Исследование симметричного и асимметричного dc-сквидов: Лабораторный практикум

Министерство образования Российской Федерации

УДК 538. 945 И88

Омский государственный университет

Рекомендован к изданию учебно-методическим советом ОмГУ. Протокол № 1 от 28 апреля 2004 г.

И88

Исследование симметричного и асимметричного dc-сквидов

Практикум включает две лабораторные работы. Материал соответствует Государственному образовательному стандарту по специальности 010400 «Физика». Может быть использован студентами других специальностей. УДК 538. 945

Лабораторный практикум (для студентов физического факультета) Специальность 010400 «Физика»

Издание ОмГУ

Исследование симметричного и асимметричного dc-сквидов: Лабораторный практикум (для студентов физического факультета) / Сост.: Н.В. Блинов, О.Л. Курнявко, Д.C. Пашкевич, И.В. Широков, К.Н. Югай. – Омск: Омск. гос. ун-т, 2004. – 28 с.

© Омский госуниверситет, 2004

Омск 2004 2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 Исследование симметричного dc-сквида Сквиды – это сверхпроводящие сенсоры, позволяющие измерять чрезвычайно слабые магнитные поля. Само слово сквид – это русское произношение английской аббревиатуры SQUID – Superconducting Quantum Interference Device (сверхпроводящее квантовое интерференционное устройство). С помощью сквидов можно создать магнитометры с чувствительностью порядка 10–11 Гс, вольтметры с чувствительностью порядка 10–15 В и другие приборы с очень высокой чувствительностью. Открытие в 1986 году Беднорзом и Мюллером высокотемпературных сверхпроводников – металлооксидных керамик – сделало приборы на основе сквидов доступными для широкого использования. Различают два вида сквидов: сквид на постоянном токе – dc-сквид (двухконтактный сквид) и высокочастотный – rf-сквид (одноконтактный). Ниже рассматриваются свойства dc-сквида. Причем используется простейшая модель dc-сквида – симметричная модель, в которой предполагается полное равенство плеч сквида. Цель лабораторной работы – исследовать симметричный dc-сквид с помощью численного решения системы уравнений для dc-сквида; для ряда конкретных параметров сквида найти важнейшие характеристики сквида: вольтамперную и вольтпотоковую характеристику, его чувствительность. Уравнение симметричного dc-сквида Dc-сквид состоит из двух джозефсоновских переходов, включенных в сверхпроводящее кольцо с индуктивностью L. Это кольцо называют контуром квантования. При наведении на сквид внешнего потока магнитного поля Φ e возникающее на сквиде напряжение V является периодической функцией Φ e при постоянном токе смещения I.

3

Схема dc-сквида изображена на рис. 1. В симметричном dcсквиде критические токи левого и правого переходов, отмеченных на рис. 1 крестиками, равны I c1 = I c 2 ≡ I c , равны также сопротивления R1 = R2 ≡ R и индуктивности плеч L1 = L2 =

L , где L – полная 2

индуктивность кольца.

Рис. 1. Схема dc-сквида Уравнение dc-сквида основывается на двух соотношениях Джозефсона: I s = I c sin ϕ, (1) h

∂ϕ = 2eV , ∂t

(2)

где Is – сверхпроводящий ток через джозефсоновский переход; ϕ – разность фаз волновых функций сверхпроводящего конденсата на переходе; V – напряжение на переходе. Уравнение (1) определяет стационарный эффект Джозефсона, а уравнение (2) нестационарный эффект. 4

Полный ток смещения в сквиде I = I1( t ) + I 2 ( t ) = const . (3) Несмотря на то, что I = const, токи I1 и I2 являются в общем случае функциями времени из-за возникновения индуцированного внешним переменным магнитным полем кругового тока в кольце. Ток I1, а также ток I2 имеет две компоненты: сверхпроводящую и нормальную: V (t ) I1( t ) = I c sin ϕ1( t ) + 1 , (4) R1 I 2 ( t ) = I c sinϕ 2 ( t ) +

V2 ( t ) . R2

можно записать круговой ток J в виде Φ ( t ) Φ( t ) J= e − . L L Полный поток Φ связан с разностью ϕ 2 − ϕ1 соотношением ϕ 2 − ϕ1 = 2π где Φ 0 =

Φ( t ) , Φ0

(10’)

(11)

πh – квант потока. Покажем справедливость соотношения e

(11).

