Алгебра и логика, 40, N 3 (2001), 330—343
УДК 512.544
О р-ГРУППАХ С ЧЕРНИКОВСКИМ ЦЕНТРАЛИЗАТОРОМ НЕЕДИНИЧНОГО ЭЛЕМЕНТА ПРОСТОГО ПОРЯДКА*) А.М.ПОПОВ
Классические результаты Н. Блэкберна [1] и В.П.Шункова [2] пока зали основное направление исследований в области характеризаций черниковских р-групп. Используя нормализаторный процесс О.Ю. Шмидта [3], автор настоящей статьи под руководством В. П. Шункова в 1981 г. получил следующий результат [4]: р-группа будет черниковской, если она обладает элементом а про стого порядка с черниковским централизатором, который почти с каж дым сопряженным с ним элементом порождает в группе конечную под группу. А. И. Созутов предложил автору продолжить изучение р-групп, обла дающих элементами с черниковскими централизаторами. Докажем, что имеет место Т Е О Р Е М А . Пусть G — р-группа, а —- ее элемент, простого по рядка р, и CG(O) — черниковская группа. Тогда либо G — черниковская группа, либо G обладает не локально конечным сечением по черников ской подгруппе, в котором максимальная локально конечная подгруппа, содержащая образ элемента а, является
единственной.
*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект 99-01-00542, и Красноярского краевого фонда науки, грант 9F132.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2001
О р-группах с черниковским централизатором
331
Предположим, теорема не верна и С ~ - контрпример к ней. Подгруп пой типа М(о) называется произвольная максимальная (по включению) локально конечная подгруппа из G, содержащая а. В силу теоремы Н. Бл экберна [1], подгруппа типа М(а) — черниковская. Л Е М М А 1. Любая подгруппа типа М(а) бесконечна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть М ~ конечная подгруппа типа М(а). Поскольку группа G — контрпример к теореме, она обладает подгруппой Mi типа М(а), отличной от М. Пересечение М П Mi содержит элемент а. Обозначим это пересечение через D\. Если бы D\ — М, то, по опре делению подгруппы типа М(а), подгруппы М, Mi совпали бы вопреки предположению. Следовательно, D\ ф М. Так как а £ X?i, то CG{D\)
— черниковская группа. Поскольку Dx ко
нечно, то конечен и индекс \NG{D\)
: CG{D{)\.
Следовательно, NG{D\)
—
черниковская группа. В подгруппах М и Mi выполняется нормализаторное условие (см. [5]), и поэтому NG{DX) Отсюда вытекает, что NG(D\)
Г) М ф D\, NG{DI)
П M I ф Dx.
содержится в некоторой подгруппе М2 ти
па М{а), отличной от М и Mi. Положим D2 = М П М2. Из того, что NG(DI)
< М 2 и NG(Di) П Mi ф Du следует Dt < D2. Если D2 = М, то
М < М2, получаем противоречие с определением подгруппы типа М(а) и выбором подгруппы М2. Таким образом, D2 ф М. Повторяя приведенные выше рассуждения, покажем существова ние конечной подгруппы Дз из М, содержащей D2 и отличной от нее (D2 < £>з). Продолжая этот процесс, построим строго возрастающую цепь подгрупп £>i < D2 < . . . < Dn < . . . , которая не обрывается на конечном номере. Существование такой цепи противоречит предположению о конечности подгруппы М. Лемма доказа на. Л Е М М А 2, Группа G обладает не локально конечным сечением, содержащим образ а элемента а, в котором нормализатор любой бес-
332
А.М.Попов
конечной а-инвариантной подгруппы из М(а) содержится в М(а)
(для
любой подгруппы типа М(а)). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала докажем утверждение (*) G обладает полной абелевой а-инвариантной подгруппой К та кой, что группа N = NQ(K) не является черниковской, а в фактор группе N/K
любая бесконечная полная абелева а К -инвариантная
группа обладает черниковским
под
нормализатором.
