Математика. Часть 3. Элементы теории вероятностей. Учебно-методическое пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математика

Часть III Элементы теории вероятностей Учебно-методическое пособие Специальности 060108 (040500) — Фармация

Воронеж 2006

Утверждено научно-методическим советом математического факультета 12 января 2006 года Протокол № 5

Составитель Шабров С.А.

Учебно-методическое пособие подготовлена на кафедре математического анализа математического факультета Воронежского государственного университета Рекомендуется для студентов 1 курса всех форм обучения Пособие написано в соответствии с программой курса «Математика». Оно содержит краткие теоретические сведения и задачи для самостоятельного решения.

Пусть имеется множество M = {x1 , x2 , . . . , xn }, состоящее из n различных элементов. Множество, состоящее из k элементов, взятых из множества X, называется выборкой. Упорядоченной называется выборка, для которой важен порядок следования элементов. Если каждый элемент множества M может извлекаться несколько раз, то выборка называется выборкой с повторениями. ekn Число упорядоченных выборок или размещений с повторениями A и без повторений Akn равно ekn = nk и Akn = A

n! , (n − k)!

где k! = 1 · 2 · . . . · k. Если k = n, то размещения без повторений называются перестановками, т. е. расположение элементов исходного множества в определенном порядке. Число перестановок из n элементов равно Pn = n! Пустое множество можно упорядочить одним способом: P0 = 0! = 1. enk и Число неупорядоченных выборок (сочетаний) с повторениями C без повторений Ckn равно n! enk = (n + k − 1)! и Cnk = C . k!(n − 1)! k!(n − k)! Число различных разбиений множества из n элементов на m непересекающихся подмножеств (причем в 1-м подмножестве k1 элементов, во 2-м — k2 элементов и т. д., и n = k1 + k2 + . . . + km ) равно Pn (k1 , . . . , km ) =

1.

n! . k1 ! · . . . · km !

Вычисление вероятностей случайных событий

Приведем необходимые определения. Событием или исходом называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Если событие неизбежно произойдет в каждом эксперименте, то оно называется достоверным (обозначаемое через Ω); если же оно не может произойти — невозможным (обозначаемое через ∅). Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно. 3

Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A + B, или A ∪ B) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно. Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A · B или A ∩ B) называется такое событие, которое заключается в том, что оба события A и B происходят вместе. Противоположным событию A называется такое событие A, которое заключается в том, что событие A не происходит. События Ak (k = 1, 2, . . . , n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие. При классическом определении вероятность события определяется равенством m P (A) = , n где m — число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события A; n — общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны. Пример 1. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара — белые? 10 · 9 2 Решение. Здесь число всех исходов n = C10 = = 45. Число же 1·2 6·5 исходов, благоприятствующих событию A, равно m = C62 = = 15. 1·2 15 1 Тогда P (A) = = . 45 3 Задачи для самостоятельного решения 1.1. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар? 1.2. В лотерее 2000 билетов. На один билет падает выигрыш 100 руб., на четыре билета — выигрыш по 50 руб., на десять билетов — выигрыш по 20 руб., на двадцать билетов — выигрыш по 10 руб., на 165 билетов — выигрыш по 5 руб., на 400 билетов — выигрыш по 1 руб. Остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по билету не менее 10 руб.? 1.3. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны. 4

1.4. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность — четырем; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение — четырем. 1.5. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик имеет окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три. 1.6. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная. 1.7. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10? 1.8. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар? 1.9. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые. 1.10. В ящике a белых, b черных и c синих шаров. Вынули один шар. Вычислить вероятность того, что вынутый шар: 1) белый; 2) черный; 3) синий; 4) белый или черный; 5) белый или синий; 6) черный или синий. 1.11. В урне 9 белых и 1 черный шар. Вынули сразу три шара. Какова вероятность того, что все шары белые? 1.12. Вероятность того, что в течение дня произойдет неполадка станка, равна 0,03. Какова вероятность того, что в течении четырех дней подряд не произойдет ни одной неполадки? 1.13. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. 1.14. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором — с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров: 1) не меньше 7; 2) равна 11; 3) не больше 11? 1.15. В лотерее 1000 билетов. Из них 500 — выигрышные и 500 — невыигрышные. Куплено два билета. Какова вероятность того, что оба 5

билета выигрышные? 1.16. В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 учеников получили оценку «отлично», 10 учеников — «хорошо», 9 учеников — «удовлетворительно». Какова вероятность того, что все ученика, вызванные к доске, имеют неудовлетворительные оценки по контрольной работе? 1.17. В партии из N деталей имеется n стандартных. На удачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных. Геометрическое определение вероятности.1 Пусть в некоторую область случайным образом попадает точка T , причем все точки области Ω равноправны в отношении попадания точки T . Тогда за вероятность попадания точки T в область A принимается отношение SA , P (A) = SΩ где SA и SΩ — геометрические меры (длина, площадь, объем и т.д.) областей A и Ω соответственно. Пример 2. На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу нанесена точка B(x). Найти вероятность того, что отрезки OB и BA имеют L длину, большую . 4 Решение. Отрезок OA разделим на четыре равные части точками C, D и E. Пусть событие A Рис. 1. отрезки OB и BA имеют длину, L большую . Тогда требование задачи будет выполнено (см. рис. 1), если 4 L точка B попадет на отрезок CE, длина которого равна , следовательно, 2 L/2 1 = . P (A) = L 2 Задачи для самостоятельного решения 1.18. (Задача о встрече). Два студента A и B условились встретиться в определенном месте во время перерыва между 13 ч и 13 ч 50 мин. 1

В случае классического определения вероятность невозможного события равна нулю. Справедливо и обратное утверждение, т. е. если вероятность события равна нулю, то событие невозможно. При геометрическом же определении вероятности обратное утверждение не имеет места. Вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти и, следовательно, не является невозможным.

6

Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных 50 мин может произойти наудачу и моменты прихода независимы? 1.19. На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. 1.20. В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения. 1.21. Точка взята наудачу внутри круга радиуса R. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от расположения внутри круга. 1.22. Самолет, имеющий радиолокационную станцию с дальностью действия d, осуществляет поиск со скоростью v в достаточно большом районе площадью S, в любой точке которого может находится в течение времени t подводная лодка. Найти вероятность обнаружения подводной лодки, если время t невелико и лодка обнаруживается при попадании в зону действия радиолокатора. 1.23. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры. 1.24. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r < a. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых. 1.25. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной a наудаa чу брошена монета радиуса r < . Найти вероятность того, что монета 2 не пересечет ни одной из сторон квадрата. Предполагается, что веро7

ятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади фигуры и не зависит от ее расположения. 1.26. На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены две точки: B(x) и C(y), причем y > x. Найти вероятность того, что длина отрезка BC меньше длины отрезка OB. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси. 1.27. Задача Бюффона2 . Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу бросают иглу длины 2l (l < a). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую. 1.28. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью T . Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t (t < T ). Найти вероятность того, что сигнализатор срабатывает за время T , если каждое из устройств пошлет но одному сигналу. 1.29. Найти вероятность того, что из трех наудачу взятых отрезков длиной не более L можно построить треугольник. Предполагается, что вероятность попадания точки в пространственную фигуру пропорциональна объему фигуры и не зависит от ее расположения.3 1.30. Коэффициенты b и c квадратного уравнения x2 + bx + c = 0 выбираются наугад из сегмента [0, 1]. Какова вероятность, что корни этого уравнения будут действительными? При стастическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту, которая определяется равенством ω(A) =

m , n

где m — число испытаний, в которых событие A наступило; n — общее число произведенных испытаний. Пример 3. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления бракованных книг. 2 3

французский естествоиспытатель XVIII в. Указание. Ввести в рассмотрение пространственную систему координат.

