Компьютерная обработка информации (в пакете MathCAD): Учебное пособие

АСТРАХАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Информационные системы управления и информатика»

А.Е. МАРТЬЯНОВА

Компьютерная обработка информации (в пакете MathCAD) Учебное пособие для студентов специальности 250400 «ХИМИЧЕСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ПРИРОДНЫХ ЭНЕРГОНОСИТЕЛЕЙ И УГЛЕРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ» по дисциплине «Компьютерная обработка информации» (электронный вариант)

Допущено редакционно-издательским советом Астраханского государственного технического университета в качестве учебного пособия для студентов специальности 250400 «Химическая технология природных энергоносителей и углеродных материалов»

Астрахань 2006

2

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

УДК 681.3.06 ББК 32.973.2 Рецензенты: Кафедра прикладной информатики в экономике Астраханского государственного технического университета (заведующий кафедрой – к.т.н., доц. И.Ю. Квятковская), Ю.Ю. Тарасевич – к.физ.-мат.н., доц. кафедры теоретической физики и МПФ Астраханского государственного университета, Г.В. Тараканов – д.т.н., проф., зам. директора по научной работе АНИПИгаз, член–корр. Российской инженерной академии Учебное пособие рассмотрено и рекомендовано к печати на (протокол № 1 заседании кафедры ___ИСУИ___ от 30.08.05 г.) Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации (в пакете MathCAD): Учебное пособие для студентов специальности ПРИРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ»

250400

«ХИМИЧЕСКАЯ

ЭНЕРГОНОСИТЕЛЕЙ по

дисциплине

И

ТЕХНОЛОГИЯ УГЛЕРОДНЫХ «Компьютерная

обработка информации». – Астрахань: АГТУ, 2006. – 152 с. Настоящее учебное пособие подготовлено по материалам учебного курса «Компьютерная обработка информации», который читался автором для студентов специальности 250400. В пособии рассмотрены аналитические и численные методы решения задач, имеющих практическое значение. Учебное пособие адресовано студентам, изучающим компьютерные вычисления в пакете MathCAD, а так же всем тем, кто интересуется изучением этого пакета.

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

3

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………..5 РАЗДЕЛ 1. РЕШЕНИЕ ПРОСТЫХ ЗАДАЧ. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ В ФОРМУЛАХ. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ……………………………………….7 РАЗДЕЛ 2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ. АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ. ОПТИМИЗАЦИЯ……………………19 РАЗДЕЛ 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА…………………………..33 РАЗДЕЛ 4. АНАЛИЗ ДАННЫХ………………………………………………..47 РАЗДЕЛ 5. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ОДУ) И СИСТЕМ ОДУ…………77 РАЗДЕЛ 6. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ (ДУЧП)……………………109 РАЗДЕЛ 7. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (МКЭ)…………………………………………………………..125 ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………….151

4

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

5

ВВЕДЕНИЕ При написании настоящего учебно-методического пособия использовался опыт проведения автором занятий на кафедре «Информационные системы управления и информатика» Астраханского государственного технического университета, в частности, по курсам «Компьютерная обработка информации» и «Статистическое моделирование на ЭВМ» для студентов специальности 254000 «Химическая технология природных энергоносителей и углеродных материалов». Пособие состоит из введения, списка литературы и семи разделов: РАЗДЕЛ 1. «Решение простых задач. Единицы измерения в формулах. Построение графиков функций», РАЗДЕЛ 2. «Решение уравнений и систем уравнений. Анализ функций. Оптимизация», РАЗДЕЛ 3. «Математическая статистика», РАЗДЕЛ 4. «Анализ данных», РАЗДЕЛ 5. «Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и систем ОДУ», РАЗДЕЛ 6. «Решение дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП)», РАЗДЕЛ 7. «Метод конечных элементов (МКЭ)». РАЗДЕЛЫ 7 и 6 являются дополнительными и предназначены для углубленного изучения курса. Каждый раздел содержит подборку подробно рассмотренных задач, которые иллюстрируют применение пакета MathCAD в расчетной практике инженеров специальности 250400. Использование в процессе изучения курса «Компьютерная обработка информации» физико-математического пакета MathCAD представляется оправданным, поскольку этот пакет изучается студентами еще на первом году обучения в курсе «Информатика». В то время как специализированные математические пакеты требуют специального освоения студентами, MathCAD легко позволяет перейти к выполнению математических расчетов при изучении материала курса и использовать пакет MathCAD в освоении различных дисциплин, что способствует, в свою очередь, лучшему пониманию соответствующих курсов. Настоящая работа имеет целью научить пользоваться возможностями MathCAD при решении учебных и практических задач. Учебно-методическое пособие может быть адресовано студентам, изучающим компьютерные вычисления в пакете MathCAD, а так же всем тем, кто интересуется изучением этого пакета.

6

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

7

РАЗДЕЛ 1. РЕШЕНИЕ ПРОСТЫХ ЗАДАЧ. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ В ФОРМУЛАХ. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 1.1. ЗАДАЧА. Определить плотность стали, 2 см3 которой имеют массу 15.7 г. Определить в г/мм3, г/см3, кг/м3. Определить удельный вес стали.

Дано: V := 2⋅ cm

3

объем

M := 15.7⋅ gm

масса

Решение:

ρ :=

M V

плотность

γ := ρ ⋅ g

удельный вес

−3

ρ = 7.85 × 10

gm⋅ mm

ρ = 7.85gm⋅ cm

−3

3

ρ = 7.85 × 10 kg m 4

-3

−3

-3

γ = 7.698 × 10 m newton

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

8

1.2. ЗАДАЧА. Определить работу изобарного обратимого расширения 3 моль идеального газа при его нагревании от 298 до 400 К [9]. Дано: 3

kJ := 10 ⋅ J n := 3⋅ mol R := 8.3143⋅

количество вещества J mol ⋅ K

молярная газовая постоянная

T1 := 298⋅ K температура

T2 := 400⋅ K

Решение:

W := n ⋅ R⋅ ( T2 − T1)

работа изобарного расширения идеального газа

W = 2.544kJ

1.3. ЗАДАЧА. Рассчитать количество теплоты Q в кДж, необходимое для нагревания чугунного утюга массой 1.5 кг на 200° от 20° до 220° С, если удельная теплоемкость С чугуна равна 0.54 кДж/кг·К. Построить график зависимости количества теплоты от температуры. Дано: 3

kJ := 10 ⋅ J M := 1.5kg T1 := ( 20 + 273)K T2 := ( 220 + 273)K kJ C := 0.54 kg ⋅ K

масса температура удельная теплоемкость

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

9

Решение: Q := C⋅ M⋅ ( T2 − T1) Q = 162kJ t2 := T1 , T1 + 20⋅ K .. T2 Q ( t2) := C⋅ ( t2 − T1) ⋅ M Q ( t2) = 0 kJ 16.2 32.4 48.6 64.8 81 97.2 113.4 129.6 145.8 162

200 180 160 140 120 Q( t2) 100 kJ 80 60 40 20 300 325 350 375 400 425 450 475 500 t2 K

1.4. ЗАДАЧА. Параметрически задать функцию для расчета траектории движения снаряда, брошенного со скоростью V0 под углом α к горизонту [6].

Дано: x0 := 0⋅ m y0 := 0⋅ m a := −g

координаты

α := 45⋅ deg

ускорение

v0 := 100⋅

m sec

угол к горизонту скорость

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

10

Решение: t := 0⋅ sec , 0.1⋅ sec .. 14.5⋅ sec

временной интервал

vx0 := v0 ⋅ cos (α )

vy0 := v0 ⋅ sin (α )

vx ( t) := vx0

vy ( t) := vy0 + a ⋅ t

x ( t) := x0 + vx0⋅ t

y ( t) := y0 + vy0⋅ t +

a 2 ⋅ ( t) 2

Траектория полета снаряда 300

200 y( t) m 100

0

200

400

600

800

1000

x( t) m

⎛ vy ( t) ⎞ ⎝ vx ( t) ⎠

Направление полета снаряда - угол в градусах

α ( t) := atan ⎜

50

α ( t) deg

0

5

10

50 t sec

15

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

11

1.5. ЗАДАЧА. Для стального стержня, изображенного на рис. 1.1, определить во всех поперечных сечениях напряжение σ. Определить также вертикальные перемещения δ для всех поперечных сечений стержня [17].

L2 = 1 м

A2 = 2 см2

L1 = 2 м

II

F 2 = 4 F1

I

A1 = 1 см2

F1 = 10 кН

Рис. 1.1. Рисунок к задаче 1.5

Дано: 3

6

kN := 10 ⋅ N MPa := 10 ⋅ Pa

ORIGIN ≡ 1

n := 2

число участков

i := 1 .. n H1 := 10 ⋅ mm H2 := 20 ⋅ mm B1 := 10 ⋅ mm B2 := 10 ⋅ mm

высота прямоугольного сечения участка 1 высота прямоугольного сечения участка 2 ширина прямоугольного сечения участка 1 ширина прямоугольного сечения участка 2

L1 := 2 ⋅ m

длина участка 1

L2 := 1 ⋅ m

длина участка 2 5

модуль Юнга материала участка 1

E2 := 2 ⋅ 10 ⋅ MPa

5

модуль Юнга материала участка 2

F1 := 10 ⋅ kN

приложенная сила на участке 1

F2 := −40 ⋅ kN

приложенная сила на участке 2

E1 := 2 ⋅ 10 ⋅ MPa

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

12

Решение: ⎯ → A := ( B ⋅ H)

площадь сечения

⎛ 1⎞ 2 cm 2 ⎝ ⎠

A=⎜

⎛ 10 ⎞ kN − 40 ⎝ ⎠

сила

F=⎜

i

∑

Fi

i =1

σ i :=

напряжение

Ai

⎛ 100 ⎞ MPa ⎝ −150 ⎠

σ=⎜

n+ 1−i

δ i :=

⎛ σ n+ 1−i ⋅ Ln+ 1−i ⎞ ⎜ En+ 1−i ⎠ =1 ⎝

∑ i

перемещение

⎛ 0.25 ⎞ mm − 0.75 ⎝ ⎠

δ =⎜

Проверка расчета перемещений по участкам σ 2 ⋅ L2 E2 σ 1 ⋅ L1 E1

= −0.75 mm +

σ 2 ⋅ L2 E2

= 0.25mm

перемещение для 2 участка перемещение для 1 участка

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

13

1.6. ЗАДАЧА. Построить график распределения температуры от действия точечного теплового источника, если известен закон распределения температуры. q

U( x , y)

(

2

2⋅ π ⋅ λ ⋅ x + y

1 2 2

)

Дано: q := 1000

поток, Вт

λ := 0.4

коэффициент теплопроводности стали, Вт/(cм*К) q

U( x , y) :=

(

2

2⋅ π ⋅ λ ⋅ x + y

1 2 2

)

закон распределения температуры от действия точечного теплового источника

Решение: 1.6.1. Построение матрицы распределения

i := 0 .. 10 j := 0 .. 10 xi := −100 + 20.00000000000001i ⋅ y j := −100 + 20.00000000000001j ⋅ Mi , j := U( xi , y j)

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

14

M

1.6.2. С помощью функции CreateMesh

M := CreateMesh( U , −100 , 100 , −100 , 100 , 100 , 100)

M

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

15

1.7. ЗАДАЧА. Найти скорость v и ускорение a свободно падающего тела, если зависимость расстояния s от времени t дается формулой [12].

s=

1 ⋅ g ⋅ t 2 + v0 ⋅ t + s0 . 2 1.7.1. Символьное дифференцирование по переменной t Дано: 2

s ( t)

t g⋅ + v0 ⋅ t + s0 2 Решение:

Меню "Символы/Переменные/Дифференциалы" d s ( t) dt v ( t)

g⋅ t + v0 g⋅ t + v0

d d s ( t) dt dt a ( t)

g

g

1.7.2. Сравнение результатов, полученных с помощью численного дифференцирования, с точным выражением Дано: t := 0⋅ sec , 0.1⋅ sec .. 2⋅ sec v0 := 1⋅

m sec 2

s0 := 0⋅ m

t s ( t) := g⋅ + v0 ⋅ t + s0 2 v ( t) := g⋅ t + v0

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

16

Решение:

9.8066500000002 9.8066500000001 g d v ( t) dt d2 dt

2

9.80665 9.8066499999999

s ( t) 9.8066499999998

9.8066499999997 9.8066499999996

0

0.5

1

1.5

2

t sec

1.8. ЗАДАЧА. Вычисление числа π. Квадрат (его вершины имеют координаты (0, 0), (a, 0), (a, a), (0, a)) высекает из окружности радиуса a с центром в начале координат сектор, площадь которого составляет четверть площади окружности, то есть

1 2 ⋅a ⋅π 4 . Площади фигур вычислить

аналитическим и численным методом как площади криволинейных трапеций в прямоугольных координатах по формуле [12] b

S

⌠ ⎮ f ( x) dx ⌡a

.

Отношение площади сектора окружности к площади квадрата умножить на 4. Получить число π.

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

17

1.8.1. Точное решение через отношение площадей фигур Дано: a

⌠ ⎮ f ( x) dx ⌡0

S

f ( x)

a 2

a −x

f1 ( x)

2

Решение: Вычисление площадей фигур как интегралов площадей криволинейных трапеций a

⌠ ⎮ a dx → a 2 ⌡0

площадь квадрата

a

⌠ 1 ⎮ 2 ⎮ a 2 − x2 dx → 1 ⋅ a 2 ⋅ π ⌡0 4

(

)

площадь сектора

Вычисление числа π

⎤ ⎡ ⌠a 1 ⎢⎮ ⎥ ⎢⎮ ⎥ 2 2) 2 ( d a − x x ⎢⌡ ⎥ ⎣ 0 ⎦ ⋅ 4 → π = 3.142 a

⌠ ⎮ a dx ⌡0

1.8.2. Приближенное решение методом трапеций с постоянным шагом [18] Дано: a := 5

cторона квадрата a

N := 1000

число шагов интегрирования

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

18

Решение: i := 0 .. N a N m := length ( X) − 1 Xi := 0 + i ⋅

Xm − X0 m

= 5 × 10

−3

величина шага

Yi := a Y1i := a − ( Xi) 2

2

Вычисление площадей фигур по формуле трапеций для численного интегрирования m−1 ⎞ Xm − X0 ⎛⎜ X0 + Xm I := + ⋅ Yi m 2 ⎜ i =0 ⎝ ⎠

∑

m−1 ⎞ Xm − X0 ⎛⎜ X0 + Xm + I1 := ⋅ Y1i m 2 ⎜ i =0 ⎝ ⎠

∑

площадь квадрата

площадь сектора

a

⌠ ⎮ a dx → 25 = 25 ⌡0

I = 25.012

a

⌠ 1 ⎮ 2 ⎮ a 2 − x2 dx → 25 ⋅ π = 19.635 ⌡0 4

(

)

I1 = 19.66

Вычисление числа π I1 ⋅4 I π = 3.142 PI :=

PI = 3.144

Определение погрешности численного интегрирования π − PI = −0.076 % π

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

19

РАЗДЕЛ 2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ. АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ. ОПТИМИЗАЦИЯ 2.1. ЗАДАЧА. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с; через сколько секунд тело окажется на высоте 60 м? Дано: V0 := 40⋅

m sec

начальная скорость

h := 60⋅ m

высота

−g = −9.807 m sec

-2

ускорение

Решение: 2.1.1. Табличное и графическое решения t := 0⋅ sec , 2⋅ sec .. 10⋅ sec F ( t) := V0⋅ t −

g 2 ⋅t 2 t := 0⋅ sec .. 10⋅ sec

F ( t) = 0 m 35.097 60.387 75.87 81.547 77.417 63.48 39.737 6.187 -37.169 -90.332

100 F ( t) m h m

50 0 50 100

0

5

10

t sec

Меню "Формат/График/След" Трассировка: (2, 60), (6, 60)

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

20

2.1.2. Решение по формуле корней квадратного уравнения Cимвольное решение по переменной t. Меню "Символы/Переменные/Вычислить" 2

a ⋅t + b⋅t + c

0

⎛ 1 ⎞⎤ ⎡ ⎡ ⎜2 ⎢ 1 ⎢ ⎝ ⎠⎥ 2 ⋅ ⎣ −b + ( b − 4⋅ a ⋅ c) ⎢ ⎦ ( 2 ⋅ a ) ⎢ ⎢ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎡ ⎜2 ⎢ 1 ⎢ ⎝ ⎠⎥ 2 ⋅ ⎣ −b − ( b − 4⋅ a ⋅ c) ⎢ ⎦ ⎣ ( 2⋅ a ) a :=

t1 :=

−g 2

b := V0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

c := −h

⎛ 1 ⎞⎤ ⎡ ⎜2 ⎝ ⎠⎥ 1 ⎢ 2 ⋅ ⎣ −b + ( b − 4⋅ a ⋅ c) ⎦

t2 :=

( 2⋅ a )

t1 = 1.981sec

⎛ 1 ⎞⎤ ⎡ ⎜2 ⎝ ⎠⎥ 1 ⎢ 2 ⋅ ⎣ −b − ( b − 4⋅ a ⋅ c) ⎦

( 2⋅ a )

t2 = 6.177sec

2.1.3. Решение с помощью функции "root" −3

TOL = 1 × 10

f ( t) := −h + V0⋅ t −

условие прекращения итераций численным алгоритмом по умолчанию

g 2 ⋅t 2

t := 0⋅ sec

первое начальное приближение

t_1 := root ( f ( t) , t) t_1 = 1.981sec t := 10⋅ sec

второе начальное приближение

t_2 := root ( f ( t) , t) t_2 = 6.177sec 2.1.4. Решение с помощью функции "polyroots" −h + V0⋅ t − −h a 0 := m

g 2 ⋅t 2

0

a 1 :=

0

1

a0⋅ t + a1⋅ t + a2⋅ t V0 m sec

⎛ −g ⎞ ⎜ ⎝ 2 ⎠ a 2 := m

sec 2

2

0

⎛⎜ −60 ⎞ a = ⎜ 40 ⎟ ⎜ −4.903 ⎝ ⎠

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

21

t := polyroots ( a ) t0 = 1.981

t1 = 6.177

2.1.5. Решение с помощью функции "Find" h := 60

V0 := 40

TOL = 1 × 10

−3

g := 9.81 условие прекращения итераций численным алгоритмом по умолчанию

Given −3

CTOL = 1 × 10 0

−h + V0⋅ t −

задание погрешности выполнения уравнения по умолчанию

g 2 ⋅t 2

f ( t) := Find ( t) f ( 0) = 1.981 f ( 10) = 6.173

2.1.6. Символьное решение с помощью функции "Find" Given 0

−h + V0 ⋅ t −

g 2 ⋅t 2

⎛ 1 ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎡ ⎡ ⎡ ⎜2 ⎜2 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥ 1 1 2 2 ( ) ( ) Find ( t) → ⎢ ⋅ ⎣ 2 ⋅ V0 + 2 ⋅ V0 − 2 ⋅ g ⋅ h ⋅ ⎣ 2 ⋅ V0 − 2 ⋅ V0 − 2 ⋅ g ⋅ h ⎦ ⎦ ( 2 ⋅ g) ⎣ ( 2 ⋅ g)

2.2. ЗАДАЧА. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Определить, на какую максимальную высоту может подняться тело. Определить, в какой момент времени тело упадет обратно на землю.

Дано: m sec -2 −g = −9.807 m sec

V0 := 40⋅

начальная скорость ускорение

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

22

Решение: 2.2.1. Графическое нахождение максимума t := 0⋅ sec .. 10⋅ sec g 2 F ( t) := V0⋅ t − ⋅ t 2 100

F ( t) m

0

100

0

5

10

t sec

Меню "Формат/График/След" Трассировка: (4, 81.547) 2.2.2. Нахождение максимума с помощью функции "Minerr" t := 0⋅ sec

начальное приближение

Given F ( t)

100⋅ m

tmax := Minerr ( t) tmax = 4.079sec

(

)

F tmax = 81.577m 2.2.3. Нахождение максимума в указанной области t= [0, 10] с помощью функции "Maximize" t := 0⋅ sec

начальное приближение

Given 0⋅ sec ≤ t ≤ 10⋅ sec t_max := Maximize( F , t) t_max = 4.079sec F ( t_max) = 81.577m

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

23

2.2.4. Нахождение минимума в области F(t) >= 0 с помощью функции "Minimize" t := 0⋅ sec

первое начальное приближение

Given F ( t) ≥ 0

t_begin := Minimize( F , t) t_begin = 0 sec F ( t_begin) = 0 m t := 10⋅ sec

второе начальное приближение

Given F ( t) ≥ 0 t_end := Minimize( F , t) t_end = 8.158sec F ( t_end ) = −1.652 × 10

−5

m

t := 0⋅ sec .. 10⋅ sec 100 F ( t) m

50

F ( t_max) m F ( t_begin) m F ( t_end) m

0

2

4

6

8

50

100 t t_max , , t_begin , t_end sec sec

график функции максимум минимум 1 минимум 2

10

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

24

2.3. ЗАДАЧА. Однородная гладкая балка АВ силой тяжести P= 2 кН, закрепленная в точке А при помощи шарнира, опирается в точке С на стенку; в точке В подвешен груз Q=1 кН (рис. 2.1). Определить опорные реакции в точках А и С, если балка составляет с горизонтом угол α= 30°, h= 1м, L= 3м [2]. Силовая схема с реакциями связей – см. рис. 2.2.

