Теория функций комплексного переменного: Методические рекомендации для студентов IV курса математического факультета

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра математического анализа

Теория функций комплексного переменного Методические рекомендации для студентов IV курса математического факультета

Екатеринбург 2007

1

Данные методические рекомендации студентам (МРС) являются составной частью учебно–методического комплекса (УМК) по дисциплине «Теория функций комплексного переменного» и призваны оказать помощь студентам в самостоятельной работе по изучению теоретического материала, выполнению индивидуальных заданий. В него включены: программа курса, тематические планы лекций и практических занятий, материалы для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ, а также вопросы и задачи к экзамену. Составители: Жаворонков В.Д., Ткаленко Н.В.

2

Содержание Программа курса

4

Лекции

5

Практические занятия

6

Материалы для практических занятий и домашних заданий

7

Материалы к экзамену

12

Вопросы к экзамену

12

Задачи к экзамену

14

Литература

16

Приложение

17

3

Программа курса 1. Поле комплексных чисел. Последовательности и их пределы. Ряды комплексных чисел. Функции комплексного переменного. Понятие комплексного числа, формы представления комплексного числа. Поле комплексных чисел. Последовательности и их пределы, свойства сходящихся последовательностей. Ряды комплексных чисел. Условия сходимости числовых рядов, обобщения теорем сравнения. 2. Предел функции комплексного переменного, непрерывность функции комплексного переменного. Понятие предела комплекснозначной функции комплексного переменного, свойства пределов. Понятие непрерывности функции комплексного переменного, свойства непрерывных функций. 3. Дифференцирование функции комплексного переменного. Понятие аналитической функции. Производная функции комплексного переменного и ее свойства. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Теорема Коши–Римана–Даламбера–Эйлера. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Степенные ряды в поле комплексных чисел. 4. Элементарные функции комплексного переменного и их свойства. Линейные и дробно–линейные функции комплексного переменного. Круговое свойство. Элементарные функции комплексного переменного. 5. Интегрирование функции комплексного переменного. Теорема Коши. Определение интеграла функции комплексного переменного, его свойства. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. Неравенство Коши. Теоремы Морера, Вейерштрасса, Лиувилля, основная теорема высшей алгебры. Теорема единственности. 6. Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты и их приложения. Ряд Лорана. Кольцо сходимости. Теорема Лорана. Изолированные особые точки, их классификация. Теорема Сохоцкого. Вычеты, методы их нахождения. Основная теорема о вычетах. Приложения теории вычетов.

4

Лекции [1,4-6] 1. Поле комплексных чисел. Последовательности и их пределы. Ряды комплексных чисел. 2. Предел функции комплексного переменного, непрерывность функции комплексного переменного. 3. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Теорема КРЭДА. 4. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Степенные ряды в поле комплексных чисел. 5. Линейные и дробно–линейные функции комплексного переменного. Круговое свойство. 6. Элементарные функции комплексного переменного. 7. Определение интеграла функции комплексного переменного, его свойства. 8. Интегральная теорема Коши. 9. Интегральная формула Коши. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. 10. Неравенство Коши. Теоремы Морера, Вейерштрасса, Лиувилля, основная теорема высшей алгебры. 11. Теорема единственности. Ряд Лорана. 12. Изолированные особые точки, их классификация. Теорема Сохоцкого. Вычеты, методы их нахождения. Основная теорема о вычетах.Приложения теории вычетов.

5

Практические занятия [2-4] 1. Поле комплексных чисел. Предел последовательности. 2. Ряды комплексных чисел. 3. Условия дифференцируемости. 4. Конформные отображения. 5. Степенные ряды. 6. Круговое свойство дробно–линейных функций. Элементарные функции и их свойства. 7. Контрольная работа 1. 8. Вычисление интегралов функций комплексного переменного. 9. Ряд Тейлора. 10. Ряд Лорана. 11. Вычисление вычетов. 12. Контрольная работа 2.