8

Решение. Согласно определению имеем ω(A) =

5 = 0, 05. 100

1.31. По цели произведено 20 выстрелов, причем зарегистрировано 18 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель. 1.32. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.

2.

Теоремы теории вероятностей

Событие A называется независимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет. Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет. Вероятность события A, вычисленная при условии, что имело место другое событие B, называется условной вероятностью события A и обозначается PB (A). Условие независимости события A от события B можно записать в виде PB (A) = P (A), а условие зависимости — в виде PB (A) 6= P (A). Теорема 1 (Теорема сложения вероятностей несовместных событий). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: P (A + B) = P (A) + P (B). Теорема 2 (Теорема сложения вероятностей совместных событий). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: P (A + B) = P (A) + P (B) − P (A · B). Теорема 3 (Теорема умножения вероятностей). Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: P (A · B) = P (A) · PA (B). 9

В частности, для независимых событий P (A · B) = P (A) · P (B), т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Условная вероятность события Ak , определенная в предположении, что осуществились события A1 , A2 , . . . , Ak−1 обозначается PA1 A2 ...Ak−1 (Ak ). Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место: P (A1 A2 . . . Ak ) = P (A1 ) · PA1 (A2 ) · PA1 A2 (A3 ) · . . . · PA1 A2 ...·Ak−1 (Ak ), В случае независимых событий справедлива формула P (A1 · A2 · . . . · Ak ) = P (A1 ) · P (A2 ) · . . . · P (Ak ). Пример 4. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что один из вынутых шаров белый, а другой — черный. Решение. Пусть событие событие событие событие

A B C D

— — — —

появление появление появление появление

белого шара из первого ящика; белого шара из второго ящика; черного шара из первого ящика; черного шара из второго ящика.

Заметим, что C = A и D = B. Имеем 2 1 P (A) = , P (B) = , 5 3 1 4 P (C) = P (A) = 1 − = , 5 5 2 1 P (D) = P (B) = 1 − = . 3 3 Вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, белый, а из второго ящика — черный равна P (A · D) = P (A) · P (D) = 10

1 1 1 · = . 5 3 15

Вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, черный, а из второго ящика — белый равна P (BC) = P (B) · P (C) =

2 4 8 · = . 3 5 15

Вероятность того, что шар, вынутый из одного ящика (безразлично из первого или второго), окажется белым, а шар, вынутый из другого ящика, — черным, найдем применяя теорему сложения вероятностей P (A · D + B · B) = P (A·) + P (B · C) =

8 3 1 + = . 15 15 5

Задачи для самостоятельного решения 2.1. В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена. 2.2. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: белый; черный; синий; красный; белый или черный; синий или красный; белый, черный или синий. 2.3. Доказать, что если событие A влечет за собой событие B, то P (B) > P (A). 2.4. Вероятности появления каждого из двух независимых событий A1 и A2 соответственно равны p1 и p2 . Найти вероятность появления только одного из этих событий. 2.5. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго — 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков. 2.6. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго — 0,8, для третьего — 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель. 2.7. В ящике a белых и b черных шаров. Какова вероятность того, что из двух вынутых шаров один белый, а другой — черный? (Вынутый шар в урну не возвращается). 2.8. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном вы11

стреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8. 2.9. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное. 2.10. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность. 2.11. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время t) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что за время t безотказно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента. 2.12. Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи принимают правильное решение независимо друг от друга с вероятностью p, а третий судья для принятия решения бросает монету. Окончательное решение жюри принимает по большинству голосов. Какова вероятность того, что жюри примет правильное решение? 2.13. Все трое членов жюри принимают независимо друг от друга правильное решение с вероятностью p. Каким должно быть p, чтобы данное жюри принимало правильное решение с большей вероятностью, чем жюри из предыдущей задачи? 2.14. Талантливый сантехник Миша обязательно раз в неделю напивается “до чёртиков” (только раз, но обязательно). Найти вероятности следующих событий: а) Миша напьётся во вторник, если он был трезв в понедельник; б) Миша будет трезв в среду и в четверг, если он не пил в понедельник и во вторник; в) Миша будет пьян в один день с электриком Колей, который ведёт себя так же, но независимо от Миши.

3.

Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Вероятность события A, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) B1 , B2 , . . . , Bn , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из

12

гипотез на соответствующую условную вероятность события A: n X P (A) = P (Bk ) · PBk (A),

(1)

k=1

где

n X

P (Bk ) = 1. Равенство (1) называют формулой полной вероятно-

k=1

сти. Пример 5. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету). Решение. Обозначим через A событие — извлечен белый шар. Возможны следующие варианты (гипотезы) первоначального состава шаров: B1 — белых шаров нет, B2 — один белый шар, B3 — два белых шара. Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (как образующих полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при усло1 вии, что первоначально в урне не было белых шаров, PB1 (A) = . 3 Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при усло2 вии, что первоначально в урне был одни белый шар, PB2 (A) = . 3 Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при усло3 вии, что первоначально в урне было два белых шара, PB3 (A) = = 1. 3 Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности: P (A) =

3 X

P (Bk )PBk (A) =

k=1

1 1 1 2 1 3 2 · + · + · = . 3 3 3 3 3 3 3

Задачи для самостоятельного решения 3.1. В продажу поступили телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 10 % телевизоров с дефектом, второго — 5 % и третьего — 3 %. Какова вероятность купить неисправный телевизор, если в магазин поступило 25 % телевизоров с первого завода, 55 % — со второго и 20 % — с третьего? 3.2. Для решения вопроса идти в кино или на лекцию, студент подбрасывает монету. Если студент пойдет на лекцию, он разберется в теме 13

