Математическая статистика: Учебно-методическое пособие. Часть 3

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

МАТ Е МАТ И ЧЕ С К АЯ С Т АТ И С Т И К А Част ь 3 У чебно-методическое пособие дляст удент ов П о спец иальност и 010101 (010100) Мат ематика

В ор онеж 2005

2

У т в ер ж дено научно-мет одическим сов ет ом мат ематического ф акульт ет а 14 ию ня2005 года П р от окол№ 11

С ост ав ит ели: Бар ков а Л .Н . Михай лов а И .В .

У чебно-мет одическое пособие подготов лено на каф едр е ур ав нений в част ны х пр оизв одны х и т еор ии в ер оят ност ей мат ематического ф акульт ет а В ор онеж ского государ ст в енного унив ер ситет а Рекомендует сядляст удент ов 5 кур са в ечер него отделениямат емат ического ф акульт ет а

У чебно-методическое пособие написано в соот в ет ст в ии спр огр аммой кур са « Мат емат ическаяст атист ика» , содер ж ит т еор ет ические св еденияи набор задачдлясамостоят ельной р абот ы ст удент ов

3

И Н Т Е РВ АЛ Ь Н Ы Е О Ц Е Н К И И Д О В Е РИ Т Е Л Ь Н Ы Е И Н Т Е РВ АЛ Ы 1. П онят ияинтер в альной оц енки и дов ер ит ельного интер в ала П р и оц енив ании неизв ест ны х пар аметр ов нар яду с р ассмот р енны ми в ы ш е т очечн ы м и оц ен к а м и использую т ся т акж е ин т ерва льн ы еоц ен к и. В отличие от т очечной оц енки интер в альная оц енка позв оляет получит ь в ер оят ностную хар акт ер истику т очност и оц енив ания неизв естного пар амет р а. r П уст ь ξ n - случай ная в ы бор ка объема n из генер альной сов окупност и сф ункц ией р аспр еделения F ( x;θ ) , зав исящ ей от пар аметр а θ , значение котор ого неизв ест но. r r П р едполож им, что дляпар амет р а θ пост р оен инт ер в ал θ (ξ n ) , θ (ξ n ) , где

(

)

r r r θ ξ n и θ ξ n яв л яю т сяф ункц иями случай ной в ы бор ки ξ n , т акими, чт о r r в ы полняет сяр ав енст в о Ρ θ ξn < θ < θ ξn =γ . (1) r r В эт ом случае инт ер в ал θ ξ n ,θ ξ n назы в аю т ин т ерва льн ой оц ен -

( )

( )

( )} {( ) ( ( ) ( ))

к ой для пар аметр а θ с к оэф ф иц иен т ом доверия γ (или, сокр ащ енно, γ r r доверит ельн ой ин т ерва льн ой оц ен к ой), а θ (ξ n ) и θ (ξ n ) соот в ет ств енно н иж н ей и верх н ей гра н иц а м и инт ер в альной оц енки. r r И нт ер в альная оц енка θ (ξ n ) , θ (ξ n ) пр едст ав ляет собой инт ер в алсо

(

)

случай ны ми гр аниц ами, кот ор ы й с заданной в ер оятност ью γ накр ы в ает неизв естное ист инное значение пар амет р а θ . Т аким обр азом, для р азличr ны х реа лиза ц ий случа йн ой вы борк и x n , т.е. дляр азличны х элементов в ы r r бор очного пр остр анст в а ст атистики θ (ξ n ) и θ (ξ n ) могут пр инимать р азличны е значения. Более того, согласно (1), сущ ест в ует подмнож ест в о K в ы бор очного r r r пр остр анст в а т акое, чт о если x n ∈ K , то θ ∉ θ ( x n ) ,θ ( x n ) .

(

)

П р и эт ом в ер оят ност ной хар акт ер истикой т очност и оц енив ания паr r r р аметр а θ яв ляетсяслучай наяв еличина l (ξ n ) = θ (ξ n ) − θ (ξ n ) , r

r

кот ор ая для лю бой р еализац ии x n случай ной в ы бор ки ξ n есть длина инт ер в ала r r r r θ ( x n ) , θ ( x n ) . И нт ер в ал θ ( xn ) ,θ ( xn ) назы в аю т дов ер ит ельны м ин-

(

)

(

)

т ер в алом для пар амет р а θ с коэф ф иц иентом дов ер ия γ или γ доверит ельн ы м ин т ерва лом . Заметим, чт о нар яду стер мином "коэф ф иц иент дов ер ия" ш ир око использую т т акж е т ер мины доверит ельн а я вероят н ост ь и уровен ь доверия. П р и эт ом коэф ф иц иент дов ер ия γ чащ е в сего в ы бир аю т р ав ны м 0,9, 0,95 или 0,99, т.е. близким к1.

