講座情報をよむ統計学3
統計学の数理 上 田 尚 一・著
朝倉書店
講座 「 情 報 を よむ統計 学」 刊 行 の 辞
情 報 の 流 通 ル ー トが 多様 化 し,ア
情 報化 社会 への 対応
な り ま し ...
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講座情報をよむ統計学3
統計学の数理 上 田 尚 一・著
朝倉書店
講座 「 情 報 を よむ統計 学」 刊 行 の 辞
情 報 の 流 通 ル ー トが 多様 化 し,ア
情 報化 社会 への 対応
な り ま し た.誰
クセ ス しや す く
もが簡単 に情 報 を利用 で き るよ うに
な っ た … こ の こ とは 歓 迎 し て よ い で し ょ う.た だ し,玉 石 混 交 状 態 の 情 報 か ら玉 を選 び,そ は,玉
の 意 味 を 正 し くよ み と る能 力 が 必 要 で す.現
と石 を 識 別 せ ず に 誤 用 し て い る,あ
る い は,意
実に
図 を カ ム フ ラー
ジ ュ した 情 報 に 誘 導 され る結 果 に な っ て い る … そ う い うお そ れ が あ る よ う で す. 特 に,数
字 で 表 わ され た 情 報 につ い て は,数
うだ け で,正
値 で表 現 され てい る とい
確 な 情 報 だ と思 い 込 ん で し ま う人 が み られ る よ うで す ね. ど う い う観 点 で,ど
情 報 の よみか き 能力が 必要
え ず に,結
ん な 方 法 で 計 測 した の か を考
果 と して 数 字 に な っ た 部 分 だ け を み て い
る と,「 簡 単 に ア ク セ ス で き る」 こ と か ら 「簡 単 に 使 え る」 と勘 違 い し て,イ
ー ジ ィ に 考 え て し ま う … こ うい う危 険 な 側 面 が あ る こ と に 注 意
し ま し ょ う. 数 値 を 求 め る 手 続 き を考 え る と,「 た ま た ま そ う な っ た の だ 」 と い う 以 上 に ふ み こ ん だ 言 い 方 は で き な い こ とが あ り ます.ま
た,そ
の数 字 が
正 しい と して も,そ の 数 字 が 「一 般 化 で き る傾 向 性 と解 釈 で き る場 合 」 と,「 調 査 し た そ の ケ ー ス に 関 す る こ とだ と い う 以 上 に は 一 般 化 で き な い 場 合 」 と を,識 別 し な け れ ば な ら な い の で す. こ う い う 「情 報 の よ み か き 能 力 」を もつ こ と が 必
その基 礎 をなす 統計 学
要 で す.ま
た,情
報 の う ち 数 値 部 分 を 扱 う に は,
「統 計 的 な 見 方 」 と 「それ に 立 脚 した 統 計 手 法 」を 学 ぶ こ とが 必 要 で す. こ の 講 座 は,こ
うい う観 点 で 統 計 学 を学 ん で い た だ くこ と を期 待 して
ま と め た もの で す. 当 面 す る問 題 分 野 に よ っ て,扱
う デ ー タ も,必 要 と さ れ る 手 法 も ち が
い ま す か ら,そ の こ とを 考 慮 に 入 れ る …
しか し,で
き る だ け 広 く,体
系づ け て 説 明 す る … こ の 相 反 す る条 件 を み た す た め に,い 冊 に わ け て い ます.
くつ か の 分
ま え が き
この テ キ ス ト の主題
この テ キ ス トでは,デ
ー タ解 析 の 手 法 と して広 く使 わ れ て
い る 「回 帰 分 析 」 を例 に とっ て解 説 しま す.
まず , 回帰 分 析 の 原 理 とそ の 数 理構 成 を,第
1章,第
2章 で説 明 し ま す・ こ
の部 分 は 多 くの テ キ ス トで取 り上 げ られ て い ます が,そ
れ だ け で は実 際 の 問 題
を 扱 え ませ ん. 数 理 は,あ
る モ デ ル を想 定 で き る こ と を前 提 と して 展 開 され て い ます か ら,
そ れ を適 用 す る に は,ま
ず どん な モ デ ル を想 定 す る か とい う問 題 が あ り ます.
こ の よ う な,適 用 上 の 問 題 に つ い て くわ し く解 説 す る のが この テ キ ス トの ね ら い で す. このテ キス ト の構成 3章).ま
適 用 前 の 問 題 と して は,説 の 問題 につ い て,種
明 変 数 の 選 び方 が あ り ます.こ
々 の 注 意 点 を体 系 づ け て説 明 し ます(第
た,ど ん な デー タ に も 多数 部 分 と一 緒 に は 扱 え な い 外 れ 値 が 混 在 し
て い る可 能 性 が あ ります か ら,そ れ らが 混 在 して い る ときの 影 響 の 評 価 法,あ る い は,そ れ らの 影 響 を受 け に くい方 法 に つ い て,第
8章 で説 明 し ます.
ま た,計 算 に よ って ど ん な こ とが わか っ た か を 説 明 す る場 面 … い わ ば 数 理 を適 用 した後 の 問 題 に つ い て も,各 説 明 変 数 の 影 響 度 を計 測 す る な ど,数 理 的 な 手 法 を適 用 で き る こ とを説 明 し ます(第 4章). 適 用 とい う意 味 で は,当 然,扱
うデ ー タ の タ イプ に 応 じて 考 え るべ き注 意 点
が あ り,そ れ を くわ し く説 明 して い るの が こ の テ キ ス トの特 徴 で し ょ う. 第 5章 で は,統 計 調査 の 結 果 な どの 集 計 デ ー タ を扱 う場 合 に つ い て,そ れ ぞ れ の デ ー タの サ イ ズ が 異 な る こ とへ の 対 応 な ど,い
くつ か の 見過 ご され て い る
問 題 を取 り上 げ て い ます. 第 6章 では,時 系 列 デ ー タ を扱 う場 合 に,あ
る時 点 に お け る状 態 を表 わ す 変
数 と,あ る期 間 に お け る変 化 を表 わす 変 数 を 区別 して 現 象 を説 明 で き る こ と を 示 し,次 の 第 7章 で は,そ の 見 方 を入 れ た 「時 間 的 推 移 の 分 析 」の 典 型例 と し
て,成
長 現 象 に 関 す る ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ に つ い て 説 明 し ま す.
この テ キ ス ト の説明方法
この テ キ ス トで は,実 際 の 問 題 解 決 に 直 結 す る よ うに,適 当 な実 例 を取 り上 げ て 説 明 して い ます.数
す が,そ の 数 理 が な ぜ 必 要 とな る の か,そ
理 を解 説 す るの で
う して,数 理 で ど こ ま で 対 応 で き,
ど こ に 限 界 が あ る の か … そ こ をは っ き りさせ る た め に 選 ん だ 実 例 で す. 実 際 の 問題 を扱 い ます か ら,コ ン ピ ュー タ を使 う こ と を 前提 と して い ます. 学 習を助 ける ソフ ト
こ の シ リー ズ で は,そ 『統 計 ソ フ トUEDAの
うい う学 習 を助 け る た め に,第
9巻
使 い 方』に デ ー タ解 析 学 習 用 と し て 筆
者 が 開 発 した 統 計 ソ フ トUEDA(Windows版CD-ROM)を
添 付 し,そ の 解 説
を用 意 して あ ります. 分 析 を実 行 す るた め の プ ロ グ ラ ム ば か りで な く,手 法 の 意 味 や 使 い方 の 説 明 を画 面 上 に 展 開 す るプ ロ グ ラ ム や,適
当な実例 用の デー タ をお さめ たデー タ
ベ ー ス も含 ま れ て い ます . こ れ ら を使 っ て, テ キ ス ト本 文 を よ む → 説 明 用 プ ロ グ ラム を使 っ て理 解 を確 認 す る → 分 析 用 プ ロ グ ラム を使 っ て テ キ ス トの 問 題 を解 い て み る → 手 法 を活 用 す る力 をつ け る →...
と い う学 び 方 を サ ポ ー トす る 「学 習 シ ス テ ム 」に な っ て い る の で す. こ の テ キ ス ト と 一 体 を な す もの と し て,利
用 して い た だ くこ と を期 待 して い
ま す. 2002年10月 上
田 尚 一
次
目
1. 回 帰 分 析
1
1.1 傾 向性 と個 別 性
1
1.2 傾 向 線 の 求 め 方
2
1.3 傾 向 線 の 有 意 性 判 定 1.4 回 帰 分 析 とは 問
題
2
3
1 6
2. 回 帰 分 析 の 基 本
8
2.1 回 帰 分 析 の 構 成
8
2.2 最 小 2乗 法 の 数 理 2.3 適 用 上 の 問 題
16
19
2.4 一 般 線 形 モ デ ル
21
2.5 回 帰 分 析 の 計 算 手 順 2.6 回 帰 分 析 の 進 め 方 2.7
残 差 プ ロ ッ ト
24 30
34
2.8 補 足 :回 帰 推 定 値 の 確 率 論 的 性 質 問
題
2
3. 分 析 の 進 め 方― 3.0
問 題 例
説 明変 数 の取 り上 げ方 46
3.1 説 明 変 数 選 択 と分 散 分 析 3.2 ア ウ トラ イ ヤ ー の 影 響 3.3 説 明 変 数 の 変 換
56
3.4 説 明 変 数 の 追 加,変
更
3.5 説 明 変 数 の 細 分
60
3.6 質 的 変 数 の 扱 い(数 量 化)
49 54
57
62
3.7 数 量 デ ー タ の再 表 現(数 量 化) 問
題
3
38
41
71
66
46
75
4. 回 帰 分 析 の 応 用 4.1 被 説 明 変 数 に 対 す る寄 与 度 ・寄 与 率 の 計 算 4.2 平 均 値 対 比 に お け る混 同 効 果 の 補 正
78
4.3 回帰 推 定 値 に お け る混 同 効 果 の 補 正
81
4.4 相 関 係 数 に お け る混 同効 果 の 補 正 4.5
問
分
題
析
4
例
75
82
84
88
5. 集 計 デ ー タ の 利 用
91
5.0 こ の 章 の 問 題
91
5.1 集 計 デ ー タ とそ の タ イ プ 5.2 決 定 係 数 の 解 釈
92
94
5.3 値 域 区 分 の 仕 方 と ウエ イ トづ け 5.4 第 三 の 変 数 の 影 響 へ の 考 慮 問
題
5
97
101
106
108
6. 時 系 列 デ ー タ の 見 方 6.1 季 節 性 と トレ ン ドの 分 離 タ イ ム ラ グ
119
6.3 変 化 の 説 明
124
6.2
6.4
レ ベ ル レ ー ト図
130
6.5 レベ ル レ ー ト図 上 で の 直 線 問
題
6
108
134
139
142
7. 時 間 的 推 移 の 分 析 7.1 成 長 曲 線 の モ デ ル― 7.2
ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ 142
ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ(一
般 型)
7.3 成 長 曲 線 の パ ラ メー タ推 定
7.4 ロ ジ ス テ ィ ッ ク カー ブ の適 用 例 7.5 モ デ ル 選 定 の 考 え方 問
題
7
145
147 149
160
163
8. ア ウ トラ イ ヤ ー へ の 対 処 8.1 観 察 単 位 の 異 質 性 166 8.2
ハ ツ ト行 列 168
8.3
残 差 プ ロ ッ ト 170
166
175
8.4 補 足:影
響 分 析
8.5 補 足:回
帰 推 定 値 に 対 す る影 響 分 析
8.6 加 重 回 帰(ロ バ ス ト回帰) 問
題
8
176
178
184
186
9. 2変 数 の 関 係 要 約 9.1 平 均 的 傾 向 を 表 わ す 線 の 求 め 方(1 線 要 約) 9.2
傾 向 を拾 い 上 げ る
188
9.3 ひ ろ が り幅 を示 す(3 線 要 約) 問
付
録
題
193
9
194
A.
分析 例 とその資料 源
B.
付 表:図
C.
統 計 ソ フ トUEDA
索
引
◎
ス ポ ッ 卜
196
217
219
EDAとCDA
予
dirty dataのcleaning
◎
194
・表 ・問 題 の 基 礎 デ ー タ
190
測
5 109 157
シス テ ム ダ イナ ミッ ク ス
165
プログラム DATAIPTの DATAEDITの
使 い 方
44
使 い 方(キ イ ワー ドの 挿 入)
VARCONVの
使 い 方(1)
73
VARCONVの
使 い 方(2)
140
45
186
《シ リー ズ 構 成 》 1. 統 計 学 の 基 礎
どん な場 面 で も必要 な基本概 念.
2. 統 計 学 の 論 理
種 々 の 手 法 を広 く取 り上 げ る.
3. 統 計 学 の 数 理
よ く使 わ れ る手 法 を くわ し く説 明.
4. 統 計 グ ラ フ
情 報 を 表 現 し,説 明 す る た め に.
5. 統 計 の 活 用 ・誤 用
気 づ か な い で 誤 用 し て い ませ ん か.
6. 質 的 デ ー タ の解 析
意 識 調 査 な どの 数 字 を 扱 うた め に.
7. ク ラ ス タ ー 分 析
多次 元 デー タ解析 とよばれ る
8. 主 成 分 分 析 9. 統 計 ソ フ トUEDAの
手 法 の う ち よ く使 わ れ る もの. 使 い 方
1∼ 8に 共 通 で す .
1 回
帰
分
析
この テ キ ス トで 説 明 しよ う とす る こと,お よび,説 明 の ス タン スの あ らま しを示 して お き ます.く わ し くは次 章 以 降 で 解 説 してい き ます が, 要 は,回 帰 分析 な どの統 計 手 法 を 「現象 を説 明 す る手 段 と し て考 え てい く」とい う こ とです .
1.1 傾 向性 と個 別 性 ① 2つ の 変 数 X,Y が 次 の よ う にl0個 と し ま し ょ う.X,Y
の 観 察 値 が 対 に な っ て い る こ と に 注 意 して くだ さ い.
表1.1.1(X,Y)の
② こ の 例 の よ う に,X,Y 1.1.2の は,点
の 観 察 単 位 に つ い て 観 察 さ れ て い る もの
観 察 値
の 情 報 が 対 の 形 に な っ て い る 場 合,次
よ う に 平 面 上 の 点 の 位 置 で 図 示 す る こ とが で き ま す.ま
た,こ
ページの 図 の例 に つ い て
の 分 布 が ほ ぼ 直 線 に 沿 っ て い る こ とか ら,こ の 傾 向 性 を 表 わ す 線 を え が い て よ
い で し ょ う.い
いか え る と,傾
向 性 を 傾 向 線 で 表 わ す こ とが で き るの で す.
そ う し て,点
の分 布 が 「 左 下 か ら右 上 方 向 に 散 布 し て い る 」こ とか ら,「 X が 大 き
くな る と Y が 大 き くな る」 と い う傾 向 を 見 出 す こ と が で き ま す. 当 然 の こ と を い っ て い る よ う で す が,基 礎 デ ー タ の 情 報 の う ち の 「傾 向 性 」に 注 目 し て い る の だ と い う こ と を,は ま た,傾
っ き り意 識 して くだ さ い.
向 線 で は 表 現 さ れ な い 部 分 が あ る こ と に 注 意 し ま し ょ う.そ
性 」 と よぶ こ とに し ま し ょ う.
れ を 「 個別
図1.1.2
図1.1.3の
XYプ
ロ ッ ト
図1.1.3
傾 向 性 と個 別 性 を識 別
よ うに 傾 向 線 を 書 き込 む こ と は,デ ー タ の もつ 情 報 を
デ ー タ全 体 を通 して み た と きに 検 出 さ れ る 「傾 向 性 」
そ れ に よ っ て は 説 明 さ れ な い 「個 別 性 」
と わ け て み る こ と を意 味 しま す.そ
の こ と を 目的 と し て,傾
線 以 外 の 線 で も よ い)を 求 め るの で す.個 て よ い の で す が,個
向 線(場 合 に よ っ て は 直
別 性 の 小 さ い 問 題 分 野 な ら傾 向 線 に 注 目 し
別 性 の 大 き い 問 題 分 野 が あ り ま す か ら,ま ず,プ
ロ ッ ト して,傾
向 性 ・個 別 性 の 大 き さ を把 握 す る の で す.
1.2 傾 向 線の 求 め 方 ① 「傾 向 線 の 求 め 方 」に つ い て は ま だ 言 及 して い ま せ ん.デ じて 考 え る べ き こ と で す が,よ 線 の へ だ た り(DI)を と い う原 理 で す.こ
く採 用 さ れ る の は,図1.2.1に
測 る もの と し,そ の 分 散(1/N)ΣDI2が
ー タの見 方 な どに応 示 す よ うに 各 点 と傾 向
最小 に な るよ うに定め る
れ を 「最 小 2乗 法 」 とよ び ます.
た だ し,こ れ が 唯 一 で は あ り ませ ん.ま
た,そ
れ を
適 用 す る に あ た っ て 必 要 な 前 提 が あ り ま す か ら,順
図1.2.1
傾向線の求め方
を
追 っ て 説 明 して い き ます. ② ま た,Y
の 値 の 大 小 を lつ の 変 数 X で 説 明 で
き る と は 限 り ませ ん.最
小 2乗 法 の 数 理 は,2 つ 以 上
の 変 数(説 明 変 数)を 組 み 合 わ せ て 使 う 方 向 に 拡 張 で き ます が,ど
ん な 変 数 を い くつ 使 う か は,数
で決 ま る こ と で は あ りま せ ん.個
理 の枠 内
々 の 問 題 ご とに,考
え るべ き こ とで す.
1.3 傾 向 線 の 有意 性 判 定 ① ど ん な方 法 を 採 用 し た と き に も,傾
向 線 を 使 う こ との 有 意 性 を 測 る こ とが 必 要
で す.そ
の た め に は,上
掲 の分散 が
「傾 向値 を 基 準 と した 分 散 」… … 残 差 分 散 と よば れ る で あ る こ とか ら,傾
向 線 を使 わ な か っ た 場 合 の 分 散,す
なわ ち
「全 体 で の 平 均 値 を 基 準 と し た分 散 」… … 全 分 散 と よ ば れ る と 比 べ た 減 少 率 に 注 目 し ます.こ
れ を 「決 定 係 数 」 と よ び ます,す
な わち
残差 分散 全分 散
決 定 係 数=1で す.
② こ の 値 が 大 き け れ ば,そ
の傾 向 線 を使 っ て デ ー タ の 変 動 を 十 分 説 明 で き る と了
解 で き ます. こ の 値 が 小 さ い と きに は,そ
の 傾 向 線 で は 十 分 説 明 で き な い と い う こ と です か ら,
傾 向 線 の 求 め 方 を さ らに 工 夫 し ま し ょ う.た だ し,個 別 性 が 大 き い の で 「どん な 方 法 で傾 向 線 を求 め て も傾 向 性 を見 出 せ な い 場 合 」が あ り う る こ と に 注 意 し ま し ょ う.そ うい う場 合 に は,決 以 上 が,回
定 係 数 は 大 き くな りえ ませ ん.
帰 分 析 の 数 理(第 2章)で す.
1.4 回帰 分 析 とは ① 回 帰 分 析 の 数 理 とこ と わ っ た の は,そ
れ を現 実 の 問 題 に 適 用 す る場 面 に 関 し て
種 々 の 考 え るべ き点 が あ る か ら で す. こ の テ キ ス トで は,こ の 接 点 に 関 して,く
れ ら の 点 を含 め て,傾
向 線 を求 め る 数 理 と実 際 問 題 へ の適 用
わ し く説 明 し て い き ま す.
② Y(被 説 明 変 数)の 値 の 変 動 を 説 明 す る た め に,そ 別 の 説 明 変 数(XI,I=1,…,K)を
れ と関 連 を もつ と み られ る
使 っ て 関 係 式Y=A+ΣBIXIを
め の 手 法 が 回 帰 分 析 で す が,現
見 出す … その た
実 の 問 題 に 適 用 し よ う とす る と,説
明変 数 の 選 び 方 と
観 察 単 位 の 選 び 方 な ど 「運 用 の仕 方 」 と して 考 え る べ き 問 題 が あ り ま す.そ
う して,
そ れ が 結 果 を左 右 し ます. し た が っ て,候
補 と な る変 数 と観 察 単 位 の 範 囲 を広 く取 り上 げ,デ
(I=1,…,K,n=1,…,N)か
ら 「説 明 変 数 を ど う 選 ぶ か,ま
るい は,「 観 察 単 位 を ど う選 ぶ か,ま こ む こ と が 必 要 で す(第
ー タ セ ッ トXIn
た は ど れ を 外 す か 」,あ
た は ど れ を 外 す か 」 を検 討 す る ス テ ップ を お り
3章).
こ の 検 討 な しに 多 くの変 数 を 含 め た 場 合,推
定 精 度 が 落 ち る な ど推 定 上 の 問 題 が 発
生 し ます が,問 題 は そ れ だ け で は あ りませ ん.計
算 上 解 が 得 ら れ て も,そ れ を ど う解
釈 す るか とい う難 問 が あ りま す. ③ 基 礎 デ ー タ の タ イ プ も考 慮 しな け れ ば な り ませ ん. た と え ば,基 礎 デ ー タが 「す べ て が 同 じ条 件 下 で 求 め ら れ た 情 報 」だ とい い に くい た め,す
べ て を 使 う よ り も 「あ る 範 囲 に 限 定 す る方 が よ り よ く説 明 で き る」場 合 が あ
る も の です . ま た,ひ
とつ ひ とつ の 観 察 単 位 に 対 応 す る個 別 デ ー タ で は な く,そ れ を集 計 す る 手
順 を経 て 求 め ら れ た集 計 デ ー タや,年
次 区分 に 対 応 す る デー タ な ど,タ
イプ に応 じて
適 用 の 仕 方 を考 え る こ とが 必 要 で す.
表1.4.1
区別 すべ きデ ー タ タ イプ
い くつかの観察単位か らなる
集 計区分が系列に対 応す る 場合
集 計区分に対応す る場合
多 くの 手 法 で は 「個 別 デ ー タ を 使 え る こ と を 暗 黙 の 前 提 」 と し て い ま す が,集 デ ー タや 時 系 列 デ ー タ を扱 う場 合 に は そ れ ぞ れ 特 有 な手 法 が,種 す(第 5章,第 特 に,時
々,展
計
開 され て い ま
6章).
系 列 デ ー タ に つ い て は,「 時 間 的 変 化 を 説 明 す る」 と い う観 点 で モ デ ル を
想 定 す る こ とが 必 要 で す(第
7章).
④ 観 察 値 の 性 質 に つ い て 「あ る 前 提 を お け ば 」数 理 と し て は きれ い な 形 に ま とめ られ る 「 最 小 2乗 法 」で す が,適 い る とは い い に くい の で,そ 法 を 組 み 立 て る と か,対
用 す る 問 題 分 野 に よ っ て は,そ
の 前 提 が 成 り立 っ て
の 前 提 を ゆ るめ た状 態 で 適 用 で き る 「頑 健 性 」の あ る 手
象 デ ー タ 中 に 含 ま れ る 「ア ウ トラ イ ヤ ー 」,す な わ ち 傾 向 性
か ら外 れ た デ ー タ を検 出 す る機 能 を お りこ む な ど,種 々 の 対 応策 が 提 唱 され て い ます . ⑤ 説 明 変 数 や 観 察 単 位 の 範 囲 を ど う決 め るか は,手 の適 用 上 の 問 題 と し て考 え よ …
法 の 数 理 の 枠 外 で あ り,手 法
こ う い う言 い 方 は,不 適 当 で す.
「手 法 を適 用 し て 現 実 の 問 題 を 解 決 し よ う」 とす る な ら,数 理 と適 用 を わ け て 考 え る こ と は で き ませ ん.数 拡 張 す る 試 み が,た
理 の 方 も,こ
う い う問 題 を 「数 理 の 枠 内 に 取 り込 む 」方 向 で
と え ば 「回 帰 診 断 」 とか 「影 響 分 析 」 と して 展 開 され て い ます(第
8章). こ うい う話 題 は,入
門 書 で は 取 り上 げ な い の が 普 通 で す が,手
法の適 用 とい う意味
で は 必要 か つ 重 要 な点 で す. ⑥ た だ し,ど ん な場 合 に も 通 用 す る 形 に は な っ て い ませ ん か ら,ま ず, あ りの ま ま図 示 す る こ とに よ っ て デ ー タ の特 性 を 客 観 的 に把 握 す る … こ う い う原 則 に た っ た 手 法 に 注 目 し ま し ょ う(第 9章). ⑦ こ の テ キ ス トで は,広
い 観 点 を と っ て い る に して も,回 帰 分 析 に 焦 点 を あ て て
い き ます.現
象 を説 明 す る た め の 手 法 と い う意 味 で は,回
あ り ます.そ
れ ら の 手 法 を幅 広 く取 り上 げ て 解 説 し た テ キ ス ト(本 シ リー ズ 第 2巻
帰分析 以外 に種 々 の手 法が
『統 計 学 の 論 理 』)を別 に 用 意 して あ り ま す か ら,そ れ も参 照 す る と よ い で し ょ う.
EDAとCDA 回 帰 分 析 に 関 す る解 説 で 「デ ー タ の あ て は め 」と い う表 現 や 「 傾 向 線 を求 め る」 と い う 表 現 を使 う こ とが あ り ます.わ そ れ で よ い の で す が,回
か りや す く説 明 す る と い う趣 旨 で 使 う …
帰 分 析 を適 用 す る場 面 や 適 用 方 針 に 立 ち 入 っ て 考 え る 場
合 に は,区 別 した くな る点 が あ りま す. ど ん な場 合 に も 「基 礎 デ ー タ と合 致 し て い る か 否 か 」を み る と と も に,そ
れに
よ っ て 「現 象 を説 明 す る」こ と を 考 え るの で す が, a.説 明 は 後 の こ と と し,
ま ず 「基 礎 デ ー タ をあ りの ま ま 把 握 す る 」こ と を 考 え る
と い う使 い 方 をす る場 合 と
b.ま
ず 説 明 の 仕 方 を 考 え て 傾 向 線 の タ イ プ に 関 す る 「モ デ ル を 想 定 し」
デ ー タ を 使 っ て 「想 定 され た タ イ プ に 属 す る傾 向 線 を特 定 す る」 と い う使 い 方 をす る場 合 を 区別 し ま し ょ う. た と え ば,ア
ウ トラ イ ヤ ー(外 れ 値)の 扱 い方 で ち が い が 出 て き ます.
aの 立 場 で は,ア
ウ トラ イ ヤ ー が 他 と離 れ て い る,よ
っ て,そ
の理 由 を調べ よ
う と,他 の 多 数 部 分 と 同 等 の 注 意 を向 け ま す. bの 立 場 で は,(そ
れ が 少 数 な ら,)想 定 さ れ た 傾 向 か ら外 れ た 例 外 値 だ か ら,
そ れ を除 外 して傾 向 線 を 求 め よ う とい う方 向 に 進 み ます. こ れ らの 立 場 を,そ
れ ぞ れ 「デ ー タ 主 導 型 」,「仮 説 主 導 型 」 と よ ぶ こ と に し ま
し ょ う.手 法 の 組 み 立 て 方 や 適 用 の 仕 方 で も, 「探 索 的 デ ー タ解 析 」(exploratory 「 検 証 的 デ ー タ解 析 」(confirmatory と区 別 され ます.
data analysis…EDAと data analysis…CDAと
略 称) 略 称)
問題 1
問 1 プ ロ グ ラ ムREG00は,こ
の テ キ ス トの 主 題 で あ る 回 帰 分 析 の あ ら ま しの 説 明
を パ ソ コ ン の 画 面 に 表 示 し ます.よ
注:UEDAの
ん で くだ さ い.
使 い方 は シ リー ズ第 9巻 に詳 述 して い ます が,こ の プ ロ グ ラ ムに つ い
ては,ア イ コ ン を ク リ ック して メニ ュー を表 示 し,ま ず 4(区分 番 号),次 に 1(プ ロ グ ラムREG00の
番号)を 入 力 す る だけ です .
説 明文 が 自動 的 に表 示 され ます.区 切 りで 静 止状 態 に な った ときに はEnterキ イ をお します.
問 2 手 元 に あ る(ま
た は 利 用 で き る)統
計 学 の テ キ ス トに つ い て,次
の語 の解 説が 含
ま れ て い る か 調 べ よ.
a.最
小 2乗 法,b.変
た は 外 れ 値,e.仮
数 選 択,c.回 説 検 定,f.確
帰 診 断,d 率,g.行
. ア ウ トライ ヤー ま
列,h.ロ
ジ ス テ ィッ ク
カー ブ
注:こ の テ キ ス トで は,a,b,c,d,h を 解 説 し て い ま す.こ の う ち c は,初 級 の テ キ ス トで は 取 り上 げ な い の が 普 通 で す が,こ の テ キ ス トで は,そ の 意 義 を解 説 して い ま す.f,g は,必
ず し も必 要 で は な い の で,こ
の テ キ ス トで は(一
部 の 箇 所 を除
き)使 っ て い ませ ん.
問 3 問 2の テ キ ス トで 「回 帰 分 析 の 例 題 」を示 して い る場 合,次
の タ イプ の デ ー タ を
取 り上 げ て い る か 調 べ よ. a.ひ
とつ ひ とつ の 観 察 単 位 に 対 応 す る 「個 別 デ ー タ」
b.一 連 の 区 分 に 対 応 す る平 均 値 の 「系 列 デ ー タ」 c.年 あ るい は 月 な ど の 区 分 に 対 応 す る 「時 系 列 デ ー タ 」
注:扱 うデー タの タイプ に よっ て,手 法 の適 用 の 仕 方 に 特別 な 注 意 が 必 要 と な り ま す か ら,種 々 の タ イプ の デ ー タ を取 り上 げ て学 習す る こ とが 必 要 です.こ の テ キ ス トで は,こ の こ とを重視 して い ます .ま た,UEDAに
は 種 々 の タ イプ の デ ー タ
を収 録 した デー タベ ー ス を添 付 してあ ります. 問 4 統 計 計 算 の た め に 利 用 で き る ソ フ トが あ る 場 合,次 る か 調 べ よ. a.回 帰 式 の 適 合 度 を示 す 決 定 係 数 b.説
明 変 数 の 自動 選 択
c.2 変 数 の 関 係 を示 す グ ラ フ d.残 差 と推 定 値 の 関 係 を 示 す グ ラ フ
の プ ロ グ ラ ム が 含 まれ て い
e.非 線 形 モ デ ル に つ い て の 逐 次 近 似 計 算 f .ハ
ッ ト行 列
注:こ の テ キ ス トに 沿 った 学 習 をす るた め に は,a,c,dの 機 能 を もつ 統 計 ソ フ トを 使 う と有 効 です.こ の シ リー ズ に は,そ うい う学 習 用 ソフ トUEDAが
用 意 され
て い ます,ま た,各 章 末 の 問題 には この ソフ トを使 うこ とを想 定 した もの が 含 ま れ てい ます.
問 題 につ いて (1) 問題 の 中に は,UEDAの
プ ロ グ ラ ム を使 って,テ キ ス ト本 文 での 説 明 を確
認 す るた めの 問題 や,テ キ ス トで使 った 説 明例 を コ ン ピュー タ上 で 再 現 す る も の な どが含 まれ て い ます.
したが って,UEDAの
プ ロ グラ ム を使 うこ と を想 定 して い ます.
(2) UEDAの 使 い 方 に つ い て は,本 シ リー ズ の 第9 巻 『 統 計 ソ フ トUEDAの い方 』を参 照 して くだ さい. (3) 問題 文 中 でプ ロ グ ラム ○ ○ とい う場 合,UEDAの (4) 多 くの デー タは,UEDAの
使
プ ロ グラ ム を指 します.
デー タベ ー ス 中 に 収 録 され て い ま す.そ の ファ
イ ル名 は,そ れ ぞれ の付 表 に付 記 され てい ます が,そ れ をそ の ま ま使 うの で な く,い くつ か の キ イ ワー ドを付 加 し た もの を使 うこ とが あ ります か ら,問 題 文 中 に示 す フ ァ イル名 を指 定 して くだ さ い. (5) 付 表 には,収 録 した デー タ を識別 す るため にX1,X2,…,な どの変 数 記 号 を つけ た場 合 が あ ります.問 題 文 で も同様 な記 号 を使 って い ます が,そ れ は,適 用 す る方法 や プ ロ グ ラム との 関 係 を考 えた 記 号 です か ら,付 表 の 記号 と一 致 す る とは 限 りませ ん.し たが って,付 表 の デ ー タ を参 照 す る と きに は,変 数 記 号 では な く,変 数 名 に よっ て照合 して くだ さい. (6) プ ログ ラム 中 の説 明文 や 処 理 手順 の 展 開 が,本 文 での 説 明 とい くぶ ん ち が っ てい る こ とが あ りますが,判 断 で き る範 囲の ちが い です. (7) コ ン ピュー タ で出 力 され る結 果 の桁 数 な どが 本文 中に 表示 され る もの とちが うこ とが あ ります.
2 回帰分析 の基本
回帰 分析 の 適 用 に あた っ て必 要 な手 順 は,計 算 部 分 だ け で な く,モ デ ルの 想 定,結 果 の解 釈 を含 め て考 え る こ とが 必要 で す.こ の章 で は,こ の手 順 の あ ら ま しを説 明 します.
回帰分析の構成 ① Y(被 説 明 変 数)の 値 の 変 動 を説 明 す る た め に,そ 別 の 変 数 X(説 明 変 数)を 使 っ て,傾 た め の 手 法 が 回 帰 分 析 で す が,も 限 定 を ゆ る め て,も
向 線,た
ち ろ ん,説
れ と関 連 を もつ と み られ る
と え ばY=A+BXを
見 出 す … その
明変数 の数 や傾 向線 の タイプ につ いての
っ と広 い場 面 で も適 用 で き ま す.一
般 化 し て い う と,そ の た め に
必 要 な 手 続 き は,
a.X,Y
の 関 係 を調 べ,ど
b.想 定 さ れ た 型 の 傾 向 線 を,デ
c.デ ー タ との 合 致 度 に よ っ て そ の 傾 向 線 の 有 効 度 を評 価 す る こ と.
d.そ の 傾 向 線 で 事 態 を 説 明 す る こ と.
を 含 ん で い ま す.こ
ん な 型 の 傾 向 線 を想 定 し う る か 判 断 す る こ と. ー タ に 合 致 す る よ う特 定 す る こ と.
の う ち b と cが 数 理 的 な 手 法 と して 取 り扱 わ れ る 部 分 で,そ
れ
を 説 明 す る の が こ の 節 で す. た だ し,こ の テ キ ス トで 回 帰 分 析 とい う場 合 は,a,d の 部 分 を含 む もの と 了 解 し て くだ さ い.b,c の 部 分 だ け を指 す と き に は 回 帰 分 析 の 数 理 とい う こ とに し ます. 数 理 の 前 後 に あ るa,dは,数
理 と して 抽 象 化 さ れ る 部 分b,cと,問
題 ご とに具 体
的 に 扱 う部 分 との 接 点 に あ た り,そ れ ぞ れ の 問 題 分 野 に お け る理 論 や 知 識 を参 照 して 考 察 を進 め ます.ま
た,た
とえ ば 傾 向 線 の 型 や 説 明 変 数 を しぼ っ て い く手 続 きや デ ー
タの 中 に 含 ま れ る ア ウ トラ イ ヤ ー を検 出 す る 手 続 きな ど,数 理 と密 接 に つ な が る重 要 な 問 題 点 が あ り ます か ら,後 の 節 で ふ れ ます. ② 回 帰 分 析 の 数 理 の部 分 は,
"デ ー タ と照 合 し,そ と い う形 で,数
れ と最 も よ く合 致 す る よ うに 定 め る"
学 の 問 題 と し て 扱 うこ とが で き ます,す
(X,Y)の 値 が(X1,Y1),(X2,Y2),… これ らの 情 報 に も とづ い て,関 と い う問 題 です.た
だ し,た
と し て,N 係 式Y=f(X)を
い て い の 場 合f(X)と
な わ ち, 組 得 ら れ て い る と き, 定め る
して
い くつ か の パ ラ メー タ を 含 む 関 数 形(モ デ ル)を 想 定 し, そ の パ ラ メ ー タ を定 め る 問 題
に お きか え て 扱 い ま す.た
と え ば モ デ ル と してY=a+bXを
想 定 す る場 合 はa,b が
パ ラ メー タ で す . 求 め た 関 係 式 に よ っ て Y と X の 関 係(傾 向)を 説 明 し よ う と い う 意 図 で す か ら, Y を被 説 明 変 数,X
を説 明 変 数 と よ び ます.
③ こ の 意 図 か ら い う と
Y の 観 察 値Ynと,傾
と い え ま す.し て,そ
た が って,傾
向 値Yn*と
が で き るだ け 近 い 方 が よ い
向 値Yn*を
基 準 と し て 測 っ た 偏 差Yn-Yn*に
の一種 の平 均 であ る分散
の 大 き さ(小 さ い 方 が よ い)を み る の で す.Y Y を 基 準 と し て 測 っ た 偏 差Yn-Yに
を 使 うこ と に な り ます が,こ す.当
注 目 し
然,X
の 値 だ け し か 使 え な い 場 合 は,平
の 節 の 問 題 は,Y
の ほ か に X の 観 察 値 を 使 え る場 合 で
を使 わ な い 場 合 よ り も よ い 基 準 を見 出 せ る は ず で す.た
X の 関 係 を 表 わ す 傾 向 線 を探 究 し,そ の 傾 向 値Yn*を よ っ て,想
均値
注 目 し,そ の 分 散
と え ば,Y
と
基 準 値 と した場 合 の分 散 に
定 した 基 準 の 有 効 度 を測 る の で す.
◇ 注 1 分 散Vr│xあ
るい はVYの
定 義 式 の 分 子 を偏 差 平 方 和 とよ び,S
分 散 の定 義 で偏 差 平 方 和 S を N で わ る こ とに 関 して,N-1やN-K-1(K でわ るこ とが考 え られ ます.2.2節
と表 わ し ます. は説 明 変 数)
で説 明 します.
◇ 注 2 この テ キ ス トで は,上 下 に添 字 をつ け た記 号 を使 い ます が,そ の 記 号 に はあ る意 味 を もた せ て い ます.た す.ま た,Y
と えば,添 字 中 の 「│」は そ の 後 ろ が 条 件 で あ る こ と を表 わ し ま
の 上 の 線 は 平 均値 を表 わ し,Y*の
上 つ きの 「*」は,あ
る意 味 で の標 準 値
を表 わ します. ④ 「説 明 変 数 X を 使 わ な い 場 合 と 比 べ て X を 使 う 方 が よ い 」の は 当 然 で す が, ど の程 度 の 改 善 か が 問 題 に な り ます.ま 効 度 に 差 が 生 じ ます.し
た が っ て,ま
た,X
を 検 討 す る こ と が 必 要 と な る の で す が,そ は,被
を使 うに し て も,使
い 方 に よ って 有
ず Y と X の 関 係 を観 察 し,想 定 す べ き関 数 型 れ は 後 の 節 で考 え る こ と と し,こ の 節 で
説 明変 数 Y と説 明 変 数 X との 関 数 関 係Y=f(X)が
与 え られ た後 の数 理 を説
明 し ま す. ⑤ 想 定 し た 傾 向 線 をY=f(X)と f(X)に
表 わ し ま し ょ う.し
た が っ て,こ
の関係 式
よ る"Y の 計 算 値"を 基 準 と し て 残 差 を測 り,分 散(残 差 分 散)
(1) を求 め ます.そ
の 値 は,Y
とVr│x≦VYが
成 り立 ち ます か ら,減 少 率
の 平 均 値 を 基 準 と し た 場 合 の 分 散VY(全
分 散)と 比 べ る
(2) す な わ ち,決 い は,有
定 係 数 を指 標 と し て,想 定 した 関 係 式 の 有 効 性 を評 価 す る の で す.あ
効 な 関 係 式 を探 索 して い くの で す.た
い て い の 場 合 は,関
係 式 と して,い
る く
つ か の パ ラ メ ー タ を含 む 型 を 想 定 し,そ の 範 囲 で 最 適 な パ ラ メー タ を み つ け る こ と を 考 え ます. ◇ 注 (2)式 は,R2=1−SY│x/SYと して も同 じです.た だ し,分 散 の 見積 も りで あ り,前 ペ ー ジ注 1で付 記 し た 「自 由 度 で わ る扱 い」を採 用 して い る場 合 に は,ち が っ て き ます. この 扱 い を した場合 を"自由度調 整ず み の 決定 係 数"と よ び ます.
この こ とに関 して は,2.8節
で さ らに補 足 します.
⑥ 関 係 式 の 想 定 基 準 と して は,式 "で き る だ け 簡 単 な 形 で,し
の 形 の 簡 明 さ も大 切 な 要 件 で す. か も,分 散 が 小 さ く な る"
も の を探 索 す る 方 針 を と る の です. 簡 明 さ と い う 意 味 で は,直 Y=α が,第
線 で 表 わ され る関 係
(3)
十bX
一 候 補 で す.ま
ず こ の 範 囲 で 考 え ま し ょ う.
こ の 範 囲 で も,a,b の 選 び 方 に 応 じて 種 々 の 直 線 が あ りえ ます.そ
の 中 で,デ
ータ
に 最 も よ く合 致 す る もの を選 び ます. た だ し,デ ー タ(XI,YI)の 自 然 で す.こ
平 均 値(X,Y)の
の 条 件 下 で は,Y=α+bXが
位 置 を通 る とい う条 件 下 で考 え るの が
成 り立 ち ま す か ら,関 係 式
(4)
Y=Y十b(X-X) を 想 定 し,そ
の 範 囲 で,b の 選 び 方 を考 え る問 題 に 帰 着 し ま す.
⑦ Y の 残 差 分 散 を表 わ す(1)式
と な り ま す が,さ
ら に 書 き 換 え て,
VY│x=VYY-2bVXY十b2Vxx
と 表 わ す こ と が で き ま す. こ こ で,Vxx,VxY,VYYは,
Vxx=Sxx/N,Sxx=Σ(XI-X)(XI-X)
に こ の 関 係 を代 入 す る と,
VXY=SXY/N,SXY=Σ(XI-X)(YI−Y) VYY=SYY/N,SXX=Σ(YI-Y)(YI-Y)
と 定 義 さ れ る 指 標 で す.X
の 偏 差,Y 図2.1.1
の 偏 差 を 測 るVxx,VYYす
な わ ち分 散 に対 し
回帰分析の計算手順
b の 算 式 は次 の よ うに理 解 す る こ とが で き ます. 傾 向 線 と し て(X,Y)を Yn-Y=b(Xn-X) い い か え る と,傾
通 る もの の 範 囲 で考 え る こ とか ら
向 線 上 で は,傾
斜6n=(Yn-Y)/(Xn-X)は
一定
で す. し たが って,b
は,bnの
平 均 と し て求 め ます.た
だ し,(X,Y)に
近 い もの は 直 線 の傾 斜 を定 め るた め に 大 きい 誤 差 を も た ら しま す か ら,そ
の 影 響 が 小 さ く な る よ う に,Wn=(Xn-X)2を
る加 重 平 均 を使 う もの と します. し たが って,
ウ エ イ トと す
て,VXYは,「Xの
偏 差 とYの
の 」に な っ て い るの で,共
偏 差 の 関 係 を み る た め 両 方 を 同 時 に 取 り上 げ た も
分 散 と よ ば れ て い ま す.2 変 数 を 同 時 に 扱 うこ とに と も な
う分 散 の 定 義 の 拡 張 だ と受 け とれ ば よ い で し ょ う. こ の 関 係 か ら,VXYを
最 小 に す る に は,b
を
(5) とす れ ば よ い こ とが わ か り ます. 回 帰 式 を(3)式 の 形 に 表 わ す に は,こ
のbを
使 っ てaを
求 め ます.
(6)
α=Y-bx こ う し て 求 め たa,b ⑧ 図2.1.1の
を 回 帰 係 数 と よ び ま し ょ う.
フ ロ ー チ ャ ー トは,以
こ う し て定 め た 回 帰 係 数a,b が,デ の 範 囲 で)関 係 を 表 わ す も の で す.ま
上 の 展 開 の ま とめ で す. ー タ か ら み て 最 適 な(も ち ろ ん 想 定 し た(3)式
た,そ
の場合 の残 差分散 は
VY│X=VYY-bVXY
(7)
と な り ます. な お,決
定 係 数R2の
の 観 察 値YnとYの
平 方 根Rは,重
計 算 値Yn*と
相 関 係 数 と よ ば れ ます.そ
「 重 」が つ く理 由 は 後 の 節 の こ と と し ます.こ に 限 れ ば,こ
れ は,さ
らに,YnとXnの
の 節 の 場 合(説 明 変 数 が 1つ の 場 合)
相 関 係 数 と一 致 し ます.
⑨ 以 上 の 説 明 に 対 応 す る 計 算 手 順 を,表2.1.3に 図2.1.1と
れ は,Rが,Y
の 相 関 係 数 に な っ て い る か ら で す.
例 示 しま し ょ う.
対 照 しつ つ み て い っ て くだ さ い.
計 算 過 程 は,「 後 で 必 要 と さ れ る 情 報 も含 め て 記 録 す る こ と」を 考 え た フ ォ ー ム に よ っ て 進 め ま し ょ う.ひ
とつ ひ とつ の 観 察 単 位 に 対 応 す る 残 差 を記 録 して い る こ とに
注 意 して くだ さ い.残 差 の 大 きい 観 察 単 位 は ど れ か を 探 索 す る場 面 を 予 想 し て,そ して あ る の で す. 表 示 桁 数 は,例
示 程 度 で 十 分 で し ょ う.計 算 は,パ 表2.1.2
ソ コ ン ま た は 電 卓 を使 っ て,そ
この 節 の 説 明 に 使 うデ ー タ
例 示 に 使 って い る デー タ は Y=雑
費 支 出,X=支
出総 額 の観 察値
10世 帯 分 で す 。 基 礎 デ ー タ を,説
明 変 数X,被
説 明 変 数Y
の 順 に リス トした こ と は意 味 が あ ります. 後 で わ か るで し ょ う.
う
表2.1.3
計 算 手 順 例(計 算 フォ ー ムの 設 計例)
れ ぞ れ の 標 準 の 桁 数 で 進 め て い ます. フ ォ ー ム は, ス テ ッ プ 1:平 均 の 計 算
1∼3列
ス テ ップ 2:分 散 共 分 散 の 計 算
4,5 列
ス テ ッ プ 3:回 帰 係 数 の 計 算
枠外
ス テ ップ 4:残 差 と残 差 分 散 の 計 算
6,7 列
に わ か れ て い る こ と を確 認 して くだ さ い. ⑩ ス テ ップ 3の とこ ろ で,回
帰 式 の 係 数 が 求 め られ て い ます.す
こ れ が 結 果 の 核 心 部 分 で す が,求
め られ た 関 係 式 が,デ
説 明 す る も の か を 評 価 し て お くべ き で す.そ 0.0235が
の た め に,ス
テ ップ 4で 残 差 分 散
均 値 を 基 準 と し た 分 散(全 分 散)と 比 べ て 小 さ く な っ て い る は ず で す
の 程 度 の 減 少 率 か が 問 題 です.よ
こ の 評 価 を示 す 部 分 を 通 常 は 図2.1.5の き ます.こ
ー タの 変 動 を どの 程 度 ま で
求 め られ て い ま す.
そ の 値 は,平 が,ど
なわ ち
Y=-0.02245十0.4613X
れ に か わ っ て 図2.1.4の
っ て,決 定 係 数 を 使 っ て 評 価 し ます. よ う な"分 散 分 析 表"の 形 式 に 要 約 し て お
形 式 も考 え ら れ ま す.
⑪ 残 差 分 散 や 決 定 係 数 で 評 価 され る の は 「デ ー タ全 体 を と お して み た適 合 度 」で す か ら,傾
向 線 の 適 合 度 は,こ
観 察 値 Y に つ い て,傾
れ らの 指 標 値 で 評 価 す る だ け で な く,ひ
向値 か らの 差(残 差)を み て お く こ とが 必 要 で す.
とつ ひ とつ の
図2.1.4
表2.1.5
分 析 の フ ロ ー
図2.1.6
した が って,計 ま た,そ
残 差 対 推 定値 プ ロ ッ ト
算 の ス テ ッ プ 4 を お き,残 差DYを
の 結 果 を 示 す 図,た
分散 分析表
とえ ば 図2.1.6も
求 め て い ます.
必 要 で す.
◇ 注 図の 横 軸 は,回 帰 式 に よ る推 定 値,縦 軸 は残差 です が,い ず れ も偏 差 値 に お きか え て図示 してい ます. こ れ に よ っ て,た
と え ば,
X の す べ て の 範 囲 に わ た っ て 一 様 に 適 合 して い るか, 特 別 な 事 情 を もつ とみ ら れ る デ ー タが 混 在 して い る こ とは な い か
を チ ェ ッ ク で き る で し ょ う. 推 定 値 か ら の 差 は,Y か りま す.ま
た,↑
の 値 が 大 き い と こ ろ で も小 さ い と こ ろ で も ほ ぼ 一 様 だ と わ
で 示 し た 1点 を除 い て,±
て は 事 情 を調 べ ま し ょ う.他
3σの 範 囲 で す.↑
で示 した 点 に つ い
と 同 一 に は 論 じ に くい事 情 が あ る と わ か れ ば,そ
れ を除
い て 再 計 算 す る な どの 処 置 を と り ます. 観 察 値 の 散 布 図 に 傾 向 線 を 書 き込 ん だ もの が 図2.1.7で は,横
軸 が 説 明 変 数 X で あ る こ と で す.そ
す.図2.1.6と
の ちが い
の こ と に と も な っ て傾 向 線 を 書 き込 ん で
あ るの で す が,「 説 明 変 数 が 1つ だ か ら そ うで き る」 こ とに 注 意 して くだ さ い.説
明
図2.1.7
回 帰 推 定値 対 説 明 変 数 プ ロ ッ ト
図 の 横 軸 縦 軸 と も,「 平 均 値 ±K× 標 準 偏 差 」の K に あ た る箇 所 に 目盛 りを と り,K=-3∼3の
範 囲 を 図示.
この 範 囲 外 の 値 に つ い て は,K=│3│の
図2.1.8
箇 所 に 矢 印 で 図 示.
残差対観察単位番号 プロ ッ ト
横軸は観察単位番号.縦 軸 は残差.
変 数 が 2つ 以 上 の と きは,図 い う コ トバ を,よ
こ の 例 に 関 して は,図 左 上 の↑ は,Y
示 の 仕 方 を 考 え な お す こ とが 必 要 で す.ま
た,傾
向線 と
り精 密 に 考 え なけ れ ば な ら な くな り ます. の 枠 外 に 出 た 点 が 3つ あ りま す.
の 値 も,傾 向 値 か らの は ず れ も大 き い も の で す.右
の 値 は 3σ外 で あ っ た が,傾
上 の ↑は,Y
向 線 を考 慮 に 入 れ る こ と に よ り,そ れ が 大 き い こ とが あ
る程 度 説 明 で きた ケ ー ス で す. 右 の 方 の → は,説
明 変 数 X が 他 と大 き く離 れ た ケ ー ス で す,説
明 変 数 は,説
明 を
考 え る範 囲 を ど う と るか とい う観 点 で 決 め る こ とで す か ら,被 説 明 変 数 の 範 囲 とは ち が っ た 見 方 をす べ き で す.X
の位 置(作 用 点 とい う)が 離 れ て い る こ とに よ る Y の ち
が い と して,他 は,8.3節
の ケ ー ス と 区 別 し て 考 え る こ と に な り ま す.こ
の た め の 図 示 法 など
で 説 明 し ま す.
図2.1.8は,デ
ー タ番 号 順 に プ ロ ッ トし た もの で す.
た と え ば デ ー タ を求 め る 順 に 対 応 し て,系 統 的 な誤 差 が 発 生 す る場 合 が あ り ま す. ま た,デ
ー タ が 年 次 に 対 応 し て い る場 合 に は,導
す る た め に 参 照 し ます.こ
う い う場 合 に,こ
こ の よ う な 図 の 意 義 に つ い て は,2.7節
出 した 傾 向 線 が 適 合 す る 範囲 を判断
の 図 が 必 要 で す.
お よ び8.3節
で,く
わ し く説 明 し ます.
2.2 最 小 2 乗法 の数 理 ① 前 節 で 説 明 した 最 小 2乗 法 に よ る計 算 手 順 に つ い て,数
理 的 な根拠 を説明 しま
し ょ う.な ぜ そ うす るの か … そ うす るの が よ い とい う こ とが,ど
う い う条 件 下 で保
証 さ れ て い るの か … そ れ を知 っ て お く こ とが 必 要 で す. ② モ デ ル
2つ の 変 数 X,Y に つ い て,観 察 値
(Xn,Yn)
が 求 め られ て い る もの と し ます.こ
れ を 使 っ て,Y
と X の 間 に,モ
デル
Y=α+βX
(1)
で 表 わ さ れ る傾 向 性 が 存 在 す る もの と し て,モ
デ ル に 含 ま れ る 2つ の パ ラ メー タa,
β を推 定 せ よ と い う 問 題 を扱 うの で す. そ の た め に,観
察 値(Xn,Yn)を
使 うの で す が,観
察 作 業 に お け る 誤 差,観
察単位
そ の もの の 条 件 の ち が い な どに よ っ て も変 動 し ます か ら,そ の こ と を考 慮 に 入 れ る こ とが 必 要 で す.よ
っ て,モ
デ ル に 「誤 差 項 」ε を付 加 し ま す.
Y=α+βX+ε そ う し て,こ
(1a)
の誤 差項 につ い ては
「そ の 値 が 観 察 を く りか え す ご と に 異 な る 」と み な さ れ る 確 率 変 数 だ と想 定 し ます. 想 定 さ れ た モ デ ル に 含 ま れ る パ ラ メー タ α,βを 定 め る の が 問 題 で す が,誤 関 与 して き ます の で,そ
差項が
の 扱 い を考 慮 に 入 れ る こ とが 必 要 で す.
◇ 注 l 慣 用 に した が って,誤 差 とい う呼称 を使 い ま した が,問 題 領 域 に よ って は,個 人 差,企 業 間格 差 … な どで あ り,そ の 大 きさ 自体 が 重要 な分 析 対 象 とさ れ る場 合 が あ りま す.
した が って,前 節 の ⑪ で は,デ ー タの もつ傾 向 線Y=α+βXを 求 め,そ れ で説 明 され な い部 分 を残 差 と呼 ん で い ま した.そ れ が(1a)式 の εに あた る もの です が,モ デ ル と し ては,そ れ が 「誤差 項 」とみ な され る場 合 を想 定 して い るの です. ◇ 注 2 この 節 では,モ デ ル に含 まれ るパ ラ メー タ,す な わ ちデ ー タに も とづ く推 定 の 対 象 と され る量 をギ リシャ文 字 で表 わ します.
誤差 項 εにつ い て も,注 1に述 べ たよ うに 推定 の 対 象 と され ます が,そ の 平 均 値 は 0だ と想定 し,標 準 偏 差 σを推 定 し ます.
③ 最 小 2乗 法 の 数 理 で は, X は 確 定 変 数,す εは,あ
な わ ち,確 定 値 を もつ 変 数
る確 率 分 布 を もつ 確 率 変 数
とみ な し て,組 み 立 て られ て い る の で す. εは,「 そ の 値enが
観 察 さ れ る が,そ
れ らの 値 と して どん な値 が 起 こ り う る か を示
す 確 率 法 則 が 想 定 され る」確 率 変 数 だ と い う仮 定 で す.X を もつ 」確 定 変 数 だ と 想 定 さ れ て い る の で す が,そ
は 「未 知 だ が あ る 特 定 の 値
の 観 察 値Xnは,ε
の影 響 が 加
わ っ て,確 率 変 数 と同 じ タ イ プ の デ ー タ と な りま す. ④ こ の 確 率 変 数 に つ い て, a.E(en)=0…
b.V(en)=σ2…
c.enは
… 不偏 性 … 分散 の一 様性
相互 に独立 … … 独 立性
が み た され て い る もの と仮 定 し ます. ま た,場 合 に よ っ て は,さ
d.enの
らに
確率 分布 は正 規分 布
が 適 合 す る もの と し ます. ◇ 注 1 enの 確率 分 布 に対 応 す る残差 が得 られ た ときに,enの
平均 値 あ るい は 分 散 が 「ど
うい う値 に な る と期 待 さ れ る か」を示 す もの が,E(eη),V(en)で す.そ れ ぞ れ を期 待 値, バ リア ン ス と よび ます .現 実 にenが 求 め られ た段 階 では それ らの 平 均値,分 散 を計 算 で きます が,方 法 の性 質 を論 じる段 階 で は,こ うい う値 が得 られ る はず だ と い う形 で考 え る の で,平 均 値,分 散 と よばず,期 待 値,バ
リア ン ス と よぶ の で す.
◇ 注 2 傾 向 線 を求 め る問 題 で は,YNは 与 え られ た デー タ,す な わ ち確 定 変 数 で す が, YN*は ,YNの もつ個 別 変 動 な ど を考慮 に 入れ て 誘導 され た結 果 です か ら,確 率 変 数 です. ⑤ 実 際 の 観 察 値 は Yn=A十BXn十en と な っ て い ま す.観 に,個
(2)
察 単 位 全 体 を と お し て 見 出 さ れ る傾 向 を 表 わ すYn*=A+BXn
々 の 観 察 単 位 に 対 応 す る誤 差enが
加 わ つ た 形 で す.
モ デ ル を あ て は め る とい う意 味 で は,こ 方 が よ い とい え ます.よ
れ ら のen≡Yn-Yn*が
って が 最 小 に な る よ う にA,B
もの と し ます.こ
で き るだけ 小 さい
れ が,最 小 2乗 法 です.誤
を定め る
差 項 εを 「 傾 向性 を表 わす部 分 を差 し引
い た残 り と み なす 」こ と を意 味 し て い る の で す.そ
の 意 味 で,enを
「残 差 」 と よ び ま
す. ⑥ 最 小 2乗 法 を適 用 す る と,前 節 に 示 した よ う に,α,β の 推 定 値 は
A=Y-BX
とせ よ とい う こ とに な りま す.こ
れ ら の 推 定 値 が,観
察 値Ynの
線 形 結合 に な って い
る こ と に 注 意 し ま し ょ う. 誤 差 項 に 関 して は
と推 定 さ れ ま す.こ
れ は,観
⑦ 最 小 2乗 法 の 前 提
察 値Ynの
線 形 結 合 に な っ て い ませ ん.
最 小 2乗 法 に よ る推 計 値A,B
は
仮 定 a,b,cの も とで"最 良 線 形 不 偏 推 定 値" で あ る こ とが 証 明 さ れ て い ま す. 観 察 値YIの
線 形 結 合,す
推 定 精 度 が よ く,か つ,不
な わ ち ΣWIYIの
形 式 で 求 め られ る 推 定 値 の 範 囲 で 最 も
偏 性 を もつ 推 定 値 だ と い う こ と で す.
ま た, 仮 定 d を つ け 加 え る と"最 小 分 散 推 定 値" で あ る こ とが 証 明 さ れ て い ま す.観 み て も,最
察 値 の 線 形 結 合 と い う範 囲 限 定 を は ず し た 範 囲 で
も精 度 の よ い 推 定 値 だ とい う こ と で す.
⑧ こ の よ うな 理 論 づ け を もつ 最 小 2乗 法 で す が,そ の 問 題 ご とに,使
うデ ー タ な ど を検 討 して,こ
れ を 使 うた め に は,そ
れぞれ
の 理 論 づ け の 前 提 が み た さ れ て い るか
ど うか を チ ェ ッ ク しな け れ ば な りませ ん. ◇ 注 l 最小 2乗 法 は,推 定値 を求 め る手順 の ひ とつ です.こ れ に 対 して,最 良 線 形 不 偏 推定 値 や 最小 分 散 推定 値 な どは,求 め られ た推 定 値 の性 質 で す. 最 小 2乗 法 で 求 め られ た推 定 値 は,あ る仮 定 の も とで 「よい 推 定 値 」で す が,前 提 を み た して い な い場 合 が あ ります か ら,そ の範 囲 で考 え れ ばす む とは い え ない の です. ◇ 注 2 推 定値 を求 め る手 順 と しては,「 最 尤 法」と よばれ る方 法 が あ り ます が,こ の テ キ ス トでは 取 り上 げ ませ ん. ⑨ まず 注 意 し な け れ ば な ら な い の は,観 実 験 を 行 な え る 問 題 分 野 で は,こ タ を 求 め ます.し
た が っ て,こ
れ ら の 前 提 を受 け 入 れ て よ い ケ ー ス が 多 い の で す が,
実 験 を行 な え な い 問 題 分 野 で は,受 ま ず,デ
察 値 に 関 す る 前 提 b,cで す.
れ らの 前 提 を み た す よ う に 実 験 計 画 を た て て デ ー
け 入 れ に くい 前 提 で す.
ー タの 散 布 図 をか くな ど して,前 提 を み た して い る か 否 か を検 討 す る こ と
が 必 要 で す. ⑩ も ち ろ ん,"こ り ませ ん."前
うい う前 提 を み た し て い な い か ら使 え な い"と い う わ け で は あ
提 が み た され て い な い と きに どの 程 度 結 果 に ひ び くか"が 問 題 で す.
い ず れ に し て も,分 散 に よ っ て適 合 度 が 評 価 で き る の で す か ら,試
してみ るこ とで
よ い で し ょ う. ま た,最
小 2乗 法 の 適 用 前 の 問 題(た と え ば 説 明 変 数 や モ デ ル の 選 び 方 や 基 礎 デ ー
タ 自体 の 精 度),あ
る い は 結 果 が 得 られ た 後 で 検 討 す べ き 問 題(た と え ば 残 差 の 検 討)
が 多 々 あ り,そ れ らの 影 響 の 方 が よ り大 きい も の で す. した が って,こ
れ らの 点 も含 め た,よ
り広 い 観 点 で"分 析 手 法 の 適 用 の 仕 方"を 選
ぶ べ き で す. ⑪ 手 法 の 研 究 も必 要 で あ り,種 々 の 点 で 改 善 案 が 提 唱 さ れ て い ます. 正 規 性 の 仮 定 は,推
定 結 果 の 有 意 性 検 定 の段 階 で F 検 定 を使 う た め に 必 要 で す が,
この F 検 定 は 正 規 性 の 仮 定 に 対 して 頑 健 性 が あ る と指 摘 さ れ て い ま す. 不 偏 性 に つ い て は,不
偏 で な くて も,平 均 2乗 誤 差 が 小 さ け れ ば よ い … そ う い う
観 点 で 組 み 立 て られ た 手 法 が あ り ます. 誤差 を 「 残 差 の 2乗 」で な く,「 残 差 の 絶 対 値 」で 測 ろ う と い う提 唱 が あ りま す.こ れ は,偏 差 の 大 き い デ ー タの 影 響 を受 け に く くす る と い う趣 旨 で す. こ の考 え 方 を よ り一 般 化 して 扱 う た め に 観 察 値 に ウ エ イ トを つ け て 扱 う加 重 回 帰 法 (8.6節 参 照)が 提 唱 さ れ て い ま す. モ デ ル 自体 が 線 形 で な い 場 合 に は,推 い の で,必
⑫ モ デ ル の 想 定 と い う意 味 で は,モ す.ま
定 値 も線 形 の 範 囲 外 で 探 索 しな け れ ば な らな
然 的 に 別 の 方 法 が 必 要 で す.
た,そ
デ ル 自 体 が 変 化 し て し ま う可 能 性 が あ り ま
れ が 適 合 す る と み な し うる 範 囲 が あ り ます.
し た が っ て, どの 範 囲 で そ の モ デ ル を適 用 し う るか を調 べ る た め の ス テ ッ プ を お くこ とが 必 要 と な りま す. 因 果 関 係 は,一 般 に 多 くの 変 数 が 網 の 目状 に つ な が っ て い ま す.ま
た,ル
に な っ て い る こ と も あ り ま す.そ
うい う場 面 で は,複
う こ とが 必 要 と な っ て き ま す.そ
の 一 局 面 だ け を切 り出 して 扱 う の で は,お
限 界 が あ りま す が,視
ー プ状 態
数 の 式 で 表 現 さ れ る モ デ ル を扱 の ずか ら
点 を ひ ろ げ る と,観 察 値 が 得 られ る か 否 か が 問 題 と な っ て き ま
す. ⑬ ま た,最
も基 本 の と こ ろ で,結
果 の 評 価 に 分 散 を使 う こ と に 関 して,モ
デル の
適 合 度 を1 つ の 指 標 値 で 評 価 す る こ とに な るが そ れ で よい の か … こ うい う問 題 が あ り ま す.た
と え ば,説
明 変 数 値 の 値 域 で(大 きい と こ ろ,小
さ い と こ ろ な ど で)一 様
に フ ィ ッ トし て い る か ど う か を評 価 し う る 形 に 改 め る こ とが 必 要 で し ょ う. この よ う な理 由 で,残
差 を1つ の 指 標 で 評 価 す る の で な く,種 々 の 残 差 プ ロ ッ トを
か い て 検 討 す べ き で す. ⑭ こ の テ キ ス トで は,こ
れ ら の 点 の い くつ か を2.8節
お よ び 第8 章 で 概 説 し ま
す.
2.3 適 用 上 の 問題 ①
回 帰 分 析 を適 用 す る際 に 最 も重 要 な こ と は,モ
種 々 の 観 点 が か らん で き ます か ら,い
デ ル の 選 択 で す.選
択 の仕 方は
くつ か の 章 に わ け て 解 説 す る こ と と し,こ
こで
は,そ
れ に 先 立 つ"基 本 的 な 注 意"を 述 べ て お き ま す .
② 2.1節 で 扱 っ た の は,2 つ の 変 数(X,Y)の
Y=α
関 係 を直 線
十bX
で 表 わ す 場 合,す
な わ ち,2 つ の変 数 の 関 係 を 表 現 す る モ デ ル と し て,最
で した.(X,Y)の
も簡 単 な 形
関 係 を どの 程 度 ま で 代 表 す る も の か 評 価 して あ り ます か ら,そ の
評 価 に パ ス した もの で あ れ ば,そ
れ を採 用 す れ ば よ い と一 応 は い え ます が,さ
らに考
え るべ き点 が 残 っ て い る の で す. は じめ か ら あ る 1つ の モ デ ル に 限 っ て 考 え,そ
の 範 囲 だ け で 結 論 を下 し た の で は,
仮 に そ の モ デ ル が か な り の 適 合 度 を もつ こ と が わ か っ た と し て も,説 得 力 が 弱 い で し ょ う.他 に も っ とよ い モ デ ル が あ る か も し れ ませ ん か ら,最 初 の トラ イ で 高 い 適 合 度 を もつ 解 が 得 られ た と して も,そ れ で 終 わ りに せ ず,い べ き で す .1 と お りの 分 析 で の 結 論 よ り も,何
くつ か の 代 案 を 試 し て み る
とお りか の 分 析 を行 な っ た上 で の 結 論
の 方 が 強 い の は 当 然 です. ま た,多
くの モ デ ル に つ い て 検 討 し た 上 で 下 した 結 論 で あ れ ば,
「適 合 度 が低 くて も,こ れ 以 上 の もの は 得 に く い」 こ と を実 証 し た結 果 と な り,そ の 意 味 で,説 け で,棄
得 力 を もつ こ とに な り ま す .適 合 度 が 低 い とい う だ
て て し ま っ て は い け ませ ん.
