Дифференциальные уравнения. Ряды: Практикум с использованием системы Mathcad

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD

Рязань 2009

Предисловие

Практикум является приложением к учебному пособию «Дифференциальные уравнения. Ряды», предназначенному для студентов заочного отделения и студентов, обучающихся по ускоренной программе. В связи с недостаточным уровнем подготовленности студентов, а особенно, студентов-заочников, к изучению таких разделов общего курса «Высшая математика», как дифференциальные уравнения и ряды, возникают многочисленные трудности при разборе задач. Они касаются решения линейных систем алгебраических уравнений, вычисления определенных и неопределенных интегралов, нахождения производных, а также построения графиков функций. Данный практикум позволяет разрешить все указанные проблемы с помощью системы MathCAD и сосредоточить внимание студентов именно на алгоритмах решения задач, относящихся к дифференциальным уравнениям и рядам. Практикум содержит примеры из темы «Дифференциальные уравнения. Ряды» с алгоритмами решения в системе MathCAD, а также варианты заданий, которые могут быть использованы для самостоятельной работы студентов, для проведения аудиторных занятий и в качестве вариантов контрольных работ для студентов заочного отделения.

2

Дифференциальные уравнения Задание 1. С помощью изоклин построить интегральные кривые x d y 2 dx y . уравнения x

f (x , y)

Решение. Правая часть уравнения

C≠

x

0

= C y 2 y . Если С=0, то x=0, при C ≠ 0 с помощью MathCAD. y1 ( x) := x, y2 ( x) := − x, y3 ( x) := −x, y5 ( x) :=

x 3,

y6 ( x) := −

x 3,

x −3

y7 ( x) :=

y 2 задает уравнения изоклин x C . Строим графики изоклин y4 ( x) := − −x, x y8 ( x) := − − 3

,

Далее активизируем график в декартовой системе координат и задаем функции, которые следует построить. 4

y1( x)

3.2

y2( x)

2.4

y3( x)

1.6

y4( x)

0.8

y5( x) y6( x) y7( x) y8( x)

− 10 − 8 − 6 − 4 − 2

0

2

4

6

8

10

− 0.8 − 1.6 − 2.4 − 3.2 −4 x

На каждой изоклине каким-либо способом показываем направление интегральной кривой.

3

4

y1( x)

3.2

y2( x)

2.4

y3( x)

1.6

y4( x)

0.8

y5( x) y6( x)

− 10 − 8 − 6 − 4 − 2

0

2

4

6

8

10

− 0.8

y7( x)

− 1.6

y8( x)

− 2.4 − 3.2 −4 x

Соединив плавной линией отрезки на изоклинах, получим интегральные кривые исходного дифференциального уравнения. 6 5.2

f1( x)

4.4

f2( x)

3.6

f3( x)

2.8 2

f4( x)

1.2

f5( x)

0.4

− 10 − 8 − 6 − 4 −−20.4 0 − 1.2 −2

2

4

6

8

10

x

Варианты задания 1. Методом изоклин построить интегральные кривые дифференциального уравнения 1) y ′ = yx , 4) y ′ =

x+ y , y

2) y ′ =

y x

3) y ′ = x + 3 y ,

5) y ′ = x 2 y , 6) y ′ =

7) y ′ = x( y + 1) , 8) y ′ =

x3 , y

9) y ′ = 4

y , x−2 x+ y , x

y2 , 12) y ′ = y (x − 3) , x 1 x2 13) y ′ = , 14) y ′ = , 15) y ′ = xy 2 , xy 1− y y 16) y ′ = , 17) y ′ = 7 x + y , 18) y ′ = x 3 y , x+ y 2x − y 19) y ′ = , 20) y ′ = y − x . y

10) y ′ = x − 6 y , 11) y ′ =

Задание 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения 2

2

x 3 + y dx + y 2 + x dy 0 . Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися 2 2 переменными. Разделив обе части уравнения на 3 + y 2 + x , приходим к y x dx + dy 0 2 2 3+y . Далее для нахождения общего уравнению вида 2 + x интеграла используем MathCAD.