Y

B L C

Q h

A

α X

Рис. 2.1. Рисунок к задаче 2.3

Y

B Q

N C

P

Ya A

Xa

Рис. 2.2. Силовая схема к задаче 2.3

X

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

25

Дано: 3

kN := 10 ⋅ N P := 2⋅ kN Q := 1⋅ kN N := Q

XA := P

L := 3⋅ m

h := 1⋅ m

YA := P

Решение: 2.3.1. Решение задачи с помощью функции "Find" Given XA − N⋅ cos ( 60⋅ deg)

0

YA − P + N⋅ cos ( 30⋅ deg) − Q

0

L N⋅ h −P ⋅ ⋅ cos ( 30⋅ deg) + − Q ⋅ L⋅ cos ( 30⋅ deg) 2 sin ( 30⋅ deg)

⎛⎜ 1.299 ⎞ Find ( XA , YA , N) = ⎜ 0.75 ⎟ kN ⎜ 2.598 ⎝ ⎠

0

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

26

2.3.2. Символьное решение задачи с помощью функции "Find" Given

XA − N⋅ cos ( 60⋅ deg)

0

YA − P + N⋅ cos ( 30⋅ deg) − Q

0

L N⋅ h −P ⋅ ⋅ cos ( 30⋅ deg) + − Q ⋅ L⋅ cos ( 30⋅ deg) 2 sin ( 30⋅ deg)

0

Find ( XA , YA , N)

Меню "Символы/Расчеты/Символические"

1 ( P + 2 ⋅ Q) ⎡⎢ ⋅L ⋅cos ( 30 ⋅deg) ⋅sin( 30 ⋅deg) ⋅ ⋅cos ( 60 ⋅deg) 2 h ⎢ ⎢ 2 2 −1 ( −2 ⋅P ⋅h + L ⋅cos ( 30 ⋅deg) ⋅sin( 30 ⋅deg) ⋅P + 2 ⋅L ⋅cos ( 30 ⋅deg) ⋅sin( 30 ⋅deg) ⋅Q − 2 ⋅Q ⋅h) ⎢ ⋅ 2 h ⎢ ⎢ 1 ( P + 2 ⋅ Q) ⋅L ⋅cos ( 30 ⋅deg) ⋅sin( 30 ⋅deg) ⋅ ⎢ 2 h ⎣

⎥⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

27

2.3.3. Матричное решение задачи Дано: P := 2

Q := 1

L := 3

N := Q

XA := P

YA := P

h := 1

Решение:

XA − N ⋅ cos ( 60 ⋅ deg)

0

YA − P + N ⋅ cos ( 30 ⋅ deg) − Q −P ⋅

0

L N⋅h ⋅ cos ( 30 ⋅ deg) + − Q ⋅ L ⋅ cos ( 30 ⋅ deg) 2 sin ( 30 ⋅ deg)

⎛ 1 0 −cos ( 60 ⋅ deg) ⎜ 0 1 cos ( 30 ⋅ deg) A := ⎜ ⎜ h ⎜ 0 0 sin ( 30 ⋅ deg) ⎝ X := A

−1

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

0 ⎛ ⎜ Q+P D := ⎜ ⎜ L ⎜ P ⋅ ⋅ cos ( 30 ⋅ deg) + Q ⋅ L ⋅ cos ( 30 ⋅ deg) 2 ⎝

⋅D

⎛⎜ 1.299 ⎞ X = ⎜ 0.75 ⎟ ⎜ 2.598 ⎝ ⎠

0

X := lsolve ( A , D)

⎛⎜ 1.299 ⎞ X = ⎜ 0.75 ⎟ ⎜ 2.598 ⎝ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

28

2.3.4. Матричное решение задачи в символьном виде

XA − N⋅ cos ( 60⋅ deg)

0

YA − P + N⋅ cos ( 30⋅ deg) − Q 0 L N⋅ h −P ⋅ ⋅ cos ( 30⋅ deg) + − Q ⋅ L⋅ cos ( 30⋅ deg) 2 sin ( 30⋅ deg)

⎛ 1 0 −cos ( 60⋅ deg) ⎜ ⎜ 0 1 cos ( 30⋅ deg) ⎜ h ⎜ 0 0 sin ( 30⋅ deg) ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

−1

0

0 ⎛ ⎜ Q+P ⋅⎜ ⎜ L ⎜ P ⋅ 2 ⋅ cos ( 30⋅ deg) + Q ⋅ L⋅ cos ( 30⋅ deg) ⎝

⎞ ⎟ → ⎟ ⎠

cos ( 60⋅ deg) ⎡ ⎛ 1 ⋅ P ⋅ L⋅ cos ( 30⋅ deg) + Q ⋅ L⋅ cos ( 30⋅ deg) ⎞ ⋅ sin ( 30 ⋅ deg ) ⋅ ⎜2 ⎢ h ⎝ ⎠ ⎢ ⎢ Q + P − cos ( 30⋅ deg) ⋅ sin ( 30⋅ deg) ⋅ ⎛⎜ 1 ⋅ P ⋅ L⋅ cos ( 30⋅ deg) + Q ⋅ L⋅ cos ( 30⋅ deg) ⎞ h ⎢ ⎝2 ⎠ ⎢ 1 ⎛1 ⎞ ⎢ ⋅ sin ( 30⋅ deg) ⋅ ⎜ ⋅ P ⋅ L⋅ cos ( 30⋅ deg) + Q ⋅ L⋅ cos ( 30⋅ deg) h ⎣ ⎝2 ⎠

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

29

2.4. ЗАДАЧА. Зависимость давления насыщенного пара муравьиной кислоты (мм рт. ст.) от температуры выражается уравнением [9]: для твердой фазы

log( P )

12.486 −

для жидкой фазы

log( P )

7.884 −

3160 T

1860 T

Вычислите координаты тройной точки (тр. т). 0 0 = Ртв Для равновесия в тройной точке справедливо условие Рж

Дано: для твердой фазы

log ( P)

для жидкой фазы

log ( P)

3160 T 1860 7.884 − T 12.486 −

Решение: P := 1

T := 1

начальное приближение

Given log ( P) log ( P)

3160 T 1860 7.884 − T

12.486 −

⎛ P ⎞ := Find ( P , T) ⎜ T ⎝ ⎠ P = 19.934

T = 282.486

Откуда Pтр т = 20 мм рт. ст. (2.666·103 Па).

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

30

2.5. ЗАДАЧА. Давление водяного пара раствора, содержащего нелетучее растворенное вещество, на 2 % ниже давления пара чистой воды. Определите моляльность раствора [9].

Дано: Уравнение Рауля - относительное понижение давления пара растворителя над раствором

x2

P1_0 − P1 P1_0

n2 n2 + n1

P1_0 := 100

давление пара чистого растворителя

P1 := 98

давление пара растворителя над раствором данной концентрации

n1 :=

1000 18

число молей растворителя - воды число молей растворенного вещества

n2

Решение: n2 := 0

x2 := 0

начальное приближение

Given

x2

P1_0 − P1 P1_0

n2 n2 + n1

⎛ x2 ⎞ := Find ( x2 , n2) ⎜ ⎝ n2 ⎠

n2 = 1.134

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

31

2.6. ЗАДАЧА. Имеются три сплава. Первый сплав содержит 70 % олова и 30 % свинца, второй – 80 % олова и 20 % цинка, третий – 50 % олова, 10 % свинца и 40 % цинка. Из них необходимо изготовить новый сплав, содержащий 15 % свинца. Какое наибольшее и наименьшее процентное содержание олова может быть в этом сплаве [10]? Решение. Пусть u – количество первого сплава, v – количество второго

сплава, w – количество третьего сплава, взятые для изготовления нового сплава. Так как в сплаве должно быть 15 % свинца, получим уравнение 0.3u + 0v + 0.1w = 0.15 . u+v+w Количество олова в новом сплаве 0.7u + 0.8v + 0.5w . u+v+w Для этой функции трех неотрицательных переменных нужно найти наибольшее и наименьшее значения. Уместно перейти к новым переменным: x=

u v w , y= , z= . u+v+w u+v+w u+v+w

Тогда мы получим ограничения: 0.3x+0.1z–0.15=0 и x+y+z–1=0, причем переменные x, y, z неотрицательные. Функция, для которой ищется экстремум (максимум или минимум), носит название целевой функции. Целевая функция имеет вид: 0.7x+0.8y+0.5z. Формально наша задача оптимизации записывается так:

⎧0.7 x + 0.8 y + 0.5z → min ⎧0.7 x + 0.8 y + 0.5z → max ⎪ 0.3x + 0.1z − 0.15 = 0 ⎪ 0.3x + 0.1z − 0.15 = 0 ⎪ ⎪ или ⎨ ⎨ x + y + z =1 x + y + z =1 ⎪ ⎪ ⎪⎩ x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 ⎪⎩ x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

32

Дано: F ( x , y , z) := 0.7 ⋅ x + 0.8 ⋅ y + 0.5 ⋅ z

целевая функция

Решение: x := 0

y := 0

z := 0

начальные приближения

Given 0.3 ⋅ x + 0.1 ⋅ z − 0.15 x+y+z x≥0

0 ограничения

1 y≥0

z≥ 0

P := Minimize( F , x , y , z)

поиск минимума

⎛⎜ 0.25 ⎞ P=⎜ 0 ⎟ ⎜ 0.75 ⎝ ⎠ x := 0

y := 0

z := 0

начальные приближения

Given 0.3 ⋅ x + 0.1 ⋅ z − 0.15 x+y+z x≥0

0 ограничения

1 y≥0

z≥ 0

P := Maximize( F , x , y , z)

⎛⎜ 0.5 ⎞ P = ⎜ 0.5 ⎟ ⎜ 0 ⎝ ⎠

поиск максимума

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

33

РАЗДЕЛ 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 3.1. ЗАДАЧА. Вычисление числа π методом Монте-Карло [10]. Будем бросать точку со случайными координатами в квадрат (его вершины имеют координаты (0, 0), (a, 0), (a, a), (0, a)). Этот квадрат высекает из окружности радиуса a с центром в начале координат сектор, площадь которого составляет 1 2 ⋅a ⋅π четверть площади окружности, то есть 4 . Если точка оказалась внутри

сектора, то фиксируется «удачное попадание». После многократных бросаний вычисляется отношение числа удачных исходов к общему количеству бросаний. Это число следует умножить на 4. Получить приближение к числу π.

3.1.1. Точное решение (см. ЗАДАЧА 1.8) Вычисление площадей фигур как интегралов площадей криволинейных трапеций a

⌠ ⎮ a dx → a 2 ⌡0

площадь квадрата

a

⌠ 1 ⎮ 2 ⎮ a 2 − x2 dx → 1 ⋅ a 2 ⋅ π ⌡0 4

(

)

Вычисление числа π

⎤ ⎡ ⌠a 1 ⎢⎮ ⎥ ⎢⎮ ⎥ 2 2) 2 ( d a − x x ⎢⌡ ⎥ ⎣ 0 ⎦ ⋅ 4 → π = 3.142 a

⌠ ⎮ a dx ⌡0

площадь сектора

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

34

3.1.2. Решение методом Монте-Карло Дано: ORIGIN := 1 a := 5

cторона квадрата a

N := 5000

число бросаний

Решение: i := 1 .. N x := 0 , 0.01 .. a 2

y ( x) := a − x Xi := rnd ( a )

2

координаты точек

Yi := rnd ( a )

6

4

y( x) Yi

2

0

0

2

4

6

x , Xi

Определение числа "удачных попаданий" N

n :=

∑

i =1

⎡⎡ ( Xi) 2 + ( Yi) 2 ⎤ ≤ a 2⎤ ⎣⎣ ⎦ ⎦

3

n = 3.839 × 10

Вычисление числа π n PI := ⋅4 N PI = 3.071 π = 3.142 Определение погрешности метода Монте-Карло при числе бросаний N π − PI π

= 2.241%

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

35

3.2. ЗАДАЧА. Группе студентов из 24 человек была выдана одновременно одна и та же задача на титриметрическое определение меди йодометрическим методом. Задачу выдавал лаборант в виде строго дозированной порции раствора (V = 20.0 мл) соли меди II (CuSO4), содержащей ~ 600 мг меди. Студенты получали задачу в мерные колбы на 250 мл, доводили объем в мерных колбах дистиллированной водой до метки, перемешивали и отбирали по 5 – 6 аликвот объемом в 25 мл для параллельных определений. Затем по известной методике последовательно определяли медь в каждой из аликвот, титруя рабочим раствором тиосульфата (концентрация – нормальность рабочего раствора Na2S2O4 установлена лаборантом заранее). Индиктор – раствор крахмала; титрование проводят в растворах минеральных кислот HCl или H2 SO4 . Последовательность реакций, лежащих в основе определения:

2Cu 2 + + 4 J − (изб ) → Cu2 J 2 ↓ + J 2 , J 2 + 2 S2O32 − → 2 J − + S4O32 − . Содержание Cu2+ студенты вычисляли по формуле

N T ⋅VT ⋅ ЭCu ⋅ 250 = 63,54 ⋅ 10 ⋅ N T ⋅VT , 25 – нормальность тиосульфата ( N T = 0.09132); VT – эквивалентный qCu 2+ =

где N T

объем тиосульфата, мл. Всем студентам было предложено сдать результаты 5 параллельных определений, округлив ответы до 0.5 мг. Для дальнейшего расчета были отобраны 100 результатов от 20 студентов, которые решили задачу первыми. Их ответы в порядке увеличения найденного содержания меди сведены в табл. 3.1, в которой mi – число совпадающих результатов, qi – количество меди, мг. Таблица 3.1 mi qi mi qi mi qi mi qi qi 600.0 1 605.5 3 609 3 612.5 5 616 601.5 1 606 1 609.5 6 613 4 616.5 602.5 1 606.5 3 610 5 613.5 3 617 603 1 607 4 610.5 5 614 3 617.5 604 2 607.5 4 611 6 614.5 3 618 604.5 2 608 5 611.5 4 615 2 618.5 605 4 608.5 4 612 4 615.5 2 621 Оценить характер распределения случайной величины [19].

mi 2 1 2 1 1 1 1

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

36

3.2.1. Данные о титриметрическом определении меди data1 i := 600 600.5 601 601.5 602 602.5 603 603.5 604 604.5 605 605.5 606 606.5 607 607.5 608 608.5 609 609.5 610 610.5 611 611.5 612 612.5 613 613.5 614 614.5 615 615.5 616 616.5 617 617.5 618 618.5 619 619.5 620 620.5 621

data2 i := 1 0 0 1 0 1 1 0 2 2 4 3 1 3 4 4 5 4 3 6 5 5 6 4 4 5 4 3 3 3 2 2 2 1 2 1 1 1 0 0 0 0 1

i := 0 .. 50

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

〈〉 data 0 〈〉 data 1

37

:= data1 := data2

3.2.2. Общее число определений меди

(

〈〉 n := length data 0

)

n = 43 n−1

N :=

∑ (data 〈1〉 )i

i =0

N = 100 3.2.3. Поле рассеяния случайной величины

(

) − min ( data

〈〉 ω := max data 0

〈0〉

ω = 21 3.2.4. Среднее арифметическое n−1

∑ (data 〈0〉 )i ⋅(data 〈1〉 )i

i =0

mx :=

N

mx = 610.235 3.2.5. Медиана j := 0 .. n − 1 j

E j :=

∑ (data 〈1〉 ) j

j =0

E20 = 50 med :=

E21 = 55

( data

med = 610.25

〈0〉

N = 100

) 20 + ( data 2

〈0〉

) 21

)

( (

〈〉 min data 0 〈〉 max data 0

) = 600 ) = 621

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

38

3.2.6. Выборочные дисперсия и среднеквадратическое отклонение n−1

∑

⎡⎡( data 〈0〉 ⎣⎣

k =0

D :=

) − mx⎤⎦ 2⎤⎦k⋅ ( data

〈1〉

)k

N−1

D = 16.098 σ := ( D)

1 2

σ = 4.012 3.2.7. Задание интервала гистограммы h := 0.5 i := 0

( max ( data ..

〈0〉

(

〈〉 xi := min data 0

) − min ( data

〈0〉

))

h

) + ( i⋅ h)

3.2.8. Определение вероятности попадания в интервал 〈〉 data 1 P := N 3.2.9. Построение гистограммы 0.06 0.04 Pi 0.02 0 600

605

610

615 xi

620

625

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

39

3.2.10. Выборочный коэффициент асимметрии n−1

∑

sk :=

⎡⎡( data 〈0〉 ⎣⎣

k =0

) − mx⎤⎦ 3⎤⎦k⋅ ( data σ

〈1〉

)k ⋅

3

N ( N − 1) ⋅ ( N − 2)

sk = 0.03579 3.2.11. Выборочный эксцесс n−1

4 ∑ ⎡⎣⎡⎣(data 〈0〉 ) − mx⎤⎦ ⎤⎦k⋅(data 〈1〉 )k

ku :=

k =0

σ

2

⋅

4

N⋅ ( N + 1) 3⋅ ( N − 1) − ( N − 1) ⋅ ( N − 2) ⋅ ( N − 3) ( N − 2) ⋅ ( N − 3)

ku = −0.11443 3.2.12. Построение графика нормальной плотности вероятности X := min ( x) , min ( x) + h .. max ( x)

⎡⎢ −( X − mx) 2 ⎥⎤ exp ⎢ 2⋅ σ 2 ⎥ ⎣ ⎦ G ( X) :=

mx = 610.235 σ = 4.012

σ ⋅ 2⋅ π

med = 610.25

0.15

G ( X) 0.1 P h

0.05

0 600

605

610

615 X,x

620

625

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

40

X=

G ( X) =

600 600.5 601 601.5 602 602.5 603 603.5 604 604.5 605 605.5 606 606.5 607 607.5

3.841·10 -3 5.238·10 -3 7.033·10 -3 9.296·10 -3 0.012 0.016 0.02 0.024 0.03 0.036 0.042 0.05 0.057 0.064 0.072 0.079

x=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 600 600.5 601 601.5 602 602.5 603 603.5 604 604.5 605 605.5 606 606.5 607 607.5

P = h

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 0.02 0 0 0.02 0 0.02 0.02 0 0.04 0.04 0.08 0.06 0.02 0.06 0.08 0.08

3.2.13. Проверка гипотезы о нормальном распределении при доверительной вероятности 0,9 qchisq ( 0.9 , n − 1 − 2) = 51.805

⎡ ⎛ Pi ⎞ 2 ⎤ ⎥ n−1 ⎢ ⎜ ⎢⎝ h ⎠ ⎥ 3 − N ⎢ G ( xi) ⎥ = −4.298 × 10 ⎣ ⎦ i =0

∑

⎡ ⎛ Pi ⎞ 2 ⎤ ⎥ n−1 ⎢ ⎜ ⎢⎝ h ⎠ ⎥ − N ⎢ G ( xi) ⎥ < qchisq ( 0.9 , n − 1 − 2) = 1 ⎣ ⎦ i =0

∑

3.3. ЗАДАЧА. По условиям предыдущей задачи исходные данные представлены в табл. 3.2, где записаны результаты всех определений в порядке увеличения найденного содержания меди. Таблица записана в виде текстового файла с именем «tit.txt», с помощью функции READPRN считана в файл расчетов.