6

Материалы для практических занятий и домашних заданий [2-4] Занятие 1. Поле комплексных чисел. Цель занятия: отработать умения, связанные с переводом комплексного числа из одной формы в другую, выполнением действий над комплексными числами и изображением их на комплексной плоскости. Задачи: 1) Записать в тригонометрической форме, изобразить на комплексной плоскости данные числа и им сопряженные: 3i, −2i, 3, −2, 1+i, −1 − i. 2) Найти и изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих соотношению: Re z > 3, Im z < −1, arg(z − i) = π4 , π π 6 < arg(z +2i) 6 2 , |z| > 3, |z +2i| 6 3, |z −3−4i| = 2, |z −1|+|z +4| = 5, z−3 |z + 1| = |z − 2i|, z−2 > 1. √ √ √ √ √ √ 4 3 3 2 3 3) Найти: 1−i , (1 + 3i) , i, −8, 1, 3 + 4i, −2 + 2i. 1+i 5+i 4) Число z = −3+2i записать в алгебраической форме, найти z, Re z, Im z, |z|, arg z, Arg z. 5) Доказать, что если z1 + z2 + z3 = 0 и |z1 | = |z2 | = |z3 | = 1, то точки z1 , z2 , z3 являются вершинами правильного треугольника, вписанного в круг радиуса 1 с центром в начале координат. Индивидуальное домашнее задание [2]: 1, 3. Занятие 2. Предел последовательности. Ряды комплексных чисел. Цель занятия: отработать умения, связанные с применением критериев сходимости числовой последовательности и числового ряда. Задачи: 1) Доказать неравенство |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |. 2) Определить, сходится ли последовательность zn , и если сходится, найти ее предел.  n   3 2 n 1 1 zn = n2 tg 2 + i 3 , zn = 1 + − i n ln 1 − , n n + n2 + 1 2n 3n   p √ 3 1 2 zn = n 1 − cos + ( n2 + 1 − n)i sin . n n 3) Исследовать ряд на сходимость.   ∞  3 ∞  X X sin n1 n (−1)n 2n +i , +i , n 3 n n n! n=1 n=1 7

∞ X n=1

1 i +
2 1 n 3n + n 1 + 2n

! .

Индивидуальное домашнее задание [2]: 4, 5. Занятие 3. Условия дифференцируемости. Цель занятия: отработать умения, связанные с применением теоремы Коши–Римана, для определения дифференцируемости и аналитичности функции комплексного переменного в точке. Задачи: 1) Проверить является ли функция аналитической. Найти производную в точках, где она существует: ω = z 2 + 2z − 1, ω = z + z 2 , ω = z Im z, ω = ex (cos y + i cos y), ω = e−z . 2) Найти аналитическую функцию по ее действительной части u(x, y) u(x, y) = y 2 − x2 , u(x, y) = e−2x cos 2y, u(x, y) = x3 − 3xy 2 . Индивидуальное домашнее задание [2]: 9. Занятие 4. Конформные отображения. Цель занятия: отработать умения, связанные с использованием геометрического свойства производной функции и определением образа конформного отображения. Задачи: 1) Найти угол поворота и коэффициент растяжения, при отображении с помощью аналитических функций √ z 2 и z 3 в каждой из следующих точек: z0 = 1, z0 = − 41 , z0 = 1 + i, z0 = 3 − i. 2) Какая часть плоскости сжимается, а какая растягивается при отображении следующими функциями? 2z ω = z 2 , ω = z 2 + 2z, ω = z+1 z , ω =e . 3) Найти функцию, дающую конформное отображение круга |z| < 1 на полуплоскость Im ω < 0, так что точки 1, i, −1 переходят в точки 1, 0, −1. 4) Найти взаимно–однозначное соответствие, переводящее область π − 6 < arg(z + 3i) < π3 на область Re (ω + 4) < 0. Индивидуальное домашнее задание [2]: 7. Занятие 5. Степенные ряды. Цель занятия: отработать умения, связанные с определением области сходимости степенного ряда. Задачи: 1) Найти область сходимости ряда: n  n ∞ ∞  ∞ ∞ X X X X zn 1 z+i 4 + 3i , , , (2n + i3n )(z − 1 + i)n n n 2 +1 2 2n + 1 z − 2i n=0 n=1 n=0 n=0 8

2) Установить, сходится ли указанный ряд в точках z1 и z2 , указать на комплексной плоскости круг сходимости и эти точки. ∞ X n=1

n+i (z − 2i − 1)n , n (2 + 3i)

z1 = 2i, z2 = −1 − i.

