Таблицы интегралов комплекснозначных функций p-адических аргументов

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В. А. СТЕКЛОВА РАН СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ Выпуск 2 Издани...

Author: Владимиров В.С.

4 downloads 183 Views 546KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В. А. СТЕКЛОВА РАН

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ Выпуск 2 Издание выходит с 2003 года

В. С. Владимиров

Таблицы интегралов комплекснозначных функций p-адических аргументов

Москва 2003

УДК 512.625.5 ББК (В)22.161.1 В57

Редакционный совет: С. И. Адян, Д. В. Аносов, О. В. Бесов, А. А. Болибрух (главный редактор), В. С. Владимиров, А. М. Зубков, А. Д. Изаак, А. А. Карацуба, А. Г. Куликовский, С. П. Новиков, В. П. Павлов, А. Н. Паршин, Ю. В. Прохоров, А. Г. Сергеев, А. А. Славнов, Е. М. Чирка

Владимиров В. С. B57 Таблицы интегралов комплекснозначных функций p-адических аргументов / В. С. Владимиров. — М.: МИАН, 2003. — 90 стр. — (Современные проблемы математики / Математический институт им. В. А. Стеклова (МИАН); вып. 2.) ISBN 5-98419-001-X

ISBN 5-98419-001-X

c Владимиров В. С., 2003

Часть I. Краткие сведения из p-адического анализа Всюду впредь, если это не оговорено особо, будем предполагать, что p пробегает все простые числа, p = 2, 3, 5, . . . , 137, . . . , а γ пробегает все целые (рациональные) числа, γ = 0, ±1, ±2, . . . , γ ∈ Z; через Z+ будем обозначать множество натуральных чисел γ = 1, 2, . . . . Если K – некоторое поле (или кольцо), то через K× будем обозначать его мультипликативную группу.

§ 1.

Поле p-адических чисел Qp

Обозначим: Q – поле рациональных чисел, R – поле вещественных чисел, C – поле комплексных чисел. Пусть p – простое число. Любое рациональное число x = 0 однозначно представляется в виде x = ±pγ

a , b

где γ ∈ Z и a, b – натуральные числа, не делящиеся на p и не имеющие общих множителей. p-Адическая норма |x|p числа x ∈ Q определяется равенствами |x|p = p−γ ,

x = 0,

|0|p = 0.

Пополнение поля Q по норме | · |p дает поле p-адических чисел Qp . Каноническая форма произвольного p-адического числа x = 0 есть x = pγ (x0 + x1 p + x2 p2 + · · · ), (1.1) где γ = γ(x) ∈ Z, xj = 0, 1, . . . , p − 1, x0 = 0, j = 0, 1, . . . ; при этом |x|p = p−γ . Число −γ называется порядком числа x и обозначается ord x, ord x = −γ(x), ord 0 = −∞. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ, гранты 96-01-01008 и 96-15-96131.

4

В. С. Владимиров

Норма | · |p обладает следующими характерными свойствами: 1) |x|p 0, |x|p = 0 ↔ x = 0, 2) |xy|p = |x|p |y|p , 3) |x + y|p max(|x|p , |y|p ).

(1.2)

Кроме того, 3 ) |x + y|p = max(|x|p , |y|p ), |x|p = |y|p , |x|p = |y|p . 3 ) |x + y|p |2x|p , Таким образом, в силу (1.2), норма | · |p неархимедова, а пространство Qp – ультраметрическое. Обозначим: Bγ (a) = [x ∈ Qp : |x − a|p pγ ] – диск с центром в точке a ∈ Qp радиуса pγ , Bγ = Bγ (0); Sγ (a) = [x ∈ Qp : |x − a|p = pγ ] – окружность с центром в точке a ∈ Qp радиуса pγ , Sγ = Sγ (0). Очевидные соотношения: Sγ (a), Sγ (a) = Bγ (a) \ Bγ−1 (a), Bγ (a) = γ γ

Qp =

γ∈Z

Bγ (a),

Q× p =

Sγ (a).

γ∈Z

Геометрия пространства Qp весьма необычна: все треугольники в нем равнобедренные; всякая точка диска является его центром, диск не имеет границы, диск есть объединение конечного числа непересекающихся дисков меньшего радиуса; если два диска пересекаются, то один из них содержится в другом; диск есть открытый компакт. Множество поля Qp , которое является открытым и замкнутым, называется клопен (clopen). Обозначим: Zp = B0 – максимальное компактное подкольцо поля Qp (кольцо целых p-адических чисел); мультипликативная группа Zp× = S0 кольца Zp – это группа единиц поля Qp ; Ip = pZp = B−1 – максимальный идеал кольца Zp .

Таблицы интегралов

5

Классы вычетов Zp /Ip образуют конечное поле, изоморфное классу вычетов по модулю p : {0, 1, . . . , p − 1}. Введем специальные множества: Gp = [x ∈ Qp : |x|p |2p|p ]; Jp = [x ∈ Zp× : 1 − x ∈ Gp ], Jp – мультипликативная группа; Sγ,k0 k1 ...kn = [x ∈ Sγ : x0 = k0 , x1 = k1 , . . . , xn = kn ], Sγk0 k1 ...kn = [x ∈ Sγ : x0 = k0 , x1 = k1 , . . . , xn = kn ], где kj = 0, 1, . . . , p − 1, k0 = 0, j = 1, 2, . . . , n. Введенные множества – открытые компакты в Qp . Дробная часть {x}p числа x ∈ Qp : {x}p = 0,

если γ(x) 0,

и {x}p = pγ (x0 + x1 p + · · · + x−γ−1 p−γ−1 ),

если

γ(x) −1. (1.3)

Мультипликативную группу квадратов p-адических чисел обозначим через Q×2 p . ×2 Для того чтобы число x ∈ Q× p принадлежало Qp , необходимо и достаточно, чтобы γ(x) было четным и   x0 = 1, p = 2; p  x1 = x2 = 0, p = 2. Здесь

a , p

a ∈ Z,

a ≡ 0 (mod p),

– символ Лежандра, равный 1 или −1 в зависимости от того, является ли число x квадратичным вычетом или невычетом по модулю p. ×2 Таким образом, группа Q× p /Qp состоит из четырех элементов (1, , −p, p), где – любая единица поля Qp , не являющаяся квадратом в Qp , при p = 2, и из восьми элементов {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14} при p = 2.

6

В. С. Владимиров

§ 2.

Некоторые функции на Qp

Характеры поля Qp . Пусть χ(x) – аддитивный характер поля Qp : χ(x + y) = χ(x)χ(y),

|χ(x)| = 1,

x, y ∈ Qp .

(2.1)

Стандартный аддитивный характер поля Qp имеет вид (2.2)

χp (x) = exp(2πi{x}p ),

где {x}p – дробная часть x ∈ Qp , определенная формулой (1.3). Общий вид аддитивного характера поля Qp : χ(x) = χp (ξx) = exp(2πi{ξx}p )

(2.3)

при некотором ξ ∈ Qp . Пусть π(x) – мультипликативный характер поля Qp : π(xy) = π(x)π(y),

|π(x)| = 1,

x, y ∈ Q× p.

(2.4)

Общий вид мультипликативного характера поля Qp : π(x) = πiα,θ (x) = |x|iα p θ(x),

x ∈ Q× p,

(2.5)

где α ∈ R определяется равенством π(p) = p−iα и θ(t), t ∈ Zp× , – характер компактной группы Zp× , нормированный условием θ(p) = 1. (Множество последних счетно и дискретно.) Если условие унитарности |π(x)| = 1 в (2.4) не выполнено, то функция π(x) есть представление группы Q× p в C, и ее общий вид дается формулой (2.5), в которой iα – уже любое комплексное число, θ(x), x ∈ Q× α ∈ C. (2.5 ) πα,θ (x) = |x|α−1 p p, Такие функции называются квазихарактерами. Квазихарактер π(x) = |x|α−1 , для которого θ = 1, называется главным. p Пусть d ∈ / Q×2 p . Без ограничения общности можно считать, что d свободно от квадратов p-адических чисел, т. е. имеет oдин из перечисленных в § 1 видов: p, , p, ||p = 1, ∈ / Q×2 p при p = 2 и 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14 при p = 2. Множество p-адических чисел из Q× p , представимых в виде 2 × α − dβ 2 , α, β ∈ Qp , обозначим Q× (d); Q p p (d) – мультипликативная группа.

Таблицы интегралов

7

x, y , x, y ∈ Q× p , по определению раp вен 1 или −1 в зависимости от того, представляет ли форма xα2 + yβ 2 − γ 2 нетривиально нуль в Qp или нет. Символ Гильберта обладает следующими очевидными свойствами [12]: Символ Гильберта

x, y p

=

y, x , p

x, −x = 1, p

x, yz p

=

x, y p

x, z p

и, кроме того,

p, 0 , η = , = 1, p = 2; p p p 2 , η 2, = (−1)( −1)/2 , = (−1)(−1)(η−1)/4 , p = 2. 2 2 Здесь и η – любые единицы поля Qp . Отсюда следует критерий того, что p-адическое число x при× надлежит Q× p (d) при p = 2: для того чтобы x ∈ Qp (d), необходимо и достаточно: при d = γ(x) – четное; при d = p γ(x) – четное и (x0 /p) = 1 или γ(x) – нечетное и (−x0 /p) = 1; при D = p γ(x) – четное и (x0 /p) = 1 или γ(x) – нечетное и (−x0 /p) = −1. (Аналогичный критерий имеет место и при p = 2.) × Отсюда выводим: группа Q× p /Qp (d) изоморфна группе (1, −1) и функция 1, x ∈ Q× p (d), sgnp,d x = (2.6) −1, x∈ / Q× p (d) есть мультипликативный характер группы Q× p (поля Qp ). Непосредственно из определений следует

x, −dx sgnp,d x = , p

x ∈ Q× p,

d∈ / Q×2 p .

x, −dx = 1, если d ∈ Q×2 p .) p λp -функция поля Qp определяется следующим образом [1], [2], [13], [14]: (Отметим, что всегда

8

В. С. Владимиров

  1,     −1 x0  , λp (x) = p p     exp[πi(1/4 + x1 )],    exp[πi(1/4 + x1 /2 + x2 )],

γ(x) = 2k,

p = 2,

γ(x) = 2k + 1,

p = 2,

γ(x) = 2k, p = 2, γ(x) = 2k + 1, p = 2.

Свойства функции λp : Q× p → C: |λp (x)| = 1, λp (x)λp (−x) = 1, xy ∈ Q×2 p , xy λp (x)λp (y) = λp , λp (x + y) x+y x, y λp (x)λp (y) = λp (xy)λp (1). p λp (x) = λp (y),

(2.7)

Полагая в (2.7) y = −dx и пользуясь формулой (2.6), получим соотношение [13] sgnp,d x = λp (x)λp (−dx)λp (d)λp (−1), x ∈ Q× p,

d∈ / Q×2 p .

(2.8)

Отметим следующую формулу [13]:  γ(d) γ(x) γ(x)γ(d) d0 −1   x0 , p p p sgnp,d x =   (−1)d1 x1 +(d1 +d2 )γ(x)+(x1 +x2 )γ(d) , В частности, при d ≡ 3 (mod    1,         (−1)γ(x) ,  sgnp,d x = x 0   (−1)γ(x) ,   p     (−1)x1 ,    (−1)x1 +γ(x) ,

p = 2,

(2.9)

p = 2.

4) имеем [14]: d = 1, p = d, p = 2, p d = −1, p = d, p = 2, p p = d, p = 2, p = 2,

d ≡ 7 (mod 8), d ≡ 3 (mod 8).

Таблицы интегралов

9

Справедливы следующие равенства при x, y ∈ Q× p: |x|∞ χ∞ (x) λ∞ (x)

∞

|x|p = 1,

|x|∞ = |x|,

p=2 ∞

p=2 ∞

(2.10)

χp (x) = 1,

χ∞ (x) = exp(−2πix),

(2.11)

λp (x) = 1,

λ∞ (x) = exp(−iπ/4 sgn x),

(2.12)

p=2

x, y ∞

∞ p=2

x, y p

= 1,

(2.13)

где

x, y ∞

=

sgn∞,d x

∞

−1, x < 0, y < 0, 1 в противном случае,

sgnp,d x = 1,

(2.14)

p=2

sgn∞,d x =

sgn x, d < 0, 1, d > 0.

Бесконечные произведения в формулах (2.10)–(2.14) сходятся для всех рациональных значений x и y, поскольку лишь конечное число множителей в них отлично от 1. Такого типа формулы называются адельными. Обозначаем: Ω(|x|p ) – характеристическую функцию диска B0 (так что Ω(t) = 1, если 0 t 1 и Ω(t) = 0, если t > 1); δ(|x|p −pγ ) – характеристическую функцию окружности Sγ ; δ(x − k) – характеристическую функцию множества [x ∈ Qp : x = k], k = 1, 2, . . . , p − 1 при = 0 и k = 0, 1, . . . , p − 1 при = 1, 2, . . . .

§ 3.

Аналитические функции

Пусть O – открытое множество в Qp . Функция f : O → Qp называется аналитической в O, если для любой точки a ∈ O существует такое γ ∈ Z, что в диске Bγ (a) она представляется сходящимся

10

В. С. Владимиров

степенным рядом f (x) =

∞

ck (x − a)k .

(3.1)

k=0

Радиус сходимости r = r(f ) ряда (3.1) есть r = pσ , 1 1 lim sup ln |fn |p , σ=− ln p n→∞ n где fn (x) =

n

ck (x − a)k .

k=0

Ряд (3.1) сходится тогда, и только тогда, когда сходится ряд ∞

|ck |pγk ,

γ = γ(x − a),

k=0

и его можно дифференцировать почленно в Bγ (a) бесконечное число раз f (n) (x) =

∞

k(k − 1) · · · (k − n + 1)ck (x − a)k−n ,

k=n

(3.2)

n = 1, 2, . . . , причем ck =

f (k) (a) , k!

k = 0, 1, . . . .

(3.3)

При каждом дифференцировании ряда (3.1) радиус сходимости продифференцированного ряда (3.2) может разве лишь увеличиться. Функции ex , ln x, sin x, cos x, tg x, arcsin x, arctg x аналитические, они определяются следующими рядами:

Таблицы интегралов

x

e =

11

∞ xk k=0

k!

x ∈ Gp ,

,

(3.4)

ln x = ln[1 − (1 − x)], x ∈ Jp , ∞ k x ln x = − , x ∈ Gp , k

(3.5)

k=1

∞ (−1)k x2k+1 , sin x = (2k + 1)!

x ∈ Gp ,

(3.6)

k=0

cos x =

(−1)k

k=0

tg x = arcsin x = arctg x =

(2k)!

x2k ,

sin x , cos x ∞ k=0 ∞ k=0

x ∈ Gp ,

(3.7)

x ∈ Gp ,

(3.8)

(2k)! x2k+1 , 22k (k!)2 (2k + 1) (−1)k 2k+1 x , 2k + 1

x ∈ Gp ,

x ∈ Gp .

(3.9) (3.10)

Справедливы соотношения: (ex ) = ex ,

ex ey = ex+y ,

|ex |p = 1,

|ex − 1|p = |x|p ,

ln(xy) = ln x + ln y,

x ∈ Gp ;

(3.11)

x ∈ Gp ,

(3.12)

x, y ∈ Gp ,

(3.13)

x ∈ Gp ,

(3.14)

| ln(1 + x)|p = |x|p , ln ex = x,

x, y ∈ Gp ,

eln x = x,

x ∈ Jp .

(3.15)

Функция ex реализует аналитический диффеоморфизм аддитивной группы Gp на мультипликативную группу Jp . Обратное отображение осуществляется функцией ln x. Справедливы все формулы классической тригонометрии. Их доказательство легко следует из формального соотношения eix = cos x + i sin x,

x ∈ Gp ,

(3.16)

где символ eix определяется рядом (3.3) при условии, что i2 = −1.

12

В. С. Владимиров

В частности, sin2 x + cos2 x = 1, e

θx

x ∈ Gp ,

= cos x + θ sin x,

x ∈ Gp , 2

θ = −1,

(3.17) θ ∈ Qp

(3.18)

(последнее возможно лишь при p ≡ 1 (mod 4)). Функции sin x и tg x реализуют аналитические изоморфизмы группы Gp на Gp ; обратные отображения даются функциями arcsin x и arctg x соответственно.

§ 4.

Мера Хаара на Qp

Так как Qp есть коммутативная группа по сложению, то на ней существует единственная (с точностью до множителя) инвариантная мера, – мера Хаара, – которую мы обозначим через dp x: a ∈ Qp ;

dp (x + a) = dp x,

dp (ax) = |a|p dp x,

a ∈ Q× p.

Нормируем меру dx условием (4.1)

dp x = 1. Zp × Нормированная мера Хаара d× p x на Qp есть −1 −1 ) d× p x = (1 − p

dp x , |x|p

× d× p (ax) = dp x,

так что

Zp×

a, x ∈ Q× p,

(4.2)

d× p x = 1.

Пусть M ⊂ Qp – измеримое по мере Хаара множество. Интеграл функции f : M → C по множеству M будем записывать в виде f (x) dp x,

f (x) =

M

Qp

f (x) dp x.

Пусть 1 q ∞. Множество функций f : Qp → C, для которых f (x) = 0, x ∈ / M, и

1/q |f (x)|q dp x < ∞, если q < ∞, f q = M

f ∞ = vrai sup |f (x)| < ∞, x∈M

если q = ∞,

Таблицы интегралов

13

обозначим через Lq (M ), Lq = Lq (Qp ). Если O – открытое множество в Qp , то множество функций f : O → C, для которых для любого компакта K ⊂ O f ∈ Lq (K), обозначим через Lqloc (O), Lqloc = Lqloc (Qp ). Функции из множества L1loc (O) называются локально-интегрируемыми в O. Пусть функция f ∈ L1loc (Q× p ). (Несобственным) интегралом функции f по Qp , ∞ f (x) dp x, f (x) dp x = γ=−∞

Sγ

называется предел (если он существует) N lim = lim N,M→∞

BN \B−M −1

Пример. Интеграл

N,M→∞

|x|α−1 dp x = Zp

γ=−M

f (x) dx.

Sγ

1 − p−1 1 − p−α

(4.3)

существует при Re α > 0. Формула замены переменных в интеграле: если x(y) – аналитический диффеоморфизм открыто-замкнутого множества D ⊂ Qp на D ⊂ Qp , причем x (y) = 0, y ∈ D , то для любой f ∈ L1 (D) справедлива формула f (x) dxp = f (x(y))|x (y)|p dp y. (4.4) D

D

Пример. Пусть x = (py)−1 , dp x = p|y|−2 p dp y. Тогда в силу (3.4) имеем 1 − p−1 α , Re α < 0. |x|α−1 d x = p |y|−α−1 dp y = −α p p p p −1 |x|p >1 Zp Пример. Для дробно-линейного преобразования ay + b a b , ∈ GL(Qp , 2), x= c d cy + d dp x =

|ad − dc|p dp y. |cx + d|2p

14

В. С. Владимиров

§ 5.

n-мерное пространство Qnp

Пространство Qnp = Qp × Qp × · · · × Qp (n раз) состоит из точек x = (x1 , x2 , . . . , xn ), xj ∈ Qp , j = 1, 2, . . . , n, снабженных нормой |x|p = max |xj |p .

(5.1)

1jn

Эта норма обладает свойствами 1)–3) § 1, так что пространство Qnp ультраметрическое (неархимедово). Скалярное произведение (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn ,

x, y ∈ Qnp ,

удовлетворяет неравенству |(x, y)|p |x|p |y|p ,

x, y ∈ Qnp .