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

41

Таблица 3.2 600.0 601.5 602.5 603.0 604.0 604.0 604.5 604.5 605.0 605.0 605.0 605.0 605.5 605.5 605.5 606.0 606.5 606.5 606.5 607.0

607.0 607.0 607.0 607.5 607.5 607.5 607.5 608.0 608.0 608.0 608.0 608.0 608.5 608.5 608.5 608.5 609.0 609.0 609.0 609.5

609.5 609.5 609.5 609.5 609.5 610.0 610.0 610.0 610.0 610.0 610.5 610.5 610.5 610.5 610.5 611.0 611.0 611.0 611.0 611.0

611.0 611.5 611.5 611.5 611.5 612.0 612.0 612.0 612.0 612.5 612.5 612.5 612.5 612.5 613.0 613.0 613.0 613.0 613.5 613.5

613.5 614.0 614.0 614.0 614.5 614.5 614.5 615.0 615.0 615.5 615.5 616.0 616.0 616.5 617.0 617.0 617.5 618.0 618.5 621.0

3.3.1. Чтение данных из текстового файла read := READPRN( "tit.TXT")

(

〈〉 data := stack read 0

〈〉 , read 1

〈〉 , read 2

〈〉 , read 3

〈〉 , read 4

3.3.2. Общее число определений меди N := length ( data) N = 100 3.3.3. Поле рассеяния случайной величины ω := max ( data) − min ( data ) ω = 21 3.3.4. Среднее арифметическое mx := mean ( data) mx = 610.235

min ( data) = 600 max ( data) = 621

)

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

42

3.3.5. Медиана med := median ( data ) med = 610.25 3.3.6. Выборочная дисперсия D := Var ( data) 2

D = 16.098 Stdev ( data) = 16.098 3.3.7. Выборочное среднеквадратическое отклонение σ := Stdev ( data) σ = 4.012 3.3.8. Задание интервала гистограммы и запись функции гистограммы k := 5 ⋅ log ( N)

k = 10

max ( data ) − min ( data ) = 2.1 k h := 2 max ( data ) − min ( data ) = 10.5 h n := 11 i := 0 .. n min ( data ) = 600

xi := min ( data) + i ⋅ h

V := hist ( x , data) 3.3.9. Вероятность попадания в интервал P :=

V N

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

43

3.3.10. Построение гистограммы

x=

0 600 602 604 606 608 610 612 614 616 618 620 622

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

V=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 2 2 11 12 18 20 16 10 6 2 1

P=

0 0.02 0.02 0.11 0.12 0.18 0.2 0.16 0.1 0.06 0.02 0.01

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20 V

10 0 600

605

610

615

620

x

3.3.11. Выборочный коэффициент асимметрии skew ( data) = 0.03579 3.3.12. Выборочный эксцесс kurt ( data) = −0.11443 3.3.13. Построение графика нормальной плотности вероятности G := dnorm ( x , mx , σ )

mx = 610.235 σ = 4.012 med = 610.25

0.1

G P h

0.05

0 600

605

610 x

615

620

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

44

x=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 600 602 604 606 608 610 612 614 616 618 620 622

G=

0 0 3.841·10 -3 1 0.012 2 0.03 3 0.057 4 0.085 5 0.099 6 0.09 7 0.064 8 0.035 9 0.015 10 5.144·10 -3 11 1.35·10 -3

P = h

0 0 0.01 1 0.01 2 0.055 3 0.06 4 0.09 5 0.1 6 0.08 7 0.05 8 0.03 9 0.01 10 5·10 -3

3.3.14. Проверка гипотезы о нормальном распределении при доверительной вероятности 0,9 qchisq ( 0.9 , n − 1 − 2) = 13.362 j := 0 .. n − 1

n−1

∑

j =0

n−1

∑

j =0

⎛ Pj ⎞ ⎜ − G j+ 1 ⎝h ⎠

2

= 0.072

Pj h

⎛ Pj ⎞ ⎜ − G j+ 1 ⎝h ⎠ Pj

2

< qchisq ( 0.9 , n − 1 − 2) = 1

h

3.4. ЗАДАЧА. Среднее из 8 определений содержания никеля в стали равно 1.76 %. Выборочный стандарт определения S8 равен 0.08 %. Определить ширину доверительного интервала для среднего из восьми результата анализа, отвечающего 95-процентной доверительной вероятности [19].

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

Дано: n := 8

число определений

mx := 1.76 ⋅ %

среднее

S_8 := 0.08 ⋅ %

выборочный стандарт

γ := 0.95

доверительная вероятность

Решение: уровень значимости

α := 1 − γ α = 0.05

⎛ ⎝

tx := qt ⎜ 1 −

α ⎞ ,n − 1 2 ⎠

критическая точка распределения Стьюдента (двусторонняя критическая область)

tx = 2.365 δ := tx ⋅

S_8 n

δ = 0.067%

точность оценки

mx − δ = 1.693% ширина доверительного интервала mx + δ = 1.827%

45

46

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

47

РАЗДЕЛ 4. АНАЛИЗ ДАННЫХ 4.1. ЗАДАЧА. На основании эксперимента получены четыре значения искомой функции

y = φ(x) при четырех значениях аргумента, которые

записаны в табл. 4.1 [12]. Таблица 4.1 X

1

2

3

5

y

3

4

2.5

0.5

Получить функцию на основании этих экспериментальных данных по методу наименьших квадратов. Функцию y = φ(x) искать в виде линейной функции y = ax + b . 4.1.1. Решение составлением системы линейных уравнений для определения неизвестных a и b. Символьное решение Given

⎡ N−1

d ⎢ da ⎢

⎤

∑

2⎥

⎡⎣Yi − ( a ⋅ Xi + b)⎤⎦ ⎥ 0 ⎣ i =0 ⎦ ⎡ N−1 ⎤ d ⎢ 2⎥ ⎡⎣Yi − ( a ⋅ Xi + b)⎤⎦ ⎥ 0 db ⎢ ⎣ i =0 ⎦ N−1 N−1 ⎞ ⎡ ⎛ N−1 ⎢ ⎜ Yi ⋅ Xi ⋅ N − Xi ⋅ Yi ⎢ ⎜ i =0 i =0 ⎢ ⎝ i =0 ⎠ 2⎤ ⎢ ⎡⎢ N−1 N−1 ⎛ ⎞ ⎥ ⎢ 2 ⎜ ⎢ Xi ⎥ ( Xi) ⋅ N − ⎜ ⎢ ⎢ i =0 ⎥ ⎢ ⎣ ⎝ i =0 ⎠ ⎦ Find ( a , b) → ⎢ N−1 N−1 N−1 ⎤ ⎢ ⎡ N−1 2 ⎢ ⎥ Yi ⋅ Xi ⋅ Yi ⋅ Xi ⎢ −− ( Xi) + ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ i =0 i =0 i =0 i =0 ⎦ ⎢ 2 ⎡⎢ N−1 ⎢ ⎛ N−1 ⎞ ⎤⎥ ⎢ ⎢ Xi ⎥ ( Xi) 2⋅ N − ⎜⎜ ⎢ ⎢ i =0 ⎥ ⎣ ⎣ ⎝ i =0 ⎠ ⎦

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

48

Экспериментальные данные ⎛ 1⎞ ⎛ 3 ⎞

⎜ 2 X := ⎜ ⎟ Y := ⎜ 3⎟ ⎜ ⎝ 5⎠

⎜ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 2.5 ⎟ ⎜ ⎝ 0.5 ⎠

N := length ( X)

количество наблюдений

N=4 N−1 N−1 ⎞ ⎛ N−1 ⎜ Yi ⋅ Xi ⋅ N − Xi ⋅ Yi ⎜ i =0 i =0 ⎝ i =0 ⎠ a := 2 ⎡⎢ N−1 ⎞ ⎥⎤ ⎛ N−1 ⎢ Xi ⎥ ( Xi) 2⋅ N − ⎜⎜ ⎢ i =0 ⎥ ⎣ ⎝ i =0 ⎠ ⎦

∑

∑

∑

∑

∑

N−1 N−1 N−1 ⎤ ⎡ N−1 2 −⎢− Yi ⋅ Xi ⋅ Yi ⋅ Xi⎥ ( Xi) + ⎢ ⎥ i = 0 i = 0 i = 0 i = 0 ⎣ ⎦ b := 2 ⎡⎢ N−1 ⎞ ⎥⎤ ⎛ N−1 ⎢ Xi ⎥ ( Xi) 2⋅ N − ⎜⎜ ⎢ i =0 ⎥ ⎣ ⎝ i =0 ⎠ ⎦

∑

∑

∑

∑

a = −0.743

∑

∑

b = 4.543

x := 1 , 1.1 .. 5 y ( x) := a ⋅ x + b 4 y( x) Y

2 0

0

2

4 x, X

6

approximation exptriment_point

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

49

4.1.2. Решение составлением системы линейных уравнений для определения неизвестных a и b a := 0

b := 0

Given N−1

∑

i =0

N−1

( Yi ⋅ Xi) − a ⋅ ∑ ( Xi) 2 − b ⋅ ∑ i =0

N−1

∑

i =0

N−1

Xi

0

i =0

N−1

Yi − a ⋅

∑

Xi − b ⋅ N

0

i =0

⎛ a ⎞ := Find ( a , b) ⎜ ⎝ b ⎠ a = −0.743

b = 4.543

x := 1 , 1.1 .. 5 y ( x) := a ⋅ x + b

4 y( x) Y

2 0

0

2

4 x, X

6

approximation exptriment_point

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

50

4.1.3. Матричное решение системы линейных уравнений для определения неизвестных a и b i := 0 .. N − 1 m := 0 .. 1 k := 0 .. 1 N−1

Ak , m :=

∑

N−1

( Xi) k+ m

Dk :=

i =0

⎛ 4 11 ⎞ ⎝ 11 39 ⎠

A=⎜

∑

Yi ⋅ ( Xi)

k

i =0

⎛ 10 ⎞ ⎝ 21 ⎠

D=⎜

⎛ b ⎞ −1 := A ⋅ D ⎜ ⎝ a ⎠ a = −0.743

b = 4.543

x := 1 , 1.1 .. 5 y ( x) := a ⋅ x + b 4 y( x) Y

2 0

0

2

4 x, X

6

approximation exptriment_point

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

51

4.1.4. Определение коэффициентов линейной регрессии a и b через функции "intercept" и "slope" b := intercept ( X , Y) a := slope ( X , Y) a = −0.743 b = 4.543 x := 1 , 1.1 .. 5 y ( x) := a ⋅ x + b 4 y( x) Y

2 0

0

2

4

6

x, X

approximation exptriment_point 4.1.5. Определение коэффициентов линейной регрессии a и b через функцию "line"

⎛ b ⎞ := line ( X , Y) ⎜ a ⎝ ⎠ a = −0.743 b = 4.543 x := 1 , 1.1 .. 5 y ( x) := a ⋅ x + b 4 y( x) Y

2 0

0

2

4 x, X

6

approximation exptriment_point

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

52

4.1.6. Проверка адекватности модели регрессии

[4]

p := 1

количество факторов

N=4

количество наблюдений

Вычисление коэффициента детерминации как отношение суммы квадратов регрессии к общей сумме квадратов N−1

SSf :=

∑

( y ( Xi) − mean ( Y) ) 2

сумма квадратов регрессии

( Yi − y ( Xi) ) 2

сумма квадратов остатков

i =0 N−1

SSr :=

∑

i =0 N−1

SS :=

∑

( Yi − mean ( Y) ) 2

общая сумма квадратов

i =0

SS = 6.5 SSf R_2 := SS

SSf + SSr = 6.5 R_2 = 0.743

коэффициент детерминации

Вычисление коэффициента детерминации как квадрат коэффициента множественной корреляции R :=

a ⋅ corr ( Y , X) ⋅ stdev ( X) stdev ( Y)

2

R = 0.743

коэффициент множественной корреляции коэффициент детерминации

Проверка значимости коэффициента детерминации при доверительной вероятности 0,683 2

F :=

R ⋅ ( N − p − 1)

(1 − R ) ⋅p 2

расчетный F-критерий

F = 5.778 qF ( 0.683 , p , N − p − 1) = 1.749 F > qF ( 0.683 , p , N − p − 1) = 1

критическая точка распределения Фишера

Расчетное значение F-критерия превышает табличное, поэтому гипотеза о равенстве коэффициента детерминации нулю - отвергается, связь между X и Y существенна

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

53

4.2. ЗАДАЧА. По наблюдаемым значениям величин X и Y найти математическую модель, наилучшим образом описывающую зависимость Y от X [15]. Наблюдаемые значения Xi :=

Yi :=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

145 111 135 130 122 98 100 85 90 79 15 68

i := 0 .. 11

x := min ( X) , min ( X) + 0.01 .. max ( X) p := 1

количество факторов

n := length ( X)

количество наблюдений

4.2.1. Линеаризация зависимости логарифмической функцией Y

b⋅a

log ( b) + X⋅ log ( a )

log ( Y) b1

X

log ( b)

→ ⎯ → ( b1 := intercept X , log ( Y) )

(

)

→ ⎯ → intercept X , log( Y)

b := 10 a1

log ( a ) → ⎯ → a1 := slope X , log ( Y)

(

(

)

)

→ ⎯ → slope X , log( Y)

a := 10

a = 0.891

b = 185.732

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

54

y ( x) := b ⋅ a

x 2.5

log( y( x) )

2

log( Y) 1.5

1

0

5

10

15

x, X

Вычисление коэффициента детерминации n−1

∑

SSf :=

( log ( y ( Xi) ) − mean ( log ( Y) ) ) 2

сумма квадратов регрессии

i =0 n−1

SS :=

∑

( log ( Yi) − mean ( log ( Y) ) ) 2

общая сумма квадратов

i =0

R_2 :=

SSf SS

коэффициент детерминации

R_2 = 0.478 Проверка значимости коэффициента детерминации при доверительной вероятности 0,9 F :=

R_2⋅ ( n − p − 1) ( 1 − R_2) ⋅ p

расчетный F-критерий F = 9.151

qF ( 0.9 , p , n − p − 1) = 3.285 F > qF ( 0.9 , p , n − p − 1) = 1

критическая точка распределения Фишера

Расчетное значение F-критерия превышает табличное, поэтому гипотеза о равенстве коэффициента детерминации нулю - отвергается, связь между X и Y существенна

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

55

4.2.2. Использование функции линейного сглаживания "linfit" для аппроксимации степенным многочленом

⎛ ⎜ ⎜ f ( x) := ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 ⎞ x ⎟ 2

⎟

x ⎟ 3

x ⎠

a := linfit ( X , Y , f )

y1 ( x) := f ( x) ⋅ a

⎛ ⎜ a=⎜ ⎜ ⎜ ⎝

130.091 ⎞ 5.103 ⎟ −1.944 ⎟ 0.079 ⎠

150 100

Y y1( x)

50 0

0

5

10

15

X,x

Вычисление коэффициента детерминации 3

∑ (a j ⋅corr (Y , X j) ⋅stdev (X j))

R :=

j =1

stdev ( Y)

R = 0.873

коэффициент множественной корреляции коэффициент детерминации

2

R = 0.761

Проверка значимости коэффициента детерминации при доверительной вероятности 0,9 2

F :=

R ⋅ ( n − p − 1)

(1 − R ) ⋅p 2

расчетный F-критерий

F = 31.89 qF ( 0.9 , p , n − p − 1) = 3.285 F > qF ( 0.9 , p , n − p − 1) = 1

критическая точка распределения Фишера

Расчетное значение F-критерия превышает табличное, поэтому гипотеза о равенстве коэффициента детерминации нулю - отвергается, связь между X и Y существенна

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

56

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ff ( x) := ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 ⎞ 1 ⎟ x ⎟

⎟

1 ⎟ 2 x ⎟

⎟

1 ⎟ x

3

⎠

⎛ −33.131 ⎜ 3 ⎜ 1.253 × 10 a=⎜ 3 ⎜ −2.795 × 10 ⎜ 3 ⎝ 1.721 × 10

a := linfit ( X , Y , ff )

y2 ( x) := ff ( x) ⋅ a 150 Y y2( x)

100 50 0

0

5

10

15

X,x

Вычисление коэффициента детерминации 3

∑ (a j ⋅corr (Y , X− j) ⋅stdev (X− j))

R :=

j =1

stdev ( Y)

R = 0.896 2

R = 0.802

коэффициент множественной корреляции коэффициент детерминации

Проверка значимости коэффициента детерминации при доверительной вероятности 0,9 2

F :=

R ⋅ ( n − p − 1)

( 1 − R 2) ⋅ p

расчетный F-критерий

F = 40.542 qF ( 0.9 , p , n − p − 1) = 3.285 F > qF ( 0.9 , p , n − p − 1) = 1

критическая точка распределения Фишера

Расчетное значение F-критерия превышает табличное, поэтому гипотеза о равенстве коэффициента детерминации нулю - отвергается, связь между X и Y существенна

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ fff ( x) := ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 ⎞ 1 ⎟ x ⎟

⎟ ⎟ 1 ⎟

x

2

x

3

⎠

⎛ ⎜ a=⎜ ⎜ ⎜ ⎝

a := linfit ( X , Y , fff )

y3 ( x) := fff ( x) ⋅ a 150 Y y3( x)

57

141.471 ⎞ −44.111 ⎟ −0.676 ⎟ 47.454 ⎠

100 50 0

0

5

10

15

X,x

Вычисление коэффициента детерминации R :=

( a1⋅corr (Y , X− 1) ⋅stdev (X− 1)) + (a2⋅corr (Y , X2) ⋅stdev (X2) ) + (a3⋅corr (Y , X− 3) ⋅ stdev (X− 3)) stdev ( Y)

коэффициент множественной корреляции 2 коэффициент детерминации R = 0.767 Проверка значимости коэффициента детерминации при доверительной вероятности 0,9 R = 0.876

2

F :=

R ⋅ ( n − p − 1)

( 1 − R2) ⋅ p

F = 32.908 qF ( 0.9 , p , n − p − 1) = 3.285

расчетный F-критерий критическая точка распределения Фишера

F > qF ( 0.9 , p , n − p − 1) = 1 Расчетное значение F-критерия превышает табличное, поэтому гипотеза о равенстве коэффициента детерминации нулю - отвергается, связь между X и Y существенна

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

58

4.3. ЗАДАЧА. По условию задачи 4.1 функцию y = φ(x) искать в виде x

нелинейной функции y = a1 ⋅ a0 .

4.3.1. Нахождение частных производных для решения составлением системы нелинейных уравнений. Символьное решение

⎡ n−1

(

⎤ Xi ⎤ 2 ⎥

)

n−1

(

)

Xi Xi Xi ⎡Y − a1 ⋅ a0 → − 2 ⋅ Y − a1 ⋅ a0 ⋅ a1 ⋅ a0 ⋅ i ⎣ i ⎦ ⎥ a0 ⎣i =0 ⎦ i =0

d ⎢ da0 ⎢

∑

∑

n−1 ⎡ n−1 ⎤ 2 X X d ⎢ ⎡Yi − a1 ⋅ a0Xi ⎤ ⎥ → −2 ⋅ Yi − a1 ⋅ a0 i ⋅ a0 i ⎣ ⎦ ⎥ da1 ⎢ i = 0 ⎣ ⎦ i =0

∑

(

)

∑

(

Экспериментальные данные

⎛ ⎜ X := ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 ⎞ 2 ⎟ 3 ⎟ 5 ⎠

⎛ ⎜ Y := ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

3 ⎞ 4 ⎟ 2.5 ⎟ 0.5 ⎠

x := min ( X) , min ( X) + 0.01 .. max ( X) количество наблюдений n := length ( X) n=4

)

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

59

Решение составлением системы нелинейных уравнений для определения неизвестных a и b a1 := 2

a0 := 1 Given n−1

∑

(

Xi

(

Xi

−2 ⋅ Yi − a1 ⋅ a0

) ⋅ a1 ⋅ a0X ⋅ a0Xi

i =0 n−1

∑

−2 ⋅ Yi − a1 ⋅ a0

i

) ⋅ a0X

i

0

0

i =0

⎛ a0 ⎞ := Find ( a0 , a1) ⎜ a1 ⎝ ⎠ y ( x) := a1 ⋅ a0

a0 = 0.773

a1 = 4.824

x 4 Y y( x)

2

0

0

2

4 X,x

4.3.2. Использование функции общего сглаживания "genfit" для аппроксимации нелинейной функцией a1 ⋅ a0

y ( x)

x

Меню "Символы/Переменные/Дифференциалы". Нахождение частных производных: по a0 по a1 x

a1 ⋅ a0 ⋅

x a0

a0

x

6

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

60

⎡ a 1 ⋅ ( a 0) x ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ x x ⎥ f ( x , a ) := ⎢ a 1 ⋅ ( a 0) ⋅ a0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ( a0) x ⎣ ⎦ ⎛ a0 ⎞ := genfit ( X , Y , v , f ) ⎜ a 1 ⎝ ⎠ y ( x) := a 1 ⋅ ( a 0)

⎛ 1⎞ ⎝ 2⎠

v := ⎜

a 0 = 0.775

a 1 = 4.799

x 4 Y y( x)

2

0

0

2

4

6

X,x

4.3.3. Использование функции "Minimize" для аппроксимации нелинейной функцией a0 := 1 a1 := 1 n−1

f ( a0 , a1) :=

∑

i =0

(

)2

⎡Yi − a1 ⋅ a0Xi ⎤ ⎣ ⎦

Given 0 < a0 < 10 0 < a1 < 10 ⎛ a0 ⎞ := Minimize( f , a0 , a1) ⎜ a1 ⎝ ⎠ y ( x) := a1 ⋅ a0

a0 = 0.773

a1 = 4.824

x 4 Y y( x)

2

0

0

2

4 X,x

6

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

61

4.4. ЗАДАЧА. При распределении салициловой кислоты между бензолом и водой при 298 K были получены данные представленные в табл. 4.2 [9]: Таблица 4.2 с1

0.0363 0.0668 0.0940 0.126

0.210

0.283

0.558

0.756

0.912

с2

0.0184 0.0504 0.0977 0.146

0.329

0.553

0.650

2.810

4.340

где

c1 – концентрация салициловой кислоты в водном слое, моль/л, c2 – концентрация салициловой кислоты бензольном слое, моль/л.

c1n =K. Определите значения n и K и напишите уравнение распределения c2

c1i :=

c2i :=

0.0363 0.0668 0.0940 0.126 0.210 0.283 0.558 0.756 0.912

0.0184 0.0504 0.0977 0.146 0.329 0.553 0.650 2.810 4.340

i := 0 .. 8

C1 := min ( c1) , min ( c1) + 0.01 .. max ( c1)

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

62

c1 c2

4.4.1. Определение константы K по уравнению распределения Ki :=

c1i

K

c2i по уравнению с1/с2 = K соотношение с1/с2 не остается постоянным, поэтому необходимо применить закон распределения в общем виде 2 Ki

1

0

2

4

6

8

i n

c1 4.4.2. Определение констант n и K по уравнению распределения K c2 Линеаризация степенной зависимости логарифмической функцией ⎛ 1 ⎞ + n ⋅ log ( c1) log ( c2) log ⎜ ⎝ K⎠ b1 K

⎛1⎞ ⎝ K⎠

log ⎜ 1

b1

10 b1 K :=

(

)

⎯ → ⎯ → intercept log ( c1) , log ( c2) 1

(

)

⎯ → ⎯ → intercept log( c1) , log( c2)

10

(

)

⎯ → ⎯ → n := slope log ( c1) , log ( c2) C2 ( C1) :=

n = 1.572

1 n ⋅ C1 K 1

log( C2 ( C1) )

1.5

K = 0.278

1

0.5

log( c2)

0 1

2 log( C1) , log( c1)

6

C2 ( C1) c2

4

2

0

0.5 C1 , c1

1

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

63

4.4.3. Использование функции общего сглаживания "genfit" для аппроксимации степенной зависимости n

c1 c2

K

a1

1 K n

C2

a0 ⋅ C1

a0

замена a1

Меню "Символы/Переменные/Дифференциалы". Нахождение частных производных: по a0 по a1 C1

a1

a0 ⋅ C1

a ⎛ a 0 ⋅ C1 1 ⎜ a1 f ( C1 , a ) := ⎜ C1 ⎜ ⎜ a1 ⎝ a 0 ⋅ C1 ⋅ ln ( C1)

a1

⋅ ln ( C1)

⎞ ⎛ 1⎞

⎟ ⎟

v := ⎜

⎝ 1⎠

⎠

⎛ a0 ⎞ := genfit ( c1 , c2 , v , f ) ⎜ a ⎝ 1⎠ n := a 1 K :=

1 a0

C2 ( C1) :=

1 n ⋅ C1 K

n = 2.879

K = 0.174

6

c2 C2 ( C1)

4

2

0

0

0.2

0.4

0.6

c1 , C1

0.8

1

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

64

4.5. ЗАДАЧА. В табл. 4.3 приведены данные испытаний на растяжение круглого образца из хромованадиевой стали с целью определения предела упругости материала [1]. Диаметр образца – 11.3 мм. Расчетная длина образца – 100 мм.

