Алгебра и логика, 43, N 1 (2004), 32—59
УДК 512.544.3
АВТОМОРФИЗМЫ СИЛОВСКИХ p-ПОДГРУПП ГРУПП ШЕВАЛЛЕ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ НАД КОЛЬЦАМИ ВЫЧЕТОВ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ∗) С. Г. КОЛЕСНИКОВ
Пусть Φ — приведенная неразложимая система корней нормального типа. Обозначим через SΦ(Zpm ) силовскую p-подгруппу группы Шевалле GΦ(Zpm ) типа Φ над кольцом Zpm классов вычетов целых чисел по pm примарному модулю. Ее автоморфизмы изучены при m = 1 в [1—3]. В настоящей работе описываются автоморфизмы группы SΦ(Zpm ) для произвольных системы корней Φ и целого числа m > 1 при условии, что p > 3. Показывается (теор. 1 и 2), что при данных ограничениях всякий автоморфизм группы SΦ(Zpm ) является произведением стандартных — внутреннего, графового, диагонального и центрального — автоморфизмов, а также явно указанных специальных автоморфизмов порядка p. Полученные теоремы дают ответ (при условии p > 3) на вопрос 12.42 В. М. Левчука из [4]: получить описание автоморфизмов силовской p-подгруппы группы Шевалле нормального типа над кольцом вычетов целых чисел по модулю pm , где m > 2, а p — простое число. § 1. Порождающие множества и характеристические подгруппы группы SΦ(Zpm ) В этом параграфе приводятся порождающие множества и определяющие соотношения группы SΦ(Zpm ), а также порождающие множества ∗)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-
ных исследований, проект N 99-01-01256. c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005
Автоморфизмы силовских p-подгрупп групп Шевалле
33
некоторых ее подгрупп. Доказывается характеристичность конгруэнцподгрупп. В заключении параграфа определяются графовые, диагональные и центральные автоморфизмы группы SΦ(Zpm ), которые вместе с внутренними обычно называют стандартными. Зафиксируем некоторые обозначения. Пусть Φ — система корней одного из классических An , Bn , Cn , Dn или исключительных E6 ,E7 ,E8 ,F4 ,G2 типов, Π(Φ) — подмножество простых корней из Φ. Положим p(A1 ) = 2, а p(Φ) = max{(r, r)/(s, s) | r, s ∈ Φ} для Φ ранга больше 1. Подмножества положительных и отрицательных корней из Φ обозначим через Φ+ и Φ− соответственно, и пусть Φ0 = Φ ∪ {0}. Далее, определим функцию f : Φ0 × N → N ∪ {0}, положив f (r, k) = = −[(ht(r) − k)/h], где h — число Кокстера системы корней Φ, ht(r) — функция высоты корня, ht(0) = 0, [·] — целая часть числа. Пусть также K = Zpm — кольцо классов вычетов целых чисел по модулю pm (p — простое число, m > 1), а J i = (pi ) — идеалы кольца K. Как следует из [5], силовская p-подгруппа SΦ(K) порождается подгруппами Xr = Xr (J f (r,1) ) и Hr = Hr (1 + J f (0,1) ), элементы xr (t) и hr (v) которых связаны следующими определяющими соотношениями: xr (t)xr (u) = xr (t + u),
(1)
hr (w)hr (v) = hr (wv),
(2)
[xr (t), hs (w)] = xr (tw(hs¯,r) − t), Y [xs (u), xr (t)] = xir+js (cij,rs (−t)i uj ),
(3)
[xr (t), x−r (u)] = xr (c−1 t2 u)hr (c)x−r (−c−1 tu2 ), c = 1 − tu,
(5)
(4)
i,j>0,ir+js∈Φ
здесь hs¯ = 2s/(s, s) — ко-корень, соответствующий корню s ∈ Φ, а числа cij,rs выражаются через структурные константы Nrs алгебры Ли типа Φ и вместе с ними являются делителями числа p(Φ)!. Пусть r1 , . . . , rn — множество всех простых корней из Φ, а r0 — корень максимальной высоты. Для любого r ∈ Φ положим xr = xr (1) и hr = = hr (1 − p).
34
С. Г. Колесников ЛЕММА 1. Если p(Φ)!·K = K, то SΦ(K) = грhxr1 , . . . , xrn ,x−r0 (p)i. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим через T подгруппу, порожденную
элементами xr1 , . . . , xrn , x−r0 (p), и покажем, что она совпадает с SΦ(K). Согласно [5] группа SΦ(K) допускает следующую факторизацию: SΦ(K) = U Φ+ (K) · H(J) · U Φ− (J),
(6)
где U Φ+ (K) и U Φ− (J) — унипотентные подгруппы, H(J) — диагональная подгруппа (она порождается элементами hri (1 − u), u ∈ J). Достаточно показать, что каждая из подгрупп U Φ+ (K), U Φ− (J) и H(J) лежит в T . Включение U Φ+ (K) в T докажем индукцией по высоте корня. Кольцо K порождается элементом 1, поэтому включение подгрупп Xri в T очевидно. Предположим, что для всех положительных корней q высоты меньше k, 1 < k < h, включение Xq ⊂ T уже доказано и пусть s — произвольный корень высоты k. Выберем простой корень r так, чтобы разность s − r лежала в Φ. Поскольку ht(s − r) < ht(s), а константы из (4) являются делителями числа p(Φ)!, которое предполагается обратимым в K, то Xs ⊆ грh[Xs−r , Xr ], [Xs−r , Xr , Xr ], [Xs−r , Xr , Xs−r ]i ⊂ T, если Φ 6= G2 . Включение Xs ⊂ T доказывается аналогично и для случая Φ = G2 . По определению U Φ+ (K) порождается подгруппами Xs , s ∈ Φ+ , значит, U Φ+ (K) ⊂ T . Аналогично устанавливается включение U Φ− (J) ⊂ ⊂ T. Включение в T элементов hri (1 − u), а значит, и подгруппы H(J), легко проверяется, если соотношение (5) преобразовать к виду hr (1 − ut) = xr (−ut2 (1 − ut)−1 )[xr (t), x−r (u)]x−r (tu2 (1 − tu)−1 )
(7)
и положить t = 1, r = ri . Лемма доказана. СЛЕДСТВИЕ 1. Если p(Φ)! · K = K, то U Φ+ (K) = грhxr1 , . . . . . . , xrn i. Рассмотрим некоторые характеристические подгруппы в SΦ(K). Очевидно, члены нижнего центрального ряда являются такими. В [5] показано: если p(Φ)! · K = K, то i-й централ группы SΦ(K) имеет вид Γi (SΦ(K)) = hxr (t), hr (1 + u) | r ∈ Φ, t ∈ J f (r,i) , u ∈ J f (0,i) i.
Автоморфизмы силовских p-подгрупп групп Шевалле
35
Покажем, что конгруэнц-подгруппа уровня i Φ(J i ) = hxr (t), hr (1 + u) | r ∈ Φ, t, u ∈ J i i также является характеристической при i = 1, 2, . . . , если число p(Φ)! обратимо в K. ЛЕММА 2. Если p(Φ)! · K = K, то Φ(J) является характеристической подгруппой в группе G = SΦ(K). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что подгруппа Φ(J) совпадает с централизатором характеристической подгруппы T =
U Φ+ (J m−1 )
·
H(J m−1 ).