(5)

Разность фаз ϕ1 и ϕ 2 согласно (2) определяются уравнениями: ∂ϕ1 2e = V1( t ), ∂t h

(6)

∂ϕ 2 2e = V2 ( t ) . (7) ∂t h Напряжение на сквиде V определяется следующим образом: dI ( t ) dI ( t ) V ( t ) = V1( t ) + L1 1 = V2 ( t ) + L2 2 . (8) dt dt Уравнения (3)–(8) в принципе описывают работу dc-сквида, поскольку влияние внешнего магнитного поля учитывается зависимостью I1 и I2 от времени, что в свою очередь позволяет найти разность потенциалов на сквиде (8). Однако удобнее явно ввести поток внешнего магнитного поля в уравнение dc-сквида. Это можно сделать следующим образом: введем круговой ток в контуре I ( t ) − I1( t ) J( t ) = 2 . (9) 2 С помощью выражения для полного потока Φ , сцепленного с контуром Φ( t ) = Φ e ( t ) − LJ ( t ) , (10) 5

Рис. 2. К выводу соотношения (11): штриховыми линиями изображены контуры, по которым проводят интегрирование Проведем внутри кольца контуры ac и db, соединяющие пары точек, расположенных вблизи переходов (рис. 2). Обобщенный импульс куперовской пары имеет вид: r r h∇θ = 2mvs + 2eA, (12) r где θ – фаза волновой функции сверхпроводящего конденсата; vs – скорость куперовской пары. Полагая, что контуры ac и db расположены на расстоянии от края кольца, превышающем лондоновскую 6

глубину проникновения магнитного поля λ , и интегрируя (12) по этим контурам, получим 2e  a r r d r r  θ a − θ c + θ d − θ b =  ∫ A dl + ∫ A dl . (13) h c b  Вводя обозначение разности фаз на левом ϕ1 и правом ϕ 2 переходах θb − θ a = ϕ1 , θ d − θ c = ϕ 2 (14) и учитывая, что расстояние между точками a и b, а также c и d малы по сравнению с длинами контуров ca и bd, получаем 2e r r Φ ϕ 2 − ϕ1 = A dl = 2π , ∫ h abcda Φ0 поскольку по теореме Стокса r r r r r r ∫ A dl = ∫ rot A dS = ∫ H dS = Φ , abcda

S

S

где S – площадь контура квантования. С учетом (11) выражение для кругового тока запишем в виде J ( t ) 2 Φ e ϕ 2 ( t ) − ϕ1( t ) = − , (15) Ic β Φ0 πβ где введем параметр β β=

2Ic L . Φ0

(16)

В выражении (9), подставляя вместо I1 или I2 , соответствующее выражение из (3), получим I − 2 I1( t ) − I + 2 I 2 ( t ) J( t ) = = , (17) 2 2 откуда имеем dJ ( t ) dI ( t ) dJ ( t ) dI 2 ( t ) =− 1 , = . (18) dt dt dt dt Учитывая (18), можно записать выражение для разности потенциалов на сквиде V(t) в виде L dJ ( t ) L dJ ( t ) V ( t ) = V1( t ) − = V2 ( t ) + . (19) 2 dt 2 dt 7

Отсюда с учетом (6) и (7) получаем V +V h  dϕ ( t ) dϕ 2 ( t )  V( t ) = 1 2 =  1 (20) + . 2 4e  dt dt  Подставляя в (6) и (7) соответствующие выражения для V1 и V2 из (4) и (5), получим dϕ1 2eR = (I1( t ) − I c sinϕ1( t )), (21) dt h dϕ 2 2eR = (I 2 ( t ) − Ic sin ϕ 2 ( t )) . (22) dt h Из соотношений (3) и (9) имеем 1 1 (23) I1 = − J , I 2 = + J . 2 2 Подставляя (23) в (21) и (22), получаем dϕ1 2eR  I  = (24)  − J ( t ) − I sinϕ1( t ) , dt h 2  dϕ 2 2eR  I  = (25)  + J ( t ) − I sin ϕ1( t ). dt h 2  Уравнения (15), (20), (24) и (25) составляют систему уравнений, описывающих dc-сквид без учета шума. Для удобства вычислений перейдем к безразмерным величинам. Введем обозначения: h h Φ h = = 0 ≡ τ c , Vc = I c R = . 2eRI c 2eVc 2πVc 2eτ c С учетом этих обозначений образуем безразмерные величины: t I J → t, ≡ i, ≡ iL , τc Ic Ic V L Φe ≡ φe . ≡ v, ≡ l, Φ0 Vc Lc Тогда система уравнений dc-сквида записывается в виде: dϕ1 i = − iL ( t ) − sinϕ1( t ), dt 2 dϕ 2 i = + iL ( t ) − sin ϕ 2 ( t ), (26) dt 2 8

