Физика твердого тела. Часть X Магнитные свойства твердых тел. Методические указания

Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российской Федерации «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

И.Е. Штехин, А.В. Солдатов, И.С. Родина

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по курсу ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Часть X Элементы кристаллографии и кристаллофизики.

г. Ростов-на-Дону 2004

Утверждены и введены в действие распоряжением проректора по учебной работе от

2004 г. №

Десятая часть методических указаний по курсу “Физика твердого тела” предназначена для студентов старших курсов физического факультета, специализирующихся в области физики твердого тела и является

основой

методических

для

указаний

понимания по

курсу

первых “Физика

девяти

частей

твердого

тела”,

опубликованных в 1998 - 2004 годах. Основной язык описания кристаллов сосредоточила в себе наука кристаллография,

элементы

которой

обсуждаются

в

данных

методических указаниях. В настоящей части методических указаний разъясняется понятие базиса, кристаллической решетки, основные решетки Бравэ, индексы Миллера и другие фундаментальные понятия – ключевые для понимания всего курса физики твердого тела.

Уделено

внимание

и

основам

кристаллофизики,

как

фундаментальной науки в понимании связи физических свойств кристаллов и других анизотропных материалов с симметрией их структуры и изменение этих свойств под влиянием внешних воздействий.

СОДЕРЖАНИЕ

1.

Кристаллография

4

2.

Основные типы кристаллических решеток

10

3.

Положение и ориентация плоскостей в пространстве

13

4.

Плотность упаковки. Координационное число.

15

5.

Простые кристаллические структуры

20

6.

Кристаллофизика.

24

Литература

37

Контрольные вопросы

38

3

1 Кристаллография В физике конденсированного состояния одним из наиболее многочисленных классов веществ являются кристаллические тела. Какой же смысл вкладывается в понятие кристалл и чем такие объекты отличаются от некристаллов? Идеальный кристалл можно построить путем бесконечного закономерного повторения в пространстве одинаковых структурных единиц. В наиболее простых кристаллах (например, медь, серебро, золото) структурная единица состоит из одного атома. В сложных белковых кристаллах структурная единица может содержать ~104 атомов или молекул. С каждой точкой этой структурной единицы связана группа атомов, называемая базисом. Базис повторяется в пространстве и образует кристаллическую структуру. Отметим отличие терминов кристаллическая Кристаллическая регулярное

решетка решетка

расположение

и -это точек

кристаллическая математическая в

структура. абстракция

пространстве.

Тогда

-

как

кристаллическая структура или просто кристалл -это физический объект, в котором с каждой точкой решетки связан базис –группа атомов или молекул. Можно записать: кристаллическая

решетка+базис=кристаллическая

(кристалл) (рис. 1.1).

5

структура

Кристаллическая решетка Базис

Кристалл

Рисунок 1.1 - Процесс образования кристаллической структуры в двухмерном случае Часто

отождествляют

кристаллическую

решетку

и

кристаллическую структуру, но в действительности набор реальных атомов, составляющих базис, можно расположить так, что ни один атом базиса не будет совпадать с узлами кристаллической решеткой, то есть существует некоторый произвол в расположении базиса. Рассмотрим двухмерную решетку, в ней кристаллическая r

решетка задается следующим образом: существуют два вектора a и r b , для которых выполняется следующее условие: из любой точки r r r решетка будет выглядеть абсолютно также, что и из точки r ′ , при

этом выполняется соотношение: r r r r r ′ = r + n1 a + n 2 b , r r

где n1, n2 –целые числа, r , r ′ - - радиус векторы двух узлов решетки. r r a Такие векторы , b носят название векторов трансляции, то есть

векторы, соединяющие узлы кристаллической решетки (рис.1.2). Модули этих векторов называют параметрами решетки.

6

Рисунок 1.2 - Двумерная решетка. Здесь Т вектор r

r

r

трансляции T = n1 a + n2 b

r r r r n a + n b + n c 1 2 3 T Рассмотрим трехмерный случай, любой вектор =

называется вектором трансляции, а соответствующая ему операция перемещения по кристаллу – операцией трансляции. Чтобы изобразить кристаллическую решетку часто используют понятие элементарной ячейки, под которой понимают минимальную часть решетки, обладающую ее симметрией, и повторением которой с помощью векторов трансляции можно получить всю решетку (рис. 1.3).