= Γ(m−1)h (G) =
Отсюда подгруппа Φ(J) будет характеристиче-
ской, так как централизатор характеристической подгруппы также является характеристической подгруппой. Включение Φ(J) ⊆ CG (T ) легко следует из коммутаторных соотношений (3)—(5). Проверим обратное включение. Пусть c = xs1 (t1 ) . . . . . . xsk (tk )a (здесь si ∈ Φ+ , ti ∈ K, a ∈ Φ(J)) — произвольный элемент из CG (T ), а g = hq (1 + u) — неединичный элемент из T . Тогда cg = xs1 (t1 (1 + u)(hq¯,s1 ) ) . . . xsk (tk (1 + u)(hq¯,sk ) )a. Последнее означает, что элемент c перестановочен с g в том и только том случае, если для любых i = 1, . . . , k и при любом выборе корня q выполняются равенства ti = ti (1 + u)(hq¯,si ) . Зафиксируем i и выберем корень q так, чтобы (hq¯, si ) 6= 0. Поскольку u2 = 0, то ti (1 + u)(hq¯,si ) − ti = ti u(hq¯, si ) = 0. Последнее возможно только при ti ∈ J, так как u ∈ J m−1 и u 6= 0, а (hq¯, si ) является делителем p(Φ)! и, следовательно, обратимо в K. Таким образом, c ∈ Φ(J), а значит, Φ(J) = CG (T ). Лемма доказана. В силу леммы 2 и равенства [Φ(J i−1 ), Φ(J)] = Φ(J i ) (см., напр., [5]) подгруппы Φ(J i ), i = 2, 3, . . . , будут характеристическими. Рассмотрим стандартные автоморфизмы группы SΦ(K). Обозначим через ρ линейное преобразование пространства, порожденного всеми корнями, индуцированное симметрией диаграммы Дынкина системы корней Φ. Известно [2, 3], что отображение ΓΦ , действие которого на корневых элементах определяется равенством ΓΦ (xr (t)) =
36
С. Г. Колесников
= xρ(r) (γr t) (r ∈ Φ+ , γr = ±1), продолжается до автоморфизма группы U Φ+ (K). Этот автоморфизм называется графовым. Он продолжается на группу SΦ(K), если положить ΓΦ (x−r (t)) = x−r (γr t). Пусть χ — гомоморфизм целочисленной решетки системы корней Φ в мультипликативную группу кольца K. Отображение, действующее тождественно на диагональной подгруппе и переводящее элементы xr (t) в xr (χ(r)t), является автоморфизмом, который называется диагональным. Центральным называется автоморфизм, тождественный по модулю центра группы и отличный от внутреннего, а центр группы SΦ(K) при условии p(Φ)! · K = K совпадает с подгруппой Xr0 (J m−1 ). Пусть r ∈ Φ и λ ∈ K. Обозначим через Crλ отображение группы SΦ(K) в себя, которое элементы xr (t) переводит в xr (t)xr0 (λt), а элементы корневых подгрупп, отличных от Xr , оставляет на месте. Очевидно, имеет место ЛЕММА 3. Отображение Crλ продолжается до центрального автоморфизма группы SΦ(K), если либо r = −r0 и λ ∈ J m−2 , либо r = ri , λ ∈ J m−1 и r0 − r ∈ / Φ. Обозначим через Ig , dχ и ΓΦ соответственно внутренний, диагональный и графовый автоморфизмы. Справедливы следующие соотношения: −1 −1 dχ Ig d−1 χ = Idχ (g) , ΓΦ Ig ΓΦ = IΓΦ (g) , ΓΦ dχ ΓΦ = dχ′ .
(8)
§ 2. Автоморфизмы Lλs и Qµr группы SΦ(K) Изучение группы Aut(SΦ(K)) начнем с описания автоморфизмов, действующих тождественно по модулю конгруэнц-подгруппы Φ(J m−1 ) и тривиально на элементах подгруппы U Φ+ (K). Пусть s ∈ Φ, s 6= r0 и λ ∈ ∈ J m−2 . Обозначим через Lλs отображение множества {Xr1 , . . ., Xrn , X−r0 } в группу SΦ(K), которое оставляет на месте элементы xri (t), а элемент x−r0 (p) переводит в x−r0 (p)xs (λp). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Отображение Lλs продолжается до автоморфизма группы SΦ(K), если
Автоморфизмы силовских p-подгрупп групп Шевалле
37
1) корень s отличен от корней −r0 , −r1 , . . . , −rn ; 2) для всякого положительного корня r из s+r ∈ Φ следует r0 −r ∈Φ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Корень s, отличный от r0 и удовлетворяющий условиям 1, 2 предложения 1, будем называть r0 -экстремальным. Выберем множество простых корней r1 , . . . , rn системы Φ ранга n > 1, как и в [6, табл. I—IX]. Вначале докажем, что справедлива ЛЕММА 4. Следующие корни и только они являются r0 -экстремальными: r2 + . . . + rn−1 для An , n > 2,
r1 для Bn , n > 2,
r0 − 2r1 для Cn , n > 1,
r1 для G2 , Dn , n > 4,
r2 + 2r3 + 2r4 для F4 ,
r1 + r3 + r4 + r5 + r6 для E6 ,
2r1 + r3 + 4r4 + 3r5 + 2r6 + r7
r2 + r3 + 2r4 + 2r5 + 2r6 + r7
для E8 ,
для E7 ,
корень r3 , если Φ типа B3 и D4 , а также все корни высоты h − 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО леммы проведем для Φ типа Cn . Для остальных типов оно проводится аналогично. Напомним (см. [6]), что система корней типа Cn состоит из корней вида ±(εi ±εj ) и ±2εk , где 1 6 i < j 6 n, 1 6 k 6 n, ε1 , . . . , εn — ортонормированный базис пространства Rn ; простыми являются корни r0 = 2ε1 , ri = εi − εi+1 , 1 6 i < n, rn = 2εn . Пусть теперь s — r0 -экстремальный корень из Φ. Так как s 6= r0 и −s ∈ / Π(Φ), то сумма s + q лежит в Φ для некоторого простого корня q. Для него имеется единственная возможность q = r1 , поскольку r0 − ri ∈ / ∈ / Φ, если i > 1. Значит, для корня s возможны только следующие случаи: а) s = −ε1 ± εj , 3 6 j 6 n; б) s = ε2 ± εj , 3 6 j 6 n; в) s = −ε1 − ε2 ; г) s = 2ε2 ; д) s = ε1 + ε2 . Однако случаи ”а“, ”б“ и ”в“ исключаются, поскольку (−ε1 ±εj )+(ε2 ∓εj ), (ε2 ±εj )+(ε2 ∓εj ) ∈ Φ, но 2ε1 −(ε2 ∓εj ) ∈ / Φ, и (−ε1 − ε2 ) + 2ε2 ∈ Φ, но 2ε1 − 2ε2 ∈ / Φ. Корни 2ε2 = r0 − 2r1 и ε1 + ε2 = = r0 −r1 , очевидно, удовлетворяют условиям 1, 2 предложения 1 и поэтому являются r0 -экстремальными. Используя описание r0 -экстремальных корней, приведенное в лемме 4, легко убедиться в том, что справедлива
38
С. Г. Колесников ЛЕММА 5. Если корень s является r0 -экстремальным и s + v, s +
+v + q ∈ Φ для некоторых v, q ∈ Φ, то либо v + q ∈ Φ и s + q ∈ / Φ, либо s + v + q = r0 . Вернемся к доказательству предложения. Зафиксируем r0 -экстремальный корень s и доопределим отображение Lλs , полагая Lλs (xkv−r0 (u)) = xkv−r0 (u)xs+kv (λuck1,vs /ck1,v,−r0 ), если s+kv ∈ Φ для некоторого целого k > 0, и тождественно на остальных корневых и диагональной подгруппах. Полученное отображение, очевидно, сохраняет определяющие соотношения (2) группы SΦ(K). Проверим инвариантность оставшихся соотношений. Элемент xs+kv (λuck1,vs /ck1,v,−r0 ) лежит в подгруппе Φ(J m−1 ), поэтому он перестановочен с любым элементом из Φ(J). Значит, соотношение (1) инвариантно. Далее, соотношение (3) инвариантно относительно Lλs , поскольку λuck1,vs /ck1,v,−r0 ∈ J m−1 и J m−1 J = 0. Поэтому же, учитывая (s + kv) + (r0 − kv) = s + r0 ∈ / Φ, соотношение (5) инвариантно. Среди соотношений вида (4) проверки требуют только соотношения вида [xv−r0 (u), xq (t)] =
Y
xiq+j(v−r0 ) (cij,q,v−r0 (−t)i uj ),
(9)
i,j>0
когда q ∈ Φ+ и s + v + q ∈ Φ. Так как [Lλs (xv−r0 (u)), Lλs (xq (t))] = [xv−r0 (u)xs+v (λuc11,vs /c11,v,−r0 ), xq (t)] ! Q = xiq+j(v−r0 ) (cij,q,v−r0 (−t)i uj ) i,j>0 Q i xs+v+iq (λ(−t) uci1,q,s+v c11,vs /c11,v,−r0 ) × i>0
и
Lλs
Q
i,j>0
=
!
xiq+j(v−r0 ) (cij,q,v−r0 (−t)i uj ) Q
i,j>0
×
Q
= !
