 度 か ら オ イ ラ ー パ ラ メ ー タの 時 間微 分 を 求 め れ ば,オ

イ ラ ー パ ラ メ ー タ拘 束 の 安 定 化 が 図 ら れ る 。

  こ の 方 法 を 用 い たMATLABの 収 録)は,koma_140.mと 数 はe_koma_145で

プ ロ グ ラ ムkoma_145.m(付

ほ と ん ど 同 じで あ る 。 微 分 方 程 式 の 右 辺 を 計 算 す る 関 あ る が,そ

の 中 で 使 用 し て い る 関 数,出

も の と 同 じ で あ る 。 異 な る 点 は,第 点,関

数e_koma_145に

こ の 関 数 の 中 で 式(9.12)の koma_140.mの

力 の い づ れ も前 項 の

一 段 階 の 入 力 デ ー タ の 中 に τが 含 ま れ て い る

与 え る パ ラ メ ー タ の 中 に τが 含 ま れ て い る 点,そ 代 わ り に 式(9.29)を

し て,

用 い て い る点 だ け で あ る。 出力 も

場 合 と 同 じ で あ る が(表9.2),そ

(figure(10),図9.9)に

録 のCD-ROMに

の 中 の 最 後 の グ ラ フ出力

特 に興 味 が あ る 。 こ れ は オ イ ラ ー パ ラ メ ー タの 二 乗 和

か ら １を 差 し引 い た 値 で あ る が,koma_145.mの

場 合 は初 期 に乱 れ が あ っ て もす

ぐに ゼ ロ に収 束 す る。koma

_140.mの

場 合 と比 較 して み る と安 定 化 の 効 果 は明 確

で あ る 。 オ イ ラ ーパ ラ メー タの 時 間 微 分 を計 算 す る式 を入 れ 替 え る だ け で あ る か ら簡 単 で あ り,こ れ に よ っ て特 異 姿 勢 の な い オ イ ラー パ ラ メ ー タ を気 軽 に 使 え る はず である。   な お,式(9.29)の

も と に な っ て い る 考 え 方 につ い て,付

あ る 。 こ の 方 法 に よ る 拘 束 の 安 定 化 はBaumgarteの

録 Ｃ に簡単 な説 明が

方 法 よ りか な り容 易 で あ

り,時 定 数 τの 選 択 に も難 しさ は な い 。 しか し,ま だ,筆 者 自身 の 経 験 も十 分 で は な い の で,拘 束 が 維 持 され て い る か 否 か を監 視 しな が ら用 い る ほ うが よい で あ ろ う。 拘 束 が 維 持 さ れ て い る 限 り,式(9.29)は お,オ

式(9.12)と

イ ラ ーパ ラ メ ー タの 安 定 化 と引 き換 え に,少

よ う な 印象 が あ る。

ほ ぼ 同 じで あ る。 な

し数 値 的 な ダ ン ピ ング が働 く

第10章

２次元の代 数ベ ク トル表現

  ２次 元 は ３次 元 の特 別 な場 合 で あ る か ら,す べ て を ３次 元 で考 え れ ば難 しい こ と は何 もな い 。 しか し,２ 次 元 の 並 進 運 動 は ２次 元 の代 数 ベ ク トル を用 い,回 転 姿 勢 は ス カ ラ ー で 考 え れ ば よい と こ ろ をわ ざ わ ざ ３次 元 で 表 現 す る の は 無 駄 が 多 い 。 この よ う に 考 え て ゆ くと,２ 次 元 の 座 標 変 換 行 列 の 時 間微 分 に つ い て だ け, ２次 元 独 特 の方 法 を作 り,後 は 普 通 の考 え方 で対 処 す れ ば よ い こ とが わ か る 。   な お,本

章 の 説 明 も ほ とん ど運 動 学 に 関 す る も の で あ るか ら,添 え 字 の Ｏ を

慣 性 系 と して の 特 別 な もの と考 え る必 要 は な く,他 の文 字 に置 き換 え る こ とが で きる。

10.1 

２ 次 元 問 題 の ３次 元 表 現 に よ る取 り扱 い

  ２次 元 の 運 動 学 で は,２ 次 元 平 面 や そ の 平 面 内 を 運 動 す る 剛 体 にX-Y座 を 固 定 す る 。 そ の と き平 面 に 垂 直 な方 向 に Ｚ軸 を 考 え れ ば,平

標系

面 は ３次 元 空 間

の 一 部 で あ り,３ 次 元 で 一 般 的 に成 立 す る 関係 式 は す べ て使 え る はず で あ る。 す な わ ち,3次 は 第13章

元 運 動 が2次 元 平 面 に拘 束 さ れ て い る と考 え て い る(拘 束 に つ いて

参 照)。 位 置 や 速 度 を表 す 代 数 ベ ク トル で は そ の Ｚ成 分 が ゼ ロ に な る

と考 えれ ば よ く,角 速 度 の場 合 はX,Y成

分 が ゼ ロで,Ｚ 成 分 だ け を考 えれ ば よ

いo

(10.1)

(10.2)

２次 元 の 回転 姿 勢 は ス カ ラ ー の 回 転 角 θOAで 表 す こ と が で き る が,こ れ を オ イ ラ ー 角 の 一 つ の成 分 と し,他 の 成 分 は ゼ ロ に な っ て い る と考 え る こ と も で き る。 こ れ に対 応 す る ３次 元 の 回転 行 列 は次 の よ う に な る 。

(10.3) ２次 元 の 回転 運 動 は,３ 次 元 で 考 え た 場 合,Ｚ 軸 ま わ りの 回 転 運 動 で あ り,角 速 度 と 回転 姿 勢 を 以 上 の よ う に扱 え ば,２ 次 元 は 完 全 に ３次 元 の 枠 の 中 に 収 ま る。

10.2 

２次 元 問 題 の ２次 元 表 現 に よ る 取 り扱 い

  前 節 の よ う に,常

に ３次 元 の 表 現 に依 存 し なが ら考 え て ゆ け ば,２ 次 元 を特 別

に 考 え る必 要 は な い。 しか し,常 に 余 計 な情 報 を含 む ３次 元 の 表 現 に比 べ,身 軽 な ２次 元 の 表 現 の 方 が 簡 潔 で あ る 。 ２次 元 の 位 置 と 速 度 は2×1行

列 で表 す こ と

が で き る。

(10.4) ま た,回 転 姿 勢 は θOA,角 速 度 は ωOAと,ス

カ ラ ー で 扱 う こ とが で きる 。 ２次 元

の 回 転 姿 勢 に は ３次 元 の複 雑 さ は影 を 潜 め,回 転 運 動 に 関 す る変 数 に ダ ッ シ ュ の 付 く変 数 を用 い る必 要 も な い。 座 標 系 Ｏ の Ｚ軸 ま わ りか,座 標 系 Ａ の Ｚ 軸 ま わ りか を 区 別 す る 必 要 が な い か らで あ る 。 慣 性 モ ー メ ン トや トル クの 添 え 字 も一 つ で よ く な り,JA,nAと

表 す こ とが で き る。

  しか し,位 置 や 速 度 の座 標 変 換 行 列 に は 次 の2×2の

行 列 を用 い,ス

カラー の

回 転 姿 勢 θOAと分 け て 考 え る こ とが 必 要 に な る。

(10.5) な お,こ

こ で は ２次 元 用 のCOAを

３次 元 用 の 記 号 と 区 別 して い な い。 両 者 を 混

在 させ る こ と は ほ と ん どな い の で 差 し支 え な い は ず で あ るが,必

要 に応 じ て,２

次 元 用 に小 文 字 を用 い て 両 者 を 区 別 す る 方 法 も わ か りや す い。 さて,こ

の座 標 変

換 行 列 の 時 間 微 分 を考 え る 。 幾 何 ベ ク トル の外 積 は ３次 元 空 間 の演 算 で あ り,２

次 元 の 世 界 で 外 積 オペ レー ター を用 い る こ と はで きな い 。 そ の た め 座 標 変 換 行 列 の 時 間微 分 に は ２次 元 独 自の 工 夫 が 必 要 に な る。 ３次 元 の場 合,回

転 行 列COAの

時 間微 分 はCOAΩ'OAと な る が,２ 次 元 で は次 の よ う に考 え る と具 合 が よい 。

(10.6) こ こ で,ｘ

は 次 の よ う な2×2の

定 数 行 列 で あ る。

(10.7) ま た,ｘ に は 次 の よ う な性 質が あ る。

(10.8) (10.9) (10.10) 式(10.6)の

ωOAは

ス カ ラ ー で あ り,他

は 注 意 が 必 要 で あ る 。COArPQの COAxωOArPQをCOAxrPQωOAと   式(10.6)は,２

の 行 列 は2×2で

あ る か ら,式

よ う な 形 が 多 く 現 れ る の で,そ

の と き は

直 してお け ば 余 計 な心 配 を しな くて も よ くな る。

次 元 表 現 の た め の 工 夫 の 中 で 最 も 特 徴 的 で あ る が,ほ

よ う な も の が あ る 。rPQの

の変 形時 に

Ｘ 成 分 をrPQX,Y成

分 をrPQYと

し て,rPQを

か に次 の これ らの

成 分 か ら再 構 成 す る 表 現 は 次 の よ う に な る 。

(10.11) ま た,rPQXをrPQか

ら 抽 出 す る 作 業 は,次

の よ う に書 け る。

(10.12) rPQYの

場 合 も 同 様 で あ る 。 こ こ で,dXとdYは,３

(式(9.11))に

相 当 す る も の で,す

で に 式(4.9)に

次 元 の 場 合 のDX,DY,DZ 示 し た が,再

度,記

し て お く。

(10.13)

(10.14) dX,dYと

ｘ と の 関 係 を,次

の よ う に 整 理 し て お く と便 利 で あ る 。

(10.15) (10.16)

運動学の事例

第11章

  第 Ⅱ部 で は,自

由 な 質 点 と剛 体 の 運 動 方 程 式 か ら始 め て,力 や トル ク,慣 性 行

列 な ど も説 明 し た が,特

に,運 動 学 的 物 理 量 とそ の 基 本 的 な 関係 に重 点 が あ っ

た 。 運 動 学 的物 理 量 の基 本 的 な 関係 とは 三 者 の 関 係 と時 間微 分 の 関係 で あ る。 こ れ ら運 動 学 の知 識 は,第

Ⅲ部 以 降 の 運動 方 程 式 構 築 に役 立 つ が,当 然,運

動学そ

の も の の基 礎 知 識 で もあ る 。 これ ま で に 学 ん だ知 識 が あ れ ば,運 動 学 は 難 し くは ない。   こ の 章 で は,運 動 学 の 事 例 を示 す 。 そ の 事 例 に は,運 動 学 の 方 法 を学 ぶ た め に,Quizが

出 題 さ れ て い る。 モ デ ル は,剛 体 振 子,３ 次 元 二 重 剛 体 振 子,３ 次 元

三 重 剛 体 振 子 で あ る。 ３次 元 二 重 剛体 振 子 の 下 側 の 剛 体 に は 角 速 度 を検 出 す る ジ ャ イ ロ セ ンサ が 取 り付 け られ て い る。Quizは,３

次元二 重 剛体振 子 に関す る も

の,ジ ャ イ ロセ ンサ に関 す る もの,３ 次 元 三 重 剛 体 振 子 に関 す る もの な どが あ る。   本 書 の 主 な狙 い は 運 動 方 程 式 で あ るか ら,本 章 を読 み 飛 ば して も先 に進 む こ と は 可 能 で あ る 。 た だ し,こ

こに 出 て くる剛 体 振 子,３ 次 元 二 重 剛 体 振 子 ,３ 次 元

三 重 剛 体 振 子 は,動 力 学 の 説 明 に も事 例 と して で て くる の で,そ

の つ も りで 目 を

通 して お くこ と は必 要 で あ る。

11.1 

剛 体 振 子 と ３次 元 二 重 剛 体 振 子

  Ｙ 軸 が 鉛 直 上 方 を 向 くよ う に,慣 性 空 間 に座 標 系 Ｏ を 固 定 す る(図11.1)。

ま

た,細 長 い 角 柱 状 の 剛 体 Ａ 上 に,重 心 に 原 点 を一 致 させ て 座 標 系 Ａ を固 定 す る (図11.2)。

こ の と き,座 標 系 Ａ の Ｙ 軸 が 剛 体 の 長 手 方 向 と一 致 す る よ う に し,

こ の Ｙ 軸 上 に 点 Ｏ'と 点 Ｐ を 固 定 す る(図11 標 値 は-ｂ

で,角 柱 の 長 さ は お お よそ2bで

.3)。 Ｏ'の Ｙ 座 標 値 はb,Pの

Ｙ座

あ る。 座 標 系 Ｏ と座 標 系 Ａ の 向 きが

平 行 に な る よ うに 剛 体 Ａ の 向 き を定 め た 状 態 で,Ｏ

と Ｏ'を 一 致 させ,そ の 点 で

ピ ン ジ ョ イ ン ト Ａ に よ っ て 剛 体 Ａ を 空 間 に 結 合 す る(図11.4)。

ピ ン ジ ョイ ン

トの 向 き は 二 つ の 座 標 系 の Ｚ 軸 に 沿 う 方 向 とす る。 こ の ピ ン ジ ョイ ン トは ピ ン まわ りの 回転 だ け が 許 され,ピ

ン に沿 っ た並 進 運 動 は許 され な い。 本 書 で は そ の

よ う な ジ ョイ ン トを ピ ン ジ ョイ ン トと呼 ぶ こ と にす る° こ の 結 合 に よ り,剛 体 振 子 が で きあ が る。 剛 体 振 子 の 傾 き角 θOAの 符 号 は, Ｚ軸 の方 向 と右 ね じの ル ー ル で 定 め(図11.5),こ   次 に,で

の値 が 決 まれ ば 剛 体 振 子 の位 置 と姿 勢 が 完 全 に 定 ま る。

き あ が っ た 剛 体 振 子 に 新 た な 剛体 を 追 加 す る。 まず,剛

体 Ａ と同 じ

形 状 の 剛 体 Ｂ を 準 備 し,座 標 系 Ｂ を 同 じ よ う に 固 定 す る。 同 じ よ う に と は,重 心 に 原 点 を 一 致 させ,Ｙ 軸 を 角 柱 の 長 手 方 向 と一 致 させ る こ とで あ る。 Ｏ'と Ｐ に 相 当す る位 置 に は 点 Ｐ'と Ｑ を固 定 し(図11.6),座

標 系 Ａ と Ｂ の向 きをそろ

え た 上 で 剛体 Ａ 上 の 点 Ｐ と剛 体 Ｂ上 の Ｐ'を一 致 させ て,そ ト Ｂ に よっ て二 つ の 剛 体 を結 合 す る(図11.7)。

の 点 で ピ ン ジ ョイ ン

た だ し,今 度 は ピ ンの 向 き を二

つ の 座 標 系 の Ｘ 軸 に沿 う方 向 とす る 。 この モ デ ル は ３ 次 元 二 重 剛 体 振 子 で あ る。 二 つ の ピ ンジ ョ イ ン トが 直 交 して い る た め,剛 体 Ａ の 運 動 が座 標 系 Ｏ のX-Y平

図11.1 

図11.2 

空 間 に 固定 した右 手 直交 座標 系 Ｏ と重 力 の 向 き

角柱 Ａ とそ れ に固 定 した座 標 系 Ａ

図11.3 

角 柱 Ａ の Ｙ 軸 上 の 二 点 Ｏ'と Ｐ

図11.4 

図11.5 

Ｚ軸 が紙 面 と垂 直 にな る方 向 か ら見 た,静 止 位 置 の剛 体 振 子

Ｚ軸 が 紙 面 と垂 直 に な る方 向 か ら見 た,傾 い た 状態 の剛 体振 子

面 内 に 限 られ て い る の に対 し,剛 体 Ｂ は複 雑 な ３次 元 運 動 に な る(図11.8)。

ピ

ン ジ ョイ ン ト Ｂ の 相 対 回 転 角 を θABと し,そ の 符 号 を Ｘ 軸 と右 ネ ジの ル ー ル で 定 め る と,θOAと

θABで 二 重 振 子 の 位 置 と姿 勢 が完 全 に定 ま る。

  運 動 学 の 課 題 は二 種 類 に 分 け る こ とが で き,筆 者 は タ イ プ Ａ と タ イ プ Ｂ と 呼 ん で い る(順 運 動 学,逆

運 動 学 とい う言 葉 が 使 わ れ る こ とが あ るが,動

力 学 を順

動 力 学 と逆 動 力 学 に 分 け て 呼 ぶ 場 合 とは,順 逆 の 意 味 合 い が 異 な っ て い る)。 こ こ で は,ま ず,タ

イ プ Ａ の 課 題 を考 え る。 こ れ は,産 業 用 ロ ボ ッ トの 関節 角 を

与 え て 手 先 の 位 置 や 姿 勢 を求 め る 課 題 と 同 じ もの で あ る 。 タ イ プ Ａ の 課 題 は,

図11.6 

図11.7 

角 柱 Ｂ と Ｙ 軸 上 の 二 点 Ｐ'と Ｑ

直 交 す る方 向 に ピ ン結 合 され た ３次 元二 重 剛体 振 子

(剛体 Ｂ上 に は角 速 度 を検 出す る ジ ャイ ロセ ンサ が 付 い て い る。)

三 者 の 関係 と時 間微 分 の 関 係 を用 い て 解 くこ とが で き,比 較 的 簡 単 で あ る。 剛 体 と関 節 の 数 が 増 え,関 節 の 種 類 が 別 の も の に な った り,木 構 造 の よ うに 分 岐 が あ る 場 合 に も,同

じ よ うに対 応 で きる は ず で あ る 。

図11.8 

 

Quiz  11.1 

３次 元 二 重 剛 体 振 子 の θOA=θAB=90°

の姿 勢

３ 次 元 二 重 剛 体 振 子 で,θOA=θAB=90°,関

(=θOA),ωAB(=θAB)の

と き,vOQ,vAQ,ΩOB,ΩABを

表 せ 。eOX,eOY,eOZは

節 の 角 速 度 が ωOA

ωOA,ωAB,eOX,eOY,eOZで

座 標 系 Ｏ の 各 座 標 軸 を 表 す 単 位 長 さ の 幾 何 ベ ク トル で あ

る 。 ま た,rOQ,rAQ,r'OQ,r'AQ,vOQ,vAQ,v'OQ,v'AQ,ΩOB,ΩAB,Ω'OB,Ω'ABは の よ う に な る か(こ

のQuizは,第

の よ う な 特 殊 な 姿 勢 の 場 合,第

ど

４ 章 ∼ 第 ６ 章 の 復 習 用 で あ る 。 θOA=θAB=90° ７章 以 降 に 学 ん だ 関 係 式 を 用 い る 必 要 も な く,求

め ら れ て い る 変 数 の 意 味 だ け か ら解 答 が 得 られ る は ず で あ る)。  

Quiz  11.2 

３ 次 元 二 重 剛 体 振 子 の 関 節 角 が θOA,θABの

と き,慣

性 座標 系 Ｏ

か ら見 た 角 柱 Ｂ の 回転 姿 勢 を 回転 行 列 とオ イ ラー パ ラ メ ー タで 表 現 せ よ。  

Quiz  11.3  ωABの

と き,座

 Q uiz 11.4  点 Ｑ の 位 置(座  

Quiz  11.5  ωABの

と き,角

３ 次 元 二 重 剛 体 振 子 の 関 節 角 が θOA,θABで,関

節 角 速 度 が ωOA,

標 系 Ｏ か ら見 た 角 柱 Ｂ の 角 速 度 は ど の よ う に な る か 。 ３ 次 元 二 重 剛 体 振 子 の 関 節 角 が θOA,θABの 標 系 Ｏ に 対 す る 位 置)は

と き,角

どの よ うに な る か 。

３ 次 元 二 重 剛 体 振 子 の 関 節 角 が θOA,θAB,関 柱 Ｂ の 下 端 点 Ｑ の 速 度(座

柱 Ｂの下 端

節 角 速 度 が ωOA,

標 系 Ｏ に 対 す る 速 度)は

どの よ う に

なるか。   Quiz  11.6 

＜斜 め に ピ ン結 合 され た 剛 体 振 子 ＞  本 章 の 最 初 に 説 明 した 剛 体

振 子 の ピ ン結 合 で は座 標 系 Ｏ と Ａ の Ｚ 軸 に沿 う方 向 に ピ ン を 配 置 した 。 こ こ で は ピ ン の 向 き を 図11.9に は 点O,O'を

通 り,二

示 し た 斜 め の 向 き に 配 置 し て,剛 つ の 座 標 系 のX-Y平

体 振 子 を作 る。 ピ ン

面 内 に あ る。 Ｘ 軸 か ら Ｙ 軸 に向 か う

方 向 の 角 度 は α と す る 。 こ の ピ ン ま わ り の 回 転 角 を θOAと す る と,COA,EOA,

図11.9 

ropは

斜 め に ピ ン結 合 され た 剛体 振 子

θOAに よ っ て ど の よ う に 表 さ れ る か 。 さ ら に,ピ

ωOA(=θOA)と

11.2 

す る と,Ω'OA,VOPは,θOA,ωOAに

ン ま わ りの 角 速 度 を

よ っ て どの よ う に表 さ れ る か 。

ジ ャ イ ロ セ ン サ

  ３ 次 元 二 重 剛 体 振 子 の 角 柱 Ｂ に ジ ャ イ ロ セ ン サ を 固 定 す る(図11.7中 こ の ジ ャ イ ロ セ ン サ はX,Y,Z軸 力 角 速 度 を ΩGYROX,ΩGYROY,ΩGYROZと Z軸

の 〓)。

ま わ り の 角 速 度 を 計 測 す る た め の も の で ,出 表 す こ と に し,ジ

ャ イ ロ セ ン サ のX,Y,

は 座 標 系 Ｂ と 平 行 に な る よ う に 取 りつ け て あ る も の と す る 。 こ の ジ ャ イ ロ

セ ン サ の メ ー カ ー は,さ

ら に,こ

の ジ ャ イ ロ セ ンサ が 回転 姿 勢 も計 測 で きる もの

で あ る と 主 張 し て い る 。 そ の 回 転 姿 勢 はX,Y,Z軸 〓GYROY,〓GYROZで

表 さ れ,こ

ま わ り の 回 転 角 〓GYROX,

れ ら は 出 力 角 速 度 を 時 間 積 分 し た も の だ そ うで あ

る。

(11.1) (11.2) (11.3) 積 分 の 下 端 の 時 間 ゼ ロ は 計 測 を 開始 した 時 間 とす る。

  ジ ャ イ ロ の 出 力 角 速 度 は,θOA,θAB,ωOA,ωABに ま た,〓GYROX,〓GYROY,〓GYROZが

よ って定 まるは ず であ る。

回 転 姿 勢 を 表 す 量 な ら ば,こ

に よ っ て 定 ま る は ず で あ る 。 こ れ ら に つ い て,次

  Quiz 11.7 

のQuizを

れ ら は θOA,θAB

考 え て み よ。

３次 元 二 重 剛 体 振 子 の 角 柱 Ｂ 上 に 搭 載 さ れ た ジ ャ イ ロ セ ン サ の 出

力 ΩGYROX,ΩGYROY,ΩGYROZは,θOA,θAB,ωOA,ωABに

よっ て ど の よ う に 表 され

るで あ ろ うか 。  

Quiz  11.8  姿 勢 ま で,二

３次 元 二 重 剛 体 振 子 を θOA=θAB=0°

の 姿 勢 か ら θOA=θAB=90°

通 り の 手 順 で 変 化 さ せ る も の と す る 。 手 順 ① は,ま

維 持 し な が ら,θOAを

０°か ら90° ま で 変 化 さ せ,次

の

ず,θAB=0°

い で,θOA=90°

を維 持 し な

が ら,θABを0°

か ら90° ま で 変 化 さ せ る 。 手 順 ② は,ま

が ら,θABを0°

か ら90° ま で 変 化 さ せ,次

を ０°か ら90°

ま で 変 化 さ せ る 。 二 つ の 手 順 の そ れ ぞ れ に つ い て,〓GYROX,

θGYROY,〓GYROZが   Quiz  11.9 

い で,θAB=90°

ず,θOA=0°

を

を維持 しな

を 維 持 し な が ら,θOA

どの よ うな値 に な る だ ろ うか 。 ３ 次 元 二 重 剛 体 振 子 の ジ ャ イ ロ セ ン サ に つ い て,〓GYROX,

〓GYROY,〓GYROZは

角 柱 Ｂ の 回転 姿 勢 を表 す 量 とい え る だ ろ うか 。

  式(5.10)は,ROAの 分 し た も の はROAで

時 間 微 分 がVOAと

い う こ と で あ り,逆

あ る 。 式(9.2),(9.10),(9.12)は,い

時 間 微 分 と 角 速 度 Ω'OAの 関 係 を 示 し て い る が,回 Ω'OAに な っ て い る わ け で は な い 。 逆 に,Ω'OAを 姿 勢 は 得 ら れ な い 。 こ れ は,ダ

に,VOAを

時 間積

ず れ も,回

転姿勢 の

転 姿 勢 の 時 間微 分 が そ の ま ま

そ の ま ま 時 間 積 分 し て も,回

転

ッ シ ュ の 付 か な い ΩOAを 用 い て も 同 様 で あ る 。

こ の こ と を,「 角 速 度 は 積 分 で き な い 」,「角 速 度 は ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク で あ る 」 な ど と表 現 す る こ とが あ る。

11.3 

３ 次 元 三 重 剛 体 振 子

  ３次 元 二 重 剛 体 振 子 に,さ

らに も う一 つ の 剛 体 Ｃ を追 加 す る 。 この 剛 体 の 形 状

も座 標 系 Ｃ の 固 定 の 仕 方 も こ れ ま で と 同 様 で あ る 。 Ｙ 軸 上 の 点 は Ｑ'と Ｒ で,剛 体 Ａ 上 の Ｏ'と Ｐ,ま

た は,剛

体 Ｂ 上 の Ｐ'と Ｑ と 同 様 で あ る(図11.10)。

座 標

系 Ｂ と Ｃ を 平 行 に し,点

Ｑ と Ｑ'を 一 致 さ せ て,ピ

ン ジ ョイ ン ト Ｃ に よ って 剛

体 Ｂ と Ｃ を 結 合 す る と ３ 次 元 三 重 剛 体 振 子 に な る(図11.11)。 Ｃ の 向 き は 二 つ の 座 標 系 の Ｚ 軸 の 向 き と し,相

ピ ン ジ ョイ ン ト

対 回 転 角 を θBCと す る(図11

.

12)。 ピ ン ジ ョ イ ン ト Ｃ と ピ ン ジ ョ イ ン ト Ｂ は 常 に 直 交 し た 向 き に な っ て い る 。 ま た,θOA,θAB,θBCを

与 え れ ば 三 重 剛 体 振 子 の 位 置 と姿 勢 が 完 全 に 定 ま る。

  次 の[Quiz

11.10]と[Quiz

11.12]と[Quiz

11.13]は,タ

11.11]は,タ

イ プ Ａ の 問 題 で あ る が,[Quiz

イ プ Ｂ の 問 題 で,[Quiz

11 .10]と[Quiz

の 結 果 を 利 用 し て 解 く こ と に な る 。 タ イ プ Ｂ の 問 題 と は,産 先 の 位 置 と 姿 勢 を 与 え た と き,そ

図11.12 

業 用 ロ ボ ッ トの 手

の 実現 に必 要 な各 関 節 の 角 度 を求 め る よ うな 問

題 で あ る 。 六 つ の 関 節 を 持 っ た 産 業 用 ロ ボ ッ ト と は 異 な り,こ

図11.10 

11.11]

こで は三 つ の 関節

角 柱 Ｃ と Ｙ 軸 上 の 二 点 Ｑ'と Ｒ

３次元 三 重 剛 体振 子, θOA=θAB=θBC=90°

の 姿 勢

図11.11 

３次 元 三 重 剛体 振 子

を 持 っ た 三 重 剛 体 振 子 で あ る か ら,下 11.12]で

は ニ ュ ー ト ン ラ フ ソ ン法 を,[Quiz

解 法 を 用 い,計

11.10

11.13]で

算 機 の 利 用 が 必 要 で あ る 。[Quiz

解 法 と も い え る が,運

Q uiz

端 点 Ｒ の 位 置 と 速 度 だ け を 考 え る 。[Quiz は連立 一次 方程式 の数値

11.14]は,[Quiz

11.12]の

別 の

動 学 の 汎 用 的 な解 法 に 近 い もの で あ る。

３ 次 元 三 重 剛 体 振 子 の 三 つ の 回 転 角 が θOA,θAB,θBCの

と き,角

柱 Ｃ の 下 端 点 Ｒ の 位 置 は ど う な る か。 Quiz

11.11

３ 次 元 三 重 剛 体 振 子 の 三 つ の 回 転 角 が θOA,θAB,θBC,角

ωOA,ωAB,ωBCの

Quiz

11.12

と き,角

速度 が

柱 Ｃ の下 端 点 Ｒ の 速 度 は ど う な る か 。

座 標 系 Ｏ のX,Y,Z座

標 の値 が い ず れ も3bに

な る空 間 上 の 点

を Ｒ'と 呼 ぶ こ と に す る 。 ３ 次 元 三 重 剛 体 振 子 の 角 柱 Ｃ の 下 端 点 Ｒ が 点 Ｒ'に 一 致 し て い る と き,θOA,θAB,θBCの Quiz 11.13 て,Ｙ

値 を 求 め よ。

３次 元 三 重 剛 体 振 子 の 角 柱 Ｃ の 下 端 点 Ｒ が 点 Ｒ'に 一 致 して い

軸 の 正 方 向 に 単 位 時 間 当 た り2bの

速 度 を 持 っ て い る と き,ωOA,ωAB,

ωBCの 値 を 求 め よ 。 Quiz 11.14

[Quiz

11.12]と

同 じ状 況 の と き,慣

性 空 間 か ら見 た 三 つ の 角 柱 の

重 心 位 置 と回転 姿 勢 を求 め た い 。 回 転 姿 勢 は オ イ ラ ー パ ラ メ ー タで 表 す こ とに す る。 こ の解 は[Quiz

11.12]の 結 果 か ら求 め る こ とが で き る が,こ

こ で は,自 由

な三 つ の 角 柱 が 受 け て い る拘 束 を,三 つ の角 柱 の 重 心 位 置 と 回転 姿 勢 の 関数 で 表 し,そ の解 をニ ュ ー トン ラ フ ソ ン法 で 求 め る こ とを 考 え る。 な お,こ のQuizは 剛 体 に 働 く拘 束 と い う概 念 を 正 面 か ら利 用 す る 。 以 下 が 理 解 し難 い 読 者 は,13.6 節 を 学 ん だ後 に 戻 っ て くる こ と に し よ う。   自由 な三 つ の 角 柱 が 受 け て い る拘 束 は,三 つ の ピ ン ジ ョイ ン トの拘 束 と剛 体 Ｃ の最 下 点 Ｒ が Ｒ'に 一 致 して い る拘 束 で あ る。 これ に,オ 束 を付 け加 えて 考 え る。 拘 束 全 体 をΨ=0と ΨB,ΨC,ΨRの

イ ラ ー パ ラ メ ー タ の拘

表 現 す る こ とに し,こ の Ψ は,ΨA,

四 つ の 成 分 か らな りた っ て い る とす る。

(11.4) ΨA=0は

ピ ン ジ ョ イ ン ト Ａ の 拘 束 とEOAの

ト Ｂ の 拘 束 とEOBの る 。 ΨR=0は,点

拘 束,Ψc=0は

拘 束 と す る 。 ΨB=0は

ピ ン ジ ョイ ン

ピ ン ジ ョ イ ン ト Ｃ の 拘 束 とEOCの

Ｒ が 点 Ｒ'に 一 致 し て い る 拘 束 で あ る 。

拘 束で あ

ま ず,ΨA=0は

次 の よ うに 書 け る。

(11.5)

四 つ の成 分 の うち 一 番 上 は,点

Ｏ'が 点 Ｏ に 一 致 して い る条 件 で あ る。 二 番 目 と

三 番 目は 座 標 系 Ｏ の Ｚ 軸 が 座 標 系 Ａ の Ｘ 軸 と Ｙ 軸 に直 交 して い る条 件 で あ る 。 こ れ ら三 つ の 成 分 が ピ ン ジ ョイ ン トの 拘 束 で,四

番 目の成分 は角柱 Ａの オイ ラ

ー パ ラ メ ー タ の 拘 束 で あ る。 さ て,ΨB,ΨC,ΨRは

どの よ うに な るだ ろ うか。

式(11.5)に 相 当 す る もの を示 せ 。 の 関 数 で あ る 。 式(11.5)のCOAは

は,

EOAの

関 数 と 考 え れ ば よ い 。 Ψ=0は

ス カ ラ ー レ ベ ル で21の

の 総 数 も21で

式 を 含 ん で お り,

あ る か ら,ニ

ュ ー トン ラ フ ソ ン

法 を 用 い れ ば こ れ らの 数 値 解 が 得 ら れ る は ず で あ る。 の 推 定 値 か ら計 算 した Ψ を ΨEと し,ΨEか と,

で あ る 。 こ の と き,修

らの 修 正 量 を ΔΨ と す る

正 量 ΔΨ は 次 の よ う に 表 さ れ る 。

(11.6) を並べ て作 った係 数行 列 と

結 局,

ΨEを 用 い て 連 立 一 次 方 程 式 を 解 け ば, を 求 め る こ と が で き,こ

れ を 修 正 量 と し て,新

たな

の 推 定 値 を定 め る こ とが で きる 。 係 数行列 の一 部

は,

成 さ れ て い る 。 そ の 中 の ΨAをROAで

を

で 偏 微 分 し た も の か ら構

偏 微 分 し た も の は,次

の よ う に な る。

(注)偏 微 分 を添 え字 を用 いて 表 す場 合,添 え字 に書 か れ る変 数 が列 行 列 で あ れ ば,そ の添 え字 は 太 文 字 で表 す の が 自然 で あ る。 本 章 で は そ の よ うに してあ る が,第 Ⅲ部 以 降 で は,添 え字 に 太 文 字 を用 い ない こ とを 原則 とす る。 偏微 分 の対 象 に な って い る 関数 も含 め て,変 数 記 号 自体 が 別 の 意 味 の添 え字 を持 つ な ど,複 雑 にな っ て くる と小 さい 文 字 は見 難 くなっ て くる。 その た め の止 む を得 な い処 置 で あ る。

(11.7)

同 様 に ΨEOAは,ΨA,ΨB,ΨC,ΨRをEOAで て,そ

の 中 の ΨAをEOAで

偏 微 分 した もの か ら構 成 さ れ て い

偏 微 分 し た も の は,次

の よ う に な る。

(11.8)

この 偏 微 分 の 計 算 で は,ΨAをEOAで

偏 微 分 した もの が ΨAをEOAで

偏 微 分 した

も の に 等 し い と い う 性 質 を 用 い て い る 。 さ ら に,ΨAをROB,EOB,ROC,EOCで

偏 微 分 し た も の は,す

べ て ゼ ロ に な る。 さ て,ΨB,ΨC,ΨRの

ROA,EOA,ROB,EOB,ROC,EOCの

そ れ ぞ れ は,

どの 変 数 に 依 存 し て い る か 。 そ の 依 存 し て

い る変 数 で 偏 微 分 した もの は どの よ う に な る か 。 式(11.7)ま た は(11.8)に 相 当 す る もの を示 せ 。   以 上 の準 備 を 元 に,実 際 に プ ロ グ ラ ム を組 ん で ニ ュ ー トン ラ フ ソ ン法 を行 う こ とが で きる。 こ こか ら後 は 読 者 の 努 力 に任 せ る。 順 動 力 学 解 析 の ア ニ メ ー シ ョ ン と同 様 な方 法 で 三 つ の角 柱 を 図示 し,ニ ュ ー トン ラ フ ソ ン法 の 収 束 計 算 の 各 ス テ ップ ご との 姿 勢 を 少 しゆ っ く り表 示 す る よ うにす れ ば,収 束 の 状 況 を観 察 す る こ とが で きる 。 最 下 点 Ｒ の 目標 位 置 Ｒ'を 図 上 で 入 力 で き る よ う な仕 組 み を 考 え れ ば,対 話 的 に 目標 位 置 を 与 え なが ら,ニ ュ ー トン ラ フ ソ ン法 を 繰 り返 す プ ロ グ ラ ム が作 れ る。 目標 位 置 が 遠 す ぎ る と き,繰

り返 し計算 が 収 束 しな い 様 子 も観 察 で

き る で あ ろ う。   な お,本 書 で は,Ψ=0を

位 置 レベ ル の拘 束 を表 す 一 般 的 な 形 と し て お り,こ

れ を 時 間 微 分 した 速 度 レベ ル の拘 束 は,Φ=0と 照)。 こ のQuizの

後,[Quiz

速 度 を 求 め る と きは,Φ=0を

11.13]の

表 す こ と に し て い る(13.6節

参

よ う な 状 況 設 定 で 各 剛 体 の 重 心 速 度 と角

作 り,連 立 一 次 方 程 式 を解 くこ と に な る。

<テ レス コ コ ピ ッ

11.15

Quiz

ク ジ ョイ ン トを 含 む 機 構>３

次

元 三 重 剛 体 振 子 は 三 つ の 角 柱 と空 間 を三 つ の ピ ン ジ ョイ ン トで 結 合 した もの で あ っ た 。 そ の 三 つ の ピ ンジ ョイ ン トの うち ピ ン ジ ョイ ン トＡ と ピ ンジ ョイ ン トＢ はそ の ま ま と し,ピ

ン ジ ョイ ン ト Ｃ の

代 わ りに 角 柱 Ｂ と 角 柱 Ｃ を テ レ ス コ コ ピ ッ ク ジ ョイ ン トで 結 合 し た機 構 を考 え る(図11.13)。   テ レス コ コ ピ ック ジ ョイ ン トは 固定 軸 に沿 っ て 伸 縮 す る ジ ョイ ン トで,こ

こで 考 え て い る 機 構 の 固

定 軸 は座 標 系 Ｂ と座 標 系 Ｃ の Ｙ 軸 で あ る。 す な わ ち 点 Ｑ'は 座 標 系 Ｂ の Ｙ 軸 上 に あ り,点

図11.13テ

レ ス コ ピ ッ ク ジ ョ イ ン トを 含 む 機 構

Ｑ は座

標 系 Ｃ の Ｙ 軸 上 に あ る。 Ｙ 軸 ま わ りの 回転 は許 され ず,二

つ の 座 標 系 は常 に平

行 で あ る。   原 点 Ｃ も 座 標 系 Ｂ の Ｙ 軸 上 に あ る が,そ と 同 じ で,テ

す る 。 こ れ はRBCY

レ ス コ ピ ッ ク ジ ョ イ ン ト の 伸 縮 量 を 表 す 。SBC=0は,二

が 重 な っ た 状 態 で あ り,こ 伸 び に 対 応 し て い て,符   さ て,慣

の Ｙ 座 標 をSBCと

の 変 数 の 場 合,負

つ の 角柱

の 値 が テ レ ス コ ピ ッ ク ジ ョ イ ン トの

号 に 注 意 す る 必 要 が あ る。

性 系 か ら 見 た 点 Ｒ の 位 置rORと

速 度vORを

θOA,θAB,SBC,ωOA,ωAB,

SBCで 表 せ 。   な お,こ

の 機 構 で も,[Quiz

11.12],[Quiz

設 定 が 可 能 で あ る 。 ま た,動

力 学 のQuizを

は 角 柱Cが 常 のQuizに

11.13],[Quiz

11.14]の

よ う な問 題

作 る こ と を 考 え る と,上

記 の ま まで

重 力 で 落 下 し 続 け て し ま う 。 そ の よ う なQuizが す る た め に 伸 縮 量SBCに

あ っ て も よ い が,通

応 じて バ ネ力 が 働 く とす る と よい 。

第 Ⅲ部

動力学の基本事項   第 Ⅱ部 の 主 な テ ー マ は運 動 学 の 基 本 で あ っ たが,そ る。 一 方,こ

れ らは動 力 学 の 基 礎 で もあ

れ と は別 に動 力 学 の 基 本 事 項 が あ る 。 第 Ⅳ部 で は 力 学 の 原 理 な ど と

と もに,運 動 方 程 式 を立 て る 方 法 を学 ぶ こ と に な る が,そ

のす べ て の 方 法 に 共 通

な課 題 は拘 束 の処 理 の 仕 方 とい え る。 した が っ て,拘 束 と は何 か を知 ら な け れ ば な らな い し,そ れ に 伴 っ て 出 て く る拘 束 力 の 概 念 も理 解 しな け れ ば な ら な い。 ま た,自

由 度 や 一 般 化 座 標,一

般 化 速 度 も必 要 な知 識 で あ る。 第 Ⅲ部 は,第

入 る た め の 準 備 に位 置 づ けて い る 。

Ⅳ部に

第12章

力 と トル クの等価 換算,三 質点 剛体, 慣性行 列の性質,質 点 系,剛 体系

  運 動 方 程 式 は,質 点 や 剛 体 の 運 動 状 態 と力 や トル クの 関 係 を表 し た もの で あ る 。 本 章 で は,ま ず,力

と トル ク の 等 価 換 算 につ い て 説 明 す る 。 次 い で,三 質 点

剛 体 の 運 動 方 程 式 を導 出す る が,そ

こ に,拘 束 と拘 束 力 が 出 て くる。

  力 と トル ク は 三種 類 に分 け て 考 え る こ とが で き る。 す で に 第 Ⅱ部 に,作 用 力 と 作 用 トル ク,慣 性 力 と慣 性 トル クが 出 て きた が,残

りが 拘 束 力 と拘 束 トル ク で あ

る。 三 質 点 剛 体 の運 動 方 程 式 導 出 を通 して,改 め て作 用 力 を説 明 し,さ ら に,拘 束 と拘 束 力 の 概 念 を 説 明 す る。 また,こ

こ で 導 か れ る 運 動 方 程 式 が,第

４章 に 出

て き た 剛 体 の 運 動 方 程 式 で あ る。 続 い て,剛 体 の 慣 性 行 列 の 性 質 に つ い て 説 明 し,最 後 に,複 数 の 質 点,複 数 の 剛体 を ま とめ て 扱 う た め の 記 号 を紹 介 す る。

12.1

力と トルクの等価換算

  剛 体 Ａ 上 に 点 Ｐ が あ り,そ (図12.1)。

の 点 に 力fpと

代 数 ベ ク トル で 表 し て,fOPとn'OPで

ト ル クnPが

作 用 し て い る とす る

あ る 。 トル ク は 回 転 に 関 わ る 量

で あ る か ら ダ ッ シ ュ の 付 い た 変 数 を 用 い る こ と に す る 。 こ の 力 と トル ク を 座 標 系 Ａ の 原 点 に 等 価 換 算 し,そ

の 結 果 をFOA,N'OAと

す る と,そ

れ らは 次 の よ うな 関

係 で 表 され る。

(12.1) (12.2) fOPとn'Opの 組 が 剛 体 Ａ に 与 え る動 力 学 的 な働 き と,FoAとN'OAの

組 が 剛体 Ａ に

与 え る 動 力 学 的 な働 き は 同 じで あ り,そ の よ う な置 き換 え を等 価 換 算 とい う。 動 力 学 的 な働 き と は運 動 に与 え る 影 響 で あ る。   剛 体 Ａ 上 の 別 の 点 に も力 と トル クが 作 用 して い れ ば,そ 等 価 換 算 し,加 え合 わせ た もの をFOA,N'OAと

れ につ い て も同 様 に

す る。 こ の よ う に して,剛 体 上 の

図12.1剛

体 Ａ 上 の 点 Ｐ に 働 く力 と トル ク

複 数 の 点 に力 と トル ク が 作 用 す る場 合 も,そ れ ら を一 組 の作 用 力 と作 用 トル ク に 置 き換 えて 考 え る こ とが で き る 。 式(12.2)の 第 二 項 はfPの 点 Ａ ま わ りの モ ー メ ン トで あ る。fPの 作 用 線 が 点 Ａ を通 過 して い れ ば そ の 値 は ゼ ロ に な る。 ま た, 点 Ｐ に作 用 す るnpは,剛

体 上 の 別 の 点 に平 行 移 動 して もそ の 動 力 学 的効 果 は変

わ ら な い。 な お,式(12.1),(12.2)は

作 用 力 の 等 価 換 算 だ け で は な く,後 述 す

る拘 束 力 の 等 価 換 算 に も適 用 す る こ とが で き る。   ２次元 の場 合,式(12.1),(12.2)に

対 応 す る 関係 は 次 の とお りで あ る 。

(12.3) (12.4) 2次 元 の場 合 は外 積 オ ペ レー ター を 用 い る こ と は で き ず,第10章

の 式(10.7)に

示 した ｘ が 出 て くる 。 こ の ２次 元 等 価 換 算 の 式 も ３次 元 の場 合 と同 様 の 考 え方 で 説 明 で きる の で,読 者 は 自 ら確 認 され た い 。

12.2

三質点剛体

● 拘束と拘束力   三 つ の 質 点 が 剛 につ なが っ て 三 角 形 を な して い る系 を 考 え る(図12.2)。 は1∼3と

番 号 で 呼 び,そ

の 質 量 はm1∼m3で

質点

あ る 。 こ の系 に座 標 系 Ａ を 固 定 す

る 。 言 い 換 え る と,座 標 系 Ａ に 三 つ の 質 点 が 固定 さ れ て い る 。 座 標 系 Ａ 上 で の 各 質 点 の 位 置 はrA1∼rA3で,こ

の代 数 ベ ク トル は定 数 で あ る。

  三 質 点 が 自 由 に 運 動 して い る状 態 に 比 べ,三

質 点 の 動 きは 制 限 さ れ て い る。 質

点 １ と質 点 ２,質 点 ２ と質 点 ３,質 点 ３ と質 点 １は,そ れ ぞ れ の 距 離 を一 定 に保

図12.2三

つ の 質 点 か らな る系 と各 質点 に働 く力

っ た 状 態 で 運 動 せ ざ る を 得 な い 。 こ の こ と を,た て,次

と え ば 質 点 １ と質 点 ２につ い

の 式 で 表 す こ とが で き る。

(12.5) そ して 当然,相

対 的 な距 離 の 変 動 もゼ ロ で あ り,そ の こ と は,こ の 式 を時 間微 分

した 次 の式 で 表 され る。

(12.6) 位 置 や 速 度 に 関 して,何

も制 約 の な い状 態 と対 比 して,式(12.5)や

式(12.6)の よ

う な運 動 学 的 な 量 の 制 約 を拘 束 と呼 ぶ 。 式(12.5)は 位 置 レベ ル の拘 束,式(12.6) は速 度 レベ ル の 拘 束 で,式(12.6)の

時 間微 分 を作 れ ば,加 速 度 レベ ル の 拘 束 に な

る 。 三 質 点 剛 体 に は この よ うな拘 束 が,あ

と二 組,存

在 す る こ とに な る。

  各 質 点 に は作 用 力fo1∼fo3が 働 い て い る とす る 。 これ らは 系 の外 か ら働 い て い る の で 外 力 で あ る。 系 内 の 質 点 同士 の 相 互 作 用 は 内 力 と呼 ば れ る。 作 用 力 と は, バ ネ や ダ ンパ ー に よ る力 ,あ る い は,重 力 な どの よ う に,質 点 の 位 置 と速 度 と時 間 に よ っ て 決 ま っ て く る力 で あ る 。 剛 体 も含 め て 考 え れ ば,作 用 力 と は,位 置, 回転 姿 勢,速

度,角

速 度,お

よ び,時 間 の 関 数 と して 表 さ れ る 力 で あ る。 一 定 力

も,そ の よ う な 関 数 の 特 別 な場 合 で あ り,作 用 力 で あ る。 作 用 力 は,一 般 に,外 力 と 内力 に 分 け て 考 え る こ とが で きる が,三 質 点 剛体 の 場 合 は,内 力 の作 用 力 は 働い ていない。   三 質 点 剛 体 は 作 用 力 を受 け て 運 動 す る。 そ の と き,個 々 の 質 点 に 注 目す る と,

そ の 質 点 に働 く作 用 力 と慣 性 力 の和 はゼ ロ に な る と は 限 らな い 。 た とえ ば,三 つ の作 用 力 が 釣 り合 っ て い て 三 角 形 が 動 か な い と き,慣 性 力 は ゼ ロで あ る が,作 用 力 は ゼ ロ で は な い。 一 方,三 は,質

質 点 に は 別 の 力 が働 い て い る と考 え られ る。 そ れ ら

点 １ と質 点 ２,質 点 ２ と 質 点 ３,質 点 ３ と質 点 １の 間 に マ ス レ ス リ ン ク

(質量 の な い 連 結 棒)を

想 定 して,そ

の リ ンク を介 して 働 く力 で あ る。 各 リ ン ク

ご と に そ の 両 端 の 質 点 に働 く力 は作 用 反 作 用 の 関 係 に あ る と考 え ら れ る 。 ま た, そ の よ うな力 は 各 二 点 間 が 一 定 距 離 に 拘 束 さ れ て い る こ とに よ って 生 じる と考 え る こ とが で き,あ る い は,一 定 距 離 を 維 持 す る よ う に定 ま る と考 え て も よい 。 こ の よ う に,拘 束 に よ っ て生 じ,拘 束 を維 持 す る よ う に働 く力 を拘 束 力 と呼 ぶ 。 そ して,三

質 点 剛 体 の 運 動 中,各

常 に,ゼ

ロ に な る。 た とえ ば,三

質 点 に働 く作 用 力 と慣 性 力 に 拘 束 力 を加 え る と, 質 点 の 作 用 力 が釣 り合 っ て い て 三 角 形 が 動 か な

い と き,慣 性 力 は ゼ ロで あ る が,質 点 ご との 作 用 力 と拘 束 力 の和 が ゼ ロ に な っ て い る の で,各

質点は動か ないので ある。

  質 点 １に は,質 点 ２ と質 点 ３か ら拘 束 力 が 働 き,そ の 合 計 をfO1と す る。 同様 に,質

点 ２,質 点 ３に 働 く拘 束 力 の 合 計 を,そ れ ぞ れ,fO2,fO3と

て,ニ

ュ ー トンの 運 動 方 程 式 は 次 の よ うな 形 で 成 立 す る。

す る。 そ し

(12.7) す な わ ち,各 質 点 に は 作 用 力 と拘 束 力 が 働 い て い て,そ の 和 が 加 速 度 を 生 み 出 し て い る。 た だ し,拘 束 力 は,位 置 や 速 度 や 時 間 の 関 数 と して,そ

の大 き さや 方 向

が 決 ま る わ け で は な い 。 拘 束 の 性 質 か ら拘 束 力 の 方 向 な ど は あ る 程 度 分 か る が, そ の 大 き さ は 未 知 数 で あ る 。 加 速 度 な どが 分 か ら な い と求 め る こ とが で きな い 。 結 局,式(12.7)の お,拘

ま まで は,作 用 力 か ら運 動 を解 くこ とは で き な い の で あ る。 な

束 力 に も,一 般 に,外

力 と内 力 が あ る が,三

質点 剛体 の場合 は内力 で あ

り,外 力 の拘 束 力 は存 在 して い な い 。

● 三質点剛体の運動方程式   次 に,拘 束 力 消 去 法(第15章 方 を説 明 す る。 まず,i=1,2,3と

参 照)に

よ る,三 質 点 剛 体 の 運 動 方 程 式 の 作 り

して,次 の 三者 の 関 係 を考 え る 。

(12.8) こ の 式 を 時 間 で 微 分 す る と,VoiをVOAと

Ω'OAで 表 す こ と が で き る 。

(12.9) も う 一 度 時 間 微 分 す れ ば,Voiの

式 に な り,そ

れ を 式(12.7)に

代 入 す る。

(12.10)   こ こ で,(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)と foiを,質

点 ｊ か ら の 拘 束 力foijと

し て,質 質 点

ｋ か ら の 拘 束 力foikに

点 ｉに 働 く 拘 束 力 分 け て 考 え る。

(12.11) foijとfoikの

添 え字 の 使 い 方 は,こ の 項 だ け の特 別 な も の で あ る。 質 点 ｋか ら

質 点 ｊが 受 け る拘 束 力fojkと 質 点 ｊか ら質 点 ｋが 受 け る 拘 束 力fokjは 作 用 反 作 用 の 関 係 に あ る と考 え る こ とが で き(図12.3),そ

の 関 係 は 次 の よ う に 表 され

る。

(12.12) (12.13) 式(12.13)は (12.13)か

Ａ 点 ま わ り の モ ー メ ン ト の 釣 り合 い で あ る 。 さ て,式(12.11)∼ ら次 の 関係 が 得 ら れ る 。

(12.14) (12.15) こ れ ら は,運 動 方 程 式 か ら拘 束 力 を消 去 す る手 が か りに な る。   式(12.10)をi=1,2,3に

つ い て 足 し 合 わ せ,式(12.14)を

用 い る と次 の よ う に

なる。

(12.16) こ こ で,全

質 量 をMAと

し,ま

た,重

心 Ｇ の 位 置 をrAGと

す る と,こ

れ らは次

の 式 を 満 た す 必 要 が あ る。

(12.17) (12.18) ま た,各 質 点 に働 く作 用 力 を座 標 系 原 点 Ａ に 等 価 換 算 して お く。

図12.3二

つ の 質 点 の 間 に働 く相 互 作 用 の力

(12.19) (12.20) 以 上 の 四 式 の う ち,最

初 の 三 式 を 用 い る と,式(12.16)は

次 の よ うに な る。

(12.21) 次 に,式(12.10)にrAiC〓

を 左 か ら掛 け て,整

理 す る と次 の 式 が 得 られ る。

(12.22) こ こ で,外

積 オ ペ レ ー タ ー の 性 質,式(6.7)を

用 い て,左

辺 第 三 項 を 次 の よ うに

書 き なお して お く。

(12.23) 式(12.23)をi=1,2,3に

つ い て 足 し 合 わ せ,式(12.15),(12.18),(12.20)を

用 い る と次 の よ う に な る。

(12.24) こ の 式 の 左 辺 括 弧 内 は定 数 で,符 号 を反 転 す る と Ａ 座 標 系 で 表 さ れ た Ａ 点 ま わ りの 慣 性 行 列 と呼 ばれ る量 で あ る。 こ れ をJ'OAと 表 す 。

(12.25) こ れ に よ り,式(12.24)は

次 の よ うに な る。

(12.26) 式(12.21)と(12.26)を

ま とめ る と次 の 三 質 点 剛 体 の 運 動 方 程 式 に な る。

(12.27) こ こ で,重

心 Ｇ が 座 標 系 原 点 Ａ に 一 致 し て い る 場 合 を 考 え,rAGを

と 並 進 運 動 と 回 転 運 動 が 分 離 さ れ て,式(5.1)と(5.2)に

ゼ ロ とす る

なる。 【5.1】(注)

【5.2】

(注)【

】 は以 前 に出 て きた式 を,以 前 の 式番 号 の ま ま,再 度 記 して い る こ とを示 す 。

  な お,式(12.25)は,各

質 点 の 質 量 が慣 性 モ ー メ ン トや 慣 性 乗 積 に 寄 与 す る様

子 を示 し て い る。 こ れ らの 量 は,３ 次 元 の 複 雑 な 回転 運 動 の 原 因 の 一 つ に な っ て い るが,そ

の 性 質 を調 べ る た め に この 式 を利 用 す る こ とが で きる 。

Quiz12.1オ

イ ラ ー の 運 動 方 程 式(5.2)で,Ω'OA=const.を

必 要 な トル ク

が ゼ ロ に な らな い よ うな 簡 単 な事 例 を ２質 点 で

作 っ て み よ 。Ω'OA=const.は,た Quiz12.2式(5.1)と(5.2)は た も の で あ る が,V'OAと か,式(5.1)は

と え ば,Ｚ 軸 ま わ りの 一 定 回 転 と い う こ と で よ い 。 自 由 な 剛 体 の 運 動 方 程 式 をVOAと

Ω'OAで 表 す こ と を 考 え よ う 。式(5.2)は

ど の よ う に な る だ ろ う か 。な お,作 用 力 もF'OAを

  ま た,8.4項[Quiz8.2]の し,さ

維 持す る ため に

ら に,M'A,Ω

式(8.14)と ″OA,F″OAを

同 様 にV'0Aと

Ω'OAで 表 し

その ま まで よい

用 い る こ とに す る。

Ω'OAを

ま と め てV″OAと

次 の よ う に定 め る。

(12.28)

(12.29)

(12.30)

(12.31) 式(12.30)だ

け は並 進 運 動 に 関 す る変 数 と回 転 運 動 に 関 す る変 数 を並 べ た も の に

な っ て い ない の で 注 意 を要 す る。 以 上 に よ り,自 由 な 剛 体 の運 動 方 程 式 が 次 の よ う に書 け る こ と を確 認 せ よ。

(12.32) な お,こ

の 式 は19.4節

12.3

慣性行列の性質

慣 性 行 列J'OAとJOAの

の事 例 で用 い られ る。

座 標 変換 の 関 係 は 次 の よ うに な る。

(12.33)

こ の 関 係 は,式(12.25)のrAiをC〓(roi-rOA)で

置 き換 え る こ とで 得 られ る。 座

標 系 Ｏ に 対 す る 座 標 系 Ａ の 回 転 姿 勢 が 変 化 す る とCOAも J'OAに

対 し てJOAは

変 化 す る 。 ま た,同

し た 剛 体 Ａ 上 の 二 つ の 座 標 系,Ａ

変 化 す る の で,定

様 の 座 標 変 換 は,原

とA1の

数の

点 を一 致 さ せ て 固 定

間 で も成 立 す る 。

(12.34) Ａ 点 ま わ りの 慣 性 行 列 は座 標 系 を 回転 させ る と行 列 の 成 分 が 変 化 し,特 定 な方 向 で はす べ て の慣 性 乗 積 が ゼ ロ に な っ て,対 角 行 列 に な る。 そ の と き の座 標 軸 の 方 向 が 慣 性 主 軸 で あ る 。 慣 性 行 列 は 一 般 に 実 対 称 行 列 で あ り,固 有 値 解 析 に よっ て,慣 性 主 軸 の 直 交 三 方 向 を求 め る こ とが で きる。   以 上 の 関 係 は モ ー メ ン トの 中 心 点 を 原 点 Ａ と し た もの だ が,モ

ー メ ン トの 中

心 を剛 体 上 の 別 の 点 Ｐ に 移 した 場 合 に は 平 行 軸 の 定 理 が 成 立 す る。 通 常,剛 体 に 固 定 す る 座 標 系 は 原 点 を 重 心 に 一 致 させ るが,こ

こ で は,剛 体 Ａ の重 心 Ｇ が

原 点 Ａ と 一 致 し て い な い 場 合 を 考 え よ う。 点 Ａ ま わ り の 慣 性 行 列 を J'OA(=AJ'OA),点

Ｇ ま わ りの 慣 性 行 列 をGJ'OA,点

Ｐ ま わ りの 慣 性 行 列 をpJ'OAと

す る と,そ れ らの 間 に は 次 の よ う な 関係 が あ る。

(12.35) (12.36) 式(12.36)のrGPは

座 標 系 Ａ で 表 さ れ た 代 数 ベ ク トル で あ る 。 す な わ ち,点

剛 体 Ａ 上 の 点 と 考 え て い る 。 点 Ｐ も,同 式(12.35)右

辺 第 二 項 の 〓GMArAGは

辺 第 二 項 もrGPの

Quiz12.3オ

代 わ り にrPGを

様 に,こ

〓AMArGAと

Ｇ は

こ で は 剛 体 Ａ 上 の 点 で あ る。 書 く こ と が で き,式(12.36)右

用 い て も よ い。

イ ラ ー の 運 動 方 程 式(5.2)に 使 わ れ て い る 記 号 は,す

系 Ａで 表 さ れ た もの で,ダ ッ シ ュが つ い て い る。 す な わ ち,オ

べて座標

イラーの運動方程

式 は座 標 系 Ａ で 表 され て い る 。こ の 式 を座 標 系 Ｏ で 表 す と どの よ う に な る だ ろ う か 。 座 標 変 換 を用 い て,す べ て の 変 数 を ダ ッ シュ が 付 か な い も の に 変 え て み よ。

12.4

質点系

質 点 系 と は複 数 の 質 点 が 集 ま っ た系 で あ る 。 剛 体 は多 数 の 質 点 が 集 ま っ て構 成

さ れ て い る と見 なす こ とが で き,弾 性 体 も 同様 で あ る。 ロ ボ ッ トも車 両 も質 点 系 で あ る。 本 書 の 対 象 は す べ て質 点 系 とい う こ とに な る。   質 点 系 の 各 質 点 を １か ら順 に付 け た 番 号 で 呼 ぶ こ とに す る(図12.4)。 の 質 点 の 速 度 はVOi,質

量 はmiで,こ

ｉ番 目

の 質 点 に は 作 用 力foiが 働 く。 ま ず,拘 束

の な い 自 由 な 質 点 系 を 考 え る と,質 点 ｉの 運 動 方 程 式 は 次 の よ うに 書 け る。

(12.37) この よ う な 式 が す べ て の 質 点 に つ い て 成 り立 つ が,そ

れ ら を次 の よ う に ま と め

て,系 全 体 の 運 動 方 程 式 を作 る こ とが で きる 。

(12.38) た だ し,

(12.39)

(12.40)

(12.41)

(12.42)

図12.4質

点系

ｍ は3×3ス

カ ラ ー 行 列 を 対 角 的 に 並 べ た も の で あ り,ｖ と ｆ は3×1列

行 列 を縦

に 並 べ た もの に な っ て い る 。

  自 由 な 質 点 系 を 適 当 に拘 束 して,剛 体 や 弾 性 体 が で き,さ 次 元 二 重 剛 体 振 子,ロ

らに拘 束 を加 え て ３

ボ ッ ト,車 両 を作 る こ とが で き る。 そ れ ら はい ず れ も拘 束

質 点 系 で あ る。 こ の 場 合,質

点 ｉは拘 束 力foiを 受 け,運 動 方 程 式 は 次 の よ うに

なる。

(12.43) こ れ を も と に,拘 束 質 点 系 全 体 の 運 動 方 程 式 を次 の よ う に書 くこ とが で き る。

(12.44)

(12.45)

  なお,拘

束 と拘 束 力 に つ い て は,次 節 で改 め て 説 明 す る。 また,各

質点の位置

を ま と め て,次 の よ う に ｒを準 備 してお く。

(12.46)

(12.47)

12.5

剛体系

  剛 体 系 と は複 数 の 剛 体 が 集 ま っ た 系 で あ る 。 こ れ は 質 点 系 の 特 別 な 場 合 で あ る が,ロ

ボ ッ トや 車 両 な ど多 くの機 械 の モ デ ル 化 に,剛 体 系 が 頻 繁 に用 い られ る 。

  剛 体 系 の 各 剛 体 を １か ら順 に 付 け た 番 号 で 呼 ぶ こ と に す る(図12.5)。 の 剛 体 の 重 心 速 度 はVoi,角

速 度 は Ω'oi,質量 はMi,慣

体 に は 重 心 位 置 に 等 価 換 算 した 作 用 力Foi,作

ｉ番 目

性 行 列 はJ'oiで,こ

の剛

用 トル クN'oiが 働 く。 ま ず,拘 束

の な い 自 由 な 剛 体 系 を考 え る と,剛 体 ｉの 運 動 方 程 式 は 次 の よ うに書 け る。

(12.48) (12.49) こ の よ う な式 が す べ て の 剛体 に つ い て成 り立 つ の で,そ

れ らを 次 の よ うに ま と め

図12.5剛

体系

て 系 全 体 の 運 動 方 程 式 を作 る こ とが で きる 。

(12.50) (12.51) た だ し,

(12.52)

(12.53)

(12.54)

(12.55)

(12.56)

(12.57)

(12.58)

(12.59)

式(12.57)左

辺 の ∼ は,拡

構 成 要 素 の Ω'oiは3×1列 次,対

大 解 釈 し た 外 積 オ ペ レ ー タ ー で あ る(6.1節)。 行 列 で あ り,こ

Ω'の

れ を 基 に 作 っ た 交 代 行 列 Ω'oiを,順

角 的 に 並 べ た も の が Ω'で あ る 。

  自 由 な 剛 体 系 に 拘 束 を 加 え る と,拘 束 剛 体 系 に な る 。 こ の場 合,剛 体 ｉは 重 心 位 置 に 等 価 換 算 し た 拘 束 力Foiと

拘 束 トル クN'oiを 受 け,運 動 方 程 式 は 次 の よ

う に な る。

(12.60) (12.61) 拘 束 力,拘 束 トル ク の 等 価 換 算 の 考 え 方 は12.1節

に 説 明 した もの と 同 じで あ る 。

拘 束 剛 体 系 全 体 の 運 動 方 程 式 は 次 の よ う に書 け る。

(12.62) (12.63)

(12.64)

(12.65)

剛 体 系 全 体 を ま とめ た 記 号 と して,以 下 の よ うな もの も準 備 して お く。

(12.66)

(12.67)

(12.68)

(12.69)

(12.70)

並 べ 方 は,列 行 列 は縦 に,幅

の あ る もの,す

な わ ち,複 数 列 を持 つ もの は対 角 的

に並 べ て い る。 運 動 方 程 式 は,系 全 体 を ま と め て 添 え 字 の な い 変 数 を用 い た 式 も,個 々 の 剛 体 に 関す る 添 え字 の あ る 式 と 同形 に な っ て い る 。 以 下 の 関係 式 につ い て も同 じ こ とが い え る が,そ

う な る よ う に変 数 を定 め た の で あ る。

(12.71) (12.72) (12.73) (12.74) (12.75) (12.76) 最 後 の 二 式 の偏 微 分 で表 され た ヤ コ ビ行 列 は次 の よ う な構 成 に な っ てい る。

(12.77)

(12.78)

そ して,オ

イ ラ ー 角 と して狭 義 の ものが 使 わ れ て い る とす れ ば,対 角 的 に並 ん で

い る要 素 ブ ロ ック は 次 の よ う に書 け る。

(12.79)

(12.80)

  C2,S2,C3,S3はcosθ2,sinθ2,cosθ3,sinθ3を 参 照)。

略 記 し た も の で あ る(7.3節

第13章

自 由 度,一 般 化 座 標 と 一 般 化 速 度 ,拘 束,拘 束 力

  本 章 で は,表 題 どお り,自 由 度,一 般 化 座 標 と一 般 化 速 度,拘 束,拘 明 す る 。 こ れ 以 外 に,ホ

束力 を説

ロ ノ ミ ッ ク と シ ン プ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な系 が 出 て く

る 。 拘 束 系 の 運 動 方 程 式 を 立 て る と きに必 要 に な る重 要 な概 念 ば か りで あ る。   二種 類 の 自由 度 を 説 明 す る 文 献 は 意 外 に少 な い が,ホ ル ノ ン ホ ロ ノ ミッ ク な 系 を考 え る場 合,こ

ロノ ミ ック な 系 と シ ンプ

れ に よ って 随 分 分 か りや す くな る。 本

書 は シ ンプ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ック な系 まで を扱 っ て い て,拘

束 も ホ ロ ノ ミッ ク な も

の と シ ンプ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ック な もの の 二 種 類 が あ る。 ホ ロ ノ ミ ック な拘 束 は最 も普 通 の 拘 束 で あ り,ホ ロ ノ ミ ック な系 は最 も普 通 の 系 で あ る。 ホ ロ ノ ミ ック以 外 の もの の 中 で 最 も簡 単 な もの が シ ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ック な も の とい え る。 な お,用

13.1

語 か ら受 け る取 っ 付 き難 さを 心 配 す る こ とは な い。

自由度

自 由 度 に は二 種 類 あ る 。 幾 何 学 的 自 由度 と運 動 学 的 自由 度 で あ る。   幾 何 学 的 自 由 度 は,時

間 が 与 え られ て い る状 態 で,系

を構 成 す るす べ て の 質 点

の 位 置 を決 め る た め に 必 要 十 分 な ス カ ラー 変 数 の 数 で あ る。 ３次 元 空 間 を 自由 に 運 動 す る質 点 Ｐの 幾 何 学 的 自 由 度 は ３で あ る。ropの 三 成 分 を指 定 す れ ば位 置 が 完 全 に 決 ま り,二 つ の ス カ ラ ー 変 数 だ け で 完 全 な 位 置 決 め は で き な い か らで あ る。 自 由 な 質 点 が 三 つ あ れ ば幾 何 学 的 自由 度 は ９に な る。 ３次 元 空 間 を 自 由 に 運 動 す る剛 体 の 幾 何 学 的 自 由 度 は ６で あ る 。 剛体 は,複 数 あ る い は 多 数 の質 点 で構 成 され て い る と考 え る こ とが で き るが,並 進 の ３自 由 度 と 回転 の ３自 由度 だ け を 持 っ て い る。   支 点 Ｐ をボ ー ル ジ ョ イ ン トで 拘 束 さ れ た コ マ Ａ に つ い て 考 え る(図9.2参 照)。 コマ に は重 心 に 原 点 を 一 致 させ て座 標 系 Ａ が 固 定 さ れ て い る。 支 点 Ｐ も コ

マ の 上 の 固 定 点 で あ る か ら,座 標 系 Ａ か ら見 た 支 点 Ｐの 位 置rAPは 定 数 で あ る (図9.3)。

こ の 支 点 Ｐ を慣 性 座 標 系 Ｏ の 原 点 と,常 時,一

致 させ る。 ボ ー ル ジ

ョイ ン トと は二 点 を 一 致 させ る拘 束 で あ る。 現 実 の ボ ー ル ジ ョイ ン トは 回 転 範 囲 に 制 限 が あ るが,理 想 的 な ボ ー ル ジ ョイ ン トで はそ の よ うな 制 限 を設 け ず,二 点 の 一 致 だ け を 条 件 とす る。 こ の よ うな ボ ー ル ジ ョイ ン トは Ｐ 点 の 並 進 の ３自 由 度 を奪 い,Ｐ 点 まわ りの 回転 の 自 由 度 だ けが 残 る の で,ボ

ー ル ジ ョイ ン トで支 点

Ｐ を拘 束 され た コマ の 幾 何 学 的 自由 度 は ３に な る。   剛体 振 子(11.1節)の

幾 何 学 的 自由 度 は １で あ る 。 θOAが 定 ま れ ば,剛 体 振 子

を構 成 し て い る す べ て の 点 の 位 置 が 定 ま る。 ３次 元 二 重 剛 体 振 子(11.1節),３ 次 元 三 重 剛 体 振 子(11.3節)の

幾 何 学 的 自 由 度 は,そ れ ぞ れ,２ と ３で あ る。

θOAと θABは ３次 元 二 重 剛 体 振 子 の 位 置 と姿 勢 を定 め る た め に 必 要 十 分 な変 数 で あ り,３ 次 元 三 重 剛体 振 子 の 位 置 と姿 勢 を完 全 に 定 め る た め に θOAと θABと θBC が 必 要 で,ま

た,十 分 で あ る 。

  剛 体 振 子 は座 標 系 Ｏ のX-Y平

面 内 を運 動 す る の で ２次 元 モ デ ル と考 え る こ と

が で き る 。 ３次 元 二 重 剛 体 振 子,３ 次 元 三 重 剛体 振 子 も ピ ン ジ ョイ ン ト Ｂ が,座 標 系 Ａ お よ び Ｂ の Ｘ軸 の 方 向 で は な く Ｚ軸 の 方 向 に 沿 っ て い れ ば,こ 次 元 モ デ ル に な り,そ れ ぞ れ,２

れ らは ２

次 元 二 重 剛 体 振 子,２ 次 元 三 重 剛 体 振 子 に な

る 。 た だ し,こ の 限 りで は そ れ ぞ れ の 幾 何 学 的 自由 度 に変 化 は な い 。 ピ ン ジ ョイ ン トの 向 きが 斜 め に な っ て もい て も 自 由度 は 同 じで あ る。   剛 体 振 子 を ２次 元 問 題 と考 え,さ

ら に,Ｏ'点

を Ｏ に 一 致 させ ず に,Ｘ 軸 に沿

っ て 動 か す こ と を考 え よ う。 そ の Ｘ 座 標 値 は 時 間 の 関 数 と して 与 え る も の とす る 。 そ の よ う な系 の 幾 何 学 的 自 由 度 も １で あ る。 Ｙ 軸 に 沿 っ て 動 か し て も,XY 平 面 上 を 動 か して も,そ の 動 き を時 間 の 関 数 と して 与 え る 限 り,自 由 度 は １で あ る。 さ ら に,３ 次元 問 題 と して 考 え て も 同様 で,ピ

ンジ ョイ ン トの 位 置 だ け で な

く,空 間 に対 す る ピ ンの 向 き を 時 間 の 関 数 と して 動 か して も幾 何 学 的 自 由 度 は, や は り,１ で あ る。 時 間 に よっ て動 か さ れ る部 分 に 自由 度 は な い。 次 に,２ 次 元 の 二 重 剛 体 振 子 で,ピ

ン ジ ョ イ ン ト Ｂ の 回 転 角 θABを時 間 の 関 数 と して 与 え る

場 合 を考 え る。 この場 合 も,時 間 に よ っ て 動 か さ れ る部 分 の 自由 度 は な く,幾 何 学 的 自由 度 は １に な る。 ３次 元 モ デ ルで 考 え て も 同様 で あ る。 運動 学 的 自由 度 は,時 間 とす べ て の 点 の 位 置 が与 え ら れ て い る 状 態 で,系

を構

成 す るす べ て の質 点 の 速 度 を 決 め る た め に必 要 十 分 な ス カ ラ ー 変 数 の 数 で あ る。 ３次 元 空 間 を 自 由 に 運 動 す る 質 点 Ｐ の 運 動 学 的 自 由 度 は ３で あ る。Vopの 三 成 分 を指 定 す れ ば速 度 が完 全 に決 ま り,二 つ の ス カ ラー 変 数 で 速 度 を完 全 に 決 め る こ と は で き な い か らで あ る。 自 由 な 質 点 が 三 つ あ れ ば運 動 学 的 自由 度 は ９に な る。 ３次 元 空 間 を 自由 に運 動 す る 剛 体 Ａ の 運 動 学 的 自 由 度 は ６で あ り,支 点 Ｐ を ボ ー ル ジ ョイ ン トで拘 束 さ れ た コ マ Ａ の 運 動 学 的 自 由 度 は ３で あ る 。 剛体 振 子 の 運動 学 的 自由 度 は １で,θOAの 時 間微 分 ωOAが 決 ま れ ば,剛 体 上 の す べ て の 点 の 速 度 が確 定 す る。 ３次 元 二 重 剛 体 振 子 の 運 動 学 的 自 由 度 は2,3次

元三重 剛体振

子 の 運 動 学 的 自由 度 は ３で あ る。 剛 体 振 子 の 支 点 位 置 を時 間 の 関 数 と して与 え る モ デ ル も,二 重 剛体 振 子 の θABを 時 間 の 関 数 と して 与 え る モ デ ル も,運 動 学 的 自 由度 は １で あ る。 時 間 の 関 数 と して 与 え られ る部 分 に は 運 動 学 的 自 由 度 は な い。

13.2

ホ ロ ノ ミ ッ ク な 系,シ

ン プル ノ ンホ ロノ ミ ックな系

  幾 何 学 的 自由 度 と運 動 学 的 自 由度 が 等 しい系 をホ ロ ノ ミ ッ ク な 系 と呼 ぶ 。 自 由 な 質 点,自

由 な 三 質 点,自

由 な 剛 体,支

点 を ボ ー ル ジ ョイ ン トで 拘 束 した コ マ ,

剛 体 振 子,３ 次 元 二 重 剛 体 振 子,３ 次 元 三重 剛 体 振 子,支

点 を時 間 の 関 数 で動 か

す 剛 体 振 子,θABを 時 間 の 関 数 と して与 え る 二 重 剛 体 振 子 は いず れ も ホ ロ ノ ミ ッ ク な系 で あ る。 ホ ロ ノ ミ ック な 系 は最 も普 通 な もの で あ り,機 械 の モ デ ル化 で 出 会 う系 の 多 くは ホ ロ ノ ミッ ク で あ る。   ホ ロ ノ ミッ ク以 外 の系 の 中 で,最

も簡 単 な もの は シ ン プル ノン ホ ロ ノ ミ ッ ク な

系 で あ る 。 本 書 で は シ ンプ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ック な 系 ま で を扱 うが,実 用 上,こ

こ

まで 理 解 して い れ ば十 分 で あ る。 シ ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ック な系 は,幾 何 学 的 自 由 度 に比 べ,運

動 学 的 自由 度 が 少 な い 。 そ の よ うな 事 例 に,舵 付 き帆 掛 け 舟 と筆

者 が 呼 ん で い る もの,転 動 球,転 動 円 盤 な どが あ る 。 自動 車 な どで も,タ イ ヤ の 横 滑 りを 許 さ な い モ デ ル や 駆 動 輪 位 置 の 前 進 方 向速 度 を一 定 とす る モ デ ル な ど, シ ンプ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ック な モ デ ル が使 わ れ る場 合 が あ る。

13.3

シンプル ノンホロノミ ックな系の事例

  舵 付 き 帆 掛 け 舟 は,湖

に浮 か ぶ 舟 を 上 空 か ら眺 め た モ デ ル で あ る。 舟 の傾 き角

を無 視 で きる 場 合 を 考 え て い て,そ の 結 果,舟 に な る(図13.1)。

は平 面 上 を ２次 元 運 動 す る剛 体 Ａ

舟 は帆 と水 に潜 っ て い る舟 底 か ら様 々 な 力 を受 け る が,そ れ

らの 力 は作 用 力 と考 え る こ と にす る。 舟 の 後 部 に舵 が 付 い て い て,こ の 部 分 は特 に横 方 向 へ の 動 きに 対 す る抵 抗 が 大 き い 。 そ こ で,舵

の 取 り付 け 点 Ｐ で は舵 の

横 方 向 速 度 が 常 に ゼ ロ に な っ て い る と考 え る こ と にす る 。 簡 単 の た め に 舵 は 舵 角 ゼ ロ の 状 態 に 固 定 して あ る も の と し,舟 に 固 定 した 座 標 系 の Ｘ 軸 を 前 進 方 向 と す る。   この モ デ ル の 幾 何 学 的 自 由度 は,自

由 な ２次 元 剛 体 と同 じで,３ で あ る。 す な

わ ち,平 面 上 の ど こへ で も移 動 で き,ま た,ど

の 方 向 に 向 く こ と もで き る の で,

位 置 と姿 勢 を表 現 す るた め に 三変 数 が 必 要 で あ る。 一 方,運 動 学 的 自由 度 は ２で あ る。 点 Ｐで 考 え る と,座 標 系 Ａ の Ｘ 軸 方 向 の 速 度 は 自由 に 定 め る こ とが で き, また,Ｐ 点 ま わ りの角 速 度 も 自 由 で あ るが,Ｙ 軸 方 向(横 方 向)の ロで あ る 。 他 の 点 で 考 え て も,Ｙ 軸 方 向(横 定 め る こ とが で きず,適

方 向)の

当 な 二 変 数 で す べ て の 点 の 速 度 を表 す こ とが で きる。 な

お,舵 角 を時 間 の 関 数 で変 化 させ る と して も,各   転 動 球 とは,平 のX-Y平

面)に

速 度 は常 に ゼ

速 度 と舟 の 角 速 度 を独 立 に

自由 度 に変 化 は な い 。

面 上 を転 動 す る球 Ａ で あ る 。 球 は 常 に 一 点 で転 動 面(図13.2 接 触 して い る。 さ ら に,そ

の接 触 点 で 滑 ら な い も の とす る。 た

だ し,接 触 点 を 通 る鉛 直 軸 まわ りの 回転 は 許 さ れ る 。 転 動 円盤 も似 て い る。 平 面 上 を 転 が る10円

玉 の イ メ ー ジ で あ る が,厚

図13.1舵

さ は無 視 す る。 そ して,完 全 に倒 れ

付 き帆掛 け舟

図13.2

水 平 面(X-Y平

面)上

を滑 らず に転 が

る球(Ｐ は接 触 点,Ｑ は瞬 間接触 点)

図13.3接

触 点 で滑 らな い転 動 円 盤

た 状 態 ま で は含 め ず に,そ れ 以 前 の 運 動 だ け を 考 え る こ と にす る。 円盤 Ａ は 円 周 上 の 一 点 で 転 動 面 と接 し,そ の点 で 滑 らな い もの とす る。   以 上 の 三 つ は いず れ も シ ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ッ ク な系 で あ る。 た だ し,い ず れ も上 記 の よ う なモ デ ル の 考 え方 の結 果,シ

ンプ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ック に な っ た 。 舵

付 き帆 掛 け舟 で は,舵 の横 方 向 の抵 抗 が 大 き くて も少 しは 動 け る とす れ ば,運 動 学 的 自由 度 も ３の ホ ロ ノ ミ ッ ク な系 に な る。 転 動 球 の 場 合,転

動 面 と一点 で 接 触

す る 条 件 は そ の ま ま で,接 触 点 で の滑 りに対 して 摩 擦 力 が働 くよ う な モ デ ル を考 え る と,挙 動 は 近 似 的 に 類 似 で あ っ て も,自 由 度 ５の ホ ロ ノ ミ ッ ク な系 に な る 。

一 点 で接 触 す る 条件 も緩 和 し,硬 い バ ネ とダ ン ピ ン グ要 素 で 置 き換 え れ ば 二 つ の 自 由度 は ６に な る 。 転 動 円 盤 も同 様 で あ る。   転 動 球 や 転 動 円 盤 の よ うに接 触 点 が 剛体 上 を移 動 した り,接 触 した り離 れ た り す る な ど,接 触 状 況 が 変 化 す る場 合,こ と路 面,自 動 車 の タ イ ヤ と路 面,鉄 レー ヤ ー の 足(体)な