1  dϕ ( t ) dϕ 2 ( t )  2φ ϕ − ϕ1 v=  1 . +  , iL = e − 2 2  dt dt  β πβ В общем случае система уравнений (26) может быть решена только численно. Интегрируя (26), можно определить все важнейшие характеристики сквида, а также чувствительность, определяемую выражением  ∂V   . S =   ∂Φ e  I Критический ток, вольтамперная, вольтпотоковая характеристики и чувствительность dc-сквида Пусть Φ e = 0 , тогда при токе смещения I, меньшем удвоенного значения критического тока Ic, I < 2Ic, ток, протекающий через джозефсоновские переходы, будет являться сверхпроводящим I = I1s ( t ) + I 2 s ( t ) = I c (sinϕ1 + sinϕ 2 ) или ϕ − ϕ1 ϕ + ϕ2 I = 2 I c cos( 2 ) sin( 1 ). (27) 2 2

Используя (11), запишем ток I в виде I = 2 I c cos( π

Φ Φ ) sin( π + ϕ1 ). Φ0 Φ0

(28)

Отсюда можно видеть, что максимальный сверхпроводящий ток I m = 2 I c cos( π

Φ ) Φ0

(29)

является периодической функцией полного потока, захваченного контуром. Как видно из рис. 3, |Im| = 2Ic при Φ = nΦ 0 , где n = 0,1,2,..., т. е. при целом значении квантов захваченного потока. При числе квантов, равном полуцелому числу n+1/2, Im=0. Зависимость Im от внешнего потока Φ e будет также функцией от индуктивности контура или от параметра β . В соответствии с выражением (10)    π (Φ e − LJ ) = 2 I c cosπ Φ e − πβJ  I m = 2 I c cos  Φ 0 2Ic    Φ0

(30)

зависит от параметра β . Чем больше β , тем меньше разность ∆ I m между значениями Im при Φ e = 0 и его значением при Φ e = 0,5Φ 0 (при β → ∞ , ∆ I m → 0 ). При β → 0 , т. е. при L → 0 , Φ → Φ e ,

∆I m → 1 . Таким образом, изменение внешнего потока при заданном 2I c β приведет к изменению максимального критического тока; Im миΦe Φe нимален при = 0 ,5 и максимален (| I m |= 2 I c ) при =0 и Φ0 Φ0 Φe = 1. Φ0 Рис. 3. Зависимость максимального сверхтока Im от полного потока в контуре Φ 9

10

ВАХ совпадает с предыдущей ВАХ (а). При

Φe = 0 ,5 ВАХ лежит Φ0

ниже всех остальных ВАХ при тех же значениях β (b) , т.е. ВАХ при всех остальных значениях

Φe лежат между ВАХ a и b. Φ0

Рис. 4. Зависимость максимального сверхтока Im от внешнего потока при различных значениях β : β 1 < β 2 < β 3

Рис. 6. ВАХ dc-сквида при Φ e = const и различных значениях β ( β 1 > β 2 > β 3 )

Рис. 5. ВАХ dc-сквида при β = const : Φ Φ Φe = 0 (или 1) (a); e = 0 ,5 (b); 0 < Φ e < 1 , но e ≠ 0,5 (c) Φ0 Φ0 Φ0 Вольт-амперная характеристика (ВАХ) сквида при заданном Φ β ≠ 0 и Φ e = 0 имеет вид, изображенный на рис. 5 (a). При e = 1 Φ0 11

Рис. 7. Вольтпотоковая характеристика dc-сквида (Ia
При заданном внешнем потоке Φ e ВАХ изменяется при изменении β . ВАХ при β → 0 будет лежать ниже всех остальных ВАХ при неизменном Φ e , а при β → ∞ выше всех остальных, так что все остальные ВАХ при β ≠ 0 и ∞ будут лежать между ними. Как следует из рис. 3 и 4, сверхток минимален при

Φ Φ0

и

Φe , равном 0,5. Φ0

Следовательно, поскольку ток смещения I = const, то при

Φ Φ0

и

Φe = 0 ,5 будет максимальный квадратичный ток, т.е. будет максиΦ0 мальным и напряжение на сквиде. На рис. 7 представлен типичный вид вольтпотоковых характеристик dc-сквида при различных токах смещения.  ∂V   Как видно из рис. 7, чувствительность сквида S =   ∂Φ e  I уменьшается при увеличении тока смещения. Оценку чувствительности можно произвести по приближенной формуле: ∆V 2r∆I m S≈ , (31) I = const = Φ0 / 2 Φ0 R – динамическое сопротивление двух параллельно соеди2 Φ ненных переходов. При β = 1 : ∆ I m ≈ 0 и 2L r S≈ . (32) L Для r ≈ 1 Ом, L ≈ 10−9 Гн , ∆V ≈ 1 мкВ и S ≈ 2 мкВ / Φ 0 . где r =

