Домашняя работа по алгебре за 9 класс

Домашняя работа по алгебре за 9 класс к учебнику «Алгебра. 9 класс» Ю.Н. Макарычев и др., М.: «Просвещение», 1999 г.

учебно-практическое пособие

1

1.

а) f(−1)=−3⋅(−1)2+10=7; б) f(0)=−3+10=–3⋅02+10=10; 1 1 1 2 в) f( )=−3⋅( )2+10=–3⋅ +10= 9 . 9 3 3 3

2. 0 − 0,5 −0,5 = = −1 ; 0 + 0,5 0,5 1,5 − 0,5 1 = ; б) f(1,5)= 1,5 + 0,5 2 −1 − 0,5 −1,5 в) f(−1)= = = 3. − 1 + 0,5 − 0,5

а) f(0)=

3.

а) f(5)=53−10=125−10=115. б) f(4)=43−10=64−10=54. в) f(2)=23−10=8−10=−2. г) f(−3)=(−33)−10=−27−10=−37.

4.

1) ϕ(0)=02+0+1=1; 2) ϕ(1)=12+1+1=3; 3) ϕ(2)=22+2+1=4+2+1=7; 4) ϕ(3)=32+3+1=9+3+1=13; ϕ(0)+ϕ(1)+ϕ(2)+ϕ(3)=02+0+1+12+1+1+22+2+1+32+3+1=1+3+7+13=24.

5. 11 =−2,2. −5 4 б) −5x+6=−3; 5x=6+3; 5x=9; x=1 . 5 1 в) −5x+6=0; 5x=6; x=1 . 5

а) −5x+6=17; -5x=17−6; x=

6. а) x(x+4)=0; x1=0, x+4=0; x2=−4. x + 1 = 0 x +1 =0;  ; x=−1. б) 5− x 5 − x ≠ 0 2

7. 4 =1;4=1⋅(6+x); 4-6=x; x=−2. 6+ x 4 б) =−0,5; 4=-0,5(6+x); 8=−6−x; x=−14. 6+ x 4 в) =0; 4=(6+x)⋅0; 4=0; нет решений. 6+ x а)

8. а) 0,5x−4=−5, 0,5x=−1, x= −

1 , x=−2. 0,5

4 , x=8. 0,5 6,5 в) 0,5x−4=2,5, 0,5x=6,5, x = , x=13. 0,5

б) 0,5x−4=0, 0,5x=4, x =

9. а) Область определения – все числа. б) Область определения – все числа. в) 5−x≠0, x≠5. Область определения – все числа, кроме 5. г) (х–4)(х+1)≠0; x−4≠0; x≠4 и x+1≠0; x≠−1. Область определения – все числа, кроме x=5; x=−1. д) x2+1=0 — нет решений. Область определения – все числа. е) х−5≥0; х≥5. Область определения: х≥5.

10. а) y=10x;

б) y=

6 5 x − 35

11. а) Область определения – все числа. б) 1+x≠0; x≠−1. Функция не определена при x=−1. в) 9+x≥0; х≥−9. Функция определена при всех x≥−9.

12. а) g(−4)=−3; g(−1)≈−2; g(1)=3; g(5)=3; б) g(х)=у при х≈1,3, х≈4,4; g(х)=−4 при х=−3; g(х)=0 при х=−5, х=0; в) Наибольшее значение функции равно 6 при х=3; наименьшее значение равно –4 при х=–3. г) Область значений: [−4; 6]. 3

13. а) D(f)=(–∞; ∞); E(f)=(–∞; ∞). б) D(f)=(–∞; ∞); E(f)=(–∞; ∞).

в) D(f)=(–∞; 0)∪ (0; ∞); E(f)=(–∞; 0)∪(0; ∞). г) D(f)=(–∞; 0)∪ (0; ∞); E(f)=(–∞; 0)∪(0; ∞).

14.

1) y=x2: D(y)=R, E(y)=[0;+∞]. 2) y=x3: D(y)=R, E(y)=R. 3) y= x : D(y)=[0:+∞), E(y)=[0;+∞).

15. а) y=

2 ; x

б) y=−

2 ; x

в) y=

x ; 2

г) y=

x −2; 2

д) у=2−

x . 2

16. При x=0 y=−1, при x=

1 имеем y=0, значит, искомая функция 2

y=2x−1.

17.

а) |x|=3,5 при х=3,5 или x=–3,5; б) |x| <2 при х∈(−2; 2); в) |х|≥4 при х∈[4;∞) или x∈(−∞; −4]. Наименьшее значение функции достигается при x=0 и равно 0; наибольшего значения нет; Е(у)=[0; +∞). 4

18. а) E(f)=(–8; 8); х∈[−3; 3] x −3 −2 y 8 −3

−1 7

б) E(f)=(0,5; 8); x∈[−1,5; 6] x 0 −1,5 −1 y 8 4 2

0 0

1 −7

1 4 3

3 4 5

2 −8

4 2 3

3 3

5 4 7

6 1 2

19. р(20)=2⋅20+20=60; р(40)=100; р(50)=100; 2 2 р(60)=− ⋅60+140=−40+140=100; р(90)=− 90+140=−60+140=80. 3 3

На промежутке времени [0, 40] вода нагревается, на [40; 60] — вода кипит, на промежутке времени [60; 150] — остывает. 5

20. s(0)=15⋅0=0; s(1)=15⋅1=15; s(1,4)=17,5; s(2)=−12⋅2+35,5−24=11,5.

Велосипедист 1 ч 10 мин ехал в одну сторону, потом 20 мин стоял, а потом 1 час ехал в обратную сторону.

21.

а) −0,5(3x−4)+15x=4(1,5x+1)+3; −1,5x+2+15x=6x+4+3; 7,5х=5; 2 5 х= = . 7,5 3 б) (2x−3)(2x+3)−x2=12x−69+3x2; 4x2−6x+6x−9−x2=12x−69+3x2; 2 4x −x2−3x2−12x=9−69; −12x=−60; x=5.

22. а) 6x2−3x=0; 3x(2x−1)=0; 3х=0; x1=0 или 2x−1=0; x2=

1 . 2

б) x2+9x=0; x(x+9)=0; x1=0, х+9=0; x2=−9. в) x2−36=0; x2=36; x1,2= ± 36 ; х1=6; х2=−6. 1 г) 5x2+1=0; 5x2=−1; x2=− . Нет решений, т.к. квадрат любого 5 числа больше или равен нулю. д) 0,5x2−1=0; 0,5x2=1; x2=2; x1,2= ± 2 ; x1 = 2 ; x2 = − 2 . 1 −0,6 е) 0,6x+9x2=0; x(0,6+9x)=0; x2=0; 9х+0,6=0; x = ; x1=− . 9 15

6

23. а) x2+7x+12=0; D=72−4⋅1⋅12=1; x1,2=

− 7 ± 1 − 7 ±1 = ; x1=−4, 2 ⋅1 2

x2=−3.

2 ± 12 x1=−5, x2=7. 2 5±7 1 в) 2x2−5x−3=0; D=(−5)2−4⋅2⋅(−3)=49; x1,2= , x1=− , x2=3. 2 4 8± 2 2 г) 3x2−8x+5=0; D=(−8)2−4⋅3⋅5=4; x1,2= , x1=1, x2=1 . 6 3 б) x2−2x−35=0; D=(2)2−4⋅1⋅(−35)=144; x1,2=

24. а) [0;6]; б) [14;16]; в) [6;14].

25.

В промежутке времени от 0 до 13 мин вода нагревалась от 20оС до 100оС, затем остывала до 70оС в промежутке от 13 до 28 мин. Время наблюдения — 28 мин. Наибольшее значение температуры равно 100°С.

26.

а) f(x)=0 при x=−5; −3; 1; 4. б) f(x)>0 при −7≤x<−5, −3<х<1 и 4<х≤5; f(x)<0 при −5<х<−3 и 1<х<4. в) f(x) возрастает при −4<х<−1 и 2<х<5, убывает при −7<х<−4 и −1<х<2

27. Функция g(х) определена на промежутке [–5; 5]; возрастает при х∈[−5; 0) и (2; 5], убывает при х∈(0; 2), отрицательна при х∈[−5; 3), положительна при −3<х≤5, при х=−3 равна нулю. Наименьшее значение g(−5)=−4, наибольшее −g(5)=6.

28. Функция имеет 4 нуля. g(x)=0 при х=–8; –2; 4; 8. а) g(х)<0 при х∈[−10; −8)∪(−2; 4)∪(8; 10]. б) g(х) убывает при х∈(−5; 0)∪(6; 10).

7

29.

а)

б)

30. y

y

–3

0

3

а)

y 5

1 –4

x

0

2

б)

31. а) −0,8x+12=0; −0,8x=−12; x =

x

–3

0

x

2

в) −12 = 15 . − 0,8

б) (3x−10)(x+6)=0; 3x−10=0, или x+6=0; т.е. x1=3

1 ; x=−6. 3

в) 4+2x=0 и x2+5≠0; 2x=−4; x=−2. г) нулей нет.

32. а) У уравнения 2,1x−70=0 существует решение (x=33

1 ), значит, 3

функция имеет один нуль. б) Уравнение 4x(x−2)=0 имеет 2 решения (x=0 и x=2), значит, функция имеет два нуля. 6− x в) У уравнения =0 существует одно решение (x=6), следоx вательно, функция имеет один нуль.

33. 1)

а) f(x)=−0,7x+350 f(x)=0 ⇒ −0,7x+350=0;

−0,7x=−350;

−350 = 500 . x= − 0,7

2)

f(x)>0

⇒

500

−0,7x+350>0;

−0,7x+350>0;

−350 = 500 . −0,7x>−350; x<500; x < − 0,7

8

3) f(x)<0 ⇒ −0,7x+350<0; −0,7х<−350; х>500. б) f(x)=30x+10

1 −10 =− . 30 3 1 −10 2) f(x)>0 ⇒ 30х+10>0; 30х>−10; х> =− . 30 3 1 −10 3) f(x)<0 ⇒ 30х+10<0; 30х<−10; х< =− . 30 3

1) f(x)=0 ⇒ 30x+10=0; 30x=−10; x= 1 3

34. y=8x−5 (k=8>0) — возрастающая; у=−3x+11 (k=−3<0) — убывающая; y=−49x−100 (k=−49<0) — убывающая; y=x+1 (k=1>0) — возрастающая; y=1−x (k=−1<0) — убывающая.

35. а) y=1,5x−3 — линейная возрастающая функция, ее график — прямая. 1) y=0 ⇒ 1,5x−3=0; 1,5x=3; x=2. 3 2) y>0 ⇒ 1,5х−3>0; x > ; х>2. 1,5 3 3) y<0 ⇒ 1,5х−3<0; 1,5х<3; x < ; х<2. 1,5 4) k=1,5>0 ⇒ функция возрастает.

б) y=−0,6x+5 — линейная убывающая функция, ее график — прямая 9

−5 1 =8 . − 0,6 3 −5 1 ; x<8 . 2) y>0 ⇒ −0,6x+5>0; −0,6x>−5; х< − 0,6 3 −5 1 ; x>8 . 3) y=0 ⇒ −0,6x+5<0; −0,6x<−5; x> − 0,6 3 1) y=0 ⇒ −0,6x+5=0; −0,6x=−5; x=

36. а) y=1,6x — график функции − прямая, k>0 1) y=0 при x=0 2) y>0 при x>0 3) y<0 при x<0 4) функция возрастает б) y=−0,4x — графиком функции является прямая, k<0 1) y=0 при x=0 2) y>0 при x<0 3) y<0 при x>0 4) функция убывает

37. 78 ; x=6. 13 78 б) f(x)>0 ⇒ 13x−78>0; 13x>78; x> ; x>6. 13 78 в) f(x)<0 ⇒ 13x−78<0; 13x<78; x< ; x<6. 13 k=13>0 ⇒ функция возрастающая. а) f(x)=0 ⇒ 13x−78=0; 13x=78; x=

38.

y=x2; D(y)=R, E(y)=[0; +∞); y=0 при x=0; y>0 при x≠0; функция возрастает при x>0 и убывает при x<0. y=x3; D(y)=R, E(y)=R; y=0 при x=0; y>0 при x>0; y<0 при x<0; функция возрастает при всех x. y= x ; D(y)=[0; +∞), E(y)=[0; +∞); y=0 при x=0; y>0 при всех x; функция возрастает при всех x∈D(y). y=|x|; D(y)=R, E(y)=[0; +∞); y=0 при x=0; y>0 при x≠0; функция возрастает при x>0 и убывает при x<0. 10

39. 3 x 1) x≠0 ⇒ нулей нет; 2) k=3>0 ⇒ y>0 при х>0; 3) k=3>0 ⇒ y<0 при х<0; 4) k=3>0 ⇒ функция убывает на (−∞; 0)∪(0; ∞). а) y=

4 x 1) y≠0 ⇒ нулей нет; 2) k=−4<0 ⇒ y>0 при х<0; 3) k=−4<0 ⇒ y<0 при х>0; 4) k=−4<0 ⇒ функция возрастает на (−∞; 0)∪(0; ∞).

б) y=−

40.

а) 0,6x2−3,6x=0; 0,6x(x−6)=0; x1=0 или x−6=0; x1=6. б) x2−5=0; x2=5; x1,2= ± 5 ; x1 = 5 ; x2 = − 5 . в) 2x2+17x=0; x(2x+17)=0; x=0 или 2x+17=0; x2=0, 2x=−17; 17 x= − ; x1=−8,5. 2 9 . Нет решений, т.к. квадрат люг) 0,5x2+9=0; 0,5x2=−9; x2=− 0,5 бого числа есть число неотрицательное. 11

41. а) g(2)= б) g(2)=

1 2

2 +5

1 1 1 1 1 = ; g(−2)= = = ⇒ g(2)=g(−2). 2 4+5 9 ( −2) + 5 4 + 5 9

=

−2 2 2 2 = ; g(−2)= = − ; т.е. g(2)>g(−2). 2 9 9 2 +5 (−2) + 5 2

в) g(2)= −2 = −2 = − 2 ; g(−2)= −(−2) = 2 = 2 ; т.е. g(2)
4+5

9

(−2) + 5

4+5

9

42.

а) 4x–x3=x(4–x2)=(4−x2)x=(2+x)(2−x)x. б) a4–169a2=(a2−169)a2=(a+13)(a−13)a2. в) с3–8с2=(с−8)c2.

43.

Сначала решим уравнение x2–6x+7=0; D=(−6)2–4⋅1⋅7=8; 6± 8 ; x1=3+ 2 , x2=3– 2 . Следовательно, корнем уравнения x1,2= 2 является 3– 2 .

44. −1± 5 ; x1=–3, x2=2. 2 9±3 1 2 ; x1= , x2= . б) 9x2–9x+2=0; D=(−9)2–4⋅9⋅2=9; x1,2= 18 3 3 − 3 + 5 в) 0,2x2+3x–20=0; D=32–4⋅0,2(–20)=25; x1,2= x1=5, x2=–20. 0,4 г) –2x2–x–0,125=0, 16x2+8x+1=0; D=42–4⋅8⋅1=0; −8 ± 0 1 x1,2= =− . 32 4 −0,4 2 д) 0,1x +0,4=0; 0,1x2=–0,4; х2= ; x2=–4; Нет решений, т.к. 0,1 квадрат любого числа есть число неотрицательное. е) –0,3x2+1,5x=0; –3x=0; х1=0; х−5=0; х2=5. а) x2+x–6=0; D=12–4⋅1⋅(–6)=25; x1,2=

45. а) 10x2+5x–5=0; 2x2+х–1=0; D=12–4⋅2⋅(–1)=9; x1,2=

12

−1 ± 3 ; 4

x1=

−1 − 3 2 1 = –1, x2= = . 4 4 2

6+0 =3. 2 2 ± 20 в) x2–2x–4=0; D=(−2)2–4⋅1⋅(–4)=20; x1,2= ; x1=1– 5 , 2 x2=1+ 5 . б) –2x2+12x–18=0; x2–6x+9=0; D=(−6)2–4⋅1⋅9=0; x=

г) 12x2–12=0; 12(x2–1)=0; х2−1=0; х2=1; х= ± 1 ; x1=1, x2=–1.

46.

а) D=(−8)2–4⋅5⋅3=4>0, два корня. б) D=62–4⋅9⋅1=0, один корень. в) D=62–4⋅7⋅2=–20<0, нет корней. г) D=52–4⋅3=13>0, два корня.

47. а) D=16–4⋅4⋅(–3)=64>0. D=(−4)2−4⋅(−4)⋅3=64>0; два корня. б) D=16–4⋅4⋅3=–32<0; нет корней. в) D=144–4⋅9·4=0; один корень. г) D=144–4⋅9⋅(–4)=288>0; два корня.

48.

а) x2–6x–2=x2–2⋅x⋅3+32–32–2=(x–3)2–11 б) x2+5x+20=x2+2⋅x⋅2,5+(2,5)2–(2,5)2+20=(x+2,5)2+13,75. в) 2x2–4x+10=2(x2–2x+5)=2(x2–2⋅x⋅1+12–12+5)=2(x–1)2+8. 1 1 1 1 г) x2+x–6= (x2+2x–12)= (x2+2⋅1+12–12–12)= (x+1)2–6,5. 2 2 2 2

49.

а) x2–10x+10=x2–2⋅x⋅5+52–52+10=(x–5)2–15. 3 9 9 13 3 б) x2+3x–1=x2+2⋅x⋅ + − –1=(x+ )2– . 2 2 4 4 4 в) 3x2+6x–3=3(x2+2x–1)=3(x2+2⋅x⋅1+12–12–1)=3(x+1)2–6. 1 1 1 1 г) x2–x+2= (x2–4x+8)= (x2–2⋅x⋅2+22–22+8)= (x–2)2+1. 4 4 4 4

50.

а) x2–6x+10=x2–2⋅x⋅3+32–32+10=(x–3)2+1>0. б) 5x2–10x+5=5(x2–2x+1)=5(x–1)2≥0. в) –х2+20x–100=–(x2–20x+100)=–(x–10)2≤0. 13

г) –2x2+16x–33=–2(x2–8x+ +

33 33 )=–2(x2–2⋅x⋅4+42–42+ )=–2((x–4)2+ 2 2

1 )=–2(x–4)2–1<0. 2

51.

1) x2–6x+11=x2–2⋅x⋅3+32–32+11=(x–3)2+2>0. 2) –x2+6x–11=–(x2–6x+11)=–((x–3)2+2)<0

52.

2x2–4x+6=2(x2–2x+3)=2(x2–2⋅x⋅1+12–12+3)=2((x–1)2+2)=2(x–1)2+4. При x=1 выражение 2x2–4x+6 принимает наименьшее значение, 2⋅12−4⋅1+6=2−4+6=4.

53. 1 2 1 1 1 x +2x+4= (x2+6x+12)= (x2+2⋅x⋅3+32–32+12)= ((x+3)2+3)= 3 3 3 3 1 1 = (x+3)2+1. При x=–3 выражение x2+2x+4 принимает наимень3 3 1 шее значение, (− 3)2 + 2(− 3) + 4 = 1 . 3

54. Пусть длина одного из катетов равна x см, тогда длина другого равна (6–x) см. Найдем площадь тре1 1 угольника: S(x)= x(6–x)= x2+3x. Вы2 2 1 делим квадрат двучлена: – x2+3x= 2 1 2 1 =– (x –6x+9–9)=– ((x–3)2–9)= 2 2 1 2 9 =– (x–3) + . Это выражение прини2 2 мает наибольшее значение при x=3, а это означает, что треугольник равнобедренный.

55. В соответствии с условием запишем квадратный трехчлен h(t): –5t2+50t+20=–5(t2–10t–4)=–5(t2–10t+25–25–4)=5(t–5)2+5⋅29. При t=5 выражение –5t2+50t+20 принимает максимальное значение. В этом случае h=h(5)=–5⋅25+250+20=270–125=145 (м). 14

56. 0,5 x − 1 1 =0; 0,5x–1=0, 0,5х=1; х= ; x=2. 0,5 6 0,5 x − 1 1 ; x>2. >0; 0,5x–1>0, 0,5x>1, x > б) f(x)>0 ⇒ 0,5 6 0,5 x − 1 1 ; x<2. <0; 0,5x–1<0, 0,5x<1, x < в) f(x)<0 ⇒ 0,5 6

а) f(x)=0 ⇒

57. а) l(0)=60, l(25)=60(l+0,000012⋅25)=60(1+0,0003)=60+0,018= =60,018; l(25)–l(0)=60,018−60=0,018 (м). б) l(25)=60,018,l(50)=60(l+0,000012⋅50)=60(1+0,0006)=60+0,036= =60,036; l(50)–l(25)=60,036-60,018=0,018 (м).

58.

а) 3(x+4)2=10x+32; 3(x2+8x+16)=10x+32; 3x2+24x+48=10x+32; 2 − 14 ± 4 ; x1=–2 , x2=–2. 3x2+14x+16=0; D=142–4⋅3⋅16=4; x1,2= 6 3 б) 31x+77=15(x+1)2; 31x+77=15(x2+2x+1); 31x+77=15x2+30x+15; 1 ± 3721 ; x1=–2, 15x2–x–62=0; D=(−1)2–4⋅15⋅(–62)=3721; x1,2= 30 1 x2=2 . 15

59.

а) ab+3b–5a–15=−5(a+3)+b(a+3)=(b−5)(a+3). б) 2xy–y+8x–4=4(2x−1)+y(2x−1)=(4+y)(2x−1).

60. а)

3x2–24x+21=0;

x2–8x+7=0;

D=(−8)2–4⋅1⋅7=36;

x2=

24 + 6 =5. 3x2–24x+21=3(x–3)(x–5). 6

б)

5x2+10x–15=0;

x2=

−2 + 4 =1. 5x2+10x–15=5(x+3)(x−1). 2

x2+2x–3=0;

D=22–4⋅1⋅(–3)=16;

x1=

x1=

24 − 6 =3, 6

−2 − 4 =–3, 2

15

1 1 2 1 x + x+ =0; x2+3x+2=0; D=32–4⋅1⋅2=1; 6 2 3 −3 + 1 1 1 1 2 1 =–1. x + x+ = (x+2)(x+1). x2= 6 2 3 6 2 в)

x2–12x+24=0;

г)

D=(−12)2–4⋅1⋅24=48;

x1=

x1=

−3 − 1 =–2, 2

12 − 4 3 =6–2 3 , 2

12 + 4 3 =6+2 3 . x2–12x+24=(x–6+2 3 )(x–6−2 3 ). 2 y2–16y+15=0; D=(−16)2–4⋅1⋅15=196; д) –y2+16y–15=0;

x2=

16 − 196 =1, 2 =(1−y)(y−15). y1=

y2=

16 + 196 =15. 2

–y2+16y–15=–(y–1)(y–15)=

е) –x2–8x+9=0; x2+8x–9=0; D=82–4⋅1⋅(–9)=100; x1=

− 8 − 100 =–9, 2

− 8 + 100 =1. –x2–8x+9=–(x+9) (x–1) = (x+9) (1–x). 2 5 +1 3 5 −1 =1, x2= ж) 2x2–5x+3=0; D=(−5)2–4⋅2⋅3=1; x1= = . 4 2 4 3 3 2 2x –5x+3=2(x– )(x–1)=2(x−1)(x− )=(x−1)(2x−3). 2 2 − 2 + 64 3 − 2 − 64 2 2 = , y2= =–1. з) 5y +2y–3=0; D=2 –4⋅5⋅(–3)=64; y1= 10 10 5 3 3 5y2+2y–3=5(y– )(y+1)=5(y+1)(y− )= =(y+1)(5y−3) 5 5 5 − 81 и) –2x2+5x+7=0; 2x2–5x–7=0; D=(−5)2–4⋅2⋅(–7)=81; x1= =–1, 4 7 5 + 81 7 x2= = . –2x2+5x+7=–2(x+1) (x– )=(x+1)(7−2x). 4 2 2 x2=

61. 1 1 1 1 1 =2(x2–x+ )=2(x2−2⋅ x + )=2(x– )2 4 2 2 4 2 б) –9x2+12x–4=–(9x2–12x+4)=−((32x)2−2⋅2⋅3x+22)=–(3x–2)2. в) 16a2+24a+9=((4a)2+2⋅3⋅4a+32)=(4a+3)2. г) 0,25m2–2m+4=((0,5m)2−2⋅2m⋅0,5+22)=(0,5–2)2. а) 2x2–2x+

16

62. а) 2x2+12x–14=0; ⇒ x2+6x–7; D=62–4⋅1⋅(–7)=64; x1= 7, x2=

− 6 − 64 =– 2

− 6 + 64 =1. 2x2+12x–14=2 (х+7) (x–1). 2

б) –m2+5m–6=0; m2–5m+6=0; D=(−5)2–4⋅1⋅6=1; m1=

5 −1 =2, 2

5 +1 =3. –m2+5m–6=−(m−2)(m−3)=(2−m)(m−3). 2 −5 − 7 −5 + 7 1 =–2, x2= = . в) 3x2+5x–2=0; D=52–4⋅3⋅(–2)=49; x1= 6 6 3 1 3x2+5x–2=3(x+2)(x− )=(x+2)(3x−1). 3 13 − 5 2 13 + 5 3 2 = , x2= = . г) 6x –13x+6=0; D=(−13)2–4⋅6⋅6=25; x1= 3 2 12 12 2 3 2 6x –13x+6=6(x– ) (x– )=(3x–2) (2x–3). 3 2

m 2=

63. а)

10x2+19x–2=0;

D=192–4⋅10⋅(−2)=441;

x1= −19 − 21 =–2, 20

x2= −19 + 21 =0,1. 10x2+19x–2=10(x–0,1)(x+2). 20 б) 0,5x2–5,5x+15=0; x2–11x+30=0; D=(−11)2–4⋅1⋅30=1; x1= x2=

11 + 1 =6. 0,5x2–5,5x+15=0,5(x–6)(x–5). 2

11 − 1 =5, 2

64.

а) –3y2+3y+11=0; D=32–4⋅(−3)⋅11=141>0. Можно. б) 4b2 –9b+7=0; D=(−9)2–4⋅4⋅7=–31<0. Нельзя. в) x2 –7x+11=0; D=(−7)2–4⋅1⋅11=5>0. Можно. г) 3y2 –12y+12=0; D=(−12)2–4⋅3⋅12=0. Можно.

17

65. 1 а) 1) 3x2+2x–1=0; D=22–4⋅3⋅(–1)=16; x1= −2 − 4 =–1, x2= −2 + 4 = . 3 6 6 1 2 3x +2x–1=3(x– ) (x+1)= (x+1) (3x–1). 3

2)

4x + 4

2

3x + 2 x − 1

=

4( x + 1) 4 . = ( x + 1)(3 x − 1) 3 x − 1

б) 1) 2a2–5a–3=0; D=52–4⋅2⋅(–3)=49; a1=

5−7 1 5+ 7 =– , a2= =3; 2 4 4

1 ) (a–3) = (2a+1) (a–3). 2

2a2–5a–3=2(a+

2 2) 2a − 5a − 3 = (2a + 1)(a − 3) = 2a + 1

3a − 9

3(a − 3)

3

в) 1) b2–b–12=0; D=(−1)2–4⋅1⋅(–12)=49; a1= b2–b–12= (b+3) (b–4). 2)

16 − b 2 2

b − b − 12

=

1+ 7 1− 7 =–3, a2= =4; 2 2

(4 + b ) (4 − b)(4 + b) =− (b + 3) (b + 3)(b − 4)

г) 1) 2y2+7y+3=0; D=72–4⋅2⋅3=25; y1=

1 −7 − 5 −7 + 5 =–3, y2= =– ; 2 4 4

1 )= (y+3) (2y+1). 2 2 2) 2 y + 7 y + 3 = ( y + 3)(2 y + 1) = 2 y + 1 . ( y − 3)( y + 3) y −3 y2 − 9

2y2+7y+3=2 (y+3) (y+

д) p2=

1)

p2–11p+10=0;

D=(−11)2–4⋅1⋅10=81;

p1=

11+ 9 =10; p2–11p+10= (p–1) (p–10). 2

2) –p2+8p+20=0; p2–8p–20=0; D=(−8)2–4⋅(–20)=144; p1= p2=

11− 9 =1, 2

8 + 12 =10; –p2+8p+20=– (p+2) (p–10). 2 p 2 − 11 p + 10 ( p − 1)( p − 10) p −1 . =− = 2 ( p − 10)( p + 2) p+2 20 + 8 p − p

18

8 − 12 =–2, 2

66. а) 1) x2–11х+24=0; D=(−11)2−4⋅1⋅24=25; x1= 11 − 5 =3. 2 x 2 − 11x + 24 ( x − 8)( x − 3) x − 3 2) = = ( x − 8)( x + 8) x + 8 x 2 − 64

11 + 5 =8, 2

x2=

б) y2=

2y2+9y–5=0;

1)

D=92–4⋅2⋅(–5)=121;

y1=

−9 − 11 =–5, 4

1 −9 + 11 1 = . 2y2+9y–5=2 (y+5) (y– )= (y+5) (2y–1). 2 2 4

2)

2y2 + 9y − 5 2

4y −1

=

( y + 5)(2 y − 1) y+5 . = (2 y − 1)(2 y + 1) 2 y + 1

67. а) 1) x2–7x+6=0; D=(−7)2–4⋅1⋅6=25; x1=

7 + 25 7 − 25 =1, x2= =6. 2 2

x2–7x+6=(x–1) (x–6). 36 − x 2 (6 − x)(6 + x) 6+ x x+6 . 2) = = = 2 ( x − 1)( x − 6) − ( x − 1) 1 − x 6 − 7x + x 6 + x −9 + 6 −3 = При x=–9, = = −0,3 . 1 − x 1 − (−9) 10 6 + x −99 + 6 −93 = = = −0,93 . 1 − x 1 − ( −99) 100

При x=–99, При x=–999, б) x2=

x + 6 −999 + 6 −993 = = = −0,993 . 1 − x 1 − (−999) 1000

4x2+8x–32=0;

1)

D=82–4⋅4⋅(–32)=576;

x1=

−8 − 24 =–4, 8

−8 + 24 =2. 4x2+8x–32=4 (x+4) (x–2). 8

2)

4 x 2 + 8 x − 32 2

4 x − 16

При x=−1,

=

4( x + 4)( x − 2) x + 4 = 4( x − 2)( x + 2) x + 2

x + 4 −1 + 4 =3. = x + 2 −1 + 2

19

x+4 5+4 2 = =1 x+2 5+2 7 x + 4 10 + 4 1 При x=10, = =1 . x + 2 10 + 2 6 При x=5,

68. Область определения функции у=х−х: x∈(–∞;+∞) и имеет графиком прямую. x 2 − 6x + 8 Функция y= не определена при x=2; решим уравнеx−2 ние x2–6x+8=0: D=(−6)2–4⋅1⋅8=4, отсюда x1=2, x2=4 и x2–6x+8=(x– x 2 − 6 x + 8 ( x − 4)( x − 2) = при x≠2 совпадает с 2)(x–4). Поэтому x−2 x−2 функцией y=x–4 при всех значениях, кроме х=2.

69. а)

x 2 −1 –11x–11=0; x 2 − 1 − 22 x − 22 =0, x2–22x–23=0; D=(−22)2– 2

22 − 24 22 + 24 =–1, x2= =23. 2 2 3( x 2 + x) − 2(8 x − 7) x 2 + x 8x − 7 =0; =0, 3x2+3x–16х+14=0; б) − 2 3 6 1 13 − 1 13 + 1 x2–13x+14=0; D=(−13)2–4⋅1⋅14=1; x1= =2, x2= =2 . 3 6 6 –4⋅1⋅(–23)=576; x1=

70.

а) 4x2–6x+2xy–3y=−3(2x+y)+2х(2x+y)= (2x–3) (2x+y). б) 4a3+2b3–2a2b–4ab2=4a(a2–b2)+2b(b2–a2)=4a(a2–b2)–2b(a2–b2)= 2 =(a –b2)(4a–2b)=2(a–b)(a+b)(2a–b).

71. С первого по 6-й день уровень воды возрастал от 0 до 6,2 дм, затем начал убывать и на 12-й день опустился до 4 дм.

72. Функция f(x) возрастает, проходя через III, II и I четверти, g(x) убывает, проходя через II, I и IV четверти. Значит, точка пересечения графиков может оказаться или во II, или в I четверти. Так как f(0)=2,1
73. x y

0 0

2 1

–2 1

–4 4

−3 9 4

3 9 4

−4 4

1 ⋅ 2,52 = 1,5625 ; 4 х=−1,5; у=0,5625; х=3,5; у=3,0625. б) При y=5 x≈–4,6 и 4,6. При y=3 x≈–3,4 и 3,4. При y=2 х≈–2,8 и 2,8. в) В (–∞; 0] — убывает; в [0; ∞) — возрастает. а)

х=−2,5;

y=

74. x

0

1

−1

2

–2

1 2 y 0 –2 –8 –8 −2 1 − 2 а) При х=1,5 у≈–4,5. При х=0,6 у≈–0,7. При х=1,5 у≈4,1. б) При у=–1,5 х≈–0,9 и 0,9. При у=–3 х≈– 1,2 и 1,2. При у=1,5 х≈–1,6 и 1,6. в) В (–∞; 0] — возрастает; в [0; ∞) — убывает. −

75. 1) x 0 y1 0

1 1

2) x 0 y2 0

1 1,8

2 4

3 –1 –2 –3 9 1 4 9 2 7,2

–1 1,8

–2 7,2

3) x 0 y3 0

1 2 3 –1 –2 –3 1 1 3 1 3 1 1 1 3 3 3 3 y2(0,5)>y1(0,5)>у3(0,5); y2(1)>y1(1)>у3(1); y2(2)>y1(2)>у3(2).

21

76. 1) x 0 1 y1 0 0,4

2 1,6

3 3,6

–1 0,4

–2 1,6

–3 3,6

2) x 0 1 2 3 –1 –2 –3 y2 0 –0,4 –1,6 –3,6 –0,4 –1,6 –3,6 Е(у1)=[0;∞); Е(у2)=(∞; 0].

77. а) 1) При х=0 у=0; 2) при х≠0, то у<0; 3) у(х)=у(–х); 4) возрастает в (–∞; 0], убывает в [0; ∞); 5) при х=0 функция принимает наибольшее значение у=0; 6) Е(у)=(–∞; 0]. б) 1) При х=0 у=0; 2) При х≠0 у>0; 3) у(х)=у(–х); 4) убывает в (–∞; 0], возрастает в [0; ∞); 5) при х=0 функция принимает наименьшее значение у=0; 6) Е(у)=[0; ∞).

78. а) 1) При х=0 у=0; 2) При х≠0, то у>0; 3) у(х)=у(–х); 4) убывает в (–∞; 0], возрастает в [0; ∞); 5) при х=0 функция достигает наименьшего значения у=0; 6) Е(у)=[0; ∞). б) 1) При х=0 у=0; 2) При х≠0 у<0; 3) у(х)=у(–х); 4) возрастает в (–∞; 0], убывает в [0; ∞); 5) при х=0 функция принимает наибольшее значение у=0; 6) Е(у)=(–∞; 0]. 22

79.

а) у=2х2; у=50. Приравняем: 50=2х2; x2=25; x=5 или x=–5. Пересекаются. б) у=2х2; у=100. Приравняем: 100=2х2; x2=50; x=5 2 или x=– 5 2 . Пересекаются. в) у=2х2; у=–8. Приравняем: –8=2х2; x2=–4. Нет корней, т.к. квадрат любого числа есть число неотрицательное. Не пересекаются. г) у=14х–20; у=2х2. Приравняем: 2x2=14x–20; 2x2–14x+20=0; 7+3 7−3 =5 или x= =2. При x=5 x2–7x+10=0; D=49–4⋅10=9; x= 2 2 y=14⋅5–20=50. Пересекаются.

80.

а) y(1,5)=(–100)·(1,5)2=–225 ⇒ принадлежит; б) y(–3)=(–100)·(–3)2=–900 ⇒ принадлежит; в) y(2)=–100⋅22=–400≠400 ⇒ не принадлежит.

81.

y=–x2; у=2x–3. Приравняем эти функции: 2x–3=–x2; x2+2x–3=0; −2 + 4 −2 − 4 D=4–4⋅(–3)=16; x1= =1, x2= =–3. 2 2

Если х=1 у=–(–3)2=–9.

⇒

у=–12=–1;

если

х=–3

⇒

82.

График функции S − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при r2 положителен), ее вершина — в точке (0, 0). Так как r≥0 получим график S(r) (r≥0) — это правая половина параболы у=πх2. x 1 2 3 S π 4π 9π 23

а) S(1,3)≈5,3, S(0,8)≈2, S(2,1)≈13,8. б) S(r)=1,8 при r≈0,7, S(r)=2,5 при r≈0,9, S(r)=6,5 при r≈1,5.

83. Площадь поверхности куба есть сумма площадей его граней. Так как они — равные квадраты, их шесть; то S(x)=6x2. Так как x — ребро куба, то x≥0. Следовательно, график функции у=S(x) — это половина параболы y=6x2, расположенная в первой координатной четверти.

24

1 3 1 5 1 2 2 3 2 3 6 2 3 1 2 16 13 24 y 0 3 2 2 3 а) S(0,9)≈4,9; S(1,5)≈13,5; S(1,8)≈19,5; б) S(x)=7 при x≈1,2; S(x)=10 при x≈1,3; S(x)=14 при x≈1,6. x

0

84.

а) 3x2–8x+2=0; D=(−8)2–4⋅3⋅2=40>0. Два корня. 1 б) – y2+6y–18=0; y2–12y+36=0; D=(−12)2–4⋅1⋅(−36)=0. Один ко2 рень. в) m2–3m+3=0; D=(−3)2–4⋅1⋅3=–3<0. Нет корней.

85. а) a2=

1)

10a2–a–2=0;

D=(−1)2–4⋅10⋅(–2)=81;

a1=

2 1 − 81 =– , 5 20

2 1 1 + 81 1 = ; 10a2–a–2=10 (a+ )(a– )= (5a+2) (2a–1). 20 2 5 2 2a − 1 (2a − 1) 1 2) = = 10a 2 − a − 2 (2a − 1)(5a + 2) 5a + 2 б) 1) 6a2–5a+1=0; D=(−5)2–4⋅6⋅1=1; a1=

6a2–5a+1=6 (a– 2)

1 1 )(a– )= (3a–1) (2a–1). 3 2

6a 2 − 5a + 1 1 − 4a 2

5 +1 1 5 −1 1 = , a2= = ; 12 3 2 12

=

(2a − 1)(3a − 1) (3a − 1) 1 − 3a . =− = − (2a − 1)(2a + 1) (2a + 1) 1 + 2a

86.

(x+3)2–(x–3)2=(x–2)2+(x+2)2; x2+6x+9–x2+6x–9=x2–4x+4+x2+4x+4; x +6x+9–x2+6x–9–x2+4x–4–x2–4x–4=0; −2x2+12x−8=0; x2–6x+4=0; 2

D=(−6)2–4⋅1⋅4=20;

x1=

6 + 20 = 3+ 5 ; 2

x2=

6 − 20 = 3− 5 , 2

25

87.

а)

б)

в)

г)

88. y=x2 y=(x–5)2 y=(x+3)2

y=–x2+3 y=x2–4

89. y=x2+2

y=x2

y=(x+4)2

y=–x2–1

26

y=–(x–3)2

90.

а) График функции y=10x2+5 − парабола, полученная из графика функции y=10x2 сдвигом на 5 единиц вверх. Значит, график функции y=10x2+5 расположен в I и II четвертях. б) График функции y=–7x2–3 получается из графика y=–7x2 сдвигом на 3 единицы вниз. Значит, график функции y=–7x2–3 расположен в III и IV четвертях. в) График функции y=–6x2+8 − парабола, полученная из графика функции y=–6x2 сдвигом вверх на 8 единиц. Значит, график функции y=–6x2+8 расположен во всех четырех четвертях. г) График функции y=(x–4)2 − парабола, полученная из графика функции y=x2 сдвигом вправо на 4 единицы. Поэтому график функции y=(x–4)2 расположен в I и II четвертях. д) График функции y=–(x–8)2 получается из параболы y=–x2 сдвигом вправо на 8 единиц, значит, график функции y=–(x–8)2 расположен в III и IV четвертях. е) График функции y=–3(x+5)2 получается из параболы y=–x2 сдвигом на 5 единиц влево и растяжением в 3 раза по вертикали, поэтому график функции расположен в III и. IV четвертях.

91. (x+3)2

а)

в)

(x+3)2

б)

г)

27

92.

а)

б)

93. y=(x–2)2+3 y=x2

y=–(x–3)2+5

94. y=(x+3)2–4 y=x2

y=–(x–3)2–2

95. 1 (x+4)2 — это парабола, у которой ветви 3 направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами x=–4, y=0. 1 б) График функции y= (x–4)2 — это парабола, у которой ветви 3 направлены вверх, а вершина находится в точке с координатами x=4, y=–1. а) График функции y=–

28

1 2 x +4 – это парабола, у которой ветви 3 направлены вверх, а вершина находится в точке с координатами x=0, y=–4. 1 г) График функции y=– x2–2 – это парабола, у которой ветви 3 направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами x=0, y=–2. в) График функции y=–

96. а) y=12x2–3; нуль функции: 12x2–3=0; 12x2=3; x2= x1=–

3 1 1 = ; x2= , 12 4 2

1 . 2

4 . Нет корней, 6 т.к. квадрат любого числа есть число неотрицательное. в) y=–x2–4; нуль функции: –x2–4=0; –x2=4; x2=–4. Нет корней, т.к. квадрат любого числа есть число неотрицательное. б) y=6x2+4; нуль функции: 6x2+4=0; 6x2=–4; x2=–

97. y=0 ⇒ ax2+5=0; ax2=–5; х2= число неотрицательное, то −

−5 . Т.к. квадрат любого числа есть a

5 ≥ 0 ⇒ а < 0. a

98.

а) 0,6a–(a+0,3)2=0,27; 0,6a–a2–0,6a–0,09–0,27=0; −а2−0,36=0; a =–0,36, нет корней, т.к. квадрат любого числа есть число неотрицательное. y2 − 2y =0,5y(6–2y); y2–2y=2y(6–2y); у2−2у=12у−4у2; y2–2y– б) 4 12y+4y2=0; 14 5y2–14y=0; y(5y–14)=0; y=0 или 5y–14=0, 5у=14, у= =2,8. 5 2

99. а) 5x–0,7<3х+5,1; 5х–3х<5,1+0,7; 2х<5,8; х<

5,8 = 2,9. 2 29

0,5 = 0,025. 2 3,6 в) 2x+4,2≤4х+7,8; 2x–4x≤7,8–4,2; –2х≤3,6; х≥ = –1,8. −2 −0,5 = 0,2. г) 3x–2,6>5,5х–3,1; 3х–5,5х>–3,1+2,6; –2,5х>–0,5; х< − 2,5

б) 0,8x+4,5≥5–1,2х; 0,8x+1,2х≥5–4,5; 2х≥0,5; х≥

100.

y(5)–y(2)=52–22=25−4=21. y(8)–y(5)=82–52=64−25=39. Таким образом, приращение функции при изменении х от 2 до 5 меньше приращения функции при изменении х от 8 до 5.

101. −4 b =2 уВ=22–4⋅2+7=3, (2; 3) — координаты верши=– 2a 2 ны х=2 — ось симметрии параболы. а) xВ=–

б)

xВ=–

−5 1 b =– = −1 2a 2 ⋅ (−2) 4

уВ=–2⋅(–

1 5 2 5 ) –5⋅(– )–2=1 , 4 4 8

1 1 1 ; 1 ) — координаты вершины; х=–1 — ось симметрии па4 4 8 раболы. (–1

102.

1) Т.к. коэффициент при х2 отрицательный, то график функции у=–х2+2х+8 − парабола, у которой ветви направлены вниз. 2) Найдем координаты вершины: хВ=–

b 2 =– =1; уВ=–12+2⋅1+8=9; (1; 9) 2a 2 ⋅ ( −1)

— координаты вершины; х=1 — ось симметрии параболы. 3) x 0 2 3 –1 –2 4 y 8 8 5 5 0 0 30

а) При х=2,5 у≈6,5, при х=–0,5 у≈6,5, при х=–3 у≈–7. б) При у=6 х≈–0,8 и 2,8, при у=0 х=–2 и 4; при у=–2 х≈–2,2 и 4,4. в) х=–2;4 — нули функции; у>0 при х∈(–2; 4); у<0 при х∈(–∞; –2)∪(4; +∞). г) Возрастает при х∈(–∞; 1]; убывает при х∈[1; +∞); Е(у)=(–∞; 9].

103.

1) График функции у=2х2+8х+2 − парабола, у которой ветви направлены вверх. 2)

Найдем

координаты

вершины:

2

уВ=2(–2) +8(–2)+2=–6; х=–2 – ось симметрии. 3) x –1 –3 0 –4 y 4 –4 2 2

xв=– b = − 8 = 2a

2⋅2

=–2;

а) При х=–2,3 у≈–5,8, при х=–0,5 у=–1,5; при х=1,2 у≈14,5. б) При у=–4 х=–1 или 3; при у=–1 х≈–0,4 или –3,6; при у=1,7 х≈–0,2 или –3,8. в) х=–2+ 3 и х=–2– 3 — нули функции; у>0 при х∈(–∞; –2– 3 )∪(–2+ 3 ;+∞); у<0 при х∈(–2– 3 ; –2+ 3 ). г) Функция убывает при х∈(–∞; –2], возрастает при х∈[–2;+∞); при х=–2 функция достигает наименьшего значения, равного –6.

104. 1 3

а) 1) Графиком функции у= х2–4х+4 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 2) Координаты вершины: (6; –8); х=6 – ось. 3) x 4 8 2 1 0 3 −1 31

y

–6

2 3

–6

2 3

–2

2 3

1 3

4

8

1 3

−5

а) у=0 при х=6–2 6 ; 6+2 6 ; б) при х=0 у=4; в) график функции расположен в I, II, IV четвертях; г) график функции симметричен относительно оси х=6; д) возрастает при х∈[6; +∞), убывает при х∈(–∞; 6]; е) наименьшее значение функции у=–8 при х=6; Е(у)=[–8;+∞); 1 б) 1) Графиком функции у=– х2+х–1 является парабола, у кото4 рой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при х2 отрицательный). 2) Координаты вершины: (2; 0); х=2 – ось симметрии. 3) x 1 3 0 –2 2 −1 y 0 –1 4 1 1 1 −2 – 4 4 4 а) При х=0 у=–1; б) при х≠0 у<0; в) график функции симметричен относительно оси х=2; г) функция возрастает при х∈(–∞; 2], убывает при х∈[2; +∞); д) при х=2 функция достигает наибольшего значения, равного 0; Е(у)=(–∞; 0]. в) 1) Графиком функции у=х2+3х является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 2) Координаты вершины: (–1,5; –2,25); х=–1,5 – ось. 3) x –3 –2 –1 0 1 2 3 y 0 –2 –2 0 4 10 18 а) При х=0 у=0; б) график функции расположен в I, II, III четвертях; в) график функции симметричен относительно оси х=–1,5; г) функция убывает при х∈(–∞; –1,5], возрастает при х∈[–1,5; +∞); 32

д) наименьшее значение, равное 2,25 функция достигает при х=– 1,5; Е(у)=[–2,25; +∞).

105. 1 2 х +5 яв2 ляется парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при х2 отрицательный). Найдем координаты вершины 0 b 2) хВ=– =− = 0; 1 2a 2⋅ − а) 1) Графиком функции у=–

( ) 2

1 уВ=– ⋅02+5=5; (0; 5). 2 3) x 1 –1 2 –2 0 y 4,5 4,5 3 3 5 б) 1) Графиком функции у=х2–4х является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при х2 положительный). Найдем координаты вершины b −4 =− = 2 ; уВ=22–4⋅2=–4; 2) хВ=– 2a 2 ⋅1 (2; –4). 3) x 0 1 4 −1 −2 y 0 –3 0 3 12 в) 1) Графиком функции у=–х2+6х–9 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при х2 отрицательный). Найдем координаты вершины 2) хВ=– (3; 0). 3) x y

106.

2 0

b 6 2 =− = 3 ; уВ=–3 +6⋅3–9=0; 2a 2 ⋅ ( −1)

0 −3

1 –4

2 –1

3 0

4 –1

5 –4

а) 1) Графиком функции у=0,5х2–2 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при х2 положительный). Найдем координаты вершины 33

хв=–

2)

b 0 =− =0; 2a 2 ⋅ 0,5

ув=–0,5⋅02–2=–2;

(0; –2). 3) x y

–3 –2 –1 0 1 2 3 0 –1,5 −2 –1,5 0 1 1 2 2 2 2 б) 1) Графиком функции у=х2–4х+4 является парабола, у которой ветви направлены вверх, (т.к. коэффициент при х2 положительный).

−4 b = 2 уВ=22–4⋅2+4=0; (2; 0). =− 2a 2 ⋅1 3) x 0 1 2 3 −1 y 9 4 1 0 1 в) 1) Графиком функции у=–х2+2х является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при х2 отрицательный). Найдем координаты вершины

2) хВ=–

b 2 =− = 1 , уВ=–12+2⋅1=–1+2=1; (1; 1). 2a 2 ⋅ (−1) −3 –2 –1 0 1 2 3 –15 –8 –3 0 1 0 –3

2) хВ=– 3)

x y 34

107.

а) 1) Графиком функции у=(х–2)(х+4)=х2+2х–8 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при х2 положительный). Найдем координаты вершины: b 2 2) хВ=– =− = −1 , уВ=(–1)2+2⋅(–1)–8=–9; (–1; –9). 2a 2 ⋅1 3) x 0 –2 –1 1 2 –4 0 y –8 –8 –9 –5 0 0 −8

б) 1) Графиком функции у=–х(х+5)=–х2–5х является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при х2 отрицательный). Найдем координаты вершины 2) хВ=–

−5 b =− = −2,5 , уВ=–(–2,5)2–5⋅(–2,5)=6,25; (–2,5; 6,25). 2a 2 ⋅ (− 1)

3)

x –1 0 1 y 4 0 –6 Используя симметрию относительно прямой х=–2,5 найдем еще три точки.

108. На рисунке изображена парабола, у которой ветви направлены вверх значит, это не у=–х2–6. Кроме того, нули изображенной функции расположены в точках х=0 и х=6 но у=х2+6х не обращаются в 1 2 х –3х – обращается в нуль и при х=0, и при х=6. 2 1 Значит, искомая функция –у= x 2 − 3x . 2

нуль при х=6, а у=

35

109. 1) 3a2+5a–2=0; D=52–4⋅3⋅(–2)=49; a1=

−5 + 7 1 −5 − 7 = ; =–2, a2= 6 3 6

1 )(a+2)=(3a–1)(a+2); 3 (1 − 3a ) 2 (3a − 1) 2 3a − 1 = = . 2) 2 a a a+2 ( 3 1 )( 2 ) − + 3a + 5a − 2

3a2+5a–2=3(a–

110.

а) у=х2+3; E(y)=[3;+∞).

б) у=(х+1)2; E(y)=[0;+∞).

в) у=–х2+2; E(y)=(–∞; 2].

111.

а) (x–1)2+(x+1)2=(x+2)2–2x+2; x2–2x+1+x2+2x+1=x2+4x+4–2x+2; x +1+x2+1–x2–4x–4+2x–2=0; x2–2x–4=0; D=(−2)2–4⋅1⋅(–4)=20; 2−2 5 2+2 5 =1– 5 , x2= =1+ 5 . x1= 2 2 2 б) (2x–3)(2x+3)–1=5x+(x–2) ; 4x2–9–1=5x+x2–4x+4; 3x2–x–14=0; 1 − 169 1 + 169 1 =–2, x2= =2 . D=(−1)2–4⋅3⋅(–14)=169; x1= 6 6 3 2

112. Обозначим площадь участка х га, тогда 35x (т) — соберут в первый раз 42x (т) — соберут во второй раз. Запишем уравнение: 35х+20=42х–50; 7х=70; х=10.

113. Пусть было х машин. Тогда 3,5х (т) — погрузили в первый раз 4,5x (т) — погрузили во второй раз. Запишем уравнение: 3,5х+4=4,5х–4; х=8.

114.

а) 1) График функции y=x2+2x−48 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 36

2)

Решим

уравнение

x2+2x−48=0;

D=22−4⋅1⋅(−48)=

=196; x1= −2+ 2 196 =6, x2= −2− 2 195 =−8. 3) (–∞; 6). б) 1) График функции y=2x2−7x+6 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Найдем корни уравнения 2x2−7x+6=0; D=(−7)2−4⋅2⋅6=1; x1= 7 − 1 =1,5, x2= 7 + 1 =2. 4 4 3) (–∞; 1,5)∪(2; ∞). в) 1) График функции y=−x2+2x+15 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −x2+2x+15=0; D=22−4⋅(−1)⋅15=64; x= 2 + 8 =5 или x= 2 − 8 =−3. 2 2 3) (–∞; –3)∪(5; ∞). г) 1) График функции y=−5x2+11x−6 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение–5x2+11x–6=0; 5x2–11x+6=0; D=112–4⋅(−5)⋅(−6)=1; x= 11+ 1 =1,2 или х= 11− 1 =1. 10 10 3) (1; 1,2). д) 1) График функции y=4x2–12x+9 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 4x2–12x+9=0; D=(−12)2−4⋅4⋅9=0; x= 12 + 0 =1,5 8

3) (–∞; 1,5)∪(1,5; ∞). е) 1) График функции y=25x2+30x2+9 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 25x2+30x+9=0; D=302− –4⋅25⋅9=0; x= −30 + 0 =−0,6 50

3) нет решений

37

3) (0; 0,9).

ж) 1) График функции y=–10x2+9x является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение –10x2+9x=0; x(–10x+9)=0; x=0 или −10x+9=0; 10x=9; x=0,9. з) 1) График функции у=–2x2+7х является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение –2x2+7x=0; x(–2x+7)=0; x=0 или –2x+7=0; 2x=7; x=3,5.

3) ( -∞;0)∪(3,5; ∞).

115.

а) 1) График функции y=2x2+3x–5 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 2x2+3x–5=0; D=32–4⋅2⋅(−5)= =49; x= −3 + 7 =1 или x= −3 − 7 =–2,5 4

4

3) (−∞; −2,5]∪[1; +∞). б) 1) График функции y=–6x2+6x+36 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение –6x2+6x+36=0; x2–x–6=0 D=12–4⋅1⋅(–6)=25; x= 1+ 5 =3 или x= 1− 5 =–2 2

3) [-2; 3]

в) 1) График функции у=–x2+5 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение –x2+5=0; x2=5; x= 5 или x= − 5

3) (–∞; − 5 ]∪[ 5 ; +∞)

116.

а) 1) График функции y=2x2+13x–7 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен).

38

2

D=132–4⋅2⋅(−7)= Решим уравнение 2x2+13x=0; =225; х= −13 + 15 =0,5 или х= −13 − 15 =–7. 4 4 3) (–∞; –7)∪(0,5; ∞). б) 1) График функции y=–9x2+12x–4 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т. к коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение –9x2+12x–4=0; 9x2– 2 +. 0 = 2 . 0; D=122–4⋅9⋅4=0; x= 12 + 0x==12 12x+4=0; D=122–4⋅9⋅4=0; 18 318 3 3) (−∞; 2 ) ∪ ( 2 ; ∞) . 3 3 в) 1) График функции y=6x2–13x+5 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 6x2–13x+5=0; D=132–4⋅6⋅5= =49; x= 13 + 7 = 1 2 или x= 13 − 7 = 1 . 12 3 12 2 1 2 3) [ ; 1 ] . 2 3 г) 1) Графиком функции y=–2x2–5x+18=0; является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение –2x2–5x+18=0; 2x2+5x–18=0;

2)

D=52–4⋅2⋅(–18)=169; x= −5 + 13 =2 или x= −5 − 13 = 4

4

=–4,5. 3) (–∞; –4,5]∪[2; ∞). д) 1) График функции y=3x2–2x является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 3x2–2x=0; x(3x–2)=0; x=0 или 3x–2=0; 3x=2; x= 2 . 3

3) (–∞; 0)∪( 2 ; ∞). 3

е) 1) График функции y=–x2+8 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение 8–x2=0; x2=8; x= 2 2 или 39

x=− 2 2 3) (–∞; – 2 2 )∪( 2 2 ; ∞ ).

117.

а) 1) График функции y=2x2+5x+3 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 2x2+5x+3=0; D=52–4⋅2⋅3=1; x= −5 + 1 =–1 или x= −5 − 1 =–1,5. 4

4

3) (–∞; –1,5)∪(–1; +∞). б) 1) График функции y=–x2 − 1 х − 1 является 3

36

параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение –x2 − 1 х − 1 =0; –x2+ 3 36 1 2 − +0 + 1 х + 1 =0; D=  1  − 4 ⋅ 1 =0; x= 3 =−1 .  3 36 2 6 3 36 3)  − ∞;− 1  ∪  − 1 ; + ∞  

6

118.

3) (−4; 4).

 6



а) 1) График функции y=x2–16 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение x2–16=0; (x–4)(x+4)=0; x–4+0; x=4 или x+4=0; x=−4. б) 1) График функции y=x2−3 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение x2−3=0; x2=3; x= 3 или x=− 3 .

3) (−∞; − 3 ]∪[ 3 ;+∞). 40

в) 1) График функции y=0,2x2−1,8 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 0,2x2−1,8=0; 0,2x2=1,8; x2=9; x=3 или x=−3. 3) (−∞;−3)∪(3;+∞). г) 1) график функции у=–5x2–х является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −5x2−x=0;−x(5x+1)=0; x=0 или 5x+1=0, т.е. 5x=−1, x=− 1 . 5

3) (−∞; − 1 ]∪[ 0; +∞) 5

д) 1) График функции y=3x2+2x является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 3x2+2x=0; x(3x+2)=0; x=0 или 3x+2=0, т.е. 3x=−2, x=− 2 3

3)  − 2 ; 0   3  е) 1) График функции y=7x−x2 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение 7x−x2=0; x(7−x)=0; x=0 или 7−x=0, т.е. x=7. 3) (−∞; 0)∪(7; +∞).

119.

а) 1) График функции y=0,01x2−1 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 0,01x2−1=0; 0,01x2=1; x2=100; x=10 или x=−10. 3) [−10; 10]. б) 1) График функции y= 1 x2−12 является параболой, у которой 2 ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен).

41

2) Решим уравнение 1 x2−12=0; 1 x2=12; x2=24; 2 2 x= 2 6 или x=− 2 6 . 3) (−∞; − 2 6 )∪( 2 6 ;+∞). в) 1) График функции y=x2+4x является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен) 2) Решим уравнение x2+4x=0; x(x+4)=0; x=0 или x+4=0, т.е. x=−4. 3) [−4; 0]. г) 1) График функции y= 1 х 2 − 1 является параболой, у которой 3 9 ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 1 х 2 − 1 =0; 1 х 2 = 1 ; 3 9 3 9 3 3 x2= 1 ; x= или x= − . 3 3 3 3 3 )∪( ;+∞). 3 3 д) 1) График функции y=5x2−2x является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 5x2−2x=0; x (5x−2)=0; x=0 или 5x−2=0 т.е. 5x=2, x=0,4.

3) (−∞; −

3) (−∞; 0)∪(0,4;+∞). y x –0,5 0

120.

е) 1) График функции y=−0,6x2−0,3x является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −0,6x2−0,3x=0; −0,3x(2x+ +1)=0; x=0 или 2x+1=0 т.е. 2x=–1, x=–0,5. 3) (−∞; –0,5)∪(0; +∞).

а) 3x2+40x+10<−x2+11x+3; 2 3x +40x+10+x −11x−3<0; 4x2+29x+7<0. 1) График функции y=4x2+29x+7 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 4x2+29x+7=0; 2

–7

42

D=292−4⋅4⋅7=729; x= −29 + 27 = − 1 или x= −29 − 27 =−7. 8 4 8 3) (−7; − 1 ). 4 б) 9x2−x+9≥3x2+18x−6; 9x2−x+9−3x2−18x+6≥0; 6x2−19x+15≥0. 1) График функции y=6x2−19x+15 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 6x2−19x+15=0; D=192−360=1; x= 19 + 1 = 1 2 или x= 19 − 1 = 1 1 . 12 3 12 2 1 2 3) (−∞; 1 ]∪[ 1 ; +∞). 2 3 2x2+8x−111<6x2−10x+18x−30; в) 2x2+8x−111<(3x−5)(2x+6); 2 2 2 2x +8x−111−6x +10x−18x+30<0; −4x −81<0. 1) График функции y=−4x2−81 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −4x2−81=0;−4x2=81; x2= − 81 нет корней, т.к. квадрат любого числа 4 есть число неотрицательное. 3) (−∞; +∞). г) (5x+1)(3x−1)>(4x−1)(x+2); 15x2+3x−5x−1>4x2−x+8x−2; 2 2 2 15x −4x +3x−5x−8x+x−1+2>0; 11x −9x+1>0. 1) График функции y=11x2−9x+1 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 11x2−9x+1=0; D=92−44=37; x= 9 + 37 или x= 9 − 37 . 22

22 3) (−∞; 9 − 37 )∪( 9 + 37 ; +∞). 22 22

121.

а) 2x(3x−1)>4x2+5x+9; 6x2−2x>4x2+5x+9; 2 2 6x −2x−4x −5x−9>0; 2x −7x−9>0. 1) График функции y=2x2−7x−9 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2

43

2) Решим уравнение 2x2−7x−9=0; D=72−4⋅2⋅(−9)=121; x= 7 + 11 =4,5 4

или x= 7 − 11 =−1. 4 3) (−∞; −1)∪(4,5; +∞). б) (5x+7)(x−2)<21x2−11x−13; 5x2+7x−10x−14−21x2+11x+13<0; −16x2+8x−1<0. 1) График функции y=−16x2+8x−1 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −16x2+8x−1=0; 16x2−8x+1=0; D=82−4⋅16⋅1=0; x= 8 + 0 = 1 32 4 1 1 3) (−∞; )∪( ;+∞). 4 4

122. а) y= 12 x − 3 x 2 т.к. подкоренное выражение должно быть неотрицательно ⇒ 12x−3x2≥0. 1) График функции y=−3x2+12x является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −3x2+12x=0; 3x(−x+4)=0; x=0 или −x+4=0 т.е. x=4. 3) [0; 4]. 1 Т.к. подкоренное выражеб) y= 2 x 2 − 12 x + 18 ние должно быть неотрицательно, значит, 2x2−12x+18≥0. Но 2x2−12x+18≥0 стоит в знаменателе ⇒ 2x2−12x+18≠0 Значит, 2x2−12x+18>0 1) График функции y=2x2−12x+18 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 2x2–12x+18=0; x2–6x+9=0; D=(−6)2–4⋅1⋅9=0; x= 6 + 0 =3. 2

3) (−∞; 3)∪(3; +∞).

123.

44

а) 1) График функции y=7х2−10х+7 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 7х2–10х+7=0; D=(–10)2–4⋅7⋅7=−96<0. 3) х — любое.

б) 1) График функции y=−6x2+11x−10 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −6x2+11x−10=0; 6x2−11x+10=0; D=(−11)2−4⋅6⋅10=−119<0. 3) x — любое. в) 1) График функции y= 1 x2−8x+64 является па4 раболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 1 x2−8x+64=0; 2) Решим уравнение 4 D=64−4⋅ 1 ⋅64=0; x= 8 +1 0 =16. 4 2

3) x — любое. г) 1) График функции y=−9x2+6x−1 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −9x2+6x−1=0; 9x2−6x+1=0; D=36−4⋅9⋅1=0; x= 6 + 0 = 1 . 18 3 3) x — любое.

124.

а) 1) График функции y=4x2+12x+9 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 4x2+12x+9=0; D=144−4⋅4⋅9=0; x= −12 + 0 =−1,5. 8 3) x — любое. б) 1) График функции y=−5x2+8x−5 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −5x2+8x−5=0; 5x2−8x+5=0; D=64−4⋅5⋅5<0. 3) x — любое.

45

125.

а) x2+7x+1>x2+10x−1; x2+7x+1+x2−10x+1>0; 2x2−3x+2>0. 1) График функции y=2x2−3x+2 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 2x2−3x+2=0; D=(−3)2−4⋅2⋅2<0. 3) x — любое. б) −2x2+10x<18−2x;−2x2+10x−18+2x<0; −2x2+12x−18<0. 1) График функции y=−2x2+12x−18 является параболой, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицателен). 2) Решим уравнение −2x2+12x−18=0; x2−6x+9=0; D=(−6)2−4⋅1⋅9=0; x= 6 + 0 =3. 2 3) х≠3.

126. Обозначим длину меньшей стороны прямоугольника x см, тогда длина большей стороны (x+7) см, а площадь прямоугольника x(x+7) см. Получим x(x+7)<60; x2+7x–60<0. Решим уравнение x2+7x–60=0; D=72+4⋅60=49+240=289; x= −7 + 17 =5 или x= −7 − 17 =−12 2 2 График функции y=x2+7x−60 — это парабола, у которой ветви направлены вверх. x2+7x−60<0 при −12<x<5. Так как по смыслу условия x>0, то окончательно 0<x<5.

127. Обозначим ширину прямоугольника x см, тогда его длина (x+5) см. x(x+5) см2 — площадь. По условию, x(x+5)>36; решим x2+5x−36>0. 1) График функции y=x2+5x−36 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение x2+5x−36=0; D=25− –4⋅(−36)=169; x= −5 + 13 =4 или x= −5 − 13 =−9. 2

3) x>4 см. 46

2

128.

0,5 ⋅ 0 − 2 = − 2 ⇒ (0; − 2 ) точка пересечения с Оу. 3 3 3 0,5 х − 2 2) y=0 ⇒ =0; 0,5x−2=0; 0,5x=2; x=4 ⇒ (4; 0) — точка пе3 ресечения с Ох 3) Функция возрастающая. 1) x=0 ⇒ y=

129. 4 x − 21 < 0, а)   x + 3,5 > 0; 5 x − 9 ≤ 0, б)  2 x + 7 ≤ 0;

4 x < 21, −3,5<x<5,25   x > −3,5; 5 x ≤ 9, x≤−3,5  2 x ≤ −7;

5 x − 4 ≤ 10, 5 x ≤ 14, в)  1<x≤2,8  1 − 3x < −2; − 3x < −3; 3x − 6 > 5, 3 x > 11, нет решений. г)   1 − 4 x > 8; − 4 x > 7;

130. а) y4−y3+0,25y2=y2(y2−y+0,25)=у2(у2−

2

1 1 1 ⋅2⋅у⋅   ) =у2(2− ) 2 2 2  2 2

1 1 б) x3− 1 x2+ 1 x=x(x2– 1 x+ 1 )=х(х2−2⋅ ⋅х+   ) =x(x− 1 )2 2 16 2 16 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 в) x y +2x −8y −16=x (y +2)−8(y +2)=(y +2)(x −8)=(y +2)(x+2 2 )(x−2 2 ) г) 6a2b2+3b2−8a2−4b2=3b2(2a2+b)−4(2a2+b)=(2a2+b)(3b2−4)= =(2a2+b)(b 3 +2)( b 3 −2).

131. а)

б) (−∞;−8)∪(5;+∞)

в) (−∞; −8,5]∪[3,5; +∞)

. (−10; 14)

г) [− 1 ;− 1 ] 3 8

47

132. а)

б) (−25; 30)

в)

(−∞;−6)∪(6;+∞) г)

[1;1 ] 5 3

(−∞; −6,3;]∪[−0,1; +∞)

133. а)

б) (−∞; −7)∪(−1; 4)

(2;5)∪(12; +∞) в) (−∞;−5)∪(−1; 0)∪(8;+∞)

134. а)

б) (48; 37)∪(42; ∞)

(−∞; −0,7)∪(2,8; 9,2)

135. а)

б) (−∞; −9)∪(2; 15)

(−6; 0)∪(5; +∞)

в) (1; 4)∪(8; 16)

136. а) 5(x−13)(x+24)<0; ; (x−13)(x+24)<0; (−24; 13). 1 1 1 1 б) −(x+ )(x+ )≥0 (x+ )(x+ ) ≤ 0; − 1 ;− 1  7 7 3 3  3 7 в) (x+12)(3−x)>0; −(x+12)(x−3)>0; (x+12)(x−3)<0; (−12; 3) 1 1 г) (6+x)(3x−1)≤0; 3(x+6)(x− )≤0; (x+6)(x− )≤0; − 6; 1  3 3 3 

137.

а) 2(х−18)(х−19)>0; (х−18)(х−19)>0; (−∞; 18)∪(19; ∞) б) −4(х+0,9)(х−3,2)<0; (х+0,9)(х−3,2)>0; (−∞; 0,9)∪(3,2; ∞) в) (7х+21)(х−8,5)≤0; 7(х+3)(х−8,5)≤0; (x+3)(x–8,5)≤0; [−3; 8,5] г) (8−х)(х−0,3)≥0; −(х−8)(х−0,3)≥0; (х−8)(х−0,3)≤0; [0,3; 8] 48

138. а) Т.к. выражение под знаком радикала должно быть неотрицательным ⇒ (5−x)(x+8)≥0; −(x−5)(x+8)≥0; (x−5)(x+8)≤0; [−8; 5] б) Т.к. выражение под знаком радикала должно быть неотрицательным ⇒ (x+12)(x−1)(x−9)≥0; [−12; 1]∪[9; +∞)

139. а) Т.к. выражение под знаком радикала должно быть неотрицательным ⇒ (2х+5)(х−17)≥0; 2(х+2,5)(х−17)≥0; (х+2,5)(х−17)≥0; (−∞; −2,5]∪[17; +∞) б) Т.к. выражение под знаком радикала должно быть неотрицательным ⇒ x(x+9)(2x−8)≥0; 2x(x+9)(x−4)≥0; x(x+9)(x−4)≥0; [−9; 0]∪[4; +∞)

140.

а) х − 5 <0 ⇒ (х−5)(х+6)<0; (−6; 5)

х+6 1,4 − х <0 ⇒ (1,4−х)(х+3,8)<0; −(х−1,4)(х+3,8)<0; б) х + 3,8

(−∞; −3,8)∪(1,4; +∞) 2 х >0 ⇒ 2x(х−1,6)>0; х(х−1,6) > 0; (−∞; 0)∪(1,6; +∞) х − 1,6 5 х − 1,5 г) >0 ⇒ (5х−1,5)(х−4)>0; 5(х−0,3)(х−4)>0; (х−0,3)(х−4)>0; х−4

в)

(−∞; 0,3)∪(4; +∞)

141.

а) х − 21 <0 ⇒ (х−21)(х+7)<0; (−7; 21)

х+7 х б) + 4,7 >0 ⇒ (х+4,7)(х−7,2)>0; (−∞; −4,7)∪(7,2; +∞) х − 7, 2 6х + 1 >0 ⇒ (6х+1)(3+х)>0; 6(х+ 1 )(х+3)>0; (х+ 1 )(х+3)>0; в) 6 6 3+ х

(−∞; −3)∪(− 1 ;+∞) 6

г) 5 х <0 ⇒ 5х(4х−12)<0; х(4х−12)<0; 4х(х−3)<0; х(х−3)<0; 4 х − 12 (0; 3)

49

142.

1) График функции y=x2−0,5x+1,5 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Вычислим координаты вершины: xв= −

−0,5 b =− =0,25; 2 2a

2 yв=  1  − 1 ⋅ 1 + 3 = 23 = 1 7 .

4

2 4

2

16

16

3)

x 1 2 0 y 2 4,5 1,5 Т.к. парабола симметрична относительно прямой x=0,25, найдем еще три точки графика. а) При x=0 у=1,5. б) График расположен в I и II четвертях. в) График симметричен относительно оси х=0,25. г) Функция убывает в (−∞; 0,25] возрастает в [0,25; ∞). 7 функция достигает при х=0,25. д) Наименьшего значения 1 16 7 Е(у)=[1 ; ∞). 16

143.

а) График функции у=3х2+4 можно получить из параболы у=3х2 сдвигом вверх на 4 единицы, значит, расположен в I и II четвертях. б) График функции у=−5х2−1 можно получить из параболы у=−5х2 сдвигом вниз на 1 единицу, значит, расположен в III и IV четвертях. в) График функции у=2х2−4 можно получить из параболы у=2х2 сдвигом вниз на 4 единицы, значит, расположен во всех четвертях.

144. 1 1 + 6х 6 + х 0)∪(0;+∞).

а) у=

⇒ х ≠ 0; и 6+х≠0; х≠−6; D(y)=(−∞;−6)∪(−6;

 х ≥ 0,  х ≥ 0, б) у= х − х − 4 ;  ⇒ ; D(y)=[4; +∞).  х − 4 ≥ 0;  х ≥ 4; 1 1 ; х≠0; ≠−1 ⇒ х≠−1; D(y)=(−∞;−1)∪(−1; 0)∪(0; ∞). в) у= 1 х 1+ х 50

145. y=10x; D(f)=[0; 7]; f(0)=0, f(7)=70; E(f)=[0; 70].

146. Вычислим

высоту треугольника АВС: h= 25 − 9 = 16 = 4 (по теореме Пифагора). Так как

h 4 х = = , у AC 6

6 4

то:

y= x =1,5x.

Итак,

y=f(x)=1,5x; D(f)=[0; 4]; E(f)=[0; 6].

147. 2 −8 − 2 −10 −10 − 2 −12 3 = =1 ; = ; f(−8)= = 3 −8+ 2 −6 − 10 + 2 − 8 2 6−2 4 1 10 − 2 8 2 = = . f(−5)= −5 − 2 = −7 = 2 1 ; f(10)= = = ; f(6)= 6+2 8 2 10 + 2 12 3 3 −5+ 2 −3

f(−10)=

148. а) f(x)=5x−2; f(x)=10 ⇒ 5x−2=10; 5x=12; x=

12 5

б) f(x)=x2; f(x)=10 ⇒ x2=10; x= 10 или x=− 10 в) f(x)=x2+1; f(x)=10 ⇒ x2+1=10; x2=9; x=3 или x=−3.

149. 1) Найдем точку пересечения с Оy: x=0 ⇒ y= 2) Найдем точку пересечения с Ох: y=0 ⇒

1 02 +1

1 2

х +1

1 = =1 ⇒ (0; 1) 1

=0 — нет решений ⇒

нет точек пересечения с Ох. 3) График функции расположен в I и II координатных четвертях.

150. Скорость катера на пути от А до В (вниз по течению) равна 16+4=20 (км/ч), на обратном пути (вверх по течению) его скорость составляет 16−4=12 (км/ч). Расстояние от А до В катер пройдет за 60:20=3 (ч), расстояние от В до А — за 60:12=5 (ч). Получим: 20t , t ∈ [0; 3),  l(t)= 60, t ∈ [3; 5), 60 - 12t, t ∈ [6;10].  На отрезке [0;3] l(t} растет (катер удаляется от А), на [3; 5] l(t) не изменя51

ется (катер на стоянке), на [5; 10] l(t) убывает (катер возвращается в А).

151. 6

1 –3

0 1

4

152.

2 x + 11 11 =0; 2x+11=0; 2x=−11; x=− . 2 10 6 =0; нулей функции нет. б) При y=0 ⇒ 8 − 0,5 x а) При y=0:

в) При y=0 ⇒

3 x 2 − 12 =0; 3x2−12=0; 3x2=12; x2=4; x1=−2, x2=2. 4

153. а) y=−0,01x k=−0,01; функция убывающая, т.к. k < 0. 1 1 б) y= х +3 k= ; функция возрастающая, т.к. k > 0. 7 7 в) y=16x k=16; функция возрастающая, т.к. k > 0. г) y=13−x k=−1; функция убывающая, т.к. k < 0.

154.

Функция y=x2: D(y)=(−∞; +∞); x2≥0 для всех x∈(−∞; ∞) ⇒ y=x2 функция сохраняет знак. Функция y=x2+5: D(y)=(−∞; +∞); x2+5>0 для всех x∈(−∞; ∞) ⇒ y=x2+5 функция сохраняет знак. 5 и 2x+5<0 Функция y=2x+5: D(y)=(−∞; +∞); 2x+5>0 при x≥ − 2 5 при x< − ⇒ функция не сохраняет знак на D(y). 2 Функция y=x3: D(y)=(−∞; +∞); y≥0 при x≥0 и y<0 при x<0 ⇒ функция не сохраняет знак на D(y). Функция y=−x2: D(y)=(−∞; +∞); y≤0 для всех x∈(−∞; ∞) ⇒ функция сохраняет знак. 52

Функция y=−x2−4: D(y)=(−∞; +∞); y≤0 для всех x∈(−∞; ∞) ⇒ функция сохраняет знак. Функция y= x : D(y)=[0; +∞); y≥0 для всех x≥0 ⇒ функция сохраняет знак. Функция y= x +1: D(y)=[0; +∞); y≥0 для всех x≥0 ⇒ функция сохраняет знак. Функция y=x4+x2+6: D(y)=(−∞; +∞); y≥0 для всех x∈(−∞; ∞) ⇒ функция сохраняет знак.

155. Изображенная на рисунке функция имеет область определения D=(−∞; 1]. Из данных функций только y= 1 − х определена на этой области (D( 1 − х )=[1; +∞); D( х + 1 )=[−1; +∞).

156. Функция y=|x−2| принимает нулевое значение в единственной точке х=2. Следовательно, ей соответствует график, изображенный на рисунке 41,б.

157. 1) Функция не определена только в точке х=0: при x>0 имеем 6 6 y= , при x<0 имеем y=− . Функция симметрична относительно х х оси Oy. 2) Составим таблицу значений функции: 1 2 3 5 6 x −6 −5 −3 −2 −1 6 6 2 3 6 6 3 2 1 y 1 5 5 3) Построим график.

53

4) Функция возрастает на интервале (−∞; 0), убывает на интервале (0; +∞), множество ее значении — (0; +∞).

158. Подставим значение x=10−2 5 в трехчлен x2–20x+80. Получим (10−2 5 )2–20(10−2 5 )+80=100−40 5 +20−200+40 5 +80=0. Следовательно, 10−2 5 является корнем указанного трехчлена.

159. −4 + 8 1 2 2 =2, x + x−2=0; x2+4x−12=0; D=42−4⋅1⋅(−12)=64; x1= 6 3 2 −4 − 8 x2= =−6. 2 1 2 1 1 x − x− =0; 6x2−4x−3=0; D=(−4)2−4⋅6⋅(−3)=88; б) 2 3 4 2 + 22 2 − 22 , x2= . x1= 6 6 а)

в) −x2+4x−2 x2=

4+ 5 3 , =0; 4x2−16x+11=0; D=(−16)2−4⋅4⋅11=80; x1= 4 2

4− 5 . 2 г) 0,4x2−x+0,2=0; 2x2−5x+1=0; D=(−5)2−4⋅2⋅1=17; x1=

x2=

5 + 17 , 4

5 − 17 . 4

160.

а) Например, (x−2) (x+7)=x2+7x−2x−14=x2+5x−14. б)

Например,

(x−3− 2 )(x−3+ 2 )=x2−(3− 2 )x−(3+ 2 )x+

+(3− 2 )(3+ 2 )=x2−3x+ 2 x−3x− 2 x+9−2=x2−6x+7.

161.

Так как x=0 — корень трехчлена 2рх2−2х−2р−3, то −2p−3=0 ⇒ 3 3 3 3 p=− . При p=− имеем: 2(− )x2−2x−2(− )−3= 2 2 2 2 2 =−3x2−2x=−x(3x+2), поэтому второй корень трехчлена равен x=− . 3 54

162.

а) 2x2−10x+3=0; D=(−10)2−4⋅2⋅3=76>0; по теореме Виета, x1+x2= b −10 c 3 =− = − =5, x1x2= = . a 2 a 2 1 б) x2+7x−2=0; x2+21x−6=0; D=212−4⋅1⋅(−6)=465>0; по теореме 3 Виета, x1+x2=−21, x1x2=−6. в) 0,5x2+6x+1=0; D=62−4⋅0,5⋅1=34>0; по теореме Виета, x1+x2=−12, x1x2=2. 1 2 1 1 1 2 1 1 1 x + x+ =0; D=   − 4 ⋅ (− )  = 0 > 0 ; по теореме Вие3 2 2 2 2   9  3 2 та, x1+x2= , x1x2=−1. 3

г)−

163. Выделим квадрат двучлена: а)

2x2−3x+7=2(x2− 3 x+ 7 )=2(x2−2⋅x⋅ 3 + 9 − 9 + 7 =2((x− 3 )2− 47 )= 2

2

4

16 16

4

2

16

=2(x− 3 )2−5 7 . 4 8 б) 2 1 −3x2+4x−1=−3(x2− 4 x + 1 )=−3(x2−2⋅x⋅ 2 + 4 − 4 + 1 )=−3((x− )2− )= 3 9 3 9 9 3 3 3 2 2 1 −3(x− ) + . 3 3 9 в) 5x2−3x=5(x2− 3 x)=5(x2−2x⋅ 3 + 9 − 9 )=5((x− 3 )2− )= 5

10 100 100

10

100

=5(x− 3 )2− 9 . 10

20

г) −4x2+8x=−4(х2−2x)=−4(x2−2⋅x⋅1+1−1)=−4((x−1)2−1)=−4(x−1)2+4.

164. а) Выделим квадрат двучлена: −х2+20x−103=−(x2−20x+103)=−(x2−2⋅x⋅10+100−100+103)= =−((x−10)2+3)<0. б) Выделим квадрат двучлена: х2−16х+65=x2−2⋅x⋅8+64−64+65=(x−8)2+1>0.

55

165. а)

Выделим

квадрат

двучлена:

3x2−4x+5=3(x2−

4 5 + )= 3 3

2 4 4 5 2 11 2 11 + − + )=3((x− )2+ )=3(x− )2+ ⇒ наибольшего 3 9 9 3 3 9 3 3 2 2 значения нет; наименьшее 3 . При x = . 3 3 б) Выделим квадрат двучлена: −3x2+12x=−(x2−4x)= 2 2 2 =−3(x −2⋅x⋅2+4−4)=−3((x−2) −4)=−3(x−2) + +12 ⇒ наименьшего значения нет; наибольшее 12. При х = 2

3(x2−2x

166. Так как по условию, a+b=40 то a=40−b, тогда их произведение равно ab=b(40−b)=−b2+40b=−(b2−40b+400−400)=−(b−20)2+400. Наибольшее значение этого выражения достигается при b=20; тогда и a=40−b=40−20=20.

167.