Рисунок 1.3 - Элементарная ячейка кристаллической решетки (заштрихована)

7

Выбирать элементарную ячейку можно большим количеством способов, удовлетворяя при этом всем условиям, перечисленным выше. На рис. 1.4 представлены разные элементарные ячейки. Легко увидеть, что с помощью векторов трансляции можно покрыть элементарными ячейками всю решетку. Среди элементарных ячеек выделяют также примитивную элементарную ячейку – это элементарная ячейка с минимально возможным объемом. Для описания кристаллических структур пользуются как примитивными, так и не примитивными ячейками (когда они более удобны и пользоваться ими проще).

Рисунок 1.4 - Произвол в выборе элементарной ячейки в двухмерном случае Частным случаем элементарной ячейки является ячейка ВигнераЗейтца, которая строится особым образом, но сохраняет в себе все черты элементарной ячейки, перечисленные выше. Ввиду частого использования в физике такого типа ячейки подробно опишем процесс ее построения (рис.1.5). Вначале соединим отрезками данный узел решетки со всеми соседними узлами. Через середины отрезков проведем линии (в трехмерном случае – плоскости) перпендикулярные

этим

отрезкам.

8

Полученные

линии

или

плоскости, пересекаясь, создают некоторые фигуры. Фигура минимального объема, полученная таким образом, и есть ячейка Вигнера-Зейтца.

Рисунок 1.5 - Построение ячейки Вигнера-Зейтца. Заштрихованные шарики – узлы элементарной ячейки. Следует также сказать несколько слов о преобразованиях симметрии, то есть таких операциях с твердым телом как целым, после совершения которых тело переходит само в себя. Выше уже было рассмотрено одно преобразование симметрии – трансляция, то r r r r n a + n b + n c 1 2 3 T есть перемещение на вектор = всего кристалла (по

определению векторов элементарных трансляций перемещение кристалла на такой вектор переместит его в себя). Кроме того, существуют операции симметрии: вращение, зеркальное отражение, центр симметрии (называемые точечными операциями симметрии). Познакомимся произвольный

с

узел

ними

подробнее.

кристаллической

9

Проведем решетки.

В

ось

через

результате

вращения

относительно

этой

оси

на

определенные

углы

кристаллическая решетка может быть приведена в самосовмещение. Причем, в кристаллических структурах эти углы не могут быть произвольными, как в случае стереометрических фигур, а имеют ограниченное число значений: 2π/1, 2π/2, 2π/3, 2π/4, 2π/6, соответствующие оси носят название осей первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядков. В курсе кристаллографии доказывается, что не существует кристаллических решеток с осями пятого, седьмого или большего порядков. Обозначаются оси вращения арабскими цифрами n, где n порядок оси вращения. Например, квадрат имеет ось вращения четвертого порядка 4. Подробно разные системы кристаллографических обозначений точечных групп симметрии можно посмотреть в любом учебнике по кристаллографии. Операция отражения представляет собой обычное отражение относительно зеркальной плоскости (аналогично тому, что видно в зеркале при поднесении к нему какого либо предмета), при этом твердое

тело

делится

зеркальной

плоскостью

пополам.

В

международной системе обозначается m. Центр симметрии или центр инверсии – особая точка внутри фигуры, при отражении в которой фигура совмещается сама с собой, то есть операция инверсии состоит в отражении в точке, фигура после отражения получается перевернутой и обращенной. Центр симметрии обозначается 1 . Кроме простых поворотных осей в кристаллах встречаются сложные оси симметрии – инверсионные. При инверсионной оси кристалл совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой 10

оси и его последующем отражении в центре тяжести кристалла как в центре

симметрии.

