Теоретическая механика. Часть 3. Динамика: Сборник контрольных заданий для студентов строительных специальностей заочного обучения

2 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ CТРОИТЕЛЬНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ 290300 - Промышленное и гражданское строительство 290600 - Производство строительных материалов 290700 – Теплогазоснабжение и вентиляция 656300 – Технология лесозаготовительных и деревообрабатывающих производств 291500 – Экспертиза и управление недвижимостью 291000 - Автомобильные дороги и аэродромы ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Часть3.Динамика

Подготовили: Афанасьева А.А., Алхунсаев Г.Г., Тришина В.Н.

Издательство ВСГТУ Улан-Удэ , 2005

Ключевые слова: динамика, дифференциальные уравнения, интегралы, законы движения, общие теоремы динамики, аналитическая механика. Сборник контрольных заданий для студентов строительных специальностей заочного обучения по динамике включает задачи по динамике точки, общим теоремам динамики, аналитической механике в соответствии с рабочими программами.

3

4

Контрольные задачи по динамике выдаются соответственно для данных специальностей 2903,2907, 2906, 656300, 291500, 291000 «ПГС, ТГВ, ПСМИ, ТЛДП, ЭиУН, АДиА» соответственно в объеме двух контрольных работ, которые подразделяются по темам: -первая контрольная работа состоит из шести задач - по динамике точки, общим теоремам динамики механической системы, дифференциальным уравнениям движения твердого тела: Д1, Д2, Д3, Д4, Д5, Д6. -вторая контрольная работа состоит из трех задач по аналитической механике - принципа возможных перемещений, общего уравнения динамики, уравнений Лагранжа 2 рода для механической системы: Д7, Д8, Д9. Номер варианта контрольной работы выбирается по двум последним цифрам номера зачетной книжки.

ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ РАБОТ

Каждая задача по динамике содержит 30 вариантов. В случае если вариант работы по динамике больше чем цифра 30, то задачи по вариантам следует выбирать из таблицы вариантов работы на странице 56. Например, шифр 323332, вариант 32, то задачи первой контрольной работы будут: Д1- вар.20, Д2 - вар.22, Д3 - вар.2, Д4 - вар.20, Д5 - вар.22, Д6 - вар.2; второй контрольной работы : Д7 - вар.20, Д8- вар.22, Д9 - вар.2.

№ задачи Д1 Д2 Д3 Д4 Д5 Д6 Д7 Д8 Д9

Тема задачи Динамика точки. Первая задача динамики Динамика точки. Вторая задача динамики. Исследование относительного движения точки. Общие теоремы динамики. Применение теоремы об изменении кинетического момента к определению угловой скорости твердого тела. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы. Исследование поступательного и вращательного движений твердого тела. Принцип возможных перемещений к решению задач о равновесии сил, приложенных к механической системе с одной степенью свободы. Применение общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы. Применение уравнения Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с двумя степенями свободы.

Каждое задание выполняется в отдельной тетради. На обложке указываются: названия дисциплины, номер работы, фамилия, инициалы студента, учебный шифр, факультет, специальность, курс. Оформление титульного листа смотрите на странице 57. Решение каждой задачи обязательно начинать наверху страницы тетради. Сначала указывается номер задачи, тема, вариант. Далее делается чертёж, выполненный в соответствии с заданными геометрическими размерами и углами, записывается что в задаче дано и что требуется определить (текст задачи не переписывать). Решение каждого задания нужно начинать с выполнения расчётной схемы. На расчётной схеме должны быть указаны все силы, в том числе, реакции опор, приложенные к рассматриваемому объекту и векторы скоростей и ускорений при его движении, выбранная система отсчета. На расчётную схему переносятся все необходимые геометрические размеры. Схема должна быть выполнена с помощью чертёжных инструментов и занимать половину тетрадной страницы. Решение задач необходимо сопровождать пояснениями. Обозначения на расчётной схеме и в решении задачи должны совпадать. Далее нужно написать ответ с указанием единиц измерения каждой найденной величины. Считать с точностью до 0,01. На каждой странице должны оставлять поля для замечаний рецензента. Работы, не отвечающие всем перечисленным требованиям, проверяться не будут. К работе, высылаемой на повторную проверку, если она выполнена в другой тетради, должна обязательно прилагаться не учтённая работа. Если работа зачтена с замечаниями, следует выполнить работу над ошибками. Все зачтённые работы «защищаются» перед преподавателем. При этом студент должен уметь объяснить решение каждой задачи своей работы. Зачёт по контрольной работе и экзамен принимаются при наличии на обложках тетрадей отметки о защите контрольных работ по динамике.

5

6

Краткая рабочая программа по динамике.

Теорема об изменении количества движения. Элементарный импульс силы. Импульс силы за конечный промежуток времени и его проекции на координатные оси. Теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной и конечной формах. Количество движения механической системы: его выражение через массу системы и скорость ее центра масс. Теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной и конечной формах. Закон сохранения количества движения механической системы. Теорема об изменении момента количества движения. Момент количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Центральная сила. Сохранение момента количества движения материальной точки в случае центральной силы. Главный момент количества движения или кинетический момент механической системы относительно центра и относительно оси. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения. Теорема об изменении кинетического момента механической системы. Закон сохранения кинетического момента механической системы. Теорема об изменении кинетического момента механической системы в относительном движении по отношению к центру масс. Теорема об изменении кинетической энергии. Кинетическая энергия материальной точки. Элементарная работа силы; аналитическое выражение элементарной работы. Работа силы на конечном перемещении точки ее приложения. Мощность. Работа силы тяжести, силы упругости и силы тяготения. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной и конечной формах. Кинетическая энергия механической системы. Формулы для вычисления кинетической энергии твердого тела при поступательном движении, при вращении вокруг неподвижной оси и в общем случае движения (в частности, при плоскопараллельном движении). Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной и конечной формах. Равенство нулю суммы работ внутренних сил в твердом теле. Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. Понятие о силовом поле. Потенциальное силовое поле и силовая функция. Выражение проекции силы через силовую функцию. Поверхности равного потенциала. Работа силы на конечном