Меру Хаара на Qnp обозначаем dnp x = dp x1 dp x2 · · · dp xn , = dp x,

d1p x1

dnp (x + a) = dnp x,

a ∈ Qnp ,

dnp (Ax) = | det A|p dnp x,

где x → Ax – линейный изоморфизм Qnp на Qnp (det A = 0). Впредь условимся в интегралах по всему пространству Qnp опускать область интегрирования, f (x) dnp x = f (x) dnp x. Qn p

Пространства функций Lq (M ) и Lqloc (O), M, O ∈ Qnp , определяются аналогично случаю n = 1 (см. § 4). Как и в случае n = 1, с помощью введенной нормы, определяем: Bγn (a) – шар радиуса pγ c центром в точке a ∈ Qnp и Sγn (a) – сфера радиуса pγ с центром в точке a; Bγn (0) = Bγn , Bγ1 (a) = Bγ (a), Sγn (0) = Sγn , Sγ1 (a) = Sγ (a), Bγn (a) = Bγ (a1 ) × Bγ (a2 ) × · · · × Bγ (an ). → C такова, что Теорема Фубини. Если функция f : Qn+m p повторный интеграл m |f (x, y)| dp y dnp x

Таблицы интегралов

15

существует, то f ∈ L1 (Qn+m ) и справедливы равенства p

n y d x = f (x, y) dnp x dm f (x, y) dm p p p y = f (x, y) dnp x dm p y.

(5.2)

Замена переменных. Если x = x(y) – аналитический диффеоморфизм открыто-замкнутого множества D ⊂ Qnp на множество D ⊂ Qnp , причем ∂xk ∂x(y) = det det = 0, ∂y ∂yj

y ∈ D ,

то для любой f ∈ L1 (D) справедливо равенство ∂x(y) n n f (x) dp x = f (x(y)) det d y. ∂y p p D D

(5.3)

Теорема Лебега (о предельном переходе под знаком интеграла). Если последовательность fk , k → ∞, функций fk ∈ L1 сходится почти всюду к функции f (x) и существует функция ψ ∈ L1 такая, что |fk (x)| ψ(x)

при почти всех x ∈ Qnp ,

то справедливо равенство n lim fk (x) dp x = f (x) dnp x. k→∞

§ 6.

Обобщенные функции на Qnp

Пусть O – открытое множество в Qnp . Функция ϕ : O → C называется локально-постоянной в O, если для любой точки x ∈ O существует такое γ ∈ Z, что ϕ(x + x ) = ϕ(x),

x ∈ Bγn ,

x ∈ O.

16

В. С. Владимиров

Множество локально-постоянных функций в O обозначим через E(O); E = E(Qnp ). Всякая функция ϕ ∈ E(O) непрерывна в O. Ее носитель, – замыкание множества тех точек x ∈ O, для которых ϕ(x) = 0, – будем обозначать spt ϕ. Примеры. |x|p ∈ E(Qnp \ {0}), χp ((ξ, x)) ∈ E,

ξ ∈ Qnp .

Функция ϕ ∈ E(O) называется основной в O (функцией Брюа– Шварца), если ее носитель есть компакт в O. Множество основных функций в O обозначим S(O); S = S(Qnp ). Всякая функция ϕ ∈ S(O) равномерно локально-постоянна в O. Примеры. Ωk (x) = Ω(p−k |x|p ) ∈ S,

k ∈ Z,

(6.1)

∆k (x) = p Ω(p |x|p ) ∈ S,

k ∈ Z,

(6.2)

k

k

|x|p Ω(|x|p ) ∈ S(Qnp \ {0}), χp ((ξ, x))Ω(|x|p ) ∈ S,

ξ ∈ Qnp ,

δ(|x|p − pγ ) ∈ S(Sγ ),

γ ∈ Z,

δ(|x|p − pγ )δ(x0 − k) ∈ S(Sγ ),

k = 1, 2, . . . , p − 1,

γ ∈ Z.

Если K – открытый компакт в Qnp , то θK ∈ S(K). Здесь θM – характеристическая функция множества M ⊂ Qnp : θM (x) = 1, x ∈ M, θM (x) = 0, x ∈ / M. Сходимость в S(O), ϕk → 0,

k→∞

в S(O),

обозначает: (i) существует компакт K ⊂ O, не зависящий от k и такой, что spt ϕk ∈ K при всех k; (ii) существует γ ∈ Z, не зависящее ни от k, ни от x, такое что ϕk (x + x ) = ϕk (x), (iii) ϕk (x) ⇒ 0, x ∈ K, k → ∞.

x ∈ Bγn ,

x ∈ K;

Таблицы интегралов

17

Обобщенной функцией в O называется всякий линейный непрерывный функционал f : ϕ → (f, ϕ) на S(O). Множество всех обобщенных функций в O обозначим S (O); S = S (Qnp ). Сходимость в S (O), fk → 0,

k→∞

в S (O),

определяется как слабая сходимость функционалов из S (O), т. е. (fk , ϕ) → 0,

k → ∞,

ϕ ∈ S(O).

Всякий линейный на S(O) функционал f непрерывен на S(O), т. е. f ∈ S (O). В открытом множестве O существует “разложение единицы” с функциями из S(O), а именно: если

O=

∞

Gk ,

Gk ∩ Gj = ∅,

k = j,

k=1

где Gk , k = 1, 2, . . . , – клопен компакты, то ∞

x ∈ O.

θGk (x) = 1,

(6.3)

k=1

Обобщенная функция f из S (O) обращается в нуль в открытом множестве O ⊂ O, если (f, ϕ) = 0, ϕ ∈ S(O) ; при этом пишем: f (x) = 0, x ∈ O . Обобщенные функции f и g из S (O) совпадают (равны) в O ⊂ O, f = g в O , если f (x) − g(x) = 0, x ∈ O . Наибольшее открытое множество, в котором обращается в нуль f ∈ S (O), называется нулевым множеством f и оно обозначается Of ⊂ O. Замкнутое в O множество O \ Of называется носителем f и обозначается spt f , spt f = O \ Of . Множество обобщенных функций с компактным носителем в O обозначим через E (O), E = E (Qnp ); E (O) – сильно сопряженное пространство к E(O). Пример. δ-Функция (δ, ϕ) = ϕ(0),

spt δ = {0}.

(6.4)

Обратно, всякая f ∈ S , spt f = {0}, имеет вид f = Cδ, где C = 0 – произвольная постоянная.

(6.5)

18

В. С. Владимиров

Последовательность {δk , k → ∞} функций δk (x) из S называется δ-образной, если она ограничена в L1 и для любого γ ∈ Z n δk (x) dp x → 1, |δk (x)| dnp x → 0, k → ∞. n Qn p \Bγ

Bγn

Таким образом, δk → δ,

k→∞

в S .

(6.6)

Последовательность {ωk , k → ∞} функций ωk (x) из S называется 1-образной, если она есть преобразование Фурье (см. ниже § 7) некоторой δ-образной последовательности {δk , k → ∞}. 1-Образная последовательность обладает свойствами: ограничена в L∞ и для любого γ ∈ Z ωk (x) ⇒ 1,

x ∈ Bγn ,

k → ∞.

Таким образом, ωk → 1,

k→∞

в S .

Если f ∈ L1loc (O), то f ∈ S (O), причем (f, ϕ) = f (x)ϕ(x) dnp x, ϕ ∈ S(O).

(6.7)

(6.8)

Обобщенные функции типа (6.8) называются регулярными в O; остальные обобщенные функции называются сингулярными. δ-Функция сингулярна в Qnp и регулярна в Qnp \ {0}. Пусть 0 ∈ O. Если f ∈ S (O \ {0}), то она допускает продолжение (регуляризацию) f1 ∈ S (O) на O, и все ее регуляризации, reg f, задаются формулой (6.9)

reg f = f1 + Cδ, где C – произвольная постоянная, а f1 можно взять в виде (f1 , ϕ) = (f, ϕ − Ωγ ϕ(0)),

ϕ ∈ S(O),

причем γ ∈ Z таково, что Bγn ⊂ O. Заметим, что этот факт не имеет места для обобщенных функций вещественных аргументов! Примером такой f является функция f (x) = exp(x−1 ).

Таблицы интегралов

19

Для f = |x|−1 в качестве регуляризации можно взять функp ционал −1 n ϕ ∈ S. reg |x|p , ϕ = |x|−1 p [ϕ(x) − Ω(|x|p )ϕ(0)] dp x, Обобщенная функция reg |x|−1 p является другим примером сингулярной обобщенной функции в Qnp . Произведение обобщенной функции f ∈ S (O) на функцию a ∈ E(O) определяется формулой (af, ϕ) = (f, aϕ),

ϕ ∈ S(O),

af ∈ S (O).

(6.10)

Примеры. Если a ∈ E, то a(x) δ(x) = a(0) δ(x). Если f ∈ L1loc (O), то af совпадает с обычным произведением функций a(x) и f (x). Если f ∈ S (O) и spt f – открыто-замкнутое множество в O, то (6.11)

f (x) = θspt f (x)f (x). Наконец, если f ∈ S , то ωk f → f,

k→∞

в S ,

(6.12)

где {ωk , k → ∞} – любая 1-образная последовательность. В S (O) справедлива теорема о “кусочном склеивании”. Пусть задан набор обобщeнных функций fk ∈ S (Gk ), k = 1, 2, . . . , где Gk – открыто-замкнутые компакты, причем Gk ∩ Gj = ∅, k = j. Тогда существует (единственная) обобщенная функция f ∈ S (O), где O = k1 Gk , такая что f = fk в Gk , k = 1, 2, . . . . Теорема о “ядре”. Пусть ϕ → A(ϕ) – линейное отображение S(O), O ∈ Qnp , в S (O ), O ∈ Qm p . Тогда существует (единственная) обобщенная функция f ∈ S (O × O ) такая, что A(ϕ), ψ = f, ϕ(x)ψ(y) ,

ϕ ∈ S(O),

ψ ∈ S(O ).

Пространства S(O) и S (O) – полные, рефлексивные и ядерные; S(O) плотно в S (O).

20

В. С. Владимиров

Линейная замена переменных y = Ax + b, det A = 0, переводит обобщенную функцию f (y) из S (O ) в обобщенную функцию f (Ax + b) из S (O) по формуле f (Ax+ b), ϕ =

1 f (y), ϕ(A−1 (y − b)) , | det A|p

ϕ ∈ S(O). (6.13)

Примеры. δ(x) = δ(−x), (δ(x − x0 ), ϕ) = ϕ(x0 ). Прямое произведение f (x) × g(y) обобщенных функций f ∈ S (O1 ), O1 ⊂ Qnp , и g ∈ S (O2 ), O2 ⊂ Qm p , определяется формулой (f (x) × g(y), ϕ) = f (x), (g(y), ϕ(x, y)) , ϕ ∈ S(O1 × O2 ). Прямое произведение коммутативно, так что f (x) × g(y) = g(y) × f (x) ∈ S (O1 × O2 ). При g = 1 формула (6.14) принимает вид f (x), f (x), ϕ(x, y) dm y, ϕ(x, y) dm y = O2

O2

f ∈ S (O1 ),

(6.14)

(6.15)

ϕ ∈ S(O1 × O2 )

(обобщение теоремы Фубини, см. § 5). n , и Свертка f ∗ g обобщенных функций f ∈ E, spt f ∈ BN g ∈ S определяется равенством ϕ ∈ S. (6.16) (f ∗ g, ϕ) = f (x) × g(y), ΩN (x)ϕ(x + y) , На основе этого определяется свертка обобщенных функций f и g из S (f ∗ g, ϕ) = lim f (x) × g(y), Ωk (x)ϕ(x + y) = lim (Ωk f ) ∗ g, ϕ , k→∞

k→∞

если предел существует для любых ϕ ∈ S, так что f ∗ g ∈ S . Если свертка f ∗ g существует, то существует и свертка g ∗ f , и они равны (коммутативность свертки), f ∗ g = g ∗ f.

(6.17)

Примеры. Если f ∈ S , то f ∗ δ = δ ∗ f = f.

(6.18)

Таблицы интегралов

21

Если f ∈ S и ψ ∈ S, то свертка f ∗ ψ – локально-постоянная функция в Qnp , причем (f ∗ ψ)(x) = (f (y), ψ(x − y)),

x ∈ Qnp .

(6.19)

Если {δk , k → ∞} – δ-образная последовательность, то f ∗ δk → f,

k→∞

в S ,

f ∈ S .

(6.20)

Если f, g ∈ L1loc и существует функция q ∈ L1loc такая, что f (x − y)g(y) dnp y → q(x), k → ∞ в S , Bk

то f ∗ g = q(x).

(6.21)

Если f ∈ S и свертка f ∗ 1 существует, то она постоянная. Эту постоянную назовем интегралом обобщенной функции f по всему пространству Qnp , и обозначим G f (x) dnp x = f ∗ 1. (6.22) Это определение эквивалентно следующему: G f (x) dnp x = lim (f, Ωk ), k→∞

(6.23)

если предел существует. Если f ∈ S и spt f ⊂ D, где D – открыто-замкнутое множество в Qnp , то f = θD f , и интеграл (6.22) будем обозначать так: G f (x) dnp x. D

В частности, если f ∈ S и ϕ ∈ S, spt ϕ ⊂ Bγn , то G f (x)ϕ(x) dnp x = (f, ϕ).

(6.24)

Bγn

Если f ∈ S , spt f ⊂ Bγn , то G f (x) dnp x = (f, Ωγ ). Bγn

(6.25)

22

В. С. Владимиров

Введенное понятие интеграла обобщенной функции является расширением понятия интеграла по мере Хаара (см. §§ 1 и 4). Пример.

G δ(x) dp x = 1.

Умножение обобщенных функций. Пусть f, g ∈ S . Произведением f · g назовем функционал, определяемый равенством f · g = lim (f ∗ ∆k )g, k→∞

если предел существует в S , и тогда f · g ∈ S . Если произведение f · g существует, то существует и произведение g · f , и они равны (коммутативность произведения): f · g = g · f.

(6.26)

Примеры. Если a ∈ E, то a · f = af,

a ∈ E,

f ∈ S .

В частности, f · 1 = 1 · f = f, f ∈ S , a(x) · δ(x) = a(0) δ(x), |x|α p · δ(x) = 0,

α > 0,

|x|p · reg |x|−1 p = 1.

(6.27)

Как и в вещественном случае возникает вопрос: нельзя ли определить произведение любых обобщенных функций так, чтобы оно было ассоциативным и коммутативным? Ответ отрицательный. Известный пример Л. Шварца в p-адическом случае выглядит так: если бы такое произведение существовало, то в силу (6.27) мы имели бы следующую противоречивую цепочку равенств: −1 0 = 0 · reg |x|−1 p = (|x|p · δ(x)) · reg |x|p

= δ(x) · (|x|p · reg |x|−1 p ) = δ(x) · 1 = δ(x).

Таблицы интегралов

§ 7.

23

Преобразование Фурье

Пусть ϕ ∈ S. Преобразование Фурье ϕ = F [ϕ] определяется формулой ϕ(ξ) = ϕ(x)χp ((ξ, x)) dnp x, x ∈ Qnp . Преобразование Фурье – линейный изоморфизм S на S, справедлива формула обращения преобразования Фурье n ϕ ∈ S. ϕ(x) = ϕ(ξ)χ p (−(x, ξ)) dp ξ, Пример.

k = ∆k , Ω

k = Ωk , ∆

k ∈ Z.

(7.1)

Преобразование Фурье f = F [f ] обобщенной функции f ∈ S определяется формулой (f, ϕ) = (f, ϕ),

ϕ ∈ S,

так что f ∈ S . Преобразование Фурье f → f – линейный изоморфизм S на S , и справедлива формула обращения ˇ f = F −1 [f] = F [f],

f ∈ S ,

где fˇ(x) = f (−x). Примеры. δ = 1, 1 = δ; −1 −1 F [f (Ax + b)] = | det A|p χp −(A b, ξ) F [f (A−1 ξ)],

(7.2) det A = 0. (7.3)

В частности, F [f (x − b)] = χp ((b, ξ))F [f (ξ)];

(7.4)

ˇ = fˇ. f

(7.5)

24

В. С. Владимиров

Если f ∈ L1 , то f(ξ) =

f (x)χp ((ξ, x)) dn x,

(7.6)

причем f непрерывна в Qnp и f(ξ) → 0, |ξ|p → ∞ (аналог теоремы Римана–Лебега). Если f ∈ L1loc и существует такая q ∈ L1loc , что f (x)χp ((ξ, x)) dnp x → q(ξ), k → ∞ в S , Bkn

то

f = q.

Если f ∈ S , spt f ⊂

Bγn ,

(7.7)

то

f(ξ) = f (x), Ωγ (x)χp ((ξ, x)) . Если f ∈ L2 , то f (x)χp ((ξ, x)) dnp x → f(ξ), Bkn

k→∞

(7.8)

в L2 .

(7.9)

Оператор f → f – унитарный в L2 , так что справедливо равенство Парсеваля–Стеклова f = f ,

f ∈ L2 ,

(7.10)

где норма f = f 2 = (f, f )1/2 определена в § 4 и скалярное произведение (f, g) в L2 равно f, g ∈ L2 . (f, g) = f (x)¯ g (x) dnp x, Справедливо неравенство Коши–Буняковского |(f, g)| f g ,

f, g ∈ L2 .

Если f ∈ L2 , то lim p

k→∞

−k/2

Bk

|f (x)| dnp x = 0.

(7.11)

Таблицы интегралов

25

Теорема. Пусть f, g ∈ S . Свертка f ∗ g существует тогда и только тогда, когда существует произведение f· g, и справедливы равенства f ∗ g = f · g,

f · g = f ∗ g.

(7.12)

Отметим следующие полезные формулы Sγn

χp ((x, ξ)) dnp x = (1 − p−n )pγn Ω(pγ |ξ|p ) − q (k−1)n δ(|ξ|p − p1−γ ), (7.13)

откуда

Bγn

χp ((x, ξ)) dnp x = pγn Ω(pγ |ξ|p ).

(7.14)

Гауссовым интегралом Gp (a; ξ) называется преобразование Фурье функции χp (ax2 ), a ∈ Q× p , p = ∞, 2, 3, 5, . . . , Gp (a, ξ) =

2

χp (ax + ξx) dp x =

λp (a)|2a|−1/2 χp p

ξ2 − . (7.15) 4a

Справедлива следующая адельная формула G∞ (a; ξ)

∞

Gp (a; ξ) = 1,

a ∈ Q× ,

ξ ∈ Q,

(7.16)

p=2

вытекающая из адельных формул (2.10)–(2.12).

§ 8.

Однородные обобщенные функции

Пусть π(x) = πα,θ (x) = |x|α−1 θ(x) – квазихарактер поля Qp p (см. (2.5 )). Обобщенная функция f ∈ S называется однородной относительно πα,θ , если f (tx) = πα,θ (t)f (x),

t ∈ Q× p,

x ∈ Q× p.

(8.1)

Однородные обобщенные функции относительно главного квазихарактера πα,1 (x) = |x|α−1 p называются однородными степени однородности α − 1.

26

В. С. Владимиров

Квазихарактер πα,θ (x) определяет однородную относительно себя обобщенную функцию πα,θ по формуле θ(x)ϕ(x) dp x, ϕ ∈ S. (8.2) (πα,θ , ϕ) = |x|α−1 p Обобщенная функция πα,θ при θ = 1 – целая по α; при θ = 1 она голоморфна по α всюду за исключением простых полюсов αk =

2kπi , ln p

k ∈ Z,

с вычетом (1 − p−1 )/ln p δ(x). Отметим, что обобщенная функция |x|α−1 , заданная в области p Re α > 0 формулой (8.2), аналитически продолжается из этой области в область Re α 0, α = αk , k ∈ Z по формуле

α−1 x −α −1 α−1 |x|p , ϕ = 1 − p |x|p ϕ(x) − ϕ dp x p = |x|α−1 [ϕ(x) − ϕ(0)] dp x, ϕ ∈ S, (8.3) p поскольку

|x|α−1 = 0, p

α = αk ,

k ∈ Z.

