Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными: Методические рекомендации для студентов IV курса математического факультета

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра математического анализа

Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными Методические рекомендации для студентов IV курса математического факультета

Екатеринбург 2007

2

Данное пособие является составной частью учебно-методического комплекса по дисциплине «Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными» и призвано оказать помощь студентам в самостоятельной работе по изучению теоретического материала, выполнению индивидуальных заданий. В него включены: программа курса, тематические планы лекций и практических занятий, материалы для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ, а также вопросы и задачи к экзамену. Составители: Бодряков В.Ю.

Содержание 1. Программа курса …………………………………………………………… 3 2. Лекции ……………………………………………………………………… 4 3. Практические занятия ……………………………………………………… 5 4. Материалы для практических занятий и домашних заданий …………… 6 5. Материалы для контрольной работы ……………………………………... 9 6. Материалы к экзамену …………………………………………………….. 10 6.1 Вопросы к экзамену ………………………………………………………. 10 6.2 Задачи к экзамену ……………………………………………………….... 10 Литература ……………………………………………………………………. 13 Приложение. Методические советы студентам ……………………………. 14

3

1.

Программа курса

1.

Дифференциальные уравнения первого порядка [4-7, 9]

Дифференциальные уравнения (ДУ). Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений 1 порядка (ОДУ-1). Основные типы ОДУ-1, разрешимых в квадратурах (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах). Интегрирующий множитель. Полные метрические пространства, теорема Банаха. Теоремы существования и единственности решений ОДУ-1. Уравнения Лагранжа и Клеро. Особые решения. Системы ОДУ-1. 2. Дифференциальные уравнения высших порядков [4-7, 9] ОДУ высших порядков и системы ОДУ-1. Существование и единственность их решений. Методы понижения порядка ОДУ высших порядков. Структура решений линейных однородных ОДУ. Структура решений линейных неоднородных ОДУ. Общее решение линейного неоднородного ОДУ с постоянными коэффициентами. Моделирование посредством ОДУ. Основные вопросы качественной теории ОДУ. Линейные ДУ-1 в частных производных. 3. Основы уравнений математической физики [1, 7, 9] Основные уравнения математической физики. Различные краевые задачи колебания струны. Метод Фурье разделения переменных при решении краевых задач. Общая классификация квазилинейных ДУ-2 в частных производных. Теорема С.В. Ковалевской.

4

2.

Лекции

1. Дифференциальные уравнения (ДУ). Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений 1 порядка (ОДУ-1). 2. Основные типы ОДУ-1, разрешимых в квадратурах (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах). 3. Интегрирующий множитель. Полные метрические пространства, теорема Банаха. 4. Теоремы существования и единственности решений ОДУ-1. 5. Уравнения Лагранжа и Клеро. Особые решения. 6. ОДУ высших порядков и системы ОДУ-1. Существование и единственность их решений. 7. Методы понижения порядка ОДУ высших порядков. 8. Структура решений линейных однородных ОДУ. 9. Структура решений линейных неоднородных ОДУ. 10. Общее решение линейного неоднородного ОДУ с постоянными коэффициентами. 11. Моделирование посредством ОДУ. 12. Основные вопросы качественной теории ОДУ. 13. Линейные ДУ-1 в частных производных. 14. Основные уравнения математической физики. 15. Различные краевые задачи колебания струны. 16. Метод Фурье разделения переменных при решении краевых задач. 17. Общая классификация квазилинейных ДУ-2 в частных производных. Теорема С.В. Ковалевской.

5

3.

Практические занятия [2-4, 8]

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

Основные понятия теории ОДУ-1. Интегрирование ОДУ-1 (часть 1). Интегрирование ОДУ-1 (часть 2). Интегрирование ОДУ-1 (часть 3). ОДУ-1, не разрешенные относительно производной. Системы ОДУ-1. ОДУ высших порядков. Методы понижения порядка (часть 1). Методы понижения порядка (часть 2). Моделирование посредством ОДУ. Решение линейных ОДУ высших порядков (часть 1). Решение линейных ОДУ высших порядков (часть 2). Контрольная работа по ОДУ. Решение линейных ДУ-1 в частных производных. Формула Даламбера. Метод Фурье при интегрировании колебаний струны. Заключительное занятие.