Введение в динамику. Предмет динамики. Основные понятия и определения: масса, материальная точка, сила. Силы, зависящие от времени, от положения и от скорости. Законы механики ГалилеяНьютона. Инерциальная система отсчета. Задачи динамики. Динамика точки. Решение первой и второй задачи динамики. Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной материальной точки в декартовых координатах. Естественные уравнения движения точки. Две задачи динамики материальной точки. Решение первой задачи динамики. Решение второй задачи динамики. Начальные условия. Постоянные интегрирования и их определения по начальным условиям. Несвободное и относительное движение точки. Несвободное движение материальной точки. Дифференциальные уравнения движения материальной точки по заданной гладкой неподвижной кривой. Определение закона движения и реакции связи. Относительное движение материальной точки. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки; переносная и кориолисова силы инерции. Принцип относительности классической механики. Случай относительного покоя. Введение в динамику механической системы. Механическая система. Классификация сил, действующих на механическую систему: активные силы (задаваемые) и реакции связей; силы внешние и внутренние. Свойства внутренних сил. Масса системы. Центр масс; радиус-вектор и координата центра масс. Моменты инерции. Момент инерции твердого тела относительно оси; радиус инерции. Моменты инерции относительно плоскости и полюса. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Штейнера-Гюйгенса). Примеры вычисления моментов инерции (моменты инерции однородного тонкого стержня, тонкого круглого кольца или плоского цилиндра и круглого диска или сплошного круглого цилиндра). Формула для вычисления момента инерции относительно любого направления. Центробежные моменты инерции. Главные и главные центральные оси инерции и их свойства. Общие теоремы динамики. Теорема о движении центра масс. Дифференциальные уравнения движения системы. Теорема о движении центра масс механической системы. Закон сохранения движения центра масс.

8

7 перемещении точки в потенциальном силовом поле. Потенциальная энергия. Примеры потенциальных силовых полей: однородное поле тяжести поле тяготения. Закон сохранения механической энергии. Динамика твердого тела. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Физический маятник. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела. Аналитическая механика. Принцип Даламбера. Силы инерции материальной точки. Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы. Приведение сил инерций точек твердого тела к центру; главный вектор главный момент сил инерции. Определение динамических реакций подшипников при вращении тела вокруг неподвижной оси. Случай, когда ось вращения является главной центральной осью инерции тела. Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики. Связи, налагаемые на механическую систему. Возможные (или виртуальные) перемещения материальной точки и механической системы. Число степеней свободы системы. Идеальные связи. Принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики. Уравнения движения системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа). Обобщенные координаты системы; обобщенные скорости. Выражение элементарной работы в обобщенных координатах. Обобщенные силы и их вычисление; случай сил, имеющих потенциал. Условия равновесия системы в обобщенных координатах. Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа 2-го рода. Уравнения Лагранжа 2-го рода в случае потенциальных сил; функция Лагранжа (кинетический потенциал). Понятия об устойчивости равновесия. Малые свободные колебания механической системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия системы и их свойства. Элементы теории удара. Явление удара. Ударная сила и ударный импульс. Действие ударной силы на материальную точку. Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе. Прямой центральный удар о неподвижную поверхность; упругий и неупругий удары. Коэффициент восстановления при ударе и его опытное определение. Прямой центральный удар двух тел. Теорема Карно.

1. Динамика материальной точки. ЗадачаД1. Первая задача динамики точки. Движение материальной точки массой m=0,2 кг происходит: либо по окружности радиусом r согласно уравнению s=s(t), либо согласно уравнениям x=x(t), y=y(t). Определить величину равнодействующей силы, приложенной к точке, как функцию от времени. Необходимые данные взять из таблицы Д1 на стр.8, 9. Указание. Для решения данной задачи необходимо знать основной закон механики в координатной ,векторной и естественной формах. Номер варианта . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

s=s(t), м

r, м

2+4lnt

1

4e2t-3

2

2t +4

1

4lnt+6

1

2lnt+1

0.2

8cos2(πt/3)+3

1.4

2t+0.2sin(πt/3)

1.2

3

0.3t -cos(πt/2) 1+5lnt

1.4 2

3e3t-1

1.6

x=x(t), м

0.4cos3t

0.2sin3t

2sin4t

-2cos4t

3t+3

-3/(t+1)

sin t

cos t

sin 2t

cos2t

2sin(πt2/3)

2cos(πt2/3)

cos(πt2/3)+1

sin(πt2/3)+2

Sin4t

2cos4t

4sin (πt/3)

4cos2(πt2/3) +2

4/(t+2)

-4(t+2)

2

3t-1

Таблица Д1. y=y(t), м

0.2

10

9 22 23 24 25 26 27 28 29 30

2lnt-2 3lnt-1

0.3 0.2

2

2cos (πt/4)+ 4 sin t cos(3t) sin(2t) cos(2t) cos(πt/3)

Таблица Д2

4t2-3

6t 2

2sin (πt/4)+ 3

0.1 0.2 0.1 0.2 0.1

Задача Д.2. Вторая задача динамики. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки. Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость v0 , движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости. Участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный. На участке АВ на груз кроме силы тяжести действует постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды R , зависящая от скорости v груза ( сила направлена против движения). В точке В груз, не изменяя значения своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действует переменная сила F , проекция которой на ось х задана в таблице Д.2. Ось х направлена по ВС от точки В. Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ=L или время t1 движение груза от точки A до точки В, найти закон движения груза на участке ВС, т.е. х=x(t). Трением груза о трубу пренебречь. Все данные взять из таблицы Д2, см. на стр.10 , а рисунки см. на стр.11, 12, 13.