4

В некот ор ы х сит уац иях (напр имер , пр и р ассмотр ении дискр ет ны х случай ны х в еличин) в место р ав енст в а (1) удает ся обеспечит ь лиш ь нер ав енст в о r r Ρ θ (ξ n ) < θ < θ (ξ n ) ≥ γ ,

{

}

т .е. постр оит ь инт ер в альную оц енку для пар аметр а θ скоэф ф иц иент ом дов ер ия, не меньш им γ . И ногда т р ебует ся оц енит ь пар аметр θ т олько r снизуили только св ер ху. П р и эт ом, если Ρ θ (ξ n ) < θ = γ , т о ст атистику доверит ельн ой

{

( )} = γ ,

r θ ξn

( )

гра н иц ей

r Ρ θ < θ ξn

{

}

назы в аю т одн ост орон н ей н иж н ей для пар аметр а

θ.

Аналогично,

γ-

если

r

т о стат истику θ (ξ n ) назы в аю т одн ост орон н ей верх н ей γ -доверит ельн ой гра н иц ей дляпар амет р а θ . П р имер 1. П уст ь θ — ср еднее значение пр едела пр очности ξ некот ор ого матер иала, кот ор ое оц енив аю т незав исимо др уг от др уга в каж дой из N р азличны х лабор ат ор ий по р езульт ат ам п незав исимы х нат ур ны х испы т аний . И наче гов ор я, ср еднее значение пр едела пр очност и в каж дой лабор атор ии оц енив аю т по "св оим" э кспе р им е н т альн ы м дан н ы м , пр едстав ленны м вы бор кой объ е м а п, и в каж дой лабор ат ор ии получаю т "св ои" значенияв ер хней и ниж ней гр аниц γ -дов ер ит ельного интер в ала (р ис.3.1). -

В озмож ны случаи, когда γ -дов ер ит ельны й инт ер в алдля пар аметр а θ не накр ы в ает его ист инного значения. Е сл и М - число таких случаев , т о пр и больш их значениях N долж но в ы полнят ься пр иближ енное р ав енст в о γ≈

( N − M ) . Т аким обр азом, если опы т - получение в ы бор ки объема п в лаN

бор атор ии, то ур ов ень дов ер ия γ - доля тех опы тов (пр и их многокр атном незав исимом пов т ор ении), в каж дом из кот ор ы х γ -дов ер ительны й инт ер в алнакр ы в ает истинное значение оц енив аемого пар аметр а. 2. П остр оение инт ер в альны х оц енок r

П уст ь ξ n - случай н ая вы бор ка объ е м а пиз ге н е р альн ой совокупн ост и сф ункц ией р аспр еделенияF(x, θ ), зав исящ ей от пар аметр а θ , значение ко-

5

т ор ого неизв естно. Рассмотр им один из наиболее р аспр остр аненны х методов постр оения ин т е р вальн ы х оце н ок для θ , св язанны й с использов анием r ц ен т ра льн ой ст а т ист ик и - лю бой ст ат ист ики Τ (ξ n ,θ ) , ф ункц ия р аспр еделениякот ор ой

{(

) }

r FΤ ( t ) = Ρ Τ ξ n , θ < t не зав исит от пар амет р а θ . П р имер ы ц ент р ал ь-

ны х ст атистикпр ив едем в дальней ш ем. Д ля упр ощ ения дальней ш их р ассуж дений будем пр едполагат ь следую щ ее: 1) ф ункц ия р аспр еделения FΤ ( t ) яв ляет ся непр ер ы в ной и в озр аст аю щ ей ; 2) заданы т акие полож ит ельны е числа α и β , чт о коэ ффицие н т дове р ия γ = 1 − α − β ; r 3) для лю бой р еализац ии x n в ы бор ки из генер альной сов окупности r ф ункц ия Τ ( x n ,θ ) яв ляет ся непр ер ы в ной и в озр аст аю щ ей (убы в аю щ ей ) ф ункц ией пар амет р а θ ∈ Θ . С огласно допущ ению 1, для лю бого q ∈ ( 0,1) сущ ест в ует единст в енны й кор ень hq ур ав нения FΤ ( t ) = q , кот ор ы й назы в аю т кв ант илью ур ов ня q ф ункц ии р аспр еделения FΤ ( t ) случай ной в еличины зом, согласно допущ ению 2, имею т мест о р ав енст в а

r Τ ξ n ,θ .Т аким обр аr Ρ hα < Τ x n ,θ < h1− β

(

{

)

