Анализ статистических данных в пакете Mathcad: Учебное пособие

Ф Е Д Е Р АЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О Б Р АЗО В АН И Ю В О Р О Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

Анализстатистич ескихданны х впакете Mathcad П осо би е (спе ци а л ь ность 010501 (010200) — П ри кл а дна я м а те м а ти ка и и нф о рм а ти ка )

В ороне ж 2006

У тве рж де но на учно-м е то ди че ски м сове том ф а кул ь те та П М М , про токол № 5 от 25.01.05

Соста ви те л и : Ра дче нко Т .А. Дыл е вски й А.В . П особи е по дго товл е но на ка ф е дре те хни че ской ки бе рне ти ки и а втом а ти че ско го ре гул и рова ни я ф а кул ь те та при кл а дно й м а те м а ти ки , и нф о рм а ти ки и м е ха ни ки В о ро не ж ского госуда рстве нного уни ве рси те та . Ре ко м е ндуе тся дл я студе нтов 3 курса д/о и 4 курса в/о ф а кул ь те та П М М .

3

С одержание В ве де ни е Ча сть I. Mathcad Ари ф м е ти че ски е вычи сл е ни я И спол ь зова ни е ф орм ул в Mathcad Ра бо та с ве ктора м и и м а три ца м и П остро е ни е гра ф и ко в в сре де Mathcad Чте ни е и за пи сь да нных Ча сть II. Ла бора то рные ра боты Зна ком ство с Mathcad № 1. Ра сче т выборочных ха ра кте ри сти к № 2. Т оче чна я о це нка па ра м е тров ра спре де л е ни я № 3. До ве ри те л ь ный и нте рва л № 4. Кри те ри и согл а си я № 5. Ко рре л яци о нный и ре гре сси о нный а на л и з П ри л о ж е ни е Не ко торые встрое нные ф ункци и Mathcad П ре до пре де л е нные пе ре м е нные Ли те ра тура

3 3 4 5 6 8 9 10 10 11 12 13 14 15 16 16 20 21

В ведение Ц е л ь ю да нного л а бора то рно го пра кти кум а явл яе тся ф орм и рова ни е на выков ре ш е ни я основных за да ч м а те м а ти че ской ста ти сти ки на ко м пь ю те ре . Ла бо ра торные ра боты выпол няю тся с при вл е че ни е м м а те м а ти че ско го па ке та Mathcad. Дл я того чтобы выпол нять л а бора торные ра бо ты, не о бходи м о позна ко м и ть ся с те о ри е й ре ш е ни я соо тве тствую щ е й за да чи [1], освои ть м е тоди ку е е ре ш е ни я на пра кти ке [2] и и м е ть на выки ра бо ты на П К в О С Windows. М и ни м а л ь ные све де ни я о па ке те Mathcad, не обхо ди м ые дл я выпол не ни я л а бо ра торных ра бот, со де рж а тся в пе рво й ча сти на стоящ е го по соби я. В тора я ча сть по со би я соде рж и т о пи са ни я л а бо ра то рных ра бот по м а те м а ти че ской ста ти сти ке , кото рые вкл ю ча ю т: • це л ь ра боты; • за да ни я дл я пре два ри те л ь ной подгото вки ; • порядок выпо л не ни я ра боты; • со де рж а ни е и то гово го докум е нта ; • ко нтро л ь ные во про сы. Часть I. Mathcad В посл е дни е го ды дл я прове де ни я ра зл и чно го ро да ра сче то в на ком пь ю те ре все ча щ е и спол ь зую тся не тра ди ци онные языки програ м м и рова ни я, а спе ци а л ь ные м а те м а ти че ски е па ке ты Maple, Mathematica, Matlab, Mathcad, Gauss и др. М а те м а ти че ски е па ке ты, в особе нно сти Mathcad — са м ый по-

4

пул ярный па ке т и з выш е пе ре чи сл е нного спи ска , позво л яю т спе ци а л и ста м в ко нкре тно й пре дм е тно й обл а сти , не вда ва ясь в то нко сти програ м м и ро ва ни я, ре а л и зова ть м а те м а ти че ски е м о де л и . О тм е ти м ко нкре тные пре и м ущ е ства па ке та Mathcad: • м а те м а ти че ски е выра ж е ни я в сре де Mathcad за пи сыва ю тся в и х общ е при нятом ви де . Т е кстовый про це ссор па ке та по звол яе т оф орм и ть , на при м е р, на учную ста ть ю , не при бе га я к спе ци а л и зи ро ва нным сре дства м (те ксто вые проце ссо ры Word, LaTeX и др.). Кро м е того, па ке т Mathcad — это по л но це нно е Windows-при л ож е ни е , по этом у ClipBoard (Б уф е р О бм е но в) позво л яе т пе ре не сти ф ра гм е нты Mathcad-докум е нта в Word-докум е нт и при не обходи м о сти до оф орм и ть и х; • в сре де Mathcad про це сс созда ни я програ м м ы и де т па ра л л е л ь но с о тл а дко й; • в па ке т Mathcad и нте гри рова н довол ь но м ощ ный м а те м а ти че ски й а ппа ра т, позво л яю щ и й ре ш а ть м а те м а ти че ски е за да чи бе звызова вне ш ни х про це дур. В от не пол ный пе ре че нь вычи сл и те л ь ных и нструм е нтов, доступных в сре де Mathcad: 1) ре ш е ни е а л ге бра и че ски х ура вне ни й и си сте м (л и не йных и не л и не йных); 2) ре ш е ни е си сте м о быкно ве нных ди ф ф е ре нци а л ь ных ура вне ни й (за да ча Ко ш и и кра е ва я за да ча ); 3) ре ш е ни е ди ф ф е ре нци а л ь ных ура вне ни й в ча стных прои зво дных; 4) ра бота с ве кто ра м и и м а три ца м и (л и не йна я а л ге бра и др.); 5) по и ск м а кси м ум ов и м и ни м ум о в ф ункци о на л ь ных за ви си м осте й; 6) ста ти сти че ска я о бра бо тка да нных; • па ке т Mathcad допол не н спра вочни ком по о сновным м а те м а ти че ски м и ф и зи ко-хи м и че ски м ф орм ул а м и конста нта м , кото рые м о ж но а втом а ти че ски пе ре но си ть в докум е нт; • в па ке т Mathcad и нте гри рова ны сре дства си м во л ь но й м а те м а ти ки , что да е т во зм ож но сть ре ш а ть м а те м а ти че ски е за да чи не то л ь ко чи сл е нно, но и а на л и ти че ски ; • си сте м а Mathcad о борудо ва на сре дства м и а ни м а ци и , что позво л яе т ре а л и зовыва ть со зда нные м о де л и не то л ь ко в ста ти ке (чи сл а , та бл и цы), но и в ди на м и ке (а ни м а ци онные кл и пы). Ка к ви дно и з при ве де нно й выш е ха ра кте ри сти ки , па ке т Mathcad о бл а да е т бо л ь ш и м и возм о ж но стям и дл я ре ш е ни я са м ых ра зноо бра зных за да ч. В на стоящ е м по соби и па ке т Mathcad буде т ра ссм о тре н при м е ни те л ь но к кл а ссу за да ч, связа нном у со ста ти сти че ской обра бо тко й да нных. Арифм етич еские вы ч исления Д л я вы чис л ен ия зн а чен ий а риф м ет ичес ких вы ра ж ен ий в ра бо че м пол е Mathcad сл е дуе т с по м о щ ь ю кл а ви а туры и л и , на ж а в на пи ктогра м м у ка л ь кул ятора в м а те м а ти че ском м е ню Mathcad (см . ри с. 1), на бра ть выра ж е ни е , за ве рш а ю щ е е ся зна ко м “=”.