Инверсионная

ось

четвертого

порядка

соответственно обозначается: 4 . На рисунке 1.6 показана фигура которая совмещается сама с собой при повороте на 90˚ и последующем отражении относительно центра тяжести кристалла. Это инверсионная ось четвертого порядка.

Рисунок 1.6 - Пример кристалла с инверсионной осью четвертого порядка Внешняя

видимая

симметрия

описывается

следующими

элементами симметрии: m, 1, 2, 3, 4, 6, 1 , 3 , 4 , 6 . 2 Основные типы кристаллических решеток Выше, были определены векторы элементарных трансляций r r r a , b , c для кристаллических решеток в трехмерном пространстве.

Если эти векторы выбрать в качестве ортов осей координат, то

11

получаются так называемые кристаллографические оси координат. r r r r a b b Углы между векторами и обозначаются γ, между и c - α, r r между a и c - β, как показано на рис. 1.7. Все кристаллические

решетки, существующие в природе можно разбить на системы в соответствии с соотношениями между сторонами и углами элементарных ячеек.

Рисунок 1.7 - Кристаллографические оси координат и углы между ними Существует 14 основных типов кристаллических решеток (они носят

название

решеток

Браве),

объединенных

в

семь

кристаллографических систем (таблица 1). В каждой из систем имеется примитивная элементарная ячейка, обозначаемая P (исключение составляет тригональная система, в которой

в силу специфики системы примитивную ячейку

обозначают R) (рис.1.8 (а)). Помимо этого в моноклинной и

12

Таблица

1.

Соотношение

между

сторонами

и

кристаллографическими углами для основных решеток Бравэ. Кристаллографичес

Соотношение

Кристаллографичес

кая система

между

кие углы

сторонами элементарной ячейки Триклинная

а≠b≠с

α≠β≠γ

Моноклинная

а≠b≠с

α=γ=90°≠β

Ромбическая

а≠b≠с

α=β=γ=90°

Тетрагональная

а=b≠с

α=β=γ=90°

Кубическая

а=b=с

α=β=γ=90°

Тригональная

а=b=с

α=β=γ<120°, ≠90°

Гексагональная

а=b≠с

α=β=90°, γ=120°

ромбической

пространственных

бокоцетрированные

решетках

имеются

решетки (C), в которых точки решетки r

расположены в центрах граней ячейки, нормальных к оси c (рис. 1.9).

13

а)

б)

в)

Рисунок 1.8 - Кубические решетки Браве. а) кубическая примитивная ячейка; б) объемноцентрированная кубическая (ОЦК); в) гранецентрированная кубическая (ГЦК) Ромбическая, тетрагональная и кубическая решетки имеют объемноцентрированные элементарные решетки (I) (рис. 1.8 (б)). Наконец, две системы ромбическая и кубическая решетки имеют гранецентрировнные элементарные решетки (рис. 1.8 (в)). В качестве примера рассмотрим кубические решетки. Их три типа: а) простая (Р); б) объемноцентрированная кубическая – ОЦК (I); в) гранецентрированная кубическая ГЦК (F). Все они представлены на рис. (1.8). Такие решетки имеют многие простые вещества: ОЦК –Li, Na, K, V, Nb; ГЦК –Ca, Al, Cu.

Рисунок 1.9 - Моноклинная бокоцентрированная решетка 14

3 Положение и ориентация плоскостей в пространстве Из курса геометрии известно, что положение и ориентация плоскостей определяется заданием координат трех точек, не лежащих на одной прямой. Например, если эти точки ( в качестве которых могут выступать атомы кристаллических плоскостей) имеют координаты (300), (020), (001) в единицах постоянной решетки, то плоскость может быть охарактеризована тремя числами 3, 2, 1. Но обычно в кристаллографии для описания расположения плоскости в пространстве применяются так называемые индексы Миллера. Для их нахождения нужно проделать следующие операции. Вначале найдем точки, в которых искомая плоскость пересекает кристаллографические оси и координаты этих точек выразим в единицах постоянной решетки. В примере, указанном на рис. 1.10 это 3, 1 и 2. Теперь возьмем обратные значения полученных чисел – это 1/3, 1, 1/2 и приведем их к общему знаменателю, в нашем случае это цифра 6, то есть соответственно 2/6, 6/6, 3/6. Числа полученные в числителе дроби после указанных преобразований и будут индексами Миллера. Их изображают в круглых скобках, для плоскости, изображенной на рис. 1.10 индексы Миллера выглядят так: (263). Если индекс Миллера принимает отрицательное значение, то его изображают цифрой с верхним подчеркиванием, например ( 2 31). Когда плоскость параллельна оси координат, то есть пересекает данную координатную ось в бесконечности, то соответствующий индекс Миллера равен нулю.