れ を接 触 問 題 と呼 ぶ 。 歩 行 ロ ボ ッ トの足

道車 両 の 車 輪 と レー ル,サ

ッ カー ボ ー ル とプ

ど,接 触 問題 は い た る と こ ろ に あ る。 接 触 問 題 は,接 触 部

位 にお け る形 状 が 重 要 に な る こ とが 多 く,そ の モ デ ル 化 の 考 え 方 に よ っ て解 法 が 大 き く変 化 す る。 ま た,高 度 な 手法 を必 要 と した り,解 を得 る こ とが 困 難 にな っ た りす る場 合 が あ る 。 今 後 の技 術 の 発 展 が 望 ま れ る 分 野 で もあ る。

Quiz13.1 

一 点 で 接 触 し,滑 ら な い転 動 球 の 幾 何 学 的 自由 度 と運 動 学 的 自 由

度 は そ れ ぞ れ い くつ で あ ろ うか 。ま た 一 点 で接 触 し,滑 らな い転 動 円盤 は ど うか 。 Quiz13.2 

２次 元 平 面 内 を運 動 す る 円 盤 が,Ｘ 軸 に一 点 で 接 しなが ら滑 らず

に転 動 して い る。 この 系 は ホ ロ ノ ミ ック か,シ

13.4

ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ッ クか 。

一般化座標

 系 を構 成 す る す べ て の 質 点 の 位 置 を 定 め る た め に使 わ れ る変 数 を,一 般 化 座 標 とい う。 自 由 な 質 点 Ｐの 位 置 を定 め る た め に はropの 三 成 分 が使 われ る こ とが 多 い 。 円 筒 座 標 や 局 座 標 が 使 わ れ る こ と もあ る が,い

ず れ の 場 合 も三 変 数 で あ る。

自由 な剛 体 に 固 定 した 座 標 系 原 点 の 位 置 を表 す 場 合 も 同様 で あ るが,回 表 す 変 数 と して は オ イ ラー 角 〓OAか,オ オ イ ラ ーパ ラ メー タの 場 合,自 な るが,四

イ ラ ー パ ラ メ ー タEOAが

転姿勢 を

用 い られる。

由 度 ３の 回転 姿 勢 に対 して 四 変 数 を用 い る こ とに

変 数 の す べ てが 独 立 な わ け で は な く,二 乗 和 が １に な る拘 束 条 件 を伴

って い て,差

し引 きで 自 由 度 ３に対 応 して い る。 二 つ の ピ ン ジ ョイ ン トを直 交 さ

せ た ３次 元 二 重 剛体 振 子 で は な く,二 つ の ピ ン ジ ョイ ン トを平 行 に 取 り付 け て鉛 直 平 面 内 を運 動 す る ２次 元 二 重 剛 体 振 子 を考 え た 場 合,θOAと い て も,あ る い は,θOAと もあ る(図13.4参

θABの二 変 数 を用

θOB(=θOA+θAB)を 用 い て も よい 。 別 の 変 数 の 取 り方

照)。

すべ ての質 点の位置 決め に必要 十分 な一般化座標 の数 は幾何 学的 自由度の数で

あ る。 そ の よ うに 選 ん だ 変 数 を独 立 な一 般 化 座 標 と呼 ぶ 。 単 に 一 般 化 座 標 とい う だ け で独 立 な もの を意 味 す る場 合 もあ り,従 属 な もの を含 む場 合 も あ るが,文 脈 な どか ら判 断 で き る はず で あ る。 一 般 化 座 標 を本 書 で は,Ｑ

と表 す こ とに す る。

(13.1)

多 くの 場 合,Ｑ

は 独 立 な 一 般 化 座 標 で あ る が,と

もあ る 。 な お,力

き に は従 属 な も の を含 む 場 合

学 の 文 献 で は,一 般 化 座 標 に小 文 字 の ｑ を用 い,大

は 一 般 化 力 とす る こ と が 多 い の で,注

文字 の Ｑ

意 さ れ た い。 本 書 で は,一 般 化 力 に Ｑ を

用 い る こ とは な い。   自 由 な 質 点 系 の 場 合,ｒ を独 立 な 一 般 化 座 標 とす る こ とが で きる が,拘 束 質 点 系 の 場 合,ｒ は Ｑ と ｔの 関 数 で あ る。

r=r(Q,t) Ｒ と 〓 は,自 系 の 場 合,Ｒ

(13.2)

由 な 剛 体 系 の 独 立 な 一 般 化 座 標 とす る こ と が で き るが,拘

束剛体

と 〓 は Ｑ と ｔの 関 数 で あ る。

R=R(Q,t)

(13.3)

〓=〓(Q,t)

(13.4)

Ｅ と Ｃ も,Ｑ

と ｔで 定 ま る 。

E=E(Q,t)

(13.5)

C=C(Q,t)

(13.6)

す な わ ち,位 置 レベ ル の 変 数 は,す べ て一 般 化 座 標 Ｑ と時 間 ｔの 関 数 で あ る。

13.5

一般化速度

  系 を構 成 す る す べ て の 質 点 の 速 度 を定 め る た め に使 わ れ る変 数 を,一 般 化 速 度 と い う。 自 由 な 質 点 Ｐの 速 度 を定 め る た め に はVopの 三 成 分 が 使 わ れ る こ とが 多 い。 円筒 座 標 や 局 座 標 の 時 間微 分 が 使 わ れ る こ と もあ る が,い ず れ の 場 合 も三 変 数 で あ る。 自由 な剛 体 の 座 標 原 点 の 並 進 速 度 を 表 す 場 合 も同 様 で あ るが,回 転 姿 勢 の 時 間 変 化 を表 す 変 数 と し て は,角 速 度 Ω'OA,オ イ ラ ー 角 の 時 間 微 分 〓OA, オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ の 時 間 微 分EOAな

どが 用 い ら れ る。 回 転 姿 勢 の 時 間 的 変 化

図13.4さ

は 自 由 度 ３ で あ る が,EOAは

まざ ま な一般 化 座 標,一 般 化 速 度 の候 補

四 変 数 で あ り,E〓AEOA=0な

次 元 二 重 剛 体 振 子 の 場 合,θOAと も,あ

る い は,θOAと

般 化 速 度 に,す な い(図13.4参

θABの 時 間 微 分,ωOAと

θOBの 時 間 微 分,ωOAと

る 拘 束 条 件 を 伴 う 。2 ωABの 二 変 数 を 用 い て

ωOBを 用 い て も よ い 。 そ し て,一

で に 選 択 した 一 般 化 座 標 の 時 間微 分 以 外 の 変 数 を選 ん で もか ま わ 照)。

  す べ て の 質 点 の 速 度 を決 め る た め に 必 要 十 分 な 一 般 化 速 度 の 数 は 運 動 学 的 自由 度 の 数 で あ る 。 そ の よ う に 選 ん だ変 数 を独 立 な一 般 化 速 度 と呼 ぶ 。 単 に一 般 化 速 度 とい うだ け で 独 立 な もの を意 味 す る場 合 もあ り,従 属 な もの を含 む 場 合 もあ る が,文 脈 な ど か ら判 断 で き る は ず で あ る。 シ ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ッ ク な 系 で は, 独 立 な 一 般 化 速 度 の 数 は独 立 な一 般 化 座 標 の 数 よ り少 な い。 独 立 な 一 般 化 速 度 を,本 書 で は,Ｈ で 表 す こ と にす る 。

(13.7)

  自由 な質 点系 の 場 合,ｖ を独 立 な 一 般 化 速 度 とす る こ とが で き るが,拘 系 の 場 合,ｖ は Ｈ と Ｑ と ｔの 関 数 に な る。 まず,式(13.2)を 次 の よ う に な る。

束質 点

時 間 で微 分 す る と,

(13.8)(注)

ｒ は Ｑ と ｔの 関 数 で あ る か ら,ｖ

は Ｑ と Ｑ と ｔの 関 数 に な り,さ

て 一 次 式 に な っ て い る 。 す な わ ち,rQとrtは

Ｑ と ｔの 関 数 で,速

ら に,Ｑ に つ い 度 レベ ル の 変

数 に は 依 存 し て い な い 。 こ の よ う に 速 度 レベ ル の 変 数 の 関 係 は 線 形 関 係 に な る が,Ｑ

と Ｈ の 関 係 も シ ン プ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な 系 ま で は 線 形 で あ り,一

般 に,

次 の よ うに表 す こ とが で き る。

(13.9) ホ ロ ノ ミ ッ ク な 系 の 場 合,A(Q,t)は

正 方 行 列 だ が,シ

ンプ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ック

な 系 の 場 合,A(Q,t)は

縦 長 の 長 方 行 列 に な る 。 い ず れ に し て も,こ

(13.8)に

は Ｑ と Ｈ と ｔの 関 数 に な り,Ｈ

代 入 す る と,ｖ

の 式 を式

の一 次式 になる。そ の

式 は 次 の よ う に表 現 し直 す こ とが で き る。

(13.10) VHとVHは

Ｑ と ｔの 関 数 で あ る が,Ｈ

分 し た も の で あ る が,VHは な い 。VHは

ｖ を Ｈ で 偏 微 分 し た も の で は な く,Ｈ

ｖ を Ｈ で 表 し た 場 合 の,Ｈ

  自由 な 剛体 系 の 場 合,Ｖ 束 剛 体 系 の 場 合 は,質

に は 依 存 し て い な い 。VHは

ｖを Ｈ で偏微 とい う変 数 も

に 無 関 係 な残 りの 項 を意 味 して い る。

と Ω'を 独 立 な 一 般 化 速 度 とす る こ とが で き る が,拘

点 系 の 場 合 と同 様 に,Ｖ

と Ω'を Ｈ の 線 形 な 式 と して 表

す こ とが で きる。

(13.11) (13.12) こ の 場 合 も,VH,VH,Ω'H,Ω'Hは,い は,そ

れ ぞ れ,Ｖ

と Ω'を

ず れ も,Ｑ

と ｔの 関 数 で あ る 。VH,Ω'H

Ｈ で 偏 微 分 し た も の で あ り,VH,Ω'Hは

Ｈ に無 関係

な 残 りの項 で あ る。

(注)偏 微 分 を添 え字 を用 いて 表 す 場合,添 え 字 に書 か れ る変 数 が列 行 列 で あ れ ば,そ の添 え字 は 太 文 字 で表 す の が 自然 で あ るが,第

皿部 以 降 で は,原 則 と して添 え字 に 太 文 字 を用 い ない こ

とに して い る。 偏微 分 の対 象 に な っ てい る関 数 も含 め て,変 数記 号 自体 が 別 の 意 味 の添 え字 を 持 つ な ど,複 雑 に な っ て くる と小 さ い文 字 は見 難 くな っ て くる 。 その た め の 止 む を得 な い処 置 で あ る 。読 者 は,添 え字 の場 合 は 細 文 字で も列行 列 の 可 能性 が あ る こ とに注 意 され た い。

Quiz13.3舵

付 き帆 掛 け船,転

動 球,転

動 円盤,２ 次 元 二重 剛 体 振 子 で ピ ン

ジ ョイ ン ト Ｂ の 角 度 θABを時 間 の 関数 と して与 え る モ デ ル,[Quiz13

.2]の モ デ

ル(Ｘ 軸 に 一 点 で 接 しな が ら滑 らず に 転 動 す る ２次 元 円 盤)に つ い て ,独 立 な一 般 化 座 標 と独 立 な 一 般 化 速 度 に どの よ う な 変 数 が 適 当 か,検 討 せ よ。

13.6

拘束

  自 由 度 を減 らす 条 件 を拘 束,ま

た は,拘 束 条 件 と呼 ぶ 。 拘 束 に も二 種 類 あ る。

ホ ロ ノ ミ ッ ク拘 束(幾 何 学 的 拘 束)と 拘 束)で

シ ンプ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ック 拘 束(運 動 学 的

ある。

● ホ ロノ ミ ック 拘束(幾 何 学 的拘 束)   ホ ロ ノ ミ ッ ク拘 束(幾 何 学 的 拘 束)は,幾

何 学 的 自由 度 と運動 学 的 自 由度 の 両

方 を,同 数 だ け,減 少 させ る。   コ マ に用 い た ボ ー ル ジ ョイ ン トは二 点 を 一 致 させ る拘 束 で あ る 。 この 拘 束 は, 座 標 系 Ｏ か ら見 た 支 点 Ｐ の 位 置ropを 用 い て,次 の よ う に表 され る。 roP=0

(13.13)

ス カ ラ ー レベ ル で 考 え る と,こ れ は 位 置 に 関 して 三 つ の 式 を含 ん で い て,こ の 拘 束 に よ り,幾 何 学 的 自由 度 は ３だ け 少 な くな る。 自 由 な 剛 体 の 幾 何 学 的 自由 度 は ６で あ っ た か ら,支 点 を ボ ー ル ジ ョイ ン トで拘 束 さ れ た コ マ の 幾 何 学 的 自由 度 は ３に な る 。 式(13.13)を

時 間 で 微 分 す る と,次

の 式 が 得 られ る 。

VoP=0

(13.14)

こ の式 は速 度 に 関 して 三 つ の 式 を含 ん だ 拘 束 で あ る。 こ の 式 に よ り,運 動 学 的 自 由 度 が ３だ け 減 少 す る。 自由 な 剛 体 の運 動 学 的 自由 度 は ６で あ っ たか ら,支 点 を ボ ー ル ジ ョイ ン トで 拘 束 され た コマ の運 動 学 的 自由 度 は ３に な る。   式(13.14)は

式(13.13)を

時 間 微 分 し て 得 ら れ た 。 逆 に,式(13.14)を

ば 式(13.13)が

得 られ る。 ホ ロ ノ ミ ッ ク とは

ホ ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束 の 場 合 は,速 作 る こ とが で きる 。

積分す れ

「積 分 で き る 」 と い う 意 味 で あ り,

度 レベ ル の 拘 束 を 積 分 し て 位 置 レ ベ ル の 拘 束 を

三 者 の 関 係 を 用 い て,式(13.13)は

次 の よ う に表 現 す る こ とが で きる。

(13.15) こ の 式 は,ボ ー ル ジ ョイ ン トの 拘 束 を コマ の 重 心 位 置 と 回転 姿 勢 の 関 係 と して 表 した もの で あ る。 コマ の独 立 な 一 般 化 座 標 と して オ イ ラ ー 角 〓OAを 選 ん だ とす る と,回 転 行 列COAは

〓OAか ら 求 め る こ と が で き,こ の 式 は 〓OAとROAを

独

立 に 定 め られ な い こ とを 示 して い る。 す な わ ち,拘 束 の表 現 は,そ の 拘 束 が な け れ ば独 立 な は ず の 変 数 間 の 関 係 で あ る。 一 方,こ そ れ は 〓OAに よ っ てROAを

の 式 をROAに

つ い て 解 く と,

表 した こ とに な る 。 こ の こ とか ら分 か る よ う に,拘

束 を表 現 す る こ と と,独 立 な 一 般 化 座 標 で 他 の 位 置 レベ ル 変 数 を 表 現 す る こ と は,同

じこ とで あ る 。 また,こ

の式 の よ う に,剛 体 を代 表 す る 重 心 位 置 と回 転 姿

勢 を用 い て拘 束 を表 現 す る と,後 述 す る よ うに拘 束 の 一 般 的 な 取 り扱 い が 可 能 に な っ て,便

利 な こ とが多 い 。

  式(13.15)を 時 間 微 分 す る と,式(13.14)に

対 応 した次 の 式 が 得 られ る 。

(13.16) こ の 式 は,ボ ー ル ジ ョイ ン トの速 度 レベ ル の拘 束 を,剛 体 を代 表 す る二 つ の 速 度 レベ ル変 数 で あ る重 心 速 度 と角 速 度 の 関 係 と して 表 した もの で あ る。 そ して,こ の 式 の 場 合 も独 立 な Ω'OAによ っ てVOAを

表 し た と考 え る こ とが で き る。 剛 体 に

か か わ る他 の 種 類 の拘 束 も,剛 体 の 重 心 位 置 と回 転 姿 勢,重

心 速 度 と角 速 度 の 関

係 と して 表 現 で きる 。   剛 体 振 子 に用 い られ た ピ ン ジ ョ イ ン トＡ の 位 置 レベ ル の拘 束 は,次

の三つ の

式 で 表 現 で き る。

(13.17) (13.18) (13.19) 最 初 の 式 は,点

Ｏ と Ｏ'が 一 致 し て い る条 件 で あ り,残

りの 二 つ は,座 標 系 Ａ

の Ｘ 軸 と Ｙ 軸 が 座 標 系 Ｏ の Ｚ軸 と直 交 して い る 条 件 で あ る 。 これ ら を時 間微 分 す る と速 度 レベ ル の 拘 束 条 件 が得 られ る 。

(13.20) (13.21) (13.22)

位 置 レベ ル の場 合 も速 度 レベ ル の場 合 も,最 初 の式 で ３自 由 度,残

りは １自由 度

ず つ で,合 計 ５自 由 度 を拘 束 し て い る。 ３次 元 の ピ ン ジ ョイ ン トは 幾 何 学 的 自由 度 と運 動 学 的 自 由 度 を ５だ け 減 少 させ る 。 そ の た め,剛 体 振 子 の 幾 何 学 的 自由 度 と運 動 学 的 自 由 度 は １に な り,３ 次 元 二 重 剛体 振 子 の 幾 何 学 的 自 由度 と運 動 学 的 自由 度 は ２ に な っ た 。   三 質 点 剛 体 で は,各 質 点 間 の 距 離 は一 定 に拘 束 され て い る 。 距 離 一 定 の 拘 束 は 幾 何 学 的 自 由 度 と運 動 学 的 自 由 度 を １だ け 減 少 させ る ホ ロ ノ ミ ック拘 束 で あ る。 た とえ ば,２ 番 目 の 質 点 と ３番 目 の 質 点 の 距 離 が 一 定 に な っ て い る拘 束 は 次 の よ う に表 され る。

(13.23) あ る い は,も

っ と 簡 潔 に,

(13.24) こ の よ うな 拘 束 が 三 つ あ り,そ れ に よ っ て 自由 な 三 質 点 と三 質 点 剛 体 の 自 由度 の 差 が 説 明 で き る。 な お,r23は

座 標 系 Ａ で表 さ れ た 代 数 ベ ク トル で あ る。

  ２次 元 平 面 を 自由 に運 動 す る剛 体 の 幾 何 学 的 自由 度 と運 動 学 的 自 由 度 は ３で あ る。 これ は ３次 元 の 自 由 な 剛 体 を ２次 元 に拘 束 した結 果 で あ る。 ２次 元 平 面 を 自 由 に 運 動 す る 剛 体 を ２次 元 の ピ ン ジ ョイ ン トで拘 束 す る と 自由 度 １の 剛 体 振 子 に な る 。２次 元 の ピ ン ジ ョイ ン トは ２ 自由 度 を 拘 束 す る ホ ロ ノ ミ ッ ク拘 束 で あ る。 読 者 は,こ れ らの 拘 束 を 数 式 の 形 で表 現 で き るか ど うか,確

認 され た い 。

  ホ ロ ノ ミ ック拘 束 だ け を含 む系 をホ ロ ノ ミ ック な 系 と呼 ぶ 。 有 限 個 の 質 点 か ら な る系 を 考 え,す べ て の 質 点 が 自 由 な場 合 は 幾 何 学 的 自由 度 と運 動 学 的 自由 度 は 同 数 で あ る が,そ

の 系 に ホ ロ ノ ミ ッ ク な拘 束 を持 ち込 ん で も幾 何 学 的 自 由度 と運

動 学 的 自 由 度 は 同数 ず つ 減 少 す る の で,両 者 の 数 は等 しい 。 した が って,ホ

ロノ

ミ ッ ク な系 は 幾 何 学 的 自 由度 と運 動 学 的 自 由度 が 等 しい の で あ る。

● シ ン プ ル ノ ン ホ ロノ ミ ック拘 束(運 動 学 的 拘 束)   シ ンプ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ッ ク拘 束(運

動 学 的 拘 束)は,運

動 学 的 自由 度 だ け を減

少 させ る 。  舵 付 き帆 掛 け 舟 の 舵 の 取 り付 け点 Ｐで は横 方 向,す 方 向 の 速 度 が 常 に ゼ ロ で あ る が,こ

な わ ち,座 標 系 Ａ の Ｙ 軸

の 拘 束 は 次 の よ う に 表 す こ とが で きる(図

13.1参

照)。

(13.25)

v'OPY=0 vOPは 慣 性 系 Ｏ か ら 観 察 し た 点 Ｐ の 速 度 で,V'OPはvOPを で あ る 。 そ し て,v'OPYはV'OPの

座 標 系 Ａ で 表 し た もの

Ｙ 成 分 で あ る 。 こ こ で は,す

動 す る 剛 体 と考 え て い る の で,V'OPも

２ 次 元 の 代 数 ベ ク トル(2×1列

え て い る 。 こ の 式 は 速 度 に 関 す る 線 形 な 等 式 で あ る が,積 ち,対

で に,舟

が ２次 元 運 行 列)と

考

分で きない。す なわ

応 す る位 置 レベ ル の拘 束 条 件 が 存 在 し ない 。 この よ うな 拘 束 を シ ンプ ル ノ

ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束 と呼 ぶ。 この 拘 束 に よ り運 動 学 的 自 由 度 が １だ け 減 少 す る 。 な お,式(13.25)が (13.25)を,舟

積 分 で きな い こ とは 数 学 的 に説 明 で き る は ず で あ る 。 式

の 重 心 速 度V'OAと

角 速 度 ωOAで 表 す と 次 の よ う に な る 。

(13.26) 重 心 速 度V'OAも

２次 元 の 代 数 ベ ク トル で,こ の 式 は重 心 の Ａ 座 標 系 Ｙ 方 向 の 速

度 成 分 と角 速 度 の 間 の拘 束 を 表 して い る 。   転 動 球 は 二 種 類 の 拘 束 条 件 を 含 ん で い る。 一 つ は 転 動 球 Ａ が転 動 面 と一 点 で 接 して い る ホ ロ ノ ミ ッ ク な拘 束 で,位 置 レベ ル,お

よ び,速 度 レベ ル の 式 は次 の

よ うに 書 け る 。

(13.27) (13.28) 重 心 は 球 の 中 心 と一 致 して い て,そ の 点 が 原 点 に な る よ う に 座 標 系 Ａ が 固 定 さ れ て い る。 接 触 点 は Ｐ で,こ で あ り,ま た,こ を 作 る た め にDzが

の 点 は球 の 中 心 点 Ａ の真 下 に あ る。 ρは 球 の 半 径

の モ デ ル で は 座 標 系 Ｏ の Ｚ軸 が 鉛 直 上 方 で,そ 用 い られ て い る(図13.2参

の方 向の成分

照)。 接 触 点 Ｐ の 球 上 の 位 置 は,

次 の 式 で求 め る こ とが で きる 。

(13.29) 一 点 で 接 触 して い る拘 束 は 幾 何 学 的 自由 度 と運 動 学 的 自 由度 を １ず つ 減 少 させ て い る。   こ こ で,こ

の 瞬 間,接 触 点 Ｐ に 一 致 して い て 剛 体 Ａ に 固 定 され て い る点 Ｑ を

考 え る。 そ の 点 の慣 性 系 か ら見 た速 度 は 次 の よ う に 表 され る 。

(13.30) こ の 式 の 中 のrAQは,式(13.29)と

同 じ式(添

え 字 の Ｐ を Ｑ に 変 え た 式)で

計算

で き る が,点

Ｑ は 剛体 Ａ 上 の 固 定 点 で あ るか ら,時 間微 分 に対 し て は 定 数 と し

て 扱 わ な け れ ば な ら な い 。 こ の よ うに 考 え た 点 Ｑ を瞬 間 接 触 点 と呼 ぶ こ とに す る 。 転 動 球 が接 触 点 で滑 ら な い 条件 は,こ のVOQを 用 い て 次 の よ う に表 す こ とが で き る。

(13.31) (13.32) こ れ ら が 二 番 目 の 種 類 の 拘 束 で,対

応 す る位 置 レベ ル の 拘 束 が な くシ ンプ ル ノ ン

ホ ロ ノ ミ ッ クで あ る。 こ れ ら に よ っ て 運 動 学 的 自由 度 だ けが ２減 少 して い る。   式(13.28)と(13.31),(13.32)を

ま と め て,次

の よ う に書 くこ とが で き る。

(13.33) こ の 式 は二 種 類 の 拘 束 を含 ん で い る が,こ の ま ま運 動 方 程 式 の作 成 に用 い る こ と が で き る。   ホ ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束 以 外 に シ ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ッ ク な拘 束 だ け を含 む 系 を, シ ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ッ ク な 系 と呼 ぶ 。 シ ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ッ ク な拘 束 に よ っ て,系

の運 動 学 的 自 由度 は 幾 何 学 的 自由 度 よ り少 な くな っ て い る 。

● 質点系の拘束の一般形   自由 な質 点 系 を対 象 と した ホ ロ ノ ミ ッ ク拘 束 は,一 般 に次 の よ う な形 に 表現 で き る。

(13.34) こ の 式 は ｒの 自 由度 を限 定 して い る 関係 で あ り,式(13.2)の

独立 な一般化座標 Ｑ

に よ る表 現 を別 の 形 で 表 現 した も の とい え る。 この 式 を時 間微 分 す る と次 の よ う になる。

(13.35) Ψ の 時 間 微 分 を Φ と し た。 Φ は ｒ と ｖ と ｔの 関 数 で あ る が,ｖ に つ い て は一 次 式 で あ る。 そ こ で 次 の よ うに 書 き直 す こ とが で き る。

(13.36) Φvは Φ を ｖで 偏 微 分 した もの で あ る。 Φvは Φ を ｖ で 偏 微 分 した も の で は な

く,Φ の 中 で ｖに無 関係 な残 りの 項 を意 味 して い る。 も と も と,ｖ とい う変 数 も な い 。 Φvと Φvは ｒ と ｔだ け の 関 数 で,速

度 レベ ル の 変 数 は 含 ま れ て い な い 。

この 式 は ｖの 自由 度 を 限 定 して い る関 係 で あ り,式(13.10)の 独 立 な 一 般 化 速 度 Ｈ に よ る表 現 を 別 の 形 で 表 現 した もの で あ る。な お Φvは 拘 束 の ヤ コ ビ行 列 で あ る。   式(13.34)は

ホ ロ ノ ミ ック な 位 置 レベ ル の拘 束 で あ り,式(13.36)は

微 分 した 速 度 レベ ル の 拘 束 で あ る。 一 方,シ か ら速 度 レベ ル で,式(13.36)の

ンプ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ッ ク拘 束 は 初 め

形 に書 け る が,対 応 す る式(13.34)の

レベ ル の 表 現 が な い 。 そ こで,式(13.36)が

そ れを時間

よ う な位 置

す で に シ ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ック な

拘 束 を 含 ん で い る と考 え る こ とが で き,そ の 場 合 は位 置 レベ ル の 拘 束 の 数(Ψ の成 分 の 数)よ

り速 度 レベ ル の 拘 束 の 数(Φ

の 成 分 の 数)の

ほ うが 多 くな る 。

● 剛体系の拘束の一般形   自 由 な 剛体 系 を対 象 と した ホ ロ ノ ミ ック拘 束 は,一 般 に 次 の よ う な 形 に表 現 で き る。

(13.37) この 式 は Ｒ と 〓 の 自 由 度 を 限 定 して い る 関係 で あ り,式(13.3)と(13.4)の

独立

な 一 般 化 座 標 Ｑ に よ る表 現 を別 の形 で 表 現 した もの で あ る 。 式(13.37)で は 剛 体 の 回 転 姿 勢 に オ イ ラ ー 角 を用 い た が,別

の もの を用 い て も よい 。 た だ し,オ イ ラ

ー パ ラ メ ー タ を用 い る場 合 ,そ れ 自体 に冗 長 性 が あ るの で,そ の こ とに対 す る適 切 な 配 慮 が 必 要 に な る 。 た と え ば,オ め る よ う にす る。 さて,式(13.37)を

イ ラ ーパ ラメ ー タの 拘 束 も この 式 の 中 に含 時 間微 分 す る と次 の よ う に書 け る。

(13.38) こ こ で,〓

は Ω'と 式(12.75)の

R,〓,V,Ω',tの

関 係 が あ り,そ

関 数 に な る 。 そ し て,そ

Ω'に 関 す る 一 次 式 で あ る 。 結 局,こ

れ を こ の 式 に 代 入 す る と,Φ

は,

の 関 係 は 速 度 レベ ル の 変 数 Ｖ と

の 速 度 レ ベ ル の 拘 束 条 件 は,次

の ように表

す こ とが で き る。

(13.39) Φvと

ΦΩ'は,そ

れ ぞ れ,Φ

を Ｖ と Ω'で 偏 微 分 し た も の で あ る 。

中 で Ｖ と Ω'に 無 関 係 な 残 り の 項 を 意 味 し て い る 。 Φvと

ФVΩ'は,Φ の

Ф Ω'とΦVΩ'は,Ｒ

と,

〓 な どの 回 転 姿 勢,お

よ び,ｔ の 関 数 で,速 度 レベ ル の 変 数 は 含 まれ て い な い 。

こ の 式 は Ｖ と Ω'の 自 由 度 を 限 定 して い る 関 係 で あ り,式(13.11)と(13.12)の 独 立 な一 般 化 速 度 Ｈ に よ る 表 現 を別 の 形 で 表 した もの で あ る。 な お,Φvと

ФΩ'

も拘 束 の ヤ コ ビ行 列 で あ る。   式(13.37)は

ホ ロ ノ ミ ック な位 置 レベ ル の 拘 束 で あ り,式(13.39)は

微 分 した 速 度 レベ ル の拘 束 で あ る。 一 方,シ か ら速 度 レベ ル で,式(13.39)の

そ れ を時 間

ンプ ル ノ ンホ ロ ノ ミッ ク拘 束 は 初 め

形 に書 け る が,対 応 す る式(13.37)の よ うな 位 置

レベ ル の 表 現 が な い 。 そ こ で,式(13.39)が

す で に シ ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ッ クな

拘 束 を含 ん で い る とす る こ とが で き,そ の 場 合 は 位 置 レベ ル の 拘 束 の 数(Ψ 成 分 の 数,た

だ しオ イ ラ ーパ ラ メ ー タの拘 束 は 除 く)よ り速 度 レベ ルの 拘 束 の 数

(Ф の 成 分 の 数)の

ほ うが 多 くな る 。

  式(13.34)や(13.37)は,複 常,こ

の

数 の 拘 束 を 一 つ の 式 に ま と め た 表 現 で あ るが,通

れ ら に含 まれ る拘 束 は相 互 に独 立 な も の とす る。 同 じ拘 束,ま た は,同

働 き を す る二 つ の 拘 束 を含 ん で は い け な い 。 た とえ ば,ド

じ

ア の蝶 番 は上 下 二 箇 所

に つ い て い る こ とが 多 い が,こ れ らを ピ ン ジ ョイ ン トと して モ デ ル 化 す れ ば,二 つ は 同 じ働 きを して い る こ とに な る。(ド ア や壁 は剛 体 と考 えて い る。)ピ ン ジ ョ イ ン トの 代 わ りに 上 下 二 箇 所 に ボ ー ル ジ ョ イ ン トを用 い て も,な お,冗 長 性 が残 っ て い る 。 拘 束 表 現 を利 用 して 運 動 学 解 析 や 動 力 学 解 析 を行 う場 合,こ 独 立 性 は 重 要 で あ る 。 なお,こ る が,そ

の拘 束 の

の よ う な冗 長 性 を計 算 機 に検 出 させ る こ とは で き

れ を適 切 に 除 去 す る作 業 は案 外 難 しい 。 技 術 者 の 判 断 力 が 必 要 で あ る。

Quiz13.4ド

ア の 上 下 二 箇 所 に二 つ の ピ ン ジ ョイ ン トや ボ ー ル ジ ョイ ン トを

用 い る と拘 束 が 冗 長 に な る。 ど ん な 点 が 問 題 か 。ま た,ど の よ う にす れ ば よい か 。 ーQuiz13.5図13・5は

２次 元 四 節 リ ン ク 機 構 で あ る。 こ れ は,２ 次 元 三 重 剛

体 振 子 の 下 端 点 Ｒ を座 標 系 Ｏ の Ｘ 軸 上 の 点R'に

一 致 させ て ２次 元 の ピ ン ジ ョ

イ ン トで 拘 束 した もの で あ る が,角 柱A,B,Cの

長 さが 異 な っ た もの に な っ て

い る 。 こ の モ デ ル は,三 つ の ２次 元 剛 体 が 四 つ の ２次 元 ピ ンジ ョイ ン トに よ っ て 拘 束 され た も の と考 え る こ とが で き る。 一 つ の 自 由 な ２次 元 剛 体 は ３自 由度 を持 ち,ひ

と つ の ２次 元 ピ ン ジ ョイ ン トは ２自 由 度 を拘 束 す る。 こ の系 の 幾 何 学 的 自

由度 と運 動 学 的 自 由 度 は,そ れ ぞ れ,い

くつ か 。

図13.5不

等 辺 四節 リ ンク機 構

  こ の系 の独 立 な 一 般 化 座 標 と独 立 な 一般 化 速 度 に は どん な変 数 が 適 当 か 。 運 動 の 範 囲 は図 の よ うな 状 態 を含 む 適 当 に 限定 され た範 囲 と して よ い。   続 い て,同

じモ デ ル を三 つ の ３次 元 剛体 と四 つ の ３次 元 ピ ンジ ョイ ン トか ら構

成 さ れ て い る と考 え て み る。 一 つ の 自 由 な ３次 元 剛体 が ６自 由度 を 持 ち,ひ

とつ

の ３次 元 ピ ン ジ ョ イ ン トは ５ 自 由 度 を 拘 束 す る 。 自 由 度 を計 算 す る と3×64×5で

負 に な っ て しま う。 この 考 え方 の ど こが お か しい か 。

Quiz13.6斜 振 子,転

め に ピ ン結 合 され た 剛体 振 子,支

点 を時 間 の 関数 で動 か す 剛体

動 円 盤,２ 次 元 二 重 剛体 振 子 で ピ ンジ ョイ ン トＢ の 角 度 θABを時 間 の 関

数 と して 与 え る モ デ ル,[Quiz13.2]の

モ デ ル(Ｘ 軸 に 一 点 で 接 し なが ら滑 らず

に転 動 す る ２次 元 円 盤)に つ い て,各

モ デ ル に 含 ま れ る 位 置 レベ ル拘 束 を剛 体 の

重 心 位 置 と回 転 姿 勢 で 表 現 せ よ。 また,速

度 レベ ル拘 束 を重 心 速 度 と角 速 度 で表

現 せ よ。

13.7拘

束力

  三 質 点 剛体 の 質 点 間 に は距 離 一 定 の 拘 束 条 件 が 働 い て い る。 そ して,そ の 拘 束 条 件 を維 持 す る た め に,二 点jk間

に 拘 束 力 が 働 い て い る と 考 え た 。 こ の 場 合,

質 点 ｋか ら質 点 ｊに 働 く拘 束 力fojkと,質

点 ｊか ら 質 点 ｋに 働 く拘 束 力fokjが

あ り,こ れ ら は作 用 反作 用 の 法 則 を満 た す もの と考 え る こ とが で き る の で,一 方 が 求 まれ ば他 方 は定 まる 。 この よ うに,ス

カ ラ ー レベ ル で 一 つ の 拘 束 条 件 に 対 応

して 一 つ の 未 知 で独 立 な拘 束力 が あ る。 こ の よ う な未 知 拘 束 力 は,系 全 体 で は独 立 な 速 度 レベ ル拘 束 の 数 だ け 選 ぶ こ とが で き,そ れ らを独 立 な 拘 束 力 と呼 ぶ 。 残 りの 拘 束 力 は こ の独 立 な拘 束 力 に よ っ て表 現 す る こ とが で き る。   支 点 を ボ ー ル ジ ョイ ン トで 拘 束 され た コマ の 場 合,支 束 力fopを

点 Ｐ は 慣 性 系 Ｏ か ら拘

受 け る。 この 代 数 ベ ク トル の 三 成 分 は ボ ー ル ジ ョイ ン トに よ って 減 少

させ られ た 自由 度 の 数 ３に対 応 した独 立 な 拘 束 力 と考 え る こ とが で き る。 ３次 元 の ピ ン ジ ョイ ン トは 自 由 な ３次 元 剛 体 の 自 由度 を ５減 少 させ て,剛 体 振 子 を作 る。 ピ ン ジ ョイ ン トを Ｚ 軸 まわ りの 回 転 だ け を 許 す よ う に 設 置 す る と,並 進 ３ 方 向 の拘 束 力 と,Ｘ 軸,Ｙ 軸 ま わ りの 拘 束 トル ク を独 立 な 拘 束 力 とす る こ とが で きる 。３次 元 二 重 剛 体 振 子 の 二 番 目の ピ ン ジ ョイ ン ト Ｂ に 関 して も,同 様 に,五 つ の独 立 な 拘 束 力 を考 え る こ とが で きる 。 剛 体 Ｂ 上 の 点P'に

働 く五 つ の 拘 束 力

(内 二 つ は 拘 束 トル ク)を 独 立 に 考 え る と,剛 体 Ａ 上 の 点 Ｐ に働 く五 つ の拘 束 力 は作 用 反 作 用 の 関 係 か ら求 ま る 。舵 付 き帆 掛 け 舟 の 場 合,舵

に 垂 直 な 力f'OPYが

独 立 な拘 束 力 で あ る。 転 動 球 に は 二種 類 の 拘 束 が使 わ れ て い た が,拘 束 力 は 速度 レベ ル の 拘 束 に対 応 して 考 え れ ば よ く,そ の 意 味 で 二 種 類 の 拘 束 を 区別 す る 必 要 は な い 。 接 触 点 ま た は 瞬 間接 触 点 の Ｚ方 向,Ｘ 方 向,Ｙ 方 向 に 独 立 な拘 束 力 を考 え る こ とが で き る。   以 上 の 説 明 で は,拘 束 力 の 中 か ら独 立 な拘 束 力 を選 び,残

りの拘 束 力 は そ れ ら

に よ っ て 表 す と して きた 。 独 立 な 拘 束 力 の 代 わ り に 同 じ数 の 未 知 数 を準 備 し,そ れ に よ っ て す べ て の 拘 束 力 を 表 す 考 え方 もあ る 。 そ の よ う な 目 的 に ラ グ ラ ン ジ ュ の 未 定 乗 数 が 用 い ら れ る 。 こ の考 え 方 は 第20章

の 微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 に 出て

くる。

13.8拘

束系の運動方程式

拘 束 力 を含 ん だ 形 の質 点系 の 運 動 方 程 式 は次 の よ うで あ っ た 。 【12.44】

ま た,拘 束 剛 体 系 の 場 合 は 次 の とお りで あ る。 【12.62】 【12.63】

これ ら に含 ま れ る拘 束 力 は未 知 数 で あ り,消 去 す るか,同

時 に 求 め られ る形 にす

る必 要 が あ る 。 運 動 方 程 式 を 求 め る多 くの 方法 で は,拘 束 力 を含 ま ない,次

のよ

う な形 の 運 動 方 程 式 が 求 ま る。

(13.40) Ｈ は独 立 な 一 般 化 速 度 で あ り,mH,fHの こで は 単 に,Ｈ

意 味 は18.5節

で 明 らか に な る が,こ

で 運 動 方 程 式 を表 した と きの Ｈ の 係 数 と右 辺 と考 え て お け ば よ

い 。 こ の 形 を 運 動 方 程 式 の 標 準 形 と呼 ぶ こ と に す る。 た だ し,mHは

対称行 列で

あ る。   こ の形 と は 別 の も の と して は,微 分 代 数 型 運 動 方 程 式,漸

化 型 の 運 動 方 程 式,

ハ ミ ル トンの 正 準 方 程 式 な どが あ る｡こ の 内 ,微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 は,拘 束 力 (ラ グ ラ ン ジ ュ の 未 定 乗 数)を ュ の 運 動 方程 式 で も拘 束 力(ラ

同 時 に求 め る形 に な っ て い る 。 ま た,ラ

グラ ンジ

グ ラ ンジ ュ の 未 定 乗 数)を 含 め た 形 で,一 般 化 座

標 に 拘 束 が あ る場 合 な ど を扱 い,微 分 代 数 型 に持 ち 込 む こ と もあ る。 運 動 方 程 式 の標 準 形 は,ダ 方 法,ケ

ラ ンベ ー ル の 原 理 を利 用 す る 方 法,仮

想 パ ワ ー の 原 理 を利 用 す る

イ ン型 の運 動 方 程 式 を利 用 す る方 法,拘 束 条件 追 加 法,ラ

運 動 方 程 式 を 利 用 す る方 法,ハ

グ ラ ンジ ュ の

ミル トンの 原理 を利 用 す る方 法 な ど に よ っ て得 ら

れ る。   式(13.40)を

用 い て順 動 力 学 の 数 値 シ ミュ レ ー シ ョ ン を行 う場 合,通

常,次

の

式 を 随伴 させ る。

Q=AH+B

【13・9】

この 関係 は基 本 的 に は 運 動 学 の 関係 で あ る。 第 Ⅳ 部 で 述 べ る多 くの 運 動 方 程 式 導 出 方 法 は式(13.40),ま

た は,そ れ に相 当 す る 式 を導 く方 法 で あ り,式(13.9)に

対 応 す る 式 は,別 途,第 Ⅱ部 で 学 んだ 運 動 学 の 知 識 な ど を用 い て 補 う必 要 が あ る 。   拘 束 系 の 運 動 方 程 式(13.40)が 求 ま る と,式(13.9)と

と も に 順 動 力 学 解 析 を行 う

こ とが で き る。 そ の と き,拘 束 力 を求 め た い 場 合 が あ る。 順 動 力 学 解 析 で は 各 時 点 のv,V,Ω'が

得 ら れ る の で,拘

束 力 の 算 出 に は,式(12.44),(12.62),

(12.63)が 利 用 で き る。 た だ し,剛 体 系 の 場 合,こ 位 置 に 等 価 換 算 さ れ たF,N'で る た め に は,さ

れ らの 式 か ら求 ま る の は 重 心

あ るか ら,個 々 の 拘 束 箇 所 に お け る 拘 束 力 を知

らに,個 別 の 手 続 きが 必 要 で あ る。

Quiz13.73次

元 剛 体 の 運 動 方 程 式 か ら 自由 な ２次 元 剛 体 の 運 動 方 程 式 を導

出 せ よ。 Quiz13.8自

由 な ２次 元 剛体 の 運 動 方 程 式 は,並 進 運 動 を ダ ッシ ュ の つ い た

変 数 で表 す と どの よ うに な る か 。

第14章

運 動 量 と角運 動 量,運 動 エ ネル ギ ー と運 動補 エ ネル ギー

  運 動 量,角 運 動 量,運 動 エ ネル ギ ー,運 動補 エ ネ ル ギ ー は 力 学 系 の 重 要 な物 理 量 で あ る 。 ま た,運 動 量,角 め の,古

運 動 量 の 保 存 則 は,系

の動 力 学 的 性 質 を把 握 す る た

典 的 なが ら重 要 な 法則 で あ る。 一 例 で あ るが,コ

は運 動 量 原 理(角

運 動 量 と作 用 トル ク の 関 係)が

運 動 補 エ ネ ル ギ ー は,ラ

マの歳差運 動の説明 に

分 か り易 い。 運 動 エ ネ ル ギ ー,

グ ラ ンジ ュの 運 動 方程 式(第22章),ハ

ミル トンの 原 理

(第23章)で

必 要 な 基 本 的 物 理 量 で あ り,正 準 方 程 式(第24章)に

繋が ってゆ

く。 なお,ニ

ュ ー トン力 学 で は,運 動 エ ネ ル ギ ー と運 動 補 エ ネ ル ギ ー の値 は 同 一

に な る た め,両 者 を 区 別 した説 明 は 少 ない が,本 書 で は,物 理 量 と して の 意 味 を 明確 に扱 うた め に,運

動 補 エ ネ ル ギ ー を説 明 して い る 。

  本 章 の 説 明 に は 著 者 が独 自 に工 夫 した 新 た な記 号 が 出 て くる な ど,読 み 難 さ を 感 じ るか も しれ な い 。 角 運 動 量 の モ ー メ ン ト中心 を,で に心 が け た が,こ

き る だ け 厳 密 に扱 う よ う

の こ と も読 み に く さ を増 して い る か も しれ な い 。 運 動 量,角

動 量 の保 存 則 な ど を 明 確 に理 解 す る こ と は重 要 で あ るが,こ も,第 Ⅳ部 の 運 動 方 程 式 の 立 て 方 の 大 半(第21章

運

の 章 を 読 ま な くて

ま で)は 理 解 で き る。 ニ ュ ー

トン力 学 で は 運 動 エ ネ ル ギ ー と運 動 補 エ ネ ル ギ ー が 等 しい 値 を持 つ と考 え れ ば, 14.6節 に 目を 通 して お く程 度 で,第22章

以 降 も大 して 困 難 で は な い 。 マ ル チ ボ

デ ィ ダ イ ナ ミ クス の 実 用 的 な 方 法 な ど を急 い で 学 び た け れ ば,本 章 は 後 回 しに し て も よい 。 逆 に,本 章 を学 ぶ場 合,し

っ か り時 間 をか け て丁 寧 に読 め ば,筆 者 の

記 号 の簡 潔 さ と便 利 さ も理 解 で き る と考 え て い る。   なお,本

14.1 

章 の 説 明 は す べ て ３次 元 系 を対 象 と した もの に な っ て い る 。

運動 量

拘 束 力 を含 ん だ 形 で 質 点 系 の 運 動 方 程 式 は,12.4節

に与 え られ た。

【12.44】

と こ ろ で,i番

目の 質 点 の 運 動 量Poiはmivoiで

与 え られ る 。 こ れ を す べ て の 質

点 に つ い て縦 に並 べ た 列 行 列 を ｐ とす る と,質 点 系 全 体 につ い て次 の よ う に書 け る。

(14.1)

p=mv こ れ を 用 い て 運 動 方 程 式(12.44)は

次 の よ うに な る。

(14.2)

p=f+f 次 に,こ

の系 を Ｓ と呼 ぶ こ と に し,系 全 体 の 質量 をMsと

す る と,そ れ は次 の

よ う に 与 え られ る 。

(14.3) こ こ で,3MsはMsを

対 角 要 素 と す る3×3ス

カ ラ ー 行 列,η

は3×3単

位 行 列I3

を質 点 の 数 だ け縦 に並 べ た もの で あ る。

(14.4)

こ の η は,式(14.3)で と す る と,慣

は,総

和 を 作 る 役 割 を 担 っ て い る 。 さ て,系

性 系 ０ か ら見 た そ の 位 置rOGは

の重心 を Ｇ

次 の よ う に書 け る 。

(14.5) roiは,rOGとrGiの

和 で あ る 。roiを

す べ て の 質 点 に つ い て縦 に 並 べ た列 行 列 は ｒ

で あ っ た が,rGiを

す べ て の 質 点 に つ い て 縦 に 並 べ た 列 行 列 をrGと

書 く こ と にす

る(注)。 こ れ ら の 記 号 を 用 い て 次 の 式 が 成 り立 つ 。

(14.6)

r=ηrOG+rG

こ こ で は 系 Ｓ に特 定 の 座 標 系 を設 定 で き な い の で,点

Ｇ も慣 性 系 Ｏ 上 の 点 と考

え て い る。 し たが っ て,こ の 式 のrGの 前 に は座 標 変 換 行 列 は現 れ て こ な い。 ま た,こ

の 式 の η はrOGを 質 点 の 数 だ け 作 り出 して 縦 に 並 べ る 働 き を し て い る 。

さ て,こ

の 式 を式(14.5)に 代 入 す る と,rGを

用 い た 重 心 の 条 件 が 次 の よ う に導

(注)rcの

よ う な添 え字 の 使 い 方 は,こ の 章 だ けの 特 別 な もの で あ る 。rGと 同 じ書 き方 をす れ

ば ｒはroと な る。 し か し,添 え 字 の な い ｒは,す で に 本 書 全 体 の 立 場 か ら定 め られ て い る の で,そ の ま ま用 いて い る。

か れ る。

(14.7) 式(14.6),(14.7)を

時 間 微 分 す る と,重

心 速 度 に 関 す る 関係 に な る。

(14.8) (14.9) ｖ は,voiを

縦 に 並 べ た 列 行 列 で あ っ た 。VGはVGiを

  次 に,式(14.5)を

縦 に並 べ た 列 行 列 で あ る。

時 間微 分 す る と次 の よ うな る。

(14.10) ηTpは,系

全 体 の 運 動 量 で,そ れ は系 全 体 の質 量 に重 心 速 度 を掛 け た もの に な っ

て い る。

14.2 

角 運動 量

  モ ー メ ン ト 中 心 を*と

し て,i番

目 の 質 点 の 運 動 量poiの

そ れ は そ の 質 点 の 点*ま

わ りの 角 運 動 量*πoiで

モ ー メ ン ト を 作 る と,

あ る。

(14.11) モ ー メ ン ト 中 心*も

慣 性 系 Ｏ に 属 す る 点 と 考 え て い る 。r*iを す べ て の 質 点 に つ

い て 縦 に 並 べ た 列 行 列 をr*と 並 べ た 列 行 列 を*π とす る と,次

書 く こ と に し,*πoiを

す べ て の 質 点 につ い て 縦 に

の よ う に書 く こ とが で きる 。

(14.12) こ の 式 で 用 い られ て い る ∼(テ あ る(6.1節)。

ィ ル ダ)は,拡

大解 釈 さ れ た外 積 オペ レー タ ー で

系全 体 の 角 運 動 量 は,各 質 点 の角 運 動 量 の 和 で,ηT*π で あ る 。

  モ ー メ ン ト中 心*か

ら各 質 点 に 向 か う幾 何 ベ ク トル は,モ ー メ ン ト中心*か

ら

重 心 Ｇ に向 か う幾 何 ベ ク トル と,重 心 Ｇ か ら各 質 点 に 向 か う幾 何 ベ ク トル の 和 で あ る 。 こ れ を代 数 ベ ク トル で 表 す と次 の よ うに な る。

(14.13) こ の 式 に 使 わ れ て い る変 数 は,い ず れ も座 標 系 Ｏ で 表 され て い る の で,こ

の式

に は 座 標 変 換 行 列 が 現 れ て こ な い 。 こ の 式 は す べ て の ｉにつ い て成 立 す る の で, ま と め て 次 の よ う に書 くこ とが で きる 。

(14.14)

この 式 に,拡 大 解 釈 した外 積 オ ペ レー タを作 用 させ る と次 の よ うに な る。

(14.15) こ の 関 係 を 式(14.12)に

代 入 し て,ηTを

左 か ら 掛 け る と 系 全 体 の 角 運 動 量 ηT*π

が 次 の よ う に表 され る。

(14.16) この 式 の右 辺 第 一 項 は 次 の よ う に書 き換 え る こ とが で き る。

(14.17) こ の 項 は,系

全 体 の 運 動 量 を 重 心 の 運 動 量 と 考 え て,点*ま

取 っ た も の で あ る 。 式(14.16)の の 項 は,ｐ

をmvに

わ りの モ ー メ ン トを

右 辺 第 二 項 は重 心 ま わ りの 角 運 動 量 で あ る 。 こ

戻 し,式(14.8)を

用 さ せ た 関 係 を 利 用 す る こ と で,次

代 入 し,式(14.7)に

外 積 オ ペ レ ー タ ー を作

の よ う に 書 き換 え る こ と が で き る 。

(14.18) す な わ ち,重

心 回 りの 角 運 動 量 は重 心 との 相 対 速 度 を用 い て 計 算 す る こ とが で き

る 。 こ の 結 果 と 式(14.17)か

ら,式(14.16)は

次 の ようになる。

(14.19) モ ー メ ン ト中心 が 重 心 の 場 合,系

の 角 運 動 量 は,各 質 点 の重 心 との相 対 速 度 を用

い て運 動 量 を計 算 し,重 心 回 りの モ ー メ ン トを取 っ た もの の 総 和 と して 求 め る こ とが で き る。 モ ー メ ン ト中 心 が 重 心 以 外 の 場 合 は,こ

の値 に 系 全 体 の 運 動 量 の モ

ー メ ン トを加 え た もの に な っ て い る 。

14.3  剛体系の運動量と角運動量   ま ず,ｊ 番 目 の 剛 体 だ け を 考 え る 。 そ の 運 動 量Pojは,式(14.10)よ

り,質

量

と重 心 速 度 の 積 で あ る 。

(14.20)

Poi=MjVoj   次 に,モ

ー メ ン ト中 心 を 点*と

て は め て 考 え れ ば よ い が,こ こ こ で は,R*jPojと

運 動 量*Ⅱojを

な る 。roiは

考 え る 。 式(14.19)に

当

の 式 の 右 辺 第 一 項 は 重 心 の 運 動 量 の モ ー メ ン トで,

な る 。 第 二 項 を 調 べ る た め に,剛

え る 。 質 点 ｉの 位 置 は,慣 場 合 はrjiと

し て,角

性 系 Ｏ か ら 見 た 場 合 はroiと

体 ｊ上 の 質 点 ｉの 位 置 を 考 な り,剛

座 標 系 Ｏ で 表 現 さ れ て お り,rjiは

体 ｊ上 か ら見 た

座 標 系 ｊで 表 現 さ れ

て い て,座 標 変 換 行 列 を用 い て 次 の よ う に 関係 付 け られ る 。

(14.21) Rojは

重 心 ｊの 位 置,Cojは

rjiは 定 数 で あ る か ら,次

座 標 変 換 行 列 で あ る 。 こ の 式 を 時 間 で 微 分 す る と, の よ う に な る。

(14.22) 式(14.19)の

右 辺 第 二 項 の 中 のrGは,式(14.21)の

右 辺 第 二 項,Cojrjiを

の ブ ロ ッ ク 要 素 と す る 列 行 列 で あ る 。 式(14.19)の (14.22)の

右 辺 第 二 項,-CojrjiΩ'ojを

右 辺 第 二 項 の 中 のVGは,式

ｉ番 目 の 要 素 とす る 列 行 列 で あ る 。 式(14.

19)は 質 点 系 を 一 般 的 に 扱 っ た も の で,こ め,座

の 質 点 系 の 座 標 系 は定 ま っ て い ない た

標 変 換 行 列 は 現 れ て こ な か っ た が,式(14.21),(14.22)は

式 で,座

ｉ番 目

剛体 に関す る

標 変 換 行 列 が 使 わ れ て い る 。 こ れ が 見 か け 上 の 差 異 に な っ て い る が,結

局,式(14.19)の

右 辺 第 二 項 は,-CojrjimirjiΩ'ojを

わ せ た も の と な り,そ

れ はCoiJ'ojΩ'ojに

す べ て の ｉに つ い て 加 え 合

な る 。 以 上 か ら,角

運 動 量*Ⅱojは

次 の

よ う に 書 くこ とが で き る。

(14.23) モ ー メ ン ト中 心*が

重 心 ｊに一 致 して い る場 合,角

運 動 量jⅡojは こ の 式 の 第 二

項 だけ となる。

(14.24) jⅡojの

ように

,モ

ー メ ン ト中 心 を 表 す 左 上 の 添 え 字 と,角

運 動 量 の 対 象 とな っ

て い る 剛 体 を 表 す 右 下 二 番 目 の 添 え 字 が 一 致 し て い る と き は,左 略 で き る こ と に し て い る 。 し た が っ て,jⅡojは

上 の 添 え 字 を省

Ⅱojと 書 い て も よ い 。 Ⅱojは,

幾 何 ベ ク ト ル Ⅱojを 座 標 系 Ｏ で 表 し た も の で あ り,Ⅱojを

座 標 系 ｊで 表 し た も

の は Ⅱ'ojで あ る 。

(14.25) な お,ダ

ッ シ ュ の 付 か な いJojと

  す べ て の 剛 体 に つ い て,Pojを か ら,次

Ωojを 用 い る と,Ⅱoj=JojΩojで

あ る。

順 に 縦 に 並 べ た 列 行 列 を Ｐ とす る 。 式(14.20)

の 式 が 成 り立 つ 。

(14.26)

P=MV す べ て の 剛 体 に つ い て,*Ⅱojを

順 に 縦 に 並 べ た 列 行 列 を*Ⅱ

を す べ て の 剛 体 に つ い て 縦 に 並 べ た 列 行 列 をR*と

と す る 。 ま た,R*j

書 く こ と に す る 。 式(14.23)

か ら,次

の 式 が 成 り立 つ 。

(14.27) そ し て,剛

体 系 全 体 の 運 動 量 は ηTP,角

場 合 の η は,I3を

14.4 

運 動 量 は ηT*Ⅱ で あ る 。 た だ し,こ

の

剛 体 の 数 だ け 縦 に 並 べ た も の に な っ て い る(注)。

運 動量 原 理

  式(14.2)に だ けI3を

左 か ら ηTを 掛 け る と 次 の よ う に な る 。 こ の η は,再

び,質

点 の数

並 べ た もの で あ る 。

(14.28) 左 辺 は系 の 運 動 量 の 時 間 微 分 で あ る 。 右 辺 の作 用 力 ｆと拘 束 力 ｆ を外 力 と内 力 に 分 け,内 力 の合 計 は作 用 反作 用 の仮 定 が 成 立 して ゼ ロ に な る もの とす る。 そ の結 果,こ

の式 は 次 の よ うに な る。

(14.29) fEXとfEXは,作

用 力 と拘 束 力 の 外 力 で あ る。 こ れ ら を,簡 略 に,作 用 外 力 と拘

束 外 力 と呼 ぶ こ とに す る。   式(14.2)は,系

を構 成 す る 各 質 点 の 運 動 方 程 式 の単 純 な 寄 せ 集 め で あ る。 した

が っ て,式(14.29)は

系 全 体 に つ い て 成 立 す る だ け で な く,任 意 の 部 分 系 に 対 し

て も成 立 す る。 この 式 は,部 分 系 の運 動 量 の 時 間 的 変 化(時

間 微 分)は,そ

分 系 に働 く作 用 外 力 と拘 束 外 力 の 合 計 に等 しい と い う こ とで あ るが,特 外 力 が 働 い て い な い 場 合,お 任 意 の 部 分 系 で,拘

の部

に,拘 束

よび,拘 束 外 力 が 働 い て い な い 方 向 が 重 要 で あ る。

束外 力 が 働 い て い な い 方 向 が あ る場 合,そ

の方 向の運動量成

分 の 時 間 的 変 化 は,作 用 外 力 合 計 の そ の方 向 の 成 分 に等 しい。 これ を,次

に述 べ

る角 運動 量 の 場 合 と合 わ せ て,運 動 量 原 理 と呼 ぶ 。 そ して,部 分 系 に作 用 外 力 と 拘 束 外 力 が 働 い て い な い 方 向 が あ る場 合,そ

の方 向 の 運 動 量 成 分 は保 存 さ れ る。

(注)全 質 点 の 数 に対 応 す る η と全 剛体 の数 に対 応 す る η を 区別 した 記 号 を準 備 す れ ば 明確 で あ る が,使 わ れ て い る文 脈 や 式 の 中 で 判 断 す る こ と も容易 で,そ の ほ うが 表 現 が す っ き りす る と考 えて い る。

こ れ が,運

動 量 保 存 の 法 則 で あ る。

  式(14.2)に

左 か ら ηTr*を 掛 け る と次 の よ う に な る 。

(14.30) 左 辺 は 次 の よ う に変 形 で き る。

(14.31) モ ー メ ン ト中 心*か

ら質 点 ｉに 向 か う幾 何 ベ ク トル は,原

う幾 何 ベ ク トル か ら,原 点 Ｏ か らモ ー メ ン ト中 心*に し引 い た もの で,次

点 Ｏ か ら質 点 ｉに向 か

向 か う幾 何 ベ ク トル を差

の よ う に書 け る。

(14.32) この 式 をす べ て の ｉにつ い て ま と め る と次 の よ う に な る 。

(14.33) この 式 に,拡 大 解 釈 した 外 積 オ ペ レー タ ー を作 用 させ る。

(14.34) こ の 式 を 式(14.31)右

辺 第 二 項 に 代 入 し,時

間 微 分 を 行 う と 式(14.31)は

次 の よう

に な る。

(14.35) こ の式 で,vpは

ゼ ロ で あ り,右 辺 第 二 項 の 残 りの項 は 次 の よ う に書 き直 せ る。

(14.36) こ こ で,モ

ー メ ン ト中 心 は 次 の い ず れ か で あ る と す る 。

① 慣性 系 上 の 固 定 点 ② 系 の 重 心 と平 行 な 速 度 を持 つ 点(実 用 的 に は系 の 重 心 点 と考 え れ ば よい) そ の よ う な モ ー メ ン ト中 心 を ・と表 す こ と に す る。 こ の と き,式(14.36)の

右辺

第 二 項 はゼ ロ に な る。

(14.37) 式(14.30)の

モ ー メ ン ト中 心 を ・に 限 定 し て,左

辺 を こ の 式 で 置 き換 え る。 右 辺

は,作 用 力 ｆ と拘 束 力 ｆ を外 力 と内 力 に 分 け,内 力 の モ ー メ ン トの 合 計 は作 用 反 作 用 の 仮 定 が 成 立 して ゼ ロに な る と考 え る。 そ の 結 果,次 式 が 得 られ る。

(14.38)   こ の 式 も,任 意 の部 分 系 に対 して 成 立 す る。 こ の 式 は,部 分 系 の 点 ・ま わ りの 角 運 動 量 の 時 間 的 変 化 が,そ

の 部 分 系 に働 く作 用 外 力 と拘 束 外 力 の モ ー メ ン トの

合 計 に 等 しい とい う こ とで あ る が,特 場 合,お

に,拘 束 外 力 の モ ー メ ン トが 働 い て い な い

よ び,拘 束 外 力 の モ ー メ ン トが 働 い て い な い 方 向 が 重 要 で あ る 。 任 意 の

部 分 系 で,拘 束 外 力 の モ ー メ ン トが働 い て い な い 方 向 が あ る 場合,点 角 運 動 量 の,そ

・まわ りの

の方 向 の 成 分 の 時 間 的 変 化 は,作 用 外 力 モ ー メ ン ト合 計 の,そ

の

方 向 の成 分 に 等 しい。 これ も,前 述 し た運 動 量 の 場 合 と合 わ せ て,運 動 量 原 理 で あ る。 あ る い は,角 運 動 量 原 理 と呼 ん で も よい か も知 れ な い 。 そ して,部 作 用 外 力 と拘 束 外 力 が 働 い て い な い 方 向 が あ る 場 合,点

分系 に

・まわ りの 角 運 動 量 の,

そ の 方 向 の 成 分 は保 存 され る。 こ れ が,角 運 動 量 保 存 の 法 則 で あ る。   運 動 量 原 理 とい う言 葉 は,こ

こ で は,角 運 動 量 の 場 合 も含 め て い る。 こ の 原 理

は,作 用 外 力 と拘 束 外 力 だ け を調 べ,部

分 系 内 部 の 力 に は立 ち入 らず に,運 動 方

程 式 を作 り出 そ う と して い る 。 系 全 体 の 運 動 方程 式 を立 て る こ とが 目的 だ が,任 意 の 部 分 系,お

よ び,任 意 の 方 向 に対 して,適 用 可 能 性 を調 べ,そ

系 全 体 を把 握 す る考 え方 で あ る。 こ の 原 理 は,系 の,あ

れ らを も とに

の 運 動 方 程 式 を見 つ け る た め

る い は,系 の 動 力 学 的性 質 を把 握 す る た め の,古 典 的 な,し か し,重 要 な

原 理 で あ るが,適

用 で き る部 分 系 や 方 向 を見 つ け る こ とが 容 易 な わ け で は な い た

め,第

Ⅳ 部 の 系 統 的 な方 法 に は 含 め て い な い 。 あ る い は,拘 束 力 消 去 法(第15

章)の

一 部 と考 え る こ と も で き る。

  15.1節

に コマ の 定 常 歳 差 運 動 の 説 明 が あ り,角 運 動 量 原 理 の 利 用 事 例 に な っ

てい る。

14.5  剛体系の運動量原理 質 点 系 を対 象 に した 運 動 量 原 理 は,式(14.29),(14.38)に

与 え られ た 。 こ れ

ら に対 応 す る剛 体 系 の式 は どの よ う に な る で あ ろ うか 。 まず,質 点 系 の 式 を剛 体

ｊに 適 用 し て み る 。 剛 体 ｊの 運 動 量,角

運 動 量 は,Poj,〓

Ⅱojで あ る 。

式(14,29)の 右 辺 は,剛 体 上 の 各 点 に働 く作 用 外 力 と拘 束 外 力 の 総 和 で あ る か ら,FojとFojの

和 とす れ ば よい 。

(14.39) こ の拘 束 力Fojは,等 外 力 だ け で,も

価 換 算 の 結 果 で あ る が,そ

の もとにな って いる力 は拘 束

と も と剛 体 内 部 の 拘 束 力 は 考 えて い な い。 作 用 力Fojも,当

然,

作 用 外 力 で あ る。   式(14.38)の

右 辺 は,剛

体 上 の 各 点 に 働 く作 用 外 力 と拘 束 外 力 の モ ー メ ン トの

総 和 に な っ て い る 。 ま ず,剛 の 位 置 は,モ

体 ｊ上 の 着 力 点 の 一 つ,点

ー メ ン ト 中 心 か ら はr.iと

r.iは 座 標 系 Ｏ で 表 さ れ て お り,rjiは

な り,剛

ｉの 位 置 を 考 え る 。 点 ｉ

体 ｊ の 重 心 か ら はrjiと

座 標 系 ｊで 表 さ れ て い て,座

な る。

標 変換行 列 を

用 い て 次 の 関 係 が 成 り立 つ 。

(14.40) 点 ｉにf〓

とf〓

が 働 い て い て,こ

r.iの 代 わ り に,R.jを

掛 け た も の とCojrjiC〓jを

こ と が で き る 。 ηTが,さ

ら に,左

を と る 働 き を し て い る 。R.jを とf〓

右 辺 は,重 CoiN'oj,拘

な わ ち,重

掛 け て い る が,こ

の 式 か ら,

掛 け た もの の和 に分 け て 考 え る

か ら か か っ て い る が,こ

掛 け た も の に つ い て は,ηTの

の 総 和 に な る 。CojrjiC〓jを

メ ン ト,す

れ に 左 か らr.iを

掛 け た も の は,f〓,f〓

れ は ｉに 関 す る 総 和 総 和 は,単

に,f〓

の 重 心 ま わ りの モ ー

心 位 置 に 等 価 換 算 し た トル ク に な る 。 結 局,式(14.38)の

心 に 働 く 作 用 力Foj,拘 束 トル クCojN'ojの

束 力Fojの

モ ー メ ン ト と,作

用

トル ク

和 に な る。

(14.41) 式(14.29),(14.38)は

一 般 的 な 質 点 系 を 対 象 に し て い る の で,各

力 と 拘 束 力 だ け が 働 い て い る が,剛 く モ デ ル も 考 え ら れ る 。 し か し,そ

質 点 に は作 用

体 ｊの 各 点 に は 作 用 トル ク や 拘 束 トル ク が 働 の 場 合 で も,式(14.41)のN'oj,N'ojに

は,

そ の よ う な 作 用 ト ル ク や 拘 束 力 トル ク が 含 ま れ て い る と 考 え れ ば よ い 。   モ ー メ ン ト中 心 が 剛 体 の 重 心 の 場 合,式(14.41)は る。

次 の よ う に 書 く こ とが で き

(14.42) この 式 は 次 の よ う に な る 。

(14.43) そ し て,式(14.25)を

用 い れ ば オ イ ラー の 運 動 方程 式 に な る。

(14.44)   式(14.39)か

ら,系 を構 成 す る全 剛体 の 運 動 量 に つ い て 次 の よ う に ま とめ た 式

が 成 り立 つ 。

(14.45) 角 運 動 量 に つ い て は,モ て,次

ー メ ン ト中心 を慣 性 系 上 の 固定 点 か 系 全 体 の 重 心 と し

の よ う に な る。

(14.46) 式(14.41)を

導 く と きは,モ

考 えて い た が,モ (14.36)の

ー メ ン ト中 心 を慣 性 系 上 の 固 定 点 か 剛体 ｊの 重 心 と

ー メ ン ト中心 を系 全 体 の重 心 と考 え る と,各 剛 体 に つ い て は式

右 辺 第 二 項 が 残 り,こ の 式 の 左 辺 第 二 項 に な る 。 な お,こ

は,再 度,I3を

の式 の η

剛 体 の 数 だ け 縦 に並 べ た もの で あ る 。

  剛体 系 全 体 の 運 動 量,角

運 動 量 を 考 え る場 合,力

と トル ク を 内力 と外 力 に分 け

て 考 え る。 内 力 と は,系 内 の 剛 体 間 に働 く力 と トル ク で あ り,外 力 とは系 外 か ら 働 く力 と トル クで あ る 。系 全 体 に わ た っ て 総 和 を取 る と き,こ の よ うな 内 力 と内 力 の モ ー メ ン トは 作 用 反 作 用 の 関係 か ら除 外 し て 考 え る こ と が で き る。 式(14 . 45)と(14.46)の

左 か ら ηTを 掛 け て 総 和 を とる と次 の よ う に な る 。

(14.47) (14.48) 式(14.46)の

左 辺 第 二 項 は,こ

の 総 和 で,再

び 消 え て な くな る。

14.6 

運 動 エネ ルギ ー と運動 補 エネ ル ギー

質 点 系 の 運 動 方 程 式(14.2)に つ い て考 え る 。

p=f+f

【14.2】

右 辺 の 力 が 働 い て い る と き,各 点 が 変 位 す る と力 は仕 事 をす る こ とに な る。 質 点 は そ の 仕 事 を受 け 取 り,運 動 エ ネ ル ギ ー と して 蓄 え る 。 こ の 式 にdrTを

左か ら

掛 け,積 分 す れ ば,右 辺 は 力 が 質 点 に対 して 行 う仕 事 の 総 和 で あ り,左 辺 は質 点 が 受 け取 っ た運 動 エ ネル ギ ー Ｔに な る。

(14.49) drはvdtに

置 き換 え る こ と が で き る 。

(14.50) さ ら に,pdtはdpと っ た が,p=0か

書 く こ と が で き る 。 こ れ ま で,積 らp=pま

分 の範 囲 を明 示 して こ な か

で とす れ ば よ い。

(14.51) この 式 が 運 動 エ ネ ル ギ ー の 定 義 で あ る。 ｖが ｐの 関 数 と して 与 え られ れ ば,こ

の

式 を積 分 し て運 動 エ ネ ル ギ ー Ｔ を求 め る こ とが で きる 。 ニ ュ ー トン力 学 の 速 度 ｖ と運 動 量 ｐの 関 係 は 式(14.1)に 与 え ら れ て い る の で,質

点系 の運動 エ ネルギ ー

は次の ようになる。

図14.1 

質 点 Ｐの運 動 量 と速 度 の 関係(ニ ュ ー トン力学(左),特

殊 相 対性 理論(右))

(14.52) 特 殊 相 対 性 理 論 で は,速 度 ｖ と運 動 量 ｐの 関 係 は線 形 で は な く,図14.1に よ うに,も

示す

う少 し複 雑 で あ る。

  式(14.51)で

は ｖ を ｐ の 関 数 と し て 表 し,そ

れ を 積 分 す る の だ か ら,運

動 エ ネ

ル ギ ー Ｔは ｐの ス カ ラ ー 関 数 とい う こ と に な る 。

T=T(p) そ し て,式(14.51)か

(14.53) ら 分 か る よ う に,こ の Ｔ を ｐ で 偏 微 分 す る と ｖが 得 ら れ る 。

(14.54) こ の ｖ を 用 い る と,式(14.53)の

微 分 を 次 の よ う に書 くこ とが で きる 。

(14.55)

dT=vTdp

ｖの 成 分 の 数 は ｐの 成 分 の 数 と同 じで,ｖ は ｐの 関 数 で あ る 。

(14.56)

v=v(p) こ の 関 係 を逆 に解 い て,ｐ を ｖの 関 数 とす る こ とが で き る 。

(14.57)

P=P(v) こ の よ う に 解 け る た め の 数 学 的 な 条 件 は,式(14.53)の な い こ とで あ る 。 式(14.57)を

式(14.53)に

ヘ シ ア ン行 列 式 が ゼ ロで

代 入 す れ ば,Ｔ

を ｖの 関 数 と して 表 す

こ と もで き る。

T=T(p(v))

(14.58)

ニ ュー トン力 学 の 場 合 は 次 の よ うに な る。

(14.59) ニ ュ ー ト ン 力 学 で は 運 動 量 ｐ と 速 度 ｖ の 関 係 は,す (14.56)や

式(14.57)の

ル ギ ー Ｔ を 式(14.58)の

関 係 を 式(14.54)を

用 い て 求 め よ う と す る 場 合,運

動エ ネ

よ うに ｖで表 した もの で は役 に立 た な い 。 運 動 エ ネ ル ギ

ー Ｔは 運 動 量 ｐの 関 数 と考 え る の が 自然 で あ る こ こ で,次

で に 分 か っ て い る が,式

。

の よ う な新 し い ス カ ラー 関 数 を 考 え る。 T*=vTp-T

こ の 関 数 も,ｐ

の 関 数 と 考 え る こ と が で き る が,式(14.57)を

(14.60) 用 い て ｖの 関 数 と

す る こ と もで き る。 そ こ で,こ の 関 係 を微 分 で 表 して み る 。

(14.61) こ こ で,式(14.55)を

用 い る と,次

の よ うに な る。

dT*=pTdv

この 式 は,T*を

(14.62)

ｖの 関 数 と見 な す の が 自然 で あ る こ とを 示 して い る。

T*=T*(v) ま た,ｐ

が,Ｔ*の

(14.63)

ｖ に よ る偏 微 分 に よ っ て得 られ る こ と も分 か る。

(14.64) した が っ て,式(14.60)は,式(14.57)を

用 い て,ｖ

の 関 数 に し て お く。

(14.65) ｖ を 変 数 と す る 新 し い 関 数T*か

ら は,式(14.64)を

用 い て,式(14.57)や

式(14.

56)を 復 元 で き る 。   ｐ を 変 数 と す る ス カ ラ ー 関 数 Ｔ が 式(14.53)の

よ う に 与 え ら れ,式(14.54)の

偏

微 分 に よ っ て 新 し い 変 数 ｖ が ｐ の 関 数 と し て 得 ら れ る と き,式(14.60)の は,ｖ

を 変 数 と す る 新 し い ス カ ラ ー 関 数 Ｔ*(式(14.63))を

変換

作 り 出 し,式(14

.