Номер варианта

m, кг

v0, м/с

Q, Н

R, Н

L, м

1 2

2 8

20 10

6 16

0,4v 0,5v2

4

3 4 5 6

1,8 6 4,5 4

24 15 22 12

5 12 9 10

0,3v 0,6 v2 0,5v 0,8 v2

7 8 9 10 11 12

1,6 4,8 3 2,4 1,5 2,0

18 10 22 20 24 14

4 10 9 5 10 6

0,4v 0,2 v2 0,5v 0,8 v2 0,2v 0,2 v2

13 14 15 16 17 18

2,5 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6

10 12 8 14 6 16

2 3 1 8 2 7

0,3v 0,4 v2 0,36v 0,1v 0,1 v2 0,2 v2

19 20 21 22

3,8 4.0 1 2

4 6 4 20

10 2 1 2

0,5v 0.2 0.1 0.2

23 24 25 26 27 28

3 4 0.5 0.6 0.8 1.0

16 20 10 14 12 20

10 4 6 2 4 6

0.1 0.2 0.15 0.4 0.2 0.1

29 30

1.2 1.4

16 18

8 10

0.2 0.3

t1, с

FХ, H

2.5

-5cos(4t) 6t2

2

-2cos(2t) -5sin(2t) 3t 6cos(4t)

5 3 2.5 2 4 3 1.5 3 3 2 4 3.2 2 2 3 2 2 3 4 3 5 3 2.5 1.5 2 3 2

-3sin(4t) 4cos(2t) 4sin(2t) 4sin(4t) -6cos(4t) 4t2 -2cos(4t) 2t 4sin(2t) 2sin(2t) t 4t 10t2 1.5 t2 3t -2 t2 cos(3t) sin(4t) 2t 2sin(3t) 2cos(4t) 6t2 5t 4cos(4t)

11 1

12 11

2

A Q D C

D B

D

C 60

30

B

x

Q

D

D

C

D

C x

60

x

12

A

Q D

x 30

B

A

30 D

Q

A

B

4

3 x

D

A

C

13

B

14

60

Q D

D

60 B

D

x

Q

x

B

5

6 Q

B

16

15 A

A

D

D

60

B

D

B D

60

Q D

D

x

C

x

A

D

B

Q D

30

x Q

A

C

C

30

x

7

8

D

C

A

D Q

D

C 60

x

B

D

D

C

Q 60

18

17

A

A

Q

x

D

D

30 B

30

A

C

D

30 B

Q

x

B

9

10

D

x

A

A

Q

D

30 B

D

D A

60

20

19

B Q

C

C

30

30

30

D

C

B

Q

C

x

A

Q

D

D

D

A

C

A

A

D

B Q

D

45 D

Q

C x

C D

45 B

C x

x

x

13 21

14 Задача Д.З Исследование относительного движения материальной точки

22 A

D

C

B

B

Q

D

Q

90

D

45

по цилиндрическому каналу движущегося тела А , рис. см. на стр. 16-

C

30

A

Шарик М, рассматриваемый как материальная точка, перемещается

D

x

18.

x

Найти уравнение относительного движения этого шарика x=х(t),

24

23

приняв за начало отсчета точку O. Тело А

C D

C

x

D

B

вокруг неподвижной оси (в вариантах 2-5, 7-11, 13, 14, 16, 18-21, 23, 24,

x

B

D

Q

D

45

26-30 ось вращения z 1 вертикальна, в вариантах 1, 12, 15 и 25 ось

A 45

Q

A

D

A

D

канала при заданном значении t = t1 . Данные, необходимые для

45

Q

C

D

x

Q 45

Найти также координату х и силу N - давление шарика на стенку

B

A D

выполнения задания, приведены в таблице Д3, см. на стр. 15.

C

30 x

B

В задании приняты следующие обозначения: m — масса шарика М; ω — постоянная угловая скорость тела А

28

27 B

D

Q

A

D

B

C

Q

45

x

A

x

или кривошипов O1 B и

O2 B (в вариантах 6,17, 22); с — коэффициент жесткости пружины, к

D

которой прикреплен шарик М; l 0 — длина недеформированной

45

пружины; f— коэффициент трения скольжения шарика по стенке

D C

вращения x 1 горизонтальна). В вариантах, 6, 17, 22 тело А движется поступательно, параллельно вертикальной плоскости y1 01 z1 .

26

25

равномерно вращается

канала; x 0 , x&0 — начальная координата и проекция начальной скорости 30

29

C A

D

D

Q D

45 B

C x

A

D

Q

45 B

x

на ось x .

15 № α, вар град 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

45 60 30 30 60 30 45 40 30 60 60 60 45

16

m, кг

ω рад/с

х0 , м

х&0 м/с

t1 , c

0,02 0,02 0,03 0,09 0,02 0,01 0,03 0,03 0,02 0,05 0,05 0,08 0,01 0,05 0,01 0,02 0,02 0,02 0,08 0,01 0,05 0,03 0,01 0,01 0,05 0,09 0,02 0,03 0,10 0,02

π π π π π π 2π

0 0 0,5 0,2 0,6 0,5 0,3 0,8 0,4 0,4 0 0,05 0 0,5 0,5 1,0 0 0,6 0,4 0,1 0,5 0,1 -0,5 0 0,1 0,2 1,0 0,8 0,4 0

0,4 0,2 0 -0,8 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 0 0 2,0 4,0 0 -0,8 0 0,1 3,0 -0,1 0,2 -0,4 0,3 0,6 0 1,0 0,5