5

П р и м е р. 3 1 − + 0.2 ⋅ 4 = 1.2 5

Ри с. 1. О кно докум е нта Mathcad 1 — па не л ь и нструм е нтов; 2 — кнопки ф орм а ти рова ни я те кста ; 3 — м а те м а ти че ское м е ню ; 4 — выбра нные па не л и м а те м а ти че ского м е ню .

И спользование форм у л вMathcad Д л я н а б ора ф орм ул в Mathcad м о ж но и спо л ь зова ть чи сл а , пе ре м е нные , ф ункци и , ка к ста нда ртные (встрое нные ), та к и опре де л яе м ые пол ь зова те л е м , а та кж е ра зл и чные м а те м а ти че ски е опе ра то ры (сл ож е ни я, вычи та ни я, ум но ж е ни я, де л е ни я, возве де ни я в сте пе нь , и нте гри ро ва ни я, ди ф ф е ре нци рова ни я и т.д.). На бор ф о рм ул м о ж но о сущ е ствл ять та кж е с пом ощ ь ю па не л и м а те м а ти че ско го м е ню Mathcad (см . ри с. 1). Зам еч ание. И м е на встро е нных ф ункци й не чувстви те л ь ны к ш ри ф ту, но чувстви те л ь ны к ре ги стру (ве рхне м у, ни ж не м у) — и х сл е дуе т пе ча та ть в точности , ка к они при ве де ны в на сто ящ е м по со би и и л и до кум е нта ци и по Mathcad.

6

Д л я определ ен ия перем ен н ой сл е дуе т по сл е ука за ни я е е и м е ни вве сти зна к при сво е ни я “:=” (на ж а в кл а ви ш у “:”), по сл е ко торого вводи тся а л ге бра и че ско е (и л и л оги че ское ) выра ж е ни е , все о пе ра нды кото ро го дол ж ны быть о пре де л е ны. Зам е ти м , что зна к “:=” де йствуе т по пол ю Mathcad пра ве е и ни ж е ука за нного выра ж е ни я. Е сл и вм е сто зна ка “:=” вво ди ть “ ≡ ” (кл а ви ш а “~”, а та кж е см . м е ню на ри с. 1), то е го де йстви е ра спро стра няе тся по все м у пол ю до кум е нта не за ви си м о о т м е сто пол ож е ни я ра ссм а три ва е м ого выра ж е ни я. Т о е сть зна к “ ≡ ” опре де л яе т, в о тл и чи е о т “:=”, пе ре м е нную гл оба л ь но. Зам еч ание. Есл и в до кум е нте и м е е тся не скол ь ко о пре де л е ни й, то , по ум о л ча ни ю , в Mathcad при м е няю тся сл е дую щ и е пра ви л а : е сл и пе ре м е нна я и спол ь зуе тся в пра во й ча сти гл оба л ь но го о пре де л е ни я, то она дол ж на быть о пре де л е на гл оба л ь но выш е не го; и зне скол ь ки х гл о ба л ь ных опре де л е ни й одной пе ре м е нной (и л и ф ункци и ) де йствуе т о пре де л е ни е , сто ящ е е бл и ж е к концу докум е нта . П р и м е р. x+y x + 2⋅y x:=1 y:=4 z:= v := 10 10 z=0.5 v=0.9 Д л я определ ен ия ф ун кции одного и л и не ско л ь ки х пе ре м е нных тре буе тся за да ть и м я ф ункци и , ука за в в кругл ых ско бка х че ре зза пятую и м е на е е а ргум е нтов, и пра ве е зна ка “:=” (и л и “ ≡ ”) вве сти соо тве тствую щ е е ф ункци и а ри ф м е ти че ско е (и л и л оги че ско е ) выра ж е ни е . П ри этом опе ра нды выра ж е ни я, явл яю щ и е ся а ргум е нта м и ф ункци и , м огут пре два ри те л ь но не опре де л ять ся. П осл е опре де л е ни я ф ункци и е е м о ж но и спо л ь зо ва ть в выра ж е ни и ка к ста нда ртную (встрое нную ) ф ункци ю Mathcad. О со бо отм е ти м , что к м ом е нту вычи сл е ни я по ф орм ул е все пе ре м е нные в это й ф орм ул е дол ж ны быть опре де л е ны. П р и м е р. f(x, y):= sin(x) + x 2 − 2 ⋅ y ⋅ cos(x + y) опре де л е ни е ф ункци и f(x,y) g(x):= cos(x 2 + 1) − f(4, x) и спол ь зова ни е ф ункци и f(x,y) в вычи сл е ни ях Работа с векторам и и м атриц ам и Дл я вво да м а три цы (и л и ве кто ра ) тре буе тся проде л а ть сл е дую щ ую по сл е дова те л ь ность опе ра ци й: 1) Зада е м и м я м а три цы и вводи м зна к при сва и ва ни я. На при м е р, дл я за да ни я м а три цы “A” пи ш е м “A:”. П о л уча е м “A:=”. 2) В па не л и м а те м а ти че ского м е ню Mathcad на ж и м а е м на кнопку с и зобра ж е ни е м м а три цы. П о сл е этого на экра не ди спл е я во зни ка е т окно ра бо ты с м а три ца м и . В это м о кне два по л я и че тыре кно пки . 3) В пе рво м пол е сл е дуе т ука за ть чи сл о стол бцо в со зда ва е м о й м а три цы, а во вто ро м — чи сл о строк (по ум о л ча ни ю в эти х пол ях за пи са ны тро йки — счи та е тся, что ква дра тна я м а три ца по рядка 3 са м а я ра спростра не нна я).

7

4) Дл я созда ни я м а три цы щ е л ка е м по кнопке OK (Созда ть ). Две оста л ь ные кнопки Insert (В ста ви ть ) и Delete (У да л и ть ) пре дна зна че ны дл я и зм е не ни я ра зм е ров ра не е созда нных м а три ц: за да нно е в пол ях чи сл о сто л бцов и л и (и ) строк вста вл яе тся (уда л яе тся) пра ве е и ни ж е отм е че нного курсором эл е м е нта уж е созда нной м а три цы. Кно пка Cansel (О тм е на ) отм е няе т вста вку м а три цы. 5) П осл е щ е л чка по кнопке OK спра ва от выра ж е ни я появл яе тся на бор ва ка нтных м е ст дл я ввода и нф орм а ци и , о бра м л е нный ско бка м и . Запол не ни е м ва ка нси й за ве рш а е тся ф о рм и ро ва ни е м а три цы. Ф орм и ро ва ни е ве ктора осущ е ствл яе тся а на л о ги чно. Сл е дуе т отм е ти ть второй ва ри а нт ф орм и ро ва ни я м а три ц и ве кто ро в бе зо бра щ е ни я к окну ра бо ты с м а три ца м и , а че ре зпе ре м е нные с и нде кса м и , на при м е р, A i, j , B i . И нде кс к и м е ни пе ре м е нной при пе ча тыва е тся на ж а ти е м л и бо на кнопку X n на па не л и м а те м а ти че ски х и нструм е нтов, л и бо на кл а ви ш у “[” (о ткрыва ю щ а яся ква дра тна я скобка ). Зам еч ание. Но м е р пе рвого эл е м е нта ве кторов и м а три ц хра ни т пе ре м е нна я ORIGIN. Э та пе ре м е нна я пре допре де л е нна я (си сте м на я): е сл и пол ь зова те л ь не за да е т е е зна че ни е , то по ум ол ча ни ю ORIGIN=0. И зм е ни ть зна че ни е си сте м ной пе ре м е нной ORIGIN м о ж но л и бо в пункте м е ню Math (по дпункт Built-in Variables (В строе нные пе ре м е нные )), л и бо че ре зком а нду при сва и ва ни я в пол е до кум е нта Mathcad. О пе ра ци и с м а три ца м и и ве ктора м и о сущ е ствл яю тся по те м ж е пра ви л а м , что и дл я а ри ф м е ти че ски х выра ж е ни й (см . П ри л о ж е ни е ). П р и м е р 1. ORIGIN:=1 о пре де л яе м ном е р пе рво го эл е м е нта  1 1  A:=  ф о рм и руе м м а три цу A 5 3  