а) 0,8х2−19,8х−5=0. Найдем корни: D=392,04−4⋅0,8⋅(−5)=408,04; 1 1 4 1 x=25 или x= − ; 0,8x2−19,8x−5= (x+ )(x−25)= (4x+1) ( x−5). 4 5 4 5 2 16 1 2 100 б) 3,5−3 x+ x2=0. Найдем корни: D= −4⋅3,5⋅ = ; 3 3 9 3 9 31 + 4 7 31 − 4 3 1 2 2 3 7 x= 23 3 = или x= 23 3 = ; 3,5−3 x+ x2= (x− )(x− )= 2 3 3 3 2 2 2 ⋅2 ⋅2 3 3 в) x2+x 2 −2=0. Найдем корни: D=2−4⋅1⋅(−2)=10; x= − 2 + 10

2 − 10 − 2 − 2 − 10 2 − 10 + 2 или x= x +x 2 −2=(x− )(x− ). 2 2 2 г) x2−x 6 +1=0. Найдем корни: D=6−4⋅1⋅1=2; x= 6 + 2 или 2 6− 2 2 6− 2 6+ 2 x −x 6 +1=(x− )(x− ) x= 2 2 2

168. а) 1) m2+6m+8=0; D=62−4⋅1⋅8=4; m1= m2+6m+8=(m+2)(m+4). 56

−6 + 2 −6 − 2 =−2, m2= =−4; 2 2

2m 2 − 8

2)

2

m + 6m + 8

=

2(m 2 − 4) 2(m − 2)(m + 2) 2(m − 2) . = = (m + 2)(m + 4) (m + 2)(m + 4) m+4

б) 1) 2m2−5m+2=0; D=(−5)2−4⋅2⋅2=9; m1=

5−3 1 5+3 =2, m2= = ; 4 4 2

1 )=(m−2)(2m−1); 2 (m − 2)(2m − 1) 2m − 1 2m 2 − 5m + 2 (m − 2)(2m − 1) 2) = = = n−3 ( m − 2)(n − 3) mn − 2n − 3m + 6 n(m − 2) − 3(m − 2)

2m2−5m+2=2(m−2)(m−

169. а)

4x2−3x−1=0;

1)

D=(−3)2−4⋅4⋅(−1)=25;

x1=

3+5 =1, 8

3−5 1 1 = − ; 4x2−3x−1=4(x−1)(x+ )=(x−1)(4x+1); 4 8 4 37 x − 12 37 x − 12 x+4 x+4 2) − = − = x − 1 4 x 2 − 3 x − 1 x − 1 ( x − 1)(4 x + 1) x2=

=

( x + 4)(4 x + 1) − (37 x − 12) 4 x 2 + 16 x + x + 4 − 37 x + 12 = = ( x − 1)(4 x + 1) ( x − 1)(4 x + 1)

=

4( x 2 − 5 x + 4) ( x − 1)(4 x + 1)

3)

4x2−20x+16=0;

x2−5x+4=0;

D=(−5)2−4⋅1⋅4=9;

x1=

5+3 =4, 2

5−3 =1; 4x2−20x+16=4(x−4)(x−1); 2 4( x 2 − 5 x + 4) 4( x − 4)( x − 1) 4( x − 4) = = 4) . ( x − 1)(4 x + 1) ( x − 1)(4 x + 1) 4x + 1 −3 + 1 −3 − 1 =−1, x2= =−2; б) 1) x2+3x+2=0; D=32−4⋅1⋅2=1; x1= 2 2 x2+3x+2=(x+1)(x+2);

x2=

2) x − 1 − x+2

1− x 2

x + 3x + 2

= x −1 − x+2

1− x  1 = 1 = ( x − 1)  + ( x + 1)( x + 2)  ( x + 2) ( x + 1)( x + 2) 

x +1+1 ( x − 1)( x + 2) x − 1 = = (x–1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 1)( x + 2) x + 1

57

170. а) 1) x2−x−20=0; D=(−1)2−4⋅1⋅(−20)=81; x1=

1− 9 1+ 9 =−4; =5, x2= 2 2

x2−x−20=(x−5)(x+4); 7 x − x 2 x 2 − x − 20 x(7 − x)( x − 5)( x + 4) ⋅ 2) = =х(х−5)=x2−5x. 7−x x+4 ( x + 4)(7 − x) б)

1)

x2+11x+30=0;

D=112−4⋅1⋅30=1;

x1=

−11+ 1 =−5, 2

−11− 1 =−6; x2+11x+30=(x+5)( x+6); 2 x 2 + 11x + 30 x + 5 ( x + 5)( x + 6)( x − 5) x + 6 = : 2) . = 3x − 15 x −5 3( x − 5)( x + 5) 3 3+5 3−5 =4, x2= =−1; в) 1) x2−3x−4=0; D=(−3)2−4⋅1⋅(−4)=25; x1= 2 2 x2−3x−4=(x−4)(x+1); x2=

2x 2 − 7

2) =

3)

x 2 − 3x − 4

−

2 x +1 + − 2 x 2 − 7 − ( x + 1)( x + 1) = 2x 7 − x 1 = = x − 4 ( x + 1)( x − 4) x − 4 ( x − 4)( x + 1)

2

2 x − 7 − ( x 2 + 2 x + 1) 2 x 2 − 7 − x 2 − 2 x − 1 x 2 − 2x − 8 = = ( x − 4)( x + 1) ( x − 4)( x + 1) ( x − 4)( x + 1)

x2−2x−8=0;

D=(−2)2−4⋅1⋅(−8)=36;

x2−2x−8=(x−4)(x+2);

x1=

2+6 =4, 2

x2=

2−6 =−2; 2

2 ( x − 4)( x + 2) x + 2 4) x − 2 x − 8 = . =

( x − 4)( x + 1)

( x − 4)( x + 1)

x +1

г) 1) 3x2−5x+2=0; D=(−5)2−4⋅3⋅2=1; x1= 3x2−5x+2=3(x−1)(x− 2) =

2 + x − x2 2 − 5 x + 3x 2

+

5 +1 5 −1 2 =1, x2= = ; 6 6 3

2 )=(x−1))(3x−2); 3

2 + x − x2 10 x 10 x 2 + x − x 2 + 10 x( x − 1) = + = = 3 x − 2 ( x − 1)(3 x − 2) 3x − 2 ( x − 1)(3 x − 2)

2 + x − x 2 + 10 x( x − 1) 2 + x − x 2 + 10 x 2 − 10 x 9x 2 − 9x + 2 ; = = ( x − 1)(3x − 2) ( x − 1)(3x − 2) ( x − 1)(3x − 2)

58

3)

9x2−9x+2=0;

9x2−9x+2=9(x−

D=(−9)2−4⋅9⋅2=9;

x1=

9+3 2 = , 18 3

x2=

9−3 1 = ; 18 3

1 2 )(x− )=(3x−2)(3x−1); 3 3

2 (3x − 2)(3x − 1) 3x − 1 4) 9 x − 9 x + 2 = =

( x − 1)(3x − 2)

( x − 1)(3x − 2)

x −1

171. а) x=5; y=−7 ⇒ a⋅52=−7; 25a=−7; a=−

7 . 25

б) x=− 3 ; y=9 ⇒ a⋅(− 3 )2=9; 3a=9; a=3. 1 1 1 1 1 1 1⋅ 4 =−2 в) x=− ; y=− ⇒a⋅(− )2=− ; a=− ; a=− 2 2 2 2 4 2 2 ⋅1 10 1 г) x=100; y=10 ⇒ a⋅1002=10; 10000a=10; a= = = 0,001. 10000 1000

172.

y 1) График функции у=−0,25х2 − па–6 –4–2–1 12 рабола, у которой ветви направлены 2 x вниз (т.к. коэффициент при x отрицательный). y=–0,25x2 –4 2) Найдем координаты вершины: b 0 =0; yв=0; (0; 0). xв=− =− 2a 2 ⋅ (−0,25) 1 3) x 2 −2 3 −3 −1 −6 y −1 −1 −2,25 −2,25 −0,25 −0,25 −9 4) Наибольшее значение равно 0, наименьшее значение равно y(–6)=–9.

173.

а) При a>0 имеем: y=ax2 ≥ 0 ⇒ E(y)=[0;+∞); б) при a < 0 имеем ⇒ E(y)=(−∞; 0].

174.

y=ax2; y=ax. Найдем точки пересечения: ax2=ax; ax2−ax=0; ax(x−1)=0; x=0 или x−1=0; x=1. При x=0 получим точку пересечения (0; 0) при x=1 получим (1; a).

59

175.

Перенеся параболу y=7x2 вверх на 5 единиц, получим новую параболу — график функции y=7x2+5. Перенеся ее влево на 8 единиц, получим параболу — график функции y=7(x+8)2+5. Итак, y=7(x+8)2+5.

176.

а) График функции у=−х3 получается из графика функции у=х3 вертикальным отражением относительно оси Ох. График функции у=(х−3)3 получается из графика функции у=х3 при сдвиге на 3 единицы вправо. График функции у=х3+4 получается из графика функции у=х3 при сдвиге вверх на 4 единицы. б) График функции у=− х получается из графика функции у= х при отражении относительно оси Ох. График функции у= х + 5 получается из графика функции у= х при сдвиге на 5 единиц влево. График функции у= х − 1 получается из графика функции у= х при сдвиге на 1 единицу вниз.

177.  x, x > 0 - x, x < 0

1) Строим график функции y=|x|= 

2) График функции y=|x−4| получается из построенного графика при сдвиге на 4 единицы вправо. 3) График функции y=|x−4|−3 получается из графика функции y=|x−4| при сдвиге на 3 единицы вниз.

178.

График функции у=х2−6х+с есть парабола, у которой ветви направлены

вверх.

ув=9−18+с=с−9. 60

Координаты

вершины:

хв=− b = 6 =3; 2a

2

График функции располагается выше данной горизонтальной прямой, если выше нее будет расположена вершина параболы. а) График располагается выше прямой у=4 при с−9>4, т.е. при c>13. б) График располагается выше прямой у=−1 при с−9>−1 т.е. при с>8.

179*. Вычислим

координаты

вершины

параболы:

хв=−

b , 4

b2 b2 b2 . Чтобы вершина оказалась в точке (6; –12), − +c = = c− 4 4 2 2 2 b положим: − = 6 , b=−12; c − b = −12 , c= b − 12 , так как b=−12, 2 4 4

ув=

c= 144 − 12 = 36 − 12 = 24 . 4

180. Прямая является осью симметрии параболы, когда на этой прямой лежит вершина параболы. хв=

16 8 8 = ; должно быть = 4 , т.е. 2а а а

а=2.

181. у=ах2+с; у=0 ⇒ ах2+с=0; ах2=−с; х2=− с ⇒ уравнение имеет реа

шения при 1) а>0, с≤0 2) а<0, с≥0 3) а=0, с=0.

182*. Так как график проходит через M(1; 2), имеем: 2=a+b−18. Так как он проходит через N(2; 10), имеем: 10=4a+2b−18. Из первого уравнения получим a=20−b; из второго получим 10=4(20−b)+2b−18; 28=80−4b+2b; b=40−14=26, откуда a=20−26=−6.

183.

а) 1) Графиком функции у=х2+2х−15 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 2) Найдем координаты вершины:

61

хв=− 3)

b 2 =− = −1 ; yв=(−1)2+2·(−1)−15=−16; (−1; −16). 2a 2 ⋅1 x −3 −2 −1 0 1 2 y −12 −15 −16 −15 −12 −7

б) 1) Графиком функции y=0,5x2−3x+4 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 2) Найдем координаты вершины: xв=− (3; − 3)

b −3 =− =3; 2a 2 ⋅ 0,5

1 2

1 2

yв= ⋅ 9 − 9 + 4 = − ;

1 ). 2

0 1 3 2 4 5 −1 4 1 1 − 7 1,5 0 y 0 1,5 2 2 в) 1) Графиком функции y=4−0,5x2 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицательный). 2) Найдем координаты вершины: b 0 =− = 0 ; yв=0+4=4; (0; 4) xв=− 2a 2 ⋅ (−0,5) x

 координаты вершины. 3) 0 1 −1 2 x y 4 3,5 3,5 2 62

−2 2

г) 1) Графиком функции y=6x−2x2 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицательный). 2) Найдем координаты вершины: хв=− b = − 2a

3)

3 6 3 = 1,5 ; yв=6· − 2  =4,5; (1,5; 2 2 2 ⋅ ( −2 )

4,5). 3 −1 −2 х 1 2 0 0 −8 −20 у 4 4 0 д) y=(2x−7)(x+1)=2x2−7x+2x−7=2x2−5x−7. 1) Графиком функции y=(2x−7)(x+1) является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 2) Найдем координаты вершины: b −5 =1,25; =− 2a 2⋅2 1 1 1 =−10 ; (1 ; −10 ). 4 8 8

хв=−

ув=2(

5 2 5 ) −5 −7= 4 4

2 x 1 0 −1 −2 0 11 y −10 −7 −9 Остальные три точки найдем, используя симметрию этих точек относительно прямой 3)

х=1

1 4

е) y=(2−x)(x+6)=2x−x2+12−6x=−x2−4x+12. 1) Графиком функции y=(2−x)(x+6) является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицательный). 2)

Найдем

координаты

вершины:

ув=−(−2)2−4·(−2)+12=16; (−2; 16). 3) x 0 −1 −3 −4 y 15 15 12 12

2 0

хв=−

−4 b =− =−2; 2a 2 ⋅ (−1)

−2 16

63

184. а) Графиком функции является парабола, у которой ветви направле0,5 1 1 , = = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 ⋅ 3 12 1 1 1 1 1 1− 2 + 3 1 1 1 1 . Так как yв= , yв=3· = − + = = − ⋅ + + 24 16 48 24 16 48 24 144 2 12 1 E(y)=[ ; +∞). 24

ны вверх. Найдем координаты вершины: хв=

б) Графиком функции является парабола, у которой ветви направлены 1,2 6 3 вверх. Найдем координаты вершины: xв= − =− = − =−0,3; 4 5⋅4 10 yв=2·0,09–1,2·0,3+2=0,18–3,6+2=2,18–3,6=0,42. Следовательно, E(y)=[0,42; +∞). в) Графиком функции является парабола, у которой ветви направлены yв=−

вниз.

Найдем

координаты

вершины:

1 16+4·4−5,5=−8+16−5,5=8−5,5=2,5. 2

xв=

4 =4, 2 ⋅ 12

Следовательно,

E(y)=(−∞; 2,5]. г) Графиком функции является парабола, у которой ветви направлены

вниз. 64

Найдем

координаты

вершины:

xв=

2 1 =− 2⋅3 3

,

yв=−3·

1 1 14 1 2 14 −1 + 2 − 14 13 1 + 2⋅ − =− + − = = − = −4 9 3 3 3 3 3 3 3 3

Следова-

1 тельно, E(y)=(−∞; − 4 ]. 3

185. График зависимости высоты от времени — парабола, у которой ветви направлены вниз. Найдем координаты ее вершины: tв= −24 = 12 = 120 = 2 22 (с ) . Максимальная высота, на которую − 2 ⋅ 4,9

поднялся

4,9

49

мяч,

—

49

это

ордината

вершины

h в:

hв=24·

120 − 49

2

24 ⋅120 120 ⋅12 24 ⋅120 − 12 ⋅120 24 ⋅120 49 ⋅120 2  120  − = = − = − 4,9 ⋅   = 2 49 49 49 49 49 10 ⋅ 49   12 ⋅120 1440 19 (м). Заметим, что мяч поднимался в проме= = = 29 49 49 49 жутке времени [0; 2 22 ]. Найдем момент падения мяча: h(t)=0; 49

24t−4,9t2=0; Мяч упадет при 24−4,9t=0 (при t=0 его бросили). 4,9t=24; t= 240 = 4 44 (с) . Итак, мяч падал в промежуток времени

49 49 22 44 [ 2 ; 4 ] и при t= 4 44 упал на землю. 49 49 49

186*. а) График такой функции — парабола, у которой ветви направлены вверх, а абсцисса вершины равна –3. Например, функция y=(x+3)2 удовлетворяет условию задачи. б) График этой функции — парабола, у которой ветви направлены вниз, а абсцисса вершины равна 6. Например, функция y=–(x–6)2 удовлетворяет условию задачи.

187*.

а) y=0 при x=3 и x=4 ⇒

q = −3( p + 3), 9 + 3 p + q = 0, q = −3( p + 3),    16 + 4 p + q = 0; 16 + 4 p − 3( p + 3) = 0; 16 + p − 9 = 0; q = −3( p + 3), q = 12,    p = −7;  p = −7;

65

б) При x=0 имеем y=6, при x=2 имеем y=0 ⇒ q=6; 4+2p+q=0 ⇒ 4+2p+6=0; 2p=−10; p=−5. Итак, q=6, p=−5. в) При x=6 функция достигает наименьшего значения ⇒ координаты вершины параболы, являющейся ее графиком, (6; 24). Поскольку xв=− b , имеем: 6=− p , т.е. p=−12. Поскольку yв=24, имеем: 2

2a

36+6p+q=24 ⇒ 36−6·12+q=24; 12−6·12=−q, −q=−5·12, q=60. Итак, q=60, p=−12.

188*. а) Ветви параболы направлены вниз, значит, а < 0. Выделим квадрат двучлена: ax2+bx+c=a(x2+

b b 2 b 2 x)+c=a((x+ ) −( ) )+c. Заметим, a 2a 2a

что сдвиг вдоль оси Ох зависит от знаков a и b: если они совпадают, это — сдвиг влево на сдвиг вправо на

b единиц, если они разных знаков, это — 2a

b единиц. В данном случае график сдвинут вправо 2a

от y=0, значит, b и a имеют разные знаки, т.е. b>0. Так как ax2+bx+c=x(b+ax)+c, коэффициент c определяет сдвиг вдоль оси Оу графика функции x(b+ax). В нашем случае у a и b разные знаки, значит, один нуль квадратичной функции x(b+ax) равен 0, а второй лежит правее нуля. Так как на данном графике оба корня лежат правее нуля, произошел сдвиг вниз, следовательно, с<0. б) Ветви параболы направлены вверх, следовательно, а>0. График сдвинут вправо от оси Оу, значит, а и b разных знаков, т.е. b<0. Так как а и b разных знаков, второй нуль функции ax2+bx правее х=0. Т.к. на данном графике оба нуля лежат правее оси Оу, значит, произошел сдвиг вверх, т.е. с>0. Итак, а>0, b<0, с>0.

189.

а) 1) График функции y=x2−5x−50 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 2) Решим уравнение x2–5x–50=0; D=(–5)2–4⋅1·(–50)= 5 + 15 5 − 15 =10, x2= =−5. =225; x1= 2 2 3) (−5; 10).

66

б) 1) Графиком функции y=−m2−8m+9 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при m2 отрицательный). 2) Решим уравнение –m2–8m+9=0; D=(–8)2–4·(– 1)·9= =100; m1=

8 + 10 8 − 10 =−9, m2= =1. 2 ⋅ (−1) −2

3) [−9; 1]. в) 1) Графиком функции z=3y2+4y−4 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при y2 положительный). 2) Решим уравнение 3y2+4y−4=0; D=42−4·3·(−4)= −4 − 8 −4 + 8 2 =−2. = , y2= 6 6 3 2 3) (−∞; −2)∪( ;+∞). 3

=64; y1=

г) 8p2+2p−21≥0. 1) Графиком функции 8p2+2p−21 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при p2 положительный). 2) Решим уравнение 8p2+2p−21=0; D=22−4·8·(−21)= −2 + 26 −2 − 26 =676; p1= =1,5, p2= =− 1,75 16 16 3) (−∞; −1,75)∪(1,5; +∞). д) −4x2+12x−9≤0. 1) Графиком функции y=−4x2+12x−9 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицательный) 2) Решим уравнение −4x2+12x−9=0; 4x2−12x+9=0; −12 + 0 =1,5. D=122−4·(−4)·(−9)=0; x= −8 3) (−∞; +∞). е) −9x2+6x−1<0. 1) Графиком функции y=−9x2+6x−1 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицательный). 2) Решим уравнение −9x2+6x−1=0; 9x2−6x+1=0; D=(−6)2−4·9·1=0; x=

6+0 1 = . 18 3

67

1 1 3) (−∞; ) ∪ ( ; + ∞) . 3 3

190.

а) 2(x2+x−3x−3)>x2+5x−7x−35; x2−2x+29>0. 1) Графиком функции y=x2−2x+29 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 2) Решим уравнение x2−2x+29=0; D=(−2)2−4·1·29<0 — нет корней. 3) x — любое. x2+5x−7x−35≤4x2+8x−16x−32; б) (x+5)(x−7)≤4(x2+2x−4x−8); 2 2 2 x +5x−7x−35−4x −8x+16x+32≤0; −3x +6x−3≤0. 1) Графиком функции y=−3x2+6x−3 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицательный) 2) Решим уравнение −3x2+6x−3=0; x2−2x+1=0; 2+0 =1. D=(−2)2−4·1·1=0. x= 2 3) x — любое.

191.

а) 1) Т.к. подкоренное выражение неотрицательно, то 144–9x2 ≥ 0 и 144–9x2 стоит в знаменателе ⇒ 144–9x2 ≠ 0 Значит, 144–9x2>0. 2) Графиком функции y=144–9x2 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицательный). 3) Решим уравнение: 144–9x2=0; 9x2=144; x2=16; x=4 или x=–4. 4) (–4; 4). б) 1) Так как подкоренное выражение неотрицательно, то 16 − 24 x + 9 x 2 ≥ 0 . Т.к. x+2 стоит в знаменателе дроби, ⇒ x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ −2 . 2) Графиком функции y=9x2–24x+16 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 3) Решим уравнение 9x2–24x+16=0; D=(−24)2– 24 + 0 4 4·9·16=0; x = = . 18 3 4) (−∞;−2) ∪ (−2;+∞) 68

192*.

Решим первое неравенство. Рассмотрим уравнение x2+6x–7=0; − 6 + 64 − 6 − 64 =1, D=62−4⋅1⋅(−7)=64; = −7 ; x1 = x2 = − 2 2 ( x − 1)( x + 7) ≤ 0 при −7 ≤ x ≤ 1 . +

– –7

Решим

+

второе

–3

+ –

1

неравенство: 2+8 D=(−2)2−4⋅1⋅(−15)=64; x1 = =5, 2 ( x − 5)( x + 3) ≤ 0 при −3 ≤ x ≤ 5 . Общие решения неравенств: −3 ≤ x ≤ 1 .

5

+

x 2 − 2 − 15 ≤ 0 ; 2−8 x2 = = −3 ; 2

193*. а) Решим первое неравенство системы. 4 x 2 − 27 x − 7 = 0 ; 27 + 29 56 D=(−27)2−4⋅4·(−7)=841; или x1 = = =7 8 8 1 1 27 − 29 2 1 и x >7. x2 = = − = − ; ( x − 7)( x + ) > 0 при x < − 8 8 4 4 4 Учитывая второе уравнение системы, получаем: x>7. б) Решим первое неравенство системы. − 3 x 2 + 17 x + 6 < 0 ; 3x 2 − 17 x − 6 > 0 . Рассмотрим уравнение 3x 2 − 17 x − 6 = 0 ; 17 + 19 36 D=172+6·12=289+72=361; = =6 или x1 = 6 6 1 1 17 − 19 1 = − ; ( x − 6)( x + ) > 0 при x < − и x>6. Учитывая x2 = 6 3 3 3 1 второе уравнение системы, получаем: x < − . 3 в) Решим второе неравенство системы: 2 x 2 − 18 > 0 ; 2( x 2 − 9) > 0 2( x − 3)( x + 3) > 0 при x < −3 и x > 3 . Из первого неравенства следует, что x<–1 , получаем: x<–3. г) Решим второе неравенство системы: 3x2–15x>0; 3x(x–5)<0 при 0<x<5. Из первого неравенства следует, что x>4 , получаем: 4<x<5.

69

194*. а) Решим первое неравенство системы. Рассмотрим уравнение −1 + 5 −1 − 5 x2+x–6=0; D=12−4⋅1⋅(−6)=25; x1 = = 2 , x2 = = −3 ; (x– 2 2 2)(x+3)<0 при –3<x<2. Решим второе неравенство системы: –x2+2x+3>0; x2–2x–3<0; 2+4 2−4 = 3 или x2 = = −1 ; (x– D=(−2)2−4⋅1⋅(−3)=16; x1 = 2 2 3)(x+1)<0 при –1<x<3. Учитывая решение первого неравенства, получаем: –1<x<2. б) Решим первое неравенство системы. Рассмотрим уравнение −4 + 6 −4 − 6 2 = 1 , x2 = = −5; (x– x +4x–5=0; D=42−4⋅1⋅(−5)=36; x1 = 2 2 1)(x+5)>0 при x<–5 и x>1. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим уравнение: x2– 2+6 2−6 = 4, = −2; 2x–8=0; D=(−2)2−4⋅1⋅(−8)=36; x1 = x2 = 2 2 (x+2)(x–4)<0 при –2<x<4. Учитывая решение первого неравенства системы, получаем: 1<x<4.

195. а) (x+1,2)(6–x)(x–4)>0; –(x+1,2)(x–6)(x–4)>0; (x+1,2)(x–6)(x–4)<0; (−∞;−1,2) ∪ (4;6) 1 1 1 ( − x)( − x)( − x) < 0; 3 2 7 1 1 1 ( x − )( x − )( x − ) > 0; 3 2 7 б)

в) (x+0,6)(1,6+x)(1,2–x)>0; (x+0,6)(x+1,6)(x–1,2)<0;

1 1 1 − ( x − )( x − )( x − ) < 0; 3 2 7

1 1 1 ( ; ) ∪ ( ;+∞) 2 7 3 –(x+0,6)(x+1,6)(x–1,2)>0; (−∞;−1,6) ∪ (0,6;1,2)

г) (1,7–x)(1,8+x)(1,9–x)<0; (x –1,7)(x+1,8)(x–1,9)<0; (−∞;−1,8) ∪ (1,7;1,9)

70

196. а) (3x–5)(x+4)(2–x)=0; 3x–5=0 или x+4=0 или 2–x=0; т.е. x = 1

2 или 3

x=–4 или x=2. б)

5 − 3( x − )( x + 4)( x − 2) > 0 ; 3

(3x–5)(x+4)(2–x)>0;

5 ( x − )( x + 4)( x − 2) < 0 . 3

2 (−∞;−4) ∪ (1 ;2) 3 в) (3x–5)(x+4)(2–x)<0; − 3( x − 5 )( x + 4( x − 2) < 0; ( x − 5 )( x + 4)( x − 2) > 0 . 3

3

2 (−4;1 ) ∪ (2;+∞) 3

197. а) 18(x–2)(x–7)>0; (x–2)(x–7)>0; (−∞;2) ∪ (7;+∞) б) –(x–7,3)(x–9,8)>0; (x–7,3)(x–9,8)<0; (7;3) ∪ (9;8) в) –(x+0,8)(x–4)(x–20)<0; (x+0,8)(x–4)(x–20)>0; (−0,8;4) ∪ (20;+∞) г) –10(x+0,3)(x–17)(x–5)≥0; (x+0,3)(x–17)(x–5)≤0; (−∞;−0,3) ∪ (5;17)

198. а) (x–4)(x+4)(x+17)>0;

2 б) ( x − )( x − 11)( x + 11) < 0 ; 3

в) x(x–5)(x+5)<0;

2 (−∞;−11) ∪ ( ;11) 3 г) x(x–0,1)(x+0,1)>0;

(−∞;−5) ∪ (0;5) д) (x–3)(x+3)(x–1)(x+1)>0;

(−0,1;0) ∪ (0,1;+∞) е) x(x–15)(x–6)(x+6)<0;

(−17;−4) ∪ (4;+∞)

71

(−∞;−3) ∪ (−1;1) ∪ (3;+∞)

(−6;0) ∪ (6;15)

199*.

а) Т.к. x2+17>0 при всех х, решим только неравенство (x–6)(x+2)<0; его решение: –2<x<6. б) Т.к. 2x2+1>0 при всех х, решим только неравенство x(x–4)<0; его решение: x<0 или x>4. в) Т.к. (x–1)2≥0 при всех х, этот множитель не влияет на знак неравенства. Но т.к. неравенство строгое, исключим из решения x=1. Решим неравенство x–24<0; x<24. Учитывая, что x≠1, получаем x<1 или 1<x<24. г) Т.к. (x – 4)2 ≥ 0 при всех х, этот множитель не влияет на знак неравенства. Но т.к. неравенство строгое, исключим из решения x=4. Решим неравенство (x+7)(x – 21) > 0. Его решение: x<–7 или x>21. Получаем x<−7 или x>21.

200. а) Т.к. (3x–1)(6x+1) стоит под корнем, то (3x–1)(6x+1)≥0. Т.к. (3x–1)(6x+1) стоит в знаменателе ⇒ (3x–1)(6x+1)≠0. Следовательно, 1 1 1 1 (3x–1)(6x+1)>0; 6·3(x– )(x+ )>0; ( x − )( x + ) > 0; 3 6 3 6 1 1 (–∞; – )∪( ; +∞). 6 3 б) y=

7 (11x + 2)( x − 4)

. Т.к. подкоренное выражение неотрица-

тельно ⇒ (11x+2)(x–4)≥0. Т.к. (11x+2)(x–4) стоит в знаменателе ⇒ 2 (11x+2)(x–4)≠0. Следовательно, (11x+2)(x–4)>0; ( x + )( x − 4) > 0; 11 2 (−∞;− ) ∪ (4;+∞). 11 а) Выражение

x−3 не определено в точке x=–1, поэтому в реx +1

шение первого неравенства эта точка не входит. Но она входит в решение второго, т.к. при x=–1 левая часть второго неравенства равна нулю, значит неравенства не равносильны. б) В решение первого неравенства точка x=8 не входит, а второго — входит, следовательно, неравенства не равносильны.

72

202*.

x −8 6− x а) ≥0; (−∞;−4) ∪ (8;+∞) . г) ≤0; (−∞;4) ∪ (6;+∞) . x +1 x−4 x + 16 2x − 4 <0 ⇒ (х+16)(х−11)<0; (–16; 11). д) б) ≤ 0; (–1; 2]. x − 11 3x + 3 1 5 x− 5 x +1 5x − 1 3 1 ≥0; (−∞;− ) ∪ [ ;+∞) . в) ≥0; [–1; 3). е) ≥0. ⋅ 3 2 5 3− x 2x − 3 2 x− 2

203.

а) 5; б) 6; в) 5; г) (x+8)(x−7)=x2+8х−7х−56=0, его степень 2; д) 1; е) 5х3−5х(х2+9)=17 ⇒ 5х3−5х2−20х=17 ⇒ −20х−17=0, его степень равна 1.

204.

а) (8x–1)(2x–3)–(4x–1)2=38; 16x2–2x–24x+3–(16x2–8x+1)=38; 16x2– 2x–24x+3–16x2+8x–1–38=0; –18x–36=0; –18x=36; x=–2. б) (15 x − 1)(1 + 15x) = 2 2 ; (15 x − 1)(1 + 15 x ) = 8 ; 225x2–1=8; 225x2=9; 3

3

3

3

9 3 3 ; x1= , x2=– . x= 225 15 15 в) 0,5y3–0,5y(y+1)(y–3)=7; 0,5y3–0,5y(y2+y–2y–3)–7=0; y2+1,5y– 2

7=0; D=2,25+28=30,25; y1= г) x4–x2=

−1,5 + 5,5 −1,5 + 5,5 = 2 , y2= = −3,5. 2 2

(1 + 2 x 2 )(2 x 2 − 1) 4 2 2 2 4 2 4 ; 4(x –x )=(1+2x )(2x –1); 4x –4x =4x –1; 4

4x4–4x2–4x4=–1; 4x2=1; x2=

1 1 1 ; x1=– , x2= . 4 2 2

205.

а) (6–x)(x+6)–(x–11)x=36; 36–x2–(x2–11x)–36=0; 36–x2–x2+11x–36=0; –2x2+11x=0; x(–2x+11)=0; x=0 или –2x+11=0, т.е. –2x=–11, x=5,5. б)

1− 3y 3 − y 5(1 − 3 y ) − 11(3 − y ) – =0; =0; 55≠0 ⇒ 5–15y–33+11y=0; – 5 11 55

4y=28; y=–7. в) 9x2–

(12 x − 11)(3 x + 8) =1; 36x2–(36x2–33x+96x–88)–4=0; 36x2–36x2+ 4

+33x–96x+88–4=0; –63x=–84; x=

4 1 =1 . 3 3 73

г)

( y + 1) 2 1 − y 2 − = 4; 12 4

( y + 1) 2 1 − y 2 − − 4 = 0; 12 4

2( y + 1)2 − (1 − y ) 2 − 96 = 0; 24

24≠0 ⇒ 2(y2+2y+1)–1+y2–96=0; 3y2+4y–95=0; D=42–4·3·(–95)=1156; y1=

−4 + 34 −4 − 34 1 =5, y2= =–6 . 6 6 3

206.

5x6+6x4+x2=–4. В левую часть уравнения х входит только в четной степени ⇒ число неотрицательное, а в правой части — число отрицательное, значит уравнение корней не имеет.

207. Пусть существует корень x0<0. Так как отрицательное число в нечетной степени есть число отрицательное, найдем знак левой части: 12x05+7x03+11x0–3<0, а в правой части 121>0. Т.е. равенство не выполняется ни при каких х, т.е. нет корней.

208. 8 8 было целым числом, а должно быть де. Чтобы a a лителем 8, т.е. a=1, 2, 4, 7. Так как возможны и отрицательные решения, окончательно получаем: –8; –4; –2; –1; 1; 2; 4; 8. ax=8; x =

209. 9x=p – 2; x =

p−2 . p – 2 < 0; p < 0. 9

210. а) Чтобы уравнение имело 2 корня, необходимо, чтобы D>0. 2x2+6x+b=0; D=36–4·2·b=36–8b>0; 36–8b>0; –8b>–36; b<4,5. б) Чтобы уравнение имело 2 корня, необходимо, чтобы D>0. 5x2– 4 4x+3b=0; D=16–4·5·3b=16–60b>0; 16–60b>0; –60b>–16; b< . 15 в) Чтобы уравнение имело 2 корня, необходимо, чтобы D>0. 3x2+bx+3=0; D=b2–4·3·3=b2–36>0; (b–6)(b+6)>0. (–∞; –6)∪(6; +∞). г) Чтобы уравнение имело 2 корня, необходимо, чтобы D>0. D=b2–7·1·5=b2–20>0; (b– 2 5 )(b+ 2 5 )>0; x2+bx+5=0; (–∞; – 2 5 )∪( 2 5 ; +∞).

74

211.

а) Уравнение имеет один корень, когда D=0. 3x2–6x+3u=0; D=36– 36 =1,5. 4·3·2u=36–24u=0; 24u=36; u= 24 б) Уравнение имеет один корень, когда D=0. 5x2+2ux+5=0; 100 =25; u=5 или u=–5. D=4u2–4·5·5=4u2–100=0; 4u2=100; u2= 4 в) Уравнение имеет один корень, когда D=0. x2–3ux+18=0; D=9u2–4·18=9u2–72=; 9u2=72; u2=8; u=2 2 или u=–2 2 . г) Уравнение имеет один корень, когда D=0. 2x2–12x+3u=0; D=144–4·2·3u=144–24u=0; 24u=144; u=6.

212.

а) Уравнение не имеет корней, если D<0. 6x2+tx+6=0; D=t2– 4·6·6=t2–144<0; (t–12)(t+12)<0; –12 ; t> . 48 3 в) Уравнение не имеет корней, если D<0. 2x2–15x+t=0; D=225– 225 1 ; t>28 . 4·t=225–8t<0; 225<8t; t> 8 8 г) Уравнение не имеет корней, если D<0. 2x2+tx+18=0; D=t2– 4·2·18=t2–144<0; (t–12)(t+12)<0; –12
213. а) y3–6y=0; y(y2–6)=0; y1=0 или y2–6=0, y2=6, y2= 6 , y3=– 6 . б) 6x4+3,6x2=0; x2(6x2+3,6)=0; x1=0 или 6x2+3,6=0, т.е. 6x2=–3,6, 2 x =– 0,6. Во втором случае нет решений, т.к. квадрат любого числа есть число неотрицательное. в) x3+3x=3,5x2; x(x2–3,5x+3); x1=0 или x2–3,5x+3=0; D=12,25–4·3= 3,5 + 0,5 3,5 + 0,5 = 2 , x3= = 1,5 . =0,25; x2= 2 2 3 2 2 г) x –0,1x=0,3x ; x(x –0,3x–0,1)=0; x1=0; x2–0,3x–0,1=0; D=0,09– 0,3 + 0,7 3,5 + 0,5 =–0,2. = 0,5 ; x3= 4·9(–0,1)=0,49; x2= 2 2 д) 9x3–18x2–x+2=0; (9x3–18x2)+(–x+2)=0; 9x2(x–2)–(x–2)=0; (x–2)(9x2–1)=0; (x–2)(3x–1)(3x+1)=0; x–2=0 или 3x–1=0 или 3x+1=0; 1 1 x1=2; x2= ; x3=– . 3 3 75

е) y4–y3–16y2+16y=0; y3(y–1)–16y(y–1)=0; (y–1)(y3–16y)=0; y(y–1)(y2–16)=0; y(y–1)(y–4)(y+4)=0; y=0 или y–1=0 или y–4=0 или y+4=0; y1=0; y2=1; y3=4; y4=–4. ж) p3–p2=p –1; p3–p2–p+1=0; (p3–p2)+(–p+1)=–0; p2(p–1)–(p–1)=0; 2 (p –1)(p–1)=0; (p–1)(p+1)(p–1)=0; (p–1)2(p+1)=0; p–1=0 или p+1=0; p1=1; p2=–1. з) x4–x2=3x3–3x; x4–x2–3x3+3x=0; x2(x2–1)–3x(x2–1)=0; (x2–1)(x2– –3x)=0; x(x–1)(x+1)(x–3)=0; x=0 или x–1=0 или x+1=0 или x–3=0; x1=0; x2=1; x3=–1; x4=3.

214. 3 а) 0,7x4–x3=0; x3(0,7x–1)=0; x1=0 или 0,7x–1=0; 0,7x=1, x2= 1 . 7 б) 0,5x3–72x=0; x(0,5x2–72)=0; x1=0 или 0,5x2–72=0, т.е. 0,5x2=72, x2=144, x2=12 или x3=–12. в) x3+4x=5x2; x3+4x–5x2=0; x(x2–5x+4)=0; x1=0 или x2–5x+4=0; 5−3 5+3 D=25–4·4=9; x2= =4 или x3= =1. 2 2 г) 3x3–x2+18x–6=0; x2(3x–1)+6(3x–1)=0; (3x–1)(x2+6)=0; 3x–1=0

или x2+6=0; 3x=1, x=

1 или x2=– 6. Нет решения, т.к. квадрат любого 3

числа есть число неотрицательное. д) 2x4–18x2=5x3–45x; 2x4–18x2–5x3+45x=0; 2x2(x2–9)–5x(x2–9)=0; 2 (x –9)(2x2–5x)=0; x(x–3)(x+3)(2x–5)=0; x1=0 или x–3=0 или x+3=0 или 2x–5=0; x2=3; x3=–3; x4=2,5. е) 3y2–2y=2y3–3; 3y2–2y–2y3+3=0; y2(3–2y)+(3–2y)=0; (3– 2y)(y2+1)=0; 3–2y=0 или y2+1=0; 2y=3, y=1,5 или y2=–1 — нет решений, т.к. квадрат любого числа есть число неотрицательное.

215.

x3+2x–3=0; x3=3–2x. 1) График функции y=x3 − кубическая парабола, расположенная в I и III ч. x –2 –1 0 1 2 y –8 –1 0 1 8 76

2) График функции y=3–2x − прямая. x 0 2 y 3 −1 x=1.

216.

1) График функции y=x2–3 − параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). b = 2) Найдем координаты вершины: xb=– 2a 0 =0; yb=0–3=–3; (0; –3), x=0 — ось симмет=– 2 ⋅1 рии. 3) x 1 –1 2 –2 0 y –2 –2 1 1 −3 Возрастает на [0;+∞); убывает на (–∞; 0].

217.

а) 1) График функции y=x2–10x+21 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение x2–10x+21=0; D=(−10)2– 10 + 4 10 − 4 =7, x2= =3. 4·1·21=16; x1= 2 2 3) (3; 7). б) 1) График функции y=x2–8x+16 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение x2–8x+16=0; D=(−8)2–4⋅1·16=0; 8+0 =4. x= 2 3) (–∞; 4) ∪ (4; +∞). в) 1) График функции y=3x2–14x+16 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 3x2–14x+16=0; D=(−14)2– 14 − 2 14 + 2 2 =2 , x2= =2. 4·3·16=0; x1= 6 3 6 2 3) (–∞; 2]∪[ 2 ; +∞). 3 г) 1) График функции y=5x2–6x+1 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 77

2) Решим уравнение 5x2–6x+1=0; D=(−6)2–4·5·1=16; x1=

6+4 10

=1, x2=

6−4 10

=0,2

3) [0,2; 1].

218. Обозначим скорость второго автомобиля х км/ч, тогда скорость 540 ч — время движения второго автопервого равна (x+10) км/ч; x 540 540 540 мобиля, больше ч — первого. По условию на x + 10 x x + 10 3 540 540 3 540 540 3 . Получим: − = ; − − = 0; 4 x x + 10 4 x x + 10 4 2160( x + 10) − 2160 x − 3x( x + 10) x(x+10)≠0, 2160x+21600– = 0; 4 x( x + 10) –2160x–3x2–30x=0; x2+10x–7200=0; D=102–4⋅1⋅(–7200)=28900; −10 + 170 −10 − 170 = 80 , x2 = = −90 — не подходит, т.к. скоx1 = 2 2 рость положительна. Если x=80, то x+10=80+10=90. Ответ: 80 км/ч; 90 км/ч.

219. а) (x+8)(x–1,5)<0; (–8; 1,5).

б)

12 − x > 0; (12–x)(x+11)>0; –(x–12)(x+11)>0; (x–12)(x+11)<0; x + 11

(–11; 12).

в) (15–2x)(x+6)>0; –2(x–

г)

6 − 4x < 0; x + 0,5

15 )(x+6)>0; (x–7,5)(x+6)<0; (–6; 7,5). 2

(6–4x)(x+0,5)<0;

1,5)(x+0,5)>0; (–∞; –0,5)∪(1,5; +∞).

78

–4(x– 6 )(x+0,5)<0; 4

(x–

220.

а) (2x2+3)2–12(2x2+3)+11=0. Обозначим 2x2+3=v ⇒ v2–12v+11=0;

D=(−12)2–4·11=100; v2= 12 + 10 = 11 или v1= 12 − 10 = 1; 2x2+3=11 или 2

2

2x2+3=1. 1) 2x2=8; x2=4; x2=2 или x1=–2; 2) 2x2=–2; x2=–1 — нет решений, т.к. квадрат любого числа есть число неотрицательное. б) (t2–2t)2–3=2(t2–2t). Обозначим t2–2t=v ⇒ v2–3=2v; v2–2v–3=0; D=(−2)2–4⋅1⋅(–3)=16; v2 = 2 + 4 = 3 или v1 = 2 − 4 = −1; t2–2t=3 или

t2–2t=–1;

2

2

t2–2t–3=0

или

t2–2t+1=0;

2−4 2+0 2+4 = −1; t 3 = = 1. = 3 , t2 = 2 2 2

t1 =

в) (x2+x–1)(x2+x+2)=40. Обозначим x2+x=v ⇒ (v–1)(v+2)=30; v2–v+2v–2–40=0; v2+v–42=0; D=12–4⋅1⋅(–42)=169; v2 =

− 1 + 169 =6 2

− 1 − 169 2 2 2 = −7; x +x=6 или x +x=–7; x +x – 6=0 или 2 −1 + 5 −1 − 5 x2+x+7=0; x1 = = 2 , x2 = = −3. Второе уравнение не име2 2

или v1 =

ет корней. Т.к. D=12–4⋅1⋅7=−27<0. г) (2x2+x–1)(2x2+x–4)+2=0. Обозначим 2x2+x=v ⇒ (v–1)(v–4)+2=0;

v2–v–4v+4+2=0;

v2–5v+6=0;

D=(−5)2–4·1·6=1;

v2 =

5 +1 =3, 2

5 −1 2 2 2 2 = 2; 2x +x=3 или 2x +x=2; 2x +x–3=0 или 2x +x–2=0; 2 −1 + 5 − 1 + 17 3 −1 − 5 ; x 4 = − 1 − 17 . = 1 или x2 = x1 = = − ; x3 = 4 2 4 4 4

v1 =

221.

а) (x2+3)2–11(x2+3)+28=0. Обозначим x2+3=v ⇒ v2–11v+28=0; 11 + 3 11 − 3 = 7 ; v1 = = 4 ⇒ x2+3=7 или D=(−11)2–4⋅1⋅28=9; v2 = 2 2 x2+3=4; x2=4 или x2=1; x1=2 или x2=–2; x3=1 или x4=–1. б) (x2–4x)2+9(x2–4x)+20=0. Обозначим x2–4x=v ⇒ v2+9v+20=0; −9 − 1 −9 − 1 D=92–4·1·20=1; v2 = = −4 или v1 = = −5; x2–4x=–4 или 2 2

79

x2–4x=–5; x2–4x+4=0 или x2–4x+5=0; x =

4+0 = 2 ; второе уравнение 2

решений не имеет, т.к. D<0. в) (x2+x)(x2+x–5)=84. Обозначим x2+x=v ⇒ v(v–5)=84; v2– 15 + 19 = 12 или 5v−84=0; D=(−5)2–4·1·(–84)=361; v2 = 2 5 − 19 = −7; x2+x=12 или x2+x=–7; x2+x–12=0 или x2+x+7=0; v1 = 2 −1 − 7 −1 − 7 x1 = = 3 или x 2 = = −4; у второго уравнения нет 2 2 2 корней, т.к. D=1 −4⋅1⋅7=−27<0.

222.

а) x4–5x2–36=0. Обозначим x2=v ⇒ v2–5v–36=0; D=(−5)2–4⋅1⋅(– 5 + 13 5 − 13 36)=169; v2 = = 9 или v1 = = −4 ⇒ x2=9 или x2=–4; из 2 2 первого уравнения x=3 или x=–3; у второго уравнения нет решений, т.к. квадрат любого числа неотрицателен. б) y4–6y2+8=0. Обозначим y2=v ⇒ v2–6v+8=0; D=(−6)2–4⋅1·8=4; 6+2 6−2 v2 = = 4 или v1 = = 2; y2=4 или y2=2; y1=2 или y2=–2; 2 2 y 3 = 2 или y 4 = − 2 . в) t4+10t2+25=0. Обозначим t2=v ⇒ v2+10v+25=0; D=102–4⋅1·25=0; −10 + 0 v= = −5; t2=–5; нет корней. 2 г) 4x4–5x2+1=0. Обозначим x2=v ⇒ 4v2–5v+1=0; D=(−5)2–4·4·1=9; 1 5−3 1 5+3 v2 = = 1 или v1 = = ⇒ x2=1 или x 2 = ; x1=1 или x2=– 8 4 8 4 1 1 1; x4 = или x3 = − . 2 2 д) 9x4–9x2+2=0. Обозначим x2=v ⇒ 9v2–9v+2=0; D=(−9)2–4·9·2=9; v2 =

9+3 2 9−3 1 2 2 1 или v1 = или x2= ; x1 = = = ; x = 18 3 18 3 3 3

x2 = −

80

1 2 1 ; x3 = ; x4 = − . 3 3 3

2 или 3

е) 16y4–8y2+1=0. Обозначим y2=v ⇒ 16v2–8v+1=0; D=(−8)2– 1 8+0 1 1 1 = ⇒ y2= ; y2= ; y1=– . 4·16·1=0; v = 2 32 4 4 2

223.

а) x4–25x2+144=0. Обозначим x2=v ⇒ v2–25v+144=0; D=(−25)2– 25 + 49 25 − 49 4⋅1·144=49; v2 = = 16 ; v1 = = 19 ⇒ x2=16 или 2 2 x2=9; x1=4; x2=–4; x3=3; x4=–3. б) y4+14y2+48=0. Обозначим y2=v ⇒ v2+14v+48=0; D=142– −14 + 2 −14 − 2 = −6 ; v1 = = −8 ⇒ y2=–6 или y2=–8; 4·1·48=4; v2 = 2 2 — нет корней, т.к. квадрат любого числа неотрицателен. в) x4–4x2+4=0. Обозначим x2=v; v2–4v+4=0; D=(−4)2–4⋅1·4=0; 4+0 v= = 2; x2=2; x1 = 2 ; x 2 = − 2 . 2 г) t4–2t2–3=0. Обозначим t2=v; v2–2v–3=0; D=(−2)2–4⋅1·(–3)=16; 2+4 2−4 = 3 или v1 = = −1 ⇒ t2=3 или t2=–1; t1 = 3 или v2 = 2 2 t 2 = − 3 ; у второго нет корней, т.к. квадрат любого числа неотрицателен. д) 2x4–9x2+4=0. Обозначим x2=v ⇒ D=92–4·2·4=49; v2 = v1 =

9+7 = 4; 4

1 1 9−7 1 2 2 ; x4 = = ⇒ x =4 или x = ; x1=2; x2=–2; x 3 = − 2 4 2 2

1 . 2

е) 5y4–5y2+2=0. Обозначим y2=v ⇒ 5v2–5v+2=0; D=(−5)2– 4·5·2=−15<0 — нет корней.

224.

а) y=x4–5x2+4. Точка пересечения с Оу. x=0 ⇒ y=04–5·02+4=4 ⇒ (0; 4). Точка пересечения с Ох y=0 ⇒ x4–5x2+4=0; обозначим x2=v ⇒ v2– 5+3 5−3 = 4 или v1 = = 1 ⇒ x2=4 5v+4=0; D=(−5)2–4⋅1·4=9; v2 = 2 2 или x2=1; из первого уравнения x1=2 или x2=–2 из второго x3=1 или x4=–1. (2; 0); (–2; 0); (1; 0); (–1; 0). б) y=x4+3x2–10.

81

Найдем точку пересечения с Оу: если x=0 ⇒ y=04+3·02–10=–10; ⇒ (0; –10). Если y=0 ⇒ x4+3x2–10=0; обозначим x2=v ⇒ v2+3v–10=0; D=32– −3 + 7 −3 − 7 = 2 или v1 = = −5 ⇒ x2=2 или x2=–5; 4⋅1·(–10)=49; v2 = 2 2 из первого уравнения x1 = 2 ; x 2 = − 2 , у второго уравнения корней нет. ( 2 ;0); (− 2 ;0) — точки пересечения с Ох. в) y=x4–20x2+100. Найдем точку пересечения с Оу: если x=0 ⇒ y=04–20·02+100=100 ⇒ (0; 100). Если y=0 ⇒ x4–20x2+100=0; обозначим x2=v ⇒ y=v2–20v+100=0; 20 + 0 D=(−20)2–4⋅1·100=0; v = = 10 ⇒ x2=10; x1 = 10 ; x 2 = − 10 . 2 ( 10 ;0); (− 10 ;0) — точки пересечения с Ох. г) y=4x4+16x2. Найдем точку пересечения с Оу: если x=0 ⇒ y=4·0+16·0=0 ⇒ (0; 0). Если y=0 ⇒ 4x4+16x2=0; 4x2(x2+4)=0, x=0; (0; 0) — точка персечения с Ох.

225.

а) (x2–1)(x2+1)–4(x2–11)=0; x4–1–4x2+44=0; x4–4x2+43=0; обозначим x2=v ⇒ v2–4v+43=0; D=(−4)2–4⋅1·43<0. Нет корней. б) 3x2(x–1)(x+1)–10x2+4=0; 3x2(x2–1)–10x2+4=0; 3x4–3x2–10x2+4=0; обозначим x2=v ⇒ 3v2–13v+4=0; D=(−13)2–4·3·4=121; 1 13 − 121 1 13 + 121 v2 = = 4 или v1 = = ⇒ x2=4 или x2= ; из пер6 3 3 6 1 1 ; x4 = . вого уравнения x1=2 или x2=–2; из второго x 3 = − 3 3

226.

а) x5+x4–6x3–6x2+5x+5=0; x4(x+1)–6x2(x+1)+5(x+1)=0; (x+1)(x4– –6x2+5)=0; x+1=0, x1=–1 или x4–6x2+5=0. Обозначим x2=v ⇒ v2–6v+5=0; D=(−6)2–4⋅1·5=16; v2 =

6+4 6−4 2 = 5 или v1 = = 1 ⇒ x =5 2 2

или x2=1; из первого уравнения x2=– 5 ; x3= 5 ; из второго x4=1; x5=–1.

82

б) x4(x–1)–2x2(x–1)–3(x–1)=0; (x–1)(x4–2x2–3)=0; x–1=0, x1=1 или x –2x2–3=0. Обозначим x2=y ⇒ y2–2y–3=0; D=(−2)2–4⋅1·(–3)=16; 4

v 21 =

2+4 2−4 2 2 = 3 или v1 = = −1 ⇒ x =3 или x =–1; из первого 2 2

уравнения x2=– 3 ; x3= 3 , у второго уравнения корней нет, т.к. квадрат любого числа неотрицателен.

227. 4 − гиx пербола, у которой ветви расположены в I и III ч. x 1 2 3 4 –1 –2 –4 –6 –8 1 1 1 – y 4 2 1 –4 –2 –1 2 2 б) График функции y=–3x+6 − прямая. x 0 3 y 6 −3 а) График функции y =

228.

а) 3x2+2px+5=0; уравнение имеет 4p2–60>0; D=(2p)2–4·3·5=4p2–60>0;

2 корня, когда D>0: 4(p2–15)>0; p2–15>0;

( p − 15 )( p + 15 ) > 0. (−∞;− 15 ) ∪ ( 15 ;+∞)

б) 6x2–4x+p=0; уравнение не имеет корней, если D<0; D=16–4·6·p=16–24p<0; –24p<–16; p>

2 2 16 ; p> . (−∞; ) 3 3 24

229.

а) –x2+6x–8>0. 1) График функции y=–x2+6x–8 − парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при х2 отрицательный). 2) Решим уравнение –x2+6x–8=0; x2–6x+8=0; 6+2 6−2 = 4 ; x2 = = 2. D=(−6)2–4⋅1·8=4; x1 = 2 2 3) (2; 4). б) 2x2–9x–45<0. 1) График функции y=2x2–9x–45 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 83

уравнение 2x2–9x–45=0; 9 + 21 9 − 21 –42·2·(–45)=441; x1 = = 7,5 ; x2 = = −3. 4 4 3) (–3; 7,5).

2)

D=(−9)2–

Решим

5

4( x − 4 ) 5 − 4x в) > 0, < 0. x x + 30 + x г) < 0. –30 x − 30

–

+ 0 –

+ 30

+ 1,25

(0; 1,25).

(–30; 30)

230.

а) x=–1; y=3 ⇒ (–1)2–3+2=0. Следовательно, (–1; 3) является решением уравнения. б) x=–1; y=3 ⇒ (–1)·3+3=6. Следовательно, (–1; 3) не является решением урвнения.

231.

а) x=–2; y=1. (–2)2+(1)2=5; 6·(–2)+5·1=–12+5=–7. Следовательно, (–2; 1) не является решением системы. б) x=1; y=–2,12+(–2)2=5; 6·1+5·(–2)=–4. Следовательно, (1; –2) является решением системы.

232. а) 2; б)1; в) 4+2=6; г) уравнение эквивалентно такому: x–xy–4=0, его степень равна 2; д) уравнение эквивалентно такому: x4–4x2y2+4y4–5y=0, его степень равна 4; е) уравнение эквивалентно такому: 7x8–12xy+y–7x8–7x2=0, т.е. – 12xy+y–7x2=0, его степень равна 2.

233.

1) График функции y=x2 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный) 2) Найдем координаты вершины: b 0 =− = 0 ⇒ yb=0; (0; 0). xb = − 2a 2 ⋅1 3) x 1 3 –3 0 −1 y 1 9 9 0 1 4) График функции y=2x+3 − прямая. x 1 −1 84

y 1 5 (–1; 1); (3; 9)

234.

1) График x2+y2=25 − окружность с центром в (0; 0). 2) График функции y=x2–6 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 3) Найдем координаты вершины: b 0 xb= − =− = 0; yb=02–6=–6; (0; –6). 2a 2 ⋅1 4) x –3 –2 –1 0 1 2 3 y 3 –2 5 −6 –5 –2 3 ≈(3,2; 3,9); ≈(–3,2; 3,9); ≈(–1,1; –4,9); ≈(1,1; –4,9).

235.

1) График уравнения x2+y2=100 − окружность с центром в (0; 0). 1 2) График функции y = x 2 − 10 − парабола, у которой ветви на2 правлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен).

1 3) Найдем координаты вершины: xb= − b = − 0 1 = 0; yb= 02–10=

2a

= –10; (0; –10). 4) x −3

–2

–1

0

1

2

2⋅

2

2

3

85

11 –8 –4,5 −10 –9,5 –8 11 − 2 2 (–10; 0); (6; 8); (–6; 8). y

−

236.   y = а)  y = 

6 , x 2 x − 2. 3 6 − гипербола, у x которой ветви расположены в I и III ч. (т.к. k=6>0). x –1 –2 –3 –6 1 2 3 6 y –6 –3 –2 –1 6 3 2 1 2 2) График функции y= x − 2 − прямая. 3 x 0 6 y –2 2 1) График функции y=

≈(4,8; 1,2); ≈(–2; –3,2). ( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 = 4, б)   y = x 2 . 1) График уравнения (x–3)2+(y–4)2=4 − окружность с центром в точке (3; 4) и радиусом 2. 2) График функции y=x2 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 3) Найдем координаты вершины: b 0 =− = 0; y b = 0; (0;0) xb=– 2a 2 ⋅1 4) x –3 –2 –1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 ≈(1,6; 2,5); ≈(2,4; 5,8).

237.  x 2 + y 2 = 16, а)   x + y + 2 = 0; 86

 x 2 + y 2 = 16,   y = − x − 12.

1) График уравнения x2+y2=16 − окружность с центром в (0; 0) и радиусом 4. 2) График функции y=x–2 − прямая. ≈(–3,6; 1,6); ≈(1,6; –3,6). 8   xy = 8, y = , б)  x   x + y + 3 = 0;  y = − x − 3.  8 − гипербола, x у которой ветви расположены в I и III ч. (т.к. k=8>0). 2) График функции y=–x–3 − прямая. Решений нет. 1) График функции y=

238. y = x3 ,  а)  12  xy = − . x  1) График функции y=x3 − кубическая парабола, расположенная в I и Ш ч.

12 − гипербола, у которой ветви располоx жены во II и IV ч. (т.к. k=–12<0). Решений нет. 2) График функции y=–

87

 y = x 2 + 8, б)   y = − x 2 + 12; 1) График функции y=x2+8 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Найдем координаты вершины: xb= − b = − 0 = 0, yb=8; (0; 8) 2a

2 ⋅1

3) График функции y=–x2+12 − парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицательный). 4) Найдем координаты вершины: xb= − b = − 2a

0 = 0, yb=12; (0; 12). 2 ⋅ (−1)

5) 2 решения.

 y = x 2 + 1,  в)  3 y = x .  1) График функции y=x2+1 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Найдем координаты вершины: b 0 =− = 0, yb=1; (0; 1) xb= − 2a 2 ⋅1

3) График функции y =

3 − гипербола, у которой ветви расположеx

ны в I и III ч. 4) Одно решение.  x 2 + y 2 = 9, г)  ( x − 10) 2 + y 2 = 16. 88

1) График уравнения x2+y2=9 − окружность с центром в (0; 0) и радиусом 3. 2) График уравнения (x–10)2+y2=16 − окружность с центром в (10; 0) и радиусом 4. Нет решений.

239. ( x − 4) 2 + ( y − 5) 2 = 9, а)   y = x. 1) График уравнения (x–4)2+ +(y–5)2=9 − окружность с центром в (4; 5) и радиусом 3. 2) График функции y=x − прямая (биссектриса I и III ч.) ≈(2,4; 2,4); ≈(6,6; 6,6).  y = x 2 , б)   y = 6 − x. 1) График функции y=x2 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Найдем координаты вершиb 0 =− = 0; yb=0. ны: xb=– 2a 2 ⋅1 3) x –1 –2 –3 0 1 2 3 y 1 4 9 0 1 4 9 4) График функции y=6–x − прямая. x 0 2 y 6 4

240.

а) 1) График функции у=25х2+6х − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при х2 положителен). 89

2) Решим уравнение 25х2+6х=0; х(25х+6)=0, х1=0; 25х+6=0; 25х=–6, x2 = − 6 . 25 6 3) − ;0  25 

(−∞;−13)∪ (13;+∞ )

б) (х–13)(х+13)>0 2

в) х –10х–24<0. 1) График функции у=х2–10х–24 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при х2 положителен). 2)

Решим

уравнение

− 4 ⋅ (− 24 ) = 196 ; х1 =

D = (−10) 2 −

х2–10х–24=0;

10 + 14 10 − 14 = 12 ; х2 = = −3 2 2

3) (–2; 12). г) 15х2–30–22x–7>0; 15x2–22x–37>0. 1) График функции y=15x2–22x–37 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен). 2) Решим уравнение 15х2–22х–37=0; D=484–4·15·(– –37)=2704; x2 = 22 + 52 = 2 7 ; x1 = 22 − 52 = −1 . 30

5

30

3) (− ∞;−1)∪  2 7 ; ∞   15 

241.

11(1 + 2 y ) − 9 y = 37, 11 + 22 y − 9 y = 37, 13 y = 26,  y = 2, а)   x = 1 + 2 y;  x = 1 + 2 y;  x = 1 + 2 ⋅ 2 = 5.  x = 1 + 2 y;    16 x − 4(3 x − 2 ) = 5, 16 x − 12 x + 8 = 5, 4 x = −3,  x = −0,75, б)   y = 3 x − 2;  y = 3 x − 2;  y = −4,25.  y = 3 x − 2;   

242. − 10 x − 4 y = −60, − 7 x = −63,  x = 9, 3 x + 4 y = −3; 3 ⋅ 9 + 4 y = −3;   2 y − 4 x = −170,  x = −43,  x = −43, б)    5 x − 2 y = 127; 5 ⋅ (− 43) − 2 y = 127;  y = −171.

а)  3 x + 4 y = −3;

90

 x = 9,  y = −7,5. 

243. Обозначим скорость 1-го велосипедиста х км/ч, тогда скорость 2-го равна (x + 2 ) км/ч.  36  ч — время 1-го;  36  ч — время 2 x   x+2 го. По условию  36  больше  36  на 1 , составим уравнение: 4  x   x+2 36 − 36 = 1 ; x x+2 4

36 − 36 − 1 = 0 ; x x+2 4

144(x + 2 ) − 144 x − x(x + 2 ) = 0; 4 x(x + 2 )

x(x + 2) ≠ 0; 144x+288–144x–x2–2x=0; x2−2x–288=0; D=(−2)2–4⋅1⋅(– 288)=1156; x2 = −2 + 34 = 16 ; x1 = −2 − 34 = −18 — не подходит по 2 2 смыслу задачи. Если x=16, то x+2=16+2=18. Ответ: 16 км/ч, 18 км/ч.

244.  y 2 − x = −1,  y 2 − ( y + 3) = −1,  y 2 − y − 2 = 0, а)     x = y + 3;  x = y + 3;  x = y + 3. Решим уравнение y2–y–2=0; D=(−1)2–4⋅1·(–2)=9; y2 = 1 + 3 = 2 ; 2 y1 = 1 − 3 = −1 . 2  y = −1  y1 = 2, или  2  5 ; x =  x 2 = 2.  1  y = x − 1,  y = x − 1, б)  2   x − 2 y = 26;  x 2 − 2( x − 1) − 26 = 0; Решим уравнение x2–2x–24=0; x2 = 2 + 10 = 6 или x1 = 2 − 10 = −4 . 2 2  x 2 = −4,  x1 = 6, или   y = 5 ;  y 2 = −5.  1  xy + x = −4, ( y + 6) y + y + 6 = −4, в)    x − y = 6;  x = y + 6;

 y = x − 1,  2  x − 2 x − 24 = 0. D=(−2)2–4⋅1·(–24)=100;

 y 2 + 6 y + y + 6 + 4 = 0,  y 2 + 7 y + 10 = 0,    x = y + 6;  x = y + 6; 91

Решим уравнение y2+7y+10=0; D=72–4⋅1·10=9; y2 = −7 + 3 = −2 ; 2 7 3 − − y1 = = −5 . 2  y = −5,  y2 = −2, или  1   x1 = 1.  x2 = 4;  x + y = 9,  y = 9 − x, г)  2   y + x = 29 (9 − x) 2 + x = 29;  y = 9 − x,  81 − 18 x + x 2 + x − 29 = 0; Решим уравнение

 y = 9 − x,  2  x − 17 x + 52 = 0; x2–17x+52=0;

D=(−17)2–4⋅1·52=81;

x2 = 17 + 81 = 13 ; x1 = 17 − 81 = 4. 2 2  x = 4,  x2 = 13, или  1   y1 = 5.  y2 = −4;

245.  x = 3 − y,  x = 3 − y,  x = 3 − y, а)  2  2   y − x = 39;  y − (3 − y ) − 39 = 0;  y 2 + y − 42 = 0; Решим уравнение y2+y–42=0; D=12–4⋅1·(–42)=169; y2 = − 1 + 169 = 6 ; y1 = − 1 − 169 = −7. 2 2  y1 = −7,  y2 = 6, или    x1 = 10.  x2 = −3;  y = 1 + x, б)   x + y 2 = −1;

 y = 1 + x,   x + (1 + x) 2 + 1 = 0;

 y = 1 + x,  2  x + 3x + 2 = 0.

Решим уравнение x2+3x+2=0; D=32–4⋅1·2=1; x2 = −3 + 1 = −1 ; 2 3 1 − − x1 = = −2. 2  x = −2,  x2 = −1, или  1   y1 = −1.  y2 = 0;

92

 x 2 + y = 14, в)   y − x = 8;

 x 2 + (8 + x) − 14 = 0,   y = 8 + x;

 x 2 + x − 6 = 0,   y = 8 + x.

Решим уравнение x2+x–6=0; D=12−4⋅1·(−6)=25; x2 = −1 + 5 = 2 2 1 5 − − или x1 = = −3 . 2  x1 = −3,  x2 = 2, или    y1 = 5.  y2 = 10;  x + y = 4,  y = 4 − x, г)    y + xy = 6; 4 − x + x(4 − x) − 6 = 0;

 y = 4 − x,  2 − x + 3 x − 2 = 0.

Решим уравнение x2–3x+2=0; D=(−3)2−4·2=1;

x2 = 3 + 1 = 2 ; 2

x1 = 3 − 1 = 1. 2  x 2 = 2,  x1 = 1,  y = 2; или  y = 3.  2  1

246.  x − y = 3,  x = 3 + y,

 x = 3 + y,

а)    2  xy = −2; (3 + y ) y = −2; 3 y + y + 2 = 0. Решим уравнение y2+3y+2=0; D=32−4⋅1·2=1; y1 =

y2 =

−3 + 1 = −1 ; 2

−3 − 1 = −2 2

 y1 = −2,  y 2 = −1,  x = 2; или   2  x1 = 1.  y = − x + 2,5,  y = − x + 2,5, б)   2  x(− x + 2,5) = 1,5; − x + 2,5 x − 1,5 = 0. Решим уравнение x2–2,5x+1,5=0; D=(−2,5)2–4⋅1⋅1,5=0,25; 2,5 + 0,5 2,5 − 0,5 = 1,5 или x1 = = 1. x2 = 2 2  x2 = 1,5,  x1 = 1,    y2 = 1;  y1 = 1,5.

93

 x + y = −1, в)  2  x + y 2 = 1;

 y = − x − 1,  2  x + (− x − 1) 2 = 1;

 y = − x − 1,  2  x + x 2 + 2 x + 1 − 1 = 0;

 y = − x − 1,  x2 = 0,  x1 = −1,  y = − x − 1, или    2  = − 1 ; y 2 x ( x + 1 ) = 0 ; 2 x + 2 x = 0;   2  y1 = 0.  x − y = 2, г)  2  x − y 2 = 17;

 x = y + 2,  ( y + 2) 2 − y 2 − 17 = 0;

 x = y + 2,  x = y + 2,  2  2  y + 4 y + 4 − y − 17 = 0; 4 y = 13;

21   x = 4 ,  13 y = .  4

247.  x + y = 8,  x = 8 − y,  x = 8 − y, а)    2  xy = −20; (8 − y ) y + 20 = 0; 8 y − y + 20 = 0. Решим уравнение y2–8y−20=0; D=(−8)2–4⋅1·(–20)=144; 8 + 12 8 − 12 = 10 или y1 = = −2. y2 = 2 2  y1 = −2,  y2 = 10, или    x1 = 10.  x2 = −2;  x = 0,8 + y,  x − y = 0,8,  x = 0,8 + y, б)    2  xy = 2,4; (0,8 + y ) y − 2,4 = 0; 0,8 y + y − 2,4 = 0. Решим уравнение 5y2+4y–12=0; D=42–4·5·(–12)=256; −4 + 16 −4 − 16 y2 = = 1,2 или y1 = = −2. 10 10  y1 = −2,  y2 = 1,2, или    x1 = −1,2.  x2 = 2;  x 2 − y 2 = 8, (4 + y ) 2 − y 2 = 8, 16 + 8 y + y 2 − y 2 − 8 = 0, в)     x − y = 4;  x = 4 + y;  x = 4 + y; 8 y = −8,  y = −1,    x = 4 + y;  x = 3.

94

 x 2 + y 2 = 5, г)   x + y = −3;

(− x − 3) 2 + x 2 − 5 = 0,   y = − x − 3;

 x 2 + 3 x + 2 = 0   y = − x − 3 −3 + 1 = −1 ; Решим уравнение x2+3x+2=0; D=32–4⋅1·2=1; x2 = 2 −3 − 1 = −2. x1 = 2  x2 = −1,  x1 = −2,    y2 = −2;  y1 = −1.  x 2 + 6 x + 9 + x 2 − 5 = 0, 2 x 2 + 6 x + 4 = 0,    y = − x − 3;  y = − x − 3.

248.  y = 2 x + 2,  y − 2 x = 2,  y = 2 x + 2, а)  2  2  5 x − y = 1; 5 x − (2 x + 2) − 1 = 0; 5 x 2 − 2 x − 3 = 0. Решим уравнение 5x2–2x–3=0; D=(−2)2–4·5·(–3)=64; 2+8 2−8 = 1 ; x1 = = −0,6. x2 = 10 10  x2 = 1,  x1 = −0,6,    y2 = 4;  y1 = 0,8.  x − 2 y 2 = 2, б)  3x + y = 7;

 x − 2(7 − 3 x) 2 = 2,   y = 7 − 3 x;

 x − 2(49 − 42 x + 9 x 2 ) − 2 = 0,  x − 98 + 84 x − 18 x 2 − 2 = 0,    y = 7 − 3 x;  y = 7 − 3x; − 18 x 2 + 85 x − 100 = 0,   y = 7 − 3x. Решим уравнение 18x2–85x+100=0; 85 + 5 2 85 − 5 x2 = = 2,5 ; x1 = =2 . 36 9 36 2 1    x2 = 2 2 ,  x1 = 2 9 ,   y = − 1 ; y = 1 . 2 1  2  3

D=(−85)2–4·18·100=25;

95

 x 2 − 3 y 2 = 52, в)   y − x = 14;

 x 2 − 3(14 + x) 2 − 52 = 0,   y = 14 + x;

 x 2 − 588 − 84 x − 3x 2 − 52 = 0, − 2 x 2 − 84 x − 640 = 0,    y = 14 + x;  y = 14 + x. Решим уравнение x2+42x+320=0; D=422–4⋅1·320=484; −42 + 22 −42 − 22 = −10 ; x1= = −32. x2 = 2 2  x2 = −10,  x1 = −32,    y1 = −18.  y2 = 4; 3 x 2 + 2 y 2 = 11, г)   x + 2 y = 3;

D = ±22 ;

3(−2 y + 3) 2 + 2 y 2 = 11,   x = −2 y + 3;

3(4 y 2 − 12 y + 9) + 2 y 2 − 11 = 0,   x = −2 y + 3;

14 y 2 − 36 y + 16 = 0,   x = −2 y + 3.

7 y 2 − 18 y + 8 = 0   x = −2 y + 3 Решим уравнение 7y2–18y+8=0; D=(−18)2–4⋅7⋅8=100; 18 + 10 18 − 10 4 y2 = = 2 или y1 = = . 14 14 7 4   y1 = 7 ,  y2 = 2, или    x2 = −1; x = 1 6 . 1 7   4 2 16 ( y ) + y 2 = 100,  y 2 + y 2 = 100,  x 2 + y 2 = 100,  3 9 д)    3 x = 4 y;  x = 4 y;  x = 4 y; 3 3    25 2  9 y = 100,   x = 4 y;  3

96

 y 2 = 36,  y = −6,  y2 = 6,  или  1   4  x1 = −8.  x = y;  x2 = 8; 3 

2 x 2 − y 2 = 32, е)  2 x − y = 8.

2 x 2 − (2 x − 8) 2 = 32,   y = 2 x − 8;

2 x 2 − 4 x 2 + 32 x − 64 − 32 = 0,   y = 2 x − 8;

− 2 x 2 + 32 x − 96 = 0,   y = 2 x − 8.

 x 2 − 16 x + 48 = 0   y = 2 x − 8 Решим уравнение x2–16x+48=0; 16 + 8 16 − 8 = 12 ; x1 = = 4. x2 = 2 2  x = 4,  x2 = 12, или  1  y 16 ; =  y1 = 0.  2

D=(−16)2–4⋅1·48=64

249. 2 xy − y = 7, 2 y (5 y + 2) − y = 7, 10 y 2 + 3 y − 7 = 0, а)     x = 5 y + 2.  x − 5 y = 2;  x = 5 y + 2; 2 D=32–4·10·(–7)=289; Решим уравнение 10y +3y–7=0; −3 + 17 −3 − 17 = 0,7 ; y1 = = −1. y2 = 20 20  y = −1,  y2 = 0,7, или  1  x 5 , 5 ; =  x1 = −3.  2 2 x 2 − xy = 33, б)  4 x − y = 17;

2 x 2 − x(4 x − 17) = 33,   y = 4 x − 17;

2 x 2 − 4 x 2 + 17 x − 33 = 0,   y = 4 x − 17;

− 2 x 2 + 17 x − 33 = 0,   y = 4 x − 17.

2 x 2 − 17 x + 33 = 0   y = 4 x − 17 Решим уравнение 2x2–17x+33=0; 17 + 5 17 − 5 x2 = = 5,5 или x1 = = 3. 4 4  x = 3,  x2 = 5,5, или  1   y1 = −5.  y2 = 5;

D=(−17)2–4·2·33=25;

97

в)

 x 2 + 2 y = 18,  3 x = 2 y;

 2 2 ( y ) + 2 y − 18 = 0,  3   x = 2 y;  3

4 2  9 y + 2 y − 18 = 0,   x = 2 y.  3

2 y 2 + 9 y − 81 = 0   2 x = y 3  Решим уравнение 2y2+9y–81=0; D=92–4·2·(–81)=729; −9 + 27 −9 − 27 = 4,5 ; y1 = = −9. y2 = 4 4  y = −9,  y2 = 4,5, или  1   x1 = −6.  x2 = 3;  x − y − 4 = 0, г)  2  x + y 2 = 8,5;

 x = y + 4,  ( y + 4) 2 + y 2 − 8,5 = 0;

 x = y + 4,  2  y + 8 y + 16 + y 2 − 8,5 = 0;  x = y + 4  2 4 y +!6 y + 15 = 0 Решим уравнение 4y2+16y+15=0; −16 + 4 −16 − 4 = −1,5 или y1 = = −2,5. y2 = 8 8  y2 = −1,5,  y1 = −2,5,    x2 = 2,5;  x1 = 1,5.  x 2 + 4 y = 10, д)   x − 2 y = −5;

D = ±27 ;

 x = y + 4,  2 2 y + 8 y + 7,5 = 0

D=162–4·4·15=16;

(2 y − 5) 2 + 4 y = 10,   x = 2 y − 5;

4 y 2 − 20 y + 25 + 4 y − 10 = 0, 4 y 2 − 16 y + 15 = 0,    x = 2 y − 5;  x = 2 y − 5. 2 Решим уравнение 4y –16y+15=0; D=(−16)2–4·4·15=16; 16 + 4 16 − 4 = 2,5 ; y1 = = 1,5. y2 = 8 8

98

 y1 = 1,5,  y2 = 2,5, или    x1 = −2.  x2 = 0;  x − 2 y + 1 = 0, е)  5 xy + y 2 = 16.

 x = 2 y − 1,  5 y (2 y − 1) + y 2 − 16 = 0;

 x = 2 y − 1,  x = 2 y − 1,   2 2 10 y − 5 y + y − 16 = 0; 11y 2 − 5 y − 16 = 0. Решим уравнение 11y2–5y–16=0; D=(−5)24·11·(–16)=729; 5 5 − 27 5 + 27 D = ±27 ; y2 = = 1 ; y1 = = −1. 11 22 22 5   y2 = 1 11 ,  y = −1, или  1   x1 = −3.  x = 1 10 ;  2 11

250. 2 x + 4 y = 5( x − y ), 2 x + 4 y = 5 x − 5 y,  x = 3 y, а)  2  2   x − y 2 = 6; (3 y ) 2 − y 2 = 6;  x − y 2 = 6;  x = 3 y,  x = 3 y,   2  3 2 9 y − y = 6;  y 2 = . 4  б)

  3 3 , ,  y2 =  y1 = −   2 2 или   3⋅ 3 3⋅ 3    x2 = 2 ;  x1 = − 2 .

u − v = 6(u + v ),  2 2 u − v = 6;

7  u = − 5 v,  7 ( − v) 2 − v 2 = 6;  5

7  u = − 5 v,  49  v 2 − v 2 = 6;  25

u − v = 6u + 6v,  2 2 u − v = 6;

− 5u = 7v  2 2 u − v = 6

7  u = − 5 v,  v 2 = 25 ;  4

v2 = 2,5, v1 = −2,5, или   u 2 = −3,5; u1 = 3,5;

251. 5 y − 6 x − 50 = 0, 6( y − x) − 50 = y, 6 y − 6 x − 50 = y,  а)   24   y − xy = 24;  y (1 − x) = 24; y = 1− x ;  99

 5 ⋅ 24 − 6 x − 50 = 0,  1 − x  24 y = ;  1− x

120 − 6 x (1 − x ) − 50(1 − x) = 0,  1− x  24 y = ,  1− x

120 − 6 x + 6 x 2 − 50 + 50 x = 0,  24   y = 1 − x ;

6 x 2 + 44 x + 70 = 0,  24   y = 1 − x .

Решим уравнение 3x2+22x+35=0; −22 + 8 −22 − 8 1 = −2 ; x1 = = −5. x2 = 6 3 6

3x 2 + 22 x + 35 = 0  24   y = 1 − x

D=222–4·3·35=64;

1   x 2 = −2 3 ,  x = −5, или  1  1  y1 = 4. y2 = 7 ; 5   p = 3t  p + 5t = 2( p + t ),  p + 5t = 2 p + 2t ,  p = 3t ,  pt − t = 10; 3t ⋅ t − t − 10 = 0;  2   3t − t − 10 = 0

б)   pt − t = 10;

Решим уравнение 3t2–t–10=0; 1 + 11 1 − 11 2 = 2 или t1 = = −1 . t2 = 6 6 3 2  t 2 = 2, t = −1 , или  1 3   p2 = 6;  p1 = −5. 

D=(−1)2–4·3·(–10)=121;

252. ( x − 2)( y + 3) = 160, ( x − 2)( x + 4) = 160, а)    y − x = 1;  y = x + 1;  x 2 − 2 x + 4 x − 8 − 160 = 0,  x 2 − 2 x − 168 = 0,    y = x + 1;  y = x + 1; Решим уравнение x2+2x–168=0; D=22–4⋅1·(–168)=676; −2 + 26 −2 − 26 x2 = = 12 или x1 = = −14. 2 2  x1 = −14,  x2 = 12, или    y1 = −13.  y2 = 13; ( x − y )( y + 10) = 9, ( y + 10)( y + 10) = 9, б)    x − y = 11;  x = 11 + y; 100

D = ±26 ;

 y 2 + 20 y + 100 − 9 = 0,   x = 11 + y. Решим уравнение y2+20y+91=0; −20 + 6 −20 − 6 y2 = = −7 или y1 = = −13. 2 2  y1 = −13,  y2 = −7, или    x1 = −2.  x2 = 4;

D=202–4⋅1·91=36;

253.  y = 0,5 x 2 − 2,  y = 0,5 x 2 − 2,    y − x = 2;  y = x + 2. 1) График функции y=0,5x2–2 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положителен).

2) Найдем координаты вершины: x в = − (0;–2). 3) y

–3 –2 –1 0 1 2 0 –1,5 −2 –1,5 0 5 2 4) График функции y=x+2 − прямая. x 0 2 y 2 4 5) Решение системы: (–2; 0); (4; 6).  y = x + 2, 6) 

b 0 =− = 0; y в = −2; 2a 2 ⋅ 0,5

3 5 2

 y = x + 2,   x + 2 = 0,5 x − 2; 0,5 x 2 − x − 4 = 0. 2

101

Решим уравнение x2–2x–8=0; D=(−2)2–4⋅1·(–8)=36; x2 = 2−6 = −2. 2  x = −2,  x1 = 4, или  2  = y 6 ;  y 2 = 0.  1

2+6 =4; 2

x1 =

254.

а) 1) График уравнения x2+y2=16 − окружность с центром в т. (0; 0) и радиусом 4. 2) График функции y=x–4 − прямая. x 0 2 y –4 −2 3) Решения системы: (4; 0); (0; –4).  x 2 + y 2 = 16, ( y + 4) 2 + y 2 − 16 = 0, 4)    x − y = 4;

 x = y + 4;

 y 2 + 8 y + 16 + y 2 − 16 = 0,  y 2 + 8 y = 0, 2 y ( y + 4) = 0,     x = y + 4;  x = y + 4;  x = y + 4;  y = −4,  y 2 = 0, или  1   x1 = 0.  x2 = 4;

 y = x 2 + 1,  y = x 2 + 1, б)    x + 2 y = 5;  x = −2 y + 5. 1) График функции y=x2+1 − парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент x2 при положителен).

2) Найдем координаты вершины: xB = − 3)

x −3 –2 –1 0 y 10 5 2 1 102

1 2

2 3 5 10

b 0 =− = 0; yв=1; (0;1). 2a 2 ⋅1

4) График функции x=–2y+5 − прямая. x 1 5 y 2 0 5) Решения системы: ≈(–1,5; 3,2); (1; 2).  x = −2 y + 5,  x = −2 y + 5, 6)   2 (−2 y + 5) + 1 − y = 0; 4 y 2 − 21y + 25 + 1 = 0. Решим уравнение 4y2–21y+25=0; D=(−21)2–4·4·26=25; 21 + 5 1 21 − 5 = 3 или y1 = = 2. y2 = 8 4 8 1   y1 = 2,  y2 = 3 , 4 или    x1 = 1.  x2 = −1,5;

255.  x 2 + xy − y 2 = 11, (2 y + 1) 2 + (2 y + 1) y − y 2 = 11, а)    x − 2 y = 1;  x = 2 y + 1; 4 y 2 + 4 y + 1 + 2 y 2 + y − y 2 = 11,   x = 2 y + 1;

5 y 2 + 5 y − 10 = 0,   x = 2 y + 1.

 y 2 + y − 2 = 0   x = 2 y + 1 Решим уравнение y2+y–2=0; D=12–4·1·(–2)=9; y2 = y1 =

−1 − 3 = −2. 2

−1 + 3 =1; 2

103

 y1 = −2,  y2 = 1, или    x1 = −3.  x2 = 3;  x 2 + xy − 3 y = 9, б)  3x + 2 y = −1;

 x 2 + xy − 3 y = 9,  2 y = −3x − 1;

 x 2 + x(−1,5 x − 0,5) − 3(−1,5 x − 0,5) = 9,   y = −1,5 x − 0,5;  x 2 − 1,5 x 2 − 0,5 x + 4,5 x + 1,5 − 9 = 0,   y = −1,5 x − 0,5;

− 0,5 x 2 + 4 x − 7,5 = 0,   y = −1,5 x − 0,5.

 x 2 − 8 x + 15 = 0   y = −1,5 x − 0,5 Решим уравнение x2–8x+15=0; D=(−8)2–4·15=4; x2 = 8−2 = 3. 2  x1 = 3,  x2 = 5, или    y1 = −5.  y2 = −8;

x1 =

256.  x 2 + y 2 + 3 xy = −1, а)   x + 2 y = 0;

(−2 y ) 2 + y 2 + 3 y (−2 y ) + 1 = 0,   x = −2 y;

4 y 2 + y 2 − 6 y 2 = −1,   x = −2 y;

 y 2 = 1,   x = −2 y;

 y = −1,  y2 = 1, или  1   x1 = 2.  x2 = −2; u + 2v = 4, б)  2 u + uv − v = −5;

u = 4 − 2v,  (4 − 2v) 2 + (4 − 2v)v − v = −5;

u = 4 − 2v, u = 4 − 2v,   16 − 16v + 4v 2 + 4v − 2v 2 − v = −5; 2v 2 − 13v + 21 = 0.

104

8+2 =5; 2

Решим уравнение 2v 2 − 13v + 21 = 0; 13 + 1 13 − 1 v2 = = 3,5 или v1 = = 3. 4 4

D=(−13)2–4·2·21=1;

v 2 = 3,5, v1 = 3, u = −3; или u = −2.  2  1

257.  x − y = 5,

 x = y + 5,

 x = y + 5,

   6 y + 6( y + 5) − y ( y + 5) 6 а)  1 1 1  6 + = ; + − 1 = 0;  = 0;

 x y 6  y + 5 y  y ( y + 5)  x = y + 5, x = y + 5  x = y + 5,  2  2  2 y y y y y y 7 30 0 ; 6 6 30 5 0 ; − + + = + + − − =   y − 7 y − 30 = 0 

Решим уравнение y2–7y–30=0; 7 + 13 7 − 13 = 10 или y1 = = −3. y2 = 2 2  x = 2,  x2 = 15, или  1   y1 = −3.  y2 = 10;  x + y = 6,  б)  1 1 1 x − y = 4; 

 y = 6 − x,  1 4  x − 6 − x − 1 = 0; 

 y = 6 − x,  24 − 4 x − 4 x − 6 x + x 2 = 0;

D=(−7)2−4⋅1⋅(−30)=169;

 y = 6 − x,   4(6 − x) − 4 x − x(6 − x) = 0;  x (6 − x ) 

 y = 6 − x,  2  x − 14 x + 24 = 0.