(8.3 )

При α = αk , k ∈ Z, квазихарактеру π0,1 (x) = |x|−1 p соответствует обобщенная функция δ(x) степени однородности −1; обратно, всякая однородная обобщенная функция f ∈ S степени однородности −1 имеет вид f (x) = Cδ(x), где C – некоторая постоянная. Преобразование Фурье πα,θ есть однородная обобщенная функция π α,θ относительно квазихарактера −1 −α ¯ (ξ)|ξ|−1 πα,θ p = |ξ|p θ(ξ) = π1−α,θ¯(ξ),

(8.4)

π α,θ = Γp (πα,θ )π1−α,θ¯.

(8.5)

так что Здесь Γp (πα,θ ) – гамма-функция поля Qp , соответствующая квазихарактеру πα,θ (x), Γp (πα,θ ) = π α,θ (1) = |x|α−1 θ(x)χp (x) dp x. (8.6) p

Таблицы интегралов

27

В частности, при θ = 1, обозначая Γp (α) = Γp |x|α−1 , p полудля гамма-функции Γp (α) главного квазихарактера |x|α−1 p чим представление 1 − pα−1 χp (x) dp x = , Γp (α) = |x|α−1 p 1 − p−α (8.7) α = αk , k ∈ Z. Для ∈ / Q×2 p , ||p = 1, p = 2 p = (−1)γ(x) , θ(x) = sgn x = |x|πi/ln p

и обозначим

p (α) = Γp (|x|α−1 sgn x). Γ p

p -функции из (8.7) следует выражение Для Γ α−1 p (α) = Γp α + πi = 1 + p Γ , ln p 1 + p−α πi α = αk + , k ∈ Z. ln p

(8.8)

Отметим, в частности, формулы для гамма-функций при d = −1 (ср. § 3),  1 − pα−1   Γp (α) = , p ≡ 1 (mod 4),   1 − p−α  1 + pα−1 Γp sgnp,−1 x|x|α−1 = p Γp (α) = , p ≡ 3 (mod 4),   1 + p−α    α−1 , p = 2. 2i4 Справедливо равенство Γp (πα,θ ) Γp (π1−α,θ¯) = θ(−1).

(8.9)

Γp (α) Γp (1 − α) = 1.

(8.10)

В частности, Свертка однородных обобщенных функций πα,θ и πβ,θ существует и является однородной обобщенной функцией относительно квазихарактера πα,θ (x)πβ,θ (x)|x|−1 p = πα+β,θθ (x)

28

В. С. Владимиров

и стало быть (8.11) πα,θ ∗ πβ,θ = Bp (πα,θ , πβ,θ )πα+β,θθ . Здесь Bp πα,θ , πβ,θ – бета-функция поля Qp , соответствующая квазихарактерам πα,θ и πβ,θ , Γp (πα,θ ) Γp (πβ,θ ) Bp πα,θ , πβ,θ = πα,θ ∗ πβ,θ (1) = Γp (πα+β,θθ ) = Γp πα,θ ) Γp (πβ,θ Γp πγ,θ θ (−1), α + β + γ = 1,

(8.12)

θθ θ = 1.

В частности, для главных квазихарактеров (при θ = θ = 1) формула (8.12) превращается в такую Bp (α, β) = Γp (α) Γp (β) Γp (γ),

α + β + γ = 1,

(8.13)

где обозначено Bp (α, β) = Bp |x|α−1 , |x|β−1 . p p Отметим другое симметричное выражение для бета-функции Bp (α, β) [27]: Bp (α, β) = (1 − p−1 ) (1 − p−α )−1 + (1 − p−β )−1 + (1 − p−γ )−1 − 1 − 1, α + β + γ = 1. (8.14) Если ввести аналоги гамма- и бета-функций Эйлера: 1 − p−1 |x|α−1 χ (x) d x = , γp (α) = p p p 1 − p−α Zp bp (α, β) = |x|α−1 |1 − x|β−1 dp x = γp (α) + γp (β) − 1, p p Zp

то равенство (8.14) примет вид Bp (α, β) =

1 1 1 1 1 bp (α, β) + bp (α, γ) + bp (β, γ) + − , 2 2 2 p 2 α + β + γ = 1.

(8.15)

Рангом ρ(θ) характера θ называется такое целое число k 0, что θ(t) = 1 при |1−t|p p−k , t ∈ Zp , и θ(t) = 1 при |1−t|p = p1−k ,

Таблицы интегралов

29

t ∈ Zp . Ясно, что нулевой ранг имеет только главный характер θ(x) ≡ 1. Для характеров ранга k 1 справедливы формулы [11]: Γp (πα,θ ) = pαk ap,k (θ), θ(t)χp (p−γ t) dp t, ap,γ (θ) =

(8.16) γ 1,

(8.17)

|ap,k (θ)| = p−k/2 ,

(8.18)

S0

ap,γ (θ) = 0,

γ = k,

¯ =p ap,k (θ) ap,k (θ)

−k

θ(−1),

¯ δ(|ξ|p − 1), θ(pk x)χp (ξx) dp x = pk ap,k (θ) θ(ξ)

(8.19) (8.20)

Sk −1 Γp (πα,θ ) Γp (πα,θ ) = pk θ(−1),

(8.21)

Γp (πα+1,θ ) = pk Γp (πα,θ ).

(8.22)

Примеры. Ранг характера sgn x, p,d

|d|p =

1 , p

p = 2,

равен 1. Поэтому в силу (8.16) и (8.19) Γp (πα,θ ) = ±pα−1/2 sgnp,d (−1) .

(8.23)

(8.24)

Например: sgn3,3 x = −i3α−1/2 , Γ3 |x|α−1 3 Γ2 |x|α−1 sgn2,−1 x = 2i4α−1 , 2 sgn2,7 x = 2i4α−1 , Γ2 |x|α−1 2 Γ2 |x|α−1 sgn2,3 x = 2i4α−1 . 2 Оператор (8.2) ϕ → (πα,θ , ϕ) ≡ M π [ϕ] называется преобразованием Меллина функции ϕ ∈ S относиα−1 тельно квазихарактера πα,θ (x). При θ = 1 функция M |x|p [ϕ] ≡

30

В. С. Владимиров

M α [ϕ] называется просто преобразованием Меллина функции ϕ ∈ S. В силу (8.3) его можно записать в следующем виде

x α −α −1 α−1 |x|p M [ϕ] = (1 − p ) ϕ(x) − ϕ dp x, p α = αk ,

k ∈ Z.

В силу (8.2) и (8.5) имеет место следующее равенство M π [ϕ] = Γp (πα,θ )M π [ϕ],

ϕ ∈ S.

(8.25)

При θ = 1 формула (8.25) принимает вид M α [ϕ] = Γp (α)M 1−α [ϕ].

(8.25 )

Преобразование Меллина Zp× -инвариантных (обобщенных) функций и его обращение. Функция ϕ ∈ S(Q× p ) называется Zp× -инвариантной, если ϕ(x) = ϕ(t|x|p ), t ∈ Zp× , x ∈ Q× p, или, другими словами, −1 −1 ϕ(x) = (1 − p ) ϕ(t|x|p ) dp t ≡ S[ϕ](|x|p ). Zp×

Всякая Zp× -инвариантная функция ϕ ∈ S(Q× p ) однозначно представляется в виде ϕγ δ(|x|p − pγ ), ϕγ = ϕ(pγ ) = S[ϕ](pγ ). ϕ(x) = γ

Поэтому подпространство пространства S(Q× p ), состоящее из Zp× -инвариантных функций, изоморфно пространству финитных последовательностей {ϕγ , γ ∈ N }, где N – ограниченное подмножество Z. × Обобщенная функция f ∈ S(Q× p ) называется Zp -инвариантной, если (f, ϕ) = f (x), S[ϕ](|x|p ) ,

ϕ ∈ S(Q× p ).

Всякая Zp× -инвариантная обобщенная функция ϕ ∈ S (Q× p) однозначно представляется в виде −1 −γ fγ δ |x|p − pγ , fγ = 1 − p−1 p f (x) = f (x), δ(|x|p − pγ ) , γ

Таблицы интегралов

31

так что подпространство пространства S (Q× p ), состоящее из Zp× -инвариантных обобщенных функций, изоморфно пространству последовательностей {fγ , γ ∈ Z}. × Если ϕ ∈ S(Q× p ) есть Zp -инвариантная функция, то ее преобразование Меллина α

M [ϕ] =

|x|α−1 S[ϕ](|x|p ) dp x = (1 − p−1 )

ϕγ pαγ

γ∈M

есть целая функция α и справедлива формула обращения [30]

ϕ(x) =

ln p 2πi(1 − p−1 )

σ+iπ/ln p

σ−iπ/ln p

M α [ϕ]|x|−α p dα.

(8.26)

Формула (8.26) распространяется и на Zp× -инвариантные обобщенные функции f из S (Q× p ), удовлетворяющие условию

|fγ |pcγ < ∞

γ∈Z

при некотором c. Ее преобразование Меллина M α [f ] = f (x), |x|α−1 fγ pγα = 1 − p−1 p γ∈Z

есть голоморфная функция α в полуплоскости Re α < c и справедлива формула обращения (8.26) для f , причем интеграл (8.26) не зависит от σ < c. Пространство Qnp . Ограничимся случаем главного кваα−n – однородная зихарактера |x|α p . Обобщенная функция |x|p степени однородности α − n, голоморфна по α всюду за испростых полюсов αk = 2kπi/ln p, k ∈ Z, с вычетом ключением (1 − p−n )/(ln p) δ(x); справедлива формула преобразования Фурье [17], [18] α−n −α |x| = Γ(n) p p (α)|ξ|p ,

α = αk ,

k ∈ Z,

(8.27)

32

В. С. Владимиров (n)

(1)

где Γp – гамма-функция векторного пространства Qnp (Γp = Γp ), 1 − pα−n (n) Γp (α) = |x|α−n χp (x1 ) dnp x = , α = αk , k ∈ Z, p 1 − p−α (8.28) (n) Γ(n) p (α) Γp (n − α) = 1, n−1 (n−1)(n/2−α) Γ(n) p p (α) = (−1)

n−1

(8.29)

Γp (α − k).

(8.30)

k=1 (n)

Бета-функция Bp (1)

пространства Qnp определяется аналогич-

но (8.11) (Bp = Bp ) равенством |x|α−n ∗ |x|β−n = Bp(n) (α, β)|x|α+β−n , p p p (n) (n) Bp(n) (α, β) = Γ(n) p (α) Γp (β) Γp (γ),

α + β + γ = n.

(8.31) (8.32)

Адельные формулы для гамма- и бета-функций. Для гамма-функций справедлива следующая адельная формула [1], [7] Γ∞ (α) reg

∞

Γp (α) = 1,

α = 0, 1,

(8.33)

p=2

где Γ∞ – гамма-функция поля R, Γ∞ (α) = |x|α−1 exp(−2πix) dx p = 2(2π)−α cos

ζ(1 − α) πα Γ(α) = , 2 ζ(α)

(8.34)

где Γ – гамма-функция Эйлера и ζ – дзета-функция Римана, ζ(α) =

∞ n=1

n−α =

∞

(1 − p−α )−1 .

(8.34 )

p=2

Регуляризация расходящегося бесконечного произведения в (8.33) определяется с помощью формулы P

p=2

Γp (α) AC

∞

p=P1

∞

ζ(α) 1 1 = AC , (1 − p−α ) ζ(1 − α) (1 − pα−1 ) p=P1

P = ∞, 2, 3, 5, . . . ,

(8.35)

Таблицы интегралов

33

вытекающей из общей формулы Тейта. Здесь P1 – простое число, следующее за простым числом P ; AC f (α) – аналитическое продолжение по α функции f (α), голоморфной в некоторой области комплексной плоскости переменной α. Переходя в (8.35) к пределу при P → ∞ в полуплоскости Re α < 0, обозначая reg

∞

Γp (α) = lim

P →∞

p=2

P

∞

Γp (α) AC

p=2

p=P1

1 (1 − p−α )

и пользуясь равенством (8.34), получим адельную формулу (8.33). При Re α 0 reg Γp (α) определяется из формулы (8.33) как аналитическое (мероморфное) продолжение по α. Аналогичная адельная формула справедлива и для бетафункций: ∞

B∞ (α, β) reg Bp (α, β) = 1, (8.36) p=2

где B∞ (α, β) = Γ∞ (α) Γ∞ (β) Γ∞ (γ),

α + β + γ = 1,

(8.37)

– бета-функция поля R и, в соответствии с (8.13), reg

∞

Bp (α, β) =

p=2

x=α,β,γ

reg

∞

Γp (x).

(8.38)

p=2

Отметим другие симметричные выражения для B∞ : B∞ (α, β) = B(α, β) + B(α, γ) + B(β, γ) Γ(α)Γ(β) Γ(α)Γ(γ) Γ(β)Γ(γ) + + Γ(α + β) Γ(α + γ) Γ(β + γ)

ζ(1 − x)

4 πx = = . Γ(x) cos π 2 ζ(x)

=

x=α,β,γ

(8.39)

x=α,β,γ

Адельная формула для дзета-функции Римана ζ(α) (см. (8.34 )). Функция ζ(α) удовлетворяет функциональному соотношению α 1−α −α/2 −(α−1)/2 π Γ Γ ζ(α) = π ζ(1 − α). (8.40) 2 2

34

В. С. Владимиров

Обозначим:

2 α e−πx |x|α−1 dx = π −α/2 Γ , 2 1 1 |x|α−1 dp x = , ζp (α) = p −1 1−p 1 − p−α Zp

ζ∞ (α) =

ζA (α) = ζ∞ (α)ζ(α).

(8.41) (8.42) (8.43)

Тогда будут справедливы следующие формулы: ζA (α) = ζA (1 − α), Γ∞ (α) = ζ∞ (α)

∞

(ср. (8.40)),

(8.44)

ζ(1 − α) ζ∞ (α) = , (ср. (8.34)), ζ∞ (1 − α) ζ(α)

(8.45)

ζp (α) = ζA (α),

(8.46)

(ср. (8.43)).

p=2

Формула (8.46) по существу есть адельная формула для дзетафункции Римана.

§ 9.

Квадратичные расширения поля Qp

Пусть p-адическое число d ∈ / Q×2 . Квадратичным расширением √ p √ поля Qp является поле √ Qp ( d ) = Qp + d Qp . Опишем все неизоморфные поля Qp ( d ). В силу сказанного в § 1, достаточно рассмотреть целые рациональные числа d, свободные от квадратов, т. е. d = ±p1 p2 · · · pn , d = 1, где p1 , p2 , . . . , pn – различные простые числа. Возможны следующие случаи: √ d p = 2, p1 , . . . , pn , = 1, Qp d ∼ Qp ; p √ √ d p = 2, p1 , . . . , pn , = −1, Qp ( d ) ∼ Qp ( ), p ||p = 1; ∈ / Q×2 p , √ d/pi √ p = 2, p = pi , = 1, Qp ( d ) ∼ Qp ( p ); p √ d/pi √ p = 2, p = pi , = −1, Qp ( d ) ∼ Qp ( p ), p ||p = 1; ∈ / Q×2 p ,

Таблицы интегралов

35

p = 2,

d ≡ 3, 5, 7 (mod 8),

p = 2,

d/2 ≡ 1, 3, 5, 7 (mod 8),

√ √ Q2 ( d ) ∼ Q2 ( ), = 3, 5, 7 соотв.; √ √ Q2 ( d ) ∼ Q2 ( 2 ), = 1, 3, 5, 7 соотв.

√ √ √ Отметим, что Q ( d ) есть замыкание поля Q( d ) = Q + dQ p √ √ по метрике |z z¯|p , где z = x + d y, z¯ = x − d y, z z¯ = x2 − dy 2 , x, y ∈ Q. √ Меру Хаара dp z поля Qp ( d ) выберем в виде dp z =

1 dp x dp y, δ

z =x+

√ d y,

x, y ∈ Qp ,

(9.1)

где δ = δp,d = 2, если p = 2, d ≡ 5 (mod 8) и δ = 1 в остальных случаях. Мера dp z нормирована условием (см. [6]) √ dp z = 1, B02 = [z ∈ Qp ( d ) : |z z¯|p 1]. (9.2) B02

Имеет место равенство dp (az) = |a¯ a|p dp z,

√ a ∈ Q× p ( d ).

(9.3)

Величина a|p называется модулем автоморфизма z → az √ |a¯ поля Qp ( d ). √ √ Максимальное компактное подкольцо Zp ( d ) поля Qp ( d ) есть √ √ √ Zp ( d ) = [z ∈ Qp ( d ) : |z z¯|p 1], Zp ( d ) = B02 ; его мультипликативная подгруппа есть √ √ Zp× ( d ) = [z ∈ Qp ( d ) : |z z¯|p = 1]; его максимальный идеал есть √ √ Ip ( d ) = [z ∈ Qp ( d ) : |z z¯|p < 1]. √ √ Классы вычетов Zp ( d )/Ip ( d ) образуют конечное поле характеристики p, называемое полем вычетов; число его элементов √ q = qp,d (равное p или p2 ) называется модулем поля Qp ( d ). Для

36

В. С. Владимиров

конкретных случаев имеем: √ при p = 2, d ≡ 5 (mod 8), q = 4, поле вычетов {0, 1, 1/2 ± 5/2}; при d ≡ 5 (mod 8), q = 2 поле вычетов {0, 1}; при p = 2, |d|p = 1, q = p2 поля вычетов √ {k + dj, k, j = 0, 1, . . . , p − 1}; при |d|p = 1/p, q = p поле вычетов {0, 1, . . . , p − 1}. Ранг аддитивного характера χp (z + z¯) есть наибольшее целое число r 0, для которого q −r/2 = δ |4d|p . (9.4) χp (z + z¯) ≡ 1, |z z¯|p q r В частности,  r = 0,      r = 1,

|d|p = 1, p = 2 или d ≡ 5 (mod 8), p = 2; 1 |d|p = , p = 2; p  r = 2, d ≡ 3, 7 (mod 8), p = 2;     1 r = 3, |d|2 = , p = 2. 2 √ Преобразование Фурье ζ = ξ + d η, основной функции √ ϕ(ζ), ϕ(z) ≡ ϕ(x, y) из S(Qp d ) ∼ S(Q2p ) определим формулой ϕ(ζ) = δ |4d|p ϕ(z)χp (zζ + z¯ζ¯ ) dp z = |4d|p ϕ(x, y)χp (2xξ + 2dyη) dp x dp y. Обратное преобразование Фурье выражается равенством ¯ζ¯ ) dp ζ. ϕ(z) = δ |4d|p ϕ(ζ)ξ p (−zζ − z Таким образом, мера δ |4d|p dp z самодвойственна относительно характера χp (z + z¯). Обобщенная функция = |x2 − dy 2 |α−1 |z z¯|α−1 p p

определяется равенством (см. § 8) α−1 |z z¯|α−1 , ϕ = |z z ¯ | [ϕ(z) − ϕ(0)] d z + p p p |z z¯|p 1

1 − q −1 + ϕ(0) , 1 − q −α

|z z¯|p >1

√ ϕ ∈ S Qp ( d ) ,

|z z¯|α−1 dp z p

Таблицы интегралов

37

или эквивалентно, α−1 |z z¯|p , ϕ = |z z¯|α−1 [ϕ(z) − ϕ(0)] dp z, p Здесь мы использовали формулы: 1 − q −1 |z z¯|α−1 dp z = , p 1 − q −α B02 |z z¯|α−1 dp z = 0, p

√ ϕ ∈ S Qp ( d ) .