 138   B:=  540   −1 X:= A ⋅ B  63  X =    75 

 0 A ⋅ X − B =    0

ф о рм и руе м м а три цу B ре ш а е м м а три чно е ура вне ни е AX=B вывод ре ш е ни я прове рка

П р и м е р 2. ORIGIN:=0 A 0,0 := 1 A 0,1 := 1 A 1,0 := 5 A 1,1 := 3

о пре де л яе м но м е р пе рво го эл е м е нта ф орм и руе м м а три цу A

B 0 := 138 B1:= 540 X := lsole(A,B) X 0 = 63 X1 = 75

ф орм и руе м м а три цу B ре ш а е м м а три чное ура вне ни е AX=B выво д ре ш е ни я

8

A 0,0 X 0 + A 0,1 X 1 − B 0 = 0 A 1,0 X 0 + A 1,1 X 1 − B1 = 0

про ве рка

П остроение графиковвсреде Mathcad В па ке те Mathcad со де рж и тся бо л ь ш ое ко л и че ство ти по в гра ф и ков, и спо л ь зуе м ых дл я ви зуа л ь но го о тобра ж е ни я ра зл и чных за ви си м осте й. В да нном м е тоди че ско м по соби и буде т ра ссм отре н л и ш ь двум е рный де ка ртов гра ф и к (X-Y Plot), и л л ю стри рую щ и й связь м е ж ду двум я (одна кри ва я на гра ф и ке ) и л и не ско л ь ки м и (две и л и бо л е е кри вых) ве ктора м и . Д вум ерн ы й дека рт ов гра ф ик строи тся в три эта па : 1) Зада е тся ви д ф ункци й о дно й пе ре м е нной. 2) Ф орм и руе тся ве ктор зна че ни й а ргум е нта . 3) Не посре дстве нное по стро е ни е гра ф и ка : a) ри со ва ни е на экра не ди спл е я за го товки гра ф и ка — прям о угол ь ни ка с че рным и ква дра ти ка м и у л е во й и пра вой сто ро н; за го товка гра ф и ка появл яе тся в о тм е че нном курсо ре м е сте по сл е того , ка к пол ь зова те л ь на ж м е т на одну и зкно по к м а те м а ти че ско го м е ню « Гра ф и ки »; b) за по л не ни е пол ь зова те л е м двух че рных ква дра ти ков за го товки гра ф и ка и м е не м ф ункци и и и м е не м а ргум е нта . В сл уча е , е сл и ф ункци й бо л ь ш е одной, то и х и м е на вводятся че ре зза пятую . В за гото вке е сть и други е че рные ква дра ти ки , опре де л яю щ и е пре де л ы и зм е не ни й зна че ни й а ргум е нта и ф ункци й. Э ти ква дра ти ки м ож но не за пол нять — сре да Mathcad по ум ол ча ни ю за пол ни т и х са м а . Гра ф и к по явл яе тся на ди спл е е по сл е вывода курсо ра и з зо ны гра ф и ка (а вто м а ти че ски й ре ж и м ра сче то в) и л и посл е на ж а ти я кл а ви ш и F9 (ручной ре ж и м ра сче тов). П а ра м е тры гра ф и ка (на при м е р, то л щ и на и ти п л и ни й, ви д осе й и гра ф и ка и т.п.) за да ю тся ста нда ртным и по ум о л ча ни ю ; c) е сл и па ра м е тры гра ф и ка , уста но вл е нные по ум о л ча ни ю , пол ь зова те л я не устра и ва ю т и он хо че т и х и зм е ни ть , то сл е дуе т дво йным щ е л чком л е вой кл а ви ш и м ыш и , когда ука за те л ь м ыш и на хо ди тся в по л е гра ф и ка , вызва ть соо тве тствую щ е е м е ню и про и зве сти не обхо ди м ые и зм е не ни я. Д л я за да н ия диа па зон а изм ен ен ия перем ен н ой сл е дуе т руководство ва ть ся сл е дую щ и м пра ви л о м : x := x 1 , x 2 .. x n . Зде сь x 1 — пе рвое зна че ни е , x 2 — второ е зна че ни е и x n — по сл е дне е зна че ни е . Т а ки м обра зом , ш а г и зм е не ни я от x 1 до x n буде т x 2 - x 1 . Е сл и ж е и спол ь зуе тся за пи сь x := x 1 .. x n , то ш а г и зм е не ни я пе ре м е нной x буде т по ум ол ча ни ю ра ве н 1. Дл я вво да “..” сл е дуе т на ж а ть кл а ви ш у “;” и л и во спол ь зова ть ся м а те м а ти че ско й па не л ь ю м е ню .

9

П р и м е р 1. i :=0 .. 10 j :=-15,-14 .. 12 x :=2,2.5 .. 7

i при ни м а е т зна че ни я о т 0 до 10 с ш а гом 1 j при ни м а е т зна че ни я о т -15 до 12 с ш а гом 1 x при ни м а е т зна че ни я о т 2 до 7 с ш а гом 0,5.

П р и м е р 2. a :=1 b :=2 c :=20 − c ⋅ (a + b) ⋅ sin(2 ⋅ α ) x(α ) := − 2⋅a c ⋅ [a - cos(α ) 2 ⋅ (a + b)] y(α ) := −a c ⋅ cos(α ) z(α ) := (a + b) ⋅ a α := 0.5 ⋅ deg .. 360 ⋅ deg

(deg — по ум ол ча ни ю о ди н угл о во й гра дус).

Чтение и запись данны х Mathcad чи та е т и за пи сыва е т ф а йл ы да нных — ф а йл ы ASCII, соде рж а щ и е чи сл овые да нные . Чи та я ф а йл ы да нных, м ож но бра ть да нные и зра зл и чных и сточни ков и а на л и зи ро ва ть и х в Mathcad. Запи сыва я ф а йл ы да нных, м о ж но экспорти ро ва ть ре зул ь та ты Mathcad в те кстовые проце ссоры, эл е ктро нные та бл и цы и други е при кл а дные про гра м м ы. Mathcad вкл ю ча е т на бор ф ункци й дл я чте ни я и за пи си да нных: READPRN, WRITEPRN и APPENDPRN счи тыва ю т це л ую м а три цу и зф а йл а со строка м и и сто л бца м и да нных и л и за пи сыва ю т в ви де та кого ф а йл а м а три цу и зMathcad. Чт ен ие да н н ы х прои зводи тся с пом ощ ь ю ко м а нды READPRN. П роце дура READPRN(file) осущ е ствл яе т при сва и ва ни е м а три це зна че ни й и зструктури рова нного ф а йл а с и м е не м file (структури рова нные ф а йл ы и м е ю т ра сш и ре ни е prn). Ст рукт урирова н н ы е ф а йл ы соде рж а т чи сл а , ра зм е щ е нные в ви де прям оугол ь но й м а три цы (т.е . по стро ка м и стол бца м ) и ра зде л е нные про бе л а м и и л и за пятым и . П ри этом ра зм е р м а три цы уста на вл и ва е тся в со отве тстви и с объе м о м ф а йл а . Копи ро ва ни е да нных и з ф а йл а про и зводи тся постро чно. Ка ж дой строке м а три цы соо тве тствуе т строка ф а йл а . П р и м е р. A:= READPRN("c:\Mathcad\qsheet\zscore.prn") Д л я за пис и да н н ы х в ф а йл сл е дуе т воспо л ь зо ва ть ся ф ункци е й WRITEPRN. Ф ункци я WRITEPRN(file) выво ди т м а три цу в структури рова нный ф а йл file.prn. П р и м е р 1. ORIGIN :=1 i :=1 .. 10 x i :=i! WRITEPRN("d:\ user \ file1.prn") := x