0,5 0,4 0,2 0,1 0,2 0,2 0,2 0,1 0,1 0,1 0,4 0,1 0,2 0,1 1,0 0,1 0,2 0,1 0,1 0,2 0,1 0,1 0,2 0,2 0,1 0,1 0,3 0,3 0,1 0,2

π π π π π π π π π π

π π π π 4π 2π π 2π π

π π π π

c, H/cм

l0 , м

0,36 0,20 0,20 0,40 0,20 0,20 0,20 0,20 -

0,15 0,20 0,10 0,20 0,10 0,20 0,1 0,20 -

Таблица Д3 f r или h, м 0 0,15 0 0 0 0 0,10 0 0,20 0 0 0 0,20 0 0 0 0,1 0,20 0,2 0 0 0,20 0 0 0 0 0,2 0,10 0 0 0 0 0 0 0,1 0 0,50 0

z1 r O M

A

α ω

x

z1 x

A

ω

M

α

z1

M O

α

x

ω A

O

17

18 z1

O

M

ω A

α

x

z1

z1 A

O

M

x

O

M

A

ω

α

ω x

z1 x r

M

A

α O

ω z1 z1

z1

A

x

O A

M r

α

ω

M

ω

ω

α

O

z1

r

M

M

O

x z1

x

O

x r

ω

M

A

A

ω

α x

A

19

20 Таблица Д4

2. Основные теоремы динамики механической системы. Задача Д4. Применение теоремы об изменении кинетического момента к определению угловой скорости твёрдого тела. Тело Н массой m1 вращается вокруг вертикальной оси z

c

постоянной угловой скоростью ω 0 ; при этом в точке О желоба АВ тела Н на расстоянии АО от точки А, отсчитываемом вдоль желоба, находится материальная точка К массой m2 . В некоторый момент времени (t=0) на систему начинает действовать пара сил с моментом M z = M z (t ) .При t = τ действие сил прекращается. Определить угловую скорость

ω τ

тела Н в момент t=τ.

Тело H вращается по инерции с угловой скоростью ω τ . В некоторый момент времени t1 = 0 ( t1 - новое начало отсчёта времени) точка К (самоходный механизм) начинает относительное движение из точки О вдоль желоба АВ (в направлении к В) по закону ОК = s = s( t1 ). Определить угловую скорость ω T тела Н при t1 = Т. Тело Н рассматривать как однородную пластинку, имеющую форму, показанную на рис, см. стр. 23-25. Необходимые для решения данные приведены в таблице Д4 , что на стр.20, 21 и на стр.22 в таблице Д4а «Осевые моменты инерций однородных пластинок». Примечание к таблице Д4.. Знак минус перед M z и ω соответствует направлению вращения по часовой стрелке, если считать, что положительное направление по оси z – против часовой стрелки.

№ Вар

АО, м

1 1

2 πR/6

2

3/2

M

z

= M&

z

Hм 3 2

- 29,6t

(t )

τ, с 4 3

101

5

ОК=s(t), м

T, с

5

6 1

(5πR/12)t 1

3 t1 2

1

2

2

3

0

- 120t

4

4

0,4

21t

2

0,6t 1

2

5

0

4

0,5t 1

2,5

6

πа/6

15 t - 700t

3

(5πa/18)t 1²

3

7

0

968

8

πа/2

9

πR/4

240 t - 29,2t

10

2

11

0

40t

12

0

13

0,5

/2

t

- 90

(

/4)t 1²

1

(πR/2)t 1²

1

4

(πa/4)t 1

2

3

(3πR/4)t 1²

1

4

(

2

/4)t 1²

1

2

0,4t 1²

2

50t²

3

(πa/3)t 1

2

1

0,3t 1

2

1

14

0

- 27 t 120t

0,5t 1

3

15

0

330t²

2

(πa/2)t 1²

1

16

0,4

74

2

0,3t 1²

2

17

0,6

69t

4

0,6t 1

2

18

πR/2

324

3

(πR/8) t 1²

2

19

0

- 135t

2

(πa/4)t 1²

1

20

πa/6

2

3

(πa/12)t 1²

2

21

√2/2

1

(√2/16)t 1²

2

22

πR/2

75 t 163

4

(πR/2)t 1²

1

23

√3/2

-210

2

(√3/2)t 1

1

24

0,2

27t²

2

0,4t 1

2

25

0

20t

2

(πR/6)t 1²

2

26

πa/6

1

(πa/2)t 1²

1

-14t

1170

t

21

22 t 1²

1

3

0,4t 1

1

4

(5πR/6)t 1

1

2

0,2t 1²

2

27

0

-25t

2

28

0,1

5,6t

29

0

30

1,6

-6,3 t 652t

продолжение таблицы Д4

m1 ,

m2 ,

ω0

1

кг 7

кг 8

рад/с 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

32 200 120 16 66 160 300 80 20 100

10 60 40 5 10 80 50 20 5 40

-1 -2 0 -3 1,5 -1,25 -2 0 5 2

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

60 40 24 40 120 60 50 120 90 50 40 150 90 50 36 150 120 15 20 150

20 10 4 10 50 10 10 50 30 12 10 50 20 12 8 40 30 4 5 50

-1 -3 4 2 -4 -5 -2 3 1 3 -6 -1 2 -3 -5 -4 0 -2 5 0

№ Вар

a, м

b, м

R, м

α, град

10

11

12

13

1,5

1,2 2

120

1

30

2,5 0,8 2 0,4

45

1 2 2 1,5 1,6 1,2 1,2 2

1,5 1

2

2 1 1 1 1

15 2 1 2 1,2

2 1,5 1

3

1,6 √2 0,6

1,2 1

1,5 1 0,6 0,6 1,6

1,6 0,8

30 30

1,2 1 0,6 60 0,5 2 60 0,6

1,2

Осевые моменты инерции однородных пластинок. Таблица Д4 а.