い ず れ に し て も,デ ー タ に も とづ く判 断 で す.し 「当 面 の デ ー タか ら見 出 され た 結 論 に,ど
た が っ て, こ まで一般 性 を認め て よいか」
と い う 問 題 が 残 っ て い ます. た と え,当
面 の デ ー タ に 対 し て適 合 度 が よ くて も,条 件 が か わ る と全 くだ め に な っ
て し ま う も ろ い モ デ ル よ りも, 「若 干 適 合 度 が 落 ち て も広 い 範 囲 で 説 明 で き る モ デ ル を選 び た い 」 で し ょ う.そ
うい うモ デ ル を見 出 す に は,時
して み る こ とが 必 要 で す.ま あ るか も しれ ませ ん.し
点 をか え,地
点 を か え て 分 析 を く りか え
た,外 見 上 適 合 度 が 高 くて も現 象 を 説 明 す る に は 問題 が
た が っ て,問
題 に 関 与 し て くる要 因 を的 確 に 把 握 して ,そ の
観 点 か ら もモ デ ル を検 討 す る こ とが 必 要 で す. 以 上 の よ うに 考 え る と,次 の よ う な結 論 に達 し ます. 第 一 段 階 で 想 定 し た 直 線 関 係 が 適 合 しな い場 合 は もち ろ ん,適 合 して い る場 合 に も,視 点 を か え て,あ を つ づ け る こ と が 必 要 で す.前 め,後
る い は,視
点 をひ ろげて分析
者 の 場 合 は 適 合 す る 関 係 を見 出 す た
者 の 場 合 は結 果 の 説 得 力 を 増 強 す る た め と,意 図 は ち が い ま
す が,第
一 段 階 で とめ て は い け な い の で す.
③ も ち ろ ん,直
線 関 係(1 次 式)の 次 は 放 物 線(2 次 式)だ と簡 単 に は 扱 え ませ ん .
直 線 と い う最 も簡 明 な モ デ ル か ら一 歩 ふ み だ そ う とす る と さ ま ざ ま な 方 向 が あ りま す か ら,①
に 述 べ た モ デ ル の 選 択 原 理 に た ち も ど っ て 考 え る こ とが 必 要 と な るの で す .
大 き くわ け る と,
現 象 の 説 明 の 仕 方 を考 慮 しつ つ モ デ ル 選 定 を考 え る 場 面 使 うデ ー タ の タ イプ に 応 じて モ デ ル 選 定 を 考 え る場 面
が あ り ます.第 で,時
3章 で,具
体 的 な例 を使 って,順
を 追 っ て 説 明 し ま す.ま
た,第
7章
系 列 デ ー タ の 場 合 を取 り上 げ ます.
この 章 の 以 下 の 節 で は,回 う る(し た が っ て,ど
帰 分 析 の 数 理 の 枠 内 で 対 処 で き る 範 囲 で 自 然 に一 般 化 し
ん な 場 面 で も対 応 で き る数 理 的 な 枠 組 み とみ な し う る)"線 形 モ
デ ル"に つ い て 説 明 して お き ま し ょ う. ④ な お,ど
ん な モ デ ル を採 用 す る に して も,そ れ が 適 合 す る範 囲 に 限 りが あ る こ
とに 注 意 し ま し ょ う.広 な い の で す が,観
い 範 囲 で 適 合 す るモ デ ル が 得 ら れ る な らそ れ に こ し た こ とは
察 単 位 の 中 に は ア ウ トラ イ ヤ ー,す
な わ ち,"他
と同 一 に は 扱 い に
くい もの"が あ り,そ れ を除 い て 考 え る と よ り説 明 力 の 高 い モ デ ル が 見 出 され る … そ うい う こ とが よ くあ り ます. した が っ て,観
察 単 位 を 分 析 範 囲 に 含 め るか ど うか も,重 要 な検 討 点 で す.
2.4 一 般 線 形 モ デ ル ① モ デ ル の 選 択 に 関 して 数 理 の 側 で 提 供 し う る対 処 策 は,で ル,い
い か え る と,多
きるだけ 広範 なモ デ
くの モ デ ル を そ の 特 別 の ケ ー ス と し て含 む 形 の モ デ ル を採 用 す
る こ と で す. そ う して お け ば,条
件 を 限 定 し た と きの 解 と,条 件 を ゆ るめ た と き の 解 を体 系づ け
て 対 比 で き る か ら で す.た
と え ば,
関 係 式Y=a+bX1+cX2を
想 定 し,
そ の 範 囲 で 最 善 のa,b,c を定 め る 問 題 を 扱 う と, 関 係 式(部 分 モ デ ル)Y=α+bX1を
想定 し
そ の 範 囲 で 最 善 のa,b を 定 め る問 題 の 解 も,一
緒に 出せ る
そ うい う 方 法 を 採 用 す る こ とが で き ま す. した が っ て,モ
デ ル 選 択 の た め に た い へ ん 有 効 な 手 段 と な り え ま す.
② こ の よ うな 方 向 の 1つ は,X,X2,X3,…
と高 次 の 項 を考 慮 に 入 れ た モ デ ル
Y=b0+b1X+b2X2+…+bKXK を想 定 す る こ とで す.こ
の 方 向 が有 効 な 場 面 も あ り ま す が,説
(1) 明 変 数 と し て は 1つ の
変 数 X だ け を使 っ て い ま す か ら,そ の 意 味 で は 限 界 が あ り ま す. ◇ 注 た とえ ば モ デ ル(1)式 で K を大 き くす れ ば どん な 関数 型 で も近 似 で き ます.し か し,そ うい うモデ ル で どん な場合 も説 明 で き る … と誤 解 しな い で くだ さ い.細 か く上 下 す る曲 線 を誘 導 で き た と して も,そ う して,そ れ が 与 え ら れ た デ ー タの す べ て を とお る (したが って残 差 分 散 は 0)と して も,そ れ で現 象 を 説明 で きる わけ で は あ りませ ん. 現象 の 説 明 につ なが るか ど うか とい う,計 算 の枠 外 です が,現 象 の 分析 手 段 と して は き
わめ て 重要 な点 です.こ の 章 で は,そ こ を外 して 数理 の枠 組 み だけ を論 じて い ます が,後 の 章 で は,こ の点 を含め て考 え ます. した が っ て,他 な わ ち,説
の 方 向 … 説 明 変 数 の 数 を 増 や す 方 向 で 考 え る こ とが 必 要 で す.す
明 変 数X1,X2,…,XKを
使 っ て,モ
デル
Y=b0+b1X1+b2X2+…+bKXK
(2)
を想 定 す る の で す. モ デ ル(1)式 は,XK=XKと
お く こ と に よ って モ デ ル(2)式 と 同 じ形 に な り,数 理
と し て は 同 じ扱 い に な り ます.し
た が っ て,(2)式
を,一 般 線 形 モ デ ル と よ ん で い ま
す. ③ ま た,考 察 範 囲 全 体 に 対 して 1つ の モ デ ル を あ て は め よ う とす る の で な く,い くつ か の 部 分 に わ け,そ
れ ぞ れ 別 の モ デ ル を あ て は め る の も,当
然,考
え られ る方 向
で す. Y=b01十b11X1十b21X2+
…
Y=b02十b12X1+b22X2十… Y=b03十b13X1十b23X2十
こ の 場 合,各
…
for部
分 1
for部
分 2
for部
分 3
(3)
部 分 の モ デ ル が 全 く無 関 係 と い う こ と は な い で し ょ うか ら,た
とえ
ば, Y=a1十bX
for
グルー プ 1
Y=a2十bX
for
グルー プ 2
す な わ ち,X
(4)
の 係 数b は 共 通 で 定 数 項a の 方 だ け が ち が う … な ど の 折 衷 案 もあ り
え ま す. こ う い うモ デ ル は,一 般 線 形 モ デ ル の 係 数 に,「 あ る制 約 条 件 が つ く」 もの と し て 扱 う こ と を意 味 し ま す. ④ ③ に あ げ た モ デ ル(3)式 あ る い は(4)式 も,ち させ る こ とが で き ます.モ
Z=[1/ 0
ょっ とした工 夫 で一般 形 に帰着
デ ル(4)式 に つ い て い う と,
for
グループ 1
for
グループ 2
と定 義 した 特 殊 な 変 数 Z を 使 い ま す.い
わ ば グ ル ー プ 区 分(定 性 的 な 情 報)の か わ り
に 使 う変 数(量 的 な 扱 い をす る た め の 変 数)で す か ら,"ダ これ を使 う と,モ
の 形 に す れ ば,説
な って い ま す. した が っ て,
よび ます.
デ ル(4)式 は,
Y=a2十(a1-a2)Z十bX
(5)
と 1つ の 式 で 表 現 され ます.(4)式 だ さ い.こ
ミー 変 数"と
⇔(5)式
と一 意 的 に 対 応 す る こ と を確 認 し て く
明 変 数 X と Z を 使 っ た 一 般 線 形 モ デ ル(2)式 の 範 囲 に
図2.4.1
ダ ミー 変 数 の 例
Y=b0+b1Z+b2X
と し て 係 数b0,b1,b2を
求 め た 上, Z=0ま
た はZ=1と
お く こ と に よ っ て(4)式 の 2
つ の 式 を 誘 導 で き ます. 上 の 例 示 は,1 つ の デ ー タ(項 目)で 2つ の 区 分 に わ け た 場 合 で す.1 つ の 項 目 で 3 つ 以 上 の 区 分 に わ け る場 合 に つ い て も同 様 に 扱 う こ と が で き ます.区
分 数 K が 3以
上 の ときは
区分I に該 当す る
ZI =[1
0 区分I に該 当 しない の 形 で 区 分 数 に 相 当 す る 数 の ダ ミー 変 数 を導 入 し ます.た ΣZI=1が恒 た め,そ
だ し,
等 式 と して 成 り立 つ
の う ちK-1個
だ け を 使 っ て 計 算 す れ ば よ い の で す.く
わ し くは,3.5節
で
例 示 し ま す. ダ ミー 変 数 の 与 え 方 を工 夫 す る と,た
と え ば(4)式 で 「a,bい ず れ も異 な る が,グ
ル ー プ の 区 切 り点 で 接 続 す る 」 とい っ た 条 件 つ きの モ デ ル を扱 う こ と もで き ます. 図2.4.1の
右 側 が そ の 場 合 で す.こ
れ ら の 扱 い 方 に つ い て は,3.6節,3.7節
で例
示 し ます. X の 値 域 区 分 数 が 2つ 以 上 の 場 合 も同 じ形 の モ デ ル を 適 用 で き ます. ダ ミー 変 数 は,こ
れ らの 例 に 限 らず,質
的 デ ー タ を説 明 変 数 と す る問 題 に 広 く採 用
で き ます. 数 量 化 I類 と よ ば れ て い る方 法 は,質
的 デ ー タ を 説 明 変 数 とす る 回帰 分 析 を指 し ま
す. ⑤ 線 形 と い う コ トバ は,普 通 は モ デ ル の 形 に つ い て,パ ま れ て い る と い う こ とで す.Y=f(X)の た とえば 例 1 Y=a+βX+γX2 は 線 形 で す.
例 2
Y=αexp(βX)
は 線 形 で は あ りま せ ん.
ラ メー タが 線 形 の 形 で 含
形 が 線 形 だ と い う こ と で は あ り ませ ん.
しか し,例
2を
例 3
1ogY=1ogα+βX
と書 き換 え て,logYを
被 説 明 変 数 と し て 扱 え ば,線
形 で す.こ
メー タ αの か わ りに1ogα を想 定 す る こ と を含 ん で い ます.変
の お き か え は,パ
ラ
換 前 の モ デ ル の αが 具
体 的 な 意 味 を も っ て い る の で そ れ を推 定 し た い … そ れ な らlogα を 推 定 し た 後 に, そ れ か ら,α の 推 定 値 を誘 導 す る こ とに な りま す.こ
の よ う な 扱 い は,間
接 最 小 2乗
法 とよ ば れ て い ます. 例 2 で はY=0の が あ っ て,そ
と こ ろ か ら ス ター トす る 形 に な っ て い ま す が,あ
れ か ら ス タ ー トす る も の とす れ ば,モ
例 4
と な り ま す.こ
る初期 水 準 γ
デル は
Y=αexp(βX)+γ の 例4 は 線 形 で は あ り ませ ん.ま
た,例
3の よ うに 変 数 変 換 を適 用 し
て 線 形 に お きか え る こ と もで き ませ ん. そ の 意 味 で は,一 般 線 形 モ デ ル の 範 疇 に お さ め に くい モ デ ル で す が,初
期水 準や 飽
和 水 準(そ の レベ ル に 近 づ く に つ れ て 変 化 し な く な る)を も つ 現 象 が 多 い の で,例 例 4,… の 方 向 で 一 連 の モ デ ル を想 定 す る こ と が考 え られ ま す.こ
2,
の テ キ ス トで は 第
7章 で 取 り上 げ ます. ◇ 注 1 最 良 線 形 不 偏 推 定 値 と い うコ トバ で の 線 形 は,観 察 値YIの ΣWIYIの
線 形結合 す なわ ち
形 式 で求 め られ る推 定 値 の 範 囲 で最 良 とい う意味 で す.
◇ 注2 パ ラ メー タ αの か わ りに1ogα を推 定 す ると い う扱 い を した場 合,logα
について
よい推 定 値 が αに つ い て よい推 定 値 を与 え る もの に な って い る とは 限 りませ ん. ◇ 注 3 注 2と同 じよ う な問題 は,回 帰分 析 の 場面 だけ とは限 りませ ん.た
とえば 分 散 σ2
を推定 す る場 合,「 偏 差 平 方 和 を デー タ数N で わ るの で な く,自 由度N-1で
わ れ 」とい
うの は,ぞ れ が 分散 σ2の不 偏 推 定値 に な る とい う理 由 で す.し か し,標 準 偏 差 σの推 定 を考 え る場合,σ2の 不偏 推 定 値 の平 方根 は σの不 偏 推定 値 で は あ りませ ん.
2.5 回帰 分 析 の 計 算 手 順 ① こ の 節 で は,説 説 明 し ま す.例 ま す.行
明 変 数 を 2つ 以 上 と し た 場 合 に つ い て,回
示 を 使 っ て,計
算 手 順 の ス テ ップ を 追 いつ つ 説 明 す る 形 式 を とっ て い
列 記 号 に よ る表 示 を あ わせ て 示 して あ り ま す が,例
② 例 と して は,付
表A.1の
Y=食
費 支 出 の 世帯 間 変 動
X1=収
入,X2=世
を,
帯 人 員 数,X3=有 た が っ て,モ
Y=α+βlX1+β2X2+β3X3 を想 定 す る こ とに な り ま す.
示 と対 照 して くだ さ い.
デ ー タ を使 って,
問 題 を取 り上 げ ます.し
帰 分析 の 計算 手順 を
デル
業者 数
の 3変 数 で 説 明 す る
a.デ
ータ準備 基礎デー タ
基礎 デー タを YI ,XKI,K
は説 明変数 の番 号
(Iは観 察 単 位 の 番 号) と表 わ し ま す. ◇ 注 例 示 の よ うに 単 位 を適 当 に選 ん で, 数 値 が 1か ら10の 範 囲 に お さ ま る よ う調 整 して お くと計 算 しや す い で し ょ う. 有 効 数 字 の 桁数 は,デ ー タ の精 度 を考 え て決 め ま す.普 通 は 3桁 で 十 分 で し ょ う. 計 算 機 を使 う場 合 は 「標 準 精 度 」で 十 分 で す が,最 後 の結 果 で は,デ ー タ の精 度 を考 慮 し て,必 要 以 上 の桁 の 数 値 を 落 と し ま しょ う.計 算 機 か ら出 て きた数 値 の ど こ ま
こ の 表 に お け る│は,行
でが 意 味 を もつ か を判 断 し なけ れ ば,答
る演 算 です.行
え
を括 弧 書 き で添 え て あ り ます.
を出 した こ とに な りませ ん. b.平 均 値 の 計 算
平均値M
c.偏 差 の 計 算 説 明 変 数 を考 慮 に 入 れ な い 場 合 に は,
Iは,要 素 1を もつ 行 列
こ の 平 均 値 を基 準 と して デ ー タ の 格 差 を み る わ け で す.し
た が っ て,
DYn=Yn-Y 偏差値
DXKn=XKn-XK と し て,ひ
とつ ひ と つ の デ ー タ に つ い て
偏 差 を 計 算 して お き ます. な お,こ
れ ら の 値 は,た
と え ば,他
と
同 一 に 扱 え ない ア ウ トライ ヤー か 否 か を 検 討 す る た め に 必 要 で す か ら,記 録 に 残 し て お くべ き 重 要 な 情 報 で す. d.分 散 ・共 分 散 の 計 算 デ ー タ 全 体 を とお し て み て,"偏
差 がお
よ そ どの 程 度 か"を 評 価 す る た め に,分
散
を計 算 し ま す.ま
プ
ラ ス な らDXIも
た,た
列 を結 合 す
列 記号 に は,行
と え ばDYが
プ ラ ス に な る傾 向 が あ る
数列数
分 散 ・共 分 散
な どの こ とが わ か る よ うに,2 つ の デ ー タ の"偏 差 の 相 互 関 係"を 評 価 す る 共 分 散, す なわ ち
以 下 で は,V
を 計 算 し ます. e.回
の部 分 行 列
を次 の よ うに 定 義 し ます.
帰 係 数 を定 め る条 件 式
回 帰 係B1,B2,B3を
決 め る 条 件 式 は,
残 差 分 散 を最 小 に す る とい う 条 件 か ら誘 導
また,B1,B2,B3を
さ れ 次 の よ うに な り ます.
す る1行3列
要素 と
の行列 をB と
し ます.
連 立 一 次 方 程 式 で す. σ11B1+σ12B2+σ13B3=σ10
回帰係数 を定め る条件式
σ21B1+σ22B2+σ23B3=σ20 σ31B1+σ32B2+σ33B3=σ30 必 要 な 値 は す べ て右 表 に 求 め ら れ て い ま す が,1 ∼3列 目 を左 辺 に,4 列 目 を右 辺 に わ け て お き ます. f.回 帰 係 数 の 計 算 eに 示 し た 条 件 式 は,未
に 関 す る連 立 一 次 方 程 式 で す.こ
れ を解 い
て,B1,B2,B3を
求 め る こ とが で き ます.
g.定
と残 差 分 散
数 項A
定 数 項 A は,"説
回帰係 数の計算 知 数B1,B2,B3
明 変 数X1,X2,X3の
が それ ぞ れ の 平 均 値 に 等 し い と き,被
B-1は
B の逆 行 列
定数項 A と残差分散
値 説明
変 数 Y の 値 も そ の 平 均 値 に な る"と い う 条 件 か ら求 め る こ とが で き ま す. A=Y-B1X1-B2X2-B3X3 で す.ま
た,残 差 分 散 は σe2=σY2-B1σ10-B2σ20-B3σ30
で す.A
の 算 式 と似 て い る こ と に 注 意 し て くだ さ い.
こ の こ とか ら,A
お よ び σY│X2の 計 算 は,回
同 じ計 算 手 順 で求 め る こ とが で き ます.
帰 係 数BI,の
計 算 過 程 に お り こ ん で,
すな わ ち A+X1B1+X2B2+X3B3=Y σe2十σ10B1+σ20B2+σ30B3=σY2 の 形 に 書 き換 え た もの を 連 立 一 次 方 程 式 に つ け 足 して,対
角 線 上 の 要 素 を 1に,非
角 線 上 の 要 素 を 0に す る 演 算(掃 き 出 し計 算 と よ ば れ,連
立 一 次 方 程 式 を解 くひ とつ
の 方 法)を 適 用 す る の です.以 h.回
対
下 の 例 示 は こ の 形 に して あ りま す.
帰係 数 B の計 算 と定数項 お よび残差 分散 の計算
回帰 係 数 の う ちBIの
計 算 は, eに 示 した 連 立 一 次 方 程 式 を解 け ば よ い の で す.
た だ し,次 節 で 述 べ る理 由 で,逐
次 消 去 法(掃 き 出 し法),す
な わ ち,係
数 が 1ま た
は 0に な る よ う逐 次 変 形 して い く方 法 を使 い ま す. 条件式 1.5000B1+0.3400B2十0.5000B3=0.4220
(0.1)
0.3400B1+0.8400B2+0.1600B3=0.1500
(0.2)
0.5000B1十0.1600B2十0.4400B3=0.1600
(0.3)
A十3.6000B1十3.4000B2十1.6000B3=1.5000
(0.0)
σe2十0.4220B1十0.1500B2+0.1600B3=0.1260
(0.X)
最 初 の ス テ ップ で は
第 1式 のB1の
係 数 を1に
し,そ れ を使 って
第 2式 の B1の 係 数 を 0に,第
し ます.た
3式 のB1の
と え ば 第 2式 の 計 算 は,(1.1)式
係 数 を 0に
に0.340を
か け た もの を(0.2)式
か らひ
け ば よ い の で す. ス テ ッ プ1 1B1十0.2267B2十0.3333B3=0.2813
(1.1)
OB1十0.7629B2十0.0467B3=0.0543
(1.2)
OB1十0.0467B2十0.2733B3=0.0193
(1.0)
σe2十0B1十0.0543B2十0.0193B3=0.0073
(1.X)
次 の ス テ ップ 2で は,ま
第 2式 のB2の
(1.3)
A+0B1+2.5840B2十0.4000B3=0.4872
ず
係 数 を 1に
し,そ れ を使 っ て,
第 1式 のB2の
係 数 を 0に,第
3式 のB2の
係 数 を 0に
し ます. 次 の 表 で は,式
の 対 応 順 に 示 して い ま す.計
算 の順 は,(2.2),(2.1),(2.3)で
す.
ス テ ッ プ 2
A
1B1+0B2十0.3195B3=0.2652
(2.1)
0B1十1B2十0.0612B3=0.0712
(2.2)
0B1十0B2十0.2705B3=0.0160
(2.3)
+0B1十0B2十0.2419B3=0.3031
(2.0)
σe2十0B1十0B2十0.0160B3=0.0034
ス テ ッ プ 3 で は,ま し ま す.計
ず 第 3式,次
(2.X)
に 第 1 式,第
算 順 は,(3.3),(3.1),(3.2)の
2式 の 順 に,B3
の 係 数 を1,0,0に
順 で す.
以 上 で 連 立 一 次 方 程 式 の 解 が 得 ら れ ま し た. ま た,そ
れ が,上
か ら 順 にB1,B2,B3,A,σe2の
値 に な っ て い る の で す.す
Y=0.2888+0.2463X1+0.0676X2+0.0592X3(残
なわ ち
差 分 散=0.0025).
ス テ ップ3
A
1B1十0B2+0B3=0.2463
(3.1)
OB1十1B2十0B3=0.0676
(3.2)
OB,十0B2十1B3=0.0592
(3.3)
+0B1+0B2+0B3=0.2888(3.0)
σe2十0B1十0B2十0B3=0,0025
(3.X)
i.回 帰 式 に よ る傾 向 値 こ う し て,回
帰 式 を定 め る こ と が で き ま した.こ
れ に よ っ て,ひ
とつ ひ とつ の 世 帯
に つ い て こ の 回 帰 式 に よ る傾 向 値 を 以 下 の よ うに 求 め る こ とが で き ます. Y*=A+B1X1十B2X2+B3X3 j.残
差
回 帰 式 を使 っ て Y の 変 動 を 説 明 し よ う とす るの で す か ら,Y
の 観 察 値 と,回 帰 式 に よ る傾 向 値 との 差(残 差) eY=Y-Y*
を 求 め て み る こ とが 必 要 で す. デ ー タの 中 に は,他
と ち が う事 情 が 効 い て,大
差 を示 す も の が あ るか も しれ ま せ ん.必
きい残
要 に 応 じ て,そ
れ ら を別 に して み る な ど,分 析 を く りか え し ま す. k.残
差 分散 の計 算
残 差 は,ひ に,デ
とつ ひ とつ の デ ー タ の レ ベ ル で み る と 同 時
ー タ全 体 を と お し て み た"全 体 と して の 適 合 度"を
評 価 す る た め に も 使 い ま す.そ 散)を 計 算 し ます.
の た め に,分
散(残 差 分
傾 向値 と残差
ま た,説
残差 分散
明 変 数 を考 慮 に 入 れ な か っ た と きの 分 散(全
分 散)か ら ど れ だ け 減 少 し た か を み る た め に,分
残 差2乗
散 の減
和
残差分散
少 率(決 定 係 数)を 計 算 し ます.
0.0245 0.0025
分散の減少 分 子 σY2-σe2は,回 れ た 部 分 で す か ら,回
帰 式 を使 う こ と に よ っ て 説 明 さ 帰 分 散 と よ ば れ ま す.
◇ 注 1 回帰 係 数 A,BKの
推 定 精 度 の 計 算 な ど で,行 列V
11の逆 行 列 を使 い ます.し た が って,そ れ を計 算 す る こ とが 必 要 と な ります が,27ペ
ー ジの 条 件 式 の 右 辺 に 単 位
行 列 をつ け足 して掃 き出 し計 算 を適 用 す れ ば,回 帰 係 数 の 計 算 と一 緒 に実 行 で き ます.す 件 式 に,27∼28ペ
な わ ち,表2.5.1(a)の
条
ー ジ と 同様 な 計 算 をス テ ップ 3ま で 進
め る と,結 果(b)が 得 られ ます. ◇ 注2 V(BI)=σe2SII
で す.こ
れ ら の 算 式 に お け るSII,SJKが
て い ま す.た
だ し,V(A)
れ て い ま す か ら,こ
逆 行 列 の 要 素 で す.上
の 算 式 に お け る ΣXKSJKの
3行 の 右 側 3列 に 求 め ら れ
符 号 を逆 に し た 値 が4行
れ を 使 う と 計 算 を シ ョー トカ ッ トで き ま す.
V(B1)=0.0025×1.1113=0.0028
V(B2)=0.0025×1.3246=0.00333
V(B3)=0.0025×3.6971=0.0092
V(A)=0.0025×
(1/10+3.60×1.3465+3.40×3.3322+1.60×0.8945)=0.0443
表2.5.1 (a)回
逆 行 列 計 算 手順 を お り こむ た め の 変 形
帰 係数B1とV11の
(b)ス
逆 行 列 を求 め る条 件 式
テ ップ 3まで 進 め た 結 果
網掛けの部分がV11の 逆行列 です.
目に 求 め ら
2.6 回 帰 分 析 の進 め 方 ① 2.5節 の 計 算 例 で,回
帰 係 数 を定 め る条 件 式(連 立 1次 方 程 式)の 解 法 と して 掃
き出 し法 を 採 用 し ま し た が,そ
れ に は 理 由 が あ り ます.た
と え ば,モ
デル
Y=A+B1X1+B2X2+B3X3
の た め の 計 算 の過 程 で,そ
(1)
の部分 モデル
Y=A+B1X1+B2X2
(2)
Y=A+B1X1
(3)
の た め の 計 算 結 果 を,同 時 に 求 め ら れ る か ら で す.こ
表2.6.1 (a)モ
れ は,(2),(3)式 を あ て
は め る 問 題 を,は
デ ル(1)式
部 分 モデ ル の 解 の解 を 求め る た め の 方程 式
じめ か ら 同 じ手 順 で
扱 え ば わ か る こ と で す が,以
下のよ う
に 考 え る こ とが で き ま す. ② 原 モ デ ル(1)式 に お け る 最 後 の 説 明 変X3の"値 す る と,そ
が す べ て 等 し い"と
れ を,モ
デ ル に含 め て も含
め な くて も 同 じ で す.だ
か ら,"含
か っ た と き に ど うな る か"を"す
(b)モ
め な
デ ル(2)式 の解 を求 め るた め の 方 程 式
斜 線部 分 が0と
な っ た もの とみ れ ば よ い.
べ ての
値 が 等 し い と き ど う な る か"と い う 形 に お きか え て考 え れ ば よ い の で す. X3の 値 が す べ て 等 しい →X3の
偏 差 が す べ て 0だ
→X3の
値 の 分 散 が 0だ
と い う こ と に な り ま す.ま た が っ て,回
た,X3と
帰 係 数B1,B2,B3を
他 の 変 数 と の 共 分 散 も す べ て0と
な り ま す.し
決 め る 条 件 式 に お い て,表2.6.1(b)の
網 掛 け部 分
は 0 と な り ま す. し た が っ て,28ペ
ー ジ の 計 算 表 の ス テ ッ プ 2 で,モ
デ ル(2)式
と に な り ま す.27ペ
ー ジ の 条 件 式 で は 斜 線 部 分 が0と
な っ て い ま せ ん が,
モ デ ル(2)式 か ら で す.モ
の 計 算 で は,そ
デ ル(1)式
の 解 は,も
の 解 が 求 め られ る こ
こ が 0だ と み な せ る ち ろ ん,ス
テ ップ 3ま で 進 め な い と 求 ま り ま せ
ん. ③ 例 示 の 場 合,フ ス テ ッ プ 3,ス
ル モ デ ル(1)式
テ ッ プ 2,ス
お よ び 部 分 モ デ ル(2),(3)式
テ ッ プ 1 の 結 果 か ら,
Y=0.2888十0.2463X1十0.0676X2十0.0592X3
σe2=0.0025
Y=0.3031十0.2652X1十0.0712X2
σe2=0.0034
Y=0.4872十0.2813X1
σe2=0.0073
の 解 は,そ
れ ぞれ
とな っ て い る こ とが わ か り ます. ④ 以 上 は,計
算 手 順 の 問 題 と して 説 明 し ま し た が,分
析 手 順 の 問題 と し て 重 要 な
意 義 を も っ て い ます. た とえ ば,被
説 明 変 数 Y の 変 動 を 説 明 す る た め に,
説 明 変 数(X1,X2,X3)を X3を
使 っ た モ デ ル(1)式 と,
除 外 し て(X1,X2)だ
モ デ ル にX3を
け を使 っ た モ デ ル(2)式 とを 対 比 し,
含 め る こ との 効 果
を 評 価 で き ます. ま た,
(X1,X2)を X2を
使 っ た モ デ ル(2)式 と
除 外 し てX1だ
モ デ ル にX2を
け を使 っ た モ デ ル(3)式 を 対 比 し て,
含 め る こ との 効 果
を 評 価 で き ます. い い か え る と,被 説 明 変 数 Y の 変 動 に つ い て,各
説 明 変 数 の効 き方 を,分 散 の 減
少 に よ っ て 計 測 で き るの で す. こ の よ うな 分 析,す
な わ ち,"要
次 の 図2.6.2は,こ
の 過 程 を要 約 し た もの で す.
因 分 析"が で き るの で す.
図2.6.2
⑤ も ち ろ ん,回
要 因分 析 の 経 過 要 約
帰 係 数 の 推 定 値 も か わ っ て い ま す.た
と え ば 説 明 変 数X1の
回帰
係 数 は,
モ デ ル(3)式 で は0.2813 モ デ ル(2)式 で は0.2652 モ デ ル(1)式 で は0,2463
で す. モ デ ル(3)式
に よ る推 定 値0.2813は,X2,X3の
効 果 を考 慮 に 入 れ て い ませ ん か ら,
X1の
効 果 の 中 に そ れ が 混 同 さ れ て い る お そ れ が あ り ま す.そ
の 意 味 で,粗
い推 定 値
で す. モ デ ル(2)式 で はX2の さ ら に,モ
効 果 を分 離 して 計 測 して い ます.
デ ル(1)式 で は,X3の
効 果 も分 離 し て 計 測 し て い ます.し
モ デ ル(1)式 に よ る推 定 値0.2463で
はX1の
た が っ て,
効 果 が 純 粋 な 形 で 計 測 され て い る わ け で
す. 混 同 され て い る効 果 が 影 響 し な い よ う に した もの で す か ら,"標
準 化 推 定 値"と
よ
ぶ こ とが で き ます. ⑥ 回 帰 分 析 の 計 算 で は,以
上 の 理 由 で,イ
ンプ ッ トした デ ー タ に つ い て,
フ ル モ デ ル の 解 を求 め る過 程 で そ の 部 分 モ デ ル の解 も,自 動 的 に 求 め る よ うに し ま し ょ う. た だ し,こ の 手 順 で 求 め られ る部 分 モ デ ル は,説
明変 数 の 順 を指 定 し,そ の 順 に 変
数 を 1つ ず つ 含 め て い く形 の 部 分 モ デ ル に 限 りま す か ら, "あ ら ゆ る部 分 モ デ ル"の 解 を求 め る に は , モ デ ル に 取 り入 れ る順 を 指 定 しな お し て 計 算 を く りか え す こ とが 必 要 で す. た と え ば 説 明 変 数 が 3つ の 場 合 に つ い て は
1,2,3 の 順 に 適 用 して
1,(1,2),(1,2,3)
2,3,1 の 順 に 適 用 して
2,(2,3)
3,1,2 の 順 に 適 用 し て
3,
と 3度 の 計 算 で,す べ て の 可 能 性 6 とお り分 の 結 果 が 得 られ る こ とに な り ます. ⑦ 変 数 を 取 り上 げ る順 序 を"あ る ル ー ル で"コ ン ピュ ー タ に 判 定 させ る 方 法 も あ り ま す が,そ
れ に た よ り き る の は,不
適 当 で す.そ
う い う ル ー ル は,"よ
い"と い う
こ と を 分 散 の 小 さ さ で 評 価 し て い ま す か ら,分 散 が 大 き くて も(大 き す ぎ て は だ め で す が),実
態 の 説 明 に は,有 効 だ と み ら れ る解 を見 失 うお そ れ が あ る か ら で す.
分 散 に 注 目す る に して も,採 用 さ れ て い る ル ー ル に 注 意 を 払 う こ とが 必 要 で す. た と え ば 説 明 変 数 の 候 補 が3つ 場 合,X1だ
あ り,そ の2つ
け を 取 り上 げ た と き の 説 明 力,X2だ
だ け を取 り上 げ た と きの 説 明 力 を み て,"そ と い う案 は,ベ
て,そ
注
の
け を 取 り上 げ た と きの 説 明 力,X3
れ が 大 きい もの か ら順 に 2つ を採 用 す る"
ス トで は あ り ませ ん.
こ の こ とは,次 ⑧ 補
を 採 用 す る もの と し ま し ょ う.そ
章 で 取 り上 げ る分 析 例 で 実 際 に 出 て き ま す.
説 明 変 数 の 数 を増 や す と残 差 分 散 σe2=Se/Nが
減 少 す る,し
たが っ
の 減 少 率(決 定 係 数)を 参 照 し て 説 明 変 数 の 選 び 方 を 決 め よ と説 明 し ま し た.
こ れ に 対 し て,「 最 も望 ま し い 数 を定 め る 基 準 」が ほ しい とい う コ メ ン トが 出 て く る で し ょ う. "説 明 変 数 の 選 択 を こ うい う数 理 的 な 基 準 だ け で 決 め る こ と"は
,
必 ず し も適 当 で は な い の で す が,数
理 的 な 基 準 の 枠 内 で こ うい う コ メ ン トへ の 対 応 を考 え る こ と は で き ま
す. ⑨ 残 差 分 散 あ る い は 決 定 係 数 の 定 義 に お い て
す な わ ち 「自 由 度 」で わ れ とい う説 が あ り,そ れ は,残 い う考 え方 だ と説 明 し ま し た が,決
差 分散 の 不偏 推定 を求め る と
定 係 数 の 計 算 で こ れ を使 う と,自 由 度 調 整 ず み の
決 定係 数
と な り,Seの
減 少 がN-K−1の
し た が っ て,説 の です.い
減 少 に 応 じ る分 だ け 相 殺 さ れ る 形 に な っ て い ま す.
明変 数 を増 や し た 場 合 に はR2が
い か え る とR2を
か え っ て 増 加 す る こ とが あ り う る
最 小 な ら しめ るP(K0≦K)を
定 め る こ とが で き ます.
も ち ろ ん 現 実 に 使 え る デ ー タ数 の 範 囲 で は す べ て を使 え と い う結 果(K0=K)に
な
る場 合 も あ りえ ます. ⑩ 同 様 な場 面 で採 用 され る基 準 と して,マ 準(AIC)な
ロ ー ズ のCP基
準 や,赤
池の 情報 量 基
ど が あ り ます.
こ れ ら の 定 義 中 のSeに
付 記 した 括 弧 は,説
説 明 変 数 を 使 っ た 場 合,K*は
明 変 数 の 数 を示 し ます.K
はすべ て の
そ の 一 部 を使 っ た 場 合 に対 応 し ま す.
どち らの式 も 残 差 分 散 の 大 き さ を 測 る 第 1項(説 明 変 数 の 数 に 応 じて 小 さ くな る)と 説 明 変 数 の数 に 応 じて 大 き くな る第 2項 の 和 と な っ て い ま す. ◇ 注 AICの
定義 の 第 1項 は計 測 単 位 に よっ て か わ る 形 に な って い ます. CPの 第 1項 の
よ うに,あ る標 準 と比 べ る形 に 改め る こ とが 必 要 で す が,こ の こ とにつ い て は 専 門 書(た とえ ば早 川 毅 『回帰 分析 の基礎 』)を参 照 して くだ さ い. そ の 意 味 で,定
義 を与 え る理 論 構 成 に ちが い は あ る も の の,同
じ意 図 で 使 う こ との
で き る指 標 で す. ⑪ こ の テ キ ス トで は,⑧
で 述 べ た とお り,数 理 的 な 基 準 だ け で 決 め て し ま う の
で な く,現 象 説 明 を考 え て 決 め よ とい う立 場 を と っ て い ま す.第 うす る こ との 必 要 性 と有 効 性 を 説 明 し ま す.⑨,⑩ の 流 れ の 中 で 例 示 し ます.
3章 の 問題 例 で,そ
に 述 べ た 指 標 に つ い て も,説
明
2.7 残 差 プ 口 ッ ト ① 観 察 値 と傾 向 線 と の へ だ た り を残 差 分 散 あ る い は 決 定 係 数 で 計 測 す る こ と を説 明 し て き ま した が,こ で す.当
れ ら の 指 標 で 計 測 され るの は
1セ ッ トの 観 察 単 位 で み た 残 差 全 体 で み た 「平 均 的 な 評 価 値 」 然,ひ
とつ ひ とつ の 観 察 単 位 に つ い て み る と,残 差 が σeの数 倍 の 大 き さ に
達 す る もの が あ りえ ます. し た が っ て,「 各 観 察 単 位 の 観 察 値 が 同 一 条 件 下 で 求 め ら れ た 値 」だ と仮 定 で き る な ら と もか く,一 般 に は 1セ ッ トと は み な し が た い 観 察 値 が 混 在 し て い る 可 能 性 を考 慮 し て, そ うい うものが あれ ば検 出 で きる ようにす る こ とが 必 要 で す.そ
の た め に,分
散 の 計 算 過 程 で個 々 の 残 差 を 記 録 し,以 下 に 説 明 す
る 残 差 プ ロ ッ トを か い て み る の で す.そ す る とか,そ
れ を み た上,た
とえば観 察単 位 の一部 を除外
れ ら を タ イ プ わ け す る ため の 説 明 変 数 を追 加 す る な ど,分 析 の 進 め 方 を
改 め る こ と が 必 要 と な るか も しれ ませ ん. ② 残 差 enと傾 向 線 に よ る推 定 値Ynの
関 係 を プ ロ ッ ト した もの を 「残 差 対 推 定 値
プ ロ ッ ト」 とよ び ま し ょ う. 図2.7.1,2.7.2が
そ の 一 例 で す.
こ の プ ロ ッ トに よ っ て,「Yの を確 認 で き ます.図2.7.1で
大 小 に か か わ らず ほ ぼ 一 様 に 適 合 し て い る か 否 か 」
は,そ
うな っ て い る とみ な して よ い で し ょ う.
↑で 示 した 1点 を 除 く と,す べ て 3σ の 範 囲 内 で す.↑ 事 情 を 調 べ て み ま し ょ う.そ
う して,他
図2.7.1
図 の 縦 軸,横
で 示 し た 1点 に つ い て は,
とち が う事 情 が 効 い て い る と わ か れ ば,そ
家 計 に お け る食 費 支 出 と収 入
軸 と も,「 平 均 値 ±Kx 標 準 偏 差 」に あ た る箇
所 に 目盛 りを と り,Kを
表 示 して い ます.
れ
図2.7.2
こ の 図 で は 縦 軸,横
賃 金 月額 と年 齢
軸 の き ざみ を 観 察 値 そ の もの で 示 し
て い ます.
を除 外 して再 計 算 す る こ とが 考 え られ ま す. こ れ に 対 し て 図2.7.2で な っ て い る」よ う で す.こ
は 「Y が 大 き く な る に つ れ て 残 差(の 絶 対 値)も 大 き く うい う場 合 は よ くみ ら れ ます.回
の 一 様 性 」を前 提 と して い ます が,こ Y の 分 散 がY な ら,Y
帰 分 析 の 数 理 で は 「残 差
の 前 提 を み た し て い な い の で す.
の 値 に 比 例 す る … そ う仮 定 で き る ケ ー ス が 多 く,そ う 仮 定 で き る
の か わ りにlogYと
変 換 し た もの を使 う こ とが 考 え ら れ ま す.
た だ し,い つ も そ う と は 限 り ませ ん.こ
の 例 で は,Y
が 賃 金 で す か ら,観 察 対 象
の 属 性(た とえ ば 就 労 条 件 や 職 種)の ち が い が 効 い て い る の か も し れ ませ ん. ③ 被 説 明 変 数Ynと,説
明 変数XKの
観 察 値XKnと
の 関 係 を プ ロ ッ トし た 図 に 傾
向 線 を 書 き込 ん だ もの を,「 残 差 対 説 明 変 数 プ ロ ッ ト」 と よ び ま し ょ う. 縦 軸 が 残 差enで 味 を 汲 ん で,ま
な く,Yn=Yn*+enで
た,他
す が,残
差enを
み る た め の 図 だ と い う意
の 残 差 プ ロ ッ ト と の 共 通 性 も考 え て,「 残 差 」と い う呼 称 を お
もて に 出 し ま し た. 図2.7.3,2.7.4が 図2.7.3の
そ の 一 例 で す.
よ う に 残 差 に あ る 傾 向 性 が 見 出 さ れ た と き に は,Y
線 だ と 想 定 した こ とが 問 題 とな り ます.し
とXKの
関係 が 直
た が っ て,図
に は 2次 曲 線 を想 定 して 求 め
差 が た い へ ん 大 きい の で,直
線 関係 で十分 だ とみ て もよい
た傾 向 線 も併 記 し て あ り ます. た だ し,こ の 例 で は,残
で し ょ う.傾 向 線 の 形 を 考 え る 前 に,図2.7.2で
注 意 した 「 観 察 単位 の 異 質 性 」を 探
る方 が 先 で す. ④ 残 差 対 説 明 変 数 プ ロ ッ トに は,「 平 面 に 図 示 す る」こ とか ら くる 基 本 的 な 問 題 が あ りま す. 説 明 変 数 を 1つ と限 定 で き る と は 限 り ませ ん.2 つ 以 上 の 説 明 変 数 がY る と き に は,そ
の1 つ だ け を取 り上 げ たY 対X1プ
ロ ッ トで はX1以
に影 響 す
外 の 説 明変数 の
図2.7.3
図2.7.2の
残 差 対 説 明 変 数 プ ロ ッ ト
実線 は直線 関係 を想定,点 線 は放物 線 を想定.
影 響 に よ っ て,「 Y 対X1の し た が っ て,他
関 係 」が ゆ が め られ て い る 可 能 性 が あ り ま す.
の 説 明 変 数 も一 緒 に 取 り上 げ て 求 め た傾 向 線
Y=A十B1X1十B2X2 に つ い て,X2=X2を
(1)
代 入 した
Y=A十B1X1十B2X2
(2)
を あ わ せ て 図 示 し て お く と よ い で し ょ う. X2を
無 視 し た傾 向 線 Y=A+B1X1
(3)
との 差 の 大 小 に よ っ てX2を
考 慮 に 入 れ る こ と の 要 否 を判 断 で き ます.
(2)式 と(3)式 は 同 じ関 数 形 に な ります が,係 数A,B1の A,B1がX2を 考 慮 に 入 れ る こ とに よ っ て(2)式 のA,B1に ⑤ 図2.7,4の 左 上 の ↑は,Y
例 で は,図
値 は ち が い ま す.(3)式 の な るの です.
の 枠 外(3σ外)に 落 ち た 点 が 3つ あ り ます.
も e も大 き い もの で す.右
向 線 を考 慮 に 入 れ る こ とに よ っ て,そ
上 の ↑はYが
3σ外 で あ っ た も の が 傾
の 大 き い こ とが あ る程 度 説 明 で きた こ と を示 し
ます. 右 の 方 の → は,説
明 変 数X1の
値 が 他 と 大 き く離 れ た ケ ー ス で す.説
「説 明 を 与 え る範 囲 を ど うす る か 」と い う観 点 で 決 め る こ と で す .し
明 変 数 は,
た が っ て,被
説
明 変 数 の 範 囲 で み た 外 れ 値 と ち が っ た 見 方 を す べ き で す. 「X の値 が ち が う こ とに よ る Y の ち が い 」を Y の ち が い の 中 か ら分 離 す る た め の 残 差 プ ロ ッ トに つ い て は8.3節
で 説 明 し ます.
⑥ 残 差 対 観 察 単 位 番 号 プ ロ ッ ト 残 差 を デ ー タ 番 号 順 に プ ロ ッ ト し た も の を 「残 差 対 デ ー タ 番 号 プ ロ ッ ト」 と よぶ こ と に し ま し ょ う. こ れ は,デ
ー タ番 号 が あ る 意 味 を もつ 場 合,た
と え ば,年
次 区分や 地 域 区分 に対応
図2.7.4
実 線 はX2の
図2.7.1の
残 差 対 説 明 変 数 プ ロ ッ ト
影 響 を考 慮 に 入 れ て 求 め た もの,点
線 はX2の
影響
を考 慮 に 入 れ て い ない もの. 図2.7.5
家 計 に お け るウ イ ス キ ー 購 入 量
基 礎 デ ー タ の定 義 な どの 変 遷 を検 討 す る こ とが 必 要 です.
す る場 合 に 有 効 で す. 図2.7.5は
年 次 区 分 の 場 合 で す.
ど ち らの 場 合 に も,す べ て の 地 域,す 限 り ませ ん か ら,プ
べ て の 年 次 に 同 一 の 傾 向 線 を想 定 で き る とは
ロ ッ トを参 照 して,同
一 セ ッ トと して 扱 う範 囲 を ど う定 め るか を
考 え な け れ ば な ら な い の で す. 例 示 の 場 合 に つ い て は,1979年 うに み え ま す が,1980年
ま で 増 加 傾 向 を つ づ け て い た 「特 級 」が 急 減 し た よ
か ら別 掲 さ れ て い る 「一 級 」を あ わ せ て 考 え ま し ょ う.
それ ま で 「特 級 」と 「一 級 」 と を一 括 して 調 査 し て い た の か も し れ ませ ん.酒
税 での
扱 い が 改 定 さ れ た の か も し れ ませ ん.デ
ー タ に 不 連 続 が み られ た と き に は,「 現 象 自
体 」で は な く,「 調 査 の 実 施 過 程 」な ど に よ っ て つ く ら れ た 可 能 性 が あ り ます.原 に は,こ
資料
うい う点 に 関 す る 注 記 が つ い て い る と思 い ます.
2.8 補 足:回 帰推 定 値 の 確 率論 的性 質 ① 2.2節
で 説 明 した 「最 小 2乗 法 の 数 理 」に つ い て 補 足 し ま す.2.2節
と 同 様 に,
モデル
Y=α+βX+ε
を推 定 す る もの と し て 説 明 し ま す が,大 部 分 の 箇 所 は,パ
ラ メ ー タ の 数 を K と表 わ
し,説 明 変 数 の 数 が 多 い 場 合 に も適 用 で き る よ うに して あ りま す. ② 自 由 度 調 整 ず み の 決 定 係 数 に,決
最 小 2乗 法 で 求 め た傾 向 線 の 有 効 性 を測 る た め
定 係 数 す な わ ち分 散 の 減 少 率
(1) を 使 い ます が,全 を デ ー タ数N て,自
分 散 σY2,残 差 分 散 σY│X2の推 定 値 と して,そ
れ ぞれ の偏 差 平 方和
で わ っ た もの(∂Y2,∂2Y│X)を 使 う と説 明 し て い ま した.こ
の こ とにつ い
由 度 で わ っ た もの(σY2,σY│X2)を 使 え と され る場 合 が あ り ま す.す
の(1a)式
の か わ りに(1b)式
な わ ち,次
を使 うの で す.
(1a) (1b) 単 に 決 定 係 数 と よ ぶ 場 合 は(1a)式 数 」 と よ ば れ ます.表2.1.5に
を 指 し,(1b)式
は 「自 由 度 調 整 ず み の 決 定 係
あ げ た 例 σY2(表 の 記 号 で はV)に
つ い て,2 つ の 場 合
を 区 別 し た の が 次 の 表 で す. 表2.8.1
「級 間 分 散=全 ち ま せ ん か ら,決
分 散 分 析 表(1)
分 散 −残 差 分 散 」 と い う関 係 が,自
表2.8.2
分 散 分 析 表(2)
由 度 を 調 整 し た 場 合 に は 成 り立
定 係 数 は,「 残 差 分 散/全 分 散 」 を計 算(例 で は60.0%)し
た 後,そ
れ を 1か ら引 く形 で 求 め ます(例 で は40%). こ れ は,次
に 述 べ る仮 説 検 定 を適 用 す る場 合 に 級 間 分 散 を,「 残 差 平 方 和/(K−1)」
とす る こ とに 関 係 し ます.
③ 傾 向線 の有意 性検 定
表2.8.3
Y の変
分 散 分 析 表(2)
動 を説 明 す るた め に X との 関 係 を表 わ す モデ ル を使 うの です が,そ うす る こ との効 果 を判 定 す る ため に,以 下 の よ うな 「 仮 説検 定法 」を適用 します. 自由度 調整 ず み の分 散 の比 と して定 こ の 表 に お け る 全 分 散0.049お
義 され る F 比
0.0294に が,級
よび残差 分散
つ い て は す で に 説 明 し た とお り で す
内 分 散 に つ い て は,F
検 定 を適 用 す る た
め 「パ ラ メ ー タ数-1」 で わ る形 に しま す,
が,モ
デ ル の パ ラ メ ー タ β が 0だ と し た場 合 自由 度(K-1,N-K)の
F 分布 に したが う
こ と を利 用 し て,「 β が 0だ 」 とい う仮 説 を検 定 で き ます. 表2.8.3に
示 す 分 散 分 析 表 は,こ
の仮 説検 定 を適 用 す る場 合 に 慣 用 され る形 式 で
す. こ れ ら を利 用 し て F 比 を計 算 し,そ の 値 を 判 定 基 準 値(統 計 数 値 表 に 掲 載 さ れ て い る)と 比 べ て,基
準 値 よ り大 き け れ ば β は 0で な い(す な わ ち 回 帰 式 を使 う こ と は有
効)と 判 定 し,基 準 値 よ り小 さ け れ ば β は 0 で な い と は い え な い(す な わ ち 回 帰 式 を 使 うこ と は有 効 とは い え な い)と 判 定 す る の で す. こ の 検 定 法 は,誤
差 項 の 確 率 分 布 に つ い て 正 規 分 布 を 想 定 で き る 場 合(2.2節
定 d を想 定 した 場 合)に 適 用 で き ます.い
で仮
い か え る と,正 規 分 布 を 想 定 で き な い 場 合
に は 適 用 で き な い の で す か ら,注 意 して くだ さ い. 仮 説検 定 法 に つ い て は,本
シ リー ズ の 第 2巻 『統 計 学 の 論 理 』 を 参 照 し て くだ さ い.
④ 回 帰 係 数 な ど の 推 定 精 度
最 小 2乗 法 に よ る 回 帰 係
値 を使 っ て計 算 し ま す か ら,誤 差 の 影 響 を 受 け ます.そ
こ こ でU2は,残
差 分 散 の 推 定 値SY│X/(N-K)で
回 帰 式 に よ る推 定 値Y*=A+BXの
この場合,Xnは
誤 差 は,次
の 誤 差 は,次
の 式 で 評 価 さ れます
す. の 式 で 評 価 され ます.
推 定値 の計 算 に用 いた X の観 察値 の いず れか です.
観 察値 以外 の X を使 っ て計算 した推 定値Y#=A+BX(予 す)の 誤差 は
α,βの 推 定 値 は 観 察
測値 とよん で 区別 しま
で す.括
弧 の 中 に 1が 加 わ る の が,観
察 値 以 外 の X を使 う こ と に と もな う変 更 で す.
⑤ モ デ ル の 誤 差 項 に つ い て 正 規 分 布 を仮 定 で き る 場 合 に は,こ を偏 差 値 に お きか え たt 統 計 量 の 確 率 分 布 が 自 由 度n-kのt分
れ らの誤差 推定 量
布 に な るこ とが証 明
され て い ます. した が っ て, A,B,Y*,Y#の す.
推 定 値 に つ い て,信
頼 区 間 を 計 算 す る こ とが で き ま
問 題 2
【 分析 の進 め 方】 問 1 (1) 付 表A.1の (2) XとYの
う ち食 費 支 出(Y)と
収 入(X)の
関 係 を 表 わ す 直 線Y=A+BXを
方 は 問 わ な い.デ
関 係 を示 す グ ラ フ をか け. 求 め よ.こ
ー タ の 傾 向 を表 わ す と判 断 さ れ るA,B
こで は直線 の 定め
の 値 を選 べ ば よ い.
(3) 想 定 した 式 に よ る計 算 値 を 基 準 と し た 分 散(残 差 分 散)を 計 算せ よ. (4) 平 均 値 を 基 準 と した 分 散(全 分 散)を 計 算 し,残 差 分 散 と比 較 せ よ.
注:問
問 2 付 表C.2に
l∼ 4につ いて は,計 算 は電 卓,グ ラフ は手 書 きに よっ て くだ さい. 示 す 食 費 支 出(Y)と
と 同様 な 計 算 を し て み よ.基 帯 の 情 報 で は な く,い は,後
収 入 総 額(X)の
デ ー タ を 使 っ て,問
1(1)∼(4)
礎 デ ー タ が 問 1の 場 合 の よ うに ひ とつ ひ とつ の 世
くつ か の 世 帯 の 平 均 値 に な っ て い る.こ
の 章 で 問 題 とす るが,こ
こ で は,問
問 3 問 2 と 同 じデ ー タ に つ い て,表2.1.3に
の こ とに つ い て
1と 同 様 に 扱 え ば よ い. 示 す 計 算 手 順 を適 用 し て,回
帰 式,残
差 分 散 お よ び決 定 係 数 を計 算 せ よ. 問 4 (1) 問 1と 同 じ デ ー タ に つ い て,表2.1.3に 式,残
示 す 計 算 手 順 を 適 用 し て,回
帰
差 分 散 お よ び 決 定 係 数 を計 算 せ よ.
(2) ま た,テ
キ ス トの 図2.1.4お
(3) ま た,テ
キ ス トの 図2.1.6,2.1.7お
よ び 表2.1.5の
形 式 で 分 散 の 変 化 を示 せ.
よ び 図2.1.8の
形 式 で,適
合 度 をみ
る た め の グ ラ フ を か け. 【回 帰 分 析 の 計 算 手 順 】 問 5 2.5節 で 説 明 した 「回 帰 式 の 計 算 手 順 」を,次
の 順 に 計 算 して 確 認 せ よ.
(1) 25ペ ー ジ に 示 す 「基 礎 デ ー タ」に つ い て,平 均 値,偏 ペ ー ジ)を 計 算 す る.こ の 計 算 に は,電 卓 を使 う こ と. (2) 「 e.回 帰 係 数 を定 め る条 件 式 」(26ペ ー ジ)に 示 す3つ ペ ー ジ に 示 す 5つ の 式 の う ち(0 .1)式,(0.2)式,(0.3)式 を 計 算 す る.こ
の 計 算 に は,プ
注:プ ロ グ ラムREGXXを を入力 す る と,2.5節
ロ グ ラ ムREGXXを
差,分
散 ・共 分 散(26
の 式,す
な わ ち,27
を み た すB1,B2,B3
使 う.
呼 び 出 し,条 件 式 の 係 数1.5000,0.3400,0.5000な
ど
の 説 明 と同 じ計算過 程 を みせ なが ら進 行 す る.
こ の計 算 を電卓 で進め て も よい.そ の 場 合,電 卓の 計 算 精 度 と計 算 機 の 計 算 精 度 の ちが い な どに よ って,結 果が い くぶ ん ちが うで あ ろ う. (3) 26ペ ー ジ g に 示 す 式 を 使 っ て,定
数 項 A と,残 差 分 散 σe2を 計 算 す る.
以 下 の 計 算 に は 電 卓 を 使 う こ と. (4) 得 られ た 回 帰 式 を 使 っ て,傾 残 差 分 散 を 計 算 す る(29ペ
向 値 と残 差 を 計 算 す る(28ペ
ー ジ j).ま た,
ー ジ k).
(5) こ の 手順 の 組 み 立 て が 次 の 点 を考 慮 して い る こ と を確 認せ よ. ○
ひ とつ ひ とつ の デ ー タ に つ い て 残 差 を求 め る よ う に し て あ る.
○
回 帰 係 数B1,B2,B3を た 場 合 のB1,B2な
求 め る過 程 に お い て,説
明 変 数 をX1だ
けに し
どが 求 め られ る よ うに して あ る.
注:残 差 分散 σe2は,計 算 手順 の gで も,k で も計 算 して い るが,計 算 手 順 の hで 「ひ とつ ひ とつの 観 察値 の 残差 」を求 め,つ づ い て残 差 分 散 を計 算 す るの が 「 考え 方 と して 自然 な順 序 」で あ る.
【プ ロ グ ラ ム 】 問 6 プ ロ グ ラ ムREGO1Eを
使 っ て,回
帰 分 析 の 計 算 が11ペ
ー ジ の フ ロ ー チ ャー ト
に よ っ て 進 め ら れ る こ と を 確 認 せ よ. 間 7 プ ロ グ ラ ムREGO2Eを (X1)お
使 っ て,付
よ び世 帯 人 員(X2)に
表A.1に
示 す 食 費 支 出(Y)の
変 動 を収 入
よ っ て 説 明 す る 回 帰 式 の 計 算 が 問 5の 計 算 手 順 ど
お りに 進 行 す る こ と を 確 認 せ よ.
付 表A.1の
数 字 はREGO2Eの
間 8 (1) REGO2Aで
例 示 用 と し て,セ
はREGO2Eと
ッ トさ れ て い る.
同 じ計 算 を行 な うが,2.6節
に 示 し た よ う に,
説 明 変 数 の 一 部 を使 っ た と き の 解 もあ わせ て 求 め られ る こ と を確 認 せ よ. (2) 図2.6.2(32ペ
ー ジ)の 様 式 で 説 明 変 数 の 追 加 に と も な う分 散 の 変 化 を図 示
せ よ.
注:他 の統 計 ソフ トを使 っ た場 合,計 算手 順 や 結 果 の 表示 形 式 が 異 な るか も しれ な い.ま た,問 8で要 求 した よ うな 図 が出 力 され な い か も しれ ない.
問 9 テ キ ス トの2.5節 よ.プ
の 説 明 に 使 っ た デ ー タ を使 っ て,問
ロ グ ラ ム はREGO3を
DATAIPTを
使 う こ と.ま
た,基
8 と同 様 の 計 算 を して み 礎 デー タ は,プ
ロ グ ラム
使 っ て 用 意 す る こ と(44ペ ー ジ参 照).
【ア ウ トラ イ ヤ ー の 検 討 】 問10 (1) 付 表Bに
示 す デ ー タの う ち 食 費 支 出(Y)と
し た プ ロ グ ラ ム の うちREGO3を (2) REGO3を 2.1.8)が
使 う と,残
使 っ て,回
収 入 総 額(X)に
つ い て,添 付
帰 式 の 計 算 を行 な え.
差 を 検 討 す る た め の 図(図2.1.6,図2.1.7,図
出 力 さ れ る こ と を確 認 せ よ.
注:付 表 B の デ ー タ は,REGO3の
例 示 用 フ ァ イ ル と して用 意 され て い る の で,そ
れ を使 うと指 定 す れ ば よ い. 問11 (1) プ ロ グ ラ ムXYPLOT1を 方 は,こ
使 っ て,図2.1.7を
か け.XYPLOT1の
の シ リー ズ の う ち 第 9巻 『 統 計 ソ フ トUEDAの
使 い
使 い 方 』ま た は 第 2
巻 『 統 計 学 の 論 理 』を 参 照 す る こ と.基 礎 デ ー タ は 例 示 用 デ ー タ フ ァ イ ル と し て 用 意 さ れ て い る.
(2) XYPLOT1の が60で
機 能 を使 っ て,図2.1.7の
左 側 の ↑の デ ー タ の デ ー タ 番 号
あ る こ と を確 認 せ よ.
(3) プ ロ グ ラ ムREGO3を (4) デ ー タ番 号60を 比 べ て,回
使 っ て,図2.1.7に
示 す 回 帰 式 を求 め よ.
除 外 し て(注 1),回 帰 係 数 の 計 算 を 行 な い,(3)の 結 果 と
帰 式 が ど うか わ る か,ま
た,残 差 分 散 が ど うか わ るか を調 べ よ,
(5) (3)で 出 力 し た 図2.1.7と(4)で
出 力 し た 場 合 の 図2.1.7を
比較 す るた め
に,2 つ の 図 を 1枚 に 重 ね る こ と を 考 え よ(注 2). 注 1:「デ ー タの一 部 を除 いて 計 算せ よ」とい うこ とを指 示 す るた め の 指 定 文 を デー タに付 加 す るこ とが 必要 で あ る.こ うい う指 定文 を付 加 す る ため には,プ ロ グ ラ ムDATAEDITを
使 う.使 い 方 は 本 シ り一 ズ 第 9巻 『 統 計 ソ フ トUEDAの
方 』に 説明 して あ るが,こ の 問題 の場 合 に 限れ ば,45ペ 注2:2つ
使い
ー ジ を参 照 す れ ば よ い.
の 図 の ス ケー ル は,そ れ ぞれ の デー タ で計 算 した 標 準 偏 差 を使 っ て い る
の でREGO3の
出 力 を重 ね る こ とは で き な い.REGO3の
オ プ シ ョン を指 定 す る
と,他 の デ ー タ,あ るい は 他 の 方 法 で 求 め た傾 向線 を重 ね 書 き す る こ とが で き る. 【説 明 変 数 の 加 除 】 問12 (1) 付 表 B の デ ー タ に つ い て,食 世 帯 人 員 数(X2)に グ ラ ムREGO3を
費 支 出(Y)の
変 動 を 収 入 総 額(X1)お
よ っ て 説 明 す る 回 帰 式 を 計 算 せ よ.た
だ し,UEDAの
よび プ ロ
使 うこ と.
(2) 図2.6.2の
様 式 で,説
(3) 残 差 を 図2.7.1の 問13 (1) デ ー タ番 号60を
明 変 数 の 追 加 に と もな う分 散 の 変 化 を 図 示 せ よ.
形 式 で 図 示 せ よ. 除 外 し て,問12(1)∼(3)の
計 算 を行 な い,そ
れ ぞれの結
果 が ど うか わ る か を 調 べ よ. (2) 説 明 変 数 を 加 除 す る こ と に よ る影 響 と,ア ウ トラ イ ヤ ー を 除 去 す る こ と の 影 響 とで は,ど
ち らが 大 き い か.一
般 論 で は な く,こ の例 に 関 して ど う な っ
て い るか を答 え れ ば よ い. 【 対 象範 囲 の限定 】 問14 (1) 付 表E.1に 表E.1の
示 す エ ネ ル ギー 需 要 量(Y)と
記 号 で い う と X とU)に
を求 め よ.た
つ い て,Y
だ し,直 線 関係Y=A+BXを
(2) (1)で求 め た 回 帰 式 に よ っ て,Y か.取
鉱 工 業 生 産 指 数(X)の
関 係(付
の 変化 を X で 説明 す る回 帰 式 想 定 して 扱 う もの と す る,
と X の 関 係 を 十 分 説 明 で き る とい え る
り上 げ た デ ー タ の 範 囲 に 「オ イ ル シ ョ ッ クの 年 が 入 っ て い る 」こ と を 考
慮 に 入 れ た 扱 い 方 を考 え よ. 問15 (1) 問14の
計 算 を1965∼70年
の デ ー タ に 適 用 して み よ.
(2) 問14の
計 算 を1976∼83年
の デ ー タ に 適 用 して み よ.
注:問14の
基礎 デ ー タは フ ァイルDT10か
ら選 ん でDT11に
記録 され て い る.
DATAIPTの
使 い方
DATAIPTは,UEDA用
の 形 式 で
デ ー タ フ ァ イ ル を用 意 す る プ ロ グ ラ ム で す. a.DATAIPTを
呼 び 出 す と,ま
ず,
入 力 す るデー タの タ イプ を指 定 す る よ う求 め て き ま す.回 に は,V
帰 分析 で 使 う場 合
を指 定 し ます.
そ の 指 定 に 応 じ て,デ
ー タの 略 称 や
数 を入 力 す る画 面 が 現 わ れ ま す. こ の 問 題 の 場 合 は,右
の例 示 の よ う
に 入 力 し ま す(イ タ リ ッ クが 入 力 で す). b.こ
こ ま で 指 定 す る と,デ ー タ 本
体 を入 力 す る画 面 に な り ます. その 画 面 の 左 上 に,入
力 箇 所 に 緑 の/
印(カ ー ソ ル)が 点 滅 し て い ま す. そ の 箇 所 に 値 を 入 力 す る と,カ ー ソ ル が 右 に(右 端 に い く と 次 の 行 に)う つ り ます か ら,順 に 入 力 し て い き ま す. 入 力 ミス に 気 づ い た ら,矢
印の キイ
で カ ー ソ ル を そ の 箇 所 に 動 か し,入
力
し なお し ま す. c.入 力 が 終 わ っ た らEscキ す と,確 Enterキ
イをお
認 を 求 め て き ま す.そ
こで
イ を お す と,出
力 作 業 に進 み
d.記 録 す る 前 に,出
力 桁 数 を調 整
ま す.