α = αk ,

k ∈ Z,

(9.5)

α = αk ,

k ∈ Z,

(9.6)

где 2kπi , k ∈ Z. (9.7) ln q Обобщенная функция |z z¯|α−1 (степени однородности 2α − 2) p голоморфна по α всюду за исключением простых полюсов α = αk , k ∈ Z (см. (9.6)), с вычетом (q − 1)/(q ln q) δ(x, y). Справедлива формула преобразования Фурье [6] ¯ −α , = Γp,d (α)|ζ ζ| F |z z¯|α−1 α = αk , k ∈ Z, (9.8) p p αk =

где Γp,d (α) = δ

|4d|p

ξp (z + z¯) dp z = ρp,d (α) Γq (α) |z z¯|α−1 p

(9.9)

√ – гамма-функция поля Qp ( d ), 1 − q α−1 (9.10) 1 − q −α √ – приведенная гамма-функция поля Qp ( d ). Из (9.8)–(9.10) √ вытекает следующее соотношение для гаммафункции поля Qp ( d ): Γq (α) =

Γp,d (α) Γp,d (1 − α) = 1. (9.11) √ Бета-функция поля Qp ( d ) вводится аналогично § 8. Свертка ∗ |z z¯|β−1 существует для всех комплексных (α, β) из труб|z z¯|α−1 p p чатой области Re α > 0, Re β > 0, Re(α + β) < 1 и выражается интегралом α−1 β−1 ¯ α−1 |(z − ζ)(¯ ¯ β−1 dp ζ |z z¯|p ∗ |z z¯|p = |ζ ζ| z − ζ)| p p , = Bp,d (α, β)|z z¯|α+β−1 p

(9.12)

38

В. С. Владимиров

√ где Bp,d – бета-функция поля Qp ( d ) [11]: ¯ α−1 |(1 − ζ)(1 − ζ)| ¯ β−1 dp ζ Bp,d (α, β) = |ζ ζ| p p Γp,d (α) Γp,d (β) = . δ |4d|p Γp,d (α + β)

(9.13)

Из равенств (9.9)–(9.13) следуют такие симметричные выражения для бета-функции: 1 Γp,d (α) Γp,d (β) Γp,d (γ) Bp,d (α, β) = δ |4d|p = Bq (α, β) = Γq (α) Γq (β) Γq (γ), α + β + γ = 1,

(α, β) = (αk , αj ),

(9.14)

(k, j) ∈ Z 2 .

Отметим, что равенства (9.12)–(9.14) справедливы при всех (α, β) таких, что (α, β) = (αk , αj ), (k, j) ∈ Z 2 . √ Назовем верхней (нижней) полуплоскостью поля Qp ( d ) со√ вокупность точек z = x + d y, для которых sgnp,d y = 1 (соответственно sgnp,d y = −1). √ Введем обобщенные функции (x± d 0)−1 как преобразование Фурье функций θd± (ξ) =

1 (1 ± sgnp,d ξ), 2

√ −1 x ± d0 = θd± (x).

(9.15)

Справедливы равенства [11] √ −1 1 sgnp,d x F θd± (x) = x ± d 0 = δ(x) + Cp,d , 2 |x|p

p = 2,

(9.16) аналогичные формулам Сохоцкого (для поля R). Здесь обобщенная функция (sgnp,d x)/|x|p и число Cp,d определяются равенствами sgnp,d x sgnp,d x ,ϕ = ϕ(x) dp x, ϕ ∈ S, (9.17) |x|p |x|p  p  , если |d|p = 1,  p+1 Cp,d =  ± 1 p sgnp,d (−1) , если |d|p = 1 . 2 p

Таблицы интегралов

39

Для Γq -функций справедливы следующие адельные формулы [6] Γ2∞ (α) reg Γω (α) reg

∞

p=2 ∞

Γνq (α) = D1/2−α ,

d > 0,

(9.18)

Γνq (α) = |D|1/2−α ,

d < 0,

(9.18 )

p=2

где Γ∞ и Γω – гамма-функции полей R и C соответственно; Γ(α) Γω (α) = 2 |z z¯|α−1 exp(−4πix) dx dy = (2π)1−2α Γ(1 − α) −2α 2 = 2(2π) Γ (α) sin πα = iΓ∞ (α) Γ(α), где Γ(α) =

sgn x|x|α−1 exp(−2πix) dx = −2i(2π)−α Γ(α) sin

πα ; 2

ν = 2, если d ∈ Q×2 / Q×2 p и ν = 1, если d ∈ p ; D – дискриминант √ поля Q( d ), равный d, если d ≡ 1 (mod 4) и равный 4d, если d ≡ 2, 3 (mod 4). (Мера Хаара поля C выбрана самодвойственной: |dz ∧ z¯| = 2 dx dy, z = x + iy.) Регуляризация расходящегося бесконечного произведения в (9.18) определяется с помощью формулы (ср. (8.35)) P

p=2

Γνq (α) AC

∞

(1 − q −α )−ν =

p=P1

∞

ζd (α) AC (1 − q −α )−ν , ζd (1 − α) p=P1

P = ∞, 2, 3, 5, . . . ,

(9.19)

вытекающей из общей √ формулы Тейта. Здесь ζd – дзета-функция Дедекинда поля Q( d ), ζd (α) =

∞

(1 − q −α )−ν .

p=2

Дзета-функция Дедекинда удовлетворяет соотношению (ср. (8.40)) (2π)1−α Γ(α)ζd (α) = (2π)α Γ(1 − α)ζd (1 − α)|D|1/2−α ,

40

В. С. Владимиров

которое эквивалентно соотношению (ср. (8.46)) ζAd (α) = ζAd (1 − α)|D|1/2−α , где обозначено ζAd (α) = (2π)1−α Γ(α)ζd (α). Переходя в (9.19) к пределу при P → ∞, обозначая reg

∞

Γνq (α) = lim

P →∞

p=2

P

∞

Γνq (α) AC

p=2

(1 − q −α )−ν

p=P1

и пользуясь равенствами ζ(1 − α) , ζ(α) ζ(1 − α) Γω (α) = |D|1/2−α , ζ(α)

Γ2∞ (α) = D1/2−α

d > 0,

(9.20)

d < 0,

(9.20 )

в полуплоскости Reα < 0 получим адельные формулы (9.18). При остальных α reg Γ−ν q (α) определяется из формул (9.18) как аналитическое (мероморфное) продолжение по α. Аналогичные адельные формулы справедливы и для бетафункций 2 (α, β) reg B∞

Bω (α, β) reg

∞

p=2 ∞

Bqν (α, β) =

√ D,

d > 0,

(9.21)

Bqν (α, β) =

|D|,

d < 0,

(9.21 )

p=2

где B∞ и Bω – бета-функции полей R и C соответственно. Bω (α, β) = Γω (α) Γω (β) Γω (γ),

α+β+γ =1

(9.22)

и в соответствии с формулой (9.14) (ср. (8.36)) reg

∞

Bqν (α, β) =

p=2

x=α,β.γ

reg

∞

Γνq (x).

p=2

Отметим другие симметричные выражения для B−ω :

2

Γ(x) Bω (α, β) = 2π = 2 Γ2 (x) sin πx. Γ(1 − x) π x=α,β,γ

x=α,β,γ

(9.23)

Таблицы интегралов

41

§ 10.

Оператор D α

Обобщенная функция fα (x) =

|x|α−1 p Γp (α)

голоморфна по α всюду за исключением простых полюсов 1 + αk , αk = 2kπi/ln p, k ∈ Z, с вычетом (1 − p)/(p ln p) δ(x), причем fαk = δ и fα ∗ fβ = fα+β , α = 1 + αk ,

β = 1 + αj ,

α + β = 1 + αi ,

(k, j, i) ∈ Z 3 .

Пусть α ∈ R, α = −1 и f ∈ S таковы, что свертка f−α ∗ f существует в S . Оператор Dα f = f−α ∗f называется при α > 0 оператором (дробного) дифференцирования порядка α, а при α < 0 – оператором (дробного) интегрирования порядка −α; при α = 0 D0 f = δ ∗ f = f – тождественный оператор. Таким образом, оператор Dα – гиперсингулярный псевдодифференциальный (РДО) с символом |ξ|p . Пример. Если α = 1 и ϕ ∈ S, то p2 ϕ(x) − ϕ(y) (Dϕ)(x) = d y = |ξ|p ϕ(ξ)χ p p (−ξx) dp ξ. p+1 |x − y|2p (10.1) Пусть α = 1. Рассмотрим локально-интегрируемую в Qp функцию 1 − p−1 ln |x|p . (10.2) f1 (x) = − ln p Она обладает следующими свойствами: fα (x)ϕ(x) dp x → f1 (x)ϕ(x) dp x, α → 1, (10.3) если ϕ ∈ S удовлетворяет условию ϕ(x) dp x = 0; 1 f1 (ξ) = reg |ξ|−1 δ(ξ), p + p

(10.4) (10.5)

42

В. С. Владимиров

где обобщенная функция reg |ξ|−1 p определена в § 6; f1 ∗ fα = f1−α ,

α 1.

(10.6)

Введем оператор интегрирования порядка 1, соответствующий значению α = −1, f ∈ S ,

D−1 f = f1 ∗ f,

(10.7)

если свертка f1 ∗ f существует. Тогда D−α f → D−1 f, если f ∈ E и

α→1

в S ,

G f (x) dp x = 0.

(10.8)

(10.9)

Резюмируя, получаем следующие свойства оператора Dα , α ∈ R: f ∈ S ,

Dα Dβ f = Dα+β f = Dβ Dα f,

(10.10)

если α = −1, β = −1, α+β = −1, или α 0, β = −1, или α = −1, β 0; если f удовлетворяет условию (10.9), то равенства (10.10) справедливы при всех вещественных α и β, и Dα f непрерывно зависит от α в S . Пример. Dα χp (ax) = |a|α p χp (ax),

α ∈ R,

Уравнение Dα ψ = g,

a ∈ Q× p.

g ∈ E ,

(10.11)

(10.12)

разрешимо при всех α ∈ R, причем при α > 0 его общее решение выражается формулой ψ = D−α g + C,

(10.13)

где C – произвольная постоянная; при α 0 его решение единственно и выражается формулой (10.13) при C = 0. Фундаментальное решение E(x) оператора Dα , Dα E(x) = δ(x),

E ∈ S ,

(10.14)

Таблицы интегралов

43

вычислено в [3]. Оно равно  α−1 , Γ−1 p (α)|x|p −1 E(x) = 1−p − ln |x|p , ln p

α = −1, α = −1.

(10.15)

Отметим, что фундаментальное решение существует в S не для любого РДО. Например, для оператора Dtα − Dxα оно не существует. Действительно, если бы решение E уравнения (Dtα − Dxα ) E(t, x) = δ(t, x) существовало в S , то мы имели бы противоречивое равенство α (|η|α p − |ξ|p )F [E](η, ξ) = 1,

(η, ξ) ∈ Q2p ,

в котором левая часть обращается в нуль в открытом множестве |η|p = |ξ|p пространства Q2p . Оператор Dα при α > 0 в открыто-замкнутом множестве G 2 определен на тех ψ ∈ L2 (G) (см. § 4), для которых |ξ|α p ψ ∈ L . Это множество функций называется областью определения оператора Dα в области G и обозначается D(Dα , G); D(Dα , Qp ) = D(Dα ). Справедливо равенство ¯ dp ξ, (Dα ψ, ϕ) = |ξ|α ψ, ϕ ∈ D(Dα , G). (10.16) p ψ(ξ)ϕ(ξ) Оператор Dα в G – самосопряженный положительно-определенный, причем в силу (10.16) при всех ψ ∈ D(Dα , G) имеем 2 (Dα ψ, ψ) = (Dα/2 ψ, Dα/2 ψ) = |ξ|α (10.17) p |ψ(ξ)| dp ξ 0, так что его спектр лежит на полуоси λ 0. Для оператора Dα , α > 0, рассмотрим задачу на собственные значения ψ ∈ D(Dα , G). (10.18) Dα ψ = λψ, Теорема [1], [2]. Спектр оператора Dα в Qp состоит из счетного числа собственных значений λN = pαN , N ∈ Z, каждое из которых бесконечной кратности, и точки 0. Существует ортонормальный базис собственных функций в L2 (Qp ) оператора Dα следующего вида:

44

В. С. Владимиров

при p = 2

= 2, 3, . . . ,

N +1− 2

δ(|x|p − p−N )δ(x0 − j)χp ( p−2N x2 ), (10.19) j = 1, 2, . . . , p − 1, = ε0 + ε1 p + · · · + ε−2 p−2 ,

ψN,j, (x) = p

εs = 0, 1, . . . , p − 1, 1 (x) = p ψN,j,0

= 1,

N −1 2

ε0 = 0,

s = 0, 1, . . . , − 2;

Ω(pN −1 |x|p )χp (jp−N x),

j = 1, 2, . . . , p − 1,

(10.19 )

= 0;

при p = 2 ψN,j, (x) = 2

N − 2

= 2, 3, . . . ,

δ(|x|2 − 2+1−N )χ2 ( 2−2N x2 + 2−N +j x), (10.20) j = 0, 1, = 1 + ε1 2 + · · · + ε−2 2−2 ,

εs = 0, 1, 1 ψN,j,0 (x) = 2

N −1 2

s = 1, 2, . . . , − 2;

[Ω(2N |x − j2N −2 |2 ) − δ(|x − j2N −2 |2 − 21−N )], (10.20 ) = 1, j = 0, 1, = 0.

В [33] был найден новый, более простой, ортонормальный базис собственных функций оператора Dα , эквивалентный (10.19)–(10.20): ψN jn (x) = p(N −1)/2 χp (p−njx)Ω(|pN −1 x − n|p ), N ∈ Z,

j = 1, 2, . . . , p − 1,

n ∈ Qp /Zp ,

(10.21)

соответствующих собственному значению pαN . Теорема [4], [5]. Если G – открыто-замкнутый компакт, то собственные значения λk , k = 0, 1, . . . , оператора Dα , α > 0, в G – конечной кратности, а собственные функции ψk (x) образуют ортонормальный базис в L2 (G). Пример. Собственные значения и ортонормальный базис собственных функций оператора Dα в Bγ , γ ∈ Z [4].

Таблицы интегралов

45

При p = 2: λ0 =

p−1 pα(1−γ) , pα+1 − 1

ψ0 (x) = p−γ/2 ,

λk = pα(k−γ) ,

кратность 1;

ψk (x) = ψk−γ,j, (x),

j = 1, 2, . . . , p − 1,

= 1, 2, . . . , k,

кратность (p − 1)p

k−1

,

,

k = 1, 2, . . . .

При p = 2: 2α(1−γ) , ψ0 (x) = 2−γ/2 , 2α+1 − 1 1 ψ1 (x) = ψ1−γ,0,0 (x), λ1 = 2α(1−γ) , λ0 =

λk = 2

α(k−γ)

,

ψk (x) =

= 1, 2, . . . , k − 1, кратность 2

k−1

,

кратность 1; кратность 1;

ψk−γ,j, (x),

j = 0, 1,

k = 2, 3, . . . .

Пример. Собственные значения и нормированный базис собственных функций оператора Dα в Sγ , γ ∈ Z [4]. При p = 2: λ0 =

pα + p − 2 α(1−γ) p , pα+1 − 1

ψ0 (x) = p

1−γ 2

(p − 1)1/2 ,

кратность 1;

1 1 ψ1 (x) = 2−1/2 [ψ1−γ,j,0 (x) − ψ1−γ,j+1,0 (x)],

λ1 = pα(1−γ) ,

кратность p − 2; λk = p

α(k−γ)

,

k ψk (x) = ψk−γ,j, (x), k

j = 1, 2, . . . , p − 1, 2 k−2

кратность (p − 1) p

,

k , k = 2, 3, . . . .

При p = 2: 1−γ 2α(2−γ) , ψ0 (x) = 2 2 , 2α+1 − 1 1 ψ1 (x) = ψ1−γ,1,0 (x), λ1 = 2α(2−γ) ,

λ0 =

λk = 2

α(k+1−γ)

,

ψk (x) =

j = 0, 1, кратность 2

k−1

,

кратность 1; кратность 1;

k ψk+1−γ,j, (x), k

k , k = 2, 3, . . . .

46

В. С. Владимиров

Следует отметить, что мультипликативные характеры ранга k группы Zp× являются собственными функциями оператора Dα в S0 , соответствующие собственному значению λk [21]. С другой стороны, число линейно-независимых мультипликативных характеров ранга k группы Zp× вычислено (см. [30]) и оно совпадает с кратностью nk собственного значения λk оператора Dα , α > 0, в S0 [4]. Отсюда следует такой результат: существует ортонормальный базис собственных функций оператора Dα , α > 0, в S0 , состоящий из всех мультипликативных характеров группы Zp× . С другой стороны, любой мультипликативный характер группы Zp× ранга k разлагается по собственным функциям ψak +j (x), j = 1, 2, . . . , nk (при надлежащем выборе ak [4]), т. е. разлагается по аддитивным характерам поля Qp . Приведем конкретные значения для λk и nk . Полагая γ = 0, получим [4]: при p = 2 λ0 = λk = pαk ,

pα + p − 2 α p , n0 = 1; pα+1 − 1 λ1 = pα , n1 = p − 2; nk = (p − 1)2 pk−2 ,

k = 2, 3, . . . ;

при p = 2 22α , n0 = 1; −1 λk = 2α(k+1) , nk = 2k−1 , k = 1, 2, . . . . λ0 =

2α+1

Таблицы интегралов

47

Часть II. Таблицы интегралов § 11.

Простейшие интегралы, одна переменная

dp x = 1.

(11.1)

dp x = pγ .

(11.2)

B0

Bγ

dp x = Sγ

1 γ 1− p . p

f (x) dp x =

∞

f (|x|p ) dp x = Bγ

f (|x|p ) dp x =

f (x) dp x.

(11.4)

Sγ

γ=−∞

(11.3)

γ 1 1− pk f (pk ). p

(11.5)

k=−∞

∞ 1 1− pk f (pk ). p

(11.6)

k=−∞

f (x) dp x = |a|p

D

D−b a

f (ay + b) dp y,

1 f (x) dp x = p f dp y. y Sγ S−γ 1 f (x) dp x = f |y|−2 p dp y. y Bγ Qp \B1−γ 1 f (x) dp x = f |y|−2 p dp y. y 1 f (|x|p ) dp x = f |y|−2 p dp y. |y|p f (x) dp x = f (sin y) dp y.

Gp

2γ

a = 0.

(11.7)

Gp

(11.8)

(11.9)

(11.10)

(11.11) (11.12)

48

В. С. Владимиров

f (x) dp x =

Gp

f (arcsin y) dp y.

(11.13)

f (tg y) dp y.

(11.14)

f (arctg y) dp y.

(11.15)

f (ln y) dp y.

(11.16)

f (exp y) dp y.

(11.17)

Gp

f (x) dp x = Gp

Gp

f (x) dp x = Gp

Gp

f (x) dp x = Gp

Jp

f (x) dp x =

Jp

Gp

Bγ

|x|α−1 dp x = p

1 − p−1 αγ p , 1 − p−α

S0

|x − 1|α−1 dp x = p

p − 2 + p−α , p(1 − p−α )

|x − a|α−1 dp x = p

p − 2 + p−α α |a|p , p(1 − p−α )

Sγ

ln |x|p dp x =

γ−

Bγ

ln |x − 1|p dp x = − S0

ln |x − a|p dp x = Sγ

Sγ

Re α > 0.