6

4. Материалы для практических занятий и домашних заданий [2, 8] Занятие 1. Основные понятия теории ОДУ-1. Цель занятия: усвоить основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (ОДУ-1). Задачи [2]: 3903, 3906, 3908, 3910, 3911, 3912, 3917, 3918. Домашнее задание [2]: 3901, 3902, 3904, 3905, 3907, 3909. Занятие 2. Интегрирование ОДУ-1 (часть 1). Цель занятия: приобрести навыки решения ОДУ-1. Задачи [2]: 3912, 3915, 3916, 3920, 3922, 3923, 3925, 3926. Домашнее задание [2]: 3913, 3914, 3919, 3921, 3924. Занятие 3. Интегрирование ОДУ-1 (часть 2). Цель занятия: приобрести навыки решения ОДУ-1. Задачи [2]: 3927, 3928, 3931, 3932, 3933, 3934, 3936, 3938. Домашнее задание [2]: 3929, 3930, 3935, 3937, 3940. Занятие 4. Интегрирование ОДУ-1 (часть 3). Цель занятия: закрепить навыки решения ОДУ-1. Задачи [2]: 3941, 3942, 3943, 3945, 3946, 3948, 3949, 3952. Домашнее задание [2]: 3944, 3947, 3950, 3951, 3953. Индивидуальное домашнее задание [8]: 10. Занятие 5. ОДУ-1, не разрешенные относительно производной. Цель занятия: приобрести навыки решения ОДУ-1, не разрешенных относительно производной. Задачи [2]: 4025, 4026, 4027, 4029, 4031, 4032, 4035, 4036, 4038, 4039, 4041. Домашнее задание [2]: 4028, 4030, 4033, 4034, 4037, 4040, 4042. Индивидуальное домашнее задание [8]: 11. Занятие 6. Системы ОДУ-1. Цель занятия: приобрести навыки решения систем ОДУ-1. Задачи [2]: 4324.1, 4324.2, 4324.5, 4324.6, 4327, 4328, 4328, 4330, 4332, 4336. Домашнее задание [2]: 4324.3, 4324.4, 4327.7, 4325, 4326, 4329, 4331. Занятие 7. ОДУ высших порядков. Цель занятия: приобрести навыки решения ОДУ высших порядков. Задачи [2]: 4155, 4156, 4157, 4159, 4161, 4163, 4165, 4166, 4169, 4170. Домашнее задание [2]: 4158, 4160, 4162, 4164, 4167, 4168. Занятие 8. Методы понижения порядка (часть 1). Цель занятия: приобрести навыки решения ОДУ высших порядков, в т.ч путем применения методов понижения порядка. Задачи [2]: 4171, 4773, 4774, 4176, 4178, 4179, 4180, 4182. Домашнее задание [2]: 4172, 4175, 4177, 4181.