10

П р и м е р 2. ORIGIN :=1 file2 := "d:\ user \ file2.prn" i :=1 .. 10 j :=1 .. 8 Yi, j := sin(i − j) WRITEPRN(file2.prn) := Y Д л я доб а вл ен ия да н н ы х к с ущес т вую щем у ф а йл у н а дис ке и спо л ь зуе тся ф ункци я APPENDPRN. Ф ункци я APPENDPRN(file) до ба вл яе т м а три цу к сущ е ствую щ е м у на ди ске структури рова нно м у ф а йл у file.prn. Сл е дуе т о собо о тм е ти ть , что чи сл о стол бцо в в м а три це дол ж но быть ра вно чи сл у стол бцо в в ф а йл е . П ри м е р. k :=0.8 Z k := k+2 APPENDPRN(file2) := ZT Часть II. Л абораторны е работы Знаком ство с Mathcad Ц ель работы . И зучи ть возм ож ности ра боты в сре де Mathcad по пре дл о ж е нном у ни ж е пл а ну, по дкре пл яя и зуче ни е выпол не ни е м соо тве тствую щ и х за да ни й. П одготовка к работе. И зучи ть возм ож ности Mathcad (Ча сть I). П оря док вы полнения работы 1. И спол ь зо ва ни е Mathcad ка к ка л ь кул ято ра (Ча сть I, стр. 4). П рои зве сти ра зл и чные а ри ф м е ти че ски е де йстви я. 2. Ра сче ты по ф о рм ул а м в сре де Mathcad (Ча сть I, стр. 5–6). В ыпо л ни ть ра сче ты по ф орм ул а м (выбо р ф орм ул по сво е м у усм о тре ни ю ). 3. В е кто ры и м а три цы (Ча сть I, стр. 6–8). Зада ть не скол ь ко ве кто ро в про и звол ь ной ра зм е рно сти (двум я способа м и ) и про и зве сти с ни м и ра зл и чные опе ра ци и , за да ть м а три цы (двум я спосо ба м и ), пре о бра зова ть ве кто р в м а три цу, про и зве сти с м а три ца м и ра зл и чные о пе ра ци и (выбор опе ра ци й по свое м у усм о тре ни ю ). 4. П о стро е ни е гра ф и ков (Ча сть I, стр. 8–9). П остро и ть гра ф и к л ю бо й ф ункци и , и зм е ни ть па ра м е тры гра ф и ка , на не сти на оди н гра ф и к две кри вые . 5. Чте ни е да нных и зф а йл а и за пи сь в ф а йл (Ча сть I, стр. 9–10). П озна ком и ть ся с соде рж а ни е м ф а йл о в tab1, tab2, tab3. П рочи та ть ф а йл да нных, соо тве тствую щ и х В а ш е м у ва ри а нту, пре о бра зова ть ве ктор да нных в м а три цу, пре дста ви ть да нные в ви де гра ф и ка . Запи са ть ф а йл , при свои в е м у и м я = ф а м и л и я а вто ра .

11

С одержание итогового доку м ента. Ф а йл с и м е не м а втора . Со де рж а ни е ф а йл а : ве ктор, м а три ца и гра ф и к да нных В а ш е го ва ри а нта . Л абораторная работа № 1 Р асч етвы бороч ны ххарактеристик Ц ель работы . Зна ком ство с основным и выборочным и ха ра кте ри сти ка м и и и х ра сче т. П одготовка к работе. 1. П о зна ком и ть ся с о сновным и по няти ям и выбо ро чной те о ри и : выборка , ва ри а ци онный ряд, выбо ро чные м о м е нты, выборочна я м е ди а на , по л и гон ча стот, ги стогра м м а , эм пи ри че ска я ф ункци я ра спре де л е ни я ([1], стр. 119–127). 2. И зучи ть м е то ды ра сче та выбо ро чных ха ра кте ри сти к по группи ро ва нным и не группи рова нным да нным ([2]). 3. В ыпи са ть соо тве тствую щ и е ф о рм ул ы. П оря док вы полнения работы 1. П о дго товка да нных. 1.1. Счи та ть ф а йл да нных, соо тве тствую щ и х В а ш е м у ва ри а нту. 1.2. У по рядо чи ть зна че ни я в порядке во зра ста ни я. 2. Ра сче т выбо ро чных ха ра кте ри сти к. C по м о щ ь ю ста нда ртных ф ункци й, со де рж а щ и хся в Mathcad, пол учи ть min и max зна че ни я выборки , выборочное сре дне е , выбо ро чную ди спе рси ю , сре дне ква дра ти че ское о ткл оне ни е , выбо ро чную м е ди а ну. 3. Ра сче т ги стогра м м ы. Дл я по строе ни я ги сто гра м м в си сте м е Mathcad и спо л ь зуе тся ф ункци я hist(int, X) (см . cтр. 18). Э та ф ункци я ф орм и руе т ве кто р v i ра зм е рно сть ю r, который о пре де л яе т кол и че ство по па да ни й v i эл е м е нтов выборки r X = (X1 ,X 2 ,K,X n ) в м а сси в и нте рва л ов int ра зм е рно сть ю r+1, т.е . v i — кол и r че ство зна че ни й выбо рки X , удовл е творяю щ и х усл ови ю

int i < X k < int i +1 ,

k = 1, n , i = 0, r − 1.

М а сси в int о пре де л яе т на бо р точе к, явл яю щ и хся гра ни ца м и подынте рва л ов группи ро вки в ги стогра м м е . Mathcad и гнори руе т да нные , м е нь ш и е , че м пе рво е зна че ни е в int, и л и бо л ь ш и е , че м по сл е дне е зна че ни е в int. 3.1. В ыпол ни ть ра сче т ги сто гра м м ы с пом ощ ь ю ста нда ртно й проце дуры в Mathcad, построи ть гра ф и ки ги стогра м м ы и пол и гон ча стот. 3.2. В ыпол ни ть ра сче т выборочного сре дне го и выборочной ди спе рси и по группи ро ва нным да нным (и спо л ь зо ва ть группи рова нные да нные , по л уче нные при ра сче те ги сто гра м м ы) и сра вни ть и х со зна че ни ям и выборочных ха ра кте ри сти к, пол уче нным и в п.2. 4. Ра сче т эм пи ри че ско й ф ункци и ра спре де л е ни я. В ыпо л ни ть ра сче т эм пи ри че ско й ф ункци и ра спре де л е ни я дл я группи рова нных да нных (и спо л ь зо ва ть ре зул ь та ты, пол уче нные при ра сче те ги стогра м м ы) и не группи рова нных да нных, по строи ть гра ф и ки эти х ф ункци й.