1 p−1

Re α > 0 [3]. |a|p = pγ ,

(11.18)

(11.19)

Re α > 0. (11.20)

pγ ln p.

ln p [3]. p−1

(11.21)

(11.22)

1 ln p 1− ln |a|p − |a|p , p p−1

1 ln |x|p dp x = γ 1 − pγ ln p. p

|a|p = pγ . (11.23) (11.24)

|1 − x|β−1 dp x = Bp (α, β), |x|α−1 p p Re α > 0,

Re β > 0,

Re(α + β) < 1 [11].

(11.25)

Таблицы интегралов

49

|x|α−1 |y − x|β−1 dp x = Bp (α, β)|y|α+β−1 , p p p Re α > 0, Bγ

Re β > 0,

Re(α + β) < 1.

(11.26)

|x2 + a2 |(α−1)/2 dp x p , = pγ |a|α−1 p

pγ < |a|p .

(11.27)

1 − pα−1 α 1 − p−1 αγ |a|p + p , 1 − pα 1 − p−α pγ |a|p = 0, Re α > 0, p ≡ 3 (mod 4) [9].

2 1 1 2 = 1− + 1− |a|α − p p p p(α+1)/2 − 1 1 − p−α

=

−

1 − p−1 αγ p , 1 − p−α

dp x, |x2 + a2 |(α−1)/2 p

pγ |a|p = 0, Re α > 0, p ≡ 1 (mod 4) [9].

(11.29)

a = 0,

1 − pα−1 α |a|p Re α < 0, p ≡ 3 (mod 4). 1 − pα

1 2 1 2 = 1− + 1− − |a|α p, p p p(α+1)/2 − 1 1 − p−α =

Re α < 0,

(11.28)

p ≡ 1 (mod 4).

(11.30)

(11.31)

−1 1 + x2 α−1 dp x = 1 − 3 − 2 1 − p , p p 1 − pα S0

Re α > 0,

p ≡ 1 (mod 4).

(11.32)

dp x = pγ−1 , Sγ,k0

k

Sγ 0

dp x =

2 γ p , p

dp x = Sγ,kn

1−

k0 = 1, 2, . . . , p − 1 [3].

1−

1 γ−1 , p p

k0 = 1, 2, . . . , p − 1 [3]. kn = 0, 1, . . . , p − 1,

(11.33)

(11.34)

n ∈ Z+ [3]. (11.35)

50

В. С. Владимиров

Sγkn

2 1 dp x = 1 − pγ , p

kn = 0, 1, . . . , p − 1,

n ∈ Z+ [3]. (11.36)

dp x = pγ−n−1 , Sγ,k0 k1 ...kn

kj = 0, 1, . . . , p − 1,

k k ...kn Sγ 0 1

k0 = 0,

(11.37)

n ∈ Z+ [3].

(11.38)

dp x = (1 − p−1 − p−n−1 )pγ ,

kj = 0, 1, . . . , p − 1,

n ∈ Z+ [3].

1ik [|x−xi |p =1]

dp x = 1 −

k0 = 0, k , p

1 k p,

|xj − xj |p = 1,

i, j = 1, 2, . . . , k, i = j [17]. (11.39) Пусть π – мультипликативный характер поля Qp ранга k 1. π(x) dp x = 0 [11].

(11.40)

Sγ

Обозначим: V0 = S0 , Vj = [x ∈ S0 : |1 − x|p p−j ], j ∈ Z+ . π(x) dp x Vj \Vj+1

0 j < k − 1.

= 0,

(11.41)

−k

= −p , j = k − 1. 1 −j = 1− j k [21]. p , p S0

|1 − x|α−1 π(x) dp x = Γp (α)p−kα , p

Sγ

sgnp, x dp x = ∈ / Q×2 p ,

Bγ

sgnp, x dp x = ∈ / Q×2 p ,

(11.42) (11.43) Re α > 0 [21].

(11.44)

1 1− (−p)γ , p ||p = 1,

p = 2 [11].

(11.45)

p = 2 [11].

(11.46)

p−1 (−p)γ , p+1 ||p = 1,

Таблицы интегралов

51

B0

sgnp, x dp x p−1 , ∈ / Q×2 ||p = 1, p = 2 [11]. p , p+1 1 ≡ 5 (mod 8), p = 2, = , 3 1 = 0, ||p = , p = 2 p или ≡ 1, 5 (mod 8), p = 2 [11]. =

B0

B0

p , ∈ / Q×2 ||p = 1, p = 2. p , p+1 2 ≡ 5 (mod 8), p = 2. = , 3 1 1 = , ||p = , p = 2 2 p или ≡ 1, 5 (mod 8), p = 2 [11].

(11.49)

(11.50) (11.51) (11.52)

θ− (x) dp x 1 , ∈ / Q×2 ||p = 1, p = 2. p , p+1 1 ≡ 5 (mod 8), p = 2. = , 3 1 1 = , ||p = , p = 2 2 p или ≡ 1, 5 (mod 8), p = 2 [11]. =

(11.48)

θ+ (x) dp x =

(11.47)

(B0 )2

(11.54) (11.55)

dp x

p , p = 2. 2(p + 1) 1 = , p = 2, 6 =

(11.53)

(11.56) (11.57)

где (B0 )2 – множество квадратов целых p-адических чисел Zp . p . (11.58) dp x = p + 1 γ(x)=2k0

52

В. С. Владимиров

∞ 1 −2γ f (|x|p ) dp x = 1 − p f (p−2γ ). p γ=0 γ(x)=2k0

dp x = γ(x)−1=2k0

1 . p+1

f (|x|p ) dp x = γ(x)−1=2k0

B0

(11.59)

(11.60) ∞ 1 −2γ−1 1− p f (p−2γ−1 ). p γ=0

(11.61)

λp (x)|x|−1/2 dp x p p = 2 [2].

= 1, =2

−3/2

,

(11.62)

p = 2 [2].

(11.63)

Пусть функция f обладает свойством f (x + k) dp x = f (k),

k ∈ Ip ,

B0

где Ip множество индексов, Ip = [k ∈ Qp : k = p−γ (k0 + k1 + · · · + kγ−1 pγ−1 ), kj = 0, 1, . . . , p − 1, Qp \B0

f (x) dp x =

B−1 \B−2n

k0 = 0,

j = 0, 1, . . . , γ − 1,

f (k) [28].

(11.64)

k∈Ip

λ2p (x)|x|−1 p dp x,

n ∈ Z+ ,

1 = 1 − , p ≡ 3 (mod 4) [2]. p 1 = 1− (2n − 1), p ≡ 1 (mod 4) [2]. p B−2 \B−2n

γ ∈ Z+ .

λ22 (x)|x|−1 2 d2 x = 0,

p = 2,

Обозначим |(x, m)|p = max(|x|p , |m|p ).

n 2 [2].

(11.65) (11.66) (11.67)

Таблицы интегралов

53

|(y, m)|α−1 |(x − y, m)|β−1 dp y = Bp (α, β) |(x, m)|α+β−1 p p p β−1 −Γp (α) |pm|α − Γp (β) |pm|βp |(x, m)|α−1 , p |(x, m)|p p

m = 0,

Re(α + β) < 1 [17].

(11.68)

Обозначим: 2 2xy x2 + y 2 − K t (x, y) = λp (t) χp , t ∈ Gp , x, y ∈ Qp , t p sin t tg t 2 2 x K t (x) = λp (t) χp − x ∈ Qp . , t ∈ Q× p, t p t

K t (x, y )K τ (y , x) dp y = K t+τ (x, y), t, τ ∈ Gp ,

x, y ∈ Qp [15].

K t (x, y) dp y = Ω(|x|p ), B0

K t (x, y) → δ(x − y),

t ∈ Gp ,

|x|p =1

x ∈ Qp [15].

t → 0 в S (Q2p ) [15].

K t (x − y)K τ (y) dp y = K t+τ (x), K t (x) → δ(x),

(11.69)

t, τ ∈ Q× p,

t → 0 в S [15].

−1 f (|x|p )|1 − x|−1 ) p dp x = (1 − p

(11.70) (11.71)

x ∈ Qp [15]. (11.72) (11.73)

f (pγ ) min(1, pγ ). (11.74)

γ=0

§ 12.

Интегралы Фурье

Интегралом Фурье называется интеграл вида f (x)χp (ξx) dp x, ξ ∈ Q× p. χp (ξx) dp x = pγ Ω(pγ |ξ|p ) [3]. Bγ

(12.1)

54

В. С. Владимиров

χp (ξx) dp x = Sγ

1 γ 1− p Ω(pγ |ξ|p ) − pγ−1 δ(|ξ|p − p1−γ ) [3]. p (12.2)

ξ = 0 [3].

χp (ξx) dp x = 0,

(12.3)

f (|x|p )χp (ξx) dp x Bγ

=

∞ 1 −k p f (p−k ), 1− p

|ξ|p p−γ .

(12.4)

k=−γ

=

∞ 1 −1 −1 1− p−k f (p−k |ξ|−1 |ξ|−1 p p ) − |ξ|p f (p |ξ|p ), p

(12.5)

k=0

=

|ξ|p > p−γ [3].

f (|x|p )χp (ξx) dp x,

|ξ|p > p−γ .

(12.6)

∞ 1 p−k f (p−k |ξ|−1 f (|x|p )χp (ξx) dp x = 1 − |ξ|−1 p p ) p k=0

−1 −|ξ|−1 p f (p|ξ|p ),

|x|α−1 χp (x) dp x = p

ξ = 0 [3].

1 − pα−1 = Γp (α), 1 − p−α

χp (ξx) dp x = Γp (α)|ξ|−α |x|α−1 p p ,

ξ = 0,

(12.7) Re α > 0 [11].

Re α > 0 [11]. (12.9)

−1 1 ln p [3]. ln |x|p χp (x) dp x = − 1 − p −1 1 ln p|ξ|−1 ln |x|p χp (ξx) dp x = − 1 − p , p χp (ξx) dp x, m = 0, |x|2p + m2 ∞ 1 pk = 1− , p p2k + m2 k=−∞

ξ = 0.

(12.8)

(12.10)

ξ = 0 [3].

(12.11)

(12.12)

Таблицы интегралов

=

55

∞ 1 p2 − p−2k |ξ|p −k 1− p , p p2 + m2 |ξ|2p p−2k + m2 |ξ|2p

ξ = 0 [3].

k=0

p4 + p3 −5 ∼ 2 m−4 |ξ|−3 |ξ|p → ∞ [3]. p + O(|ξ|p ), p +p+1 µα (x) = exp(−t|ξ|α t > 0, α > 0 t p )χp (ξx) dp ξ,

∞

(−t)n Γp (αn + 1)|ξ|−αn−1 [1]. p n! n=1

µα t (x) dp x = 1,

0

(12.17)

t → 0 в S [1].

(12.18)

t, τ > 0 [1].

(12.19)

α α µα t ∗ µτ = µt+τ , ∞

−1 α−1 µα = fα (x), t (x) dt = Γp (α)|x|p

∂ α µ (x)|t=0 = Γp (α + 1)|x|−α−1 , p ∂t p

−1 |x|α p = −Γp (−α)

(12.15) (12.16)

t > 0.

µα t (x) → δ(x),

(12.14)

1−

=

=

∞ 1 p−γ exp(−t|px|−α |x|−1 p p ) p γ=0 −αγ−α × exp[t|px|−α )] − 1 > 0 [1], [2]. p (1 − p

(12.13)

(12.20) α > 0.

[1 − Re χp (xξ)]|ξ|−α−1 dp ξ, p

(12.21) (12.22)

причем −α−1 −Γ−1 dp ξ > 0, p (−α)|ξ|p

χp (a2 tg ξ − xξ) dp ξ,

α > 0.

p = 2 [2],

B−1

1 Ω(|px|p ), |a|p 1. 2 1 |a|p = p. = δ |x|p − p2 δ x0 − (a2 )0 , 2 1 = δ |x|p − |a|2p δ x0 − (a2 )0 δ x1 − (a2 )1 ϕa (x), 2 =

где ϕa (x) – непрерывная функция.

(12.23) (12.24) |a|p p2 , (12.25)

56

В. С. Владимиров

|x|α−1 |x − a|β−1 χp (x) dp x, p p

Re α, Re β > 0,

= Bp (α, β)|a|α+β−1 + Γp (α + β − 1), p =

Γp (α)|a|β−1 p

+

Γp (β)|a|α−1 χp (a), p

Re(α + β) < 1,

|a|p 1. |a|p p.

(12.26) (12.27)

|x − a|α−1 χp (x − a) dp x = Γp (α), p

Sγ

|a|p = pγ ,

γ 2,

Re α > 0.

(12.28)

Пусть n ∈ Z+ не делится на p и P – полином степени n, P (x) = α1 x + α2 x2 + · · · + αn xn , |αk |p 1, k = 1, 2, . . . , n − 1, |αn |p = 1. Тогда χp [P (x)] dp x Sγ

1 γ = 1− γ 0, n ∈ Z+ [3]. (12.29) p , p = 0, γ = 2, 3, . . . , n ∈ Z+ или γ = 1, n = 2, 3, . . . [3]. (12.30) = −1, γ = 1, n = 1 [3]. (12.31)

χp [P (x)] dp x Bγ

= pγ , = 1, = 0,

γ 0, n ∈ Z+ , (12.32) γ = 2, 3, . . . , n ∈ Z+ или γ = 1, n = 2, 3, . . . . (12.33) (12.34) γ ∈ Z+ , n = 1.

χp [P (x)] dp x = 1, = 0,

n = 2, 3, . . . . n = 1.

(12.35) (12.36)

Пусть (комплексные) числа η1 , η2 , . . . , ηp−1 таковы, что p−1 k=1

ηk = 0,

p = 2,

Таблицы интегралов

57

и числа η1 , η2 , . . . , ηp−1 взаимны к {ηk }, p−1

ηj =

k=1

kj ηk exp 2πi , p

p−1

ηj = 0.

j=1

Тогда ηx0 χp (ξx) dp x = pγ−1 ηξ 0 δ(|ξ|p − p1−γ ) [4].

(12.37)

Sγ

Bγ

|x|α−1 χp (ξx) dp x, p =

1 − p−1 αγ p , 1 − p−α

= Γp (α)|ξ|−α p , = Γp (α),

|ξ|p p−γ . |ξ|p > p−γ

ξ = 1,

(12.38) [1].

γ 1 [7].

(12.39) (12.40)

δ(x0 − k)χp (ξx) dp x = p−1 χp (kξ)Ω(|pξ|p ),

S0

Re α > 0,

k = 1, 2, . . . , p − 1. 1 p−1 k = 1, 2, . . . , p − 1.

δ(x0 − k)χp (ξx) dp x = |ξ|−1 p ξ = 0,

(12.41)

+ χp (kξ0 /p) , (12.42)

χp [(k − ξ)x] dp x = pδ(|ξ|p − 1)δ(ξ0 − k), B1

k = 1, 2, . . . , p − 1.

(12.43) 1 1 δ(x1 − k)χp (ξx) dp x = 1− Ω(|ξ|p ) − p−2 δ(|ξ|p − p) p p S0

+ p−2

χp (ξ) − χp (pξ) χp (kpξ)δ(|ξ|p − p2 ), 1 − χp (ξ)

k = 0, 1, . . . , p − 1.

χp (p−2 |ξ|p ξ) − χp (p−1 ξ0 ) χp (kp−1 ξ0 ), 1 − χp (p−1 ξ0 ) p = 0, 1, . . . , p − 1. (12.45)

δ(x1 − k)χp (ξx) dp x = |ξ|−1 p ξ = 0,

(12.44)

58

В. С. Владимиров

δ(x2 − k)χp (ξx) dp x = S0

+ p−3

1 1− Ω(|ξ|p ) − p−2 δ(|ξ|p − p) p

χp (ξ) − χp (pξ) χp (kp2 ξ) − χp ((k + 1)p2 ξ) δ(|ξ|p − p3 ), 1 − χp (ξ) 1 − χp (pξ) k = 0, 1, . . . , p − 1. (12.46)

δ(x2 − k)χp (ξx) dp x = |ξ|−1 p ×

1 p

χp (p−3 |ξ|p ξ) − χp (p−2 |ξ|p ξ) 1 − χp (p−3 |ξ|p ξ)

χp (kp−1 ξ0 ) − χp ((k + 1)p−1 ξ0 ) , 1 − χp (p−2 |ξ|p ξ) ξ = 0, k = 0, 1, . . . , p − 1.

(12.47)

α |x, m|α−1 χp (ξx) dp x = Γp (α) |ξ|−α p p − |pm|p Ω(|mξ|p ), m = 0,

Re α < 0 [17].

(12.48)

α−1 |x, 1|−α − pα−1 )Ω(|ξ|p ) ≡ Jpα (ξ), p χp (ξx) dp x = Γp (1 − α)(|ξ|p

Re α > 0. 1 ln |ξ|p 1 Jp (ξ) = 1 − α = 1. 1− Ω(|ξ|p ), p ln p Jpα (ξ)Jpβ (x − ξ) dp ξ = Jpα ∗ Jpβ = Jpα+β , α, β ∈ C. ln |x, 1|p = = ln p

(12.49) (12.50) (12.51)

1 − Re χp (xξ) dσ(ξ)

∞

pγ Ω(pγ |ξ|p ),

dσ(ξ) 0.

(12.52)

γ=0

B−1 \B−2n

λ2p (x)|x|−1 p χp (ξx) dp x,

n ∈ Z+ ,

1 1− (2n − 1), p ξ = 0 или γ(ξ) 1, p ≡ 1 (mod 4) [2]. 1 1 = 1− (2n − γ(ξ)) − , , p p 2 γ(ξ) 2n, p ≡ 1 (mod 4) [2]. =

(12.53)

(12.54)

Таблицы интегралов

59

1 ξ = 0 или γ(ξ) 1, p ≡ 3 (mod 4) [2]. (12.55) =1− , p 1 1 1 1 γ(ξ) = (−1) 1+ − 1− , 2 p 2 p 2 γ(ξ) 2n, p ≡ 3 (mod 4) [2]. (12.56)

B−1

λ2p (x)|x|−1 p χp (ξx) dp x

=1−

1 , p

ξ = 0 или γ(ξ) 1, p ≡ 3 (mod 4) [2]. (12.57) 1 1 1 1 = (−1)γ(ξ) 1 + − 1− , 2 p 2 p γ(ξ) 2, p ≡ 3 (mod 4) [2]. (12.58)

B−2 \B−2n

λ22 (x)|x|−1 2 χ2 (ξx) d2 x,

n = 2, 3, . . . ,

= 0, γ(ξ) 3 [2]. 1 γ(ξ) 4 [2]. = (−1)ξ1 +1 , 4

B−2

(12.59) (12.60)

λ22 (x)|x|−1 2 χ2 (ξx) d2 x

= 0, ξ = 0 или γ(ξ) 3 [2]. 1 γ(ξ) 4 [2]. = (−1)ξ1 +1 , 2

χp (ξx) dp x, sgnp,d x|x|α−1 p

(12.61) (12.62)

d∈ / Q×2 p

p (α)sgnp,d ξ|ξ|−α =Γ |d|p = 1, Re α > 0 [11]. (12.63) p , 1 = ±pα−1/2 sgnp,d (−1) sgnp,d ξ|ξ|−α |d|p = , α ∈ C [11]. p , p (12.64)

Пусть ε = ±. λp (x)χp (εξx) dp x [2], [29]

Sγ

1 =p 1− , p γ

= 0,

|ξ|p p−γ ,

|ξ|p p−γ ,

γ = 2k.

γ = 2k + 1.

(12.65) (12.66)

60

В. С. Владимиров

= −pγ−1 , |ξ|p = p−γ+1 , γ = 2k. ξ0 γ−1/2 |ξ|p p−γ+1 , = , p γ = 2k + 1, p ≡ 1 (mod 4). p ξ0 γ−1/2 |ξ|p p−γ+1 , , = −ε p γ = 2k + 1, p ≡ 3 (mod 4). p = 0,

|ξ|p p−γ+2 .