xiq+j(v−r0 ) (cij,q,v−r0 (−t)i uj )
i>0
xs+v+iq (λ(−t)i uci1,q,v−r0 c11,iq+v,s /c11,iq+v,−r0 ) ,
Автоморфизмы силовских p-подгрупп групп Шевалле
39
то соотношение (9) инвариантно в том и только том случае, если ci1,q,s+v c11,vs /c11,v,−r0 = ci1,q,v−r0 c11,iq+v,s /c11,iq+v,−r0
(10)
при любом возможном натуральном i. Для проверки (10) воспользуемся следующими свойствами структурных констант (см., напр., [1]): Nq1 ,q2 Nq1 +q2 ,q3 + Nq2 ,q3 Nq2 +q3 ,q1 + Nq3 ,q1 Nq3 +q1 ,q2 = 0,
(11)
если q1 , q2 , q3 , q1 + q2 + q3 ∈ Φ, и Nrs = −Nsr для любых r, s ∈ Φ. Пусть i = 1. Так как s + v + q ∈ Φ и, по лемме 5, s + q ∈ / Φ, то Ns,v Ns+v,q + Nv,q Nv+q,s = 0. Аналогично, Nv,−r0 Nq,v−r0 + Nv,q Nv+q,−r0 = 0. Выразив константу Nv,q из последнего равенства и подставив полученное выражение в равенство Ns,v Ns+v,q + Nv,q Nv+q,s = 0, приходим к Nq,s+v Nv,s /Nv,−r0 = Nq,v−r0 Nv+q,s /Nv+q,−r0 , что равносильно (10), поскольку c11,rs = Nr,s . Если i = 2, то v + s + q, q + (q + v) + s ∈ Φ и, по лемме 5, s + q ∈ / Φ, а потому Nv,s Nv+s,q + Nq,v Nq+v,s = 0 и Nq,q+v N2q+v,s + Nq+v,s Nq+v+s,q = 0. Выразив константу Nq+v,s из первого равенства и подставив найденное выражение в последнее, после очевидных преобразований получим Nv,s Nq,s+v Nq,s+v+q /N2q+v,s = Nq,v /Nq,q+v .
(12)
Аналогично доказывается, что Nv,−r0 Nq,v−r0 Nq,v+q−r0 /N2q+v,−r0 = Nq,v /Nq,q+v .
(13)
Из (12) и (13) следует Nv,s Nq,s+v Nq,s+v+q /Nv,−r0 = Nq,v−r0 Nq,q+v−r0 N2q+v,s /N2q+v,−r0 , что равносильно (10), поскольку c21,rs = (1/2)Nr,s Nr,r+s . Случай i > 3 невозможен, поэтому равенство (10) доказано. Таким образом, отображение Lλs сохраняет определяющие соотношения группы SΦ(K) и потому является автоморфизмом. Предложение доказано.
40
С. Г. Колесников Пусть Φ = An и простые корни r1 , . . . , rn выбраны как в [6], в част-
ности, r0 − r1 ∈ Φ и µ ∈ J m−1 . Справедливо ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Отображение Qµr1 , тождественное на подгруппе U Φ+ (K) и переводящее элемент x−r0 (p) в элемент x−r0 (p)hr1 (1 + +µ), если Φ = A2 , и в элемент x−r0 (p)hr1 (1 + 2µ)hr2 (1 + µ), если Φ = A3 , продолжается до автоморфизма групп SA2 (K) и SA3 (K) соответственно. Кроме того, Qµr1 (hr1 ) = hr1 xr0 (−µ), Qµr1 (hr2 ) = hr2 xr0 (2µ), если Φ = A2 , Qµr1 (hr1 ) = hr1 xr0 (−µ), Qµr1 (hr2 ) = hr2 , Qµr1 (hr3 ) = hr3 xr0 (3µ), если Φ = A3 . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Всякий автоморфизм группы SΦ(K), тождественный по модулю конгруэнц-подгруппы Φ(J m−1 ) и совпадающий с единичным на U Φ+ (K), раскладывается в произведение внутреннего, центрального и специальных Lλs , Qµr автоморфизмов, если 6K = K и ранг Φ больше 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть автоморфизм φ группы SΦ(K) удовлетворяет условиям. Тогда φ(x−r0 (p)) = x−r0 (p)v для некоторого элемента Q Q v ∈ Φ(J m−1 ). Пусть v = hri (1 + θi ) xs (λs ) — разложение v в произведение корневых и диагональных элементов из Φ(J m−1 ). Покажем, что
элементы λs отличны от нуля в том и только том случае, если корень s является r0 -экстремальным. Действительно, пусть корень s0 не удовлетворяет условию 2 предложения 1 и, кроме того, s0 ∈ / {−r1 , . . . , −rn , ±r0 }. Тогда найдется такой положительный корень q, что s0 + q ∈ Φ и q − r0 ∈ / Φ0 . Рассмотрим коммутатор [φ(x−r0 (p)), φ(xq )]. Он равен единице, так как q − r0 ∈ / Φ. В то же время,
n Q Q hri (1 + θi ) [φ(x−r0 (p)), φ(xq )] = x−r0 (p) xs (λs ), xq =
n Q
i=1
i=1
[hri (1 + θi ), xq ]
s∈Φ
Q
s∈Φ
[xs (λs ), xq ].
Автоморфизмы силовских p-подгрупп групп Шевалле Значит, Y
s∈Φ
n Y [xq , hri (1 + θi )] ∈ Xq , [xs (λs ), xq ] =
41
(14)
i=1
что, очевидно, останется верным, если q = ri при s0 = −ri и ri − r0 ∈ / Φ. Вычисляя коммутаторы [xs (λs ), xq ] и приводя подобные члены, видим, что Q произведение [xs (λs ), xq ] содержит сомножитель xs0 +q (c11q,s0 λs0 ), если s0 − q ∈ / Φ, произведение xs0 (c11q,s0 −q λs0 −q )xs0 +q (c21q,s0 −q λs0 −q + c11q,s0 λs0 ),
если s0 − q ∈ Φ, и (единственный) диагональный элемент hri (1 + λs0 ), если s0 = −ri и ri − r0 ∈ / Φ. Ввиду (14) эти сомножители равны единице и, значит, λs0 = 0. Докажем, что λ−r0 = 0. Обозначим через r простой корень, для которого r0 −r ∈ Φ и рассмотрим коммутатор W = [x−r0 (p), xr0 −r , xr0 ]. ИспольQ зуя соотношения (4), находим, что W = xr0 −jr (c1jr0 ,−r (pNr0 −r,−r0 )j ), где произведение берется по всем целым j, удовлетворяющим условию r0 − jr ∈ Φ. Так как r0 − jr ∈ Φ+ , а автоморфизм φ совпадает с единичным на U Φ+ (K), то φ(W ) = W . С другой стороны, Q Q φ(W ) = [x−r0 (p) hri (1 + θi ) xs (λs ), xr−r0 , xr0 ] Q = W · [xs (λs ), xr−r0 (1), xr0 ]. Q
Значит, 1 =
[xs (λs ), xr−r0 , xr0 ] = xr0 −r (c11r0 ,−r λ−r0 ) . . . , а поскольку
c11r0 ,−r — обратимый элемент кольца, то λ−r0 = 0. Рассматривая коммутатор [x−r0 (p), xr0 , xri ], нетрудно убедиться в том, что λ−ri = 0, если r0 − ri ∈ Φ. Таким образом, равенства нулю элементов λs , когда s не является r0 -экстремальным корнем, можно считать доказанными. Домножим автоморфизм φ слева на произведение автоморфизмов s , взятое по всем r -экстремальным корням s, и на центральный авL−λ 0 s
−λr
томорфизм C−r0 0 , где λ является решением уравнения px = λ−r0 . Полученный автоморфизм обозначим через φ1 . Очевидно, что φ1 (xri ) = xri и Q φ1 (x−r0 (p)) = x−r0 (p) hri (1 + θi ). Покажем, что φ1 с точностью до умножения на внутренний автоморфизм и автоморфизмы Qµr1 , если Φ типа A2 или A3 , совпадает с единичным автоморфизмом группы SΦ(K).