⌠ ⎮ Φ ( x , y ) := ⎮ ⎮ ⌡ Φ

⌠ ⎮ dx + ⎮ 2 2+x ⎮ ⌡ x

y 3

+y

2

dy

( x , y ) → x2 + 2 + y 2 + 3

Получили общий интеграл

Φ

(x , y)

x2 + 2 + y 2 + 3 = C .

Варианты задания 2. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. 1) 4xdx − 3ydy = 3x 2 ydy − 2xy 2 dx ; 2) x 1 + y 2 + y ⋅ y′ 1 + x 2 = 0 ; 3) 4) 5) 6)

3 + y 2 dx − ydy = x 2 ydy ;

6xdx − 6 ydy = 2x 2 ydy − 3xy 2 dx ; x 3 + y 2 dx + y 2 + x 2 dy = 0 ;

(e

2x

)

+ 5 dy + ye2 x dx = 0 ;

2 7) y ⋅ y′ (1 − x )

(1 − y ) + 1 = 0 ; 2

8) 6xdx − 6 ydy = 3x 2 ydy − 2xy 2 dx ; 9) x 5 + y 2 dx + y 4 + x 2 dy = 0 ; 10) y 4 + e x dy − e x dx = 0 ; 11) 4 − x 2 y′ + xy 2 + x = 0 ; 12) 2xdx − 2xydy = x 2 ydy − 2xy 2 dx ; 5

13) x 4 + y 2 dx + y 1 + x 2 dy = 0 ;

14) (e x + 8)dy − yex dx = 0 ; 15) 5 + y 2 + y′y 1 − x 2 = 0 ; 16) 6xdx − ydy = x 2 ydy − 3xy 2 dx ; 17 y ln y + xy′ = 0 ; 18) (1 + e x )⋅ y′ = yex ; 19) 1 − x 2 y′ + xy 2 + x = 0 ; 20) 6xdx − 2 ydy = 2 yx 2 dy − 3xy 2 dx ; Задание 3. Найти общее решение дифференциального уравнения 3y + 3 d y 2x + y − 1 dx . Решение. Дифференциальное уравнение является уравнением, приводящимся к однородному. Для выбора замены переменных решим систему Given 3y + 3 0 2x

+y −1

Find( x , y ) → ⎛

0 1

⎞

⎝ −1 ⎠

Значит, X x + 1 , Y y − 1 и исходное уравнение равносильно 3Y d Y 2X + Y , которое является однородным уравнением. уравнению dx d d Y → U(X) + X ⋅ U(X) dX dX

Пусть Y := U(X) ⋅X ,

Тогда однородное уравнение после преобразований будет являться уравнением с разделяющимися переменными 3U U − U2 d d U + X⋅ U X⋅ U = 2+U 2+U dX dX , или , или ( 2 + U)dU 2

−

dX = X

0

U−U . Находим общий интеграл этого уравнения в MathCADе.

⌠ ⌠ 1 ⎮ 2+U dX Φ ( X , U) := ⎮ dU − ⎮ 2 X ⎮ − U U ⎮ ⌡ ⌡ Φ

( X , U) → 2⋅ln( U) − 3 ⋅ln( U − 1) − ln( X ) 6

Так как X := x − 1 и Φ

U :=

y+1 x − 1 , то

⎛ y + 1 ⎞ − ln( x − 1) − 3⋅ln⎛ y + 1 − 1⎞ ⎜ ⎝x−1⎠ ⎝x− 1 ⎠

( X , U) → 2⋅ln⎜

Итак, общий интеграл исходного дифференциального уравнения имеет вид ⎛ y + 1 ⎞ − ln( x − 1) − 3⋅ln⎛ y + 1 − 1⎞ C 2 ⋅ ln⎜ ⎜ ⎝ x− 1⎠ ⎝x−1 ⎠ . Варианты задания 3. Найти общее решение дифференциального уравнения 1) xy′ = x 2 + y 2 + y ,