(12.67) (12.68) (12.69) (12.70)

λ2 (x)χ2 (εξx) d2 x [20], [29] Sγ

|ξ|2 2−γ ,

= 2γ−3/2 , = 0, = −2 = 0,

|ξ|2 2 γ−3/2

−γ

|ξ|2 = 2

= −ε(−1) 2

−γ+1

= 0,

,

|ξ|2 = 2 |ξ|2 2

−γ+3

−γ+1

,

(12.72)

γ = 2k.

(12.73)

γ = 2k + 1. |ξ|2 = 2

,

−γ+2

(12.71)

γ = 2k + 1.

|ξ|2 = 2

,

ξ1 γ−3/2

= 0,

,

γ = 2k.

−γ+2

,

γ = 2k + 1.

,

γ = 2k.

(12.74) ,

γ = 2k.

(12.76) (12.77)

= i (−1) 2 (1 + i)(1 + iε)[1 − ε(−1) ], |ξ|2 = 2−γ+3 , γ = 2k + 1. ξ1

= 0, |x|p 1

ξ2 γ−3

|ξ|2 2

ξ1

−γ+4

,

(12.78)

γ = 2k + 1.

(12.79)

λp (x)|x|α−1 χp (εξ 2 x) dp x p

= 0, |ξ|p p, p = 2. 1 1 − p2α |ξ|−2α p = 1− + pα−1/2 |ξ|−2α , p p 1 − p2α |ξ|p 1, p ≡ 1 (mod 4). 1 1 − p2α |ξ|−2α p − εpα−1/2 |ξ|−2α , = 1− p p 1 − p2α |ξ|p 1, p ≡ 3 (mod 4). |x|p 1

|x|2 4

(12.75)

λp (x)|x|−3/2 χp (−ξ 2 x) dp x = Ω(|ξ|p ), p −3/2

λ2 (x)|x|2

χ2 (−ξ 2 x) d2 x =

√ 2Ω(|ξ|2 ),

(12.80)

(12.81)

(12.82) p = 2 [29].

(12.83)

p = 2 [29]. (12.84)

Таблицы интегралов

§ 13.

61

Гауссовы интегралы

Гауссовым интегралом называется интеграл вида a ∈ Q× b ∈ Qp . f (x)χp (ax2 + bx) dp x, p, Различные формулы для гауссовых интегралов встречаются в [3], [13]–[16], [20]. Наиболее полные списки их приведены в [1], [2]. Здесь = ε0 + ε 1 p + ε 2 p2 + · · · . χp (x − y)2 dp y Sγ

1 1 = pγ χp (x2 ) 1 − Ω(pγ |x|p ) − δ(|x|p − p1−γ ) , p p γ 0, p = 2.

Sγ

(13.1)

γ 1, p = 2. = δ(|x|p − p ), γ−1 2 γ−1 =2 χ2 (x ) Ω(2 |x|2 ) − δ(|x|2 − 22−γ ) ,

(13.2)

γ 0, p = 2. √ = 2 λ2 () − 1 Ω(|x|2 ) + δ(|x|2 − 2), γ = 1, √ = 2 λ2 ()δ(|x|2 − 2γ ), γ 2, p = 2.

(13.3)

γ

p = 2.

(13.4) (13.5)

χp [p(x − y)2 ] dp y

2 1 1−γ 1 2−γ |x|p − δ |x|p − p = p χp px 1− , Ω p p p γ 0, p = 2. (13.6) √ 2 = p λp (p) − χp (px ) Ω(|px|p ), γ = 1, p = 2. (13.7) √ γ = p λp (p)δ(|x|p − p ), γ 2, p = 2. (13.8) γ

= 2γ−1 χ2 (2x2 )[Ω(2γ−2 |x|2 ) − δ(|x|2 − 23−γ )], γ 0, p = 2.

(13.9)

= −Ω(|x|2 ) + δ(|x|2 − 2) + λ2 (2) δ(|x|2 − 4), γ = 1, p = 2.

(13.10)

= 2λ2 (2) Ω(|2x|2 ),

(13.11)

γ = 2,

= 2λ2 (2) δ(|x|2 − 2 ), γ

p = 2.

γ 3,

p = 2.

(13.12)

62

В. С. Владимиров

χp (ax2 + ξx) dp x

Sγ

=

χp λp (a)|2a|−1/2 p

= |2a|−1/2 p

(13.13) |a|p = p1−2γ . (13.14)

|a|p p2γ 1,

2 ξ −γ ξ χ − = λp (a)|2a|−1/2 Ω p p p 2a , 4a p

(13.15)

|4a|p p2γ > 1. (13.16)

2 ξ γ = 2 λ2 (a)χ2 − δ |ξ|2 − 21−γ , 4a

|a|2 22γ = 2,

2 ξ λ2 (a)χ2 − Ω 2γ |ξ|2 , 4a

p = 2. (13.17)

|a|2 22γ = 4,

p = 2. (13.18)

=2

γ−1/2

χp (ax2 + ξx) dp x,

a = 0, 2 ξ χ = λp (a)|2a|−1/2 . p − p 4a 2 ξ 1 , a = , p = 2. = χp − 2 2 2 iπ ξ 1 = exp χp − , a= , 4 2 2

|4a|p p2−2γ .

2 ξ 1 λp (a)χp − − √ Ω p1−γ |ξ|p , 4a p

χp (ax2 + ξx) dp x = pγ Ω(pγ |ξ|p ),

Bγ

2 ξ ξ γ − δ −p , 4a 2a p

(13.19) (13.20) p = 2.

a = 0, γ = γ(a), exp −|y|2p χp [a(x − y)2 ] dp y, 1 S |a|−1 = |a|−1/2 , |x|p |a|p 1, γ = 2k, p p , p

(13.21)

p = 2. (13.22)

1 −1 1 1 1 −1/2 = √ |a|p S |a| , exp(−|pa|−1 + λp (a)− √ |a|−1/2 p p ), p p p p p |x|p p|a|p 1, γ = 2k + 1, p = 2. (13.23)

Таблицы интегралов

63

2 −1 2 −2 1 = λp (a)|a|−1/2 exp(−|x| ) + |ax| χ (ax ) S |ax| , p p p p p p √ |x|p |a|p p, p = 2. (13.24) − exp(−|pax|−2 p ) , √ −1/2 −1/2 −1 1 = [ 2λ2 (a) − 1]|a|2 exp(−|4a|−1 ) + |a| S |a| , , 2 2 2 2 (13.25) |x|2 |a|2 1, γ = 2k, p = 2. √ −1/2 −1/2 −1 −1 1 = |a|2 exp(−|4a|2 ) + [ 2 λ2 (a) − 1]|a|2 S |a|2 , , 2 (13.26) |x|2 |a|2 = 2, γ = 2k, p = 2. 1 = (2|a|2 )−1/2 S (2|a|2 )−1 , − (2|a|2 )−1/2 exp(−|2a|−1 2 ) 2 −1/2

+ λ2 (a)|2a|2 exp(−|8a|−1 2 ), (13.27) |x|2 2|a|2 1, γ = 2k + 1, p = 2. 1 −1/2 −1/2 = |2a|2 S |2a|−1 exp(−|8a|−1 + λ2 (a)|2a|2 2 , 2 ), 2 √ |x|2 |a|2 = 2, γ = 2k + 1, p = 2. (13.28) 1 = λ2 (a)(2|a|2 )−1/2 S |2a|−1 , 2 , 2 √ (13.29) |x|2 |a|2 = 2 2, γ = 2k + 1, p = 2.

−1/2 −2 1 2 = λ2 (a)|2a|2 exp(−|x|22 ) + |2ax|−1 χ (ax ) S |2ax| , 2 2 2 2 −2 |x|2 |a|2 > 2, p = 2. (13.30) − 2 exp(−|4ax|2 ) , ∼

p4 + p3 2 −5 |2ax|−3 p χp (ax ) + O(|x|p ), p2 + p + 1

|x|p → ∞. (13.31)

−1 S(|a|−1 ) + O[|a|−1/2 exp(−|p2 a|−1 ∼ |a|−1/2 p p ,p p p )], |a|p → 0, γ = 2k.

(13.32)

exp(−|pa|−1 ∼ (p|a|p )−1/2 S((p|a|p )−1 , p−1 ) + O[|a|−1/2 p p )], |a|p → 0,

γ = 2k + 1.

Здесь S(α, q) = (1 − q)

∞ k=0

(−α)k , k!(1 − q 2k+1 )

(13.33)

|q| < 1,

α ∈ C.

64

В. С. Владимиров

Эта функция удовлетворяет соотношению 1 −α 1 2 S(αq , q) = S(α, q) + 1 − e . q q

§ 14.

B02

Bγ2

Sγ2

Bγ2

(13.34)

Две переменные

d2p x = 1.

(14.1)

d2p x = p2γ .

(14.2)

d2p x = (1 − p−2 ) p2γ .

(14.3)

f (|x|p ) d2p x

= (1 − p

−2

γ

)

p2k f (pk ).

(14.4)

k=−∞

f (|x|p ) d2p x

= (1 − p

−2

∞

)

p2k f (pk ).

(14.5)

k=−∞

Bγ2

Sγ2

Bγ2

|x|α−2 d2p x = p

1 − p−2 αγ p , 1 − p−α

Re α > 0.

(14.6)

|x|α−2 d2p x = (1 − p−2 ) pαγ . p |(x, x)|α−1 χp ((ξ, x)) d2p x, p

(14.7)

Re α > 0,

|(ξ, ξ)|p > p−γ .

p ≡ 1 (mod 4) [9]. = Γ2p (α)|(ξ, ξ)|−α p , −α p ≡ 3 (mod 4) [9]. = Γp (α)Γp (α)|(ξ, ξ)| , p

χp ((ξ, x)) d2p x, |(x, x)|α−1 p

Re α > 0,

f ((x, x))χp ((ξ, x)) d2p x,

(ξ, ξ) = 0,

(14.9)

(ξ, ξ) = 0,

= Γ2p (α)|(ξ, ξ)|−α p ≡ 1 (mod 4) [9]. p , −α p (α)|(ξ, ξ)| , p ≡ 3 (mod 4) [9]. = Γp (α)Γ p

(14.8)

(14.10) (14.11)

Таблицы интегралов

=

|(ξ, ξ)|−1 p

65

∞ p−2γ f p−2γ |(ξ, ξ)|−1 1 − p−2 p

γ=0 2 −1 −f p |(ξ, ξ)|p , p ≡ 3 (mod 4) [1].

(14.12)

−2 ∞ 1 p − 3 −γ −γ 1− γ+ p f p |(ξ, ξ)|−1 p p p−1 γ=0 2 1 −1 −1 −2 1 − , f p |(ξ, ξ)|p + f p |(ξ, ξ)|p p p ≡ 1 (mod 4) [1]. (14.13)

= |(ξ, ξ)|−1 p

χp ((ξ, x)) d2 x, |(x, x)|p + m2 p =

=

m = 0,

(ξ, ξ) = 0,

∞ 1 − p−2 p2 − p−2γ 2 2 p + m |(ξ, ξ)|p γ=0 1 + pγ m2 |(ξ, ξ)|p ∞ γ=0

1 1+

p2γ m2 |(ξ, ξ)|p

−

1 p2

+

p2γ m2 |(ξ, ξ)|p

,

p ≡ 3 (mod 4) [1], [9]. (14.14) p4 m−4 |(ξ, ξ)|−2 p ≡ 3 (mod 4) [1], [9]. ∼ 2 p , |(ξ, ξ)|p → ∞, p +1 (14.15) 2 ∞ 1 1 p−3 = 1− γ+ p γ=0 p − 1 1 + pγ m2 |(ξ, ξ)|p 1 1 1 −2 1 − + 2 p p + m2 |(ξ, ξ)|p p + m2 |(ξ, ξ)|p ∞ 1 2 = (γ + 1) − γ 2 γ 1 + p m |(ξ, ξ)|p p + p m2 |(ξ, ξ)|p γ=0 1 + 2 , p ≡ 1 (mod 4) [9]. (14.16) p + pγ m2 |(ξ, ξ)|p p4 ∼− m−4 |(ξ, ξ)|−2 p ≡ 1 (mod 4) [9]. p , |(ξ, ξ)|p → ∞, (p + 1)2 (14.17)

−1 |1 − x|β−1 |x − y|γp |y|α |1 − y|βp −1 dp x dp y |x|α−1 p p p −β = Γp (γ) |t|2−α−β−α Bp (t; α, β)Bp (−t; α , β ) dp t p

66

В. С. Владимиров

= Bp (α, β)Bp (α , β ) + Bp (α, β)Bp (γ, α + β − 1) + Bp (α , β )Bp (γ, α + β − 1) + Bp (α + β − 1, α + β − 1) × Bp (γ, 3 − α − β − α − β ) − Bp (α, α )Bp (γ, α + α ) − Bp (β, β )Bp (γ, β + β ) + Γp (γ)p−γ [Γp (α + β − 1)p1−α−β + Bp (α, β)]

× [Γp (α + β − 1)p1−α −β + Bp (α , β )]

− [Γp (α)p−α + Γp (β)p−β ][Γp (α )p−α + Γp (β )p−β ] , Re α > 0, Re β > 0, Re γ > 0, Re α > 0, Re β > 0. (14.18)

Здесь Bp (t; α, β) =

|x|α−1 |t − x|β−1 χp (x) dp x. p p

Ниже в формулах (14.19)–(14.29) используются обозначения √ / Q×2 для поля Qp ( d ), d ∈ p (см. § 9). В частности (см. (9.2) и (9.6)), √ Bγ2 = [z ∈ Qp ( d ) : |z z¯|p q γ ];

αk =

2kπi , ln q

k ∈ Z.

B02

dp z = 1.

B02

|z z¯|α−1 dp z = p

(14.19) 1 − q −1 , 1 − q −α

Re α > 0.

(14.20)

1 − q −1 αγ q , Re α > 0. 1 − q −α Bγ2 1 f (z z¯) dp z = f (x)θd+ (x) dp x, p = 2 [11], 2 C p,d B0 B0 |z z¯|α−1 dp z = p

(14.21)

(14.22)

где величина Cp,d определена в (9.16) и (9.17). ¯ dp z, χp (zζ + z¯ζ) Re α > 0, δ |4d|p |z z¯|α−1 p ¯ −α , = Γp,d (α)|ζ ζ| ζ = 0 [3]. p = Γp,d (α), ζ = 1.

(14.23) (14.24)

Таблицы интегралов

δ

|4d|p

Bγ2

67

|z z¯|α−1 χp (z + z¯) dp z = Γp,d (α), p γ 1 [3].

Re α > 0,

(14.25)

¯ α−1 |(z − ζ)(¯ ¯ β−1 dp ζ, |ζ ζ| z − ζ)| p p Re α > 0, =

Re β > 0,

, Bq (α, β)|z z¯|α+β−1 p

= Bq (α, β),

Re(α + β) < 1, z = 0 [3].

z = 1.

(14.27)

ξ = 0,

χp (ξz z¯) dp z,

p = 2,

sgnp,d ξ , |d|p = 1, d ∈ / Q×2 p [11], |ξ|p sgnp,d ξ 1 = ± p sgnp,d (−1) , |d|p = [11], |ξ|p p =

Bγ2

¯ = q γ Ω(q γ−r |ζ ζ| ¯ p ) [8]. χp (zζ + zζ)

§ 15.

B0n

S0n

(14.26)

(14.28) (14.29) (14.30)

n-переменных

dnp x = 1.

(15.1)

dnp x = 1 − p−n .

(15.2)

dnp x = pnγ .

(15.3)

dnp x = (1 − p−n )pnγ .

(15.4)

Bγn

Sγn

Bγn

f (|x|p ) dnp x = (1 − p−n )

f (|x|p ) dnp x = (1 − p−n )

γ

pnk f (pk ).

(15.5)

k=−∞ ∞ k=−∞

pnk f (pk ).

(15.6)

68

В. С. Владимиров

Bγn

Sγn

|x|α−n dnp x = p

1 − p−n αγ p , 1 − p−α

|x|p >pγ

Sγn

|x|α−n dnp x = − p

Bγn

1 − p−n γα p , 1 − p−α

Re α < 0.

(15.9)

χp ((ξ, x)) dnp x = (1 − p−n ) pγn Ω(pγ |ξ|p )

Bγn

(15.10)

χp ((ξ, x)) dnp x = pγn Ω(pγ |ξ|p ) [26], [3].

|(x, x)|α−n/2 χp ((ξ, x)) dnp x, p

(15.11)

|(ξ, ξ)|p > p−γ ,

Re α > 0,

n = Γp α − + 1 Γp (α)|(ξ, ξ)|−α n ≡ 0 (mod 4), p , 2 p = 2 или n ≡ 2 (mod 4), p ≡ 1 (mod 4) [10]. n p (α)|(ξ, ξ)|−α = (−1)γ((ξ,ξ)) Γp α − + 1 Γ p , 2 n ≡ 2 (mod 4), p ≡ 3 (mod 4) [10].

χp ((ξ, x)) dnp , (ξ, ξ) = 0, Re α > 0, |(x, x)|α−n/2 p n = Γp α − + 1 Γp (α)|(ξ, ξ)|−α n ≡ 0 (mod 4), p , 2 или n ≡ 2 (mod 4), p ≡ 1 (mod 4) [10]. n γ((ξ,ξ)) p (α)|(ξ, ξ)|−α = (−1) Γp α − + 1 Γ p , 2 n ≡ 2 (mod 4), p ≡ 3 (mod 4) [10].

Bγn

(15.8)

−p(γ−1)n δ(|ξ|p − p1−γ ) [26], [3].

(15.7)

|x|α−n dnp x = (1 − p−n ) pαγ . p

Re α > 0.

|x|α−n χp (x1 ) dnp x = Γ(n) p p (α),

|x|α−n χp (x1 ) dnp x = Γ(n) p p (α),

Re α > 0,

Re α > 0.

γ 1.

(15.12)

(15.13)

p = 2 (15.14)

(15.15) (15.16)

(15.17)

Таблицы интегралов

69

−α |x|α−n χp ((ξ, x)) dnp x = Γ(n) p p (α)|ξ|p ,

Re α > 0,

ξ = 0. (15.18)

−α α χp ((ξ, x)) dnp x = Γ(n) |x, m|α−n p p (α) |ξ|p − |pm|p Ω(|mξ|p ), m = 0 [1], [17].

(15.19)

α−n n (n) |x, 1|−α − pα−n Ω(|ξ|p ) p χp ((ξ, x)) dp x = Γp (n − α) |ξ|p ≡ Jpα (ξ),

Re α > n.

(15.20)

Определим функцию Jpα (ξ) при Re α n как мероморфное продолжение с области Re α > n. В частности,

ln |ξ|p α n −n J (ξ) = J (ξ) = (1 − p ) 1 − lim Ω(|ξ|p ), p α→n, p ln p α>n

(15.21) Jpα (ξ)Jpβ (x − ξ) dnp ξ = Jpα ∗ Jpβ = Jpα+β ,

Re β > 0,

(15.22)

Re(α + β) < n,

|ε|p = 1.

(15.23)

|x − y|β−n dnp y = Bp(n) (α, β)|x|α+β−n , |y|α−n p p p Re α > 0,

α, β ∈ C.

|x|α−n |ε − x|β−n dnp x = Bp(n) (α, β), p p Re α > 0,

α = n.

Re β > 0,

Re(α + β) < n [1], [17].