Решим уравнение x2–14x+24=0; 14 + 10 14 − 10 x2 = = 12 или x1 = = 2. 2 2  x1 = 2,  x2 = 12, или   y = − 6 .  y1 = 4;  2 3x + y = 1,  y = 1 − 3 x,   в)  1 1 2 2 + = − 2 , 5 ; x y  x + 1 − 3x + 5 = 0;  

D=(−14)2–4·1⋅24=100;

 y = 1 − 3 x,   2(1 − 3x) + 2 x + 5 x(1 − 3 x) = 0;  x(1 − 3x)  105

 y = 1 − 3 x,  y = 1 − 3 x  y = 1 − 3 x,    2 2 2 − 6 x + 2 x + 5 x − 15 x = 0; − 15 x + x + 2 = 0. 15 x 2 − x − 2 = 0 Решим уравнение 15x2–x–2=0; D=(−1)2–4·15·(–2)=121; 1 + 11 2 1 − 11 1 x2 = = ; x1 = =− . 30 5 30 3 2  1   x2 = 5 ,  x1 = − , или  3  y = − 1 ;  y1 = 2.  2 5 3 1 1 1 3 − 1 = 0,  − = ,  − г)  y x 3  y 2 y + 2  x − 2 y = 2;  x = 2 y + 2;    3(2 y + 2) − 3 y − y (2 y + 2) = 0,  y (2 y + 2)   x = 2 y + 2;  − 2 y 2 + y + 6 = 0,   x = 2 y + 2.

6 y + 6 − 3 y − 2 y 2 − 2 y = 0   x = 2 y + 2

2 y 2 − y − 6 = 0   x = 2 y + 2

Решим уравнение 2y2–y–6=0; 1+ 7 1− 7 = 2 ; y1 = = −1,5. y2 = 4 4  y = −1,5,  y2 = 2, или  1 .  6 ; x =  x1 = −1.  2

D=(−1)2–4·2·(–6)=49;

258.  y = x 2 − 8 x + 16, а)  2 x − 3 y = 0;

 y = x 2 − 8 x + 16,  2 x − 3( x 2 − 8 x + 16) = 0;

 y = x 2 − 8 x + 16,  2 x − 3 x 2 + 24 x − 48 = 0;  y = x 2 − 8 x + 16  2 3x − 26 x + 48 = 0

106

 y = x 2 − 8 x + 16,  − 3x 2 + 26 x − 48 = 0;

Решим уравнение 3x2–26x+48=0; 26 + 10 26 − 10 2 x2 = = 6 ; x1 = =2 . 6 6 3 7  y =1 ,  y2 = 4,  1 9 или   x = 6 ; 2  x = 2 2 . 1 3 

D=(−26)2–4·3·48=100;

107

[

( x − 5) 2 + ( y − 4) 2 = 65, ( x − 5) 2 + ( y − 4) 2 = 65,   3 x − y + 6 = 0;  y = 3x + 6;

 x 2 − 10 x + 25 + 9 x 2 + 12 x + 4 − 65 = 0,   y = 3 x + 6;

10 x 2 + 2 x − 36 = 0,   y = 3 x + 6.

5 x 2 + x − 18 = 0   y = 3 x + 6

J_rbf

mjZ\g_gb_

2 x +x–18=0;

−1 + 19 −1 − 19 x2 = = 1,8 ; x1 = = −2. 10 10 x = −2,  x2 = 1,8, beb  1   y2 = 11,4;  y1 = 0.

D=12–4±



259.  x − y = 4,   y = x 2 − 5 x + 5;

 y = x − 4,   x − 4 − x 2 + 5 x − 5 = 0;

 y = x − 4,  2 − x + 6 x − 9 = 0.

 y = x − 4  2  x − 6 x + 9 = 0

J_rbf mjZ\g_gb_

x2–6x+9=0; D=(−6)2–4⋅1Â

m=3−4=−1



x=

6+0 = 3, 2

 y = −1,   x = 3.

260.  y = 2 x 2 − 5 x + 1,  y = 2 x 2 − 5 x + 1,   2 x + y + 3 = 0;  y = −2 x − 3; − 2 x − 3 − 2 x 2 + 5 x − 1 = 0,   y = −2 x − 3;

− 2 x 2 + 3x − 4 = 0,   y = −2 x − 3.

2 x 2 − 3 x + 4 = 0   y = −2 x − 3

J_rbf mjZ\g_gb_ x2–3x+4=0; D=(−3)2–4ÂÂ − Ld D lh g_l dhjg_c ⇒ djb\u_ g_ bf_xl lhq_d i_j_k_q_gby

1

261.  x + y = 12,   xy = −6; 2

Z

2

 6 2 2 (− y ) + y = 12,   x = − 6 ;  y

 36 2  2 + y = 12, y   x = − 6 ;  y

 y 4 − 12 y 2 + 36 = 0,  6  x = − y .  J_rbf mjZ\g_gb_ y4–12y2  H[hagZqbf y2=v ⇒ v2– 12 + 0 12v+36=0; D=(−12)2–4Â⋅36=0; v = = 6; y2=6 ⇒ y2 = 6 ; 2  y = − 6, 6. 6 , y1 =−y2 = beb  1   x2 = − 6 ;  x1 = 6 . 36 + y 4 = 12 y 2   6 x = − y 

[

2 x 2 − y 2 = 34,   xy = 20;

20 2  2 2 x − ( x ) − 34 = 0,   y = 20 ;  x

2 x 4 − 400 − 34 x 2 = 0,   20 . y = x  J_rbf mjZ\g_gb_ x4–17x2± 200=0;

D=(−17)2–4⋅1±



H[hagZqbf

x2=v ⇒ v2–17v– 17 + 33 v2 = = 25 beb 2



17 − 33 = −8; x2  beb x2 ± 2 x = −5, =–5. mjZ\g_gby  x2 = 5,ihemqZ_f beb  1  x2  beb x1  4 . 4 ; y y = − =  1  2 v1 =

 2 400 2 x − 2 − 34 = 0, x  20 y = ;  x

²

g_l dhjg_c ba i_j\h]h

262.

Z

2

 x 2 − 2 y 2 = 14, 2 x 2 = 32,   2  x + 2 y 2 = 18;  x 2 − 2 y 2 = 14;

 x 2 = 16  2  x − 2 y 2 = 14

 x = 4,  2 4 − 2 y 2 = 14;  x = 4,  2  y = 1;

beb

beb

 x = −4,  x = 4   (−4) 2 − 2 y 2 = 14; 2 y 2 = 2

beb

 x = −4  2 2 y = 2

 x = −4,  2  y = 1;

 x2 = 4,  x1 = −4,  x4 = 4,     y2 = 1;  y1 = 1;  y4 = −1; xy + x = 56,  x − y = 2, [    xy + y = 54;  xy + y = 54;

 x3 = −4,   y3 = −1.  x = y + 2,  ( y + 2) y + y − 54 = 0;

 x = y + 2,  2  y + 3 y − 54 = 0. J_rbf mjZ\g_gb_ y2+3y–54=0; −3 + 15 −3 − 15 y2 = = 6 beb y1 = = −9. 2 2 y = −9,  y2 = 6, beb  1   x2 = 8;  x1 = −7.  x = y + 2,  2  y + 2 y + y − 54 = 0;

D=32–4⋅1±



263.

Z

 9 2 ( ) + y 2 − 18 = 0,  x + y = 18,  y    xy = 9; x = 9 ;  y 2

2

 81 2  y 2 + y − 18 = 0   x = 9  y

 y 4 − 18 y 2 + 81 = 0,  9  x = y . 

J_rbf mjZ\g_gb_ D=(−18)2–4⋅1Â  x2 = 3,   y2 = 3;

beb

y4–18y2  h[hagZqbf y2=t; t2–18t+81=0; 18 + 0 = 9 y2=9 ⇒ y2  beb y1=–3.  t = 2  x1 = −3,   y1 = −3.

3

[

 x 2 − y 2 = 11,   xy = 30;

30 2  2  x − ( x ) − 11 = 0,   y = 30 ;  x

 2 900  x − x 2 − 11 = 0   y = 30  x

 x 4 − 11x 2 − 900 = 0,   30 y = . x  J_rbf mjZ\g_gb_ x4–11x2±  H[hagZqbf x2=t⇒ t2–11t–900=0; 11 + 61 11 − 61 D=(−11)2–4⋅1±  t 2 = = 36 beb t1 = = −25; 2 2 2 2 x =36; x1  beb x2=–6; x ± ² dhjg_c g_l x = −6,  x1 = 6, beb  2   y1 = 5;  y 2 = −5.

\

 x 2 + y 2 = 61, 2 x 2 = 72,   2  x − y 2 = 11;  x 2 − y 2 = 11;

 x2 = 6,  36 − y 2 = 11;

beb

 x 2 = 36,  2  x − y 2 = 11;

 x1 = −6,  36 − y 2 = 11;

 x1 = 6,  x 2 = 6,  x 3 = −6,     y1 = 5;  y 2 = −5;  y 3 = 5; 3 x − xy = 10, 3 x + y = 16, ]    y + xy = 6;  y + xy = 6;  y = −3 x + 16,  − 3x + 16 − 3x 2 + 16 x − 6 = 0;

 x 4 = −6,   y 4 = −5.  y = −3x + 16,  − 3 x + 16 + x(−3 x + 16) − 6 = 0;  y = −3 x + 16,  − 3 x 2 + 13 x + 10 = 0;

 y = −3 x + 16  2 3 x − 13 x − 10 = 0

J_rbf

mjZ\g_gb_ x2–13x–10=0; 13 + 17 13 − 17 2 x2 = = 5 beb x1 = =− . 6

 x2 = 5,   y2 = 1; 4

6

beb

2   x1 = − , 3   y1 = 18. 

3

D=(−13)2–4±



264.  x 2 + y 2 = 36,  x 2 + ( x 2 + 6) 2 − 36 = 0,   y = x 2 + 6;  y = x 2 + 6;

Z 

 x 2 + x 4 + 12 x 2 + 36 − 36 = 0   y = x 2 + 6  x 4 + 13x 2 = 0,   y = x 2 + 6;

j_r_gbc

 x 2 ( x 2 + 13) = 0,  x = 0,    y = x 2 + 6;  y = 6.

 x 2 + y 2 = 16,  ( x − 2) 2 + y 2 = 36; ( x − 2) 2 − x 2 = 20;  x 2 + y 2 = 16,

[ 

beb

 x 2 = −13   y = 6



g_l

 x 2 + y 2 = 16  2  x − 4 x + 4 − x 2 = 20

 x 2 + y 2 = 16,  x 2 + y 2 = 16 16 + y 2 = 16  y = 0     4 x = −16;  x = −4  x = −4  x = −4

265.

Z

 y = x 3 ,   y = 15 x;

=jZnbd nmgdpbb y=x3 − dm[bq_kdZy iZjZ[heZ jZkiheh`_ggZy \ , b ,,, q  =jZnbd nmgdpbb y=15x − ijyfZy ijhoh^ysZy q_j_a gZqZeh dhhj^bgZl  j_r_gby 

[

10   xy = 10,  y = , x    y = x;  y = x; 

=jZnbd nmgdpbb `_gu \ , b ,,, q



y=

10 − x

]bi_j[heZ m dhlhjhc \_l\b jZkiheh-

5



=jZnbd nmgdpbb y=x − ijyfZy [bkk_dljbkZ , b ,,, q   j_r_gby \

 x 2 + y 2 = 36,   y = x 2 + 3;

=jZnbd mjZ\g_gby x 2 + y 2 = 36 − hdjm`ghklv k p_gljhf \   b jZ^bmkhf  2  =jZnbd nmgdpbb y=x +3 − iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \\_jo ld dhwnnbpb_gl ijb x2 iheh`bl_e_g  b 0 =− = 0; y\=3; (0; 3)  GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu x B = − 2a 2 ⋅1  j_r_gby 

266.

Z

x(x–1)–x(0,2x+0,5)<0,6x–4;

0,2x2–0,2x–0,2x2–0,5x–0,6x+4<0;

1 . 13 [ x(3–x)+0,4x(3x–1)<x+1,1; 1 2,2x<1,1; x< . 2

3,6x–1,2x2+1,2x2–0,4x–x–1,1<0;

–1,3x<–4; x>3

267.

6

Z ±x2–2x+168>0. 2  =jZnbd nmgdpbb y=–x –2x+168 − iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \gba ld dhwn  nbpb_gl ijb x2 hljbpZl_e_g 2 2  J_rbf mjZ\g_gb_ x +2x–168=0; D=2 –

–4⋅1±



x1 =

−2 + 26 −2 − 26 = 12 ; x2 = = −14. 2 2

3) (–14;12). [ x2+x–2<0.

 m dhlhjhc \_l\b gZijZ\=jZnbd nmgdpbb y=15x2+x–2 − iZjZ[heZ e_gu \\_jo ld dhwnnbpb_gl ijb x2 iheh`bl_e_g 2  J_rbf mjZ\g_gb_ x +x–2=0; D=12– 

–4±



x1 =

2 −1 + 11 1 −1 − 11 = ; x2 = =− . 30 5 30 3

 2 1 3)  − ;   5 3 \ x + 14 <0; 3 − 2x x − 1,2 <0; x + 25

x + 14 >0; x − 1,5

(–∞; –14)∪(1,5; ∞)

]

6 − 5x >0; x + 25

(–25; 1,2)

268. xy

Imklv i_j\h_ qbkeh jZ\gh x Z \lhjh_ ² y ba mkeh\by x+y  Ihemqbf kbkl_fm  x + y = 12,   xy = 35;

 y = 12 − x,   x(12 − x) = 35;



b

 y = 12 − x,  12 x − x 2 − 35 = 0;

 y = 12 − x  2  x − 12 xx + 35 = 0

J_rbf

mjZ\g_gb_

12 + 2 x2 = =7; 2  x2 = 7, beb   y2 = 5;

Hl\_l  b 

12 − 2 x1 = = 5. 2  x1 = 5,   y1 = 7.

x2–12x+35=0;

D=(−12)2–4⋅1Â



269.

Imklv f_gvr__ ba qbk_e jZ\gh x lh]^Z [hevr__ jZ\gh x  Ih mkeh\bx x(x ± Ihemqbf mjZ\g_gb_ 7

−7 + 1 −7 − 1 = −3 ; x2 = = −4. 2 2  ijb x=–4, x+7=–4+7=3.

x2+7x+12=0; D=72–4Â⋅12=1; x1 =

Ijb x=–3, x ± Hl\_l  b ± beb  b ± 270.

H[hagZqbf klhjhgu ijyfhm]hevgbdZ a kf b b kf Ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ a2+b2  b ih mkeh\bx a+2b  Ihemqbf kbkl_fm a 2 + b 2 = 100,  2a + 2b = 28;

a 2 + b 2 = 100,  a + b = 14;

a = 14 − b,  196 − 28b + b 2 + b 2 − 100 = 0

a = 14 − b.  (14 − b) 2 + b 2 = 100;

a = 14 − b,  2 2b − 28b + 96 = 0

a = 14 − b  2 b − 14b + 48 = 0

J_rbf

mjZ\g_gb_

14 + 2 14 − 2 b2 = = 8 ; b1 = = 6. 2 2 b = 6, b2 = 8, beb  1  a2 = 6; a1 = 8.

b2–14b+48=0;

D=(−14)2–4⋅1Â



Hl\_l  kf b kf

271.

H[hagZqbf ^ebgm i_j\hc klhjhgu ijyfhm]hevgbdZ x kf Z \lhjhc ² y kf lh]^Z x+14=y Ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ x2+y2=262  KhklZ\bf kbkl_fm  x 2 + y 2 = 676,   x + 14 = y;

 x 2 + ( x + 14) 2 = 676,   x + 14 = y;

 x 2 + x 2 + 28 x + 196 − 676 = 0,   y = x + 14;  x 2 + 14 x − 240 = 0   y = x + 14

8

2 x 2 + 28 x − 480 = 0,   y = x + 14.

J_rbf mjZ\g_gb_

x2+14x–240=0; D=142–4⋅1±  −14 + 34 −14 − 34 x1 = = 10 ; x2 = = −24 — g_ ih^oh^bl ih kfukem 2 2

aZ^Zqb

 x = 10,   y = 24.

Hl\_l  kf kf 272.

Imklv ^ebgZ mqZkldZ jZ\gZ x f Z rbjbgZ ² m f >ebgZ ba]hjh^b jZ\gZ i_jbf_ljm mqZkldZ 2 x + 2 y = 200  IehsZ^v mqZkldZ ² om  Bf__f kbkl_fm 2 o + 2 m = 200,  o + m = 100,  o = 100 − m     om = 2400;  om = 2400; (100 − m )m − 2400 = 0;

J_rbf

mjZ\g_gb_

 o = 100 − m,  100 m − m 2 − 2400 = 0.

m − 100 m + 2400 = 0; 2

D = (−100) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2400 = 400; 100 − 20 = 40. 2  1 = 40, beb   = 60 ;  1 

y1 =

100 + 20 = 60 ; 2

y2 =

o m

o 2 = 60, m 2 = 40.

Hl\_l  f b  f 273.

H[hagZqbf ^ebgu dZl_lh\ Z kf b b kf Ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ I_jbf_lj lj_m]hevgbdZ a + b + 37 = 84  Bf__f kbkl_fm a 2 + b 2 = 37 2 = 1369 a 2 + b 2 = 1369,  a + b + 37 = 84;

a 2 + b 2 = 1369,  a + b = 47;

(47 − b )2 + b 2 − 1369 = 0,  a = 47 − b.

a 2 + b 2 − 1369 = 0  a = 47 − b

2b 2 − 94b − 840 = 0,  a = 47 − b.

b 2 − 476 + 420 = 0  a = 47 − b

9

J_rbf mjZ\g_gb_

b2–47b+420=0 D = (−47) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 420 = 529; 47 + 23 47 − 23 = 35 ; b2 = = 12. D = ±23 ; b1 = 2 2 b = 12, b1 = 35, beb  2  a1 = 12; a 2 = 35. 1 S ∆ = ⋅ 35 ⋅12 = 210 kf2. 2

274.

H[hagZqbf kdhjhklv i_j\h]h hljy^Z o dfq Z \lhjh]h m dfq Lh]^Z i_j\uc hljy^ ijhr_e x df Z \lhjhc y df Ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ y)2+(4x)2=242 ih mkeh\bx x–4,8=4y Ihemqbf kbkl_fm 4 x − 4,8 = 4 y,  x − 1,2 = y,   (4 y )2 + (4 x )2 = 24 2 ; 16(x − 1,2 )2 + 16 x 2 − 576 = 0;  x − 1,2 = y,  x − 1,2 = y,   2 2 (x − 1,2 ) + x − 36 = 0;  x 2 − 2,4 x + 1,44 + x 2 − 36 = 0;

 x − 1,2 = y  2  x − 1,2 x − 17,28 = 0

J_rbf mjZ\g_gb_ 1,2 + 8,4 x1 = = 4,8 beb 2 kfukem aZ^Zqb

x2–1,2x–17,28=0; D=1,44–4±  1,2 − 8,4 x2 = = −3,6 ² g_ ih^oh^bl ih 2

 x = 4,8,   y = 4,8 − 1,2 = 3,6.

Hl\_l  dfq b  dfq 275.

H[hagZqbf kdhjhklv i_j\h]h l_eZ q_j_a o fk Z \lhjh]h ² q_j_a m fk Lh]^Z i_j\h_ l_eh aZ  k ijhoh^bl x f Z \lhjh_ l_eh aZ  k ijhoh^bl m f Ih mkeh\bx x=8y AZ  k i_j\h_ ijhoh^bl imlv x f Z \lhjh_ l_eh ² m f Ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ (15x )2 + (15 y )2 = 9. Bf__f kbkl_fm

10

6 x = 8 y,  225 x 2 + 225 y 2 = 9; 3   y = 25 , beb y= − 3  4 25 x = ;  25

4   x = 3 y,  25 16 y 2 + 25 y 2 = 1;  9

4   x = 3 y,  y2 = 9 ;  625

g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb

²

Hl\_l  fk b  fk 276.

H[hagZqbf ^ebgu klhjhg ijyfhm]hevgbdZ q_j_a Z kf b b kf Lh]^Z iehsZ^b d\Z^jZlh\ 2ihkljh_gguo gZ klhjhgZo ijyfhm]hevgbdZ khhl\_lkl\_ggh jZ\gu a kf2 b b2 kf2 Ih mkeh\bx a2+2b2=122. IehsZ^v ijyfhm]hevgbdZ jZ\gZ ab  Ihemqbf kbkl_fm 2  2 2a 2 + 2b 2 = 122, a + b = 61,   30 ab = 30; ; a = b 

 900 2  2 + b = 61, b  a = 30 ;  b

 30  2   + b 2 = 61,  b   30  a = b ;

900 + b 4 − 61b 2 = 0,   30 ; a = b 

J_rbf mjZ\g_gb_

H[hagZqbf

b 2 = t  lh]^Z 61 + 11 t 2 − 61t + 900 = 0 ; D = (−61) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 900 = 121; t1 = = 36 beb 2 61 − 11 t2 = = 25  lh]^Z b 2 = 36 beb b 2 = 25. 2 b = 6 beb b = −6 g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb  b = 5 beb b = −5 g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb  a = 6, a = 5, beb   b = 6; b = 5. b 4 − 61b 2 + 900 = 0 

Hl\_l  kf b  kf

11

277.

H[hagZqbf ^ebgu dZl_lh\ lj_m]hevgbdZ ² a kf b b kf Ih mkeh\bx S ∆ = 1 ab = 24. Ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ a 2 + b 2 = 100. AZibr_f 2 kbkl_fm 1  ab = 24, 2 a 2 + b 2 = 100; 

ab = 48,  2 a + b 2 = 100;

48  a = b ,   2  48  + b 2 = 100;  b 

H[hagZqbf

48  , a = b  2304 + b 4 − 100b 2 = 0. 

b2 = t 

J_rbf mjZ\g_gb_

t 2 − 100t + 2304 = 0. 100 + 28 t= = 64 beb 2

D = (−100) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2304 = 784.

100 − 28 = 36 ; b 2 = 64 beb b 2 = 36 . b  beb b ± g_ ih^oh^bl 2 ih kfukem aZ^Zqb  b  beb b ± g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb  b = 6, b = 8, beb   a = 6 ;   a = 8. t=

Hl\_l  kf b  kf 278.

H[hagZqbf ^ebgu dZl_lh\ lj_m]hevgbdZ ² Z kf b b kf Ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ a2+b2=132  ?keb i_j\uc dZl_l m\_ebqblv gZ  kf lh _]h ^ebgZ klZg_l a kf Z ^ebgZ ]bihl_gmau [m^_l jZ\gZ 2 2   kf Ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ a+4) +b  Ihemqbf kbkl_fm

Z Z

 2 + b 2 = 169,  ( + 4)2 + b 2 = 225;

Z

b 2 = 169 − 2 ,  2 a + 8a + 16 + 169 − b = 12, (b  a = 5;

± ²

Z

Z 2 = 225;

Z 2 = 225; b 2 = 169 − Z 2 , b 2 = 169 − 5 2 ,   8a = 40;

g_ ih^oh^bl ih kfukem 

Hl\_l  kf b  kf 12

Z

b 2 = 169 − 2 ,  ( + 4)2 + 169 −

a = 5.

279.

H[hagZqbf \j_fy jZ[hlu i_j\h]h wdkdZ\ZlhjZ aZ x q Z \lhjh]h aZ y q Ih mkeh\bx o+4=m I_j\uc wdkdZ\Zlhj jZ[hlZy hl^_evgh \uihegbl aZ  qZk 1 qZklv \k_c jZ[hlu Z \lhjhc ² 1 qZklv \k_c ²

x

y

jZ[hlu JZ[hlZy \f_kl_ aZ  q hgb \uihegyxl jZ[hlu Z aZ



q



fbg

 

1 1  +  x y

qZklv \k_c

q hgb \uihegyl \kx jZ[hlm l_

15  1 1   +  = 1  AZibr_f kbkl_fm 4  x y   x + 4 = y,  x + 4 = y,   1  15  1 1   1    4  x + y  = 1; 15 x + x + 4  = 4;       x + 4 = y  15(x + 4) + 15 x − 4 x(x + 4) =0  x(x + 4) 

J_rbf mjZ\g_gb_ x+60+15x–4x2–16x=0; 2x2–7x–30=0; D=(−7)2– 7 − 17 5 7 + 17 = 6 ; x2 = =− g_ ih^oh^bl ih 4±  x1 = 4 4 2 kfukem aZ^Zqb   x = 6,   y = 10.

Hl\_l  q b  q 280.

Imklv i_j\uc dhf[Zcg_j jZ[hlZy hl^_evgh \uihegbl jZ[hlm aZ Z \lhjhc ² aZ m q Lh]^Z o24=m AZ  q jZ[hlZy hl^_evgh i_j\uc dhf[Zcg_j m[_j_l 1 qZklv ihey Z \lhjhc ² 1 qZklv ihey JZx q

x

y

[hlZy kh\f_klgh ^\Z dhf[Zcg_jZ m[_jml \k_ ihe_ aZ 1 1 35 +  = 1  Ihemqbf kbkl_fm x y



q l_

13

 x + 24 = y,   35 35  x + y = 1; 

 y = x + 24,  35  35  x + x + 24 − 1 = 0; 

 y = x + 24   35(x + 24) + 35 x − x(x + 24) =0  x(x + 24)  J_rbf mjZ\g_gb_ x+840+35x–x2–24=0; x2–46x–840=0; 46 + 74 46 − 74 D=(−46)2–4⋅1⋅(–840)=5476; x1 = = 60 beb x2 = = −14 2 2

g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb 



 x = 60,   y = 84.

Hl\_l  q b  q 281.

H[hagZqbf \j_fy aZ dhlhjh_ i_j\Zy [jb]Z^Z aZZknZevlbjm_l mqZklhd ^hjh]b aZ x q Z \lhjZy ² aZ m q Ih mkeh\bx x–4=m AZ  qZk jZ[hlZy hl^_evgh i_j\Zy [jb]Z^Z aZZknZevlbjm_l 1 qZklv mqZkldZ x

^hjh]b Z \lhjZy [jb]Z^Z ²

1 y

qZklv mqZkldZ JZ[hlZy \f_kl_ aZ 

qZk h[_ [jb]Z^u aZZknZevlbjmxl lZy \f_kl_



1 1 + x y

qZklv \k_]h mqZkldZ JZ[h-

qZkZ hgb aZZknZevlbjmxl

1 1 24 +  = 5  Ihemqbf kbkl_fm x y  x − 4 = y,  x − 4 = y,   1   1 1  1   = + 24 5 ;  x y 24 x + x − 4  − 5 = 0;       x − 4 = y   24(x − 4 ) + 24 x − 5 x(x − 4 ) =0  x(x − 4 ) 

14



mqZkldh\ l_

24(x − 4) + 24 x − 5 x(x − 4) = 0. x(x − 4)

J_rbf mjZ\g_gb_

24x–96+24x–

–5x2+20x=0; 5x2–68x+96=0; D=(−68)2–4ÂÂ  D = ±52 ; 68 + 52 68 − 52 x1 = = 12 beb x2 = = 1,6 10 10 y = −2,4,  y = 8, beb  ² g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb  12 . = x x   = 1,6;

Hl\_l  q b  q 282.

—

H[hagZqbf fZkkm ^_lZeb klZjh]h lbiZ o d] Z ^_lZeb gh\h]h lbiZ

m d] Ih mkeh\bx o=m Ba  d] f_lZeeZ ihemqblky gh\h]h lbiZ Z ba  d] f_lZeeZ ihemqblky Ih mkeh\bx

2+

24 22  = 2 + x y   x = y + 0,2; 

24 x

22 y

^_lZe_c

^_lZe_c klZjh]h lbiZ

24 22  Ihemqbf kbkl_fm = x y 22  24 +2− = 0,  0 , 2 + y y   x = y + 0,2. 

 24 y + 2 y (y + 0,2) − 22( y + 0,2) =0  y ( y + 0,2)   x = y + 0,2 

24 y + 2 y ( y + 0,2) − 22( y + 0,2) = 0. y2+1,2y– y ( y + 0,2) −1,2 + 3,2 y1 = = 1; D=1,44–4(2,2)=10,24; 2

J_rbf mjZ\g_gb_ 2,2=0;

−1,2 − 3,2 y2 = = −2,2  y = 1,2   x = 1 + 0,2 = 1,2.

g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb 



Hl\_l  d] b  d]

15

283.

H[hagZqbf kdhjhklv i_j\h]h i_r_oh^Z ²o dfq Z kdhjhklv \lhjh]h ² m dfq AZ  qZkZ i_j\uc i_r_oh^ ijhc^_l o df Z \lhjhc ² 4m df JZkklhygb_ f_`^m gbfb khklZ\bl  df Ihemqbf mjZ\g_gb_ 4o+4m  l_ o+m  AZ  qZk i_j\uc i_r_oh^ ijhr_e o df ihke_ q_]h _fm ^h \klj_qb hklZehkv ijhclb ±o df Wlm qZklv imlb hg ijhc^_l aZ \j_fy  20 − x  q qlh jZ\gh \j_f_gb aZ dhlhjh_ ijhc^_l 

x



iheh\bgm imlb \lhjhc i_r_oh^ l_  x + y = 9;   20 − x 20  x = y ; 

 y = 9 − x;  20  20 − x  x − 9 − x = 0

J_rbf mjZ\g_gb_

20 − x 20 =  Ihemqbf kbkl_fm x y y = 9 − x   (20 − x )(9 − x ) − 20 x =0  x(9 − x ) 

(20 − x )(9 − x ) − 20 x = 0 . x(9 − x )

49 − 41 = 4. 2  y = −36  x = 4, ² g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb beb    x = 45  y = 5;

D=(−49)2–4Â⋅180=1681; x =

49 + 41 = 45 2

x2–49x+180=0;

beb

x=

Hl\_l  dfq b  dfq 284.

H[hagZqbf kdhjhklv i_j\h]h lmjbklZ o dfq Z \lhjh]h ² m dfq Lh]^Z x=m I_j\uc lmjbkl ijhc^_l imlv ba F \ N aZ 18 q Z \lhx

jhc aZ

18 y

q Ih mkeh\bx \lhjhc lmjbkl ijbr_e \ N gZ  fbg

q iha`_ i_j\h]h l_  x = y + 1,  18 9 18  x + 10 = y ; 

16

18 9 18 + = x 10 y



Ihemqbf kbkl_fm

 x = y + 1,  9 18  18  y + 1 + 10 − y = 0 

9 10

x = y + 1  180 y + 9 y ( y + 1) − 180( y + 1) =0  10 y ( y + 1)  J_rbf mjZ\g_gb_ 180 y + 9 y(y + 1) − 180(y + 1) = 0. 180y+9y2+9y– 10 y ( y + 1) −1 + 9 y1 = 180y–180=0; y2+y–20=0; D=12–4⋅1⋅(–20)=81; = 4; 2 −1 − 9 y2 = = −5 g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb  2 [ =    \ = 

Hl\_l  dfq b  dfq 285.

H[hagZqbf kdhjhklv fhlhpbdebklZ ba F o dfq Z kdhjhklv fhlhpbdebklZ ba N m dfq Ih mkeh\bx hgb \klj_lbebkv q_j_a  fbg 1 q agZqbl ijh_oZeb \f_kl_ \_kv imlv hl F ^h

o+m



Fhlhpbdebkl ba F ijh_^_l imlv ba F

pbdebkl ba

N

ijh_^_l imlv ba

50 25 50 2 1 2 + =  l_ + = y 60 x y 60 x



N

\ F aZ

Ihemqbf kbkl_fm

 x + y = 100,  x = 100 − y,   2 2 1 2 2 1 + = ;  y 60 x  y + 60 − 100 − y = 0;    x = 100 − y  120(100 − y ) + y (100 − y ) − 120 y = 0 =0  60 y (100 − y ) 

J_rbf

–120y=0;

2 1 1 N: x + y = 50, l_ 2 2 50 \ N aZ q Z fhlhx 50 q Ih mkeh\bx y

2

mjZ\g_gb_

y +140y–12000=0;

2 ±y+100y–y –

D=19600–4(–12000)=67600;

17

−140 + 260 = 60 ; 2

y1 =

y2 =

kfukem aZ^Zqb 

−140 − 260 = −200 2

g_ ih^oh^bl ih



 y = 60,   x = 40.

Hl\_l  dfq b  dfq 286.

Z

 y = −3 x − 4,  2  x − (− 3 x − 4 )2 − 2 = 0;

J_rbf x=

mjZ\g_gb_

 y = −3 x − 4,  2  x − 9 x 2 − 24 x − 16 − 2 = 0.

4 x 2 + 12 x + 9 = 0;

D = 122 − 4 ⋅ 4 ⋅ 9 = 0;

−12 + 0 = −1,5. 8  x = −1,5,   y = 0,5.

[

 y = −3 x + 2,  2  x − x(− 3 x + 2 )2 − 3,36 = 0;

J_rbf

 y = −3 x + 2,  2  x + 3 x 2 − 2 x − 3,36 = 0;

mjZ\g_gb_

2 x 2 − x − 1,68 = 0; 1 + 3,8 1 − 3,8 D = (−1) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 1,68) = 14,44; x1 = = 1,2 ; x2 = = −0,7 4 4 x = −0,7,  x1 = 1,2, beb  2   y1 = −1,6;  y 2 = 4,1.

287.

Z

 y = x 2 − 3x + 3;  2 x − y − 1 = 0;

 y = x 2 − 3x + 3;  2 x − x 2 − 3x + 3 − 1 = 0;

(

)

 y = x − 3 x + 3;  2 − x + 5 x − 4 = 0; 2

J_rbf x1 =

mjZ\g_gb_

x 2 − 5 x + 4 = 0;

5+3 5−3 = 4 ; x2 = = 1. 2 2

18

D = (−5) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 9;

 x2 = 4,   y2 = 7;

beb

 x1 = 1,   y1 = 1.

2 2   [  m = 2 o − o + 1,  m = 2(1,5) − 1,5 + 1,

 o = 1,5; o 2 2 2   2 \  o + m = 100, (14 − m ) + m − 100 = 0,  o + m = 14;  o = 14 − m; 196 − 28 m + m 2 + m 2 − 100 = 0, 2 m 2 − 28 m + 96 = 0,    o = 14 − m;  o = 14 − m.  = 1,5;

m o

 y = 4,5 − 1,5 + 1  = 4,    x = 1,5  = 1,5.

 y 2 − 14 y + 48 = 0   x = 14 − y

J_rbf mjZ\g_gb_ m 2 − 14 m + 48 = 0; m1 = 14 + 2 = 8 beb m2 = 14 − 2 = 6 . 2

m = 6,  m2 = 8, beb  1   o2 = 6;  o1 = 8;

D = (−14) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 48 = 4;

2

288.

Z o(o − 6) < 0; (0; 6); [ o(8 + o ) ≥ 0; (–’ ±@∪[0; +’  2 \ o − 4 ≤ 0; (o − 2)(o + 2) ≤ 0; [–2; 2]; 2 (–’ ± 6 ]∪[ ] x –6>0; (x– 6 )(x+ 6 )>0;

6 ; +’

289.

Z x3(x2–1)=0; x3(x+1)(x−1)=0; x1=0, x2=1, x3=–1. [ x6–4x3 4=0; x4(x2–4)=0;2 x4(x+2)(x−2)=0; x1=0, x2=2, x3=–2. \ x –32x=0; x(0,5x –32)=0; x1=0, x2=8, x3=–8. ] x4–4x2=0; x2(0,2x2–4)=0; x1=0, x2=2 5 , x3=–2 5 . 290.

Z

(

(Z

2

)(

)

Z Z − 25 = 0; 2

2

)

− 4 Z 2 + 4 = 25Z 2 − 16; Z 4 − 16 − 25Z 2 + 16 = 0; Z 4 − 25Z 2 = 0;

Z  beb Z 2 − 25 = 0, Z 2 = 25, Z2 = 5 beb Z3 = −5. 1

19

(o

[

2

)(

)

o 4 −1 − 6o 2 + 1 = 0

− 1 o 2 + 1 = 6 o 2 − 1;

o1 = 0 beb o

2

− 6 = 0,

o

2

= 6, o2 = 6

beb

(

)

o 2 o 2 − 6 = 0;

o3 = − 6 .

291.

Z o 2 (o − 1)− 4(o − 1)2 = 0; (o − 1)(o 2 − 4(o − 1)) = 0; o − 1 = 0 beb o 2 − 4 o + 4 = 0; ba i_j\h]h mjZ\g_gby o1 = 1; ba \lhjh]h D = (−4) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 0;

o 2 = 4 +2 0 = 2.

[ 2 m 2 (m + 1)− (m + 1)2 = 0; (m + 1)(2 m 2 − (m + 1)) = 0; m + 1 = 0 beb 2 m 2 − m − 1 = 0; ba i_j\h]h mjZ\g_gby m1 = −1  ba \lhjh]h D = 1 − 4 ⋅ 2(− 1) = 9;

\

(

(5o

3

m 2 = 1 +4 3 = 1 beb m 3 = 1 −4 3 = −0,5.

)(

)

+ 40 − 19 o 2 + 38 o = 0;

)

5(o + 2 ) o − 2 o + 4 − 19 o (o + 2 ) = 0; 2

( ) (o + 2)(5(o − 2 o + 4)− 19 o ) = 0;

5 o 3 + 2 3 − 19 o (o + 2 ) = 0 ; 2

o + 2 = 0 beb 5o 2 − 10 o + 20 − 19 o = 0; ba i_j\h]h mjZ\g_gby o1 = −2; D = (−29) 2 − 4 ⋅ 5 ⋅ 20 = 441; ba \lhjh]h 5o 2 − 29 o + 20 = 0; o 2 = 2910+ 21 = 5 beb o3 = 2910− 21 = 0,8.

6(o + 1)− 31o (o + 1) = 0; )( ) (o + 1)(6(o − o + 1)− 31o ) = 0; o + 1 = 0 beb 6 o − 6 o − 31o = 0; ba i_j-

(6 o

]

3

+ 6 − 31o 2 + 31o = 0;

3

2

2

o1 = −1; ba \lhjh]h 6 o 2 − 37 o + 6 = 0; 37 + 35 37 − 35 1 D = (−37) 2 − 4 ⋅ 6 ⋅ 6 = 1225; o3 = = 6 beb o2 = = . 12 12 6

\h]h

mjZ\g_gby

292.

=jZnbdhf nmgdpbb m = o 3 y\ey_lky dm[bq_kdZy iZjZ[heZ jZkiheh`_ggZy \ , b ,, q_l\_jlyo 

x

– 2

y

– 8

–

0

1

2

–

0

1

8

1 1

=jZnbdhf nmgdpbb m = o y\ey_lky ijyfZy 3) o 3 − o = 0; o(o 2 − 1) = 0; o(o + 1)(o − 1) = 0;



20

o1 = 0, o3 = 1, o2 = −1. 293*.

MjZ\g_gb_ wd\b\Ze_glgh lZdhfm o 3 = −Zo − b; dhebq_kl\h j_r_gbc jZ\gh dhebq_kl\m lhq_d i_j_k_q_gby m dm[bq_kdhc iZjZ[heu 3 m = o b ijyfhc m = − Zo − b. 1) Z = 0. IjyfZy m = −b bf__l h^gm lhqdm i_j_k_q_gby k dm[bq_kdhc iZjZ[hehc 2) Z > 0. IjyfZy m = −Zo − b bf__l h^gm lhqdm i_j_k_q_gby k dm[bq_kdhc iZjZ[hehc 3)

Z < 0.

Z b = 0. IjyfZy m = −Zo i_j_k_dZ_l dm[bq_kdmx iZjZ[hem \ lj_o lhqdZo [ JZkkfhljbf \k_\hafh`gu_ ijyfu_ iZjZee_evgu_ m = −Zo. Kms_kl\m_l lZdZy ijyfZy dhlhjZy i_j_k_q_l iZjZ[hem jh\gh \ ^\mo lhqdZo Kbff_ljbqgZy _c hlghkbl_evgh lhqdb H ijyfZy lZd`_ i_j_k_dZ_l iZjZ[hem \ ^\mo lhqdZo Wlb ijyfu_ bf_xl dhwnnbpb_gl b = b0 > 0 b −b < 0. Ijb b > b0 b b < −b0 ijyfZy i_j_k_dZ_l dm[bq_kdmx iZjZ[hem \ h^ghc lhqd_ Ijb ± b0
21

294*.

o 3 = 4 o − 1. Ihkljhbf ]jZnbdb nmgdpbc

m=o

b

3

m = 4o − 1

ijyfZy i_j_k_dZ_l Ho \ lhqd_  1 ,0  b Hm \ lhqd_ (0,−1)  =jZnbdb



4



i_j_k_dZxlky \ lj_o lhqdZo GZc^_f bo o1 ≈ 1,7; o 2 ≈ 0,3; o3 ≈ −2,1. Mlhqgbf agZq_gby ⇒

(1,5)3 = 3 3 < 4 ⋅ 3 − 1 = 5

2 3 = 8 > 4 ⋅ 2 − 1 = 7,

1)

1,5 <

o1 < 2. Ld (1,8)

3

8

2

= 5,832 < 4 ⋅1,8 − 1 = 6,2,

(1,9)3 = 6,859 > 4 ⋅1,9 − 1 = 6,6, lh 1,8 < o < 1,9. Ld (1,85)3 ≈ 6,33 < 4 ⋅1,85 − 1 = 6,40, (1,87 )3 = 6,52 > > 4 ⋅1,87 − 1 = 6,48, lh 1,85 < o < 1,87. LZd qlh

o1 ≈ 1,86.

3

2)  1  = 1 > 4 ⋅ 1 − 1 = 0, 4

64

4

⇒

3

1 1 1 1 < 4 ⋅ −1 =   = 3 27 3 3   0,25 =

(0,27)3 ≈ 0,0197 < 4 ⋅ 0,27 − 1 = 0,08,

(0,26)

3

o 2 ≈ 0,25.

1 1 < o2 < = 0,33... 4 3

0,25 < o 2 < 0,27.

LZd

= 0,0175776 < 4 ⋅ 0,26 − 1 = 0,04.

qlh

(− 2)3 = −8 > 4 ⋅ (− 2) − 1 = −9,

3)

(− 2,1)3 = −9,261 > 4 ⋅ (− 2,1) − 1 = −9,4 (− 2,3)3 = −12,167 < −4 ⋅ (2,3) − 1 = −10,2 ⇒ −2,3 < o 3 < −2,1 3 (− 2,2) = −10,748 < −4 ⋅ 2,2 − 1 = −9,8; −2,2 < o < −2,1 3 (− 2,15) ≈ −9,94 < −4 ⋅ 2,15 − 1 = −9,6. LZd qlh o 3 ≈ 2,12. 295.

t 2 − 5t − 24 = 0; H[hagZqbf o 2 + 6o = t ⇒ 5 + 11 5 − 11 D = (−5) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 24) = 121 t1 = = 8 beb t 2 = = −3;

Z

2

22

2

x 2 + 6 x = 8;

D = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 8) = 68;

x 2 + 6 x − 8 = 0;

− 6 + 2 17 − 6 − 2 17 = −3 + 17 beb x 2 = = −3 − 17 beb 2 2 x 2 + 6 x = −3; x 2 + 6 x + 3 = 0; D = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 24;

x1 =

−6−2 6 = −3 − 6 . 2 2 − 2 − 5 = t ⇒ t 2 − 2t − 3 = 0; [ H[hagZqbf 2+4 t1 = D = (−2) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 3) = 16; =3 beb t2 = 2 − 4 = −1; 2 2 2 2 2 x − 2 x − 5 = 3; x − 2 x − 8 = 0; D = (−2) − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 8) = 36; x3 =

x1 =

−6+2 6 = −3 + 6 2

beb

2+6 =4 2

x2 =

beb

x4 =

\

o

o

2−6 = −2; 2

beb

D = (−2) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 4) = 20;

x 2 − 2 x − 4 = 0;

beb

x4 =

x3 =

x 2 − 2 x − 5 = −1; 2+2 5 = 1+ 5 2

2−2 5 = 1 − 5. 2

H[hagZqbf

x 2 + 3 x − 25 = t ⇒ t 2 − 2t + 7 = 0;

D = (−2) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 7 < 0.

H[hagZqbf D = (−1) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 12) = 49;

(y + 2)2 = t ⇒ t 2 − t − 12 = 0;

]

t1 =

1+ 7 =4 2

beb

t2 =

1− 7 = −3; 2

(y + 2)2 = 4; y 2 + 4 y = 0; y(y + 4) = 0; m1  beb m2=–4; beb (y + 2)2 = −3 g_l j_r_gbc ^ H[hagZqbf x 2 + 2 x + 1 = t ⇒ (t − 1)(t + 1) = 3; t1 = 2 beb t2 = −2; ( x + 1) 2 = 2; x = −1+ 2 beb x = −1− 2 ; beb ( x + 1) 2 = −2 ² g_l dhjg_c _ H[hagZqbf x 2 − x = t ⇒ (t − 16)(t + 2) = 88; t 2 − 14t − 120 = 0; D = (−14) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 120) = 676; t2 =

14 − 26 = −6; 2

t1 =

14 + 26 = 20 2

beb

23

x 2 − x = 20;

D = (−1) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 20) = 81;

x 2 − x − 20 = 0;

1+ 9 1− 9 = 5 beb x 2 = = −4; beb x 2 − x = −6; x 2 − x + 6 = 0; 2 2 D = (−1) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = −23 < 0 ² g_l dhjg_c x1 =

` H[hagZqbf

2 2 x 2 + 7 x = t ⇒ (t − 8 )(t − 3) − 6 = 0; t − 11t + 18 = 0; 11 + 7 11 − 7 D = (−11) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 18 = 49; t1 = =9; t2 = = 2; 2 2 2 x 2 + 7 x − 9 = 0; D = 7 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 9) = 121; 2 x 2 + 7 x = 9;

−7 + 11 =1 2

x2 =

beb

−7 − 11 = −4,5; 2

beb

D = 7 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 2) = 33;

2 x 2 + 7 x − 2 = 0; x3 =

x1 =

x4 =

2 x 2 + 7 x = 2; − 7 + 65 4

beb

− 7 − 65 . 4

296*. x 2 +1 =t x

Z H[hagZqbf 1 5 t + − = 0; t 2

Lh]^Z



2t 2 + 2 − 5t = 0, 2t

x 2 +1 1 = ; x 2

2) 2

[ H[hagZqbf

(x ≠ 0);

x 2 +1 =

 1 D =  −  − 4 ⋅1 ⋅ 1 < 0  2

²

J_rbf

mjZ\g_gb_

5±3 , t1 4



beb t 2 = 1 . 2

o

o

x 2 − 2 x + 1 = 0; ( −1)2=0, =1.

1 x (x ≠ 0 ); 2

x2 −

1 x + 1 = 0; 2

dhjg_c g_l

x2 + 2 = t. 3x − 2

Lh]^Z

3t 2 − 8t − 3 = 0; 3t 2 − 3 − 8t = 0; 8 ± 10 1 t= , t2  beb t1 = − . 6 3 24

1 5 t+ = ; t 2

t ≠ 0.

2t 2 − 5t + 2 = 0; D = (−5) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 9; t = x 2 +1 = 2; x 2 + 1 = 2 x 1) x

1 1 t+ =2 ; t 2

1 2 t− =2 ; t 3

1 8 t − − = 0; t 3

D = (−8) 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−3) = 100;

x2 + 2 = 3; 3x − 2

1)

D = (−9) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 8 = 49; x = x2 + 2 1 = ; 3x − 2 3

2)

2   x ≠ ; 3 

x 2 + 2 = 9x − 6 9±7 , 2

o  beb o =1. 2

x 2 + 2 = −x +

D = 3 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 4 = −39 < 0

²

x 2 − 9 x + 8 = 0;

1

2 3

g_l dhjg_c

2   x ≠ ; 3 

3x 2 + 3x + 4 = 0;

297.

Z H[hagZqbf 9+3 t1 = = 6 beb 2

x2 = − 6 ;

D = (−9) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 18 = 9;

x 2 = t ⇒ t 2 − 9t + 18 = 0; 9−3 t2 = = 3; x 2 = 6, 2

x 2 = 3,

hldm^Z

hldm^Z

x1 = 6

beb

x3 = 3

beb

x 4 = − 3;

− 6 − 3 + 6 + 3 = 0.

[ H[hagZqbf x 2 = t ⇒ t 2 + 3t − 10 = 0; D = 32 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 10) = 49; −3 + 7 −3 − 7 t1 = = 2 beb t 2 = = −5; x 2 = 2  hldm^Z x1 = 2 beb 2

2

g_l dhjg_c H[hagZqbf

x 2 = − 2 ; x = −5 2

\

²

D = (−12) 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 1 = 128; t2 =

t1 =

( )

2 + − 2 = 0. x 2 = t ⇒ 4t 2 − 12t + 1 = 0; 12 + 8 2 = 1,5 + 2 8

12 − 8 2 = 1,5 − 2 ; x 2 = 1,5 + 2 , 8

x 2 = − 1,5 + 2 ;

x 2 = 1,5 − 2 ,

hldm^Z

hldm^Z

x1 = 1,5 + 2

x 3 = 1,5 − 2

beb beb beb

x 4 = − 1,5 − 2 ;

1,5 + 2 − 1,5 + 2 +  1,5 − 2 − 1,5 − 2  = 0.   ] H[hagZqbf y 2 = t ⇒ 12t 2 − t − 1 = 0; 1+ 7 1 t1 = D = (−1) 2 − 4 ⋅ 12 ⋅ (− 1) = 49; = beb t2 = 1 − 7 = − 1 ; 24 4 24 3

25

y2 =

g_c

1 , 3

hldm^Z

y1 =

1 3

beb

y2 = −

1 3



beb

y2 = −

1 , 4

²

g_l dhj-

1 1 − = 0. 3 3

298*.

Z

Ih^klZ\bf 4

3+ 5

\

mjZ\g_gb_

2

 3 + 5  − 6 3 + 5  + 3 = 0.        

(3 + 5 ) − 6(3 + 5 )+ 3 = 9 + 6 2

[

Ih^klZ\bf 4

5 + 5 − 18 − 6 5 + 3 = −1 ≠ 0. 5− 2

\

mjZ\g_gb_

2

 5 − 2  − 10 5 − 2  + 23 = 0.        

(5 − 2 )

2

(

)

− 10 5 − 2 + 23 = 25 − 10 2 + 2 − 50 + 10 2 + 23 = 0.

299*.

MjZ\g_gb_ g_ bf__l dhjg_c _keb ihke_ aZf_gu khhl\_lkl\mxs__ _fm d\Z^jZlgh_ mjZ\g_gb_ g_ bf__l g_hljbpZl_evguo dhjg_c H[hagZqbf b=x2. Z  W  − W  + F = g_ bf__l dhjg_c ijb D<0; D=144–4c ijb 



4c>144, c>36.

ijb D ≥ 0 bf__l dhjgb t = 12 ± D . Ijb 2 D ≥ 0 h[Z hgb hljbpZl_evgufb [ulv g_ fh]ml HdhgqZl_evgh c>36. [  t 2 + ct + 100 = 0 g_ bf__l dhjg_c ijb D < 0; D = c 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 100 < 0 ijb c 2 < 400, −20 < c < 20. −c± D 2) t 2 + ct + 100 = 0 ijb D ≥ 0 bf__l dhjgb t = . Ijb 2) t 2 − 12t 2 + c = 0

2

c≤0 c! c>

h^bg ba dhjg_c h[yaZl_evgh g_hljbpZl_e_g (− c + D ≥ 0); ijb bf__f − c + D < 0, c > D  gh D = c 2 − 400 < c 2 , ihwlhfm D \k_]^Z BlZd c! HdhgqZl_evgh c>–20.

26

300*.

MjZ\g_gb_ bf__l dhjgb _keb ihke_ aZf_gu khhl\_lkl\mxs__ d\Z^jZlgh_ mjZ\g_gb_ bf__l g_hljbpZl_evgu_ dhjgb t 2 − 13t + k = 0 bf__l dhjgb ijb D = (−13) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ k ≥ 0, l_ ijb k ≤ 169 ; hgb jZ\gu 4

13 ± D , 2

b ohly [u h^bg ba gbo iheh`bl_e_g Z MjZ\g_gb_ bf__l q_luj_ jZaebqguo dhjgy _keb h[Z dhjgy khhl\_lkl\mxs_]h d\Z^jZlgh]h mjZ\g_gby iheh`bl_evgu b jZaebqgu l_ D! l_ 13 − D > 0; 13 − 169 − 4k > 0; 13 > 169 − 4k ; 169 169 > 169 − 4 k ; 4 k > 0; k > 0; hdhgqZl_evgh 0 < k < . 4 [ MjZ\g_gb_ bf__l ^\Z dhjgy _keb h^bg ba dhjg_c khhl\_lkl\mxs_]h d\Z^jZlgh]h mjZ\g_gby hljbpZl_e_g Z \h \lhjhc g_hljbpZl_e_g l_ 13 − D < 0; l_ 13 < 169 − 4k ; l_ ±k>0, k eb[h dh]^Z D  l_ k = 169 . t=

4

301*.

Z K^_eZ_f aZf_gm t=x2. JZkkfhljbf d\Z^jZlguc lj_oqe_g t 2 − 20t + 64; j_rbf mjZ\g_gb_ t 2 − 20t + 64 = 0. 20 ± 12 , t1  beb t2  Ihwlhfm D = (−20) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 64 = 144; t = 2

t 2 − 20t + 64 = (t − 16 )(t − 4 );

(x

2

)(

)

− 16 x 2 − 4 = (x + 4 )(x − 4 )(x + 2 )(x − 2 ).

[ t=x . J_rbf mjZ\g_gb_ t 2 − 17t + 16 = 0; D=(−17)2–4⋅1⋅16=225; 17 ± 15 t= ; t1  beb t2=1. Ihwlhfm t 2 − 17t + 16 = (t − 16 )(t − 1); 2

2 x − 16 x 2 − 1 = (x + 4 )(x − 4 )(x + 1)(x − 1).

(

2

\

)(

)

t=x2.

J_rbf

mjZ\g_gb_ 5 ± 13 t= ; t1  beb

t 2 − 5t − 36 = 0;

t1 ± Ihwlhfm 2 t 2 − 5t − 36 = (t − 9 )(t + 4 ); x 2 − 9 x 2 + 4 = (x + 3)(x − 3) x 2 + 4 .

D=(−5)2−4⋅1⋅(−36)=169;

(

)(

)

(

)

27

]

J_rbf

t=x2.

D = (−3) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−4) = 25;

mjZ\g_gb_ 3±5 t= ; t1  beb

t 2 − 3t − 4 = 0;

2 2 2 2 t − 3t − 4 = 0; x − 4 x + 1 = (x + 2 )(x − 2 ) x 2 + 1 .

(

)(

^ J_rbf mjZ\g_gb_

)

(

9t − 10t + 1 = 0; 2

)

t 2 = −1.

Ihwlhfm

D = (−10) 2 − 4 ⋅ 9 ⋅ 1 = 64;

10 ± 8 1  1 ; t1 = 1 beb t 2 = . Ihwlhfm 9t2–10t+1=9(t–1)  t − ; 18 9  9 1 1 1       9 x 2 − 1  x 2 −  = 9(x + 1)(x − 1) x +  x −  =(x+1)(x−1)(3x+1)(3x−1) 9 3  3   t=

(

)

_

t=x2.

J_rbf

D = (−17) 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 225;

mjZ\g_gb_ 17 ± 15 t= ; t1  beb 8

4t 2 − 17t + 4 = 0; 1 t 2 = . Ihwlhfm 4t2– 4

 1 17t+4=4(t–4)  t − ;  4

(

)

1 1  1   4 x 2 − 4  x 2 −  = 4(x + 2 )(x − 2 ) x +  x −  = (x+2)(x−2)(2x+1)(2x−1) 4 2 2    

302.

Z

 y = − x 2 − x,   y = x − 10.

=jZnbd nmgdpbb y = − x 2 − x − iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \gba ld dhwnnbpb_gl ijb x 2 hljbpZl_e_g  −1 b 1 =− =− ;  GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu x < = − 2a 2 ⋅ (− 1) 2 

2

 1  1 1 y B = − −  −  −  = ;  2  2 4 3) 0 x −2 −1 0 0 y −2

1 –2

2 –6

HklZevgu_ lhqdb bf kbff_ljbqgu hlghkbl_evgh ijyfhc

1 x=− . 2 

=jZnbd nmgdpbb y=x–10 − ijyfZy x y

28

0 –10

5 −5

§ ±  §± ± 

[  =jZnbd nmgdpbb (x − 2)2 + y 2 = 9 − hdjm`ghklv k p_gljhf \   b jZ^bmkhf  2  =jZnbd nmgdpbb y = x − 4 x + 4 − iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \\_jo  GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu x < = − b = − −4 = 2; 2a

y B = 4 − 8 + 4 = 0; 4) x −2 y 16

–1 9

0 4

1 1

2 0

3 1

4 4

2 ⋅1 5 9

§   §  

\  =jZnbd nmgdpbb  b jZ^bmkhf 

x 2 + y 2 = 25 − hdjm`ghklv k p_gljhf \ 

29

=jZnbd nmgdpbb y = 2 x 2 − 14 − iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \\_jo  GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu x < = − b = − 0 = 0; 

2a

y B = −14; 4) x y

–3 4

–2 –6

–1 –12

0 −14

1 –12

2 –6

2⋅2

3 4

§   §±   § ±  §± ± 

]  =jZnbd nmgdpbb x2+y2=10 − hdjm`ghklv k p_gljhf \   b jZ^bmkhf 10 .  =jZnbd nmgdpbb xy=3 − ]bi_j[heZ m dhlhjhc \_l\b jZkiheh`_gu \ , b ,,, q_l\_jlyo 3)

x y

−3 −1

−2 −1,5

−1 −3

1 3

1,5 2

2 1,5

§± ±  §± ±  §   §  

y

0

30

1

x

3 1

^  =jZnbd nmgdpbb x+y=8 − ijyfZy



 =jZnbd nmgdpbb b jZ^bmkhf 

x 0 4 y 8 4 2 2 x+1) +y =81 − hdjm`ghklv

k p_gljhf \ ±

(8; 0); (–1; 9).

y

x 0

1

_  =jZnbd nmgdpbb y=–x2+4 − iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \gba b  GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu x\= − = 0; y\=4. 2a

y

0

3)

,,

x y

−2 0

−1 3

 =jZnbdhf nmgdpbb q_l\_jl_c

0 4 y=|x_

1

x

1 3

2 0

y\ey_lky h[t_^_g_gb_ [bkk_dljbk , b

§   §±  

303*.

Z I_j\h_ mjZ\g_gb_ y = x 2 + 11; \lhjh_ mjZ\g_gb_ y = − x 2 + 4. =jZnbd i_j\hc nmgdpbb ihemqZ_lky ba ]jZnbdZ nmgdpbb y = x 2 k^\b]hf \\_jo gZ  _^bgbp \lhjZy ² ba y = − x 2 k^\b]hf \\_jo gZ  _^bgbpu Ld hgb g_ i_j_k_dZxlky lh j_r_gbc g_l 31

[ I_j\h_ mjZ\g_gb_ ² wlh mjZ\g_gb_ hdjm`ghklb k p_gljhf b jZ^bmkhf  \lhjh_ ² mjZ\g_gb_ hdjm`ghklb k p_gljhf   b jZ^bmkhf  LZd dZd hdjm`ghklb g_ bf_xl h[sbo lhq_d lh j_r_gbc g_l ± ±

\
304*.

I_j\h_ mjZ\g_gb_ aZ^Z_l hdjm`ghklv k p_gljhf   b jZ^bmkhf ihemqZxsmxky ba iZjZ[heu

r
32

< aZ\bkbfhklb hl r kbkl_fZ fh`_l bf_lv     j_r_gbc 305*.

=jZnbdhf i_j\h]h mjZ\g_gby y\ey_lky hdjm`ghklv k p_gljhf  5  \lhjh]h ² ijyfZy y=x–m ihemqZxsmxky ba  b jZ^bmkhf [bkk_dljbku , b ,,, dhhj^bgZlguo m]eh\ k^\b]hf gZ ±m ih \_jlbdZeb Z Kbkl_fZ bf__l h^gh j_r_gb_ dh]^Z mjZ\g_gb_ x2+(o–m)2=5 x 2 + x 2 − 2mx + m 2 − 5 = 0; bf__l h^gh j_r_gb_ 2 x 2 − 2mx + m 2 − 5 = 0; D = ( −2m ) 2 − 4 ⋅ 2(m 2 − 5). MjZ\g_gb_ bf__l _^bgkl\_ggh_ j_r_gb_ ijb D  l_ 4m 2 − 8(m 2 − 5) = 0; − 4m 2 + 40 = 0; m 2 =

40 = 10; m = ± 10 . 4

[ Kbkl_fZ bf__l ^\Z j_r_gby dh]^Z mjZ\g_gb_ x2+(o–m)2=5 bf__l ^\Z j_r_gby L_ ijb D>0 D = −4m 2 + 40 > 0, l_ m 2 < 10, hldm^Z − 10 < m < 10 . 33

306.  x = −3 y − 1,  (− 3 y − 1)2 + 2 y (− 3 y − 1) + y − 3 = 0;  x = −3 y − 1,  x = −3 y − 1,   2 2 9 y + 6 y + 1 − 6 y − 2 y + y − 3 = 0; 3 y 2 + 5 y − 2 = 0.

Z

J_rbf mjZ\g_gb_ 3 y 2 + 5 y − 2 = 0. −5 + 7 1 −5 − 7 y2 = = beb y1 = = −2; 6

D = 52 − 4 ⋅ 3 ⋅ (− 2) = 49;

6

3

1   y1 = −2,  y2 = , 3 beb    x1 = 5;  x2 = −2;   y = 2 x − 1, [   x(2 x − 1) − (2 x − 1)2 + 3 x + 1 = 0;  y = 2 x − 1,  2 2 x − x − 4 x 2 + 4 x − 1 + 3 x + 1 = 0;

 y = 2 x − 1,  y = 2x − 1   2 − 2 x + 6 x = 0  x( x − 3) = 0

x = 3,  x1 = 0, beb  2   y1 = −1;  y 2 = 5.  y = 11 − 2 x, \  2 x + 5(11 − 2 x ) − (11 − 2 x )2 − 6 = 0;  y = 11 − 2 x,  2 x + 55 − 10 x − 121 + 44 x − 4 x 2 − 6 = 0;

 y = 11 − 2 x,  − 4 x 2 + 36 x − 72 = 0;

 y = 11 − 2 x  2  x − 9 x + 18 = 0

J_rbf mjZ\g_gb_ x 2 − 9 x + 18 = 0; 9+3 9−3 x2 = = 6 beb x1 = = 3; 2  x2 = 6,   y2 = −1;

34

beb

2  x1 = 6,   y1 = 5.

D = (−9) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 18 = 9;

2(4 + y )2 − 3 y 2 − 5(4 + y ) − 2 y − 26 = 0,   x = 4 + y;

]

32 + 16 y + 2 y 2 − 3 y 2 − 20 − 5 y − 2 y − 26 = 0,   x = 4 + y;

J_rbf mjZ\g_gb_ y 2 − 9 y + 14 = 0; 9+5 9−5 y2 = = 7 beb y1 = = 2; 2  y2 = 7,   x2 = 11;

^

 y 2 − 9 y + 14 = 0,   x = 4 + y.

D = (−9) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 14 = 25;

2

beb

 y1 = 2,   x1 = 6.

4 x 2 − 9 y 2 + x − 40 y = 19,  2 x = 3 y + 5;

4(1,5 y + 2,5)2 − 9 y 2 + 1,5 y + 2,5 − 40 y − 19 = 0,   x = 1,5 y + 2,5; 9 y 2 + 30 y + 25 − 9 y 2 + 1,5 y + 2,5 − 40 y − 19 = 0,   x = 1,5 y + 2,5; − 8,5 y = −8,5,  y = 1,    x = 1,5 y + 2,5;  x = 4. 2 2  _ 3( − 2) + + 8( − 2) + 13 − 5 = 0,  = − 2;

m

m o m

m

m

m

3 2 − 12 + 12 +   = − 2.

o m

m

m 2 + 8 m − 16 + 13 m − 5 = 0,

J_rbf mjZ\g_gb_ 4 m + 9 m − 9 = 0; m2 = −9 + 15 = 3 beb m1 = −9 − 15 = −3; 2

8

    

m2

3 = , 4

o2 = −1 41.

m

o m

D = 9 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ (− 9) = 225;

8

4

beb

m

4 2 + 9 − 9 = 0,   = − 2.

  

m1 = −3, o1 = −5;

35

307.

o m m m m(m + 4) − 3 = 0; o m  o = m + 4, x = y + 4  2 2 m m m m − 8 m − 3 = 0; − m − 4 m = 0;  y( y + 4) = 0 m = −4,  m1 = 0, beb  2   o1 = 4;  o 2 = 0. m = o + 1, [  (2 o + 3)(o − 1) − o(o + 1) − 1 = 0;  m = o + 1,  y = x + 1  m = o + 1,   2  2 2 o + 3 o − 2 o − 3 − o − o − 1 = 0;  o 2 − 4 = 0; ( x + 2)( x − 2) = 0 o = −2,  o2 = 2, beb  1   m2 = 3;  m1 = −1. m = 2 o − 5, \  (o + 1)(2 o − 1) − 2 o(2 o − 5) + 1 = 0;  m = 2 o − 5,  m = 2 o − 5,   2 2 2 o + 2 o − o − 1 − 4 o + 10 o = 1 = 0; − 2 o 2 + 11o = 0;  = + 4,  ( + 3)( + 1) − 2  = + 4,  2  + 3 + + 3 − 2

Z

 y = 2x − 5   x(2 x − 11) = 0  1 = 0, beb     1 = −5;

o m

]

o

m

 = 1 − ,  − ( + 5) −

o 2 = 5,5, m 2 = 6.

o

m

 = 1 − ,  + 12 = 0 − 2 − 5 −

mm m  o = 1 − m,  − 2 m 2 − 5 m + 12 = 0; 2

m

m m 2 + 12 = 0;

 x = 1 − y  2 2 y + 5 y − 12 = 0

J_rbf mjZ\g_gb_ 2 m 2 + 5 m − 12 = 0; m2 = −5 + 11 = 1,5 beb m1 = −5 − 11 = −4 4

36

4

D = 52 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 12) = 121;

  

m2 = 1,5, beb  m1 = −4, o2 = −0,5;  o1 = 5.

308.

Z

 12  2  −  +    12   =− ; 

m

o

m o

m

m

m 2 = 40,  m 2 + m 2 − 40 = 0,   o = − 12 ;  m 144



 4 − 40 2 = 144 = 0,  12   =− ; 

m

J_rbf mjZ\g_gb_

m − 40 m + 144 = 0. 4

2

144 + y 4 − 40 y 2 = 0   12 x = − y 

H[hagZqbf

t 2 − 40t + 144 = 0; D = (−40) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 144 = 1024; t1 = 40 − 32 = 4 ⇒ m2 2  1 = 6,  2 = −6,    1 = −2;  2 = 2;

t2 =

m o

[

o

m o

m

beb

= 36

  

m

2

m =t

⇒

40 + 32 = 36 2

beb

2

=4.

m 3 = 2,  m 4 = −2, o3 = −6;  o 4 = 6.

 2 = 228 − 2 2 ,  3 228 − 2 2 − 2

(

m ) m 2 − 172 = 0;  x 2 = 228 − 2 y 2  o 2 = 228 − 2 m 2 ,  o 2 = 228 − 2 m 2 ,    684 − 6 m 2 − 2 m 2 − 172 = 0; − 8 y 2 + 512 = 0  m 2 = 64;  m = −8,  m = 8, beb  2  2  o = 100;  o = 100  o1 = 10,  o 2 = −10,  o 3 = −10,  o 4 = −10,      m1 = 8;  m 2 = 8;  m 3 = −8;  m 4 = −8;

309.

Z

(

)

 x 2 + 3 x − 4 2 x − x 2 − 5 − 20 = 0,   y = 2 x − x 2 − 5; 37

 x 2 + 3 x − 8 x + 4 x 2 + 20 − 20 = 0,   y = 2 x − x 2 − 5;

5 x 2 − 5 x = 0,   y = 2 x − x 2 − 5;

 x( x − 1) = 0   y = 2 x − x 2 − 5  x1 = 0,   y1 = −5;

[

beb

 x2 = 1,   y2 = −4;

3 x = y − y 2 + 1,  2  y + 6 x − 2 y = 1;

 y − y 2 +1 , x =  3  2  2 6 y − y +1 − 2 y − 1 = 0;  y + 3

(

)

 y − y2 + 1 x = 3  y2 + 2 y − 2 y2 − 2y −1 = 0 

 y − y 2 +1 , x = 3   y 2 = 1;   y2 = 1,   1  x2 = 3 ; 

beb

 y1 = −1,   1  x1 = − 3 . 

310.  x + y + xy = 5, 2 y = −8,  y = −4  y = −4,     x − y + xy = 13 ; x + y + xy = 5 ; x − 4 − 4 x = 5     x = −3; 2 x + 2 xy + 2 y = 20, 3 xy = 22, [    xy − 2 x − 2 y = 2;  xy − 2 x − 2 y = 2; 22  22  x = 3 y ,  x = 3 y ,    22 y − 2 ⋅ 22 − 2 y − 2 = 0; 22 y − 44 − 6 y 2 − 6 y = 0;   3 y 3y

Z

38

22  x = 3 y  3 y 2 − 8 y + 22 = 0 

J_rbf

mjZ\g_gb_ 2 D = (−8) − 4 ⋅ 3 ⋅ 22 = −200 < 0  G_l dhjg_c 311*.

Z (x + y )(x − y ) = 0 ⇒ x + y = 0 beb kbkl_fu

x − y = 0.

3 y 2 − 8 y + 22 = 0;

Ihemqbf ^\_ gh\uo

 x 2 = 1,  x − y = 0,  x = y, 1)    2 x − y = 1; 2 y − y = 1;  y 2 = 1. 1   x1 = 3 ,  y = − 1 ;  1 3 (x − 7 y )(x + 7 y ) = 0 ⇒ x − 7 y = 0 beb x + 7 y = 0.

 x + y = 0,  x = − y, 2)   2 x − y = 1; − 2 y − y = 1;

[ gh\u_ kbkl_fu 1)

 x 2 + y 2 = 100;  x 2 + y 2 = 100;    x + 7 y = 0;  x = −7 y;

Ihemqbf ^\_

(− 7 y )2 + y 2 = 100;   x = −7 y;

49 y 2 + y 2 = 100   x = −7 y

J_rbf i_j\h_ mjZ\g_gb_ y = 2 beb y = − 2 . Hlkx^Z

 y2 = 2 ,   x2 = 7 2

 x 2 + y 2 = 100; 2)   x − 7 y = 0;

beb

49 y 2 + y 2 = 100; 50 y 2 = 100; y 2 = 2;

 y1 = − 2 ,   x1 = −7 2

(7 y )2 + y 2 = 100;   x = 7 y;

Ba i_j\h]h mjZ\g_gby

y= 2

beb

49 y 2 + y 2 = 100   x = 7 y

y = − 2.

Hldm^Z

39

 y 3 = 2 , y = − 2, beb  4   x 4 = 7 2  x 3 = −7 2 \ (x − 3)(y − 5) = 0 ⇒ x − 3 = 0

kbkl_fu

beb

y − 5 = 0.

IhemqZ_f ^\_ gh\u_

 x 2 + y 2 = 25,  x 3 = 0, 1)    y = 5;  y 3 = 5.  x 2 + y 2 = 25, 2)   x = 3;

 y 2 = 16,  y1 = 4,    x = 3;  x1 = 3

] x(y + 1) = 0 ⇒ x = 0 beb

y = − 1.

beb

IhemqZ_f ^\_ gh\u_ kbkl_fu

 x 2 − y 2 = 50,  x 2 = 51,  x1 = 51, 2)     y = −1;  y = −1;  y1 = −1;

m.

 x 2 − y 2 = 50, 2)   x = 0;

− y 2 = 50,   x = 0;

312.

Z Ba \lhjh]h mjZ\g_gby gb_

²

beb

 x 2 = − 51, 1   y 2 = −1.

dhjg_c g_l ld ±m2≤ ijb \k_o

y = 2 x − 5;

1 1 1 + = ; x 2x − 5 6

 y 2 = −4,   x 2 = 3.

ih^klZ\bf \ i_j\h_ mjZ\g_6(2 x − 5) + 6 x − x(2 x − 5) = 0; 6 x(2 x − 5)

5  2 x 2 − 23x + 30 = 0;  x ≠ 0; x ≠ ; 2  23 ± 17 3 D = (−23) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 30 = 289; x = ; x2 = 10 ; x1 = − . HdhgqZ2 4

12 x − 30 + 6 x − 2 x 2 + 5 x = 0;

l_evgh

3 3    x1 = − ,  x1 = − , beb  2 2   y1 = 2 x − 5;  y1 = −8. mjZ\g_gby x = 14 − 2 y, ih^klZ\bf \ i_j\h_

 x2 = 10,  x2 = 10,    y2 = 2 x − 5;  y2 = 15.

[ Ba \lhjh]h gb_

1 1 1 1 1 1 − = − = ; ; 14 − 2 y y 20 2(7 − y ) y 2 ⋅10

40

mjZ\g_-

10 y − 20(7 − y ) − y (7 − y ) = 0; 2 ⋅10 y (7 − y )

(y ≠ 0, y ≠ 7 ); y=

y 2 + 23 y − 140 = 0;

10 y − 140 + 20 y − 7 y + y 2 = 0;

D = 232 + 4 ⋅ 1 ⋅ (−140) = 1089;

−23 ± 33 ; 2  beb 1 ± HdhgqZl_evgh 2 y = −28,  y2 = 5,  y2 = 5,  y1 = −28, beb  1     x2 = 14 − 2 y;  x2 = 4.  x1 = 14 − 2 y;  x1 = 70.

m

\ H[hagZqbf

m

x =t y

Lh]^Z ba \lhjh]h mjZ\g_gby

12t 2 + 12 − 25t =0 12t

D = (−5) 2 − 4 ⋅ 12 ⋅ 12 = 49; t =

(t ≠ 0); 25 ± 7 4 ; t1 = 24 3

1 25 t+ = ; t 12

12t 2 − 25t + 12 = 0;

beb t2 = 3 . Bf__f 4

4  4   x = 3 y,  x = y ,  x1 = 8, beb 3     y1 = 6 .  y + 4 y = 14;  y = 6;   3 3  x 3 3   x = 4 y,  x = y ,  x 2 = 6,  = , y 4 4      y 2 = 8.  x + y = 14;  y + 3 y = 14;  y = 8;   4 x ] H[hagZqbf = t  Lh]^Z ba \lhjh]h mjZ\g_gby t − 1 = 5 ; t 6 y x 4  = , y 3  x + y = 14; 

6t 2 − 6 − 5t = 0; 6t 2 − 5t − 6 = 0 (t ≠ 0); D = (−5) 2 − 4 ⋅ 6 ⋅ (−6) = 169; 6t 5 ± 13 2 3 t= ; t1 = beb t 2 = − . Bf__f 12 3 2

41

2   x = − 3 y,  − 2 y − y = 2;  3 3 3    x = 2 y,  x = 2 y ,  x1 = 6,     3 y − y = 2;  1 y = 2;  y1 = 4.  2  2 2 x  =− , y 3   x − y = 2; 

2   x = − 3 y,  − 5 y = 2;  3

4  x 3  x 2 = 5 ,  = , y 2   y = − 6 .  x − y = 2;  2 5 

beb

313*.


J_rbf mjZ\g_gb_ \=

− ± 





m =–6; m 2

1 

y 2 + 4 y − 12 = 0;

D = 4 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−12) = 64;

Bf__f

 y = −6,  y = −6,   3 x − 4 y = −2, 3 x + 24 = −2,  2  2 2 2  x − y − x + y = 100;  x − y − x + y = 100;    y = −6, 26  , x = − 3   26  2 26   − 36 + − 6 = 100.  3  3

Gh  26   3 

2

+

 y = 2,  3 x − 4 y = −2,  2 2  x − y − x + y = 100; 42

m

26 − 42 ≠ 100  agZqbl ≠−6 3

 y = 2,   x = 2,  2 2  x − y − x + y = 100;

Gh gbc

2 2 − 2 2 − 2 + 2 ≠ 100,

ke_^h\Zl_evgh kbkl_fZ g_ bf__l j_r_-

314*.

J_rbf kgZqZeZ kbkl_fm

 x + y = 7,  x + y = 7,  x + 2 x − 2 = 7,    2 x − y = 2;  y = 2 x − 2;  y = 2 x − 2; 5   x = 3 , 3 x = 5,    y = 2 x − 2;  y = 4 .  3

M wlbo ^\mo nmgdpbc lhevdh h^gZ h[sZy lhqdZ _keb \k_ ljb ]jZnbdZ bf_xl h[sb_ lhqdb lh wlh ^he`gZ [ulv gZc^_ggZy lhqdZ 2 Ijh\_jbf  5  + 5 ⋅ 4 − 4 = 17 ≠ 1  AgZqbl g_ kms_kl\m_l h[s_c 3

3 3

lhqdb ^ey lj_o ]jZnbdh\

3

9

315*.

Z Keh`bf b \uql_f mjZ\g_gby

2 x 2 + 2 x = 24, ( x − 3)( x + 4) = 0,  2  2 y + 2 y = 12; ( y − 2)( y + 3) = 0;  x1 = 3,  x 2 = 3,  x 3 = −4,  x 4 = −4,      y1 = 2.  y 2 = −3  y 3 = 2.  y 4 = −3

[ H[hagZqbf om q_j_a

t ba i_j\h]h mjZ\g_gby t 2 + t − 72 = 0; −1 ± 17 ; t1=–9; t2  IhemqZ_f ^\_ kbkl_fu D=12−4Â1⋅(−72)=289; t = 2  xy = −9;  x(6 − x ) = −9; − x 2 + 6 x + 9 = 0;  x 2 − 6 x − 9 = 0 1)      y = 6 − x  y = 6 − x;  x + y = 6;  y = 6 − x;

J_rbf mjZ\g_gb_

x=

x 2 − 6 x − 9 = 0;

D = (−6) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−9) = 72;

6±6 2 ; x2 = 3 + 3 2 beb x1 = 3 − 3 2 ; 2  x2 = 3 + 3 2 , x = 3 − 3 2, beb  1   y2 = 3 − 3 2 ;  y1 = 3 + 3 2 .

hldm^Z

43

 x(6 − x ) = 8; 6 x − x 2 = 8  x 2 − 6 x + 8 = 0  xy = 8; 2)      y = 6 − x;  y = 6 − x  x + y = 6;  y = 6 − x; 6±2 x 2 − 6 x + 8 = 0; D = (−6) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 8 = 4; x = ; x3  beb x4=2. 2 x = 2,  x 3 = 4, beb  4   y 4 = 4.  y3 = 2

\ H[hagZqbf x+y=t Lh]^Z ba i_j\h]h mjZ\g_gby t1=5, t2 ± IhemqZ_f ^\_ gh\uo kbkl_fu g_l

 x + y = −3;  x = − y − 3; 1)    xy = 14; (− y − 3) y − 14 = 0;

2)

 x + y = 5;   xy = 6;

 x = 5 − y;  (5 − y ) y − 6 = 0;

 x = − y − 3;  2  y + 3 y + 14 = 0;  x = 5 − y;  2  y − 5 y + 6 = 0;

t2–2t–15=0;

²

dhjg_c

 x2 = 3,   y2 = 2;

 x1 = 2,   y1 = 3;

] H[hagZqbf x+y=t Lh]^Z ba i_j\h]h mjZ\g_gby t2–4t–45=0; t1=9, t2 ± H[hagZqbf x–y=z Lh]^Z ba \lhjh]h mjZ\g_gby z2–2z– 3=0; z1=3, z2 ±
HdhgqZl_evgh

 x1 = 6;  x 2 = 4;  x 3 = −1;  x 4 = −3;      y1 = 3;  y 2 = 5;  y 2 = −4;  y 4 = −2.

316*.

GZc^_f dhwnnbpb_gl ijb x 2 : –a–2a+b=8, b=8+3Z Z dhwnnbpb_gl ijb x: 2+ab=–2; ab ± Ihemqbf kbkl_fm b = 8 + 3a, b = 8 + 3a,   ab = −4; a (8 + 3a ) = −4;

J_rbf a=

mjZ\g_gb_

−8 ± 4 2 ; a2 = ; a1 = 2 3 6

44

b = 8 + 3a,  2 3a + 8a + 4 = 0;

3a 2 + 8a + 4 = 0;

D = 8 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 4 = 16;

2  a1 = −2, a2 = − , 3   b1 = 2; b = 6.  2

317.

H[hagZqb\ i_j\h_ qbkeh Z \lhjh_ ² b Bf__f kbkl_fm a + b = 5(a − b ),  2 a − b 2 = 180;

6b = 4a,  2 a − b 2 = 180;

2  b = 3 a,   2 a 2 −  2 a  = 180;  3 

2  2  b = 3 a, b = a, 3   a 2 = 180 ⋅ 9 ; a 2 = 324;   5 a = 18, a = 18,  ; a=−18 ± g_ m^h\e_l\hjy_l mkeh\bx aZ^Zqb  2 ⋅ 18  b = 3 ; b = 12.

Hl\_l  b  318.

H[hagZqb\ i_j\h_ qbkeh a Z \lhjh_ ² b Bf__f kbkl_fm ab = 15(a + b ), (100 − 2b )b = 15(100 − 2b ) + 15b,  a + 2b = 100;

 a = 100 − 2b. J_rbf mjZ\g_gb_ b2–155b+1500=0; 115 + 35 115 − 35 = 37,5 beb b1 = = 20; b2 = 4 4 b = 20, b2 = 37,5, beb  1  = a 25 ;  2 a1 = 60.

D=1152–4ÂÂ



Hl\_l  b  beb  b  319.

H[hagZqb\ i_j\h_ qbkeh a Z \lhjh_ ² b Bf__f kbkl_fm  30 + 2b  2 2 a − b = 100,  3  − b − 100 = 0,   3a − 2b = 30;  30 + 2b ; a = 3 2

2

45

900 + 120b + 4b 2 − 9b 2 − 900 = 0,   30 + 2b ; a = 3  −b(5b − 120) = 0 ; b1  beb b2=24; b1 = 0,  a1 = 10;

beb

− 5b 2 + 120b = 0,   30 + 2b ; a = 3 

b2 = 24,  a2 = 26.

Hl\_l  b  beb  b  320.

H[hagZqbf i_j\mx pbnjm qbkeZ q_j_a o Z \lhjmx ² m Lh]^Z qbkeh jZ\gh 10 x + y; bkoh^y ba mkeh\by khklZ\bf kbkl_fm  x 2 − 3 x = 0,  x = 3, 10 x + y = 4(x + y ),  y = 2 x,  10 x + y = 2 xy.

  2 x + 10 x = 4 x 2 .  y = 2 x.

  y = 6.

ijb o  qbkeh g_ y\ey_lky ^\magZqguf qlh g_ m^h\e_l\hjy_l mkeh\bx 321.

H[hagZqb\ qbkebl_ev o Z agZf_gZl_ev m ihemqbf kbkl_fm  x2 = 2,   y −1   x −1 = 1 ;  y + 1 4

 x 2 = 2(y − 1),  4 x − 4 = y + 1;

 x 2 = 2(4 x − 6 ),   y = 4 x − 5;

J_rbf mjZ\g_gb_ x 2 − 8x + 12 = 0; 8+4 8−4 x1 = = 6 beb x2 = = 2.

 x 2 − 8 x + 12 = 0,   y = 4 x − 5;

D = (−8) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 12 = 16;

2 2 x = 2,  x2 = 6, beb  1  y 19 ; =  2  y1 = 3. Hl\_l 6 , beb 2 . 19 3

322.