15

Рисунок 1.10 - Индексы Миллера и их получение

Рисунок 1.11 -Примеры индексов Миллера для ряда плоскостей в кубическом кристалле. В

отличие

от

плоскостей,

направления

в

кристаллах

обозначаются в квадратных скобках [h, k, l], причем для кубической решетки направление [h, k, l] всегда перпендикулярно плоскости (h, k, l). Заметим, что координаты атомов также даются в круглых скобках.

16

На рис. 1.11 изображены основные плоскости для куба. Следует обратить внимание, что плоскость (200) – плоскость параллельная (100), но отсекающая на оси x отрезок а/2. 4 Плотность упаковки. Координационное число Расположить одинаковые твердые шары в пространстве так, чтобы объем, остающийся между ними, был минимален, можно двумя способами. Один способ приводит к структуре обладающей кубической симметрией, а именно к гранецентрированной кубической структуре (кубическая структура с плотной упаковкой) (рис.1.12), другой – к структуре, обладающей гексагональной симметрией

и носящей

название гексагональной структуры с плотной упаковкой (рис. 1.13). Шары можно уложить плотно упакованным плоским слоем так, чтобы каждый шар соприкасался с шестью другими (рис.1.14). Этот слой может быть либо базисной плоскостью гексагональной структуры с плотной упаковкой (о ней речь пойдет дальше), либо плоскостью (111) гранецентрированной кубической структуры, о которой мы говорили выше. Второй такой слой, также с плотнейшей упаковкой можно уложить на первый таким образом, чтобы каждый его шар соприкасался с тремя шарами нижнего слоя, как показано на рис. (1.15).

17

Рисунок 1.12 - Гранецентрированная кубическая решетка с плотнейшей упаковкой. Треугольником показана плоскость (111), в которой и осуществляется плотнейшая упаковка

Рисунок 1.13 - Гексагональная структура с плотнейшей упаковкой

18

Рисунок 1.14 -Наиболее плотно упакованная плоскость с шарами. А, В, С – геометрические положения шаров.

Рисунок 1.15 - Расположение второго слоя в плотнейшей упаковке. Темными шариками показаны центры шаров первого слоя. Крестиком и не заштрихованным кружком показаны центры шаров второго слоя.

Следующий, третий слой может быть уложен двумя способами. В случае кубической гранецентрированной структуры шары третьего слоя расположатся над теми углублениями (лунками) первого слоя,

19

которые не заняты шарами второго слоя; в случае гексагональной структуры шары третьего слоя расположатся непосредственно над шарами первого. Чередование слоев для кубической плотной упаковки можно поэтому записать так : АВСАВС..., а для гексагональной – АВАВАВ.... (рис. 1.16).

Рисунок 1.16 - Схематическое изображение гексагональной и гранецентрированной решеток с плотнейшей упаковкой Элементарная ячейка гексагональной структуры с плотной упаковкой представляет собой примитивную гексагональную ячейку (рис. 1.13) с базисом из двух атомов. Примитивная ячейка, выбранная внутри гранецентрированной кубической ячейки так, как показано на рис. (1.12) , содержит один атом. Введем понятие плотности упаковки, под ним понимается величина отношения объема занятому шарами, представляющими собой атомы твердого тела, к общему объему кристалла. Многие металлы при определенных температурах довольно легко изменяют свою структуру с гранецентрированной кубической на структуру с гексагональной плотной упаковкой и наоборот. Заметим,