す る こ と が で き ま す が,一
般 にはプ ロ
グ ラム に ま かせ て お き ます. 出 力 フ ァ イ ル の 記 録 場 所 と 名 前 は, 標 準 ど お りに し て くだ さ い. e.出
力 が 実 行 さ れ,指
定文付加 に
関 す る メ ッ セ ー ジ が 表 示 さ れ ます. こ こ で は,1 と入 力 し てMENUに 使 うプ ロ グ ラ ム を指 定 し,デ に つ い て 処 理 で き ます.
も ど りま す. ー タ と してWORK.DATを
指 定 す る と,そ
の デー タ
DATAEDITの
使 い 方(キ イ ワー ドの 挿 入)
こ の 問 題 で は,今 使 っ て い る作 業 用 フ ァ イ ル(WORK.DAT)に デ ー タ を 除 け 」 と 指 定 し ま す.こ DATAEDITを
つ い て 「番 号60の
の よ う な 指 定 を 行 な う に は,プ
ロ グ ラ ム
使 い ま す.
a.DATAEDITで
は,ま
ず,対
象
フ ァ イ ル を 指 定 す る 画 面 に な り ま す が, こ の 問 題 で は, WORK.DATを
指 定 し
ま す. b.す
る と,そ の フ ァ イ ル の 内 容 が 表
示 さ れ ま す(右 の 例 示 で は,一
部 を省
略). デ ー タ 数68(NOBS=68)で の う ち60番
す が,そ
目 を 除 い て 分 析 し た い.そ
の た め の 指 定 文 を 挿 入 す る の で す. c.最 す.そ
初 は 1行 目 が 緑 に な っ て い ま の位 置 は,矢
印 の キイで移 動 し ま
す. 挿 入 し た い 位 置 で 「Insキ イ」 を お す と そ の 行 の 前 に 空 白 行 が 挿 入 さ れ ます. こ の 問 題 で は 図 の位 置 が 自 然 な 場 所 で す. d.そ
の 行 に,指
定 文 を 入 力 し ま す.
本 体 は 「DROP=/60/」 と文 字dataも
で す が,文
入 力 し ま す.キ
番号
イ ワー ド
の 本 体 中 の 英 字 は 大 文 字(半 角 の 大 文 字) に し ます. 入 力 ミス 訂 正 な ど の た め に は,矢 イ, Insキ イ, Delキ
印キ
イ も使 え ま す.
入 力 を確 認 した らEscキ
イ を お し ます.こ
れ で 挿 入 完 了 で す.
e.必 要 な 指 定 文 をす べ て 書 き込 ん だ らEscキ
イ を お す と, WORK.DATに,指
定 文 を付 加 し た デ ー タ フ ァ イ ル が 出 力 さ れ ま す. f.UEDAの
メ ニ ュ ー に も ど りま す.
そ の デ ー タ を使 うプ ロ グ ラ ム(こ の 問 題 で はREGO3)を WORKを
指 定 し,対 象 デ ー タ と し て
指 定 し ます.
注:例 示 中 のOBSIDは
観 察 単位 に対 応 す る記号 で す が,60番
は,プ ロ グ ラム で行 な われ ます.
目を 除 い た こ とに よ る調 整
3 分 析 の 進 め 方 ―説明変 数の取 り上 げ方
前 章 で 説明 した回帰 分 析 の手 順 を,実 際 の デ ー タ に適 用 して み ま し ょ う.説 明 変数 の選 び 方 や組 み合 わ せ方 な ど,機 械 的 には 決 め られな い 点 が あ ります か ら,実 例 を取 り上 げ て考 え る こ とが必 要 で す.
3.0
問
題
① 表3.0.1(付
例
表 B)は,あ
る 市 の68世
帯 に つ い て 調査 し た家 計 収 支 の 情 報 で
す. 各 世 帯 ご とに,世
帯 人 貝,月
収,消
費 支 出総 額,食
費 支 出 な ど の デ ー タ が 求 め られ
て い ま す, この 章 で は,こ
の う ち の 食 費 支 出 の 世 帯 間 差 異 を 説 明 す る 問 題 を取 り上 げ て,分
の 仕 方 を例 示 し ま し ょ う. ② デ ー タ数 は68で
あ り,電 卓 で 計 算 す る に はや や 荷 が 重 い で し ょ う.UEDAを
使 って 学 習 す る こ と を 期 待 して い ます. 表3.0.1
68世 帯 の 家 計 収 支(1954年
U1:世
帯 人 貝,U6:収
U2:有
業 者数 は付 表 で は 省 略 して い ま すが,デ
入 総 額,U7:実
支 出,U8:消
平 均)(単
位:百
費 支 出,U9:食
円/月)
費 支 出,な
ー タ フ ァ イ ル に は 入 って い ます.
ど
析
回 帰 分 析 の プ ロ グ ラ ム は 種 々 の もの が あ りま す.ど
れ で もか ま い ませ ん が,こ
のテ
キ ス トの レベ ル を こ え た 高 度 の 機 能 を も っ て い て も,こ の テ キ ス トで 解 説 し た範 囲 で 使 っ て くだ さ い.は
じめ か ら 高 度 の 機 能 を 使 お う とす る と,理 解 しに くい こ とが 出 て
くる で し ょ う. ③ 分 析 をは じめ る前 に,ま た と え ば,デ ち ま す.慣
ず,対
象 デ ー タ を よ くみ て お き ます.
ー タ の 相 互 関 係 を 示 す 相 関 係 数 を 計 算 し て お く と,い
れ れ ば,そ
ろ い ろ と役 に 立
れ をみ る だ け で 「ど ん な結 果 が 得 ら れ る か お よ そ の 見 当 づ け が
で き る」よ うに な る で し ょ う. 相 関 係 数 の 計 算 は,コ
ン ピ ュ ー タが 使 え る環 境 下 で は 簡 単 な こ と で す.
表3.0.2は,表3.0.1の
う ち,X6(=食
費 支 出)を 分 析 対 象 とす る場 合 を 想 定 して
X1:世
帯 人 員 数,X2:有
業 者 数,X3:収
入 総 額,
X4:実
支 出,X5:消
費 支 出 総 額,X6:食
費支 出
に つ い て 計 算 し た 相 関 係 数 行 列 で す.
表3.0.2
まず(X4,X5)
が0.9を
0.7台 が な く,0.6台 箇 所 を選 ん で,そ 図3.0.3で ま た,変
食 費 支 出 と関 連 デ ー タの 相 関 行 列
こ え る 高 い相 関 を も っ て い る こ と が 目 に つ き ま す.0.8台,
と し て(X1,X6),(X3,X4),(X5,X6)
の つ な が り を 図3.0.3の
は 以 上 の 対 の ほ か,相
の 3対 が あ り ま す.こ
関 が0.5台
ま で の 対 を線 で む す ん で い ます.
動 を 説 明 し よ う とす る 食 費 を Y と表 わ して い ます.
Y の 変 動 を 説 明 す る た め に は そ れ と相 関 の 高 い も の を選 ぶ べ き で す か ら,ま X1とX5が
候 補 と さ れ る で しよ う が,
,次 の よ うな コ メ ン トも あ り そ う で す. ・X4はX5と
図3.0.3
高 い 相 関 を も つ の で,
両 方 を 使 う必 要 は な い. ・X5の か わ りにX4を
使 っ て も よ い.
・も う ひ とつ を追 加 す る な ら,X4以 外 か ら選 ぶ 方 が よ い. ・残 っ た も の はX3,X2だ X3,X2の
うい う
よ うに 示 して お く と よ い で し ょ う.
ど ち らか.
が,次
は
相 関 関係 の 要 約 図
ずは
・客 観 的 な選 択 基 準 を使 っ て 決 め る よ うに す べ き だ . ・相 関 の 高 さ だ け で 決 め るの は よ く な い . ・変 数 の 意 味 を考 え る な ら, X3(=収 入)を 使 うの が 自然 だ. ・こ うい う予 断 を もた ず に 進 め るべ き だ
もち ろ ん,こ
の 段 階 だ け で 結 論 は 出せ とい うの で は あ りませ ん.予
う,客 観 的 に 進 め な け れ ば な ら な い の で す が,こ
の よ うに,相
断 に ならな い よ
関 係 数 の 情 報 を参 照 し
て 見 当づ け を して お く と,適 正 に 進 ん で い る こ とが 確 認 で き ま す. 以 下 順 を追 っ て,こ
れ らの コ メ ン トに つ い て 当 否 を考 え て い き ま す.こ
の よ う な選
択 に 関 す る指 針 を体 系 づ け て 考 え て い くこ と を例 示 し た も の と 了解 して くだ さ い. ④ も う一 歩 進 め て,図3.0.4の
よ う に 各 変 数 対 の 相 関 図 をか い て お く と,相 関 係 図3.0.4
変数対の相関 図
数 で は わ か ら な い 「ア ウ トラ イ ヤ ー 」や 「関 係 の 非 直 線 性 」の 有 無 を調 べ る こ とが で き ま す. た とえ ば,(X4,X5)の
相 関 が 高 く,(X1,X5)の
た とお りで す が,(X3,X6)の
図 をみ る と,傾
見 出 さ れ ます.(X4,X6),(X5,X6)の
相 関 が 低 い こ と は相 関 表 で も み ら れ
向 線 か ら左 上 に 大 き く離 れ た 観 察 単 位 が
図 を あ わ せ て み る と,そ の 観 察 単 位 はX4,X5の
値 も高 い こ とが わ か り ます. この 観 察 単 位 の 番 号 を調 べ ま し ょ う.後 の 分 析 で,こ
れ ら の 観 察 単 位 の 扱 い 方 を考
え ます.
3.1 説 明 変 数 選 択 と分 散 分析 ① ま ず,食 (X1),有
費 支 出(Y)の
業 者 数(X2)に
世 帯 間 差 異 を,世
帯 の 収 入 総 額(X3),世
帯 人 員数
よ っ て 説 明 す る 回帰 式 を 計 算 して み ま し ょ う.
説 明 変 数 の 取 り上 げ 方 は特 定 せ ず,あ
らゆ る組 み 合 わ せ に つ い て 計 算 す る と,次
の
結 果 が 得 られ るは ず です.
(6098)
モ デ ル 0
Y=220.65
モ デ ル 1
Y=44.96十45.60X1
モ デ ル 2
Y=133.25
モ デ ル 3
Y=149.55
モ デ ル12
Y=23.59十39.88X1十29.52X2
モ デ ル13
Y=12.97十41.61X1
モ デ ル23
Y=116.55
モ デ ル123
Y=
括 弧 内 は,そ
(3147) (4803)
十59.43X2
+0.088X3
(5041) (2874)
+0.059X3
(2700) (4553) (2652)
十43.05X2十0.051X3 8.64十39.58X1十14.30X2十0.048X3
れ ぞ れ の モ デ ル を 採 用 し た と き の残 差 分 散 で す.
どの 説 明 変 数 も使 わ な か っ た と き の 分 散(全 分 散)が6098で と3147に
な り,X1,X2を
使 う と2874に
あ り,X1だ
け を使 う
な る … こ うい う結 果 で す.
そ の 他 さ ま ざ ま な 組 み 合 わ せ が あ り ま す か ら,残 差 分 散 を 図 示 して お き ま し ょ う. 図3.1.1で
す.
これ に よって
各 説 明 変 数 の 説 明 力(他 との 関 係 を考 え ず に み た 場 合)の 大 きい 順 は? 2つ を組 み 合 わせ て使 う と き,高 3つ と も使 う と い う案 は,ど
い 方 の 2つ を 用 い る こ とは 妥 当 か?
うか?
を調 べ て くだ さ い. ◇ 注 l ここ では 解 説 を進 め る都 合 を考 えて 説 明変 数 を選 ん で い ます.48ペ
ー ジ に 述べ た
よ うに考 える と,こ の選 び方 に 異論 が 出 るか も しれ ませ ん.ま た,も っ とよ い選 び 方 が あ るの です が,説 明 の進 展 を追 って くだ さい. ◇ 注 2 UEDAの
デ ー タフ ァイル で はX6以
下 の変 数値 に10-2を か け て桁 数 を調 整 した場
図3.1.1
合 が あ り ま す.そ
変 数 選 択 と残 差 分 散 変 化
れ を 使 っ た 出 力 に は102を
か け て くだ さ い.
② 各 説 明 変 数 を単 独 で 取 り上 げ た と きの 説 明 力 は,分 て,X1,X2,X3の
2つ の 変 数 を 組 み 合 わ せ る な ら,大
き さ の 順 に 1位 と 2位,す
よ う … こ う し た 場 合 に は,残 差 分 散 は2874ま
と 3の 組 み 合 わせ で あ り,残 差 分 散 は2700ま
変 数X2の
な わ ちX1,X2に
し
れ で は あ り ませ ん.変
数 1
で減 少 し ま す.
しか し,2 変 数 の 組 み 合 わ せ の う ちベ ス トな も の は,こ
こ れ が,ベ
散 を減 少 させ る度 合 い をみ
順 だ と わ か り ます.
で 減 少 して い ま す.2 変 数 を 扱 う場 合,
ス トで す 。 単独 で み た と き の 説 明 力 が 2位 で あ っ て も,す で にX1を
り,そ れ に どれ を付 加 す る か を考 え る と きに は,X1と 変 数 を選 ぶ べ き だ … そ れ な ら,2 位 のX2は,X1と ら,3 位 のX3を
取 り上 げ て お
異 な った面 で効 果 を発揮 す る 似 た 側 面 を説 明 す る もの だ か
採 用 す る こ と に な る … こ うい う結 果 に な った の で す.
あ ら ゆ る組 み 合 わ せ に つ い て 計 算 し て あ る た め,こ
の よ うな変数選 択 を的確 に行 な
う こ とが で き た の で す. 3変 数 と も使 う と,2652ま され て い る2700と こ の よ うに,説
で 減 少 し ま す が,変
数 1 と 3の 組 み 合 わせ で す で に 達 成
の ちが い は わ ず か で す. 明 変 数 の効 果 を よ む こ とが で き ます.
③ 説 明 変 数 の 数 が 多 い 場 合 に あ ら ゆ る 組 み 合 わ せ に つ い て チ ェ ッ クす る こ とは, コ ン ピュ ー タ を使 うに し て も,簡 単 で は あ りま せ ん.た で す ん だ の で あ り,10変
数 だ と1024と
と え ば 3変 数 だ か ら 8 とお り
お りに な り ます.
そ こ で, 1番 目 の 変 数 の 取 り上 げ 方 に つ い て 比 較 し,ベ ⇒ その選 択 を前提 として
ス トな も の を選 ぶ
2番 目 に 追 加 す る変 数 の 取 り上 げ 方 を 比 較 し,そ の 範 囲 で ベ ス トな も の を選 ぶ ⇒ そ れ ま で の 選 択 を前 提 と して 次 に 追 加 す る変 数 の 取 り上 げ 方 を 比 較 し,そ
の 範 囲 で ベ ス トな もの
を選 ぶ
と,順 次 追 加 して い く案 が 考 え ら れ ます.
X4,X5を
含 め た 5変 数 に つ い て,こ
図3.1.2は
の 案 を 試 して み ま し ょ う.
5変 数 の 場 合 を例 と して お り,変 数 1,5,3,2,4 の 順 に 取 り込 ん で い け ば
よ い … こ う い う結 果 に な っ て い ます. 図3.1.2
説 明変 数 の 逐 次 追 加
た だ し,こ の 手 順 に よ っ て チ ェ ッ ク され な か っ た ケ ー ス が あ り ま す.例 番 目の 変 数 取 り込 み に お い て 1,5が 選 択 され て い ま す が,1,4 も,あ ん.変 数 の 相 関 表 で み て お い た よ うに,変 ら,両
数 4 と変 数 5が 高 い 相 関 を も っ て い ます か
方 を 使 う 必 要 は な い で し ょ うが,4 か 5か は 検 討 す べ き で し ょ う.よ っ て,1,
4の ル ー トも追 っ て み ま し ょ う.こ す.し
示 で は,2
ま り ち が い ませ
の 例 で は 1,4,3 の 組 み 合 わ せ で は2317と
なりま
た が っ て,1,5,3 で よ い こ と が 確 認 され ます.
な お,こ a.ほ
う い う チ ェ ッ クが 必要 とな る の は と ん ど 同 等 な 変 数 が 含 まれ て い る と き(多 重 共 線 性)
b.観 察 値 に ア ウ トラ イ ヤ ー が 含 ま れ て い る と き で す.こ
れ ら につ い て は 後 で 例 示 し ます.
④ 図3.1.2で を み ま し ょ う.
た ど っ た ル ー トに 沿 っ て 説 明 変 数 を付 加 した 場 合 の 残 差 分 散 の 変 化
全分散
6098
⇒ 変数 1の場 合 の残差 分 散 は
3147
⇒ 変 数(1,5)の 場 合 は
は 2315 }こ こまでは
⇒ 変 数(1,5,3)の
2269 }こ こ で も少 し減 少
場 合 は
⇒ 変 数(1,5,3,2)の
場 合 は
2258
⇒ 変 数(1 ,5,3,2,4)の 場 合 は
変 数1,5,3 は世 帯 人 貝,消
っきり減少 している
2249 }以降の減 少はご くわずか
費 支 出 総 額,収
入 総 額 で す.こ
の こ とを考 慮 に 入 れ る
と, は っ き り した 候 補 は 世 帯 人 員,消
費 支 出 総 額 で あ り,
も う 1つ つ け 加 え る と した ら収 入 総 額 だ と い う こ と で す か ら,問 題 の 意 味 か ら も,納 得 で き る結 果 で す. 有 業 者 数 は,所 得 と 関 連 を もつ に し て も,食 ⇒ 食 費,と,問
費 に 対 す る影 響 は,有
に 所 得 を お く形 で 説 明 され る の で,食
業者数 ⇒ 所得
費 の 分 析 で は 取 り上 げ る 必 要
性 は うす い と い う こ とで す. ⑤ 説 明 変 数 を 逐 次 増 や して い くの で な く,逐 次 減 ら し て い く案 も あ りえ ま す.す な わ ち,候 補 全 部 を採 用 した 状 態 か ら は じ め て,「 落 と し た こ とに よ る 残 差 分 散 の 増 加 の 小 さ い もの 」 を選 ぶ 過 程 を た ど っ て い くの で す.こ
の例 で は
全 部 を使 っ た と きの 残 差 分 散 が2249 1つ を落 と し た と き の 残 差 分 散 は,変
数 4を 落 と し た場 合 が2258で
落 と した こ との 影 響 が 最 も少 な い よ っ て 1,2,3,5 を使 う こ とに し よ う
と,た
ど っ て い け ば,4,2,3,5,1
の 順 に 落 と して い け とい う結 果 とな り ます .
図3.1.3
説 明 変 数 の逐 次 除 外
1:世 帯 人 貝 2:有 業 者 数 3:収 入 総 額 4:実 支 出 5:消 費 支 出総 額
こ の 例 で は,逐
次 追 加 す る過 程 を た ど っ て 決 め た 順 と,逐 次 落 とす 過 程 を た ど っ て
決 め た 順 が 一 致 し ま し た が,い
つ も そ うだ と は 限 り ませ ん.
逐 次 追 加(逐 次 除 外)を 適 用 す る と,残 差 分 散 が 一 様 に 減 少(増 加)し て い き ま す か ら,説 明 変 数 の 数 を 決 め て お き,そ の 数 の と こ ろ で 打 ち 切 る案 が 考 え られ ます. ⑥ ま た,残
差 分 散 の 「変 化 の 大 き さ」 を測 る指 標 値 を使 っ て 「打 ち切 り点 」 を決 め
る こ とに す れ ば,客 観 的 に 説 明 変 数 を選 び う る … こ う い う発 想 が あ りえ ます. こ の た め に 使 う指 標 が い くつ か 提 唱 さ れ て い ます. 自由 度 調 整 ず み の 決 定 係 数R2
あ る と こ ろ で最 大 と な る
マ ロー ズ のCP
あ る と こ ろ で最 小 と な る
赤 池 のAIC
あ る と こ ろ で最 小 と な る
な ど で す. 33ペ ー ジ に 示 し た とお り,い ず れ も決 定 係 数 をべ ー ス に し て お り, 説 明 変 数 の 増 加 に よ る 「説 明 力 の 増 加 」を示 す 項 と 係数 推 定に用 い うる 「 実 質 デ ー タ数 の 減 少 」を示 す 項 が 加 わ っ た 形 に な っ て い ま す. 第 2項 は 推 定 精 度 の低 下 を示 す 項 だ と解 釈 す る こ と もで き ます(33ペ 表3.1.4に
表3.1.4
R2基
ー ジ 注 参 照).
こ れ ら の指 標 値 を示 し て あ り ます.
準 で は(1,5,3),CP基
こ れ らの 基 準 は,説
説 明 変 数 追 加 過 程 の打 ち 切 り基 準
準 とAIC基
準 で は(1,5)を採 用 せ よ とい う結 果 で す.
明 変 数 選 択 に 関 し て 「客 観 的 な解 を与 え う る」 と い う 意 味 で,
よ く採 用 され て い ま す.し
か し,本 来 「説 明 変 数 選 択 」は そ う簡 単 に 扱 え る 問 題 で は
あ り ませ ん. た とえば a.選
ば れ た 説 明 変 数 群 の 範 囲 で考 え て い ます か ら,説
明変数 群 の選 び 方 に関連
し ま す. b.決 定 係 数 で 計 測 さ れ て い な い 「個 別 変 動 」の 部 分 が 大 き い と き に は,大
きい
部 分 を 考 慮 外 に お い て,「 小 さ い 部 分 の わ ず か な ち が い を論 じ る」結 果 に な り ます. c.説 明 変 数 の 選 択 と並 ん で 重 要 な 「 観 察 単 位 の 選 択 」問 題 が あ り ま す.た
とえ
ば ア ウ トラ イヤ ー が 混 在 し て い る と き,そ れ を 除 くか 否 か で 結 果 が ち が っ て き ます. し た が っ て,こ
れ らの 基 準 だ け で す べ て終 わ り と安 易 に 考 え て は い け ま せ ん.ひ
つ の 参 考 と受 け と っ て,以
と
下 の 節 で 説 明す る 「 残 差 プ ロ ッ トに よ る 検 討 」や 「個 々 の
問 題 に 即 した 解 釈 」を考 え に 入 れ て 結 論 を 出 す よ うに し ま し ょ う. ◇ 注 1 マ ロー ズのCpとAICは,モ
デ ル に 含 め た 説 明変 数 の 影 響 度 を測 る もの で す が,
その計 測 に お いて は,他 の 説 明変 数 も考慮 に入 れ た計 算 に な って い ます. したが って,ど の範 囲 の デー タ を使 うか に よっ て ちが う値 に な ります. ◇ 注 2 説 明 変 数 の追 加 に よ る残 差 分 散 の 変 化 の 有 意 性 を検 定(F 検 定)し て,た と え ば 5%水 準 で有 意 であ れ ば追 加 し,そ の水 準 に達 しな い な ら打 ち 切 る とい う手 法 もあ り ます. 残 差 に 関 して正 規 分 布 を仮 定 す る こ とに な り ます か ら,い つ も適 用 で き る とは い え ませ ん. 表3.1.5
説 明 変数 追 加 に よ る F 値 の変 化
そ れ ぞれ の モ デ ルの 分 散 分 析 表(表2.8.3の の で す.
形 式)を1表
に ま とめ た も
3.2 ア ウ トラ イ ヤ ー の影 響 ① 前 節 で 種 々 の 「 変 数 選 択 基 準 」を 説 明 し ま し た が,現 は,変
実 の デ ー タ を扱 う場 合 に
数 だ け で な く,「 観 察 単 位 」に つ い て も選 択 を考 え る こ とが 必 要 で す.
観 察 値 が 得 られ て い て も,観 察 単 位 が 他 と条 件 が 異 な る の で,同
一 枠 に ま とめ て 扱
うの は ど うだ ろ うか … そ う い う場 合 で す. こ の 章 で 取 り上 げ て い る例 の 場 合,図3.0.4を
み る と,い
60が 他 と ち が っ た 位 置 に プ ロ ッ トさ れ て い る よ う で す.特 費 支 出 額 が 大 きす ぎ る こ とが 気 に な り ます が,そ す か ら,こ の 観 察 単 位 を 除 い た 上 で,そ る こ と を考 え て み ま し ょ う.
れ は,観
くつ か の 図 で,観 に,収
察単 位
入 総 額 と比 べ,消
察 単 位60に
特 有 の事 情 で
れ 以 外 の 観 察 単 位 で み ら れ る傾 向 性 を 説 明 す
図3.2.1
② 図3.2.1は,そ
説 明 変 数 の逐 次 追加(観 察 単 位60を
の 結 果 を,図3.1.2と
除 い て分 析)
同 じ形 式 に 示 した もの で す.
こ れ に よ る と, X1:世 帯 人 員,X3:収
入 総 額,X5:消
費 支 出 総 額,X4:実
支 出,X2:有
業者数
の 順 に 取 り入 れ よ と い う結 果 で す. す べ て の デ ー タ を 使 っ た 場 合 はX1,X5,X3,X2,X4だ に な っ た の で す か ら,た
っ た 順 が,X1,X3,X5,X4,X2
とえ ば 2変 数 を選 択 す る場 合 ち が っ た 結 果 に な り ます.
③ 残 差 分 散 の 減 少 を 目指 す 場 合, 「 変 数 選 択 の 方 を精 密 化 す れ ば そ れ で す べ て が 解 決 す る わ け で は な い 」 とい う こ とで す.観
察 単 位 の 方 に も 注 意 し ま し ょ う.
観 察 単 位 の 選 択(ア ウ トラ イ ヤ ー の 検 出)に 関 す る 判 断 基 準 が 種 々 提 唱 さ れ て い ま
説明 変数 の選 び方 a.説
明 変 数 の 数 を 増 や す と,決 定 係 数 は 改 善 され る.
す で に 取 り上 げ られ て い る 変 数 と 異 な る側 面 を代 表 す る変 数 を 選 ぶ と よ い. 相 関 の 高 い変 数 を追 加 す る と,問 題 が 起 き る 可 能 性 が あ る. 数 量 デ ー タ を階 級 区 分 し て 扱 う こ と も有 効. b.ア
ウ トラ イ ヤ ー の 疑 い の あ る デ ー タ を除 く と大 き くか わ る可 能
性 が あ るの で,た
と え ば 一 様 に適 合 し て い る か 否 か をみ る た め
に 残 差 プ ロ ッ トを み る こ と. c.決
定 係 数 だ け で な く,各 説 明 変 数 の 意 味 を考 え て 選 ぶ こ と.
最 適 な選 び 方 は コ ン ピ ュ ー タ を使 っ て 決 め る … そ ん な こ と は で き ませ ん.
す.ま
た,除
ます.こ
く ・除 か な い と二 分 す る の で な く,ウ エ イ トをつ け て 扱 う方 法 も あ りえ
れ ら に つ い て は,第
8章 で説 明 し ます.
④ ま た,「 残 差 分 散 の 減 少 」だ け で な く,「 各 説 明 変 数 の もつ 意 味 」 を 考 慮 に 入 れ る こ とが 必 要 で す.次
節 以 降 で は,こ
の こ とに つ い て 説 明 をつ づ け ます.
3.3 説 明変 数 の変 換 ① 説 明 変 数 の 扱 い に も ど り ま し ょ う.こ れ ま で の 分 析 の 範 囲 で ベ ス トな組 み 合 わ せ を使 っ て も,決 定 係 数 は55%程 る い は,55%で
は,傾
度 で し た.も
っ と工 夫 す る 余 地 は な い の か …,あ
向 線 は 有 意 と い え な い …,こ
うい っ た 疑 念 を も た れ る か も し
れ ませ ん. これ に 対 して,今
の 段 階 で はYes, Noを
工 夫 の 余 地 は あ りま す.そ ば,問
保 留 して お き ま し ょ う.
れ に よ っ て どの 程 度 決 定 係 数 が 改 善 され るか を確 認 す れ
い に 答 え ら れ る か も し れ ませ ん.
た とえば
説 明 変 数 を追 加 した ら ど うか, これ ま で 取 り上 げ て い る変 数 に つ い て も,直 線 関 係 と い う想 定 は 妥 当 か,
な ど を試 して み ま し ょ う. ② 食 費 支 出 と収 入 との 関 係 を グ ラ フ に か く と,図3.3.1の 世 帯 に よ るバ ラ ツ キ は あ る も の の,傾
よ うに な りま す.
向 と し て は,「 収 入 が 大 き くな る と 食 費 支 出
も 多 く な る 」 とい う傾 向 が 「あ た ま うち に な って い る」 よ うに み え ま す. 実 態 と して も,そ した が っ て,モ に,X
う な る と考 え る こ とが で き ま す.
デル
Y=A十BX の 増 大 に 応 じて 低 減 す る こ と を 説 明 す る項CX2(C 図3.3.1
食 費 支 出 と所 得 との 関係
は 負 に な る と予 想 し て)を
図3.3.2
食 費支 出 と収 入 との 関係
回帰分析 で誘導 した傾 向線2種
つけ加 えたモデ ル
Y=A+BX+CX2
を適 用 し て み ま し ょ う. 次 の結 果 が 得 られ ま す.
Y=149.55+0.0882X1
(5041)
Y=117.38+0.1660X1-0.00389X12
(4987)
2乗 の 項 を加 え た こ とに よ る効 果 は わ ず か で す.残 い う と0.9%の R2の
差 分 散 の 減 少 は54,決
定 係数 で
増 加 に 過 ぎ ませ ん.
増 加 は わ ず か で あ っ て も,現
と低 収 入 層 と の 差 を把 握 で き る)X2の そ の こ と よ り も,あ
る い は,そ
象 の 説 明 上 有 用 と判 断 し て(た と え ば 高 収 入 層 項 を取 り入 れ る こ とは 考 え られ ま す.た
れ と と も に,X
だ し,
以外 の変数 の 範 囲 で説 明 力 の 大 きい
もの を探 る 方 が 先 だ と い う こ と で す. そ こ で 別 の 説 明 変 数 と し て,世 つ い て も,X12を
帯 人 貝X3も
含 め て み ま し ょ う.ま
た,そ
の場合 に
つ け 加 え て み ま し ょ う.
Y=12.97+41.61X3+0.0588X1
(2700)
Y=-90.9+41.42X3+0.1138X1-0.0027X12 X12の 項 の 効 果 が 小 さ い こ と は,こ
(2674)
の 場 合 も 同 じ で す が,X3の
効 果 の方 が は るか
に大 き い の です. な お,X1の 変 化 はX12の
係 数 はX12を
つ け 加 え た と き大 き くか わ りま す が,傾
向 線 そ の もの の
係 数 と一 緒 に して み るべ き で す.
3.4 説 明 変数 の追 加,変 更 ① 表3.0.1に
示 し た 基 礎 デ ー タ に は,収
入 総 額(X1)の
ほ か に,実
支 出(X12)と
消 費 支 出 総 額(Xl3)が
あ りま す .
こ れ ら を モ デ ル に 取 り入 れ る こ と を考 え ま し ょ う.3 変 数 は 家 計 支 出 の た め に 使 え るパ イ の 大 き さ とい う意 味 で 共 通 性 が あ り ます が,後 り ま す.し
た が っ て,X1,X12,X13の
に 示 す よ うに 定 義 上 ち が い が あ
扱 い に 関 して
a.X1,X12,X13を
す べ て モ デ ル に 入 れ る,
b.X1,X12,X13の
い ず れ か 1つ を選 ん で モ デ ル に 入 れ る,
の 両 案 が あ りえ ま す. こ れ ま で の 説 明 の 範 囲 で い え ば,す
べ て を 取 り入 れ て 計 算 し た 上,決
定係 数 をみ て
最 終 判 断 し よ う とい う趣 旨 で,a 案 を採 用 す る こ とが まず 考 え られ ます. な お,世
帯 人 貝X3も
一 緒 に使 う場 合 と,そ れ を 考 慮 し な い 場 合 と を計 算 して い ま
す. ② 最 終 判 断 は 後 の こ とに して,a 案 を 適 用 し て み ま し ょ う.a 案 を 採 用 す れ ば, b案 の 結 果 は 部 分 モ デ ル と し て 計 算 され る結 果 と な る の で す か ら,a 案 に せ よ b案 に せ よ,と
に か く試 し て み る … そ れ で よ い の で す .
た だ し,試
して み る と い う こ とに つ い て 注 意 し ま し ょ う.「 こ う な る は ず だ 」 と い
う予 想 を も つ こ と は 大 切 で す が,予 り ま す.予
想 ⇒ 検 証 ⇒ 結 論,と
収 入 総 額,実
支 出,消
い に 対 して は,相
想 ⇒ 予 断 ⇒ 検 証 ぬ きで そ れ を 押 す … こ れ は 困
い う運 び を し ま し ょ う.
費 支 出 総 額 の 3つ の う ち ど れ が 最 も説 明 力 が 高 い か と い う問
関 係 数 の 数 値 だ け で な く,そ れ ぞ れ の 項 目 の 定 義 を 調 べ,そ
の 意味
上 の ち が い を把 握 し な け れ ば な り ませ ん. 収 入 総 額 と支 出総 額 とは 一 致 し ます(そ う定 義 され て い る).支 投 資 な ど を除 い た部 分 が 実 支 出 で す.実 い ま す.非
消 費 支 出 に含 ま れ る もの は,税
こ う い う意 味 の ち が い と と も に,い れ る こ と が 必 要 です.家
そ う し て,図 り高 い ….し を使 う方 が,決 た だ し,す ば,収
金 や 社 会 保 障 費 で す.
ま問 題 と して い る 食 費 支 出 との 関 係 も考 慮 に 入
計 で の お 金 の 流 れ で い う と 図 の よ うに な り ま す.
の 上 で近 い 位 置 に あ る変 数 間 の 相 関 は 遠 い位 置 に あ る変 数 間 の 相 関 よ た が っ て,食
費 支 出 の 分 析 で は,収
入 総 額 を 使 う よ り も消 費 支 出 総 額
定 係 数 を 高 くで き る と予 想 で き ま す. で に 指 摘 し た よ う に,そ
入 と消 費 支 出 の ち が い,た
必 要 が あ れ ば,収 か ら,そ
出 総 額 の う ち貯 蓄 や
支 出 は 消 費 支 出 と非 消 費 支 出 とに 区 分 さ れ て
れ だ け で 決 め るべ き で は あ り ませ ん.た
とえ
と え ば ロー ン 返 済 の 負 担 が ど う影 響 す るか を考 え る
入 総 額 も(あ る い は 非 消 費 支 出 も)取 り上 げ る べ き で す が,食
こ ま で 考 え る 必 要 は な さ そ うで す.
費だ
③ い ず れ に して も,計 算 で は す べ て の 変 数 を使 い ま し ょ う.以 下 の 結 果 が 得 ら れ ま す.ま
ず,3 変 数 に つ い て は,そ
の 1つ を選 ん だ 場 合 に つ い て み ま し ょ う.
Y=149.55+0.088X1
(17%)
Y=122.73+0.136X12
(34%) (37%)
Y=121.12+0.156X13
Y=12.97+0.059X1+41.61X3
Y=12.95+0.091X12+36.90X3
Y=18.82+0.103X13+35.42X3
(56%) (61.7%) (62.0%)
3つ の 変 数 の 効 果 に つ い て は 予 想 どお りX13,X12,X1の
順 に な っ て い ま す.X12と
X13の 効 果 の ち が い が 予 想 ほ ど大 き くな か っ た とい う印 象 が あ るか も し れ ま せ ん.古 い 年 次 の デ ー タ で す か ら今 の 感 触 と ち が う の か も し れ ませ ん . ④ 次 に,3 変 数 を 1つ 以 上 使 っ た場 合 の結 果 をみ ま し ょ う. 結 果 は 次 の よ う に な っ て い ます. Y=111.24+0.0467X1-0.1854X12+0.3221X13
Y=118.78+0.0138X1+0.1261X12
(40%)
-0 .0752X12+0.2364X13
Y=124.11 Y=112.95+0.0221X1
た と え ばX13ひ 加 し て も38%に が い,そ
+0.1411X13
(38.0%)
とつ を取 り上 げ た と き達 成 さ れ て い た 決 定 係 数37%が,2 な る だ け で す.X12に
れ 1つ で は 十 分 で な くX12ま
が,X1とX13を
(34%) (37.7%)
併 用 し て38%に
X13だ け に して も よ い,い
つ い て も 同様 で す.X1に た はX13を
な っ た,し
い か え れ ば,X1を
つ 目 を追
つ い て は,状
況が ち
加 え た い と い う結 果 に な っ て い ます
か し,X13だ
け に 限 っ て も37%だ
使 うか わ りにX13を
か ら
使 っ た ら ど うか と
い うこ とに な り ます. 定 義 上 ち が い が あ る に し て も,家 計 支 出 の 枠 の 大 き さ だ と い う意 味 で 3つ の う ち の 1つ を とれ ば 十 分 … こ う結 論 す れ ば よ い で し ょ う. ⑤ これ に 対 して,た
と え ばX12,X13を
使 っ た 式 を書 き換 え て
Y=124.11-0.0752(X12-X13)+0.1614X13
と し,2 番 目の 項 を “ロー ン な ど の 非 消 費 支 出 が 多 い こ とが 食 費 支 出 を お さ え る ” と い った 説 明 を し た い とい う意 見 が 出 るか も し れ ませ ん .こ
う い う結 果 の 解 釈 は 重 要 で
す が,慎
りあ え ず
重 に 考 え ま し ょ う.後 の 節 で 問 題 と し ます が,と
ロー ンが 多 い ⇒ そ の 年 齢 層 は 比 較 的 高 い ⇒ 食 費 に お 金 を か け な い と い う因 果 序 列 が 考 え られ る の で,「 年 齢 もあ わ せ て 考 え る必 要 が あ る 」こ と を 指 摘 し て お き ま し ょ う.(X12-X13)を か くな る の で,ま
ず,大
⑥ も うひ とつ,X12の
取 り上 げ る こ と を否 定 す る わ け で は な く,扱 い が 細
き い 要 因 を取 り上 げ る方 が 先 だ とい う こ とで す. 係 数 の 符 号 が正 の ケ ー ス と 負 の ケ ー ス が あ る こ と に つ い て
コ メ ン ト して お き ま し ょ う. 符 号 が 正 に な っ て い る の は,X13を
取 り 上 げ て い な い ケ ー ス で す.し
た が っ て,
X12に 含 ま れ て い る消 費 支 出 の 効 果 を わ け て計 測 して い な い た め に,非 果 と一 緒 に(混 同 さ れ て)計 測 さ れ た 結 果 に な っ て い るの で す.そ の 効 果(プ ラ ス の 効 果)の 方 が 大 き い た め,そ る と,支
出 総 額 の 効 果 と解 釈 せ ず,消
消 費支 出の効
う し て,消
費支出
の 方 の 符 号 に な っ た の で す.い
いか え
費 支 出 の 効 果 と解 釈 す べ き だ と い う こ と で す.
そ う い う ま ぎ らわ しい 説 明 が 必 要 に な る の な ら,X12を
使 わ ず,X13を
使 え … その 方
が よ い で し ょ う.
3.5 説明変数の細分 ① 説 明 変 数 の 取 り上 げ 方 に つ い て,説 世 帯 人 員(X3)を
明 をつ づ け ま し ょ う.
す で に 取 り上 げ て い ま す が,伸
び ざか りの 子 供 と,食 べ る の を お
さ え て い る 大 人 と を一 緒 に 扱 っ て よ い で し ょ うか. デ ー タ フ ァ イ ル に は,世
帯 人 員(X3)を
て カ ウ ン トし て あ りま す か ら,試
大 人(X31),子
供(X32),乳
児(X33と
わけ
して み ま し ょ う.
この 場 合 X3=X31+X32+X33 が 成 り立 っ て い る こ とに 注 意 し ま し ょ う.定 義 上 そ う な っ て い る の で す.も
ち ろ ん,
実 際 の デ ー タ で も そ うな っ て い ます. この こ と が 分 析 を進 め る上 で 重 要 な 注 意 点 な の で す が,と
りあ え ず そ の こ と を無 視
して Y=A+BX3+CX31+DX32+EX33 を あ て は め て み ま し ょ う.使
うプ ロ グ ラ ム に よ っ て 多分 ち が う で し ょ うが,た
とえば
次 の よ う な結 果 が 得 ら れ ま す.
(3147)
Y=44.96+45.60X1
(3096) (3005)
Y=33.88+40.80X1+11.75X31 Y=42.786+28.076X3+22.001X31+15.601X32
(3005)
Y=42.786-21.524X3+71.601X31+65.201X32+49.600X33 変 数 をX3,X31,X32,X33の
順 に 指 定 し,X32ま
で を 含 め た 部 分 モ デ ル の 結 果 と,最
後 ま で 含 め た フ ル モ デ ル の 結 果 を 示 し て い ま す. 4 番 目 の 変 数X33を ま せ ん.ま す.こ ②
た,正
つ け 加 え た 場 合,残
差 が そ の 前 の 状 態 に お け る 値 とか わ っ て い
で あ る と 予 想 さ れ る 世 帯 人 貝X3の
の よ う な 予 想 に 反 す る 結 果 が み ら れ ま す.な 説 明 を つ づ け る 前 に,説
係 数 が マ イナ ス とな って い ま ぜ で し ょ う か.
明 変 数 をX31,X32,X33,X3の
順 に 取 り上 げ た と き の 結
果 も 示 し て お き ま し ょ う. Y=94.123
+50.610X31
(4554)
Y=70.855
+46.150X31+36.567X32
(3273)
Y=42.786
+50.077X31+43.677X32+28.077X33
(3005)
Y=42.786-16.000X3+66.077X32+59.677X32+44.076X33 で す.最
後 ま で 進 め た と きの 結 果 は,説
(3005)
明 変 数 の 順 序 に か か わ らず 一 致 す る は ず で す
(こ れ まで の 例 示 は す べ て そ うな っ て い ま し た)が,こ
の 例 で は 一 致 し て い ませ ん.
③ この こ と も含 め て,な ぜ こ うい う状 態 に な っ た か を考 え ま し ょ う. 問 題 の 原 因 は,モ で す.い
デ ル に 含 め た変 数 の 間 に,前
掲 の よ うな 恒 等 関 係 が 存 在 す る た め
い か え る と,4 つ の 変 数 の どれ か 3つ を 取 り込 ん だ 段 階 で 4つ 目の 変 数 は,
不 必 要 と な っ て い る の で す.た
と え ば 恒 等 式X3=X31+X32+X33をX3に
代 入す る
と,4 番 目の 式 が 3番 目の 式 と一 致 す る こ と を 確 認 して く だ さ い.4 番 目 の 式 の 説 明 変 数 は事 実 上 3つ だ と い うべ き です. それ に もか か わ らず 計 算 を 続 行 す る と,数 学 的 に は 「計 算 の 続 行 不 能 」 と な る は ず で す(数 学 的 に は 0で の 割 り算 が 起 き る). は っ き りそ うな れ ば 事態 が わ か るの で す が,都
合 が 悪 い こ とに,コ
ン ピ ュー タ は 計
算 誤 差 を もつ た め,「 続 行 不 能 」 と な ら ず 「計 算 を 進 行 し て し ま う」の で す.そ て,計
算 誤 差 が 大 き くひ び い て,た
を出 した りす る の で す.ま
うし
と え ば プ ラ ス で あ るべ き とこ ろ に マ イナ ス の 答 え
た,事 実 上 同 じだ が 外 見 上 異 な る よ うに み え る結 果 が 出 力
さ れ る の で す. ◇ 注 説 明 変数 の 間 に例 示 の よ うな恒 等式 が 成 り立 って い る ときの 対処 を組 み 込 ん で い な い プ ロ グ ラム が あ る よ うです. 気 を つ け て 結 果 を み れ ば わ か る こ と で す が,計
算 機 は 正 し い 答 え を 出 す も の と思 い
こ ん で い る と見 逃 す か も しれ ませ ん. 説 明 変 数 を選 ぶ と き に恒 等 関 係 に あ る こ と に 気 づ くは ず で す か ら,モ
デル に含め な
い よ うに し ま し ょ う. こ の 例 で い え ば,X3の
か わ り に(X3を
除 い て),そ
の 内 訳 で あ るX31,X32,X33を
使 っ た と き は 問題 は起 こ りませ ん で し た が,X3=X31+X32+X33の た か らで す.た
タで は恒 等 式 に な っ て お らず,問 ④ ま た,恒
関 係 が恒 等 式 だ っ
だ し,定 義 上 そ う で あ っ て も,観 察 値 で は 観 察 エ ラー が あ っ て,デ
ー
題 を起 こ す 可 能 性 が あ りま す.
等 関 係 が な い の に か か わ らず,同
じ よ う な こ と が 発 生 す る可 能 性 が あ
り ます. X3=X31+X32+X33の
よ う な 関係 が 正 確 に は 成 り立 っ て い な くて も,恒 等 式 に 近 い
形 の 関 係 で あ れ ば,例
示 の 場 合 と 同 じ よ うに 計 算 誤 差 が 大 き くな っ て,異
常 な結果 に
な る可 能 性 が あ る の で す. た と え ば,食
費 Y と収 入 X の 関 係 をみ る 問 題 に お い て,X
数 Z(相 関 係 数0.9998を
もつ 仮 想 デ ー タ)が あ る と き,説
と高 い相 関 を もつ変
明 変 数 と し て X,Z を 同 時
に 取 り上 げ て み ま し ょ う.次 の 結 果 が 得 られ ま す.
モ デ ル12
モ デ ル 1 Y=149.55+0.0882X
Y=148.46+0.7427X-0.6529Z
残 差 分 散 5017 残 差 分 散 5041
モ デ ル 2 Y=149.94
+0.08772Z
残 差 分 散 5047
X,Z は ほ とん ど 1に 近 い 相 関 関 係 を も ち ます か ら,モ デ ル 1と モ デ ル 2が ほ と ん ど 一 致 す る の は 当 然 です.と
こ ろ が,
両 方 を使 う と X の 係 数 も Z の 係 数 も著 し くか わ っ て し ま う
の で す. こ うい う状 態 を 「多重 共 線 性 」 と よ び ま す. 特 に 時 系 列 デ ー タ を扱 う場 合 に起 こ る こ との 多 い状 態 で す が,そ
れ以外 の場 合 もた
く さん の 説 明 変 数 を整 理 せ ず に 取 り上 げ る と起 こ りえ ます. ⑤ 多 重 共 線 性 は,あ ず で す が,客 VIF(分
らか じめ 基 礎 デ ー タ を み て い れ ば,た
い て い は避 け られ る は
観 的 な 判 断 用 の 指 標 が い くつ か 提 唱 さ れ て い ます.そ
の ひ とつ が,次
の
散 拡 大 要 因)で す.
こ れ は,説
明 変 数 の 相 関 行 列RJKの
逆 行 列RJKの
対 角 要 素 で す.こ
表 わ し,変 数XJを
それ以 外の 説 明変数 に よ って説明 す る回帰式
の 決 定 係 数 をRJ2と
か くと
れ をVIFJ,と
と な り ま す. した が っ て,VIFJが ち,「Xjを
大 き い こ とは,R2が
1に近 い こ と に 対 応 し て い ま す.す
他 の 説 明 変 数 とお き か え う る 度 合 い が 高 い 」こ と を 意 味 し ます.た
VIFJ が20以
上 の と き(決 定 係 数 が0.95以
上 の と き)は,多
なわ とえば
重 共 線 性 に 注 意 せ よ と指
摘 す る の で す. 前 掲 の 仮 想例 で は,VIF2が5000と
い う極 端 に 大 き い値 に な り ます.
実 例 で は こ こ ま で 大 き い ケ ー ス は まず 起 こ ら な い で し ょ うが,こ 上 げ て い る例(図3.1.2の
VIF4=33,
れ まで の節 で取 り
5変 数 を取 り上 げ た場 合)で は VIF5=30
と な り ます. し た が っ て,VIF基 取 り上 げ れ ば,他
準 で は 「変 数 4(実支 出)と 5(消費 支 出 総 額)の い ず れ か 一 方 を
方 は 避 け よ」 とい う こ とに な り ます が,現
方 を取 り上 げ た い … そ う して も よ い の で す が,計
象 を説 明す るため に は両
算 誤 差 な ど に 注 意 しま し ょ う.
◇ 注 一 群 の 説 明変 数 の共 通 部 分 を代 表 す る主 成 分 ス コア を誘 導 し,そ れ を説 明 変 数 とす る … こ うい う扱 いが考 え られ ます.多 重 共線 性 を避 け られ る とい うこ とだ け で な く,説 明 変 数群 を概 念整 理 した上 各 成分 を代 表 す る新 説 明変 数 を使 う とい う考 え方 です.
3.6 質 的 変数 の 扱 い(数 量 化) ① 前節 の分析 で世 帯 人員の効 果 を大 人,子 供,乳 児 とわけ て計測 し,
Y=42.786+50.077X31+43.677X32+28.077X33
が 得 ら れ ま し た. この 結 果 は,同
じ 1人 で も
大 人 は50.077千
円
子 供 は43.677千
円
乳 児 は28.077千
円
と み れ ば よ い と い う こ と です.ま
た,こ
れ らの 数 値 の 比 を使 っ て,食
費支 出 を計 測 す
る とい う観 点 か ら 大 人 1人 に 対 して,子
供 は0.87人,乳
児 は0.56人
の割合 で換 算
す るの だ と解 釈 す る こ とが で き ま す. こ の 考 え 方 は,「 食 費 支 出 の 変 動 を 説 明 す る 」 とい う分 析 意 図 に 応 じ て,そ に 適 し た 数 値,す
な わ ち,「 大 人 1人 に 対 し て,子
の意図
供 あ る い は 乳 児 l人 は 何 人 分 に あ
た る か 」 と い う数 値 を誘 導 す るの だ と考 え れ ば よ い の で す. 基 礎 デ ー タ が 数 量 で表 現 さ れ て い な い と き に そ れ を 数 量 的 分 析 の 枠 内 に 取 り込 む た め に 適 用 され る こ とが 多 い の で す が,基
礎 デ ー タ が 数 量 で 表 現 さ れ て い る場 合 に も,
分 析 意 図 に 応 じた 新 し い 数 量 評 価 値 に お きか え る た め に も適 用 で き ます. ② こ れ は,「 数 量 化 の 方 法 」 と よば れ る一 群 の 手 法 の 考 え 方 で す. こ の テ キ ス トで 扱 っ て い る 回 帰 分 析 も,被 説 明 変 数 の 観 察 値 の か わ りに,説
明変数
を使 っ て 説 明 で き る 推 定 値 を求 め る の で す が, 各 説 明 変 数 の 値 を"説 明 変 数 値 ×回 帰 係 数"と お きか え る もの と考 え れ ば,数 そ の場 合 に,被
量 化 の 手 法 の ひ とつ と 了解 で き ま す.
説 明 変 数 の 観 察 値 を参 照 し ま す か ら,「 外 的 基 準 が 与 え ら れ て い る
場 合 の 数 量 化 の 方 法 」と よ ば れ ます. ③ 食 費支 出 の 分 析 に お け る世 帯 人 員 の 情 報 の 扱 い に 関 して,ひ
き つづ い て 考 え て
い き ま し ょ う. 同 じ 1人 で も,2 人 世 帯 の メ ンバ ー の 1人 と 4人世 帯 の メ ンバ ー の 1人 とは ち が う だ ろ う,そ の ち が い が 食 費 の世 帯 間 格 差 に 影 響 して い る 可 能 性 が あ る,そ
れ を把 握 し
よ う と い う問 題 意 識 で す. こ の 観 点 に た つ と, 世 帯 人 員 の 情 報 を,数 量 と して 扱 うの で な く 質 的 情 報 とみ な して 分 析 対 象 に 取 り入 れ る こ と を 意 味 し ます.①
で み た よ うに,分
析 結 果 と し て,食
費支 出 に何 人分 の影 響 を
も た らす か を 計 測 し て,結 果 と して 数 量 を導 入 す る こ と に な り ま す が,4 人 は 2人 の 2倍 と い っ た数 量 的 な 関係 を考 慮 せ ず に 使 うの で す か ら,質
的 情 報 と同 じ扱 い と な る
の で す. ④ 質 的 な情 報 を 分 析 に 取 り入 れ る基 本 的 な 手 順 は,そ
の 情 報 に よ っ て観 察 単位 を
区 分 して み る こ と で す. 世 帯 人 貝 を 2∼ 3人,4 人,5 人 以 上 に 3区 分 して(こ う 区 分 す る と世 帯 数 が ほ ぼ 1/ 3ず つ に な る),そ
れ ぞ れ の 区 分 で,食
費 Y と収 入 総 額X1の
関係 を求 め る と次 の結
果 が 得 られ ます. Y=127.20+0.0675X1
for X3=2or3
Y=159.58+0.0618X1
for X3=4
Y=250.83+0.0503X1
for X3=5or6or7
R2=49%
X1の 係 数 が 所 得 の 効 果 で あ り,世 帯 人 員 の 効 果 は,定
数 項1.272,1.596,2.508
に よ っ て 計 測 され て い るの で す. 世 帯 人 員 の 効 果 を も っ と精 密 に 計 測 した け れ ば,区
分 を細 か くす れ ば よ い の で す.
2人,3 人,4 人,5 人,6 人 以 上 と 5区 分 に して み ま し ょ う.
Y=160.51-0.0211X1
for X3=2
Y=
for X3=3
Y=159.58+0.0618X1
for X3=4
Y=259.02+0.0209X1
for X3=5
Y=206.83+0.1526X1
for
80.21+0.1635X1
R2=68%
X3=6or7
世 帯 人 貝 3,4,5 の 区 分 に つ い て は 受 け 入 れ う る 結 果 に な っ て い ま す が,世
帯人貝 2
の 区 分 で は世 帯 数 が 9,世 帯 人 貝 6以 上 の 区 分 で は 世 帯 数 が 5 で す か ら,十
分 な精 度
を もつ と は い え ませ ん. デ ー タ総 数 が68と
少 な い 場 合 に は,区
分 す る こ と で 計 測 値 の 精 度 が 悪 く な る可 能
性 が あ り ます. ⑤ ま た,わ け て 計 測 して もた い し て か わ ら な い な ら,説 ま た,わ け て 扱 う に し て も,あ この 例 で は,た
明 を簡 単 化 で き ま す.
る 条 件 をつ け て 扱 う方 法 が 考 え られ ま す.
とえ ば 3区 分 した 計 測 値 で み る と,X1の
係 数 は ど の 区 分 で もほ ぼ
そろ ってい るので 区 分 1で は Y=A1+BX1 区 分 2で は Y=A2+BX1
(1)
区 分 3で は Y=A3+BX1 の 形 の モ デ ル を 想 定 し て 計 測 す る こ とに し ま し ょ う.各 区 分 ご とに わ け て 扱 うが,係 数 B は ど の 区 分 で も同 じだ とい う条 件 をつ け る こ と を 意 味 し ます. こ うい う扱 い を す る場 合 の 定 石 は,ダ す べ て の 区 分 に 対 す る計 算 を,形
式 上,一
ミー 変 数 と よ ば れ る特 殊 の 変 数 を 定 義 して, 本 化 す る 方 法 で す.
こ の例 に つ い て い う と
の よ うに 定 義 し ま す.い
わ ば 「区 分 K に 属 す る か 否 か とい う定 性 的 情 報 の 身 が わ り」
に 使 う変 数 に な っ て い る の で,ダ
ミー 変 数 と よ び ま す.
値 は 1か 0か と い う意 味 で特 殊 で す が,回
帰 分 析 の 計 算 は 一 般 の 変 数 と同 じ扱 い が
で き ます. こ れ ら を使 っ て
Y=A1Z1+A2Z2+A3Z3+BX1
(2)
と 表 わ す と,こ れ が(1)式 と 同 等 に な っ て い ま す.た く と(1)式 の 第 1式 に な り,Z1=0,Z2=1,Z3=0と
と え ばZ1=1,Z2=0,Z3=0と
お
お くと 第 2式 に な り ま す.
こ う して,3 つ の 式 を 1つ の 式 の 形 に 表 現 で き ま した. た だ し,回 帰 分 析 の 計 算 で は,モ
デ ル に 定 数 項 が 含 まれ て い る 場 合 を想 定 して 進 め
る よ うに な っ て い ます か ら,恒 等 式Z1+Z2+Z3=1を
使 っ て(Z3を
消 去 して)
Y=A3+(A1-A3)Z1+(A2-A3)Z2+BX1 と書 き換 え た(3)式 に つ い て 計 算 し ます.こ
(3)
うす る こ とに よ っ て,
Y=A+BX1+CZ1+DZ2
(4)
の 係 数 A,B,C,D が 得 られ ます か ら,(3)式 の 係 数A1,A2,A3,B 式 の 形,あ
に お き か え て,(2)
る い は(1)式 の 形 に 表 わ す こ とが で き ます.
⑥ 計 算 結 果 は 次 の よ うに な り ま す.
Y=132.70Z1 +161.08Z2
R2=31.33%
+241.90Z3+0.0599X1
2∼ 3人 世 帯 と 4人 世 帯 の 係 数 が 近 く,5 人 以 上 の世 帯 で の 係 数 は 大 き く離 れ て い ま す.同
じ く 1人 と い っ て も,大
人,子
供,乳
幼 児 で ち が う と い う計 算 結 果(63ベ
ー
ジ)に 対 応 して い る こ とが わ か り ます. ⑦ 世 帯 人 貝X2と
Y の 関 係 を み る と い う意 味 で は,世
帯 人 員 区 分 を も っ と細 か
くす る 方 が よ い で し ょ う.2 人,3 人,4 人,5 人,6 人 以 上 と 5区 分 に し て 計 算 す る と,次
の 結 果 が 得 られ ま す. Y=92.88Z1 +148.68Z2 +158.19Z3 +219.47Z4 +291.81Z5+0.0599X1
R2=58%
3人 以 下 と一 括 し て あ っ た 部 分 を わ け た こ と に よ り,「 3人 世 帯 と 4人 世 帯 の 係 数 が 近 く,2 人 世 帯 と 3人 世 帯 の 係 数 は 離 れ て い る」 こ と が よ み と れ る よ う に な り ま し た. こ の よ うに 「よ り くわ し い 説 明 に つ な が る」反 面,各
区 分 に 属 す る世 帯 数 が 少 な く
な る た め,「 推 定 精 度 が 低 下 す る 」こ と が 問 題 と な り ま す.し
た が っ て,ど
細 か くで き る とは 限 り ませ ん. ⑧ 世 帯 人 貝 を 数 量 扱 い し た と き の 結 果 と 比 べ て お き ま し ょ う. 57ぺ ー ジ に,世
帯 人 員 と収 入 を使 っ た モ デ ル に つ い て
こ まで も
Y=12.97+41.61X3+0.059X1, が 得 られ て い ます.こ
R2=56%
れ に よ っ て 計 算 す る と,Z の 係 数 は
世 帯 人 員 2に 対 して96(93) 3に 対 して138(149) 4に 対 して179(158) 5に 対 して222(219) 6に 対 して263(292) と な り ま す.区
分 別 に わ け て 計 算 し た値(括 弧 書 き し た 値)と 比 べ る こ と に よ っ て,
世 帯 人 員 を 「1人 は 1人 」と い う仮 定 を外 し て 「同 じ 1人 で も効 果 が 異 な る 」こ と を よ め る よ う に な っ た の で す. こ の こ と を考 え て,世
帯 人 貝 の情 報 を 「区 分 け の 基 礎 と して 使 う」か,「 数 量 デ ー タ
と して 使 う」か を決 め ま し ょ う.決 定 係 数 で は わ ず か な 増 加 で し た か ら,結 果 の 解 釈 が 難 しけ れ ば,世
帯 人 貝 を数 量 扱 い し た 結 果 の 方 を採 用 し て お く と い う い わ ば 無 難 な
選 択 もあ りえ ま す.結
果 の 解 釈 が 可 能 とみ ら れ れ ば,決
定 係 数 の 増 加 は わ ず か で も区
分 け す る扱 い を採 用 し ま し ょ う. 説 明変 数 の 扱 い 方 に 関 す るガ イ ド 説 明 変 数 の 数 と種 類 は 同 じで も,そ の 扱 い 方 に よ っ て,決 改 善 さ れ る.た
と え ば,
a.変 数 の 定 義 を考 慮 して 細 分 す る, b.変 数 変 換 を 適 用 して,直
3.5節
線 と い う限 定 を 落 と し
て み る,
定 係数 は
3.3節
c.変 数 値 を い くつ か の 階 級 区 分 に わ け,区
分ごと
に 異 な る関 係 を 想 定 す る, d.c に お い て,各
3.6節
区 分 で の 関 係 に 関 して あ る 条 件
を 想 定 し て 扱 う.
3.7節
これ らの 扱 い を適 用 す る と きに は,
決 定 係 数 だ け で な く,各 説 明 変 数 の 意 味 を考 え る こ と
が 必 要 で あ る.
3.7 数量 デ ー タ の 再表 現(数量 化) ① 3.3節 の 図3.3.2を Y(=食
費 支 出)とX(=収
再 掲 し ま し ょ う(図3.7.1). 入 総 額)の 関 係 を表 わ す 傾 向 線 と して,直
線 を 想 定 した
場 合 と,放 物 線 を想 定 した と場 合 と を 比 較 した も の で す. こ の例 で は,放 し た.
物 線 とい う想 定 が 妥 当 だ っ た た め,次
の よ う に 適 合 度 が 改 善 され ま
図3.7.1
食 費 支 出 と収 入 の 関 係(2 種 の傾 向 線)
Y=149.55+0.0882X,
残 差 分 散=5041(17.3%)
Y=117.38+0.1660X-0.3884X2,
残 差 分 散=4982(18.2%)
しか し,い つ も そ うだ と は 限 り ませ ん.関 数 形 の 想 定 が 不 適 当 だ と,か
えっ て悪 く
な る こ と が あ りえ ま す. た と え ば,
Y=190.02+0.3901X2,残
差 分 散=5216(14.5%)
と な り ます.X2を
使 っ て い ま す か ら放 物 線 に は ち が い あ り ませ ん が,1 次 の 項 を も
た な い 形(X=0の
とこ ろ で 水 平 に な る 形)を 想 定 して い る た め に 適 合 度 が 悪 く な っ た
の で す. ま た,「 所 得 の 増 加 に 対 応 す る 食 費 増 加 」が 逓 減 す る と予 想 さ れ る と こ ろ が,逓
増
す る とい う結 果 に な っ て い る こ と も問 題 です. ② 基 本 的 に は,ど
ん な 関 数 形 を想 定 す る か は 簡 単 に は 扱 え な い 問 題 で す.
直 線 とい う範 囲 か ら ふ み だ そ う とす る と き,「 直 線,次
は,放
物 線 」 と い うの は 多
くの 可 能 性 の うち の ひ とつ に 過 ぎ ませ ん. した が っ て,関 数 の 形 を特 定 した モ デ ル を 想 定 す る か わ りに
い くつ か の 区 間 を想 定 して 各 区 間 ご と に別 々 の 直 線 を定 め る
こ と が考 え られ ます. ③ 以 下 で は 例 示 と し て,値 して 説 明 し ます.も は,そ
域 を 四 分 位 値Q1,Q2,Q3に
よ って,4 区 分 す る もの と
っ と細 か く区 分 す る 場 合 も同 様 に 扱 う こ とが で き ます が,こ
こで
う特 定 して お き ます(注).
したが って 区 間1(-∞∼Q1)に
お いて
区 間2(Q1∼Q2)に
お いて
区 間3(Q2∼Q3)に
お いて
Y=A1+B1X Y=A2+B2X Y=A3+B3X
(5)
区 間4(Q3∼
∞) に お い て
を想 定 す る の で す が,基
Y=A4+B4X
礎 デ ー タ は 連 続 性 を も っ て い ます か ら,区
間 ご とに 直 線 の 位
置 と傾 斜 を か え るに して も,
区 切 り点 で は つ な が る
と い う条 件 を つ け ま し ょ う. す な わ ち,(5)式 に 示 す モ デ ル を, 条 件 A1+B1Q1=A2+B2Q1 条 件 A2+B2Q2=A3+B3Q2
(6)
条 件 A3+B3Q3=A4+B4Q3 をつ け て 扱 うこ とを 意 味 し ま す. こ の 扱 い は,「 折 れ 線 」を想 定 す る こ と に あ た り ま す.区 分 精 密 に,デ
ー タ の傾 向 を くみ と る傾 向 線 が 得 られ ま す.し
関 数 形 を特 定 せ ず に,観
切 り方 を細 か くす る と十 た が っ て,
察値 の示す傾 向性 を要約 す る
とい う観 点 で 採 用 し う る 方 向 で す. ④ この よ う な形 の傾 向 線 を 定 め る こ とは,前
節 と同 様, ダ ミー 変 数 を使 っ て 回 帰
分 析 を適 用 す る こ と と一 致 し ま す. た だ し,こ の 場 合 の ダ ミー 変 数 は,次
直 線Z=Xを
の よ うに,
分 解 した 4つ の 折 れ 線 を 表 わ す も の
義 さ れ ます.
D1(X)=X
D3(X)=0
D2(X)=0
D4(X)=0
for区 間 1
=Q1
=X-Q1
=0
=0
for区 間 2
=Q1
=Q2-Q1
=X-Q2
=0
for区 間 3
=Q1
=Q2一Q1
=Q3-Q2
=X-Q3
for区
こ れ らの ダ ミー 変 数 の 定 義 と 意 味 は,次
ペ ー ジ の 図3.7.2を
間 4
参 照 して 説 明 で き ま
す. ◇ 注 「関 数 形 を特 定せ ず に扱 え る」だ け で な く,区 間 の 定 め 方 で も自由 度 が 大 き くな り ます が,実 際 の 問題 へ の適 用 で は,区 間 の区 切り 点 を,た とえば 現 象に 変 化 が 生 じた と予 想 され る点 と して定 め るの が普 通 です.関 数 形 す な わ ち傾 向 を 表 わ す モ デ ル,区 切 り点 す な わ ち傾 向 が か わ った点 とい う観 点 を採 用 す るの です. 図3.7.2(a)は,f(X)=Xす
な わ ち,基
礎 デ ー タ そ の もの を 使 う 形 に な っ て い ま
す. こ の 図 に お い て,X=Q1,X=Q2,X=Q3の 線 を 4本 え が き ま す.そ
と こ ろ で 区 切 っ て,破
れ ら の 折 れ 線 を 別 々 に わ け て,図3.7.2(b)の
関 数D1(X),D2(X),D3(X),D4(X)を
線 の よ う な折 れ よ う に 4つ の
え が く と,
f(X)=D1(X)+D2(X)+D3(X)+D4(X) と な っ て い ま す.い D2(X),D3(X),D4(X)を
い か え る と,1
つ の 変 数 X の か わ り に,4
使 う も の と し て よ い こ と を 意 味 し ま す.