H[hagZqbf qbkebl_ev o Z agZf_gZl_ev m ihemqbf kbkl_fm

46

x +7  y2 =    x =  y + 6

3 , 4  y = 2 x − 6,  1 4 x + 28 = 3(2 x − 6) 2 , 2,

 y = 2 x − 6,  2 3 x − 19 x + 20 = 0.

mjZ\g_gb_ o2–19o+20=0; D=(−19)2–4⋅3⋅20=121; 19 + 11 19 − 11 4 x1 = = 5 beb x2 = = ² g_ ih^oh^bl ih mkeh\bx aZ6 6 3 ^Zqb J_rbf

 x = 5,   y = 2 ⋅ 5 − 6 = 4.

Hl\_l

5 . 4

323.

H[hagZqbf ^ebgu klhjhg ijyfhm]hevgbdZ o b m Lh]^Z ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ x 2 + y 2 = 152 = 225  b ihemqbf kbkl_fm  x 2 + y 2 = 225,  x 2 + y 2 = 225,    2(x + y )  x+ y ; x − 6 + y − 8 = ; 2(x − 6 ) + 2( y − 8) = 3 3   2 2  x 2 + y 2 = 225,  x + y = 225,   3 x + 3 y − 42 = x + y;  x + y = 21; (21 − y )2 + y 2 − 225 = 0, 441 − 42 y + y 2 + y 2 − 225 = 0    x = 21 − y  x = 21 − y; 2 y 2 − 42 y + 216 = 0,   x = 21 − y;

J_rbf mjZ\g_gb_ y 2 − 21y + 108 = 0; 21 + 3 21 − 3 y2 = = 12 beb y1 = = 9; 2  x2 = 9,   y2 = 12;

D = (−21) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 108 = 9;

2

beb

 x1 = 12,   y1 = 9.

Hl\_l  kf b  kf

47

324*.

H[hagZqbf \j_fy aZiheg_gby [Zkk_cgZ i_j\hc ljm[hc Z qZkh\ Z \lhjhc ± b qZkh\ Lh]^Z aZ  q i_j\Zy ljm[Z gZihegy_l 1 qZklv [Zk-

a 1 k_cgZ Z \lhjZy ² qZklv [Zkk_cgZ Ihemqbf kbkl_fm b b = 5 + a, b = 5 + a, b = 5 + a,    5 7,5 2 3 2  2  a + b = 1,  a + a + 5 = 5 , 10a + 50 + 15a = 2a + 10a. J_rbf mjZ\g_gb_  2–15 –50=0; D=(−15)2−4⋅2⋅(−50)=625; 15 + 25 15 − 25 5 a1 = = 10 beb a2 = = − ² g_ ih^oh^bl ih kfukem 4 4 2

Z

Z

aZ^Zqb

a = 10,  b = 5 + 10 = 15,

AZ



q kh\f_klghc jZ[hlu h[_bo ljm[ [m^_l aZiheg_gZ [Zkk_cgZ ke_^h\Zl_evgh \_kv [Zkk_cg aZihegblky aZ 

1 1 1 + = 10 15 6

q

Hl\_l  q 325.

H[hagZqbf \j_fy aZiheg_gby [Zkk_cgZ i_j\hc ljm[hc Z qZkh\ Z \lhjhc ± b qZkh\ Lh]^Z aZ  q i_j\Zy ljm[Z gZihegy_l 1 qZklv [Zka

k_cgZ Z \lhjZy ²

1 b

a = 1,5b,  2 1 1  a + 4( a + b ) = 1;

Hl\_l  q b  q 326.

qZklv [Zkk_cgZ Ihemqbf kbkl_fm a = 1,5b,  6 4  a + b = 1;

a = 1,5b, a = 12,  8  b = 8.  b = 1;

H[hagZqbf kdhjhklv i_j\h]h ih_a^Z o dfq Z \lhjh]h ² m dfq Bf__f kbkl_fm

48

270   x + y = 3 ,  270 270 21  = +1 ;  x y 60

o

 = 90 − y,  270 81  270  90 − y = y + 60 ; 

 x = 90 − y,  x = 90 − y,  10 1   10 2  90 − y = y + 20 ; 200 y = 18000 − 200 y + 90 y − y ;   x = 90 − y  2  y + 310 y − 1800 = 0

J_rbf

D=3102−4⋅1⋅(−18000)=168100; −310 − 410 = −360 2  y = 50,   x = 90 − 50 = 40.

y2 =

m +310m–18000=0;

mjZ\g_gb_

²

2

y1 =

−310 + 410 = 50 2

beb

g_ ih^oh^bl ih kfukem aZ^Zqb

Hl\_l  dfq b  dfq 327*.

H[hagZqbf kdhjhklb Z\lhfh[be_c o dfq b m dfq >h hgb ^\b]Zebkv 90 q b i_j\uc Z\lhfh[bev ijhr_e 90 x df Z \lhjhc

x+ y 90 y df Lh]^Z hklZlhd imlb jZ\guc df i_j\uc Z\lhfh[bev x+ y ijhr_e aZ 90 y q Z \lhjhc ² aZ 90 x q Ihemqbf kbkl_fm x( x + y ) y( x + y) x+ y

90 y x+ y

5  90 y  x( x + y ) = 4 90 y y( x + y ) 90 ( x + y)  = ⇒ = ⇒  90 x ( x + y) 90  90 x = 4 x( x + y )  y ( x + y ) 5 + =90. u + v = 90, u = 50,   4v − 5u = 0; u = 40.

om

Hl\_l  dfq b  dfq

49

328.

H[hagZqbf x dfq ² kdhjhklv i_j\h]h lmjbklZ m dfq ² kdhjhklv \lhjh]h KgZqZeZ  qZkh\ \lhjhc lmjbkl r_e h^bg b ijhr_e jZkklhygb_ m AZl_f hgb ^\b]Zebkv h^gh\j_f_ggh ^h f_klZ \klj_qb ijhc^y Wo+Wm df ]^_ t ± \j_fy ^\b`_gby ^h \klj_qb Hl f_klZ \klj_qb \lhjhc r_e  q b ijhr_e m df Z i_j\uc ²  q b ijhr_e x df Ih mkeh\bx mqZklhd ^ebgghc m df i_j\uc ijhr_e aZ \j_fy 9 m = t o qZkh\ Z \lhjhc aZ wlh `_ \j_fy ijhr_e jZkklhygb_ y–6y kh kdhjhklvx m bf__f mjZ\g_gb_ 9 y = 8 x − 6 y  LZd dZd d fhf_glm \klj_qb x

y

\lhjhc ijhr_e gZ  df [hevr_ bf__f \lhjh_ mjZ\g_gb_ x–9m=12. Ihemqbf kbkl_fm

m o m o m o m

m2

m

m

12 + 3  24 9 −6 = , 8 y 2 = 16 + 4 y + 12 y + 3 y 2 , 9  = 8 ,  4 + 3y      12 + 9 y + 3 ( 4 3 y )  = 8 − 9 = 12;  = ; 8    8 5 y 2 − 16 y − 16 = 0   12 + 9 y x = 8  J_rbf mjZ\g_gb_ y2–16y–16=0; D=(−16)2−4⋅5⋅(−16)=576; 16 + 24 16 − 24 = = 4 beb 1 = = 0,8 ² g_ ih^oh^bl ih kfukem 10 10

m

o

o

m

aZ^Zqb

 y = 4,   x = 6.

Hl\_l  dfq b  dfq 329. 3;

6;

9;

12;

…

a1 = 3;

a 5 = 3 ⋅ 5 = 15;

a10 = 3 ⋅10 = 30;

a100 = 3 ⋅100 = 300; an=3n.

330. –1; 0; –1; 0; –1; 0; –1; 0; k 2 e +1 = − 1 .

50

k10 = 0 ;

k 25 = −1 ; k 253 = −1; k 2 e = 0;

331. 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100,

a 20 = 20 2 = 400;

a 40 = 40 2 = 1600; a n = n 2 .

332.

Z a100 , a 201 , a n +1 , an , a n+ 2 , a 2n +1 [ a 70 , a99 , a n−3 , a n+ 2 , a 3n −1 333.

Z o32 , o33 , o34 ; [ o n+1 , o n+ 2 , o n+3 , o n+ 4 , o n+5 ; \ o n−3 , o n−2 , o n−1 ; ] o n−1 , o n , o n+1 . 334.

o1 = 2 ⋅1 − 1 = 1 ; o3 = 2 ⋅ 3 − 1 = 5 ; o5 = 2 ⋅ 5 − 1 = 9 ; o6 = 2 ⋅ 6 − 1 = 11 .

o4 = 2 ⋅ 4 −1 = 7 ;

Z

[

o1 = 1 + 1 = 2 ;

o2 = 2 + 1 = 5 ;

2

o 4 = 4 + 1 = 17 ; o 5 = 5 + 1 = 26 ; 2

2

\ o1 =

o5

o

1 1 = ; 2 = 1+1 2 5 5 5 = = ; 5= = 5 +1 6 5 +1

o

o 3 = 3 + 1 = 10 ;

2

2

Ë =   +  =  .

2 2 = ; 2 +1 3 5 . 6

o3 = 3 3+ 1 = 34 ; o 4 = 4 4+ 1 = 54 ;

] o1 = (− 1)1+1 ⋅ 2 = 2 ; o 2 = (− 1)2+1 ⋅ 2 = −2 ; o 3 = (− 1)3+1 ⋅ 2 = 2 ; o 4 = (− 1)4+1 ⋅ 2 = −2 ; o5 = (− 1)5+1 ⋅ 2 = 2 ; o6 = (− 1)6+1 ⋅ 2 = −2 . ^ o1 = 21−3 = 1 ; o 2 = 2 2−3 = 1 ; o5 = 2

5− 3

_

4 = 4 ; o 6 = 2 6−3 = 8 ;

2

o1 = 0,5 ⋅ 4 = 2 ;

o3 = 2

3− 3

= 1 ; o 4 = 2 4−3 = 2 ;

o 2 = 0,5 ⋅ 4 = 8 ;

1

o 3 = 0,5 ⋅ 4 = 32 ;

2

3

o 4 = 0,5 ⋅ 4 = 128 ; o 5 = 0,5 ⋅ 4 = 512 ; o 6 = 0,5 ⋅ 4 = 2048 . 4

5

6

335. b5 = 5 2 − 5 = 20 ; b10 = 10 2 − 10 = 90 ; b50 = 50 2 − 50 = 2450 .

51

336.

Z

b1+1 = b 2 = b1 + 3 = 10 + 3 = 13 ;

b2 +1 = b3 = b2 + 3 = 13 + 3 = 16 ;

b3+1 = b4 = b3 + 3 = 16 + 3 = 19 ; b4 +1 = b5 = b4 + 3 = 19 + 3 = 22 .

[

b2 = b1+1 =

b4 = b3+1 =

337. a)

b1 = 20 ; 2

b3 = b2+1 =

b2 20 = = 10 ; 2 2

b3 10 b 5 = = 5 ; b5 = b4+1 = 4 = = 2,5 . 2 2 2 2

a1 = 1 ;

a 2 = a1 + 1 = 1 + 1 = 2 ;

a3 = a2 + 1 = 2 + 1 = 3 ;

a 4 = a3 + 1 = 3 + 1 = 4 ; a5 = a 4 + 1 = 4 + 1 = 5 . [ a3 = a2 ⋅ 0,1 = a1 = 1000 ; a 2 = a1 ⋅ 0,1 = 1000 ⋅ 0,1 = 100 ; = 100 ⋅ 0,1 = 10 ; a 4 = a 3 ⋅ 0,1 = 10 ⋅ 0,1 = 1 ; a 5 = a 4 ⋅ 0,1 = 1 ⋅ 0,1 = 0,1 .

\

a1 = 16 ;

a 2 = −0,5 ⋅ a1 = −0,5 ⋅16 = −8 ;

a 3 = −0,5 ⋅ a 2 =

= −0,5 ⋅ (−8) = 4 ; a 4 = −0,5 ⋅ a 3 = −0,5 ⋅ 4 = −2 ; a 5 = −0,5 ⋅ a 4 = −0,5 ⋅ (−2 ) = 1 .

]

a1 = 3 ;

a 4 = a 3−1 = 3 −1 =

338.

Z

b1 = 5 ;

a2 =

a1−1

=3

1 1 ; a 5 = a 4−1 =   3 3

−1

1 = ; 3

a3 =

a 2−1

1 =  3

−1

= 3;

−1

= 3.

b2 = b1 + 5 = 5 + 5 = 10 ;

b3 = b2 + 5 = 10 + 5 = 15 ;

b4 = b3 + 5 = 15 + 5 = 20 .

[

b1 = 5 ;

b2 = b1 ⋅ 5 = 5 ⋅ 5 = 25 ;

b3 = b 2 ⋅ 5 = 25 ⋅ 5 = 125 ;

b4 = b3 ⋅ 5 = 125 ⋅ 5 = 625 .

339.

Bkoh^y ba mkeh\by aZibr_f kbkl_fm  x 2 + y 2 = 45,  x 2 + (2 x )2 − 45 = 0, 5 x 2 = 45   y = 2 x;

  y = 2 x;

Ih mkeh\bx x, y ! AgZqbl x=3, y=6.

52

  y = 2 x

 x 2 = 9   y = 2 x

340.

H[hagZqbf 2 D = 4 − 4 ⋅ 4 ⋅ (− 15) = 256 ;

o2 = t

Z

t1 =

⇒ x 2 = 1,5  beb x 2 = −2,5

[ Imklv o

⇒

−4 + 16 = 1,5 8

g_l dhjg_c 



beb

4t 2 + 4t − 15 = 0 ; −4 − 16 t2 = = −2,5 8

x1 = 1,5

beb

x 2 = − 1,5

= t ⇒ 2t − t − 36 = 0 ; D = (−1) − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 36) = 289 ; 1 + 17 1 − 17 t1 = = 4,5 beb t 2 = = −4 ⇒ x 2 = 4,5  beb x 2 = −4 g_l 4 4

dhjg_c 

2

2

x1 = 4,5

beb

2

x 2 = − 4,5

341.

(

Z

)(

)

1 3 −6 1 a b ⋅ 3a − 2b 5 = ⋅ 3 a 3 ⋅ a − 2 b − 6 ⋅ b 5 = 2 2 3 3 − 2 − 6 + 5 3 −1 3a = a ⋅b = ab = 2 2 2b 1 − 3 3 [ 3a − b ⋅ (4ab ) = 3a − b ⋅ 4 −1 ⋅ a −1 ⋅ b −1 = 3 a −3 a −1 bb −1 = 3 a − 4 . 4 4 \ a–6b10(2a–2b4)–2= 4a −6b10 ⋅ 2−2 ⋅ a 4 ⋅ b−8

(

=

(

)(

]

10ab −5

)( )

)

4 −6 4 10 −8 a a b b = a −6+4 ⋅ b10−8 = a −2b 2 4 1 33

−2 3

a b

=

( )(

)

10 ⋅ 3 aa 2 b − 5b − 3 = 3a1+ 2 ⋅ b − 5 + (− 3) = 3a 3b −8 . 10

342.

Z 81 ⋅ 3− 6 = 34 ⋅ 3− 6 = 32 = 34 − 6 = 3− 2 = 1 [

(− 3 )

−3 3

−9

−2

\ 9 −5 ⋅  1  9

]

9

=

(− 3) 4 − (3)−

−3

(− 3 ) ⋅ 27 −3 2

−9

=

3

4

3

9

= 3 4 −9 = 3 −5 =

( ) ⋅ (3 )

= 32 3

−5

− 2 −3

= 3 −10 ⋅ 3 6 = 3 − 4 =

( ) =3

= (− 3) ⋅ 3 −6

3 3

1 . 243

−6

⋅3 = 3 = 3 9

3

1 3

4

−6+9

=

1 . 81

= 33 = 27.

53

343.

Z

a n = a1 + d (n − 1) ;

a1 = 10 ;

a 3 = 10 + 4 ⋅ (3 − 1) = 10 + 8 = 18 ; a 5 = 10 + 4 ⋅ (5 − 1) = 10 + 16 = 26 .

a 2 = 10 + 4 ⋅ (2 − 1) = 10 + 4 = 14 ; a 4 = 10 + 4 ⋅ (4 − 1) = 10 + 12 = 22 ;

a n = a1 + d (n − 1) ; a1 = 1,7 ; a 2 = 1,7 − 0,2(2 − 1) = 1,7 − 0,2 = 1,5 ; a3 = 1,7 − 0,2(3 − 1) = 1,7 − 0,2(3 − 1) = 1,7 − 0,4 = 1,3 ; a4 = 1,7 − 0,2(4 − 1) = = 1,7 − 0,6 = 1,1 ; a 5 = 1,7 − 0,2(5 − 1) = 1,7 − 0,8 = 0,9 ;

[

\ a n = a1 + d (n − 1) ; a1 = −3,5 ; a 2 = −3,5 + 0,6(2 − 1) = = −3,5 + 0,6 = −2,9 ; a 3 = −3,5 + 0,6(3 − 1) = −3,5 + 1,2 = −2,3 ; a 4 = −3,5 + 0,6(4 − 1) = −3,5 + 1,8 = −1,7 ; a 5 = −3,5 + 0,6(5 − 1) = −3,5 + 2,4 = −1,1 ;

344.

Z bn = b1 + d (n − 1) ; b7 = b1 + d (7 − 1) = b1 + 6d . [ b26 = b1 + d (26 − 1) = b1 + 25d . \ b231 = b1 + d (231 − 1) = b1 + 230d . ] bk = b1 + d (k − 1). ^ bk +5 = b1 + d (k + 5 − 1) = b1 + d (k + 4). _ b2k = b1 + d (2k − 1). 345.

Z c n = c1 + d (n − 1) ; c5 = 20 + 3(5 − 1) = 20 + 12 = 32 . [ c n = c1 + d (n − 1) ; k 21 = 5,8 − 1,5 ⋅ (21 − 1) = 5,8 − 30 = −24,2. 346.

Z a n = a1 + d (n − 1) ; a11 = −3 + 0,7(11 − 1) = −3 + 7 = 4. [ a n = a1 + d (n − 1) ; a 26 = 18 − 0,6(26 − 1) = 18 − 15 = 3. 347.

Z =

1 1 1 a1 = ; a 2 = −1; d = a 2 − a1 = −1 − = −1 ; an = a1 + d (n − 1) = 3 3 3

1 1 1 4⋅9 2 1 1 1 1 1 2 1 = −11 . − 1 (n − 1) = − 1 n + 1 = 1 + 1 n; a10 = − 1 ⋅ 9 = − 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

54

[

b1 = 2,3;

b2 = 1;

d = b2 − b1 = 1 − 2,3 = −1,3;

EQ = E + G (Q − ) =  − (Q − ) =  − Q +  =  − Q E =  −  ⋅  =  −  = −

348.

Z

a1 = −8;

a 2 = −6,5; d = a 2 − a1 = −6,5 − (−8) = 1,5;

a n = a1 + d (n − 1) = −8 + 1,5(n − 1) = −8 + 1,5n − 1,5 = 1,5n − 9,5;

a 23 = −8 + 1,5(23 − 1) = −8 + 33 = 25.

[

a1 = 11;

a 2 = 7; d = a 2 − a1 = 7 − 11 = −4;

DQ = D + G (Q − ) =  − (Q − ) =  − Q +  =  − Q a 23 = 15 − 4 ⋅ 23 = −77.

349.

a1 = 7; d = 3; a n = a1 + d (n − 1); a 8 = 7 + 3(8 − 1) = 7 + 3 ⋅ 7 = 28.

Hl\_l  f 350.

Kdhjhklv ih_a^Z v20 \ dhgp_ c fbgmlu ² c qe_g Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkbb Z1=0; d=50; an=a1+d(n−1), a21=0+50⋅20=1000. Hl\_l  ffbg 351.

JZkkfhljbf û2$1B1 b û2$nBn. ∆H:< ~ ∆H:nBn lZd dZd ∠O — OA n OB n =  Hlkx^Z h[sbc 2$n=nOA1, OBn=nOB1, ⇒ OA 1

A n B n OA n = = n; AnBn=nA1B1. A 1 B1 OA 1 A5B5=5Â  kf $10B10=10Â



OB1

kf

352.

Z x n = x1 + d (n − 1); o1=xn−d(n−1); x1=x30−d(30−1)=128−4⋅29=12. [ xn = x1 + d (n − 1); x1=x45−d(45−1)=−208−(−7)⋅44=100. 353.

Z [

yn − y1 22 − 10 = 3. ; d= n −1 5 −1 y − y1 −21 − 28 49 y n = y1 + d (n − 1); d = n =− = −3,5 ; d= n −1 15 − 1 14

y n = y1 + d (n − 1); d =

55

354.

Z

c n = c1 + d (n − 1);

c1=26−0,7(26−1)=1,5.

[ c n = c1 + d (n − 1); 355.

d=

c1=cn−d(n−1);

cn=c1+d(n−1);

1,2 − (− 10) cn − c1 = 0,8 . ; d= 15 − 1 n −1

an − a1 1 − 5 = = −0,5 . 9 −1 n −1 a 2 = a1 + d (2 − 1) = 5 − 0,5 ⋅1 = 4,5;

a1=5; a9=1; 1) d = 2)

a 4 = 5 − 0,5 ⋅ 3 = 3,5; a 5 = 5 − 0,5 ⋅ 4 = 3; a 7 = 5 − 0,5 ⋅ 6 = 2; a 8 = 5 − 0,5 ⋅ 7 = 1,5.

356. a1 = 2,5; a 6 = 4; 1) d =

a 3 = 5 − 0,5 ⋅ 2 = 4; a 6 = 5 − 0,5 ⋅ 5 = 2,5;

an − a1 4 − 2,5 = = 0,3 . 6 −1 n −1

2) a 2 = 2,5 + 0,3(2 − 1) = 2,5 + 0,3 = 2,8; a 3 = 2,5 + 0,3(3 − 1) = 2,5 + 0,3 ⋅ 2 = 3,1; a 4 = 2,5 + 0,3 ⋅ 3 = 3,4; a 5 = 2,5 + 0,3 ⋅ 4 = 3,7.

357.

Z c n = c1 + d (n − 1); c1 + 4d = 27 − 22d = −33 d = 1,5 d = 1,5     c1 + 26d = 60; c1 + 4d = 27; c1 = 27 − 4 ⋅1,5; c1 = 21. [ c n = c1 + d (n − 1); c1 + 19d = 0 − 46d = 92 d = −2  d = −2     c1 + 65 = −92; c1 + 19d = 0; c1 = −19 ⋅ (− 2 ); c1 = 38.

358.

x n = x1 + d (n − 1);

 x1 + 15d = −7 10d = 62 d = 6,2 d = 6,2      x1 + 25d = 55;  x1 + 15d = −7;  x1 = −7 − 15 ⋅ 6,2;  x1 = −100.

359.

a1=2; a2=9 ⇒ d=a2–a1=9–2=7; an=a1+d(n–1)=2+7(n–1)=–5+7n.

Z =–5+7n; n=23 AgZqbl a23=156. [  ±n; n= 42 6 ∉N AgZqbl ∉(an). 7

56

360. an=a1+d(n–1)=32–1,5(n–1)=32–1,5n+1,5=33,5–1,5n. Z  ±n; n= 22 1 ∉N ⇒ 0∉(an); 3 [ ±  ± n; n  AgZqbl a41=–28.

361. x1=8,7; d=–0,3; xn+d(n–1); xn=8,7–0,3(n–1)=8,7–0,3n+0,3=9–0,3n; Z ±n≥0; n” [ ±n<0; n>30.

362. a1=20,3; a2=–18,7; d=a2–a1=–18,7+20,3=1,6; an=a1+d(n–1)=–20,3+ +1,6n–1,6=1,6n–21,9;

1,6n–21,9<0;

a14=a1+d(n–1)=–20,3+1,6Â

1,6n<21,9;

n<

;

n”



363.

Z an aZ^ZgZ nhjfmehc \b^Z an=kn+b Z ke_^h\Zl_evgh y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkb_c  [ an+1–an=(n+1)2–5–n2+5=2n l_ jZaghklv f_`^m khk_^gbfb qe_gZfb ijh]j_kkbb aZ\bkbl hl n Z agZqbl Zn ² g_ y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkb_c \ an aZ^ZgZ nhjfmehc \b^Z an=kn+b Z agZqbl y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkb_c –  l_ jZaghklv f_`^m kh] an+1–a n= k_^gbfb qe_gZfb ijh]j_kkbb aZ\bkbl hl n Z agZqbl Zn ² g_ Zjbnf_lbq_kdZy ijh]j_kkby ^ an aZ^ZgZ nhjfmehc \b^Z an=kn+b Z agZqbl y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkb_c _ an aZ^ZgZ nhjfmehc \b^Z an=kn+b Z agZqbl y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkb_c 364.

DZ`^uc \uimdeuc n m]hevgbd ihemqZ_lky ba nm]hevgbdZ ^h[Z\e_gb_f lj_m]hevgbdZ k kmffhc m]eh\ jZ\ghc ƒ ke_^h\Zl_evgh Sn+1–Sn ƒ l_ ihke_^h\Zl_evghklv Sn y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkb_c k jZaghklvx d=180°.

57

365.  y = −3 x + 2,  2  x − (−3 x + 2) 2 + 12 = 0;

3 x + y = 2.  2  x − y 2 = −12;

 y = −3 x + 2,  2  x − 9 x 2 + 12 x − 4 + 12 = 0;

J_rbf mjZ\g_gb_ o2=

3−5 =–0,5; 4  y1 = −4, beb   x1 = 2.

 y = −3 x + 2,  − 8 x 2 + 12 x + 8 = 0

x –3x–2=0; D=9–4±  o = 3 +4 5  beb 2

1

 y 2 = 3,5,   x 2 = −0,5.

366.

Z



x(x2+4x–32)=0; x1 beb x2+4x–32=0; D=16–4 −4 + 12 −4 − 12 x1 = = 4 beb x 2 = = −8. 2 2 [ x2(x –10)+4(x – 10)=0; (x–10)(x2+4)=0; x=10 (x2

± 

  ² g_l dhj-



g_c 

367.

Z x–0,5)(x+8)>0; (x–0,5)(x+8)>0; (–∞; –8)∪(0,5; ∞). [ ±x–33)(x+8)≤0; (x–33)(x+8) ≥0; (–∞; –8] ∪ [33; ∞). 368.

Z –1Â2=(53)–1Â2)2=5–3Â4=51=5. [ Â3)2 –2=10–4Â6–1)–2=10–4Â6Â2=104=10000. \

16 −3 4 5 (2 4 ) −3 (2 2 ) 5 2 −12 210 1 1 = = = 2 −12 210 2 −3 = 2 −5 = 5 = 3 3 8 32 2 2 2

] 4Â

 

)–3

Â

–4

 )  )

=(32)4

–3 –3

 Â

4 –4= 8

3

9

–16

=3.

1

369. (a1 + a n ) ⋅ n ; 2 (3 + 57) ⋅ 60 60 ⋅ 60 = = 1800 S60= 2 2 (−10,5 + 51,5) ⋅ 60 41 ⋅ 60 S60= = = 1230 2 2

Sn=

Z [

370. Sn=

2a1 + d (n − 1) ⋅ n; 2

Z a1=–23; a2=–20; d=–20+23=3; S8= 2 ⋅ (−23) + 3 ⋅ (8 − 1) ⋅ 8 = −100. 2 [ a1=14,2; a2=9,6; d=9,6–14,2=–4,6; 2 ⋅ 14,2 − 4,6 ⋅ (8 − 1) ⋅ 8 = −15,2 S= 8

2

371. 2b1 + d (n − 1) ⋅ n; 2 2 ⋅ (−17) + 6 ⋅ (9 − 1) ⋅ 9 = 63 . S9= 2 2 ⋅ 6,4 + 0,8 ⋅ (9 − 1) S9= ⋅ 9 = 86,4 . 2

Sn=

Z [

372. Sn=

( x1 + xn ) ⋅ n; 2

Z x1=4Â

 x =4n+2; S = 6 + 42n + 2 ⋅ n =(4+2n)n=2n(2+n) n

n

S50=2⋅50(2+50)=5200; S100=2⋅100(2+100)=20400. 5 + 2n + 3 ⋅ n = (n + 4)n; xn=2n+3; Sn= [ x1=2 2 S50=50(50+4)=2700; S100=100(100+4)=10400.



 

373. a1=3⋅1+2=5; a20=3⋅20+2=62; S 20 =

2

5 + 62 ⋅ 20 = 670. . 2

374.

Z a1=2; an=2n; Sn= (a1 + an )n = (2 + 2n)n = 2n(n + 1) = (n + 1)n . [

2 2 2 (1 + 2n − 1) ⋅ n 2n ⋅ n 2 = =n . a1=1; an=2n–1; Sn= 2 2

375.

Z a1=1; a150=150; n=150; S150= (150 + 1) ⋅150 = 11325 . 2 [ ≤n≤120; a1=20; a101=120; n=101 (a1 + a101 ) ⋅101 (20 + 120) ⋅101 = = 7070 . 2 2 \ an=4n; 4n≤300; n≤75; a1=4; a75=4 (4 + 300) ⋅ 75 = 11400 . S75= 2 S101=



 

] an=7n; 7n≤130; n≤   ; n=18; a1=7; a18=7Â 

S18=



(7 + 126) ⋅18 = 1197. 2

376. a1=10; d=3; a n=a1+d(n–1); a15=10+3(15–1)=52; a30=10+3(30–1)=97; (a + a n )n (a + a 30 )16 (52 + 97)16 = = 1192. ; S= 15 Sn= 1 2 2 2

377. a1=21; d=–0,5; an=a1+d(n–1); a6=21–0,5(6–1)=18,5; a25=21–0,5(25–1)=9; (a + a n ) ⋅ n ( a + a 25 ) ⋅ 20 (18,5 + 9) ⋅ 20 Sn= 1 = = 275. ; S= 6 2 2 2

378. 1) cn=c1+d(n1); c1 + 6d = 18,5,  c1 + 16d = −26,5;

10d = −45, d = −4,5, d = −4,5,    + = 6 18 , 5 ; c d = − ⋅ − 18 , 5 6 ( 4 , 5 ); c  1 1 c1 = 45,5. 2c + d (n − 1) 2 ⋅ 45,5 − 4,5( 20 − 1) 2) Sn= 1 ⋅ n; S20= ⋅ 20 = 55. 2 2

3

379.

bn − b1 15,9 − 4,2 = 1,3 ; d= 10 − 1 n −1 2b + d ( n − 1) 2 ⋅ 4,2 + 1,3 ⋅ (15 − 1) 2) S n= 1 ⋅ n; S15= ⋅ 15 = 199,5 2 2

1) bn=b1+d(n–1); b1=4,2; b10=4,2; d =

380.

Ihke_^h\Zl_evghklv hn=h(n ijhc^_gguo aZ n k_dmg^ jZkklhygbc ih mkeh\bx ² Zjbnf_lbq_kdZy ijh]j_kkby k h1  b d  AgZqbl, 2h + d (5 − 1) 2 ⋅ 4,9 + 9,8 ⋅ 4 H = 1 ⋅5 = ⋅ 5 = 122,5 . 5

2

Hl\_l  f 381.

2

Z h(7)=h7=4,9+6Â Â [ AZ  k_dmg^

 f  l_eh

ijhc^_l

h +h 4,9 + 63,7 H=S7= 1 7 ⋅ 7 = ⋅ 7 = 68,6 ⋅ 3,5 = 240,1 (f). 2 2

jZkklhygb_

Hl\_l  f  f

382.

Dhebq_kl\h rZjh\ \ dZ`^hf jy^m ij_^klZ\ey_l kh[hc Zjbnf_lbq_kdmx ijh]j_kkbx k i_j\uf qe_ghf Z1  b jZaghklvx d  Qbkeh rZjh\ \ lj_m]hevgbd_ ba n jy^h\ jZ\gh Sn= 2a1 + d (n − 1) ⋅ n  Ihwlhfm

2 2 ⋅ 1 + 1(n − 1) n( n + 1) 120= , n(n+1)=240; ⇒ ⋅n = 2 2 −1 + 31 2 + 29 D=12−4⋅1(−240)=961; n= = 16 (n>0); S30= 2 2

rZjh\ 

n2+n–240=0;

  

383. an=a1+d(n–1); 4d = 4,8, d = 1,2, a1 + 6d = 8, d = 1,2,     a1 + 10d = 12,8; a1 + 6d = 8; a1 = 8 − 6 ⋅1,2; a = 0,8;

384. a1=20,7; a2=18,3; d=a2–a1=18,3–20,7=–2,4; an=a1+d(n–1)=20,7– 23,1 − an –2,4n+2,4=23,1–2,4n; cn=23,1−2,4n; n = 2,4 4

Z [

23,1 − (− 1,3) = 3,7 − g_ p_eh_ qbkeh 2,4 23,1 − (− 3,3) = 11 l _ an=−3,3. 2,4

 l_ −1,3∉a .

n=

n

 

385.

Z

2 2  2 9 x + 9 ⋅ ( 3x ) = 13,  y = 2 ;  3x

J_rbf mjZ\g_gb_

x +

4

2

x

2

  imklv

– 13=0; 9x4–13x2

x2=t ⇒

ÂÂ  t= 1318+ 5 = 1 beb t= 1318− 5 = 94 ; x =1

9t2–13t+4=0; D=(−13)2–4

2

beb x2=  ; x1=1; x2=–1; x3= 2 ; x4=– 2 . 3



 x1 = 1,  2   y1 = 3 

[

 x 2 = −1,  2   y2 = − 3 

2   x3 = , 3   y3 = 1 

 x 2 + 9 + 4 x 2 = 29,  2  y = 9 + 4 x 2 ;

 x = 2,  2  y = 25

beb

3

2  x4 = − , 3   y 4 = −1. 

5 x 2 = 20,  2  y = 9 + 4 x 2 ;

 x 2 = 4,  2  y = 9 + 4 x 2 ;

 x 2 = 4,  2  y = 25;

 x = −2,  2  y = 25;

 x1 = 2,  x 2 = 2,  x 3 = −2,  x 4 = −2,      y1 = 5  y 2 = −5;  y 3 = 5;  y 4 = −5.

386.

Z nÂ

 Â =5 n

2

n+2

.

[ Ân=54Â2n=54+2n.

387. bn+1=bnq;

Z b1=6; b2=6Â  b3=12Â  b4=24Â  b5=48Â  [ b1=–16; b2=–16Â 1 =–8; b3=–8Â 1 =–4; b4=–4Â 1 =–2; b5=–2Â 1 =–1. 2

2

2

2

5

\

b5=81

]

b1=–24; b2=–24

± ±

b5=0,8

Â

b1=0,4; 2

Â

±  b =36± ± b =–54±  3

b2=0,4

Â

2;

b3=0,4

4

Â

2

Â

2 =0,8;

b4=0,8

Â

2;

2 =1,6.

388.

kn=c1qn–1; Z c6=c1q6–1=c1q5 \ c125=c1q125–1=c1q124 ^ ck+3=c1qk+3–1=c1qk+2

[ c20=c1q20–1=c1q19 ] ck=c1qk–1 _ c2k=c1q2k–1

389. xn=x1qn–1;

Z x7=x1q7–1=x1q6=16Â  1 

6

=24⋅2-6=2-2=

2

[ x8=x1q8–1=x1q7=–810Â  1  \ x10=x1q10–1=x1q9= ] x6=x1q6–1



7

± 2 ) =– ( 2 ) 5 1 =x q =125 =5    =5 ⋅5 5 9

2

5

−10 10 =− =–2,7. 27 33

=−10⋅34⋅3-7=

3

5

.



3

1

10

3

=–25=–32.

-5

 

=5-2=

1 . 25

390.

bn=b1qn–1;

Z b5=b1q5–1=b1q4= 3 ⋅  2  4 3

[

4

=

3 ⋅16 4 = . 4 ⋅ 81 27

3

3 −  3  = 1,8 ⋅ 3 2 = 1,8 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3 . b4=b1q =b1q =1,8   3  27 5   4–1

3

Â

391.

Z o1=2; x2=–6; q= − 6 =–3; xn=x1qn–1=2± n–1; x7=2± 6=2 2

[ −

x1=–40; x2=–20; q=

40 5 =− . 64 8 6

−20 1 = ; xn=(–40) − 40 2

  )

n–1

; x7=–40



 12 ) =0 6

\

x1=–0,125;

x2=0,25;

x7 = −0,125(− 2 ) = x1=–10;

0,25 =–2; − 0,125

xn=–0,125

±

n–1

64 = −8 . − 0,125

6

]

q=

⇒

x2=10;

q=

 ±

±

10 =–1; − 10

Â

n–1

xn=(–10)

=(–1)n

x7=(–1)7

392.

Z x1=48; x2=12; q= 12 = 1 ; xn=x1qn–1; x6=48Â  )5= 48

4



3 ; xn=48 64

[ x1= 64 ; x2=– 32 ; q= − 32 ⋅ 9 = − 3 ; x6=x1q5= 64 ⋅  − 3  9

3 ⋅ 64

3

=–54; xn=

64  3  ⋅−  9  2

]

Â

n–1

5

=−

n–1

.

64 ⋅ 243 = 9 ⋅ 32

n −1

.

\ x1=–0,001; x2=–0,01; q= xn=–10–3

9  2

2

  )

−0,01 =10; x6=x1q5=–10–3 − 0,001

 =–10 =−100; 5

2

.

x1=–100; x2=10; q=

10 1 ; x6=x1q5=–100 =− − 100 10

 1 =10–3=0,001; xn=x1qn–1=–102  −   10 

Â

± 101 ) =10 ⋅10 5

2

-5

=

n −1

393.

û$n+1BCn+1aû$nBCn. Wlh agZqbl qlh iehsZ^b lj_m]hevgbdh\ khklZ\eyxl ]_hf_ljbq_kdmx ijh]j_kkbx (Sn kh agZf_gZl_e_f q=

1 4

 hldm^Z S =S (  ) ; S = 7689 = 3 ⋅ 49 9

9

1

9

4

4

4

=

3 3 = 5 1024 4

kf2.

394.

Z bn=b1qn–1 ⇒

b1 =

bn 3 1 1 ; b1 = 5 = 4 = . 81 q n −1 3 3

7

[ bn=b1qn−1 ⇒

b1 =

bn

q n −1

=

1 17 2

1  − 2  2 

4

=

56 . 125

395.

Z cn=c1qn–1; c5=c1Âq5–1=c1Âq4; c7=c1Âq6;

c 7 c1 q 6 − =q2= =9; q=3 = 4 c 5 c1 q −

q=–3. c8 c1 q 7 9 3 = =q2= ; q= 25 5 c 6 c1 q 5

[ c6=c1q5; c8=c1q7;

beb q=– 3 . 5

396.

Z xn=x1qn–1;

x1 =

[ xn=x1qn–1;

x5 x1q 4 2 −18 1 1 = ; q1= = =q = 2 9 − 162 3 x3 x1q

xn 0,32 ; x1 = = 0,32 ⋅ 55 = 1000 . q n −1 (0,2)5

beb q2=– 1 . 3

397.

Z  b3=b1Âq2; q2=

±

5 1 1 1 ; q= beb . = 125 25 5 5 1 5 125 1 beb b6=125 )= 2) b6=b1q5; b6=125 = 5 3125 25 [ b3=b1q2; q2= −22 =9; q beb q=–3;

Â



−

2) b7=b1q6; b7=–

\



2 9

125 1 ± 15 ) =– 3125 . =− 25 5



3

 ± beb b =– 92 ± =–162. 6

6

7

b4=b1q3; b6=b1q5;

b6 b1q 5 2 2 − = =q ; q = =100; q − b4 b1q 3

q=–10. 2) b4=b1q3; b1=

b4 q

3

398. b1=2; b5=162. 8

; b1=

−1 10

3

± beb b = 1

−1 (−10) 3

=0,001.

 beb

Â

  =81; q  beb q=–3;   Ijb q  lh b =b q=2  b =b q =2 =18; b =b q =2 =54;  Ijb q ± lh b =b q=2± ± b =b q =2± =18; b =b q =2± =–54.

1) bn=b1qn–1; b5=2 q5–1=2 q4=162 ⇒ q4= 2

2

3

4

1

3

2

3

2

3

1

4

1

3

1

1

2

3

2

1

399. 1 1 1 = 2 ⋅ q3 ⇒ q3 = ⇒ q = 4 8 2

a=2⋅q; b=2⋅q2;

2

a = 2⋅

1 1 1 =1; b = 2⋅  = . 2 2 2

400.

b2=b1⋅q=6; b4=b1⋅q3=24 ⇒ q2=4; q1=2; q2=−2 1) ijb q=2 b6=b4⋅q2=24⋅4=96 2) ijb q=−2 b6=b4⋅q2=24⋅4=96.

401.

?`_]h^gh kmffZ \deZ^Z \hajZklZ_l gZ  l_ \  jZaZ Ke_^h\Zl_evgh q_j_a  ]h^Z hgZ \hajZkl_l \  3 jZaZ S3=800Â 3  j 402.

< jZ\ghklhjhgg_f lj_m]hevgbd_ kh klhjhghc an 3 2

hn=

 ke_^h\Zl_evgh p

n+1=3hn=

3 2

Âa = n

Zn

\ukhlZ jZ\gZ

 l_ i_jbf_lju

3 pn 2

lj_m]hevgbdh\ h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx ijh]j_kkbx kh agZf_gZl_e_f p6=24

q=

Â

3 . p6=p1( 2

 5 

)=

9 3 25

p1;

p1=3

 

AgZqbl

 9 53 =3Â  9 53 = 274 3 kf 3

2

2

403.

LZd dZd klhjhgu dZ`^h]h ke_^mxs_]h lj_m]hevgbdZ y\eyxlky kj_^gbfb ebgbyfb ^ey ij_^u^ms_]h lh an+1= 1 an, 2

9

pn+1=3an=3

 12 a = 12 p , l_ i_jbf_lju lj_m]hevgbdh\ y\eyxlky qe_n

n

gZfb ]_hf_ljbq_kdhc ijh]j_kkbb kh agZf_gZl_e_f q= 1 Â 2

1 p8=( )7p1; p1=3 2

 p = 7  1

8

2

48 3 4 = = 128 8

kf

404.

an − a1 2 − (− 45,6) 47,6 = = = 3,4 . 15 − 1 14 n −1 2a + d (n − 1) 2 ⋅ (−45,6) + 3,4 ⋅ 49 n; S50= 2) Sn= 1 2 2 1) a1=–45,6; an=a1+d(n–1); d =

Â

 

405.

Z 2n:9n–1=32n:(32)n–1=32n:32n–2=32n–(2n–2)=32=9. [ nÂ6–2n=(22)nÂ6–2n=22nÂ6–2n=22n+6–2n=26=64. \ 1+2nÂn=24:(22)1+2nÂ3)n=24:22+4nÂ3n=24–2–4n+3n=22–n. 406.  x 2 − y 2 = 30,   x + y = 5; 25 − 10 y +   x = 5 − y; − 10 y = 5,   x = 5 − y;

407.

(5 − y ) 2 − y 2 − 30 = 0,   x = 5 − y;

y 2 − y 2 − 30 = 0,  y = −0,5,  y = −0,5,   x 5 ( 0 , 5 ); = − −   x = 5,5;

Z  =jZnbd nmgdpbb y=2x2–13x–34 − iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \\_jo ld dhwnnbpb_gl ijb x2 iheh`bl_e_g   J_rbf mjZ\g_gb_ x2–13x–34=0; D=(−13)2–

±  x = 13 +4 21 =8,5; x = 13 −4 21 =–2. 3) (–’ ±]∪[8,5; +’  [ x(5–2x)<0; x(x–2,5)>0; (–’ ]∪[2,5; +’  4

10

1

2

408. Sn=

E  T Q −  ; T −

Z S5= [ S5=

8 ⋅  

( ) − 1 1 5 2

1 2

−1

500 ⋅  

( ) − 1

1 2

1 5 5

−1

( − 1) = 31 = − 16 1 − 1 = 16 − 1 = 15 1 .

8⋅

=

1 32 1 −2

500 ⋅

=

  32

2

(

1 3125 4 −5

 

2

2

) = 3124 =624,8.

−1

5

409.

Z b1=3; b2=–6; q = −6 =–2; Sn= E T

−  ; T −

3

)

3 ⋅ (− 2 ) − 1 3 ⋅ (64 − 1) = =–63. − 2 −1 −3 36 2 b1=54; b2=36; q= = ; 54 3

S5=

[

(

Q

S6=

6

54 ⋅  

( ) − 1 2 6 3

2 3

−1

54 ⋅

=

(

64 729 1 −3

\ b1=–32; b2=–16; q= −16 − 32 ⋅   S6= 1 2

( ) − 1 1 6 2

−1

] b1=1; b2=–

) = 665 ⋅ 54 ⋅ 3 = 1330 = 147 7 .

−1

− 32

729 ⋅1

=

9

9

1 ; 2

 1  = 64 − 1 = 1 − 64 =–63.  64  1

−2

1 ; 1 2   1  1 6 − 1 1 ⋅  − 2 − 1 2 −  =  64  = 21 . S6=  1 −3 32 − 2 −1 

; q=

=−

( )

11

410. Sn=

c1 ( q n − 1) ; q −1

Z

[ S9= 1 ⋅ ((− 2

S9=

) )

(

)

− 4 ⋅ 39 − 1 =– 3 −1

−1 =171. − 2 −1

39364.

9

411.

Z

bn+1 0 ,2 ⋅ 5n +1 = bn 0,2 ⋅ 5n

 AgZqbl b ² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby n

kh agZf_gZl_e_f q=5. Sn= [

bn +1 3 ⋅ 2n = bn 3 ⋅ 2 n −1

 AgZqbl b ² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby kh n

agZf_gZl_e_f q=2. Sn= \

bn +1 3n + 2 = n +1 bn 3

b1 ( q n − 1) 0,2 ⋅ 5 ⋅ (5 n − 1) 5 n − 1 . = = q −1 5 −1 4

b1 (q n − 1) 3 ⋅ 2 0 ⋅ (2 n − 1) =3(2n–1). = q −1 2 −1

  AgZqbl b ² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby kh n

agZf_gZl_e_f q=3. Sn=

b1 (q n − 1) 3 2 ⋅ (3 n − 1) 9 n = = (3 − 1) . 3 −1 2 q −1

412.

Z b1=1; b2=3; q= 3 =3; Sn= 1

b1 (q n − 1) 1 ⋅ (3 n − 1) 3 n − 1 . = = q −1 3 −1 2

[ b1=2; b2=4; q= 4 =2; Sn= 2 ⋅ (2 2

\ b1= 1 ; b2=– 1 ; q= 2

4

1

−4 1 2

− 1) =2 n–1). 2 −1 1 1 n  n  2 − 1 − 1 − 1 1 2   2 =– ; Sn= . = 1 2 3 − −1 n

Â

() 2

] b1=1; b2=–x; q= − x =–x; Sn= 1⋅ ((− x)

(− x) n − 1 − 1) . =− x +1 − x −1

1

^ b1=1; b2=x2; q= x

2

1

12

( )

=x2; Sn=

n

1( x 2 n − 1) x 2 −1

=

x 2 n − 1) x 2 −1

.

_ b1=1; b2=–x3; q= − x

3

=–x3; Sn=

1

1 ⋅ (( − x3 ) n − 1) (− x3 )n − 1 . =− 3 − x −1 x3 + 1

413.

Z b7=b1q6; b1= b76

=

6,4 ⋅ (1,5 7 − 1) 102,95 72,9 = 205,9. = =6,4; S7 = 6 0,5 1,5 − 1 1,5

[ b5=b1q4; b1= b54

=

16  2  16 ⋅ 34 :  = =9; 9 3 9 ⋅ 24

q

q

S7 =

9 ⋅  

( ) − 1 2 7 3

2 3

−1

4

==

9⋅

(

) = 2059 = 25 34 .

128 2187 1 −3

−1

81

81

414.

Z x5=x1q ; x1= 4

S5 =

90 

q

( ) − 1 1 5 3

1 3

−1

[ x4=x1q3; x1= S5 =

x5

(

4

()

10 ⋅ 81 =90; 9

=

3

==

x4 q

=

10 9 1 4

3

=

)

90 ⋅ 242 ⋅ 3 4 = 134 . 2 ⋅ 243 9 121,5

(− 3)3

=–4,5;

− 4,5 ⋅ (3) − 1 9 ⋅ 244 =–274,5. = − 3 −1 4⋅2 5

415. b1=1; b5=162; b5=b1q4; q4=

b5 162 = =81 ⇒ q 2 b1

 beb q ± gh q=3

² g_ m^h\e_l\hjy_l mkeh\bx aZ^Zqb ld ijhp_kkby agZdhi_j_f_ggZy  ke_^h\Zl_evgh q=–3; S6=

2 ⋅ ((−3) 6 − 1) 728 =− =–364. − 3 −1 2

13

416.

Â

b2=b1q; b4=b1 q3; ⇒

54 b b4 b1q 3 = 9 ; q1=3; q2=−3 = = q2 ; 4 = 6 b2 b1q b2

ih^oh^bl ih mkeh\bx ke_^h\Zl_evgh S7=

q=3.

b1=

± g_

b2 6 = =2; q 3

2 ⋅ (3 7 − 1) = =2186. − 3 −1

417. bn=b1qn–1 ⇒ b7= b1q6; b1=

Â

b7 0,012 = =187,5; bn=187,5 q6 0,26

n–1

.

418.

Z n+3–2n=2nÂ3–2n=2n(23–1)=2n [ n+3–3n–1=3n–1+2–3n–1=3n–1(9–1)=8Ân–1. \ n–5n–1=52n–5n–1=5n–1+n+1–5n–1=5n–1(5n–1–1). 419.

Z

x(1,5 –x)≤0; x(x–1,5)≥0; (–

’ ±]∪[1,5; +’ 

[  =jZnbd nmgdpbb m=x2+x+6 − iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \\_jo ld dhwnnbpb_gl ijb x2 iheh`bl_e_g   J_rbf mjZ\g_gb_ x2+x+6=0; D=12–4Â⋅6< ±g_l dhjg_c 3) (–

’ ’ 

420.

Z b1=9; b2=3; q= 3 = 1 ; |q|=|  |=  <1; S= S=

9 1

1− 3

9 3 9 ⋅ 3 27 = = =13,5. 2 2 1





E ; − T

− [ b1=2; b2=– 1 ; q= 2 = − 1 ; |q|=|–  |=  <1; 2 2 4   2 2 2⋅4 S= = 5 = = 1,6 . 1 5 1+



4

14

4

\ b1= 4 ; b2= 5

S=

4 5

1−

] b1= S=

3

( ) 1

1− −

3 1+

=

2 2

_ b1=3

4 2

2

5 5

=

15 5 5− 5

2 2

2

2 −1 3

1

5 −1

3 +1

3

<1;

.

2 2 2 <1; ; |q|=| |= 2 2 2

=

.

1

=

15

=

|= 3

=

1

=

4

3 5

1 3

3 +1

=

2− 2

; |q|=|–

3⋅ 3

3

5 ; b2=3; q=

3 5

3

=

1

2 ; b2=2; q=

1−

1−

=

3

2 2

S= =

1

3 ; b2=–1; q= −

^ b1=2

S=

4⋅5 =1. 25 ⋅ 4

=

1 5

4 4⋅5 1 1 1 ; ⇒ q= = ; |q|=| |= <1; 25 25 ⋅ 4 5 5 5

5

=

5 5 5 ; |q|=| <1; |= 5 5 5

.

421.

Z b1=1; b2=

1 1 1 ; q= :1= ; 10 10 10 b 1 1 1 10 S= 1 ; S= = 1 = 9 = =1 . 1− q 9 9 1− 10

[ b1=–

 

; b2=

 

10

; q= 1

1 1  :(– )=– ; 4 2  1 − 1⋅ 2 1 = 12 = − =− . ⋅ 2 3 3 12

S=

b1 2 ; S= = 1 1− q 1− −

\

1 3  =– ; b1=6; b2=–1 ; ⇒ q=– 2  2⋅6

( ) 2

15

S=

b1 ; S= = 1− q



 

−  −

] b1=  ; b2=  





=

 

⇒ q=

 

=



⋅ 

=

 

=4

 

.



E  2 4 ⋅ 3 2 = ; = : = E  3 9 ⋅ 2 3

2

S=

2⋅3 E =2. ; S= 3 2 = − T 3 1− 3

422.

Z b1=1; b2=a; q= a =a; S= 1

b1 1 = ; 1− q 1− a

[ b1=1; b2=–a; q= −a =–a; S= 1

\ b1=1; b2=a2; q= a

2

1

=a2; S=

] b1=a; b2=–a4; q= − a a

b1 1 1 = = ; 1 − q 1 − (− a) 1 + a

b1 1 = ; 1− q 1− a 2

4

=–a3; S=

b1 1 1 = ; = 3 1 − q 1 − (− a ) 1 + a 3

423.

M ijZ\bevgh]h lj_m]hevgbdZ jZ^bmk \ibkZgghc hdjm`ghklb \^\h_ f_gvr_ jZ^bmkZ hibkZgghc hdjm`ghklb L_ mdZaZggZy \ aZ^Zq_ ihke_^h\Zl_evghklv Rn jZ^bmkh\ y\ey_lky ]_hf_ljbq_kdhc r ijh]j_kkb_c agZf_gZl_ev dhlhjhc jZ\_g q= \i = 1 , |q|<1 >ebgu Rhi

2

πR n2+1

R  =  n +1  = q 2 ,  Rn 

hdjm`ghkl_c ln ŒRn lZd`_ h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx ijh]j_kkbx kh agZf_gZl_e_f q= 1  Z iehsZ^b djm]h\ Sn ŒRn2 h[jZamxl ]_hf_l2

jbq_kdmx ijh]j_kkbx kh agZf_gZl_e_f 2

|q

_ Hlkx^Z l S = 1 1 ŒÂ Œ kf S = l

S

1− 2

16

S1 1−

1 4

=

q′ =

πR n2

π ⋅ 25 ⋅ 4 100π = 3 3

2

kf

424.

Hlghr_gb_ jZ^bmkZ dZ`^h]h ke_^mxs_]h djm]Z d jZ^bmkm ij_^u^ms_]h _klv hlghr_gb_ klhjhgu d\Z^jZlZ d _]h ^bZ]hgZeb l_ 2 , 2

ke_^h\Zl_evgh hlghr_gb_ iehsZ^_c ^\mo ihke_^h\Zl_evguo

djm]h\ jZ\gh R1=

1 , |q|<1 2

 GZc^_f iehsZ^v i_j\h]h djm]Z S ŒR

2

1

,

 kf S=π⋅4 =16π. BlZd ihemqbf

a1 2

S=

q=

2

S1 16π =32π kf2. = 1− q 1− 1 2

425.

Z   — ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby gZc^_f __ kmffm b1=0,6; b2=0,06; q= 0,06 =0,1; (|q|=|0,1|=0,1<1); 0,6 b 0,6 0,6 2 = = ; S= 1 ; S= 1− q 1 − 0,1 0,9 3

[   ² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby gZc^_f __ kmffm b1=0,1; b2=0,01; q= 0,01 =0,1; (|q|=|0,1|=0,1<1); 0,1 b1 0,1 0,1 1 = = ; ; S= S= 1− q 1 − 0,1 0,9 9

\   kby gZc^_f __ kmffm b1=0,36;

² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kb2=0,0036;

q=

(|q|=|0,01|=0,01<1); b 0,36 0,36 4 = = ; S= 1 ; S= 1− q 1 − 0,01 0,99 11

0,0036 =0,01; 0,36

]      jbq_kdZy ijh]j_kkby gZc^_f __ kmffm b1=0,81;

² ]_hf_lb2=0,0081;

0,0081 q= =0,01; (|q|=|0,01|=0,01<1); 0,81 b 9 9 0,81 0,81 9 = = ; 1,(81)=1+ =1 ; S= 1 ; S= 1− q 11 11 1 − 0,01 0,99 11 17

^  ±    ± ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby gZc^_f __ kmffm b1=0,3; b2=0,03; q= 0,03 =0,1; 0,3

(|q|=|0,1|=0,1<1); b 0,3 1 1 1 7 = ; 0,2(3)= − + = . S= 1 ; S= 1− q 1 − 0,1 3 10 3 30

_  ±    ² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby gZc^_f __ kmffm b1=0,45; b2=0,0045; q=

0,0045 =0,01; (|q|=|0,01|=0,01<1); 0,45 b 5 357 0,45 5 13 = ; 0,32(45)= − + = . S= 1 ; S= 1− q 1 − 0,01 11 100 11 1100

426.

Z   ² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby gZc^_f __ kmffm b1=0,5; b2=0,05; q= 0,05 =0,1; (|q|=|0,1|=0,1<1); 0,5 b 0,5 0,5 5 = = . S= 1 ; S= 1− q 1 − 0,1 0,9 9

[     ² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby gZc^_f __ kmffm b1=0,72; b2=0,0072; q=

0,0072 =0,01; (|q|=|0,01|=0,01<1); 0,72 b 0,72 0,72 8   = = ; 1,(72)=1+ =1 . S= 1 ; S= 1− q   1 − 0,01 0,99 11

\  ±    ² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby gZc^_f __ kmffm b1=0,6; b2=0,06; q= 0,06 =0,1; 0,6

(|q|=|0,1|=0,1<1); b 0,6 0,6 2 1 2 7 = = ; 0,4(6)= − + = . S= 1 ; S= 1− q 1 − 0,1 0,9 3 5 2 15

]     « ² ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby gZc^_f __ kmffm b1=0,12; b2=0,0012;

q=

0,0012 =0,01; (|q|=|0,01|=0,01<1); 0,12 18

S=

b1 0,12 12 4 1 4 37 = = ; 0,01(12)= . ; S= (1 + ) = 1− q 1 − 0,01 99 33 100 33 3300

427. x1=0,375; x2=0,75; q=

0,75 =2; 0,375

0,375(2 − 1) x1 (q n − 1) =0,375 ; S6= q −1 2 −1 6

Sn=

 

428.

Z 2x2+4x=0; 2x(x+2)=0; x1=0; x2=–2 — kms_kl\mxl [ 2x2+4x=30; 2x2+4x–30=0; x2+2x–15=0; D=22–4⋅1± >0 — kms_kl\mxl \ 2x2+4x=–4; 2x2+4x+4=0; x2+x+2=0; D=22–4⋅1 −7<0 — g_ kms_kl\mxl 429.

Z G_jZ\_gkl\h \_jgh ijb ex[hf x _keb mjZ\g_gb_ x2–4x+m=0 g_ bf__l dhjg_c l_ D<0 dhwnnbpb_gl ijb x2 iheh`bl_evguc)

D=16– –4

ÂÂm=16–8m=8±m)<0; 2–m<0; m>2.

[ G_jZ\_gkl\h \uihegy_lky ijb ex[hf x _keb mjZ\g_gb_ mx2+5x±  g_ bf__l dhjg_c dh]^Z dhwnnbpb_gl ijb x2 hljbpZl_evguc b D=25– –4m± m< Ihemqbf kbkl_fm 25  25 + 16m < 0, m < − , 9 16 m< − 1 .   16 m < 0; m < 0; 

430.

Z k1=–2Â2+7=5; k2=–2Â2+7=–1; k3=–2Â2+7=–11;

k4=–2

 +7=–25; k =–2 +7=–43.

[ k1=

2

2

5

19 100 100 50 100 ; k3= 5 ; =3 = = 27 27 2 −5 3 − 5 238 119 1 −5 100 100 100 10 5 ; k5= 5 . = = = k4= 5 4 − 5 1019 5 − 5 312 156 \ k1=–2,5 1=–5; k2=–2,5 2=–10; k3=–2,5 3=–20; k4=–2,5 4=–40; k5=–2,5 5=–80. ] k1=3,2 –1=1,6; k2=3,2 –2=0,8; k3=3,2 –3=0,4; k4=3,2 –4=0,2; k5=3,2 –5=0,1. 100 5

   Â

=–25; k2=

100 5

 Â

=

 Â

 Â

19

^ k4=

k1=

k2=

(−1) 2−1 1 =− ; 4⋅2 8

k3=

(−1) 3−1 1 = ; 4⋅3 12

k3=

1 − (−1) 3 2 = ; 2 ⋅3 +1 7

(−1) 4 −1 (−1) 5−1 1 1 = − ; k5= + . 4⋅4 16 4⋅5 20

_ k4=

( −1)1−1 1 = ; 4 ⋅1 4

k1=

1 − ( −1)1 2 = ; 2 ⋅1 + 1 3

k2=

1 − (−1) 2 0 = =0; 2⋅ 2 +1 5

1 − (−1) 4 1 − (−1) 5 2 = . =0; k5= 2 ⋅ 4 +1 2 ⋅ 5 + 1 11

431.

Z an=5n; a1=5Â  a2=5Â  a3=5Â  [ an=5n+1; a1=5Â  a2=5Â  a3=5Â



432*.

Z y2=y1+10=−3+10=7; y3=y2+10=17; y4=y3+10=27. [ y1=10; y2Ây1=2,5; y2= 2,5 =0,25; y3Ây2=2,5; y3= 2,5 10

0,25

Â

=10; y4 y3=2,5;

y4=0,25. \ y1=1,5, y2–y1=1; y2=1+y1=2,5; y3=2+2,5=4,5; y4=3+4,5=7,5. y3=–22 y4=–32 ] y1=–4; y2:y1=–12; y2=–12



± 

 ±

± 

433.

Z

a3=–19; a4=–11,5; d=a4–a3=–11,5+19=7,5; an=a1+d(n–1); a5=a4+d=−4; a3=a4−d=−19; a2=a3=−26,2; a1=a2−d=−34. [ −8,5+2d=−4,5 ⇒ d=2; a2=a1+d; a1=a2–d=–8,5–2=–10,5; an=a1+d(n–1); a5=–10,5+2(5–1)=–10,5+8=–2,5; a6=–10,5+2(6–1)=– 10,5+10=–0,5.



434.

²





p=a1+a2+a3=24, a1, a2, a3 Zjbnf_lbq_kdZy ijh]j_kkby agZqbl a2=a1+d, a3=a1+2d, ihwlhfm i_jbf_lj p=3a1+3d=3(a1+d); 3(a1+d)=24; a1+d=8; gh a1+d=a2 agZqbl a2=8. p–8=a1+a3=16, a3=16–a1. Ke_^h\Zl_evgh a1 fh`_l ijbgbfZlv ex[h_ p_eh_ agZq_gb_ hl ^h BlZd klhjhgu û jZ\gu Z, 8, 16–Z ]^_ Z∈Z, 1 Z .



435.





” ”

 



ϕ1+ϕ2+ϕ3=180°; ϕ2=ϕ1+d, ϕ3=ϕ3+d=ϕ1+2d. Lh]^Z ϕ1+ϕ2+ϕ3=ϕ1+ϕ1+d+ϕ1+2d=3ϕ1+3d; 3(ϕ1+d)=180°; ϕ1+d=ϕ2=60°.

20

436*.

Z < Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkbb an=an–1+d; an+1=an+d; ba \lhjh]h jZ\_gkl\Z an=an+1–d; keh`bf ^\Z wlbo \ujZ`_gby ^ey an:2an= 1 =an–1+d+an+1–d=an–1+an+1; agZqbl an= (an–1+an+1), ql^ 2 [ Imklv \ ihke_^h\Zl_evghklb (an) ^ey ex[h]h n \uihegy_lky jZ\_gkl\h an=  (an–1+an+1); 2an=an–1+an+1; an+an=an–1+an+1; an–an–  1=an+1–an. Ke_^h\Zl_evgh gZc^_lky lZdh_ qbkeh d=an–an–1 qlh an+1=an+d, l_ (an ih hij_^_e_gbx Zjbnf_lbq_kdZy ijh]j_kkby 437*.

Z a4−a2=2d; a2n+2−a2n=2d Ke_^h\Zl_evgh (a2n) ² Zjbnf_lbq_kdZy ijh]j_kkby k jZaghklvx 2d. [ (an+1–1)–(an–1)=an+1–an=d Ke_^h\Zl_evgh (an–1) ² Zjbnf_lbq_kdZy ijh]j_kkby k jZaghklvx d. \ 2an+1–2an=2(an+1–an)=2d Ke_^h\Zl_evgh (2an) ² Zjbnf_lbq_kdZy ijh]j_kkby k jZaghklvx 2d. ] an+12–an2=(an+1–an)(a1+dn+a1+d(n–1))=d(2a1+d(2n–1)) – aZ\bkbl hl n. Ke_^h\Zl_evgh (an2) — g_ y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkb_c. 438.

Z

an=a1+d(n–1);

a12=9 3 –2+(2– 3 )

± 

3 –2+22–

11 3 =20–2 3 .

[ an=a1+d(n–1); a8= 5 =

3 −7 3−2 + 3 3

±

5 3 − 7 7 3 − 14 = + 3 3

5 3 − 7 + 7 3 − 14 12 3 − 21 = =4 3 –7. 3 3

439.

an − a1 −2,94 − 1,26 + 1 = n; + 1 = 15 . − 0,3 d [ an=a1+d(n–1); a5=a1–0,6 a1–2,4=–3,7; a1=–1,3; an=–1,3–0,6(n– 1)=–0,7–0,6n=–9,7; 0,6n=9; n=15.

Z



Â

21

440.

Z

bn=b1+d(n–1);

3 59 47 2 ; + n=14 = 4 4 20 5

 

3 2 3 2 2 47 2 + (n–1)=2 + n– = + n; 4 5 4 5 5 20 5 59 47 295 − 47 248 248 ⋅ 5 ; n= =31; – = n= = 4 20 20 20 20 ⋅ 2 bn=2



ke_^h\Zl_evgh b31=14 3 . 4 [) bn=b1+d(n–1); bn= 47 + 2 n; 47 + 2 n=8,35; 2 n=8 7 –2 7 =6; 5 20 5 20 5 20 20 6⋅5 ke_^h\Zl_evgh b15=8,35. n= 1⋅ 2





441*.

Z

1 1 1 1 1 1  )–(–10 )= ; an=–10 +(n–1) ; –10 +(n–1) >0; 4 2 4 2 4 2  43 1 1 1 3 1 1 –10 + n– >0; –10 >– n; n> ; n>43 ⇒ n=44. 2 4 4 4 4 4 4 Ke_^h\Zl_evgh Z44=–10 1 + 43 =– 21 + 43 = 43 – 21 = 43 − 42 = 1 . 2 4 2 4 4 4 4 4 1 2−3 1 1 1 1 1 = ; an=8 +(n–1)d; 8 +(n–1)(– )<0; [ d=8 –8 = 2 6 6 6 3 3 3 1 25 1 50 + 1 1 – n+ <0; < n; n>51 ⇒ n=52 6 6 3 6 6 Ke_^h\Zl_evgh Z52=8 1 +(52–1)(– 1 )=8 1 – 51 = 50 − 51 =– 1 . 6 6 3 3 6 6 d=(–10





442.

Z mn=m1+d(n–1); m2=m1+d; m7=m1+6d; m4=m1+3d; ke_^h\Zl_evgh m2+m7–m4–m5=m1+d+m1+6d–(m1+3d)–(m1+4d

m5=m5+4d;



l_

m2+m7=m4+m5. [ mn=m1+d(n–1); mn–5=m1+d(n–6); mn+10=m1+d(n+9); mn+5=m1+d(n+4); ke_^h\Zl_evgh mn–5+mn+10–mn–mn+5=m1+d(n–6)+m1+d(n+9)–m1–d(n–1)–m1– d(n+4)= =d(n–6+n+9–n+1–n l _ mn–5+mn+10=mn+mn+5.





±   

443. xm=x1+d(m–1); xn=x1+d(n–1). xm–xn=x1+d(m–1)–x1–d(n–1)=dm–dn=d(m–n), ⇒ d= 22

xm − xn . m−n

444.

Z a37=a20+17d ⇒ d = a37 − a20 = −0,1 . 17 [ a100=a10+90d=270+90(−3)=0. 445.

Z a1= 2 ; a2= 3 ; d=a2–a1= 3 – 2 = 9 − 8 =

1 ; 4 4 3 12 12 2a + d (n − 1) n; Sn= 1 2 2 1 4 3 +4 2 ⋅ 3 + 12 (10 − 1) (16 + 1) ⋅ 5 5 3 10= 10= S10= =10 ; 2 2 12 12 3

Â

Â

[ a1=

Â

3 ; a2= 12 ; d=a2–a1= 12 – 3 =2 3 – 3 = 3 2a1 + d (n − 1) n; Sn= 2 2 3 + 3 (10 − 1) 2 3 +9 3 3; 10= 10=11 3 S10= 2 2

Â

Â

 

Â

446.

Z

a1=2; a2=6; d=a2–a1=6–2=4; Sn=

+4(n–1); n=50; S50=

[

a1=95;

Â

2 ⋅ 2 + 4(50 − 1) 50=5000; 2

a2=85;

Â

d=a2–a1=85–955=–10;

–155=95–10(n–1); n=26; S26=

447.

2a1 + d (n − 1) n; 198=2+ 2



Sn=

2a1 + d (n − 1) n; 2

Â

2 ⋅ 95 − 10(26 − 1) 26=–780. 2

Â

²

Imklv O — \_jrbgZ A1, …, A12 gZ h^ghc klhjhg_ m]eZ (AkAk+1=a) B1, … B12 — gZ ^jm]hc klhjhg_ m]eZ ûOAkBk~ûOA1B1. AgZqbl ∆A k B k = OA k =k; AkBk=kA1B1; Ak+1Bk+1–AkBk=A1B1. A 1 B1 OA 1



Ke_^h\Zl_evgh ^ebgu hlj_adh\ y\eyxlky qe_gZfb Zjbnbf_lbq_kdhc ijh]j_kkbb k i_j\uf qe_ghf a1=3 b jZaghklvx

23



d=a1

Z

kmffZ

bo

2a + d (12 − 1) 2 ⋅ 3 + 3 ⋅11 12= 12=6 S12= 1 2 2

Â

Â

^ebg

   kf;

jZ\gZ

448.

Z

an=a1+d(n–1)=a1+11(–0,4); 2,4=a1–4,4; a1=6,8 2a1 + d (n − 1) 2 ⋅ 6,8 − 0,4 ⋅11 ⋅12 =6 9,2=55,2. n; S12= Sn= 2 2 2a + d (n − 1) −70 + 5(n − 1) [ Sn= 1 n=250; n=250; n2–15n–100=0; 2 2 15 ± 25 ; n=20 beb n=–5, g_ ih^oh^bl ih D=(−15)2−4⋅1⋅(−100)=625; n= 2 kfukem aZ^Zqb an=a20=a1+d(n–1)=–35+5 a + 50 n; 5050=(a1+50)n. < lh`_ \j_fy \ Sn= a1 + an n; 2525= 1 2 2

Â

Â



Â



Â

Â

Â

an=a1+d(n–1); 50=a1+

 

 

5050 = a1 n + 50n;  1 1  50 = a1 + 2 n − 2 ; 

±  Bf__f kbkl_fm

(n

101 − n  2 ⋅ n + 50n = 5050  a = 101 − n  1 2

101 n2 + 50n ; n− n2–201n+10100=0; D=(−201)2– 2 2 201± 1 1 ; n1=100 beb n2=101; n1=100, a1= ; n2=101, 4⋅1⋅10100=1; n= 2 2 1 1 a1=0. − − 29 2 ] Sn= a1 + an n; –450=– 2 n; 900=30n; n=30. an=a1+d(n–1); 2 2 5050=



–29

 

Â

=–

 

+d(30–1); –29

Â

 

=–

 

+29d; –29=29d; d=–1.

449*. x10=x1+9d; 1=x1+9d; S16=

kbkl_fm

24

2 x1 + 15d 16; 4=(2x1+15d)8. 2

Â

Ihemqbf

7   x1 = − 2 ,  d = 1 .  2

 x1 + 9d = 1,  x1 = 1 − 9d ,  x1 = 1 − 9d ,    4 x1 + 30d = 1; 4(1 − 9d ) + 30d = 1; 6d = 3;

450.

Z

d=1; Sn=

qbk_e  [

+ G  Q −  

n–1; n=90; S

90=

d=1; Sn=

qbk_e 

D

Ân GZc^_f dhebq_kl\h ^\magZqguo 2 ⋅10 + 1(90 − 1) 90=4905. 2

Â

2a1 + d (n − 1) n 2

  GZc^_f dhebq_kl\h ^\magZqguo

n–1;

n=900; S900=

2 ⋅100 + 1(900 − 1) 900=494550. 2

Â

451.

Z an=2n. 2n≤200; n≤100. a1=2; a100=2Â

 S = a1 +2 an Ân; n

(2 + 200) 100=10100. 2 [ an=2n–1. 2n–1≤150; 2n≤151; n≤75,5; n=75 a1=1; a75=2 (1 + 149) a +a 75=5625. Sn= 1 n n; S75= 2 2 \ a1=102; a33=198=a1+33(n–1); n=33; an=3n. (102 + 198) 33=4950. S33= 2

Â

S100=





452*.



Â

Â

± 

Â

 





Z QbkeZ g_ djZlgu_ lj_f bf_xl \b^ bn=1+3(n–1) b cn=2+3(n– 1). Ihemqbf 1) bn<100; 1+3(n–1)<100; 3(n–1)<99; n–1<33; n<34, lh]^Z 2 ⋅1 + 3(n − 1) 2 + 3 ⋅ 32 Sn=S33= n= ; 2 2 98 2 2) cn<100; 2+3(n–1)<100; 3(n–1)<98; n–1< ; n <32 +1. Lh]^Z 3 3 2 ⋅ 2 + 3(33 − 1) 4 + 3 ⋅ 32 33= 2+3 50 50; S33= 2 2 3) S=1657+1650=3267.

Â

    



Â

     

25

[ JZkkfhljbf Zjbnf_lbq_kdb_ ijh]j_kkbb an=51+(n± b  gZc^_f San b Sbn:

bn=55+5(n–1), lh]^Z bkdhfZy kmffZ S=San–Sbn

1) an=149; 149=51+n–1; n=149–50=99. San=S99=

Â

=99 100=9900. 2) bn=145 — gZb[hevr__ qbkeh 145=55+5(n–1); 145=55+5n–5; 55 + 145 19=100 19=1900. Sbn=S19= 2 3) S=San−Sbn=9900−1900=8000.

149 + 51 99= 2

Â

 djZlgh_  b f_gvr__ 

Â

5n=145–50=95;

n=19;

Â

453*.

Z an=1+(n–1); lh]^Z

Sn=

2 ⋅1 + 1(n − 1) n n= (n 2 2

Â

  ih mkeh\bx a



n+1=Sn;



n n n +(n–1)+1)= (n+1); 5(n+1)= (n+1); l d n+1≠0; lh]^Z =5, n=10. 2 2 2 Bkdhfh_ qbkeh an+1=a11=1+(11–1)=11. [ Ih mkeh\bx an+1=Sn; n+1= Q (n+1); Q =1; n=2; ZgZeh]bqgh a3=3.







454*.

a1=2; a2=5; d=a2–a1=3; an=2+3(n–1)=3n–2. Ijb aZf_g_ q_lguo qe_gh\ gZ ijhlb\hiheh`gh_ qbkeh ihke_^h\Zl_evghklv bf__l \b^  –5; 8; –11; 14; – Ijb n=2k __ qe_g xn=–an, ijb n=2k+1 bf__f xn=an; ke_^h\Zl_evgh xn=(–1)n+1 an=(–1)n+1(3n–2). KmffZ n qe_gh\ wlhc ihke_^h\Zl_evghklb jZ\gZ Sn=x1+x2+x3+...+xn=a1–a2+a3– –a4+...+(–1)n+1 an=(a1+a3+...)–(a2+a4+...). S50=S’−S” ]^_ S’ kmffZ g_q_lguo

 ± qe_gh\ S” ± kmffZ q_lguo qe_gh\ Ihke_^h\Zl_evghklv g_q_lguo qe_gh\ (an): a1; a3; ...; a2k–1; ... n≤50, l_ k–1≤50, 2k≤51; k≤ Wlh ² Zjbnf_lbq_kdZy ijh]j_kkby k jZaghklvx d: a2k–1–a2(k–1)–1=a1+(2k–1–1)d–a1–(2(k–1)–2)d=(2k–2)d–(2k–4)d= =2d. S1=

2a1 + 2d ⋅ 24 2

   

Ihke_^h\Zl_evghklv a2k q_lguo qe_gh\ (an); y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkb_c k jZaghklvx 2d b k i_j\uf qe_ghf jZ\guf a2; 2 ⋅ a 2 + 2d ⋅ 24 Â Â Â  2k≤ l_ k≤25. S2= 2 BlZd bkdhfZy kmffZ S′50=1850–1925=–75. 26

455. x ⋅ x 2 ⋅ x3 ⋅ ... ⋅ x n x1+ 2 +...+ n = 1+ 3+...+ 2 n −1 ; 3 5 2 n −1 x ⋅ x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x x

Z

n

(n +1)

1 + (2n − 1) x2 1+3+...+(2n–1)= n=n2; 2 xn

Â

[

1+2+...+n= 1

= x2

2

n n2 + −n2 2

Â

1+ n n n= (n+1); 2 2

=x

n−n2 2

.

x 2 ⋅ x 4 ⋅ x 6 ⋅ ... ⋅ x 2 n x 2 + 4 +...+ 2 n ( x 2 )1+ 2 +...+ n = 1+ 2+...+ n = 1+ 2 +...+ n = x ⋅ x 2 ⋅ x3 ⋅ ... ⋅ x n x x 1+ 2 +... + n

 x2  =   x   

n

= x1+ 2 +...+ n = x 2

( n +1)

.

456*.

Z a1=8,2; a2=7,4; d=7,4–8,2=–0,8. Hij_^_ebf ghf_j ihke_^g_]h iheh`bl_evgh]h qe_gZ ijh]j_kkbb an=a1+d(n–1)>0; 8,2+(–0,8)(n–   1)>0; 8,2–0,8n+0,8>0; 0,8n<9; n<9:0,8; 9:0,8=9Â =11,25; n<11 , l_   n≤ BlZd ihke_^gbf iheh`bl_evguf qe_ghf y\ey_lky an Lh]^Z 2a1 + 10d 2 ⋅ 8,2 + 10 ⋅ 0,2 = 2 2 a1=–6,5; a2=–6; d=–6+6,5=0,5.

Â

Â

S11=

Â

(8,2+1) 11=101,2.

Hij_^_ebf ghf_j ihke_^g_]h [ hljbpZl_evgh]h qe_gZ ihke_^h\Zl_evghklb an=a1+d(n–1)<0; – 6,5+0,5(n– –1)<0; –6,5+0,5n–0,5<0; 0,5n<6,5+0,5; 0,5n<7; n<14. BlZd ihke_^gbf hljbpZl_evguf qe_ghf y\ey_lky a13. Lh]^Z 2a1 + 12d −6,5 ⋅ 2 + 12 ⋅ 0,5 3= 2 2 −13 + 6 7 = ⋅ 13 = − ⋅ 13 = −45,5 . 2 2

Â

S13=

457*. S10= S30=

l_fm

¶ ¶

+ G 

Â0=(2a +9d)Â  a +9d=20

+ G 

Â3=

1

1

Â30=(2a +29d)Â  a +29d=60. Ihemqbf kbk1

1

2a1 + 9d = 20 2a1 + 9d = 20 2a1 + 9d = 20 a1 = 1     d = 2 d = 2 2a1 + 29d = 60 20d = 40 27

S40=

2a1 + 39d 40=(2+2 2

Â

   

458. 2a1 + 19d 20=(2a1+19d) 2 2a + 39d S40= 1 40=(2a1+39d) 2

Z S20=

Â

1

  a +39d=500. Ihemqbf

Â

kbkl_fm

  a +19d=100 1

2a1 + 19d = 100 2a1 + 19d = 100 a1 = 140 ;    d = 20 2a1 + 39d = 500 20d = 400; a50=a1+49d=–140+49 2a + 4d a1+2d=0,1 [ S5= 1 5=(a1+2d) 2 2a + 14d a1+7d=−5,4 S15= 1 15=(a1+7d) 2



Â

      ±

Â

lh]^Z

a1 + 2d = 0,1, a1 + 2d = 0,1 a = 2,3    d = −1,1 a1 + 7d = −5,4; 5d = −5,5 Lh]^Z a50=a1+49d=2,3+49(–1,1)=–51,6.

459.

Z an=2n+1; a1=2Â

(a1 + a2 ) (3 + 2n + 1)n 4n + 2n 2 = n= =2n+n2. 2 2 2 ( 2 + 3 − n) (a1 + a2 ) 5n − n 2 n= an=3−n; a1=3–1=2; Sn= n= . 2 2 2

Â

Sn=

[



Â

Â

460*.



Sn=n2−8n; a1=S1=–7, l d Sn=Sn–1+an, lh an=Sn−Sn–1=n2–8n–((n–1)2– 8(n–1))=n2–8n–(n2–2n+1–8n+8)=2n–8=–6+2(n–1). Ke_^h\Zl_evgh (an) y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdhc ijh]j_kkb_c a5=–6+2



 

461*. Sn=

2a1 + d (n − 1) d d d n=a1n+ (n–1)n= n2+n(a1– ). 2 2 2 2

IjbjZ\gy_f dhwnnbpb_glu ijb h^bgZdh\uo kl_i_gyo qbf 28

 ihem-

n

Z Sn=–n2+3n= d n2+(a1– d )n. d–2; a1+1=3, a1=2. 2 2 [  \  ] g_ y\eyxlky Zjbnf_lbq_kdbfb ijh]j_kkbyfb lZd dZd \ bo nhjfmeZo kmffu n qe_gh\ ijbkmlkl\m_l keZ]Z_fh_ g_ aZ\bkys__ hl n. 462.

Z b1=

q=

b3 135 3 =− = − =–0,6; 225 5 b4

b2=

b2 −135 ⋅ 3  3 = =81; b6=b5 q=81  −  =–48,6. −5 q  5 b b 36  =1,5; b3= 4 = [ q= 5 = =24; q 1,5 b4 

Â

Â



b1=

b3 225 ⋅ 3 = =–135; −5 q

b2=

b3 24 = =16; q 1,5

b2 16  = =1 ;  q 1,5

463*.

Z

 GZc^_f agZf_gZl_ev ]_hf_ljbq_kdhc n ijh]j_kkbb yn +1 = xn +1 + 1 = x1qn −1+ 1 — aZ\bkbl hl n ke_^h\Zyn xn + 1 x1q + 1 l_evgh (y ) g_ y\ey_lky ]_hf_ljbq_kdhc ijh]j_kkb_c [ y =3x ; y =3x  GZc^_f agZf_gZl_ev ]_hf_ljbq_kdhc y 3x + 1 x + 1 ijh]j_kkbb n +1 = n = n =q agZqbl y y\ey_lky ]_hf_ly 3x x yn=xn+1; yn+1=xn+1

n

n

n

n+1

n+1

n

n

n

n

jbq_kdhc ijh]j_kkb_c kh agZf_gZl_e_f q. \ yn= xn2 ; yn+1= x n2+1  GZc^_f agZf_gZl_ev ]_hf_ljbq_kdhc

ijh]j_kkbb agZqbl q2.

(yn)

y n +1 x n2+1 ( x1 q n ) 2 x12 q 2 n = 2 = = = yn xn ( x1 q n −1 ) 2 x12 q 2( n −1)

=

q 2n q 2( n −1)

=q2;

y\ey_lky ]_hf_ljbq_kdhc ijh]j_kkb_c kh agZf_gZl_e_f

29

]

yn=

1 1 ; yn+1= xn xn +1

ijh]j_kkbb

 GZc^_f agZf_gZl_ev ]_hf_ljbq_kdhc

y n +1 x 1 = n = ; yn x n +1 q

agZqbl

(yn)

y\ey_lky ]_hf_ljbq_kdhc

1 . q

ijh]j_kkb_c kh agZf_gZl_e_f 464.



Imklv x1, x2, x3 — Zjbnf_lbq_kdZy ijh]j_kkby lh]^Z x2=x1+d, x3=x1+2d=x2+d. Imklv x1, x2, x3 — ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby lh]^Z x2 x3 = , x22 =x1 x3; (x1+d)2=x1(x1+2d); x12 +2x1d+d2= x12 +2dx1; d2=0, x1 x2 d=0 wlh agZqbl qlh o1=o2=o3 ex[u_ qbkeZ g_ jZ\gu_ gmex



Â



±







465*.

Z Imklv (bn) — ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby lh]^Z bn+1=qbn; lh]^Z bn2 =q2 bn2−1 =q2 bn −1 EQ− =q bn −1 bn= bn −1 bn +1 . [ Imklv

lh]^Z

bn2 = bn −1 bn +1 ,

bn b = n +1 = q , bn b n −1

bn=qbn–1;

Z wlh b hagZqZ_l

qlh (bn) — ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby 466.