20

что

координационное

число,

определяемое

как

число

атомов,

являющихся ближайшими соседями данного атома, одинаково для обоих видов структур с плотной упаковкой. Если бы энергия связи зависела только от числа связей атома с соседями, то энергии гранецентрированной

кубической

структуры

и

структуры

с

гексагональной плотной упаковкой были бы одинаковы. 5 Простые кристаллические структуры Для

описания

элементарных

ячеек

обычно

пользуются

координатами, выражаемыми в долях параметров решетки, принимая за единицу соответственно модули векторов a, b, c. Точку с координатами (000), как правило, помещают в узле элементарной ячейки. Пользуясь такой системой координат, рассмотрим несколько наиболее простых кристаллических структур. Структура хлорида натрия (поваренная соль) – NaCl. Решетка Бравэ для этой структуры соответствует ГЦК, но базис состоит не из одного атома, как нам встречалось ранее, а из двух – атома натрия и атома хлора. Примерами соединений, имеющих такую структуру, являются: KCl, PbS, MgO, KBr и т.д. Координаты атомов базиса: Na (000), (1/2,1/2,0), (1/2,0,1/2), (0,1/2,1/2) Cl (1/2,1/2,1/2), (0,0,1/2), (0,1/2,0), (0,0,1/2). На рис. (1.17) показано как с помощью векторов трансляции из базиса можно получить структуру кристалла типа NaCl.

21

Рисунок 1.17 - Получение структуры NaCl. Белыми шариками изображены атомы Na, черными – Cl. Здесь а -параметр решетки Структура хлорида цезия – CsCl. Решетка Браве в этом случае – простая кубическая. Вещества, где встречается эта структура: TlBr, CuPb, CuZn, NH4Cl, AgMg и т.д. Как и в случае NaCl базисом являются два атома: Cs с координатами (000) и Cl с координатами (1/2,1/2,1/2). Как видно в случае CsCl для описания базиса нам потребовалось всего две координаты, в отличие от NaCl, где таких координат 8. Получение структуры CsCl из базиса представлено на рис. (1.18).

Рисунок 1.18 - Получение структуры CsCl. Белые шарики изображают атом Cs, черные – Cl

22

Для гексагональной структуры часть общего объема, занятая твердыми шарами, составляет 0,74 как для кубической, так и для гексагональной структур с плотной упаковкой. Базис гексагональной структуры представляет собой 2 атома (рис. 1.19)

Рисунок 1.19 - Элементарная решетка гексагональной решетки с плотной упаковкой (0 0 0), (1/3 2/3 1/2) Примеры соединений с гексагональной структурой: графит, цинк сульфид железа (FeS), сульфид меди (CuS), хром Cr, бериллий Be. Пространственная

решетка

алмаза

является

кубической

гранецентрированной. С каждым узлом решетки связан примитивный базис, состоящий из двух одинаковых атомов с координатами 000 и 1 1 1 4 4 4 (рис. 1.20). Тетраэдрическое расположение связей в структуре

алмаза иллюстрируется схемой, приведенной на рис. (1.20). Каждый атом имеет четырех ближайших соседей и двенадцать соседей,

23

следующих за ближайшими. Элементарный куб содержит восемь атомов. Решетка алмаза не относится к числу плотных: максимальный относительный объем, который может быть занят твердыми шарами, имитирующими атомы, составляет лишь 0,34, т. е. примерно 46% от величины

коэффициента

заполнения,

характерной

для

плотноупакованной структуры. В структуре алмаза кристаллизуется углерод, кремний, германий и

серое

олово,

постоянные

решетки

этих

кристаллов

равны

соответственно 3,56; 5,43; 5,65 и 5,46 Å. В структуре алмаза атомы связаны между собой ковалентными связями.

