Вычисление частных производных и кратных интегралов с помощью пакета Mathcad: Методические рекомендации и лабораторная работа по дисциплине ''Элементы высшей математики''

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ГОУ СПО «Череповецкий металлургический колледж»

Для специальности 230105 « Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем»

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ПАКЕТА MATHCAD Методические рекомендации и лабораторная работа по дисциплине «Элементы высшей математики» для студентов 4-го курса

Составитель: Масыгина И. А., преподаватель колледжа

Череповец 2008

1

Вычисление частных производных и кратных интегралов с помощью пакета MATHCAD.. Методические рекомендации и лабораторная работа по дисциплинЕ «Элементы высшей математики» для студентов 4-го курса. /Составитель: Масыгина И. А./ Череповец: ГОУ СПО «Череповецкий металлургический колледж», 2008, 28с.

Рецензенты

Данные методические рекомендации и лабораторная работа рассмотрены и одобрены цикловой комиссией «Математика и физика»

Председатель

/Масыгина И. А./

2

Содержание 1

Цель работы …………………………………………………………………. 4

2

Оборудование………………………………………………………………... 4

3

Теоретические обоснования ………………………………………………... 4 Вычисление частных производных первого порядка в MATHCAD.

3.1

Полный

дифференциал

функции

нескольких

действительных 4

переменных………………………………………………………………….. 3.2

Вычисление частных производных высших порядков в MATHCAD. …

5

3.3

Вычисление двойных интегралов…………………………………………..

6

3.4

Вычисление двойного интеграла по произвольной области…………….

8

3.5

Вычисление координаты центра тяжести пластины……………………… 11

4

Порядок выполнения работы ………………………………………………. 12

5

Методические указания …………………………………………………….

6

Контрольные вопросы ……………………………………………………… 13

7

Указания к оформлению ……………………………………………………

12 13

Литература …………………………………………………………………... 13 Приложение А – Варианты заданий ……………………………………….. 14

3

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ПАКЕТА MATHCAD. 1 Цель работы Научиться вычислять частные производные и кратные интегралы с помощью пакета MATHCAD . 2 Оборудование IBM PC, Mathcad 3 Теоретические обоснования 3.1 Вычисление частных производных первого порядка в MATHCAD. Полный дифференциал функции нескольких действительных переменных Пример 1. Вычислить полный дифференциал первого порядка f ( x , y , z ) = x 2 − 8 sin( 2 y − 8 z ) + ln( z 3 − 4 x )

Решение: d подпанели Mатанализ (Calculus) вызывает шаблон d

Кнопка для дифференцирования функций. На месте верхней метки вводится имя функции вместе с аргументами в скобках, на месте нижней метки – имя аргумента, относительно которого вычисляется производная.

→ - это знак символьного вывода, может быть вызван сочетанием клавиш +<ю>. 4

Полным дифференциалом функции z = f ( x , y , z ) называется выражение: df ( x , y , z ) =

∂f ∂f ∂f dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

Для примера, рассмотренного выше, получим ⎛ 4 ⎞ z2 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟dz df = ⎜ 2 x − 3 dx ( 16 cos( 2 y 8 z )) dy 64 cos( 2 y 8 z ) 3 + − − + − + ⎟ ⎜ z − 4x ⎠ z 3 − 4 x ⎟⎠ ⎝ ⎝

3.2 Вычисление частных производных высших порядков в MATHCAD. Пример 2. Для функции f ( x , y , z ) = x 2 − 8 sin( 2 y − 8 z ) + ln( z 3 − 4 x ) Вычислить: а)

∂2f ∂3f ; б) ; ∂x 2 ∂y 3

в)

∂2f ; ∂x∂z

г)

∂3f ∂z 2 ∂x

Решение: Вычисление

частных

производных

высших

порядков

в

MATHCAD

подпанели Mатанализ (Calculus). При

осуществляется с помощью кнопки

нажатии на эту кнопку вызывается шаблон

5

Вычисление смешанных частных производных осуществляется комбинацией

кнопок

и

. Двойной щелчёк по кнопке

вызывает шаблон

использовании комбинации кнопок получим шаблон

Ответ:

∂2f ∂x 2

= 2−

16 ( z 3 − 4x ) 2

∂2f z2 = 12 3 ; ∂x∂z ( z − 4 x )2

;

. При

.

∂3f = 64 cos( 2 y − 8 z ) ; ∂y 3 z z4 ∂3f 72 = 24 − ∂z 2 ∂x ( z 3 − 4 x )2 ( z 3 − 4 x )3

3.3 Вычисление двойных интегралов. подпанели Для вычисления двойных интегралов используется кнопка Mатанализ (Calculus): двойной щелчок этой кнопкой вызывает шаблон

на месте меток которого вводятся пределы интегрирования, подынтегральная функция и переменные интегрирования. При этом следует помнить, что первая переменная интегрирования относится к внутреннему интегралу. Например 1 3

запись

∫ ∫ f ( x , y )dydx означает, что переменная у относится к внутреннему интегралу 0 2

3

∫ f ( x , y )dy 2

6

Если предполагается, что результатом вычисления интеграла будет константа, то для вычисления этого интеграла в MATHCAD целесообразно использовать знак равенства =. Если же предполагается, что результатом вычисления интеграла будет функция, зависящая от некоторой переменной или параметра, то следует для его вычисления использовать знак символьного вывода →. Пример 3. 1

4

4

4

1

3

Вычислить: а) ∫ dy ∫ ( 2 x − 8 y )dx ; б) ∫ dx ∫ ( 2 x 4 + 13 y 5 )dy ; 3

−2

3

Решение: 1

А)

4

∫ dy ∫ ( 2 x − 8 y

−2

4

1 4

)dx =

3

∫ ∫(2x − 8y

3

)dxdy

−2 3

3

5

4 5

Б) ∫ dx ∫ ( 2 x + 13 y )dy = ∫ ∫ ( 2 x 4 + 13 y 5 )dydx 4

1

5

3

1 3

4

5

1

3

⌠ ⌠ ⎮ ⎮ ⌡ ⌡

(2x4 + 13⋅y5) dy dx = 9.764× 104

При вычислении двойного интеграла по прямоугольной области пользуются следующими формулами:

∫∫ f ( x , y )dxdy Д

∫∫

c

Д

a

b 7

d

f ( x , y ) dxdy =

d

а

c

∫ dx ∫ f ( x , y )dy

=

Д

d

b

∫ dy c

b

∫ f ( x , y )dx a

Пример 4. Вычислить: ∫∫ ( 2 x 3 − 4 y + 5 y )dxdy , если D: - 4 ≤ х ≤ 11 ; 5 ≤ у ≤ 12 D

Решение:

При записи интеграла не забывайте, что первая переменная интегрирования относится к внутреннему интегралу. 3.4 Вычисление двойного интеграла по произвольной области.