Z GZc^_f agZf_gZl_ev ]_hf_ljbq_kdhc ihke_^h\Zl_evghklb

xn + 1 2n +1 = n = xn 2

 ke_^h\Zl_evgh x y\ey_lky ]_hf_ljbq_kdhc ijhn

]j_kkb_c kh agZf_gZl_e_f q=2. [ GZc^_f agZf_gZl_ev ]_hf_ljbq_kdhc ihke_^h\Zl_evghklb xn + 1 3 − n −1 1 1 = − n = xn+1= xn xn 3 3 3

 ke_^h\Zl_evgh x y\ey_lky ]_hf_ljbn

q_kdhc ijh]j_kkb_c kh agZf_gZl_e_f q= 1 . 3 \ GZc^_f agZf_gZl_ev ]_hf_ljbq_kdhc ihke_^h\Zl_evghklb

xn + 1 (n + 1) 2 n 2 + 2n + 1 = = xn n2 n2 ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby. 30

² aZ\bkbl hl n, ke_^h\Zl_evgh (x ) g_ n

467.

Z bn=b1qn–1; b8= 243 ⋅  2 

8 −1

256  3 

[ bn=b1qn–1; b5=

=

( )

2 ⋅− 6 3

5 −1

35 ⋅ 2 7 1 1 = 1 2 = . 8 7 18 2 ⋅3 2 ⋅3 =

2 ⋅( 6)4

= 36

3

6 = 12 6 . 3

468.

5 1 1 E  ⋅  = ; q1= ; q2=– ; ; b9=b5q4; q4=  = E  ⋅  3 3 3 1 1 1 1 1) q= ; b6=135 =45; b7=45 =15; b8=15 =5. 3 3 3 3  1 1 1 )=–45; b7=–45 )=15; b8=15 )=–5. 2) q=– ; b6=135  3 3 3

b5=135; b9=

Â

Â

±

469.

Â

±



±



bn=b1qn–1; bn+1=b1qn JZkkfhljbf jZaghklv bn+1–bn=b1qn–1(q–1)>0; Z b1>0, q> ke_^h\Zl_evgh bn+1>bn. [ b1>0, 0 ke_^h\Zl_evgh bn+1b1.

   



   

470.

Z an=a1qn–1; a2=a1q; a3=a1q2; a5=a1q4; a6=a1q5. a1qÂa1q5–a1q2Âa1q4= a12 q6– a12 q6  Ke_^h\Zl_evgh a2a6=a3a5. [ an=a1qn–1; an–3=a1qn–4; an+8=a1qn+7; an+5=a1qn+4. a1qn–4Âa1qn+7–a1qn–1Âa1qn+4= a12 q2n+3– a12 q2n+3  ke_^h\Zl_evgh

an–

3an+8=anan+5

471.

 JZkkfhljbf hlghr_gb_  ke_^h\Zl_evgh b =b q .

bn=b1qn–1; bm=b1qm–1 1)

=qn–m

bn b q n −1 = 1 m −1 =qn–1–(m– bm b1q

n–m

n

m

31

472*. x (q n − 1) Sn= 1 ; q −1 x1=

20

5

1 −1 3

;

Â

1 61 4 ( − )=x1( − 5 –1); 3 3 3

61 ⋅ 4 3 5 61 ⋅ 4 ⋅ 3 3 244 ⋅ 27 = ⋅ = =27, xn=x5=27 9 1 + 35 244 1 + 35 −1 q −1

[ Sn=x1 q

n

\  

=

1 x1 = ; 2  − 

(–1)n=1;

]

Q

Q 



–1; =

 

Q

8q − 1  15 = q − 1 ,  q n −1 = 8; 

qn − 1 1 Sn=x1 = q −1 2 1 (−1)n = n ; 64 2 ; n=6. xn=x6=

q = 3 ; Sn=





4



=

1 . 3

7q = 14, q = 2,  n −1  q = 8; n = 4.

(− ) Â

1 n −1 2 ; 3 −2

1 >0 ⇒ n 64

 1 n    −  − 1 ;  2    

21 1 =– 64 3

± q_lgh

⇒ (−1)n=1

5

1  1 1 1 .  −  =– 6 =– 2  2 64 2

Â

3 ⋅18 − x1 xn q n − x1 18 3 ⋅ 3 − x1 ; 26 3 +24= ; = q −1 3 −1 3 −1

(26 3 +24)( 3 –1)=3 x1=2

  − 13 

 Bkoh^y ba mkeh\by aZibr_f kbkl_fm

 q n −1 , 165 = 11 q −1   n −1 88 = 11q ;

–

1 = 3

( ) − 1

 1 x1  − 3 

±x ; 1

; xn=x1qn–1; 18 3 =2 3 ( 3

26

Â



n −1 )n–1; 9= 9 4 ;

–26



–24–3

 ±x ; 1

n=5.

473*. xn=Sn–Sn–1;

xn=

 Â Â

.

x1=3

b

3 n 3 3  (5 –1)– (5n–1–1)= (5n–5n–1)= 5n–1 4 4 4 

Ke_^h\Zl_evgh (xn y\ey_lky ]_hf_ljbq_kdhc ijh]j_kkb_c k

q=5.

32

n–1

474*. S5=b1 =

(

q 5 − 1 11 = ; q − 1 64

) Â

S10 − S 5 = b1 ⋅

q10 − 1 q5 − 1 − b1 ⋅ = q −1 q −1

Â

Â

11  b     q10 − q 5 =q5 S5=– ; – =q5 ; q5=– =– =–32. q −1 2      b b S15–S10= 1 (q15–1–q10+1)= 1 q10(q5–1)=q10 S5=(–32)2 S5= q −1 q −1

Â

=16

Â

ÂÂ  =16Â  

475. −1 x 5 −1 ; S5= q −1 x −1

Z q=x; Sn= b1 q

n

−1 − x 7 −1 x 7 +1 = . ; S7= q −1 − x −1 x +1

[ q=–x; Sn= b1 q

n

476.

Z

1 2 1

q=

=

2− 2 ; 2

S=

2− 2 =

2 (2 − 2 )( 2 )

=

2 2 2 −2

=

1 2 −1

=

 2− 2  b1 1 = = : 1 − q − 1 2 − 2  2 

2 +1 = 2 +1; 2 −1

[ S=

q=

 2− 2  2+ 2 2 2 +2 b1 = =1: 1 − = =  2+ 2  q −1 2⋅2 2 2  

2− 2 2+ 2

;

2 +1 . 2

477.

Z b1=1; b2=sin30°= 1 ; q= 1 ; S= 2

2

b1 1 =2. = q −1 1− 1 2

( )

33

[ =

b 3 3 1 ; q=– ; S= 1 = q −1 1+ 2 2

b1=1; b2=–cos30°=–

2( 2 − 3 ) (2 + 3 )(2 − 3 )

3 2

=

2 2+ 3

=

= 2( 2 − 3 ) .

478*. q=

2 , 3

ke_^h\Zl_evgh ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby ² [_kdhg_qgh

m[u\ZxsZy S= Z 4,5= [

b1 1−

2 3

b1 . q −1 ; b1=

1 3

  15

2

5  3  15 ; S= 4 2 = 3 b3= ; b3=q b1; b1=   = 4  3 2 1− 

2

Â

3

  =11 14 .

479. b2=18; S=81; S= =

b2 b b b1 ; q(1–q)= 2 = ; b2=b1q; b1= 2 ; S= 1− q q (1 − q ) q S

2 18 2 = ; q − q 2 = ; 9q2−9q+2=0; D=(−9)2−4⋅9⋅2=9; 9 81 9 19 + 3 2 19 − 3 1 q1= = ; q2= = . 18 3 18 3 2 2 Ijb q= , b3=b2q=18 =12. Ijb q= 1 , b3=b2q=18 3 3 3



Â

480.



Z 2,01(06)=2,01+0,01Â   q_kdZy ijh]j_kkby GZc^_f __ kmffm 2,01(06)=2+

34

1 2 7 + =2 . 100 3300 660

  =6.

 ² ]_hf_ljbq=0,01, |q|=<1; S=

0,06 2 = ; 0,99 33

[ 5,25(21)=5,25+0,01Â21); 0,(21)=0,21+0,0021... — ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby GZc^_f __ kmffm q=0,01, |q|<1; S= 0,21 = 7 ;

0,99 33 25 7 208 =5 5,25(21)=5+ . + 100 3300 825 \ 0,00(1)=0,01 1+0,01+... — ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby GZc^_f __ kmffm q=0,1, |q|=<1; S= 0,1 = 1 ; 0,00(1)= 1 0,9 9 900 ] 0,28(30)=0,28+0,01 ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby GZc^_f __ kmffm q= 0,0030 =0,01, |q|<1; 0,30 0,30 10 28 10 924 + 10 934 467 = ; 0,28(30)= = = = . S= + 0,99 33 100 3300 3300 3300 1650





         ²  



481.

JZ^bmku djm]h\ − ]_hf_ljbq_kdZy ijh]j_kkby Rn kh agZf_gZl_e_f q= 1 < b R1=R klhjhgu d\Z^jZlh\ − ]_hf_ljbq_2

kdZy ijh]j_kkby (an kh agZf_gZl_e_f q= Z >ebgu hdjm`ghkl_c ]j_kkbx kh S=

2πR 1−

1 2

==

2πR 2 2 −1

1 2

<

 b a =R 1

2.

h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx ijh1 agZf_gZl_e_f q= ;

ln=2πRn

2

=2 πR(2 + 2 ) .

[ IehsZ^b djm]h\ Sn=2πRn h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx ijh]j_k2

2   kbx kh agZf_gZl_e_f q=  1  = 1 ; S= πR 1 =2 πR 2 . 2 1− 2  2

\ I_jbf_lju d\Z^jZlh\

]j_kkbx kh agZf_gZl_e_f q=

pn=4an

h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx ijh-

1

4R 2

2

; S=

1−

1 2

=

8R 2 −1

=8R(1+ 2 ).

35

] IehsZ^b d\Z^jZlh\

h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx ijh-

Sn= ¶Q , 2

 1  2R 2 1  = ; S= =4 R 2  1 2 1− 2  2

]j_kkbx kh agZf_gZl_e_f q=  482*.

>ebgu klhjhg lj_m]hevgbdZ y\eyxlky qe_gZfb ]_hf_ljbq_kdhc ijh]j_kkbb (an kh agZf_gZl_e_f 1 < b a1=a JZ^bmku hdjm`ghkl_c 2 y\eyxlky qe_gZfb ]_hf_ljbq_kdhc ijh]j_kkbb (rn) kh agZf_gZl_e_f 1 a < b r1= . 2

2 3

Z I_jbf_lju lj_m]hevgbdh\ pn=3an h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx =6a. ijh]j_kkbx kh agZf_gZl_e_f q= 1 ; S= 3a1 = 3a 1 1− 2

2

a n2

[ IehsZ^b lj_m]hevgbdh\ Sn=

3

]j_kkbx kh agZf_gZl_e_f q= 1 ; S= 2

] IehsZ^b djm]h\

kbx kh agZf_gZl_e_f q= 1 ; S= 4

36

3 3 4

=a2

3 . 3

h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx ijh-

ln=2πrn

Sn=π UQ

2

4⋅

4

\ >ebgu hdjm`ghkl_c

h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx

4

ijh]j_kkbx kh agZf_gZl_e_f q= 1 ; S= a

2

2πa 2 3

1 2

=

2πa 3 . 3

h[jZamxl ]_hf_ljbq_kdmx ijh]j_kπa 2 3

12 ⋅ 4

=

πa 2 . 9

483.

Z Dp=R nmgdpby q_lgZ lZd dZd kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh  b

j(o)=j(–o): (−o)4=o4.

[ Dp=R nmgdpby y\ey_lky q_lghc ld hgZ kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh  b j(–o)=–3(–o)6=–3o6=j(o). \ Dp=R nmgdpby y\ey_lky q_lghc ld hgZ kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh  b j(o)=  = 21 =p(x).  −[



+

x +1

484.

Z Dg=R nmgdpby y\ey_lky g_q_lghc lZd dZd kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh  b g(–o)=(–o)5=–o5=–g(o). [ Dg=R nmgdpby y\ey_lky g_q_lghc lZd dZd kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh  b g(–o)=–4(–o)3=4o3=–(–4o3)=–g(o). \ H[eZklv hij_^_e_gby Dg=(–’; 0)∪(0;+’ nmgdpby y\ey_lky g_q_lghc lZd dZd kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh  b g(–o)=

12

12

=–g(o). (− x ) x3 ] Dg R nmgdpby y\ey_lky g_q_lghc lZd kbl_evgh  b g(–o)=–o−o=–oo=–g(o). 3

=−

dZd kbff_ljbqgZ hlgh-

485.

Z Df=R — kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh  b f(x)= =3x4−x2+5=3(–o)4−(–o)2+5=f(–o  agZqbl f(x) ± q_lgZy [ Df=R — kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh  b f(–o)=(–o)7+2(–o)3= =–o7−2x3=−(x7−2x3)=−f(x), ke_^h\Zl_evgh f(x)− g_q_lgZy \ f(−x)=5(−x)−1=−5x− agZqbl g_ [m^_l gb g_q_lghc gb q_lghc nmgdpb_c ] f(−x)=(−x)2+(−x)+1=x2−x+1≠f(x) b ≠–f(x  ke_^h\Zl_evgh f(x)−g_ y\ey_lky gb q_lghc gb g_q_lghc ^ Df=(–’; 0)∪(0;+’ − nmgdpby kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh  b 1 1 f(–o)= =− 5 = − f (x )  ke_^h\Zl_evgh f(x) − g_q_lgZy 5 −x +x x −x nmgdpby e) Df²kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh  b f(–o)=(−x−3)2+(−x+3)2= =(x+3)2+(x−3)2=f(x  agZqbl f(x)−q_lgZy nmgdpby 486. 1

Z Dg=R — ]jZnbd nmgdpbb kbff_ljbq_g hlghkbl_evgh  b g(–

o)=5(−x)3=−5x3=−g(x  agZqbl g(x)−g_q_lgZy nmgdpby [ g(–o)=−(–o)+5=x+5≠g(x) b nmgdpby g(−x)≠–g(x) ke_^h\Zl_ev-

gh g(x)−g_ y\ey_lky gb q_lghc gb g_q_lghc nmgdpb_c \ Dg=(–’;–1)∪(–1; 0)∪(0; 1)∪(1;+’) ² ^ZggZy nmgdpby kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh  b g(–o)= 84 = 48  ke_^h\Zl_ev(− x ) − 1

x −1

gh g(x) — q_lgZy nmgdpby ] g(–o)=(−x−2)2=(x+2)2≠g(x) b g(−x)≠g(–x) ke_^h\Zl_evgh g(x) — g_ y\ey_lky gb q_lghc gb g_q_lghc nmgdpb_c 487.

Z

[

488.

Z LZd dZd ]jZnbd q_lghc nmgdpbb kbff_ljbq_g hlghkbl_evgh hkb Hy lh nmgdpby gZ ijhf_`mld_ −∞  ijbgbfZ_l hljbpZl_evgu_ agZq_gby [ LZd dZd ]jZnbd g_q_lghc nmgdpbb kbff_ljbq_g hlghkbl_evgh gZqZeZ dhhj^bgZl lh nmgdpby g_ ijhf_`mld_ −∞  ijbgbfZ_l iheh`bl_evgu_ agZq_gby 489.

Z Ghev nmgdpbb ijb x=−1,5; 1,5; Iheh`bl_evgu_ agZq_gby nmgdpbb ijb x∈(−1,5; 1,5); HljbpZl_evgu_ agZq_gby nmgdpbb ijb x∈[−2; −1,5)∪(1,5; 2].

2

[ Nmgdpby h[jZsZ_lky \ ghev ijb x=−1,5; 1,5;

HljbpZl_evgu_ agZq_gby nmgdpbb ijb x∈(−1,5; 0)∪(1,5; 2]; Iheh`bl_evgu_ agZq_gby nmgdpby ijbgbfZ_l ijb x∈[−2; −1,5)∪(0; 1,5).

490.

Z

6a 5b 5 ⋅ 8a 4b 8 6 ⋅ 8(b 5b 8 )( a 5 a 4 ) 48a 9b13 = = = 3ab . ( 2 a 2b 3 ) 4 2 4 a 8b12 16a 8b12

[

(−3x 2 y ) 4 ⋅ 25 x 3 y 6 (− 3) x 8 y 4 ⋅ 25 x 3 y 6 x11 y10 = = = 9 xy 2 . 9 (15 x 5 y 4 ) 2 225x10 y 8 x10 y 8 4

491.

185=(2⋅32)5=25⋅310=25⋅36⋅34; 126=(22⋅3)6=212⋅36=27⋅25⋅36 lZd 3  b 7=128, 81<128, lh 5<126. 544=(33⋅2)4=312⋅24=310⋅24⋅32, 365 (32⋅22)5=310⋅210=310⋅24⋅26 lZd 2 3  b 6=64, 9<64, lh 4<365. 453=(32⋅5)3=36⋅53, 67=(3⋅2)7=37⋅27=36⋅3⋅27; lZd dZd 53  b ⋅27=384, 125<384, lh 3<67. 4

dZd dZd

492.

Z

 20 x + 7 y = 5,  15 x − 4 y = 50;

 20 x + 7 y = 5,  4 y = 15x − 50;

7(15 x − 50)  = 5, 80 x + 7(15x − 50) = 20, 20 x + 4 15x − 50   ; y= 15 x − 50   y= ; 4 4   185x = 370, 80 x + 105x − 350 = 20, 15 x − 50  y = 15x − 50 ;  y= ;  4 4  x = 2,   x = 2,  y = 15 ⋅ 2 − 50 ;   y = −5.  4 6( x + y ) − 10( x − y ) = 8, [   5( x − y ) + 2( x + y ) = 1; 3

6 x + 6 y − 10 x + 10 y = 8,   5x − 5 y + 2 x + 2 y = 1; x = 4 y − 2,   7(4 y − 2) − 3 y = 1;

− 4 x + 16 y = 8,   7 x − 3 y = 1;  x = 4 y − 2,  28 y − 14 − 3 y = 1;

3   x = 4 ⋅ 5 − 2,  3  y= ; 5 

2  x = 5 ,  3 y = . 5 

 4 y − x = 2,  7 x − 3 y = 1;  x = 4 y − 2,   25 y = 15;

493.

Z = =

−2 x + 10 x − 10 x + 25 2

+

−2 x + 10 16 16 + +1 = +1 = 2 3 x − 15 3( x − 5) ( x − 5)

3(−2 x + 10) + 16( x − 5) + 3( x − 5) 2 3( x − 5) 2

(

=

)

− 6 x + 30 + 16 x − 80 + 3 x 2 − 10 x + 25 3x 2 − 20 x + 25 = ; 3( x − 5) 2 3( x − 5) 2 J_rbf mjZ\g_gb_ x2−20x+25=0; D=202−4⋅3⋅25=100; 20 + 100 20 − 100 10 5 = 5 beb x1 = = = ; 6 6 6 3 5  (3x−5) (x−5) 3x2−20x+25= 3 x − (x − 5) = 3  x2 =

3 x 2 − 20 x + 25 3(x − 5)

2

[

=

(x − 5)(3 x − 5) = 3x − 5 2 3(x − 5) 3(x − 5)

3 y + 18 y + 2 y + 36 2

+

15 y + 57 3 y + 18 15 y + 57 + −2 = −2 = 7 y + 42 ( y + 6) 2 7 ( y + 6)

7(3 y + 18) + (15 y + 57)( y + 6) − 2 ⋅ 7( y + 6) 2 = 7 ( y + 6) 2 ( y + 6)(21 + 15 y + 57 − 14 y − 84) y−6 y−6 . = = = 7( y + 6) 7 y + 42 7 ( y + 6) 2 =

494. 4

⇒

Ijb o=3 y(3)=336 − [hevr_ gmey ijb o=0 5)=(−5)36 ± [hevr_ gmey 495.

Ijb o=−9 y(–9)=(−9)49 y(7)=749 [hevr_ gmey

±

y(0)=036=0; y(–

f_gvr_ gmey ijb o=7

y(0)=049=0;

496.

Nmgdpby f(x)=x20 — \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ ∞ b m[u\Z_l gZ ijhf_`mld_ −∞; 0). Z LZd dZd  lh f(3,7) f(–5,2). \ f(x) — q_lgZy nmgdpby agZqbl f(−7)=f(7). 0<6<7, ke_^h\Zl_evgh f(6)
Nmgdpby g(x)=x35 — \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ −∞;+∞). Z LZd dZd ! lh g(8,9)>g(7,6). [ LZd dZd −4,6>− lh g(−4,6)>g(−5,7). \ LZd dZd −! lh g(−10)>g(7). ] LZd dZd −63< lh g(−63)
Nmgdpby y(x)=x4 — \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ ∞ b m[u\Z_l gZ ijhf_`mld_ −∞; 0). Z LZd dZd <1,2< lh 4<1,54. [ LZd dZd <0,7< lh 4<0,84. \ LZd dZd <0,9< lh 4<14=1. ] LZd dZd –3,4<–3,2< lh ± 4>(–3,2)4. ^ Nmgdpby y(x)=x5 — \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ −∞;+∞) LZd dZd <0,8⇒ 0,35<0,85. _ Nmgdpby y(x)=x5 — \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ −∞;+∞); 

−



1 1     < − ⇒ −  < −  . 3 4    

499. 5

Z Nmgdpby y=x3 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ −∞;+∞) lZd dZd  > lh 5,73>5,43. [ Nmgdpby y=x3 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ −∞;+∞) lZd dZd – 4,1>± lh (−4,1)3>(−4,2)3. \ Nmgdpby y=x3 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ −∞;+∞); lZd dZd 0,8>(−  lh 3>(−1,3)3. ] Nmgdpby y=x6 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ ∞); lZd dZd 0< lh 6<1,86. ^ Nmgdpby y=x6 m[u\Z_l gZ ijhf_`mld_ −∞   lZd dZd ±5,3<– 4,2<  lh (−5,3)6>(−4,2)6. _ Nmgdpby y=x6 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ ∞); lZd dZd 0<2,1< lh 2,16<3,16. 500.

243=35 agZqbl ]jZnbd nmgdpbb y=x5 ijhoh^bl q_j_a lhqdm : 243≠(−3)5 agZqbl ]jZnbd nmgdpbb y=x5 g_ ijhoh^bl q_j_a B; 3125=55, agZqbl ]jZnbd nmgdpbb y=x5 ijhoh^bl q_j_a C.

501.

128=27 ke_^h\Zl_evgh lhqdZ A ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm nmgdpbb y=x7; −128=(−2)7 ke_^h\Zl_evgh lhqdZ B ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm nmgdpbb y=x7; 2187≠(−3)7 ke_^h\Zl_evgh lhqdZ C g_ ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm nmgdpbb y=x7.

502.

Z y=0,725≈0,19; [ y=2,65≈118,81; \ y=(−3,4)5≈−454,35. 503.

Z

6

[

\

]

504.

Z  — q_lgh_ qbkeh ke_^h\Zl_evgh ]jZnbd nmgdpbb y=x40 jZkiheh`_g \ , b ,, q_l\_jlyo [  — g_q_lgh_ qbkeh ke_^h\Zl_evgh ]jZnbd nmgdpbb y=x123 jZkiheh`_g \ , b ,,, q_l\_jlyo 505.

Z  j_r_gby [  j_r_gb_ \ g_l j_r_gbc ]  j_r_gb_ 506.

Z ?keb y [ ?keb y \ ?keb y

lh x1 ≈−1,5; x2 ≈1,5. lh x1≈−1,4; x2 ≈1,4.  lh x1≈−1,7; x2 ≈1,7.





507.

Z x1≈− beb x2≈1,55. 7

[ x1≈− beb x2≈1,7. 508.

Z

y=x3. x −2 −1 y −8 −1

Kljhbf



0 0

1 1

]jZnbd

nmgdpbb

2 8

Kljhbf ]jZnbd nmgdpbb ijyfZy iZjZee_evgZy Hz b ijhoh^ysZy q_j_a    GZoh^bf lhqdm i_j_k_q_gby [  Kljhbf ]jZnbd nmgdpbb 

y=2 —

y=x3.

Kljhbf ]jZnbd nmgdpbb iZjZee_evgZy Hz b ijhoh^ysZy q_j_a    GZoh^bf lhqdm i_j_k_q_gby \  Kljhbf ]jZnbd nmgdpbb y=x3.  Kljhbf ]jZnbd nmgdpbb y=−5 — ijyfZy iZjZee_evgZy Hz b ijhoh^ysZy q_j_a     GZoh^bf lhqdm i_j_k_q_gby Z ≈ [ ≈ \ ≈−1,7). 

y=4−ijyfZy

509.

Nmgdpby y=x6 \hajZklZ_l gZ ∞)

x=1001>2, >10, >102=100, >103=1000⇒y(1001) >26, >106, >1012= =1006, >1018=10006.

510.

Nmgdpby y=x5 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ ±∞;+∞); LZd dZd x=–11<–10, <± lh y(–11)<(–3)5, <(–10)5; ijb x=–105; y(x)=y(–105)=(–105)5=–1025<–1021. 511. f(1)=13=1; f(0)=03=0; f(2)=23=8; f(3)=33=27; I  − I   =  −  = 

I  − I  =  −  =  I  − I  =  −  =  8

f(1)−f(0)
512.

m=ρV ]^_ ρ — iehlghklv V — h[t_f ?keb x — ^ebgZ j_[jZ lh V=x3 ke_^h\Zl_evgh m=ρx3 LZd dZd ijb x  kf m  ] lh  ρ⋅103; ρ  ]kf3). Ke_^h\Zl_evgh m=0,7x3. Ihkljhbf ]jZnbd wlhc aZ\bkbfhklb x m

_keb m



lh x≈5,2.

0 0

1 0,7

2 3 4 5 5,6 18,9 44,8 87,5 Ih kfukem aZ^Zqb x≥0. ?keb x  lh m=5,6; _keb x  lh m=87,5; _keb m  lh x≈3,5;

513.

Z



y=x3.

Kljhbf ]jZnbd nmgdpbb

x −2 −1 0 y −8 −1 0

1 1

2 8

x≈1,3

Kljhbf ]jZnbd nmgdpbb ijyfZy Lhqdb i_j_k_q_gby x1=0; 

y=x+1 ² x y

0 1

2 3

x2≈1,4; x3≈–1,4

[  Kljhbf ]jZnbd nmgdpbb y=x3.  Kljhbf ]jZnbd nmgdpbb y=2x−ijyfZy Lhqdb x1≈1,6; x2≈–0,6; x3≈–1,2 i_j_k_q_gby x y

0 0

2 4

\  Kljhbf ]jZnbd nmgdpbb y=x3.  Kljhbf ]jZnbd nmgdpbb y=2x+1 ² ijyfZy 9

x y

0 1

2 5

514. cn=c1qn−1; c9=c1q9−1=c1q8⇒ c1=

(

c9 q

8

);

=

81

( 3)

8

=

81 = 1; 81

c1 q n − 1

Sn =

q −1

S13 =

  

( 3)

− 1    = 3 −1 13

=  + 

( 3)

13

(

)

− 1 3 + 1  = 2





− +

(





)

−





=

.



515.

1) y=x12−x6⇒ Dy=R ² nmgdpby kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh gmey b y(−x)=(−x)12−(−x)6=x12−x6=y(x) ² q_lgZy nmgdpby 2) y=x9−x5⇒ Dy=R ² kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh gmey b y(−x)=(−x)9−(−x)5=(−x)9−(−x)5=−x9+x5=−(x9−x5) ² g_q_lgZy nmgdpby 3) y=x10−x5; y(−x)=(−x)10−(−x)5=x10+x5 ≠y(x) ≠–y(x)— gb q_lgZy

gb g_q_lgZy nmgdpby 4) y = y( − x) =

pby

x x + x2 +1 −x 4

⇒ Dy=R — kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh gmey b

( − x) + (− x) + 1 4

2

=−

x x + x2 +1 4

=−y(x) ²

g_q_lgZy nmgd-

516.

Z 1 − y + y 1+ y

=

+ 6 y 6 + y 1− y y ( y + 6)(1 + y ) = + = : y − 1 1 + y 1 + y ( y − 1)( y + 1)(6 + y ) 2

2

− y 2 + 2 y −1+ y + y 2 3y −1 1− y y = = 2 + . 1+ y y −1 y 2 −1 y −1

10

− 49 1 2x + 7 = ⋅ − 2 x + 5 4 x 2 + 14 x 4 x 2 − 10

[ 4 x − =

=

2

[ +   [ [ − 

=

  [ −    [ −  −   [  [  [



 [ −   [ +   [ +  ⋅  [ [ + 

+   [ + 

− 

−

=

4 x 2 − 14 x − 10 x + 35 − 4 x 2 − 10 x − 14 x − 35 = 2 x 4 x 2 − 25

(

−[  [  [



− 

517. 144



=−

)

 [



− 

.

agZqbl lhqdZ :

—

ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm nmgdpbb

y= x . 

pbb y=

≠ −

agZqbl lhqdZ < — g_ ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm nmgd-

x.

−100 ∉ Dy=[0;+∞), agZqbl

nmgdpbb y=

lhqdZ K

—

g_ ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm

x.

518. 4

1 1 1 1 ≥ b   = 4 = ; 2 16 2  2 [ ≥ b 3=27; \ LZd dZd − lh g_ y\ey_lky Zjbnf_lbq_kdbf dhjg_f ] ≥ gh 5≠0,0001.

Z

519.

Z ≥ b 2=361; [ ≥ b 3=343; \

6

1 1 1 1 ≥ b   = 6 = ; 2 2 64 2   5

2 25 32  2 ≥ b   = 5 = ; 3 3 343 3   ^ ≥ b 10=1; _ ≥ b 7=0;

]

11

` − 3 ≥ b (2 − 3 ) = 2 2 − 4 3 + 3 = 7 − 4 a 5 −2≥ b  5 − 2)2=5−4 5 +4=9−4 5 . 2

520.

Z 4 16 = 4 24 =2. [ 5 32 = 5 25 = 2. \ 12 1 =1. ] 3 − 1 = −3 1 = −3 8

^

4

5

8

1 1 =− . 3 2 2

1 4 81 4 34 3 = = = . 16 16 24 2

_ 3 3 3 = 3 8

27 3 33 3 = = . 8 23 2

` 3 − 0,027 = − 3 0,027 = − 3 (0,3)3 a 4 0,0625 = 4 (0,5)4 = 0,5.

= −0,3.

521.

Z 9 512 = 9 29 = 2. [ 3 1331 = 3 113 = 11. \ 8 0 =0. ] 7 − 128 = −7 128 = − 7 27 ^

4

16 2 2 =4 4 = . 625 5 5

_ 5 0,00001 = 5 (0,1)5 `

4

7

32

522.

= 0,1.

58 4 625 5 4 54 5 2 = = = = =1 . 81 81 3 3 34 3

a 5 7 19

12

= 2.

4

=5

243 5 35 3 = = . 32 25 2

3;

Z 3 5 ≈1,7; [ 3 − 4 ≈−1,6; \ 3 − 1 =−1; ] 3 2 ≈ 1,25. 523.

Z 4 2 ≈ ±1,2; [ 4 5 ≈ ±1,5; \ 4 8 ≈ ±1,7. 524.

ke_^h\Zl_evgh lhqdZ ? g_ ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm 81 =3≠− ke_^h\Zl_evgh lhqdZ F g_ ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm −16∉Dy=[0;+∞  ke_^h\Zl_evgh lhqdZ K g_ ijbgZ^e_`bl ]jZnb4

81



4

dm

4

0,0001



ke_^h\Zl_evgh lhqdZ L ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm

525. 3 3 3 3

8 =2, agZqbl lhqdZ : ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm

216 =6, agZqbl lhqdZ < ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm

27 =3 ≠– agZqbl lhqdZ K g_ ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm

− 125 =− 3 125 =− agZqbl lhqdZ D ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm

526.

Z

3

1 < 3 3,5 < 3 8 ; 1< 3 3,5 < 3 23 ; 1 < 3 3,5 < 2 ;

[ 3 8 < 3 20 < 3 27 ; 3 23 < 3 20 < 3 33 ⇒ 2 < 3 20 < 3 ; \ 4 1 < 4 9 < 4 16 ; 1< 4 9 < 4 24 ⇒ 1 < 4 9 < 2 ; ] 4 16 < 4 52 < 4 81 ; − 4 2 4 < 4 52 < 4 34 ⇒ 2 < 4 52 < 3 . 527.

Z 3 1 ≤ 3 x ≤ 3 8 ; 1≤ 3 x ≤ 3 23 ⇒ 1 ≤ 3 x ≤ 2 [ 3 − 1 ≤ 3 x ≤ 3 1 ; −1≤ 3 x ≤1. \ 3 − 27 ≤ 3 x ≤ 3 0 ; − 3 33 ≤ x ≤ 0 ⇒ −3 ≤ x ≤ 0 . 13

528.

Z 4 0 ≤ 4 x ≤ 4 1 ⇒ 0≤ 4 x ≤1. [ 4 1 < 4 x < 4 81 ⇒ 1< 4 x < 4 34 ⇒ 1 < 4 x < 3 . \ 4 256 ≤ 4 x ≤ 4 625 ⇒ 4 44 ≤ 4 x ≤ 4 54 ⇒ 4 ≤ 4 x ≤ 5 . 529.

Z n=3 — g_q_lgh_ ⇒ \ujZ`_gb_ bf__l kfuke [ n=7 — g_q_lgh_ ⇒ \ujZ`_gb_ bf__l kfuke \ n=4 — q_lgh_ ⇒ \ujZ`_gb_ g_ bf__l kfukeZ ] n=5 — g_q_lgh_ ⇒ \ujZ`_gb_ bf__l kfuke ^ n=8 — q_lgh_ ⇒ \ujZ`_gb_ g_ bf__l kfukeZ _ (–7)2>0 ⇒ \ujZ`_gb_ bf__l kfuke 530.

Z 5 − 32 = −5 32 = −5 25 = −2 . [ 7 − 1 = −7 1 = −1 . \ −2 4 81 = − 24 34 = −2⋅3=−6. ] −4 3 27 = − 4 ⋅ 3 33 = −4⋅3=−12. ^ 5 32 + 3 − 8 = 2 − 3 8 = 5 25 − 3 23 = 2 − 2 = 0 . _ 4 625 − 3 − 125 = 4 54 + 3 53 = 5 + 5 = 10 . ` −6 3 0,125 = 12 − 63 0,53 = 12−6⋅0,5=12−3=9. a  4 0,0081 = 1 + 104 0,34 = 1+10⋅0,3=1+3=4. 531.

Z 3 − 31 = − 3 31 . [ 5 − 17 = −5 17 . \ 11 − 2 = −11 2 . ] 17 − 6 = −17 6 . 532.

Z 3 − 125 = −3 125 = −3 53 [ 6 0 = 0 . 14

= −5 .

\ −5 4 16 = − 54 2 4 = −5⋅2=−10. ] −3 3 − 64 =−3⋅(− 3 43 )=−3⋅(−4)=12. ^ 3 − 3 3 +

2,25 = −3

8

27 33 + 1,5 = −3 3 + 8 2

_ 34 16 − 43 27 = 34 24 − 43 33

(1,5)2

=−

3 + 1,5 =0. 2

= 3 ⋅ 2 − 4 ⋅ 3 = 6 − 12 = −6 .

533.

Z (

10

)

2

2

 1 = 10 2  =10.     3

[ (

 1 5 =  5 3  =5.    

\ (−

4

)

3

3

12

)

4

4

]

(2

5

−2

)

5

=2 ⋅ 5

1  =  − 12 4  = 12.    

(

5

−2

( )

1 6

)

5

(

=2 ⋅ − 2 5

^

6

_

2 4 (− 3) = 2 3 4 = 2 ⋅ 34

`

− 25 3 = − 5 2

a

2 6 = 26 4

6

6

6

)

5

5

 1 = − 32 ⋅  2 5  = −32⋅2=−64.    

= 2.

( )

4

( ) (4 ) = 6

64 2 =

5

3 2

3

6

1 4

= 2⋅3=6.

( )

= 5 6 = − 56 6

46 =

( )

1 46 6

1 6

= −5.

= 4.

534.

Z

( 7) 4

4

4

 1 = 74  = 7 .    

15

[

( − 3 ) = (− 3 ) 7

7

\ (2

4

3

)

4

7

7

7

 1 =  − 3 7  = −3 .    

( 3)

=2 ⋅ 4

4

4

4

 1 = 16 ⋅  3 4  = 16⋅3=48.    

]

(− 3 2 ) = (− 3) ⋅ ( 2 )

^

5

3

3

3

3

3

3

 1 = −27 2 3  =−27⋅2=−54.    

5

 1 7 =  7 5  = 7.     5

_ 53 (− 2 )3 ` 10 32 2 a

− 6 27 2

(

)

( )

3 = 5 ⋅ − 3 23 = 5 ⋅  − 23  = −5 23  

( )= 2 = − (3 ) = −

= 10 25 6

2

10 10

3 2

6

= −5⋅2=−10.

( ) =2. = −(3 ) = −3 .

= 210

36

1 3

1 10

1 6 6

535.

Z JZ\_gkl\h \_jgh ijb Z≥0. [ JZ\_gkl\h \_jgh ijb Z≤0. \ JZ\_gkl\h \_jgh ijb ex[hf Z. 536.

( )

1 3

Z

x = 3 27 = 3 33 = 33

[

x = 3 − 27 = −3 27 = −3 33 = − 33

= 3.

( )

1 3

= −3 .

\ x = ±4 16 = ± 4 24 = ±2 . ] G_l j_r_gbc ld ijZ\Zy qZklv — qbkeh hljbpZl_evgh_ ^ x = 3 7 . _ x = 3 − 7 = − 3 7 . ` G_l j_r_gbc ld ijZ\Zy qZklv — qbkeh hljbpZl_evgh_ a x = ±6 11 . 16

eh

b x = 8 0 = 0 . d x3=−8; x = 3 − 8 = −3 8 = −3 23 = −2 . e x = ±8 1 = ±1 . f x8=−1 — g_l j_r_gbc ld ijZ\Zy qZklv hljbpZl_evgh_ qbk537.

Z



x2 = − 4

[

o4=1;

x4 =

1 ; 16

x1 = 4

beb

1 4 1 1 = = 16 24 2

1 1 1 = −4 =− . 16 24 2

( )

1 5 x = −4 ; o5=−32; x = 5 − 32 = −5 32 = −5 25 = − 25 8

\ −0,01o3=−10; o3=1000; ]



o6=1,28;

1 5

= −2 .

x = 3 1000 = 3 103 = 10 .

o6=64;

x1 = 6 64 = 6 26 = 2

beb

x2= − 6 64 = − 2 6 = −2 . 6

^ o9=2,4; o9=8; _

−

x = 9 8 = 23 = 3 2 . 9

3 8 3 51 ⋅ 4 x = −12 ; x 8 = = 17 ; x1 = 8 17 4 4 4⋅3

beb x2= − 8 17 .

538.

Z x = 5 8 . [ x = 7 − 5 = −7 5 . \ o4=19; x1 = 4 19 beb x 2 = −4 19 . ] o10=−6 — g_l j_r_gbc ld ijZ\Zy qZklv ± hljbpZl_evgh_ qbkeh ^ o3=−0,81; o3=−27; x = 3 − 27 = −3 27 = −3 33 = −3 .

17

_

o4=625;

x4 =



x2 = − 4

625 ; 16

x1 = 4

625 4 5 4 5 = = 16 24 2

beb

625 54 5 = −4 4 = − . 16 2 2

539.

Z  =jZnbd nmgdpbb y=(x−2)2 − iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \\_jo y

2) −1

x

0

1

2 4

GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu − E =− =; D  ⋅ y\=22−4⋅2+4=0 (+2; 0) —

[¸ = −

3)

1 2

x

\_jrbgZ iZjZ[heu y

9

4

y

y=–

+1

0

[

=jZnbd nmgdpbb iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \gba  GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu  E iZjZ[heu = =; [¸ = − 

 2 

x +5

3 1 2

–2

D

x

(0; 5) — \_jrbgZ iZjZ[heu 3)

x y

2 3

3 1 2

−2 3



1 y = − x2 + 5 − 2

⋅



y\=5;

0 5

\  =jZnbd nmgdpbb y=2x2+5x − iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \\_jo 18

 GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu iZjZ[heu

\¸ = −

E   =− = − = − ; D  ⋅  

    \G =  ⋅  −  +  ⋅  −  =      1 2 ⋅ 25 5 ⋅ 5 25 = − =− = −3 . 16 4 8 8 3)

x y

0 0

1 5,5

−1 5,5

−2,5 0

_s_ ljb lhqdb kljhdb kbff_ljbqgh lZ[ebqguf hlghkbl_evgh ijyfhc o=−1,25. ²

540.

Z J_rbf mjZ\g_gb_ o2+3o−10=0;

D=32−4⋅1⋅(−10)=49; x1 =

− 3 + 49 =2 2

beb

− 3 − 49 = −5 ⇒ o2+3o−10=(o−2)(o+5); 2 x 8 14 − = ; x − 2 x + 5 ( x − 2)( x + 5) x (x + 5) − 8(x − 2 ) − 14 = 0 ; (o−2)(o+5)≠0; (x − 2 )(x + 5) x2+5x−8x+16−14=0; x2−3x+2=0; D=32−4⋅2⋅1=9−8=1; 3 +1 3 −1 x1 = = 2 beb x 2 = = 1  Gh o≠ agZqbl o=1. 2 2

x2 =

[ J_rbf mjZ\g_gb_ y2+11y−21=0; D=112−4⋅2⋅(−21)=289;

− 11 + 289 3 − 11 − 289 = beb y 2 = = −7 ; 4 4 2 3  2y2+11y−21= 2 y −  (y+7)=(2y−3)(y+7);  2 y1 =

19

y 1 17 + + = 0; 2 y − 3 y + 7 (2 y − 3)( y + 7 ) y ( y + 7 ) + (2 y − 3) + 17 = 0 ; (2y−3)(y+7)≠0; (2 y − 3)( y + 7 ) y2+7y+2y−3+17=0; y2+9y+14=0; D=92−4⋅14=81−56=25; y1 =

− 9 + 25 = −2 2

beb

y2 =

− 9 − 25 = −7  2

Gh

y≠−

y=–2.

541. a −5

12a − 61

a −5

− a +5 a − 5a + 25 (a − 5)(a + 5) − (12a − 61) = = − 2 (a + 5)(a − 5a + 25) (a + 5)(a 2 − 5a + 25) 1)

a − 5a + 25 12a − 61 2

−

3

3

=

2

=

a 2 − 25 − 12a + 61 a 2 − 12a + 36 = = (a + 5)(a 2 − 5a + 25 (a + 5)(a 2 − 5a + 25)

=

a 2 − 25 − 12a + 61 a 2 − 12a + 36 = = (a + 5)( a 2 − 5a + 25 ( a + 5)( a 2 − 5a + 25)

=

(a − 6) . (a − 6) 2 = 3 2 (a + 5)(a − 5a + 25) a + 53 2

2) = =

(a − 6) 2

:

3a − 18

(a + 5)(a − 5a + 25) 2a − 10a + 50 2

2

=

(a − 6 )2 3(a − 6) = : (a + 5)(a 2 − 5a + 25) 2(a 2 − 5a + 25) ( a − 6) 2 ⋅ 2( a 2 − 5a + 25) ( a + 5)( a − 5a + 25) ⋅ 3( a − 6) 2

=

2( a − 6) 2 a − 12 = . 3( a + 5) 3a + 15

542.

Z 3 8 ⋅ 27 = 3 8 ⋅ 3 27 = 3 23 ⋅ 3 33 = 2⋅3=6. [ 4 16 ⋅ 0,0001 = 4 16 ⋅ 4 0,0001 = 4 24 ⋅ 4 0,14 20

= 2⋅0,1=0,2.

agZqbl

\ 4 625 ⋅ 16 = 4 625 ⋅ 4 16 = 4 54 ⋅ 4 2 4 = 5⋅2=10. ] 4 0,0016 ⋅ 81 = 4 0,0016 ⋅ 4 81 = 4 (0,2)4 ⋅ 4 34 = 0,2⋅3=0,6. ^ 5 243 ⋅ _

6

64 ⋅

` 3

1 5 243 = = 32 32

1 64 =6 = 729 729 3

8 8 =3 = 125 125

a 5 − 7 19

=5 −

32

3 3

5

243

5 6 6

2

3

5

3

32 64 729

=

= =

5

35

5

2

5

6

26

6

6

3

=

3 = 1,5 . 2

=

2 . 3

2 . 5

5 5 5 243 243 3 3 =− 5 =− =− . 5 5 32 2 32 2

543.

Z 3

( )

1

( )

1

3 3 3 3 3 56 ⋅ 2 9 = 3 56 ⋅ 29 = 3 (5 2 ) 3 ⋅ 3 (23 ) 3 =  5 2  ⋅  23  =    

= 52 ⋅ 23 = 25 ⋅ 8 = 200 .

[

4

78 = 34

4

(7 2 ) 4 4

34

\ 5 0,210 ⋅1010

(

1 2 5 5

]

56

=  (0,2 )  3

2

=

= 5 0,210 ⋅ 1010 = 5

1 2 5 5

)  ⋅  (10 ) 

9

3

=

1 7 2 49 = = 16 . 3 3 3

3

56 29

3

= 3



( )⋅ ( ) 













=

= 0,2 2 ⋅ 10 2 = 0,04 ⋅ 100 = 4 .

(5 ) (2 )

2 3 3 3

=

52 2

3

=

25 1 =3 . 8 8

21

^

312 = 28

4

_ 5

55 10

13

3 4

( )

2 4

4

5

=

( )

(3 ) (2 )

4

5

1

 33 4  4 3    = 3 = 27 = 6 3 . = 1 4 4 22  22 4  4    

55

5

=

1310

5

=

(13 )

5

2

5 13

2

=

544.

0,125 = 26

\

4

810000 ⋅

]

4

216 3

8

4

=

4

( )

3 = 3 0,008 ⋅ 56 = 3 (0,2 ) ⋅ 3 5 2

Z 3 0,008 ⋅ 56 [ 3

5 . 169

3

3

0,125 3

2

6

=

3 3

0,53

=

(2 )

2 3

4

3

=

8

4

(2 ) (3 )

4 4

=

2 4

24 3

2

=0,2⋅52=0,2⋅25=5.

0,5 = 0,125 . 4

1 4 810000 4 810000 = = 4 = 16 16 16 216

3

=

4 4

30 4 2

4

=

30 = 15 . 2

16 7 =1 . 9 9

545.

Z 3 24 ⋅ 9 = 3 8 ⋅ 3 ⋅ 9 = 3 8 ⋅ 27 = 3 8 ⋅ 3 27 = 3 23 ⋅ 3 33 = 2 ⋅ 3 = 6 . [ 5 48 ⋅162 = 5 6 ⋅ 2 ⋅ 8 ⋅ 81 = 5 2 ⋅ 3 ⋅ 23 ⋅ 2 ⋅ 34 = 5 35 ⋅ 25 = 5 = 35 ⋅ 25 =3⋅2=6. 5

\

4

125 4 = 625 = 4 54 = 5 . 0,2

]

4

16 = 0,0625

4 4

16

0,0625

=

4 4

24

0,5 4

=

2 =4. 0,5

546.

Z 3 75 ⋅ 45 = 3 5 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 3 33 ⋅ 53 22

3 3 = 33 ⋅ 53 = 3 ⋅ 5 = 15 .

[ 4 54 ⋅ 24 = 4 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 4 24 ⋅ 34

= 4 2 4 ⋅ 4 34 = 2 ⋅ 3 = 6

.

\

54 3 = 3 216 = 6 3 = 6 . 0,25

3

547.

Z 4 4 ⋅ 4 4 = 4 4 ⋅ 4 = 4 16 = 4 24 = 2 . [  ⋅  =  ⋅  =  ⋅  ⋅  ⋅  ⋅  ⋅  \ 5 2 5 ⋅ 7 2 ⋅ 5 7 3 = 5 2 5 ⋅ 7 2 ⋅ 7 3 =  ⋅  





= 3 53 ⋅ 3 33 = 5 ⋅ 3 = 15 .







=









⋅







=

=  ⋅  =  .

] 6 510 ⋅ 6 212 ⋅ 5 2

( ) ⋅ (2 ) 6

= 6 52

2 6

6

= 510 ⋅ 212 ⋅ 5 2 = 6

512 ⋅ 212 = 6 512 ⋅ 6 212 =

= 5 2 ⋅ 2 2 = 25 ⋅ 4 = 100 .

(

^ 3 8 −

6

)(

)

37 ⋅ 3 8 + 37 = 3 8 − 37 8 + 37 = 3 8 2 −

( 37 )

2

=

= 3 64 − 37 = 3 27 = 3 33 = 3 .

_ 3

17 + 3 ⋅ 3 17 − 3 = 3

( 17 + 3)( 17 − 3) =

3

17 − 9 = 3 8 =

= 3 23 = 2 .

548.

Z [

3

54

3

2

5

3

5

\

7

]

4

96

=3

54 3 = 27 = 3 33 = 3 . 2

=5

3 5 1 5 1 1 = = = . 96 32 25 2

256 7

2

=7

2500 4

4

256 7 = 128 = 7 2 7 = 2 . 2

=4

2500 4 = 625 = 4 5 4 = 5 . 4 23

549.

Z

20 ⋅ 5 = 20 ⋅ 5 = 100 = 10 2 = 10 .

[ 4 32 ⋅ 3 ⋅ 4 8 ⋅ 27 = 4 32 ⋅ 3 ⋅ 8 ⋅ 27 = 4 2 3 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 3 ⋅ 33

( )

= 4 28 ⋅ 34 = 4 2

\ ]

8 2 4 4

3 48

= =4

2 4

=

⋅ 4 34 = 2 2 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 12 .

8 = 4 =2. 2 3 4 1 4 1 1 = = = . 48 16 24 2

550.

Z 25a 2 = 5 2 ⋅ a 2 = 5 2 ⋅ a 2 = 5 ⋅ a = 5a . [ 3 8b3 = 3 8 ⋅ 3 b3 = 3 23 ⋅ 3 b3 = 2b . \ 4 81c 4 = 4 81 ⋅ 4 c 4 = 4 34 ⋅ 4 c 4 = 3c . ] 5 32 x10 = 5 32 ⋅ 5 x10 = 5 25 ⋅ 5 (x 2 )5 = 2 x 2 . 551.

Z 9 x = 3 x . [ 12b = 4 ⋅ 3b = 2 3b . \ 25b 3 = 52 ⋅ b 3 = 5b b . ] 3 24c 6 = 3 2 3 ⋅ 3(c 2 )3 = 3 (2c 2 )3 ⋅ 3 = 2c 2 3 3 .

^ 3 250c10 = 3 2 ⋅ 53 ⋅ c10 = 3 (5 ⋅ c 3 )3 ⋅ 2c = 5c 3 3 2c . _ 4 162b 6 = 4 34 ⋅ 2b 4 ⋅ b 2 = 4 ( 3b) 4 ⋅ 2b 2 = 4 (3b) 4 ⋅ 4 2b 2 552.

Z   =  ⋅  =  . [ 53 3 = 3 53 ⋅ 3 = 3 375 . \ 24

25

1 5 25 5 32 5 = = = 4. 8 8 8

= 3b4 2b 2 .

] a 4 5 = 4 a 4 ⋅ 4 5 = 4 5a 4  lZd dZd Z>0 ^ b6 2 = − 6 b 6 ⋅ 6 2 = −6 2b 6  lZd dZd b<0 _ c10 3c 2 = 10 c 10 ⋅ 10 3c 2 = 10 3c 10 ⋅ c 2 = 10 3c 12

.

553.

Z 4 16c = 4 2 4 ⋅ c = 4 2 4 ⋅ 4 c = 24 c . [ 3 27 y = 3 33 y = 3 33 ⋅ 3 y = 33 y . \ 50 x 3 = 2 ⋅ 52 ⋅ x 2 ⋅ x = (5 x )2 ⋅ 2 x = (5x )2 ⋅ ] 4 5a 6 = 4 5a 4 ⋅ a 2 = 4 a 4 ⋅ 4 5a 2 = −a ⋅ 4 5a 2 .

2 x = 5x 2 x .

554.

Z 2 3 = 4 ⋅ 3 = 12 . [ 23 5 = 3 23 ⋅ 5 = 3 8 ⋅ 5 = 3 40 . \ 34 1 9

]

34 4 81 4 = = 9. 9 9

=4

a 3 2 = 3 2a 3 .

555.

Z

2 = 25

[ 3

2 = 27

\

3

]

4

1

5

2 25 3 3

2 27

3 38 = = 5 5

2

=

52 3

=

3

3

2 3

23

3

3

3

=

5

=

^

2 . 3

_

.

`

a9 = 6

1 4 16 4 16 = = 4 = 3 3 3

.

a 4

2 3

a2 = 3

2 . 5

=

5

4 4

24 3

=

2 4

3

4

5 b

4

=

a2 3 4 4 3

5

b

3 3

7 b

4

12

6

=

.

3

=−

(a ) 3

a

=

= 4

4

5 . b

a3 3

.

6

7

(b )

3 4

=

4

7

b3

.

556.

25

Z [ \ ] ^

3 5 2 3

=

2

3 4

3

=

3

49

4

=

34 3

3

23 3 2 3 = 2 = 4. 2

=3

34 4 3 4 = 3 = 27 . 3

73 49 4

=

216

=3

2

4

18 4

23

3

4

3 5. 5

=

5 5

3

7 3

3 5

=

73

=3

18 4

7

18 4 4 4 4 = 486 = 3 4 ⋅ 6 = 3 4 ⋅ 4 6 = 34 6 . 216

=4

216

=37 .

2

557.

Z

1

[

2

\ ]

5

12 9

15 3

^

4

_

4

5

=

6 7 4

558.

26

=

32

=

=

5⋅ 5

12 ⋅ 12

12 ⋅ 3 3 3

9⋅ 3 3

=

153 25 3

5 ⋅ 3 25

4

7 4 343 4⋅4 8 4

32 ⋅ 8 4

2 12 1 = 12 ; 12 6

=

12 ⋅ 3 3 3

=

6 ⋅ 4 343

=

1 5; 5

2 12

=

12 3

5

=

=

27

=

153 25 3

125

64 343 4

=

2401 4⋅4 8 4

256

12 ⋅ 3 3 3

=

= =

33

153 25 3

53

64 343 4

2401

4⋅4 8 4

44

12 ⋅ 3 3 = 43 3 ; 3

=

=

153 25 = 33 25 ; 5

=

64 343 6 4 = 343 ; 7 7

=

4⋅4 8 4 = 8. 4

1

Z

3

1  1 2 6 = 63  = 66 = 6 6 .     1

[ 3

 1 3 1 2 = 22  = 2 = 6 2 .   6  

\

1  1 4 3 =  3 3  = 312 = 12 3 .    

1

4 3

1

] ^

x x = 3

_ `

6

9

x2 ⋅ x =

m m2 =

3 3

p4 p 3 =

4

3

3

3 3

p4 ⋅4 p3 =

4

m3 ⋅ m2 =

2⋅3

7 2⋅2 = 7 2 = 3 49 .

=

8⋅2

42 = 8 4 =

a6 =

3⋅3

a 3⋅2 = a 2 .

74 =

a 16 4 2 b

3  3 2 x3 =  x 2  = x 4 = 4 x3 .    

m5 = m5 . 9

p7 = 8 p7 .

3

4⋅2

22 = 4 2 .

3

559. 1

Z 3

1  1 3 3 = 32  = 36 = 6 3 .    

[ 4 4 = 8 4 = 4⋅2 2 2 = 4 2 . \ 3 a 3 a = 3 3 a 3 ⋅ 3 a = 3 3 a 4 = 9 a 4 . ] 4 m3 m = 4 3 m 3 ⋅ 3 m = 4 3 m 4 = 12 m 4 = 4⋅3 m 4 = 3 m . ^ 10 815 = 5⋅2 83⋅5 = 2 83 = 512 = 2 ⋅ 256 = 16 2 . _ 4 43 4 = 4 3 4 3 ⋅ 3 4 = 4 3 4 4 = 4⋅3 4 4 = 3 4 . 27

560.

Z 4 1296 = 4 362 = [ 4 4096 = 4 642 = \ 4 6561 = 4 812 =

36 = 6 2 = 6 ; 64 = 82 = 8 ; 81 = 9 2 = 9 .

561.

Z LZd dZd  ke_^h\Zl_evgh 4 8 < 4 9 = 3 . [ LZd dZd ! ke_^h\Zl_evgh 6 49 = 3 7 > 6 48 . \ LZd dZd ! ke_^h\Zl_evgh 6

1,44 = 3 1,2 > 6 1,331 = 1,1 .

]

12

LZd

512 = 2 > 4

3

^

6

dZd

12

LZd

3

!

ke_^h\Zl_evgh

!

ke_^h\Zl_evgh

256 = 2 . 2

dZd

250 = 5 2 > 225 = 15 . 2

6

3

562.

Z LZd dZd  lh 3 36 = 3 6 < 6 125 = 5 ⇒ 3 6 − 5 < 0 . [ LZd dZd  lh 12 125 = 4 5 < 12 256 = 3 4 ⇒ 4

5−3 4 <0.

\ LZd dZd

5

!

lh

20

256 = 5 4 > 20 243 = 4 3

4 − 3 >0.

] LZd dZd ! lh 30 243 = 6 3 > 30 64 = 5 2 563.

Z =

⇒

4

(

) ( )( 2

9−4 5 9+4 5 9−4 5 + 9+4 5 + = 9+4 5 9−4 5 9+4 5 9−4 5

(

)

)

⇒

gZevgh_ qbkeh

28

)(

)

3−5 2 > 0.

2

=

81 − 72 5 + 80 + 81 + 72 5 + 80 322 322 = = = 322 81 − 80 1 9−4 5 9+4 5

(

6

²

jZpbh-

[ 5 + 2

2

=



+ 

5−2 2

+

5−2 2

+  +  −   − 



564.

Z (3 + 2

6

(5 + 2 2 )(5 + 2 2 ) + (5 − 2 2 )(5 − 2 2 )

=

5+2 2

(5 − 2 2 )(5 + 2 2 ) +



) + (3 − 2 6 ) 2

2

=

 

²

=

jZpbhgZevgh_ qbkeh

= 9 + 12 6 + 24 + 9 − 12 6 + 24 = 66 . 2

[ 

7 + 2 10 + 7 − 2 10  = 7 + 2 10 +  

+ 2 (7 + 2 10 ) (7 − 2 10 ) + 7 − 2 10 =

=  +



+

 − 

+  −

565.

=



=  + 

(



=  +  =  .

)(

)

Z 3 4 + 2

2 ⋅ 3 4 − 2 2 = 3 4 + 2 2 4 − 2 2 = 3 16 − 8 = 3 8 = 2

[





+

  + 

566.

Z  2)



=

 −  

   − 



=



4

+



   −  

232 − 64 ⋅ 7 =





= =.

a+b a−b (b − a )2 1 ; = = : 2 2 2 (a − b )(a + b )(a + b ) (a + b )2 a − b (b − a )

a−b

−

a −b

=

a−b a−b − = a (a − b ) (a + b )2

(a + b ) (a − b )(a + b ) − a(a − b )2 = (D − E)(( D + E) − D(D − E)) = = a (a − b )(a + b )2 D(D − E )(D + E ) (D + E) − D(D − E) = D  + DE + E  − D  + DE = DE + E  = D(D + E ) D(D + E ) D(D + E ) 2 b(3a + b ) (a + b ) 3a + b 3) . ⋅ = 2 2 ab b a (a + b ) a − ab 2

2

2

[ 

=

E(D + E )

D(D + E )

;

1 3 3 1 − 3 + 2 = − 2y +1 8y +1 4y − 2y +1 2y +1

29

− =



( \ + )  \ −  \ +  \





+



\

−  \ +  −  + \ + 

− \ + 

\

=

=

−  \ +  −  + ( \ + ) = ( \ + ) \ −  \ +  

\

+  \ +

=

( \ + )  \ −  \ +  ( \ + ) \ −  \ +  2y +1 2y +1 (2 y + 1)2 . = = = (2 y + 1)(4 y 2 − 2 y + 1) 4 y 2 − 2 y + 1 (2 y − 1)2 4 y − 1 2 y (2 y + 1) − (4 y − 1) 2) 2 y − = = 

2 y +1

=

2 y +1

4 y + 2 y − 4 y + 1 4 y − 2 y + 1 (2 y − 1)2 ; = = 2 y +1 2y +1 2 y +1 2

2

(2 y + 1)(2 y − 1)2 = 1 . (2 y − 1)2 (2 y + 1)

3)

567. 4

 1  3 3 3  = . 3 ⋅  = 4 9  3 3

Z cn=c1qn-1; c5 = 3 =

(

[ c5 = ( 

=



\

)(

−

 −

− 





 

−

3



+



−



+

( 3) = 2 2 ⋅( 6) = 2 6

4

4

4

6

3 ⋅3 = 6 3 . 3

⋅ 2 4 ⋅ 3 4 = 26 2 ⋅ 81 = 26 162 .

568.

Z x4=36; x = ±4 36 = ± 2⋅2 6 2 = ±  . [ o5=1024; x = 5 1024 ; o= 5 45 = 4. \ [ =  ; x = 3 2 ; [ =  . 



569.

Z a4+1−a3−a≥0; a3 (a−1)−(a−1)≥0; (a−1)(a3−1)≥0; 

2



(a−1) (a−1)(a2−a+1)≥0; ( a − 1) 2   a − 1  + 3  ≥ 0 .  2 4 

30





c5 = 2 3 ⋅

] c 5 =

) ( 3− + )=

3+ 2 ⋅

( ) 2 ) = ( 3 + 2 )( 3 − 2 )( 3 − 2 ) 4



−



=

=

[ Z3(Z−2)−8(Z−2)≥0; (Z−2)(Z3−8)≥0; (Z−2)(Z−2)(Z2+2Z+4)≥0;

(Z−2)2((Z+1)2+3≥0.

570.

Z 



=







=









=



5

−

3 4



1

=

3

;

y 1

=

4

54

=

53

1 4



[

;

125

=4

[  =  [ ;

−

5 4

=y

−5 4

= 4 y −5 = 4

1 y5

6

1 ; 125

a 1,2 = a 5 = 5 a 6 ;

1

0,2 0,5 = 0,2 2 = 0,2 ;

b − 0 ,8 = b

−4 5

= 5 b −4 = 5

7 −0,25 = 7

−

1 4

=

1 4

7 −1

1 b4 =4

; 1 . 7

P





2

=  D ;

5 2

−3 2

2

2 3

3

3( a + b) 4 = 34 ( a + b) ;

= x y −5 = x

− b −1,5 = −b

= 3 ( x − y) ;

x 3 − y 3 = x2 − 3 y2 ;



−



 = P  = P .

] ( x − y ) 3

D[  = D [  ; xy

 

2

\ (D) =  D ; D 



1 ; y5

= − b −3 = −

4a

−

2 3

3

2

+ ax 3 = 4 a − 2 + a x 2 . 3

3

1 . b3

571. 1

Z 7 2

= 7;

3 12 4

4

= 12 3 ; 31

1

29 3 = 3 29 ; 37

−

−1

1 4

= 37 4 = 4 37 −1 =

1 4

.

37

3

[ 3,8 0,6 = 3,8 5 8,5

− 0 ,5

1    3

−

2 3

−1 = 8,5 2

= 5 3,8 3 ; 1

= 8,5 −1 =

1 =3    3

8,5

;

−2

=3 9 .

1

\ 5a 3

1

1

(2b )4 3 4 −c

= 53 a ; 1

= 2 4 ⋅ b 4 = 4 2 ⋅ 4 b = 4 2b ; = − c3 . 4

1

]

xy 2 = x y ; 3

( x + y) 5 1

= 5 ( x + y) ; 3

1

x2 + y2 =

x+ y.

572.

Z

1,3

[ \ 32

1 2 = 1,3

7

3

−1

2,5

2

=

.

( )

1 7 −1 2

=7

= (2,5 )

1 2 3

=

−

1 2

.

2 2,5 3

.

_ 5

 3    2

`

1

a

3

a −2 1

4

−2

x3

=

 3 =   2 1

= a 1 3 x4

−

2 3

−

=

=x

−

2 5

.

2 a3

3 4

.

.

]

( )

333 = 333

4

3

1 4

(

b 5 4ab 2

= 33 4 .

= 4ab 2

1

2  2 4 =  . 3  3

^

4

d

3

)

1 5

1

1

2

= 45 a 5b 5 .

(

a 2 − b2 = a 2 − b2

)

1 3

.

573. 1

Z 8

[ 11

7 −5 = 7

−

5 8



;



9

=  ;



36 = 3 5 ;

(

0,12 2 = 0,12 2

)

1 9

2

= 0,12 9 .

9 8

1 (5c 2 ) 11

5c 2 =

5



4

a4 = a 7 ;

7

6



5 = 52 ;

a9 = a 8 ; =

12

1 2 5 11 c 11 ; 3

b −5 = b

−

5 12

; 1

a − b = ( a − b) 3 .

574.

Z

1 49 2

= 49 = 7 2 = 7 . 1

[ 1000 3 = 3 1000 = 3 103 \

1 − 4 2

] 8

−

^ 9

1 3

2

1 2

_ 0,16

1 = 4

= 4 −1 = 3 = 8 −1 = 3

= 10 .

1 1 = . 22 2

1 3 1 1 = = . 3 8 2 2

5

= 9 2 = 9 5 = 243 . −1

1 2

` 

= 0,16

−

−3 2

 4 = 0,16 − 3 =    25  −

 

= 



=





−

−3

 25  =    4

   =      

3

=

125 5 = 15 . 8 8

−

=

= 3 1254 = 3 57 = 5 4 = 625 .

33

4

a

4

4 4 4  3 3  81 1  33 3  3  27  3 =5 . 3  = 3  = 3   = 3    =   =  2   16 16  8  8  8  2  

575.

Z

1

27 3 = 3 27 = 3 33 = 3 .

1 25 2

[

\

−

1 2

−

1 5

25

] 32

= 25 = 52 = 5 . = 25−1 =

1 = 25

1 1 = . 2 5 5

= 5 32 −1 = 5

1 5 1 1 = = . 5 32 2 2

3

^ 0,16 2

= 0,16 3 = 0,064. −

_  −

= 





=



−



=







=

 



=



   =  = = .   

−

` 0,001 a 0,008

1

2 3

1 3

= 3 0,001−2 = 3 1000000 = 100. =

4 0,008 3

(

= 3 0,008 4 = 3 (0,2) 3

577. 4

Z 5 3 = 3 54 ² bf__l 2 [ ( − 16) 3 = 3 ( − 16) 2 ² g_ bf__l \ 23 3

] 0 4

−

2 3

=

34

233

²

bf__l

² 4 − 0 5 ²

^

1

g_ bf__l

bf__l

)

4

= 0,2 4 = 0,0016.

1

_ ( − 25) − 2

²

g_ bf__l

578.

Z x≥0; [ y−1≥0, y≥1; \ Z+2≥0, Z≥−2; ] b>0; ^ k−5≥0, k≥5. 579.

Z LZd dZd x≤ lh 4

0 < x ≤ 81 ⇒ 0 < 4

4

4

4

1 < x ≤ 16 ⇒ 1 ≤

4

\ LZd dZd

1 ≤ x < 1  lh 625

4

3 x4

1 4 x

≤ 2;

1

4

1 1 ≤ 4 x < 4 1 ⇒ ≤ x4 <1; 5 625 3

1  1  4 3 4 3 ≤ x 4 < 1.   ≤ x < 1 ⇒  626  125

] LZd dZd 0,1 <

≤ 3;

≤ 8.

3

4

1 4 x

≤ 27.

4

13 ≤ x 3 ≤ 16 3 ⇒ 1 ≤ 4

4

3 4 x

0 3 < x 3 ≤ 813 ⇒ 0 <

[ LZd dZd ≤o≤ lh 4

4

1 x4

< 10 ;

4

x

0,00013 <

3 x4

lh

4

0,0001 < 4 x < 4 10000

< 10000 3 ⇒ 0,001 < 4

3 x4

⇒

< 1000 .

580.

581.

Z LZd dZd  b nmgdpby

y=

1 x2

\hajZklZ_l lh

1 2 2

<

1 2 3

. 35

[ LZd dZd  b nmgdpby 3

1

\ 5 2 2

<

1 2 0,5

.

1

1

= 73 .

582.

( )

Z

x −12 x 2 x3 x−9

4

[

[ [−

−

]

1

\hajZklZ_l lh 0,3 2

= 5 6 = 6 125 > 6 25 = 5 3 .

] 7 6

\

y=

1 x2

( )





[ [ 

=

1 x −12 x 8 x − 4 x 6 = −6 = 4 = −2 = x2 . x3 x −9 x x x

=

[ [ 

6 −3

4

[ [

−16

=

−18

−3 4

−2 3

=



( ) = xx (x ) x (x )(x ) = x (x ) xx

−2 8



[



[



=[ . 

−15

x 1 = −3 = x 3 . −18 x x

⋅ x −12 x8 = = x 8 ⋅ x 6 = x14 . x−6 x −6

20

583.

Z

2 −5 ⋅ 8 2 2 −5 ⋅ ( 2 3 ) 2 2 −5 ⋅ 2 6 2 = = = − 4 = 2 ⋅ 2 4 = 25 = 32. 4 −1 −1 −4 16 (2 ) 2 2

[

319 ⋅ 27 −5 319 ⋅ (33 ) −5 319 ⋅ 3−15 34 1 1 = = = 6 = 2 = . 3 2 3 6 9 9 (3 ) 3 3 3

\

54 ⋅ 49 −3 54 ⋅ (7 2 ) −3 5 4 7 −6 1 7 = −7 2 3 = 6 ⋅ −7 = 2 ⋅ 7 = . 25 7 − 7 ⋅ 253 7 (5 ) 5 7 5

]

8112 ⋅10 −7 10 −5 ⋅ 27 17

=

(3 4 )12 ⋅10 −7 10 −5 ⋅ (3 3 )17

=

3 48 10 −7 1 1 1 ⋅ −5 = 3 ⋅ 2 = . 51 2700 3 10 3 10

584.

Imklv ^ebgZ h^gh]h dZl_lZ jZ\gZ x ^f lh]^Z ^ebgZ ^jm]h]h dZl_lZ jZ\gZ o– ^f S= 1 o(o–1)=10; 2

x(x-1)=20; o2–o–20=0; D=12–4·(-20)=81; x =

36

1 + 81 = 5 beb 2

x=

1-9 =− 2

g_ ih^oh^bl ih kfukem  ?keb o



^f 



lh o–1=5–1=4



Ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ 2+42  l_gmaZ jZ\gZ 4 1 ≈  ^f  Hl\_l ^ebgZ ]bihl_gmau  ^f 



Ke_^h\Zl_evgh ]bih-

585.

Imklv ^ebgZ h^ghc ^bZ]hgZeb jhf[Z o kf lh]^Z ^ebgZ ^jm]hc 1 jZ\gZ o kf S= 2 x ( x + 2 ) = 1 2  oo  o2o±  D=22–4· − 2 + 100 2

(-24)=100; x =

beb

x=

−2 − 10 = −6  2

g_ ih^oh^bl ih



kfukem  ?keb o  lh o   kf  Iheh\bgZ i_j\hc ^bZ]hgZeb   kf  Iheh\bgZ \lhjhc ^bZ]hgZeb   kf  Ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ d\Z^jZl klhjhgu jhf[Z jZ\_g 2 2    Lh]^Z ^ebgZ klhjhgu jZ\gZ 1 3 ≈ kf  Hl\_l ^ebgZ klhjhgu jZ\gZ  kf 586.

Z

1 1 c2c3

=

−1 1 b 3b 2

[

2

1 1 + c2 3

=

1

1 1 − + b 3 2

\

a3a6

]

d 5d 2

^

x2 : x2

_

y6 : y3 = y6

5

` ] a

=d 3

1

P

 



] 

=a

1 2

=d

5+

1 3 − 2

4 +1 6 51 2



=]



P =P 

+

 

−

1

= b6.

5

= a6. 11

=d 2.

1− 3 2

=y



5

= c6

−2 + 3 6

=b

5 1 − 3

−

3+ 2 6

=x

= x2

1



2 1 + 6

= a3

1

=c

= x −1.

5− 2 6

=]

3

1

= y6 = y2.

 

=P



−



= P−

 



37



b

  E  

 ⋅    = E  = E  

d

  D  

⋅    = D ⋅ = D    

e

 −  F  

f





(p )

 −  ⋅ −  =F   =F   

2 3 −9

=p

−3⋅2 9

=p

−2 3

.

587. 1 2 + x2 5

Z x x = =x =x . [ y −0,6 y1,2 = y −0,6 +1,2 = y 0,6 . \ a : a = a − = a = a = a . ] b −0,2 : b −0,7 = b −0,2 + 0,7 = b 0,5 . ^  P = P = P  _ (n 0,4 ) −2,5 = n −0,4⋅2,5 = n −1. ` k 3 k − = k 3− = k 3−1 = k1 = k . a d 1,7 : d −2 = d 1,7 + 2 = d 3,7 . 1 2

2 5

3 5

 

5+ 4 10

1 10

3 5

 

 ⋅  ⋅

5 3

9 10

6 −1 10

1 10

5 10

1 2

 

5 3

2 3

1 3

4 3

588.

Z x 0,2 x −1 x 0,6 = x 0,2 −1+ 0,6 = x 0,2 . [ a a a = a = a = a + + = a \ y 0,8 y −5 y 7,2 = y 0,8 −5 + 7,2 = y 3 . ] b b b = b + + = b = b = b 1 3

3 8

1 6

5 3

4 +1+10 6

5 24

1 3

3 8

15 6

5 24

1 3

1 6

9 +5+8 24

1 3

5 3

22 24

2 +1+10 6

11 12

=a

13 6

.

589.

Z (a 0,4 ) 2 ⋅ a 0,8 = a 0,4⋅ 2 a 0,8 = a 0,2 ⋅ a 0,8 = a 0,2 + 0,8 = a. [ ( x ) ⋅ x1,6 = x ⋅ x1,6 = x ⋅ x1,6 = x 0,6 ⋅ x1,6 = x 0,6 +1,6 = x 2,2 . 6⋅3 9 10 9 3 1 \ a(a −1,2 ) 4 = a ⋅ a − 5⋅4 = a ⋅ a − 10 = a 10 − a 10 = a 10 . ]  D − ⋅  D − − = D − ⋅ D = D − ⋅ D = D − + = D . 1

3 4



590. 38

1

3⋅4 4⋅5

4 5

 

 

3 5



 ⋅  ⋅

 ⋅  ⋅

 

 

 

 



Z c 2c −1,5c 0,3 = c 2 + (−1,5) + 0,3 = c 0,8 . [ x x x = x + + = x = x = x. \ y1,7 y 2,8 y −1,5 = y1,7 + 2,8 −1,5 = y 3 . 0, 5 ] (a 0,8 ) ⋅ a 0,6 = a 0,8⋅0,5 ⋅ a 0,6 = a 0,4 ⋅ a 0,6 = a 0,4 + 0,6 = a. ^  E − ⋅ E = E − ⋅ E = E − ⋅ E = E − + = E =  _ (m0,3 )1,2 ⋅ (m −0,4 )0,4 = m0,36 ⋅ m−0,16 = m0,36 − 0,16 = m0,2 . ` x 4 x = x x = x = x = x. 5 5 5+ 2 7 2 a y 3 3 y 2 = y 3 ⋅ y 3 = y 3 = y 3 . b 4 k3 ⋅ 5 k = k ⋅ k = c + = k = k . 1 2

3 14

2 7

 

 

3 14

1 2

2 7

14 14

 

 

 ⋅  ⋅

 

3 4

7 +3+ 4 14

3 4

3 +1 4

1 4

3 4

 

 

 



4 4

3 4

1 5

15 + 4 20

1 5

19 20

591.

Z 10

[

2 5

⋅ 10 − ⋅ 100,1 = 10 0, 4 ⋅ 10 −0,5 ⋅ 100,1 = 10 0, 4 − 0,5 + 0,1 = 10 0 = 1. 1 2

1

12

43 ⋅ 2

\  ⋅ 



] 8 −

⋅ 16 ⋅ 3

1 3

⋅

( ) ⋅ 2 ⋅ (2 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 = ⋅( ) ⋅ = ⋅ ⋅ = = 4 = (2 ) ⋅ (2 ) ⋅ (2 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 1 3

1

⋅ 8 9 = 22

3





1 3







1 3 −9

5 3



3 −

1 3





4

 

1 3



2

1 3





3

+

 



−1

2+ 5−1 3

−1

5 3

2 3

4 3

+ 2 3





= 2 2 = 4.

= 

− 3+ 4 + 2 3

= 2.

592.

Z 21,3 ⋅ 2−0,7 ⋅ 21,4 = 21,3− 0,7 +1,4 = 2 2 = 4. [ 7 − ⋅ 7 ⋅ 7 − = 7 = 7 − 2 = 12 = 1 4 3

1 12

−16 +1− 9 12

3 4

7

49

.

\ 4 0,7 ⋅ 2 −0,4 = 21,4 ⋅ 2 −0,4 = 21,4 − 0,4 = 2. 0, 3 ] 250,3 ⋅ 51,4 = (52 ) ⋅ 51,4 = 50,6 ⋅ 51,4 = 50,6 +1,4 = 52 = 25. ^

2 ⋅ 64

− 13

( )

= 2 ⋅ 26

_ 4 9 ⋅ 3 −1,5 = 9

1 4

− 13

= 2 ⋅ 2 − 2 = 21− 2 = 2 −1 =

( )

⋅ 3 −1,5 = 3 2

1 4

1 . 2

⋅ 3 −1,5 = 3 0,5 ⋅ 3 −1,5 =

1 = 3 0,5−1,5 = 3 −1 = . 3 593.

Z (27 ⋅ 64)

1 3

= 27 ⋅ 64 = 3 27 ⋅ 3 64 = 3 33 ⋅ 3 43 = 3 ⋅ 4 = 12. 1 3

1 3

39

[ (27 ⋅ 64) −

1

= 27 − ⋅ 64 − =

1 3

1 3

1 3

3

27

\ 1 2

1 2

 1   1   ⋅ 0,04  =   ⋅ 0,04 = 36    36 

]  1

 ⋅ 81−1   16  =  ⋅  = 

^

− 12

3   24 ⋅ 3 2 2    3  

3



_  3 4 

 1⋅1  =   16 ⋅ 81 

=

3 2

(3 4 )

3 2

3

( 9)

− 12

− 14

=

64

3

⋅

1 3

4

3

=

1 1 1 ⋅ = . 3 4 12

1 1 1 1 1 ⋅ 2 = ⋅ = . 6 5 30 62 5

1

1

( 9)

3

1 4

= (3 64 ) − 2 =

3

1 3

= (16 ⋅ 81) = 4 16 ⋅ 4 81 = 4 2 4 ⋅ 4 34 =

(3 4 ) 3

=

1

1 1 ⋅ = 36 25

1 2

 8 =  3 24 ⋅   3  

3 2

 9

− 14

⋅3

( 64 )

(4 ) (9 ) 1 3

=

3

3

1 3

=

1 2

1 6

64

=

1 6

2

6

=

1 . 2

3

3

=

4 9

=

2 . 3

594.

Z (27 ⋅ 8) [  1 1  ⋅    125 64 

1 3

− 13

1 3

1 3

= 27 ⋅ 8 = 3 27 ⋅ 3 8 = 3 33 ⋅ 3 23 = 3 ⋅ 2 = 6.

 1  =   125  1 2

− 13

 1  ⋅   64 

− 13

= 3 125 ⋅ 3 64 = 3 53 ⋅ 3 43 = 5 ⋅ 4 = 20.

1 2

\

49 49 72 7  49  = = = .  =  2 144 12 144   144 12

]

 363  36 36    1252  = 125 = 3 125 =  

595.

1 2

1 6

1 3

Z

(m )

[

 x − 34     

\

40

1 2

−3

1 3

=m − 23

− 33

2 3

5

3

=

6 . 5

1

= x 4⋅ 3 = x 2 = x .

(8a ) = (8a ) = 8 −1 12

3

1 . m

= m −1 = 3⋅ 2

62

− 32

2 3

2 3

⋅a

− 32⋅⋅23

= 3 64 ⋅ a −1 = 4 3 ⋅ a −1 = 3

4 . a

] [ =

 







⋅

− 

−

=   ⋅  [ 

=





− 

=

− −  [



 ⋅ 

=

 



[





− 

=



[  [ 1 −3 − 1 3 ( m ) = ( ) − m ⋅ = 27 m = 3 27 m = 3 33 m = 3m. 27 27 

^



1 3

1 3

1 3

1 3

596.

Z

a ⋅ b − ⋅ (a − ⋅ b ) 4 = a ⋅ b − ⋅ a − ⋅ b = b − 5 3

[ (c −

1 6

1 3

)

3

5 3

1 3

y − 0, 4 ⋅ c ⋅ y 0, 2 = c 1 . = y −1 ⋅ c −1 = yc 3 7



2 7



   \  D  [ −   ⋅ D   

= D  ⋅ [

− ⋅⋅

⋅D



⋅[



597.

4 3



⋅[



= D 

 + 

−

[

−  + 



−



( )⋅

−  ⋅ − 







3 2

⋅2

x −1 = x −

1 2

⋅2

3

x=x

1 3



T 

2

5 2

5





= x−

3 2

2



⋅2

5 2

 



1 2

− 12 2

1 6

⋅2

⋅[

=



( )=

⋅ − 





 

1 3

1 6

0, 5 2

⋅2 1 6

⋅2

1 6

23 2

⋅2

( ) = (x ) ;

= x

2

23 2

11,5 2

2

[

( ) ; x = x = (x ) ; x = (x ) ; x = x = (x ) ; x = x = (x )

x −3 = x−

=

  −   = S T   = S T = T 

−7 2



− 97 + 72

1 3



= S− T  ⋅ S 

7 6

= b ⋅a

= D[ = D

2

[−

− 43

5 3

⋅a



( ) ( ) =x = (x ) ; x = x = (x ) ; = ([ ) [ = ([ ) [ =  [    − 7⋅2

+ 43

2 7

x 6 = x 3⋅2 = x 3 ; x 40 = x 20⋅ 2 = x 20 ; x 23 = x x −14

1 6

⋅ y −1, 2 ⋅ c ⋅ y 0, 2 = y −1, 2+0, 2 ⋅ c

  −  =  D    [   ⋅ D    





 − =  S − S  T  ⋅ T  

4 3





 −  S − T   S  T    

¹

− 97

1 6

2

1 4

−

=  [ 

=x

− 0 ,9

1 8

⋅2

− 

  





( );

= x

1 8

2

(

)

2

= x − 0, 45⋅ 2 = x − 0, 45 ;

2

41

598. y =y 6

1

( );y

2 ⋅3

= y

;y y

− 92

1 3

3

=y

−

=y

− 7 ⋅3

( );y

= y

1 ⋅3 2

1 2

1 − ⋅3 y 9

=

− 21

−7 3

7

=

7 ⋅3 y3

− 19 3

2 ⋅3 27

1 6

0, 2

− 272 3

3

−1,5

1 5

1 ⋅3 15

1 2

1 ⋅3 6

− 32

7 3

3

1 − ⋅3 2

3

1 15

1 6

( ); = (y )

= y

( ) ; y = y = (y ) ; y = y = y = (y ) ; y = y = y = (y ) ; = (y ) ; y = y = y = (y ) .

⋅3

y = y3 = y − 13

2 3

3

599.

Z a = a 2 = (a ) ; 3 [ a = a ⋅3 = (a ) ; 7 \ a = a ⋅7 = (a ) . 1

⋅2

1 3

1 3

1 7

1 7

600.

Z 3 [ 3

3 2

=3

1 2

⋅3

5 2

=3

1 2

⋅5

\  −

 

] 3 − 2 5

1 2

2

( ) ≈ 1,73 ; = (3 ) ≈ 1,73 ;

= 3

1 2

1 2

3

3

5

5

    ; =  ≈       1 1 1 = 5 = ≈ . 5 5 1 1 . 73 2   3 32   

601.

Z 4312 = (4,31 ⋅100) 2 = 4,312 ⋅ 100 2 = 10α ; [ 43100 = (4,31⋅10000) = 4,31 ⋅10000 = 100α ; 1 1 1 1 \ 0,04312 = (4,31 ⋅ 0,01) 2 = 4,312 ⋅ 0,012 = 0,1α ; 1 1 1 1 ] 0,0004312 = (4,31 ⋅ 0,0001) 2 = 4,312 ⋅ 0,00012 = 0,01α . 1

1

1 2

1

1

1 2

1 2

602.

