Геометрия: Методические рекомендации для студентов I курса математического факультета. Часть 1

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра геометрии

ГЕОМЕТРИЯ Методические рекомендации для студентов I курса математического факультета часть 1

Екатеринбург 2007

Данное пособие является составной частью учебнометодического комплекса по дисциплине «Геометрия» и призвано оказать помощь студентам в самостоятельной работе по изучению теоретического материала, выполнению индивидуальных заданий. В него включены: программа курса, тематические планы лекций и практических занятий, материалы для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ, а также вопросы к коллоквиуму и экзамену. Составители: Толстопятов В.П., к. ф.-м. н., доцент кафедры геометрии Дударева Н.В., к. пед. н., доцент кафедры геометрии Хохлова О.В., ассистент кафедры геометрии

Содержание 2

Программа курса 4 2. Лекции 4 3. Практические занятия 5 4. Материалы для практических занятий и домашних заданий 6 5. Вопросы к коллоквиуму по теме «Векторная алгебра» 20 6. Вопросы и задачи к экзамену 23 7. Вопросы для самопроверки при подготовке к экзамену 28 8. Нулевой вариант контрольной работы по векторной алгебре 34 9. Вариант тестового задания для контроля остаточных знаний 34 10. Методические советы студентам-первокурсникам 36 11. Литература 37 1.

1. Программа курса 3

1. Векторная алгебра Векторы и линейные действия с ними. Базисы и координаты. Скалярное умножение векторов. Векторное умножение векторов. Смешанное произведение трех векторов. 2. Аналитическая планиметрия Координатный метод. Аналитическое задание фигур на плоскости. Прямая линия на плоскости. Квадрики на плоскости (кривые 2-го порядка). Квадрики и прямые. 2. Лекции 1. Направленные отрезки. Свободный вектор. Сложение векторов. 2. Умножение вектора на число. Векторное пространство. 3. Линейная зависимость векторов. 4. Базис векторного пространства. Координаты вектора. 5. Проекция вектора на вектор. 6. Скалярное умножение векторов. 7. Ориентация векторного пространства. Векторное умножение векторов. 8. Смешанное умножение векторов. 9. Метод координат на плоскости. Различные способы задания прямой. 10. Геометрический смысл знака трехчлена прямой. Расстояние от точки до прямой. 11.Угол между прямыми. 12.Эллипс. Гипербола. Парабола. 13. Директориальное свойство эллипса и гиперболы. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат. 14. Общее уравнение линии II порядка, приведение его к каноническому виду. Классификация линий II порядка. 4

Центр линии II порядка. Взаимное расположение линии II порядка и прямой. 16. Асимптотические направления относительно линии II порядка. 17.Касательная к линии II порядка. Диаметры линии II порядка. 18. Главные направления, главные диаметры. 15.

3. Практические занятия 1. Линейные операции над векторами. 2. Линейные операции над векторами. 3. Линейная зависимость векторов. 4. Линейная зависимость векторов. 5. Скалярное умножение векторов. 6. Скалярное умножение векторов. 7. Векторное умножение векторов. 8. Смешанное умножение векторов. 9. Метод координат на плоскости. 10.Уравнение прямой. 11.Уравнение прямой. 12.Расстояние от точки до прямой. 13.Угол между прямыми. 14.Эллипс, гипербола, парабола. 15. Приведение общего уравнения линии II порядка к каноническому виду. 16. Приведение общего уравнения линии II порядка к каноническому виду. 17. Центр линии II порядка. Асимптотические направления. 18. Главные направления. Главные диаметры. 5

4. Материалы для практических занятий и домашних заданий Занятие 1-2. Линейные операции над векторами Цель занятия: Усвоить понятия коллинеарные векторы, сумма и разность векторов, произведение вектора на число. Задачи 1. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Указать отрезки а) сонаправленные с отрезком AA1 ; б) являющиеся представителем вектора AB . M , N , P являются 2. Точки серединами сторон AC , AB и BC треугольника ABC . Какие из пар векторов являются коллинеарными: а) AN и MP ; б) NP и CA ; в) BM и PC ; г) PC и BC ; д) AM и MC ; е) NP и CM ; ж) AB и NP ? 3. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точки M , N , P, Q – середины ребер AA1 , BB1 , CC1 и DD1 , а O – точка пересечения диагоналей. Доказать, что а) OM = OP ; б) QO = ON ; в) MN = QP . 4. В параллелограмме ABCD точка O – точка пересечения диагоналей, а точки E и F соответственно середины сторон BC и AD . Указать на чертеже представители следующих векторов: а) AB + CO ; б) AE + DF ; в) AO − AB ; г) AB + BE − OE + CD . 5. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точки M , N , P, Q – середины ребер AA1 , BB1 , CC1 и DD1 , точка O – точка пересечения его диагоналей. Указать на чертеже представители следующих векторов: а) AD + CC1 ; 6

б)

AO + MO ;

в) AM + D1C1 + NC ;

г)

OC1 − B1O + BA − AA1 . 6. Пусть O – центр правильного шестиугольника ABCDEF . Выразить векторы OC , OD, OE , OF , AB че7.

рез векторы а) a = OA и b = OB ; б) a = AE и b = BC . Даны векторы a и b . Построить векторы: а) c= −

( )

1 1 1 a + b ; б) d = 2a + b ; в) e = 3a − b . 2 4 3

8.

Доказать, что если a с и b c , и c ≠ 0 , то a b .

9.

Доказать, что если a c и b c , то 3a − b c . При каких условиях для ненулевых векторов a и b

10.

(

)

возможны следующие равенства: а) a + b = a − b ;

( )

б) a + b = λ a − b ; в) 11.

a a

b

=

b

?

Доказать, что для двух неколлинеарных векторов a a

b

и b вектор + делит пополам угол между вектоa b 12.