12

5. На о снова ни и ви да ги стогра м м ы выдви нуть ги по те зу о при на дл е ж но сти да нных к ге не ра л ь но й сово купно сти с о дни м и з за конов ра спре де л е ни я: но рм а л ь ным , экспоне нци а л ь ным , ре л е е вски м . С одержание итогового доку м ента. Зна че ни я выбо ро чных ха ра кте ри сти к, гра ф и ки ги стогра м м ы, по л и гона ча сто т, эм пи ри че ской ф ункци и ра спре де л е ни я дл я группи рова нных и не группи ро ва нных да нных. К онтрольны е вопросы 1. Да йте опре де л е ни е ге не ра л ь ной совокупно сти и выборки . 2. Что та кое ре пре зе нта ти вность выбо рки и ка к е е обе спе чи ть ? 3. Что та кое ва ри а ци о нный ряд? 4. Да йте опре де л е ни е выборочного сре дне го , выбо ро чно й ди спе рси и . Ка к они соотносятся с м а те м а ти че ски м ож и да ни е м и ди спе рси е й ге не ра л ь ной со вокупно сти ? 5. Что та ко е ги сто гра м м а ? Я вл яе тся л и она оце нко й пл о тности ра спре де л е ни я? Ка ки е пре два ри те л ь ные выводы о за ко не ра спре де л е ни я ге не ра л ь но й сово купности м ож но сде л а ть на о снове ги сто гра м м ы? 6. Что та кое эм пи ри че ска я ф ункци я ра спре де л е ни я? Ка к она со отно си тся с ф ункци е й ра спре де л е ни я ге не ра л ь но й сово купно сти ? 7. Ка к за ви сят выборочные ха ра кте ри сти ки и эм пи ри че ска я ф ункци я ра спре де л е ни я от о бъе м а выбо рки ? Л абораторная работа № 2 Т оч еч ная оц енка парам етровраспределения Ц ель работы . Дл я пре дпо л а га е м ого за кона ра спре де л е ни я пол учи ть зна че ни я точе чных о це но к па ра м е тров. П одготовка к работе. И зучи ть сво йства и м е то ды на хож де ни я точе чных оце но к па ра м е тро в ра спре де л е ни я ([1], [2]). П рои зве сти оце нку па ра м е тров ра спре де л е ни я: но рм а л ь но го, экспоне нци а л ь но го, ре л е е вско го, и спо л ь зуя и зве стные В а м м е тоды то че чного оце ни ва ни я ([1], стр. 148–153), и за пи са ть со отве тствую щ и е ф орм ул ы. Запи са ть ф ункци ю пра вдопо до би я и ф ункци ю ра спре де л е ни я дл я на зва нных за коно в ра спре де л е ни я. П оря док вы полнения работы 1. Ра сче т оце нок па ра м е тро в. И спол ь зуя выбо ро чные да нные , ра ссчи та ть зна че ни я оце нки па ра м е тров пре дпол а га е м о го за ко на ра спре де л е ни я. 2. О це нка па ра м е тров по ф ункци и пра вдопо до би я. Ра ссчи та ть за ви си м ость ф ункци и пра вдо по доби я о т оце ни ва е м ого па ра м е тра , и спо л ь зуя выборочные да нные . П остро и ть гра ф и к это й за ви си м о сти при ра зл и чных о бъе м а х выборки . На йти зна че ни е па ра м е тра , обе спе чи ва ю щ е е м а кси м ум ф ункци и пра вдоподо би я. Со поста ви ть это зна че ни е со зна че ни е м , на йде нным в п.1. 3. Ра сче т пл о тно сти ве роятно сте й и ф ункци и ра спре де л е ни я.

13

Ра ссчи та ть те о ре ти че ски е пл о тности ве ро ятносте й и ф ункци и ра спре де л е ни я пре дпол а га е м о го за ко на ра спре де л е ни я со зна че ни ям и па ра м е тро в, ра вным и зна че ни ям о це но к, пол уче нных в п.1. 4. О це нка пл о тности ве ро ятносте й. П ол учи ть о це нку пл отно сти ве ро ятносте й путе м со отве тствую щ е й но рм и ро вки ги стогра м м ы. 5. П о стро е ни е гра ф и ков. П остро и ть гра ф и ки : те о ре ти че ско й (п.3) и эм пи ри че ско й (Л.р. № 1) ф ункци и ра спре де л е ни я; те о ре ти че ско й (п.3) пл о тности ве роятности и е е оце нки (п.4). Зам еч ание. П ри по строе ни и на одном гра ф и ке те оре ти че ски х и эм пи ри че ски х за ви си м осте й сл е дуе т обе спе чи ть о ди на ковую ра зм е рность а ргум е нтов. К онтрольны е вопросы 1. Да йте опре де л е ни е точе чно й о це нки па ра м е тро в ра спре де л е ни я. 2. Да йте о пре де л е ни е не см е щ е нности точе чных о це но к па ра м е тров. П ри ве ди те при м е ры не см е щ е нных и см е щ е нныхо це но к. 3. Да йте опре де л е ни е эф ф е кти вности то че чной о це нки па ра м е тров. Ка к на йти эф ф е кти вную оце нку и е е ди спе рси ю , и спол ь зуя кри те ри й Ра о -Кра м е ра ? П ри ве ди те при м е ры эф ф е кти вных о це нок. 4. Ка к за ви си т ди спе рси я эф ф е кти вно й оце нки , на йде нной по кри те ри ю Ра оКра м е ра о т объе м а выборки ? 5. Да йте о пре де л е ни е состояте л ь ности оце нки . Сф о рм ул и руйте усл ови я, при ко торых оце нка буде т состо яте л ь ной. П ри ве ди те при м е ры со сто яте л ь ных о це нок па ра м е тро в. 6. Что та кое ф ункци я пра вдопо до би я? Запи ш и те ф ункци ю пра вдо подоби я дл я па ра м е тров ра спре де л е ни й: норм а л ь ного , экспоне нци а л ь но го, ре л е е вско го, ра вном е рно го . 7. В че м за кл ю ча е тся м е тод м а кси м а л ь но го пра вдопо до би я оце нки па ра м е тро в? Ка ко вы сво йства оце но к, по л уче нных эти м м е тодом ? 8. В че м за кл ю ча е тся м е то д м ом е нтов о це нки па ра м е тров? Что м ож но ска за ть о свойства х оце нок, по л уче нных эти м м е тодом ? Л абораторная работа № 3 Д оверительны й интервал Ц ель работы . О пре де л е ни е до ве ри те л ь но го и нте рва л а дл я па ра м е тро в ра спре де л е ни я. П одготовка к работе. П о л учи ть ра сче тные ф орм ул ы гра ни ц дове ри те л ь ного и нте рва л а дл я па ра м е тров ра спре де л е ни й: a) норм а л ь но го, b) экспо не нци а л ь ного, c) Ре л е я, d) ра вном е рного (дл я ра спре де л е ни й b) – d) — гра ни цы а си м птоти че ски х дове ри те л ь ных и нте рва л о в). П оря док вы полнения работы 1. Ра сче т гра ни ц дове ри те л ь ных и нте рва л о в.