(

}

)

= FΤ ( h1− β ) − FΤ ( hα ) =1 − α − β = γ , (2) кот ор ы е спр ав едлив ы для лю бы х в озмож ны х значении пар аметр а θ , т ак r как Τ (ξ n ,θ ) - ц ентр альнаяст ат истика, и ее ф ункц ияр аспр еделения FΤ ( t ) не зав исит от θ . Д ля пост р оения искомой инт ер в альной оц енки в оспользуемсяследую щ ими сообр аж ениями. r П уст ь для опр еделенности ф ункц ия Τ (ξ n ,θ ) яв ляет ся в озр аст аю щ ей ф ункц ией пар аметр а θ . Т огда, согласно допущ ению 3, для каж дой в ы бор uur r r r ки xn ∈ ξ n ур ав нения Τ ( x n ,θ ) = hα и Τ ( x n ,θ ) = h1− β имею т единст в енны е р еш еr

r

ния θ ( x n ) и θ ( x n ) соотв ет ст в енно. П р и этом нер ав енст в а

hα <

r Τ x n ,θ

(

)

uur uur < h1− β и θ xn < θ < θ xn яв ляю тсяр ав носильны ми, т.е. длялю бой р еаuur лизац ии в ы бор ки xn они в ы полняю т ся или не в ы полняю т ся однов р емен-

( )

( )

но. Т аким обр азом,

{

} {( )

( )}

r uur uur γ = Ρ hα < Τ ξ n ,θ < h1− β = Ρ θ ξ n < θ < θ ξ n

(

)

и

(θ (ξ ) , θ (ξ )) uur

uur

n

n

искомая

инт ер в альнаяоц енка. Зав ер ш ая р ассуж дения, заметим, что ф акт ически постр оение дове р ит е льн ого ин т е р вала св одит сякв ы полнению следую щ их дей ст в ий : r 1) постр оение ц ент р альной ст ат ист ики Τ (ξ n ,θ ) сизв ест ной ф ункц ией р аспр еделения FΤ ( t ) ;

6

2) пр едстав ление заданного коэф ф иц иент а дов ер ия γ в в иде γ = 1−α − β ; 3) нахож дение кв ант илей ha и h1− β ур ов ня α и 1 − β ф ункц ии р аспр еделения FΤ ( t ) ; uur

uur

4) нахож дение значений н иж н е й θ ( xn ) и ве р хн е й θ ( xn ) гр ан иц иско-

мой интер в альной оц енки пут ем р еш енияур ав нений r Τ x n , θ = hα ,

(

r Τ x n , θ = h1− β

)

(

)

(3)

r соот в ет ст в енно в случае, когда Τ x n ,θ — в озр аст аю щ аяф ункц ияпар амет r uur р а θ . Е сли ж е Τ x n ,θ — убы в аю щ ая ф ункц ия пар аметр а θ , то θ ξ n и uur uur r θ ξ n получаю т пут ем р еш ения ур ав нений Τ xn ,θ = h1− β и Τ x n , θ = hα со-

(

( )

)

(

)

(

)

(

)

( )

от в ет ст в енно. 3. П р имер ы пост р оенияинт ер в альны х оц енок Рассмот р им постр оение инт ер в альной оц енки для пар аметр ов некот ор ы х часто используемы х р аспр еделений . r Экспон е н циальн ое р аспр е де ле н ие . П уст ь ξ n — случай ная вы бор ка объ е м а п из ге н е р альн ой совокупн ост и с э кспон е н циальн ы м закон ом р аспр еделения, имею щ им плот ност ь р аспр еделения f ( x ) = λ ⋅ e − λ x Ι[0,+∞ ) ( x ) , где λ - неизв ест ны й пар аметр .