Пусть В\ — бесконечная полная абелева а-инвариантная подгруп па такая, что NQ(BI)
— нечерниковская группа. Если подгруппа с таким
свойством не существует, то К = 1 и утверждение (*) доказано. Фактор-группа NG{B\)/BI
= G\ в силу теоремы С.Н. Черникова [6,
теор. 2.2] также не является черниковской. Пусть а = аВ\. Предположим, что C?i не удовлетворяет условию (*). Тогда в G\ найдется бесконечная полная абелева а-инвариантная подгруппа B
2, то 1?2 — бесконечная полная абелева а-инвариантная под группа и ranki?i < rank Z?2Рассмотрим фактор-группу NG{ ( В г ) / ^ = С?2, где G\ ~ полный про образ группы G\. Повторяя для
(G2 — полный прообраз G2),
такую, что r a n k l e < гапкВз. Продолжая этот процесс, построим возрастающую цепь подгрупп Вг <В2<
...<Вп
< ...
(1)
возрастающих рангов rank В\ < rank J32 < . . . < rank Bn < . . . . Если описанный процесс не обрывется на конечном номере, то В = |J B{ является «=1
а-инвариантной полной абелевой подгруппой бесконечного ранга. Так как « € NG(B),
TO
по теореме О.Ю.Шмидта [7, теор. 23.1.1] (В,а) локаль
но конечна. Тогда, по теореме Н. Блэкберна, В — черниковская группа и, следовательно, она не может быть подгруппой бесконечного ранга. Данное противоречие указывает на то, что цепь (1) оборвется на конечном номере
О р-грулдах с черниковским централизатором
333
п. Полагая К = ВП1 получаем справедливость утверждения (*). Рассмотрим сечение N/K
= iV, и пусть a = аЙГ. Известно [2, за
мечание 1], что Cjf(a) — черниковская подгруппа. Пусть М = М(а) — максимальная локально конечная погруппа из iV, содержащая элемент а, и L - - произвольная бесконечная а-инвариантная подгруппа из М. По скольку L — черниковская группа, то она обладает нетривиальной полной частью L. В силу (*) группа Nj^(L) будет черниковской, и значит, N-^(L) содержит нетривиальную полную часть Q, Из утверждения (*) и определения подгруппы М(а) следует, что Njj(M)
= М. По определению полной части, L < М и М < Nj^(L)} от
сюда М < Q. Из последнего включения имеем Q < Njj(M) = М, отсюда Q < М. Таким образом, Q = М и, значит, i%(L) < i%(Z) < Nw(Q)
=
= Njj(M) = М. Лемма доказана. Л Е М М А 3. Пусть К — конечная подгруппа из полной части М подгруппы М, где М — подгруппа типа М(а). Тогда подгруппа CQ(K) не является
черниковской.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу леммы В. П. Шункова [2, лемма 2] ран ги полных частей подгрупп типа М(а) из G ограничены в совокупности некоторым числом га. По теореме Ю. И.Мерзлякова [8, теор. 60.2.1] по рядки периодических групп автоморфизмов полных частей подгрупп типа М(а) также ограничены в совокупности. А поскольку число неизоморф ных полных абелевых р-групп ранга, не превосходящего га, конечно [5], то существует число г = ps (s — целое число), ограничивающее порядки силовских р-подгрупп периодических групп автоморфизмов полных частей подгрупп типа М(а). Пусть А •— конечная (а)~инвариантная подгруппа из М такая, что К < Аг. Ее существование вытекает из определения полной абелевой груп пы. Так как по предположению теорема не верна, то найдется подгруппа Mi типа М(а), отличная от М. Пусть D\ = М П М\. Поскольку a Е £>ь то, в силу леммы 2, D\ является конечной подгруппой, и легко показать, что NQ(DI)
— черниковская группа.
334
А.М.Попов Рассуждая как при доказательстве леммы 1, построим строго возра
стающую цепь подгрупп из М Dl
(2)
которая не обрывается на конечном номере, где Dn = М П М„, Мп = = Mn(a), \Dn\ < оо, NM(DTI)
< Ai+i (ft = 1,2,...). Через i?i обозначим
нижний слой М. Поскольку R\ < M (Ri — характеристическая подгруппа из М), то Li = RiDDi
< D\.
Пусть U = (R\,Di).