7

Занятие 9. Методы понижения порядка (часть 2). Цель занятия: закрепить навыки решения ОДУ высших порядков, в т.ч путем применения методов понижения порядка. Задачи [2]: 4183, 4185, 4187, 4188, 4189, 4190, 4193, 4194, 4196, 4197, 4199. Домашнее задание [2]: 4184, 4186, 4191, 4192, 4195, 4198, 4200. Индивидуальное домашнее задание [8]: 12. Занятие 10. Моделирование посредством ОДУ. Цель занятия: приобрести навыки моделирования посредством составления и решения ОДУ. Задачи [2]: 4135, 4136, 4138, 4141, 4142, 4143, 4145, 4147, 4149, 4152. Домашнее задание [2]: 4137, 4139, 4144, 4146, 4148, 4150, 4151, 4154. Индивидуальное домашнее задание [8]: 13. Занятие 11. Решение линейных ОДУ высших порядков (часть 1). Цель занятия: приобрести навыки решение линейных ОДУ высших порядков. Задачи [2]: 4201, 4202, 4204, 4206, 4208, 4210, 4212. Домашнее задание [2]: 4203, 4205, 4207. Индивидуальное домашнее задание [8]: 14. Занятие 12. Решение линейных ОДУ высших порядков (часть 2). Цель занятия: закрепить навыки решение линейных ОДУ высших порядков. Задачи [2]: 4213, 4215, 4216, 4217, 4301, 4303, 4305, 4306. Домашнее задание [2]: 4209, 4211, 4214, 4302, 4304. Занятие 13. Контрольная работа по ОДУ. Цель занятия: проверить знания студентов по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Занятие 14. Решение линейных ДУ-1 в частных производных. Цель занятия: приобрести навыки решения линейных ДУ-1 в частных производных. Задачи [2]: 736, 740, 741, 742, 743, 746, 747, 748. Домашнее задание [2]: 737, 738, 739, 744, 745. Индивидуальное домашнее задание [8]: 15. Занятие 15. Формула Даламбера [2], [3]. Цель занятия: освоить применение формулы Даламбера при решении дифференциальных уравнений. Задачи [2]: 4314, 4315, 4317, 4319, 4321, 4322; [3] 3093, 3095, 3096. Домашнее задание [2]: 4316, 4318, 4320, 4323; [3] 3094, 3097. Индивидуальное домашнее задание [8]: 16. Занятие 16. Метод Фурье при интегрировании колебаний струны [3]. Цель занятия: освоить применение метода Фурье при решении

8

дифференциальных уравнений, описывающих колебания струны. Задачи [3]: 3013, 3105, 3106, 3107. Домашнее задание [3]: 3104, 3106, 142. Занятие 17. Заключительное занятие. Цель занятия: консультация студентов по всем разделам изученной дисциплины «Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными».

9

5.

Материалы для контрольной работы

Прим. Ниже приведены типичные задачи. На контрольной работе могут быть предложены другие аналогичные задачи. Тема контрольной работы: «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Задача 1. Решить задачу Коши: (2x1) y = y 4, y(0) = 1. Задача 2. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения: xy  y = x 5. Задача 3. Решить уравнение второго порядка: 2yy = y(y  1). Задача 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка: y + 2y +5y = 0 y(0) = 1; y(0) = 1. Задача 5. Найти общее решение уравнения: y + 5y +6y = Sin2x. Задача 6. Найти линию, у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого любой касательной от оси ординат, равен произведению координат точки касания.

10

6. Материалы к экзамену 6.1 Вопросы к экзамену 1. Основные понятия в теории дифференциальных уравнений. Интеграл дифференциального уравнения. 2. Начальные условия. Задача Коши. 3. Виды дифференциальных уравнений 1-го порядка. 4. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка (ОДУ-1). 5. Основные типы ОДУ-1, разрешимых в квадратурах (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах). 6. Интегрирующий множитель. Полные метрические пространства, теорема Банаха. 7. Теоремы существования и единственности решений ОДУ-1. 8. Метод вариации произвольной постоянной как метод решения ОДУ-1. 9. Уравнения Лагранжа и Клеро. Особые решения. 10. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной. 11. ОДУ высших порядков и системы ОДУ-1. Существование и единственность их решений. 12. Методы понижения порядка ОДУ высших порядков. 13. Общее решение линейного неоднородного ОДУ с постоянными коэффициентами. 14. Структура решений линейных однородных ОДУ. 15. Моделирование посредством ОДУ. 16. Основные вопросы качественной теории ОДУ. 17. Линейные ДУ-1 в частных производных. 18. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. 19. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка выше 2-го. 20. Методы понижения порядка. 21. Решение линейных ДУ-1 в частных производных. 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. 23. Формула Даламбера. 24. Метод Фурье при интегрировании колебаний струны. 25. Задачи на метод Фурье.

5.2 Задачи к экзамену Прим. Ниже приведены типичные задачи. На экзамене могут быть предложены другие аналогичные задачи. 1. Является ли решением данного дифференциального уравнения указанная функция: y  (1 +2)y + 12 y = 0, y = C1 exp(1x) + C2 exp(2x)?