64)の 偏 微 分 に よ っ て 古 い 変 数 ｐが ｖ の 関 数 と し て 得 ら れ る こ と に な る 。 こ の 変 換 は ル ジ ャ ン ドル 変 換 と 呼 ば れ て い る 。 新 し い 関 数 Ｔ*か ら古 い 関 数 Ｔへ の 変 換 も ま っ た く 同 様 な,可 ー

,エ

ン タ ル ピ ー,ヘ

逆 的 な 変 換 で あ る 。 な お,熱

力 学 にお け る内 部エ ネル ギ

ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー,ギ

ブ ス の 自由 エ ネ ル ギ ー の

間 の 変 換 関 係 も ル ジ ャ ン ドル 変 換 の 有 名 な 事 例 で あ る 。 ま た,24.1節

で は,ハ

ミル トニ ア ン が ラ グ ラ ン ジ ア ン の ル ジ ャ ン ドル 変 換 と し て 説 明 さ れ て い る 。   Ｔ と Ｔ*,お

よ び,そ

れ ら とp,vと

を 運 動 補 エ ネ ル ギ ー(kinetic v=0に

の 関 係 は 図14.1か

co-energy)と

な る も の と す る と,式(14.62)か

呼 ぶ 。p,vの ら,運

ら 明 ら か で あ ろ う 。 Ｔ* 関 係 がp=0の

と き,

動 補 エ ネ ル ギ ー Ｔ*は 次 の よ う に

書 け る。

(14.66) ニ ュ ー ト ン力 学 で は 次 の よ う に な る 。

(14.67)

こ の 式 を ｖで 偏 微 分 す れ ば,ｐ が ｖの 関 数 と して 求 ま り,そ の 結 果 は式(14.1)に なる。   ニ ュ ー トン力 学 の 場 合,運

動 エ ネ ル ギ ー と運 動 補 エ ネ ル ギ ー は 同 じ値 を持 っ て

い る 。 そ の た め,こ れ らを 区 別 せ ず に用 い て も,数 値 的 に同 じ結 果 が 得 られ る。

14.7  剛体系の運動エネルギー と運動補 エネルギー   剛 体 Ａ の場 合,運 動 エ ネ ル ギ ー Ｔ と運 動 補 エ ネ ル ギ ー Ｔ*は,そ れ ぞ れ,並 進 運 動 に よ る も の と回転 運 動 に よ る もの の 和 で あ る。

(14.68)

(14.69) 回転 運 動 に よ る運 動 エ ネ ル ギ ー,運

動 補 エ ネ ル ギ ー は 座 標 系 Ａ に よ る表 現 を用

い て 示 した が,座 標 系 Ｏ に よ る 表 現 を用 い て も同 様 で あ る 。 た と え ば,

(14.70) 式(14.69)か POAで

ら,運

あ り,角

動 補 エ ネ ル ギ ー を 重 心 速 度VOAで

偏 微 分 した も の が 運 動 量

速 度 Ω'OAで 偏 微 分 し た も の が 角 運 動 量 Ⅱ'OAに な っ て い る 。

(14.71) (14.72) 剛 体 系 の 運 動 エ ネ ル ギ ー,運 動 補 エ ネ ル ギ ー は次 の よ う に書 け る 。

(14.73) (14.74) 式(14・73),(14.74)か

ら,次

の 式 が 成

り立 つ 。

(14.75) (14.76) ニ ュ ー ト ン 力 学 で あ る か ら,剛

体 系 の 場 合 も ,当

補 エ ネ ル ギ ー Ｔ*は 同 じ 値 を 持 つ 。

然,運

動 エ ネ ル ギ ー Ｔ と運 動

第Ⅳ 部

運動方程式の立て方   運 動 方 程 式 の 立 て 方 に は い くつ もの 方 法 が あ り,ま た,運 動 方 程 式 自体 に もい くつ か の 形 が あ る。 本 書 で は,形 の 異 な る運 動 方 程 式 も含 め て,十 通 りの 方 法 を 説 明す る。 た く さ ん の 方 法 を並 べ て い る が,基 本 を 理 解 す る た め の方 法,実 用 性 の 高 い 方 法,今

後 の 発 展 を期 待 した い 方 法 な ど様 々 で あ る。 そ れ らの 方 法 は密 接

に関 連 して い て,そ の 関 連 な ど を理 解 す る こ と で力 学 の 理 解 が 深 ま る 。 第 Ⅳ部 は 十 章(第15章 い る が,初

∼ 第24章)構

つ の 章 が 一 つ の 方 法 に対 応 し て

め て 学 ぶ 場 合 は 読 む順 序 を以 下 の よ う にす る の が よい 。 ま ず ,第15

章 か ら第19章 第22章

成 とな っ て い て,一

まで は順 に読 む ほ うが よい 。 第20章

は,そ れ ぞ れ,第18章

難 度 が 高 い の で,後 が よい 。 第24章

は 第17章

の 後 に,第21章

の 後 に 読 む こ とが で きる 。 た だ し,第21章

ま わ し に して も よ い 。 第22章,第23章,第24章

と は,

は この順

も,初 学 者 に は難 度 が 高 い 。

  本 書 の 主 な対 象 は,ロ ボ ッ トや 車 両 な どの集 中 定 数 系 で あ る。 ハ ミル トンの 原 理 を 利 用 し て運 動 方 程 式 を立 て る 方 法(第23章)は,分 法 だ が,集

布 定 数 系 に は重 要 な 方

中 定 数 系 に は不 向 き だ と思 わ れ る。 そ の た め 第23章

は,ハ

ミル トン

の 原 理 の理 解 に 重 点 を置 い て い る 。 ハ ミル ト ンの 正 準 方 程 式(第24章)は,機 械 力 学 一般 にす ぐに 役 立 つ 実 用 技 術 とは 考 え られ て い な い が,物 理 学 が発 展 して きた 重 要 な 方 向 の 一 つ で あ り,ま た,最 近 は,マ

ル チ ボ デ ィ ダイ ナ ミク ス の研 究

や 制 御 技 術 の 方 法 と し て も取 り上 げ られ る よ う に な っ て きた。

拘束力消去法

第15章

  第12章

で,三 質 点 剛 体 を用 い て 剛 体 の 運 動 方 程 式 を求 め た 。 そ の と き用 い た

方 法 が 拘 束 力 消 去 法 で あ る。 こ の 章 で は,ま ず,ボ

ー ル ジ ョイ ン トで 支 点 を拘 束

され た コマ の 運 動 方 程 式 を拘 束 力 消 去 法 で 求 め る 。 これ らの事 例 を念 頭 に 置 き な が ら15.2節

∼15.4節 の 一 般 的 な説 明 を読 め ば,こ の 方 法 を理 解 しや す い で あ ろ

う。 こ の方 法 を実 際 問 題 に 適 用 す る こ と は少 な い と思 う。 しか し,こ の 方 法 を通 して,拘

束 力 が 明 確 に な り,力 学 の 理 解 が 容 易 に な る と思 わ れ る 。 ま た,第20

章 の 微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 を学 ぶ た め に 役 立 つ 。   15.1節

で は,コ

MATLABプ

マ の 運 動 方 程 式 を 求 め て,そ

の 挙 動 を シ ミ ュ レ ー トす る

ロ グ ラ ム を作 成 した 。 第 ９章 の 近 似 ボ ー ル ジ ョイ ン トの 場 合 と対 比

す る こ とで,拘

束 の 意 味 を把 握 しやす く な り,拘 束 と して モ デ ル化 す る か 否 か に

よ る 運 動 方 程 式 の差 異 に つ い て,理 解 が 深 ま る で あ ろ う。

15.1 

順 動 力 学 解 析 の 事 例:ボ

ー ル ジ ョ イ ン トで 支 点 を 拘 束 さ れ た

コマ

● コマの運動方程式   図9.2,図9.3(9.4節

参 照)は,支

点 Ｐ を ボ ー ル ジ ョ イ ン トで 慣 性 座 標 系 Ｏ

の原 点 に拘 束 した コマ の 説 明 図 で あ る。 第 ９章 で は拘 束 を伴 わ な い 近似 ボ ー ル ジ ョイ ン トの 方 法 を 説 明 し た が,こ

こで は 拘 束 を伴 う真 の ボ ー ル ジ ョイ ン トを 扱

う。 重 力 は 座 標 系 Ｏ の Ｙ 軸 負 の 向 き に 働 き,コ マ に 固 定 し た座 標 系 Ａ の Ｙ 軸 が,コ

マ の 回転 軸 に な っ て い る 。 コマ の支 点 Ｐの 位 置 は次 の よ う に 書 け る。 rAP=-DYb

ｂは 点AP間

の 長 さで あ り,rAPは

(15.1) 定 数 で あ る。 こ の 系 の 運 動 方 程 式 を 拘 束 力 消

去 法 に よ っ て 求 め て み よ う。   拘 束 力,拘

束 トル ク を含 む 形 で,コ マ Ａ の 運 動 方 程 式 は 次 の よ う に書 くこ と

が で き る。

(15.2) (15.3) FOA,N'OAは の 式 は,ま

拘 束 力 や 拘 束 トル ク を重 心 位 置 に 等 価 換 算 した もの で あ る 。 こ れ ら だ,コ

マ の運 動 方 程 式 とい う よ り剛 体 Ａ の 一 般 的 な運 動 方 程 式 で あ

る 。 これ らが コ マ の 運 動 方 程 式 に な る の は この 後 の作 業 に よ る 。 まず,こ

の コマ

に 関 す る 拘 束 は 支 点 Ｐが 原 点 Ｏ に 一 致 し て い る こ と で あ る か ら,拘 束 力 も支 点 Ｐ に働 く。 拘 束 力fopと

拘 束 トル クn'opが 考 え られ るが,ボ

ー ル ジ ョイ ン トの機

能 を考 え る と,ど の よ う な拘 束 力 が 働 きそ うか イ メ ー ジで きる で あ ろ う。 拘 束 力 や 拘 束 トル ク は,拘 束 を壊 す 働 き に抵 抗 し,拘 束 を 維 持 す る た め の 力 と トル ク で あ る 。 ボ ー ル ジ ョ イ ン トの拘 束 は 並 進 の三 方 向 を拘 束 して い る の に対 して 回転 は 自由 だ か ら,fopの

三 成 分 は い ず れ もゼ ロ 以 外 の 値 に な る可 能 性 が あ り,n'opは

三 成 分 と も常 に ゼ ロ と考 え る こ とが で き る 。 そ こ で,fopを して,FOAとN'OAを

重心位置 へ等価換算

作 る。

(15.4) (15.5) こ の 二 つ の 式 は,fopに

よ っ てFOAとN'OAを

表 し た も の で あ る 。 な お,fopは

ス

カ ラ ー レ ベ ル で 三 つ の 拘 束 力 を 含 ん で い て,そ

の 数 は ボ ー ル ジ ョ イ ン トの 拘 束 の

数 と 同 じ で あ る 。 式(15.2)と(15.4)か

次 の よ う に書 くこ とが で き る。

らfopを

(15.6) こ の 式 と,式(15.3),(15.5)を

用 い る と,拘

束 力 を消 去 で きる 。

(15.7) この 運 動 方 程 式 は ス カ ラ ー レベ ル で 三 つ の 式 を含 ん で い て,こ の 系 の運 動 学 的 自 由 度 と一 致 して い る。 さ て,支 点 Ｐ の 拘 束 は 次 の よ う に書 け る。

(15.8) こ の 式 の 時 間 微 分 か ら,VOAを

Ω'OAで 表 す こ と が で き る 。

(15.9)

こ の 式 を も う一 度 時 間 微 分 す る。

(15.10) こ れ を 式(15.7)に

代 入 し,整

rAPΩ'OArAPΩ'OAを

理 す る 。 そ の 途 中 で,式(6.7)を

Ω'OArAPrAPΩ'OAに

利 用 し て,

置 き 換 え る 操 作 が 必 要 に な る が,結

局,次

の

よ う に 書 くこ とが で き る。

(15.11) 左 辺 二 つ の 括 弧 内 は 同 じ で,支 が で き る(12.3節

点 Ｐ ま わ り の 慣 性 行 列 で あ り,PJ'OAと

書 くこ と

平 行 軸 の 定 理)。 右 辺 は 支 点 Ｐ ま わ り の ト ル ク で あ り,結

局,

こ の 式 は次 の よ う に な る。

(15.12) PN'OAは

,Ｐ 点 ま わ り の ト ル ク を 座 標 系 Ａ で 表 し た 代 数 ベ ク トル で あ る 。

  式(15.11),ま

た は,(15.12)が

な 剛 体 の 回 転 の 運 動 方 程 式(5.2)と り の 回 転 運 動 の 式 で あ り,重 式(15.12)は,剛

コ マ の 運 動 方 程 式 で あ る 。 式(15.12)は,自 同 じ形 に な っ て い る 。 式(5.2)は

心 が 並 進 運 動 を し て い て も,そ

重 心 Ａ まわ

の影響 を受け ない。

体 Ａ と慣 性 系 Ｏ の 両 方 に 固 定 さ れ た 点 ま わ り の 回 転 運 動 の 式 で

あ る 。 両 者 は 同 じ 形 で あ り,式(15.12)も

●

由

オ イ ラ ー の 運 動 方 程 式 と呼 ば れ る 。

コマ の シ ミ ュ レー シ ョン

  コ マ の 順 動 力 学 解 析 を数 値 計 算 で行 う場 合,こ

こで 求 め た運 動 方 程 式 以 外 に,

回転 姿 勢 と角 速 度 の 関 係 が 必 要 に な る 。 回 転 姿 勢 に は オ イ ラー 角 か オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ を 用 い れ ば よ く,オ イ ラ ー 角 〓

の 場 合 は 式(9.19)を,オ

メ ー タ の場 合 は式(9.12)の 添 え字 を変 え た もの,ま

イラーパ ラ

た は,拘 束 安 定 化 機 能 を持 つ

式(9.29)を 用 い る こ と に な る。   オ イ ラ ー 角 〓

を 用 い たMATLABプ

CD-ROMに

詳 し い 解 説 は 不 要 で あ ろ う 。 右 辺 を 計 算 す る 関 数e_koma_

20.mの 9.4節

収 録)の

ロ グ ラ ム(koma_20.m,付

録 の

中 に 上 記 に 求 め た 運 動 方 程 式 に 沿 っ た 計 算 手 順 が 含 ま れ て い る 。 こ れ を, のe_koma_120.mと

の 違 い で あ り,支

対 比 さ れ た い 。 最 大 の 差 異 は 一 般 化 座 標,一

般化速 度

点 Ｐ に 働 く力 の 計 算 の 有 無 で あ ろ う 。 グ ラ フ 出 力 は,表15.1

の と お り で あ る 。 な お,figure(12)とfigure(14)∼figure(16)の 動 ス ケ ー ル で は な い 。 下 限 は 計 算 結 果 の 最 小 値 の0.9倍 1倍

と し た 。 運 動 量,角

体,一

運 度 量 の 慣 性 座 標 系 Ｙ 軸 成 分(figure

定 値 で あ る 。 こ れ ら は 理 論 的 に は 一 定 の は ず だ が,数

法 な ど の 影 響 で,多

見 る と,2.6節

の 近 似 ボ ー ル ジ ョ イ ン トの コ マ と 比 べ

動 運 動 が ほ と ん ど減 衰 し て い な い 。 近 似 ボ ー ル ジ ョ イ ン トの ダ ン ピ ン グ が

表15.1koma_20.mの figure 

(1)∼figure 

(3)

figure  (4) figure 

値積分

少 の増 加 また は減 少 傾 向 を示 す こ とが あ る。

  figure(4)(図15.1)を て,章

限 は 最 大 値 の1.

エ ネ ル ギ ー の 数 値 計 算 結 果(figure(16))は,ほ

定 値 に 維 持 さ れ て い る 。 ま た,角

(12))も,大

と し,上

運 動 量 は 慣 性 座 標 系 の 成 分 が 示 され て い る 。 角 速 度 に 比

例 す る 減 衰 を ゼ ロ と す る と,全 ぼ,一

Ｙ 軸 は単 純 な 自

(5)∼figure 

出力

時間に対する重心位置 鉛 直 上 方 か ら眺 め た重 心 の軌 跡(Ｚ 成 分 に対 す る Ｘ 成 分)

(7)

時 間 に対す る オイ ラー 角

figure  (8)∼figure  (10)

時 間に 対す る運動 量(座 標 系 Ｏ)

figure 

時 間 に対 す る角運 動 量(座 標 系 Ｏ)

(11)∼figure 

(13)

figure  (14)

時 間に対 す る運動 エ ネル ギ ー

figure  (15)

時 間 に対 す るポ テ ンシ ャルエ ネル ギ ー

figure  (16)

時 間 に対 す る運動 エ ネル ギ ー とポ テ ンシ ャル エ ネ ルギ ー の和

figure 

アニ メ ー シ ョン

(17)

図15.1

鉛 直 上 方 か ら見 た コマ の 重 心 の 軌跡(歳 差 と章 動 の様 子)

表15.2koma_45.m,koma_1045.m(20.5節)の figure 

出 力

時 間 に対 す る重 心 位 置

(1)∼figure (3)

鉛 直 上方 か ら眺 めた 重心 の 軌 跡(Ｚ 成 分 に対 す る Ｘ 成分)

figure 

(4)

figure 

(5)∼figure 

figure 

(9)∼figure 

figure 

(12)∼figure 

(8) (11) (14)

時 間 に対 す る オ イ ラーパ ラメ ー タ

時 間 に対 す る 運動 量(座 標 系 Ｏ) 時 間 に対 す る角 運 動量(座 標 系 Ｏ)

figure  (15)

時 間 に対 す る運 動 エ ネ ルギ ー

figure(16)

時 間 に対 す る ポ テ ン シャル エ ネ ルギ ー

figure  (17)

時 間 に対 す る運 動 エ ネ ルギ ー とポ テ ン シ ャルエ ネル ギ ーの和

figure(18)

時 間 に対 す る オ イ ラー パ ラメ ー タの 二 乗和 か ら １を差 し引 い た値

figure  (19)

ア ニ メー シ ョ ン

章動 運 動 を 減 衰 させ て い た と推 定 さ れ る が,実 際 の コマ で も章 動 運 動 は減 衰 しや す く,何 らか の ダ ン ピ ング が 働 い て い る と思 わ れ る。   オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ を 用 い たMATLABプ CD-ROMに

ロ グ ラ ム(koma_45.m)も

載 せ て お こ う。 グ ラ フ 出 力 は,表15.2の

パ ラ メ ー タの 拘 束 は,koma

_145.mの

「

とお りで あ る。 オ イ ラ ー

場 合 ほ ど き れ い にゼ ロ に収 束 せ ず,僅

かに

乱 れ を残 して い る。 た だ し,僅 か で あ る か ら拘 束 は十 分 維 持 され て い る。   ボ ー ル ジ ョイ ン ト拘 束 は,近 似 ボ ー ル ジ ョイ ン トの バ ネ 定 数 と ダ ン ピ ング係 数 が 無 限 に 大 き くな っ た 状 態 と考 え る こ とが で き るが,運 異 な っ た もの に な る 。 近 似 ボ ー ル ジ ョイ ン トに は,現

動方程 式の形 はまった く

実 に 存 在 す る よ うな柔 らか

さを 含 ん で い る印 象 が あ る が,計 算 時 間 的 に は 不 利 で あ る。

● コマの定常歳差運動の初期値   コマ の 運 動 は 歳 差 運 動 と章 動 が 特 徴 的 で あ る。 こ こ で は 章 動 が な く,歳 差 運 動 だ け が 現 れ る よ うな 初 期 条 件 の 与 え方 を 考 え て み よ う。 こ の よ う な運 動 を定 常歳 差 運 動 と 呼 ぶ こ と に す る。 コマ は 重 心 に 固 定 し た 座 標 系 Ａ の Ｙ 軸 が 回 転 軸 で, 完 全 な 軸 対 称 性 が あ る と し,し た が っ て Ｘ 軸 と Ｚ 軸 ま わ りの 慣 性 モ ー メ ン トは 同 じ値 に な っ て い る とす る。 慣 性 乗 積 は ゼ ロで あ る 。 ま た,座 標 系 Ｏ の Ｙ 軸 が 鉛 直 上 方 を 向 い て い る と して い る。

  オイ ラー角 〓

で 回 転 姿 勢 を考 え る と,定 常 歳 差 運 動 の 場 合,θ2は

回 転 軸 の傾 き角 で一 定 で あ る 。 コマ の 回 転 軸eAYと 鉛 直 軸eoYを

コマ の

含 む平 面 Ｓ を考

え る と,こ の 平 面 は 鉛 直 軸 ま わ りに θ1の一 定 速 さ で 回 転 して い る と考 え る こ と が で き,こ の 回 転 が 歳 差 運 動 で あ る 。 平 面 Ｓ に対 して コマ の 回 転 軸 は 動 か ず, こ の平 面 に対 して コマ は ス ピ ン角 速 度 と呼 ぶ 一 定 速 さ θ3で回 っ て い る 。 コマ の 角 速 度 は,歳 差 角 速 度 とス ピ ン角 速 度 の和 と して,幾 何 ベ ク トル表 現 で 次 の よ う に 書 け る。

(15.13) こ の 幾 何 ベ ク トル は 平 面 Ｓ 内 に あ り,θ1も θ3も定 数 で あ る か ら,平 面 内 で は長 さ も向 き も変 化 しな い。 代 数 ベ ク トル表 現 で は次 の よ うに 書 け る。

(15.14) こ の 式 を,以 下 に示 す 方 法 と 同 じ よ う に 定常 歳 差 運 動 に 限 定 し なが ら運 動 方 程 式 (5.12)に 代 入 して も同 じ結 論 に到 達 で きる が,こ

こ で は,コ マ の角 運 動 量 に注 目

し,運 動 量 原 理 か ら定 常 歳 差 運動 を考 え て み よ う。 運 動 方 程 式 が,ま て い な い状 況 で の 考 え 方 で あ り,ま た,コ マ の 定 常 歳 差 運 動 は,角

だ,得

られ

運動 量 や 運 動

量 原 理 を 理 解 す る よ い事 例 で あ る。   Ｐ点 まわ りの 角 運 動 量PIIOAは,コ

マ の 慣 性 主 軸 の 方 向 に分 け て,次

の ように

書 け る。

(15.15) P J'OAXXとPJ'OAZZが

等 し い こ と を 利 用 す る と,こ

の 式 は 次 の よ う に 書 き換 え る こ と

が で きる 。

(15.16) Ω'OAは平 面 Ｓ に 固 定 され た 幾 何 ベ ク トル で あ り,Ω'OAYも 定 数 で あ る の で,こ 式 か ら,角 運 動 量 を 表 す 幾 何 ベ ク トルPIIOAも

の

平 面 Ｓ 内 に あ り,平 面 に対 して 長

さ も 向 き も変 化 しな い こ とが わ か る 。   代 数 ベ ク トル 表 現 で は,Ｐ 点 ま わ りの 角 運 動 量 は 式(15.14)を 用 い て,次

の式

で 計 算 で き る。

(15.17) COAとPJ'OAは

次 の よ う に書 け る。

(15.18)

(15.19) こ れ ら を 代 入 し,整

理 す る と,PIIOAは

次 の よ うに な る。

(15.20) θ2,θ1,θ3は

定 数 で あ る か ら,PIIOAの

時 間 変 化 は θ1の 時 間 変 化 に よ る も の だ け

で ある。

(15.21) こ の 時 間 変 化 は,平

面 Ｓ 内 で 一 定 のPIIOAが

に 対 応 し て い る 。PIIOAは,角

平 面 Ｓ と と も に 回 転 して い る こ と

運 動 量 原 理(14.4節)に

よ り,重

力 に よ る Ｐ点 ま

わ りの トル ク に等 しい 。

(15.22) す な わ ち定 常 歳 差 運 動 は,一 定 の 長 さで 一 定 の傾 き を持 つ 角 運 動 量PIIOAが 軸 まわ りを 回転 して い る現 象 で,そ

鉛直

の 回 転 を重 力 に よる トル クが 実 現 して い る と

いえる。 式(15.21)と(15.22)か

ら,次

の 式 が得 られ る。

(15.23)   この 式 を 満 た す よ う に,傾

き角 θ2,ス ピ ン角 速 度 θ3,歳 差 角 速 度 θ1を決 め て

初 期 値 を作 れ ば,定 常 歳 差 運 動 が 実 現 で きる 。 なお,こ

の 式 を θ1につ い て解 く

と二 つ の解 が得 られ る。 速 い 歳 差 と遅 い 歳 差 で あ る が,通 常 の コ マ で 体 験 す るの は 遅 い 歳 差 で あ る。   運 動 量 原 理 は,特

に,拘 束 力 や 拘 束 トル クが 働 か な い 部 分 系 や 方 向 に適 用 され

る 。 式(15.22)は,Ｐ

点 ま わ りの拘 束 トル ク が 働 い て い な い か ら成 立 す る の で あ

る 。 運 動 量 や角 運 動 量 の保 存 則 を適 用 す る場 合 も,当 然,拘 束 力 や 拘 束 トル ク は 働 い て い な い 。拘 束 力 や 拘 束 トル ク を意 識 して,そ れ らが 働 か な い 部 分 系 や 方 向 を見 つ け る こ とは,拘 束 力 消 去 法 の 考 え方 の一 部 と考 え る こ と もで き る。

Quiz15.1 

式(15.12)と 式(9.19)を 用 い て順 動 力 学 解 析 を 行 な い なが ら,支

点 Ｐ に働 く拘 束 力 を求 め た い 。 どの よ う に した ら よ い だ うか 。

15.2  質点系の拘束力消去法 拘 束 質 点 系 の 運 動 方程 式 は,各 質 点 に 働 く拘 束 力 を含 ん だ 形 で 次 の よ うに 与 え られた。 【12.44】

こ の 運 動 方 程 式 の 数 は ｖに含 まれ る変 数 の 数 だ け あ る が,ｖ はす べ て が 独 立 で は な い 。 ｖの拘 束 は 次 の よ う に与 え られ て い る 。 【13.36】

Φ は独 立 な拘 束 だ け を含 ん で い る とす る。 式(12 .44)に は ｖの 数 だ け拘 束 力 が 含 まれ て い る が,そ

の 中 で 独 立 な拘 束 力 は Φ の 数 だ け で あ る。 まず,ｆ

の中か ら

独 立 な拘 束 力 を選 択 し,他 の 拘 束 力 を こ の独 立 な拘 束 力 で 表 す 必 要 が あ る。 そ れ が 得 ら れ れ ば,式(12.44)を

用 い て す べ て の拘 束 力 を消 去 した 運 動 方 程 式 を 作 る

こ と が で き る 。 そ の 式 の 数 は ｖの 数 か ら Φ の 数 を 引 い た 数 に な る は ず で あ る。 た だ し,こ の段 階 の 運 動 方 程 式 は加 速 度 レベ ル の 変 数 が ｖ に な っ て い る。 運 動 方 程 式 の 数,す 数 で,そ

な わ ち,ｖ の 数 か ら Φ の 数 を 引 い た 数 は,独 立 な 一 般 化 速 度Hの

の独 立 な一 般 化 速 度 Ｈ を選 定 す る 。 そ して,式(13.36)を

利用す るな ど

して,ｖ を Ｈ で 表す 。 【13.10】

こ の 関 係 を 時 間 微 分 す れ ば ｖが Ｈ で 表 され ,先 ほ ど求 ま っ た 運 動 方 程 式 に代 入 す れ ば,加 速 度 レベ ル の 変 数 が Ｈ に な っ た 運 動 方 程 式 を得 る こ とが で き る。

15.3  剛体系の拘束力消去法   同 様 な 説 明 は 拘 束 剛 体 系 に 限 定 して も成 り立 つ 。 拘 束 剛 体 系 の 運 動 方 程 式 は, 重 心 位 置 に等 価 換 算 した拘 束 力 と拘 束 トル ク を含 ん だ形 で 次 の とお りで あ った 。 【12.62】 【12.63】

こ の 運 動 方 程 式 の 数 は,Ｖ

とΩ'に 含 ま れ る 変 数 の 数 だ け あ る が ,Ｖ

とΩ'の す

べ て が 独 立 で は な い 。 速 度 レベ ル の 拘 束 は 次 の よ う に与 え られ る。 【13.39】

Φ は独 立 な拘 束 だ け を含 ん で い る も の とす る。 式(12.62)と(12.63)に Ω'の 数 だ け 拘 束 力 が 含 ま れ て い るが,そ る。 まず,式(12.62)と(12.63)の

は,Ｖ

と

の 中 で独 立 な拘 束 力 は Φ の 数 だ け で あ

Ｆ と Ｎ'の 中 か ら独 立 な 拘 束 力 を 選 択 し,他 の

拘 束 力 を この 独 立 な拘 束 力 で 表 す 必 要 が あ る。 そ れ が 得 られ れ ば,式(12.62)と (12(63)を 用 い てす べ て の拘 束 力 を 消 去 した 運 動 方 程 式 が 得 られ る。 そ の 式 の 数 は,Ｖ

と Ω'の 数 か ら Φ の 数 を 引 い た 数 に な っ て い る はず で あ る 。 た だ し,こ

の 段 階 の 運 動 方 程 式 は加 速 度 レベ ル の 変 数 が Ｖ と Ω'に な っ て い る。 運 動 方 程 式 の 数,す

な わ ち,Ｖ

と Ω'の 数 か ら Φ の 数 を 引 い た 数 は,独 立 な 一 般 化 速 度

Ｈ の 数 で,そ の 独 立 な一 般 化 速 度 Ｈ を 選 定 す る 。 そ して,式(13.39)を 方 法 な ど に よ り,Ｖ

利用す る

とΩ'を Ｈ で 表 す 。

V=VHH+VH

【13.11】

Ω'=Ω'HH+Ω'H

【13.12】

この 関係 を時 間微 分 す れ ば Ｖ と Ω'が Ｈ で表 され,先 ほ ど求 ま っ た運 動 方 程 式 に 代 入 す れ ば,加 速 度 レベ ル の変 数 が Ｈ に な っ た運 動 方 程 式 を得 る こ とが で きる。

15.4  拘束力消去法の特徴など   連 続 的 に 質 量 が 分 布 した剛 体 な ど を含 む系 で は,系

を構 成 す るす べ て の 質 点 に

つ い て 式(12.44)を 作 る こ とは 不 可 能 で,近 似 的 に 考 え て も実 用 的 で は な い 場 合 が 多 い 。 また,連 続 的 に質 量 が 分 布 し た 剛体 な ど を 考 え る 場 合,そ 力 は 不 明確 で あ る。 した が っ て,多

の内部の拘束

くの 実 際 問 題 で は拘 束 剛 体 系 に対 す る方 法 を

用 い る こ とに な る。しか し,質 点 系 で 考 えて お くと本 質 的 な考 え方 を理 解 しや す い。   本 章 の 方 法 は,一

旦,拘

束 力 を考 慮 し,そ の 後,そ

れ ら を消 去 す る 方 法 で あ

る。 そ こ で,拘 束 力 消 去 法 と呼 ぶ こ と に す る。 も と に な る式 が,式(12.44),ま た は,式(12.62)と(12.63)で

あ り,そ れ らは ニ ュー トン とオ イ ラ ー の運 動 方 程 式

と呼 ん で 差 し支 え な い の で,こ の 方 法 をニ ュ ー トン ・オ イ ラ)の 運 動 方 程 式 を 利 用 す る 方 法 と呼 ぶ こ と もで き そ う で あ る。   拘 束 力 消 去 法 で は,拘 束 に 関 わ る二 つ の 側 面 を判 断 し,処 理 しな け れ ば な らな い 。 一 つ は拘 束 力 に 関 す る側 面 で あ り,も う一 つ は 拘 束 の 運 動 学 的 側 面 で あ る 。 拘 束 力 に 関す る側 面 で は,独 立 な拘 束 力 を選 択 し,そ れ に よ って 他 の拘 束 力 を表

す こ とが 必 要 で あ っ た。 こ の と き,個 々 の 拘 束 ご とに拘 束 力 を 分 析 しな け れ ば な ら な い。 そ して,独 立 な拘 束 力 を決 め る 判 断 は,独 立 な 一 般 化 速 度 を決 め る判 断 と類 似 で,今

の と こ ろ 人 の 判 断 力 に頼 っ た技 術 で あ る。 運 動 学 的 側 面 で は,独 立

な一 般 化 速 度 を選 択 し,そ れ に よ っ て 質 点 速 度 や 剛 体 重 心 速 度 と剛 体 角 速 度 を 表 す こ とが必 要 で あ る。 拘 束 は 本 来,運 動 学 的 な 量 の 間 の 関 係 式 と して 把 握 さ れ る の で,こ

ち らの 側 面 は比 較 的 容 易 に処 理 で きる 。 い ず れ に して も,拘 束 に 関す る

二 つ の 側 面 を考 慮 しな けれ ば な ら な い点 は,こ の 方 法 の 弱 点 で あ る。   式(12.44),ま

た は,式(12.62),(12.63)か

ら拘 束 力 を 消 去 す る と こ ろ が,こ

の 方 法 の鍵 で あ る。 独 立 な拘 束 力 を選 び,他 の拘 束 力 を独 立 な もの で 表 す 方 法 は 一 般 的 な定 型 化 が 難 しい 。 一 方,拘 束 力 を 除 外 す る別 の 方 法 が,運

動量原理 であ

る 。 こ の方 法 で は拘 束 力 の 影 響 を除 け る よ うな 部 分 系 と方 向 を見 つ け る こ とが 必 要 に な るが,こ

ち ら も一 般 的 な 定 型 化 は難 しい 。 拘 束 系 の取 り扱 い は 拘 束 力 を い

か に処 理 す る か が 鍵 で あ る。 第16章 程 式 を 除 い て,す

べ て,新

以後 の 方 法 は,第20章

の微分代 数型運動方

た な 力 学 原 理 を用 い て拘 束 力 を 考 え な い 方 法 で あ る 。

別 の い い 方 を す る と,物 理 学 の 立場 で は拘 束 力 の 本 質 は不 明 で あ り,次 章 以 降 に 説 明 す る新 しい 力 学 原 理 が 必 要 だ っ た の で あ る。 一 方,第20章

の微 分 代 数 型 運

動 方程 式 は,本 節 の 方 法 の 弱 点 に対 す る解 決 策 と考 え る こ と もで きる 。

Quiz15.2) 

新 し く学 ん だ 方 法 を しっ か り理 解 す るた め の 一 つ の手 段 は,で き

る だ け 簡 単 な事 例 で 確 か め て み る こ とで あ る。   ①:質

点 Ｐ が 原 点 Ｏ か ら一 定 の 長 さ ｂの紐 で ぶ ら下 が っ て い る単 振 子 の 運 動

方 程 式 を,拘 束 力 消 去 法 で 求 め よ。 この 問 題 は ２次 元 問 題 で,座 標 系 Ｏ の Ｙ 軸 は鉛 直 上 方 に 向 い て お り,Ｘ 軸 は水 平 で あ る。 質 点 の 質 量 はmP,重

力 の加 速 度

は ｇ とす る 。   ②:次

に,紐

の 一 端 Ｏ'を 座 標 原 点 に 固定 す るの で は な く,X-Y平

面 上 を動 か

す こ と にす る。 す な わ ち,roo'は 時 間 の 関 数 と して 与 え られ る 。 点 Ｏ'の 動 か し 方 はあ ま り急 激 で は な く,PO'間

の 長 さ は い つ も一 定 値 ｂに保 た れ て い て,紐 が

た る む よ うな こ とは な い とす る 。 こ の系 の 運 動 方 程 式 を拘 束 力 消 去 法 で 求 め よ。  ③:一

方,原

点 Ｏ に小 さ な 穴 が あ っ て,紐

は そ の 穴 を 通 して 長 さが 調 整 され

て い る とす る 。 す な わ ち,紐 の 長 さ ｂが 時 間 の 関 数 で 変化 す る もの とす る 。 この

図15.2 

単振 子,端 点 が 時 間の 関 数で 動 か され る単振 子,紐 の 長 さが 変 動 す る単 振 子

系 の 運 動 方程 式 を拘 束 力 消 去 法 で 求 め よ。   な お,以

上 の 簡 単 な事 例 は,次 章 以 降 で新 しい 方 法 を学 ん だ と き に も,確 認 の

た め に利 用 す る と よ い 。

第

16

章

ダ ラ ンベ ール の 原 理 を 利 用 す る方 法

  ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 は力 学 の 歴 史 上,理

論 上,そ

して,実 用 上 に お い て重 要 な

原 理 で あ る。 拘 束 力 学 系 の 運 動 方 程 式 の 導 出 は,こ の 原 理 を用 い て 説 明 され る こ とが 最 も多 い 。 さ ら に こ の 原 理 か ら ラ グ ラ ンジ ュ の 運 動 方 程 式,ハ

ミル トンの 原

理 へ と発 展 で き る。 しか し,こ の 原 理 を利 用 して ３次 元 剛体 系 や シ ンプ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ック な 系 の 運 動 方程 式 を立 て よ う とす る と,実 用 上 の 弱 点 にぶ つ か る。 そ の 弱 点 を 回 避 して 本 章 の 事 例 は ２次 元 の もの だ け を扱 っ た が,３ 次 元 問題 や シ ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ック な 問 題 が 扱 え な い わ け で は な い。 この 弱 点 につ い て,次 節 の 仮 想 パ ワー の原 理 と対 比 しな が ら読 む と分 か りや す い で あ ろ う。16.3節

と16.

4節 の事 例 を読 み に く く感 じる読 者 は,次 節 を 読 ん で か ら再 読 され た い 。

16.1 

拘 束 質 点 系(ホ

ロ ノ ミ ッ ク な 系 の 場 合)

質 点 系 を対 象 と した ダ ラ ン ベ ー ル の 原 理 は次 の よ う な式 で表 され る。

(16.1) ｆは 各 質 点 に 働 く作 用 力 で あ り,mvに

負 号 を 付 け た もの は慣 性 力 と呼 ば れ る 。

す な わ ち 括 弧 内 は作 用 力 と慣 性 力 の 和 で あ る。 δrは 仮 想 変 位(図16.1参

照)と

呼 ば れ,次 の よ う な列 行 列 で あ る 。

(16.2)

δrの 成 分 は 系 を構 成 す る す べ て の 質 点 の 仮 想 変 位 で あ り,各 質 点 の 仮 想 変 位 δrojは座 標 系 Ｏ で 表 され たXYZの

三 成 分 か らな っ て い る。 剛 体 振 子 は 多 数 の 質

点 か らで きて い る と考 え る こ とが で き る が,そ

の全 質点 の仮想 変位 を考 えてい

る。 た だ し,こ れ は 次 の 三 つ の 事 柄 を 満 た す 必 要 が あ る。

①

運 動 の各 瞬 間,時 た後,そ

間 を止 め て系 を構 成 す る全 質 点 の 位 置 と速 度 を凍 結 し

の位 置 に与 え る無 限小 の 変 位 で あ る。

②

拘 束 条 件 を満 た す 範 囲 で 与 え られ る変 位 で あ る 。

③

許 され る範 囲 で,任

意 の,あ

る い は,可 能 なす べ て の 変 位 を考 え,そ の

す べ て に対 して 式(16.1)が 成 立 す る 。 剛体 振 子 の場 合,各 質 点 に 与 え る仮 想 変 位 は剛 体 を維 持 す る よ うに 与 え な け れ ば い け な い。 また,ピ い。 結 局,許

ン ジ ョ イ ン トの 拘 束 も維 持 す る よ う に 与 え な け れ ば な ら な

さ れ る 範 囲 の 可 能 な変 位 とは ,振 子 の 角 度 θOAの 仮 想 変 位 δθOAだ

け で あ り,そ れ に よ っ てす べ て の 質 点 の仮 想 変 位 δrが決 まっ て くる。   式(16.1)の 左 辺 は,仮 想 変 位 が 作 用 力 と慣 性 力 の 和 に よ っ て 生 み 出 す 仕 事(注) を系 全 体 につ い て加 え 合 わせ た もの で あ り,仮 想 仕 事 と呼 ば れ て い る 。 ダ ラ ンベ ール の原理 とは

,系 全 体 に わ た っ て 加 え合 わせ た こ の よ うな 仮 想 仕 事 は 常 に ゼ ロ

に な る,と い う も の で あ る。 剛 体 振 子 の場 合,作

用 力 は重 力 だ け で あ り,慣 性 力

も重 心 に 働 く と考 え れ ば よい の で,こ れ ら と重 心 の 仮 想 変 位 δROAか ら並 進 運 動 に 関 す る仮 想 仕 事 が 求 ま る。 ま た,慣 性 トル ク と仮 想 の 回転 変 位 δθOAか ら回 転 運 動 に 関す る仮 想 仕 事 を作 る こ とが で き る ので,両

者 を合 計 して系 全 体 の仮 想 仕

事 とす れ ば よ い(次 節 参 照)。 作 用 力 が 重 心 以 外 に 働 く場 合 も,重 心 位 置 に等 価 換 算 した 力 と トル ク を用 い て 求 め る こ とが で き る。 あ る い は,重 心 に 等 価 換 算 せ ず に,作 用 力 が 働 く点 の 仮 想 変 位 を用 い て 仮 想 仕 事 を計 算 す る こ とが で き る。

図16.1実

変 位driと

仮 想 変 位 δri

riは ｒの ｉ番 目 の ス カ ラ ー 成 分

(注)力 の 作用 点 が微 小 変 位 す る と微 小 仕 事 に な り,そ の積 分 値 が仕 事 で あ る。 これ は エ ネ ルギ ー と 同 じ単位 で表 され る。

  時 間 を止 め て 仮 想 変 位 を考 え る とい う こ とは,時 い とい う こ とで,数

間 に 依 存 す る 変位 は 考 慮 しな

学 的 に は,時 間 を定 数 と して 扱 う こ と に な る 。 実 際 に は,時

間依 存 の拘 束 が あ る 場 合 に,時 間 を止 め る 意 味 が 明 確 に な る。   仮 想 変 位 は 拘 束 条件 を満 た さな け れ ば な らな い が,ホ

ロ ノ ミ ッ クな 位 置 レベ ル

の 拘 束 は 一 般 に非 線 形 で あ る か ら,無 限 小 の 変 位 を 考 え る こ と に な る。 式(13. 34)か ら,δrが 受 け る拘 束 は次 の よ うに 表 さ れ る 。

(16.3) こ の 式 は 式(13.34)の

ｒ にr+δrを

で あ る 。 一 方,式(13.2)か

代 入 し,δrを

ら 仮 想 変 位 δrは,独

微 少 量 と して 一 次 近 似 し た もの 立 な 仮 想 変 位 δQに

よって次 の

よ う に表 され る。

(16.4) こ の 式 は 式(13.2)の

Ｑ にQ+δQ,ｒ

にr+δrを

代 入 し て,δQと

δrを 微 少 量 と

して 一 次 近 似 した もの で あ る。 これ ら の操 作 は時 間 を固 定 して 行 わ れ て い る。 式 (16.4)は

δrの 拘 束 を 式(16.3)と

5)のR,〓,Eも

式(16.4)と

列 で は な い の で,そ

は 別 の 形 で 表 し た も の で あ る 。 式(13.3)∼(13. 同 様 に 表 す こ と が で き る 。 式(13.6)の

の ま ま Ｑ で 偏 微 分 す る こ と は で き な い が,多

の よ う な Ｑ に 無 関 係 な 列 行 列 と の 積 に な っ て い て,Cr0を な ど,工

Ｃ は列 行 く の 場 合 はr0

まとめて偏微 分す る

夫 で き る は ず で あ る 。 δR∼ δCは 剛 体 系 の 場 合 に 必 要 に な っ て く る 。

  式(16.4)を

式(16.1)に

代 入 す る と 次 の 式 が 得 られ る。

(16.5) 許 さ れ る 範 囲 で任 意 の,ま た は,す べ て の 仮 想 変 位 を考 え る とい う こ とは,独 立 な 仮 想 変 位 を任 意 に 取 る とい う こ と で あ る。 ホ ロ ノ ミ ッ ク な系 で Ｑ が 独 立 な 場 合,δQに

任 意 な値 を与 え て も この 式 が 成 立 す る こ とか ら,次 の 式 が 得 られ る。

(16.6) 速 度 ｖを 独 立 な 一 般 化 速 度 Ｈ で 表 し,そ の 時 間 微 分 を こ の 式 に代 入 す れ ば,ｖ の 代 わ り に Ｈ を 用 い た表 現 が 得 られ る 。 そ れ が 求 め る運 動 方 程 式 で あ る 。

  質 点 系 を中 心 に 説 明 して きた が,剛 体 系 で も考 え 方 は 同 じで あ る。 剛 体 系 の 場 合 は,仮 想 の 並 進 変 位 が 作 用 力 と慣 性 力 の和 に よ っ て 作 り出 す 仮 想 仕 事 に加 え て,仮 想 の 回 転 変 位 が 作 用 トル ク と慣 性 トル ク の和 に よ って 作 り出 す 仮 想 仕 事 も 考 え,そ れ ら の和 が 常 に ゼ ロ に な る と考 え る。 そ の よ う な 仮 想 仕 事 の 表 現 を作 り,仮 想 並 進 変 位 と仮 想 回 転 変 位 を独 立 な 一 般 化 座 標 の 仮 想 変 位 で 表 せ ば,後

は

質 点 系 の場 合 と 同 じ方 法 で 運 動 方程 式 を求 め る こ と が で き る。

16.2事

例:剛

体振 子

  11.1節 に 説 明 した 剛 体 振 子 の運 動 方 程 式 を求 め て み よ う。 剛 体 振 子 は 鉛 直 な ２ 次 元 平 面 内 を 運 動 す る の で,は

じめ か ら ２次 元 問 題 と して扱 う こ と にす る。 ２次

元 平 面 を運 動 す る 自 由 な 剛体 の 自 由 度 は ３で あ る が,ピ

ンジ ョイ ン トの拘 束 が あ

り,２ 次 元 の ピ ン ジ ョイ ン トは ２自 由度 を拘 束 す る。 そ の 結 果,剛 体 振 子 は 自 由 度 １の ホ ロ ノ ミ ッ ク な 系 に な る。 独 立 な一 般 化 座 標 を振 子 の傾 き角 θOAと す る 。 こ れ は,座 標 系 Ａ の 座 標 系 Ｏ に対 す る 回 転 角 で あ る 。 独 立 な 一 般 化 速 度 に は θOAの 時 間微 分 ωOAを 用 い る こ と に す る 。   剛 体 系 の 仮 想 仕 事 は 並 進 運 動 に よ る もの と 回転 運 動 に よ る もの の 和 と して捉 え る こ とが で き,２ 次 元 剛 体 Ａ を対 象 と し た ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 は 次 の よ う に 表 現 で き る。

(16.7) δROAは 重 心 の 仮 想 の 並 進 変 位 で あ り,δ θOAは 仮 想 の 回 転 変 位 で あ る。FOAと nAは 重 心 位 置 へ 等 価 換 算 した 作 用 力 と作 用 トル ク,JAは メ ン トで,-MAVOAと

重 心 ま わ りの慣 性 モ ー

両JAωOAは 慣 性 力 と慣 性 トル ク で あ る。 ２次 元 剛 体 を対

象 と して い る の で 慣 性 トル ク の 表 現 に ３次 元 の よ う な複 雑 さ は な い 。 ま た,nA とJAも 一 つ の 添 え 字 で 十 分 で あ り,２ 次 元 剛 体 の 回転 運 動 を 表 す 量 に ダ ッ シ ュ を付 け た 記 号 を用 い る こ と も な い。   剛 体 振 子 の場 合,δ θOAは独 立 な 一 般 化 座 標 の 仮 想 変 位 で あ る か らそ の ま ま で よい が,δROAは す る。

δθOAで 表 す 必 要 が あ る 。 そ の た め に,ま ず,ROAを

θOAで 表 現

(16.8) こ の 関 係 は,剛

体 振 子 の 図 を 描 く と 直 ち に 得 ら れ る が(図11.5),剛

体 Ａ上の点

Ｏ'が Ｏ に 一 致 し て い る 拘 束 か ら 数 式 操 作 で 求 め る こ と も で き る(た (16.31)でrOO'(t)=0と 固 定 し,仮 ROA+δROAに

とえ ば

す れ ば よ い)。 仮 想 変 位 の 関 係 を 求 め る に は,ま

式

ず時間 を

想 的 に θOAを θOA+δ θOAに 変 え た と 考 え る 。 そ れ に 伴 い,ROAは な る が,こ

れ ら を 式(16.8)に

代 入 し,仮

想 変 位 が い ず れ も無 限 小

量 で あ る こ と を利 用 して 線 形 近 似 す れ ば 次 の式 が得 ら れ る 。

(16.9) こ の 式 を 求 め る 場 合,時 (16.31)の

よ う に,時

に な る 。 さ て,こ

間 を 固 定 す る 意 味 は 陽 に は 現 れ て い な い 。16.9節

間 ｔが 式 の 中 に 入 っ て い る 場 合,時

の 式 を 式(16.7)に

の式

間固定 の意味 が明 らか

代 入 す る と次 の よ うに な る。

(16.10) こ の式 で δθOAは 無 限 小 量 で あ る が 任 意 の値 を取 る こ とが で き,そ の す べ て の値 に対 して この 等 式 が 成 立 す る 。 そ の た め に は,次 式 の 成 立 が 必 要 で あ る。

(16.11) こ れ で,仮 想 変 位 を取 り除 くこ とが で きた 。  作 用 力 と して は 重 力 だ け が 働 い て い る とす る と,nAは

ゼ ロ で あ り,FOAは

次

の よ う に書 け る 。

(16.12) ｇ は 重 力 の 加 速 度 で あ る 。 式(16.8)を

二 回 時 間 微 分 す る と,VOAを

求 め る こ とが

で きる 。

(16.13) こ れ ら を式(16.11)に 代 入 し,整 理 す れ ば 運 動 方 程 式 が で きあ が る。

(16.14) 左 辺 カ ッ コ 内 は Ｏ'点(Ｏ

点)ま

わ りの慣 性 モ ー メ ン トで あ る 。 右 辺 は 重 力 に よ

る Ｏ 点 ま わ りの トル ク で あ り,こ の 式 は,Ｏ 点 ま わ りの 慣 性 トル ク と作 用 トル ク の和 が ゼ ロ に な っ て い る こ と を示 して い る 。 拘 束 トル クが 働 い て い ない た め,Ｏ 点 まわ りの 回 転 運 動 につ い て 運 動 量 原 理 を適 用 す れ ば直 ち に求 まる 関 係 で あ る 。   式(16.8)のROAは,２

次 元 の 座 標 変 換 行 列COAを

とが で き る。 ま た,rAO'はdYbで こ の よ う な記 号 と10.2節 き,式(16.14)よ

あ り,式(16.12)の

用 い て-COArAO'と 重 力 は-dYMAgと

の 方 法 を用 い れ ば,δROA,VOAな

書 くこ 書 け る。

どを簡潔 に表 現 で

り前 に は三 角 関 数 が 表 面 に現 れ る こ と もな い 。 そ し て最 後 に式

(16.14)に 到 達 で き る。 これ か ら 出 て く る ２次 元 の事 例 で は,こ 用 す る の で,読 者 は 本 節 の 事 例 で,δROA,VOAが

れ ら の記 号 を活

どの よ うに な る か,式(16.14)

に到 達 で き る か な ど,簡 潔 な表 現 方 法 を練 習 して お くと よい 。   こ こ で は,始 め か ら ２次 元 問 題 と して 剛 体 振 子 の 運 動 方 程 式 を導 い た 。 ３次 元 の 剛 体 を ３次 元 の ピ ン ジ ョイ ン トを用 い て 空 間 に 結 合 した と考 え て も同 じ １自 由 度 の 剛 体 振 子 を作 る こ とが で きる。 しか し,２ 次 元 問 題 で 解 決 で き る 問題 は ２次 元 で扱 う ほ うが 簡 単 で あ り,さ ら に,ダ

ラ ンベ ー ル の 原 理 に は16.5節

に説 明 す

る弱 点 が あ る 。 ３次 元 問 題 と して 扱 う方 法 を検 討 して み る こ と は 理解 を深 め る た め に役 立 つ が,ま

16.3拘

ず,次

束 質 点 系(シ

章 まで 学 び,そ の 後 は読 者 の 努 力 に 委 ね る こ とに す る。

ン プル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な 系 の 場 合)

  シ ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ッ ク な拘 束 が あ る場 合,仮 想 変 位 は そ の 拘 束 を満 た す こ と も求 め られ て い る 。 した が っ て,ホ

ロ ノ ミ ッ ク な拘 束 も含 め て 次 の 式 を満 た す

必 要が ある。 Φvδr=0

(16.15)

独 立 な 仮 想 変 位 の 数 は 独 立 な一 般 化 速 度 の 数 と同 じで あ り,独 立 な 一 般 化 座 標 Ｑ の数 よ り少 な い 。す な わ ち,Ｑ は 独 立 で も δQは す べ て が 独 立 で は な く,そ の 代 わ りに,独 立 な 一 般 化 速 度 の仮 想 の変 化 分 Ｈ に仮 想 の無 限 小 時 間 δtを掛 け た よ う な量Hδtを

独 立 な仮 想 変 位 と考 え る こ とが で き る。 な お,こ

こ で,一 般 化

速 度 の 仮 想 変 化 分 Ｈ が 出 て きた 。 以 下 に は 速 度 の 仮 想 変 化 分 ｖが 出 て くる。 こ れ らは仮 想 速 度 と呼 ば れ る量 で,次 章 に説 明 が あ る。 本 節 と次 節 の事 例 は,次 章 を学 ん だ 後 に再 読 す る ほ うが 理 解 し易 い と思 わ れ るの で後 まわ しに して も よ い 。

  式(13.10)で,独

立 な 一 般 化 速 度 Ｈ の 仮 想 の 変 化 分 Ｈ に 対 す る ｖの 仮 想 の変

化 分 ｖを求 め る と,時 間 を 固 定 し て考 え,次 の よ うに な る(第17章

参 照)。

v=vHH

(16.16)

こ の 式 に時 間 の 単 位 を持 つ 仮 想 の 無 限 少 量 δtを掛 け れ ば 仮 想 変 位 δrと して 扱 え る。

(16.17)

δr=vδt=ｖHHδt

式(13.11)か

ら も類 似 な 表 現 の δRを

作 る こ と が で き る 。 式(13.12)の

や δRに 相 当 す る 項 に は 擬 座 標 と 呼 ば れ る も の が 必 要 に な る が,そ ず に,Ω'δtを

そ の ま ま 仮 想 変 位 と し て 扱 う こ と が で き る(16.5節

  式(16.17)を

式(16.1)に

場 合,δr

の 表 現 は用 い 参 照)。

代 入 す る と次 の 式 が 得 られ る。

(16.18) こ の式 で,Hδtは

独 立 で任 意 な値 を与 え て も等 式 が 成 立 す る こ とか ら,次 の 運 動

方 程 式 が 成 立 す る こ と に な る。

(16.19) こ の 式 は 第18章

に 出 て くる ケ イ ン型 の 運 動 方 程 式 で あ る が,こ

こ で は仮 想 変 位

の 考 え 方 とそ こか ら運 動 方 程 式 を 導 く手 順 を理 解 す れ ば よい 。 最 後 に,速 度 ｖを 独 立 な一 般 化 速 度 Ｈ で 表 し,そ の 時 間 微 分 を代 入 す れ ば,ｖ の 代 わ りに Ｈ を用 い た 表 現 に な り,運 動 方程 式 が 得 られ る。

16.4事   13.3節

例:舵

付 き帆掛 け舟

に 舵 付 き 帆 掛 け 舟 の 説 明 が あ り,13.6節

の 式(13.26)が

舵 の拘 束 で あ

る 。 こ の式 は 次 の よ うに書 き直 せ る 。

(16.20)

V'OAY=-rAPXωOA

舵 付 き帆 掛 け 舟 は ２次 元 モ デ ル で,幾 何 学 的 自由 度 は ３で あ る が 運 動 学 的 自 由度 は ２で あ る。 独 立 な 一 般 化 速 度 に は,V'OAXと を 用 い てVOAを

ωOAを 用 い る こ と にす る。 こ の 式

独 立 な一 般 化 速 度 で 表 す と次 の よ う に な る 。

(16.21) ２ 次 元 剛 体 Ａ の 座 標 変 換 行 列COAは

式(10.5)で

与 え ら れ て い る 。 さ て,こ

の式

のV'OAXにV'OAX+V'OAXを,ωOAに と の 式 を 差 し引 け ば,次

ωOA+ωOAを,VOAにVOA+VOAを

代 入 し,も

の 仮 想 速 度 の 関 係 が 得 ら れ る(第17章

参 照)。

(16.22) こ の 式 に δtを掛 け て,仮 想 変 位 と結 び つ け る こ とが で きる。

(16.23) こ の 式 変 形 の 最 初 の 段 階 で,δROAをVOAδtと δθOAと し た 。 そ し て,V'OAXδtと

後 の 段 階 で,ωOAδtを

δθOAを 独 立 な 仮 想 変 位 と す る こ と が で き る 。

  舵 付 き帆 掛 け 舟 は ２ 次 元 モ デ ル で あ る か ら,ダ 場 合 と 共 通 で,式(16.7)を

し,最

ラ ンベ ー ル の 原 理 は 剛 体 振 子 の

用 い れ ば よい 。 【16.7】

こ の 式 に 式(16.23)を ら,次

代 入 し,V'OAXδtと

δθOAが 独 立 に 任 意 の 値 を 取 れ る こ と か

の 二 つ の 式 が 得 られ る。

(16.24) (16.25) 式(16.21)か

らVOAを

求 め る と次 の よ う に な る 。

(16.26) こ れ を代 入 して整 理 す れ ば,次 の 運 動 方 程 式 に な る。

(16.27) (16.28) 舵 付 き帆 掛 け舟 の場 合,風 方 程 式 は役 立 つ が,こ

の運 動

れ らの 作 用 力 や作 用 トル ク を求 め る こ とが 簡 単 で は な い 。

  な お,V'OAXδtは,V'OAXが め,こ

や 水 か ら受 け る力 を 具 体 的 に把 握 で きれ ば,こ

ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク(積 分 で き な い)変

数 で あ るた

の ま まの 形 で 扱 っ た 。 こ れ を δ〓 な ど と置 い て も よ く,そ の と き,〓 は 擬

座 標 と呼 ば れ る 。

16.5拘

束 剛体系

式(16.1)は す べ て の 質 点 につ い て 仮 想 仕 事 を計 算 す る 形 に な っ て い る が,実 際

に は作 用 力 と作 用 トル ク,慣 性 力 と慣 性 トル ク が働 く点 だ け を考 えれ ば よ い。 剛 体 系 の 場 合,慣

性 力 や 慣 性 トル ク は 重 心 加 速 度 と角 加 速 度 な どで 求 ま り,ま た,

作 用 力 と作 用 トル ク が働 く点 は有 限個 に 限 定 で きる こ とが 多 い の で,そ れ らの 点 の 仮 想 仕 事 を計 算 して,合 計 す れ ば系 全 体 の 仮 想 仕 事 に な る。 特 に,す べ て の作 用 力 と作 用 トル ク を重 心 位 置 へ 等 価 換 算 して 取 り扱 う と,そ れ らの 数 は 剛 体 の 数 と 同 数 に な る。 そ の 場 合 は,16.2節,16.4節

の事 例 で示 した よ う に,重 心 位 置

で 考 え た並 進 運 動 と 回転 運動 だ け を考 え れ ば よ く,わ か り易 い。   た だ し,３ 次 元 剛 体 系 の 場 合,一 般 の 回転 運 動 に対 応 した慣 性 トル ク が 生 み 出 す 仮 想 仕 事 を直 接 計 算 す る た め に は,仮 想 変 位 に擬 座 標 が 必 要 に な る 。 こ れ は, ３次 元 の 角 速 度 を,そ

の ま ま積 分 した 回 転 姿 勢 が 存 在 しな い た め で あ る が,分 か

り難 い 。 そ の代 わ り と し て,16.3節 る。 一 方,次

で 触 れ た よ う に,Ω'δtを 用 い る 方 法 が あ

章 に述 べ る仮 想 パ ワ ー の 原 理 で は この 擬 座 標 の概 念 を必 要 と しな い

の で 分 か り易 い 。 ま た,オ イ ラ ー角 な ど を用 い れ ば,ダ

ラ ンベ ー ル の 原 理 で も ３

次 元 剛 体 系 を擬 座 標 な しで 扱 う こ とが で き る。 こ れ につ い て は 次 章 で 説 明す る 。

16.6裏

の表 現

式(16.1)は

次 の よ うに 書 い て も よ い。

(16.29)

8rTmv=δrTf

一 方 ,拘 束 力 を含 ん だ形 の 質 点系 の 運 動 方 程 式 は次 の 通 りで あ っ た 。 mv=f+f こ の 式 に 左 か ら δrTを 掛 け,式(16

【12.44】

.29)と 対 比 す る と 次 の 式 が 得 ら れ る 。

(16.30)

δrTf=0

こ の 式 は ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 の,裏 の 表 現 で あ る。 こ れ に 対 し,式(16 は,(16.29)を

.1),ま

た

表 の 表 現 と呼 ぶ 。 裏 の 表 現 は,仮 想 変 位 と拘 束 力 に よ っ て生 み 出

さ れ る系 全 体 の 仮 想 仕 事 が,常

に,ゼ

ロ に な っ て い る こ と を 意 味 して い る。 「拘

束 力 は 仕 事 を し な い 」 とい う表 現 が あ るが,そ

れ は こ の式 の こ とで あ る 。

  上 記 の 説 明 で は,表 の 表 現 を原 理 と認 め る立 場 か ら,裏 の 表 現 を説 明 した 。 逆 に,裏 の 表 現 を 原 理 と認 め れ ば,表 の 表 現 が 導 か れ る。 両 者 は そ の よ うな 関 係 に あ る。 一 方,静

力 学 に は 仮 想 仕 事 の原 理 が あ り,ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 は,そ の 動

力 学 版 で あ る。 慣 性 力 とい う概 念 を作 り,時 間 を止 め て,静 力 学 の 仮 想 仕 事 の 原 理 を適 用 した もの とい うこ とが で き る。 そ して,静

力 学 の仮 想 仕 事 の 原 理 に も表

の 表 現 と裏 の 表 現 が あ り,裏 の 表 現 は,静 力 学 も動 力 学 も 共 通 で あ る 。 そ の た め,裏

の 表 現 が 原 理 と呼 ば れ る もの に ふ さ わ しい とす る考 え 方 が あ る。 一 方,拘

束 力 と呼 ばれ る力 の 実 態 は 物 理 学 で 追 求 し難 い もの で あ る た め,拘 束 力 を 考 え な い 表 の 表 現 こ そ が 原 理 だ とす る考 え方 もあ る。   ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 が 日常 の 経 験 に 照 ら して 妥 当 な もの で あ る こ とを納 得 した い と考 え る の は,当 然 の こ とで あ る。 そ の た め に は,個

々 の 拘 束 ご とに裏 の 表 現

が 成 立 し て い るか 否 か を 考 察 し て み る の が よ い 。 個 々 の拘 束 ご と に見 る と拘 束 力 が 仮 想 変 位 に よ って 仕 事 を生 み 出 して い な い こ と に気 づ くは ず で あ る 。 コマ の ボ ー ル ジ ョイ ン トに働 く拘 束 力 ,剛 体 振 子 や 二 重 剛 体 振 子 の ピ ン ジ ョイ ン トに働 く 拘 束 力,舵

付 き帆 掛 け 舟 の 舵 に働 く拘 束 力 の い ず れ も仮 想 変 位 に対 して仕 事 を し

て い な い 。 拘 束 ご とに 考 えて 仮 想 仕 事 が ゼ ロ で あ れ ば,当 然,系 全 体 の仮 想 仕 事 は ゼ ロで あ る 。 た だ し,こ の こ とが 成 立 す る の は次 に述 べ る滑 らか な拘 束 の 範 囲 で ある。

16.7滑

らか な拘束

  三 質 点 剛 体 Ａ の 各 質 点 間 の拘 束 力 は作 用 反 作 用 の 関 係 に あ っ た 。 三 質 点 剛 体 の 仮 想 変 位 は,座 標 系 Ａ の 原 点 の無 限小 変 位 と無 限 小 回転 で 表 され る が,そ

の

仮 想 変 位 に よ っ て作 用 反 作 用 の 関係 に あ る拘 束 力 の組 は 仕 事 を しな い 。 した が っ て,三

つ の 拘 束 力 の 組 を 合 計 して も,当 然,拘

束 力 は仕 事 を しな い 。 ３次 元 二 重

剛 体 振 子 に は 二 つ の ピ ン ジ ョイ ン トが 使 わ れ て い る。 慣 性 空 間 Ｏ と剛 体 Ａ の 間 の ピ ン ジ ョイ ン ト部 は 拘 束 力 の働 く方 向 に仮 想 変 位 が 生 じる こ とは ない 。 唯 一 の 変 位 は ピ ン ま わ りの 回 転 だが,こ

の 回転 方 向 に は拘 束 トル ク は働 い て い な い 。 ま

た,剛 体 Ａ と剛 体 Ｂ との 間 の ピ ン ジ ョイ ン トに 働 く拘 束 力 はす べ て 作 用 反 作 用 の 関 係 に あ る 五 組 の 力 ま た は トル ク で あ る 。 仮 想 変 位 の 方 向 は,剛 体 Ａ 側 も Ｂ 側 も 同 じ変 位 に な る た め,仮 想 仕 事 は相 殺 しあ っ て い ず れ の 方 向 に も生 じ な い 。 こ の よ う に,多

くの 拘 束 で は,拘 束 力 が 仮 想 変 位 に よ っ て 仕 事 を す る こ と は な

く,系 全 体 の 仮 想 仕 事 は ゼ ロ に な る。 逆 に,仮 想 仕 事 を しな い 拘 束 を滑 ら か な 拘

図16.2上

束 とい い,ダ

下 動 す る水 平面 上 に支点 Ｐ を拘 束 され た コマ Ａ

ラ ンベ ー ル の 原 理 は滑 らか な拘 束 に対 して成 り立 つ の で あ る。

  コマ Ａ の 支 点 Ｐ が,上 下 動 す る 水 平 面 上 に拘 束 さ れ て い て,そ 下 動 は 時 間 の 関 数 と して与 え られ て い る とす る(図16

の水 平 面 の 上

.2)。 こ の コマ の場 合,支

点 Ｐ は水 平 面 上 を 自 由 に移 動 で きる 。 滑 らか な拘 束 の 場 合,支

点 Ｐ に働 く拘 束

力 は水 平 面 に 垂 直 で,仮 想 変 位 は水 平 で あ るか ら仮 想 仕 事 は生 じ ない 。 こ れ に対 し て,水 平 面 に沿 っ て 摩 擦 力 が働 くと し,そ の 摩 擦 力 が 垂 直 方 向 の拘 束 力 に摩 擦 係 数 を掛 け た もの と考 え る と,そ の よ う な摩 擦 力 は,水

平 面 に沿 っ た 仮 想 変 位 に

よ っ て仮 想 仕 事 を生 み 出 して し まい,拘 束 力 が 仮 想 仕 事 を生 み 出す こ と に な る 。 こ の場 合 は滑 らか で な い拘 束 とい う こ と に な り,ダ な い。 なお,拘

ラ ンベ ー ル の 原 理 は 適 用 で き

束 力 に依 存 しな い摩 擦 力 な らば作 用 力 と して扱 う こ とが で き,ダ

ラ ンベ ー ル の 原 理 に反 す る こ と は な い。 剛 体 振 子 の ピ ン ジ ョイ ン トに摩 擦 トル ク が 働 く場 合 に も,同 様 な配 慮 が 必 要 で あ る 。

16.8時

間 を止 め る意 味

  引 き続 き,上 下 動 す る水 平 面 上 に支 点 Ｐ が 拘 束 さ れ て い る コマ を考 え る。 そ して,こ

こ で は,拘 束 力 に依 存 す る摩 擦 力 は働 か ず,拘

束 は 滑 らか で あ る とす

る。 点 Ｐ の 仮 想 変 位 は こ の水 平 面 か ら外 れ る こ と は で き な い 。 仮 想 変 位 を 考 え る と き,時

間 を 止 め た が,そ

れ に よ り,水 平 面 の 上 下 動 は な くな り,点

Ｐの仮

想 変 位 の方 向 は 完 全 に水 平 方 向 とい う こ と に な る。 点 Ｐ に働 く拘 束 力 は 面 に 垂

直 で あ る か ら,点

Ｐ は 仮 想 仕 事 を 生 み 出 さ な い 。 も し,時 間 を止 め な い と,時

間 関 数 で 与 え られ た 水 平 面 の上 下 動 が 生 じ る の で,点

Ｐ の 仮 想 変 位 も上 下 方 向

の成 分 の持 っ て しま い,仮 想 仕 事 が ゼ ロ以 外 の値 に な っ て しま う。 これ が,時

間

を止 め る意 味 で あ る 。

16.9

事例:時 間の関数と して支点を動かす剛体振子

  13.2節 の ２次 元 剛 体 振 子 で は ０'の ０ に一 致 させ た が,本

説 で は 点 ０'を 時 間

の 関 数 と して 平 面 内 を動 か す モ デ ル の 考 え る。 こ の モ デ ル も 自 由度 １の ホ ロ ノ ミ ッ ク な系 で あ り,独 立 な 一 般 化 座 標 を θOA,独 立 な 一 般 化 速 度 を ωOAと す る 。 な お,θOAは

座 標 系 Ａ の 座 標 系 ０ か ら見 た 回 転 角 で,０'か

ら Ａ に 向 か う幾 何 ベ ク

トル の鉛 直 下 方 か ら の傾 き角 で あ る 。 まず,位

置 の 三 者 の 関 係 と して,次 の 式 が 成 立 す る。

(16.31) こ の 式 のCOAは ず れ も2×1の

式(10.5)の

２ 次 元 の 座 標 変 換 行 列 で あ り,そ

列 行 列 で あ る 。 こ の 式 か ら,式(16.7)の

れ以外 の記号 はい

δROAとVOAを

次の よ う

に求 め る こ とが で き る。

(16.32)

図 16.3

支 点 ０'を時 間 の 関数 で動 かす 剛 体 振 子

(16.33) 式(16.32)を

求 め る と き に 時 間 を 固 定 し た の で,こ

て い な い 。 式(16.33)は

も う 一 度 時 間 微 分 し てVOAを

の 式 に はroo′ α(t)の 項 が 含 ま れ 求 め て お く。

(16.34) ま ず,式(16.7)に

式(16.32)を

代入す る。

(16.35) δθOAの 任 意 な値 に対 して こ の 式 が 常 に 成 立 す る こ とか ら次 の 式 が 成 立 す る。

(16.36) この 式 に式(16.34)を 代 入 して整 理 す る と,求 め る運 動 方 程 式 で あ る。

(16.37) 作 用 力 は 重 力 だ け と す る と, rAO'=dYbと ば,運

動 方 程 式(16.37)は

uiz16.1

を代 入 す れ ば よ い 。 また,

す る こ と が で き る 。 さ ら に,roo'(t)=0と

式(16.31)か

式(16.14)に

して ０ ′ を ０ に 固定 す れ

一 致 す る。

ら 式(16.32)を

求 め る 過 程 を 明 確 に確 認 せ よ 。

第

17

章

仮 想 パ ワ ー の 原 理(Jourdainの

原理)を 利用 する方法

  仮 想 パ ワー の原 理 は,ダ

ラ ンベ ー ル の 原 理 と よ く似 て い る が,ダ

ラ ンベ ー ル の

原 理 の よ うな 実 用 上 の 弱 点 が な い 。 ３次 元 問 題 や シ ンプ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ッ ク な系 に も一 様

に適 用 で きて わ か りや す い た め,マ ル チ ボ デ ィ ダイ ナ ミク ス の 理 解 が 進

む に つ れ て 注 目 され る よ うに な っ て きた 。 この 原 理 か ら,次 章 に述 べ る ケ イ ン型 の運 動 方 程 式 も直 ち に 求 ま る 。 本 章 で は,こ の 原 理 を利 用 して,再

び,ボ

ョイ ン トで 支 点 を拘 束 され た コマ の運 動 方 程 式 を立 て る。 第15章

の拘 束力消去

法 の場 合 と対 比 して 見 る こ とで,ダ

ールジ

ラ ンベ ー ル の 原 理 や 仮 想 パ ワ ー の 原 理 を理 解

しや す い と考 え て い る。   ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 や 仮 想 パ ワー の原 理 は,力 学 原 理 と呼 ばれ て い る。 こ れ ら を用 い る と拘 束 力 を媒 介 とせ ず に運 動 方程 式 を導 くこ とが で き るが,前

章 に も説

明 した よ う に,こ れ ら を納 得 す るた め に は 裏 か ら眺 め る と よい 。 裏 か ら眺 め る と は,拘 束 力 を考 え る こ と で あ る。   本 章 は,前 章 の 説 明 と対 比 しな が ら読 む こ とが 重 要 で,そ れ に よ り,ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 と仮 想 パ ワー の 原 理 の 類 似 性 と差 異 が 理 解 で きる はず で あ る。 本 章 の 事 例 は一 つ だ けで あ るが,す

で に前 章 ま で に 様 々 な タ イ プ の事 例 やQuizが

あっ

た。 仮 想 パ ワ ー の 原 理 は,シ

ンプ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ック な系 まで の 範 囲 で,ど

んな

事 例 に も一 様 な考 え 方 で 対 応 で き る。 読 者 が 自 ら事 例 を 選 び,あ

る い は,事 例 を

作 っ て 試 して み る こ とで 十 分 理 解 で きる は ず で あ る。

17 .1

拘束質点系

質 点系 を対 象 と した 仮 想 パ ワ ー の 原 理 は 次 の よ うに書 く こ とが で き る。

(17.1) あ る い は,

(17.2) ｆと-mvに

つ い て は,ダ

と呼 ば れ,次

ラ ンベ ー ル の 原 理 の場 合 と同 じで あ る 。ｖは 仮 想 速 度

の よ うな 列 行 列 で あ る 。

(17.3) こ れ は,次 ①

の 三 つ の事 項 を満 たす 量 で あ る。

運 動 の 各 瞬 間,時 た 後,そ

間 を止 め て系 の構 成 す る全 質 点 の 位 置 と速 度 を 凍 結 し

の速 度 に与 え る変 化 分 で あ る。

②

拘 束 条 件 を満 た す 範 囲 で与 え られ る速 度 変 化 分 で あ る。

③

許 さ れ る 範 囲 で,任

意 の,あ

る い は,可

え,そ の す べ て に 対 して式(17.1),ま

能 なすべ て の速度 変化 分 を考

た は,(17.2)が

成 り立 つ 。

式(17.1)の 左 辺 は,仮 想 速 度 が 作 用 力 と慣 性 力 の和 に よ っ て 生 み 出す 仕 事 率(パ ワ ー)(注)を系 全 体 につ い て 加 え 合 わ せ た もの で あ り,仮 想 パ ワ ー と呼 ば れ て い る。 仮 想 パ ワ ー の 原 理 とは,系 全 体 に わ た っ て加 え 合 わせ た この よ う な仮 想 パ ワ ー は常 にゼ ロ に な る

,と い う も の で あ る 。

  こ こ ま で の 説 明 は,前 章 と同 様 に,剛 体 振 子 の 事 例 を念 頭 に置 きなが ら読 め ば 理 解 しや す い と思 わ れ る が,同 様 の 説 明 に な る の で 省 略 す る 。 ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 と仮 想 パ ワ ー の 原 理 は ほ とん ど 同 じ よ う に見 え る 。 異 な っ て い る点 は,ダ

ラン

ベ ー ル の 原 理 で は 仮 想 的 に 位 置 を動 か した が ,仮 想 パ ワ ー の 原 理 で は,位 置 は 動 か さず に,速 度 を動 か して い る こ とで あ る。   時 間 の止 め て 仮 想 速 度 を 考 え る と い う こ と は,時 間 に依 存 す る速 度 変 化 分 は 考 慮 しな い と い う こ とで,数 は,時

学 的 に は,時 間 を定 数 と して 扱 う こ と に な る。 実 際 に

間 依 存 の 拘 束 が あ る場 合 に,時 間 を止 め る 意 味 が 出 て くる。

  仮 想 速 度 は 速 度 レベ ル の拘 束 条 件 を満 た さ な け れ ば な らな い が,ホ

ロノ ミック

な 速 度 レベ ル の 拘 束 も シ ンプ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ック な拘 束 も速 度 に 関 して線 形 で あ

(注)仕 事 率(パ ワ ー)は,微

小 仕 事 を その 仕 事が な され た微 小 時 間で 割 っ た もの で あ り,力 ×

速 度 であ る。 これ は,エ ネ ル ギー を時 間で 割 っ た単 位 で 表 され る。

る た め,仮

想 速 度 は 無 限 小 で な くて も よ い 。 式(13.36)の

ｖ にv+vを

代 入 し,も

と の 式 の 差 し引 く こ と に よ り,ｖ が 受 け る 拘 束 は 次 の よ う に 表 さ れ る 。

(17.4)

ΦvV=0

  独 立 な 仮 想 速 度 の 数 は独 立 な一般 化 速 度 の 数 と 同 じで あ る。 す な わ ち,独 立 な 一 般 化 速 度 Ｈ の 仮 想 変 化 分 Ｈ が独 立 な仮 想 速 度 で あ り ,そ の 他 の 仮 想 速 度 は独 立 な 仮 想 速 度 に よ っ て 表 され る。 仮 想 パ ワ ー の 原 理 で は,ホ

ロ ノ ミ ック系 と シ ン

プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ッ ク系 を分 け て 考 え る 必 要 が な い 。 そ して,式(13 H+H,vをv+vと

.10)の Ｈ の

し,も との式 を差 し引 くこ とで,仮 想 速 度 ｖと独 立 な一 般 化

速 度 の 仮 想 速 度 Ｈ との 関係 が 次 の よ うに 求 ま る(第18章

参 照)。

v=vHH

(17.5)

こ れ ら の 操 作 も 時 間 を 固 定 し て 行 わ れ る 。 時 間 と位 置 レ ベ ル の 変 数 が 変 化 し な け れ ば,式(13.36)や 拘 束 を 式(17.4)と 式(17.5)を

式(13.10)の

係 数 や 残 りの 項 は 不 変 で あ る 。 式(17.5)は,vの

は 別 の 形 で 表 した も の で あ る。

式(17.1)に

代 入 す る と,次

の 式 が 得 られ る 。

(17.6) 許 され る 範 囲 で 任 意 の,ま た は,す べ て の仮 想 速 度 を考 え る と い う こ とは,独 立 な仮 想 速 度 の任 意 に取 る とい う こ とで あ る。 Ｈ が 独 立 な 一 般 化 速 度 の 場 合,Ｈ に任 意 独 立 な 値 を与 え て も この 式 が 成 立 す る こ とか ら,次 の 式 が 得 られ る 。

(17.7) こ の 式 は 第18章

に 出 て く るケ イ ン型 の 運 動 方 程 式 で あ るが ,こ こ で は 仮 想 速 度

の 考 え 方 とそ こか ら運 動 方 程 式 を導 く手順 を理 解 す れ ば よ い。 最 後 に,速 度 ｖ を 独 立 な一 般 化 速 度 Ｈ で 表 し,そ の 時 間 微 分 を代 入 す れ ば,ｖ の代 わ りに Ｈ を用 い た 表 現 に な り,運 動 方 程 式 が 得 られ る。   式(17.4)あ

た りか ら後 の 説 明 は,16.3節

の 説 明 とか な り似 て い る。 こ れ は ダ

ラ ンベ ー ル の 原 理 と仮 想 パ ワ ー の 原 理 が ほ とん ど 同 じ もの で あ る こ と を示 して い る 。 しか し,ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 は,16.1節 た。 ま た,ダ

と16 .3節 に分 け た 説 明 に な っ て い

ラ ンベ ー ル の 原 理 で は擬 座 標 を必 要 とす る 場合 が 現 れ る が,仮 想 パ

ワ ー の 原 理 で はそ の必 要 が な い。 こ れ ら に両 者 の 差 異 が 見 られ る。

拘束剛体系

17.2

  式(17.1)は す べ て の 質 点 につ い て仮 想 パ ワ ー を計 算 す る形 に な っ て い る が,実 際 に は作 用 力 と慣 性 力 が 働 く点 だ け を考 え れ ば よい 。 拘 束 剛体 系 の 場 合,慣 性 力 や慣 性 トル ク は 重 心 加 速 度 と角 加 速 度 な どで 求 ま り,ま た,作 用 力 が 働 く点 は有 限個 に限 定 で き る こ とが 多 い 。 そ れ らの 点 の仮 想 パ ワー を計 算 して,合 計 す れ ば 系 全 体 の 仮 想 パ ワー に な る。 ３次 元拘 束 剛体 系 の 場 合,仮

想 パ ワ ー の 原 理 は次 の よ う に書 くこ とが で き る。

(17.8) あ る い は,

(17.9) 式(17.8)の 左 辺 第 一 項 は,重 心 の 仮 想 速 度 が 慣 性 力 と重 心 に等 価 換 算 した作 用 力 の和 に よ っ て 生 み 出 す 仮 想 パ ワ ー で あ る。 第 二 項 は,仮 想 角 速 度 が 慣 性 トル ク と 重 心 に 等 価 換 算 した 作 用 トル ク の和 に よっ て 生 み 出 す 仮 想 パ ワ ー で あ る。 式(17. 8)は,系

全 体 に わ た っ て この よ うな仮 想 パ ワ ー の足 し合 わせ た もの が,独 立 な仮

想 速 度 の 任 意 な値 に対 して 常 にゼ ロ に な る こ と を示 して い る。   仮 想 重 心 速 度 Ｖ と 仮 想 角 速 度 Ω′を 独 立 な 仮 想 速 度 Ｈ で 表 す と,式(13.11)と (13.12)か

ら,次

の ようになる。

(17.10)

V=VHH Ω′=Ω ′HH

(17.11)

ま た,重 心 速 度 Ｖ と角 速 度 Ω′を独 立 な 一 般 化 速 度 Ｈ で 表 して 時 間 微 分 を作 れ ば,Ｖ

と Ω′を Ｈ で 表 す こ と が で き る。 こ れ ら を 用 い,仮 想 速 度 Ｈ の 任 意 独 立

性 の利 用 す る と,運 動 方 程 式 の得 る こ とが で き る。   式(17.9)の 右 辺 で は,重 心 に等 価 換 算 した 作 用 力 と作 用 トル ク を用 い て仮 想 パ ワー の計 算 を行 っ て い る。 しか し,仮 想 パ ワー の計 算 は,等 価 換 算 す る前 の作 用 力 や 作 用 トル ク を用 い て行 う こ と もで き る。 系 全 体 を構 成 して い るす べ て の 点 を 考 え る と して,そ 度 を,そ

れ らの 点 の 速 度 を ま とめ た もの が ｖで あ る。 また,各 点 の角 速

の 点 が 属 す る 剛 体 の 角 速 度 と考 え る こ と に し,そ れ ら を順 番 に 並 べ て

ω′と書 く こ と に す る 。 各 点 に働 く作 用 力 を順 に 並 べ た もの は ｆ,作 用 トル ク を 順 に 並 べ た も の は ｎ′とす る。 こ れ らの 記 号 を用 い て,式(17.9)は

次 式 の よ うに

書 ける。

(17.12) v,ω

′,f,n′

は 系 に 含 ま れ る す べ て の 点 を対 象 とす る よ う に 説 明 した が

,実

際

に は 作 用 力 や 作 用 トル ク が 働 い て い る 点 だ け を 考 え れ ば よ い 。 ｖ と ｆ,ω ′とn′ に 含 ま れ て い る 点 が,そ (17.9)と(17.12)に,本

れ ぞ れ,対

f,n′

,式

書 の 大 文 字 と 小 文 字 の 使 い 分 け が 現 れ て い る 。v,ω

は 点 に 関 す る 量 を 表 し,V,Ω

ω ′,n′ の ダ ッ シ ュ の 意 味 は,Ω

  また,式(17.9)右

応 す る もの にな って いれ ば よい。な お

′ ,F,N′

′ ,

は 剛 体 に 関 す る 量 で あ る 。 な お,

′,N′ の 場 合 と 同 じで あ る 。

辺 の最 後 の 項 は,ダ

して も よ い 。 式(17・12)の 場 合 は,ωTnで

ッ シ ュ の付 か な い 記 号 を用 い て ΩTNと あ る。 こ れ らは パ ワ ー で あ るか ら剛 体

座 標 系 で 表 さ れ た 記 号 を用 い て も慣 性 座 標 系 で表 され た記 号 を用 い て も同 じ値 に な る。   ２次 元 剛 体 系 の 仮 想 パ ワー の原 理 の 表 現 は,３ 次 元 剛 体 系 の もの を単 純 に簡 単 に す れ ば よ く,も は や,説

明 の 必 要 もな い で あ ろ う(よ い 練 習 問題 に な りそ うな

読 者 は や っ て み よ)。

17.3

裏の表現,滑 らかな拘束,時 間を止める意味,特 徴など

  仮 想 パ ワー の 原 理 に も,ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 と 同様 に,裏 の 表 現 が あ る 。 拘 束 質 点 系 の場 合 は次 の よ うに 書 け る。 vTf=0

(17.13)

また,３ 次 元 拘 束 剛 体 系 の 場 合 は 次 の よ う に な る 。 VTF+Ω

′TN′=0

こ れ ら に 対 し,式(17・1),(17

(17.14) .8)な ど が 表 の 表 現 で あ る 。 裏 の 表 現 は,仮

が 拘 束 力 に よ っ て 生 み 出 す 系 全 体 の 仮 想 パ ワ ー が,常

に,ゼ

想速度

ロになってい るこ と

を 意 味 し て い て,「 拘 束 力 は パ ワ ー を 生 み 出 さ な い 」 と い え る 。

  仮 想 パ ワー の 原 理 の 妥 当性 を納 得 す る た め に裏 の 表 現 が 役 立 つ こ とや,こ

の原

理 が 適 用 で き るの は 滑 ら か な拘 束 の範 囲 で あ る こ と,ま た,仮 想 速 度 は時 間 を止 め て 考 え な け れ ば な ら な い こ と,な 仮 想 パ ワ ー の 原 理 は,ホ

どは ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 と同様 で あ る。

ロ ノ ミ ッ ク な系 も シ ンプ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な系 も,

区 別 せ ず に扱 う こ とが で き る 。独 立 な仮 想 速 度 と独 立 な一 般 化 速 度 が,直 接,対 応 して い るか らで あ る。 ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 の 場 合,シ

ンプ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ック

な系 で は独 立 な仮 想 変 位 の数 が独 立 な一 般 化 座 標 の数 よ り小 さ くな る 。 ま た,独 立 な 仮 想 変 位 と独 立 な 一 般 化 速 度 を,直 接,対 応 させ られ な い 場 合 もあ る。 ３次 元 の 角 速 度 を独 立 な 一 般 化 速 度 と した と き,対 応 す る 仮 想 変 位 の 考 え 方 に つ い て,次 節 に擬 座 標 を用 い な い 別 の方 法 が 補 足 さ れ て い る。   ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 は,静 力 学 の仮 想 仕 事 の原 理 に 対 す る動 力 学 版 で あ る。 あ る い は,ダ

ラ ンベ ー ル の 原 理 は,静 力 学 の仮 想 仕 事 の 原 理 を含 ん で い る 。 一 方,

仮 想 パ ワー の 原 理 は,動 力 学 版 だ け で,対 応 す る静 力 学 版 が あ る わ け で は な い。 な お,仮 想 パ ワ ー の 原 理 は,Jourdainの

原 理 と も 呼 ば れ て い る 。 ま た,仮 想

変 位 か ら仮 想 速 度 の 考 え た こ とを延 長 して,仮 想 加 速 度 を用 い る 方 法 な ど もあ る が,本 書 で は説 明 しな い 。   本 節 の 最 後 で あ る が,次

の事 柄 は 重 要 で あ る。 ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 か らハ ミル

トンの 原 理 を説 明す る こ と は で き るが,仮 想 パ ワ ー の 原理 か ら説 明す る こ とは 困 難 で あ る。 こ れ は,ハ

ミル トンの 原 理 の 変 分 の 考 え方 に,仮 想 パ ワ ー の 原 理 は適

合 し難 い た め で あ る 。 そ れ ゆ え,ダ

17 .4

ラ ンベ ー ル の原 理 の 重 要 性 は揺 らが な い。

ダランベールの原理に関する補足

  ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 につ い て,式(17.8)に

対 応 した もの を書 こ う とす る と,少

し,複 雑 な こ と に な る。 この 式 に δtを掛 け,Vδtを

δRに 置 き換 え れ ば 第 一 項

は 仮 想 仕 事 に な る。 しか し,Ω ′δtを直 接 置 き換 え て δΞ′と書 くこ とは で き るが, この

Ξ ′は 擬 座 標 と呼 ば れ る もの で,分

か り難 い 。 この

Ξ ′は 考 え て い る 瞬 間 の

回 転 姿 勢 を基 準 と した 回 転 姿 勢 と考 え る こ と が で き,微 小 な仮 想 変 位 δΞ′と し て は 意 味 を持 つ が,有

限 の 大 き さ を持 つ 回 転 姿 勢 と して は 存 在 し な い 量 で あ る 。

こ れ は 角 速 度 Ω′が 積 分 で き ない(ホ

ロ ノ ミ ック で な い)こ

とに対 応 して い る 。

  回転 姿 勢 と して オ イ ラ ー 角 Θ を 用 い る こ と に す れ ば,Ω ′δtを 次 の よ う に置 き 換 え る こ とが で きる 。