13

Общие указания к выполнению работы Данная лабораторная работа реализована в виде комплекса программ, предназначенных для расчета вольтамперных, вольтпотоковых характеристик и чувствительности симметричного сквида при различных значениях параметра β и тока смещения I. Дополнительно, вольтамперные характеристики сквида могут быть рассчитаны при различных значениях внешнего магнитного потока Φ e . В работе используется следующий алгоритм расчета: численно решается система уравнений, моделирующая динамику симметричного сквида во внешнем магнитном поле. Полученное решение позволяет найти среднее (усреднение проводится по периоду джозефсоновских осцилляций) напряжение на сквиде как функцию от величины внешнего магнитного потока, проходящего через сквид при различных значениях тока смещения и параметра β . Чувствительность сквида определяется как относительная глубина модуляции вольтпотоковой характеристики (зависимость среднего напряжения на сквиде от внешнего магнитного потока). Все программы объединены в рамках одного командного файла и доступны через общее меню. Далее приведены общие указания по использованию данного программного продукта. 1. Для разделения основания и мантиссы при вводе вещественных чисел используйте знак «точка», например: «–1,23», «0,567» и т.п. 2. Для набора значений параметра вводите список значений в одно поле редактирования через пробел, например: «0,01 0,1 1». 3. Для указания пределов изменения параметра введите начальное (меньшее) значение в левое поле редактирования, конечное (большее) – в правое поле. 4. Для изменения параметров алгоритма решения системы уравнений ПТ-СКВИДа используйте диалог «Настройки», появляющийся при нажатии кнопки «Настройки». 5. Для начала процесса счёта нажмите кнопку «Старт». 6. По мере выполнения вычислений на экран будет выводиться информация о проценте готовности. Напряжение на выходе ПТ14

7. 8.

9.

10.

11.

12.

13. 14.

СКВИДа как функция времени, найденное в процессе решения системы дифференциальных уравнений с текущими параметрами, выводится в окне «Осциллограф». Каждому параметру должно быть присвоено значение. Для построения семейства кривых (например, семейство ВПХ при разных значениях параметра β) введите в поле редактирования соответствующего параметра нужный набор значений. При этом в полях редактирования других параметров должно содержаться одно и только одно значение. Все значения параметров необходимо вводить в безразмерном виде. Результаты вычислений также представляются в безразмерном виде. Для того чтобы выделить построенный график в отдельном окне, нажмите кнопку «Выделить». После этого появится возможность редактировать график, добавлять или убирать подписи к кривым и осям, изменять тип линий, сохранять график в файл в векторных и растровых форматах. Для изменения параметров алгоритма решения системы уравнений ПТ-СКВИДа используйте диалог «Настройки», появляющийся при нажатии кнопки «Настройки». Для изменения точности вычислений служит ползунок «Уровень точности». Возможно задать уровень от 1 до 10. Уровень 1 соответствует минимальной точности и минимальному интервалу интегрирования, 10 – максимальной точности и максимальному интервалу интегрирования. Чем выше уровень точности, тем дольше идёт процесс счёта. Для задания количества точек на одной кривой введите целое число в поле редактирования «Количество точек». Выберите используемый алгоритм решения ОДУ из списка «Алгоритм».

1.

2. 3. 4. 5. 6. 7.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

15

Ход работы Построение вольтпотоковой характеристики (ВПХ) симметричного ПТ-СКВИДа. Введите интервал изменения значений потока Фе внешнего магнитного поля, пронизывающего контур квантования ПТ-СКВИДа в поле «Фе=». Введите значения параметров: I (ток смещения) и β. Для построения семейства кривых при разных значениях I введите набор значений тока смещения в поле «I=». Для построения семейства кривых при разных значениях параметра β введите набор значений в поле «β=». Для начала счёта нажмите кнопку «Старт». Ожидайте окончания счёта. Информация о текущем состоянии процесса счёта отображается на экране. Для того чтобы выделить построенный график в отдельном окне, нажмите кнопку «Выделить». Построение вольтамперной характеристики (ВАХ) симметричного ПТ-СКВИДа. Введите интервал изменения значений тока смещения I в поле «I=». Введите значения параметров: Фе (поток внешнего магнитного поля) и β. Для построения семейства кривых при разных значениях Фе, введите набор значений потока в поле «Фе=». Для построения семейства кривых при разных значениях параметра β, введите набор значений в поле «β=». Для начала счёта нажмите кнопку «Старт». Ожидайте окончания счёта. Информация о текущем состоянии процесса счёта отображается на экране. Для того чтобы выделить построенный график в отдельном окне, нажмите кнопку «Выделить».