рами a и b . В треугольнике ABC AK , BM , CE – медианы. Выразить векторы AK , BM , CE через векторы a = AB и b = AC . Найти сумму векторов AK , BM , CE , дать геометрическую характеристику полученному результату. Доказать, что для любой точки O верно равенство OO1 =

(

)

1 OA + OB + OC , где O1 – центр тяже3

сти треугольника. 7

Какими должны быть векторы p и q , чтобы векторы p + q и p − q были а) ортогональны; б) равны по длине; в) коллинеарны; г) равны по длине и ортогональны? Домашнее задание 1. В параллелограмме ABCD O – точка пересечения диагоналей, M , N , P, Q – середины сторон AB, BC , CD и AD . Построить векторы: а) MO − OA ; б) OC − CP ; в) OQ − OB ; г) AN + MQ . 2. Точка O – центр правильного шестиугольника ABCDEF . Выразить векторы BC , ED, EC , CA, DA через векторы a = OA и b = OB . 3. В треугольнике ABC E и F – середины сторон AB и BC . Выразить векторы AB, BC и AC через векторы a = AE и b = AF . 13.

Занятие 3-4. Линейная зависимость векторов Цель занятия: Усвоить понятия линейно зависимой и линейно независимой системы векторов, понятия базиса векторного пространства и координат вектора. Задачи 1. Система векторов a, b, c является линейно независимой. Можно ли векторы l = 2a − b − c , m = 2b − c − a , n = 2c − a − b принять в качестве базиса в пространстве? 2. Векторы a и b неколлинеарны. Доказать, что система векторов p = 3a − b , q = 2a + b , r = a + 3b является линейно зависимой. Найти координаты вектора p в базисе q, r . 8

3. Точка O – центр пра-вильного шестиугольника ABCDEF . Найти координаты векторов BC , ED, EC , CA, DA в базисе a = OA, b = OB . 4. В параллелепипеде ABCDA1 B1C1 D1 точки E , F , G – середины ребер AA1 , AD, CC1 . Найти координаты векторов AC , AE , EC1 , B1C1 , FG, CD, CB1 , A1G в базисе AA1 , AD , AB . 5. Даны векторы a = ( 2,3,− 1) , b = ( 0,1,4) , c = (1,0,− 3) . Определить координаты векторов: а) p = 2a − b − c ; б) q = a − b − 3c ; в) r =

(

)

1 a − 2b + c . 3

6. Можно ли выбрать в качестве базиса векторы: а) a = ( − 1,4,2) , b = ( 5,2,1) , c = ( − 1,− 1,6) ; б) a = ( 6,4,2) , b = ( − 9,6,3) , c = ( − 3,6,3) ? Домашнее задание ИДЗ. Работа №1. Вектор и его координаты. [5]. Занятие 5-6.Скалярное умножение векторов Цель занятия: Сформировать навыки применения скалярного умножения в решении геометрических задач. Задачи Даны векторы a , b и a = a , b = b . Верны ли равен-

1.

ства: 1). a ⋅ a ⋅ a = a 3 ; 2). a ⋅ a = a 2 ; 3). a 2 ⋅ a = a 3 ; 4). 2 2 2 2 a ⋅ a ⋅ b = a ⋅ b ; 6). a ⋅ b = a ⋅ b ?

( )

( )

( )

a ⋅ b ⋅ b = a ⋅ b2 ;

5).

2. Найти длину вектора m = 3a − 2b , если a = 3, b = 4 , ∧

( a , b) =

2 π . 3 9

3. Вычислить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a = 2 p + q, b = p − 2q , где ∧

p = q = 1, ( p, q) =

π . 3

3. При каком значении α

векторы p = α a + 17b и ∧

2π q = 3a − b ортогональны, если a = 2 , b = 5 и (a, b) = ? 3 4. Найти угол между векторами s и t , если векторы p = s + 2t и q = 5s − 4t ортогональны.

5. В ортонормированном базисе AB = (2,− 3,6) , AC = ( 6,2,− 3) . Доказать, что треугольник ABC равнобедренный, вычислить его внутренние углы. AB = (4,2,− 1) , 6. В ортонормированном базисе AC = ( 2,− 2,0 ) . Найти длину высоты BH треугольника ABC . 7. Даны векторы a = (3,− 6,− 1) , b = (1,4,− 5) и c = (3,− 4,12) . Найти скалярную проекцию вектора (a + b) на направление вектора c . 8. Вектор a , длина которого равна 4 , образует с базисными векторами i и k соответственно углы 120 0 и 45 0 . Какой угол он образует с вектором j ? 9. Найти косинус угла при вершине равнобедренного треугольника, если медианы, проведенные из вершин основания, перпендикулярны между собой. 10.В кубе найти величину угла: а) между его диагональю и скрещивающейся с ней диагональю грани; б) между скрещивающимися диагоналями смежных гра10

ней; в) между диагональю куба и пересекающейся с ней диагональю грани. Домашнее задание ИДЗ. Работа №2. Скалярное умножение векторов. [1]. Занятие 7. Векторное умножение векторов Цель занятия: Сформировать навыки применения векторного умножения к решению задач. Задачи 1.

Вычислить [a , b] , если a = 10, b = 2, a ⋅ b = 12 .

2.

Векторы a и b ортогональны и a = 3, b = 4 . Вычис-

лить 1). [a + b, a − b] ; 2). [3a − b, a − 2b] . 3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах AB = 3m − 2n , AC = m + n , где m = 5 , n = 12 , ∧

(m, n) = 30  .