Таблица 4.3 №№

Нагрузка P,

Удлинение образца ∆L,

наблюдений

вт

в мм

1

1.5

0.0

2

2.0

0.2

2

2.5

0.3

4

3.0

1.9

5

3.5

1.7

6

3.7

2.6

7

3.9

3.8

8

4.1

5.6

9

4.3

9.2

Построить диаграмму σ – ε (напряжения-деформации). Произвести глобальную интерполяцию.

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

65

Экспериментальные данные

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ∆L := ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

0.0 ⎞ 0.2 ⎟ 0.3 ⎟ 0.9 1.7 2.6 3.8 5.6

⎟ ⎟ ⎟ удлинение, мм ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

9.2 ⎠

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ P := ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1.5 ⎞ 2 ⎟

2.5 ⎟ 3 3.5 3.7 3.9 4.1

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

нагрузка, т

4.3 ⎠

d := 0.0113

диаметр, мм

L := 100

длина, мм 2

d F := π ⋅ 4

площадь,мм^2

F = 1.003 × 10 σ := P ⋅

ε :=

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ σ=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

−4

1000⋅ 9.81 6

F ⋅ 10

∆L L

напряжения, МПа

деформации

146.728 ⎞ 195.638 ⎟ 244.547 ⎟

⎟

293.456 ⎟ 342.366 ⎟

⎟

361.929 ⎟ 381.493 ⎟

⎟ 401.057 ⎟ 420.621 ⎠

0 ⎛ ⎜ ⎜ 2 × 10− 3 ⎜ ⎜ 3 × 10− 3 ⎜ −3 ⎜ 9 × 10 ε =⎜ 0.017 ⎜ ⎜ 0.026 ⎜ 0.038 ⎜ ⎜ 0.056 ⎜ 0.092 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

66

4.5.1. Интерполяция полиномом степени N N := length (ε ) N=9 i := 0 .. N − 1 m := 0 .. N − 1 k := 0 .. N − 1

N−1

Ak , m :=

∑ (ε i) k+m

i =0 N−1

Dk :=

∑

( )k

σi⋅ ε i

i =0

a := lsolve ( A , D)

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞

147.222 4

−3.052 × 10

7

4.139 × 10

9

−8.76 × 10

11

7.789 × 10

13

−3.441 × 10

14

7.827 × 10

15

−8.639 × 10

16

3.6 × 10

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

67

x := min (ε ) , min (ε ) + 0.0001 .. max (ε ) N−1

y ( x) :=

∑

a k⋅ x

k

k =0 5

2 .10

0

0.02

0.04

0.06

0.08

5

σ

2 .10

y( x)

4 .10

5 5

6 .10

5

8 .10

ε ,x

при интерполяции полиномом степени N наблюдается полиномиальное раскачивание

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ y (ε ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

147.222 ⎞ 193.062 ⎟ 246.902 ⎟

⎟ 293.087 ⎟ 342.494 ⎟ ⎟ 361.893 ⎟ 381.498 ⎟ ⎟ 401.057 ⎟ 420.621 ⎠

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ σ=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

146.728 ⎞ 195.638 ⎟ 244.547 ⎟

⎟ 293.456 ⎟ 342.366 ⎟ ⎟ 361.929 ⎟ 381.493 ⎟ ⎟ 401.057 ⎟ 420.621 ⎠

0.1

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

68

4.5.2. Интерполяция полиномом степени 3 i := 0 .. N − 1 N := 3 m := 0 .. N − 1 k := 0 .. N − 1

N−1

Ak , m :=

∑ ( ε i)

i =0

k+ m

N−1

Dk :=

∑

( )k

σi⋅ ε i

i =0

a := lsolve ( A , D)

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞

141.083 3

9.693 × 10

⎟ 4 ⎟ −7.442 × 10 ⎟ 8 ⎟ 5.183 × 10 ⎟ 10 −7.355 × 10 ⎟ ⎟ 12 ⎟ 3.952 × 10 ⎟ 13 ⎟ −9.945 × 10 ⎟ 15 1.163 × 10 ⎟ 15

−5.016 × 10

⎠

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

69

N−1

y ( x) :=

∑

a k⋅ x

k

k =0 500 400 σ y( x)

300 200 100

0

0.02

0.04

0.06

0.08

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ σ=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

146.728 ⎞

ε ,x

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ y (ε ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

141.083 ⎞ 160.172 ⎟ 169.494 ⎟

⎟ 222.296 ⎟ 284.363 ⎟ ⎟ 342.802 ⎟ 401.965 ⎟ ⎟ 450.521 ⎟ 402.953 ⎠

195.638 ⎟ 244.547 ⎟

⎟ 293.456 ⎟ 342.366 ⎟ ⎟ 361.929 ⎟ 381.493 ⎟ ⎟ 401.057 ⎟ 420.621 ⎠

0.1

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

70

4.5.3. Сплайн-интерполяция B-сплайнами

⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ u := ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

0 0.004 0.005 0.015 0.02 0.03

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

вектор значений аргумента, в которых производится сшивка B-сплайнов

0.092 ⎠

. W := bspline ( ε , σ , u , 3) y ( x) := interp ( W , ε , σ , x)

500

σ y( x)

400 300

y( u) 200 100

0

0.02

0.04

0.06 ε , x, u

0.08

0.1

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

71

4.6. ЗАДАЧА. При изучении равновесия системы хлороформ – диэтиловый эфир при 298 K были получены следующие парциальные давления насыщенного пара – табл. 4.4 [9]: Таблица 4.4 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

PC2H5OC2H5 ·10-4, Па

0.000

0.460

1.287

2.666

4.093

5.333

PCHCl2 ·10-4, Па

1.933

1.480

0.920

0.460

0.165

0.000

XC2H5OC2H5

Постройте графики зависимости парциальных и общего давления насыщенного пара от состава раствора. Сделайте заключение относительно характера отклонения от закона Рауля, о коэффициентах активности компонентов раствора при всех концентрациях, изменении объема при образовании раствора и о тепловом эффекте смешения. По характеру кривых видно, что растворы при всех концентрациях не подчиняются закону Рауля. Наблюдается отрицательное отклонение от закона

Рауля.

Отрицательное

отклонение

от

линейной

зависимости

уменьшается и стремится к нулю при приближении концентрации компонента раствора к единице. Коэффициенты активности компонента раствора при всех концентрациях меньше единицы. Следовательно, при образовании растворов объемы их меньше суммы объемов компонентов; при образовании растворов выделяется теплота (∆Hсм < 0). Экспериментальные данные i := 0 .. 5 xC2H5OC2H5 := i 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

P C2H5OC2H5 := i

0.000 0.460 1.287 2.666 4.093 5.333

P CHCl3 := i

1.933 1.480 0.920 0.460 0.165 0.000

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

72

Изображение экспериментальных данных 6

PC2H5OC2H5

4

PCHCl3 PC2H5OC2H5+ PCHCl3

2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xC2H5OC2H5

4.6.1. Использование стандартной функции интерполяции "linterp" для построения графиков

(

)

(

)

(

)

x := min xC2H5OC2H5 , min xC2H5OC2H5 + 0.01 .. max xC2H5OC2H5

( ) ( ) Z3( x) := linterp ( xC2H5OC2H5, PC2H5OC2H5+ PCHCl3, x)

Z1( x) := linterp xC2H5OC2H5, PC2H5OC2H5, x Z2( x) := linterp xC2H5OC2H5, PCHCl3, x

6 PC2H5OC2H5

5

PCHCl3

4

PC2H5OC2H5+ PCHCl3

3

Z1( x) Z2( x) Z3( x)

2 1 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

xC2H5OC2H5 , xC2H5OC2H5 , xC2H5OC2H5 , x , x , x

1

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

73

Вычисление промежуточных значений с помощью функции интерполяции "linterp" xC2H5OC2H5 = i 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Z1( 0.101) = 0.232

Z1( 0.3) = 0.873

Z2( 0.101) = 1.704

Z2( 0.3) = 1.2

Z3( 0.101) = 1.937

Z3( 0.3) = 2.073

4.6.2. Использование стандартной функции интерполяции "interp" для построения графиков

(

)

W1 := lspline xC2H5OC2H5, PC2H5OC2H5 Z4( x) := interp W1 , xC2H5OC2H5, PC2H5OC2H5, x

(

(

)

)

W2 := cspline xC2H5OC2H5, PC2H5OC2H5 Z5( x) := interp W2 , xC2H5OC2H5, PC2H5OC2H5, x

(

(

)

)

W3 := pspline xC2H5OC2H5, PC2H5OC2H5 Z6( x) := interp W3 , xC2H5OC2H5, PC2H5OC2H5, x

(

)

Сравнение результатов интерполирования функциями "linterp" и "interp" на интервале 0..0.2

0.4 Z1( x) Z4( x)

0.2

0

0

0.05

linterp interp

0.1 x

0.15

0.2

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

74

Сравнение результатов интерполирования функциями "interp" "lspline", "cspline", "pspline" вблизи граничных точек

(

)

(

)

(

)

x := min xC2H5OC2H5 − 1 , min xC2H5OC2H5 − 1 + 0.01 .. max xC2H5OC2H5 + 1 20 15 Z1( x)

10

Z4( x)

5

Z5( x) Z6( x)

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

5 10 15 x

4.7. ЗАДАЧА. В табл. 4.5 приведены результаты вычислений, сделанных через единицу pH, в интервале pH от 1.00 до 6.00. Построить распределительную

диаграмму

для раствора муравьиной кислоты в

интервале pH 1.00 – 6.00. Определить точку пересечения кривой образования муравьиной кислоты (кривая αHCOOH – pH) и кривой диссоциации (кривая αHCOO¯ – pH) [5]. Таблица 4.5 pH

HCOOH

HCOO¯

1.00

100

0

2.00

98

2

3.00

85

15

4.00

36

64

5.00

5

95

6.00

0

100

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

75

Результаты вычислений i := 0 .. 5 pHi :=

HCOOHi :=

1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

HCOO_i :=

100 98 85 36 5 0

0 2 15 64 95 100

Изображение результатов вычислений 100

HCOOH HCOO_

50

0

2

4

6

pH

образование кислоты диссоциация кислоты Использование стандартных функций интерполяции "interp" и "lspline" для построения диаграммы x := min ( pH) , min ( pH) + 0.01 .. max ( pH) W1 := lspline ( pH , HCOOH) Z1( x) := interp ( W1 , pH , HCOOH, x) W2 := lspline ( pH , HCOO_) Z2( x) := interp ( W2 , pH , HCOO_ , x)

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

76

120 100 HCOOH HCOO_ Z1( x)

80 60 40

Z2( x) 20 0 20

1

2

3

4

5

pH , pH , x , x

Меню "Формат/График/След" Трассировка: ( 3.75, 51.225) Определение точки пересечения кривых образования и диссоциации муравьиной кислоты с помощью функции интерполяции "interp" Z1( 3.75) = 48.775 Z2( 3.75) = 51.225 Определение точки пересечения кривых образования и диссоциации муравьиной кислоты с помощью функции "Find" x := 0 Given Z1( x)

Z2( x)

Find ( x) = 3.727

6

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

РАЗДЕЛ

5.

РЕШЕНИЕ

ОБЫКНОВЕННЫХ

77

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ (ОДУ) И СИСТЕМ ОДУ 5.1. ЗАДАЧА. Точка массы M падает на Землю из состояния покоя под действием постоянной силы тяжести. Найти скорость движения точки, если сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости (R = M·k2·v2, где k – постоянная) [3].

Дано: V0 := 0

начальная скорость, м/с

k := 0.16

коэффициент сопротивления среды, кг/с

g :=

g m ⋅ sec

ускорение свободного падения, м/с^2

−2

M := 1

масса тела, кг

Решение: t := 0 .. 15

время, с 2 ⋅ k⋅ t⋅ g

−1 g e ⋅ v ( t) := k e 2 ⋅ k⋅ t⋅ g + 1

точное решение уравнения

5.1.1. Решение ОДУ I порядка с использованием функции "odesolve" Given 2

M⋅ V' ( t) V ( 0)

M⋅ g − M⋅ k ⋅ V ( t) 0

vv := odesolve ( t , 15 , 100)

2

начальная скорость, м/с 15 - время падения тела

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

78

t := 0 , 1 .. 15

20 vv ( t) v ( t)

10

0

5

10

15

t

vv ( t) =

v ( t) =

0 9.061 14.923 17.727 18.874 19.313 19.477 19.537 19.559 19.567 19.57 19.572 19.572 19.572 19.572 19.572

0 9.061 14.923 17.727 18.874 19.313 19.477 19.537 19.559 19.567 19.57 19.572 19.572 19.572 19.572 19.572

5.1.2. Решение ОДУ I порядка с использованием функции "rkfixed" V0 := V0

N := 15

D ( t , V) := g − k ⋅ ( V0) 2

t1 := 0

t2 := 15

2

V_ := rkfixed ( V , t1 , t2 , N , D)

0

20

V_ =

v ( t) V_ 〈1〉

0

5

10

15

t , V_ 〈0〉

( ⎣ v ⎡( V_ ⎣

〈〉 v ⎡ V_ 0 〈0〉

0

0

1

1

9.055

2

2

14.9

3

3 17.696

4

4 18.851

5

5 19.299

6

6

7

7 19.534

8

8 19.558

9

10

) 10⎤⎦ = 19.57 ( V_ ) 15⎤⎦ = 19.572 ( V_

〈1〉 〈1〉

) 10 = 19.57 ) 15 = 19.572

1

0

19.47

9 19.567

10

10

11

11 19.571

19.57

12

12 19.572

13

13 19.572

14

14 19.572

15

15 19.572

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

79

5.1.3. Решение ОДУ I порядка методом Эйлера [18] N = 15

T0 := t1

i := 1 .. N

T N := t2

V0 = 0 2

F ( T , V) := g − k ⋅ V h :=

2

T N − T0

N Ti := T0 + h ⋅ i Vi := Vi−1 + F ( Ti−1 , Vi−1) ⋅ h

20 v ( t) V

VN = 19.572 10

0

5

10

15

t,T

T3 = 3 T10 = 10 T15 = 15

v ( T3) = 17.727

v ( T10) = 19.57

v ( T15) = 19.572

V3 = 19.427 V10 = 19.572 V15 = 19.572

5.2. ЗАДАЧА о свободных колебаниях системы с одной степенью свободы [13]. Тело имеет массу Q, упругость системы характеризуется коэффициентом жесткости k, вязкость – коэффициентом λ. Пусть груз Q покоится на упругой рессоре. Отклонение груза от положения

равновесия

обозначено

через

y.

Отклонение

вниз

–

положительное, вверх – отрицательное. В положении равновесия вес

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

80

уравновешивается

упругостью

пружины.

Предполагается,

что

сила,

стремящаяся вернуть груз в положение равновесия, – так называемая восстанавливающая сила – пропорциональна отклонению, то есть равна -k·y, где k – некоторая постоянная для данной рессоры величина («жесткость рессоры»). Предполагается,

что

движению

груза

Q

препятствует

сила

сопротивления, направленная в сторону противоположную направлению движения, и пропорциональная скорости движения груза, то есть сила − λ ⋅ v = −λ ⋅

dy , где λ= const ≥ 0 (амортизатор). dt

Дифференциальное уравнение движения груза на рессоре по II закону Ньютона:

Q⋅

dy d2y k y λ = − ⋅ − ⋅ , dt dt 2

где k, λ ≥ 0.

Дано: Q := 20

масса, кг

λ := 40

амортизатор, Н/с

k := 100

жесткость, Н/м

y_0 := 0.01

начальное отклонение, м

V_0 := 0

начальная скорость, м/с

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

81

Решение: 5.2.1. Точное решение линейного однородного ОДУ II порядка y'' ( t) +

k λ ⋅ y' ( t) + ⋅ y ( t) Q Q

0

5.2.1.1. Решение характеристического уравнения линейного однородного ОДУ II порядка . Меню "Символы/Переменные/Вычислить" 2

p +

k λ ⋅p + Q Q

0

по переменной p

⎡ ⎡ ⎢ 1 ⎢ 2 ⋅ ⎣ −λ + λ − 4 ⋅ Q ⋅ k ⎢ ⎢ ( 2 ⋅ Q) ⎢ ⎡ ⎢ 1 ⎢ 2 ⎢ ⋅ ⎣ −λ − λ − 4 ⋅ Q ⋅ k ⎣ ( 2 ⋅ Q)

(

)

(

)

⎛ 1 ⎞⎤ ⎤ ⎜2 ⎝ ⎠⎥ ⎥

⎦ ⎥ ⎥ = ⎛⎜ −1 + 2i ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎥ ⎝ −1 − 2i ⎠ ⎜2 ⎝ ⎠⎥ ⎥ ⎦ ⎥ ⎦

5.2.1.2. Корни характеристического уравнения комплексные, следовательно, общим решением линейного однородного ОДУ II порядка является функция y ( t)

exp ( α ⋅ t) ⋅ ( C1⋅ cos ( β ⋅ t) + C2⋅ sin ( β ⋅ t) )

где α = -1

β=2

5.2.1.3. Производная функции общего решения линейного однородного ОДУ II порядка. Меню "Символы/Переменные/Дифференциалы" по переменной t d y ( t) dt

α ⋅ exp ( α ⋅ t) ⋅ ( C1⋅ cos ( β ⋅ t) + C2⋅ sin ( β ⋅ t) ) + exp ( α ⋅ t) ⋅ ( −C1⋅ sin ( β ⋅ t) ⋅ β + C2⋅ cos ( β ⋅ t) ⋅ β )

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

82

5.2.1.4. Постоянные C1 и C2 для начальных условий y(0) и y'(0) из функции общего решения и ее производной y ( 0)

y_0

y' ( 0)

V_0

Given exp ( α ⋅ 0) ⋅ ( C1⋅ cos ( β ⋅ 0) + C2⋅ sin ( β ⋅ 0) )

y_0

α ⋅ exp ( α ⋅ 0) ⋅ ( C1⋅ cos ( β ⋅ 0) + C2⋅ sin ( β ⋅ 0) ) + exp ( α ⋅ 0) ⋅ ( −C1⋅ sin ( β ⋅ 0) ⋅ β + C2⋅ cos ( β ⋅ 0) ⋅ β )

-2 ⎡ 1.000000000000000000010 ⋅ ⎢ Find ( C1 , C2) → ⎢ -2) α ⋅ ⋅ ⎢ −( 1.000000000000000000010 β ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

5.2.1.5. Запись точного решения ОДУ II порядка и построение графика функции α := −1

β := 2 -2

C1 := 1⋅ 10

-2 α

C2 := −1⋅ 10 ⋅

β

t := 0 , 0.1 .. 6 y ( t) := e

α ⋅t

⋅ ( C1⋅ cos ( β ⋅ t) + C2⋅ sin ( β ⋅ t) ) 0.01 0.005

y( t) 0 0.005

0

2

4 t

6

V_0

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

5.2.2. Решение ОДУ II порядка с использованием функции "odesolve" Given Q ⋅ y'' ( t) y ( 0)

−k ⋅ y ( t) − λ ⋅ y' ( t) начальное отклонение, м

y_0

m m y' ( 0) V_0 sec y_ := odesolve ( t , 6 , 100)

начальная скорость, м/с 6 - время колебаний

0.01 y_( t) 0.005 y( t)