Z V = a 3  ke_^h\Zl_evgh 42

1

a =V 3 ;

1 2

− 12 3

[

 1 V = a , S = a = V 3  

\

P = 6 ⋅ S = 6 ⋅V 3 .

3

2

2   =V 3 ;  

2

2

603. 









Z

\ = [   \  = [    [ = \  

[

\=[

\

\=[

] ^ _

 

− 

\ = [−

\=

\



\ = [ [



 

−  



− 

\

 



= [

\

= [ =[

=[

− 

− 

\=[

 \



=\

 [



 



\



− 

− 

[

− 

\ 



 

=\

= [  

  \



− 

= [ − 

− 

 



− 



 

[

= [

− 

=\

[



\

=

− 



[

− 



 



=  \

− 



604.

Z 10 x ⋅ 15 x = x + = x = x . [ 8 a 3 ⋅ 12 a = a ⋅ a = a + = a = a . \ 7 y 2 ⋅ 3 y − 1 = y ⋅ y − = y − = y = y − 1 10

2 +3 30

1 15

3 8

3 8

1 12

2 7

]



E



^ 10 y3

1 6

1 3





9+2 24

1 12

2 7



6 −7 21

1 3



E = E E   = E  E  = E 

2 3

1 10

y 2 = ( yy ) = y

_ 5 x 2 4 x − 3

1 10

+ 151

= (x2 x− ) = x 3 4

1 5

2 5

11 24

=y − 203

 + 

3+ 2 30

1 21

.



= E 1 6

=y .

=x

8 −3 20

=x . 1 4

605.

(a a ) = (a ) = a = a = Z a a (a ⋅ a ) (a ) a (a ⋅ a ) = a ⋅ a = a = a a a = a a (a ⋅ a ) a ⋅ a a a a2 a

5



4

[

3

2

1 2

3

3

4

2

1 2

2 3

1 2

1 4

1 3

1 5

5 2

1 3

3 2

1 5

1 2

1 3

1 2

− 12

1 2

1 4

1 6

1 4

+ 16

3+ 2 12

1 3

1 12

1 3

+ 16

2 +1 6

=

= a 0 = 1;

a a

1 2 1 2

=a

1 2

− 12

= a 0 = 1.

606. 43

3

Z

1  1 x 3 = 4;  x 3  = 4 3 ; x = 64.  

[

4  3 3 y = 2;  y 4  = 2 3 ; y = 3 2 4 = 3 2 3 ⋅ 2 = 23 2 .  

\

x

]

y − 0,5 = 6; y −

^

x −0,3 ⋅ x1,3 = 1; x −0,3 +1,3 = 1; x1 = 1; x = 1.

_

x 8 ⋅ x 8 = 25; x

4

3 4

−1

4

 −1  = 3;  x 4   

−4

( )

3

−2

1 2

13

= 3− 4 ; x =

1 1 = . 34 81

= 6−2 ; y =

1 . 36

3+13 8

= 25; x 2 = 25; x = 5.

608.

Z 10 x 2 + 4 x − 7,5 x − 3 − 10 x 2 − 35x − 4 < 0;−38,5 x < 7; x > − 2 . 11

[ 9 − 24 x + 16 x − 94 x > −7; x < −

2

− 16 x + 2 x − 72 x + 9 − 11 > 0; 2

7 . 94

609.

H[hagZqbf \j_fy aZiheg_gby [Zkk_cgZ \lhjhc ljm[hc aZ o q lh]^Z \j_fy i_j\hc ² aZ  o q 1 qZklv [Zkk_cgZ aZihegy_lky \lhx

jhc ljm[hc aZ q aZ q

6⋅

[Zkk_cgZ

1 1,5 x ²

1 1,5 x

qZklv [Zkk_cgZ aZihegy_lky i_j\hc ljm[hc

qZklv [Zkk_cgZ ² aZihegbeZ i_j\Zy ljm[Z

Hl\_l  q b  q 44

1 qZklv x

aZihegbeZ \lhjZy ljm[Z IhemqZ_f mjZ\g_gb_

1 1 4 4 8 6⋅ + 4 ⋅ = 1; + = 1; = 1; x = 8. 1,5 x x x x x o=8; 1,5o=12. 610.

4⋅

Imklv \j_fy aZ dhlhjh_ \lhjZy [jb]Z^Z \uihegbl \kx jZ[hlm −

o ^g_c Lh]^Z \j_fy i_j\hc ² o ^g_c I_j\Zy [jb]Z^Z aZ h^bg

^_gv \uihegy_l

qZklv jZ[hlu Z \lhjZy [jb]Z^Z ²

1 x + 12

jZ[hlu IhemqZ_f mjZ\g_gb_

1 x

qZklv

14 5 + = 1; x + 12 x

14x+5x+60-x2-12x=0 x2–7x–60=0 D=72−4⋅(−60)=49+240=289 7 − 17 7 + 17 = −5 < 0 x1 = = 12 beb x2 = 2 2

g_ ih^oh^bl ih

²

kfukem aZ^Zqb x+12=24.

Hl\_l  ^gy b  ^g_c 611.

Z

2 3

x− ⋅ x x

[

y ⋅y

\

a b

] ^

(y ) 1 2

3 5

1 4

2 5

− 23 −4 1 6

c c a

1 2

5

− 12

(x

3 5

1 2

b2

b x

− 13

y

− 25

1

y y 0 ,5

− 12

1 2

)

5

=

y

2

−

3 3

− 35

− =y

− 87

c

=x

1 14

15 −9 15

− (− 73 )

6 15

3 5

=x =x .

=y

−1+16 14

15 14

=y .

1 4

=c

8 3

− 23

= ab −1 =

1 2

y

8 3 4 6

c

− 75

1 3

x

1 14

1 5

x y 5 3

=x

3 5

=b a .

=

b5

3 3

y−

− 14

1+ 3 6

+ 12

x

=

− 87

− 23 ⋅ ( −4 )

c

x

=

3 5

⋅a

=a2

1, 4

1 3

3 7

y

c

=

− 23 + 53

x

=

=b

(c ) a

_

− 12

−2

4 7

x

=

3 5

3 7

a b

5 3

=x

5 2

1 3

− (− 53 )

= c2. a . b ⋅y

1 2

− 52

= x2 y −2 =

x2 . y2

612.

Z

1 3

a a1,5 a

− 16

=

1 3

a a a

− 16

3 2

1 3

3 2

1 6

=a a a =a

1 3

+ 32 + 16

=a

2 + 9 +1 6

12 6

= a = a 2.

45

E





[

E

\

x1,5 y 0,5 x = y 0,5 −1,5 ⋅ x1,5 − 0,5 = y −1 x = . 0,5 1,5 y x y

  

 E      



=

−

d 2, 6 5 c 3

]

(c

− 0, 2

d

613.

Z

8 3

[

1 2

3

2 ⋅5



 +  + 

3 5

1 2

3 ⋅2

−1,6



d 2, 6 c = d 2, 6 − 0, 6 ⋅ c − 0, 4 0, 6 c d

5 3

25

1 3

)

0, 3 2

5

16

=

3

2 1 3

E



= EEE = E

− 

(2 ) ⋅ 3 =

9

5 3

EE

2 3

=2

1 2

− 12

3 2

(2 ) ⋅ (5 ) = 1 3

4

2

1 3

2 ⋅5

⋅3

2 3

1 5

=2

− 85

4 3

− 53

− 13

3 5

+ 52

= d 2 c.

= 21 ⋅ 3−1 = ⋅5

2 5

+ 85





= E  = E 

2 . 3

= 21 ⋅ 52 = 2 ⋅ 25 = 50.

614.

Z  [ 

         − \   [  \  = [  [  \  − \  [  \  = 

 

 



= [\ − \[  = [ \ − \ [ 

[ a \ (x

) + 3)(x − 3) = x x

2 3

2 3

(

1 3

1 3

1 3

2 3

2 3

2 3

1 3

2 3

1 3

2 3

2 3

2 3

b a + b = a b a + a b b = ab + a b.

1 3

2 3

2 3

1 3

+ 3 x − 3x − 9 = [ +  [ − 



−  [ −  

(m

] (m ^ (a _ 1 2

+n

)(

) ( ) +m −m − b )(a + b ) = (a ) + a ⋅ b −1 m +1 = m

1 2

3 2

1 2

1 2

1 2

3 2

2

1 2

1 2

3 2

1 2

2

3 2

1 2

− 12 = m − 1.

1 2

−b ⋅a − b

) = (m ) + 2m n + (n ) = m 2

1 2

2

1 2

1 2

1 2

2

1 2

1 2

⋅2

( ) =a

3 2

1 2

2

+ 2m n + n 1 2

1 2

1 2

⋅2

3

− b.

=

= m + 2 m n + n.

`  D 

a  [ 

46

 

 





       + E   D − D  E  + E  =  D   +  E   = D  + E         



       − \   [ + [  \  + \  =  [   −  \   = [  − \        

615.

Z b c (b [ [ \ 1 3

1 4

2 3

)= b c b

3 4

+c

2 3

1 4

1 3

1 3

3 4

1 4

1 4

1 3

+ b c c = bc + b c.

([ − \ ) = [ \ [ − [ \ \ ( − \ )( + \ ) = − (\ ) = − \ ] ( S + T )( S − T ) = ( S ) − (T ) 

−







−

(a

1 2











1 2

2

2

1 2

1 2

2

1 2

1 2

2

1 2

a + 4a ⋅ b + 4b. 1 2

\ =\ 



−[ \ 







−





= 32 ⋅ p 0,5⋅2 − q −1⋅ 2 =

b + b = 1 − 2 b + b. 2 2

) = (a ) + 4a b + (2b ) = a

1 2





1 . q2

2

1 2





(1 − b ) = 1 − 2b + (b ) = 1 − 2

+ 2b

`

−





−





= 9 p − q−2 = 9 p −

^ _













+ 4a b + 4b =

2 2

1 2

1 2

2 2

1 2

(x

a  D 

)(x

3

3

+y

 

       − E   D + D  E  + E  =  D   −  E   = D  − E        

1 3

2 3

−x y +y

)= (x ) + (y ) = x + y .

1 3

1 3

1 3

2 3

1 3

1 3



616.

Z (1 + c ) − 2c [ b + c − (b 2

1 2

( ) − 2c = 1 + c = 1 + c . b + c − (b ) − 2b c − (c ) =

1 2

= 1 + 2c + c

1 4

+c

1 2

1 4



)= 2

2

1 2

1 2

2 2

1 4

2

1 4

1 4

1 4

2

= b + c − 2b c − c − b = −24 bc . 1 2

1 2

\  D 

 

1 4

1 4

1 2

1 2







        + E   −  D  − E   = D  +  D E  + E  − D  +   

+ 2a b − b = 4a ⋅ b = 43 ab . 1 3

]  [ 

1 3

 

^

(y 

2 3

1 3

1 3







       − [   +  [  =  [   −  [  [  +  [   +  [  =     

= x − 2x 1 2

2 3

3+ 4 12

+ 3y

= \  + \

1 5

7 6

+ x + 2x = x − 2x + x + 2x = x + x = x . 2 3

7 12

) − 6y 2

 +  

13 15



1 2

7 12

2 3

7 12

1 2

2 3

13 15

= y + 6y y + 9y − 6y = 4 3

2 3





1 5

2 5











+  \  −  \  = \  +  \  +  \  −  \  = \  +  \  .

47

_  [ 

(

      +  [  −  [  +  =   [   −  [  +  =          

 

)(

1 2

) ( ) −1

1 2

= x −1 x +1 = x 617.

Z (x

=x

1 2

⋅2

1 2

−y

+y

[

1 2

1 2

⋅2

2

1 2

) + 2 x y = (x ) − 2 x y + (y ) + 2 x y 2

1 2

1 2

= x+ y.

(

1 2

2

1 2

m + n − m −n 1 2

2 2

= x − 12 = x − 1 .

2

1 4

1 4

1 2

) =m 2

1 2

1 2

1 2

1 2

=

( ) + 2m n − (n ) =

+n − m

1 2

2

1 2

1 2

2

1 4

1 2

1 4

1 4

1 4

1 4

2

1 4

= m + n − m + 24 mn − n = 24 mn = 2m ⋅ n .

\  D 

 







     + D   − D =  D   + D  D  +  D   − D =      



= D + D + D − D = D + D . 

]  D 



 





     + E   D  + E   D  − E   =   

) ( ) − (b )  = (a + b )(a − b )= . = (a + b )(a − b ) = (a ) − (b ) = a − b = a − b . 618. Z x − 2 x = x (x − 2) = x (x − 2). [ y + 3 y = y (y + 3 y ) = y (y + 3). \ a − 5a = a (a − 5a ) = a (a − 5) . ] a + a = a (a + a ) = a (a + 1). ^ b − 2b = b (b − 2b ) = b (b − 2) . _ c + 6c = c (c + 6c ) = c (c + 6) . (

= a + b ×  a  1 4

1 4

1 4

1 4

1 4

1 2



3 4



5 3



1 4

1 2

1 6

1 4

1 3

1 4

2 3

1 4

2

5 3

2 3

1 3

− 14

1 6

1 4

− 23

2 3

1 8

⋅2

1 2

1 3

− 14

2 3

1 4

− 16

− 14

⋅2

1 2

− 13 1 4

1 8

1 4

1 2

1 2

− 16 3 4

2

1 4

1− 13

1 3

1 6

2

1− 12

1 4

1 3



1 4

1 2

1 3



1 8

1 4

1 2



2

1 8

1 6

1 4

1 6

− 14

1 4

− 23

1 2

2 3

` (ab )3 − (ac )3 = a 3 b 3 − a 3 c 3 = a 3  b 3 − c 3  . 1

1

1

1

1

1

1

1



a

(



6 − 2 = (3 ⋅ 2 ) − 2 = 3 ⋅ 2 − 2 = 2 3 ⋅ 2 1 2

1 2

48

1

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

− 12

−2

1 2

− 12

)= 2 (3 − 1). 1 2

1 2

619.

Z 2 + 2 = 2 (21− + 2 − ) = 2 (2 + 1). [ 3 − 3 = 3 (31− − 3 − ) = 3 (3 − 1). \ a + a = a (a1− + a − ) = a (a + 1). ] b − b = b (b − − b1− ) = b (1 − b ) . 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 3

1 2

1 2

1 2

1 3

1 3

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 3

1 2

1 2

1 2

1 2

1 3

1 2

1 3

2 3

^ 15 3 + 20 3 = (5 ⋅ 3)3 + (5 ⋅ 4)3 = 5 3 ⋅ 3 3 + 5 3 ⋅ 4 3 = 5 3  3 3 + 4 3  . 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1



_ (2a ) − (5a ) 1 2

1 2



  = 2 a − 5 a = a 2 − 5 .   1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

620.

Z D − E =  D [ D − E =  D

 















− E 





−  E  =  D  − E   D  + D  E  + E  .

 





= D  − E 









+E .

 D  







621.

Z m 2 − 5 = m 2 − 5 ⋅2 = m 2 − (5 ) = (m + 5 )(m − 5 ). 2 [ 2 − x 2 = 2 ⋅2 − x 2 = (2 ) − x 2 = (2 + x )(2 − x ) . 2 \ a 3 − 4 = (a ) − 22 = (a + 2)(a − 2) . 2 2 ] x − y = (x ) − (y ) = (x + y )(x − y ). 2 ^ 4 − a = 22 − (a ) = (2 + a )(2 − a ). 2 2 _ m − n = (m ⋅2 − n ⋅2 ) = (m ) − (n ) = (m + n )(m − n 1 2

1 2

1 2

1 2

3 2

2 5

2

1 2

1 2

3 2

4 5

1 5

1 5

1 2

2 5

1 2

1 2

1 2

3 2

2 5

1 2

1 2

1 5

2 5

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

).

622.

Z x 3 − 2 = x 3 − 2 ⋅3 = x 3 − (2 ) = (x − 2 )(x 2 + 2 x + 2 ). 3 [ y 3 + 3 = y 3 + 3 ⋅3 = y 3 + (3 ) = (y + 3 )(y 2 − 3 y + 3 ). 3 \ m − 8 = m ⋅3 − 23 = (m ) − 23 = (m − 2)(m + 2m + 4). 3 ] a + 27 = a ⋅3 + 33 = (a ) + 33 = (a + 3)(a − 3a + 9) . 3 3 ^ x − 5 = x ⋅3 − 5 ⋅3 = (x ) − (5 ) = (x − 5 )(x + 5 x + 5 ) . 3 3 _ 4 + y = 4 ⋅3 + y ⋅3 = (4 ) + (y ) = (4 + y )(4 − 4 y + y ). 3 2

1 3

1 3

1 3

1 3

1 2

6 5

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

2 3

1 3

2 3

1 2

2 5

1 3

1 3

1 3

1 2

2 5

1 3

3

1 2

2 5

1 3

4 5

1 3

1 3

1 3

1 3

2 5

2 3

1 3

1 3

2 3

1 3

1 3

2 3

1 3

2 3

49

623.

Z

[ b \

3 2

−1 = b

x−4= x

( ) − 1 = (a − 1)(a + 1). − 1 = (b ) − 1 = (b − 1)(b + b + 1). − 2 = (x ) − 2 = (x − 2)(x + 2) . − y = (5 ) − (y ) = (5 − y )(5 + y ).

2 3

⋅2

1 2

⋅3

4 3

a −1 = a

1 2

⋅2

2

2 3

−1 = a

3

1 2

] 5 − y = 5 ⋅ 2 1 2

1 2

2

⋅2

1 2

1 2

2

2

1 2

2 3

1 2

3

1 2

2

2 3

2

1 2

2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

624.

Z

1 2

1 2

x +y =x

[ 1 3

1 3

c +d =c

⋅3

+y

⋅3

+d

1 6

1 9

⋅3

= ( x ) 3 + ( y ) 3 = ( x + y )( x − x y + y ) .

⋅3

= (c )3 + (d ) 3 = (c + d )(c − c d + d ) .

1 6

1 9

1 6

1 6

1 9

1 6

1 9

1 9

\ a −1 + b −1 = a − ⋅3 + b − ⋅3 = (a − 1 3

= D 625.

− 

+E

Z x [ 1 4

1 2

− 

− 

1 2

1 4

1 12

1 3

⋅3

−

⋅3

1 12

1 9

⋅3

1 3

−y

1 6

− 

− 

+E

1 9

= x

4⋅3

1 2

= x 1 9

1 4

4⋅3

( − 2 2 (2 =

3 −3 1 2

=

1 2

3 3 1 4

3

1 12

3

1 6

3

1 12

⋅3

1 12

3

1 9

1 2

− 12 1 4

1 2

1− 12

−3

− 14

1− 14

2

\

x+ x x x − +x = 2x 2x

]

x −x

50

1 4

1 2

1 2

x

3 4

1 2

1 4

=

(

5⋅2 1

1 4

1 4

1 2

1 4

x ( x − 1) x

3 4

)

−2

[

5⋅2

1 9

1 3

1 9

2 9

.



1 6

−y

3

1 9

1 12

1 9

626.

Z

2 9

1 6

1 3

3

1 6

1 6

) 3 + (b − ) 3

1 3

( ) − (y ) = (x

⋅3

1 3

1 6

)(x

1 3

1 6

1 6

1 3

)

+x y +y .

( ) − (y ) = (x − y )(x + x y + y ). − b = (a ) − (b ) = (a − b )(a + a b + b ) .

⋅3

−y

a −b = a

1 3

−D E

1 6

−y =x

x −y =x

\

 D

1 6

1 2

− 12

=

4 1− 3

) = 1− 2 )= x

=

1 2

x −1 x

3 4

− 14

3 4

.

5

+1

2x

1 4

.

1 2

1 2

=

. 1 4

x −1 x

1 2

.

1 6

1 9

1 12

2 9

1 12

1 9

1 6

1 9

2 9

^ _

2

1 3

1 3

1 2

1 2

a +b

1

1

1

(a 3 ) 2 − (b 3 ) 2

=

1 3

1 3

1 2

1 2

a +b

1

x− y 1 2

x +y 2 3

=

=

1 2

1 3

1 2

x +y

1 3

2 3





[

 

 

 

+\

 [

1 2

[

10

3

−

=

1 2

=

1 2

2 3



1

1

1

1

= a3 − b3 .

1 3

1

1

1 2

1 2

1

x +y

1 3

2 3

2 3

1 3

1

1

= x2 − y2 .

1 3

2 3

1 3

 

 

−[ \ +\

10 − 10

1 2

x +y

1 2

3

=3

− 12

+ 12

1 2

=

1 2

10 (10 − 1) 1

 

1 3

1 2

x +y

1 2



=

 

1 3

(3 + 1) = 3 1 2

1− 12

1 2

10 − 1

=

1

1

+ 3.

1,5

10

=

.



[ + \



1

( x 2 )2 − ( y 2 )2

=

1 2

1 2

10

=

x− y 1 2

1 2

( ) ( )



3 (3 + 1)

1

10

1 2

1 2

10 − 1 1

1

1 2

1 2

. 1

( x 2 − y 2 )( x 2 + y 2 ) x +y

1

1

= x2 − y2 .

1

1 b2 − 5 b2 −5 b2 −5 . = 1 = 1 = 1 1 b − 25 (b 2 ) 2 − 52 (b 2 − 5)(b 2 + 5) b 2 + 5 1 2

( ) + 2c d + (d )

1 2

c + 2c d + d c = c−d 

F  F

1 3

1

[ − [ \ + \

3+3

 

1

( x 2 − y 2 )( x 2 + y 2 )

1 3

Z

^

1 3

a +b

1

( x 2 )2 − ( y 2 )2

627.

]

1

x −x y +y x −x y +y x −x ⋅y +y = = = 3 3 ⋅3 ⋅2 x+ y x +y x + y

a

\

1

(a 3 − b 3 )(a 3 + b 3 )

1 a −b a −b a2 − b2 . = 1 = 1 = 1 1 1 1 1 1 a−b (a 2 ) 2 − (b 2 ) 2 (a 2 − b 2 )(a 2 + b 2 ) a 2 + b 2

`

=

2

a3 −b3

−G



+G  

 F

 



1 2

+G

1 2

c



 

2

=

1 2

⋅2

1 2

1 2

−d

1 2

c +d

1 2

1 2

1 2

1 2

c −d

⋅2

2

=

1 2

1 2

(c + d ) 2 1 2

1 2

(c ) 2 − ( d ) 2

=

.

51

_

m+n 2 3

1 3



=

1 3

m −m n +n 

2 3



1 3

 

1 3







 

 

P −P Q +Q 5 6

1 3

5 6

1 3

x +x x −x

Ijb o

( x (x 1 3

5 6

− 12

1 3

5 6

− 13

x x

=

x2 +1



1 2

x −1

2

1 3

 

+x

1 3

− 13

−x

1 3

− 13

1,44 + 1

=

1,44 − 1

=

1 3

m + 1,5

m + 1,5

1 3

1 3

3

1 3

m −m n +n



2 3

=



=

1 2

+1

1 2

−1

.

1,2 + 1 2,2 = = 11. 1,2 − 1 0,2 1

1 3

m + 1,5

1

= m 3 − 1,5.

m − 1,5 = 3 8 − 1,5 = 2 3 − 1,5 = 2 − 1,5 = 0,5.

−

[−

3

  

[ −

=

[   

[



−

− 



  

[ − 

[  

2 3

1 3

(m 3 − 1,5)(m 3 + 1,5)

=

1 3

3

1 3



[ 



−   [  + 

[

2 3

(m ) + (n )

1

( m 3 ) 2 − 1,5 2



=

=

= P +Q .

)= x ) x

1

m 3 − 2,25

Ijb m=8 \

2 3

m −m n +n

1

[

1 3

(m ) 3 + (n )3

+ Q   P  − P  Q  + Q 

P 

628.

Z

=

−



=



[ − 

[  

[

= 

− [  +  

−   [  + 

=



=

[ −  [

 

 

−   [ + 

Ijb o

1



x +2

=

=

  

[ + 1 9 +2 

]





1 1 = . 3+ 2 5 

−  −  \  + 

=    \  −  \  +   \  −  12 =− =− . y −9 y −9 

\ + 12

−

 \ 

=



=

\ 



−  −\  −  

\

1 2

Ijb m 52



−

12 y −9

=−

12 100 − 9

=−

12 = −12. 10 − 9



−



=

629.

=

[ = =







D −E D−E D −E D−E − =  −  =  −      D−E D −E D  − E   D  − E  D −E

Z −



D−E



3 2

3 2

1 2

1 2

a −b 1 2

=

1 2

(a − b )(a + b ) 3 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

3 2

1 2

3 2

3 2

3 2

1 2

1 2

1 2

a +b

a−b

⋅

1 2

1 2

1 2

1 2

)=

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

⋅3

1 2

a +b

1 2

1 2

1 2

⋅3

−b

a

1 2

1 2

⋅

a

1 2

⋅2

1 2

a b

=

(a − b )(a + b )

+ 2a b =

1 2

a+a b +b

1 2

1 2

3 2

a b (a − b )

=

(a − b )(a + b ) a −b

3 2

(a − b )(a + b )

a − a b + ab − b − a + b 1 2

(

1 2

(a − b)(a + b ) − a + b

3 2

1 2



1 2

1 2

a +b

−b 1 2

1 2

1 2

⋅2

1 2

a+a b +b

.

=

(a )3 − (b )3 (a ) 2 − (b ) 2 + 2a b = ⋅ a +b a+a b +b 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

(a − b )(a + a b + b)(a − b )(a + b ) 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

(a + b )(a + a b + b) 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

= ( a − b ) + 2a b = a 2

1 2

1 2

⋅2

1 2

1 2

− 2a b + b

1 2

⋅2

+ 2a b = 1 2

1 2

1 2

1 2

+ 2a b = a

1 2

⋅2

+b

1 2

⋅2

= a + b.

630.

Z =

[ + =

\

[ 

+



[ + \ x

1 2

+ 12

1 2



\ 

1 2

1 2

1 2

−x y +x y +y 1 2

1 2

(x ) − ( y )  

2



D +E 

D

−

1 2

1 2

a (a − b ) 1 2





D −E =

1 2



1 2

+ 12

=







D

1 2

1 2

a (a − b )

=

1 2



−

1 2

   T S  +        − S S T T − ST  

a (a − b ) 1 2

1 2

=

D 



D −E

0 a (a − b ) 1 2

+

=

1 2

a −b−a +b 1 2

=





D +E

=



1 2



− \

 [ 



D−DE 1 2

1 2



x+ y . x− y

E 1 2



+ \

a (a − b )

1 2

1 2



(a + b )(a − b ) − a a + b

(a ) 2 − (b ) 2 − a + b 1 2



2

+



[ 



D

b 1 2

=



[ − \



[  [  − \  + \  [  + \ 

1 2

1 2

= 0.

    ST  + S  T   ⋅ S−T 

53

1)

1 2

p− p q 

=

2)

1 2

q

+

1 2



p

1 2



S T

 

S

 

=

1 2

q− p q 

T T  − S S  

1 2

 

−T

=

q 1 2

p (p

1 2

1− 12

1 2

−q )

T− S  

S T

 



 S

1 2

+

1 2

q (q

1− 12

1 2 1 2

−p )

=





−T

p



1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

pq + p q (q − p) p q ( p + q ) = = p−q p q (p − q ) p q ( p − q )( p − q )

=−

q− p

1 2

1 2

1 2









S + T  S −T 

⋅

1 2

=

1 2









T  + S

1 2

1 2

1 2



T  − S

631.

Z

21 − 4 x + 2(7 x − 0,5) < 0,  − 4( x + 0,5) − 2 x − 1 > 0,

[

2(0,5 x − 3) − 3(2 x + 3) ≥ 0,  − (4 x + 7) + 0,5(4 x − 6) ≤ 0,

21 − 4 x + 14 x − 1 < 0,  − 4 x − 2 − 2 x − 1 > 0,

 x − 6 − 6 x − 9 ≥ 0,  − 4 x − 7 + 2 x − 3 ≤ 0,

10 x + 20 < 0,  − 6 x − 3 > 0,

− 5 x − 15 ≥ 0,  − 2 x − 10 ≤ 0,

 x < −2,   x < −0,5.

 x ≤ −3,   x ≥ −5 .

632.

Imklv jZkklhygb_ hl ]hjh^Z ^h kh\ohaZ l df Z kdhjhklv Z\lh[mkZ v dfq Ba i_j\h]h mkeh\by ihemqbf ke_^mxs__ mjZ\g_gb_ v+20=1,5v l_ v=40. Ba \lhjh]h mkeh\by ihemqbf ke_^mxs__ mjZ\g_gb_ l l l l = + 1  l_ = +1

v − 10 v 10l=1200 .l=120 df 

30

40

Hl\_l  df 633.

Imklv jZkklhygb_ hl klhebpu ^h ^_j_\gb l df Z kdhjhklv \_ehkbi_^bklZ ² v dfq IhemqZ_f kbkl_fm mjZ\g_gbc 54

3 1  l v(v − 3) = 3   1 l 1 =  v(v + 1) 12

l 1  l  v − 3 − v = 3  l − l = 1  v v + 1 12

 v(v − 3) v(v + 1) =  9 12  v ( v + 1 ) l  12

v = 15   15 ⋅16 l = 12 = 20 

4v − 12 = 3v + 3   v(v + 1) l = 12 

Hl\_l  df 634.

Z =



+





−



+

 

[ =

+



−



−





+



++−



+





+

−

+

 



+

=



−



+



(2 − 3 )(2 + 3 )







2+ 3 +2− 3

=

=

=



+



−

 









4

( 3)

2

 

−

+





=



= 

−

−

22 −

+



+ ⋅

=

− +

4 4−3





=



= 4.

635.

Z g_ fh`_l [ g_ fh`_l

636.

Z LZd dZd Df =(–’  ∪(0;+’ kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh gmey b 1 1 1 f (− x ) = = =− 3 = − f ( x)  ke_^h\Z3 3

( − x ) + 2( − x ) − x − 2 x x + 2x l_evgh f (x) — g_q_lgZy nmgdpby [ LZd dZd Df =R kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh gmey b 1 1 f (− x) = = 2 = f ( x)  ke_^h\Zl_evgh f (x) — 2 (− x) + 7 x + 7

q_l-

gZy nmgdpby

55

\ LZd dZd

f (− x) =

1 (− x) + 3(− x) 4

=

1 x − 3x 4

≠ f ( x)

b

≠ − f (x) ,

ke_^h\Zl_evgh g_ y\ey_lky gb q_lghc gb g_q_lghc nmgdpb_c ] Df =R kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh gmey b

f (− x) = − x + 3 + − x − 3 + − ( x − 3) + − ( x + 3) = x − 3 + x + 3 =

f (x)  ke_^h\Zl_evgh f (x)

q_lgZy nmgdpby ^ Df =R kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh gmey b

f (− x) = − x + 5 − − x − 5 = − ( x − 5) − − ( x + 5) = x − 5 − x + 5 =

= −( x + 5 − x − 5 ) = − f ( x)  ke_^h\Zl_evgh f(x g_q_lgZy nmgdpby

_ I  − [ = − [ +  + − [ −  = −  [ − + −  [ +  = x − 1 + x + 2 ≠ ≠ f (x ) b f(−x)≠ − f (x) ² g_ y\ey_lky gb q_lghc gb g_q_lghc nmgdpb_c 637.

Z fh`_l \ fh`_l [ g_ fh`_l ] g_ fh`_l

638.

[

y Z

y= 4 0

\

y



y

y=x [

[

1

y=–

1

x

3

]

[  −

x

y=–  − [

y



3 1 –2

639.

1 2

Z m[u\Z_l [ \hajZklZ_l

640. 56

x

1

3

x

Ih mkeh\bx bf__f

g (− x) = g ( x), f (− x ) = f ( x)

agZqbl y(−x)= = g (− x) + f (− x) = g ( x) + f ( x) = y ( x) ; y(x) — q_lgZy nmgdpby [ y( x) = f ( x) − g ( x), f (− x) = f ( x), g (− x) = g ( x), agZqbl m(−o)= = f (− x) − g (− x) = f ( x) − g ( x) = y ( x ) ; y(x) — q_lgZy nmgdpby \ y ( x) = g ( x) ⋅ f ( x), f (− x) = f ( x), g (− x) = g ( x), agZqbl m(−o)= = g (− x) × f (− x ) = g ( x) ⋅ f ( x) = y ( x); y(x) — q_lgZy nmgdpby a) y ( x) = g ( x) + f ( x), f (− x) = f ( x), g (− x) = g ( x ),

] y ( x ) =

f ( x) , f (− x) = f ( x), g (− x) = g ( x ), agZqbl g ( x) f (− x) f ( x) = = = y ( x) ; y(x) — q_lgZy nmgdpby g (− x) g ( x) 641. Ih mkeh\bx bf__f f (− x) = − f ( x); g (− x) = − g ( x). a) y ( x) = g ( x) + f ( x), f ( x) = − f (− x), g ( x) = − g (− x),

m(−o)=

agZqbl

m(−o) = g (− x) + f (− x) = g ( x) − f ( x) = − y ( x ) ; y(x ² g_q_lgZy nmgd-

pby [ y( x) =

agZqbl m(−o)= = f (− x) − g ( x) = − f ( x) + g ( x) = −( f ( x) − g ( x)) = − y ( x) ; y(x ² g_q_lgZy nmgdpby \ y ( x) = g ( x) ⋅ f ( x), f ( x) = − f (− x), g ( x) = − g (− x), agZqbl f ( x) − g ( x), f ( x) = − f ( x ), g ( x) = − g ( x),

m(−o) = g (− x) ⋅ f (− x) = − g ( x) ⋅ (− f ( x)) = g ( x) ⋅ f ( x) = y ( x); y(x) —

q_lgZy nmgdpby

57

f ( x) , f ( x) = − f (− x), g ( x) = − g (− x), agZqbl g ( x) f (− x) − f ( x) = = = y ( x) ; y(x) — q_lgZy nmgdpby g (− x) − g ( x)

] y ( x ) =

m(−o)=

642.

=jZnbdhf nmgdpbb f ( x) = x − 2 [m^_l ijyfZy o 0 1 m -2 -1  =jZnbdhf nmgdpbb f ( x) = − x − 2 [m^_l ijyfZy o 0 -2 m -2 0 

643. =jZnbd nmgdpbb g ( x) = x 2 + 1 − iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \\_jo GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu iZjZ[heu b 0 x\ = − = − = 0; g \ = 1. 2a 2 o 1 2 0 -1 m 2 5 1 2 =jZnbd nmgdpbb g ( x) = − x 2 − 1 − iZjZ[heZ <_l\b wlhc iZjZ[heu gZijZ\e_gu \gba GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu iZjZ[heu x\ = −

0 b =− = 0; g \ = −1. 2a 2 ⋅ (−1)

o -1 -2 -3 0 m -2 -5 -10 -1

1 -2

2 -5

3 -10

644. Z =jZnbdhf nmgdpbb f(x)= ijyfZy o 0

 

o− [m^_l

4 1

um

1 −1 [ =jZnbd nmgdpbb f(x o2−o − iZjZ[heZ <_l\b wlhc iZjZ[heu gZijZ\e_gu \\_jo Dhhj^bgZlu \_jrbgu iZjZ[heu E =− −  m =1. o\=− \ D  ⋅

\ Ijb o≥ ]jZnbd nmgdpbb ijb ihkljhbf ih lhqdZf ijb o≤ ]jZnbd [m^_l kbff_ljbq_g ihkljh_gghfm hlghkbl_evgh Hm o 0 1 4 9 m 0 1 2 3

645. Z =jZnbd nmgdpbb g(x)=x2 − iZjZ[heZ <_l\b wlhc iZjZ[heu gZijZ\e_gu \\_jo GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu iZjZ[heu o\=−

o m

E =−  =0; g =0. \ D  ⋅ 0 0

1 1

2 4

3 9

4 16

[ =jZnbd nmgdpbb g(x o2−o − iZjZ[heZ <_l\b wlhc iZjZ[heu gZijZ\e_gu \\_jo

2

GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu iZjZ[heu o\=− g\=4−4⋅2=−4. o 0 1 m 0 −3

2 4 −4 0 \ Ihkljhbf ]jZnbd nmgdpbb g(x)=

o m

0 0

1 1

4 2

E =− − =2; D  ⋅

Ë: 9 3

16 4

646.

Z =jZnbd nmgdpbb y=f(x y\ey_lky kbff_ljbqguf hlghkbl_evgh hkb hj^bgZl Ihwlhfm _keb (x0; f(x0)) ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm lh b (–x0; f(x0)) ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm Ke_^h\Zl_evgh f(–x0)=f(x0) lh _klv f(x0) ² q_lgZy nmgdpby [ =jZnbd nmgdpbb y=f(x y\ey_lky kbff_ljbqguf hlghkbl_evgh gZqZeZ dhhj^bgZl Ihwlhfm _keb (x0; f(x0)) ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm lh b (–x0; –f(x0)) ijbgZ^e_`bl ]jZnbdm Ke_^h\Zl_evgh f(–x0)=– f(x0) lh _klv f(x) ² g_q_lgZy nmgdpby

647.

Z >Z ijb k=0 y=b — q_lgZy nmgdpby [ >Z ijb b=0: y=kx — g_q_lgZy nmgdpby

648. >Z ijb b



b Z≠ m Zo2k ² y\ey_lky q_lghc nmgdpb_c

649. Z Nmgdpby m o100 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ 5 >4100. 100

>∞),

agZqbl

3

[ Ld < b nmgdpby m o100 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ [0;+∞  agZqbl 100<0,89100. Nmgdpby m o261 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ −∞;+∞  agZqbl 1,5 <1,6261. \ 261

] Nmgdpby m o261 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ −∞;+∞  agZqbl      



  >   



.

650.

Z Nmgdpby m o10 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ >∞  agZqbl 2 <310. [ Nmgdpby m o5 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ −∞;+∞  agZqbl 5 0,3 >0,25. \ Nmgdpby m o17 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ −∞;+∞  agZqbl 10

     



]

  >      



. 

    =  ⇒     



  =      





  =       



;

^ 7=(23)7−221 m o21 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ −∞;+∞  agZqbl 3 >221 l_ 21>87. _ 6=(362)3=12963 Nmgdpby \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ (−∞;+∞ b <1296, 12963>12503 l_ 6>12503. 21

651.

Z Nmgdpby f(x o7 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ −∞; +∞)⇒f(25)>f(12)⇒ f(25)−f(12)>0. [ Nmgdpby f(x o7 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ −∞; +∞)⇒f(−30) +∞)⇒g(17) −g(5)>0. ^ g(−9)>o; g(−17)>0⇒g(−9)⋅g(−17)>0. _ Nmgdpby g(x o10 \hajZklZ_l gZ ijhf_`mld_ > +∞)⇒g(38)> g(0)⇒ g(38)−g(0)>0.

652. 4

Z JZkkfhljbf jZaghklv on+1−xn=xn(x−  LZd dZd x∈[0;   lh x ≥ o−1≤ ke_^h\Zl_evgh on+1−xn≤ lh _klv on+1≤xn. [ JZkkfhljbf jZaghklv on+1−xn=xn(x−  LZd dZd x∈(1; +∞  lh n x ≥ o−1> ke_^h\Zl_evgh on+1−xn> lh _klv on+1>xn. n

653.

Z  n agZqbl n=3. [  n agZqbl n=2. \  −3)n agZqbl n=4. ] −32=(−2)n agZqbl n=5.

654.

Z  n, y=2n \hajZklZ_l 22=4<5<82=23 agZqbl g_ kms_kl\m_l [    )n agZqbl n=8. \  ± n agZqbl n=2m. 415=(–5)2m=25m y=25m — \hajZklZ_l 25'=25<415<625=252 agZqbl g_ kms_kl\m_l ] ± −7)n agZqbl n=3.

655.

,

x y

Ihkljhbf ]jZnbd nmgdpbb m o3 −1 −2 −1 −8

− −

   

0 1 2 3 0 1 8 9

Ihkljhbf ]jZnbd nmgdpbb m o4. 0 1 2  o −1 −2  − ,,

m −1 −16



−

 



0 1 16

 

5

Z =jZnbd nmgdpbb m −o3 fh`gh ihemqblv ba ]jZnbdZ nmgdpbb m o3 ihevamykv kbff_ljb_c hlghkbl_evgh hkb o [ =jZnbd nmgdpbb m o3−1 fh`gh ihemqblv ba ]jZnbdZ nmgdpbb m o3 ijb ihfhsb iZjZee_evgh]h i_j_ghkZ gZ  _^bgbpm \gba \^hev hkb m \ =jZnbd nmgdpbb m o−2)3 fh`gh ihemqblv ba ]jZnbdZ nmgdpbb m o3 ijb ihfhsb iZjZee_evgh]h i_j_ghkZ gZ  _^bgbpu \ijZ\h \^hev hkb o ] =jZnbd nmgdpbb m o−2)3 fh`gh ihemqblv ba ]jZnbdZ nmgdpbb m o3 ijb ihfhsb ^\mo iZjZee_evguo i_j_ghkh\ — k^\b]Z m o3 gZ  _^bgbpu \ijZ\h b gZ  _^bgbpm \\_jo ^ =jZnbd nmgdpbb m −o4 fh`gh ihemqblv ba ]jZnbdZ nmgdpbb m o4 ihevamykv kbff_ljb_c hlghkbl_evgh hkb o _ =jZnbd nmgdpbb m o4− fh`gh ihemqblv ba ]jZnbdZ nmgdpbb m o3 ijb ihfhsb iZjZee_evgh]h i_j_ghkZ gZ  _^bgbpm \gba \^hev hkb m ` =jZnbd nmgdpbb m o−3)4 fh`gh ihemqblv ba ]jZnbdZ nmgdpbb m o4 ijb ihfhsb iZjZee_evgh]h i_j_ghkZ gZ  _^bgbpu \ijZ\h \^hev hkb o a =jZnbd nmgdpbb m o−3)4 fh`gh ihemqblv ba ]jZnbdZ nmgdpbb m o3 ijb ihfhsb ^\mo iZjZee_evguo i_j_ghkh\ ² k^\b]Z m o4 gZ  _^bgbpu \ijZ\h b gZ  _^bgbpm \\_jo 6

656.

Z  dhjgy [  dhj_gv \ g_l dhjg_c ]  dhj_gv ^  dhj_gv _  dhj_gv

657. Z −0,5 [ −



^ _









=1,5



 



−

=−0,5⋅ 

−  =

⋅



−  ⋅









\  ]



⋅



 













É=



 











=





5

 3   ⋅   = . =5   ⋅ =  2   ⋅ 



⋅





= −3 53 ⋅0,1=−5⋅0,1=−0,5.







=











  ;( É )3=    











) = 0,04 ⇒ o=0,04. 1 ; (y ) =   ⇒ m .  2 1 2

2

1 3



     ⋅  =   ⋅ = = .      ⋅   

⋅

3

3

\ ¶ =− g_l j_r_gbc ld dhj_gv qbkeZ _klv qbkeh g_hljbpZl_evgh_

^ _





 



]

⋅3=2.

=

Ë =0,2; ( Ë )2=0,22; (x

Z



=

=1,5⋅2=3.

658.

[

=−0,5·2=−1.











hc

kl_i_gb ba ex[h]h

E =2; ( E )4=24; (b ) = 24 ⇒ b=16. 8 Ë =1; ( Ë )8=18; (x ) = 18 ⇒ o 



4

1 4



1 8



3

3

( ) = (− 2) ⇒ o −8. 1

É =−2; ( 3 › ) =(−2) =−8; x 3

3

3

659.

Z Ijb o−2≥0; o≥ \ujZ`_gb_ bf__l kfuke − Ë [ Ijb ≥ o≤9. 

7

\ Ijb ex[hf o \ujZ`_gb_ bf__l kfuke ] Ijb Z− Z−2)≥ l_ ijb Z ≤ beb a≥5. ^ Ijb m2−m≥ J_rbf mjZ\g_gb_ m2−m  D=52−4⋅6=1; + − 2 m =3 beb m  m −m m− m−2)≥ l_ m≤ beb m≥3. 



_ Ijb −b2+6b−8≥ J_rbf mjZ\g_gb_ −b2+6b−8=0; b2−6b+8=0; 6+ 4 6− 4 b= D=62−4⋅1⋅8=4;  beb b= =2⇒−b2+6b−8= 2 2 =−(b−4)(b−2)≥0; (b−4)(b−2)≤ l_ ≤b≤4.

660. Z o6  o [ o9  o \ o7=− o ] o11  o ^ _

4

“ 



 





.

. −  =−





.



.

(

› + 1 =2; ( 4 › + 1 )4=24; (x + 1)

Ë −  =1;( Ë −  )





5

=15

1 4

o−

) =2 4



o

4

⇒ o



o





661.

Z o8o4−  Imklv o4=y; y2+6y−7=0; D=62−4⋅(−7)=64; − 6 + 64 − 6 − 64 beb y2= =−7; x4=− \ i_j\hf kemqZ_ y 1= 2 2 o1  beb o2=− \h \lhjhf kemqZ_ g_l j_r_gbc ld ijZ\Zy qZklv jZ\_gkl\Z o4=− ± hljbpZl_evgh_ qbkeh [ o12−o6  Imklv o6=y; y2−9y+14=0; D=92−4⋅14=25; 9 + 25 9 − 25  beb y2= =2 ⇒ o6  beb o6  \ i_j\hf y 1= 2 2 kemqZ_ o1,2=±   \h \lhjhf kemqZ_ o3,4=±  . \ o6o3  Imklv o3=y; y2+11y+24=0; D=112−4⋅24=25; 

8



− 11 + 25 − 11 − 25 =− beb y2= =−8⇒o3=− beb o3=−8; 2 2 o1=−  beb o2= −  =−2. ] o14−o7  Imklv o7=y; y2−5y+6=0; D=25−4⋅6=1; + − y 1=  beb y2= =2 ⇒o7  beb o7  l_ x1   o2=  . y 1= 











662.

Ë =5; ( Ë )3=53=125; (x ) = 53 ⇒o  2) Ë >5; ( Ë )3>53o>125. 3) Ë <5; ( Ë )3<53 o<125. 4 [  Ë =2; ( Ë )4=24; (x ) = 2 4 ⇒ o  2) Ë >2; ( Ë )4>24o>16. 3) Ë <2; ( Ë )4<24; 0”x<16. Z 



1 3













1 4











3

663.

Ihkljhbf ]jZnbd nmgdpbb m Ë o 0 1 8 −1 −27 m 0 1 2 −1 −3 

Z [ \









<





;

− < − ; −  < −  . 



664. Z LZd dZd < lh  −  <0. 





<



 

ke_^h\Zl_evgh



9



[ LZd dZd 





−





>



 



lh





>





 



ke_^h\Zl_evgh

>0.



\ LZd dZd >0,99, lh >   ke_^h\Zl_evgh 

1−





>0.

] LZd dZd lh 







−





<



 

 

= 

 

<

 

,

ke_^h\Zl_evgh

<0

665. Z

−[ =

I  −[ =

[

=

I  [

Df=R Ke_^h\Zl_evgh I  [ ² q_lgZy nmgdpby Ihkljhbf ]jZnbd nmgdpbb y= I  [ .

Ijb x• y= I  [ = [ Ijb x<0 ]jZnbd [m^_l kbff_ljbq_g hlghkbl_evgh Oy. y

1 1

[

I  −[ =



−[ =



[

=

4

I [

Df=R — kbff_ljbqgZ hlghkbl_evgh gmey Ke_^h\Zl_evgh I  [ ² q_lgZy nmgdpby Ihkljhbf ]jZnbd nmgdpbb y= I  [ . 10

x

Ijb x• y= I  [ = [ Ijb x<0 ]jZnbd y\ey_lky kbff_ljbqguf hlghkbl_evgh Oy. 

y

2 1

x

666. Z 
[ 1<



Ë<





<





<

Ë<







; 0<



ke_^h\Zl_evgh

Ë <1.





<



Ë<





;

.

10 
\ 





Ë <10.

ke_^h\Zl_evgh





<



Ë<







;

667.

Z o−2≥ o≥2. [ −o≥ o≤ o≤2,5. \ m





Ë+

hij_^_e_gZ ijb ex[hf o

668. y

y=x

[

y= 2

y= 1

Z o2=1

4



[

x

8

x = x  agZqbl x = x 2  oo−1)=0 ⇒ x1 = 0, x2 = 1  l_ o1=0, 1 2

x = x  agZqbl x>0 ld dhj_gv l_evgh_

hc

1 2

kl_i_gb qbkeh g_hljbpZ-

x > x  agZqbl oo−1)< l_ 0<x<1. 11

[ 3 x = x  agZqbl o=o3 l_ o(o2−1)=0; o(o−1)(o o2=1, o3=−1. 3

x < x  agZqbl x<x3; x(x2−1)>0; −1<x<0 beb x>1

3

x > x  agZqbl x>x3; x(x2−1)<0; x<−1 beb 0<x<1.



l_

670. Z



[



\



]

 ⋅ 





⋅









=





=

3

⋅







=





5





4

=











⋅



= 

5

3

4



⋅







43 ⋅ 3 33

3









⋅





=











⋅

 

=

 ⋅ 





=



6



4 ⋅ 3 12 = . 5 5

=

34

2 ⋅ 5 4

4

(3 ) ⋅ 5 (7 ) (3 ) (2 ) ⋅ 5 2 5

5

5

2 5

6

2 3⋅ 3

2 6

6

=

4 5

 ⋅

=

= 6



⋅









=











=



⋅

.



=

 

.

=1

 

671. Z



[



\



]



Ë É= 



Ë



ËÉ =4 [ [\ .

⋅

DE = E ⋅ DE = 4 34 b 4 ⋅ 4 ab3 3b DE . 3 3 3 3 3 2 D [ = D [ ⋅ D = 5 a x ⋅ a = 5Zo D  E \ =   E \ \ = 4b4m2 \ . 







































 



672. 

Z Z

¶

[ o



\ b



12

¶ ¶



=



Ë





E



=





=

Ë Ë E E









=





¶.



= 3 23 x 3 − 2 = 2 = 4 3b 4 − 3 =







Ë.

E.





.

.

o1=0,

] k





Ç



=



Ç Ç

 ⋅





= 5 2c 5 − 4 =



Ç.





673.

Z LZd dZd ! Lh]^Z 32 =

15

15

2 =

5 15 2





5

[ LZd dZd 





=



<



<









>

15

8=

15

2 = 3

3 15 2

=

1 25 ;

lh]^Z









=

1 23



−







< 

\ LZd dZd ! lh]^Z 

N

=N >



N

 



N



−



<

 

N



<





=N

N



] LZd dZd 





N



 

−



N



> 

lh]^Z





N





< .



674. Z 

 

=

= 







=



=











LZd dZd  ke_^h\Zl_evgh [



=



 



=





<











=

 

<



<





;



5

3

243 8 23 2 5  3 0,3 = 15   = 15 < 15 = 3⋅5 3 = 5 = 0,2 , 100000 1000 10 10  10 

ke_^h\Zl_evgh



<





675. Z



−



⋅



+



=1.

3⋅ 2

<





.

(2 − 3 ) ⋅ 3

6

7+4 3 =

13

= 6 (2 − 3 ) 2 ⋅ 6 7 + 4 3 = =



 − 



=



 − 

=1.

[

+   + 

 − 



 





=



6

− 



− 



=





=1.

3

3

⋅  + 



  + 

( 2 − 1)

=







2

− 

=

2

=



( 2 − 1)

3 − 2 2 : 2⋅3 3− 2 2

= 6 (3 − 2 2 ) : 6 ( 2 − 1) 2 = 6

=



 − 

−  =1.



 −



−





=

=

 

− 



+

=

676. 3

Z

3

3

[

25

3

2

3

10

= =



\



−

2

]

3

3 −1

3

3

( 25 ) 5 3 3

5

2

3

5 5



=

7 3

5+ 2 3



3

3

3

=

+ 

=

125

25 5

15

=

+ 

3

15 . 5

25 . 5

2 +1

(3 3 − 1)(3 32 + 3 3 + 1) 

+





2

=

+ =  −

2(3 32 + 3 3 + 1)

( 3) −1 3

3

3

(3 5 + 3 2 )(3 5 2 − 3 5 ⋅ 3 2 + 3 2 )

3

=

o2



o

[ 14



Ë−

2



Ë =0;

(

)

7 3 25 − 3 10 + 3 4  == 5+2



Ë =2 Ë ; 

(





−



=



Ë )6=(2 Ë )6;

oo−  o1  beb o2=0. Ë −0,1=0; Ë =0,1; ( Ë )6=0,16 o 

+.

=

677. Z



+1.

7( 3 5 2 − 3 5 ⋅ 3 2 + 3 2 2 )

=

3



2



=

( 2 ) −1

2(3 32 + 3 3 + 1)

( 5) + ( 2) 3

3

3

−  

7(3 25 − 3 10 + 3 4 ) 3

= 

= =

2

3

=

3

2 3 32 + 3 3 + 1 = =  2

^

5







+





.

(x ) = 2 (x ) ; 1 3

6

6

1 6

6

\ Ë +5=0; Ë =− g_l j_r_gbc ld dhj_gv hc kl_i_gb qbkeh g_hljbpZl_evgh_ ] Ë +2 Ë −  imklv Ë =y, 2y2+y−1=0; D=1+1⋅2⋅4=9; 









−1± 9  , y1=− beb y2=  < i_j\hf kemqZ_ j_r_gbc g_l ld 4  dhj_gv hc kl_i_gb ± qbkeh g_hljbpZl_evgh_ \h \lhjhf kemqZ_ y=



Ë=o 











o

 



Ë −5 Ë 

=

 

.

imklv Ë =y lh]^Z y2–5y+6=0;  ± D=252−6⋅4=25−24=1; y1,2= ; y1=3 beb y2=2. < i_j\hf kemqZ_ ^











Ë



_

o1=3  \h \lhjhf kemqZ_ Ë −2 Ë −  imklv 4



Ë  o2=24=16. Ë =y lh]^Z







y2

−2y−3=0;

2 ± 16 ; y1=3 beb y2=–1 — dhjg_c g_l ld D=22+3⋅4=4+12=16; y= 2

e_\Zy qZklv x=6561.

±

iheh`bl_evgZy Z ijZ\Zy

hljbpZl_evgZy





[ = 

678. 



Z  



=2,5⋅2

3



=5





=5⋅  =5⋅  ⋅  = 





=5⋅  ⋅  = 5 2 ⋅  . 







[ −8⋅ \ a





=−  ⋅  = − 2

D =a⋅ D



 

3+



=a

1+

1 2





=− 



.

3

= a2 1+

] −b⋅ 3 b =−b⋅ E = − b 

1 3

1 3

4

= − b3 . 1

^ x+1)2⋅ 4 x + 1 =(x+1)2⋅ ( x + 1) 4 = (x + 1)

2+

1

_ y−5)3⋅ 3 y − 5 =(y−5)3⋅ ( y − 5) 2 = ( y − 5)

1 4

3+

1 2

9

= ( x + 1) 4 . 7

( y − 5) 2 .

679. Z ! ihwlhfm 15

3

2

1

1

512 = 6 83 = 8 6 = 8 2 > 6 64 = 6 82 = 8 6 = 8 3

6

[ ! ihwlhfm 1

4

1

3

625 = 24 54 = 5 24 = 5 6 > 24 512 = 24 83 = 8 24 = 8 8 \  ihwlhfm 24

4 12 3

81 = 3 = = ] ! ihwlhfm 12 4

12

1 33

4 48

< 125 = 12

5 =

12 3

3 12 5

=

3

1

81 = 48 34 = 3 48 = 312 > 48 64 =

1 54

1

43 = 4 48 = 4 16 .

48

680. 1

1

Z ( x − 2) 2 =4; ( ( x − 2) 2 )2=42; x−2=16; x=18. [ x−2)

2

1 = 42 

Iheh`bf x−2=y⇒y2= 4 =2;

y=± 2 ; x−2=± 2 ; x1=2+ 2 , x2=2− 2 . 1

\ ( y + 3) 4 =−1; 4 y + 3 =− g_l j_r_gbc ld dhj_gv hc kl_i_gb ± qbkeh g_hljbpZl_evgh_ 1 1 1 = ; y+3=4; y=1. ] ( y + 3) −1 = ; 4 y+3 4 1

^ ( a − 5) 3 =0; a−5=0; a=5. _ a−5)0=

1 g_l j_r_gbc ld Z−5)0 3



gh

1 ≠1. 3

681. Z

5

1 5 < x < 5 1  agZqbl 32

2

2

2

1 5 < x 5 <1 5  agZqbl 32

[ 2

5

1

5

1

1 < x 5 < 15 ; 25 2

5

1 < x 5 <1; 1024

1

1

2

5

1 < 5 x < 5 32 ; 1< x 5 < 5 25 ; 1 < x 5 < 2 ; 2

2

2

2

2

1 5 < x 5 < 32 5 ; 1< x 5 < 5 1024 ; 1< x 5 < 45 ; 1< x 5 <4. 5

16

2

1 1 < x 5 <1; < x 5 < 1 . 5 4 4

1

1

\

32 < 5 x < 5 1000 ;

5 2

2

25 < x 5 < 5 1000 ; 2 < x 5 < 5 1000

5

2

2

32 5 < x 5 <1000 5 ;

5

1 5

1024 < x 5 < 5 1000000 ;

2

45 < x 5 < 5 10 ⋅ 105 ; 4< x 5 < 105 10 .

682. 3 5 x

Z

3

3

= x5

2

−

3 2 − 10 15

=x

18 − 9 − 4 30

5

1

= x 30 = x 6 .

x 10 ⋅ x 15

[

a −3,5 ⋅ a 3,8 a −3,5 + a 3,8 a 0,3 = = 0, 2 = a 0, 3− 0, 2 = a 0,1 . a 2,1 ⋅ a −1,9 a 2,1−1,9 a

\  m−0,6 ⋅ m0,2 )2,5=( m−0,6 + 0, 2 )2,5=( m−0,4 )2,5=m−0,4⋅2,5= m −1 =  3 −1  ]  c 4 c 6     

−1

2 7

 9− 2  =  c 12     

−

1 3

9 7

−

=c

7 9 ⋅ 12 7

1

1

 25a − 2  2  = ^  4   4b   8 x12  _  6   y 

−

25 ⋅ (a − 2 ) 2

=

1

5a

4 ⋅ (b 4 ) 2

− 2⋅

2b

4⋅

1 2

1 2

=

.

5a −1 5 = 2 2b 2ab 2

6

1

 y6  3 =  12  =  8x 

=c

3 4

−

1 . m

y3 1

12

=

83 x 3

y2 . 2x4

683. 3

Z [

5

x3 ⋅

8 4

x

x −1

10

=

9

3

x 9 = x 5 ⋅ x 10 = x 5 1 x8

x

−

1 4

1 1 + 4

= x8

1 1

=x 2

+

9 10

1+ 2 8

=x

6+9 10

15

3

= x 10 = x 2 .

3

= x8 . 1

2 1 + 12

\ 3 x 2 4 x = ( x 2 x 4 ) 3 = x 3 ⋅ x 12 = x 3

9

3

= x 12 = x 4 .

17

684.  8 −2  x3 ⋅ x 3 Z  4  3  x 1 = x −1 = x

?keb x   [    

[ =

−

[

⋅ ⋅

    

−

3 2

 8− 2  x3 3 = 4  3  x

lh



    

−

3 2

 2 x = 4  3 x









  −  [ ⋅[   =    [ ⋅[−    

[ ⋅[ [ ⋅ [− 



−

3 2

=

 3 2 −  x  2 4  3 ⋅ −  2

x3



















   =    



[



− +

[

 





−









=



  

⋅ ⋅



=[

−

 



[



=[











− −



=[

−

1

=



.

 

?keb x



685.

lh x

−

1 4

=

[ =  Z  \ = 

[ =    \ = −

[ =  [   \ = 

[ =    \ = −



4

x

1 4

(0,5)4















686. Z om t [ o

2 t3 1

−

1 2

=

1

⋅t2 =t 1 (t 3 ) 2 1

1 1 − + 2 2

= t 0 =  om



m2 o m2. 1

\ o t 2  o2=( t 2 )2=t=( t 3 )3 m3 o3 m3.

687. 18

x −3 = x −3+2 = −2 x

=

1 1 = =125. x 0,008



−

    

=

1 =2. 0,5

[



−

[



















=

Z a

1 1 2 − 3 b 3 (a 3

−

2 =a3

1 − ⋅a 3

1 = a3

1 − ⋅b 3

1 − ⋅b 3

+

+

2 + b3

1 1 − a 3b 3









[  [ + \ 







2 2 2 1 − 3 3 b ) − (a b 3 ) 2



1 − ⋅a 3

1 − a3

[

 

1 − ⋅b 3

1 − ⋅b 3

=



−\



+

=

2 1 − (a 3 ) 2 1 1 − a 3b 3

\









⋅ (b

2 1 3 )2

−

=

.

= [

 



−\













+\ = 

= [−\ +\ = [.

688. Z  a −0,5 −3a=a−0,5(2a−0,5+0,5−3a1+0,5)= a −0,5 (2−3 a1,5 ). [  a −0,5 +5 a 0,5 =Z−0,5(3Z−0,5+0,5+5Z0,5+0,5)= a −0,5 (3+5a). \ a−1=Z−0,5(6Z1+0,5−Z−0,5)= a −0,5 (6 a1,5 − a −0,5 ).

689. 1

2

1

⋅2

1

1

Z x 3 −4= x 3 − 23 = ( x 3 ) 2 − 2 2 =( x 3 −2)( x 3 +2). 4

2

1

2

2

[ a 3 −5=( a 3 )2−( 5 2 )2=( a 3 − 1

1



1

⋅2

)( a 3 +



1

). 1

\ m 2 −25= m 4 −52= (m 4 ) 2 − 52 = ( m 4 −5)( m 4 +5). 1

1

1

1

1

1

] −2 x 3 =( 3 2 )2−( 2 2 x 6 )2=( 3 − 2 x 6 )( 3 + 2 x 6 ). ^ c 0,8 − x 0,5 =( c 0, 4 )2−( x 0,25 )2=( c 0, 4 − x 0,25 )( c 0, 4 + x 0,25 ) _ p− p0,6 = p

1 2

⋅2

− p 0,3⋅ 2 =(p0,5)2−(p0,3)2=( p0,5 − p 0, 3 )( p 0,5 + p0, 3 ).

690. 1

1

⋅3

1

Z Z−8= a 3 −23= (a 3 ) 3 − 23 = ( a 3 −2)( 1

⋅3

1

D



1



+2 a 3 +4).

1

1

2

[ 1+27b=13+33 b 3 = 13 + (3b 3 ) 3 =(1+3 b 3 )(1−3 b 3 +9 b 3 ). \ a 0,6 − b0,6 =( a 0,2 )3−( b0,2 )3=( a 0,2 − b0,2 )( a 0,4 + a 0,2 b0,2 + b0,4 ). ] x 0,9 +125=x0,3⋅3+53=( x 0,3 )3+53=( x 0,3 +5)( x 0,6 −5 x 0,3 +25). 19

691. x − y +x−y= x − y +( x )2−( y )2=( x − y )+

Z

+( x − y )( x + y )=( x − y )(1+ x + y ); a +a+ b −b=( a + b )+( a )2−( b )2=( a + b )+

[

+( a − b )( a + b )=( a + b )(1+ a − b );

[

\ ]

3



1

3

3

3

+4 x 4 +4=( x 4 )2+2⋅2 x 4 +22=( x 4 +2)2;



1

1

1

⋅2

1

1

1

⋅2

x−2 x 2 a 2 +a= x 2 − 2 x 2 ⋅ a 2 + a 2

1

1

1

1

a 2 )2; 1

1

1

1

^ x+2 x 2 −8= ( x 2 ) 2 + 2 x 2 + 1 − 9 = ( x 2 + 1) 2 − 32 = 1

1

1

1

= ( x 2 + 1 − 3)( x 2 + 1 + 3) = ( x 2 −2)( x 2 +4);

_  [ =3 x

−

1 4

−



−5 x



(2 x

−

1 4

−

1 4

+1=6 x

−1)−(2 x

−

1 4

−

1 2

−3 x

−

−1)= (3 x

1 4 −

−2 x 1 4

−

1 4

+1=

−1) (2 x

−

1 4

−1).

692. Ijb x=

1 a2

xy = x+ y

1)

2)

20

1 a2

1

b2

+

1 + b2

; y=

1 b2

1









E

D

E

⋅

⋅

 + E

 D

1 b2 1 a2

1 − b2

1

1

a2

b2

1 + b2

1

a 2 − b2

D  D

1 a2 1 a2

1

a2

+

1 a2

 − E

=

1 − b2



 D

 + E

1

=

 −  E  

1

+

 D

 − E



;

1

   D E   D

1

1

(ab) 2

=

1

1

⋅2

a2 − b2 1

1

⋅2

1 1 + b 2 )(a 2

1 − b2 )

(ab) 2 ; = a−b

1

a 2 (a 2 − b 2 ) + b 2 (a 2 + b 2 ) 1 (a 2

1

= ( x 2 )2−2 x 2 a 2 +( a 2 )2=( x 2 −

=

=

a+

1 1 a 2b 2

1 1 − b2a2

+b

a −b 1

=

a+b ; a−b

1 1

1 1

(ab) 2 a + b a 2 b 2 ( a − b) a 2 b 2 3) : = . = a − b a − b ( a − b)( a + b) a + b

693. 1

Z Iheh`bf c 2 =y; 18m2+3m−10=0; D=32−4⋅18⋅(−10)=729; y=

5 − 3 − 729 =− <0, 36 6

− 3 + 729 2 = 36 3

dhjg_c g_l ld c 2 ^he`gh [ulv g_hljb2

1

22 2 4  2 k   = = . 2 3 9 3 3  

1

[ Iheh`bf x 2 =y; 21y2−6y−15=0; D=62−4⋅21⋅(−15)=1296; 6 + 1296 6 − 1296 5  beb y= =− <0, y= 42 42 7 dZd x

−

1 2

²

^he`gh [ulv g_hljbpZl_evguf qbkehf x

1 \ Iheh`bf y 3 =v;

dhjg_c g_l lZd −

1 2

=1; x=1.

3v2+5v−2=0;

D=52−4⋅3⋅(−2)=49; − 5 + 49 1 = beb v 1= 6 3 1 1 . y=( )3= 3 27 −

beb

1

²

pZl_evguf qbkehf c 2 = −

y=

v2=

− 5 − 49 =−2, 6

²

dhjg_c

g_l

1

] Iheh`bf a 3 =y; 2y2−7y+3=0; D=72−4⋅2⋅3=25; 7 + 25 7 − 25 1  beb y2= = ; y 1= 4 4 2 1 1 , a=8. a1=3–3 beb a2=( )–3; a= 2 27 21

694. 2

1

Z v=

+1=

2 t3

1+ t 3

=

2 t3

2

u

; t 3 =u− ke_^h\Zl_evgh v=

2 t3

u ; u −1

v(u−1)=u; vu−v=u; vu= u+v; [ u4=t+2; v4=2−t; u4+v4=4.

695. 1

5

1

1

1

1

1

1

1

1

m 2 − n 2 m 6 + m 3 n 2 (m 2 − n 2 ) ⋅ m 3 (m 2 + n 2 ) Z  ⋅ = 1 =1 1 1 1 1 1 m−n 3 3 2 2 2 2 m m ⋅ (m − n )(m + n ) 1

2)

=

1

1

1 1 m3 n3

−

1 1 m6 n 6

1 1 1 1 m 3 n 3 (m 6 n 6 1

1

m 2 n 2 − m6 n 6

1

1

− 1)

1

1

−1=

1

1

1

1 1

1

1

m 2 n 2 − m6 n 6 − m 3 n 3 + m6 n 6

1

1 1 m3n3

1 1 m6 n 6

−

1 x 6 (1 −

1 x6 )

=

1

= m6 ⋅ n 6 .

n 6 m 6 (m 6 n 6 − 1)

[ 

=

1 x 6 (1 −

1 x6

1 x3

− 1+ x

1 x6 )

1+ x

+

1−

+

1− (1 −

1 x3

1 x6

+

1 x 6 )(1 +

2 x3

1 x3)

1 13 + ( x 3 )3

1

1− x 2 1+ x 2) ⋅ = 1+ x 1− x

696.

22

−  −

[

[

=

=

 −

[

(1 +

 

(1 −

+

 + +

[ [



⋅

 

 

 

1+ x

 +

[





=





+

[

 

.

1 x 6 )(1 +

1 x 3 )(1 −

+[

1 x3

 

1 x3)

+

2 x3)





=

−

[ [

+



;

=

1

1

( a + b) 2 + (a − b) 2 (a

=

=

1 + b) 2

a+b+

1 2( a + b) 2 ( a

1 ((a + b) 2 ) 2

5(a +

=

=

1

1

1

((a

1 − b) 2

1 + b) 2

+ a −b

1 − ((a − b) 2 ) 2

− (a =

1 − b) 2 ((a

1 + b) 2

+ (a

1 − b) 2 )

=

2a + 2 ( a + b)(a − b) = a+b−a+b

2 a + 2 a 2 − b 2 2( a + a 2 − b 2 ) a + a 2 − b 2 = = . 2b 2b b

?keb b=

=

− (a

1 − b) 2

1

((a + b) 2 + (a − b) 2 )((a + b) 2 + (a − b) 2 )

4a a + a 2 − b2 b a>0 lh = 5 b

a + a2 − 4a 5

16a 2 25 =

25a 2 − 16a 2 9a 2 3a ) 5(a + ) 5(a + ) 25 25 5 = 5(5a + 3a ) = = = 4a 4a 4a 4a ⋅ 5

5 ⋅ 8a 8a = =2. 4 a ⋅ 5 4a

23

697.

∠AOB=150°; ∠AOD=210°; ∠AOC=540°; ∠AON=−45°; ∠AOL=−135°.

698.

{ A{C=−210°; A{D=240°.

A B=400°;

699. Z α=282°; 270°<282°<360° agZqbl α∈,9 q_l\_jlb [ α=190°; 180°<190°<270° agZqbl α∈,,, q_l\_jlb \ α=100°; 90°<100°<180° agZqbl α∈,, q_l\_jlb ] α=−20°; 270°<−20°<360° agZqbl α∈,9 q_l\_jlb ^ α=−110°; 180°<−110°<270° agZqbl α∈,,, q_l\_jlb _ α=4200°; 4200°=360°⋅11+240°; 180°<240°<270° agZqbl α∈III q_l\_jlb

700. Z α=179°; 90°<179°<180° agZqbl α∈,, q_l\_jlb [ α=325°; 270°<325°<360° agZqbl α∈,9 q_l\_jlb \ α=−150°; 180°<−150°<270° agZqbl α∈,,, q_l\_jlb ] α=−10°; 270°<−10°<360° agZqbl α∈,9 q_l\_jlb ^ α=800°; 800°=360°⋅2+80°; 0°<80°<90° agZqbl α∈, q_l\_jlb _ α=10000°; 10000°=360°⋅27+280°; 270°<280°<360° agZqbl α∈,9 q_l\_jlb 24

701. Z °=2⋅360°+50°; −310°=−360+50°. [ °=360°+120°; 1560°=4⋅360°+120°; −240h=−360h+120h.

702. Z °=360°+60°; α=60°; [ −210°=−360+150°; α=150°; \ −700°=−2⋅360°+20°; α=20°.

703. sin35°=

\ ≈  ≈0,58; 5 

cos35°=

x  sin 35$ ≈ ≈0,82; tg35°= = R  cos35$

\ ≈  ≈0,71; [ 

[ ≈1,4. \ \  sin160°= ≈ ≈0,37; 5  Ë − ≈−0,93; tg160°= \ ≈  ≈−0,39; cos160°= ≈ 5  [ −  [ − ≈−2,55. ctg160°= ≈ \  \ −2,25 ≈–0,75; cos230°= x ≈ −  ≈−0,65; sin230°= ≈  R 5 3 \ − ≈1,15; ctg230°= x ≈ − ≈0,87; tg230°= ≈ R −  5 − \ − ≈−0,97; sin(−75°)= ≈ [  Ë  ≈0,27; tg(−75°)= \ ≈ − ≈−3,625; cos(−75°)= ≈ 5  [  [  ≈−0,28. ctg(−75°)= ≈ \ −  ctg35°=

25

704.

\ ; cosα= [ ; 5 5 [ \ tgα= ; ctgα= . \ [ \  1) sin50°= ≈ =0,8; 5  [  cos50°= ≈ =0,6; 5   \ tg50°= = ≈1,33; [  [  ctg50°= ≈ ≈0,75. \  \  =0,14; 2) sin175°= ≈ 5  [ − =−1; cos175°= ≈ 5  \  =−0,14; tg175°= = [ − [ − ≈−7,14. ctg50°= ≈ \  sinα=

y 5

1 1

3) sin(−100°)= cos(−100°)=

\ ≈ − =–1; 5 

[ ≈ − =−0,2; 5 

\ = − =5; [ − [ − =0,2. ctg(−100°)= ≈ \ − tg(−100°)=

705. Z FRV°+



cos30°=2⋅

[ VLQ°−ctg45°=5⋅

 

 

−1=

+





=3

^  WJ°⋅sin60°=4⋅



⋅

_ VLQ°⋅cos60°=12⋅ 26

 

  

⋅

⋅

 

=1+

3 1 =2 . 2 2

5 3 −1 = . 2 2 

\ VLQ°+6cos60°−4tg45°=2⋅ ] WJ°⋅tg60°=3⋅1⋅

5 x



+6⋅

 

−4⋅1=1+3−4=4−4=0.

.

= 2( 3 ) 2 = 2⋅3=6.  

=

12 ⋅ 3 =3 4



.

706. Z VLQ°⋅ctg60°=2⋅

 

[ sin45°−4cos30°=2⋅ \ WJ°⋅ctg30°=7⋅

 

] FWJ°−2sin60°=6⋅



⋅



 

⋅

−4⋅ 

 

=

( 3 )2  = =1. 3  

=7⋅

−2⋅

=



−2



.

( 3 )2 3 = 7 : = 7. 3 3

 



=2



−



=



.

707. Z VLQα=1; α=90°; α=810°+360°=1170°;…

α=90°+360°=450°;

α=450°+360°=810°;

[ kRVα=−1; α=180°; α=180°+360°=540°; α=540°+360°=900°; α=900°+360°=1260°;... \ VLQα=0; α=0°; α=720°+360°=1080°;...

α=0°+360°=360°;

α=360°+360°=720°;

] WJα=0; α=0°; 180°; 360°;...

708. Z sinβ=−1; β=−90°; β=−90°+360°=270°; β=270°+360°=630°; [ cosβ=1; β=0°; β=0°+360°=360°; β=360°+360°=720°; \ cosβ=0; β=90°; β=90°+360°=450°; β=450°+360°=810°; ] ctgβ=0; β=90°; β=450°; β=270°.

709. Z LZd dZd –1”VLQα” lh ”1+sinα”2; [ LZd dZd ”FRVα” lh ”2–cosα”3.

710. Z LZd dZd −1”VLQα” lh ”1–sinα”2; [ LZd dZd −1”FRVα” lh 1”2+cosα”.

711. 27

Z α=90°; 450°; 270°; 810°; [ α=0°; 360°; 180°; 540°.

712. Z g_ fh`_l lZd dZd [ fh`_l lZd dZd





<1;



+

\ g_ fh`_l lZd dZd ] fh`_l lZd dZd

>1;



>1;



−





<1.

713.

Z FRV°−4sin90°+5tg180°=2⋅1−4⋅1+5⋅0=2−4+0=−2. [ FWJ°−3cos270°+5sin0°=2⋅0−3⋅0+5⋅0=0. \ WJ°−

 

sin270°−

 

cos180°=0−



⋅(−1)−



 

⋅(−1)=

 

714. Z VLQ°+2cos60°=0+2⋅ [ WJ°sin60⋅ctg30°=

  

=1. ⋅

 

⋅

=



 

.



\ VLQ°−3cos180°=4⋅1−3⋅(−1)=4+3=7. ] FWJ°−3sin270°=3⋅0−3⋅(−1)=3.

715.

Z VLQα+cosα=sin0°+cos0°=0+1=1. [ VLQα+cosα=sin45°+cos45°=



+





=



  = 



.

\ VLQα+cosα=sin90°+cos90°=1+0=1. ] VLQα+cosα=sin180°+cos180°=0+(−1)=−1.

716. Z FRVα+cos3α=cos30°+cos45°=

 

+

 

=

  +0= .   \ FRVα+cos3α=cos180°+cos270°=−1+0=−1.

[ FRVα+cos3α=cos60°+cos90°=

28



+ 



.

+

 

=1.

717.

Z VLQ°+sin2⋅30°+3sin3⋅30°=sin30°+sin60°+sin90°= 1 3 + +1= 2 2

=

+



+



[ WJ°+tg30°=1+

+

=



=





.



+  . 

718. (a 0,5 + b 0,5 )(a 0,5 + b 0,5 ) − b 0,5 a 0,5 a 0 ,5 + b 0 ,5 b 0, 5 − 0, 5 = = 0, 5 a a + b 0 ,5 a 0, 5 ( a 0 , 5 + b 0, 5 )

1) =

D + D E + E − E D D D + E 

D

2) 





D+D D



=( D



D





+E

D



E













+E

+E

)2−( E







=



D+D D



=



D

D

E





D+D E +E ; D D + E







+E

+E

−E









=

D















E + E ⋅ D  D D D + D E + E 









D



 D + D

E









+E





=

)2=a−b.

719. [ − \ =  Z    [ + \ =  2 + 3—  ,  x = 2  2  ( 2 + 3 y ) + y 2 = 20;  4

2 + 3—  , x = 2   x 2 + y 2 = 20;  2 + 3y  , x = 2  ( 2 + 3 y ) 2 + 4 y 2 = 80; 

2 + 3y  x = 2  4 + 12 y + 9 y 2 + 4 y 2 = 80  13y2+12y−76=0; D=122−4⋅13⋅(−76)=4096>0; ke_^h\Zl_evgh ijyfZy b hdjm`ghklv i_j_k_dZxlky \ ^\mo lhq-

dZo

29

 Ë +  É =   Ë =  −  É [    Ë + É =   −  É + É =  







 x = 50 − 7 y  2500 − 700 y + 49 y 2 + y 2 = 50 J_rbf mjZ\g_gb_ y2−14y+49=0; D=142−4⋅49=196−196=0; Ke_^h\Zl_evgh ijyfZy b hdjm`ghklv bf_xl h^gm lhqdm i_j_k_q_gby l_ ijyfZy dZkZ_lky hdjm`ghklb

720. 

Z

 

[



2



−  

−   



=



−  

1 − 4 4 (3 ) 2



− 

3

((33 ) 3 − (2 4 ) 4 )



=

32 − 2 3 = (9 − 8) ⋅ 3 = 3 ; 3−1

1

((23 ) 3 − (25 ) 5 ) (5 3 )

=

−

1 3

=

2 2 − 21 = (4 − 2) ⋅ 5 = 10 . 5−1

721.

Z α=48° lZd dZd °<α<90° lh α∈, q_l\_jlb ihwlhfm VLQα>0; cosα>0; tgα>0; ctgα>0. [ α=137° lZd dZd °<α<180°; α∈,, q_l\_jlb ihwlhfm VLQα>0; cosα<0; tgα<0; ctgα<0. \ α=200° lZd dZd °<α<270°; α∈,,, q_l\_jlb ihwlhfm sinα<0; cosα<0; tgα>0; ctgα>0. ] α=306° lZd dZd °; 270°<α<360°; α∈,9 q_l\_jlb ihwlhfm sinα<0; cosα>0; tgα<0; ctgα<0.

722.

Z LZd dZd °<179°<180° lh α=179°∈,, q_l\_jlb ihwlhfm sin179>0. [ LZd dZd °<280°<360° lh α=280°∈,9 q_l\_jlb ihwlhfm cos280°>0. \ LZd dZd °<175°<180° lh α=175°∈,, q_l\_jlb ihwlhfm tg175°<0. 30

] LZd dZd °<359°<360° lh α=359°∈,9 q_l\_jlb ihwlhfm ctg359°<0. ^ LZd dZd FRV °=cos(360°+50°)=cos50° lh °<50°<90°; α=50°∈, q_l\_jlb ihwlhfm FRV°>0. _ LZd dZd WJ°=tg(360°+140°)=tg140° lh °<140°<180°; α=140°∈,, q_l\_jlb ihwlhfm WJ°<0. ` LZd dZd sin(–75°)=sin(360°–75°)=sin285° lh 270°<285°<360°; α∈,9 q_l\_jlb ihwlhfm VLQ−75°)<0; a LZd dZd cos(–116°)=cos(360°–116°)=cos244° lh 180°<244°<270°; α∈,,, q_l\_jlb ihwlhfm FRV−116°)<0.

723.

Z LZd dZd °<315°<360° lh α=315°∈,9 q_l\_jlb ke_^h\Zl_evgh FRV°>0. [ LZd dZd °<109°<180° lh α=109°∈,, q_l\_jlb ke_^h\Zl_evgh VLQ°>0. \ LZd dZd °<145°<180° lh α=145°∈,, q_l\_jlb ke_^h\Zl_evgh WJ°<0. ] LZd dZd °<288°<360° lh α=288°∈,9 q_l\_jlb ke_^h\Zl_evgh FWJ°<0. ^ LZd dZd cos(–25°)=cos(360°–25°)=cos335°; 270°<335°<360°; α∈,9 q_l\_jlb ke_^h\Zl_evgh FRV−25°)>0. _ LZd dZd tg(–10°)=tg(360°–10°)=tg350°; 270°<350°<360°; α∈IV q_l\_jlb ke_^h\Zl_evgh WJ−10°)<0.

724.

Z VLQα> \ , b ,, q_l\_jlb FRVα> \ , b ,9 q_l\_jlb ihwlhfm α∈I q_l\_jlb [ VLQα< \ ,,, b ,9 q_l\_jlb FRVα> \ , b ,, q_l\_jlb ihwlhfm α∈IV q_l\_jlb \ VLQα< \ ,,, b ,9 q_l\_jlb FRVα> \h ,, b ,,, q_l\_jlb ihwlhfm α∈III q_l\_jlb ] VLQα> \ , b ,, q_l\_jlb WJα< \ , b ,,, q_l\_jlb ihwlhfm α∈I q_l\_jlb ^ WJα< \ ,, b ,9 q_l\_jlb FRVα> \h , b ,9 q_l\_jlb ihwlhfm α∈IV q_l\_jlb

31

_ FWJα> \ , b α∈III q_l\_jlb

,,,

q_l\_jlb

VLQα<

\

,,,

725.

b

,9

q_l\_jlb ihwlhfm

Z °<100°<180°, sin100°>0; 270°<300°<360°; sin100°>0, cos300°>0; sin100°⋅cos300°>0 [ °<190°<270°, sin190°<0; 180°<200°<270°; sin190°<0, tg200°>0; sin190°⋅tg200°<0 \ °<320°<360°, cos320°>0; 0°<17°<90°;cos320°>0, ctg17°>0; cos320°⋅ctg17°>0 ] °<170°<180°, tg170°<0; 400°=360°+40°, 0°<40°<90°; tg170°<0, cos400°>0; tg170°⋅cos400°<0

726.

Z \ , b ,,, q_l\_jlyo [ \ , ,, ,,, ,9 q_l\_jlyo \ \ , ,, q_l\_jlyo

727. Z VLQ −30°)=−sin30°=−



[ FRV −60°)=−cos60°=



.



\ WJ −45°)=−tg45°=−1. ] FWJ −30°)=−ctg30°=− ^ FRV −90°)=cos90°=0 _ VLQ −45°)=−sin45°=−

.





 

.

728. Z VLQ −60°)=−sin60°=−

 

.

[ FRV −60°)=cos60°=−1. \ VLQ −90°)=−sin90°=−1. ] FWJ −45°)=ctg45°=−1.

729. Z VLQ°=sin(2⋅360°+30°)=sin30°=

32

 

;



cos750°=cos(2⋅360°+30°)=cos30°= tg750°=tg(2⋅360°+30°)=tg30°=

;





;



ctg750°=ctg(2⋅360°+30°)=ctg30°=  ; [ VLQ°=sin(2⋅360°+90°)=sin90°=1; cos810°=cos(2⋅360°+90°)=cos90°=0; tg810°=tg(2⋅360°+90°)=tg90° ² g_ kms_kl\m_l kWJ° kWJ2⋅360°+90° kWJ°=0. \ VLQ°=sin(2⋅360°+180°)=sin180°=0; cos1260°=cos(2⋅360°+180°)=cos180°=−1; tg1260°=tg(2⋅360°+180°)=tg180°=0; ctg1260°=ctg(2⋅360°+180°)=ctg180° ² g_ kms_kl\m_l

730. Z VLQ°=sin(30°+360°)=sin30°=



;



[ FRV°=cos(60°+360°)=cos60°=

 

;

\ WJ°=tg(180°+360°)=tg180°=0; ] FWJ°=ctg(90°+360°)=ctg90°=0.