∞ P 3) Радиус сходимости ряда cn z n равен R, где 0 < R < ∞. Опредеn=0 лить радиусы сходимости рядов: ∞ ∞ ∞ X X X n n ncn (z − 1) , cn+1 z , c2n (z + 2i)n . n=0

n=0

n=0

Индивидуальное домашнее задание [2]: 5. Занятие 6. Круговое свойство дробно–линейных функций. Элементарные функции и их свойства. Цель занятия: отработать умения, связанные с нахождением образа множества при отображении, заданом дробно–линейной функцией. Отработать умения, связанные с использованием свойств элементарных функций. Задачи: 1а) Найти sin z и cos z в точке z = π + i ln 0, 5. 1б) Найти значения выражений: Ln (−1), Ln (i), Ln (ie2 ), Ln (−1 + i), 3i , (1 − i)i , ii−1 . 2) Найти z, Re z, Im z, |z|, arg z, Arg z чисел (−2)i+1 , (3 + 4i)i−1 . 3) Решить уравнения: z 4 + z 2 + 1 = 0, sin z = 2i, cos iz = 5. 4) Найти дробно–линейное отображение, которое преобразует мнимую ось в окружность |ω| = 1. 5) Найти образ кривой γ относительно дробно–линейного отображения L, удовлетворяющего заданным условиям: γ : |z − i| = 2, L(2 − i) = 0, L(2 + i) = ∞, L(∞) = 1. Индивидуальное домашнее задание [2]: 6. Занятие 7. Контрольная работа 1. Непрерывность и дифференцируемость функций комплексного переменного. Занятие 8. Вычисление интегралов функций комплексного переменного. Цель занятия: отработать умения, связанные со способом вычисления интеграла путем сведения его к обыкновенному интегралу и использованием интегральной формулы Коши. 9

Задачи: 1) Вычислить интеграл, считая, что контур интегрирования пробегается в положительном направлении один раз: Z ez dz, где γ — граница области 0 < Re z < Im z < 1, γ

Z

|z|z 2 dz,

где γ — граница области |z| 6 2, Re z 6 0.

γ

2) Вычислить интеграл, используя интегральную формулу Коши и формулы, получаемые из нее дифференцированием (контур интегрирования пробегается в положительном направлении один раз): Z Z Z Z ez dz ez dz ez dz dz , , , . z2 + 4 z2 + 4 (z 2 + 4)2 (z − 1)2 (z + 1)3 |z−2i|=2

|z+2i|=2

|z+3i|=3

|z−1|=3

Индивидуальное домашнее задание [2]: 10. Занятие 9. Ряд Тейлора. Цель занятия: отработать умения, связанные разложением функции в ряд Тейлора. Задачи: 1) разложить данные функции в ряд Тейлора по степеням z − z0 . Найти радиусы сходимости. z 1 , z0 = 2; cos2 z, z0 = π; , z0 = i. 1−z z2 + 4 2) выписать первые четыре члена разложения в ряд Тейлора в окрестности нулевой точки функций и указать радиусы сходимости этих рядов: 1 1 e 1−z , sin , ln(1 + ez ), e−z cos z . 1−z Индивидуальное домашнее задание [2]: 11a. Занятие 10. Ряд Лорана. Цель занятия: отработать умения, связанные разложением функции в ряд Лорана. Задачи: разложить функцию в ряд Лорана в соответствующих областях по степеням z − z0 . 1 , для z0 = 0 и z0 = 1, (z − 1)(z − 2) z z z 2 sin , для z0 = 1, , для z0 = 0. z−1 z 2 + 2z + 2 10