23

24

25

26 Задача Д5. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы.

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Начальное положение системы показано на рис., см. стр. 29, 30 ,31. Учитывая трение скольжения тела 1, катящегося без скольжения (варианты 1-3, 5, 6, 8-12, 17-23, 28-30) и сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения (варианты 2, 4, 6-9, 11, 13-15, 20, 21, 24, 27-29). Пренебрегать другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимым, определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s. В задании приняты следующие обозначения: m 1 , m 2 , m 3 , m 4 -массы тел 1, 2, 3, 4; R 2 , r2 , R3 , r3 - радиусы больших и малых окружностей второго и третьего тел; i 2 x , i3ξ

- радиусы инерции тел 2 и 3

относительно горизонтальных осей, проходящих через их центры тяжести; α, β - углы наклона плоскостей к горизонту; f – коэффициент трения скольжения; δ - коэффициент трения качения. Необходимые для решения данные приведены в таблицеД5,см. на стр. 27, 28. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные

участки

наклонным плоскостям.

нитей

параллельны

соответствующим

27

28 таблица Д5

№

m1

m3

m2

m4

кг 1

2

3

R3

R2

i2 x

см 4

5 1,2m

6

7

20

30

20

40

18

20

15 28 25

18

1

m

4m

0.2m

m

0,5m

0.33m

3 4

m m

m 2m

0.1m 4m

5 6 7

m m m

2m 3m 2m

m m 2m

8 9

m m

0,5m 2m

0.33m 9m

10 11 12

m m m

0,2m 0,5m 0,5m

0.25m 0.25m 0.2m

0,2m m

30

13 14

m m

2m 0,5m

5m 5m

2m 4m

30 -

20 25

15 16 17

m m m

0,5m 0,1m 0,25m

4m 0.05m 0.2m

0,5m 0,1m

20 10 20

18 19

m m

3m 0,3m

m 0.1m

20 21 22

m m m

2m m 0,5m

2m 2m 0.25m

23 24

m m

m 3m

0.1m m

25 26 27

m m m

0,3m 0,5m m

0.25m m 6m

28 29

m m

2m 0,2m

2m 0.125m

30

m

0,5m

0.33m

m

0,8m

0,5m

1,5m

α

8

β

продолжение таблицы Д5

f

δ

, см

S, м

см

2

m m

i3ξ

№

град 9

1

10

1

60

2

30

3 4

45

5 6 7

60 30 30

8 9

30 30

20

10 11 12

60 30 30

26 -

13 14

15 12

18

35 24

15

20 20 20

15 20 10

20 20

30

18 18

16 30 20

20 20 20

20 16

20

30 35

14

26

20

20

20

11

12

13

0,10

2

0,3

0,2π

0,3 0,20

П 1,5 2

0,15 0,12

0,2 0,2

1,75 1,5

0,10 0,17 0,20

0,2

3 2,5 2,5

30 -

0,2 0,2

2 2

15 16

60

0,2

15

17

60

0,10

0,16π

32 20

18

60

0,15

0,2π

19 20

60 30

0,15 0,10

21 22

30 60

23 24

30 30

14 20

30

25

16 16

0,22

2 0,2

30 30

45

14

0,10

45 45

45

0,12 0,10

2

45

0,20 0,17

1,5 0,2 0,3

0,2π 1,2 0,1π

0,10

1 0,6

25

0,08π 0,04π

26

18

1,5 0, 5π

0,6π

27 28

30 30

29 30

15 30

0,10 30

0,20 0,12

0,2 0,2 0,2

2 0,1π 2,4 2

29

30

4

3

1 s

C 2

r2 = 0.5 R2 , r4 = R2 2

1 S

3

60

r2 = 0.8 R2 2

S

1

60

с

3

r2 = 0.5 R2

2 1

1

30

с 30

r2 = 0.7 R2

S

31

32

3. Дифференциальные уравнения движения твердого тела. Задача Д 6. Исследование поступательного и вращательного движений твердого тела.

Механическая система состоит из механизма (колес 1 и 2) и груза 3. К колесу 1 приложена пара сил с моментом М = М (t) (движущий

2

момент) или 3

С

Время t отсчитывается от некоторого момента (t = 0), когда угловая

1

скорость колеса 1 равна ω 10 . Момент сил сопротивления ведомого

30

S

движущая сила P= P(t).

r2 = 0.8 R2

колеса 2 равен М c . Другие силы сопротивления движению системы не

2

учитывать. Массы колес 1 и 2 равны m 1 , m 2 а масса груза 3 — m 3 .

1

3

Радиусы больших и малых окружностей колес - R 1 , r 1 , R 2 , r 2 .

S

с

Схемы механических систем показаны на рис., см. стр. 35, 36, 37, а необходимые для решения данные приведены в таблице Д6, см. на

r2 = 0.5 R2 , r3 = 0.6 R3

стр.33, 34..

2 1

3

S

Найти уравнение движения тела системы, указанного в последней графе таблицы Д6.

с

30

30

r2 = 0.4 R2 , r3 = 0.5 R3

Определить также натяжение нитей в заданный момент времени, а вариантах, где имеется

соприкасание (показаны кинематические

схемы либо фрикционных, либо зубчатых передач) колес 1 и 2, найти, кроме того, окружное усилие в точке их касания. Колеса 1 и 2, для которых радиусы инерции - i x1 , i x 2 в таблице Д6 не заданы, считать сплошными однородными дисками.

33

34 Таблица Д6.