2) y′ =

x+y , x−y

1 2

3) y′ + y cos x = sin 2x ,

(

2x + y − 1 1 , 5) y′ + y = x 2 , 6) y′ = x 2 + 3xy − y 2 2x 3x + y − 2 x + 2y − 2 1 x +1 x 1 7) y′ + y = e , 8) y ′ = , 9) y′ + y = 3x , x x x x+ y−2

4) y ′ =

) (3x

2

)

− 2xy ,

1 12 x + 2y y2 y + 6 + 3, 11) y′ = , 12) y′ − y = − 3 , 2 x x 2x − y x x 3x + y − 2 13) y ′ = , 14) xy′ = 2 3x 2 + y 2 + y , 15) y′ + ytgx = cos 2 x , x + 2y +1 x − y +1 x x 1 − 2x y= , 16) y′ + 2 y = 1 , 17) y ′ = , 18) y′ + 2 2 3x − y − 1 2 1− x x x+ y+2 20) y ′ = . 19) xy′ = 3y3 + 2 yx 2 2 y 2 + x 2 , 2x − y + 3

10) 2 y′ =

(

)(

(

)

)

Задание 4. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения методом неопределенных коэффициентов d2 2

y+

d y − 2y dx

x

e ⋅( 2x + 3)

dx . Решение. Дифференциальное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, ему соответствует линейное однородное уравнение d2 2

y+

d y − 2y dx

dx находим его корни Given

k2 + k − 2

0

. Составляем характеристическое уравнение и

0

Find( k) → ( 1 −2 )

7

Тогда фундаментальная совокупность решений линейного однородного x

− 2x

уравнения состоит из частных решений y1 ( x) := e и y2 ( x) := e . Частное решение линейного неоднородного уравнения будем искать в

2 виде g( x) := ( A⋅x + B ⋅x) e . Подставив это частное решение в левую часть исходного неоднородного уравнения, получим

x

d2 2

dx

g( x) +

d x x g( x) − 2 g( x) → 3⋅e ⋅( B + 2⋅A⋅x) + 2⋅A⋅e dx x

x

Следовательно, 3⋅e ⋅( B + 2⋅A⋅x) + 2⋅A⋅e А и В являются решениями системы Given 6A 3B

x

e ⋅( 2x + 3) . Откуда коэффициенты

2

+ 2A

3

⎛1⎞ 3 Find( A , B) → ⎜ ⎜7 ⎝9⎠ Тогда A :=

1 3

⎛ x2 7⋅x ⎞ g( x) → e ⋅⎜ 3 + 9 ⎝ ⎠

7

B :=

x

9

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид y := c1 ⋅y1 ( x) + c2 ⋅y2 ( x) + g( x) и

⎛ x2 7⋅x ⎞ − 2 ⋅x x y → e ⋅⎜ 3 + 9 + c2 ⋅e + c1 ⋅e ⎝ ⎠ , x

где с1 и с2 – произвольные действительные числа. Варианты задания 4. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения методом неопределенных коэффициентов. 1) y′′ − 4 y′ + 3y = e5x ; 2) y′′ − 6 y′ + 9 y = sin 3x ; 3) y′′ + 8y′ + 16 y = sin 5x ; 4) y′′ − 6 y′ + 9 y = e3x ; 5) y′′ + 7 y′ + 12 y = sin x ; 6) y′′ + 4 y′ + 4 y = xe 2 x ; 7) y′′ + y = cos 2x ; 8) y′′ − 4 y′ + 8y = sin 2x ; 9) y′′ + y′ − 2 y = e x ; 10) y′′ − 4 y′ − 5y = x 2 ; 11) 4 y′′ + 16 y′ + 15y = 4e

−

3x 2

; 8

12) 13) 15) 17) 19)

y′′ − 2 y′ + 10 y = 10x 2 + 6x + 10 ;