Т р ебует ся пост р оитьr интер в альную оц енку для пар аметр а λ по данны м случай ной в ы бор ки ξ n . r В данном случае θ = λ . Рассмотр им ст ат ист ику Τ (ξ n , λ ) = 2λ n ⋅ ξ , где uur

вы бор очн ое ср е дн е е для ξ n . Э т а ст атист ика имеет χ 2 -р аспр е де ле н ие с 2 n ст е пе н ям и свободы , т .е. яв ляет ся це н т р альн ой ст ат ист икой . У р ав нения(3) в данном случае пр инимаю т в ид 2λn Χ = χα2 ( 2n ) , 2λn Χ = χ12− β , где χ q2 ( 2n ) — кв ант ил ь ур ов ня q для хикв адр ат р аспр еделенияс2 n ст епенями св ободы . П олучаем, чт о н иж н яя и ве р хн яя гр ан ицы инт ер в альной оц енки скоэ ффицие н т ом дове р ия γ = 1 − α − β для пар аметр а λ экспоненц иального р аспр еделения имею т в ид ξ -

uur χα2 ( 2n ) λ ξn = , 2n Χ

( )

uur χ12− β ( 2n ) λ ξn = 2n Χ

( )

uur

Н ор м альн ое р аспр е де ле н ие . П уст ь ξ x — случай наяв ы бор ка объема п из генер альной сов окупност и, р аспр еделенной по нор мальному закону с пар аметр ами µ и σ 2 . Рассмотр им некотор ы е в ар иант ы постр оения инт ер в альны х оц енокдляэт их пар аметр ов .

7

В ар иант1 - оц енка для мат ематического ож идания µ пр и изв ест ной диспер сии. В данном случае ст ат истика uur Χ−µ Τ ξn , µ = ⋅ n σ

(

)

имеет ст андар тное нор мальное р аспр еделение с пар аметр ами- µ = 0, uur σ = 1, т .е. яв л яет ся ц ент р альной ст ат истикой . Ф ункц ия Τ (ξ n , µ ) яв ляется 2

убы в аю щ ей ф ункц ией по µ , и сист ема ур ав нений (3) пр инимает в ид

(

( )) = u

uur n x − µ xn σ

1− β

(

( )) = u

uur n x − µ xn

,

σ

α

,

где uq - кв ант иль ур ов няq ст андар тного нор мального pacпpеделения. У читы в ая, чт о для нор мального закона u1−α = uα получаем следую щ ие ниж ню ю и в ер хню ю гр аниц ы γ -дове р ит е льн ого ин т е р вала для пар амет р а µ пр и γ = 1 − α − β : uur σ µ xn = x − ⋅ u1− β , n

uur σ µ xn = x + ⋅ u1−α . n

( )

( )

В ар иант 2 - оц енка мат ематического ож иданияпр и неизв ест ной диспер сии. П р и неизв ест ной диспер сии ст атист ика uur Χ−µ Τ ξn , µ = ⋅ n S

(

)

яв ляет ся ц ентр альной , т ак как имеет р аспр е де ле н ие С т ьюде н т а с 2 (n − 1) ст епенями св ободы , котор ое не зав исит от µ и σ . С ист ема ур ав нений (3) в данном случае пр инимает в ид

(

( )) = t

uur n x − µ xn

1− β

S

(

( )) = t

uur n x − µ xn

( n − 1) ,

S

α

( n − 1) ,

где tq ( n − 1) — кв антиль ур ов ня q р аспр еделения С т ью дент а с . п - 1 ст епенями св ободы . П оскольку плот ност ь р аспр еделения С т ью дент а - чет ная ф ункц ия, то tα ( n − 1) = −t1−α ( n − 1) . О т сю да заклю чаем, что ниж няя и в ер хняя гр аниц ы интер в альной оц енки с коэф ф иц иентом дов ер ия япар аметр а µ в случае снеизв ест ной диспер сией мож но опγ = 1 − α − β дл р еделит ь по ф ор мулам uur S µ xn = x − ⋅ t1− β , n

( )

uur S µ xn = x + ⋅ t1−α n

( )

В ар иант 3 - оц енка ср еднего кв адр атичного отклонения. Рассмотр им ст ат истику uur uur ( n − 1) S 2 ξn Τ ξn ,σ = . σ2

(

)

( )

Э т а стат истика яв ляет ся ц ентр альной , так как имеет хи-кв адр ат р аспр еделение с n − 1 ст епенями св ободы , котор ое не зав исит от µ и σ 2 . П р и

8 uur эт ом Τ ξ n , σ

(

)

- убы в аю щ ая ф ункц ия пар амет р а σ . И сходя из этого, соглас-

но (3), находим ниж ню ю и в ер хню ю гр аниц ы инт ер в альной оц енки дляпар аметр а σ скоэф ф иц иентом дов ер ия γ = 1 − α − β : uur S ξn n − 1 uur σ ξn = , χ12− β ( n − 1)

uur uur S ξ n n − 1 , σ ξn = χα2 ( n − 1)