№ вар

m1

m 2 m3

R1

r1

R2

кг

r2

i x1

M, Hм

ix2

см

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

100

300

500

20

-

60

40

-

50

2100+20t

2 3

300 200

80 100

500 400

70 60

50 -

20 30

20

60 60

20

6100+20t

4 5 6 7

100 150 400 300

250 300 250 200

300 600 600 400

20 30 70 60

40

50 50 30 30

30 20 20 20

70 50

40 30 20 20

1000+40t 4800+10t -

8 9 10

300 200 250

250 100 100

700 500 400

50 80 40

30 60 20

40 20 30

20 -

40 50 30

30 -

5900+30t 2500+50t

11 12 13 14

150 100 180 150

300 200 100 80

700 600 300 400

40 30 50 40

30 20 40 20

60 60 30 30

30 20 -

30 20 30 30

40 60 20 -

1800+20t

15 16 17 18

300 300 250 200

180 250 100 100

500 400 800 600

20 60 50 20

10 40 30 -

50 50 20 50

30 -

10 50 40 -

50 40 50

700+40t 5400+50t 1900+20t

19 20 21 22

250 400 200 250

150 100 150 100

400 800 300 800

50 50 50 60

30 20 40 20

30 30 30 10

20 20 -

40 40 30 50

20 20 -

3700+50t -

23 24 25

200 100 150

80 200 80

400 500 400

40 30 60

20 -

30 40 20

20 -

30 60

30 -

2300+20t 4900+40t

26 27 28 29

250 250 60 50

200 150 200 200

500 500 900 500

50 50 20 20

20 30 -

40 40 60 40

30 30 10 30

40 30 -

30 30 50 25

900+10t 2100+20t

30

300

60

600

50

30

20

-

40

-

-

продолжение таблицы Д6

№ вар. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

рад/с

t1. c

Тело, для которого нужно опр. уравнение движения.

14 2 1 0,5 1,5 2 3 0 1 2 0 1 2 0,5 1,5 0 1 2 0,5 0,5 2 1 2 0,5 1,5 0 2 1,5 0 2 1,5

15 2 0,5 2,5 2 1 4 3 2 3 1,5 2 2 1 2,5 1,5 2 2 1 2 1 1,5 0,5 1 1 1,5 2 1 2 0,5 1

16 1 2 1 1 3 1 3 1 2 2 1 1 2 3 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2

P,

MC,

ω10 ,

H

Hм 13 1000 600 800 1400 1500 800 500 500 600 1200 1000 1500 400 700 300 1200 900 1500 500 1200 800 700 900 500 800 600 700 1500 1000 700

12 10200+100t 5500+200t 3000+100t 9700+50t 3900+50t 5700+50t 2700+200t 7300+100t 14200+200t 3800+100t 9700+200t 12600+100t 3500+150t 15200+100t 7200+50t

35

36

37

38

4. Аналитическая механика. Принцип возможных перемещений. 3адача Д7- Применение принципа возможных

перемещений к решению задач о равновесии сил, приложенных к механической системе с одной степенью свободы. Схемы механизмов, находящихся под действием взаимноуравновешивающихся сил, показаны на рис., см. стр. 40-42., а необходимые данные приведены в таблице Д7,см. на стр.39. Применяя принцип возможных перемещений и пренебрегая силами сопротивления, определить величину, указанную в последней графе таблицы Д7. Примечание. Механизмы в вариантах 3, 6, 10, 14, 16, 18, 19, 25 и 30 расположены в вертикальной плоскости, а остальные - в горизонтальной плоскости.

В вариантах: №6 - вес рукоятки O1 A не учитывать; №7 - пружина сжата; №8 - пружина сжата; №10 - вес рукоятки ОА не учитывать; №14 - вес стержней ОА и ОВ не учитывать; пружина растянута; №15 - пружина сжата; №16 - вес стержней O1 A и O1 B не учитывать; №17 - пружина растянута; №18 - Р вес блока радиусом r2 ; №19 - вес звена АВ не учитывать; №24 - пружина сжата; №25 - вес стержней ОА и ОВ не учитывать; пружина растянута; №26 - пружина растянута.

39

40 Таблица Д7

№ вар

Линейные размеры, см

Q, H

1 2

ОА=10 О 1 А=20

-

1 100

3

r 1=20,r 2 =30,.r 3 =40 OC:OA= 4:5 OA=100 r 1=15,r 2 =50,

200

4 5 6

P, H

M, Hм

с, Деформация ОпредеН/см пружины лить h, см

2 -

-

-

100

-

200 -

9 -

-

r 3 =20, 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

O 1 A=80 OC=OA OC=AC OA=20 r 1=15, r 2 =40, r 3 =20, OA=100 OA=20 O1D=60, AO=20 OA=40 OB=2OA AC=OD=OC d 1 =80, d 2 =25 OA=20

4 -

P M Q c P P

200 2000

200 -

-

20 3000 5000 -

-

10 10 -

300 100 9 -

25 250 100

200 -

200 100

100 -

20 21 22 23

200 r 1=20, r 2 =30,OA=25 OA=AB=AC=50 50 OA=AB=AC=DC=25 OA=40 OC=2OA=100 -

100 200 200

50

24 25 26 27 28

AD=OD=OB OD=DB=0,8AO OA=25 OB=AB OB=1.5OA

400 -

250 500 450

400 5 0 120 -

29

AO=30, BD=O1D

-

-

30

r 1=15, r 2 =36, r 3 =10 r 4 =20

-

600

12 0 -

150 120 180 -

100 -

3 2 4 3 3 4 2,5 3 2 2 -

-

P Q M c P P P P P P P h P M M P h Q P c P Q

h Q

41

42

y D

C 90

O

M

A x

45

P 45

B

43

44

Общее уравнение динамики Задача Д. 8 . Применение общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы.

Для заданной механической системы определить ускорения грузов и натяжения в ветвях нитей, к которым прикреплены грузы. Массами нитей пренебречь. Трение качения и силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Система движется из состояния покоя. Варианты механических систем показаны на рис., см. стр. 46, 47, 48, а необходимые для решения данные приведены в таблицеД8 , см.на стр.44, 45. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице Д8 не указаны, считать сплошными однородными цилиндрам

Примечание к таблице Д8:

1.

