Высшая математика в примерах и задачах - Учебное пособие для вузов. В 3 т

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВУЗОВ

В. Д. Черненко

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В примерах и задачах в трех томах

том

ПОЛИТЕХНИКА ИЗДАТЕЛЬСТВО Санкт-Петербург 2003

УДК 517 (07) ББК 22.11 Ч-49

Рецензенты: К Ф. Черных, доктор физико-математических наук, профессор Санкт-Петербургского государственного университета, Н. В Югов, член-корреспондент Центра прикладной математики и механики Академии наук РФ

Ч-49

Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. В 3 т.: Т. 3.— СПб.: Политехника, 2003.— 476 с: ил. ISBN 5-7325-0766-3 — общ. ISBN 5-7325-0769-8 —Т. 3 Предлагаемое учебное пособие содержит краткий теоретический материал по тензорному исчислению, численным методам высшего анализа и решения диффе­ ренциальных уравнений в частных производных, линейному и динамическому про­ граммированию, теории вероятностей и математической статистике, случайным функциям, теории массового обслуживания и теории оптимизации, а также боль­ шое количество примеров, иллюстрирующих основные методы решения. УДК 517(07) ББК 22.11

ISBN 5-7325-0766-3 — общ. ISBN 5-7325-0769-8 — Т. 3

© В. Д. Черненко, 2003

Оглавление

Глава 21 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 21.1. Некоторые сведения о векторах 21.2. Определение ортогонального тензора второго ранга 21.3. Операции над тензорами , 21.4. Функции вектора 21.5. Фундаментальный тензор. Символы Кристоффеля

7 — 13 17 22 25

Глава 22 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫСШЕГО АНАЛИЗА

31

22.1. Действия с приближенными числами 22.2. Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений 22.3. Решение системы двух уравнений 22.4. Интерполирование функций 22.5. Численное дифференцирование функций 22.6. Вычисление определенных интегралов 22.7. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений 22.8. Метод коллокаций

— 38 48 52 58 60 66 76

Глава 23 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 79 23.1. Конечно-разностный метод (метод сеток) 23.2. Дифференциально-разностный метод (метод прямых) 23.3. Метод характеристик численного решения гиперболических систем квазилинейных уравнений 23.4. Метод конечных элементов

— 84 92 100

Глава 24 ЛИНЕЙНОЕ И ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 24.1. Решение системы линейных неравенств 24.2. Основная задача линейного программирования и геометрическая реализация ее в случае двух и трех переменных 24.3. Симплекс - метод 24.4. Табличный алгоритм отыскания оптимального решения 24.5. Транспортная задача 24.6. Задачи динамического программирования

. 109 —

Глава 25 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 25.1. Основные понятия теории вероятностей 25.2. Алгебра событий 25.3. Теорема сложения вероятностей несовместных событий 25.4. Теорема умножения вероятностей 25.5. Следстивия теорем сложения и умножения 25.6. Формула Бернулли. Биномиальное распределение вероятностей 25.7. Наивероятнейшее число появлений события 25.8. Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона 25.9. Интегральная теорема Лапласа Глава 26 СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 26.1. Дискретная случайная величина и ее распределение 26.2. Математическое ожидание и его свойства 26.3. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение 26.4. Закон больших чисел 26.5. Начальные и центральные моменты 26.6. Простейший поток событий 26.7. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики 26.8. Функция распределения вероятностей случайных величин ..

116 124 127 133 143

157 — 163 165 167 173 177 180 181 182

185 — 188 190 193 197 199 200 207

26.9. Функции случайных аргументов 26.10. Системы случайных величин 26.11. Условные законы распределения вероятностей составляющих системы 26.12. Числовые характеристики системы двух случайных величин

214 224 231 235

Глава 27 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 245 27.1. Основные понятия математической статистики — 27.2. Средние значения признака совокупности 254 27.3. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение 258 27.4. Мода и медиана 265 27.5. Доверительные интервалы для средних. Выборочный метод... 267 27.6. Моменты, асимметрия и эксцесс 282 27.7. Условные варианты. Метод расчета сводных характеристик выборки 284 27.8. Элементы теории корреляции 287 Глава 28 СЛ^АТИСгаЧОЕСКАЯГТРОВЕРКАСГАТИСГИЧЕСКИХГТШ .. 303 28.1. Основные понятия — 28.2. Сравнения двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей 304 28.3. Сравнение двух средних генеральных совокупностей 310 28.4. Сравнение предполагаемой вероятности с наблюдаемой относительной частотой появления события 319 28.5. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей 321 28.6. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности 324 28.7. Проверка гипотез о других законах распределения генеральной совокупности 331 28.8. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции 336 28.9. Однофакторный дисперсионный анализ 340 28.10. Разыгрывание дискретной случайной величины. Метод Монте-Карло (статистических испытаний) 347 28.11. Разыгрывание непрерывной случайной величины 350

6

28.12. Оценка погрешности метода Монте-Карло 28.13. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло Глава 29 СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 29.1. Случайные функции и их характеристики 29.2. Производная и интеграл случайной функции 29.3. Стационарные случайные функции и их характеристики 29.4. Корреляционная функция производной и интеграла стационарной случайной функции

353 357

361 — 365 370 373

Глава 30

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

375

30.1. Основные понятия системы массового обслуживания (СМО)... — 30.2. Определение цепи Маркова. Матрица перехода 377 30.3. Непрерывные марковские цепи.Уравнения Колмогорова для вероятностей состояния 383 30.4. Универсальные марковские цепи 388 28.5. Одноканальная и многоканальная СМО с отказами 391 28.6. Одноканальная СМО с ожиданием 395 30.7. Многоканальная СМО с ожиданием 401 30.8. СМО с ограниченным временем ожидания 405 30.9. Замкнутые системы СМО 408 30.10. СМО со "взаимопомощью" между каналами 412 Глава 31 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ 31.1. Оптимизация планирования комплекса работ 31.2. Оптимизация размещения узлов почтовой связи 31.3. Расчет оптимального числа работников на предприятии 31.4. Задача нахождения кратчайшего пути 31.5. Алгоритмы определения максимального потока 31.6. Задача замены оборудования 31.7. Метод наименьших квадратов 31.8. Методы расчета надежности ЛИТЕРАТУРА ПРИЛОЖЕНИЕ

417 — 422 427 431 439 443 444 449 465 466

Глава 21 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 21.1. Некоторые сведения о векторах 1°. Векторы называются линейно независимыми, если не допускают линейной функциональной связи между собой. В трехмерном пространстве можно построить три линейно неза­ висимых вектора. Любой четвертый вектор может быть разло­ жен на компоненты по этим трем независимым векторам. Выбранное полное количество линейно независимых векторов данного пространства с целью определения постоянных направ­ лений компонентов некоторого вектора этого пространства при его разложении на составляющие называется репером. Если разложение вектора представить через направляющие векто­ ры репера, то числовые множители, определяющие относитель­ ные длины соответствующих компонентов, называются масштабным базисом. Рассмотрим две взаимные тройки векторов. Пусть даны три независимые вектора а,Ь,с удовлетворяющие условию db с ^0, т. е. некомпланарные. Определим через них еще одну тройку векторов

г пава 21

~

Ьхс

г

а = —Г7—,

сха

Z

6=—^-,

аЬс

аЬс

dxb

с=—^—

(1)

аЬс

Используя cBOjpcTBa смешанного произведения трех векто­ ров, получим ~ _

ЬХС ^

,

aa=—zr--a abc

E-d = ^ ^ ' a = l; dbc z -.

dxb

^ г

= \; ab=0;

^

ca^—rr-a^X; dbc

,

^

S-b=l; z r

::: -

^

а-с=0;

E'C=0; ^

cb=0;

z ^

(2) ,

cc=l,

T. e. векторы с тильдой перпендикулярны двум векторам первой группы. 2^. Взаимные системы координат. Рассмотрим косоуголь­ ную прямолинейную систему с некомпланарными масштабны­ ми векторами ё^.е^^е^, (рис 21.1). Обозначим скалярные произведения этих векторов следующим образом

Рис. 21.1 eiej=g,j

(g,j=gj,;

I,/= 1,2,3/

ЭПЕМЕНТЫ

ТЕНЗОРНОГО

ИСЧИСПЕНИЯ

Если за X , X , X обозначить координаты радиус-вектора г, то г =х^в| л-х^е^л-х^е^ -х'е.^.

(3)

Здесь и в дальнейшем наличие в произведении одинаковых индексов, один из которых расположен внизу, а другой — ввер­ ху, означает суммирование по этим индексам. Введем в рассмотрение другую координатную систему е\ ег, ё^ с началом координат в той же точке. Для скаляр­ ных произведений масштабных векторов примем обозначе­ ния ё'-е'=/

(g''=g'\-

/,/ = 1.2,3;.

Пусть ХрХ2,Хз координаты ТОГО же радиус-вектора, тогда радиус-вектор г будет г=х..в\ (4) Считаем, что рассмотренные тройки базисных векторов являются взаимными (1), (2), т. е.

где 5! - символ Кронекера. Умножая скалярно (3) на ё\ ё^,ё^, получим 1

— —1

2

-* —2

3

— —3

X =г -е , X =г -е , х =г -е . Аналогично, умножая (4) на в,, в^, вз, будем иметь Подставляя эти выражения в (4),(3) и заменяя, соответствен­ но, г на ё. • ё', найдем связь между базисными векторами вза­ имных систем

e,=g,-ei;

e'^g^'-e^.

(5)

W

Глава

21

Для того, чтобы найти формулы связи одного и того же век­ тора г в двух взаимных системах, умножим скалярно все члены равенства х.е' = х'е. на основные векторы каждой системы, тогда получим ^ ^' = ё^Ч-; ^i^eij^'-

(6)

Из (5), (6) следует, что координатные векторы определя­ ются через векторы взаимной системы, как координаты взаим­ ной системы. Таким образом, координаты и базисные векторы, принадлежащие одному и тому же координатному триэдру, пре­ образуются как базисные векторы и координаты взаимной сис­ темы. 3°. Рассмотрим соотношения между двумя независимыми прямолинейными координатными системами. Индексы у второй системы координат отметим штрихами. Пусть начала этих сис­ тем совпадают. Введем следующие обозначения

e.'e^'=g!;

e'-e.^=gi,

причем g,f=gfi; / = g ^ \ - gi^^f^ Повторяя вывод, аналогичный выводу зависимостей (5), получим ei=giie^=gire^'=g!ej^; e'=g'-ej=g}'e^'=g'^'e.; er=gn''e''=gjre'=gre,;

Для радиус-вектора имеем г = х' • в,. = X; • ё^ = х-^ • ё' = х^ • ёг.

(7)

ЭЛЕМЕНТЫ

ТЕНЗОРНОГО

ИСЧИСПЕНИЯ

11

Скалярно умножая все части этих зависимостей на масш­ табные векторы любой из рассматриваемых координатных сис­ тем, получим x'=g'-x^=g'rx>^g"-x.; h=eii-x'=g'-x.=g,.-x>; х' = g'''• X,. = g[ • х'= g'''• X,;

(8)

Xi'=gir-x'=g}-x,=gjrx'. Так как векторы основной координатной системы приня­ то обозначать нижними индексами, то одинакого изменяющи­ еся с ними координаты, а также координаты любых векторов и сами векторы, имеющие в обозначениях также нижние ин­ дексы, называются ковариантными. Векторы взаимной и ко­ ординаты основной системы, соответственно, называются контравариантными, т. е. У — контравариантные коорди­ наты некоторого вектора, если выполняется условие x'-g'-x^. в случае прямолинейных ортогональных координат необ­ ходимость в верхних индексах отпадает и все индексы ставятся внизу. 1.1. Возьмем шесть векторов a,b,c,p,qj и докажем следу­ ющее тождество

[а-(бх?)][р.(^хг)]:

а-р

Ь'р

С'р

aq

bq

c-q

a-r

b-r

С'Г

Решение. Если представить смешанные произведения через составляющие векторов, то равенство сводится к умножению оп­ ределителей 3-го порядка

г пава 21

12

а

а

X

[а(бхс)][р(^хг)] =

С

X

Р.

Ру

Рг

Я.

Чу

Чг

'у

'г

а.Ях + a^qy + a^q, a r +a r +a r '^x X

у у

г

Р.

Ру

Рг

Ях

Яу Яг

Z

к КК С

Г

а

у

Гг

С ^z

у

а, К с. ау 6, с^ а, Ь, с.

b^q, + b^q^ + b,q^ ЬЛ+Ь/у-^Ь/г

c^q^ + c^q^ + c^q^

^хГ.+^,+СЛ

г

ахр

Ьхр

схр

axq

bxq

cxq

axr

bxr

cxr

Докажем тождество другим способом. Если считать векто­ ры а,Ь,с некомпланарными, то разложение векторов p,qj по взаимным векторам а, В, с имеет вид р = (р- а)а + (р • b )Ь + (р' с)с, q =(q- d)d + (q • b )b + (q 'C)c, r =(r -dja-^fr-b)b

-h(r • c)c,

Найдем смешанное произведение этих векторов

p-(qxf)

\p-d

p-b

р'С

= \q'd

qb

q-c d-lbxc)

f-d

f'b

r-c

.

ЭПЕМЕНТЫ

ТЕНЗОРНОГО

13

ИСЧИСПЕНИЯ

Пользуясь зависимостями (1), (2), получим •(бХС) =

V

/

=:

,

(Ьхс) а-ГЬхс)

откуда а-р

[ а - ( ^ х ? ) ] [ р . ( ^ х г ) ] = d-q d'f

Ь'р

С'р

bq

c-q

b-r

C'f

21.2. Определение ортогонального тензора второго ранга 1"^. Рассмотрим две прямолинейные прямоугольные систе­ мы координат х^,Х2,х^ и х[,х\,х^ с координатным базисом вр ^2, ^3 и е\, ё[, вз соответственно. Формулы связи между базис­ ными векторами (7, п. 1) примут вид

^ / = а д ; ^/=eff^

Г^-,/ = 1,2,ЗЛ

где gii — косинусы углов, составляемых осями этих координат­ ных систем. Проекции радиуса вектора на оси одной системы коорди­ нат, выраженные через проекции в другой системе координат (8, п. 1), будут h^ei/r

^j=Sij^i'

(1)

Совокупность трех скалярных величин х., преобразующих­ ся по формулам (1) в величины Ху, определяют ортогональный вектор, который является инвариантом, поскольку не зависит от системы координат.

14

Гпава

21

Обобщая предыдущие соображения на вектор, приведем определение ортогонального тензора второго ранга. Совокупность трех векторов р., заданных в одной системе координат X. и преобразующихся по формулам Pi=gijPr'

Pi=SijPi

(2)

в векторы p'j, отвечающие другой системе координат x'j, опреде­ ляют ортогональный тензор второго ранга или просто тензор. 2^. По аналогии с вектором введем для тензора обозначе­ ние 7 = ejpj+e2P2+e3p3.

(3)

Поскольку тензор определяется тремя векторами p^^Pi^P^' то разложение этих векторов по координатному базису имеет вид А ==Рп^1+Р12^2+Аз^з/ Р2=Р2Д-+-Р22^2+Р23^3/

И)

Рз=РзД+Рз2^2+Рзз^З-

Числа pij называются компонентами тензора и могут быть записаны в виде матрицы, определяющей тензор Ри Рп 7 = Р21 Рп

Р23

Р32

Рзз

Р31

Pl3

(5)

У. Подставляя (4) в (3), получим диадное представление тензора Т = р,,ё,ё, +Р,2?,?2 +Pl3^I^3 +Р21^2^1 + '^Pii^i^i +Р2з^2^з "^Рз1^з^1 ^ Ръг^ъ^г ^ Ръъ^ъ^ъ "^ Pij^i^j-

(6)

Выражения ё^ё., представляющие собой определенную пос­ ледовательную запись двух взаимно независимых векторов без

ЭПЕМЕНТЫ

ТЕНЗОРНОГО

ИСЧИСПЕНИЯ

15

каких либо знаков умножения, называются диадами, а умноже­ ние, соответственно, диадным. 4°. Если для любой системы координат компоненты тензо­ ра равны Рц = Р22 - Ръъ - Ь Рц =^0(1^ j) , то тензор называется единичным и обозначается 1

О О

/ = О О

1 О } = е^е^ +^2^2 +^3^3О

(7)

1

Если у тензора значения компонент не меняются от переста­ новки индексов Pij = pji, то он называется симметричным тен­ зором . Тензор 7^, у которого переставлены векторы в диадах или транспонирована матрица, называется тензором, сопряж:енньш с тензором f. Ри

Ргх Р31

т. АРп

Ри

Р32

Аз

Ри

Рзз

(8)

Нетрудно заметить, что симметричный тензор является со­ пряженным самому себе, т. е. f^-f, Если у тензора значения компонент при перестановке ин­ дексов меняются на противоположные Ду =""Ру7 (0~Ь2,3), то тензор называется антисимметричным. Компоненты антисим­ метричного тензора, расположенные на главной диагонали, равны нулю, т.к. д^ = -р..

Тл=^

0 щ -й)2

-щ 0 Щ

«2

(9) 0

гдей>, =Рз2 = -Рп> Щ = Р\Ъ=-Ръ\' й)з = Рп = - p l 2 -

гпава 21

16

Отсюда видно, что тензор, сопряженный антисимметрич­ ному, отличается от него только знаком. Любой тензор можно представить в виде с^ммы симметричного и антисимметрично­ го тензора (10)

Рц = ^ц + S- = 2^Pii + Pji) ^-^(Pii - Pji )'

2,1. Разложить на симметричную и антисимметричную ча­ сти диаду аЬ . Выяснить значение аксиального вектора, соот­ ветствующего антисимметричной части. Решение. По формуле (10) тензор представляется в виде суммы симметричного и антисимметричного тензора. Посколь­ ку тензор задан в диадном виде, то симметричная часть равна 5ц = -(Рц + Рц ) = -(аЬ + Ьа) а,Ь,

-(ар^+афО

-(ар^+аф^)

-(a,b,+a,bj 1

аф^

(аф,+аф^

-(аф^ + аф^) -(аф, + аф^)

аф.

Антисимметричная часть с учетом формулы (9) будет

^ч=1^(Рч-рц) = ^(^^-'^а)

О

-ft).

ft).

={ Щ

О

-«,

-О),

(У,

о

где величиныft),,о^, щ можно рассматривать как компоненты некоторого аксиального вектора S), то есть ш = co^i + (Ojj + (оф. Учитывая, что щ=р^2' ^i-Pw ^i~p2i> запишем аксиаль­ ный вектор в диадном виде

ЭПЕМЕНТЫ

ТЕНЗОРНОГО

ИСЧИСПЕНИЯ

17

^ = т[(^3^2-^2)^ + (^А-^Л)7 + М 1 - М 1 ) ^ ] или / Ш =

/

й, Ьг «1

Cj

yfe

1=—bxd. (h 2 ^3

21.3. Операции над тензорами 1^. Сумма двух тензоров с компонентами р^у и р - равна тензору, компоненты которого равны сумме одноименных ком­ понент складываемых тензоров Pij=Pij+Pir-

(1)

2°. Если все компоненты р^у некоторого тензора умножить на скаляр Я, то получится новый тензор с компонентами ^pij. Скалярное произведение тензора f на вектор а дает век­ тор b . Если тензор задан в диадном виде (6, п.21.2), то произве­ дение тензора на вектор а = а.е^ справа равно

+е,(р,,а, + рз.а^ + р^^а^) = p,ja.e, = Ь,ё,,

(2)

где Ь- = р. а. —компоненты вектора Ь • Следует отметить, что при скалярном умножении вектора на диаду скалярно перемножаются соседние векторы. При скалярном умножении тензора f на вектор а = а.е. слева получим вектор с аТ = аё- • р.её- =ар е =с е-, где сJ = a.p.j — компоненты вектора с

18

Г пава

21

Таким образом, скалярное произведение тензора на вектор справа и слева не равны друг другу а-Т ^f -а. Пусть вектор b в правой части выражения (2) коллинеарен вектору а, т. е. b =Ха. Величина Я называется главным (или собственным) значением тензора. В этом случае равенство (2) будет

Т-а-Ха или в развернутом виде р„а,+р,2^+р,з^=Яа^;

Рз1^1+Рз2^2+Рзз^з='^ из­ данная система однородных уравнений имеет решение от­ личное от нуля, если ее определитель равен нулю

Рц-^ Р2\

Рм

Рхъ I Р23

РЦ-^

Р31

Р32

=0-

(3)

РзЗ-^|

Запишем кубическое уравнение (3) в виде Я'-/,ЯЧ/2Я-/з=0, где /р /2, /з — главные инварианты, равные А =Р11+Р22+РЗЗ'*

Л=

Р22 Ргз

4- Рп

Рз1

4- Рп

Pi\

Ръг Ръъ

Аз

Рзз

Рп

Ргг

Ри

Рп

Рп

Ргх

Ргг

Рп

Ръх

Рз2 Ръг

ЭПЕМЕНТЫ

ТЕНЗОРНОГО

ИСЧИСПЕНИЯ

191

Тензоры, у которых первый инвариант равен нулю /j = О, называются девиаторами. У. Векторное произведение тензора f на вектор а справа равно тензору, который обозначается Тха

+р,,ё,(ё,ха)

= p..e.(ejXd),

Аналогично, векторное произведение тензора f на вектор а слева равно ахТ = р..(ахё.)ё..

(5)

4°. Скалярное произведение тензора Л = а^п^.е^ на тензор В = b^je^ej равно тензору f равному

Т = А'В = а-Х-ё,(ё^ • ё^)ё^ = a.XjS^Jfi. =

(6)

3

где p,j = a.,b,j + a.^b^j + a.^b^j = ^ a.^^

(i, j = 1,2,3;, т. е. опреде-

/1=1

литель произведения двух тензоров равен произведению опреде­ лителей этих тензоров. Скалярное произведение тензоров обладает свойствами ди­ стрибутивности и ассоциативности М,+Л2;Б = ДБ4-Л2-В,

(тА)'В = т(А'В), (АВ)'С

= А(В'С)

=

А'ВС.

20

Гпава 21

Тензор f~^ называется обратным для тензора f, если име­ ет место равенство

f-'f

= 7,

(7)

Пусть тензор f задан в диадной форме (3, п.2). Составим систему векторов, взаимных (1, п.1) с ^,^2*^3' Р _ Р2ХР2 . р _ Рз^Ч . р _ Р]^^!

' [рЩ' ' [рДр,]' ' [рЩ Обозначим Т-'=Р,ё,+Р2ё2+Р,ё,,

(8)

тогда Таким образом, тензор 7"^ (8) является обратным тензору f по определению (7). Для обратного тензора справедливы следующие выра­ жения

f-'f = fr'=I; (А'В)-'=А-''В-\

(9) (10)

Нетрудно заметить, что выражение (9) следует из соотно­ шений (7), (8), и выражение (10) доказывается, на основании (9), умножением его скалярно на. АВ. Если скалярное умножение тензоров удовлетворяет выра­ жению Т.Т^=Т^.Т = 1,

(И)

то тензор называется ортогональным. Из сравнения (11) и (9) следует, что для ортогонального тензора справедливо соотношение

ЭПЕМЕНТЫ

ТЕНЗОРНОГО

ИСЧИСПЕНИЯ

2Л_

%=Г\

(12)

3.1. Показать, что если а, 5, с —три некомпланарных век­ тора и fd = d\ fb = b\ Те = c\ то _d'-(bxc)

+

b''(cxd)'{-c''(dxb) d-(bxc)

d-(b'xc ) + b '(cxa ) + c d'(bxc)

h=

J

-(axb')

^a-(b'xc) d'(bxc)

Решение. Пусть вектор f = ad + РЬ +yc имеет главное направление, тогда ff = Xf, где Я главное значение. Отсюда f(ad + pb+ ус) = X(ad + pb л-ус) или с учетом условия задачи ad'+рЬ'+ус'= X(ad-{-рЕ+ ус) или a(a-Xd)+p(b''-Xb) + y(c'-Xc) = 0Компланарностью трех векторов d'-Xd, b'-Xb, с'-Хс является условие (a--Xa)\(b'-Xb)x(c'-Xc)'\

= Q.

Раскрывая это скалярно-векторное произведение, получим относительно Я уравнение третьей степени X' '-X^]^a\bxc)

+ d\b'xc)

+

d\bxc)^d\b

^х]^\Ь'хс)л-а\Ьхс)л-а\Ь'хс)^^ -[а^(б'хс')][а.(бхг)]"'=0.

22

Г пава

21

Сравнивая с инвариантами кубического уравнения (3), получим

1=-

h-

a'(bxc)^a'(b'xc)^-a-(bxc') d-(bxc)

a'(b'xc

)^а '(bxc )^а

-(b'xc)

d-(bxc) _a-(b\c) d'(bxc)

21.4. функции вектора V. Рассмотрим функцию трех независимых переменных и = и(х^,х^,х^),

(1)

где х,, ^2, Хз — ортогональные прямолинейные координаты ра­ диус-вектора f . Радиус-вектор в проекциях на оси координат имеет вид /

.Л/1 C i

I

Л/'уС'л

I

^V-JCT ^

откуда Xj = г-е,; Х2=^*^2'* -^з~^*^зПодставляя эти значения в (1), получим и = и(г). Скалярная переменная и в данном случае является функ­ цией радиус-вектора г . Рассмотрим теперь три независимые между собой веще­ ственные функции радиус-вектора г

l"". Считаем, что переменные а^.а^уй^ являются ортого-

ЭПЕМЕНТЫ

ТЕНЗОРНОГО

23

ИСЧИСПЕНИЯ

нальными прямолинейными координатами некоторого вектора а ,тогда а(х^,х^,х^) = а^(г)ё^ -f а^(г)ё2 + а^(г)ё^ = а(г). (2) Выражение (2) представляет функциональную связь между векторами. Независимая переменная называется вектор-аргу­ ментом, а зависимая вектор-функцией. Дадим вектор-аргументу г бесконечно малое прираще­ ние dr и рассмотрим соответствующее приращение векторфункции da . Проекции приращения вектор- функции примут вид , Эа, , Эа, , Эа, , da, =-r-^dx, +-^-^dx^ +^-^dx.; Эх, дх2 Эхз da. =—-dx, + ^^Lrf;, ^^dX

Эх

Эх,

•

Эх,

(3)

da^ =—^rfx, +—-dx^ +—-dx^. Эх, Эхз Эхз Поскольку совокупность трех величин da^, da2, <^аз являет­ ся проекциями вектора da , а совокупность dx^, dx^, dx^ — про­ екциями вектора dr , то по определению тензора (2, п.2), (5, п.2) коэффициенты линейных соотношений (3) представляют также тензор Эа, da

1?

Эа, Эх2

Эа, Эхз

Эх, Эа^ Эа2 Эх, Эх2

Эа2 Эхз

Эоз Эх,

Эаз Эх,

Эаз Эх.

(4)

24

Г пава

21

Тензор (4) называется тензором, производным от вектора а по вектору г . 4.1. Разложить хензор — на симметричную и антисимdr метричную части. Решение. Рассмотрим тензор, сопряженный с тензором (4) да,

Эа.

да.

дх^ Эа, Vd = дх^ да^

дх^ да^ дх^ да^

дх^ да^ дх^

Эхз

Э^з

Э^з Эхз

da Разложим производный тензор— на симметричную и ан­ тисимметричную части da ~dr

(da

+ Va ~dr

\(dd -Va dr

Симметричный тензор есть da^ Эх, lldr

+ Va

да-у да, — - + —^ , Эх, Эх. (да. да, ^ — 1 + —L

Эа1 _^ ^ ^ 2 "1 Эх2 Эх, Эа. Эх. Эа. Эх.

Эа. Эх,

Эх, Эх, и, если вектор а(г ) представляет вектор смещения частиц, то называется деформационным тензором. Антисимметричная часть производного тензора будет

ЭПЕМЕНТЫ

ТЕНЗОРНОГО

\(da —\ lydf

25

ИСЧИСПЕНИЯ

О

^^^ Va

-ш.

о -(Or,

(О,

где, как легко видеть, вектор а равен 1

СУ =—rota. 2

21.5. Фундаментальный тензор. Символы Кристоффеля V. Пусть координаты некоторой точки п —мерного про­ странства х\х^,...,х'' связаны с координатами этой же точки х\х^,...,х",в другой системе координат формулами преобразо­ вания J

*J/°.A РЛ

x^=x^(x\x\....Г)

(i = l2

п).

(1)

Разрешая соотношения (1) относительно х\ х^,.,.,х'' будем иметь х' =х'(х\х\,..^х'') Г/ = 1,2,...,гг/ (2) Пусть для системы координат х' определена совокупность функций А', а для системы координат х' совокупность функций А . Если при преобразовании координат (1) эти функции преоб­ разуются по формулам А=^А'

дх'

Г^- = 1,2,.,„АгЛ

(3)

то величины А^ называются компонентами контравариантного вектора. Если для системы координат х' определена совокупность функций Л., а для системы х' совокупность функций Д , кото-

26

Г пава

21

рые преобразуются по формулам Д = | ^ Л (1 = \Х....п), (4) дх то величины Д называются компонентами ковариантного век­ тора. 2°. Приведем аналогичные определения для тензора. Если для системы координат х' определена совокупность функций А^^, которая при преобразовании координат (1) преобразуется по формулам

^ ~д7дх^^ '

^^^

то величины А^^ называются компонентами контравариантного тензора второго ранга. Соответственно, для компонентов Д ; ковариантного тен­ зора имеем преобразование

Дифференцируя выражения (2) по правилу дифференциро­ вания сложных функций, получим .о, дх' J 1 Эх' 2 Эх' „ дх' , k dx' = — - r f x 4 — - d x ^ ^-... + rfx" = — - d x ^ (7) Эх^ Эх' Эх" Эх' ^^ где dx^, согласно зависимостям (3), являются компонентами контравариантного вектора. В этом случае квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками будет определяться фундаментальной квад­ ратичной формой по формуле dS''=Y,dxj=g..(x\x\...,x'')dx'dx'^

(8)

ЭПЕМЕНТЫ

ТЕНЗОРНОГО

27

ИСЧИСПЕНИЯ

где g,(x\x\...X)

= Yfr^4l

(Ч = 12,....п)

(9)

составляющие ковариантного фундаментального тензора, удов­ летворяющие условию симметрии g^j = gj^. Ковариантные компоненты вектора с помощью фундамен­ тального тензора выражаются через контравариантные по фор­ мулам

Лпё.Л'.

(10)

Разрешая формулы (10) по правилу Крамера относительно контравариантных составляющих, будем иметь

^'•=^4,

(И)

где g'^ = -^ — составляющие контравариантного фундаментальg ного тензора; G^j — алгебраическое дополнение элемента gij в фундаментальном определителе g

g--

Sw

g\2 "'

S\n

ell

Sn

Sin

'"

(12) Snl

Snl

Sni

3°. Обозначим дифференциальные операции фундаменталь­ ного тензора следующими символами ^gnk_

дх т дх

=Г

+Г k.mn

=Г

n,mk>

+Г

(13)

28

Г пава

^g.km Эх"

Г

21

+Г m.nk

k.nm'

Вычитая из сум\5ы первых двух выражений (13) последнее и учитывая симметрию функций относительно индексов ^ife,mn=^Mm'находим

г n.km

Эх"

Эх*

Эх"

(14)

Символы (14) называются символами Кристоффеля перво­ го рода. Умножая символы (14) на фундаментальный тензор g^^, получим символы

rL=g'"n,r.>

(15)

которые называются символами Кристоффеля второго рода. Умножая символы (15) на фундаментальный тензор g^i, получим взаимные формулы n,km

Snl

(16)

km'

Здесь следует отметить, что символы Кристоффеля не явля\отся тензорами. 5.1. Вычислить символы Кристоффеля для: а) круговых цилиндрических координат; б) сферических координат. Решение. Формулы связи между декартовыми координа­ тами и круговыми цилиндрическими имеют вид x = pcos(p, y = psin(p,

z-z.

Координаты фундаментального тензора равны

Эх t Г Эг/ Y [ Ъг \ ь>пп

I

Эх"

+ Эх"

+ Эх"

Яш. =0.

ЭПЕМЕНТЫ

ТЕНЗОРНОГО

ИСЧИСПЕНИЯ

29

где индексы т, п могут принимать различные частные значения 1, 2 и 3, являющиеся номерами координат, присваиваемых им, согласно порядку правовинтовой системы. Ковариантные компоненты фундаментального тензора будут

где числовым индексам присвоены координатные направления Символы Кристоффеля, отличные от нуля, будут

2 Эр pi ^

L ^ ^ - _ n 2^11 Эр /-2.1 _

2^22 Ф Г2.2 _

Р

^ ^g22 _ ^ 2^22 Эр р

Г1.2 _ _ _ _ ^ _ Э й 2 1 = : ^ ^ _

2§,,^22 Эр

Р'

б) Формулы связи между декартовыми х, у, z и сферичес­ кими р, (р, г координатами имеют вид х = pcoscpsinO,

у = psincpsinO,

z-pcosd.

Ковариантные компоненты фундаментального тензора равны ё^11=Ь ^ 2 2 = Р ' ^ g 3 3 = P ' s i n ' 0 .

Здесь числовые индексы 1, 2 и 3 присвоены координатым направлениям р,в,(р. Символы Кристоффеля, отличные от нуля, примут вид ^ 2,12

^ 1.22

9

;^Л

^'^ ""

^'^^ ~ 9 Д

- Р Ь Ш О,

30

Гпава 21

3,23

2,33 2 Э 0

2g„ Эр

''

^

Чгг ^2,2 ^

2

"

Эр

P

^ ^g;2 ^ _1_ 2|Г22 Эр 3,3 _

3.3 ^

2

2^33 de 1 3g33 2^3-3 Эр

1 phm-e

1^Э§з^_^О80^

2^33 Э0 1г -1г

2g,, de

''

p'

2g„ dp

-^

Г" =-Г" '

-/з

p^sin^e' -2^2^^^_ Зр - р '

1

9g33^ctg0

2^33^22 Эв

р'

^

Глава 22 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫСШЕГО

АНАЛИЗА 22.1. Действия с приближенными числами 1°. Абсолютная погрешность. Пусть а есть приближенное значение числа А, т. е. А- а. Абсолютной погрешностью при­ ближенного числа а, заменяющего точное значение числа А, называется абсолютная величина разности между ними

\А-а\<А, где Д — предельная абсолютная погрешность, т. е. наименьшая из верхних граней абсолютной погрешности. Точное число А на­ ходится в пределах А = а±А или а - А < Л < а + А. На практике предельная абсолютная погрешность может быть представлена, например, лЯ = 14141 ± 0,0001. 2°. Относительной погрешностью S приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности числа а к точ­ ному числу А

32

Гпава 22

где 5 — предельная относительная погрешность. На практике предельную относительную погрешность иногда вычисляют по формуле 5 =—

5=—,

так

для

A = yj2

и

а = 1,4142

= 0,00007. Относительная погрешность выражается

отвлеченным числом. Если приближенное число а принять за 100%, то относительная погрешность 5 будет выражаться в процентах. 3°. Округление приближенного числа заключается в замене его числом с меньшим количеством значащих цифр: а) если отбрасываемые цифры начинаются с цифры мень­ шей 5, то остающиеся цифры не меняют; б) если отбрасываемые цифры начинаются с цифры большей 5, то последнюю из оставшихся цифр увеличивают на единицу; в) если первая отбрасываемая цифра равна 5 и среди следу­ ющих за ней цифр есть отличные от нуля, то последнюю из ос­ тавшихся цифр увеличивают на единицу; г) если первая отбрасываемая цифра равна 5, а все следую-' щие нули, то последняя из оставшихся цифр увеличивается на единицу, когда та нечетная, и остается без изменения, когда чет­ ная. 4°. Запись приближенных чисел и верные цифры. Правило записи приближенных чисел в любой системе счисления состоит в том, что последняя значащая цифра должна быть верной. Ог­ раничимся десятичной системой счисления. Значащей цифрой приближенного значения числа называется всякая отличная от нуля цифра его десятичной записи и нуль, если он приходится между значащими цифрами или является представителем сохра­ ненного десятичного разряда. Так, приближенное значение 0,03040 содержит четыре значащие цифры. Приближенное чис­ ло а > О имеет п верных десятичных знаков в узком смысле.

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ ВЫСШЕГО АНАПИЗА

33

если абсолютная погрешность этого числа не превышает — еди­ ницы п -го разряда значащей цифры. Например, для числа 212,64 число 213,00 является приближенным значением с тремя верны­ ми цифрами, так как |212,64-213,00| = 0,34<—10°. Запредель­ ную относительную погрешность в этом случае можно принять число о = — 2k

первая значащая цифра числа а.

1 Г 1 Y В частности, если 5. <. — , то число заведомо имеет п вер­ 2 10 ных знаков в узком смысле. Если абсолютная погрешность при­ ближенного числа не превышает единицы последнего порядка, то все десятичные знаки п этого приближенного числа а явля-

ются верными в широком смысле ^ = — — В процессе промежуточньгс вычислений приближенные чис­ ла могут содержать одну-две запасные цифры. При наличии в приближенном числе большего количества значащих цифр окон­ чательный результат, как правило, округляется до числа цифр верных в узком или широком смысле. 5°. Арифметические действия с приближенными числами. Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы рав­ на сумме предельных абсолютных погрешностей складываемых чисел. Если суммируются приближенные числа с разными чис­ лами верных знаков, то следует подравнять все слагаемые по образцу числа, десятичная запись которого обрывается ранее других, сохраняя в каждом из других слагаемых запасной знак. Полученные числа складываются как точные и сумму округля­ ют на один знак. Если складываются неокругленные приближен­ ные числа, то лишние знаки удерживаются до конца вычисле­ ний. Относительная погрешность суммы положительных чисел

34

Гпава 22

не превышает наибольшей из относительных погрешностей сла­ гаемых. В случае разности двух близких приближенных чисел отно­ сительная погрешность может не содержать достоверных зна­ ков. Поэтому следует избегать этой нежелательной операции. Относительная погрешность произведения и частного при­ ближенных чисел равна сумме предельных относительных по­ грешностей этих чисел. Отсюда, как следствие — предельная от­ носительная погрешность k -й степени приближенного числа а равна k -кратной предельной относительной погрешности этого числа, а предельная относительная погрешность корня k -й сте1 пени составляет — -ю часть предельной относительной погрешk ности приближенного числа а, 6°. Пусть Afl^,..., Аа^ — предельные абсолютные погрешно­ сти приближенных чисел ар..., а^. Тогда абсолютная погреш­ ность результата различных действий S = S(a^,a^,...,a^) над приближенными числами приближенно оцениваются формулой AS =

Э5

дсц

Aai+...+

Э5 Аа. Эа.

