Вычислительная математика. Часть 3. (Вычислительная математика в задачах автоматизации производственных процессов): Рабочая программа, задания на контрольные работы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра автоматизации производственных процессов Вычислительная математика. Часть 3 (ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА В ЗАДАЧАХ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ) Рабочая программа Задания на контрольные работы

Факультет машиностроительный Направление и специальность подготовки дипломированных специалистов 657900 – Автоматизированные технологии и производства 210200 – автоматизация технологических процессов и производств (в машиностроении) Направление подготовки бакалавров 552900– Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств

Санкт-Петербург 2003

Утверждено редакционно-издательским советом университета УДК 519.6(07) Вычислительная математика. Часть 3. (ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

В

ЗАДАЧАХ

АВТОМАТИЗАЦИИ

ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ

ПРОЦЕССОВ): Рабочая программа, задания на контрольные работы.- СПб.: СЗТУ, 2003. - 13 с. Настоящий сборник предназначен для студентов 3 курса специальности 210200. В сборник включены рабочая программа, тематические планы лекций и практических занятий и задания на контрольные работы. Рассмотрено на заседании кафедры автоматизации производственных процессов 23 октября 2002 г., одобрено методической комиссией машиностроительного факультета 20 ноября 2002 г.

Рецензенты: кафедра информатики и вычислительной математики СЗТУ (заведующий кафедрой Г.Г.Ткаченко, канд.физ.-мат.наук, доц.); кафедра электротехники, вычислительной техники и автоматизации Санкт-Петербургского института машиностроения (завод-ВТУЗ) (заведующий кафедрой В.Н.Шестаков, д-р техн.наук, проф.).

Составители: Л.И.Абакулина, канд.техн.наук, доц.; Е.А.Кожевников, канд.техн.наук, доц. А.А.Сарвин, д-р техн.наук, проф.

© Северо-Западный государственный заочный технический университет, 2003

2

1.Цели и задачи изучения дисциплины Дисциплина «Вычислительная математика», являясь частью общего курса высшей математики, ориентирована на решение практических инженерных задач численными методами. В этой части высшей математики разъясняются принципы численных методов решений аналитических выражений и рассматриваются способы приложения методов к типовым задачам. Для специалистов в области автоматизации производственных процессов такими типовыми задачами считаются решения аналитических выражений, описывающих индивидуальные функции и взаимодействие элементов систем автоматики. Студенты должны изучить методы численного анализа и приобрести навыки получения конкретных результатов в числовой форме. Приобретенные навыки имеют приложение в практической работе инженера и необходимы для быстрого освоения профилирующих дисциплин специальности 210200 («Моделирование систем», «Теория автоматического управления», «Проектирование автоматизированных систем» и др.).

2. Структура дисциплины Курс вычислительной математики включает в себя разделы: численные методы решения дифференциальных уравнений; методы оценки расположения корней, не требующие их непосредственного вычисления; численные методы поиска экстремума; специальные методы интерполяции. 3. Содержание дисциплины 3.1. Рабочая программа (объем курса 100 часов) Введение (10 часов) Представление о численных методах. Аналитическое описание

3

объектов управления. Математическое моделирование. Решение ряда одних и тех же прикладных задач различными методами. Применение численных методов при решении задач автоматизации производственных процессов. Задачи оптимизации. Методы интерполяции.

3.1.1. Численные методы решения дифференциальных уравнений (24 часа) [1], с. 176-197, [2], с. 72-95 Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Общая характеристика численных методов. Одношаговые методы решения. Геометрическая интерпретация методов первого и второго порядков. Методы Рунге-Кутта. Приближенная оценка точности решения. Оценка величины критического шага (границы устойчивости решения). Матричные методы решения систем дифференциальных уравнений. Сравнительная оценка классических и матричных методов. Понятие моделирования динамических систем.

3.1.2. Методы оценки расположения корней, не требующие их непосредственного вычисления (15 часов) [4], с. 196-218 Понятие характеристического уравнения. Понятие устойчивости линейных систем. Область применения методов. Методы приближенной оценки областей расположения корней уравнения, собственных чисел матрицы. Методы оценки устойчивости, их сравнительная оценка, схема Рауса. Методы

оценки

устойчивости,

не

требующие

вычисления

коэффициентов полинома.

4

3.1.3. Численные методы поиска экстремума (20 часов) [1], с. 246-262; [2], с. 135-195 Область применения методов. Основные понятия и определения. Одномерный поиск. Общий поиск. Методы деления интервала пополам, метод золотого сечения. Сравнительная оценка сходимости методов. Многомерный поиск. Прямые и косвенные методы. Использование одномерных методов для решения многомерных задач. Понятие о градиентных

методах.