731. Z VLQ°=sin(45°+360°)=sin45°=

 

;

[ FRV°=cos(45°+360°)=cos360°=cos0°=1; \ WJ°=tg(30°+360°)=tg30°=

 

;

] FWJ°=ctg(270°+360°)=ctg270°=0.

732.

Z VLQ−720)°=−sin720°=−sin(2⋅360°+0°)=−sin0°=0; [ FRV−405)°=cos405°=cos(45°+360°)=cos45°=

 

\ FRV−780)°=cos780°=cos(2⋅360°+60°)=cos60°=

 

; ;

] FWJ−1110)°=−ctg1110°=−ctg(3⋅360°+30°)=−ctg30°=



. 33

733.

Z WJ−900°)=−tg(2⋅360°+180°)=−tg180°=0; [ FWJ−780°)=−ctg780°=−ctg(2⋅360°+60°)=−ctg60°=−

 

\ VLQ−1125°)=−sin1125°=−sin(3⋅360°+45°)=−sin45°=−

; 



.

734. 1 1 − x−2 − y −2 x2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 y 2 − x 2 xy x 2 y 2 ⋅ = ⋅ = 2 2 ⋅ ⋅ = 1 1 x+ y y−x x+ y x −1 − y −1 x + y x y − x y (y − x )( y + x )⋅ xy =xy. = (y − x )(x + y ) Ijb o=−0,12; m=−0,5 om=−0,12⋅0,5=−0,06.

735.

Z o2−o−56< GZc^_f dhjgb mjZ\g_gby o2−o−56=0; D=1−4⋅(−56)=225; 1 + 225 1 − 225 o=  beb o= =−7; 2 2 (–7; 8) o2−o−56=(o−8)(o+7)<0. [ o2−29o−10> GZc^_f dhjgb mjZ\g_gb_ o2−29o−10=0; D=292−4⋅3⋅(−10)=961;  +   −   o=  beb o= =− ; 







3o2−29o−10=3(o−10)(o+ )>0.

(–’ ±



 

)∪(10;+’

\ o2≤−1; 4o2+1≤0. H[Z keZ]Z_fuo g_hljbpZl_evgu ihwlhfm j_r_gbc g_l ]

 

736. Z  34



  −oo2>0;  [ −  >0;   

180° 90° ≈29°. ⋅ 0,5 = π π

[≠ . 

°

[  \ ]

π

π

=



π

=



π

^

° °

π

π

⋅

π

⋅

°

=



⋅10=

π

π 

π



⋅

°

π

≈573°.

=36°. =20°.

π

=135°.



 5π  ⋅ −  =−150°. π  6   π °  9π  ⋅ = ` −  =−810°. π  2    ° 1 ⋅ π =2160°. a π=− 2 π 

_ −

°

=

737. °

Z 

π

°

[  \

π 

⋅0,2=

π

π

≈11°.

⋅3,1≈178°.

π

=

°

°

π

⋅

π 

=450°.

 3π  ⋅   =−270°. π  2  π °  π  ⋅   =−60°. ^ − = π 3  π ° π ⋅ _ = =225°. π  

] −



=

738. Z °= [ °= \ °=

°

π 

π



π



⋅135°= ⋅210=

⋅36=

π 

π

.



π 

.

. 35

] °= ^ °= _ °=

π 

π



π



` −120°= a −225°=

⋅150= ⋅240= ⋅300=

π



π



739. Z α=10°= [ α=18°= \ α=54°=

π

π 

π



π



.



π

.



π

.



⋅(−120)=−

π

⋅(−225)=

⋅10= ⋅18= ⋅54=

π

π





.

.

.



π

.



π 

.

π π ⋅ 200 = . 180  π π ⋅ 225 = . ^ α=225°= 180  π π ⋅ 390 = . _ α=390°= 180  45π π ⋅ (− 45) =− . ` α=−45°= 180  π π ⋅ (− 60 ) =− . a α=−60°= 180  ] α=200°=

740. Z α= [ α=

π 

π 

; β=π−

π

; β=π−



=

π 

π 

=

.

π 

.

\ α=0,3π; β=π−0,3π=0,7π.

741. 36

< jZ\gh[_^j_gghf ijyfhm]hevghf lj_m]hevgbd_ m]eu jZ\gu π π π π 90°; 45°; 45°; 90°=90⋅ = ; 45°=45⋅ = . 

742. Z [ \ ]

π



<

π 

π

 

π 



<π, ihwlhfm



π 



∈II q_l\_jlb

<1,8π<2π, ihwlhfm π∈IV q_l\_jlb

<0,6π<π, ihwlhfm π∈II q_l\_jlb

<

 ⋅

<

π

743. Z LZd dZd [ LZd dZd

π 

π 

π

<

π



, ihwlhfm ∈I q_l\_jlb



π

<

π

<π;



π

<π;





∈II q_l\_jlb ⇒ sin

π

∈II q_l\_jlb ⇒ cos



>0.

π 

<0.

\ LZd dZd ≈57°∈I q_l\_jlb ⇒ sin1>0.  ⋅° ≈52°∈I q_l\_jlb ⇒ cos0,9>0. ] LZd dZd   ⋅ π π π π π ^ LZd dZd < < ⇒ ∈I q_l\_jlb ⇒ tg >0. 

_ LZd dZd  ` LZd dZd

π 

a LZd dZd 

744. Z  [ 

π 

π 



 ⋅°

<

π π 



≈172°∈II q_l\_jlb ⇒ tg3<0.

<π;

 ⋅ ° ⋅ π



π 

∈II q_l\_jlb ⇒ ctg

π 

<0.

≈11°∈I q_l\_jlb ⇒ ctg0,2>0.

) — , q_l\_jlv ⇒ sin x > FRVo>0; tg x>0; ctgx >0.

;π) — ,, q_l\_jlv ⇒ sin x > FRVo<0; tg x<0; ctgx <0.

37

\ π; ] 

π

) — ,,, q_l\_jlv ⇒ VLQo<0; cos x <0; tg x>0; ctgx>0.



π

;2π) — ,9 q_l\_jlv ⇒ VLQo<0; cos x >0; tg x<0; ctgx<0.



745. α

0

sinα

0

π

π

π

π

















1



ctgα 0







1





2π



1

0

−1

0

0

−1

0

1

−

0

−

0

0

−

0

−







0



 

cosα 1 tgα





π

π

746. π

Z VLQ [ FRV

+tg



π

−sin



\ FRVπ−2sin ] FRV

π 

π



=2



π 

π



+1=

+1.

=0−(−1)=1.

=−1−2⋅





+tgπ=2⋅

 

 

=−1−1=−2.

+0=1.

747. Z VLQπ−2cos

 

− 38



VLQ−

[ =

π

 

=

− 



π 

.

+3tg

π 

)+3cos

−ctg

π 

π 

−tg

=2⋅0−2⋅0+3⋅1−0=3.

π 

+ctg

π 

=−

 

+3⋅

 

−

 

+

 

=

π

\ VLQ



] WJ−

−3tg

π 

π 

)+2sin

+ctg(− π 

π 

)−tgπ=2⋅

−3tg0−2ctg

π 

 



−3⋅

=−3⋅1+2⋅

 

+0=



−

−3⋅0−2⋅1=







.

−5.

748. Z VLQ2

π

] WJ

π 

π



π 

2

2

 2  3     +  = + = =1  . =  2   2          2

2

π  3   2     − cos =  − = − = .  2   2          2

sin



π

+sin



[ FRV2 \ WJ2

2

cos2

π 

π 

tg2 sin

π 

π 

=(1)2⋅

 ⋅ 

( 3) = 2

 

.



2

=

3 3

 3  ⋅ 3 = 3 ⋅3=3. ⋅  2  2 3⋅2 4 8  

749. Z VLQ

π 

+4cos0−3sin

π 

+cosπ=5⋅1+4⋅1−3⋅(−1)+(−1)=11.

π )+2sin2π−tgπ=0−0+2⋅0−0=0.    π π π  2 ) +2⋅02−5⋅12=3− −5=−2 . \ −sin2 +2cos2 −5tg2 =3−(       π π π π  2 ) +3⋅0= ] VLQ2 −4tg2 −3cos2 kWJ2 =3⋅12−4⋅12−3⋅(     

[ VLQ−π)−cos(−

=3−4−

 

=−3

 

.

750.

π =1. 2 π π π π [ FRV − )=cos =cos(2π+ )=cos =

Z VLQπ=sin(2π+0,5π)=sin 









.



39

\ WJ

π

=tg(2π+



)=tg



π

π

=ctg(4π+





=

.



π

)=−tg

π



π

)=ctg





_ WJ−

π

π π π π )=sin =−sin(4π+ )=−sin =−1.    

] VLQ − ^ FWJ

π



=



=−tg(4π+



.



π

)=−tg



π 

=−1.

751. π

Z FWJ

=ctg(2π+



[ FRV

π 

\ VLQ−

)=ctg



π

=cos(4π+

π 

π





=



)=cos

π

)= −sin

π

π 

 

=

.  

=−sin(4π+

.

π 

)=−sin

π 

=−

 . 

] FRV−4,5π)=cos4,5π=cos(4π+0,5π)=cos0,5π=0.

753. Z 

D

D−



− D + 

−

D −  =



D



+ 

D

D−



− D + 

−



D −  = D +  D − D +  

=

( a − 3)(a + 3) − 6a + 18 a 2 − 6a − 9 + 18 a 2 − 6a + 9 = = = 2 2 ( a + 3)(a − 3a + 9) (a + 3)(a − 3a + 9) ( a + 3)(a 2 − 3a + 9)

=

(a − 3) 2 (a − 3) 2 = 3 . 2 (a + 3)(a − 3a + 9) a + 27 2)

D −  5a − 15 : 3 =  D +   D − D +  4a + 108 





(a − 3) 2 5( a − 3) : = 2 (a + 3)( a − 3a + 9) 4( a + 3)(a 2 − 3a + 9) =

(a − 3) 2 ⋅ 4(• + 3)(a 2 − 3a + 9) 4(a − 3) = . 5 (a + 3)(a 2 − 3a + 9)(a − 3) ⋅ 5

40

[ −

[ − = [ −  [ +  [ +  Ë−  Ë−  = + = Ë + Ë +   Ë −   Ë +  Ë +  [ −  +  [ −   [ −  = ( x − 3)(1 + x − 4) = ( x − 3) 2 . = ( x − 4)( x 2 + 4 x + 16) x 3 − 64  [ −   [ +  [ +  Ë − Ë +   Ë −  ⋅ 2) = − Ë  Ë −   Ë +  Ë +    − Ë ⋅  Ë −   Ë +  Ë +  =2   − Ë . =   − Ë  Ë −   Ë +  Ë +  [ 



+





















754.

Z o−10o2<0; o(3−5o)<0; o(o−0,6)>0.

(–’  ∪(0,6; ’

[ o2≤−2o; 7o2+2o≤0;

–2/7 

o(o+ )≤0.

[–



 

0 ; 0]

755.

Z −cos2α=sin2α. [ VLQ2α−1=−(1− sin2α)=− cos2α. \ FRV2α+(1−sin2α)=cos2α+cos2α=2 cos2α. ] VLQ2α+2 cos2α−1=sin2α+cos2α+cos2α–1=1+cos2α–1=cos2α. ^ − sinα)(1+sinα)=1− sin2α=cos2α. _ FRVα−1)(1+cosα)=cos2α−1=−(1− cos2α)=− sin2α.

756.

Z − sin2α− cos2α=1−( sin2α+cos2α)=1−1=0. [ FRV2α−(1−2sin2α)=cos2α−1+2sin2α=−sin2α+2sin2α=sin2α.

757. Z VLQα cosα tgα=

VLQ α FRV α VLQα FRV α

=sin2α.

41

[ VLQα cosα kWJα−1=

VLQ α FRV α FRV α

−1=cos2α−1=

VLQ α =−(1− cos2α)=− sin2α. \ VLQ2α−tgαctgα=sin2α−1=−(1− sin2α)=− cos2α.

α FRV α = =1. FRV α FRV α FRV α FRV α FRV α ^ = =− =−ctg2α. −  − FRV α FRV α −  VLQ α

]

 − VLQ















_





 − FRV



 − VLQ





α VLQ α = =tg2α. α FRV α 



758. Z VLQ2α+cos2α+tg2α=1+tg2α= [ WJαctgα+ctg α=1+ctg α= 2

2

 FRV





α



VLQ

α .

759.

sinα - cosα = FRV¡ . sin. sinα ⋅ cosα [ WJα FRV α = =sinα. cos. sin. ⋅ cos. VLQ¡ =cosα. \ = sin. WJ¡

Z VLQα kWJα=

] WJα kWJα−1=1−1=0. WJ¡ WJ¡  . ^ +1= +1=tg2α+1= FWJ¡ WJ¡ FRV ¡ 

_

VLQ



¡ −

 − FRV



¡

(1 − sin . ) =− 2

=

1 − cos . 2

FRV VLQ





¡

¡

=−ctg2α.

760.

Z VLQ2α+cos2α=1; sin2α=1−cos2α; sin2α=1−(−0,6)2=1−0,36=0,64; sinα= ± 0,64 = ±0,8  gh α∈,, q_l\_jlb VLQα> l_ sinα=0,8. [ VLQ2α+cos2α=1; 42

cos2α=1−sin2α; cos2α=1−(

 2







)=



−





=



; cos α = ±

8 2 2  gh =± 9 3

α∈,, q_l\_jlb FRVα< ihwlhfm cos α = 

\ WJ2α= 

tg2α=

tg α=

FRV

FRV



2

−

tgα=± tgα = −

 

 

 





;

α

−1=

α

− −



−2 2 . 3

 − FRV FRV





α

;

α



=(1−



=±

 

 

):

α∈,,

gh



225 64 = ; 289 225

q_l\_jlb

WJα<

ihwlhfm

8 . 15

] FWJ2α= sin2α=

 

VLQ

  +  −



α =

;  

; sinα=±

sinα> ihwlhfm sin α =

1 5 =± 5 5



gh α∈,, q_l\_jlb

5 . 5

761.

sin2α+cos2α=1; cos2α=1−sin2α; cos2α=1−0,62=1−0,36=0,64; cosα=±  =± gh α∈, cosα=0,8. [ VLQ2α+cos2α=1; sin2α=1−cos2α; sin2α=1−(

 2 

) =1−

 

=

 

q_l\_jlb

FRVα>

ihwlhfm

;

43



sinα=±

α∈,

q_l\_jlb

VLQα>

ihwlhfm

gh α∈, q_l\_jlb

FRVα>

ihwlhfm

FWJα>

ihwlhfm

gh





15 . 4

sin α =



\ WJ2α=

FRV





cos2α=

 + WJ



+ 

cosα=±

=



;

¡

;

¡



cos2α=



;



1 10 =± 10 10



10 . 10

cos α =



] FWJ2α= ctg2α=

ctg2α=

VLQ

 − VLQ VLQ





         

¡

¡

      

; ctg2α=



¡

− 

ctgα=± ctgα =



=±



VLQ

¡



−1;

;







−

=

 



=

 ⋅   ⋅ 

=

 

;



=±

 



α∈,

gh

q_l\_jlb

5 . 12

762. Z

  2 2 VLQ α+cos α=    

gy_lky 



2

81 1600 1681  40  + = +  = 1681 1681 1681  41  



\uihe-

9 1 10      = ≠ g_ \uihegy_lky [ VLQ2β+cos2β=   +   = +       16 16 16 44

\ WJβctgβ=

 

] WJβctgβ=(

⋅1,8=

⋅ 

−1) (





⋅

\uihegy_lky

+1)=2−





\uihegy_lky

763.

sin2α+cos2α=0,332+0,632=0,1089+0,3969=0,5058≠1.

764.

Z  VLQ2α+cos2α=1; cos2α=1− sin2α; 

    cos2α=1−   = ;    

cosα=± cos α = −



=±

 

gh α∈,, q_l\_jlb



FRVα<

ihwlhfm

40 . 41

2) tgα=

VLQ α FRV α

; tgα=

 

: (−

 

[ ctgα =

1 ⇒ tgα = 3 3

1 + tg 2α =

1 1 ; cos 2 α = 10 cos 2 α

cos α = −

1 10

=−

)=−−

 

.

10  ld α∈III q_l\_jlb cosα<0. 10

765. Z  WJ2α= tg2α=

 FRV





; α  − FRV α −1= ; FRV α α FRV







45

tg2α=

 

− −

 







−



  −   

tgα=± tgα = −



=







=

 

;



=±

 



gh α∈II q_l\_jlb l_ tgα<0 ihwlhfm

3 . 4

2) ctgα=



WJα

[  FWJα=

− 

; ctgα=

WJα

2) 1+ctg2α=



; ctgα=

 

VLQ

α



=−

 



=−1 . 

 

−

; sin2α=

. 

+

(α∈,, q_l\_jlb VLQα>0).

FWJ α 

;

766. Z  VLQ2α+cos2α=1; cos2α=1− sin2α;  −     cos2α=1−   = = ; cosα=     4 cosα> ihwlhfm cos α = . 5 

2) tgα=

VLQ α FRV α

3) ctgα=



WJα

; tgα= ; ctgα=

 

:

 

 

=

=  

⋅  ⋅ 

=1

=

 

 

.

.



[  VLQ2α+cos2α=1; sin2α=1− cos2α;

46

 

=

 



gh α∈, q_l\_jlb

 −     sin2α=1−   = = ;sinα=±      



q_l\_jlb VLQα> ihwlhfm sinα= 2) tgα=

VLQ α FRV α

3) ctgα=





; tgα=

 

; ctgα=

WJα



:





=

 

=±



 



gh α∈I

.



 ⋅ 

=



=

 ⋅ 

 

=1

 

.

.



\  FWJα=

−

 

VLQ

α



+

(− )



; sin2α=

VLQ α



 

+ −







sinα=±

=

 

VLQ 

+





3) tgα= =

  

VLQ α FRV α



; tgα=

FWJα





; cosα=



2) 1+ctg2α= =





FRV α

]  WJα=



=

sinα> ihwlhfm sinα= 3) tgα=



; ctgα=

WJα

2) 1+ctg2α= sin2α=



α

=





.

 

+

FWJ α 



; sinα=±



; =±

 



gh α∈,, q_l\_jlb

. VLQ α

WJα

; cosα=



− 

; sin2α= 

=− 

=−

 



:(−

 

)=



−



=−





.

.



+



FWJ α 

=

;

2

gh α∈,,, q_l\_jlb VLQα< ihwlhfm sin α = − ;

VLQ α

WJα

=cosα=−

 

: (−

 

)=−

⋅  ⋅ 

=



29

.

=



. 47

767.

Z  VLQ2β+cos2β

agZqbl FRV2β=1− sin2β;





    cos2β=1−   = ;    

cosβ=± cos β = −

=±



 

gh β∈,, q_l\_jlb



9 . 41

2) tgβ=

VLQ β

FRV β

3) ctgβ=



; tgβ=

 



; ctgβ=

WJβ

: (−

−



 

=−

 ⋅ 

)=− 

 ⋅ 

=−4

FRVβ<

 

ihwlhfm

.

.





[  VLQ2β+cos2β=1; sin2β=1− cos2β; 

   sin2β=1−   = ;    

sinβ=± 2) tgβ=



VLQ β FRV β

3) ctgβ=



2) 1+tg2β=  +

=

 

48





gh β∈,9 q_l\_jlb VLQβ< ihwlhfm sinβ=−

WJβ







 

=−

=−1

 

⋅  ⋅ 

=−

 



.

.

.

 

β

; cos2β=

; cosβ=±

FRV β





; ctgβ= =1.

 FRV

VLQ β



; tgβ=− :



wlhfm cos β = − 3) tgβ=



; ctgβ=−

WJβ

\  FWJβ=

=

=±



+

WJ

1 2 =± 2 2





β

; cos2β=

gh β∈,,, q_l\_jlb

2 . 2 ; sinβ=tgβ⋅cosβ; sinβ=1⋅(−

 

)=−

 

.

FRVβ<

ih-

]  WJβ=



FWJβ

2) 1+ctg2β= sin2β=



; tgβ= ;

 + 





β



VLQ

=



; sin2β=



+ 

; sinβ=±





FWJ



β

;

10 10

=±



gh β∈, q_l\_jlb

10 . 10 FRV β ; cosβ= ctgβ⋅sinβ; cosβ=3⋅ 3) ctgβ= VLQ β

VLQβ>0,

ihwlhfm sinβ=

 

=

  

.

768.

Z  VLQ2α+cos2α=1; cos2α=1− sin2α; cos2α=1−0,622=0,6156; π <α<π; cosα=±  ≈± gh 

cosα<

ihwlhfm

cosα≈−0,78. 2) tgα=

VLQ α FRV α

; tgα=0,62: (−0,78)≈−0,79.

3) ctgα =

1 1 = ≈ −1,3 . tgα − 0,79

[  WJα=

FWJα





kWJα=



WJα

;

ctgα=1: (−2,1)≈−0,48. 2) 1+tg2α= cos2α= π 

 FRV



α

  +  −



; cos2α= =



+

  + 

=

WJ α 

 

;

;

cosα=±

 

≈±

gh

<α<2π; cosα> ihwlhfm cosα≈0,43. 3) tgα=

VLQ α FRV α 2

; sinα=tgα⋅cosα; sinα=−2,1⋅0,43≈−0,90.

\  VLQ α+cos2α=1; sin2α=1− cos2α; 49

sin2α=1−(−0,23)2=0,9471; sinα=±



≈±

π

π<α<

gh

;



ihwlhfm

sinα<

sinα≈−0,97. 2) tgα=

VLQ α

; tgα=−0,97: (−0,23)≈4,2.

FRV α

3) ctgα=

1 1 = ≈0,24. tgα 4,2 

]  FWJ2α= sin2α=



VLQ

  + 

=





; sin2α=

α



+





; sinα=±



;

FWJ α



≈± gh <α<

π 

; 0sinα>0,

ihwlhfm sinα=0,41. FRV α 2) ctgα= ; cosα=ctgα⋅sinα; cosα=0,41⋅2,2≈0,902. VLQ α VLQ α ; tgα=0,41: 0,902≈0,45. 3) tgα= FRV α

769. Z  VLQ2α+cos2α=1; cos2α=1− sin2α; 

   cos2α=1−   = ; cosα=     

cosα=− 2) tgα= tgα=

 

=−



VLQ α

FRV α

:(–

3) ctgα=



WJα

)=−

=



beb



.



; tgα=







 

 

 

:

 

=

 ⋅   ⋅ 

=

 

beb

. 

; ctgα=



=

 

=1

 

beb FWJα=



[  VLQ2α+cos2α=1; sin2α=1− cos2α;  sin α=1−  −  2

50

 





 = ; sinα=  

 

=

 

beb



−

 

=–1

 

.



sinα=−

VLQ α

2) tgα= tgα=−

3) ctgα=

ctgα=



: (−





.

)=



WJα







; tgα=

FRV α





=−





⋅  ⋅



=

 

; ctgα=

=



:(

−

)=−  

⋅  ⋅

=−



 

beb

.

=− 



=−

beb







.



 

770.

Z  VLQ2α+cos2α=1; cos2α=1− sin2α agZqbl

α beb FRVα=−  − VLQ α ; VLQ α VLQ α 2) tgα= beb WJα= − .  − VLQ α  − VLQ α

cosα=

 − VLQ







3) ctgα=

 − VLQ



α



VLQ α

 − VLQ

beb FWJα=−



α

VLQ α

.

[  VLQ2α+cos2α=1 ⇒ sin2α=1− cos2α agZqbl sinα=

 − FRV



α beb VLQα=−

 − FRV

2) tgα=

α FRV α

FRV

3) ctgα=

771. Z  −

α







 − FRV α

beb WJα=–

α ;

1 − cos 2 α . cos α

beb ctgα=–

D+E ⋅ D −E D + DE + E E − D 



FRV α  − FRV  α

.

1+ b b −1− b 1 = =− ; b b b 

2)

 − FRV









=

(a + b)( a − b)( a 2 + ab + b 2 ) a − b =−1; = ( a 2 + ab + b 2 )(b − a)(b + a) b − a 51

  3) −1:  −  =b.  E

ab DD − E + DE a+ DE E − D  ab 2 − a 2b a−b = D−E = ⋅ [ ⋅ ab D  D + E − DE a+b D + E a− a+b D+E D − DE + DE DE E − D D − E = DEE − D D + E =−ab. = ⋅ D + E D + DE − DE D + E D − E D+E 772.  \ =  [ −  [ [ =  [ − [  [ − [ =      \ = [  \ = [  \ = [ 







[ =  [ =  beb   I_j_k_dZxlky \ ^\mo lhqdZo  = \   \ =   773. 







Z − [

FRV  

VLQ

\ − ]



α



α

=

cos 2 α − 1 − sin 2 α =−tg2α. = 2 2 cos α cos α

−1=1+ctg2α−1=ctg2α.

VLQ α FRV α

FWJα WJαFWJα − FRV

=1− 

α

 VLQ α

774.

VLQ α FRV α VLQ α

=

=1−sin2α=cos2α.

FRV α  − FRV



 VLQ α

α



=

VLQ

α

 VLQ α

1 = sin α . 2

−  FRV β FRV β −  − = = VLQ β VLQ β VLQ β  cos β ⋅ sin β − sin β ⋅ cos β + 1 . = = sin β VLQ β

Z FWJβ−

[

52

FRV β

 VLQ α

−

−

  + VLQ α

=

VLQ α

+  − VLQ α −  = −  VLQα + 

VLQ α



=

α −



VLQ

\

 − FWJ£

−

WJ£ 

VLQ

]

FRV



VLQ



−2 −2 = . 2 1 − sin α cos 2 α

=

ctgγ ( tgγ − 1) =ctgγ. tg − 1

α − FRV α  − VLQ α +1= +tgα ctgα= +1= α − VLQ α  − FRV α



=

=

α









. 

VLQ

^ WJ2β(sin2β−1)=

β ⋅  − FRV β =−sin2β. FRV β 



_ FRV2α−kWJ2α+1)⋅sin2α=cos2α−

 VLQ



α

⋅ sin2α=cos2α−1=−sin2α.

775. 1 − sin α + sin α  . = cos α FRV α FRV α FRV α FRV α  − FRV α +  + FRV α   = [ + =  + FRV α  − FRV α  + FRV α  − FRV α

Z

=

 − VLQ α

  − FRV



α

+tgα=

=

 − VLQ α

 VLQ



α

+

VLQ α

=

.

\ kWJ2β(cos2β−1)+1=–

FRV



β ⋅  − FRV β FRV β ⋅ VLQ β +1=– +1= VLQ β VLQ β 









=1−cos β=sin β. tgβ + 1 tgβ + 1 tgβ + 1 ] = = =tgβ. tgβ + 1 1 + ctgβ 1 + 1 tgβ tgβ 2

2

776.

Z

 +  VLQ β FRV β

=

1 + 2 sin β cos β = sin β + 2 sin β cos β + cos 2 β

VLQ β + FRV β 1 + 2 sin β cos β =1. = 1 + 2 sin β cos β 

2

53

[ \

VLQ



β − FRV  β +  VLQ



WJ α

+





+

β

VLQ



β + VLQ  β VLQ



+

=

ÇWJ α 

=





+

 FRV



β

β

2 sin 2 β =2. sin 2 β

=



=

 

VLQ

β

=cos β+sin β=1.  + VLQ β  − VLQ β (1 + sin β )(1 − sin β ) ] ⋅ = = FRV β FRV β cos 2 β 2

=

2

 − VLQ FRV





β

β

=

FRV



FRV



β β

=1.

777. Z VLQα+cosα)2−2sinα cosα=sin2α+2sinα cosα+cos2α− –2sinα cosα=sin2α+cos2α=1. 2 − sin 2 α − cos 2 α 2 − (sin 2 α + cos 2 α ) 2 − 1  [ = = = . 3  3 sin 2 α + 3 cos 2 α 3(sin 2 α + cos 2 α ) 4 4 2 2 2 2 2 2 \ VLQ α+cos α+2sin α cos α=(sin α+cos α) =1 =1.

α − FRV α = VLQ α − FRV α =sin2α+cos2α=1. ]









VLQ

VLQ



α − FRV α VLQ α + FRV α = VLQ α − FRV α 



778.

Z WJ−α) cosα+sinα=−tgα cosα+sinα= −







cos α sin α + sinα= cos α

=−sinα+ sinα=0. ctg (−α ) sin α ctgα sin α cos α ⋅ sin α =− =− [ =−1. cos α cos α sin α ⋅ cos α \ FRV2α tg2(−α)−1=cos2α⋅tg2α−1= FRV α ⋅ VLQ α −1=sin2α−1=− cos2α. = FRV α VLQ α +  − WJ  −α  + WJα FRV α ] = = = VLQ α + FRV −α VLQ α + FRV α VLQ α + FRV α (cos α + sin α ) 1 = . = ⋅ + α α α cos (sin cos ) cos α 





54

779.

Z FWJα sin(−α)−cos(−α)=−

FRV α ⋅ VLQ α VLQ α

−cosα=

=−cosα−cosα=−2cosα.

[

Ë

 − VLQ  − 

FRV

Ë

=

Ë = FRV Ë =cos x. FRV Ë FRV Ë

 − VLQ





\ WJ−β) ctgβ+sin2β=−tgβ ⋅ctgβ+sin2β=sin2β−1=−cos2β. tg ( − x ) + 1 −tgx + 1 1 − tgx 1 − tgx = = = ] =−tgo. tgx − 1 1 − ctgx 1 − ctgx 1 − 1 tgx tgx 780. cos x cos x cos x(1 + sin x) + cos x(1 − sin x) + = = 1 − sin x 1 + sin x (1 − sin x)(1 + sin x) FRV [ + FRV [ VLQ [ + FRV [ − FRV [ VLQ [  FRV [  = . = = FRV [ FRV [  − VLQ [

Z



[

FRV α  + VLQ

α

+tgα=



FRV α VLQ α + =  + VLQ α FRV α

1 cos α + sin α + sin 2 α 1 + sin α = = . (1 + sin α ) cos α (1 + sin α ) cos α cos α 2

=

\ =

WJ ϕ −  +cos2ϕ= tg 2ϕ − 1 + cos 2 ϕ ⋅ tg 2ϕ + cos 2 ϕ = tg 2ϕ + 1 WJ ϕ +  



tg 2α − sin 2 ϕ + sin 2 ϕ sin 2 ϕ = = sin 2 ϕ . 1 2 tg 2ϕ + 1 cos ϕ ⋅ cos 2 ϕ

]

sin 3 α + cos 3 α +sinα cosα= sin α + cos α

(sin α − cos α )(sin 2 α − sin α cos α + cos 2 α ) +sinα cosα= (sin α + cos α ) =sin2α−sinα cosα+cos2α+sinα cosα=sin2α+cos2α=1.

=

781. Z −(cos2α−sin2α)=sin2α+cos2α− cos2α+sin2α=2 sin2α. |sinα|” sin2α≤1; l_  VLQ2α” 55

[ − sinα cosα tgα=1−

VLQ α FRV α VLQ α FRV α

|cosα|” FRV2α”

\ FRV2α tg2α+5 cos2α−1=

FRV ¡VLQ ¡ 



FRV ¡ 

=1− sin2α=cos2α.

+5 cos2α−1=

=sin2α−1+5 cos2α=−cos2α+5cos2α=4 cos2α. 2 2 FRV α ≤  ; cos α≤1 l_ FRV α”

] VLQα+3 sin2α+3 cos2α=sinα+3(sin2α+cos2α)=sinα+3. |sinα|” VLQα+3”

782. sinα+cosα=0,8; ( sinα+cosα)2=0,82=0,64; sin2α+2sinα cosα+cos2α=0,64; 2sinα cosα=0,64−1=−0,36; sinα cosα=−0,18.

783. tgα+ctgα=2,3; (tgα+ctgα)2=2,32=5,29; tg2α+2 tgα ctgα+ctg2α=5,29; tg2α+ctg2α=5,29−2=3,29.

784.

Z WJ α+ctgα)2−(tgα −ctgα)2=tg2α+2tgα⋅ctgα+ctg2α−tg2α+ +2tgα⋅ctgα−ctg2α=4tgα⋅ctgα=4; [ VLQβ)(2−sinβ)+(2+cosβ) (2−cosβ)=4−sin2β+4−cos2β= =4+4−(sin2β+cos2β)=4+4−1=7; VLQ α cosα sin α \ FWJ α+ = + = sin α 1 + cosα  + FRV α cos α + cos 2 α + sin 2 α cos α + 1 1 = = = ; (1 + cos α ) ⋅ sin α sin α (1 + cos α ) sin α ] =

1 − 2sin x cos x sin 2 x + cos 2 x − 2 sin x cos x = = sin x − cos x sin x − cos x

(sin x − cos x) 2 = sin x − cos x. (sin x − cos x)

785.

Z VLQα+cosα)2+(sinα−cosα)2=sin2α+2sinα cosα+cos2α+

56

+sin2α−2sinα

cosα+cos2α=2cos2α+2sin2α



[

 1 − sin α cos α = =ctg2α=  ; 1 − cos 2 α sin 2 α WJ α \ VLQ4α−cos4α=(sin2 α−cos2α)(sin2α+cos2α)=sin2α−cos2α; ctgα ctgα ctgα 1 = = = + 1 = cos 2 α . ] 2 1 ctgα + tgα ctgα + ctg α + 1 ctg 2α ctgα ctgα

2

2

786. α − VLQ  α FRV α − VLQ α FRV  α + FRV α VLQ α + VLQ  α = =  + VLQ α FRV α  + VLQ α FRV α (cos α − sin α )(1 + cos α sin α ) = = cos α − sin α ; (1 + sin α ⋅ cos α ) [ WJα)2+(1−tgα)2=1+2tgα+tg2α+1−2tgα+tg2α= 2 =2(1+tg2α)= ; cos 2 α cos β cos β cos β (1 + sin β ) − cos β (1 − sin β ) − = = \ 1 − sin β 1 + sin β (1 + sin β )(1 − sin β ) FRV β + FRV β VLQ β − FRV β + FRV β VLQ β  FRV β VLQ β = = =    − VLQ β FRV β sin β = 2⋅ = 2tgβ; cos β tgα + tgβ tgα + tgβ tgα + tgβ ] = = = tgα ⋅ tgβ . 1 1 tgβ + tgα ctgα + ctgβ + tgα tgβ tgα − tgβ 2 2 2 2 2 ^ VLQ α cos β−cos α sin β=sin α(1−sin2β)−sin2β(1−sin2α)= =sin2α−sin2αsin2β−sin2β+sin2βsin2α=sin2α−sin2β; _ FRV2αcos2β−sin2αsin2β=cos2α(1−sin2β)−sin2β(1−cos2α)= =cos2α−cos2αsin2β−sin2β+sin2βcos2α=cos2α−sin2β.

Z

FRV



787.

Z VLQβ+sinα)(sinα−sinβ)−(cosα+cosβ)(cosβ−cosα)= =(sin2α−sin2β)−(cos2β−cos2α)=sin2α−sin2β−cos2β+cos2α= =(sin2α+cos2α)−(sin2βcos2β)=1−1=0; [ FWJ2α−cos2α=

cos 2 α cos 2 α − sin 2 α cos 2 α 2 − = = α cos sin 2 α sin 2 α 57

=

cos 2 α(1 − sin 2 α ) sin α 2



FRV

\

α − VLQ α 

cos 2 α

=



FWJ α − WJ α

sin α 2

⋅ cos 2 α = ctg 2 α cos 2 α;

= FRV α − VLQ α  

FRV VLQ





α α

−

VLQ



α



α

FRV



=

sin 2 α cos 2 α = cos 4 α − sin 4 α (cos 2 α − sin 2 α )(sin 2 α cos 2 α ) sin 2 α cos 2 α = = = sin2α cos2α; 2 2 2 2 1 (cos α + sin α )(cos α − sin α )

= FRV α − VLQ α ⋅

 −  VLQ

]



α FRV  α

VLQ α + FRV α  −  VLQ





+ VLQ α FRVα =

α FRV  α

+  VLQ α FRVα =  α +  VLQ α FRV α + FRV α  −  VLQ α FRVα  +  VLQ α FRVα = + VLQ α FRVα =  +  VLQ α FRVα = 1 − 2 sin α cosα + 2sinα cosα = 1.

=

VLQ



788. Z −sinα cosα tgα=  − LZd dZd VLQ α



VLQ α FRV α VLQα FRV α 2



=  − VLQ α

lh − sin α=1−0,72=1−0,49=0,51.

[ FRV4α+sin2α cos2α=cos2α(cos2α+sin2α)=cos2α = LZd dZd WJα



lh

1 1 + tg α 2

=

1 1+ 2

2

=

1 . 1 + tg 2α

1 . 5

789.

sin α sin α sin α (1 − cos α ) + sin α (1 + cos α ) + = = 1 + cos α 1 − cos α (1 + cos α )(1 − cos α ) sin α(1 − cos α + 1 + cos α ) 2 sin α 2 = . = = 2 2 1 − cos α sin α sin α

LZd dZd VLQα = −

790.

 



lh

2  1 = 2 :  −  = −16 . sin α  8

Z FRV π=cos(4⋅2π+0,5π)=cos0,5π=0. 58

[ WJπ=tg(4⋅2π+π)=tgπ=0. \ VLQ−3,5π)=−sin3,5π=−sin(2π+1,5π)=−sin1,5π=−(−1)=1. ] ctg

π 9π π  = ctg  2π +  = ctg = 1. 4 4 4 

π π 1 19π  19π   = cos 6π +  = cos = . ^ cos −  = cos 3 2 3 3 3    

791.

Imklv ^ebgZ [hevrh]h dZl_lZ x ^f Z ^ebgZ f_gvr_]h − y ^f Ih mkeh\bx aZ^Zqb o−m  b x+4)2+(m−8)2=x2+m2 ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ  Ihemqbf kbkl_fm mjZ\g_gbc  y = x − 5  ( x + 4) 2 + ( x − 13) 2 x 2 + ( x − 5) 2  y = x − 5  2  x + 8 x + 16 + x 2 − 26 x + 169 = x 2 + x 2 − 10 x + 25 y = x − 5  x = 20   − 8 x = −160  y = 20 − 5 = 15

Hl\_l  ^f b ^f 792.

Imklv ^ebgu dZl_lh\ o kf b m kf Lh]^Z ih mkeh\bx aZ^Zqb 2 2 2 2  b o23) +(m−11) =o +m ih l_hj_f_ IbnZ]hjZ  Ihemqbf kbkl_fm mjZ\g_gbc

o+ m

 x + y = 79,  ( x + 23) 2 + ( y − 11) 2 = x 2 + y 2 ;  x = 79 − y,  (102 − y ) 2 + ( y − 11) 2 = (79 − y ) 2 + y 2  x = 79 − y  10404 − 204 y + y 2 + y 2 − 22 y + 121 = 6241 − 158 y + y 2 + y 2  x = 79 − y  x = 16   68 y = 4284  y = 63 59

Hl\_l kf b kf 793.


[

FRV 

\

WJ 





 π 

 + α  = VLQ α. 

 − α  = FWJα. 



] FWJπ+α)=ctgα. ^ FRVπ−α)=cosα. _ VLQπ+α)=sinα. ` WJ° −α)=−tgα. a VLQ°+α)=−sinα. b FWJ° −α)=−ctgα. d FRV°−α)=sinα. e VLQ°−α)=−cosα. f WJ°+α)=−ctgα.

794. π

Z

VLQ

[

FRV



+ α = FRV α.

π 

− α = − VLQ α.

\ WJπ+α)=tgα. ] FRVπ+α)=cosα. ^ FWJπ−α)=−ctgα. _ VLQπ+α)=−sinα. ` VLQ°+α)=sinα. a FRV°+α)=−sinα. b WJ°=α)=ctgα.

795. 60

Z VLQ ƒ VLQƒƒ cos40°; cos 130°= =cos(90°+40°)=−sin40°; tg 130°=tg(90°+40°)= =−ctg40°; ctg 130°=ctg(90°+40°)=−tg400. [ VLQ °=sin(180°+10°)=−sin10°; cos 190°= =cos(180°+10°)=−cos10°; tg190°=tg(180°+10°)=tg10°; ctg190°=ctg(180°+10°)=ctg 10°. \ VLQ−320°)=−sin(320°)=−sin(360°−40°)= =−(−sin40°)=sin40°; cos(−320°)=cos(320°)= =cos(360°−40°)=cos40°; tg(−320°)=−tg(320°)= =−tg(360°−40°)=−(−tg40°)=tg40°; ctg(−320°)= =−ctg(320°)=−ctg(360°−40°)=−(−ctg40°)=ctg40°. ] VLQ−590°)=sin(−360°−230°)=sin(−230°)= =−sin(180°+50°)=sin50°; cos(−590°)=cos(−230°)= =cos(180°+50°)=− cos50°; tg(−590°)=−tg50°; ctg (−590°)=−ctg50°.

796.

Z FRV π=cos(0,5π+0,2π)=−sin0,2π. [ FWJ−0,6π)=−ctg0,6π=−ctg(0,5π+0,1π)=tg0,1π. \ VLQ π=sin(2π−0,4π)=−sin0,4π. π ] WJ  − =−tg1,8π=−tg(2π−0,2π)=−(tg0,2π)=tg0,2π. 

797.

Z WJ°=tg(90°+47°)=−ctg47°. [ VLQ−178°)=−sin178°=−sin(180°−2°)=−sin2°. \ VLQ°=sin(720°−40°)=−sin40°. ] FRV−1000°)=cos1000°=cos(900°+100°)=−cos100°= =−cos(90°+10°)=sin10°.

798.


π 1 2π π  = cos π −  = − cos = − ; 3 3 3 2  61

2π π π  = tg  π −  = −tg = − 3 ; 3 3 3 

tg FWJ

π 

[ sin cos tg

π π  = FWJ π −  = −FWJ = −   

 



3π π 2 π  ; = sin  π −  = sin = 4 4 4 2  

π 2 3π π  ; = cos π −  = − cos = − 4 2 4 4  

3π π π  = tg  π −  = −tg = −1; 4 4 4  

FWJ

π 

\ sin

FWJ

5π π 1 π  = sin  π −  = sin = ; 6 6 6 2  

π 3 5π π  ; = cos π −  = − cos = − 6 6 6 2  

cos tg

π π  = FWJ π −  = −FWJ = −   

5π π 3 π  ; = tg  π −  = −tg = − 6 6 6 3   π 

π π  = FWJ π −  = −FWJ = −   



799. Z VLQ°=sin(180°+60°)=−sin60°=−

 



[ FRV−210°)=cos(210°)=cos(180°+30°)=−cos30°=− \ WJ °=tg(360°−60°)=−tg60°=−



] Vin 330°=sin(270°+60°)=−cos60°=−

 

. 1 . 2

^ FWJ−225°)=−ctg 225°=−ctg(180°+45°)=−ctg 45°=−1. 62

.



_ VLQ °=sin(360°−45°)=−sin 45°= −



.

800. Z FRV°=cos(180°−60°)=−cos60°=−

1 . 2

[ VLQ−150°)=−sin150°=−sin (90°+60°)=−cos60°=−

1 . 2

\ WJ−225°)=−tg225°=−tg(270°−45°)=−ctg45°=−1. ] FRV−225°)=cos225°=cos(270°−45°)=−sin45°= − ^ FRV _ sin

 

.

7π 3 π π  = cos π +  = − cos = − . 6 6 6 2   4π 3 π π  = sin  π +  = − sin = − . 3 3 3 2 

801. π  π  Z sin α −  = − sin  − α  = − cos α . 2 2     [ FRV α −π)=cos(π−α)=− cosα. \ FWJα−360°)=−ctg(360°−α)=−(−ctgα)=ctgα. ] WJ−α+270°)=tg(270°−α)=ctgα.

802. 3π    3π  − α  = − (− cos α ) = cos α . Z VLQ α −  = − sin  2    2  π π 3 3     − α  = − sin α . [ FRV α −  = cos 2    2  \ WJα−2π)=−tg(2π−α)=tg α.

803.

Z VLQ2(π+α)=(−sinα)2=sin2α. π  2 [ tg 2  + α  = (− ctgα ) = ctg 2α . 2  63

 3π  2 \ cos 2  − α  = (− sin α ) = sin 2 α .  2  ] FWJ2(2π−α)=(−ctg α)2=ctg2α.

804.

Ba l_hj_fu h kmff_ m]eh\ lj_m]hevgbdZ :+<+K=180° hldm^Z ke_^m_l $ + % = VLQ° − & = sin(90° − C ) = cos C . VLQ 2 2  

805. α+β+γ=180°; α+β=180°−γ; tg(

α+β 

=

° − γ 

, hldm^Z

.+ 180° −    ) = tg( ) = tg(90° − ) = ctg . 2 2 2 2

806.

Z VLQ°−α)+cos(180°+α)+tg(270°+α)+ctg(360°+α)= =cosα+(−cosα)+(−ctgα)+ctgα=0. π   π  [ VLQ + α  − FRV(α − π )+ WJ(π − α )+ FWJ − α  =      π  = cosα − cos(π − α ) − tgα + ctg  − α  = 2   = cos α − (− cos α ) − tgα + tgα = 2 cos α .

807. Z

FRV −α FRV° + α VLQ −α VLQ ° + α

=

FRV α ⋅

(− FRV α ) = FWJα

− VLQ −α ⋅ FRV α

sin(π + α ) cos(2π − α ) − sin α ⋅ cos α = = − tgα cos(− cos α ) tg (π − α ) cos(α − π ) sin α ⋅ cos α ⋅ cos α =− = − cos α . sin α ⋅ cos α VLQ −α FWJ −α VLQ α ⋅ FWJα \ = = FRV ° − α WJ° + α FRV α ⋅ WJα sin α ⋅ cos α ⋅ cos α cos α = = = ctgα . cos α ⋅ sin α ⋅ sin α sin α

[

64

]

VLQπ + α VLQα + π

WJ π + α FRV(π + α )

=

VLQ α ⋅ FRVα − VLQ α ⋅ VLQ α =− = − FRVα WJα ⋅ VLQ α VLQ α

808. Z VLQ2(180°−x)+sin2(270°−x)=sin2x+(–cosx)2=sin2x+cos2x=1.  π  π [ VLQπ−x) cos  [ −  − VLQ [ +  cos(π−x)=sin x⋅sin x     2 2 − cos x ⋅ (− cos x) = sin x+cos x=1.

809.






[ + VLQ [

=  π   π  [ VLQπ+x)cos  + [  − FRVπ + [ VLQ − [  =       =−sin x⋅(−sin x)−cos x⋅(−cos x)=sin2x+cos2x=1.

810.  π

 +α  WJ π − α  = − WJα ⋅ − FRVα = tgα = tg 2 α; ⋅  Z FRVπ + α  π  − FRVα −FWJα ctgα WJ +α    FWJ π − α FRV π − α VLQ π − α  ⋅ [ ⋅ = WJ π + α WJ π + α VLQ −α VLQ



tgα sin α cos α = ⋅ ⋅ = tgα (−ctgα ) (− sin α)

FRV α

WJα

=

FRV α ⋅ VLQ α FRV α

= VLQ α

811.

Ih nhjfmeZf ijb\_^_gby π π Z VLQ + α FWJ − α + 

+ VLQ π − α + FWJ



π 

− α = − FRV α ⋅ WJα + VLQ α + WJα = 65

cos α ⋅ sin α + sin α + tgα = − sin α + sin α + tgα = tgα ; cos α π  [ FWJ  π − α − VLQ α − ⋅ =  FRV α 1 1 = (−ctgα ) 2 + cos α ⋅ = ctg 2α + 1 = . cos α sin 2 α =−



812.

Z  VLQ2α+cos2α=1; sin2α=1−cos2α; sin2α=1−(−0,8)2=0,36; sinα=±



=± lZd dZd

π < α < π  lh 2

α ∈ ,, q_l\_jlb agZqbl VLQ α >  ihwlhfm sinα=0,6. FRVα    FWJα = −   = − = −  2) FWJα = VLQ α   1 1 [  WJ2α= ; ; cos 2 α = 1 + tg 2 α cos 2 α cos 2 α =

1 1 + (−5)

2

=

1 ; cos α=± 26

 



LZd dZd

α∈II q_l\_jlb agZqbl FRV α ihwlhfm cos α = −

π <α <π 2

1 26 . =− 26 26

sin α ; sin α = tgα ⋅ cos α; cos α      = VLQ α = − ⋅  −       

2) tg α=

813.

sin3α(1+ctgα)+cos3α(1+tgα)= VLQ α   FRVα    =sin3α  + =  + FRV α+  VLQ α   FRVα  =sin3α+sin2αcosα+cos3α+cos2αsinα= =(sinα+cosα)⋅(sin2α−sinαcosα+cos2α)+sinαcosα(sinα+cosα)= =(sinα+cosα)(sin2α+cos2α)=sinα+cosα.

814.

66



lh

Imklv o dfq − wlh kdhjhklv kdhjh]h ih_a^Z Z m dfq − kdhjhklv lh\Zjgh]h ih_a^Z Ih mkeh\bx aZ^Zqb bf__f xÂy  LZd 75 q Z \j_fy ^\b`_gby lhdZd \j_fy ^\b`_gby kdhjh]h ih_a^Z x 75 \Zjgh]h ² q lh bf__f kbkl_fm mjZ\g_gbc y  75 75 5 =  − x 12  y  x ⋅ 0,5 + y ⋅ 0,5 = 75   x = 150 − y  15 1 15  y − 150 − y = 12 

 x = 150 − y  75 5  75  y − 150 − y = 12   x = 150 − y  27000 − 180 y − 180 y = 150 y − y 2

m2=510m+27000=0 D=(510)2−4⋅27000=152100

−210 + 390 = 90 beb 2 −210 − 390 y2 = = −300 — g_ ih^oh^bl ih kfukem 2 y2 =

 y = 90  y = 90    x = 150 − 90  x = 60

Hl\_l  dfq dfq 815. Imklv o dfq mjZ\g_gb_

±

kdhjhklv ih_a^Z ihke_ __ m\_ebq_gby Ihemqbf

70 70 1 − = ; x − 10 x 6 420x−420x+4200=x2 – 10x; x2 – 10x –4200=0; D=102+4Â  x=

10 + 16900 = 70; beb 2 67

x=

10 − 16900 = −60 2

²

g_ ih^oh^bl ih kfukem

Hl\_l  dfq 816.
2 (cos ϕ + sin ϕ); 2

[ =

2 2 π π π ⋅ sin ϕ cos ϕ + sin ϕ = − ϕ) = cos cos ϕ + sin = 4 4 4 2 2

FRV

π 

+ ϕ = FRV

π 

FRV ϕ − VLQ

π 

VLQ ϕ

=

 

FRV ϕ −

 

VLQ ϕ

=

FRV ϕ

=

FRV ϕ

=

2 (cos ϕ − sin ϕ); 2


π 



= VLQ ϕ FRV

π 

+ FRV ϕ VLQ

π 

=

 

VLQ ϕ +

 

2 (sin ϕ + cos ϕ); 2

] =

VLQ ϕ +

VLQ ϕ −

π 



= VLQ ϕ FRV

π 

− FRV ϕ VLQ

π 

=

 

VLQ ϕ −

 

2 (sin ϕ − cos ϕ). 2

817. Z π π π sin( + α ) = sin cos α + cos sin α = 1 ⋅ cos α + 0 ⋅ sin α = cos α . 2 2 2 [ VLQ π+α)=sinπ cosα+cosπ sinα=0⋅cosα−1⋅sinα=−sin α. \ FRV π−α)=cos π cosα+sinπ sinα=−1⋅cosα+0⋅sinα=−cosα.

68

] 3π 3π 3π + α ) = cos cos( cos α − sin sin α = 0 ⋅ cos α − (−1) sin α = sin α . 2 2 2

818. Ih nhjfmeZf kbgmkZ b dhkbgmkZ jZaghklb Z VLQ°−β)=sin60° cosβ−cos60° sinβ= [ FRVβ−30°)=cosβ cos30°+sinβ sin30°=

   

FRV β −

FRV β +

 

VLQ β

 

VLQ β

819. Z VLQ°=sin(45°+60°)=sin 45°⋅cos60°+cos45°⋅sin60°= 2 3 2 1 6+ 2 ⋅ + ⋅ = . = 2 3 2 2 4 [ FRV°=cos(45°+60°)=cos45°⋅cos60°−sin45°⋅sin60°= 2 1 2 3 2− 6 ⋅ − ⋅ = . = 2 2 2 2 4

820.
821. Z VLQ. −VLQ. FRV 

VLQ. FRV

FRV. VLQ  −VLQ. FRV

[ VLQ. VLQFRV.

VLQ. VLQFRV. FRV−VLQ

. VLQ 

FRV. VLQ

FRV. FRV



69

\ =

 

π π    − α  − FRVα = VLQ ⋅ FRVα − FRV ⋅ VLQ α − FRVα =      

FRVα −

] =

π

VLQ

 



VLQ α −



 

FRVα = −



VLQ α + FRV α −



π = 

 

 

VLQ α

VLQ α + FRVα FRV

π 

π + VLQ α VLQ = 

3 1 3 1 = 3 sin α + cos α . sin α + cos α ⋅ + sin α ⋅ 2 2 2 2

822. π

 + α  − FRVα =   π π = 2 ⋅ sin cos α + 2 cos sin α − cos α = 4 4

Z

= 2⋅

[

 VLQ



2 2 cos α + ⋅ 2 sin α − cos α = cos α + sin α − cos α = sin α . 2 2 

 VLQ α −



π  − VLQ α = 

π π − 2 ⋅ cos α sin − sin α = 4 4 2 2 = 2⋅ sin α − ⋅ 2 cos α − VLQ α = VLQ α − FRVα − VLQ α = − FRVα 2 2 = 2 ⋅ sin α cos

π  \ FRV  − α  −  

 VLQ α =

π π   =  FRV FRVα + VLQ VLQ α  −    

−

 VLQ α = FRVα +

] =

 VLQ α −



 FRVα −  FRV α −





 FRV α −  FRVα ⋅ FRV



70

π

 VLQ α =  ⋅

 

FRVα +  ⋅

 

VLQ α −

 VLQ α = FRVα

π = 

π + VLQ α VLQ  =  

 FRV α −

  

FRVα −

− ⋅

 

VLQ α =

 FRVα −

 FRVα − VLQ α = − VLQ α

823.

Ijbf_gy_f nhjfmeu kbgmkZ b dhkbgmkZ kmffu b jZaghklb Z FRV.− −FRV. FRV FRV. FRVVLQ. VLQ −cosα FRV VLQ. VLQ [ VLQα FRV−VLQ.− \ =

=

 

π

π π    + α  − VLQ α = VLQ FRVα + FRV VLQ α − VLQ α =      

VLQ

FRVα +

 



]

FRV α +



FRV α −



VLQα FRV−VLQ. FRVFRV. VLQ FRV. VLQ



VLQ α −

π +   

  



VLQ α =

 

FRVα

VLQ α = FRVα FRV

VLQ α +

 

VLQ α

=

π 

 

π − VLQ α VLQ + 

 

VLQ α

=

FRV α

824.

Ijbf_gy_f nhjfmeu kbgmkZ b dhkbgmkZ kmffu b jZaghklb Z FRVα− VLQ−. VLQ FRVα FRV VLQ. VLQ−VLQ. VLQ FRV. FRV [ VLQ. VLQ−. FRV−

FRV. VLQ−VLQ. FRV FRV. VLQ

VLQ. FRV

825.

Ijbf_gy_f nhjfmeu kbgmkZ b dhkbgmkZ kmffu b jZaghklb Z VLQ.− −FRV . VLQ− VLQ. FRV− −FRV. VLQFRV. VLQ VLQ. FRV [ FRV. VLQ−. VLQ− FRV. FRV− −VLQ. VLQVLQ. VLQ FRV. FRV

826.

Ijbf_gy_f nhjfmeu kbgmkZ b dhkbgmkZ kmffu b jZaghklb D FRV  FRV VLQ  VLQ FRV− FRV  6) sin3γ cosγ−cos3γ sinγ=sin(3γ−γ)=sin2γ.

827.

Ijbf_gy_f nhjfmeu kbgmkZ b dhkbgmkZ kmffu b jZaghklb 71

Z FRV°cos17°+sin107°sin17°=cos(107°−17°)=cos90°=0; [ FRV°cos24°−sin36°sin24°=cos(36°+24°)=cos60°=

 

.

\ VLQ°cos27°+cos63°sin27°=sin(63°+27°)=sin90°=1. ] VLQ ° cos21°−cos51°sin21°=sin(51°−21°)=sin30°=

 

.

828. Z FRV°cos63°+sin18°sin63°=cos(18°−63°)=cos(−45°)=

 

.

6) cos 32° cos 58°−sin 32° sin 58°=cos(32°+58°)=cos90°=0.

829. π  π π  π   Z VLQ α +  cosα −  + cosα +  sin α −  = 6 6 6 6         π  π  = sin  α +  + α −   = sin 2α . 6  6   π  π  π  π  [ FRV  + β  FRV − β  − VLQ + β  VLQ − β  =          π 2π  π  = cos  + β  +  − β   = cos = 0. 4 4 4    

830. Ih nhjfmeZf kbgmkZ kmffu b jZaghklb Z VLQ. VLQ.− VLQ α FRV FRV . VLQ VLQ . FRV − –cos α VLQ  VLQ . FRV  [ FRV.− −FRV.− +sin α VLQ  VLQ . VLQ 

FRV

\ FRVƒ−. −FRVƒ.

. FRV VLQ . VLQ −cos α FRV 

.VLQ ƒ VLQ .− 2 3 sin α = 3 sin α –cos60°⋅cosα+sin 60° sin α=2sin60°sinα= 2 ] VLQ°− α)+sin(30°+α)=sin30° cosα−cos30° sinα+sin30°cosα+

72

FRV ƒ FRV

1 +cos30° sinα = 2 ⋅ cos α = cos α. 2

831. Ih nhjfmeZf kbgmkZ b dhkbgmkZ kmffu b jZaghklb Z VLQ. −VLQ.− −VLQ . FRV FRV . VLQ 

. FRV FRV . VLQ − . VLQ  [ FRV°+α)−cos(30°−α)=cos30° cos α−sin30°sin α− 1 −cos30° cos α−sin30°sin α= 2 ⋅ sin α = − VLQ α . 2 VLQ

 FRV

832. Z VLQ. VLQ.− VLQ . FRV FRV . VLQ  VLQ . FRV − 2 2 2 2 2 2 ±FRV. VLQ   VLQ. FRV − FRV. VLQ =sin a cos −cos . VLQ 2 2 2 2 2 2 2 2 =sin .O−sin  −(1−sin α) sin  VLQ .−sin . VLQ −sin  +sin2. VLQ2  VLQ2 .−sin2 



 FRV. FRV.− FRV . FRV −VLQ . VLQ  ⋅FRV . FRV  2 2 2 2 2 2 VLQ . VLQ  FRV . FRV −sin . VLQ  FRV . −sin  − 2 2 2 2 2 2 2 –sin ⋅(1−cos α)=cos .−sin  FRV .−sin VLQ ⋅cos2. FRV2.−sin2

833. Z =

=

VLQα − β + FRVα VLQβ

VLQ α FRV β VLQ α FRV β

[ =

VLQα + β − FRVα VLQβ

=

VLQ α FRV β + FRV α VLQ β − FRV α VLQ β VLQ α FRV β − FRV α VLQ β + FRV α VLQ β

=

=.

VLQα − β +  FRVα VLQ β  FRVα FRVβ − FRVα − β

=

VLQ α FRVβ − FRVα VLQβ +  FRVα VLQβ  FRVα FRVβ − FRVα FRVβ + VLQ α VLQβ VLQ α FRVβ + FRVα VLQβ FRVα FRVβ − VLQ α VLQβ

=

VLQα + β FRVα + β

=

= WJα + β 

834.

73

Z =

=

FRVα − β − VLQ α VLQβ

=

FRVα FRVβ − VLQ α VLQβ + VLQ α VLQβ FRVα FRVβ + VLQ α VLQβ − VLQ α VLQβ

[ =

FRVα + β + VLQ α VLQ β

FRVα − β −  VLQ α VLQ β  VLQ α FRVβ − VLQα − β

=

FRVα FRVβ + VLQ α VLQ β −  VLQ α VLQ β

VLQ α FRVβ + FRVα FRVβ

=

FRVα FRVβ

=.

=

 VLQ α FRVβ − VLQ α FRVβ + FRVα FRVβ FRVα FRVβ − VLQ α VLQβ

FRVα FRVβ

FRVα + β VLQα + β

= = FWJα + β .

835.

1) sin2α+cos2α=1; cos2α=1−sin2α; cos2α= 2

225 225 15 8 =1−   = =± ; cos α = ± 17 289 289 17   15 agZqbl FRVα !  ihwlhfm cos α = . 17



lZd dZd α ∈

,

q_l\_jlb



  2) sin2β+cos2β=1; sin2β=1−cos2β; sin2β=1 −   = ;  

9 3 =± 25 5 3 ihwlhfm sin β = . 5 sinβ=±



lZd dZd β ∈

Z VLQα+β)=sinα cosβ+cosα sinβ=



⋅



+

 

⋅

 

60 24 84 . + = 85 85 85 74

=

15 ⋅ 4 8 ⋅ 3 − = 17 ⋅ 5 17 ⋅ 5

60 24 36 . − = 85 85 85

\ FRVα−β)=cosα cosβ+sinα sinβ= =

q_l\_jlb agZqbl

 

[ FRVα+β)=cosα cosβ−sinα sinβ= =

,

 ⋅   ⋅ 

+

⋅  ⋅ 

=

VLQβ

>0,

32 45 77 . + = 85 85 85

836. 2

 9 1) sin2α+cos2α=1; cos2α=1−sin2α; cos2α=1−   =  41  1681 − 81 1600 = =− ; 1681 1681 1600 40 =±  lZd dZd α∈,, q_l\_jlb agZqbl 1681 41 40 ihwlhfm cos α = − . 41 cosα = ±

FRVα<0,



   2) sin2β+cos2β=1; cos2β=1−sin2β; cos2β=1−  −  =    1681 − 1600 81 81 9 = ±  lZd dZd β∈,9 q_l\_j= ; cosβ = ± 1681 41 1681 1681 9 lb agZqbl FRVβ! ihwlhfm cos β = . 41 ⋅  ⋅  3) sin(α+β) = sinα cosβ+cosα sinβ= + = ⋅  ⋅   +   = = =. =





75

837.

1) cos2 α+sin2α=1; cos2α=1−sin2α; 2

25 − 16 9 9 3 4 ; cosα= ± =± ; cos2α= 1 −   = = 25 5 5 25 25  

lZd dZd α∈,, q_l\_jlb agZqbl FRVα ihwlhfm cos α = − 2) sin2β+cos2β=1; sin2β=1−cos2β;

3 . 5

2

64 8 289 − 225 64  15  = =± ; sin2β=1−  −  = ; sin β = ± 289 289 289 17  17  8 lZd dZd β∈,, q_l\_jlb agZqbl VLQβ! ihwlhfm sin β = 17  ⋅ ⋅ − = Z VLQα+β)=sinα cosβ+cosα sinβ= −  ⋅  ⋅ 60 24 84 . =− − =− 85 85 85  ⋅ ⋅ [ VLQα−β)=sinα cosβ−cosα sinβ= − + =  ⋅  ⋅ −60 24 36 = + =− . 85 85 85  ⋅ ⋅ \ FRVα−β)=cosα cosβ+sinα sinβ= + =  ⋅  ⋅ 45 + 32 77 = = . 85 85  ⋅  ⋅ ] FRVα+β)=cosα cosβ−sinα son β= − =  ⋅  ⋅ 45 − 32 13 = = . 85 85

838.

Ba l_hj_fu h kmff_ m]eh\ lj_m]hevgbdZ α=180°−α−β. sinγ=sin(180°−. VLQ. VLQ. FRVFRV. VLQ

839. 

Imklv .  b γ − m]eu lj_m]hevgbdZ 2

16 9  4 = , sin2α+cos2 α=1; cos2α=1−sin2α, cos2α=1 −   = 1 − 25 25  5 1

9 3 = ±  M]he hkljuc l_ 25 5 3 wlhfm cos α = . 5 β+cos2β=1, 2) sin2 cosα=±

α<

π 



agZqbl

FRVα>0 

cos2β=1−sin2

ih-

β,

2

25 144 5 = cos2β=1−   = 1 − , 169 169  13  144 12 = ±  lZd dZd m]he hkljuc lh 169 13 12 . cosβ! ihwlhfm cos β = 13

β<

cosβ=±

π 



agZqbl

3) α+β+γ=180°; 180°−α−β=180°−0(α+β), cos(180°−(α+β))=−cos(α+β)=sinα sinβ−cosα cosβ= =



⋅



 

 

− ⋅

 

=

 

−

 

=−

 

.

840. Imklv .  b γ − m]eu lj_m]hevgbdZ b imklv cosα=

 

 FRV β

=

γ=180°−(α+β).

 



Ke_^h\Zl_evgh α b β

hklju_ m]eu Z

²

2

1 8 1 1) cos2α+sin2α=1, sin2α=1−cos2α, sin2α= 1 −   = 1 − = , 3 9 9   sinα=± sin α =

8 2 2 =± 9 3



gh

α<

π 



VLQα!

agZqbl

2 2 . 3 2

4 5  2 2) cos2β+sin2β=1, sin2β=1−cos2β, sin2β=1−   1 − = , 9 9  3

2

ihwlhfm

5 5 =± 9 3

sinβ=±

β<

gh



π 

VLQβ !

agZqbl



ihwlhfm

5 . 3

sin β =

3) sinγ=sin(180°−(α+β))=sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ=           +  = ⋅ + ⋅ = + = . 













841.


WJα + WJβ  − WJα WJβ

 

=

−

+

 

 ⋅

=

 +  



 

=

 ⋅   ⋅ 



= . 

⋅ 

842. Z WJ°=tg(45°−30°)=

=

3− 3 3+ 3

=

WJ° − WJ°  + WJ°WJ°

=

+

 

=

 

(3 − 3 ) 12 − 6 3 = = 2− 3 ; − 9 3 6 2

tg30° + tg45° = [ WJ°=tg(30°+45°)= 1 − tg30°tg45°

3 +1 3 = 3 1− ⋅1 3

( 3 + 3) = ( 3 + 3) = 3 + 6 3 + 9 = 9=3 3(3 − 3 ) (3 − 3 )(3 + 3 ) 2

=

−

843. tg(α−β)=tg(α+(−β))=

2

 +   

=+



.

tg. + tg( − tg. − tg = . 1 − tgαtg(- β ) 1 + tgαtg

844. 3

=

 +  



 

[ WJα−β)= =

 −  



 

WJα + WJβ

     ; tg(α+β)=  +    − ⋅  =  − WJαWJβ       ⋅  = =. ⋅

Z WJα+β)=

=

WJα − WJβ  + WJDWJβ

⋅  ⋅

=

 

     ; tg(α−β)=  −    + ⋅  =      

.

845. Z VLQ°=sin(360°+120°)=sin120°=sin(90°+30°)=cos30°= [ FRV−570°)=cos570°=cos(540°+30°)=−cos30°=− \ WJ−750°)=−tg750°=−tg(720°+30°)=−tg30°=− ] FWJƒ

 

 

.

.

FWJ540°−45°)=−ctg45°=−1.

846. FRV α + VLQ α



− = FWJα − VLQ α FRV α

FRV



α + VLQ  α +  VLQ α FRV α −  = FRV α − VLQ α FRV α VLQ α

2 sin α cos α 2 sin 2 α cos α = = cos α − sin 2 α cos α cos α (1 − sin 2 α ) sin α   VLQ α  VLQ α FRV α = = =  WJ  α .    FRV α ⋅ FRV α FRV α

=

847. Z

FRV α

− VLQ−α

 − FWJ −α

=

cos α + sin α = sin α . = sin α + cos α sin α 4

FRV α + VLQ α  + FWJα

=

FRV α + VLQ α +

FRV α VLQ α

=

 

.

[ WJ−α)ctgα+ = − + WJ  α = −

WJα = −WJαFWJα − WJα ⋅ WJα = FWJ −α 

FRV



α

.

848. Z x+4)(x+5)− 5≤ 7; x2+4x+5x+20− 5≤7; x2+9x+8≤ 0. GZc^_f dhjgb mjZ\g_gby: o2+9x+8=0; D=92−4⋅1⋅8=81−32=49; − 9 + 49 − 9 − 49 x= = −1 beb o = −8 . 2 2 x2+9x+8=(x+1)(x+8)≤0. Hl\_l: −8”x”−1. [ −(2x+1,5)(4−x)≥0; 6−(8x+6−2x2−1,5x)≥0; 6−8x−6+2x2+l,5x≥0; 2x2−6,5x≥0. GZc^_f dhjgb mjZ\g_gby x2−6,5x=0; x(x−3,25)=0; x





beb x=3,25=  . 



2x2−6,5x=2(x−0)(2−  )≥0, 

Hl\_l [”0 beb x≥   . 

849.

Imklv o q ± \j_fy jZ[hlu i_j\h]h Z\lh]jmaqbdZ Z m q ± \j_fy \lhjh]h Lh]^Z ih mkeh\bx bf__f o−m  AZ  q i_j\uc Z\lh]jmaqbd ^_eZ_l



Ë

qZklv jZ[hlu Z \lhjhc −

qZk hgb k^_eZxl



\kx jZ[hlm agZqbl







+





+



[ \ [ \







É

qZklv jZ[hlu
qZklv jZ[hlu Z aZ ⋅ 





q hgb k^_eZxl

Bf__f kbkl_fm mjZ\g_gbc

5

[ − \ =        [ + \  ⋅  =    J_rbf mjZ\g_gb_ 20 20 + = 1; y 9+ y 20o−180+20o=o2−9o o2−49o+180=0. GZc^_f dhjgb D=492−4⋅1⋅180=1681

 x = 9 + y,  20   20  9 + y + y  − 1 = 0  

y = x − 9  1   1  x + x − 9  ⋅ 20 = 1   

49 + 1681 49 + 41 = = 45 2 2 49 − 41 x2 = =4 2  x1 = 45  x2 = 4 beb  − g_ bf__l kfukeZ   y1 = 36  y2 = −5 x1 =

Hl\_l  q b  q 850.


[

 FRV



] FRVα+sin2α=cos2α−sin2α+sin2α=cos2α. ^ FRV2β−cos2β=cos2β−(cos2β−sin2β)=cos2β−cos2β+sin2β=sin2β. _   FRV α − VLQ α FRV α − FRV α = − FRV α = FRV α + VLQ α FRV α + VLQ α cos 2 α − sin 2 α − cos 2 α − sin α cos α − sin α (sin α + cos α ) = = = cos α + sin α cos α + sin α = − sin α . 6

851.

Ih nhjfmeZf ^\hcgh]h m]eZ sin 40° sin 2 ⋅ 20° 2 sin 20° cos 20° Z = = = 2 cos 20° . sin 20° sin 20° sin 20° sin 100° sin 2 ⋅ 50° 2 sin 50° cos 50° = = = 2 sin 50° . [ cos 50° cos 50° cos 50° cos(2 ⋅ 40°) cos 80° = = \ cos 40° + sin 40° cos 40° + sin 40° cos 2 40° − sin 2 40° (cos 40° + sin 40°)(cos 40° − sin 40°) = = cos 40° + sin 40° cos 40° + sin 40° = cos 40° − sin 40° . =

] =

cos 36° + sin 2 18° cos(2 ⋅18°) + sin 2 18° = = cos 18° cos 18°

cos 2 18° − sin 2 18° + sin 2 18° cos 2 18° = = cos 18° . cos 18° cos 18°

852.

Bkihevam_f nhjfmeu ^\hcgh]h m]eZ VLQ β  VLQ β FRV β FRV β Z = = = FWJβ .   VLQ β VLQ β VLQ β sin 2α 2 sin α cos α − 2 sin α cos α − cos α = =0. 2 sin α 2 sin α \ VLQ2γ+cos2γ=sin2γ+cos2γ−sin2γ=cos2γ.   FRV α − VLQ α FRV α ] − VLQ α = − VLQ α = FRV α − VLQ α FRV α − VLQ α cos 2 α − sin 2 α − sin α cos α + sin 2 α cos α (cos α − sin α ) = = = cos α . cos α − sin α cos α − sin α

[

853.

1) sin2α+cos2α=1; cos2α=1−sin2α; cos2α= 12   −   ; lZd dZd α∈,, q_l\_jlb =1−   = =  cosα= ± 13    12 agZqbl FRVα  ihwlhfm cos α = − . 13

7

2) tgα=

VLQ α FRV α

WJα =



 

3) sin2α=2sinα cosα=2 ⋅ cos2α=cos2α−sin2α=  −

tg2α=

 WJα  − WJ



α

 −  

 

⋅ −

 

  

−

 ⋅ −



; tg2α= − −

 



=−



 









=−









=−



;



=

;





 ⋅  ⋅

−

 

=−

=



 

= −



; 

.



854. 1) tg2α=

 WJα  − WJ

2) 1+tg2α=



α

⋅

; tg2α=

1 cos α 2

 

  −  

; cos 2 α =

=

 ⋅  ⋅

1 1 + tg α 2



=



=



;





; cos2α=

+ 

  

=

16 16 4 ; cosα= ± = ±  lZd dZd α∈,,, q_l\_jlb agZqbl 25 5 25 4 ihwlhfm cos α = − . 5 sin α    3) tgα= ; sin α = tgα cos α ; sinα= ⋅  − = − . cos α   

FRVα<0,

=

4) cos2α=cos2α−sin2α; cos2α=  −

  

5) sin2α=2sinα cosα; sin2α=2⋅  −

 

− −

⋅ −

 



  

=

=

 

⋅⋅  ⋅

− =

   

=

 

;

.

855.  Imklv α − m]eu ijb hkgh\Zgbb jZ\gh[_^j_ggh]h lj_m]hevgbdZ Z m]he ijb \_jrbg_ ² γ Lh]^Z γ=180°−. ih l_hj_f_ h kmff_ m]eh\ lj_m]hevgbdZ

8

2) sin2α+cos2α=1; sin2α=1−0,82=0,36; sin α = ± 0,36 ; sinα=±0,6; π lZd dZd α<  agZqbl VLQα> ihwlhfm sinα=0,6. 

3) sinγ=sin(180°−. VLQ.  VLQ. FRV. ⋅0,6⋅0,8=0,96; cosγ=−cos(180°−. −FRV. VLQ2.−cos2. 2−0,82=0,36−0,64=−0,28.

856. Ba hkgh\gh]h ljb]hghf_ljbq_kdh]h lh`^_kl\Z 1) sin2α+cos2α=1; sin2α=1−cos2α; sin2α=1−(−0,6)2=1− −0,36=0,64; sinα=±  =±0,8. LZd dZd α∈,,, q_l\_jlb agZqbl sinα ihwlhfm sinα=−0,8. VLQ α

8 4 = ; FRV α 6 3  VLQ.  VLQ. FRV. VLQ. ⋅(−0,8)(−0,6)=−0,96. 4) cos2α=cos2α−sin2α; cos2α=(−0,6)2−(−0,8)2=0,36−0,64=−0,28. 4 2⋅  WJα 3 = − 8 ⋅ 9 = − 24 = −3 3 . 5) tg2α= ; tg2α=  2 3⋅7 7 7  − WJ α  4 1−    3

2) tgα=

; tgα=−0,8 : (−0,6)=

857.


cosα=cos  ⋅ tgα=tg  ⋅

α 

α 

=



=

 FRV

 WJ  − WJ

α  

α

− VLQ



α



α 

;

.



[ VLQα=sin2⋅2α=2sin2α cos2α; cos4α=cos2⋅2α=cos22α−sin22α ;  WJα  tg4 α=tg2⋅2α=   − WJ α

858. 9

VLQ α

Z

 FRV

[

=

α



 FRV



VLQ β

FRV β

=

FRV

ϕ 



FRV β

+ VLQ

ϕ

α 

α

=

 VLQ

=

FRV



FRV





α

α 



ϕ 



+ VLQ

ϕ

=

FRV



ϕ 

FRV





= WJ

α

α 

.



=  VLQ β .

FRV β

ϕ

=

α

VLQ FRV

 VLQ β FRV β

FRV  ⋅

=

α

 FRV



VLQ  ⋅ β

FRV ϕ

\

VLQ  ⋅

ϕ 

− VLQ  + VLQ

ϕ 

ϕ

=



ϕ ϕ  ϕ ϕ   cos + sin  cos − sin  ϕ ϕ 2 2  2 2 = = cos − sin . ϕ ϕ 2 2   cos + sin  2 2 

] =

FRV α − VLQ α

=

FRV α

FRV α − VLQ α FRV  α

=

FRV α − VLQ α 



FRV α − VLQ α

=

cos 2α − sin 2α 1 = . (cos 2α + sin 2α )(cos 2α − sin 2α ) cos 2α + sin 2α

859. 1) sin2

α α α α + cos 2 = 1; cos 2 = 1 − sin 2 ; 2 2 2 2 2

cos 2

α α 1600 1600 40  9  =1−   = =± ; cos = ± 2 1681 2 1681 41  42 

α α 40 > 0  ihwlhfm cos = .  2 2 41 α α α  ⋅  ⋅   = ; 2) VLQ α = VLQ  ⋅ =  VLQ FRV =     ⋅  

LZd dZd

3)

FRV α

4) tgα =

860. 10

α

∈, q_l\_jlb agZqbl cos

= FRV  ⋅

α 

= FRV 

α 

− VLQ 

α 





   =   −   = ;       

sin α 720 1519 720 . : = = cos α 1681 1681 1519


cos 2α − cos 2 α cos 2 α − sin 2 α − cos 2 α − sin 2 α = = =–1. 1 − cos 2 α sin 2 α sin 2 α

\ VLQα ctgα−1=

 VLQ α FRV α ⋅ FRV α VLQ α

−1=2cos2α−1=

=2cos2α−sin2α−cos2α=cos2α−sin2α=cos2 α. FRV α VLQ α  + ] FWJα+tgα) sin2 α=   ⋅  VLQ α FRV α =  VLQ α FRV α  =2cos2α+2sin2α=2(cos2α+sin2α)=2.

861. Z  WJα sin2 α+cos2 α=

VLQ α ⋅  VLQ α FRV α  FRV α

=sin2 α+cos2α=1.

+cos2 α=

sin 2 β 2 sin β cos β 2 sin β cos β = = = cos 2 β + sin 2 β cos 2 β − sin 2 β + sin β cos 2 β VLQ β = = WJβ . FRV β

[

862.

Ih nhjfmeZf ^\hcgh]h m]eZ Z VLQ°cos15°=sin2⋅15°=sin30°= [ VLQ

 



.

4 2 π π π =2 2. ⋅ cos = 4 sin = 2 8 8 4

\ VLQ°cos105°= =



sin210°=

 

 

(2sin105°⋅cos105°)=

sin(180°+30°)=−

 

sin30°=−

] FRV2 15°−sin2 15°=cos2⋅15°=cos30°= ^ FRV2

 

⋅ sin2⋅105°=

1 1 1 ⋅ =− . 2 2 4 



.

π π π π  − 4 sin 2 = 4 cos 2 − sin 2  = 8 8 8 8  11

=  FRV

π 



=

_ cos 2



=



.

7π 7π 7π 7π − sin 2 = cos 2 ⋅ = cos = 12 12 12 6

π π = FRV π +  = − FRV = −   

 

.

863.
[ \ =

WJ°

  − WJ °

= WJ ⋅ ° = WJ° .

2 3 4tg15° 2tg15° = 2⋅ = 2 ⋅ tg2 ⋅ 15° = 2tg30° = . 2 2 3 1 − tg 15° 1 − tg 15° WJ°



 − WJ °

=



WJ°



  − WJ °

=

 

WJ ⋅ °

=

 

WJ°

=

1 1 1 3 =− . tg(90° + 60°) = − ctg60° = − 2 2 6 2 3

864. Z VLQ°cos165°=sin2⋅165°=sin330°=sin(360°−30°)= =−sin30°= −

 

.

[ FRV2 75°−sin2 75°=cos2⋅75°=cos150°=cos(180°−30°)= =−cos30°= −

\

 

.

2tg 240° 1 − tg 2 240°

= tg 2 ⋅ 240° = tg 480° = tg (360° + 120°) = tg120° =

=tg(90°+30°)=−kWJ°= −

12



.

865. Z

=

2 2 2tgα = = 2 = 2tgα cos 2 α = tgα + ctgα tgα + 1 tg α + 1 tgα

2 sin α ⋅ cos 2 α = 2 sin α ⋅ cos α = sin2 α. cos α  VLQ  α  [ −tg2α)cos2 α=  −  FRV  α =   FRV α 

=cos2 α−sin2 α=cos2 α.     \   +  VLQ α =  VLQ α FRV  α 

=

sin 2 2α 1 ⋅ sin 2 2α 4

]

VLQ

FRV



α + VLQ  α VLQ  α =   VLQ α FRV α

=4.

π−α 

FRV

π−α 

=



  VLQ π − α FRV π − α  =     



α α 1 α α π α  π α  = sin  −  cos −  = cos sin =  2 sin cos  = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =

1 sin α . 2

^

 FRV

= 2 cos

_



π+α 

−  VLQ 

π+α 

π+α π+α =  FRV  − VLQ  =    

π +α α π α  = 2 cos +  = −2 sin . 2 2 2 2  WJ

 − WJ

π − α 

π−α

 



= ⋅

 WJ  − WJ

π − α 

π−α

 

=  ⋅ WJ ⋅

π − α 

=



=2tg(3π−α)=2tg(π−α)=−2tgα.

866.

Z −VLQ.−FRV. 2=1−sin2 .−cos2 . VLQα FRV. VLQ. [ FRV4 .−sinα=(cos2 .−sin2 . FRV2 .VLQ2 α FRV. 13

FRV α

\ FWJα−sin2α = =

FRV α −  VLQ VLQ α

]

FWJ

α 

− WJ

 FRV α

=

 VLQ

α 

FRV

α



VLQ α

α

α 

=

−  VLQ α ⋅ FRV α =

=

=

FRV α VLQ α

FRV

VLQ



VLQ α

−



 FRV α



VLQ α

α FRV α

=

⋅ FRV α = FWJα FRV α ;

α

α

FRV α −  VLQ

VLQ

FRV

α 

α

=

FRV



VLQ



α 

α 

− VLQ  FRV

α

α 

=



= FWJα .



867.

Z VLQ.FRV. 2−VLQ.

.FRV2.VLQ. FRV.−VLQ. FRV. [ VLQ. FRV.⋅FRV. VLQ.⋅FRV. VLQ. VLQ

2

\ VLQα−tgα=2sinα⋅cosα− =

VLQ α

FRV α

=

 VLQ α FRV



α − VLQ α

FRV α

=

sin α(2 cos 2 α − 1) sin α = ⋅ cos 2α = tgα⋅cos2α; cos α cos α

 FRV α VLQ α  − ] FWJα−tgα) sin2α =   VLQ α =  VLQ α FRV α   cos α sin α  2 2 = − 2 sin α cos α = 2 cos α − 2 sin α = 2cos2α.  sin α cos α 

868. α π −α  3π  −α  = sin sin  2 2 2   α α α α  = 4 sin ⋅ cos ⋅ (− cos α ) = −2 2 sin cos  ⋅ cos α = 2 2 2 2  =−2sinα cosα=−sin2α. Z 4 sin

(sin β + cos β ) 2 sin 2 β + 2 sin β cos β + cos 2 β = = 1 + sin 2 β 1 + 2 sin β cos β  +  VLQ β FRV β = = .  +  VLQ β FRV β

[

14



\



αFWJα = VLQ α

VLQ

VLQ



α ⋅ FRV α

 VLQ α FRV α ⋅ VLQ α

=

 

.

FRV β   FRV β + ]   VLQ β =   + VLQ β  − VLQ β 

=

FRV β − VLQ β + FRV β + VLQ β  + VLQ β  − VLQ β

VLQ β

=

=

cos β − sin β cos β + cos β + cos β sin β sin 2 β = 1 − sin 2 β

=

2 cos β ⋅ sin 2 β 2 cos β ⋅ 2 sin β cos β = = 4 sin β . 1 − sin 2 β cos 2 β

869. Z 4 cos

2π + α 2π + α α α π α  cos cos = 4 cos cos +  × 4 4 2 4 2 4

α α α α × FRV π +  =  FRV ⋅  − VLQ  ⋅  − FRV  =          = 2 cos

α α α  2 cos sin  = 2 4 4 

α WJα = [   FRV α − VLQ α  FRV

=

VLQ α

FRV α

\

 FRV

 FRV FRV





α⋅

α 

VLQ

α

= VLQ α .