(17.15)

右 辺 の 偏 微 分 で 表 され た 係 数 は,式(12.78)に

示 さ れ た ブ ロ ッ ク対 角 行 列 で あ

る。

【12.78】

オ イ ラ ー 角 を 狭 義 の も の と し た 場 合,こ

の 式 の 各 対 角 ブ ロ ッ ク は 式(12.80)に

与

え られ て い る。

【12.80】

式(17.15)に

よ り,ダ

ラ ンベ ー ル の 原 理 は 次 の よ う に 書 け る 。

(17.16) δRと δΘ を独 立 な仮 想 変 位 で 表 す こ とが で き れ ば,こ

の式 か ら運 動 方 程 式 を導

くこ とが で き る。   回転 姿 勢 に オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ を用 い る場 合 も同 様 に考 え る こ とが で き,次 の 式 が ダ ラ ンベ ー ル の原 理 で あ る 。

(17.17) Ｓ は 式(12.70)に

与 え ら れ て お り,そ

の 要 素Soiは

式(8.10)に

準 じれ ば よい 。

【12.70】

(17.18) 式(17.17)を 用 い る場 合,δRと ことになる。

δEを 独 立 な仮 想 変 位 で 表 し,運 動 方 程 式 を導 く

17.5

事例:ボ ールジ ョイン トで支点を拘束されたコマ

  15.1節 で 求 め た も の と 同 じ運 動 方 程 式 の,仮 想 パ ワー の 原 理 を 利 用 す る方 法 で 求 め て み よ う。 ま ず,剛 体 Ａ を対 象 と し た仮 想 パ ワ ー の 原 理 は 次 の よ う に書 け る。

(17.19) こ こ で,支

点 Ｐ の 拘 束 か ら 求 め た 式(15.9)を

用 い る。 【15.9】

時 間 を止 め て,独 立 な一 般 化 速 度 Ω′OAを仮 想 速 度 分 増 加 させ,そ なVOAも

の 結 果,従 属

仮 想 速 度 分 が 増 加 した と考 え る 。

(17.20) (17.21) これ ら を式(15.9)に 代 入 し,元 の 式 を差 し引 け ば,次 の 関係 が 得 られ る。

(17.22) こ れ は 従 属 な仮 想 速 度 を独 立 な 仮 想 速 度 で 表 し た 関 係 で あ る。 こ れ を式(17.19) に代 入 す る と,次 の 式 が 得 られ る。

(17.23) さ て,Ω

′OAは独 立 で,任

意 の 値 を 取 れ る 。 す な わ ち,仮

立 な 仮 想 速 度 Ω′OAが ど の よ う な 値 を と っ て も 式(17.23)が あ る 。 し た が っ て,こ

想 速 度 の 原 理 と は,独 成 立 す る とい う こ とで

の式 か ら次 の 式 が 得 られ る。

(17.24) こ れ は 式(15.7)と

同 じで あ り,こ

運 動 方 程 式(15.11),ま

の 後,式(15.9)か

た は,(15.12)に

らVOAを

至 る 手 続 き は15・1節

求 め て 代 入 整 理 し, と同様 で あ る。

  拘 束 力 消 去 法 で は,拘 束 関係 以 外 に拘 束 力 の 具 体 的 な形 を把 握 し,そ の性 質 を 利 用 して 拘 束 力 を消 去 す る こ とが 必 要 で あ っ た 。仮 想 パ ワ ー の 原 理 で は,拘 束 力 に は ま っ た く触 れ ず に,拘 束 関係 だ け を用 い て い る 。

 Quiz17.1 

仮 想 パ ワ ー の原 理 を利 用 して,三 質 点 剛 体 の 運 動 方 程 式 を導 い て

み よ。   Quiz17.2 

仮 想 パ ワ ー の 原 理 を利 用 し て,11.1節[Quiz11.6]の

斜めにピ

ン結 合 され た 剛体 振 子 の 運 動 方 程 式 を求 め よ。  Quiz17.3 

仮 想 パ ワ ー の 原 理 を利 用 して,３ 次 元 二 重 剛 体 振 子 の 運 動 方 程 式

を 求 め よ。  Quiz17.4 

13.6節[Quiz13.5]の

ク 長 と点OR間

の 長 さ が す べ て2bと

２次 元 四 節 リ ン ク機 構 に お い て,各

リン

す る と,四 節 リ ン ク機 構 は正 方 形 を含 む ひ

し形 に な る。 各 リ ンク の 重 心 は リ ン ク長 の 中央 に あ る と して,こ の 系 の 運 動 方 程 式 を 求 め よ。

ケイ ン型運動方程式 を

第18章

利用す る方法

  本 章 で説 明 す る 方 法 は,Kaneの

著 書 な ど に見 られ るケ イ ンの 方 法 とは 異 な っ

た 印 象 を与 え るか も しれ な い が,本 質 的 に は 同 じで あ る。 ケ イ ンの方 法 は,ダ ンベ ー ル の 原 理 に よる 方 法 と同 じ もの か,新 論 争 が あ っ た とい わ れ て い る 。 第15章 で 並 べ,そ

し く価 値 の あ る方 法 か で,か

か ら第19章

ラ

な りの

ま で の 方 法 を 運動 方 程 式 の形

の 方 法 と特 徴 を よ く考 察 して み る と,ケ イ ンの 方 法 の位 置 付 けが 見 え

て きて 興 味 深 い(付

録GⅣ-2の

表 参 照)。

  本 章 で は,事 例 と して転 動 球 の 運 動 方 程 式 を考 え る 。 この 事 例 で は 接 触 点 に お け る滑 り を扱 う手 段 と して 瞬 間 接 触 点 と呼 ぶ 方 法 を利 用 す る。 瞬 間接 触 点 は車 輪 な ど の滑 りを扱 う場 合 に役 立 つ 考 え 方 だ が,ケ

イ ンの 方 法 と関係 が あ る わ け で は

な い。 読 者 は,コ マ や 振 子 な ど の単 純 な 事 例 で,本

章 の 方 法 を確 認 して み る こ と

を考 慮 され た い 。 ま た,本 章 の 転 動 球 に 対 して シ ミ ュ レー シ ョ ン プ ロ グ ラム は 準 備 して い な い 。 シ ンプ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な事 例 の シ ミュ レー シ ョ ンプ ログ ラム と して は 次 章 の操 縦 安 定 性 の た め の 二 輪 車 モ デ ル が 参 考 に な るで あ ろ う。   な お,第21章

と付 録 Ｄ で,木 構 造 を対 象 と した 漸 化 式 に よる 順 動 力 学 の 定 式

化 を説 明 す る た め に,本 章 で 説 明 す る ケ イ ン型 運 動 方 程 式 を用 い た。 また,第 22章 で ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 を 導 く と き も,ケ イ ン型 運 動 方 程 式 か ら始 め て い る。

18.1  質点系 のケイン型運動方程式   拘 束 質 点 系 の全 質 点 の 速 度 ｖは,独 立 な 一 般 化 速 度 Ｈ に よ っ て 次 の よ う に 表 す こ とが で き た(13.5節

参 照)。

v=vHH+vH

こ の系 の 時 間 を 止 め て,独

【13.10】

立 な一 般 化 速 度 Ｈ をH+Hに

変 更す る。そ れに伴 っ

て ｖ はv+vに

変 更 さ れ る。 これ らの 変 更 は,拘 束 条件 を満 た す 範 囲 で 行 わ れ る

た め,変 更 後 も式(13.10)の 関 係 を満 た さ な け れ ば な ら な い 。

v+v=VH(H+H)+VH(18.1) VHとVHは

Ｑ と ｔの 関 数 で あ る が,時

関 係 で 不 変 で あ る 。 式(18.1)と

間 を 止 め た 段 階 で 凍 結 し て あ り,Ｈ

式(13.10)の

とは 無

差 を と る と,式(16.16),第17章

で

用 い た 次 の 関 係 が 得 られ る 。

V=VHH【17.5】 こ れ は,独 立 な 一 般 化 速 度 の 仮 想 速 度 に よ っ て,全 質 点 の 仮 想 速 度 を表 した もの であ る。   質 点 系 を対 象 と した仮 想 パ ワ ー の 原 理 は次 の よ う に書 くこ とが で きた。 【17.1】

こ の 式 に 式(17.5)を

代 入 す る。 (18.2)(注)

Ｈ は独 立 な仮 想 速 度 で あ るか ら任 意 の値 を取 る こ とが で き,次 の 式 が 成 立 す る。

(18.3) あ る い は,

(18.4) こ の 式 を,質 点 系 を対 象 と した ケ イ ン型 運 動 方 程 式 と呼 ぶ こ と にす る。 また,VH を ケ イ ン の 部 分 速 度(partial

velocity)と 呼 ぶ 。 部 分 速 度 と は,そ の 点 の 速 度 を

一 般 化 速 度 Ｈ で 偏 微 分 した も の で ,一 般 化 速 度 の 変 化 が そ の 点 の 速 度 に及 ぼ す 感 度 の よ う な もの で あ る 。

18.2  剛体系のケイン型運動方程式 ３次 元 剛 体 系 に つ い て も 同様 の 関 係 を 導 くこ とが で き る。 まず,Ｖ に よ っ て 次 の よ う に表 され た(13.5節

(注)式(18.2)の

と Ω'は Ｈ

参 照)。

右 辺 は ０で右 辺 も ス カ ラー で あ る こ とが わ か る。 式(18.3)の 右 辺 は ０で左 辺

も行 列 で あ る。０か ０に も関連 してい る式 の形 態 を示 す 情 報 が 含 まれ て い て,そ の式 の意 味 な どに つ なが って い る。

【13.11】 【13.12】

これ らか ら,次 の 仮 想 速 度 の 関係 が 求 ま る。 【17.10】 【17.11】

３次 元 剛 体 系 の仮 想 パ ワ ー の 原 理 は次 の 式 で 表 され た。 【17.8】

こ の 式 に 式(17.10)と(17.11)を

代 入 し,Ｈ

の 独 立 性 を 利 用 す る と,次

の式が成

立 す る。

(18.5) あ る い は,

(18.6) こ れ ら を,３ 次 元 剛 体 系 を対 象 と し た ケ イ ン 型 運 動 方 程 式 と呼 ぶ こ と に す る 。 ま た,VHは ity)で

ケ イ ン の 部 分 速 度,Ω'Hは

angular

veloc

あ る。

  式(18.6)の 17.2節

ケ イ ン の 部 分 角 速 度(partial

左 辺 に は 重 心 位 置 に 等 価 換 算 さ れ た Ｆ と Ｎ'が 使 わ れ て い る が,

の 式(17.12)と

同 様 に,等

価 換 算 前 のf,n'を

用 い る こ と が で き,３ 次 元

剛 体 系 の ケ イ ン型 運 動 方 程 式 は 次 の よ う に書 くこ と も で きる 。

(18.7) v,ω'の

意 味 も,17.2節

と同 じで あ る。 また,VHは

該 当す る点 の 速 度 ｖを Ｈ で

偏 微 分 した 部分 速 度 で あ り,ω'Hは該 当 す る 点 が 属 して い る 剛 体 の 部 分 角 速 度 で, そ れ ぞ れ,f,n'と

対 応 が 取 られ て い る 。

  ２次 元 剛 体 系 の ケ イ ン型 運 動 方 程 式 は,３ 次 元 剛 体 系 の もの を 単 純 に 簡 単 化 す れ ば よ く,も は や,説 明 の 必 要 もな い で あ ろ う。

18.3 

裏 の表現

ケ イ ン型 運 動 方程 式 に も裏 の 表 現 が あ る。 質 点 系 の場 合 は次 の よ う に な る 。

(18.8) こ の 式 は,ケ

イ ンの 部 分 速 度 と拘 束 力 の 直 交 性 を意 味 して い る。 た だ し,ケ イ ン

の 部 分 速 度 は 各 一 般 化 速 度 に対 応 して そ の 数 だ け あ り(VHの

各 列),そ

れ ら のす

べ て が 拘 束力 に直 交 して い る。   剛 体 系 の場 合 は次 の とお りで あ る。

(18.9) この 式 は 次 の よ うに 書 き換 え る こ とが で き る。

(18.10) こ れ も,拘 束 力 と部 分 速 度 の 直 交 性 を 示 して い る 。

18.4  運動方程式 の作 り方   ケ イ ン型 運 動 方 程 式 を 利 用 す る 方 法 は 次 の と お り で あ る 。 ま ず,独 速 度 Ｈ を 選 択 す る 。 質 点 系 の 場 合 は,す (13.10)を

(13.10)を

べ て の 質 点 の 速 度 ｖ を Ｈ で 表 し,式

作 る 。 こ の 作 業 は ｒ を Ｑ と ｔで 表 し て 式(13.2)を

て,式(13.9)を

立 な一 般 化

作 り,時

間微 分 し

用 い る 方 法 が わ か り や す い 。 し か し慣 れ て く る と,い

き な り式

書 き 下 す こ と も で き る よ う に な る 。 次 に,式(13.10)か

を 取 り 出 す 。 ま た,式(13.10)を ン型 運 動 方 程 式(18.3),ま

時 間 微 分 し て ｖ を Ｈ で 表 し,VHと

た は,(18.4)に

ら 部 分 速 度VH と もにケ イ

代 入 して 整 理 す れ ば 目指 す 運 動 方 程 式

が 得 られ る。   連 続 的 に 質 量 が 分 布 し て い る 剛 体 系 の 場 合,質 る の は 楽 で は な い 。 ３ 次 元 剛 体 系 の 場 合 は,Ｖ (13.12)を り,時

作 る 。 こ の 作 業 は,Ｒ

間 微 分 し て,式(13.9)を

な り 式(13.11),(13.12)を 11),(13.12)か

Ｈ で 表 し,式(13.11),

や Ｃ を Ｑ と ｔで 表 し て 式(13.3)や(13.6)を 用 い る 方 法 が わ か りや す い 。 慣 れ て く る と,い

ら 部 分 速 度VH,Ω'Hを

た は,(18.6)に

と Ω'を

作 き

書 き 下 す こ と も で き る よ う に も な る 。 次 に,式(13.

時 間 微 分 し て Ｖ と Ω'を 5),ま

点 系 の 考 え 方 をそ の ま ま適 用 す

取 り 出 す 。 ま た,式(13.11),(13.12)を

Ｈ で 表 し,VH,Ω'Hと

と も に ケ イ ン 型 運 動 方 程 式(18.

代 入 し て 整 理 す れ ば 目 指 す 運 動 方 程 式 が 得 ら れ る 。 ２次 元

剛 体 系 の 場合 の 手 順 も同 様 で あ る。   ケ イ ン 型 運 動 方 程 式 を 利 用 す る 方 法 は,ケ

イ ンの 著 書 な どに よ る彼 の 説 明 と異

な っ た 印 象 が あ る と思 わ れ る。 ケ イ ン は,個 々 の 一 般 化 速 度Hiご Kiと 一 般 化 慣 性 力Ki*を

と に一 般 化 力

作 り,両 者 の 和 を ゼ ロ と した もの が,Hiに

対 応 す る運

動 方 程 式 に な る と した 。

(18.11) KiやKi*は,個

々 の作 用 力 や慣 性 力 な ど に,そ の 着 力 点 のHiに

対 応 した 部 分 速

度 な ど を掛 け,系 全 体 に つ い て足 し合 わ せ て作 る もの と した 。 ケ イ ンは,部 分 速 度 な ど に幾 何 ベ ク トル 表 現 を用 い,手 続 き的 な 手 順 で,運 動 方 程 式 の作 成 を説 明 して い る。   KiやKi*は,式(18.7)の

記 号 を用 い る と 次 の よ う に書 け る。

(18.12) (18.13) ケ イ ン 型 運 動 方 程 式 は,行

列 表 現 を 用 い て ケ イ ン の 方 法 を ま と め た も の で あ り,

ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 と 同 様 に,式

の 中 に運 動 方 程 式構 築 の手 順 が 表 現 され

て い る と 見 る こ と が で き る 。 ケ イ ン は,式(18.11)をKane's Kane's

Dynamical

Equationと

Equation,ま

呼 ん だ 。 本 書 で は,式(18.3)∼(18.7)を

運 動 方 程 式 と 呼 び,式(18.11)と

た は, ケ イ ン型

微 妙 に 区 別 し た 名 称 を 付 け て い る 。 ケ イ ン は,

代 数 ベ ク トル を 用 い て 系 全 体 を ま と め たvHの

よ う な 表 現 を利 用 して い ない 。

18.5  運動方程式の標準形 ま ず,質

点 系 を 考 え る 。 式(13.10)を

時 間 微 分 す る と,次

の よ う に な る。

(18.14) こ の 式 を 式(18.4)に

代 入 し,整

理 す る と次 の よ う に書 け る。

(18.15) こ れ は,13.8節

に 述 べ た,運

動 方程 式 の標 準 形 に な っ て い る。 【13.40】

mHとfHは

次 の と お りで あ る 。

(18.16)

(18.17)

  剛 体 系 の 式 か ら も 標 準 形 を 作 る こ と が で き る 。 た と え ば,式(18.6)の を,式(13.11),(13.12)の

時 間 微 分 を 用 い て,Ｈ

果 を 整 理 す る と 式(13.40)の

Ｖ と Ω'

で 表 す こ とが で き る 。 そ の 結

形 に な る 。 こ の と き,mHとfHは

次 の と お りで あ

る。

(18.18)

(18.19) な お,式(18.16),(18.18)の

18.6 

い ず れ の 場 合 も,mHは

対 称 行 列 で あ る。

速度 変 換法

  本 節 で は,広

い 意 味 で 前 節 の 方 法 と類 似 な が ら,別

対 比 を 考 え る 。 難 し く感 じ る 読 者 は,第19章

途,発

や 第20章

展 して きた 方 法 との

を読 ん だ 後 な ど に戻 っ て

き て も よい 。   Shabana(参

考 文 献 ４)は,適

切 な 座 標 分 割(Coordinate

し て 拘 束 条 件 の ヤ コ ビ 行 列 か ら 速 度 変 換 行 列(Velocity を 求 め,そ

Transformation

対 応 Matrix)

れ を利 用 して ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 か ら本 章 の 標 準 形 運 動 方 程 式 を求 め

る 方 法 を,Embedding   質 点 系 の 場 合,仮 (16.15)で

Partitioning)に

Techniqueと

題 して 説 明 して い る 。

想 変 位 δrの 拘 束 は 拘 束 条 件 の ヤ コ ビ 行 列 〓 を 用 い て,式

表 され る。 【16.15】

仮 想 変 位 δrを 独 立 な も の δrIと 従 属 な も の δrDに 分 割 し,こ ビ行 列 も 〓

と 〓

に わ け る と,δrDは

れに対応 してヤ コ

δrIに よ っ て 次 の よ う に 表 さ れ る 。

(18.20) し た が っ て,δrを

δrI,δrDの

順 に 並 べ 替 え た と し て,こ

れ を δrIに よ っ て 次 の

よ う に 表 現 で きる 。

(18.21) この 係 数 行 列BIが 行 列 で あ る が,独

速 度 変 換 行 列 で あ る。 速 度 変 換 行 列BIは

δrIか ら δrを 作 る

立 な一 般 化 速 度VIか ら Ｖを作 る 行 列 とい う こ と もで きる 。

V=BIVI(18.22) 速 度 レベ ル の 拘 東 条 件 式(13.36)も 同様 な 座標 分 割 に よ り,次 の よ う に書 け る 。

(18.23) こ の 式 か らVDをVIで

表 す こ と が で き,そ

の 結 果,δrと

同 じ並 べ 替 え を 行 な っ た

ｖは次 の よ う に な る。

(18.24) Embedding

Techniqueは,式(18.21)と(18.24)を

ダ ラ ン ベ ー ル の 原 理(18 .1)に

代 入 し て δrIの 独 立 性 を 利 用 す る 手 続 き で あ り,整

理 す る と次 の よ う な運 動 方程

式 が 得 られ る。

(18.25) この 式 は 式(18.15)と

同 じ形 を して い る。 また,質

点 系 だ け で な く剛 体 系 で も同

様 の 表 現 を 得 る こ とが で きる 。   Shabanaの

説 明 は,数 値 計 算 に よ る 順 動 力 学 解 析 を実 現 す る汎 用 的 な 解 法 を

念 頭 に お い た も の の よ う で,Embedding

Techniqueは

数 値 計 算 上,不

利で ある

と し て い る 。 そ の 理 由 は,拘 束 条 件 ヤ コ ビ行 列 の 正 則 部 分 〓 Dの 逆 行 列 計 算 な どで あ ろ う。Shabanaの 説 明 は,さ ら に,拘 束 条 件 の ヤ コ ビ行 列 を 利 用 して 独 立 な 一 般 化 速 度 を選 択 した り,正 規 直 交 性 を持 つ 速 度 変 換 行 列 とそ れ に 対 応 す る 独 立 な 一 般 化 速 度 を 数 値 的 に作 り出 す 方 法 な どに 言 及 して い る。   さ て,本

章 で 説 明 して い る ケ イ ンの 部 分 速 度 は,速 度 変 換 行 列 を包 含 して い

る。 こ の こ とは 式(18.22)と 式(17.5)を 見 比 べ れ ば 明 らか で あ る 。 V=VHH【17

式(18.22)で

は独 立 なVIをVの

.5】

中 か ら選 択 して い る が,VIをVの

れ る独 立 な もの に ま で 拡 張 す れ ば,シ

線 形 結 合 で作 ら

ンプル ノ ンホ ロノ ミ ックな系 の範 囲で は

Ｈ と 同 じ と考 え る こ とが で き る。 剛 体 系 の 場 合 は,部 分 速 度 と部 分 角 速 度 を 組 み 合 わせ て,速

度 変 換 行 列 に な る。

(18.26) この 場 合,質

点系 の 式(18.16),(18.17)に

あ るが,式(18.16),(18.17)と

対 応 す る 式 は,式(18.18),(18.19)で

同 じ形 に 書 き換 え る こ と は容 易 で あ り,そ の 差 異

は 問 題 に は な ら な い。 部 分 速 度 は,拘 束 条 件 の ヤ コ ビ行 列 か ら作 られ る とは 限 ら な い が,理

論 上 の 位 置 付 け と して は,速 度 変 換 行 列 と 同 じ もの とい え る 。拘 束 条

件 の ヤ コ ビ行 列 か ら数 値 的 に作 る の で な け れ ば,逆 行 列 を 必 要 とす る とは 限 ら な い 。 な お,Shabanaの

著 書 に,速 度 変 換 行 列 に 関 す る 論 文 が 引 用 さ れ て い る 。

本 書 の 参 考 文 献 リ ス トに も代 表 的 な もの を挙 げ て お い た。   次 章 で は,標 準 型 の運 動 方 程 式 を作 る18.5節 追 加 法 に つ い て 述 べ る が,そ

の 方 法 を一 歩 進 め た,拘 束 条 件

の方 法 で用 い る式 も,式(18.16),(18.17)と

同型の

もの で あ る。 拘 束 条 件 追 加 法 は,標 準 型 の 運 動 方 程 式 を作 る 方 法 を包 含 して い る だ け で な く,さ ら に適 用 性 が 広 く,ま た,か え て い る(19.2節

な り異 な っ た視 点 に立 っ た 方 法 と考

参 照)。

  そ れ に もか か わ らず,上 記 の 速 度 変 換 行 列 を用 い る 方 法 は,広 標 準 型 の 運 動 方 程 式 を 求 め る方 法,あ

く解 釈 す る と,

るい は,拘 束 条 件 追加 法 と同 じ もの とす る

見 方 が あ る。 上 記 の引 用 文 献 な どか らは,位 置 づ け,利 用 方 法,適 用 性 な どの 観 点 で か な り異 な っ た 印象 も残 り,ま た,ケ

イ ンの 部 分 速 度 との 関連 な ど,調 べ る

べ き課 題 を残 して い る が,速 度 変 換 行 列 は筆 者 の拘 束 条 件 追 加 法 よ りか な り早 い 時 期 か ら利 用 さ れ て き た もの で あ り,「速 度 変 換 」(Velocity tion)と

Transforma

い う言 葉 は 広 ま りつ つ あ る と感 じ られ る。 こ の よ うな 状 況 を考 え,次

章 の 拘 束 条 件 追加 法 に は,「 速 度 変 換 法 」 とい う呼 び 名 を付 記 し,表 題 を,「 拘 束 条 件 追 加 法(速

18.7 

度 変 換 法)」 と した 。

事 例:転

  図13.2(13.3節)の

動球 転 動 球 は水 平 面(X-Y平

面)と

一 点 で接 触 し,そ の 点 で

滑 ら な い モ デ ル で あ る 。 こ れ ら の 拘 束 は,速

度 レベ ル で,13.6節

の 式(13.33)の

よ うに 表 され た。 【13.33】

点 Ｑ は瞬 間接 触 点 で,そ

の 位 置rAQは

次 の とお りで あ る 。

(18.27) 瞬 間 接 触 点 は 接 触 点 と重 な っ て い る の で,こ の 式 の 右 辺 は 式(13.29)と る。 た だ し,瞬 間 接 触 点 は転 動 球 に 固 定 され て い る の で,時

同 じで あ

間微 分 に対 して は,

rAQを 定 数 と して 扱 う必 要 が あ る。

(18.28) 式(13.33)も,rAQを え,時

定 数 と 考 え て 導 か れ た 。 式(13.33)の

間 微 分 後 に 式(18.27)を

時 間 微 分 で も同 様 に考

代 入 し て 整 理 す る 。 そ の 結 果,次

の 式 が 得 られ る 。

(18.29)   こ の 系 の 運 動 学 的 自 由 度 は ３で あ り,Ω'OAを い 。 式(13.33)か

ら,重

心 の 部 分 速 度(VOA)Hが

独 立 な一 般 化 速 度 Ｈ とす れ ば よ 次 の よ う に得 られ る。

(18.30) こ の 式 に も 式(18.27)を

代 入 し,整

理 す る と次 の よ うに な る。

(18.31) 一方

,部

分 角 速 度(Ω'OA)Hは

簡 単 で あ る。

(18.32) 剛体 Ａ を対 象 に した ケ イ ン型 の 運 動 方 程 式 は 次 の よ う に書 け る 。

(18.33) こ の 式 に,式(18.29),(18.31),(18.32)を

代 入 し て 整 理 す れ ば,運

動方 程式が

得 られ る 。

(18.34)   転 動 球 の 幾何 学 的 自由 度 は ５で あ り,一 般 化 座 標 は,回 転 姿 勢 を表 す オ イ ラ ー パ ラ メ ー タEOAと,重

心 の 水 平 面 上 の位 置,ROAXとROAY,と

す る の が 適 当で あ

る。 した が っ て,順

動 力 学 解 析 に は次 の式 を付 随 させ る こ と に な る 。

(18.35) こ の 式 の 二 行 目 と三 行 目は ,式(13.33)にDTXとDTYを 入 した も の で あ る 。 こ の 式 の 数 は,オ

左 か ら掛 け,(18.27)を

代

イ ラ ーパ ラ メ ー タの 拘 束 を差 し引 くと,幾

何 学 的 自由 度 に等 しい 。 一 方,式(18.34)の

運 動 方 程 式 の 数 は 運 動 学 的 自由 度 と

同 じで あ る。   転 動 球 の 運 動 方 程 式 を立 て る場 合,瞬

間 接 触 点 の 考 え 方 が 役 立 っ た。 瞬 間 接 触

点 は タイ ヤ の 滑 りを 計 算 す る と き な どに も役 立 つ 便 利 な概 念 で あ る 。 しか し,こ の 転 動 球 の 動 的 シ ミュ レ ー シ ョン は あ ま り興 味 深 い もの で は な い。 た だ,水

平面

を転 が っ て い る だ け の ア ニ メ ー シ ョ ンを作 って も面 白 み が 少 な い と思 う。 ボ ー リ ン グ競 技 の球 の 挙 動 解 析 まで 踏 み 込 め ば面 白 くな るが ,滑

り易 さ が レー ン上 で変

化 す る こ とな ど を考 慮 す る必 要 が あ り,こ こで 取 り上 げ る に は 複 雑 過 ぎ る。 そ の よ う な理 由 か らMATLABの

プ ロ グ ラ ム は 作 ら な か っ た が,次

の[Quiz

18 .1]

に示 す よ う な転 動 球 な ら ば シ ミュ レー シ ョン を試 して み た くな る か も知 れ な い 。 こ の 課 題 は独 立 な 一 般 化 座 標 に どの よ う な変 数 を採 用 す る か とい う点 に 面 白み が ある。

Quiz 18.1

<球 面 に 内 接 す る 転 動 球>慣

性 空 間 に 座 標 系 Ｏ を 固 定 し,Ｚ

軸 の 負 の 向 きに 重 力 が 作 用 し て い る もの とす る。 原 点 Ｏ を 中 心 と した 半 径bBIG の 大 き な球 面 Ｂ が 固 定 さ れ て い て,そ

の 球 面 の 内側 に一 点 で 接 して 滑 らず に 転

動 す る 半 径bSMALLの 小 さ な球 Ｓ を 考 え る(図18.1)。 接 触 点 Ｐ が 大 球Bの

この 小 球 Ｓ の 運 動 範 囲 は,

下 半 分 よ り十 分 低 い位 置 に あ る範 囲 とす る 。 ま た,小 球 Ｓ

の 重 心 は球 の 中心 に あ り,さ

らに,そ の 点 に 原 点 が 一 致 す る よ う に座 標 系 が 固 定

され て い る。 この 座 標 系 と原 点 も Ｓ と呼 ぶ 。 小 球 の 重 心 に加 わ る作 用 力FOSは 重 力 だ け で,重 力 の 加 速 度 は ｇで あ り,作 用 トル クN'OSは ゼ ロ とす る。 小 球 の 質 量 をMs,重

心 ま わ りの 慣 性 行 列 をJ'OSと して,小 球 の 運 動 方 程 式 を示 せ 。

  こ の 課 題 は一 般 化 座 標 の 選 び方 に面 白 み が あ る 。 小 球 Ｓ の 運 動 範 囲 を大 球 の 上 半 分 に も拡 大 す る と,一 般 化 座 標 に は ど ん な変 数 を用 い れ ば よい だ ろ うか 。 上

図18.1球

面 に内 接 す る滑 らな い転 動 球

半 分 に あ る と き も一 点 で 大 球 に接 触 して い る もの と し,重 力 に よ って 真 下 に 落 ち る よ う な こ と は な い もの とす る 。 い くつ か の 方 法 を 考 え,そ れ ぞ れ の 長 所 や 短 所 を検 討 して み よ。

拘束条件追加法(速 度変換法)

第19章

  仮 想 パ ワー の 原 理 や ケ イ ン型 の 運 動 方 程 式 を利 用 す る 方 法 で は,ホ ロ ノ ミ ック な系 と シ ンプ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ック な系 を 区別 す る必 要 が な く,わ か りや す い 。 し か し,質 点系 と して 扱 う か 剛 体 系 と し て扱 うか,あ

る い は,３ 次 元 剛 体 系 か ２次

元 剛 体 系 か に よ っ て,出 発 点 の 原 理 の 表 現 や運 動 方 程 式 の形 を選 別 す る 必 要 が あ る。 そ の 点,本

章 の 方 法 は か な り異 な っ て い る。 本 章 の 方 法 は既 知 の運 動 方 程 式

を も と に 求 め た い 系 の式 を導 く方 法 で,そ しか も,最 終 的 な もの まで,複

の 手 順 に は 上 記 の よ うな 区 別 は な い 。

数 回 に分 け て適 用 す る こ とが 可 能 で あ り,既 知 の

運 動 方 程 式 が す で に途 中 ま で組 み あ が っ た もの で も,モ ー ド座 標 の よ う な抽 象 性 の 高 い変 数 に よっ て 表 現 さ れ た もの で も よい 。   本 章 の 方 法 を筆 者 は,こ れ ま で 「拘 束 条 件 追 加 法 」 と呼 ん で い た が,「 速 度 変 換 法 」 とい う 呼 び 名 を付 記 す る こ と に した 。 こ の 方 法 は,Velocity

Transforma

tionと し て知 られ て い る 方 法 を広 く解 釈 す れ ば 同 じ とす る 見 方 が あ る た め で あ る (18.6節 参 照)。   本 章 に は二 つ の 事 例 が あ る。 最 初 の 事 例 に は,乗 用 車 の操 縦 安 定 性 に 関 す る最 も簡 単 な モ デ ル 「二 輪 車 モ デ ル 」 を取 り上 げ る 。 こ のモ デ ル は シ ンプ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な系 で,シ

ミ ュ レー シ ョ ンプ ロ グ ラム も準 備 され て い る。 ２次 元 モ デ ル

で あ る が,車 体 に 固 定 した座 標 系 で 表 した 変 数(ダ

ッ シ ュ の付 く変 数)を

並進運

動 に用 い て い る。 実 際 問題 に 近 く,比 較 的 簡 単 な事 例 と して取 り上 げ た が,本 章 の 方 法 に 対 す る最 初 の復 習 に は も っ と簡 単 な モ デ ル に よ る確 認 が 先 か も しれ な い 。 読 者 の 努 力 で カバ ー す る こ と を期 待 して い る。   も う 一 つ の 事 例 は ３次 元 三 重 剛体 振 子 で あ る。 こ の事 例 で は,重 心 速 度 と角 速 度 を ま とめ た 変 数 を用 い,３ 次 元 剛 体 の 並 進 運 動 と回 転 運 動 を一 つ に ま と め た 運 動 方 程 式 を も と に,拘 束 条 件 追 加 法 を適 用 す る 。 こ こ で も並 進 運 動 の 表 現 に ダ ッ シ ュ の 付 く変 数 を用 い た。 並 進 運 動 と 回転 運 動 を ま とめ た 変 数 や 運 動 方 程 式 は,

8.4節[Quiz

8.2]と12.2節[Quiz

12.2]に 出 て き た もの で あ る。 こ の事 例 で

は,３ 次 元 三 重 剛 体 振 子 の運 動 方 程 式 を 陽 に は求 め て い な い 。 拘 束 条 件 追 加 法 の 仕 組 み を順 動 力 学 解 析 の 数 値 計 算 手 順 に 利 用 して い る。

19.1

拘束条件追加法の導出

  系 の 全 質 点 の 速 度 を 一 般 化 速 度 Ｈ で 表 した 式 は 次 の と お りで あ る(13.5節

参

照)。 【13.10】

こ の 式 と,質 点 系 の ケ イ ン型 運 動 方 程 式 を用 い て,標 準 形 の 運 動 方 程 式 を作 る と,次 の よ うに な っ た(18.5節

参 照)。 【13.40】 【18.16】

【18.17】

式(18.16)か

ら分 か る よ う にmHは

Ｈ の場 合 で あ るが,一

対 称 行 列 で あ る。 これ らの 式 は 一 般 化 速 度 が

般 化 速 度 が Ｓの 場 合 も書 い て お く。

(19.1) (19.2) (19.3) (19.4) こ れ らは,単

に Ｈ を Ｓ に 置 き換 え た だ け で あ る。

  こ こ で,一 般 化 速 度 Ｓ の系 の 運 動 方 程 式 を作 る こ と を 目指 して い る と す る。 そ して,そ

の 系 か らい くつ か の 拘 束 を外 す こ と を考 え,拘 束 を外 した系 に つ い て

は 運 動 方 程 式 が 既 知 に な る よ う に,上 手 く拘 束 を外 す も の とす る。 そ の結 果,一 般 化 座 標 Ｈ の系 が 得 られ た と し よ う。 す な わ ち,mHとfHは て,一

既知 であ る。そ し

般 化 座 標 Ｈ の 系 か ら見 れ ば,一 般 化 座 標 Ｓ の 系 は 拘 束 を追 加 して作 る こ

と に な る 。 そ こで,一

般 化 座 標 Ｈ の系 を拘 束 追 加 前 の 系 と 呼 び,一 般 化 座 標 Ｓ

の 系 を拘 束 追 加 後 の 系 と呼 ぶ こ とに す る 。

  拘 束 追 加 後 を考 え る 。 運 動 方 程 式(13.40)は,も

は や 成 り立 た ず,拘

束追加 に

伴 う拘 束 力 が 加 わ る。

(19.5) 拘 束 追 加 前 の 一 般 化 速 度 Ｈ は拘 束 追 加 後 の 一 般 化 速 度 Ｓ に よ っ て 表 さ れ る はず で,シ

ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ック まで の 範 囲 で そ の 関 係 は Ｓの 一 次 式 で あ る。

(19.6) こ の 式 を 時 間 微 分 し て,式(19.5)に

代 入 し,左

か らHTSを

掛 け て 整 理 す る と ,次

の式 が得 られる。

(19.7) こ の 式 で,mH,fH,Hsと,Hs,Hsの

時 間 微 分 は 既 知 で あ る。 拘 束 力 を 除 け

ば,こ

れ ら を 用 い て,Ｓ

は,次

に 示 す よ う に,式(19.7)のfHを

ち,HTSfHは

で 書 か れ た 運 動 方 程 式 が 求 ま っ た こ と に な る。 実 際 に 除 い た 運 動 方 程 式 が 成 立 す る。 す な わ

ゼ ロ に な る。

式(19.6)を

式(13.10)に

代 入 す る。

(19.8) こ の 式 と式(19.1)と を対 比 す る と次 の 関 係 が 得 られ る。

(19.9) (19.10) こ の 関 係 を 用 い,式(19.3),(19

考 え る 。 式(19.4)に (19.10)の

はVS,VSの

.4)の

を

で表す こ とを

時 間 微 分 も含 ま れ て い る の で,ま

ず,式(19.9),

時 間 微 分 を 作 っ て お く。

(19.11) (19.12) さ て,式(19.9),(19.11),(19.12)を

式(19.3),(19.4)に

代 入 す る 。

(19.13)

(19.14) こ こ で,式(18.16),(18.17)を

用 い て,式(19.13),(19.14)か

ら ｍ と ｆを消 去

す る こ と を め ざ す 。 そ の 見 通 し を よ くす る た め に,式(18.17)の

Ｈ に 式(19.6)を

代 入 し て お く。

(19.15) こ の 式 と 式(18.16)を

用 い る と,式(19.13),(19.14)は

次 の ようになる。

(19.16) (19.17) こ のmsとfsを (19.17)を

用 い て,運

動 方 程 式 は 式(19.2)で

代 入 し た も の と式(19.7)を

あ る 。 式(19.2)に(19.16)と

対 比 す る と,次

の 関 係 が 得 られ る 。

(19.18) 拘 束 追 加 に と もな っ て 生 じた 拘 束 力 は,拘 束 前 後 の 独 立 な 一 般 化 速 度 の ヤ コ ビ行 列 と直 交 して い る。

19.2   ま ず,運

拘束条件追加法の適用手順と特徴 動 方 程 式 を 求 め た い 系 か ら適 当 に 拘 束 を は ず し,運

系 を 作 る 。 そ の 系 の 一 般 化 速 度 Ｈ を 把 握 し,運 と め て,mHとfHを

求 め て お く。 な お,運

に 作 っ て お く。 次 に,拘

動 方 程 式 が既 知 の

動 方 程 式 を 式(13.40)の

動 方 程 式 はmHが

対 称行列 になる よう

束 追 加 後 の 一 般 化 速 度 Ｓ を 選 択 し,式(19.6)の

Ｈ を Ｓ で 表 す 。 そ の 関 係 か ら,HsとHsが る 。 以 上 を 用 い て,式(19.16),(19.17)に

得 ら れ る が,そ よ りms,fsを

形 に ま

よ うに

れ ら の 時 間微 分 を作 計 算 す れ ば,式(19.2)

が 求 め る運 動 方程 式 で あ る。   こ こ で,式(13.10),(13.40),(18.16),(18.17)と,式(19.6),(19.2),(19. 16),(19.17)が

同 型 に な っ て い る こ と を 指 摘 し て お く。 最 後 の 四 つ の 式 は,Ｈ

の 系 に 拘 束 を 加 え て Ｓ の 系 を 作 る 方 法 で あ る が,最

初 の 四 つ の 式 は,ｖ

の系 に拘

束 を加 え て Ｈ の系 を作 る 方 法 で あ る。 これ らをH⇒Sの ぶ こ と に し よ う。v⇒Hの

方 法,v⇒Hの

方 法 は 質 点 系 を対 象 と して い る が,剛

体 系 を対 象 と し

た 式 もあ る。 式(13.11),(13.12),(13.40),(18.18),(18.19)の り,こ れ は,V,Ω'⇒Hの

方 法 と呼

五 つの式 であ

方 法 と呼 ぶ こ とが で きる 。

  ケ イ ンの 方 法 は,v⇒Hの

方 法 とV,Ω'⇒Hの

や 部 分 角 速 度 は,vやVや

Ω'の よ う な 実 速 度 や 実 角 速 度 を Ｈ で 偏 微 分 し た ヤ

コ ビ行 列 で あ る。 一 方,H⇒Sの 必 要 な い。HがvやVや

方 法 で あ る。 ケ イ ン の 部 分 速 度

方 法 で は,も は や,質 点 系 とか 剛 体 系 の 区別 は

Ω'の 場 合 は ケ イ ン の 方 法 と 同 じで あ る が,そ

れ以外

の Ｈ で 表 さ れ た 系 を も と に運 動 方 程 式 を構 築 で きる 。 Ｈ は デ カ ル ト座 標 で 表 さ れ た 速 度 と は 限 らず,モ

ー ド速 度(モ

ー ド座 標 の 時 間 微 分)の

よ うな 抽 象 的 な 速

度変数で もよい。   H⇒Sの

方 法 は 何 度 も繰 り返 し て用 い る こ とが で き る。 ロ ボ ッ トや 車 両 の モ デ

ル は,自 由 な質 点 系 に拘 束 を加 え て作 る こ とが で き るが,拘

束 を加 え る順 序 も 自

由 で あ る。 任 意 な順 序 で何 度 で も拘 束 の 追 加 を繰 り返 し,最 終 モ デ ル に 到 達 す る こ とが で き る。 異 な る拘 束 の 追 加 手順 を と っ て も,最 終 的 な 運 動 方 程 式 は 変 わ ら ない。   18.6節 H⇒Sの

に 記 し た 速 度 変 換 法 に 関 す る 文 献 な どの 説 明 に は,v⇒Hの

方法 と

方 法 を 区 別 して捉 え て い る様 子 は 見 られ な い 。 速 度 変 換 法 は,デ

カル ト

座 標 を用 い た微 分 代 数 型(第20章

参 照)の

運 動 方 程 式 を独 立 な 一 般 化 速 度 で 表

現 し直 す 方 法 と も説 明 さ れ て い て,質 点 系 の ｖや 剛体 系 の Ｖ と Ω'な ど を 従 属 な も の を含 む一 般 化 座 標 と して い る。 従 っ て,速 度 変 換 法 はv⇒Hの そ う だ が,一 方,独

立 な一 般 化 速 度 で 表せ ば,必 ず,拘

方 法 とい え

束 力 は 消 え る とい う事 実

を ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 か ら の 当 然 の 帰 結 と して い て,式(19.18)は,こ

こで説明

す る ま で も な く当 然 の こ と と考 え て い る よ う で もあ る。 そ れ ゆ え,v⇒Hの とH⇒Sの

方 法 の 区 別 も現 わ れ な い の か も しれ な い が,ケ

方法

イ ンの 方 法 との対 比 で

考 え た り,我 々 が 通 常 持 っ て い る認 識 を考 え る と,こ の 区 別 の 意 味 は大 きい よ う に 思 え る 。 む しろ,式(19.18)の

よ うな 性 質 が 得 られ て,ダ

ラ ンベ ー ル の 原 理 は

次 の よ う な一 般 的 な形 で 成 立 す る と考 え る ほ うが,素 直 な捉 え方 で あ ろ う。

(19.19) 拘 束 条 件 追 加 法 は,筆 者 の 体 験 で は,多

くの 事 例 で 快 適 で あ る 。mH,fH,Hs,

Hsを 把 握 す れ ば,後

は 機 械 的 な作 業 で あ る 。 質 点 系 や 剛 体 系,あ

る い は,３ 次

元 や ２次 元 を 区 別 し て考 え る 必 要 が な い 。 手 順 が 明快 で,見 通 しが よい 。 ケ イ ン の 方 法 や 仮 想 パ ワー の 原 理 を利 用 す る方 法 と 同様,シ 系 ま で,ホ

ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ック な

ロ ノ ミ ッ クか 否 か を 区 別 す る こ と な く適 用 で き る。 ま た,運 動 方 程 式

を立 て る 手 順 を そ の ま ま順 動 力 学 の 数 値 計 算 の 手 順 とす る こ とが で きる 。 そ の ほ か,運

動 方 程 式 の さ ま ざ ま な応 用 に お い て,こ の 手 順 を活 用 で き る。 た と え ば,

運 動 方 程 式 を線 形 化 して,固 有 値 解 析 す る よ う な場 合,拘

束 条 件 追加 法 の 考 え方

を利 用 して 線 形 化 の 手 順 を分 解 し,操 作 しや す い もの に で き る(付 録 Ｅ参 照)。

19.3

順動力学解析の事例:操 縦安定性のための二輪車モデル

  乗 用 車 の 操 縦 安 定 性 を 調 べ る た め の 最 も単 純 な モ デ ル は 二 輪 車 モ デ ル で あ る (図19.1)。

こ の モ デ ル は水 平 面 を 走 る乗 用 車 を上 空 か ら眺 め た ２次 元 モ デ ル で,

車 両 の ピ ッチ ン グ や ロ ー リ ン グ運 動 を無 視 し,左 右 輪 の輪 荷 重 の 変 化 も考 慮 しな い もの で あ る 。 そ の た め,左 右 輪 を 中 央 に ま とめ て,前 後 に 二 輪 だ け を持 つ と考 え,二 輪 車 モ デ ル と呼 ぶ 。   こ の モ デ ル で は,普 通,車 輪 の 質 量 や 慣 性 モ ー メ ン トは 無 視 す る か,あ

るい

は,車 体 の 中 に 含 ま れ て い る と考 え る 。 こ こ で は 後 輪 駆 動 前 輪 操 舵 車 を考 え る こ と に す る。 一 般 に,走 行 中 の 車 輪 に は横 滑 りが あ り,ま た,駆 動 輪 に は転 動 方 向 に も滑 りが あ るが,こ

れ らの滑 りを 許 して モ デ ル化 す るか 否 か で 運 動 学 的 自由 度

が 異 な っ た モ デ ル に な る。 こ こで は,前 後 輪 と もに横 滑 り し,そ れ に よ りコ ー ナ リ ング 力 が 発 生 す るモ デ ル を考 え る。 これ に よ る 自由 度 の 減 少 は な い 。 一 方,駆

図19.1操

縦 安 定性 の ため の 二輪 車 モ デ ル

動 輪(後

輪)の

転 動 に よ る 前 進 方 向速 度 は,走 行 負 荷 な どに よ る変 動 を許 さず,

常 に 一 定 値v0と す る。 こ の 条 件 は シ ン プ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束 で あ り,運 動 学 的 自由 度 を ひ とつ 減 少 させ る。 結 局,モ

デ ル の 運 動 学 的 自 由 度 は ２,幾 何 学

的 自 由度 は ３と な る。 前 輪 の 操 舵 は,実 舵 角 を 時 間 につ い て の折 れ 線 関 数 で 与 え る こ と に し,そ の 与 え方 で,車 線 乗 り移 りや 円旋 回 を実 現 で き るモ デ ル とす る。   な お,後 輪 駆 動 車 で は な く前 輪 駆 動 車 を考 え,前 輪 の転 動 方 向 速 度 を一 定 とす る場 合,あ

る い は,後 輪 も操 舵 す る場 合 を考 え る と,一 定 車 速 の 方 向 が 車 体 に対

して も変 動 し,シ

ンプ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ック な拘 束 が 時 間 の 関 数 と し て変 動 す るモ

デ ル とな る 。 ま た,操 舵 す る車 輪 を剛 体 と考 え て 慣 性 モ ー メ ン トを考 慮 し,操 舵 角 を時 間 の 関 数 と して 与 え る こ とに す る と,前 進 方 向 の すべ りを許 す モ デ ル に し た場 合 も,ホ ロ ノ ミ ック な 時 間依 存 拘 束 を含 む モ デ ル とな る 。   図19.1は,こ

こで 扱 う二 輪 車 モ デ ル の 説 明 図 で あ る。 ２次 元 剛 体 Ａ は車 体 で,

そ こ に 固 定 した 座 標 系 の Ｘ 軸 が 前 進 方 向 で あ る。 こ の Ｘ 軸 上 に 二 点 Ｆ と Ｒ が あ る。 Ｆ は 前 輪 の 位 置 を示 し,Ｒ は後 輪 で あ る。F,R二

点 間 の距 離 は ホ イ ー ルベ

ー ス と呼 ば れ るが ,こ れ を ｗとす る 。

(19.20) 前 輪 が 操 舵 輪 で,そ の 実 舵 角 を βFと す る。 こ の モ デ ル で は 後 輪 は 固 定 され て い る。 この 車 は 車 速 一 定 とす る が,駆 が 一 定 とな る 。 した が っ て,重

動 輪 は 後 輪 で あ る か ら,点

心 Ａ の Ｘ 方 向 速 度 も,点

Ｒの Ｘ方 向速 度

Ｆの Ｘ方向速 度 も同 じ

一 定 値 に な る 。 そ の 値 をv0と す る と次 の よ う に書 け る。

(19.21)   こ の モ デ ル の 運 動 方 程 式 を拘 束 条 件 追 加 法 で 求 め る こ と に し,拘 束 追 加 前 を 自 由 な ２次 元 剛 体 Ａ とす る 。 ２次 元 運 動 す る 自 由 な剛 体 Ａ の 運 動 方 程 式 は,次 の よ う な形 が 普 通 で あ ろ う。

(19.22) (19.23) 並 進 運 動 は 慣 性 座 標 系 Ｏ で 表 現 さ れ た ２次 元 の代 数 ベ ク トルVOA,FoAな

どで

表 現 され て お り,回 転 運 動 は 運 動 す る ２次 元 平 面 に垂 直 な 軸 まわ りの 回転 に 限 ら れ て い る た め,ス 質 量,JAは

カ ラ ー 変 数 ωOA,nAな

ど を用 い て 表 さ れ て い る。MAは

車体 の

重 心 を通 る 回転 軸 ま わ りの慣 性 モ ー メ ン トで あ る。 ２次 元 代 数 ベ ク ト

ル は ３次 元 の 場 合 と 同 じ記 号 を用 い て い るが,２ 次 元 問 題 を 考 え て い る の で ,2 ×1列 行 列 に な っ て い る と解 釈 す る。   ま ず,並 進 運 動 の 運 動 方 程 式 を,V'OAとF'OAを

用 い た 表 現 に書 き直 して お く。

こ れ らは,座 標 系 Ａ で 表 現 され た 代 数 ベ ク トル で あ る。

(19.24) (19.25) COAは

２ 次 元 の 座 標 変 換 行 列(2×2行

で あ る 。 こ れ ら を 式(19.22)に

列)で,式(10.5)に

代 入 す れ ば よ い が,そ

与 え られ て い る もの

の た め に,ま

ず,式(19

.24)

を 時 間 微 分 す る。

(19.26) 代 入 の 結 果 を整 理 す る と,並 進 運 動 に ダ ッ シ ュ の付 く変 数 を用 い た運 動 方 程式 が 次 の よ う に求 まる 。

(19.27) (19.28) 回 転 運 動 に 関 す る 式 は変 わ らな い 。 こ の よ う な変 数 の 表 現 に変 更 す る理 由 は,車 体 の 速 度 を 車 体 の 前 進 方 向 速 度 と横 方 向速 度 に分 解 して 考 え る ほ うが 自然 だか ら で あ る。 これ に よ っ て,車 体 が 東 に 向か っ て 走 っ て い る 場 合 で も南 西 に 向 か っ て 走 って い る場 合 で も,運 動 方程 式 の 表 現 は変 わ ら な い。 さて,拘 束 条 件 追 加 法 を 用 い る と して,拘 束 追 加 前 のH,mH,fHは

次 の よ う に書 け る 。

(19.29)

(19.30)

(19.31)   拘 束 追加 後 の 独 立 な一 般 化 速 度 Ｓ は 別 の 選 択 肢 もあ る が,こ

こ で は 点F,Rの

位 置 の 横 方 向 速 度 とす る。

(19.32) こ の Ｓ で Ｈ を表 す た め に,前 輪 位 置 に 関す る 次 の 三 者 の 関 係 か ら始 め る。

(19.33) 時 間微 分 して,

(19.34) こ れ を,ダ

ッ シ ュ の 付 く記 号 で 書 き 直 す と,次

の よ う に な る。

(19.35) 同様 に,後 輪 位 置 に 関 して,次 の 式 が 成 り立 つ 。

(19.36) 最 後 の 二 式 をV'OAと 式(19.21)を

ωOAに つ い て 解 き,V'OFとV'ORを

用 い る と,Ｈ

Ｘ 成 分 と Ｙ 成 分 に分 け て

と Ｓ の 関係 が 次 の よ う に得 られ る 。

(19.37)

(19.38)

し た が っ て,

(19.39)

(19.40)

(19.41) (19.42) こ れ ら を 用 い て,拘

束 追 加 後 のmsとfsを

求 め る こ とが で き る。

(19.43)

(19.44)

結 局,拘 束 追 加 後 の 運 動 方 程 式 は次 の よ う に な る。

(19.45)

一 般 化 座 標 と一 般 化 速 度 の 関係 は

,式(19.38)を

利 用 し て,次

の ようになる。

(19.46)

次 に,コ ー ナ リ ン グ力 を 求 め る。 まず 前 輪 の 実 舵 角 は 時 間 の 関 数 で あ る 。

(19.47) こ れ を用 い て,次

の座 標 変 換 行 列 を準 備 して お く。

(19.48) 前 輪 に 固定 し た座 標 系 Ｂ を 考 え,実 舵 角 が ゼ ロ の 場 合 は 車 体 に 固 定 した 座 標 系 Ａ と平 行 に な っ て い て,実 舵 角 と と もに 回 転 す る もの とす る。CABは

座標系 Ｂか

ら座 標 系 Ａへ の 座 標 変 換 行 列 で あ る 。 座 標 系 Ｂ の 原 点 は 点 Ｆ に重 な っ て い る と

考 え て い る 。 点 Ｆ の 速 度 を 座 標 系 Ｂ で 表 してV'OBと

書 くこ と にす る 。

(19.49) さて,前 後 輪 そ れ ぞ れ に働 くコ ー ナ リ ン グ力 を 次 の よ う に モ デ ル 化 す る 。

(19.50) (19.51) f'OBは座 標 系 Ｂ で,f'ORは 座 標 系 Ａ で 表 現 さ れ て い る。 右 辺 括 弧 内 は 近 似 的 に横 滑 り角 と呼 ば れ る量 で,CPFとCPRは

コ ー ナ リ ン グパ ワ ー と呼 ば れ て い る 。 コ ー

ナ リ ングパ ワ ー は,実 際 に は,横 滑 り角 や 輪 荷 重 に依 存 す る が,こ

こで は横 滑 り

角 が 小 さ い範 囲 に 限 定 し て,定 数 とす る。 最 後 に,求 ま っ た コ ー ナ リ ン グ力 を等 価 換 算 し,合 計 す る 。

(19.52) (19.53) (19.54) 他 に作 用 力 は 働 い て い な い 。

表19.1nirinsha_1,mの

グ ラ フ と ア ニ メ ー シ ョ ン 出 力

figure(1),figure(2)

時間に対する重心位置

figure(3)

時間に対する車体角度

figure(4)

時間に対する前輪位置横方向速度

figure(5)

時間に対する後輪位置横方向速度

figure(6)

時間に対する車体角速度

figure(7)

時間に対する操舵角

figure(8)

時間に対する操舵角補助状態量

figure(9)

時 間 に対 す る前輪 コー ナ リ ン グ力

figure(10)

時間に対す る前輪位置横 方向力

figure(11)

時 間 に対 す る後輪 コー ナ リン グ力

figure(12)

時間に対す る前輪位置横加速度

figure(13)

時間に対す る後輪位置横 加速度

figure(14)

重心の軌跡

図19.2 

車線 乗 り移 り時 の二 輪 車 モ デル 重心 の軌 跡

  以 上 の 準 備 の 下 に,MATLABの CD-ROMに sha_1で

収 録)を

プ ロ グ ラ ム(nirinsha_1.m,付

作 成 し た 。 微 分 方 程 式 の 右 辺 の 計 算 を 行 う 関 数 はe_nirin

あ る 。 こ の 関 数 と の パ ラ メ ー タ の 引 渡 し に はglobal変

る 。 実 舵 角 は,時

間 に 対 す る 折 れ 線 関 数 と し て,変

数 を利 用 して い

数Beftableに

く は プ ロ グ ラ ム 中 の コ メ ン ト参 照 の こ と)。Hs,Hs,mH,msは

与 え る(詳

操 舵 角 補 助 状 態 量 と は,時

間 帯 に 位 置 し て い る か を 示 す 指 標 で,Beftableが

し

定 数 で あ り,積

分 計 算 に 入 る 前 の 第 二 段 階 で 準 備 し て い る 。 グ ラ フ 出 力 は,表19.1の あ る 。figure(8)の

録 の

間 ｔがBeftable中

と お りで の 何 行 目の 時

表 す 折 れ線 の 数 が 数 百 な どの 大

き さ に な っ て も計 算 時 間 の 大 幅 な増 加 が 生 じ な い よ う に す る工 夫 に用 い て い る 。 ア ニ メ ー シ ョ ン は,ま

だ,準

備 さ れ て い な い。

19.4  順動力学解析の事例:３ 次元三重剛体振子   11章

に ３ 次 元 三 重 剛 体 振 子 の 説 明 が あ っ た が,そ

ン を 考 え て み よ う 。 ま ず,３

の 順 動 力 学 シ ミ ュ レー シ ョ

次 元 三 重 剛 体 振 子 の ピ ン ジ ョ イ ン トを は ず し,三

つ

の 自 由 な 剛 体 を 拘 束 追 加 前 の 系 と 考 え る 。 自 由 な 剛 体 の 運 動 方 程 式 と し て,12.2 項[Quiz fHは

12.2]の

式(12.32)を

次 の よ うに な る。

用 い る こ と に す る と,拘

束 追 加 前 の 系 のH,

mH,

(19.55)

(19.56)

(19.57)

斜 体 文 字 を 用 い たV"OA, い て,こ

M'A,

れ ら は,6×1,ま

Ω"OA, F"OAは,式(12.28)∼(12.31)に

た は,6×6の

与 え られて

大 き さ を 持 っ て い る 。 剛 体B,Cに

関

す る 同 様 な 量 も 同 様 な 形 で 定 義 さ れ て い る とす る 。   拘 束 追 加 後 の独 立 な一 般 化 座 標 Ｑ と一 般 化 速 度 Ｓ は 次 の とお りで あ る。

(19.58)

(19.59)

三 つ の ピ ン ジ ョ イ ン トの 向 き は,Ｚ λAB軸,λBC軸

と す る 。 す な わ ち,斜

λAB,λBCを,そ ｘ 軸,Ｚ Q,Sを

軸,

れ ぞ れDz,

Dx,

Ｘ 軸,

Ｚ 軸 で あ る が,こ

め の ピ ン ジ ョ イ ン ト も 可 能 で あ る 。 λOA,

Dzと

し た 場 合,ピ

ン ジ ョ イ ン トの 向 き は Ｚ 軸,

軸 と い う こ と に な る 。 微 分 方 程 式 の 右 辺 の 計 算 は,一 求 め る も の で あ り,こ

こ で は λOA軸,

般 に,Q,

S,

tか ら

の 事 例 で は,Ｑ は Ｓ に 等 し い の で,Ｓ の 計 算 手 順 が

は っ き りす れ ば よ い 。 ま ず,Ｑ

か ら,COA,

CAB,

CBCが

次 の よ う に計 算 で き る。

(19.60) (19.61) (19.62) こ れ を 用 い て,CAC,

COB,

Cocも

容 易 に 求 ま る 。 続 い て,  ROA,

RAB,

Rocは

次

の よ うに な る。

(19.63)

(19.64) (19.65) こ の 結 果 か ら,RAC,

ROB,

ROCも

容 易 に 求 ま り,以

ГAB, ГBC, ГACを 準 備 で き る([Quiz

8.2]の

上 を 用 い て,次

の よ うな

解 答 参 照)。

(19.66)

(19.67)

(19.68) ГAB,

ГBC, ГACは,式(8.15)の

た,こ

よ う な 三 者 の 関 係 を利 用 す る と き に役 立 つ 。 ま

れ ら の 時 間 微 分 は 次 の よ うに 書 け る。

(19.69)

(19.70)

(19.71) た だ し,ГAB, で あ り,計 Ω'OA,

ГBC,

ГACの

計 算 に は,Ω'AB,

Ω'BC,

Ω'AC,

VAB,

V'BC,

V'ACが

必 要

算 手 順 は 少 し後 ま わ し に な る 。 Ω'AB,

Ω'BCは,  Sか

ら次 の 式 で 求 め る こ とが で きる 。

(19.72) (19.73) (19.74) ま た,V'OA,

V'AB,

(19.72)∼(19.74)か

V'BCを

求 め る 次 の 式 は,式(19.63)∼(19.65)の

時 間 微 分 と式

ら容 易 に求 ま る 。

(19.75) (19.76)

(19.77) と

を ま と め れ ば,

で あ

り,

は次の ようになる。

(19.78)

(19.79)

(19.80) こ れ ら は い ず れ も定 数 で あ る か らそ の 時 間微 分 は ゼ ロ で あ る。

(19.81) (19.82)

(19.83) ３次 元 三 重 剛 体 振 子 の 場 合,

とそ の時 間微 分 は存 在

しな い。 さ て,

と ГAB,ГBC,ГACを

用 い て,三

者 の 関 係 に よ り,

を求 め る こ とが で き る。

(19.84) (19.85) (19.86) V"ACが 求 ま っ た と い う こ と は,V'ACと の 段 階 で 式(19.69)∼(19.71)の

Ω'ACが 得 られ た と い う こ と で あ る か ら,こ

ГAB,ГBC,ГACを

は そ れ ぞ れ ωOA,ωAB,ωBCに の 依 存 関 係 は な い 。 し た が っ て,式(19.84)∼(19.86)か V"OBは

か ら,

ωOA,ωABに,V"OCは

ωOA,ωAB,ωBCに

求 め る こ とが で き る。 依 存 し て い る だ け で,そ ら,V"ACは

れ 以外

ωAB,ωBCに,

依 存 して い る こ とが 分 か る。 以 上

を Ｓで 偏 微 分 した ヤ コ ビ行 列 が 次 の よ う に求 まる 。

(19.87)

(19.88) (19.89) 結 局,拘 束 条 件 追 加 法 で 用 い るHsは

次 の よ うに書 け る。

(19.90)

は 定 数 で あ る か ら,Hsの

時 間微 分 は 次 の とお りで

あ る。

(19.91)

こ の 式 に 式(19.68)∼(19.70)で

求 め た ГAB,ГBC,ГACが

利 用 さ れ て い る 。 ま た,

３次 元 三 重 剛 体 振 子 の 場 合,Hsと

そ の 時 間微 分 は ゼ ロで あ る。

  式(19.57)のfHの

剛 体 に 働 く作 用 力 と作 用 ト ル ク が 必 要 に な る

が,こ F"OAは

計 算 に は,各

の モ デ ル で は 重 力 が 働 い て い る だ け で あ る か ら 簡 単 で あ る 。 た と え ば, 次 の よ うに な る。

(19.92) F"OB,

F"OCも

同 様 で あ る 。 ま た, fHの

が 式(19.85)のV"OBな   mHとfH,

Hsと

計 算 に は,Ω'OB,

V'OBな

どが 必 要 に な る

ど か ら取 り出 せ ば よ い 。 そ の 時 間 微 分 か ら,式(19.16)と(19.17)を

を 求 め る こ と が で き る 。 こ の 系 で はHsと あ る 。 こ れ ら が 求 ま れ ば,Ｓ

用 い て,msとfs

そ の 時 間 微 分 が ゼ ロ で あ る か ら簡 単 で

は連 立 一 次 方 程 式 の解 と して簡 単 に求 め る こ とが で

きる 。   以 上 の 準 備 の 下 に,MATLABの

プ ロ グ ラ ム(sanjufuriko_1.m)を

微 分 方 程 式 の 右 辺 の 計 算 を 行 う 関 数 はe_sanjufuriko_1で ラ メ ー タ の 引 渡 し はglobal変 り で あ る 。 点P, が,こ

Q,

Rの

作 成 した。

あ る 。 こ の 関 数 との パ

数 を 利 用 し て い る 。 グ ラ フ 出 力 は,表19.2の

位 置 と,運

れ ら は 座 標 系 Ｏ で 表 し たXYZ成

動 量,角

とお

運動 量 は三つず つ組 に なってい る

分 で あ る 。 ま た,点P,

Q,

Rの

位 置 は

表19.2sanjufuriko_1.m,

sanjufuriko

_30.

m(19.5節)の

グ ラ フ と ア ニ メ ー シ ョ ン 出 力

figure

(1)∼figure

(3)

時 間 に対 す る振 子 の 関節 角

figure

(4)∼figure

(6)

時間に対す る振子の関節角速度

figure

(7)∼figure

(9)

時 間 に対 す る点 Ｐの位 置

figure

(10)∼figure

(12)

時 間 に対 す る点 Ｑ の位 置

figure

(13)∼figure

(15)

時 間 に対 す る点 Ｒ の位 置

figure

(16)∼figure

(18)

時間に対する系全体 の運動量

figure

(19)∼figure

(21)

時 間 に対 す る系 全体 の Ｏ 点 ま わ りの角 運 動 量

figure (22)

時 間 に対 す る系 全体 の運動 エ ネル ギ ー

figure (23)

時 間 に対 す る系全 体 のポ テ ンシ ャル エ ネ ルギ ー

figure (24)

時 間 に対 す る系全 体 の 運動,ポ テ ンシ ャル エ ネ ル ギー の和

figure (25)

アニ メ ー シ ョン

図19.3 

３次元 三重 剛 体 振子 の ア ニ メー シ ョ ン

座 標 系 Ｏ か ら見 た 位 置 で あ る。 結 果 を見 る と,figure(24)の ポ テ ンシ ャル エ ネ ル ギ ー の和 が,ほ

ぼ 一 定 で,こ

運動 エ ネルギー と

の系 で は 全 エ ネ ル ギ ーが 保 存 さ

れ て い る こ とが 確 認 で き る。 わ ず か に変 動 が あ るの は数 値 計 算 の 誤 差 で あ る 。 こ の グ ラ フ は,単 純 な 自動 ス ケ ー ル と は異 な る ス ケ ー ル設 定 を行 っ て い る。   振 子 の ア ニ メ ー シ ョ ン(figure(25))も

出力 さ れ る 。 こ の ア ニ メ ー シ ョ ン に

用 い られ た形 状 は角 柱 で 単 純 な た め,コ マ に比 べ て,ア を理 解 しや す い 。

ニ メ ー シ ョ ンの 作 成 方 法

Q uiz19.1 

３次 元 三 重 剛 体 振 子 の モ デ ル を少 し変 更 す る と,ジ ャ イ ロ 効 果 体

験 の興 味 深 い モ デ ル に な る 。 そ の装 置 は ジ ャ イ ロ椅 子 な ど と名 付 け られ て い る も の で,鉛 直 軸 ま わ りに 自由 に 回 転 す る椅 子(あ 転 す る 回転 台)と,回

るい は,鉛 直 軸 ま わ りに 自 由 に 回

転 円 盤 か ら な っ て い る(図19.4)。

「科 学 館 」 な ど と呼 ば

れ る 施 設 で,体 験 で きる所 もあ る。 回 転 円盤 に は 回転 軸 が あ り,円 盤 は 軸 ま わ り に 自 由 に 回 転 で き る よ う に な っ て い て,あ

らか じめ 適 当 に速 い 回 転 を 与 え て お

く。 体 験 者 は椅 子 の 上 に座 り(回 転 台 の場 合 は,そ

の上 に立 つ),回

転 円盤の軸

を両 手 で 持 つ 。 両 腕 は前 方水 平 に伸 ば し回転 円 盤 の 軸 が水 平 に な る よ う に保 持 す る 。 さ て,そ の よ う な初 期 状 態 か ら,円 盤 を 回 転 させ た ま ま,円 盤 の 回 転 軸 を傾 け る よ う に腕 を動 か す 。左 右 の 腕 の 片 方 を上 げ,片 方 を 下 げ る動 作 で あ る。 そ の よ う に して,回 転 して い る 円 盤 の 回 転 軸 を傾 け る と,椅 子 ご と体 が 回 転 し始 め る 。 こ れが ジ ャ イ ロ効 果 の 体 験 で あ る。 なぜ,体

図19.4 

が 椅 子 ご と 回 る の で あ ろ うか 。

ジ ャイ ロ効 果 体験 装置

  こ の 体 験 の 順 動 力 学 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 考 え る と,３ 次 元 三 重 剛 体 振 子 の モ デ ル を 流 用 で き る こ と が 分 か る 。 図19.5は,こ こ の モ デ ル は 三 つ の 剛 体A, 両 腕

B,

Cか

の 装 置+体

ら な る 。Aは

験 者 の モ デ ル で あ る。

椅 子 と体 験 者,Ｂ

Ｃ は 回 転 円 盤 で あ る 。 慣 性 座 標 系 と そ の 原 点 を Ｏ と し,剛

Ｏ'と Ｐ,剛

体 Ｂ 上 に は 点 Ｐ'と Ｑ,剛

円 盤 Ｃ の 中 心(重 致 さ せ て,慣

心)と

ピ ン ジ ョ イ ン トの 向 き は,図

B,

体 Ａ 上 には点

体 Ｃ 上 に は 点 Ｑ'を 考 え る 。 た だ し,Ｑ'は

一 致 し て い る 。 次 に,０

性 空 間 ０ と 剛 体A,

は体 験 者 の

Cを

と ０',Ｐ

と Ｐ',Ｑ

順 に ピ ン ジ ョ イ ン トA,

か ら推 定 で き る よ う に,ピ

B,

と Ｑ'を 一 Cで

結 ぶ。

ン ジ ョ イ ン ト Ａ が 鉛 直,

図19.5ジ

ャイ ロ効 果 を体 験 で き る装置 と体験 者 のモ デ ル

ピ ン ジ ョイ ン トＢ が水 平,ピ

ン ジ ョ イ ン トＣ も水 平 で ,三 つ の 軸 は初 期 に は相

互 に 直 交 して い る。 この 図 に は各 剛体 に固 定 した 座 標 系 は 描 か れ て い な い が,初 期 に は す べ て,慣 性 座 標 系 と 同 じ向 き を 向 い て い る もの と し,ピ ン ジ ョイ ン ト Ｂ は Ｘ 軸 方 向,ピ

ン ジ ョイ ン トＡ は Ｙ 軸 方 向,ピ

い て い る。 各 座 標 系 の 原 点(重 心)は 点,線 分PQの

中 間 点,円

ン ジ ョイ ン ト Ｃ は Ｚ軸 方 向 を向

,A,B,Cの

順 に,eOYと

直 線PQの

交

盤 の 中 心 Ｑ と しよ う。

  回 転 円 盤 の 軸 を傾 け る 方 法 は 二 通 り あ る 。 第 一 の 方 法 は ジ ョイ ン ト Ｂ の 回 転 軸 に沿 っ て 剛 体 Ｂ に トル ク を加 え る もの で あ る。 剛 体 Ａ に は反 作 用 の トル ク を 加 え る。 第 二 の方 法 は 回転 角 θABを時 間 の 関数 で 与 え る 方 法 で あ る 。 第 一 の 方 法 で は ３次 元 三 重 剛 体 振 子 と同 じモ デ ル に ジ ョ イ ン ト Ｂ に 沿 っ た トル ク を加 え れ ば計 算 で きる 。 た だ し,適 当 な傾 き角 を実 現 す るた め に どの 程 度 の トル ク を加 え るべ きか を適 切 に決 め る 必 要 が あ る。 第 二 の方 法 で は新 た な拘 束 が 加 わ っ た の で 運 動 方 程 式 を作 り直 す 必 要 が あ る。 こ の 方 法 で は 傾 き角 は 時 間 に関 す る滑 らか な 関 数 とす る必 要 が あ る が,そ の 大 きさ な ど は決 め や す い。 また,傾 間 微 分(角

速 度)と 二 回 時 間 微 分(角 加 速 度)も

う に与 え な け れ ば な らな い 。 なお,決

き角 の 一 回 時

時 間 の 関 数 と して 矛 盾 が な い よ

め た 傾 き角 の 関 数 に対 して,そ

れを実現す

る た め に 必 要 な トル ク を 求 め る場 合,拘 束 トル ク の 計 算 が 必 要 に な る。  ３次 元 三 重 剛 体 振 子 の プ ロ グ ラム を改 造 し て,第 一 の 方 法 のMATLABプ ラ ム を作 成 した(gyro

_chair_1.m,付

ン ジ ョイ ン トA,Bの

回 転 速 度 ωOA,ωABは

録 のCD_ROMに

ログ

収 録)。 運 動 の 初 期 の ピ

ゼ ロ と して あ る。 使 用 した デ ー タ

は,適 当 に定 め た もの で あ る が,こ の プ ロ グ ラ ム を動 か す と,ど の よ う な現 象 か

を理 解 しや す い で あ ろ う。   さ て,Quizで

あ る が,な

ぜ,体

な お,体 が 椅 子 ご と回 る理 由 は,シ

が 椅 子 ご と 回 る の か 力 学 的 な 説 明 を 求 め る。 ミュ レー シ ョ ンの 結 果 か ら得 られ る わ け で は

な く,シ ミュ レー シ ョン を しな くて も,あ る い は,運 動 方 程 式 を立 て な くて も説 明 で き る はず で あ る。

微分代数型運動方程式

第20章

  前 章 ま で の 方 法 で は,い ず れ も,標 準 型 の 運 動 方 程 式 が 得 られ た 。 本 節 で は, 微 分 方 程 式 と代 数 方 程 式 を連 立 させ た形 の微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 を 説 明 す る。 こ の 方 程 式 は,系

を構 成 す る 剛 体 の 位 置 と回転 姿 勢 を独 立 な 一 般 化 座 標 に よ っ て表

現 す る こ と が 困 難 な 場 合 に役 立 つ もの で あ る。 複 雑 な リ ンク 機 構 は,し

ば しば,

独 立 な一 般 化 座 標 に よ る表 現 が 難 しい 事 例 で あ る。 微 分 代 数 型 運 動 方程 式 は,独 立 な 一 般 化 座 標 や 独 立 な 一 般 化 速 度 を用 い な い た め,そ

れ ら を選 択 す る 必 要 が な

く,汎 用 ソ フ トも作 りや す い。 こ の性 質 が マ ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミク ス の発 展 につ な が って きた 。 最 近 は 次 節 に説 明 す る よ う な新 しい技 術 が 実 用 化 さ れ,そ の 汎 用 ソ フ トも 出 回 る よ う に な って きた が,今 で も,微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 を基 礎 に し た汎 用 ソ フ トが 強 い 商 品 力 を維 持 して い る。

20.1独

立な拘束力を未知数 に加 えた連立一次方程式

拘 束 質 点系 の 質 点 速 度 ｖが 受 け て い る拘 束 は,13.6節

に与 え られ た。 【13.36】

この 拘 束 は,す べ て独 立 な もの だ け で 構 成 され て い る とす る。 仮 想 速 度 と拘 束 力 の 直 交 性 は,質 点 系 に 関 して,17

.3節 に示 され た 。 【17.13】

式(13.36)か

ら,仮

想 速 度 ｖの 拘 束 条 件 は 次 の よ う に な る 。

(20.1) こ の拘 束 条 件 が な け れ ば,自

由 な 質 点 系 に な る 。 そ の と き,ｖ に含 まれ る 変 数 は

自 由 な 値 を取 れ る こ と に な り,式(17.13)か

ら,拘 束 力 は ゼ ロ に な る が,自

由な

質 点 系 だ か ら当 然 で あ る。 式(20・1)の 拘 束 が あ る場 合 は,ｖ を独 立 な 変 数 と従 属 な 変 数 に 分 け て 考 え る。 ｖお よ び ｖ を並 べ 替 え て,独

立 な 変 数VIお

よ びVIと ,

従 属 な 変 数VDお

よ びVDに

分 け た と し よ う 。 そ の と き,式(20.1)は

次 の よ う に書

ける。

(20.2) 独 立 な 変 数VIの 数 は,Ｖ に含 ま れ る 変 数 の 数 か ら Φ の 数 を 引 い た 値 に な り,従 属 な 変 数VDの

数 は Φ の数 で あ る。 式(20.2)か

ら,従 属 な 変 数VDは 独 立 な 変 数

VIに よ っ て 次 の よ う に 表 され る。

(20.3) Φ が 独 立 な拘 束 だ け で構 成 され て い る と き,適 切 に 独 立 な 変 数 と従 属 な 変 数 を 選 択 す れ ば,ΦVDは   式(17.13)の 結 果,こ

正 則 に な る。

Ｖ も 同 じ並 べ 替 え を 行 い,そ

れ に対 応 して ｆ も並 べ 替 え る。 そ の

の 式 は 次 の よ う に書 け る。

(20.4) こ の 式 に 式(20.3)を

代 入 す る と次 の よ うに な る。

(20.5) 独 立 な 変 数VIは 任 意 な値 を取 れ る の で,こ

の 式 か ら次 の 関 係 が 得 られ る 。

(20.6) fDは,Φ

の 数 と同 数 で,独

立 な拘 束 力 とす る こ とが で き,fIは,fDに

さ れ る 従 属 な拘 束 力 で あ る。 拘 束 力 の 場 合,独

よ っ て表

立 な もの と従 属 な もの の 添 え字 が

逆 に な って い る 点 に 注 意 が 必 要 で あ る。   拘 束 質 点 系 の運 動 方 程 式 は拘 束 力 を含 ん だ 形 で12.4節

に与 え られ た。 【12.44】

こ の 式 も Ｖ や ｆ の 並 べ 替 え と 同 じ 並 べ 替 え を 行 う。 ｆ は,fIとfDに mIとmDの

二 つ の 対 角 ブ ロ ッ ク に 分 け る こ と が で き る 。 な お,こ

質 点 単 位 の 並 べ 替 え で は な く,一 そ れ で も,mIとmDは で き る が,fIは

な り,ｍ

は

の並べ 替 えは

つ の 質 点 の 成 分 が 二 つ に分 か れ る こ と もあ る。

対 角 行 列 で あ る 。 運 動 方 程 式 は 二 つ に 分 け て 書 く こ とが

式(20.6)を

用 い てfDで

表 し てお く。

(20.7) (20.8) 式(13.36)の

Ｖ も 同 じ並 べ 替 え を 行 う 。

(20.9)

こ の 式 を時 間微 分 す る と次 の よ う に な る。

(20.10) こ の 式 の 左 辺 の 第 ３項 ∼ 第 ５項 は加 速 度 レベ ル の変 数 を含 んで い な い 。 こ の 三 つ の項 を ま とめ て ΦRと 書 くこ とに す る。

(20.11) (20.12) 式(20.11)は,Φvnの

正 則 性 を 利 用 し て 次 の よ う に 書 き な お し て お く。

(20.13) 以 上 で 微 分 代 数 方 程 式 を 作 る 準 備 が で き た 。 式(20.7),(20.8),(20.13)を さ せ る と,VI,vD,fDを

連立

未 知 数 とす る連 立 一 次 方 程 式 が 得 られ る。

(20.14)

式(20.7),(20.8)は

微 分 方 程 式 で あ る が,式(20.13)は,代

回 時 間 微 分 し て,変

形 し た だ け で あ る 。 式(20.14)は

微 分 代 数 方 程 式(DAE)と 略 で あ る 。 な お,標

数 方 程 式(20.9)を

両 者 を 連 立 さ せ た 方 程 式 で,

呼 ば れ る 。DAEはDierential

準 型 運 動 方 程 式 はODE(Ordinary

二

Algebraic Dierential

Equationの Equation)で

ある。

  この 式 の弱 点 は,ΦvDの

正 則 性 で あ る 。 正 則 性 は運 動 の 経 過 と と も に変 化 す る

こ とが 考 え られ るの で,正 則 性 が 妥 当 な 範 囲 に収 まっ て い る か ど うか を確 認 す る こ とが 必 要 に な る 。 ま た,こ

の 式 を用 い て 数 値 計 算 で 〓

を 計 算 す る よ うな 方

法 は計 算 時 間 面 で 不 利 で あ る。 こ の 章 は,次 章 の 方 法 を説 明す るた め の布 石 で あ る 。 こ れ以 外 の 微 分 代 数 方 程 式 の特 徴 につ い て は 後 で 述 べ る。

20.2ラ

グ ラ ン ジ ュの 未 定 乗 数 の 利 用

拘 束 力 の 中 か ら独 立 な も の を 選 択 して残 りを独 立 な もの で 表 す 代 わ りに,独 立

な もの と 同 数 の,す なわ ち,拘 束 Φ の数 と 同 数 の 未 定 乗 数 を 用 い て,す べ て の 拘 束 力 を表 す 方 法 が あ る。 こ の 方 法 は ラ グ ラ ン ジ ュの 未 定乗 数 法 と呼 ば れ て い る。   まず,拘

束 Φ の 数 と 同 数 の 未 定 乗 数 を成 分 とす る列 行 列 Λ を 準 備 し,そ の 転

置 を式(20.1)に 左 か ら掛 け る。

(20.15) こ の 式 は ス カ ラ ー で あ り,式(17.13)と 式(20.15)を

転 置 し た 形 に し て お き,VTで

の 和 を 作 る こ と が で き る 。 和 を と る と き, 括 り出 す 。

(20.16) こ こ で,前

項 と 同 様 に,ｖ

をVIとVD,fをfIとfDに

分 離 し て,こ

の式 を書 き

な お す と次 の よ う に な る 。

(20.17) 前 項 と同 じよ う に,〓

は正 則 だ と しよ う。 そ の と き,ま ず,こ

の式の左辺第二

項 の 括 弧 内 が ゼ ロ に な る よ うに Λ を選 ぶ も の とす る。

(20.18) 〓

が 正 則 な の で,こ

立 す る と式(20.17)左

の 式 を Λ につ い て解 く こ とが で き る 。 さ て,こ の 式 が 成 辺 の 第 二 項 は消 え,第 一 項 だ け に な る。 そ して,ｖIは 独 立