14

Ра ссчи та ть зна че ни я гра ни ц дове ри те л ь ных и нте рва л ов дл я па ра м е тров пре дпол а га е м о го за кона ра спре де л е ни я при до ве ри те л ь ных ве роятно стях 0,9 и 0,99. 2. Ра сче т гра ни ц пл отно сте й ве роятно сте й и ф ункци й ра спре де л е ни я. Ра ссчи та ть те о ре ти че ски е пл о тности ве роятносте й и ф ункци и ра спре де л е ни й со зна че ни ям и па ра м е тров, ра вным и гра ни ца м до ве ри те л ь но го и нте рва л а при γ =0,9 и 0,99. 3. П о стро е ни е гра ф и ков. П остро и ть гра ф и ки : a) ф ункци и ра спре де л е ни я (эм пи ри че ской (Л.р. № 1) и те оре ти че ской со зна че ни ям и , ра вным и гра ни ца м до ве ри те л ь но го и нте рва л а (п.2)); b) пл отно сти ве роятно сте й (эм пи ри че ской (Л.р. № 2) и те оре ти че ско й со зна че ни ям и , ра вным и гра ни ца м до ве ри те л ь но го и нте рва л а ). Зам еч ание. 1) М ож но по строи ть на одном гра ф и ке те о ре ти че ски е кри вые с па ра м е тра м и , соо тве тствую щ и м и ра зным дове ри те л ь ным и нте рва л а м . 2) П ри построе ни и на одном гра ф и ке те о ре ти че ски х и эм пи ри че ски х кри вых не о бходи м о о бе спе чи ть оди на ковую ра зм е рно сть а ргум е нто в. С одержание итогового доку м ента. Зна че ни я гра ни ц до ве ри те л ь но го и нте рва л а и гра ф и ки пл отно сте й ве роятносте й (те оре ти че ско й и эм пи ри че ско й) и ф ункци й ра спре де л е ни я (те оре ти че ской и эм пи ри че ской). К онтрольны е вопросы 1. Что та кое дове ри те л ь ный и нте рва л и дове ри те л ь на я ве роятно сть ? Запи ш и те гра ни цы дове ри те л ь ных и нте рва л о в дл я па ра м е тров норм а л ь но й ге не ра л ь ной совокупно сти . 2. Что та кое а си м пто ти че ски й до ве ри те л ь ный и нте рва л ? Запи ш и те гра ни цы а си м пто ти че ски х до ве ри те л ь ных и нте рва л ов дл я па ра м е тро в ра спре де л е ни й экспо не нци а л ь ного, ре л е е вско го. 3. Ка к за ви си т ш и ри на до ве ри те л ь но го и нте рва л а о т до ве ри те л ь ной ве роятности и объе м а выбо рки ? Л абораторная работа № 4 К ритерии согласия Ц ель работы . П рове рка ги поте зы о за коне ра спре де л е ни я. П одготовка к работе. П озна ко м и ть ся с ре ш е ни е м за да чи ста ти сти че ской про ве рки ги поте зы о ви де ф ункци и ра спре де л е ни я. И зучи ть на и бол е е ра спростра не нные кри те ри и согл а си я ([1], стр. 183–187). П оря док вы полнения работы 1. Кри те ри й со гл а си я χ 2 -П и рсона . 1.1. Ра ссчи та ть зна че ни е ста ти сти ки дл я кри те ри я χ 2 -П и рсона (м о ж но во спол ь зова ть ся да нным и , пол уче нным и при ра сче те ги сто гра м м ы). 1.2. О пре де л и ть при уро внях зна чи м ости 0,1, 0,05, 0,01 кри ти че ски е зна че ни я (по та бл и ца м и л и с пом ощ ь ю ф ункци и , обра тной ф ункци и ра спре де л е ни я χ 2 -П и рсона ). Сра вни ть эти зна че ни я м е ж ду со бой.

15

1.3. Сра вни ть зна че ни е ста ти сти ки , пол уче нно й в п.1.1, с кри ти че ски м и зна че ни ям и и зп.1.2 и сде л а ть вывод о спра ве дл и вости выдви нутой ги поте зы о за ко не ра спре де л е ни я. 2. Кри те ри й Кол м о горова . 2.1. Ра ссчи та ть зна че ни е ста ти сти ки дл я кри те ри я Ко л м ого ро ва (воспол ь зова ть ся по л уче нным и ра не е зна че ни ям и эм пи ри че ско й и те о ре ти че ской (Л.р. № 2) ф ункци ям и ра спре де л е ни я). 2.2. О пре де л и ть при уро внях зна чи м ости 0,1, 0,05, 0,01 кри ти че ски е зна че ни я (по та бл и ца м ра спре де л е ни я Ко л м огоро ва ). 2.3. Сра вни ть зна че ни е ста ти сти ки , пол уче нно й в п.2.1, с кри ти че ски м и зна че ни ям и и зп.2.2 и сде л а ть вывод о спра ве дл и вости выдви нутой ги поте зы о за ко не ра спре де л е ни я. 2.4. Е сл и выводы, сде л а нные в п.1.3. и в п.2.3, не совпа да ю т, то объясни те пол уче нный ре зул ь та т. С одержание итогового доку м ента. Дл я ка ж дого кри те ри я пре дста ви ть зна че ни е ста ти сти ки и кри ти че ски е зна че ни я. Закл ю че ни е о за коне ра спре де л е ни я ге не ра л ь ной со вокупности . К онтрольны е вопросы 1. Сф орм ул и руйте за да чу прове рки ги поте зы о ви де ф ункци и ра спре де л е ни я и о бщ ую м е тоди ку е е ре ш е ни я. 2. В че м за кл ю ча е тся кри те ри й согл а си я Ко л м ого ро ва ? В че м е го досто и нства и не до ста тки ? 3. В че м за кл ю ча е тся кри те ри й П и рсона ? В че м е го до стои нства и не доста тки ? 4. Ка ко й кри те ри й пре дпо чти те л ь не е и спол ь зова ть при ре ш е ни и В а ш е й за да чи ? Л абораторная работа № 5 К орреля ц ионны й и регрессионны й анализ Ц ель работы . П озна ко м и ть ся с м е то да м и оце нки коэф ф и ци е нта корре л яци и и про ве рки е го зна чи м ости . На учи ть ся строи ть простую л и не йную ф ункци ю ре гре сси и и прогнози ро ва ть зна че ни е вре м е нно го ряда . П одготовка к работе. П о зна ком и ть ся с м е то да м и о це нки коэф ф и ци е нта ко рре л яци и м е ж ду двум я сл уча йным и ве л и чи на м и по и х выборочным зна че ни ям и за да че й прове рки ги по те зы о зна чи м ости ко эф ф и ци е нта корре л яци и . П озна ком и ть ся с м е тода м и построе ни я л и не йной ф ункци и ре гре сси и , о це нки е е па ра м е тров и построе ни я дове ри те л ь ной обл а сти . П оря док вы полнения работы 1. Корре л яци онный а на л и з. 1.1.Счи та ть м а три цу выборочных зна че ни й двух сл уча йных ве л и чи н Х и У (пе рва я строка выбо ро чные зна че ни я Х , втора я – выбо ро чные зна че ни я У ). 1.2. Ра ссчи та ть зна че ни е оце нки коэф ф и ци е нта корре л яци и П и рсона ρ∗.

16

1.3. Ра ссчи та ть зна че ни я ста ти сти ки T =

ρ∗ n − 2 ∗2

, не о бходи м о й дл я при ня-

1− ρ ти я ре ш е ни я [1, стр.198], и опре де л и ть при уровнях зна чи м о сти 0,1, 0,05, 0,01 кри ти че ски е зна че ни я (с пом ощ ь ю ф ункци и . обра тной ф ункци и ра спре де л е ни я χ 2 -П и рсо на ). Сра вни ть Т и эти зна че ни я м е ж ду со бо й, сде л а ть вывод о на л и чи и ко рре л яци о нной связи . 2. Ли не йна я ф ункци я ре гре сси и . 2.1. На йти о це нки па ра м е тров л и не йно й ре гре сси и с пом ощ ь ю ста нда ртных ф ункци й intersept(x,y) и slope(x,y). 2.2. П острои ть гра ф и к за ви си м ости у(х). На этом ж е гра ф и ке пре дста ви ть за ви си м о сть выборочных зна че ни й уi в за ви си м ости о т хi. 2.3. Ра ссчи та ть до ве ри те л ь ный и нте рва л дл я па ра м е тро в л и не йной ре гре сси и . 2.4. Ра ссчи та ть дове ри те л ь ный и нте рва л дл я ди спе рси и . 2.5. П о строи ть на о дно м гра ф и ке ф ункци ю ре гре сси и и до ве ри те л ь ную о бл а сть дл я этой ф ункци и . С одержание итогового доку м ента. Зна че ни е коэф ф и ци е нта корре л яци и и обосно ва нный вывод о е го зна чи м о сти . Гра ф и к ф ункци и ре гре сси и с до ве ри те л ь ной обл а сть ю и выбо ро чным и зна че ни ям и . К онтрольны е вопросы 1. Ка к выгл яди т ф орм ул а дл я оце нки ко эф ф и ци е нта корре л яци и ? 2. Сф орм ул и руйте за да чу про ве рки ги поте зы о зна чи м ости коэф ф и ци е нта ко рре л яци и . Ка ка я ста ти сти ка и спол ь зуе тся дл я про ве рки это й ги поте зы. Ка ково ра спре де л е ни е этой ста ти сти ки при спра ве дл и вости о сновно й ги поте зы. Че м у ра вно кри ти че ское зна че ни е ? 3. Запи ш и те ф о рм ул ы дл я про стой л и не йной ре гре сси и и оце но к е е па ра м е тро в. 4. Что та кое дове ри те л ь ный и нте рва л и до ве ри те л ь на я о бл а сть ?