14) y′′ − 2 y′ = e x (x 2 + x − 3); 16) 2 y′′ + y′ − y = 2e x ; 18) y′′ − 2 y′ = e x ; 20) 4 y′′ − y = −24x ;

y′′ − y′ = 2(1 − x ) ;

y′′ + y′ = − sin 2x ; y′′ + 36 y = 6 sin 6 x ; y′′ − 5y′ + 6 y = 9e 2 x ;

Ряды Задание 5. Исследовать ряд с положительными членами ∞

∑

(

n 2

)

4 n +1 n!

n =1

на сходимость n

Решение. Так как a( n + 1)

lim n→ ∞

a( n )

a( n ) :=

(2 )

4 n +1 n!

, то

→0

. Откуда по признаку Даламбера следует, что ряд является сходящимся (0<1). Варианты задания 5. Используя различные признаки, исследовать ряды на сходимость. 5n n n =13 (2n + 1)

n +1⎞ ⎟ n =1⎝ 2n ⎠

n +1

1. ∑

2. ∑ ⎛⎜

1 n −1 n =1n ⋅ 5 ∞ n 7. ∑ 2 n =11 + n

2n +1 (3n + 2) n! n =1 ∞ n2 8. ∑ n n =12

∞

∞

4. ∑

n! 10. ∑ 2 n n =1n ⋅ 2 ∞

1 n 2 n =13 + n ∞

13. ∑

∞

∞

5. ∑

n 11. ∑ n n =1(n + 1)3 ∞

14.

92 n −1 n =1(2n − 1)! ∞

∑

n2

∞ n2 2n − 1 ⎞ 16. ∑ 17. ∑ 3n ⎛⎜ ⎟ n =1 n! n =1 ⎝ 2n + 1 ⎠ ∞ 2n + 1 ∞ n 20. ∑ 2 19. ∑ n n =1 2 n =1n + 3n + 2

∞

1 n =14n − 1 ∞

3. ∑

n2 2 n =12n − 1 ∞ 1 9. ∑ n =1 3n + 1 ∞

6. ∑

1 n +1 ⎞ 12. ∑ n ⎛⎜ ⎟ n =15 ⎝ n + 2 ⎠ ∞

n

n3 n n =1e ∞

15. ∑

1 2 n =2 n (ln n ) ∞

18. ∑

9

∞

∑

n

2 ( x − 1)

n

n n =1 3 n + 5

Задание 6. Найти область сходимости степенного ряда . Решение. Применим формулу для нахождения радиуса сходимости n

2

c( n ) :=

n

степенного ряда: c( n )

lim

3

→

n → ∞ c( n + 1)

n + 5,

3

2

R :=

,

3 2.

Следовательно, интервалом сходимости степенного ряда будет являться

⎛−1 , 5⎞ ⎜ 2 2 ⎝ ⎠. Исследуем поведение ряда на концах интервала.

( 1 − R , 1 + R)

интервал

n⎛ 3⎞

∑

5

x

n

⎜2 ⎝ ⎠

2

∞

∞

∑

n

∞

1

∑

n+5

1 n

2 n =1 3 n + 5 n =1 1) При . Так как ряд n = 1 является расходящимся как эталонный обобщенный гармонический ряд, то ряд ∞

1

∑

n+5

n =1

расходится по второй теореме сравнения в силу того, что

1 n+ 5

lim n→ ∞

→1

1 n

∞

2) При

−

x

∑

1

n

⎜−

∞

⎝ 2⎠

n n =1 3 n + 5

2

∞

из модулей

n⎛ 3⎞

2

∑

n =1

( −1)

n

n+5

- знакочередующийся ряд. Его ряд

1

∑

n+5

n =1

расходится, а сам ряд сходится по теореме Лейбница,

⎛ 1 ⎞ ⎜ так как последовательность ⎝ n + 5 ⎠ - убывающая и 1

lim

n+5

→0

. Итак, область сходимости исходного ряда - [-0,5; 2,5).