42
С. Г. Колесников
Пусть Φ 6= An , а rj0 — тот простой корень, для которого r0 − rj0 ∈ Φ. P В разложении hr0 = ni hri коэффициент nj0 отличен от нуля, поэтому,
полагая g = xr0 (λ), где λnj0 p = −θj0 , получим Ig φ1 (x−r0 (p)) = x−r0 (p)
Y
hri (1 + µi ), где µi = θi + ni pλ ∈ J m−1 ,
i6=j
и, в то же время, Ig φ1 (xri ) = xri для всех ri ∈ Π(Φ). Покажем, что все элементы µi равны нулю. Для этого положим φ2 = Ig φ1 и рассмотрим коммутаторы вида [φ2 (xrk ), φ2 (x−r0 (p))], когда rk − r0 ∈ / Φ. Они должны равняться единице, однако вычислив их, получим " # Q [φ2 (xrk ), φ2 (x−r0 (p))] = xrk , x−r0 (p) hri (1 + µi ) i6=j0 ! P = xrk (hr¯k , ri )µi . i6=j0
Следовательно,
P
i6=j0
(hr¯k , ri )µi = 0 и элементы µi удовлетворяют си-
стеме линейных однородных уравнений. В зависимости от типа Φ эта система имеет вид 2µ = 0, 1 B2 , G2 : 2µ1 = 0, B3 : 2µ3 = 0,
2µ − µ = 0, 1 3 C3 : 2µ3 − 2µ1 = 0,
(15)
в общем случае матрица ∆(Φ) системы уравнений получается из матрицы Картана системы корней Φ вычеркиванием строк и столбцов, соответствующих простым корням r с условием r0 − r ∈ Φ. Таким образом,
2 0 0
∆(D4 ) = 0 2 0 , 0 0 2
2
2 −2
∆(F4 ) = −1 0
0
0
2 −1 , 0 −1 2
0
0 2 −1 −1 ∆(D5 ) = , 0 −1 2 0 0 −1 0 2
Автоморфизмы силовских p-подгрупп групп Шевалле
2 −1
0
0
0
−1 2 −1 0 0 ∆(E6 ) = 2 −1 0 0 −1 , 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2
2
0 −1
0
0
0
0 2 −1 0 0 0 −1 −1 2 −1 0 0 ∆(E7 ) = , 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 −1 2
2
0 −1
0
0
0
0
0 2 0 −1 0 0 0 −1 0 2 −1 0 0 0 ∆(E8 ) = 0 −1 −1 2 −1 0 0 , 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 −1 2
∆(Bn ) =
2
0
0
0 ...
0
0
2 −1
0 ...
0
2 −1 . . .
0
0 −1 0
0 −1
2 ...
0
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0 ...
2
0
0
0
0 . . . −1
0
0 0 0 , n > 3, . −2 2
43
44
С. Г. Колесников
2 −1
2
0
0
0 ...
0
0
−1 2 −1 0 ... 0 0 0 −1 2 −1 . . . 0 0 ∆(Cn ) = 0 0 −1 2 ... 0 0 , n > 3, . . . . . . . 0 0 0 0 . . . 2 −1 0 0 0 0 . . . −2 2
∆(Dn ) =
0
0
2 −1
0 −1
0 ...
0
0
0
0
0 ...
0
0
0
0
2 −1 . . .
0
0
0
0
0
0 −1
2 ...
0
0
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0 ...
2 −1
0
0
0
0
0
0 . . . −1
0
0
0
0 ...
0 −1
2
0
0
0
0
0 ...
0 −1
0
2
.
2 −1 −1
, n > 5.
Очевидно, что системы (15) имеют только тривиальные решения при условии обратимости числа 6 в кольце Zpm . Вычислив определители приведенных выше матриц, получим, что ∆(Φ) = 4, если Φ типа E7 или Bn , Dn при n > 4, ∆(Φ) = 2, если Φ типа G2 , F4 , E8 или Cn при n > 3, наконец, |∆(E6 )| = 6 и ∆(D4 ) = 8. Так как 6K = K, соответствующие системы имеют только тривиальные решения. Рассмотрим тип An . Выберем простые корни r1 , . . . , rn как в [6]. Тогда r0 − r1 , r0 − rn ∈ Φ, а rk + ri ∈ Φ в том и только том случае, если |k − i| = 1. Обозначим через λ решение уравнения px = −θn в кольце K, и пусть g = xr0 (λ). Рассмотрим автоморфизм φ2 = Ig φ1 . Легко понять, что φ2 (x−r0 (p)) = x−r0 (p)hr1 (1 + θ1 − θn ) . . . hrn−1 (1 + θn−1 − θn ) и φ2 (xri ) = xri для всех ri ∈ Π(Φ). Положим µi = θi −θn для i = 1, . . . , n−1 и покажем, что при n > 3 элементы µ1 , . . . , µn−1 равны нулю. Действитель-
Автоморфизмы силовских p-подгрупп групп Шевалле
45
но, как и выше из равенства единице коммутаторов [φ2 (xrk ), φ2 (x−r0 (p))] при k 6= 1, n вытекают соотношения −µ1 +2µ2 −µ3 = 0, . . . , −µn−3 +2µn−2 −µn−1 = 0, −µn−2 +2µn−1 = 0. (16) Далее, выбрав знаки структурных констант Nrs соответствующих экстраспециальным парам корней так, чтобы Nri +...+rk ,rk+1 +...+rl = 1, когда 1 6 i 6 k < l 6 n, получим φ2 (x−ri (p)) = [φ2 (xri+1 +...+rn ), [φ2 (x−r0 (p)), φ2 (xr1 +...+ri−1 )]] = x−ri (p), φ2 (x−r1 (p)) = [φ2 (xr2 ), . . . , [φ2 (xrn ), φ2 (x−r0 (p))] . . .] = x−r1 (p)xr0 −r1 (µn−1 ), φ2 (x−rn (p)) = [φ2 (x−r0 (p)), φ2 (xr1 ), . . . , φ2 (xrn−1 )] = x−rn (p)xr0 −rn (µ2 − 2µ1 ). Используя соотношение (7) и тождественность φ2 на элементах подгруппы U Φ− (J 2 ) находим, что φ2 (h−ri ) = h−ri , когда 1 < i < n, а образы элементов h−r0 , h−r1 , h−rn соответственно равны h−r0 xr0 (−µ1 ), h−r1 xr0 (µn−1 ), h−rn xr0 (µ2 − 2µ1 ). Поскольку h−¯r0 = h−¯r1 + . . . + h−¯rn , то φ1 (h−r0 ) = φ2 (h−r1 ) . . . φ2 (h−rn ) и, следовательно, выполняется равенство µ2 −2µ1 +µn−1 = −µ1 . Дополняя систему (16) уравнением µ2 −µ1 +µn−1 = 0, получим систему линейных однородных уравнений с квадратной матрицей ∆′ (An ), определитель которой равен 2. Поэтому µ1 = . . . = µn−1 = 0 и φ2 — тождественный автоморфизм. Если Φ равно A2 или A3 , то нетрудно видеть, что φ2 = Qµr11 . Предложение доказано. § 3. Автоморфизмы Trγ группы SΦ+ (K) В этом параграфе при условии, что 6K = K, исследуются автоморфизмы, тождественные по модулю H(J m−1 ) на корневых подгруппах, соответствующих простым корням. Следующая лемма содержит ряд соотношений, из которых, по существу, и вытекает основной результат этого параграфа — предложение 4.
46
С. Г. Колесников ЛЕММА 6. Пусть r и s — различные простые корни системы
корней Φ, отличной от G2 , φ — автоморфизм группы SΦ(K), причем φ(xq ) = xq dq , где dq ∈ H(J m−1 ) для всякого простого корня q. Тогда а) [xs , dr ] = 1, если r + s ∈ / Φ; б) [xs , dr , xr ][xr+s (Nsr ), dr ] = 1, если r + s ∈ Φ, 2r + s, r + 2s ∈ / Φ; в) [xr+2s (c21sr ), dr ] = 1, если r + s, r + 2s ∈ Φ; г) [xs , dr , xr , xr ][xr+s (Nsr ), dr , xr ][x2r+s (2c21,rs ), dr ] = 1, если r + s, 2r + +s ∈ Φ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что элементы dr , ds и коммутаторы [xr , ds ], [ds , xr ] лежат в подгруппе Φ(J m−1 ), а значит, перестановочны между собой. Кроме того, для любых a, b ∈ Φ(J m−1 ) из коммутаторных тождеств [xy, z] = [x, z]y [y, z] и [x, yz] = [x, z][x, y]z вытекает соотношение [xr a, xs b] = [xr , b][xr , xs ]ab [a, xs ].