16

1. 2. 3. 4. 5.

1. 2. 3. 4. 5.

Построение кривой функции отклика симметричного ПТ-СКВИДа. Зависимость от параметра β Введите интервал изменения значений параметра β в поле «β=». Для построения семейства кривых при разных значениях I введите набор значений тока смещения в поле «I=». Для начала счёта нажмите кнопку «Старт». Ожидайте окончания счёта. Информация о текущем состоянии процесса счёта отображается на экране. Для того чтобы выделить построенный график в отдельном окне, нажмите кнопку «Выделить». Зависимость от тока смещения I Введите интервал изменения значений тока смещения I в поле «I=». Для построения семейства кривых при разных значениях параметра β введите набор значений в поле «β=». Для начала счёта нажмите кнопку «Старт». Ожидайте окончания счёта. Информация о текущем состоянии процесса счёта отображается на экране. Для того чтобы выделить построенный график в отдельном окне, нажмите кнопку «Выделить».

Литература 1. Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников. М.: Наука, 1982. 2. Бароне А., Патерно Дж. Эффект Джозефсона. М.: Мир, 1984. 3. Кларк Дж. Сверхпроводящие квантовые интерференционные приборы для низкочастотных измерений // Слабая сверхпроводимость. Квантовые интерферометры и их применения / Под ред. Б.Б. Шварца, С. Фонера. М.: Мир, 1980.

17

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 Исследование асимметричного dc-сквида Сквиды ({SQUID} – Superconductinq Quantum Intenreference Device) – сверхпроводящие квантовые интерферометры – представляют собой высокочувствительные датчики для измерения сверхслабых магнитных полей. Обычно в литературе рассматривают симметричные dc-сквиды [1–3]. Однако на практике изготовить абсолютно симметричный сквид практически невозможно из-за влияния большого числа факторов в технологии, приводящих к неоднородности и поэтому к асимметрии плеч сквида. Между тем асимметрия dc-сквида играет важную роль при работе сквида: чем больше асимметрия, тем меньше чувствительность сквида. Кроме того, наличие асимметрии приводит к более эффективному возбуждению в сквиде динамического шума, обусловленного нелинейностью системы. Цель настоящей лабораторной работы – исследование асимметричной модели dc-сквида, влияние асимметрии на вольтамперные и вольтпотоковые характеристики на чувствительность сквида. Уравнения асимметричного dc-сквида Уравнение асимметричного dc-сквида, так же как и симметричного, основывается на двух соотношениях Джозефсона: I = I c sin ϕ , (1)

h

∂ϕ = 2eV , ∂t

(2)

где I – сверхпроводящий ток куперовских пар; Ic – критический ток джозефсоновского перехода; ϕ – разность фаз волновой функции сверхпроводящего конденсата на переходе; V – разность потенциалов двумя берегами перехода. Уравнение (1) определяет стационарный эффект Джозефсона, а уравнение (2) – нестационарный. Схема асимметричного dc–сквида представлена на рис. 1.

18

∂ϕ 2 2e = V2 ( t ). ∂t h Полная разность потенциалов на сквиде: dI ( t ) dI ( t ) V ( t ) = V1( t ) + L1 1 = V2 ( t ) + L2 2 . dt dt Здесь L1 и L2 – индуктивности левого и правого плеча сквида. ность ϕ2(t) – ϕ1(t) определяется, как известно, полным потоком, пленным с контуром квантования сквида Φ(t) Φ( t ) ϕ 2 ( t ) − ϕ1( t ) = 2π , Φ0

Полный ток смещения I представляются в виде: I = I1( t ) + I 2 ( t ) = const , (3) где I1(t) и I2(t) – зависящие от времени токи в левом и правом плечах сквида соответственно. Эти токи определяются следующими выражениями: V (t ) I1( t ) = I c1 sinϕ1( t ) + 1 + I1 f ( t ), (4) R1 V2 ( t ) + I 2 f ( t ), R2

(5)

где Ic1 и Ic2, ϕ1 и ϕ2, V1(t) и V2(t), R1 и R2, I1f(t) и I2f(t) – критические токи, разности фаз, разности потенциалов, активные сопротивления, шумовые токи соответственно на правом и левом плечах перехода. Шум, учитываемый в (4) и (5), как мы будем предполагать, это собственные шумы сквида. Используя второе уравнение Джозефсона, запишем для каждого из плеч ∂ϕ1 2e = V1( t ), (6) ∂t h 19