с вероятностью 0,9, а если в кино — с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что студент разберется в теме? 3.3. Имеются две урны. В первой урне два белых и три черных шара, во второй — три белых и пять черных. Из первой и второй урн не глядя берут по одному шару и кладут их в третью урну. Шары из третьей урны перемешиваются и берут из нее наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белый. 3.4. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10 % — государственные органы, 20% — другие банки, остальные — физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращен, составляют 0,01, 0,05 и 0,2 соответственно. Определить, какая доля кредитов в среднем не возвращается. 3.5. В ящике имеется N изделий, среди которых могут быть и бракованные. Вынутое наугад изделие оказалось небракованным. Определить вероятность того, что: все изделия в ящике небракованные; N −1 изделий небракованных и одно изделие бракованное; N − 2 изделий небракованных и два изделия бракованных; . . . ; все N изделий в ящике бракованные. 3.6. В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй — 3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар — белый. 3.7. Имеется четыре урны. В первой урне 1 белый и 1 черный шар, во второй — 2 белых и 3 черных, в третьей — 3 белых и 5 черных шаров, и четвертой — 4 белых и 7 черных шаров. Событие Hi — выбор i-й урны (i = 1, 2, 3, 4). Известно, что вероятность выбора i-й равна i/10. Выбирают наугад одну из урн и вынимают из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый. 3.8. В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету). 3.9. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из 14

наудачу взятой винтовки. 3.10. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на первом заводе, 20 деталей — на втором заводе и 18 деталей — на третьем заводе. Вероятность того, что деталь, изготовленная на первом заводе, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на втором и третьем заводах, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества. 3.11. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар. 3.12. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым. 3.13. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен. Пусть событие A может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) B1 , B2 , . . . , Bn , которые образуют полную группу событий. Если событие A уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Бейеса PA (Bi ) =

P (Bi ) · PBi (A) n X P (Bk ) · PBk (A)

(i = 1, 2, . . . , n).

k=1

Пример 6. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него? Решение. Пусть B1 — гипотеза: для поражения мишени была выбрана 15

винтовки с оптическим прицелом; B2 — без оптического прицела. По 4 6 условию задачи P (B1 ) = , P (B2 ) = , PB1 (A) = 0, 95 и PB2 (A) = 10 10 0, 8. По формуле полной вероятности находим вероятность события A — мишень поражена: 4 6 · 0, 95 + · 0, 8 = 0, 86. 10 10 По формуле Бейеса находим вероятности гипотез: P (A) =

PA (B1 ) =

0, 4 · 0, 95 19 = 0, 86 43

и

PA (B2 ) =

0, 6 · 0, 8 24 = . 0, 86 43

Так как PA (B2 ) > PA (B1 ), то вероятнее, что винтовка была без оптического прицела. Задачи для самостоятельного решения 3.14. В первой урне 1 белый и 2 черных шара, во второй — 100 белых и 100 черных шаров. Из второй урны переложили один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар ранее находился во второй урне, если известно, что он белый? 3.15. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором — 10 белых и 10 черных шаров, в третьем — 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика. 3.16. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй — 84 %. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом. 3.17. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина. 3.18. В специализированную больницу поступают в среднем 50 % больных с заболеванием K, 30 % — с заболеванием L, 20 % — с заболеванием M . Вероятность полного излечения болезни K равна 0,7; для болезней 16

L и M эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K. 3.19. Событие A может появиться при условии появления лишь одного из несовместных событий (гипотез) B1 , B2 , . . . , Bn , образующих полную группу событий. После появления события A были переоценены вероятности гипотез, т. е. были найдены условные вероятности PA (Bk ) (k = 1, 2, . . . , n). Доказать, что n X

PA (Bk ) = 1.

k=1

3.20. Событие A может появиться при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) B1 , B2 , B3 , образующих полную группу событий. После появления события A были переоценены вероятности гипотез, т. е. были найдены условные вероятности этих гипотез, причем оказалось, что PA (B1 ) = 0, 6 и PA (B2 ) = 0, 3. Чему равна условная вероятность PA (B3 ) гипотезы B3 ? 3.21. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии. 3.22. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны p1 = 0, 4, p2 = 0, 3, p3 = 0, 5. 3.23. Две из четырех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа первой, второй, третьей и четвертой ламп соответственно равны: p1 = 0, 1, p2 = 0, 2, p3 = 0, 4, p4 = 0, 4. 3.24. Задача р разорении. Петя с папой играют в следующую игру. Петя бросает монету, предварительно сообщив папе, какая сторона, по его мнению, выпадет: «орел» или «решка». Если Петя угадал, то папа платит Пете 1 руб., в противном случае Петя платит папе 1 руб. Начальный капитал Пети составляет x = 100 руб. Игра продолжается до тех пор, 17

пока Петя не наберет заранее определенную сумму s, либо пока он не разорится, проиграв весь имеющийся капитал x. Найти вероятность того, что Петя разорится, так и не набрав желаемую сумму, если эта сумма s составляет: а) 110 руб; б) 1000 руб. 3.25. В условиях предыдущей задачи папа играет нечестно: он дал Пете монету со смещенным центром тяжести, так что Петя (считая монету «правильной» и выбирая в среднем в половине случаев «орел» и в поло2 вине случаев — «решку» выигрывает с вероятностью и проигрывает 5 3 с вероятностью . Начальный капитал Пети составляет, как и в преды5 дущей задаче, x = 100 руб. Игра продолжается до тех пор, пока Петя не наберёт заранее определённую сумму s, либо пока он не разорится, проиграв весь имеющийся капитал x. Найти вероятность разорения Пети в общем случае (для произвольной суммы s) и в конкретных случаях s = 110 руб. и s = 1000 руб. 3.26. Что произойдет с вероятностью разорения Пети в условиях двух предыдущих задач, если ставка на каждом ходе будет равна не 1 руб., как раньше, а 3 руб.? 3.27. Найти среднюю продолжительность m(x) игры, описанной в задаче 3.24.. 3.28. Задача о разборчивой невесте. У одной из Машиных подруг есть достаточно большое число женихов. Заранее она ничего о своих женихах не знает, кроме их числа n. Расположившись в очередь в случайном порядке, женихи представляются разборчивой невесте один за другим, так что, встречая очередного жениха, она знает всех предшествующих. Представленный и отвергнутый жених больше не возвращается. Невеста решила избрать следующую стратегию выбора: она просматривает первых m женихов, никого не выбирая, а затем останавливает свой выбор на первом из оставшихся (n−m) женихов, который окажется лучше, чем любой из первых m женихов. Найти вероятность Pm (A), сделать наилучший выбор при такой стратегии. Определить такое число mn , чтобы вероятность Pmn (A) была максимальной среди всех Pm (A), m = 0, 1, 2, . . . , n. 3.29. Шейх разгневался на звездочёта и приказал казнить его, но в последний момент передумал и решил дать звездочёту возможность спастись. Он взял два чёрных и два белых шара, отличающихся только цветом, и предложил звездочёту распределить их произвольным образом по двум одинаковым сундукам. Палач должен с завязанными глазами выбрать сундук и достать из него один шар. Если он достанет белый шар, 18

шейх помилует звездочёта, в противном случае — казнит. Как звездочёт должен распределить шары по сундукам, чтобы иметь наибольшие шансы спастись?

4.