y = ϕ2( x )

Д y = ϕ1 ( x )

a

b

Область Д на плоскости ХОУ является простой относительно оси ОХ, если она ограничена снизу и сверху непрерывными кривыми y = ϕ 1 (x ), y = ϕ 2 (x ) , а слева и справа отрезками прямых х=а и х=b так, что любая прямая параллельная оси ОУ и проходящая внутри отрезка [a;b], пересекает границу области (кривые y = ϕ 1 (x ), y = ϕ 2 (x ) ) в двух точках. В частности один из отрезков х=а или х=b (либо оба вместе) могут вырождаться в точку. В этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле:

∫∫ f ( x , y ) dxdy Д

8

b

=

ϕ2 ( х )

∫ dx ϕ ∫ f ( x , y ) dy а

1

(х )

d

х = κ 1 ( у)

х = κ 2 ( y)

Д

c

Область Д на плоскости ХОУ является простой относительно оси ОУ, если она ограничена слева и справа непрерывными кривыми х = κ 1 ( у ), х = κ 2 ( y ) , а снизу и сверху отрезками прямых у=с и у=d так, что любая прямая параллельная оси ОX и проходящая внутри отрезка [c;d], пересекает границу области (кривые y = κ 1 ( x ), y = κ 2 ( x ) ) в двух точках. В частности один из отрезков у=с или у=d (либо оба вместе) могут вырождаться в точку. В этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле:

∫∫ f ( x , y ) dxdy

k2 ( y )

с

k1 ( y )

∫ dx ∫ f ( x , y ) dy

=

Д

Пример 5. Вычислить двумя способами:

d

∫∫ ( 3 − 6 x + 4 y

2

)dxdy

D

если D: y = 0 ,

y = −2 x + 14 ,

y=

4 44 x+ 7 7

Решение: 1) Построим графики y1 ( x) := − 2 ⋅ x + 14 y2 ( x) :=

4 7

⋅x +

44 7 10 9 8 7 6 5

y1 ( x)

4

y2 ( x)

3 2 1 15 14 13 12 11 10

9

8

7

6

5

4

3

2

1 0 1 1 2

x

9

2

3

4

5

6

7

8

9

10

В Mathcad необходимо выполнить форматирование графика так, чтобы все точки пересечения были чёитко видны. 2) Вычислим интеграл первым способом, для этого фигуру необходимо разбить на две части ⌠ ⎮ ⎮ ⌡

4

3

⌠7 ⎮ ⎮ ⌡

⋅ x+

− 11 0

44 7

(3 − 6⋅x + 4⋅y2) dy dx + ⌠⎮⌡

7

3

⌠ ⎮ ⌡

− 2⋅ x+ 14

(3 − 6⋅x + 4⋅y2) dy dx = 3.432× 103

0

3) Вычислим интеграл вторым способом, для этого предварительно необходимо выразить х = κ 1 ( у ), х = κ 2 ( y ) . Это можно сделать в Mathcad.

Равно набирается жирное (+<=>) Получим y −1 2

y

7 4

−2⋅ x + 14 ⋅y + 7

4 7

44

⋅x +

7

⋅ y − 11

Т. е. x = ⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡

8

0

−1

⌠ 2 ⎮ ⎮ ⎮ ⌡7 4

−1 y +7 2

⋅y+ 7

и

x=

7 y − 11 4

(3 − 6⋅x + 4⋅y2) dx dy = 3.432× 103

⋅ y − 11

Если оба интеграла набраны верно, то ответы должны получится одинаковые.

10

3.5 Вычисление координаты центра тяжести пластины. Пусть пластинка занимает в плоскости ХОУ некоторую область Д. Пусть ρ(х; у) плотность этой пластинки в точке М(х;у), причём ρ(х; у) - непрерывная функция. Координаты центра масс пластинки определяются формулами:

∫∫ xρ(x; y)dxdy xc =

y = ϕ 1(x )

Д

m Д

∫∫ yρ(x; y)dxdy yc =

Д

y = ϕ 2 (x)

m где m = ∫∫ ρ(x; y)dxdy Д

a

b

Пример 6. Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: y = 4 sin 5 x , y = 3x +7, x = −0 ,5 , x =0, если плотность ρ ( x , y ) = e 4 x −8 y Решение: 1) Построим графики y1( x) := 4⋅ sin ( 5⋅ x) y2( x) := 3⋅ x + 7

10 9 8 7 6 5 4

y1 ( x)

3

y2 ( x)

2 1 1

0.5

1 2

0

3 4 5 x

11

0.5

1

2) Составим и вычислим интегралы ⌠ m := ⎮ ⌡

0

⌠ ⎮ ⌡

3⋅ x+ 7

e

4⋅ x− 8⋅ y

dy dx

− 0.5 4⋅ sin( 5⋅ x)

11

m = 2.525 × 10

⌠ mx := ⎮ ⌡

0

⌠ ⎮ ⌡

3⋅ x+ 7

x⋅ e

4⋅ x− 8⋅ y

dy dx

− 0.5 4⋅ sin( 5⋅ x)

10

mx = −7.804 × 10

⌠ my := ⎮ ⌡

0

⌠ ⎮ ⌡

3⋅ x+ 7

y⋅ e

4⋅ x− 8⋅ y

dy dx

− 0.5 4⋅ sin( 5⋅ x)

11

my = −9.622 × 10

x :=

y :=

mx m x = −0.309

my m

y = −3.811

Ответ: центр тяжести пластинки находится в точке (-0,309; -3,811) 4 Порядок выполнения работы 1. 2. 3. 4. 5.

Проработать теоретический материал по теме. Ответить на контрольные вопросы. Получить вариант задания. Выполнить задание. Оформить отчёт о работе.

5 Методические указания ♦ Будьте внимательны. Проверяйте правильность ввода формул. Ошибка приведёт к неверному результату. ♦ Выполнив вычисления в Mathcad не закрывайте программу, а просто сверните окно программы. При обнаружении ошибки будет проще исправить её.

12

6 Контрольные вопросы 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Как в Mathcad вычисляются частные производные первого порядка? Запишите формулу для полного дифференциала функции трёх перменных. Как в Mathcad вычисляются частные производные высших порядков? Как в Mathcad вычисляются двойные интегралы? Запишите формулы для вычисления двойного интеграла по прямоугольной области. Запишите формулу для вычисления двойного интеграла по произвольной области, являющейся простой относительно оси ОХ. Запишите формулу для вычисления двойного интеграла по произвольной области, являющейся простой относительно оси ОХ. Как в Mathcad выразить одну переменную через другую? Запишите формулы для вычисления координат центра тяжести плоской пластины.