Рисунок 1.20 - Решетка алмаза

6 Кристаллофизика Кристаллофизика – наука, изучающая связь физических свойств кристаллов и других анизотропных материалов (жидкие кристаллы и т.д.) с симметрией их структуры и изменение этих свойств под

24

влиянием внешних воздействий. Здесь широко используется понятие симметрии как метода изучения закономерностей свойств объектов. Некоторые макроскопические физические свойства кристаллов не зависят от направления, то есть являются скалярными величинами и кристалл можно рассматривать как однородную среду. Пример таких свойств: 1) плотность вещества, 2) температура. В то же время другие свойства существенно зависят от направления и являются в общем случае тензорными величинами, причем, различного ранга. Если эти величины определяют связь между двумя векторами (то есть тензорами первого ранга) – то эти величины являются тензорами 2-го ранга. Пример: Тензор электропроводности: r r j = σ αβ E

Возможны и свойства, являющиеся тензорами более высоких рангов. Пример тензора 4 ранга. Тензор упругости ciklm. σ ik = ciklm ⋅ U lm

где σ ik − тензор механического напряжения, U lm − тензор деформации.

Как видно из приведенных примеров для одних и тех же кристаллов возможны различные типы физических свойств: от скаляра до тензора 4-ранга. Каковы же закономерности связи физических

25

свойств кристалла с типом его кристаллической решетки (и в частности, его симметрией?) и есть ли такая связь вообще. Изучением таких обобщенных свойств занимается наука кристаллофизика. Оказалось, что не только кристаллы, но и физические явления, поля, воздействия также могут обладать симметрией. Например, электрическое поле обладает симметрией конуса ∞mm, магнитное поле обладает симметрией вращающегося цилиндра ∞/m. Под физическим свойством

мы

величинами

понимаем

(например,

соотношение

проводимость

–

между

измеряемыми

соотношение

между

плотностью тока и напряженностью электрического поля). Пусть нужно выяснить обладает ли данное физическое свойство кристалла определенным элементом симметрии. Чтобы в этом убедиться, мы измеряем это свойство по отношению к определенным осям координат. После этого действуем определенным элементом симметрии на кристалл (например, вращаем относительно оси на 90˚), и опять измеряем свойство в тех же направлениях и в тех же осях. Если свойство не изменилось, то говорят, что данное свойство обладает заданным элементом симметрии. Любое физическое свойство обладает симметрией независимо от симметрии кристалла, другое дело, что, как правило,

это

предельные

группы

симметрии.

Оказалось,

что

физические свойства и симметрия кристалла взаимосвязаны. Одним из фундаментальных принципов, установленным в кристаллофизике является принцип Неймана, который утверждает: Симметрия макроскопических свойств кристалла определяется точечной группой его симметрии и не может быть ниже последней. Или можно перефразировать другим способом: Элементы симметрии

26

свойства кристалла всегда включают в себя точечную симметрию самого кристалла. Физические свойства в общем виде описываются тензорами разных рангов. Тензоры по отношению к объекту делятся на материальные (свойства кристаллов) и полевые (воздействия). Из принципа Неймана следует, что материальные тензоры должны иметь симметрию не ниже кристалла. На полевые тензоры никаких ограничений нет. Приведем пример использования данного принципа. Пусть кристалл имеет группу симметрии 4 (рис. 1.21).

Рисунок 1.21 - Схематическое изображение симметрии кристалла с осью вращения 4-го порядка

Рисунок 1.22. - Физическое свойство, симметрия которого имеет ось бесконечного порядка, соответствующее изотропной среде в аксиальном направлении.

27

Физическое свойство кристалла с таким типом симметрии может быть скаляром, то есть иметь ось вращения бесконечного порядка (рис. 1.22), что соответствует изотропной среде, но оно не может иметь симметрию ниже 4, например, 2. Как было показано выше, основные физические свойства описываются Геометрической

симметричными

тензорами

интерпретацией

тензора

второго

второго

ранга

ранга. будут

поверхности второго порядка, носящие название характеристических поверхностей. Важным свойством поверхностей второго порядка является то, что они обладают главными осями. От соотношения знаков между главными значениями компонент тензора Т1, Т2, Т3 зависит вид характеристической поверхности. Когда Т1, Т2, Т3 положительны поверхность представляет собой трехосный эллипсоид (рис. 1.23).