Если L\ ф R\, то рассмотрим фактор-группу
U/L\. Поскольку U/Li является ZA-группой и R\/L\ C\Z{U/L\)
ф L\. Последнее означает, что i?i П NM{D\)
учетом того, что NM(P\)
< U/L\} то Ri/Li П ф L\. Теперь, с
< ^2? получаем 2^2 = #1 П 2?2 > ^ ь Пусть Д х ^
^ £) 2 , тогда рассуждаем аналогично. Поскольку R\ — конечная подгруппа, существует номер п\ такой, что Rx < Dni —МП
МПх.
Пусть для некоторого номера / уже доказано, что Ri < Dni, где Ri — = Q/(M), Dni = M ПМщ. Повторяя все рассуждения, приведенные выше для / = 1, докажем существование такого номера тг/+1, что ify+j < Dnin
.
Поскольку М является объединением подгрупп цепи R\ < i?2 < . . . < Rn < . . . , имеем М < (J D,-. Следовательно, для некоторого номера п выполняется А < £>п = М П М п , где М„ = М п (а). По определению числа га, rankM n Мп/Смп(Мп)
^
га,
и фактор-группа
изоморфна некоторой подгруппе группы автоморфизмов
Мп. Тогда с учетом выбора числа г получаем, что \Мп/Смп(Мп)\
^ г.
г
Так как А < М„, то Л' < Л < См п (М п ). С другой стороны, К < М, откуда M , M „ < C G ( Л ' ) . Если лемма не верна и CQ{K) — черниковская подгруппа, то под группы М, Мп содержатся в полной части подгруппы CG(K)Мп < CG(M),
И
Отсюда
в силу леммы 2, М„ < М. Применяя еще раз лемму
2, получаем Мп = М, что противоречит выбору подгруппы Мп. Следова тельно, CG(K) не является черниковской подгруппой. Лемма доказана.
О р-группах с черниковским централизатором Л Е М М А 4. Без ограничения общности можно считать,
335 что
Са{а) — конечная группа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть CQ{O) — бесконечная черниковская группа, и М — подгруппа типа М(а), содержащая CQ{O)- Кроме то го, пусть Т — подгруппа типа М(а), причем Т ф М. В этом случае |Ст(а)| < ос. Если это не так, т.е. \CG(O) П Т\ = ос, то М П Т — беско нечная черниковская а-инвариантная подгруппа. Повторяя такие же рас суждения, что и в лемме 3, получаем М = Т, вопреки выбору Т. Через К{ обозначается Qi(T). Если лемма не верна, то можно счи тать, что в сечении G, = Nc{Ki)/Ki
элемент щ = аК{ имеет бесконечный
централизатор. Очевидно, что Т совпадает с обьединением подгрупп цепи
к\ < к2 < ... < кп < .... Так как полная часть подгруппы CQ. (a~i) является образом некоторой под группы из полной части CG{O)<, TO ранги С^.(щ) ограничены в совокуп ности. Отсюда вытекает, что некоторая квазициклическая подгруппа из Со{о) централизует подгруппы К^ г = 1,2,... . Поскольку по лемме 2, CG{T)
< Т, то \CG{O) П Т\ = со, а это противоречит доказанному выше.
Лемма доказана. Л Е М М А 5. Группа G обладает абелевой подгруппой А периода р2, удовлетворяющей
условиям:
l)aeNG(A),atCG{A)^P; 2) Р — нечерниковская подгруппа] 3) А не содержится ни в какой большей подгруппе периода р2 со свойствами I, 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть М - некоторая подгруппа типа М(а) из G, содержащая CG{O), И R2 — второй гиперслой из М. По лемме 3, CG{R2)
не является черниковской. Если R2 < CG{O), ТО М < CG{O) (CM.
[б]), что противоречит лемме 4. Кроме того, R2 — это а-инвариантная подгруппа. Вложим подгруппу R2 в максимальную подгруппу А периода р2 с такими же свойствами. Подгруппа А удовлетворяет условиям 1—3. Лемма доказана.
336
А. М. Попов Пусть В = РА (а), С — конечная подгруппа из Р такая, что a G
€ NB(C) = UX(a) (U < Р) и NB(C) не является черниковской. Обозначим через Я сечение
NB(C)/C.
Л Е М М А 6. Всякая конечная подгруппа из U/C централизует полную часть подгруппы типа М{а), в которой она содержится. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть лемма не верна и М — некоторая под группа типа М(а),
L — конечная подгруппа из М такая, что М £ С # ( £ ) .