7 Указания к оформлению Отчёт по лабораторной работе выполняется на листах А4 (210×297) в соответствии с едиными требованиями ЕСКД. Отчёт по лабораторной работе должен содержать: ♦ точное наименование; ♦ цель; ♦ ход работы (условия задач); ♦ результаты работы (подробное решение задач): • все записи в Mathcad для 1, 2,3, 4 заданий. • графики области D в 5 и 6 заданиях и записанные в Mathcad интегралы. Литература 1. Шипачёв В. С. Высшая математика (учебник для вузов). – М.: Высшая школа, 1998. 2. Афанасьева О. Н. ,Бродский Я. С. ,Павлов А. Л. Математика для техникумов на базе среднего образования. – М.: Физматлит, 2005 3. Баврин И. И., Матросов В. Л. Курс высшей математики. – М. : Гуманти. Из. Центр ВЛАДОС, 2004. 4. MATHCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчёты в среде Windows 95. – М.:Филинъ, 1997. 5. Черняк А. А., Черняк Ж. А., Доманова Ю. А. Высшая математика на базе Mathcad.

Общий курс. – СПб.: БХВ – Петербург, 2004.

13

Приложение А – Варианты заданий Вариант 1 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

(

)

z⋅x − e 6 + 6 x + ln z 3 + 18 y 9 x 2 + sin(3 x + y + 6 ) 2) Для функции f ( x, y, z ) = 18z 3 2 ∂ f ∂3f ∂ f ; в) 2 Вычислить: а) 3 ; б) ∂x∂z ∂x ∂y ∂z f ( x, y, z) = sin

3) Вычислить: 4) Вычислить:

3

9

−6

12

(

)

6 ∫ dy ∫ 6 + 3 ⋅ x + sin 6y dx

∫∫ (− 2 sin( x + 12) −

)

3 + 6 y dxdy если D: -3 ≤ х ≤ 15; 9 ≤ у ≤ 42.

D

5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: y = 6 sin 3 x, y = 6 x − 3, x = 0, x = 0,5 , 3 x −6 y если плотность ρ( x, y ) = e 6) Вычислить двумя способами: ∫∫ (3 + 12x + 3 y )dxdy D

если D: y = 0 ,

y = −3 x + 18 ,

y=

3 18 x+ 5 5

Вариант 2 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

(

)

y⋅x − e10 +2 z + ln z 5 + 10 y 7 z 3 + sin(5 x + y + 2z ) 2) Для функции f ( x, y, z ) = 14 x 3 2 ∂ f ∂3f ∂ f ; в) 2 Вычислить: а) 3 ; б) ∂x∂z ∂y ∂x ∂z f ( x, y, z ) = sin

3) Вычислить: 4) Вычислить:

5

25

−2

4

(

)

6 ∫ dy ∫ 2 + 5 ⋅ y + cos 2x dx

∫∫ (− 2 cos( y + 4) +

)

5 + 2x dxdy

D

если D: 3 ≤ х ≤ 9 ; -1 ≤ у ≤ 14 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: 5 y = 2x + , 2 если плотность ρ( x, y ) = e 5 x −4 y

y = 2 sin 3 x,

6) Вычислить двумя способами:

x = −0,5,

x = 1,

∫∫ (5 + 4x + 5y )dxdy D

если D: y = 0,

y = − x + 10,

y=

14

3 30 x+ 7 7

Вариант 3 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

(

)

y ⋅ x2 f ( x, y, z ) = sin − e 4 +3 y + ln z 2 + 6 y 3 5 z 3 + sin(2x + y + 3z ) 2) Для функции f ( x, y, z ) = 10z 3 2 ∂ f ∂3f ∂ f ; в) 2 Вычислить: а) 3 ; б) ∂x∂y ∂x ∂y ∂x

3) Вычислить: 4) Вычислить:

2

5

−3

6

)

(

3 2 4 ∫ dy ∫ 3 + 2 ⋅ y + 3x dx

∫∫ (− 2 ⋅ e

y+6

)

+ 3 2 + 6 x dxdy

D

если D: 5 ≤ х ≤ 8 ; 4 ≤ у ≤ 13 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: y = 3 sin 3 x, y = −3 x + 1, x = −2, x = −0,5 , если плотность ρ( x, y ) = e 2 x −6 y 6) Вычислить двумя способами: ∫∫ (6 + 6 x + 6 y )dxdy D

3 y = − x + 18, 2

если D: y = 0,

y=

1 x+6 2

Вариант 4 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

(

)

y⋅x − e 20 +9 x + tg z10 + 90 19 z 3 + sin(10 x + 19 y + 9 z ) 2) Для функции f ( x , y , z ) = 38 z 2 3 ∂ f ∂ f ∂3f ; в) 2 Вычислить: а) 3 ; б) ∂x∂z ∂y ∂x ∂z f ( x, y, z) = sin

3) Вычислить: 4) Вычислить:

∫ dx ∫ (9 + 10 ⋅ y

10

13

−9

18

9

)

+ e 9 x dy

∫∫ (− 2 sin( x + 18) +

5

)

10 + 18 x dxdy

D

если D: 19 ≤ х ≤ 28 ; 8 ≤ у ≤ 101 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: y = 9 sin 2x, y = −9 x + 5, x = 1, x = 2, если плотность ρ( x, y ) = cos(10 x − 18 y ) 6) Вычислить двумя способами: ∫∫ (10 + 4 x + 10 y )dxdy D

если D: y = 0,

y = − x + 20,

y=

15

2 40 x+ 3 3

Вариант 5 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

(

)

y⋅x − e18 +7 x + ctg z 9 + 63 16 z 3 + sin (9 x 2 + 16 y + 7 z ) 2) Для функции f ( x , y , z ) = 32 x 2 3 ∂ f ∂ f ∂3f ; в) 2 Вычислить: а) 3 ; б) ∂x∂z ∂z ∂y ∂x f ( x, y, z ) = sin

12 ⎛ 9 7 2⎞ dx ∫ ∫ ⎜⎜ 7 + y 7 + x ⎟⎟dy −7 14⎝ ⎠ 3 4) Вычислить: ∫∫ − 2 ⋅ ln( y + 14) + 9 + 14 x dxdy

3) Вычислить:

9

(

)

D

если D: 16 ≤ х ≤ 23 ; 5 ≤ у ≤ 67 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: 9 y = 7x + , 2 если плотность ρ( x, y ) = e 9 x −14 y

y = 7 sin 2x,

6) Вычислить двумя способами:

x = −1,

x = 1,

∫∫ (9 + 4x + 9y )dxdy D

если D: y = 0,

y = − x + 18,

y=

7 126 x+ 11 11

Вариант 6 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

(

)

z⋅x − 2x − 24 + ctg z 8 + 16 10 x 3 + sin (8 x 2 + 10 y + 2 z ) 2) Для функции f ( x , y , z ) = 20 x 8 ∂3f ∂3f ∂2f ; в) 2 Вычислить: а) 3 ; б) ∂y∂z ∂z ∂y ∂z f ( x, y, z ) = sin