Повторные испытания. Формула Бернулли

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A одна и та же и равна p, то вероятность того, что событие A появится в этих n испытаниях k раз, выражается формулой Бернулли Pk,n (A) = Cnk pk q n−k , где q = 1 − p. Пример 7. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)? Решение. Пусть A — партия выиграна. Играют равносильные шах1 матисты, поэтому вероятность выигрыша p = ; следовательно, вероят2 1 ность проигрыша q = 1 − p = . Так как во всех партиях вероятность 2 выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли. Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны: µ ¶2 µ ¶2 1 3 4·3 1 2 2 4 = . P2,4 (A) = C4 p q = 1·2 2 2 8 Вероятность того, что будут выиграны три партии из шести, равна µ ¶3 µ ¶3 6·5·4 1 1 5 3 3 3 P3,6 (A) = C6 p q = = . 1·2·3 2 2 16 Так как P2,4 (A) > P3,6 (A), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести. Задачи для самостоятельного решения 4.1. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются. 19

4.2. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз. 4.3. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми. 4.4. Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она упадет гербом вверх? 4.5. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых? 4.6. Вероятность появления события A равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие A появится не более трех раз? 4.7. В каждом из четырех ящиков по 5 белых и по 15 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность вынуть два белых и два черных шара? 4.8. Отрезок AB разделен точкой C в отношении 2 : 1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки C и две — правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. 4.9. На отрезок AB длины a наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки A на расстоянии, меньшем x, а три — на расстоянии, большем x. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. 4.10. Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок наудачу брошено восемь точек. Найти вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. Число k0 называется наивероятнейшим числом наступлений события A в n испытаниях, если значение Pk,n (A) при k = k0 не меньше остальных значений Pk,n (A), т. е. Pk0 ,n (A) > Pk,n (A). Если p 6= 0 и p 6= 1, то число k0 можно определить из двойного неравенства np − q 6 k0 6 np + p. 20

Разность граничных значений в этом двойном неравенстве равна 1. Если np + p не является целым числом, то двойное неравенство определяет лишь одно наивероятнейшее значение k0 . Если же np + p — целое число, то имеются два наивероятнейших значения: k01 = np − q и k02 = np + p. Пример 8. Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель. Решение. Здесь n = 25, p = 0, 7, q = 0, 3. Следовательно, 25 · 0, 7 − 0, 3 6 k0 6 25 · 0, 7 + 0, 7 или 17, 2 6 k0 6 18, 2. Так как k0 — целое число, то k0 = 18. Задачи для самостоятельного решения 4.11. В урне 10 белых и 40 черных шаров. Вынимают подряд 14 шаров, причем цвет регистрируют, а затем шар возвращается в урну. Определить наивероятнейшее число появлений белого шара. 4.12. Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель. 4.13. Имеется 100 урн с белыми и черными шарами. Вероятность появления белого шара из каждой урны равна 0,6. Найти наивероятнейшее число урн, в которых все шары белые. 4.14. В результате многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения дождя 1 октября в данном городе равна 1/7. Определить наивероятнейшее число дождливых дней 1 октября в данном городе за 40 лет. 4.15. Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном взятом наудачу ящике детали окажутся стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все детали стандартные. 4.16. Первый рабочий за смену может изготовить 120 изделий, а второй — 140 изделий, причем вероятности того, что эти изделия высшего сорта, составляют соответственно 0,94 и 0,8. Определить наивероятнейшее число изделий высшего сорта, изготовленных каждым рабочим. 4.17. В урне 100 белых и 80 черных шаров. Из урны извлекают n шаров (с возвратом каждого вынутого шара). Наивероятнейшее число появлений белого шара равно 11. Найти n. 4.18. Вероятность появления события в одном опыте равна 0,78. Чему равно наивероятнейшее число наступления события в 150 опытах? 21

5.

Повторные испытания. Формула Пуассона

В случае, когда число n испытаний Бернулли велико, расчеты по формуле Бернулли становятся затруднительными. Если при этом вероятность p успеха в каждом испытании мала, так что можно считать, что n → ∞, np → λ = const, для расчета Pk,n (A) можно пользоваться приближённой формулой Пуассона: ak −a Pk,n (A) ≈ Pk (A) = e (k = 0, 1, . . .), k! где a = np. На практике формулой Пуассона пользуются в случае, когда число n несколько десятков или более, а произведение a = np < 10. Пример 9. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 180 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит точно два вызова? 120 Решение. За минуту АТС в среднем получает = 3 вызова, т. е. 60 a = 3. Тогда 32 −3 P2 (A) = e = 4, 5 · e−3 . 2! По таблице приложения A находим e−3 = 0, 04979. Тогда P2 (A) = 4, 5 · 0, 04979 = 0, 22406. Задачи для самостоятельного решения 5.1. На лекции по теории вероятностей присутствует 200 человек. Вероятность того, что день рождения случайно выбранного студента при1 ходится на определенный день года, составляет . Найти вероятность 365 того, что один человек из присутствующих родился 1 января, и два человека родились 8 марта. 5.2. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит точно два вызова? 5.3. Книга в 1000 страниц имеет 100 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее четырех опечаток? 5.4. Среди семян ржи имеется 0,2 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 10000 семян обнаружить 5 семян сорняков? 22

6.

Локальная и интегральная теоремы Лапласа

В случае, когда n велико, а a = np > 10, формула Пуассона дает очень грубое приближение, и для расчета Pk,n (A) используют локальную и интегральную теоремы Лапласа. Теорема 4 (Локальная теорема Лапласа). Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события A равна p (0 < p < 1), событие A наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна Pk,n (A) = √ где

1 ϕ(xk ), npq

1 2 ϕ(x) = √ e−x /2 , 2π

k − np xk = √ . npq

Отметим, что приведенная формула вычисления вероятности тем точнее, чем больше n. Таблица функции ϕ(x) для положительных значений x приведена в приложении B; для отрицательных значений x пользуются этой же таблицей (так как функция ϕ(x) четная, т. е. ϕ(−x) = ϕ(x)). Теорема 5 (Интегральная теорема Лапласа). Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события A равна p (0 < p < 1), событие A наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна Pk1 ,k2 (A) = Φ(x2 ) − Φ(x1 ). Здесь 1 Φ(x) = √ 2π

Zx e−z

2

/2

dz

0

— функция Лапласа, k1 − np x1 = √ , npq

k2 − np x2 = √ . npq

Таблица функции Лапласа для положительных значений x (0 6 x 6 5) приведена в приложении C; для значений x > 6, 5 полагают Φ(x) = 0, 5. Для отрицательных значений x используют эту же таблицу, учитывая, что функция Лапласа нечетная, т. е. Φ(−x) = −Φ(x). 23