VLQ α

FRV α

α − VLQ  α

=

 FRV α VLQ α FRV



α − VLQ  α

=

= WJα .

1 + tgα − (1 − tgα ) 1 1 2tgα − = = = tg 2α . 1 − tgα 1 + tgα (1 − tgα )(1 + tgα) 1 − tg 2 α

VLQ α VLQ α  + ]   VLQ α =   + FRV α  − FRV α 

= =

VLQ α  − FRV α + VLQ α  + FRV α  + FRV α  − FRV α

VLQ α

VLQ α − VLQ α FRV α + VLQ α + VLQ α FRV α  − FRV



α

=

⋅ VLQ α = 15

=

 VLQ α ⋅  VLQ α FRV α VLQ



α

=  FRV α .

870.

Ihevam_fky nhjfmeZfb ^\hcgh]h m]eZ 2 2 D FRV. FRV⋅. OFRV .−sin . 2 2 2 2 2 =sin 2α+cos 2α+cos 2α−sin 2α=2cos 2α. [ −FRV. −cos2⋅. −cos2 .VLQ2. =sin2 .VLQ2 .  VLQ2 .      + FRV α  + FRV α − VLQ α FRV α + FRV α = = = \  FRV α  FRV α  FRV α   FRV α = = FRV α .  FRV α  1 − cos 2α 1 − cos 2 α + sin 2 α  VLQ α VLQ α = = = = WJα . ] sin 2α 2 sin α cosα  VLQ α FRV α FRV α  VLQ α ⋅  FRV α =  VLQ α FRV α = VLQ α . ^ WJα (1+cos2α)= FRV α  VLQ α + VLQ α  VLQ α +  VLQ α FRV α e) = =  VLQ α − VLQ α  VLQ α −  VLQ α FRV α  α  FRV  VLQ α + FRV α α  + FRV α  = = = = FWJ  .   VLQ α − FRV α  − FRV α  α  VLQ



α + VLQ  α +  VLQ α FRV α =   + FRV α + VLQ α  + FRV α − VLQ α +  VLQ α FRV α   VLQ α VLQ α + FRV α VLQ α  VLQ α +  VLQ α FRV α = = = = WJα .   FRV αFRV α + VLQ α FRV α  FRV α +  VLQ α FRV α  π − α   + VLQ    =  + FRV α =  FRV  α = FRV  α . a

`

 − FRV α + VLQ α

=

 − FRV











871. Z [

16

VLQ β

 + FRV β  − FRV β  VLQ β

= =

 VLQ β FRV β  FRV





β

=

VLQ β

FRV β

β = VLQ β .  VLQ β

 VLQ

= WJβ .

\ ctgβ (1 − cos 2 β ) = ]

 + FRV β

2 + cos 2 2 β − sin 2 2 β 2 cos 2 2 β = = 2 cos 2 β . cos 2 β cos 2 β

=

β − VLQ  β π  − VLQ + β   − FRV β  VLQ β  ^ = = = VLQ β .  VLQ β  VLQ β  VLQ β β  − FRV ⋅  + FRV π + β  − FRV β  _ = = = β VLQ π − β VLQ β VLQ  ⋅ FRV



cos β ⋅ 2 sin 2 β = 2 cos β sin β = sin 2 β . sin β



=

 VLQ  VLQ

β 



β 

FRV

β

=

VLQ FRV



β 

β

β = WJ . 



872.  π  FRV  

−

α 



π α π =  + FRV  − =  + FRV − α =  + VLQ α . 





873.  + FRV ϕ



ϕ = FWJ  ϕ .  − FRV ϕ  VLQ ϕ π  π  − FRV −  ϕ  VLQ  − ϕ  − VLQ  ϕ π   [ = WJ   − ϕ . = = π  + VLQ ϕ   π  + FRV − ϕ  FRV  − ϕ

Z

=

 FRV







874. Z VLQx cosx=

 

, 2sinx cosx=

m]he kms_kl\m_l [ VLQx cosx=

 

, 2sinx cosx=

m]eZ g_ kms_kl\m_l

875.

Z FRVŒ−.

   

, sin2x=

, sin2x=

FRVŒŒ−. =FRVŒ−.

   



LZd dZd



LZd dZd

   

 

!

lh lZdhc

lh lZdh]h

−cosα.

 FWJŒ. FWJŒŒ. FWJŒ. FWJ.

17

\ VLQπ+α)cos(α− ] WJπ−α)sin(α+

π 

π 

)=−sinα⋅sinα=−sin2α.

)=−tgα⋅cosα=−

VLQ α ⋅ FRV α FRV α

876. Z

=

VLQα − β WJα − WJβ

=

VLQ α FRV β − FRV α VLQ β VLQ α

FRV α

sin α cos β − cos α sin β = sin α cos β − sin β cos α cos α cos β

[

FWJα + FWJβ = VLQ α + β

−

VLQ β

FRV β

FRV α FRV β .

FRV α VLQ α

+

FRV β VLQ β

VLQ α FRV β + FRV α VLQ β

cosα sin β + sin α cos β sin α sin β = = sin α cos β + cosα sin β

 VLQ α VLQ β

877. a) x(x+5)≤2x2+4; x2+5x−2x2−4≤0; x2−5x+4≥0; GZc^_f dhjgb mjZ\g_gby: x2−5x+4=0; D=52−4⋅l⋅4=25−16=9; x=

5+ 9 5− 9 = 4 beb x = = 1; 2 2

x2−5x+4=(x−4)(x−1)≥0.

Hl\_l [≤ beb x≥4 [ −(2x−1)(3−x)≥l−7x, 18

=

.

=

= −sinα.

10−(6x−3−2x2+x)≥1−7x; 10−6x+3+2x2−x−1+7x≥0; 2x2+12≥0.

Wlh g_jZ\_gkl\h \uihegy_lky ijb ex[uo agZq_gbyo 2o2≥ b >0.

o

ld

878.

Imklv o q − \j_fy jZ[hlu i_j\h]h k\ZjsbdZ Z m q ± \j_fy jZ[hlu \lhjh]h k\ZjsbdZ Lh]^Z ih mkeh\bx aZ^Zqb x−m  AZ  q i_j\uc k\Zjsbd k^_eZ_l [hlu




Ë

qZklv jZ[hlu Z \lhjhc ²

q hgb k^_eZxl



hgb k^_eZxl \kx jZ[hlm agZqbl mjZ\g_gbc [ − \ =        [ + \  ⋅  =   





É

qZklv jZ-

Ë É

+





qZklv jZ[hlu Z aZ



+



⋅ 



Ë É



q

Bf__f kbkl_fm

 y = x − 11,   30 30  x + x − 11 = 1.

30 30 + = 1; x x − 11 30o−330+30o=o2−11o; o2−71o+330=0 D=712−4⋅330=3721;

J_rbf mjZ\g_gb_

x1 =

71 + 3721 = 66 ; 2

71 − 3721 =5 2  x1 = 66  x2 = 5 − g_ ih^oh^bl ih kfukem    y1 = 55  y2 = −6 x2 =

Hl\_l  q b  q 879. 19

Z VLQα+sinα=2sin [ VLQβ−sin5β=2sin

α + α 

β − β 

=−2sin2β cos3β.

\ FRVx+cos3x=2cos

FRV

+ [ 

=  VLQ α ⋅ FRV α .



β + β

= 2sin(−2β) cos3β=



FRV

− [

[

=



 =2cos2,5x cos0,5x.   \ + \ \ − \ VLQ ] FRVy−cos3y=−2sin =−2sin2y sin(−y)=

=2cos

[ 

 

[

α − α

FRV

FRV −

[







=2sin2y siny.

880.

Ihevam_fky nhjfmeZfb kmffu b jZaghklb kbgmkh\ b dhkbgmkh\ ° + ° ° − ° FRV = 2sin28° cos12°; Z VLQ°+sin16°=2sin 

[ VLQ°−sin40°=2cos =−2cos30°sin10°=−2⋅

 



 

] FRV°+cos45°=2cos

^ VLQ

e)

FRV

=  FRV 20



+ VLQ

π

π 



π 

+ FRV

FRV

π 



=

=



sin10°;

VLQ

° − ° 

=

 VLQ ° ;

° + ° 

FRV

° + ° 

=

 FRV° ;

=2cos30°cos15°= π



° + °

VLQ °

° − °

VLQ

sin10°=−

\ FRV°−cos74°=−2sin =2sin60°sin14°=2 ⋅



° + °

.

π

=  VLQ π 



+

π

π





 π

=  FRV



FRV

+ 

− 

π 

=

π

π





FRV

 VLQ

− 

π 

π 

=

FRV

π 

.

 π − α + α   π  × ` FRV  − α  + FRV α =  FRV     π   − α − α π π − α π    × FRV =  FRV FRV =  FRV − α  .       π  π   + α −  − α   π  π      a VLQ + α  − VLQ − α  =  VLQ ×      π  π   + α +  − α   π     × FRV =  VLQ α ⋅ FRV =  VLQ α . 



881.

Ih nhjfmeZf kmffu b jZaghklb kbgmkh\ b dhkbgmkh\ ° + ° ° − ° FRV = 2sin16°cos4°. Z VLQ°+sin20°=2sin 

[ VLQ°−sin32°=2cos \ ]

FRV

VLQ

π 

π 

− FRV

− VLQ

^ VLQα−  α + = − FRV α +

π 

π 

π 

= − VLQ



π =  FRV

VLQ



=  FRV π 

+ 

+



π





π



π

π 

VLQ

π 

VLQ α

=−

VLQ

−



π 



π 



= 2cos42°sin10°.

π

−



= −  VLQ



π



e) FRV + α − FRV − α = − VLQ = − VLQ



π



α+α+

° − °





= − FRV α +

π

VLQ



π

π





° + °

=

α−α− VLQ

π

 FRV



VLQ

π 

π 

VLQ

π 

.

.

π 



=

. π 

+α+ 

π 

−α

π ⋅

VLQ



+α− 

π 

+α

=

 VLQ α .

21

882.

Ih nhjfmeZf kmffu b jZaghklb kbgmkh\ b dhkbgmkh\ a) sin15°+cos65°=sin15°+cos(90°−25°)= ° + ° ° − ° FRV = 2 sin20° cos5°. =sin15°+sin25°=2sin 



6) cos40°−sin16°=cos(90°−50°)−sin16°= ° + ° ° − ° VLQ = 2 cos33° sin17°. =sin50°−sin16°=2cos 



\ FRVƒVLQƒ=cos50°+sin(90°−10°)= ° + ° ° − ° FRV = =cos50°+cos10°=2cos 



=2cos30° cos20°=  FRV ° . ] VLQƒ−cos40°=sin40°+sin(90°−50°)=sin40°−sin50°= ° + ° ° − ° = −2sin5° cos45°= − 2 sin 5° . FRV =2sin 



883. a) cos18°−sin22°=cos(90°−72°)−sin22°= ° + ° ° − ° VLQ = =sin72°−sin22°=2cos 



=2 cos47° sin25°.

[ FRVƒVLQƒ

FRVƒVLQƒ−54°)=

=cos36°+cos54°=2cos =2cos45° cos9°= 2

° + ° 

2 ⋅ cos 9 $ = 2

FRV

° − ° 

 FRV °

=

.

884. Z WJα+tgβ= [ WJα−tgβ=

885.

VLQ α

FRV α VLQ α

FRV α

+ −

VLQ β

FRV β VLQ β

FRV β

= =

VLQ α FRV β + VLQ β FRV α FRV α VLQ β VLQ α FRV β − VLQ β FRV α FRV α FRV β

= =

VLQ α + β FRV α FRV β VLQ α − β FRV α FRV β

; .


VLQ α  α + α

Z WJα+tgα= [ WJβ−tgβ= =

 VLQ β

FRV  α FRV α VLQ β − β

FRV β FRV β

Œ  \ FWJx+tg4x= WJ − [  + WJ[ =   π  VLQ + [   FRV  [   = = = VLQ  [ FRV  [ π  FRV −  [  FRV  [   °

WJ

° 

+ WJ

+

VLQ

°

=



°   = °

  ° FRV ⋅ FRV 

 Œ

^ WJ

Π

VLQ

= FRV

Π

− WJ

Π

VLQ



=

FRV

Œ

=

WJ

FRV β FRV β

Π



Œ

=



− FWJ



FRV[

VLQ

FRV

=

= WJ

FRV

° 

π

° 

°

.

 VLQ



=

FRV



− π

π   

=;



  = Œ



FRV

WJ



°



FWJ[



Π

Œ  Œ   FRV Œ − FRV Œ −       Œ

Œ  Œ    − FRV  − FRV      

_

 VLQ β FRV β

Œ 

VLQ

FRV

°

−



Π

VLQ

=

=

;

FRV β

]

;

FRV  α FRV α VLQ β

=

FRV β FRV β

VLQ α

=



Œ

=

;



° °  − WJ −  =  

VLQ

FRV

° 

° 

FRV

°

=



23

=



=−

°  °   ⋅ FRV° − FRV    



 ° FRV 

.

886. a) sin2x−sin2y=(sinx−siny)(sinx+siny)= [−\ [+ \ [+ \ [−\

=  VLQ

FRV



VLQ



FRV



[ − \ FRV [ − \   VLQ  =   VLQ     = VLQ [ − \ VLQ [ + \ .



=

[ + \ FRV [ + \  = 





6) cos2 x−cos2 m FRVx−cosy)(cosxFRVm [ + \ VLQ [ − \ ⋅ FRV [ + \ FRV [ − \ = = − VLQ 







[ + \ FRV [ + \  ⋅   VLQ [ − \ FRV [ − \  =  = −  VLQ 





= − VLQ [ + \ VLQ [ − \ .

 







887. π  Z VLQx+cosy=sinx+sin  − \  =  VLQ   π =  VLQ + 

[+ π −\ 



⋅

[− π + \ FRV

[ − \  FRV π − [ + \  ; 









π −[+\ π   × [ FRVx−siny=sin  − [  − VLQ \ =  FRV    π −[−\ π [+\ π [−\ × VLQ  =  VLQ − .  FRV −       

888.

24





=

Z

 FRV

π

+ α =



 FRV

π 

FRV α + VLQ

π 

VLQ α

=

 2  2 = 2 cos α + sin α  = cos α + sin α .  2  2  

[ −

 FRV

π 

− α = −

 FRV

π 

FRV α − VLQ

π 

VLQ α

=

 2  2 = − 2 cos α − sin α  = sin α − cos α .  2  2  

889.

Ih nhjfmeZf kmffu b jZaghklb dhkbgmkh\ b kbgmkh\ π +α π −α π    = Z + FRV α = FRV + FRV α =  FRV FRV 



π

α





=  FRV +

[

 

=  FRV

FRV

π 

π 

+

α 

VLQ

−

π

− VLQ α = VLQ





π 

α 



− VLQ α =  FRV −



α 

π +α

π −α



VLQ









1 π \ 2 sin α + 1 = 2(sin α + ) = 2(sin α + sin ) = 2 6 α+ π α− π α π α π   =  ⋅  VLQ FRV =  VLQ + FRV − 





=  ⋅  − VLQ



π 

^



π +α 





]  −  FRV α =  − FRV α = FRV 

π −α

VLQ

+  FRV α = 



  

=







− FRV α =

π α π α = − VLQ + VLQ −  



+ FRV α = FRV

π 





+ FRV α =

25

π +α



=  ⋅  FRV

_

π −α

FRV



 VLQ α −



=  ⋅  FRV







= VLQ α −

α+ π 

π α π α =  FRV + FRV − 



α− π 

VLQ

 



=  FRV





Z

VLQ α −

α

=  FRV

[





= VLQ α − VLQ

VLQ

α

−



π 

α 

+

π 

π 

+

α 

FRV

π 

=  ⋅  FRV

]



π +α

α 





=  − VLQ

891.





π +α







VLQ









π +α 

=

π −α

FRV







=

+ FRV α =





− FRV α = FRV

π −α





π α π α =  FRV + FRV −  



π

=



π

−  FRV α = 

−



VLQ





π −α

FRV







α− π



=  FRV

\  +  FRV α =  + FRV α = FRV 

α

α+ π

+ FRV α =  FRV



−



VLQ

π



π

+ FRV α − = FRV



=  FRV

π

+





π



= VLQ α − VLQ

890. 



= − VLQ

π 

+

π 

α 



+ FRV α =

VLQ

π 

−

α 



Ih nhjfmeZf kmffu b jZaghklb kbgmkh\ b dhkbgmkh\ 2α + 6α 2α − 6α cos 2 sin sin 2α + sin 6α 2 2 Z = = cos 2α + cos 6α 2 cos 2α + 6α cos 2α − 6α 2 2 26

=

sin 4α cos 2α sin 4α = = tg 4α; cos 4α cos 2α cos 4α

[

=

FRV  α − FRV  α FRV  α + FRV  α

VLQ α VLQ α FRV α FRV α

−  VLQ

=

 FRV

α +  α 

α +  α 

VLQ

FRV

α − α 

α −  α

=



= WJαWJα

892.




FRV



sin 3α ⋅ cos 2α sin 3α = = = tg3α ; cos 3α ⋅ cos 2α cos 3α

[

=

VLQ

VLQ

VLQ  α + VLQ α

=

VLQ  α − VLQ α α 

α 

FRV

FRV

α 

α 

=

WJ

 VLQ

 VLQ

α + α 

α − α 

FRV

FRV

α − α 

α + α

=



α

WJ



α





893. Z

FRV ° − FRV ° VLQ ° − VLQ °

=

−  VLQ  FRV

° + ° 

° + °

sin 45° sin 23° =− = −tg 45$ = −1. cos 45° sin 23°



VLQ

VLQ

° − ° 

° − °

=



27

VLQ ° + VLQ °

[

=

FRV ° + FRV °

=

 VLQ

 FRV

° + °

FRV



° + °

FRV



° − ° 

° − ° 

sin 120° cos 10° sin(90° + 30°) 3 ⋅2 = =− = − 3. cos 120° cos 10° − cos(90° + 30°) 2 ⋅1

894.

[ + VLQ  [ + VLQ [ + VLQ  [ = VLQ [ + VLQ  [ +  [ +  [ FRV [ −  [ + + VLQ  [ + VLQ [ =  VLQ Z

VLQ





+  VLQ



[ + [ FRV  [ − [ =  VLQ [ FRV [ +

+  VLQ



[ FRV [ =  VLQ  [ FRV [ + FRV [ =

=  VLQ



 





[ ⋅  FRV





[+[ 





FRV







[−[  





=  VLQ



[ ⋅ FRV [ FRV [ 





\ − FRV  \ − FRV  \ + FRV  \ = FRV  \ − FRV  \ +   \ − \  \ + \ + FRV  \ − FRV  \ = − VLQ − VLQ [

FRV 



−  VLQ





\ +  \ VLQ  \ −  \ =  VLQ  \ VLQ  \ − 



−  VLQ  \ VLQ  \ =  VLQ  \VLQ  \ − VLQ  \ = =  VLQ  \ ⋅  VLQ

895. FRV

28



\ −  \ FRV  \ +  \ = − VLQ  \ VLQ \ FRV  \ 



[ + FRV  [ + FRV [ + FRV  [ = FRV [ + FRV  [ +

=

+ FRV  [ + FRV [ =  FRV +  FRV



[ +  [ FRV [ −  [ + 



[ + [ FRV  [ + [ =  FRV  [ FRV [ + 



+  FRV  [ FRV  [ =  FRV  [FRV [ + FRV  [ =

[ ⋅  FRV  [ +  [ FRV  [ − [ =   =  FRV  [ FRV [ FRV  [

 FRV 

896. Z

VLQ ° − VLQ ° − VLQ ° + VLQ °

= VLQ ° − VLQ ° +

87° − 93° 87° + 93° + cos 2 2 61° − 59° 61° + 59° + 2 sin = −2 sin 3° cos 90° + cos 2 2 1 + 2 sin 1° cos 60° = 0 + 2 ⋅ sin 1° = sin 1°; 2 [ FRV° − FRV ° + FRV ° + FRV ° = FRV° + FRV ° + + (sin 61° − sin 59°) = 2 sin

115° + 65° 115° − 65° − cos 2 2 25° + 35° 25° − 35° − 2 sin = 2 cos 90° cos 25° + sin 2 2 1 + 2 sin 30° sin 5° = 0 + 2 ⋅ sin 5° = sin 5°. 2 + (cos 25° − cos 35°) = 2 cos

897. Z

VLQ ° + VLQ ° − FRV °

=  VLQ

° + ° 

− FRV ° =  VLQ ° FRV° − FRV ° =  ⋅

[

FRV ° + FRV ° − FRV °

=  FRV

 

Z

FRV  α − VLQ π + α VLQ  π + α

° − ° 

FRV ° − FRV °

° + °

− FRV ° =  FRV ° FRV ° − FRV ° =  ⋅

898.

FRV

  

FRV

−

= 

° − ° 

FRV ° − FRV °

−

= 

= FRV  α + VLQ α VLQ α = 29

= FRV  α − VLQ  α + VLQ  α = FRV  α [  VLQ α FRV α + VLQ α − π = =  ⋅  VLQ α FRV α − VLQ π − α =

 VLQ α − VLQ α

= VLQ α

899. Z =

 − FRV  α VLQ π +  α

 VLQ



WJ π + α =  VLQ

α ⋅ FRV α

FRV

[ =−

π 

− α

 + FRV  α

= 

FWJ π + α = − VLQ α FWJα =  FRV

 VLQ α FRV α ⋅ FRV α  FRV



α ⋅  −FWJα = − VLQ α



 VLQ α FRV α ⋅ VLQ α



α ⋅ VLQ α

α

= −

900.

Z Lhqdb : ± b H   ijbgZ^e_`Zl ijyfhc y=kx+b. Bf__f kbkl_fm mjZ\g_gbc  = N ⋅  + E b = 0 b = 0 y=–4,5x    k 2 , 7 b : 0 , 6 = − − −    = N ⋅    + E   k = −4,5 [ Lhqdb %  b & ± ijbgZ^e_`Zl ijyfhc y=kx+b. Bf__f kbkl_fm mjZ\g_gbc  = N ⋅  + E E =  E =      = N ⋅  − + E N =    N =  MjZ\g_gb_ ijyfhc bf__l \b^ y = 1, 6 x + 4 .

901. Z  = =

DE D − E 



+

D−E = D−E =  DE +  D + E  D − E  D + E  D + E

4ab + (a − b) 2 4ab + a 2 − 2ab + b 2 = = 2(a − b)(a + b) 2(a − b)(a + b) (a + b) 2 a+b = ; 2(a − b)(a + b) 2(a − b) a+b 2a b a−b 2) ⋅ + = = 1; 2( a − b ) a + b b − a a − b 30

[  =

[ − \  [ − \  [ − \

=

[   [ − \

−

\



[ − \  [ + \

=

x( x + y ) − y ( x − y ) x2 + y2 = ; ( x − y) 2 ( x + y) (x − y)2 ( x + y)

[  − [\  ⋅ [  + \  = [  + \   [ − \   [ + \ [ [ − \  [ + \  [  + \  = [  =    [−\  [ + \  [ − \  [ + \ \ − [ = \ − [ = −  [−\ [−\ [−\ 2)

902. Z Ijb α=30° sinα–cos2α–cos3α=sin30°–cos2⋅30°– –cos3⋅30°=

 

−

 

−  = 

[ Ijb α=45° sin2α+tgα–2ctgα=sin2⋅45°+tg45°– –2ctg45°=1+1–2⋅1=0;

\ Ijb α=45° tg(90°–α)+sin(45°+α)+cos(180°–2α)= =tg45°+sin90°+cos90°=1+1+0=2.

903. Z cos 60° + cos 45° =

1 2 1+ 2 + = > 1 − \_jgh 2 2 2

[ sin 60° + cos 60° > 1 =

3 1 + = 2 2

3 +1 > 1 − \_jgh 2

904. Ijb α=30°

sin 2 α sin(15° + α ) − sin α

=

31

sin 60° = = sin 45° − sin 30° =

3 2 −1

=

3 2 2 1 − 2 2

3 ( 2 + 1) ( 2 − 1)( 2 + 1)

· qƾ α

= ° β = °

=

=

6+ 3 = 6 + 3; 2 −1  VLQ α FRV β

FRV α + β + FRV α − β

 VLQ ° FRV ° = = FRV ° + ° + FRV ° − °



 

⋅

 

FRV ° + FRV °



=



= 

+



=







905. Z tg 2 45°cos30°ctg 2 30° = 12 ⋅

3 ⋅ 2

( 3 ) = 3 23 ;

  WJ ° + VLQ° − WJ° + FRV °

[

2

2

=

2

 3    + 2 ⋅ 3 −1+  3  = 1 + 3 −1+ 3 = =   3   2 3 4    2  =

4 + 12 3 − 12 + 9 12 3 + 1 1 = = 3+ ; 12 12 12     FWJ ° + FRV° − VLQ ° + FWJ °  2

\ = 12 +



32

=

1  3  3 3 3 1 3 1 − + ⋅ ⋅ = 1 + − + = 1. 2  2  4 3 3 2 4 4

906.

Ij_h[jZam_f ijZ\mx qZklv

=

=

2 2  3    2    1+   = ctg 2 60°(1 + sin 2 45°) =   3    2           ⋅   =  + = =    ⋅   Ij_h[jZam_f e_\mx qZklv FRV°WJ° −  =

 

⋅



− =

 

− =

 



907. Z

 WJ[ ⋅ VLQ [ = VLQ [  sin2x• ke_^h\Zl_evgh tgx⋅sinx>0 \ , b ,9 FRV [

q_l\_jlyo cosx cosx = sinx, ke_^h\Zl_evgh > 0 \ , b ,I q_l\_jlyo [ ctgx ctgx sin x cos x sin x \ VLQxcosxtgx= = sin2x•0. cos x

908.

Z sin170Û! agZqbl \ujZ`_gb_ bf__l kfuke [ cos160Û agZqbl \ujZ`_gb_ g_ bf__l kfukeZ \ tg230Û! agZqbl \ujZ`_gb_ bf__l kfuke ] ctg340Û agZqbl \ujZ`_gb_ g_ bf__l kfukeZ

909. Z sin α = sin α , l_ sinα>0 agZqbl α ∈ , beb ,, q_l\_jlb [ cos α = − cos α  l_ cosα<0 agZqbl α ∈

,,

beb ,,, q_l\_jlb

\ tgα = tgα , l_ tgα>0 agZqbl α ∈ , beb ,,, q_l\_jlb ] ctgα = −ctgα , l_ ctgα<0 agZqbl α ∈

,,

beb ,9 q_l\_jlb

910. a) VLQ α =  α =

π 

+  πN N ∈ =

[ VLQ α =  α = πN N ∈ =

33

\ VLQ α = − α = − ] FRV α =  α =

π 

π 

+  πN N ∈ =

+ πN N ∈ =

^ FRV α =  α =  πN N ∈ = _ FRV α = − α = π +  πN N ∈ =

911. Z − ≤ VLQ α ≤  −2 ≤ 2 sin α ≤ 2 ; −1 ≤ 1 + 2 sin α ≤ 3. [ − ≤ FRV α ≤  −3 ≤ −3 cos α ≤ 3; − ≤  −  FRV α ≤  \ − ≤ VLQ α ≤  0 ≤ sin α ≤ 1. ] − ≤ FRV α ≤  0 ≤ cos α ≤ 1. ^ − ≤ FRV α ≤  −4 ≤ 4 sin α ≤ 4; − 1 ≤ 3 + 4 sin α ≤ 7. _ − ≤ FRV α ≤  



≤ FRV  α ≤ 

≤  FRV  α ≤ 

912. Z

 VLQ −° +  FRV ° −  VLQ −°

= − VLQ ° +

+ FRV ° +  VLQ ° = − ⋅ +  ⋅ +  ⋅  − = −

[ −

 

 FRV −° −

 

WJ° − VLQ −° =  FRV ° −

WJ° + VLQ ° =  ⋅  −  ⋅  +  =  

913.

Z Ijb α = −° sin α + cos α = sin( −45° ) + + cos( −45° ) = − sin 45° + cos 45° = −

2

+

2

2 2 [ Ijb α = −° sin α + cos α = sin( −90° ) + + cos( −90° ) = − sin 90° + cos 90° = −1 + 0 = −1.

= 0.

\ ?keb α = −° sin α + cos α = sin( −360° ) + + cos( −360° ) = − sin 360° + cos 360° = 0 + 1 = 1. 34

] Ijb α = −° sin α + cos α = sin( −180° ) + + cos( −180° ) = − sin 180° + cos 180° = 0 − 1 = −1. ^ Ijb α = −° sin α + cos α = sin( −420° ) + + FRV −° = − VLQ ° + FRV ° = − VLQ° + ° + + FRV ° + ° = − VLQ ° + FRV ° = −

 

+

 

=

− 





_ Ijb α = −° sin α + cos α = sin( −1710° ) + + FRV −° = − VLQ ° + FRV° = − VLQ° − − ° + FRV° + ° = VLQ ° + FRV ° =  +  = 

914. 5Œ 5Œ ∈ II q_l\_jlb agZqbl α = sin > 0; 6 6 2Œ 2Œ ∈ II q_l\_jlb agZqbl α = cos < 0; 3 3 5π 2π ke_^h\Zl_evgh sin cos < 0. 6 3 5Œ 5Œ ∈ III q_l\_jlb agZqbl tg > 0; [ . = 4 4 Œ Œ . = ∈ I q_l\_jlb agZqbl ctg > 0; 5 5 5π π ctg > 0. ke_^h\Zl_evgh tg 4 5 5Œ 5Œ ∈ II q_l\_jlb agZqbl cos > 0; \ . = 7 7 3Œ 3Œ .= ∈ II q_l\_jlb agZqbl cos < 0; 4 4 5π 3π + cos < 0. ke_^h\Zl_evgh cos 7 4 Œ Œ ] . = ∈ I q_l\_jlb agZqbl tg > 0; 8 8 Œ Œ . = ∈ I q_l\_jlb agZqbl ctg > 0; 5 5

Z

35

π

ke_^h\Zl_evgh tg

8

+ ctg

π

> 0.

5

915.

Imklv o ± jZ\gu_ m]eu ijb hkgh\Zgbb jZ\gh[_^j_ggh]h lj_m]hevgbdZ Lh]^Z ba l_hj_fu h kmff_ m]eh\ lj_m]hevgbdZ ke_^m_l π π π x + x + = π ; 2x = π − ; [ =  9 9 

Hl\_l:

° 

¾

° 



916.

Imklv o o o ± m]eu lj_m]hevgbdZ Lh]^Z ba l_hj_fu h kmff_ m]eh\ lj_m]hevgbdZ ke_^m_l [ +  [ + [ = π[ = π [ = π   [ = π  [ = π  

Hl\_l:

π 



π 



π 







917. VLQ

Z

π 

+ FRV −π + WJ

 VLQ

π 

− FRV

π 

π 

=

 +  − +  ⋅

 

−



= =  

[ 1 3 π π π 3 sin + 2tg (− ) + cos(− ) 3 ⋅ − 2 ⋅ 1 + 0 −2 1 ⋅1 1 2 6 4 2 = = 2 = = π −6 5 ⋅ 0 − 6 ⋅1 2 ⋅ 6 12. 5tg 0 + 6 sin( − ) 2

π π 5 3 1 5 sin( − ) + 2 cos(− ) − + 2⋅ 3 3 = 2 2 = 5 3 −2. \ 3π π 0 + (−1) 2 cos(− ) + sin 2 2 2 2 π π + −1 sin( − ) + cos(− ) − 1 − −1 2 2 4 4 ] = = 1. = 3π 3π −1+ 0 −1 sin + cos(− ) 2 2 36

918. a ) sin( =

π 3

3 1 + = 2 2 π

· FRV



+

π 6

2π + π

) = sin

= sin

6

π 2

= 1; sin

π 3

+ sin

π 6

=

3 +1 ≠ 1  agZqbl jZ\_gkl\h g_\_jgh 2 π    + + FRV = + = >  agZqbl g_jZ\_gkl\h g_







\_jgh

919. VLQ

=



α + FRV  α =  

D

+

E

D + E D + E

=

D

D

+E



D + E D + E

920. WJ¡ ⋅ FWJ¡

=   D +

fh]ml



D

⋅







+

D

E 

+E







=

=  ke_^h\Zl_evgh fh]ml

D D  +

=

D  +  ⋅ D =  ke_^h\Zl_evgh D D  +

921. Z

FRV



α − FWJ α 

WJ  α − VLQ  α

FRV

=



VLQ

α−



α



α

FRV



α



α =

FRV VLQ

− VLQ  α

cos 2 α sin 2 α − cos 2 α cos 2 α (sin 2 α − 1) ⋅ cos 2 α sin 2 α = = = sin 2 α − sin 2 α cos 2 α sin 2 α ⋅ sin 2 α (1 − cos 2 α ) cos 2 α =

cos 4 α (− cos 2 α ) cos 6 α = − = −ctg 6α sin 4 α ⋅ sin 2 α sin 6 α

[



=  − VLQ

− WJ  α − VLQ  α =  + WJ  α − WJ  α − VLQ  α =

α α = FRV  α

FRV





37

1 1 sin γ + tgγ + 2 2 1 + tgγ + tg γ cos γ cos γ cos γ = = = \ 1 1 cos γ 1 + ctgγ + ctg 2γ + + γ ctg sin 2 γ sin 2 γ sin γ  + VLQ γ FRV γ 2

=

FRV  + VLQ



γ

γ FRV γ

VLQ



=

 + VLQ FRV



γ FRV γ ⋅ VLQ  γ

γ ⋅  + VLQ γ FRV γ

=

VLQ



γ



γ

FRV

= WJ  γ

γ

1 −1 ctg 2γ − 1 tgγ tg 2γ ⋅ = ⋅ = ] 1 ctgγ 1 − tg 2γ 1 − tg 2γ tgγ tgγ

=

(

)

1 − tg 2γ ⋅ tgγ tgγ ⋅ =1. 1 − tg 2γ tg 2γ

922. Z

VLQ



α + FRV  α +  VLQ  α FRV  α = VLQ  α + FRV  α  =  = .

cos 2 α cos 2 α + sin α + sin 2 α 1 + sin α + sin α = = =1 1 + sin α 1 + sin α 1 + sin α \ FRV  α − VLQ  α +  VLQ  α = FRV  α − VLQ  α FRV  α +

[

(

)

+ sin 2 α ) + 2 sin 2 α = cos 2 α − sin 2 α ⋅ 1 + 2 sin 2 α = cos 2 α + + sin α = 1. 2



]

=

−



−

WJ

WJ  α



+

α

+



−

FWJ



α

=



−

WJ



α



+ −

WJ  α =  − WJ  α =  WJ  α −  − WJ  α

923. Z 38



WJα + FWJα  + FRV α  − FRV α =



WJ  α

=

= (tgα + ctgα )(1 − cos 2 α ) = sin 2 α ( =

sin 2 α (sin 2 α + cos 2 α ) sin α = = tgα . sin α cos α cos α

[ =

=

sin α cos α + )= cos α sin α

VLQ α + FRV α



− = FWJα − VLQ α FRV α

VLQ



α + FRV  α +  VLQ α FRV α −  = FWJα − VLQ α FRV α

2 sin α cos α 2 sin α cos α = = 2 cos α − sin α cos α cos α − sin α cos α sin α sin α 2 sin 2 α cos α 2 sin 2 α = = 2tg 2α . 2 2 cos α (1 − sin α ) cos α

\

VLQ



α + VLQ α FRV α + FRV α = VLQ αVLQ α +

+ FRV  α + FRV  α = VLQ  α + FRV  α = 

]

VLQ 



α + VLQ  α FRV  α + FRV  α = VLQ  α + FRV  α ×

× VLQ α + FRV  α = VLQ  α + FRV  α = 

924. VLQ

Z



α

− VLQ  α

WJ α − VLQ α = FRV  α = FWJ  α − FRV  α FRV  α − FRV  α 



VLQ



α

sin α − sin α cos α sin 2 α (1 − cos 2 α ) ⋅ sin 2 α sin 6 α cos 2 α = = = = tg 6α ; 2 2 2 2 2 2 6 cos α − cos α sin α cos α ⋅ cos α (1 − sin α ) cos α sin 2 α 2

[

2

2

tgβ tgβ tgβ ⋅ tgβ 1 = = 2 = = tgβ + ctgβ tgβ + 1 tg β + 1 1 + 1 tgβ tg 2 β

39

=

1 = sin 2 β ; 1 sin 2 β VLQ β

VLQ β

WJβ = FRV β \     − WJ β VLQ β − FRV

=

VLQ β ⋅ FRV FRV βFRV





β 

β − VLQ β

ctgβ = 2) ctg 2 β − 1 =

VLQ FRV

=

=

= FRV

β



β − VLQ  β

FRV



VLQ β FRV β FRV



β − VLQ  β

=

β 

1 sin β tgβ tgβ cos β = = = 1 1 − tg 2 β sin 2 β − 1 − 1 tg 2 β cos 2 β

sin β cos β . cos 2 β − sin 2 β

] =



FRV β

VLQ FRV

VLQ



α − FRV  α + FRV  α



α − VLQ  α + VLQ  α

FRV



α − FRV  α VLQ  α



α − VLQ  α FRV  α



α ⋅ VLQ  α





α ⋅ FRV α

=

VLQ

= α



α

VLQ



α − FRV  α − FRV  α



α − VLQ  α − VLQ  α

FRV



α − FRV  α



α − VLQ  α

FRV



FRV

VLQ

=

=

= WJ  α

925. Z

FRV



γ − VLQ  γ = FRV  γ − VLQ  γ FRV  γ + VLQ  γ =

= FRV  γ − VLQ  γ =  − VLQ  γ − VLQ  γ =  −  VLQ  γ

[ =

 −  VLQ



α = VLQ α FRV α

VLQ



α + FRV  α −  VLQ  α = FRV α VLQ α

cos 2 α − sin 2 α cos 2 α sin 2 α = − = ctgα − tgα ; cos α sin α cos α sin α cos α sin α

40

=

tgα sin α tgα ⋅ ctgα − sin 2 α 1 − sin 2 α − = = = cos α sin α ctgα sin α ⋅ ctgα sin α ⋅ sin α

\

=

cos 2 α = cos α ; cos α VLQ



+

WJ  γ +  = FRV  γ = WJ  γ − VLQ  γ −

]

FRV

=

γ



VLQ



γ + FRV  γ FRV

VLQ



γ



γ

γ − FRV  γ FRV



=

γ

cos γ 1 = 2 2 2 cos γ (sin γ − cos γ ) sin γ − cos 2 γ 2

2

926. 

= D

D VLQ α + E  D VLQ α − E +  D FRV α + E  D FRV α − E = VLQ



α − E + D

− E  = D  − E 

²

FRV



α − E  = D  VLQ  α + FRV  α −

agZq_gb_ \ujZ`_gby g_ aZ\bkbl hl a.

927.  1 − sin α + Z Mijhklbf   1 + sin α 

2

1 + sin α  = 1 − sin α  



   +  ( − VLQ α )( + VLQ α ) +   + VLQ α  ( + VLQ α )( − VLQ α )    − VLQ α  + VLQ α = + + =  + VLQ α  − VLQ α

 =  

= = =

 − VLQ α

( − VLQ α ) + ( + VLQ α )( − VLQ α )+ ( + VLQ α ) ( + VLQ α )( − VLQ α )

 −  VLQ α + VLQ



(

 − VLQ  FRV



α

)

=

α +   − VLQ  α +  +  VLQ α + VLQ  α 

α



  =  − VLQ α  

 + VLQ α

=



41

ke_^h\Zl_evgh

 − VLQ α  + VLQ α

+

 + VLQ α  − VLQ α



=

FRV



=

α

 FRV α



[ Mijhklbf    

 − VLQ α  + VLQ α

−

  ⋅  − VLQ α      + VLQ α

 − FRV α  + FRV α

−



  =  − FRV α   

 + FRV α





  − VLQ α  + VLQ α    − FRV α  + FRV α   ⋅  = = − −   + VLQ α  − VLQ α    + FRV α  − FRV α           + VLQ α    − VLQ α   − VLQ α  + VLQ α  ×     = − +   − VLQ α     + VLQ α   + VLQ α  − VLQ α       ×   



  −  + FRV α    − FRV α

 +   + FRV α  − FRV α   − FRV α  + FRV α



    − FRV α 

 + FRV α

=  

 1 − sin α ⋅ 1 1 + sin α   1 − cos α 1 + cos α  = −2+ ⋅ − 2⋅ 2 + =  1 + sin α  1 − sin α   1 + cos α 1 − cos α   =

 − VLQ α



−  ( + VLQ α )( − VLQ α ) + ( + VLQ α ) ×  + VLQ α  − VLQ α 

×

2 (1 − cos α ) 2 − 2(1 + cos α )(1 − cos α ) + (1 + cos α ) = (1 + cos α )(1 − cos α )

=

1 − 2 sin α + sin 2 α − 2(1 − sin 2 α ) + 1 + 2 sin α + sin 2 α × 1 − sin 2 α

×

1 − 2 cos α + cos 2 α − 2(1 − cos 2 α ) + 1 + 2 cos α + cos 2 α = 1 − cos 2 α

4 sin 2 α 4 cos 2 α ⋅ = 16; cos 2 α sin 2 α ke_^h\Zl_evgh   − VLQ α  + VLQ α    ⋅ −   + VLQ α  − VLQ α        − VLQ α  + VLQ α   ⋅ beb  −   + VLQ α  − VLQ α      =

42

 =   + FRV α  − FRV α   − FRV α  + FRV α  = −  + FRV α  − FRV α    − FRV α

−

 + FRV α



=



= −

928. Z sin 4 α − sin 2 α + cos 2 α = (1 − cos 2 α ) 2 − (1 − cos 2 α ) + + FRV  α =  −  FRV  α + FRV  α − + FRV  α + FRV  α = FRV  α [ cos 4 α − cos 2 α + sin 2 α = (1 − sin 2 α ) 2 − (1 − sin 2 α ) + + VLQ  α =  −  VLQ  α + VLQ  α −  + VLQ  α + VLQ  α = VLQ  α

929.

JZa^_ebf agZf_gZl_ev b qbkebl_ev ^jh[b gZ FRV.: sin α cos α + sin α + cos α tgα + 1 = cos α cos α = . sin α cos α sin α − cos α tgα − 1 − cos α cos α WJα +  =  +  =  ?keb tgα = 3, lh WJα −  −

930. cos. sin. + ctg. + tg. sin. cos. cos 2 . + sin 2 . : = = ctg. − tg. cos. − sin. sin α cos α sin. cos.     FRV α − VLQ α FRV α + VLQ α  = = =      VLQ α FRV α FRV α − VLQ α  − VLQ α − VLQ α =

  −  VLQ



α



?keb sin α =

1 3

, lh

  −  VLQ



α

=

   −  ⋅  

=

 

=

 



931. Z

VLQ α + FRV α



= VLQ  α +  VLQ α FRV α + FRV  α =

= 1 + 2 sin α cos α = a 2 ; agZqbl 2 sin α cos α = α 2 − 1; sin α cos α =

[

VLQ



a2 − 1 . 2

α + FRV  α = VLQ α + FRV α VLQ  α − VLQ α FRV α + 43

+ FRV α = D − VLQ α FRV α 

gh VLQ.FRV.

α  − 

(kfZ 

  D  −   = D ⋅  − D + = agZqbl sin3.FRV3. α ⋅  −      

D  − D   

932. Z WJα + FWJα  = WJ  α + WJαFWJα + FWJ  α = = WJ  α +  + FWJ  α = P   WJ  α + FWJ  α = P  − 

[ WJ  α + FWJ  α = WJα + FWJα WJ  α − WJαFWJα + FWJ  α = = PWJ  α + FWJ  α −  gh tg2.FWJ2. P2–2 (kf Z  Ke_^h\Zl_evgh tg3.FWJ3. P P  −  −  = P P  −  

933. Ij_h[jZam_f 2

(sin x + cos x) 2  sin x + cos x  =  =  (sin x − cos x ) 2  sin x − cos x  =

sin 2 x + 2 sin x cos x + cos 2 x 1 + 2 sin x cos x . = sin 2 x − 2 sin x cos x + cos 2 x 1 − 2 sin x cos x

LZd dZd VLQxcosx



lh

1 + 2 sin x cos x

=

1 + 2 ⋅ 0, 4

1 − 2 sin x cos x 1 − 2 ⋅ 0 , 4  VLQ [ + FRV [ = =  Ke_^h\Zl_evgh =  =  beb  VLQ [ − FRV [ sin x + cos x = − 9 = −3. sin x − cos x

934.

sin α sin α + sin α + tgα cos α = sin α cos α + sin α : = cos α + ctgα cos α + cos α cos α sin α

44

=

:

cos α sin α + cos α (sin α cos α + sin α ) sin α = = sin α (cos α sin α + cos α ) cos α

=

sin 2 α (cos α + 1) cos α + 1 . = tg 2α 2 sin α + 1 cos α (sin α + 1)

Gh

FRV α

≥ −¾ VLQ α ≥ −  ke_^h\Zl_evgh

WJ  α FRV α +  ≥  VLQ α + 

935. Z Ijb α =

π

cos α + cos 2α + cos 3α =



7π 7π 7π + cos + cos = 6 3 2 π π π π = cos(π + ) + cos(2π + ) + cos(4π + ) = − cos + 6 3 2 6 = cos

3 1 1− 3 π π + cos = − + +0= . 3 2 2 2 2 [ Ijb α = −° cos α + cos 2 α + cos 3 α = = cos 120° + cos 240° + cos 360° = cos(90° + 30°) + cos(180° + 1 1 + 60°) + cos 360° = − sin 30° − cos 60° + cos 360° = − − + 1 = 0. 2 2

+ cos

936. Z cos( 60° − α ) = cos( 90° − 30° − α ) = cos( 90° − ( 30° + α )) = = sin( 30° + α ) ; [ ctg ( 80° − = tg (10° +

\

α 2

α 2

) = ctg ( 90° − 10° −

α 2

) = ctg ( 90° − (10° +

α 2

)) =

);

VLQ° −  α

= VLQ° − ° −  α =

= VLQ ° −  ° +  α =

FRV ° +  α .

937. 45

Imklv α − hkljuc m]he iZjZee_eh]jZffZ β − lmihc m]he iZjZee_eh]jZffZ KmffZ h^ghklhjhggbo m]eh\ jZ\gZ 0; α + β = ° β = ° − α Ke_^h\Zl_evgh WJ β = tg (180° − α ) = − tgα = −0 , 7 .

Hl\_l: –0,7. 938.

Imklv α − \g_rgbc m]he lj_m]hevgbdZ Z β b γ − hklju_ m]eu lj_m]hevgbdZ Ba\_klgh qlh kmffZ kf_`guo m]eh\ jZ\gZ °, ⇒ β=180°–α ke_^h\Zl_evgh WJβ=tg(180°–α)=–tgα=–k. KmffZ hkljuo m]eh\ lj_m]hevgbdZ jZ\gZ ° ihwlhfm 1 γ=90°–β ke_^h\Zl_evgh WJγ=tg(90°–β)=ctgβ=– . k

Hl\_l: –k; –

1 k

.

939. H[hagZqbf kf_`gu_ m]eu α b β b FRVα=– cosα<0, ke_^h\Zl_evgh

π 

− 

Hl\_l:

4 5



.

940.

α+β=π–γ.

Z VLQα+β)=sin(π–γ)=sinγ. [ FRVα+β)=cos(π–γ)=cosγ . 46

5

;

< α < π  Lh]^Z VLQ.! VLQ2α+cos2α=1;

   =    LZd dZd kmffZ kf_`guo m]eh\ jZ\gZ °, 4 ihwlhfm VLQβ=sin(180°–α)=sinα= . 5

sinα=

3

\ sin2(α+β)=sin2(π–γ)=sin(2π–2γ)=–sin2γ. ] FRVα+β)=cos2(π–γ)=cos(2π–2γ)=cos2γ.

941. a) tg75°=tg(90°–15°)=ctg15°, tg15°⋅ctg15°⋅tg30°tg45°tg60°= 3 =1⋅ ⋅1⋅ 3 =1. 3

[ FWJ°=ctg(90°–72°)=tg72° ctg36°=ctg(90°–54°)=tg54°, (tg72°⋅ctg72°)⋅(tg54°⋅ctg54°)=1⋅1=1.

942. Z WJ°–α)=ctgα=

1 tgα



?keb WJα=

3 5



lh]^Z

1 tgα

=

5

2 =1 . 3 3

[ VLQ2 α+cos2 α=1; sin2 α=1–cos2 α=1–0,82=1–0,64=0,36; sinα= ± 0,36 =±0,6 (α∈  q_l\_jlb agZqbl sinα!  ihwlhfm sinα=0,6; sin(180°+α)=–sinα=–0,6. 1 1 1 − sin 2 α \ FWJ2 α= ; ctg2 α= –1= = 2 2 sin α sin α sin 2 α − 

=

  

   

=

−

 



= ;



ctgα=± 3



gh α∈ II q_l\_jlb agZqbl ctgα  ihwlhfm

ctgα= − 3 . ctg(360°–α)=– ctgα= 3 .

] VLQ2 α+cos2 α=1; cos2 α=1–sin2 α=1–(– cosα=± cos α = −

9 25

=±

3 5

4 5

)2=

(α∈,,, q_l\_jlb agZqbl

25 − 16 25

=

FRVα<0 

9 25

;

ihwlhfm

3 . 5 47

sin(270°+α)=–cosα=

3 5

.

943. Z VLQα=

1 2

b °<α<180°, α=180°–30°=150°;

[ FRVα=–

3

b °<α<270°, α=180°+30°=210°; 2 \ WJα ± b °<α<180°, α=90°+45°=135°;

] FWJα=– 3 b °<α<360°, α=360°–30°=330°.

944. tg1°·tg2°·…·tg88°·tg89°=(tg1°·tg89°)(tg2°·tg88°)·…· ·(tg44°·tg46°)tg45°=(tg1°·tg(90°–89°))(tg2°·tg(90°–2°))·…· ·(tg44°·tg(90°–44°))·tg45°=(tg1°·ctg1°)(tg2°·ctg2°)·…· ·(tg44°·ctg44°)·tg45°=1.

945. Z VLQπ+α)+cos(

π

3π

– α))2= 2 2 =(–sinα–sinα)2+(cosα+cosα)2=(–2 sinα)2+(2 cosα)2= =4 sin2 α+4 cos2 α=4(sin2 α+cos2 α)=4. π π 3π [ WJ –α)–ctg( +α))2–(ctg(π+α)+ctg( +α))2= 2 2 2 =(ctgα+tgα)2–(ctgα–tgα)2= =ctg2α+2 ctgα tgα+tg2 α–ctg2 α+2 ctgα tgα–tg2 α= =2⋅1+2⋅1=4. +α))2+(cos(2π–α)–sin(

946. tg (

3π 2

− α ) cos(

2 cos( 2 π − α )

+cos(π+α) sin(α– =–

cos α ⋅ sin α sin α ⋅ cos α 48

3π

π 2

)=

− α)

+ cos( α −

− ctgα ⋅ sin α cos α

π 2

) sin(π–α)+

+sLQ.sinα+cosα cosα=

+sin2α+cos2α=– 1+1=0.

947.

Z VLQ° cos110°+sin250° cos340°+tg110°⋅tg340°= =sin(180°–20°) cos(90°+20°)+sin(270°–20°) ·cos(360°–20°)+tg(90°+20°) tg(360°–20°)= =sin20°(–sin20°)+(–cos20°) cos20°+ctg20° tg20°= =– sin220°–cos220°+1=–1+1=0. [ WJ° tg288°+sin32° sin148°–sin302° sin122°= =tg18° tg(270°+18°)+sin32° sin(180°–32°)–sin(270°+ +32° sin(90°+32°)=– tg18° ctg18°+sin32° sin32°+cos32° ·cos32°=–1+sin232°+cos232°=–1+1=0.

948.

Ihevam_fky nhjfmeZfb ijb\_^_gby Z

cos 2 ( π − α ) + sin 2 (

π 2

− α ) + cos( π + α ) cos( 2 π − α )

tg 2 ( α −

=

π

) ctg 2 (

2 cos 2 α + cos 2 α − cos α cos α ctg 2 αtg 2 α

=

3π

=

+ α)

2 2 cos 2 α − cos 2 α 1

3π ) cos(2π − α ) cos 3 α ⋅ cosα 2 [ = = π 3π ctg 3α sin 3 α tg 3 (α − ) cos 3 (α − ) 2 2 =cosα. sin 3 (α −

= cos 2 α .

α VLQ α =   FRV α ⋅ VLQ α FRV



949. Z FRV

π 3

+α) cosα+sin(

π 3

+α) sinα=cos(

π 3

+α–α)=cos

π 3

=

1 2

;

[ VLQα sin(α+β)+cosα cos(α+β)=cos(α+β–α)=cosβ; \ FRV°+α) cos(54°+α)–sin(36°+α) sin(54°+α)= =cos(36°+α+54°+α)=cos(90°+2α)=– sin2α; ] VLQβ cos(α+β)–cosβ sin(α+β)=sin(β–α–β)=sin(−α)=–sinα.

950.

49

sin2 α+cos2 α=1, cosα=1 –sinα agZqbl 16

cosα=±

25

=±

4 5

gh α∈I



FRV

2

q_l\_jlb l_

α=– 1 (

3 5

cosα>0

)2=

16 25

ihwlhfm

4 . 5

cos α =

a) cos2(45°–α)=(cos45° cosα+sin45° sinα)2= 2 2 2 4 2 3 2 2 ⋅7 2 =( cosα+ sinα)2=( ⋅ + ⋅ ) =( ) =0,98. 2 2 2 5 2 5 2⋅5

[ FRV2(60°+α)=(cos60° cosα–sin60° sinα)2=( –

3 2

sinα)2=(

1 2

cosα–

1 4 3 3 2 4−3 3 2 ⋅ – ⋅ ) =( ) =0,43–0,24 3 . 2 5 2 5 10

\ VLQ°+α)=sin30° cosα+cos30° sinα= sin(30°–α)=sin30° cosα–cos30° sinα=

2

2

3

cosα+

cosα–

3 2

2

sinα;

;

1 4 3 3 1 4 ⋅ + ⋅ )⋅( ⋅ – 2 2 5 2 5 2 5 3 3 3 4 3 3 4 3 3 3 4 2 3 3 2 – ⋅ )= +( + )⋅( – )= +( ) –( )= 2 5 4 10 10 10 10 4 10 10 75 + 16 − 27 = =0,64. 100 sin260°+sin(30°+α)⋅sin(30°–α)=(

3

1

1

)2+(

951.

Z FRV2 α+cos2(60°+α)+cos2(60°–α)=cos2 α+(cos60° cosα– 1 –sin60° sinα)2+(cos60° cosα+sin60° sinα)2=cos2 α+( cosα– 2 – –

3 2

sinα)2+(

2 3 4 50

1 2

cosα+

cosα sinα+

3 4

3 2

sinα)2=cos2 α+

sin2 α+

1 4

cos2 α+

1 4

2 3 4

cosα– cosα sinα+

3 4

.

sin2 α=

=

3 2

cos2 α+

[

3 2

sin2 α=

3 2

(cos2 α+sin2 α)=

3 ; 2

sin( α + β ) sin( α − β )

= sin α + sin β (sin α cos β + cos α sin β )(sin α cos β − cos α sin β ) = = sin α + sin β = =

VLQ



α FRV  β − FRV  α VLQ  β sin 2 α (1 − sin 2 β ) − cos 2 α sin 2 β = = sin α + sin β VLQ α + VLQ β

sin 2 α − sin 2 α sin 2 β − cos 2 α sin 2 β = sin α + sin β

sin 2 α − sin 2 β (sin 2 α + cos 2 β ) = sin α + sin β (sin α − sin β )(sin α + sin β ) = =sinα–sinβ; sin α + sin β

=

\ VLQ2(120°+α)=sin2(90°+30°+α)=cos2(30°+α)=(cos30° cosα– –sin30° ⋅sinα)2=( +

1 4

3 2

cosα–

1 2

sinα)2=

2 3 4

cosα sinα+

sin2α+ +

4

cos2 α–

2 3 4

cosα ⋅sinα+

sin2 α; sin2(120°–α) sin2(90°+30°–α)=cos2(30°−α)=

=(cos30° cosα+sin30° sinα)2=( +

3

2 3

3 4

1 4

cos2 α–

cosα sinα+

1

2

cosα+

1 2

sinα)2=

3 4

cos2α+

sin2 α; 2 3 4

cosα sinα+

sin2 α=

4 4 3 3 = (sin 2 α + cos 2 α ) = . 2 2

]

3

cos( α + β ) cos( α − β ) cos α − sin β

3 2

sin2 α+

1 4 3 2

sin2 α+

3 4

cos2 α+

cos2 α=

= 51

= =

(cos α cos β − sin α sin β )(cos α cos β + sin α sin β cos α − sin β cos 2 α cos 2 β − sin 2 α sin 2 β cos α − sin β

=

=

cos 2 α (1 − sin 2 β ) − sin 2 α sin 2 β = cos α − sin β

cos α − cos 2 α sin 2 β − sin 2 α sin 2 β = cos α − sin β 2

=

cos 2 α − sin 2 β (cos 2 α + sin 2 α ) cos 2 α − sin 2 β = = cos α − sin β cos α − sin β (cos α − sin β )(cos α + sin β ) =cosα+sinβ. = cos α − sin β

=

952. 1) sin2 α+cos2 α=1; sin2 α=1–cos2 α; 3 25 − 9 16 4 16 sin2 α=1–( )2= ; sinα=± =± = 5 25 25 5 25 (α∈, q_l\_jlb agZqbl VLQα>0  ihwlhfm sin α = 2) sin2 β+cos2 β=1; sin2 β=1–cos2 β; 7 2 625 − 49 576 sin2 β=1–( )= ; sinβ=± = 25 625 625

576 625

=±

(β∈, q_l\_jlb agZqbl VLQβ!  ihwlhfm sin β = 4⋅5

4

953. 52

5⋅3

=

; tgβ=

24 ⋅ 25

25

; 3 25 ⋅ 7 7 tg α + tgβ 4) tg(α+β)= ; 1 − tgαtgβ 4 24 + 7 =– 100 ⋅ 21 =– 4 =–1 1 . tg(α+β)= 3 4 ⋅ 24 21 ⋅ 75 3 3 1− 3⋅7 3) tgα=

=

4 ; 5 24 25

24 ; 25

1) sin2 α+cos2 α=1; cos2 α=1–sin2 α; 8 2 289 − 64 225 cos2 α=1–( )= ; = 17 289 289 15 225 (α∈,,, q_l\_jlb ke_^h\Zl_evgh cosα=± =± 17 289 15 ihwlhfm cos α = − ; 17 2) tgα=–

tg(

π 4

8 17

:(–

tg –α)=

15 17

π

)=

8 ⋅ 17 17 ⋅ 15

1−

− tgα

4

1 + tg

π 4

=

= tgα

8 15 8

FRVα<0),

;

15 = 7 ⋅ 15 = 7 . 8 15 ⋅ 23 23 1+ 1⋅ 15

954. tg 2 α − tg 2 β

(tgα + tgβ )(tgα − tgβ ) = = 1 − tg 2 αtg 2 β (1 + tgαtgβ )(1 − tgαtgβ ) tgα + tgβ tgα − tgβ = ⋅ =tg(α+β)⋅tg(α–β); 1 − tgαtgβ 1 + tgαtgβ a)

[ WJα tg(

π 4

– α)=tgα⋅

tg

π 4

− tgα

1 + tg

π 4

=tgα⋅ tgα

1 − tgα 1 + tgα

=

1 1 − tgα 1 − tgα ⋅ = . ctgα 1 + tgα ctgα + 1 Ih nhjfme_ lZg]_gkZ kmffu π tg + tgα 1 + tgα π 4 = \ WJ +α)= ; π 4 1 − tgα 1 − tg tgα 4 =

]

tgα + tgβ tg ( α + β )

+

tgα − tgβ tg ( α − β )

=

( tgα + tgβ )(1 − tgαtgβ ) tgα + tgβ

+

53

+

( tgα − tgβ )(1 + tgαtgβ ) tgα − tgβ

=

=

(tg 2α − tg 2 β )(1 − tgαtgβ ) + (tg 2α − tg 2 β )(1 + tgαtgβ ) = (tg 2α − tg 2 β )

=

(tg 2α − tg 2 β ) ⋅ 2 = 2. tg 2α − tg 2 β

955. a) tg(45°+α)=

tg 45° + tgα

1 + tgα

=α; 1 − tg 45° tgα 1 − tgα 1+tgα=α(1–tgα); 1+tgα=α–α tgα; a tgα+tgα=a–1; tgα(α+1)=α−1 α −1 tgα= . α +1

[ ctg(45°+α)= ctg(45°+α)=

=

1

; α ctg 45° ctgα − 1

=

ctgα − 1

ctgα + 1 tgα + tg 45° ctgα+1=α(ctgα–1); ctgα+1=α ctgα–α;

=

1 α

;

α ctgα–ctgα=1+α; ctgα(α−1)=α+1 ⇒ ctgα=

α +1 α −1

.

956. a)

1 + tg ( 45° − α ) 1 − tg ( 45° − α )

1+ = 1−

tg 45° − tgα 1 + tg 45° tgα = tg 45° − tgα

1 + tg 45° − tgα 2 1 2(1 + tgα ) = = =ctgα; = (1 + tgα )(2tgα ) 2 tgα tgα

[

54

ctg 45° ctgα + 1

1+ 1−

1 − tgα 1 + tgα = 1 − tgα 1 + tgα

FWJα +  + ctg 45 ctg ° − α = FWJα − = = tg ( 45° + α ) − 1 tg 45° + tgα  + WJα − −1  − WJα 1 − tg 45° tgα

1 + ctg ( 45° − α )

1+

=

 FWJα −  + FWJα +   − WJα  FWJα −   + WJα −  + WJα

=

2ctgα (1 − tgα ) = (ctgα − 1)tgα ⋅ 2

ctgα (1 − tgα )  − WJα = FWJα = FWJα ; (ctgα − 1)tgα  − WJα Ih nhjfmeZf kbgmkh\ dhkbgmkh\ lZg]_gkh\ kmffu b jZaghklb π π π π \ WJ +α) tg( –α)+sin( +α)+sin( –α)= 4 4 6 6 π π ( tg + tgα )( tg − tgα ) π π 4 4 +sin cosα+cos sinα+ = 6 6 π π (1 − tg tgα )(1 + tg tgα ) 4 4 π π (1 + tgα )(1 − tgα ) 1 +sin cosα–cos sinα= + cosα+ 6 6 (1 − tgα )(1 + tgα ) 2 1 1 1 + cosα=1+ cosα+ cosα=1+cosα. 2 2 2 π π π π ] FWJ +α) ctg( +α)+cos( –α)+cos( +α)= 4 4 3 3 π π  FWJ FWJα +   FWJ FWJα − π π   +cos cosα+sin sinα+ = 3 3 π π  FWJα − FWJ  FWJ + FWJα =



+cos +

1 2

π 3



cosα–sin

cosα=1+

1 2

π α

sinα=

cosα+

1 2

FWJα +   FWJα − + 1 2  FWJα −   + FWJα 

cosα+

cosα=1+cosα.

957. JZa^_ebf qbkebl_ev b agZf_gZl_ev gZ cosα⋅cosβ sin( α + β )

= sin α cos β + cosα sin β = sin( α − β ) sin α cos β − cos α sin β sin α cos β cos α sin β + tgα + tgβ = cos α cos β cos α cos β = . tgα − tgβ sin α cos β cos α sin β − cos α cos β cos α cos β a)

JZa^_ebf qbkebl_ev b agZf_gZl_ev gZ sinα⋅cosβ 55

[

cos( α + β )

=

cos α cos β − sin α sin β

cos( α − β ) cos α cos β + sin α sin β cos α cos β sin α sin β − sin α cos β sin α cos β ctgα − ctgβ . = = sin α cos β sin α sin β ctgα + ctgβ + sin α cos β sin α cos β

=

958. JZa^_ebf qbkebl_ev b agZf_gZl_ev gZ sinα⋅sinβ cos( α + β ) cos α cos β − sin α sin β = = 1) ctg(α+β)= sin( α + β ) sin α cos β + cos α sin β cos α cos β sin α sin β cos α cos β − ⋅ −1 ctgα ⋅ ctgβ − 1 sin α sin β sin α sin β sin α sin β ; = = = cos α cos β cos α sin β cos β cos α ctgβ + ctgα + + sin α sin β sin α sin β sin β sin α 2) ctg(α−β)=

cos( α − β )

=

cos α cos β + sin α sin β

= sin( α − β ) sin α cos β − cos α sin β cos α cos β sin α sin β cos α cos β + ⋅ +1 ctgα ⋅ ctgβ + 1 sin α sin β sin α sin β sin α sin β . = = = cos α cos β cos α sin β cos β cos α ctgβ − ctgα − − sin α sin β sin α sin β sin β sin α

959.

1) sin2 α+cos2 α=1; cos2 α=1–sin2 α; cos2 α=1 – – (0,1 2 )2=0,98; cosα=± 0 , 98 =±0,7 2

LZd dZd α±hkljuc lh FRVα>0 ihwlhfm FRVα=0,7 2 2) sin2 β+cos2 β=1; cos2 β=1–sin2 β; cos2 β= =1–(0,6)2=0,64; cosβ=± 0 , 64 =±0,8

LZd dZd β±hkljuc lh FRVβ>0 ihwlhfm FRVα=0,8 3) sin(α+β)=sinα cosβ–cosα sinβ= =0,1 2 ⋅0,8+0,7⋅0,6=(0,8+0,42) 2 = 56

2 2

.

Ke_^h\Zl_evgh α+β=45°.

960. + WJ = tg(α+β)=  − WJ.WJ



WJ.

 −

+



 

⋅



=

 ⋅   ⋅ 

=.

 

Ke_^h\Zl_evgh α+β=45° (α b β ² hklju_ 

961. 4 25 25 +7 + WJ = 3 = 3 =–1. = 3 tg( α+β)= 4 28 25  − WJ.WJ − 1− ⋅7 1− 3 3 3 3π π π α∈(0; ), β∈(0; ); α+β∈ Œ  Ke_^h\Zl_evgh α+β= . 2   WJ.

962. Z sinα=2sin

α

cos



α 

α 1 2 cos 2 α = 2tg α = =2 α 1 2 2 cos α 2 cos 2 2 sin

α 2 = 2(−3) = −0,6 . = 2α 1 + (−3) 2 1 + tg 2 2tg

[ cosα= FRV

cosα=



¡ 

 −  −



 +  −



− VLQ



¡ 

= FRV



¡ 

 − WJ



¡ 



=

 − WJ  + WJ



¡



¡



;



= −

57

WJ

\ tgα=

] ctgα

 − WJ



WJα

¡ 



=

¡

 ⋅  −

; tgα=

 −  −

=





=  ;



 − 

α

WJ 

WJ α



; ctgα=

 −  −



 ⋅  −

=

 



= . 



963.

cos4α=1–2sin22α=1–8sin2αcos2α=1–8sin2α(1–sin2α); sin2α= 

− 

 

cos4α=1–8  −

= −



 −

=





−







=

−

−









;

= − 

  −



= − 



.

964.

a) sin3α=sin(2α+α)=sin2α cosα+cos2α sinα=sinα(cos2α– –sin2α)+cosα(2sinα cosα)=sinα cos2 α–sin3α+2sinα⋅cos2α= =3sinα cos2α–sin3α=3sinα(1–sin2α)–sin3α=3sinα–4sin3α;

[ FRVα=cos(2α+α)=cos2α cosα–sin2α sinα=cosα(cos2α– –sin2α)–sinα(2sinα cosα)=cos3α–cosα sin2α–2sin2α⋅cosα= =cos3α–3sin2α cosα=cos3α–3(1–cos2α)⋅cosα=cos3α–3cosα+ +3cos3α=4cos3α–3cosα; cos 3α sin 3 α cos α − cos 3 α sin α = = cos α sin α sin α cos α sin( 3 α − α ) sin 2 α 2 sin α cos α = = = =2; sin α cos α sin α cos α sin α cos α

\

]

sin 3 α

–

cos α − cos 3 α sin α + sin α

965.

2 sin = 2 sin

α + 3α 2 α + 3α 2

sin

3α − α

sin α 2 = =tgα. α − 3 α cos α cos 2

a) sin4α=2sin2α cos2α=2⋅2sinα⋅cosα⋅(cos2α–sin2α)= 58

+ =

=4sinα cos3α–4sin3α cosα.

[ FRVα=1–2sin22α=1–8sin2αcos2α=1–8(1–cos2α)cos2α= =8cos4α–8cos2α+1.

966. a) 4sin15° cos15°(cos215°–sin215°)=2 sin30° cos30°=sin60°=

3 2

;

[ VLQ2 75° cos2 75°–(sin275°–cos2 75°)2=(2⋅sin75° cos75°)2– –(sin275°–cos275°)2=sin2(2⋅75°)–cos2(2⋅75°)=–cos(2·2 · 75°)= 1 =– cos300°=−cos60°=– ; 2 π

\ ±VLQ2 =1–

 

VLQ

] VLQ · (cos2



π 

π 16

π 

cos2

12

–sin2







π



=

–sin3

16

π

12



= − ⋅

cos3

π

)=

1 4

=1– 



  VLQ

π 

FRV

π 





=

;



π 16

2sin



cos

π 

π 16

cos

π 

= =

1 2 1 4

(2sin sin

π 

π 

cos 2

=

8

π 

)·

.

967. a2+b2=(sinα+cosα)2+(cosα – sinα)2= =sin2α+2sinα cosα+cos2α+cos2α – –2sinα cosα+sin2α=2sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)=2.

968. 1) cos2x+sin2x=1; sin2x=1–cos2x; sin2x=1–( =1–

4−2 3 4

=

3 2

−





)2=

.

2) cos2x=cos2x–sin2x; cos2x=(

1− 2

3

)2–

3 2

= 59

3 4−4 3 = – =1– 3 4 2 4 cos2x=2cosx \_jgh

=

4−2 3

ke_^h\Zl_evgh



jZ\_gkl\h

969. sin 4 α

=

2 sin 2 α cos 2 α

= sin α sin α 4 sin α cos α (cos 2 α − sin 2 α )

= sin α =4cosα(cos2α–(1–cos2α))=4cosα(2cos2α–1). 1 ?keb FRVα=– , 4 1 1 1 7  lh FRVα(2cos2α–1)=4⋅(– )(2⋅(– )2–1)=–( –1)=– +1= . 4 4 8 8 

=

970. a) cos2α–ctg( FRV

–

π 

FRVα  VLQ

FRVαVLQ

π 

+ FRV

π 4 π 

π 

+α)–sin2α ctg(

π 4

+α)=cos2α–sin2α–

VLQα

cos

–– 2sinα cosα⋅ VLQ α

sin

π 4 π 4

cosα − sin cosα + cos

π 4 π 4

sinα

= sin α

2 2 ⋅ cosα − sinα ⋅ 2 2 =cos α–sin α– – 2 2 ⋅ cosα + sinα ⋅ 2 2 2 2 ⋅ cosα − sinα ⋅ 2 = −2sinα cosα⋅ 2 2 2 ⋅ cosα + sinα ⋅ 2 2 FRV α − VLQ α  (FRV α + VLQ α ) −  −  VLQ α FRV α = = FRV α + VLQ α FRV α − VLQ α = ⋅ FRV  α +  VLQ α FRV α + VLQ  α −  −  VLQ α FRV α =  FRV α + VLQ α π π Ke_^h\Zl_evgh FRVα –ctg( +α)=sin2α ctg( +α); 4 4 2

2

(

(

60

)

)

2

[ 

+tg2α)⋅(cos2α–

1

)=(

2

2 tgα

+

2 1 + tgα 1 + tgα 1 − tg 2 α 1 1 2 (1 − tgα ) + 2 tgα  ⋅(cos2α– )= ⋅ · (cos2α– )= 2 2  − WJ  α 1 − tg 2 α · (cos2α–

1

2 cos 2 α − 1

2 cos 2 α − sin 2 α − cos 2 α

= 1 − tg 2 α 1 − tg α cos 2 α − sin 2 α (cos 2 α − sin 2 α ) ⋅ cos 2 α = = =cos2α; (cos 2 α − sin 2 α ) sin 2 α 1− cos 2 α 3 + cos β 1  = (3+1–2sin22β)= (4–8sin2β cos2β)=1– \ 4 4  –2sin2βcos2β=(sin2β+cos2β)2– 2sin2βcos2β=sin4β+ +2sin2βcos2β+cos4β–2sin2βcos2β=sin4β+cos4β. 2

)=

)·

2

=

971. 1

a)

1

–

=

1 − ctgα − 1 − ctgα

=–

1 + ctgα 1 − ctgα 1 − ctg α 2 − 2 tg 2 α − 1 2 tgα tgα : = =tg2α. = =– 2 1 tgα tg α 1 − tg 2 α 1− 2 tg α

[

=

1 − tg 2 α 1 + tg 2 α

1− =

2

2 ctgα 1 − ctg 2 α

=

sin 2 α

2 2 2 2 cos 2 α = cos α − sin α : cos α + sin α = 2 2 2 sin α cos α cos α 1+ cos 2 α

(cos 2 α − sin 2 α ) cos 2 α

cos 2 α ⋅ (cos 2 α + sin 2 α ) cos 2 α − sin 2 α =cos2α = 1

=

sin 2 (45° + α ) −1 tg ( 45° + α ) − 1 cos 2 (45° + α ) = = \ tg 2 ( 45° + α ) + 1 sin 2 (45° + α ) +1 cos 2 (45° + α ) 2

61

sin 2 (45$ + α ) − cos 2 (45$ + α ) cos 2 (45$ + α ) = sin 2 (45$ + α ) + cos 2 (45$ + α ) cos 2 (45$ + α ) (sin 2 (45° + α ) − cos 2 (45° + α )) cos 2 (45° + α ) = (sin 2 (45° + α ) + cos 2 (45° + α )) cos 2 (45° + α ) –cos(90°+2α)=sin2α. =

] WJα–2tgα)⋅(ctgα–tgα)= 2 tgα − 2 tgα )⋅(ctgα–tgα)= =( 1 − tg 2 α ( 2 tgα − 2 tgα + 2 tg 3 α ) ⋅ ( ctgα − tgα ) = = 1 − tg 2 α 2 tg 3 α ⋅ ctgα − 2 tg 4 α 2 tg 2 α − 2 tg 4 α = = = 2 1 − tg α 1 − tg 2 α 2 tg 2 α (1 − tg 2 α ) = =2tg2 α. 1 − tg 2 α tgα sin α 1 = = ^ : tg 2 α − tgα cos α sin 2 α sin α − cos 2 α cos α 1 sin α 1 ⋅ = = cos α sin 2α cos α − sin α cos 2α cos 2α ⋅ cos α VLQ α ⋅ FRV  α sin α FRV α FRV  α = ⋅ = = FRV  α ; cos α VLQ α FRV α − VLQ α FRV α VLQ α e)  JZkkfhljbf   VLQ α FRV α FRV α − VLQ α tgα –ctgα= − = − = FRV α VLQ α  VLQ α FRV α FRV  α = − = −FWJα VLQ  α 

JZkkfhljbf

WJ.±FWJ.WJ.FWJ. ±FWJ.WJ.FWJ.

WJ.±FWJ. FWJ. ±FWJ. FWJ. 

62

Ke_^h\Zl_evgh WJ.WJ.FWJ.

FWJ.

972.

Ihevam_fky nhjfmeZfb kmffu b jZaghklb kbgmkh\ b dhkbgmkh\ α+β α−β α+β 2 sin cos sin sin α + sin β 2 2 2 = = = a) α+β α−β α+β cos α + cos β 2 cos cos cos 2 2 2 α+β =tg . 2

α+β α −β α+β 2 cos sin cos sin α − sin β 2 2 2 [ = = = cos α − cos β − 2 sin α + β sin α − β − sin α + β 2 2 2 α+β =– ctg . 2 π π π sin α + sin( − α ) 2 sin cos(α − ) sin α + cos α 2 4 4 = = = \ cos α − cos α sin α − sin( π − α ) 2 cos π sin(α − π ) 2 4 4 π kWJα– ). 4

973.

Ih nhjfmeZf kmffu dhkbgmkh\ b kbgmkh\ FRV.FRV.FRV. FRV.FRV.ÂFRV. FRV. FRV.FRV

π 

FRV. FRV.FRV

π 

+

 

. FRV

VLQ.VLQ.VLQ. VLQ.VLQ.FRV. VLQ. VLQ.FRV

π 

FRV. VLQ.FRV

π 

–

1

1 2

 

FRV.

. 

FRV.

2 π α π α + )cos( – ). 







63

974. a) sin19°+sin25°+sin31°=2sin

19° + 31° 2

19° − 31° 2

⋅cos

6° − 60°

2 =4 sin25° cos33° cos(−27°)=4sin25°cos33°cos27°.

[ VLQ°+sin24°+sin40°=2sin

+sin25°=

1

)= 2 6° + 60°

=2sin25° cos(−6°)+sin25°=2sin25°(cos6°+ =2sin25° (cos6°+cos60°)=2 sin25°⋅2 cos

cos

16° + 24°

cos

2

=

16° − 24°

+sin40°= 2 2 =2sin20° cos4°+2sin20° cos20°=2sin20°(cos4°+cos20°)= 4° + 20° 4° − 20° =2sin20°⋅2cos cos =4sin20° cos12°⋅cos8°. 2 2

975. 22$ + 8$ 22$ − 8$ cos sin22° + sin8° 2 2 = = a) sin30° 30$ 30$ 2 sin cos 2 2  VLQ ° FRV ° FRV ° = =   VLQ ° FRV ° FRV ° VLQ ° − VLQ °  VLQ ° FRV ° FRV ° = = = FRV ° − ° FRV ° − FRV °  VLQ ° ⋅ VLQ ° 2 sin

[ =

cos 20° − cos 50° = cos 31° + sin 11°  VLQ −° VLQ °  VLQ ° FRV °

sin 80 − sin 70 sin 29 − sin 19

976.

64

=

2 sin

=

FRV ° VLQ °

20$ − 50$ 20$ + 50$ ⋅ sin 2 2 = 2 sin 59$ + sin 11$

VLQ ° FRV °

;

2 sin 5° cos 75° 2 sin 5° cos 24°

=

cos 75° cos 24°

=

sin 15° cos 24°

.

.

a) π π sin( + α ) + sin( − α ) 4 4 = π π sin( + α ) − sin( − α ) 4 4 π π π π sin cos α + cos sin α + sin cos α − cos sin α 4 4 4 4 = = π π π π sin cos α + cos sin α − sin cos α + cos sin α 4 4 4 4 π  VLQ FRV α  = =ctgα π  VLQ α FRV 

[

FRV α + FRV α +

π 

π 

− VLQ α − + FRV α −

π 

π 



°

− VLQ¡VLQ = FRV¡FRV





°

= −WJ

° 

WJ¡

= – 3 tgα



977. a) sinα+cosα–sin(α –

π 6

)+cos(α–

π 6

)=(sinα–sin(α–

π π α −α + 6 sin 6 + +cos(α– ))= 2 cos 2 2 6 π π α +α − α −α + 6 6 = + 2 cos cos 2 2 π π π π = =2cos  α − sin +2cos  α − FRV

π 6

))+(cosα+

α +α −

π





π

π





π π π π ) ⋅ (sin + sin( − )) = 12 12 2 12 π π π π π π π ) 2sin cos(– )= =  FRV α −  VLQ FRV − = 2cos(α– 12 4 6     π   π ⋅ = 6 cos(α– ); =2cos( α − )⋅2 ⋅ 12   

=2cos  α −



VLQ



+ FRV

π





= 2 cos(α −

65

[ FRV –cos(

π 

π 3

– α)–cos(

–α))–(cos(

π 

π 6

–α)–cos(

+α)–cos(

π π +α + −α 6 sin = 2 sin 6 2 π π +α + −α 3 3 sin + 2 sin 2 =–sinα+ 3 sinα=sinα(

π 

π 3

+α)+cos(

π 6

+α)=(cos(

π 

+α)–

–α))=

π π +α − +α 6 6 + 2 π π +α − +α π π 3 3 = 2sin sinα+2sin sinα= 2 6 3 3 –1).

978. cos(α+β) cos(α–β)=(cosα cosβ–sinα sinβ)⋅(cosα cosβ+sinα sinβ)= =cos2α cos2β–sin2α sin2β=cos2α(1–sin2β)–sin2β⋅(1–cos2α)= =cos2α–sin2β cos2α–sin2β+cos2α⋅sin2β=cos2α–sin2β.

980. 1 + cos α + cos 2 α + cos 3 α 2 cos α + cos α − 1 2

=

 + FRV  α + FRV α

+ FRV α =  + FRV  α + FRV α − 

3α + α 3α − α cos 2 2 = = 1 + cos 2α + cos α − 1  FRV αFRV α + FRV  α = = 2cosα. FRV α + FRV  α (1 + cos 2α ) + 2 cos

 FRV



α +  FRV α FRV α = + FRV α

FRV  α

981. a)

cos α − 2 cos 2 α + cos 3 α sin α + 2 sin 2 α + sin 3 α

=

FRV α + FRV α +  FRV  α VLQ α + VLQ α +  VLQ  α

=

3α + α 3α − α + 2 cos α 2 cos 2 α cos α + 2 cos 2 α cos 2 2 = = = 3α + α 3α − α 2 sin 2 α sin α + 2 sin 2 α + 2 sin α 2 sin sin 2 2  FRV  αFRV α +  =  VLQ  αFRV α +  2 cos

=

2 cos 2α = ctg 2α . 2 sin 2α 66

[

VLQ  α +  FRV α − VLQ  α FRV  α −  VLQ α − FRV  α

=

(sin 4 α − sin 2 α ) + 2 cos 3 α (cos 4 α − cos 3 α ) − 2 sin 3 α

=

4α + 2α 4α − 2α + 2 cos 3α sin  FRV  VLQ α +  FRV α 2 2 = = = 4α + 2α 4α + α −  VLQ α VLQ α −  VLQ α − 2 sin − 2 sin 3α sin 2 2 2 cos 3 α (sin α + 1) cos 3 α = = − = − 2 sin 3 α (sin α + 1) sin 3 α =– ctg3 α. 2 cos

982. a) =

FRV α − FRV α + FRV α − FRV α VLQ α + VLQ α + VLQ α + VLQ α

FRV α + FRV α − FRV α + FRV α VLQ α + VLQ α + VLQ α + VLQ α

=

=

5α + α 5α − α 7α + 3α 7α − 3α − 2 cos cos cos 2 2 2 2 = = 5α + α 5α − α 7α + 3α 7α − 3α 2 sin cos cos + 2 sin 2 2 2 2  FRV  αFRV α − FRV α  FRV α FRV  α −  FRV α FRV  α = = =  VLQ α FRV  α +  VLQ α FRV  α  FRV  αVLQ α + VLQ α 2 cos

=

FRV α − FRV α VLQ α + VLQ α

[

= −

VLQ  α VLQ −α  VLQ  α FRV −α

cos α − cos 2 α − cos 4 α + cos 5 α

sin α − sin 2 α − sin 4 α + sin 5 α FRV α + FRV α − FRV  α + FRV  α = = VLQ α + VLQ α − VLQ  α + VLQ  α

=

VLQ α FRV α

= WJα

=

5α + α 5α − α 4α + 2α 4α − 2α cos cos − 2 cos 2 2 2 2 = = 5α + α 5α − α 4α + 2α 4α − 2α 2 sin cos cos − 2 sin 2 2 2 2 2 cos

67

= =

 FRV α FRV  α −  FRV α FRV α  VLQ α FRV  α −  VLQ α FRV α

cos 3 α sin 3 α

=

 FRV αFRV  α − FRV α  VLQ αFRV  α − FRV α

=

=ctg3α.

983. VLQ$VLQ%VLQ& VLQ$VLQ%VLQŒ±$±% VLQ

$ + % cos $ − % + 

$ + % cos $ + % =2sin $ + % (cos $ − % +cos $ + % )= +2sin 

=2sin

68

π −& 







$ % & $ % ·2cos cos =4cos cos cos .