(17)
а) Пусть r + s ∈ / Φ. Тогда [xs , xr ] = 1 и в силу (17) имеем 1 = [φ(xs ), φ(xr )] = [xs , dr ][ds , xr ]. Однако, [xs , dr ] ∈ Xs , [ds , xr ] ∈ Xr и Xs ∩ Xr = 1, а значит, [xs , dr ] = 1. б) Если r + s ∈ Φ и 2r + s, r + 2s ∈ / Φ, то [xs , xr , xr ] = 1. Вычисляя коммутатор [φ(xs ), φ(xr )], а затем, используя соотношения [xs , dr , xr dr ] = = [xs , dr , xr ], [xr+s (Nsr )dr ds , dr ] = [xr+s (Nsr ), dr ], [ds , xr , xr dr ] = 1, и коммутатор [φ(xs ), φ(xr ), φ(xr )], получаем 1 = [xs , dr , xr ][xr+s (Nsr ), dr ]. в) При данных условиях справедливо 1 = [φ(xs ), φ(xr ), φ(xr )] = [xr+s (Nsr ), dr ][xr+2s (c12rs ), dr ][xs , dr , xr ], причем [xr+s (Nsr ), dr ], [xs , dr , xr ] ∈ Xr+s , [xr+2s (c12rs ), dr ] ∈ Xr+2s и Xr+s ∩ ∩Xr+2s = 1. Поэтому [xr+2s (c12rs ), dr ] = 1. г) При данных условиях справедливо 1 = [φ(xs ), φ(xr ), φ(xr ), φ(xr )] = [xs , dr , xr , xr ][xr+s (Nsr ), dr , xr ][x2r+s (2c21rs ), dr ]. Лемма доказана. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть Φ — система корней ранга, большего 1, φ ∈ Aut(SΦ(K)) и φ(xri ) = xri dri , где dri ∈ H(J m−1 ) для всех
Автоморфизмы силовских p-подгрупп групп Шевалле
47
i = 1, . . . , n. Тогда существуют внутренний Ig , диагональный dχ , а при Φ = An и (p, n + 1) 6= 1 — специальные Trµii автоморфизмы такие, что dχ Ig φ(xr ) = xr и Trµ11 . . . Trµnn dχ Ig φ(xr ) = xr для всякого r ∈ Φ+ . =
n Q
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию dri ∈ H(J m−1 ), а значит, dri =
i=1
hrj (1 + θji ), где θji ∈ J m−1 для всех i, j. Обозначим через χ гомо-
морфизм целочисленной решетки системы корней Φ в K # , для которого n Q x−ri (θii ). Тогда χ(ri ) = 1 + θii , i = 1, . . . , n, и пусть g = i=1
dχ Ig φ(xri ) = dχ Ig xri
Покажем, что
Q
j6=i
n Y
j=1
hrj (1 + θji ) = xri
Y
hrj (1 + θji ).
j6=i
hrj (1 + θji ) = 1, кроме, быть может, случая, когда
Φ = An и (p, n + 1) 6= 1. Для этого подставим в соотношения ”а“—”г“ лемQ hrj (1 + θji ) вместо dr и при фиксированном i застамы 6 произведение j6=i
вим корень s пробегать множество простых корней r1 , . . . , ri−1 , ri+1 , . . . , rn .
Вычислив коммутаторы, стоящие в левых частях равенств, и приравняв полученные выражения к 1, получим следующую систему линейных однородных уравнений: P (rk , hr¯j )θji = 0, j6 = i P (2rk + ri , hr¯j )θji = 0, j6=i P (rk + 2ri , hr¯j )θji = 0,
если ri + rk ∈ / Φ, если ri + rk ∈ Φ, но 2ri + rk ∈ / Φ,
(18)
если 2ri + rk ∈ Φ,
j6=i
где i пробегает множество натуральных чисел от 1 до n. В зависимости от типа Φ система (18) после очевидных преобразований принимает вид θji = (n + 1 − j)θni , i = 1, . . . , n − 1, j = 1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n − 1, (n + 1)θ1n = (n + 1)θni = 0, i = 1, . . . , n − 1, n θj = jθ1n , j = 2, . . . , n − 1,
если Φ = An и n > 4; i i θj = 2θn , i = 1, . . . , n − 1, j = 1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n − 1, 2θn1 = . . . = 2θnn−1 = 3θ1n = 0, n θj = jθ1n , j = 2, . . . , n − 1,
(19)
(20)
48
С. Г. Колесников
если Φ = Bn и n > 5; i i θj = θn , i = 1, . . . , n − 1, j = 1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n − 1, n θn1 = . . . = θnn−1 = θn−1 = 0, n n , j = 1, . . . , n − 2, θj = θn−1
если Φ = Cn и n > 5; θji = 2θni , i = 1, . . . , n − 1, j = 1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n − 2, θi = θi , i = 1, . . . , n − 2, n n−1 n n θj = 2θn−1 , j = 1, . . . , n − 2, 1 n 2θn = . . . = 2θnn−1 = θn−1 = 0,
(21)
(22)
если Φ = Dn и n > 6.
Системы (20)—(22) и (19), когда (p, n + 1) = 1, при условии 6K = K имеют только тривиальные решения, поэтому dχIg (xr ) = xr для любого r ∈ Π(Φ). Пусть Φ = An и (p, n + 1) = p. Определим отображение Trµi (xri ) = xri
Y
hrj (1 + jµ),
i6=j
а на остальных корневых и диагональных элементах пусть оно действует тождественно. Нетрудно проверить, что Trµi продолжается до автоθ1
n−1
θn
n Trn1 Ig dχ (xr ) = xr для любого морфизма группы SAn (Zpm ) и Tr1n . . . Trθn−1
r ∈ Π(An ). Рассмотрим оставшиеся случаи. Обозначим через ∆i (Φ) матрицу системы уравнений (18) при фиксированном i. Матрица ∆i (Φ) получается из матрицы Картана системы корней Φ в результате следующих преобразований: 1) умножения k-ой строки на 2 и прибавления к ней i-ой, если ri + rk ∈ Φ и 2ri + rk ∈ / Φ; 2) прибавления к k-ой строке i-ой, умноженной на 2, если 2ri + rk ∈ Φ; 3) вычеркивания i-ой строки и i-го столбца полученной матрицы. Вычислив определители матриц ∆i (Φ) для оставшихся систем корней, увидим, что они делятся только на числа 2, 3 и их степени. Поэтому соответствующие системы тоже имеют только тривиальные решения и dχIg (xr ) = xr для любого r ∈ Π(Φ).
Автоморфизмы силовских p-подгрупп групп Шевалле
49
Используя инвариантность соотношений [xr , x3r+2s ] = 1, [xs , x2s+r ] = = 1, убеждаемся в том, что θ21 = θ12 = 0, если Φ типа G2 . Таким образом, автоморфизм φ с точностью до умножения на внутренний, диагональный и специальные Trµ автоморфизмы тождествен на элементах xr1 , . . . , xrn , а в силу следствия 1 — и на всей подгруппе U Φ+ (K). Предложение доказано.
§ 4. Автоморфизмы, тождественные по модулю подгруппы Φ(J m−1 ) Пусть Φ — система корней ранга, больше 1, r0 — ее максимальный корень, а r — простой корень, для которого r0 − r ∈ Φ. С каждым таким корнем r и ненулевым числом λ из идеала J m−1 свяжем отображение Rrλ группы SΦ(K), Φ 6= Cn , на себя, которое действует на элементах xr (t) по правилу Rrλ (xr (t)) = xr (t)xr0 −r (2λtNr−1 )xr0 (λ(t2 − t)), 0 −r,r
(23)
а на диагональной подгруппе и корневых подгруппах отличных от Xr — тождественно. ЛЕММА 7. Отображение Rrλ продолжается до автоморфизма группы SΦ(K). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Равенства Rrλ (xr (t))Rrλ (xr (u)) = = xr (t)xr0 −r (µt)xr0 (λ(t2 − t))xr (u)xr0 −r (µu)xr0 (λ(u2 − u)) = xr (t + u)xr0 −r (µ(t + u))xr0 (λ(t2 − t + u2 − u))[xr0 −r (µt), xr (u)] = xr (t + u)xr0 −r (µ(t + u))xr0 (λ((t + u)2 − (t + u))) = Rrλ (xr (t + u)), где µ = 2λNr−1 , показывают, что отображение Rrµ сохраняет соотноше0 −r,r ние xr (t)xr (u) = xr (t + u). Элемент xr0 (λ(t2 − t)) является центральным, а xr0 −r (µt) перестановочен с любыми диагональными и корневыми элементами, кроме тех, что лежат во множестве Xr \ Xr (J). Отсюда и из тождественности Rrλ на подгруппе Xr (J) вытекает инвариантность соотношений (3)—(5), если в них
50
С. Г. Колесников
присутствуют элементы из Xr . Инвариантность остальных определяющих соотношений очевидна, поскольку Rrλ тождественно на диагональной подгруппе и корневых подгруппах, отличных от Xr . Лемма доказана. Если Φ — система корней типа Cn , то разность r0 −2r также является корнем, а отображение Prλ (λ ∈ J m−1 ), тождественное на диагональной и корневых подгруппах, отличных от Xr , и такое, что Prλ (xr (t)) = xr (t)xr0 −2r (6λt)xr0 −r (3λt2 Nr0 −r,r )xr0 (2λt3 c21,r,r0 −2r ),
(24)
продолжается до автоморфизма группы SCn (K). Для произвольного φ ∈ Aut(SΦ(K)) образ элемента xr , r ∈ Φ+ , запишем в виде φ(xr ) = xr dφr
Y
xq (λφr,q ) = xr aφr , где dφr ∈ H(J).