11

2. Решить дифференциальное уравнение: x y  y = y3. 3. Решить дифференциальное уравнение: y tgx = y. 4. Найти кривую, у которой отрезок касательной равен расстоянию точки касания от начала координат. 5. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3; 1), для которой отрезок касательной между точкой касания и осью OX делится пополам в точке пересечения с осью OY. 6. Проинтегрировать дифференциальное уравнение: y =  (x + y) / x. 7. Решить уравнение: (2x  y + 4) dy + (x  2y +5) dx = 0. dy 2 y 3 8. Найти общий интеграл уравнения: + =x . dx x 9. Найти частные решения данного дифференциального уравнения, удовлетворяющие указанным условиям: y  y tgx = 1/Cos x; y = 0 при x = 0. 10. Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси абсцисс, равен квадрату ординаты точки касания. 11. Найти общий интеграл уравнения: (x + y) dx + (x + 2y) dy = 0. 12. Решить уравнение, допускающее интегрирующий множитель вида  = (x) или  = (y): (x + y2) dx  2xy dy = 0. 13. Вводя параметр y = p решить уравнение: x = Sin y + lny. 14. Вводя параметр y = p решить уравнение: 4y = x2 + y2. 15. Решить уравнение Лагранжа: y = (1+ y) x + y2. 16. Решить уравнение Лагранжа: y = y + 1  y  2 . 17. Найти общий и особый интегралы уравнения Клеро и построить поле интегральных кривых: y = x y + y2. 18. Найти общий и особый интегралы уравнения Клеро и построить поле интегральных кривых: y = x y + 1/y. 19. Определить тип и решить дифференциальное уравнение: (x  y) y = y2. 20. Определить тип и решить дифференциальное уравнение: y = 2xy + x3. 21. Найти решение дифференциального уравнения при указанных начальных условиях: y ctgx + y = 2; y = 2 при x = 0. 22. Найти решение дифференциального уравнения при указанных краевых условиях: y + y = 2x; y = 1 при x = 0. 23. Найти кривую, зная, что сумма отрезков, отсекаемых касательной к ней на осях координат, постоянна и равна 2a. 24. Решить дифференциальное уравнение: y = 1  y2. 25. Решить дифференциальное уравнение: yy = y2. 26. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным краевым условиям: y + y = 2x; y = 1 при x = 0. 27. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным краевым условиям: (x + 1)y + xy2 = y; y = 2; y = 4 при x = 1. 28. Методом вариации произвольных постоянных решить неоднородное дифференциальное уравнение: x2y  xy = 3x3.

12

29. Найти общее решение уравнения: y  5y + 6y = 0. 30. Найти частные решения дифференциального уравнения, удовлетворяющее краевым условиям: y  5y + 4y = 0; y = 5; y = 8 при x = 0. 31. Указать вид частных решений для данных неоднородных уравнений: y  4y = x2e2x. 32. Найти решение уравнения y + 4y = Sin x, удовлетворяющее краевым условиям y = 1; y = 1 при x = 0. 33. Применяя метод вариации произвольных постоянных, решить уравнение: y + y = tgx. 34. Найти частное решение уравнения y + 2y + 2y + y = x, удовлетворяющее краевым условиям y(0) = y (0) = y (0) = 0.  dy  dx  z , 35. Решить систему дифференциальных уравнений:   dz   y.  dx  dy  dx  y  5 z , 36. Решить систему дифференциальных уравнений:  . dz   y  3 z  0.  dx  dx  dt  4 x  y  36t  0, 37. Решить систему дифференциальных уравнений:   dy  2 x  y  2e t  0.  dt с указанными начальными условиями: x = 0; y =1 при t = 0. 38. Проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью степенного ряда y = y + x2, y = 2 при x = 0. 39. В начальный момент t = 0 струна, закрепленная на концах x = 0 и x = l, x имела форму синусоиды u = A Sin , причем скорости точек ее были равны l нулю. Найти форму струны в момент времени t. 40. Струна длиной l = 100 см, закрепленная на концах x = 0 и x = l, в начальный момент оттянута в точке x = 50 см на расстояние h = 2 см, а затем отпущена без толчка. Определить форму струны для любого момента времени t.