(8) Разсце(9)

где Φ0 =πh/e – квант потока. Поток Φ(t) определяется в свою очередь выражением Φ( t ) = Φ e ( t ) − L1I1( t ) + L2 I 2 ( t ), (10)

Рис. 1. Схема dc-сквида

I 2 ( t ) = I c 2 sin ϕ 2 ( t ) +

(7)

где Φe(t) – внешний поток. Введем выражение для кругового тока в контуре: L I ( t ) − L1 I1( t ) J( t ) = 2 2 , (11) L где L = L1+L2 – индуктивность контура сквида. С помощью (3) можно записать выражение для кругового тока в виде: L I − LI1( t ) − L1 I + LI 2 ( t ) J( t ) = 2 = , (11’) L L откуда получаем dJ ( t ) dI ( t ) dJ ( t ) dI 2 ( t ) =− 1 , = . (12) dt dt dt dt С учетом (12) выражения для V(t) можно записать в виде dJ ( t ) dJ ( t ) V ( t ) = V1( t ) − L1 = V2 ( t ) + L2 . (13) dt dt Отсюда, используя (6) и (7), легко получить: V( t ) =

h  dϕ1( t ) dϕ 2 ( t )  L2 − L1 dJ ( t ) + .  + 4e  dt dt  2 dt 20

(14)

Используя определение кругового тока (11), перепишем формулу (10) следующим образом: Φ( t ) = Φ e ( t ) − LJ ( t ). (15) С учетом (9) выражение для кругового тока принимает вид:

Φ  Φ (t ) ϕ (t ) − ϕ1 (t )  . J (t ) = 0  e − 2 2π L  Φ0 

(16)

Введем параметр β: 2I c L ≡ β, Φ0

(17)

где L I + L2 I c 2 I c = 1 c1 (18) L и уравнение (16) запишем в виде J ( t ) 2 Φ e ϕ 2 ( t ) − ϕ1( t ) = − . (19) Ic πβ β Φ0 Выражая V1(t) и V2(t) из (4) и (5) и подставляя в (6) и (7), получим dϕ1 2eR1 = I1( t ) − I c1 sinϕ1( t ) − I1 f ( t ) , (20) dt h dϕ 2 2eR2 I 2 ( t ) − I c 2 sinϕ 2 ( t ) − I 2 f ( t ) . (21) = dt h Введем обозначения: L I −LI ∆I c = 2 c 2 1 c1 , (22) L L I −LI α = 2 c 2 1 c1 , (23) L2 I c 2 + L1I c1

(

)

(

)

где α – параметр асимметрии. Видно, что α = 0÷1. Используя (18) и (22), можно выразить Ic1 и Ic2 через параметр асимметрии α: LI LI I c1 = c ( α − 1 ), I c 2 = c ( α + 1 ). (24) 2 L1 2 L2 Выражая I1(t) и I2(t) через J(t) с помощью (11') и подставляя в (20) и (21) с учетом (24), получим 21

I1 f ( t )  dϕ1 2eR1I c  L2 I J ( t ) L ,  ( 1 − α )c1 sin ϕ1( t ) − = − − dt Ic I c  h  L Ic 2 L1

(25)

I1 f ( t )  dϕ 2 2eR2 I c  L1 I J ( t ) L  . = + − ( 1 + α )c1 sin ϕ1( t ) − h  L Ic 2 L2 dt Ic I c 

(26)

Известно, что (см. напр., [3]) R1I1c = R2 I 2 c ≡ Vc . Введем обозначения: h h h = = ≡ τc , 2eR1I c1 2eR2 I c 2 2eVc

(27) (28)

τ cVc Φ h = = 0 ≡ Lc . 2eI c 2πI c Ic Перейдем к безразмерным величинам: I1 f t I J → t, ≡ i, ≡ iL , ≡ i1 f , τc Ic Ic Ic

(29)

I2 f Ic

≡ i2 f ,

L1 L2 ≡ l1 , ≡ l2 , L L I c1 I V L Φe → Φe . ≡ ic1 , c 2 ≡ ic 2 , ≡ v, ≡ l, Φ0 Ic Ic Vc Lc Далее будем полагать, что геометрия плеч примерно одинакова и L1 = L2 = L/2, т.е. асимметрия сквида обусловлена только различием критических токов плеч и сопротивлений: Ic1 ≠ Ic2, R1 ≠ R2. Тогда I +I 1 l1 = l2 = , ic1 + ic 2 = 2, I c = c1 c 2 , 2 2 I c 2 − I c1 I c 2 − I c1 , α= . ∆I c = I c 2 + I c1 2 Уравнения асимметричного dc-сквида будут иметь вид: dϕ1 1  i  =  − iL ( t ) − ( 1 − α ) sin ϕ1( t ) − i1 f ( t ) , dt ic1  2 

