Моделирование физических явлений на ЭВМ. Методическое пособие. Ч.VI

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ НА ЭВМ Часть VI Прохождение света через границу раздела сред и интерференционные явления в многослойных структурах

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Кафедра физики

Краснов А.А., Макаров О.А., Мезенцев Н.А., Пиндюрин В.Ф.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ НА ЭВМ

Методическое пособие Часть VI Прохождение света через границу раздела сред и интерференционные явления в многослойных структурах

Новосибирск 2000

Пособие относится к серии учебно-методических материалов по спецкурсу "Моделирование физических явлений на ЭВМ", преподаваемого учащимся Специализированного учебно-научного центра Новосибирского государственного университета (СУНЦ НГУ − бывшая Физикоматематическая школа им. М.А.Лаврентьева). В настоящем пособии рассмотрены простые решения уравнений Максвелла для электромагнитных волн в вакууме и веществе. Дается вывод уравнений, описывающих явления преломления и отражения света на плоских границах раздела двух сред, а также алгоритм расчета для отражения света от многослойной структуры. Приводится набор задач для самостоятельного решения. Предлагаемое пособие заметно отличается от других учебнометодических материалов курса. Материал пособия достаточно сложен для учащихся СУНЦ НГУ как по рассматриваемой теме, так и по используемому математическому аппарату. В то же время в пособии приводятся тексты готовых модулей необходимых функций, с использованием которых относительно легко моделируются на ЭВМ практически все предлагаемые задачи. В силу указанных особенностей настоящее пособие ориентировано на тех учащихся СУНЦ НГУ, которые уже имеют хорошую подготовку как в физике и математике, так и в решении физических задач на ЭВМ. То есть пособие рассчитано на наиболее подготовленных учащихся и позволяет им расширить свои знания в этой области физики со множеством интересных и красивых явлений. Рецензенты: доцент кафедры физики СУНЦ НГУ Харитонов В.Г. профессор кафедры теор. физики НГУ, к.ф.-м.н. Коткин Г.Л.  Новосибирский государственный университет, 2000 Подготовлено при поддержке ФЦП "Интеграция", проект "Современные компьютерные технологии в ранней профессиональной ориентации и подготовке физиков-исследователей" (рег. № 274)

1

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие

3

Введение

5

Свет − электромагнитная волна

7

Распространение света в веществе

10

Формулы Френеля

17

Пример моделирования отражения света от границы раздела двух сред

21

Отражение света от слоистой структуры

24

Пример моделирования отражения света от многослойной структуры

28

Задачи

30

Рекомендуемая литература

43

Приложения: Модуль с функцией для вычисления отражательной способности многослойных структур

45

Модуль с функциями для выполнения действий над комплексными числами

46

Математические действия над комплексными числами

48

2

Предисловие В учебно-методическом пособии "Прохождение света через границу раздела сред и интерференционные явления в многослойных структурах" описываются электромагнитные волны, их распространение в вакууме и среде, прохождение волн через границы раздела сред и через многослойные структуры.

В предлагаемых для моделирования на ЭВМ задачах

рассматриваются

наиболее

типичные

физические

явления,

которые

возникают при прохождении электромагнитными волнами одинарных или многократных границ раздела сред, а также оптические приборы, основанные на использовании этих явлений. Предлагаемое

пособие

относится

к

серии

учебно-методических

материалов по спецкурсу "Моделирование физических явлений на ЭВМ" [15], преподаваемого учащимся Специализированного учебно-научного центра Новосибирского государственного университета (СУНЦ НГУ − бывшая Физико-математическая

школа

им. М.А.Лаврентьева)

сотрудниками

Института ядерной физики им. Г.И.Будкера СО РАН. Однако, из-за своих особенностей данное пособие заметно отличается от других учебнометодических материалов курса. Материал пособия не является простым для учащихся СУНЦ НГУ как по рассматриваемой теме (обычно эта тема рассматривается только на 2-м курсе физического факультета НГУ [6]), так и по используемому математическому аппарату (операторы в частных производных, описание волн в комплексном представлении). Поэтому, в отличие от других пособий, материал данного пособия и приводимые в нем задачи не используются широко в занятиях на курсе. В то же время практика показывает, что из 30-40 учащихся, обучаемых ежегодно на спецкурсе, находится несколько человек, которым вполне по силам освоение данного материала и решение соответствующих

3

задач. Это облегчается и тем, что в пособии приводятся тексты модулей необходимых функций, с использованием которых можно достаточно легко решить практически все предлагаемые задачи. То есть, с одной стороны, тема материала достаточно сложна, а, с другой стороны, моделирование задач на ЭВМ сильно облегчено предлагаемыми готовыми модулями. В силу указанных особенностей данное пособие используется избирательно и факультативно для тех учащихся СУНЦ НГУ, которые уже имеют хорошую подготовку как в физике и математике, так и в решении физических задач на ЭВМ.

То есть пособие рассчитано на наиболее подготовленную часть

учащихся и позволяет им расширить свои знания в этой области физики со множеством интересных и красивых явлений. Пособие может использоваться также и в процессе обучения студентов высших

учебных

заведений

физико-математического

и

инженерно-

технического профиля. Авторы

4

Введение Оптикой называют учение о физических явлениях, связанных с распространением электромагнитных

и

взаимодействием

с

веществом

коротких

волн, длина волны которых лежит в интервале

10 −3 − 10 −9 м. Особое значение в этой области занимает участок длин волн от 0.4 до 0.7 мкм, потому что электромагнитные волны в этом участке спектра непосредственно воспринимаются человеческим глазом. Электромагнитная теория света возникла в итоге длительного развития взглядов на природу света. Ей предшествовала волновая теория, в которой свет рассматривался как упругое возмущение, распространяющееся в гипотетической среде − эфире. В середине прошлого столетия на основе экспериментальных открытий в области электрических и магнитных явлений, связанных, главным образом, с исследованиями Фарадея1, Максвелл2 сформулировал законы электромагнитного поля в виде системы четырех дифференциальных уравнений, подытожив все имеющиеся в этой области знания. Распространение электромагнитных волн в веществе в тех случаях, когда длина волны велика по сравнению с межатомными расстояниями, можно рассматривать феноменологически, то есть без учета атомистического строения

среды.

Для

этого

уравнения

Максвелла

дополняются

1

Майкл Фарадей (Mikhael Faraday; 1791−1867), английский физик, открыл явления электромагнитной индукции, установил основные законы электролиза, пришел к открытию новой в науке идеи силовых линий, а затем и электромагнитных полей. 2

Джеймс Клерк Максвелл (James Clerk Maxwell; 1831−1879), английский физик, блестяще завершил разработку идеи Фарадея, создав теорию электромагнетизма. Выполнил также ряд крупных работ по оптике, теории упругости, молекулярной физике.

5

материальными уравнениями, в которых свойства среды учитываются введением соответствующих параметров.

Когда свет достигает границы

раздела двух сред с разными оптическими свойствами (или границы среды с вакуумом), он частично проходит во вторую среду, изменяя первоначальное направление в случае наклонного падения, и частично возвращается в первую среду. В данном пособии рассматриваются физические явления, связанные с преломлением и отражением света на границах раздела сред, и предлагаются задачи для моделирования этих явлений на ЭВМ, а также задачи, позволяющие

лучше

понять

физические

основы

работы

некоторых

оптических приборов, использующих преломление и отражение света, таких как интерференционные фильтры, поляризаторы света, интерферометры.

6

Свет − электромагнитная волна Электромагнитное поле в вакууме в любой момент времени t в каждой точке

r

пространства

определяется

значениями

двух

векторов:

напряженности электрического поля Е(r,t) и напряженности магнитного поля H(r,t). Свойства электромагнитного поля описываются уравнениями Максвелла, которые для этого случая могут быть записаны в виде3:

1 ∂H =0, c ∂t 1 ∂E =0, rot H − c ∂t div H = 0 , rot E +

div E = 0 . Плоские

монохроматические

волны

являются

простейшим

в

математическом отношении решением уравнений Максвелла. Несмотря на ограниченную применимость такой идеализированной модели для описания 3

Выражение "rotA" обозначает векторное дифференциального оператора ∇ на вектор A, т.е: ∇=i

произведение

векторного

∂ ∂ ∂ +j +k , ∂x ∂y ∂z

rotA = [∇ × A] =

 ∂Az ∂Ay   ∂Ax ∂Az   ∂Ay ∂Ax  − − − i+  j+  k ,   ∂ y ∂z   ∂z ∂x   ∂x ∂ y 

где i, j, k − единичные векторы, направленные вдоль осей координат x, y, z, соответственно. Выражение "divA" обозначает скалярное произведение векторного дифференциального оператора ∇ на вектор A, т.е.: divA = (∇ A) =

∂Ax ∂Ay ∂Az + + . ∂x ∂y ∂z

7

реальных световых волн, она во многих случаях оказывается полезной. В таких волнах зависимость всех компонент векторов E и H от координат и времени имеет один и тот же вид и выражается гармонической функцией

E (r, t ) = E 0 cos ( k r − ωt + ϕ) .