11 8 ⎛ 2⎞ dx ∫ ∫ ⎜⎝ 2 + 5 y + x ⎟⎠dy −2 4 4) Вычислить: ∫∫ − 2 ⋅ ln( y + 4) + 3 8 + 4 x dxdy

3) Вычислить:

8

(

)

D

если D: 10 ≤ х ≤ 12 ; -4 ≤ у ≤ 20 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: y = 2 sin 4 x, y = 2x + 8, x = −12, x = −1, 8 x−4 y если плотность ρ( x, y ) = e 6) Вычислить двумя способами: ∫∫ (8 + 4 x + 8 y )dxdy D

если D: y = 0,

y = − x + 16,

y=

16

3 48 x+ 5 5

Вариант 7 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

(

)

y⋅x − 3 x − 21 + ctg z 7 + 21 10 x 3 + sin 7 x 2 + 10 y + 3z 2) Для функции f ( x, y, z ) = 20 x 7 ∂3f ∂3f ∂2f ; в) 2 Вычислить: а) 3 ; б) ∂y∂x ∂z ∂y ∂x f ( x, y, z) = arcsin

(

)

10 7 ⎛ 3 4 ⎞ dx ∫ ∫ ⎜⎝ 3x + 3 y +1 + x ⎟⎠dy −3 6 4) Вычислить: ∫∫ − 3 ⋅ sin( x + 6) + 3 7 + 6 x dxdy

3) Вычислить:

7

(

)

D

если D: 10 ≤ х ≤ 13 ; -1 ≤ у ≤ 23 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: 1

x

y = 3e 2 ,

y = −3 x + 7, x = −2, если плотность ρ( x, y ) = sin(7 x − 6 y )

x = −1,

∫∫ (7 + 4x + 7y )dxdy

6) Вычислить двумя способами:

D

если D: y = 0,

y = − x + 14,

y=

5 70 x+ 9 9

Вариант 8 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

(

)

2 y⋅z − 4 x − 15 + x 5 + 20 9 2) Для функции f ( x, y, z) = sin( 4 x 5 + 5 y − 8z 4 )

f ( x, y, z ) = arcsin

Вычислить: а) 3) Вычислить: 4) Вычислить:

∂3f ; ∂z 3

5

9

−4

8

⎛

∫ dx ∫ ⎜⎝ 4x

б) 3

+

∂2f ; ∂y∂z

в)

5 ⎞ + x ⎟dy y +1 e ⎠

∫∫ (− 4 ⋅ sin( x + 8) +

3

∂3f ∂z 2 ∂x

)

5 + 8 x 2 dxdy

D

если D: 9 ≤ х ≤ 13 ; 3 ≤ у ≤ 26 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: 1 x 2

y = 4e ,

y = −4 x + 8,

x = −1,5,

x = 0,

если плотность ρ( x, y ) = 5 x − 2 ⋅ 3 4 y 6) Вычислить двумя способами: ∫∫ (10 + 4 x + 5 ⋅ sin y )dxdy D

если D: y = 0,

y = − x + 10,

y=

17

3 30 x+ 7 7

Вариант 9 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

(

)

2 y+z − 2x − 27 + x 9 + 18 11 2) Для функции f ( x, y, z ) = cos(2x 9 + 9 y − 18z 2 )

f ( x, y, z) = arccos

∂3f Вычислить: а) 3 ; ∂z

3) Вычислить: 4) Вычислить:

∂3f в) 2 ∂z ∂x

∂2f б) ; ∂y∂z

9

17 9 ⎛ 3 2⎞ dx ∫ ∫ ⎜⎝ 2x + e y +1 + x ⎟⎠dy 4 −2

∫∫ (− 2 ⋅ e

x2 +4

)

+ 3 9 + 4 y 2 dxdy

D

если D: 11 ≤ х ≤ 13 ; -5 ≤ у ≤ 22 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: 1

x

y = 2e 2 ,

y = 2x − 6, x = −1, x = 1, 2 если плотность ρ( x, y ) = 9 x − 2 ⋅ sin y 6) Вычислить двумя способами: ∫∫ (9 + 4 x + 9 ⋅ sin y )dxdy D

если D: y = 0,

y = − x + 18,

y=

7 126 x+ 11 11

Вариант 10 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

8y + z − 5 x − 24 + x 8 + 40 13 2) Для функции f ( x, y, z) = ln(5 x 8 + 8 ⋅ 3 y − 40z 5 ) f ( x, y, z) = arccos

Вычислить: а) 3) Вычислить: 4) Вычислить:

∂3f ; ∂z 3

б)

∂2f ; ∂y∂z

в)

∂3f ∂z 2 ∂x

8

16 8 ⎞ ⎛ 3 dx ∫ ∫ ⎜⎝ 5 ⋅ sin( x ) + 5 y +1 ⎟⎠dy −5 10

∫∫ (− 5 ⋅ e

5

x +10

)

+ cos( x + y ) dxdy

D

если D: 13 ≤ х ≤ 18 ; 2 ≤ у ≤ 41 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: x

⎛2⎞ y = 5⎜ ⎟ , ⎝3⎠

y = sin(8 x ) − 5,

x = −2,

x = 0,

если плотность ρ( x, y ) = 8 x 2 − 2 ⋅ sin y 6) Вычислить двумя способами: ∫∫ (8 + 4 x + 8 ⋅ sin y )dxdy D

если D: y = 0,

y = − x + 16,

y=

18

3 48 x+ 5 5

Вариант 11 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

4x + z − 2z − 12 + x 4 + 2y 6 2) Для функции f ( x, y, z) = lg( 4 ⋅ 4 y − 8 ⋅ z 2 ⋅ x ) f ( x, y, z ) = arcsin

∂3f Вычислить: а) 3 ; ∂z

3) Вычислить:

4

12

∫ dx ∫ ⎜⎝ 2 ⋅ cos( x

−2

4) Вычислить:

⎛

∂2f б) ; ∂x∂z

∫∫

3

3

)+

4

∂3f в) 2 ∂z ∂y 4x ⎞ ⎟dy 2 y +1 ⎠

sin 4 x + 2 x + y dxdy

D

если D: 6 ≤ х ≤ 8 ; 0 ≤ у ≤ 12 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: 1 x−4 x = −1, 3 если плотность ρ( x, y ) = 4 x 2 − 2 ⋅ sin y 6) Вычислить двумя способами: ∫∫ ( 4 + 4 x + 4 ⋅ sin y )dxdy y = sin x + sin 2x,

y = −2x 2 −

x = 1,

D

если D: y = 0,

y = − x + 8,

y=

1 8 x+ 3 3

Вариант 12 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

9x + z 1 − 5z − 27 + 9 + 5 y 14 x x+y 2) Для функции f ( x, y, z) = sin(9 ⋅ e − 45 ⋅ z 5 ) f ( x, y, z ) = arcsin