Предельная относительная погрешность, соответственно, равна \S\ Если суммарные погрешности AS и 8S заданы, то полагая все частные производные в предыдущих формулах равными, можно найти необходимые для вычислений допустимые абсолют­ ные погрешности приближенных чисел. 1.1. Вычислить абсолютные и относительные погрешнос­ ти приближенных чисел, верных в узком и широком смысле в написанных знаках: а) 427,3; б) 0,072; в) 37,81 кг;

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ ВЫСШЕГО АНАПИЗА

35^

г) 25°0Г53"; д) 15,1 см. Решение, а) Абсолютная погрешность приближенного чис­ ла, имеющего п верных знаков в узком смысле, не превышает половины единицы разряда, выраженного п -й значащей циф­ рой в десятичной записи. Следовательно, А = 0,05. Относитель­ ная погрешность в этом случае а 427,3 Абсолютная погрешность приближенного числа, имеюще­ го п верных знаков в широком смысле, не превышает единицы разряда, выраженного п -й значащей цифрой. Следовательно, д = 0,1. Относительная погрешность а М1,Ъ б) Абсолютная и относительная погрешности чисел, верных в узком смысле

д = 0,0005,

5 = ^^55^i55^ = 0,694%.

0,072 Для чисел, верных в широком смысле в написанных знаках д = 0,001; ^^0.00М00%^,ззо^, 0,072 в) Для чисел, верных в узком смысле: А = 0,005 кг;

д=

= 0,0132%. 37,81

В широком смысле: л

ПЛ1

Д = 0,01/сг;

9i

о>оыоо%

д=

^^^.о/

= 0,026%.

37,81 г) Для чисел, верных в узком смысле: д=0,5";

5=^^^-^^=0,00055% 90113

36

Гпава 22

Вшироком: А = Г ;

8 = ^'^^^^=0.0011%. 90113 д) Для чисел, верных в узком смысле л = лп^ ^„.0/ А 0,05 еж; ^о- 0,05100% = 0,331%. В широком: А = 0,1 см;

S = ^^^'^^^^ = 0,662%.

1.2. Определить число верных в узком смысле знаков и дать соответствующую запись приближенных чисел: а) 425627 при точности в 1%; б) 11,2930 при точности 2%. Решение, а) Принимая приближенное число за 100% и учи­ тывая, что относительная погрешность составляет 1%, находим абсолютную погрешность А = 4256. Приближенное число 430000 имеет два верных знака в узком смысле, поскольку абсолютная 1 погрешность не превышает -- единицы четвертого разряда зна­ чащей цифры |425627 - 430000| = 4673 < 0,5 • 10^ Окончательно получим 430000 ± 4000. б) Поскольку относительная погрешность составляет 2%, то принимая приближенное число за 100%, находим абсолютную погрешность А = 0,22586. Приближенное число 11,3000 имеет три верных знака, так как |l 1,2930-11,3000| = 0,007<0,5-10'\ Таким образом, 11,3 + 0,2. 1.3. Выполнить арифметические действия с приближенными числами, верными в написанных знаках: а) 172,36+23,7+0,413; б) 161,4-43,217; в) 6,3-1,147; г) 0,421:1,6; д) 32,4^; е) ТтДб . Решение, а) Поскольку десятичная запись среднего сла­ гаемого заканчивается ранее других, то подравняем два дру­ гих по образцу среднего слагаемого, сохраняя в каждом из них запасной знак, и сложим полученные числа, округляя сум-

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ ВЫСШЕГО АНАПИЗА

37

му на ОДИН знак 172,3(6) + 23,7 + 0,4(1) = 196,5. б) Аналогично 161,4-43,2 (1) = 118,2. в) Поскольку предельная относительная погрешность про­ изведения приближенных чисел равна сумме предельных отно­ сительных погрешностей этих чисел, то, предполагая, что все знаки сомножителей верные, получим 5 = - ^ 0 , 1 + — 0,001-0,0088. 2-6 21 Отсюда следует, что число верных знаков равно трем и ре­ зультат примет вид 6,3-1,147 = 7,23 или 6,3-1,147 = 7,22±0,06. г) Находим предельную относительную погрешность 5 = — - 0 , 0 0 1 + — 0,1-0,050125. 2-4 21 Так как число верных знаков равно одному, то результат примет вид 0,421:1,6 = 0,26 или 0,421:1,6 = 0,3 ±0,1. д) Находим предельную относительную погрешность 5 = 1 . 0 , 1 = 0,03. 3 Число верных знаков квадрата 32,4^ = 1049,76 равно трем, а абсолютная погрешность А = 31. Тогда значение числа нахо­ дится в пределах 1040 ±31. е) Относительная погрешность приближенного числа V7,16 = — •—10"^ =0,0007; абсолютная погрешность равна А = 2,676 - 0,0007 = 0,002. Таким образом, ^ТДб = 2,676± 0,002. 1.4. Вычислить 1п(а + ^[Ь), если а = 15,7; Ь = 21,4 — при­ ближенные числа, верные в написанных знаках. Решение. Найдем сначала предельную абсолютную погреш­ ность AS в общем виде. Обозначим S = ln(a + \/b), тогда

38

Гпава 22

1 1 А6 AS = Аа + — r = . Абсолютная погрешность чисел: a-\-4b\ 24b Аа = 0,05; АЬ = 0,05. Относительная погрешность приближенного числа ^/21~4 = 4,6 равна S-

1 1

10 '

0,025; абсолютная

погрешность будет А = 4,63 • 0,025 = 0,1 • Следовательно, AS:

1 V05+' "-"^^ 0,05 (1 + 0,11) = 0,003. 15.7 + 4,6 V 2 4,6 / 20,3

Учитывая, что сотые доли верны, получим In (l5,7+ 7214)== 3,01.

26*2* Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений 1°. Кубическое уравнение: (1)

х^ + ах^ +Ьх + с = 0.

а Кубическое уравнение с помощью подстановки x = z — приводится к уравнению вида г^ + рг + ^ = О, которое по форму­ ле Кардано имеет решение z = Ll+A^^^+J-l-A^^^=u

+ v.

(2)

гдеА = - + - . Если А > О, то Zi=Ui + D,; 2^ 3 = ы, +и, ±гл/з

^1-^1

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ ВЫСШЕГО АНАПИЗА

39

где W,, и, — вещественные значения корней « и У . Если А = О, то 2, = — , Z, = 2, = — 2 . . р 2 Если 2 < 0 , т о z,=2J-—cos—, 22 3=2.1-—cos где cos(p =

~ 3

1--^\——. Ш

2°. Отделение вещественного корня уравнения. Пусть дано уравнение f(x) = 0. Между аи b содержится единственный ко­ рень уравнения ^ е (а,Ь), сеян [(а)и f(b) имеют разные знаки, т. е. f(a)'[(b)<0, и функция f(x) в промежутке [ci,b] непре­ рывна вместе со своими производными f(x) и f''(x), причем обе производные на всем промежутке сохраняют знак. Отрезок [а, 6] н?iзывгieтcя отрезком изоляции корня. Действительные корни уравнения [(х) = О можно найти и графически, поскольку корни являются абсциссами точек пере­ сечения кривой у = f(x) с осью Ох. Иногда бывает удобнее урав­ нение f(x) - О представить в виде ср(х) = \ff(x). Тогда действи­ тельными корнями будут абсциссы точек пересечения кривых у = (р(х) и у = \1/(х). 3°. Метод хорд. Требуется определить действительный ко­ рень уравнения f(x) = 0. Рассмотрим график функции у = f(x) (рис. 22.1) на отрезке [а, 6]. Пусть f(a) < О и f(b) >Q на — тот из концов отрезка изо­ ляции корня, на котором f(a) • f(b) < О. Соединим точки А и В хордой. Тогда приближенным значением корня ^ будет точка Xj пересечения хорды АВ с осью Ох

(b-a)f(a) f(b)-f(a)'

X, = а ~ -

(3^

Гпава 22

40

Рис, 22.1

Если f(xj < О, то принимая за новый интервал изоляции корня отрезок \х^уЬ\ и применяя еще раз метод хорд, получаем в точке пересечения хорды с осью Ск второе приближение к иско­ мому корню (b-x^)f(x^) ' ' f(bhf(x,) ^"^^ Аналогично строятся и последующие приближения х^ (п = \,2,...). Вычисления обычно ведут до тех пор, пока не перестанут изменяться в ответе сохраняемые десятичные знаки, т. е. до заданной степени точности. Для промежуточных выкла­ док следует оставить один-два запасных знака. Абсолютная погрешность приближенного корня х^ при п-^оо оценивается формулой

l^-^nl

min \f'(x)\'

(5)

a<x
здесь n — последовательность натуральных чисел. 4°. Метод касательных (метод Ньютона), Пусть Ь — тот из концов (рис. 22.2) отрезка [а,6] изоляции корня ^ уравнения [(х) = О, на котором f(a) • f(b) < О и f(b) • f'(b) > О. Тогда первым приближением к корню будет точка х^ Пересе-

ЧИСПЕННЫВ МЕТОаЫ ВЫСШЕГО

41

АНАЛИЗА

^2

X. b X

Рис. 22.2 чения с осью Ск касательной к кривой y = f(x) B(b.[(b)) ^.=Ь-Щ.

в точке (6)

f'(b)

^^^

Применяя этот прием вторично, будем иметь

(7)

r(xj

и т. д. Последовательность получаемых значений х^ (п = \,2,...) сходится к искомому корню. Абсолютная погрешность приближенного корня х^ при п-^оо оценивается формулой (8) т минимальное значение на промежутке ^

где т = mini/'(л:) а<х<Ь. Если f(a)f''(a)

> О , то вычисления удобнее выполнять

по формулам: х^=а,

f(x !(Хп-х)

x„=x„_,——

)

^^''^

(п = 1,2,...) или

42

Гпава 22

5°. Комбинированный метод. Применим метод хорд и ме­ тод касательных при определении действительного корня урав­ нения 1(х) = О на отрезке изоляции [а, 6]. Пусть 1(a) • ЦЪ) < О и функции f(x) и 1"(х) не меняют своего знака на отрезке изо­ ляции, причем в точке х^е [а,6] 1(х^)'1"(х^)>^. Используя метод хорд и касательных, будем иметь Xjj = а -

(Ь-а)'1(а) ^

иЪ}-иа) ^\1 ~ -^0

(9)

ПчУ

где JC,pX,2 —приближенные значения, принадлежащие отрезку изоляции, и 1(х^^)' и^хг) < ОСледующее приближение

^^'^^--^ТГТГТТГТ' f(h2)-f(hl)

(10)

Л-л-^ ~~* Д/]

Точки ^21 и ^22 расположены на числовой оси Ох между точками x^j и х^2, причем f(x^^)'l(x22)<0. Продолжая данный процесс, получим две последовательности X j j , Х21, Х3Р ..., Х ^ р ...

-^12' "^22' ^ 3 2 ' *••' - ^ « 2 ' •••'

Причем одна из них монотонно возрастает, а другая монотонно убывает. Приближенное значение корня определяется неравен­ ством x^j < ^ < х„2 и-^и х^2 *^ ^ ^ ^п\ И' ^сяи задана требуемая погрешность е > О, то вычисления следует продолжать до тех пор, пока значения x^j и х^2 не будут совпадать с точностью £.

ЧИСПЕННЫЕ

МЕТОаЫ

ВЫСШЕГО

АНАПИЗА

43^

6°. Метод итераций. Пусть уравнение f(x) - О можно при­ вести к виду X -(р(х), где |фУхj| < г < 1 (г — постоянная) при X е [а, Ь]. Если некоторое начальное значение х^ е [а, Ь], то мож­ но построить последовательность

предел которой и является корнем исходного уравнения при Абсолютная погрешность п -го приближения х^ определя­ ется формулой

\^-ф

1~г

Если x^^j и х^ совпадают с точностью до в , то предельная £

абсолютная погрешность для х^ будет равна -j . Отсюда для нахождения приближенного значения корня с погрешностью S число приближений п определяется из неравенства 7°. Метод проб. Суть этого метода заключается в умень­ шении интервала изоляции, например, пополам. Определяя, на границах какой из частей первоначального интервала функ­ ция меняет знак, снова делят интервал на две части и т. д. Про­ цесс деления интервала продолжают до тех пор, пока не бу­ дет обеспечена требуемая точность приближения в десятич­ ных знаках. 2.1. По формуле Кардано решить уравнения: а) г Ч 1 8 г - 1 9 = 0; б) х Ч б х Ч 9 х + 4 = 0; в) 2 ' - 6 г - 4 = 0. Решение, а) Уравнение уже приведено к виду, когда удобно пользоваться формулами Кардано (2). Так, р = 18, ^7 = -19, А = - ^ + ^ - = 306,25>0, А>^ = 17,5.

44

Гпава 22

Отсюда

^^^f-'^^'^-'^f-^^'^^^-^' 3-2_^./гЗ + 2

-1±15л/з

а б) Делаем подстановку x = z — = 2 - 2 , тогда получим ( ^ 2 - 2 / + 6 ( ^ 2 - 2 / + 9 ( ^ 2 - 2 ; + 4 = 0 и л и 2 ' - 3 2 + 2 = 0. Полагая р = - 3 , <7 = 2, находим, что Д = 1—1 = 0. Отсюда За 3-2 ^ 1 1 ^ ^> , ^ корни 2, = —^ = = - 2 , 2, = 2, = — 2 , = — ( - 2 ) = 1. Оконча' р -3 ' ^ 2 2 тельнополучим: х, = - 2 - 2 = -4, Х2=Хз=1-2 = - 1 . Полагая р = -6, ^ = -4, в) что находим, 6^ -4 1X7 y/l А = 4 - — = 4-8 = -4<0. Отсюда ^ ^ ^ ^ ^ ^ ' у ^ " ^ = У ' х = 2 , / - - cos- = 2л/2 cos — = 4cos45'' • cosl5° = 1 +л/З; ' V 3 3 12 . , -6 л;,, = 2 . 1 — — c o s

^

[!^т]-^-(^^т} Используя формулы

преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, получим 5п ж 4 COS— COS :1-V3. COS — + COS2,3 12" 3 4 6 2.2. Найти с точностью до 0,001 действительные корни урав­ нения х^ - 2х^ + Зх - 1 = О: а) методом хорд; б) методом касатель­ ных; в) комбинированным методом. Решение, а) Уравнение имеет корень между О и 1, так как, если за f(x) обозначить его левую часть, то /(^Оу) = - 1 < 0 ,

ЧИСПВННЫЕ МЕТОПЫ ВЫСШЕГО АНАПИЗА

45

/(^1^ = 1 > 0. С целью уточнения отрезка изоляции корня разде­ лим промежуток

пополам

/("0,5^ > О, возьмем промежуток

/(^0,5^ = — > О и, так

4

как

. Разделим его еще раз по­

полам и найдем, что К'^) ^ ^- Таким образом, за отрезок изоля­ ции корня возьмем 4'2 Теперь воспользуемся формулой (3) и найдем первое при­ ближение . , = 0 , 2 5 - " • " ^ - " • " " ^ ^ =0.49001. ' 0,0156 + 0,3748 Поскольку l(Xy^) - 0,0038 > О, за новый интервал изоляции корня принимаем отрезок \а;х^ ] = [0,25; 0,49001] и второе при­ ближение находим по формуле ^2 = а -

f(xj-f(a)

0,0038 + 0,3748

Вычисляя функцию в точке Xj, находим, что /(^0,481^ =-0,0074 < О, т. е. мы перескочили через корень, по­ этому следующее приближение находим по формуле

,,= 0,48146-«:«?t^M12 = 0,4874. '

0,0038 + 0,0074

Значение функции в точке х-^ будет f(x^) = 0,0005, поэто­ му, оценивая погрешность по формуле (5), получим |<^-д:з|<0,00041. Таким образом, будем иметь 0 , 4 8 7 4 < | <0,4879, т. е. 1=0,4874 + 0,0005.

46

Гпава 22

б) Решим теперь это уравнение методом касательных, при­ нимая отрезок изоляции за [0,25; 0,5]. Первое приближение на­ ходим по формуле (6). X, = 0 , 5 - ^ ^ ^ ^ - ^ ^ = 0,48686. ' 1,1875 Второе приближение находим по формуле (7) X, =0.48686--»'°°'"^ =0.4870. ' 1,2167 Погрешности вычислений оценим по формуле (8)

'

"

0.000006^ 1,21638

ддддз.

Нетрудно заметить, что значение корня ^ = 0,487, найден­ ное методом касательных, более точное значение, и нам потре­ бовалось меньшее количество приближений. в) Применим комбинированный метод. По формулам (9) будем иметь ''

5_ 0 2 5 ( ^ 0 3 7 4 8 ; ^ < , „ ^ 0,0156 + 0,3748

X = 0 , 5 - ^ ^ ^ ^ ^ = 0,48686. '' 1,1875 Поскольку приближенные значения х^^ и х^2, принадлежа­ щие отрезку изоляции, удовлетворяют неравенству f(^\\)'f(^\i) > О, то следующее приближение находим по фор­ мулам ^1\

~^\2

rirtЖ^,o.48686-;^^^^H5£±5^^ii!=o4873; f(x„)-l(x,J

0,0036+0,00017

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ ВЫСШЕГО

Л'лл ^~ Д / |

12

АНАПИЗА

^£// ^ ^ \ = 0,48686-

47

-0,00017 = 0,487. 1,2167

Известно, что найденные значения удовлетворяют требуе­ мой точности. 2.3. Методом итераций найти вещественные корни уравне­ ния Т" = 4х. Решение. Начальное приближение найдем, построив график функций i/ = 2"" и // = 4х (рис. 22.3). По графику видно, что наи­ меньший положительный корень XQ близок К 0,5; второй корень уравнения равен 4.

Рис, 22.3 Для нахождения наименьшего корня воспользуемся проце­ дурой итераций (11), представив исходное уравнение в виде 1 ^ ^ = - 2 ,где Хо=0,5. Таким образом, х, ^-^l""'^ =0,3535; х^ =-2^'^^^^ = = 0,3192 5; 1 J^=-2'''^^^ =0,311925,- х,=-2'''"'^ =0,310375; х=-2''''^''=0,310001. 4 4 4 Процесс дальнейших приближений можно продолжить до достижения желаемой точности.

48

Гпава 22

22.3. Решение системы двух уравнений 1°. Метод Ньютона. Пусть требуется найти приближенные значения действительных корней системы двух уравнений с дву­ мя неизвестными \f(x.y) = Q; \(р(х.у) = 0,

(^^

Начальные приближения решений системы Х = Х^1А у^у^ можно найти, например, графически, построив кривые f(x,y) = 0 11(р(х,у) = 0и определив приближенно координаты точек пересечения этих кривых. Если функциональный определитель / =

отличен от

д(х,у) нуля в окрестности начального приближения х = XQ , у^у^.то первое приближение можно записать в виде х^=^х^+а^у Ух^Уо-^ Ро^ TjicaQ,pQ — находятся из решения системы линей­ ных уравнений f(4>yJ^ccX(x^,yJ-\'pJy(x^,yJ=^{); (p(Xo^yo)'^^oyJ^Po%(4>yJ = ^Аналогично находится второе приближение х^^х^Л-а^, У2=У\'^ Р\> где «J, Д — находятся из решения системы f(x,,y,)-^ajjx,,y,)

+ l3jj(x,,yj

(p(x,.yJ+a,(pJx,,y,)+p,(Py(x,,yJ

= 0; = 0.

Продолжая процесс уточнения решения, нетрудно получить результат с требуемой точностью. 2°. Метод итераций. Разрешим систему (1) относительно переменных

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ ВЫСШЕГО

49

АНАЛИЗА

(2)

\у = Ф(х,у),

Если известно начальное приближение решения (х^, у^) си стемы и выполняются условия F. (^'УА

Ф. (^.У)\ < г < 1; Ри (^'УА

Ф„ (х,у)\

< / • < ! ,

то последовательность приближений решений (п = \,2,...) строится по следующей схеме X, = F(Xa,yJ,

у,

x^=F(x„yJ, К = Р(\-^'

=Ф(х^,у^; у^=Ф(х„у,);

Уп-Х )>

(х„,у^)

(3)

Уп = Ф(Хп-Х. УпЧ ) •

Преобразование системы (1) в систему (2) может быть осу­ ществлено по формулам X = x + af(x,y)

+ P (р(х,у) = F(x,y);

У = У + ГН^^У) + 8(р(х,у) = Ф(х,у),

\а р

ibQ, Параметры а,р,у,5 выберем та­ 7 S кими, чтобы частные производные функций F(x,y) и Ф(х,у) были равны или близки к нулю при х = х^, у = у^,т,о,из реше­ ния системы уравнений

при условии, что

l + afJx^,yJ-hp(pJxQ,yJ

= 0,

YfJ^o>yo) + S(pJx^,yJ

= 0.

^-^Yfy(^o^yo)-^S(pJx^,yo)

= 0.

50

Гпава

22

3.1. Методом Ньютона найти действительные корни системы уравнений | ^з __

Q

Решение. Начальное приближение решений системы нахо­ дим графически (рис. 22.4).

Рис. 22.4 Координаты точек пересечения окружности и кубической параболы дают начальные приближения, равные X Q = 1 , 4 ; 1/0=17. Найдем сначала частные производные функций f(x,y) = x^+y^-A

= Q, (р(х,у) = х'-у

= 0, / / = 2 х ,

(р^'=3х\ %=1 [(x„yj = 0,85; (p(x,,yj = \,(m; [Jx„yJ

[у =2у, = 2,S;

!у(Хо.Уо) = ^Л- (pJx,,yJ = 5.SS; (p(x^,yj = \. Первое приближение х^—х^+а^, i/, =Уо + Ро находим из решения системы линейных уравнений

|5,88ао + /5о=-1,044, откуда «о =-0,157; jS^ =-0,121; х, =1,243; г/, =1,576. Находим теперь значения функций и частных производных в точке x^,y^. Получим [{Xi,yJ = 0,029; (p{x^,yJ = 0,344;

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ ВЫСШЕГО

АНАПИЗА

51

Второе приближение находим из решения системы Г2,486^1 +ЗД52Д =-0,029; [4,635^1 +

Д =-0,344.

Таким образом, ц =-0,087,- Д =0,059; х^ =1,156; у2 =1,635. В силу симметрии относительно начала координат два других корня будут равны х^ =-1,156; у^ =-1,635. Продол­ жая вычислительный процесс, нетрудно получить результат с желаемой точностью. 3.2. Методом итераций найти действительные корни систе­ мы уравнений

Jx' + i/-4 = 0, \\пх-ул-\ = 0. Решение. Приведем функции к виду ^/ = 4-^:^, ^/ = 1 + 1пхи построим график (рис. 22.5).

Рис. 22.5 За начальное приближение возьмем координаты точки пе­ ресечения кривых XQ =1,6; у^ =1,2. Далее воспользуемся итера­ ционной процедурой (3), беря только положительные значения корня, так как х всегда больше нуля.

52

Гпава 22

^1 = л / 4 - ^ = 167; i^j=l + lnXo=l,47; ^1 = V^-^i = 159; i/2 = 1 + li^i = 1463; ^3 = л/4-^2 == Ь 592; i/з = 1,466. Поскольку первые два знака после запятой не меняются, то результат найден с точностью до сотых.

22.4. Интерполирование функций 1°. Интерполяционная формула Ньютона. Пусть дана таб­ лица значений X

Ч

X,

Ч

Ч

у

Уо

У\

Уг

Уп

с постоянным шагом /г = Дх. = х.^^ - х . (i = ОД,..., п); у^, у^,..., у^ — соответствующие значения функции. Требуется найти такой полином у = f(x), который при со­ ответствующих значениях х. принимал бы заданное значение у., т. е. график этого полинома должен проходить через задан­ ные точки М^ (х- ,у.). X—X

Введем обозначения: Я = ——^; у^-Уо- А^/^; у^-у^^ А^,, ..., Уп-Уп-! ^^Уп-\ — конечные разности первого порядка, Af/i - Аг/о = Д^^о; А^2"" Ai/j = А^ i/j; ..., — конечные разности второ­ го порядка, А'^'у,-А'-'у,=А''у,; АГ-'у^-АГ-'у,^АГу,, ... — разности п -го порядка. В этом случае для любого промежуточного значения аргу­ мента X значение функции у приближенно дается интерполяци­ онной формулой Ньютона

ЧИСПЕННЫЕ

МЕТОаЫ

ВЫСШЕГО

АНАЛИЗА

53^

2!

/i!

При /2 = 1 имеет место линейное интерполирование; при /2 = 2 —квадратичное интерполирование, если у — многочлен п -й степени, то формула (1) является точной. На практике для удобства пользования интерполяционной формулой (1) целесообразно составлять таблицу конечных раз­ ностей. Погрешность формулы Ньютона, если f(x) имеет не­ прерывную производную f''^^^(x) на отрезке, включающем точ­ ки XQ , X,,..., х^, определяется выражением

где ^ — некоторое промежуточное значение между х, и х, или приближенным выражением

K(x)=^-—f-0(q-l)...(q-n). Если известно промежуточное значение функции г/, то с помощью формулы (1) можно находить соответствующее значе­ ние аргумента х (обратное интерполирование). Для этого мето­ дом последовательных приближений сначала определяем соотjo)_y-yo ч с п ш . 4 , 1 1 V jjiai а л с/ —

^(Ш)

= 9^"^

^ ]

f>(q">. -IMVo 2!

Ai/o

ч'''Ы'^--\)...(q'^>- •П-1МЧ п\

а =ол,2,...;.

Ai/o

(2)

54

Гпава 22

Отсюда x — x^-\-q-h ^ где q принимается равным общему JrnW) значению двух соседних приближений с((т) 2°. Интерполяционная формула Лагранэюа, Пусть по таб­ лице значений х,у требуется составить полином у = 1(х), при­ нимающий при х-х. заданное значение г/. (^/ = 0,1,...,AZ^. В общем случае эта задача решается с помощью интерпо­ ляционной формулы Лагранжа

(x-x,)(x-x^)..,(x-xj (x^-x,)(x^-x^)...(x^-xj (x-xj(x-xj...(x~xj + (x,-xj(x,-x^)...(x^-xj

1/,+...

^ (x-xj(x-x,)...(x-x^_,)(x~x,^,)...(x-xj (x,-xj(x^-x,)...(x,-x,_,)(x,-x,j...(x,-xj

_^

(3)

(x„-xj(x„-xj...(x„-x„_,)

Абсолютная погрешность интерполяционной формулы Лаг­ ранжа вычисляется по формуле

\RJx)\<-^--^ \(x-xj(x-xj...(x-xj\,

(4)

(n + l)\ где M^,,=max\f"'''>(x)\, хе [a.b].

4.1. Составить интерполяционный многочлен Ньютона для функции, заданной таблицей X

1

3

5

7

9

у

4

12

28

51

84

Найти у при х = 4,5. Решение. Найдем конечные разности первого порядка y,-y^=Ay,=l2'-4 = S; i/2 ~i/, =Ai/, = 2 8 - 1 2 = 16;

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ ВЫСШЕГО

55

АНАПИЗА

у,-у,_=Ау,_ = 5 1 - 2 8 = 23; У,-у, =Аг/з = 8 4 - 5 1 = 33. Разности второго порядка будут Аг/,-Д^/о=А^о = 1 6 - 8 = 8; Аг/^-Аг/, =A-f/i = 2 3 - 1 6 = 7; Аг/з - Аг/2 = А^2 = 33-23 = 10. Разности высших порядков A^y^ - А^г/о = А^г/,, = 7 - 8 = - 1 ;

А-г/2-А^,=А^, =10-7 = 3; А'у,-А'у,=А'у,=3-(-1) Из условия имеем, что: h = х.^, - х, = 2 ; g =

х-1

= 4. .

Подставляя все в формулу (1), получим x-lfx-l г/ = 4^ + -^-1 8о +

x-lfx-l +х-1 х-1

2 2!

л/ х - 1

-1 3! \/

-1

Л !lO +

-2

Y-U+

JX

х-1

х-1 -3 4,

4!

откуда г/ = -S-f'x' - 1 8 x 4 224х' - 318х + 495/ ^ 96 Подставляя в полином значение х = 4,5, находим, что г/= 24,68. 4.2. Дана таблица значений X

1,4

1,6

1,8

у

2,151

2,577

3,107

Гпава 22

56

Найти X, если у = 2,3. Решение.

Принимая

XQ =1,4; i/^ =2,151,

Ai/o =^1-^0 =0^426; Ay, =у^-у^= го; ^ i Z ^ ^ 2,3^2,151^ Ау, 0,426

находим

0,53; Д'^о = (/^-//о =0,104; ;^^

0,2. '

'

Подставляя найденные значения в формулу (2), получим _ го; q'"'a-q'"')^"yo_Q25 Я^"=Я 2! Аг/о q<'>=q''>

0.35fO,35-U 0,104 _Q 3^5 2 0,426 '

'

^ ' Y ? ^ ' ^ - и А Ч ^ Q 35 0'322Г0,322-и 0,104 ^ ^ ^.^ 2! Аг/о ' 2 0,426 '

Принимая за q- = 0,376 общее значение двух соседних при­ ближений, получим д: = Хо + <7 • /г = 1,4 + 0,376 • 0,2 = 1,475. 4.3, Дана таблица величин х и г/ X

0

1

3

5

6

у

1

-5

20

135

288

Составить интерполяционный многочлен Лагранжа и най­ ти значение у при л: = 1,5 . Решение. Подставляя табличные значения в интерполяци­ онную формулу Лагранжа (3), получим

(х-\)(х-3)(х-5)(х-6) (-\)(-3)(-5)(-^) Jx-0)(x-\)(x-5)(x-6) 3-2Y-2X-3;

^^(х-0)(х-3)(х-5)(х-6) \.(-2)(-А)(-5) ^^Гх-0)(х-\)(х-3)(х-6) 135+ •20+5-4-2-f-i;

(х-0)(х-\)(х-3)(х-5) 6-5-31

•288.

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ ВЫСШЕГО

57

АНАПИЗА

После упрощений будем иметь у(х) = О, Оббх^ - 0,087х' - 3 , 2 1 6 x 4 6,807х + 0,99; г/а5>) = 6,764. 4.4. Для функции у = 2'' найти интерполяционный много­ член Лагранжа по точкам х^ =0, Xj =1, Х2 =2, Х3 =3. Вычис­ лить значение у при х = 2,5 и оценить погрешность. Решение. Найдем значения функции в точках х^

1^

0

1

2

3

у

1

2

4

8

Пользуясь формулой (3) и учитывая, что степень многочлена п = 3, будем иметь

(х-1)(х-2)(х-3) (-\)(-2)(-Ъ)

^ ^ х{х-2)(х-3) \(-\)(-2)

, xf^x-l^x-S; . , х(х-\)(х-2) 2-1Y-U

•4+-

3-2-1

-

2^

1. ,

8 = - ( ' x ' + 5 x + 6;. 6

Значение функции у при х = 2,5 будет y(2,5) = -(2S 6

+5-2.5 + 6) = 5,в%1.

Абсолютную погрешность найдем по формуле (4) p'^^'>(x) = 2'\n'2;

М„^, =max|rV^.>| = 2Mn'2 = 8-0,21 = l 6 8 ;

\RJx)\<-^^\(x-xJ(x-x,)(x-x,)(x-x,)\ (п-\-\)\ (п + \)\ 1,68 \(2,5-0)(2,5-\)(2.5-2)(2,5-Ъ)\ 24

=

= 0,066.

58

Гпава 22

22.5. Численное дифференцирование функций 1"^. Дифференцируя интерполяционные формулы, получим формулы численного дифференцирования. Так для случая равноотстоягцихузлов h - х.-х._^ -const будем иметь

п

2

6

^l-(2q'-^9q'+nq-3)A'y,+.„);

(1)

y''^^(A'y,+(q^\)A'y,+-l^(6q'-\Sq-^n)A'y,+

(2)

где q = '-(x-xj. п 2°. В случае произвольных узлов y'^Ay(xQ,xJ

+ ((x-xJ

+((X-XQ)(X-X^)

+ (x-xJ)Ay(xQ,x^,xJ + (X-XQ)(X'-'X2)+

•i-(x-xJ(x-X2))Ay(xQ,x^,X2,x^)

(3)

+ ...,

где Ау(х,.х,)=У'

^^' XQ

XJ

Ar/K,x„xJ = M V f J z M ^ ^ L ^ . XQ

Ау(х^,х^,Х2уХ^)=

"—•—— XQ

XJ

"^-^—^—-—^—• X^

5.1. функция y = f(x) задана таблицей

+

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОаЫ ВЫСШЕГО

1 ^

1 ^

59

АНАПИЗА

1

2

3

4

5

6

1

4

20

86

253

547

Найти значения производных f(x) и f'(x) в точке х = 3,5. Решение. Расчет проведем в табличном виде i

X,

^,

АМ

AV,.

A^i/,

AV,

A'i/,-

0 1 2 3 4

1 2 3 4 5

1 4 20 86 253

3 16 66 167 294

13 50 101 127

37 51 26

14 -25

-39

5

6

547

Учитывая, что /г = 1, производные (1), (2) примут вид

^ г^^;=Ауо+^^Ауо + Z

^—АХ+ о

+ :lf29^-994ll9-3M4 + H-f^S*?" - 40q' +105<7' - 1 0 0 ^ + 2 4 ;

^-^;

+ ( ^ 2 0 ^ ' - 1 2 0 ^ 4 210<7 -1ОО; АЧ 5!

Частные значения производных в точке д; = 3,5 при q' = 3,5-1 = 2,5 равны г/УЗ,5; = 1 + 27 + 35,458-0,583-0,183 = 61,692; г/73,5; = 13+ 55,5+ 4,083+ 4,062 = 76,645.

60

Гпава 22

22.6. Вычисление определенных интегралов Пусть требуется найти приближенное значение определень ного интеграла [ f(x)dx . Для этого разобьем интервал интегриа

рования [ci,b] точками XpX2,...,x^_i на п равных частей h=

, JCQ = а, x^=b я вычислим значения подынтегральной п функции в точках деления Уо = !(^)> Ух = !(^хh Уг = 1(^1 Л - . . Уп-х = и^п^х h Уп = f(b)^

Представляя определенный интеграл в виде площади кри­ волинейной трапеции, используют одну из следующих прибли­ женных формул. 1°. Формула прямоугольников

/=0

или

/г' где R^=: — (b- u)f^'^ (t,) — предельная абсолютная погрешность формулы прямоугольников; /^^ (^) - наибольшее значение про­ изводной в интервале [а, 6]. Геометрическая площадь криволинейной трапеции аАВЬ (рис. 22.6), которая соответствует определенному интегралу, за­ писывается суммой площадей заштрихованных прямоугольни­ ков. Формула (1) соответствует схеме деления рис. 22.6, а и слу-

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ ВЫСШЕГО

61

АНАПИЗА

ЖИТ для вычисления приближенного значения интеграла по не­ достатку. Формула (2) соответствует схеме деления рис. 22.6,6 и дает приближенное значение интеграла по избытку.

Г^. в

rj В

CL Xj Xj Х^

X^,_j

и

X

Xj Х2 х^

x^^_j^ X

Рис. 22.6 2°. Формула трапеций

\f(x)dx = h Уо+У. + У1+У2+а

(3)

+к.

1=1

гЬ-а

\+к =

V

= h ^^+1,У1 где R„=h

+ Уп-\

[тах(^) — погрешность формулы трапеций,

^е[а,Ь]. Геометрическая площадь криволинейной трапеции аАВЬ (рис. 22.7) заменяется суммой площадей заштрихованных тра­ пеций. у

о

У

)

А

в

Уо

У„

1%

1э

Рис. 22.7

X

62

Гпава 22

3°. Формула Симпсона (параболических трапеций) b

i

jf(x)dx = -[y,+y^+4(y,+y,+...

+ y„_,)+2(y^+y,+

а +-

+ Уп-2)]

+ ^п=^(Ус+Уп+'^^.У2^-1+^1,У2к) k=l

k=\

+

К'

где R^ =h

fma^^(^) —погрешность формулы; n —число 1 oO четное;с^Е[а,6]. Геометрическая площадь каждой пары вертикальных кри­ волинейных трапеций является площадью параболической тра­ пеции (рис. 22.8), т. е. каждый участок кривой у = f(x) заменя­ ется дугой параболы y = x^-{-px + q, проходящей через три точ­ ки кривой с абсциссами х.,х.^^,х.^2 •

у ^х" -{- px+q

Рис. 22.8 Очевидно, что чем больше п, тем приближенное значение определенного интеграла точнее. При одном и том же п форму­ ла трапеций точнее формулы прямоугольников, формула Симп­ сона точнее формулы трапеций. Если предельная абсолютная погрешность задана е > О, то параметр h или число разбиений п могут быть найдены из неравенства |/?„ | < г . При вычислении значений определенных интегралов на ЭВМ погрешность целесообразно оценивать методом удвоения шага вы-

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ ВЫСШЕГО АНАПИЗА

числений. Полагая n = kii k =

63

, вычисляем значение искомо-

го интеграла J^, k — четное. Затем удваивая число разбиений п = 2ки h2=

, находим значение интеграла J^. Если l^ -^i | < ^,

то расчет заканчивается. Иначе снова удваиваем разбиение. 6,1. Вычислить интеграл i^JS + x^dx, разбивая интервал о интегрирования на 10 равных частей, по формулам: а) прямоугольников; б) трапеций; в) Симпсона. Оценить по­ грешности результатов. Решение, а) Делим интервал интегрирования [0,1] на 10 равных частей, находим точки деления х и значения подынтег­ ральной функции в этих точках у = л]5 + х^ : XQ

= 0,

X, :=

г/о = 7 5 = 2 , 2 3 6 1 ,

0,1,

г/, =^/5,001=2.2363,

= 0,2,

г/2 =л/5,008 =2,2378,

h = 0,3,

г/з =75,027=2,2421

X,

X,

= 0,4,

i/4 = 75.064 = 2,2503,

X,

= 0,5,

(/5=75,125=2,2638,

Хб

= 0.6.

г/б =75,216 =2.2839,

X,

= 0,7.

^7=75,343=2,3115,

= 0.8.

1/8=75,512=2,3478,

= 0,9,

г/9 =75,729 =2,3935,

= 1,

г/,о=7б =2,4494.