(1)

Под E(r,t) здесь можно понимать любую из проекций векторов E и H. Амплитуда Е0 и начальная фаза ϕ плоской монохроматической волны не зависят от r и t, т.е. одинаковы во всем пространстве во все моменты времени. Никакие реальные волны этим свойством не обладают, но они могут быть представлены в виде суммы таких простых волн (благодаря линейности уравнений Максвелла сумма любых решений также является решением). Аргумент косинуса kr − ωt + ϕ называется фазой волны. Уравнение поверхности постоянной фазы (или волновой поверхности) kr − ωt = const определяет в пространстве плоскость, перпендикулярную вектору называемому

волновым

вектором.

Эта

плоскость

перемещается

k, в

пространстве вдоль направления вектора k со скоростью

v=ω/k , где k − модуль волнового вектора, называемый волновым числом. Скорость перемещения поверхности постоянной фазы в пространстве называется фазовой скоростью волны.

Период изменения напряженности поля в

пространстве − это длина волны λ :

λ = 2π / k = 2πv / ω = vT , т.е. длина волны представляет собой то расстояние, на которое перемещается плоскость постоянной фазы за время, равное периоду колебаний T = 2π / ω .

8

Решение уравнений Максвелла для плоской монохроматической волны

E и H

показывает, что векторы

перпендикулярны направлению

k) и что векторы

распространения волны (волновому вектору

E и H

взаимно перпендикулярны, и вместе с вектором k образуют правую тройку векторов. Уравнения Максвелла дают также связь между частотой ω и модулем волнового вектора k (волновым числом) в виде:

k2 =

ω2 c2

.

Это означает, что для плоских монохроматических волн в вакууме фазовая скорость v = ω / k равна скорости света c , входящей в уравнения Максвелла (c = 2.99792468⋅1010 см/сек).

Y H

k

X

Z E λ

Рис. 1. Плоская монохроматическая электромагнитная волна.

9

Z

Выберем направление оси вектора

k , направления осей

системы координат вдоль волнового

X и Y – вдоль векторов

E

и

H,

соответственно. Тогда вектор E напряженности электрического поля будет иметь

единственную

ненулевую

E x ( z, t ) , а вектор

компоненту

напряженности магнитного поля – компоненту

H y ( z, t ) .

Изображение

такой волны в один момент времени приведено на рисунке 1, где показаны векторы E и H в разных точках оси Z. Обычно плоскость, в которой лежит вектор электрического поля волны и волновой вектор

E

напряженности

k, называют плоскостью

поляризации, а саму волну – линейно поляризованной.

Распространение света в веществе Для описания свойств электромагнитного поля в веществе уравнения Максвелла необходимо дополнить соотношениями, характеризующими реакцию рассматриваемого вещества на электрическое и магнитное поля. Размеры атомов и молекул вещества, а также расстояния между ними в обычных условиях намного меньше длины электромагнитной волны. Поэтому во всем оптическом диапазоне вещество обычно проявляет себя как сплошная однородная среда. Действие электрического поля электромагнитной волны на электрон в атоме вызывает его смещение из положения равновесия.

Относительное

смещение отрицательного и положительного зарядов проявляется в том, что атом приобретает дипольный момент. вещества используют вектор

Для описания этого состояния

P, который равен отношению дипольного

момента всех атомов из малого элемента среды к объему этого элемента, а

10

про вещество говорят, что оно поляризовано4 электрическим полем. Если атомы

или

молекулы

ориентирующее ненулевого

действие

магнитного

среды

обладают

магнитного момента

магнитными

поля в

приводит

малых

моментами, к

появлению

элементах

объема.

Макроскопически такая намагниченность вещества описывается вектором

M – объемной плотностью магнитного момента. В быстропеременных электромагнитных полях, заметно изменяющихся за

времена,

сравнимые

со

временем

установления

(релаксации)

электрической поляризованности P и намагниченности M вещества, связь между

E и P, H и M становится сложной. В отличие от медленно

меняющихся полей, поляризованность P(t) в некоторый момент времени не определяется значением напряженности электрического поля E(t) в тот же момент, а зависит от значений функции E(t) во все предыдущие моменты времени. Только в монохроматических полях связь между E и P, H и M оказывается сравнительно простой. Для описания монохроматической электромагнитной волны в веществе удобно использовать комплексные числа и функции5.

Электрическое и

магнитное поля вместо выражения (1) будем описывать как

E (r, t ) = E 0 exp(i k r − i ωt + i ϕ) .

(2)

При этом вещественная часть выражения (2) в точности совпадает с выражением (1), и именно вещественную часть от комплексных выражений

4

Это понятие не имеет ничего общего с поляризацией электромагнитной волны.

5

См. приложение "Математические действия над комплексными числами".

11

мы будем отождествлять с проекциями векторов E и H6. Если амплитуда E0 напряженности электрического поля волны много меньше напряженности внутриатомных электрических полей, отклик вещества на поле волны можно считать линейным7. поляризованность среды однородна

и

P(t)

совершает

Это означает, что

в пределах малого элемента объема

вынужденные

колебания

под

действием

электрического поля E(t) по гармоническому закону с частотой внешнего воздействия ω и c амплитудой P0 , пропорциональной E0 :

P(t ) = P0 exp(i ϕ − i ωt ) = χ( ω) E 0 exp( −i ωt ) . Направление вектора P

(3)

в изотропной среде (т.е. где нет физически

выделенных направлений) совпадает с направлением вектора E. Поэтому коэффициент пропорциональности

χ(ω)

между

P и E, называемый

диэлектрической восприимчивостью, в изотропной среде является скаляром. Диэлектрическая восприимчивость является комплексной величиной:

χ ( ω) = χ re ( ω) + i χ im ( ω) , где индексы "re" и "im" (сокращения от английских слов "real" и "imaginary") – обозначают,

соответственно,

действительную

и

мнимую

части

комплексного числа. В

однородной

среде,

свойства

которой

всюду

одинаковы,

восприимчивость χ(ω) не зависит от пространственных переменных. При

6

Для вычисления вещественной части следует воспользоваться формулой Эйлера: exp(ix) = cos x + i sin x .

7

Нелинейный отклик вещества, приводящий к интересным физическим явлениям, возникает, например, в полях излучения мощных лазеров (см. "Задача 11").

12

вынужденных

колебаниях

электронов

вещества

под

действием

электрического поля электромагнитной волны их движение, создающее поляризованность, вообще говоря, происходит с отставанием по фазе от колебаний напряженности электрического поля. Это запаздывание по фазе описывается

мнимой

частью

в

выражении

для

диэлектрической

восприимчивости. Когда вещество поляризовано неоднородно, т.е. вектор P меняется от точки к точке, то малый элемент объема приобретает не только дипольный момент, но и отличный от нуля полный заряд. Этот поляризационный заряд характеризуется объемной плотностью

ρ , которая связана со скоростью

изменения в пространстве вектора P соотношением

ρ = − div P . Изменение поляризованности среды во времени означает, что создающие ее заряды вещества движутся, т.е. возникает поляризационный ток, который описывается вектором плотности тока

j=

∂P ∂t

.