П РИ Л О Ж Е Н И Е Н екоторы е встроенны е фу нкц ии Mathcad О бознач ения : x и y — ве щ е стве нные чи сл а ; z — ве щ е стве нно е л и бо ко м пл е ксно е чи сл о; m, n, i, j, k — це л ые чи сл а ; v и все и м е на , на чи на ю щ и е ся с v – ве кторы; A и B — м а три цы л и бо ве кторы; M — ква дра тна я м а три ца . Э лем ентарны е фу нкц ии sin(z) — си нус cos(z) — коси нус

asin(z) — а ркси нус acos(z) — а рккоси нус

17

tan(z) — та нге нс cot(z) — кота нге нс ln(z) — на тура л ь ный л ога ри ф м

atan(z) — а ркта нге нс exp(z) — экспо не нта log(z) — де сяти чный л ога ри ф м

Д ру гие фу нкц ии Re(z) — де йстви те л ь на я ча сть ком пл е ксного чи сл а z. Im(z) — м ни м а я ча сть ком пл е ксно го чи сл а z. arg(z) — а ргум е нт ком пл е ксно го чи сл а z (в ра ди а на х). δ ( x, y) — си м вол Кро не ке ра (1, е сл и x=y, и 0, е сл и x ≠ y; x и y — це л о чи сл е нные ве л и чи ны. Φ ( x ) — ф ункци я Х е ви са йда (1, е сл и x ≥ 0, и 0 в проти вно м сл уча е ). ceil(x) — на и м е нь ш е е це л ое , не пре выш а ю щ е е x. floor(x) — на и бол ь ш е е це л ое чи сл о , м е нь ш е е и л и ра вно е x. mod(x, modulus) — о ста то к о т де л е ни я x по м одул ю . Аргум е нты дол ж ны быть де йстви те л ь ным и . Ре зул ь та т и м е е т та кой ж е зна к, ка к и x. if(cond, x, y) — x, е сл и cond бол ь ш е 0, и на че y. until(выра ж 1, выра ж 2) — выра ж 1, по ка выра ж 2 о три ца те л ь ное . Ф у нкц ии для м атриц и векторов augment(A, B) — при со е ди не ни е м а три цы B к м а три це A спра ва ; обе м а три цы до л ж ны и м е ть о ди на ко во е чи сл о строк. cols(A) — чи сл о сто л бцов в м а три це A. csort(A, n) — сорти ро вка м а три цы A по сто л бцу n (пе ре ста новка стро к по во зра ста ни ю зна че ни й эл е м е нтов в стол бце n). submatrix(A, ir, jr, ic, jc) — выде л е ни е и зм а три цы A субм а три цы, состо ящ е й и з эл е м е нтов, соде рж а щ и хся в строка х с ir по jr и в стол бца х с ic по jc. Дл я сохра не ни я по рядка стро к и стол бцов не обхо ди м о, что бы ir ≤ jr, ic ≤ jc. diag(v) — ди а гона л ь на я м а три ца , эл е м е нты гл а вной ди а гона л и ко торой – ве ктор v. identity(n) — е ди ни чна я ква дра тна я м а три ца ра зм е ром n. last(v) — и нде кс посл е дне го эл е м е нта ве ктора v. lenght(v) — чи сл о эл е м е нтов в ве кто ре v. matrix(m, n, f) — м а три ца , в кото ро й (i, j)-й эл е м е нт соде рж и т f(i, j), где i= 0, m и j= 0, n . max(A) — на и бо л ь ш и й эл е м е нт м а три цы A. mean(v) — сре дне е зна че ни е ве ктора v. median(v) — м е ди а на . min(A) — на и м е нь ш и й эл е м е нт м а три цы A. norme(M) — е вкл и дова но рм а м а три цы M. rank(A) — ра нг м а три цы A. reverse(v) — пе ре ве рнутый ве ктор v. rows(A) — чи сл о строк в м а три це A. rsort(A, n) — со рти ровка м а три цы A по стро ке n (пе ре ста новка сто л бцов по во зра ста ни ю зна че ни й эл е м е нтов в строке n).

18

sort(v) — со рти ровка ве ктора v по убыва ни ю . stack(A, B) — ф орм и рова ни е м а три цы путе м ра спол ож е ни я A на д B. М а три цы A и B до л ж ны и м е ть оди на ко во е чи сл о стол бцо в. stdev(v) — сре дне ква дра ти че ское о ткл оне ни е эл е м е нтов ве кто ра v. tr(M) — сл е д м а три цы M (сум м а эл е м е нтов, ра спол о ж е нных на гл а вно й ди а гона л и ква дра тной м а три цы M). var(v) — ва ри а ци я эл е м е нто в ве ктора v. hist(intervals, data) — ги сто гра м м а . В е кто р intervals за да е т гра ни цы и нте рва л ов в порядке во зра ста ни я; data — м а сси в да нных. В о звра щ а е т ве ктор, соде рж а щ и й чи сл о точе к и зdata, попа вш и х в со отве тствую щ и й и нте рва л . Л инейная регрессия и прогноз corr(vx, vy) — ко эф ф и ци е нт ко рре л яци и двух ве кто ров — vx и vy. cvar(X, Y) — ко ва ри а ци я X и Y. intercept(vx, vy) — коэф ф и ци е нт л и не йно й ре гре сси и y=a+bx ве кто ро в vx и vy. predict(v, m, n) — про гноз. В е ктор, со де рж а щ и й ра вноо тстоящ и е пре дска за нные зна че ни я n пе ре м е нных, вычи сл е нных по m за да нным в м а сси ве v да нным . slope(vx, vy) — коэф ф и ци е нт л и не йно й ре гре сси и y=a+bx ве кто ро в vx и vy. Р еш ение у равнений и систем lsolve(M, v) — ре ш е ни е си сте м ы л и не йных а л ге бра и че ски х ура вне ни й ви да Mx=v. Minerr( x1 , x 2 ,K, x n ) — ве ктор зна че ни й дл я x1 , x 2 ,K, x n , ко торые при во дят к м и ни м а л ь ной ош и бке в си сте м е ура вне ни й. root(expr, var) — зна че ни е пе ре м е нной var, при ко торой выра ж е ни е expr ра вно нул ю (в пре де л а х то чности TOL). polyroots(v) — корни м но гочл е на сте пе ни n, ко эф ф и ци е нты ко торого на ходятся в ве кторе v дл и ны n+1. О сновны е законы распределения Ф ункци и , и м е на которых на чи на ю тся с “d”, вычи сл яю т пл отно сть ве ро ятности (и л и ве ро ятность дл я ди скре тных ве л и чи н), с “p” — ф ункци и ра спре де л е ни я, с “q” — ква нти л и и с “r” — ге не ри рую т ве кто р m сл уча йных чи се л с со отве тствую щ и м за коно м ра спре де л е ни я. dbeta(x, s1 , s 2 ), pbeta(x, s1 , s 2 ), qbeta(p, s1 , s 2 ), rbeta(m, s1 , s 2 ) — β -ра спре де л е ни е Γ (s1 + s 2 ) s1 −1 f(x) = x (1 − x) s2 −1 , 0 < x < 1, s1 , s 2 > 0. Γ(s1 )Γ (s 2 ) dbinom(k, n, p), pbinom(k, n, p), qbinom(p, n, q), rbinom(m, n, p) — би ном а и л ь но е ра спре де л е ни е k k n −k P(k) = C n p (1 − p) , 0 ≤ k ≤ n, 0 ≤ p ≤ 1. dcauchy(x, l, s), pcauchy(x, l, s), qcauchy(p, l, s), rcauchy(m, l, s) — ра спре де л е ни е Кош и