Радиусы инерции даны относительно центральных осей, перпендикулярных плоскости чертежа.

2.

Коэффициент трения принимать одинаковым как при скольжении тела по плоскости, так и при торможении колодкой (варианты 9-12).

3.

G – Сила тяжести, i – радиусы инерции, f – коэффициент x

трения скольжения Все параметры заданы в системе СИ.

Таблица Д8 № вар

G1

Силы тяжести G2 G3

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

2 G G 3G G 2G 2G 2G 2G 2G 2G 2G 2G 4G -

3 G G G G G G G G G 2G G G 2G 2G

4 3G G G 2G G 2G 2G 2G 2G G 2G 2G G G

5 G 0,2G 0,2G 4G 4G

6 2 2 2 3 3 3 3 3 4 3 3 -

15

4G

G

2G

4G

-

16

-

G

2G

4G

-

17 18 19

2G 3G 4G

G 0,2G 0,3G

G 0,1G 0,2G

0,5G 3G

2 2 3

20

4G

0,2G

0,1G

3G

2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

5G G G 2G 6G 6G G 3G 6G 8G

0,1G 0,2G 0,2G G 2G G G G 3G G

0,2G 0,3G 0,1G G 2G 2G G G G G

8G G

3 2 1,5 2 2 2 -

G4

4G G 2G

R/r

45

46 продолжение таблицы Д8

Радиусы инерции

№ вар 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

P

f

i2 x

i3 x

7

8 2r 2r3

9 0,2G G/3 -

10 0,1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,4 0,2 0,2 -

Дополнительные данные

14

r2

2

2r3

8G

-

11 r 2 =r 3 r 2 =2;r 3 R 2 =R 3 r 2 =2r 3 ; R 3 =1,5R 2

15

r2

2

2r3

-

-

r 2 =2r 3 ; R 3 =1,5R 2

16

r2

2

2r3

4G

-

17 18 19

r

2

1,2r

-

0,1 0,4 0,1

20

1,6r

r

2

-

0,2

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1,2r r 2 r 2 -

r r

2

G G 2G -

0,1 0,1

r 2 =2r 3 ; R 3 =1,5R 2 r 3 =1,2r; R 3 3=1,2r 3 r 2 =1,5r; R 2 =1,2r2 R 3 =1,2r m- колёс равны r 3 =r 4 r 3 3=r 2 i4x=i3x -

r r r

2

2 2

2r 2r 2r 2r 2r 2r 2r -

2r

2

r

2

r

2

-

47

48

49

50

Уравнения Лагранжа 2-го рода.

Таблица Д9

Задача Д9. Применение уравнений Лагранжа II рода к исследованию движения механической системы с двумя степенями свободы. Механическая система тел 1-6 движется под воздействием постоянных сил Р и пар сил с моментами М или только сил тяжести. Найти уравнения движения системы в обобщенных координатах q 1 и q 2 при заданных начальных условиях. Необходимые данные приведены в таблице Д9; что на стр. 50, 51, 52; там же указаны рекомендуемые обобщенные координаты (х. и ϕ - обобщенные

№ ва р

Радиус инерции

Массы тел 1

2

3

4

5

i2 y

i3 y

1 2 3

2 2m m m

3 6m 3m 3m

4 m 2m

5 m -

6 -

7 -

8 -

координаты для абсолютного движения, а ξ — для относительного движения), варианты механических схем показаны на рис., см. стр. 53, 54, 55. При решении задачи массами нитей пренебречь. Считать, что качение колес происходит без проскальзывания. Трение качения и силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Колеса, для которых в таблице радиусы инерции не указаны, считать сплошными однородными дисками. Водила (кривошипы) рассматривать как тонкие однородные стержни. Принять, что в вариантах 9, 20, 22 и 30 механизм расположен в горизонтальной плоскости. Дополнительные данные к таблице Д9. В вариантах: №2,№15 – массу ленты не учитывать; №3 _ Момент силы М приложен к водилу; №4,№13,№17,№24 – 1 – материальная точка; №5 – блоки 5 и 6 насажены на общую ось свободно, их массы одинаковы; №9, №20, №22 – момент силы М 1 приложен к водилу; 1.Радиус инерции тела 2 и 3 определены относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости чертежа. Примечание к табл.Д9:

4 5 6 7

m m m6 3m

4m 2m 6m 3m

4m 3m m

2m m m

-

2r -

8 9

m m

2m 2m

2m 3m

2m -

2m -

10 11

2m m6

2m 6m

m 2m

2m m

12 13 14

2m m 2m

5m 3m m

m 2m m

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

3m 12m m 2m 2m 2m 2m m 2m m 2m

m 3m 3m 2m 2m 3m 2m 3m m 3m 2m

2m 2m m 3m m 3m 2m m m m

1.Радиус инерции тела 2 и 3 определены относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости чертежа. 2. Коэффициентом вязкого сопротивления назван коэффициент пропорциональности в выражении силы сопротивления

26

m

3m

27

2m

28 29 30

m 2m 3m

относительному движению тел 1 и 2 относительная скорость тела.

R = −b v , где

v-

1

Силы P

Моменты M

9

10

-

M M

-

-

-

P1 ; P2

-

-

-

-

M 1; M

m -

-

-

-

-

2m

-

-

-

P -

M

-

-

r 2 -

P P -

M

m m 3m 2m m m -

m 3m -

r 2 -

P

2m

3m

m

-

2m

3m

m

2m

3m 4m 2m

m m 2m

m -

-

r 2 -

r

2

r

-

-

2

-

M1; M 2 -

M1; M 2

P1 ; P2

-

r

-

M

r 3

-

M

-

P P -

-

M1; M 2

2

51

52 продолжение таблицы Д9.