В большинстве случаев в оптике мы имеем дело с немагнитными средами, поэтому ограничимся рассмотрением случая, когда магнитное поле электромагнитной волны не оказывает никакого воздействия на среду. Если интересоваться только распространением электромагнитной волны, т.е. не рассматривать внешних источников тока и заряда, то уравнения Максвелла для описания электромагнитной волны в среде формально имеют такой же вид, какой они имеют для описания электромагнитного поля в вакууме. Определим вектор электрической индукции напряженности E электрического поля, как

13

D, связанный с вектором

D = E + 4πP . Тогда уравнения Максвела запишутся в виде:

1 ∂H =0, c ∂t 1 ∂D =0, rot H − c ∂t div H = 0 , div D = 0 . rot E +

Для монохроматической волны выражение для вектора электрической индукции может быть переписано в виде

D = E + 4π P = E + 4πχE = ε E , где

функция

ε(ω) = 1 + 4πχ(ω)

называется

диэлектрической

проницаемостью среды. Указанные

выше

соотношения

электромагнитной волны со средой.

характеризуют

взаимодействие

Получить ясное представление о

физических явлениях, связанных с распространением света в веществе, можно не решая задачи вычисления функций χ(ω) и ε(ω) , а считая их заданными (например, определенными из измерений). Решение уравнений Максвелла для плоской монохроматической волны в среде показывает, что векторы E и H также взаимно перпендикулярны и, будучи перпендикулярны направлению распространения волны (волновому вектору

k ), образуют вместе с вектором k правую тройку векторов.

Модули векторов электрического и магнитного полей связаны соотношением

H = εE , а частота ω связана с модулем волнового вектора k (волновым числом) как

14

k2 = ε

ω2

.

c2

(4)

Это означает, что для плоских монохроматических волн в среде фазовая скорость

v = ω / kre

меньше скорости света в

nre

n= ε

раз, где

называется комплексным показателем преломления среды. Тот факт, что волновое

число

возможность

может

поглощения

являться

комплексной

энергии

величиной,

электромагнитной

отражает

волны

при

распространении ее в веществе. Мнимая часть показателя преломления nim отвечает за величину поглощения. Выберем систему координат, как на рис.1, тогда вектор напряженности электрического поля имеет единственную компоненту

E x ( z , t ) , которая с

учетом (2) и (4) может быть представлена в виде

E x ( z, t ) = real [E0 x exp (ik r − i ωt )] = E0 x exp (−kim z ) cos (k re z − ωt ) , где вещественная комплексным

kre и мнимая kim части волнового числа связаны с

показателем

преломления

среды

n = nre + inim

как

kre = 2πnre / λ , kim = 2πnim / λ . Здесь λ = c T – длина электромагнитной волны в вакууме. В

соответствии

с

правилами

арифметических

операций

над

комплексными числами, соотношения между комплексной диэлектрической проницаемостью

и

комплексным

показателем

( n = ε , ε = n 2 ) можно записать в развернутом виде:

15

преломления

2 ε re = nre2 − nim

ε im = 2nre nim

, ,

nre =

1 2 2 + ε re   ε re + ε im   2

nim =

1 2 2 − ε re  .  ε re + ε im  2

,

Вектор Пойнтинга8

Электромагнитная волна переносит энергию.

характеризует плотность потока энергии, переносимой электромагнитной волной:

S= Учитывая,

что

c [E × H ] , 4π

S=n

переносимая

cE2 4π

.

электромагнитной

волной

энергия

пропорциональна квадрату электрического поля, для интенсивности света, прошедшего в среде расстояние z , получаем зависимость

I ( z ) = I 0 exp ( − α z ) , где

α = 4πnim / λ – коэффициент поглощения среды.

Эта зависимость,

указывающая на экспоненциальное ослабление интенсивности света с пройденным в среде расстоянием, называется законом Бугера9 − Ламберта10. 8 Джон Генри Пойнтинг (John Henry Poynting; 1852−1914), английский физик. Ввел (1884) понятие потока электромагнитной энергии. 9

Пьер Бугер (Pierre Bouguer; 1698–1758), французский физик, один из основоположников фотометрии. Первым установил понятие количества света, принцип градации света, сконструировал фотометр и разработал методы измерения силы света.

10 Иоганн Генрих Ламберт (Johann Heinrich Lambert; 1728–1777), немецкий ученый. Выполнил ряд физических исследований в области фотометрии, теплопроводности, гигрометрии и др.. Установил основные понятия фотометрии (сила света, яркость, освещенность) и ряд фотометрических закономерностей.

16

Формулы Френеля Рассмотрим поведение плоской монохроматической электромагнитной волны, падающей на границу раздела двух сред. На рисунке 2 представлены две возможные ситуации: а) вектор напряженности электрического поля Е лежит в плоскости падения электромагнитной волны (такая поляризация волны по отношению к плоскости падения света называется

p-

поляризацией) и б) электрическое поле Е направлено перпендикулярно к плоскости падения света ( s - поляризация).

Отраженная волна

Падающая волна

H'

H k Е

α

E

k' H

α'

Отраженная волна

Падающая волна

E' k

Е'

α

α'

k' H'

б)

а)

p - поляризация Е"

β

s - поляризация

H"

H" k"

β

E" k"

Рис.2. Отражение и преломление плоской монохроматической электромагнитной волны на границе раздела двух сред. Для нахождения отраженной волны запишем граничные условия: 1) Тангенциальная (направленная вдоль границы раздела двух сред) составляющая электрического поля должна быть непрерывна. В случае p поляризации:

17

E cos α − E' cos α' = E'' cos β ,

(5)

а в случае s - поляризации:

Е − Е' = Е'' .

(6)

2) Граница раздела двух сред не поглощает энергию электромагнитных волн,

т.е. поток энергии, направленный к границе раздела в первой среде, равен потоку энергии, направленному от границы раздела во второй среде:

n'E 2 cos α − n'E' 2 cos α' = n''E'' 2 cos β .

(7)

3) Волновые фронты (линии постоянной фазы) падающей, отраженной и

преломленной электромагнитных волн непрерывны на границе раздела двух сред:

k sin α = k' sin α' = k'' sin β . Учитывая, что волновые числа

k = k' = 2πn' / λ , а

(8)

k'' = 2πn'' / λ ,

условие (8) может быть записано в виде: α = α' ,

(9)

n ' sin α = n ' ' sin β ,

(10)

т.е. угол падения равен углу отражения, а произведение показателя преломления на синус угла не изменяется при переходе через границу раздела (закон Снеллиуса11). Определим коэффициент отражения из этих граничных условий. Для этого разделим (7) на (5) и (6) и, принимая во внимание (9), получим:

n'(Е + Е') = n''Е'' ,

(11)

11

Виллеброрд Снеллиус (Willebord Snellius; 1580−1626), нидерландский астроном и математик. Установил закон преломления света.

18

n ' ( E + E ' ) cos α = n ' ' E ' ' cos β .

(12)

Находим отношение r = Е'/Е из (11) и (5) в случае p - поляризации, либо из (12) и (6) в случае s - поляризации:

rp =

n" cos α − n' cos β , n" cos α + n' cos β

(13)

rs =

n" cos β − n' cos α . n" cos β + n' cos α

(14)

С помощью (10) исключим из (13) и (14) угол преломления β, выразив его через α :

n'' cos β = ( n'' 2 − n'' 2 sin 2 β)1 / 2 = ( ε'' − ε' sin α)1 / 2 . Тогда:

( ) − n'/ cos α ε"/ (ε" − ε' sin α ) + n'/ cos α (ε" − ε' sin α) − n' cos α . = (ε" − ε' sin α) + n' cos α

rp =

rs

1/ 2

ε"/ ε" − ε' sin 2 α

1/ 2

2

2

1/ 2

2

1/ 2

,

(15)

(16)

Таким образом, мы нашли коэффициенты отражения для амплитуды электрического поля. Коэффициенты отражения для интенсивности света определяются как квадраты модулей rp и rs :

Rp = | rp |2 , Rs = | rs |2 .

19

(17)

Соответственно, для интенсивности света, прошедшего через границу раздела двух сред, применив закон сохранения энергии, можно определить коэффициенты прохождения:

T p = 1 − Rp , T s = 1 − Rs . Соотношения (13) − (17) для вычисления коэффициентов отражения называются формулами Френеля12.

12

Огюстен Жан Френель (Augustin Jean Fresnel; 1788−1827), французский физик, один из основоположников волновой оптики. Доказал (1821) поперечность световых волн, объяснил поляризацию света.