(15.24)

|y, m|α−n |x − y, m|β−n dnp y = Bp(n) (α, β)|x, m|α+β−n p p p α β−n β α−n − Γ(n) − Γ(n) , p (α)|pm|p |x, m|p p (α)|pm|p |x, m|p

Re(α + β) < n,

m = 0 [17].

(15.25)

x2k + x2k+1 2xk xk+1 χp − dp x1 dp x2 . . . dp xn−1 sin tk tg tk Qn−1 p k=0 n−1 λp (Tn ) |tk |p x2 + x2n 2x0 xn χp = − , n = 2, 3, . . . , sin Tn tg Tn |Tn |p k=0 λp (tk )

n−1

p = 2,

|tk |p

1 , p

Tn =

n−1 k=0

tk [17].

(15.26)

70

В. С. Владимиров

Пусть xi ∈ Qnp , |xi |p = 1, i = 1, 2, . . . , k < pn и |xi − xj |p = 1, i, j = 1, 2, . . . , i = j. Обозначим Dkn = x ∈ Qnp : |x − xi |p = 1, i = 1, 2, . . . , k . Тогда dnp x = 1 − kp−n ,

k pn ,

n Dk

p = 2 [18].

(15.27)

Пусть Gnk = (x1 , x2 , . . . , xk ) ∈ Qkn p : |xi |p = 1, |xi − xj |p = 1, i, j = 1, 2, . . . , k, i = j . Тогда k

dnp x1 dnp x2 . . . dnp xk = (1 − p−n ) = cnp,k , Gn k

k pn ,

=1

p = 2 [18].

(15.28)

Пусть x0 ∈ Qnp , |x0 |p = 1 и Gnk (x0 ) = (x1 , . . . , xk ) ∈ Qkn : p |xi |p = 1, i = 0, 1, . . . , k, |xi − xj |p = 1, i, j = 0, 1, . . . , k, i = j , 1 − (k + 1)p−n n dnp x1 dnp x2 . . . dnp xk = ck,p , 1 − p−n Gn k (x0 ) k + 1 pn , p = 2 [18]. (15.29) Интеграл Миссарова–Лернера [26], [31]. Пусть G – некоторый связный конечный граф, V = V (G) и L = L(G) – множества вершин и ребер его соответственно. Каждой линии l ∈ L сопоставим комплексное число al и обозначим a = {al , l ∈ L}, и каждой вершине v ∈ V сопоставим n-мерный p-адический вектор xv = (xv1 , xv2 , . . . , xvn ) ∈ Qnp . На множестве вершин V введем иерархию A следующим образом. Иерархия A – это семейство подмножеств множества V , таких что: 1) V ∈ A, 2) v ∈ A для всех v ∈ V и 3) для любой пары V ∈ A, V ∈ A либо V ∩V = ∅, либо V ⊂ V , либо V ⊂ V . Для любого V ∈ A, V = V , обозначим через θ(V ) минимальное подмножество в A, cодержащее V , но не совпадающее с ним, и пусть K(V ) = [V ∈ A : θ(V ) = V ]. Рассматриваются только такие иерархии A, для которых 1 < |K(V )| pn , Обозначим a(V ) =

V ∈ A ,

l∈L(G(V ))

al ,

где A = [V ∈ A : |V | > 1]. β(V ) = a(V ) + n(|V | − 1),

Таблицы интегралов

71

где L(G(V )) – множество ребер l графа G, начало i(l) и конец f (l) которых лежат в V ⊂ V = V (G). При условии β(V ) > 0, V ∈ A , справедливо равенство

FG (a) ≡ |xi(l) − xf (l) |apl dnp xv n|V |

Zp

= pa(V )

v∈V

l∈L

A V ∈A

(pn − 1)! , pβ(V ) − 1 (pn − |K(V )|)! 1

где суммирование проводится по всем иерархиям A. (Символ |V | обозначает число элементов множества V .) Вычисление различных фейнмановских интегралов сводится к вычислению интеграла FG (a) [26].

§ 16.

Интегралы и свертки обобщенных функций

Интегралом (см. § 6) обобщенной функции f ∈ S (O) по открытозамкнутому множеству D ∈ O ∈ Qnp называется предел, если он существует, G f (x) dnp x = lim (f θD , Ωk ). k→∞

D

Интегралы обобщенных функций содержатся также в §§ 12–15 и § 17. G dnp x = 1. (16.1) G

B0n

Bγn

G Sγn

dnp x = pγn .

(16.2)

dnp x = (1 − p−n ) pγn .

(16.3)

G f (x) dnp x = f (x) dnp x, G f (x) dnp x = lim γ→∞

Bγn

f ∈ L1 .

f (x) dnp x,

f ∈ L1loc .

(16.4) (16.5)

72

В. С. Владимиров

G f (x) dnp x = f (x) dnp x, D

f ∈ L1 (D).

(16.6)

D

G f (x) dnp x = lim γ→∞

Bγn

f ∈ Lp .

f (x) dnp x,

G f (x) dnp x = (f, ΩN ),

f ∈ S ,

G f (x) dnp x = (f, θD ),

f ∈ S (O),

n spt ∈ BN .

(16.7)

(16.8) (16.9)

D

где D – открытый компакт в O. G f (x) dnp x = lim (f, Ωγ ), f ∈ S .

(16.10)

G δ(x) dnp x = 1.

(16.11)

γ→∞

G

π ≡ 1,

π(x) dp x = 0,

α∈C

(ср. (11.40)).

(16.12)

Sγ

G Bγ

|x|α−1 π(x) dp x = 0, p

G |x|α−1 π(x) dp x = 0, p

π ≡ 1, π ≡ 1,

1 − p−1 αγ G |x|α−1 d x = p p p 1 − p−α Bγ G |x|α−1 dp x = 0, p G Sγ

G Bγ

α = αk ,

α ∈ C. α ∈ C.

(ср. (11.18)). k∈Z

(ср. (8.3 )).

p − 2 + p−α α |a|p , p(1 − p−α ) (ср. (11.20)).

(16.13)

(16.14)

(16.15)

(16.16)

|x − a|α−1 dp x = p |a|p = pγ

|x2 + a2 |(α−1)/2 dp x = p 0 = |a|p pγ ,

1 − pα−1 α 1 − p−1 αγ |a|p + p , 1 − pα 1 − p−α p ≡ 3 (mod 4) (ср. (11.28)).

(16.17)

(16.18)

Таблицы интегралов

73

1 − pα−1 α G |x2 + a2 |(α−1)/2 dp x = |a|p , p 1 − pα a = 0, p ≡ 3 (mod 4) ( ср. (11.30)). dp x G |x2 + a2 |α−1 p

(16.19)

Bγ

1 2 1 2 + = 1− + 1− |a|2α−1 p p p pα − 1 p1−2α − 1 (2α−1)γ 1 p − 1− , p 1 − p2α−1 0 = |a|p pγ , p ≡ 1 (mod 4).

1 2 2 2 α−1 G |x + a |p dp x = 1 − + 1 − p p 1 2 + , |a|2α−1 × α p p − 1 p1−2α − 1 a = 0, p ≡ 1 (mod 4) (ср. (11.31)). 1 − p−1 3 dp x = 1 − − 2 , G |x2 + 1|α−1 p p 1 − pα S0 α = αk , k ∈ Z, p ≡ 1 (mod 4) (ср. (11.32)). |x|α−1 p

∗

|x|β−1 p

=

Bp (α, β)|x|α+β−1 . p

(16.20)

(16.21)

(16.22) (16.23)

|1 − x|β−1 dp x = Bp (α, β), G |x|α−1 p p

∗ |x, m|β−1 = Bp (α, β)|x, m|α+β−1 |x, m|α−1 p p p β−1 − Γp (α)|pm|α − Γp (β)|pm|βp |x, m|α−1 , (16.24) p |x, m|p p

m = 0 (ср. (11.68)). α G |x, m|α−1 χp (ξx) dp x = Γp (α)(|ξ|−α p p − |pm|p )Ω(|mξ|p ),

(16.25)

m = 0, α ∈ C (см. (12.48)). (16.26) G δ(x0 − k) dp x = pγ−1 , k = 1, 2, . . . , p − 1 (см. (11.33)). (16.27) Sγ

G

2 γ 1− p , p k = 1, 2, . . . , p − 1 (см. (11.34)).

[1 − δ(x0 − k)] dp x = Sγ

(16.28)

74

В. С. Владимиров

1 γ−1 1− , p p Sγ k = 0, 1, . . . , p − 1, n ∈ Z+ (см. (11.35)). 2 1 G [1 − δ(xn − k)] dp x = 1 − pγ , p Sγ k = 0, 1, . . . , p − 1, n ∈ Z+ (см. (11.36)). G

δ(xn − k) dp x =

G

δ(x0 − k0 ) Sγ

n

δ(xl − kl ) = pγ−n−1 ,

kl = 0, 1, . . . , p − 1,

(см. (11.37)).

n = 0, 1, . . .

(16.31)

n ! "

1 − δ(x0 − k0 ) δ(xl − kl ) = (1 − p−1 − p−n−1 )pγ , Sγ

l=1

kl = 0, 1, . . . , p − 1, G

(16.30)

l=1

k0 = 0, G

(16.29)

k0 = 0,

(16.32)

n = 0, 1, . . . (см. (11.38)).

n 1 γ−n δ(xl − kl ) dp x = 1 − , p p Sγ l=1

kl = 0, 1, . . . , p − 1,

n ∈ Z+ . ! n "

1 1− G δ(xil − kil ) dp x = 1 − (1 − p−n ) pγ , p Sγ

(16.33)

kl = 0, 1, . . . , p − 1, n ∈ Z+ . 1 α−n n α∈C G |x|p dp x = 1 − −n pαγ , p Sγn

(16.34)

l=1

1 − p−n αγ G |x|α−n dnp x = p p 1 − p−α Bγn G |x|α−n dnp x = 0, p G Bγn

(см. (15.8)). (16.35)

(ср. (15.7)).

n ∈ Z+ .

|(x, x)|α−n/2 χp ((ξ, x)) dnp x, p

(16.36)

(16.37) |(ξ, ξ)|p > pγ ,

n = Γp α− +1 Γp (α)|(ξ, ξ)|−α n ≡ 0 (mod 4), p , 2 или n ≡ 2 (mod 4), p ≡ 1 (mod 4).

p = 2 (16.38)

Таблицы интегралов

75

n p (α)|(ξ, ξ)|−α = (−1)γ((ξ,ξ)) Γp α − + 1 Γ p , 2 πi n α = αk − , αk + − 1, k ∈ Z , ln p 2 n ≡ 2 (mod 4), p ≡ 3 (mod 4) (ср. (15.13)).

(16.39)

= Γ2p (α)|(ξ, ξ)|−α p ,

(16.40)

=

n = 2,

p ≡ 1 (mod 4).

p (α)|(ξ, ξ)|−α , Γp (α)Γ p

n = 2, p ≡ 3 (mod 4) (см. (14.9)). G |(x, x)|α−n/2 χp ((ξ, x)) dnp x, (ξ, ξ) = 0, p

(16.41)

n = Γp α − + 1 Γp (α)|(ξ, ξ)|−α n ≡ 0 (mod 4), p , 2 или n ≡ 2 (mod 4), p ≡ 1 (mod 4). n γ((ξ,ξ)) p (α)|(ξ, ξ)|−α , = (−1) Γp α − + 1 Γ p 2 n ≡ 2 (mod 4), =

Bγn

(16.43)

p ≡ 1 (mod 4) (ср. (14.10)).

(16.44)

p (α)|(ξ, ξ)|−α , Γp (α)Γ p n = 2,

G

(16.42)

Γ2p (α)|(ξ, ξ)|−α p , n = 2,

=

p ≡ 3 (mod 4) (см. (15.15)).

p = 2

p ≡ 3 (mod 4) (ср. (14.11)).

|x|α−n χp (x1 ) dnp x = Γ(n) p p (α),

γ ∈ Z+ .

(16.46)

G |x|α−n χp (x1 ) dnp x = Γ(n) p p (α). −α G |x|α−n χp (ξ, x) dnp x = Γ(n) p p (α)|ξ|p ,

(16.45)

(16.47) ξ = 0

|x|α−n ∗ |x|β−n = Bp(n) (α, β)|x|α+β−n . p p p

(ср. (15.18)). (16.48) (16.49)

−α α G |x, m|α−n χp (ξ, x) dnp x = Γ(n) p p (α) |ξ|p − |pm|p Ω(|mξ|p ), m = 0,

α∈C

(ср. (15.19)).

(16.50)

76

В. С. Владимиров

n G |x, 1|−α p χp (ξ, x) dp x α−n = Γ(n) − pα−n Ω(|ξ|p ), p (n − α) |ξ|p |x, m|α−n p

∗

|x, m|β−n p

=

α ∈ C.

(16.51)

Bp(n) (α, β)|x, m|α+β−n p

α β−n β α−n = − Γ(n) − Γ(n) , p (α)|pm|p |x, m|p p (β)|pm|p |x, m|p

m = 0 (ср. (15.25)).

(16.52)

(Dα ϕ)(x) = (f−α ∗ ϕ)(x), ϕ ∈ S, ϕ(y) − ϕ(x) = Γ−1 dp y, Re α > 0. (16.53) p (−α) |x − y|α+1 p dp y. (16.54) = (1 − p−α−1 )−1 [ϕ(x + y) − ϕ(x + y/p)]|y|−α−1 p p−1 =− f (y) dp y = 0, ϕ(y) ln |x − y|p dp y, p ln p (16.55) α = αk − 1, k ∈ Z. = ϕ(x), α = αk , k ∈ Z. (16.56) Re α > −1. (16.57) = |ξ|α p (−ξx) dp ξ, p ϕ(ξ)χ dp ξ, Re α < −1. (16.58) = |ξ|α p (−ξx) − ϕ(0)] p [ϕ(ξ)χ 1 = |ξ|−1 dp ξ + ϕ(0) p (−ξx) − ϕ(0)] p [ϕ(ξ)χ p Zp + |ξ|−1 α = αk −1, k ∈ Z. (16.59) p (−ξx) dp ξ, p ϕ(ξ)χ Qp \Zp

Dα χp (ax) = |a|α p χp (ax),

α ∈ C,

a = 0.

Dα Φ(x) = pγα Φ(x), α∈ R [1],γ f ∈ S . если Φ(x) = F δ |ξ|p − p f (ξ) , γ χp (ax2 ), Dα δ |x|p − pγ χp (ax2 ) = pγα |2a|α p δ |x|p − p α ∈ R, |2a|p p2−2γ [1]. Dα η(x0 )δ |x|p − pγ = pα(1−γ) η(x0 )δ |x|p − pγ , p−1 η(k) = 0 [4]. α ∈ R, p = 2, k=1

(16.60) (16.61)

(16.62)

(16.63)

Таблицы интегралов

(Dα f )(x),

f ∈ S ,

77

spt f ∈ BN ,

α−1 (f, ΩN ), = Γ−1 p (α)|x|p p−1 ln |x|p (f, ΩN ), =− p ln p

Dα 1 = 0,

|x|p > pN ,

α = −1 [3].

(16.64)

α = −1 [3].

(16.65)

α > 0.

(16.66)

α ∈ C, a ∈ Qp . (16.67) Dα δ(x − a) = f−α (x − a), Dα δ |x|p − p−N δ(x0 − j) χp p−2N x2 = pαN δ |x|p − p−N δ(x0 − j) χp p−2N x2 , N ∈ Z, p = 2, α > 0, = 2, 3, . . . , j = 1, 2, . . . , p − 1, = ε0 + ε1 p + · · · + ε−2 , εs = 0, 1, . . . , p − 1, ε0 = 0, s = 0, 1, . . . , − 2 [4]. (16.68) Dα Ω pN −1 |x|p χp (jp−N x) = pαN Ω pN −1 |x|p χp jp−N x , N ∈ Z, p = 2, α > 0, j = 1, 2, . . . , p − 1 [4]. (16.69) Dα δ |x|2 − 2+1−N χ2 2−2N x2 + 2−N −j x = 2αN δ |x|2 − 2+1−N χ2 2−2N x2 + 2−N −j x , N ∈ Z, p = 2, α > 0, = 2, 3, . . . , j = 0, 1, = 1 + ε1 2 + · · · + ε−2 2−2 , (16.70) εs = 0, 1, s = 1, 2, . . . , − 2 [4]. Dα Ω 2N |x − j2N −2 |2 − δ |x − j2N −2 |2 − 21−N = 2αN Ω 2N |x − j2N −2 |2 − δ |x − j2N −2 |2 − 21−N , N ∈ Z, Dα Ω p−γ |x|p =

p = 2,

α > 0,

j = 0, 1 [4].

(16.71)

x ∈ Bγ ,

α > 0 [5]. (16.72)

x ∈ Sγ ,

α > 0 [5]. (16.73)

p−1 pα(1−γ) , pα+1 − 1

pα + p − 2 α(1−γ) Dα δ |x|p − pγ = α+1 p , p −1

Пусть K (t, τ ) – вещественное симметричное ядро −1 1 K (t, τ ) = ρ 1 − t−α−1 , p 1 pα + p − 2 α −1 p , ρ = −Γp (−α) 1 − σ = α+1 , p −1 p

K (t, t) = 0,

τ < t, σ + ρ = pα ,

78

В. С. Владимиров

и функция f ∈ L1loc такова, что |f (x)||x|−α−1 dp x < ∞. p |x|p >1

Тогда

(D f )(x) = − K (|x|p , |y|p )f (y) dp y +σ|x|−α p f (x), α > 0 [5]. (16.74) α

В нижеследующих формулах § 16 все интегралы G f (z, z¯) dp z понимаются по нормированной мере√dp z = δ −1 dp x dp y, z = √ √ x + d y, z¯ = x − d y, поля Qp ( d ), d ∈ / Q×2 (см. (9.2)). p В частности, √ Bγ2 = [z ∈ Qp ( d ) : |z z¯|p q γ ]. G G

B02

B02

dp z = 1. |z z¯|α−1 dp z = p

(16.75) 1 − q −1 . 1 − q −α

G |z z¯|α−1 dp z = 0. p Γp,d (α) G |z z¯|α−1 χp (z + z¯) dp z = . p δ |4d|p Γp,d (α) G |z z¯|α−1 χp (z + z¯) dp z = , p 2 δ |4d|p B1 |z z¯|α−1 ∗ |z z¯|β−1 = Bq (α, β)|z z¯|α+β−1 . p p p

(16.76)

(16.77) (16.78)

(16.79) (16.80)

|(1 − z)(1 − z¯)|β−1 dp z = Bq (α, β). G |z z¯|α−1 p p

(16.81)

sgnp,d ξ 1+p + G χp (ξz z¯) dp z = δ(ξ), |ξ|p 2p / Q×2 p = 2, |d|p = 1, d ∈ p [11].

(16.82)

Таблицы интегралов

79

sgnp,d ξ G χp (ξz z¯) dp z = ± p sgnp,d (−1) + δ(ξ), |ξ|p 1 p = 2, |d|p = [11]. p

§ 17.

(16.83)

Таблица преобразований Фурье

Для взаимно однозначного соответствия между прообразом f ∈ S и его образом f ∈ S – преобразованием Фурье f – будем использовать обозначение (см. § 7) f (x) ⇐⇒ f(ξ). ωγ (x) ⇐⇒ δγ (ξ).

(17.1)

δ(x) ⇐⇒ 1(ξ).

(17.2)

−1 f (Ax + b) ⇐⇒ | det A|−1 b, ξ) f(A¯ ξ), p χp −(A det A = 0, b ∈ Qnp .

(17.3)

f (x − b) ⇐⇒ χp ((b, ξ))f(ξ),

(17.4)

b ∈ Qnp .