で あ る た め,第 一 項 の 括 弧 内 もゼ ロ と な る。

(20.19) 結 局,式(20.18)と(20.19)の

両 方 が 成 立 す る こ と に な る が,こ

れ は,式(20.16)

の ｖが独 立 で あ る と した 結 果 と 同 じで あ る。

(20.20)   こ の 方 法 で は,ｆ

の 中 の 独 立 な拘 束 力 を独 立 な 未 知 数 とす る代 わ りに,Λ を独

立 な 未 知 数 と して,ｆ わ ず,未

の す べ て を Λ で 表 した 。 独 立 と従 属 な 拘 束 力 の 選 択 を 行

知 数 を外 か ら導 入 す る こ と に よ っ て す べ て の 拘 束 力 を対 等 に扱 う手 法 で

あ る。 独 立 な拘 束 力 を選 択 す る方 法 で は正 則 性 の 変 化 に対 応 す る策 を必 要 とす る が,未

定 乗 数 を 用 い れ ば,Φ

の独 立 性 が 保 た れ て い る 限 り,特 別 な こ と を考 え

な くて も よ い 。Λ は独 立 で あ る か ら,任 意 の 値 を取 る 可 能 性 が あ り,式(20.20) は,拘 束 力 が 〓Tvの列 の線 形 結 合 で表 され る こ と を 示 して い る 。  式(20.20)と

式(12.44)か

ら,運 動 方 程 式 は 次 の よ うに な る。

(20.21)

式(13・36)を

時 間微 分 す る と次 の よ うに な る 。

(20.22) こ の 式 の左 辺 第 二 項 と第 三 項 に は加 速 度 レベ ル の 変 数 は含 まれ て い な い 。 この 二 つ の 項 を ま とめ て ΦRと 書 くこ とにす る。

(20.23) (20.24) 式(20.21)と(20.23)を

合 わせ る と拘 束 質 点 系 の 微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 が 次 の よ う

に得 ら れ る 。

(20.25)

20.3拘

束剛体系の微分代数型運動方程式

  剛 体 系 の 場 合 も考 え 方 は 同 じで あ る。 剛 体 系 の 速 度 レベ ル の 拘 束 条 件 は13.6 節 に与 え られ て い る。 【13.39】

ま た,仮

想 パ ワ ー の 原 理 の 裏 の 表 現 が17.3節

に あ る。 【17.14】

式(13.39)か

ら仮 想 速 度 Ｖ と仮 想 角 速 度 Ω'が 受 け る拘 束 は次 の よ う に書 け る。

(20.26) この 式 と式(17.14)か

ら,拘 束 Φ の数 に等 しい ラ グ ラ ンジ ュの 未 定 乗 数 を成 分 に

持 つ 列 行 列 Λ を用 い て,前 節 と 同 様 な 方 法 に よ っ て 拘 束 力 Ｆ と拘 束 トル ク Ｎ' は次 の よ う に表 され る。

(20.27) (20.28)   拘 束 剛 体 系 の 運 動 方 程 式 は,重 心 位 置 に 等 価 換 算 し た拘 束力 と拘 束 トル ク を含 ん だ形 で,12.5節 MV=F+F

に与 え られ て い る 。 【12.62】

【12.63】

こ れ ら に,上 で 求 ま っ た拘 束 力,拘 束 トル ク を代 入 す る と次 の よ う に な る。

(20.29) (20.30) 式(13.39)を

時 間微 分 す る と次 の 式 を 得 る。

(20.31) こ の 式 の 左 辺 第 ３項 ∼ 第 ５項 は加 速 度 レベ ル の変 数 を含 ん で い な い。 これ ら を ま とめ て ΦRと 書 く こ と にす る。

(20.32) (20.33) 式(20.29),(20.30),(20.32)を

連 立 させ る と次 の 式 が 得 られ る 。

(20.34) こ れ が,３ 次 元 剛 体 系 の微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 で あ る。   数値 解 を求 め る段 階 で は,こ の 式 を そ の ま ま解 く とは 限 らな い 。 式 の変 形 を進 め て,Λ を 先 に 求 め る 方 法 が あ る 。 式(20 .34)を 元 の 三 つ の 式 に 戻 し,そ の最 初 の 二 つ(式(20.29),(20.30))か

ら次 の式 が得 られ る。

(20.35) (20.36) Ｍ と Ｊ'は定 数 で あ り,積 分 計 算 に入 る 前 に そ の 逆 数(逆 行 列)を 作 っ て お くこ とが で き る。 積 分 計 算 で は微 分 方 程 式 の 右 辺 の計 算 が 繰 り返 し行 わ れ る の で ,そ の 中 で の 逆 行 列 や 連 立 一 次 方 程 式 を解 く作 業 は 最 小 限 に抑 え る こ とが 望 ま し く, 事 前 計 算 で 逆 行 列 を作 っ て お け ば,積 分 計 算 の 段 階 で は 掛 け 算 で 済 ます こ とが で き る。 さて,こ

れ ら二 式 を 三 番 目の 式(20.32)に 代 入 して,Λ

に関す る連立一 次

方 程 式 を作 る こ とが で き る。

(20.37)

こ れ を解 い て,そ は,式(20.34)に

の 結 果 を 上 記 二 式 に代 入 す れ ば,Ｖ

と Ω'が 求 ま る。 こ の 式

比 べ て 小 さ な 連 立 一 次 方 程 式 で あ る か ら,計 算 時 間 の 面 で有 利

で あ る。 この 方 法 は,拘 束 の 数 が 運 動 学 的 自 由 度(独 立 な一 般 化 速 度 の 数)よ 小 さい 場 合 に は 標 準 型 の 運 動 方 程 式 に比 べ て も有 利 と い え るが,多

り

くの場 合 は,

逆 で あ ろ う。   も う一 つ 別 の解 法 に つ い て 触 れ て お こ う。 微 分 代 数 型 運 動 方 程 式(20.34)の 係 数行 列 は,ゼ

ロ要 素 を 多 く含 む疎 行 列 で あ る。 特 に,モ

そ の 傾 向 が 強 ま る。 一 方,式(20.37)の わ れ て しま う。 そ こ で,式(20.34)を V,Ω',Λ

デ ル規 模 が 大 き くな る と

よ う に変 形 して し ま う と,こ の 性 質 は 失 こ の ま ま,疎 行 列 用 の 数 値 解 法 を用 い て,

につ い て 解 く こ とが 考 え られ る。 こ の方 法 も有 力 で あ る。 な お,疎 行

列 の デ ー タ構 造,お

よ び,疎 行 列 用 の 数値 解 法 な どに つ い て は,他 の 文 献 を参 照

され た い 。 本 書 で は20.5節 載 せ て お くが,コ

に コマ を対 象 と したMATLABの

プ ロ グ ラ ム事 例 を

マ の モ デ ル は規 模 が小 さ く,実 際 的 な効 果 を示 し て い る事 例 で

はない。

20.4微

分代数型運動方程式の特徴 と数値解法 に関わる技術

● 微分代数方程式の特徴   剛体 系 の微 分 代 数 型 運 動 方 程 式(20.34)は,マ

ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミ クス の 汎 用

計 算 シ ス テ ム の 作 成 に役 立 つ。 標 準 形 の 運 動 方 程 式 の 場 合 は独 立 な 一 般 化 速 度 Ｈ を選 択 す る必 要 が あ るが,そ

の た め の 一 般 的 な方 法 は な く,一 般 化 速 度 の 選

択 は,技 術 者 の 判 断 を 必 要 とす る事 柄 で あ る。 微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 を作 る 場 合 は,独 立 な 一 般 化 速 度 Ｈ を必 要 と しな い 。 汎 用 計 算 シ ス テ ム の 入 力 は,モ に必 要 な 剛 体 と,そ の 上 の 結 合 点,そ

デル

して,結 合 点 を結 ぶ ジ ョイ ン トや 力 要 素 な

どで あ る。 ジ ョイ ン トや 力 要 素 に 関 わ る情 報 は,計 算 機 の 中 に ラ イ ブ ラ リー の 形 で事 前 に登 録 して お く。 式(20.34)の

ｖ と Ω'は,ユ

ー ザ ー が 入 力 した 剛 体 情 報

か ら 自動 的 に 決 め る こ とが で き る。 Φv,Φ Ω',ΦRは,ユ イ ン トや 駆 動 拘 束 に 対 応 して,ラ や Ｎ'も,ユ

ー ザー が指 定 した ジ ョ

イ ブ ラ リー情 報 か ら作 り出す こ とが で き る。 Ｆ

ー ザ ー 指 定 の 力 要 素 に対 応 す る ラ イ ブ ラ リー 情 報 を用 い,剛 体 上 の

図20.1不

等 辺 四 節 リン ク機 構

各 点 に働 く力 と トル ク を計 算 して 等 価 換 算 す れ ば得 られ る。 一 般 の 機械 で使 わ れ る ジ ョイ ン トや 力 要 素 の 種 類 は 案 外 限 られ てお り,ま た,ラ

イ ブ ラ リー の 不 足 を

補 うユ ー ザ ー に よ る追 加 機 能 を持 たせ る こ と も で きる 。 この よ うな 計算 シス テ ム の 高 い実 用 性 が 明 らか に な る に つ れ て,マ

ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミ ク ス は 注 目 され,

発 展 して き た。   一 方,不 等 辺 の 四 節 リ ン ク機 構(図20.1)の 運 動 方 程 式 を作 る場 合,独 立 な 一 般 化 座 標 に よ っ て 各構 成 リ ン クの 重 心 位 置 や 回転 姿 勢 を 表 そ う とす る とか な り 面 倒 な こ と に な る。 ３次 元 の 複 雑 な リ ンク機 構 で は な お さ らで あ る 。 微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 は,こ の よ う な場 合 に も便 利 で あ り,一 般 に,運 動 方 程 式 の構 築 が 容 易 で 汎 用 性 に優 れ た方 法 とい え る 。拘 束 を 数式 で 表 現 し,そ の 数 式 を操 作 す る方 法 に慣 れ れ ば,微 分 代 数型 の 運 動 方程 式 は容 易 に作 る こ とが で き る。

● 微分代数方程式の数値解法に関わる技術   標 準 形 の 運 動 方 程 式 を 用 い て順 動 力 学 の 数 値 シ ミュ レー シ ョ ン を行 う場 合,Ｈ を 未 知 数 と し,mHを が,全

係 数 行 列 とす る 連 立 一 次 方 程 式 の 求 解 に 要 す る 計 算 時 間

計 算 時 間 に対 して 支 配 的 に な る。 そ の 計 算 時 間 は Ｈ の 数 の 三 乗 に 比 例 す

る。 微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 を そ の ま ま解 くとす る と,同 じモ デ ル で も未 知 数 の数 は Ｈ の 数 と Φ の 数 の 二 倍 の 和 に な る た め,大 (20.37)を 用 い て,ラ

幅 な 計 算 時 間 の 増 加 に な る。 式

グ ラ ン ジ ュ の 未 定 乗 数 を先 に 求 め る場 合 は,未 知 数 Λ の数

は 速 度 レベ ル拘 束 Φ の 数 で あ る。 そ の ま ま解 く場 合 に比 べ て か な りの 改 善 に な るが,独

立 な 一 般 化 速 度 Ｈ の 数 に 比 べ て Φ の 数 が か な り大 き くな る場 合 も多

い 。 疎 行 列 用 の数 値 解 法 の 場 合,計

算 時 間 は係 数 行 列 の 中 の ゼ ロ で な い 要 素 の 数

に関 わ っ て くる た め,単 純 な比 較 は難 しい 。 た だ し,モ デ ル の 規 模 が 大 き くな る と疎 行 列 性 が 高 ま る傾 向 が あ り,有 効 性 も大 き くな る と思 わ れ る。   な お,モ デ ル規 模 の 三 乗 に比 例 す る通 常 の 方 法 に対 して,モ デ ル規 模 の 一 乗 に 比 例 す る 画 期 的 な定 式 化 方 法 が あ り,そ れ が 次 章 に述 べ る 漸 化 式 に よる 方 法 で あ る 。 た だ し,こ の 方 法 に も 限 界 や 弱 点 が あ る の で 目的 に 応 じた 選 択 が 必 要 に な る。   微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 で は,加 速 度 レベ ル の 拘 束 条 件 を運 動 方 程 式 と連 立 させ た 。 そ の た め,数 値 積 分 の 誤 差 が 累 積 して,速 度 レベ ル や位 置 レベ ル の拘 束 条 件 が 満 た さ れ な くな る可 能性 が あ る 。 この 問 題 へ の 対 処 は拘 束 安 定 化 と呼 ば れ,そ の た め の 様 々 な方 法 が 開発 さ れ て き た。 そ の 中 の 一 つ にBaumgarteの 定 化 法 が あ る 。式(20.34)の る が,こ

拘 束安

中 で 用 い られ て い る 拘 束 は 加 速 度 レベ ル の もの で あ

れ に 係 数 を掛 け た 速 度 レベ ル と位 置 レベ ル の 拘 束 を加 え て 次 の よ う な式

を作 り,こ れ を式(20.32)の 代 わ りに用 い る。

(20.38) こ の 式 は,形 式 的 に は ２次 系 の 形 を 持 っ て い て,そ

の 応 答 が 適 切 に な る よ うに,

α と β を 選 ぶ とい う発 想 と考 え ら れ る 。 α と β は,通 常,ス

カ ラ ー で あ る が,拘

束 別 に異 な っ た 数 値 を 用 い る こ と も考 え られ る。 Φ と Ψ の 数 が 合 わ な い 場 合 は,Ψ

の 数 を 増 し,シ ン プ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な拘 束 に 対 応 す る 部 分 を ゼ ロ と

して お け ば よ い。 式(20.34)は 次 の よ う に な る 。

(20.39)

た だ し,こ の 方 法 は 安 定 性 が 保 障 され て い る わ け で は な く,ま た,係

数 α とβ

の 選 択 方 法 は 明確 とは い え な い 。 拘 束 が 満 た さ れ て い る か ど うか を監 視 しな が ら 用 い る 必 要 が あ る。   一 方,疎 行 列 用 の解 法 な ど を用 い て 式(20.34)をV,Ω'に 中 の 独 立 な 変 数 だ け を 時 間 積 分 して,得

つ い て 解 き,そ の

られ た 独 立 な速 度 を も とに拘 束 条 件 を満

た す よ うに 従 属 な速 度 を計 算 す る方 法 が あ る。 速 度 レベ ル 変 数 を時 間積 分 して 位 置 レベ ル 変 数 を求 め る場 合 も,独 立 な もの に つ い て だ け行 い,そ

れを もとにニュ

ー トン ラ フ ソ ン法 な どを 用 い て 従 属 な変 数 を求 め る

。 こ の方 法 に よれ ば,拘 束 の

安 定 化 は 不 要 で あ る。 た だ し,こ の と き,独 立 な変 数 を探 し出 す 方 法 が 必 要 で あ る。 多 くの 個 別 の モ デ ル で は 事 前 に独 立 な 変 数 を選 定 す る こ とが で きる が,時

に

難 しい場 合 や 迷 い の 出 る こ と もあ る。 さ らに,独 立 性 が 変 化 す る場 合 が あ り,汎 用 プ ロ グ ラム の よ う な場 合 と共 に,何   式(20.34)の

剛 体 系 の 場 合,重

らか の対 応 手 段 が 必 要 に な る 。

心 速 度 Ｖ と剛 体 角 速 度 Ω'の 中 か ら独 立 な 一 般

化 速 度 を選 択 す る と して,拘 束 条件 の ヤ コ ビ行 列 を利 用 す る方 法 が あ る 。 重 心 速 度 Ｖ と 剛 体 角 速 度 Ω'の 拘 束 は 式(13.39)に [ΦvΦ

与 え ら れ て い て,ヤ

コ ビ行 列 は

Ω']であ る。 こ の ヤ コ ビ行 列 に,列 の 選 択 を 含 む ピボ ッ ト選 択(完 全 ピボ

ッ ト選 択 な ど)を 用 い た ガ ウス の 消 去 法 を適 用 す る と,Ｖ

と Ω'の 中 の独 立 な 一

般 化 速 度 を求 め る こ とが で き る。 選 択 した ピ ボ ッ トに対 応 す る変 数 が 従 属 で,そ れ 以外 が 独 立 な一 般 化 速 度 で あ る。 同様 な 方 法 で独 立 な 一般 化 座 標 の 選 択 も可 能 で あ る。 拘 束 Ψ の ヤ コ ビ行 列 を用 い,Ｒ

と,Ｅ

また は 〓 の 中 か ら選 択 す る こ と

が で きる 。   V,Ω'以

外 の 速 度 レベ ル の 変 数 Ｓ も含 め た 上 で,こ

れ らの 中 か ら独 立 な一 般

化 速 度 を選 択 す る方 法 も あ る 。 拘 束 条 件 Φ はV,Ω',Sの

間 の独 立 な す べ て の

拘 束 を含 む よ うに し,ラ グ ラ ンジ ュの 未 定 乗 数 Λ は,新 た な Φ の 数 だ け の 未 知 数 を含 む もの とす る。こ の と き,次 の よ う な微 分 代 数 型 の 運 動 方 程 式 が 成 立 す る 。

(20.40)

こ の 式 を解 い て 独 立 な もの につ い て積 分 す る 方 法 は,独 の に す る便 利 な方 法 で あ る(Shabana(参

立変数の選択 を自由なも

考 文 献 ４))。

  時 間 の 経 過 に よ る系 の 状 態 変 化 に伴 い,独 立 な 一 般 化 速 度 が 変 化 す る 可 能性 が あ る 。 再 選 択 な ど に対 す る考 え 方 が 必 要 で あ る 。 ま た,ヤ

コ ビ行 列 をQR分

解す

る方 法 な ど に も興 味 深 い もの が あ る が,そ れ らに つ い て は他 の 文 献 を参 照 され た い 。 本 書 の 参 考 文 献 リス トの 中 に,微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 の 数値 解 法 に 関 わ る 論 文 を い くつ か 載 せ て お い た 。

20.5

順動力学解析の事例:ボ ール ジ ョイ ン トで支点が拘束された コマ(微 分代数型運動方程式 を疎行列用の数値解法で解 く事 例)

  これ ま で,拘 束 力 消 去 法 と仮 想 パ ワー の原 理 を利 用 す る 方 法 で,ボ

ー ル ジ ョイ

ン トで 支 点 が 拘 束 され た コマ の運 動 方 程 式 を求 め た 。 ケ イ ン型 の 運 動 方 程 式 を用 い て も,拘 束 条 件 追 加 法 を用 い て も同 じ運 動 方 程 式 に到 達 す る。 そ れ に対 し,微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 の場 合 は 運 動 方 程 式 の 形 そ の もの が 異 な っ て い る。 剛体 Ａ を対 象 と した微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 は 次 の よ う な 形 で あ る。

(20.41)

これ を コ マ の 式 に す る た め に,ま ず,支

点 Ｐ の ボ ー ル ジ ョイ ン ト拘 束 を具 体 的

に 表 現 す る こ とか ら始 め る。

(20.42)

Ψ=ROA+COArAP=0

こ の 式 は式(15.8)と 同 じで あ り,位 置 レベ ル の拘 束 で あ る 。 こ の式 を 時 間微 分 す る と,速 度 レベ ル の 拘 束 が 得 られ る 。

(20.43) こ の 式 か ら,式(20.41)左

辺 の 係 数 行 列 に 現 れ る Φv

oAと

ΦΩ'OAを次 の よ う に 求 め

る こ とが で きる 。

(20.44)

ΦVOA=I3

(20.45) ま た,式(20.41)右 作 り,そ

辺 に 現 れ る ΦＲ は,式(20.43)を

の 中 か らVOAと

も う一 度 時 間微 分 して Φ を

Ω'OAの 項 を 除 い た 残 りで あ る 。

(20.46) 式(20.44)∼(20.46)を

代 入 す る と,(20.41)は

次 の よ う に な る。

(20.47)

  こ の式 の左 辺 の係 数 行 列 は,比 較 的 ゼ ロ 要 素 が 多 く,こ れ を疎 行 列 と して,疎 行 列 用 の 数 値 解 法 を適 用 して み よ う。 モ デ ル 規 模 が 小 さい た め,疎 行 列 の 密 度 は 十 分 低 い と は い え ず,単

に そ の よ うな解 法 を適 用 して み るだ け で あ るが,大 規 模

な モ デ ル へ の適 用 時 に参 考 に な る で あ ろ う。   MATLABで

は,連 立 一 次 方 程 式 の 係 数 行 列 と右 辺 の デ ー タ構 造 を疎 行 列 用 の

もの に変 換 す れ ば,こ れ,解

の 式 の 解 を 求 め る と き,自 動 的 に 疎 行 列 用 の 解 法 が適 用 さ

も疎 行 列 の デ ー タ構 造 に な る(詳 細 はMATLABの

オ ン ラ イ ンマ ニ ュ ア

ル な どを参 照 の こ と)。 連 立 一 次 方 程 式 を解 くと,VOA,Ω'OA,Λ

が 求 ま る が,こ

の な か の Ω'OAだ け を時 間 積 分 し て,Ω'OAを 作 る。 す な わ ち,独

立 な一般化 速度

を Ω'OAと して い る。 独 立 な 一 般 化 座 標 は オ イ ラ ー パ ラ メ ー タEOAと

し,そ の 時

間微 分 は Ω'OAか ら次 の 式 で 計 算 で き る。

(20.48) こ の 式 は,9.6節

に 出 て き た 式(9.29)で

あ り,オ

機 能 が 含 ま れ て い る 。 従 属 なVOAとROAは,次

イ ラー パ ラ メ ー タ の拘 束 安 定 化 の 式 で 計 算 され る。

(20.49) (20.50)

ROA=-COArAp こ れ ら も,式(15.9),(15.8)と

同 じで あ る。 こ れ らの 式 の 中 のCOAは,EOAか

ら求 め る。   コマ の場 合 は,独

立 な 一 般 化 座 標 と独 立 な一 般 化 速 度 が 始 め か ら明 らか で,従

属 な変 数 の 計 算 も単 純 で あ る 。 しか し,一 般 に は 独 立 性 の 変 化 を考 慮 す る必 要 が あ っ た り,ま た,従

属 な変 数 の 計 算 に連 立 一 次 方 程 式 の 求解 と ニ ュ ー トン ラ フ ソ

ン法 の 活 用 な ど を考 え な け れ ば な ら な い場 合 が あ る。 また,コ の運 動 方 程 式 が 容 易 に得 られ るの で,通 常,微   本 節 の 方 法 に対 応 す るMATLABプ ROMに

収 録)で

照)。

分 代 数 型 を用 い る 必 要 は な い 。

ロ グ ラ ム は,koma_1045.m(付

あ る。 出 力 はkoma_45.mの

を省 略 す る(15.1節,表15.2参

マ の場 合,標 準 型

録 のCD

場 合 と ま っ た く同 じで あ り,説 明

20.6

順動力学解析の事例:簡 単化 した ２次元サスペンション モデル

● モデルの説明   微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 が 用 い られ る理 由 は 次 の 二 つ で あ る 。 一 つ は,マ

ルチ ボ

デ ィシ ス テ ム を扱 う汎 用 的 な ソ フ トウ ェ アの 場 合 で,独 立 な 一 般 化 座 標 の 選 択 が 不 要 だ か らで あ る。 も う一 つ は,リ

ンク 機構 な どの場 合 で,独

立 な一 般 化 座 標 で

構 成 要 素 の 位 置 や 回 転 姿 勢 を表 現 し難 い た め で あ る。   ル ー プ を含 む リ ン ク機 構 の 簡 単 な もの は,平 面 運 動 をす る 四節 リ ン ク機 構 で あ る が,そ

の う ち平 行 四 辺 形 を 形 成 して い る もの は ,標 準 型 の 運 動 方 程 式 を容 易 に

作 る こ とが で き る。 適 当 に選 ん だ 一 般 化 座 標 で,す べ て の リ ン ク の 位 置 と姿 勢 を 簡 単 に 表 現 で き るか らで あ る。 しか し,不 等 辺 の 四 節 リ ン ク機 構 の場 合 は 複 雑 な 三角 関 数 の 関 係 を解 く必 要 が あ り,か な り面 倒 で あ る 。 ま して や ,３ 次 元 的 に運 動 す る複 雑 な リ ン ク機 構 の 場 合 は,微 分 代 数 型 に頼 る ほ うが 実 用 的 で あ る 。 そ の よ う な リ ン ク機 構 の 身 近 な 例 と して乗 用 車 の サ ス ペ ン シ ョ ン機 構 が あ る 。本 章 で は,車 の サ ス ペ ン シ ョ ン を模 倣 した ２次 元 の 簡 単 な モ デ ル の 運 動 方 程 式 を微 分代 数 型 で 作 っ て み よ う。 ３次 元 の 複 雑 な場 合 で も,同 様 の モ デ ル化 が 可 能 で あ る。

図20.2

簡 単 化 した ２次 元 の サ スペ ン シ ョンモ デ ル(車 体 Ａ は上 下運 動 の み)

  図20.2は,簡

単 化 し た ２次 元 の サ ス ペ ン シ ョ ンモ デ ル で あ る。 車 両 を前 方,

ま た は,後 方 か ら見 た 状 態 で,一 つ の車 輪 の サ ス ペ ン シ ョン機 構 だ け に 注 目 して い る 。 座 標 系 Ｏ は慣 性 座 標 系 で,Ｙ 軸 の 負 の 向 きに 重 力 が 働 く もの とす る。 系 は 二 つ の 剛 体,Ａ

と Ｄ か ら な り,Ａ の 上 に は 固 定 点1,2,3が

は 固 定 点4,5,6,7が

あ り,Ｄ の 上 に

あ る 。 剛 体 Ａ は 車 体 で,こ の モ デ ル で は 上 下 運 動 だ け を

す る。 剛体 Ｄ は車 輪 の 回 転 軸 で,ア

ク ス ル と呼 ぶ こ と に す る。 た だ し,こ の モ

デ ル で は 車 輪 や タ イ ヤ も含 め て 考 え て い る 。 点 １ と4,2と ス リ ン ク に よっ て 一 定 距 離,b1Oとb2O,に

５は そ れ ぞ れ マ ス レ

保 た れ て い る 。 これ らの リ ン ク は ウ ィ

ッ シ ュ ボ ー ン と呼 ばれ るサ ス ペ ンシ ョ ン機 構 の要 素 を前 後 方 向か ら眺 め た もの で あ る。 点 ３と ６は,サ

スペ ン シ ョ ン の バ ネ と ダ ンパ ー に よ っ て 結 合 され て い る。

サ ス ペ ン シ ョ ンバ ネ の 自然 長 はb3Oと し,伸 び 量 をb3Eと い う変 数 で 表 す こ とに す る。 ま た,点

７ と路 面 の 間 に は タ イ ヤ を想 定 した バ ネ を考 え る が,簡

め,上 下 方 向 の み に働 く線 形 バ ネ で,タ

単の た

イヤ が 路 面 か ら浮 く よ うな こ とや,タ

イ

ヤ が 路 面 か ら受 け る横 方 向 の 抵 抗 力 は 考 え て い な い 。   この モ デ ル は 簡 単 な 閉 ル ー プ の リ ン ク機 構 で,不

等 辺 の 四 辺 形 に な っ て い る。

した が っ て,車 体 に対 す る ア ク ス ル の 上 下 動 に よっ て ア ク ス ル の 傾 き角 も変 化 す る 。 こ の 上 下 動 と傾 き角 の 関 係,あ

るい は,傾

量 の 関 係 な ど を把 握 で きる と よ い の だ が,そ

き角 とサ スペ ン シ ョンバ ネ の伸 び

れ は 意 外 と面 倒 で あ る。 こ の よ う な

場 合 に,微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 が 役 に立 つ 。

● 運動方程式と解法などの準備 こ の系 の 微 分 代 数型 運 動 方 程 式 は 次 の よ うな 形 に書 け る。

(20.51)

こ の 式 で,車

体 は す で に上 下 方 向 の運 動 だ け を考 えて い る の で,VOAXや

ωOAは

除 い て あ る。 こ の式 の ほ か に,次 の 運 動 学 的 関 係 も用 い て順 動 力 学 シ ミ ュ レ ー シ ョン を 行 う。

ROAY=VOAY

(20.52)

ROD=VOD

(20.53)

θOD=ωOD

(20.54)

  こ の 系 に 働 く作 用 力 は,重

力,サ

作 用 す る 力fO6,そ

し て,点

７ に 作 用 す る タ イ ヤ(バ

も 反 作 用 の-fO6が

働 く。 こ れ ら を 求 め,等

用 力,作

ス ペ ン シ ョ ンバ ネ と ダ ン パ ー に よ っ て 点 ６ に ネ)力fO7で

価 換 算 す れ ば,式(20

あ る。 点 ３に .51)右 辺 の 作

用 トル ク に な る 。

(20.55) (20.56) (20.57) (20.58) (20.59) た だ し,ksとcsは

サ ス ペ ン シ ョ ン の バ ネ 定 数 と ダ ン ピ ン グ 係 数,kTとCTは

イ ヤ の バ ネ 定 数 と ダ ン ピ ン グ 係 数 で,r36,rO7,vO7,b3E,b3Eは

タ

次 の と お りで あ る 。

(20.60) (20.61) (20.62) (20.63) (20.64)   式(20.60)の る が,こ

左 辺 は 座 標 系 Ａ で 表 さ れ て お り,右 辺 は座 標 系 Ｏ で 表 され て い

の モ デ ル で はCOA=I3で

あ る。

  式(20.51)を 完 成 させ るた め に,さ

ら に,拘 束 を具 体 的 に 表 現 す る必 要 が あ る。

車 体 の 運 動 はす で に 上 下 方 向 だ け に な っ て い る の で,拘 束 は二 本 の マ ス レス リ ン ク だ け を考 慮 す れ ば よい 。 位 置 レベ ル 拘 束 は,次

の よ う に書 け る。

(20.65) (20.66) (20.67)

(20.68) ROAXは 定 数 で あ る 。 以 上 を 時 間微 分 す れ ば,速 度 レベ ル 拘 束 が得 られ る。

(20.69) (20.70) (20.71) (20.72)

VOA=dYVOAY

も う一 度 時 間微 分 す る と加 速 度 レベ ル の 拘 束 に な る。

(20.73) (20.74) (20.75) (20.76)

VOA=dYVOAY は 次 の よ う に求 ま る 。

以 上 か ら,

(20.77)

(20.78)

(20.79)

(20.80)   式(20.51)に

は,Baumgarteの

拘 束 安 定 化 法 が 組 み 込 まれ て い る 。 二 次 系 の応

答 を 考 え て 適 当 な α と β を 設 定 す れ ば,数 と が で き る 。 式(20.51)の VOAY,VOD,ωODを が で き,次

値 積分 による誤差 の累積 を避 けるこ

数 値 解 法 と し て,ま

ず Λ を 計 算 し,そ

求 め る こ と に す る 。 そ の 計 算 式 は,式(20.51)か

の 結 果 を用 い て ら作 る こ と

の よ う に な る。

(20.81)

(20.82) (20.83) (20.84) Λ の 要 素 数 は ２で,連

立 一 次 方 程 式(20.81)の 解 と して 求 ま る。 ま た,こ れ ら の

式 の 中 に あ る質 量 と慣 性 モ ー メ ン トの 逆 数 は,こ 般 に は,逆 行 列 に な るが,定

こ で は 単 な る割 り算 で よ い。 一

数 で あ るか ら積 分 計 算 前 の 準 備 段 階 で 計 算 して お く

こ とが で き る。 式(20.82)∼(20.84)の

計 算 は,単 純 な 四 則 演 算 で あ る 。

● 計算プログラムの簡単な説明 以 上 の 準 備 を も と にMATLABの

プ ロ グ ラ ム を 作 成 し た(suspension

表20.1suspension_10.mの

グ ラ フ 出 力

figure(1)

時間に対す る慣性座標系か ら見た車体の重心高さ

figure(2)∼figure(3)

時 間 に対 す る慣 性 座 標 系 か ら見 た アク ス ルの重 心 位 置

figure(4)

時 間 に対 す る慣 性 座 標系 か ら見 た ア ク ス ルの傾 き角

figure(5)

時間に対す る慣性座標系 か ら見た車体 の上下動速 さ

figure(6)∼figure(7)

時 間 に対 す る慣 性 座 標系 か ら見 た ア クス ルの重 心 速 度

figure(8)

時 間 に対 す る慣 性 座 標系 か ら見 た ア クス ルの角 速 度

figure(9)

時 間 に対 す る タ イヤ 力

figure(10)

時 間 に対 す る サス ペ ン シ ョ ンの バ ネ と ダ ンパ ー の力

figure(11)

時 間 に対 す る位 置 レベ ル拘 束 の 二 乗和

図20.3簡

_10.m,

易 サ ス ペ ン シ ョ ン モ デ ル に お け る サ ス ペ ン シ ョ ンバ ネ+ダ

ンパ ー の 力

付 録 のCD-ROMに

収 録)。 デ ー タ な ど は,適 当 に 定 め た 値 で あ り,実 際 の サ ス

ペ ン シ ョ ンの挙 動 とは 異 な っ て い る 。   最 初 の デ ー タ を与 え る段 階 で,車 体 に対 す る ア クス ル の重 心 位 置 や 傾 き角 の 概 略 値 を指 定 し,サ ス ペ ン シ ョ ンバ ネ の 伸 び と伸 び の 速 さ の初 期 値 を指 定 す る よ う に した。 こ れ らの 値 を 基 に,プ ロ グ ラ ム の 第 二段 階 で,ア き角,お

クス ル の重 心 位 置 と傾

よび,重 心 速 度 と角 速 度 の 初 期 値 を正 確 に計 算 す る よ うに した 。 重 心 位

置 と傾 き角 の 計 算 に は ニ ュ ー トン ラ フ ソ ン法 を用 い た 関 数 を作 成 し,使 用 して い る(suspension_10_NewtonRaphson)。

重 心 速 度 と角 速 度 は 連 立 一 次 方 程 式 を解

い て求 め る 。 これ ら に よ り,位 置 レベ ル と速 度 レベ ル の拘 束 条 件 を 満 足 す る初 期 値 か ら積 分 計 算 を 始 め る こ とが で きる。 状 態 変 数 の 時 間微 分 を求 め る"右 辺"の 計 算 は,関 数e_suspension_10で

行 うが そ の 関 数 との パ ラメ ー ター の 受 渡 しに は

global変 数 を 用 い た 。 出 力 は グ ラ フ(表20.1)だ

け で,ア

ニ メ ー シ ョ ン は今 の

と こ ろ準 備 で きて い な い。

● 初 期値 を作 る た めの ニ ュー トンラ フ ソ ン法   以 下,こ

の プ ロ グ ラ ム で 用 い ら れ た ニ ュ ー トン ラ フ ソ ン法 につ い て 説 明 す る。

式(20.65),お

よ び,(20.66)∼(20.68)に

さ れ て い る が,こ

れ は,変

この 系 の マ ス レス リ ン ク の 拘 束 が 表 現

数ROAY,ROD,θODの

間 の 拘 束 で あ る 。 ス カ ラ ー レベ

ル で 四 つ の 変 数 の 間 に 二 つ の 拘 束 が あ り,差 て い る 。 し か し,こ る か ら,RAD,θADの

し引 き ２自 由 度 が 系 の 自由 度 に な っ

の拘 束 は 本 質 的 に は 車 体 Ａ に対 す る ア ク ス ル Ｄ の 拘 束 で あ 間 の 拘 束 と し て 書 く こ と も で き る 。 こ の 場 合,ROAYは

と 無 関 係 な 一 般 化 座 標 と 考 え れ ば よ く,系

拘束

の 自由 度 の考 え 方 に矛 盾 を生 じる こ と

は な い。   さ て,上 Ψ+を

記 の 拘 束 に 加 え て,サ

ス ペ ン シ ョ ンバ ネ の 長 さ に 関 す る 拘 束 を含 む

考 え る。

(20.85)

(20.86) (20.87)

(20.88)   式(20.86)と(20.87)は

式(20.66)と(20.67)をRADと

も の で あ る 。 ま た,式(20.88)は,サ 新 た に 追 加 し た 拘 束 は,サ で あ る 。 Ψ+に

θADを 用 い て 書 き 直 し た

ス ペ ン シ ョ ンバ ネ 両 端 点 の 相 対 的 な 位 置 で,

ス ペ ン シ ョンバ ネ の 長 さが 二 点 間 の 距 離 に 等 し い 関係

出 て く る 一 般 化 座 標 はRAD,θAD,b3Eで

れ らの 変 数 間 の 拘 束 で,ス

あ る か ら,こ

の拘 束 は こ

カ ラ ー レベ ル で 四 つ の 変 数 に 対 し て 三 つ の 拘 束 に な っ

て い る。   さ て,こ

の 拘 束 でb3Eの

係 の 式 か ら,ス

初 期 値 が 与 え ら れ た と す る 。 そ の と き,三

カ ラ ー レ ベ ル で 三 つ の 変 数RADと

位 置 レ ベ ル の 拘 束 関 係 の 式 は 非 線 形 で あ り,ニ こ と に な る 。 ま ず,RADと 85)∼(20.88)のRADと

と θADe+Δ θADを 代 入 し,修

定 ま る は ず で あ る。

ュ ー トン ラ フ ソ ン法 で 解 を 求 め る

θADの 推 定 値, RADeと θADは,推

θAD,が

つの拘束 関

θADeが あ る と す る 。 式(20.

定 値 と修 正 値 の 和 に 等 し い の で,RADe+ΔRAD

正 値 に つ い て 線 形 近 似 す る 。 そ の 結 果,式(20.85)

は次 の よ う な形 に 書 け る 。

(20.89)

(20.90)

(20.91)

(20.92)

し た が っ て,ΔRADと

ΔθADを 求 め る た め の 連 立 一 次 方 程 式 は 次 の よ う に な る 。

(20.93) こ れ を 解 い て,RADe+ΔRADと

θADe+Δ θADを 新 た な 推 定 値 と し,Ψ+eの

二 乗 和 が 十 分 小 さ く な る ま で 繰 り返 す 。

要 素 の

  こ の 収 束 計 算 は 初 期 の 推 定 値 と収 束 の 判 定 基 準 を 与 え て 行 う が,初 が 求 め る 解 か ら 遠 す ぎ る と,う 上 限 を 設 け,収 suspension_10

ま く収 束 し な い こ と が あ る の で,繰

期 の推 定 値 り返 し 回 数 に

束 し な か っ た と き に は 収 束 計 算 の 履 歴 が 見 え る よ う に す る な ど, _NewtonRaphsonに

●Embedding

は プ ロ グ ラ ミ ング上 の 工 夫 が 施 して あ る。

Technique

  こ の 事 例 で,独

立 な 一 般 化 速 度 を 選 択 す る こ と を 考 え て み る 。 式(20.51)で

一 般 化 速 度 にVOAY

,VOD,ωODが

択 す る と す れ ば,拘

使 わ れ て い る 。 こ れ ら の 中 か ら独 立 な も の を 選

束 の ヤ コ ビ 行 列 に 完 全 ピ ボ ッ ト選 択 に よ る ガ ウ ス の 消 去 法 を

適 用 し て み る ま で も な く,系

の 構 成 か ら判 断 し て,VOAYとVODYが

と は 判 断 で き る で あ ろ う。 ま た,こ に す れ ば,合

は,

こ に 使 わ れ て い な い 変 数 も含 め て 考 え る こ と

理 的 な 選 択 肢 は 多 く な る 。 た と え ば,VOAYと

然 長 か ら の 伸 び 量 の 時 間 微 分b3Eも,サ あ ろ う 。 こ こ で は,VOAYとb3Eを

よ さそ う な こ

サ ス ペ ン シ ョ ンの 自

ス ペ ンシ ョ ン の機 構 か ら考 え て 合 理 的 で

用 い て,数

値 的 に標 準 型 の 運 動 方 程 式 に す る 方

法 を 考 え よ う。   式(20.65)の

拘 束 Ψ=0は,ROAY,ROD,θODの

の 間 の 拘 束 と 見 る こ と も で き た 。 逆 に 式(20.85)の b3Eの 間 の 拘 束 で あ る が,ROAY,ROD,θOD,b3Eの こ れ は,独

間 の 拘 束 で あ る が,RAD,θAD 拘 束 Ψ+=0は,RAD,θAD, 間 の 拘 束 と考 え る こ とに す る。

立 な 三 つ の 拘 束 か ら な っ て い る。 こ れ を 時 間 微 分 した 速 度 レベ ル の 拘

束 は,Φ+=0で,こ

れ は 次 の よ うに 書 け る。

(20.94) VOAYとb3Eを る が,ま

ず,こ

独 立 に 選 べ る の で,こ

の 式 か らVOD,ωODに

つ い て 解 く こ とが で き

の 式 を 次 の よ う に 書 き換 え る 。

(20.95) こ の 式 か ら,

(20.96) こ の Ｂ'を 用 い て,式(20.51)を 書 く こ とが で きる 。

標 準 型 に変 換 す る速 度 変 換 行 列B1は

次の ように

(20.97)

(20.98)

な お,こ

の サ ス ペ ン シ ョ ン の 事 例 で はBIは

  求 ま っ たBIを が,そ

用 い て,標

の た め に はBIが

こ で,式(20.95)の

ゼ ロで あ る 。

準 型 運 動 方 程 式 が 式(18.25)の

必 要 に な り,式(20.96)な

よ う に 求 ま る はず だ

ど を見 る と 困 難 を 感 じ る。 そ

時 間微 分 を作 る。

(20.99) こ の 式 と 式(20.96)か

ら,

(20.100) これ を用 い る と

(20.101)

この 式 と式(20.98)を 用 い れ ば,式(20.51)を

標 準 型 に 直 す こ とが で き,微 分 代 数

型 運 動 方 程 式 の 求解 の 方 法 に悩 ま さ れ る こ と は な くな る。 式(20.98)か

ら仮 想 速

度 の 関係 を作 り,拘 束 力 の消 去 に利 用 す る。 な お,こ の よ うな方 法 を採 用 す る場 合 に も,式(20.96)と(20.100)に

含 ま れ る逆 行 列 の 計 算 に は連 立 一 次 方 程 式 の 解

法 を利 用 し,ま とめ て 行 うな どの 工 夫 を考 え る こ とが,規 模 の 大 き な 問 題 で は重 要 で あ る。

木構造 を対象 と した漸化式 による

第21章

順動力学の定式化

  標 準 形 の運 動 方 程 式 を 用 い て順 動 力 学 の 数 値 シ ミ ュ レー シ ョ ン を行 う場 合,計 算 時 間 は Ｈ を未 知 数 と した連 立 一 次 方 程 式 の 求 解 に 要 す る 時 間 が 支 配 的 で あ り, 基 本 的 に は,Ｈ

の 要 素 数 の 三 乗 に比 例 した 時 間 が か か る。 三 乗 に比 例 した 計 算

時 間 が か か る とい う こ とは,モ デ ル規 模 が 二 倍 に な る と,計 算 時 間 は 八 倍 と い う こ と で あ る。 こ こで モ デ ル 規模 と は,大 雑 把 に 剛 体 の 数 と考 え て お い て よい 。 微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 の よ うに係 数 行 列 が 疎 行 列 の 場 合 は,疎 行 列 用 の ア ル ゴ リズ ム を用 い て か な り改 善 で きる が,そ れ は微 分 代 数 方 程 式 の 他 の解 法 との対 比 な ど で あ り,本 章 で 説 明 す る方 法 ほ どの 画 期 的 な効 果 を期 待 す る こ とは で きな い 。   拘 束 剛 体 系 の モ デ ル は,複 数 の 剛 体 が ジ ョイ ン トな どに よ っ て結 合 さ れ た もの で あ る。 結 合 は,剛 体 と剛 体 の場 合 や,剛 体 と慣 性 空 間 の場 合 が あ る。 ジ ョイ ン トと は,一 般 に拘 束 を伴 う も の で あ り,ま た,駆 動 拘 束 の よ う に時 間 に依 存 す る 拘 束 もあ る が,そ

れ ら を ま と め て拘 束結 合 と呼 ぶ こ と にす る 。 そ の 拘 束 結 合 に注

目 した と き,系 の 中 に拘 束 結 合 のル-プ

が構 成 され て い る場 合 と ルー プ を含 まな

い 場 合 と に分 け て 考 え る こ とが で き,ル ー プ を含 まな い 構 造 は木 構 造 と呼 ば れ て い る(図21.1)。   木 構 造 に 限定 し た と き,モ デ ル規 模 に比 例 し た計 算 時 間で 順 動 力 学 を解 く方 法 が あ り,そ れ が 本 章 の 主 題 で あ る 。 そ の 方 法 は,系 の 一 般 化 速 度 の 時 間 微 分 Ｈ を求 め る とい う意 味 で は標 準 形 の 運 動 方 程 式 と同 じで あ るが,モ

デ ル 規模 に比 例

した 計 算 時 間 を実 現 す る定 式化 は,極 め て変 わ った 形 で あ る。 こ の 方 法 は,運 動 方 程 式 とい う よ り,Ｈ

を 求 め る た め の解 法 と い う ほ うが 近 い か も しれ な い 。 し

か し,汎 用 的 な形 の 定 式 化 が得 られ,そ

の形 に従 っ て特 定 なモ デ ル の 定 式 化 も可

能 で あ るか ら,運 動 方 程 式 の一 形態 と もい え る で あ ろ う。   モ デ ル 規 模 に 比 例 し た 計 算 時 間 を 実 現 し て い る の で,こ Order-N-Algorithmと

呼 ぶ。Order-N3で

の解 法 を

は な い と い う こ とで あ る 。 ま た,

図21.1 

こ の 方 法 の 定 式 化,ま mulationと

木 構 造(左 側)と ルー プ を含 む系(中 央,右 側)

た は,こ の 方 法 を 定 式 化 し た も の は,Order-N-For

呼 ば れ る。 さ ら に,こ

Recursive-Algorithm,ま

の 方 法 は 漸 化 的 な 計 算 に よ る もの な の で,

た は,Recursive-Formulationと

呼ばれ るこ

と も あ る 。 マ ル チ ボデ ィ ダ イ ナ ミ クス の市 販 ソ フ トウ ェ ア の 中 で,こ の 方 法 を基 本 に した もの は比 較 的 新 しい もの で あ る が,す

で に,か

な り強 い 商 品 力 を持 っ た

もの が 出 現 して い る。   こ の 方 法 は,基 本 的 に は,木 構 造 を対 象 と した もの だ が,ル

ー プ が あ る場 合 に

拡 張 す る い くつ か の方 法 が 提 案 され,実 用 化 さ れ て い る。 しか し,こ の方 法 は か な り分 か りに くい 方 法 で あ り,本 書 で は 基 本 の 理解 だ け を狙 い,木 構 造 に 限 定 し て 説 明 す る。 また,動

力 学 的 に加 速 度 を求 め る 漸 化 式 の 導 出 はか な り面 倒 な もの

で あ るた め,付 録 Ｄ に まわ した。 な お,第22章

以 降 の 本 書 の残 りの 方 法 へ 関 連

す る こ と は な い の で本 章 を後 回 しに して も差 し支 え な い 。

21.1 

木構造

  木 構 造 は,拘 束 結 合 に よっ て慣 性 空 間 と結 合 さ れ て い る場 合 と,慣 性 空 間 との 拘 束 結 合 が な い場 合 と に分 け られ る。 ま た,相 互 に拘 束 結 合 の な い 複 数 の木 構 造 の 集 合 に な っ て い る 場 合 もあ る。 そ の よ う な場 合,拘 少 させ な い)拘

束 を含 まな い(自

由度 を減

束 結 合 を 適 当 に追 加 す れ ば,慣 性 空 間 も含 め た 一 つ の 木 構 造 と見

な す こ とが で きる 。 以 下 で は,そ の よ うに 見 な した 系 を対 象 とす る。   慣 性 空 間 は 木 構 造 の ル ー ト(根)で

あ る(図21.2)。

剛体 は ル ー トか ら順 に結

図21.2 

合 され,途

木 構 造 の 方 向性

図21.3 

木 構 造 の 親子 関係

中分 岐 し なが ら,末 端 の 剛体 に 至 る。 末 端 の 剛 体 を リー フ(葉)と

ぶ 。 ル ー トは 一 つ で あ るが,リ て,直 接,結

ー フ は 分 岐 の 数+１

だ け あ る。 拘 束 結 合 を 介 し

合 され て い る剛 体 同 士 は,親 子 関 係 に あ る(図21.3)。

い側 が 親 で,リ

呼

ル ー トに近

ー フ に近 い側 が 子 で あ る。 木構 造 を構 成 して い る 剛体 に 番 号 を付

け る が,ま ず,ル

ー トを ０ とす る 。 剛 体 に は １か ら順 に番 号 を付 け る こ とに し,

親 子 の 間 で は必 ず 親 の 番 号 が 子 の 番 号 よ り小 さ く な る よ う にす る。 い くつ か の 剛 体 は慣 性 空 間 を親 と して い る 。 そ して,リ ー フ に は子 が な い 。   拘 束 結 合 に は 二 種 類 あ る(図21.4)。

親 の 数 は 必 ず 一 つ だ が,子

の数 が,一 つ

の 場 合 と複 数 の 場 合 の 二 種 類 で あ る。 子 の 数 が 一 つ の 場 合 を通 常 拘 束 結 合 と呼 び,子 の 数 が 複 数 の場 合 を特 殊 拘 束 結 合 と呼 ぶ こ と にす る。 ボ ー ル ジ ョイ ン トや ピ ンジ ョイ ン トな ど,通 常,ジ

ョイ ン トと呼 ば れ る も の や,普

子 の 数 が 一 つ の 通 常 拘 束 結 合 で 実 現 で きる。 特 殊 拘 束 結 合 は,モ よ っ て複 数 の 剛 体 の位 置 や 回転 姿 勢 を,ま

ー ド情 報 な ど に

とめ て 定 め る よ うな 場 合 に現 れ る。

  本 書 の 説 明 は通 常 拘 束 結 合 だ け の 場 合 を基 本 とす るが,そ る こ とで,特

通 の駆 動 拘 束 は,

の 結 果 を少 し修 正 す

殊 拘 束 結 合 を含 む モ デ ル につ い て も考 え る こ とが で きる。 通 常 拘 束

結 合 だ け の系 で は,拘 束 結 合 の 数 は 剛 体 の 数 と同 数 で あ る。 そ して,す べ て の 拘 束 結 合 は子 剛体 と一 対 一 に対 応 して お り,子 剛 体 と同 じ番 号 を割 り振 っ て お くこ と にす る(図21.5)。

以 下,通

常 拘 束 結 合 を単 に拘 束 結 合 と 呼 ぶ 。

  各 拘 束 結 合 は,一 組 の 一 般 化 座 標 と一 組 の一 般 化 速 度 を持 っ て い て系 全 体 の 一

図21.4 

図21.5 

通 常拘 束 結 合 と特 殊拘 束 結 合

木構 造 の 番号 付 け(親 の番 号<子 の 番 号)

般 化 座 標 と一 般 化 速 度 は 各 拘 束結 合 の も の を寄 せ 集 め た もの とす る こ とが で きる。

(21.1)(注)

(21.2)(注)

(注)こ

れ ら の 式 は 式(13.1),(13.7)と

同 じ型 で あ る が,こ

こ で は ブ ロ ッ ク列 行 列 に な っ て い る 。

Qjは 拘 束 結 合 ｊの 一 般 化 座 標 で,ジ

ョイ ン トの 場 合 は ジ ョイ ン ト変 数

は,関 節 座 標 な ど と呼 ば れ る 。Hjは 拘 束 結 合 ｊの 一 般 化 速 度 で,ジ 場 合 は ジ ョイ ン ト速 度,あ

あ るい

ョイ ン トの

る い は,関 節 速 度 な ど と呼 ば れ る。 な お,拘 束 結 合 が

駆 動 機 能 とジ ョイ ン ト機 能 を合 わせ た よ う な役 割 を 持 つ 場 合 が あ り,そ の よ うな 駆 動 拘 束 も一 般 化 座 標 や 一 般 化 速 度 を 持 つ こ と に な る。QjとHjは,そ れ ぞ れ, 一 般 に複 数 の ス カ ラー 変 数 か ら な る が ,そ の 数 は,通 常 拘 束 結 合 の 場 合,０ か ら ６ まで で あ る。 ホ ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束 の 場 合,Qjの ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な拘 束 結 合 で は,Qjの   こ こ で,各

数 とHjの 数 は 等 し く,シ ンプ

数 はHjの

剛 体 の 回転 姿 勢 と し て オ イ ラー 角OOjを

て 重 心 位 置ROjと

回 転 姿 勢OOjを

数 よ り多 くな る 。 使 う こ と に し よ う。 そ し

縦 に ま と め た 列 行 列 を 斜 体 のROjと

書 くこ と

に す る。

(21.3) 回 転 姿 勢 と し て は オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ な ど で も よ い 。ROjは,こ 列 行 列 で,こ

れ を 位 置 レ ベ ル 変 数 と 呼 ぶ こ と に す る 。 次 に,重

速 度 Ω'Ojを 縦 に ま と め た 列 行 列 を 斜 体 のV'Ojと

の 場 合,6×1 心 速 度VOjと

角

す る。

(21.4) V'Ojは,6×1列

行 列 で,こ れ を速 度 レベ ル 変 数 と呼 ぶ こ とに す る 。

  位 置 レベ ル 変 数 と速 度 レベ ル 変 数 を系 全 体 に わ た って ま と め,次 の よ うに 添 え 字 の な い斜 体 の 変 数 を準 備 して お く。

(21.5)

(21.6)

Ｒ は,式(12.66)と(12.67)で た だ し,各 あ る 。V'も

定 義 した Ｒ とＯ を 一 つ に ま と め た 列 行 列 で あ る。

剛 体 に対 応 す る Ｒ とＯの 要 素 ブ ロ ッ ク を 隣接 す る よ う に 並 べ 直 して 同 様 で,式(12.55)と(12.56)で

定 義 し た Ｖ と Ω'を 並 べ 直 し て 一 つ

に ま とめ た 列 行 列 で あ る。

21.2 

運 動学 の漸 化 計 算表 現

● 位 置 と速 度 の漸 化 計 算   まず,剛 体 １に つ い て 考 え る。 そ の 位 置 レベ ル 変 数RO1はQ1と ず で あ る 。 ま た,速 度 レ ベ ル 変 数V'O1はH1と Q1とH1も

ｔで決 ま る は

ｔで 決 ま る は ず で あ る。 さ ら に,

特 定 な 関 係 に あ る。 以 上 を ま と め て書 くと次 の よ う に な る。

(21.7) (21.8) (21.9) 位 置 レ ベ ル の 関 係 は 非 線 形 で あ る が,速

度 レベ ル の 関 係 は 速 度 レ ベ ル の 変 数 に つ

い て 線 形 に な っ て い る 。 す な わ ちD1,U1,A1,B1は 数,ま

た は,Q1と

ｔの 関 数 で,速

同 様 な 式 が,慣 #(H1)と

い ず れ も,RO1と

ｔの 関

度 レベ ル の 変 数 を含 ん で い な い 。 こ の 三 式 と

性 系 を 親 と し て い る 他 の 剛 体 に つ い て も 成 り 立 つ 。H1の

書 く こ と に す る と,D1は6×#(H1)の

個 数 を

大 き さ に な る 。U1は6×1列

行

列 である。   次 に,そ

れ 以 外 の 剛 体 に つ い て 考 え る 。 剛 体 ｊの 親 を 剛 体 ｉと し,剛

い て は,す

で に,ROi,V'Oiが

ROiとQjと る 。QjとHjの

分 か っ て い る と す る 。 そ の と き,剛

ｔの 関 数 で あ る 。 ま た,V'Ojは,V'OiとHjの 関 係 も含 め て,次

体 ｉに つ

体 ｊのROjは,

線 型 な関係 式 で 表 され

の よ うに書 くこ とが で き る。

(21.10) (21.11) (21.12) 式(21.10)は,親

の 重 心 位 置 と 回 転 姿 勢 が 決 ま っ て い る と き,拘

座 標 を 用 い て,子

束結 合 の一般 化

の 重 心 位 置 と 回 転 姿 勢 を 決 め る 関 係 で あ る 。 式(21.11)は,親

の 重 心 速 度 と角 速 度 が 決 ま っ て い る と き,拘

束 結 合 の 一 般 化 速 度 を 用 い て,子

の

重 心 速 度 と角 速 度 を 決 め る 関 係 に な っ て い る 。Lj,Dj,Uj,Aj,Bjは,ROjと ｔの 関 数,ま

た は,ROiとQjと

ｔの 関 数 で あ る 。Ljは6×6行

列,Hjの

個 数 を

#(Hj)と

書 く こ と に す る と,Djは6×#(Hj)の

大 き さ に な る 。Ujは6×1列

行

列 であ る。 ●

簡 単 な 事 例

  こ こ で,簡 と し,点

単 な 事 例 を 示 そ う 。 剛 体 ｉ上 の 固 定 点 を Ｐ,剛 体 ｊ上 の 固 定 点 を Ｑ

Ｐ と Ｑ が ボ ー ル ジ ョ イ ン トで 結 ば れ て い る と す る 。 ボ ー ル ジ ョ イ ン ト

の モ デ ル は,rOPとrOQが

一 致 して い る と い う もの で あ る。 こ の 関係 は 次 の よ う

に書 け る。

(21.13) riPとrjQは

定 数 で あ る。 こ の 式 は 次 の よ う に書 き直 せ る。

(21.14) COiはOOiの

関 数 と 考 え る こ と が で き る 。CijもOijの

結 合 の 一 般 化 座 標Qjと 一 般 化 座 標Qjの

関 数 で,Oijを

す れ ば,ROjはROiとOOiとQjの

この拘束

関 数 に な る 。 な お,

数 は ボ ー ル ジ ョイ ン トに よ っ て 残 され た幾 何 学 的 自由 度 ３ と同

じで あ る。 回 転 行 列 に つ い て は次 の 関係 が 成 り立 つ 。

(21.15) 右 辺 は,OOiとQjの な い が,そ

関 数 で あ る 。COjか

らOOjを

作 る方 法 は 本 書 で は示 し て い

の 方 法 を 用 い れ ば,OOjは,OOiとQjで

局,ROjはROiとQjの   式(21.14)を

表 さ れ た こ と に な る(注)。結

関 数 と して表 す こ とが で きた 。 時 間 微 分 し,整

理 す る と次 の式 が 得 られ る 。

(21.16) こ の 式 は 速 度 に 関 す る 一 次 式 に な っ て い る 。Ω'ijを こ の 拘 束 結 合 の 一 般 化 速 度 Hjと

す れ ば,VOjは,VOiと

Ω'OiとHjで

表 さ れ た こ と に な り,ま

は 速 度 レ ベ ル の 変 数 に つ い て 線 形 で あ る 。 な お,一

般 化 速 度Hjの

た,そ

の 関係

数 はボー ルジ

ョ イ ン ト に よ っ て 残 さ れ た 運 動 学 的 自 由 度 ３ と 同 じ で あ る 。 角 速 度 Ω'Ojに つ い て は 次 の よ う に書 け る。

(21.17)

(注)COjか COjが

ら狭 義 の オ イ ラ ー 角 を 作 る方 法 に つ い て は,7.3節

分 か っ て い れ ばOOjは

不 要 な 場 合 が 多 く,概

念 的 にOOjが

に[Quiz

7.6]が

あ る。 た だ し,

得 られ る と考 えて お け ば よい 。

Ω'ojも Ω'oiとHjの 線 形 な 関 係 で 表 さ れ た。 結 局,V'ojは,V'oiとHjで こ と に な る。 ボ ー ル ジ ョイ ン トの 場 合 は,時   以 上 が,ボ

表 された

間 ｔは 陽 に は 現 れ て こ な い 。

ー ル ジ ョイ ン トの 場 合 の 漸化 的 表 現 で あ る。 読 者 は,他 の ジ ョ イ ン

トや 駆 動 拘 束 の 漸 化 的 表 現 を作 る こ とが で き る で あ ろ うか 。 ● 系 全体 を一 つ に ま とめ た表 現   式(21.10),(21.11)は

漸 化 式 で あ る。 また,式(21.7),(21.8)は,式(21.10),

(21.11)の 特 別 な形 で あ る。 拘 束 結 合 の 一 般 化 座 標 と一 般 化 速 度 を適 切 に選 べ ば, す べ て の 剛体 の位 置 と回 転 姿 勢,速

度 と角 速 度 を,こ の よ う な漸 化 的 な 方 法 で求

め る こ とが で き る。 逆 に,拘 束 結 合 の 一 般 化 座 標 と一 般 化 速 度 の適 切 な 選 び方 と は,子

の 剛体 の 位 置 と回 転 姿 勢,速

度 と角 速 度 を,漸 化 的 な方 法 で定 め られ る よ

う に す る こ とで あ り,拘 束 結 合 の種 類 ご とに 一 般 化 座 標 と一 般 化 速 度 を 定 め る こ とが で き る。 なお,同

一機 能 の 拘 束 結 合 で も一 般 化 座 標 と一 般 化 速 度 の 選 び 方 は

一 通 りと は 限 ら な い。   式(21.11)の

よ う な速 度 レベ ル の 漸 化 式 はす べ て の拘 束 結 合 につ い て 作 る こ と

が で き,そ れ ら を ま とめ て系 全 体 の漸 化 式 を次 の よ う に作 る こ とが で きる。

(21.18)

V'=LV'+DH+U V'は,式(21.6)に る 。 Ｈ は,系

与 え ら れ て い る と お り,V'ojを

番 号 順 に縦 に並 べ た 列 行 列 で あ

全 体 の 一 般 化 速 度 で あ る が,式(21.2)に

の 一 般 化 速 度Hjを

あ る よ う に,各

拘 束結合

集 め た も の で あ る 。 Ｄ と Ｕ は 次 の とお りで あ る 。

(21.19)

(21.20)

Djは 一 般 に縦 長 の 行 列 で あ り,Ｄ 番 号 で 見 れ ば,Djは

対 角 線 上 の ブ ロ ッ ク で あ り,Ｄ

正 方 的 ブ ロ ッ ク行 列 参 照)。Ujは   Ｌ は6×6の

も縦 長 に な る が,ブ

ロ ック行 とブ ロ ック 列 の は 正 方 的 で あ る(1.3節

列 行 列 で あ るか ら,Ｕ

の

も列 行 列 に な る。

大 き さ の ブ ロ ッ ク を正 方 的 に 並 べ た 正 方 行 列 で あ る。 親 子 の 番 号

で 決 ま る 位 置 の ブ ロ ッ ク に,対

応 す るLjを

な らべ る。

(21.21)

慣 性 空 間 に,直 接,つ れ 以 外 の 場 合,Ljは

なが っ て い る 剛 体 に対 応 す る 番 号 のLjは ｊブ ロ ッ ク行 に配 置 さ れ,ブ

存 在 しな い 。 そ

ロ ッ ク 列 の 番 号 は 親 剛 体 の番

号 で あ る。 そ の ブ ロ ッ ク行 の 他 の ブ ロ ッ ク はす べ て ゼ ロで あ る 。 す な わ ち,一 つ の ブ ロ ッ ク行 に 並 ぶLjの

数 は最 大 一 つ で あ る。 式(21.11)の

ブ ロ ッ クLjはjiブ

ロ ッ ク に配 置 され る こ と に な る。 Ｌ の対 角 ブ ロ ック と上 三 角 に位 置 す る ブ ロ ッ ク は い ず れ もゼ ロ で あ る 。 こ の よ う な Ｌ の構 造(ゼ

ロ で ない ブ ロ ック の 位 置)は,

番 号付 け さ れ た 木 構 造 に 対 応 して い て,こ の Ｌ が 漸 化 計 算 を支 配 して い る 。 ● 漸 化 計 算 の 順 方 向 と 逆 方 向,加 速 度 の 漸 化 式,ケ イ ン の 部 分 速 度 の 漸 化 式   位 置 レベ ル 変 数 Ｒ と速 度 レベ ル変 数 Ｖ'を 漸化 的 に 求 め る計 算 は,木 構 造 の ル ー トか ら リー フ の方 向 へ ,番 号 の小 さ な剛 体 か ら大 き な 剛体 に 向 か っ て,行 わ れ る 。 こ の よ う な方 向 を順 方 向 と呼 ぶ こ と にす る。 式(21.18)を

時 間微 分 す る と,

加 速 度 に 関 す る順 方 向 の 漸 化 計 算 式 が 得 られ る。

(21.22) これ は 運 動 学 的 に 加 速 度 を 求 め る漸 化 式 で,一 般 化 速 度 の 時 間 微 分 Ｈ を必 要 と す る。 一 方,順

動 力 学 計 算 の た め に は,動 力 学 的 に Ｈ や Ｖ'を 求 め る 漸 化 計 算 方

法 が 必 要 で あ る。 次 節 にそ の方 法 を述 べ るが,そ だ け で な く,リ ー フ か らル ー トへ,番

の 計 算 に は,順 方 向 の漸 化 計 算

号 の 大 き な剛 体 か ら小 さ な 剛 体 に 向 か う,

逆 方 向 の 漸 化 計 算 も必 要 に な る 。   式(21.22)は,右

辺 の 括 弧 内 を Σ とお い て,次

の よ う に書 き直 して お く。

(21.23) (21.24) L,D,Uは

位 置 レ ベ ル の変 数 と時 間 の 関 数 で あ る か ら,そ の 時 間微 分 は 速 度 レ

ベ ル で あ る。 した が っ て,Σ な い 。 Σ は,Ｒ

も速 度 レベ ル で,加 速 度 レベ ル の 変 数 は含 まれ て い

と Ｖ'が求 まっ た 後 に計 算 す る こ とが で き る。

 速 度 レベ ル の 変 数 Ｖ'を 一 般 化 速 度 Ｈ で 偏 微 分 したV'Hは ケ イ ン の 部 分 速 度 で あ る 。 式(21.18)か

ら,そ の漸 化 式 が 次 の よ うに 求 ま る。

(21.25)

V'H=LV'H+D た だ し,V'Hは

列 行 列 で は な く,剛

体 の 数 の 二 乗 に 比 例 した 情 報 を含 ん で い る。

し た が っ て,Order-N-Algorithmで,こ

の 式 を直 接 計 算 す る こ と は な い 。 こ の

式 は,付

録 Ｄで動 力学 的な漸化式の導 出に利用 される。

21.3 

剛体 系 の ケ イ ン型運 動方 程 式

  式(21.4)で

は,剛 体 ｊの 重 心 速 度 と角 速 度 を ま と め た 斜 体 の 変 数V'ojを 準 備 し

た 。 こ こで は,さ

ら に,次 の よ うな斜 体 の 変 数 を作 っ て お く。

(21.26)(注)

(21.27) 3Mjは

,Mjを

対 角 要 素 と す る3×3ス

並 べ て 添 え 字 の な いV'を F'を

カ ラ ー 行 列 で あ る 。 式(21.6)で

準 備 し た 。 同 様 に,M'j,F'ojか

は,V'ojを

ら 添 え 字 の な いM'

作 っ て お く。

(21.28)

(21.29)

以 上 の 記 号 を用 い て,剛 体 系 の ケ イ ン型 運 動 方 程 式 は次 の よ う に 書 け る。

(注)MjとM'jは,記 が必 要 で あ る。

号 と し て は 似 て い る が,意

味 してい る もの は だ い ぶ 異 な っ て い る。 注 意

(21.30) この 式 も,動 力 学 的 な漸 化 式 の 導 出 に用 い られ る(付 録 Ｄ 参 照)。   12.2節[Quiz12.2]の

式(12.32)は,重

心 速 度 も剛 体 に 固 定 した座 標 系 で 表 し

た 剛 体 Ａ の 運 動 方 程 式 で あ る 。 そ こ に 出 て くる 各 変 数 は式(12.28)∼(12.31)の とお りで あ る が,こ

の 式 を用 い て,一

般 化 速 度 Ｈ の ケ イ ン型 運 動 方 程 式 を作 る

と次 の よ うに な る。

(21.31) Ｖ ″と Ｆ ″は 次 の と お りで あ る 。

(21.32)

(21.33)

Ｖ″に つ い て も 式(21.18)と

同 型 の 漸 化 式 を 作 る こ と が で き,式(21.23)∼(21.25)

と 同 型 の 式 も成 立 す る 。

(21.34) (21.35) (21.36) (21.37) 動 力 学 的 に Ｈ や Ｖ″を求 め る 漸 化 計 算 の 説 明 も,Ｖ'を 用 い る場 合 と全 く 同 じで あ る 。 次 節 と付 録 Ｄ は Ｖ'を 用 い る場 合 に つ い て 説 明 さ れ て い る が,21.5節

の

事 例 は Ｖ″を用 い た 説 明 に な って い る 。

21.4 

動力 学 的 に加速 度 を求 め る ため の漸 化的 方法

  動 力 学 的 に Ｈ と Ｖ'を求 め る方 法 の導 出 は か な り難 解 で あ る。 そ の 説 明 は付 録 Ｄ で 行 う こ と に し,こ こ で は 結 論 の 式 の 説 明 を行 う。 前 項 で 説 明 した 式 を用 い, ま ず 順 方 向(j=1→n)の

漸 化 計 算 でR,V'を

計 算 し,Σ を求 め て お く。 Ｒ に つ

い て は系 全 体 を ま とめ た 漸 化 式 の 表 現 は な い が,式(21.10),(21.7)が

拘束 結合

の 番 号 順 に 用 い られ る 。 Ｖ'と Σに つ い て は,式(21.18)と(21.24)で 計 算 は漸 化 計 算 で は な い が,R,V',Σ

を ま と め て,一 回 の順 方 向 漸 化 計 算 の 中

で 求 め る こ とが で き る。 こ れ らの 計 算 は す べ て 剛 体 単 位(あ 位)で

あ る。 Σ の

る い は拘 束 結 合 単

行 う。 式(21.24)の 計 算 で も系 全 体 を ま とめ た行 列 の 和 と積 を求 め て は い

けない。   そ の 後,以 下 の 式 が 用 い られ る。

(21.38) (21.39) (21.40) (21.41) Ｗ は,剛 体 の 数 だ け の6×6対

称 行 列Wjが

行 列 で あ る 。 Ｚ は,剛 体 の 数 だ け の6×1列

対 角 ブ ロ ック に並 ん だ ブ ロ ッ ク 対 角 行 列Zjを

縦 に 並 べ た 列 行 列 で あ る。

これ ら四 つ の 式 の う ち,最 初 の 二 つ は,逆 方 向 の 漸 化 計 算 で Ｍ'と Ｆ'か ら Ｗ と Ｚ を 求 め る 式 で あ り,残 りの 二 つ は,求

ま っ た Ｗ と Ｚ を 利 用 して,順

方 向の漸

化 計 算 で Ｈ と Ｖ'を求 め る式 で あ る。   式(21.38),(21.39)の め,次

実 際 の 計 算 で は,木 構 造 の分 岐 をス ム ー ズ に処 理 す る た

の 四 つ の ス テ ップ に置 き換 え て 計算 す る。

(21.42) (21.43)

(21.44)

(21.45) 式(21.42),(21.43)は,Ｗ

と Ｚ に 漸 化 計 算 の 出 発 値 を与 え て い る 。 こ の 代 入 計

算 も 各 剛 体 ご と に 行 う。 式(21.44),(21.45)は,逆 る 。 各 剛 体 のWjとZjの を 親 剛 体 のWiとZjに

計算 を進め

値 を も と に 各 式 右 辺 の 第 ２ 項 の 計 算 を 行 い,そ

の結 果

足 し込 む 。 こ の 二 つ は一 回 の 逆 方 向 漸 化 計 算 の 中 で ま と

め て 行 う こ と が で き る 。 ま た,(DTjWjDj)-1な 中 結 果 は,Ziの

方 向(j=n→1)に

ど,Wiの

計 算 過 程 で 得 られ た 途

計 算 で 再 利 用 す る。

  式(21.40)と(21.41)は,二

つ を 組 み 合 わ せ て,HjとV'jを

交 互 に,順

方 向

(j=1→nの

順)に

求 め る。 こ の 計 算 で も,(DTjWjDj)-1はWiの

計算 過 程 で得

られ た途 中 結 果 を再 利 用 す べ きで あ る。   以 上 で,順

方 向 の Ｒ と Ｖ',逆 方 向 の Ｗ と Ｚ,順 方 向 の Ｈ と Ｖ'の漸 化 計 算 を

行 っ て,Ｑ

と Ｈ か ら Ｈ を 求 め る こ とが で きた が,拘

束 力 を 計 算 す る場 合 は,も

う一 度,逆

方 向 の 漸 化 計 算 が 必 要 で あ る。 各 剛 体 の 重 心 位 置 に等 価 換 算 した 拘 束

力 は次 の 式 で 計 算 で き る。

(21.46)

F'=M'V'-F'

F'は,各

剛 体 の重 心 に等 価 換 算 され た拘 束力F'ojを 縦 に 並 べ た列 行 列 で あ る。

(21.47)

(21.48) こ の 計 算 は各 剛 体 ご とに行 う こ とが で きる 。 た だ し,求 め た い拘 束 力 は 重 心 に等 価 換 算 さ れ た値 で は な く,各 拘 束 結 合 部 の 値 で あ る。 一 つ の 剛 体 に は子 側 と親側 の 拘 束 結 合 が あ るが,親 側 の 拘 束 結 合 は 一 つ で あ るか ら,す べ て の 子 側 拘 束 結 合 の 拘 束 力 が 計 算 され て い れ ば,F'ojを 用 い て 親 側 拘 束 結 合 部 の拘 束力 を求 め る こ と は 容 易 で あ る。 した が っ て,リ

ー フ を子 とす る拘 束 結 合 か ら始 め る逆 方 向 の 漸

化 計 算 を行 い,各 拘 束 結 合 の 拘 束 力 を子 側 の 剛体 か ら求 め,そ

の反 作 用 を親 側 の

剛 体 の 拘 束 力 か ら差 し引 くよ う にす れ ば,す べ て の 拘 束 結 合 部 に生 じる拘 束 力 を 求 め る こ とが で きる 。

21.5 

順 動 力 学 解 析 の 事 例:３

次 元 三 重 剛 体 振 子(漸

化 的 方 法)

● 漸化計算の手順   19.4節

に ３次 元 三 重 振 子 の 事 例(sanjufuriko_1)を

示 し た が,同

じモ デ ル を

漸 化 的 方 法 で プ ロ グ ラ ミ ン グ して み よ う。 この モ デ ル は11.3節(図11.11)に 説 明 さ れ て い る。 以 下 の 計 算 手 順 の 説 明 で は,前 半,19.4節 て い る。 こ の 部 分 で は19.4節

の 式 を多 数 利 用 し

と の 差 異 に 注 意 し な け れ ば な ら な いが,後

半 は大

き く異 な って い て,こ の 方 法 の ユ ニ ー ク さ が 現 われ る。 以 下 の 説 明 は 三 つ の 剛 体 に 関す る もの で あ るが,読 者 は,四 重 振 子,五

重 振 子 と剛 体 の 数 が 増 え て も,各

ス テ ップ の 計 算 量 が 剛 体 の 数 に比 例 す る だ け で 済 む こ と を確 認 しなが ら読 んで い た だ きた い 。   三 つ の ピ ン ジ ョイ ン トの 回転 角 と 回転 角 速 度 を 独 立 な 一 般 化 座 標 Ｑ,一 般 化 速 度 Ｈ とす る。

【19.58】

(21.49)

こ の Ｈ は,sanjufuriko

_1の

場 合 は 式(19.59)の

よ う に Ｓ で あ っ た が,こ

こで は

前 項 ま で の 説 明 に用 い た記 号 に合 わせ て Ｈ とす る 。   ま ず,Ｑ

の 三 つ の 値 か ら,COA,CAB,CBCが

次 の よ う に計 算 で きる 。 【19.60 】【19.61 】【19.62】

COBとCOCは

次 の よ う に求 め る 。

(21.50) (21.51) COAは

式(19.60)だ

必 要 で あ り,COCも と,や

け で 求 ま っ て い る が,COBは(19.61)と(21.50)の

同 様 で あ る。 剛 体 Ｃ の 下 に剛 体 Ｄ を追 加 し た 場 合 を 考 え る

は り,CCDとCODを

列 の 計 算 は,大

二つ の式 が

局 的 に(剛

剛 体 Ｃ の 場 合 と 同 じ よ う に 計 算 す れ ば よ く,回 体 の 数 が 大 き け れ ば),剛

転 行

体 の 数 に比 例 して い る とい

え る。   回 転 行 列 を 用 い て,ROA,RAB,RBCは

次 の よ うに 求 ま る。 【19.63 】【19.64 】【19.65】

ROBとROCは

次 の よ う に な る。

(21.52) (21.53) 式(19.63)の

右 辺 に は+roo'を

も ち ろ ん,こ

の 場 合,roo'は

る 必 要 は な い 。Order-Nの

補 え ば,計

算 量 は,そ

ゼ ロ で あ る 。 た だ し,こ 意 味 は,大

の 下 の 二 式 と 同 じに な る。 の よ う な細 か い 点 を気 に す

局 的 に 剛 体 の 数,ま

数 に 計 算 時 間 が 比 例 す る と い う こ と で,ジ

た は,ジ

ョ イ ン トの

ョ イ ン トの 種 類 な ど に よ っ て 計 算 量 に

あ る程 度 の 差 異 が 出 る こ と は当 然 で あ る 。   次 に,V'OAと

Ω'OAを 縦 に 並 べ た6×1列

も 考 え る と,こ

行 列 をV″OAと

し,同

様 にV″AB,V″BC

れ ら は Ｈ の 三 つ の値 か ら次 の よ うに 計 算 で き る。

(21.54) (21.55) (21.56) 係数 行列

は,式(19.72)∼(19.77)か

ら次 の よ う に

得 られ て い る。

【19.78】

【19.79】

【19.80】

V″OBとV″OCは 次 の 式 で 求 め る こ と が で き る 。 【19.85 】(21.57)

な お,V″OCを

求 め る 式 は(19.86)と

は 異 な っ て い る 。 ΓABと

ΓBCは,次

の とお り

で あ る。

【19.66】

【19.67】

式(19.85),(21.57)に,(21.55),(21.56)を

代 入 す る と,次

の 式 が 得 られ る 。

(21.58) (21.59) こ こ で,V″OA,V″OB,V″OCを

縦 に 並 べ て 一 つ に ま と め た も の が Ｖ″で あ る 。

(21.60)

Ｈ か ら Ｖ″ を 求 め る 漸 化 式 は,式(21.18)と

同 じ形 で,次

の と お りで あ る 。

(21.61) 式(21.34)で

は,L,D,Uに

で は,L,D,Uを

ダ ッ シ ュ を付 け て,式(21.18)と

区 別 し た が,こ

こ

そ の ま ま 用 い て 説 明 す る 。 式(21.54),(21.58),(21.59)が,

こ の 漸 化 式 を 構 成 し て い て,L,D,Uは

次 の とお りで あ る。

(21.62)

(21.63)

(21.64)

式(21.61)の

時 間 微 分 は,式(21.23),(21.24)と

同 じ形 で,次

の よ う に書 け る。

(21.65) (21.66) ま だ,Ｈ

が 未 知 で あ る か ら,式(21.65)は

き る 。 式(21.64)か

計 算 で き な い が,式(21.66)は

ら Ｕ は ゼ ロ で あ る 。L,Dは

時 間微 分

の時 間 微 分 が わ か れ

し た も の で あ る か ら, ば よ い 。 ま ず,ΓAB,ΓBCは

式(21.62),(21.63)を

計算 で

次 の とお りで あ る。

【19.69】

【19.70】

こ れ ら を用 い て Ｌ は 次 の とお りで あ る。

(21.67) 一 方

は,す べ て 定 数 で あ る か ら,こ れ ら の 時 間微

,

分 は い ず れ も ゼ ロ で あ る 。 し た が っ て,Ｄ

は ゼ ロ で あ り,式(21.66)は

次 の よう

に 簡 単 に な る。 Σ=LV″

(21.68)

Σ は,各 剛 体 に 対 応 す る6×1列 三 つ は ΣOA,ΣOB,ΣOCと

行 列 を 三 つ 縦 に並 べ た 列 行 列 で あ る。 こ れ らの

書 くこ とが で き,こ の 式 で 計 算 す る 。 こ の 式 は漸 化 式

で は な い が,漸 化 式(21.61)の 場 合 と同 様 に,各 剛 体 単 位 の式 に 直 して 計 算 す る。 そ の よ う に 直 す と,剛 体 数 に比 例 し た 計 算 量 に な る。 な お,ΣOAは か ら計 算 量 は さ らに 少 な くな る が,す

ゼ ロで ある

で に 説 明 した よ うに 大 局 的 に 考 え て 剛体 数

に比 例 して い る とい え る 。 以 下 に 出 て くる漸 化 式 も,こ の 式 や 漸 化 式(21.61)の よ うに,三 つ の 剛体 分 を ま とめ た 式 に な っ て い て,実 分 け て 計 算 す る こ とで,Order-nの   次 は,Ｗ

際 の 計 算 で は,三 つ の式 に

計 算 時 間が 実 現 で き る。

と Ｚ の漸 化 計 算 で あ るが,ま

ず,式(21.42)と(21.43)の

よ うに Ｗ と

Ｚ に 漸 化 計 算 の 出発 値 を与 え る。

M',F″

W〓M'

(21.69)

Z〓F″

(21.70)

は 次 の とお りで あ る。

(21.71)

(21.72)