0 0.005

0

2

4

6

t

5.2.3. Решение ОДУ II порядка с использованием функции "rkfixed" Y0 := y_0

Y1 := V_0

начальные условия

Преобразование ОДУ II порядка в систему ОДУ I порядка dY0 dt dY1 dt

Y1 −k λ ⋅ Y0 − ⋅ Y1 Q Q

Решение ОДУ II порядка

⎛ Y0 ⎞ Y := ⎜ ⎝ Y1 ⎠ t1 := 0

t2 := 6

N := 100

Y1 ⎞ ⎛⎜ D ( t , Y) := ⎜ −k ⎟ λ ⋅ Y − ⋅ Y ⎜ Q 0 Q 1 ⎝ ⎠ Z := rkfixed ( Y , t1 , t2 , N , D)

83

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

84

0

0.01 Z 〈1〉

0.005

y( t)

0 0.005

Z= 0

2 Z 〈0〉

(Z

〈0〉

) 10 = 0.6

(Z

〈1〉

) 10 = 4.546 × 10− 3

4

6

,t

( ⎣

〈〉 y⎡ Z 0

Построение фазового портрета системы

⎤ ⎡⎛ 0.01 ⎞ , t1 , t2 , N , D⎥ ⎣⎝ 0 ⎠ ⎦

Z_01 := rkfixed ⎢⎜

⎤ ⎡⎛ 0.02 ⎞ , t1 , t2 , N , D⎥ ⎣⎝ 0 ⎠ ⎦

Z_02 := rkfixed ⎢⎜

⎤ ⎡⎛ 0.04 ⎞ , t1 , t2 , N , D⎥ ⎣⎝ 0 ⎠ ⎦

Z_04 := rkfixed ⎢⎜

⎤ ⎡⎛ 0.08 ⎞ , t1 , t2 , N , D⎥ ⎣⎝ 0 ⎠ ⎦

Z_08 := rkfixed ⎢⎜

1

2

0

0

0.01

1

0.06

0 9.914·10 -3 -2.819·10 -3

2

0.12

9.669·10 -3 -5.271·10 -3

3

0.18

9.288·10 -3 -7.356·10 -3

4

0.24

8.794·10 -3 -9.081·10 -3

5

0.3

6

0.36

8.206·10 -3 7.545·10 -3

-0.012

7

0.42

6.832·10 -3

-0.012

8

0.48

6.083·10 -3

-0.013

9

0.54

5.316·10 -3

-0.013

10

0.6

4.546·10 -3

-0.013

11

0.66

3.786·10 -3

-0.013

12

0.72

3.048·10 -3

-0.012

13

0.78

2.341·10 -3

-0.011

14

0.84

1.675·10 -3

15

0.9

-0.01

-0.011 1.056·10 -3 -9.898·10 -3

) 10⎤⎦ = 4.546 × 10− 3

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

Z_01 〈2〉

85

0

Z_02 〈2〉 Z_04 〈2〉 Z_08 〈2〉

0.05 0.1 0.15 0.02

0 Z_01 〈1〉

0.02 , Z_02 〈1〉

0.04 , Z_04 〈1〉

0.06 , Z_08 〈1〉

0.08

Построение фазового портрета системы при отсутствии силы сопротивления

⎛ Y1 ⎞ D ( t , Y) := ⎜ −k ⎜ ⋅ Y0 ⎝ Q ⎠ ⎡⎛ 0.01 Z_01 := rkfixed ⎢⎜ ⎣⎝ 0 ⎡⎛ 0.02 Z_02 := rkfixed ⎢⎜ ⎣⎝ 0 ⎡⎛ 0.04 Z_04 := rkfixed ⎢⎜ ⎣⎝ 0 ⎡⎛ 0.08 Z_08 := rkfixed ⎢⎜ ⎣⎝ 0

⎞ ⎤ , t1 , t2 , N , D⎥ ⎠ ⎦ ⎞ ⎤ , t1 , t2 , N , D⎥ ⎠ ⎦ ⎞ ⎤ , t1 , t2 , N , D⎥ ⎠ ⎦ ⎞ ⎤ , t1 , t2 , N , D⎥ ⎠ ⎦

0.2 Z_01 〈2〉

0.1

Z_02 〈2〉 Z_04 〈2〉 Z_08 〈2〉

0 0.1 0.2 0.08

0.06

0.04 0.02 0 0.02 Z_01 〈1〉 , Z_02 〈1〉 , Z_04 〈1〉

0.04

0.06 , Z_08 〈1〉

0.08

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

86

5.3. ЗАДАЧА. Тело брошено под углом α к горизонту и движется в среде, сопротивление которой пропорционально скорости V тела (рис. 5.1). Найти траекторию движения тела [14].

F=kV

y(t)

N(x, y)

V0 P=mg α 0

x(t)

Рис. 5.1. Рисунок к задаче 5.3 В любой точке N(x, y) траектории на тело действуют две силы: сила тяжести P=M·g и сопротивления среды F=k·V. Тогда по II закону динамики:

Уравнения движения

M⋅

M⋅

d

2

dt

2

d2 dt

2

Начальные условия x ( 0)

x

d −k ⋅ x dt

y

d −k ⋅ y − M⋅ g dt

0 V⋅ cos (α )

d x ( 0) dt y ( 0) d y ( 0) dt

0 V⋅ sin (α )

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

87

Дано: α := 45⋅ deg V0 := 10

угол к горизонту, под которым брошено тело, град начальная скорость, м/с

k := 0.16

коэффициент сопротивления среды, кг/с

M := 1

масса, кг

g := 9.81

ускорение свободного падения, м/с^2

Уравнения движения

M⋅

M⋅

d

2

dt

2

d2 dt

2

Начальные условия x ( 0)

x

d −k ⋅ x dt

y

d −k ⋅ y − M⋅ g dt

0 V⋅ cos (α )

d x ( 0) dt y ( 0) d y ( 0) dt

0 V⋅ sin (α )

Решение: Преобразование системы ОДУ II порядка в систему ОДУ I порядка dx dt dz1 dt dy dt dz3 dt

z1 −k ⋅ z1 M z3 M −k ⋅ z3 − g⋅ M M

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

88

Решение системы ОДУ II порядка с помощью функций "rkfixed" и "Bulstoer" 0 ⎛ ⎜ V0⋅ cos (α ) ⎜ z := ⎜ 0 ⎜ ⎝ V0⋅ sin (α )

⎞ ⎟ ⎟ z1 ⎛ ⎜ ⎜ −k ⋅ z ⎜ M 1 D ( t , z) := ⎜ z3 ⎜ ⎜ −k ⋅ z3 − g ⎜ M ⎝

⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Z := rkfixed ( z , 0 , 1.5 , 15 , D) Z1 := Bulstoer ( z , 0 , 1.5 , 15 , D) Точное решение системы уравнений t := 0 , 0.1 .. 1.5 −k ⎞ ⎛ ⋅t M ⎜ M x ( t) := ⋅ V0⋅ cos (α ) ⋅ ⎝ 1 − e ⎠ k − k ⎞⎤ ⎡ ⎛ ⋅t ⎢M ( ⎜ M ⎥ g⋅ M ( ) ) y ( t) := ⎢ ⋅ g⋅ M + k ⋅ V0⋅ sin α ⋅ ⎝ 1 − e ⎠⎥ − k ⋅ t 2 k ⎣ ⎦ 3 y( t)

2

Z 〈3〉

1

Z1 〈3〉 0

2

4

6

1 x( t) , Z 〈1〉

, Z1 〈1〉

8

10

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

( Z1 〈0〉 ) 10 = 1 〈〉 x ⎡( Z 0 ) 10⎤ = 6.534 ⎣ ⎦ 〈 〉 1 ( Z1 ) 10 = 6.534 〈〉 y ⎡( Z 0 ) 10⎤ = 1.881 ⎣ ⎦ ( Z1 〈3〉 ) 10 = 1.881

(Z

〈0〉

89

) 10 = 1

x ( 1) = 6.534

(Z

〈1〉

) 10 = 6.534

y ( 1) = 1.881

(Z

〈3〉

) 10 = 1.881

Определение погрешности численного решения

(Z

〈1〉

) 10 − x ⎡⎣( Z 〈0〉 ) 10⎤⎦ 〈〉 x ⎡( Z 0 ) 10⎤ ⎣ ⎦

= −5.104 × 10

( Z1 〈1〉 ) 10 − x ⎡⎣( Z1 〈0〉 ) 10⎤⎦ 〈〉 x ⎡( Z1 0 ) 10⎤ ⎣ ⎦ (Z

〈3〉

) 10 − y ⎡⎣( Z 〈0〉 ) 10⎤⎦ 〈〉 y ⎡( Z 0 ) 10⎤ ⎣ ⎦

= −1.186 × 10

= −1.715 × 10

( Z1 〈3〉 ) 10 − y ⎡⎣( Z1 〈0〉 ) 10⎤⎦ 〈〉 y ⎡( Z1 0 ) 10⎤ ⎣ ⎦

−8

−9

−6

= −3.983 × 10

%

%

%

−8

%

5.4. ЗАДАЧА. Определить потери теплоты с 1 м2 поверхности стенки печи, коэффициент теплопередачи и температуры обеих стенок печи, если стенка трехслойная: 1-й внутренний слой – шамотный кирпич толщиной δ1 = 100 мм, 2 – й слой – изоляционный кирпич толщиной δ2 = 60 мм, 3 – й слой – стальной кожух толщиной δ3 = 8 мм. Теплопроводность слоев: λ1 = 0.81 Вт/(м·К), λ2 = 0.23 Вт/(м·К), λ3 = 45 Вт/(м·К). Температура в печи t1 = 780 °C, температура окружающего воздуха t2 = 20 °C. Коэффициент теплоотдачи соответственно с внутренней и наружной сторон печи α1 = 70 Вт/(м2·К), α2 = 12 Вт/(м2·К).

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

90

Дано: α1 := 70⋅ α2 := 12⋅

W

коэффициент теплоотдачи с внутренней стороны печи

2

m ⋅K W

коэффициент теплоотдачи с наружной стороны печи

2

m ⋅K

δ1 := 100⋅ mm

толщина стенки из шамотного кирпича

δ2 := 60⋅ mm

толщина стенки из изоляционного кирпича

δ3 := 8⋅ mm

толщина стального кожуха

W m⋅K W λ2 := 0.23⋅ m⋅K W λ3 := 45⋅ m⋅K T1 := ( 780 + 273) ⋅ K

λ1 := 0.81⋅

теплопроводность стенки из шамотного кирпича теплопроводность стенки из изоляционного кирпича теплопроводность стального кожуха температура с внутренней стороны печи

T2 := ( 20 + 273) ⋅ K

температура окружающего воздуха

F := 1

площадь поверхности стенки печки

Решение: k :=

1

коэффициент теплопередачи

⎛ 1 δ1 δ2 δ3 1 ⎞ + + + + ⎜ λ2 λ3 α2 ⎠ λ1 α1 ⎝

∆T := T1 − T2 Q := k ⋅ F ⋅ ∆T

k = 2.074

количество переданной теплоты в единицу времени для установившегося процесса

W 2

m ⋅K

3 W 2

Q = 1.576 × 10

m

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

Tw1 := T1 − Q ⋅

1 δ1

Tw2 := T2_3 − Q ⋅

температура на границе шамотного и изоляционного кирпича

λ1

T2_3 := T1_2 − Q ⋅

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ T := ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

температура внутренней стенки печи

α1

T1_2 := Tw1 − Q ⋅

91

δ2

температура на границе изоляционного кирпича и стального кожуха

λ2

δ3

температура внешней стенки печи

λ3

T1 ⎞ Tw1 ⎟ T1_2 ⎟

⎟

T2_3 ⎟ Tw2 ⎟

i := 0 .. 5

T2 ⎠

⎛ 1.053 × 103 ⎞ ⎜ ⎜ 1.03 × 103 ⎟ ⎟ ⎜ T = ⎜ 835.868 ⎟ K ⎜ 424.644 ⎟ ⎟ ⎜ 424.363 ⎟ ⎜ ⎜ 293 ⎝ ⎠

1000 Ti K Ti K

800

Ti K Ti

600

K Ti K

400 0

2 i,1,4,2,3

4

6

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

92

Проверка величины Tw2 по температуре холодного теплоносителя Tw2_ := T2 + Q ⋅

1

Tw2 = 424.363K

α2

Tw2_ = 424.363K

Расчет суммарного количества переданной теплоты за время t2-t1 по основному уравнению теплопередачи q0 := 0

N := 100

t1 := 0

t2 := 100

D ( t , q) := k ⋅ F ⋅ ∆T Q_ := rkfixed ( q , t1 , t2 , N , D)

0

5

2 .10

5

1.5 .10 Q_ 〈1〉

5

1 .10

Q_ =

4

5 .10

0

0

20

40 Q_ 〈0〉

( Q_

〈1〉

) 1 = 1.576 × 103

( Q_

〈1〉

) N = 1.576 × 105

60

80

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 1.576·10 3 3.153·10 3 4.729·10 3 6.305·10 3 7.882·10 3 9.458·10 3 1.103·10 4 1.261·10 4 1.419·10 4 1.576·10 4 1.734·10 4 1.892·10 4 2.049·10 4 2.207·10 4 2.365·10 4

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

93

5.5. ЗАДАЧА. Расчет осесимметрично нагруженной замкнутой круговой цилиндрической оболочки по моментной теории оболочек с использованием стандартных функций для решения краевых задач [16]. Цилиндрический резервуар, наполненный до краев жидкостью, имеет следующие размеры: радиус оболочки R=2 м, длина оболочки вдоль образующей L=3 м, толщина оболочки h=0.16 м (см. рис. 5.2). Удельный вес воды, заполняющей резервуар – γ=10 кН/м3, коэффициент Пуассона материала оболочки – железобетона ν=1/6. Верхний край оболочки свободен от закрепления, а нижний – защемлен.

x h R

p

L

Рис. 5.2. Рисунок к задаче 5.5 Боковые стенки резервуара представляют собой замкнутую круговую цилиндрическую оболочку, нагруженную симметрично относительно оси x.

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

94

Дифференциальное замкнутой

уравнение

цилиндрической

изогнутой

оболочки,

срединной

нагруженной

поверхности симметрично

относительно оси x

q d4 ω + 4⋅k ⋅ω = , 4 D dx

3 ⋅ (1 − ν 2 ) где k = , R 2 ⋅ h2 4

ω – прогиб оболочки, x – координата, q – поверхностная нагрузка на оболочку, D – цилиндрическая жесткость оболочки

D=

E ⋅ h3 , 12 ⋅ (1 − ν 2 )

ν – коэффициент Пуассона, R – радиус срединной поверхности оболочки, h – толщина оболочки.

Точным решением уравнения (5.1) будет функция перемещений

ω( x ) = e k ⋅ x ⋅ (C1⋅ sin(k ⋅ x ) + C2 ⋅ cos(k ⋅ x )) + +e

−k⋅x

γ ⋅ (L − x ) ⋅ R 2 . ⋅ (C3 ⋅ sin(k ⋅ x ) + C4 ⋅ cos(k ⋅ x )) + E⋅h

Угол поворота ищется в виде ϕ ( x ) = изгибающий момент –

dω , dx

d2 ω M( x ) = −D ⋅ 2 , dx

(5.1)

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

95

поперечная сила –

d3 ω Q( x ) = −D ⋅ 3 , dx

нормальная сила –

N( x ) =

E⋅h⋅ω , R

где E – модуль Юнга,

γ – удельный вес воды, заполняющий оболочку. Для определения произвольных постоянных С1 – С4 необходимо осуществить дифференцирование и рассмотреть граничные условия. Нижний край оболочки жестко защемлен, следовательно, прогиб ω(0)=0 и угол поворота ϕ(0)=0

при x=0.

Верхний край оболочки не закреплен, следовательно, изгибающий момент M(x)= 0 и поперечная сила Q(x)= 0 Поскольку прогиб ω(0)=0

при x=L.

и угол поворота ϕ(0)=0 при x=0, то

С1 = С2 = 0.

Выделение расчетной схемы (РС). Оболочка с жестко закрепленным основанием имеет размеры R=2000 мм,

L=3000

мм,

h=160

мм.

Верхний

край

оболочки

свободен.

Поверхностное давление q, действующее на оболочку, изменяется по линейному закону q = γ ⋅ (L − x ) (см. рис. 5.2). Требуется рассмотреть картину деформирования оболочки, найти: углы поворота ϕ(x), изгибающий момент M(x), поперечную силу Q(x), нормальную силу N(x). Аналитические выражения, описывающие решение уравнения (5.1), и выражения для расчета произвольных постоянных С1 – С4 получены средствами символьной математики пакета MathCAD. Численное решение дифференциального уравнения прогиба оболочки найдено с помощью функций решения краевой задачи в MathCAD: sbval, load, score и rkfixed.

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

96

Расчет осесимметрично нагруженной замкнутой круговой цилиндрической оболочки по моментной теории расчета в документе MathCAD E⋅ h ⋅ ω ( x) R

N ( x)

нормальная сила

d ω ( x) dx

φ ( x) M( x)

−D⋅

Q ( x)

−D⋅

угол поворота

d2 dx

2

d3 dx

3

ω ( x)

изгибающий момент

ω ( x)

поперечная сила

- прогиб оболочки ω ( x)

e

k⋅ x

+ γ⋅

⋅ ( C1⋅ sin ( k ⋅ x) + C2⋅ cos ( k ⋅ x) ) + e ( L − x) ⋅ R E⋅ h

− k⋅ x

⋅ ( C3⋅ sin ( k ⋅ x) + C4⋅ cos ( k ⋅ x) ) ...

2

- нормальная сила E⋅

N ( x)

h ⎡ k⋅ x − k⋅ x ⋅ ⎢ e ⋅ ( C1⋅ sin ( k ⋅ x) + C2⋅ cos ( k ⋅ x) ) + e ⋅ ( C3⋅ sin ( k ⋅ x) + C4⋅ cos ( k ⋅ x) ) ... ⎤⎥ R 2 ⎢ ⎥ ( L − x) ⋅ R + ⋅ γ ⎢ ⎥ E⋅ h ⎣ ⎦

Запись выражений для расчета φ(x), M(x) и Q(x) Меню "Символы/Переменные/Дифференциалы" по переменной x: - угол поворота φ ( x)

k ⋅ exp ( k ⋅ x) ⋅ ( C1⋅ sin ( k ⋅ x) + C2⋅ cos ( k ⋅ x) ) ... + exp ( k ⋅ x) ⋅ ( C1⋅ cos ( k ⋅ x) ⋅ k − C2⋅ sin ( k ⋅ x) ⋅ k) ... + −k ⋅ exp ( −k ⋅ x) ⋅ ( C3⋅ sin ( k ⋅ x) + C4⋅ cos ( k ⋅ x) ) ... 2

+ exp ( −k ⋅ x) ⋅ ( C3⋅ cos ( k ⋅ x) ⋅ k − C4⋅ sin ( k ⋅ x) ⋅ k) −

γ⋅R ( E⋅ h )

- изгибающий момент M( x)

2

2

−2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( k ⋅ x) ⋅ C1⋅ cos ( k ⋅ x) + 2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( k ⋅ x) ⋅ C2⋅ sin ( k ⋅ x) ... 2

2

+ 2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( −k ⋅ x) ⋅ C3⋅ cos ( k ⋅ x) − 2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( −k ⋅ x) ⋅ C4⋅ sin ( k ⋅ x)

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

97

- поперечная сила Q ( x)

3

3

2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( k ⋅ x) ⋅ C1⋅ sin ( k ⋅ x) − 2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( k ⋅ x) ⋅ C1⋅ cos ( k ⋅ x) ... 3

+ −2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( −k ⋅ x) ⋅ C3⋅ cos ( k ⋅ x) ... 3

3

+ 2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( k ⋅ x) ⋅ C2⋅ sin ( k ⋅ x) − 2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( −k ⋅ x) ⋅ C3⋅ sin ( k ⋅ x) ... 3

+ −2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( −k ⋅ x) ⋅ C4⋅ cos ( k ⋅ x) ... 3

3

+ 2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( −k ⋅ x) ⋅ C4⋅ sin ( k ⋅ x) + 2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( k ⋅ x) ⋅ C2⋅ cos ( k ⋅ x) Определение произвольных постоянных С3 и С4 в выражениях для расчета оболочки для ω ( 0)

0

φ ( 0)

0

C1 C2

0 0

Given 2

0

L⋅ R C4 + γ ⋅ E⋅ h

0

γ⋅R −k ⋅ C4 + C3⋅ k − E⋅ h

2

⎡ −γ ⋅ R2 ⋅ ( k ⋅ L − 1) ⎢ ( k ⋅ E⋅ h) Find ( C3 , C4) → ⎢ 2 ⎢ R ⎢ −γ ⋅ L⋅ ( E⋅ h) ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Дано: ORIGIN ≡ 1 L := 3⋅ m 1 ν := 6 h := 0.16⋅ m 3

3

kN ≡ 10 ⋅ newton

6

MPa ≡ 10 ⋅ Pa

длина оболочки коэффициент Пуассона толщина оболочки

E := 2⋅ 10 ⋅ MPa

модуль Юнга

R := 2⋅ m kN γ := 10⋅ 3 m

радиус оболочки удельный вес воды

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

98

Решение: Расчет цилиндрической жесткости оболочки D и коэффициента k

D := E⋅

(

h

3

12⋅ 1 − ν

⎛ E⋅ h ⎞

k := ⎜

2

)

D = 702.171kN ⋅ m

1 4

2

⎝ D⋅ R ⋅ 4 ⎠

k = 2.31m

-1

Ввод произвольных постоянных С1, С2, С3 и С4 C1 := 0⋅ m

C2 := 0⋅ m 2 ( k ⋅ L − 1)

C3 := −γ ⋅ R ⋅

( k ⋅ E⋅ h) −4

C3 = −3.209 × 10

m

2

R C4 := −γ ⋅ L⋅ ( E⋅ h) −4

C4 = −3.75 × 10

m

x := 0⋅ mm , 10⋅ mm .. L Расчет прогиба оболочки ω ( x) := ⎡⎢ e

k⋅ x

⋅ ( C1⋅ sin ( k ⋅ x) + C2⋅ cos ( k ⋅ x) ) + e

2 ⎢ ( L − x) ⋅ R ⎢⎣ + γ ⋅ E⋅ h

− k⋅ x

⋅ ( C3⋅ sin ( k ⋅ x) + C4⋅ cos ( k ⋅ x) ) ... ⎤⎥

⎥ ⎥⎦

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

99

Расчет нормальной силы N ( x) := E⋅

h ⎡ k⋅ x − k⋅ x ⋅ ⎢ e ⋅ ( C1⋅ sin ( k ⋅ x) + C2⋅ cos ( k ⋅ x) ) + e ⋅ ( C3⋅ sin ( k ⋅ x) + C4⋅ cos ( k ⋅ x) ) ... ⎥⎤ R 2 ⎢ ⎥ ( L − x) ⋅ R + ⋅ γ ⎢⎣ ⎥⎦ E⋅ h

Расчет угла поворота оболочки φ ( x) := ⎡ k ⋅ exp ( k ⋅ x) ⋅ ( C1⋅ sin ( k ⋅ x) + C2⋅ cos ( k ⋅ x) ) ... ⎢ + exp ( k ⋅ x) ⋅ ( C1⋅ cos ( k ⋅ x) ⋅ k − C2⋅ sin ( k ⋅ x) ⋅ k) ... ⎢ + −k ⋅ exp ( −k ⋅ x) ⋅ ( C3⋅ sin ( k ⋅ x) + C4⋅ cos ( k ⋅ x) ) ...