13

Литература 1. В.Я. Арсенин. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции.  М.: Наука, 1966. 2. Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа.  М.: Наука, 1969. 3. Задачи и упражнения по математическому анализу. / Под ред. Б.П. Демидовича.  М.: Наука, 1970. 4. И.И. Смирнов. Задачи по уравнениям математической физики.  М.: Наука, 1975. 5. Н.Я. Виленкин, М.А. Доброхотова, А.Н. Сафонов. Дифференциальные уравнения.  М.: Просвещение, 1984. 6. Н.М. Матвеев. Дифференциальные уравнения. М.: Просвещение, 1988. 7. В.А. Густомесов, А.Р. Данилин. Дифференциальные уравнения: Учеб. пособие.  Свердловск: Свердл. пед. ин-т, 1990. 8. А.Р. Данилин, Н.Г. Фомина. Контрольная работа по теме «Ряды и дифференциальные уравнения» и индивидуальные задания для студентов 3 курса математического факультета.  Екатеринбург: УрГПУ, 1997. 9. Б.И. Ананьев. Дифференциальные уравнения: Учеб. пособие.  Екатеринбург: УрГПУ. Екатеринбург, 2002.

14

Приложение. Методические советы студентам Лекция. Как ее слушать и записывать 1. Лекция  основной вид обучения в вузе. 2. В лекции излагаются основные положения теории, ее понятия и законы, приводятся факты, показывающие связь теории с практикой. 3. Накануне лекции необходимо повторить содержание предыдущей лекции (а также теорию по изучаемой теме в школьных учебниках геометрии, если эта тема была представлена в них), а затем посмотреть тему очередной лекции по программе (по плану лекций). 4. Полезно вести записи (конспекты) лекций: для непонятных вопросов оставлять место при работе над темой лекции с учебными пособиями. 5. Записи лекций следует вести в отдельной тетради, оставляя место для дополнений во время самостоятельной работы. 6. При конспектировании лекций выделяйте главы и разделы, параграфы, подчерки вайте основное. Практическое занятие. Как к нему готовиться 1. Практическое занятие  наиболее активный вид учебных занятий в вузе. Он предполагает самостоятельную работу над лекциями и учебными пособиями. 2. К каждому практическому занятию нужно готовиться. Подготовку следует начинать с повторения теории (по записям лекций или по учебному пособию). После этого нужно решать задачи из предложенного домашнего задания. Организация самостоятельной работы 1. Бюджет времени студента определяется временем, отведенным на занятия по расписанию и на самостоятельную работу. Задание и материал для самостоятельной работы дается во время учебных занятий, на этих же занятиях преподаватель осуществляет контроль за самостоятельной работой. 2. Для выполнения объема самостоятельной работы необходимо заниматься в среднем 4 часа (академических) ежедневно, т.е. по 24 часа в неделю. На самостоятельную работу по каждой дисциплине по математике следует расходовать по 3-4 часа в неделю. 3. Начинать самостоятельные занятия следует с первых же дней семестра, установив определенный порядок, равномерный ритм на весь семестр. Полезно для этого составить расписание порядка дня. Как пользоваться материалами для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ Материалы каждого занятия содержат: а) вопросы по теории (для самоконтроля); б) задачи для аудиторного и самостоятельного решения. Задачи могут быть условно разбиты на три уровня: А  минимальный, В  нормальный, С  более высокий. Любую из задач уровня А должен уметь решать каждый студент, претендующий на удовлетворительную оценку. Задачи уровня В и С должны уметь решать студенты, претендующие на оценки «хорошо» и «отлично», соответственно.

15

Учебно-методическое издание: «Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными». Методические рекомендации для студентов IV курса математического факультета. Составители: Бодряков В.Ю.