Xg •

Хд •

-^10

Гпава 22

64

Длина одной части h =

= 0,1. П о формуле прямоуголь-

п 9

НИКОВ (1) имеем /^ := 0 , 1 ^ ^ ^ = 2,2803 . Для нахождения абсолютной погрешности формулы прямо­ угольников вычислим наибольшее значение производной в интервалеГОД] f(x)^

, 2V5 + x'

/Vi; = 0,6124.

Абсолютная ошибка приближенного значения по недостат­ ку равна R, =—1,0716 = 0,0004. По формуле прямоугольников (2) находим приближенное 10

значение по избытку /^ = 0,1Y г/^ = 2,3016. I

Абсолютная ошибка этого приближения равна /?„ = 0,0004. б) По формуле трапеций (3) имеем / = 0,1

f 4,6855 ^ ^

"1 = 2,291.

1=1

Абсолютная ошибка результата равна Р = M i 1,0716 = 0,0009 " 12 в) По формуле Симпсона получим / = —(^2,2361 + 2,4494+411,4472 + 2-9,1198; = 2,2905. Для нахождения абсолютной погрешности вычисляем /^,^ =1,6244. Абсолютная ошибка равна всего лишь "

^ 00001 180

^

0000009.

ЧИСПЕННЫЕ

МЕТОаЫ

ВЫСШЕГО

АНАПИЗА

65^

6.2. По формуле Симпсона вычислить приближенное значе\smxdx ние интеграла

ЛЛЛЛ1 с точностью до 0,0001.

{ х+1 Решение. Сначала определим, на какое число частей п сле­ дует разбить интервал интегрирования [О, л:]. Поскольку требу­ ется точность 10"^, то имеем 180п' """ Так к а к / j ^ =0,039; а = 0, Ь=к = Ъ,\А\59, то окончатель4

л:'•0,039 10''

но получим п >

„^^, или п > 5,1.

18 Ближайшее четное число п = 6. Находим точки деления х,. ще им значение[ функции у =sinx х+1 Хо=0, г/о=0. г/, =0,3283

^2 - у .

г/, =0,4235 f/з =0,3891

2

г/4 =0,2803

5

г/5 =0,1382

х^=к.

г/б=0-

Подставляя в формулу Симпсона (4), находим значение ин­ теграла с точностью 10"^ Г ^ ^ ^ ^ ^ = 0.1744(^4 • о, 8556 + 2 • о, 7038; = о, 84235.

66

Гпава 22

Современная вычислительная техника позволяет вычислять интегралы с любой точностью, необходимой для практического использования результатов расчета.

22Л. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений V. Метод Эйлера. Рассмотрим уравнение первого порядка у' - f(x, у). Требуется на отрезке [XQ , х^ ] составить таблицу при­ ближенных значений частного интеграла, удовлетворяющего на­ чальному условию у^ = у(х^). Для этого разбиваем данный от­ резок точками ХрХ2,...,х^_1 на п частичных отрезков и находим касательную к интегральной кривой на каждом участке. Уравнение касательной на первом частичном отрезке [XQ , х^ ] к искомой интегральной кривой в точке (х^,у^) имеет вид

у-Уо=У(Ч>Уо)(^-Ч)' откуда при X = Xj находим приближенное значение искомого интеграла у^ в точке х^ Ух =Уо+(^1-^о)У(^о^Уо)'

(1)

Аналогично, для отрезка [х^, ^2 ] в точке ^2 будем иметь У2=Ух+(^2-^х)У(^Х>Ух)

(2)

или для любого / -го отрезка

М- = Уы + (^i - ^i-x )y(h-x' У1-х) = У1-х + hy(x._,, //._,; (3) где в случае частичных отрезков одинаковой длины длина одX —X

ного отрезка h = -^

. Таким образом, процесс интегрировап ния сводится к замене интегральной кривой ломаной, состоящей из отрезков касательных.

ЧИСПЕННЫЕ

МЕТОПЫ

ВЫСШЕГО

АНАПИЗА

67^

При увеличении п длина частичных отрезков уменьшается и точность решения возрастает. 2°. Метод Рунге-Кутта, Пусть требуется на отрезке [х^, х„ ] найти с заданной степенью точности £ решение уравнения у' - f(x,y), удовлетворяющее начальному условию у^ = у(х^). Сначала делим отрезок [^о^^п] ^^ ^ равных частей X —X

h = -^

так, чтобы h"^ <£ . Тогда метод Рунге-Кутта имеет

п погрешность h "*. Точки деления х. (i = 0,\,...,n) находим по фор­ муле X. =XQ+ ih . Соответствующие значения искомой функции у. = у(х.) ПО методу Рунге-Кутта находятся по формуле

где

А^. = -(а. + 26. + 2с. + d.); о

a,=hf(x,,y,);

1 zy

h

b. .

c. = hf(x,-^-,

у-Л-^);

d.=h[(x. + h,

y^+c-).

Точность метода Рунге-Кутта приближенно может быть определена из принципа Рунге R = —1//2^-^^|, где У2т>Ут — результаты вычислений с шагом h и 2/г, п = 2т . Метод Рунге-Кутта легко обобщается и на решение систе­ мы дифференциальных уравнений у' = [(х, у, t); X = (р(х, уЛ), (5) удовлетворяющий начальным условиям: х — х^, У — Уо при t^t^.

68

Г пава 22

3°. Метод Милна. Требуется найти на отрезке [^с-^л] Р^" шение уравнения if = f(x,y), удовлетворяющее начальному ус­ ловию у^ = y(xQ). Для этого находим каким-либо способом три последовательные значения Ух=У(^х)>

У2=У(^2)>

Уз=У(^з)

искомой функции (например, методом Эйлера или Рунге-Кутта) и т. д. Последующие значения у. (i = 4,5,.,.,n) вычисляем по фор­ мулам 4/г У1 = У1-4+yf'^ts - L2+L Л* (6)

"^^^ fi=f(Xi>yi) = yl'

Ji=ff(^i^yi)'

Контроль расчета определяется величиной £. = — W^ - ^ . Если £. < 10""", где т — последний десятичный разряд, сохра­ няемого в ответе знака, то за у^ принимаем ^. и вычисляем сле­ дующее значение функции //.^,. Если же £^ > Ю"'", то следует, уменьшив шаг разбиения, расчет провести сначала. Для опреде­ ления величины начального шага можно воспользоваться нера­ венством /г^ <10""'. Метод Милна может быть использован и для решения сис­ темы уравнений (5). В этом случае формулы Милна пишутся отдельно для функций x(t) и [/("^^. Дальнейший порядок вычис­ лений остается без изменений. 4°. Метод Адамса. Требуется найти на отрезке [А:О,Х„] ре­ шение уравнения у' = f(x, у), удовлетворяющее начальному ус-

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫСШЕГО

69

АНАПИЗА

ЛОВИЮ у^ = у(х^). Найдем сначала каким-либо способом (ме­ тодом Эйлера или Рунге-Кутта и т. д.) три последовательные значения искомой функции yi=y(^il

У2=У(^21

Уз=У(^)'

Введем обозначения Яо = %о = hf(x^,yj,

q, = hy\ =

hf(x,,yj;

Ri = hy[ = hf(x^, y^;,

^3 = hy^ = hf(x^, y^)

(7)

и составим диагональную таблицу конечных разностей ве­ личины q (вычисленные величины расположены выше пунк­ тирной линии). X

У

АУ =

/

= Уп^^-Уп

У= = f(x.y)

ч= =

Aq =

y'h

\ч

Уо

Аг/о

!(Хо,Уо)

Яо

А<7о

^ \

^1

Ух

Аг/,

f(Xi,yJ


А^,

Уг

^Уг

К^г.Уг)

^ \ . ' ^

Q2

А^2

Ъ

^2

Хз

Уз

!(^'Уъ)

\х.

УА

^Ул fi^A'yJ

Us

Уь

Аг/5

^6

Уб

f(x„ys)

ЯА

,

.-г\

А'^о.-' ''А^'7. А\

А%

.. - ' А ^ 7 з А?4

%

Продолжение диагональной таблицы разностей вычисляет­ ся по формуле Адамса 1

5

3

(8)

70

Гпава 22

Напрмер, зная числа q^, Aq2, A^q^, A^QQ , расположенные выше пунктирной линии, по формуле (8) для п = 3 находим 1 5 3 Д^/з = ^3+ — Д ^ 2 + — Д ^ ^ 1 + - Д Ч о . Затем вычисляем 2 12 о у,=у, + Ау,; f(x,,yj и q^=hf(х,,уJ .R^tt походим конечные разности А ^3' ^^Qi' А ^q'j, расположенные совмест­ но с ^4 по новой диагонали. Аналогично, полагая /2 = 4, вычисляем Ау^, у^, [(х^, у^), q^ и находим следующую диагональ Aq^, A^q^, A^q^y и т. д. Если требуется получить решение у(х) (второй столбец) с точностью до 10""", то величину начального шага вычислений определяют из неравенства /г^ < 10""". В практических расчетах шаг h выбирается таким, чтобы разности Д^^. и А^^-^, отлича­ лись между собой не более чем на одну-две единицы заданного разряда. 7.1. Пользуясь методом Эйлера, найти решение уравне­ ния у^у^-х}, удовлетворяющее начальному условию у(\) = 1, на отрезке [1,2], разбив его на 10 равных частей. Все вычисления вести с точностью до 0,001. Решение. Найдем сначала длину одного частичного отX - X 2-1 резка h - -^ ^- = = 0,1 • Решение уравнения предстап 10 вим в табличном виде. Для этого сначала находим точки X, = 1,1; ^2 = 1,2,*..., разбивающие заданный интервал на 10 равных частей. Затем из исходного уравнения у' = у^ - х^ определяем значение производной у' в точке х^ = 1, ^о = 1 , т. е. ^ Y b U = 0 . Далее по формуле (1) вычисляем

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ ВЫСШЕГО

71

АНАПИЗА

i

X,.

У1

у'

f^y'i

0

1

1

0

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

1 0,979

-0,21 -0,502

-0,021 -0,050

0,929 0,840

-0,888 -1,367

-0,089 -0,137

0,703 0,513

-1,903 -2,428

-0,190 -0,243

0,270 -0,017 -0,341

-2,870 -3,24 -3,65

-0,287 -0,324 -0,365

10

-0,706

Зная JCj,i/,, из заданного уравнения находим y{(x^,yj = l-(\,l/ =-0,21 и по формуле (2) вычисляем //2 = г/, + hy'^ = 0,979. Последующие значения у. находятся ана­ логично по формуле (3). Приближенные значения частного интеграла уравнения зак­ лючены в столбцах х.,у. данной таблицы. 7.2. Найти методом Эйлера численное решение системы уравнений dy_ хл-у у-х dt t dt t удовлетворяющее начальным условиям x(l) = \, у(\) = \, t G [l, 2], полагая /г = 0,2. Решение. Решение системы уравнений представим в таб­ личном виде. Для этого сначала находим значения t^ = 1; ^1 = 1,2;.... Затем из исходных уравнений определяем значения производных х\у' при ^0 =1, XQ, f/o и по формулам, аналогичdx ~dt

72

Гпава 22

НЫМ формуле (1) Xj = XQ + /ZXQ, У1=Уо+ hy^, вычисляем значения ^(^^Уо'^оХ У\(^>Уо>^о)- Далее из заданной системы уравнений находим х{,у{ и по формулам, аналогичным формулам (2), оп­ ределяем значения ^2,^/2 и т. д. Все результаты расчета приве­ дены в таблице /

ii

Х,

У1

0 1 2 3 4 5

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

1 1 1,067 1,172 1,302 1,450

1 1,4 1,8 2,21 2,633 3,07

/ X. 0 0,333 0,524 0,649 0,739

У1

hx'i

hy-

2 2 2,048 2,114 2,186

0 0,067 0,105 0,130 0,148

0,4 0,4 0,410 0,423 0,437

7.3. Методом Рунге-Кутта проинтегрировать уравнение у' =

При начальных условиях у(0) = 1 в промежутке [0,1] у+х с шагом /г = 0,25. Решение. Промежуток интегрирования от х = 0 до х = 1 разобьем на четыре части длиной 0,25, соответственно, точками X. (i = 0X2,3A) • Значения у находим по формулам (4) в таб­ личном виде. Вычисления у^ приведем более подробно: Хо=0,у^=1к = 0,25, у'^ = f(x^,yj

K^hf(x,^^^ ' '^ '

^о+—>> = 0,25 ^'^^^ =0,2; 2 ^' 2 1,125 + 0,125

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОПЫ ВЫСШЕГО

73

АНАПИЗА

c. = hf(x,^, ,„ + ^ ; = 0 , 2 5 l ± ^ ^ b ^ : i ^ = 0.199; ° ' ' ° 2 ^^ 2 1,1 + 0,125 1 199-0 25 d.=hf(x.+h, y.+cj = 0,25 ' ' =0.164; 0 / ( 0 f/o о/ 1J99 + 0.25 Дг/о =-(^00+ 26о+ 2Со+^о>> = -("0,25 + 0,4+0,398+0,164; = 0,202; 6 6 г/, = г/о + Аг/о = 1,5 + 0,202 = 1,702. Аналогично вычисляются значения t/j.i/a и у^ (см. табл.). Так значение у^ равно: , ,у ^ ,4^^1702-0,25 ^ , о ^ а, = hf(x.,y.; = 0,25 ^ ^— = 0,186; ^ ' ' 1,702 + 0,25 и UZ. h а, ^ ^ ^Л,702+0,093-Г0,25+0,125; ^ , ^ , 6, =/z/(^x + - , у, +-!-) = 0,25 • ^ = 0,164; ' " ' 2 ' 2 1,795+0,375 UW ^^ Л^ лос1>702+0,082-Г0,25+0,125; . . , . c.=hf(x,+—, у,+—) = 0,25 ^ ^ = 0,163; ' " ' 2 ' 2 1,784+0,375 ^ 1 с. , . ^^^1,702 + 0,163-0,375 ^ , ^ ^ di=hf(x^+h, y^+c^) = 0,25-— = 0,166; 1,865 + 0,375 1 Аг/,=-Г0,186+0,328 + 0,326+0,16б; = 0,168; 6 г/2 =1,702+ 0,168 = 1,870 / 0 1 2 3

L **

X,

У1

0 0,25 0,50 0,75 1,00

1 1,702 1,870 1,998 2,099

а

1

0,25 0,186 0,144 0,113

6,0,2 0,164 0,178 0,101

hi'

е.0,199 0,113 0,128 0,100

0,164 0,166 0,113 0,089

0,202 0,168 0,128 0,101

74

Гпава 22

1.4. Методом Милна проинтегрировать уравнение у' = х-\-у при начальном условии у(0) = \ в промежутке [ОД] с шагом h = 0,2. Решение. Интервал интегрирования разобьем на пять частей точками деления х,. (^/ = 0,1,2,3,4,5 j . Первые три приближения найдем методом Эйлера: х^ = 0, у^=1, у'(х^,уд) = 1 и по формуле(1) t/, =1 + 0 , 2 1 = 1,2. Находим г/,Ух,,г/,; = 0,2 + 1,2 = 1,4 и по формуле (2)//2 = l , 2 + ( ' 0 , 4 - 0 , 2 ; i , 4 = 1,48 . Далее i/2('x2,i/2 ^ = 0,4 + 1,48 = 1,88 и по формуле (3) Уз = t/2 + Г-^з - ^ 2 ^ ( ' ^ 2 ' l / 2 ^ = l'48 + f 0 , 6 - 0 , 4 ; 1,88 = 1,856. i/з'=0,6+ 1,856 = 2,456. Последующие значения вычисляем по формулам (6) ^4 = г/о+—Г2г/;-г/; + 2г/з'; = 1+—Г2•l,4-l,88+2•2,456; = 2,555,• Д=X4+^4=0,8+2,555=3,355,• E = г/2+—("Д+4г/з+i/2^ = 1.48+—Д 355+4-2,456+1,88; = 2,484; г/4 = ^4 + г/4 = 0,8+2,484 = 3,284; у, =г/, +—(2у1 -y;+2yJ=l.2+—(2-1.88-2,456+2-

3,284; = 3 299;

J = ^5+^5 =1 + 3,299 = 4,299; Е =г/з+—Г|+4г/;+ г/2; = 1856+—Г4,299+4-3,284+2,45б; = 3,182 Поскольку шаг задан, то уменьшать его не будем и за у^ возьмем ^5 • 7.5. Методом Адамса проинтегрировать уравнение у' = х + у при начальном условии у(0) = 1 в промежутке [0,1] с шагом

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ ВЫСШЕГО

АНАПИЗА

75

/г = 0,2 и сравнить результат с предыдущим решением (7.4.). Решение. Первые три последовательные значения функ­ ции, найденные методом Эйлера, берем из решения (7.4.): у^=\,2;

^2=148; i/з =1,856,

По формулам (7) находим значения (7о =0,2 1 = 0,2; ^^=0,21,4 = 0,28; ^^ =0.2 1,88 = 0,376; ^з =0>2-2,456 = 0,491 и составим диагональную таблицу Xi

У1

Aq =

У =

= f(x.y) = y'h 0 0,2 0,4 0,6 0,8

1 1,2 1,48 1,856 2,413

0,2 1 0,28 1,4 0,376 1,88 ] 0,557 1 2,456 3,213

0,2 0,08 0,016 о,раЗ' ' 0,28 0,096 0,01,9^ - ' ' 0 , 0 1 8 0,376 0,lj5.- ' '0,037 * • 0,491. 0,642

[_ 1 Зная числа ^j =0.491; А<72 =0,115,- Д^<7, =0,019, А^<7о =0,003, расположенные выше пунктирной линии, по формуле (8) для п = Ъ находим А^з = ЧУ +^^^2 + —А <7| + g ^ 9о = = 0,491 + -0,115 + —0,019 + -0,003 = 0,5575 2 12 8 и вычисляем 1/^= Уу+ ^Уъ =2,413. Полагая п = 4, вычисляем 1

5

3

76

Гпава

22

= 0,642 + -0Д52 +—0,037 + ^0,018 = 0,740. 2 12 8 Находим ^/з =^4+Д^4 =2,413 + 0,740 = 3,153. Сравнивая с результатом предыдущего примера, нетрудно заметить, что расхождение во втором знаке после запятой. С целью улучшения сходимости решений необходимо в том и дру­ гом случае уменьшить вдвое шаг.

22.8. Метод коллокации Метод коллокации является приближенным методом реше­ ния дифференциальных уравнений и заключается в сведении ре­ шения к системе алгебраических уравнений. Решение задачи методом коллокации сводится к отысканию искомой функции в узловых точках сетки, удовлетворяющей заданому уравнению и граничным условиям. 8.1. Найти решение уравнения изгиба балки (рис. 22.9) при произвольно распределенной нагрузке q(x) EJw''^ ^q(x)^

(1)

удовлетворяющее граничным условиям оу = ш' = О при X = О, ш = ш^' = О при q(x) V

V

-L ^'~4 W

у

у

у

-1

J^ ^

-2L

'^'~2 ^ ' ~ 4 /

Рис. 22.9

х-1,

(2)

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОаЫ ВЫСШЕГО

77

АНАЛИЗА

Решение. Разобьем балку на четыре участка Ах = — точка­ ми 1,2,3 и представим решение уравнения изгиба в виде / v \

u)=Y,^k

, k = 0,\X...,n.

W\

(3)

v^

Число членов ряда определяется числом граничных ус­ ловий (2) и числом узловых точек, в которых должно быть удовлетворено уравнение (1). Поскольку мы имеем четыре граничных условия и три точки коллокации, то в (3) будет семь членов /^V X X w(x) = aQ+a^-'+a2 + а, + а, + «3 (4) +а Kh Подставляя (4) в граничное условие (2), будем иметь

7

UQ

=0, aj = 0;

«о + а, + ^2 + ^3 + «4 + «5 + а^ = 0;

(5)

а2+За^-{-6а^-{-\0а^-\-\5а^ =0. Подставляя (4) в уравнение (1), получим уравнение д(х)1' 24^4 +120а5 - + 3 бОа^ — = EJ / I' I I 31 которое при X, = —, Xj = —, Xj = — дает алгебраические урав­ нения 24а.+30а,+22,5а.=

EJ

xj/ 24а. + 60а, + 90а. = - ^ ^ ^ ^ EJ

(6)

78

Гпава 22

24а4+90а,+202,5а,

q(h)l' EJ

Коэффициенты а. (i = 0,\>''.6) находятся из совместного решения системы алгебраических уравнений (5) и (6). В случае равномерной нагрузки q^ коэффициенты имеют вид

'

'

'

'

'

q^l"^ \6EJ ^

-Sq^l"^ 48£/

Решение (4) в этом случае будет w(x) =

^ SEJ

/^XV V

^/ гV

11 / + 3

1

Kh

'

qj"^ 24EJ

Глава 23 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 23.1. Конечно-разностный метод (метод сеток) 1°. Суть метода конечных разностей состоит в том, что точные значения производных заменяются их приближенны­ ми значениями через дискретные значения функций на конеч­ ных интервалах. Точное значение производной равно du

^

7

— = tg а , где а — угол наклона касательной в точке / к dx оси Ох (рис. 23.1). Приближенное значение производной в точ­ ке / будет Х -ч

\

/ -ч

Ах

\

и,-и, или \-г\ -— I дх h Ах -.

(1)

где Ах — конечный интервал аргумента, и^-и^ — первая пра­ вая разность, Ui-u^ —первая левая разность. Лналогргчно вычисляются производные в направлении оси Оу

80

Гпава 23

и„ —и, или Ау

Ау

(2)

Разности (1), (2) называются нецентрированными разно­ стями. Представляя вторую разность как разность первых разно­ стей, вторые производные в точке / представим в виде ' о и ^_(^т''Щ)-(Щ-Щ) Ах:'

^^т-^Щ'^Щ . Дх'

(3)

_ К -Щ)-(Щ -Uj) _ и„ -2и, +Uj Ay' Ay' 1°. Для двумерной области (рис. 23.2) целесообразнее для функций ввести двойную нумерацию. v^^^ .

Уп^1 Уп Уп-i Уп-1 ^п,

Рис. 23.2

^т

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ РЕШЕНИЯ ПИффЕРЕНиИАПЬНЫХ

81^

Так, разбивая область прямоугольной сеткой с соответствено равными шагами Дх, Ау, значения производных в точке с координатами х^,у^ могут быть заменены конечными приращениями -ч

~

/, л

' ^'m+l.n

^^т-1,п /'

Эх 2Ах' ди _ 1 -\ /^ . (^т.п+\ ^m,n-\J' ду 2Ау' д'и 1 /"m^l.„-2"„,«+Wm-l,J; Эх' Дх'

д'и дхду ^

д'и

1

Э/

Ау

1 ( "m+l,n+l 4AxAy

"""m-l,n+l ~ " m + l . n - l "^^m-l.a-l

J'

= ^ ( " " ^ + 2 , . -"m^i,„ + 6 M „ „ - 4 M „ _ , „ + M „ . 2 , J ;

Э'м ду'

-1 Ay'

д'и

1

Э/Э/

Ax'Ay' m,n

( ^m+l,w+l "'"^m+l.n-l

m,n^\

m—\,n

^^m+l,n

^^m./i+l "^

w—1,л+1 т—\,п—\У^

Действующую нагрузку и правые части дифференциальных уравнений представляем в виде величин, отнесенных к узлам сетки. Сетка может быть и прямоугольной, т. е. Ах^ Ау. 1.1. Задача о кручении стержня квадратного сечения сво­ дится к решению уравнения Пуассона

82

Гпава

23

Найти решение уравнения при нулевых значениях функции напряжения Прандтля F(x,y) на контуре. Решение. Воспользуемся методом конечных разностей. Рас­ смотрим поперечное сечение стержня и разобьем его на 16 рав­ ных квадратов со стороной, равной а (рис. 23.3).

а,а

0,а

а,а

а.О

0,0

а, О

а,а

О, а

0,а

X

Рис, 23.3 На контуре функция напряжений равна нулю. В девяти внут­ ренних узлах сетки имеем девять уравнений с девятью неизвест­ ными. Учитывая симметрию относительно координатных осей, получим лишь три независимых значения функции в трех точках F(0,Q), F(a,Q), F(a,a), Относительно трех точек с координатами (0,Q), (а,0), (а,а) составим три разностных уравнения. Вве­ дем обозначения Ах = Аг/ = а. Полагая m = О, /i = О и учитывая симметрию, будем иметь i/^+i„ = F(a,0); и^ ^ = F(0,0); ".-.л = f'(aM- u„.n.i = т.а) = F(a,0); u„„_, = F(0,a) = F(a^O). Используя выражения (4) и подставляя их в уравнение Пуассо­ на, первое уравнение относительно точки (^0,0^ будет ^

[F(a^ 0) - 2F(0^ 0) + F(a^ 0)] +

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ РЕШЕНИЯ

аИффЕРЕНЦИАПЬНЫХ

+ -^[F(a,(i)-2F(0,Q)

83

+ F(a,Q)] = -l

или F(Q,0)-F(a,0)

= ^ .

Для второй точки ("а,о; имеем и^^^„= F(a,0); и^^^_^=0; "m+i,«+i =F(0;CL); «„+,„_! =F(a,a). Уравнение Пуассона с учетом формул (4) примет вид ^—[F(0.0)-2F(a,0)\ Ал; +-^\F(a,a)-lF(a,0) Ay

+

+ F(a,a)\ = -l

или 4F(a,0)-F(0,0)-2F(a,a)

= 2a\

Для третьей точки (а,а) будем иметь: «„+,„+! =F(a,a); i^,n.n.i=f'(^.a) = F(a,0); «„^2.n+, = 0 ; и„^^„^^=0 и уравнение примет вид 1 -[F(a,0)-2F(a,a)]+ Ах' 1 +—^[F(a,0)-2F(a,a)\ = -2 или 2F(a,a)-F(a,0)

= a\

Решая систему уравнений F(Q,Q) -F(a.O)

=

Y'

4F(a,0)-F(0,0)-2F(a,a)

= 2a-,

2F(a,a)-F(a,0)

= a\

84

Гпава 23

получим искомые значения функции напряжений в точках (^0,0;, (а,^1 ('а,а;, соответственно: F(^0,о; = 2,25a^• F(^a,0^ = 1,75а'; F(^a,a; = 1,375а'. С целью уточнения решения следует увеличить разбиение области интегрирования, т. е. Ах и Д^/ уменьшить.

23.2. Дифференциально-разностный метод (метод прямых) Основная идея метода прямых (или дифференциально-раз­ ностного метода) состоит в сведении уравнений в частных про­ изводных к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это достигается использованием метода конечных разностей по одной переменной, т. е. решение уравнений в част­ ных производных сводится к системе обыкновенных дифферен­ циальных уравнений вдоль некоторого семейства прямых. Пусть в прямоугольной области D(a <x
и(х, с) = (р(х); и(х, d) = (p/x)

(a<x
u(a,y) = \l/(y):

(c
u(b,y) = \i//y)

Разобьем область интегрирования семейством равноотсто­ ящих друг от друга на расстоянии h прямых, параллельных со­ ответствующим осям X или у. Для определенности возьмем прямые y = c + kh (^/г = 0,l,2,...,A2j. Заменим производные по у приближенными разностными выражениями у\ у \у=Ук

= ^ Ы^^ Уи.1) - ^(^^ Ук-х ) \ '

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ РЕШЕНИЯ

Э'и Ъу^У=Ук

аИФФЕРЕНиИАПЬНЫХ

85

•'^W^^yk^x)'-^^(^>yk)^^(^>yk-x)\

Поскольку и,^(х) = и(х,у1^) есть функция одной переменной X при фиксированном значении у^^, то решение сводится к сис­ теме п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

+ — [^kJ^)'^k-x (Х)] + Щ(Х) = 1(Х)

(k = 1,2,...,/2;.

При наличии в уравнениях переменных коэффициентов пе­ ред частными производными разбивку следует производить так, чтобы свести, по возможности, задачу к решению дифференци­ альных уравнений с постоянными коэффициентами. 3.1. Методом прямых найти решение уравнения Пуассона

удовлетворяющее граничным условиям и(0,у) = и(5,у) = и(х,а) = и(х,3) = 0. Решение. Принимая /г = 1, проведем две прямые г/ = 1 и у = 2, которые разделят область интегрирования на три полосы (рис. 23.4). у]

з\

5 X

Рис. 23.4

86

Гпава 23

Запишем вторую частную производную по у разностным выражением - ^ =—[и(х, у,^,) - 2и(х, yj + и(х, у^_,)] (k = l2), ду h Поскольку /z = 1, то получим следующую систему уравнений

щ-^и^-2и2+щ-х-^-у^;

(k = 2)

(1)

с граничными условиями UQ(X) = и(х,0) = 0; и^(х) = и(х,3) = О. Подставляя граничные условия в (1) и учитывая, что i/j =1, //2 = 2, получим

щ- 2и2+щ=х + 2.

(2)

Таким образом, решение свелось к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение соответствующей однородной системы щ+щ-2и^ = 0 ; и^- 2u2 + ц = О ищем в врще Ц(х) = Ае^\' щ(х) = Be^"". Подставляя решение в систему и сокращая на е^"", получим систему алгебраических уравнений Л Я Ч 5 - 2 Л = 0; ВЯ' -2В+А=0

(Х^-2)А или

+ В = 0;

А+(Х^ -2)В=0,

Поскольку ищется нетривиальное решение, то опреде­ литель системы должен быть равен нулю

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ РЕШЕНИЯ

ПИффЕРЕНИИАПЬНЫХ

Я^-2 1

Я'~2|

87

= 0.

Отсюда находим характеристическое уравнение Г Я ' - 2 / - 1 = 0, корни которого равны \^—±\, Яз4~ ±л/3. При Aj 2 = ±1 имеем - Л + Б = 0; Л - Б = 0; Г^ = 1 2 ; Д = Д = С , . При Яз 4 ~ —^/^ имеем Л + В = 0; Л + В = 0; (ь-^ЪА) Д.=-Д.=С,. Таким образом, общее решение примет вид

Частное решение системы неоднородных уравнений ищем в виде щ(х) = Ах + В;

U2(x) = Cx-\-D.

Подставляя частное решение в систему (2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных, получим систему С - 2 Л = 1; -2С + А = 1; D-2B = \; - 2 D + B = 2. 4 Из решения этой системы находим: А = -1, В = — , 5 ^ С = - 1 , Z) = — . Таким образом, частное решение будет и. (х) = -(х + - ; ;

U2(x) = -(х + - ; .

88

Гпава 23

Общее решение системы (2) равно сумме решений щ(х) = щ + щ(х);

и2(х) = Щ-{'й2(х)

или

и^ = с^е"" + с^е'"" -с^е^"" -с^в"^"" -(хл--). Для определения постоянных интегрирования ^^^2,^3,^4 воспользуемся граничными условиями щ(0) = u(0^yj = 0; щ(0) = и(0^у2) = 0; щ(5) = u(5,yj = 0; U2(5) = ufS^y^) = 0. Отсюда находим систему уравнений для определения посто­ янных интегрирования 4

е\+е-'с,+е'\+е-'^'с,=—; е'с,+е-'с,-е'^'с,-е-'^'с,=—. Подставляя найденные постоянные интегрирования в (3), находим изменение функции и вдоль прямых yz=i и у = 2, 3.2. Методом прямых найти решение уравнения теплопро­ водности

ди д^и _ 'di'dx''^ ' удовлетворяющее граничным условиям

(3)

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ РЕШЕНИЯ ПИФФЕРЕНиИАПЬНЫХ

89

i^(^o,jc;=o, u(t,o)=u(tj) = o (1 = л), Решение. Разделим отрезок [О,/] на четыре части точками деления 6 = 0,1,2,3,4. Обозначим через Ui^(t) приближенное знаkl ^ чение решения на прямых х = —. Заменим вторую частную про­ изводную по X разностным выражением

= u(t, x^^i; - 2u(t, xj + u(t, Xf^^J. (k = 1,2,3>. Составим систему уравнений ul-U2+2u^ -UQ =1; i/2 - ^ 3 + 2u2 - Ц = 1;

u^-u^+2u^-U2

(4)

=1

с граничными условиями UQ(t) = u(t,0) = 0; u^(t) = u(t,l) = 0.

(5)

Подставляя граничные условия (5) в (4), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений ц-^2+2^1 =1;

u^+2u^-U2

=1

с начальными условиями u,(0) = U2(0) = u,(0) = 0,

(7)

Общее решение однородной системы, соответствующей си­ стеме (6), будем искать методом Эйлера. Для этого представим решение в виде щ=Ае^';

U2=Be^\' щ=Се^'.

(8)

90

Гпава

23

Подставляя значения (8) в (6) и сокращая на е^, получим - Л + ( ^ Я + 2 ; Б - С = 0;

ГЩ

-В+(^Я+2;С = 0. Решения, отличные от нуля, именлх:я только в том случае, когда Я + 2 -1 О I А = | -1 Я + 2 -1 U o . О -1 Я + 2| Отсюда корни характеристического уравнения (^Я + 2 / - 2 ^ Я + 2 ; = 0 равны я, = - 2 , Я2=л/2-2, 7^=-^-1. Подставляя корни \,7^,Х^ в уравнение (9), находим для чисел А, В, С значения Л, =1;

В, = 0 ;

Л,-1;

S,

С, = - 1 ;

л/2;

А, = \; В з - - л / 2 ;

(10)

С, = 1;

С, = 1;

(здесь во всех трех случаях положено Л = 1). Соответственно со значениями (10) имеем три системы час­ тных решений «21 = 0 ;

«„ = e^^-^^•

щ, = yfle'^'-'";

«3,

=-е

ы„ = е'

*32

Полная система искомых интегралов будет

ы;=ч/2с/^-^^'-л/2Сзе-'^*^^';

(И)

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ РЕШЕНИЯ ПИффЕРЕНиИАПЬНЫХ

91^

Частное решение неоднородной системы ищем в виде щ = Д. = const. Подставляя эти решения в систему (6), полу­ чим ^*^1 = - /

^2=2;

(12)

^3 = - .

Общее решение неоднородной системы равно сумме реше­ ний (И) и (12), т. е. 2 и^ = yflc.e'^'-'^' - 42с,е-<^'^'^' + 2; и, =-с,е-'' л-с,е^^'-'>'

^с,е-^^^-'^'Л.

Постоянные интегрирования с^,С2уС^ находим, используя начальные условия (7), из решения системы 3 с,+с^ + С з = ~2' л/2с2- -72сз = = -2; 3 -с, +<:'2 3 ~ 2

Откуда: с, =0, с^ = — ( " 2 7 2 + 3 ; ,

с^^-(1^-Ъ).

Итак, окончательно вдоль прямых х = 1, х = 2, х = 3 будем иметь u,rU = - - f 2 V 2 + 3 y ^ - ' ^ ' + - V 2 ^ / 2 - 3 ; e - ^ ^ ^ ' ^ Ч - ; w,rU = -—r2^/2 + З У ^ - ' ^ ' - ^ r 2 ^ / 2 - З X ' ^ ' ' ' ' + 2 ; 4 4 „зГО = - - Г 2 7 2 + З У ^ - ' ^ ' + - Г 2 7 2 - 3 ; е - ^ ^ ^ ' ^ ' + - . Т"

Т"

^

Гпава 23

92

23.3. Метод характеристик численного решения гиперболических систем квазилинейных уравнений 1°. Квазилинейной системой дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка называется система вида JI, Ъида(1) дх '^ ду /=1

где a.j, b.j,c. —некоторые функции переменных Обозначим за щ(х,у),..,,и^(х,у)

х,у,щ,...,и^.

решение системы (1) в не­

которой области D, за р. = —^-, q. - —^- значения частных про'Эх ' ду изводных по некоторой кривой L , принадлежащей области D. Система (1) в этом случае будет п

(2) м Дифференциалы вдоль кривой L запишем в виде p.dx + q.dy = du. . Отсюда, полагая dx^O, будем иметь dy dup.=-q.-^ + —-' (3) dx dx Подставляя (3) в (2), получим систему для отыскания q. п

п

J^(b,jdx~a,^dy)qj=c,dx-Y,aijdUj /=I

(i = l,...,n).

(4)

y=l

Главный определитель системы (4) имеет вид b^^dx-a^^dy Д =

b^2dx-a^2dy

b,„dx-a,„dy

feji^fx—Gji^// b22dx — a22dy

(5) b„^dx-a„^dy

b„2dx-a^2dy

b„„dx-a„„du nn

nn z/

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ РЕШЕНИЯ

ПИФфЕРЕНиИАПЬНЫХ

93

Если определитель А т^ О, то система (4) относительно Qi имеет единственное решение. Если А = О и система (4) совместна, то сис­ тема имеет бесконечно много решений, т. е. на кривой L по задан­ ным и.(х,у) частные производные однозначно нельзя определить. В этом случае кривую L YL23ъlЪ2iЮт характеристикой cw:^tMbi{\) Тангенс угла наклона касательной к характеристике L с осью 1

dy

.

^

X Я = -— удовлетворяет уравнению п-и степени относительно Я ах

bin

^21

кп. -Ла^,

Ьп2-^^п2

-^^т

= 0.

(6)

Ха„

Если уравнение (6) имеет п различных действительных кор­ ней, то система (1) называется гиперболической системой. Обозначая через Я,,..., Я„ корни уравнения (6), являющиеся функциями х,у, получим п дифференциальных уравнений dy - ^{(^УУ) ^^ • Каждое уравнение определяет однопараметрическое семейство кривых. Рассматривая все уравнения, получим п семейств характеристик. Предположим, что кривая L есть характеристика системы (1), соответствующая решению щ(х,у) . На L А = О, но так как система (4) совместна, то все определители, получающиеся за­ меной в А /г -го столбца столбцом правых частей системы (4), должны также равняться нулю А = 0, А^=0

(k = l..,,n).

(7)

Первое из условий (7) называется уравнением направления характеристики, а второе — дифференциальным соотношени­ ем на характеристике. 2°. Рассмотрим систему из двух п = 2 дифференциальных уравнений. Уравнения направлений характеристик будут

94

Гпава 23

dy-X,dx^Q

(i = \,2),

(8)

где Я,- • корни уравнения 6,1-Яа„

^12-^«12

\^2\~^
= 0.