M'A,Ω

″OA,F″OAは,式(12.29)∼(12.31)に

与 え ら れ て い る 。 剛 体B,Cの

同様 な

量 も 同 じ形 で 与 え ら れ て い る と す る 。 こ の 漸 化 計 算 の 出 発 値 入 力 も,三

つ に分 け

て 剛 体 の 数 分 だ け 行 う 。 す な わ ち,Ｗ ZOCに

と Ｚ の 成 分,WA,WB,WCとZOA,ZOB,

出発 値 を与 え る 。

  Ｗ と Ｚ の 漸 化 計 算 は,式(21.44),(21.45)に 剛 体C,B,Aの

順 に,計

算 を 進 め る が,WCとZOCは

よる 逆 方 向 の 漸 化 計 算 で あ る 。 出発 値 の ま ま で あ る。

(21.73) (21.74) (21.75) (21.76) 計 算 の 順 序 は,WB,WA,ZOB,ZOAで

も,WB,ZOB,WA,ZOAで

も よ い が,共

通 因子 を生 か して 計 算 時 間 の 節 約 を 図 る こ と は当 然 行 な うべ き で あ る 。   順 動 力 学 が 目指 し て い る の は Ｈ で あ る が,Ｈ 組 み 合 わ せ て,Ｖ

″ と 共 に,順

の 漸 化 計 算 で は次 の 二 つ の 式 を

方 向 に解 く。

(21.77) (21.78) こ れ ら は 式(21.40)(21.41)と て い る も の を 用 い,A,B,Cの

同 じ 形 で あ る 。 Ｈ の 各 要 素 に 式(21.49)に

与 え られ

順 に漸 化 計 算 を具 体 化 す る と次 の よ う に な る 。

(21.79) (21.80) (21.81) (21.82) (21.83) (21.84) 以 上 で,ωOA,ωAB,ωBCが

求 ま っ た 。

● ３次 元 三 重 剛 体 振 子 の漸 化 計 算 の プ ログ ラ ム   本 節 の 方 法 で,３ 次 元 三 重 剛 体 振 子 を計 算 す る プ ロ グ ラ ム は,sanjufuriko_30 で あ る 。 特 に,こ jufuriko_30で

の ア ル ゴ リズ ム に よ る微 分 方 程 式 右 辺 の 計 算 は,関

行 わ れ る。 こ の 関 数 以 外 の 部 分 は,sanjufuriko_1と

が な い 。 出 力 の 内 容 も19.4節 表19.2参

数e _san

ほ とん ど差 異

と 同 じで あ り,そ ち ら を参 照 され た い(19.4節,

照)。 二 つ の プ ロ グ ラ ム を比 較 す る こ とで,難 解 な本 節 の 方 法 も理 解 し

や す い は ず で あ る。   Order-Nア

ル ゴ リ ズ ム は モ デ ル規 模 に 比 例 し た計 算 時 間 で 解 が 得 られ る。 三

重 剛体 振 子 に くらべ,六 重 剛体 振 子 は倍 の 計 算 時 間 で 計 算 で き る。 十 二 重 剛 体 振 子 は そ の 倍 の計 算 時 間が あ れ ば よい 。 しか し,こ の こ とは ア ル ゴ リズ ム に 含 まれ る和 と積 な どの 演 算 総 数 が 倍 に な っ て い る とい う こ とで あ る 。MATLABは

行列

演 算 処 理 が 高 速 で 行 わ れ る よ うな 工 夫 を含 ん で お り,和 と積 の 演 算 総 数 以 外 の 要 因 が 働 くの で,計

算 時 間の 比 較 に は 注 意 を 払 わ な け れ ば な ら ない 。

ラグランジュの運 動方程 式を

第22章

利用す る方法

  第19章

の拘 束 条 件 追 加 法 を 除 い て,こ

体 重 心 の 並 進 速 度,あ

れ ま で 示 して き た 方 法 で は,質 点 や 剛

る い は,剛 体 の 角 速 度 が 基 本 的 な物 理 量 で あ っ た。 ラ グ ラ

ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 で は,こ れ らの量 は,目 立 つ 存 在 で は な い 。 作 用 力 が ポ テ ン シ ャ ル 関 数 か ら作 ら れ る場 合 に限 る と,運 動 方 程 式 は,運 動 エ ネ ル ギ ー とポ テ ン シ ャ ル 関 数 の 差,お

よ び 一 般 化 座 標 で 表 され る。 直 交 座 標 系 な ど,特 定 な座 標 系

で 表 さ れ る 量 に依 存 せ ず に,一 つ のス カ ラー 関数 と一 般 化 座 標 で 表 現 さ れ て い る 点 は,力

学 の 歴 史 上,お

よび,理 論 上,重

要 な意 味 を持 っ て い る。

  ラ グ ラ ン ジ ュ の 方 法 は,機 械 工 学 に お い て も拘 束 力 学 系 の 運 動 方 程 式 作 成 手段 と し て,伝 統 的 に教 え られ て きた し,用 い られ て きた 。 こ の 方 法 の 一 つ の特 徴 は Ｖ や Ω'の よ うな 並 進 加 速 度 や角 加 速 度 を 経 由 し ない こ と に あ り,便 利 な運 動 方 程 式 作 成 手 段 と され て きた 。 そ の後,Kaneに

よ る 問 題 提 起 が 刺 激 を与 え,マ ル

チ ボ デ ィダ イナ ミ クス の発 展 に伴 っ て運 動 方 程 式 の 立 て 方 に 関 す る新 しい見 方 が 生 み 出 さ れ て き た 。 拘 束 条件 追 加 法(速

度 変 換 法)も

た優 れ た 方 法 で あ る。 しか し,現 時 点 で も,最

そ の よ う な経 緯 か ら生 まれ

も よ く知 られ た 方 法 は,や は りラ

グ ラ ン ジ ュ の 方 法 で あ ろ う。 読 者 は,こ の伝 統 的 な 方 法 と,比 較 的 新 しい方 法 を どの よ うに 受 け止 め る で あ ろ うか 。   本 章 で は ケ イ ン型 の 運 動 方 程 式 か ら ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 を導 く。 た だ し,ラ グ ラ ン ジ ュ の 方 法 で は,一 般 化 速 度 Ｈ を一 般 化 座 標 Ｑ の 時 間微 分 に 限 定 して い るの で,Ｈ

の 代 わ りに Ｑ を 用 い る 。 ま た,ニ

ュ ー トン の運 動 方 程 式 に は

運 動 量 ｐで 表 現 した もの を 用 い る 。 こ れ は,運 動 量,角 量 で あ り,ハ

運 動量 が力 学 の重要 な

ミル トンの 理 論 な ど に出 て くる 一 般 化 に 向 け た 配慮 で あ る。

22.1 

ラ グ ラ ン ジ ュの 運 動 方 程 式

● 運 動 量 を 用 い た ケ イ ン型 の運 動 方 程 式   ラ グ ラ ンジ ュの 運 動 方 程 式 の 導 出 で は,ま ず,ホ

ロ ノ ミ ッ ク な系 に 限 定 し,さ

ら に,独 立 な一 般 化 速 度 Ｈ が 独 立 な 一 般 化 座 標 の 時 間微 分 Ｑ に 等 し い場 合 に 限 定 す る。

(22.1)

Q=H Ｑ が 独 立 で な い場 合,お

よび,シ

ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束 を持 つ 場 合 に

つ い て は,次 章 に説 明 が あ る 。   質 点 系 を対 象 と した ケ イ ン型 運 動 方 程 式 は18.1節

に 与 え られ た 。 【18.3】

こ こ で,各 縦 に,順

質 点 ｉの 運 動 量poiはmivoiと

等 し い が,こ

れ ら を 全 質 点 に つ い て,

に並 べ た 変 数 を ｐ とす る 。

(22.2)

p=mv こ の 運 動 量 を 用 い,式(22.1)を と,次

考 慮 し て ケ イ ン 型 運 動 方 程 式(18.3)を

書 き直 す

の よ う に な る。

(22.3) こ の 式 の左 辺 の括 弧 を はず す し,移 項 す れ ば次 の よ うに 書 くこ と もで き る 。

(22.4) ● 準備   こ こで,式

の 変 形 に 必 要 な 二 つ の 関 係 を 準 備 す る た め に,2.3節,2.6節

様 の 説 明 を繰 り返 す 。 まず,13.4項

と同

に,質 点 の 位 置 ｒが 一 般 化 座 標 Ｑ と ｔの 関

数 と して 与 え られ て い る。

r=r(Q,t)

【13.2】

さ ら に,こ の 式 の 時 間微 分 も作 られ て い る。

v=rQQ+rt rQとrtは,Ｑ て い る が,速

と ｔの 関 数 で あ る 。 し た が っ て,ｖ

【13.8】

は,Ｑ

と Ｑ と ｔの 関 数 に な っ

度 レ ベ ル の 変 数 に つ い て は 線 形 で あ る 。 し た が っ て,次

の関係が

得 られ る 。

(22.5)

vQ=rQ

こ れ が,準

備 を 目指 し た 最 初 の 式 で あ る 。

ｖ と ｒ は 質 点 総 数 の ３倍 の 成 分 を 持 っ て い る が,そ と に す る と,式(22.5)は

の ｉ番 目 を υi,γiと 書 く こ

す べ て の ｉに つ い て 次 の 式 が 成 立 す る こ と と 同 じで あ る 。

(22.6) υiと γiがス カ ラー で あ る こ と に注 意 して,こ の 式 の 両 辺 の 時 間微 分 を 作 る 。 そ し て,時 間 微 分 の 対 象 が Ｑ と ｔの 関 数 で あ る こ と を利 用 し て 次 の よ う な 変 形 を 行 う。

(22.7)

(22.8) 一方

,式(13.8)か

ら υiと γiだ け 取 り出 し た も の は 次 の よ う に 書 け る 。

(22.9) この 式 を Ｑ で偏 微 分 す る と次 の よ う に な る。

(22.10) γiはC2-級

の 関 数 と仮 定 し て 差 し支 え な く,そ

る こ と が で き る た め,式(22.8)と

式(22.10)は

うす れ ば偏 微 分 の 順 序 を 入 れ 替 え 同 一 に な る 。 す な わ ち,次

の 関係

が得 られ る。

(22.11) こ の 式 はす べ て の ｉに つ い て 成 り立 つ の で,結 局,添

え 字 の ｉを取 り去 っ た 関係

が 成 立 し,次 の よ う に書 け る。

(22.12) これ が,も

う一 つ の 準 備 を 目指 した 関 係 で あ る。

●

ラ グ ラ ン ジ ュの運 動 方 程 式 の 導 出

  さ て,準 備 が で きた の で まず,式(22.4)の

左 辺 に部 分 微 分 の 関 係 を 適用 す る。

(22.13) 式(22.12)の

関 係 を 用 い る と,こ

の式 は 次 の よ うに 書 け る。

(22.14) 運 動 量 ｐは,運 動 補 エ ネ ル ギ ー Ｔ*を 速 度 ｖで 偏 微 分 した もの で あ る 。 【14.64】

こ の 関 係 は,14.6節

に 与 え ら れ て い る 。 運 動 補 エ ネ ル ギ ー は,運

動 エ ネル ギー

か ら ル ジ ャ ン ドル 変 換 に よ っ て 作 ら れ る ス カ ラ ー 関 数 で あ る 。 T*=vTp-T

【14.60】

た だ し,ニ

ュ ー トン 力 学 で は,運

つ の で,運

動 補 エ ネ ル ギ ー の 代 わ りに 運 動 エ ネ ル ギ ー を用 い て も差 し支 え な い 。

さ て,式(14.64)を

動 エ ネ ル ギ ー と 運 動 補 エ ネ ル ギ ー は 同 じ値 を 持

用 い る と,式(22.14)は

次の ようになる。

(22.15) 結 局,式(22.4)は

次の ようになる。

(22.16) 右 辺 は,式(22.5)の

関 係 を利 用 して,書

き換 え た もの を用 い て も よ く,こ こ で は

両 方 を併 記 して お い た 。   こ の 式 の 右 辺 の 作 用 力 ｆをfUとfUの

二 つ に 分 け て 考 え る 。fUは,ポ

テ ンシャ

ル 関 数 Ｕ か ら,次 の よ う に作 り出 す こ との で き る力 で あ る。

(22.17) ポ テ ン シ ャ ル 関 数 は,こ

U=U(r,t)

こ で は ｒ と ｔに 依 存 す る ス カ ラ ー 関 数 と す る 。

(22.18)

こ の 関 数 が 時 間 に 依 存 しな い と き,fUは

保 存 力 と呼 ば れ て い る。 また,電

磁気

学 で は 電 荷 粒 子 の 速 度 に依 存 す る 速 度 ポ テ ン シ ャル を考 え る こ とが あ る 。 この 速 度 依 存 性 を考 慮 して 理 論 を拡 張 す る こ と もで きる が,こ に 限 定 して お く。 この と き,式(22.16)は

こで は,式(22.18)の

形

次 の よ う に 変形 で き る。

(22.19) Ｌ は ラ グ ラ ン ジ ア ン と呼 ば れ,運 動 補 エ ネ ル ギ ー か らポ テ ン シ ャ ル 関 数 を 引 い た ス カラー関数 である。 L=T*-U 式(22.16)と

(22.20)

式(22.19)を

ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 と 呼 ぶ 。 式(22.16)に

び 名 を つ け て い る 文 献 も あ る が,本 (22.16),式(22.19)の

右 辺 は,作

書 で は 同 じ名 前 で 呼 ぶ こ と に す る 。 ま た,式 用 力 ｆ にrTQ,ま

が 使 わ れ て い る 。 ど ち ら で も 同 じ で あ る が,こ   運 動 補 エ ネ ル ギ ーT*は,式(14.63)の か ら わ か る よ う に,Ｑ

別 の呼

た は,VTQを

左 か ら掛 け た もの

れ を一 般 化 力 と呼 ん で い る。

よ う に ｖ の 関 数 で あ る が,ｖ

と Ｑ と ｔの 関 数 で あ る 。 結 局,T*も

は 式(13.8)

Ｑ と Ｑ と ｔの 関 数

とい う こ とに な る。

T*=T*(Q,Q,t)

(22.21)

ポ テ ン シ ャ ル 関 数 Ｕ は,式(22.18)の 2)の よ う に Ｑ と ｔの 関 数 で あ る か ら,Ｕ

よ う に ｒ と ｔの 関 数 で あ る が,ｒ

も Ｑ と ｔの 関 数 と い う こ と に な る 。

U=U(Q,t) し た が っ て,ラ

(22.22)

グ ラ ン ジ ア ン Ｌ も,Ｑ

と Ｑ と ｔの 関 数 で あ る 。

L=L(Q,Q,t) Quiz22.1

(22.23)

ボ ー ル ジ ョイ ン トで 支 点 を 拘 束 さ れ た コマ の ラ グ ラ ン ジ ア ン は ど

の よ うに な るか 。 独 立 な 一 般 化 座 標 を

22.2ラ

とす る 。

グランジュの運動方程式の使い方

  ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 と し て,式(22.16)と た が,ロ

は 式(13.

ボ ッ トや 車 両 な ど,機

式(22.19)の

二 つ の形 が 示 され

械 工 学 の 多 くの 事 例 で は,式(22.16)で

十 分 な場

合 が 多 い 。 重 力 や バ ネ力 の 位 置 エ ネ ル ギ ー を 考 え て,Ｑ 作 業 と,直 接,重

に 関 す る 偏 微 分 を取 る

力 や バ ネ力 を用 い て 一 般 化 力 を表 現 す る作 業 と に,大

は な い 。 ま れ に,式(22.19)が とん ど の場 合,慣

き な差 異

簡 潔 な解 を与 え て くれ る特 殊 な事 例 も あ る が,ほ

れ と好 み の 問題 で あ ろ う。 多 くの 機 械 工 学 の 問 題 で は ダ ン ピ ン

グ 力 な ど ポ テ ン シ ャ ル 関 数 で 表 せ な い作 用 力 が あ り,所 詮,式(22.19)の

右辺を

な くす こ と は で き ない 。   作 用 力 ｆをfUとfUに

分 け て 式(22.19)を

用 い る 場 合,fUに

含 め る こ とが で き

る す べ て の 力 を そ の よ う に し な け れ ば な らな い わ け で は な い 。 た と え ば,fUの な か に 保 存 力 が 含 まれ て い て も よ い。 逆 に,ポ は,fUか

テ ンシ ャ ル 関 数 Ｕ で 考 慮 した 力

らは 除 か な け れ ば な らな い 。

  ニ ュ ー トン力 学 で は 運 動 補 エ ネ ル ギ ーT*も

運 動 エ ネ ル ギ ー Ｔ も同 じ値 に な る

の で,ど ち らを用 い て も同 じ運 動 方 程 式 が得 られ る。 質 点 系 の運 動補 エ ネ ル ギ ー は 次 の よ う に書 け る。

(22.24) ３次 元 剛体 系 で は 次 の よ うに 書 け る。

(22.25) ３次 元 剛 体 系 の 運 動 補 エ ネ ル ギ ー 表 現 の 中 に,式(22.25)に ま れ て い る 場 合,ラ

あ る よ うに Ω'が 含

グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 を 適 用 す る と Ω'Qが出 て くる。 こ の

と き,次 の式 が 役 に立 つ 。

(22.26) 剛 体 Ａ の 角 速 度 につ い て 書 くと,次 の とお りで あ る 。

(22.27) た だ し,こ の 式 の 証 明 は,少 々 面 倒 で あ る。 まず,一 のQuizを

Quiz22.2

般 化 座 標 Ｑ を 限 定 した 次

考 え て み よ。

一 般 化 座 標 Ｑ が 狭 義 の オ イ ラ ー 角 Θ〓

の 場 合 に つ い て ,式

(22.27)が

22.3 

成 立 す る こ と を確 認 せ よ。

事 例:時

間 の 関 数 と して 支 点 を 動 か す 剛 体 振 子

 ２次 元 剛 体 振 子 でO'をOに

一 致 さ せ ず に,時

モ デ ル を考 え る(16.9節,図16.3)。

間 の 関 数 と して平 面 内 を動 か す

この モ デ ル の 運 動 補 エ ネ ルギ ー は 次 の よ う

に 書 く こ とが で き る。

(22.28) 位 置 の 三 者 の 関係 と して,次

の 式 が 成 立 す る。

(22.29) こ の 式 を 時 間 微 分 して,重 心 速 度VOAを

次 の よ うに 求 め る こ とが で き る。

(22.30) こ れ を 式(22.28)に

代 入 して

(22.31) こ こ で,独 立 な 一 般 化 座 標 は θOAで,ωOAは

そ の 時 間微 分 で あ る。

  作 用 力 は 重 力 だ け で あ る か ら,ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 は 次 の よ う に 書 け る。

(22.32) 式(22.30)か

ら,

は 次 の よ う に得 られ る。

(22.33) 式(22.32)の

左 辺 の二 項 は い ず れ もス カ ラ ー で あ る か ら転 置 記 号 を は ず す こ とが

で き,式(22.31)を

代 入 し て,次

の よ う に な る。

(22.34)

(22.35) 式(22.32)の

右 辺 は,式(22.33)を

代 入 して 次 の よ う に な る。

(22.36) 以 上 を代 入 し整 理 して,結 局,運

動方程式 は次の ようになる。

(22.37) こ の 結果 は,16.9節

の 結 果 と 同 じで あ る 。

重 力 を ポ テ ン シ ャ ル 関 数 で表 す と次 の よ うに書 け る。

(22.38) 式(22.29)を

用 い る と次 の よ う に な る。

(22.39) こ の 式 と 式(22.31)と

か ら式(22.20)の

の 運 動 方 程 式 を 利 用 し て も,同

ラ グ ラ ン ジ ア ン を 作 り,次

のラグ ランジュ

じ結 果 が 得 ら れ る は ず で あ る 。

(22.40) こ の 式 も転 置 記 号 は不 要 で あ る。

22.4 

循 環 座 標,変

数 変 換 に よ る 不 変 性,ラ

グラ ン ジア ンの任 意性

● 循環 座 標   ラグ ラ ン ジ ア ンの 中 に,特 定 な一 般 化 座 標 の時 間微 分 は含 まれ て い るが,そ 一 般 化 座 標 自体 が 含 ま れ て い な い場 合 を 考 え る。 す な わ ち,Ｑ をQ1とQ2に 割 した と き,ラ グ ラ ン ジ ア ンがQ1を

の 分

含 ん で い な い とす る 。

(22.41) さ らに,こ

こ で は,作 用 力fUが 働 い て い な い 状 況 を 考 え る。 こ の と き,ラ グ ラ

ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 は次 の 二 つ の式 に な る。

(22.42)

(22.43) 式(22.42)は

直 ち に積 分 で き る。

(22.44) す な わ ち,こ の 式 の左 辺 は保 存 量 で あ る。   こ のQ1の

よ う に,一 般 化 座 標 の 中 で,ラ

グ ラ ン ジ ア ン に そ の 時 間微 分 だ け が

含 まれ て い る もの を循 環 座 標 と呼 ぶ 。 ラ グ ラ ン ジ ア ンを 一 般 化 座 標 の 時 間微 分 で 偏 微 分 した もの は一 般 化 運 動 量 と呼 ば れ る が,ポ テ ン シ ャル 関 数 で 考 慮 さ れ な い 作 用力

〓が 存 在 し な い 場 合,循

環 座 標 に 対 応 す る 一 般 化 運 動 量 は 定 数 と な る。

こ れ は,運 動 量 保 存 の 法 則 を 一般 化 した もの で あ り,保 存 量 の 発 見 は,運 動 を解 明す る た め の 有 用 な 手段 で あ る 。

Quiz22.3 

[Quiz 22.1]の ラ グ ラ ン ジ ア ンに は循 環 座 標 が 含 ま れ て い る。 対

応 す る保 存 量 は 何 か 。 ● 変 数 変換 に よ る 不 変性   自 由 な ３次 元 質 点 の ニ ュー トンの 運 動 方 程 式 は,デ 局 座 標 で 表 した場 合 とで,そ 数 変 換 に よ っ て,そ

の形 が 変 わ る が,ラ

カ ル ト座 標 で 表 した場 合 と

グ ラ ンジ ュの 運 動 方 程 式 は,変

の形 が 変 わ ら ない 。 こ れ は,ラ

グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 の特

徴の一 つであ る。   一 般 化 座 標 Ｑ を用 い て 表 さ れ た ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 を,別 の 一 般 化 座 標 Ｑ'で 書 き 直 す こ と を考 え る。 まず,Ｑ'に

よって Ｑ は次の ように表 され る と

す る。 Q=Q(Q',t)(22.45) こ の よ う に,座 標 変 換 に 時 間依 存 性 を持 た せ て も よい 。 さ て,22.1節 と こ ろ で 式(13.2)か り,式(22.45)か

ら式(22.5)と(22.12)を

導 い た が,ま

の準 備 の

っ た く同 様 の 方 法 に よ

ら次 の 関係 を 導 くこ とが で き る。

(22.46)

(22.47)   式(22.23)の

ラ グ ラ ン ジ ア ン に 式(22.45)の

Ｑ とそ の 時 間微 分 を代 入 す る と次

の よ うに な る。

(22.48) 右 辺 は Ｑ',Ｑ',ｔ

の 関 数 に な る が,そ

の 新 し い 関 数 形 を Ｌ'と 書 く こ と に す る 。

(22.49) こ の と き,Ｌ'と

Ｑ'で 作 られ る ラ グ ラ ン ジ ュ の運 動 方 程 式 の左 辺 は 次 の よ う に 変

形 で き る。

(22.50) 右 辺 第 一 項 の 時 間 微 分 は,因 子 ご との 時 間 微 分 に 直 して 次 の よ う に書 け る 。

(22.51) こ こ で,式(22.46),(22.47)を

用 い る と,こ

の 式 は次 の よ う に な る。

(22.52) 式(22.50)の

右 辺 第 二 項 は,次

の よ う に書 け る 。

(22.53) 式(22.52)と(22.53)か

ら,式(22.50)は

次 の よ う に な る。

(22.54) こ の 式 の 右 辺 は,式(22.19)を

用 い る と,次

の よ う に書 け る。

(22.55) 結 局,新

しい ラ グ ラ ンジ ュ の 運 動 方 程 式 は 次 の よ う に な る 。

(22.56)

右 辺 の 二 つ の 表 現 方 法 は どち ら で も同 じで あ る。 こ の 結 果 を式(22.19)と 対 比 す る と,一 般化 座 標 が 変 わ って もラ グ ラ ンジ ュ の 運動 方 程 式 は形 を 変 え な い こ とが 分 か る。   変 数 変 換 に よっ て 運 動 方 程 式 の 形 が 変 わ ら な け れ ば,変 数 変 換 は 容 易 で あ る。 う ま く変 数 変 換 す る こ と に よ っ て循 環 座 標 が見 つ か れ ば保 存 量 が 見 つ か る な どの 利 点 が あ る。 な お,こ

こ で述 べ た座 標 変 換 は,Ｑ

の 数 に比 べ て Ｑ'の 数 が 多 い 場

合 で も成 立 す る。 た だ し,数 が 増 え て もそ れ らの 運 動 方 程 式 の す べ て が 独 立 なわ け で は な い。

● ラグランジアンの任意性   ラ グ ラ ンジ ア ン は,運 動 補 エ ネ ル ギ ー か らポ テ ン シ ャ ル 関数 を 差 し引 い た ス カ ラー 関 数 と して 定 義 さ れ た 。 そ して,ラ

グ ラ ンジ ュ の 運 動 方 程 式 は,特 定 な ラ グ

ラ ン ジ ア ンに 対応 して 特 定 な 系 の 運 動 方 程 式 を作 り出 す 。 しか し,特 定 な 運 動 方 程 式 を作 り出 す ラ グ ラ ンジ ア ンが 一 つ に決 ま っ て い るわ けで は な い 。 こ こ で は 異 な る ラ グ ラ ン ジア ンか ら同 じ運 動 方 程 式 が 導 か れ る こ と を示 す 。 そ の 新 しい ラ グ ラ ン ジ ア ンは,運 動 補 エ ネ ル ギ ー か らポ テ ンシ ャ ル 関 数 を差 し引 い た 量 と一 致 し な くて も構 わ な い 。   ラ グ ラ ン ジ ア ンL(Q,Q,t)に を,新

ス カ ラ ー 関 数W(Q,t)の

た な ラ グラ ン ジ ア ンL'(Q,Q,t)と

時 間微 分 を加 え た もの

す る。

(22.57) この 式 は次 の よ う に書 き直 す こ とが で き る。

(22.58) こ の Ｌ'を ラ グ ラ ン ジュ の運 動 方 程 式 の左 辺 に代 入 す る と,次 の よ う に な る 。

(22.59) こ の 式 の,右 辺 第 一 項 の 中 の Ｗ に 関 わ る項 は,次 の よ う に 書 き換 え る こ と が で

き る。

(22.60) こ の 式 と 式(22.59)の す れ ば,Ｗ

右 辺 第 二 項 を 見 比 べ る と,Ｗ

を Ｑ と ｔのC2-級

の 関数 と

に 関 わ る 項 は 同 じ で あ る こ と が 分 か る 。 そ の 結 果,式(22.59)は

次の

よ うに な る 。

(22.61) す な わ ち,式(22.57)の

形 の ラ グ ラ ン ジ ア ンの 場 合,W(Q,t)は,運

動 方程式 に

影 響 を及ぼ さない。   式(22.57)以 外 の形 で も 同一 の運 動 方 程 式 を導 くラ グ ラ ン ジ ア ン の事 例 は あ る 。 しか し,ラ グ ラ ン ジ ュ の運 動 方 程 式 の左 辺 の 形 を ま っ た く同 じに す る 二 つ の ラ グ ラ ン ジ ア ン は,式(22.57)の

関係 にある。

  ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 が 変 数 変 換 に よ っ て 形 を変 え な い 性 質 と,式(22. 57)の ラ グ ラ ンジ ア ンの 任 意 性 は,ハ

ミル トンの 正 準 運 動 方 程 式 で ,さ

らに発 展

す る 。 ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 は,一 般 化 座 標 Ｑ に よ る二 階 の 微 分 方 程 式 で あ る が,ハ

ミル トンの 正 準 運 動 方 程 式 は,一 般 化 座 標 Ｑ と一 般 化 運 動 量 Ⅱ に よ

る 一 階 の 微 分 方 程 式 で あ る 。 そ の よ う な運 動 方 程 式 で は,Ｑ 数 変 換 が 可 能 に な る。 そ して,ハ な 変 数 変 換 が,正

とⅡ を まとめた変

ミル トンの 正 準 運 動 方 程 式 が 形 を変 え な いよ う

準 変 換 と呼 ば れ る もの で あ る。

ハ ミル トンの原理を利 用する方法

第23章

  ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 に お け る仮 想 変 位 δrは,時

間 を止 め て,そ

の瞬 間にお け

る仮 想 の 変 位 を考 え て い る だ け で あ り,時 間 の経 過 と は 関係 付 け て い な い 。 ハ ミ ル トン の 原 理 にお け る δrは 時 間 の 関 数 で あ り,r(t)の

変 分 と呼 ば れ る も の で あ

る。 ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 で は仮 想 的 に位 置 を変 化 させ る と考 えた が,ハ の 原 理 で は仮 想 的 に 軌 跡(時

間 に対 す る位 置)を

ミル トン

変 化 させ る と考 え る。 δr(t)の

与 え方 はす べ て の 拘 束 条 件 を満 た す 範 囲 で あ り,ま た,考

え て い る時 間 の 両 端 で

は 変 化 量 を ゼ ロ とす る 。 そ の よ う な変 分 は,そ の 各 瞬 間 を考 えれ ば ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 を満 た す もの で あ り,ハ

ミル トンの 原 理 は ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 を時 間積 分

し た形 に な っ て い る。 この 原 理 は,積 分 原 理 とか,変 分 原 理 と呼 ばれ る こ と も あ る(一 方,ダ

ラ ンベ ー ル の 原 理 は微 分 原 理 と呼 ば れ る こ とが あ る)。

  ハ ミ ル トンの 原 理 を利 用 して 運 動 方 程 式 を構 築 す る方 法 は,連 続 体 を対 象 とす る 分 野 で は,よ

く用 い られ る 。 集 中 定 数 系 で は,有 限 個 の一 般化 座 標 を選 ぶ こ と

図23.1 

ri(t)(r(t)の

ｉ番 目 の 成 分)の

変 分 δri(t)

この 図 は,変 分 の概 念 の説 明用 で,実 際 に は δri(t)は微 少 量 で あ る。

か ら始 め る の に対 し,連 続 体 は 無 限 の 自由 度 を も っ て い て,取

り扱 い 方 が か な り

異 な る。 本 書 は,有 限 個 の 独 立 な一 般 化 座 標 を 持 つ 系 を 主対 象 に 考 え て い て,そ の 場 合,ハ

ミル トンの 原 理 を利 用 す る 方 法 は,か

え っ て 手 間 が 掛 か る。 しか し,

ハ ミル トン の 原 理 は ,電 気 系 や 流 体 系 な ど も含 め た 統 一 的 な扱 い が で き る な ど, す ぐれ た面 を 持 っ て い る。 さ らに,量 子 力 学 へ の 発 展 な ど基 本 的 な重 要 さ はい う まで も な い 。

23.1 

ハ ミ ル トン の 原 理

● ハミル トンの原理の導出   ハ ミル トン の 原 理 は形 の 上 で は ダ ラ ンベ ー ルの 原 理 を時 間積 分 した形 か ら導 か れ る。

(23.1) こ の式 の左 辺 は 次 の よ う に変 形 で き る。

(23.2)

(23.3) (23.4) 式(23.3)に は,δrが

移 る と き,δrの

時 間 微 分 を δvと し た 。 δrと 共 に δvを 考 え ら れ る の

時 間 の 関 数 で あ る か ら で,こ

な い 考 え 方 で あ る 。 数 学 的 に は,変 と 考 え る こ と も で き る 。 式(23.4)へ 14.6節

の 式(14.63)の

  こ こ で,積

れ は ダ ラ ンベ ー ル の 原 理 の 仮 想 変 位 に は

分 の 操 作 と時 間微 分 の順 序 を入 れ 替 えて い る の 移 行 で は,δvTpを

変 分 を と り,式(14.64)を

し た 。 こ れ は,

利 用 す れ ば得 られ る 関 係 で あ る。

分 時 間 の 両 端 で の 変 分 は ゼ ロ と 定 め,式(23.4)の

る 。 そ の 結 果,ハ

δT*と

第 二 項 を ゼ ロ とす

ミ ル トン の 原 理 に 到 達 す る 。

(23.5)

図23.2 

分 布 定 数系 の例(自 由端 に集 中慣 性体 を持 つ 片持 ち梁 の 横振 動 モ デ ル)

こ の 式 で は,式(22.16)の

場 合 と 同様 に,ポ テ ン シ ャル 関 数 か ら求 ま る 力 もす べ

て作 用 力 と して 扱 っ て い る。 そ して,ハ

ミル トンの 原 理 の 場 合 も ラ グ ラ ンジ ア ン

Ｌ を 用 い た一 般 的 な 形 を作 る こ とが で きる 。

(23.6) 作 用 力 ｆはfUとfUに さ れ る 。fu,Ｕ

分 け ら れ,fUは

な ど は,22.1項

同 じ で あ る 。 作 用 力 に はfUだ ル ギ ー Ｔ*か

ポ テ ン シ ャル 関 数 Ｕ と して Ｌ の 中 に 考 慮

の 式(22.17),(22.18)に

説 明 さ れ て い る もの と

け が 残 さ れ る 。 ラ グ ラ ン ジ ア ン Ｌ は,運

動補 エ ネ

らポ テ ン シ ャル 関 数 Ｕ を差 し引 い た もの で あ る。

L=T*-Ｕ

【22.20】

ハ ミル トンの 原 理 は 次 の とお りで あ る。 拘 束 条 件 を満 たす 範 囲 の 任 意 の 変 分 に対 して,式(23.5),あ

る い は(23.6)の 左 辺 の 積 分 は常 に ゼ ロ に な る。

  ハ ミル ト ンの 原 理 は 分 布 定 数系 の 運 動 方 程 式 を 立 て る場 合 に は役 に 立 つ が,集 中定 数系 の 場 合 は 他 の 方 法 を用 い る ほ うが 簡 単 で あ る。 分 布 定 数 系 の簡 単 な事 例 と して は,図23.2に

示 す よ う な片 持 ち 梁 が あ るが,本

書 で は,そ の 具 体 的 な解

説 は省 略 す る。 た だ し,こ の 図 を見 て 想 像 で きる よ う に,分 布 定数 系 の 場 合 は 運 動 補 エ ネ ル ギ ー と共 に ポ テ ン シ ャル 関 数 も連 続 的 に分 布 して い る こ とが 多 く,式 (23.5)よ り,式(23.6)の   式(23.6)は,さ

形 が よ く用 い られ る。

らに 次 の よ う に書 き直 す こ とが で きる 。

(23.7) 第二 項 は ラ グ ラ ン ジ ア ンの 時 間 積 分 の変 分 で あ るが,ラ

グ ラ ンジ ア ン の時 間積 分

Ａ は,作

用(action),ま

た は,作

用 積 分(action

integral)と

呼 ば れ て い る。

(23.8) こ れ を 用 い る と,ハ

ミル トンの 原 理 は 次 の よ うに書 け る。

(23.9) 作 用 力fUが

な い 場 合 は,「 作 用 積 分 の 変 分 が ゼ ロ に な る よ う に 運 動 す る」 とい

う,極 め て簡 単 な 表 現 の力 学 原 理 に な る。

● ハミル トンの原理を利用 して運動方程式を作る方法   ハ ミル トンの 原 理 を利 用 して 運 動 方 程 式 を作 る場 合,ま ネ ル ギ ー とポ テ ン シ ャ ル 関 数 を,適 当 な 座 標 変 数(従 標)を

ず,最

初 に,運 動補 エ

属 な も の を含 む 一 般 化 座

用 い て 表 し,そ の差 を ラ グ ラ ン ジア ン とす る 。 次 に,式(23.6)の

括 弧内の

変 分 を計 算 し,独 立 な一 般 化 座 標 の 変 分 で 表 す 。 そ の と き,ラ グ ラ ン ジ ア ンは独 立 な 一 般 化 座 標 の 時 間微 分 Ｑ を含 ん で い る の で,δQが

出て くる 。 そ こ で,部 分

積 分 の 公 式 を 用 い て δQの 関係 に書 き換 え る。 δrも δQで 表 す こ とが で き,積 分 の 内 部 は δQで 括 り出 す こ とが で き る。 こ こで,δQが

積 分 時 間 の 両 端 で ゼ ロに

な る仮 定 を用 い る と と も に,積 分 時 間 内 で は δQの 任 意性 を利 用 して 運 動 方程 式 を 求 め る こ とが で き る。   この 過 程 で,部 分 積 分 の公 式 を 用 い て δQを δQと す る と こ ろ と,δQが 時 間 の 両 端 で ゼ ロ と仮 定 す る と こ ろ な どは,ダ

積分

ラ ンベ ー ルの 原 理 の 積 分 形 か らハ

ミル トン の原 理 を求 め る過 程 を逆 に戻 って い る よ う な も ので あ る 。 た だ し,運 動 方 程 式 を取 り出 す た め に,独 立 な一 般 化 座 標 で 表現 す る よ う に し,そ の変 分 の 任 意 性 を利 用 す る 。   次 節 で は,ハ

ミ ル トンの 原 理 を用 い て ラ グ ラ ン ジ ュの 運 動 方 程 式 を導 く。 この

過 程 は特 定 モ デ ル の 運 動 方 程 式 を作 る 過 程 と同 じで あ り,上 記 の 説 明 の事 例 に な っ て い る。

23.2  ラグランジュの運動方程式の導出 ● 一般化座標 Ｑが独立な場合   ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 は ハ ミ ル ト ン の 原 理 か ら導 く こ と も で き る 。 ま ず, ラ グ ラ ン ジ ア ン Ｌ は,22.1節

に,一

般 化 座 標 Ｑ,そ

の 時 間 微 分 Ｑ,時

間 ｔの 関

数 と して与 え られ て い る 。

L=L(Q,Q,t)

(22.23)

この 変 分 は 次 の よ う に書 け る。

(23.10) この 時 間積 分 は,部 分 積 分 の 公 式 を用 い て,次 の よ う に な る 。

(23.11) 積 分 時 間 の両 端 で δQは ゼ ロで あ る 。 した が っ て,こ の 式 は次 の よ う に書 け る。

(23.12) 質 点 系 の 位 置 ｒは,Ｑ

と ｔの 関 数 と し て13.4節

に 与 え られ て い る。

r=r(Q,t)

【13.2】

こ の 式 の 変 分 の 関係 か ら,作 用 力 の項 は次 の よ うに な る。

(23.13) 結 局,ハ

ミ ル ト ン の 原 理(23.6)は

次 の よ う に書 く こ とが で きる 。

(23.14) δQは 積 分 時 間 の 範 囲 内 で 任 意 な 時 間 関 数 で あ り,δQを

どの よ う に変 え て も こ

の積 分 が ゼ ロ に な る こ と か ら,ラ グ ラ ン ジ ュ の運 動 方 程 式 が 成 立 す る。

【22.19】

● 一 般 化 座 標 Ｑ にホ ロ ノミ ック な拘 束 が あ る場 合 一 般 化 座 標 Ｑ の 間 に ホ ロ ノ ミ ック な拘 束 が あ る場 合 を 考 え る

。

Ψ(Q,t)=0

(23.15)

こ の 式 の 変 分 は次 の よ う に な る。

(23.16)

δΨ=ΨQδQ=0   す べ て が 独 立 で な い Ｑ を 用 い て ラ グ ラ ン ジ ア ン(22.23)が る 。 そ の 変 分 は 式(23.10)で が,積

分 時 間 の 両 端 で,δQは

は 成 立 す る 。 式(13.2)も

独 立 では ない

す べ て ゼ ロ と し て よ い 。 し た が っ て,式(23.12)

Ｑ が 独 立 で な くて も差 し支 え な い。 そ の 変 分 の 関係 に

も変 更 の 必 要 は な く,式(23.13)も る 。 し か し,δQは

書 か れ て い る とす

あ る 。 そ の 中 に 出 て く る δQ,δQも

そ の ま ま 成 立 す る 。 結 局,式(23.14)が

独 立 で は な い の で,こ

の ま ま で は,式(23.14)か

成 立す ら運動方程

式 を抽 出 す る と こ ろ が う ま くゆか な い 。   そ こ で,拘 と し,そ

束 Ψ の 数 と同 数 の ラ グ ラ ン ジ ュ 未 定 乗 数 を縦 に並 べ た 列 行 列 を Λ

の 転 置 を 式(23.16)の

中 央 の 表 現 に 左 か ら掛 け て,式(23.10)の

え る 。 ゼ ロ を 加 え た だ け で あ る か ら,左

右 辺 に加

辺 は δLの ま ま で あ る 。

(23.17) 以 下,Ｑ

が 独 立 だ っ た 場 合 と同 じよ う に進 め る と,式(23.14)に

対 応 す る式 は次

の よ うに な る。

(23.18) こ こ で,一 般 化 座 標 Ｑ を独 立 な 一 般 化 座 標QIと と,こ の 式 は 次 の よ う に な る 。

従 属 な一 般 化 座 標QDに

分 ける

(23.19) QDの

数 は Ψ の 数 と同 じで あ る。 そ して,QIとQDの

Ψ が す べ て 独 立 だ とす る と,ΨQDは の 括 弧 内 が ゼ ロ に な る よ う に,ラ 〓,は

選 択 が 適 切 な ら,そ

正 則 に な る。 そ こ で,こ

して,

の 式 の左 辺 第 二 項

グ ラ ン ジ ュ の 未 定 乗 数 を 決 め る こ と に す る。

正 則 で あ るか ら,そ の よ う な 計 算 は 可 能 で あ る。 そ の 結 果,式(23.19)の

左 辺 は 第 一 項 だ け と な り,δQIの 任 意 性 に よ り,括 弧 内 をゼ ロ とす る こ と が で き る 。 こ の 結 果 は,式(23.18)で

δQの す べ て を任 意 と した 場 合 と同 じ結 論 で あ る。

運 動 方 程 式 は次 の よ う に な る。

(23.20) こ の 式 の 未 知 数 は Ｑ と Λ で,式

の 数 よ り多 い 。 式(23.15)の

拘 束 条 件 と共 に解

く こ とが 必 要 で あ り,微 分 代 数 型 の 問題 と な る。 す な わ ち,3.7節 代 数 型 の 運 動 方 程 式 と 同様 な 扱 い 方 を す る と,式(23.15)を

で述 べ た微 分

二 回 時 間微 分 して加

速 度 レベ ル の 拘 束 条 件 と し,運 動 方 程 式(23.20)と 連 立 させ る こ と に な る。   以 上 は ラ グ ラ ンジ ュの 未 定 乗 数 法 で あ るが,式(23.15)に 乗 数 の 転 置 を左 か ら掛 け,式(22.23)に す れ ば,δQを

ラ グ ラ ンジ ュ の 未 定

加 え た もの を新 た な ラ グ ラ ン ジア ン Ｌ'と

独 立 と して扱 う こ と が で き る。

L'=L(Q,Q,t)+ΛTΨ(Q,t)

(23.21)

た だ し,こ の 式 を用 い る こ とが で き る の は拘 束 条 件 が ホ ロ ノ ミ ッ ク な場 合 で あ る。

● 一 般 化 座 標 Ｑ にシ ン プル ノ ンホ ロ ノ ミ ック な 拘束 が あ る場 合 式(23.15)の

ホ ロ ノ ミ ッ ク な拘 束 を時 間微 分 す る と次 の よ うに な る。

Ψ=Φ=ΨQQ+Ψt=0

13.6節

(23.22)

で も そ う した よ う に,速 度 レベ ル の 拘 束 条 件 を Φ と表 し て い る。 こ の 式

は Ｑ の 一 次 式 で あ るか ら,次 の 関 係 が あ る。

(23.23)

ΨQ=ΦQ そ し て,式(23.22)を Φ=ΦQQ+Φ

ΦQは,Φ

次 の よ う に 書 き直 して も よ い。 百=0

を Ｑ で 偏 微 分 した 残 りの 項 を意 味 して い る。

(23.24)

  式(23.23)を

用 い る と,ホ

動 方 程 式(23.20)は

ロ ノ ミ ッ ク な拘 束 を 受 け る場 合 の ラ グ ラ ン ジ ュ の 運

次 の よ うに 書 くこ と もで きる 。

(23.25) 独 立 だ っ た 一 般 化 速 度Qが

Ψ=0の

拘 束 を受 け た 場 合 に生 じ る拘 束 力 は,〓

Λ

で あ り,こ れ はΨ の 時 間微 分 Φ を用 い て Φ〓Λ と書 く こ と もで きる 。 式(23.25) 右 辺 の 第 二 項 は,こ

の拘 束 力 で あ る 。 この 拘 束 力 は,変 分 δQと 直 交 す る 。

(23.26)

ΛTФQδQ=0

Ｑ が Ψ=0の

拘 束 を 受 け る 場 合,変

分 δQの 拘 束 は ΨQδQ=0と

な り,ま

た,次

の よ う に書 く こ と もで き る。

(23.27)

ΦQδQ=0 式(23.26)は,こ

の 式 に Λ の 転 置 を左 か ら 掛 け た も の と 説 明 す る こ と も で き る 。

  シ ン プ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束 条 件 は,始 表 さ れ る 。 そ し て,そ る 。 そ こ で,こ

め か ら,式(23.24)の

よ う な形 に

れ を 積 分 した位 置 レベ ル の 拘 束 表 現 を持 た な い もの で あ

の 式(23.24)が

シ ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束 を既 に 含 ん で い

る も の と す る 。 Φ の 数 は Ψ の 数 よ り多 く な っ て い る 。 そ の よ う な 場 合 で も,拘 力 が Φ〓Λ の 形 に 表 さ れ,変

分 δQと 直 交 す る 。 す な わ ち 式(23.26)は,シ

ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な 場 合 に も 成 立 す る 。 変 分 の 拘 束 も,式(23.27)の

束 ンプ

形 で成 立

す る 。 こ の よ う に シ ン プ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束 ま で 適 用 性 を 拡 大 し て,式 (23.26)を

式(23.10)の

右 辺 に 加 え る 。 ゼ ロ を 加 え た だ け で あ る か ら,左

辺 は δL

の ま ま で あ る。

(23.28) 以 下,ホ

ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束 の 場 合 と 同 じ よ う に 進 め る と,式(23.25)と

到 達 す る 。 す な わ ち,式(23.25)は

同 じ形 に

シ ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ッ ク な拘 束 も含 む 速 度

レベ ル の 拘 束 を 考 慮 し た ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 で あ る 。   式(23.25)の だ け あ る が,Φ

未 知 数 は,Ｑ

と Λ で,式

の 数 よ り多 い 。 Λ は 式(23.24)の

Φ の数

に は ホ ロ ノ ミ ック な もの と シ ン プ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な もの が

混 在 し て い る 。 ホ ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束 に つ い て は 式(23.15)の ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束 に つ い て は 式(23.24)の

す べ て,シ

ンプルノ

中 の 該 当 す る も の が 必 要 で,そ

れ

ら を連 立 させ て 解 くこ とに な る。

23.3 

事 例:舵

付 き帆 掛 け舟

  シ ン プ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束 を 持 つ 舵 付 き 帆 掛 け 舟(13.3節,13.6節 照)の

運 動 方 程 式 を,ラ

ま ず,運

グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式(23.25)を

参

用 い て 求 め て み よ う。

動 補 エ ネ ル ギ ー は次 の よ う に書 け る。

(23.29) 従 属 な もの を含 ん だ 一 般 化 座 標 を Ｑ と書 くと,運 動 方 程 式 は 次 の よ うに 書 け る。

(23.30) Φ は 舵 の 拘 束 で あ り,F'OAとnAは

重 心 に 等 価 換 算 さ れ た 作 用 力,作

用 トル ク と

す る。   こ こ で,Ｑ

をROAと

θOAと す る 。ROAは

舟 が 浮 か ん で い る湖 に 固 定 し た座 標

系 Ｏ か ら 見 た 舟 の 重 心 Ａ の 位 置 で あ り,θOAは

舟 に 固 定 した 座 標 系 Ａ の 座 標 系

Ｏ に 対 す る 回 転 角 で あ る 。 こ れ ら の 時 間 微 分 Ｑ はVOAと (23.30)の

Ｑ と Ｑ をRoA,VOAと

し て,次

ωOAで

あ る 。 ま ず,式

の式 が得 られ る。

(23.31) 次 に,Ｑ

と Ｑ を θOA,ωOAと

す る 。

(23.32) 舵 の 拘 束 は 次 の よ う に 書 け る(13.6節)。

(23.33) し た が っ て, (23.34)(注)

(23.35) ま た,速

度VOAは

ダ ッ シ ュ の 付 くV'OAに

(注)こ の式 の 左 辺 は Φ をVOAで

変 え て お く。

偏 微 分 した もの で あ る。 添 え 字が 細 文 字 に な って い て 偏 微 分

結 果 もス カ ラー に な る と誤解 が生 じそ うだが,行 行 列 で あ る。13章 の式(13.8)の 脚 注 参 照。

(23.36) (23.37) こ れ ら に よ っ て,式(23.31),(23.32)は

次 の よ うに な る。

(23.38) (23.39) 以 上 で,未 定 乗 数 を含 ん だ形 の 運 動 方 程 式 が 求 ま っ た 。   こ れ ら か ら Λ を 消 去 す れ ば よ い 。 ま ず,式(23.38)に

〓 を 左 か ら掛 け る と,

こ の 式 か ら 孟 を消 去 で き る。

(23.40) ま た,〓

を左 か ら掛 け る と,Λ を取 り出 す こ とが で きる。

(23.41) こ れ ら 二 式 に,式(23.33)を

用 い て,次

の よ う にV'OAYを

消 去 す る。

(23.42) (23.43) こ の Λ を 式(23.39)に

代入す る。

(23.44) 結 局,式(23.42)と(23.44)が,五

を 消 去 し,独

表 さ れ た 運 動 方 程 式 で あ る 。 こ れ ら は,16.4節 (16.28)と

同 じで あ る。

立 な 一 般 化 座 標 のV'OAXと

ωOAで

で 求 ま っ た 運 動 方 程 式(16.27),

ハ ミル トンの正準運動方程 式

第24章

  ラ グ ラ ンジ ュ の 運 動 方 程 式 は 一 般 化 座 標 の 取 り方 に よ らず 同 じ形 に な る。 ま た,ラ

グ ラ ン ジ ア ン は運 動 補 エ ネ ル ギ ー か らポ テ ン シ ャ ル 関 数 を 引 い た形 で作 ら

れ る が,こ

の ラ グ ラ ン ジ ア ン以 外 に も,同

じ運 動 方程 式 を生 み 出 す 別 の ラ グ ラ ン

ジ ア ンが 存 在 す る。 この よ うな 興 味 深 い 性 質 は,ハ に 出 て くる ハ ミル トニ ア ン の場 合 に,さ 今 後,い

ミ ル トンの正 準 方 程 式 や そ こ

らに,顕 著 で あ る。 この よ う な性 質 が ,

か に機 械 工 学 に浸 透 して ゆ くか は 明 確 で は な い が,物 理 学 の 世 界 で発 展

して きた 成 果 を知 る だ け で も楽 しい こ とで あ る。 最 近 は,マ

ルチボデ ィダイナ ミ

ク ス の 研 究 に もハ ミル トンの 正 準 方 程 式 を利 用 した もの が登 場 して い る。 また, 新 しい非 線 系 制 御 の 方法 へ の 発 展 に も大 きな 楽 しみ が あ る 。 本 章 の説 明 に はマ ル チ ボ デ ィダ イナ ミク ス を 思 わ せ る もの は含 ま れ て い な い が,新

しい もの を創 出 す

る た め の素 材 の 一 つ と考 えて よ い 。

24.1 

ハ ミル トン の 正 準 方 程 式

ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式 と ラ グ ラ ン ジ ア ン は,22.1節

に 与 え られ た 。

【22.19】

L=T*-U

【22.20】

ラ グ ラ ン ジ ア ンは 一 般化 座 標 Ｑ,そ の 時 間微 分 Ｑ,時 間 ｔの 関 数 で あ る 。

L=L(Q,Q,t) 式(22.20)の

【22.23】

ラ グ ラ ンジ ア ン を 質 点 の 速 度 ｖで 偏 微 分 す る と,ポ テ ン シ ャル 関 数

は 速 度 レベ ル の 変 数 を含 ん で い な い の で,運

動 補 エ ネ ル ギ ー Ｔ*を ｖで 偏 微 分 す

る こ と に な り,質 点 の 運 動 量 ｐ が 求 ま る。 これ に 対 し,ラ 化 速 度 Ｑ で偏 微 分 した もの が 一 般 化 運 動 量 Ⅱ で あ る。

グラ ンジア ンを一般

(24.1) 一 般 化 運 動 量:に は斜 体 の Ⅱ を用 い て 別 して い る。 一 般 化 運 動 量 は,Ｑ

,14.3節

に出て きた剛体 の角運 動 Ⅱ と区

の 要 素 の 数 だ け 求 ま り,そ れ を縦 に 並 べ た 列

行 列 が Ⅱ で あ る。 ポ テ ン シ ャ ル 関 数 が ｖ,あ る い は Ｑ に依 存 しな い 場 合,こ の Ⅱ は,運

動 補 エ ネ ル ギ ー Ｔ*の 一 般 化 速 度 Ｑ に よ る偏 微 分 で も あ り,さ ら に,

次 の よ うに 書け る 。

(24.2) た だ し,式(24.1)の

一 般 化 運 動 量 の 定 義 は,式(22.20)の

さ れ て は い な い 。22.4節 り,そ

に 説 明 が あ る が,式(22.20)以

の と き は こ の 式(24.2)が

  さ て,式(24.1)で

ラ グ ラ ン ジ ア ンに 限 定 外 の ラ グ ラ ンジ ア ンが あ

成 立 す る と は 限 ら な い。

定 義 さ れ た Ⅱ は,Q,Q,tの

関 数 で あ る。

(24.3)

Ⅱ=Ⅱ(Q,Q,t) こ こ で,式(22.23)で れ ば,式(24.3)を

表 さ れ たLの

Ｑ に 関 す る ヘ シ ア ン行 列 が ゼ ロ で な い と す

Ｑ につ い て解 くこ とが で きる 。

(24.4)

Q=Q(Q,Ⅱ,t) こ の 式 を 式(22.23)に

代 入 す れ ば,ラ

グ ラ ン ジ ア ン をQ,Ⅱ,tの

関 数 とす る こ と

が で きる。

(24.5)

L=L(Q,Q(Q,Ⅱ,t),t) た だ し,一

旦 こ の よ う に 表 し て し ま う と,こ

の Ｌ か ら Ｑ と Ⅱ の 関 係 を,直

接,

求 め る こ とは で きな くな る。   式(24.1)を

用 い る と,式(22.23)の

微 分 を次 の よ う に書 くこ とが で き る。

(24.6) こ こ で,次

の よ うな 新 しい ス カ ラー 関 数 を考 え る。

(24.7)

H=ⅡTQ-L こ の 斜 体 文 字 を 用 い た Ｈ は,一

般 化 速 度 Ｈ と は ま っ た く別 の 量 で あ る 。 新 しい

ス カ ラ ー 関 数 Ｈ は,式(24.3)を

用 い れ ば,Q,Q,tの

用 い れ ば,Q,Ⅱ,tの

関 数 で あ る 。 そ こ で,こ

関 数 に な り,式(24.4)を

の 式 の微 分 を作 っ て み る。

(24.8) こ の 式 に 式(24.6)を

代 入 す る と次 の よ う に な る。

(24.9) こ れ は,Ｈ

をQ,Ⅱ,tの

関 数 と見 な す の が 自 然 で あ る こ と を 示 して い る 。

(24.10)

H=H(Q,Ⅱ,t) 式(24.7)は,式(24.4)を

代 入 して,次

の よ う に 表 し て お く。

(24.11) ま た,式(24.9)か

ら,Ｑ

が,Ｈ

を Ⅱ で 偏 微 分 す る こ と に よ っ て 求 ま る こ と も分

か る。

(24.12) さ ら に,Ｈ

のQ,tに

よ る 偏 微 分 と,Ｌ

のQ,tに

よ る 偏 微 分 と の 関 係 も得 ら れ

る。

(24.13) (24.14)   Q,Q,tを (24.1)の

変 数 と す る ス カ ラ ー 関 数 Ｌ が 式(22.23)の 偏 微 分 に よ っ て 新 し い 変 数 Ⅱ がQ,Q,tの

式(24.7)の

変 換 は,Q,Ⅱ, 

を 作 り 出 し,式(24.12)の

関 数 と し て 得 ら れ た と き,

tを 変 数 と す る 新 し い ス カ ラ ー 関 数 Ｈ(式(24.10)) 偏 微 分 に よ っ て 古 い 変 数 Ｑ がQ,Ⅱ,tの

得 ら れ る こ と に な る 。 こ の 変 換 は ル ジ ャ ン ドル 変 換 で,Ｈ っ た く 同 様 な,可 能 動(active)変 (passive)変

よ う に 与 え ら れ,式

関 数 と して

か ら Ｌへ の 変 換 も ま

逆 的 な 変 換 で あ る 。 Ｑ や Ⅱ は 変 換 の 対 象 と な っ て い る 変 数 で, 数 と 呼 ば れ る 。 Ｑ や ｔは 変 換 の 対 象 に は な っ て い な い 受 動

数 で あ る。

  ス カ ラ ー 関 数 Ⅱ は ハ ミ ル トニ ア ン と 呼 ば れ る 。 ラ グ ラ ン ジ ア ン を,Ｑ 共 役 変 数 Ⅱ を 能 動 変 数 と し て ル ジ ャ ン ドル 変 換 し た も の が,ハ い う こ と に な る 。 式(22.20)の

ラ グ ラ ン ジ ア ン の 場 合,式(24.2)に

お よ び,14.6項

用 い る と,質

の 式(14.60)を

とそ の

ミ ル トニ ア ン と 示 さ れ た 関 係,

点 系 の 速 度 ｖ と 運 動 量 ｐ を用 い て ハ

ミ ル トニ ア ン は 次 の よ う に 書 け る 。

(24.15) 時 間 依 存 拘 束 な ど に 現 れ る 項VQを

含 ま な い 場 合,ハ

ミル トニ ア ンは 運 動 エ ネ ル

ギ ー と ポ テ ン シ ャ ル 関 数 の 和 に な る 。 Ｕ に 時 間 依 存 性 が な け れ ば,こ

れ は全 エ

ネルギーで ある。   ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式(22.19)に,式(24.1)と(24.13)を

代 入 す る と,次

の

式 が 得 られ る 。

(24.16) こ の 式 と 式(24.12)を

ま と め る と,運 動 方 程 式 の 新 しい 表 現 形 式 に な っ て い る。

こ れ を ハ ミル トン の 正 準 運 動 方 程 式 と呼 ぶ 。 ま た,Ⅱ

と Ｑ を正準 変数 と呼ぶ。

ハ ミル トンの 正 準 運 動 方 程 式 は,正 準 変 数 に 関 す る一 階 の 微 分 方 程 式 で あ る 。 変 数 の 数 が 増 え た こ と に よ り時 間 微 分 を含 ま な い変 数変 換 の 可 能 性 が 増 大 した 。 さ らに,正 準 変 数 Ⅱ と Ｑ の 間 の 対 称 性 が 変 数 変 換 の見 通 しを よい もの に し,解 の 安 定性 も高 め る効 果 が 期 待 で き る。

24.2 

修 正 さ れ た ハ ミ ル トン の 原 理

ハ ミ ル ト ン の 原 理 は,23.1節

に与 え られ て い る。 【23.6】

式(23.13)を

代 入 し て,こ

の 原 理 を 次 の よ う に書 い て も よ い 。

(24.17) ハ ミル トニ ア ン Ⅱ が,一

般 化 速 度 Ｑ と一 般 化 運 動 量 Ⅱ と時 間 ｔの 関 数 と して 与

え られ て い る とす る。 式(24.7)か

らラ グ ラ ン ジ ア ン Ｌ は次 の よ う に与 え られ る。

(24.18)

L=ⅡTQ-H Ｈ をQ,Ⅱ,tの

関 数 の ま ま,こ

の 式 を,式(24.17)に

代 入 す る。

(24.19)

こ の式 は 次 の よ う に変 形 で き る。

(24.20) さ らに,ⅡTδQの

項 に部 分 積 分 の 公 式 を 適用 す る と次 の よ う に な る。

(24.21) こ こで,積

分 時 間 の 両 端 で δQが ゼ ロ に な る こ と を利 用 す る と と もに,Q,Ⅱ

独 立 な 変 数 と見 な して,積

を

分 時 間 の 内 部 で δQと δⅡ を 任 意 に 取 る 。 そ の結 果,

正 準 方 程 式(24,12)と(24.16)が

導 か れ る。 【24.12】

【24.16】

  Q,Ⅱ

を独 立 な 変 数 と見 な して,式(24.19)は,修

と呼 ば れ る 。 こ れ は,ハ

正 さ れ た ハ ミル トン の 原 理

ミル トニ ア ンか ら,正 準 方 程 式 を作 り出 す た め の もの で

あ る。

24.3  事例:時 間の関数 として支点を動かす剛体振子   時 間 の 関 数 と して 支 点 を動 か す 剛体 振 子 は22.3節

で も扱 っ た が,同

じモ デ ル

を正 準 方 程 式 で 表 す こ と を考 え る。 この モ デ ル の 運 動 補 エ ネ ルギ ー は 次 の とお り である。 【22.28】

こ の モ デ ル は 自 由 度 １で,独 役 な 運 動 量 を π と す る と,そ

立 な 一 般 化 座 標 は θOAで あ る 。 し た が っ て,正 れ は Ｔ*を,θOAの

時 間 微 分,ωOAで

準 共

偏 微分 した も

の で あ る。

(24.22)

VOAも,22.3節

に与 え られ て い る。 【22.30】

こ れ を 用 い る と π は,次

の よ う に な る。

(24.23) し た が っ て,θOA(=ωOA)を

π と ｔの 関 数 と す る と,そ

れ は 次 の とお りで あ る。

(24.24) 運 動 補 エ ネ ル ギ ー Ｔ*を ラ グ ラ ン ジ ア ン Ｌ と し,ハ

ミ ル トニ ア ン Ⅱ を作 る と次

の ようになる。

(24.25) 式(24.16)を

利 用 す る と次 の 式 が 得 られ る。

(24.26) こ の 式 と式(24.24)が 正 準 運 動 方 程 式 で あ る 。 こ の式 の 一 般 化 力 は次 の よ うに 書 け る。

(24.27) こ れ を代 入 す る と次 の よ うに な る。

(24.28)   式(24.24),(24.28)が,時 で あ るが,こ

間 の 関 数 と して 支 点 を動 か す 剛 体 振 子 の 運 動 方 程 式

れ らか ら π を消 去 す れ ば,式(22.37)な

ど と 同 じ もの で あ る こ とが

確 認 で き る。 しか し,こ の 事 例 で わ か る よ う に,単 純 に正 準 運 動 方 程 式 の 形 にす る だ け で は,か

え っ て 面 倒 な こ とに な る だ け で あ る。 正 準 運 動 方 程 式 の 長 所 を生

か す た め に,こ

の運 動 方程 式 の 先 に あ る考 え 方 を学 び,ま た,機 械 工 学 へ の 適 用

方 法 を調 べ て,新

た な工 夫 が 必 要 で あ る。

24.4ハ

ミ ル トニ ア ン の 任 意 性

  こ れ ま で,運 ン と し,そ

動 補 エ ネ ル ギ ー か ら ポ テ ン シ ャル 関 数 を差 し引 い て ラ グ ラ ンジ ア

の ル ジ ャ ン ド ル 変 換 と して ハ ミ ル トニ ア ン を 作 っ て き た 。 す で に,ラ

グ ラ ン ジ ア ン の 任 意 性 に つ い て は触 れ た が,当

然,同

ミ ル トニ ア ン も 一 つ で は な い は ず で あ る 。 実 際,次 (24.12)と(24.16)の

じ運 動 方 程 式 を 生 み 出 す ハ の ハ ミ ル トニ ア ン Ｈ ′は,式

正 準 運 動 方 程 式 を作 り出 す 。

(24.29) こ の Ｈ ′を修 正 され たハ ミル トンの 原 理 に代 入 した場 合,こ

の Ｗ ′の 項 の 影 響 は,

次 の積 分 を調 べ る こ とで 明 らか に な る。

(24.30) 22.2節

の ラ グ ラ ン ジ ア ンの 任 意 性 を示 した と こ ろ で は 丁 寧 な 説 明 を 行 っ た が,

一般 的 に

,時 間微 分 と変 分 の 操 作 は 交 換 で き る の で,こ

この 積 分 は,結 局,次

こ で は,そ

れを用 いた。

の ようになる。

(24.31) 積 分 時 間 の両 端 で δQは ゼ ロ とい う 条 件 で,右 辺 第 一 項 は ゼ ロ に な る。 こ こ で, 新 た に,積 分 時 間 の 両 端 で δⅡ もゼ ロ に な る と条 件 を 設 け る こ とに す る。 こ うす る こ と に よ り,式(24.29)の

Ｗ'の 項 は,正 準 運 動 方 程 式 に影 響 を し な い こ と に

な る。 こ の 新 た な 条 件 は,Ｑ

と Ⅱ の独 立 性 と共 役 性 を きれ い に整 え る だ け で は

な く,ハ ミル トニ ア ン の任 意 性 を広 げ る働 きを して い る。

24.5正  22.4節

準変 換 で,変 数 変 換 に よ る ラ グ ラ ン ジ ュの 運 動 方 程 式 の 形 の 不 変 性 が 示 され

た 。 そ の変 数 変 換 は一 般 化 座 標 の変 換 で あ っ た。 Q=Q(Q′,t)

【22.45】

ま た,こ の 変 換 に よ っ て ラ グ ラ ン ジ ア ンの 関 数 形 は 変 化 す る が,関 数 の 値 は変 化 し な い。 【22.49】

こ の 変 換 は 本 章 で 説 明 す る正 準 変換 に含 ま れ る もの で ,点 変 換 と呼 ば れ て い る。   正 準 変 換 は,ハ

ミル トンの正 準 運 動 方 程 式 の 形 が 変 化 しな い 変 数 変 換 の こ とで

あ る 。 ハ ミ ル トンの 正 準 運 動 方 程 式 で は,一 般 化 座 標 Ｑ と一 般 化 運 動 量 Ⅱ が独 立 な 変 数 と して 使 わ れ て い て,変 数 の 変 換 は 次 の よ う な形 が 考 え られ る。

(24.32) (24.33) この 変 換 で ハ ミ ル トニ ア ン は Ｈ ′に な る とす る。 こ の 変 換 は ,一 般 化 座 標 Ｑ と一 般 化 運 動 量 Ⅱ を ひ と ま と め に した 広 い 範 囲 の 変 換 を考 え て い る こ と に な る が , こ の 形 の 変 換 が 正 準 変 換 に な る た め に は,修 正 され た ハ ミル トン の 原 理 に お い て,変 分 を 積 分 した もの が等 し く保 た れ る必 要 が あ る 。 そ の た め に は,次 の 関 係 が 成 り立 て ば よ い。

(24.34) こ の 式 を 満 た す Ｑ と Ⅱ の 変 換 が 正 準 変 換 で あ る 。 た だ し ,Ｗ"の Q's， ⅡSは,Ｑ,Ⅱ,Ｑ 32),(24.33)の 変 数 は,こ

変 数Qs,Ⅱs,

′,Ⅱ ′の 中 か ら適 当 に 選 択 し た も の で あ る 。 ま た,式(24.

変 換 を 考 え て い る の で あ る か ら,Ｑ,Ⅱ,Ｑ

′,Ⅱ ′の 中 で 独 立 な

の 中 の 半 分 だ け で あ る。

  式(24.34)の

Ｗ"は,修

正 さ れ た ハ ミル トンの 原 理 にお け るハ ミ ル トニ ア ン の

任 意 性 に基 づ く もの で あ る が,変 数 の 選 択 の 仕 方 で正 準 変 換 の 内 容 を決 め る働 き を す る の で,母

関数 と呼 ば れ る 。 た と え ば,Ｗ"を

次 の よ う に して み る。

(24.35) こ の Ｗ"に

よ り,式(24.34)は

次 の よ う に な る。

(24.36) Ｑ,Ⅱ ′の 係 数 と残 りの 項 を そ れ ぞ れ 比 較 して,次 の 変 換 が 得 られ る 。 Ⅱ ′=Ⅱ

(24.37)

Q'=Q

(24.38) (24.39)

す な わ ち,式(24.35)を 今 度 は,Ｗ"を

母 関 数 とす る こ の 変 換 は恒 等 変 換 で あ る 。

次 の よ うに して み る。

W"=QTQ' 式(24.34)は

(24.40)

次 の よ う に な る。

(24.41) Q,Q'の

係 数 と残 りの 項 をそ れ ぞ れ比 較 して,次 の 変 換 が 得 られ る。 Q'=Ⅱ

(24.42)

Ⅱ ′=-Q

(24.43) (24.44)

新 しい 変 数 の 一 般 化 座 標 は古 い変 数 の 一 般 化 運 動 量 に 等 し く,新 しい 変 数 の 一 般 化 運 動 量 は古 い 変 数 の 一 般 化 座 標 の 符 号 を 反転 し た もの に 等 しい。 変換 自体 は簡 単 で あ る が,点 変 換 に は含 ま れ な い 変 換 で あ る 。 も う 一 つ,ε

を 無 限 小 の パ ラ メ ー タ と し,次

の 母 関 数 を考 え る 。

(24.45) 式(24.34)は

次 の ようになる。

(24.46) まず,Ｑ

の 係 数 を比 較 す る。

(24.47) Ⅱ と Ⅱ ′の 差 は 一 次 の 無 限 小 で あ る 。 式(24.46)右

辺 の 最 後 の 括 弧 内 のGⅡ Ⅱ は

GⅡⅡ ′と考 え て も,差 異 は二 次 以 上 の 無 限小 で あ る 。 した が っ て,一

次 の 無 限小

ま で を考 え て い る の で,次 の よう に して 差 し支 え な い 。

(24.48) ハ ミ ル トニ ア ン の 値 に 差 異 は な い 。

(24.49) 式(24.47),(24.48)の

変 換 で,新

しい 変 数 と古 い 変 数 の差 異 は一 次 の 無 限 小 で あ

り,無 限 小 変 換 と呼 ば れ る。 そ の 具体 的 内容 は 関 数G(Q,Ⅱ)に 以 上 は 基 礎 的 な事 例 で あ る。 さて,式(24.34)の

よ っ て定 ま る。

Ｗ"に は,変 数 の 選 択 の 仕 方

に 四 つ の 基 本 的 なパ ター ンが あ るの で,以 下 に そ れ を示 す 。

① 式(24.32)は

の 場 合: 次 の よ うに な る。

(24.50) この 式 が 恒 等 式 に な る た め に は 次 の 関 係 が 必 要 に な る。

(24.51) (24.52) (24.53) 式(24.51),(24.52)か た,式(24.53)か

ら,式(24.32),(24.33)の ら,新

し い ハ ミ ル トニ ア ン が 定 ま る 。 ② ∼ ④ で も 同 様 に 考 え る 。

② 式(24.32)は

変 換 を定 め る こ とが で き る。 ま

の 場 合: 次 の よ うに な る。

(24.54) この 式 が 恒 等 式 に な る た め に は 次 の 関係 が 必 要 に な る。

(24.55) (24.56) (24.57) ,の 場 合:

③ 式(24.32)は

次 の よ うに な る。

(24.58) こ の式 が 恒 等 式 に な る ため に は 次 の 関 係 が 必 要 に な る。

(24.59) (24.60) (24.61)

④

の 場 合:

式(24.32)は

次 の よ う に な る。

(24.62) この 式 が恒 等 式 に な る た め に は 次 の 関係 が 必 要 に な る。

(24.63) (24.64) (24.65) 以上 ① ∼④ の

も母

関数 と呼 ば れ る。 これ らの 具 体 的 な形 で,変 換 の 内容 や 新 しいハ ミル トニ ア ンが 決 ま っ て く る。 な お,こ

こ に示 した形 は基 本 パ タ ー ンで あ り,こ れ らの混 合 に な

っ て い る正 準 変 換 もあ る。 正 準 変 換 は,点 変 換 に較 べ,は に,時

る か に広 い 変 換 の可 能 性 を提 供 して い る 。 さ ら

間 ｔを Ｑ や Ⅱ と同 じ独 立 な 変 数 と して 扱 う よ う な考 え方 もあ る 。 そ して,

こ の 理 論 は,さ

らに,ハ

ミル トン-ヤ コ ビの 理 論 な どへ と発 展 して ゆ く。

24.6事

例:１

自 由 度 バ ネ-マ

ス系

線 形 な １自 由度 バ ネ-マ ス 系 の 運 動 方 程 式 は 次 の よ う に書 け る 。

(24.66)

mx+kx=0 こ こ で は,ｍ

は 質 量,ｋ

は バ ネ 定 数,ｘ

は 変 位 を 表 す ス カ ラー で あ る。 こ の 系 の

ラ グ ラ ン ジ ア ン Ｌ は 次 の よ うに 書 け る。

(24.67) こ の系 の 一 般 化 座 標 Ｑ は ｘで,一

般 化 運 動 量 Ⅱ は次 の よ うに 求 ま る。

(24.68) ハ ミ ル ト ニ ア ン Ｈ は,次

の よ う に求 ま る 。

(24.69) 正 準 運 動 方 程 式 は,次

の ようになる。

(24.70) (24.71) こ こ で,式(24.34)の

Ｗ"を 次 の よ う に し て,正

準 変 換 を 考 え る。

(24.72) この 式 の 時 間 微 分 は 次 の よ う に な る。

(24.73) 式(24,34)か

ら,次

の 三 式 を得 る。

(24.74) (24.75) (24.76)

最 初 の 二式 を整 理 す る と,次 の よ う な正 準 変 換 が 得 られ る 。

(24.77) (24.78) こ れ ら を 式(24.69)に

代 入 す る と,変

換 後 の ハ ミ ル トニ ア ンH′(Q' ,Ⅱ'，t)が 得 ら

れ る。

(24.79) 正 準 運 動 方 程 式 は,次

の よ う に な る。

(24.80) (24.81) 新 しい 変 数 の 場 合 は簡 単 に積 分 で き て,次 の よ う に な る。

(24.82) (24.83)

Ⅱ′=C2

c1,C2は

積 分 定 数 で あ る 。 式(24.79)の

い 。 す な わ ち,Ｑ'は

循 環 座 標 で あ り,共

ハ ミ ル ト ニ ア ン に は Ｑ′が 含 ま れ て い な 役 の Ⅱ ′は,式(24

.83)の

よ うに定数 で

あ る。   Ｑ'と Ⅱ ′が 求 ま っ た の で,式(24.77)と(24.78)を

用 い て 元 の 変 数 に戻 す こ とが

で きる 。

(24.84)

(24.85) これ は確 か に １自 由 度 バ ネ-マ ス 系(24.66)の

運 動 で あ る 。 式(24.77),(24

の 変 換 は ポ ア ン カ レ変 換 と呼 ば れ る。 そ して,こ

.78)

の よ うな 便 利 な変 換 を見 つ け る

手段 が ハ ミル トン-ヤ コ ビの 方 法 で あ る が,そ の 方 法 に つ い て は他 の 文 献 を 参 照 され た い 。

付録 Ａ

座標軸 を表 す幾何 ベ ク トル と その応用

  運 動 力 学 の 基 本 的 な 量 を認 識 し,理 解 す る た め に,幾 何 ベ ク トル表 現 は便 利 で 重 要 な手 段 で あ る。 一 方,計 算 機 を利 用 した 数 値 計 算 に は,代 数 ベ ク トル 表 現 が 必 要 で あ る 。 こ の 付 録 で は 両 者 の 橋 渡 し をす る 数 学 的 手 段 とそ の応 用 を説 明 す る。 こ の 数 学 的 手 段 に は,座 標 系 の座 標 軸 を 表 す 基 底 幾 何 ベ ク トル を用 い る。 本 書 で は こ れ を3×1列

行 列 に並 べ て 基 底 列 行 列 に ま とめ,コ

ンパ ク トな 道 具 に し

た。 これ は 幾 何 ベ ク トル と代 数 ベ ク トル の 橋 渡 し以 外 に,関 係 式 の 導 出 な ど に も 用 い られ る 。 こ こ に 説 明 す る 内容 は,本 文 の 感 覚 的 な説 明 や 結 果 だ け の解 説 を数 学 的 に裏 打 ち す る もの で あ り,明 確 な理 解 を得 る た め に,こ の付 録 は 重 要 で あ る 。

A1座 A1.1座

標軸を表す幾何ベク トル 標 系 の基 底 列 行 列

  座 標 系 Ｏ のX,Y,Z軸

を 表 す 単 位 長 さ の 幾 何 ベ ク トル

幾 何 ベ ク トル と呼 び,次 の よ うに3×1列

行 列 に ま とめ て,eoと

を基 底 す る(3.3節)。

(A1.1)

eoを,基

底 列 行 列 と呼 ぶ こ とに す るが,こ れ は,概 念 的 に は 座 標 系 ０ そ の もの で

あ る。eoの 添 え 字 を変 え てeAと す れ ば,座 標 系 Ａ で あ る 。 こ れ ら を,座 標 変 換 行 列 の定 義 や 幾 何 ベ ク トル と代 数 ベ ク トル の 変 換,関 係 式 の 導 出 な ど に利 用 す る。 ｅは,座 標 系 の 基 底 幾 何 ベ ク トル とそ の 列 行 列 を表 す た め の 専 用 の記 号 とす る。 こ の基 底 列 行 列 に も外 積 オペ レー タ ー を作 用 させ る こ とが で きる 。

(A1.2) 基 底 列 行 列 は,様

々 な 関 係 を簡 潔 に表 現 す るた め に便 利 で あ るが,そ

の演算操作

に あ た っ て は 幾 何 ベ ク トル の 演 算 操作 規 則 と行 列 の演 算 操 作 規 則 の 両 方 を満 た す 必要 が ある。

A1.2幾

何 ベ ク トル表 現 と代 数 ベ ク トル 表 現 の変 換

  基 底 列 行 列 を用 い て,幾 何 ベ ク トル か ら代 数 ベ ク トル を作 る 操 作 は次 の よ う に 表 現 で き る。

(A1.3) (A1.4) (A1.5) (A1.6) (A1.7) (A1.8) (A1.9) (A1.10) (A1.11) 代 数 ベ ク トル に は 二 つ の添 え 字 を並 べ て い るが,そ

の 中 の左 側 の 添 え字 に 関 係 す

る 座 標 系 が 用 い られ て い る場 合 は ダ ッ シュ を付 け ず,右 側 の 添 え字 に 関係 す る座 標 系 が 用 い ら れ て い る場 合 は,ダ

ッ シ ュ を付 け る こ と に し て い る 。 した が っ て,

点 Ｐ が 剛 体 Ａ 上 の 点 で,剛 体 Ａ に座 標 系 Ａ が 固定 され て い れ ば,次 の よ う な 代 数 ベ ク トル も考 え られ る。

(A1.12) (A1.13) (A1.14) 式(A1.9),(A1.11),(A1.14)を

見 る と,F′OA,N′OA,f′Opの

味 な こ と が 分 か る 。 こ れ ら は,「 座 標 系 ０ で は な く,座

左 側 の 添 え 字 は無 意

標 系 Ａ で 表 され た …」 と

読 め ば よ く,ま た,０

以 外 の 記 号 を用 い て も よ い 。 た だ し,慣 性 座 標 系 ０ が 用

い られ る か,剛 体 座 標 系 が 用 い られ る か の どち らか とい う考 え 方 が,実 用 上,重 要で ある。 代 数 ベ ク トル か ら幾 何 ベ ク トル を復 元 す る操 作 は,角 速 度 を例 に とっ て,次 の よ う に 書 くこ とが で きる 。

(A1.15) 式(A1.3)∼(A1.14)の ッ ト)を

右 辺 は 幾 何 ベ ク トル の 内 積 で あ る か ら,積

用 い て い る 。 一 方,式(A1.15)に

の 記 号 に ・(ド

出 て く る 積 は 幾 何 ベ ク トル と 実 数 の 積

で あ り,記

号 の な い 積 に な っ て い る 。 本 書 で は,・(ド

積,×(ク

ロ ス)は

ッ ト)は

幾 何 ベ ク トル の 外 積 の み に 用 い,幾

幾 何 ベ ク トル の 内

何 ベ ク トル と 実 数 ， 実 数

と実 数 の 積 に は積 の 記 号 を用 い な い も の と して い る。

  Ω′OAは三 つ の成 分 を 持 っ た3×1列 す た め に,次

の よ う な3×1列

行 列 で あ る 。 この 行 列 か ら各 成 分 を取 り出

行 列が便利 である。

(A1.16)

(A1.17)

(A1.18)

た と え ば,Ｘ 成 分 を取 り出 す 操 作 は 次 の よ う に書 け る。

(A1.19) Ｙ 成 分,Ｚ 成 分 も同 様 で あ る 。 逆 に,成 分 か ら代 数 ベ ク トル を構 成 す る場 合 に も 利 用 で き る。

(A1.20) な お,幾 何 ベ ク トル と代 数 ベ ク トル の考 え方 を 混 同 し,時 折,eoxとDXを

同一

視 す る 誤 りが 見 受 け られ る の で,注 意 を喚 起 して お く。 この よ うな 誤 りに気 づ く た め に,た

とえ ば,次 の 式 を確 認 す る こ とが役 立 つ か も しれ な い 。

(A1.21) (A1.22) (A1.23)