つ の 変数D1(X),
問 題 は,そ
うす る こ との 効 用 で す.そ
任 意 の 定 数C1,C2,C3,C4を
れ は…
図3.7.2
使 っ た線 形 結 合
g(X)=C1×D1(X)+C2×D2(X)+C3×D3(X) +C4×D4(X)
に よ って,任
意 の 折 れ 線 を 表 わ す こ とが で き る か ら で
す. ◇ 注 X をg(X)に
対 応 させ る関 数 を スプ ラ イ ン関 数
と よび ます. し た が っ て,ダ D4(X)を
ミー 変数D1(X),D2(X),D3(X),
結 合 す る 係 数 を 適 当 に 選 ぶ こ と に よ っ て,
基礎 デ ー タ との 差 の 分 散 を最 小 に す る折 れ 線 を定 め る こ と が で き ます. す な わ ち,回
帰 分 析 を適 用 し て最 適 な折 れ 線 を 見 出
す こ とが で き ま す. 区 切 り方(区 切 り の 位 置 と 数)を 特 定 し て 説 明 し ま し た が,区
切 り方 もか え る も の と し て 一 般 化 で き ま
す. ま た, 観 察 値 の K 分 位 値 を使 っ て K 区 分 とす る とい う形 に 限 定 す る扱 い 方 も考 え ら れ ます. ⑤ ① に あ げ た デ ー タ に つ い て,四 切 っ て折 れ 線 を定 め る と,次
分 位値 で 区
の 結 果 が 得 られ ま す.
Y=130.93+0.1193D1(X) +0.1501D2(X)
図3.7.3
食 費 支 出 と収 入 の 関 係(値 域 区分 ご とに定 め た 傾 向 線)
ダ ミー 変 数
+0.0328D3(X) +0.0883D4(X) 残 差 分 散=0.501,決 図3.7.3は
定 係 数=17.8%
この 折 れ 線 を図 示 した も の で す.図3.7.1と
比 べ て くだ さ い.
収 入 X との 関 係 を 直 線 と し た場 合 の 決 定 係 数 は17.3%で の 決 定 係 数 は18.2%で
あ り,放 物 線 と し た 場 合
す か ら,わ ず か な ちが い で す.
決 定 係 数 で み た 差 は わ ず か で す か ら,説 明 の 仕 方 を考 え て 選 び ま し ょ う. た とえ ば
直 線 で よ し と し て,直 線 を選 ぶ
両 端 で の傾 向 を重 視 し て 放 物 線 を 選 ぶ
中 央 付 近 で の 傾 向 を重 視 し て 折 れ 線 を 選 ぶ
とい っ た 選 択 で す.
問題 3
【説 明 変 数 の選 択 】 間 1 (1) 食 費 支 出 の 世 帯 間 差 異 を 説 明 す る 8 とお りの モ デ ル(3.1節
の ① に 示す も
の)の 計 算 結 果 を確 認 せ よ. UEDAの
プ ロ グ ラ ムREGO3と,セ
フ ァ イ ルDH10V)を
ッ ト し て あ る デ ー タ 例(ま た は デ ー タ
使 っ て 計 算 で き る は ず で あ る が, REGO3を
使 う回数 を減
ら す こ と を 考 え よ. (2) 食 費 支 出 の か わ りに 雑 費 支 出 を使 っ て,(1)と 3.1.1の
同 じ計 算 をせ よ.結
果は図
形 式 に ま とめ よ.
注 1:問 1∼9に つ いて は,付 表 B(フ ァ イルDH10)の
デ ー タ を使 い ます が,各 問 で
使 うため に 記録 形 式 をか え た り,デ ー タ をつ け加 え た り した フ ァ イル を用 意 して あ ります か ら,各 問 で指 定 した デー タフ ァ イル を使 っ て くだ さい.
注 2:デ ー タ フ ァイ ル では,デ ー タの 小数 点 の位 置 をか え た もの もあ りま す.し た が つ て,本 文 の 結 果 と比 べ る場 合,小 数 点 の位 置 が ず れ て い る こ とが あ りえ ま す.
注 3:こ の 後 の章 の 問題 で も同 じよ うな こ とが あ りえ ます.7 ペ ー ジの 「 問題につ い て」を参 照 して くだ さ い.
問 2 (1) 図3.1.2が
得 ら れ る こ と を確 認 せ よ.
問 1(1)と同 じプ ロ グ ラ ム,同 るが,REGO4を
じデ ー タ フ ァ イ ル を使 っ て 計 算 で き る は ず で あ
使 え.
(2) 食 費 支 出 の か わ りに 雑 費 支 出 を 使 っ て,(1)と 3.1.2の
同 じ計 算 を せ よ.結 果 は 図
形 式 に ま とめ よ.
問 3 (1) 図3.1.3が
得 られ る こ と を確 認 せ よ.
問 2(1)と同 じ プ ロ グ ラム とデ ー タ フ ァ イ ル を使 っ て 計 算 で き る は ず で あ る. (2) 食 費 支 出 の か わ りに 雑 費 支 出 を 使 っ て,(1)と 3.1.3の
同 じ計 算 をせ よ.結
果は図
形 式 に ま とめ よ.
問 4 (1) 図3.1.2で
は 取 り上 げ た 5つ の 変 数 の す べ て を 計 算 し て い な い.5 つ の 変
数 の あ ら ゆ る組 み 合 わ せ に つ い て 計 算 し,そ の 結 果 を 図3.1.2に 変 数 の 数 を 1 と し た 範 囲 でベ ス トな 場 合,変 な 場 合,変
書 き足 せ.
数 の 数 を 2 と した 範 囲 で ベ ス ト
数 の 数 を 3と し た 範 囲 で ベ ス トな 場 合 な どが,図3.1.2の
ま れ て い る こ と を確 認 せ よ.
範 囲に含
(2) 食 費 支 出 の か わ りに 雑 費 支 出 を 使 っ て,(1)と 同 じ こ と を確 認 せ よ. 間 5 (1) 図3.2.1が
得 られ る こ と を確 認 せ よ.こ
帯 の デ ー タか ら,デ ー タ 番 号60の で,そ
の 図 で は,問
デ ー タ を除 い た もの を使 っ て 計 算 し て い る の
うす る た め の 手 順 を 経 る こ と が 必 要 で あ る.そ
ペ ー ジ)で 説 明 し たDATAEDITを
2(1)で使 っ た68世
使 うの で,そ
の た め に は,問
題 2(45
こ を 参 照 す る こ と.
(2) 食 費 支 出 の か わ りに 雑 費 支 出 を使 っ て,(1)と 同 じ計 算 を せ よ.結
果は図
3.2.1の 形 式 に ま とめ よ. 【 変数 変換 】 間 6 (1) 図3.3.2が
得 ら れ る こ と を 確 認 せ よ.こ
計 算 す る こ とが 必 要 で あ る.そ 変 換 プ ロ グ ラ ムVARCONVを (2) デ ー タ番 号60を
の 計 算 に は,実
収 入X1の
2乗 を
の た め に は,次 ペ ー ジ に 注 記 す る 要 領 で,変
数
使 う こ と.
除 い て 図3.3.2を
か け.
【 質的 変数 の扱 い】 問 7 (1) 3.6節 ④ の 計 算 結 果 を確 認 せ よ.基 礎 デ ー タ を 世 帯 人 員 区 分 別 に わ け て 記 録 し た デ ー タ フ ァ イ ルDH10VSを
用 意 し て あ る の で,そ
れ を指 定 す れ ば計 算
で き るは ず で あ る. (2) デ ー タ番 号60を 問 8 (1) 3.6節 ⑥,⑦
除 い て(1)と 同 じ計 算 をせ よ.
の 計 算 結 果 を確 認 せ よ.
世 帯 人 員 区 分 に 対 応 す る ダ ミー 変 数(64ペ
し た デ ー タ フ ァ イ ルDH10VDを
ー ジ ⑤ に 示 すZ1,Z2,Z3)を
用 意 し て あ る の で,そ
記録
れ を指 定 す れ ば 計算 で
き る は ず で あ る. (2) デ ー タ番 号60を
除 い て(1)と 同 じ計 算 をせ よ.
間 9 (1) 3.7節 ⑤ の 計 算:結果 を確 認 せ よ.こ スプ ラ イ ン 関 数(68ペ タ フ ア イ ルDH11VDに (2) デ ー タ番 号60を
の 計 算 に は,世
ー ジ ④ に 示 すD1,D2,D3,D4)を
帯人員 区分 に対応 す る
使 う こ と に な る が,デ
ー
プ ロ グ ラ ムREGO8中
の
は そ れ を記 録 して あ る. 除 い て(1)と 同 じ計 算 をせ よ.
【回 帰 診 断 】 問10 (1) 表3.1.4が
得 ら れ る こ と を確 認 せ よ.UEDAの
選 択 機 能 「回 帰 診 断 」 を 使 っ て 計 算 で き る は ず で あ る.デ DH10Vを
指 定 す る こ と.
(2) 番 号60の 問11 (1) 表3.1.5が 和SSが
ータ と して は
デ ー タ を 除 い て 表3.1.4を
求 め よ.
得 られ る こ と を確 認 せ よ.問2(1)の
計 算結 果 と して残 差平 方
得 られ て い るか ら,そ れ を利 用 して 計 算 す れ ば よ い.
(2) 番 号60の
デ ー タ を 除 い て 表3.1.5を
求 め よ.
【分 析 例 】 問12 (1) 付 表Jに
示 す 「県 別 交 通 事 故 発 生 数 」の 差 異 を 分 析 せ よ.た
に 示 す 範 囲 で 適 当 な 説 明 変 数 を選 ぶ こ と.
だ し,付
表 J
(2) ( 1)の 分 析 に お い て,地
域 に よ る差 異 を 把 握 す る た め に,た
とえば大都 市
周 辺 の 県 とそ れ 以 外 の 県 を 区 別 す る ダ ミー 変 数 を 使 っ て み よ. (3) 被 説 明 変 数 を 「人 口 あ た り交 通 事 故 発 生 数 」 と し て 分 析 して み よ.こ 合,説
の場
明 変 数 の 方 も,比 率 の 形 に お きか え る こ と を考 え よ.
問13 ( 1) 図3.0.4に
お い て,番 号60の
デ ー タ が ど こ に あ る か を調 べ よ.
相 関 係 数 を 計 算 し,相 関 図 を か くプ ロ グ ラ ムRMAT01を そ の 中 に,特
用 意 し て あ る が,
定 の デ ー タの 位 置 を 調 べ る機 能 が あ る.デ ー タ フ ァ イ ルDH10A
を指 定 せ よ. (2) 番 号60の
VARCONVの
デ ー タ を 除 い て,表3.0.2を
使 い 方(1)(変
計 算 し な お せ.
数 変 換)
デ ー タ フ ァ イル に 記 録 され て い るデ ー タ に 対 し変 数 変 換 を適 用 した い と きに は,プ ロ グ ラ ムVARCONVを 使 い ます . a.VARCONVが 3)と,対
呼 び 出 さ れ る と,適 用 す る 機 能(例 示 で は 変 数 変 換 C で す か ら
象 フ ァ イ ル(例 示 で はDH10V)を
この プ ログ ラム で は,次
指 定 し ま す.
の 処 理 を行 な い ま す
A デ ー タ セ ッ トの 形 式 変 換 B 変 数 や観 察単 位 の 加 除 C 変 数 変換 A だ け を適 用 す る と き Bだ け ま たはABを
1
適 用 す る と き
2
C だ け ま た は それ 以 外 と併 用 す る と き … …3 対 象 フ ァイ ル 名 を指 定
作 業 用 フ ァイ ルWORK.DAT…
…W
例 示 用 サ ンプ ル デ ー タ
R
そ の 他 の 場 合 フ ァイ ル 名 を入 力 …
処 理 指定 文 を 用 意 して あ り ますか
DHI0V
Y/N
b.指 定 した フ ァ イ ル の 内 容 が 画 面 に 表 示 さ れ ま す か ら,↓ て,こ
N
キ イ で ス ク ロー ル さ せ
の 問 題 で 使 う変 数 「 世 帯 人 員 」が 1番 目,「 収 入 」が 2番 目,「 食 費 」が 5番 目に
記録 さ れ て い る こ と を確 認 し ま す. 最 後 ま で ス ク ロ ー ル す る と,デ ー タ の 最 後 を 示 すENDの を指 定 す る た め の キ イ ワ ー ド*USE,*DERIVE,*CONVERTが す.こ
の 部 分 に,使
う変 数,誘
指 定 文 の 入 力 要 領 はDATAEDITの
導 す る変 数,変
後 ろ に,「 変 換 ル ー ル 」 付 加 され て い ま
換 ル ー ル を挿 入 し ます .
場 合 と 同 じで す.
指 定 文 を用 意 した らEscキ
イ を お す と,次 の処 理 へ 進 み ます.
c.変 換 の た め の 計 算 が 終 わ る と,記 録 形 式 に 関 す る指 定 を し ま す. デ ー タ記 録 形 式 を指 定 す る.回
帰 分 析 で 使 う と きは V タ イ プ.
小 数 点 の 位 置 を調 整 で き る が,こ 変 換 結 果 はwork.datに
こ で は 適 用 し な い.
出 力 さ れ ます.
d.メ ニ ュー に も ど る の で,そ
れ を 使 うプ ロ グ ラ ム を 指 定 し ます.
4 回帰分 析 の 応 用
この 章 の主 題 は,回 帰 分 析 の応 用で す が,こ れ まで の 章 で扱 っ て きた "傾 向 線 を導 出す る"と い う域 か ら も う一 歩,現 象 を説 明 す る場 面 に 立 ち入 った 形の 応 用例 を扱 い ます. 求 め られ た回 帰 係数 の 情 報 を使 っ て,現 象 の変 化 の 要 因 を分 析 す る方 法,あ る い は,推 計値 や 相 関 係数 な どの計 測 値 につ い て,条 件 の ちが い に よ る影響 を補正 す る方 法 な ど を取 り上 げ ます.
4.1 被 説 明変 数 に対 す る 寄 与 度 ・寄 与 率 の 計算 ① こ の 節 で 扱 うの は,2 つ の 時 点 間 に お け るY の 変 化 に 対 し て,そ 与 す る で あ ろ う と予 想 さ れ る変 数U,V した い,そ
う い う 問 題 で す.た
が あ る と き に,U,V
と も効 い て い る …,そ
の影 響度 をわ け て計 測
と え ば,「 食 費 支 出 が 去 年 と比 べ て10%増
家 族 構 成 か ら い っ て 消 費 量 が 増 え て い る こ と もあ る が,食 れ ぞ れ の 効 果 が5%,5%だ
の変動に寄
え た 」が,
品の価格 が上 が っ てい る こ
とい っ た 計 測 を し よ う と い う 問 題
で す. 一 般 化 し て 説 明 し ま し ょ う. Y=f(U,V)だ
とす る と,Y
の 変 化⊿Yは (1)
と表 わ さ れ ます か ら,⊿YをUの
変 化 と し て 説 明 さ れ る 部 分(右 辺 の 第1 項)と,V
の 変 化 と して 説 明 さ れ る部 分(第2 項)と に わ け る こ とが で き ま す. この分解 につ い て
〓に対 す るU の寄 与度 〓に対す るV の寄 与度
と よ び ます. ま た,⊿Yに
対 す る構 成 比 に し た もの,す
なわ ち
〓 を⊿Yに 対す る U の寄 与率 〓 を⊿Yに 対す るVの
寄 与率
と よ び ます. こ う い う指 標 を使 っ て 被 説 明 変 数 の 変 動 要 因 の 効 果 を計 測 す る 分 析 が 「要 因 分 析 」 で す. ◇ 注 1 統 計 学 で は,実 験 計 画 の 立 て方 を論 ず る場 面 に 「 要 因分 析 」と よ ば れ る手 法 が あ ります が,そ れ とは ちが い ます. ◇ 注 2 基礎 の式(1)は,⊿U,⊿Vの
2乗 の項 を省略 した近 似 式 です.し
たが って,「⊿U,
⊿Vの 微 小 変 化 に 対応 す る Y の変 化 をみ る」とい う観 点 で使 い ます. ② 回 帰 式 を 求 め て あ れ ば,そ
れ に簡 単 な 計 算 をつ け 加 え るだ け で す.
求め られた 回帰 式が Y*=A+BU+CV だ と し ま し ょ う. こ の 関 係 が 考 察 範 囲 の 各 時 点 に 対 して 適 用 で き ます か ら
YT*=A+BUT+CVT
で あ り,⊿YT*=YT*-YT-1*な ⊿
ど と表 わ す と,そ れ ぞ れ の 変 数 の 変 化 に 関 して
YT*=B⊿UT+C⊿VT
と な り ま す.ま
(2)
た (3)
で す. (2)式の 各 項 が 寄 与 度,(3)式
の 各 項 が 寄 与 率 で す.
③ 例 を あ げ て お き ま し ょ う. 表4.1.1は
ビー ル の 出 荷 量 と気 温 の 関 係 をみ る た
め に取 り上 げ た デ ー タ で す.気 気 温 で す.東
表4.1.1
ビールの出荷
温は東 京の 夏の平 均
京 で の 消 費 が 多 い こ と も あ り ま す が,
気 温 の 地 域 差 が効 くほ ど精 密 な議 論 は で き ませ ん か ら,東 京 で 代 表 させ た の だ と考 え て くだ さ い.気 の ほか に,所
温.
得 水 準 の 向 上 に 応 じて 増 加 す る趨 勢 が
あ る とみ られ ます か ら,そ ④ Y を U,Vで
れ も取 り上 げ て い ま す.
説 明す る回帰式 は
Y*=-4766+5.084U+120.44V
R2=92.7%
Y:億
キ ロ リ ッ トル
U:家
計 最 終 消 費V
:東 京 の 夏 の 気 温
表4.1.2
と計 算 され ます.気
ビー ル 出 荷 量 に 対 す る要 因分 析
温 1度 の 上 昇 が178.53億
キ ロ リッ トル の 出 荷 増 に な る と い う結
果 で す. ま た,こ
れ を 使 っ て,各
年 次 の 対 前 年 変 化 に 対 す るU,V
の 寄 与 度 が 表4.1.2の
よ
う に評 価 さ れ ま す. 1976年,1980年
に 冷 夏 の 影 響 で 出 荷 が 減 っ た こ と が 確 認 で き ま す.
寄 与 率 も計 算 で き ま す が,こ
の 例 で は,⊿U,⊿Vが
正 に な っ た り負 に な っ た りす
る ため に⊿Yが
0 に近 く な る 可 能 性 が あ り ます,し
す な わ ち⊿Yに
対 す る 比 で み る こ とは 適 当 で は あ り ませ ん.寄
⑤ 別 の 例 と し て,国
の 例 で は,寄
与率
与 度 で み ま し ょ う.
内 総 生 産 Y に 対 す る 資 本 蓄 積 K と労 働 投 入 量L の 影 響 を
計 測 す る 問 題 を取 り上 げ ま し ょ う.経 済 学 で は,こ
た が っ て,こ
れ らの関係 を
Y=aKBLc
の 形(コ ブ ダ グ ラ ス モ デ ル)に 想 定 して い ま す .対 数 を と る と logY=A+BlogK+ClogL と表 わ さ れ ます か ら,こ
の 形 に して 回 帰 分 析 を 適 用 し ます.1965∼80年
の デー タ を
使 って計算 す る と
logY=-1.7138+0.4795logK+1.4708logL,
R2=0.99
が 得 ら れ ます. 寄 与 率 の 計 算 に は,Y=aKBLcか
を使 い ま す.す
ら誘 導 さ れ る関 係
なわち
の 各 項 が 寄 与 率 で す. た だ し,基 礎 式 が 近 似 式 で す か ら,K に す る た め に,分 母⊿Yの
に よ り ま す.
の 寄 与 率 とL の 寄 与 率 の 和 が 1に な る よ う
か わ りにB⊿K/K+C⊿L/Lを
使 った式
表4.1.3
国 内 総 生 産 の要 因 分 析
Y:国 内総生産(国 民経済計算年報) K:資 本蓄積(国 民経済計算年報) L:年 間労働時 間数(厚 生省)
表4.1.3が
こ の 計 算 で す.
傾 向 線 は1965∼80年
の 各 年 の 観 察 値 を 使 っ て 求 め ま し た が,寄
オ イ ル シ ョ ッ ク の 年 次 を 除 き,1965∼68,1969∼73,1976∼80の
与 率 の 計 算 で は, 3期 間 に つ い て 計
算 して い ます. 国 内 総 生 産 の 伸 び 率 に 対 して,資
本 蓄 積 の 効 果,労
働 投 入 量の効 果 が
65対35,70対30,53対47 と,オ
イ ル シ ョ ッ クの 前 後 で か わ っ て い た こ と が 計 測 さ れ ま す.
◇ 注 1 回帰 式 の係 数 は期 間 中一定 と仮 定 して 計 算 して い ます.し たが って,要 因分 析 で 検 出 され る効 果 は,説 明 変数 の 値 の ちが い に対 応 す る変 化 です.
現 象 自体 が 大 きい変 化 を示 して い る場合 に は,回 帰係 数 が 変化 して い る こ とが あ りえ ま す か ら,回 帰 式 を適 用 で きる範 囲(年 次 の 範囲)を 確 認 し,必 要 な ら,期 間 ご とに 異 な る回 帰 係数 を求 め て,回 帰 係 数 の変 化 に対 応 す る変 化 と説 明 変 数 の値 の ちが い に対 応 す る変 化 をわ け て計 測 す るこ とを考 え ます. 要 因 分析 は,そ
うい う計 測に も使 え ます.問 題 4の 問 3を参 照 して くだ さい.
◇ 注 2 寄 与 率 あ る いは 寄 与 度 に つ い て は,本 シ リー ズ 第 2巻 『統 計 学 の 論 理 』で くわ し く解 説 され て い ます.
4.2 平 均値 対 比 にお け る 混 同効 果 の 補 正 ① あ る変 数 X に よ っ て 観 察 対 象 が い くつ か の 区 分 に わ け ら れ て お り,そ れ ぞ れ の 区分 K に お い て,変 数 Y の 平 均 値YKが こ のYxに
つ い て,そ
計 算 さ れ て い る も の と し ます.
の 大 小 を 比 べ る こ とに よ っ てYに
対 す る X の 効 き方(こ の
場 合 は X の 区 分 に よ る差)の 区分 別 差 異 を 把 握 す る 問 題 が,こ こ う い う と,シ の で す が,ど
の 節 の テ ー マ で す.
ンプ ソ ン の パ ラ ドッ ク ス の 問 題 だ な と気 づ く人 が 多 くな っ て ほ し い
う で し ょ う か.
一 見 す る と簡 単 な 問題 の よ うで す が,問 題 点 に 気 づ か ず,結 こ とに な る,見 過 ご さ れ て い る こ とが 多 い 問 題 で す.
果 的 に誤読 して しま う
図4.2.1
シ ンプ ソ ンの パ ラ ドッ クス
② Y に 対 し て 別 の 変 数 Z が 効 くの に か か わ らず,そ 区分 け さ れ,平
の 影響 に関 す る配慮 な しに
均 値 が 計 算 され て い る場 合 に
区 分 間 に 差 が あ る こ とが 観 察 され た と して も そ れ が,区
分 の 基 準 とさ れ た X の ちが い に よ る もの か
区 分 に あ た っ て考 慮 され て い な い Z の ちが い に よ る もの か を判 別 で き な い こ とに な り ま す. た と え ば,賃
金 の 年 齢 別 推 移 の 男 女 差 を 比べ る と き に,女
が 多 い こ と を考 慮 に 入 れ な い と 比較 で き ませ ん か ら,た
性 の 場 合 パ ー トタ イ マ ー
とえ ば,学
校 卒 業 後 ず っ とつ
づ い て 勤 務 す る もの に 限 っ て 比 較 し ます. ま た,賃
金 水 準 の 企 業 間 格 差 を み る と き に,各 企 業 の 雇 用 者 の 年 齢 構 成 の ち が い を
考 慮 せ ず に 比 較 す る と,適 正 な 比 較 に な りませ ん. こ の よ うな 混 同 効 果 に 気 づ か ず,誤
っ た 結 論 を誘 導 し た た め に起 き る 誤 読 を 「シ ン
プ ソ ン の パ ラ ドッ ク ス 」 と よ ん で い ます. ③ こ の よ う な 場 合,Z
を 混 同 要 因,Z
の 効 果 を混 同 効 果 と よ び ま す.X
の効果
を計 測 す る た め に は Z に 関 し て 差 が な い よ うに 区分 の 仕 方 を工 夫 す る とか,そ
れが で きない な ら Z の 効 果 を 補 正 す る
こ と を考 え な け れ ば な り ませ ん. ④ 混 同 効 果 の補 正 に は さ ま ざ ま な 方 法 が あ り ます が,こ
こ で は,回
帰 式 を使 う方
法 を説 明 し ま す 。 Y に 対 す る Z の 効 果 を 表 わ す 回 帰 式Y=A+BZが 帰係
求 め ら れ て い る とす れ ば,回
B が"Z の 変 化 1単 位 に よ っ て もた ら さ れ る Y の 変 化"を 表 わ す こ とか ら,
Z に つ い て 差⊿Zが
あ っ た 場 合,そ
この 値 を差 し 引 け ば,Z
の 影 響 をB×⊿Zと
の 影 響 を補 正 で き ます.
評 価 で き ま す.し
た が っ て,
図4.2,2
表4.2.3
回 帰 式 に も とつ く混 同効 果 補正
標準化の計算例 一
平 均 値 の場 合
Z の 値 が 各 区 分 と も異 な る(ZKと す る)の で,そ とす れ ば,各
区 分 に お け るYKの
ます.す
な わ ち,
YK*=YK-B×(2K-2)
値 か らB×
の平均 値 Z 並 み に そ ろ え る もの
( ZK-Z)を
差 し引 け ば よ い こ と に な り
と して 補 正 し た値 を 比較 す るの で す. こ うい う補 正 を 要 す る場 合,YKを 図4.2.2は,以
粗 平 均 値,YK*を
標 準 化 平 均 値 と よ び ます.
上 の考 え 方 を 説 明 す る もの で す 。
この 図 を参 照 しな が ら,計 算 例 を み れ ば 計 算 手 順 を把 握 で き る で し ょ う. この 補 正 計 算 で は,同
種 の 企 業 に つ い て 求 め た 「平 均 給 与 と年 齢 の 関 係 に 関 す る 回
帰 式 」Y=90+3×(Z-40)が
求 め ら れ て い る も の と し て,そ
の 係 数3を
利 用 して い
ま す. こ の 補 正 で は 年 齢40前
後 に 注 目 して い ま す か ら,回
帰 式 も,そ の 前 後 の 年 齢 範 囲
に 適 合 す る もの で あ れ ば 十 分 と い っ て よ い で し ょ う. 精 密 に 扱 うた め に は,年
齢 区 分 別 平 均 値 を使 う方 法(注)が
採 用 さ れ ま す.
ま た,「 平 均 給 与 を比 較 す る」 と い う問 題 設 定 自体 が 問 題 と な り ま す.少
な くとも
「年 齢 と と も に ど うか わ る か 」 を比 較 した い で し ょ う. 「 平 均 給 与 を 比 較 す る」 と い う粗 い 問 題 設 定 下 で 扱 う な ら,た
とえば 「 給 与が 年 齢に
対 して 直 線 的 に か わ る」 とい う粗 い 回 帰 式 を 根 拠 とす れ ば 十 分 だ とす る の で す. ◇ 注 各 社 の雇 用 者 の年 齢 構 成 と年 齢 別平 均 値 が わ か って い る場 合 に,平 均値 を補 正 す る ため に,次 表 の よ うに,各 社 の年 齢 構 成 と して 「あ る標 準 を想定 して平 均 を計算 しな お す」
こ と が 考 え ら れ ま す.標
準 化 と い う と,こ
表4.2.4
の 方 法 を 指 し ます,
標 準 化 の 計 算例 一
各 セ ル の 数 字 は,平
構成比の場合
均 給 与 額 と人 数 の 構 成 比.
この 方 法の 詳 細 につ いて は,本 シ リー ズ第 2巻 『 統 計 学 の論 理 』を参 照 して くだ さい.
4.3 回 帰 推 定 値 に お ける 混 同 効 果 の 補 正 ① 被 説 明 変 数 Y と説 明 変 数 X の 関 係 を把 握 し た い の だ が,別
の 要 因 Z が 関係
を も っ て い る 場 合 に は(問 題 の 目的 と して 取 り上 げ られ て い な い に して も),そ れ も 説 明 変 数 に 組 み 入 れ る こ と が 必 要 で す. Z が 関 与 し て い るの に か か わ ら ず,そ
れ を無視 して求 めた 回帰式
Y=A+BX
の 係 数 B を"粗 回 帰 係 数"(Y
に 対 す る X の)と よ び ま す.Z
の効 果 が 混在 してい る
可 能 性 の あ る 粗 い 回 帰 係 数 だ とい う趣 旨 の 呼 び 名 で す. こ れ に 対 し,Z
を含 め た場 合 の 回 帰 式
Y=A+BX+CZ
の 係 数 B は,"偏
回帰 係 数"(Y
に 対 す る X の)と よば れ ま す.Z
の 効 果 を補 正 し た,
い い か え る と,
Z が 一 定 だ と い う条 件 下 で 求 め た もの
とい う趣 旨 の 呼 称 で す.偏 微 分 を連 想 し て く だ さ い. た だ し,推 定 値 Y に つ い て は,X
の 影 響 と Z の 影 響 が 重 な っ て い る こ とに 注 意
し ま し ょ う. ② Z を含 め て Y の変 動 を分 析 し た い か ら そ う した の で す.し の は Y と X の 関 係 だ … そ の 場 合 は,Y の"に 改 め て お き ま す. そ の た め に は,求 Yn=A+BXn+CZn
め られた 回帰式
か し,議 論 した い
の 推 定 値 自 体 を"Z の 影 響 を 補 正 し た も
表4.3.1
に お け る 変 数 Z に,あ
ビー ル 出荷 量 に お け る気 温 の 影 響 補 正
る標 準 値Z0を
代 入 し て,Z
の 影 響 を消 去 し て お け ば よ い の で
す. した が っ て,
C(Zn-Z0)を
差 し引 く
の です. ③ 4.1節 で 取 り上 げ た ビー ル 消 費 量 の 問 題 に お い て,各 た 趨 勢 を み る た め に,こ 年 は3640で の で す.冷
し た が,も
年 の 気 温 の 影 響 を補 正 し
の 補 正 を 適 用 し た 結 果 を示 し て お き ま す.た し気 温 が25.0度
だ っ た と した ら3797に
と え ば,1976
な った はず だ とよむ
夏 の 影 響 で 出 荷 が4% 減 っ た の です .
4.4 相 関係 数 にお ける 混 同 効 果 の補 正(相 関 分 析) ① 変 数 X,Y の 相 関 関 係 に つ い て そ の 強 さ を 測 る 指 標 と し て 相 関 係 数RXYが い ら れ ま す が,X,Y の 相 関 関 係 を,"み
に 関 連 す る 第 三 の 変 数 Z が あ る と き に は,Z
か け 上"強 め る,ま
した が って,X,Y
た は,弱 め る こ と に な る お そ れ が あ り ま す .
の 関 連 度 を適 正 に 評 価 す る た め に は,Z
の 混同 効果 を補 正 した
相 関 係 数(そ れ を 偏 相 関 係 数 と い う)を 用 い な け れ ば な ら な い の で す.こ を考 慮 し な い で 求 め た 相 関 係 数 は,粗 ② 粗 相 関 係 数 の 補 正,い
用
の 効 果 が X ,Y
の 場 合,Z
相 関 係 数 と よば れ ます.
い か え る と,偏 相 関 係 数 を 求 め るに は,次
に示す 方 法が
便 利 で す. ・ 相 関 関 係 を 計 測 し た い 2つ の 変 数 を左 辺,右
辺 に お き,混
同 要 因 を右 辺 に 追 加
した 2つ の 回帰 式
Y=A+BX+CZ X=A'+B'Y+C'Z を求 め る.
・ こ れ ら の 回 帰 係 数 B,B'の 幾 何 平 均√BB'が,偏 ・ こ の 場 合,偏 致 す る).
相 関 係 数 の 符 号 は,B,B'の
相 関 係 数 を与 え る.
符 号 と一 致 させ る(B,B'の
符号 は一
混 同 要 因 が 2つ 以 上 あ る と き も,そ
れ ら を右 辺 に 追 加 す る こ とに よ っ て,同
じよ う
に 扱 う こ とが で き ま す. な お,相
関 係 数(通 常 の)も,2
Y=A+BX
X=A'+B'Y
つ の 回帰 式
に お け る B,B'の 幾 何 平 均 と し て求 め る こ とが で き ます.偏 て 計 算 で き る の で,こ ③ 例 と して,家
の 項 の 問 題 を扱 う と き に は,こ
相 関 係 数 の 計 算 とあ わせ
れ に よ る と手 数 が は ぶ け ま す.
計 に お け る 食 費 支 出 と雑 費 支 出 の 関 係 を求 め て み ま し ょ う.
限 ら れ た所 得 を 配 分 す る の で す か ら,マ
イナ スの 相 関 を もつ と予 想 さ れ る の で は な
い で し ょ うか. 基 礎 デ ー タ と し て は,第 正 に な り ます.相 い た め,X
3章 の 表3.0.1を
関 係 数 の 計 算 で は,家
使 い ま す.予
想 に 反 し て(?),相
も Y も 大 き くな る と い う可 能 性 が あ り,そ の こ とが,X,Y
を も た らす の で す.こ
関 は,
計 支 出 を制 約 す るパ イ の 大 き さ が 考 慮 さ れ な に正 の相 関
の 混 同効 果 を補 正 す べ きだ と気 づ くで し ょ う.
し た が っ て,「 偏 相 関 係 数 」を求 め るの で す. 回 帰 分 析 の プ ロ グ ラ ム を使 っ て,次
の 回 帰 式 を求 め る こ とが で き ます. R2=5.9
Y1=1.954+0.094Y2 Y1
=1
.153-0.162Y2+0.234X1
R2=45.6
Y1
=0
.184-0.138Y2+0.171X1+0.338X2
R2=68.0
=1
.310+0.627Y1
R2=5.9
Y2
R2=58.8
Y2=0.634-0.821Y1+0.608X1
R2=60.3
Y2=0.188-1.145Y1+0.614X1+0.290Xz
Y1 =食 費 支 出,Y2=雑
費 支 出,X1=消
費 支 出 総 額,X2=世
帯 人員
こ れ ら を使 っ て ρY1Y2=√0.094×0.627=+0.243 ρX1Y2│X1=-√0.162×0.821=-0.365 pX1Y2│X1X2=-√0.138×1.145=-0.397
が 求 め られ ま す. ④ X1,X2を
考 慮 に 入 れ な い 場 合 に は,Y1,Y2の
相 関 係 数 は0.24と
正 に なっ てい
ます. こ れ に 対 して,消 り(?)-0.365と
費 支 出 総 額X1の
負 に な りま し た.こ
影 響 を 除 去 し た 偏 相 関 係 数 で み る と,予 想 ど お う い う結 果 を予 想 した 人 は,予
測 す る た め に 偏 相 関 係 数 を使 っ て予 想 を確 認 で き ま す.こ
想 した 関 係 を 計
う い う結 果 を予 想 で き な い
人 は 誤 読 に 気 づ か ず 正 の 相 関 だ と思 っ て し ま うお そ れ が あ りま す. な お,世
帯 人 員 数X2の
影 響 も混 じ っ て い る と気 に な るか も しれ ませ ん が,そ
響 の 補 正 をつ づ け て も-0.397と,わ
ず か しか か わ りませ ん 。
の影
4.5 分
析
例
① ひ とつ の 問 題 を 取 り上 げ る と き,そ こ と の で き る場 合 もあ れ ば,種 り ます.こ
の 節 で は,後
② 図4.5.1は,毎 で す.決
れ に 適 し た 分 析 方 法 を 「こ れ だ 」 と決 め る
々 の 見 方 に 立 つ 方 法 を併 用 す る こ とが 有 効 な場 合 も あ
の 例 を あ げ て お き ま し ょ う.
年 春 季 に 行 な わ れ た 「賃 金 ア ップ 」の 折 衝 結 果 を示 した グ ラ フ
着 し た平 均 賃 上 げ 率 と,そ の 値 の 企 業 間 格 差 を 示 して あ りま す.
オ イ ル シ ョ ッ ク 時 に 大 き くア ップ し た後,平
均 値 は も との 水 準 に も ど っ て い る が,
企 業 間格 差 が ひ ろ が っ て い る こ と に 注 目 し ま し ょ う. こ の こ と に 限 らず,オ
イ ル シ ョ ッ ク前 の 高 度 成 長 時 とそ れ 以 降 で は,賃
上 げ率 の決
ま り方 に ち が い が あ る と い わ れ て い ます. ③ よ っ て,賃 て,そ
上 げ 率 決 定 に あ た っ て 考 慮 さ れ る と思 わ れ る 次 の 要 因 を 取 り上 げ
れ との 関 係 を調 べ て み ま し ょ う.
U1=有
効求 人倍 率
U2=物
価 指 数上 昇率
U3=企
業 の 業 績(売 上 げ 高 経 常 利 益 率)
こ れ らの 情 報 の1960∼83年 こ れ を 使 っ て,モ
値 を付 表 H に 示 して あ りま す.
デル
Y=A+B1U1+B2U2+B3U3
を 想 定 して 回 帰 分 析 を適 用 す る と,次 の 結 果 が 得 ら れ ます.
Y=-5.22+8.29U1+0.814U2+0.990U3
こ れ に よ って,Y
の 年 次 変 化 を 表 現 で き ま す が,提
化 」 をみ る と い う問 題 意 識 で は,も
起 し た 「各 要 因 の 効 き 方 の 変
う一 歩 進 め る こ とが 必 要 で す.
④ 賃 上 げ を 折 衝 す る過 程 で どん な 点 が 考 慮 さ れ る か が 問 題 で す. U1,U2,U3の
水準 を考慮 して Y を
決 め る に して も,あ
る い は,そ
変 化⊿U1,⊿U2,⊿U3(⊿ を考 慮 し て⊿Yを
れ らの
は 前 年 との 差)
決 め る に し て も,3
つ の要 因 の どれ を重 視 す るか は か わ る で し ょ う.い い か え る と,「 対 象 と し た 期 間 で の 平 均 的 な 傾 向 で み る と, B1,B2,B3で
表 わ さ れ る ウ エ イ トに
な っ て い た 」 とい う こ と で あ り,実 際 の 折 衝 で は,U1を
考 慮 して 決 ま っ た
年 も あ れ ば,U2を
重視 して 決 まった
年 も あ る で し ょ う.
図4.5.1
平均 賃上げ率の推移
表4.5.2
し た が っ て,各
平均 賃上げ率の要因分析
年 の 賃 上 げ 率 の 変 化 に 各 要 因 が どの 程 度 効 い て い る か を み ま し ょ
う. ⑤ そ の た め に,4.2節 表4.5.2は,賃
の 寄 与 度 を使 う こ とが 考 え られ ま す.
上 げ 率 Y お よ び そ の傾 向 値Y*の
変 化 と各 要 因U1,U2,U3の
寄与
度 βI⊿U1を 示 して い ます. こ れ に も とづ い て 各 年 ご と に 寄 与 度 を 計 算 で き ま す が,年 は,そ
々 の傾 向 を よ む ため に
れ ら を 通 覧 で き る よ う な グ ラ フ を か き ま し ょ う.
す なわ ち Y の 変 化 に 効 い て い る⇔ とお きか え て 考 え る こ と とす れ ば,各 な ど を 1枚 に 重 ね た 図4.5.3の これ で み る と,1960∼69年
「Y の 変 化 」 と同 じ よ うに 変 化 して い る 年 の 「Y の 変 化⊿Y」
よ うな グ ラ フ が よ い で し ょ う. と1975年
以 降 とで 傾 向 が 異 な っ て い る よ う で す.
特 に,物 価 指 数 と賃 上 げ 率 の 関 係 が 「1960∼69年 とが 注 目 さ れ ま す.こ
れ に 対 して,有
の 方 が 高 か っ た よ う で す.企
と 「U1の 寄 与 度 β1⊿U1」
と比 べ て1975年
以 降 は強 い」こ
効 求 人 倍 率 と 賃 上 げ 率 の 関 係 は,1960∼69年
業 業 績 の 影 響 の 寄 与 が 低 い の は,個
々の企 業べ ー ス でな
く,い わ ば 「 世 間相 場 」と して 決 ま っ て い る た め で し ょ う. ⑥ こ れ ら の こ と を確 認 す る た め に,⊿Yと⊿U1の し ょ う.表4.5.4の ⊿Yと⊿Eの こ れ か ら,グ
よ う に な っ て い ます.図4.5.3に
相 関 係 数 な ど を 計 算 して み ま も 書 き込 ん で あ り ま す.
相 関 係 数 に つ い て は ⑦ で 説 明 し ま す. ラ フ で よ み と っ た こ と が 確 認 さ れ ま す が,1960∼69年
に つ い て は,
各 説 明 変 数 の 変 化 が 考 慮 さ れ るに し て も ど の 要 因 と も相 関 が 低 く,「3つ の 要 因 だ け で 説 明 で き る と は い い に くい 」よ う で す. 1975年 以 降 に つ い て は,物
価 上 昇 率 との 相 関 が 高 く,そ の 変 化 に よ っ て 賃 上 率 の
変 化 を 説 明 で き る状 態 に な っ た こ と が 確 認 さ れ ます. ⑦ 次 に,傾
向値 Y*と そ の 観 察 値 Y と の 差 E をみ ま し ょ う.
図4.5.3
賃 上 げ 率 と各 要 因 との 関 係
1.賃
上 げ 率 (⊿Y)と有 効 求 人 倍 率(β1⊿U1)
2.賃
上 げ率(⊿Y)と
物 価 指 数 変 化 率(β2⊿U2)
3.賃
上 げ 率(⊿Y)と
企 業 の 業 績(β3⊿U3)
図4.5.3と E は,そ て,⊿Eは,符
同 じ形 式 で,⊿Yと⊿Eの
関 係 を図 示 す る と,次 の よ う に な り ます.
の 定 義 か ら,「 3つ の 要 因 で 説 明 さ れ な い 変 動 」 を 表 わ し ま す.し 号 を か え て 図 示 して い ます.
たが っ
表4.5.4
賃 上 げ率 と名 要 因 との 相 関 関 係
図4.5.5
賃 上 げ 率 の 実 績 と傾 向値
賃 上 げ率(⊿Y)と
傾 向値 との差(⊿E)
実績 値 の 変 化 は 「傾 向値 との 差 」の 変 化 を縮 め る 方 向 に は た らい て い る.
⊿Eの
符 号 をか え て 図 示 して い ま す か ら, 2つ の 線 が 重 な る ⇔⊿Eが
正(負)の
場 合,⊿Yが
負(正)と
なる
と よ む こ とに な り ま す. こ うい う関 係 が,図 1960∼69年
か ら検 出 さ れ て い ます.ま
た,相
関係数 を計算 す る と
で は0.16
1975年 以 降 で は0.80
と な っ て い ます. ⑧ こ こ ま で 分 析 し た 上,高
度 成 長,春
期 共 同 闘 争,企
業 間 格 差,経
済 情 勢,企
業
経 営 な ど の キ イ ワ ー ドを勘 案 す る と,賃 上 げ 率 の 変 化 とそ の 決 定 過 程 に 関 し て 説 明 で き る で し ょ う.労 働 白書 な ど を参 照 し て くだ さ い.
問 題 4
問 l 表4.1.2の
計 算 を確 認 せ よ.
問 2 表4.1.2の
計 算 に つ い て,ビ
ー ル の出荷 量 Y を夏期 に おけ る出荷 量に 限 ってみ
る もの と し て 計 算 し な お せ.た は,付
表F.1か
問 3 (1) 付 表E.1に 産 指 数(U)と DT11中
だ し,年 次 は1975∼83年
ら 拾 っ て 入 力 す る(プ ロ グ ラムDATAIPTを 示 す エ ネ ル ギー 需 要(X)の 家 計 最 終 消 費支 出(V)の
の1965∼83年
と す る.基 礎 デ ー タ 使 う)こ と.
時 系 列 デ ー タ に つ い て,鉱
工業生
関 係 を 表 わ す 傾 向 線 を求 め よ.フ
ァ イル
の デ ー タ を使 え.付
表E.1の
数 値 と小 数 点 の 位 置 が ち が
う の で調 整 して,
X=-5.63+1.45U+0.765V が 得 られ るは ず で あ る (2) こ れ を使 って,X
の 変 化 に 対 す る U の 寄 与 度, Vの
次 に よ る ち が い を調 べ よ.た わ け て,各
と えば,1965∼71年,1978∼83年
期 間 で の 平 均 値 を計 算 して 比 べ て
(3) 1965∼71年,1978∼83年 の 計 算 を 行 な え.DT11を
寄 与 度 を 計 算 し,年 の 2つ の期 間 に
よ.
の 2つ の 期 間 に わ け て 求 め た 傾 向 線 を 使 っ て(2) 使 う と,こ
の期 間別 にわ け たデー タが収 録 され て い
る. (4) (2)の結 果 と(3)の 結 果 の ち が い を ど う説 明 す るか. 問 4 (1) 付 表C.1(DK31V)に 食 費 支 出(Y)と,年
示 す 家 計 収 支 の 年 間 収 入 階 級 別 系 列 デ ー タ に つ い て, 間 収 入(X)の
Y=41.33+0.0560X
が 得 られ る は ず で あ る.
関 係 を 表 わ す 傾 向 線 を求 め よ.
(2) X,Y の 関 係 を示 す グ ラ フ に こ の 傾 向 線 を書 き込 め. (3) こ の 式 の 係 数0.0560は,食
費 支 出 の 増 加(単 位 千 円)に 対 す る年 間 収 入 の
変 化(単 位 万 円)の 効 果 を 表 わ す 寄 与 度(X る が,図
で み る と,X
の 範 囲 全 体 で の 平 均 で み た 値)で あ
の 値 の 大 き い と こ ろ,小
さ い ところ で 異 な る よ うで あ
る.
X,Y の 観 察 値 を 用 い て,階
級 区 分 が 1ラ ン ク 上 が っ た 場 合 の X の 変 化,
Y の 変 化 を使 っ て 寄 与 度 を 計 算 し,そ の 変 化 を 調 べ よ. 問 5 (1) 付 表C.2(DK31AV)は,家 み た もの で あ る.こ
計 収 支 の年 間収 入階 級 を十分 位 階 級 に よって
れ を使 っ て,問
4 と同 じ分 析 を行 な え.
(2) 問 4の 結 果 と問 5の 結 果 の ち が い を ど う解 釈 す る か. 問 6 (1) 問 5に つ い て,以 下 の よ う に,傾 とが 考 え ら れ る.こ 化,Y
の 考 え 方 で,階
向 線 を使 わ ず に 寄 与 度 を 計 算 し て み る こ 級 区 分 が 1 ラ ン ク上 が っ た 場 合 の X の 変
の 変 化 を使 っ て寄 与 度 を計 算 し(電 卓 で 可 能),そ
(2) 問 5の 結 果 と 問 6の 結 果 の ちが い は,ど 問 7 問6の
の 変 化 を 調 べ よ.
う説明 され るか
よ うに 変 数 間 に 成 り立 つ 定 義 式 を用 い て 寄 与 率 を 計 算 す る 方 法 は,実
分 析 の 方 法 と して 頻 繁 に 使 わ れ て い る.本 理 』で 解 説 して あ る が,プ
シ リー ズ で は,第
ロ グ ラ ムGUIDEを
証
3巻 『 統 計 学 の論
呼 び 出 して,用
意 され てい る説
明 文 フ ァ イ ル(統 計 3「 寄 与 率 の 分 析 」の 中 の 2∼ 5)を よ み,寄
与 率 の 意 味 と計
算 手 順 の 説 明 を よ め. 問 8 付 表C.6は,消
費 支 出 総 額(Y)と,そ
デ ー タ で あ る.こ
れ に つ い て は,定
の10大
費 目 区 分 別 内 訳(XI)の
時系列
義上
Y=ΣX1 が 成 り立 っ て い る.い
いか える と
⊿Y=E⊿X1
が 成 り立 っ て い る. よ っ て,Yに (1) 1970年
対 す るX1の
寄 与 度 を観 察 値 を用 い て 計 算 で き る.
と1975年
の 間 の 変 化 に つ い て,Y
に 対 す るXIの
寄 与度 を計算 せ
と1985年
の 間 の 変 化 に つ い て,Y
に 対 す るXIの
寄 与 度 を計 算 せ
よ. (2) 1980年 よ. 問9 付 表C.7は,物
価 指 数(総 合)と,そ
タ で あ る.こ れ に つ い て は,定
Y=ΣW1X1(W1は が 成 り立 っ て い る.い
の10大
費 目区 分 別 内 訳(X1)の
時 系列 デー
義上 ウエ イ ト)
いか え る と
⊿Y=ΣW1⊿X1
が 成 り立 っ て い る. よ っ て,Y (1) 1970年
に 対 す るXIの
寄 与 度 を観 察 値 を用 い て 計 算 で き る.
と1975年
の 間 の 変 化 に つ い て,Y
に 対 す るX1の
寄 与 度 を計 算せ
と1985年
の 間 の 変 化 に つ い て,Y
に 対 す るX1の
寄 与度 を計 算せ
よ. (2) 1980年 よ. (3) (1)の計 算 結 果 と(2)の 計 算 結 果 を 比 べ る と き に は,ウ い る こ と の 影 響 に 注 意 し な け れ ば な ら な い.そ
エ イ トが 変 更 さ れ て
の 影 響 を 除 去 す る た め に(1)の
計 算 で 用 い た ウ エ イ トを 用 い て(ウ エ イ トは か わ ら な い と仮 定 し て)(2)の 計 算 を行 な え. (4) 年 齢45∼49歳
の 世 帯 で み た ウ エ イ トを使 っ て 計 算 せ よ.
注:問
8で使 った 説 明プ ロ グラ ムの 中 に含 まれ る例 示 を参 照 す るこ と.
問10 プ ロ グ ラ ムRATECOMPを 習 せ よ.本
使 っ て,4.2節
シ リー ズ で は,第
使 っ たGUIDEと
の 相 関 係数Ruvを
相 関 係 数Rxu,X
とVの
れ ぞ れ に つ い て,第
とV
三 の 変 数 の 影 響 を補 正 した 偏 相 関 係 数
求 め よ.
4.5節 で 取 り上 げ た 変 数 Y,U1,U2,U3の
相 関 係 数RrU1な
説 明 変 数 の 影 響 を 補 正 し た 偏 相 関 係 数RγU1│U2U3な 1960∼69年
相 関 係 数Rxv,U
求 め よ.
RXU│V,RXV│U,Ruv│Xを 問12
7で
こ の プ ロ グ ラ ム に よ っ て,概 要 は 把 握 で き る だ ろ う.
問11 (1) 問 3で 使 っ たXとUの
(2) ま た,そ
の 「標 準 化 」の 意 味 と計 算 手 順 を 学
2巻 『 統 計 学 の 論 理 』で 解 説 し て あ る が,問
と1975年
以 降 とせ よ.
ど に つ い て,他
ど を 求 め よ.対
の
象 期 間 は,
5 集 計 デ ー タの 利 用
統 計 調 査 の報 告書 には,種 々 の統 計 デ ー タが 掲載 され て い ます.い ず れ も,大 規 模 な 調 査 を行 な い,そ の 結 果 を集 計 して ま とめ られ た 情報 で す.広 く利用 し うる情 報 源 です が,利 用 す るに は,い くつか の 注 意が 必 要 です. 集 計 デ ー 夕で あ る こ とを意 識 しな いで 使 う と,誤 りを おか す お それ が あ ります. この章 で は,正 し く使 うため の 注意 点 を説明 します.
5.0 この 章 の 問題 ① こ れ ま で の 多 くの 箇 所 で 使 っ て き た 家 計 調 査 の デ ー タ(付 表 A)に つ い て,食 費支 出 Y と収 入 X の 関 係 を表 わ す 回 帰 線 Y=149.55+0.088X, が 求 め られ て い ます が,
R2=0.17
(1)
収 入 X を十 分 位 階 級 に 区 分 して,
各 区 分 で の 平 均 値(XK,YK)を
こ の 系 列 に つ い て 回帰 分 析 を適 用 す る
求 め,
こ と も考 え ら れ ます. こ の 扱 い を採 用 す る と,次 の 回 帰 式 が 得 ら れ ま す .
Y=138.71+0.0983X,
R2=0.53
回 帰 式 の 係 数 も ち が い ま す が,決 うか.基
礎 デ ー タは 同 じ で す.ち
(2)
定 係 数 が 大 き く ち が い ま す.こ
が い は,次
の よ うに,ひ
れ は,な
ぜ で しょ
とつ ひ とつ の 世 帯 別 の デ ー
タ を 収 入 階 級 区 分 の デ ー タ に 集 計 す る過 程 を入 れ て い る か 否 か で す .
基礎 デー タ ⇒ 集計 ⇒ 平均 値 系列 回 帰 式(1) この 節 で は,こ
回 帰 式(2)
の こ と に 関 連 し た 種 々 の 問 題 点 に つ い て 考 え て い き ま し ょ う.
5.1 集 計 デ ー タ と その タ イ プ ① こ れ ま で の 各 章 の 例 題 で は,各 た が,実
際 に は,個
世 帯 に 対 応 す る 「個 別 デ ー タ 」を 使 っ て き ま し
別 デ ー タ が 使 え る とは 限 りませ ん.調 査 の 結 果 報 告 書 に掲 載 さ れ
て い る 「集 計 デ ー タ 」を 利 用 す る の が 普 通 です.種
々 の 利 用 場 面 を 想 定 し て くわ し い
統 計 表 が 集 計 さ れ て い ま す か ら,そ れ を利 用 し ま し ょ う. ◇ 注 こ うい う情 報 は,簡 単 に は求 め られ ませ ん. 大規 模 な調 査 が 必要 です か ら,国 の 統 計組 織 の行 な う統 計 調 査 の 結 果 を利 用 す る こ と に な り ます.国 が行 な う調査 であ って も,統 計調 査(重 要 な統 計 調 査 と して 指 定 され た もの) につ い ては,被 調 査 者 に 答 申の 義務 を課 す と と もに,そ の調 査 結 果 を 公表 し,誰 で も 自由 に利用 で き るこ とに な っ て い ます(統 計 法). た だ し,自 分 で調査 を計画 し,必 要 な集 計 表 を設 計 し集 計 す る場 合 と比 べ る と,種 々の 不 便 が あ る こ とは事 実 で す.
また,個 別 デー タ を利 用す る場合 とちが う注 意点 が あ ります.集 計 デー タ で あ る こ とを は っ き り意 識 して使 わ な い と,誤 用 の お それ が あ り ます.
しか し,数 千 とい った 多数 の 世 帯 の情 報 が使 え る とい う利 点 が あ りま す か ら,貴 重 な情 報 源 で す.
やや 使 いに くい,し か し,貴 重 な情 報 源 だ とい うこ とで す.
② 巻 末 の 付 表 C は,家 た と えば,付
表C.1を
い て 見 に くい で し ょ う が,た 思 わ れ る),表5.1.1の 収 入 の 関 係 を,こ
計 調 査 の 報 告 書 に 掲 載 さ れ て い る 集 計 表 の 典 型 例 で す.
み て くだ さ い.1 つ の 大 き な 表 に,さ とえ ば,食
まざ まな情報 が含 まれ て
費 支 出 と収 入 の 関 係 を み る た め に 使 え る(と
情 報 が 含 ま れ て い ます.こ
れ ま で の 章 と 同 様 に,食
き ます. ③ こ れ に つ い て 回 帰 分 析 を適 用 す る と,次 の 式 が得 られ ま す.
費支出 と
の よ う な 「集 計 表 」を 使 っ て 分 析 す る 問 題 を例 に と っ て 説 明 して い
Y=41.41十0.0558X,
R2=0.89
ま た,こ れ を図 示 す る と,図5.1.2が
表5.1.1
得 ら れ ます.
年 間 収 入 と食 費支 出(年 間 収 入 階 級 区 分 別)
決 定 係 数 が0.89で
す か ら,十 分 に 適 合 して い る と判 断 で き そ う で す が,結
論 は保
留 し ま し ょ う. 集 計 デ ー タ を 利 用 す る と き に 必 要 な 注 意 点 が い くつ か あ り ます か ら,こ
の 章 で,順
を追 っ て解 説 して い き ま す. ④ まず,こ
の 計 算 の 基礎 と した 表5.1.1の
図5.1.2
表5.1.1を
デ ー タ に つ い て 説 明 し ま し ょ う.
使 っ て 求 め た 傾 向 線
5.3 節 で別 の 計 算 結 果 を示 し ます.
表5.1.3
B=0.05580 A=41.412 VX=304.691,100.00 VR=271.465,89.09 VE=33.227,10.91
表5.1.1に
よ る 回帰 式 の 計 算(後 の 説 明 を よ む こ と)
これ は,全
国 の 世 帯 を代 表 す る サ ンプ ル に つ い て 調 査 し た 結 果 で す が,ひ
つ の 数 字 は,そ
とつ ひ と
の サ ン プ ル(集 団)を 年 間 収 入 に よ っ て 区 分 し た部 分(部 分 集 団 に 対 応
して い ます. 「集 団 を 区 切 っ た 部 分 集 団 」に 対 応 す る 系 列 デ ー タに な っ て い る の で す. こ うい う構 造 の デ ー タ を 「ク ロ ス セ ク シ ョン デ ー タ」 ま た は 「時 断 面 デ ー タ 」 とよ び ます. 表5.1.1の
区 分 番 号 の と こ ろが 時 点 区 分(た と え ば 年 次)に な っ て い る デ ー タ で は,
ひ とつ ひ と つ の 数 字 が 同 じ集 団 に つ い て の 観 察 値,す
な わ ち 「年 次 を か え て く りか え
して 観 察 」 した もの で す か ら,「 時 断 面 デ ー タ 」と は 異 な る構 造 を も って い ま す. これ を 「時 系 列 デ ー タ 」 と よ び ます. この 章 で は 時 断 面 デ ー タ を 扱 い,次 ⑤ 表5.1.1の
の 章 で は 時 系 列 デ ー タ を 扱 い ます.
デ ー タ を使 っ て 図5.1.2の
し て お き ま す.13ペ
傾 向線 を求 め る 計 算 手 順 を 表5.1.3に
ー ジ の 計 算 例 と 同 じ手 順 で す か ら,こ
題 点 が ひ そ ん で い ます.次
示
れ で よ い よ う で す が,問
の 節 以 降 で 説 明 を つ づ け ます.
5.2 決 定 係 数 の 解 釈 ① 5.0節 で例 示 し た よ うに,食 は,決
定 係 数 は17%程
度 で し た.こ
タ を使 っ た(2)式 で は,決 ま ず,こ
費 支 出 の 「世 帯 間 変 動 」 を説 明 す る モ デ ル(1)式 で れ に 対 し て,「 平 均 値 系 列 」の 形 に 集 計 し た デ ー
定 係 数 は53%と
い う大 き い値 に な り ま した.
の ち が い に つ い て 考 え ま し ょ う.
② ヒ ン トは,①
の 文 で 下 線 をつ け た 「 世 帯 間 」 とい う こ と と,基 礎 デ ー タが 「平
均 値 系 列 」だ とい う こ と で す. 図5.1.2で
み る よ う に,基
よ く合 致 して い ます.こ
礎 デ ー タ を表 わ す × 印 と,回 帰 分 析 で 誘 導 し た傾 向 線 は
れ ま で の 章 で は,基 礎 デ ー タ の ×印 は,傾
向線 の上 下 に大 き
くば らつ い て い ま した. 図5.1.2の 値 です.し は,世
×印 は,ひ た が っ て,世
と つ ひ とつ の世 帯 の 情 報 で は な く,い 帯 間 変 動 が 消 され て い ま す.こ
くつ か の 世 帯 で の平 均
れ ら と比 較 され て い る傾 向 線
帯 全 体 で み た 傾 向 を示 す もの で す か ら,世 帯 間変 動 は 消 され て い ま す.
こ の こ とか ら, 「 世 帯 間 変 動 を 含 む 基 礎 デ ー タ」 と傾 向 線 との 差 よ り も 「 世 帯 間 変 動 が 消 去 さ れ た 集 計 デ ー タ」 と傾 向 線 との 差 の 方 が 小 さ い の で す. ③ こ の こ と は,こ
れ ま で の 各 章 で 示 して い た 「分 析 の フ ロー 図 」 を使 っ て 説 明 す
る こ と もで き ます. 統 計 調 査 の 結 果 は,集
計 の過程 す なわ ち
調 査単 位 lつ
種 々 の 区 分 の世 帯 に
⇒ 集計 ⇒ 1つ の調査 結果 つ いて の集計 デー タ
の 過 程 を 経 て 編 集 さ れ て い ま す.そ
う し て,集 計 デ ー タは,種
々の 区分 につ い て計算
され た 「平 均 値 」で す. 形 式 的 に は そ れ ら が 集 計 デ ー タ で あ る こ と を考 慮 外 に お い て,い ぞ れ が 1つ の 観 察 単 位 の 情 報 で あ る とみ な して,こ き ます(そ う し た の が 表5.1.3の
世 帯 間 格 差 が,集
計 算 で す)が,注
い か え る と,そ れ
れ ま で の 方 法 を適 用 す る こ とが で 意 を要 す る の は
計 の 過 程 で 消 され て い る
こ と です. こ うい う性 格 の 基 礎 デ ー タ を使 っ て い る の で す か ら,そ
の計 算 で求 め られ る分 散
は,「 平 均 値 間 の 分 散 」で す. ④ 観 察 単 位 ご との 情 報 を 使 え る場 面 に お い て,観
察 単 位 を い くつ か の 階 級 に わ け
た場 合 の 「級 間 分 散 」 と 「残 差 分 散 」を 計 算 で き ます.図5.2.1の しか し,こ の 章 で は,平 した が っ て,集
A,B です.
均 値 系 列 か ら ス ター トし て い ま す.
計 デ ー タ を視 点 に お く場 合 に は,A
か ら C を求 め る 「 集 計 の 段 階 」,
Cにつづ く 「 分 析 の段 階 」 とわ か れ て い る こ とに 注 意 し ま し ょ う.こ の 章 で は,「 左 側 の フ ロ ー を含 め て 計 測 で きな い 」 とい う特 殊 の 条 件 下 で 問 題 を扱 っ て い る の で す . い い か え る と, 集 計 デ ー タ を 基 礎 と して 分 析 した 場 合 に は, 分 析 経 過 図(図5.2.1)の
A,B
の部 分 が 計 測 され て い な い
の で す. ◇ 注
付 表C.5の
よ うな 「 分 布 表」が 集 計 され て い る変 数 につ い て は,A,B
の 箇 所 も計
測 で き ます.章 末の 問題 5の問 6を参 照. ⑤ こ の こ とに と も な っ て,決 定 係 数 の 分 母 と し て は,世
帯 間格差 を評価 す る全分
散 A で な く,平 均 値 間 の 差 異 を評 価 す る 級 間 分 散 C を 使 う こ と に な り ま す.し
図5.2.1
集 計 の過 程 を 含 め た 分析 経 過 図
た
図5.2.2
が つ て,分
変動 の成分
子 E が 同 じで あ る の に か か わ らず,小
さ い 値 C を分 母 とす る が ゆ え に,
決 定 係 数 が 大 き く な るの で す. 決 定 係 数 の 分 母 は,本
来 は 図 の A で す.変
動 を 説 明 す る傾 向 線 を 使 っ た と して も
B の 部 分 が 残 り ます か ら,そ れ に よ っ て 説 明 で き る部 分 を 測 る 決 定 係 数 は,E/A あ り,説 明 で き ず に 残 る部 分 は(B+D)/A 提 下 で い う な ら,E/(A-B)す
で す.B
な わ ちE/Cに
う 説 明 を し て か ま い ませ ん が,分
で
の 部 分 を考 慮 外 に お く と い う 前
よ っ て 「あ て は ま りの よ さ」を 測 る とい
母 が A か ら C に か え られ て い る こ と に注 意 し ま
し ょ う. こ れ らの ち が い が あ るの に か か わ ら ず,ど
ち らにつ いて も 「 決 定 係 数 」 と い う用 語
が 使 わ れ て い ま す(用 語 を か え た い と こ ろ で す). ⑥ ま た,こ
の こ とか ら,決 定 係 数 の 大 き さ に つ い て,ど
う工 夫 して も 「100%に
は ほ ど遠 い 値 に しか な ら な い 」場 合 が あ り え ま す. 傾 向 線 の 想 定 あ る い は 誘 導 を上 手 に 行 な え ば 「E/Cを す か ら,E/Cを
1に 近 くす る こ と」は で き ま
「あ て は ま りの よ さ」を 測 る 基 準 と い う こ とは で き る に して も,「 回
帰 式 の 有 効 性 」を 測 る指 標 と解 釈 す る こ とに は 問 題 が あ る の で す. 基礎 デ ー タ と し て,た
と え ば い くつ か の 観 察 単 位 か ら な る集 団 区 分 の 平 均 値 を使 う
場 合 な ど,デ ー タ 自体 が 個 別 性 を 消 去 され た も の を 使 う … そ れ は,「 個 別 性 を は じ め か ら考 察 外 に お い て い る た め 」で す.い
い か え る と,「 問 題 を 限 定 し て 扱 っ て い る
た め 」で す. 傾 向 性 を み る の だ か ら,個 別 変 動 を消 去 す る た め に平 均 値 を 計 算 し た の だ,平 系 列 か ら ス ター トす れ ば よ い … そ う して よ い 問 題 分 野 もあ り ます が,一
均値
般 に は,個
別 変 動 も考 慮 す べ き で す. ⑦ 「決 定 係 数 は あ て は ま り の よ さ」を 測 る 指 標 だ と い う理 解 は,そ 印 象 づ け る 説 明 で す.い
の 一面 のみ を
い か え る と,「 現 象 自体 が もつ 個 別 性 」 を計 測 す る と い う も
うひ とつ の 面 を 見 逃 す お そ れ の あ る 説 明 で す. た と え ば,「 決 定 係 数 が90%以
上 に な ら な い と ダ メ だ 」と い う説 明 は,人
る 説 明 で す.「 問 題 分 野 に よ っ て は,決 扱 う現 象,あ
定 係 数50%で
を迷 わせ
よ し」 と さ れ る で し ょ う.取
る い は取 り扱 い 方 に よ っ て 異 な る の で す.