19

f(x) =

1 , − ∞ < x < ∞ , s > 0. 2 πs(1 + ((x − l) s) )

2 dchisq(x, n), pchisq(x, n), qchisq(p, n), rchisq(m, n) — χ -ра спре де л е ни е n/2 −1

exp(− x/2) x f(x) =   , x > 0, n > 0. 2Γ(n/2)  2 dexp(x, r), pexp(x, r), qexp(p, r), rexp(m, r) — экспоне нци а л ь но е ра спре де л е ни е f(x) = re − rx , x > 0, r > 0. dF(x, n 1 , n 2 ), pF(x, n 1 , n 2 ), qF(p, n 1 , n 2 ), rF(m, n 1 , n 2 ) — ра спре де л е ни е Ф и ш е ра n 2 n 2 (n − 2) 2 Γ ((n 1 + n 2 ) 2 ) n 1 1 n 2 2 x 1 f(x) = , x > 0, n i > 0. (n + n ) 2 Γ (n 1 2) Γ (n 2 2)(n 2 + n 1 x) 1 2 dgamma(x, s), pgamma(x, s), qgamma(p, s), rgamma(m, s) — γ -ра спре де л е ни е x s −1 e − x f(x) = , x ≥ 0, s > 0. Γ (s) dgeom(k, p), pgeom(k, p), qgeom(p, q), rgeom(m, q) — ге о м е три че ское ра спре де л е ни е P (k ) = p (1 − p) k , 0 < p < 1. dlnorm(x, µ , σ ), plnorm(x, µ , σ ), qlnorm(p, µ , σ ), rlnorm(m, µ , σ ) — л огнорм а л ь ное (л о га ри ф м и че ски но рм а л ь ное ) ра спре де л е ни е 2 2 1 f(x) = e − (ln(x)− µ ) ( 2σ ) , x > 0, σ > 0. 2π σ x dlogis(x, l, s), plogis(x, l, s), qlogis(p, l, s), rlogis(m, l, s) — л о ги сти че ское ра спре де л е ни е e − (x − l) s f(x) = , − ∞ < x < ∞, s > 0. s(1 + e − (x − l) s ) 2 dnbinom(k, n, p), pnbinom(k, n, p), qnbinom(p, n, q), rnbinom(m, n, q) — отри ца те л ь ное би но м и а л ь ное ра спре де л е ни е n + k −1 n P(k) = C k p (1 − p) k , 0 < p ≤ 1, n > 0, k ≥ 0. dnorm(x, µ , σ ), pnorm(x, µ , σ ), qnorm(p, µ , σ ), rnorm(m, µ , σ ) — но рм а л ь ное ра спре де л е ни е (x − µ ) 2

− 1 2 f(x) = e 2σ , − ∞ < x < ∞, σ > 0. 2π σ λ λ dpois(k, ), ppois(k, ), qpois(p, λ ), rpois(m, λ ) — ра спре де л е ни е П уа ссона k −λ λ e P(k) = , λ > 0, k ≥ 0. k! dt(x, n), pt(x, n), qt(p, n), rt(m, n) — ра спре де л е ни е Сть ю де нта

20 − (n +1) 2

+ 1) 2)  x 2  1 +  f(x) = , − ∞ < x < ∞, n > 0. dunif(x, a, b), punif(x, a, b), n  Γ ( n 2) πn  qunif(p, a, b), runif(m, a, b) — ра вно м е рное ра спре де л е ни е 1 f(x) = , a ≤ x ≤ b, a < b. b−a dweibull(x, s), pweibull(x, s), qweibull(p, s), rweibull(m, s) — ра спре де л е ни е В е йбул л а s f(x) = sx s−1e − x , x > 0, s > 0. Γ((n

Д ру гие фу нкц ии cnorm(x) — и нте гра л ве ро ятности x 2 1 Φ (x) = e −t 2 d t . ∫ 2π −∞ erf(x) — ф ункци я о ш и бо к x 2 1 erf(x) = e −t d t . ∫ 2π − ∞ Γ (z) — га м м а -ф ункци я. rnd(x) — псе вдо сл уча йное ра вном е рно ра спре де л е нное чи сл о в ди а па зоне о т нул я до x. П РЕ Д О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Е П Е Р Е М Е Н Н Ы Е Ни ж е при ве де ны пре до пре де л е нные пе ре м е нные Mathcad с и х зна че ни ям и по ум ол ча ни ю . Чи сл о π . В чи сл е нных ра сче та х Mathcad и спол ь зуе т зна че ни е π =3.14159… π с уче том 15 зна ча щ и хци ф р. Чтобы на пе ча та ть π , на ж м и те e=2.71828…

∞ %=0.01 TOL=10 −3 ORIGIN=0 PRNCOLWIDTH=8 PRNPRECISION=4

[Ctrl][Shift]P О снова ни е на тура л ь ных л ога ри ф м ов. В чи сл е нных ра сче та х Mathcad и спол ь зуе т зна че ни е с уче том 15 зна ча щ и х ци ф р Б е сконе чность . В чи сл е нных ра сче та х это за да нное бол ь ш ое 307 чи сл о (10 ). Чтобы на пе ча та ть ∞ , на ж м и те [Ctrl][Shift]Z П роце нт. И спол ь зуйте е го в выра ж е ни ях, подобных 10 ⋅ % Допуска е м а я погре ш ность дл я ра зл и чных а л гори тм ов а ппрокси м а ци и (и нте гри рова ни я, ре ш е ни я ура вне ни й и т.д.) На ча л о м а сси ва . О пре де л яе т и нде кс пе рвого эл е м е нта м а сси ва Ш и ри на стол бца , и спол ь зуе м а я при за пи си ф а йл ов ф ункци е й WRITEPRN Чи сл о зна ча щ и х ци ф р, и спол ь зуе м ых при за пи си ф а йл ов ф ункци е й WRITEPRN

21

Л И Т Е Р АТ У Р А 1. Ра дче нко Т . А. Т е о ри я ве роятносте й и м а те м а ти че ска я ста ти сти ка / Т . А. Ра дче нко, Ю . С. Ра дче нко. – В о роне ж : И зд-во В о ро не ж . ун-та , 1998. — 240 с. 2. М е то ди че ски е ука за ни я к пра кти че ски м за няти ям по курсу « Т е ори я ве роятно сте й и м а те м а ти че ска я ста ти сти ка » / cост. Б . Н. В о ро нко в [и др.]; В ороне ж . го с. ун-т. — В о ро не ж , 1997. — 32 с. 3. П л и с А. И . Mathcad: м а те м а ти че ски й пра кти кум дл я эко ном и стов и и нж е не ров / А. И. П л и с, Н. А. Сл и ви на . — М . : Ф и на нсы и ста ти сти ка , 1999. — 600 с. 4. Mathcad 6.0 Plus. Ф и на нсовые , и нж е не рные и на учные ра сче ты в сре де Windows 95. — М . : И нф о рм .-и зда т. до м « Ф и л и нъ», 1996. — 712 с. 5. Дь яко нов В . П . Спра во чни к по Mathcad PLUS 6.0 PRO. — М . : СК П ре сс, 1997. — 336 с.

22

Дл я за м е ток

23

Соста ви те л и : Ра дче нко Т а ть яна Антони новна , Дыл е вски й Ал е кса ндр В яче сл а во ви ч Ре да кто р Т и хом и рова О . А.