q∈Φ
В частности, если автоморфизм φ тождествен по модулю подгруппы Φ(J m−1 ), то dφr ∈ H(J m−1 ) и λφr,q ∈ J m−1 для всех q ∈ Φ. Подгруппу, порожденную центральными, внутренними Ig , где g ∈ Φ(J m−1 ), диагональными dχ , где χ ∈ Hom(ZΦ, 1 + J m−1 ), и специальными вида (23) и (24) автоморфизмами, обозначим через V . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Пусть φ — автоморфизм группы SΦ(K), тождественный по модулю конгруенц-подгруппы Φ(J m−1 ). Тогда существует автоморфизм φ′ ∈ V такой, что φ′ φ(xr ) = xr dr , где dr ∈ ∈ H(J m−1 ), для всякого простого корня r. Для доказательства нам потребуется ЛЕММА 8. Пусть q — положительный корень, а r — простой корень такой, что q − r ∈ / Φ0 . Тогда либо существует положительный корень s, удовлетворяющий одному из условий: а) q + s ∈ Φ, s + r ∈ / Φ, причем q + s − r ∈ / Φ, б) q + s + r, s + r ∈ Φ, 2r + s ∈ / Φ, причем q + s − r, q + s − 2r ∈ /Φи Nq,s Nq+s,r + Nr,s Nr+s,q = ±1, ±2, в) q + s + 2r, s + r, s + 2r ∈ Φ, 3r + s ∈ / Φ, причем Ns,r Ns+r,r Ns+2r,q + Ns,r Ns+r,q Ns+r+q,r + Ns,q Ns+q,r Nq+s+r,r = ±1, ±2, ±3;
Автоморфизмы силовских p-подгрупп групп Шевалле
51
либо корень q удовлетворяет одному из условий: г) q + r = r0 , д) Φ = Cn и q + 2r = r0 , е) q = r0 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО леммы очевидно при ht(q) = 1, h − 2, h, в остальных случаях см. [1, лемма 6.6 и док-во леммы 6.7]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО предложения. Упорядочим корни из Φ следующим образом. Сначала разобьем их на подмножества, состоящие из корней одной высоты, и будем считать, что s ≺ r, если ht(s) < ht(r), а затем произвольным образом упорядочим корни одной высоты. Упорядоченные корни занумеруем числами от 1 до |Φ| так, чтобы выполнялось неравенство ρi ≺ ρi+1 . Согласно введенному упорядочению ρ1 = −r0 . Для любого простого корня r имеем r + r0 ∈ / Φ и, значит, 1 = [φ(xr ), φ(xr0 )] = [xr aφr , xr0 aφr0 ] = [xr , aφr0 ][aφr , xr0 ] = hr (1 − λφr0 ,r )hr0 (1 + λφr,−r0 ) . . . ,
(25)
где многоточием обозначено произведение корневых элементов. Поскольку ко-корни hr¯ и h−¯ρ1 не пропорциональны и p > 3, то из (25) следует, что λφr,−ρ1 = 0. Далее воспользуемся индукцией. Пусть уже найден автоморфизм α ∈ ∈ V такой, что λαφ r,ρi = 0 для всех простых корней r и всех i, 1 6 i < k. Положим ψ = αφ и покажем существование автоморфизма β такого, что λβψ r,ρi = 0 для всех простых корней r и всех i, 1 6 i 6 k. Зафиксируем простой корень r, и пусть q = ρk . Возможны два случая: q − r ∈ / Φ и q − r ∈ Φ. С л у ч а й 1. Пусть q − r ∈ / Φ. Если q ∈ Φ− и q 6= −r, то 1 = [ψ(xr ), ψ ψ(x−q )] = hr (1 − λψ −q,r )hq (1 + λr,q ) . . . и, рассуждая как и выше, получим
λψ r,q = 0. Допустим, что ρk = −r. Обозначим через s простой корень, для которого r+s ∈ Φ. Если 2r+s ∈ / Φ, то 1 = [ψ(xr+s ), ψ(xr )] = xs (λψ r,−r Nr+s,−r ) . . . и λψ / Φ, то 1 = [ψ(xr+s ), ψ(xr ), ψ(xr )] = r,−r = 0. Если 2r + s ∈ Φ и 3r + s ∈
52
С. Г. Колесников
= xr+s (λψ r,−r N ) . . . , где 2 2 N = Ns+r,−r Ns,r + Nr+s,r N2r+s,−r = 2Ns,r + 2Nr+s,r = 4,
поэтому λψ r,−r = 0. Если же 3r + s ∈ Φ, то Φ = G2 , а более громоздкие вычисления показывают, что и в этом случае выполняется λψ r,−r = 0. Пусть q = r. Положим β = dχ , где χ(r) = 1 − λψ r,r и χ(s) = 1 для всех простых корней s, отличных от r. Тогда λβψ s,ρi = 0 для всех простых корней s и всех i, 1 6 i < k, и λβψ r,q = 0. Допустим, что q ∈ Φ+ и q 6= r. Тогда либо существует положительный корень s, удовлетворяющий одному из условий ”а“—”в“ леммы 8, либо выполняется одно из условий ”г“—”е“. В первых трех случаях имеем 1 = [φ(xs ),i φ(xr )] = xq+s+(i−1)r (λψ r,q Ni ) . . . , i = 1, 2, 3 и N1 = Nr,q , N2 = = Ns,q Nq+s,r + Ns,r Nr+s,q , N3 = Ns,r Ns+r,r Ns+2r,q + Ns,r Ns+r,q Ns+r+q,r + Ns,q Ns+q,r Nq+s+r,r . Так как 0 < |Ni | 6 3, то λψ r,q = 0. Если выполняется одно из условий ”г“—”е“, то, полагая β равным соответственно Rrµ , Prµ или подходящему центральному автоморфизму, получим, что λβψ s,ρi = 0 для всех простых корней s и всех i, 1 6 i < k, а кроме того, λβψ r,q = 0. С л у ч а й 2. Пусть q − r ∈ Φ. Обозначим через β внутренний авто−1 морфизм, индуцированный элементом g = xq−r (−λψ r,q Nr,q−r ). Тогда ψ βψ βψ(xr ) = xr [xr , g]xq (λψ r,q )xρk+1 (λr,ρk+1 ) . . . = xr xρk+1 (λr,ρk+1 ) . . . .
Если r — единственный простой корень, который в сумме с q − r лежит в Φ, то получаем требуемое. Допустим, что существует s ∈ Π(Φ), для которого s + q − r ∈ Φ и s 6= r. Тогда корень s определяется однозначно и либо r + s, s + q ∈ Φ, либо r+s∈ / Φ и q = −s. Покажем, что в обоих случаях λβψ s,s+q−r = 0. Если r + s ∈ / Φ, то 1 = [βψ(xr ), βψ(xs )] = xs+q (λβψ s,s+q−r Nr,s+q−r ) . . . / Φ, и, следовательно, λβψ s,s+q−r Nr,s+q−r = 0. Пусть r + s ∈ Φ. Если s + 2r ∈ βψ то 1 = [βψ(xs ), βψ(xr ), βψ(xr )] = xs+q (−2λβψ s,−r ) . . . , отсюда λs,−r = 0. Если
Автоморфизмы силовских p-подгрупп групп Шевалле
53
же s + 2r ∈ Φ, то r и s порождают подсистему корней типа B2 или G2 и 2s + r ∈ / Φ. В этом случае 1 = [βψ(xs ), βψ(xr ), βψ(xs )] = xs+q (λβψ s,−r (Ns,r Nr+s,−r − (hr , s))) . . . , а число Ns,r Nr+s,−r − (hr , s) равно 4, если Φ = B2 , и 6, если Φ = G2 . Поэтому λβψ s,−r = 0. Предложение доказано.