20

Пример моделирования отражения света от границы раздела двух сред В качестве примера рассмотрим отражение света от поверхности стекла. Линейно-поляризованный свет падает из воздушной среды на поверхность стекла. Диэлектрические проницаемости: воздуха – εre = 1, εim = 0; стекла

– εre = 2.3,

εim = 0. Требуется рассчитать и построить график угловой

зависимости коэффициента отражения света. Вариант программы: uses Crt,Graph,Wave; var Gd,Gm,ix,mx,my,col,N: Integer; R,Theta: double; begin N:=1; { число границ раздела оптических сред } { диэлектрические проницаемости оптических сред: } Eps[0].re:=2.3; Eps[0].im:=0; { стекло } Eps[1].re:=1; Eps[1].im:= 0; { воздух } { инициирование графического режима: } Gd:=EGA; InitGraph(Gd,Gm,'C:/TP/BGI'); mx:=GetMaxX; my:=GetMaxY; { построение зависимости R(Theta) для p-поляризации } col:=GetMaxColor−2; setcolor(col); R:=rf(1.0,0.0,1,N); moveto(0,my−round(my*R)); For ix:=0 to mx Do Begin Theta:=Pi/2*ix/mx; R:=rf(1.0,Theta,1,N); lineto(ix,my−round(my*R)); End; { построение зависимости R(Theta) для s-поляризации } col:=GetMaxColor−1; setcolor(col); R:=rf(1.0,0.0,0,N); moveto(0,my−round(my*R)); For ix := 0 to mx Do

21

Begin Theta := Pi/2*ix/mx; R := rf(1.0,Theta,0,N); lineto(ix,my−round(my*R)); End; ReadLn; CloseGraph; end.

В этой программе производится вычисление коэффициента отражения интенсивности от поверхности стекла для света с p - и s - поляризациями в зависимости от угла падения

θ

(угол отсчитывается от нормали к

поверхности стекла). На рисунке 3 приведены угловые зависимости Rp(θ) и

Rs(θ) для коэффициентов отражения линейно поляризованного света от поверхности стекла.

Коэффициент отражения

1 0.8

Rp Rs

0.6 0.4 0.2 0

0

15

30

45

60

75

90

Угол падения (градусы) Рис. 3. Коэффициенты отражения от границы воздух – стекло в зависимости от угла падения света.

22

Для

вычисления

значений

коэффициентов

отражения

программа

использует модуль Wave с интерфейсной частью: Uses Cmplx; Type Matrix = Array[1..20] of double; CMatrix = Array[0..21] of Complex; Var D: Matrix; Eps: CMatrix; Function RF(K, THETA:double; POL, N:Integer): double;

Полные тексты модулей Wave и Cmplx приведены в приложении, подробное описание алгоритма вычислений приведено в следующем разделе. Массив D служит для задания толщин слоев (в данной задаче не используется),

комплексный

массив

Eps

служит

для

задания

диэлектрических проницаемостей оптических сред, функция RF позволяет вычислить значение коэффициента отражения интенсивности света. Параметрами функции являются: K – волновое число; THETA − угол падения света, отсчитываемый от нормали к границе раздела оптических сред (0 ≤ THETA ≤ π/2);

POL − указатель поляризации света (0 −

s-

поляризация, иначе − p - поляризация); N − число границ раздела оптических сред.

23

Отражение света от слоистой структуры Рaсмотрим плоской

поведение

kN

монохроматической

электромагнитной

волны,

падающей на многослойную структуру, содержащую

εN

φN

падающая волна

отраженная волна

φN-1

N

εN-1

границ раздела. Пусть самая

kl

нижняя среда имеет номер

l=0

εl

и занимает полупро-

странство ниже границы раз-

εl-1

дела со средой c номером

εl-2

l = 1, а среды с номерами l = 1,...,N−1

являются плос-

копараллельными

слоями

φ1 φ0

соответствующими толщинами dl . Необходимо рассмотреть два различных случая: 1) электромагнитная

волна

имеет s - поляризацию; 2) электромагнитная

ε1

с

ε0

k0 Рис. 4. Отражение плоской монохроматической электромагнитной волны от многослойного покрытия.

волна

имеет p - поляризацию. На рисунке 4 представлено соответствие между слоями и физическими величинами:

диэлектрическими

проницаемостями,

углами

падения,

волновыми векторами. Для нахождения отраженной волны запишем граничные условия:

24

1) Тангенциальная составляющая электрического поля (направленная вдоль границы раздела двух сред) должна быть непрерывна. Для слоев с номерами (l−1) и l в случае p - поляризации имеем:

El cos ϕ l − ElR cos ϕ l = El −1 cos ϕl −1 − ElR−1 cos ϕl −1 , здесь

(18)

E l – напряженность электрического поля падающей волны со

стороны слоя l на границу раздела между слоями l и l–1, E lR – суммарная напряженность электрического полей отраженной волны в слой

l

и

прошедшей из слоя l–1 в слой l , E l −1 − волна, прошедшая в слой l–1 из слоя l , E lR−1 – волна, падающая из слоя l–1 на границу со слоем l (см. рис. 4). В случае s - поляризации:

El − E lR = El −1 − ElR−1 .

(19)

2) Граница раздела двух сред не поглощает энергию электромагнитных волн, т.е. поток энергии, направленный к границе раздела в первой среде, равен потоку энергии, направленному от границы раздела во второй среде:

nl E l2 cos ϕ l − nl ( ElR ) 2 cos ϕ l = nl −1 El2−1 cos ϕ l −1 − nl −1 ( ElR−1 ) 2 cos ϕ l −1 . (20) Выразим коэффициент отражения rl = ElR / El от нижней границы слоя

l через коэффициент отражения от нижней границы слоя l−1 из граничных условий. Для этого разделим (20) на (18) и (19):

( El + ElR ) nl = ( El −1 + E lR−1 ) nl −1 − для p - поляризации,

25

(21)

( El + ElR ) nl cos ϕ l = ( El −1 + ElR−1 ) nl −1 cos ϕ l −1

(22)

− для s - поляризации. Введем обозначение r' l −1 =

nl (1 + rl ) (1 − rl )cos ϕ l

=

E lR−1 и еще раз разделим (21) на (18): E l −1

nl −1 (1 + r' l −1 ) (1 − r' l −1 )cos ϕ l −1

,

(23)

и (22) на (19):

nl (1 + rl )cos ϕ l nl −1 (1 + r' l −1 )cos ϕ l −1 = 1 − rl 1 − r' l −1

.

(24)

Определим изменение фазы электромагнитной волны на толщине dl–1 слоя с номером

l–1.

z - компоненты

Для этого вычислим величину

волнового вектора. Учитывая, что соотношение (10) в данном случае может быть записано в виде

n N sin ϕ N = nl sin ϕ l ,

(25)

где l = 0, ... , N−1 , находим:

k l −1, z = k l −1 cos ϕ l −1 =

2π 2 ( nl −1 − n N2 sin 2 ϕ N )1 / 2 . λ

Теперь электрическое поле падающей волны

El–1

(26)

вблизи верхней

границы слоя l–1 можно выразить через электрическое поле

E l −1 ( d l −1 )

падающей волны вблизи нижней границы этого слоя:

E l −1 = E l −1 ( d l −1 ) exp ( −i k l −1, z d l −1 ) , и для отраженной волны:

26

(27)

E lR−1 = E lR−1 ( d l −1 ) exp (i k l −1, z d l −1 ) .

(28)

Делением (28) на (27) находим:

r'l −1 =

ElR−1 ElR−1 (d l −1 ) = exp(2i kl −1, z d l −1 ) = rl −1 exp(2i kl −1, z d l −1 ) . (29) El −1 El −1 (d l −1 )

Введем обозначения

f l = nl / cos ϕ l = ε l / ( nl2 − n N2 sin 2 ϕ N ) − для

случая

p - поляризации или

случая

s - поляризации.

f l = nl cos ϕ l = ( nl2 − n N2 sin 2 ϕ N ) − для

Тогда (23) и (24) с учетом (29) могут быть

преобразованы к виду:

rl =

( f l −1 − f l ) + ( f l −1 + f l ) rl −1 exp (2i kl −1, z d l −1 ) ( f l −1 + f l ) + ( f l −1 − f l ) rl −1 exp(2i kl −1, z d l −1 )

.