∂2f ∂3f ∂3f ; б) ; в) ∂x∂z ∂z 3 ∂z 2 ∂x 9 17 9y ⎞ ⎛ 3) Вычислить: ∫ dx ∫ ⎜ 5 ⋅ cos( x 2 ) + y +1 ⎟dy 5 ⎠ −5 10⎝

Вычислить: а)

4) Вычислить:

∫∫

3

ln 9 x + 3 x + y dxdy

D

если D: 14 ≤ х ≤ 19 ; 1 ≤ у ≤ 43 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: 5 9 x− x = −1б5, 6 2 если плотность ρ( x, y ) = 9 x 2 − 2 ⋅ sin y 6) Вычислить двумя способами: ∫∫ (9 + 4 x + 9 ⋅ sin y )dxdy y = sin 2x − sin 6 x,

y = −3 x 2 −

D

если D: y = 0,

y = − x + 18,

y=

19

7 126 x+ 11 11

x = 0,

Вариант 13 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка 2 6x + y 1 − 2 3 x + 6 + 2z 8 x 2) Для функции f ( x, y, z ) = sin(6 ⋅ e x + y − cos z)

f ( x, y, z ) = arcsin

∂3f Вычислить: а) 3 ; ∂z

3) Вычислить:

6

14

⎛

∫ dx ∫ ⎜⎝ 2 ⋅ sin(( x + y )

−2

4) Вычислить:

∂2f б) ; ∂x∂z

∫∫

3

∂3f в) 2 ∂z ∂y 2

4

)+

6y ⎞ ⎟dy 2 y +1 ⎠

sin 6 y + ln x dxdy

D

если D: 8 ≤ х ≤ 10 ; -2 ≤ у ≤ 16 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: y = sin 2x − sin 6 x − 6, y = 15 x 2 + 8 x x = 0, x = 1,5 , если плотность ρ( x, y ) = 6 x − 2 ⋅ sin y 6) Вычислить двумя способами: ∫∫ (6 + 4 x + 6 ⋅ sin y )dxdy D

если D: y = 0,

y = − x + 12,

y=

1 x+6 2

Вариант 14 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

2 8x + y 1 − 4 4 x + 8 + 4x 12 x x+y 2) Для функции f ( x, y, z ) = sin(8 ⋅ e − ln z)

f ( x, y, z ) = arccos

Вычислить: а)

∂3f ; ∂z 3

б)

∂2f ; ∂y∂z

в)

∂3f ∂z 2 ∂z

16 8y ⎞ ⎛ 2 dx ∫ ∫ ⎜⎝ 4 ⋅ cos( y + x ) + 4 y +1 ⎟⎠dy 8 −4 3 4) Вычислить: ∫∫ sin 8 y + ln x dxdy

3) Вычислить:

8

D

если D: 12 ≤ х ≤ 16 ; 0 ≤ у ≤ 32 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: y = sin 2x − sin 6 x − 8, y = (ln x ) 2 + 8 x x = 0,5, x = 1, если плотность ρ( x, y ) = 6 x − 2 ⋅ sin y 6) Вычислить двумя способами: ∫∫ (8 + 8 x + 8 ⋅ sin y )dxdy D

если D: y = 0,

y = −2x + 32,

y=

20

2 32 x+ 3 3

Вариант 15 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка 2 x − 3 3 x + 3 y + 10z 13 2) Для функции f ( x, y, z ) = sin(10 ⋅ y ⋅ e x − tg3z)

f ( x, y, z ) = ln

Вычислить: а) 3) Вычислить: 4) Вычислить:

∂3f ; ∂y 3

б)

∂2f ; ∂y∂z

в)

∂3f ∂y 2 ∂x

10

18 10 y ⎞ ⎛ x+ x2 dx ∫ ∫ ⎜⎝ 3 ⋅ e + 3 y +1 ⎟⎠dy 6 −3

∫∫ 3 cos10 y + ln 3xdxdy D

если D: 13 ≤ х ≤ 16 ; -4 ≤ у ≤ 29 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: y = sin 3 x − sin10 x − 5, y = 10 x + 3 x x = 1, x = 2, 2 если плотность ρ( x, y ) = 10 x − 2 ⋅ sin y 6Вычислить двумя способами: ∫∫ (10 + 6 x + 10 ⋅ sin y )dxdy D

3 y = − x + 30, 2

если D: y = 0,

y=

21 210 x+ 26 13

Вариант 16 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

(

)

z⋅y − e 8 +3 x + ln z 4 + 12y 7 z 2 + sin(4 x + y + 3z ) 2) Для функции f ( x, y, z ) = 14z 3 2 ∂3f ∂ f ∂ f ; в) 2 Вычислить: а) 3 ; б) ∂x∂z ∂y ∂x ∂z f ( x, y, z) = sin

3) Вычислить: 4) Вычислить:

4

16

−6

6

(

)

6 ∫ dy ∫ 3 + 4 ⋅ x + cos 3y dx

∫∫ (− 2 sin( y + 6) −

)

4 + 3 x dxdy

D

если D: 1 ≤ х ≤ 10 ; 2 ≤ у ≤ 17 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: y = 3 sin 3 x, y = 3 x − 4, x = −0,5, x =0, 4 x −6 y если плотность ρ( x, y ) = e 6) Вычислить двумя способами: ∫∫ ( 4 + 6 x + 4 y )dxdy D

если D: y = 0,

3 y = − x + 12, 2

y=

21

3 12 x+ 14 7

Вариант 17 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

(

)

x⋅y − e16 +3 x + ln z 8 + 24 y 1 z 3 + sin(8 x + y + 3z ) 2) Для функции f ( x, y, z ) = 22z 3 2 ∂3f ∂ f ∂ f ; в) 2 Вычислить: а) 3 ; б) ∂x∂z ∂y ∂x ∂z f ( x, y, z ) = sin

3) Вычислить: 4) Вычислить:

(

8

11

−6

6

)

3 x ∫ dy ∫ 3 + 8 ⋅ y + e dx

∫∫ (− 2 cos( y + 6) −

3

)

8 + 6 x dxdy

D

если D: 5 ≤ х ≤ 14 ; -2 ≤ у ≤ 25 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: y = 3 sin 3 x, y = −3 x + 4, x = −1, x =0, 8 x −6 y если плотность ρ( x, y ) = e 6) Вычислить двумя способами: ∫∫ (8 + 6 x + 8 y )dxdy D

3 y = − x + 24, 2

если D: y = 0,

y=

120 15 x+ 11 22

Вариант 18 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

(

)

x⋅y − e 6 + 4 x + lg z 3 + 12 7 z 3 + sin(3 x + y + 4z ) 2) Для функции f ( x, y, z ) = 14z 3 2 ∂ f ∂3f ∂ f ; в) 2 Вычислить: а) 3 ; б) ∂x∂y ∂x ∂y ∂z f ( x, y, z) = sin