Рисунок 1.23 - Пример характеристической поверхности со всеми положительными значениями компонент тензора Т1, Т2, Т3

28

Если два коэффициента положительны, один отрицателен, поверхность является однополостным гиперболоидом (рис. 1.24).

Рисунок 1.24 - Пример характеристической поверхности с двумя положительными и одним отрицательным значениями компонент тензора Т1, Т2, Т3 Если два коэффициента отрицательны, а один положителен, то поверхность представляет собой двуполостной гиперболоид (рис.1.25).

Рисунок 1.25 - Пример характеристической поверхности с одним положительным и двумя отрицательными значениями компонент тензора Т1, Т2, Т3 29

Многие свойства кристаллов удобно представлять в виде геометрических объектов в кристаллофизических координатах, для этого помимо характеристической вводят также и указательную поверхности. Для построения такой поверхности из какой-либо точки, взятой внутри кристалла и выбранной за начало координат, проводят радиусы-векторы по всем возможным направлениям, откладывая вдоль них измеренные относительные значения величин, характеризующих рассматриваемое свойство. Соединив концы этих векторов получают поверхность,

описывающую

данное

физическое

свойство.

Указательная поверхность по построению всегда может быть только эллипсоидом. Например, можно рассмотреть величину поляризуемости диэлектрика в анизотропном кристалле. Величина поляризуемости будет различной в разных направлениях и соответственно будет разным модуль радиус-вектора, соответствующий поляризуемости. Конец

этого

радиус-вектора

опишет

в

пространстве

некую

поверхность, которая и будет указательной поверхностью – в общем случае это трехосный эллипсоид (рис. 1.26).

Рисунок 1.26 - Указательная поверхность, соответствующая физическому свойству, описываемому тензором второго ранга 30

Полезность введения указательной поверхности в том, что наглядно можно видеть экстремальные точки физического свойства, а также увидеть симметрию. Наличие элементов симметрии кристалла определяет положение главных осей этой поверхности и число компонентов тензора. Другой пример: в кристаллах с кубической симметрией все физические свойства, описываемые тензорами 2 ранга, не зависят от направления, то есть их указательная поверхность – сфера (рис. 1.27). Зная это общее свойство кристаллов с кубической симметрией, можно наверняка утверждать, что проводимость кубических кристаллов – не зависит от направления.

Рисунок 1.27 - Указательная поверхность для кристаллов с кубической симметрией Если понизить симметрию до, например, тетрагональной или гексагональной, то указательная поверхность станет эллипсоидом вращения, так как здесь уже два направления изотропные, а в r

направлении c наблюдается анизотропия. То есть тензор имеет уже две независимые переменные, одна описывает свойства вдоль главной оси, другая по оси перпендикулярной главной. Для полного описания 31

свойств таких кристаллов в любом направлении

нужно знать

(измерить) только эти две величины (рис.1.28).

а)

б)

Рисунок 1.28 - Указательная поверхность в виде эллипсоида вращения для а) гексагональной; б) тетрагональной симметрии Если же мы еще понизим симметрию кристалла (например, до моноклинной), то поверхность станет трехосным эллипсоидом (рис.1.29).

а)

б)

в)

Рисунок 1.29 - Указательная поверхность для моноклинных кристаллов а). На рис. б) и в) изображены проекции указательной поверхности на соответственно плоскости ZX и ZY 32

В случае величин, описываемых тензорами более высоких порядков ситуация более сложная и для полной характеристики кристалла нужно знать эти параметры в трех перпендикулярных направлениях, но в принципе, задача решается с помощью теории групп. Что же происходит, если кристалл будет подвергнут внешнему воздействию?