(9)

^22 " - ^ ^ 2 2

Дифференциальные соотношения на характеристиках =0

(10)

(X-A + В Jcfu, + CrfM2 + Edx + Fdy = 0,

(11)

CjrfX — Oj, CfU, — 022^^2

^22 ~ Л ^ 2

или где A=

a,,

0,2

Oj,

O22

£=

' '^"

bn

«11

I c=i 6,2

0,2

^22

^ 1

622

CL22

c, 6,2 0^

L/'у'у

^2

'

^ \ O22

^1

(12)

C2

3°. Метод Macco. В основе метода лежит замена диффе­ ренциальных уравнений характеристик конечноразностными уравнениями. Пусть в точках 1,2 плоскости х,у (рис. 23.5) известны зна­ чения искомых функций и VLV , удовлетворяющих квазилиней­ ной гиперболической системе двух уравнений да , да -^ , а,,— + а, — + а,.— + &12, 11 -ч

dx да

и -ч

dt/ . да

1^ '^

dx

^ 2 i T - + ^ 2 i 4 " + ^•22

dx

df/

Эх

+&

-ч

""^Р

ду

а?

(13) = С2.

Через точку 1 проведем прямую в направлении 1-го семей­ ства характеристик, а через точку 2 в направлении 2-го семейства.

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ РЕШЕНИЯ

ПИффЕРЕНиИАПЬНЫХ

95

1

3

и

21 (X,. у,)

Pi/c. 23.5 Эти прямые пересекутся в точке 3. Координаты х^^^\у^^^^ являют­ ся решениями системы (8) в конечных разностях Уз "Ух - A i (^;3

(14) Уъ "Уг-Кг (^: -^2 Л где Я^^^*^ — угловой коэффициент касательной к характеристике первого семейства в точке 1; Х^^^ — в точке 2, являющиеся соот­ ветствующими корнями уравнения (9) в точках 1,2. Для определения i/(^\^('^ заменяем в (И) дифференциалы конечными разностями

+ Е<:>(х['^-х,) + РГ(у['>-у,)

= 0,

(15)

+ E['>(x['>-x,) + F<'>(y['>-y,) = 0, где 4^^Б[^^C/^^£[^^/^^^^ (i = \,2) —значения (12) в точке /. Поскольку криволинейные характеристики заменяли прямы­ ми, а дифференциалы конечными разностями, то возникает не­ обходимость в уточнении координат точки 3 и значений и[^^ ,v[^'. Вычислим Я,'з'^ и Я^з'' в точке 3 и введем среднеарифмети­ ческие

96

Гпава 23

4V =\(Kl'^Kl^h KV =\(^^^^г')

(16)

и аналогично

Л[2^=1(^Л1'ЧЛ^'0, Б1^^=-ГВГЧБ('^;, С1'^=-ГС1'ЧС('0, £1^^=1г£Г^ + £^з'Ч P?'-\(P?'^P?'h

(i = \.V, (17)

где Л^з'^5з'^C('^4'^^з^'^—значения A,B,C,E,F внайденном первом приближении точки (х[^\у[^^,ii^^',v[^'). Искомые вели­ чины для точки 3 х[^', у[^',и(^'*,и(^'' находим из уравнений Уг

У\ - \ \ (h

~^\)'

Уз

Уг - ^ 2 ih

^г)'

+Е<''(4'>-х,) + РГ(у-у,) = 0. Для дальнейшего уточнения процесс продолжается анало­ гично. 4°. Задача Коши заключается в отыскании решения систе­ мы (13), если функции u,v заданы на некоторой дуге гладкой кривой L , не имеющей характеристических направлений ни в одной точке. По точкам 1,2 вышерассмотренным методом нахо­ дим точки 7,8 и т. д. (рис. 23.6). Задача Гурса заключается в отыскании решения u,v систе­ мы (13), если на двух характеристиках аЬ и ас, выходящих из одной точки а, заданы значения и и v , причем значения функ­ ций в общей точке совпадают (рис. 23.7).

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ РЕШЕНИЯ

ПИффЕРЕНиИАПЬНЫХ

97

Рис. 23.7

Рис. 23.6 3.1. Найти решение системы уравнений Э^ 1

и — +—V

дх

2

И- cos 2х = О,

[ду дх) да ду

dv _ дх

удовлетворяющее граничным условиям

u(0^y) = cos^,

v(0^y) = sin^

(^<у<\).

Решение. Система состоит из двух квазилинейных гипербо­ лических уравнений вида (13). Пользуясь выражением (9), нахо­ дим корни уравнения 2 1

2 Я

=0.

Поскольку корни этого уравнения Я, = —, Я2 = О, то урави нения направлений характеристик (8) и дифференциальные со­ отношения на характеристиках примут вид

гпава 23

98

2-е семейство

1-е семейство

dy = 0

и vdu + cos2xdy=^0

udu + vdu + cos 2x dx = 0.

При численном решении уравнений разделим отрезок с на­ чальными данными точками деления на пять частей и найдем значения и,, и v,- в этих точках i

1

2

3

4

5

6

X,

0

0

0

0

0

0

У'

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Щ

0,9689

0,9553

0,9394

0,9211

0,9004

0,8776

Ч-

0,2474

0,2955

0,3429

0,3894

0,4350

0,4794

При нахождении координат точки у , лежащей на пересече­ нии характеристик двух разных семейств, выходящих из точек i, / +1, составим систему уравнений .,(п)

,. _ '1(п)/^(п)

где/Ц.. ~—,

\

(п)

_ п^(п) /Un)

\

/Ц,,>1,у-и, Х-. -х.^.

Uj

Отсюда координаты следующей точки при п -м прибли­ жении находятся из выражений

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ РЕШЕНИЯ

ПИффЕРЕНИИАПЬНЫХ

99

Значения функций в точке / находятся из решения системы уравнений Dj.''Y"r'-"-v>+cos24"Yl/r'-i/,v' = 0.

где 4'^="/. С=Ч. С=^Г",+САС=^(^^.+^Г">»Расчетные формулы примут вид cos24"Yi/r'-i/J u;"^=u,./п.» У

^г=ч>.Точность расчета определяется п -й итерацией. Если зна­ чения x^.^\y^.^\u^-^\v^.^^ с заданной точностью равны Xj ,yj \w. \Vj , то переходим к расчету у +1 точки. В таблице приведены результаты расчета х., у-, и-, v. для сле­ дующего ряда i

7

8

9

10

11

X.

0,3916

0,3233

0,2739

0,2365

0,2069

У1

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

и.

0,6823

0,6852

0,6906

0,6925

0,6900

^i

0,2385

0,2878

0,3475

0,3815

0,4279

На рис. 23.8 показано расположение точек (х.,у-), в кото­ рых найдены значения функций (u.,v.) . Дальнейший процесс вычисления значений функций аналогичен.

Гпава 23

100

0,5 0,6 07

0,8 0,9

1,0 У

Рис. 23.8

23.4. Метод конечных элементов 1°. Решение многих краевых задач дифференциальных урав­ нений математической физики эквивалентно решению вариаци­ онной задачи, т. е. задачи минимизации функционала. Под функционалом J{f{x, у)) обычно понимают некоторый интеграл, в подьштегральное выражение которого входит функция /(jc, у). Задача решения двумерного уравнения теплопровод­ ности

при граничных условиях на контуре L —-+аТ an

4s^

(2) Л где а —коэффициент теплоотдачи; q^^q^ — объемная и поверх­ ностная плотности мощности источников теплоты, сводится к за­ даче минимизации функционала в области D

J{Tix,y)) = \\

^' ^дТ^'

-2qJ

dxdy +

(3)

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ РЕШЕНИЯ ПИФФЕРЕНиИАПЬНЫХ

101

к минимизации функционала сводится и задача о кручении упругого стержня некругового сечения _ _ ^ _ _ ^ 2 G ^ = 0,

(4)

где F — функция напряжений, G — упругая характеристика материала, <р — угол закручивания сечения стержня, F^= О на всей границе. Приближенное решение вариационной задачи (3) ищем в виде м

nx,y)=^J^aJ„{x,y),

(5)

m=l

где а^ — неизвестные постоянные коэффициенты,/^ (^х,;;J — из­ вестные функции координат. Подставляя (5) в выражение (3) и приравнивая произ­ водные к нулю, находим систему уравнений ^:.0 — =0 (6) да, да^ для определения значений а^, обеспечивающих минимум функ­ ционала. Функцию координат/^ (^х,7J определяют следующим обра­ зом. Разбивают область D на Л^ элементов и находят в каждой узловой точке с координатами х = х^^; у = у^^ значение функ­ ции f^(x,y) таким образом, что в узловой точке значение функ­ ции равно единице, а в остальных точках равно нулю. При таком выборе координатных функций приближен­ ное решение (5) примет вид м т=1

где и^ — приближенное значение искомой функции в т-й узло­ вой точке.

Гпава 23

102

Условия минимума функционала сведутся к системе (8) 3t/„

ди

которая представляет алгебраические уравнения относительно искомых функций в узлах. Вариационная постановка задачи о кручении стержня сво­ дится к функционалу j - \ 2

Эх

-IGcpF

2

dV,

(9)

который может быть записан в виде 1 -ig)'{D){g)-{2G(p)F

^-\

где (D) = l,

dV,

(10)

(dF\ dx (g) = dF_

Минимизация J no (u) приводит к системе линейных урав­ нений

j;^l(B^"'fiD){B'"')dViu)=j;^l(f"'Y(2Ga)dV, (И) л=1 у

п=1 у

где {f"') = {f) = {f^"\ ff\fl"^ ...Jl"\ / - ч и с л о узлов элемента, верхний индекс («) означает произвольный элемент, матрица (g("') = (5*'")(м) имеет вид f..

ЪР{'>)\ (g^"')

Ъх

дх

Эх

дх

Ш1 ду

ду

ду

ду )

\

(12)

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ РЕШЕНИЯ

ПИффЕРЕНиИАПЬНЫХ

103

ИЛИ (п)л

(^^"0 = (5^"0(«) •

(13)

2^. При численном решении задач методом конечных эле­ ментов используют элементы различной формы: треугольные, четырехугольные, с криволинейными границами и т. д. Ограни­ чимся рассмотрением треугольных элементов с узлами в верши­ нах (рис. 23.9).

Рис. 23.9 Для двумерного треугольного элемента целесообразно ис­ пользовать только линейные функции формы f(x,y)

= a + bx + cy.

(14)

Узловые значения/обозначим соответственно / =и. при х=х.; у=у^; f =Uj прих=х^.; y=yj; f =щ ирих=х,, y=yj^. Отсюда получим систему W. =а + Ьх. +су., Uj =а + bxj н-cyj, a + bxi^+ cyj^,

решая которую, будем иметь

(15)

104

Гпава 23

а = —[(^с,Л - X k y > i + (^tX - ^ / Л > j + ix^yj -Xjyi>k b=^[(x

- У к)".+(л

- yi>j+(^.

c = —[(x,-Xj)u.+(x.-x,)Uj

- >'7)"* ] '

]. (16)

+ {xj -x,)u,],

где 25 = (Xjyi^ - x^yj + yjXi - JK^X. + x^y. - Xjy^) — удвоенная пло­ щадь треугольника. Подставив выражения (16) в формулу (14), получим /{х, у) = fi {х, у)и. + fj {х, y)Uj + / , (х, у)и,,

(17)

где / (х, у) = (а, + Ь,х + с.у) lis, fjix,y)

= iaj+bjX + Cjy)/2S,

(18)

fk ix, у) = {a, + b,x + c,y) I IS, ai=Xjy,-Xi^yj,

aj=x^y.-y^x..

aic=Xiyj-Xjy,,

bi =

yj-yk.

Ь^ = У^-Уп

b,=yi-yj,

с I — Xi^— Xj,

с J = X,. — XJ,,

^k ~ ^j

(19)

"~^/-

4.1. Кручение стержня квадратного сечения. Решение. В связи с симметрией сечения (рис. 23.10) рассмот­ рим 1/8 квадрата и разобьем эту часть на два элемента. Решение задачи не обладает достаточной точностью и служит только ил­ люстрацией методики решения. Представим интерполяционные решения для элементов в виде

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОаЫ РЕШЕНИЯ ПИффЕРЕНиИАПЬНЫХ

105

Рис. 23АО Матрица жесткости элемента при (Z)) =1 будет V

где для определения (5^^^) следует продифференцировать (F^^^) ПОХИ>'.

_\_

Ъх

Эх

дх

дх

)

ь^' ь^' 0), ^"l 'is (I) (^Г'

fa/;<'> эл^'> э//'> ^^ 1 ду

V

ду

ду

ду

/

25

(1)

.(1) (<

.(1)

Таким образом матрица (В^^^) примет вид 1 (Ь\'' Ь^' (В'') = 2^0) оО) ^(1)

Ь'^' ОЛ о(1)

Площадь первого элемента равна 2 2

4

25"^

О

^(1)

0).

106

Гпава 23

Находим коэффициенты б и с Ъ? ^у^-у^^-^,Ъ,

с,'" = Хз - х^ = -0,5,

^г" =Уъ-Ух= -0,5,

с'" = X, - Хз = -0,5,

Подставляя эти значения в матрицу (5''^), получим (5^") =

(-\ 1 -1-1

О 0^ 2 0

Находим произведение

(5^")Ч5*")

1 О O^i 1 -1 \(-\ -1-12 0 о 2 О

О

2

0

-2

0^

0

2

-2

0

-2

-2

4

0

0

0

0

0

/

Матрица жесткости элемента представляет собой интеграл, где произведение матриц (5*'' )^ (5*''), как постоянная величи­ на, выносится за знак интеграла ( \

(г<'^) = (B<")^(5('>)J^F =(5'"f (5('^)5f'^

1

О -1 0^1

0 1-10 -1-1 2 0 0 0 0 0

Предполагая толщину элемента единичной, объемный интеграл в правой части выражения (11) примет вид

dv=^£ll

J(/">)'2G(p^F = j2G(p о

(I)

1 1

ЧИСПЕННЫЕ МЕТОПЫ РЕШЕНИЯ

107

ПИФфЕРЕНиИАПЬНЫХ

Выбирая в качестве единиц размерности для G НI см^, для 1 к при закручивании стержня на 1° на длине 100 см, будем иметь

(Л \{f^^YlG
1 1

= ^^

Таким образом, система уравнений (11) для первого эле­ мента будет 0

1 - 1 0

-1-1 0

Л^

0 - 1 0 ^u^

^ 1

G(p

2 0

0

0 0

v"v

v^

Находим площадь второго элемента и коэффициенты bvic

•^'^"ТТ^"? ^""^ ^"^'^' ^''"^'^' ^"^' '^""^^' ''''"^'^• Находим теперь матрицу жесткости ^0 {В''') =

1

О 1у

V

П

1

0 - 1 0 1 V

( О 0\ 1 - 1 (^0 (5(2))Г(^(2))^ -2

1 -2

Го

-2 л

о ij

0

0

2 -2

0 -2 0

0

-1

^ 1 0

4 -2 -2

2

Гпава 23

108

(^")Ч

''о 0 0 0"^ о 1 - 1 0 0 - 1 2-1 \^ -0,5 -1 \)

Отсюда система уравнений (11) для второго элемента примет вид

Го

0

0

1 0 2 0

1

-1

0 („

\

0

2 -1

-1

.0 -0,5

-1

Го G(p 6

1

K'J V"V Окончательная система уравнений находится алгебраи­ ческим суммированием уравнений отдельных элементов

^ 1

О о 2-1 - 2 (^ О -0,5

-1 0\ /» Л G(p 1 2 0 6 1 4 -1 -1 1 Ч " У чЬ

Для определения искомых величин в узловых точках получим

Ч^ VV

f

1 0 - 1 2 - 2 G(p 0 -1 -2 4 О -0,5 -1 V

oTVO

v^y

Глава 24 ЛИНЕЙНОЕ И ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 24.1. Решение системы линейных неравенств 1°. Пусть дана система линейных неравенств с двумя пере­ менными Xj и х^: ajjXj-f а,2Х2+6, >0; a2iXjH-a22X2 +&2 ^ 0 ;

(1) ^.Л+^.2^2+^п до­ будем рассматривать переменные х^ и х^ как координаты точки плоскости. Совокупность точек плоскости, координаты которых удовлетворяют системе (1), называется областью ре­ шений системы неравенств. Решением одного неравенства, например, первого, является полуплоскость. Для того, чтобы узнать, какая из двух полуплос­ костей является решением, неравенство следует привести к виду Х2 > kxj-^b или Х2 < kxj+b. Если выполняется первое неравенство.

110

г пава 24

ТО искомая полуплоскость лежит выше прямой a^pc-^a^^2'^^i~^^ если второе, то ниже этой прямой. Если а^2 ~ О, то неравенство приводится к виду Xj>b или Xj< Ьи полуплоскость лежит справа или слева от прямой Xj = b. Полуплоскость, которая является решением данного неравенства, можно определить и другим спо­ собом. А именно, достаточно подставить в неравенство коор­ динаты одной какой-либо точки, не лежаш;ей на граничной пря­ мой. Если неравенство удовлетворяется, то полуплоскость, в которой лежит данная точка, является искомой, а если не удов­ летворяется, то искомая полуплоскость противоположная. Область решений системы неравенств (1) представляет пе­ ресечение конечного числа полуплоскостей, образующих выпук­ лую многоугольную область S. Область решений может быть ог­ раниченной, неограниченной и даже пустой. В последнем случае система неравенств (1) противоречива. Если неравенства, входяпдие в систему (1), не имеют с областью S общих точек, то их можно исключить как лишние. Если неравенство представлено прямой, имеющей одну общую точку с областью S, причем, вся область лежит по одну сторону от этой прямой, то такая точка, а соответственно, и прямая, называется опорной^ а решение в этой точке - опорным решением. 2°. Область решения Fсистемы линейных неравенств с тре­ мя переменными

a^^x^+a^j^^

+^23-^3 + ^ 2 - ^ ' *

(2)

геометрически представляет пересечение полупространств, на которые разбивается все пространство соответствующими плос­ костями.

ПИНЕЙНОЕ и аИНАМИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

111

1.1. Найти полуплоскость, определяемую неравенством а) Зх^ + 4x2 - 12 > 0; Зх^ - Зх^ > 0. Решение, а) Заменяя знак неравенства на знак равенства, запишем уравнение прямой 3x^+4x^-12=0 и представим ее на рис. 24.1.

Рис. 24.1 3 Исходное неравенство приведем к виду ^2 > —Xj + 3, отку­ да следует, что искомая полуплоскость расположена выше пря­ мой Зх^ + Ах2 - 1 2 = 0. б) Уравнение прямой (рис. 24.2) примет вид Зху - Зх^ = 0.

Рис. 24.2 Из решения неравенства относительно переменной х^ на­ ходим Х2 < — X,. Следовательно, искомая полуплоскость распо­ ложена ниже прямой Зху - Зх^ = 0.

112

Гпава 24

1.2. Найти область решений системы неравенств: а ) х ^ - х ^ + 1 >0; х ^ - 6 х ^ - 2 < 0; 4х^ + 5х^ - 20 < 0; б) х^ - 2х^ + 4 < 0; 2х^ - х^ - 2 > 0; 4х^ + Зх^ - 12 < 0;

в) х^ - Зх^ + 6 > 0; х^ + х^ - 4 > 0; 5х^ + 2х^ - 10 > 0; х^ > 0; г) х^ > 0; Ху - х^ + 2 > 0; 5х^ + х^ - 5 < 0; х^ - х^ - 4 > 0; д) 4х^ + 5х^ - 20 < 0; 16х^ - 5х^ > 0; х^ - 4х^ < 0; х^ > 1; 4х^ + 5х^ + 2 > 0. Решение, а) Заменяя знаки неравенств на знаки равенств, запи­ шем уравнения прямых: Ху-х^+1=0; Ху-6х2-2= 0;4ху +5x^-20=0. Построим эти прямые (рис. 24.3 ).

Рис. 24.3 Исходные равенства приведем к виду: х^ < 1 + х^; х^ > 6х^ - 2; 4 ^2 - ""T-^i """^ • Обозначим штриховкой полуплоскости, которые являются областями решений соответствующих неравенств. Об­ ластью решения системы неравенств будет треугольник, огра­ ниченный соответствующими прямыми. б) Заменяя знаки неравенств на знаки равенств, запишем уравнения прямых: Х;-2х^ + 4 = 0; 2 x ^ ^ x ^ - 2 = 0; 4x^ + 3x^-12 = 0. Построим эти прямые (рис. 24.4).

ПИНЕЙНОЕ и аИНАМИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

113

Рис, 24.4 Исходные неравенства приведем к виду: х^^ ^ —^i + 4 ; 4 ^ Х2 ^ 2ху - 2; Х2 < — Xj + 4 . Обозначим штриховкой полуплоскос­ ти, которые являются областями решений соответствующих не­ равенств. Из рассмотрения рис. 24.4 видно, что общих точек для всех трех полуплоскостей нет. Следовательно, область решений пустая и исходная система неравенств несовместна. в) Заменяя знаки неравенств на знаки равенств, строим пря­ мые: Xj - 3x2 + 6 = 0; Xj + Х2 - 4 = 0; 5xj + 2x^ - 1 0 = 0; X2 =0(рис. 24.5 ).

-ъ

i

\

^..rf^^^^^^^^

^^^<^^^ \

о

^^^^//У/////У//////^ ^

-V,

Рис, 24,5 Неравенства запишем в виде: ^2 < - ^ + 2 ; д:^ > -Ху + 4; 5 ^2 > —JC, + 5; л:^ > 0. Обозначая штриховку, из рис. 24.5 видно.

Гпава 24

114

ЧТО областью решения системы неравенств является неограни­ ченная фигура. г) Приведем исходные равенства к виду: х^ > 0; х^< Ху + 2; х^ < -5ху + 5; х^ < Ху - 4 и построим область решений каждого неравенства (рис. 24.6).

Рис. 24.6 Из рассмотрения рисунка видно, что не существует ни одной точки, координаты которой удовлетворяли бы всем неравенствам. Следовательно, данная система неравенств не имеет решений. д) Приведем исходные равенства к виду: 4

16

X. < — х + 4 2

5

1

1

X. < — X , ; , 2

5

м

4

2

X. > — X , ; X, > 1 ; X. > — х 2

4

Р

1

>

2

5 ^ 5

и построим область решения каждого неравенства (рис. 24.7).

Рис. 24.7

ПИНЕИНОЕ И аИНАМИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

115

Из рассмотренного рисунка видно, что исходным неравен­ ствам соответствует множество точек плоскости, образующих треугольник ABC, Неравенства 4ху+ Зх^^ 2> О и \Ьх^ - 5х^ > О могут быть исключены, так как первое определяет граничную прямую, не имеющую с треугольником ABC общих точек, а второе имеет одну общую точку с треугольником, т. е. являет­ ся опорным. 1.3. Найти область решений системы неравенств: а)х^ >0;х^<1; х^ >0; х^ ч-х^ + х ^ - З <0; б)х^+x^ +;Сз-6<0; Ъх^ + 2х^ - 12 < 0; Зх^ + х^ - 6 > 0; х^ > О, х^ > 0. Решение, а) Заменяя знаки неравенств на знаки равенств, строим систему плоскостей (рис. 24.8 ).

Рис. 24.8 Учитывая знаки неравенств, пересечение полупространств, а следовательно, область решений исходной системы представляет множество точек, заключенных в усеченном тетраэдре (рис. 24.8 ). б) Заменяя знаки неравенств на знаки равенств, строим сис­ тему плоскостей (рис. 24.9). Учитывая знаки неравенств, пересечение полупространств представляет цилиндрическое тело с треугольным основанием, ограниченное сверху плоскостью х^ + х^ + х^ = 6. Область реше­ ний исходной системы неравенств представляет множество то­ чек, заключенных внутри показанного на рис. 24.9 тела.

Гпава 24

116

Рис. 24,9

24.2. Основная задача линейного программирования и геометрическая реализация ее в случае двух и трех переменных 1°. Основная задача линейного программирования заклю­ чается в отыскании наибольшего или наименьшего значений ли­ нейной функции L при наличии линейных ограничений (линей­ ных равенств или неравенств). Постановка задачи. Пусть имеется ряд переменных Ху, х^, ... , х^.Требуется найти такие неотрицательные значения этих переменных, которые удовлетворяли бы совместной системе т линейных неравенств с п переменными

(1) t

Ап1 1

т2 2

а линейная (целевая функция)

тп п

т'

ПИНЕЙНОЕ И аИНАМИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

L = CjXj+c^x^-^ ... + с^х^

117

(2)

принимала бы наибольшее (наименьшее) значение. Совокупность значений переменных, при которых достига­ ется наибольшее или наименьшее значение функции L, опреде­ ляет оптимальный план (2). Любая же другая совокупность пе­ ременных Ху > О, х^ > О,..., х^>0, удовлетворяющая системе (1), называется допустимым решением, 2°. Рассмотрим решение основной задачи линейного про­ граммирования геометрическим методом. Пусть дано ajjXj

+ aj^x,

<

bj;

Требуется среди множества точек из области решений со­ вместной системы неравенств найти такие, координаты которых придают целевой функции наибольшее (наименьшее) значение. Функция L принимает во всех точках прямой CjXj + с-^2 ~ а, перпендикулярной вектору 0(0^X2)-, выходящему из начала координат, одно и то же значение а, где а — некоторый пара­ метр. Присваивая а ряд значений, получим семейство параллель­ ных прямых, называемых линиями уровня функции L. Если пря­ мую CjXj + с>рс2 = а перемещать параллельно самой себе в поло­ жительном направлении вектора с , то линейная функция L бу­ дет возрастать, если перемещать в противоположном направле­ нии, то L будет убывать. Пересечение области решений с линией уровня присваивает линейной функции L некоторое фиксирован­ ное значение. При движении линии уровня в положительном на­ правлении вектора с в точке С выхода из области решений (рис. 24.10 ) функция L принимает наибольшее значение среди мно­ жества значений L, принимаемых на многоугольнике решений.

гпава 24

118

При движении в обратном направлении в точке А функция L при­ нимает наименьшее значение. Если линия уровня совпадает со стороной многоугольника, то имеется множество точек, в кото­ рых функция L принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Рис. 24.10 3°. В случае трех переменных линейная функция L = с J Xj-^C2 х^+ с^ Xj принимает постоянное значение на плоскости, перпендикулярной вектору с(с^,с^,с^), Наибольшее и наимень­ шее значения целевая функция L принимает в точках выхода и входа плоскости СуХу+С2Х^+ CjX^ -а при движении в положи­ тельном направлении вектора с в многогранник решений, опре­ деляемый системой неравенств

^m7^7+^m2^2+^mi^i^*m^

Если плоскость уровня совпадает с гранью или ребром мно­ гогранника, то имеется множество точек, в которых целевая функция L принимает наибольшее (наименьшее) значение. 4°. Рассмотрим случай, когда число неизвестных п на два больше числа уравнений m,T.Q.n-m = 2. Пусть это будут Xj и

ПИНЕЙНОЕ

И аИНАМИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛЛ^

х^. Поскольку Xj, Х2 можно придавать произвольные значения, то они называются свободными переменными. Остальные т пе­ ременных, которые могут быть выражены через свободные, на­ зываются базисными:

Х^

41 1

42 2

РА*

х,=а^Л+а^,х,+р^. По осям Oxj, 0X2 будем откладывать переменные х^, х^, которые больше нуля. Остальные переменные должны быть не­ отрицательными: х^ > О, х^ > О, ... , х^ > 0. Представим хотя бы первое условие геометрически х^ = а^^х^+а^2^2'^ Рз-^ • Приравниваем его нулю «31X1 +0^32-^2 "^ А ~ ^ • Это уравнение прямой х^ = О . Аналогич­ ным образом строятся остальные прямые х^ = О , ... , х^ = О . Часть плоскости ОхуХ^, принадлежащая одновременно всем по­ луплоскостям, образует область допустимых решений. Выразим теперь функцию L = СуХ^+с^х^^ ... + с^х^ через свободные переменные, тогда L = /о + 7i^i + 72-^2 ? ^Д^ 7о — ^^^' бодный член. Введем функцию L' = L-yQ. Очевидно, что L' и L имеют один и тот же экстремум, отличающийся на постоянное число 7о • Пусть /jXj + 72^2 ~ а -уравнение прямой. Возьмем век­ тор с(у^. 72 Л перпендикулярный прямой а, и будем перемещать прямую параллельно самой себе в направлении вектора с . При входе в область допустимых решений а, а следовательно и L , принимает min значение, при выходе max. 5°. Если А2 - m = 3, то число свободных переменных равно 3, остальные т переменных — базисные. Задача решается анало­ гичным образом, только в пространстве.

Гпава 24

120

6°. Отметим некоторые общие свойства решений ОЗЛП. 1. Решение ОЗЛП, если оно существует, не может лежать внутри области допустимых решений, а только на ее границе. 2. Решение может быть и не единственным. Так, если прямая уровня совпадает со стороной, то решений бесчисленное множество. 3. ОЗЛП может не иметь решений, даже когда существует ОДР. Это бывает, когда ОДР неограничена. 4. Для того, чтобы найти оптимальное решение, достаточно перебрать все вершины ОДР и выбрать из них ту, где функция L достигает максимума. 5. Решением всегда является одна из вершин многоугольни­ ка. Решение, лежащее в одной из вершин, называется опорным, а сама вершина — опорной точкой, 2.1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции L = Xy+2jc^ при ограничениях Xj - Зх^ < 0; 6xj + х^ - 12 > 0; Xj + 5 x ^ - 2 5 < 0. Решение. Обозначим штриховкой полуплоскости, которые являются областями решений соответствующих неравенств. Областью решения системы неравенств будет треугольник ABC (рис. 24. И ) . л% к

Рис. 24.11 Построим вектор с=(\;2) ипроведем линию уровняХу+2л-^= О через точку О (0,0). Будем теперь перемещать линию уровня па­ раллельно самой себе в положительном направлении вектора с •

ПИНЕИНОЕ и аИНАМИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

121

Опорная прямая проходит через точку А(—;—) — это первая точка пересечения треугольника решений с линией уровня. В точ­ ке А целевая функция L будет иметь наименьшее значение _36 2 — - — Опорная прямая при выходе из треугольника решений бу0/75 25. ^ дет проходить через точку В(—;—), следовательно в точке В о

о

целевая L принимает наибольшее значение ^75 функция 50 125 8 • 2.2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции L= = ?>Xj-^2x2 при ограничениях х^ + 1 > 0; л:^ - х^ - 1 < 0; ^Xj - Ах^ + 12 > 0; х^ + 2х^- 8 < 0. Решение. Обозначив штриховкой полуплоскости, которые являются областями решений соответствующих неравенств, на­ ходим, что областью решения системы неравенств является че­ тырехугольник ABCD (рис. 24.12).

Рис. 24.12 Строим вектор с-(Ъ;2) и проводим линию уровня 3xj-^2x2 = О через начало координат. Поскольку нас интере­ суют только положительные решения, то область допусти-

122

Гпава 24

МЫХ решений ограничена неравенствами х^ > О, х^ > О и наименьшее значение целевой функции будет в точке О (0,0) L . = 3 0 + 2 0 = 0. mm

^

^ ' '^ ^

^ •

Перемещая линию уровня параллельно самой себе в поло­ жительном направлении вектора с , нетрудно заметить, что точ­ кой выхода из области будет точка В. Из совместного решения уравнений Xj-X2= 1; х^ + 2х^ =8, координаты точки В будут ЛО 7 . (—,'—). Таким образом, наибольшее значение целевой функции о 10 ^ 7 44 PaBH0L_=3 — + 2 . - = у . 2.3. Найти минимальное и максимальное значение функции L = Зху - х^ при ограничениях Xj > 0; х^ > 0; Xj - х^ + 2 > 0; Xj - 2 x ^ - 2 <0. Решение. Построим допустимую область решений системы неравенств, вектор с =(3,-1) и через начало координат прове­ дем линию уровня Зх^ - х^= О (рис. 24.13 ) Будем теперь перемещать линию уровня параллельно самой себе в направлении, противоположном вектору с • Точкой вы­ хода линии уровня из области допустимых решений будет точка М с координатами (О, 2). Таким образом, целевая функция L примет минимальное значение в точке М, равное Г =3-0-2 = -2.

Рис. 24.13

ПИНЕЙНОЕ И аИНАМИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

123

Перемещая линию уровня в положительном направлении вектора с , нетрудно заметить, что она будет иметь непустое пе­ ресечение с допустимой областью решений, как долго бы мы ее ни перемещали. Следовательно, целевая функция L на допусти­ мой области решений сверху не ограничена и может иметь сколь угодно большое наперед заданное значение, т. е. максимума дан­ ной функции не существует. 2.4. Найти минимальное и максимальное значение функции L = л:у4- х^ + 2х^ при ограничениях Xj > 0; х^ - х^ > 0; х^- 1 > 0; х^ - 3 < 0; Xj + 2х^ < 3; jc^ > 0. Решение. Допустимая область решения системы неравенств представляет призматическое тело (рис. 24.14 ).

Рис. 24J4 Построим вектор с =(1,1,2) и проведем перпендикулярно ему, мысленно, через начало координат плоскость уровня Xj+ Х2 + 2xj = 0. При перемещении плоскости уровня в направ­ лении, обратном вектору с точка F будет точкой выхода плос­ кости из области решений. Следовательно, целевая функция L в точке F(0,1,0) принимает наименьшее значение При перемещении плоскости уровня в положительном на­ правлении вектора с , нетрудно заметить, что плоскость уровня

124

Гпава 24

выйдет из многогранника решений ABCDEFB точках ребра CD, Таким образом, на множестве точек ребра CD целевая функция L принимает наиболынее значение. Чтобы убедиться в этом, под­ ставим координаты точек С (3,3,0) и £) О, 3,— в целевую фун2 3 кцию. Тогда получим L = 3 + 3 + 0 = 6 и L = 0 + 3H-2 —= 6. 2

24.3. Симплекс - метод 1°. Пусть в задаче линейного программирования имеется п переменных и т независимых уравнений. Требуется найти min функции L. Оптимальное решение, если оно существует, дости­ гается в одной из опорных точек, где по крайней мере к-п-т переменных равны нулю. Выберем первые k переменных в качестве свободных и выразим через них остальные т — ба­ зисных:

^k+2 ^^k+2.{^\ '^^к+г.Л

'^••''^^k-\-2.k'^k '^ Pk+2*'

(1) Пусть все свободные переменные равны нулю Xj = 0; ^2 =" О' ••' Ч = о, тогда х,^, =13,,,, ^k^2=Pk^2> ->К =Рп' Реше­ ние может быть допустимым или недопустимым. Решение до­ пустимо, если все J3y5.^.p р,^,2>"-* ^п—неотрицательны. В этом случае имеет место опорное решение. Чтобы проверить, явля­ ется ли оно оптимальным, выразим функцию L через свобод­ ные переменные

ПИНЕЙНОЕ И аИНАМИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

125

Очевидно, что при х^ = х^ = ...= х^ = О функция L = /о • Если все 7р 72' •••' Ук положительны, то уменьшить L мы не мо­ жем, т.к. Ху, х^ и т. д. > О . То есть решение оптимальное. Если есть 7 < О, т. е. отрицательное, то увеличивая х. мы уменьшаем функцию L . Пусть, например, 7, отрицате­ лен, тогда имеет смысл увеличивать х^. Однако, увеличивать Ху следует осторожно, так, чтобы не стали другие перемен­ ные х^^^ , х^^2 ' ••• 9 ^w отрицательными в формулах (I). Это возможно, если коэффициенты при х^ отрицательны. Если ко­ эффициенты при Xj положительны, то увеличивая Xj функция L не ограничена снизу и оптимального решения не существует. Пусть при Xj коэффициент отрицателен и в /-ом уравнении Ху может стать отрицательным

Здесь Д > О. Если х^ = О, ... , х^ = О, то увеличивать Ху мы можем до величины

б.

, иначе х, будет отрицательна.

В этом случае опорное решение примет вид х^ = х^ = ...= х^, - X. = 0; х^^О Базисные переменные будут •^У ' -^k+J ' ^к+2 ' ••• '-^/-7 '^/+7 ' -^п

Выражаем через новые свободные переменные базисные и функцию L , приравниваем свободные переменные нулю и ищем значение L . Если все коэффициенты при переменных положительны, то нашли оптимум. Если нет, то процедура по­ вторяется. 2°. Аналогично находится максимум функции L . Примем k переменных за свободные и выразим оставшиеся перемен­ ные через них (1). Функция L примет вид (2). Пусть хотя бы

126

Г пава 24

ОДИН коэффициент у^ при переменной х. положительный. Тогда увеличение л:, ведет к увеличению L и следует только следить за тем, чтобы х^^^, ..., х^ не были отрицательны. 3°. Если ограничительные условия заданы неравенства­ ми, то их следует преобразовать в равенства путем введения новых неотрицательных переменных. Например, в неравен­ стве ДуХу + а2X2 + ... + а^х^ < b достаточно добавить к левой части некоторую величину х^^^ > О и мы получим равенство flyXy + й ^ ^ + . . . + а ^ х ^ + х ^ ^ У

=Ь.

Если исходное неравенство имеет знак > Z?, то от левой ча­ сти следует отнять некоторую величину x^^j > 0. Ограничительные условия могут задаваться и смешанным образом, т. е. неравенствами и уравнениями, тогда указанным способом неравенства следует свести к уравнениям. 3.1. Найти максимум функции L = -х^+ х^ при ограничениЯХ X I ' X J

Z,X с

1,

X у

Z,X J * X г

^,

Хт"

DX

J "i X с

J.

Решение. При х^ = х^= О, L- О — опорное решение. По­ скольку коэффициент в L при х^ положителен, то увеличиваем х^ . Из второго уравнения следует, что увеличивать х^ можно только до 2, а из третьего следует, что только до 3. Следова­ тельно, за разрешающее уравнение принимает второе. Разре­ шаем его относительно х^ и подставляем в первое, третье и фун­ кцию L. Тогда получим л с ~~ ^~ л -у 1^ ^ ^ > ' Х>,

л о ~'~ л "У ^ л > "^ 1 ,

При х^ = х^= 0; L = 2 , Т. е. ближе к максимуму. Поскольку в L при переменной х^ коэффициент положительный, то увели­ чиваем переменную х^.

ПИНЕЙНОЕ и аИНАМИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

127

1

Из последнего уравнения увеличение х^ возможно до -г. Под­ ставляя х^ в оставшиеся выражения, будем иметь ' 5 ' 5 ' 5 __3 _2 У2^ ' 5 ' 5 ' 5

'

5 ' 5 ' 5 / _il_i -1 5 5 ' 5 '

Поскольку переменные х^ и Хз обе отрицательны, то наи­ большее значение L достигается при Х2=Хз=0 и равно L

=^.