Перейдем к полным прообразам и обозначим полный прообраз подгруппы М через Mi. Прообразом подгруппы М является полная часть подгруп пы Mi. Очевидно, что Mi не будет централизовать L, где L — прообраз L. В силу свойств черниковских р- групп второй гиперслой i?2 подгруппы Mi также не централизует L. С другой стороны, в силу выбора подгруп пы А выполняется i?2 < А. Поскольку L < Р, то L < Сн{Р>2)- Получили противоречие. Лемма доказана. Пусть Ъ — некоторый элемент простого порядка из U/C с черниковским централизатором С#(Ь), содержащим а (а — аС). Подгруппой типа М(а,Ъ) называется подгруппа типа М{Ь), содержащая а. Пусть 5 — неко торая подгруппа типа М(а, Ь) из Н. Л Е М М А 7. Имеет место Сн{а),Сн(Ь)
< S.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме б, 5 < СН(Ь). Поскольку СН(Ь)
-
черниковская подгруппа, то С#(Ь) < N, где N — подгруппа типа М(Ь), Так как a G С#(5), то S < N. По лемме 2, NH{S) = 5, а значит, N < S. Отсюда S = ] V H , C учетом леммы 2, 5 = iV, значит, С # (Ь) < 5. Пусть теперь Сн{а) ^ S. Тогда найдется подгруппа М ф S типа М(а,Ь) такая, что Сн{а) < М. По лемме 6, М < С#(Ь) < 5 и М < < 5 . В силу леммы 2, NH(M) = М, откуда 5 < М. Учитывая сказанное выше, 5 = М и, снова в силу леммы 2, 5 = М. Получаем противоречие с предположением Сн(а) ^ 5. Лемма доказана. Л Е М М А 8. Без ограничения общности можно считать,
что
bez{s). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как S — черниковская подгруппа, то ее
О р-группях с черниковским централизатором
337
можно представить в виде S = S • L, где L — конечная подгруппа, со держащая элементы а и Ъ. Можно считать также, что Cs(S) = S • Q, где Q < L, Так как CsCS) < S, то Q < L. Отсюда и по теореме 16.2.3 из [7], Q П Z(L) — Z\ ф 1. Очевидно, что Zx < Z(S). Если в Z\ содержится элемент простого порядка с черниковским централизатором, то его можно взять в качестве 6, и в этом случае лемма будет доказана. Пусть у любого элемента простого порядка из Z\ централизатор в Н не является черниковскм. Обозначим один из этих элементов через d\. Перейдем к фактор-группе по (d\). В группе Н\ = C#(di)/(di) подгруппа S = S/{d\) является подгруппой типа M(ai,bi), где ai,5i — образы эле ментов a, h. Действительно, если 5 содержится в некоторой большей черниковской подгруппе, то, переходя к полным прообразам, получим, что S не будет подгруппой типа М(а, Ь). Если теперь в ^ = Z\f(d\)
нет
элементов
простого порядка, централизаторы которых в Н\ являются черниковскими подгруппами, то опять зафиксируем некоторый элемент с?2 £ ^2- Перейдем к фактор-группе #2 = Снх №)/(^2), рассмотрим в ней подгруппу ^/(cfe)? и т. д. Достаточно на каком-нибудь шаге найти такой элемент dn £ Zn = = # n - i / < d n - i ) , что Ся п „! (rfn) ™ черниковская подгруппа, |d n | = р, Я п _ ! = = Ся п _ 2 (d n -i)/(dn-i)- Пусть такого элемента нет, тогда в силу конечности подгруппы Z\ получим, последовательно переходя к прообразам, что груп па Nfj(Zi) не будет черниковской. Переходим к фактор-группе
NH{Z\)/Z\
и аналогично рассуждаем относительно подгруппы Q/Z\. Поскольку Q — конечная подгруппа, то через конечное число шагов придем к ситуации, вынесенной в утверждение леммы. Лемма доказана. Л Е М М А 9. Сечение Н = NB(C)/C
не обладает элементом поряд
ка р из U/С, централизатор которого в Н был бы черниковской подгруп пой, содержащей а. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть лемма не верна и в U/C существует элемент Ъ порядка р с черниковским централизатором С # (6), содержащим а. Тогда справедливы леммы 7 и 8. С учетом предположения о том, что теорема не верна, в Н имеется
338
А. М. Попов
подгруппа М типа М(а), отличная от S. Так как М является ZA-группой, то Zi = М П Сн(а) Ф 1. По лемме 7, Сн(а) < S, поэтому Zx < S. А поскольку Ь G ^ ( S ) , то Z\ < С#(Ь). По лемме 3, NH{Z\) = NffiZ^nS
не является черниковской группой. Пусть S\ =
и Mi = iV H (^i)nM. Напомним, что Я = (U/C)X(a), где 17 <
< Р. Так как U/C имеет конечный индекс в Я, то М < U/C. Следователь но, Z\ < U/С. В силу того, что Z\ < 5, и применяя лемму 6, имеем 5 < < CH{ZI).