( )

( )

( )

( )

где χ q2 ( n − 1) - кв ант иль ур ов няq дляхи-кв адр ат р аспр еделенияс n − 1 ст епенями св ободы . 4 П р иближ енны е инт ер в альны е оц енки С начала р ассмотр им част ны й случай постр оениятаких оц енок. П уст ь т р ебует ся най ти инт ер в альную оц енку для мат емат ического ож идания в случае, когда закон р аспр еделения генер альной сов окупност и неизв ест ен. П р едполагаем, чт о сущ ест в ую т конечны е мат ематическое ож идание µ = MX и диспер сия σ 2 = DX . Рассмотр им стат истику

uur Χ−µ Τ ξn = ⋅ n. σ

( )

В соот в ет ств ии с ц ент р альной пр едел ьной т еор емой эт а ст ат истика uur пр и больш их объемах случай ной в ы бор ки ξ n имеет закон р аспр еделения, близкий к ст андар тному нор мальному. П оэт ому пр и дост ат очно больш их n нер ав енст в а −u1− β ≤

Χ−µ ⋅ n ≤ u1−α σ

в ы полняю т сясв ер оят ност ью , близкой к в еличине γ = 1 − α − β , где uq — кв ант иль ур ов ня q ст андар тного нор мального р аспр еделения. П р ив еденны е нер ав енст в а экв ив алентны следую щ им: Χ−

σ σ u1−α ≤ µ ≤ Χ + u1− β / n n

Э ти нер ав енст в а не даю т ещ е инт ер в альной оц енки дляпар амет р а µ , т ак как их лев ая и пр ав ая част и содер ж ат неизв естны й пар аметр σ . П р именяя ещ е одно пр иближ ение, а именно: подст ав ляя в указанны е нер ав енuur ст в а в место неизв ест ного точного значения σ его оце н ку S (ξ n ) , получаем ниж ню ю и в ер хню ю гр аниц ы (пр иближ енной ) инт ер в альной оц енки с коэф ф иц иентом дов ер ия γ = 1 − α − β , дляматематического ож идания µ : uur S xn uur µ xn = Χ − ⋅ u1− β , n

( )

( )

uur S xn uur µ xn = Χ + ⋅ u1−α n

( )

( )

П р ив еденны й способ постр оения пр иближ енного дов ер ит ельного инт ер в ала мож ет пр именят ься и в следую щ ей более общ ей сит уац ии. uur П уст ь θ$ (ξ n ) - т очечнаян е см е ще н н ая оце н ка дляпар аметр а θ , пост р оенная по

данны м

случай ной

в ы бор ки

r ξ п.

О бозначим

чер ез

9

(( ) )

uur 2 uur ож им, что Vn (θ ) = M θ$ ξ n − θ значение диспер сии оц енки θ$ ξ n . П р едпол uur оц енка θ$ ξ n имеет асим пт от ически н ор м альн ое р аспр е де ле н ие . Д р угими uur θ$ ξ n − θ слов ами, нор мир ов аннаяслучай наяв еличина η n = Vn (θ )

( )

( )

( )

имеет р аспр еделение, кот ор ое пр и n → ∞ сходит ся к ст андар тному нор мальномур аспр еделению . В эт ом случае нер ав енст в а −u1− β ≤ ηn =

uur θ$ ξ n − θ

( )

Vn (θ )

≤ u1−α ,

где uq - кв антиль ур ов ня q ст андар тного нор мального закона р аспр еделения, в ы полняю т сясв ер оят ност ью , кот ор ую пр и достаточно больш их n мож но считат ь пр иближ енно р ав ной γ = 1 − α − β . У казанны е нер ав енст в а экв ив алент ны следую щ им: uur uur θ$ (ξ n ) − u1−α Vn (θ ) ≤ θ ≤ θ$ (ξ n ) + u1− β Vn (θ ) . Записанны е нер ав енст в а ещ е не даю т инт ер в альной оц енки для θ , т ак как их лев ая и пр ав ая част и содер ж ат неизв естны й пар аметр θ . П одст ав ляя в лев ую и пр ав ую част и указанны х нер ав енст в в мест о θ оц енку uur θ$ (ξ n ) , пол учаем окончательно следую щ ие н иж н юю и ве р хн юю гр ан ицы дляпар амет р а θ с коэ ффицие н т ом дове р ия γ = 1 − β − α : uur uur uur uur θ (ξ n ) = θ$ (ξ n ) − u1−α Vn (θ ) и θ (ξ n ) = θ$ (ξ n ) + u1− β Vn (θ ) И злож енны й метод яв ляется пр иближ енны м и мож ет пр именят ься пр и дост аточно больш ом объеме случай ной в ы бор ки. Замет им, что его использов ание ф акт ически св язано с "дв ой ны м пр иближ ением", а именно: закон р аспр еделения оц енки заменяю т нор мальны м и, кр оме того, в пр ив еденны х ф ор мулах для гр аниц инт ер в альной оц енки в диспер сию Vn (θ ) uur