"""

5

24*4* Табличный алгоритм отыскания оптимального решения 1°. Пусть равенства-ограничители имеют вид

(1)

«™1^1+«т2^2+- + аш,Л =*m• Bвeдeм базисные переменные У1,У2,-;Ут ПО числу уравне­ ний В системе (1) г / 2 = ^ 2 - ( ' « 2 1 ^ 1 + « 2 2 ^ 2 + - + «2«^«Л"

(2) i/m =&m - r « m l ^ l + « m 2 ^ 2 + - + « m ^ ^ J -

Линейную функцию представим в виде Представим выражения (2), (3) в виде таблицы

128

Глава 24

Базисные Свободные переменные члены

X,

Хг

«И

«12

...

«,«

...

«2«

У^

6,

Уг

«21

0^22

1

Ьг \

\

j

Ут

Ьт

«ml

«.2

L

Го

Г,

72

Хп

\ ...

«mn

г„

...

2°. Перевод базисной переменной у. в разряд свободной х. переменной Ху f^ ^/. сводится к преобразованию коэффициентов в таблице по схеме: 1. В таблице выделяется разрешающий элемент a-j и его величина меняется на обратную Я = l/a^j. 2. Элементы разрешающей строки умножаются на Я. 3. Элементы разрешающего столбца умножаются на Я и берутся со знаком минус. 4. К остальным элементам прибавляется произведение эле­ ментов на старой разрешающей строке на элементы в новом разрешающем столбце. 5. Таблица переписывается, заменяя Xj <г^ у.. Процедура перевода базисной переменной у2 в разряд х^ переменной ^2 <-^ ^/2, где за разрешающий элемент принят «22» показана в таблице

ь.

X,

Уг

г.

^.-г^з

X,

А.

«21

__L.

«22

«22

«22

Ут

К-^ь^

...

«1.

\

«22

«22

\

* «ml

...

«m2«2l

«т2

«22

«22

^п гу ^\П

«12«2п «22

...

«2п

:

:

...

«22

^^тп

«22

ПИНЕЙНОЕ и аИНАМИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

1 ^

3°. В каждой вершине ОДР ( в опорной вершине) п пере­ менных обрапдаются в ноль, т. е. jc^ = х^ = ...= х^ = О . Тогда Если среди /?. нет отрицательных величин, то это опорное решение. Если есть, то решение недопустимо и надо шаг за ша­ гом искать опорное решение или доказать, что решение не суще­ ствует, т. е. система уравнений ограничений несовместна с нера­ венствами х^,..., х^ > о, j ^ ; > О ,..., у^^ > 0. Пусть одно из уравнений с отрицательным свободным чле­ ном. Ищем в этой строке отрицательный элемент Цу. Если тако­ вого нет — это значит, что система уравнений несовместна с не­ равенствами. Действительно, если отрицательных элементов нет, то левая часть отрицательна всегда. Пусть отрицательный эле­ мент есть, тогда в качестве разрешающего столбца выбираем столбец с этим элементом. Далее рассмотрим все элементы столбца, имеющие оди­ наковый знак со свободным членом. В качестве разрешаю­ щего примем элемент, у которого наименьшее отношение со свободным членом и воспользуемся алгоритмом преобразо­ вания коэффициентов. Если в столбце из свободных членов остались отрицательные, то процесс преобразования следу­ ет повторить. Отыскание оптимального решения, которое обращает в минимум линейную функцию L, рассмотрим на примере. 4.1. Найти опорное решение безотносительно к виду линей­ ной функции. yj^\ -i-Xj-lx^-^x^)) y2 = -5-{-2xj-^ X2-Xj); y^=2-(xj + X2); y^ = l-(-X2 + x^); Решение. Составим таблицу

130

гпава 24

X/

*,

У1

1

-1

У1

1

3 -5

-1

У2

2

2

Уз У*

-^2

1

-2

2

-2

-1

1

©,

1

0

-1

0

1

^i

3

1 -1

-1 0

0

1 -1

1

1

1

Отрицательный свободный член - 5 . Отрицательные чле­ ны в 1-м и 3-м столбце. Выбираем любой столбец, пусть с чле­ ном-2, т. е. 1-й . Одинаковые знаки со свободным членом во 2-й и 3-й строке. Находим отношение: -5/-1 =2,5 и 2/1=2. Сле­ довательно, разрешающий элемент 1 и замена х^<г^ у^. Разре­ шающий элемент обведем кружком Я = 1 • Новые табличные ко­ эффициенты вычисляем по алгоритму (2°.) и записываем в ниж­ нем левом углу. Заполняем новую таблицу

ь.

л

У1

1

3 У1

-1 У2

^/

2 1

У4

1 2 0

-1 3

2 2

Xj

•^2

-2

3

1 2

1

-3

©-,

1

1 1

0 1 1

-1

0 2

2

0 1

Отрицательные члены уже меньше. Повторяем вычисления. Отрицательным является последний элемент во второй строке. Одинаковые знаки со свободными членами в первой и четвер­ той строке. Строка с нулевым членом не учитывается. Для вы­ бора строки составляем отношение 3/1= 3; -1/-1= 1; 1/1 = 1. Возьмем замену х^<г^ у^, тогда Я = -1 и находим новые коэффициенты. Таблица будет

ПИНЕЙНОЕ и аИНАМИЧЕСКОЕ

131

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

^2

-^j

2

Уз 3

+2

1

^5

1

-2

3

-1

""l

2

1

1

0

У4

0

+2

+2

1

Уг

bi

У1

Все свободные члены неотрицательны yj-2\x^l;Xj = 2; У4 ~ 0; j^3 = 0; Х2 = 0; j;^ = 0. Это и будет опорное решение. 4.2. Даны ограничения: j^j = 2 - (xj + ^2 - 2x3); Уг^

1 -(A:I-X2

+^з);

;;з = 5-(х2+хз); ;;4 = 2-(2xi-X2). Найти минимум функции L = О - (- Xj + 2л'2 + .^з). Решение. Опорное решение существует, но оно не оптималь­ ное, т.к. при увеличении х^, х^ функция L убывает. Запишем ре­ шение в виде таблицы

ь.

X,

^2

X,

L

0-1

-'-2

2 3

' -1

Ух

2 4

1 3

' -1

Уг

1 1

'

1

-1 -1

©.

Уъ

'

«-I

' 2

' -1

У4

2 2

2 2

-^1

« 0

4

-ч

Возьмем ^3 разрешающим столбцом. Одинаковые знаки со свободными членами в строках у2, у^ Отношение в строке у2 — 1/1 = 1; 3^3 — 5/1=5, следовательно, разрешающий элемент в строке >'2 и Я= 1/1 = 1. Находим остальные коэффициенты и запишем другую таблицу

Гпава 24

132 X,

6, -2

-1

L

3 I 2

-7

Ух

'

6

X,

1

3

Уз

4

2

У4

2

4

^^

^

3

-1

5

1

-1

3 2

1

1

-1

1

3

2

2

2

3

2

1

1

2

2

2

2

-1

1

.

2

1

-1

3 2

-1

2

0

1

2

, 2

2

В верхней строке есть положительный коэффициент Х2. В этом столбце единственное положительное отношение с элемен­ том строки у^. Выбираем разрешающий элемент, находим Я = - , вычисляем остальные коэффициенты и получим таблицу X,

6, L

-7

1

-9

2

4

Y

5

Ух

'

Уз

Хз

^

1

^

2

4

УА

^ 6

4 3

5 3

1 2

_ i 3

1

-2

i 3 3 2

7 3

3 - 2

1 2 1 2 1 2

1 ^

_5 3

i 3 i 3 2 3

Уг 1 2

_ i 3

©} 1 2

_i 3

1 "2

i 3

1 2 3

-т

1 3

Так как у^ положительно, то находим отношения 6 / — = 4, 1 3 2 ^ 3 / — = 6 и разрешающий элемент —. Находим Я = - и запишем таблицу

ПИНЕИНОЕ и аИНАМИЧЕСКОЕ

133

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

6,

X,

L

-9

4 3

Уг

4

h

1

Ч

4

1 3

2 3

1 3

УА

6

7 3

2 3

1 3

5 3 1 3

Уз

У1

5 3

~3

1 3

2 3

1 3

1 3

Поскольку все члены отрицательны, то функция L имеет min L = - 9 при х^=у^=у^=0. Таким образом: 1) Если в строке L нет положительных элементов помимо свободного члена, а в столбце нет отрицательных членов поми­ мо L, то оптимальное решение достигнуто. 2) Если в строке L есть положительный элемент, а в столб­ це нет ни одного положительного, то линейная функция не огра­ ничена снизу и оптимального решения не существует.

24.5. Транспортная задача V. Пусть имеется т пунктов отправления А-,..., А^, в кото­ рых сосредоточены запасы однородного груза в количестве со­ ответственно flfj, ..., <^jn единиц. Кроме того, имеется п пунктов назначения 5 р ..., В^, подавших заявки соответственно на Ь^, bj^ ...,fej^единиц. Предполагается, что сумма всех заявок равна сумме всех запасов. (1) /=1

/=1

Известна стоимость с.^ перевозки единицы товара от каж­ дого пункта отправления А-^ до каждого пункта назначения В (задана матрицей)

Гпава 24

134

'12

'\п

'21

'22

'2л

'ml

'ml

Требуется составить такой план перевозки, при котором все заявки были бы выполнены, а стоимость была бы минимальна. Поскольку критерием эффективности является стоимость, то та­ кая задача называется транспортной задачей по критерию сто­ имости. Обозначим за х^^ — количество груза, отправляемого из /-ГО пункта Л. ву-й пункт В {г = 1, ..., т\] = 1, ..., п). х..^ — не­ отрицательные переменные т х п должны удовлетворять ус­ ловиям: 1. Суммарное количество груза, направляемое из каждого пункта отправления во все пункты назначения, должно равнять­ ся запасу груза на данном пункте. Это дает нам т условий ра­ венств: /=1

/=1

/=1

(2)

2. Суммарное количество груза, доставляемое в каждый пункт назначения изо всех пунктов отправления, должно быть равно заявке, поданной данным пунктом. Это дает п условий-равенств т.

т

т

/=1

i=\

i=]

3. Суммарная стоимость всех перевозок, т. е. сумма вели­ чин Х-J, умноженная на соответствующие стоимости c^j, должна бьггь минимальна mm. /=1 /=1

ПИНЕЙНОЕ И аИНАМИЧЕСКОЕ

135

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

2°. Совокупность переменных х.^. называется допустимым планом перевозок, если удовлетворяются условия (2) и (3). План х.^. — называется оптимальным, если среди допустимых он га­ рантирует минимальную стоимость. Для решения транспортной задачи составим таблицу 5.1, где ПН — пункты назначения; ПО — пункты отправления; стоимости перевозок с-^. располо­ жены в правом верхнем углу, с тем, чтобы в самой ячейке при составлении плана помещать перевозки х-^.. Ячейки таблицы, в которых будем записывать отличные от нуля перевозки х.., бу­ дем называть базисными, остальные — свободными. Число строк т и сумма запасов в каждой строке должна быть равна запасу данного ПО. Число столбцов равно п и сум­ ма перевозок должна равняться заявке ПН. Клетку будем опре­ делять номерами /, j . Таблица 5.1 ^1

В,

к

Запасы а-^

^,

Сц

^12

Сщ

а,

А,

^21

Ч\

':2п

«2

К

Cml

Заявки 6.

h

mn

Cml

Ьг

К

'^т т

п

/=1

/=1

3°. Решение транспортной задачи разбивается на нахожде­ ние опорного плана и приближение посредством последователь­ ных итераций к оптимальному решению. Исходя из чисто физических соображений ясно, что опор­ ное решение всегда существует.

136

Гпава

24

4°. Выролсденный план перевозок. Такой план может встрегиться как при построении опорного плана, так и при его улуч­ шении. Действительно, не все т + п уравнений (2), (3) являются независимыми. Так, складывая все уравнения (2), (3), получим уравнение (1), т- е- независимых уравнений будет т + п-Х, Слецовательно, ранг системы (2), (3) и число базисных переменных будет г = m + /2 - 1 , а число свободных переменных k = mn-r = = (т-\)(п-1) . Рассмотрим пример 5.2, когда число базисных переменных меньше г. 5°. Улучшение плана перевозок. Возьмем транспортную таб­ лицу из m = 5 строк и п = 6 столбцов. Циклом в транспортной таблице мы будет называть несколько клеток, соединенных зам­ кнутой ломаной линией, которая в каждой клетке делает пово­ рот на 90°. В таблице 5.2 показан цикл с вершинами (1,1), (1,3),(3,3), (3,1) и цикл Cj^, Cj^, С^^, С^^, С^^, С^^, С^^, С^^ . Стрелками показано направление обхода. Знаком «+» обозна­ чим те вершины, в которых перевозки увеличиваются, а «~» — в которых перевозки уменьшаются. Таблица 5,2

А,

Bi

^2

Си

С,2

f ^2

Bs ^ ^ -

С

с,,

^23

^3

с„| 1

^4

с^,

С42

С43

As

Csj

С52

Сзз

h

ь,

Ь2

Ьз 1

'С„

1

^4

Вз

Си

С,5

i Тс

^24 i 1

1

С25 ^

Cs4

Сл

С44

Q

\С54

К

Вб

«,•

С,б и^!

«/

r~cJ

«2

1 "^ <^^бТ1 "" Сзб\

1

С55\

Сзв

Ьз

Ьб

«5

ПИНЕИНОЕ И аИНАМИЧЕСКОЕ

137

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

При переносе любого числа единиц по циклу равновесие между заявками и запасами не меняется. Ценой цикла называет­ ся увеличение стоимости перевозок при перемещении одной еди­ ницы груза по означенному циклу и цена равна алгоритмичес­ кой сумме стоимостей Cjj- Cj^ + C^Q - C^j. Очевидно, для улучшения плана перевозок перемещать груз следует только по тем циклам, цена которых отрицательна, т. е. стоимость в этих случаях уменьшится. Если циклов с отрица­ тельной ценой не осталось, то дальнейшее улучшение невозмож­ но. Знак «+» выбирается в свободной клетке. 5.1. Пусть задана транспортная таблица 5.3. Требуется най­ ти опорный план. Таблица 5.3

^1

^' ^2

As ^4

Заявки bj

^2

^3

Запасы а.

^5

^4

10

8

5

6

9

48

6

7

8

6

5

30

8

7

10

8

7

27

7

5

4

6

8

20

18

27

42

12

26

125

Решение. Воспользуемся правилом северо-западного угла, т. е. будем заполнять таблицу с левого верхнего угла. Пункт В J подал заявку на 18 единиц груза, поэтому удов­ летворим эту заявку за счет запаса 48, имеющихся в пункте ^ У , и запишем перевозку 18 в клетке (1,1). Заявку В2 в 27 единиц также удовлетворим за счет запасов пункта ^ У И запишем пере­ возку в 27 единиц в клетке (1,2); оставшиеся 3 единицы пункта А J назначим пункту В^. В заявке пункта В^ осталось не-

138

Гпава 24

удовлетворенным 39 единиц; из них 30 единиц удовлетворим за счет пункта У4^ , причем его запас будет исчерпан, а 9 возьмем из пункта У4^ . Из оставшихся 18 единиц пункта Л ^ 12 вьщелим пун­ кту В^ , а оставшиеся 6 единиц В^ , что вместе с 20 единицами пункта А^ покроет заявку пункта В^ Полученное решение (табл.5.4) является не только до­ пустимым, но и опорным. Поскольку при построении ре­ шения стоимость перевозок е.. не учитывали, то план по­ лучился не оптимальным. Стоимость плана равна сумме произведений перевозок на соответствующую стоимость 18-10+27-8+3-5+30-8+910+12-8+6-7+20-8 = 1039. Таблица 5.4

\\пн \по \^ в, ^/ ^2

^2

18 >«

11

'

6

7

8

7

7

5

Аз ^4

Заявки Ъ.

^3

18

27

^4

3

'

30 ' 9

'0 4 42

Запасы а.

^5

6

9

48

6

5

30

'

27

20 '

20

12 ' 6 12

6

26

125

Попробуем улучшить план. Для этого перенесем из клетки (1,1) 18 единиц в клетку (2,1) и, чтобы не нарушить баланс, пе­ ренесем также 18 единиц из клетки (2,3) в клетку (1,3)- Полу­ чим новый план (табл.5.5). Найдем суммарную стоимость пе­ ревозок нового плана 27-8+21-5+18-6+12-8+9-10+ + 12-8+6-7+20-8 = 913. На этом способе уменьшения стоимости в дальнейшем бу­ дет основан алгоритм оптимизации плана перевозок.

ПИНЕЙНОЕ и аИНАМИЧЕСКОЕ

139

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Таблица

\по ^ \

^1

^2

10

8 27

^1 ^2

^i

18

As

6

7

8

7

7

5

21

5

6

9

8

6

5

12 10

9

12

4

18

27

42

8 6

^4

Заявки Ъ.

Запасы а.

^5

^4

12

5.5

7

6

48 30 27

20 «

20

26

125

5.2. Дана транспортная таблица 5.6. Составить опорный план перевозок. Таблица 5.6

\по ^ \

«;

^2

^s

^4

^.

Запасы а.

А,

10

^2

30

As

25

А4

10

Заявки Ъ.

5

5

20

35

10

75

Решение. Применяя способ северо-западного угла, получим табл.5.7. Особенностью полученного плана является то, что в нем шесть, а не восемь г = т + п - 1 = 8 базисных перевозок. Это произошло из-за того, что при распределении запасов по пунк­ там назначения в некоторых случаях остатки оказывались рав­ ными нулю и в соответствующую клетку не попали.

Гпава

140

Таблица

\по ^ \

^У

^2

А,

5

5

^i

^3

5

5

Запасы а.

10

30

25

25

^4

Заявки Ь.

^5

5.7

10 20

^2

^.

24

20

35

10

10

10

75

Такие случаи «вырождения» могут иметь место не только при составлении опорного плана, но и при его оптимизации. Чтобы иметь в транспортной таблице m + п - 1 базисных клеток, добавим и отнимем в соответствующие клетки беско­ нечно малое 8, что позволит от вырожденного плана перейти к невырожденному. Для этого изменим запасы в первой и третьей строках и положим их равными 10+8 и 25+8. Чтобы «свести баланс», в четвертой строке ставим запасы 10-28 (табл. 5.8). Таблица 5.8

\\пн в, \по \ ^ А,

5

В2

Вз

5

е

20-е

Аг

^4

5

5

20

30

10+е

^4

Заявки Ъ.

Запасы а^ 10+е

25-е

^3

Bs

35

Iz

25+е

10-2е

1(>-2е

10

75

ПИНЕИНОЕ И аИНАМИЧЕСКОЕ

141

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Строя опорный план способом северо-западного угла, не­ трудно заметить, что в табл. 5.8 содержится уже базисных пере­ менных столько, сколько нужно m + « - 1 = 8. После нахождения оптимального решения £ следует положить равным нулю. 5.3. Дана транспортная таблица 5.9. Найти оптимальный план Таблица 5.9 В,

1Ю\ ^'

^2

10

1

5 8

«,

^4

^3

6

8

6

5

4

7

6

7

^2

As 22

h

34

41

31 48 38 117

20

Решение. Составим опорный план способом северо­ западного угла (табл.5.10). Стоимость этого плана равна Lj = 2210+9-7+25-6+23-5+18-6+20-7=796. Таблица 5.10 ^;

^2

10 ^1

22

1

8

6

9 5

6 25

^2

8 22

5 23 , i

7

^3

Li_

«/

^4

^3

34

6

1+

18 -1-

'г 2С»

41

20

4 7

31 48 38 117

Попробуем улучшить план, заняв свободную клетку (2,4) с минимальной стоимостью 4. Цикл, соответствз^ощий этой клетке, показан в табл.5.10. Цена этого цикла равна у=4- 7+6 - 5 = - 2.

142

Гпава 24

По этому циклу можно переместить только 20 единиц гру­ за, иначе в клетке (3,4) может быть отрицательная перевозка. Новый, улучшенный план показан в табл.5.11. Стоимость этого плана L^ = 22-10+9-7+25-6+3-5+20-4+38-6 = 756 . Таблица 5.11 В,

Bt 10 22,

А,

5

^2

-1

+ 9 ' '25 —

8

Аз

[Л

Bs 7

6

31

4

48

20

3 38

34

« , •

8

5

6 7

22

^4

7

'

41

38

20

117

Для дальнейшего улучшения плана рассмотрим свобод­ ную клетку (2.1) со стоимостью 5. Поставим знак «+» в этой клетке и покажем в табл.5.11 новый цикл. Цена цикла бу­ дет у -1- 6+5 -10 = - 4. Переместим по циклу 22 единицы груза, тогда стоимость перевозок с о к р а т и т с я до L^ = 31-6+22-5+3-6+3-6+20-4+38-6 = 668 (табл.5.12). Таблица 5.12

\пн

^; 10

^1

7

8

6

31 5

^2

«/

^4

^3

^2

22 8

^-^ J

20

3 6

7

^3

4

5

6 3

7

38 22

34

41

20

31 48 38 117

Больше отрицательных циклов нет, следовательно, переста­ новки не могут улучшить плана.

ПИНЕЙНОЕ и аИНАМИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

143

24.6. Задачи динамического программирования 1°. Основные определения. Процедура оптимизации опера­ ций, развивающихся во времени, составляет суть решения задач динамического программирования (планирования). Задачи ди­ намического программирования (управления), при которых по­ казатели эффективности обращаются в максимум, решаются многошаговым (поэтапным) методом с учетом его будущих по­ следствий на еще предстоящих шагах. Процесс оптимизации управления методом динамического программирования «проходится» дважды. Сначала многошаго­ вый процесс динамического программирования проходится от конца к началу, в результате чего находятся условные оптималь­ ные управления на каждом шаге. Затем, зная условные оптималь­ ные шаговые управления, находятся оптимальные шаговые уп­ равления от начала до конца, приводящие к максимально воз­ можному выигрышу. 2°. Общая постановка задачи. Пусть имеется некоторая физическая система 5, которая с течением времени меняет свое состояние. Если мы можем управлять этим процессом, то систе­ ма S и^зывз^стся управляемой системой, а способ нашего воздей­ ствия—управлением U. Под t/понимается целая совокупность величин, функций. Процесс управления системой связан с выигрышем W, т. е. выигрыш зависит от управления W = W(U). Очевидно, нас интересует такое управление, при котором выигрыш максимален

w„^=^^{w{u)}. Обычно в таких системах должны быть учтены условия, накладываемые на начальное состояние системы SQ И конечное

144

Гпава 24

состояние S^. Тот факт, что начальное состояние системы S^ входит в область SQ , записывается в виде S^^ S^ , аналогично для конечного состояния системы S^e S^ . Таким образом, общая задача оптимального управления формулируется так: Из множества возможных управлений С/найти такое опти­ мальное управление, которое переводит физическую систему 5 из начального состояния S^^S^ в конечное состояние S^ € S^ так, чтобы при этом выигрыш был максимальным. 3°. Рассмотрим алгоритм решения задач динамического программирования. 1. Выбрать параметры, характеризующие состояние систе­ мы, фазовое пространство и способ членения процесса на шаги. 2. Записать выигрыш w. на / -том шаге в зависимости от состояния S системы в начале этого шага и управления U. w.(S,U-) = w-. 3. Записать для /-того шага функцию, выражающую изме­ нение состояния системы от S к S' под влиянием управления f/. 4. Записать основное функциональное уравнение W,(S) = m^{w,(S,U,)

+

WU(p,(S,UJ)}.

При котором в соответствии с принципом оптимальности надо выбрать такое управление U., чтобы выигрыш достигал макси­ мума. 5. Найти функцию ^гп(^) — оптимальный выигрыш на последнем шаге

WJS) =

m^{wJS,Uj}

И соответствующее условное оптимальное управление на после­ днем шаге U^(S),

ПИНЕЙНОЕ и аИНАМИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

145

6. Зная W^(S)^^ пользуясь основным функциональным уравнением, находим последовательно И соответствующие им управления

^a^i ^u^h -. u,(S), u,(S). 7. Если SQ задано, то находя по цепочке оптимальное уп­ равление, доходим до S^ 8. Если начальное состояние не задано, а лишь ограничено условием SQ 6 SQ , находим максимальный выигрыш

lF_=ma2c{tt^(S)} И далее, по цепочке, безусловные оптимальные управления. 6.1. Задача распределения ресурсов. Имеется определенное начальное количество средств К^, которое мы должны распре­ делять в течение т лет между двумя предприятиями I и II. Средства, вложенные в каждое предприятие, приносят за год определенный доход, зависящий от объема вложений. Если в I предприятие вложены средства ^ , то за год получен доход f(X), при этом вложенные средства частично уменьшаются, тратятся и к концу года их остается (р(Х) < X. Аналогично, средства Y, вложенные во второе предприя­ тие, приносят за год доход g(Y) и уменьшаются Xj/fY) < Y, По истечении года оставшиеся средства /Сд заново распре­ деляются между предприятиями I и П. Доход в производство не вкладывается, а накапливается. Требуется найти такой способ управления ресурсами, при котором суммарный доход от обоих предприятий за т лет будет максимальным. Решение. Решение будем проводить по схеме:

146

Гпава 24

1. Система в нашем случае характеризуется двумя парамет­ рами X,Y— средства для предприятий. Шаг — это хозяйствен­ ный год. в процессе управления величины X, Г меняются в зави­ симости от: а) перераспределения средств между отраслями в начале каждого года; б) уменьшения средств за год. Управлением f/. на /-том шаге будут количества средств X.,Y., вкладываемые в предприятия I, II на этом шаге. Необхо­ димо найти такое управление V = (V„U,

UJ,

при котором суммарный доход т

был бы максимальным. 2. Пусть/С — количество средств, сохранившихся после / - 1 шагов. Управление на U- на /-том шаге состоит в вьщелении X. средств I предприятию, тогда II будет иметь Y-^K-X^ и выигрыш будет w,(K,X,)=^f(XJ + g(K-X,). 3. Под влиянием этого управления система из состояния К перейдет в состояние К' К' =

(р(Х,)+цг(К-Х,).

4. Основное функциональное уравнение примет вид W,(K) = mm,{f(X,) +

g(K-X,)-vW,J(p(X,)+xif(K-X.,))]^

А,-

5. Условный оптимальный выигрыш на последнем шаге WJK)=^m2.x{f(XJ^-g(K-XJ}^ 6. Зная функцию WJK) , по (4) находим выигрыши

ПИНЕЙНОЕ и аИНАМИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

147

W^_,(K)=x^{f(X„_,)+g(K-X^_,)+W„J(p(X^_,)+xif(K-X^_,))l ^т-2

W,(K) = rmx{[(XJ

+ g(K-XJ

+ W,(cp(XJ +

iif(K-XJ)}^

И соответствующие им условные оптимальные управления x„JK),

х,_,(К),

...,

х,(К).

7. Начальное состояние KQ задано, поэтому максимальный доход будет Состояние системы после первого шага K; =

(P(XJ+\I/(K^--XJ.

Оптимальное управление на втором шаге ^2 = Х2(К{) и т. д. Состояние системы после / шагов K: = (p(xJ+xif(Kl,-x,). Оптимальное управление х- = х.(К'_^ ^ и т. д. по цепочке:

K,-^X,(KJ-^K:-^X,(K:)->...^XJK:_J-^K:. Величина К'^ — представляет количество средств, оставших­ ся после последнего шага. Совокупность средств, вложенных по годам в I предприятие будет представлять собой оптимальное управление

количество средств, вложенных во второе предприятие по годам. 6.2. Пусть даны два почтовых предприятия. Рассмотрим их деятельность за 5 лет. Заданы функции дохода

148

Гпава

t(X) = \-e-\

24

g(Y) = \-e-''

И функции траты (р(Х) = 0Л5Х, (p(Y) = 0,3Y. Требуется распределить средства в размере К^=2 между предприятиями по годам, исходя из условрхя максимального дохода. Решение. Выигрыш на /-том шаге будет

2. Поскольку K-X.=Y.,TO система под действием управ­ ления перейдет из состояния К в состояние K' =

0J5X,+0,3(K--X.).

3. Основное функциональное уравнение Ш^ГЛ:; = тах{2-(в-'''+e-'^^-^'^)4-lJ^,, (0Л5Х^^ 4. Условный оптимальный выигрыш на последнем шаге W,(K) =

m^x{w,{K,X,)}=msix[2--(e-''^+e-'^^-'''^)].

При фиксированном К это есть функция аргумента Х^, Продифференцируем по Х^ и приравняем нулю ^ = дХ,

е'-'^-2е''^'-'^^=0;

-X,=\n2''2(K-XJ;

Х,=(2К-]п2)/3.

(*)

Если К > 1п2 / 2 - 0,347, то max достигается внутри отрез­ ка (О, К) в точке Х^(К) = (2К-Ы2)/3, если же Л:<1п2/2,то max достигается в конце отрезка Х^(К) = О. Отсюда следует, что, если К > 1п2 / 2, то первому почтово­ му предприятию следует выделить долю (*), если К < 1п2 / 2, то все средства следует отдать второму предприятию, т. е.

ПИНЕЙНОЕ и аИНАМИЧЕСКОЕ

'

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

\(2К-\п2)/Ъ

149

К>\п1/2

Найдем теперь условный оптимальный выигрыш на пятом шаге

W,(K) = 2-{e-'^<'^-^e-'^'-^^<'^^}. или __

-2Л"

1-е"'"

К<\п2/1

5. Далее переходят к 4-му шагу. 6.3. Задача распределения ресурсов по неоднородным эта­ пам, В предыдущей задаче функции дохода f(X ) и g(Y) и фун­ кции траты (р(Х), y/fY) были одинаковы для всех шагов. Мо­ жет оказаться, что они меняются от шага к шагу и для /-того шага равны

(р,(Х),

WY)

(i = \,2....,m).

В этом случае стандартная схема почти не меняется и ос­ новное функциональное уравнение принимает вид W,(K) = m^x{l(X,)

+

g,(YJ+W,^,{(p,(X,)+xif,(K-X,))}.

Условие оптимизации т-го шага будет

WJK) = m^{fJXJ + gJK-XJ}, а в остальном процедура построения решения остается неизменной. 6.4. Задача о резервировании ресурсов. Пусть имеется одно предприятие и некоторый запас средств К^, который можно вкла­ дывать в производство не целиком, а частично резервировать.

150

Г пава

24

Если на /-том шаге в производство вложены средства Х^ то они дают доход li(^) и уменьшаются до (р^(Х). Требуется рационально распределить средства, имеющие­ ся и остающиеся на т шагов так, чтобы суммарный доход был максимальным. Считаем, что резервные средства вложены в какое-то II фиктивное предприятие, где они не тратятся, но и не дают доход ЯД) = 0; Wi(y) = y

(i =

\.2....,m).

В данном случае задача решается так же, как задача рас­ пределения ресурсов по неоднородным этапам. Рассмотрим частный случай резервирования средств, ког­ да (р^(Х) = О, т. е. когда средства тратятся целиком. Поставленная задача сводится к отысканию максимума функции m аргументов Хр Х2, ..., Х^,

где X. неотрицательны и удовлетворяют условию т

/=1

Простейшие задачи резервирования ресурсов допускают элементарное решение и без метода динамического программи­ рования. Например, когда функция дохода на всех этапах одна и та же

[,(Х)=[,(Х)=...=их)=!(Х), а средства расходуются полностью (p,(X) = (p,(X) = ... = (i>JX) = 0. Максимум дохода достигается тогда, когда средства рас­ пределяются между этапами равномерно: _

_

_

^ ^

Х| — ^2 — ... — Х ^ —

т

ПИНЕЙНОЕ И аИНАМИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

151

6.5. Задача распределения ресурсов мелсду тремя и бо­ лее предприятиями. Пусть ресурсы распределяются между не­ сколькими предприятиями связи I, II,..., {п), причем для каж­ дого предприятия заданы: функция дохода fl^^(X), выража­ ющая доход, приносимый средствами X, вложенными в /-м году в7-е предприятие и функция траты (р\^-(Х) < X, показы­ вающая, насколько убывают средства X на /-м году в j-u предприятии. Для трех предприятий фазовое пространство имеет вид (рис. 24.15). Для случая более чем трех предприятий состояние систе­ мы будет определяться уже/2 числами ^^^\ Х^^\ ..., ^'^''^, обо­ значающими вложения в каждое из предприятий. Распределение средств производится от конца к началу (условная оптимизация), а затем от начала до конца.

Рис. 24.15 Управление на /-м шаге будет состоять в вьщелении средств п предприятиям Х^^>, Xj". ....

Xi''^=K-f^Xl'\ i=l

причем здесь следует находить максимум функции нескольких переменных. 6.6. Распределение ресурсов с влоэюением доходов в произ­ водство. 1. Доход вкладывается в производство полностью, максимизируется сумма всех средств после т-го этапа.

152

Гпава 24

Рассмотрим два предприятия. Выигрыш W представляет сумму всех средств, сохранившихся в обоих предприятиях плюс доход на последнем этапе

Поскольку все средства (основные и доход) вкладываются в производство, то для I -го предприятия функция дохода на /-м шаге обозначим F.(X), а для II — соответственно G-(Y). Выигрыш на последнем шаге выражается формулой

^JK,XJ

= FJXJ + GJK-XJ,

где К — средства, с которыми мы подошли к последнему шагу. Основное функциональное уравнение динамического про­ граммирования будет

W,(K) =

m^x{w,^,{F,{X,)^{K-X.S)],

где К — средства, с которыми мы подошли к г-му шагу. На последнем шаге условный оптимальный выигрыш равен

WJK) =

mzx{F^{X^)^G^{K-X^)}.

Далее по основному функциональному уравнению получа­ ем, начиная с последнего, все условные оптимальные выигры­ ши и условные оптимальные управления. 2. Доход вкладывается в производство полностью на всех эта­ пах, кроме последнего; максимизируется доход на последнем шаге. Задача отличается от предыдущей тем, что максимизирует­ ся не сумма оставшихся средств «+» доход на последнем шаге, а только один доход на последнем шаге. Чтобы отделить сумму оставшихся средств от дохода, для последнего шага зададим по отдельности функции дохода /тГ^Л ёт(^) и функции траты (pJX), ij/JY). Полагаем на

ПИНЕЙНОЕ и аИНАМИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

153

последнем шаге FJX) = fJX) и GJY) = gJY). Задача сво­ дится к предыдущей задаче. 3. Доход вкладывается в производство не полностью, а ка­ кая-то часть его отчисляется; максимизируется полный отчис­ ленный доход на всех этапах «+» остаток средств после т-го этапа. Для решения задачи зададим функции дохода / ^(Х), g- (Y) (i = h2,.,.,m) и функции траты (р^(Х), y/^fY) (i = \,2,...,m). Зададим дополнительную функцию отчислений r-(D)
Управление Х- переводит систему из состояния К в состоя­ ние К' Основное функциональное уравнение будет

W/K) = max{r,(f,(XJ + g,(K-XJ) + +%j9i(XiH¥i(K-X,)+l(X,)+g,(K-X,)^+na^(X,)+g,(K-XJ))}. Условный оптимальный выигрыш на т-м шаге

WJK)^m^,{!JXJ

+

gJK-XJ+(pJXJ+iifJK-XJ}.

В остальном схема динамического программирования ос­ тается такой же. 6.7. Задачи динамического программирования, не связанные со временем. Пусть имеется группа предприятий Яр Я2,..., П^, которые выполняют одну и ту же операцию. В нашем распоря-

154

Гпава

24

жении /CQ средств, которые мы можем вложить, чтобы произве­ сти продукцию сверх плана. Каждое предприятие может освоить только ограниченное количество средств ^Р ^ 2 — О т ­ вели в предприятие П. вложены средства X., оно даст (Pi(X) единиц дополнительной продукции. Требуется так рас­ пределить средства между предприятиями, чтобы суммарный объем дополнительной продукции был бы максимальным. То есть сумма всех вложенных средств была бы меньше имею­ щихся KQ гп

/=1

а выигрыш был бы W = ^w.

=max.

i=\

где w. —дополнительная продукция/-ГО предприятия. Оптимальное управление на последнем шаге состоит в том, чтобы т-му предприятию выделить все К средств < /С^ , т. е.

\К XJK) = \ К

при К<К ^ приК>К^

Максимальный доход на последнем шаге будет

WJK) = wJK) = cpJxJK)). Доход на предпоследнем шаге будет

Основное функциональное уравнение динамического про­ граммирования

ПИНЕЙНОЕ И аИНАМИЧЕСКОЕ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ

155

^:да=тах{(р,гх,;+^,/л:-;^,;} И ВСЯ процедура решения не отличается от задачи распределения ресурсов с неоднородными этапами. 6.8. Задачи динамического программирования с мультипли­ кативным критерием. До сих пор мы рассматривали задачи, когда выигрыш складывался из суммы выигрышей

Иногда возникают задачи, когда выигрыш представляет собой не сумму, а произведение

/=1

где ш. - выигрыш на /-м шаге. Такой показатель называется мультипликативнъш. Основное функциональное уравнение примет вид

W/S) =

max{w,(S,U,)-W,J(p/S.U,))},

а условие оптимальности последнего шага будет

WJS) =

m^{wJS,Uj}.

Рассмотрим, к примеру, задачу распределения средств по­ вышения надежности технического устройства. Пусть устрой­ ство состоит из т элементов. Надежность всей машины равна произведению надежностей всех элементов т

где р. — надежность /-го элемента. Количество средств X, вложенных в приспособление, повы­ шает надежность до значения р. =[.(Х). Требуется определить

156

Г пава 24

оптимальное распределение средств по элементам. Выигрыш на /-М шаге pi =fi(X.), X. — количество средств, вложенных в /-Й элемент. Основное функциональное уравнение

P/K) = max{f,(XJ-P,JK-X,)}. Поскольку средства расходуются до конца, управление на последнем шаге состоит в том, чтобы выделить на этот шаг все оставшиеся средства При ЭТОМ достигается условный оптимальный выигрыш

pJf<) = L(K). Отсюда находим последовательные условные оптимальные управления х^_^(К),х^_^(К),

... ^x^fK) и условные опти­

мальные выигрыши р^_^(К), Рт-2(^)> ••• ^Pli^) • Первый шаг определяется исходным количеством средств

Px(^J

=^^^{fi(^i)'P2(f^o-^i)}

управления X,

=x,(KJ.

Далее оптимальное управление стрится по обычной схеме.