Пример 10. Найти вероятность того, что событие A наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6. Решение. Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа: 1 Pk,n (A) = √ ϕ(x1 ), npq где x1 равно k − np 1400 − 2400 · 0, 6 40 x1 = √ = √ = − = −1, 67. npq 24 2400 · 0, 6 · 0, 4 Так как функция ϕ(x) — четная, то ϕ(−1, 67) = ϕ(1, 67). По таблице приложения B найдем ϕ(1, 67) = 0, 09893. Искомая вероятность 1 · 0, 09893 = 0, 00412. P1400,2400 (A) = 24 Пример 11. Вероятность появления события A за время испытаний равна 0,8. Определить вероятность того, что в 100 испытаниях событие A появится не менее 75 и не более 90 раз. Решение. Согласно интегральной теореме Лапласа µ ¶ µ ¶ 90 − 0, 8 · 100 75 − 0, 8 · 100 P75,90 (A) = Φ √ −Φ √ = 100 · 0, 8 · 0, 2 100 · 0, 8 · 0, 2 = Φ(2, 5) − Φ(−1, 25). Значение функции Лапласа определяем по таблице приложения C: Φ(2, 5) = 0, 49379, Φ(1, 25) = 0, 39435. Тогда P75,90 (A) = Φ(2, 5) − Φ(−1, 25) = 0, 49379 + 0, 39435 = 0, 88814. 6.1. Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25. 6.2. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз. 6.3. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков. 6.4. Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что “решка” выпадет ровно N . 24

6.5. Монета брошена 2N раз. Найти вероятность того, что “орел” выпадет на 2m раз больше, чем “решка”. 6.6. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна p = 0, 8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз. 6.7. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 1470 и не более 1500 раз; б) не менее 1470 раз; в) не более 1469 раз. 6.8. Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, √ что 2N число выпадений “орла” будет заключено между числами N − и 2 √ 2N N+ . 2 6.9. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз?

25

26

x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

0 1.00000 0.90484 0.81873 0.74082 0.67032 0.60653 0.54881 0.49659 0.44933 0.40657 0.36788 0.33287 0.30119 0.27253 0.24660 0.22313 0.20190 0.18268 0.16530

1 0.99005 0.89583 0.81058 0.73345 0.66365 0.60050 0.54335 0.49164 0.44486 0.40252 0.36422 0.32956 0.29820 0.26982 0.24414 0.22091 0.19989 0.18087 0.16365

2 0.98020 0.88692 0.80252 0.72615 0.65705 0.59452 0.53794 0.48675 0.44043 0.39852 0.36059 0.32628 0.29523 0.26714 0.24171 0.21871 0.19790 0.17907 0.16203

3 0.97045 0.87810 0.79453 0.71892 0.65051 0.58860 0.53259 0.48191 0.43605 0.39455 0.35701 0.32303 0.29229 0.26448 0.23931 0.21654 0.19593 0.17728 0.16041

4 0.96079 0.86936 0.78663 0.71177 0.64404 0.58275 0.52729 0.47711 0.43171 0.39063 0.35345 0.31982 0.28938 0.26185 0.23693 0.21438 0.19398 0.17552 0.15882

5 0.95123 0.86071 0.77880 0.70469 0.63763 0.57695 0.52205 0.47237 0.42741 0.38674 0.34994 0.31664 0.28650 0.25924 0.23457 0.21225 0.19205 0.17377 0.15724

6 0.94176 0.85214 0.77105 0.69768 0.63128 0.57121 0.51685 0.46767 0.42316 0.38289 0.34646 0.31349 0.28365 0.25666 0.23224 0.21014 0.19014 0.17204 0.15567

7 0.93239 0.84366 0.76338 0.69073 0.62500 0.56553 0.51171 0.46301 0.41895 0.37908 0.34301 0.31037 0.28083 0.25411 0.22993 0.20805 0.18825 0.17033 0.15412

Приложение A. Таблица значений функции e−x для положительных x 8 0.92312 0.83527 0.75578 0.68386 0.61878 0.55990 0.50662 0.45841 0.41478 0.37531 0.33960 0.30728 0.27804 0.25158 0.22764 0.20598 0.18637 0.16864 0.15259

9 0.91393 0.82696 0.74826 0.67706 0.61263 0.55433 0.50158 0.45384 0.41066 0.37158 0.33622 0.30422 0.27527 0.24908 0.22537 0.20393 0.18452 0.16696 0.15107

Приложения

27

x 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1

0 0.14957 0.13534 0.12246 0.11080 0.10026 0.09072 0.08208 0.07427 0.06721 0.06081 0.05502 0.04979 0.04505 0.04076 0.03688 0.03337 0.03020 0.02732 0.02472 0.02237 0.02024 0.01832 0.01657

1 0.14808 0.13399 0.12124 0.10970 0.09926 0.08982 0.08127 0.07353 0.06654 0.06020 0.05448 0.04929 0.04460 0.04036 0.03652 0.03304 0.02990 0.02705 0.02448 0.02215 0.02004 0.01813 0.01641

2 0.14661 0.13266 0.12003 0.10861 0.09827 0.08892 0.08046 0.07280 0.06587 0.05961 0.05393 0.04880 0.04416 0.03996 0.03615 0.03271 0.02960 0.02678 0.02423 0.02193 0.01984 0.01795 0.01624

3 0.14515 0.13134 0.11884 0.10753 0.09730 0.08804 0.07966 0.07208 0.06522 0.05901 0.05340 0.04832 0.04372 0.03956 0.03579 0.03239 0.02930 0.02652 0.02399 0.02171 0.01964 0.01777 0.01608

4 0.14370 0.13003 0.11765 0.10646 0.09633 0.08716 0.07887 0.07136 0.06457 0.05843 0.05287 0.04783 0.04328 0.03916 0.03544 0.03206 0.02901 0.02625 0.02375 0.02149 0.01945 0.01760 0.01592

5 0.14227 0.12873 0.11648 0.10540 0.09537 0.08629 0.07808 0.07065 0.06393 0.05784 0.05234 0.04736 0.04285 0.03877 0.03508 0.03175 0.02872 0.02599 0.02352 0.02128 0.01925 0.01742 0.01576

6 0.14086 0.12745 0.11533 0.10435 0.09442 0.08543 0.07730 0.06995 0.06329 0.05727 0.05182 0.04689 0.04243 0.03839 0.03474 0.03143 0.02844 0.02573 0.02328 0.02107 0.01906 0.01725 0.01561

7 0.13946 0.12619 0.11418 0.10331 0.09348 0.08458 0.07654 0.06925 0.06266 0.05670 0.05130 0.04642 0.04200 0.03801 0.03439 0.03112 0.02816 0.02548 0.02305 0.02086 0.01887 0.01708 0.01545

продолжение 8 9 0.13807 0.13670 0.12493 0.12369 0.11304 0.11192 0.10228 0.10127 0.09255 0.09163 0.08374 0.08291 0.07577 0.07502 0.06856 0.06788 0.06204 0.06142 0.05613 0.05558 0.05079 0.05029 0.04596 0.04550 0.04159 0.04117 0.03763 0.03725 0.03405 0.03371 0.03081 0.03050 0.02788 0.02760 0.02522 0.02497 0.02282 0.02260 0.02065 0.02045 0.01869 0.01850 0.01691 0.01674 0.01530 0.01515

28

x 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4

0 0.01500 0.01357 0.01228 0.01111 0.01005 0.00910 0.00823 0.00745 0.00674 0.00610 0.00552 0.00499 0.00452 0.00409 0.00370 0.00335 0.00303 0.00274 0.00248 0.00224 0.00203 0.00184 0.00166