На

этот

вопрос

отвечает

разработанный

в

кристаллофизике принцип Кюри, состоящий в следующем: Кристалл под внешним воздействием изменяет свою точечную симметрию так, что сохраняются лишь элементы симметрии общие с элементами симметрии воздействия. Принцип Кюри выражает симметрийный аспект принципа причинности: симметрия причины сохраняется в симметрии следствия. Как видно, в отличие от принципа Неймана, который связывает симметрию свойств кристалла с симметрией самого кристалла до каких-либо

воздействий,

принцип

Кюри

позволяет

определить

симметрию свойств кристалла после воздействия. Наглядным примером применения принципа Кюри могут служить геометрические фигуры приведенные на рис. (1.30). На геометрическую фигуру (квадрат с симметрией 4mm) (рис. 1.30 (а)), имеющую

симметрию

кристалла,

накладывается

в

заданной

ориентации фигура (равносторонний треугольник – симметрия 3m) – (рис. 1.30 (б)) с симметрией воздействия. В результате суперпозиции фигур, составленной из квадрата и треугольника, остается только одна плоскость симметрии m общая для них обоих – (рис. 1.30 в).

33

а)

б)

в)

Рисунок 1.30. Пример применения принципа Кюри к геометрическим фигурам (см. текст). Приведем пример использования принципа Кюри: рассмотрим тепловое

расширение

кристалла.

Здесь

воздействием

является

температура, представляющая собой скалярную величину. Скаляр как мы видели ранее описывает физическое свойство, обладающее осью вращения бесконечного порядка. По принципу Кюри у кристалла сохранится симметрия, имеющая элементы общие с бесконечномерной осью вращения, а это любые элементы симметрии кристалла, которые были до внешнего воздействия,

поэтому простое нагревание (вне

области фазовых переходов) не может привести к изменению симметрии кристалла. Другой

пример

воздействие

электрического

поля

на

электрический ток. Например, скрещенные поля. Электрическое поле и ток в общем случае связаны соотношением: r r j = σ αβ ⋅ E

физическое свойство, на которое воздействует внешнее воздействие – ток, векторная величина; воздействие – электрическое поле, также вектор 34

свойства симметрии кристалла содержится в тензоре

σ αβ

-

электропроводности. Рассмотрим простые случаи: σ а) если кристалл кубический, то αβ - изотропный (только одна

независимая компонента).

σ αβ

в этом случае не зависит от координат

(рис. 1.31). Если электрическое поле не зависит от координат, то изотропия кристалла сохранится, ток не будет также зависеть от r

r

координаты и направление вектора j будет совпадать с E .

Рисунок

1.31

-

Указательная

поверхность

для

электропроводности кубического кристалла б) если кристалл тетрагональный (рис. 1.32) и зависимость напряженности от координат задается функцией

r E = f ( x, y , z )

причем

симметрия электрического поля такая же как и σ, то направление тока и электрического поля совпадают, причем

35

j = f ( x, y , z )

.

Рис.1.32 - Указательная поверхность электропроводности тетрагонального кристалла Заметим, что иногда принцип Кюри называют принципом суперпозиции. Это следует из следующей формулировки того же принципа: Симметрия составной (сложной) системы определяется пересечением групп симметрии ее частей.

Рис.1.33 - Иллюстрация принципа Кюри через пересечение областей Иллюстрация принципа Кюри через пересечение областей, представляющих собой группы симметрии частей одной системы. S1 подсистема – кристалл, S2 подсистема (часть) – воздействие.

36

Заштрихованная часть область представляет собой систему под внешним воздействием. Сложная система – кристалл под воздействием включает в качестве своих элементов симметрии, только общие для кристалла (S1) и воздействия (S2) элементы симметрии (рис. 1.33).

37

ЛИТЕРАТУРА 1.

Киттель Ч. Введение в физику твердого тела, М., Наука, 1978.

2.

Блейкмор Дж. Физика твердого тела, Мир, 1988.

3.

Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. М., Высш. школа, 2000.

4.

ПоповГ.М., ШафрановскийИ.И. Кристаллография. М.1972.

5.

Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П., Основы кристаллофизики. М. 1979..

38

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. 1.

Что такое базис кристаллической решетки?

2.

Что такое координационное число?

3.

В каких единицах задаются координаты в кристаллографических обозначениях различных кристаллических структур?

4.

Как рассчитываются индексы Миллера?

5.

Какие

индексы

Миллера

используются

в

гексагональной

кристаллической системе? 6.

Сформулируйте

принципы

Неймана

геометрическую интерпретацию.

39

и

Кюри.

Дайте

их