A1.3 

座 標 変 換 行 列 の定 義

基 底 列 行 列 を 用 い て 座 標 変換 行 列 の定 義 は 次 の よ う に書 け る 。

(A1.24) eA,eBの

要 素 は 幾 何 ベ ク トル で あ る か ら,こ の 式 の右 辺 は幾 何 ベ ク トル の 内 積

で あ り,・(ド ッ ト)が 用 い られ て い る。   座 標 変 換 行 列 の 定 義 と して,次 の 表 現 が 便 利 な場 合 もあ る。

(A1.25)

eA=CABeB (A1.25)か

ら(A1.24)を

導 く こ と は 容 易 で あ る 。 し か し,逆

知 識 が 必 要 で あ り,簡 が,(A1.25)を

単 で は な い 。(A1.24)の

は,テ

ン ソル な ど の

ほ うが 定 義 に 似 つ か わ し い 形 だ

基 礎 に置 くほ うが よ さ そ うで あ る。

A1.4  座 標 系 基 底 列 行 列 の 性質 基 底 列 行 列eAに

は次 の よ う な性 質 が あ る。

(A1.26) (A1.27) 式(A1.26)は,3.3節

の 式(3.5)と

同 じ で あ る 。 式(A1.27)は

式(3.6)と(A1.2)か

ら得 られ る。   次 に,(A1.25)と(A1.27)を

用 い る次 の 関係 が 得 られ る。

(A1.28) こ の 式 を用 い る と,式(6.17)を

A1.5 

導 くこ とが で きる 。

幾何 ベ ク トル 表現 と代 数 ベ ク トル表 現 の変 換 事 例

幾 何 ベ ク トル 表 現 と代 数 ベ ク トル表 現 の 変 換 事 例 と して,8.1節

の 式(8.1)と

(8.2)の 変 換 を 考 え て み る 。 【8.1】 【8.2】 ま ず,式(8.1)か

ら(8.2)を

作 る に は,式(8.1)の

左 か らeA・(注 ）を 掛 け る 。

(A1.29) 右 辺 第 二 項 のeAに

は,式(A1.25)を

代入す る。

(A1.30) こ の 式 の 各 項 は 直 ち に,式(8.2)の   式(8.2)か

ら(8.1)を

対 応 す る項 に な る。

作 る に は,式(8.2)の

左 か ら 〓 を掛 け る 。

(A1.31) こ こ で も 式(A1.25)を

代 入 す る と,右

辺第二項 は次の ようになる。

(A1.32) こ の 式 か ら 直 ち に 式(8.1)が

得 られ る。

A2  座標軸を表 す幾何ベ ク トルの時間微分 A2.1  基 底 列 行 列 の時 間 微 分   剛 体 Ｂ に 固 定 さ れ た 幾 何 ベ ク トル ｂ を 剛 体 Ａ か ら観 察 し た 時 間 微 分 に つ い て,第

９章 に 次 の 基 本 的 な式 が 示 され て い る 。 【9.1】

こ の 式 の 成 立 は,ま ず,矢

印 ｂ の 始 点(矢

の つ い て い な い 端 点)が,剛

体 Ａか

ら観 察 した 剛 体 Ｂ の 瞬 間 回 転 中 心 軸 上 に あ る場 合 に つ い て 確 認 す る こ とが で き る。 そ の 場 合,こ

の 式 の 左 辺 と右 辺 は い ず れ も,剛 体 Ａ か ら見 た矢 印 ｂ の 終 点

(矢 の つ い て い る端 点)の

速 度 で あ り,等 号 が 成 り立 つ 。 ｂ の 始 点 が 回 転 軸 上 に

な い 場 合 は,回 転 軸 上 の 適 当 な 点 か ら ｂ の 始 点 と終 点 に 向 か う二 つ の 幾 何 ベ ク

(注)eAの 場 合 はeA×

後 ・は 意 味 が あ る 。 左 か ら 内 積 と し て 掛 け る と い う 意 味 で あ る 。 外 積 と し て 掛 け る と な る 。 ま た 右 側 か ら掛 け る 場 合 は,・eA,×eAと

する。

トル を考 え,そ

の 二 つ の 幾 何 ベ ク トル に 関 す る同 形 の式 の 差 を取 る こ とで 説 明 で

き る。   さ て,剛 体 Ｂ に固 定 され た 座 標 系 Ｂ の 各 座 標 軸

は,剛 体 Ｂ に

固 定 さ れ た 幾 何 ベ ク トル で あ る 。 したが っ て,こ れ ら に つ い て も,同 じ関 係 が 成 り立 ち,三 つ の 座 標 軸 を ま とめ て,基 底 列 行列 に関 す る 次 の 式 が 得 られ る。

(A2.1) こ の 式 の 右 辺 は ΩAB×eBと 書 い て も よ い 。 しか し,eBは3×1,ΩABは

単独 要素

で あ るか ら,行 列 の 普 通 の積 の 形 に して お い た ほ うが 代 入 操 作 に対 して 安 全 で あ る。 積 の 順 序 の 入 れ 替 え は,幾 何 ベ ク トル の外 積 の 場 合 は符 号 の 反 転 を伴 う の で,負 号 が つ い て い る。(A2.1)の

特 殊 な場 合 と して,次

の 式 が 成 立 す る。

(A2.2) 剛 体 に 固 定 した 幾 何 ベ ク トル をそ の 剛 体 上 か ら観 察 して も変 化 しな い の で,時

間

微 分 が ゼ ロ に な る の は 当 然 で あ る。

A2.2  幾 何 ベ ク トル 表 現 か ら代 数 ベ ク トル 表 現 を 求 め る事 例 位 置 の 時 間 微 分 と速 度 の 関係 は,幾 何 ベ ク トル表 現 と代 数 ベ ク トル 表 現 で,式 (4.5)と(4.2)に 与 え られ て い る 。 【4.5】

【4.2】

幾 何 ベ ク ト ル 表 現(4.5)か (4.5)に

と

ら 代 数 ベ ク ト ル 表 現(4.2)を

求 め て み よ う 。 ま ず,式

を 代 入 す る 。 そ し て,左

辺 を次 の ように変形

す る。

(A2.3) 最 初 に 変 形 は,式(A2.2)に よ る。 次 の 変 更 は 代 数 ベ ク トル の 時 間微 分 が オ ブ ザ ー バ ー に よ らな い こ と に よ る 。 この 変 形 の 後,右 辺 と左 辺 にeo・ を左 か ら掛 け て

式(A1.26)を

用 い れ ば,各

座 標 軸 の 成 分 だ け が 取 り 出 さ れ,式(4.2)に

な る。

A2．3  座 標変 換 行 列(回 転 行 列)の 時 間微 分   式(A1.24)の で,時

時 間微 分 を作 る場 合,右

辺 は 幾 何 ベ ク トル の 時 間微 分 に な る の

間微 分 の オ ブ ザ ー バ ーが 必 要 で あ る 。 この よ うな 場 合,オ

意 に 一 つ 定 め れ ば よ い の で,剛 体 Ａ とす る 。 そ の 結 果,eAは

ブザ ー バ ー は任 定 数 に な る の で,

時 間微 分 は次 の よ うに な る。

(A2.4) こ の よ う な式 の 変 形 時 に も 内積 を示 す ・(ド ッ ト)を 保 持 し続 け る こ と を忘 れ て は な ら な い。 右 辺 の カ ッコ 内 は,式(A2.1)を

変 形 して,次

の よ うに 書 け る。

(A2.5) 最 初 の変 形 は式(A1.15)の

最 後 の 表 現 を利 用 し,幾 何 ベ ク トル を代 数 ベ ク トル 表

現 に 直 して い る。 ２番 目は(A1.27)を で あ る。 最 後 の 結 果 を(A2.4)に

用 い,最 後 の変 形 は外 積 の 順 序 の 入 れ 替 え

代 入 して,さ

らに 変 形 す る 。

(A2.6) こ こ で の 変 形 は,ま 代 入 し て,次

ず 転 置 を は ず し,式(5.7)を

利 用 し た 。 最 後 に 式(A1.24)を

の重 要 な 関 係 が 得 られ る。

(A2.7) ダ ッシ ュ の 付 か な い ΩABを 用 い た 関係 も 同様 に して 導 くこ とが で き る。

3次 元 回転姿勢 と角速度 に

付録B

関す る補足

  ３次 元 の 回転 姿 勢 は特 別 に複 雑 で あ る。 第 ７章 ∼ 第 ９章 に は 回 転 姿 勢 を表 す 基 本 的 な 方 法 と,そ れ に関 わ る 関 係 式 を 説 明 した 。 しか し,関 係 式 の 中 に は そ の 導 出 が 複 雑 過 ぎる な どの 理 由 で,本 文 中 に含 め な い ほ うが よい と思 わ れ る も の が あ っ た 。 そ の よ うな 関 係 式 の 導 出 を こ の付 録 で 補 足 す る 。   また,３ 次 元 の 回転 姿 勢 を表 す 方 法 で,本 文 に は 説 明 の な か っ た ロ ドリ ゲ ス パ ラ メ ー タ を 追加 す る。 こ の付 録 に は,オ て 複 数 の方 法 で 説 明 さ れ て い るが,そ と便 利 な もの が あ る。 また,2×2複

イ ラ ーパ ラ メー タ に 関 わ る 関 係 式 につ い

の 中 に,ロ

ドリゲ スパ ラ メ ー タ を利 用 す る

素 行 列 で 回 転 姿 勢 を表 す 方 法 な ど も 出 て く

るが,回 転 姿 勢 表 現 に 関 わ る多 様 性 は興 味 深 い 。 角 速 度 の 三 者 の 関 係 に 関 す る説 明 も含 まれ て い る。

B1 

Simple

Rotationか

  こ の 節 で は,Simple

ら回転行 列 を作 る式

Rotation(λAB,φAB)か

ら 回 転 行 列CABを

作 る 式(7.3)の

導 き方 を示 す 。   図B1.1は,eAXを

λABま わ り に φAB回 転 さ せ た と き にeBXに

一致 す る様子 を

描 い た も の で あ る 。 こ の 図 を 見 な が ら 次 式 の 右 辺 の 各 項 が 表 す 幾 何 ベ ク トル を 注 意 深 く調 べ そ れ ら の 和 を 取 る と,左

辺 の 幾 何 ベ ク トル に 一 致 す る こ と が 分 か る 。

(B1.1) 同 様 の 式 がeAY,eAZに

つ い て も 成 立 す る の で,結

局,三

つ を ま とめ た 次 の 式 が

成 立 す る。

(B1.2)

eAXを

図B1.1

λABま わ り に φABま わ す とeBX

にな る 関係

 λABは 基 底 列 行 列eBと

代 数 ベ ク トル λABを 用 い て 次 の よ う に 表 す こ とが で き

る。

(B1.3) こ れ を 式(B1.2)に

代 入 し て,次

の よ う に な る。

(B1.4) 基 底 列 行 列eBと

そ の転 置 〓 の 内 積 と外 積 は,次

の 置 き換 え を行 う。

(B1.5) (B1.6) こ れ に よ り,式(B1.4)は

次 の よ う に な る。

(B1.7) こ の 式 は,さ

ら に,次

の よ うに 変 形 で きる 。

(B1.8) こ の 式 の 両 辺 に,右

側か ら ・ 〓 を掛 け る と次 の よ うに な る。

(B1.9) 式(A1.24)と(B1.5)を

用 い る と,λABと

φABに よ る 回 転 行 列 の 式 に 到 達 す る 。

(B1.10)

B2 

ロ ド リゲ ス パ ラ メ ー タ

  ロ ドリゲ ス パ ラ メ ー タ は ３ 自由 度 の 回転 姿 勢 を三 つ の ス カ ラ ー 変 数 で 表 現 す る もの で あ り,特 異 性 は避 け られ な い が,オ の 関 係,三

イ ラー 角 に比 べ て 関係 式(回

者 の 関 係,角 速 度 との 関 係)が,オ

転行列 と

イ ラ ー パ ラ メ ー タ と同 程 度 に簡 単

で あ る。 座 標 系 Ａ か ら 見 た 座 標 系 Ｂ の 回 転 姿 勢 を表 す ロ ドリ ゲ ス パ ラ メ ー タ ρABは,Simple

Rotationの

λABと φABを 用 い て 次 の よ う に定 義 され る。

(B2.1)

あ る い は,

(B2.2) オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ と は次 の よ う に密 接 に 関 係 して い る。

(B2.3) ま た,オ

イ ラ ー パ ラ メ ー タ と 同 様 で,-ρABも

ド リ ゲ ス パ ラ メ ー タ か ら,回

ρABと 同 じ 回 転 を 表 し て い る 。 ロ

転 行 列 を 作 る 式 は 次 の と お りで あ る 。

(B2.4)

(B2.5)

こ の 式 は 式(7.17)と

式(B2.3)を

用 い て 導 くこ とが で き る 。

  ロ ドリ ゲ ス パ ラ メ ー タの 三 者 の 関係 は 次 の とお りで あ る。

(B2.6) この 関 係 の 導 出 もか な り面 倒 で あ るが,B5節

に説 明 が あ る 。

角 速 度 か ら ロ ドリゲ ス パ ラ メ ー タの 時 間微 分 を 求 め る に は 次 の 関係 を用 い れ ば よい 。

(B2.7) 逆 に,ロ

ド リゲ ス パ ラ メ ー タ の 時 間微 分 か ら角 速 度 を求 め る 場 合 は 次 の 式 に よ

る。

(B2.8) ロ ドリゲ ス パ ラメ ー タ と角 速 度 の 関係 はB9節

に説 明 され て い る。

  ロ ドリゲ スパ ラ メー タは オ イ ラ ー角 よ り特 異 性 の制 約 が 大 きい が,回 転 行列 や 角 速 度 の 関 係 は オ イ ラ ーパ ラ メ ー タ と同 程 度 に簡 単 で あ り,三 つ の 変 数 で 回転 姿 勢 を表現 で き る 点 が 長 所 で あ る。

B3  2×2複 素行列 による座標変換   こ の 節 で は,ま

ず,位

置,速

分 に よ っ て作 ら れ る2×2エ

度,角 速 度 な ど の3×1代

数 ベ ク トル を,そ の成

ル ミ ー ト行 列 に 表 現 し直 す 。 同 一 の 幾 何 ベ ク トル か

ら作 られ た 二 つ の代 数 ベ ク トル 間 に は座 標 変 換 行 列 に よ る 変 換 関係 が あ るが,対 応 す る2×2エ

ル ミー ト行 列 間 の座 標 変 換 は2×2ユ

され る。 そ して,そ

ニ タ リー 行 列 に よ る こ とが 示

の ユ ニ タ リー 行 列 は 四つ の パ ラ メ ー タで 特 徴 付 け られ,そ

の

四 つ の パ ラ メ ー タが オ イ ラ ーパ ラ メー タ で あ る 。

B3.1 

3×1代

数 ベ ク トル の2×2エ

ル ミ ー ト行 列 表 現

  剛 体 Ａ か ら見 た 剛体 Ｂ の角 速 度 の代 数 ベ ク トル は,座 標 系 Ａ と座 標 系 Ｂ で 作 る と,ΩABと

Ω'ABにな る 。 座 標 系 Ｂ に よ る 表 現 か ら座 標 系 Ａ に よ る表 現 へ の 座

標 変換 は座 標 変 換 行 列CABに

よる。

(B3.1) こ こ で,ΩABの

三 成 分 を 用 い て,次

の よ う な2×2複

素 行 列PABを

考 え る。

(B3.2) こ こ で は,Ｐ

は 運 動 量 と は 無 関 係 で あ る 。 σ1,σ2,σ3はPauliの

呼 ば れ る も の で,ⅰ を 虚 数 単 位 と し て,次

ス ピン行列 と

の と お りで あ る 。

(B3.3)

(B3.4)

(B3.5) これ らの 共 役 転 置 は も との 行 列 と同 じ に な る の で,こ れ らは エ ル ミー ト行 列 で あ る。 した が っ て,PABも

エ ル ミー ト行 列 に な る。 な お,複 素 行 列 の 中 の エ ル ミー

ト行 列 は,実 行 列 の 中 の 対 称 行 列 に 対 応 す る もの で あ る。   ス ピ ン行 列 の 行 列 式 はい ず れ も-１ で あ る。

(B3.6) ま た,二 つ を 選 ん で積 を作 る と次 の よ う に な る 。

(B3.7) (B3.8) (B3.9) た だ し,式(B3.8)と(B3.9)の 2)の

い ず れ か で あ る(こ

添 え 字 の(i,j,k)は,(1,2,3),(2,3,1),(3,1, こ で は,虚

数 単 位 のⅰ と 添 え 字 の ｉを 区 別 す る た め,虚

数 単 位 は 立 体 文 字 に し て い る)。   PABの

行 列 式 は,次

の よ う に,ΩABの

長 さ の二 乗 に負 号 を付 け た も の に な っ て

い る。

(B3.10) こ の こ と は,式(B3.2)の

行 列 式 を実 際 に計 算 して み れ ば 容 易 に確 認 で きる。

  Ω'ABに つ い て も 同 様 な エ ル ミ ー ト行 列P'ABを

対 応 させ る こ とが で きる。

(B3.11) (B3.12)

￨PAB￨と￨P'AB￨は,同 ら,等

じ 幾 何 ベ ク トル の 長 さ の 二 乗 に 負 号 を つ け た も の で あ る か

し い 。 そ し て,PABやP'ABは,ΩABや

Ω'ABの 代 わ り に 角 速 度 を 表 す 表 現

方 法 の 一 つ に な っ て い る。   こ こ ま で は 角 速 度 を 用 い て 説 明 し て き た が,以 は,任

意 の3×1代

上 の エ ル ミ ー ト行 列 に よ る 表 現

数 ベ ク トル に 適用 す る こ とが で き る。

B3.2  2×2エ ル ミー ト行 列 の座 標 変 換   Ω'ABか ら ΩABへ そ れ は,2×2複

の 変 換(B3.1)に

素 行 列QABに

対 応 し て,P'ABか

らPABへ

の 変 換 を考 え る。

よ る 次 の よ うな 変換 とす る。

(B3.13) こ こ で,Q*ABの

右 肩 の*は

共 役 転 置 を 意 味 し て い て,こ

の式 に よ る変 換 は 共 役 変

換 と呼 ば れ て い る。   さ て,式(B3.10)と(B3.12)か

ら,PABとP'ABの

換 の 条 件 と し て 必 要 で あ る 。 そ の た め に はQABが

行 列 式 の不 変 性 が この 座 標 変 次 の 条 件 を満 たせ ば よ い。

(B3.14) こ の 式 を 満 た す 複 素 行 列QABは ニ タ リ ー 行 列 は,実

ユ ニ タ リ ー 行 列 と呼 ば れ る 。 複 素 行 列 の 中 の ユ

行 列 の 中 の 正 規 直 交 行 列 に 対 応 す る も の で あ る 。QABが

タ リ ー 行 列 の と き,式(B3.13)は

ユ ニ タ リ ー 変 換 と 呼 ば れ る 。 す な わ ち,ユ

リ ー 行 列 に よ る 共 役 変 換 が ユ ニ タ リ ー 変 換 で あ り,こ

ユニ ニ タ

れ は実 行 列 の 正 規 直 交 変 換

に対 応 す る。   ユ ニ タ リ ー 行 列QABの

行 列 式 は+１

を 付 け 加 え る 。 そ の よ う な2×2ユ 実 数 ε0AB,ε1AB,ε2AB,ε3ABに

か-１

に な る が,+１

ニ タ リ ー 行 列 は,二

に なる よ うに条件

乗 和 が+１

にな る四つの

よっ て 次 の よ う な形 で 表 す こ とが で きる 。

(B3.15) (B3.16) QABの

行 列 式 が+１

で き る 。 ま た,QABの

に な る こ と は,PABの

場 合 と 同 様 に,容

易 に確 か め る こ とが

共 役 転 置 行 列 は 次 の よ うに な る。

(B3.17) QABの

ユ ニ タ リ ー 性 の 検 証 も容 易 で あ る 。

  結 局,二

乗 和 が １の 四 つ の 実 数 ε0AB,ε1AB,ε2AB,ε3ABが2×2ユ

を 定 め て い る 。 そ し て,こ

の ユ ニ タ リ ー 変 換 は,正

対 応 す る も の で あ る か ら,座

標 変 換 行 列CABも

ニ タ リー 変 換

規 直 交 行 列 に よ る座 標 変換 に

四つの実 数 に よって定 まってい

るはず である。   ま た,座

標 変 換 行 列CABが

座 標 系 Ａ か ら見 た 座 標 系 Ｂ の 回転 姿 勢 表 現 の 一 つ

で あ る こ と と 同 じ 意 味 で,QABも

同 じ 回 転 姿 勢 表 現 の 一 つ と い え る 。QABを

タ リ ー 回 転 行 列 と 呼 ん で も よ い で あ ろ う 。 そ し て,四

ユニ

つ の 実 数 ε0AB,ε1AB,ε2AB,

ε3ABも 同 じ 回 転 姿 勢 の 表 現 形 態 の 一 つ と い え る 。

B3.3 

2×2ユ ニ タ リー変 換 を 定 め て い る 四 つ の実 数 と

座標変換行列の関係 式(B3.13)に

よ る 座 標 変 換 を 調 べ る た め に,ま

ず,Pauliの

を,式(B3.7)∼(B3・9)を

ス ピ ン行 列 の 変 換 利 用 し て,計

算 す

る と次 の よ う な結 果 が得 られ る。

(B3.18)

(B3.19)

(B3.20) な お,こ

れ ら の 式 の 右 辺 で は 四 つ の 実 数 の,共

通 の添 え字 を括 弧 の外 に 括 り出 し

て 示 して あ る。   さ て,式(B3.3)に し て,σ １,σ2,σ3の

式(B3.2)と(B3.11)を

代 入 し,式(B3.18)∼(B3.20)を

利用

係 数 を 比 較 す る こ と に よ り次 の 関 係 が 得 ら れ る 。

(B3.21) こ の 結 果 と 式(B3.1)を

対 比 す る と,QABに

よ る 式(B3・13)の

座標 変換が 回転行列

CABに

よ る座 標 変 換 と 同 じ働 き に な っ て い て,QABを

特 徴 付 け て い る 四つ の 実 数

が,座 標 変 換 の 働 き を定 め て い る こ とが わか る 。座 標 変 換 と 回転 姿 勢 は 表 裏 一 体 で あ るか ら,四 つ の 実 数 は 回転 姿 勢 表 現 に な っ て い る と もい え る。 こ こ で 得 られ たCABと

四 つ の実 数 の 関係 は,7.4節

に示 され て い る オ イ ラ ー パ ラ メ ー タか ら回

転 行 列 を作 る式 と同 じで あ り,オ イ ラ ーパ ラ メ ー タは,QABを

特 徴 付 け て い る四

つ の 実 数 で あ る。

B4  オイラーパ ラメータの三者 の関係   前 節 に 説 明 した ユ ニ タ リー 回 転 行 列 の三 者 の 関 係 は容 易 に求 ま る。 こ れ を利 用 す る と オ イ ラー パ ラ メ ー タの 三 者 の 関 係 が 得 られ る。

B4.1  2×2ユ ニ タ リー 回 転行 列 の 三 者 の 関係   剛 体 Ａ か ら見 た 剛 体 Ｂ の 角 速 度 の代 数 ベ ク トル を座 標 系 Ｃ で 作 り,〓Bと す こ とに す る。 こ の 記 号 は,前 項 の 延 長 と して 説 明 す る た め に,こ

表

こだ けで 用 い

る もの で あ る。 さ て,座 標 系 Ｃ の 表 現 か ら座 標 系 Ｂ の 表 現 へ の 座 標 変 換 は 正 規 直 交 座 標 変換 行 列CBCに

よ る。

(B4.1) ま た,座 標 系 Ｃ の 表 現 か ら座 標 系 Ａ の 表 現 へ の 座 標 変 換 は 正 規 直 交 座 標 変 換 行 列CACに

よ っ て い る。

(B4.2) これ ら の 式 と式(B3.1)か

ら正 規 直 交 座 標 変 換 行 列,あ

る い は,正 規 直 交 回 転 行

列 の 三 者 の 関 係 が 得 られ る 。

(B4.3)

CAC=CABCBC 一方

,Ω

〓Bに 対 応 し て Ω〓Bの 成 分 か らP〓Bを

作 る こ とが で きる。

(B4.4) こ こ で,P〓Bか QBCとQACに

らP'ABへ

の 座 標 変 換 とP〓Bか

らPABへ

の 座 標 変 換 はそ れ ぞ れ

よる 。

(B4.5)

(B4.6) 正 規 直 交 回 転 行 列 の 場 合 と同様 に,こ

の二 つ の 式 と式(B3.13)か

ら次 の 関 係 が 得

られ る。

(B4.7) こ れ は,ユ

ニ タ リ ー 座 標 変 換 行 列,あ

る い は,ユ

ニ タ リー 回 転 行 列 の 三 者 の 関係

で あ る。

B4.2  オ イ ラー パ ラメ ー タ の三 者 の 関 係 QBCとQACは

式(B3.15)と

同様 に 次 の よ うに 書 け る 。

(B4.8) (B4.9) 式(B3.15)と(B4.8)を I2,iσ1,iσ2,iσ3の

用 い て 式(B4.7)の

右 辺 を 計 算 し,式(B4・9)と

対 比 し て,

係 数 を等 置 す る と次 の 結 果 が 得 られ る 。

(B4.10)

こ の 結 果 が 式(8.7)で

あ る。

B5  ロ ドリゲスパラメータの三者の関係   こ の 節 で は ロ ドリ ゲ ス パ ラ メ ー タの 三 者 の 関係 を導 く。 こ の 結 果 は,次 節 で, 再 び オ イ ラー パ ラ メ ー タの 三 者 の 関係 を 導 くた め に 利 用 され る。

B5.1 

準備

  座 標 系 Ａ に 対 す る座 標 系 Ｂ の 単 純 回 転 を 考 え る と き,そ の 回 転 軸 を表 す 代 数 ベ ク トル λABと 各 座 標 系 の 基 底 列 行 列eA,eBと

の 間 に は次 の よ う な 関係 が あ る 。

(B5.1)

こ の 式 と オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ,ロ

ド リ ゲ ス パ ラ メ ー タ の 定 義 か ら,次

の 関係 も明

らか で あ る。

(B5.2) (B5.3) 式(B5.2)は,ロ 式(B5.3)と

ド リ ゲ ス パ ラ メ ー タ の 三 者 の 関 係 を 求 め る た め に は 必 要 な い が, 本 質 的 に 同 じ 関 係 で あ り,書

い て お い た。

  ロ ド リ ゲ ス パ ラ メ ー タ と 回 転 行 列 の 関 係 はB2節

に与 え られ て い る 。 【B2.4】

こ の式 を利 用 す る と次 の 関係 を確 認 す る こ とが で き る。

(B5.4) こ の 関係 か ら,次 の 式 も容 易 に 得 られ る。

(B5.5) こ の 式 は次 の よ うに 変 形 で きる 。

(B5.6)

B5.2  三 者 の 関 係 の 導 出   以 上 の 準 備 の も と に ロ ド リ ゲ ス パ ラ メ ー タ の 三 者 の 関 係 を 導 く が,ま 系 Ｂ と 座 標 系 Ｃ の 間 に も 式(B5.3),(B5.6)と

ず,座

標

同様 の 関 係 が あ る。

(B5.7)

(B5.8)   さ て,座 6)と(B5.8)の

標 系 Ａ と 座 標 系 Ｃ の 間 に あ る 同 様 の 関 係 を 作 れ ば よ い の で,式(B5. 和 を作 る 。

(B5.9) 右 辺 のeBの 項 を取 り除 きた い の で,式(B5.6)と(B5.8)の

左 辺 か ら同 じ項 を作 る

こ とを 考 え る。 そ の た め に,両 式 の そ れ ぞ れ に外 積 オ ペ レー タ を作 用 させ,変 形 して 次 式 を作 る。

(B5.10) (B5.11)

式(B5.10)に

右 か ら ρBCを 掛 け,式(B5.11)に

の 入 れ 換 え,両

式 の 引 き 算 を 行 え ば 目 指 すeBの

右 辺 第 一 項 のeBは

右 か ら ρABを 掛 け て,外

項 を作 る こ とが で き る。 両 式 の

こ の 操 作 で 消 去 で き る 。 右 辺 第 二 項 のeBは

ら 掛 け る の で,式(B5.3)と(B5.7)を 以 上 の 操 作 か ら,目

指 すeBの

積 の順序

利 用 し てecとeAに

ρBCと ρABを 右 か

変 え る こ と が で き る。

項 は次 の よ う に求 ま る。

(B5.12) こ の 結 果 を 式(B5.9)に

代 入 し,整

理 す る と,次

の 関 係 が得 られ る。

(B5.13)   式(B5.13)は,式(B5.6),ま 系 Ｃ の 関 係 で あ る か ら,右

た は,(B5.8)と

同 じ 形 で あ り,座

標 系 Ａ と座 標

辺 の 分 数 に な っ て い る 部 分 は ρACに 等 し い 。

(B5.14) そ して,こ れ は式(B2.6)の

両 辺 に 外積 オ ペ レー タ を作 用 させ た 形 に な っ て い る。 【B2.6】

B6  再 び,オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ の 三 者 の 関 係 に つ い て   式(B2.6)か ま ず,ロ

ら,オ

イ ラ ー パ ラ メ ー タ ー の 三 者 の 関係 を 求 め る こ と もで き る。

ドリゲ ス パ ラ メ ー タ とオ イ ラー パ ラ メ ー タの 間 に は 次 の 関 係 が あ る。

【B2.3】

こ の 関 係,お

よ び,ρACと

ρBCに 関 す る 同 様 の 関 係 を 式(B2.6)に

代 入 し て,整

理

す る と次 の よ うに な る。

(B6.1) こ の式 の 転 置 を作 り,左 辺 と右 辺 別 々 に 元 の 式 の左 か ら掛 け て,右 辺 は 次 の よ う に整 理 す る。

(B6.2) 左 辺 の 分 子 の ε〓CεACを1-ε

〓ACに 置 き 換 え 分 母 を 払 う と,次

の 関 係 が 得 られ る。

(B6.3) こ の 式 か ら ε0ACを 定 め る こ と が で き る 。 こ の と き,(ε0AC,εAC)も(-ε0AC, -εAC)も

同 じ 回転 姿 勢 を表 す こ とか ら

,次

の よ う に符 号 を 選 ん で よ い 。

(B6.4) こ の 結 果 と式(B6.1)か

ら,εACを

求 め る 式 も得 ら れ る 。

(B6.5) こ れ ら二 つ の 式 を ま とめ る と次 の よ う に書 け る 。

(B6.6) こ の 結 果 は 式(B4.10)と

同 じ で あ り,ま

た,式(8.10)のSABを

利 用 して 次 の よ う

に表 現 す る こ と もで きる。

(B6.7)

B7  三 度,オ

イ ラー パ ラメ ー タの三 者 の関 係 につ いて

  オ イ ラ ー パ ラ メ ー タの 三 者 の 関 係 を,複 素 数 を利 用 した 共 役 変 換 を用 い た り, ロ ドリゲ スパ ラ メ ー タ を経 由 した り して 導 い て きた 。 こ こ で は,第

７章 に与 えた

オ イ ラー パ ラ メ ー タ の定 義 とそ の 性 質 を も と に,直 接,三 者 の 関 係 を説 明 す る。

B7.1 

塗備

式(8・10)にSABが

与 え られ て い る。 【8.10】

こ こ で は さ ら に,類

似 の 形 のGABを

準備す る。

(B7.1) これ ら を用 い る と,回 転 行 列 は 次 の よ うに 表 さ れ る 。

(B7.2)

GAB,SABに

つ い て 次 の よ う な 関 係 が 成 立 す る。

(B7.3) (B7.4) (B7.5) ま た,次 の 関係 が役 立 つ こ と もあ る。 GABECD=-GCDEAB

(B7.6)

SABECD=-SCDEAB

(B7.7)

以 上 の 関 係 式 は,式(8.10),(B7.1)な

どを 直接 代 入 して確 認 す る こ とが で き る 。

B7.2  三 者 の関 係 こ こ で示 した い 三 者 の 関 係 は 次 の 式 で あ る。

(B7.8) ZABの 逆 行 列 がZ〓Bに な る こ と は容 易 に 確 認 で き る の で ,こ の 式 を 次 の よ う に書 き換 え る こ とが で き る。

(B7.9) そ こ で,次 の 式 が 示 せ れ ば よい 。 (B7.10)

(B7.11) ま ず,CBCを

ε0BCと εBCで 表 し,ト

レ ー ス を 計 算 す る と,次

の よ う に4ε 〓BC-1と

な る こ とが 示 せ る。

(B7.12) こ の

ト レ ー ス の 計 算 に は,1.8節

C〓BCACと

し て,そ

の

表 す 。 次 い で,式(1.53)を trace(CBS)の

の 式(1

.53)が

用 い ら れ て い る 。 続 い て,CBCを

ト レ ー ス を 計 算 す る 。 ま ず,そ 用 い,CABを

計 算 を 進 め る 。 そ の 結 果,ト

ε0ABと

εABで

の 中 のCACを 表

し て,整

レ ー ス の 値 は4(ε

ε0ACと 理

εACで

し な が

〓BεAC+ε0ABε0Ac)2-1

ら,

に な る が,こ

れ は4(E〓BEAC)2-1に

等 しい 。

(B7.13) 以 上 か ら,ε0BCの

符 号 は ど ち ら を 選 ん で も よ い の で,式(B7.10)が

  続 い て,CBCεBC=εBCと

同 じ 関 係 が,ABEACに

が で き る 。 そ れ に は,式(B7.2)∼(B7.7)を

示 された。

つ い て 成 立 す る こ と を示 す こ と 利 用 し て,次

の よ う に 式 の変 形 を進

め れば よい。

(B7.14) の 関 係 がE〓BEACとSABEACに

最 後 に, (B7.10),(B7.11)の

つ い て 成 立 す れ ば,式

確 認 は十 分 で あ る 。

(B7.15)

B8  角速度の三者の関係   回 転 行 列 の 三 者 の 関 係 は 式(8.6)に 時 間 微 分 す る と,次

与 え ら れ て い る 。 こ れ を,式(9.2)を

用いて

の よ うに な る。

(B8.1) こ の 式 に,C〓Bを

左 か ら掛 け る と次 の よ う に な る 。

(B8.2) 式(6.18)を

用 い,外

積 オ ペ レ ー タ を 外 す と,代

数 ベ ク トル で 表 し た 三 者 の 関 係 に

なる。

(B8.3) こ の 式 にe〓 を左 か ら掛 け る 。

(B8.4) 右 辺 第 一 項 のe〓C〓Bは,式(A1.25)を に よ り,幾

用 い てe〓 に 置 き 換 え る こ と が で き,こ

れ

何 ベ ク トル 表 現 に よ る 三 者 の 関 係 が 得 ら れ る 。

(B8.5)

B9  オイラーパラメータ,ロ ドリゲスパラメータの時間微分と 角速度の関係 B9.1  微 小 回 転 によ る一 次 近 似 回転 行 列 の 三 者 の 関係 は 次 の よ う に書 け る。

(B9.1)

CAC=CABCBC CBCは,Simple

Rotationを

用 い る と,次

の と お りで あ る 。

(B9.2) こ こ で,座

標 系 Ｂ か ら 座 標 系 Ｃ へ の 回 転 が 微 少 な も の と す る 。 こ れ は φBCが 微

少 と い う こ と で あ る 。 λBCはSimple

Rotationの

軸 を 表 す 単 位 長 さ の も の で,微

少 回 転 の 問 に 大 き く変 わ る こ と は な い 。 φBCが 微 少 で あ る こ と を 明 示 す る た め に ΔφBCと 書 く こ と に し て,そ

の 一 次 の オ ー ダ ー ま で の 近 似 を 取 る と式(B9.2)は

次

の よ う に な る。

(B9.3)   こ こ で,オ (λBC,△ φBC)に

イ ラ ー パ ラ メ ー タ,ロ

ド リ ゲ ス パ ラ メ ー タ に つ い て の,微

少 回転

対 応 す る 一 次 近 似 は 次 の よ う に な る。

(B9.4)

(B9.5)

こ れ ら は オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ,ロ の で あ り,ま

た,εBCと

ド リ ゲ ス パ ラ メ ー タ の 定 義 か ら一 次 近 似 し た も

ρBCは 同 じ に な る 。

B9.2  回転 行 列 の 時 間微 分 と角 速度 の関 係   さ て,座 標 系 Ａ か ら見 た 座 標 系 Ｂ の 角 速 度 〓ABを 考 え る 。 こ れ は,そ

の とき

の 座 標 系 Ｂ が 微 少 時 間 Δtの 間 に微 少 角 ΔφBCだ け 回 転 して 座 標 系 Ｃ に な ろ う と す る 動 き と考 え る こ とが で き,こ の 間,λBCは ほ ぼ 一 定 に な っ て い る。 こ の λBC は 瞬 間 回転 中心 軸 μABと し て よ く,一 次 近 似 で 次 の 関係 が 成 立 す る(λBCと

μCAB

の 添 え字 に注 意)。

(B9.6) この 式 を,代 数 ベ ク トル で 次 の よ うに 書 きか え る こ とが で きる 。

(B9.7) こ れ を 式(B9.3)に

代 入 す る。

(B9.8) CABの 時 間 微 分 は 次 の よ うに 書 け る。

(B9.9) 式(B9.8)を

式(B9.1)に

代 入 し,そ

れ を 式(B9.9)に

代 入 し て 整 理 す る と,結

局,

次の ようになる。

(B9.10) この 関 係 はA2.3項

で 導 か れ た 関係 と一 致 して い る 。

B9.3  オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ と ロ ドリゲ スパ ラメ ー タ の 時 間微 分 と

角速度の関係 次 に,式(B9.7)を

式(B9.4)に

代 入 す る と次 の よ うに な る。

(B9.11)

EABの

時 間微 分 は 次 の よ うに 書 け る。

(B9.12) 式(B9.11)を

式(B6.7)に

代 入 し,そ

れ を 式(B9.12)に

代 入 し て 整 理 す る と,次

の

関 係 が 得 られ る。

(B9.13) εOABと εABの 時 間 微 分 に わ け て 次 の よ う に 書 く こ と も で き る 。

(B9.14) (B9.15) 式(B2.3)を

時 間 微 分 し,式(B9.14),(B9=15)を

代 入 し て 整 理 す る と,次

の 関

係 が 得 られ る。

(B9.16) 式(8.10)か

らSABに

関 す る 次 の 関 係 を示 す こ とが で きる 。

(B9.17) こ の 式 と 式(B9.13)を

用 い る と,オ

イ ラ ー パ ラ メ ー タ の 時 間 微 分 か ら角 速 度 を 作

る 式 が 得 られ る。

(B9.18) ま た,式(B9.16)の

両 辺 に 左 か ら(I3-ρAB)を

掛 け て 変 形 し て ゆ く と,ロ

ドリ ゲ

ス パ ラ メ ー タ の 時 間 微 分 か ら角 速 度 を 求 め る 式 が 得 られ る 。

(B9.19)

B10

再 び,オ イラーパラメータの時間微分 と角速度の関係

  B7.1にSABと

類 似 なGABを

与 え た 。 こ こ で は,さ

与 え,そ

ら に,GABとSABが

れ ら の 基 本 的 な 関 係 式(B7.2)∼(B7.7)を 関 わ る 基 本 的 な 関 係 式 で,式(B7.2)

∼(B7 .7)を 時 間微 分 す れ ば 簡 単 に 得 られ る もの 以外 を追 加 して お く。

(B10.1) (B10.2) (B10.3) (B10.4) こ れ ら の 確 認 も,式(B7.2)∼(B7.7)の

場 合 と 同 様 に,式(8.10),(B7.1)の

時 間

微 分 な ど を直 接 代 入 して 得 られ る。   さ て,式(9.2)か

ら,次

の 式 が 得 られ る 。

(B10.5) こ の 式 に 式(B7.2)を

代 入 し,上 記 の 基 礎 的 関 係 式 を用 い る と次 の よ う に変 形 で

き る。

(B10.6) こ の結 果 か ら,外 積 オ ペ レー タを は ず して,次 の 関 係 を得 る。

(B10.7) この 式 か ら次 の 式 を得 る の は容 易 で あ ろ う。

(B10.8) 式(B10.1)を

利 用 す る と 式(B10.7)を

時 間 微 分 し て,次

の 式 が 得 られ る。

(B10.9) し か し,式(B10.8)の

B11

時 間 微 分 は,少

し複 雑 に な っ て し ま う。

微小回転

  B9で,λBC軸 ラ メ ー タ,ロ

ま わ り に 微 小 角 △φBCだ け 回 転 し た 場 合 の 回 転 行 列,オ ド リ ゲ ス パ ラ メ ー タ が,微

5)に な る こ と を 説 明 し た 。 も し,座 す る と,同

イ ラー パ

小 角 の 一 次 近 似 の 範 囲 で(B9.3)∼(B9.

標 系 Ａ か ら座 標 系 Ｂ の 回 転 も 微 小 回 転 だ と

様 に 次 の よ う に 書 け る。

(B11.1)

(B11.2)

(B11.3)   合 成 の た め の 三 者 の 関 係(8.6),(8.7),(B2.6)に,(B9.3)∼(B9.5)と(B11. 1)∼(B11.3)を

代 入 し,二

つ の 回 転 を 合 成 し たCAC,EAC,ρACも

微小 角の一 次近

似 で 表 す と次 の よ う に な る。

(B11.4) (B11.5)

(B11.6) い ず れ の 回 転 表 現 を用 い て も,二 つ の 微 小 回 転 の 和 は3×1列

行 列(あ

る い は,

そ れ に外 積 オ ペ レー タ を働 か せ た 交 代 行 列)の 和 で 定 まる 量 に な っ て い る。 す な わ ち,そ れ ぞ れ の 微 小 回 転 は3×1列

行 列 λAB△φAB,ま た は,λBC△ φBCで 表 す こ

とが で き,二 つ の 回転 の 合 成 は そ れ らの 単純 な和 で 作 る こ とが で きる 。 回 転 の順 序 も無 関係 で あ る。   ３次 元 の 回 転 姿 勢,お

よび,そ

の合 成 の複 雑 さ に対 して,微 小 回 転 の 場 合 は 単

純 で あ る。 角 速 度 は単 位 時 間 当 た りの 回転 変 化 で あ るが,微 小 時 間 当 た りの 回転 変 化 は微 小 回転 で あ る か ら,微 小 回 転 と角 速 度 は 同 じ よ うな性 質 を 持 つ 。 微 小 回 転 は,角 速 度 と同 様 に幾 何 ベ ク トル λAB△φABで 表 現 す る こ とが で き る。

付録 Ｃ

オ イ ラー パ ラメ ー タの 拘 束 安 定化 法

  こ の 付 録 で は,数 値 積 分 時 に,オ イ ラー パ ラ メ ー タの 二乗 和 を １に維 持 す る た め の拘 束 安 定 化 方 法 に つ い て 説 明す る 。 この 方 法 は9.6節

で 用 い た もの で あ る 。

  オ イ ラー パ ラメ ー タ の拘 束 条 件 は式(7.16)に 与 え られ て い る。

(C.1) こ れ を時 間微 分 し て得 られ た 速 度 レベ ル の 拘 束 条 件 は式(9.15)で あ る。

(C.2) 本 書 で は,Ψ=0を

位 置 レ ベ ル の 拘 束 を 表 す 一 般 的 な 形 と し て お り,こ

微 分 し た 速 度 レ ベ ル の 拘 束 は,Φ=0と だ し,こ

表 す こ と に し て い る(13.6項

こ で は 拘 束 の 数 が 一 つ で あ る か ら,Ψ=0,Φ=0と

2)のEOAは,角

れ を時 間 参 照)。 た

な っ て い る 。 式(C.

速 度 Ω'OAか ら 次 式 に よ っ て 計 算 さ れ る(式(9.12))。

(C.3) SOAは,式(8.10)に

よ っ て 作 られ る。

(C.4)

EOAか

らSOAを

こ の 式 に よ っ て 作 る 場 合,EOAが

た さ な い 場 合 も,SOAは

誤 差 を 含 ん で い て 式(C.1)を

満

次 の 式 を満 た して い る 。

(C.5) し た が っ て,EOAが(C.3)か に 成 立 す る 。 結 局,EOAの

ら作 ら れ る 場 合 は,速 誤 差 はEOAの

度 レ ベ ル の 拘 束 式(C.2)は

数 値 積 分 時 に 生 じ,誤

常

差 の 累 積 が 式(C.

1)を 満 た さ な くす る こ と だ け が 問 題 と な る 。   オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ の 安 定 化 を 考 え る 場 合,Baumgarteの

方法 は妥当 だろ う

か 。 オ イ ラー パ ラ メ ー タの 安 定 化 の た め に微 分 代 数 型 の 式 を作 っ た り,解 い た り す る の は 重 過 ぎる の で は な い だ ろ うか 。 位 置 レベ ル の拘 束 誤 差 だ けが 問 題 で あ る 場 合,加

速 度 レベ ル の 拘 束 と連 立 させ る 方 法 で は な く,速 度 レベ ル ま で の 関係 で

安 定 化 を計 る ほ うが 合 理 的 で あ る 。 そ こ で,Baumgarteの

方 法 と類 似 の 考 え 方

で 式(C.3)と 拘 束 の 安 定 化 を組 み 合 わせ,次 の 形 の 微 分 代 数 方 程 式 を 考 え て み る。

(C.6)

τ は,拘

束 条 件 の 安 定 化 の 時 定 数 と 考 え れ ば よ い 。 式(C.1),(C.2)を

用 い る と,

こ の式 は 次 の よ うに な る。

(C.7)

こ の式 は次 の二 つ の 式 に分 け られ る。

(C.8) (C.9) 式(C.8)を(C.9)に

代 入 し,式(C.5)を

用 い て 整 理 す る と,〓

を次 の よ う に求 め る

こ とが で き る。

(C.10) 〓 は,式(C.1)が に,１

満 た さ れ て い る 場 合 は ゼ ロ に な り,二

よ り 小 さ い と 負 の 値 に な る 。 〓 は 式(C.1)の

8)は,〓

が ゼ ロ な ら,式(C.3)と

合 でEOAの

値 が 小 さ め(EOAの

の と き はEOAの   式(C.10)を

値 が 大 き め(EOAの 式(C.8)に

同 じで あ り,〓

乗 和 が １ よ り大 き い と 正

満 足 度 の 指 標 で あ る 。 式(C. が 正 の と き はEOAに

増 加 を 抑 え る 方 向)に

な る よ う に 働 き,〓

増 加 を 促 進 す る 方 向)に

代 入 す る と,次

比 例 した 割 が 負

な る よ う に 働 く。

の 式 が 得 られ る。

(C.11)

こ の 式 が,拘 時 間微 分EOAを

束 の 安 定 化 を図 りな が ら,角 速 度 Ω'OAか らオ イ ラー パ ラ メ ー タの 求 め る式 で あ る。 τに適 当 な値 を 選 ん で,式(C.3)の

代 わ りに こ

の 式 を用 い れ ば よい た め,利 便 性 に飛 ん で い る。 安 定 性 も容 易 に得 られ る こ とが 期 待 で き,実 際,こ

れ ま で の筆 者 の 経 験 で は 上 手 く働 い て い る。 た だ し,ま だ 十

分 な経 験 を積 ん だ 方 法 とは い え な い の で,式(C.1)が

維 持 さ れ て い るか ど うか を

監 視 し な が ら用 い る こ とが 望 ま しい 。 ま た,高 い 精 度 を 必 要 とす る計 算 の場 合 は,数 値 的 な減 衰作 用 な どに も注 意 す べ きで あ ろ う。

動力学的 に加速度 を求め るための

付録 Ｄ

漸化的方法

  こ の 付 録 は 第21章 学 漸 化 式)を

の補 足 で,動

力 学 的 に加 速 度 を 求 め る た め の 漸 化 式(動 力

導 く。 二 つ の 方 法 を説 明 して い る が,一 番 目 の 方 法 は,説 明 も長

く,細 々 して い て 面 倒 で あ る。 二 番 目の 方 法 は,一 番 目の 方 法 に比 べ る と簡 潔 だ が,一

つ 一 つ の 式 変 形 の 意 味 や ね らい が見 えず 難 解 で あ る。

  な お,こ

の付 録 で は,V'oj,F'ojをV'j,F'jと

他 の 記 号 は第21章

D1

D1.1

書 い て 簡 略 に 表 現 して い る。 そ の

の もの を 引 き継 い で い る。

動力学漸化式の作 り方 ― その １ ｋ部分 ブ ロ ック行 列

系 を構 成 して い る剛 体 の 総 数 を ｎ とす る 。

は,ｎ

個の ブ ロ

ッ クか らな る列 行 列 で あ り,個 々の ブ ロ ッ ク は各 剛体 に対 応 して い て,剛 体 の番 号 順 に並 ん で い る。 こ こで,そ らな る列 行 列 を作 り,

れ ぞ れ に つ い て,最

初 の ｋ個 の ブ ロ ッ ク だ け か

とす る 。

(D1.1)

(D1.2)

(D1.3)

(D1.4)

(D1.5)

  M',D,Lは,n×nブ

ロ ッ ク 行 列 で,ブ

ロ ッ ク行 の 番 号 も ブ ロ ッ ク列 の 番 号

も剛 体 の 番 号 に対 応 し て い る。 そ れ ぞ れ に つ い て,最 初 の ｋ個 の ブ ロ ッ ク行 と 最 初 の ｋ個 の ブ ロ ッ ク 列 が 交 差 す る 部 分 か らな る,k×kブ

ロ ッ ク行 列 を作 り,

とす る 。

(D1.6)

(D1.7)

(D1.8)

〓

と〓

は ブ ロ ック 対 角 行 列 で あ る。 〓

の対角 ブ ロ ック と上三角 部分 の ブ

ロ ッ ク は す べ て ゼ ロで あ る。 ｋ以 下 の番 号 を 持 つ 剛 体 に 対 応 す るLjが

ｊ番 目 の

ブ ロ ッ ク行 に配 置 さ れ て い る。 た だ し,慣 性 空 間 を親 とす る 剛 体 に対 応 す るL1 な どは存 在 しな い。 を ｋ部 分 ブ ロ ック 行 列 と呼 ぶ こ は,

と に す る 。 こ の 記 号 を 用 い る と,

と 同 じで あ る か ら,加 速 度 漸 化 式(21. 23),部

分 速 度 漸 化 式(21.25),運

動 方 程 式(21.30)は

次 の よ う に書 け る。

(D1.9) (D1.10) (D1.11)

D1.2

加速度漸化式,部 分速度漸化式,運 動方程式の分割 は,ｋ 個 の ブ ロ ッ ク 行 列 か ら な っ て い る が,こ

を最 初 のk-1個

の ブ ロ ック 行 列 と ｋ番 目の ブ ロ ック に分 け て 表 示 す る こ と を考

え る 。 た と え ば,

と

は,

はk×kの

初 のk-1個

れ

〓を 縦 に 並 べ た も の と 同 じ で あ る 。

ブ ロ ッ ク 行 列 で あ る が,そ

と ｋ番 目 に分 け て,大

す る。 そ の 場 合

〓と 〓

の ブ ロ ッ ク行 と ブ ロ ック 列 を 最

き く四つ の ブ ロ ッ ク に分 け て 表 示 す る こ と に

は 単純 で あ るが,〓

は 次 の よ うに 表 す こ と にす る。

(D1.12) 四 つ の 大 き な ブ ロ ッ ク の う ち,左 ロ ッ ク行 列 〓 て い て,右

上 の(k-1)×(k-1)ブ

で あ る 。 右 上 の(k-1)×1ブ

下 の1×1ブ

左 下 の1×(k-1)ブ

ロ ッ ク は(k-1)部

ロ ッ ク は上 三 角 ブ ロ ッ ク に含 まれ

ロ ッ ク は 対 角 ブ ロ ッ ク 上 に あ り,こ ロ ッ ク に はLkが

存 在 す れ ば,そ

外 は ゼ ロ で あ る 。 こ の 左 下 部 分 をL-k-と   以 上 の 表 現 方 法 を 用 い て,ま

ず,加

分 ブ

れ らは ゼ ロ に な る。

れ が 含 ま れ て い て,そ

れ以

書 くこ とに し た。 速 度 漸 化 式(D1.9)を

分 割 表 示 す る と次 の

よ う に な る。

(D1.13) 次 に,部 分 速 度 漸 化 式(D1.10)の を〓

分 割 表 示 を 考 え る 。 こ の 場 合,部

で 偏 微 分 し た もの で あ る か ら,両 方 の分 割 を考 慮 して,次

分速 度 は 〓 の よ う に な る。

(D1.14) V'nはHnに

依 存 し て い る が,〓

速 度 の う ち,〓 は次 の よ うに な る。

をHnで

はHnに

依 存 して い な い の で,四

つ ある部分

偏 微 分 し た も の は ゼ ロ に な る 。 した が っ て,こ の 式

(D1.15) 同 様 に,〓 式(D1.11)は

をHnで

偏 微 分 した もの が ゼ ロ に な る こ と を 考 慮 して,運 動 方 程

次 の よ うに 分 割 表 示 され る。

(D1.16) 加 速 度 漸 化 式(D1.13)は,次

の 二 つ の 式 に 分 け られ る 。

(D1.17) (D1.18) 部 分 速 度 漸 化 式(D1.15)か

らは,次

の三 つ の 関係 が得 られ る。

(D1.19) (D1.20) (D1.21) 運 動 方 程 式(D1.16)は,次

の 二 つ の式 に な る。

(D1.22) (D1.23) 式(D1.17)と(D1.19)は,式(D1.9)と(D1.10)の

添 え 字 ｎ を,す

べ て,n-1に

置

き換 え た も の に な っ て い る 。

D1.3

漸化計算の第一段階

  式(D1.20),(D1.21)を た 運 動 方 程 式 は,そ

式(D1.22),(D1.23)に れ ぞ れ,次

代 入 す る と,二

つ に 分 割 され

の よ う に な る。

(D1.24) (D1.25) 式(D1.18)を

運 動 方 程 式(D1.25)に

代 入 し て 整 理 す る と,次

の 式 が 得 られ る。

(D1.26) は 正 則 と し て よ い の で,こ

の 式 はHnに

つ い て解 く こ とが で き る。

(D1.27) こ れ を 式(D1.18)に

代 入 し て 整 理 す る と,次

の よ う に な る。

(D1.28) I￨n￨はM′

と 同 じ 大 き さ の 単 位 行 列 と す る 。I￨n￨を こ の よ う に 定 め た が ,特

結 合 を 含 ま な い 系 の 場 合 は,6×6の

単 位 行 列I6で

さ て,こ の 式 を運 動 方 程 式(D1.24)に

殊拘 束

あ る。

代 入 し,整 理 す る と次 の 式 が 得 られ る。

(D1.29) こ こ で,次

の 置 き換 え を行 う。

(D1.30)

(D1.31) そ の 結 果,式(D1.29)の

運 動 方 程 式 は 次 の よ う に書 け る 。 (D1.32)

式(D1.30)のW{n-1}はM′{n-1}と

同 じ大 き さ で,対

添 え 字 ｎ の 各 量 か ら 計 算 さ れ,LT-n-とL-n-の

称 な ブ ロ ッ ク対 角 行 列 で あ る。 働 き に よ っ て,M′{n-1}の

中 の,

剛 体 ｎ の 親 剛 体 の 番 号 に 対 応 す る 対 角 ブ ロ ッ ク に 計 算 結 果 が 足 し 込 ま れ,W{n-1} と な っ て い る 。 式(D1.31)のZ{n-1}はF′{n-1}と の 各 量 か ら 計 算 さ れ,LT-n-の

同 じ 大 き さ の 列 行 列 で,添

働 き に よ っ て,F′{n-1}の

号 に 対 応 す る ブ ロ ッ ク に 計 算 結 果 が 足 し こ ま れ,Z{n-1}と

D1.4

え字 ｎ

中 の 剛体 ｎ の 親 剛体 の 番 な って い る 。

第一段階の仕上げ

  こ こ ま で の 結 果 は,サ

イ ズ ｎの 系 か らサ イ ズn-1の

とで あ る。 サ イ ズ ｎ の 系 は,全

系 へ の 縮 小 が 得 られ た こ

ｎ個 の 拘 束 結 合 に 対 応 す る 一 般 化 速 度H{n}と,

全 ｎ個 の 剛 体 の 重 心 速 度 と角 速 度 の含 ん だ 速 度 レベ ル 変 数V′{n}が関 わ る運 動 方

程 式(D1.11),そ (D1.9)で

れ ら の 変 数 に よ る 部 分 速 度 の 漸 化 式(D1.10),加

代 表 さ れ る 。 サ イ ズn-1の

る 一 般 化 速 度 Ｈ{n-1}と,n-1番

系 は,n-1番

速 度 の 漸 化 式(D1.17)で

れ らの 変 数 に よ る部 分 速 度 の

代 表 され る。

  加 速 度 の 漸 化 式 と部 分 速 度 の漸 化 式 は,与 ｎ の系 か らサ イ ズn-1の

目 まで の拘 束 結 合 に対 応 す

目 まで の 剛 体 の 重 心 速 度 と角 速 度 を含 ん だ 速 度

レ ベ ル 変 数V′{n- 1}が 関 わ る 運 動 方 程 式(D1.32),そ 漸 化 式(D1.19),加

速 度 の漸 化 式

え られ た Ｌ と Ｄ を用 い て,サ

系 へ の 縮 小 が 成 立 し て い るが,運

必 要 で あ る 。 そ の 工 夫 と は,事 前 にW{n}とZ{n}を

イズ

動方程 式 には工夫が

次 の よ う に 作 っ て お く こ とで

ある。

(D1.33) (D1.34) 〓 は右 辺 を左 辺 に代 入 す る こ と を示 す 。 こ れ に よ り,サ イ ズ ｎの系 の 運 動 方 程 式 は 次 の よ う に書 け る。

(D1.35) この 式 と式(D1.32)を

対 比 す れ ば,サ

イ ズ ｎの 系 か らサ イ ズn-1の

系へ の縮小

は,運 動 方 程 式 で も成 立 して い る こ とが 分 か る。   こ の 縮 小 を 実 現 し て い る 漸 化 計 算 の 第 一 段 階 は,式(D1.30),(D1.31)で が,式(D1.33),(D1.34)の

置 き換 え に 対 応 し て,次

ある

の よ う な計 算 に な る。

(D1.36)

(D1.37) ま た,式(D1.27)も,次

の よ う に な る。

(D1.38) こ の 式 は,式(D1.18)と

共 に,V′{n-1}が わ か っ た 段 階 で,HnとV′nを

計 算す るた

め に使 わ れ る 。

D1.5

漸化計算の第二段階以降

サ イ ズ ｋ の 系 の 加 速 度 漸 化 式,部

分 速 度 漸 化 式,運

動 方 程 式 が,次

の よ うに

与 え ら れ て い る とす る 。

(D1.39) (D1.40) (D1.41) サ イ ズ ｋの 系 は,ｋ 番 目 まで の拘 束 結 合 に対 応 す る一 般 化 速 度H{k}と,ｋ

番 目ま

で の 剛 体 の 重 心 速 度 と角 速 度 を 含 ん だ 速 度 レベ ル変 数V′{k}が関 わ る系 で あ る。 こ の系 か ら,サ イ ズ ｎの 系 か らサ イ ズn-1の k-1の

系 へ の 縮 小 と同 じ手 順 で,サ

イズ

系 を作 る こ とが で き る。

ま ず,WkとW{k-1}か

ら,新

た なW{k-1}を

計 算 す る手 順 が 次 の とお り求 ま る。

(D1.42) 同 様 に,ZkとZ{k-1}か

ら,新

た なZ{k-1}を

計 算 す る手 順 は 次 の と お りで あ る。

(D1.43) ま た,V′{k-1}か

ら,HkとV′kを

求 め る 式 は次 の よ う に な る 。

(D1.44) (D1.45) そ して,サ

イ ズk-1の

系 の 加 速 度 漸 化 式,部 分 速 度 漸 化 式,運 動 方 程 式 は 次 の

よ うになる。

(D1.46) (D1.47) (D1.48) I￨k￨はM′kやWkと

同 じ大 き さ の 単 位 行 列 と す るが,特

殊 拘 束 剛 体 を含 ま な い 系

で はI6で あ る 。

D1 .6

漸化計算の全貌

  第 二 段 階 以 降 も得 られ た の で,漸 化 計 算 全 体 を ま と め て 把 握 す る こ とが で き る。 速 度 レベ ル まで の順 方 向 の 漸 化 計 算 で,式(21.18)のV′ で を 求 め た あ と,WkとZkを

求 め る こ と に な る が,そ

と式(21.24)の Σ ま

の 事 前 準 備 と して 次 の 代

入 を行 う。

(D1.49) (D1.50) そ の 後,次 式 に よ る逆 方 向 の 漸 化 計 算 に よ り,す べ て のWkとZkを

求 め る。

(D1.51)

(D1.52) こ の 式 の 添 え字 は,剛 体 ｊの 親 が 剛 体 ｉで あ る と して い る。 順 動 力 学 計 算 が 目指 して い る の はHkで

あ る が,こ

れ を求め るた め に次 の二 つ の漸化 式 を組 み合 わ

せ,V′kと 共 に,順 方 向 に解 く。

(D1.53) (D1.54) 以 上 で す べ て のHkが

求 ま る の で積 分 計 算 の 時 間 を 進 め る こ とが で き るが,そ

の

前 に拘 束 力 を求 め る必 要 が あ れ ば,逆 方 向 の 漸 化 計 算 を追 加 す る こ とに な る 。   式(D1.49)∼(D1.52)は,〓 現 に な っ て い る が,こ

を 用 い た 代 入 計 算 の 形 で,事 れ ら は,次

前 準 備 と分 離 した表

の漸 化 式 の 計 算 手 順 で あ る。

(D1.55) (D1.56) この 式 の漸 化 計 算 を 分 離 して 事 前 準 備 を先 に 行 う こ とに よ り,分 岐 の あ る木 構 造 の 計 算 を 画 一 的 に 行 う こ とが で き る。   こ こ で はOrder-N計

算 を 実 現 す る漸 化 計 算 の 構 造 を示 して い る が,細

算 時 間 の 節 約 方 法 に は 触 れ て い な い。 実 際 の 計 算 で は,た 計 算 の 中 で(DTkWkDk)-1が 52),(D1.53)で

かい計

と え ば,式(D1.51)の

求 ま っ た あ と,そ の 結 果 を保 存 して お い て,式(D1.

は そ れ を利 用 す るべ き で あ る。 個 々 の 式 の 中 で 行 う計 算 の 順 序

な ど も工 夫 で きる 部 分 が あ る はず で あ る。

D2

動力学漸化式の作 り方 ― その ２

前 項 で,動 力 学 的 に加 速 度 を求 め る た め の 漸 化 式 が得 られ た が,別

の方法で同

じ漸 化 式 を 導 い て み よ う。 速 度 レベ ル変 数 の 漸 化 式,そ

の 時 間微 分,ケ

イ ン型 の

運 動 方 程 式 は次 の よ うに 与 え られ て い る。 【21.18】 【21.23】 【21.30】

式(21.18)は 漸 化 計 算 の た め の表 現 だ が,こ

の式 は次 の よ う に変 形 で きる 。

(D2.1) こ の 式 の Ｈ の 係 数 はケ イ ンの 部 分 速 度 で あ る 。

(D2.2) した が っ て,運 動 方 程 式 は 次 の よ う に書 け る 。

(D2.3) 第 二 因 子 右 肩 の-Tは,逆

行 列 の 転 置,あ

る い は,転 置 の 逆 行 列 を意 味 す る。 こ

の運 動 方 程 式 の 第二 因 子 と第 三 因 子 の 積 を Ｑ とお く。

(D2.4) こ こ で は,Ｑ

は 一 般 化 座 標 と は無 関係 で あ る。 運 動 方 程 式 は 次 の よ う に な る。

(D2.5) 式(D2.4)は

次 の よ う に 書 き換 え られ る 。

(D2.6)   こ こ で,新

た な 行 列 変 数 Ｗ と Ｚ を 準 備 す る 。 Ｗ は,Ｍ

な ブ ロ ッ ク 対 角 行 列 で あ る 。 Ｍ ′の 各 ブ ロ ッ クMkは,特 は 一 つ の 剛 体 に 対 応 し て い て,式(21.26)に て い る 。3Mkは3×3ス

カ ラ ー 行 列,J′okは3×3対

大 き さ はM′kと

と Ｚ に よ っ て,Ｑ

同 じ で,対

つ の3×3の

ッ ク か ら な る ブ ロ ッ ク 対 角 行 列 に な っ て い る わ け で も な い 。6×6の

Ｗ

ら構 成 さ れ

称 行 列 で あ り,Mkは6×6の

部 の 構 造 ま で 一 致 して い る わ け で は な く,二

を 持 つ こ と に な る 。 Ｚ は,F′

称

殊拘 束結合 が ない場合

あ る よ う に3MkとJ′okか

大 き さ に な る 。 Ｗ の ｋ番 目 の 対 角 ブ ロ ッ クWkの 行 列 で あ る が,内

′と 同 じ よ う な,対

称 ブロ

全 要素 が値

と 同 じ ブ ロ ッ ク 構 造 の 列 行 列 で あ る 。 さ て,こ

の

が 次 の よ う に 表 さ れ る と仮 定 す る 。

(D2.7) こ の 式 に,式(21.23)を

代 入 す る。

(D2.8)

さ ら に,こ

れ を 式(D2.5)に

代 入 す る。

(D2.9) Ｄ と Ｗ は ブ ロ ッ ク 対 角 行 列 で あ る た め,左 ロ ッ ク 対 角 行 列 に な る 。Hkの #(Hk)×#(Hk)の

数 を#(Hk)と

大 き さ の 対 称 行 列 で,逆

も の と す る 。 式(D2.9)か

ら,次

辺 第 三 項 の Ｈ の 係 数DTWDも,ブ 書 く こ と に す る と,DTRWkDkは 行 列 が 存 在 し,Hkに

つ いて解 け る

の 式 が 得 られ る 。

(D2.10) こ れ を 式(D2.8)に

代 入 す る。

(D2.11) さ ら に,こ

の 式 を 式(D2.6)に

代 入 し,整

理 す る と,次

の ようになる。

(D2.12) こ の 式 と式(D2.7)を

対 比 し,V′ の係 数 と残 りの項 を等 置 す る と,次 の 関 係 が 得

られ る 。

(D2.13) (D2.14) こ の 二 式 は,式(D1.55),(D1.56)と

同 じで あ る 。 途 中 の 式(D2.10)は,式(D1.

53)と 一 致 し て い る 。   式(D2.13)は

Ｗ の 対 称 性 や ブ ロ ッ ク 対 角 行 列 の 構 造 を 変 化 さ せ な い 。W,D,

M′ が ブ ロ ッ ク 対 角 に な っ て い る こ と,そ 式(D1.51)に

D3 D3.1

し て,Ｌ

の 構 造 を 考 え る と,こ

の式が

表 した よ うな 漸 化 構 造 を持 っ て い る こ とが わ か る 。

漸化計算に関する補足 特殊拘束結合を含む系

  特 殊拘 束 結 合 を含 む 場 合 も,こ れ ま で に 導 い た漸 化 計 算 の 形 態 は そ の ま ま適 用 で き る。 た だ,ブ 結 合 の 場 合,親

ロ ック の 考 え 方 を修 正 す る必 要 が あ る。 拘 束 結 合 ｊが 特 殊 拘 束

剛 体 ｉは ひ とつ だ が,子

剛 体 ｊは 複 数 で,ｊ は 子 剛 体 の グ ル ー プ

で あ る。 そ の 剛 体 の 個 数 をnjと す る と,V′jは6nj×1の

列 行 列 とい う こ と に な

る 。 ま た,Ljは6nj×6,Djは6nj×#(Hj),M′ の 部 分 に 関 す る 計 算 で は,グ う こ と に な り,そ

の 分,計

剛 体 の 数 に 上 限 を 考 え,そ ー プ レベ ル で 考 え て

,系

とWjは6nj×6njで

あ る。 こ

ル ー プ の 中の 剛 体 の 数 に 対 応 した 大 き さ の行 列 を扱 算 時 間 に も 影 響 が 出 る 。 し か し,グ

ルー プ に含 まれ る

の 上 限 が 系 全 体 の 剛 体 の 数 よ り十 分 小 さ け れ ば,グ 全 体 と し てOrder-Nの

ル

性 質 を 維 持 して い る と見 な す こ

とが 可 能 で あ る 。

  子 剛体 ｊは複 数 あ る の で,剛 体 ご と に 番 号 付 け る とす る と,j1,j2,… こ と に な る。 そ の 中 の 一 つ,た の ｋが 剛 体 一 個 とす る と,Lkは

と えば,j1が

親 とな っ て,子

形 式 的 に は6×6njの

とい う

ｋ を持 つ とす る 。 こ

大 き さ に な る。 す な わ ち,

剛 体 ｋの 親 は 剛 体j1で あ っ て も,形 式 的 に は 剛 体 グ ル ー プ ｊを 親 とす る。 そ の よ う に考 え る と,拘 束 結 合 は 剛体 グル ー プ 間 の結 合 と考 え る こ とが で き,剛 体 グ ル ー プが 木 構 造 を形 成 して い て,こ れ まで 述 べ て きた 漸 化 計 算 は 剛 体 グ ル ー プ 単 位 で 考 え直 せ ば よい こ と に な る。 そ して,特 定 な 剛体 グル ー プ が 剛 体 一 個 の こ と もあ り,複 数 の こ と もあ る。 各 剛 体 グ ル ー プ 中 の剛 体 の 数 に対 応 し て各 行 列 の ブ ロ ッ クの 大 き さ は,画 一 的 で は な くな る。

D3.2   21.3節

漸化計算用の速度レベル変数と一般化速度について に 述 べ た よ う に,V′ojの

か わ り にV′o′jを用 い て も,漸

化 的 方 法 の 定 式化

は 同 型 に な る。

(D3.1) (D3.2) (D3.3) (D3.4) 21.2節

に ボ ー ル ジ ョ イ ン トの 事 例 を 説 明 し,重

(21.16),(21.17)に

心 速 度 と角 速 度 の 関 係 を 式

示 した 。 この 二 つ の式 を ま とめ る と次 の よ うに な る。

(D3.5) 同 じ 関 係 を,重 の よ う に な る。

心 速 度 も 剛 体 固 定 の 座 標 系 で 表 し たV′ojと,Ω

′ojを 用 い る と,次

(D3.6) L′jもD′jも,剛

体 ｊと剛 体 ｉの 相 対 的 な位 置 関 係 で 決 まる 量 だ け で 表 さ れ て い

る。   V′ojとV′′ojの い ず れ を 用 い る 場 合 で も,独 を 考 え る こ と が 多 い 。 漸 化 的 方 法 を,相 ど,相

は相 対 的 な量

対 速 度 に よ る 方 法 と呼 ぶ こ とが あ る ほ

対 的 な 量 で 表 す こ と が 当 た り前 だ と 思 わ れ て い る 。 ボ ー ル ジ ョ イ ン トの 事

例 で 上 記 の 二 つ の 式 で は,Ω 場 合,一

立 な 一 般 化 速 度Hjに

′ijをHjと

し た 。 し か し,同

じ ボ ー ル ジ ョ イ ン トの

般 化 速 度 に Ω′ojを用 い る こ と も で き る 。 次 式 は そ の 場 合 のLjとDjを

示 して い る。

(D3.7) こ の よ う なHj,Lj,Djを

用 い て も,計 算 上 で 不 都 合 な こ とが 起 き る こ と は な

く,相 対 座 標 が 絶 対 に必 要 とい うわ け で は な い 。

付録

Ｅ

作用力の事例

  剛 体 上 の各 点 に は作 用 力 や 作 用 トル クが 働 く。 これ らを等 価 換 算 して合 計 す る と重 心 に働 く作 用 力 と作 用 トル ク に 置 き換 え る こ とが で きる 。 第 Ⅳ部 で は 運 動 方 程 式 を立 て る た め の各 種 の 方 法 が 説 明 され て い て,そ の 中 に作 用 力 と作 用 トル ク が 出 て くる 。 等 価 換 算 さ れ た もの を 用 い る説 明 が 多 い が,そ

うで な い もの もあ

る 。 しか し,い ず れ に して も作 用 力 と作 用 トル クの 具 体 的 な 内 容 は,実 動 方 程 式 の 立 て 方 とは 無 関 係 で あ る。 唯 一,ラ

際 上,運

グラ ンジア ンを用 い る方法 だ け

は,作 用 力 が保 存 力 か 否 か に よ っ て 異 な っ た扱 い 方 をす る。 そ れ で も,実 際 の 機 械 を 扱 う ほ とん どの 場 合,ラ

グ ラ ン ジア ン は,単 に,運 動 補 エ ネ ル ギ ー だ け で 十

分 で あ る。 バ ネ力 の よ うな 保 存 力 も ダ ンパ ー な どの 他 の 非 保 存 力 と共 に単 な る作 用 力 と して扱 え ば よ く,ラ グ ラ ン ジ ア ン に組 み 込 む 利 点 は,あ

ま り見 当 た ら ない

(分 布 定 数 系 を対 象 と して ハ ミル トン の 原 理 な ど を用 い る場 合 は別 で あ る)。 作 用 力 と作 用 トル ク の 具体 的 な 内 容 は,運 動 方 程 式 を 立 て る前 に 関係 式 に含 め て も よ く,あ る い は,後 で 補 う こ と も可 能 で あ る。 本 書 の 主 な狙 い は 運 動 方 程 式 を立 て る方 法 で あ る か ら,作 用 力 や作 用 トル クの 多 様 な側 面 を広 く見 渡 した り深 く掘 り 下 げ る こ とは して い な い。 しか し,実 際 問 題 で は作 用 力 や 作 用 トル ク の適 切 に表 現 で きな け れ ば運 動 方 程 式 は 完 成 しな い 。 実 際 に順 動 力 学 の 数値 シ ミュ レー シ ョ ンを 行 な う と き,案 外 面 倒 な の が 作 用 力 で あ る。 そ こで,こ か の 事 例 を取 り上 げ て,特

の付 録 で は,い

くつ

に,３ 次 元 問 題 で 生 じる 戸 惑 い な ど を軽 減 し,応 用 力

を高 め るた め の助 け と した い 。   作 用 力,作 用 トル ク と は,位 置 レベ ル 変 数,速

度 レベ ル変 数,時

間の 関 数 と し

て 表 され る も の で あ る 。 一 定 力 も そ の特 殊 な場 合 で作 用 力 で あ る 。 位 置 レベ ル 変 数 とは,作 用 点 の位 置,あ

る い は,剛 体 の 代 表 点(た

勢 で あ り,速 度 レベ ル 変 数 とは,作 用 点 の 速 度,あ

と え ば重 心)位

置 と回 転 姿

る い は,剛 体 の代 表 点(た

と

え ば重 心)速 度 と角 速 度 で あ る。 す な わ ち,質 点 系 で は次 の よ うな 一 般 的 な 表 現

が 可 能 で あ る。

f=f(r,v,t)

(E.1)

ま た,剛 体 系 で は 回転 姿 勢 を Ｃ で代 表 させ て,次 の よ うに 書 くこ とが で き る。

(E.2) (E.3) Ｃ は 実 際 に は Θ か Ｅ に な る で あ ろ う。 また,位 置 や 速 度 な どは 一 般 化 座 標 Ｑ や 一 般化 速度 Ｈ の 関数で あるか ら ,Ｆ や Ｎ′も Ｑ と Ｈ と ｔの 関数 と も い え る。 い ず れ に して も重 要 な こ と は,作 用 力 や 作 用 トル クが,加

速 度 や 角 加 速 度 に は依 存

して い な い こ とで あ る 。 バ ネ力 はバ ネの 両 端 点 の 位 置 に よっ て決 ま る。 ダ ン ピ ン グ力 は ダ ンパ ー の 両 端 点 の 位 置 と速 度 で 定 ま る。 時 間 の 関 数 と して作 用 力 を変 化 させ る よ う な モ デ ル を 考 え る こ と もで き る。 ま た,摩 擦 力 は相 対 的 な滑 り速 度 に よ る と考 え る こ とが で きる 。 重 力,電 磁 気 力 も位 置 と速 度 と時 間 以外 に は依 存 し な い。 流 体 か ら受 け る力 に は様 々 なモ デ ル が 用 い られ るが,位

置 と速 度 と時 間 に

依 存 す る性 質 は変 わ ら な い 。

E1

重力

  13.3項 の 図13.3は

接 触 点 で 滑 ら な い 転 動 円 盤 で あ る。 こ の 円 盤 に は空 気 力 の

よ うな もの は働 い て い な い と し,接 触 点 に お い て も,回 転 運 動 に伴 う抵 抗 力 な ど の考 え な い も の とす る 。 そ の と き接 触 点 に拘 束 力 は 働 くが,作 用 力 は働 か な い 。 円 盤 に働 く唯 一 の作 用 力 は重 力 だ け に な る。   重 力 の 加 速 度 を ｇ とす る と,重 力 は,座 標 系 ０ で 表 して-DｚMAgと な る。 こ の モ デ ル で は Ｚ 軸 が 鉛 直 上 方 を 向 い て い る の で ,Dzの 用 い,負 号 を つ け て あ る。MAは

円 盤 の 質 量 で,こ

の 重力 は 重 心 に作 用 す る。

  接 触 点 で 滑 る こ とな どが 許 さ れ,す べ りに伴 う抵 抗 が 働 く とす る と,そ れ も作 用 力 に な る。 複 数 の 作 用 力 は共 に運 動 に 影 響 す る。 そ れ ぞ れ の 作 用 力 を重 心 位 置 へ 等 価 換 算 し,そ れ らの和 を取 る こ とは,作 用 力 を 一 つ に ま とめ る方 法 で あ る 。

E2

バ ネ と ダ ンパ ー の力

  ３次 元 空 間 に 剛 体A,Bが

あ り,Ａ 上 の 点 Ｐ と Ｂ 上 の 点 Ｑ の 間 に線 形 バ ネ が

作 用 して い る とす る。 バ ネ の 自然 長 は ｂ,バ ネ定 数 は ｋで あ る 。 バ ネ 力 の 大 き さ は 二 点 間 の 長 さで 決 ま り,方 向 は点P,Qを

結 ぶ 線 上 で あ る。 バ ネが 自然 長 に 比

べ て 伸 び て い れ ば 二 点 を近 づ け る方 向 の 力 に な り,縮 ん で い れ ば二 点 を遠 ざけ る 方 向 の 力 に な る とす る 。 二 点 が 一 致 す る ほ どバ ネ が 縮 む こ とは な い と して,点 P,Qに

働 く力 は 次 の よ う に表 す こ とが で きる 。

(E.4)

(E.5) は 二 点 間 の 長 さ で,rPQは 数 ベ ク ト ル で あ り,COAはrPQを

Ｐ か ら Ｑ に 向 か う 矢 印 を座 標 系 Ａ で 表 した代 座 標 系 Ｏ に座 標 変換 して い る。 二 点 が 一 致 す る

ほ どバ ネ が 縮 む こ と は な い とす れ ば に な る こ とは な い。 な お,こ て い る が,rPQはrOP,rOQ,COAか

は 常 に 正 の 値 で あ り,分 母 が ゼ ロ

れ らの 式 はrPQが 求 ま っ て い る こ と を前 提 に 作 られ ら容 易 に作 る こ とが で き る 。 また,こ

の式 は

１次 元 の バ ネの 式 に 比 べ る と複 雑 に な っ て い る 。 多 くの場 合,機 械 に組 み 込 ま れ て い るバ ネ の作 用 方 向 は 定 ま っ て い る の で,バ の 式 は,点P,Qが

ネ の 式 は もっ と簡 単 に な る が,上

３次 元 空 間 の任 意 の 方 向 に動 く よ う な場 合 に も適 用 で きる も

の で あ る 。 ３次 元 問 題 を考 え る こ と は不 慣 れ な う ち は 面 倒 で は あ る が,上 記 の 式 の よ う に,力 の 作 用 の 仕組 み を適 確 に 把 握 した 上 で,そ

れ を 素 直 に表 現 す れ ば 済

む 話 で あ る(読 者 は上 記 の 点 Ｐ に 働 く力 を,独 力 で この 式 を見 ず に作 り出す こ とが で きる で あ ろ うか)。   順動 力 学 解 析 で は位 置 と速 度 と時 間 が 定 まっ て い る状 態 で,力

を計 算 す る よ う

な 計 算 手 順 が 必 要 に な る。 そ の よ うな 場 合,バ

一つの式 に まと

ネ力fOPやfOQを

め る必 要 は な く,そ の 計 算 手 順 が示 され て い れ ば よ い。 た と え ば,次 の よ う な説 明 は,上

記 の バ ネ の 計 算 手 順 で あ る。 まず,バ

ネ の長 さ

が 計 算 さ れ,

自然 長 を引 い て バ ネ 定 数 を掛 け る とバ ネ 力 が 求 ま る。 一 方,COArPQに の 逆 数 を掛 け れ ば,バ

ネ力 の 方 向 が 正 規 化 され た形 で 定 ま る。 そ の 方 向 にバ ネ 力

を働 か せ れ ばfOPに

な る。fOQはfOPの

符 号 を 反 転 し て 求 め る こ とが で き る。 こ

の よ うな 計 算 手 順 は,上 記 のfOPとfOQの

式 をい くつ か の 式 に分 割 して 順 次 計 算

す る こ と と同 じで あ る 。   同 じ二 点P,Q間

に線 形 の ダ ンパ ー も働 い て い る と し よ う。 ダ ン ピ ング係 数 を

ｃとす る 。 ダ ンパ ー に よ る力 の 方 向 もバ ネ 力 の働 く方 向 と同 じ とす る と,バ ネ 力 も含 め た力 は 次 の よ う に な る。

(E.6)

(E.7) 二 点P,Qの

位 置 か ら ダ ン ピ ング力 の 作 用 方 向 が 定 ま り,相 対 速 度 の作 用 方 向成

分 が ダ ン ピ ン グ力 の 大 き さ と正 負 を 決 め て い る。 力 を 定 め る ル ー ル が 明 確 な ら, そ れ を 数 式 や計 算 手 順 で表 現 す る こ とは 難 しい こ と で は ない 。

E3

力による加振(時 間依存力)

  バ ネ や ダ ンパ ー は 機 械 を構 成 す る要 素 の代 表 的 な もの とい え る が,こ れ らは剛 体 間 を結 合 す る要 素 で あ る 。 バ ネや ダ ンパ ー 自体 の 質 量 を無 視 して扱 う こ とが 多 く,そ の よ う な場 合,こ