1 0.01485 0.01343 0.01216 0.01100 0.00995 0.00900 0.00815 0.00737 0.00667 0.00604 0.00546 0.00494 0.00447 0.00405 0.00366 0.00331 0.00300 0.00271 0.00245 0.00222 0.00201 0.00182 0.00165

2 0.01470 0.01330 0.01203 0.01089 0.00985 0.00892 0.00807 0.00730 0.00660 0.00598 0.00541 0.00489 0.00443 0.00401 0.00362 0.00328 0.00297 0.00269 0.00243 0.00220 0.00199 0.00180 0.00163

3 0.01455 0.01317 0.01191 0.01078 0.00975 0.00883 0.00799 0.00723 0.00654 0.00592 0.00535 0.00484 0.00438 0.00397 0.00359 0.00325 0.00294 0.00266 0.00241 0.00218 0.00197 0.00178 0.00161

4 0.01441 0.01304 0.01180 0.01067 0.00966 0.00874 0.00791 0.00715 0.00647 0.00586 0.00530 0.00480 0.00434 0.00393 0.00355 0.00321 0.00291 0.00263 0.00238 0.00215 0.00195 0.00176 0.00160

5 0.01426 0.01291 0.01168 0.01057 0.00956 0.00865 0.00783 0.00708 0.00641 0.00580 0.00525 0.00475 0.00430 0.00389 0.00352 0.00318 0.00288 0.00261 0.00236 0.00213 0.00193 0.00175 0.00158

6 0.01412 0.01278 0.01156 0.01046 0.00947 0.00857 0.00775 0.00701 0.00635 0.00574 0.00520 0.00470 0.00425 0.00385 0.00348 0.00315 0.00285 0.00258 0.00233 0.00211 0.00191 0.00173 0.00156

7 0.01398 0.01265 0.01145 0.01036 0.00937 0.00848 0.00767 0.00694 0.00628 0.00568 0.00514 0.00465 0.00421 0.00381 0.00345 0.00312 0.00282 0.00255 0.00231 0.00209 0.00189 0.00171 0.00155

продолжение 8 9 0.01384 0.01370 0.01253 0.01240 0.01133 0.01122 0.01025 0.01015 0.00928 0.00919 0.00840 0.00831 0.00760 0.00752 0.00687 0.00681 0.00622 0.00616 0.00563 0.00557 0.00509 0.00504 0.00461 0.00456 0.00417 0.00413 0.00377 0.00374 0.00341 0.00338 0.00309 0.00306 0.00279 0.00277 0.00253 0.00250 0.00229 0.00227 0.00207 0.00205 0.00187 0.00185 0.00170 0.00168 0.00153 0.00152

29

x 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7

0 0.00150 0.00136 0.00123 0.00111 0.00101 0.00091 0.00083 0.00075 0.00068 0.00061 0.00055 0.00050 0.00045 0.00041 0.00037 0.00034 0.00030 0.00028 0.00025 0.00023 0.00020 0.00018 0.00017

1 0.00149 0.00135 0.00122 0.00110 0.00100 0.00090 0.00082 0.00074 0.00067 0.00061 0.00055 0.00050 0.00045 0.00041 0.00037 0.00033 0.00030 0.00027 0.00025 0.00022 0.00020 0.00018 0.00017

2 0.00147 0.00133 0.00121 0.00109 0.00099 0.00090 0.00081 0.00073 0.00066 0.00060 0.00054 0.00049 0.00044 0.00040 0.00036 0.00033 0.00030 0.00027 0.00024 0.00022 0.00020 0.00018 0.00016

3 0.00146 0.00132 0.00119 0.00108 0.00098 0.00089 0.00080 0.00073 0.00066 0.00059 0.00054 0.00049 0.00044 0.00040 0.00036 0.00033 0.00030 0.00027 0.00024 0.00022 0.00020 0.00018 0.00016

4 0.00144 0.00131 0.00118 0.00107 0.00097 0.00088 0.00079 0.00072 0.00065 0.00059 0.00053 0.00048 0.00044 0.00039 0.00036 0.00032 0.00029 0.00026 0.00024 0.00022 0.00020 0.00018 0.00016

5 0.00143 0.00129 0.00117 0.00106 0.00096 0.00087 0.00079 0.00071 0.00064 0.00058 0.00053 0.00048 0.00043 0.00039 0.00035 0.00032 0.00029 0.00026 0.00024 0.00021 0.00019 0.00018 0.00016

6 0.00142 0.00128 0.00116 0.00105 0.00095 0.00086 0.00078 0.00070 0.00064 0.00058 0.00052 0.00047 0.00043 0.00039 0.00035 0.00032 0.00029 0.00026 0.00023 0.00021 0.00019 0.00017 0.00016

7 0.00140 0.00127 0.00115 0.00104 0.00094 0.00085 0.00077 0.00070 0.00063 0.00057 0.00052 0.00047 0.00042 0.00038 0.00035 0.00031 0.00028 0.00026 0.00023 0.00021 0.00019 0.00017 0.00016

продолжение 8 9 0.00139 0.00137 0.00126 0.00124 0.00114 0.00112 0.00103 0.00102 0.00093 0.00092 0.00084 0.00083 0.00076 0.00075 0.00069 0.00068 0.00062 0.00062 0.00056 0.00056 0.00051 0.00051 0.00046 0.00046 0.00042 0.00041 0.00038 0.00037 0.00034 0.00034 0.00031 0.00031 0.00028 0.00028 0.00025 0.00025 0.00023 0.00023 0.00021 0.00021 0.00019 0.00019 0.00017 0.00017 0.00015 0.00015

30

x 8.8 8.9 9.0 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10.0 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11.0

0 0.00015 0.00014 0.00012 0.00011 0.00010 0.00009 0.00008 0.00007 0.00007 0.00006 0.00006 0.00005 0.00005 0.00004 0.00004 0.00003 0.00003 0.00003 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002

1 0.00015 0.00014 0.00012 0.00011 0.00010 0.00009 0.00008 0.00007 0.00007 0.00006 0.00005 0.00005 0.00005 0.00004 0.00004 0.00003 0.00003 0.00003 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002

2 0.00015 0.00013 0.00012 0.00011 0.00010 0.00009 0.00008 0.00007 0.00007 0.00006 0.00005 0.00005 0.00005 0.00004 0.00004 0.00003 0.00003 0.00003 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002

3 0.00015 0.00013 0.00012 0.00011 0.00010 0.00009 0.00008 0.00007 0.00007 0.00006 0.00005 0.00005 0.00005 0.00004 0.00004 0.00003 0.00003 0.00003 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002

4 0.00015 0.00013 0.00012 0.00011 0.00010 0.00009 0.00008 0.00007 0.00007 0.00006 0.00005 0.00005 0.00005 0.00004 0.00004 0.00003 0.00003 0.00003 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002

5 0.00014 0.00013 0.00012 0.00011 0.00010 0.00009 0.00008 0.00007 0.00006 0.00006 0.00005 0.00005 0.00005 0.00004 0.00004 0.00003 0.00003 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002

6 0.00014 0.00013 0.00012 0.00011 0.00010 0.00009 0.00008 0.00007 0.00006 0.00006 0.00005 0.00005 0.00004 0.00004 0.00003 0.00003 0.00003 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002