Ясно, что 5 П CH(ZI)
< Su а так как S < С#(Z a ), то Si —
бесконечная подгруппа. Если S% не является подгруппой типа М(а,Ь) в -N#(Zi), то найдется подгруппа Pi типа М(а, Ь) в Nfj(Zi)
такая, что Si <
< Pi. В свою очередь, F\ < Р, где Р — подгруппа типа М(а,Ъ) в Я , причем F ф S* Поскольку S < Si < Р, то по лемме 2 подгруппы Р и S совпадают. Получили противоречие, значит, Si — подгруппа типа М(а,Ь) в Очевидно, что М < CH(ZI)*
NH(ZI).
Поэтому подгрупппа Mi, содержащая
М, бесконечна. Теперь, повторяя для Mi рассуждения, приведенные выше для Si, убеждаемся, что Mi — подгруппа типа М(а) в
NH(Z\).
Перейдем к фактор-группе по Z\ и, рассуждая аналогично преды дущему, покажем существование в M\jZ\
подгруппы 5^, централизуемой
элементом bZ\. В силу лемм 7 и 8, Z2 < Si, где Si — образ Si. Очевидно также, что Si — подгруппа типа M{aZ\^bZ\)
в Nu{Z\)jZ\.
Переходя к
полным прообразам, имеем Z\ < Z<± < S и а, Ъ Е iV#(Z2). Продолжая этот процесс, построим цепь Zi < Z2 < . . . < Zn < . . . . о©
_
Пусть R = [J Z{, тогда R < S Г) М, а,Ь £ NH(R), г-1
т.е. в S П М _
найдется бесконечная подгруппа, допустимая относительно а. По лемме 2 подгруппы S и М равны, получаем противоречие с выбором подгруппы М. Лемма доказана. Из леммы 9 непосредственно вытекает С Л Е Д С Т В И Е 1. Нормализатор в В любой конечной антной подгруппы из Р не является черниковской подгруппой.
а-инвари-
О р-группах с черниковским централизатором
339
Л Е М М А 10. В группе G существует такая нечерниковская подгруппа Q с конечной нормальной в ней подгруппой R (не обязательно отличной от тривиальной), содержащая элемент а, что ни для какой подгруппы М < Q (a E M, R < М) с конечной нормальной в М под группой D (R < D) фактор-группа M/D не может быть представлена в виде К X (с), где подгруппа К не является черниковской и с — элемент порядка р. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, лемма не верна. Пусть под группа Qi из G не является черниковской и содержит элемент а, причем в Qi существует конечная подгруппа R\ такая, что Q\/R\
= A'i X (Zf[),
где К\ — нечерниковская группа и с7 — элемент порядка р. Пусть К\ — прообраз Ki) c\ — прообраз cf в Q\. Через а обозначается aR\, а через Щ — компонента элемента а в подгруппе К\у пусть а\ — прообраз Щ в К\. Если К\ не обладает подгруппой (относительно элемента Щ"), ука занной в формулировке леммы, то в К\ имеется подгруппа Q2? не явля ющаяся черниковской (R\ < Q2-> а>\ 6 фг)? с конечной нормальной в ней подгруппой R2 (R\ < R2) и такая, что Q2/R2 — &2 х (с^), где K*i не будет черниковской подгруппой, и С2 — элемент порядка р. Пусть К2 ~ прообраз &2, С2 — прообраз элемента Щ в $2- К подгруппам А'2, K2 применим те же рассуждения, что и для пары А\, К\. Продолжая описанный процесс, получим возрастающую цепь подгрупп
< ... ,
объединение которой является бесконечной локально конечной группой Т бесконечного ранга. Однако, по теореме Н. Блэкберна, Г должна быть черниковской и, следовательно, ее ранг конечен. Получили противоречие. Лемма доказана. Заметим,
что
схема доказательства
леммы
10
принадлежит
В. П. Шункову [9, лемма 5]. Л Е М М А 1 1 . Любая конечная а-инвариантная подгруппа из Р бу дет абелевой.