в мест о т очного значения θ подст ав ляю т его оц енку θ$ (ξ n ) . П р и малы х и ср едних объемах случай ной в ы бор ки пр именение указанного метода мож ет пр ив одит ь к значит ельны м ош ибкам. П оэт омуиспользов ат ь его следует с дост ат очной степенью ост ор ож ност и и лиш ь в качест в е пер в ого пр иближ ения. П р имер 1. Рассмот р им постр оение пр иближ енного дов ер ит ельного инт ер в ала для пар амет р а р биномиального р аспр еделения. П уст ь пр ов одилось n = 16 незав исимы х испы т аний с неизв ест ной в ер оятност ью р "успеха" в каж дом испы тании, пр и этом наблю далось к = 8 „ успехов ". О пр еделим значения гр аниц дов ер ительного инт ер в ала для р с коэф ф иц иентом дов ер ия γ = 0,9. Значение точечной оц енки пар амет р а р опр еделяет сякак

10 !p = k n

диспер сияэт ой оц енки Vn ( p ) =

p (1 − p ) n

П р именяя пр ив еденны е в ы ш е ф ор мулы , получаем следую щ ие значениядляниж ней и в ер хней гр аниц дов ер ит ельного интер в ала: p = !p − u0,95

(

!p 1 − !p n

) = 0, 294,

p = !p + u0,95

(

!p 1 − !p n

) = 0, 706 .

П р имер 2. И з больш ой пар тии элект р оламп бы ло отобр ано случай ны м обр азом 400 ш т . для опр еделения ср едней пр одолж ительности гор ения. В ы бор очная ср едняя пр одолж ит ельност ь гор ения ламп оказалась р ав ной 1220 ч. Н ай дем скоэф ф иц иентом дов ер ия γ = 0,997 дов ер ит ельны й инт ер в ал для ср едней пр одолж ительности гор ения элект р олампы по в сей пар тии, если ср еднее кв адр атичное от клонение пр одолж ительности гор енияр ав но 35 ч. Н езав исимо от закона р аспр еделения ге н е р альн ой совокупн ост и (пр одолж ит ельности гор енияэлект р олампы ) ст ат ист ика Χ−µ ⋅ n , где σ

Χ=

1 n ∑ xi имеет асим пт от ически н ор м альн ое р аспр е де n i =1

ле н ие с пар амет р ами (0,1), что следует из ц ентр альной пр едельной теор емы . П оскольку объем в ы бор ки больш ой ( n = 400), то гр аниц ы дов ер ительного инт ер в ала находим по ф ор мулам пр иближ енного дов ер ительного инт ер в ала. Д ля α = 1 − γ = 0, 003 находим кв антиль нор мального р аспр еделения u α = 2,98. В сил усоотнош ений 1−

2

u

α 1− 2

⋅

σ учаем дов ер ит ельны й интер в ал ≈ 5,52 пол n

(1220-5,52; 1220+5,52)или (1214,48, 1225,52). П р имер 3. В р езульт ат е пусков 10 р акет получены (в услов ны х единиц ах) значения боков ы х от клонений т очек попадания от т очек пр иц елив ания(т абл.1). Т аблиц а 1 Н омер р аке- 1 2 3 4 ты О тклонение 1,0 0,2, 1,0 -0,1

5

6

7

-0,5

5,0 -1,0

8

9

10

3,0 0,5 1,0

П олагая, что случай наяв еличина ξ (случай ное от клонение точек попадания от точек пр иц елив ания) имеет нор мальное р аспр еделение, пост р оим дов ер ительны й интер в алдля ее мат емат ического ож идания с коэф ф иц иентом дов ер ия γ =0,99.