22

(30)

dϕ 2 1 i  =  + iL ( t ) − ( 1 + α ) sin ϕ 2 ( t ) − i2 f ( t ) , dt ic 2  2  v=

(31)

1  dϕ1( t ) dϕ 2 ( t )  2Φ e ϕ 2 − ϕ1 − . +   , iL = 2  dt dt  β πβ

Решая систему уравнений (30), можно получить вольтамперные v = v( i ) и вольтпотоковые v = v( Φ e ) характеристики, чувствительность сквида при различных параметрах системы: тока смещения i , параметра асимметрии α , параметра β , определяемую выражением  ∂V   . S =   ∂Φ e  I При низких частотах наиболее существенным является 1 / f шум или джонсоновский шум. Как известно, спектральная плотность этого шума обратно пропорциональна частоте, однако при заданной частоте функция распределения флуктуации, например тока, имеет гауссовский вид. При численном интегрировании системы уравнений (30) шумовые токи i1 f и i2 f задавались параметром шума Γ=

2πk BT , IcΦ0

где k B – постоянная Больцмана; T – температура. При расчетах шум с гауссовым распределением задавался с помощью генератора случайных чисел.

23

Общие указания к выполнению работы Данная лабораторная работа реализована в виде комплекса программ, предназначенных для расчета вольтамперных и вольтпотоковых характеристик, а также чувствительности асимметричного сквида при различных значениях параметра β , асимметрии по току α и параметра шума Γ . В данной работе используется следующий алгоритм расчета: численно решается система уравнений, моделирующая динамику асимметричного сквида во внешнем магнитном поле с учетом тепловых шумов. Полученное решение позволяет найти среднее (усреднение проводится по периоду джозефсоновских осцилляций) напряжение на сквиде как функцию от величины внешнего магнитного потока, проходящего через сквид при различных значениях тока смещения I и параметров α , β , Γ . Чувствительность сквида определяется как относительная глубина модуляции вольтпотоковой характеристики (зависимость среднего напряжения на сквиде от внешнего магнитного потока). Все программы объединены в рамках одного командного файла и доступны через общее меню. Далее приведены общие указания по использованию данного программного продукта. 1. Для разделения основания и мантиссы при вводе вещественных чисел используйте знак «точка», например: «–1,23», «0,567» и т.п. 2. Для набора значений параметра вводите список значений в одно поле редактирования через пробел, например: «0,01 0,1 1». 3. Для указания пределов изменения параметра введите начальное (меньшее) значение в левое поле редактирования, конечное (большее) – в правое поле. 4. Для изменения параметров алгоритма решения системы уравнений ПТ-СКВИДа используйте диалог «Настройки», появляющийся при нажатии кнопки «Настройки». 5. Для начала процесса счёта нажмите кнопку «Старт». 6. По мере выполнения вычислений на экран будет выводиться информация о проценте готовности. Напряжение на выходе 24

7. 8.

9.

10.

11.

12.

13. 14.

ПТ-СКВИДа как функция времени, найденное в процессе решения системы дифференциальных уравнений с текущими параметрами, выводится в окне «Осциллограф». Каждому параметру должно быть присвоено значение. Для построения семейства кривых (например, семейство ВПХ при разных значениях параметра β) введите в поле редактирования соответствующего параметра нужный набор значений. При этом в полях редактирования других параметров должно содержаться одно и только одно значение. Все значения параметров необходимо вводить в безразмерном виде. Результаты вычислений также представляются в безразмерном виде. Для того чтобы выделить построенный график в отдельном окне, нажмите кнопку «Выделить». После этого появится возможность редактировать график, добавлять или убирать подписи к кривым и осям, изменять тип линий, сохранять график в файл в векторных и растровых форматах. Для изменения параметров алгоритма решения системы уравнений ПТ-СКВИДа используйте диалог «Настройки», появляющийся при нажатии кнопки «Настройки». Для изменения точности вычислений служит ползунок «Уровень точности». Возможно задать уровень от 1 до 10. Уровень 1 соответствует минимальной точности и минимальному интервалу интегрирования, 10 – максимальной точности и максимальному интервалу интегрирования. Чем выше уровень точности, тем дольше идёт процесс счёта. Для задания количества точек на одной кривой введите целое число в поле редактирования «Количество точек». Выберите используемый алгоритм решения ОДУ из списка «Алгоритм».