340
А. М. Попов ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что R — конечная неабеле-
ва а-инвариантная подгруппа из Р, тогда R ^ CB{R)-
В силу след
ствия 1 нормализатор NQ(R) не является черниковской подгруппой. По скольку R — это а-инвариантная подгруппа, то CB(R) также а-инвариантна и, как легко видеть, не является черниковской подгруппой. При соединим к подгруппе R • CB{R) подгруппу (а) и введем обозначения: R Г) CB(R) = (R/R\
= Ru CB(R)
X Bi/Ri)X(aRi).
Таким образом, B\/R\
= Ви R- ВгХ(а) = Г. Очевидно, что T/Rx Выберем неединичный элемент zRi из
=
R/R\.
х (2Р1) — подгруппа. Теперь легко показать суще
ствование подгруппы {B\/R\\{aR\))
x (zRi), что противоречит лемме 10.
Лемма доказана. Из леммы 11 вытекает С Л Е Д С Т В И Е 2. Любая локально конечная а-инвариантная
под
группа из Р абелева, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы. Пусть существуют две различные подгруппы V'i и V2 типа М(а) в В. Очевидно, что V\ = #iA(a), V2 = = Н2\(а),
где # ь # 2 < ^ В силу следствия 2 подгруппы # i и Яг абеле-
вы. Обозначим через К пересечение Н\ ПЯг. Поскольку а Е NB{K),
TO,
в силу леммы 2, /<Т — конечная подгруппа. Если перейти к фактор-группе по К, то в ней образы подгрупп Н\ и Н2 пересекаются по 1. Поэтому, не ограничивая общности доказательства, можно считать, что уже в самой группе В имеем Н\С\Н2 — 1. Далее обозначим: Z = Z(Vi) и Qi = Z(V2). В силу того, что V\ и V2 ~ ^А-группы, ZilHi ф 1 и QiC\H2 7^ 1- Понятно, что Z, Qi < Св(«). Пусть М — некоторая подгруппа типа М(а), содержащая C s ( a ) . Таким образом, Z,QX < М = ХХ(а) (X < Р ) . Так как Z,Qi < Р и X = М П Р , то Z, Qi < X. По следствию 2, X абелева, а значит, Z, X < < C*(Qi). Рассмотрим фактор-группу Ci = CB(QI)/QI> = ZQi/Qi,
Обозначим: Z
=
a\ = aQi- Понятно, что Z < V\, где Vi — подгруппа типа
M(ai) в Ci и У1 = ifiA(ai). Обозначим через V2 образ V2- Поскольку V2 содержит полную подгруппу, то V2 — бесконечная группа. Нетрудно
341
О р-группах с черниковским централизатором
показать, что V2 ~~ подгруппа типа М{а{) и V2 = H2X{ai). Через Q2 обо значается Z(V^). Очевидно, что Нх П Н2 = 1 и Z, Q2 < C d f a i ) . Пусть V = HX{ai) — подгруппа типа M(ai), содержащая Ссх («i)» Легко видеть, что Z,Q2 < Я , а H,Z < CCX^QT)- По лемме 3 централизатор Ccx{Q2) не является черниковской подгруппой. Через Q2 обозначается прообраз Q2Переходя к полным прообразам, имеем Q\ < Q2 и Z < NB(Q2)-
Затем
рассмотрим фактор-группу Cc1{Q2)/Q2 и т.д. Продолжая этот процесс, получим бесконечно возрастающую цепь подгрупп Qi < Q2 < ..• < Qn < •.. • оо
Пусть Q = (J Qi. Из построения Q видно, что Z < NB{Q)<
Так как, по
лемме 2, NB(Q) < V2, то Z < V2. Последнее противоречит тому, что Н\ П Г)Н2 = 1. Теорема доказана. Отметим, что первой части альтернативы теоремы удовлетворяет счетное число групп, поскольку множество черниковских р-групп счетно. Вместе с тем, используя методы А.Ю.Ольшанского [10], нетрудно пока зать, что для каждого нечетного р существует континуум счетных групп, для которых верна вторая часть альтернативы. Точнее, справедлива сле дующая теорема существования: Пусть {Gi}i£i