決定係 数 は,傾 向性 と個別 性 との相 対 的大小 を測 る指標
想定 した傾 向線 の有効 性 を測 る指標 だ とい う解 釈 は
個 別性 を除去 したデ ー タ を扱 う場合
り
5.3 値 域 区分 の 仕 方 と ウエ イ トづ け ① 5.1節
で は,付
録 の 付 表 C.1中 の 食 費 支 出 と収 入 総 額 の デ ー タ を使 い ま し た
が,付 表 C.2に も,同 様 の デ ー タ が 含 ま れ て い ます.す こ れ は,表5.1.1と ち が っ て い ま す.す りに,各
な わ ち,表5.3.1で
同 様 に 年 間 収 入 で階 級 わ け さ れ て い ま す が,階 な わ ち,金
額 そ の もの で 「○ ○ 円 以 上 ○ ○ 円 以 下 」と 区 切 る か わ
区 分 の 世 帯 数 が 等 し く な る よ うに 区 切 っ て い ま す.異
較 す る と きに は,上
位1/10,次
す.
級 区分 の仕 方が
の1/10,の
な る年 次 の デ ー タ を比
よ うに し て お け ば,貨
も そ れ に 影 響 され な い 区 切 り方 に な っ て い る,と
幣 価値 がか わ って
い う理 由 で 採 用 さ れ て い る 「 年収十
分 位 階 級 」で す. ② そ こ が ち が い ま す が,表5.1.1も ら,同
よ っ て 得 ら れ た 回 帰 式 は 図5.3.2の
よ っ た 場 合 の 図5.1.2と,か
③
各 階級 区 分 での平 均値 系列 です か
じ計 算 を 適 用 で き ま す(後 で か え ます).
しか し,表5.3.1に
表5.3.1も
よ う に な り,表5.1.1に
な りち が って い ます.
Y=41.41+0.0558X,
R2=89.1%(表5.1.1の
場 合)
(1)
Y=47.87+0.0484X,
R2=90.4%(表5.3.1の
場 合)
(2)
こ の ちが い は,基 礎 デ ー タの ち が い に よ っ て 起 き た の で す が,「 基 礎 デ ー タ の
表5.3.1
年 間収 入 と食 費支 出(年 間 収 入 十 分 位 階 級 別)
図5.3.2
図5.1.2と
表5.3.1を
使 って 求 め た回 帰 線
比 べ る こ と.基 礎 デ ー タ が ち が う な ら結 果 が ち
が うの は 当 然.し
か し,基 礎 デ ー タは ちが うだ ろ うか.
図5.3.3
2つ の 図 の 基 礎 デー タ は 同 じ
も と も と同 じデー タだ が,値 いはBに
域 の 区 切 り方 の 相 違 で A あ る
な る.
ど こ が ち が うの か 」 をは っ き り させ ま し ょ う. 2つ の 図 の 基 礎 デ ー タ を 重 ね て み れ ば 図5.3.3の
よ うに,同
じ線上 に並 ん で い ま
す. こ の こ とか ら,2 つ の デ ー タ か ら得 ら れ る傾 向 線 は 同 じ に な る は ず だ と期 待 さ れ ま す.そ
れ に もか か わ らず,計
に並 ん で い るが,線 す.す
算 結 果 で み る と ち が う結 果 に な っ て い る の は,同
一 線上
上 の 点 の位 置 の 分 布 が ちが っ て い る こ と に よ る もの と判 断 さ れ ま
な わ ち,「 平 均 値 系 列 に 集 約 す る と き に 採 用 し た 区 切 り方 」の ち が い に よ る の
で す. も う一 度,表5.1.1(付 ち が っ て い ます.そ
表 C.1)と 表5.3.1(付
う して,そ
表 C.2)を み て くだ さ い.区 切 り方 が
の こ とか ら,
各 区 分 に 含 まれ る 世 帯 数 が 表5.3.1で
は 同 数 で あ る の に 対 して,
各 区 分 に 含 まれ る世 帯 数 が 表5.1.1で
は 同数 で な い
とい うち が い が 生 じ て い ま す. こ の こ とが 食 い ち が い の 原 因 です. ④ 表5.1.3の
計 算 で は,世
帯 数 の ち が い を考 慮 外 に お い て,系
(グ ラ フ の × 印)を 同 等 に 扱 っ て い ます.す
列 のす べ て の値
な わ ち,少 数 の デ ー タ の 平 均 値 も 多数 の
デ ー タの 平 均 値 も 同 等 に 扱 っ て い る … 問 題 点 は,こ
こ に しぼ られ ます .2 つ の 図 で
「×印 の 位 置 が か わ っ て い る 」の も こ の た め で す . 図5.1.2で は 世 帯 数 の 少 な い左 側 の 部 分 に た く さ ん の 点 が と られ て い ま す か ら(そ の 部 分 を 細 か く区 切 った た め そ う な る),そ の 部 分 で の 傾 向 に ひ か れ て ,傾 斜 が 大 き くな っ た の だ と理 解 で き ます. ⑤ 各 区 切 りの 「 世 帯 数 が 異 な る の に 同 等 に 扱 う」こ とか ら ち が い が 発 生 し た の な ら,「 同 等 に 扱 う」こ と を 考 え な お せ ば よ い こ と に な り ま す.各
点 が そ れ ぞれ の 区分
に 属 す る デ ー タ 数 を 代 表 して い る集 計 デ ー タ で は,そ
うす る の が 自然 で す.す
なわ
ち,表5.1.2を,
"世 帯 数 の ち が い を考 慮 に 入 れ る"形
に 改 め て み ま し ょ う. 回 帰 式 の 計 算 に つ い て,表5.1.3の
計 算 を 「世 帯 数 を 考 慮 に 入 れ る 形 」に 改 め る の
で す. す な わ ち,表5.3.5の
よ うに,計
ΣXI/Nな
ΣWKXK/ΣWK(K
ま た は 積 和 を計 算 す る と きに
ど の か わ りに は 区分 番 号,WKは
各 区 分 に 属 す る世 帯 数)な ど
とす れ ば よ い の で す. この計 算 に よって
表5.3.4
注:抽
表5.1.1に
世 帯 数 の 情 報 を追 加
出 率 調 整 ず み の 世 帯 数 を使 う こ と.
表5.3.5
表5.3.4に
B=0.04726 A=48.459 VX=135.430,
100.00
VR=121.410,
89.65
VE=14.020,
10.35
よ る 回帰 式 の 計 算(ウ エ イ トづ け す る場 合)
図5.3.6
図5.3.4で
Y=48.46+0.0473X, が 得 られ ま した.こ
求 め た 回 帰 線(図5.1.2の
R2=89.6%
(3)
れ を 図 示 し た の が,図5.3.6で
こ れ を,図5.1.2お
改 定)
よ び 図5.3.2と
す.
重 ね て み て くだ さ い.図5.3.2と
ほ とん ど 同 じ
結 果 に な っ て い ます.
表5.1.1を
使 い,ウ
エ イ トづ け せ ず に 計 算
表5.1.1を
使 い,ウ
エ イ トづ け し て 計 算
表5.3.1を ⑥ これ で,問
Y=41.41+0.0558X
Y=48.46+0.0473X
使 っ て 計 算(等 ウ エ イ トに な っ て い る)
Y=47.87+0.0484X
題 点 が 解 消 し ま し た.表5.1.1を
使 って も,表5.3.1を
使 っ て も,
平 均 値 を計 算 す る た め に 使 わ れ た 世 帯 数 を考 慮 に 入 れ て 計 算 す れ ば 同 じ結 果 とな る の で す.い
い か えれ ば,階
差 が 残 っ て い ます が,こ
級 区 分 の仕 方 を か え て も,結 果 に 影 響 し な い の で す.小
さい
れ は,基 礎 デ ー タ の 数(区 分 の 数)の ち が い に よ る差 です. こ の 節 の ま とめ
同 じデ ー タだ か ら,同
じ傾 向 線 が 得 られ る は ず.
階 級 区 分 し て 平 均 値 系 列 に お き か え て い る が,各
階級 に 属 す る
デ ー タ数 に 応 じ た ウ エ イ トを考 慮 に 入 れ て ウ エ イ トづ け し て 計 算 す れ ば 同 じ結 果 に な る. た だ し,以 下 に 注 記 す る よ うに,ウ
エ イ トづ け しな い とい う考 え
方 もあ りえ ます. ◇ 注 この 節 で 行 な っ た変 更 では,す べ て の世 帯 の情 報 を対 等 に 扱 っ た こ と に な ります. 一般 に は そ うすべ きだ とい え ます が ,こ れ に対 す る異論 もあ りえ ます. 表5.1.2の て い ます.
計算 では,各 世 帯 を対 等 に 扱 うの では な く,「各 区分 を対 等 に 扱 う」形 に な っ
ウエ イ トづ けせ ず,各 値 域 区分 を対 等 に扱 う … 傾 向線 を求め る問題 を扱 う ときに は,個 々 の世 帯 レベ ル での 変 動 で は な く,対 比 しよ う
とす る区分 の レベ ル でみ た変 化 に視 点 をあ わせ るこ とが あ ります.そ
う考 え る な ら,世 帯
数 の 大小 にか か わ らず,区 分 を対 等に 扱 うべ きだ とい う考 え方 も,一 理 あ ります. 求 め られ た平均 値 系 列 を,「そ れ を求 め るため に 使 ったデ ー タ と切 り離 した形 で使 う」… そ うい う使 い方 を考 え よ う とい うこ とです. ど ち らに す るか は,分 析 目的 か ら決 め る こ と です が,そ こ ま で考 え て 「 特別 の使い方」 を した場 合 は,そ の こ と をは っ き り注 記 す べ きです.
5.4 第 三 の 変 数 の影 響 へ の 考 慮 ① 5.3節 で は 食 費 支 出 Y と所 得 X の 関 係 をみ て き ま し た が,「 Y の 変 動 を 説 明 す る」 と い う 問 題 意 識 に た つ と,説 明 の た め に は X だ け で は 十 分 で な く,そ れ 以 外 の 変 数,た
と え ば,世 帯 人 員 Z を考 慮 に 入 れ る こ とが 必 要 で し ょ う.
個 別 デ ー タ を利 用 で き る場 合 に は,そ す が,集
れ を説 明 変 数 と して 追 加 す れ ば よか っ た の で
計 デ ー タ を 利 用 す る と き に は,集
計 表 で Z が ど う扱 わ れ て い る か が 問 題 と
な り ます. ② こ の 節 で は,こ
の こ とに 関 連 して い くつ か の 注 意 を説 明 し ま す が,説
を 明確 に す る た め に,集
明の論理
計 デー タ の 構 造 を 表 わ す 記 号 を使 い ま す.
前 節 で使 った デー タは
と表 わ す べ き も の で す. 次 の 表5.4.1は,こ
の 形 式 の デー タ例 で す.説
そ の 一 部 と して 表5.4.1の こ の 形 式 で は,各 よ っ て,Y1の
世 帯 の デ ー タXn∈XIを
値 とX1の
使 っ て(XI,YI)の
明 の 関 係 上 付 表C.4を
そ の 区 分 の 代 表 値XIだ
値 を 対 応 づ け て い ま す.し
た が っ て,こ
とみ な す こ とに の 系 列 デー タ を
関 係 を 表 わ す 回 帰 線 を 誘 導 で き るの で す.
Y=76.64+0.0464(X-551.3),R2=95.4%
た だ し,ひ
使 い ます が,
情 報 が 含 ま れ て い る こ と を確 認 して くだ さ い.
とつ ひ とつ の 観 察 単 位 をべ ー ス に し た 対 応 で は な く,X
を単 位 と し た 対 応 で あ る こ と,い い か え る と,
2系 統 の 情 報 を リン クす る単 位 が 観 察 単 位 で な く,
集 計 区 分 で あ る こ とか ら,問 題 が 発 生 す る 表5.4.1
Xの
区 分 別 に集 計 したXI,YI
付 表 C.4(a)の 情 報 区分 は X に よ る階 級 区分.
(1) の 階 級 区 分XI
表5.4.2
付 表 C.4(a)の
X の 区 分別 に 集 計 したYI,ZI
一 部.区
分 は X に よ る階 級 区 分.
の で す. ③
次 に,表5.4.2に
例 示 す る 集 計 デ ー タ を 使 っ てY(=食
費 支 出)とZ(=世
帯
人 貝)と の 関 係 をみ る こ と を考 え ま し ょ う. こ の 表 は 形 式 的 に は 表5.4.1と
同 じ で す が,そ
の 構 造 に 重 要 な ち が い が あ り ま す.
す な わ ち,階 級 区 分 の 区 切 りに 用 い た 変 数 は,Y で す.し
た が っ て,こ
で も Z で も な く,X(=収
入 総 額)
の 表 に お け るYI,ZIは
で 表 わ さ れ ます が,YI,ZIを
セ ッ トに して 使 う場 合 に,リ
分 と して 定 義 さ れ て い ま す.こ
ン クの 単 位 が X の 値 域 区
の こ とが 問 題 点 です.
そ こ で,「 こ の 表 に よ っ て,Y(Z)の
関 係 を 表 わ す 傾 向 線 を 求 め られ る か 」 を 考 え
ま し ょ う. YI,ZIと
が 対 応 す る形 に 集 計 さ れ て い ます が,い
単 位 と して 集 計 さ れ た平 均 値 の 系 列 で す.し し た 系 列 値Y(X),Z(X)で
ず れ も X に よ る 階 級 区 分XIを
た が っ て,そ
れ ぞ れ が 異 な るXIに
対応
す か ら,こ の 系 列 値 か ら 誘 導 さ れ た 傾 向 線Y(Z)に
は,
X の 影 響 が 混 在 す る結 果 と な り ます. ④ 混 同効果 (YI,ZI)に
前項 の結論 をい いか える と よ っ て傾 向 線Y(Z)を
求 め た場 合
そ の 傾 向 線 に は X の効 果 が 混 在 し て い る
こ とに な り ま す.こ した が っ て,な
う い う形 で 混 在 して い る効 果 を 「混 同 効 果 」 と よび ます.
ん ら か の 方 法 で,こ
の 混 同 効 果 を 補 正 し な け れ ば,YとZの
関係
に つ い て 言 及 で き な いの で す.
表5.4.2のY,Z
は い ず れ もXに
よ って 傾 向 線Y=f(X),Z=g(X)を
対 応 す る 系 列 デー タ.こ
これ らの 図 を書 き換 え る と(Y,Z)の
系 列 を示 す 図 に な る が,こ
列 の 各 点 は 異 な るXに 対 応 して い る た め,Y=φ(Z)を →Yだ とは解 釈 で きな い. し たが って,Z→Yだ
れらに
求 め る こ とが で き る, の系
求 め て も,Z
と解 釈 で き る よ うにす る た め に は,X
の影響
を補 正 す る こ と を考 え なけ れ ば な らな い. ◇ 注 問 題 が あ る の で す が,そ 表5.4.2の
の こ と を 確 認 す る た め に,計
数 字 を 使 っ て 表5.1.3と
同 様 に 計 算 す る と,回
算 し て み ま し ょ う.
帰式
Y=76.66+44.54(Z-3.87),R2=94.8%
(2)
が 得 ら れ ます. Z=2と
す る とY=-7,Z=3と
ち が っ て い ませ ん.し
す る とY=38,Z=4と
か し,Z
す る とY=82で
す.計
に 対 応 す る Y の 変 化 が 大 きす ぎ る よ う で す.ど
算は ま こかに問
題 が あ り そ う で す.
⑤ ② で 求 め たX→Yの
関 係 に つ い て も,回 帰 式 で考 慮 さ れ て い な い Z の 値 が
各 対 ご とに 異 な る こ とか ら,そ れ が,混 ⑥ 混 同 効 果 の 影 響 を 避 け る に は,そ が,そ
の 前 に,表5.4.1と
表5.4.2を
同 効 果 を もた ら して い るの で す. れ を組 み 合 わ せ た デ ー タ を使 うの が 基 本 で す 1つ の 表 に ま とめ た 表5.4.3を
使 っ てみ ま し ょ
う. こ の 形 に す る と,Y,Z
の 系 列(YI,ZI)の
き ます か ら,デ ー タ セ ッ ト(X,Y,Z)に に 対 応 す る傾 向 線Y=h(X,Z)を 求 め られ たY=h(X,Z)に
各 点に 対応 す る X の値 を使 うこ とが で
対 して 回 帰分 析 を適 用 し て,2 つ の 説 明 変 数
計 算 で き ま す. お い てZ=Zと
お いた式 が
Y と X の 関 係 を Z の 影 響 を補 正 した 上 で み た傾 向 線
を表 わ す もの に な っ て い るの で す. また,X=Xと
おい た式が
Y と Z の 関 係 を X の 影 響 を補 正 した 上 で み た傾 向 線
表5.4.3
表5.4.1に
世 帯 人 員 の 情 報 を追 加
区 分 は X に よ る階 級 区 分.
に な っ て い る の で す. ◇ 注 表5.4.3の
数 字 を 使 っ て 計 算 す る と,回
帰式 R2=99.7%
Y=76.66+0.0250(X-551.3)+22.68(Z-3.87),
(3)
が 得 ら れ ま す. こ れ に つ い て Z を そ の 平 均 値3.87に
お き か え る と,X
の効 果 を補 正 した
Y=76.66+0.0250(X-55.63)
が 得 ら れ ま す.ま
た,X
を そ の 平 均 値 とお き か え る と,Z
の効 果 を補正 した
Y=76.66+22.68(Z-3.87)
が 得 ら れ ま す.
⑦ も う ひ と つ 問 題 が あ り ます.補 わ す 式 に な っ て い る よ う です が,そ
正 の 基 礎 式(3)式 は,(X,Y)→Zの
関 係 を表
う 了 解 して よ い で し ょ うか.
こ の傾 向 線 に お け るZ→Yが
(XI)に
そ の Z に 対 応 す る Y の 変 化 を示 す
対 応す る Z の平 均値 と
もの に な っ て い る こ と に 注 意 し ま し ょ う. Z の 値 域 を 制 限 し て,そ し た が っ て,Z
の 範 囲 で み たZ→Yの
関 係 に な っ て い るの で す.
が 広 い 範 囲 で か わ っ た 場 合 の Y の 変 化 を 表 現 し て い る とは い え な
い の で す. ⑧ 2つ の 説 明 変 数 を 取 り上 げ た モ デ ル を 適 用 す る た め に は,2 つ の 要 因 の 組 み 合 わせ を含 む 集 計 表 を 探 し ま し ょ う. こ こ で 取 り上 げ て い る例 題 で は,年 る 食 費 支 出 Y の 平 均 値 が,付
収 X と世 帯 人 員 Z の 組 み 合 わ せ 区 分 に 対 応 す
表 C.4の よ うに 集 計 さ れ て い ま す.次
の 表5.4.4は,
そ の 一 部 です. こ れ を 使 う と,回
帰式
Y=a+bX+cZ
を求 め る こ とが で き ま す. 計 算 を 実 行 す る と,次 ⑨
の結 果 が得 られ ま す.
Y=76.68+0.0409(X-559.3)+7.71(Z-3.87),R2=93.0% 説 明 変 数 を さ らに 増 や した い … そ こ ま で 考 え を進 め る に は,そ
(4) れ らの 説 明 変
数 の 組 み 合 わ せ 区 分 に 対 応 す る Y の 値 が 必 要 だ とい う こ とに な る の で す が,そ
うい
表5.4.4 2
う集 計 表 は,用
変 数 に よ る組 み 合 わせ 区 分 に対 応 す る デー タ
意 さ れ て い な い で し ょ う.こ の 節 で 例 示 した 扱 い 方 を 適 用 す る に は,
この こ と が ネ ッ ク とな る の で す.
問題 5
問 l 図5.1.2の
基 礎 デ ー タDK31Vに
対 し て プ ロ グ ラ ムREGO3を
に 示 す 傾 向 線Y=41.33+0.0560Xが
注:問l∼3に
適 用 す る と,図
得 られ る こ と を確 認 せ よ.
つ いて,本 文 に示 した 計 算 結 果 は 計 算過 程 で 四捨 五 入 して い るの で,
プ ロ グ ラム に よ る計算 結 果 と完 全 に は一 致 し ませ ん. 問 2 図5.3.2の
基 礎 デ ー タDK31AVに
対 して プ ロ グ ラ ムREGO3を
適 用 す る と,図
に 示 す 傾 向 線 が 得 ら れ る こ と を確 認 せ よ. 問 3 (l) 表5.3.5に
示 す デ ー タ(DK31V)に
つ い て,基
礎 デー タが平 均 値 系列 で あ
る こ と を 考 慮 し,観 察 単 位 数 を ウ エ イ トと し て 計 算 す る と100ペ が 得 ら れ る こ と を確 認せ よ.こ
の 扱 い を す る に はREGO5を
ー ジ の(3)式
使 う こ と.
(2) 観 察 値 数 の ちが い を考 慮 せ ず に 各 平 均 値 を 対 等 に 扱 う と,問
1と 同 じ傾 向
線 が 得 ら れ る こ と を確 認 せ よ. (3) 前 節 で 扱 っ た 「寄 与 率 の 見 方 」を適 用 す る場 合,(1),(2)の 結 果 の ど ち ら を 使 うか. 注:表5.3.1を
使 う と,各 区 分 の世 帯数 が 同 じだ か ら(3)の問 題 を考 え な くて す む
こ とに な る.
注:REGO5を
使 う場合,被 説 明変 数 Y,説 明 変 数 X を指 定 した後,ウ エ イ トを指
定 す る よ うに求 め て き ます.付 表C.1の 問 4 (1) 表5.3.1の
年 間 収 入 十 分 位 階 級 の う ち最 下 位 の 区 分 と最 上 位 の 区 分 を 除 い
た 8区 分 の デ ー タ を使 っ て 計 算 し,問
場 合 は,世 帯 数 N を指定 し ます.
注:デ ー タフ ァ イ ルDK31AVに
2の 結 果 と比 べ よ.
キ イ ワー ドDROP=/1/10/を
挿 入 して お け ば,第
1区分 と第10区 分 のデ ー タを除外 して計 算 され る.キ イワー ドの 挿 入 に つ い て は プ ロ グ ラムDATAEDITを (2) 表5.1.1の
使 うこ と.
年 間 収 入 階 級 の う ち世 帯 数 の 少 な い 区 分 3つ を 除 い て 計 算 し
(世帯 数 を ウ エ イ トとす る計 算 で),問
3(l)の結 果 と比 べ よ.
(3) (1),(2)の結 果 を 比較 せ よ. 問 5 (1) 表5.3.1を
使 っ て 図5.3.2を
か い た 計 算 に お い て,X2を
つ け加 え て傾 向
線 を改 善 す る計 算 を試 み て み よ. (2) こ の 改 善 の 有 効 性 を評 価 せ よ.
注:問
3で示 した よ うに,種 々の ウエ イ トづ け に よ って影 響 す る こ とを考 慮 に 入 れ
て考 え る こ と.
問 6 (1) 付 表 B を使 っ て,食 A+BX6を
計 算 せ よ(91ペ
費 支 出 Y と収 入 総 額X6の
関 係 を 表 わ す 回 帰 式Y=
ー ジ の(1)が 得 ら れ る).
(2) 付 表 B を使 っ て 集 計 し た 「収 入 十 分 位 階 級 別 平 均 値 」が フ ァ イ ルDH20V に 記 録 さ れ て い る.こ れ を使 っ て Y,X6(そ 回 帰 式Y=A+BX6を
計 算 せ よ(91ペ
れ ぞ れ 平 均 値 系 列)の 関 係 を 表 わ す
ー ジの(2)が 得 られ る).
(3) こ れ ら の 計 算 結 果 に つ い て,図5.2.1の
形 式 に 分 散 を 書 き込 め.D
の 欄,
E の 欄 に 書 き 込 む分 散 は,(1)の 結 果 か,(2)の 結 果 か を考 え る こ と. 問 7 時 系 列 デ ー タ を 使 う場 合 に 「決 定 係 数 が90%以 る よ うだ が,そ
の 理 由 を 説 明 せ よ.こ
上 で なけ れ ば な らない」とされ
れ に 対 し て,時
断 面 デ ー タ を 使 う場 合 に
は 決 定 係 数 は そ れ ほ ど大 き くは な りえ な い理 由 を 説 明 せ よ. 問 8 (1) 付 表K.1(DI30)を
使 っ て体 重 と身 長 の 関 係 を 表 わ す 回 帰 線 を求 め よ.
(2) 付 表K.2(DI41)を
使 っ て 体 重 と身 長 の 関 係 を表 わ す 回 帰 線 を 次 の 手 順 で
求 め よ.
プ ロ グ ラ ムPXYPLOTで
身 長(X)と
σXYの 計 算 結 果 が 表 示 さ れ る.そ
体 重(Y)の
れ を 使 っ て,回
集 中 楕 円 を か く と σX,σY,
帰 式Y=A+BXの
係 数 A,
B を計 算 で き る. (3) 付 表K.2を
使 っ て,身
が フ ァ イ ルDI40Xに
長 の 階 級 区 分 ご と に 体 重 の 平 均 値 を計 算 し た 結 果
記 録 さ れ て い る.こ の 平 均 値 系 列 に つ い て,体
重 と身 長 の
関 係 を 表 わ す 回 帰 線 を 求 め よ. (4) (1),(2),(3)の 結 果 と して 得 ら れ る傾 向 線 の ち が い お よ び 決 定 係 数 の ち が い は ど う説 明 さ れ るか. 問 9 (1) 表5.4.1を
使 っ て101ペ
ー ジ(1)式 に 示 す Y,X の 回 帰 式 が 得 ら れ る こ と
を確 認 せ よ. (2) 表5.4.3を
使 っ て,104ペ
ー ジの(3)式 に 示 し た Y,Z,X の 関 係 式 を 計 算
して み よ. 注:(1),(2)の 基礎 デ ー タは,デ ー タフ ァ イルDK41Vに (3) (2)で求 め た 関 係 を使 っ て,表5.4.3の
記 録 され て い る.
各 区 分 に お け る Y の 値 を世 帯 人 員
Z が 3人 に 対 応 す る 値 に 換 算 せ よ. (4) (3)で求 め た換 算 値Y*を
使 っ て,Y*と
X の 関 係 を 表 わ す 回 帰 線 を計 算
せ よ. 問10 (1) 最 新 の 「家 計 調 査 年 報 」を み て,「 食 費 支 出 」 と 「世 帯 属 性 」の 関 係 を 分 析 す るの に ど ん な デ ー タ が 使 え る か を調 べ よ. (2) 最 新 の 「全 国 消 費 実 態 調 査 報 告 書 」 を み て,同
じ こ と を調 べ よ.
6 時 系 列 デ ー タの 見 方
この章 では,時 系 列 デ ー タの 扱 い に関 す る トピ ッ ク ス を取 り上 げ ま す.多
くの 現 象 が 共 通 の 「時 の 流 れ」に乗 って 変化 し ますか ら,種 々の
情 報 を 組 み合 わ せ て使 うこ と が で き る反 面,関 連 を もつ よ う に み え て も,適 正 に解 釈 につ な が るか ど うか な ど,注 意 す べ き点 が ひ そ んで い ま す.
6.1 季 節 性 と ト レン ドの 分 離 ① こ の 節 で は,ビ
ー ル 出荷 量 の 時 系 列 デ ー タ(付 表E.1)を
例 示 に使 い ます.
た と え ば 「暑 くな っ た の で ビ ー ル の 消 費 が 増 え る だ ろ う」 とい う表 現 に は, 暑 い 季 節 に な っ た の で 例 年 ど お り増 え るだ ろ う と い う意 味 で 使 わ れ る場 合 もあ れ ば
例 年 以 上 に 暑 くな っ た の で 例 年 以 上 に 増 え るだ ろ う
と い う意 味 で 使 わ れ る場 合 も あ りま す.論 す る と き に も,そ
理 上 区 別 す べ き表 現 で あ り,デ ー タ を参 照
れ ぞ れ に 応 じた 扱 い を 要 す る こ と に な り ます.
い ず れ に し て も,ま ず,グ 次 ペ ー ジ の 図6.1.1で
ラ フ を か い て み ま し ょ う.
す.
◇ 注 この 章 では,時 の 区分 に 対 応 す る 「時 系列 デー タ」を 扱 い ます.年 齢 区分 に 対応 す る一 連 の デー タ も 「系列 デー タ」で す が,基 礎 デ ー タ が 特 定 の 時 点 に 対 応 して い ます.時 系 列 デー タの場 合,「 それ が 時の 流 れ に 沿 っ て次 々 と観 察 され る」こ とか ら,特 別 の 見 方 が 必 要 とな って きます. ② 成 分 分 解(1)
1年 を周 期 とす る変 化(四 半 期 デ ー タ で す か ら 4点 で 1年)が
存 在 す る こ と は は っ き り して い ます.し る よ うで す.た で は 難 し く,
か し,変 化 の 大 き さや 形 に 微 妙 な ち が い が あ
とえば 「 例 年 以 上 に 増 え た 」 とい う発 言 を 裏 づ け る た め に は,こ
の図
季 節 性 に 対 応 す る変 化 季 節 に か か わ らな い 変 化 を わ け て よ め る よ うに,情 た とえ ば,次
報 を分 解 す る こ と を考 え る の で す,
ペ ー ジの 表6.1.2の
よ うに す るの で す.
表 の l番 目 の ブ ロ ッ ク の 数 字(基 礎 デ ー タ)に つ い て,2 番 目の ブ ロ ッ クが 季 節 性 に 対 応 す る 差,3 番 目 の ブ ロ ッ クが 季 節 に か か わ ら な い 差 を 求 め て い ます(4 番 目の ブ ロ ッ ク に つ い て は 後 で 説 明). い ず れ も 「差 」の 計 算 で す が,差
の と りか た が ち が い ます か ら,以 下 で は,次
の記
号 を 使 っ て 区 別 し ま し ょ う.
基礎 デー タ
前 期 との 差 ⊿mX(n,m)=X(n,m)-X(n,m-1)
X(n,m)
前 年 同 期 との 差
⊿nX(n,m)=X(n,m)-X(n-1,m)
差 を と る 演 算 記 号⊿ に,差 次,mが
を と る 方 向 を 表 わ す 添 字 を つ け て い る の で す. nが
月(こ の例 で は 四 半 期 デ ー タ で す が)を 示 す と了 解 して くだ さ い. 図6.1.1
デ ー タ は,蓑
ビー ル 出荷 量 の 時 系 列 デ ー タ
谷 千 鳳 彦 『回 帰 分 析 の は な し』(東京 図 書,
1985)か ら 引用.生
産 者 か ら販 売 者 へ の 出 荷 に 関 す る
数 字 で あ ろ う.
予 測 時 系 列 デ ー タ の 分 析 で は,新 報 に も とづ き,た
し い 時 点 の デ ー タ が 得 られ た つ ど,そ の 新 し い 情
とえ ば 経 済 情 勢 や 景 気 動 向 を 判 断 し ま す.そ
の 場 面 で は,過
去
の 傾 向 を 参 考 に す る に して も,関 心 は 「将 来 の 動 向 の 予 想 」で す .過 去 の あ る期 間 の 情 報 を そ の 範 囲 で 分 析 す る 場 合 も あ り ま す が,時 は,将
系 列 デー タ の分 析 の 主題
来 の 予 測 に つ な げ る た め に,最 近 の 情 報 に ウ エ イ トを お い た 分 析 です.
そ の 意 味 で,一 般 の 「系 列 デ ー タ 」 と異 な っ た 扱 い が 考 え られ る の で す.
年
表6.1.2
原 系 列 の 各 行 は 年 次,各 応 し ます.四
時 系 列 デ ー タの 分 解(1)
列 は四半 期 区分に 対
半 期 別 に 大 き い 差 が あ る こ とが わ
か り ま す が,問
題 は,そ
の 差 が 大 き い 年,小
さ
い年 が あ る こ とで す.
#1 の数 字 が 出 た 時点 で は 例 年 どお り減 って い る(対 前 期 差), 前 年 と比 べ て 大 き い傾 向(対 前 年 差)は,こ
れ
まで と同 様 だ …
新 しい 数 字 が 出 た と き,今 年 は … と よ む 場 面
この よ うに よめ ます.
を 想定 しま し ょ う.
こ の よ う に 「差 」が ど う か わ っ た か を み ま す.
#2 の 数 字 が 出 た 時 点 で は
例 年 以 上 に 減 っ た(対 前 期 差 の 差),前
差 が プ ラ ス か らマ イナ ス に か わ っ た(対 前 年
差 の 差)… この よ うに よめ ま す.
年 との
す なわ ち 「差 の 差 」を み る の で す. 「差 の 差 」が #2で 大 き くち が うこ と に 注 目 し ま し ょ う. #1 で は,差
の 符 号 が か わ っ た こ とに 注 目 さ れ
るで し ょ う. 注:た
とえ ば #1の デ ー タが 得 られ た 時 点 で は 「そ れ 以 前 の 3期 間 に 正 で あ っ た も の が 負 に か わ っ た 」
と い え ます が,そ
の変 化 が 「さ ら に つ づ くか 」ど うか は 「予 測 の 問 題 」に な り ます.新
タが 得 られ た とき に確 認 す る に して も,そ れ を待 た ず に 判 断 した い … そ れ が,予
しい時点の デー
測 の 問題 で す.
③ 表 で取 り上 げ てい る指 標 は いずれ も,時 系列 デー タの差 を表 わす もの です が, 季節 変動 をみ るための 差
…… 対前期 差
季節 にか か わ らない趨 勢 をみ るため の差 …… 対前年 同期 差
と使 い わ け て い る の で す が,表
の4番
目に 例 示 した よ う に,こ
が ど っか わ っ た か を よむ こ と が 考 え ら れ ます.い 差 を 測 る の で す が,差 比 べ るの で す.記
れ ら の 差 に つ い て,差
い か え る と,こ の 表 の 情 報 に よ っ て
が 例 年 どお りか 否 か を み る た め に,た
と え ば,前
年 の指標 値 と
号 で い うと
対前期差 の変 化 をみ るため に 対 前年 同期差 の変化 をみ るため に を 使 い ま す.い
わ ば 「差 の 差 を み る こ と で 変 化 を検 出 す る」の だ と い っ て よ い で し ょ
う.論 理 的 に は,「 差 を計 測 す る指 標 に つ い て そ の 値 の 差 を み る」 と い う こ とで す. そ れ ぞ れ 見 方 の ち が う指 標 で す が,数
値 と して は,こ
れ ら は 等 し くな りま す.す
な
わち
が 成 り立 っ て い る の で す. こ れ を⊿2X(n,m)と
表 わ す こ と に し ま し ょ う.
対 前 期 差 の 変 化 を み る た め の 差,対
前 年 同期 差 の 変 化 を み る た め の 差 とい う呼 び 方
をす る必 要 は な い の で す. ④ こ の 「 差 の 差 」の 大 き い 箇 所 に 注 目す る こ と に よ っ て,季 か わ っ た と こ ろ,あ 表6.1.2の
るい は,趨
場 合 に つ い て は,#1,#2の
ば⊿2X(n,m)の
節 変 化 の パ ター ン が
勢 が か わ っ た と こ ろ を検 出 で き ま す. 箇 所 を ピ ッ ク ア ッ プ し て い ます が,た
標 準 偏 差 を計 算 し て そ の3倍
を こ え る と こ ろ と か,ボ
トに よ っ て ア ウ トラ イ ヤ ー と指 摘 さ れ る と こ ろ と い う形 で,客
とえ
ッ クスプ ロ ッ
観 的 な 手順 に す る こ と
も考 え られ ます. ⑤ こ の 成 分 分 解 で,前
月 ま た は 前 年 の 値 と 比 べ る の は,「 最 近 の 情 報 を 使 っ て 」
変 化 を み よ う と い う趣 旨 で す.し
た が っ て,そ
の 変 化 を 比 較 す る た め の 基 準 も,な
る
べ く新 し い デ ー タ を使 お う … こ うい う意 図 に た っ て組 み 立 て て い る の で す . ⑥ 成 分 分 解(2)
こ れ に 対 し て,あ
る 期 間 に 注 目 して そ の 期 間 中 の 変 化 を 把 握
し,説 明 し た い と い う問 題 設 定 も あ りえ ます. そ れ な ら,「 前 期 ま た は 前 年 同 期 と比 較 す る」 と し た と こ ろ を,「 期 間 中 の 平 均 値 と 比 較 す る 」形 に お き か え る こ とが 考 え ら れ ま す.
図6.1.3
分 解1に
お け る差 の 差⊿2X(n, m)の 分 布
ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト に よ る 表 現 で す.シ リー ズ第1巻
『統 計学 の 基礎 』を参 照.
基礎 デー タ 前期 との差 前年 同期 との差 に よ っ て 差 を 測 り,こ れ らの 差 が 例 年 どお りか 否 か をみ る た め に は,
対前 期差 の変 化 対前 年 同期差 の変 化 を使 う の で す.こ
れ ら の 表 現 に お け る*は
均 を と っ た も の を 意 味 し ま す.た 四 半 期 デ ー タ な ら4)の
そ の 箇 所 の 区 分 番 号 の あ る範 囲 に つ い て 平
と え ばX(n,*)
は,1年
分(月 別 デ ー タ な ら12,
デ ー タ の 平 均 で す.
「 差 の 差 」に つ い て,
が 成 り立 っ て い ま す. こ れ らの 量 を 計 算 す る た め に は,各 X(*,m)
年 別 の 平 均 値X(n,*)
と各 四 半 期 別 の 平 均 値
お よ び デ ー タ全 体 で の 平 均 値 が 必 要 で す.
表6.1.4は,基 表6.1.5は,こ 表6.1.2と
礎 デ ー タ に,こ
れ ら の 平 均 値 を 計 算 し付 記 した もの で す.
れ ら の 平 均 値 を 使 っ て 計 算 した 成 分 分 解 表 で す. ほ ぼ 同 様 な 見 方 が で き ま す が,変
化 を検 出 す る た め の 基 準 が ち が って い
ます. 基 準 の 選 択 に お い て,表6.1.2の の 値 を 使 う,表6.1.5の
場 合 は最 近 の 情 報 に 重 き を お い て 先 月 ま た は 前 年
場 合 は 取 り上 げ た範 囲 全 体 に 同 じウ エ イ トを お い て 計 算 し た
平 均 値 を使 う … こ う い う考 え 方 で す. い わ ば,「 昔 と 比 べ れ ば か わ っ た の は 当 然,最
近 の 変 化 をみ よ う」 と い う時 系 列 の
見 方 に も とつ く発 想 と,「 か わ っ て い る ・い な い の 判 断 基 準 と して 平 均 値 を使 う」 と い う一 般 的 な 見 方 に も とつ く発 想 の ちが い で す. 表6.1.4
変 化 を検 出す る ため の基 準
表6.1.5
こ の部 分 は,す
べ て,同
時 系 列 デ ー タの 分 解(2)
じ平 均 値 を 基 準 と して
列 方 向 に 並 ん だ4つ ます.そ
もち ませ ん.
半 期 別 差 異 が どの 年 も同 じか ど うか を み ます.
行 方 向 に並 ん だ9つ す.四
の数字が 各年次 に対応 しま
半 期 の影 響 は 消 去 され て い ます か ら,そ れ
の 差 は,明
の数 字が各 四半期 に対応 し
み て い ます か ら,各 部 分 の 差 を み る とい う意 味 を
年 次別 傾 向,四
らか で す.こ
こ で は,そ
の四
半期別傾 向のいず れで も説明 で
きな い 変動 を 測 っ た もの に な っ てい ます.
に か か わ ら な い年 次 傾 向 の 有 無 を み る ため に 使 い
一 般 に は0に
近 い値 に な る で し ょ うが,特
別 な
ます.
事 態 が 発生 した と き大 き くな り ます か ら,そ
うい
う事 態 の発 生 を検 出 す る 手 が か りに な りま す.
⑦ 分 散 分 析 成 分 分 解(2)で
は,変
化 を み る 指 標 値 の 分 散 を 使 って 分 散 分 析
(差 の 大 き さ を 測 る 指 標)の 形 に 組 み 立 て る こ とが で き ます. す な わ ち,表
の 各 ブ ロ ッ クの 数 字 が 「平 均 値 か らの 偏 差 」に な っ て い ま す.さ
らに
くわ し くい う と,「 ブ ロ ッ ク全 体 で の 平 均 値 を基 準 と した 偏 差 」,「行 方 向 の 平 均 値 を 基 準 と した 偏 差 」,「列 方 向 の 平 均 値 を 基 準 と した 偏 差 」に な っ て い ま す. し たが って,そ か,い
れ ぞれ の 偏 差 の大 き さ を 評 価 す る分 散 を 使 っ て,ど
の偏 差 が大 きい
い か え る と,ど の 基 準 が 「デ ー タ の 変 化 の 説 明 要 因 」 と し て 有 効 か を 判 断 す る
手 順 を 組 み 立 て る こ と が で き ます. ⑧ これ が 「分 散 分 析 表 」(表6.1.6(a))で これ に よ っ て,そ
す.
れ ぞ れ の 成 分 の 寄 与 度 を 測 る こ と が で き る の で す.
た と え ば,表6.1.5の3番
目 の ブ ロ ッ ク は,各
年 ご とに 求 め た 「4つ の 四 半 期 デ ー
タ の 平 均 」を 基 準 と した 偏 差 で す. し た が っ て,そ 散 が104080か
う い う 「基 準 」を採 用 す る こ と に よ っ て,デ
ら15108に
減 少 した こ とが わ か り ます.こ
用 した 基 準 の 有 効 度 を 測 る 」こ とが で き る の で す.こ 効 度 を 測 る も の に な っ て い ま す.こ
ー タ の 変 動 を表 わ す 分
の 減 少88972に
の 場 合 は,四
よ っ て,「 採
半期 別 平均 値 の有
れ を減 少 率 の 形 で 表 わ し た85.4%が
「決 定 係 数 」
です. ま た,各
四 半 期 ご と に 求 め た 「9つ の 年 別 デ ー タ の 平 均 値 」を 基 準 と し た 偏 差 を
使 っ た 場 合 の 分 散 の 減 少104080―94856=9224に
よ っ て,そ
の 有 効 度 を 測 る こ とが で
き ま す. 4番 目 の ブ ロ ッ クの 数 字 は,年 次 区 分 別 平 均 値 お よ び 四 半 期 区 分 別 平 均 値 を組 み 合 わ せ た 基 準 値 か ら の 偏 差 です.し
た が っ て,こ
れ ら2つ の 要 因 の い ず れ で も 説 明 さ れ
ず に 残 っ た 変 動 で す. この よ うな 分 析 結 果 を ま とめ た の が,表6.1.6(a)で 例 示 の 場 合,四 明 され る の は85%に
す.
半 期 別 平 均 値(年 別 デ ー タ の 平 均 値)を 基 準 と す る こ と に よ っ て 説 達 す る の に 対 して,年
とす る こ と に よ っ て 説 明 さ れ るの は9%,い
平 均 値(四 半 期 別 デ ー タ の 平 均 値)を 基 準 ず れ で も 説 明 さ れ ず に 残 る 部 分 は6%だ
とい う こ と で す. こ の 分 散 分 析 表 は,こ
の よ うな 形 で 「デ ー タ の もつ 変 動 を,要
表6.1.6(a)
分 散 分 析 表 for 要 因 分 析
表6.1.6(b)分
散 分 析 表 for 仮 説検 定
因別 に わけ て評価 す
図6.1.7
ビ ー ル の 消 費 量(平 均 的 季 節 変 動 との差)
る」機 能 を もつ もの で す. ⑨ こ こ で,「 い ず れ で も 説 明 さ れ ず に 残 っ た 部 分 」を 誤 差 だ と み な す な ら,あ 確 率 分 布(普 通 は 正 規 分 布)を もつ 変 動 だ と仮 定 で き る場 合 に は,そ とに よ っ て,他
の 成 分 が 「誤 差 範 囲 を こ え て い る 」こ と を検 定 で き ます.そ
方 を す る と き に は,表6.1.6(a)の
る
れ と対 比 す る こ
分 散 分 析 表 の か わ り に,表6.1.6(b)の
う い う見 形式 の分
散 分 析 表 を使 い ます(本 シ リー ズ 第 1巻 『統 計 学 の 基 礎 』 を参 照). こ の例 で は,年
次 間 変 動 も 「誤 差 範 囲 」を こ え て い る と判 定 さ れ ます.
⑩ 時 系 列 解 析
時 系 列 デ ー タ の 変 動 に つ い て,説
明 変 数 を 入 れ ず,そ
の 「時 間
的 推 移 を 表 わ す 傾 向 線 を 見 出 す 」扱 い 方 を採 用 す る こ と も あ り ます. こ の 節 の デ ー タの 場 合 に つ い て は,次
の よ う な 傾 向 線 が 計 算 され ます.
Y(T)=549.01D1
+1194.40D2
+1253.55D3
+756.54D4+8.7340T,
こ こ で,D1,D2,D3,D4は,そ
R2=93%
れ ぞ れ1∼3月,4∼6月,7∼9月,10∼12月
す る ダ ミー 変 数 です.図6.1.7は,こ 1983年 の7∼9月,10∼12月 れ を ど う説 明 す る か,あ
に対 応
の 傾 向 線 を書 き込 ん だ もの で す.
の 値 が 傾 向 と大 き く外 れ て い る こ とが わ か り ます.そ
る い は,さ
か の ぼ っ て,傾
向 線 を ど う説 明 す るか を考 え る た
め に は な ん ら か の 説 明 変 数 を入 れ る 方 向 で 分 析 をつ づ け る こ とが 必 要 で す. ⑪
季 節 性 を説 明 す る 変 数 の 導 入
こ れ ま で の 説 明 で は,「 季 節 性 を 四 半 期 区 分
に 対 応 す る差 」 とみ な し て い ま し た が,現 は な い」 と い う観 点 で は,な
象 は 「時 計 の 動 き に よ っ て 変 化 す る もの で
ん らか の 説 明 変 数 を導 入 す る方 向 へ 進 む べ き で す.た
え ば,「 季 節 差 す な わ ち気 温 の 差 」 と説 明 で き る よ うに,変 こ と も考 え ら れ ま す. 例 示 の 場 合 に は,
と
動 の 説 明変 数 を導 入 す る
気 温 を 説 明 変 数 と す る 回 帰 式 を使 う こ とが 考 え られ ま す が,必
ず し も簡 単 で は あ り ませ ん.
人 が 感 じ る 季 節 性 は,気
温 の 差 だ け で は な い.ビ ー ル を 飲 む の は ど ん な と きか を 考
え れ ば,「 気 温 だ け で 説 明 で き る は ず は な い 」と い う コ メ ン トが 出 る で し ょ う. 多 分 そ う で し ょ うが,ま
ずは
「気 温 で ど の 程 度 説 明 で き るか を計 測 しよ う」 と い う進 め 方 を採 用 し ま し ょ う. 図6.1.8
は 気 温 の 季 節 変 動(実 線)で す.ビ
こ れ で み る と,う
ー ル の 消 費 量(点 線)と 重 ね て あ り ます.
ま く説 明 で き そ う で す が,図6.1.9の
よ うに,横
軸 に 気 温,縦
軸
に ビー ル 出荷 量 を と って そ れ ら の 関 係 を プ ロ ッ ト し て み る と,両 者 の 関 係 が 「直 線 関 係 で な い 」 こ とが わ か りま す. し た が っ て 直 線 を想 定 した 回帰 式 で は 十 分 な 説 明 力 は 得 られ な い と予 想 され ま す. 実 際 に 計 算 して み る と,次 の よ うに な っ て い ます.
Y=420.7+42.650U,残
差 分 散=21065,決
図6.1.8
図6.1.9
定 係 数=80%
ビー ル 消 費 量 と気 温 の 季 節 変 動
ビー ル 消 費 量 と気 温 の 関係
気 温 を 考 慮 せ ず に 「ビ ー ル 出荷 量 の 四半 期 別 平 均 」を 基 準 と した 決 定 係 数 が85%で した.「 せ っ か く気 温 を考 慮 に 入 れ て も,直 線 性 を仮 定 し た の で は 効 果 が な い 」 と い う こ とで す. そ こ で,決
定 係 数 を改 善 す る ため に,
「 非 直 線 の モ デ ル を考 え る 」 こ と が 考 え られ ま す.し
か し,同
じ15度
で も春 の15度
と秋 の15度
では ビー ル出荷
量 が ち が い ま す か ら,「 気 温 」の 数 値 に こ だ わ らず,「 春 夏 秋 冬 」に よ る ちが い と い う 説 明 で80%と
い う大 き い 値 に な る の で す か ら,そ れ で 十 分 だ と し て よ い で し ょ う.
個 人 差 が 関 与 す る問 題 に お い て は,こ 試 して み る とい う こ と な ら,た
れ 以 上 を期 待 す るの は 無 理 で し ょ う.
と え ば春 す な わ ち 気 温 上 昇 期 と,秋 す な わ ち 気 温低
下期 を区 別 す る ため に
各 期 の 気 温 の ほ か に,前 期 と の 差 を 説 明 変 数 に 入 れ た ら ど うか
と い う案 も あ り え ま す. ま た,基
礎 デ ー タ の 方 に も注 意 を向 け ま し ょ う.デ ー タ の 性 格 に よ っ て は,気
変 化 に 即 応 し て 出荷 量 が か わ る もの とは 限 らな い,予 し ょ うか ら,タ
温の
報 を参 考 に して 生 産 出荷 す る で
イ ム ラ グ を考 慮 せ よ … と,話 が 難 し くな り ます.
⑫ 春 夏 秋 冬 とい っ た 大 きい 変 化 は 自明 だ, 「 今 年 の 夏 は 例 年 以 上 に 暑 い」 と い っ た こ とが 効 い て い る そ うい う 問 題 提 起 な ら,
夏 の 消 費 の 年 次 系 列 を 夏 の 気 温 と対 照 す る形 で み た ら ど うか
これ も,有 力 な 提 案 で す. こ の 案 を試 し て み ま し ょ う. 図6.1.8に
お け る4∼6月
の 部 分 に 注 目す る と,こ
の 扱 い で も気 温 の 効 果 と し て は
説 明 され な い よ うで す. 回帰式 は
Y=-327.7+91.066U,決
と計 算 さ れ,ビ
定 係 数 は22%
ー ル 消 費 量 の 分 散 が14754だ
基 準 と して も11583と
っ た もの が,こ
他 の 季 節 に つ い て も,同 様 に 計 算 し た結 果 を表6.1.10に 7∼9月
につ い て は,他
くな っ て い ま す.こ
の回帰 式 に よる計算値 を
わ ず か に か わ る だ け で す. 決 定 係 数 は22%で
の 年 次 と著 し くち が う1983年
す.
あ げ て お き ま し ょ う.
の値 の 影 響 で 残 差 分 散 が 大 き
れ ら の値 に何 か 特 有 の事 情 が 効 い て い る の で は な い で し ょ うか.
1∼3月 に つ い て は,気
温 と ビ ー ル 消 費 の 関 係 が 負 に な っ て い ま す.
要 約 す る と … 気 温 との 関 係 と し て 説 明 さ れ る の は,
春 夏 秋 冬 に 対 応 す る大 きい 変 化 ま で
で し ょ う.そ れ 以 上 に 細 か く立 ち入 っ た説 明 は 難 し い よ うで す. ⑬ 季 節 性 と トレ ン ドを 分 離 す る
関 心 は トレ ン ドの 方 だ,そ
季 節 性 の 説 明 は 省 略 して 季 節 の 影 響 を 除 去 す る
れ な ら,
表6.1.10
図6.1.11
ビー ル 出荷 量 と気 温 の 関 係 を示 す 傾 向 線
ビ ー ル 出 荷 量(移 動 平 均 に よ る長 期 トレ ン ド)
こ と を 考 え ます. た とえ ば,こ
れ ま で の 分 析 例 の よ う に 「同 じ季 節 の 値 を抜 き 出 して 比 較 す る」 こ と
に よ っ て 「季 節 に か か わ ら な い 見 方 」が で き ま す が,平
均 値 を計 算 す る た め に 過 去 数
年 の 情 報 を使 う形 に な っ て い ます. 新 しい 情 報 を使 っ て 最 近 の 変 化 を す ぐ に 探 知 す る(変 化 が あ れ ば そ れ を探 知 す る) とい う 目的 に対 応 す る に は
1年 分 の 平 均 値 を使 え ば 春 夏 秋 冬 の 影 響 が 消 去 さ れ る
こ と を利 用 し ます. こ の 平 均 値 は,毎
月 新 し い 月 の 情 報 を使 っ て 計 算 し な おせ ます か ら,変
化 を探知 す
る た め の指 標 に な りえ ます. 平 均 を と る範 囲 を ず らす こ とか ら,移 動 平 均 と よば れ て い ます. こ の 場 合,1 月 か ら12月(ま の 中 央 に対 応 させ る と,6.5月(ま か ら,次 の よ う に13か
た は 第 1四 半 期 か ら 第4四 た は 第2.5四
月 分(ま た は 5四 半 期 分)の デ ー タ を使 っ て,6 月 の 情 報(ま
た は 第 2四 半 期 の 情 報)だ と解 釈 で き る よ う に し ます.
半 期)ま で の 平 均 値 を 期 間
半 期)の 情 報 だ とい う こ とに な り ます
1/12[X(I-6)/2+X(I-5)+…+X(I)+…+X(I+5)+X(I+6)/2]
1/4[X(I-2)/2+X(I-1)+X(I)+X(I+1)+X(I+2)/2] 図6.1.11は,ビ
ー ル の 消 費 量 に つ い て,こ
の 移 動 平 均 を 適 用 し た結 果 を 図 示 し た
もの で す. 消 費 量 が 漸 増 し て い る傾 向 が よみ とれ ま す. 季 節 変 動 と 比 べ て 変 動 幅 は 小 さ い も の の,変
化 の パ タ ー ン は は っ き り して お り,
ビー ル の 消 費 量 を増 や す 要 因 が 存 在 して い る よ う です, ◇ 注 この移 動 平均 法 をべ ー スに して
長期 トレ ン ド,1 年 以 外 の周 期 を もつ 循 環 変動,季 節 変化
な どを分 解 す る 「季 節変 動 調 整 法 」が提 唱 さ れて い ます.ま た,多
くの 経 済 統 計 につ い て
は,そ れ を適 用 した結 果 が公 表 され てい ます,
6.2 タ イ ム ラ グ ① 例
題
図6.2.1は,離
婚 率 の 推 移 を1947年
か ら1980年
までの期 間につ い
て み た も の です. 最 近(今 は1980年
と思 っ て くだ さ い)の 増 加 傾 向 は 今 後 もつ づ くで し ょ うか.
こ の 問 い に 答 え る の が,こ な お,離
の 節 の テ ー マ で す.
婚 率 の 分 母 は,結 婚 件 数 と して い ます.
人 口の 今 後 を決 め る有 配偶 者 数 を 増 や す 要 因 と,減
らす 要 因 を 対 比 し よ う とい う趣
旨 で す.
図6.2.1
離婚率の推移
図6.2.2
結 婚 数 と離 婚 数
② 予
測
Y=f(t)の
い う形 で の 予 想 は,一 せ ん.ま
形 を 表 わ す 傾 向 線 を求 め て,そ
れ を先 に 延 ば す … そ う
般 に は あ た り ま せ ん .あ た っ て も 「変 化 の 説 明 」に つ な が りま
た,変 化 の 要 因 を 表 わ す 変 数X(t)を
て い る と い う こ とだ け で は 不 十 分 で す.因
探 り,Y(t)とX(t)と
が 同 じ形 で 動 い
果 関 係 が な くて も同 じ傾 向 を 示 す 場 合 が あ
る か ら で す. 「現 象 の 予 測 」に つ な ぐた め に は, 原 因 の 発 生 が あ っ て,あ
る期 間 た っ て 結 果 が 発 生 す る
そ うい う関 係 を もつ 変 数 対 を見 出 す こ と を考 え な け れ ば な ら な い の で す. ③
例 題 で は,結
婚 ⇒ 離 婚,と
い う順 に 発 生 し ます.統
計的 な対 応 関係 をみ よ う
と い う こ と で す か ら,因 果 関 係 と い う コ トバ を厳 密 に 考 え る必 要 は あ り ませ ん.こ ら の イベ ン トの 発 生 に 関 して,X
が 増 え た /減 っ た,数
れ
年 し て Y が 増 え た /減 っ た と
い う対 応 関 係 に 注 目す れ ば よ い の で す. 結 婚 ⇒ 出産 ⇒ 結 婚 適 齢 期 の 人 口 ⇒ 結 婚,と を と も な う変 化 で す が,そ
い う序 列 も考 え ら れ ま す.長
れ ゆ え に 長 い 先 の 予 想 に 役 立 つ わ け で す.だ
い間 隔
か ら,こ れ も
探 求 して み る と よ い で し ょ う. ④
傾 向 性 の 把 握(定 性 的 予 測)
図6.2.1で
形 に 表 わ して い ます か ら,結 婚 ⇒ 離 婚,あ
は,離
婚 数 と 結 婚 数 と を 「比 率 」の
る い は 結 婚 ⇒ 次 の 世 代 の 結 婚,の
関連性
を よみ とれ ませ ん. 図6.2.2の
よ うに 改 め て み ま し ょ う.こ の 図 な ら,提 起 した 見 方 が 可 能 と な り ます.
結 婚 ⇒ 離 婚,の
関 連 に つ い て は,た
とえば
1955年
ご ろか ら の 結 婚 数 増 加 ⇒1965年
ご ろか らの 離 婚 数 の 増 加
1965年
ご ろ か らの 結 婚 数 増 加 ⇒1973年
ご ろか らの 離 婚 数 の 増 加
と対 応 して い ます か ら,
1973年
が1980年
ご ろ か らの 結 婚 数 減 少
以 降 の 近 い 時 期 に,離 婚 数 の 減 少 に つ な が る と予 想 で き る で し ょ う.
ま た,結
婚 件 数 に つ い て は,1947年
し て い る よ う で す.そ
1955年
か ら数 年 間 の 減 少 が1973年
か らの 減 少 に 対 応
の こ とか ら,
ご ろ か ら の 結 婚 件 数 の 増 加 が,1980年
以 降 に結婚 件 数 の 増加 につ な
がる と予 想 で き る で し ょ う.1980年
か ら だ とは い え ませ ん が,1980年
以 降 の近 い時期 に
そ う な る だ ろ う と い う予 想 で す. よ っ て,図6.2.3お
よ び 図6.2.4に
も ち ろ ん 定 性 的 な 説 明 で す か ら,こ す も の で は あ り ませ ん.し
書 き込 ん だ 矢 印 の 方 向 が 予 想 さ れ ます. れ ら の 図 の 矢 印 の 長 さ は,変
た が っ て,図6.2.3の
化 の 大 き さを表 わ
矢 印 も右 下 方 向 と い う程 度 に 受 け
と って くだ さ い. ⑤
計 量化 のた めの手 順
形 式的 に いえば
以 上 の 予 想 を 計 量 化 す る こ と を 考 え ま し ょ う.
図6.2.3
離婚 率 の推 移 と予 想 され る
図6.2.4
a.X(t-d)⇒Y(t)の b.相 c.こ
離 婚 数 と結 婚 数 の推 移 と予
想 され る変化
変化
相 関 関 係 を み る た め に 相 関 係 数 を 計 算 して み る.
関 が 高 い な ら,Y(t)をX(t-d)で
説 明 す る傾 向 線(回 帰)を 求 め る,
の 傾 向 線 で 表 わ さ れ る 関 係 が 今 後 もつ づ く と想 定 し て,X(t0)ま
(今 がt0)に 対 応 す るY(t0)以
での 値
降 の 値 を計 算 す る.
とい う手 順 を採 用 す るの で す. 時 系 列 デ ー タ の 場 合,何 係 数 と よ び ます.時
期 か の 時 点 を サ ン プ ル とみ て 計 算 した 相 関 係 数 を系 列 相 関
点 をず ら し て 対 応 づ け す る こ とが あ りえ ます か ら,次
の よ うに ラ
グ をつ け る場 合 を含 め た 定 義 に な り ます. 〓XI,YIは
い ず れ も標 準 化 され て い る もの とす る.
こ の 定 義 で 2つ の 変 数 X,Y が 同 じ も の の 場 合 を,自 ⑥ 例 示 の 場 合
X(=結
算 した 結 果 が 表6.2.5で ラ グ の 幅,計
婚 件 数),Y(=離
己相 関 係 数 と よ び ま す.
婚 件 数)に つ い て 系 列 相 関 係 数 を 計
す.
算 に 用 い る範 囲 を か え て い く とお りか の 計 算 を し て い ま す.
範 囲 は,1980年
ま で の デ ー タ を 使 う もの と し て 決 め て い ます.た
す み の0.36は,定
義 式 のnを1958年
か ら1977年
と したXnとYn+3の
で き る だ け 新 し い期 間 に つ い て 計 算 し た値 をみ る た め に は,右 い くこ とに な り ます .こ
とえ ば表 の左 下 相 関 係 数 で す.
下 か ら斜 め 上 に み て
の例 の 場 合 そ れ らが 最 も高 い値 に な っ て い ます か ら,そ
囲 で選 択 し ま し ょ う.ラ グ の 長 さ が 8,9,10,11の あ た りが 有 力 な候 補 で す.相 は,0.95に
達 して い ま す.
の範
関係 数
表6.2.5
表6.2.6
結婚 件数 と 1世 代 前 の 結 婚 件 数 との 系 列 相 関係 数
結 婚 件 数 に つ い て は,図 し た.相
結 婚 件 数 と離 婚 件 数 との 系列 相 関 係 数
の よ う に 「1世 代 前 の 結 婚 件 数 」 と を 結 び つ け て 説 明 し ま
関 係 数 も,結 婚 件 数 の 時 系 列 デ ー タに つ い て タ イ ム ラ グ を考 慮 に 入 れ た 系 列
相 関 係 数 を計 算 して い ます. そ れ が,表6.2.6で
す.
長 い ラ グ を と る 関 係 で 計 算 対 象 期 の 選 択 が 限 ら れ ます が,期 24年 とす る こ と に よ っ て 相 関 係 数0.95が こ れ ら の 候 補 に つ い て,回
間 幅 を23年
あ るいは
達 成 さ れ て い ま す.
帰 係 数 を 計 算 して 比 較 し,次 の 回 帰 式 を採 用 す る こ とに
し ま し た.
「結 婚 ⇒ 離 婚 」の 関 係:Y(t)=-59953+0.18865X(t-9)
「結 婚 ⇒ 結 婚 」の 関 係:Y(t)=283375+0.31384X(t-23)
「結 婚 ⇒ 結 婚 」に お い て,相
関 係 数 最 大 の と こ ろ を避 け た の は,対
象 期 間 に1947
年 を 含 め る と 異 常 な 結 果 とな る た め で す. こ れ ら の 式 に よ る予 測 値 を書 き込 ん だ の が,次 ⑦ 予 測 の 評 価 つ き予 測 で す.
の 図6.2.7,6.2.8で
す.
予 測 は,「 過 去 の 傾 向 が そ の ま ま つ づ く とす れ ば 」 と い う条 件
図6.2.7
注:回
図6.2.8
離婚率の推移予 測
帰式 に よ る計 算 値 は,1980年
離 婚 数 と結 婚 数 の推 移 予 測
の 計 算値 と観 察 値 が 一 致 す る よ う に
調 整 して あ り ます
した が っ て,過 去 の 傾 向 が か わ る と,予 測 ど お りに 動 か な い こ と が,当
然,あ
りえ
ます. そ の 場 合 も,「 予 測 が あ た ら な か っ た か ら,予 測 は 無 意 味 だ 」 と い う こ と で は あ り ませ ん. 「状 態 が 変 化 した の で は な い か 」 と い う感 触 が あ っ た が ゆ え に 「予 測 した い 」 と い う 問 題 提 起 が な さ れ た の で し ょ う. よ っ て,予
測 どお りに 動 か な か っ た 場 合,
「過 去 の 傾 向 と ちが っ た 状 態 に な っ た 」と い う事 実 を確 認 で き た こ と に な り ます か ら,そ の 意 味 で,有
効 だ っ た と評 価 す べ き で す.
た だ し,い ず れ に して も, 予 測値 と実 績 値 を 比 べ る フ ォ ロー ア ップ が 必 要 で す. 例 示 の 場 合,1980年
以 降 の 実 績 値 を 図 示 す る と次 の 図6.2.9,6.2.10の
よ うに
な っ て い ます. こ れ らの 図 か ら,「 離婚 件 数 が 減 少 に 転 ず る時 期 が 予 想 よ り遅 れ た 」 こ と が よ み と れ ます が,新
し い 時 点 の デ ー タ に つ い て 系 列 相 関 を 計 算 す る(こ の 結 果 は 省 略)と,
「結 婚 件 数 が 予 想 よ り も減 っ た こ と」,ま た は 「ラ グ が 長 くな っ た こ と」が,そ
の もと
に あ る と判 定 さ れ ます. ⑧
ま とめ
「 傾 向 を見 出 す 」 と い う 意 味 で は 共 通 性 を も つ に し て も,適 用 す る
手 法 と し て 次 の 場 合 を は っ き り区 別 し ま し ょ う.ど の 場 合 も,変 化 に 影 響 す る 説 明 要
図6.2.9
因 を取 り上 げ て,そ
図6.2.10
離婚率の推移予測
れ との 関 係 を 求 め ます が,こ
に 例 示 す る よ う に,扱
離婚 数 と結 婚 数 の 推移 予 測
の 節 で 例 示 し た よ うに,ま
た,次 節
い 方 を 考 え るべ き点 が い くつ か あ り ま す.
観 察 値 の 範 囲 で,傾
観 察 値 の 範 囲 で 見 出 され た 傾 向 が そ の ま まつ づ く と仮 定 し て,予
向 性 と個 別 性 を見 出 す
条 件 との 変 化 を考 慮 に 入 れ て,予
測す る
測す る
6.3 変 化 の 説 明 ① こ れ ま で の 節 で は,観
察 値 に も とづ い て定 め た 回 帰 係 数 を 手 が か りに して,現
象 の 説 明 を 展 開 して い ます.い
い か え る と,回 帰 分 析 を適 用 す る た め に 使 っ た観 察 値
の 範 囲(時 系 列 デ ー タ の 場 合 で い え ば 期 間)で 求 め た 情 報 が,そ
の 範 囲 で適 合 す る と
仮 定 して い る こ と を意 味 し ます. 一 般 に は 認 め て よ い仮 定 で し ょ うが,時 い 問 題 場 面 が あ り ます.た
と えば,状
系 列 デ ー タ を 扱 う場 合 に は,そ
態 が か わ っ た と い う前 提 の も とで,そ
ういいに く の 変化 を
表 現 す る モ デ ル を 組 み 立 て た い … そ うい う場 合 で す. そ う い う場 合 の 典 型 的 な対 処 策 は
あ る 時 点 ま で の 状 態 を記 述 す る傾 向 線 を 求 め,
そ れ が そ の 時 点 以 降 に も適 合 す る か ど うか を み る
と い う こ と で す が,モ
デ ル の 中 で 状 態 変 化 を 把 握 で き る よ うに す る … そ こ に 工 夫 を
要 す るの で す. ② 一 例 と して,「 鉱 工 業 生 産 活 動 とエ ネ ル ギ ー 需 要 との 関 係 」が オ イ ル シ ョ ッ ク
を契 機 と す る 「省 エ ネ ル ギー に よ っ て ど うか わ っ た か 」を分 析 して み ま し ょ う.な 家 庭 の 電 化 製 品 に よ るエ ネ ル ギー 使 用 も相 当 量 に 達 し ます か ら,そ
お,
れ もあ わせ て み る
こ とが 必 要 で す. した が って
X=エ
ネ ル ギー 需 要
U=鉱
工業 生産 指数
V=最
終 消 費 支 出 /世 帯 数
表6.3.1(a)
エ ネ ル ギー 需 要
を使 う も の と し ます. 表6.3.1が 1965年
こ れ ら の デ ー タ で す.