§ 5. Основная теорема Обозначим через W m (Φ) подгруппу группы Aut(SΦ(K)), порожденную в зависимости от типа Φ автоморфизмами вида Lµs , Qµs , Tsµ , Rsµ , Psµ и всеми центральными автоморфизмами. Справедлива ТЕОРЕМА 1. Пусть Φ — система корней ранга больше 1, p > 3 и m > 1. Тогда произвольный автоморфизм группы SΦ(Zpm ) раскладывается в произведение внутреннего, диагонального, графового автоморфизмов и некоторого автоморфизма из подгруппы W m (Φ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проведем индукцией по m. Автоморфизмы группы SΦ(Zp ) = U Φ+ (Zp ) при p > 3 описаны в [1], и для них указанное разложение справедливо. Пусть φ — произвольный автоморфизм группы SΦ(Zpm ), и m > 1. Ввиду изоморфизма SΦ(Zpm )/Φ(J m−1 ) ≃ SΦ(Zpm−1 ) и поскольку подгруппа Φ(J m−1 ) характеристическая, φ индуцирует автоморфизм φ¯ группы SΦ(Zpm−1 ). В силу индуктивного предположения φ¯ раскладывается в произведение внутреннего Ig¯, g¯ ∈ SΦ(Zpm−1 ), диагонального dχ¯ , χ ¯ ∈ ∈ Hom(Φ, Zp#m−1 ), графового ΓΦ автоморфизмов и некоторого автоморфизма ψ¯ ∈ W m−1 (Φ). Обозначим через ζ естественный гомоморфизм кольца Zpm на кольцо Zpm−1 , через g — прообраз элемента g¯ относительно гомоморфизма групп SΦ(Zpm ) и SΦ(Zpm−1 ) индуцированного ζ, наконец, через ¯ и поχ — тот гомоморфизм из Hom(Φ, Zp#m ), для которого ζ(χ(r)) = χ(r), ложим φ1 = Γ−1 d−1 I −1 φ. Автоморфизм φ¯1 индуцирует автоморфизм ψ¯ из подгруппы
Φ χ g m−1 W (Φ).
Покажем, что в действительности φ¯1 = 1.
54
С. Г. Колесников Вначале установим, что φ¯1 (x−r0 (p)) = x−r0 (p) или, другими словами,
φ1 (x−r0 (p)) = x−r0 (p)a−r0 для некоторого элемента a−r0 из Φ(J m−1 ). Это очевидно (следует из характеристичности подгруппы Φ(J)) при m = 2. Для случая m > 2 нам потребуется ЛЕММА 9. Пусть G — произвольная группа, a, b ∈ G и yi = [b,i a] для i = 1, . . . . Если byi = yi b и yi yi+1 = yi+1 yi для всех i = 1, . . . , k − 1, то справедлива формула C2
Ck
k (ab)k = ak bk y1 k . . . yk−1 ,
(26)
где Cki – биномиальные коэффициенты. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проведем индукцией по k. При k = 2 формула, очевидно, верна. Используя предположение индукции, находим C2
Ck
k (ab). (ab)k+1 = (ab)k (ab) = ak bk y1 k . . . yk−1
Cki+1
и bk , приходим к равенству
Переставляя элемент a с элементами yi C2
C2
Ck
Ck
k k , a]b. [yk−1 (ab)k+1 = ak+1 bk [bk , a]y1 k [y1 k , a] . . . yk−1
Cki+1
Из условий леммы вытекает, что [bk , a] = y1k и [yi
(27)
C i+1
k , a] = yi+1 , поэтому
(27) можно переписать в виде C 2 +k
(ab)k+1 = ak+1 bk+1 y1 k
Cki+1 +Cki
. . . yi
Ck
. . . yk k
(здесь также используется перестановочность элементов yi и b). Однако, i+1 k+1 Cki+1 + Cki = Ck+1 и Ckk = Ck+1 , отсюда и следует (26). Лемма доказана.
Пусть теперь m > 2 и ¯
¯
¯
¯
¯
¯
λ0 Lγs¯11 . . . Lγs¯kk Qαr¯1 Trβ11 . . . Trβnn Rqδ11 . . . Rqδll Prθ1 C−r 0
Y
¯
Crλii —
(28)
ri ,r0 −ri ∈Φ /
разложение ψ¯ в произведение автоморфизмов, порождающих группу W m−1 (Φ). Обозначим через λ0 , α, γ1 , . . . , γk произвольные прообразы ¯0, α элементов λ ¯ , γ¯1 , . . . , γ¯k относительно гомоморфизма ζ. Тогда образ φ1 (x−r0 (p)) раскладывается в произведение x−r0 (p)xr0 (λ0 )hr1 (1 + n1 α)hr2 (1 + n2 α)h
k Y i=1
xsi (γi )
Y
q∈Φ
xq (λq ) = x−r0 (p)a−r0 ,
Автоморфизмы силовских p-подгрупп групп Шевалле
55
где h ∈ H(J m−1 ), λq ∈ J m−1 для всех q ∈ Φ и n2 = 1, если Φ = A2 или A3 , n1 = 2, если Φ = A3 , n1 = n2 = 0 в остальных случаях. Элементы λ0 , α, γ1 , . . . , γk , очевидно, лежат в идеале J m−2 . Покажем, что в действительности они лежат в идеале J m−1 , поэтому ψ¯ и будет тождествен на x−r0 (p). Так как [x−r0 (p), a−r0 ] = x−r0 (−p(n1 hr1 + n2 hr2 , r0 )α)hr0 (1 + pλ0 )
k Y
xsi −r0 (γi N−r0 ,si ) = g ∈ Φ(J m−1 )
i=1
и [x−r0 (p), g] = 1, то по лемме 9 и в силу попарной перестановочности элементов, входящих в разложение a−r0 , для произвольного t ∈ Zpm имеем ′
φ1 (x−r0 (pt)) = x−r0 (pt)xr0 (λ0 t)hr1 (1 + n1 αt)hr2 (1 + n2 αt)ht k Q Q ′2 ′ xsi (γi t) × xq (λq t)g (t −t )/2 , i=1
(29)
q∈Φ
где t′ — произвольный прообраз элемента t относительно естественного гомоморфизма кольца Z на кольцо Zpm . Центральные автоморфизмы и β¯
¯
¯
автоморфизмы Lγs¯ii , Trjj , Rqδkk , Prθ1 действуют тождественно на диагональной подгруппе. Поэтому φ1 (hs ) = hs cs , где cs ∈ Φ(J m−1 ) для всех s ∈ Φ, если Φ не является системой типа A2 или A3 . В последних двух случаях образы φ1 (hr1 ), . . . , φ1 (hrn ) соответственно равны (см. предл. 2) hr1 xr0 (−α)cr1 , hr2 xr0 (2α)cr2 , если Φ = A2 , и hr1 xr0 (−α)cr1 , hr2 cr2 , hr3 xr0 (3α)cr3 , если Φ = A3 . Рассмотрим теперь определяющие соотношения вида [x−r0 (p), hs ] = = x−r0 (w), где w = p((1 − p)−(hs¯,r0 ) − 1). Используя (29), найдем образ элемента x−r0 (w): φ1 (x−r0 (w)) = x−r0 (w)xr0 (λ0 a)hr1 (1 + n1 aα)hr2 (1 + n2 aα) k Q xsi (aγi ), a = p(hs , r0 ). ×
(30)
i=1
В то же время,
[φ1 (x−r0 (p)), φ1 (hs )] = x−r0 (w))xr0 (−λ0 p(hs , r0 ))
k Y i=1
xsi (aγi p(hs¯, si )). (31)
56
С. Г. Колесников
Так как всякий автоморфизм сохраняет определяющие соотношения, то правые части формул (30) и (31) должны быть равны. Отсюда следует, что n1 aα = 0, т. е. α ∈ J m−1 , и 2pλ0 (hs¯, r0 ) = γ1 p(hs¯, r0 + s1 ) = . . . = γk p(hs¯, r0 + sk ) = 0. Выбирая корень s так, чтобы (hs¯, r0 ) 6= 0, и учитывая, что |(hs¯, r0 )| < 4, получаем λ0 ∈ J m−1 . Аналогично доказывается γ1 , . . . , γk ∈ J m−1 . Таким образом, φ1 (x−r0 (p)) = x−r0 (p)a−r0 , где a−r0 ∈ Φ(J m−1 ). Докажем, что автоморфизм ψ¯ тождествен на элементах xr1 , . . . , xrn . Для этого обозначим через λi , βi , δi , θ произвольные прообразы относи¯ i , β¯i , δ¯i , θ¯ соответственно и покажем, тельно гомоморфизма ζ элементов λ что они также лежат в идеале J m−1 . Пусть r0 − ri ∈ / Φ. Тогда φ1 (xri ) = xri xr0 (λi ) ·
Y
hrj (1 + jθθi ) · ari ,
j6=i
где ari ∈ Φ(J m−1 ), а θ = 1, если Φ = Ap−1 и m > 2, и θ = 0 в противном случае. Рассмотрим коммутатор [φ1 (xri ), φ1 (x−r0 (p))]. Ввиду условия r0 − ri ∈ / Φ он должен равняться единице, однако вычислив его, получим [φ1 (xri ), φ1 (x−r0 (p))] = xri xr0 (λi )x−r0 (−pθθi )[xri , a−r0 ]. Тогда pλi = pθθi = 0, и поэтому λi , θi ∈ J m−1 . Аналогично, используя соотношения [x−r0 (p), xri , xri ] = 1, [xri , hs , xri ] = 1, когда r0 − ri ∈ Φ, доказывается, что βi , δi ∈ J m−1 . Таким образом, автоморфизм φ1 тождествен по модулю подгруппы Φ(J m−1 ) и остается применить предложения 5, 4 и 3. Теорема доказана.