7 0.00014 0.00013 0.00012 0.00010 0.00009 0.00009 0.00008 0.00007 0.00006 0.00006 0.00005 0.00005 0.00004 0.00004 0.00003 0.00003 0.00003 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002

продолжение 8 9 0.00014 0.00014 0.00013 0.00013 0.00011 0.00011 0.00010 0.00010 0.00009 0.00009 0.00008 0.00008 0.00008 0.00008 0.00007 0.00007 0.00006 0.00006 0.00006 0.00006 0.00005 0.00005 0.00005 0.00005 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002

31

0 0.00002 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001

0 0.39894 0.39695 0.39104 0.38139 0.36827

x 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12.0 12.1 12.2

x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

1 0.39892 0.39654 0.39024 0.38023 0.36678

1 0.00002 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001

3 0.00002 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001

4 0.00002 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001

5 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001

6 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00000

7 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00000

2 0.39886 0.39608 0.38940 0.37903 0.36526

3 0.39876 0.39559 0.38853 0.37780 0.36371

4 0.39862 0.39505 0.38762 0.37654 0.36213

5 0.39844 0.39448 0.38667 0.37524 0.36053

6 0.39822 0.39387 0.38568 0.37391 0.35889

7 0.39797 0.39322 0.38466 0.37255 0.35723

Приложение B. Таблица значений 2 e−x /2 функции ϕ(x) = √ 2π

2 0.00002 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001

8 0.39767 0.39253 0.38361 0.37115 0.35553

9 0.39733 0.39181 0.38251 0.36973 0.35381

продолжение 8 9 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00000 0.00000

32

x 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

0 0.35207 0.33322 0.31225 0.28969 0.26609 0.24197 0.21785 0.19419 0.17137 0.14973 0.12952 0.11092 0.09405 0.07895 0.06562 0.05399 0.04398 0.03548 0.02833 0.02239 0.01753 0.01358 0.01042

1 0.35029 0.33121 0.31006 0.28737 0.26369 0.23955 0.21546 0.19186 0.16915 0.14764 0.12758 0.10915 0.09246 0.07754 0.06438 0.05292 0.04307 0.03470 0.02768 0.02186 0.01709 0.01323 0.01014

2 0.34849 0.32918 0.30785 0.28504 0.26129 0.23713 0.21307 0.18954 0.16694 0.14556 0.12566 0.10741 0.09089 0.07614 0.06316 0.05186 0.04217 0.03394 0.02705 0.02134 0.01667 0.01289 0.00987

3 0.34667 0.32713 0.30563 0.28269 0.25888 0.23471 0.21069 0.18724 0.16474 0.14350 0.12376 0.10567 0.08933 0.07477 0.06195 0.05082 0.04128 0.03319 0.02643 0.02083 0.01625 0.01256 0.00961

4 0.34482 0.32506 0.30339 0.28034 0.25647 0.23230 0.20831 0.18494 0.16256 0.14146 0.12188 0.10396 0.08780 0.07341 0.06077 0.04980 0.04041 0.03246 0.02582 0.02033 0.01585 0.01223 0.00935

5 0.34294 0.32297 0.30114 0.27798 0.25406 0.22988 0.20594 0.18265 0.16038 0.13943 0.12001 0.10226 0.08628 0.07206 0.05959 0.04879 0.03955 0.03174 0.02522 0.01984 0.01545 0.01191 0.00909

6 0.34105 0.32086 0.29887 0.27562 0.25164 0.22747 0.20357 0.18037 0.15822 0.13742 0.11816 0.10059 0.08478 0.07074 0.05844 0.04780 0.03871 0.03103 0.02463 0.01936 0.01506 0.01160 0.00885

7 0.33912 0.31874 0.29659 0.27324 0.24923 0.22506 0.20121 0.17810 0.15608 0.13542 0.11632 0.09893 0.08329 0.06943 0.05730 0.04682 0.03788 0.03034 0.02406 0.01888 0.01468 0.01130 0.00861

продолжение 8 9 0.33718 0.33521 0.31659 0.31443 0.29431 0.29200 0.27086 0.26848 0.24681 0.24439 0.22265 0.22025 0.19886 0.19652 0.17585 0.17360 0.15395 0.15183 0.13344 0.13147 0.11450 0.11270 0.09893 0.09566 0.08183 0.08038 0.06814 0.06687 0.05618 0.05508 0.04586 0.04491 0.03706 0.03626 0.02965 0.02898 0.02349 0.02294 0.01842 0.01797 0.01431 0.01394 0.01100 0.01071 0.00837 0.00814

33

x 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

0 0.00792 0.00595 0.00443 0.00327 0.00238 0.00172 0.00123 0.00087 0.00061 0.00042 0.00029 0.00020 0.00013 0.00009 0.00006 0.00004 0.00002 0.00002 0.00001 0.00001

1 0.00770 0.00578 0.00430 0.00317 0.00231 0.00167 0.00119 0.00084 0.00059 0.00041 0.00028 0.00019 0.00013 0.00009 0.00006 0.00004 0.00002 0.00002 0.00001 0.00001

2 0.00748 0.00562 0.00417 0.00307 0.00224 0.00161 0.00115 0.00081 0.00057 0.00039 0.00027 0.00018 0.00012 0.00008 0.00005 0.00004 0.00002 0.00001 0.00001 0.00001

3 0.00727 0.00545 0.00405 0.00298 0.00216 0.00156 0.00111 0.00079 0.00055 0.00038 0.00026 0.00018 0.00012 0.00008 0.00005 0.00003 0.00002 0.00001 0.00001 0.00001

4 0.00707 0.00530 0.00393 0.00288 0.00210 0.00151 0.00107 0.00076 0.00053 0.00037 0.00025 0.00017 0.00011 0.00008 0.00005 0.00003 0.00002 0.00001 0.00001 0.00001

5 0.00687 0.00514 0.00381 0.00279 0.00203 0.00146 0.00104 0.00073 0.00051 0.00035 0.00024 0.00016 0.00011 0.00007 0.00005 0.00003 0.00002 0.00001 0.00001 0.00001

6 0.00668 0.00499 0.00370 0.00271 0.00196 0.00141 0.00100 0.00071 0.00049 0.00034 0.00023 0.00016 0.00011 0.00007 0.00005 0.00003 0.00002 0.00001 0.00001 0.00000

7 0.00649 0.00485 0.00358 0.00262 0.00190 0.00136 0.00097 0.00068 0.00047 0.00033 0.00022 0.00015 0.00010 0.00007 0.00004 0.00003 0.00002 0.00001 0.00001 0.00000

продолжение 8 9 0.00631 0.00613 0.00470 0.00457 0.00348 0.00337 0.00254 0.00246 0.00184 0.00178 0.00132 0.00127 0.00094 0.00090 0.00066 0.00063 0.00046 0.00044 0.00031 0.00030 0.00021 0.00021 0.00014 0.00014 0.00010 0.00009 0.00006 0.00006 0.00004 0.00004 0.00003 0.00003 0.00002 0.00002 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001 0.00000 0.00000