n→ ∞

Варианты задания 6 Найти области сходимости степенных рядов и исследовать их на сходимость на границе области. ∞

1. ∑

(x − 2)n .2. n

n =1

∞

n ⋅3

4. ∑ (− 1)n +1 n =1

∞

∑

n =1

(x + 2 ) 3 2n (n + 1) n

3 ⎛x⎞ ⎜ ⎟ n3 ⎝ 3 ⎠

2 n +1

n

∞ 1 3. ∑ ⎛⎜1 + ⎞⎟ x n n =1⎝

n⎠

1 n n =1n (x + 1) ∞

5. ∑

10

x 2n n n =1n ⋅ 9

∞

∞

6. ∑

7. ∑

(x + 2)n 8.

n =1

n

n (x − 5 ) 8n − 1 n =1 n ∞ ∞ n (x − 7 )n n +1 x 11. ∑ (− 1) 12. ∑ n n =1 3n + 1 n =1 n ∞ ∞ (x − 2 )n +1 x 14. ∑ (− 1)n +1 3 15. ∑ n n =1 n =1 (n + 1)! n +1

∞

9. ∑ (− 1)n

∞

17. ∑

(x − 6)n

n =1

∞

20. ∑

5n − 3

∞

18. ∑

(x + 4)n

n =1

3n

n

⎛n + 2⎞ n ∑⎜ ⎟ x n =1⎝ n + 1 ⎠ ∞ (x + 3)2 n −1 10. ∑ n n =1 2n ⋅ 4 ∞ n+2 13. ∑ xn n =1 n + 1 ∞ x 2n 16. ∑ n =13n (n + 1) ∞

∞

19. ∑ (− 1)n +1 n =1

(x + 1)

n =1

xn (n + 2)2

2n

n+4

Задание 7. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x ) с периодом 4, заданную на отрезке [-2;2] условием графики для частичных сумм при n=3 и n=10. Решение. Построим график функции −2

f ( x)

−1

−2

0

−4

1

2

f ( x)

2

−x + x − 2. Построить

2

f ( x) := −x + x − 2

Исходная функция не является ни четной, ни нечетной. Выполним разложение в ряд Фурье общего вида. T := 2.

−6 −8 x

Далее с помощью MathCAD вычисляем коэффициенты ряда Фурье 20 T a0 := − 20 1 ⌠ 3 ⋅⎮ f ( x) dx → − 3 T ⌡− T

32 ⋅sin( π ⋅n) − 24 ⋅π 1 ⌠ π ⋅n ⋅x ⎞ ⎛ ⎮ ⋅ f ( x) ⋅cos ⎜ dx → T ⎮ T ⎠ ⎝ ⌡− T T

2 ⎛ ⎞ π ⋅n ⎞ ⎛ ⎜ ⋅n ⋅sin( π ⋅n) + 32 ⋅π ⋅n ⋅ 2 ⋅sin⎜ −1 ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠

2 2

3 3

2 ⋅π ⋅n

11

32 ⋅sin( π ⋅n) − 24 ⋅π

2 ⎛ ⎞ π ⋅n ⎞ ⎛ ⎜ ⋅n ⋅sin( π ⋅n) + 32 ⋅π ⋅n ⋅ 2 ⋅sin⎜ −1 ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠

2 2

a ( n) :=

3 3

2 ⋅π ⋅n T

1 ⌠ ⎛ π ⋅n ⋅x ⎞ dx → 4 ⋅sin( π ⋅n) − 4 ⋅π ⋅n ⋅cos ( π ⋅n) ⋅⎮ f ( x) ⋅sin⎜ 2 2 T ⎮ ⎝ T ⎠ π ⋅n ⌡− T

4 ⋅sin( π ⋅n) − 4 ⋅π ⋅n ⋅cos ( π ⋅n)

b ( n) :=

π

2 2

⋅n

Таким образом, исходная функция разложена в ряд Фурье a0 + 2

f ( x)

f ( x)