Ход работы

1.

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

25

Построение вольтпотоковой характеристики (ВПХ) асимметричного dc–сквида. Введите интервал изменения значений потока Фе внешнего магнитного поля, пронизывающего контур квантования ПТ-СКВИДа в поле «Фе=». Введите значения параметров: I (ток смещения), коэффициента асимметрии α и параметра β. Для построения семейства кривых при разных значениях I введите набор значений тока смещения в поле «I=». Для построения семейства кривых при разных значениях коэффициента асимметрии α введите набор значений в поле «α=». Для построения семейства кривых при разных значениях параметра β введите набор значений в поле «β=». Для начала счёта нажмите кнопку «Старт». Ожидайте окончания счёта. Информация о текущем состоянии процесса счёта отображается на экране. Для того чтобы выделить построенный график в отдельном окне, нажмите кнопку «Выделить». Построение вольтамперной характеристики (ВАХ) асимметричного dc–сквида. Введите интервал изменения значений тока смещения I в поле «I=». Введите значения параметров: Фе (поток внешнего магнитного поля), коэффициента асимметрии α и параметра β. Для построения семейства кривых при разных значениях Фе введите набор значений потока в поле «Фе=». Для построения семейства кривых при разных значениях коэффициента асимметрии α введите набор значений в поле «α=». Для построения семейства кривых при разных значениях параметра β введите набор значений в поле «β=». Для начала счёта нажмите кнопку «Старт». 26

7. 8.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Ожидайте окончания счёта. Информация о текущем состоянии процесса счёта отображается на экране. Для того чтобы выделить построенный график в отдельном окне, нажмите кнопку «Выделить». Построение кривой функции отклика асимметричного dc-сквида. Зависимость от параметра β Введите интервал изменения значений параметра β в поле «β=». Введите значения параметров: I (ток смещения) и коэффициента асимметрии α. Для построения семейства кривых при разных значениях I введите набор значений тока смещения в поле «I=». Для построения семейства кривых при разных значениях α введите набор значений коэффициента асимметрии в поле «α=». Для начала счёта нажмите кнопку «Старт». Ожидайте окончания счёта. Информация о текущем состоянии процесса счёта отображается на экране. Для того чтобы выделить построенный график в отдельном окне, нажмите кнопку «Выделить». Зависимость от тока смещения I Введите интервал изменения значений тока смещения I в поле «I=». Введите значения параметров: параметра β и коэффициента асимметрии α. Для построения семейства кривых при разных значениях α введите набор значений коэффициента асимметрии в поле «α=». Для построения семейства кривых при разных значениях параметра β введите набор значений в поле «β=». Для начала счёта нажмите кнопку «Старт». Ожидайте окончания счёта. Информация о текущем состоянии процесса счёта отображается на экране. Для того чтобы выделить построенный график в отдельном окне, нажмите кнопку «Выделить». 27

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

1. 2. 3.

4.

Зависимость от коэффициента асимметрии α Введите интервал изменения значений коэффициента асимметрии α в поле «α=». Введите значения параметров: I (ток смещения) и параметра β. Для построения семейства кривых при разных значениях I введите набор значений тока смещения в поле «I=». Для построения семейства кривых при разных значениях параметра β введите набор значений в поле «β=». Для начала счёта нажмите кнопку «Старт». Ожидайте окончания счёта. Информация о текущем состоянии процесса счёта отображается на экране. Для того чтобы выделить построенный график в отдельном окне, нажмите кнопку «Выделить». Литература Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников. М.: Наука, 1982. Бароне А., Патерно Дж. Эффект Джозефсона. М.: Мир, 1984. Кларк Дж. Сверхпроводящие квантовые интерференционные приборы для низкочастотных измерений // Слабая сверхпроводимость. Квантовые интерферометры и их применения / Под ред. Б.Б. Шварца, С. Фонера. М.: Мир, 1980. Блинов Н.В., Широков И.В., К.Н. Югай. Шумящий асимметричный dc-сквид // Вестник Омск. ун-та. 1998. № 4. С. 23–25.

Технический редактор М.В. Быкова Редактор Л.Ф. Платоненко Подписано в печать 21.05.04. Формат бумаги 60х84 1/16. Печ. л. 1,8. Уч.-изд. л. 1,7. Тираж 50 экз. Заказ 315. Издательско-полиграфический отдел ОмГУ 644077, г. Омск-77, пр. Мира, 55а, госуниверситет

28