4. В ортонормированном базисе a = ( 3,− 1,− 2) , b = (1,2,− 1) . Вычислить [2a + b, b] . 5. Найти площадь треугольника ABC , если в ортонормированном базисе AB = ( 2,− 2,− 3) , BC = ( 2,2,9) . AB = (4,− 5,0) , 6. В ортонормированном базисе AC = ( 0,4,− 3) . Найти высоту BD треугольника ABC . Домашнее задание ABC , 1. Найти площадь треугольника если ∧

AB = 3a + 2b, AC = a − 3b, a = 2, b = 3, (a , b) = 30 0 .

11

2.

Найти синус угла меж-ду векторами m = 2a + b n = a − b , если a = 2, b =

∧

3 , (a , b ) =

и

π . 3

Занятие 8. Смешанное умножение векторов Цель занятия: Сформировать навыки применения смешанного умножения к решению геометрических задач. Задачи a = (1,− 1,1) , 1. В ортонормированном базисе b = ( 5,2,− 3) , c = (1,4,− 2 ) . Определить ориентацию этой тройки векторов. 2. В некотором базисе p = (1,− 2,1) , q = ( 3,1,− 2 ) , r = ( 7,14,13) . Выяснить, компланарны ли эти векторы. AB = (2,− 2,− 3) , 3. В ортонормированном базисе AC = ( 4,0,6 ) , AD = ( − 7,− 7,7 ) . Найти высоту DM тетраэдра ABCD . 4. Объем параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 равен 5. В ортонормированном базисе AB = (1,− 1,2) , AC = (1,− 2,4) . Найти координаты вектора AD1 , если он ортогонален векторам i и k . K , L, M 5. Точки – центры тяжести граней ABD, ACD, BCD тетраэдра ABCD . Найти отношение объемов тетраэдров ABCD и DKLM . Домашнее задание ИДЗ. Работа № 3. Векторное и смешанное умножение векторов. [5]. Занятие 9. Метод координат на плоскости Цель занятия: Выработать навыки решения простейших задач на метод координат. 12

Задачи 1. В аффинной системе координат заданы вершины A( 2,3) , B( 4,− 1) , C ( 0,5) параллелограмма ABCD . Найти координаты вершины D . 2. В аффинной системе координат A(1,4) , B (− 2,3) , C ( − 2,− 1) . Найти координаты центра тяжести треугольника ABC . 3. В прямоугольной системе координат A(3,3) , B( − 2,3) , C ( 0,− 1) . Найти координаты оснований биссектрис углов треугольника. 4. В прямоугольной системе координат A(− 3,6) , B( 9,− 10) , C ( − 5,4 ) . Найти центр и радиус окружности, описанной около треугольника ABC . 5. В прямоугольной системе координат A(1,1) , C( - 2,-1) . Найти координаты остальных вершин квадрата ABCD . 6. Доказать, что точки пересечения прямых, содержащих биссектрисы внешних углов разностороннего треугольника, с прямыми, содержащими третью сторону, лежат на одной прямой. 7. Найти множество всех точек плоскости, отношение расстояний от которых до заданных точек A и B равно 2. Занятие 10-11. Уравнение прямой Цель занятия: Сформировать навыки составления уравнения прямой. Задачи 1. В аффинной системе координат задана прямая l : 3 x − y − 5 = 0 . Найти: а) координаты направляющего вектора прямой; б) координаты точки, принадлежа13

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. 9.

щей прямой; в) кано-ническое, параметрические уравнения и уравнение прямой в отрезках; г) уравнение прямой, параллельной прямой l , и проходящей через точку B( 2,3) . В аффинной системе координат заданы точки A1 ( − 1,0 ) , B1 ( 2,− 1) , C1 ( − 3,− 3) – середины сторон треугольника ABC . Найти уравнения прямых, содержащих стороны этого треугольника. ABCD – параллелограмм, F – его центр. В аффинAB : x − y − 1 = 0 , ной системе координат AD : x − 2 y = 0, F ( 3,− 1) . Найти уравнения прямых BD и DC . В прямоугольной системе координат l : 2 x − 3 y − 3 = 0, M ( 5,− 2 ) . Найти проекцию точки M на прямую l . В прямоугольной системе координат l : 2 x − y − 10 = 0, M ( − 5,0 ) , N ( − 3,4) . На прямой l найти точку Q такую, что QM + QN = min . Найти уравнение прямой, проходящей через точку P(1,2 ) , и отсекающей на координатных осях равные отрезки. В прямоугольной системе координат A(1,5) , B ( − 1,2 ) , C ( 3,2 ) . Найти а) уравнения прямых, на которых лежат высоты, медианы треугольника ABC ; б) прямых, проходящих через вершины треугольника ABC параллельно противоположной стороне. Найти координаты вершин ромба ABCD , если AB : x + 3 y + 12 = 0, CD : x + 3 y − 8 = 0 , BD : 2 x + y + 4 = 0 . В прямоугольной системе координат A(1,− 2) , B( 2,3) . Найти третью вершину треугольника ABC , если она 14

лежит на прямой l : 2 x + y − 2 = 0 , а площадь треугольника равна 8 кв. ед. A( 0,3) 10. Даны вершина и прямые BB1 : x − y + 3 = 0, CC1 : 2 x + y + 4 = 0 , содержащие медианы треугольника ABC . Найти вершины B и C треугольника. Домашнее задание ИДЗ. Работа №1. Типовые задачи аналитической планиметрии. [7]. Занятие 12. Расстояние от точки до прямой Цель занятия: Выработать навыки вычисления расстояния от точки до прямой. Задачи 1. ABCD – квадрат. В прямоугольной системе координат BA : 4 x − 3 y − 7 = 0, A( 5,− 1) . Найти уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны квадрата. 2. Составить уравнение прямой, содержащей биссектрису угла между прямыми l : 3x + 4 y − 1 = 0 и m : 5 x + 12 y − 2 = 0 , в котором лежит точка K ( 2,1) . 3. Составить уравнение прямой, содержащей биссектрису внутреннего угла треугольника ABC , если A(1,0) , B ( − 2,3) , C (1,1) . 4. Через точку P( 2,5) провести прямую, равноудаленную от точек Q( − 1,2) и R( 5,4) . 5. Написать уравнение прямой, содержащей биссектрису большего из внутренних углов треугольника, стороны которого лежат на прямых AB : 3x − 4 y − 2 = 0 , AC : 4 x − 3 y − 5 = 0 , BA : 5 x + 12 y + 27 = 0 . Домашнее задание ИДЗ. Работа №1. Типовые задачи аналитической планиметрии. [7]. 15