か ら1983年
の 全 期 間 に つ い て 計 算 す る と,次
の 傾 向 線 が 求 め られ ます.
Y=-5.631+0.14514U+0.7647V,
R2=90%
(1)
しか し,こ れ を使 う こ とは 不 適 当 です.傾 る に して も,オ
向 線 を求 め
イ ル シ ョ ッ ク前 と後 と は ち が うで し ょ
う.そ の ち が い を,計 測 し な け れ ば な ら な い の で す. ③ 前 の 章 で ダ ミー 変 数 を使 っ て 状 態 の 変 化 を含 む 形 で 傾 向 線 を誘 導 で き る こ と を 説 明 して あ りま す.ま れ を 適 用 し て み ま し ょ う.そ の 方 法 で は,結
ずそ
果 的 に は,
い くつ か の期 間 ご と に 別 の傾 向 線 を誘 導 す る こ とに な り ます. た とえ ば
Y=A1+BU+CV
for 196∼71
Y=A2+BU+CV
for 1971∼77(2a)
Y=A3+BU+CV
for 1977∼83
の 形 を 想 定 して み ま し ょ う.
図6.3.1(b)
X:エ
ネ ル ギー 需 要
U:鉱
工業生産指数
V :最 終 消 費 支 出/世 帯 数
表6.3.1を
説 明 す る モ デ ル(1)
④ こ れ に 最 小 2乗 法 を適 用 して,次
の 結 果 が 得 られ ます.
(2)
Y=A+0.22512U+0.5686V
こ れ に よ っ て,オ
イ ル シ ョ ッ ク前 と比 べ る と,年
あ た り23.75(1978∼83年
の平 均
で)の エ ネ ル ギ ー 需 要 減 を達 成 で きた こ とが わ か る よ う で す. た だ し,定 数 項A
の 変 化 で需 要 減 を み る こ とは 妥 当 で し ょ う か. 図6.3.2
⑤ 問 題 は,Y 果 は,U
表6.3.1を
とU あ る い はV
説 明 す る モ デ ル(2)
と の 関 係 で す.し
た が っ て,省
エ ネ ル ギー の 効
の 係 数 の 変 化 と し て 計 測 され る と考 え る の が 自 然 な代 案 で す.
こ の 代 案 を採 用 す る な ら,次 の 方 法 を と り ます. 3つ の 期 間 に 対 応 す る モ デ ル を
(3a) の 形,す
な わ ち U の 係 数 が 期 間 ご とに 異 な る と 想 定 し ます.た
の 期 間 も 同 じ と想 定 し て い ます か ら,そ で き ませ ん.ま
た,1971年
お よ び1977年
だ し,V
の係 数 は ど
れ ぞれの期 間 につ いて別 々 に計算 す るこ とは で 傾 向 線 が 「ギ ャ ップ な し に 接 続 す る」 と
い う条 件 を み た す よ うに 定 め ま す. そ の た め に は,次 くだ さ い.
の よ う な ダ ミー 変 数 を 使 い ます.図6.3.3と
そ の 説 明 を参 照 し て
こ こ で 取 り上 げ て い る例 で は U0=32.9,
U1=69.1,U2=84.5
こ れ に よ っ て,(3a)式
は 次 の 1つ の 式 に 表 わ す こ と が で き ま す.
(3b)
Y=A+B1D1+B2D2+B3D3+CV こ れ に 最 小 2乗 法 を 適 用 し て
Y=-6.560+0.226721)1+0.25004D2-0.16000D3+0.8913V, R2=97.8%
が 得 ら れ ま す.ダ
ミー 変 数 の 定 義 に し た が っ て 期 間 別 に わ け て か く と,こ
図6.3.3
ダ ミー 変 数
Z=Uす Uを
な わ ち, その ま ま の 形
で 使 うか わ りに 図 の よ うに 区 切 り…
変 数D1,D2,D3を 定 義 す る と, Z=D1+D2+D3 と分 解 さ れ る.
D1,D2,D3に 適 当なウエイ ト をつ け る と 任 意 の折 れ 線 を 表 現 で き る.
れ は
図6.3.4
表6.3.1を
説 明 す る モ デ ル(3)
(3) と な りま す.図6.3.4が
これ を 図 示 した もの で す.
説 明 変 数 の う ち鉱 工 業 生 産 指 数U
に よ る効 果 に つ い て は
B1=0.23,B2=0.25,B3=-0.16
と1978∼83年
の 期 間 に お い て 減 少 し て お り ます.
こ こ で B が 負 に な っ た こ とは,鉱 る こ と を 意 味 し ま す が,こ
工 業 生産 指 数 が上 昇 すれ ば エ ネル ギー消 費が 減
の こ と に つ い て は 補 足 が 必 要 で し ょ う.省 エ ネ で B が 小
さ くな る に して も,負 に な る とい うの は …. 通 常 は 正 に な るべ き係 数 で す が,省 こ と に な りえ ま す.い
ス)が 重 な っ て 観 察 さ れ て い る た め,一 す.も
エ ネ ル ギー が 進 行 中 で あ る が ゆ え に,こ
時 的 に,負
う少 し期 間 を ひ ろ げ て観 察 す る と,正(し
値)に な る か も しれ ませ ん.問 ⑥ 別 法 と し て,オ
うい う
いか え る と,生 産 の た め の 消 費(プ ラ ス)と 省 エ ネ効 果(マ イ ナ に な っ た とい う こ と も考 え ら れ ま
か し,オ
イ ル シ ョ ッ ク前 よ り小 さ い
題 と して 残 し て お き ま し ょ う.
イル シ ョ ッ ク前 の 状 態 を表 わ す 傾 向 線 を求 め て,そ の 傾 向 が そ
の ま ま つ づ い た と し た ら ど う な っ たか を 計 測 し,そ れ と,実 際 の 観 察 値 と比 べ る こ と が 考 え られ ます. 1965∼71年
の デ ー タ に も とづ く傾 向 線 は
Y=7.756+0.4958U-0.4289V,
と 計 算 され て い ま す.図6.35が こ の 式 に よ る 計 算 を1972年 仮 定 し た 条 件 つ き 予 測 値)と,観 表6.3.6の
傾 向 値,予
R2=99%
(4)
こ れ を図 示 し た も の です. 以 降 に 適 用 し て 得 た 予 測 値(条 件 が か わ ら な か っ た と 察 値 と予 測値 の 差 を,表6.3.6に
測 値 は,い
示 し て あ り ま す.
ず れ も上 記 の 回 帰 式 に よ る 計 算 値 で す が,回
の 誘 導 で そ の 基礎 に 使 っ た 期 間 と そ れ 以 外 の 期 間 で 意 味 が ち が い ま す か ら,欄
帰式 をわけ
図6.3.5
表6.3.6
て 示 し て い ます.残 こ れ か ら,状 で50だ
表6.3.1を
表6.3.1を
説 明 す る モ デ ル(4)
説 明 す る モ デ ル と予 測 値
差 と節 減 量 を わ け た の も,同
じ理 由 で す.
態 変 化(省 エ ネ ル ギ ー)に よ る減 少 が,1980∼83年
と計 測 さ れ ま す.予
⑦ 以 上 の 計 算 で は1980年 な し ま した が,そ こ とが 必 要 で す.
測 さ れ た 需 要 の 約13%の
で200,1
年 あた り
節 減 に な っ て い ます.
以 降 に み ら れ る変 化 を 「省 エ ネ ル ギ ー に よ る節 減 」 とみ
の 解 釈 を確 認 す る に は,も
う少 し年 次 範 囲 を ひ ろ げ て 計 算 し て み る
章 末 の 問 題 に 含 め て あ り ます か ら,試
して み て くだ さ い.
6.4 レベ ル レー ト図 ① こ の 章 で は,現
象 の 時 間 的 変 化 を表 現 し分 析 す る 問 題 を取 り上 げ て い ま す が,
この 節 で は,変 化 の 大 き さが 時 と と もに か わ る 現 象 の 一 般 的 な 見 方 を助 け る グ ラ フ に つ い て 説 明 し ます. 図6.4.1は
カ ラー テ レ ビ の 「普 及 率 」の 推 移 を 表 わ し ま す.ま
ラ ー テ レ ビ に つ い て,工
た,図6.4.2は,カ
場 に お け る 「各 月 末 在 庫 」の 推 移 を 表 わ し ま す.
同 じ くカ ラー テ レ ビ に 関 す る 情 報 で あ っ て も着 目点 が ち が い ま す か ら,当 的 推 移 の 型 が ちが い ま す.そ
こ ま で は,は
っ き り して い ます.し
然,時
た が っ て,た
間
とえ ば
そ の 推 移 を表 わ す カ ー ブ を定 め る問 題 の 扱 い 方 に も ちが っ た 点 が 出 て くる と予 想 さ れ ま す が,本
当 に そ う で し ょ うか.
こ れ ら を扱 う上 で の 共 通 な フ レー ム ワ ー ク は な い で し ょ う か. も し共 通 面 が あ る もの とす れ ば,そ
こ に 注 目す る こ と に よ っ て,問
題 の 扱 い方 に対
す る 有 効 なガ イ ドが 得 ら れ る で し ょ う. 生 産 者 在 庫 ⇔ 出 荷 ⇔ 購 入 ⇔ 保 有 率,と,実 え られ ま す が,そ
態 に 関 係 づ け た 分 析 に 進 む こ と も考
れ は 次 節 以 降 と し,こ の 節 で は
時 系 列 デ ー タの 変 化 の 表 現 形 式 に 焦 点 を しぼ り ます. ② 「推 移 の 型 が 直 線 で な い」 と い うこ と は, 値 が 大 きい と こ ろ で の 変 化 と値 が 小 さ い と こ ろ で の 変 化 とが 異 な る こ と を 意 味 し ます. 同 じこ とで す が,
値 の レベ ル が 大 き く な って あ る 限 度 に 近 づ く と, 値 の 変 化 が 小 さ くな る
図6.4.1
普及率の推移
図6.4.2
各月末在庫の推移
と い う 言 い方 に して も よ い で し ょ う, 一 般 化 す る と,変 数X(t)の 値 に つ い て, "こ の レベ ル に な っ て い る"と い う観 点 で の 計 測 値(レ ベ ル値) と
"レ ベ ル の 変 化 が 大 きい ・小 さ い"と い う観 点 で の 計 測 値(レ ー ト値)
の 2と お りの 計 測 値 を組 み 合 わ せ て 説 明 す る こ と を 意 味 し ます. 後 者 に つ い て は,変 化 量 で み る こ と も変 化 率 で 考 え る こ と もで き ます.ど
ち ら を使
うか は 問 題 ご と に考 え る も の と し,「 レー ト」 とい う言 葉 で 一 般 化 して お き ま し ょ う. 記号 で表現 す る と 変 化 量=X(t)-X(t-1)
変 化 率=(X(t)-X(t-1))/X(t-1)
で す が,そ
れ ぞ れDX,RXと
略 記 す る こ とに し ま し ょ う.
◇ 注 1 レベ ル の計 測値 は 「時 点」に対 応 し,フ ロー の計 測 値 は 「 期 間」に 対 応 す る こ とに よ って 区別 され ます. ◇ 注 2 これ らの表 現 に お け るDXは,Xに つ い て差 を とる演 算 記号 だ と考 えて くだ さ い.⊿Xと か く方 が 一般 的 で す が,変 化 率 を とる 演 算 記 号RXと あ わせ て使 うの で,D, R を使 う記 法 とし ま した. こ れ らの 演算 子 につ いて 時間 間 隔 を短 くと った 極 限 と して微 分 に お きか え るこ と も考 え られ ます.そ の 場合 には
RX=DIogX
に相 当 し ます. ③
レ ベ ル と レー トを わ け る こ と は,例 示 の 問 題 に 限 らず,現
象 の実態 にか か わ る
説 明 をす る と き に有 効 で す. 普 及 率(レ ベ ル)ア ップ に 関 係 す る 要 因 と,そ の 普 及 率 の 変 化(レ ー ト)に 影 響 を も た らす 要 因 は,同
じ で は あ り ませ ん.し
た が っ て,推
移 を 説 明 す る に は,両
面 をわけ
て 考 え ね ば な りませ ん. 図6.4.1の
よ うに 上 限 が 存 在 す る と予 想 され る カー ブ に つ い て は,レ ベ ル が 上 昇
す る につ れ て,レ ー トが 減 少 す る で し ょ う.図6.4.2の つ い て は,レ し ょ う.し
よ うに 循 環 性 を示 す カ ー ブ に
ベ ル を あ る範 囲 に お さ め る 要 因 が 働 い て レー トを か え る こ と に な る で
た が っ て,
レベ ル と レー トと を わ け て み る と と も に,
レベ ル と レー トとの 間 に 存 在 す る相 互 関 係 を 考 慮 に 入 れ る
こ とが 必 要 で す. ④
そ こ で,変 数X(t)の
推移 をX-T平
面 上 に プ ロ ッ トす る か わ り に,
レベ ル 値X(t)と
レー ト値DX(t)ま
をか い て み ま し ょ う.
た はRX(t)の
関 係 を示 す 図
図6.4.3
レ ベ ル レ ー ト図(図6.4.1に
対 応)
図6.4.4
横軸が X,縦 軸がDX
レベ ル レー
ト図(図6.4.2に
対 応)
縦軸 が X,横 軸がDX
カ ラー テ レ ビ の 普 及 率 が 上 昇 す る に つ れ て,多
くの 人 が 買 う よ う に な
毎 年12月
り,普 及 率 の上 昇 が加 速 した.
に は 年 末 需 要 が あ り大 量
に 出荷 す る.
し か し,普 及 率 が あ る限 度 を こ え
そ の こ と を み こ して,春
る と上 昇 率 は低 下 傾 向 に か わ った.
を つづ け,在
夏 に生 産
庫 を増 や して い る.
こ れ を 「レベ ル レー ト図 」 と よ び ま す. レ ー ト値 と し てDXを
使 っ た 場 合 とRXを
レベ ル レー ト図(X,DX),レ 図6.4.3は,図6.4.1を
使 っ た 場 合 と を 区 別 し た い と き に は,
ベ ル レー ト図(X,RX)と
よぶ こ とに し ま し ょ う.
レ ベ ル レー ト図(X,DX)に
お き か え た もの で す.
こ の グ ラ フ 上 で み た 推 移 曲 線 は,放 物 線 と想 定 し て よ い よ うで す. こ れ に 対 し て,図6.4.4,す で は,推
な わ ち,図6.4.2に
移 曲 線 が 円 を え が き つ つ,上
対 応 す る レベ ル レー ト図(X,DX)
の 方 へ 位 置 を うつ し て い る よ うで す.
⑤ レベ ル レー ト図 上 の 点 の位 置 に 関 して,図6.4.5に 念 頭 に お け ば,図6.4.3お
よ び 図6.4.4上
示 す読 み方 が で きる こ とを
の 動 き に つ い て,そ
れ ぞ れ の 図 に 付 記 した
よ う な 説 明 を 導 く こ とが で き ま す. また,こ
の よ うな 説 明 を一 般 化 す る ため に
レベ ル レ ー ト図 上 で の 推 移 と,
XTプ
図6.4.5
レベ ル レー ト図 の 読 み 方
ロ ッ ト上 で の 推 移 曲 線 の 形
に 関 す る対 応 関 係 を表 わ す モ デ ル を 想定 で き ま す. た と え ば レベ ル レ ー ト図(X,DX)上
直 線DX=A+BXは,
XTプ
の
ロ ッ ト上 の 指 数 曲 線 に 対 応 し
て い る こ と,
2次 曲 線DX=A+BX+CX2は 図6.4.1 の よ う な 成 長 曲 線 に 対 応 す る モ デ ル に な っ て い る こ と
を,次 節 以 降,説
明 し ま す.
⑥ こ の 節 で は, レベ ル と レー トの 両 面 に わ け か つ,両 面 を 関 連 づ け る とい う見 方 が 多 くの 現 象 を一 般 的 に 説 明 で き る グ ラ フ 表 示 で あ る こ と を示 す た め に, も う ひ とつ 例 示 して お き ま し ょ う. ⑦ 東 京 都 心 を 中 心 と す る 距 離 が10km以 km,50km以
遠,の
内,10∼20km,20∼30km,30∼40
距 離 帯 区 分 を想 定 し て,そ
れ ぞ れ の 距 離 帯 に お け る 人 口数 の 推
移 を レ ベ ル レ ー ト図 の 形 で 示 し た も の が 図6.4.6で
す.対
象 期 間 は,1950年
か ら
1980年 の 5年 間 隔 で す. 数 字 が 距 離 帯 区 分 を 表 わ し,線 は,そ の 変 化,1955年
か ら1960年
れ ぞ れ の 距 離 帯 で の1950年
の 間 の 変 化,…
距 離 帯 3お よ び 4 をみ る と,推 移 説 明 図(図6.4.5)の 移 し よ う と し て い ます.距 離 帯 1で は,状
離 帯 2で は,状
か ら1955年
の間
を表 わ し ま す. 状 態 aか ら b を 経 て cに 遷
態 bか ら cに 遷 移 し て い ま す.ま
た,距
態 b→ c→ d で す.
した が っ て,
一 般 に a→ b→ c→ d とい う状 態 遷 移 を た ど っ て い る が, 都 心 に近 い 距 離 帯 ほ ど 先 行 し て い る
と説 明 で き ます. な お,次
節 で,こ
れ ら の 推 移 を表 わ す傾 向 線 を 求 め ます.
ど ん な現 象 も状 態 変 化 を 起 こ す の に 時 間 経 過 を と も な い ます が,そ が ひ ろ が っ て い く もの で す.し
の変化 の発生 地
た が っ て,
「時 間 的 推 移 」と 「そ の 推 移 の 地 域 的 拡 散 」と を 包 含 す る モ デ ル に よ って 説 明 す る こ と を考 え る こ とが 必 要 と な る で し ょ う. しか し,そ こ ま で 進 め な くて も,こ の 図 で も十 分 に,事
図6.4.6
態 を説 明 で き ま す.
東 京 集 辺 の 人 口推 移 の レベ ル レー ト図
6.5 レベ ル レー ト図 上 で の 直線 ① 前 節 で 例 示 した よ うに,レ の 形 を知 る こ とが で き ます.よ
ベ ル レー ト図上 で の 推 移 を み る と,実 っ て,レ
ベ ル レー ト図 で の 推 移 とXTプ
デー タX(T) ロ ッ ト上 で
の 推 移 の 関 係 を体 系 づ け て み て い き ま し ょ う. こ の 節 で は,レ
ベ ル レー ト図 上 で の 直 線 を取 り上 げ ます.
それ を
DX=β(X-α)
(1)
と表 わ し ま し ょ う.2 つ の パ ラ メー タの 意 味 に つ い て は 以 下 に 述 べ ます . ② こ の モ デ ル(1)式 に 対 応 す るX=〓(T)の れ ば 誘 導 で き ま す.次 ③
の よ うに な り ます(注
形 は,DXをdX/dTと 1,2).
X=α+exp(β(T-T0)) これ は,図6.5.2の
が,XTプ
み て積 分 す
(2)
よ うな 指 数 曲 線 で す.β
ロ ッ トで は,X(T)の
は,レ ベ ル レー ト図 で の 傾 斜 で す
変 化 の 方 向 と速 度 を 表 わ す パ ラ メー タ に な っ て い
ま す. αは,レ は,指
ベ ル レー ト図 で のDX=0に
対 応 す る レベ ル 値 で す が,XTプ
ロ ッ トで
数 曲 線 の 漸 近 線 に あ た り ま す.β >0の 場 合 に は こ の 漸 近 線 か ら 次 第 に 離 れ て
い く指 数 曲 線 に な り,β<0の
場 合 に は こ の 漸 近 線 に 次 第 に 漸 近 し て い く指 数 曲 線 に
図6.5.1
図6.5.2
レベ ル レー ト図 上 で の 直 線
図6.5.1に
対 応 す る推 移
な るの で す. 以 上 の 2つ の パ ラ メー タ は,レ り ます が,(2)式 ば(X,T)の
ベ ル レ ー ト図 上 で の 直 線 を求 め る こ と に よ っ て 定 ま
に 含 ま れ る も う 1つ の パ ラ メ ー タT0は,XTプ
平 均 の位 置(X0,T0)を
ロ ッ ト上 で た と え
とお る とい う条 件 を考 慮 に 入 れ て 定 め ま す.
◇ 注 1 Xの 値 は レベ ル値 αの上 ま たは下 に 限定 され ます.し た が って,(X0,T0)の に 応 じて,漸 近 線 か ら大 きい方(小 さ い方)へ 離 れ る指 数 曲 線(β >0の 場 合),あ
位置
るい は大
きい方(小 さ い方)か ら漸 近 す る指 数 曲 線(β<0の 場合)と な り ます. ◇ 注 2 β=0す な わ ち,レ ベ ル レー ト図 での 水 平 線 は,XTプ ますが,XTプ
ロ ッ ト上 で た とえば(X,T)の
考 慮 に 入 れて,X=X0+β0(T-T0)の
ロ ッ トで の 直 線 に 対 応 し
平 均 の位 置(X0,T0)を
とお る とい う条件 を
形 に してお き,同 じ点 を とお る指数 曲線 の そ の位 置
に お け る傾 斜 と一 致 す る β0を使 う と,β=0以
外 の モ デ ル を採 用 した 場 合 と対 比 で き ま
す. ◇ 注 3 (1)式の 形 か らDX/(L-X)ま
たはDX/(X-L)を
変 化 率 と定義 す る こ とが考 え
られ ます.こ れ を 「 有 界 変 化 率 」と よん で い る テ キス トが あ ります.レ ー トの 発 生 源 を分 母 に と る とい う意 味 を もつ もの です.次 の章 で こ うい う見方 が適 合 す る例 をあ げ ます. ◇ 注 4 α,βをXTプ
ロ ッ トの 上 で の 回帰 分 析 に よ って 定 め る こ と もで き ま す が,本 文
で述 べ た よ うに,レ ベ ル レー ト図の 上 で の 回帰 分析 に よ る方 が よ い で しょ う.非 線 形 で あ る とい う理 由 もあ ります が,指 数 関 数 の形 でそ の漸 近 線 αの位 置 を 定 め に くい とい う理 由 で す. ④ 指 数 曲 線 す な わ ち 「lつ の 漸 近 線 を もつ 」 とい う 曲 線 群 で す が,現
象の説明 と
して は,β >0の 場 合 と β<0の 場 合 と を 区 別 す べ きで す. β>0の 場 合 は,そ
の 値 か ら ス ター ト し て 増 加 し て い き ま す か ら,「 初 期 水 準 」で
す. β<0の 場 合 は,時
の 経 過 と と も に そ れ に 漸 近 し て い くが,そ
れ を こ え る こ との な
い 「飽 和 水 準 」で す. ⑤ この よ うな 水 準 を もつ と想 定 され る問 題 は よ くみ られ ます.い ま し ょ う.
図6.5.3
横 須 賀 市 の 人 口推移 とそ の レベ ル レー ト図
くつ か の 例 を み
⑥ 付 表D.2は,横
須 賀 市 の 人 口 の 推 移 を 表 わ し た 時 系 列 デ ー タ で す.
こ の 推 移 をみ る と,増 加 率 が 逓 減 して い る よ う で す か ら,い ず れ は あ る 限 界 に達 す る の で は な い で し ょ うか.確
認 す る た め に,こ
の 推 移 を 表 わ す 曲 線 を求 め て み ま し ょ
う. こ う い う問 い か け に 対 し て は,レ
ベ ル レ ー ト図 が 有 効 で す.
回 帰 線 を適 用 す るに して も,モ デ ル の 想 定 が 結 果 を 決 め て し ま う こ とに な り ます か ら,レ ベ ル レ ー ト図 で の 検 討 を ま ず 行 な う こ とが 必 要 で す. 図6.5.3が
付 表D.2を
レ ベ ル レー ト図 に プ ロ ッ ト し た もの で す が,XTプ
ロッ ト
もあ わせ て 図 示 し て あ りま す. レベ ル レ ー ト図 に よ っ て,右 下 が りの 直 線 が 適 合 す る こ と,そ 準 に 漸 近 す る と 判 断 で き ま す.ま
う して,あ
た,レ ベ ル レ ー ト図 上 で(X,DX)に
る限界水
対 して 回帰分
析 を適 用 す る こ とに よ っ て,
DX=475.84-1.038X
が 得 ら れ,こ
れ か ら,DX=0に
対 応 す るXが458.4で
準 が458.4で
あ る と推 定 され ます.
あ る こ と,す
⑦ 横 須 賀 市 の 例 に つ い て は 上 限 が 推 定 で き ま した が,上
な わ ち,限
界水
限の有 無 を問題視 す る場
合 に は,
上 限 に 近 づ い た場 合 に そ れ ま で に は な か っ た 要 因 が 関 与 して き て モ デ ル 自体 が か わ る可 能 性
が あ り え ま す.し
た が っ て,
「こ れ ま での 傾 向 が つ づ い た ら」 とい う条 件 をつ け て お き ま し ょ う. ⑧ 図6.5.4は,オ 200m走
リン ピ ッ クに お け る 男 子
の 優 勝 記 録 の 推 移 を 示 し ま す .こ
れで
み る と 「年 々 記 録 が 向 上 し て い る 」こ と は は っ き り し て い ま す.ど うか.こ
こまで向上 す る もの で しょ
う い う問 い に 答 え を 出 し た 論 文 が あ り
ます が,こ
こ で は,レ
ベ ル レー ト図 で み て み ま
し ょ う. 前 回 の 記 録 を レベ ル,今
回 の 記 録 向 上 を レー
ト とみ な し て 図 示 し な お す と,次 6.5.5の
ペー ジ の 図
よ うに な りま す.
この 図 で 「 左 上 が りの 直 線 」な ら,DX=0の 線 との 交点 として 限界 値 を推 定 で き るの です が,実
際 のデ ー タでは上 下へ のバ ラ ツキが大 き
く,「 左 上 が り」 とは み な し に く い 結 果 に な っ て い ます.
図6.5.4
オ リ ン ピ ッ ク に お け る200m
走の記録
も ち ろ ん200mを
「0 秒 で 走 れ る わ け は な い 」 と い う 論 拠 か ら 「い ず れ はDX=0に
な る 」 と 主 張 で き ま す が,「 る の は い つ で,そ ま た,こ
こ の 図 で み ら れ る 範 囲(現
う い う状 態 下 で は,数
の 条 件 が か わ り え ま す か ら,そ う.こ
の 節 で は,こ
◇ 注 Samplit Running
⑨
Times
在 の 状 態)で
はDX=0と
交 わ
の と き の X の 値 が い くつ か を 計 測 で き な い 」 と い う こ と で す. 理 的 に 工 夫 し て 上 限 値 を 推 定 で き る に し て も,種
こ ま で に し て お き,9.2節
Chatterjee in Olympic
前 節 の 図6.4.1に
々
の 意 味 で 「予 測 で き な い 」 と 保 留 す る の が 妥 当 で し ょ
et al.:New
で 再 論 し ま す.
Lamps
for
Old:An
Exploratory
Analysis
of
Games.Appl.Statist.(1982)31,No.1.
示 し た カ ラ ー テ レ ビ の 例 で は,「 初 期 水 準 」 と 「限 界 水 準 」の
両 方 を もつ とみ られ る場 合 に は,レ ベ ル レ ー ト図 上 で の 直 線 に か え て 放 物 線 を想 定 す れ ば よ い こ と を次 章 で 説 明 し ま す. ⑩
図6.4.6に
示 し た東 京 周 辺 の 人 口推 移 につ い て は,レ
く,サ イ ク リ ッ ク に 動 い て い ます が,図
の 上 でDX=0に
ベ ル レー ト図 が 直 線 で な
対 応 す る X す な わ ち限 界
水 準 を よ み と る こ とが で き ます. 距 離 帯 区 分 1で は1965年 間 に そ の 値 は4500に
の
図6.5.5
図6.5.4に
達 して お り,そ の 後
は 減 少 に 転 じて い ます.距 飽 和 水 準7600に
か ら1970年
離 帯 区 分 2で も
達 し て い る とみ て よ い で
し ょ う. 距 離 帯 区 分 3,4 で は 他 の 距 離 帯 で の 動 き と 同様 に 経 過 す る もの とす れ ば,そ れ5100,5900ぐ
れぞ
らいの 水準 で飽 和 す る も
の と判 断 さ れ ま す.
図6.5.6
図6.4.6を
説 明 す る モ デ ル
対 応 す る レ ベ ル レ ー ト図
こ の例 の 場 合 は レベ ル レ ー ト図 は 直 線 で な い の で,こ で き ませ ん(次 章 以 下 の 問 題 と し て保 留)が,グ
の節 の モデ ルで正確 には計 測
ラ フ の 上 で はDX=0の
線 との交 点 と
して よみ とれ る の で す. ◇ 注 第7章 で説 明 します が,こ の推 移 曲線 に対 応 す る レベ ル レー ト図 は,楕 円 だ と想 定 で き ます.た だ し,デ ー タ数 が 少 な く特 定 しに くいの で,図 の 上 で見 当づ け た 楕 円 を書 き 込 ん で い ます.
問題 6
問 1 付 表F.2(DT32)は,家
計 調 査 の 結 果 に よ る 「ビー ル 購 入 量 」で あ る.本 文6 .1
節 の デー タ(付 表E.1)と
ち が っ て 家 庭 で の 購 入 量 で あ る が,気
は っ き り と現 わ れ るか も しれ な い.こ 分 析)を 行 な え.な お,気
れ を 使 っ て,以
温 の デ ー タ は,本
温 との関 係 が
下 の 分 析(6.1節
と同 様 な
文 と 同 じ もの を使 うこ と と す る.
a.季 節 変 動 と年 次 変 化 を分 離 す る た め に,表6.1.2の
形 式 に分 解 せ よ.
b.季 節 変 動 と年 次 変 化 を分 離 す る た め に,表6.1.5の
形 式 に 分 解 せ よ.
c.b の 結 果 を 分 散 分 析 表 に ま とめ よ.分 (a)お よ び表6.1.6(b)の
散 分 析 表 の 形 式 は,本
文 の 表6.1.6
形 式 に よ る もの と す る.
d.「 ビー ル 購 入 量 と気 温 の 関 係 を 示 す 傾 向 線 」を,デ ー タ 全 体 で み た 場 合 と, 四 半 期 別 に わ け て み た 場 合 に わ け て 計 算 し,表6.1.10の
e.12か
様 式 に示せ.
月 移 動 平 均 を適 用 して 「季 節 変 動 を 除 去 し た 趨 勢 」を 図6.1.11の
形式
に 示 せ. 問 2 (1) 115ペ ー ジ ⑪ に示 し た傾 向 線 は 回 帰 分 析 に よ っ て い る が,次 代 案 を 使 う こ と に よ っ て,ほ
a.表6.1.4で
ぼ 同 じ結 果 が 得 られ る こ と を確 認 せ よ.
求 め た 四 半 期 別 平 均 値X(*,m)とX(*,*)を
系 列X(n,m)の
の 2 と お りの
使 っ て,原
季 節 変 動 を補 正 した 系 列 Y(n,m)=X(n,m)-(X(*,M)-X(*,*))
を 求 め る.
b.Y
につい て モデル
Y(t)=A+BT(T
は 対 象 デ ー タ の 年 月 の 通 し番 号)
を想 定 し回 帰 分 析 を適 用 す る (2) 付 表F.2の
デ ー タに つ い て,(1)と
同 じ方 法 で 季 節 変 動 と趨 勢 を 分 離 し た
傾 向 線 を求 め よ. 問 3 (1) 付 表D.3に び 表6.2.6の
示 す 資料 か ら1981年
以 降 の デ ー タ を 追 加 し て,表6.2.5お
計 算 対 象 期 間 を ひ ろ げ よ.
(2) そ の 結 果 を参 考 に して,図6.2.7に 問 4 6.3節 の 分 析 経 過 を次 の 順 に 計 算 し て,確 基 礎 デ ー タ は フ ァ イ ルDT10で セ ッ ト した フ ァ イ ルDT11を
よ
a.全 期 間 の デ ー タ を使 っ て
示 し た 予 測 が 外 れ た理 由 を考 察 せ よ. 認 せ よ.
あ る が,分
使 う こ と.
析 を進 め るため に必 要 な変 数 を
モデ ル
Y=A+BU+CV
を想 定 して 回 帰 分 析 を 適 用 す る と,125ペ b.1965∼71年,1972∼77年,1978年
ー ジ の(1)式 が 得 られ る 以 降 の3 期 間 に わ け て,そ
れ ぞれ の期
間 ご とに 傾 向 線 を 求 め る と,次 の 結 果 が 得 られ る. Y=7.7562+0.4958U-0.4289V,
σe2=0.2556,
Y=-12.0881+0.1223U+1.0768V,
σe2=0.2428, R2=88.7%
Y=77.1740+0.1526U-1.4080V,
σe2=0.3994, R2=68.4%
c.b
の 結 果 で は,回
帰 係 数 の 推 定 値 が す べ て 異 な る が,係
を もつ と い う仮 定 を お い て 計 算 す る と,126ペ d.c
R2=99.1%
の仮 定 を 「 係 数Cは
数A
以 外 は 同 じ値
ー ジの(2)式 が 得 ら れ る.
ど の 期 間 も同 じ値 を もつ 」 とお き か え て 計 算 す る と
128ペ ー ジ(3)式 が 得 ら れ る. e.1972年
以 降 は 状 態 変 化(省 エ ネ ル ギ ー)が 起 き て い る と判 断 し,そ の 変 化 の
影 響 を計 測 す る た め に は,1965∼71年 べ る こ とが 考 え ら れ る.こ
に つ い て 計 算 さ れ た 傾 向 値 と実 績 値 を 比
の 考 え 方 で,「 予 測 さ れ た エ ネ ル ギ ー 需 要 の 約13%
が 節 減 され た 」 と見 積 も られ る こ と を示 せ. 問5 6.3節 の 分 析 で対 象 と した 年 次 は1983年 計 測 す る た め に は,年 範 囲 を ひ ろ げ て,分 そ の場 合,エ
ま で で あ るが,省
エ ネル ギー の効果 を
次 範 囲 を ひ ろ げ て み る こ とが 必 要 だ ろ う.1989年
までに
析 し て み よ.
ネ ル ギ ー 需 要 の 推 計 値 が 「種 々 の エ ネ ル ギ ー の カ ロ リー 換 算 率
を か え た新 推 計 値 」に な っ て い るの で,1983年
ま で の デ ー タ も新 推 計 値 を使 っ
て 計 算 しな お す こ と に な る. 新 しい値 を 収 録 し たDTl1NEWを
使 っ て,問4のa∼eの
問6 問5 の 分 析 用 デ ー タ フ ァ イ ルDT11NEWで 1972∼77年,1978年
と1984∼89年
析4 の 結 果 と比 べ る た め に,1978年
以 降 を1978∼83年
に わ け て 計 算 し な お せ.
こ の 場 合,ダ
ミー 変 数 な ど は,UEDA中
を使 って 用 意 す る こ と(140∼141ペ 問7 付 表I.1に
計 算 を行 な え. 象 期 間 を1965∼71年,
以 降 の3 期 間 に わ け て 分 析 す る もの と して ダ ミー 変 数 な ど
を用 意 し て い る が,分
は,対
の 変 数 変 換 プ ロ グ ラ ムVARCONV
ー ジ参 照).
示 す 種 々 の 耐 久 消 費 財 に つ い て,図6.4.1お
よ び 図6.4.3と
図 を か き,予 想 さ れ る 普 及 率 の 上 限 が1 に 近 い とみ ら れ る もの,1 上 限 に 収 束 す る とみ ら れ る もの を 識 別 せ よ. 問8 本 文134ペ
VARCONVの
ー ジ の(1)式 か ら(2)式 が 誘 導 さ れ る こ と を示 せ.
使 い 方(2)
問 題6 の 計 算 を行 な う に は,対
象 デ ー タに つ い て
(1) 期 間 ご とに 分 割 した デ ー タ フ ァ イ ル をつ く る (2) 期 間 区 分 に 対 応 す る ダ ミー 変 数 を用 意 す る
同様 の
よ り小 さ い
(3) 図6.3.3の
形 の ダ ミー 変 数(ス プ ラ イ ン関 数)を 用 意 す る.
こ とが 必 要 で あ る が,こ
う い う処 理 も,一 種 の 変 数 変 換 で す .
VARCONVに
う い う変 換 用 の 関 数 を用 意 し て あ り ま す か ら,そ
は,こ
よ とい う指 定 文 を付 加 す れ ば,必 VARCONVの
使 い 方 は73ペ
れ を適用 せ
要 な変 数 が ジ ェ ネ レー トされ ます . ー ジ に 説 明 し て あ り ま す か ら,こ
こ で は,ダ
ミー 変
数 を用 意 す る た め の 指 定 方 法 を 示 して お き ま す. a.プ
ロ グ ラムVARCONVと,デ
b.DTllNEWの
ー タ フ ァ イ ルDTllNEWを
内 容 が 表 示 さ れ る の で,分
指 定 す る.
析 対 象 デ ー タの 一 部 選 択 の 指 定
で 使 う 3つ の 変 数 を確 認 して*USEで
示 す.
*USE
c.そ れ ぞ れ の 場 合 に対 応 す る*DERIVEと
VAR.U1=エ
ネ ル ギ ー 需 要
お く.
VAR.U2=鉱
工 業 生 産 指 数
使 う変 換 ル ー ル に つ い て は ,
VAR.U3=家
計 消 費 支 出
*CONVERTを *CONVERTで
*CONVERT
例 題 の 場 合 の 書 き方 を示 し て お く. くわ し くは 第 9巻 『 統 計 ソ フ トUEDAの
V*=SELECTF(U*/1/7)
使 い方』
V*=SELECTF(U*/8/13) V*=SELECTF(U*/14/19)
の 説 明 を参 照. d.最 後 に*ENDを e.Escキ
V *=SELECTF(U*/20/25)
お く.
*END
イ を お す と,こ の 指 定 に し た が っ て,
注:こ
の 例 の 場 合 は*DERIVE
の 部 分 を お か ず,プ
変 数 変 換 を実 行 し,作 業 用 フ ァ イ ル が で き る.
口グ ラ
ム に まか せ る
f.こ の 作 業 用 フ ァ イ ル を使 う と そ れ ぞ れ の 計 算 が で き る. 期 間 区 分 に対 応 す る ダ ミー変 数 の 指 定 *USE
期 間 区 分 に対 応 す る ス プ ラ イ ン変 数 指 定 *USE
VAR.U1=エ
ネ ル ギ ー需 要
VAR.U1=エ
ネ ル ギ ー 需 要
VAR.U2=鉱
工 業 生 産 指 数
VAR.U2=鉱
工 業 生 産 指 数
VAR.U3=家
計 消 費 支 出
VAR.U3=家
計 消 費 支 出
*DERlVE
*DERIVE
VAR.V1=U1
VAR.V1=U1
VAR.V2=U2
VAR.V2=U2
VAR.V3=U3
VAR.V3=U3
VAR.V4=DUMMY変
数FOR期
間1
VAR.V4=SPLINE変
数FOR期
間1
VAR.V5=DUMMY変
数FOR期
間2
VAR.V5=SPLINE変
数FOR期
間2
VAR.V6=DUMMY変
数FOR期
間3
VAR.V6=SPLINE変
数FOR期
間3
VAR.V7=DUMMY変
数FOR期
間4
VAR.V7=SPLINE変
数FOR期
間4
*CONVERT
*CONVERT
V4=DUMMYF(U0/1/7)
V4=SPLINEF(U2/1/7)
V5=DUMMYF(U0/8/13)
V5=SPLINEF(U2/8/13)
V6=DUMMYF(U0/14/19)
V6=SPLINEF(U2/14/19)
V7=DUMMYF(U0/20/25)
V7=SPLINEF(U2/20/25)
*END
*END
7 時間的推移 の分析
「現 象 の 変 化 を説 明 す る」と きに は,各 時 点 に お け る レベ ル と,そ の 変 化(レ ー ト)の関 係 を表 わ す 種 々の モ デ ル が 知 ら れ て い ま す か ら,は じめ か ら特 定 して しま うので な く,デ ー タに照 ら して,現 象 の 説 明 に有 効 な もの を選 ぶ こ とが 必要 で す.そ の た め に は,多 くの モデ ル をその 特 別 の ケ ー ス とみ な し うる もの を使 うと有 効 です. この 章 で は,時 系 列 デ ー タ の モデ ル と して 「ロジ ス テ ィッ クカ ー ブ」 が 一 般化 で きる こ とを 指摘 した 後,時 系 列 デ ー タ を扱 う場合 に必 要 な注 意 点 を説 明 し ます.
7.1 成 長 曲 線 の モ デル― ① 図7.1.1に は0)か
例 示 す る よ うに,あ
ら 増 加 しは じめ,別
ロジ ス テ ィ ック カ ー ブ る水 準(例 で
図7.1.1
ロ ジ ス テ イ ツ クカ ー ブ
の 水 準(例 で は100%の
よ う で す)に 漸 近 し て い く推 移 を示 す 例 が よ くみ ら れ ます. この 型 の 推 移 曲 線 の モ デ ル と し て,次
の式 で表現
さ れ る モ デ ル が しば しば 採 用 され ま す. (1)
こ れ を,ロ
ジ ス テ ィ ッ ク カー ブ と よび ます.
こ の よ う な 形 で 導 入 す る と,こ の 式 の 形 か ら,い か に も特 殊 な もの だ とい う印 象 を与 え る か も しれ ま せ ん.し
か し,よ
く使 わ れ る こ と は,現
象 を説 明 す る上 で,な
ん らか の 一 般 性 を もつ
こ と を意 味 し ま す. した が って,こ 前 章 で は,レ
の モ デ ル の 位 置づ け か ら考 え て い く こ とが 必 要 で す.
ベ ル レー ト図 上 で の 直 線 で 表 わ され る モ デ ル が,指
数 関 数 で表 わ さ れ
る変 化 に 対 応 す る こ と を 示 し ま した. こ の 章 で は,「 レベ ル レー ト図 上 で の 放 物 線 」で 表 わ さ れ る モ デ ル を(結 果 的 に は) 考 え る こ とに な るの で す. ② レー トDYに
関 して
DY=βY,β
>0
(2)
す な わ ち,レ ベ ル Y に 比 例 す る形 の レ ー トが 考 え られ る場 合, レベ ル 0か ら増 加 し は じめ, Y が 増 加 す る に つ れ てDYも 形,す
な わ ち,指
て,Y
の 変 域 は,0<Y<
沿 っ て 推 移 す る結 果 に な り ま す.そ
なわ ち
DY=β(Y-L),Y>L
(3)
の 場 合 は,初 期 水 準 L か ら増 加 し は じめ る 指 数 曲 線Y=L+Cexp(βT)で は,L<Y<
うし
∞ で す.
こ れ に 定 数 項 が 加 わ っ た 形,す
大 き くな る
数 曲 線Y=Cexp(βT)に
∞ とな り ます.ま
す .変
域
た,
DY=β(Y-L),Y<L
(4)
す な わ ち,「 あ る 飽 和 水 準 五 と の 差 に 比 例 す る 形 の レー ト」が 考 え ら れ る場 合 に は, L に 漸 近 す る指 数 曲 線Y=L-Cexp(-βT)で 変 域 と して-∞
<Y<Lを
表 わ さ れ ます.こ
の 場 合 に は, Y の
考 え る こ と とな り ます.
い わ ば 初 期 に は レベ ル の 上 昇 に 応 じ て 加 速 し て い き,先(限
界)が み え て く る と,
上 昇 をお さ え る要 因 が 働 く … こ う説 明 で き る推 移 曲 線 で す. こ こ ま で は,前
節 で 述 べ た こ とで す.
③ 初 期 水 準 と飽 和 水 準 の 両 方 が 存 在 す る と考 え ら れ る例 も,よ
くみ られ ます.
こ の場 合 に つ い て は, レベ ル 値 が 低 い と こ ろ で は そ れ を加 速 す る 要 因 が 働 き,
レベ ル 値 が 高 い と こ ろ で は そ れ を減 速 す る 要 因 が 働 く
もの と考 え る こ とが で き ま す. こ うい う場 合 に つ い て,2 つ の 要 因 が 「あ る と こ ろ で き りか わ る 」… い い か え る と, 2 とお りの モ デ ル を"適 用 範 囲 を 考 え て 使 い わ け る" の が ひ とつ の 案 で す が,
加 速 す る要 因 と減 速 す る 要 因 の 両 方 を 1つ の 式 中 に 含 む モ デ ル を考 え る
と,適 用 範 囲 に 関 して 一 般 性 を もた せ る こ とが で き ま す. そ の ため に,た
とえば
DY=βY(L-Y)
(5)
に よ っ て 特 徴づ け ら れ る推 移 曲 線 の 形 を計 算 し て み ま し ょ う. 積 分 を実 行 して,こ (5)式は,レ
の 推 移 曲 線 が(1)式 とな る こ とが 計 算 され ます.
ベ ル レー ト図(DY,Y)上
し た が っ て,Y
で は 2次 曲 線 で す.
の レベ ル が 増 大 す る に つ れ て,
「そ の 変 化 量 も増 加 す る状 態 」か ら, 「そ の 変 化 量 が 一 定 に な る 状 態 」を 経 て 「そ の 変 化 量 が 減 少 す る状 態 」に うつ っ て い く とい う(5)式 で,(1)式 に よ る推 移 曲 線 の 形 を 説 明 で き る と い う こ とで す.Y は0<Y<Lと
の変 域
な りま す.
また
レ ベ ル レー ト図 で 直 線
レ ベ ル レー ト図 で 2次 曲 線 ⇔ ロ ジ ス テ ィ ッ ク曲 線
とい う こ とで す か ら,ロ た とえ ば,耐
⇔ 指 数 型の 成長 曲線
ジ ス テ ィ ッ ク 曲 線 を考 え る こ と は 自然 な方 向 で す.
久 消 費 財 の 普 及 率 や,限
られ た 地 域 で の 人 口増 加 な ど,こ の モ デ ル が
適 合 す る と思 わ れ る 現 象 を あ げ る こ とが で き ます. な お,レ
ー トを変 化 率RYで
測ると
RY=β(L-Y)
す な わ ち,右 (Y,RY)で
(6)
下 が りの 直 線 に な る こ とが わ か り ます.こ 扱 う と よ い の で す が,他
て レベ ル レ ー ト図(Y,DY)で ④ 図7.1.2は,こ
の モ デ ル との 関 係 を 展 開 す る上 で の 便 宜 を 考 え
扱 う こ と と し ま す.
の ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ の 種 々 の 表 現 を対 比 した もの で す.
(a)が 通 常 の 時 間 的 推 移 の グ ラ フ で す.現 (c),(d)は,レ
の 意 味 で は レベ ル レ ー ト図
ベ ル レー ト図 で す.現
図7.1.2
象 の 動 き は,こ
の 形 で 観 察 さ れ ま す.
象 の 動 き を 説 明 す る ため に 役 立 ち ます.
ロ ジ ス テ イ ツ クカ ー ブ
(b)の 表 現 に つ い て は,7.3節
で 注 記 し ま す.
⑤ ロ ジ ス テ ィ ッ クカ ー ブ で 表 わ され る 成 長 経 路 は,こ
Y=0の
Y=L/2の
Y=Lの
れ らの 表 現 式 か ら,
状 態 か ち指 数 的 に 増 加 しは じめ, とこ ろ で 増 加 率 最 大 に な り, 線 に漸近 してい く
形 に な っ て い る こ とが わ か り ま す, こ れ らの 性 質 は,レ
ベ ル レ ー ト図 上 で の 放 物 線 に 対 応 し て い ま す が,そ
の放 物 線
が,
DY=0の
線 と,0とL
で 交わ ってい る
こ とで,特 殊 化 され て い ます. ま た,
放 物 線 を想 定 した こ と
⇒L/2の
位 置 に 関 して 対 称 性 が あ る こ と
で も特 殊 化 さ れ て い ます. こ れ らの こ と か ら,こ
の モ デ ル を さ ら に 拡 張 す る と き の 方 向 づ け が 得 られ ま す.た
と え ば 「レベ ル レー ト図 上 で 放 物 線 」 とい う こ とだ け と して,DY=0と
の交 点に関 す
る特 定 を 外 す こ と を考 え るの で す,
7.2
ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ(一 般 型)
① 前 節 の モ デ ル で は レ ベ ル レー ト図(DY,Y)上 を通 る形 に な っ て い ま し た.す こ れ が,よ
くあ る ケ ー ス で す が,一
次 の よ う に,Y=-K2お
の 放 物 線 が(0,0),(L,0)の
な わ ち,成 長 曲 線 の 下 限 が0,上
2点
限 がL の 場 合 で す.
般 化 で き る こ と は た しか で ず.
よ びY=K1に
お い てDY=0と
な る 2次 曲 線 を 想 定 し ま
し ょ う.す な わ ち,
DY=β(K1-Y)(K2+Y),
-K2<Y<K1
(1)
と想 定 し ます. す る と,成 長 曲 線 は,次
の 形 に 表 わ され る こ とが 計 算 さ れ ま す. (2)
こ れ を,一 般 化 ロ ジ ス テ ィ ッ クカ ー ブ と よ ぶ こ とに し ま し ょ う. こ れ に つ い て,図7.1.2は,図7.2.1の 図7.1.2の
な お,L=K1+K2と ②
よ うに 一 般 化 で き ます.そ
れ ぞれ の部分 が
一 般 化 に な っ て い る こ と を確 認 して くだ さ い. お い て い ます.
こ の モ デ ル に 対 応 す る 成 長 曲 線 は,図72.1(a)の
Y=-K2の
Y=K1の
と こ ろ(初 期 水 準)か ら増 加 し は じめ レ ベ ル(飽 和 水 準)に 漸 近 す る
よ う に な り ま す.
図7.2.1
こ とが,こ
ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ(一
の 成 長 曲 線 の 数 学 的 性 質 で す が,現
般 形)
象 説 明 に 適 用 す る場 面 で はK2が
正の
場 合 と 負 の 場 合 と を わ け て 考 え る 方 が よ い で し ょ う. そ れ ぞ れ の 場 合 に つ い て,Y K2<0す
T:-∞
Y:-K2か
DY:0か
RY*:βK1か
K2>0す
か らT0を
経 て ∞ まで
らL/2を
経 てK1ま
で
ら最 大 に な り 0に な る ら漸 減 し 0に な る
な わ ち初 期 水 準 が 負 の 場 合
推 移 曲 練 の 表 現 で は,初 が で きれ ばK2<0の た だ し,RYに K2>0す
の 変 域 と そ の 範 囲 で の 状 況 を ま とめ て お き ま し ょ う.
なわ ち初期 水準が 正 の場合
期 水 準 が マ イ ナ ス に な り ま す.負
場 合 と同 じ よ うに 説 明 で き ま す. よ る計 測 が で き ませ ん か ら,RY*を
な わ ち初 期 水 準 が 負 とみ ら れ るが,負
こ の場 合 に は,Y=0に
た が っ て,Y=0以
解 釈 で き ます.い
降 の 動 き はY<0の
い か え る と,Y
T:あ
Y:0
る しきい値か ら ∞ まで か らL/2を
の レベ ル 値 は観 察 され な い 場 合 在 的 に は(3)式
達 す る ま で は そ の 動 きが 隠 さ れ て い 部 分 の 動 き とつ な が っ て い る … こ う
お よ び T の 変 域 を 次 の よ う に 制 約 して 適 用 す れ ば
よ い の で す.
使 い ま し ょ う(注).
達 す る ま で は 現 実 に は 観 察 さ れ な い が,潜
で 表 わ され る メ カ ニ ズ ム が 働 い て お り,Y=0に る,し
の レ ベ ル値 を考 え る こ と
経 てK1ま
で
DY:βK1K2か
ら最 大 に な り0 に な る
RY*:βK1か
ら漸 減 し0 に な る
◇ 注 この モ デ ルの 場合,変 化 率 はRY*=DY/(K2+Y)を Y<0と
使 うこ とに な ります.
な りう るた め分 母 が 正 とな る よ う原 点 をか え てK2+Yと
す る と い う理 由 の ほ
か に,こ の指 標 を使 う方 が モ デ ルの 性質 の 表 現 に即 して い る とい う理 由が あ ります. ③
ま た,次
の よ うに モ デ ル の パ ラ メ ー タ を お きか え て み ま し ょ う.
K1-K2=L
βK1K2/L=α
す ると DY=βY(L-Y)+αL
RY=β(L-Y)+αL/Y
と か け ま す. こ れ を 前 節 の 場 合 と比 べ る こ と に よ っ て,こ
Y=0の
DY>0,RY>0の
Y=Lの
の モ デ ル に よ る動 き を
と こ ろで す で に"ス ター トダ ッ シ ュ"が か か っ て お り, 状 態 に な って い る
と こ ろ で もDY>0, RY>0だ
か ら
飽 和 水 準 が モ デ ル で 想 定 さ れ る L を こ え るの だ と い う形 で,
初 期 水 準0,飽
和水 準 Lの場 合 の拡張 に な って い る
もの と説 明 で き ま す. ◇ 注 現 実 の 問 題 で は,「 レ ベ ル 値 に 応 じ て レ ー トが 調 整 さ れ る が,そ
図7.2.2
の 調 整 に 若 干 の タ イ ム ラ グが と も な
タ イ ム ラ グ を考 慮 に 入 れ た ロ ジス テ ィ ッ ク カー ブ
う 」 と み な さ れ る場 合 が あ る で し ょ う. この 場 合 も含 む よ うに この モ デ ル を変 形 で き ま す が,こ
の テ キ ス トで は,ふ
DY=βY(1-Y)に
れ ま せ ん.た
お い て,(1-Y)の
グ を 入 れ る と,図7.2.2の
と え ば(1 )式 項 に タイ ム ラ
よ う に 上 限値 に 振 動 し つ つ
漸 近 す る 形 に な り ま す.
7.3 成長 曲 線 の パ ラ メ ー タ推 定 ①
前 節 で 説 明 した 一 般 化 ロ ジ ス テ ィ ッ クカ ー ブ を適 用 す る に は,モ
れ て い る パ ラ メー タ β,K1,K2を 場 合 も,K1=1,K2=0と た上,想
推 定 す る こ と が 必 要 で す.ロ
デル 式に含 ま
ジ ス テ ィ ッ ク カー ブ の
い う想 定 の 妥 当性 を検 討 す る た め に,K1,K2も
含 め て推 定 し
定 を受 け 入 れ る か 否 か を決 め る と よ い で し ょ う.
② これ ら の 推 定 に は,こ
れ までの章 と同様 に 「 最 小2 乗 法 」 を 適 用 す れ ば よ い …
そ う簡 単 に考 え られ な い 問 題 が あ り ます.
成 長 曲 線Y=f(X)に
つ い て 最 小2 乗 法 を適 用 し よ う と考 え る場 合,関
が 複 雑 な 形 を して い る こ とに 注 意 し ま し ょ う.パ 母 数 の 入 り方 が 線 形 で は あ りま せ ん.最 ます.線
小2乗
数 型f(X)
ラ メ ー タ す な わ ち推 定 し よ う とす る
法 は,線
形 で あ る こ と を前 提 と して い
形 で な い 場 合 に 適 用 す る こ と もで き る の で す が(逐 次 近 似 法),そ
うす る こ と
は 必 ず し もベ ス トだ とは い え ませ ん. 以 下,順
を追 って,そ
の こ と を説 明 し ます.
③ ま ず 考 え る こ と は,(X,Y)平 め 」を す る こ との 必 然 性 で す.前 る と,放 物 線DY=
面 で み たY=f(X)に 節 で 述 べ た よ う に,レ
β(K1-Y)(Y+K2)で
つ い て 「デ ー タ の あ て は ベ ル レ ー ト図(Y,DY)で
み
す.
し た が っ て,レ ベ ル レー ト図 の 上 で 放 物 線 の あ て は め を 行 な っ て パ ラ メー タ β,K1, K2を 推 定 す れ ばY=f(X)を
え が く こ とが で き ます.
こ こ で,「 あ て は め 」 と い う言 葉 と 「パ ラ メー タ の推 定 」 とい う語 を わ け て 考 え て い る こ とに 注 意 し て くだ さ い. こ こ の例 で は,
モ デ ル の 原 形 の 変 換Y=f(X)の
そ れ か ら誘 導 さ れ るDY=g(Y)に
形 で な く, 対 し て 最 小2 乗 法 を適 用 す る
こ とに あ た り ます. 原 形 は 線 形 で な い が,そ
れ か ら誘 導 さ れ たDY=g(Y)は
線 形 で す.だ
か ら,そ
れ
につ い て 最 小2 乗 法 を適 用 す る とい う考 え 方 で す ◇ 注 経 済現 象 で は 「多 くの 式 か ら構 成 され る モデ ル」を扱 う こ とか ら,最 小2 乗 法 の 適 用 に 関 して いろ い ろの 工 夫 が な され て い ます.そ の ひ とつ と して,モ デル の 原 形 で最 小2 乗 法 を適 用 しに くいの で,そ の か わ りに,パ ラ メー タに関 して解 い た形 に 変 形 した 式(誘 導 型)に つ いて 最小2 乗 法 を適 用 す るこ とが あ ります. この扱 い を 「間接 最小2 乗 法 」とよん でい ます. ④ こ こ で 問 題 を提 起 し ま す.Y=f(X),DY=g(Y)の あ り,ど ち らが 誘 導 型 で し ょ うか.こ
どち らが モ デ ル の原 形 で
の 問 い か け は,問
題 を,「 成 長 曲 線 の あ て は め 」
だ と受 け と る か,「 成 長 曲 線 を特 徴 づ け る パ ラ メ ー タ 推 計 」だ と受 け と るか に よ り ま す. 結 果 と し て 成 長 曲 線 が 定 ま る に し て も,初 期 水 準,飽
和 水 準 を 表 わ すK1,K2と,
変 化 の 速 度 を表 わ す β を 計 測 す る こ と を ま ず 考 え る とい う意 味 で は,そ め ら れ るDY=g(Y)が ⑤ 呼 称 は,ど
原 形 で あ り,Y=f(X)が
れが直接求
誘 導 型 だ と い っ て よ い で し ょ う.
ち らで も よ し と し ま し ょ う.も っ と重 要 な 点 が あ りま す.
レベ ル レー ト図 の 方 で 考 え る と
パ ラ メ ー タK1,K2の
一 般 化 ロ ジ ス テ ィ ッ ク カー ブ と を識 別 で き る
ち が い と して,ロ
ジステ ィ ックカー ブ と
こ と を 指 摘 して お き ま し た. ま た,レ ベ ル レー ト図 上 の 放 物 線 で2 乗 の 項 を 落 とす こ と が で き れ ば(最 小2 乗 法
を適 用 す る と きに 1乗 の 項 ま で で 打 ち 切 っ て よ い な ら),
DY=A+BY
の 形 に 対 応 す る成 長 曲 線(指 数 曲 線 な ど)を,特 ま す.い
別 の ケ ー ス と して 含 め る こ と が で き
い か え る と,初 期 水 準 と飽 和 水 準 の 両 方 が 想 定 さ れ る場 合(2 乗 の 項 を 含 め
る),ど
ち らか 一 方 だ け と想 定 す る場 合(2 乗 の 項 を 含 め な い)と して,分
析 過程 で識
別 で き る こ とに 注 意 しま し ょ う. 種 々 の 場 合 を そ の 特 別 の 場 合 と し て 包 含 で き る … そ う い う 意 義 を もつ た め に, DY=g(Y)に
つ い て最 小 2乗 法 を適 用 す る の で す.
次 節 で例 示 す る と と もに,そ
の ほ か に も利 点 が あ る こ と を 説 明 し ます.
◇ 注 1 ロジス テ ィ ッ クカー ブ の あ て はめ に 関 しては, の 形 に変 換 して扱 う方 法
被 説 明変 数 Y を が 採 用 さ れ て い ます.こ こ の 変 換 をLogit変
れ に よ っ て,モ
デ ル を線 形 化 で き る か ら で す.
換 と よ ん で い ま し た.
ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ の 場 合 は,こ カ ー ブ の 場 合 のLogit変
とな り ます.K1,K2が
の 方 法 で,線
形 化 で き ま す が,一
般 化 ロ ジス テ ィッ ク
換は
未 知 の 場 合 は 非線 形 の ま ま です.し
た が って,線 形 化 で き る か ら
Logit変 換 を適 用 す る とい う根 拠づ け は で き ませ ん. ◇ 注 2 モ デル が 非線 形 の場 合 で も次 の 手 順 を適 用 で き ます.
K1K2の
最 小2乗 法 を適 用 す る,
値 を想 定 す る,
成長 曲 線 をえが い てK1,K2の
必要 な ら想定 をか え て再 計算 す る.
想定 が 適正 だ っ たか チ ェ ッ クす る,
こ うい う計 算 手 順 を 「 逐 次 近 似 法 」とよ び ます.こ の 方 法 を適 用 し た結 果 を158ペ ー ジ の ⑪ に 示 してあ ります. ◇ 注 3 Logit変 換 を採 用 す る と
の 形 で 説 明 変数X1,X2,…
を取 り入 れ る こ と が で き ま す.そ
う い う 意 味 で は,こ
の変換 は
重 要 で す.
7.4 ロジ ス テ ィ ック カー ブ の 適 用 例 ① 図7.1.1に 表7.4.1が 1968年
示 した カ ラ ー テ レ ビの 普 及 率 の 推 移 を 例 に 取 り上 げ ま し ょ う.
図 の 基 礎 デ ー タ で す.
ご ろ5%だ
っ た 普 及 率 が1977年
に は95%に
達 し ま し た.こ
ス テ ィ ッ クカ ー ブ と よ ば れ る曲 線 で 表 わ さ れ る も の と して,よ
の 推 移 は,ロ
ジ
く引 用 され て い ます.
② こ の カー ブ を 表 わ す 式 を 求 め る方 法 が,こ
の節 の問題
表7.4.1
カ ラー テ レ
ビ普及率
です. 想 定 さ れ る モ デ ル が 非 線 形 で あ る こ とか ら,前 節 で示 し た よ うに,レ
ベ ル レー ト図上 に うつ し て 扱 う 方 法 の 他 に も種 々
の 方 法 が 考 え ら れ ま す が,そ て,こ
こ で は,ま
ず,前
の こ と は後 で 補 足 す る も の と し
節 の 方 法 の 適 用 例 と して 取 り上 げ ま
す. た だ し,計 算 例 と い う範 囲 を こ え た 問題 点 が あ り ます.そ うい う問 題 点 を含 め て 説 明 し て い き ます. た とえ ば … 「推 移 曲 線 が 1に 収 束 す る 」 と想 定 す る な ら,そ 件 を つ け て 扱 う こ とに な り ます が,そ
うい う条
う い う条 件 をつ け ず に
扱 うこ とに よって 「 収 束 値 が 1だ 」 と い う想 定 の 当 否 を 調 べ る とい う扱 い も考 え ら れ ます. 基 礎 デ ー タ と して 「ど の 年 次 範 囲 の 数 字 を使 うか 」 と い う こ と も含 め て 考 え ま し ょ う.た
とえ ば,普
及率 の推 移 をみ る
と き に 「95%を こ え た 状 態 に 達 し た1978年
以 降 の 数 字 」 をつ
け 加 え る こ とは 必 要 で し ょ うか. 1978年 以 降 は98%と
か わ ら な い状 態 に な っ て い ま す か ら,
そ れ 以 降 の デ ー タ を使 う こ と は 不 要 で は な い か,そ
れ らを含
め る こ とは そ の 部 分 で の 適 合 度 に ひ きず られ て,成 長 過 程 の 肝 心 の 部 分 に つ い て の 適 合 度 を落 とす 結 果 に な るの で は な い か …. こ う い う問 題 意 識 で す. ③ ま ず,1968∼78年
間 の デ ー タ を 使 っ て 計 算 し て み ま し ょ う.
前 節 で 説 明 した とお り,レ ベ ル レー ト図(Y,DY)上
で,2 次 曲 線
D Y=β(L-Y)(Y+K) を,L=1,K=0の
(1)
条 件 を つ け て あ て は め て み ま し ょ う.
す る と, L=1,
K=0,β=0.6374,R2=89.8%
(USE 1968∼78年)
(2)
が 得 ら れ ます. この 結 果 を 書 き 換 え て,推 次 の 図7.4.2が,そ 4種 の 図 は,7.2節
左 上:YT平
左 下:ロ
移 曲 線Y=f(t)を
え が く こ とが で き ます.
の 結 果 で す. の 図7.2.1と
配 置 をか え て
面上 で の推移 曲線 ジ ッ トカー ブ
右 上:レ
ベ ル レー ト図(Y, DY)
右 下:レ ベ ル レー ト図(Y,RY)
と して い ま す. ま ず左 上 の 推 移 曲 線 を み る と,ロ
ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ が よ く合 致 して い る こ とが わ
図7.4.2
1968∼78年
の 推移(モ デ ル(2)式,上
限1,下
限0 と仮 定)
か ります. Y
T平
面 上 で は よ くあ っ て い る よ う に み え ます が,レ
適 合 度 は,89.8%で か ら,も
す((2)式 に 示 し たR2はDY対Y
ベ ル レー ト図(Y,DY)で
の
カ ー ブ に つ い て の 決 定 係 数)
う少 し考 え て み ま し ょ う.