§ 6. Описание автоморфизмов группы SA1 (Zpm ) ТЕОРЕМА 2. Всякий автоморфизм группы SA1 (Zpm ) при p > 3 разложим в произведение внутреннего, диагонального, центрального автоморфизмов и автоморфизма Rλ , тождественного на H(J) · U A− 1 (J) и
Автоморфизмы силовских p-подгрупп групп Шевалле
57
переводящего элементы xa (t) из U A+ 1 (K) в xa (t + λ(3t2 − 2t3 − t))ha (1 + 3λ(t2 − t))x−a (6λt), которые существуют для любого λ ∈ J m−1 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Нетрудно проверить, что отображение Rλ действительно является автоморфизмом группы SA1 (Zpm ). Пусть φ ∈ ∈ Aut(SA1 (Zp2 )) и xa (λ)ha (1 + µ1 )x−a (γ), xa (λ1 )ha (1 + µ2 )x−a (γ1 ), xa (λ2 )ha (1 + µ3 ) — образы относительно φ элементов xa , x−a (p) и ha соответственно. Из характеристичности подгрупп A1 (J) и Γ2 (SA1 (Zpm )) следует, что λ — обратимый элемент кольца, γ1 6= 0 и γ2 = 0, а остальные аргументы лежат в δ d I φ, где δ = 2µµ + µ2 γ − λ и J. Рассмотрим автоморфизм ψ = ψ−γ C−a χ g 2 1 1
g = xa (µ)x−a (λ−1 (µ1 + µγ)),
χ(a) = (λ − 2µµ1 − µ2 γ + λµ1 + λγµ)−1 ,
а элемент µ из Zp2 является решением уравнения µ2 = xγ1 . Имеем ψ(xa ) = = xa , ψ(x−a (p)) = x−a (γ1 λ) и ψ(ha ) = xa (λ2 −2µµ3 )ha (1+µ3 ). Покажем, что в действительности ψ = 1. В самом деле, из инвариантности соотношений [xa , ha ] = xa (−2p) и [xa , x−a (p)] = xa (p)ha вытекают равенства xa (2µ3 ) = = xa (−2p) и xa (γ1 λ)ha (1 − γ1 λ) = xa (p + λ2 − 2µµ3 )ha (1 + µ3 ), откуда δ µ3 = −p, γ1 λ = p и λ2 − 2µµ3 = 0. Следовательно, ψ = Ig−1 d−1 χ C−a ψγ .
Далее воспользуемся индукцией по m. Пусть φ — произвольный автоморфизм группы SA1 (Zpm ) и m > 2. Ввиду изоморфизма SA1 (Zpm )/A1 (J m−1 ) ≃ SA1 (Zpm−1 ) и леммы 3, φ индуцирует автоморфизм φ¯ группы SA1 (Zpm−1 ), который, в силу индукционного предположения, ¯, γ¯ ∈ J m−2 . Обозначим черазложим в произведение φ¯ = Ig¯dχ¯ C µ¯ ψ ¯ , где µ −a λ
рез Ig и dχ те автоморфизмы, для которых I¯g = Ig¯ и d¯χ = dχ¯ , и положим −1 ¯ ¯. Тогда образами φ1 = d−1 χ Ig φ. Пусть λ, µ ∈ Zpm и ζ(λ) = λ, ζ(µ) = µ элементов xa , x−a (p) и ha относительно φ1 будут соответственно xa (1 + λ1 )ha (1 + λ2 )x−a (λ), xa (µ)ha (1 + µ1 )x−a (p + µ2 ), xa (γ1 )ha (1 − p + γ2 )x−a (γ3 ),
58
С. Г. Колесников
где λi , µj , γk ∈ J m−2 для всех возможных i, j, k. Покажем, что λ, µ ∈ J m−1 . Для доказательства включения λ ∈ J m−1 воспользуемся инвариантностью соотношения [xa , ha , xa ] = 1. Вычислив образы левой и правой частей последнего равенства относительно φ1 , получим соотношение xa (γ3 − 6pλ)ha (1 + 4pλ) = 1, т. е. γ3 = 0 и λ ∈ J m−1 . Домножим φ1 слева на произведение dχ1 ψ−λ Ig1 , где g1 = xa (−γ1 /2)x−a (λ2 ), χ1 (a) = 1 − λ1 + γ2 , и обозначим через φ2 полученное произведение. Тогда φ2 (xa ) = xa , φ(ha ) = ha (1 − p + γ2 ) и φ2 (x−a (p)) = φ1 (x−a (p)). Докажем теперь включение µ ∈ J m−1 . Из инвариантности соотношения [xa , ha ] = xa (p2 − 2p) вытекает γ2 = 0. Пусть t ∈ Zpm , и t¯ ∈ Z — произвольный прообраз элемента t. Найдем φ2 (x−a (pt)). Так как [xa (µ)ha (1 + µ2 ), x−a (p + λ−a−b )] = ha (1 − pµ), [ha (1 − pµ), x−a (p + µ3 )] = 1, в силу леммы 9, а также из инвариантности соотношений (1) и (2), получаем φ2 (x−a (pt)) = [xa (µ)]t¯[ha (1 + µ2 )]t¯[x−a (p + µ3 )]t¯[ha (1 − pµ)]
t¯2 −t¯ 2
= xa (tµ)ha (1 + tµ2 − pµ(t2 − t)/2)x−a (pt + µ3 t). Вычислив образы правой и левой частей соотношения [x−a (p), ha ] = = x−a (w), где w = p(1 − p)−2 − p, приходим к равенству xa (−2pµ)x−a (w) = = xa (2pµ)x−a (w), из которого следует, что µ ∈ J m−1 . Соотношение (5) инвариантно, поэтому xa (κ + 2µ2 + µ3 )ha (1 − p − µ3 )x−a (−pκ) = [φ2 (xa ), φ2 (x−a )] = φ2 (xa (κ))φ2 (ha )φ2 (x−a (−pκ)) = xa (κ)ha x−a (−pκ), где κ = p2 − 2p. −µ µ Значит, µ3 = µ2 = 0 и C−a φ2 = 1. Отсюда φ = Ig dχ Ig−1 ψλ d−1 χ1 C−a или 1
(ввиду соотношений (8) и перестановочности автоморфизмов ψλ , d−1 χ ) φ= µ = Igdχ g−1 dχ d−1 χ1 ψλ C−a . Теорема доказана. 1
ЛИТЕРАТУРА 1. J. A. Gibbs, Automorphisms of certain unipotent groups, J. Algebra, 14, N 2 (1970), 203—228.
Автоморфизмы силовских p-подгрупп групп Шевалле
59
2. В. М. Левчук, Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп лиева типа малых рангов, Алгебра и логика, 29, N 2 (1990), 141—161. 3. В. М. Левчук, Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле, Алгебра и логика, 29, N 3 (1990), 315—338. 4. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь, 15-е изд., Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН, 2002. 5. В. М. Левчук, Коммутаторное строение некоторых подгрупп групп Шевалле, Укр. матем. ж., 44, N 6 (1992), 786—795. 6. Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли, Главы IV—VI, М., Мир, 1972. 7. R. Carter, Simple groups of Lie type, New York, Wiley and Sons, 1972.
Поступило 18 февраля 2002 г. Адрес автора: КОЛЕСНИКОВ Сергей Геннадьевич, Красноярский гос. технич. университет, ул. Киренского, 26, г. Красноярск, 660074, РОССИЯ. Тел.: (3912) 49-76-47. e-mail:
[email protected]