Сравнительный

анализ

алгоритмов

поиска

экстремума функции нескольких переменных. Применение

методов

поиска

экстремума

при

решении

задач

проектирования технических систем. 3.1.4. Специальные методы интерполяции (15 часов) [1], с. 96-104; [2], с.212-215; [3], с. 1-52 Применение методов интерполяции при решении прикладных задач программного

управления

технологическим

оборудованием

и

производственными процессами. Линейная, круговая интерполяция. Интерполяция сплайнами. Методы вычисления параметров кубических сплайнов.

3.2. Объемы аудиторной работы и виды контроля

Формы

Лекции

обучения Очно-

Практические Лабораторные Контрольные Экзамен занятия

работы

работы

12

8

8

2

1

8

4

4

2

1

заочная Заочная

5

3.3. Тематический план лекций для студентов очно-заочной (12 часов) и заочной (8 часов) форм обучения

Объем, часов № п/п

Темы лекций

Очнозаочная

1.

Численные

методы

решения

Заочная

4

3

1

1

дифференциальных уравнений 2.

Методы оценки расположения корней, не требующие их непосредственного вычисления

3.

Численные методы поиска экстремума

4

2

4.

Специальные методы интерполяции

3

2

3.4. Темы практических занятий для студентов очно-заочной (8 часов) и заочной (4 часа) форм обучения

Объем часов

№

Темы практических занятий

п/п 1.

Очнозаочная

Решение дифференциальных уравнений

Заочная

4

2

методами Эйлера, Эйлера-Коши, РунгеКутта 2.

Методы поиска экстремума

2

1

3.

Решение задач интерполяции для систем

2

1

программного управления оборудованием

6

3.5. Перечень лабораторных работ для студентов очно-заочной (8 часов) и заочной (4 часа) форм обучения

№ п/п 1.

Темы лабораторных работ Оценка погрешности и вре-

Объем часов Очно-заочная

Заочная

1

мени решения дифференциальных

уравнений

методом

Эйлера 2.

Оценка погрешности и вре-

1

1

1

1

мени решения дифференциальных

уравнений

методом

Эйлера-Коши 3.

Оценка погрешности и времени решения дифференциальных

уравнений

методом

Рунге-Кутта 4.

Оценка погрешности и вре-

1

мени решения дифференциальных уравнений с использованием переходной матрицы 5.

Поиск

экстремума

функции

2

методом половинного деления 6.

Поиск

экстремума

функции

2

2

методом золотого сечения

7

4. Тестовые задания 1.

Для

каких

целей

используются

численные

методы

решения

аналитических выражений? 2. Чем определяется практическая ценность численных методов получения решений? 3. В каких формах представляются результаты численного решения? Понятие о табулировании функции. 4. Что понимается под термином «Математическая модель»? 5. Что представляет собой операция интерполирования? 6. Какими методами осуществляется интерполяция? 7.

Какие

цели

преследует

процедура

оптимизации

какой-либо

зависимости? 8.

Почему

для

аналитического

описания

элементов

автоматики

используются дифференциальные уравнения? 9. Как формулируется задача Коши? 10. В чем сущность метода Эйлера? 11. В чем сущность метода Рунге-Кутта? 12. Какие факторы определяют погрешность решения? 13. Что называется унимодальной функцией? 14. Что понимается под термином «устойчивость решения»? 15. Какие значения функции считаются экстремальными? 16. Какими методами определяют экстремальные значения функции? 17. В чем сущность градиентных методов? 18. Какой вид уравнения называется характеристическим? 19. Что представляет собой уравнение состояния линейной системы? 20. В чем сущность линейной и круговой интерполяции? 21. Как осуществляется интерполяция сплайнами? 22. Как формулируется правило «золотого сечения»?

8

5. Литература

1. Myдров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках БЕЙСИК, ФОРТРАН и ПАСКАЛЬ. - Томск: МП РАСКО, 1992. 2. Шуп Т. Е. Прикладные численные методы в физике и технике. -М.: Высш.школа, 1990. 3. Байков

В.Д.,

Вашкевич

С.Н. Решение

траекторных

задач

в

микропроцессорных системах ЧПЧ.-Л.: Машиностроение, 1986. 4.

Сольницев

Р.И.

Автоматизация

проектирования

систем

автоматического управления. - М.: Высш.школа, 1991. 6. Задания на контрольную работу Общие указания В

процессе

изучения

курса

вычислительной

математики

этапом

самостоятельной работы студента должно быть выполнение двух контрольных работ, каждая из которых содержит по два задания. Перед выполнением контрольных работ необходимо ознакомиться с теоретическим материалом, представленным в рекомендованной литературе. Оформляются контрольные работы в отдельной тетради (или на листах формата А4, скрепленных между собой), на обложке которой указываются - название дисциплины; - ФИО; - шифр; - дата представления работы. В тексте контрольных заданий обязательно указываются номер задания, его содержание, исходные параметры, принятые согласно указаниям к выполнению задания. Выполненная

контрольная

работа

сдается

преподавателю

на

рецензирование. 9

После проверки контрольные работы возвращаются студенту для ознакомления с рецензией и исправления замечаний. Завершающим этапом выполнения контрольных работ является их устная защита. Контрольная работа №1 Задание 1.1. На интервале [0,2Т] с шагом h=T/2 найти методами Эйлера и Рунге-Кутта решение уравнения

Y′ = −

Y η + X T T

Y (0 ) = Y0 .