(30)

Рекуррентная формула (30) позволяет последовательно рассчитать коэффициенты отражения r1, ... , rl, ... , rN . На самом первом шаге следует считать, что r0 = 0, поскольку в самой нижней (полубесконечной) среде нет отраженного луча, как нет и нижней границы раздела. Интенсивность света, отраженного многослойной структурой, может быть рассчитана как:

R = rN

2

В частном случае

.

N=1

выражение (30) соответствует формулам

Френеля. В Приложении приведен текст библиотечного модуля с функцией для вычисления отражательной способности многослойных структур, написанного на языке ТурбоПаскаль 7.0, а также текст модуля для выполнения операций над комплексными числами.

27

Пример моделирования отражения света от многослойной структуры В качестве примера рассмотрим отражение видимого неполяризованного света от мыльной пленки толщиной 1 мкм. Свет падает на пленку под углом

10° от нормали к ее поверхности. Диэлектрические проницаемости: воздуха − εre = 1, εim = 0; пленки − εre = 4, εim = 0. Требуется найти зависимость коэффициента отражения от волнового числа (от длины волны). Неполяризованный составляющих с Соответственно,

свет

можно

представить

как

сумму

двух

p - и s - поляризациями равной интенсивности. коэффициент

отражения

для

интенсивности

неполяризованного света может быть записан в виде:

R = 1/2 (Rp + Rs) . Вариант программы: Uses Crt,Graph,Wave; Var Gd,Gm,ix,mx,my,N:Integer; y,k,k1,k2,Theta:double; Begin N:=2; { число границ раздела оптических сред } { диэлектрические проницаемости оптических сред: } Eps[0].re:=1; Eps[0].im:=0; { воздух } D[1]:=1.0; Eps[1].re:=4; Eps[1].im:=0; { пленка } Eps[2].re:=1; Eps[2].im:=0; { воздух } k1 :=2*pi/0.7; k2:=2*pi/0.4; Theta:=pi/180*10;

{ волновые числа } { угол падения света }

Gd:=EGA; InitGraph(Gd, Gm,'C:/TP/BGI'); mx:=GetMaxX; my:=GetMaxY; setcolor(GetMaxColor);

28

{ построение зависимости R(k) } y:=(rf(k1,Theta,0,N) + rf(k1,THETA,1,N))/2; moveto(0,my - round(my*y)); For ix:=0 to mx Do Begin k:=k1+(k2-k1)/mx*ix; y:=(rf(k,Theta,0,N) + rf(k,THETA,1,N))/2; lineto(ix,my - round(my*y)); End; ReadLn; CloseGraph; END.

29

ЗАДАЧИ Задача 1 ( Отражение света от границы раздела двух сред ) Построить графики зависимостей от угла падения для коэффициентов отражения интенсивности света от поверхности воды. Расчет выполнить: а) для линейно поляризованного света ( s - и p - поляризации);

б) для

неполяризованного света. Диэлектрические проницаемости: воды – εre = 1.8, εim = 0; воздуха −

εre = 1, εim = 0. Считать, что свет падает на границу раздела из воздушной среды.

Задача 2 ( Поляризация света ) Определим степень поляризации отраженного света как

P=

I p − Is I p + Is

,

где Ip (Is) – интенсивность отраженного света, имеющего p - поляризацию ( s - поляризацию).

Построить график зависимости от угла падения для

степени поляризации света, отраженного от поверхности стекла, если падающий свет неполяризован (P = 0). Определить угол падения света, при котором достигается полная поляризация отраженного света

(P = −1).

Определить коэффициент отражения Rs для этого угла падения света.

30

Задача 3 ( Угол Брюстера ) Угол падения света, при котором Rp имеет минимум, называется углом Брюстера13.

Определить углы Брюстера для сред, имеющих следующие

диэлектрические проницаемости:

εre = 2.3, εim = 0

(стекло);

εre = 4.0, εim = 0

(вода);

εre = 3.5, εim = 0

(кварц);

εre = 12.0, εim = 0.05

(кремний).

Вопросы:

1. Определить степень поляризации света, отраженного кремнием под углом Брюстера. Падающий свет считать неполяризованным (P = 0). 2.

Реальная поверхность всегда содержит переходный слой с большим количеством примесных молекул. Исследуйте зависимость максимально достижимой степени поляризации отраженного кремнием зеленого света ( λ = 0.53 мкм) от толщины и оптических свойств переходного слоя.

13

Дейвид Брюстер (David Brewster; 1781−1868), шотландский физик. Исследовал поляризацию света. Установил (1815) закон, названный его именем, открыл круговую поляризацию.

31

Задача 4 ( Просветляющее покрытие ) Если на поверхность стекла нанести тонкую диэлектрическую пленку (рис. 5), такую, чтобы выполнялись условия: а) ε пленки = ε стекла ; б) толщина пленки равна четвер-

пленка

d

ти длины волны света в этой пленке, т.е.

d пленки = то

λ ε пленки , 4

отражение

света

от

стекло такой

поверхности будет минимальным.

Рис. 5. Просветляющее покрытие.

Нанесенная на поверхность среды пленка с такими параметрами является просветляющим покрытием. Построить график зависимости от угла падения для коэффициентов отражения света от поверхности стекла с просветляющим покрытием. Расчет выполнить: а) для линейно поляризованного света ( s - и p - поляризации), б) для неполяризованного света. Диэлектрические проницаемости:

εre = 2.25, εim = 0

(стекло);

εre = 1.5,

εim = 0

(просветляющее покрытие);

εre = 1.0,

εim = 0

(воздух).

Свет имеет длину волны λ = 0.55 мкм. Считать, что свет падает на границу раздела:

32

а) из воздушной среды, б) из стеклянной среды.

Задача 5 ( Просветленные очки ) Рассчитать и построить зависимости от волнового числа (от длины волны) для коэффициента отражения света от очков с двухсторонним просветляющим покрытием для видимого света, падающего по нормали к поверхности очков. Определить интегральный коэффициент отражения для "белого" света. Распределение интенсивности "белого" света по длинам волн считать равномерным в интервале длин волн

λ от 0.4 до 0.7 мкм, а толщину

просветляющего покрытия выбрать оптимальной для длины волны λ = 0.55 мкм (смотри предыдущую задачу). Во сколько раз полученный коэффициент отражения меньше значения коэффициента отражения света от очков без просветляющего покрытия ? Считать, что при толщине стекла около 2 мм интерференционные эффекты в нем полностью отсутствуют.

33

Задача 6 ( Интерференционное зеркало ) Интерференционное зеркало устроено следующим образом: имеются чередующиеся слои с высоким (nH) и низким (nL) значениями показателя преломления (рис. 6), причем толщины этих слоев соответствуют четверти длины волны света, т.е. dH = λ0 / (4nH ) и dL = λ0 / (4nL.) . Рассчитать и построить график зависимости от длины волны для коэффициента отражения света от

nH

dH

интерференционного

nL

dL

1.5λ0 . Свет падает по нормали к

nH

dH

поверхности

nL

dL

зеркала

в

диапазоне длин волн от 0.5λ0 до

выполнить

зеркала. для

Расчет значений

λ0 = 0.55 мкм, nL = 1.5, nH = 2.25,

Рис. 6. Интерференционное зеркало.

число пар слоев в зеркале − 1, 2, 3,

8, 9, 10. Выполнить расчеты для случаев наклонного падения света: ϕ = 15°, 30°,

45°, 60°. Какой

поляризации

света

отражательной способности ?

соответствуют

большие

значения

Как изменяется резонансная длина волны

зеркала ?

34

Задача 7 ( Интерферометр Фабри−Перо ) Два плоскопараллельных интерференционных зеркала образуют резонатор для электромагнитной волны.