⎤ ⎥ ⎥ 2 ⎥ ⎢ γ⋅R ⎢ + exp ( −k ⋅ x) ⋅ ( C3⋅ cos ( k ⋅ x) ⋅ k − C4⋅ sin ( k ⋅ x) ⋅ k) − ⎥ ( E⋅ h) ⎦ ⎣

Расчет изгибающего момента 2 2 M( x) := ⎛ −2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( k ⋅ x) ⋅ C1⋅ cos ( k ⋅ x) + 2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( k ⋅ x) ⋅ C2⋅ sin ( k ⋅ x) ...

⎞ ⎜ 2 2 ⎝ + 2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( −k ⋅ x) ⋅ C3⋅ cos ( k ⋅ x) − 2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( −k ⋅ x) ⋅ C4⋅ sin ( k ⋅ x) ⎠

Расчет поперечной силы 3 3 Q ( x) := ⎛ 2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( k ⋅ x) ⋅ C1⋅ sin ( k ⋅ x) − 2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( k ⋅ x) ⋅ C1⋅ cos ( k ⋅ x) ...

⎞ ⎜ 3 ⎟ ⎜ + −2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( −k ⋅ x) ⋅ C3⋅ cos ( k ⋅ x) ... ⎜ + 2⋅ D⋅ k 3 ⋅ exp ( k ⋅ x) ⋅ C2⋅ sin ( k ⋅ x) − 2⋅ D⋅ k 3 ⋅ exp ( −k ⋅ x) ⋅ C3⋅ sin ( k ⋅ x) ...⎟ ⎟ ⎜ + −2⋅ D⋅ k 3 ⋅ exp ( −k ⋅ x) ⋅ C4⋅ cos ( k ⋅ x) ... ⎜ 3 3 ⎝ + 2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( −k ⋅ x) ⋅ C4⋅ sin ( k ⋅ x) + 2⋅ D⋅ k ⋅ exp ( k ⋅ x) ⋅ C2⋅ cos ( k ⋅ x) ⎠ Численное решение краевой задачи для ОДУ IV порядка d4 dx

4

ω + E⋅

h D⋅ R

2

⋅ω

q D

Краевые (граничные) условия ω ( 0) d ω ( 0) dx

0

Mx( L) φ

0

Qx ( L)

−D⋅ −D⋅

d2 dx

2

d3 dx

3

ω ( L)

0

ω ( L)

0

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

100

Расчет недостающих граничных условий −D⋅

Mx( 0)

Qx ( 0)

LL :=

−D⋅

L m

d2 dx

2

d3 dx

3

ω ( 0)

ω ( 0)

LL = 3

⎛ 0⎞ ⎝ 0⎠

начальные приближения недостающих граничных условий в точке x = 0

v := ⎜

⎛ ⎜ load ( x1 , v) := ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

0 ⎞ 0

⎟ v1 ⎟ v2 ⎠ ω2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ω3 ⎢ ⎥ ⎥ DD ( x , ω ) := ⎢ ω 4 ⎢ ⎥ ⎢ ( LL − x) ⎥ h γ ⋅ − E ⋅ ⋅ ω ⎢ 2 1⎥ D D R ⋅ ⎣ ⎦

⎛ ω3 ⎞ ⎜ ω4 ⎝ ⎠

score ( x2 , ω ) := ⎜

недостающие граничные условия в точке x = L

B := sbval ( v , 0 , LL , DD , load , score)

⎛ 3.425 × 10− 3 ⎞ B=⎜ −0.017 ⎝ ⎠ bnd := load ( 0 , B)

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

101

Решение ОДУ IV порядка с помощью функции "rkfixed" y := bnd

t1 := 0

t2 := LL

NN := 100

y1 = 0 y2 = 0

граничные условия в точке x = 0 −3

y3 = 3.425 × 10 y4 = −0.017

Z := rkfixed ( y , t1 , t2 , NN , DD) Извлечение результатов численного решения из матрицы Z

( ω_ := ( Z

〈〉 x_ := Z 1 〈2〉

) ⋅m ) ⋅m

⎡ 〈 〉 ⎛ E⋅ h ⎞⎤ ⋅ m Nθ_ := ⎢Z 2 ⋅ ⎜ ⎥ ⎣ ⎝ R ⎠⎦ 〈〉 φ_ := Z 3

(

)

координата прогиб нормальная сила угол поворота

〈〉 −1 Mx_ := ⎡⎣Z 4 ⋅ ( −D)⎤⎦ ⋅ m

изгибающий момент

〈〉 −2 Qx_ := ⎡⎣Z 5 ⋅ ( −D)⎤⎦ ⋅ m

поперечная сила

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

102

Сравнение результатов численного и аналитического решения задачи

Прогиб оболочки, mm

Длина оболочки, mm

3000

2000

1000

0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

теоретическое решение численное решение в "MathCAD" Анализ ω_1 = 0 mm

ω ( 0 ⋅mm) = 0 mm ω ( L) = −4.815 × 10

−4

3

mm

ω_101 = −1.021 × 10

−3

mm

3

L = 3 × 10 mm

x_101 = 3 × 10 mm

max( ω_) = 0.252 mm ω_33 = 0.252 mm

ω ( 960 ⋅mm) = 0.252 mm

x_33 = 960 mm 3

x_90 = 2.67 × 10 mm ω_90 = 0.04 mm

ω ( x_90) = 0.041 mm

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

Нормальная сила, Q*m/kN

3000

Длина оболочки, mm

103

2000

1000

5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

теоретическое решение численное решение в "MathCAD"

Угол поворота оболочки, рад Длина оболочки, mm

3000

x_ mm

2000

x mm

1000

4

2 .10 1 .10

4

4 4 4 4 4 0 1 .10 2 .10 3 .10 4 .10 5 .10 φ _ , φ ( x)

Численное решение в "MathCAD" Теоретическое решение

45

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

104

Изгибающий момент, M*m/(kN*m) Длина оболочки, mm

3000

x_ 2000

mm x mm

1000

2.5

2

1.5

1

Mx_⋅

0.5

m kN ⋅m

, M ( x) ⋅

0

0.5

m kN ⋅m

Численное решение в "MathCAD" Теоретическое решение

Поперечная сила, Q*m/kN

Длина оболочки, mm

3000

2000

1000

2

0

2

4

6

8

10

12

Численное решение в MathCAD Теоретическое решение

14

1

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

105

5.6. ЗАДАЧА. Исторически, интерес к жестким системам возник в середине XX века при изучении химической кинетики с одновременным присутствием очень медленно и очень быстро протекающих химических реакций [8]. Тогда неожиданно оказалось, что считавшиеся исключительно надежными методы Рунге-Кутты стали давать сбой при расчете этих задач. Рассмотрим классическую модель взаимодействия трех веществ (Робертсон, 1966), которая как нельзя лучше передает смысл понятия жесткости ОДУ. Пусть вещество «0» медленно превращается в «1»: 0 → 1 (со скоростью 0.1),

вещество

«1»

при

каталитическом

воздействии

самого

себя

превращается очень быстро в вещество «2»: 1 + 1 → 2 + 1 (103). И, наконец, подобным образом (но со средней скоростью) реагируют вещества «2» и «1»: 1 + 2 → 0 + 2 (102). Система ОДУ, описывающая динамику концентрации реагентов, с попыткой решения методом Рунге-Кутты записана в виде функции D(t, y). Решение задачи приводится по [8].

Дано: y0 := 1

концентрация реагента 0 в начальный момент концентрация реагента 1 в начальный момент концентрация реагента 2 в начальный момент

y1 := 0 y2 := 0 d y0 dt d y1 dt d y2 dt

2

−0.1 ⋅ y0 + 10 ⋅ y1 ⋅ y2 3

динамика концентрации реагента 0

2

0.1 ⋅ y0 − 10 ⋅ y1 − 10 ⋅ y1 ⋅ y2 3

2

динамика концентрации реагента 1

2

10 ⋅ y1 + 10 ⋅ y1 ⋅ y2 − 10 ⋅ y1 ⋅ y2 динамика концентрации реагента 2 Решение:

5.6.1. Решение жесткой системы ОДУ I с помощью функций Stiffb и Stiffr t1 := 0

t2 := 100

N := 100

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

106

2 ⎛ −0.1 ⋅ y0 + 10 ⋅ y1 ⋅ y2 ⎜ D ( t , y) := ⎜ 0.1 ⋅ y0 − 103 ⋅ y1 − 102 ⋅ y1 ⋅ y2 ⎜ ⎜ 103 ⋅ y + 102 ⋅ y ⋅ y − 102 ⋅ y ⋅ y 1 1 2 1 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Составление матрицы Якоби из производных ⎡ d ( d ( d ( d ( 2 2 2 2 −0.1 ⋅ y0 + 10 ⋅ y1 ⋅ y2) −0.1 ⋅ y0 + 10 ⋅ y1 ⋅ y2) −0.1 ⋅ y0 + 10 ⋅ y1 ⋅ y2) −0.1 ⋅ y0 + 10 ⋅ y1 ⋅ y2) ⎢ y0 y1 y2 d d d d t ⎢ ⎢ d d ( d ( d ( 3 2 3 2 3 2 3 2 0.1 ⋅ y0 − 10 ⋅ y1 − 10 ⋅ y1 ⋅ y2) 0.1 ⋅ y0 − 10 ⋅ y1 − 10 ⋅ y1 ⋅ y2) 0.1 ⋅ y0 − 10 ⋅ y1 − 10 ⋅ y1 ⋅ y2) ⎢ ( 0.1 ⋅ y0 − 10 ⋅ y1 − 10 ⋅ y1 ⋅ y2) d d d dy2 t y0 y1 ⎢ ⎢ d ( 3 d ( 3 d ( 3 d ( 3 10 ⋅ y1) 10 ⋅ y1) 10 ⋅ y1) 10 ⋅ y1) ⎢ dt dy0 dy1 dy2 ⎣

Символьное решение матрицы Якоби Меню "Символы/Расчеты/Символические" 100 ⋅ y2 100 ⋅ y1 ⎞ ⎛⎜ 0 −.1 ⎜ 0 .1 −1000 − 100 ⋅ y2 −100 ⋅ y1 ⎟ ⎜ 0 0 1000 0 ⎝ ⎠ Запись матричной функции Якоби 100 ⋅ y2 100 ⋅ y1 ⎞ ⎛ 0 −.1 ⎜ J ( t , y) := ⎜ 0 .1 −1000 − 100 ⋅ y2 −100 ⋅ y1 ⎟ ⎜ 1000 0 ⎝ 0 0 ⎠ Z := Stiffb ( y , t1 , t2 , N , D , J)

Z1 := Stiffr ( y , t1 , t2 , N , D , J)

1 Z 〈1〉 Z 〈2〉 ⋅5000 0.5 Z 〈3〉

0

20

40

60 Z 〈0〉

80

концентрация реагента 0 концентрация реагента 1 концентрация реагента 2

100

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

5.6.2. Решение жесткой системы ОДУ I с помощью функций stiffb и stiffr acc := 0.000000001

kmax := 5

s := 10

ZZ := stiffb ( y , t1 , t2 , acc , D , J , kmax , s) ZZ1 := stiffr ( y , t1 , t2 , acc , D , J , kmax , s) 0 0 ⎞ 1 ⎛ 0 ⎜ −5 ⎜ 12.718 2.757 × 10 0.705 ⎟ 0.295 ⎜ ⎟ −6 3.019 × 10 0.967 ⎟ ZZ = ⎜ 36.521 0.033 ⎜ ⎟ −4 −8 × × 1.827 10 1 92.637 2.01 10 ⎜ ⎟ ⎜ −4 −9 9.355 × 10 1 ⎠ ⎝ 100 1.029 × 10 0 0 ⎞ 1 ⎛ 0 ⎜ −5 ⎜ 10.107 3.549 × 10 0.623 ⎟ 0.377 ⎜ ⎟ −5 1.347 × 10 0.854 ⎟ ZZ1 = ⎜ 20.295 0.146 ⎜ ⎟ −6 × 5.326 10 0.942 30.327 0.058 ⎜ ⎟ ⎜ −4 −9 9.355 × 10 1 ⎠ ⎝ 100 1.029 × 10

( Z 〈0〉 ) 100 = 100 ( Z1 〈0〉 ) 100 = 100 ( Z 〈2〉 ) 100 = 9.355 × 10− 9 ( Z1 〈2〉 ) 100 = 9.356 × 10− 9

( Z 〈1〉 ) 100 = 1.029 × 10− 4 ( Z1 〈1〉 ) 100 = 1.029 × 10− 4 ( Z 〈3〉 ) 100 = 1 ( Z1 〈3〉 ) 100 = 1

107

108

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

РАЗДЕЛ

6.

РЕШЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

109

УРАВНЕНИЙ

В

ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ (ДУЧП) 6.1. ЗАДАЧА. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. 2 ∂ 2u 2 ∂ u , описывающего Найти решение волнового уравнения =v ∂t 2 ∂x 2

продольные колебаниях стержня постоянного поперечного сечения длиной L, один конец x = 0 которого жестко закреплен, если стержень был подвергнут растяжению действием постоянной силы F, приложенной к концу x = L . В начальный момент времени действие силы F мгновенно прекращается и конец стержня x = L остается свободным. Модуль Юнга стержня равен E, а площадь поперечного сечения – S [11].

Дано: 11

E := 2.1⋅ 10

модуль Юнга стали, Па

ρ := 7850

плотность стали, кг/м^3

⎛ E⎞ ⎝ρ⎠

1 2

v := ⎜

скорость продольной волны, м/с 3

v = 5.172 × 10 F := 1000

сила, действующая на конец стержня, Н

S := 0.0001

площадь поперечного сечения стержня, м^2

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

110

Решение: Создание сетки для решения методом конечных разностей N := 20

N1 := 40

i := 0 .. N i1 := 1 .. N − 1 j := 0 .. N1 j1 := 1 .. N1 − 1 t_end := 0.00005

t_begin := 0

время колебаний

L_max := 1

L_min := 0

длина стержня

h_x :=

L_max − L_min N

h_x = 0.05 v ⋅ h_t ≤1 h_x xi := 0 + h_x ⋅ i

h_t :=

t_end − t_begin N1 −6

h_t = 1.25 × 10 решение стабильно t j := 0 + h_t ⋅ j

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

111

Задание начальных и граничных условий u1 ( x) := F ⋅ u2 ( x) := 0

x E ⋅S

начальное смещение стержня начальная скорость

Ui, 0 := u1 ( xi) Ui, 1 := u1 ( xi) + h_t ⋅u2 ( x)

начальные условия

U0 , j := 0

граничные условия Уравнение в конечных разностях

r :=

v ⋅h_t h_x

(

)

Ui1, j1+ 1 := 2 − 2 ⋅r ⋅Ui1 , j1 + r ⋅( Ui1+ 1 , j1 + Ui1−1 , j1) − Ui1 , j1−1 2

2

Графическое отображение результатов решения

x20 = 1 U

−5

t20 = 2.5 × 10

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

112

Точное решение

u ( x , t)

8⋅ F ⋅ L_max 2

π ⋅ E⋅ S

∞

⋅

∑

( −1)

n+ 1

( 2⋅ n − 1)

n =0

2

⎡ ( 2⋅ n − 1) ⋅ π ⋅ v ⋅ t⎤ ⎡ ( 2⋅ n − 1) ⋅ π ⋅ x⎤ ⎥ ⋅ sin ⎢ ⎥ ⎣ 2⋅ L_max ⎦ ⎣ 2⋅ L_max ⎦

⋅ cos ⎢

В Mathcad возможен расчет по формуле

u1 ( x , t) :=

8⋅ F ⋅ L_max 2

π ⋅ E⋅ S

20

⋅

∑

n =0

( −1)

n+ 1

( 2⋅ n − 1)

2

t :=

⎡ ( 2⋅ n − 1) ⋅ π ⋅ v ⋅ t⎤ ⎡ ( 2⋅ n − 1) ⋅ π ⋅ x⎤ ⎥ ⋅ sin ⎢ ⎥ ⎣ 2⋅ L_max ⎦ ⎣ 2⋅ L_max ⎦

⋅ cos ⎢

U1i , j := u1 ( xi , t j)

U1

U

6.2. ЗАДАЧА. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. Найти решение уравнения распространения тепла в стальном стержне ∂u ∂ 2u = k 2 , удовлетворяющее условиям ∂t ∂x u (0, t ) = u ( L, t ) = 0,

u ( x,0) =

x ⋅ ( L − x) [13]. L2

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

Дано: λ := 45.4

коэффициент теплопроводности стали, Вт/(м*К)

Cp := 460

удельная теплоемкость стали, Дж/(кг*К)

ρ := 7850

плотность стали, кг/м^3

k :=

λ

коэффициент температуропроводности

Cp ⋅ ρ −5

k = 1.257 × 10

Решение: Создание сетки для решения методом конечных разностей N := 100

N1 := 20

i := 0 .. N j := 0 .. N1 i1 := 1 .. N − 1 t_end := 4

t_begin := 0

время распространения тепла

L_max := 2

L_min := 0

длина стержня

h_x :=

L_max − L_min N

h_x = 0.02

h_t :=

t_end − t_begin N1

h_t = 0.2

2

h_x =1 h_t ≤ 2⋅ k

решение стабильно

113

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

114

xi := 0 + h_x ⋅ i

t j := 0 + h_t ⋅ j

Задание начальных и граничных условий u1 ( x) :=

x⋅ ( L_max − x) L_max

начальное распределение температуры

2

Ui , 0 := u1 ( xi)

начальные условия

U0 , j := 0 граничные условия

UN , j := 0

Уравнение в конечных разностях

⎛

Ui1 , j+ 1 := ⎜ 1 −

⎝

2⋅ k ⋅ h_t ⎞ h_x

2

⎠

⋅ Ui1 , j +

k ⋅ h_t h_x

2

⋅ ( Ui1−1 , j + Ui1+ 1 , j)

Графическое отображение результатов решения

0.26 0.24 0.22 0.2 Ui, 0 0.18 0.16 U N1 0.14 i, 0.12 2 0.1 0.08 Ui, N1 0.06 0.04 0.02 0 − 0.02 0.02

U

0 0

20

40

60 i

80

100 100

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

115

Точное решение 2 2 ⎤ ⎡ − ( 2 ⋅ n+ 1) ⋅ π ⋅ k⋅ t ⎢ ⎥ ∞ 2 1 8 ⎡ ( 2⋅ n + 1) ⋅ π ⋅ x⎤ ⎥ L_max ⎢ ⋅e ⋅ ⋅ sin ⎢ ⎥ 3 ⎢ ( 2⋅ n + 1) 3 L_max ⎦ ⎥ ⎣ π n =0 ⎣ ⎦

∑

u ( x , t)

В Mathcad возможен расчет по формуле 2 ⎡ ⎤ − ( 2 ⋅ n+ 1) 2 ⋅ π ⋅ k⋅ t ⎢ ⎥ 2 8 1 ⎡ ( 2⋅ n + 1) ⋅ π ⋅ x⎤ ⎥ L_max ⎢ u1 ( x , t) := ⋅e ⋅ sin ⎢ ⋅ ⎥ 3 ⎢ ( 2⋅ n + 1) 3 L_max ⎦ ⎥ ⎣ π n =0 ⎣ ⎦

20

∑

U1i , j := u1 ( xi , t j)

U1

6.3. ЗАДАЧА. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ ДИФФУЗИИ. Найти решение уравнения диффузии в спае сплава медь-серебро ∂u ∂ 2u = d 2 , удовлетворяющее условиям: ∂t ∂x

u( 0 ,t ) = u( L ,t ) убывающую от 1 до 0 u( x ,0 ) = 1

–

представляет

собой

для 0 ≤ t ≤ 2 секунд, для 0 ≤ x ≤ 0.5 см [9].