˘ f˘(x) ⇐⇒ f(ξ). f (x) ⇐⇒ f (x)χp ((ξ, x)) dnp x, f (x) ⇐⇒ lim

k→∞

Bkn

f (x) ⇐⇒ lim

k→∞

Bkn

f · g ⇐⇒ f ∗ g.

f ∈ L1 .

(17.6)

f (x)χp ((ξ, x)) dnp x в S ,

f ∈ L1loc .

(17.7)

f (x)χp ((ξ, x)) dnp x в L2 ,

f ∈ L2 .

(17.8)

f (x) ⇐⇒ f (x), ΩN (x)χp ((ξ, x)) , f ∗ g ⇐⇒ f · g.

(17.5)

spt f ∈ BN .

(17.9) (17.10)

(17.11) 1 γ γ δ |x|p − pγ ⇐⇒ 1 − p Ω p |ξ|p − pγ−1 δ |ξ|p − p1−γ . (17.12) p

80

В. С. Владимиров

f |x|p Ωγ |x|p ⇐⇒

γ 1 pk f (pk )Ω pγ |ξ|p 1− p k=−∞

∞ 1 −γ −γ −1 −1 −1 p f p |ξ|p − f p|ξ|p +|ξ|p 1− p k=0 × 1 − Ω pγ |ξ|p . (17.13) f (|x|p ) ⇐⇒ |ξ|−1 p

∞ 1 −γ −γ −1 .(17.14) p f p |ξ|p − f p|ξ|−1 1− p p k=0

|x|α−1 ⇐⇒ Γp (α)|ξ|−α p p .

(17.15)

−1 1 1 −1 ln p reg |ξ|p + δ(ξ) . ln |x|p ⇐⇒ − 1 − p p |ξ|p 1 1 ⇐⇒ 1 − |x|2p + m2 p p2 + m2 |ξ|2p ×

∞

p−γ

γ=0

p2 − p−2γ , p−2γ + m2 |ξ|2p

m = 0.

(17.16)

(17.17)

|1 − x|β−1 ⇐⇒ Γp (α + β − 1)|ξ|1−α−β + Bp (α, β) Ω(|ξ|p ) |x|α−1 p p p −β (17.18) + Γp (α)|ξ|−α p + Γp (β)|ξ|p χp (ξ) [1 − Ω(|ξ|p )]. ⇐⇒ Γp (α)χp (ξ)|ξ|−α δ(|x|p − 1)|1 − x|α−1 p p ,

γ(ξ) 2.

ηx0 δ |x|p − pγ ⇐⇒ pγ−1 ηξ 0 δ |ξ|p − p1−γ , где

p−1 k=1

ηk = 0,

p = 2, p−1 kj ηj = ηk exp 2πi . p

(17.19) (17.20)

k=1

1 − p−1 αγ γ Ω p−γ |x|p ⇐⇒ p Ω p |ξ|p |x|α−1 p 1 − p−α + Γp (α)|ξ|−α 1 − Ω pγ |ξ|p . p

(17.21)

δ(|x|p − 1)δ(x0 − p + 1) ⇐⇒ p−1 χp (−ξ)Ω(|pξ|p ).

(17.22)

χp (x)Ω(|px|p ) ⇐⇒ pδ(|ξ|p − 1)δ(ξ0 − p + 1).

(17.23)

Таблицы интегралов

81

α |x, m|α−1 ⇐⇒ Γp (α) |ξ|−α p p − |pm|p Ω(|mξ|p ), m = 0, α ∈ C.

(17.24)

∞ ! f ((x, x)) ⇐⇒ |(ξ, ξ)|−1 (1 − p−2 ) p−2γ f p−2γ |(ξ, ξ)|−1 p p γ=0 " − f p2 |(ξ, ξ)|−1 , n = 2, p ≡ 3 (mod 4). p

(17.25)

2 ∞ p−3 f ((x, x)) ⇐⇒ γ+ p−1 γ=0 1 −2 1− × p−γ f p−γ |(ξ, ξ)|−1 f p|(ξ, ξ)|−1 p p p 2 +f p |(ξ, ξ)|−1 , n = 2, p ≡ 1 (mod 4). p |(ξ, ξ)|−1 p

1 1− p

⇐⇒ Γ2p (α)|(ξ, ξ)|−α |(x, x)|α−1 p p ,

n = 2,

(17.26)

p ≡ 1 (mod 4). (17.27)

p (α)|(ξ, ξ)|−α , ⇐⇒ Γp (α)Γ |(x, x)|α−1 p p n = 2, p ≡ 3 (mod 4).

(17.28)

∞ p2 − p−2γ 1 − p−2 1 ⇐⇒ , |(x, x)|p + m2 p2 + m2 |(ξ, ξ)|p γ=0 1 + pγ m2 |(ξ, ξ)|p

m = 0, p ≡ 3 (mod 4). (17.29) 2 ∞ 1 1 1 p−3 ⇐⇒ 1 − γ + |(x, x)|p + m2 p γ=0 p − 1 1 + pγ m2 |(ξ, ξ)|p n = 2,

1 − 1/p 1 + 2 , p + m2 |(ξ, ξ)|p p + m2 |(ξ, ξ)|p n = 2, m = 0, p ≡ 1 (mod 4). (17.30) n |(x, x)|α−n/2 ⇐⇒ Γp α − + 1 Γp (α)|(ξ, ξ)|−α p p , 2 n α = αk , ak + − 1, k ∈ Z , n ≡ 0 (mod 4), p = 2 2 или n ≡ 2 (mod 4), p ≡ 1 (mod 4). (17.31) n p (α)|(ξ, ξ)|−α |(x, x)|α−n/2 ⇐⇒ (−1)γ((ξ,ξ)) Γp α − + 1 Γ p p , 2 n ≡ 2 (mod 4), n 6, p ≡ 3 (mod 4). (17.32) −2

82

В. С. Владимиров

−α |x|α−n ⇐⇒ Γ(n) p p (α)|ξ|p .

(17.33)

−α α |x, m|α−n ⇐⇒ Γ(n) p p (α) |ξ|p − |pm|p Ω(|mξ|p ), m = 0, α ∈ C. 2 ξ |2a|p χp (ax2 )δ(|x|p − pγ ) ⇐⇒ λp (a)χp − 4a γ 2−2γ |4a|p p . ×δ |ξ|p − |2a|p p ,

2 ξ 1 |2a|p χp (ax2 )δ(|x|p − pγ ) ⇐⇒ λp (a)χp − −√ 4a p ×Ω p1−γ |ξ|p , p = 2, |a|p = p1−2γ . χp (ax2 )Ω p−γ |x|p ⇐⇒ pγ Ω pγ |ξ|p , |a|p p2γ 1. 2 ξ |2a|p χp (ax2 )Ω p−γ |x|p ⇐⇒ λp (a)χp − 4a −γ −1 2γ |4a|p p p. ×Ω p |2a|p |ξ|p ,

(17.34)

(17.35)

(17.36) (17.37)

(17.38)

2 ξ |2a|2 χ2 (ax2 )Ω 2−γ |x|2 ⇐⇒ λ2 (a)χ2 − 4a ×δ(|ξ|2 − 21−γ ),

|a|2 22γ = 2. |2a|2 χ2 (ax2 )Ω(2−γ |x|2 ) ⇐⇒ λ2 (a)χ2 −ξ 2 /4a Ω(2γ |ξ|2 ), p = 2,

(17.39)

|a|2 22γ = 4. (17.40) 2 ξ χp (ax2 ) ⇐⇒ λp (a)|2a|−1/2 χp − , a = 0. (17.41) p 4a 2 2 x ξ ⇐⇒ χp − , p = 2. (17.42) χp 2 2 2 2 x ξ π χ2 ⇐⇒ exp i χ2 − , p = 2. (17.43) 2 4 2 2 ξ 2 2 −1 1 |a|p exp −|x|p χp (ax ) ⇐⇒ S |a|p , |ξ|p χp − Ω |a|−1/2 p p 4a 2 2

ξ ξ −1 −2 1 + λp (a) exp − χp − |ξ| , S |ξ| + |a|1/2 p p p a p 4a p p = 2,

Таблицы интегралов

83

1 − Ω |a|−1/2 − exp −|pξ|−2 |ξ|p , p p p = 2,

γ(a) = 2k. (17.44) 1 1 1 |a|p exp −|x|2p χp (ax2 ) ⇐⇒ √ S p−1 |a|−1 , (a) − + λ √ p p p p p 2 ξ √ |ξ|p × exp −|pa|−1 Ω p |a|−1/2 χp − p p 4a 2 2

ξ ξ 1/2 −1 −2 1 + λp (a) exp − χp − + |a|p |ξ|p S |ξ|p , a p 4a p √ 1 − Ω p |a|−1/2 − exp −|pξ|−2 |ξ|p , p p p = 2,

γ(a) = 2k + 1. (17.45) √ |a|2 exp −|x|22 χ2 (ax2 ) ⇐⇒ [ 2 λ2 (a) − 1] exp −|4a|−1 2 2 1 ξ −1/2 + exp −|4a|−1 + S |a|−1 , |ξ| − χ Ω |4a| 2 2 p 2 2 2 4a 2 √ 1 ξ 1/2 + χ 2 λ2 (a) − 1 S |a|−1 , − |a| δ |ξ| 2 2 − 2 2 2 4a 2 √ ξ 2 χ 2 λ2 (a) exp −|2a|−2 |ξ| + 2 − 2 2 4a

1/2 −2 −2 , 1/2 − 2 exp −|2ξ| + |a|2 |ξ|−1 S |ξ| 2 2 2 −1/2 × 1 − Ω |a|2 |ξ|2 ,

p = 2,

γ(a) = 2k.

(17.46)

−1 a 1 1 2 2 |a|2 exp −|x|2 χ2 (ax ) ⇐⇒ √ S , − exp −|2a|−1 2 2 2 2 2 2 ξ −1/2 + 2λ2 (a) exp −|8a|−1 Ω |8a|2 |ξ|2 χ2 − 2 4a

√ −1 1 −1 + 2 S |2a|2 , + λ2 (a) exp −|8a|2 2 2 ξ × χ2 − δ |ξ|2 − 2|a|2 4a 2 √ ξ −1 1 + 2 λ2 (a)S |2a|2 , χ2 − δ |ξ|2 − 2|a|2 2 4a

84

В. С. Владимиров

1/2 −2 1 −2 |a|2 |ξ|−1 , S |ξ| − 2 exp −|2ξ| 2 2 2 2 2 √ ξ 2 + 2 λ2 (a) exp −|2a|−2 2 |ξ|2 χ2 − 4a −1/2 × 1 − Ω 2−1/2 |a|2 |ξ|2 , p = 2, γ(a) = 2k + 1.

+

−1 θ(x) ⇐⇒ Γp (πα,θ )|ξ|−α (ξ), θ ≡ 1, α ∈ C. |x|α−1 p p θ θ(pk x)δ |x|p − pk ⇐⇒ pk ap,k (θ)θ−1 (ξ)δ |ξ|p − 1 ,

k = ρ(θ),

величина ap,k определена в (8.17).

¯ −α , |z z¯|α−1 ⇐⇒ Γp,d (α)|ζ ζ| p p

d∈ / Q×2 p

(см. (9.7)).

p (α)|ξ|−α |x|α−1 sgnp,d x ⇐⇒ Γ p p sgnp,d ξ, / Q×2 (см. (8.8)). p = 2, |d|p = 1, d ∈ p |x|α−1 sgnp,d x ⇐⇒ ±pα−1/2 sgnp,d (−1) |ξ|−α p p sgnp,d ξ, 1 (см. (8.24)). p = 2, |d|p = p

(17.47) (17.48)

(17.49) (17.50)

(17.51)

(17.52)

Литература [1] Владимиров В. C., Волович И. В., Зеленов Е. И., p-Адический анализ и математическая физика. – М.: Наука, 1994. То же на англ. яз. Vladimirov V. S., Volovich I. V., Zelenov E I., pAdic Analysis and Mathematical Physics. – Singapore: World Scientiﬁc, 1994, XVIII [2] Владимиров В. C., Волович И. В., Зеленов Е. И., “Спектральная теория в p-адической квантовой механике и теория представлений” // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1990. 54(2), 275– 302. [3] Владимиров В. C., “Обобщенные функции над полем pадических чисел” // УМН, 1988. 43(5), 17–53. [4] Владимиров В. C., “О спектре некоторых псевдо-дифференциальных операторов над полем p-адических чисел” // Алгебра и анализ, 1990. 2(6), 107–124.

Таблицы интегралов

85

[5] Владимиров В. C., “О спектральных свойствах p-адических псевдо-дифференциальных операторов типа Шредингера” // Изв. РАН. Сер. матем., 1992. 56(4), 770–789. [6] Владимиров В. C., “Адельные формулы Фрейнда–Виттена для амплитуд Венециано и Вирасоро–Шапиро” // УМН, 1993. 48(6), 3–38. [7] Vladimirov V. S., “On the Freund–Witten adelic formulafor Veneziano amplitudes” // Lett. Math. Phys., 1993. 27, 123–131. [8] Vladimirov V. S., “Adelic formulas for gamma- and betafunctions in algebraic number ﬁelds” // p-Adic Functional Analysis. Lect. Notes Pure and Appl. Math. – New York: M. Dekker, 1997. 192, 383–395. [9] Бикулов А. Х., “Исследование p-адической функции Грина” // ТМФ, 1991. 87(3), 376–390. [10] Бикулов А. Х., Частное сообщение. [11] Гельфанд И. М., Граев М. И., Пятецкий-Шапиро И. И., Теория представлений и автоморфные функции. – М.: Наука, 1966. [12] Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел. – М.: Наука, 1985. [13] Ruelle Ph., Thiran E., Verstegen D., Weyers J., “Quantum mechanics on p-adic ﬁelds” // J. Math. Phys., 1989. 30(12), 2854–2874. [14] Ruelle Ph., Thiran E., Verstegen D., Weyers J., “Adelic string and superstring amplitudes” // Mod. Phys. Lett. A, 1989. 4(18), 1745–1752. [15] Vladimirov V. S., Volovich I. V., “p-Adic quantum mechanics” // Commun. Mathem. Phys., 1989. 123, 659–676. [16] Meurice Y., “Quantum mechanics with p-adic numbers” // Int. J. Modern Phys. A, 1989. 4(19), 5133–5147. [17] Smirnov V. A., “Renormalization in p-adic quantum mechanics” // Modern Phys. Lett. A., 1991. 6(15), 1421–1427.

86

В. С. Владимиров

[18] Smirnov V. A., “Calculation of general p-adic Feynmann amplitude” // Commun. Math Phys., 1992. 149, 623–636. [19] Zelenov E. I., “p-adic path integrals” // J. Math. Phys., 1991. 32, 147–152. [20] Зеленов Е. И., “p-Адическая квантовая механика при p = 2” // ТМФ, 1989. 80(2), 253–264. [21] Kochubei A. N., “Additive and multiplicative fractional diﬀerentiations over the ﬁeld of p-adic numbers” // p-Adic Functional Analysis, Lect. Notes Pure and Appl. Math. – New York: M.Dekker, 1997. 192, 275–280. [22] Kochubei A. N., “A Schr¨ odinger-type equation over the ﬁeld of p-adic numbers” // J. Math. Phys., 1993. 34(8), 3420–3428. [23] Кочубей А. Н., “Параболические уравнения над полем p-адических чисел” // Изв. РАН. Сер. матем., 1991. 55(6), 1312–1330. [24] Кочубей А. Н., “Гауссовы интегралы и спектральная теория над локальным полем” // Изв. РАН. Сер. матем., 1994. 58(6), 69–78. [25] Кочубей А. Н., “Об асимптотике p-адических функций Грина” // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1994. 203, 116–125. [26] Missarov M. D., “Renormalization group and renormalization theory in p-adic and adelic scalar models” // Adv. Soviet Math., 1991. 3, 143–164. [27] Frampton P. H., “Retrospective on p-adic string theory” // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1994. 203, 287–291. [28] Бикулов А. Х., Волович И. В., “p-Адическое броуновское движение” // Изв. РАН. Сер. матем., 1997. 61(3), 75–90. [29] Dragovi´c B. G., Частное сообщение. [30] Taibleson M. H., Fourier Analysis on Local Fields. – Princeton: Princeton Univ. Press and Univ. of Tokio Press, 1975.

Таблицы интегралов

87

[31] Lerner E. Yu., Missarov M. D., “p-Adic Feynman and string amplitudes” // Commun. Math. Phys., 1989. 121, 35–48. [32] Brekke L., Freund P. G. O., “p-Adic numbers in physics” // Physics Reports (Rev. Sect. of Phys. Lett.), 1993. 233(1), 1–66. [33] Козырев С. В., Теория всплесков как p-адический спектральный анализ // Изв. РАН. Сер. матем., 2002. 66(2), 149–158. [34] Хренников А. Ю., Неархимедов анализ и его приложения. – M.: Физматлит, 2003.

88

В. С. Владимиров

Оглавление Часть I. Краткие сведения из p-адического анализа . § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10.

Поле p-адических чисел Qp . . . . . Некоторые функции на Qp . . . . . . Аналитические функции . . . . . . . Мера Хаара на Qp . . . . . . . . . . . n-мерное пространство Qnp . . . . . . Обобщенные функции на Qnp . . . . . Преобразование Фурье . . . . . . . . Однородные обобщенные функции . Квадратичные расширения поля Qp Оператор Dα . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

3

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

3 6 9 12 14 15 23 25 34 41

Часть II. Таблицы интегралов . . . . . . . . . § 11. Простейшие интегралы, одна переменная . § 12. Интегралы Фурье . . . . . . . . . . . . . . . § 13. Гауссовы интегралы . . . . . . . . . . . . . . § 14. Две переменные . . . . . . . . . . . . . . . . § 15. n-переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . § 16. Интегралы и свертки обобщенных функций § 17. Таблица преобразований Фурье . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

47 47 53 61 64 67 71 79

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

Научное издание СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ Выпуск 2

Василий Сергеевич Владимиров

Таблицы интегралов комплекснозначных функций p-адических аргументов

Ответственный за выпуск А. Д. Изаак Компьютерная верстка Е. И. Иванникова

Сдано в набор 15.07.2003. Подписано в печать 08.09.2003. Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 5,63. Уч.-изд. л. 5,6. Тираж 100 экз. Отпечатано в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН Москва, 119991, ул. Губкина, 8. http://www.mi.ras.ru/spm/ e-mail: [email protected]

Таблицы интегралов комплекснозначных функций p-адических аргументов

p)

P

The P-38 Lightning (2): P-38J Throgh P-38M

Null-P

P-35

P 47

P-38

Generation P

Null-P

Broodje @@p

P-24

N-P

Null-P

Null-P

О p-группах автоморфизмов абелевых p-групп

P is for Peril

P Is For Peril

P is for Peril

Piaggio P.108

P is for Peril

Теория Галуа p-расширений

P Is for Peril

Советы по P-CAD

P-51 Mustang

p-adic functional analysis

О [$]p[$]-разложимых группах

P Jak Przestepstwo

Seversky's P-35

PZL P.37 Los

P-39 Airacobra

Таблицы интегралов комплекснозначных функций p-адических аргументов

p)

P

The P-38 Lightning (2): P-38J Throgh P-38M

Null-P

P-35

P 47

P-38

Generation P

Null-P

Broodje @@p

P-24

N-P

Null-P

Null-P

О p-группах автоморфизмов абелевых p-групп

P is for Peril

P Is For Peril

P is for Peril

Piaggio P.108

P is for Peril

Теория Галуа p-расширений

P Is for Peril

Советы по P-CAD

P-51 Mustang

p-adic functional analysis

О [$]p[$]-разложимых группах

P Jak Przestepstwo

Seversky's P-35

PZL P.37 Los

P-39 Airacobra

Recommend Documents