11

Д ля нахож дения дов ер ительного инт ер в ала в оспользуемся ст ат ист икой Χ−µ uur ⋅ n − 1 , ! σ xn

( )

кот ор аяимеет р аспр е де ле н ие С т ьюде н т а сп- 1 ст е пе н ью свободы . Вы бор очн ое ср е дн е е имеет значение 1 n 1 xi = (1+0,2+1-0,1-0,5+5-1+3+0,5+1) = 1,01, ∑ n i =1 10 2 1 n а вы бор очн ая диспе р сия — значение σ! = ∑ xi − x n i =1 x=

(

)

2

=

1 10

( (-0,01)2+0,992+… +(-0,01)2)=2,8673. Значение вы бор очн ого ср е дн е го квадр ат ичн ого от клон е н ия р ав но σ = 2,8649 = 1,69. П о т абл иц е кв ант илей р аспр еделенияС т ью дент а для n - 1 = 9 находим кв ант иль t

1−

α = 1 − γ =1-0,99 =0,01.

С ледов ат ельно, α ( n − 1) 1−

t

2

t

1−

α 2

α 2

α ( n − 1) ур ов ня 1 − . П о услов ию задачи 2

( n − 1) = t0,995 ( 9 ) = 3,25.

В ы числив

σ! 1, 69 ьны й интер в ал = 3, 25 ⋅ ≈ 1, 79 ,получаем дов ер ит ел 3 n −1

(1,01-1,79, 1,01 + 1,79), или (-0,78, 2,80). П р имер 4. И з пар тии однотипны х в ы сокоомны х сопр от ив лений отобр ано 10 ш т ук. У каж дого из них измер ены от клонения сопр от ив ления от номинального значения(табл. 2). Т аблиц а 2 Н омер изизде- 1 2 3 л ия О тклонение 1 3 -2

4 5 6 7 8 9 2 4 2 5 3 -2

10 4

П р едполагая, чт о конт р олир уемы й пр изнак имеет нор мальны й закон р аспр еделения, най дем в ы бор очное ср еднее Χ , испр авле н н ую вы бор очн ую диспе р сию S2 и дов ер ительны й инт ер в алдля диспер сии с коэф ф иц иентом дов ер ия γ = 0,96. Н аходим в ы бор очное ср еднее Χ = р очную диспер сию

(

)

1 n ∑ xi =2 и испр ав ленную в ы боn i =1

2

1 n S = ∑ xi − x =5,88. n − 1 i =1 2

Чт обы пост р оит ь дов ер ит ельны й инт ер в алдля диспер сии, в оспользуемсяст ат ист икой uur

( n − 1) S 2 (ξn ) σ

2

=

nσ!

2

uur

(ξ ) , имею щ ей n

σ

2

р аспр еделение хи-кв адр ат с n − 1 ст е-

пенью св ободы . В таблиц е кв антилей р аспр еделения хи-кв адр ат находим

12

кв ант или χ α2 ( n − 1) и χ 2 α ( n − 1) . В данном случае α = 1 − γ = 1-0,96 = 0,04 и 2

1−

2

р аспр еделение имеет дев ять ст епеней св ободы . 2 2 χ 0,02 ( 9 ) =2,09; χ 0,98 ( 9 ) = 21,07. Д лягр аниц дов ер ительного инт ер в ала получаем