Если длина резонатора (база) кратна

половине длины волны, то он пропускает электромагнитную волну. Такой оптический резонатор называется интерферометром Фабри14−Перо15 (рис.7). Построить

график

коэффициента

отражения

для

зеркало

интерферометра

Фабри−Перо, состоящего из двух

интерференционных

nL

зеркал, описанных в Задаче 6,

разделенных

показателем

слоем

с

База резонатора

dL

зеркало

преломления Рис. 7. Интерферометр Фабри-Перо.

nL и толщиной d = 5λ0 / nL (база интерферометра), в

зависимости от длины волны падающего света в интервале от 0.9λ0 до

1.1λ0 . Расчет выполнить для интерференционных зеркал, состоящих из 8, 9,

14

Шарль Фабри (Charles Fabry; 1867−1945), французский физик. Совместно с А.Перо построил интерферометр и провел точные измерения оптических интерференционных эффектов, изучил спектры Солнца и звезд. Осуществил (1914) первую прямую проверку принципа Доплера для света в лабораторных условиях. Показал, что ультрафиолетовое поглощение в высоких слоях атмосферы обусловлено озоном. 15

Альфред Перо (Alfred Perot; 1863−1925), французский физик. Совместно с Ш.Фабри развил новый метод оптической интерферометрии, построил интерферометр и с высокой точностью измерил длины волн линий поглощения солнечного спектра, уточнив данные Г.Роуланда. Пытался (1920−21) проверить эффект красного смещения, предсказанный А.Эйнштейном в общей теории относительности.

35

10 пар слоев. Как зависит ширина минимума отражения интерферометра от параметров задачи ?

Задача 8 ( Полное внутреннее отражение ) Построить график зависимости от угла падения для коэффициента отражения света от поверхности стекла. Расчет выполнить: а) для линейно поляризованного света ( s - и p - поляризации), б) для неполяризованного света. Диэлектрические проницаемости: стекла − εre = 2.3, εim = 0 ; воздуха

− εre = 1,

εim = 0 .

стеклянной среды.

Считать, что свет падает на границу раздела из Минимальный угол падения света, для которого

выполняются условия Rp = Rs = 1 , называется углом полного внутреннего отражения.

Определить углы полного внутреннего отражения для сред,

имеющих следующие диэлектрические проницаемости:

εre = 2.2, εim = 0

(стекло);

εre = 4,

(вода);

εim = 0

εre = 2.5, εim = 0

(кварц);

εre = 10, εim = 0

(бриллиант);

εre = 12, εim = 0.05

(кремний).

Объясните качественно полученные результаты.

36

Задача 9 ( Модулятор света ) Неполяризованный свет с длиной волны 0.5 мкм распространяется в среде

стекла

и

проходит

под

плоскопараллельный воздушный зазор.

углом

α = 85° через

тонкий

Построить графики зависимостей

коэффициента пропускания и степени поляризации прошедшего света от толщины воздушного зазора в интервале толщин от 0 до 0.25 мкм. Исследовать поведение этих зависимостей от угла α .

Диэлектрические

проницаемости: стекла – εre = 2.25 и εim = 0, воздуха – εre = 1 и εim = 0 . Можно ли сделать поляризатор света, который бы обеспечивал степень поляризации выше 0.999 ? Чему равен коэффициент пропускания такого поляризатора ?

Как можно было бы сделать световой акустический

микрофон ?

Задача 10 ( Световод ) Один конец длинного не поглощающего стеклянного световода толщиной 100 мкм помещен в полость с однородным распределением света по углам. Диэлектрические проницаемости: стекла – εre = 2.25 и εim = 0, воздуха – εre = 1 и εim = 0 . Построить график углового распределения для интенсивности света, выходящего на другом конце световода. Исследовать поведение углового распределения в зависимости от длины l световода. Как изменится это распределение, если световод изогнуть по окружности радиуса R = 10 мм ? Задачу решать для двумерного случая.

37

Задача 11 ( Нелинейный резонатор Фабри–Перо − оптический элемент памяти ) Резонатор

Фабри–Перо,

благодаря

интерференции

многократно

переотраженного света, способен аккумулировать энергию световой волны. В результате интенсивность I света внутри резонатора может оказаться

Iin .

намного больше интенсивности падающего света

В общем случае

интенсивности Iin , I , Iout (прошедший свет), Ir (отраженный свет) связаны соотношениями:

I out = I in

(1 − R1 )(1 − R2 ) 1 + R1R2 − 2 R1R2 cos(4π n d / λ)

,

I out , 1 − R2 I r = I in − I out .

I=

где R1 , R2 − коэффициенты отражения зеркал М1, М2 ; d − расстояние между зеркалами;

λ − длина волны света; n – показатель преломления

среды внутри резонатора.

M1

При больших интен-

M2

сивностях света внутри резонатора

показатель

преломления уже нельзя считать

константой,

Iin

Iout

Ir n(I)

поскольку сильное элек-

d

тромагнитное поле световой волны изменяет оптические свойства среды.

Рис. 8. Нелинейный оптический резонатор.

38

В этом случае резонатор становиться нелинейным, т.е. исчезает линейная зависимость между падающим и прошедшим светом. Пусть коэффициенты отражения зеркал

R1 = R2 = 0.9 , а расстояние

между зеркалами d = 10 мкм. Вопросы: 1. Исследовать зависимость коэффициента пропускания T =

I out от длины I in

волны падающего света в области λ = 0.62…0.65 мкм (красный свет). Показатель преломления n считать константой равной 1.5. Качественно объяснить результат. Сравнить с задачей 7. 2. Исследовать

нелинейную

интенсивности

падающего

зависимость света

вблизи

прошедшего одного

из

света

от

максимумов

коэффициента пропускания при I in = 0....20 , n( I ) = 1.5 + 0.0001 ⋅ I . 3. Как можно использовать нелинейный резонатор в качестве элементарной ячейки памяти ? Исследовать зависимость величины контраста между "включенным"

и

"выключенным"

состояниями

от

коэффициента

отражения зеркал и от длины волны падающего света. 4. Исследовать

возможность

использования

оптического усилителя слабого сигнала.

резонатора

в

качестве

Входную интенсивность

представить в виде Iin=I0+Is , где I0 – интенсивная подсветка (источник энергии), Is – слабый оптический сигнал.

39

Задача 12 ( Дальняя радиосвязь ) Ионосфера − верхняя оболочка атмосферы Земли, существенно определяет условия распространения радиоволн на большие расстояния. Ионосфера является сложным образованием и состоит из четырех основных слоев: D, E, F1 и F2 .

Самый нижний слой D расположен на высоте

h = 60÷80 км. Выше, на высоте h = 100÷120 км постоянно существует слой E . В летние дни на высоте h = 160÷200 км образуется слой F1 . Постоянно существующий верхний слой F2 располагается на высотах

h > 160 км. Концентрация Ne электронов в слоях, так же как и высота слоя F2 , зависят от времени суток и от сезона, и для средних географических широт северного полушария составляют:

ЛЕТО день

ЗИМА ночь

Слой D: Ne , м-3

109

107

Слой E: Ne , м-3

2⋅1011

1010

Слой F1: Ne , м-3

5⋅1011

−−

Слой F2: h , км

Ne , м-3

день

108 1.5⋅1011 −−

210÷330

270÷390

170÷290

1012

5⋅1011

2⋅1012

40

ночь

107 5⋅109 −− 260÷380 2⋅1011

Частота ν соударений электронов также зависит от слоя: νD = 107 c-1,

νE = 105 c-1, ν F1 = 10 4 c-1, ν F2 = 5⋅103 c-1. Радиоволны − один из видов электромагнитного излучения, к которым полностью применимы законы оптики для прохождения через границы раздела сред. Для ионосферной плазмы и диапазона радиоволн:

ε re = 1 − 3190 где ω =

νN e Ne , , ε im = 3190 2 ω ( ω2 + ν 2 ) ω +ν 2

1.88 ⋅108 , λ [м] − длина волны радиоизлучения, а Ne выражено в λ

единицах [1/м3], ν и ω − в единицах [1/с]. Вопросы: 1.

Построить графики коэффициентов отражения радиоволн от ионосферы в зависимости от длины волны излучения в интервале от λ = 1 м до

λ = 10 км. Рассмотреть случаи дневного и ночного отражения летом и зимой. Исследовать зависимость коэффициентов отражения от угла γ между

направлением

первичного

распространения

радиоволны

и

поверхностью горизонта. Какие оптимальные углы γ следует выбирать д л я обеспечения наилучшего распространения радиоволн при λ = 10,

20, 40, 100, 500 м ? На каких длинах волн можно слышать дальние радиостанции в зависимости от времени суток и от сезона ?

Какие

радиоволны можно назвать "дневными" и "ночными" ? На каких длинах волн маловероятно услышать дальние радиостанции даже при наличии хорошего радиоприемника ?

41

2.

Построить графики коэффициентов прохождения радиоволн через ионосферу в зависимости от длины волны.