функцию,

линейно

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

116

Дано: −5

d := 5.9⋅ 10

коэффициент диффузии меди в серебро, см^2/c

Решение: Создание сетки для решения методом конечных разностей N1 := 10

N := 100

i := 0 .. N j := 0 .. N1 i1 := 1 .. N − 1 t_end := 2

t_begin := 0

время протекания процесса

L_max := 0.5

L_min := 0

длина спая

h_x :=

L_max − L_min N

h_x = 5 × 10

−3

h_t :=

t_end − t_begin N1

h_t = 0.2

2

h_x h_t ≤ 2⋅ d

xi := 0 + h_x ⋅ i

решение стабильно t j := 0 + h_t ⋅ j

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

117

Задание начальных и граничных условий u1 ( x) := 1

начальная плотность сплава

Ui, 0 := u1 ( xi)

начальные условия

U0 , j := 1 −

h_t ⋅j t_end

граничные условия

h_t ⋅j UN , j := 1 − t_end

Уравнение в конечных разностях

⎛

Ui1, j+ 1 := ⎜ 1 −

⎝

2 ⋅d ⋅h_t ⎞ 2

h_x

⎠

⋅Ui1, j +

d ⋅h_t 2

h_x

⋅( Ui1−1 , j + Ui1+ 1 , j)

Графическое отображение результатов решения

1.1 Ui, N1 U N1 i,

2

Ui, 0

0

U

1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

50

100

0

i

100

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

118

6.4.

ЗАДАЧА.

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

УРАВНЕНИЯ.

УРАВНЕНИЕ

ЛАПЛАСА. Найти решение уравнения стационарного распределения температуры в

∂ 2u ∂ 2u + = 0 , удовлетворяющее граничным условиям однородном теле ∂x 2 ∂y 2 ∂ 2u ∂ 2u + = 0 на границах: -1 = x = 1, -1 = y = 1. ∂x 2 ∂y 2

Дано: 2

u ( x , y) := x − y

2

функция граничных условий

Решение: 6.4.1. Уравнение Лапласа. Стационарное распределение температуры в однородном теле. Решение с помощью функции "relax" Создание сетки для решения N := 10

N1 := 10

i := 0 .. N j := 0 .. N1 i1 := 1 .. 9 j1 := 1 .. 9 L_max := 2 h_x :=

L_max − L_min N

L_min := 0 h_y :=

L_max − L_min N1

h_x = 0.2

h_y = 0.2

xi := −1 + h_x⋅i

y j := −1 + h_y ⋅ j

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

сетка

yj

0

1

0

1

xi

Задание граничных условий на границах квадрата U1i, j := u ( xj , yi) U0 , j := U10 , j

Ui , 0 := U1i , 0

UN , j := U10 , j

Ui , N := U1i , 0

Решение с помощью функции "relax" ai , j := 1 b := a c := a d := a e := −4 ⋅a f i , j := 0 v0 , j := U10 , j

vi , 0 := U1i, 0

vN , j := U10 , j

vi , N := U1i, 0

U := relax( a , b , c , d , e , f , v , 0.95)

119

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

120

Графическое изображение результатов решения

U − U1

U

6.4.2. Уравнение Лапласа. Стационарное распределение температуры в однородном теле. Решение по пятиточечной разностной формуле Создание сетки для решения N := 4

N1 := 4

i := 0 .. N j := 0 .. N1 i1 := 1 .. N − 1 j1 := 1 .. N1 − 1 L_max := 2 h_x :=

L_max − L_min N

L_min := 0 h_y :=

L_max − L_min N1

h_x = 0.5

h_y = 0.5

xi := −1 + h_x ⋅ i

y j := −1 + h_y ⋅ j

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

121

сетка

yj

0

1

0

1

xi

Задание граничных условий на границах квадрата U1i, j := u ( xj , yi) U0 , j := U10 , j

Ui , 0 := U1i, 0

UN , j := U10 , j

Ui , N := U1i, 0

Решение по пятиточечной разностной формуле для внутренних точек квадрата

u1 := 0 u7 := 0

u2 := 0 u8 := 0

u3 := 0 u9 := 0

u4 := 0

u5 := 0

u6 := 0

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

122

Given 0.75 − 4 ⋅ u1 + u2 − 0.75 + u4 1 − 4 ⋅ u4 + u5 + u1 + u7 0 0.75 − 4 ⋅ u7 + u8 + u4 − 0.75

0 0

u1 − 4 ⋅ u2 + u3 − 1 + u5 0 u4 − 4 ⋅ u5 + u6 + u2 + u8 0 u7 − 4 ⋅ u8 + u9 + u5 − 1 0 u2 − 4 ⋅ u3 + 0.75 − 0.75 + u6 u5 − 4 ⋅ u6 + 1 + u3 + u9 0 u8 − 4 ⋅ u9 + 0.75 + u6 − 0.75

0 0

Z := Find( u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9)

Сборка системы Ui1, j1 := Z3⋅( i1−1) + j1−1

⎛ ⎜ ⎜ U=⎜ ⎜ ⎜ ⎝

0

−0.75

−1

−0.75

0

0.75

0

−0.25

0

0.75

1

0.25

0

0.25

1

0.75

0

−0.25

0

0

−0.75

−1

−0.75

⎞

⎟ ⎟ 0.75 ⎟ 0

⎠

⎛ ⎜ ⎜ U − U1 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

0 0 0 0 0 ⎞ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎠

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

123

Графическое изображение результатов решения

U

6.5.

ЗАДАЧА.

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

УРАВНЕНИЯ.

УРАВНЕНИЕ

ПУАССОНА. ∂ 2u ∂ 2u + = − f ( x, y ), Найти решение двумерного уравнения Пуассона ∂x 2 ∂y 2 показывающего

стационарное

распределение

температуры

u(x,y)

на

прямоугольнике, с заданным расположением точечного источника тепла интенсивности f(x,y) равной 1000, удовлетворяющее нулевым граничным условиям на границах прямоугольника размером 8 х 8. Дано: N := 8 i := 0 .. N j := 0 .. N Mi , j := 0

матрица правой части уравнения Пуассона

M4 , 4 := 1000

расположение источника

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

124

Решение: Решение уравнения Пуассона с нулевыми граничными условиями A := multigrid ( −M , 2)

A

A

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

125

РАЗДЕЛ 7. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (МКЭ) 7.1. ЗАДАЧА. Выполнить расчет сил, действующих в узлах элемента (рис. 7.1) [7].

n y

p

Vi (vi)

E1 A1

xi α i

C L

Ui (ui) yi

x Рис. 7.1. Шарнирно опертая балка C p – распределенная поперечная нагрузка, E1 – модуль упругости балки, A1 –

постоянное сечение балки, L – длина балки, xi , yi – координаты узловых точек балки, ui , vi – перемещения узловых точек балки, Ui , Vi – перемещения балки, i, n – узловые точки балки Инженерные

конструкции

можно

рассматривать

как

некоторую

совокупность конструктивных элементов, соединенных в конечном числе узловых точек. Если известны соотношения между силами и перемещениями для каждого отдельного элемента, то можно описать свойства и исследовать поведение конструкции в целом.

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

126

На рис. 7.2 изображена двумерная конструкция, состоящая из отдельных частей, соединенных между собой в точках, пронумерованных от 1 до n. Соединения в узлах предполагаются шарнирными.

Y4 {R4} p

4

3

X4

(c) y (a)

(d) (b)

1

5

2

6

x

V3

p y

3 (a)

U3

2 Узлы

1

x

Типичный элемент

Рис. 7.2. Типичная конструкция, составленная из отдельных элементов

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

Сначала

допустим,

что

в

127

результате

расчета

или

на

основе

экспериментальных данных достоверно известны характеристики каждого элемента. Силы, возникающие в узлах 1 – 3 элемента a, однозначно определяются перемещениями этих узлов, действующей на элемент распределенной нагрузкой p и его начальной деформацией. Начальная деформация может быть обусловлена температурным воздействием, усадкой или несовершенством сборки. Силы и соответствующие им перемещения определяются компонентами U, V и u, v в какой-либо системе координат. Записывая силы, действующие во всех (в трех для рассматриваемого случая узлах элемента a, в виде матрицы), получим

{F }a

⎧U 1 ⎫ ⎪V ⎪ 1 ⎧ F1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪U ⎪ = ⎨ F2 ⎬ = ⎨ 2 ⎬ , ⎪ F ⎪ ⎪ V2 ⎪ ⎩ 3 ⎭ ⎪U ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎩ V3 ⎭

а для соответствующих перемещений узлов

{δ}a

⎧ u1 ⎫ ⎪v ⎪ 1 ⎧ δ1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪u ⎪ = ⎨δ 2 ⎬ = ⎨ 2 ⎬ . ⎪δ ⎪ ⎪ v 2 ⎪ ⎩ 3 ⎭ ⎪u ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎩ v3 ⎭

если предположить, что элемент упругий, то основные соотношения всегда могут быть записаны в виде

{F }a = [k ]a {δ}a + {F }ap + {F }aε0 , где

{F }ap

–

силы,

уравновешивающие

действующие

(7.1) на

элемент

распределенные нагрузки, {F }ε0 – силы в узлах, обусловленные начальными a

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

128

деформациями, которые могут возникать, например, при изменении температуры без перемещения узлов. Первый член в этой формуле представляет собой силы, вызванные перемещениями узлов. Предварительный расчет или эксперимент позволяет однозначно определить напряжения в любой заданной точке через узловые перемещения. Записывая эти напряжения в виде матрицы {σ } , получаем соотношение в a

форме

{σ}a = [S ]a {δ}a + {σ }ap + {σ }aε0 ,

(7.2)

где последние два члена – напряжения, обусловленные распределенными нагрузками, и начальные напряжения при отсутствии узловых перемещений.

Матрица

[k ]a

называется матрицей жесткости элемента, а

[S ]a

–

матрицей напряжения элемента. Соотношения (7.1) и (7.2) проиллюстрированы на примере элемента с тремя узлами, в каждом из которых действуют только две компоненты силы. Ясно, что все рассуждения и определения справедливы и в более общем случае. Элемент b в рассматриваемом случае связан с соседними только в двух точках, хотя другие элементы могут иметь таких точек и больше. С другой стороны, если соединения элементов считать жесткими, то требуется рассматривать по три компоненты обобщенной силы и обобщенного перемещения, причем за третьи компоненты следует принять соответственно момент вращения и угол поворота. Для жесткого соединения в трехмерной конструкции число компонент в узле равняется шести. Таким образом, в общем случае

{F }a

⎧ F1 ⎫ ⎪ . ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ =⎨ . ⎬ ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ Fm ⎪⎭

и

{δ}a

⎧ δ1 ⎫ ⎪ . ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ = ⎨ . ⎬, ⎪ . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩δ m ⎪⎭

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

129

где Fi и δi имеют одинаковое число компонент или степеней свободы. Ясно, что матрицы жесткости элемента всегда будут квадратными вида

[k ]e

⎡ k ii ⎢ . ⎢ =⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢k mi ⎣

k ij . . . k mj

k im ⎤ . ⎥ ⎥ . ⎥, ⎥ . ⎥ k mm ⎥⎦

где k ii и т.д. – также квадратные подматрицы размерности l × l , а l – число компонент силы в рассматриваемых узлах. В качестве примера рассмотрим двумерную задачу о шарнирно опертой C балке постоянного сечения A с модулем упругости E (рис. 7.1). Балка нагружена

равномерно

распределенной

поперечной

нагрузкой

p

и

подвержена однородной температурной деформации ε 0 = αT .

Если концы балки имеют координаты xi , y i и x n , y n , то ее длина может быть вычислена как L=

{(x

}

− xi ) + ( y n − y i ) , 2

n

2

а ее угол наклона к горизонтальной оси

⎛ y n − yi ⎞ ⎟⎟ . ⎝ x n − xi ⎠

α = arctg ⎜⎜

В каждой узловой точке необходимо рассмотреть только по две компоненты силы и перемещения. Очевидно, что узловые силы, обусловленные поперечной нагрузкой, записываются в виде матрицы

{F }ap

⎧U i ⎫ ⎧− sin α ⎫ ⎪V ⎪ ⎪ cos α ⎪ ⎧ Fi ⎫ ⎪ ⎪ pL ⎪ i⎪ . =⎨ ⎬ =⎨ ⎬ =⎨ ⎬ α sin − 2 ⎩ Fn ⎭ p ⎪U n ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ cos α ⎪⎭ ⎪⎩Vn ⎪⎭ p

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

130

Элементы этой матрицы равны соответствующим компонентам реакций опор балки, то есть pL 2 . Для компенсации температурного расширения ε 0 нужно приложить осевую силу EαTA , компоненты которой ⎧U i ⎫ ⎧− cos α ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ − sin α ⎪ ⎛ Fi ⎞ ⎪ Vi ⎪ ⎪ a {F }ε0 = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎨ ⎬ = −⎪⎨ ⎬(EαTA). F U cos α ⎝ n ⎠ ⎪ n⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ sin α ⎪⎭ ⎪⎩Vn ⎪⎭ ε0 Наконец, перемещения узловых точек элемента ⎧ui ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ δi ⎫ ⎪ v i ⎪ a {δ} = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎩δ n ⎭ ⎪u n ⎪ ⎪⎩v n ⎪⎭ вызовут его удлинение (u n − u i ) cos α + (v n − v i ) sin α , или в векторном виде ⎡ ui ⎤ ⎢v ⎥ (un − ui ) ⋅ cos α + (vn − vi ) ⋅ sin α = [− cos α − sin α cos α sin α ] ⋅ ⎢ i ⎥ . ⎢u n ⎥ ⎢v ⎥ ⎣ n⎦

Величина удлинения, умноженная на EA L , даст осевую силу, компоненты которой можно найти, подставив величину этой силы вместо EαTA в предыдущее выражение. Стандартная форма имеет вид

{F }δa

⎧U i ⎫ ⎪V ⎪ ⎧ Fi ⎫ ⎪ ⎪ =⎨ ⎬ =⎨ i ⎬ = ⎩ Fn ⎭ δ ⎪U n ⎪ ⎪⎩Vn ⎪⎭ δ ⎡ cos 2 α sin α cos α − cos 2 α − sin α cos α ⎤ ⎢ ⎥ sin 2 α − sin α cos α − sin 2 α ⎥ EA ⎢ sin α cos α = × L ⎢ − cos 2 α cos 2 α sin α cos α ⎥ − sin α cos α ⎢ ⎥ sin α cos α sin 2 α ⎦ − sin 2 α ⎣− sin α cos α ⎧ui ⎫ ⎪v ⎪ ⎪ ⎪ a a × ⎨ i ⎬ = [k ] {δ} . ⎪u n ⎪ ⎪⎩v n ⎪⎭

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

131

Итак, для рассматриваемого простейшего случая определены все слагаемые основного уравнения (7.1). Нетрудно записать в форме (7.2) и напряжения в любом поперечном сечении элемента. Если, например, ограничиться рассмотрением среднего сечения балки C, напряжения, возникающие в результате осевого растяжения и изгиба элемента, можно записать в виде ⎧ σ1 ⎫ E ⎡− cos α − sin α cos α sin α ⎤ a ⎧ 1 ⎫ pL2 d ⎧1⎫ ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥{δ} + ⎨− 1⎬ 8 I − ⎨1⎬ EαT , σ cos sin cos sin − − α α α α L ⎦ ⎩ ⎭ ⎣ ⎩⎭ ⎩ 2 ⎭C

где d – половина высоты сечения, а I – момент инерции. В это выражение входят все слагаемые формулы (7.2). Для более сложных элементов требуются более тонкие приемы расчета, но все равно результаты имеют такую же форму.

Дано:

L := 1000⋅ mm d := 20⋅ mm h := 40⋅ mm α := 45⋅ deg

длина балки половина высоты сечения балки ширина балки угол наклона балки

5

E := 2.1⋅ 10 ⋅ MPa a := 1.1⋅ 10

−5 1

⋅

K

T := 30⋅ K N p := 10⋅ mm

⎛ ⎜ δ := ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 ⎞ 2 ⎟ ⋅ mm 1.5 ⎟ 0.5 ⎠

модуль упругости материала балки коэффициент линейного расширения материала балки изменение температуры равномерно распределенная поперечная нагрузка

перемещения узловых точек элемента

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

132

Решение: A := 2⋅ d ⋅ h

расчет площади сечения балки

h ⋅ ( 2⋅ d) I := 12

⎛⎜ ⎜ Fp := ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

3

расчет момента инерции сечения балки относительно нейтральной оси

−sin ( α ) ⎞ cos ( α ) ⎟ p ⋅ L ⎟⋅ 2 −sin ( α )

⎟ cos ( α ) ⎠

⎛⎜ ⎜ Fε0 := −⎜ ⎜ ⎜ ⎝

расчет сил, уравновешивающих действующие на элемент распределенные нагрузки

−cos ( α ) ⎞ −sin ( α ) ⎟

⎟ ⋅ E⋅ a ⋅ T ⋅ A cos ( α ) ⎟

расчет сил, обусловленных начальными деформациями

sin ( α ) ⎠

Расчет матрицы жесткости элемента: 2 2 ⎛ cos ( α ) −cos ( α ) −sin ( α ) ⋅ cos ( α ) sin ( α ) ⋅ cos ( α ) ⎜ ⎜ 2 2 sin ( α ) sin ( α ) ⋅ cos ( α ) −sin ( α ) ⋅ cos ( α ) −sin ( α ) ⎜ k := ⎜ 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) cos α cos α sin ( α ) ⋅ cos ( α ) − − sin α ⋅ cos α ⎜ 2 2 ⎜ sin ( α ) −sin ( α ) sin ( α ) ⋅ cos ( α ) ⎝ −sin ( α ) ⋅ cos ( α )

Fδ := k ⋅ δ

расчет сил, вызванных перемещениями узлов

F := Fδ + Fp + Fε0

расчет сил, действующих в узлах элемента

⎛ ⎜ F=⎜ ⎜ ⎜ ⎝

242.868 ⎞ 249.94 ⎟ kN −249.94 ⎟ −242.868 ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⋅ E⋅ A ⎟ L ⎟ ⎠

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

133

7.2. ЗАДАЧА. Прямоугольная пластина (рис. 7.3), нагруженная распределенным усилием p в 100 МПа, с жесткой заделкой по левому краю находится в плоско-напряженном состоянии. Решить задачу деформирования прямоугольной пластины МКЭ. В качестве критерия точности решения задачи принять перемещение ∆L края пластины, к которому приложена распределенная нагрузка, такое, что

∆L =

p⋅L (рис. 7.3), 2⋅E

где E – модуль упругости, L – длина пластины, h – высота пластины, p – распределенное усилие, µ – коэффициент Пуассона. L = 2 м, h = 2 м, E = 2·1011 Па, p = 1·108 Па, µ = 0.3.

h

p

L

Рис. 7.3. Растяжение прямоугольной пластины, нагруженной усилием 100 МПа.

Типичная процедура решения задачи МКЭ по методу перемещений для плоского треугольного элемента при упругом поведении материала может быть представлена следующими этапами [7]: 1. Расчетная область разделяется воображаемыми линиями на конечные элементы (КЭ) простой формы, например, треугольники. 2. Производится нумерация КЭ и узлов, КЭ связываются между собой в узловых точках, определяются неизвестные в узлах и степени свободы узлов; в качестве неизвестных выбираются перемещения узлов.

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

134

3. Выбираются функции (линейные полиномы), аппроксимирующие перемещения

в

каждом

КЭ,

которые

выражаются

через

узловые

перемещения. Рассматривается КЭ e, имеющий три узла i, j, m. На рис. 7.4 показан типичный треугольный элемент с узлами i, j, m, пронумерованными против часовой стрелки. Перемещения каждого узла имеют две компоненты ⎧u i ⎫ ⎬, v ⎩ i⎭

{δi } = ⎨

а шесть компонент перемещений элемента образуют вектор

{δ}e

⎧ δi ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨δ j ⎬ . ⎪δ ⎪ ⎩ m⎭

Перемещения внутри элемента должны однозначно определяться этими шестью величинами.

y vi(Vi) i

m

ui(Ui)

xi yi

j x

Рис. 7.4. Элемент сплошной среды для расчета плоского напряженного или плоского деформированного состояния Простейшим представлением являются линейные полиномы

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

135

u = α1 + α 2 x + α 3 y ,

(7.3)

v = α 4 + α 5 x + α 6 y.