Коэффициенты

№ вар

Обобщенные координаты

Начальные условия

трения скольже ния

вязкого сопроти вления

q1

q2

11

12

13

14

1

q10

q 20

15 0

16 0

x

0

1

-

-

x

2

-

-

ϕ

3

-

-

ϕ

x

4

0

b

x

ξ

5

f

-

6 7

-

-

8

f

-

x1 x x1 x

9

-

-

ϕ1

10

f

-

x

11 12

f

-

x x

ξ

q&10 17 0

18 0

x0

0

0

0

0

0

0

0

0

x

вязкого сопроти вления 12 -

17

0

b

18

f

19

f

21

-

-

x

0

0

0

•

Y

ξ

0 0

0

ξ

x 0 0

0 0

0

ξ

0

0

0

14

-

-

ϕ

ξ

0

0

0

x

0

•

ξ0 0

0

0

22

-

-

ϕ1

0

0

0

0

ϕ2 ξ

0

0

0

0

23

f

-

24

-

25

0

0

0

0

•

x

0

0

0

0

0

x

0

0

0

b

x

ξ

0

ξ0

0

0

f

-

x1

0

0

0

0

26

-

-

0

0

-

-

0

0

0

28

-

-

x

ξ ξ ξ

0

27

ϕ ϕ

x2

0

0

0

29

f

-

x

ξ

0

0

ϕ2

0

•

ξ0

0

•

x

•

ξ0

ϕ2 ξ

0 0

0

x

0 0

•

0

-

0 0

0

ξ ξ

x

0 0

0

0

-

0 0

0

0

ξ

Y

0

ξ0

x

ϕ1

0

0

15 0

-

0

18

x

-

ϕ2 ξ

17 0

14

20

ξ0

16 0

13

0

ξ

q&20

q10

ϕ

q 20

q&10

q2

0

x2

Начальные условия

q1

0

x

ϕ

1 16

трения скольж ения 11 -

Обобщенные координаты

0

b

-

0

Коэффициенты

x2

-

-

0

•

13

15

q&20

продолжение таблицы Д9 № вар

30

-

-

ϕ1

0

•

ξ0

0 •

ξ0 0

•

x

0

0

ϕ&10

0

53

54 r

r

1.2r 2

1 2r

y

1.2r

3

x

4

1.2r

r

r

r

1

3 4

ϕ

2

2r

y

2

x

2r

1 x

3

55

56 Таблица вариантов контрольной работы для задач динамики Ш И Ф Р

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Номера задач 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Номера вариантов 23 25 19 20 22 2 17 19 20 14 10 28 11 13 22 8 10 5 5 7 8 2 4 11 19 30 14 16 27 17 13 24 20 10 21 23 7 18 26 15 29 13 30 12 1 27 9 3 24 6 9 21 3 6 18 1 12 15 29 18 12 26 15 9 23 21 6 20 24 3 17 27 1 14 30 29 11 4 28 8 7 23 5 10 20 2 13 14 19 22

Ш И Ф Р

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

Номера задач 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Номера вариантов 11 16 25 8 13 28 5 10 2 2 7 5 19 4 8 16 30 11 13 27 14 10 24 17 7 21 20 4 18 23 30 15 20 27 12 29 11 16 25 24 9 1 21 6 3 18 3 6 15 1 9 12 29 12 9 26 15 6 23 18 3 20 21 1 17 24 29 14 27 26 11 30 23 8 4 20 5 7 17 2 10 28 19 13 25 16 19 22 13 16

Ш И Ф Р

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Номера задач 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Номера вариантов 18 10 15 16 4 5 13 30 8 10 27 11 7 24 14 4 21 17 30 18 20 27 15 23 24 12 26 21 9 29 18 6 1

58

57 Образец титульного листа контрольной работы: по теоретической механике Федеральное агентство по образованию ВСГТУ Кафедра теоретической механики. Контрольная работа № по теоретической механике. Часть 3, динамика Выполнил студент:__(Фамилию, имя, отчество написать без сокращения) ______________________________________________________ ______________________________________________________ Курс__________________________________________________ Специальность_________________________________________ Факультет_____________________________________________ Шифр (номер зачетной книжки) _____________________________ Название (литературы, откуда взято задание, год издания) __________________________________________________ Проверил:

( ФИО преподавателя )

Дата проверки: _____________________________________ Улан-Удэ, 200_

Для заметок.

59

60

Сборник контрольных заданий для студентов строительных специальностей: 290300 - Промышленное и гражданское строительство, 290600 - Производство строительных материалов, 290700 – Теплогазоснабжение и вентиляция, 656300 – Технология лесозаготовительных и деревообрабатывающих производств, 291500 - Экспертиза и управление недвижимостью, 291000 - Автомобильные дороги и аэродромы заочного обучения по теоретической механике. Часть 3. Динамика. Подготовили: Афанасьева А.А., Алхунсаев Г.Г., Тришина В.Н. Задания подготовлены на основе материалов: 1. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учеб. пособие для техн. вузов / Яблонский А.А. и др. под редакцией Яблонского А.А. 2. Теоретическая механика. Методические указания и контрольные задания для студентов заочников энергетических, горных, металлургических, электроприборостроения и автоматизации, технологических специальностей, а также геологических, электротехнических, электронной техники и автоматики, химикотехнологических и инженерно-экономических специальностей вузов. / Под ред. С.М.Тарга.-4 изд.-М.:Высш.шк.,1988.

Редактор Т.А.Стороженко Подписано в печать__________ Формат 60х84 1/16. Печать офс., бумага писч.. Усл. п.л. уч.-изд.л. Тираж 100 экз. Заказ №

.

Издательство ВСГТУ : г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40 а ВСГТУ, 2005 г.