Глава 25 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 25.1. Основные понятия теории вероятностей 1°. Всякий результат или исход испытания называется со­ бытием и обозначается прописными буквами латинского алфа­ вита ^ , Д С... События называются несовместными, если в условиях ис­ пытания каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает возможности появления других при том же испытании. События Am А (не А) называются противополож:ными, если в данных условиях они несовместны, являясь единственны­ ми его исходами, т. е. появление одного из них исключает появ­ ление другого. Статистическое определение вероятности. Под вероят­ ностью появления события понимается постоянная величина, около которой группируются наблюдаемые значения частости

158

Гпава

25

т/п, где т — число проявлений события А при п независимых испьгганиях. Классическое определение вероятности. Под вероятностью наступления события понимается отношение числа исходов, бла­ гоприятствующих появлению данного события к общему числу всех несовместных и равновозможных исходов. Вероятность потп явления события А обозначается Р{А) - —, где т — число исп ходов, благоприятствующих появлению события А,п — число всех исходов. Геометрические вероятности. Пусть g — мера длины, пло­ щади, объема представляет часть области G. Вероятность попа­ дания брошеной точки в область G пропорциональна мере этой области и не зависит ни от от формы области G, ни от ее распо­ ложения относительно g. Тогда вероятность попадания точки в область определяется равенством мера G Событие называется достоверным, если оно является един­ ственно возможным исходом испытания. Вероятность достовер­ ного события равна единице Р{А) = \. Если событие А заведомо не может произойти, то оно называется невозможным. Вероят­ ность невозможного события равна нулю. Если событие А при реализации некоторого комплекса ус­ ловий может произойти, а может и не произойти, то оно называ­ ется случайным. Вероятность случайного события удовлетворяет двойному неравенству О < Р(^) < 1. 2°. Основные понятия теории соединений. Перестановка­ ми из п различных элементов называются всевозможные соеди­ нения из этих п элементов, отличающиеся только порядком их расположения Р^ = п!.

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

159

Размещениями из различных п элементов по т элементов называются соединения, которые отличаются либо составом, либо порядком своих элементов

Сочетаниями из п элементов по т элементов называются соединения, которые различаются только составом своих эле­ ментов С" =

А:

п!

Р

т!(п — т)!

3°. Правило суммы. Если некоторый элемент А может быть выбран из совокупности элементов т способами, а другой эле­ мент В- п способами, то выбрать либо А, либо В можно та + п способами. Правило произведения. Если элемент А можно выбрать из совокупности элементов т способами и после этого элемент В можно выбрать п способами, то оба элемента (А, В) в указан­ ном порядке могут быть выбраны тп способами. 1.1. В партии из 120 изделий отдел технического контроля обнаружил 6 нестандартных. Чему равна относительная часто­ та появления нестандартного изделия? Решение. Относительная частота появления нестандартно­ го изделия равна отношению числа испытаний, в которых это событие появилось, к общему числу проверенных изделий W = — = 0,05. 120 1.2. В урне 4 черных, 3 красных и 5 белых шаров. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется: а) черным; б) крас­ ным; в) синим; г) белым.

160

Гпава

25

Решение. Всего в урне 12 шаров. Число исходов, благоприят­ ствующих появлению: а) черного шара 4, тогда по определению 4 = 1- ; вероятности Рп = — 12 3 3 1 б) красного шара 3, Р = — = - ; и) синего шара О, т.к. синих шаров нет и это событие невоз­ можное, Р = 0; г) белого шара 5, Р = — . 1.3. Бросаются три игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков. Решение. Так как число граней на каждой кости равно 6, то число всех возможных тройных групп п-в =216. Обозначим за А событие, состоящее в том, что на всех гра­ нях выпадет по одинаковому числу очков. Число одинаковых тройных групп (по 1, по 2,...) равно m = 6. Отсюда

p ( ^ b ^ = - ^ = JL п

216

36*

1.4. На 7 одинаковых карточках написаны буквы: с, у, е, т, н, д. Карточки перемешаны и разложены наугад в ряд. Найти вероятность того, что: а) при этом получится слово «студент»; б) на пяти, разложенных по одной можно будет прочесть слово «стенд». Решение, а) Число всевозможных перестановок из 7 букв равно Р^ =1! Обозначим через А событие, состоящее в появле­ нии слова «студент». Этому событию благоприятствует лишь один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исхо­ дов, благоприятствующих событию, к числу всех исходов Р(^) = — = 0,0002. б) В слове «стенд» 5 букв. Из 7 букв по 5 можно составить А^ слов. Событию В, состоящему в появлении слова «стенд»,

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

161

благоприятствует лишь один исход. Отсюда искомая вероятность Р(5) = - ^ = 0,00039. 1.5. Среди 16 деталей, подвергаемых проверке, имеется 12 точных. Найти вероятность того, что из числа взятых наудачу 8 деталей 6 окажется без брака. Решение. Общее число всех равновозможных выборок по 8 деталей из 16 равно числу сочетаний из 16 деталей по 8, т. е.« = С\^. Число исходов, благоприятствующих интерисующему нас событию, определяем следующим образом. Шесть стан­ дартных деталей из 12 можно взять С^2 способами, а оставшиеся 8-6=2 бракованные детали из 16-12=4 нестандартных можно взять С\ способами. Следовательно, число выборок по 8, в ко­ торых 6 точных деталей сочетается с 2 бракованными, равно произведению т = С\^ • €]• Таким образом, т _ Cf, »С] _ 28 Р = —= Q 65 1.6. В партии 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечено 5 деталей. Найти вероятность того, что среди извле­ ченных: а) нет бракованных; б) нет стандартных. Решение, а) Общее число возможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 5 деталей из 100, T.e.n = Cfoo. Число исходов, благоприятствующих появлению 5 стандар­ тных деталей, равно числу сочетаний из 90 стандартных дета­ лей по 5, т. е. W = С^о. Таким образом, вероятность того, что нет бракованных де­ талей, равна Cfoo

5/85/ 100/

162

Гпава

25

б) Число исходов, благоприятствующих появлению 5 бра­ кованных деталей, равно числу способов, которыми можно ото­ брать 5 деталей из 10 бракованных, т. е. m = Cfo. Таким образом, вероятность того, что среди отобранных деталей нет стандартных, равна С^ = j 10' 5^95' ^ 0,00000334 р ^ ioo. u ^ э^^уэ^ С^ 5/5/ 100/ 1.7. В партии из 15 изделий 10 первого и 5 второго сорта. Берут наудачу 2 изделия. Найти вероятность того, что оба изде­ лия одного и того же сорта. Решение. Обозначим зау4 событие, что оба изделия одного и того же сорта. Найдем вероятность противоположного собы­ тия: одно изделие первого, одно — второго сорта; общее число исходов испытания п = С^^, число благоприятных для события А исходов т = С^^ • С], Р(А) =

10-5-2 10 1514 ~21

тогда Р(А) = 1-Р(А)

=— 12

1.8. Окружность радиуса R вписана в квадрат. Найти вероят­ ность того, что точка, наудачу брошенная в квадрат, окажется внутри вписанного круга, если вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга. Решение. Площадь круга S^ = nR^, а площадь квадрата S^^ = 4R^. Отсюда

5..

4Л'

4-

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

163

25.2. Алгебра событий Суммой событий А-^В называется такое событие, которое состоит в появлении или события А, или события Д или обоих событий вместе. Произведением событий АВ называется событие, которое состоит в появлении обоих событий. Разностью событий А-В называется событие, которое со­ стоит в появлении события А и непоявлении события В. Аналогично определяется сумма и произведение несколь­ ких событий. Из приведенных определений для событий А,В, С, справедливы равенства Л+В =В+Л; А+А^А; А'А=А;

(А-^В) + С=А+(В+С);

АВ--ВА; (АВ)С=А(ВС);

(1)

А(В '\'С) = АВ + АС. 2.1. Шар, вынутый наудачу из урны, может оказаться либо белого цвета (событие А), либо черного (событие В), либо крас­ ного (событие С), Что означают собой следующие события: а) А + В;б) А + В;в) АС;г) АС + В? Решение, а) А + В — это событие, которое состоит в появ­ лении хотя бы одного из событий А или Д т. е. это либо белый, либо черный шар. б) Событие А + В — это событие, противоположное появ­ лению либо белого, либо черного шара, т. е. это событие С — появление красного шара. в) Событие АС —невозможное событие, т. к. один шар не может быть и белым, и красным. г) Событие АС + В — это сумма невозможного события и события Д т. е. это событие В — появление черного шара. 2.2. Доказать равенства: а) А -Ь В -h С = AWC ;

6)Ал-В = АВ

164

Гпава

в) (А + В)(В'^ т) А'\-(В-

25

С) (А + С) = АВ + ВС + АС.

АС) + (С - АС) = ^ + 5 + С

Решение, а) Если произошло событие ^ + 5 + С, то это оз­ начает, что ни одно из событий А, В, С не наступило, т. е. про­ изошло событие ABC, б) Событие А + В означает, что ни одного из событий А и В не произошло, т. е. произошло событие АВ или АВ. в) Для доказательства равенства формально перемножим скобки, учитывая выражения (1) (AB+AC+B-^BCjfA-^-C) = АВС+АС+ВС+ВС+АВ-^АС+ ^АВ-^АВС = ABC -^АВ + ВС + АС^АВ + ВС-^АС, т.к. событие ^5С—невозможное. г) Рассмотрим сначала сумму А + (В - АС), которая пред­ полагает появление события или А или события В - АС, кото­ рое состоит в появлении события В и непоявлении события А С Отсюда следует, что А + (В - АС) = А-\- В. Рассмотрим теперь событие Ал- В -\-(С - АС), которое предполагает появление или события А или JB, ИЛИ С-АС. Последнее предполагает появле­ ние события Си непоявление события АС. Таким образом, окон­ чательно имеем событие Ал- В+ С, что и требовалось доказать. 2.3. Упростить выражения: а) АВ + В; б) АВ-^(А-В) Л-(В - А); в) (А + В)(А + В); г) (А + В)В + (АВ)В, Решение, а) Событие АВ л- В предполагает появление либо А и В, либо В, поскольку событие АВ — невозможное событие, то АВл-В = В. б) Появление события либо АВ, либо А-В, либо В-А озна­ чает, что событие АВ — невозможное событие. А-В — событие А появилось, а событие В не появилось, В-А — событие В по­ явилось, а событие У1 не появилось. Таким образом, имеем

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

165

АВл-{А-В)^{В-А)^А^В^ в) Рассматриваемое событие состоит в появлении (либо А^ либо В) и (либо не А, либо В). Поскольку появление Aunt А события взаимоисключающие, то(А + В)(А + В) = В, г) Воспользуемся выражениями (1), тогда будем иметь АВ^ВВ^А(ВВ) =АВ-^В + АВ = В т.к. событие ^5—невозможное.

25.3. Теорема сложения вероятностей несовместных событий Вероятность появления одного из нескольких несовместных событий, безразлично какого именно, равна сумме вероятнос­ тей этих событий. Для двух событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Для п несовместных событий появление одного из них опре­ деляется по формуле

р(4+4+...+4,)=Д4)+Д4)+-+Д4)Сумма вероятностей несовместных событий ^j,£"2,...£'„, образующих полную систему событий, равна единице

3.1. в урне 24 шара. Из них 12 белых, 8 зеленых и 4 желтых. Найти вероятность появления цветного шара. Решение. Вероятность появления зеленого шара

Вероятность появления желтого шара Р{В) = — = —. Появление цветного шара означает появление или зелено­ го, или желтого шара. Поскольку события несовместны, то по

166

Гпава

25

теореме сложения вероятностей Р{А + В) = Р{А) + Р{В) = и^ = )-. 5

Ь

1

3.2. События А, В, CvL D образуют полную систему собы­ тий. Вероятности событий таковы: Р(у4) = 0,4; Р(5) = 0,3; Р{С) = 0,1. Найти вероятность события D. Решение. Поскольку события А, В, С и D образуют пол­ ную систему событий, то сумма вероятностей Р(А) + Р(В) + Р(С) + P(D) = 1, откуда P{D) = 1 - (Р(А) + Р(В) + Д С)) = = 1-(0,4 + 0,3 + 0,1) = 0,2. 3.3. в урне 7 белых и 3 черных шара. Найти вероятность того, что в наудачу вынутых 2 шарах окажется: а) хотя бы один белый шар; б) не более одного черного шара. Решение, а) Событие, что среди извлеченных шаров есть хотя бы один белый, обозначим через А, а что нет ни одного бе­ лого шара через А . Тогда Р(А) = 1 - Р(А). Общее число способов, которыми можно извлечь 2 шара из п = 7+3 = 10 шаров, равно С^^. Извлечь 2 черных из 3 можно С^ способами. Отсюда вероятность того, что среди извлеченных 2 шаров нет ни одного белого, равна Р(А) = С^ I Cf 10гность Искомая вероятность PiA) =

l-C',/Cf,=

15' б) За А обозначим событие того, что нет ни одного черного шара, а за В, что есть один черный шар. Отсюда по теореме сложения вероятностей PiA + B) = PiA) + PiB) = C^/Cf, +

-ClC},/C^,=j^+-^=^^.

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

167

25.4. Теорема умножения вероятностей V. Вероятность появления события В при условии, что со­ бытие А уже произошло, называется условной и обозначается Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности первого события на условную веро­ ятность второго, вычисленную в предположении, что первое со­ бытие имело место Р(АВ) = Р{А)Р,(В). Для независимых событий теорема умножения имеет вид Р{АВ) = Р{А)Р{ВУ 2°. Теорема умножения вероятностей обобщается на случай трех, четырех и т. д. событий. Для зависимых событий имеют место формулы Р(АВС) = Р(А)Р,{В)Р,,{С); P(ABCD) =

Р{А)РАВ)Р,,{С)Р,,,(ПУ

Соответственно, для независимых событий Р{АВС) = Р{А)Р{В)Р(С); P(ABCD) = Р(А)Р{В)Р(С)Р(ВУ 3^. Вероятность появления хотя бы одного события, если все п событий имеют одинаковую вероятность, равную/?, определя­ ется по формуле P(A) = l-q\

где д = 1-р.

Если независимые события Д , ^2' •••> Л имеют вероятности /{, /^,..., /^, то вероятность появления хотя бы одного из них рав­ на разности между единицей и произведением вероятностей Противоположных собыгий

168

Гпава

25

4.1. Найти вероятность двукратного извлечения белого шара из урны, в которой из 15 шаров имеется 5 белых, если: а) выну­ тый шар возвращается обратно в урну; б) вынутый шар в урну не возвращается. Решение, а) Обозначим появление белого шара первый раз через ^ , а второй раз через В. Тогда вероятности событий AviB равны

Поскольку события AVLB независимы, то Р{АВ) = Р{А)Р{В) = ^. б) События АиВ

1 4 2 зависимы и Р(А) = -, а ^.<(^) = 7Т~^3 14 7

Отсюда P{AB) = PiA)PAB) = j - ^ . 4.2. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность остановки на протяжении одного часа для 1 станка составляет 0,2; для 2 0,1 и для 3 - 0,15. Найти вероятность бесперебойной работы всех трех станков в течение одного часа. Решение. Обозначим вероятность остановки станков: Ях = 0,2; ^2 = 0,1 и ^3 = 0,15. Тогда вероятности бесперебойной рабо­ ты, как события противоположные, будут, соответственно, рав­ ны р^ = 0,8; Р2 = 0,9 и Рз = 0,85. Поскольку работа одного станка не зависит от работы других станков, то следует воспользовать­ ся теоремой умножения для независимых событий ^ = P i ^ A = 0 . 8 0 , 9 0 , 8 5 = 0,612. 4.3. Из урны, в которой 8 белых, 6 красных и 4 синих шара, последовательно извлекается три шара. Найти вероятность того,

ЭПЕМЕНТЫ

ТЕОРИИ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1l69

ЧТО первый шар белый, второй красный и третий синий, если шары обратно в урну не возвращаются. Решение. В урне всего 18 шаров. Вероятность появления 8 4 белого шара Р{А) = — = --. 1о 9 Вероятность появления красного шара при условии, что пер­ вый шар был белый, равна РА{Щ - —• Вероятность появления синего шара при условии, что первый шар был белый, а второй красный, равна 16 4 Отсюда по теореме умножения Р{АВС) = P(A)PAB)P,,iQ

= ^^\

= ^-

4.4. Найти вероятность того, что наудачу взятое трехзнач­ ное число содержит только одну цифру, кратную трем. Решение. Обозначим появление цифры, кратной трем, на месте сотен через А, на месте десятков — Д на месте единиц — С По условию задачи нас интересуют исходы ABC, ABC и ABC. Поскольку нас устраивает любой исход, то по теореме сложения вероятностей имеем Р = Р{АВС) + Р(АВС) + Р{АВСУ Так как события независимы, то по теореме умножения вероятностей Р = Р(А)Р(В)Р(С) + Р(А)Р{В)Р{С)

+ Р(А)Р(В)Р(С).

Появлению события А благоприятствует 3 исхода из 9 Р(А) = ^;

Р(А) = ^.

Появлению события В и С благоприятствует 3 исхода из 10

170

Гпава

P(B) = P(C) = j ^ ;

25

Р(5) = Р(С) = ^ .

Отсюда

P-LL1. ~ 310 10

11.JL 2 7 3 ^133 3 1010

3 1 0 1 0 " 300'

4.5. Три стрелка стреляют в мишень, причем вероятность попадания, соответственно, у 1 -0,9; 2-0,8; 3-0,7. Найти веро­ ятность хотя бы одного попадания при одном залпе. Решение. Вероятность попадания в мишень одним из стрел­ ков не зависит от результатов стрельбы других, поэтому рас­ сматриваемые события независимы. Вероятность промахов ^1 = 1 - А = ОД;

q2=l-

Р2=0,2;

q^=\-

р^= 0,3.

Если вероятность того, что все три стрелка промахнутся, равна 9i Я2 Яъ> то искомая вероятность, как событие противопо­ ложное ^ = 1 - ЧхЧгЧъ = 1 - ОЛ • 0,2 • 0,3 = 0,994. 4.6. В цехе 5 станков. Вероятность того, что станок в дан­ ный момент времени работает, равна /? = 0,8. Чему равна веро­ ятность того, что в данный момент работает по крайней мере один станок? Решение. Поскольку события, что «станок работает», име­ ют одинаковую вероятность, равную/?, то вероятность работы по крайней мере одного станка в данный момент равна P = l^q"

= 1 - 0 - / ? / = 1 - 0 , 2 ' =0,99868.

4.7. Вероятность появления события хотя бы один раз при трех независимых испытаниях равна 0,973. Найти вероятнось появле­ ния события в одном испытании, если вероятность появления со­ бытия во всех испытаниях одна и та же.

ЭПЕМЕНТЫ

ТЕОРИИ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ

171[

Решение. Вероятность появления события хотя бы один раз при независимых и равновозможных испытаниях определяется по формуле Р = 1 - 9" Отсюда 0,973 = 1 - ^ ' ;

q" =0,027;

^ = 0,3.

Искомая вероятность р = l'-q = 0,1. 4.8. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле по­ разит мишень, равна р = 0,6. Сколько выстрелов должен сде­ лать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 попал в мишень хотя бы один раз? Решение. Вероятность попадания в мишень при п независи­ мых и равновозможных выстрелах хотя бы один раз находится по формуле P = l-q" По условию Р > 0,8; р = 0,6; ^ = 1 - /? = 0,4. Отсюда 1 - ^" > 0,8; q" < 0,2; 0,4" < 0,2. Прологарифмируем последнее неравенство nlgOA < lg0,2; т.к. IgOA <0,топ>

- ^ - ^ ; п>2. IgOA 4.9. Студент знает 25 из 30 вопросов программы. Какова вероятность того, что студент знает три вопроса, предложенные ему экзаменатором. Решение. Обозначим через Д , ^2> ^з события, что студент знает вопрос. Тогда по теореме умножения

Р(А,А,А,) = P(A,)PJA,)P,^,JA,) = 1 ^ 1 = 0,5665. 4.10. Вероятность того, что нужная деталь находится в первом, втором и третьем ящике, соответственно, равна 0,7;

172

Глава

25

0,8; 0,9. Найти вероятность того, что деталь содержится: а) толь­ ко в одном ящике; б) только в двух ящиках; в) во всех трех ящиках. Решение, а) Обозначим за ^4, J? и С события, что нужная деталь содержится, соответственно, в первом, втором и третьем ящике: Р(А) = 0,7; Р(В) = 0,8; Р(С) = 0,9. Тогда вероятнос­ ти, что деталь не содержится в этих ящиках будет Р(А) = 0,3; Р(В) = 0,2; Р(С) = 0,1. Пусть деталь содержится в одном ящике и не содержится в двух других, тогда по теореме умножения вероятностей Р(АВС) = 0,7 • 0,2 • 0,1 = 0,014; Р(АВС) = 0,3 • 0,8 • 0,1 = 0,024; Р(АВС) = 0,3 • 0,2 • 0,9 = 0,054. Поскольку нас не интересует, в каком именно ящике содер­ жится деталь, то по теореме сложения вероятностей Р = Р(АВС) + Р(АВС) + Р(АВС) = 0,092. б) Пусть деталь содержится в двух ящиках и не содержится в третьем, тогда Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С)

= 0,056;

Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С)

= 0,126;

Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С)

= 0,216.

Поскольку нас не интересует, в каких двух ящиках содер­ жатся детали, то по теореме сложения вероятностей получим Р = Р(АВС) + Р(АВС) + Р(АВС) = 0,398. в) Вероятность, что,деталь содержится и в первом, и во вто­ ром, и в третьем равна Р = Р(А)Р(В)Р(С)

= 0,7 • 0,8 • 0,9 = 0,504.

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

173

25.5. Следствия теорем сложения и умножения 1°. Теорема сложения вероятностей совместных событий (обобщенная формула сложения) имеет вид Р{А л-В)^ Р(А) + Р(В) - Р(АВ) и выражает вероятность появления одного из двух совместных со­ бытий. Теорема сложения вероятностей совместных событий мо­ жет быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Так, для трех совместных событий имеем Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) -Р(ВС) + Р(АВС). 2°. Формула полной вероятности P(B) =

±P(A,)PJB) 1=1

позволяет найти вероятность события В, которое может насту­ пить лишь совместно с одним из единственно возможных и не­ совместных событий Д. (i = 1,2,...,п). 3°. Формула Байеса

Рв(А) =

P(A,)PjB)

позволяет найти вероятность события В совместно с каким-то одним событием А^ из всех единственно возможных. События 4 называются гипотезами, вероятности которых следует опре­ делить. 5.1. Вероятность попадания в мишень первым стрелком 0,8, а вторым — 0,7. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрел­ ков попал в мишень, если стрелки сделали по одному выстрелу.

174

Гпава

25

Решение. Вероятность попадания в мишень одним из стрел­ ков не зависит от результатов стрельбы другого, т. е. события независимы. Если обозначить Р(А) = 0,8; Р(В) = 0,1, то вероятность совместного попадания Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,56. Отсюда по теореме сложения для совместных событий Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,94. 5.2. В первой урне содержится 20 шаров, из них 15 черных; во второй урне 12 шаров, из них 9 черных. Из второй урны на­ удачу взяли и переложили в первую один шар. Найти вероят­ ность Р(В) того, что шар, наудачу извлеченный из первой урны, будет черный. Решение. Из второй урны мог быть извлечен либо черный А^, либо нечерный ^2 шар. Вероятности этих событий: Р(А,) = ^;Р(А,) = ^. 4 4 Условная вероятность того, что из первой урны извлечен черный шар, при условии, что из второй урны в первую был пе­ реложен черный шар, равна р^ (в) = —. Условная вероятность того, что из первой урны извлечен черный шар, при условии, что из второй урны в первую был пе­ реложен нечерный шар, равна Р^ (В) = — = —. Отсюда по формуле полной вероятности P(B) = P(A,)P,SB)

+ P(A,)P,^(B) = ^f^+^^

= ^.

5.3. В магазине имеется 4 радиоприемника. Вероятности того, что радиоприемники вьщержат гарантийный срок службы, со­ ответственно, равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того,

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

175

ЧТО купленный наудачу радиоприемник вьщержит гарантийный срок службы. Решение. Вероятности гарантийной работы радиоприемни­ ков, соответственно, равны P(^i) = 0,8; P(v42) = 0,85; Р(.4з) = 0 , 9 ; Р ( Л ) = 0,9. Поскольку вероятность купить тот или иной приемник рав­ на - , то по формуле полной вероятности имеем Р = 0 , 8 - + 0,85~ + 0 , 9 - + 0 , 9 5 ^ = 0,875. 4 4 4 4 5.4. В 1 ящике имеется 10 белых и 12 черных шаров, во 2 12 белых и 10 черных. Из 1 ящика во 2 наудачу перекладывают 2 шара, затем из 2 наудачу берут один шар. Найти вероятность того, что он белый. Решение. Имеет место три гипотезы: Я, — из 1 во 2 переложены 2 белых шара, Н^ — из 1 во 2 — 1 белый и 1 черный шары, Яз — из 1 во 2 — 2 черных шара. уо2

уо2

г~%\ /^\

Lz-^o

^у

^Tj

Обозначим за А событие, что взятый из второй урны шар белый, тогда V

1^ 24

^

'^

24

^

'

24

По формуле полной вероятности

Р(^) = ХР(Я,).Р(^/Я,) Д ^ ) = ^ ^ ( 1 < о + 13С,'оС;, + 12С,^,) = 0,538.

176

Гпава

25

5.5. По данным примера 5.4. определить вероятность того, что из 1 ящика во 2 было переложено 2 белых шара, если изве­ стно, что из 2 ящика после перекладывания был извлечен чер­ ный шар. Решение. Если событие А — извлечение из 2 ящика белого шара, то извлечение черного шара противоположное событие А. Применительно к событию ^ и к гипотезе Н^ (перекладывание 2 белых шаров) формула Байеса имеет вид '

Р{А)

Р(1) = 1-Р(^) = 0,462; Р ( 1 / Я , ) = ^ , т.к. после перекладывания 2 белых шаров во 2 ящике будет 14 белых и 10 черных шаров. Таким образом 1 Г^ 10 Р ( Я / ^ ) = — 1 — ^ — = 0,176. ' 0,462 Q^ 14 5.6. Детали изготовляются на трех станках. На 1 станке вырабатывают 50% всех деталей, на 2 — 30% и на 3 — 20%. Причем вероятность получения бракованной детали с 1 станка равна 0,03; со 2 — 0,02; с 3 — 0,01. Найти вероятность того, что наудачу взятая со склада деталь: а) стандартная; б) стандартная и изготовлена на 1; на 2; на 3 станке. Решение, а) Обозначим за А^ появление детали с 1 станка; ^2 — 2; ^ — 3 . Тогда P(.4j) = 0,5; Р(А^)=-0,3; Р(А,) = 0,2, Если через В обозначить соответствие детали стандарту, то для отдельных станков имеем следующие условные вероятности Р,Д5) = 0,97; Р,Д5) = 0,98; Р,Д5) = 0,99. Искомая вероятность того, что наудачу взятая деталь стан­ дартна, по формуле полной вероятности равна

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

177

= 0,50,97 + 0,30,98 + 0,20,99 = 0,977. б) Вероятность того, что наудачу взятая со склада деталь стандартная и изготовлена на каком-либо конкретном станке, находится по формуле Байеса. На первом станке Р(А^)Р^{В) 0 5 0 97 РЛАЛ= ' ^' ^ = " ' ^ "-^ =0,4964. * ' Р(В) 0,977 На втором станке

P.(,,) = ^ W ^ ^ = MA?5 = o.3009. ^

Р{В)

0,977

На третьем станке Рв(А,)= '

Р(А,)Р^{В) 0 2 0 99 ' = ' ' =0,2027. Р(В) 0,977

Правильность вычислений подтверждается тем, что Р^,(.4,) + Рд(^2) + ^в(Л) = 0'4964+0,3009 + 0,2027 = 1.

25.6* формула Бернулли* Биномиальное распределение вероятностей 1°. Ряд испытаний называют независимым относительно со­ бытия А, если вероятность появления события А в каждом ис­ пытании не зависит от исходов других испытаний. Вероятность появления события А при п независимых ис­ пытаниях ровно т раз находится по формуле Бернулли Рт,п =СпР

Я

,

178

Гпава

25

где р — вероятность появления события А в каждом отдель­ ном испытании; q = l-p. 2°. Вероятность того, что число т случаев появления собы­ тия А заключено в заданных границах между числами т^ ^ т^-, либо меньше (не меньше) или больше (не больше) некоторого чис­ ла т^ находится из биномиального распределения вероятностей Р +Ч р

q + C„ р

q -{-.., + C^pq

+C„pq

+q = 1 .

6.1. Всхожесть семян данного растения составляет 80%. Найти вероятность того, что из 8 посаженных семян взойдет 6. Решение. Вероятность всхожести отдельного семени /7 = 0,8. Отсюда ^ = 1 - р = 0,2. По формуле Бернулли ^ 6 8 = Q W " ' =

0,8'-0,2'=0,17.

''' ' 6!(8-6)! 6.2. Вероятность поражения мишени в каждом отдельном выстреле равна 0,9. Чему равна вероятность того, что при 4 вы­ стрелах мишень будет поражена? Решение. Вероятность того, что мишень будет не поражена равна /J)4Рассматривая поражение мишени, как событие противопо­ ложное, будем иметь Р ( т > 1 ) = 1-Ро4=1~9'=1"ОЛ'=0,9999. 6.3. Найти вероятность того, что при п = 6 независимых испытаниях событие появится: а) ровно т раз; б) не менее т раз; в) не более т раз; г) хотя бы один раз; д) хотя бы два раза, зная, что в каждом испытании вероятность появления события равна 0,7, а m = 4. Решение, а) Вероятность того, что при п независимых испы­ таниях событие появится ровно т раз, находим по формуле Бер­ нулли

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Р4,в=СУд'

Г79

= ^ 0 , 7 ^ 0 , 3 ^ =0,324.

б) Вероятность того, что событие появится не менее 4 раз, равна Р(т > 4) = Р,, + Р,, + Р,, = С'Уд' + Clp'q + /.*= 0,744. в) Вероятность того, что событие появится не более 4 раз, равна Р ( ш < 4 ) = Р,,+/>,+Р,,+Рз,б+Аб=1-(^5,б+^б.б) = 0,579^^^^

г) Вероятность того, что событие не появится, равна i^ 6 • Тогда вероятность того, что событие появится хотя бы один раз, равна Р ( т > 1 ) = 1-Ро, =1-^^=0,999271. д) Вероятность того, что собьггие появится хотя бы два раза, равна P(m>2) = l-(Po,,+/^_,) = 0,989. 6.4. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выст­ релах равна 0,96. Найти вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах. Решение. Обозначим за р — вероятность попадания, а за q — вероятность промаха при одном выстреле. Вероятность промаха при двух выстрелах равна q^. Тогда вероятность хотя бы одного попадания 1-^^=0,96. Отсюда ^^=0,04; ^ = 0,2; р = 1 - ^ = 0,8. Применяя формулу Бернулли, получим искомую вероятность Р4,5=С>'^ = —0,8'0,2 = 0,2816.

180

Гпава

25

25Л. Наивероятнейшее число появлений события Наивероятнейшее число т^ появлений события определя­ ется из двойного неравенства np-quniQ <пр + р, где р — вероятность появления события в отдельном испыта­ нии; п — число независимых испытаний; q = l- р. 7.1. На каждые 20 деталей приходится в среднем 5 нестан­ дартных. Определить наивероятнейшее число стандартных де­ талей из наудачу взятых 8 деталей. Решение. Вероятность появления стандартной детали р = — = - ; д = -; « = 8. Неравенство примет вид 20

4

4

о 3 1^ 4 4 '

/о 3 3 44

или 4

'

2

откуда ITIQ = 6. 7.2. Сколько раз следует стрелять из орудия, чтобы при вероятности попадания р = 0,8 наивероятнейшее число попада­ ний оказалось равным 15? Решение. Здесь/WQ =15; р = 0,8; q = 0,2. Составляем неравенства 0 , 8 п - 0 , 2 < 1 5 < 0 , 8 « + 0,8. Отсюда 0,8w<15,2; п<19; 0,8«>14,2; /2> 17,75. Таким образом, n = \S или п = \9.

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

181^

25.8. Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона Если вероятность р появления события в каждом испыта­ нии постоянна, то вероятность того, что событие появится ровно т раз при п независимых испытаниях, где числа тип доста­ точно велики, определяется по формуле с

У12П

С

_т — пр где а = Jnpq; х = о Формулу Лапласа (1) иногда называют асимптотической формулой. 1 -^ Функция (р(х) = -г=е ' четна фГ-Jc) = (р(х) и приведена

приложении (таблица (1)). Формула Лапласа тем точней, чем больше а , т. е. чем боль­ ше л и pq. Если же р мало, т. е. события редки, то применяют формулу Пуассона Р..п=^^

(2)

т!

где Х = пр. Использование формулы Пуассона (2) целесообразно при А. < 10 и она тем точней, чем больше п и меньше/?. лm

Значения функции Пуассона Р(Х = т) = —-е'^ в зависит! мости оттиХ приведены в приложении (таблица (2)). 8.1. Вероятность поражения мишени при одном выстреле р = 0,8. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах стре­ лок поразит мишень 70 раз? Решение. По условию п= 100; m = 70;/? = 0,8 и ^ = I -р = = 0,2. Поскольку тип достаточно велики, то воспользуемся асимптотической формулой Лапласа.

182

Гпава

25

Находим а

4

Так как функция ф {х) четна, то при х- 2,5 из таблиц находим,что ф (2,5) = 0,01753. Откуда ^70 100 = ^

а

= 0,00438.

8.2. В партии из 1000 деталей имеется 20 с браком. Для кон­ троля взяты 60 деталей. Какова вероятность того, что среди них: а) нет бракованных; б) число бракованных меньше двух? Решение, а) По условию п = 60; /? = 0,02; q = 0,98. Посколь­ ку Я = «/? = 1,2 < 10, то воспользуемся формулой Пуассона. От­ сутствие бракованной детали означает, что w = О и Р,,,= ^0,60 0.60

1 2V" ' "^

^0,32137.

Q,

б) Вероятность появления одной бракованной детали равна />,о=(Ь2Уе-'''=0,385644. Отсюда вероятность того, что число бракованных меньше двух по теореме сложения равна Р ( т < 2) = Ро,бо +^,60 =0,707014.

25.9. Интегральная теорема Лапласа Если производится большое число п независимых испыта­ ний и вероятность наступления события в каждом испытании равна /7, то вероятность того, что число т появления события удовлетворяет неравенству а<т<Ь '~^\^~dx,

имеет своим пределом

когда п неограниченно возрастает. Здесь

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

183

ВЕРОЯТНОСТЕЙ

а-

а-пр — yfnpq'

Р-

Ь-пр yfnpq

Для непосредственного вычисления используют функцию Лапласа Ф{х) = dx, 2л: •'^ которая представлена в виде таблицы (3) и вероятность появле­ ния события в заданных границах определяется формулой Pia<m
= -^je~dx

= ^[ф{p)-Ф{a)].

(j)

Функция Лапласа нечетная, т. е.Ф(—х) = - Ф ( х ) . Если за от вероятности £=aJ— обозначить отклонение частости \ п появления события в отдельном испытании/?, то вероятность того, что отклонение частости события от вероятности при п незави­ симых испытаниях не превышает заданного £, находится по формуле т Р\

<£ к Ф

(2)

п 9.1. При вытачивании гаек наблюдается в среднем 10% бра­ ка. Найти вероятность того, что в партии из 400 гаек число небра­ кованных гаек: а) заключено между 340 и 380; б) не более 380. Решение, а) Здесь п = 400;р = 0,9; q = 0,l;a = 340; b = 380. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа. Найдем снача­ ла а и j8 340-400 0,9 а = V400 0,9 0,l = -3,33;

Р= Откуда

380-4000,9 74000,90,1

:3,33.

184

Гпааа

25

Р(340<т<380) = -[Ф(3,33)-Ф(-З,33)] = = -[ф(3,33)+Ф(3,33)] = Ф(3,33) = 0,99913. б) Вероятность того, что число небракованных гаек не бо­ лее 380означает, что Р(0<т<380) = ? -4000,9 =-60, )3=3,33. Отсюда а= 74000,90,1 Р(0 < /и < 380) = - [ Ф ( 3 , 3 3 ) - Ф ( - 60)] = = 1[Ф(3,33) + Ф(60)]=.1, так как для х > 5 можно принять Ф (л:) - 1 . 9.2. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях час­ тость появления события будет отличаться от его вероятности не более чем на 0,05, если вероятность появления события в каж­ дом испытании/7 =0,8. Решение. Здесь п = 400;/? = 0,8; q = 0,2; £ = 0,05. Надо найти т . Р( ~^;- Воспользуемся формулой (2). Так как а = £ — = 2,5, то Д | т Р < 0,05) = Ф(2,5) = 0,98758. \РЯ 9.3. Вероятность появления события в каждом из независи­ мых испытаний равна 0,8. Найти, какое отклонение относитель­ ной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью 0,98785 при 2500 испытаниях. Решение. По условию р = 0,8; q = 0,2; п = 2500; т Р(

Р п

£ ) = 0 , 9 8 7 8 5 . П о л ь з у я с ь формуЛОЙ (2), ИМССМ

0,98785 = Ф 0,98785 = Ф(в125). По таблице Ф(^) находим 125 г = 2,5, откуда г = 0,02.

Глава 26 СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 26.1. Дискретная случайная величина и ее распределение Случайной величиной называется переменная, которая в зависимости от исхода испытания может принимать различные числовые значения. Законом распределения дискретной случайной величины X называется соответствие между возможными ее значениями jCpX2,...,JC„ и их вероятностями Pi,P2^-->P„- Закон распределения обычно задается в табличном виде X,

Р(х,)

х^

^,

Р(Х2)

p(Xi)

^п

P(XJ

Функция распределения F(x) дискретной случайной велип

4W//6ZXопределяется соотношением F{x) = ^р{х^\

{х- < х), т. е.

суммирование ведется по индексам, для которых х- < х.

Гпава

186

26

1.1. Производится стрельба по мишени до первого попадания или до израсходования всех патронов. Составить таблицу рас­ пределения случайной величины—числа израсходованных пат­ ронов, если патронов « = 3, а вероятность попадания при отдель­ ном выстреле/7 = 0,6. Построить график этого распределения. Решение. Случайная величина может принимать значения: Xj = 1 — попадание с первого выстрела, х^—2 — попадание со второго выстрела и Хз = 3 — попадание с третьего выстрела или три промаха. Вероятности этих событий А =0,6;/72=^/7 = 0,4.0,6 = 0,24; P,=q^P + q'=q^ {p + q) = = ^^ = 0,4^ = 0,16, отсюда таблица распределения ^

1

2

3

Pi

0.6

0.24

0,16

Проверка: J^j9,. =0,6 + 0,24 + 0,16 = 1 1=1

График закона распределения вероятностей случайной ве­ личины У имеет вид (рис. 26.1). P(x)i 0,6

0,3 \

1

2

3 X

Рис, 26.1

1.2. Вероятность появления события в каждом из 4 неза­ висимых испытаний равна р = 0,4. Составить функцию рас-

СЛУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

187

пределения дискретной случайной величины и построить гра­ фик. Решение. Значения вероятностей появления события т раз m = О, 1, 2, 3,4 находим по формуле Бернулли. Отсюда таблица распределения X,

0

1

2

3

4

Pi

0,1296

0,3456

0,3456

0,1536

0,0256

По данным таблицы находим функцию распределения 0 0Д296 0,4752 F{x) = 0,8208 0,9744 1

при при при при при

-oo<jc<0 0<jc
при

4 < JC < оо

График функции распределения дискретной случайной ве­ личины (рис. 26.2) наглядно отражает ступенчатый характер функции. Fix) i , 10-

0,5-

op.