( n − 1) S 2 = 5,88 ⋅ 9 = 2, 44; χ 2 α ( n − 1) 21, 07 1− 2

С ледов ат ельно,

( n − 1) S 2 = 5,88 ⋅ 9 = 24,89 . χ α2 ( n − 1) 2, 09 2

О т сю да находим дов ер ительны й инт ер в алдля диспер сии с коэф ф иц иентом дов ер ия0,96: (2,4,24,9). Задачи длясамостоят ельного р еш ения 1. П р ов ели 5 незав исимы х р ав нот очны х измер ений для опр еделения зар яда элект р она; получили следую щ ие р езульт ат ы (в абсолю тны х элект р ост ат ических единиц ах): 4,781, 4,792; 4,795 ; 4,779 ; 4,769. О пр еделит е значение оц енки в еличины зар яда элект р она и най дите дов ер ительны й инт ер в алпр и коэф ф иц иенте дов ер ия99 %, счит ая, что ош ибки р аспр еделены по нор мальномузаконуи измер енияне имею т сист ематических ош ибок. О т в ет : x = 4,783 ; (4,761 , 4,805 ). 2. Н а контр ольны х испы т аниях 16 осв ет ит ельны х ламп бы ли опр еделены значенияоц енокмат ематического ож иданияи ср еднего кв адр атичного от клонения их ср ока служ бы , кот ор ы е оказались р ав ны ми x = 3000 ч и σ! = 20 ч соотв ет ств енно. С чит ая, что конт р ол ир уемы й пр изнак (ср ок служ бы ламп) имеет нор мальны й закон р аспр еделения, опр еделит е: а) дов ер ительны й инт ер в алдля мат емат ического ож идания пр и дов ер ительной в ер оятности 0,9; б) в ер оят ност ь, с кот ор ой мож но ут в ер ж дат ь, что абсолю т ная в еличина ош ибки опр еделеният не пр ев ы сит 10 ч О т в ет : а) (2991,2, 3008,8); б) 0,93. 3. П р ов ели 40 измер ений базы длиной L. П о р езульт ат ам опы т а получены значения оц енок измер яемой в еличины и ср еднего кв адр атичного от клонения: x = 10400(м ) и σ! = 85(м). О ш ибки измер ения подчиняю т ся нор мальному закону р аспр еделения. Н ай дит е в ер оят ность т ого, что инт ер в алсо случай ны ми гр аниц ами (0,999 x , 1,001 x ) накр оет неизв ест ны й пар аметр L. О т в ет : 0,55. 4. П о р езульт ат ам 10 измер ений емкости конденсатор а пр ибор ом, не имею щ им систематической ош ибки, получили следую щ ие от клонения от номинального значения(пФ ): 5,4; -13,9; -11; 7,2; -15,6; 29,2; 1,4; -0,3; 6,6; -9,9.

13

Н ай дите 90%-ны й дов ер ит ельны й интер в алдля диспер сии и ср еднего кв адр атичного от клонения, пр едполагая, чт о генер альная сов окупност ь имеет нор мальное р аспр еделение. О т в ет : (96,81,49,34); (9,84,22,17). 5. П о 15 незав исимы м р ав нот очны м измер ениям бы ли р ассчитаны значения оц енок мат емат ического ож идания и ср еднего кв адр ат ичного от клонения максимальной скор ости самолет а v = 424,7м/с и σ v = 7,7м/с. С чит ая, что генер альная сов окупност ь имеет нор мальное р аспр еделение, опр еделите: а) дов ер ит ельны й инт ер в алдля ср еднего кв адр ат ичного от клонения пр и дов ер ит ельной в ер оятност и 0,9; б) в ер оятност ь т ого, что абсолю т ная в еличина случай ной ош ибки пр и опр еделении σ v по 15 измер ениям не пр ев зой дет 2 м/с. О т в ет: а) (6,69, 12,7); б) 0,76. 6. И зв ест но, что измер ит ельны й пр ибор не имеет сист емат ических ош ибок, а случай ны е ош ибки измер енияподчиняю тсянор мальномузакону р аспр еделения. С колько надо пр оизв ест и измер ений для опр еделения оц енки ср еднего кв адр ат ичного от клонения пр ибор а, чт обы с дов ер ительной в ер оят ност ью 70% абсолю тнаяв еличина ош ибки опр еделенияэтой в еuur личины бы ла не более 20 % от σ! (ξ n ) ? О т в ет : не менее 15 измер ении. 7. П р и пр ов ер ке 100 дет алей из больш ой пар тии обнар уж ено 10 бр аков анны х. Н ай дит е 95 %-ны й дов ер ит ельны й интер в алдлядоли бр аков анны х дет алей в о в сей пар тии. О т в ет : (0,055,0,174). 8. И з больш ой пар т ии т р анзистор ов одного т ипа бы ли случай ны м обр азом отобр аны и пр ов ер ены 100 ш т. К оэф ф иц иент усиления 36 тр анзист ор ов оказался меньш е 10. Н ай дите 95 %-ны й дов ер ительны й инт ер в ал длядоли т аких т р анзист ор ов в о в сей пар т ии. . О т в ет : (0,266,0,454).

14

Л И Т Е РАТ У РА 1. И в ченко Г .И . Математ ическая ст атистика / Г .И . И в ченко, Ю .И . Медв едев . – М. : В ы сш аяш кола, 1992. – 248 c. 2. Мат ематическая ст ат ист ика / В .Б. Г ор яинов [ и др . ]. – М. : изд-в о МГ Т У , 2001. – 424 с. 3. Т еор ия в ер оят ност ей и мат ематическая ст ат истика в задачах: учебное пособие дляв узов / В .А. В ат ут ин [и др .]. – М. : Д р оф а, 2003. – 328 с.

15

С ост ав ит ели: Бар ков а Л ар иса Н иколаев на Михай лов а И р ина В ит альев на Редакт ор Т ихомир ов а О .А.

16

17