при

Из таблицы 1 взять - параметр Т по последней цифре шифра, - η - по предпоследней. Из таблицы 2 взять Y0 по первой букве фамилии. Задание 1.2. На интервале [0,2Т] с шагом h=T/2 методом Эйлера найти решение уравнения

T 2 y ′′ + 2Ty ′ + y = U

при

y(0) = 0 .

Параметр Т выбрать из таблицы 1 по предпоследней цифре шифра,

y ′(0) - по последней, U – по первой букве фамилии. В заданиях 1.1 и 1.2 построить графики решений. Для выполнения задания следует воспользоваться формулами: -

для метода Эйлера

yi+1 = yi + hf ( xi , yi ) ,

i=1, 2,…

f ( xi , yi ) = y′ . - для метода Рунге-Кутта

y i +1 = y i +

K 0 + 2K1 + 2 K 2 + K 3 , 6

10

где

K 0 = h ⋅ f (xi , y i ),

1 1   K 1 = h ⋅ f  x i + h, y i + K 0  2 2  

1 1   K 2 = h ⋅ f  x i + h, y i + K 1  2 2  

K 3 = h ⋅ f ( x i + h, y i + K 2 ) . Таблица 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Т

0,1

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

η

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

y′(0 )

4

-4

2

-2

3

-3

1

-1

0

0

Таблица 2 А,И,Т Б,О,Ц В,Н,Х Г,Ф,Я Д,З,Л Е,М,Р Ж,С,Ч К,Э

П,Щ У,Ш,Ю

Y0

5

-5

3

1

-2

-4

4

-1

2

-3

U

x

cosx

sinx

e-x

-x

-cosx

-sinx

-e-x

ex

e-x

Контрольная работа №2 Задание 2.1. С точностью 0,2 найти экстремум функции f(x) методом золотого сечения, если известно, что на промежутке [-1,1] он единственный. Вид функции f (x ) = A0 x 4 + A1 x 3 + A2 x 2 + A3 x + A4 . Вариант выбирается по последней цифре шифра. Коэффициенты функции взять из таблицы 3. Таблица 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

А0

16

256

16

256

256

16

16

256

16

256

А1

9,6

76,8

54,4

435

179

22,4

35,2

282

41,6

333

А2

2,2

8,6

69

277

47

11,8

22

116

40,6

162

А3

0,22

4,3

39

78,6

5,5

2,7

10,7

21,3

17,56

35

А4

0,008 0,008

8,3

8,3

2,4

2,4

1,46

1,46

2,8

2,8 11

Задание 2.2. Для численных значений аргумента xi и функции yi i=0, 1, 2 рассчитать параметры кубических интерполяционных сплайнов, при условии, что в узлах интерполяции xi , yi первая и вторая производные непрерывны. Кубический сплайн следует представить в виде

[

]

Yi (x ) = tyi + t yi −1 + ∆xi (k i −1 − d i )tt 2 − (k i − d i )t 2 t .

Исходные данные приведены в таблице 4. Значения аргументов xi выбираются по последней цифре шифра, yi – по третьей с конца. По полученным данным построить значения функций Y(x), вычислив их значения не менее чем в пяти промежуточных точках.

Таблица 4 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Х0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Х1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Х2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Y0

1

1,7

0,8

4

4

4

2,8

2

0,4

1

Y1

2,6

2,7

3,6

1,3

3,4

4,5

1

2

2

0,7

Y2

3

2

3,7

0,5

1

2,5

1,7

5

2,8

1,2

12

Содержание 1.

Цели и задачи изучения дисциплины………………………………..

3

2.

Структура дисциплины……………………………………………….

3

3.

Содержание дисциплины……………………………………………..

3

3.1.

Рабочая программа……………………………………………………

3

3.2.

Объемы аудиторной работы и виды контроля………………………...

5

3.3.

Тематический план лекций ……………………………………………

6

3.4.

Темы практических занятий……………………………………………

6

3.5.

Перечень лабораторных работ…………………………………………

7

4.

Тестовые задания………………………………………………….

8

5.

Литература………………………………………………………

9

6.

Задания на контрольную работу………………………………...

9

Редактор И.Н.Садчикова Сводный темплан 2002 г.

Лицензия ЛР № 020308 от 14.02.97. Подписано в печать Б.Кн.-журн.

Формат 60*84 П.л. 0,812 Тираж 200

Б.л. 0,406

1/16

РТП РИО СЗТУ

Заказ

Северо-Западный государственный заочный технический университет РИО СЗТУ, член Издательско-полиграфической ассоциации Вузов Санкт-Петербурга 191186, Санкт-Петербург, ул.Миллионная, 5 13