^

Рис. 26.2

188

Гпава

26

26.2. Математическое ожидание и его свойства Математическим ожиданием (средним значением) случай­ ной величины называется сумма произведений всех значений случайной величины на соответствующие им вероятности п

M{X) = X = a = Yj^,p,=x,p,+x^p^+.,,

+ x^p„,

1=1

Здесь следует отметить, что ^^^^ Д = 1 • Математическое ожидание числа появлений события Аъп независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна/?, находится по формуле М{Х) = пр, 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой же постоянной М{С) = С. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания М{СХ) = СМ{ХУ 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий М(Х + У) = М(Х) + М(7). 4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий М(^У) = М ( Х ) М ( У ) . 2.1. Найти среднее значение числа попаданий стрелком в мишень при 8 выстрелах, если вероятность попадания при каж2 дом отдельном выстреле /? = —.

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

189

Решение. Пользуясь формулой Бернулли, составим табли­ цу распределения числа попаданий X,

Pi

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 6561

16 6561

112 6561

448 6561

1120 6561

1792 6561

1792 6561

1024 6561

256 6561

Отсюда по определению математического ожидания нахо­ дим среднее значение числа попаданий Х = М(Х) = ( М 6 + 2112 + 3-448 + 41120 + 51792 + +61792 + 71024 + 8-256)/6561 = 5,3. 2.2. Вероятность промаха при стрельбе в мишень равна 0,2. Найти математическое ожидание числа попаданий при 10 выстрелах. Решение. Вероятность поражения мишени j[7 = l--^ = 0,8. Поскольку события независимы, то М(Х) = л/? = 10 • 0,8 = 8. 2.3. Сколько нужно купить лотерейных билетов, чтобы 3 из них были выигрышными, если вероятность выигрыша одного билета /7 = 0,01. Решение. Поскольку события независимые, то искомое чис­ ло билетов р 0,01 2.4. Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы таблицами распределения X.

1

2

3

yj

2

Pi

0,5

0,3

0,2

ъ

0,6

4 0,4

Найти математическое ожидание суммы X + Y и произве­ дения XY двумя способами: а) составив закон распределения X + Y и XY;

Гпава

190

26

б) пользуясь свойствами. Решение, а) Составим распределение суммы X Л-Y

^,+х Pi4i

1+2

1+4

2+2

2+4

3+2

3+4

0,5-0,6

0,5-0,4

0,3 0,6

0,3-0,4

0,2 0,6

0,2-0,4

Отсюда М(Х + У) = 3 0 , 3 + 5-0,2 + 4-0,18 + 6-0,12 + 5-0,12 + -f7-0,08 = 4,5. Составим распределение произведения XY XY

1-2

1-4

Pi4i

0,5 0,6

0,5 0,4

2-2

2-4

0,3-0,6 0,3-0,4

3-2

3-4

0,2-0,6

0,2-0,4

Отсюда Л/(Х7) = 2-0,3 + 4-0,2 + 4-0,18 + 8-0,12 + +6-0,12 + 12-0,08 = 4,76. б) Математические ожидания случайных величин Л / ( Л = 10,5 + 2-0,3 + 3 0 , 2 = 1,7; М(У) = 2-0,6 + 4-0,4 = 2,8. Отсюда М(Л' +Г) = Л/(Х) + М(7) = 1,7 + 2,8 = 4,5 ; М(АТ) = М(Х)-М(У) = 1,7-2,8 = 4,76.

26.3« Дисперсия и среднее квадратическое отклонение 1°. Математическое ожидание квадрата отклонения случай­ ной величины от ее математитческого ожидания называется дис­ персией случайной величины

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

D{X) = M{X-df=Y.^x,-dfp,=M{X')-a\

191

(1)

Дисперсия числа появлений события А ъп независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом ис­ пытании равна /7, находится по формуле D{X) = npq^ где 9 = 1-/?. 2°. Свойства: 1) Дисперсия постоянной величины равна нулю D{C) = 0. 2) Постоянный множитель можно выносить за знак диспер­ сии, возводя его в квадрат Z)(Of) = C^D{X). 3) Дисперсия суммы независимых случайных величин рав­ на сумме их дисперсий D{X + Г) = £>(Х) + /)(7). 4) Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий D{X - У) = D{X) + I>(F). 3"". Среднее значение абсолютной величины отклонения 1 ^ - ^ называется средним отклонением (2) 1=1

Средним квадратическим отклонением случайной величи­ ны X называют квадратный корень из дисперсии

а = Щх), 3.1. По таблице распределения случайной величины X,

0

1

2

3

4

Pi

0,15

0,2

0,3

0,2

0,15

определить среднее отклонение и среднее квадратическое от­ клонение. Решение. Находим среднее значение случайной величины М(Х) = 10,2 + 20,3 + 30,2 + 40,15 = 2.

Гпава

192

26

Составим таблицу распределения абсолютных величин от­ клонений

|х,-х|

2

1

0

1

2

Pi

0,15

0,2

0,3

0,2

0,15

Отсюда по формуле (2) имеем |jc.-X| = 20,15 + 1.0,2 + 0 0 , 3 + I 0,2+ 2 0,15 = 1. Составим таблицу распределения квадратов отклонений случайной величины от ее среднего значения

1

u-^r

4

1

0

1

4

Pi

0,15

0,2

0,3

0,2

0,15

Отсюда дисперсия ДХ)=4.0,154-10,2+00,3+10,2+40,15=1,6. Среднее квадратическое отклонение a =

^D(X)=yll6=l29,

3.2. Дисперсия случайной величины X равна 4. Найти дис­ персию следующих величин: а) Х- 3; б) - 4 X; в) 2Х + 1. Решение. Воспользуемся свойствами дисперсии а) D ( Z - 3 ) = D(X) + D(3) = 4; б) D{-4X)=:('-4fD(X) = 64; в) D(2X + l)=^2^D(X) + Dil) = l6. 3.3. Найти дисперсию случайной величины X— числа по­ явлений события в 100 независимых испытаниях, если вероят­ ность появления его в каждом отдельном испытании равна 0,6. Решение. Вероятность непоявления события q = \-р = 0,4. Так как испытания независимы, то

СПУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1 93

D(X) = Ai/7^-1000,60,4-24. 3.4. Случайная величина X может принимать два возмож­ ных значениях, и х^, причем х, <х^. Найти JC, W Х^, зная, что /7, =0,4; Л / ( Л = 3,6; D(X) = 0,24. Решение. По определению математического ожидания и дисперсии имеем х,/7, +Х2Р2

-^^Х)\

(х, - of р, + (Х2 - af р^ = D{X). Так как p^^l — р^, то 0,4jc,+0,6x2 = 3 , 6 ;

0,4(х, - 3,6)^ + 0,6 (Х2 - 3,6)' = 0,24. Решая систему относительно x^ w х^, приходим к квадрат­ ному уравнению Х2-7,2х2+12,8 = 0, откуда ^2 = 4 или х^ =3,2. Условию X, < Х2 соответствует х, =3; Х2 = 4.

26.4. Закон больших чисел 1°. Неравенство Маркова. Если X— неотрицательная слу­ чайная величина, то для любого положительного 5 > О имеет место неравенство о где а = М(Х), 2°. Неравенство Чебышева. Вероят1тость того, что отклоне­ ние случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше некоторого положительного 5 > О, определяется неравенством

Гпава

194

26

Pi\X-a\<8)>\-^. О

3°. Теорема Чебышева. Если Х^.Х^.^.^.Х^ независимые слу­ чайные величины, причем дисперсии их не превышают постоян­ ного числа С. то каково бы ни было положительное число 5 1

W

л

п

-1^.--1м(х,)

<5

и при л —> оо lim Р - I ^ , - - S1 M ( X , ) <5

Л.

Если случайные величины имеют одинаковые математичес­ кие ожидания и одинаково ограниченные дисперсии, то X, +Х2+ — + Х^

\

а -а <6 > 1 - п5''

т. е. среднее арифметическое случайных величин при большем п сколь угодно мало отличается от математического ожидания. 4°. Теорема Бернулли. Вероятность того, что отклонение частости появления события А при п независимых испытаниях от вероятности появления его в отдельном испытании по абсо­ лютной величине не превышает некоторого £>0, удовлетворя­ ет неравенству т —Р

<£

> 1 - РЯ2 •

пе

Отсюда, переходя к пределу при ц -^ оо, имеем limP т— Р

<£

= 1.

4.1. В среднем университет ежегодно заканчивает 600 чело­ век. Какова вероятность того, что в этом году университет за­ кончит не более 630 студентов?

СПУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

195

Решение. Чтобы оценить вероятность Р{х < 600), восполь­ зуемся неравенством Маркова. По условию а = 600, S = 630. Р(Л-<630)>1-^ = ± . 630 21 4.2. Среднее значение длины удочки 3 м, а дисперсия равна 0,15. Какова вероятность того, что купленная удочка окажется по своей длине не меньше 2,5 м и не больше 3,5 м? Решение. По условию а = 3; D(X) = 0,15, а возможная дли­ на заключена в пределах 2,5 < А" < 3,5. Поскольку |Х - <я| < 0,5, то полагая S = 0,5, воспользуемся для нахождения вероятности этого события неравенством Чебышева Р ( | ^ ~ 3 | < 0,5) > 1 - ^ = 0,4. ' ' 0,25 4.3. По данным ОТК вероятность стабильной работы теле­ визора равна р = 0,9. Найти вероятность того, что из 1500 теле­ визоров отклонение числа стабильно работающих телевизоров от математического ожидания по абсолютной величине не пре­ вышает 50. Решение. Поскольку стабильная работа телевизора собы­ тия независимые, то математическое ожидание числа работаю­ щих телевизоров равно M ( Z ) = A2;7 = 1500 0,9 = 1350, а диспер­ сия Z)(X) = «/7^ = 1500 0,9 0,1 = 135. Вероятность того, что находим с помощью неравенства Чебышева Р{\Х-а\<50)>1—^^^ = 0,946. ' ' 2500 4.4. При каком числе независимых испытаний вероятность того, что отклонение частости от вероятности появления собы­ тия в отдельном испытании р = 0,8 по абсолютной величине меньше 0,04, превысит 0,75? Решение. Из условия в = 0,05; p = 0,S; qr = 0,2. По теоре­ ме Бернулли имеем

196

Гпава /1

\

- - 0 , 8 <0,04 >\)

Отсюда 1

26

РЯ 2 *

ПЕ

7>0,75;

^1<0.25; „ > - М М . пе

0,04' 0,25

400.

4.5. Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,1. Какова вероятность того, что в партии из 1500 деталей от­ клонение установленного процента брака не превышает 5%? Решение. Требуется найти р\ т

<£ если известно, что Р /? = 0,1; ^ = 0,9; г = 0,05; м = 1500.пПо теореме Бернулли

т

0,Ь0,9 :0,976. -0,1 <0,05 >1 — 1500 (0,05)'

4.6. Для определения средней урожайности поля площадью в 2000 га с каждого гектара взяли на выборку по 1м^. Известно, что среднее квадратическое отклонение на каждом гектаре не превышает 0,5 ц. Найти вероятность того, что отклонение сред­ ней выборочной урожайности от средней урожайности по всему полю отличается не более чем на 0,1 ц. Решение. При определении вероятности воспользуемся тео­ ремой Чебышева. По условию задачи: п = 2000, 5 = 0,1, /)(Х) = С7'<0,25. Отсюда JC, +Х^ +... + Х I

1

П

0,25 -а <0,1 >1 — 2000 0,01

или Р>1-0,0125 = 0,9875.

СПУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

197

4.7. Истинное значение величины равно а. Сколько раз нуж­ но провести эксперимент, чтобы с вероятностью О, 9 можно было утверждать, что отклонение средней арифметической этих изме­ рений от среднего значения а отличается не более чем на 5, если дисперсия не превышает 8? Решение. Применяя теорему Чебышева, по условию имеем С Р>\——- = 0 9 по где С = 8, 5 =5. Число измерений находим из выражения 1 — ^ = 0,9; А2 = 3,2. /225 Таким образом, А2 - 4.

26.5. Начальные и центральные моменты Центральным моментом к-го порядка случайной вели­ чины X называется математическое ожидание величины {X-M{X)f: Ц,=М[{Х-М{Х))'\

(1)

Если М{Х) = О, то момент называется начальным v,=M{X').

(2)

Нетрудно заметить, что начальный момент первого поряд­ ка равен математическому ожиданию v,=M(Xl

(3)

а центральный момент второго порядка равен дисперсии //^ =0(Х) = М{Х^М(Х))\ (4) Центральные моменты через начальные моменты выража­ ются по формулам

198

Гпава

jU3=V3-3v,V2+2vf;

26

(5)

5.1. Дискретная случайная величина X задана законом распределения X

1

2

4

р

0,1

0,4

0,5

Найти: а) начальные моменты первого, второго и третьего порядка; б) центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядка. Решение, а) Начальный момент первого порядка по форму­ ле (3) равен Vi=M(X) = 10,l + 2 0 , 4 + 4 0 , 5 = 2,9. Запишем закон распределения случайной величины Х^ X'

1

4

16

р

0,1

0,4

0,5

Начальный момент второго порядка равен V 2 = M ( ^ ' ) = 10,l + 4 0 , 4 + 160,5 = 9,7. Закон распределения Х^ имеет вид X' р

1

8

64

0,1

0,4

0,5

Начальный момент третьего порядка равен У з = М ( ^ ' ) = 1 0 , И - 8 0 , 4 + 6 4 0 , 5 = 35,3. б) Центральный момент первого порядка по формуле (1) равен

СПУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

199

/ | , = М(Х-~М(Х)) = М ( Х ) - М ( Х ) = 0. Центральные моменты второго, третьего и четвертого по­ рядков находим по формулам (5) Ai^ =9,7-2,9^=1,29; ^/з =35,3-3-2,9-9,7 + 2-2,9' =~0,312. Начальный момент четвертого порядка равен V 4 = M ( ^ ' ) = 10,l + 160,4 + 2560,5 = 184,5. Центральный момент четвертого порядка будет /i4=184,5-4.35,3-2,9+6-9,7-2,9'-3-2,9'=52,2977.

26.6. Простейший поток событий Простейшим (пуассоновским) потоком событий называ­ ется последовательность событий, которые наступают в случай­ ные моменты времени. Вероятность появления т событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона

т\ где Я — интенсивность потока (среднее число событий в едини­ цу времени). Простейший поток характеризуется свойствами: а) стационарности, т. е. вероятность появления т событий за некоторый промежуток времени зависит только от длитель­ ности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; б) ординарности, т. е. появление двух и более событий за малый промежуток времени невозможно, поскольку вероятность

200

Гпава

26

появления более одного события мала в сравнении с вероятнос­ тью появления одного события; в) появление события в предыдущий период не сказывается на вероятности появления событий в последующий период. 6.1. Среднее число вызовов, поступающих на диспетчерс­ кий пункт в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 минуты поступит: а) 3 вызова; б) менее трех вызовов; в) не менее трех вызовов. Решение, а) Предполагаем, что поток вызовов простей­ ший по условию / = 2, ^ = 4, m = 3. Воспользуемся формулой (1) /'4(3) = ^ ^ - ^ ^ ^ = 0,028.

б) Вероятность того, что наступило менее трех вызовов, по теореме сложения вероятностей равна /5(»1<з)=;',(0)+р.(1)+/;(2)=

I!

2!

в) События «поступило менее трех вызовов» и «поступи­ ло не менее трех вызовов» противоположны, поэтому вероят­ ность того, что за 4 минуты поступит не менее трех вызовов, равна Р Д т > 3 ) = 1 - Р Д т < 3 ) = 1-0,0135 = 0,9865.

26Л. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики V, Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) = Р{Х < х) есть непрерывная, ку­ сочно дифференцируемая функция.

СЛУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

201

Производная от функции распределения называется плот­ ностью распределения вероятностей (дифференциальной фун­ кцией) непрерывной случайной величины f{x)^r(x).

(1)

Функция распределения при заданной плотности распреде­ ления находится по формуле X

Р{х) = J f{x)dx.

(2)

Свойства плотности распределения: 1)/W>0; 2) \f{x)dx

= \;

(3) ft

Ъ) P{a<X
= \f{x)dx.

(4)

a

2°. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины определяются по формулам M{X)=]xf{x)dx; D{X)=\{x-aff{x)dx ^\x~f{x)dx-a',

(5) = (6)

где а математическое ожидание. Среднее квадратическое отклонение непрерывной случай­ ной величины определяется по формуле = ЩХ).

(7)

202

Гпава

26

У. Модой MQ непрерывной случайной величины X назы­ вается ее возможное значение, которому соответствует макси­ мум дифференциальной функции. Медианой М^ непрерывной случайной величины X назы­ вается ее возможное значение, которое определяется равенством Р(Х<М^ = Р(Х>МД

(8)

т. е. медиана делит площадь, ограниченную кривой распределе­ ния, пополам. 4"". Центральный момент к -го порядка непрерывной случай­ ной величины X определяется равенством li,^\{x-aff{x)dx

(9)

Если (2 = О, то момент называется начальным и определяет­ ся по формуле v, = ]x'f{x)dx,

(10)

Если А: = 1, то v^=M{X) = a, 11^=0; если к = 2, то /^2 = D(X), Центральные моменты выражаются через началь­ ные моменты по формулам (26.5 (5)), т. е. по тем же, что и для дискретной величины. 7.1. Случайная величина задана плотностью распреде­ ления

f(x) =

о

при jc<0;

asinx

при

0<х<л:;

О

при

х>п.

Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения; в) вероятность попадания случайной величины в заданный ин­ тервал (0;—).

СПУЧАИНАЯ

ВЕПИЧИНА

И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

203

^ Решение, а) Из условия (3) | f{x)dx = 1 находим, что \а smxdx = \. Откуда "" о Г 1 -acosx\ =1; ~ а ( - 1 - 1 ) = 1; а = —. о 2 б) При X < О f{x) = О, следовательно F{x) = 0. Функцию распределения при О < х < Я" находим по формуле (2) f f1 1 1 - cos x F ( x ) = 0 ( i c + —sinx(ijc = —COSJC| = При x>K 0

(•1 . F{x)= \ 0'dx+\ — sinxdx'\'\Odx Отсюда

0 F(x) = \

= — cosx| =1.

при x<0;

1-COSJC

11

при

0<х<я;

при х>ж.

в) Искомая вероятность находится по формуле (4) I

Р{0<Х<j)

У2 • т

-1

I

"А 1 / А

= — \ smxdx = —cosx| = 2^0

2

'о

2

7.2. Случайная величина А" задана функцией распределения [о

при х < 0 ,

F(x) = — при 0 < х < 2 , 1

при х>2.

Найти: а) дифференциальную функцию (плотность вероят­ ности); б) математическое ожидание и дисперсию случайной ве-

204

Гпава

26

личины; в) среднее квадратическое отклонение; г) построить гра­ фики интегральной и дифференциальной функции. Решение, а) По формуле (1) дифференциальная функция имеет вид 10 при jc<0, X

Пх) =

при о < л: < 2,

Z

О при х>2. б) Математическое ожидание и дисперсию находим по фор­ мулам (5), (б) 3

2

M(X) = \x^dx = U^ =^; 6 о

D(X) = J

2X

16 _ ^ |'

3

16 _ 2

^ 2 ^"Т'Т'о'У?

в) среднее квадратическое отклонение находим по форму­ ле (7) 2 \9

3 '

г) Графики интегральной (рис. 26.3) и дифференциальной (рис. 26.4) функций F(x)

f(x)

Рис. 26.3

Рис. 26.4

СПУЧАИНАЯ

ВЕПИЧИНА

И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

205

7.3. Случайная величина задана интегральной функцией О

при X < 0;

п 1-C0SJC при 0<х<—;

F{x).

к при X > Найти: а) дифференциальную функцию (плотность вероят­ ности); б) математическое ожидание и дисперсию X ; в) постро­ ить графики интегральной и дифференциальной функции. Решение, а) Дифференциальную функцию находим по формуле (1) О

при х < 0;

к; /U) = sinjc при 0 < х < — при X> к

О

б) Математическое ожидание и дисперсию находим по формулам (5), (6) f M{X)-\xs\x\dx--xQOSx\ 0

0

2

D{X)-

i f I +J cosxd^ = sinjc| =1. 0

«

f

\x^ s\nxdx-\ T

2

= - x " cosjc| + 2 | jccosxJx-l =

2

= 2jcsinjc| ~2jsinx(ijc-l=^ + 2cosjc|

-\-к-Ъ.

в) Графики интегралььюй (рис. 26.5) и дифференциальной (рис. 26.6) функций имеют вид

Гпава

206

Fix)

26

f(x)

1

X

Рис. 26.6

Рис. 26.5

7.4. Найти моду и медиану, если случайная величина зада­ на дифференциальной функцией распределения: а) f{x) = cosx я в интервале (О,—), вне этого интервала/(л:) = О ; б) /(x)=Jc^-4x"-3 винтервале(1;3), вне этого интервала /(х) = 0. Решение, а) Поскольку функция f{x) = cos х в интервале /л

^\

(U,-—; не имеет максимума, то X моды не имеет. Из определения медианы (8) имеем, что Поскольку возможные значения X положительны, то запил/, шем это равенство в виде ДО<Х<М^) = — или cosхdx = \ к 1 ^= sin. М^1 = ~. Таким образом: М^ = arcsin — = —. о

^

2 6 б) Запишем дифференциальную функцию в виде у = {x-2Y -1. Отсюда видно, что дифференциальная функция достигает максимума при х = 2, следовательно М^ - 2. Поскольку кривая распределения представляет парабо­ лу, то она симметрична относительно прямой х = 2, следова­ тельно, М^ = 2. 7.5. Случайная величина X задана дифференциальной функцией / ( х ) = 4х в интервале (О,—), вне этого интервала

СПУЧАИНАЯ

ВЕПИЧИНА

И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

207

у(х) = 0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков. Решение. Начальные моменты находим по формуле (10):

16 Уг

1

^

V. = fjcMxd!x = — ; \ 40'

1

v,-\x^Axdx^—. \ 96

Центральные моменты выражаются через начальные по формулам ((5) п. 5): ^^ =0; ^2 = v^ -V, = 0,0347; А^з = ^з - Sv.v^ + 2vf = 0,003; |i4 = V4 -4V1V3 + 6VjV2 -3v,^ = 0 , 0 0 1 8 5 .

26.8. Функция распределения вероятностей случайных величин 1°. Случайная величина имеет нормальное распределение, если плотность ее вероятности определяется формулой 1

_i£l£)i

где а — математическое ожидание, <т — среднее квадратическое отклонение. Если слз^айная величина имеет нормальное рас­ пределение с плотностью / ( х ) , то вероятность попадания ее в заданный интервал определяется по формуле

P(a<^<)3) = i

Ф

^-а V

^

-Ф )

(а-а^ V

^

(2) yj

Вероятность того, что отклонение нормально распределен­ ной случайной величины от математического ожидания меньше некоторого в > О, определяется по формуле

208

гпава

Р{\Х-а\<е)

=

ф\-

26

(3)

Т". Распределение вероятностей непрерывной случайной величины н<хзыв'ается равномерным на интервале («,^), если плотность распределения на этом интервале сохраняет постоян­ ное значение, равное / ( ^ ) = т ' ^ вне интервала f{x) = 0. 3"^. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X называется/lo^-^jamey/b/zbiA/, если плотность распре­ деления определяется функцией

i i

O

при JC < 0;

где Я —постоянная положительная величина. Интегральная функция показательного распределения имеет вид O при х<0: X

(5)

Х-е-^' прих>0. ^^^ Если случайная величина распределена по показательному закону, то вероятность попадания непрерывной случайной вели­ чины X в интервал {а,Ь) определяется по формуле Р{а<Х<Ь) = е-^''-е-^', (6) Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, соответствен­ но, равны M{X) = j ; D{X) = ^ ; a^j. (7) Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, интегральная функция которого имеет вид Fit) = 1-6-" (Я>0), (8)

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

209

где Я —интенсивность отказов (среднее число отказов в едини­ цу времени), /—длительность времени безотказной работы эле­ мента. Вероятность отказа элемента за время длительностью t оп­ ределяется по формуле Р(Г< 0 = 1-/?(/), (9) где R{i) — e~^ — функция надежности, определяющая вероят­ ность безотказной работы элемента. 4°. Оценка отклонения распределения от нормального оп­ ределяется асимметрией и эксцессом. Асимметрия определяется отношением

Если асимметрия положительна, то «длинная часть» кривой расположена правее моды (рис. 26.7); если отрицательна — ле­ вее моды. /Гх)

Рис. 26 J

Эксцесс определяется по формуле £=1^,^(7"^ -3

и характеризует степень крутизны кривой распределения. Если г > О, то кривая имеет более высокую вершину, чем нормаль­ ное распределение, если £ <0 — более низкую. Для нормального распределения а = 0,4; г = 0.

210

Гпава

26

8.1. Найти вероятность попадания в заданный интервал (a,j3) нормально распределенной случайной величины X, если известны ее математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение: а) а = 6; /3=10; а = 2; сг = 4; б ) а = 3 ; j8=9, а=8; ст=1. Решение, а) Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал определяется по формуле (2) Р(6<Х<10) = -

j^±i\^(^-^^ \

= 1[Ф(2)-Ф(1)]. /J

По таблице значений функций Лапласа P ( 6 < Z < 10) = -(0,95450-0,68269) = 0,135905. б) По формуле (2) имеем ДЗ<Х<9) = - Ф

9-8

-Ф

3-8

= ^[Ф(1)-Ф(-5)].

Так как функция Лапласа нечетная, то Ф(-5) = ~Ф(5). Не­ трудно заметить, что Ф(5) в таблице нет, а ее значение прибли­ зительно равно 1. Отсюда Р(3 < X < 9) = -(0,68269 + 1) = 0,841345. 8.2. Найти вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожи­ дания по абсолютной величине меньше 0,2, если среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,4. Решение. По условию в = 0,2; (Т = 0,4. Воспользуемся фор­ мулой (3) Р(|Х-а|<0,2) = Ф

^од^= Ф(0,5) = 0,382923 0,4

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

211

8.3. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х^ равномер­ но распределенной в интервале {а,Ъ). Решение. Математическое ожидание случайной величины определяется по формуле M ( X ) = jjc/(jc)t/jc.

Поскольку равномерно распределенная случайная величи­ на имеет плотность, равную / ( х ) =

, то Ъ-а 1 г , а^Ъ М{Х) = \xdx = 2

Дисперсию определяем по формуле b

D(X) =

jx^f(x)dx-(M{X))\ а

Подставляя сюда

/(х)=-5-,

м(Х)^^

о-а

2

и интегрируя, получим b-a

3

4

12 *

Среднее квадратическое отклонение определяется по фор­ муле а = yjD{X) и равно о = —1=-. 8.4. Интервал движения маршрутного автобуса 8 мин. Най­ ти вероятность того, что пассажир, подошедший к автобусу, бу­ дет ожидать автобус менее 6 мин. Решение. Поскольку распределение вероятностей равномер­ но, то плотность распределения имеет постоянное значение, равное 7(х) = 8-0

= —. 8

212

Гпвва

26

Вероятность того, что пассажир будет ожидать менее 6 мин, равна

P{2<X<S) = jf(x)dx:

4* 8.5. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному дифференциальной функци­ ей f{x) = Se'^"" при X > О и f{x) = О при х < О. Найти вероят­ ность попадания X в интервал (1,5; 3,5). Решение. Воспользуемся формулой (6). Учитывая, что по условию задачи Я = 5; а = 1,5 и 6 = 3,5, получим Р(1,5 < Л^<3,5) = е ' " ' -е''^^' = е''^' - е " " ' = 0,00055. 8.6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, за­ данного интегральной функцией F(x) = l-e-'''^

(х>0).

Решение. По условию задачи Я = 0,2. Воспользуемся теперь формулами (7). Окончательно получим М ( Л = — = 5; D ( ^ = —Ц- = 25; а = — = 5. 0,2 0,2' 0,2 8.7. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F{t) -1 - е~^'^'' (/ > 0). Най­ ти вероятность того, что за время длительностью 1-\0час: а) элемент откажет; б) элемент не откажет. Решение, а) Поскольку интегральная функция F{t)^ - Р{Т < t) определяет вероятность отказа элемента за время дли­ тельностью /, то, подставив / = 10 в интегральную функцию, получим Р{Т< 10) = 1-е"^'^^'« - l - e " ^ ' =0,18.

СПУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

213

б) Вероятность безотказной работы элемента за время дли­ тельностью t определяется функцией надежности

8.8. Производится испытание двух элементов, работающих независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого /^(/) = 1-в"^'", второго Fj{i)-\-e^'^\ Найти вероят­ ность того, что за время длительностью / = 8 час: а) откажут оба элемента; б) оба элемента не откажут; в) откажет только один элемент; г) откажет хотя бы один элемент. Решение, а) Вероятность отказа первого элемента по фор­ муле (9) равна Вероятность отказа второго элемента

Вероятность того, что откажет и первый, и второй элемент по теореме умножения вероятностей независимых событий рав­ на / ^ ^ 2 = 0 , 5 5 0 , 0 1 = 0,0055. б) Вероятность безотказной работы первого элемента q^ =z /?j (8) = е"^'^ = 0,45. Вероятность безотказной работы второ­ го элемента q^ - R^{^) - е~^'^^ - 0,09. Вероятность, что оба эле­ мента не откажут, равна q^q^- 0,45 • 0,09 = 0,04. в) Вероятность того, что откажет только один элемент (либо первый, либо второй) по теореме сложения вероятностей равна ^ • ^ 2 + ^2 •^1=0.0495 + 0,0045 = 0,054. г) Вероятность того, что откажет хотя бы один элемент, рав­ на Р = 1-^,-^, = 1 - 0 , 0 4 = 0,96. 8.9. Найти асимметрию и эксцесс показательного распре­ деления.

214

Гпава

26

Решение. Находим сначала начальные моменты: v, = = М{Х) = у по формуле (7); v^ = Я [х^е"^""rfx, интегрируя дваж0

ды по частям \х^ = и

е'^Чх = d\\

\du = 2xdx

v=

е~^ Я

°^

9

получим Vo=—Г-; v^=Mx^e'^''dx, интегрируя трижды по часЯ •' тям, будем иметь у^=—;

v^-X [x^e'^dx,

интегрируя четыре

24 '

раза по частям, получим V4 = ^ • Я Центральные моменты третьего и четвертого порядков на­ ходим по формулам ((5) п.5): ^3

^ 4 ~ л 4

лз

Q l 2 " ^ ^ n 3

Q 3 '

Л

Л Л

л

l 3 Q ^ n 2 ' 3 2

л

• ^ л 4 " " ' з 4 '

Среднее квадратическое отклонение по формулам (7) рав1 , но ^ "^ у- Таким образом, асимметрия равна а = ii^/o = 2, а эксцесс равен £= ii^/а^-Ъ = 9-Ъ = 6,

26.9. Функции случайных аргументов 1°. Если каждому значению одной случайной величины X ста­ вится в соответствии одно значение другой случайной величины F, то F называют функцией одного случайного аргумента Y = (p(X),

СПУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

215

если же случайным величинам X, Y соответствует одно значе­ ние случайной величины Z , то Z называют функцией двух слу­ чайных аргументов Z=(p(XJ). При составлении распределения функций по известному распределению дискретного аргумента пользуются следующи­ ми правилами: а) если функция У случайного аргумента X известна Y = (p(X), то возможные значения Y находят из равенства б) вероятности соответствующих значений X и У моно­ тонной функции Y одного аргумента X между собой равны, T,^,P(X = xJ = P(Y = y,); в) если же функция Y не монотонная и среди Y есть значе­ ния, равные между собой, то их вероятности следует складывать. Данное правило справедливо и для функции двух случайных ар­ гументов. Если аргумент X — непрерывная случайная величи­ на, заданная плотностью распределения f(x), и если у = (р (х) — дифференцируемая, монотонная функция, имеющая обратную функцию х = ^(у), то плотность распределения g(y) случай­ ной величины Y находится по формуле g(y) = f('V(y))\¥'(y)\.

(1)

Если в интервале возможных значений X функция у = = q> (х) не монотонна, то этот интервал разбивается на интерва­ лы, где (р(х) монотонна и g(x) представляется в виде сум^big(y) = \^g.(y). Так для функции (р(х) монотонной в двух интервалах имеем g(y) = f('V,(y))-\'i'\(y)\+f('i'2(y))-\V\(y)\, где ^^(у) и ^\(у) интервалах.

(2)

—обратные функции на соответствующих

216

Гпава

26

2°. Математическое ожидание функции одного дискретно­ го случайного аргумента находится по формуле M(Y)^f^
(3)

Если аргумент непрерывная случайная величина, то математическое ожидание M(Y)=] где f(x)

yg(y)dy = ](p(x)f(x)dx.

(4)

—плотность распределения, а дисперсия

D(Y)= ] y'g(y)dy-(M(Y)f

= J

(
3°. Пусть X,Y —дискретные независимые случайные ве­ личины. Чтобы найти распределение функции Z = X + Y (или XY), следует найти все возможные значения Z . Для этого необ­ ходимо сложить (умножить) каждое возможное значение X со всеми возможными значениями У, вероятности же найденных возможных значений Z равны произведениям соответствующих вероятностей значений X и У. Плотность распределения g(Z) суммы Z = X -^-У (при ус­ ловии, что плотность хотя бы одного из аргументов задана на интервале (-оо,оо) одной формулой) определяется по формуле g(Z)=

I fi(^)f2(^-x)dx

(6)

или g(Z)=]f,(z-^y)f,(y)dy.

(7)

где yj,/^ —плотность распределения аргументов. Вероятность попадания случайной точки {х,у)ъ область S определяется интегральной функцией распределения

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

217

P(X^Y
P((X,Y)cLS) = G(Z} = \\f,(x)Ux)dxdy,

(9)

S

Производная от интегральной функции равна дифференци­ альной функции g(z)-G\Z) величины 2 = Хл^У, 9.1. Найти закон распределения случайной величины Y — Х^, если дискретная случайная величина X задана зако­ ном распределения а)

X.

^

2

3

4

0,1

0,3

0,6

б)

д:,.

-2

2

3

Pi

0,2

0,3

0,5

Решение, а) Находим значения случайной величины Y: У\ - 4/ Уг - 9/ 3^3 ~ ' 6. Отсюда распределение Y имеет вид У1

4

9

16

Pi

0,1

0,3

0,6

б) Поскольку несовместным событиям jc, = - 2 ; Х2 = 2 соответствует одно значение случайной величины у^ - 4, то его вероятность равна сумме вероятностей случайных величин х, и Xj. Отсюда распределение Y примет вид У1

4

9

Pi

0,5

0,5

9.2. Независимые дискретные случайные величины X wY заданы законом распределения

Гпава

218

X.

1

2

3

Л

2

Pj

0,2

0,3

0,5

Pi

0,3

26

"4

0,7

Найти законы распределения функции: а) Z = X + F; б) Z = X7. Решение, а) Возможные значения случайной величины z. есть суммы каждого значения х. со всеми случайными значениями у. z , = l + 2 = 3; z2=l + 4 = 5; 2з=2 + 2 = 4 ; 24=2 + 4 = 6; 25=3 + 2 = 5; z^ =3 + 4 = 7. Поскольку случайные величины jc., >^. независимы, то ве­ роятность их совместного наступления находится по теореме умножения вероятностей /^=0,2 0,3 = 0,06;Р2=0,20,7 = 0 Д 4 ; Р з = 0 , З а З = 0,09; Р^ = 0,30,7 = 0,21; ^5=0,50,3 = 0,15; Р , = 0 , 5 0 , 7 = 0,35. Складывая вероятности несовместных событий Z2 и Z5, за­ пишем искомое распределение h

3

4

5

6

7

Pi

0,06

0,09

0,29

0,21

0,35

б) Возможные значения случайных величин z. есть произ­ ведения каждого значения х^ на каждое у^ Z, =1-2 = 2; 22=1-4 = 4; 23 =2-2 = 4; 2^=2-4 = 8; 25=3-2 = 6; 2,=3-4 = 12. Поскольку величины х.,у^ независимы, то вероятности их совместного наступления находятся по теореме умножения ве­ роятностей

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

/^=0,06; ^2=0,14; Рз=0,09; Р,^^Л\;

Р,^^\Ъ;

219

^6=0,35.

Складывая вероятности несовместных событий ^2 и Z3, за­ пишем искомое распределение 2/

2

4

Pi

0,06

0,23

6

8

0,15 0,21

12

0,35

9.3. Случайная величина X распределена равномерно в к интервале (О,—). Найти дифференциальную функцию g(y) слу­ чайной величины Y = sin X. Решение. Поскольку случайная величина X распределена равномерно в интервале (^^ТГ), то дифференциальная функция случайной величины X будет

f(x) =

1

2_

^-0 2

к к

Функция y = smx в интервале (О,—) монотонно возраста­ ет, следовательно, имеет обратную функцию ^(у)

=х=

= arcsin у. Найдем производную от обратной функции ^

У

Дифференциальная функция g(y) имеет вид

g(y)=

согласно формуле (1)

жф^ У

Так как у = sinx, где О < х <к—, то О < ^ < 1- Вне этого ин­ тервала g(y) = 0.

220

Гпава

26

Проверка. 2 \

dy

2

b^'"'-h

I

arcsinj^ =1.