Занятие 13. Угол между прямыми Цель занятия: Показать применение формулы вычисления направленного угла между прямыми к решению геометрических задач. Задачи 1. Определить угол между прямыми l : 3 x − y + 5 = 0 и m : 2x + y − 7 = 0 . 2. Составить уравнения прямых, проходящих под углом 45  к прямой l : 2 x + 3 y − 1 = 0 . 3. В равнобедренном треугольнике ABC расстояние от вершины A до боковой стороны равно 5 . Найти уравнение прямой ,содержащей сторону BC , если AC : x + 2 y + 6 = 0, AB : 2 x + y = 0 . 4. Написать уравнения прямых, содержащих стороны квадрата, описанного около окружности с центром C 0 (1,9) и радиусом 5, если одна из его диагоналей параллельна прямой l : x − 7 y = 0 . Домашнее задание ИДЗ. Работа №1. Типовые задачи аналитической планиметрии. [7]. Занятие 14. Эллипс, гипербола, парабола Цель занятия: Сформировать умения составлять канонические уравнения линий второго порядка. Задачи 1. Найти уравнение окружности с центром C ( 3,− 1) , отсекающей на прямой l : 2 x − 5 y + 18 = 0 хорду длины 6. 2. Найти уравнение окружности, касающейся прямых 3 33 l : 5 x − 12 y + 9 = 0 и m : 5 x − 12 y + 61 = 0 , если M ( , ) – 13 39 точка касания с прямой l . 16

3.

Написать

уравнение эллипса,

если:

а)

его

12 большая ось равна 10, а эксцентриситет равен ; б) 13

расстояние между директрисами равно 5, а расстояние между фокусами равно 4; в) расстояние между директрисами равно 32, а эксцентриситет равен 4.

5.

1 . 2

Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса 9 x 2 + 5 y 2 = 0 , а две другие совпадают с концами его малой оси. Найти уравнение гиперболы, если: а) его асимптоты задаются уравнениями y = ±

12 x , а расстояние меж5

ду вершинами равно 48; б) расстояние между дирек50 7 , а эксцентриситет равен ; 7 5 4 в) асимптоты задаются уравнениями y = ± x , а рас3 32 стояние между директрисами равно . 5

трисами равно

6.

7.

Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы 9 x 2 − 4 y 2 = 36 и прямой 9 x + 2 y − 24 = 0 . Найти уравнение параболы, если: а) она расположена в полуплоскости, определяемой неравенством y ≥ 0 , симметрична относительно оси Oy и ее фо1 ; б) она расположена в 4 полуплоскости, определяемой неравенством x ≤ 0 , симметрична относительно оси Ox и ее фокальный 1 параметр равен . 2

кальный параметр равен

17

Найти уравнение пара-болы с вершиной O , осью Oy и проходящей через точку A( − 9,6 ) . 9. Найти уравнение параболы с вершиной O , осью симметрии Oy и фокусом F ( 0,− 3) . Домашнее задание ИДЗ. Работа №4. Канонические уравнения конических сечений. [7] 8.

Занятие 15-16. Приведение общего уравнения линии II порядка к каноническому виду Цель занятия: Сформировать умение приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Задачи 1. Привести к каноническому виду уравнения: 1). 2 x 2 − 8 x + 4 y + 9 = 0 ; 2). x 2 + 6 y 2 − 6 x + 12 y + 13 = 0 ; 3). y 2 − 2 x − 10 = 0 ; 4). x 2 − 4 y 2 − 4 x − 8 y − 4 = 0 . 2. Найти угол, на который следует повернуть оси координат, чтобы в уравнении группа старших членов не содержала члена с произведением текущих координат 1). 5 x 2 + 8 xy + 5 y 2 − 9 = 0 ; 2). 4 x 2 − 4 xy + y 2 − 15 = 0 ; 3). 5 x 2 − 6 xy + 5 y 2 + 16 = 0 ; 4). x 2 + 2 xy + y 2 = 0 ; 5). 9 x 2 + 24 xy + 16 y 2 − 40 x + 30 y = 0 . 3. Привести к каноническому виду уравнение кривой 1). 29 x 2 + 144 xy + 71y 2 − 40 x + 30 y − 50 = 0 ; 2). 9 x 2 − 24 xy + 16 y 2 − 20 x + 110 y − 50 = 0 ; 3). 9 x 2 + 16 y 2 − 24 xy + 30 x − 40 y − 25 = 0 ; 4). 3x 2 − 3 y 2 + 2 xy − 2 x − 2 3 y = 0 ; 5). 25 x 2 + 40 y 2 + 36 xy − 34 x − 116 y + 89 = 0 ; 6). 9 x 2 + 4 y 2 − 12 xy + 39 = 0 . Домашнее задание ИДЗ. Работа № 5. Приведение общего уравнения квадрики к каноническому виду. [7] 18