— конечное или счетное множество
неединичных
конечных или черниковских р-групп, \1\ ^ 2, р > 2 и no = р
— доста
точно большое число. Тогда свободная амальгама X групп Gi влоэюима в простую группу G = G{oo) со следующими свойствами: 1) всякая собственная подгруппа в G является или
циклической
группой порядка, делящего по, или содержится в подгруппе, сопряженной с некоторой из групп G«; 2) если a, b £ G#, а € Gi для некоторого г £ I и b £• (?,, то G = (а, 6); 3) мультипликатор
Шура группы G представляет собой свободную
абелеву группу счетного ранга; 4) для любой абелевой конечной или чср^шковской группы Z суще ствует нерасщепляемое центральное расширение группы G с помощью центральной подгруппы Z, удовлетворяющее вместе с каждым своим
342
А. М. Попов
нецентральным элементом второй части альтернативы теоремы. Действительно, существование группы G непосредственно следует из теоремы 35.1 [10]. С другой стороны, как утверждается в доказательстве теоремы 35.1 [10], копредставление группы G можно построить по правилу из п. 34.3 [10], в силу леммы 34.14 [10] удовлетворяющему условию R для копредставлений в свободном произведении F групп G%. Поэтому в силу леммы 34.2 и следствия 25.1 [10] данное градуированное копредставление группы G = F/N асферично. По теореме 31.1 [10], мультипликатор Шура группы G (группа N/[N, F]) является свободной абелевой группой счетно го ранга. Пусть Z — произвольная конечная или черниковская абелева р-группа. В силу вышесказанного существует гомоморфизм группы N/[N, F] на группу Z, и пусть М — полный прообраз в N ядра это го гомоморфизма. Очевидно, что подгруппа М нормальна в F, N/M = Z(F/M),
N/M ~ Z и (F/M)/(N/M)
=
~ G. Последнее и завершает дока
зательство теоремы существования.
ЛИТЕРАТУРА 1. N. Blackburn, Some remarks on Cernikov p-groups, 111, J. Math., 6, N 3 (1962), 421-433. 2. В.П.Шупкову Об одном классе р-групп, Алгебра и логика, 9, N4 (1970), 484-496 3. О. Ю. Шмидт, Локальная конечность одного класса бесконечных перио дических групп, в кн. "Избранные труды. Математика", М., Изд-во Акад. наук СССР, 1959, 298-300. 4. A.M. Попов, Об одном классе р-групп с (а,а)-условием конечности, в кн.: "Вопросы теории алгебраических систем", Караганда, 1981, 93—107. 5. А.Г.Курош, Теория групп, М., Наука, 1967. 6. В. П. Шунков, О вложении примарных элементов в группе, Новосибирск, ВО "Наука", 1992. 7. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, М., Наука, 1982. 8. Ю. И. Мерзляков, Рациональные группы, М., Наука, 1980.
О р-группах с черниковским централизатором
343
9. В. П. Шунков, О мощности периодической группы с абелевыми 2-подгруппами конечных рангов, Алгебра и логика, 8, N 5 (1969), 601—618. 10. А. Ю. Ольшанский, Геометрия определяющих соотношений в группах, М., Наука, 1989.
Адрес автора: ПОПОВ Алексей Михайлович, РОССИЯ, 660074, г. Красноярск, ул. Ак. Киренского, 26, Красноярский гос. тех. университет. Тел.: (3912) 44-76-60, e-mail: [email protected]
Поступило 5 января 2000 г. Окончательный вариант 24 мая 2000 г.
![О [$]p[$]-разложимых группах](https://epdf.tips/img/300x300/-p-_5c0d5eebb7d7bcc479152ac3.jpg)