Индивидуальное домашнее задание [2]: 11б. Занятие 11. Вычисление вычетов. Цель занятия: отработать умения, связанные с нахождением вычетов и использованием их для вычисления интегралов. Задачи: 1а) найти вычеты относительно каждого из полюсов 1 , z6 − z3

sin z , z−i

z3 . (z 2 + 1)2

1б) найти вычеты относительно точки z0 = 0 1

ez ,

1 cos , z

1 sin . z

2) вычислить интегралы с помощью вычетов I I cos z e2z dz, dz, z3 (z 2 − 1)(z 2 − 4)

I

|z−3|=3

|z+1|=2

|z−1|=2

1 z 3 e dz z

Индивидуальное домашнее задание [2]: 11в. Занятие 12. Контрольная работа 2. Вычисление интегралов функций комплексного переменного.

11

Материалы к экзамену Вопросы к экзамену 1. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (Zn ). Свойства сходящихся последовательностей. 2. Необходимое и достаточное условие существования предела функции. Свойства функций, имеющих конечный предел. 3. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке. Свойства непрерывных функций. 4. Производная функции и дифференцируемость функции. Дифференцируемость и непрерывность. Дифференцируемость и аналитичность. 5. Арифметические операции над дифференцируемыми функциями. 6. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. 7. Функции ez , cos z, sin z и их свойства. 8. Числовые ряды: условия сходимости, абсолютная сходимость. 9. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус, область сходимости. 10. Равномерная сходимость функционального ряда. Свойства степенных рядов. 11. Арифметические операции над аналитическими функциями. 12. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке. 13. Существование и вычисление интеграла. 14. Свойства интеграла. 15. Интегральная теорема Коши и ее следствия. 16. Независимость интеграла от пути интегрирования. Первообразная. Формула Ньютона–Лейбница. 17. Интегральная формула Коши. 12

18. Неравенство Коши. 19. Теорема Морера. 20. Теорема Лиувилля. 21. Основная теорема высшей алгебры. 22. Теорема о единственности аналитической функции и ее приложения. 23. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. 24. Теорема о единственности аналитической функции. 25. Обобщенная формула Коши. 26. Вычет. Вычисление вычета. Основная теорема о вычетах.

13

Задачи к экзамену 1. Найти и изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих соотношению: 1. Re z−3i z+1 6 0 z−i 2. Im z+2i >0 z−i >0 3. Re z+2i

4. Im z+2i z+i > 0 2. Найти образ кривой γ относительно дробно-линейного отображения L, удовлетворяющего заданным условиям: 1. γ : Rez = 2Imz,

L(1 − 3i) = 0, L(1 + 3i) = ∞, L(∞) = −1

2. γ : |z + 2i| = 1,

L(−1 − 3i) = 0, L(−1 − 2i) = ∞, L(∞) = i L(1 + 3i) = 0, L(1 − 2i) = ∞, L(∞) = 1

3. γ : 2Rez + Imz = 0, 4. γ : |z + 2| = 1,

L(3 + i) = 0, L(−2 + i) = ∞, L(∞) = −2

3. Установить, сходится ли указанный ряд в точках z1 и z2 , указать на комплексной плоскости круг сходимости и эти точки. ∞ P n 1. (z − 2i)n , z1 = 2 + i, z2 = −5 + i n n=1 (3 + 4i) ∞ 2n P √ (z − 2 − i)n , 2. n n=1

3.

z1 =

∞ 2n − i P (z − 3 − i)n , n 2 n=1

2n 4. (z − 1 + 2i)n , 2n + i n=1 ∞ P

√

3 + i, z2 = 2 + 2i

z1 = 2 + i, z2 = −2 + 3i z1 =

3 4

− 2i, z2 = −2 − i

4. Установить с помощью теоремы Коши–Римана, является ли аналитической функция 1. f (z) = iz 2 + z 2. f (z) = ez + ez 3. f (z) = z + e−z 14

4. f (z) = z 2 + 2z + 1 5. Вычислить интеграл. R 1. |z|z dz, где γ — граница области |z| < 1, Re z < 0 γ

2.