Занятие 17-18. Центр линии II порядка. Асимптотические направления. Главные направления. Главные диаметры Задачи 1. Найти центр линии второго порядка, заданной уравнением: 1). x 2 − 4 xy + 5 y 2 + 20 x + 16 y + 5 = 0 ; 2). x 2 − 2 xy + y 2 + 6 x − 2 y + 1 = 0 ; 3). 12 x 2 + 7 xy − 12 y 2 − 1 = 0 ; 4). x 2 + 2 xy + y 2 − 6 x − 6 y + 5 = 0 . 2. Используя понятие асимптотических направлений, показать, что линия x 2 − x + y = 0 не эллипс и не гипербола, а кривая xy + x + 1 = 0 не парабола и не эллипс. 3. Написать уравнение диаметра эллипса 2 2 12 x + 16 y = 192 , проходящего через середину хорды, отсекаемой эллипсом на прямой 3x + 2 y − 6 = 0 . 4. Написать уравнение диаметра линии 2 2 6 x − 5 xy + y + 8 x = 0 , делящего пополам хорды, параллельные прямой 2 x + 3 y + 4 = 0 . 5. Написать уравнение диаметра линии 2 2 6 x − 9 xy + 13 y + 2 x + 4 y + 5 = 0 , проходящего через точку K (1,− 2) . 6. Написать уравнения двух сопряженных диаметров гиперболы 12 x 2 − 16 y 2 = 192 , один из которых проходит через точку K ( 2,1) . 7. Найти главные направления линий: а) x 2 − 4 xy + 4 y 2 − 5 x + 10 y + 6 = 0 ; б) 5 x 2 + 8 xy + 5 y 2 − 18 x − 18 y + 9 = 0 ; в) x 2 + xy + 2 y 2 − 3x + y = 0 . 19

5. Вопросы к коллоквиуму по теме: «Векторная алгебра» 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Сумма свободных векторов. Доказательство законов сложения векторов. Сумма свободных векторов. Доказательство законов сложения векторов. Сумма свободных векторов. Доказательство законов сложения векторов. Сумма свободных векторов. Доказательство законов сложения векторов. Сумма свободных векторов. Доказательство законов сложения векторов. Сумма свободных векторов. Доказательство законов сложения векторов. Умножение свободного вектора на число. Законы умножения вектора на число. Доказательство закона λ µ x = (λ µ )x . Умножение свободного вектора на число. Законы умножения вектора на число. Доказательство закона λ x+ y = λ x+ λ y. Умножение свободного вектора на число. Законы умножения вектора на число. Доказательство закона (λ + µ )x = λ x + µ x . Векторное пространство над полем действительных чисел. Примеры векторных пространств. Линейная зависимость системы векторов. Условие линейной зависимости системы из n ( n > 1) векторов.

( )

8.

(

9.

10. 11.

)

20

12.

13.

14. 15.

16.

17.

Линейная зависимость системы векторов. Геометрический смысл линейной зависимости системы из двух свободных векторов. Линейная зависимость системы векторов. Геометрический смысл линейной зависимости системы из трех свободных векторов. Линейная зависимость системы из четырех свободных векторов. Базис векторного пространства. Координаты вектора. Теорема об однозначности координат вектора относительно данного базиса. Базис векторного пространства. Координаты вектора. Теорема о координатах линейной комбинации векторов. Векторная и скалярная проекции вектора на вектор. Свойства проекций. Доказательство свойств пр x a + b = пр x a + пр x b , прч a + b = пр x a + пр x b . Векторная и скалярная проекции вектора на вектор. Свойства проекций. Доказательство свойств пр x λ a = λ пр x a . пр x λ a = λ пр x a , Векторная и скалярная проекции вектора на вектор. Свойства проекций. Доказательство свойства

(

18.

(

)

( )

( )

19.

)

∧

пр x a = a cos ( x, a ) . 20.

21.

Скалярное умножение свободных векторов. Законы скалярного умножения векторов. Доказательство закона вынесения числового множителя за знак скалярного умножения. Скалярное умножение свободных векторов. Законы скалярного умножения векторов. Доказательство 21

22.

23.

24.

25.

26.

27. 28.

29. 30.

31.

распределительного закона скалярного умножения векторов. Скалярное умножение свободных векторов. Вычисление скалярного произведения векторов и длины вектора через координаты в ортонормированном базисе. Векторное умножение векторов. Законы векторного умножения. Доказательство закона антикоммутативности. Векторное умножение векторов. Законы векторного умножения. Доказательство распределительного закона. Векторное умножение векторов. Законы векторного умножения. Доказательство закона вынесения числового множителя за знак векторного умножения. Векторное умножение векторов. Вычисление векторного произведения через координаты в ортонормированном базисе. Смешанное умножение свободных векторов. Условие компланарности трех векторов. Смешанное умножение векторов. Теорема о геометрическом смысле смешанного произведения трех некомпланарных векторов. Смешанное умножение векторов. Законы смешанного умножения. Смешанное умножение векторов. Вычисление смешанного произведения через координаты в ортонормированном базисе. Смешанное умножение векторов. Вычисление смешанного произведения через координаты в произвольном базисе 22

6. Вопросы и задачи к 1.

2.

3.

4.

5.

6. 7.

8.

экзамену

Множество всех свободных векторов геометрического пространства как пример векторного пространства. Доказательство законов сложения свободных векторов. Множество всех свободных векторов геометрического пространства как пример векторного пространства. Разность векторов. Множество всех свободных векторов геометрического пространства как пример векторного пространства. Доказательство закона ассоциативности относительно числовых множителей при умножении вектора на число. Множество всех свободных векторов геометрического как пример векторного пространства. Доказательство закона дистрибутивности относительно сложения чисел при умножении вектора на число. Множество всех свободных векторов геометрического пространства как пример векторного пространства. Доказательство закона дистрибутивности относительно сложения векторов при умножении вектора на число. Линейная зависимость системы векторов. Условие линейной зависимости системы из n векторов. Линейная зависимость системы векторов. Геометрический смысл линейной зависимости системы из одного, двух или трех свободных векторов. Базис векторного пространства. Координаты вектора. Координаты линейной комбинации векторов.