4 と お りの 図 は,同
じ基 礎 デ ー タ,同
み る と よ く合 致 し て い る,い
じ モ デ ル を使 っ た もの で す か ら,「 ど の 図 で
な い 」 とい う言 い 方 は で き ませ ん.適
合 度 を検 討 す る と
い う 目 的 か ら い う と,「 一 致 して い な い こ とが は っ き りわ か る」 レ ベ ル レー ト図 が 有 効 だ と い え ます. 上 限L,下
限 K に 関 す る想 定 を お い て い る た め 観 察 値
とモ デ ル の 差 が 「レベ ル レー ト図 」を 使 う と は っ き り よ み とれ る 注:決 定 係 数 だけ で判 断 して はい け な い. ④ L=1,K=0と
お い た の は,初
期 水 準0 か ら ス タ ー トし,飽 和 水 準1 に 漸 近 す
る も の と仮 定 した た め で す. 実 際 に そ う な る と は 限 り ませ ん か ら,こ の 仮 定 を 外 して み ま し ょ う.レ ベ ル レ ー ト 図(Y,DY)を ま す が,そ K,Lに
使 っ た の は,初
期 水 準 や 飽 和 水 準 を 図 の 上 で よ め る と い う理 由 も あ り
の 図 の 上 で傾 向 線 を 求 め よ う と い う意 図 を もち こ ん だ の で す. 関 す る条 件 を つ け ず,放
物 線DY=A+BY+CY2を
式 の 形 に か き なお せ ば よ い の で す. L=0.976,K=0.037,β=0.6851,R2=98.0%(USE1968∼78年)(3)
あ て は め て 結 果 を(1)
図7.4.3
1968∼78年
の 推 移(モ デ ル(3)式,上
限 ・下 限 も推 定)
が 得 られ ます. こ の 結 果 を 図 示 した もの が,図7.4.3で 決 定 係 数 が90%か
ら98%に
す.
増 加 し て い る こ とか ち,L=1,K=0の
とが 妥 当 だ っ た と確 認 で き ま す.レ
ベ ル レー ト図 を図7.4.2と
制 約 を外 し た こ 比 べ て,適
合 度の 改善
が確 認 で き ます. ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ の 拡 張 型 を 採 用 せ よ と い う結 果 で す. K=0.037と
い うこ とは,-0.037の
い る こ と(観 察 さ れ る の はY>0の
初 期 水 準 か ら動 き は じめ た 形 の 推 移 に な っ て 部 分 だ け)を 意 味 し ま す.ま
た,L<1で
す か ら,
飽 和 水 準 が1 よ りや や 小 さ い こ とを 意 味 し ま す. 条 件 を 外 し て 計 算 す る と,「 広 い 範 囲 で の ベ ス ト」を 求 め る こ と に な るか ら,当 然,決
定 係 数 は 改 善 さ れ る.
「改 善 度 」の 大 小 に よ って 「条 件 の 当 否 」が わ か る.
注:決 定 係 数 の変 化 に 注 目す れ ば,こ の よ うな言 い方 が で き ます,た だ し ….
⑤ も っ と新 し い デ ー タ が あ り ます か ら,対 象 年 次 を1984年
ま で 増 や して 計 算 し
て み ま し ょ う. デ ー タ 数 を増 や し て 精 度 を あ げ よ う とい う こ と もあ り ます が,そ に,新
れ よ り も,
飽 和 水 準 が1 に 達 し な い と い う結 果 を確 認 す る た め しい 情 報 を 付 加 し て み よ う とい う趣 旨 で す か ら,L=1と
い う制 約 を外 し た 場 合 に つ い て 計 算 し ま し ょ う. K,L の 制 約 を お か ず に 計 算 し た 場 合 に つ い て 比 較 す る と
お い た 場 合 と,そ
う
図7.4.4
L
=0
1968∼84年
の推 移(モ デ ル(4)式,上
限 ・下 限 も推 定)
.976,K=0.037,β=0.6851,R2=98.0%
(USE1968∼78年) (3)
だった ものが L
=0
.984,K=0.045,β=0.6854,R2=98.2%
(USE1968∼84年) (4)
とか わ り ます(図7.4.4). 1978年
まで の デ ー タ で 求 め ら れ た 結 果 が 確 認 さ れ た とい っ て よ い で し ょ う.
デ ー タ数 を11か
ら17に
増 や した の に,決 定 係 数 は ほ とん どか わ っ て い ませ ん.こ
の こ とか ら,デ ー タ数 を増 や す 必 要 は な い と い え そ う で す が,も た 後,こ
う少 し例 示 を 増 や し
の 節 の 終 わ りで 結 論 を 示 し ます. デ ー タ数 を 増 や す と,決 定 係 数 は よ く な る. そ う い う ケ ー ス が 多 い に して も, い つ も そ う だ と は い え な い. 注:「 デ ー タ を増 や す と当然 改善 され るはず 」と思 い こん でい る人 は要 注 意. 同 じ条件 で く りか え して 観 察 した場 合 には そ うい え ます が,考 察 範 囲 を ひ ろ げて デー タ を数 を増 や した場 合 は そ うは い え ない の です.
⑥ L=1,K=0と
い う制 約 下 で 計 算 し た 場 合 に つ い て も,同 様 に 対 象 期 間 を ひ ろ
げ て み ま し ょ う. L
=1 ,K=0,β=0.6374,R2=89.8%
(USE1968∼78年)
(1)
図7.4.5
1968∼84年
の 推 移(モ
デ ル(5)式,上
限 1,下
限 0 と 仮 定)
だ っ た もの が L=1,K=0,β=0.4598,R2=74.3% と な りま す.図7.4.5を
(USE1968∼84年)
(5)
一 見 し て わ か る よ う に,適 合 度 が 大 幅 に低 下 して い ます.
「デ ー タ数 を増 や した の に か か わ らず,決
定 係 数 が 減 少 した 」…
⑤ の 場 合 に は,「 デ ー タ数 を増 や し て も ほ とん ど か わ ら な か っ た 」の に 対 し て,こ の 項 の 場 合 に は,「 デー タ を 増 や す と か え っ て 悪 くな る 」 と い う結 果 で す.こ か し い … とい い た く な るか も しれ ませ ん.し や し た部 分 が,「L=1,K=0と の で す.簡
か し,そ
れはお
うい う こ と は あ り え ます.増
い う仮 定 に 合 致 し な い もの だ っ た 」た め に そ う な っ た
単 に い え ば 「よ く な い デ ー タ を 増 や し た か ら,結
デ ー タの 質 を 考 慮 に 入 れ ず に,数
果 が 悪 くな っ た 」の で す.
だ け を 増 や す … そ の 危 険 を は っ き り認 識 して お
き ま し ょ う. よ くな い デ ー タ を 増 や す と,そ
の部 分 に ひか れ て決 定 係
数 が低 くな る. デ ー タ の 数 だ け で な く,質
を検 討 す る こ と.
注:こ こ でい うよい デー タ,よ くない デ ー タは,現 象 の傾 向 を説明 す るの に 有 効 か 否か で判 断 され ます.158ペ
ー ジの ま とめ を参 照.
正 し くい え ば,「 不 適 当 な 想 定 を お い た場 合,そ
の 不 適 当 さが,観
とに よ っ て は っ き りわ か る よ うに な っ た 」と い う こ と で す. ⑦ 対 象 年 次 を減 ら し て み ま し ょ う. 1968∼73年
の デ ー タ を使 う と
察値 を増や す こ
図7.4.6
1968∼73年
の推 移(モ デ ル(6)式,上
L=0.998,K=0.039,β=0.701,R2=96.5%
限 ・下 限 も推 定)
(USE1968∼73年) (6)
が 得 られ ます.1968∼78年
の場合 の結 果 は
L=0.976,K=0.037,β=0.685,R2=98.0%
(USE1968∼78年) (3)
で した.こ
れ と比 べ て,デ
ー タ数 を減 ら した こ とに よ っ て 決 定 係 数 が や や 低 下 して い
ます が, K,L,β の 推 計 値 もか わ っ て い ま す. こ れ は,「 デー タ 数 を 少 な くし た ため だ 」 とは い え な い の で す. 図7.4.6で
み る よ う に,「 成 長 曲 線 の 推 移 の ほ ぼ 半 ば 」ま で で デ ー タ を 打 ち 切 って
い る た め に 推 定 精 度 が 落 ち た の で す. した が っ て,数
の 問 題 で は な く,成 長 曲 線 の 形 を み る た め に 重 要 な 部 分 の デ ー タが
欠 け て い る と い う,「 デ ー タ の 質 の 問 題 」です. しか し,こ の 種 の 問 題 で は 「 推 移 曲 線 の 全 貌 が わ か っ て か ら考 え る」べ き こ とで は な く, 「 推 移 の 途 中 で,そ
の 後 の 推 移 を予 測 す る 」こ と を考 え る
こ と が要 求 され る もの で す. し た が っ て, 「1973年 ま で の デ ー タ で も,ほ ぼ 同 じ飽 和 水 準 値 を 予 測 で き た 」 こ と を評 価 し ま し ょ う.
あ るデ ー タ を 落 とす と,そ れ を含 め た 場 合 と比 べ て モ デ ル に 含 ま れ る係 数 の 推 定 値 が 大 き くか わ る こ とが あ る. 決 定 係 数 で は あ ま りか わ ら な くて も,そ 要 注 意.重
う い うデ ー タ は
要 な 意 味 を も っ て い る可 能 性 が あ る.
⑧ も う 1年 分 減 ら して み ま し ょ う.1968∼72年
の デ ー タ で み るの で す.
この場 合 には L
=0
(USE1968∼73年)(6)
.998,K=0.039,β=0.701,R2=96.5%
だ っ た もの が L
=1
.377,K=0.089,β=0.534,
と な り ま す.図7.4.7で
ま ず,決
定 係 数 の 大 き さが,こ
て い ます が,そ は,決
R2=99.8%
れ ま で の 計 算 の ど れ よ り も大 き い と い り結 果 に な っ
れ ゆ え に 「よ い 結 果 だ 」 と速 断 で き ませ ん.デ
定 係 数 の 推 定 値 が 極 端 に 大 き く,あ
そ れ よ り も 問 題 な の は,飽 使 っ た 場 合0.998で た の で す.現
(USE 1968∼72年)(7)
す.
和 水 準 の 推 定 値1.377で
し た.1973の
す.1973年
まで の デ ー タ を
年 の デ ー タ を 加 え た こ と で,こ
れ だ け ちが って き
象 の 説 明 上 そ れ が 1か,1 を こ え るか は 重 要 な 着 眼 点 です か ら,こ
ち ら を採 用 す る か は,決
の ど
定 係 数 の 大 き さ だ け で判 断 で き る こ とで は あ り ませ ん.
「1973年 デ ー タ を 加 え た こ と に よ っ て 下 が っ た 」の は,加 1972年
ー タ数が 少 な い と きに
る い は 小 さ くな る こ と が あ りえ ま す.
え た1973年
のデータが
ま で の デ ー タ と な ん ら か の 意 味 で 異 な っ て い た ため だ と解 釈 で き ます. 「モ デ ル を 特 定 す る上 で キ イ に な る デ ー タ 」が あ る,ま た,「 そ れ を加 え て も効 果 の 少 な い デ ー タ」が あ る. 特 に,時
系 列 デ ー タの 分 析 で は こ の こ と を考 え て,対
象
期 間 を 決 め る. 変 化 が 発 生 し た こ と を把 握 す る た め に も,そ
うい うデ ー
タ を認 知 す る こ とが 必 要. こ の 例 で は,
1973年 の デ ー タ が,ロ
で す か ら,そ そ う して,そ
ジ ス テ ィ ッ ク カー ブ の 変 極 点 を過 ぎた とこ ろ の 情 報
うい うこ と が起 きた もの と考 え られ ま す. の 新 しい デ ー タ が
将 来 落 ちつ くで あ ろ う上 限 の 推 定 に 重 要 な 意義 を も っ て い る
と判 断 で き ます. こ の よ うに,
同 じ く 1つ の デ ー タ で あ っ て も,情 報 と し て の 価 値 は均 等 で は な い
の です. ⑨ 1973年 の 情 報 は,飽
和 水 準 の 推 定 に 大 き く貢 献 す る こ と が わ か りま し た.
図7.4.7
1968∼72年
そ の 情 報 が 使 え な い1972年 べ き で す .ま
の 推 移(モ デ ル(7)式,上
の 段 階 で は,飽
限 ・下 限 も推 定)
和 水 準 を 推 定 す る こ とは 無 理 と判 断 す
た,「 飽 和 水 準 の 推 定 」の 良 否 を 判 断 す る に は,決
定 係 数 で は な く,
「デ ー タ の もつ 意 味 」 を考 え に 入 れ る こ と が 必 要 で す. ⑩ こ こ で,こ
の 節 で 計 算 した 結 果 を ま とめ た 表 を示 し て お き ま し ょ う(表7.4.8).
新 し い 年 次 の デ ー タ が 得 られ る に つ れ て,推
定 結 果,特
に飽和水 準 に関 す る推定値
が どの よ う に か わ る か を も う一 度 み て,「 デ ー タ 数 を増 や せ ば 増 や す ほ ど よ い 」 と い う わ け で は な い こ と を確 認 して くだ さ い.
dirty
data
の cleaning
X と Y の 関 係 を把 握 す る た め に は,そ
の関 係 に影響 を もた らす他 の 条件 を一
定 に た も っ て 観 察 す る こ と を考 え ます.「 実 験 す る 」 と き の 基 本 的 な 考 え 方 で す. しか し,そ の よ うに 「条 件 を 制 御 して 観 察 す る」こ との で き な い 問 題 分 野 で は, 観 察 値 に,条
件 の ち が い が 混 同 さ れ る こ とに な り ます.
そ う い う観 察 値 をdirtyな
デ ー タ とよ び ます.
X,Y の 関 係 を把 握 す る た め に は, dirtyな 状 態 を ク リー ニ ン グす る た め の 手 順 を 適 用 し な け れ ば な ら な い の で す. そ の 手 順 を 経 ず に,ク
リー ン な デ ー タ を想 定 し て い る 手 法 を適 用 す る と,き れ
い に み え る結 果 が 得 ら れ た と し て も,条 件 の ち が い,す れ て し ま い,誤
読 に お ち い る の で す.
な わ ち,よ
ご れ が か くさ
表7.4.8
⑪ 補 注:Logit変
この 節 の結 果 の ま とめ
換 して 回 帰 分 析 を適 用
一 般 化 ロ ジ ス テ ィ ッ ク曲 線 を求 め る た め に,成 長 曲 線Y(T)を
次 のZ(T)に
図7.4.9
逐次近似計 算
変 換 し,Z(T)に
関 し て 最 小 2乗 法 を 適 用 す る 方 法 が 考 え ら れ ま す。
モ デ ル
Z(T)=β(K1+K2)(T-T0)
K1=1K2=0の 場 合 に 慣 用 さ れ る 方 法 で す が, 一 般化 ロジス テ ィッ クカー ブの場合 に は変換 式 の 中 にK1,K2を
含 ん で い る た め に,図7.4.9の
よ
う な逐 次 近 似 計 算 を適 用 す る こ とに な り ま す.同 じ計 算 を何 回 も く りか え して 実 行 し ま す か ら,コ ン ピ ュ ー タ を使 い ます. 1968∼75年 結 果 は,次
の デー タ に つ い て こ れ を 適 用 し た
の よ うに な りま す
Kl=0.95554,K2=0.02724,R2=99.9564%
(K1=0.957,K2=0.024,R2=99.9528%)
括 弧 書 き は,レ ベ ル レー ト図 上 で 回 帰 分 析 を適 用 して 得 た 結 果 で す.Logit変 適 用 し た 場 合,こ な お,決
定 係 数 は,(Z,T)平
ま す か ら,(Z,T)平
換 を
れ と ほ ぼ 一 致 し た 結 果 に な って い る こ と を確 認 で き ま す. 面 で み た 場 合 と レベ ル レー ト図 で み た 場 合 で ち が い
面 で み た値 に 換 算 し た 結 果 を示 して あ りま す.
◇ 注 レベ ル レー ト図 で 扱 う場 合 に は,成 長経 路 の中 央 部 で の値 を 重視 した 結 果 に な り, Logit変 換 して 扱 う場 合 には,成 長 経 路 の 端 の 方 の値 を重 視 した 結 果 に な ります.こ の こ とが,決 定 係 数 に影 響 し ます. ⑫ 成 長 曲 線 に つ い て K1=1,K2=0と タ を含 ま な い 形 に な り ます.し
想 定 す る と,Logit変
た が っ て,変
換 値Z(T)に
換 の 変 換 式 は パ ラ メー
対 して T 以 外 の 説 明 変 数
を含 む モ デ ル を扱 う こ とが 簡 単 に な り ま す. 付 表I.3に
示 す 「ホ ー ム エ ア コ ン の 普 及 率 」に つ い て,所
て 回帰 分 析 を適 用 して み ま し ょ う.次 の 結 果 が 得 ら れ ます.
得 階 層 区 分X(k)を
含め
図7.4.10
ホ ー ム エ ア コ ン普 及 率 推 移
図7.4.11
の所得階層別比較(1)
図7.4.
値の推移
12 ホー ム エ ア コ ン普 及 率 推 移
図7.4.13
の所得階層別比較(2)
ホ ー ム エ ア コ ン普 及 率 観 察
Logit変
換 した値 を図
示 した場合
Z=-5.3867+0.8774T+0.3551X,R2=93.2%
図7.4.10は,こ す が,1979年
の 結 果 をXT平
面 に うつ し て,実
績 値 と推 計 値 を比 較 した も の で
の 値 が 傾 向 線 か ら外 れ て い る こ とに 注 意 し ま し ょ う.
こ の デ ー タ の よ うに,長
い期 間 を カバ ー す る デ ー タの 場 合 に は,必
ず,デ
ー タの定
義 を確 認 す る こ と が 必 要 で す. 報 告 書 をみ る と,「 ホ ー ム エ ア コ ン」の 定 義 を か え て い る こ とが わ か り ます. 観 察 値 の 動 き を プ ロ ッ ト し た 図7.4.11
に よ っ て も,1974
ギ ャ ッ プ が 認 め ら れ ます. 1974年
ま で の デ ー タ を 使 う と次 の 結 果 が 得 ら れ ま す.
年 と1979年
の 間 に
Z=-6.5766+1.3244T+0.3990X,R2=97.2% 図7.4.12
で は,こ
の 傾 向 線 が1975年
以 降 もつ づ く と し た と き の 動 き を 図 示 し て い
ま す. 計 算 に 使 っ た1974年 して,傾
ま で は よ く合 致 して お り,1979年
以 降 は,定
義 の 変 更 を反 映
向 線 と外 れ た 動 き を示 し て い ま す.
定 義 変 更 が あ っ た の で,基
礎 デ ー タは 4年 分 しか な い,こ
れ だけ では デー タ数が 少
な い の で 時 間 的 推 移 を推 定 で き な い … 一 般 に は そ うで す が,こ 別 に わ け,ど
こ で は,「 所 得 階 層
の 階 層 も平 行 に 動 く」 とい うモ デ ル を想 定 して い る た め に,4 年 分 で も,
十 分 な 精 度 を もつ 結 果 が 得 られ た の で す. 4年×5区 分 あ わ せ て20の
デ ー タ を使 え る よ う に な っ た た め だ と み れ ば よ い の で
す.
7.5 モ デ ル選 定 の 考 え方 ① "成 長 曲 線"を 求 め る 問 題 は,7.4節 う.一 連 の モ デ ル に つ い て,そ た と思 い ま す が,こ
ま で の 範 囲 で 考 え れ ば,ま
ず 十分 で し ょ
れ ぞ れ の 位 置づ け を一 貫 して 説 明 で き る こ とが わ か っ
の 節 で は,こ
れ ま で の 展 開 の ま とめ を 兼 ね て,モ
デル の選定 あ る
い は パ ラ メ ー タ推 定 に 関 す る 考 え 方 を一 般 化 し て 述 べ て お き ま し ょ う. ② モ デ ル 想 定 の 基 本 的 な考 え 方
モ デ ル の 表 現 式 は 非 線 形 で す が,モ
デ ルの表
現 式 に 含 ま れ る パ ラ メー タ は "現 象 の あ る 面 を 記 述 す る も の" に な っ て い ます. ま た,そ
れ ら は,
レベ ル レー ト図 上 で の 直 線 あ る い は放 物 線 の 位 置 と対 応 づ け る こ とが で き ます か ら,デ
ー タ をプ ロ ッ トす る こ と に よ っ て,パ
ラ メー タの値 につ いて
お よ そ の 見 当 をつ け る こ とが で き ます. こ うい う体 系 化 が
現 象 の 動 き を"XT平
そ う な る こ と を 説 明 した い
面 で み る と非 線 形 だ"
そ の 説 明 に 対 応 す るパ ラ メ ー タ(複 数)を 導 入 す る
そ の パ ラ メー タ の位 置 を 図 上 で よめ る 形 に プ ロ ッ トす る
とい う考 え方 に よ っ て な さ れ た こ とが 重 要 で す. 「 被 説 明 変 数 の 動 き を み る」こ とか ら,「 現 象 の 動 き を 説 明 す る」 こ と に 一 歩 ふ み こ む … そ れ を 自然 な 形 で 進 め る こ とが で き ます. ③ 線 形 モ デ ル と い う ニ と
回 帰 分 析 の 数 理 は,線
適 用 で き な い と教 え て い ま す が,線
形 と い う こ と は,現
形 モ デ ル で な い と(厳 密 に は) 象 を 記 述 す る 関 数 式f(t)で
は な く,関 数 式 に 含 ま れ るパ ラ メー タ(そ の 値 を推 定 す る こ と に な る)と の 関 係 が 線
形 だ と い う こ とで す. した が っ て,ロ
ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ(拡 張 形 を 含 む)に つ い て は,レ
で み る こ とに よ っ て,パ
④ ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ に 関 し て は,被 線 形 化 す る方 法 が 慣 用 さ れ て い ま す が,こ ま で 論 を 進 め よ う と し た場 合 に は,変 ため に,線
ベ ル レー ト図
ラ メ ー タ に 関 し て は 線 形 化 され て い る の で す. 説 明 変 数 をLogit変
の 方 法 で は,ロ
換 す る こ とに よ っ て
ジ ス テ ィ ッ ク カー ブ 拡 張 型
換 ル ー ル の 中 に パ ラ メ ー タ K,L を 含 ん で い る
形 化 され な い こ とに な りま す.
した が っ て,線
形 化 す る別 の 方 法(レ ベ ル レ ー ト図 を 使 う方 法)が あ っ て,そ
自然 な 拡 張 方 向 に な っ て い る な ら,そ
れが
れ を採 用 す べ きで す.
た だ し,2 つ 以 上 の 説 明 変 数 を含 む 場 合 へ の 対 処 が 簡 明 だ とい う利 点 が あ り ま す か ら(158ペ
ー ジ の 補 注),Logit変
換 に よ る 方 法 も,選 択 肢 の ひ と つ と して お き ま し ょ
う. ⑤ モ デ ル の 良 否 の 評 価 め に,デ
モ デ ル選 定 ま た は パ ラ メー タ推 定 の 良 否 を判 定 す る た
ー タ との 適 合 度 を測 る こ とが 必 要 で す が,デ
ー タ と して 観 察 さ れ た 範 囲 外 の
こ と まで 言 及 しよ う とす るに は(そ れ が 成 長 曲 線 を求 め る 問 題 の ポ イ ン トで す), "モ デ ル の 意 味 を考 え る こ と" が 必 要 で す.そ
の た め に は,デ
ー タ(Y,T)をYT平
面 に プ ロ ッ トして傾 向 線 を あ
て は め る とい う機 械 的 な 扱 い で な く, "種 々 の モ デ ル の ち が い を 図 の 上 で 識 別 し
,説 明 で き る レベ ル レ ー ト図"
を使 い ま し ょ う. レベ ル レー ト図 を使 う と,そ の 図 の 上 で,パ す.ま
た,新
⑥ も うひ とつ,重
要 な 注 意 をつ け 加 え て お き ま し ょ う.
回 帰 分 析 を 使 う と,計 す.し
ラ メー タ の 予 測 値 をみ る こ とが で き ま
し い観 察 値 が 加 わ っ た 場 合 の 予 測 値 の 変 化 を み る こ と もで き ます.
算 され た関 係 式 につ い て推 定 誤差 を見 積 も るこ とが で き ま
か し,
分 散 を最 小 化 す る と い う基 準 だ け で決 め て し ま う の は,き
わめ て危険
で す. 特 に 時 系 列 デ ー タの 場 合,デ な わ ち,大 意 は,重
ー タ ひ とつ ひ とつ が ちが っ た 時 点 に 対 応 して い る,す
な り小 な り,事 態 の 変 化 に と も な う異 質 性 を も っ て い る こ とか ら,こ
の注
要 で す.
⑦ あ る前 提 下 で の 最 適
条 件 つ き最 適 性 で す か ら,前 提 が か わ っ た ら最 適 とは
い え な く な り ます. 成 長 経 路 を 求 め る 問 題 で は,成
長 曲 線 が 限 界 に 近 づ い た 場 合,関
係 す る要 因 に 対 し
そ れ をか え よ う とす る動 き が 発 生 す るで し ょ う.予 測 は,す べ て "そ れ ま で の 条 件 が か わ ら な い もの とす れ ば" ,と い う条 件 つ き予 測 で す.ま
た,
デ ー タ と の 適 合 度 も,条 件 が か わ ら な い と み られ る範 囲 で,
それ を測 って いる の で す. 状 態 変 化 が 想 定 さ れ る場 合,た
と え ば 対 象 期 間 を 区 切 っ て,そ
モ デ ル ま た は パ ラ メー タ を か え る こ と を考 え ます.問
れ ぞれの期 間 ご とに
題 に 関 連 す る情 報 を,こ
うい う
形 で … 回 帰 分 析 の 計 算 へ の 入 力 と して で な く,モ デ ル の 適 合 範 囲 を考 え,範
囲 を区
切 る判 断 の ため に 使 うこ と が 必 要 と な るの で す. ⑧ デ ー タ に も とづ く推 測 で デ ー タ との 適 合 度 に 注 目 す るの は 当 然 で す が,"適
合
度 を分 散 で 計 測 す る"こ とは 必 ず し も適 当 で は な い の で す. 基 本 は,"モ
デ ル との 適 合 度"で す.そ
れ を み る た め に は,あ
る 1つ の 指 標 で 測 る
よ り も,
種 々 の モ デ ル を 図 の 上 で 識 別 で き る"レ ベ ル レ ー ト図"を 使 う と有 効
で あ る … こ れ が,重
要 な結 論 で す.
⑨ 統 計 手 法 の 適 用 に つ い て,基 本 的 な考 え方 を ま とめ て お き ま し ょ う.
統 計手法 の適 用 情報 に潜 在す る意 味 を くみ とるこ と 統 計 手 法 は,観
察 値 の もつ 情 報 を,現 象 に 関 す る推 論 に 利 用 す る 方 法 だ と了 解 で き
ます. し た が っ て,情 う し て,そ
報 の もつ 意 味 を失 う こ と な く,忠 実 に 要 約 す る こ と を考 え ます.そ
の た め に は,量
的 指 標 に よ る 要 約 よ り も,図 的 表 現 に よ る要 約 の 方 が 有 効
な 場 合 が 多 い で し ょ う.こ の た め に,種 で す.そ
々 の モ デ ル を識 別 で き る 図 的 表 現 を考 え る の
れ に よ っ て,観 察 値 の側 か ら示 唆 され る モ デ ル を しぼ っ て い くの で す.
手 法 の 数 理 が 想 定 す る モ デ ル を もち だ す の は,そ な ま ま数 理 的 手 法 を先 行 させ,機
の 後 で す.デ
械 的 に そ れ を適 用 す る と,ミ
ー タの観 察が不 十分 ス リー デ ィ ン グ す る可
能 性 が あ りま す. デ ー タ との 適 合 度 に 注 目 す る こ と は 当 然 必 要 で す が,そ
れ を,分 散 や 決 定 係 数 だ け
で み て い る と,実 態 を 見 誤 る お そ れ が あ りま す.ま
象 とす る 期 間 の と りか た を
十 分 に 考 え な い と,"形
た,対
の 上 で 合 致 して い て も,事 態 を 説 明 で き な い"結 果 に な っ て
し ま い ま す. この 章 で 取 り上 げ た"成 長 曲 線 の 推 計"は,こ
う い う注 意 の 必 要 な 典 型 的 な 問 題 分
野 で す. デ ー タ主 導 型 で 問 題 を 考 え て い く,こ れ が,探 ま した)の 基 本 理 念 で す が,そ 理 解 し ま し ょ う.
索 的 デ ー タ解 析(5 ペ ー ジ で 説 明 し
の 立 場 で 問 題 を 扱 う と,こ
うい う 筋 書 き に な る こ と を
問題 7
間 1 プ ロ グ ラ ムLOGISTHを
呼 び 出 して,ロ
ジ ス テ ィ ッ ク カー ブ の 位 置 づ け な ど に
関 す る説 明 を よ め. 問 2 レベ ル レー ト図(Y,DY)上 成 長 曲 線 が142ペ
で の推 移 が143ペ
ー ジ の(5)式 で 表 わ さ れ る 場 合 の
ー ジ の(1)式 で 表 わ さ れ る こ と を示 せ.
問 3 レベ ル レー ト図(Y,DY)上
で の推 移 が145ペ
ー ジ の(1)式 で 表 わ さ れ る 場 合 の
成 長 曲 線 が 同 じペ ー ジ の(2)式 で 表 わ され る こ と を示 せ. 問 4 (1) レベ ル レー ト図(Y,DY)上
で の 推 移 が 図7.A.1の
よ うな直 線 で表 わ され
る場 合 の 成 長 曲 線 が 「 指 数 型 漸 近 モ デ ル 」に あ た る こ と を 示 せ. (2) レベ ル レー ト図(Y,DlogY)上
で の 推 移 が 図7.A.2の
よ うな直 線 で 表 わ
され る場 合 の 成 長 曲 線 が 「ロ ジ ス テ ィ ッ クカ ー ブ 」に あ た る こ と を 示 せ. (3) レベ ル レ ー ト図(logY,DlogY)上
で の 推 移 が 図7.A.3の
よ うな 直 線 で
表 わ され る場 合 の 成 長 曲 線 が 次 の 式 で 表 わ さ れ る こ と を示 せ.
Y=Lexp[-exp{-β(T-T0)}] こ れ は,ゴ
ンペ ル ツ カー ブ と よば れ る もの で あ る.
図7.A.1
図7.A.2
問 5 本 文7.4節 1966年 7.4.8の
の 分 析 例 で は 付 表I.1中
図7.A.3
の1968年
以 降 の デ ー タ を 使 っ て い た が,
以 降 の デ ー タ を 使 う と結 果 が ど う か わ る か.結 形 に 示 せ.プ
ロ グ ラ ムLOGISTICと
果 は158ペ
デ ー タ フ ァ イ ルDT20aを
ー ジの表 使 うこ
と. 問 6 付 表I・1(DT20)は,種
々の 耐 久消 費 財 につ いて 普 及率 の推 移 をみ た もの で あ
る.こ れ を,レ ベ ル レー ト図(Y,DY)に
プ ロ ッ ト して,ど
ん な成長 曲線 で表 わ
お い て,変 数 Y の 変 化DYを
計 算 し,Y を 横 軸,
され るか を 調 べ よ.
注:プ ロ グ ラムXTPLOTに
D Yを 縦 軸 に とって 図示 す る と,レ ベ ル レー ト図 に な る. 問 7 (1) 付 表I.1の う ち ホ ー ム エ ア コ ン に つ い て,ロ 一 般 形 の 範 囲 で)を あ て は め て み よ . (2) 表 に 示 す 年 次 の 全 部 を使 う の で な く,1980年
ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ(7.4節
の
ま で の デ ー タ を使 っ て 計 算 す
る と結 果 は ど うか わ る か. (3) 1970年
か ら1980年
ま で の デ ー タ を使 う と ど うか わ るか.
問 8 (1) 付 表I.2(DT23)は,ル
ー ム クー ラー の 普 及 率 の 推 移 を 県 別 に 示 し て い る.
各 県 で の 推 移 の 型 の ち が い を レベ ル レ ー ト図 を使 っ て 調 べ よ.い
くつ か の 代 表
的 な 県 を 選 ん で 調 べ れ ば よ い. (2) ま た,ロ
ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ を あ て は め て,調
べ よ.(1)と 同 じ 県 を 対 象
とす る こ と. 問 9 (1) 付 表I.3(DT22)は,ホ
ー ム エ ア コ ン の 普 及 率 の 推 移 を所 得 階 層(五 分 位 階
級)別 に わ け て み た も の で あ る.こ
れ を レベ ル レ ー ト図 上 に プ ロ ッ トし て,そ
れ ぞ れ の 所 得 階 層 で の 推 移 が,同
じ推 移 曲 線 に 沿 っ て 動 く(時 間 お くれ を も つ
に して も 同 じ 曲 線 上 を動 く)か,異
な る推 移 曲 線 を動 くか を 識 別 せ よ.
こ の 場 合,そ
れ ぞ れ の 所 得 階 層 区 分 に 属 す る世 帯 が,5 年 後 に は 別 の 階 層 区
分 に うつ っ て い る 可 能 性 が あ る が,そ
の こ と は 無 視 して 扱 う こ と とす る.
(2) 同 一 年 次 の 階 層 区 分 別 の 数 字 に ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ を あ て は め て,階
層
区 分 に よ る ち が い を調 べ よ. この 場 合 の ロ ジ ス テ ィ ッ ク カー ブ は,「 所 得 が 上 昇 す る こ とに よ る普 及 率 の 変 化 」だ と解 釈 して よ い だ ろ う. 問 10 各 所 得 階 層 に お け る ルー ム クー ラー 普 及 率 をLogit変 し た もの を Z と表 わ し,こ れ に つ い て,モ
換(K=0,L=1と
デ ルZ(T)=A+BTを
仮 定) 各階 層 ご と
に 求 め て 普 及 率 推 移 の 階 層 に よ る ち が い を分 析 せ よ. 注:Y(T)をZ(T)=log(Y/(1-Y))と
変 換 した 結果 もDT22に
収 録 され て い る.
シ ステ ムダ イナ ミ ックス 社 会 現 象 や 自 然 現 象 の 動 き を表 わ す モ デ ル と し て,シ
ス テ ム ダ イ ミッ ク ス と よ
ば れ る タ イ プ の も の が あ る. この モデ ル で は,事
象 の 関 係 を,ス
トッ ク とフ ロ ー と して と ら え,ス
トッ クの
推 移 を表 わ す 「レベ ル 変 数 」,そ れ に 変 化 を も た ら す 「フ ロ ー 変 数 」,フ ロ ー の 量 を コ ン トロー ル す る 係 数(レ ー ト)の 関 係 を 表 わ す 一 群 の 式 に よ っ て,シ
ス テム
の 動 き を表 現 し,レ ベ ル や レ ー トの 変 化 に 応 じ る シ ス テ ム の 変 化 を分 析 し よ う と す る もの で あ る.さ
ら に,事
象 の 発 生 に 関 す る タ イ ム ラ グや,し
きい値 な どを考
慮に 入 れ る の が 普 通 で あ る. この 章 で 取 り上 げ た 成 長 曲 線 の モ デ ル で も こ れ らの 概 念 を 使 っ て モ デ リ ン グ し て い る が,シ
ス テ ム ダ イ ミッ クス で は,自
然 現 象 ・社 会 現 象 を た と え ば 地 球 規 模
で と ら え,数 百 に 達 す る 関 係 式 を含 む 大 き な モ デ ル を扱 う場 面 で 採 用 さ れ る. 広 範 な現 象 を 扱 お う とす る と,基 礎 変 数 に 関 し て 観 察 値 が 得 られ て い な い もの も取 り上 げ る こ とが 必 要 と な る.観 察 値 が 得 られ て い な い とい う理 由 で 範 囲 を し ぼ る よ り も,観 察 値 に 関 して フ レ ク シ ブ ル に 考 え,た
と え ば 「類 似 デ ー タ に 基 づ
く想 定 」,「関 連 す る とみ られ る現 象 の 動 き を参 考 に し た 想 定 」,「技 術 的 な 視 点 に も とづ く判 断 」,「こ れ 以 上 あ るい は これ 以 下 に は な ら な い と い う判 断 」な ど を 取 り入 れ る こ と に よ っ て,考
察 範 囲 の 広 さ を確 保 す る こ と を重 視 す る.
この こ とに 関 連 して,い
くつ か の 手 段 の効 果 を対 比 した り,因 果 序 列 を 把 握 す
る と い っ た使 い 方 をす る こ とが 多 い,計
量 的 な 予 測 を下 す に して も,「 こ う い う
前 提 を お け ば こ う な る」 とい っ た 条 件 つ き予 測 を複 数 提 示 す る. 『成 長 の 限 界 』で 使 わ れ た こ とは よ く知 られ て い る.
8 ア ウ トラ イ ヤ ー へ の 対 処
こ の章 で は,① ア ウ トライ ヤ ー に つ い て,同 じ条 件 下 で も 他 と離 れ た値 を示 す 場合 と,条 件が 異 なる た め に他 と離 れ た値 を もつ 場合 を識 別 す る 方 法,②
あ る説 明 変 数 を追 加 した と き に期 待 され る効 果 や 回 帰 係
数 推 定値 の変 化 を 計 測 す る 方 法,お よび ③ ア ウ トライ ヤ ー の 影 響 を避 け るた め に,離 れ た度 合い に応 じた ウエ イ トづ け を して傾 向線 を求 め る 方法 を説 明 します.
8.1 観 察 単 位 の 異 質 性 ① 回 帰 分 析 は,(X,Y)の
関 係 を 表 わ す 図 をか き,そ れ に 傾 向 線 を あ て は め る も
の だ と説 明 さ れ て い ま す が,実
際 の 問 題 に 適 用 して み る と,"こ
疑 問 に 思 わ れ る 結 果 が 出 て く る こ とが よ くあ り ます.た
と え ば,デ
ラ イ ヤ ー(外 れ 値)と み られ る も の が 含 まれ て い る と,そ き ず られ て,他 す.こ
れ が 傾 向 線 か な"と ー タの 中に ア ウ ト
れ(全 体 の 中 の 少 数 例)に ひ
の 多数 例 を 代 表 し て い る と は い い に くい 結 果 に な る 可 能 性 が あ る の で
の 章 で は,そ
うい う場 合 へ の 対 応 を考 え ま し ょ う.
② 次 ペ ー ジ の 表8.1.1に
示 す"セ ー ル ス マ ン の 増 員 と売 上 げ 増 加 の 関 係"を 分 析
し て み ま し ょ う.基 礎 デ ー タ(付 表 L)に 付 記 し た 資 料 か ら 引 用 し た デ ー タ で す.両 方 と も 「比 尺 度 」の 形 で 計 測 さ れ て い ます か ら,対 数 変 換 して 扱 い ます. ③ 図8.1.2は,こ
の 関 係 を示 した もの で す.
図 を み る と,デ ー タ P は 他 と離 れ て い る よ う で す.ま る こ とが 考 え られ ます.し
か し … 結 論 を保 留 し,も
ず,こ
れ を 除 外 して 分 析 す
う少 し考 え て み ま し ょ う.
まず 質 問.「 P を除 く」こ と に 賛 成 で き る で し ょ うか. そ れ を 除 外 す る とい う考 え 方 を採 用 し た場 合,次 え ば,次
に,デ
々 と問 題 が 派 生 し て き ま す.た
と
ー タ I,J,Mが 問 題 視 さ れ る で し ょ う.上 に ず れ て い る よ う で す が,3
つ が 一 群 を な して い る上,そ
れ ら を 除 外 す る と,ほ ぼ 同 じ よ うに 離 れ て い る D,E,H
を ど うす るか …
表8.1.1
セー ル ス マ ン増 員 率 と売 上 げ 増 加
図8.1.2
セー ル ス マ ン 増 員率 と売 上 げ 増 加
こ れ が 問 題 に な っ て き ま す.
答 え に くい 問 題 で す. 基 本 的 に,セ わ ち,注
ー ル ス マ ン の働 き を評 価 す る問 題 だ か ら,上
の 方 に 外 れ た もの,す
な
目す べ き もの を除 く と分 析 す る 意 味 が な く な る … こ う い う有 力 な 反 論 が 出
て き ます. ま た,左
の 方 2つ(デ ー タ A,B)が 離 れ て い る,そ
連 を もた な い ….こ
れ も,も
れ を 除 い て み る と,X,Y
と 「 左 右 に 離 れ て い る ケ ー ス」 と を 同 じ よ う に 扱 っ て よ い も の で し ょ う か.X は,「 こ の 範 囲 で X と Y の 関 係 をみ よ う」 と,い 条 件 で す.条
は関
っ と も ら し い 説 明 で す が,「 上 下 に 離 れ て い る ケー ス」 の方
わば議 論 の 前提 と して提起 され た
件 の ち が い か ら Y が 離 れ た 場 合 が A,B で あ り,条 件 が 同 じ で も結 果
と して 観 察 さ れ る Y が 離 れ た 場 合 が P な の で す か ら,ち
が った見 方 をすべ きで しょ
う. ④ こ う い う問 題 を ど う扱 うべ きで し ょ うか. こ れ ま で の 各 章 で,「 ア ウ トラ イヤ ー の 存 在 を 探 る に は,残 こ とが 必 要 だ 」 と 強 調 して き ま し た が,そ
差 を プ ロ ッ トし て み る
れ に も問 題 が あ り ます.
ア ウ トラ イ ヤ ー が 存 在 す る の に そ れ を 含 め て 計 算 す る と,そ れ に ひ か れ て,そ に 近 い 回 帰 線 が 求 ま っ て し ま い,残
の値
差 プ ロ ッ トで み る と 「よ く あ っ て い る 」と判 定 さ
れ て し ま い ます.ア
ウ トラ イ ヤ ー に よ る 「よ ご れ 」が 除 去 さ れ な い ま ま 「 平 均 化 」 され
た た め,「 一 見 き れ い に み え る 」が,実
は 「灰 色 に な っ て い る 」の で す.
ア ウ トラ イ ヤ ー が 混 在 して い る デ ー タ を,dirty す.そ
う い うデ ー タ を 扱 う場 合,ま
ず,そ
data(よ
ご れ た デ ー タ)と よ び ま
れ を ク リー ニ ン グ す る こ とが 必 要 と さ れ る
とい うこ と で す. ⑤ こ の テ キ ス トの 主 題 で あ る 「 傾 向 線 の 誘 導 」を 扱 う と き に も,説 明 変 数 X の値 が 大 き く離 れ て い るた め に 被 説 明 変 数 Y の 値 が 離 れ た 場 合 と,X あ っ て も Y が 大 き く離 れ た 場 合 を 区 別 し て 論 ず る た め に,ア
の値 が 標 準 なみ で
ウ トラ イ ヤ ー と い う言
葉 を 次 の よ うに 精 密 化 す る こ と に な り ま す. 説 明 変 数 値 セ ッ トの ち が い に よ っ て 残 差 が 大 き くな っ た もの(作 用 点 効 果) 広 義 の ア ウ トラ イヤ ー 説明 変 数 値 セ ッ トが 同 じ で あ る の に 他 と離 れ て い る もの(狭 義 の ア ウ トラ イ ヤ ー ) こ の た め に 必 要 とな る ハ ッ ト行 列 に つ い て,8.2節 方,あ
る い は,回
帰 分 析 に お け る 扱 い 方 を,8.3節
⑥ 8.3節 で は,ま 次 に,8.4節
ず,2.7節
で は,ア
で 説 明 し た 後,こ
れ らの み わ け
以 降 で 説 明 し ま す.
で 説 明 し た 「残 差 プ ロ ッ ト」に 関 して 再 論 し ます.
ウ ト ラ イ ヤ ー と み ら れ る デ ー タ が 存 在 す る場 合,「 そ れ を 除
外 し て 分 析 し た ら結 果 に どの 程 度 ひ び くか を 評 価 す る」指 標 や 手 段 を 説 明 し ます. また,ア
ウ トラ イヤ ー だ と断 定 しに く い た め 「除 外 す る」,「除 外 し な い 」 と一 概 に
は い い に くい ケー ス に 対 処 す る た め,ア
ウ トラ イ ヤ ー の 影 響 を受 け る こ との 少 な い 推
定 法 が い くつ か 提 唱 さ れ て い ます か ら,そ れ ら を紹 介 し ます(8.6節).
8.2 ハ ッ ト行 列 ① 前 節 で 指 摘 した よ うに,回 ヤ ー を 扱 う と きに,説
帰 分 析 を 適 用 す る場 面 で は,変
数 Y の ア ウ トラ イ
明 変 数 X と の 関 係 を視 野 に 入 れ る こ とが 必 要 と な っ て き ま す.
この た め に 使 わ れ る 基 本 概 念 が,ハ
ッ ト行 列 H で す.
まず そ の 定 義 を 説 明 し ま し ょ う. モ デ ル と して,
を想 定 して 説 明 し ま す.定 X0を 使 っ てb0X0と こ の 節 で は,行 を Y,XInを
数 項 を 他 の 項 と同 じ形 式 で 表 わ す た め に,値
列 記 号 を使 い ま す.し
た が っ て,Ynを
要 素 とす る 1列N
要 素 とす る K 列 N 行 の 行 列 を X と表 わ す こ とに し ます.
② 回 帰 分 析 の 数 理 か ら Y の 推 定 値Y*に
1を もつ 変 数
し て い ま す.
モ デ ル Y*=XB
対 して
行 の行 列
に お け る 回帰 係 数 は B=(X'X)-1X'Y に よ っ て 求 め られ ます.し
たが って
Y*=X(X'X)-1X'Y と表 わ す こ と が で き ます. よって
H=X(X'X)-1X'
とお く と Y*=HY とな り ます.こ
の H が,ハ
ッ ト行 列 で す.
行 列要 素 でか くと
Hab=Xa(x/x)-1Xb'
で す. ③ こ の 関 係 か ら,回 帰 分 析 を,
"イ ンプ ッ トYbを
ア ウ トプ ッ トYa*に
対 応 さ せ る 手 続 き"
だ と み る と,
Habは,YbのY*aに
対 す る影 響 度 を表 わ す 量
だ と解 釈 で き ます. ④ ま た,ハ
ッ ト行 列 の 表 現 式 を,積 和 行 列X'Xの
か わ り に 偏 差 積 和 行 列D'D
を使 っ て か く と,次 の よ う に な り ます.
(1) こ の 右 辺 の 第 2項 は,各
説 明 変 数Xnの
位 置 関 係 を表 わ す 指 標 で す が,複
変 数 の 相 互 関 係 を表 わ す 偏 差 積 和 行 列D'Dを ラ ー 化 し た もの に な っ て い ます.す
使 っ て(Dn1,Dn2,…,Dnk)の
数 の 説明
情 報 をス カ
な わ ち,
他 の説明 変数 との 関係 を考慮 外 にお いた場合 の
を
すべ ての 説明変数 対 の相互 関係 を考 慮 に入 れ るため に Hnnと お きか え た もの と考 え れ ば よ い の で す. ⑤ こ れ に つ い て,
0≦Hab≦1
が 成 り立 ち ます.K
は 説 明 変 数 の 数 で す.い
い か え る と, K+1は,推
る係 数 の数 で す. ⑥ 作 用 点
こ の ハ ッ ト行 列 の 対 角 線 要 素
Hnn=Xn(X'X)-1Xn'
定 しよ う とす
をleverageと
よ び ます.日
本 語 に 直 訳 す る と 「て こ比 」で す が,意
と し て 「作 用 点 」 と い う こ と も あ り ま す.こ
の テ キ ス トで は,作
味 を とら えた呼称
用 点 と よ ぶ こ とに し
ま す. この 場 合 に 限 れ ば,
観 察 単 位n の 値Ynの
変 化1 単位 が,
そ の 観 察 単 位 に つ い て の 予 測 値Y*nに
Hnn単 位 の 変 化 を もた らす
と い う意 味 で の 「 影 響 度 を 計 測 す る指 標 」に な っ て い ます. ◇ 注 観察 単 位n の 観 察値 につ い て,そ の残 差enを
en=Hnnen+(1-Hnn)en
す なわ ち,当 該観 察 単 位 の値 に よ る効 果 と,当 該 観 察単 位 以 外 の 値 に よ る効 果 に分 解 で き る こ と を意味 し ます. した が っ て,そ
の 値 に つ い て
(1) ア ウ トラ イ ヤ ー が な い な ら,Hnnの 様 に な る.し
た が っ て,(K+1)/Nに
(2) (K+1)/Nと
著 し く離 れ た 値(Hnnの
値 は,す
べ て の デ ー タ に つ い て,ほ
ぼ一
近 い 値 を と る 値 が 大)を もつ 観 察 単 位 は,他
の観 察 単
位 とな ん らか の 意 味 で 異 な る も の とみ られ る と予 想 さ れ ます.こ
の こ とか ら,
(3) Hnnが(K+1)/Nの2
倍 以 上 の デ ー タ は 他 と 同 一 バ ッ ジ と は み な し に くい か
ら 注 意 せ よ, と い うの が,Hoaglin&Welschの 図8.1.2の 2/18の2
例 で は,デ
提 唱 で す.
ー タA とB の 作 用 点 は そ れ ぞ れ0.3330,0.2865で,平
倍 以 上 の 大 き さ に な っ て い ます(172ペ
て 平 均 の1.1倍
ー ジの 表8.3.1).そ
均
れ 以 外 は,す べ
以 下 で す.
8.3 残差 プ ロ ッ ト ① この 節 の 問 題
回 帰 分 析 に よ っ て 誘 導 され た 傾 向 線 と デ ー タ との 適 合 度 は,
残 差 分 散 や 決 定 係 数 で 計 測 さ れ ます が,そ
れ は,観 察 単 位 全 体 で み た"平 均 的 な 適 合
度"で す. し た が っ て,観
察 値 の 中 に,他
と同 一 に は 論 じ に く い も の が 混 在 し て い る と き に
は,
"ひ とつ ひ と つ の 観 察 単 位 ご と に,そ れ ぞ れ の 適 合 度 を み る"
こ とが 必 要 で す. そ の た め に,2.7節
で 説 明 した よ うに,
残 差 en=Yn-Yn*
を プ ロ ッ ト して み る こ とが 必 要 で す.た en対Y*プ
en対XI,プ
en対
に よ っ て,残
とえば
ロット ロット
デー タ番号 プ ロ ッ ト 差 がY*やXIの
大 き い と こ ろ,小
さ い と こ ろ で 一 様 か,他
と著 し く離
れ た残 差 を もつ 観 察 単 位 は な い か な ど を チ ェ ッ クで き ます. ② こ の 節 で は,こ
れ らの 残 差 プ ロ ッ トに つ い て 補 足 しま し ょ う.
2.7節 で は ふ れ な か っ た 次 の よ うな 問題 点 が あ り ま す. a.残 差 の 標 準 化
モ デ ル Y=A十B1X1+B2X2十
に お い て,V(ε)=σ2が
ε
一 定 で あ っ て も,残 差en=Yn-Yn*の
分散 は
V(en)=σ2(1−Hnn)
とな り,説 明 変 数X1やX2に つ くた め,一
か か わ る 量Hnn(て
定 と は な り ませ ん .た
とえ ば,残
こ 比 ま た は 作 用 点 と よ ば れ る 量)が 差 の 大 小 を論 ず る た め に は,こ
のこと
に 対 応 す る補 正(標 準 化)を 考 え る こ と. b.残 差 対 作 用 点 プ ロ ッ ト 残 差 に つ い て,説 る)と,説
明 変 数 値 セ ッ トX1,X2,…
の ち が い に よ る影 響(Hnnで
明 変 数 セ ッ トの 値 が 同 じだ と し て も,起
計 測 され
き て い る 差 を み わ け る(8.1節
で指
摘 した 問 題)た め の プ ロ ッ トを 使 う こ と. c.偏 回 帰 作 用 点 プ ロ ッ ト す で に モ デ ル に 組 み 込 ん で あ る説 明 変 数 セ ッ トの う ち の 1つ(た と え ばX1)を 除 い た と き に 結 果 が ど うか わ る か を 判 断 す る た め の プ ロ ッ トを使 う こ と, こ の う ち aに つ い て は ③,bに
つ い て は ⑥ で 説 明 し,cに
つ い て は,次
節 で説 明
し ます. ③ 標 準 化 残 差
モ デ ル に 含 ま れ る εの 分 布 に つ い て,正
規 分 布N(0,σ)を
仮定
すると
enはN(0,σ√1-Hnn)
で す. す な わ ち,残 差 分 散 は 一 定 で は あ り ませ ん.1 変 数 の 場 合 に つ い て い う と X の 位 置,2 変 数 以 上 の 場 合 に つ い て い う と作 用 点 の 位 置 に よ っ て ちが う の で す. した が っ て,② か わ りに,標
に あ げ た 種 々 の プ ロ ッ トに お い て,残
差un=en/σ
を プ ロ ッ トす る
準化 残差
tn=en/(σ√1-Hnn) を 使 うこ とが 考 え られ ます. ま た, ど ち らの 場 合 も,σ
と して そ の 推 定 値 を使 う こ と に な りま す が,そ
デー タ数 で わ っ た 「推 定 値」σ,自 よ っ て,さ
ら に わか れ ま す.
の 場 合,
由 度 で わ っ た 「不 偏 推 定 値 」∂の ど ち ら を使 うか に
し た が っ て,残
差 の 標 準 化 に つ い て,次 の 4 とお りが 考 え られ る こ とに な り ます. … … 慣 用 され て い る標 準 化 残 差
… … 仮 説検定 を適 用す る場 面 では これ を使 う … … あ ま り使 わ れ な い … … 作 用 点 の 考 え 方 を 入 れ る と こ れ を使 う 一 般 に は 標 準 化 とい う と,観 察 単 位 数 の 効 果 を補 正 す る た め にσ の か わ りに ∂ を 使 う場 合 を指 し ま す が,こ √1Hnnで
の 節 で 扱 う問 題 意 識 で は,作
用 点 の 効 果 を補 正 す る た め に
わ る場 合 を 指 し ます.
上 に 使 っ た 記 号 で は,前
者 の 意 味 で の 標 準 化 に つ い て 記 号 の 上 に つ け た∼
区 別 し,作 用 点 に 関 す る 補 正 に つ い て 記 号uとtで
区 別 し て い ま す.こ
と〓 で
の 節 で は,
こ の 記 号 を使 い ま す. 記 号 で 区 別 で き る に し て も,標 準 化 と い う コ トバ は,場 わ れ ます か ら,混 乱 を 避 け る ため に は,長
合 に よ っ て ち が う意 味 で 使
い 表 現 に な り ます が,次
と よ い で し ょ う.
第 一 の 場 合un…
標準化 残差
第 二 の 場 合un…
自由 度 効 果 を補 正 した 標 準 化 残 差
表8.3.1
種々の標準化残差
の よ うに 区別 す る
第三 の 場 合tn…
作 用 点 効 果 を補 正 し た 標 準 化 残 差
第 四 の 場 合tn…
自由 度 効 果 お よ び 作 用 点 効 果 を補 正 し た 標 準 化 残 差
④ 表8.1.1に
例 示 した デ ー タ に つ い て,上 掲 の 種 々 の 標 準 化 残 差 を 表8.3.1に
表
示 して お き ます. この 例 の 場 合,uで
み た 残 差 の 大 き い観 察 単 位 は P,M,Ⅰで す が,uで
み た場合 と
tで み た 場 合 の ち が い が A,B,P で 大 きい こ とが よ み とれ ま す. この よ う な ちが い を よ み と りや す くす る た め の 図 示 法 に つ い て は ⑥ で 説 明 し ます 。 ⑤ こ れ ま で 説 明 した 標 準 化 残 差 は,い す る参 考 と して 使 う もの で す.除
ず れ も,あ
る デ ー タ を 除 くか ど う か を 判 断
くか ど うか を 決 め る前 に 使 う指 標 で す か ら,標
準化
残 差 の 計 算 で は す べ て の 値 を使 っ て 計 算 して い ます. した が って,こ
れ ま で の標 準 化 と ちが っ た 観 点 で す が,
ア ウ トラ イ ヤ ー とみ ら れ る もの を 除 い た 場 合 に 予 想 され る残 差en(I)
そ れ を 除 か な か っ た 場 合 の 残 差en
を比 較 した い で し ょ う. ◇ 注 en(I)は,ア ウ トラ イヤ ー を除 い て 計 算 す れ ば 得 られ ます が,あ en/(1-Hnn)と
る仮 定 を お く と
推 定 され ます.こ れ をPress残 差 とよん で い ます,
そ の 場 合 に も,標 準 化 残 差 を使 い ま す.自
由 度 効 果 お よ び 作 用 点 効 果 を補 正 し た標
準 化残 差 を
ア ウ トラ イ ヤ ー を除 い て 計 算 し た もの を外 的 標 準 化 残 差
tn(I)
ア ウ トラ イ ヤ ー を含 め て 計 算 した も の を 内 的 標 準 化 残 差
tn
と よ び ます. 表8.1.1に
つ い て の 計 算 結 果 を表8,3.1に
示 して あ り ます.
こ れ ら の ち が い が 大 き い観 察 単位 が A,B,P で あ る こ と を 確 認 し て く だ さ い.「 除 い た こ とに よ る 影 響 」 と い う 意 味 で は A,B も P も 同 じで す が,影
響 が 起 き る理 由 と
して は ④ で 述 べ た よ うに 区 別 さ れ ます. ⑥ 残 差 対 作 用 点 プ ロ ッ ト 同 じ く残 差 を み る プ ロ ッ トで す が,8.1節 考 え 方 に 沿 っ て,説
に 示 した
明 変 数 セ ッ トの 位 置 の ち が い と し て 説 明 さ れ る 差 と,説
明 変数
セ ッ トの 位 置 の ちが い を 補 正 した 後 に 残 る偏 差 と を 図 上 で 識 別 し よ う とい う趣 旨 の プ ロ ッ トで す.こ
れを
残 差対作 用 点プ ロッ ト
と よ び ます. 一 般 に はLRプ トで は,6.4節
plot)と よ ば れ て い ます が,こ
の テ キス
で 説 明 し た 「レベ ル レー ト図 」 と の 混 同 を 避 け る た め に,残
ロ ッ ト(leverage-residual
差対 作 用
点 プ ロ ッ トと よぶ こ と と し ま す. ⑦ 8,2節 で 説 明 し た ハ ッ ト行 列 を使 い ま す.す 式 と そ の 説 明 か ら わ か る よ う に,
な わ ち,169ペ
ー ジ に 示 し た(1)
説 明 変 数 の 値 が 平 均 の 位 置 か ら離 れ て い る こ とが
Y
の推 定 値 に もた らす 効 果
に あ た る もの で す. 説 明 変 数 が3 つ 以 上 に な っ た こ とか ら,X うの だ と解 釈 す れ ば よ い で し ょ う.こ HnnYnが,作
の 位 置 に 相 当 す る指 標 と してHnnを
の 観 点 で,Hnnを
使
作 用 点 と よ ん で い た の で す.
用 点 の ち が い が も た らす 効 果 で す.
そ れ 以 外 にYn自
体 が もつ 変 動 が あ り ます.し
た が っ て,
被 説 明 変 数 自体 が もつ 変 動 と,
説 明 変 数 の 作 用 点 の ち が い が もた ら す 変 動 と を わ け て み る
とい う考 え 方 を採 用 で き る こ とに な り ま す. い い か え る と,8.1節
に 注 記 し た 「広 義 の ア ウ トラ イ ヤ ー 」 と 「狭 義 の ア ウ ト ラ イ
ヤ ー 」 と を 識 別 で き ま す. これ が,残
差 対 作 用 点 プ ロ ッ トの 効 用 で す.
⑧ 表8.1.1の
デ ー タに つ い て こ の 図 を か い て み ま し ょ う.
図 の 基 礎 デ ー タ す な わ ち 残 差enと が,こ
に 」換 算 して お き ます.す
ハ ッ ト行 列Hnnは
れ ら の 数 値 を 比 較 しや す くす る た め に,次
Hnnに
図8.3.1に
示 して あ ります
の よ う に 「標 準 値 を1と
す るよ う
な わ ち,
つ い て は,そ
れ らが す べ て 等 し い と き に 期 待 され る平 均 値(K+1)/N
に 対 す る倍 率 に し た もの(表 で はH/平 均 と表 示),
表8.3.2
残 差 対 作 用 点 プ ロ ッ トの 基 礎 デ ー タ
図8.3.3
残 差 に つ い て は,残
残差 対 作 用 点 プ ロ ッ ト
差 の 2乗en2を
Σen2/Nに
対 す る 倍 率 に し た も の(表 で
は 残 差 寄 与 度) と し ます. した が って,そ
れ ぞ れ,1 を標 準 と して 大 小 を よめ ば よ い こ と に な り ます.
図8.3.3は,表8.3.2の
数 字 を 図 示 し た もの で す.こ
の 図 か ら,次
の こ とが よ み と
れ ま す.
点 A,B 作 用 点 の ち が い に よ っ て 他 と離 れ た もの で あ る こ と
点 P
点 M,I ア ウ トラ イ ヤ ー の 可 能 性 あ り と み ら れ る こ と
ア ウ トラ イ ヤ ー だ と判 断 さ れ る こ と
8.4 補 足:影 響 分 析 ① 偏 回 帰 作 用 点 プ ロ ッ ト
8.3節 の プ ロ ッ トで は,観
え る 場 面 を想 定 して い ま した.こ て い るの が,こ
れ に対 して,説
察 単 位 の 情 報 の 加 除 を考
明 変 数 の 加 除 を考 え る場 面 を想 定 し
の 節 で 説 明 す る偏 回 帰 作 用 点 プ ロ ッ トで す.
② 被 説 明 変 数 Y の 説 明 要 因 と し て 説 明 変 数 セ ッ トX1,X2,…,Xκ ます が,そ
の 説 明 変 数 の す べ て を 使 う とは 決 め て お らず,説
を想 定 して い
明 力 の 低 い もの が あ れ ば
落 とす こ と を考 え て い る もの と し ま し ょ う. 説 明 変 数XJ に つ い て 検 討 す る た め に は
XJ以
外 のXIを
説 明 変 数 とす る Y の 回 帰 推 定 値Y(-J)と
XJ以
外 のXIを
説 明 変 数 とす るXJの
を求 め,eY(-J)を
縦 軸,eXI(-J)を
回 帰 推 定 値XJ(-J)と
残 差eY(-J) 残 差eXI(-J)
横 軸 に と っ た グ ラ フ を使 い ま す.
こ れ を偏 回 帰 プ ロ ッ ト とよ び ま す. ◇ 注 回帰 推 定値 お よび 残差 を表 わす 記号 にお け る-J は,説 明 変数XJを た もの で あ る こ とを示 し ます.
除 い て計 算 し
図8.4.1
偏 回帰 プ ロ ッ ト
③ この プ ロ ッ トに つ い て
バ ラ ツ キ が 大 きけ れ ば,説
明変数 を追加 す るこ とは有効 で ない
と判 断 され,
傾 斜 B を もつ 直 線 関 係 が 見 出 さ れ れ ば 説 明 変 数XJを
追 加 す る こ とが 有 効
と 判 断 され ま す. 図8.4.1は,こ
の 章 で 取 り上 げ て い る例 に つ い て,説
マ ン増 員 率)の 他 に も う ひ と つX2(= が あ る もの と して,X1の 変 数X2の
明 変 数 と してX1(=セ
効 果 お よ びX2の
効 果 をみ る た め の 偏 回 帰 プ ロ ッ トで す.
効 果 をみ る た め の 偏 回 帰 プ ロ ッ トで は,点
い る よ う で す.こ
の こ と か ら,説
ールス
仮 想 デ ー タ(Y と の 相 関 の 低 い デ ー タ を 仮 想))
明 変 数X2を
の位 置が ラ ンダム に分 布 して
追 加 して も効 果 が な い と判 断 で き ま
す.
8. 5 補足:回 帰推定値に対する影響分析 ① 他 と離 れ た 観 察 値 の 影 響 を み る た め の 手 段 は,8.3節 た く さ ん あ りま す が,こ
こ で は,そ
に 解 説 した 方 法 以 外 に も
の ひ と つ で あ るAtkinsonのCに
て お き ます. ② 観 察 値(XIn,Yn)の
全 部 を使 っ た 回 帰 推 定 値
Yn=A+ΣBIXIn と,(XIn,Yn)の
うち(XIL,YL)を
除 い て求め た 回帰推定値
Yn(L)=A(L)+ΣBI(L)XIn と を比 べ ま し ょ う.観 察 単 位Lを
除 外 し た こ とに よ る 変 化 を
ΔYn(L)=Yn-Yn(L) の よ うに 記 号Δ
を使 っ て 表 わ す こ と と し ます.
つ い て補 足 し
en=Yn-Y とハ ッ ト行 列Hnnと
を使 うと
と表 わ す こ と が で き ます. こ れ を 標 準 化 す る た め にYnの 合 σの 推 定 値 が 必 要 で す が,こ もの と し ま し ょ う.す
で す.こ
標 準 偏 差 σ√Hnnで わ る こ とに し ま し ょ う.こ れ も,観 察 単 位Lを
の場
除 外 して 計 算 し た σ(L)を 使 う
なわ ち
れを
⊿sYn(L) とか くこ とに しま し ょ う.⊿sの
S は 標 準 化 し た も の を指 す 記 号 で す.
これ につ いて │⊿
sYn(L)1≦1⊿sYL(L)│
for
all n
が 成 り立 っ て い ま す か ら,
観 察 単 位 L を 除 い た こ との 影 響 を す べ て の η に つ い て 調 べ な く て もYLに
対 す る影 響 だ け を調 べ れ ば 十 分 だ
と い う こ とに な りま す. こ こ で,n=Lと
お いた
に 注 目 し ま す.
は,標
準 化 残 差 を,観 察 単 位 L を 除 い て 計 算 した もの に な っ て い ます.
こ れ が,8.3節
で 述 べ た 外 的 標 準 化 残 差 で す.こ
れ をt(L)と
表 わ し ま し ょ う.す
ると
が 得 られ ます.こ る式 で,DFFITSと ③ HLLが
れ が 観 察 単 位Lを
除 外 し た と きのYLに
均 等 に な っ て い る と き に はHLL=(K+1)/Nと
に お け るt(L)=1の
対 す る影響 評 価 値 を与 え
よば れ て い ます. な り ま す か ら,そ
状 態 を 基 準 と み な す こ と が で き ま す.⊿sYL(L)を
倍 率 で 表 わ した もの が,次
の値 で す.
こ の 指 標 値 が 2以 上 な ら,影 響 あ り とみ な す こ と が で き る で し ょ う.
の場 合
それ に対 す る
表8.5.1
な お,こ
影 響 分 析 の ため の指 標 値
れ を 2乗 した もの がAtkinsonの
こ の他CookやWelshが 表8.5.1に,こ
C と よば れ て い る指 標 で す.
同 様 の 指 標 を提 唱 して い ます が,説
れ ら の 指 標 値 を示 し て お き ます.基
様 に 表8.1.1で
明 を 省 略 し ます.
礎 デ ー タ は,こ
れ ま で の 節 と同
す.