Как зависят эти

коэффициенты от угла γ ? Какие длины волн могут быть использованы для связи с космическими объектами, находящимися за пределами ионосферы ?

42

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1.

И.В.Кандауров,

Н.А.Мезенцев,

О.И.Мешков,

Н.Ю.Мучной,

В.Ф.Пиндюрин, Е.А.Симонов. Моделирование физических явлений на ЭВМ. Методическое пособие. Часть I :

Общие сведения о курсе,

справочная информация по языку PASCAL, построение графиков функций. Новосибирск: СУНЦ НГУ, 2000, 59 с. 2.

И.В.Кандауров,

О.И.Мешков,

В.Ф.Пиндюрин.

Моделирование

физических явлений на ЭВМ. Методическое пособие. Часть II : Кинематика материальной точки. Новосибирск: СУНЦ НГУ, 2000, 27 с. 3.

И.В.Кандауров,

Н.А.Мезенцев,

В.Ф.Пиндюрин,

Е.А.Симонов.

Моделирование физических явлений на ЭВМ. Методическое пособие. Часть III : Численное дифференцирование и интегрирование функций, решение нелинейных уравнений. Новосибирск: СУНЦ НГУ, 2000, 55 с. 4.

И.В.Кандауров,

Н.А.Мезенцев,

О.И.Мешков,

В.Ф.Пиндюрин.

Моделирование физических явлений на ЭВМ. Методическое пособие. Часть

IV :

Численное

интегрирование

обыкновенных

дифференциальных уравнений. Новосибирск: СУНЦ НГУ, 2000, 59 с. 5.

Д.А.Кайран, И.В.Кандауров, А.А.Краснов, Н.А.Мезенцев, О.И.Мешков, В.Ф.Пиндюрин, Б.А.Скарбо.

Моделирование физических явлений на

ЭВМ. Методическое пособие. Часть V : Статистическое моделирование. Новосибирск: СУНЦ НГУ, 2000, 83 с. 6.

Практикум по электродинамике в терминальном классе.

Под ред.

Б.А.Князева (сост.: В.Т.Астрелин, Н.А.Башлыкова, С. Г.Воропаев и др.). Новосибирск: НГУ, 1992. 7.

Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 3: Излучение, волны, кванты. М.: Мир, 1965.

43

8.

Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6: Электродинамика. М.: Мир, 1966.

9.

И.Н.Мешков,

Б.В.Чириков.

Электромагнитное

поле.

Часть

1:

Часть

2:

Электричество и магнетизм. Новосибирск: Наука, 1987. 10. И.Н.Мешков,

Б.В.Чириков.

Электромагнитное

поле.

Электромагнитные волны и оптика. Новосибирск: Наука, 1987. 11. Е.И.Бутиков. Оптика. М.: Высшая школа, 1986. 12. Г.С.Лансберг. Оптика. М.: Гос. изд. техн.-теорет. литерат., 1954. 13. Д.К.Максвелл.

Избранные сочинения по теории электромагнитного

поля. М.: Гос. изд. техн.-теорет. литерат., 1952. 14. Я.Б.Зельдович, А.Д.Мышкис.

Элементы прикладной математики.

Москва: Наука, 1965.

44

Приложения МОДУЛЬ С ФУНКЦИЕЙ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОТРАЖАТЕЛЬНОЙ СПОСОБНОСТИ МНОГОСЛОЙНЫХ СТРУКТУР (ТурбоПаскаль 7.0) Функция коэффициента

RF(K, THETA, POL, N)

отражения

позволяет вычислить значения

интенсивности

света

от

произвольной

многослойной структуры. Параметрами функции являются: волновое число K , угол падения THETA (0 ≤ THETA ≤ π/2), указатель поляризации света POL

(для s - поляризации POL = 0 , для p - поляризации POL ≠ 0 ), число границ раздела оптических сред N (N ≤ 21). Значения толщин слоев dl,

dN–1

должны быть заданы в массиве D ( D[N-1] задает толщину самого верхнего слоя (см. рис. 4)). Используемые единицы измерения толщин должны быть обратны к выбранным единицам измерения волнового числа, т.е., если значение волнового числа задано в мкм-1, то значения толщин слоев следует подставлять в мкм. Значения диэлектрических проницаемостей задаются в массиве EPS ( EPS[0] задает диэлектрическую проницаемость подложки структуры, EPS[N] − диэлектрическую проницаемость среды, для которой вычисляется коэффициент отражения). UNIT Wave; INTERFACE Uses Cmplx; Type Matrix = Array[1..20] of double; CMatrix = Array[0..21] of Complex; Var D:Matrix; Eps:CMatrix; Function RF(K, THETA:double; POL, N:Integer) : double; IMPLEMENTATION

45

Function RF; Var X,Z,Z1,Z2,F,FNEW,FS,FNS,CR: Complex; L: Integer; Const Zero:Complex = (re:0; im:0); BEGIN X:=CMul( Comp(Sqr(Sin(THETA)),0)^, Eps[N])^; Fnew:=Zero; Fns:=Zero; Z:=Zero; For L := 0 To N Do Begin F:=Fnew; Fs:=Fns; Fns:=CSqrt(CSub(Eps[L],X)^)^; If Pol=0 Then Fnew:=Fns Else If (Fns.re=0) and (Fns.im=0) Then Fnew:=Fns Else Fnew:=CDiv(Eps[L],Fns)^; If L > 1 Then Begin Z:=CMul( Comp(0,2*D[L-1]*K)^,FS)^; Z := CMul(CR,CExp(Z )^)^ End; If L >= 1 Then Begin Z1:=CAdd(Fnew,F)^; Z2:=CSub(Fnew,F)^; CR:=CAdd(Z2,CMul(Z,Z1)^)^; CR:=CDiv(CR,CAdd(Z1,CMul(Z,Z2)^)^)^ End; End; RF:=Sqr(CR.re)+Sqr(CR.im) END; END.

МОДУЛЬ С ФУНКЦИЯМИ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ДЕЙСТВИЙ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ (ТурбоПаскаль 7.0) Unit CMPLX; INTERFACE Type Complex = Record re,im: double End; ComPtr = ^Complex;

46

Function Comp (x,y:double): ComPtr; Function CAdd (x,y:Complex): ComPtr; Function CSub (x,y:Complex): ComPtr; Function CMul (x,y:Complex): ComPtr; Function CDiv (x,y:Complex): ComPtr; Function CSqrt (x:Complex): ComPtr; Function CExp (x:Complex): ComPtr;

{ объединение } { сложение } { вычитание } { умножение } { деление } { кв. корень } { экспонента }

IMPLEMENTATION Var z: Complex; zz,fi: double; Function Comp; Begin z.re:=x; z.im:=y; Comp:=@z End; Function CAdd; Begin z.re:=x.re+y.re; z.im:=x.im+y.im; CAdd:=@z End; Function CSub; Begin z.re:=x.re−y.re; z.im:=x.im−y.im; CSub:=@z End; Function CMul; Begin z.re:=x.re*y.re−x.im*y.im; z.im:=x.re*y.im+x.im*y.re; CMul:=z End; Function CDiv; Begin zz:=Sqr(y.re)+Sqr(y.im); z.re:=(x.re*y.re+x.im*y.im)/zz; z.im:=(x.im*y.re−x.re*y.im)/zz; CDiv:=@z End; Function CSqrt; Begin zz:=Sqrt(Sqr(x.re)+Sqr(x.im)); z.re:=Sqrt((zz+x.re)/2); z.im:=Sqrt((zz-x.re)/2);

47

CSqrt:=@z End; Function CExp; Begin zz:=Exp(x.re); z.re:=zz*Cos(x.im); z.im:=zz*Sin(x.im); CExp:=@z End; End.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ Рассмотрим, как в процессе усложнения математических действий развивается понятие числа. Исходным является класс (совокупность) целых положительных (натуральных) чисел.

Если пользоваться только такими

числами, то всегда выполнимо сложение, так как результат сложения есть снова натуральное число, но не всегда выполнимо вычитание.

Для того

чтобы вычитание было всегда возможным, приходится рассматривать целые отрицательные числа и нуль. Рассмотрим следующую пару действий – умножение и деление. Результат умножения двух целых чисел есть целое число. Однако, действие деления целых чисел не всегда выполнимо в целых числах. Для того чтобы всегда было выполнимо деление, нужно ввести новые числа – дроби. Целые и дробные числа вместе составляют класс рациональных чисел. Но хорошо известно, что пределом последовательности рациональных чисел может служить не рациональное число, т.е. иррациональное (иррациональные числа,

в

свою

"трансцендентные").