23

Скалярное умножение векторов, его законы, вычисление скалярного произведения через координаты в ортонормированном базисе. 10. Векторное умножение свободных векторов (определение, свойства, доказательство законов). 11. Смешанное умножение векторов, законы смешанного умножения. 12. Различные способы задания прямой. Прямая как алгебраическая линия первого порядка. 13. Расположение прямой относительно системы координат в зависимости от коэффициентов и свободных членов в общем уравнении. 14.Геометрический смысл знака трехчлена прямой. 15. Взаимное расположение двух прямых. 16. Направленный угол между прямыми. 17. Эллипс (определение, вывод канонического уравнения, изучение формы). 18. Гипербола (вывод канонического уравнения, исследование формы) 19. Парабола (определение, вывод канонического уравнения, изучение формы). 20. Директориальное свойство эллипса и гиперболы. 21. Полярная система координат на плоскости. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат. 22. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду, классификация линий второго порядка. 23. Центр линии второго порядка. 24.Взаимное расположение прямой и линии второго порядка. 25. Касательная к линии второго порядка. 9.

24

Асимптотические направления относительно линии второго порядка. 27.Диаметры линии второго порядка. 28. Направления, сопряженные относительно линии второго порядка. 29.Диаметры линии второго порядка. Сопряженные диаметры. 30.Главные направления. Главные диаметры линии второго порядка 26.

ЗАДАЧИ 1. Составить уравнения прямых, отстоящих от данной прямой на данном расстоянии. 2. Составить уравнения прямых, проходящих через данную точку под данным углом к данной прямой. 3. Найти координаты вершин ромба, если известны уравнения прямых, содержащих две противоположные стороны, и прямой, содержащей диагональ ромба. 4. Найти уравнение окружности, проходящей через три заданные точки. 5. Для треугольника ABC известны уравнения прямых AB и BC , и уравнение прямой, содержащей медиану AA1 . Найти уравнение прямой AC . 6. Найти точку, симметричную данной точке относительно данной прямой. 7. Найти проекцию данной точки на данную прямую. 8. Найти координаты вершин параллелограмма, если известны уравнения прямых, содержащих две его смежные стороны, и уравнение прямой, содержа25

щей диагональ парал-лелограмма, не проходящую через точку пересечения этих прямых. 9. Даны координаты двух вершин и ортоцентра треугольника. Найти его третью вершину. 10. Даны координаты вершин треугольника. Составить уравнение прямой, содержащей биссектрису внутреннего угла треугольника. 11. Составить уравнение прямой, содержащей биссектрису того угла между двумя заданными прямыми, в котором лежит данная точка. 12. Найти координаты вершин параллелограмма, если даны уравнения прямых, содержащих две его смежные стороны, и точка пересечения его диагоналей. 13. Найти ортоцентр треугольника, если заданы уравнения прямых, содержащих его стороны. 14. Известны координаты вершины треугольника и уравнения двух прямых, содержащих соответственно высоту и медиану, проведенные из другой вершины треугольника. Найти уравнения прямых, содержащих стороны треугольника. 15. Известны уравнение прямой, содержащей сторону треугольника и уравнения прямых, содержащих высоты треугольника, проведенные к двум другим сторонам. Найти уравнения прямых, содержащих две другие стороны треугольника и его третью высоту. 16. Найти уравнения прямых, содержащих стороны треугольника, если даны одна его вершина и уравнения прямых, содержащих высоты, проведенные из двух других вершин. 17.Написать каноническое уравнение гиперболы, если известны: 26

• Действительная ось и уравнения асимптот; • Координаты фокусов и точка, через которую проходит гипербола; • Координаты фокусов и эксцентриситет; • Уравнения асимптот и директрис.

7. Вопросы для самопроверки при подготовке к экзамену 1. Что такое аффинный репер? 2. Как задать аффинный репер на прямой, на плоскости? 3. Какой репер называется ортонормированным? 4. Что такое радиус-вектор точки? 5. Дайте определение координат точки в данном аффинном репере. 6. Как построить точку по ее координатам? 7. Для каких точек плоскости абсцисса (ордината) равна нулю? 8. Какие задачи называются метрическими, а какие аффинными? 9. Как по координатам точек и найти: 1) координаты вектора AB , 2) координаты середины отрезка , 3) расстояние между точками и ? Какие из этих задач являются аффинными, а какие метрическими? 10. Как проверить коллинеарность трех данных точек? 11. Что такое простое отношение трех коллинеарных точек? Как его найти, если известны координаты точек? Как найти координаты точки , делящей отрезок в отношении λ? A

B

AB

A

B

C

27

AB

12.

13.

14. 15. 16.

В каком случае простое отношение трех коллинеарных точек положительно (отрицательно, равно нулю, не определено)? Какому действительному числу не может быть равно простое отношение трех коллинеарных точек? Запишите формулы преобразования координат точки при переносе начала системы координат в другую точку. Запишите формулы преобразования координат точки при замене осей координат. Что называется уравнением фигуры в данном аффинном репере? Запишите уравнение окружности с центром в точке M (x , y ) радиусом R. Что называется полярной системой координат? r Найдите полярные координаты точки в ( O, i ) , если из0

17. 18.

0

вестны ее декартовы координаты в 19.

r r R = O, i, j ?