34

x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

0 0,00000 0.03982 0.07926 0.11791 0.15542 0.19146 0.22575 0.25804 0.28814 0.31594 0.34134 0.36433 0.38493 0.40320 0.41924 0.43319 0.44520 0.45543 0.46407

1 0.00398 0.04379 0.08317 0.12172 0.15910 0.19497 0.22907 0.26115 0.29103 0.31859 0.34375 0.36650 0.38686 0.40490 0.42073 0.43448 0.44630 0.45637 0.46485

2 0.00797 0.04775 0.08706 0.12552 0.16276 0.19847 0.23237 0.26424 0.29389 0.32121 0.34614 0.36864 0.38877 0.40658 0.42220 0.43574 0.44738 0.45728 0.46562

3 0.01196 0.05172 0.09095 0.12930 0.16640 0.20194 0.23565 0.26730 0.29673 0.32381 0.34849 0.37076 0.39065 0.40824 0.42364 0.43699 0.44845 0.45818 0.46638

4 0.01595 0.05567 0.09483 0.13307 0.17003 0.20540 0.23891 0.27035 0.29955 0.32639 0.35083 0.37286 0.39251 0.40988 0.42507 0.43822 0.44950 0.45907 0.46712

5 0.01993 0.05961 0.09871 0.13683 0.17364 0.20884 0.24215 0.27337 0.30234 0.32894 0.35314 0.37493 0.39435 0.41149 0.42647 0.43943 0.45053 0.45994 0.46784

0

6 0.02392 0.06356 0.10257 0.14058 0.17724 0.21226 0.24537 0.27637 0.30511 0.33147 0.35543 0.37698 0.39617 0.41309 0.42785 0.44062 0.45154 0.46080 0.46856

Приложение C. Таблица значений Zx 1 2 функции Φ(x) = √ e−z /2 dz 2π 7 0.02790 0.06749 0.10257 0.14431 0.18082 0.21566 0.24857 0.27935 0.30785 0.33398 0.35769 0.37900 0.39796 0.41466 0.42922 0.44179 0.45254 0.46164 0.46926

8 0.03188 0.07142 0.11026 0.14803 0.18439 0.21904 0.25175 0.28230 0.31057 0.33646 0.35993 0.38100 0.39973 0.41621 0.43056 0.44295 0.45352 0.46246 0.46995

9 0.03585 0.07535 0.11026 0.15173 0.18793 0.22240 0.25490 0.28524 0.31327 0.33891 0.36214 0.38298 0.40148 0.41774 0.43189 0.44408 0.45449 0.46327 0.47062

35

x 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1

0 0.47128 0.47725 0.48214 0.48610 0.48928 0.49180 0.49379 0.49534 0.49653 0.49744 0.49813 0.49865 0.49903 0.49931 0.49952 0.49966 0.49977 0.49984 0.49989 0.49993 0.49995 0.49997 0.49998

1 0.47193 0.47778 0.48257 0.48645 0.48956 0.49202 0.49396 0.49547 0.49664 0.49752 0.49819 0.49869 0.49906 0.49934 0.49953 0.49968 0.49978 0.49985 0.49990 0.49993 0.49995 0.49997 0.49998

2 0.47257 0.47831 0.48300 0.48679 0.48983 0.49224 0.49413 0.49560 0.49674 0.49760 0.49825 0.49874 0.49910 0.49936 0.49955 0.49969 0.49978 0.49985 0.49990 0.49993 0.49996 0.49997 0.49998

3 0.47320 0.47882 0.48341 0.48713 0.49010 0.49245 0.49430 0.49573 0.49683 0.49767 0.49831 0.49878 0.49913 0.49938 0.49957 0.49970 0.49979 0.49986 0.49990 0.49994 0.49996 0.49997 0.49998

4 0.47381 0.47932 0.48382 0.48745 0.49036 0.49266 0.49446 0.49585 0.49693 0.49774 0.49836 0.49882 0.49916 0.49940 0.49958 0.49971 0.49980 0.49986 0.49991 0.49994 0.49996 0.49997 0.49998

5 0.47441 0.47982 0.48422 0.48778 0.49061 0.49286 0.49461 0.49598 0.49702 0.49781 0.49841 0.49886 0.49918 0.49942 0.49960 0.49972 0.49981 0.49987 0.49991 0.49994 0.49996 0.49997 0.49998

6 0.47500 0.48030 0.48461 0.48809 0.49086 0.49305 0.49477 0.49609 0.49711 0.49788 0.49846 0.49889 0.49921 0.49944 0.49961 0.49973 0.49981 0.49987 0.49992 0.49994 0.49996 0.49998 0.49998

7 0.47558 0.48077 0.48500 0.48840 0.49111 0.49324 0.49492 0.49621 0.49720 0.49795 0.49851 0.49893 0.49924 0.49946 0.49962 0.49974 0.49982 0.49988 0.49992 0.49995 0.49996 0.49998 0.49998

продолжение 8 9 0.47615 0.47670 0.48124 0.48169 0.48537 0.48574 0.48870 0.48899 0.49134 0.49158 0.49343 0.49361 0.49506 0.49520 0.49632 0.49643 0.49728 0.49736 0.49801 0.49807 0.49856 0.49861 0.49896 0.49900 0.49926 0.49929 0.49948 0.49950 0.49964 0.49965 0.49975 0.49976 0.49983 0.49983 0.49988 0.49989 0.49992 0.49992 0.49995 0.49995 0.49997 0.49997 0.49998 0.49998 0.49999 0.49999

36

x 4.2 4.3 x 4.4 x 4.7 x 5.0 x 5.3 x 5.6 x 5.9 x 6.2 x x > 6.5

продолжение 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 0.49999 Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) 0.4999945875 4.5 0.4999966023 4.6 0.4999978875 Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) 0.4999986992 4.8 0.4999992067 4.9 0.4999995208 Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) 0.4999997133 5.1 0.4999998302 5.2 0.4999999004 Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) 0.4999999421 5.4 0.4999999667 5.5 0.4999999810 Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) 0.4999999893 5.7 0.4999999940 5.8 0.4999999967 Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) 0.4999999982 6.0 0.4999999990 6.1 0.4999999995 Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) 0.4999999997 6.3 0.4999999999 6.4 0.4999999999 Φ(x) 0.5

Для заметок

37

Литература [1] Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. пособие для студентов втузов : в 2-х ч. / П. Е. Данко, А. Г. Кожевникова. – М. : Высш. школа, 1997. – Ч. 2. – 303 с. [2] Гмурман, В. Е., Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. учебное пособие для студ. вузов / В. Е. Гмурман. – Изд. 10-е, стер. – М. : Высшая школа, 2005. – 403 с. [3] Павлушков И. В. Основы высшей математики и математической стастики : учебник для медицинских и фармацевтических вузов / И. В. Павлушков. – М. : ГЭОТАР-МЕД, 2003. – 424 с.

38

Составитель

Шабров Сергей Александрович

Редактор

Тихомирова О.А.

39