10 − + 3

+

∞

∑

∞

⎛ π ⋅n ⋅x ⎞ + b ( n) ⋅sin⎛ π ⋅n ⋅x ⎞ a ( n) ⋅cos ⎜ ⎜ ⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠

∑

n=1

32 ⋅sin( π ⋅n) − 24 ⋅π

или

2 ⎛ ⎞ π ⋅n ⎞ ⎛ ⎜ ⋅n ⋅sin( π ⋅n) + 32 ⋅π ⋅n ⋅ 2 ⋅sin⎜ −1 ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠

2 2

3 3

2 ⋅π ⋅n

n=1

4 ⋅sin( π ⋅ n) − 4 ⋅ π ⋅n ⋅cos ( π ⋅n) π

2 2

⋅n

⎛ π ⋅n ⋅x ⎞ ⎝ T ⎠

⋅sin⎜

Частичная сумма этого ряда имеет вид a0 S ( n , x) := + 2

n

∑

k=1

⎛ a ( k) ⋅cos ⎛ π ⋅k ⋅x ⎞ + b ( k) ⋅sin⎛ π ⋅k ⋅x ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠⎠

Строим графики частичных сумм

12

⎛ π ⋅n ⋅x ⎞ + ⎝ T ⎠

⋅cos ⎜

f ( x)

− 3 − 1.5 0 − 3.75

1.5

f ( x)

− 7.5

S ( 3 , x)

− 3 − 1.5 0 − 3.75

3 S ( 10 , x)

3

− 7.5

− 11.25

− 11.25

− 15

− 15 x

1.5

x

Варианты задания 7. Периодическую функцию f (x ) , заданную на (− l; l ) , разложить в ряд Фурье. ⎧x, − 1 < x < 0 0 < x <1 ⎩1,

1. f (x ) = ⎨

⎧0, − 3 < x < 0 ⎩x , 0 < x < 3 −π<x<0 ⎧x, 5. f (x ) = ⎨ 0<x<π ⎩2 x ,

3. f (x ) = ⎨

⎧− 2 x , ⎩ 3,

−π<x<0 0<x<π

2. f (x ) = ⎨

⎧− x , − 2 < x < 0 0<x<2 ⎩ 1, ⎧ 2, − 2 < x < 0 6. f (x ) = ⎨ 0<x<2 ⎩− 1,

4. f (x ) = ⎨

⎧⎪ 3 7. f (x ) = ⎨ 2 , − 2 < x < 0 ⎪⎩1 − x, 0 < x < 2

8. f (x ) = ⎨

3 ⎧ ⎪x − 1, − 2 < x < 0 9. f (x ) = ⎨ 3 ⎪ 0, 0 < x < 2 ⎩

10. f (x ) = ⎨

⎧− 1, − 2 < x < 0 ⎩ 1, 0 < x < 2

11. f (x ) = ⎨

⎧ − 1, − π < x < 0 ⎩x + 1, 0 < x < π ⎧3x, − π < x < 0 ⎩− x , 0 < x < π

⎧− x , − π < x < 0 ⎩ x, 0 < x < π

12. f (x ) = ⎨

⎧2 − x , − 1 < x < 0 ⎩ 2, 0 < x < 1

14. f (x ) = ⎨

⎧sin x, − π < x < 0 ⎩ 0, 0 < x < π

16. f (x ) = ⎨

⎧

2, − π < x < 0 ⎩2x − 4, 0 < x < π

18. f (x ) = ⎨

⎧cos x, − π < x < 0 ⎩ 0, 0 < x < π

20. f (x ) = ⎨

13. f (x ) = ⎨ 15. f (x ) = ⎨

17. f (x ) = ⎨ 19. f (x ) = ⎨

⎧ 2, − 2 < x < 0 ⎩2 + x , 0 < x < 2

⎧ 1, − 2 < x < 0 ⎩sin x , 0 < x < 2

⎧x + 3, − 1 < x < 0 ⎩ 0, 0 < x < 1

⎧ 0, − 2 < x < 0 ⎩cos x , 0 < x < 2

13