R

Imz dz,

где γ — контур треугольника с вершинами в точках z1 = 1,

γ

z2 = 2 + i, z3 = 1 + i R 3. (z+Re z) dz, где γ — контур треугольника с вершинами в точках γ

z1 = −1,z2 = −2 + i, z3 = −1 + i R 4. (z + z) dz, где γ — граница области |z| < 2, Re z > 0 γ

R

5.

|z+2i|=1

6.

R |z|=3

7.

R |z|=3

8.

R

ez+1 dz z 2 − iz + 2

sin2 z dz z 2 − 3iz − 2 ez+iπ dz z2 − 1 (2z 2 + iz) cos

|z|=2

9.

R

1 dz z+1

1

z 2 e z+i dz

|z|=2

10.

R |z|=2

(z 2 + 1) sin

1 dz z+i

15

Литература 1. Балк, М.Б. Математический анализ. Теория аналитических функций [Текст]: учеб. пособие/ М.Б. Балк, Н.Я. Виленкин, В.А. Петров. — М.: Просвещение, 1985. — 160 с. 2. Теория аналитических функций. Контрольная работа для заочного отделения. Индивидуальные задания для очного отделения [Текст]: метод. разработка/ Урал. гос. пед. ун-т;. А.Р. Данилин. — Екатеринбург: УрГПУ, 1993. — 42 с. 3. Сборник задач по теории аналитических функций [Текст]: учеб. пособие/ под. ред. М.А. Евграфова. — М.: Наука, 1969. — 387 с. 4. Маркушевич, А.И. Введение в теорию аналитических функций [Текст]: учеб. пособие/ А.И. Маркушевич, Л.А. Маркушевич. — М.: Просвещение, 1977. — 320 с. 5. Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1 [Текст]: учеб. пособие/ Б.В. Шабат. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с. 6. Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 2 [Текст]: учеб. пособие/ Б.В. Шабат. — СПб.: Лань, 2004. — 464 с.

16

Приложение Лекция. Как ее слушать и записывать 1. Лекция — основной вид обучения в вузе. 2. В лекции излагаются основные положения теории, ее понятия и законы, приводятся факты, показывающие связь теории с практикой. 3. Накануне лекции необходимо повторить содержание предыдущей лекции (а также теорию по изучаемой теме в школьных учебниках геометрии, если эта тема была представлена в них), а затем посмотреть тему очередной лекции по программе (по плану лекций). 4. Полезно вести записи (конспекты) лекций: для непонятных вопросов оставлять место при работе над темой лекции с учебными пособиями. 5. Записи лекций следует вести в отдельной тетради, оставляя место для дополнений во время самостоятельной работы. 6. При конспектировании лекций выделяйте главы и разделы, параграфы, подчеркивайте основное. Практическое занятие. Как к нему готовиться 1. Практическое занятие — наиболее активный вид учебных занятий в вузе. Он предполагает самостоятельную работу над лекциями и учебными пособиями. 2. К каждому практическому занятию нужно готовиться. Подготовку следует начинать с повторения теории (по записям лекций или по учебному пособию). После этого нужно решать задачи из предложенного домашнего задания. Организация самостоятельной работы 1. Бюджет времени студента определяется временем, отведенным на занятия по расписанию и на самостоятельную работу. Задание и материал для самостоятельной работы дается во время учебных занятий, на этих же занятиях преподаватель осуществляет контроль за самостоятельной работой. 2. Для выполнения объема самостоятельной работы необходимо заниматься в среднем 4 часа (академических) ежедневно, т.е. по 24 часа в неделю. На самостоятельную работу по каждой дисциплине по математике следует расходовать по 3–4 часа в неделю.

17

3. Начинать самостоятельные занятия следует с первых же дней семестра, установив определенный порядок, равномерный ритм на весь семестр. Полезно для этого составить расписание порядка дня.

18

Учебно–методическое издание: Теория функций комплексного переменного. Методические рекомендации для студентов IV курса математического факультета. Составители: Жаворонков В.Д., Ткаленко Н.В.

19