(

)

rr R = O, i , j

(

Найдите декартовы координаты точки в r

) ,

если известны ее полярные координаты в ( O, i ) ? 20. Что называется обобщенными полярными координатами точки? 21.В чем заключается суть метода координат? 22. Какая линия называется алгебраической линией порядка n? 23. Какие способы задания прямой на плоскости вы знаете? 24. Какой вектор называется направляющим вектором прямой? 28

Какие виды уравнений прямой на плоскости вы знаете? Запишите их и объясните геометрический смысл коэффициентов этих уравнений. Какие ограничения накладываются на коэффициенты в этих уравнениях? 26.Прямая задана уравнением одного из видов: 1) общим, 2) каноническим, 3) параметрическими, 4) в отрезках, 5) с угловым коэффициентом, 6) векторным. Как по уравнению определить координаты нескольких точек, принадлежащих этой прямой, координаты нескольких точек, не принадлежащих этой прямой, координаты направляющего вектора прямой? Задает ли уравнение с угловым коэффициентом любую прямую на плоскости? 27. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты А, В, С в уравнении прямой Ax+By+C=0, чтобы эта прямая: 1) проходила через начало координат; 2) была параллельна оси абсцисс; 3) была параллельна оси ординат; 4) совпадала с осью абсцисс; 5) совпадала с осью ординат? 28. Как выяснить взаимное расположение двух прямых, если они заданы: 1) общими уравнениями, 2) каноническими уравнениями, 3) параметрическими уравнениями, 4) уравнениями с угловым коэффициентом? 29.Какие условия задают полуплоскость? 25.

29

Как определить, пересе-кает ли отрезок прямую? 31. Какой вектор называется нормальным вектором прямой? Как найти его координаты, если прямая задана общим уравнением? 32.Как выяснить, перпендикулярны ли две прямые, если прямые заданы: 1) общими уравнениями, 2) каноническими уравнениями, 3) параметрическими уравнениями, 4) уравнениями с угловым коэффициентом? 33. Что называется углом между прямыми? 34.Что такое направленный угол между прямыми? 35. Как вычислить угол (направленный угол) между прямыми? 36.Запишите формулу вычисления расстояния от точки до прямой, заданной общим уравнением? 37. Как найти расстояние между параллельными прямыми? 38.Что такое пучок прямых? Запишите уравнение пучка прямых с центром в данной точке. 39.Дайте определение эллипса, гиперболы, параболы. 40. Как вводится система координат для нахождения канонического уравнения эллипса, гиперболы, параболы? Запишите канонические уравнения этих кривых. 41. Какими условиями связаны между собой коэффициенты а, b и с в канонических уравнениях эллипса и гиперболы? 42. Эллипс (гипербола, парабола) задан каноническим уравнением. Запишите: 1) координаты вершин, 2) координаты фокусов, 3) уравнения директрис, 30.

30

4) уравнения асимптот ги-перболы. 43. Что такое эксцентриситет эллипса (гиперболы)? 44. Запишите формулы вычисления эксцентриситета эллипса и гиперболы через коэффициенты а и b (а и с). 45. Какие значения может принимать эксцентриситет эллипса (гиперболы)? В каком случае эксцентриситет равен нулю? 46. Как связаны эксцентриситет и форма эллипса (гиперболы)? 47.Сформулируйте директориальное свойство эллипса (гиперболы). 48. Опишите способ построения эллипса, гиперболы и параболы с помощью циркуля и линейки. 49.Запишите уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат. 50.Что такое линия второго порядка (квадрика)? 51. Дано уравнение квадрики. Как найти систему координат, в которой эта квадрика имеет каноническое уравнение (опишите алгоритм решения этой задачи)? 52. С какой целью осуществляется поворот системы координат при приведении уравнения квадрики к каноническому виду? 53. С какой целью осуществляется параллельный перенос системы координат при приведении уравнения квадрики к каноническому виду в случае: 1) квадрик эллиптического и гиперболического типов; 2) квадрик параболического типа? 54. Какие квадрики относятся к квадрикам эллиптического типа (параболического, гиперболического)? 55.Что такое центр квадрики? 56. Какой вид имеет уравнение квадрики, если начало системы координат совпадает с ее центром? 31

Какие квадрики являются центральными? Какие квадрики не имеют центра, имеют целую прямую центров? 58. Какое направление называется асимптотическим относительно данной квадрики? 59. Квадрика задана общим уравнением. Запишите условие асимптотического направления относительно данной квадрики. 60. Какие квадрики имеют два асимптотических направления, одно асимптотическое направление, не имеют асимптотических направлений? 61.Что называется особой точкой квадрики? 62. Что называется касательной к квадрике в данной точке? Через любую ли точку квадрики можно провести касательную? 63. Квадрика задана уравнением. Запишите уравнение касательной к этой квадрике в данной точке. 64. Как построить диаметр эллипса (гиперболы, параболы, пары параллельных прямых, пары пересекающихся прямых), сопряженный данному неасимптотическому направлению? 65.Какие диаметры квадрики называются сопряженными? 66. Какое направление называется главным относительно линии второго порядка? 67. Какой вид имеет уравнение квадрики, если оси системы координат направлены по ее главным направлениям? 68. Сколько существует главных направлений относительно квадрики? Изобразите их для каждой из квадрик. 57.

8. Нулевой вариант контрольной работы по векторной алгебре 32

1.

2.

ABCDEK – правиль-

ный шестиугольник. Найти координаты векторов EK , BE , CK , EC , BK , AC в базисе e1 = KA, e2 = KD . В треугольнике MTP найти длину медианы MK , ∧

если MT = 2a − b, MP = a + 3b, a = 2, b = 2 3 , (a , b) = 3.

4.

π . 6

Найти высоту параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 , если D1C1 = ( 2,− 1,1) , AA1 = ( − 2,1,− 3) , BC = ( − 4,1,3) . Какую часть объема призмы ABCA1 B1C1 составляет объем тетраэдра KPMT , если K , P, M , T – середины ребер A1 B1 , AA1 , CC1 , BB1 ?