Значения шести постоянных α i легко найти из двух систем, состоящих из трех уравнений, которые получаются в результате подстановки в (7.3) узловых

координат

и

приравнивания

значения

перемещений

соответствующим перемещениям узловых точек. Записав, например,

ui = α 1 + α 2 x i + α 3 y i , u j = α1 + α 2 x j + α 3 y j ,

(7.4)

u m = α1 + α 2 x m + α 3 y m , выражают α1 , α 2 , α 3 через величины узловых перемещений u i ,u j ,u m и окончательно

u=

1 {(ai + bi x + ci y )ui + (a j + b j x + c j y )u j + (am + bm x + cm y )um }, 2∆

(7.5а)

где

ai = x j y m − x m y j , bi = y j − y m = y jm ,

(7.5б)

ci = xm − x j = xmj ; остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов

i , j , m , а величина 2∆ определяется соотношением ⎡1 xi 2∆ = det ⎢1 x j ⎢ ⎢⎣1 xm

yi ⎤ y j ⎥ = 2 ⋅ (площадь треугольника ijm) . ⎥ y m ⎥⎦

(7.5в)

Аналогично можно представить перемещение v в вертикальном направлении

v=

1 {(ai + bi x + ci y )vi + (a j + b j x + c j y )v j + (am + bm x + cm y )vm }. 2∆

(7.6)

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

136

Соотношения (7.5а) и (7.6) в стандартной форме определяют перемещения любой точки внутри элемента ⎧u ⎫ e ⎬ = [N ]{δ } = IN i′ IN ′j ⎩v ⎭

[

{f } = ⎨

]

IN m′ {δ } , e

(7.7)

где I – единичная матрица размерности 2 × 2 , N i′ – координатные функции, которые называются функциями формы

N i′ =

ai + bi x + ci y 2∆

и т.д.

(7.8).

4. Через узловые перемещения выражаются также деформации и напряжения. Полную

деформацию

в

любой

точке

внутри

элемента

можно

охарактеризовать тремя составляющими, которые дают вклад во внутреннюю работу: ⎧ ∂u ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ε x ⎫ ⎪ ∂x ⎪ {ε} = ⎪⎨ ε y ⎪⎬ = ⎪⎨ ∂v ⎪⎬ . ⎪ε ⎪ ⎪ ∂y ⎪ ⎩ xy ⎭ ⎪ ∂u ∂v ⎪ + ⎪⎩ ∂y ∂x ⎪⎭

Используя равенства (7.7) или (7.5а) и (7.6), имеют

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

⎡ ∂N i′ ⎢ ⎢ ∂x {ε} = ⎢⎢ 0 ⎢ ⎢ ∂N i′ ⎢⎣ ∂y

∂N ′j

0 ∂N i′ ∂y ∂N i′ ∂x

∂x 0

0 ∂N ′j

∂N ′j

∂y ∂N ′j

∂y

∂x

∂N m′ ∂x 0 ∂N m′ ∂y

137

⎤⎧ ui ⎫ 0 ⎥⎪ v ⎪ i ⎥⎪ ⎪ ∂N m′ ⎥ ⎪ u j ⎪ ⎨ ⎬= ∂y ⎥ ⎪ v j ⎪ ⎥ ∂N m′ ⎥ ⎪u m ⎪ ∂x ⎥⎦ ⎪v ⎪ ⎩ m⎭ (7.9)

⎡bi 1 ⎢ = 0 2∆ ⎢ ⎢c i ⎣

0

bj

0

bm

ci

0

cj

0

bi

cj

bj

cm

0⎤ ⎥ e c m ⎥{δ} , bm ⎥⎦

что явным образом определяет матрицу [B ] . Матрица

[B ]

не зависит от координат точки внутри элемента, и,

следовательно, деформации в нем постоянны. Матрица

упругости

[D],

входящая

в

соотношение,

которое

в

рассматриваемом случае имеет вид

⎞ ⎛⎧ εx ⎫ ⎧σx ⎫ ⎟ ⎜ {σ } = ⎪⎨ σ y ⎪⎬ = [D]⎜ ⎪⎨ ε y ⎪⎬ − {ε 0 }⎟ , ⎟⎟ ⎜⎜ ⎪ ⎪ ⎪σ ⎪ ε xy xy ⎩ ⎭ ⎠ ⎝⎩ ⎭

(7.10)

может быть записана в явном виде для любого материала (в соотношение (7.10) не включен аддитивный член {σ 0 } ).

{ε 0 }

– начальные деформации, не зависящие от напряжений, могут

возникать по разным причинам. В общем случае начальные деформации характеризуются вектором

⎧ ε x0 ⎫ {ε 0 } = ⎪⎨ ε y 0 ⎪⎬ . ⎪γ ⎪ ⎩ xy 0 ⎭

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

138

Плоское напряженное состояние в изотропном материале. Для

плоского напряженного состояния изотропного материала имеем по определению

σx ν ⋅σy + ε x0 , − E E ν ⋅σx σy εy = − + + ε y0 , E E 2 ⋅ (1 + ν) ⋅ τ xy γ xy = + γ xy 0 . E εx =

Разрешая эти соотношения относительно напряжений, получают матрицу [D ] в виде ⎤ ⎡ ν 1 0 ⎥ ⎢ [D] = E 2 ⎢ν 1 0 ⎥ , 1− ν ⎢ 1− ν⎥ ⎢⎣0 0 2 ⎥⎦

(7.11)

где E – модуль упругости, а ν – коэффициент Пуассона. Плоское деформированное состояние в изотропном материале. В

этом случае, кроме трех компонент напряжения, существует нормальное напряжение σ z . Для частного случая изотропного теплового расширения

σx ν ⋅σy ν ⋅σz − − + α ⋅θe, E E E ν ⋅σx σy ν ⋅σz + − + α ⋅θe, εy = − E E E 2 ⋅ (1 + ν) ⋅ τ xy . γ xy = E

εx =

и, кроме того, εz = 0 = −

ν ⋅σx ν ⋅σy σz − + + α ⋅θe. E E E

Исключая σ z , определяют три остальные компоненты напряжения. Полагая начальную деформацию равной нулю и сравнивая с соотношением (7.10) получают матрицу [D ] в виде

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

⎡ ν 1 ⎢ 1− ν ⎢ [D] = E (1 − ν ) ⎢ ν 1 (1 + ν)(1 − 2ν) ⎢1 − ν ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣

5. Определяется система сил

{F }e ,

139

⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥. ⎥ 1 − 2ν ⎥ 2(1 − ν) ⎥⎦ 0

которые статически эквиваленты

граничным напряжениям и действующим на элемент распределенным нагрузкам. Каждая из сил {Fi } должна иметь столько же компонент, сколько и

соответствующие

узловые

перемещения

{δi } ,

и

действовать

в

соответствующем направлении. Простейший способ сделать узловые силы статически эквивалентными действующим граничным напряжениям и распределенным нагрузкам состоит в задании произвольного (виртуального) узлового перемещения и приравнивании внешней и внутренней работ, совершаемых различными силами и напряжениями на этом перемещении. Для КЭ e вектор-столбец усилий имеет вид

{F }e = [k ]e {δ}e + {F }ep + {F }eo , где {δ} – вектор-столбец перемещений узлов данного КЭ, e

индексы р и о относятся к распределенным и начальным нагрузкам соответственно,

[k ]e

– матрица жесткости КЭ

[k ]e = ∫ [B ]T [D ] [B ]

dV .

Матрица жесткости элемента ijm определяется с помощью общего соотношения

[k ]e = ∫ [B ]T [D] [B ] t

dx dy ,

где t – толщина элемента, а интегрирование производится по площади треугольника. Если предположить, что толщина элемента постоянна, что тем

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

140

ближе к истине, чем меньше размеры элемента, то, поскольку ни одна из матриц не содержит x или y, имеют простое выражение

[k ]e = [B ]T [D ] [B ]

t ∆,

где ∆ – площадь треугольника [введенная соотношением (7.5в)]. Такая форма записи позволяет вычислить матрицу с помощью ЭВМ. Матрицу

[B] ,

определенную соотношением (7.9), можно записать в виде

⎧bi ⎪ , где [Bi ] = ⎨ 0 ⎪c ⎩ i

[B] = [Bi , B j , B m ]

0⎫ ⎪ ci ⎬ 2∆ bi ⎪⎭

и т.д.

(7.12)

Матрица жесткости элемента может быть записана в виде

[k ]e

⎡ k ii ⎢ = ⎢ k ji ⎢k mi ⎣

k ij k jj k mj

k im ⎤ ⎥ k jm ⎥ , k mm ⎥⎦

(7.13)

где подматрицы размерности 2 × 2 строятся следующим образом:

[k rs ] = [Br ]T [D ] [B s ]

t ∆.

6. Составляется ансамбль КЭ и формируется глобальная матрица жесткости [K ] всей расчетной схемы

[K ] = ∑ [k ]. ij

ij

(7.14)

7. Составляется

{F } = [K ]{δ } и решается система линейных алгебраических уравнений

{δ } = [K ]−1 {F }. Считаем узловые силы, обусловленные начальной деформацией и напряжениями, нулевыми. В общем случае плоского напряженного или деформированного состояния на каждый элемент единичной площади в плоскости x, y действуют распределенные объемные силы

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

141

{p} = ⎧⎨

X⎫ ⎬ ⎩Y ⎭

в направлениях соответствующих осей. Вклад этих сил в узловые силы определяется выражением T ⎧X ⎫ = − ∫ [N ] ⎨ ⎬ dx dy , ⎩Y ⎭

{F }ep или на основании (7.7)

{Fi } p

⎧X ⎫ = −⎨ ⎬∫ [N ]i dx dy ⎩Y ⎭

при условии, что объемные силы X и Y постоянны. Так как N i не является постоянной, должно быть выполнено интегрирование. Если за начало координат выбран центр тяжести элемента, вычисления упрощаются. В этом случае

∫ x dx dy = ∫ y dx dy = 0 , и, используя (7.8), получают

{Fi }p = −⎧⎨

X⎫ ⎧X ⎫ ⎬ ∫ a i dx dy 2∆ = −⎨ ⎬ a i 2 , ⎩Y ⎭ ⎩Y ⎭

или

{Fi }p

⎧X ⎫ = −⎨ ⎬ ∆ 3 = {F j }p = {Fm } p . ⎩Y ⎭

Для всякого элемента

{F }ep

⎧X ⎫ ⎪Y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪X ⎪ = −⎨ ⎬ ∆ 3 . ⎪Y ⎪ ⎪X ⎪ ⎪ ⎪ ⎩Y ⎭

Это означает, что все объемные силы, действующие в направлениях x и y, распределены между тремя узлами поровну.

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

142

8. По найденным значениям перемещений в каждом элементе определяются в соответствии с постановкой задачи деформации, а затем напряжения. Ниже реализована в математическом пакете Mathcad рассмотренная процедура решения для тестовой задачи растяжения пластины из двух КЭ. Узловые нагрузки распределяются по всем узлам пропорционально числу КЭ в узле.

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

Дано:

µ := 0.3 11

E := 2⋅ 10

8

q_x := 10 q_y := 0

коэффициент Пуассона материала пластины модуль упругости материала пластины, Па распределенная нагрузка на пластину по оси X, Па распределенная нагрузка на пластину по оси Y, Па

Геометрические размеры пластины, м a := 1

высота

L := a

длина

t := 1

толщина

Решение: ORIGIN ≡ 1 Матрица упругости при плоском напряженном состоянии форм. (7.11) 0 ⎛ 1 µ ⎜ E 0 µ 1 D_N := ⋅⎜ 2 ⎜ 1−µ 1−µ ⎜ 0 0 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Аналитический расчет перемещений пластины по оси X

σ_x := q_x σ_x ⋅ L ∆Lmax := E −4 ∆Lmax = 5 × 10

143

144

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

Матрица координат X (1 строка) и Y (2 строка) и номеров узлов 1 - 4 (3 строка)

⎛⎜ 0 a a 0 ⎞ Nodes := ⎜ a a 0 0 ⎟ ⎜ 1 2 3 4 ⎝ ⎠ Матрица топологии КЭ (номер строки - номер КЭ, номер столбца - номер узла)

⎛ 1 3 2⎞ ⎝ 1 4 3⎠

Top := ⎜

Определение числа элементов и числа узлов в элементах пластины

⎛ n_element ⎞ ⎛ rows ( Top ) ⎞ := ⎜ ⎜ nn_point ⎝ ⎠ ⎝ cols ( Top ) ⎠ ie := 1 .. n_element j := 1 .. nn_point Составление матрицы индексов перемещений по матрице топологии КЭ M_ie , 2 ⋅ j−1 := 2⋅ Top ie , j − 1 M_ie , 2 ⋅ j := 2⋅ Top ie , j

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

145

Определение координат X, Y узлов элементов

⎛ Xnie , j ⎞ ⎡⎢ Nodes1 , (Topie, j) := ⎜ Yn ie , j ⎝ ⎠ ⎢⎣ Nodes2 , (Topie, j) j=

⎥⎤ ⎥ ⎦

⎛⎜ 2 3 ⎞ l := ⎜ 3 1 ⎟ ⎜ 1 2 ⎝ ⎠

1 2 3

Определение координат центров масс элементов

y1_2ie :=

Ynie , 1 + Ynie , 2

ymedie :=

2 Ynie , 3 + 2⋅ y1_2ie 1+2

x1_2ie :=

Xnie , 1 + Xnie , 2

xmedie :=

2 Xnie , 3 + 2⋅ x1_2ie 1+2

xmed1 = 0.667 xmed2 = 0.333 ymed1 = 0.667 ymed2 = 0.333 Коэффициенты (7.5б) функции формы в форм. (7.5а) bn ie , j := Ynie , (l j , 1) − Ynie , (l j , 2) cnie , j := Xnie , (l j , 2) − Xnie , (l j , 1) anie , j := Xnie , (l j , 1) ⋅ Ynie , (l j , 2) − Xnie , (l j , 2) ⋅ Ynie , (l j , 1)

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

146

Пластина из двух конечных элементов 1

0 0.5

0

0.5

1

1.5

узлы КЭ центры масс КЭ Расчет удвоенной площади конечных элементов форм. (7.5в)

⎛ 1 Xnie , 1 Ynie , 1 ⎞ ⎜ ∆2nie := ⎜ 1 Xnie , 2 Ynie , 2 ⎟ ⎜ 1 Xn ie , 3 Ynie , 3 ⎠ ⎝ Матрицы связи деформаций и узловых смещений форм. (7.12) 0 ⎞ ⎛ bn ie , j ⎜ 1 0 cnie , j ⎟ Bnie , j := ⋅⎜ ∆2nie ⎜ ⎝ cnie , j bn ie , j ⎠

(

(

T

T

T

BBn( ie) := stack Bnie , 1 , Bnie , 2 , Bnie , 3

))

T

Матрица жесткости конечного элемента - форм. (7.13) T

K_ie := BBn( ie) ⋅ D_N⋅ BBn( ie) ⋅ t⋅

∆2nie 2

Составление глобальной матрицы жесткости (7.14) ii := 1 .. 2⋅ nn_point

jj := 1 .. 2⋅ nn_point

K(M_ie, ii, M_ie, jj) := K(M_ie, ii, M_ie, jj) + ( K_ie) ii , jj

Kii , jj := 0

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

Задание граничных условий A := K Жесткая заделка в узлах с номерами NN

⎛ 1⎞ ⎝ 4⎠

NN := ⎜

n := 1 .. 2

k := 1 .. cols ( Nodes) ⋅ 2

Ak , 2 ⋅ NNn−1 := 0 A2 ⋅ NNn−1 , 2 ⋅ NNn−1 := ∞ Ak , 2 ⋅ NNn := 0 A NNn⋅ 2 , NNn⋅ 2 := ∞ Вектор узловых нагрузок p := 1 .. cols ( Nodes) P2 ⋅ (Topie, j)−1 := 0 P2 ⋅ (Topie, j) := 0 P2 ⋅ (Top1 , 3)−1 := −q_x P2 ⋅ (Top2 , 3)−1 := −q_x

147

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

148

Вектор узловых перемещений U := −A

−1

⋅P

U_xp := Up ⋅ 2−1 U_yp := Up ⋅ 2 Перемещения центров масс элементов - форм. (7.6)

⎡ 3 ⎤ ⎢ ⎥ uie_xie := ⋅ ( anie , j + bnie , j ⋅ xmedie + cnie , j ⋅ ymedie) ⋅ U_x(Topie, j) ⎥ ∆2nie ⎢ ⎣ j =1 ⎦ ⎡ 3 ⎤ 1 ⎢ ⎥ uie_yie := ⋅ ( anie , j + bnie , j ⋅ xmedie + cnie , j ⋅ ymedie) ⋅ U_y(Topie, j) ⎥ ∆2nie ⎢ ⎣ j =1 ⎦

∑

1

∑

Исходный и деформированный контуры. Перемещения узлов и центров масс элементов mno := 750

⎛ xdie , j ⎞ ⎡⎢ Nodes1 , (Topie, j) + ( mno ⋅ U_xTopie, j) := ⎜ yd ⎝ ie , j ⎠ ⎢⎣ Nodes2 , (Topie, j) + ⎡⎣( mno ⋅ U_y) Topie, j⎤⎦

1

0

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

исходный контур деформированный контур центр масс исходного КЭ центр масс деформированного КЭ

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

149

s := 1 .. max ( Top )

⎡(

x_s := ⎣ Nodes

⎡(

xs := ⎣ Nodes

T

)

〈1〉 ⎤

T 〈1〉 ⎤

)

⎡(

⎦ s + U_xs

ys := ⎣ Nodes

⎡(

T

y_s := ⎣ Nodes

⎦s

)

〈2〉 ⎤

⎦s

T 〈2〉 ⎤

)

⎦ s + U_ys

Сравнение аналитического и численного расчета перемещений по оси X для узлов 2 и 3 ∆Lmax = 5 × 10

−4

U_x1 = 0 U_x2 = 1.02 × 10

−3

U_x3 = 8.846 × 10

−4

U_x4 = 0

δ_u2 :=

δ_u3 :=

( x_2 − x2) − ∆Lmax ( x_2 − x2) ( x_3 − x3) − ∆Lmax ( x_3 − x3)

δ_u2 = 50.96 % δ_u3 = 43.474% 1.5 1

0.5 0

0.5

0

0.5

1

1.5

2

исходный контур деформированный контур

2.5

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

150

Напряжения σ и деформации ε в КЭ UUii , ie := U(M_ie, ii)

〈ie〉

εε σσ

〈 〉 := BBn( ie) ⋅ UU ie

〈ie〉

:= D_N⋅ εε

〈ie〉

элемент 1

σσ

εε

〈1〉

〈1〉

элемент 2

⎛⎜ 2.056 × 108 ⎞ 〈2〉 = ⎜ 5.593 × 106 ⎟ σσ ⎟ ⎜ 6 ⎜ −5.593 × 10 ⎠ ⎝

⎛⎜ 1.944 × 108 ⎞ напряжение σx = ⎜ 5.832 × 107 ⎟ напряжение σy ⎟ ⎜ 6 ⎜ 5.593 × 10 ⎠ напряжение σxy ⎝

⎛⎜ 1.02 × 10− 3 = ⎜ −2.804 × 10− 4 ⎜ ⎜ −7.27 × 10− 5 ⎝

⎛ 8.846 × 10− 4 ⎞ деформация ε x ⎜ =⎜ 0 ⎟ деформация ε y ⎜ −5 ⎝ 7.27 × 10 ⎠ деформация ε xy

8

⎞ ⎟ εε 〈2〉 ⎟ ⎠

σ_x = 1 × 10

теоретическое напряжение σx

∆Lmax −4 = 5 × 10 L

теоретическая деформация ε x

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

151

ЛИТЕРАТУРА 1. Беляев Н.М. Лабораторные работы по сопротивлению материалов. – М.: ГТТИ, 1954. – 288 с. 2. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. В двух томах. Т. I: Статика и кинематика. – М.: Наука, 1985. – 240 с. 3. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. В двух томах. Т. II: Динамика. – М.: Наука, 1985. – 496 с. 4. Дёрффель К. Статистика в аналитической химии. Пер. с нем. – М.: Мир, 1994. – 268 с. 5. Дорохова Е.Н., Прохорова Г.В. Задачи и вопросы по аналитической химии. – М.: Мир, 2001. – 267 с. 6. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. – М.: СК Пресс, – 1997 7. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. Пер. с англ. – М.: Мир, 1975. – 541 с. 8. Кирьянов Д. Самоучитель MathCAD 2001. – СПб.: БХВ-Петербург, 2001. – 544 с. 9. Кудряшов И.В., Каретников Г.С. Сборник примеров и задач по физической химии. – М.: Высш. школа, – 1991 10. Лавренов С.М. Excel: Сборник примеров и задач. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 336 с. 11. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996. – 368 с. 12. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В двух томах. Т 1. – М.: Наука, 1985. – 432 с. 13. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В двух томах. Т 2. – М.: Наука, 1985. – 560 с. 14. Пономарев К.К. Специальный курс высшей математики. – М: Высш. шк., 1988. – 367 с.

Мартьянова А.Е. Компьютерная обработка информации

152

15. Рудикова Л.В. Microsoft Excel для студента. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 368 с. 16. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. – М.: Высш. шк., 1982. – 264 с. 17. Степин П.А. Сопротивление материалов. – М.: Высш. шк., 1988. – 367 с. 18. Турчак Л. И. Основы численных методов: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1987. – 320 с. 19. Чарыков А.К. Математическая обработка результатов химического анализа. Учебное пособие. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. – 120 с.