8.6 加 重 回 帰(ロ バ ス ト回 帰) ① 回 帰 分 析 の 適 用 が,図
た と え ば 図8.6.1は,通
示 さ れ た傾 向 線 が,全
体(も
常 の 回帰 分析 を適 用 した結 果 で す
し くは 多数 部 分)で の 傾 向 を代 表 して い る と い え
る で し ょ うか. こ れ が,こ
の 章 の は じめ に 掲 げ た 問題 で し た.問 題 は,ア
ウ トラ イヤ ー か 否 か の 判
断 に か か わ っ て い ま す. ② ア ウ トラ イ ヤ ー と 断 定 で き れ ば,そ
れ を 除 い て 分 析 す れ ば よ い の で す が,
"そ う も断 定 で き な い,だ
"そ う ら し い も の は 除 い て 分 析 す る 方 が よ い"と い う説
か ら,含 め て 分 析 せ よ"と い う説 と,
が 対 立 す る こ とに な り ま す. た だ し い ず れ に し て も ア ウ トラ イ ヤ ー へ の 対 処 を 要 す る こ とは 同 じで す.よ
っ て,
ア ウ トラ イヤ ー が あ っ て も,ど れ が ア ウ トラ イ ヤ ー な の か 断 定 しに くい
図8.6.1
⇒ 除 き に くい の で,他
⇒ し た が っ て,そ
通 常 の 回帰 式
と一 緒 に 扱 う こ とは や む を え な い
の 影 響 を受 け に くい 方 法 を採 用 す る
こ と を考 え る の です. 「ア ウ トラ イ ヤ ー の 影 響 を受 け に くい 」… そ う い う性 質 を,"ロ よ び ま す.そ
バ ス ト(頑 健 性)"と
うい う性 質 を も つ 方 法 は 種 々 の 場 面 で 提 唱 さ れ て い ま す が,こ
の章 で
扱 っ て い る回 帰 分 析 に つ い て 提 唱 さ れ て い る 「ロ バ ス トな 方 法 」 を説 明 す る の が こ の 節 で す. ◇ 注 一 般 に は,方 法 を適 用 す る と きに 「 必 要 な前 提 条 件 」に 関 して,前 提 が み た され な か った こ とに よ る影 響 が 少 な い … そ うい う性 質 を ロバ ス トと よん で い ま す が,こ こ で は,ア ウ トライヤ ー の混 在 に 関 す る ロバ ス トを問題 に してい るの です. ③ こ の 間 題 へ の 対 処 と し て,8.3節
で は 残 差 対 作 用 点 プ ロ ッ トに つ い て 説 明 し,
8.5節 で は ア ウ トラ イ ヤ ー と判 断 して 分 析 範 囲 か ら除 外 し た 場 合 の 影 響 を 計 測 す る指 標 に つ い て 説 明 し ま した.し
か し,「 ア ウ ト ラ イ ヤ ー ら し い 」 とい え る に して も,「 ア
ウ トラ イ ヤ ー 」 と断 定 で き る わ け で は あ りま せ ん.し
た が っ て,こ
の 問題 が 解 消 す る
とは 限 り ませ ん. そ こ で,除
く ・除 か ぬ と,二
者 択 一 的 に 考 え る か わ りに,"全
外 れ て い る程 度"を 考 慮 に 入 れ る こ とに よ っ て,ア
体 と しての傾 向か ら
ウ トラ イ ヤ ー の 影 響 を 小 さ く し よ
う とい う扱 い を採 用 す る の で す. ④ 加 重 回 帰
こ れ が,加
重 回 帰(ま た は,ロ
バ ス ト回 帰)と よ ば れ る 一 群 の 方
法 で す. 回 帰 分 析 に お け る 回 帰 係 数 推 定 の 基 準 は,
す な わ ち,偏 こ と は,第 に,ウ
差 を"そ の 2乗 で 評 価 す る"形 の 基 準 で す.こ 4章 で述 べ て あ り ま す.そ
エ イ トW
をつけ加 え た
の 形の 基準 に問題 が あ る
の 問 題 を 解 消 す る ひ とつ の 方 向 は,こ
の評 価 式
を 基 準 とす れ ば,ウ
エ イ トと し て,偏
ラこ とに よ っ て,enの
差enが
大 きい もの,す
大 き い デ ー タ ほ ど小 さ くな る もの を使
な わ ち,ア
ウ トラ イヤー の 可能 性 の 高 い もの
の 影 響 を お さ え る こ と が で き る は ず だ … こ う い う発 想 で す . ◇ 注 デ ー タの 分 散 が一 様 で ない場 合,分 散 の 大 きい もの,す な わ ち,精 度 の 劣 る もの は ウエ イ トを小 さ くして 扱 うため に も,同 じ方 法 が適 用 され ます が,ウ エ イ トを導 入 す る動 機 が ちが い ます. ⑤ ウ エ イ トの 与 え 方 に つ い て い くつ もの 案 が 提 唱 さ れ て い ま す.主
な も の を紹 介
し ま し ょ う. 以 下 で は,回
帰 式 に よ る 計 算 値 か らの 偏 差 を シ グマ で わ っ たen,す
な わ ち,
を使 っ て 説 明 し ます. (1) 卜 リ ミ ン グ を適 用 す る方 法
と す る 案 で す.す 除 外 し,残 く,よ
な わ ち,偏
差 が シ グ マ の c倍 以 上(た
と え ば 2倍 以 上)の
り に つ い て 通 常 の 最 小 2乗 法 を 適 用 す る 案 に あ た り ま す."理
く 採 用 さ れ て い る"方
法 で す が,c
そ れ を 除 く 」の だ と 了 解 し ま し ょ う.そ の フ ェ ン ス と あ わ せ て2.7と ◇ 注 中 位 値Q2,四
倍 以 上 の デ ー タ を 「ア ウ ト ラ イ ヤ ー と み て の 観 点 に た つ な ら,cを
「ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト」
します.
分 位 値Q1,Q3を
LF=Q,一1.5(Q3-Q1)以
デー タ を
屈 は と もか
使 っ て,UF=Q3+1,5(Q3-Q1)を
下 の デ ー タ を ア ウ トラ イ ヤ ー とせ よ
こ え る デ ー タ, …
こ れ がTukeyの
提唱 し
た ボ ツ ク ス プ ロ ッ トの 考 え 方 で す 。 正 規 分 布 の 場 合 に はQ1=-0.674,Q2=0,Q3=0 を4×Q3と (2) Huberの
.674で
あ る こ と を参 考 に し て,本
文 のC
し て い ま す. 方法
と す る方 法 で す.(1)の
方 法 で,除
く,除 か な い と二 者 択 一 す るか わ りに,除
く範 囲
と除 か な い 範 囲 の 間 の デ ー タ に 対 し て 0 と 1の 間 の ウ エ イ トを つ け る形 に な っ て い ま す.こ
の こ と か らa,bを,(1)の
す.関 数 形f(│en│,a,b)は
方 法 に お け る 区 切 り値2.7を
後 述 す るLAR法
に す る た め の 項 を付 加 し た も の です.
は さ む 値 に して い ま
の 場 合 の 関 数 形 に,e=aで1,e=bで0
(3) Andrewsの
方法
と と る 方 法 で す.|en|が πCを こ え る デ ー タ は 除 外 し,そ れ 以 外 の デ ー タ に つ い ては, 関 数sin(u)/uで
表 わ さ れ る ウ エ イ トを つ け て 扱 う こ と に な り ま す.c は(1)の
に お け るc,(2)の
方 法 に お け るbと
方法
ほ ぼ あ わせ る た め に1 と し ます.
(4)LAR法
を ウ エ イ ト と して 使 う 案 で す.こ
の 案 の ウ エ イ トは,こ
に よ る ち が い を極 端 に 誇 張 した 形 に な っ て い ます が,分
れ ま で の 方 法 と比 べ て,|en| 散 の 定 義 式 に こ のWnを
代 入
すると
とな りま す.よ って,こ の 基 準 は,平 均 偏 差 を "偏 差 の絶 対 値 の 平 均"で 測 る 案 に あ た り ます.し
た が っ て,す
で に 述 べ たLAR(least
absolute residual)法
に相 当
し ます. ⑥ 図8.6.2は,以 に よ っ て,各
上4 つ の 方 法 に お け る ウエ イ トの 形 を 対 比 し た もの で す.こ
れ
方 法 の お よ そ の 特 徴 を つ か む こ とが で き ま す.
ア ウ トラ イ ヤ ー の 影 響 を 受 け や す い の はLSQ基
準,受
け に く い の はLAR基
準,
他 は そ の 中 間 とみ て お け ば よ い で し ょ う.も ち ろ ん,一 般 的 に そ うい え る と は 限 り ま
図8.6.2
各 方 法 で 想定 され る ウ エ イ ト
図8.6.3
図8.6.5
LAR基
Andrews基
準 による結果
準 に よ る結果
図8.6.4
TRIM基
準 に よ る結 果
図8.6.6
Huber基
準 に よ る結 果
せ ん か ら,問 題 ご と に検 討 す る こ とが 必 要 で す. ⑦ こ の 章 の は じめ に あ げ た 例 題 に つ い て,こ
れ ら 4 とお りの ウ エ イ トづ け を適 用
し て み ま し ょ う. 図8.6.3∼8.6.6が
そ の 結 果 で す が,図
の 上 で は ほ とん ど差 は み られ ませ ん.
誘 導 さ れ た傾 向 線 の 係 数 を 比 べ る と,
LSQ基
準
Trim基
準
Huber基
Andrews基
LAR基
Y=0.134十0.509X
準
Y=0.134+0.509X
Trimさ
Y=0.140+0.526X
デ ー タPが
準 Y=0.114+0.547X
準
Y=0.089+0.541X
れ た デ ー タ な し. ウ エ イ トづ け さ れ て い る.
偏 差 の 小 さ い デ ー タ に も ウ エ イ トづ け . 同 上.こ
の た め 他 と の ち が い が 大 き い.
と な っ て お り, ○ 偏 差 の 大 き い デ ー タP の ウ エ イ ト変 更 の 範 囲 に 入 っ た こ とに よ りHuber基
準
に お け る係 数b の 値 が そ の 前 の 2つ の 方 法 と か わ っ た こ と. ○ 偏 差 の 小 さ い 部 分 で ウ エ イ トを か え るAndrews基
準,LAR基
準 で 他 と離 れ
た デ ー タ A,B の 影 響 に よ っ て 係 数 αが 小 さ くな っ て い る こ と. が わ か り ます. ⑧ こ の 差 は,傾
向 か らの 差 に 応 じた ウエ イ トづ け に よ っ て 生 じ るの で す か ら,各
図8.6.7
各 基 準 で決 ま っ た ウエ イ ト
規 準 で 定 め られ た ウ エ イ トを比 較 し て お き ま し ょ う.図8.6.7が
そ の 結 果 で す.
こ の 例 の 場 合 に つ い て 導 入 さ れ た 程 度 の ウ エ イ トの 差 で は,結
果 は た い して か わ り
ませ ん で した が,問
題 ご と に 事 態 は ち が っ て くる で し ょ う.
ア ウ トラ イヤ ー を 識 別 す る 方 法 は,結 です.ど
局,個
々 の 問 題 ご とに 考 え ね ば な ら な い こ と
ん な場 合 に も有 効 な 方 法 は な い とみ るべ きで す.
参 考 書:こ
の 章 に 関 す る くわ しい 説 明 は,蓑
(多賀 出 版,1992)を
参 照 す る と よ い.
谷 千凰 彦 『計 量 経 済 学 の 新 し い 展 開 』
問題 8
問1 プ ロ グ ラ ムREGO7を
使 っ て,表8.1.1の
デ ー タ(DU80)に
つ い て 計 算 し,次
の
表 ま た は 図 が 得 られ る こ と を確 認 せ よ.
a.図8.1.2に
回 帰 線 を書 き込 ん だ 図.
b.図8.1.2に
書 き込 ん だ 回帰 線 を 使 っ た 場 合 の 残 差 プ ロ ッ ト.
c.表8.3.1に
示 す 残 差 と作 用 点 お よ び 種 々 の標 準 化 残 差.
d.図8.3.3に
示 す 残 差 対 作 用 点 プ ロ ッ ト(表8.3.2が
e.表8.5.1に
示 す 影 響 分 析 の た め の 指 標 値.
問2 プ ロ グ ラ ムREG08を
使 っ て,表8.1.1の
そ の 基 礎 数 字).
デ ー タ(DU80)に
つ い て 計 算 し,次 の
表 ま た は 図 が 得 られ る こ と を確 認 せ よ.
a.被 説 明 変 数 お よ び 説 明 変 数 と あ ら ゆ る 組 み 合 わ せ に つ い て,そ
れ ぞれ の 回
帰 式 お よ び 残 差 分 散 な ど.
b.表3.1.4に
示 した 適 合 度 を示 す 決 定 係 数,マ
ロ ー ズ のCP,AICな
どの指標
値.
c.図8.4.1に
問 3 UEDA以
示 す 偏 回 帰 プ ロ ッ ト.
外 の 統 計 ソ フ トを 利 用 で き る 場 合,そ
れ を 使 っ て,問
1お よ び 問 2
と同 じ出 力 が得 られ る か 否 か を確 認 せ よ.
注:SASを
使 った場 合 との 比較 に つ い ては,次 の 資料 を参 照 して くだ さい.
川 瀬徳 彦 ・上 田尚一:残 差分 析 及 び影 響 分 析 での 各 指 標 の 有効 性,龍 谷 大 学 経 営 学論 集 第35号 第 2号(1996年 問 4 付 表 H は,賃
金 上 昇 率(Y)と
企 業 の 収 益 率(X3)の (l) こ れ に つ い て,モ (2) 1974年
1月) 有 効 求 人 倍 率(X1),物
価 指 数 変 化 率(X2)お
よび
時 系 列 デ ー タ で あ る. デ ルY=A+B1X1+B2X2+B3X3を
あ て は め て み よ.
の デ ー タ は ア ウ トラ イ ヤ ー と み ら れ る よ う だ が,説
X2も 他 の 年 次 と大 き く離 れ て い る の で,ハ
明 変 数X1,や
ッ ト行 列 を使 っ て そ の 影 響 を補 正 し
た 標 準 化 残 差 を 計 算 し,残 差 プ ロ ッ ト(標 準 化 残 差 対 推 定 値 の グ ラ フ)を か け . (3) ま た,こ
の プ ロ ッ トで 大 き い 偏 差 を 示 し た 年 次 に つ い て,そ
数 値 の ちが い に よ る も の か,そ か 」を 識 別 す る た め に,残
差 対 作 用 点 プ ロ ッ トをか い て み よ.
(4) モ デ ル で 取 り上 げ て い る説 明 変 数 の 効 果 を み る た め に,そ き,残
れ が 「説 明 変
の 影 響 を補 正 し て も 残 る ア ウ トラ イ ヤ ー で あ る
の 説 明変数 を除
りの 説 明 変 数 だ け を使 っ た 場 合 の 「 偏 回 帰 プ ロ ッ ト」を か い て み よ.
問 5 プ ロ グ ラ ムREG07を 8.6.3∼8.6.6に 問 6 付 表B(DH10V)に
使 っ て,表8.1.1の
デ ー タ に つ い て 図8.6.1お
よび図
示 す 加 重 回 帰 式 が 得 られ る こ と を確 認 せ よ . 示 すY(=
食 費 支 出額)とX(=
実 収 入)に つ い て,
(1) こ れ ま で の 章 で 説 明 し て き た 通 常 の 回 帰 式 と,8.6節
で 説 明 し た 4 とお り
の 「 加 重 回 帰 」に よ る 回 帰 式 を求 め よ. (2) (1)の結 果 を み て,ア
ウ ト ラ イ ヤ ー とみ ら れ る デ ー タ を特 定 し,そ の デ ー
タ を 除 くこ と に よ る効 果 を み る ため に,そ
れ を 除 い た こ とに よ る 標 準 化 残 差 の
変 化 を 調 べ よ.外 的 標 準 化 残 差 と(内 的)標 準 化 残 差 を比 べ て み れ ば よ い .
9 2変 数 の 関係 要 約
傾 向 線の タイ プ を想 定 しに くい 場 合 もあ りえ ます. この章 で は,そ
うい う場 合 につ い て,傾 向 線 を求 め る とと もに,傾 向
性 で は 表 わせ な い個 別 変 動 の 大 き さを示 す た めの 線 もあ わせ て示 す 方 法 を説 明 します. デー タが 示 唆 す る傾 向 性 を拾 い 出 す とい う観 点 で 組 み立 て られ る た め,広 く適 用 で きる こ と にな ります.
9.1 平均的傾向を表わす線の求め方(1線要約) ① これ まで の 各 章 の 方 法 で は,傾 か ず,デ
向 線 の タ イ プ を想 定 して い ま した が,想
定 をお
ー タ が 示 す 傾 向 を あ りの ま ま 浮 か び 上 が らせ る … こ う い う 「探 索 的 な 手
法 」を 適 用 す べ き場 合 が あ り え ます. こ の 章 で は,そ
う い う場 合 に 適 用 さ れ る方 法 を 取 り上 げ ま し ょ う.
② 説 明 変 数 X と被 説 明 変 数 Y の 関 係 を 示 す グ ラ フ の 上 で"傾 向 線 を え が く"こ と を考 え る の で す.そ 定 せ ず,デ
こ ま で は,こ
れ まで と同 じで す が,傾
向 線 の タ イ プ を事 前 に 想
ー タ の 処 理 手 順 を経 る こ と に よ っ て 見 出 そ う とす るの で す.
た と え ば,
a.X
の値 域 をい くつ か の 区 分 に 区 切 り,
b.各 値 域 に 属 す る 観 察 値(Xn,Yn)の
平 均 値(X,Y)を
求 め,
c.そ れ ら を つ ら ね る 折 れ 線 を ひ く
の が ひ と つ の 方 法 で す. こ う し て 得 ら れ た折 れ 線 を 「平 均 値 の トレ ー ス ラ イ ン 」 と よぶ こ と に し ま し ょ う. た と え ば 図9.1.1の
よ う に 値 域 を 区 切 っ て 各 区 切 りに お け る 平 均 値 を 求 め,図
9.1.2を か くの で す. ③ こ の 場 合,区
切 りの 数 を い くつ に す るか が 問 題 と な り ます.少
なす ぎ る と 細 か
図9.1.1
値 域 を 区切 る
い 動 きが 表 現 され ず,多
図9.1.2
平 均 値 の トレー ス ラ イ ン
す ぎ る と各 区 分 の デ ー タ 数 が
図9.1.3
ス ム ー ジ ン グ
図9.1.4
傾 向性 と個 別 性
少 な い こ とか ら偶 然 的 な 変 化 が 入 っ て き ます. そ こ で,い
d.折
くぶ ん 多 め に とっ て お き,
れ 線 を ス ムー ジ ン グ す る
ス テ ップ を つ け加 え る こ とが 考 え られ ま す. そ の た め に,た
と え ば,点(Xk,YK)のYKを,そ
の 前 後 の 1点 ず つ を 含 め た 3点 の 平 均(YK-1+YK +YK+1)/3と
お きか え る 方 法 を 採 用 し ま す.3 項 移 動
平 均 と よ ば れ る 方 法 で す. い い か え る と,各 区 切 りに 前 後 の 区 切 り を接 続 させ た 上,そ
の 範 囲 で の 平 均 値 の 位 置 を み る の だ と 了解 で き ま す.
し た が っ て,各
平 均 値 の 基 礎 デ ー タ数 が 平 均N/P個
で は 1点 あ た り3N/P個
と な る と こ ろ を,移 動 平 均 値
の デ ー タ を 使 う こ と に な り ま す か ら,デ ー タ 数 が 少 な い こ
と か ら発 生 す る不 規 則 な 凹 凸 を 消 す こ とが で き ます. た だ し,
意 味 の あ る細 か い上 下 も消 して し ま う
と い う副 作 用 を もち ます か ら,図9.1.4の し(図9.1.2に
図9.1.1を
よ う に ひ とつ ひ とつ の 観 察 値 を一 緒 に 図 示
重 ね て 図 示 して)傾 向 線 が"点 の 分 布 を代 表 し て い る"こ と
を確 認 す べ きで す. 3点 の か わ りに 5点 を使 え ば ス ム ー ジ ン グ の 効 果 は 上 が りま す.た
だ し,副 作 用 の
方 が 問 題 と な り ます か ら,5 点 以 上 に ひ ろ げ る こ と は 避 け ま し ょ う. ◇ 注 1 移 動平 均 では両 端 の 情報 が 計 算 され ませ ん か ら,た と えば 3点 移 動 平 均 で は,両 端 につ い ては,そ の 区 間 での 平均 値 を使 い ます. ◇ 注 2 移 動 平均 法 は,時 系 列 デー タで 採 用 され る こ とが 多 い もの です が,そ れ 以外 の場 合 に も,広 く使 い うる もの です.次 節 に例 示 し ます. ◇ 注 3 時 系列 デー タの場 合 に は,12か
月の 周期 を もつ 成 分 をそれ 以外 の変 動 と分 離 す る
手 順 と して用 い られ ます.偶 然 的 な変動 を消す 場 合 とは ちが う使 い方 です.こ の 場 合 は 季
節 性 を除 去す る ため に12項 移 動 平 均 を適 用 し,さ らに,中 心 位 置 を調 整 す る ため に 2項 移 動平 均 を適用 します.し たが って, (1/2Y-6+Y-5+Y-4+Y-3+Y-2+Y-1+Y0+Y1+Y2+Y3+Y4+Y5+1/2Y6)/12 をY0の
か わ り に 使 う こ と に な り ま す.
④ 上 記 の 手 順 に お い て,平 な わ ち,186ペ
均 値 の か わ りに 中位 値 を 使 う こ とが 考 え ら れ ま す.す
ー ジ の a,b,cの か わ りに 次 の 手 順 a,b',c を 適 用 し て 傾 向 線 を求 め る
の です.
a.X
b'.各 値 域 に属 す る観 察 値(XN,YN)の
の値 域 を い くつ か の 区 分 に 区 切 り,
c.そ れ ら をつ ら ね る 折 れ 線 を ひ く
中 位 値(X,Y)を
求 め,
こ う し て 求 め た 傾 向 線 を,「 中位 値 の ト レー ス ラ イ ン 」 と よぶ こ とに し ま し ょ う. 平 均 値 を 使 う場 合 と比 べ て,
ア ウ トラ イ ヤ ー の 影 響 を 受 け に くい
と い う利 点 を もち ま す.ま
た,
代 表 値 か らの 外 れ が 対 称 性 を も た な い デ ー タ に も対 応 で き る
も の に な っ て い ます.
9.2 傾 向 を 拾 い 上 げ る ① 6.5節 の ⑧ で 取 り上 げ た オ リ ン ピ ッ ク 記 録 の 例(付 表 H)に つ い て 再 考 し ま し ょ う. 記 録 の 推 移 を示 す 図9.2.1(図6.5.5の
再 掲)で は,年
々 記 録 が 向 上 し て い る よ うに
み え るが,
上 下 の バ ラ ツ キ が 大 き くて,今
後 ど うな る か を よ み と りに くい
だ け で な く,
今後 の推移 に 関 して 「 下 限 が あ る 」と想 定 で き る か
を 判 定 せ よ … と い う 問題 で し た. 上 下 の バ ラ ツ キ を誤 差 と み な す な ら,「 傾 向 線 に 注 目す れ ば よ い」と い え る の で す が,下
限 の 有 無 に 答 え る た め に,傾
向 線 の 型 を 想 定 す る と こ ろ に 問 題 が あ る の で す.
た と え ば 「レベ ル レー ト図 の 形 に プ ロ ッ ト」す る と い う扱 い 方 で,こ で き る こ と を 説 明 し ま し た が,図9.2.1を
の問題 に対 応
そ の ま ま の 形 で 扱 うか わ りに,前
節 に あげ
た移 動 平 均 を 使 う こ と が 考 え られ ま す. ② 図9.2.2は,図9.2.1の
デ ー タ に 5項 移 動 平 均 を適 用 し た結 果 で す.
傾 向 が 1線 で 表 わ せ ます か ら,そ れ を 延 長 して,将 そ の 上 で,図9.2.3の
来 の 動 き を よみ とれ ます.
よ う に レベ ル レ ー ト図 の 形 に 表 わ す と,ま ず
点 が 左 に動 い て い る こ と,す
な わ ち,
図9.2.1
オ リ ン ピ ッ ク の200m走 記 録(図6.5.5の
図9.2.2
の
図9.2.1に
移 動 平 均 を適 用
した 結 果
再 掲)
記録 が 更新 され てい る こ と
図9.2.3
図9.2.2の
レ ベ ル レ ー ト図
が よ み と れ ます. ま た,
点 が 左 上 に 動 い て い る こ とか ら, 更 新 幅 が 小 さ くな っ て い る
こ と も よみ とれ ます. ③ 最 も 古 い デ ー タ A,B を 除 く と,図9.2.2 に 対 して 回帰 式
DX=1.3823-0.0748X
傾 向線 は,図
の 点A,Bを
除 い て 計 算.
が 得 られ ます. これ か ら,X
の 下 限 す な わ ちDX=0に
対 応 す る X は18.5秒
だ と推 定 さ れ ま す.
た だ し,
レベ ル レ ー ト図 の 縦 軸DXが
0の 線 に 近 づ く
→ 横 軸 す な わ ち X の 動 きが 小 さ くな る
こ とに 注 意 し ま し ょ う. この こ と は,
DX=0に
近 づ くに して も,
そ れ が 実 現 す る とい う わ け で は な い こ と を意 味 し ます. ④ 現 在 ま で の デ ー タ に も とづ く傾 向 で あ り,そ れ が 今 後 もつ づ く とい う仮 定 を お い た 上 で の 発 言 で す か ら,こ
こ に例 示 し た 扱 い を した と し て も,
記 録 の 上 限 値 に つ い て 発 言 す る の は 無 理 だ とい う コ メ ン トが あ り え ます. 頑 張 れ ば,こ
の 上 限 を破 れ るで し ょ う.
統 計 手 法 に よ る予 測 は,「 あ る想 定 を お い て 求 め ら れ た もの 」で す か ら,ひ
とつ の
参 考 値 と気 軽 に 受 け と り ま し ょ う.
9.3 ひ ろ が り幅 を 示 す(3 線 要 約) ① 5.2節 で は
1本 の 傾 向 線 で デ ー タ を代 表 す る こ とが 「現 実 に 存 在 す る個 人 差 」の 情 報 を無 視 す る こ とに な るが, それ でよ いのか
とい う問 題 を あ げ て お き ま した. この 節 で は,こ
の 問 題 へ の 対 応 を 考 え ま し ょ う.
② 1本 の 線 を ひ く こ と で 終 わ りに せ ず,そ ば よ い の で す が,こ
の 章 で は,デ
の 上 下 に 幅 を つ け よ う … こ う考 え れ
ー タ の 分 布 形 な ど に 関 す る 仮 定 を お く こ と な く,
「デ ー タ が もつ 傾 向 を 拾 い 上 げ る」 とい う扱 い 方 を考 え て い る の で す. し た が っ て,9.1節 す 幅 」の 求 め 方,さ
の 「平 均 的 傾 向 を表 わ す 線 」の 求 め 方 を,「 平 均 的 な 傾 向 を 表 わ らに い い か え る と,「 ひ ろ が り幅 の 上 限,下
限 を 表 わ す 1対 の 線 」
の 求 め 方 を考 え れ ば よ い の で す. ③ 平 均 値 と と もに 標 準 偏 差 を使 うの が 一 案 で す. し た が っ て, a.X
の 値 域 を い くつ か に 区 切 り,
b.各 値 域 のYKと c.YK
標 準 偏 差 σKを 使 い,
の トレー ス ラ イ ン
YK+σKの
トレー ス ラ イ ン
YK-σKの
トレー ス ラ イ ン
の 3本 を あ わせ 示 す
と よ い で し ょ う. こ う し た もの を 平 均 ± 標 準 偏 差 の ト レー ス ラ イ ン と よぶ こ とに し ま し ょ う. この 場 合 σ も,値 域 ご と に 求 め るべ き で す. ひ ろが り幅 が 一 定 と仮 定 す る こ と を 避 け よ う と い う趣 旨 で す. ◇ 注 こ こ で考 え て い る ひ ろが りは,「 平 均値 の 見積 も りの精 度 」を表 わす た め の ひ ろが りで は あ り ませ ん.現 実 の デー タ が もつ ひ ろ が りで す.
図9.3.1
平 均 と標 準 偏 差 の トレー ス
したが って,大 きい 方へ の ひ ろ が り,小 さい方 へ の ひ ろが りを同 一値 で 表 現 す る こ と と な る標 準 偏 差 は採 用 しに くいの で す. ④ 「分 布 の 形 に 関 す る仮 定 を避 け る 」 とい う意 味 で は,ひ
ろ が り幅 の 指 標 と し て
標 準 偏 差 を使 う こ と を 問 題 視 しな け れ ば な り ませ ん. 大 き い 方 へ の 変 動 と小 さ い 方 へ の 変 動 とは,大 が う … 当 然,わ
き さが ちが い,現
象 の もつ 意 味 も ち
け て 評 価 す べ き だ と い う こ とで す.
この た め に は,平
均 値 の か わ りに 中 位 値,標
準 偏 差 の か わ り に 四 分 位 偏 差 値 を使 う
こ とが 妥 当 で し ょ う. ⑤ そ こ で,9.1節
の情 報要約 手順 中の bを
平 均 値 − 標 準 偏 差 ⇒ 第 1四 分 位 値 平均値
⇒ 中位値
平 均 値 −標 準 偏 差 ⇒ 第 3四 分 位 値 とお き か え ま し ょ う.そ
う し て cを,こ
れ ら 3本 の トレ ー ス を使 う こ と に 改 め ます.
こ れ を,3 線 ト レー ス あ る い は 3線 要 約 と よ ぶ こ と に し ま し ょ う(提 唱 者 の 名 を と ってHartwigの ⑥ 図9.3.2が
方 法 と よ ば れ て い ます). そ の 例 で す.
この 図 で は 第 7章 と 同 じデ ー タ を使 っ て い ま す か ら,図5.2.1な い
ど と比 べ て くだ さ
.
個 別 変 動 の 情 報 を要 約 表 示 して い る こ と,一 般 化 し た 言 い 方 をす れ ば 基 礎 情 報 の再 表 現 と い う観 点 で,有 効 な表 現 で す. ま た,傾
向性 を み る場 合 に つ い て も,X,Y
して い な い こ と,そ
う し て,傾
の 関 係 を表 わ す 傾 向 線 の タ イ プ を特 定
向 線 の 上 下 へ の ひ ろ が り方 に 関 す る傾 向 性 も よ み とれ
る こ と に 注 意 し ま し ょ う.
図9.3.2
中 位 値 ・四分 位 値 の 3線 トレー ス に よ る表 現
図9.3.3
ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト形 式 に よ る
表現
この 表 現 は,Tukeyの い ます.そ
の 意 味 で は,各
提 唱 した ボ ッ ク ス プ ロ ッ トの 考 え 方 を 適 用 し た 形 に な っ て 区 切 りの 情 報 を(Q1,Q2,Q3)に
こ と も考 え られ ます.図9.3.3で
対 応 す るボ ッ クスで表 わ す
す.
まず 各 値 域 区分 ご とに ボ ッ クス プ ロ ッ トを え が き,そ れ らが 系 列 を な して い る こ と を考 慮 し て,「 3点 を 3線 に す る 」 と了 解 す れ ば よ い の で す.そ
の際 に 「 移 動 平均 に よ
る ス ム ー ジ ン グ を適 用 し て い る 」の で す. ⑦ こ の 方 法 を意 識 し て い た か ど うか は わ か り ませ ん が,統
計調査 の結 果表 現で は
か な り前 か ら採 用 さ れ て い ま した. た と え ば 家 計 調 査 や 賃 金 セ ン サ ス に お い て,分
布 の 特 性 値 と して,中
位 値 と 2つ の
四 分 位 値 が 集 計 さ れ て い ます. た と え ば,貯
蓄 現 在 高 と年 収 の 関 係 を み よ う とす る と き,年 収 の 区 分 の そ れ ぞ れ に
つ い て 貯 蓄 現 在 高 の 分 布 表 を求 め て も両 者 の 関 係 を 簡 単 に は よ み と れ ませ ん か ら,分 布 の 情 報 を 3点 表 示(Q1,Q2,Q3)に
お き か え,Q1,Q2,Q3が
年 収 に よって どう動 くか
を み よ う … こ う い う意 図 で 使 わ れ て き た もの で す. 一 例 と し て,世
帯 の 支 出総 額 と食 費 支 出 の 関 係,世
を示 す 図(図9.3.4,9.3.5)を
帯 の 支 出 総 額 と雑 費 支 出 の 関 係
あ げ て お き ま し ょ う.
傾 向 線 が 直 線 だ と い う仮 定 をお い て い な い た め,食
費 で は 次 第 に 傾 斜 が 低 くな り,
雑 費 で は 次 第 に 大 き くな る と い っ た傾 向 が よみ とれ る こ と に 注 目 し ま し ょ う. 集 計 デ ー タ で は ひ とつ ひ とつ の 観 察 単 位 の 情 報 は 利 用 で き ませ ん.し れ らの 図 で は,値
の 分 布 を示 す 点 を(図9.1.4の
た が っ て,こ
よ うに)図 示 で き ませ ん.そ
の 欠点
が 3本 の 線 を 使 う こ とに よ り カ バ ー さ れ て い る の で す.
図9.3.4
3線
ト レ ー ス の 適 用 例(1 )
図9.3.5
3 線 ト レ ー ス の 適 用 例(2)
問題 9
問 1 付 表C.5(DK80K)を
使 っ て,食
費 支 出 額 と年 間 収 入 との 関 係 を 示 す 「中 位 値 ・
四 分 位 値 の ト レー ス ラ イ ン」お よ び 「ボ ッ クス プ ロ ッ ト形 式 の グ ラ フ 」をか け. こ の 問 題 で は,中 の とす る.ま
た,各
位 値 ・四分 位 値 が 計 算 さ れ て い る の で,そ 世 帯 の 値 は 使 え な い の で,そ
問 2 (1) 付 表B(DH10V)の
食 費 支 出 額(Y)と
収 入 総 額(X)を
使 っ て,本
で 説 明 した 「中位 値 ・四 分 位 値 の トレー ス ラ イ ン 」(図9.3.2)お ロ ッ ト形 式 の グ ラ フ 」(図9.3.3)を
れ を使 えば よい も
れ は 表 示 しな い もの とす る. 文9.3節
よ び 「ボ ッ クス プ
か け.
(2) 平 均 値 と標 準 偏 差 を 使 っ て,図9.3.1の
形 式 の グ ラ フ を か い て,(1)の
グ
ラ フ と比 較 して み よ. (3) 前 章 の 問 6で え が い た 加 重 回 帰 の 結 果 を示 す グ ラ フ と比 較 して み よ. (1),(2)はXYPLOT2,(3)はREGO7を 問 3 (1) 付 表G.1は80人
429人 分 の デ ー タ が 記 録 さ れ て い る.こ 男女 別 区 分 ご と に,年
使 うこ と
の デ ー タ で あ るが,UEDAの
デ ー タ フ ァ イ ルDE12に
れ を 使 っ て,製
は
造 業 の 規模 階 級 お よび
齢 別 変 化 をみ る ため の 「中 位 値 ・四 分 位 値 の トレー ス ラ イ
ン」お よ び 「ボ ッ ク ス プ ロ ッ ト形 式 の グ ラ フ」を か け. (2) 平 均 値 と標 準 偏 差 を 使 っ て,図9.3.1の
形 式 の グ ラ フ を か い て,(1)の
グ
ラ フ と比 較 し て み よ. (3) (1)の グ ラ フ と(2)の グ ラ フ を 比 べ,「(1)の グ ラ フ の 方 が よ い 」 と さ れ る理 由 を述 べ よ.
付録 A ● 分析例 とその資 料源
分析例
参照箇所
例 1 回 帰 分 析 の 手 順 例
表2.1.2∼2.1.5
図2.1.6∼2.1.8 分散分析表
表2.8.1∼2.8.3
例 2 回 帰 分 析 の 計 算 手 順 例
2.5節,2.6節
例 3 残 差 プ ロ ッ トの例
図2.7.1,図2.7.4 図2.7.2,図2.7.3 図2.7.5
例 4 説 明変 数 と取 り上 げ 方
3.1∼3.7節
例 5 ビ ー ル の 出荷 量変 動 の 要 因 分 析
表4.1.1,表4.1.2
例 6 国 内総 生 産 の要 因分 析
表4.1.3
例 7 平 均 賃 金 比較 に お け る 年 齢 の効 果 補 正
表4.2.3,表4.2.4
例 8 ビー ル 出荷 量 に おけ る 気 温 の 影 響 補 正 表4.3.1 例 9 家 計 消 費の 費 目間 相 関 係 数 の分 析 例10 平 均 賃 上 げ 率 の 要 因分 析
ビー ル 出 荷 量 の 要 因 分 析
例13 離 婚 率 の 推 移 の 分 析 と予 測 例14 エ ネ ル ギー 需 要 の 変 動 要 因
付 表名
仮 想 例 付 表A.2 資 料 1 仮想例
付表 B 付 表A.2
仮 想 例 付 表A.1 資 料1
付表 B
資 料 6 付 表G.1 資料 2 資料 1 付 表 B 資料 5 付 表F.1 資料 4 付 表E.2 仮 想例 資料 5 付 表F.1
4.4節
資 料 1
付表 B
4.5節
資料12
付表 H
例11 食 費 支 出 の 分 析(集 計 表 の 利 用) 例12
資料 源
5.1∼5.9節 6.1節
資 料 2
付表 C
資 料 5 付 表F.1
6.2節 6.3節
資 料 7
付 表D.3
資 料 8
付 表E.1
例15
カ ラー テ レ ビ普 及 率 の レベ ル レー ト図 図6.4.1,図6.4.3
資 料 9
例16
カ ラー テ レ ビの 生 産 出 荷 在 庫 の 循 環 図 図6.4.2,図6.4.4
付 表I.1
例17
東 京 周 辺 の 人 口推移
例18
横 須 賀 市 の 人 口 推移
例19
オ リン ピ ッ クの 記録
例20
カ ラ ー テ レ ビ普 及率 の 推 移
例21
ホー ム エ ア コン普 及率 推 移 の 比 較
図7.4.10∼7.9.13
例22
セー ル スマ ン 増員 率 と売 り上 げ 増 加
8.1∼8.6節
資 料14
付表 L
例23
回帰 診断 の ため の 諸 指 標
8.3∼8.6節
資 料14
付表 L
資 料10
付 表I.4
図6.4.6
資 料11
付 表D.1
図6.5.3
資 料12
付 表D.2
資 料13
付表 M
図6.5.4∼6.5.6と9.2節
7.4節
資 料 源:基
礎 デ ー タ が掲 載 され て い る資 料 名.
付 表 名:基
礎 デ ー タ を付 録 B に掲 載 して い る場 合,そ
資料 9 付 表I.1
の 表 名.
資料 3 付 表I.3
資
料
資料1 家計 調査 モデ ルデー タ1954年
非 公開
資料 2 総務庁 統 計局 「家計 調査年 報」
毎年
資料 3 総務 庁 統 計局 「全 国消 費実 態調査 報 告」
毎 5年
資料 4 経 済企 画庁 「国民経 済計算 年報 」
毎年 毎年
資料 5 国税庁 「国税統 計年報 」
毎年 毎年
資料 6 労働 省 「賃 金構 造基本 調査 報告」 資料 7 厚 生省 「人 口動 態統計 調査年 報」 資料 8
資 源 エ ネ ル ギー 庁 「 総 合 エ ネ ル ギ ー 統 計 」 毎年
毎年
資料 9 経 済企 画庁 「消 費動 向調査年 報」 資料10 通 商産 業省 「工 業生産 動態調 査報 告」
毎月
資料11 総務 庁統 計 局 「国勢調査 報告 書」
毎 5年
資料12
蓑 谷 千 鳳 彦 「回 帰 分 析 の は な し」,東 京 図 書,1985
資 料13
S. Chhatterjee, Times
資 料14
V. Mahajan Present
注:政
New
in Olympic et
Lamps
for Old:An
Games:Appl.
Statist.
al.,Parameter
of Influential
府 刊 行 物 に つ い て は,省
Data:J.
Exploratory Vol.
Estimation of
Marketting
Analysis
of Running
31(1982) in
Marketing
Reseach,
庁 再 編 前 の 組 織 名 で 示 し て い る.
Vol.
Models XXI(1984)
in
付 録 B● 付 表:図
・表 ・問 題 の基 礎 デ ー タ
付 表 A 仮想例 付表 B
68世 帯の 家計収 支
付表 C 典 型 的 な集 計表 付 表D.1
東 京50km圏
付 表D.2
横 須賀 市の 人 口推移
の 距 離 帯 別 人 口推 移
付 表D.3 結 婚件数 ・離婚件 数 の推移 付 表E.1
エ ネ ル ギー 需 要 と関 連 指 標
付 表E.2
生産 関数 推定 の 基礎 デー タ
付 表F.1
ビ ー ル 販 売 量 と関 連 指 標
付 表F.2
家 計 に お け る ビー ル 購 入 量
付 表G.1
賃金 月額
付 表G.2 平均 賃金 の年 齢別 推移 付表 H
賃金上 昇率 と関連要 因
付 表I.1 耐久 消費財 普 及率 の推移 付 表I.2
ル ー ム クー ラ ー 普 及 率 の 推 移 の 県 別 比較
付表I.3 年間収 入階 級別 耐久 消 費財普 及率 の推移 付 表I.4
カ ラー テ レ ビ の 生 産 ・出 庫 ・在 庫
付 表 J
交通事 故発生 件数 の県別 比較
付 表K.1
身 長 ・体 重 の 年 齢 別 推 移
付 表K.2
身 長 ・体 重 の ク ロ ス 表
付 表 L セール スマ ン増員 率 と売上 げ増 加 付表 M
オ リン ピッ クの記 録(男 子 陸上)
* それ ぞれ の 表 に 記 し た 資料 か らの 引 用 で す.数
字 の 定 義 な ど に つ い て は,そ
れ ぞ れ の 資 料 を参
照 して くだ さ い. * 数 字 の 表 示 桁 数 な ど をか え た もの もあ り ます. * 数 字 は,そ
れ ぞ れ に 付 記 し た フ ァ イ ル 名 で,UEDAの
* フ ァ イル に は,表
デ ー タベ ー ス に 収 録 され て い ます .
示 した 範 囲以 外 の数 字 を掲 載 して い る場 合 も あ ります .
付表 A 付 表A.1
Y:食 費 支 出,X1:収 X3:有
業 者 数,を
仮 想 例(1)
入,X2:世
付 表A.2
帯 人員,
想 定.
Y:食
入,X2:世
人員 を想 定 。 [フ ァ イ ルXX03]
付 表A.3
UEDAの
費 支 出,X1:収
仮 想例(2)
デー タ 記録 形 式 で あ る.文 番 号 とDATAは
[フ ァ イルXX03]
仮 想例(3)
省 略 可.
[フ ァ イ ルXX03]
帯
付 表 B 68世 帯 の 家計 収 支(1954年 平 均)
X1:世
帯 人員,X6:収
費,X11:住
居 費,X12:光
デ ー タフ ァイ ル に は,X2:有
入 総 額,X7:実
支 出,X8:消
熱 費,X13:雑 業 者 数,X3∼X5:大
費 支 出 総 額,X9:食
費,X10:被
費 人,子
供,乳
幼 児数 も記録 され て い る [フ ァ イ ルDH10]
服
付 表 C 典 型 的 な集 計 表 付表C.1 勤労者世帯の年間収入階級別
N:世 帯 数,X1:年 Y2:実
間 収 入(万 円),X2:世
支 出(千 円),Y3:消
育 費 支 出(円),Y7:教
帯 人 員,X3:世
費 支 出(千 円),Y4:食
帯 主 の 年 齢,Y1:収
費 支 出(円),Y5:被
入 総 額(千 円),
服 費 支 出(円),Y6:教
養 娯 楽 費 支 出(円).
家 計 調 査 年 報(1984年) [フ ァ イルDK31]
付表C.2 勤労者世帯の年間収入十分位階級別
家 計 調 査 年 報(1984年)
[フ ァ イ ルDK31A]
付 表C.4(a)
勤 労 者 世 帯 の 年 間 収 入別
各 変 数 値 は,年 収 階 級 区 分 の世 帯 の 平 均 値.た 間収 入 平均 値 は 集 計 され て い な い の で,各
だ し,年
区分 の 中 央値
な ど と想 定. 全 国 消 費 実 態 調 査 報 告(1984年) [フ ァ イルDK41]
付 表C.4(b)
勤労 者世 帯 の 年 間 収 入 お よ び世 帯 人員 別
全 国 消 費 実 態 調 査 報 告(1984年)
[フ ァ イ ルDK45X]
付表C.3 勤労者世帯の世帯人員別
家 計 調 査 年 報(1984年) [フ ァ イ ルDK33]
付表C.5 食費支 出額 の分布 および分布特性値(勤 労者世帯)
全 国 消 費実 態 調 査(1984年) [フ ァ イルDK80,DK80X]
付表C.6 区分別家計 支出の推移
家計調査年報
[フ ァ イ ルDK30]
付表C.7 消費者物価指数の推移
消費者物価指数統計年報
[ファイルDU10]
付表 D 付 表D.l
東 京50km圏
付 表D.2
の 距離 帯 別 人 口推 移
横 須 賀 市 の 人 口推 移
付表D.3 結婚件数 ・離婚件 数の推移
付表 E 付 表E.1
エ ネ ル ギ ー 需要 と関 連 指 標
X:最 終 エ ネ ル ギー 消 費(単 位1010kcal) X*:同
上 の 新 推 計 値(資 源 エ ネ ル ギ ー 庁 「総 合 エ ネ ル ギ ー 統 計 」)
U:鉱 工 業 生 産 指 数(1980年 U*:同
上(1990年
基 準)
基 準)(通 商 産 業 省 「工 業 生 産 動 態 調 査 報告 」)
V:家 計 最 終 消 費支 出(1980年 V*= 同 上(1990年
H:世 帯数(各 前 年 度 末1000世 ()を
基 準 価 格10億
基 準 価 格10億
円)
円)(経 済 企 画 庁 「国 民 経 済 計 算 年 報 」) 帯)(自 治 省 「住 民 基 本 台 帳 人 口要 覧 」)
つ け た 数 字 は リ ン ク係 数 を使 っ て計 算 した もの. [フ ァ イ ルDT10,DT10NEW]
付 表E.2
生 産 関 数 推 定 の 基礎 デ ー タ
付表 F 付 表F.1
ビー ル 販 売 量 と関 連 指 標
付 表F.2
家 計 に おけ る ビー ル 購 入 量(月 別)
付表 G 付 表G.1
賃 金 月額(疑 似 個 別 デ ー タ)
付表G.2 平均賃 金の年齢別 推移
X1:製
造 業 ・男 ・高 卒,X2:製
X5:商
業 ・男
・高 卒,X6:商
造 業 ・男 ・大 卒,X3:製 業 ・男
・大 卒,X7:商
造 業 ・女 ・高 卒,X4:製 業
・女
・高 卒,X8:商
造 業 ・女 ・大 卒, 業
・女
・大 卒
[フ ァ イ ルDE40]
付 表 H 賃金 上 昇率 と関 連 要 因
付表 I 付表I.1 耐 久消費財普 及率 の推移
X1:ガ ス 湯沸 し器普 及率(66∼95年),X2:電 気 冷蔵庫普 及 率(64∼95年),X3:電 子 レ ン ジ 普 及 率(70∼95年), X4:ホ
ー ム エ ア コ ン普 及 率(64∼90年),X5:カ
普 及 率(66∼95年),X6:カ
ラーテ レビ
ラー テ レ ビ保 有率(66∼95年) 消 費 動 向 調 査 年 報(平 成 7年 版) [フ ァ イ ルDT20]
付 表I.2
ルー ム クー ラー 普 及率 の推 移 の 県別 比較
「民 力 」朝 日新 聞 社 [フ ァ イ ルDT24]
付表I.3 年 間収 入階級別 耐久消費財普 及率 の推移
全 国 消 費 実 態 調 査 [フ ァ イ ルDT22] 原 資料 で 十 分 位 階 級 別 に な って い る とこ ろ は,五 位 階 級 別 に 編 成 替 え.
付 表I.4 カ ラ ー テ レ ビの 生 産 ・出庫 ・在 庫
分
付 表 J 交通 事 故 発 生 件 数 の 県別 比 較
付表 K 付表K.1
付 表K.2
身長 ・体 重 の年 齢 別 推 移
身 長 ・体 重 の ク ロ ス 表
付 表 L セ ー ル スマ ン増 員 率 と売 上 げ増 加
付 表 M オ リン ピッ クの 記 録(男 子 陸上)
[フ ァ イ ルDU90]
付 録 C● 統 計 ソ フ トUEDA
① ま ず 明 らか な こ とは
統 計 手 法 を適 用 す る た め に は,コ
だ と い うこ と で す.計
ン ピュー タが必要
算 機 な しで は 実 行 で き な い複 雑 な 計 算,何
か え して 最 適 解 を見 出 す た め の く りか え し計 算,多 機 能 な ど,コ も,コ
回 も試 行 錯 誤 を く り
種 多 様 な デ ー タ を 管 理 し利 用 す る
ン ピ ュー タ が 果 た す 役 割 は 大 き い の で す.ま
た,統
計学 の学 習に お いて
ン ピ ュ ー タ の 利 用 を視 点 に 入 れ て 進 め る こ とが 必 要 で す .
し た が っ て,こ
の シ リー ズ に つ い て も,各
テ キ ス トで 説 明 し た手 法 を 適 用 す る た め
に 必 要 な プ ロ グ ラ ム を用 意 して あ りま す. ② た だ し,
「それ が あ れ ば 何 で もで き る」 とい うわ け で は な い
こ とに 注 意 し ま し ょ う. 道 具 と い う意 味 で は,「 使 い や す い もの で あ れ 」 と期 待 さ れ ま す.当 が,広
然 の要 求 で す
範 囲 の 手 法 や 選 択 機 能 が あ り ます か ら,当 面 して い る問 題 に 対 し て, 「どの 手 法 を選 ぶ か,ど
の 機 能 を指 定 す る か 」
とい う 「コ ン ピ ュー タ に は 任 せ ら れ な い 」ス テ ッ プ が あ り ま す .そ
こ が 難 し く,学 習
と経 験 が 必 要 で す.「 誰 で もで き ます 」 と気 軽 に 使 え る も の で は あ りま せ ん .「 統 計 学 を知 ら な くて も使 え る」 よ うに は で き ませ ん.こ
れ が本質 です.
③ こ の た め 「 統 計 パ ッ ケー ジ」は,「 知 っ て い る 人 で な い と使 え な い 」 とい う側 面 を もっ て い る の です が,そ え ま し ょ う.た
うい う側 面 を考 慮 に 入 れ て 使 い や す くす る … こ れ は,考
と え ば,「 使 い 方 の ガ イ ドを お り こ ん だ ソ フ ト」に す る こ と を 考 え る
の で す. 特 に,学
習 用 の テ キ ス トで は
「 学 習 用 と い う側 面 を考 慮 に 入 れ た 設 計 が 必 要 」
で す. UEDAは,こ
の こ と を考 慮 に 入 れ た 「 学 習 用 の ソ フ ト」で す.
UEDAは,著
者 の名 前 で あ る と と もに, Utility for Educating Data Analysis
称 で す. ④ 教 育 用 と い う こ と を意 図 し て, ○ 手 法 の 説 明 を画 面 上 に 展 開 す る ソ フ ト ○処 理 の 過 程 を説 明 つ きで 示 す ソ フ ト
の略
○典 型 的 な使 い 方 を体 験 で き る よ う に 組 み 立 て た ソ フ ト を,学
習 の 順 を 追 っ て 使 え る よ う に な っ て い ま す.た
とえ ば 「回 帰 分 析 」の プ ロ グ ラ
ム が い くつ か に わ け て あ る の も,こ の こ と を考 え た ため で す.は ム で は,何
じめ に 使 うプ ロ グ ラ
で も で き る よ うに せ ず 基 本 的 な機 能 に 限 定 して お く,次 に 進 む と,機 能 を
選 択 で き る よ うに す る …
こ うい う設 計 に して あ るの で す.
⑤ 学 習 と い う意 味 で は,そ とが 必 要 で す.し
の ため に適 した 「デ ー タ」 を使 え る よ う に し て お くこ
た が っ て,UEDAに
は,デ ー タ を 入 力 す る機 能 だ け で な く,
学 習 用 とい う こ と を考 え て 選 ん だ デ ー タ フ ァ イ ル を 収 録 し た
「デー タベ ー ス 」が 用 意 さ れ て い る
の で す.収
録 され た デ ー タ は 必 ず し も最 新 の 情 報 で は あ りませ ん.そ
れ を使 っ た 場 合
に,「 学 習 の観 点 で 有 効 な 結 果 が 得 ら れ る」こ と を優 先 して 選 択 し て い る の で す. ⑥ 以 上 の よ う な意 味 で,UEDAは,テ
キ ス ト と一 体 を な す 「学 習 用 シ ス テ ム 」だ
と位 置 づ け る べ き もの で す. ⑦ この シ ス テ ム は,10年 して い た もの のWindows版 用 経 験 を考 慮 に 入 れ て,手 改 定 した の が,本
ほ ど 前 にD0S版 で す.い
法 の 選 択 や 画 面 上 で の 説 明 の 展 開 を工 夫 す る な ど,大
シ リー ズ で 扱 うVersion6で
⑧ 次 は,UEDAを
と し て 開 発 し,朝 倉 書 店 を 通 じ て 市 販
くつ か の 大 学 や 社 会 人 を 対 象 とす る研 修 で の 利 幅に
す(第 9巻 に 添 付).
使 う と き に 最 初 に 現 わ れ る メ ニ ュ ー 画 面 で す.こ
の シ リー ズ
の す べ て の テ キ ス トに 対 応 す る 内容 に な っ て い る の で す. くわ しい 内 容 お よ び 使 い 方 は 第 9巻 『 統 計 ソ フ トUEDAの
使 い方』を参 照 して く
だ さ い. UEDAの
メ ニ ュ ー画 面
Utilityfor Educating Data Analysis
注:プ
1… デ ー タ の 統 計 的 表 現(基 本)
8… 多 次 元 デ ー タ 解 析
2… デ ー タ の 統 計 的 表 現(分 布)
9… 地 域 メ ッ シ ュ デ ー タ
3… 分 散 分 析 と仮 説 検 定
10… ア ン ケ ー ト処 理
4… 2変 教 の 関 係
11… 統 計 グ ラ フ と 統 計 地 図
5… 回 帰 分 析
12… デ ー タ ベ ー ス
6… 時 系 列 分 析
13… 共 通 ル ー テ ィ ン
7… 構 成 比 の 比 較 ・分 析
14…GUIDE
ロ グラ ム は,富
士 通 の BASIC
言 語 コ ンパ イ ラー F-BASIC97を
た プ ロ グ ラム の 実行 時 に 必 要 な モ ジュ ー ル は,添
Windows
は,95,98,
NT,2000の
付 され て い ます.
い ず れ で も動 き ます.
使 って 開 発 し ま し た. 開 発 し
索
ア 行
欧 文
AIC
引
ア ウ トラ イヤー 49,166
33,53
Andrews
の 方 法 181
Atkinsonの
C 178
狭義 の― 広義 の―
168 168
―の 影響 54 CDA
赤 池 の情 報 量基 準 33
5
Cookの
D 178
一 様性 17 DATAEDIT
45
DATAIPT DFFITS
44
1線 要約 186 一 般化 ロ ジス テ ィック カー ブ 145 一 般線 形 モ デル 21 ,22
177
dirty data 157
移 動平 均 187
EDA
ウエ イ トづ け 97
5
影 響分 析 175
F 検 定 19 F 比 39
カ 行 Hartwigの Huberの
方 法 191 方 法 180
回 帰係 数 12 回 帰係 数 な どの 推 定精 度 39
LAR法
回 帰推 定 値 対説 明 変数 プ ロ ッ ト 15
181
Logit変 換 149
回 帰推 定 値 に対 す る影 響 分析 176
LRプ
回 帰分 散 14
ロ ッ ト 173
回 帰分 析 3 VARCONV VIF
73,140
― ―
Welshの
の 応 用 75
―の 計 算手順 24
62
W 178
の 構 成 8
―
の数 理 3
―
の 進 め方 30
外 的標 準 化残 差 173
確 定 変数 17
作 用 点効 果 168
確 率 変数 17
3項 移動 平 均 187
加 重 回帰 19,178
残 差 17
頑健 性 19,178
―
観 察単 位 166
残 差対 観 察 単位 番 号 プ ロ ッ ト 15,36
―
の 異 質性 166
残 差対 作 用 点 プ ロ ッ ト 171
―
の 選択 53
残 差対 推 定値 プ ロ ッ ト 14,34
の 標 準化 171
観 察値 9
残 差対 説 明 変数 プ ロ ッ ト 35
間接 最小 2乗 法 24,148
残差 プ ロ ッ ト 34,170 残差 分散 3,10 ―の計 算 28
季節 性 108,115 期待 値 17
―
寄与 度 75
3線 トレー ス 191
の不 偏 推 定 33
3線 要約 191
寄与 率 75
散布 図 14 傾 向性 1 ―
の把 握 120
時 間的推 移 115
傾 向線 1
時系 列解 析 115
―
の有 意 性検 定 39
時系 列 デ ー タ 4,108
―
の有 意 性 判定 2
自 己相 関係 数 121
傾 向 値 9
指 数 曲線 134
系 列 相関 121
シ ステ ム ダ イナ ミ ックス 165
決 定係 数 3,10 自由度 調 整 ずみ の― ―
の 解 釈 94
検 証 的 デ ー タ解析 5
質的 デ ー タ 23 10,33,38
質的 変数 62 集 計 デ ー タ 4,92 集 計 表 92 重 相 関係 数 12
誤 差項 16
自由度 調 整 ず みの 決 定係 数 10,33,38
個 別性 1
12項 移 動 平均 188
個 別 デー タ 4
条件 つ き最適 性 161
混 同効 果 79,102
初期 水 準 135,145
―
シ ンプ ソ ンの パ ラ ドック ス 79
の補 正 78,79
混 同 要因 79 推定 値 の確 率 論 的 性 質 38
サ
行
数量 化 62,66 数量 化Ⅰ 類 23
最小 2乗法 2,16
数量 デー タの再 表 現 66
最小 分 散推 定 値 18
ス ム ージ ン グ 187
最 尤 法 18 最 良線 形不 偏 推定 値 18
正規 性 の仮 定 19
作 用 点 169
成 長 曲線 142
―
のパ ラメ ー タ 147
―
の タイ プ 3
成分 分解 108,111 制約 条件 22
統 計 調査 92
説明 変 数
統 計 法 92
9
―
の扱 い 方 66
―
の選 び方 55
トリ ミング 180
―
の細 分 60
トレン ド 108
―
の逐 次 除外 52
―
の逐 次 追加 51
―
の追 加 57
―
の取 り上 げ方 46
―
の変 換 56 ― の変 更 57
独 立 性 17
ナ
行
内的 標準 化 残 差 173 ハ
行
説明 変数 選択 49,53 線 形 モ デル 21,160 全 分散
3,10
掃 き出 し計 算 27 ハ ッ ト行列 168 パ ラ メー タ 16
相 関 関係 の 要 約図 47
バ リア ンス 17
相 関係 数 47 相 関係 数 行 列 47
被 説 明変 数 9
粗 回 帰係 数 81
非 直 線性 49
粗 相 関係 数 82
標 準 化残 差 171
粗 平均 値 80
標 準 化平 均 値 80
タ
部 分 モ デ ル 30
行
不 偏 性 17 タ イ ム ラ グ 119
分 散 拡大 要 因 62
多 重 共 線 性 51,62
分 散 分析 49,113
ダ ミー 変 数 22,64,68
分 散 分析 表 14
探 索 的 デ ー タ解 析 5,162
分 析 経過 図 95 分 析 の フ ロー 14
値 域 区分 97 逐 次近 似 法 149
平 均値 の トレー ス ラ イ ン 186
中位値 の トレース ラ イン 188
平 均 的傾 向 186 偏 回 帰係 数 81
定 性 的予 測 120
偏 回帰 作 用 点 プ ロ ッ ト 171,175
適 用上 の 問題 19
偏 回帰 プ ロ ッ ト 175
て こ比 170
変 化 の説 明 124
デー タ
偏 差 9
―
の 質 155
偏 相 関係 数 82
―
の 精度 25
飽 和 水 準 135,145
―
の 経 過 要 約 31
予 測 109,120
マ
行
マ ロ ー ズ のCP
―
33,53
ラ
の 評 価 122
行
モ デル 16
レ ー ト 131
―
の原 形 148
レベ ル 131
―
の選 択 21
レベ ル レ ー ト図 132
―
の誘 導 型 148
レベ ル レ ー ト図 上 で の 直 線 134
―
の良 否 161
レベ ル レ ー ト図 上 で の 放 物 線 143
モ デ ル選 定 の考 え方 160 ロ ジ ス テ ィ ッ ク カ ー ブ 142
ヤ
行
ロ バ ス ト 179 ロ バ ス ト回 帰 178
要 因分析 31,76
著者 略歴 上
田
尚
一(う
えだ・ しょうい ち)
1927年 広 島県 に生 まれる 1950年 東 京大 学第一 工学部応 用数学 科卒 業 総 務庁統 計局,厚 生省,外 務 省,統 計研 修所 などに て 統 計 ・電 子計算 機関係 の職務 に従事 1982年 龍 谷大学 経済学 部教授 主 著 『パ ソ コ ンで 学 ぶ デ ー タ解 析 の 方 法』Ⅰ,Ⅱ(朝
倉 書 店,1990,1991)
『 統 計 デ ー タの 見 方 ・使 い 方』(朝 倉 書 店,1981)
講座 〈情 報 をよむ統計 学 〉3
統 計 学 の 数理 2002年11月25日
定価 は カバー に表示
初 版 第1 刷
著
者 上
田
尚
一
発行 者 朝
倉
邦
造
発行所
株式 会社
朝
倉
書
店
東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6‐29 郵 便 番 号 162‐8707
無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉
ISBN 4‐254‐12773‐1
03(3260)0141
FAX
03(3260)0180
http://www.asakura.co.jp
〈検 印 省 略 〉 〓 2002〈
電話
C3341
平 河工業社 ・渡辺 製本
Printed in Japan
講座 〈 情 報 を よむ 統 計 学〉 情報 を正 し く読み取 るため の統計 学 の基礎 を解 説 前龍谷大 上 田尚 一 著 講座 〈情 報 を よ む統 計 学 〉1
統 12771-5
計
学
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基
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224頁 本 体3400円
前龍谷大 上 田 尚 一著
統計学の種 々の手法 を広 く取上げ解 説。 〔 内容〕デ ー タ解析 の進 め方/傾 向線の求め方/ 2変数 の関
講座 〈情 報 を よ む統 計 学 〉2
統
計
学
12772‐3 C3341
の
A5判
論
理
240頁 本体3400円
前龍谷大 上 田 尚一 著 講座 〈情 報 を よむ 統 計 学 〉9
統 計 ソ フ トUEDAの 12779‐0 C3341
情報 が錯綜 す る中で正 しい情報 をよみ とるために は「 情報の よみか き能 力」 が必要。すべ ての場で必 要 な基本概 念 を解説。 〔 内容〕統計的 な見方 /情報 の統計的表 現/新 しい表現法/デー タの対 比/有 意性 の検定/ 混同要因への対応/分布形 の比較
使 い方
[CD‐ROM付] A5判 200頁 本 体3400円
係の表 し方/ 主成分/傾 向性 と個別 性/集計 デー タの利用/ 時間的変化 をみ るための指標/ ス トッ クとフロー/ 時間的推移 の見方一 レベル レー ト図 統 計 計 算 や 分 析 が簡 単 に行 え,統 計 手 法 の 「意 味 」 が わ か る ソ フ ト とそ の使 い 方 。 シ リー ズ 全巻 共 通 〔内容 〕イ ン ス トー ル/プ ロ グ ラ ム構 成/内 容 と使 い 方:デ ー タ の表 現 ・分 散 分 析 ・検 定 ・回 帰 ・時 系 列 ・多 次 元 ・グ ラ フ他/デ
ー タ形 式 と管 理/他
シ リー ズ 〈デ ー タ の 科 学 〉 林 知己夫 編集 元統数研 林 知 己夫 著
21世 紀 の新 しい 科 学 「デ ー タ の科 学 」の 思 想 と こ こ ろ と方 法 を第 一 人 者 が 明 快 に 語 る。 〔内 容 〕科 学 方
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タ
12724‐3 C3391
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科
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東洋英和大 林 文 ・帝京大 山 岡 和 枝 著 シ リー ズ 〈デ ー タ の科 学 〉2
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良 い デ ー タ を ど う集 め るか?不
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―不 完全 な デ ー タか ら何 を読 み と るか― 12725‐1 C3341 A5判 232頁 本 体3500円 日大 羽 生 和 紀 ・東大 岸 野 洋 久 著 シ リー ズ 〈デー タ の科 学 〉3
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―文化計 量学序説― 12729‐4
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144頁 本 体2800円
完 全 なデ ー タ か ら
何 が わ か る か?デ ー タ の 本 質 を捉 え る方 法 を解 説 〔内容 〕〈デ ー タの 獲 得 〉ど う調 査 す るか / 質 問 票/ 精 度 。 〈デ ー タか ら情 報 を読 み とる〉デ ー タ の特 性 に 基 づ い た解 析 / デ ー タ構 造 か らの 情 報 把 握 / 他
複雑 なシステムに対 し,複 数 のアプ ローチ を用 い て生の デー タを収 集 ・分析 ・解釈す る方 法を解 説。 〔内容〕紙 リサ イクル社会/ 背景/文献調査/世 界 の リサ イクル/業 界紙 に見 る/ 関係 者/資源 回収 と消費/消費者 と製紙産業/ 静脈 を担 う主体/他 個 と集団 とは?意 識 とは?複 雑な現象の様 々 な構 造 をデー タ分析 によって明 らかにする方法 を解説 〔内容〕国際比較調査/標本抽 出/調査 の実施/調 査 票の翻訳 ・ 再翻 訳/分析 の実際(方法,社 会調査 の危機,「 計量的文 明論 」 他)/調査 票の洗練/他
―個 と集 団の意識 の科 学― 12728‐6
法 論 と して の デ ー タの 科 学 / デ ー タ を とる こ と一 計 画 と実施 / デ ー タ を分 析 す る こ と一 質 の検 討 ・ 簡 単 な統 計 量分 析 か らデ ー タの 構 造 発 見 へ
る
人々の心の在 り様 =文化 をデー タを用 いて数量的 に分析 ・解明す る。 〔 内容 〕 文化 を計 る/現 象解析 の ためのデー タ/現象理解の ため のデー タ分 析法 /文 を計 る/美 を計 る(美術 と文化,形態美 を計 る ―浮世絵 の分 析/色彩美 を計 る)/古代 を計 る他 上 記 価 格(税 別)は2002年10月
現在