9. Вариант тестового задания для контроля остаточных знаний 1. Дан правильный шестиугольник

. – точка пересечения его диагоналей. Сумма векторов AB + OE равна: а) BO ; б) OA ; в) BE ; г) AE ; д) AO . 2. Найдите векторное произведение векторов a = (1;3;− 1) и b = (− 2;6;− 1) , если их координаты заданы относительно ортонормированного базиса. а) ( − 2;18;1) ; б) 325 ; в) ( 3;3;12) ; г) ( 3;− 3;12) ; д) 9 2 . 3. Заданы R = O, e1 , e2 и точки A( − 3;4 ) и B( 3;− 8) . Найдите координаты точки C такой, что простое отношение точек A, B, C равно 5 .

(

а) ( 2;− 6) ; б) (0;

ABCDEF

O

)

22 12 36 4 ) ; в) (12;36) ; г) ( ; ) ; д) (0;− ) . 3 5 5 5

4. Общее уравнение прямой, проходящей через точку A( − 3;4 ) параллельно вектору a = ( − 1;2 ) , имеет вид : 33

2x + y + 2 = 0 ; б) 2 x − y + 10 = 0 ; − x + 2 y − 11 = 0 ; г) 3x − 4 y + 7 = 0 ; д) 4 x + 3 y − 2 = 0 .

а)

в)

5. Относительно аффинной системы координат уравнеx2 y2 ние 2 − 2 = 0 задает: а) эллипс; б) гиперболу; в) параa b

болу; г) мнимый эллипс; д) пару пересекающихся прямых. 6. В треугольнике ABC AM и BH – медианы. Найдите координаты вектора BH в базисе B = AM , BM . 7. Составьте уравнения прямых, содержащих биссектрисы углов, образованных при пересечении прямых 3 x + 4 y − 1 = 0 и 5 x + 12 y + 3 = 0 . 8. Составьте каноническое уравнение эллипса, если его малая ось равна 6 , а расстояние между фокусами равно 8 . 9. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения прямых, содержащих две его стороны: x + 3 y + 12 = 0, x + 3 y − 8 = 0 и уравнение прямой, содержащей его диагональ: 2 x + y + 4 = 0 . 10. Составьте уравнение множества всех точек плоскости, расстояние от каждой из которых до точки A( 2;0) в два раза больше расстояния до прямой x + 1 = 0 .

(

)

10. Методические советы студентам-первокурсникам Лекция. Как ее слушать и записывать 1. Лекция – основной вид обучения в вузе.

34

2.

3.

4.

5.

6.

1.

2.

1. 2.

В лекции излагаются основные положения теории, ее понятия и законы, приводятся факты, показывающие связь теории с практикой. Накануне лекции необходимо повторить содержание предыдущей лекции (а также теорию по изучаемой теме в школьных учебниках геометрии, если эта тема была представлена в них), а затем посмотреть тему очередной лекции по программе (плану лекций). Полезно вести запись (конспекты) лекций: для непонятных вопросов оставлять место при работе над темой лекции с учебными пособиями. Записи лекций следует вести в отдельной тетради, оставляя место для дополнений во время самостоятельной работы. При конспектировании лекций выделяйте главы и разделы, параграфы, подчеркивайте основное. Практическое занятие. Как к нему готовиться Практическое занятие – наиболее активный вид учебных занятий в вузе. Он предполагает самостоятельную работу над лекциями и учебными пособиями. К каждому практическому занятию нужно готовиться. Подготовку следует начинать с повторения теории (по записям лекций или по учебному пособию). После этого нужно решать задачи из предложенного домашнего задания. Организация самостоятельной работы На самостоятельную работу по геометрии следует расходовать по 3-4 часа в неделю. Начинать самостоятельные занятия следует с первых же дней семестра, установив определенный порядок, 35

равномерный ритм на весь семестр. Полезно для этого составить расписание порядка дня.

Литература 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Атанасян, Л.С. Геометрия. Ч. 1 [Текст] : учеб. пособие / Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. – М.: Просвещение, 1986. – 336 с. Атанасян, Л.С. Сборник задач по геометрии. Ч. 1 [Текст] /Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян. – М.: Просвещение, 1973. – 256 с. Базылев, В.Т. Геометрия. Ч 1 [Текст] : учеб. пособие / В.Т. Базылев, К.И. Дуничев, В.П. Иваницкая. – Б.м.:Б.и., 2004. – 351 с. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в системе таблиц [Текст]: сост. Т.А. Унегова. – Екатеринбург: УрГПУ, 1999. – 34 с. Дидактические материалы по векторной алгебре [Текст]: составители Г.А.Мазаева, Т.А.Унегова, Г.Ф. Шульгина. – Екатеринбург: УрГПУ, 1995. – 47 с. Жафяров, А.Ж. Геометрия. Ч. 1 [Текст]: учеб. пособие / А.Ж. Жафяров. – Новосибирск: Сибирское университет. изд-во, 2002. – 271 с. Индивидуальные задания по аналитической планиметрии [Текст]: сост. Т.А. Унегова. – Екатеринбург: УрГПУ,. 1995. – 48 с.

36

Учебно-методическое издание Геометрия. Методические рекомендации для студентов I курса математического факультета. Часть I Составители: Толстопятов Владимир Павлович 37

кандидат физико-математи- ческих наук доцент доцент кафедры геометрии Дударева Наталия Владимировна кандидат педагогических наук доцент кафедры геометрии Хохлова Ольга Викторовна ассистент кафедры геометрии раб. тел. 371-29-10

ГЕОМЕТРИЯ Методические рекомендации для студентов I курса математического факультета 38

часть 1

Подписано в печать Формат 60х84/16 Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 2 Тираж экз. Заказ Уральский государственный педагогический университет 620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26

39