3) Вычислить: 4) Вычислить:

3

6

−8

8

(

)

4 4x ∫ dy ∫ 4 + 3 ⋅ y + e dx

∫∫ (− 2 sin( y + 8) −

3

)

3 + 8 x dxdy

D

если D: 7 ≤ х ≤ 11 ; 5 ≤ у ≤ 22 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: 3 y = −4 x + , x = 0,5, 2 если плотность ρ( x, y ) = cos(3 x − 8 y )

y = 4 sin 3 x,

6) Вычислить двумя способами:

x = 1,

∫∫ (3 + 4x + 3y )dxdy D

если D: y = 0,

y = −2x + 12,

2 12 y=− x− 7 7

22

Вариант 19 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

(

)

x⋅y − e 20 +8 x + tg z10 + 80 18 z 3 + sin(10 x + 18 y + 8 z ) 2) Для функции f ( x , y , z ) = 36 x 3 2 ∂ f ∂3f ∂ f ; в) 2 Вычислить: а) 3 ; б) ∂x∂z ∂y ∂y ∂x f ( x, y, z) = sin

⎞ + e 8 x ⎟⎟dx −8 16⎝ ⎠ 3 4) Вычислить: ∫∫ − 2 sin( y + 16) + 10 + 16 x dxdy

3) Вычислить:

10

13

⎛

10

∫ dy ∫ ⎜⎜ 8 + y 8

(

)

D

если D: 18 ≤ х ≤ 26 ; 6 ≤ у ≤ 84 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: y = 8 sin 2x, y = 5 + 8 x, x = −1, x = 1, если плотность ρ( x, y ) = cos(10 x − 16 y ) 6) Вычислить двумя способами: ∫∫ (10 + 4 x + 10 y )dxdy D

если D: y = 0,

y = − x + 20,

y=

2 40 x+ 3 3

Вариант 20 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

(

)

x⋅z − e10 +3 x + ctg z 5 + 15 8 z 3 + sin (5 x 2 + 8 y + 3 z ) 2) Для функции f ( x , y , z ) = 16 x 2 3 ∂ f ∂3f ∂ f ; в) 2 Вычислить: а) 3 ; б) ∂x∂z ∂z ∂y ∂z f ( x, y, z ) = sin

8 ⎛ 5 4 3⎞ dy ∫ ∫ ⎜⎜ 3 + y 3 + x ⎟⎟dx −3 6⎝ ⎠ 3 4) Вычислить: ∫∫ − 2 ln( y + 6) + 5 + 6 x dxdy

3) Вычислить:

5

(

)

D

если D: 8 ≤ х ≤ 11 ; 1 ≤ у ≤ 19 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: y = 3 sin 4 x, y = 3 x + 5, x = 0, x = 1, 5 x −6 y если плотность ρ( x, y ) = e 6) Вычислить двумя способами: ∫∫ (5 + 4 x + 5 y )dxdy D

если D: y = 0,

y = − x + 10,

y=

3 30 x+ 7 7

23

Вариант 21 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

(

)

x⋅y − 5 x − 18 + ctg z 6 + 30 11 x 3 + sin (6 x 2 + 11y + 5 z ) 2) Для функции f ( x , y , z ) = 22 x 6 ∂3f ∂3f ∂2f ; в) 2 Вычислить: а) 3 ; б) ∂x∂z ∂z ∂y ∂x f ( x, y, z ) = sin

3) Вычислить: 4) Вычислить:

6

9 6 ⎛ 5 4 ⎞ dx ∫ ∫ ⎜⎝ 5 + 5 y +1 + x ⎟⎠dy −5 10

∫∫ (− 5 ln( x + 10) +

3

)

6 + 10 x dxdy

D

если D: 11 ≤ х ≤ 16 ; 4 ≤ у ≤ 37 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: y = 5 sin 4 x, y = −5 x + 6, x = −1, x =0, 6 x −10 y если плотность ρ( x, y ) = e 6) Вычислить двумя способами: ∫∫ (12 + 4 x + 12y )dxdy D

если D: y = 0,

y = − x + 12,

y=

1 x+6 2

Вариант 22 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка

(

)

2 x⋅y − 4 x − 15 + z 5 + 20 9 x 4 + sin 5 x 2 + 9 y + 4z 2) Для функции f ( x, y, z) = 18 x 5 ∂3f ∂3f ∂2f ; в) 2 Вычислить: а) 3 ; б) ∂y∂z ∂z ∂z ∂x 5 9 5 ⎛ ⎞ 3) Вычислить: ∫ dx ∫ ⎜ 4 x 3 + y +1 + x ⎟dy 4 ⎠ −4 8⎝

f ( x, y, z ) = arcsin

(

4) Вычислить:

∫∫ (− 4 sin( x + 8) +

3

)

)

5 + 8 x dxdy

D

если D: 9 ≤ х ≤ 13 ; 3 ≤ у ≤ 26 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: 1

x

y = 4e 2 ,

y = −4 x + 8, x = −1,5, если плотность ρ( x, y ) = sin(5 x − 8y )

6) Вычислить двумя способами:

x = 0,

∫∫ (5 + 4x + 5y )dxdy D

если D: y = 0,

y = − x + 10,

y=

3 30 x+ 7 7

24

Вариант 23 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка f ( x, y, z ) = arcsin

(

x+z − 7 x − 30 + x 10 + 70 17

7x 2) Для функции f ( x, y, z ) = e

Вычислить: а) 3) Вычислить: 4) Вычислить:

∂3f ; ∂z 3

б)

10

)

2

+10 y −14 z 7

∂2f ; ∂y∂z

∂3f ∂z 2 ∂x

в)

10

18 ⎛ 3 10 7 4 ⎞ dx ∫ ∫ ⎜⎝ 7x + e y +1 + x ⎟⎠dy −7 14

∫∫ (− 7 sin( x

2

)

+ 14) + 3 10 + 14 y 2 dxdy

D

если D: 17 ≤ х ≤ 24 ; 4 ≤ у ≤ 69 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: 1 x 2

y = 7e ,

y = 7 x − 7, x = −1, если плотность ρ( x, y ) = 10 x − 2 sin y

6) Вычислить двумя способами:

x = 1,

∫∫ (10 + 4x + 10 ⋅ sin y )dxdy D

если D: y = 0,

y = − x + 20,

y=

40 2 x+ 3 3

Вариант 24 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка f ( x, y, z ) = arccos

(

6y + z − 4 x − 18 + x 6 + 24 10

)

2

6 y 4 2) Для функции f ( x, y, z ) = cos( 4 x + 6 ⋅ 3 − 24 z )

∂3f Вычислить: а) 3 ; ∂z

3) Вычислить: 4) Вычислить:

∂3f в) 2 ∂z ∂x

∂2f б) ; ∂y∂z

6

14 6 ⎞ ⎛ 3 dx ∫ ∫ ⎜⎝ 4 sin( x ) + e y +1 ⎟⎠dy −4 8

∫∫ (− 4e

4

x +8

)

+ 3 6 + 4 y 2 dxdy

D

если D: 10 ≤ х ≤ 14 ; 2 ≤ у ≤ 28 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: 1

x

y = 4e 2 ,

y = cos 6 x − 4, x = −1, x = 1, 2 если плотность ρ( x, y ) = 6 x − 2 sin y 6) Вычислить двумя способами: ∫∫ (6 + 4 x + 6 ⋅ sin y )dxdy D

если D: y = 0,

y = − x + 12,

y=

1 x+6 2

25

Вариант 25 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка f ( x, y, z ) = arcsin

7y + z − 6 x − 21 + x 7 + 6 y 10

y 6 2) Для функции f ( x, y, z ) = lg( 7 ⋅ 3 − 42 z x )

Вычислить: а) 3) Вычислить:

∂3f ; ∂z 3

б)

∂2f ; ∂y∂z

∂3f ∂z 2 ∂x

в)

7

15 7 ⎞ ⎛ 3 dx ∫ ∫ ⎜⎝ 6 cos( x ) + 6 y +1 ⎟⎠dy −6 12

4) Вычислить: ∫∫ (− 6e

6

x + 12

)

+ cos(x 6 + 7) dxdy

D

если D: 13 ≤ х ≤ 19 ; 5 ≤ у ≤ 50 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: x

⎛2⎞ y = 6⋅⎜ ⎟ , ⎝3⎠

y = −2 ⋅ x 2 − x − 7

x = −2,

x =0,

если плотность ρ( x, y ) = 7 x 2 − 2 sin y 6)Вычислить двумя способами: ∫∫ (7 + 4 x + 7 ⋅ sin y )dxdy D

если D: y = 0,

y = − x + 14,

y=

5 70 x+ 9 9

Вариант 26 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка f ( x, y, z ) = arcsin

10 x + z − 5z − 30 + x 10 + 5 y 15

2) Для функции f ( x, y, z ) = lg( 10 ⋅ 4 Вычислить: а) 3) Вычислить: 4) Вычислить:

∂3f ; ∂z 3

б)

∂2f ; ∂x∂z

x+y

− 50 z 5 )

в)

∂3f ∂z 2 ∂y

10

18 10 y ⎞ ⎛ 3 dx ∫ ∫ ⎜⎝ 5 cos( x ) + 5 y +1 ⎟⎠dy −5 10

∫∫

3

sin10x + 3 x + y dxdy

D

если D: 15 ≤ х ≤ 20 ; 0 ≤ у ≤ 45 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной линиями: 5 x−5 x = −1, 6 если плотность ρ( x, y ) = 10 x 2 − 2 sin y 6)Вычислить двумя способами: ∫∫ (10 + 4 x + 10 ⋅ sin y )dxdy y = sin 2x + sin 6 x,

y = −2 ⋅ x 2 −

D

если D: y = 0,

y = − x + 20,

y=

2 40 x+ 3 3

26

x = 1,

Вариант 27 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка 2 8x + z 1 f ( x, y, z ) = arcsin − 7 3 x + 8 + 7y 15 x 2) Для функции f ( x, y, z ) = sin( 8 ⋅ e Вычислить: а) 3) Вычислить: 4) Вычислить:

∂ f ; ∂z 3 3

б)

∂ f ; ∂x∂z 2

x +y

− 56 z )

∂3f ∂z 2 ∂y

в)

8

16 8y ⎞ ⎛ 2 dx ∫ ∫ ⎜⎝ 7 cos(( x + y ) ) + 7 y +1 ⎟⎠dy −7 14

∫∫

3

sin 8x + 3 x + y dxdy

D

если D: 15 ≤ х ≤ 22 ; 6 ≤ у ≤ 65 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной 7 y = 3 ⋅ x2 − x − 4 6 2 если плотность ρ( x, y ) = 8 x − 2 sin y

линиями y = sin 2x − sin 6x − 8,

6)Вычислить двумя способами:

x = 0,

x = 1,5 ,

∫∫ (8 + 14 x + 8 ⋅ sin y )dxdy D

если D: y = 0,

7 y = − x + 56, 2

y=

7 56 x+ 30 15

Вариант 28 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка 2 7x + y 1 − 2 2 x + 7 + 2x f ( x, y, z ) = arcsin 9 x x+y − ln z ) 2) Для функции f ( x, y, z ) = sin( 7 ⋅ e ∂3f ∂3f ∂2f ; б) ; в) ∂x∂z ∂z 3 ∂z 2 ∂z 7 15 7y ⎞ ⎛ 3) Вычислить: ∫ dx ∫ ⎜ 2 sin( y + x 2 ) + y +1 ⎟dy 2 ⎠ −2 4⎝

Вычислить: а)

4) Вычислить:

∫∫ 3 sin 7y

2

+ ln xdxdy

D

если D: 9 ≤ х ≤ 11 ; -3 ≤ у ≤ 18 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной y = (ln x) 2 + 8x x = 0, линиями y = sin 2x − sin 6x − 7, если плотность ρ( x, y ) = 7 x − 2 sin y 6)Вычислить двумя способами: ∫∫ (7 + 4 x + 7 ⋅ sin y )dxdy D

если D: y = 0,

y = − x + 14,

y=

5 70 x+ 9 9

27

x = 1,

Вариант 29 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка 2 x f ( x, y, z ) = arccos − 3 3 x + 3 y + 9z 12 x 2) Для функции f ( x, y, z ) = sin( 9 y ⋅ e − cos 3 z ) ∂3f Вычислить: а) 3 ; ∂y

3) Вычислить: 4) Вычислить:

9

17

−3

6

∂3f в) 2 ∂z ∂x

∂2f б) ; ∂y∂z

⎛

∫ dx ∫ ⎜⎝ 3 cos( x + x

2

)+

9y ⎞ ⎟dy 3 y +1 ⎠

∫∫ 3 sin 9y + ln xdxdy D

если D: 12 ≤ х ≤ 15 ; -3 ≤ у ≤ 27 . 5) Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной y = 3 x + 8x x = 0,5, x = 2, линиями y = sin 2x − sin 6x − 5, если плотность ρ( x, y ) = 9 x 2 − 2 sin y 6)Вычислить двумя способами: ∫∫ (9 + 6 x + 9 ⋅ sin y )dxdy D

3 y = − x + 27, 2

если D: y = 0,

y=

3 27 x+ 4 2

Вариант 30 1) Вычислить полный дифференциал первого порядка 2 x f ( x, y, z ) = ln − 6 6 x + 6 y 2 + 8z 14 x Для функции f ( x, y, z ) = sin( 8 y ⋅ e − ln 6 z ) Вычислить: а) Вычислить: Вычислить:

∂3f ; ∂y 3

б)

∂2f ; ∂y∂z

в)

∂3f ∂y 2 ∂x

8

16 8y ⎞ ⎛ x+ x2 dx ∫ ∫ ⎜⎝ 6 ⋅ e + 6 y +1 ⎟⎠dy −6 12

∫∫ 3 cos 8y + ln(6x + x

2

)dxdy

D

если D: 14 ≤ х ≤ 20 ; 4 ≤ у ≤ 52 . Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной y = 8 x + 6x 2 x = 1, линиями y = sin 6x + sin 8x − 5, 2 если плотность ρ( x, y ) = 9 x − 2 sin y 6)Вычислить двумя способами: ∫∫ (8 + 12x + 8 ⋅ sin y )dxdy D

если D: y = 0,

y = −3 x + 48,

y=

3 48 x+ 7 7

28

x = 2,

29

Вариант 1 m := 3

p := 6

( (

))

(

1 z⋅ x ⎞ 2⋅m+ p⋅x m 3 −e + ln z + p ⋅ m ⋅ y ⎤⎥ → sin ⎛⎜ ⋅ z ⋅ x⎞ − exp( 6 + 6 ⋅ x) + ln z + 18 ⋅ y ⎣ ⎝ m+ p⎠ ⎦ ⎝9 ⎠

1 ) f ( x, y , z) := ⎡⎢sin ⎛⎜

)

⎛ d f ( x, y , z) ⎞ ⋅ dx + ⎛ d f ( x, y , z) ⎞ ⋅ dy + ⎛ d f ( x, y , z) ⎞ ⋅ dz ⎜ ⎜ ⎝ dx ⎠ ⎝ dy ⎠ ⎝ dz ⎠

df ( x, y , z, dx, dy , dz) := ⎜ df ( x, y , z, dx, dy , dz) →

(

2

2)

d

2 ⎡1 18 1 z ⎛ 1 ⋅ cos ⎛ 1 ⋅ z ⋅ x⎞ ⋅ z − 6 ⋅ exp( 6 + 6 ⋅ x) ⎞ ⋅ dx + ⋅ dy + ⎢ ⋅ cos ⎛⎜ ⋅ z ⋅ x⎞ ⋅ x + 3 ⋅ ⎜ ⎜ 3 ⎢9 3 ⎝9 ⎝9 ⎠ ⎠ ⎝9 ⎠ z + 18 ⋅ y z + 18 ⋅ y ⎣

g ( x, y , z) :=

3 3

g ( x, y , z) →

dx

−3 2

z + sin ( m ⋅ x + y + p ⋅ z) 2 ⋅ (m + p) ⋅ z ⋅

→

1 18

⋅

)

(

)

⎤ ⎥ ⋅ dz ⎥ ⎦

(z2 + sin(3 ⋅ x + y + 6 ⋅ z)) z

cos ( 3 ⋅ x + y + 6 ⋅ z) z −sin ( 3 ⋅ x + y + 6 ⋅ z) 1 cos ( 3 ⋅ x + y + 6 ⋅ z) d ⎛d ⎞ − ⋅ ⎜ g ( x, y , z) → z 6 2 dx⎝ dz ⎠ z

2 −1 cos ( 3 ⋅ x + y + 6 ⋅ z) 1 sin ( 3 ⋅ x + y + 6 ⋅ z) d d ⋅ + ⋅ g ( x, y , z) → 2 dz 3 z 2 18 dy z 3) 4) x1 := −p + m p 6 ff3( x, y ) := p + m ⋅ x + sin ( p ⋅ y ) → 6 + 3 ⋅ x + sin ( 6 ⋅ y ) x1 = −3

(

)

−p = −6

m= 3

⎮ ⌡

−p

⎮ ⌡

2⋅p

y1 := −m + 2 ⋅ p

x2 = 15

y1 = 9

y2 := 2 ⋅ m + p y2 = 42

2

2p = 12

1

m =9 f4( x, y ) := ( −2 ⋅ sin ( x + 2 ⋅ p ) − m + p ⋅ y ) → −2 ⋅ sin ( x + 12) − ( 3 + 6 ⋅ y )

2

m m ⌠ ⌠

x2 := 2 ⋅ p + m

5

ff3( x, y ) dy dx = −3.629 × 10

⌠ ⎮ ⌡

x2

x1

⌠ ⎮ ⌡

y2

3

f4( x, y ) dy dx = −7.243 × 10

y1

30

2

5)

Вариант 1

f5( x) := p ⋅ sin ( x ⋅ 3) → 6 ⋅ sin ( 3 ⋅ x) g5( x) := ( p ⋅ x − m) → 6 ⋅ x − 3 ff5( x, y ) := ( exp( m ⋅ x − 1 ⋅ p ⋅ y ) ) → exp( 3 ⋅ x − 6 ⋅ y )

x1 := 0 ⌠ mm := ⎮ ⌡

20

x1

14 f5( x)

8

g5( x)

4

0

1

2

x2

⌠ mx := ⎮ ⌡

2 1

x2

3

x1

⌠ ⎮ ⌡

ff5( x, y ) dy dx

f5( x)

⌠ ⎮ ⌡

x2 := 0.5

g5( x) 5

mm = −3.316 × 10

g5( x)

ff5( x, y ) ⋅ x dy dx

4

mx = −1.005 × 10

f5( x)

10

⌠ my := ⎮ ⌡

x

x2

x1

x5 := 6)

f6( x) := ⎛⎜

−p

⎝ 2

mx

y5 :=

mm

⎠

g6( x)

g6( x) → ⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡

6 4 2 1098 76 543 21 012 34 567 8910 2 x

ff5( x, y ) ⋅ y dy dx

5

my = 8.793 × 10

f5( x)

x5 = 0.03 g6( x) :=

f6( x) → −3 ⋅ x + 18

f6( x)

g5( x)

my mm

⋅ x + p ⋅ m⎞ → −3 ⋅ x + 18

8

⌠ ⎮ ⌡

6

0

⌠ ⎮ ⌡

3 5 3 5

⋅ x+ ⋅ x+

18 5

y5 = −2.652 →

3 5

⋅ x+

18 y1 := 0

5

18 ff6( x, y ) := m + 2 ⋅ p ⋅ x + m ⋅ sin ( y )

5

⎛ 18−y ⎞ ⎜⌠ 3 ⎜⎮ ⎟ ff6( x, y ) dx dy = 721.676 ⎮ ⎜⎮ ⎟ ⎜ ⌡5⋅y −18 3 ⎝ ⎠ 4

⌠ ⎮ ⌡

g6( x)

−6 0

6

f6( x)

4

y1

⌠ ⌠ ff6( x, y ) dy dx + ⎮ ⎮ ⌡ ⌡

ff6( x, y ) dy dx = 721.676

31