れ らの 要 素 は力 要 素 と呼 ばれ る 。 力 要 素 と して の バ ネや

ダ ンパ ー の モ デ ル は,取

りつ け 点 の 位 置 や 速 度 と取 り付 け 点 に作 用 す る 力 の 関 係

で あ る。 別 の 力 要 素 と して,時 の が 考 え られ る。 た と え ば,点

間 に依 存 した力 を特 定 な 点 に 作 用 させ る よ う な も Ｐ に そ の よ う な力 が 作 用 す る と し,そ の 方 向 は

座 標 系 Ｏ の Ｙ 軸 の 方 向 とす る。 力 が 時 間 と共 に 正 弦 波 状 に 変 動 す る場 合,そ

の

モ デ ル は次 の よ う に 表 す こ とが で き る。

(E.8) a0,ω0,φ0は

ス カ ラ ー 定 数 と考 え て い る。 な お,こ

の 加 振 は力 の 加 振 で あ り,

した が っ て力 要 素 で あ る。 正 弦 波 状 に 点 の 位 置 を動 か す 場 合 は,そ 加 えて い る こ と に な り,全 く別 の扱 い に な る。 ま た,fOPの で系 全 体 の モ デ ル の な か に は現 れ な い が,こ

の点 に拘 束 を

反 力 は 空 間 に働 くの

の よ うな 場 合 も含 め て一 般 に,作 用

力 に は必 ず 反 作 用 が あ る。

E4

乗用 車 や オ ー トバ イ な ど の タイ ヤ に働 く力

  乗 用 車 や 自動 二 輪 車 の タ イ ヤ と路 面 の 相 互 作 用 を 考 え る。 た だ し,こ こ で は, 路 面 は平 面 に 限 定 し,車 輪 と タイ ヤ を一 体 で考 え て 厚 さ の な い 円 盤 とす る。   乗 用 車 や 自動 二 輪 車 の運 動 方 程 式 は 剛体 振 子 や コマ な ど に比 べ れ ば複 雑 だ が, タ イ ヤ と路 面 の 相 互 作 用 を 除 け ば,複 数 の 剛体 が 数種 類 の ジ ョイ ン トや 力 要 素 で 結 合 さ れ て い る と考 え られ る場 合 が 多 く,そ の 限 りで は モ デ ル 規 模 が 大 き い だ け で あ る。 しか し,タ イ ヤ と路 面 の相 互 作 用 は少 し異 質 で あ る 。 物 の 接 触 を扱 う 問 題 を接 触 問題 と呼 ぶ が,タ

イ ヤ と路 面 の 相 互 作 用 は接 触 問題 で あ る。 接 触 問 題 で

は,接 触 部 分 の 形 状 が 複 雑 に な る と簡 単 で は な くな る。 そ こ で,こ の 複 雑 さを 避 け て,平

面 と厚 さの な い 円 盤 に 限 定 す る。 そ れ で も,接 触 問 題 は複

雑 で あ る。 路 面 の 凹 凸 を考 え た り,タ イ ヤ の形 状(断 は,さ

こ で は,形 状

面 形 状 な ど)を 考 え る こ と

らに応 用 力 を 必 要 とす る 課 題 で あ る。

  平 面 と転 動 円 盤 の接 触 モ デ ル に は い くつ か の異 な る考 え方 が あ る。 そ れ は接 触 モ デ ル の 中 に拘 束 を 考 え る か否 か,ま た,ど

の 方 向 の 拘 束 を 考 え るか とい う こ と

で あ る。 そ の 方 向 とは 路 面 に垂 直 な 方 向,円 盤 の 転 動 方 向,円 盤 の 横 すべ り方 向 の 三 つ で あ る。 拘 束 が あ る場 合,そ

の 方 向 の接 触 力 は 拘 束 力 に な る。 拘 束 が な け

れ ば作 用 力 で あ る。 こ こで はす べ て の 方 向 に拘 束 の な いモ デ ル を考 え る が,方 別 に拘 束 が あ る 場 合 に も参 考 に な る はず で あ る。 な お,タ

向

イ ヤ と路 面 の相 互 作 用

で は,上 記 の並 進 三 方 向 以 外 の 回転 運 動 に 関す る拘 束 は,通 常,な

い と して 差 し

支 え な い。   座 標 系 Ｏ の Ｚ 軸 が 鉛 直 上 方 を 向 い て い て,転 動 す る路 面 をX-Y平 こ の と き,路 面 に 垂 直 な方 向 はeozで 現 で は 式(9.11)に

出 て くるDzと

面 とす る 。

あ り,座 標 系 Ｏ で 表 した 代 数 ベ ク トル 表

な る。 転 動 円 盤 を Ａ と し,座 標 系 Ａ は Ｙ 軸 が

円 盤 面 に垂 直 に な る よ うに 円 の 中心 に固 定 さ れ て い る とす る。 円 盤 の転 動 方 向 は 路 面 と円 盤 面 の 交 線 に沿 う方 向 で,座 標 系 Ａ の Ｙ 軸 が 左 に向 く よ うな 向 き とす る 。 こ の 方 向 を 座 標 系 Ｏ で 表 し てDoxxと

書 く こ と にす る。 こ の 方 向 はeayと

eozと の 外 積 か ら 求 め る こ と が で き る 。 こ の 外 積 は 座 標 系 Ｏ で 表 す と

-DzCOADYと Doxxと

なるが

,こ

れ は 長 さ が 単 位 長 さ に な っ て い な い の で,正

規 化 して

す る。

(E.9) 転 動 円盤 が 完 全 に倒 れ て 円 盤 面 が路 面 と平 行 に な ら な い 限 り,こ の 式 の分 母 は ゼ ロ に な る こ と は な い。 次 に 円 盤 の横 す べ りの 方 向 を座 標 系 Ｏ で 表 してDOYYと す こ とに す る。 こ れ は 鉛 直 方 向DzとDoxxと

表

の外 積 で あ る。

(E.10) DoxxとDzは

す で に直 交 して い る の で 正 規 化 の 手 続 きは 必 要 な い。

  次 に,円 盤 Ａ の 最 下 点 を Ｐ と し,Ｐ か ら Ａ に 向 か う単 位 長 さ の 幾 何 ベ ク トル を座 標 系 Ｏ で 表 して Ｄozzzと す る 。

(E.11) こ れ は,円

盤 の 面 内 で 最 もeozに

現 し た も の で あ る 。Doxxと

近 い 単 位 長 さ の 幾 何 ベ ク トル を 座 標 系 Ｏ で 表

は 直 交 し て い る が,DOYYと

は 直 交 し て い な い の で,

こ れ ら と は 添 え 字 の 付 け 方 を 変 え て あ る 。 円 盤 上 の 点 Ｐ の 位 置rApは,円 径 を ｂ と し て,次

盤 の半

の よ うに 求 ま る。

(E.12) 座 標 系 Ｏ か ら 見 た 点 Ｐ の 位 置rOPは,こ

こ で 求 ま っ たrAPと

円 盤 の 中 心 点ROA

か ら次 の よ う に計 算 で きる 。

(E.13) 点 Ｐ は最 下 点 で あ る か ら,円 盤 の 回 転 運 動 に伴 っ て 円 盤 上 を 動 く こ と に な る。 以 上 の 二 式 を 時 間微 分 す る こ と でVAPやVOPを

求 め る こ と も で き る が,こ

れら

は,最 下 点 の 円盤 上 で の 速 度 と,路 面 上 で の 速 度 で あ る 。 こ れ ら の 時 間微 分 に は,式(E.9)の

時 間 微 分 が 関 係 して くる の で 多 少 面倒 で あ る が,こ

必 要 は な い。 さて,点 こ の と き,点 合,最

Ｐ が 常 にX-Y平

こ で は求 め る

面 上 に あ る とす る と,こ れ は拘 束 で あ る。

Ｐ は 円 盤 と路 面 の 接 触 点 に な っ て い る。 こ の よ う な拘 束 が な い 場

下 点 Ｐ は路 面 と の接 触 の 判 定 に 利 用 す る こ とが で きる 。rOPの Ｚ 成 分rOPZ

が 負 の 値 を持 っ て い る と,点

Ｐ は 路 面 に 潜 り込 ん で い る こ と に な り,こ の 成 分

が 正 の と き は,円 盤 は空 中 に 浮 い て い る こ と に な る 。   次 に,接

触 点 Ｐ に対 し て,瞬 間 接 触 点 と呼 ぶ 別 の 点 Ｑ を考 え よ う。 この 点 は

考 え て い る 瞬 間,点

Ｐ に 一 致 し て い る が,円

あ る 。 し た が っ て,rAQの ゼ ロ で あ る 。rOQも

値 はrAPに

式(13.61)と

盤上 に固定 されてい る仮想 の点 で

等 し い が,rAQは

定 数 と し て 扱 わ れ,VAQは

同 様 に 作 る こ と が で き る が,当

然,rOPと

同 じ値

で あ る。

(E.14) こ の 式 を 時 間微 分 して 点 Ｑ の速 度 を調 べ る と,rAQが

定 数 で あ る た め,rOPの

時

間微 分 と は異 な っ た もの に な る 。

(E.15) 点 Ｑ は 円 盤 上 の 固 定 点 で あ る か ら,こ の 点 がX-Y平 VOQのX-Y平

面 に 接 触 し て い る 場 合,

面 に沿 う成 分 は 円 盤 と路 面 が 滑 っ て い る 速 度 に な る。 接 触 点 が 潜

って い る 場 合 は滑 りの 意 味 が あ い まい に な る が,少

な く と も潜 りが 浅 い場 合 は近

似 的 に滑 り速 度 とす る こ とが で き る。 ま た,最 下 点 が 潜 っ て い る と き,瞬 間 接 触 点 を最 下 点 よ り少 し上 方 に 取 る よ う な考 え 方 もで き る。 た とえ ば,最 下 点 と 円盤 中 心 を結 ぶ 線 がX-Y平   さ て,い

面 と交 わ る点 で も よい 。

よい よ作 用 力 を考 え よ う。 ま ず,接

触 点 が 潜 っ て い る と き,￨rOPZ￨に

適 当 な 大 き さの バ ネ定 数 ｋ を掛 け た鉛 直 上 向 き の力 を点 Ｐ ま た は 点 Ｑ に働 か せ る と,円 盤 が 路 面 に深 く潜 り込 ま な い よ う に で きる 。 バ ネ だ け で は 円盤 の挙 動 が 振 動 的 に な る 場 合,VOPZに

適 当 な大 き さの ダ ン ピ ン グ係 数 ｃを掛 け た ダ ン ピ ン グ

力 を加 え る こ とは 実 際 的 な 処 置 と して よ く行 わ れ る 。 こ の よ うな 線 形 的 なバ ネ と ダ ン ピ ング が 車 の タ イ ヤ の特 性 と して不 充 分 な場 合 は,非 線 型 特 性 も考 慮 した 適 切 な モ デ ル化 を 目指 す べ きだ が,線 形 モ デ ル で も原 始 的 な タ イ ヤ の 支 持 力 は 実 現 で き る。 な お,rOPZが

正 の 場 合 は タ イ ヤ 支 持 力 を ゼ ロ とす る ほ うが 実 際 的 で あ

る。 バ ネ とダ ン ピ ン グの 特 性 は これ だ け で も非 線 型 で あ るが,こ っ て,タ

うす る こ と に よ

イ ヤ が路 面 か ら浮 き上 が れ る た め,四 輪 車 の転 倒 な どを扱 う こ とが で き

る よ うに な る 。 以 上 を 考 慮 す る と,点

Ｑ に加 わ る 鉛 直 方 向 の 力 は 次 の よ う に 書

くこ とが で きる。

(E.16) 右 辺 の 最 初 の 因 子 は￨rOQZ￨が 正 の と き は ゼ ロ に な り,負 の と き に-１

に な る もの

で,signは

限の 速度 で

符 号 を拾 い 出 す 働 きで あ る 。 な お,こ

円 盤 が 落 下 して きて接 触 状 態 に 入 った と き,ダ

の モ デ ル で は,有

ンピ ング 力 が ゼ ロ か ら有 限 の 値 に

急 変 す る。 この よ うな こ とが 数 値 計 算 上 の 不 具 合 につ な が る恐 れが あ る 場 合 は適 切 な 処 置 が 必 要 で あ る 。 た と え ば,ダ

ン ピ ング 力 を深 さに も依 存 させ る よ う にす

る方 法 な ど が あ る。   滑 りに よ る作 用 力 を考 え よ う。 滑 りの 方 向 は 転 動 方 向 と横 滑 りの 方 向 とが あ る。 も し,滑

ら な い よ う な拘 束 を設 け れ ば作 用 力 の 代 わ り に拘 束 力 が 働 く こ と に

な り,し か も,こ の拘 束 は方 向別 に選 択 す る こ とが 可 能 で あ る。 た だ し,こ こで は拘 束 は 考 え ず に,滑 合,転

りに 伴 う摩 擦 力 の 表 現 を 求 め る こ と に す る。 タ イ ヤ の場

動 方 向 と横 滑 り方 向 とで 特 性 を 別 々 に捕 ら え る こ と も多 く,そ の場 合 には

DoxxとDOYYを

活 用 す る こ と に な る。 しか し,こ こで は簡 単 に,滑

り と反対 方 向

に ク ー ロ ン摩 擦 的 な力 が働 く と し,方 向 に よ る 特 性 の 違 い は な い もの とす る 。 ク ー ロ ン摩 擦 的 な 力 とは 面 に 垂 直 な力 に 一 定 の 摩 擦 係 数 μ を掛 け た もの で,垂 直 な力 は す で に計 算 し たfOQZで あ る 。 た だ し,そ の ま ま で は滑 りが ゼ ロ の 状 態 は 不 安 定 に な る 。 静 止 状 態 を含 む車 両 の モ デ ル で は この 不 安 定性 は望 ま し くな い の で,滑

りが ゼ ロ の 付 近 で は 滑 り に比 例 した 抵 抗 力 を持 つ と し,そ の 比 例 定 数c0

を大 きな 値 に す る こ とで クー ロ ン摩 擦 に 近 い特 性 を実 現 す る。 なお,こ 目 的 のc0は,大

きす ぎ る と数 値 計 算 上,不

の よ うな

安 定 に な っ た り,計 算 時 間 の 悪 化 に

繋 が る 。 計 算 時 間 と望 ま しい 特 性 との トレ ー ドオ フ関 係 を 注 意 深 く扱 わ な け れ ば な ら な い 。 さ て,VOQのX-Y平 値

でvOQX,VOQYを

割

れ

で あ る。 こ の

面 内成 分 の 大 きさ は ば,滑

り 方

向tSLIP,mSLIPを

求

め

が ゼ ロ で 割 り算 が 成 立 し な い と き はlSLIP,msLIPを

る

こ と が

で

き る。

ゼ ロ と し て お く。

以 上 の準 備 を も と に,摩 擦 力 は次 の よ うに 計 算 され る。 ただ し

の と き,

(E.17) た だ し,

の と き,

(E.18) (E.19) この 摩 擦 力 は転 動 方 向 と横 滑 り方 向 を 区 別 せ ず に,滑

り方 向 と反 対 向 き に摩 擦 的

な 力 が 働 く と して い る。 この よ う な単 純 な モ デ ル を用 い て も,通 常 の走 行挙 動 は

実 現 で き る。 な お,方

向 を 限 定 し て拘 束 す る場 合 は 残 りの方 向 の 摩擦 力 だ け を考

え れ ば よい 。   こ こ ま で 摩 擦 力 に よ る モ デ ル化 を考 え て きた が,操

縦 安 定 性 な どの 検 討 に は,

タ イ ヤ の横 力 を横 滑 り角 との 関 係 で 把 握 す る コ ー ナ リ ン グ特 性 が 用 い られ る こ と が 一 般 的 で あ る。 乗 用 車 な どの 通 常 走 行 で は,横 滑 り角 に コ ー ナ リ ン グパ ワ ー を 乗 じ て コ ー ナ リ ング力 とす る。 また,自 動 二 輪 車 な どで は,横 滑 り角 と と も に タ イ ヤ の 傾 き角 に も依 存 す る コ ー ナ リ ン グ力 を 考 え る。 これ らの 特 性 は タイ ヤ 試 験 機 を用 い て 計 測 す る こ とが で きる。 一 方,駆

動 力 や ブ レー キ 力 は転 動 方 向 の 摩 擦

力 の よ う な 形 で 考 え る こ と も多 い。   横 力 と転 動 方 向 力 は い ず れ も タ イ ヤ と路 面 の接 触 に よ っ て 生 じる もの で あ るか ら,両 者 を ま とめ る考 え 方 に も合 理 性 が あ る。 さ ま ざ ま な タイ ヤ と タ イ ヤ 力 の モ デ ル が 検 討 さ れ て い る。 実 際 の タ イ ヤ は ゴ ム の変 形 を伴 っ て い て,接 触 部 も点 で は な く面 に な っ て い る。 そ の 面 を代 表 す る意 味 で 点 を考 え る場 合 で も,そ の位 置 は 多 少 転 動 方 向 に 寄 っ て い る な ど,ゴ ム の 変 形 状 況 は 複 雑 で あ る 。 詳 細 は専 門 の 文献 を参照 されたい。   実 際 の タ イ ヤ に は 横 幅 が あ り,こ の 横 幅 を含 め て モ デ ル化 す る こ とが 必 要 な場 合 も あ る 。 平 面 を走 行 して い る と きで も,自 動 二 輪 車 の よ う に傾 き角 が 大 き くな る場 合,横

力 特 性 へ の 影 響 だ け で は な く,接 触 点 や 瞬 間接 触 点 の決 め 方 に も横 幅

を考 慮 す る 必 要 性 が 高 ま る。 た とえ ば,タ

イ ヤ を ドー ナ ツ状 の 形 と考 え,ド ー ナ

ツ の 断 面 を 円 と仮 定 す れ ば,実 際 に 近 い 接 触 点 や 瞬 間接 触 点 を考 え る こ とが で き る よ う に な る 。 乗 用 車 で も,た

とえ ば石 畳 の 路 面 を走 る場 合 に路 面 か ら受 け る さ

ま ざ ま な力 を検 討 す る た め に,横 幅 や タ イヤ 形 状 が 重 要 に な っ て くる。

付録 Ｆ

運動方程式の線形化

  順 動 力 学 の 数 値 シ ミュ レー シ ョ ン には,普 通,運

動 方 程 式 と,随 伴 させ る運 動

学 関係 式 が 必 要 で あ る 。 随 伴 させ る 運 動 学 関係 式 と は,一 般 化 座 標 の 時 間微 分 と 一 般 化 速 度 の 関 係 式 で あ る。 こ の両 者 が 揃 っ て,系 の 動 的 な 特 性 が 定 ま る。 これ ら は,一 般 化 座 標 と一 般 化 速 度 に 関 す る非 線 形 な微 分 方 程 式 を 構 成 して い る が, これ らを線 形 化 して,固 有 値 解 析 な ど を行 う場 合 も,両 者 が 揃 っ て い る こ とが 必 要 で あ る。 線 形 化 は,振 動 問題 や 制 御 問 題 に 結 び 付 け て ゆ くた め の 重 要 な手 段 で あ る。 こ の 付 録 で は,標 準 型 の 運 動 方 程 式 と随 伴 させ る 運 動 学 関係 式 を対 象 に, 線 形 化 の 方 法 を説 明 す る。 一 般 化 座 標 Ｑ や 一 般 化 速 度 Ｓ に 拘 束 が あ る 場 合 につ い て も,簡 単 な補 足 が あ る 。

線形化ポイン ト

F1

まず,標 準 型 の 運 動 方 程 式 に 限 定 して 考 え る。

(F.1) 随 伴 させ る運 動 学 関係 式 は次 の よ う な形 で あ る とす る。

(F.2) msと

Ａ と Ｂ は,一 般 に,Ｑ

と ｔの 関 数,fsは

Ｑ と Ｓ と ｔの 関 数 に な っ て い る

はず で あ る 。 しか し,対 象 に な っ て い る系 が 制 御 対 象 の 場 合,制 ｕ は 未 定 の ま ま に な っ て い る場 合 が あ る の で,そ

れ ら は ｕ の ま ま 扱 え ば よ い。

入 力 ｕ に 対 して,ｕ や ｕ が 含 ま れ る こ と もあ る が,こ 簡 単 な場 合 に 限 定 し,fSが

御 系 か らの入 力

こで は ｕだけ が含 まれる

Ｑ と Ｓ と ｕ と ｔの 関 数 に な っ て い る とす る。 固 有値

解 析 の場 合 は ｕを定 数 と して お け ば よい 。

(F.3) (F.4)

  線 形 化 は,線 形 化 ポ イ ン トの ま わ りの微 小 変 化 に 注 目 して行 わ れ る。 線 形 化 ポ イ ン トは,多

くの 場 合,平

衡 点(平 衡 状 態)で

あ る 。 あ る い は,定 常 状 態 と呼 ば

れ る 状 態 か ら の微 小 変 化 を 考 え る こ と もあ る 。 しか し,も っ と一 般 に は,運 動 方 程 式 と補 足 さ れ た 運 動 学 関係 式 を満 たす 一 般 化 座 標 Ｑ,一 般 化 速 度 Ｓ,一 般 化 座 標 の 時 間微 分 Ｑ,一 般 化 速 度 の 時 間 微 分 Ｓ,入 力 ｕ の 組 を 線 形 化 ポ イ ン トとす る こ とが で き る。 線 形 化 ポ イ ン トを 平 衡 状 態 と定 常 状 態 で は,通 常,S0は そ してQ0も

と表 す こ とにす る。

ゼ ロ で あ る 。 さ ら に平 衡 状 態 で はS0も,

ゼ ロ で あ る。 定 常 状 態 で は,S0とQ0の

一 部 の 値 が ゼ ロ以 外 の 値 を

持 つ と考 え られ る。 線 形 化 ポ イ ン トは,線

形 化 の 目 的 に 応 じ て 決 め れ ば よ い が,式(F.3),(F.4)

を満 た す も の で な け れ ば な ら な い。

(F.5) (F.6) た と え ば,B=0の Q0,S0を

系 を 考 え,線

形 化 ポ イ ン ト と して 定 常 状 態 を 選 ん で,S0, を満 た す こ とが 必 要

ゼ ロ と す る 。 そ の 場 合,

で あ る 。 なお,時

間 ｔは,線 形 化 を考 え て い る時 点 の 時 間 を そ の ま ま用 い て,定

数 と して扱 え ば よい 。

を簡 略 に と 表 す こ と に す る と,(F.5),(F.6)は

次 の よ う に書 け る。

(F.7) (F.8) こ れ ら は,(F.1),(F.2)に

線 形 化 ポ イ ン ト を 示 す 添 え 字 。を 付 け 加 え た 形 に な

っ て い る。

線 形 化 ポ イ ン ト を 求 め る た め に は,線

形 化 の 目 的 に 応 じ て,

の 中 の 一 定 数 の もの を最 初 に定 め る。 残 りは 上 記 の 式 を 満 足 す る よ う に 定 め る こ と に な る 。 こ の残 りの 変 数 は,式(F.7)と(F.8)の れ 以 外 の変 数 を最 初 に 定 め て お く。 式(F.7)と(F.8)を

式 の 総 数 で あ り,そ 満 た す 解 は,手 計 算 で 求

め られ る場 合 が 多 い 。 手 計 算 で 求 め られ な い よ う な場 合 は,ニ 法 や,そ

ュー トンラ フ ソ ン

れ 以 外 の 手 段 が必 要 に な り,目 的 に 応 じて 工 夫 が 必 要 で あ る。

F2

線形化の方法

  次 に,線 な お,系

形 化 ポ イ ン ト ま わ り の 微 小 な 変 動 ΔQ,ΔS,ΔQ,ΔS,Δuを

考 え る。

へ の 微 小 入 力 に 対 す る 応 答 を 考 え る 場 合 は Δuを 用 い る が,固

有 値 解析

で は Δuは ゼ ロ と し て お け ば よ い 。 こ の 変 動 の 結 果,Q,S,Q,S,uは

次の よ

うになる。

(F.9) (F.10) (F.11) (F.12) (F.13) こ れ ら も,式(F.3),(F.4)を

満 た さ な け れ ば な ら な い の で,次

の 式 が 成 り立 つ 。

(F.14) (F.15) こ の 二 式 を,Δ の 付 く量 が 微 小 量 で あ る こ と を利 用 して 一 次 近 似 す る と,定 数 項 と微 小 項 に分 け る こ とが で きる 。

(F.16)

(F.17) こ こ で Δ は,式(F.9)∼(F.13)の は,対

微 小 量 以 外 に も用 い ら れ て い る 。 そ の 場 合 の Δ

象 と な る 関 数 の 微 小 変 化 量 を 表 し て い る 。 式(F.9)∼(F.13)に

も の も 含 め た Δ の 意 味 は,Q,S,Q,S,uの

用 い られ た

関 数 Ｆ に作 用 す る 次 の よ うな オ

ペ レ ー タ と解 釈 す る こ と が で き る 。

(F.18)   式(F.16),(F.17)か

ら,そ

れ ぞ れ 式(F.5),(F.6)を

差 し 引 く と,次

の ように

微 小 量 だ け の 式 が 得 られ る。

(F.19) (F.20)

こ れ らは,次

の よ う に簡 略 に書 くこ とが で き る。

(F.21) (F.22)   こ れ ら は,式(F.1),(F.2)か (F.2)の

ら 機 械 的 に 作 る こ と が で き る 。 ま ず,(F.1),

各 項 に Δ を働 か せ る 。

(F.23) (F.24) そ し て,複 数 の 因子 か らな っ て い る項 は,そ の 数 だ け の 項 に わ か れ,そ の 各 項 に は 一 つ の 因 子 だ け が微 小 量 に な る よ う に して残 りの 因子 は 線 形 化 ポ イ ン トの添 え 字 。を付 け て 定 数 因 子 とす る。 た だ し,微 小 量 の 因 子 の 右 側 に あ る 定 数 因 子 は微 小 量 因子 と ま とめ て,そ の 積 全 体 の 微 小 量 に な る よ う に して お く。微 小 量 の 因子 の左 側 に あ る 定 数 因子 は微 小 量 の 外 に 出 して 単 な る係 数 と し てお け ば よい 。 こ の 説 明 は,(F.23),(F.24)と(F.21),(F.22)を

見 比 べ れ ば分 か る はず で あ る。

  さ て,式(F.21),(F.22)に

Ａ と Ｂ は Ｑ だ け に 依 存 し て い て,

fsは

戻 ろ う 。msと

Ｑ と Ｓ と ｕ に 依 存 し て い る 。各こ の こ と か ら,Δ(msSo),Δfs,Δ(ASo),

ΔＢ は,次

の よ う に ΔＱ,Δ Ｓ,Δ ｕ で 表 す こ と が で き る 。

(F.25)

(F.26)

(F.27)

(F.28) 式(F.25)と(F.27)で

偏 微 分 の 対 象 にSoとSoが

含 ま れ て い る が,こ

れ らは偏微

分 の 対 象 を列 行 列 に す る た め に必 要 で あ る。 こ の こ と は 明 確 に理 解 して お き た い 。

線 形 化 の 目 的 が 制 御 系 の 状 態 方 程 式 の 作 成 で あ れ ば,式(F.21),(F.22)と (F.25)∼(F.28)を

用 い て 次 の よ う に な る。

(F.29)

系 の 固 有 値 だ け が 必 要 な場 合 は Δｕ の 項 は無 視 す れ ば よ い。   た と え ば,fSが そ の 場 合,も

複 雑 で,そ

し,fSが

の ま ま偏 微 分 す る こ とが 容 易 で な い場 合 を 考 え る。

複 雑 な 構 造 を 持 っ て い て 分 解 可 能 な と き は,偏 微 分 を行

な う前 に こ れ まで と 同様 の 手 法 で 分 解 し た ほ うが よ い 。 た と え ば Ｂ の よ う に, し ば しば ゼ ロ の もの が あ る が,そ の 場 合 は 偏 微 分 す る ま で もな くそ の 項 の 計 算 を 省 く こ とが で き る。fSの 分 解 を進 め る と,簡 単 に 除 去 で き る 項 が 増 え て,結 果 的 に作 業 が 楽 に な る場 合 が 多 い 。 最 後 に残 った もの だ け を偏 微 分 す る こ とに な る が,多

くの 場 合,そ

れ は単 に係 数 を取 り出 す だ け の 簡 単 な作 業 に な る 。 最 後 の偏

微 分 処 理 が 複 雑 に な る もの が あ る とす れ ば,そ ろ う。mS,fSが

れは計算過程が複雑 な作用力 であ

拘 束 条 件 追 加 法 で作 られ る場 合,そ

れ を利 用 した分 解 が 可 能 で

あ り,次 項 に説 明 す る 。   一 方,数

式 処 理 を用 い る と,上 記 の 分 解 や 偏 微 分 操 作 な ど の 中 間処 理 を計 算 機

に 任 せ る こ とが で き,作 業 が 簡 単 に な る可 能 性 が あ る 。

F3

拘束条件追加法の利用

  多 く の 場 合,ms(Q,t)とfs(Q,S,u,t)は

複 雑 で,式(F.25)ま

体 化 す る 作 業 は 意 外 と 面 倒 な こ と が あ る 。 そ の よ う な 場 合,拘 立 つ こ と が あ る 。 拘 束 条 件 追 加 法 で はmSとfSは

た は(F.26)を

具

束 条件 追 加 法 が役

次 の よ う に計 算 され る。

(F.30) (F.31) こ こ で,右

辺 のmHは

Ｑ と ｔの 関 数 に な っ て い る と 考 え て よ い 。拘 束 追 加 前 の

一 般 化 座 標 で 表 され て い た と して も,そ れ ら を Ｑ で 表 し直 す こ と は 可 能 な はず で あ る。 同様 に,fHは

Ｑ と Ｓ と ｕ と ｔの 関数,HsとHsは

Ｑ と ｔの 関 数 に な っ

て い る とす る。 当 然,線 形 化 ポ イ ン トの値 は満 足 して い な け れ ば な らな い 。

(F.32) (F.33) 式(F.30)と(F.31)を

用 い て,式(F.21)の

左 辺 第二 項 と右 辺 を作 り直 す と次 の よ

うに な る。

(F.34)

(F.35) Hsの

時 間 微 分,Hs,H〓,mHに

は,右 側 か ら添 え 字 。の付 い た 定 数 列 行 列 が 掛

か っ て い て 列 行 列 に な っ て い る。 そ して,こ の 式 に含 ま れ る す べ て の列 行 列 の偏 微 分 が 得 ら れ れ ば よ い こ と に な る。 偏 微 分 は Δ の 付 く項 ご と に 個 別 に 計 算 す る こ とが で き る。 そ の 計 算 は,式(F.25)∼(F.28)の に定 数 列 行 列 を計 算 して,そ く。 また,さ

要 領 で 行 な え ば よ い。 そ の 前

の 中 の ゼ ロ要 素 に対 応 す る 計算 不 要 な もの を取 り除

らに 分 解 で き る もの は 分 解 を進 め る こ とで,項

の数 は増 加 す る が,

個 々 の偏 微 分 はか な り簡 単 に な る はず で あ る。

F4

線形化の事例

  剛 体 振 子 の 平 衡 点 を 線 形 化 ポ イ ン ト と し て,線 で は,Ｑ

は θOA,Sは

Qo=θOAo=0,So=ωOAo=0で

ωOAで,線

形 化 を 考 え て み よ う。 こ の 事 例

形 化 ポ イ ン トは,Qo=θOAo=0,So=ωOAo=0, あ る 。 簡 単 な モ デ ル で あ る か ら,16.2節

で 得 られ

た 運 動 方 程 式(16.14)を

直 接 用 い れ ば 十 分 だ が,こ

こ で は,運 動 方 程 式 を 拘 束 条

件 追 加 法 で作 る もの と し,線 形 化 もそ の手 順 を利 用 した 形 で進 め て,複 雑 な系 の 場 合 に備 え る こ と にす る。 拘 束 前 のH,mH,fHは

次 の よ う に書 け る。

(F.36)

(F.37)

(F.38) ωOAとVOAと

の 関 係 は16.2節

節 の 式(16.33)でroo'(t)を

の 式(16.8)を

一 回 時 間 微 分 す れ ば 求 ま る が,16.9

ゼ ロ と した 式 が 簡 潔 で あ る 。

(F.39) こ れ に よ り,Hsは

次 の よ う に求 ま る 。

(F.40) こ の 時 間微 分 は 次 の よ う に な る 。

(F.41) Hsと

そ の 時 間微 分 は ゼ ロで あ る。

  さ て,線

形 化 さ れ た 関 係 は 式(F.21)と(F.22)で

So=0,So=0,A=1,B=0で

あ る か ら,次

あ る が,剛

体 振 子 の場 合 は

の よ うに な る 。

(F.42) (F.43) m〓 は 式(F.32)で

求 め れ ば よ い 。 式(F.37)のmHは

m〓 で あ る 。 式(F.40)のHsでCOAをI3と に 等 し い こ と を 利 用 す れ ば,さ

定 数 で あ る か ら,そ

し た も の が,Hsoで

の まま

あ る 。rAO'がdYb

ら に簡 単 に な る。

(F.44) Δfsは,式(F.35)か Hsの

ら 求 め る こ と に な る 。mH,fHが

定 数 で あ る こ と,So=0,

時 間 微 分 が ゼ ロ で あ る こ と を 利 用 す る と,式(F.35)は

次の ようになる。

(F.45) 式(F.41)か 式(F.45)の

ら,線

り,こ

形 化 ポ イ ン ト に お け るHsの

時 間 微 分 の 値 は ゼ ロ に な る の で,

右 辺 第 二 項 は ゼ ロ に な る 。 式(F.38)は,常

れ と式(F.40)を

用 い る と,ΔfSは

に 定 数 で あ る か らfHOと な

次 の よ う に な る。

(F.46) 右 辺 のC〓A以

外 は 定 数 で,C〓Aだ

け が θOAの 関 数 で あ る 。 こ の 右 辺 は 次 の よ う

に なる。

(F.47)

(F.48) こ の 場 合 は Ｑ が ス カ ラ ー で あ る か ら,式(F.47)の 微 分 す る こ と も で き る が,Ｑ C〓AdYMAgを

中 ほ ど の 形 か らC〓Aだ

が 列 行 列 の 場 合 は,こ

偏 微 分 す る 形 が 必 要 で あ る(MAgは

し て も よ い)。 そ し て,こ

の 場 合,偏

け を偏

こ に 示 し た よ う に

ス カ ラ ー で あ る か ら,外

に出

微 分 の 変 数 と 関 数 を と も に 時 間 微 分 して か

ら 偏 微 分 操 作 を す る こ と が で き る 。 な お,(F.48)の

最 後 に,rAO'=dYbを

用 い

た。

 平 衡 点 で は,C〓Aは

単位 行 列 に な る。 結 局,線 形 化 さ れ た 運 動 方 程 式 は次 の よ

うに な る 。

(F.49) こ の 式 と 式(F.43)(θOA=ωOA)と

F5

合 わ せ て,固

有 値 を 求 め る こ とは簡 単 で あ る。

一 般化 座 標 ,一 般 化 速 度 に拘 束 が あ る場 合

  一 般 化 座 標,一

般 化 速 度 に拘 束 が あ る場 合,運

動 方 程 式 に は拘 束 力(ラ

グラ ン

ジ ュ の 未 定 乗 数)が 加 わ り,拘 束 条 件 も連 立 させ て 解 を 求 め る形 に な る 。 拘 束 が ホ ロ ノ ミ ック な も の だ け の 場 合 は次 の よ う に書 け る。

(F.50)

(F.51) (F.52) Ψ=0は

位 置 レ ベ ル の 拘 束 式 で,Ψ は Ｑ と ｔの 関 数 で あ る 。 位 置 レベ ル の 拘 束

条 件(F.52)を

二 回 時 間微 分 して 速 度 レベ ル と加 速 度 レベ ル の 拘 束 条 件 を求 め て

お く。

(F.53) (F.54) こ こ で,式(F.53),(F.54)に,シ い る も の と し て,以

ンプ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ッ ク な 拘 束 も追 加 さ れ て

下 の 議 論 が シ ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ッ ク な系 に も適 用 で き る よ

う に 考 え て お く 。 す な わ ち,Φ

の 数 は,Ψ

よ り シ ン プ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ック な拘

束 の 数 だ け 多 い 。 Φsは Φ の Ｓ に よ る 偏 微 分 係 数,ΦRは 除 く 残 り の 項 で あ る 。 Φsと る 。 ま た,式(F.50)の

Φsは

Ｑ と ｔの 関 数,ΦRは

Φ のなか で Ｓの項 を Ｑ と Ｓ と ｔの 関 数 で あ

Λ は Φ の 数 だ け の 成 分 を持 つ ラ グ ラ ンジ ュの 未 定 乗 数 で

あ る。

まず,線

形 化 ポ イ ン トは,以 上 の 式 を満 た す よ うに 定 め な け れ ば な らな い 。

(F.55) (F.56) (F.57) (F.58) (F.59) 系 の 幾 何 学 的 自 由 度 と 運 動 学 的 自 由 度 の 和 をDDoFと ら の 式 の 数 は,Qo,So,Qo,So,Aoの (F.50)∼(F.54)に

総 数 よ り,DDoFだ

書 く こ と に す る と,こ

れ

け 少 な い 。 次 に,式

Δ を 作 用 させ る 。

(F.60) (F.61) (F.62) (F.63) (F.64) こ の 場 合 の Δ は,式(F.18)の 素 と考 え て い る。

Ｆ が Λ に も依 存 し て い る と し て,次

の よ うな作 用

(F.65) こ の 偏 微 分 に よ っ て,式(F.60)∼(F.64)は

ΔQ,ΔS,ΔQ,ΔS,Δu,Δ

す る 線 形 の 関 係 式 に な る 。 自 由 な 変 数 の 数 はDDoFで

Λ に関

あ る。

  以 上 の 線 形 化 され た 関係 が 得 られ れ ば,線 形 応 答 特 性 や 固有 値 を調 べ る こ とが で きる 。 系 へ の 微 小 入 力 に対 す る応 答 を 考 え る場 合 は,出 力 変 数 を 定 め て Δuに 対 す る 関係 に書 き換 え れ ば よい 。 固有 値 を求 め る場 合 は,Δ Ｑ と ΔＳの な か の独 立 な △QIと ΔSIと,ΔQ,ΔSの

な か の 対 応 す る ΔQI,ΔSIを

選 ん で,そ

れ らの

間 の 関 係 に書 き換 え,固 有 値 計 算 をす る。

F6

順動力学の計算手順を利用する方法

  線 形 化 は,Q,Sな

ど に よる 偏 微 分 を 求 め て 計 算 す る た め,モ デ ル の規 模 が 大

き くな る と,意 外 な ほ ど大 きな 作 業 が 必 要 に な る。 これ まで に述 べ た 方 法 は,系 全 体 の 立 場 か ら トッ プ ダ ウ ン的 に作 業 を進 め る た め,全 体 の 計 算 構 造 を分 解 す る 作 業 が 先 行 す る。 そ の た め,係 数 行 列 に 直接 関 わ る 部 分 の偏 微 分 作 業 の見 通 しを 得 難 く,少 め,順

し規 模 が 大 き く な る と,案 外,困

難 に 陥 り易 い。 そ の 点 を改 善 す る た

動 力 学 の計 算 手 順 を利 用 して,偏 微 分 の 作 業 を能 率 よ く進 め る別 の 方 法 を

考 え る 。 なお,こ

こで は,標 準 型 の 運動 方 程 式 に つ い て 説 明 す る。

  順 動 力 学 の 計 算 手 順 は,Q,S,tか

ら,Q,Sを

求 め る もの で あ る。 制 御 入 力

ｕ は,ｔ の 関 数 と考 え て お け ば よい 。 途 中,多 数 の 中 間 変 数 が 使 わ れ る。 そ れ ら を,y,xな

ど とす る 。 制 御 出 力 は 中 間 変 数 と は 限 ら な い が,同

じ位 置 付 け に 考

え て お け ば よい 。   線 形 化 さ れ た 系 を,同

じ構 造 に 当 て はめ て考 え る こ とが で き る 。 す な わ ち,線

形 化 さ れ た系 は,ΔQ,ΔSか

ら,ΔQ,ΔSを

求 め る計 算 手 順 に な っ て い て,Δ ｕ

を 制 御 入 力 と し,制 御 出 力 を含 む 中 間 変 数 に Δy,Δxな

どが あ る。 ｔは線 形 化 を

考 え て い る 瞬 間 の 時 間 で,定 数 と考 え れ ば よ く,Δ の つ く量 は,Qo,So,Qo, So,uo,yo,xoな うな,線

どで 表 さ れ る線 形 化 ポ イ ン ト まわ りの 微 少 量 で あ る 。 そ の よ

形 化 され た 系 の順 動 力 学 計 算 手 順 が 得 られ れ ば,次

に説 明 す る よ う に,

線 形特 性 の 把 握 が 可 能 に な る 。   線 形 化 され た順 動 力 学 計 算 手 順 は,ΔQ,ΔS,Δuを

入 力 と し,ΔQ,ΔS,Δy,

Δxな どが 出 力 で あ る。 線 形 化 さ れ た 制 御 対 象 の 状 態 方 程 式 は,ΔQ,ΔSか ΔQ,ΔSを

計 算 す る係 数 行 列 と,Δ ｕか ら ΔQ,ΔSを

凝 縮 さ れ て い る。 ΔQ,ΔSか

ら ΔQ,ΔSを

ら

計 算 す る係 数 行 列 に 特 性 が

計 算 す る 係 数 行 列 が 求 ま れ ば,固 有

値 解 析 が で き る 。 同 様 に,Δ ｕ か ら Δy,Δxな

ど を 計 算 す る係 数 行 列 が 求 ま れ

ば,線 形 化 され た 制 御 対 象 の入 出 力 関 係 を調 べ る こ とが で きる 。   線 形 化 され た 順 動 力 学 計 算 手 順 か ら,係 数 行 列 を 取 り出す 手 段 は,分 か りや す い 。 ΔQ,ΔSか

ら ΔQ,ΔSを

計 算 す る係 数 行 列 の 場 合 を例 に と っ て,次 の よ う

に な る 。 ΔＱ と ΔＳ の全 要 素 を順 に並 べ,そ

の ｉ番 目の も の を １ と して残 りを ゼ

ロ とす る。 こ の 入 力 に 対 す る 計 算 出 力 ΔＱ と ΔＳ を求 め れ ば,そ 第 ｉ列 で あ る。 ｉを １か ら ｎ(独 立 変 数 の 数)ま

れが 係 数 行 列 の

で 順 に 計 算 す れ ば,係 数 行 列 全

体 が 得 られ る。 た だ し,そ の 作 業 の 前 に,線 形 化 ポ イ ン トを求 め,そ の ポ イ ン ト に お け るす べ て の 中 間 変 数 の 値 を求 め て お く必 要 が あ る 。 線 形 化 ポ イ ン トの決 め 方 は,こ れ ま で の 方 法 と 同 じ で あ る。 中 間 変 数 の 線 形 化 ポ イ ン トに対 応 す る値 yo,Xoな

どの 計 算 は,順 動 力 学 の 計 算 手 順 を利 用 して 求 め る 。

  さて,線 形 化 さ れ た 順 動 力 学 計 算 手 順 の 作 成 が,こ

の項の最 後の課 題 である。

そ の 方 法 の 考 え方 は 単 純 で,線 形 化 前 の順 動 力 学 の計 算 手 順 に従 い,す べ ての 中 間 変 数 の,Q,S,u,お 間変 数 ｙがQ,S,uに

よ び,中

間変 数 に よ る 偏 微 分 係 数 を 求 め れ ば よい 。 中

依 存 して い る と して,Δyは

次 の よ う に書 け る 。

(F.66) こ の 式 の係 数 行 列 を計 算 し,そ れ を用 い て Δyを 求 め る よ う に す る。 実 際 に は, ｙ が,Q,S,uの

一 部 分 だ け に依 存 して い る こ とが 多 い が,関

わ っ て い る変 数

に 対 応 す る偏 微 分 係 数 だ け で よ い 。 残 りは計 算 す る まで もな くゼ ロで あ る 。   中 間 変 数 ｙ が 列 行 列 の 場 合 は,こ

の ま ま で よ い が,幅

の あ る 行 列 の 場 合 は,

列 行 列 に よ る偏 微 分 が 行 え ない 。 そ の よ う な場 合 は,順 動 力 学 の 計 算 手 順 を う ま く整 理 しな おす こ と で解 決 で き る場 合 も多 い 。 特 に,そ の 計 算 部 分 の 前 後 の 計 算 だ け を変 更 す る こ と で解 決 で き れ ば 簡 単 で あ る。 しか し,そ の よ う な計 算 手順 の 変 更 が 容 易 で な い場 合 は,偏 微 分 す る列 行 列 を,ス カ ラー レベ ル に 分 解 す る 方 法

が あ る 。 ス カ ラー 変 数 に よ る偏 微 分 な ら,偏 微 分 され る行 列 に幅 が あ っ て も実 行 可 能 で あ る。   多 くの 中 間 変 数 は,そ れ 以 前 に 出 て くる 中 間 変 数 の 関 数 に な っ て い る こ とが 多 い 。 そ の よ う な場 合 は,以 前 に 求 め て あ る 中 間 変 数 の 値 を利 用 す れ ば よい 。 中 間 変 数 ｘが,Q,S,u以

外 に,ｙ に も依 存 して い る とす る と,Δ ｘ は次 の よ う に な

る。

(F.67) Δｙは,既

に 求 ま っ て い るの で,ｘ の,Q,S,u,yに

よ る偏 微 分 を求 め,Δ ｘ を

計 算 で き る。 前 の 計 算 結 果 を利 用 す る の で,順 動 力 学 計 算 の 各 ス テ ッ プの 線 形 化 作 業 は,各 ス テ ップ の 複 雑 さ だ け を反 映 した もの に な る 。 多 くの 中 間 変 数 は そ れ 以 前 の 中 間変 数 だ け に 依 存 して い る こ とが 多 く,順 動 力 学 の 計 算 ス テ ップが 細 か く分 解 さ れ て い れ ば,線 形 化 は 容 易 に な る 。   以 上 の よ う な作 業 を順 動 力 学 の 計 算 手 順 に 沿 って 行 う こ と は,比 較 的,見 通 し の よい もの に な る 。 本 質 的 な偏 微 分 の操 作 を減 らす もの で は な い が,見 通 しの悪 さか ら来 る不 安,混

乱,無

駄 を省 け る はず で あ る。

基本事項の まとめ

付録 Ｇ

  こ の 付 録 に は,第

Ⅱ部,第

Ⅲ部,第

Ⅳ 部 にで て くる 基 本 項 目を並 べ た 。 各 項 目

に は,表 が 付 い て い る もの と,単 に,項

目だ け の もの が あ る。 こ の付 録 の ね らい

は 知 識 の 整 理 で あ る。 こ こ に で て くる項 目 と,表 中 の 記 号 や 関係 式 を 見 て,そ

の

内 容 を初 学 者 や 友 人 に説 明 で き る よ うに な って い た だ きた い 。   各 項 目 に は,お お よそ 対 応 す る英 語 を付 け て お い た 。 言 葉 は使 わ れ る 状 況 に応 じた 変 化 が 必 要 な こ と も多 く,ま た,類 似 の 概 念 を表 す 表 現 は複 数 あ る 。 初 学 者 が 英 語 に悩 む気 持 ち は 良 く分 か るが,筆

者 の 英 語 力 も中 途 半 端 で あ り,あ

くまで

参 考 程 度 と考 え て い た だ き た い 。

図G.1

位 置,速 Lposition,

度,角

速 度,力

velocity,

angular

を 表 す 幾 何 ベ ク ト ル(P,Q,Rは,剛 velocity,

force]

体A,B,C上

の 点)

Ⅱ-１

運 動 学[kinematics]

Ⅱ-２

運動学的物理量

Ⅱ-３

点

広 が りの あ る物 体

位 置 レベ ル 変 数

位置

回転姿勢

速 度 レベ ル 変 数

速度

角速度

オ ブザ ー バ ー(運 動 学 的 物 理 量 は 必 ず オ ブ ザー バ ー を伴 う) [observer]

Ⅱ-４

幾 何 ベ ク トル 表 現(矢 (行 列 表 現)[geometric

印 に よ る 表 現)と vector,

algebraic

位 置,角 速度,速 度 の代 数 ベ ク トル 表現 の 例:

便 利 な 定 数DX,DY,DZの

使 用 例:

代 数 ベ ク トル 表 現 vector]

Ⅱ-５

ダ ッ シ ュ が 付 く 代 数 ベ ク トル と ダ ッ シ ュ が 付 か な い 代 数 ベ ク トル (位 置,角

速 度,速

度)[primed

algebraic

vector,

unprimed

algeb-

raic vector]

(点P,Qは,そ

Ⅱ-６

れ ぞ れ 剛 体A,B上

３ 次 元 回 転 姿 勢 の 表 現 方 法[spatia.

の 点)

orientation,

three

orientation]

dimensional

(注 １)Simple

Rotationか

ら回 転 行 列:

各 軸 ま わ り の 回 転 に 対 応 す る 回 転 行 列 関 数:Cx(θ),

CY(θ),

Cz(θ)

狭 義 の オ イ ラ ー 角 か ら 回 転 行 列:CAB=Cz(θ1)Cx(θ2)Cz(θ3) オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ か ら 回 転 行 列:

Ⅱ-７

三 者 の 関 係(注2)[relation

between

three(筆

(注 ２)剛 体 の 重心(代 表 点)速 度 と角速 度 を ま とめ た三 者 の 関係:

者 の 造 語)]

並進 運 動 も ダ ッシ ュの付 いた 変 数 を用 い た場 合,

(この関 係 を

Ⅱ-８

と表す 。)

時 間 微 分 の 関 係[differentiation

with

respect

to

differentiation]

(注 ３)幾 何 ベ ク トル の 時 間微 分 に は,時 間 微 分 の オ ブ ザ ー バ ー を必 要 とす る。 (注 ４)ダ ッ シ ュ の 付 か な い ΩABを 用 い る と,CAB=ΩABCAB ２次 元 代 数 ベ ク トル 表 現 の 回転 行 列(座

標 変 換 行 列)の

合 は,

(注 ５)ダ

ッ シ ュ が 付 くr'PQ,v'PQを

用 い る と,r'PQ=V'PQ+r'PQΩ'AB

場

time,

time

Ⅲ-１

動 力 学[dynamics]

Ⅲ-２

ダ ッ シ ュ が 付 く代 数 ベ ク トル と ダ ッ シ ュ が付 か な い 代 数 ベ ク トル (力,ト ル ク)

(点 Ｑ は剛 体 Ｂ 上 の点)

Ⅲ-３

力 と トル ク の 等 価 換 算[equipollent

force

and

torque]

(点 Ｐ は剛体 Ａ 上 の点)

Ⅲ-４

自 由 な 質 点 と,自 [point mass(ま

由 な 剛体 の運 動 方 程 式 た は,mass

particle),rigid

body]

(注 ６)剛 体 の 運 動 方 程 式 は,三 質 点 剛体 の運 動 方程 式 と して 求 め る こ と が で きる。 (注 ７)三 質点 剛 体 の慣 性 行 列: 慣 性 行 列 の座標 変 換: 平 行軸 の定 理(点

Ｇ を重心 とす る)

(注 ８)並 進 運 動 も ダ ッ シ ュの 付 い た 変 数 を用 い る と,運 動 方 程 式 は 次 の よ うに な る。

(この 関 係 を

と 表 す 。)

(注 ９)２次 元 剛体 の ダ ッシ ュの付 く変 数 に よる 表現:

図G.2 

Ⅲ-５

幾 何 学 的 自 由 度,運 kinematic

Ⅲ-６

degree

一 般 化 座 標(独 [generalized

Ⅲ-７

三 つ の 質 点 か ら な る系 に働 く力

動 学 的 自 由 度[geometric of freedom(筆

立 な 一 般 化 座 標) coordinate,

ホ ロ ノ ミ ッ ク 拘 束(幾 束(運

constraint]

of freedom,

者 の 造 話)]

,一 般 化 速 度(独

generalized

何 学 的 拘 束),シ

動 学 的 拘 束)[holonomic

degree

立 な 一 般 化 速 度)

velocity]

ン プル ノ ン ホ ロ ノ ミ ック 拘

constraint,

simple

nonholonomic

Ⅲ-８

位 置 レ ベ ル 拘 束(ホ ッ ク 拘 束+シ [position

ロ ノ ミ ッ ク 拘 束)と

速 度 レベ ル 拘 束(ホ

ン プ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク 拘 束)の

level constraint,

velocity

ロノミ

標 準 形(注11)

level constraint]

(注10)剛

体 系 は質 点 系 の特 別 な 場合 であ る。

(注11)質

点 と剛 体 に関 す る添 え 字 の な い 変 数 は,複 数 の 質 点 ま た は 剛 体 に番 号 を付 け,そ の順 に対 応 す る変 数 を並 べ た もので あ る。 列 行 列 の 変 数 は縦 に,横 幅 の あ る 変 数 は対 角 的 に,並 べ る もの とす る。(12.3節,12.4節

Ⅲ-９

拘 束 力[constraint

参 照)

force]

独 立 な拘束力

Ⅲ-10

ホ ロ ノ ミ ッ ク な 系,シ [holonomic

Ⅲ-11

system,

ン プル ノン ホ ロ ノ ミ ッ クな 系 simple

拘 束 質 点 系 と 拘 束 剛 体 系 の,拘 [constrained system]

point

mass

nonholonomic

system]

束 力 を 含 む 運 動 方 程 式(注11) system,

constrained

rigid

body

Ⅲ-12

運 動 量,角

運 動 量[momentum,

angular

momentum]

  運 動 量 保 存 の 法 則,角

運 動 量 保 存 の 法 則[conservation

運 動 量 原 理[momentum

principle]

Ⅲ-13

運 動 補 エ ネ ル ギ ーTi,運 [kinetic

co-energy,

動 エ ネ ル ギ ー Ｔ,ポ kinetic

energy,

potential

law of momentum],

テ ン シ ャ ル 関 数U function]

Ⅳ-１

運 動 方 程 式[equation

Ⅳ-２

運 動 方 程 式 の 作 り 方(注11)

こ の 表 の(注)は

Ⅲ-８ 項 の(注)と

of motion]

共通 で あ る 。

参考文献

● マルチボディダイナミクス関連 1.Haug, E.J.,(1989),Computer Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems/Volume. l Basic Methods, Ally and Bacon. 2.松

井 邦 人,樫 析 の 基 礎,大

3.Shabana,

村 幸 辰,井

浦 雅 司 訳,(1996),コ

ン ピ ュー タを 利 用 した機 構 解

河 出 版.

A.A.,(2001),Computational Dynamics,2nd Edition,John Wiley&

Sons. 4.Shabana,

A.A.,(2005),

Dynamics

of Multibody Systems,3rd

Edition,

Cambridge. 5.Nikravesh, P.E.,(1988),Computer-Aided

Analysis of Mechanical Systems,

Prentice-Hall. 6.Huston, R.L.,(1990),Multibody Dynamics, Butterworth-Heinemann. 7.Roberson,

R.E. and Schwartassek, R.,(1988), Dynamics

of Multibody

Systems, Springer-Verlag. 8.Schiehlen, W.,(1990),Mutibody

Systems Handbook, Springer-Verlag,

9.Garcia de Jalon,J.and Bayo, E.,(1994),Kinematic and Dynamic Simulationof Mutibody Systems The Real-Time Challenge,Springer-Verlag. 10.Amirouche,

F.M.L.,(1992),Computational Methods in Multibody Dynamics,

Prentice-Hall. 11.Eich-Soellner, E. and Fuhrer, C.,(1998),Numerical Methods in Multibody Dynamics, Stuttgart,Teubner. 12.Pereira. M.F.O.S. and Ambrosio, J.A.C.,(1994),Computer-Aided Analysis of Rigid and FlexibleMechanical Systems, Kluwer Academic 13.Pfeiffer,F. and Glocker, C.,(1996), Mutibody

Dynamics

Publishers. with Unilateral

Contacts, John Wiley & Sons. 14.Moon,

F.C.,(1998),Applied Dynamics:With

Applicationsto Multibody and

Mechatronic Systems, John Wiley & Sons.

● 速度変換法,DAE数 15.Jerkovsky,

W.,1978,“The

Journal

of

16.Kim,

Guidance

S.S., and

Dynamics

Journal

Vol.108,

and

Control,

of

Vol.１,

Multibody

No.３,

M .J.,1986,“A

of Mechanical

Equations

,”

pp.173-182.

General

Systems

of Mechanisms,

Dynamics

Using

Transmissions

and

Efficient

Velocity , and

Method

for

Transformations

Automation

in

,”

Design,

pp.176-182.

17.Wehage,

R.A.,

Dimension

and

Haug,

Reduction

Journal 18.Singh,

of

Mechanical

R.P.,

and

Constrained

E.J.,1981,“Generalized in

Analysis

Design, Linkins,

Dynamic

52,No.4,

of

Coordinate

Vol.14,

Constrained

Dynamic

No.5-6,

for

System”ASME

pp.247-255.

P.W.,1985,“Singular

value

Systems,”ASME

Partitioning

Journal

of

Decomposition

Applied

for

Mechanics

, Vol.

pp.943-948.

S.S.,and Vanderploeg, M.J.,1984, A State Space Formulation for

Multibody Dynamic CLAD, 20.Kim,

Structure

Vanderploeg,

Analysis

ASME

19.Kim,

値計算方法関連の論文か ら

Systems Subject to Control, Technical Report 84-20,

University of Iowa. S.S.,

Representation

Journal

of

and

Vanderploeg, of

Mechanisms,

M.J.,1986,“QR

Constrained

Transmissions,

Decomposition

Mechanical

Dynamic

and

Automation

for Systems

in

Design,

State

Space

,”ASME Vol.108,

pp.183-188.

● その他,力 学関連 21.Crandall, S.H.,Karnopp, D.C .and Pridmore-Brown, D.C.,(1968),Dynamics of Mechanical and Electromechanical Systems, McGraw-Hill .

22.Kane,

T.R.,

and

Levinson,

D.A.,(1985),Dynamics:Theory

and

Applications,

McGraw-Hill. 23.Kane,

T.R.,

Likins,

P.W.

and

Levinson,

D.A.,(1983),

Spacecraft

Dynamics,

McGraw-Hill. 24.Lanczos,

C.,(1970),

University 25.高

橋 康 原 理,日

of Toronto 監 訳,一

Publishing

学(上),吉

Co.

野 忠,江

Mechanics,4th

edition,

訳,(1992),Cornelius

Lanczos,解

析 力 学

と変 分

Classical

Mechanics,2nd

Edition,

Addison-Wesley

沢 康 生

訳,(1983),ゴ

ー ル ド ス タ イ ン:新

版

古 典 力

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29.山

内 恭 彦,(1959),一

30.原

島 鮮,(1985),力

31.大

貫 義 郎,(1987),解

32.高

橋 康,(2000),量 社.

of

Inc.

川 富 士,矢 学(下),吉

Principles

Press.

柳 正 和

H.,(1980),

川 富 士,矢

28.瀬

Variational

刊 工 業 新 聞 社.

26.Goldstein,

27.瀬

The

般 力 学,岩 学,三

訂 版,裳

析 力 学,岩

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子 力 学 を 学 ぶ た め の 解 析 力 学 入 門,増

補 第 二 版,講

談

付 録CD-ROMに

●

収録 内容

  付 録CD-ROMに  ①

は,次 の ２種 類 が 収 録 さ れ て い る。

シ ミュ レー シ ョン動 画(序

  ②MATLABの

●

ついて

章 で 紹 介 した もの)

プログラム

シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 動 画(序

  動 画 は全 部 で 以 下 の11個

章 で 紹 介 し た も の)

ある。 動画一覧

項目

フ ァイ ル名

①

ブ ル ドー ザ ー

bulldozer

②

パ ワ ー シ ョベ ル

power_shovel

③

ホ イ ー ルロ ー ダー

wheel_loader

④

逆 立 ち ゴマ

sakadachi_koma

⑤

達 磨 落 し(失 敗)

daruma_otoshi_1

⑥

達 磨 落 し(成 功)

daruma_otoshi_2

⑦

自動二輪車

jidounirin

⑧

弾 性 車両 １

dansha_1

⑨

弾 性 車両 ２

dansha_2

⑩

歩 く自動 販 売機

walking_vending_machine

⑪

ジ ャイ ロ椅 子 の体 験

gyro_chair

●MATLABの

プ ロ グ ラ ム

  収 録 さ れ て い るMATLABの

Ｍ フ ァ イ ル は,全

部 で12個

あ り,そ

れ ぞ れ独

立 の 順 動 力 学 シ ミ ュ レー シ ョン プ ロ グ ラ ム で あ る。   こ れ ら の プ ロ グ ラ ム は,MATLABのVersion6.5.1とVersion7.0.1で

動作確認

済み である。 プ ログ ラ ム一 覧 フ ァイル名

① houbutsu_1.m

フ ァ イル 名

② koma_120.m

③

koma_140.m

④ koma_145.m

⑤

koma_20.m

⑥ koma_45.m

⑦

nirinsha_1.m

⑧ sanjufuriko _1.m

⑨

gyro_chair_1.m

⑩

⑪

suspension_10.m

⑫

koma_1045.m sanjufuriko _30.m

● 著作権   本CD-ROMに

収 録 さ れ て い る動 画 ・プ ロ グ ラム は,筆 者 に よる 著 作 物 か,許

諾 を 得 て 転 載 して い る もの で あ る。 個 人 的 な使 用 目的 で の 改 変 は 認 め ます が,オ リジ ナ ル フ ァ イ ル お よ び改 変 され た フ ァイ ル の 再 配 布 は 禁 止 致 し ます 。

●

使 用上 の注 意

  本CD-ROMの 負 い ませ ん。

利 用 に よ る い か な る損 害 に対 して も作 者 お よ び 出版 社 は 責 任 を

あ とが き   日本 機 械 学 会 の研 究 会 活 動 の 中 で,日 本 の マ ル チ ボ デ ィ ダ イナ ミク ス の 状 況 か ら教 育 問 題 が 重 要 だ と感 じ始 め た の は,1995年

頃 だ っ た と思 う。 筆 者 自身,今

よ りは る か に知 識 が お ぼ ろ げ だ っ た 時 代 で あ る。 そ の後,知

識 を整 理 し,不 足 を

補 う機 会 が 続 い た 。   2000年

度 に,日 本 大 学 大 学 院理 工 学 研 究 科 で 機 械 力 学 特 別 講 義 Ⅱ を始 め た こ

とが,次

の 大 き な前 進 で あ る。 「は じめ か ら ３次 元 」,「さ ま ざ ま な 運 動 方 程 式 の

作 り方 」 を 意 識 し て,講 義 内容 を 決 め,50ペ 位 認 定 を伴 う大 学(大 以 来,日

ー ジ 程 の テ キ ス トを作 成 して,単

学 院)で の 初 め て の 講 義 をず い ぶ ん 緊 張 しな が ら始 め た 。

本 大 学 で の 講 義 は ず っ と続 い て お り,５ 年 ぐ らい の 間 に テ キ ス トは400

ペ ー ジ 以 上 に膨 らん だ 。 こ の講 義 が 本 書 の最 大 の 母 体 で あ る。 こ の講 義 は 背 戸 一 登 先 生 の ご尽 力 で 実 現 した。   2001年

度 か らは,千 葉 大 学 工 学 部 で 解 析 力 学 Ⅱを 学 部 の ２年 生(後 期)に

す 機 会 を頂 い た。 筆 者 が 組 み 立 て た 内 容 は,学 部 の2,3年 い と感 じ始 め て い た の で,内 容 の多 さ と戦 い な が ら,そ

話

生 か ら教 え た ら面 白

して,半

年 で は 少 し無 理

が あ る と思 い な が ら,ず い ぶ ん頑 張 った 。 日本 大 学 とほ ぼ 共 通 の テ キ ス トを用 い た が,テ

キ ス トの 充 実 に は,こ

こで の 経 験 も大 き い。 こ の 講 義 は 野 波 健 蔵 先 生 の

ご尽 力 で 実 現 した 。 この 間,野 波 研 究 室 で ４ 日 間連 続 の 集 中講 義 を させ て い た だ い た こ と も忘 れ 得 な い 。   山 梨 大 学 で も ２ 日間 の 集 中講 義 の 機 会 を,数 年 に わ た って 沢 登 健 先 生 か ら頂 い た 。 以 上 の 講 義 経 験 は 筆 者 に とっ て す ば ら しい 体 験 で あ り,最 も学 ん だ の は学 生 よ り筆 者 で あ っ た と思 う。   そ の 後,2003年11月

に,運 動 と振 動 の 制 御 シ ンポ ジ ウ ム(MOVIC2003)の

チ ュ ー ト リア ル 講 師 の 機 会 を頂 き,2005年

３月 に 日本 機 械 学 会 の 講 習 会 「運 動

方 程 式 の立 て 方 七 変 化 」 が 実 現 した 。 こ れ ら は,千 葉 大 学 西 村 秀 和 先 生 の ご尽 力 に よ る。 また,日

本 大 学 渡 辺 亨 先 生 に も,ご 支 援 い た だ い た。 筆 者 が 気 に入 っ た

こ の 講 習 会 の タイ トル も渡 辺 先 生 の ア イ デ ィ ア で,2006年1月

に も同 じタイ ト

ル の 講 習 会 を 開 い た 。 機 械 学 会 の 講 習 会 は,２ 日間 を頂 く こ とが で き たが,そ

れ

で も内 容 を絞 り込 ま な け れ ば な らな い 。 テ キ ス トも,学 生 向 け の も の を流 用 す る の で は 量 が 多 す ぎ る。 思 い 切 っ て,２ 日間 用 と して 話 しや す い 形 に構 成 し直 し, 新 た な も の を作 成 し た 。 練 習 問 題 な ど は,ほ

と ん ど割 愛 し,新 た にMATLAB

の プ ロ グ ラ ム で 順 動 力 学 の 事 例 を作 っ て 添 付 す る よ うに した。   本 書 は,こ の 機 械 学 会 講 習 会 用 テ キ ス トをベ ー ス に,技 術 上,お 重 要 と考 え ら れ る こ と を,補

よ び,教 育 上

充 した も の で あ る 。 教 科 書 と して の 側 面 も意 識 し

て,練 習 問 題 的 な もの もあ る程 度 挿 入 し,一 方 で,実 用 的 な技 術 の 習 得 に も役 立 つ よ う に,か な りレベ ル の 高 い こ と も重 要 と感 じた こ と は取 り上 げ た 。 か な り充 実 した 内 容 に な っ た と い う思 い と,少 な く と も部 分 的 に は う ま く説 明 で き て い る とい う思 い は あ る が,と

こ ろ ど こ ろ 難解 な 説 明 に な っ て い た り,整 理 が 不 十 分 に

な っ て し ま っ た 部 分 が あ る の は 筆 者 の力 不足 で あ る。 もっ と時 間 を掛 けれ ば,ま だ まだ 改 善 で きそ うで あ る が,今

は,む

しろ 読 者 か らの ご批 判 を浴 び なが ら,先

を考 え て ゆ くこ とが 重 要 だ と考 え る よ うに な った 。 こ の拙 い 記 述 に よ って 読 者 の 方 々 に どの 程 度 の 事 柄 をお 伝 え で き る の か,こ れ ま で の 講 義 な どの経 験 と は違 っ た 形 で あ るだ け に,新

た な 緊 張 を感 じて い る 。

  上 記 の 先 生 方 に は,心

よ りお 礼 申 し上 げ ます 。 序 章 に用 い た千 葉 大 学 と 日本 大

学 で の研 究 事 例 の 図 も快 く提 供 して い た だ い た 。 上 記 以 外 に,東 京 大 学 の 須 田義 大 先 生 か ら も,興 味 深 い 研 究事 例 の 図 を提 供 頂 い た。   東 京 大 学 の 杉 山博 之 特 認 助 手 に は,速 度 変 換 法 や 微 分 代 数 型 運 動 方 程 式 の 解 法 な どに 関連 して ア ドバ イス を頂 い た(本 書 の 表 現 はす べ て 筆 者 の 責 任 で 書 い て い る)。 杉 山博 之 氏 は,本 格 的 な マ ル チ ボ デ ィ ダ イ ナ ミク ス を 学 ん だ 貴 重 な 人材 で あ り,彼 と交 流 で きた の は筆 者 に と って 幸 運 で あ った 。   い くつ か の 図 を小 松 技 法vol.33 た,添 付 のCD-ROMに

no.120の

筆 者 等 に よ る記 事 か ら引 用 し た。 ま

収 録 さ れ て い る建 設 機 械 の ア ニ メ ー シ ョ ン も,上 記 の 記

事 の 著 者 等 に よ っ て 実 用 化 したDSSと

い う汎 用 ソ フ トを 用 い て 作 成 した もの で

あ る。 パ ワ ー シ ョベ ル の シ ミュ レー シ ョ ンを 実施 し,そ の ア ニ メ ー シ ョン を作 っ た の は金 山登 氏,ホ 術 大 学)で

イ ー ル ロ ー ダの 仕 事 を した の は 宮 田圭 介 氏(現,静

岡文化芸

あ る 。 小 松 製 作 所 の 関係 者 に は掲 載 を快 諾 い た だ い た こ と も含 め,お

礼 申 し上 げ ます 。

  弾 性 車 両,歩 学 生(相

く 自動 販 売 機,ジ

根 隆 人 君,足

ャ イ ロ椅 子 の 図 とア ニ メー シ ョ ン は 日本 大 学 の

立 和 仁 君,田

中喬 君,山

崎 雅 典 君)の 作 品 で あ る。 自動 二

輪 車 の 動 画 は,千 葉 大 学 の学 生(朱 紹 鵬 さん,岩 松 俊 介 君)に

よ る。 講 義 と研 究

活 動 で 出 会 った 他 の 学 生 諸 君 か ら も,い ろ い ろ な ヒ ン トを頂 い た 。   サ イ バ ネ ッ トシ ス テ ム株 式 会 社 の 剣 持 智 之 氏,長 MATLAB関

田 瑶 子 氏,福

井 仁 氏 か らは

係 の 技 術 に 関 して ア ドバ イ ス を 頂 き,ま た,便 宜 を 図 って い た だ い

た。   東 京 電 機 大 学 出 版 局 の 植 村 八 潮 氏,吉

田 拓 歩 氏 に は,様

々な形 で応援 い ただ

き,ま た,ご 苦 労 頂 い た 。 筆 者 は,初 め て の 出版 とい う体 験 を,気 持 ち よ く,張 り切 っ て,進

め る こ とが で き た。

  以 上 の 方 々,お

よ び,こ

こ に書 き きれ なか っ た 関係 者 に,心 か ら御 礼 申 し上 げ

ます 。 2006年11月

田島

洋

索    引 一 般 化 速 度   115 数 字

,131,137

一 般 化 力   277

２ 次 元 三 重 剛 体 振 子   132 ２ 次 元 二 重 剛 体 振 子   132

上 三 角 行 列   13

３ 次 元 剛 体 系 の 微 分 代 数 型 運 動 方 程 式   238

右 辺   54

３ 次 元 三 重 剛 体 振 子   110

裏 の 表 現   188,197

３ 次 元 二 重 剛 体 振 子   104

運 動 エ ネ ル ギ ー   161 運 動 学   43

欧 文 Baumgarteの DAE 

235 Technique 

Jourdainの LU分

207

原 理   198

運 動 力 学   43

235

運 動 量   152

0rder-N-Algorithm 

254

0rder-N-Formulation  Pauliの

運 動 方 程 式 の 標 準 形   149 運 動 補 エ ネ ル ギ ー   163

解   13

ODE 

運 動 学 的 物 理 量   43 運 動 方 程 式   43

Embedding

QR分

運 動 学 的 自 由 度   131 拘 束 安 定 化 法   241

運 動 量 原 理   156,158

255

運 動 量 保 存 の 法 則   157

ス ピ ン 行 列   319 エ ル ミ ー ト行 列   318 ,319

解   13,23

Recursive-Algorithm 

255

Recursive-Formulation  Simple Velocity

255

Rotation(単

純 回 転)  70,71

Transformation 

209

オ イ ラ ー 角   70 オ イ ラ ー の 運 動 方 程 式   61,171 オ イ ラ ー の 定 理   71 オ イ ラ ー パ ラ メ ー タ   70,76

あ 位 置   46 一 次 従 属   23

大 き さ  12 オ ブ ザ ー バ ー   48 表 の 表 現   188,197

一 次 独 立   22 か

位 置 レベ ル の 拘 束   119 位 置 レベ ル 変 数   258

外 積 オ ペ レ ー タ ー  61

一 般 化 運 動 量   281

回 転 運 動   59

一 般 化 座 標   115

,131,136

回 転 行 列  70,73

外 力  119

行展 開  18

可換   16

共役 変 換   320

角運 動 量   153

共役 変 数  297

角 運動 量 保存 の法 則   158

行 列  11

角 速度   61

行 列式   18

拡 大解 釈 した外 積 オペ レー ター  128 舵付 き帆 掛 け舟   134

系 全体 の運 動量   153

仮想 仕 事   181

系 全体 の角 運動 量   153

仮 想速 度   194

系 全体 の質 量   152

仮 想パ ワー  194

ケイ ン型 運 動 方程 式   203,204

仮想 パ ワー の原 理   193

ケ イ ンの部 分 角 速度   204

仮想 変 位   180

ケイ ンの部 分 速 度  203,204

加 速度   50

ケイ ンの方 法  202

加 速度 レベ ル の拘 束   119 傾 き(Ｙ の)  54

交 換 可能   16

慣性 行 列  43,62

広 義 の オ イ ラー角   75

慣性 系   45

拘 束   115,117,119,131,140

慣 性 主軸   124

拘 束安 定 化  241

慣性 乗 積  62

拘 束外 力   156

慣 性 テ ン ソル  62

拘 束 質 点系 の微 分代 数 型 運 動 方程 式  237

慣性 トル ク  65

拘 束 条件   140

慣 性 モー メ ン ト  62

拘 束 トル ク  117

慣性 力  51,64

拘 束 の独 立 性   146 拘 束 の ヤ コ ビ行列   145,146

幾何 学 的 自由度   131

拘 束 力  115,117,120,131

幾何 ベ ク トル  9,38,46

拘 束 力消 去 法   177

木構 造   254

交 代 行列   21,61

擬 座標   186,187

剛 体振 子   104

基底 幾 何 ベ ク トル  40,308

恒 等 変換   303

基底 列 行 列   41,308

固有値  21

逆 行列  19

固有 列行 列   21

逆 動力 学 解析   51

コ レス キー 分 解  13

逆 方 向(漸 化 計 算 の)  262 さ

球 面 に内 接す る転 動 球   211 行  12

歳 差 運動   90

狭 義 の オイ ラ ー角   74

歳 差 運 動(コ マ の)  173

行行 列  12

サ イズ  12

ス カ ラー積   17

座 標 分 割   207 座 標 変 換 行 列   68 作 用(action) 

288

正 規 化  23 正 規 直 交行 列   23,69

作 用 外 力   156 作 用 積 分(action

integral) 

288

正 準 運 動方 程 式  298

作 用 トル ク  62

正 準 変換   302

作 用 力   50,60,119

正 準 変 数  298

三 者 の 関 係   43,79

正 方 行列   12 正 方 的 ブ ロ ッ ク行 列   14

時 間 微 分 の オ ブ ザ ー バ ー   50

積(行 列 の)  15

時 間 微 分 の 関 係   43,50

積(ブ ロ ッ ク行 列 の)  16

仕 事   181

積 の結 合 法 則  18

下 三 角 行 列   13

積分 ア ル ゴ リズ ム  54

実 対 称 行 列   23

積分 キザ ミ  54

質 量   43,50

積分 原 理  285

始 点(幾

接 触 点   354

何 ベ ク トル の)  39

重 心   152

接 触 問 題   136,353

修 正 さ れ た ハ ミ ル ト ン の 原 理   299

ゼ ロ行 列  12

終 点(幾

何 ベ ク トル の)  39

受 動(passive)変

漸化 計 算 の 出発 値  265 線 形 結 合  22

自 由 度   115,131 数   297

瞬 間 回 転 中 心 軸   61,312

疎 行 列  239

循 環 座 標   281

疎 行 列用 の数 値 解法   239

瞬 間 接 触 点   144,202,354

速 度  49

順 動 力 学 解 析   51

速 度 変換  209

順 方 向(漸

速 度 変換 行 列  207

化 計 算 の)  262

小 行 列 式   18

速 度変 換 法  209,213

状 態 変 数   54

速 度 レベ ルの拘 束  119

章 動(コ

速 度 レベ ル変 数  258

マ の)  173

章 動 運 動   172

た

初 期 値   54 シ ン プ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク  131

対 角行 列   12

シ ンプ ル ノ ンホ ロ ノ ミ ック拘束

対 角 ブ ロ ック  14

(運 動 学 的 拘 束)  140 シ ン プ ル ノ ン ホ ロ ノ ミ ッ ク な 系   133,144

対 角変 換  22 対 角 変 換 行列   22 対 角 要 素   12

ス カ ラ ー 行 列   13

対 称 行 列  20

代 数 ベ ク トル 47

な

ダ ッシ ュ  61 ダラ ンベ ー ル の原 理   180

内積  23

単位 行 列  13

内 力  119

単独 の要 素  12

斜 め に ピ ン結合 され た 剛体 振 子   107

単独 の量  38

滑 らか で ない拘 束   190 滑 らか な拘 束  189

力  43 力 と トル クの 等価 換 算   117 長 方 行列   12

ニ ュー トン ・オ イ ラー の 運 動方 程 式 を利 用 す る 方 法  177

直 交  23

ニ ュー トンの 運動 方 程 式  45

通 常 拘 束結 合  256

二 輪 車 モ デ ル 213

定常 歳 差運 動(コ マ の)  173

眠 りゴマ  89

ニ ュー トン ・ラフ ソ ン法  9

テ レス ココ ピ ック ジ ョイ ン ト 114 テ レス コ コピ ック

能動(active)変

数   297

ジ ョイ ン トを含 む機 構    114

は

転 置 行 列  20 転動 円盤   134

ハ ミル トニ ア ン 297

転動 球   134

ハ ミル トン-ヤ コ ビの方 法   307

点変 換   302

ハ ミル トン-ヤ コ ビの理 論  305 ハ ミル トンの 原理  286

等価 換 算  60 等価 換 算   117

歪 対 称行 列   21,61

動 力 学  43

等 しい(行 列 が)  15

特 異 姿勢   75,86

微 分 原理  285

特 異 値 分解  23

微 分 代 数方 程 式  235

特 殊 拘 束結 合  256

ピ ンジ ョイ ン ト  104

特 性 方 程式   21 独 立 な一般 化 座標   137

ブ ロ ッ ク  14

独 立 な一般 化 速 度   138

ブ ロ ッ ク上 三角 行 列  15

独 立 な拘束 力   148

ブ ロ ッ ク行列  14

トル ク  43

ブ ロ ッ ク下 三角 行 列   15

トレー ス  23

ブ ロ ック対 角行 列   14 ブ ロ ック表 現  14

平 行 軸 の 定 理   124

ユ ニ タ リー 行 列  318,320

並 進 運 動   59

ユ ニ タ リー 変 換   320

ヘ シ ア ン行 列  33 変 分 原 理   285

余 因 子 行 列   19 ら

ポ ア ン カ レ変 換  307 ボ ー ル ジ ョイ ン ト  131

ラ グ ラ ン ジ ア ン   277

母 関数  302,305

ラ グ ラ ン ジ ュ の 運 動 方 程 式   277

保 存 量   281

ラ グ ラ ン ジ ュ の 未 定 乗 数   148

保存 力   277

ラ グ ラ ン ジ ュ の 未 定 乗 数 法   236

ポ テ ンシ ャル 関 数  276 ホ ロ ノ ミッ ク  131

リ ー フ(葉) 

256

ル ー ト(根) 

255

ホ ロ ノ ミッ ク拘 束(幾 何 学 的拘 束)  140 ホ ロ ノ ミッ ク な系  133,142

ル ー プ   254

ま 右 手直 交 座 標系  40,45

ル ジ ャ ン ドル 変 換   163,297 ル ン ゲ ク ッ タ 法(４

次 の)  55

右 ね じの ルー ル   104 右 ネ ジ の ルー ル  61

列   12 列 行 列   9,12,46

無 限小 変 換   303

列 展 開   18

や

ロ ド リ ゲ ス パ ラ メ ー タ  70,315,317

ヤ コ ビ行 列   29 わ

ヤ コ ビ ヤ ン  29

ユ ニ タ リー回 転 行列   321

和(行

列 の)  15

和(ブ

ロ ッ ク 行 列 の)  16

著者略歴 田 島    洋 学 歴 東京大学大学院工学系研究科機械工学専攻修士課程修了(1970年) 職 歴 株式会社小松製作所 現 在 東京大学生産技術研究所研究員 日本大学大学院理工学研究科非常勤講師 名古屋大学大学院工学研究科非常勤講 師 日本機械学会技術相談委員会技術ア ドバ イザー 博士(工 学)

マル チボ ディ ダイ ナ ミクス の基 礎 2006年11月20日

第 １版 １刷 発 行

３次元運動 方程式 の立 て方 著 者

田島 洋 学校法人 東 京電機大学

発行所

東京 電機大 学 出版局 代表者

加藤康太郎

〒101-8457 東 京 都 千 代 田 区 神 田 錦 町2-2 振 替 口 座00160-5-71715 電 話(03)5280-3433(営 (03)5280-3422(編

印刷 製本 装丁

三 美 印刷(株) 渡 辺製 本(株) 鎌 田正 志

Ｃ Hiroshi

Tajima

2006

Printed in Japan *無 断 で転 載す る こ とを禁 じ ます 。 *落 丁 ・乱 丁本 はお 取替 えい た します 。 ISBN4-501-41620-3

C3053

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