очередь,

подразделяются

на

"алгебраические"

и

Рациональные и иррациональные числа вместе

образуют класс вещественных чисел, в которых операция предельного перехода всегда выполнима.

Однако, в последнем классе не всегда

выполнимы алгебраические действия: например, можно извлекать корни

48

любой степени из положительных чисел, но нельзя извлекать корни четных степеней (в частности, квадратные) из отрицательных чисел. Извлечение квадратного корня из отрицательного числа становится возможным только с введением комплексных чисел. В алгебре вводится мнимая единица , которая обозначается через i. Эта величина определяется из условия i 2 = −1 . Величины вида x + iy , где x и

y − вещественные числа, называются комплексными числами.

Они

получаются, прежде всего, из решения алгебраических уравнений. Ведь сама мнимая единица, как видно из условия

i 2 = −1 , есть корень квадратного

уравнения x 2 = −1 . Если говорить только о вещественных корнях, то квадратное уравнение в зависимости от его коэффициентов может иметь либо два корня, либо один, либо не иметь ни одного. Если же рассматривать все корни, вещественные и мнимые, то квадратное уравнение имеет всегда два корня (в частных случаях значения корней могут совпадать друг с другом). Точно так же уравнение третьей степени имеет всегда три корня и т. д. Таким образом, рассмотрение комплексных чисел позволяет установить общую теорему о числе корней алгебраического уравнения.

При этом мы производим алгебраические

действия над комплексными числами. Рассматривая более сложные функции комплексных величин (например, возведение в комплексную степень), удается получить много важных и красивых результатов. соотношений

между

вещественными

величинами

удобно

Целый ряд получать,

используя в процессе вычисления комплексные величины. Комплексное число z = x + iy можно изображать точкой на плоскости (рис. 9). При этом принято по оси абсцисс откладывать вещественную часть, т.е. величину x , а по оси ординат − мнимую часть, величину y . Каждому

49

значению z отвечает определенная точка на

плоскости.

Вместо

говорить о точке векторе

того,

чтобы

z , можно говорить о

z , т.е. о направленном отрезке,

Y

z

y

начало которого совпадает с началом Положение точки на плоскости можно характеризовать ее расстоянием

r

z.

координат, а конец – с точкой

r

от

φ x

0

начала координат (т.е. модулем вектора z , обозначаемым

X

Рис. 9.

│z│) и направлением –

углом ϕ между вектором z и осью x . Угол ϕ называется аргументом комплексного числа. Он отсчитывается от положительной части оси

x

против часовой стрелки. Как видно из рис. 9, x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , так что можно выразить z через r и ϕ :

z = r (cos ϕ + i sin ϕ) . Такая запись называется тригонометрической формой комплексного числа. Алгебраические действия с комплексными числами производятся по обычным правилам алгебры с учетом соотношения i 2 = −1 . Сложение:

z = z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + i ( y1 + y2 ) . Легко

убедиться,

что

сложение

комплексных

чисел

геометрически

интерпретируется как сложение векторов на плоскости. Умножение:

z = z1 z2 = ( x1 + i y1 ) ( x1 + i y1 ) = x1 x2 + i x1 y2 + i x2 y1 + i 2 y1 y2 = = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 ) . 50

Легко получить, что в тригонометрической записи

z = z1 z2 = r1r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i ⋅ sin(ϕ1 + ϕ2 )] , т.е. при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Рассмотрим умножение комплексного числа на мнимую единицу:

z1 = i z = i x + i 2 y = − y + i x . Из рис. 10, где для наглядности вместо

x, y

Y

употреблены, соот-

z1

ветственно, буквы a, b , легко убедиться, что вектор z1 перпендикулярен вектору

z.

a b

z

Он повернут

относительно z на прямой угол в

-b

направлении против часовой стрелки. Модуль же вектора z1 равен

0

a

X

Рис. 10.

модулю z . Таким образом, умножение комплексного числа z на мнимую единицу эквивалентно на плоскости повороту вектора z на 90° против часовой стрелки.

Возведение в мнимую степень Проследим, как в алгебре решался вопрос об отрицательных и дробных степенях.

Наглядно дается только определение целых положительных

степеней:

a1 = a, a 2 = a ⋅ a, a 3 = a ⋅ a ⋅ a, ..., a n = a ⋅ a ... a . На примере целых положительных степеней устанавливаются правила:

51

an = a n − m ( n > m) , ( a n ) m = a n m . m a Далее считают, что эти правила остаются справедливыми для любых показателей степени.

Отсюда следует определение того, что собой

представляют дробные и отрицательные степени. Например, из формулы

(a )

1n n

=

1 ⋅n an

=a

следует, что a1 n есть число, которое, будучи возведено в степень n , дает

a . Точно так же получается a 0 = 1, a − n =

1 . an

Определить таким путем, что представляет собой a i , где i − мнимая единица, не удается. Попробуем это сделать с помощью производной от показательной

степени.

Наиболее

просто

выглядит

формула

дифференцирования для e k t :

d ek t = k ek t . dt Именно условие, чтобы производная имела такой простой вид, и определяет число e = 2.71828182846... . Положим k = i ,

ei t = z (t ) , тогда

dz = i z . Соотношение между dt

z

и dz показано на рис. 11. Так как d z = i z dt , то при вещественных t и

dt , dz перпендикулярно z . Значит, изменение z i t при увеличении t на величину dt геометрически сводится к повороту вектора z на угол dϕ . Из рисунка видно, что dϕ равно отношению длины отрезка dz (равной

r dt ) к длине отрезка z (равной r ). Поэтому dϕ = dt .

52

Y

Y dz(t)=izdt

z(t+dt) dϕ

x 1

z(t)

φ

φ 0

0

X

y

X

z(0)=1

Рис.11.

Заметим, что

z

Рис.12.

z (0) = e 0 = 1 – горизонтальный вектор, длина которого

равна единице. Поскольку изменению t

dt соответствует поворот

на

вектора z на dϕ = dt , то изменению t от 0 до заданного значения t1 соответствует поворот на угол ϕ = t1 . Таким образом, z = ei ϕ есть вектор, получающийся из z (0) = 1 поворотом на угол ϕ . Положим

z = ei ϕ = x + i y .

Из рис. 12 ясно, что

x = 1 ⋅ cos ϕ ,

y = 1 ⋅ sin ϕ . Поэтому z i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ . Это – формула Эйлера. Таким образом, любое комплексное число можно представить в виде:

z = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r ei ϕ . Запись z = r e i ϕ называется показательной формой комплексного числа. В заключение отметим, что введение комплексных чисел является последним расширением числовой системы.

53

Действительно, располагая

комплексными числами, можно извлекать корни любой степени не только из отрицательных, но и из любых комплексных чисел. Результатами являются некоторые комплексные числа.

Однако, в математике есть и другие

действия, выполнить которые невозможно с помощью вещественных чисел. Например, не существует логарифмов из отрицательных чисел. существует решений целого ряда уравнений, например,

Не

cos ϕ = 2 .

Возникает вопрос: может быть, для того чтобы находить логарифмы из отрицательных чисел, потребуется введение какой-то новой "мнимой единицы", отличной от i , которая была введена для извлечения корней из отрицательных чисел ? Не потребуется ли для решения уравнения cos ϕ = 2 еще какой-то третьей "мнимой единицы" ? Оказывается, что это не так: с введением комплексных чисел становится возможным находить логарифмы как

отрицательных,

так

и

комплексных

чисел,

алгебраические уравнения с комплексными числами.

54

и

решать

любые

ББК 32.97:53 УДК 53.072 Александр Анатольевич Краснов Олег Артемович Макаров Николай Александрович Мезенцев Валерий Федорович Пиндюрин МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ НА ЭВМ

Часть VI Прохождение света через границу раздела сред и интерференционные явления в многослойных структурах Методическое пособие

Подписано в печать 26.06.2000

Формат 60 х 84 1/16 Тираж 200 экз.

Отпечатано на ризографе СУНЦ НГУ, 630090, Новосибирск-90, ул.Пирогова, 11

55