9.4. Задана дифференциальная функция (Тл/2л: Найти дифференциальную функцию g(y) случайной вели­ чины У = 2Х^. Решение. Так как в интервале (~-оо,оо) функция у = 2х^ не монотонна, то разобьем этот интервал на два интервала: (—оо^ О) и (О, оо), в которых заданная функция монотонна. Обратные фун­ кции в этих интервалах будут Цf^(y) = —Jj• и ^2(У)^^^' ^^" ответственно. Находя производные ^\(у)^

? = , ^'i(y) 2yj2y

= —7= и 2yJ2y

учитывая,что/Г"F/>';; = —i=-e **'' и г/ц* fy))=:-J—e

^^' по

формуле (2) окончательно будем иметь 1 -— 1 1 —^ 8(У) = а^2к —7Т=^е '' yJ2y 2GyJny Поскольку у = 2х^, где -^ интервала g(y) = 0. Проверка. \g(y)dy i y = t^\

dy = 2tdt\

<X
и вне этого

= -—-f=\—j=-dy 2Gyj7t i yjy 1 7 -^ .

ОУ1К{

V2cT 4bi ОУЩ

2

,

СЛУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

221

Здесь при вычислении использован интеграл Пуассона \e-''^dt =

2к

9.5. Дискретная случайная величина X задана распреде­ лением X.

р>

1

2

3

0.2

0.3

0.5

Найти математическое ожидание Y = Х^ ^-Х. Решение. Найдем значения случайной величины у. - (р/х.) : у^=\-^\ = 2; y^=S + \=9; y,=27 + \ = 2S, По формуле (3) математическое ожидание равно Л/(^У; = 2 0,2 + 9 0,3 +28-0,5 = 17,1. 9.6. Найти математическое ожидание и дисперсию функции Y = X", если f(x) = COSX плотность распределения непрерыв­ ной случайной величины X в интервале (0,;г); вне этого интер­ вала f(x)-0. Решение. Из условия (р(х) = х . Математическое ожидание по формуле (4) равно оо

л

тс

M(Y) = Ix^cosxdx = jc^sinjc] - 2 j jcsinjcrfx = 0

0

= 2xcosx| -2\cosxdx 0

0

= —2n.

0

Дисперсию находим по формуле (5) тг

D(Y) =

л

j((p(x)ff(x)dx-(M(Y)/=jx''cosxdx-4K\ о

о

Интегрируя четырежды по частям, получим

222

Гпава

D(Y) =

26

-AK(7l^'-6)-47t^=-4n(7l^+7l-6).

9.7. Независимые случайные величины X я Y заданы дифференциальными функциями:

/2(у) = \е-'''

(0<у<оо).

Найти дифференциальную функцию случайной величины Z = X + Y, Решение. Поскольку возможные значения аргументов х,у неотрицательны, то по формуле (6) имеем Z

л

g(2) = jUx)f2(z-x)dx

Z

= -je ye-'" 2о

6^0

-е ^ 3

dx =

о

Здесь 2 > О, т.к. возможные значения Z и F неотрицатель­ ны. Вне интервала (О,©о) дифференциальная функция g(z) = 0. 9.8. Заданы дифференциальные функции равномерно распределенных независимых случайных величин X и Y:

Ux) = ^

Г0<х<3;; /2(У) = ^

(0<у<3).

Вне заданных интервалов функции равны нулю. Найти ин­ тегральную и дифференциальную функции случайной величины Z = X + Y. Построить график дифференциальной функции g (z). Решение. Поскольку возможные значения Z определяются неравенством 0 < Х < 3 , а Y — неравенством О < F < 3, то воз­ можные случайные точки (х,у) расположены в квадрате ОУ4БС (рис. 26.8), сторона которого равна 3 единицам.

СЛУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

223

1

у x+y =z А ЛГ\В

3

О \1л/\ \с \

о

3

\

6

X

Рис. 26.8 По определению интегральной функции (8) неравенству x + y
G(z) = llf,(x)f,(x)dxdy S

= ^jldxdy, ^

S

где S — площадь квадрата ОАВС, лежащая ниже прямой x + y = z. Если О < Z < 3, то прямая отсекает от квадрата прямо­ угольник площадью z^l 2 и интегральная функция равна G(z) =

=—. 9 2 18 При 3 < Z < 6 площадь фигуры OAMNC найдем как раз­ ность между площадью квадрата z ^ = 9 и площадью треуголь­ ника М^Л^, равной (6—z/ /2. Таким образом,

G(z) = m-(6-z//2)

= \-

(6-zf 18

224

Гпава

Очевидно, ЧТО если z<О, то 5 = 0 и G(z)^0;

26

если 2 > 6 ,

то G(z)- —S()^fj^ =—9 = 1. Окончательно получим

сг^;-

IО

при

IzVlS

при 0 < z < 3 ;

l-f^e-z/ZlS

Z < 0;

при 3 < z < 6 ; при

Z > 4.

Дифференциальная функция примет вид [о |z/9

gr^;-

~(2 3 О

при Z < 0; при 0 < z < 3 ; ) при 3 < z < 6 ; 3 AI/7W

z>4.

График дифференциальной функции g(2) рис. 26.9.

показан на

ё(г)

Рис. 26.9

26.10. Системы случайных величин 1°. в ряде случаев результат опыта или некоторое событие описывается не одной случайной величиной X , а несколькими случайными величинами X,Y,Z,..., образующими систему.

СПУЧАЙНАЯ

ВЕПИЧИНА

И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

225

Систему двух случайных величин будем обозначать (X, Y), где каждая из величин X и 7 называется составляющей. Гео­ метрически система двух случайных величин представляется случайной точкой на плоскости. Трехмерную случайную величину геометрически можно интерпретировать как точку M(X,Y,Z) в трехмерном простран­ стве или как вектор ОМ, Аналогично определяется и «-мерная случайная величина. 2°. Законом распределения вероятностей дискретной дву­ мерной величины (X, Y) называют соответствие возможных значений этой величины (x^.yj) и их вероятностей P(^i>yj)

Г/ = 1,2,...,А2;7=1,2,...,тЛ приэтом ХмХу=1^у '^^•

Закон распределения системы двух дискретных случайных величин удобно задавать в виде таблицы

Г""^""^

Хт

^2

Рп

Ри

Рш

Уг

Ри

Рп

Plm

У''

Рт

Рп2

Jrnm

у^^-^ Ух

\

...

Xi

причем ^ j < X 2 < - < ^ m /

У1<У2<'"<Уп-

3°. Функцией распределения двумерной случайной величи­ ны (дискретной или непрерывной) называют функцию F(x,y) = P(X<x^Y
(1)

Свойства функции распределения: 1) функция распределения удовлетворяет неравенству

0
—неубывающая функция по каждому

226

Гпава

26

аргументу, т. е.: F(x2,y)>F(x^,y), если х^Ух^; F(x,y2)> >F(x,yJ, если У2>У13) функция F(x,y) удовлетворяет предельным соотноше­ ниям: F(-oo^ у) = 0, F(x, -оо; = О, F(-oo, -оо J = О, F(oo, оо; = 1. 4) при у = оо функция распределения системы является фун­ кцией распределения составляющей : F(x,oo) = F^(x), а при х = оо, соответственно, функцией распределения составляющей Y:F(oo,y) = F,(y). 4°. Вероятность попадания случайной точки в прямоуголь­ ник находится по формуле Р(х,<Х<Х2,

y,
= [^(^2 ^Уг)- F(x,,;; J ] - [F(x2 ,yjгде Х^х,;Х^Х2;У:=^у,;У

= F(x, ,yj\

(2)

= У2,

5°. Плотностью совместного распределения вероятностей f(x,y) непрерывной двумерной случайной величины называ­ ют вторую частную смешанную производную от функции рас­ пределения

Функция распределения находится по формуле X

V

F(x,y)= I J f(x,y)dxdy.

(4)

Свойства функции плотности вероятности: 1) f(x,y)>Q;

2) j

\f(x,y)dxdy--\.

Вероятность попадания случайной {Xj) точки в область S определяется по формуле Р((Х, Y)cS)

= \\f(x,y)dxdy.

(5)

СЛУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

227

Если известна плотность совместного распределения ве­ роятностей f(x,y) системы двух случайных величин, то плот­ ности распределения каждой из составляющих Хи У находятся по формулам

f,(x)=[° f(x.y)dy:

(6)

f2(y)=^j^f(^'y)^-

(7)

10.1. Найти законы распределения составляющих дву­ мерной случайной величины, заданной в виде таблицы с двой­ ным входом X,

^2

Хз

У1

0,1

0,25

0,2

Уг

0,3

0,04

0,11

Решение. Поскольку вероятности несовместны, то для того чтобы найти вероятность Р(Х = х.), надо просуммировать ве­ роятности /-ГО столбца: Р(х^ ) = 0,4; Р(х2 ) = 0,29; Р(х^ ^ = 0,31. Закон распределения составляющей X: ^

X,

^2

X,

р>

0,4

0,29

0,31

Проверка: 0,4 + 0,29 + 0,31 = 1. Сложив вероятности по строкам, найдем вероятности воз­ можных значений Y: P(yJ = 0,55; Р(у2) = 0А5. Закон распределения составляющей Y: Y

У^

Уг

Р

0,55

0,45

Проверка: 0,55 + 0,45 = 1.

Гпава

228

26

10.2. Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая А^ двумерной случайной величины примет значе­ ние X < 2 и при этом составляющая Y примет значение У < 4, если функция распределения имеет вид п 8 Решение. Положив в формуле (1) jc = 2, j ; = 4, получим ис­ комую вероятность P r ^ < 2 , y < 4 ; = Fr2,4; = i a r c t g ^ = i 71 8 4 10.3. Найти вероятность попадания случайной точки ( Х ; У)

к

71

в прямоугольник, ограниченный прямыми х^ =—; х^ =—, _7Г _71 ^ ^ J^i - " 7 ' ' -^2 - " 7 ' если известна функция распределения к к (^<х<—; ^<у<—), к к __к _к Решение. Положив ^i = -г/ ^2 = Т'" У^^Т' -^^2 ~ Т в фор3 2 6 4 муле (2), находим ¥(х,у)^%\пхъ\пу

3

2

6

2 й Г з"'7 и

F

4 (

. к . п sin—sm 2 4

L

V2

6

З"'б"

. к . п \ (. n . n . к . K\ sm—sin— = sin—sin — - sin—sm 2 в 3 6) 3 4) \

(л/2

Ssll

2 2

1

S\\- 0 , 1 .

2 2

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

229

10.4. Найти плотность совместного распределения вероят­ ностей f(x,y) системы случайных величин по известной функ­ ции распределения F(x, у) = cos х cosy и вероятность попадания точки в прямоугольник 0 < х < — ,

0<у<—.

Решение. По формуле (3) имеем ^. , Э^ ("cos л: cos V J f(x. у) = ^ ^ — ^ = sm^ sin у. охоу Зная плотность распределения, вероятность попадания точ­ ки в прямоугольник определяется по формуле (5) 7t/2 к/2

Т1/2

л/2

Р = J J sinjcsin>;(ix:
0

0

?r/2

0 n/2

= j sinjct/x=-cosjc I =1. 10.5. Найти функцию распределения двумерной случайной величины по известной плотности совместного распределения п /(^x,>'^ = Csin(^x + >'^ внутри прямоугольника x = 0;x = —;

к

j ; = 0,\у = —; и f(x,y) = о вне прямоугольника. ^ п Решение. Учитывая, что хну изменяются от О до —, бу­ дем иметь рп/2

J

рк/2

J

Csm(x + y)dxdy=^\,

Интегрируя сначала по j , а затем f по (к JC, получим ^ -Л-Х гп/2 f2 - c o s x №c = cos JO и 2 J - C j QOs(x + y)\ dx^-C\ p;r/2

= CJ

n/2

(^sinx + cosjc^rfx = C(^-cos^: + sinx^|

Откуда с =--.

=С(\Л'\)-\,

230

Гпава

26

Функция распределения по формуле (4) будет С^ СУ

\

1 С^

F(x,y) = —\ J Ш1(х + y)dxdy-

1^

— J cos(x^y)\

Z,

\ ex

dx0

Z,

1

1^

= — J (co^(x-\-y)-cosx)dy-—(^т(хЛ-у)--'^тх)\ Z.

= 0

Z,

= — f'sin X + sin >- - %\xv(x+y)).

I

K

K \

2

2J

10.6. Внутри прямоугольника x = 4, x = 6, з; = 10, j ; = 15, фун­ кция /(^jc,;;jсохраняет постоянное значение и f(x,y) = 0 вне этого прямоугольника. Найти плотность совместного распреде­ ления и функцию распределения системы. Решение. Поскольку функция f(x,y) сохраняет постоян­ ное значение внутри прямоугольника, то обозначая ее за С, бу­ дем иметь откуда 5 C £ V = 2 - 5 C = 1 и С = 0,1

{

ОД внутри прямоугольника О

вне прямоугольника.

Функцию распределения находим по формуле (4) F(x,y)=[

V QAdxdy = OA[ (y-\(i)dx JA JlO

=

QMy-\0)(x-A).

J4

10.7. Плотность совместного распределения двумерной слу­ чайной величины (X, Y)

f(x,y)-

—

при х^ -\-у^ < \,

О

при jc^+y >1.

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

231

Найти плотность распределения составляющих JSf и Y. Решение. Плотность распределения составляющей X на­ ходится по формуле (6) f^(x)^^—\

1 г>Л^ 1 / г— dy = -yl\-x

г

к

]_

Ux) = \К

-yj\ — x'

о

;

при |х|<1, при \х\'>1.

Плотность распределения составляющей У находим по фор­ муле (7) , 1 fVbV 1 I 2л i - ^

к

^ , ,

I -ф-/ о

при \у\<\, при \у\'^^-

26.11. Условные законы распределения вероятностей составляющих системы 1°. Условный закон распределения составляющей Х систе мы дискретных случайных величин в предположении, что собы тие Y = у. произошло, находится по формуле Р(Х,\У,) =

Р(Х„У;)

(1)

P(yJ

здесьу сохраняет одно и то же значение при всех возможных зна­ чениях X, Условный закон распределения составляющей Y:

, Р(Уп^^=

P(x,yJ p(^j

•

(2)

232

Глава

26

V. Для непрерывных случайных величин X, Гусловная диф­ ференциальная функция Ц>(у\у) составляющей Jf при заданном значении F = у определяется отношением

^г(У)

(3)

\j(x,y)dx

где f-^iy)—дифференциальная функция составляющей Гнепре рывной двумерной случайной величины (см.(7) п. 10). Аналогично, условная дифференциальная функция состав ляющей У равна

U")

(4)

I f(x.y)dy

3°. Условным математическим ожиданием дискретной слу­ чайной величины Упри Х = х называется сумма произведений возможных значений У на их условные вероятности.

M(Y\x=jc; = £ yiP(yi кл

(5)

Для непрерывных величин M(Y\X = x)=ll

y(p(y\x)dy,

(6)

Аналогично определяется математическое ожидание случай­ ной величины Z на У=j;. 11.1. Задана двумерная дискретная случайная величина

1 Уг=^

X, =0,1

^2=0,3

Хз=0,6

0,05

0,25

0,30

0,20

0,14

0,06

Найти: а) условный закон распределения составляющей X, при условии, что составляющая У приняла значение >^, = 2;

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

233

б) условный закон распределения У, при условии, что Решение, а) Условные вероятности возможных значений X при условии, что составляющая У приняла значение j^, = 2, на­ ходим по формуле (1)

где Р(у^) равна сумме вероятностей первой строки Р(у,) = Р(х„у,)+Р(х^.у,)+Р(х„у,)--0,05

р^ .

+ 0,25 + 0,Ъ0 = 0,в.

P(x,,yOJ_^^l_

" '

Р(у,)

0,6

12

"•"^

Р(у,)

0.6

12

^'-'" рг>;,; 0,6 2 Искомый условный закон распределения Химеет вид

X

P(^J

0,1

0,3

0,6

1/12

5/12

1/2

, 1 5 1 , Проверка: X,=i^<^^' у.) = — + — + - = 1. ' 12 12 2 б) Условные вероятности значений Y, при условии Xj =0,3, находим по формуле (2) P(x^,yj) Р(У1 F2 ) =

—•

где Р(х^) = Р(х^.у^)+Р(х^,у^) = а,2Ь + 0М = 0,Ъ9. Р(У\\Х2)-

pfxj

0,39

39'

234

Гпава

ny2\X2J~

р^^^^

26

0 39 39'

Таким образом, условный закон распределения 7

1

5

Р(уМг)

25/39

14/39

25

Проверка: Xy=i^<'^y

24 ^

39 39 11.2. Задана дифференциальная функция непрерывной дву­

мерной случайной величины f(x,y)

— е'^""

^^^^^У

) Найти услов­

ные дифференциальные функции составляющих. Решение. Найдем сначала дифференциальную функцию составляющей X f^(''^ = 1У(^'У)^У =\y''''-'''''^'>dy = e-^^iy^' 'dy. v ^ -W Л-^у) '' '' d(—-^2y) = е ^2 2 При вычислении здесь использован интеграл Пуассона

= 29^

I е ^-

J е~^ dt = \lK. Дифференциальная функция составляющей Y равна J—00

J—00

Подставляя найденные функции в формулы (3), (4), оконча­ тельно получим: ^~(х'+2ху^у')

^-(^-^У)

(р(х\у) = -(х^+2ху+у-)

2 4f+2v/

(р(у\х) = 2

^

л/тг

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

235

11.3. Дискретная двумерная случайная величина задана таблицей распределения | ^ \ ^ X, = 2 ^ ^ ^ \

1 >'2=4

х-^—Ъ

Хз = 6

0,10

0,16

0,04

0,15

0,25

0,30

Найти условное математическое ожидание составляющей Y при X = X, = 2. Решение. Найдем вероятность Р(х^), для чего сложим ве­ роятности в первом столбце Р(х^ J = ОД О + ОД 5 = 0,25. Условные вероятности возможных значений Y, при усло­ вии х^ = 2, находим по формуле (2) Р(У} к / = ''^^'' ^'^^1'''^

p.^b,

P(xJ

^^ Р(хО 0,25

= :^fe^ =^

' '

= 0.6.

nУ2\^^) p^^j 0 25 Искомое условное математическое ожидание находим по формуле (5) M(Y\x,=2) = у,Р(у,\х,)^у^Р(у^\х,)

= j;^y.P(yj\xJ

=

= Ъ-()А^АО,в = Ъ,в.

26.12« Числовые характеристики системы двух случайных величин 1°. Математические ожидания дискретных случайных вели­ чин XHY, входящих в систему, вычисляются по формулам

236

Гпава т

26

п

.=1 У=1

M(Y) = ±±y,p,..

(1)

1=1 7=1

Дисперсии дискретных случайных величин Хи У определя­ ют по формулам m

п

D(X) =

2t.Py(x,-M(X)f: 1=1 у=1 т

п

D(Y) = 2TPij(yj-^(Y)f'

(2)

1=1 j=i

а средние квадратические отклонения по формулам

a^=^D(X),

<у^=4Щ).

(3)

2°. В случае непрерывных случайных величин математичес­ кие ожидания равны M(X)=j

\xf(x,y)dxdy, оо

оо

M(Y)=\\yf(x,y)dxdy

(4)

или, зная дифференциальные функции составляющих со

M(X)=\xf,(x)dx; оо

M(Y)=^\yf,(y)dy.

(5)

Дисперсии непрерывных случайных величин Хи У опреде­ ляются по формулам D(X)= ]

](x^M(X)/f(x.y)dxdy;

СЛУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ оо

237

оо

D(Y)^ \ \(y-M(Y)ff(x.y)dxdy

(6)

или через дифференциальные функции составляющих по фор­ мулам оо

оо

D(X)=\(x-M(X)fUx)dx

=

\x'f,(x)dx-(M(X))';

D(Y)=](y-M(Y)ff,(y)dy=]/f,(y)dy-(M(Y)/ —оо

(7)

—оо

Для вычисления дисперсий можно также использовать фор­ мулы D(X) = M(X')-(M(X))\ D(Y) = M(Y')^(M(Y))\ (8) 3°. Корреляционным моментом ji^ случайных величин назьшают математическое ожидание произведения отклонений этих величин. Для вычисления jU^ дискретных величин используют формулу п

т

М^ = I l r ^ / ''^(Х))(У,

-M(Y))p,j.

(9)

1=1 У = 1

для непрерывных оо

оо

iU^ = j l(x-M(X))(y^M(Y))f(x.y)dxdy.

(10)

Корреляционный момент может быть найден по формуле М^ =M(XY)-M(X)M(Y). где для дискретных случайных величин Хи Y т

п

M(XY) = Y;^x,yjP,j, 1=1 м

а для непрерывных

(11)

238

гпава

M(XY)= j

26

jxyf(x,y)dxdy.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие зна­ чения приняла другая величина. Характеристикой линейной связи Y = аХ + b между случай­ ными величинами X и Услужит коэффициент корреляции: г'ху . . = ^^

о-.^у

(12)

Если случайные величины независимы, то г^ = 0. Коэффи­ циент корреляции удовлетворяет условию уху\-1- причем, чем ближе \г\ к единице, тем связь сильнее. Если корреляционный момент отличен от нуля, то случай­ ные величины X и Гназываются коррелированными. Если M.vv~ = О, то JSf и 7 называются некоррелированными случайными ве­ личинами. 4°. Пусть в результате п испытаний случайные величины X и 7 принимают значения {^\^У\)^{^2'У2)^--->{^п'Уп)' Если п до­ статочно велико и г^ Л/А1~1 ^ 3 , то вероятно существует связь между случайными величинами XHY. Линейное приближение У от X дается формулой линейной регрессии У - g(X) -аХ Л-Ь, где а,Ь — коэффициенты, подле­ жащие определению. Наилучшее приближение, в смысле мето­ да наименьших квадратов, дает функция g(X), которая назы­ вается среднеквадратической регрессией У на X, Прямая линия среднеквадратической регрессии УпаХ имеет вид а g(X)-m^=r^-^(X-mJ, (13)

СПУЧАИНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

239

аХна Y <У^

g(Y)-m^=r^,^(Y-m^.), где т^=М(Х),

т^=М(¥),

(14)

X^g(Y).

Коэффициент b(Y/X) = г —^ — называется коэффициентом регрессии У на X, а b(X/Y) = г^у -~ — коэффициентом рег­ рессии JSf на Y. Прямые регрессии (13), (14) проходят через точку {т^,туУ которая называется центром рассеивания системы случайных величин ХиУ. 12.1. Двумерная дискретная величина задана таблицей рас­ пределения X, = 0 , 1

Х2=0,2

Xj = 0 , 3

у^-^

0,04

0,15

0,05

Уг^'^

0,16

0,05

0,10

0,10

0,15

0,20

1 7з=3

Найти математические ожидания, дисперсии и средние квадратические отклонения случайных величин Z и У. Решение. Воспользуемся формулами (1), тогда: М(Х) = 0,1(0,04+0,16+0,10)+0,2(0,15+0,05+0,15)+ +0,3(0,05+0,10+0,20) = 0,03+0,07+0,105 = 0,205; M{Y) = 1(0,04+0,15+0,05)+2(0,16+0,05+0,10)+ +3(0,10+0,15+0,20) = 0,24+0,62+1,35 = 2,21. Точка (0,205; 2,21) является центром рассеивания для за­ данной системы случайных величин.

240

Гпава

26

Составим таблицу отклонений значений случайных вели­ чин от их математических ожиданий -0,105

-0,05

-0,095

-1,21 -0,21

0,04 0,16

0,15 0,05

0,05 0,10

0,79

0,10

0,15

0,20

Дисперсии находим по формулам (2) D(X) = (-0,105)2+(0,04+0,16+0,10)+(-0,05)2(0,15+ +0,05+0,15)+(0,095)2( 0,05+0,10+0,20)=0,0082437; D(Y) = (-1,21)2(0,04+0,15+0,05)+(-0,21)2 (0,16+ +0,05+0,10)+(0,79)2(0,10+0,15+0,20)=0,6459. Средние квадратические отклонения находим по формулам (3) а , = л/о, 0082437 = 0,09079; а^ = ^0,6459 = 0,803689. 12.2. Закон распределения вероятностей системы двух дис­ кретных случайных величин {X, У) дан в таблице. Найти: а) ряды распределения для Z и для У; б) М(Х), M(Y), D(X), D(Y), • f^xv' 'V; в) линии регрессии У на Х и Хна У.

I ^ ^ ' У^ " ^^ —^^ - - ^ 1

^• 4

\pi-P(x,)

1

2

3

0,1 0,05

0,3 0,2

0,2 0,15

0,6 0,4

0,15

0,5

0,35

1

^j=P(yj)\

Решение, а) Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений для X, а сложив по строкам,

СПУЧАЙНАЯ ВЕПИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

241

получим вероятности возможных значений для У. 6) М(Х) = ^]^^х,р,=\-^Л5 + 1-а.5 + Ъ-0,Ъ5 = 1,2:

^(^^>» = Х5=,Л^у=2-0,6+4-0,4 = 2,8.

D(X) = Y,(x,-M(X)fp,= = 1,2' 0,15 + 0,2' 0.5+0,8' 0,35 = 0,46

^Г}';=ЕГ:и,-л/Г7;/^^.=о,8'о,б+1,2'о,4=о,9б 7=1

<т, = yJDfX) = л/Мб = 0.6782329 а^, = yjD(Y) = ^096 = 0,97979. Корреляционный момент находим по формуле (9) H:,,=t,t,(x,-M(X))(yj-M(Y))p,j=\,2-0.S-0.l

+

1=1 7=1

+1,21,20,05 + 0 , 2 0 , 8 0 , 3 - 0 , 2 1 , 2 0 , 2 - 0 , 8 0 , 8 0 , 2 + 0,81,20,15 = 0,04. Коэффициент корреляции вычислим по формуле (12) г ^ = - ^ = 0,06. Находим коэффициенты регрессии в) b(Y/X) = г„ ^ = 0,0577848, b(X/Y) = г ^ = 0.0276889. • (7 "л

<Т "у

Таким образом, линия регрессии Y ни X принимает вид: >; = 0,058л:+2,67287.

242

Гпава

26

а линия регрессии Z на 7 вид: х^т^^г^(у-т);

jc = 0,0277>; +2,12247.

12.3. Задана дифференциальная функция непрерывной дву­ мерной случайной величины

f(x.y) = \

О

прих<0 или у<0.

Найти: М(Х ) , M(Y), D(X ) , D(Y). Решение. Математические ожидания составляющих нахо­ дим по формулам (5). Найдем сначала дифференциальные фун­ кции:

f(^>y) = \f(^sy)dy о fi(y)^y

=хе'''' ^ ye'-'dy = -хе~''; о ^

е~^'' \ ^^~^^ dx = -y е'У'.

М( X ) - - ^ ^ ^ х^ё""' dx = -\^ х(2хе-'' dx)-= —('-хе

+\ е

dx) =

Jo

^

А^

. Й

Здесь, интегрируя по частям, учитывается, что интеграл Пуассона J е'"" dx = Аналогично, M(Y)

. = —\ у^е'^' dy =

.

Дисперсию находим по формулам (7)

1

I хе

D(X)^-rx'e-'^'dx-\ 2"

( л/л: Г\

ах-\

—8

\ =-rx'(2xe-''dx) п

64 ~ 44'

Jo •'о

/^4 ^ 64

4^ 4

16

СПУЧАИНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЕ ЧИСПОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

243

Аналогично, '

'

2^^

64

4

7Г

16 К

12.4. Внутри квадрата 0 < х < — , 0<>^<— плотность рас­ пределения системы двух случайных величин f(x,y)

=

= —sin(^jc + j j ; вне квадрата f(x,y)=^Q. Найти: М(Х), M(Y), D(XX D(Y), д,^, r,^,. Решение. Математическое ожидание составляющей X на­ ходим по формуле (5) M(X):=\''^^xf,(x)dx, JO

Tjxtf^(x) вычисляется по формуле ((5) п. 10) 1 Гя/2

fx(x) = —\

f2

sm(x + y)dx = —QOs(x-^y)\

2

2

1

c o s — + JC - C O S X

=

1/f sinx • =— + cosxy. 2

Отсюда 1 f^/2

M(^Xj = —J

л:

x(^mx Л- cosx) dx = —.

Аналогично находим математическое ожидание составля­ ющей Y

M(Y) =

[''yf(y)dy.

где лл:/2

1 гк/2

1 ""^^ 1 = —со^(х + у) I =—(^sin J^ + cos>^^; 2 о 2

244

Гпава 1 Г^/2 Г^/2

%

-Jo - - - - - • " - - -

4

Дисперсии составляющих определяем по формулам (7) D(X)=r

ря/2

(x-M(X)/f,(x)dx

=

Jo 2

= f%'f,(x)dx-[M(X)f = "^+^-2.

-\l%'A(y)dy-W(Y)t = Y^+f-2. Корреляционный момент по формуле (11) равен 71 к

1 Г^^^ Г^^

^

/ t ^ = M r j n r ; - - - = -J^ J, 1 f^/2

xysin(x+y)dxdy-~

/(-я/г

\

jc^

1 ff/z

. 7'^ Jo ^r->'cos('jc+>';+sm('x+>';;| -«;/'—vcos/'x+v) + sin^x+v)) — 'o 16 1 rit/l

ЛГ .

.

7t^

= — x(—%va.x-'rCosx—s\nx)dx = г-*» 2 16 = — (( \)xsm.x+xcQsx)ax =—f \)(-xco%x+ 2J0 " 2 16 2 2 '/^ 1 T^ л:^ л: л:^ 'о 2 'о 16 2 16 Коэффициент корреляции находим по формуле (12) г ^"" ^D(X)^D(Y)

^2 1 6 ^ 0.7369 _ Q,^g ^^.^_2 3,0023 16 2

26

Глава 27 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 27.1. Основные понятия математической статистики 1°, Все объекты данной совокупности называют генераль­ ной совокупностью. Выборочной совокупностью (выборкой) называют совокуп­ ность случайно отобранных для обследования из генеральной совокупности объектов. Если случайно отобранный объект возвращается обрат­ но в генеральную совокупность, то выборка называется по­ вторной. Если же не возвращается, то выборка называется бесповторной. Случайная бесповторная выборка имеет место тогда, ког­ да из генеральной совокупности берется сразу нужное количе­ ство объектов. Любой результат, вычисленный по данным выборки, имеет погрешность, которая называется ошибкой репрезентативнос­ ти (или представительности).

246

Гпава

27

Ошибка репрезентативности характеризует величину рас­ хождения между результатами выборочного метода и соответ­ ствующими данными по генеральной совокупности. Изменение изучаемого признака х. данной статистической совокупности называется его вариацией. Наблюдаемые значения объекта (признака) х., извлечен­ ного при выборке из генеральной совокупности, называют ва­ риантами. Варианты принято группировать по отдельным значениям признака (дискретная группировка) или по интервалам измене­ ния признака (интервальная группировка). Вариационным рядом называется последовательность ва­ риант или интервалов вариации, расположенных в возрастаю­ щем порядке. Число наблюдений объекта м. при выборке называется час­ тотой. Отношение частоты к объему выборки n-/n=W. назы­ вается относительной частотой. Представленная в виде таблицы совокупность вариант и соответствующих им частот или относительных частот называ­ ется статистическим распределением выборки. 2^, Пусть известно статистическое распределение частот количественного (дискретного или непрерывного) признака X. Функцией распределения выборки или эмпирической функ­ цией распределения называется функция F*(x), определяющая относительную частоту события Х<х для каждого значения х:

F*(x) = ^ , п где п^ — число вариант, при которых значение признака мень­ ше х, « — объем выборки. Свойства эмпирической функции распределения: 1) функция/^*(^xj —неубьгоающая; 2) значения функции F^(x) принадлежат отрезку [0,1];

ЭЛЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИ ЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

247

3) если Ху — наименьшая варианта, а х^. — наибольшая, то эмпирическая функция F'^(x)- О при х < х^ и F'^{x)-\ при

х,>х^, 3°. Геометрическая иллюстрация статистического рас­ пределения представляется графическим изображением ва­ риационных рядов: полигоном, гистограммой, кумулянтой и огивой. При построении полигона частот на оси абсцисс прямо­ угольной системы координат откладывают варианты х., а на оси ординат — соответствуюш^ие им частоты п^. Ломаная линия, соединяющая точки (х^.,г?.), называется полигоном частот, ^zm^ по оси ординат откладывать относительные частоты vv. — соот­ ветствующие вариантам х^, то ломаная линия, соединяющая точ­ ки (x^,w^.), называется полигоном относительных частот. Гистограмма— графическое изображение интервального вариационного ряда. В случае непрерывного распределения при­ знака в некотором интервале, интервал разбивают на несколько частичных интервалов длины Л и находят суммы частот п. в каж­ дом частичном интервале. При построении гистограммы на оси абсцисс откладывают интервалы значений признака Л, и на каж­ дом из них, как на основании, строят прямоугольник с высотой равной отношению «^./Л, где п^ — частота вариант /-го интерва­ ла; «. Ih — плотность частоты. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки. Если высоты прямоугольников равны w./h —плотности относительных частот, то ступенчатая фигура, состоящая из этих прямоугольников, называется гистограммой относительных ча­ стот. Накопленной частотой в точке х. называется суммарная частота элементов статистической совокупности со значениями признака, меньшими чем х^. Кумулятивным рядом называется ряд накопленных частот 7/ {х), члены которого соответствуют границам интервалов или значениям признака.

248

Гпава

27

Если на оси ординат откладывать накопленные частоты у, (^) > а на оси абсцисс соответствуюище границы интервалов х^, то лома­ ная линия, соединяющая точки л:., 7, (^) ? называется кумулянтой. Если на оси абсцисс откладывать накопленные частоты, а на оси ординат границы интервалов или значение признака, то лома­ ная линия, соединяющая точки (у^ (х), х^), называется огивой. 1.1. Выборка задана в виде распределения частот -\-

2

4

6

9

11

"/

1

3

7

5

4

Написать распределение относительных частот. Построить: а) полигон частот; б) полигон относительных частот; в) найти эмпирическую функцию и построить ее график. Решение. Найдем объем выборки ^=1+3+7+5+4 = 20. Деля частоты на объем выборки, находим относительные частоты ^1=ТГ = 0,05; м;2=:^ = 0,15; > У з = ^ = 0,35; 20 20 20 w,= — = 0,25; W5= — = 0,2. ' 2 0 ' 2 0 Распределение относительных частот примет вид x^

2

4

6

9

И

1 ^-,

0,05

0,15

0,35

0Д5

ОД

Проверка 2^^^jW,. =0,05 + 0,15 + 0,35 + 0,25 + 0,2 = 1. а) На оси абсцисс отложим варианты х^, а на оси ординат— соответствующие частоты п^ (рис. 27.1). Соединив последовательно точки (х^.,«^) прямыми, получим искомый полигон частот.

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОИ СТА ТИСТИКИ

249

б) На оси абсцисс отложим варианты л:., а на оси ординат соответствующие им относительные частоты w. (рис. 27.2).

12 ^i

Соединив последовательно точки {x.,w) прямыми, получим искомый полигон относительных частот. в) Наименьшая варианта равна 2, следовательно, F\x) = О при х<2. Значение Z < 4, а именно Ху= 2, наблюдалось один раз, следовательно, F\x)-\l 20=0,05 при 2<х< 4. Значения Х< 6, а именно Ху= 2, и ^2= 4, наблюдались 1+3 = 4 раза, следовательно, F\x) = 4/ 20 = 0,2 при 4< х < 6. Значения Х< 9, а именно х^- 2, ^2= 4, х^= 6, наблюдались 1+3+7=11 раз, следовательно, F*(x)=l 1/20 = 0,55 при 6< х < 9.

250

Гпава

27

Значения Х< 11, а именно х^- 2, xf^ 4, xf^ 6 и xf^ 9, наблюда­ лись 1+3+7+5= 16 раз, следовательно 7^*(х)=16/20 = 0,8 при 9< х < 11. Так как х = 11 — наибольшая варианта, то, согласно свойств эмпирической функции распределения, получим F\x)-1 при х> 11. Отсюда, искомая функция распределения примет вид [о при х<2, |о,05 при 2<х<А, F'(x) = \

0,2

при

А<Х<6,

0,55 0,8 1

при в<х<9, при 9<jc\\.

График функции распределения показан на рис. 27.3.

2

4

6

9 11 X

Рис. 27.3 1.2. По данному распределению выборки интервал х^- x.^j

2-6

6-10

10-14

14-18

18-22

частота п^

4

6

10

25

5

построить: а) гистограмму частот; б) гистограмму относитель­ ных частот. Решение, а) Нетрудно решить, что длина интервалов равна Л = 4. Тогда плотности частот равны -^ = 1; - ^ = 1,5; - ^ = 2,5; п п h h h h h

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОИ СТА ТИСТИКИ

251

На оси абсцисс построим заданные интервалы (рис. 27.4). п 6.25 2,5 L5 2

6 10 И 18 22 X

Рис. 27А

Над этими интервалами параллельно оси абсцисс проведем отрезки на расстояниях, равных соответствующим плотностям частоты — и построим ступенчатую фигуру из прямоугольнип ков, которая и будет искомой гистограммой частот. б) Найдем сначала объем выборки п = 2^п. =4+6+10+25+5=50. 4 6 0,12; Относительные частоты будут ж = — = 0,08; >^2 - т г •^ -^ '50 50 25 5 50 50 W. 0,08 = 0,02; w^= Плотности — = 0,5; W5=-7T = 0 ^ . частот будут: относительных

3^

- ^ = 0,03;^ ^

= 0,05;

05

0,125; ^ = ^ = 0,025. ^ hА 4 h 4 ' Л 4 h А На оси абсцисс откладываем заданные частичные интерва лы (рис. 27.5). 0,125

0Р5

орз 0,02 2

6 10 14 18 22 X

Рис. 27.5

252

Гпава

27

Над частичными интервалами параллельно оси абсцисс про5м отрезки отрезки на на расстояниях, расстояниях, равных соответствующим плот­ ведем ностям относительных частот на.. 1.3. В магазине за день проданы рубашки следующих размеров 40 41 39 41

37 39 42 40 39 38 40 41 36 41 40 39 41 40 37 43 40 39 38 40 37 40 38 42 41 40 42 40 38 39 41 40 41 41

Написать дискретный вариационный ряд и построить по­ лигон. Решение. Различные значения признака (размеры рубашек) располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем их частоту, тогда вариационный ряд при­ мет вид ^'

1 "'•

36

37

38

39

40

41

42

43

1

3

4

6

И

9

3

1

На оси абсцисс отложим варианты х^, на оси ординат соот­ ветствующие им частоты. Полигон распределения показан на рис. 27.6.

10 5-1

55

40 Рис. 27,6

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

253

1.4. В течение дня измерялось напряжение тока в элект­ росети (в). При этом были получены следующие значения: 209 215 215 232 220 220 218 220 221 222 224 227 217 226 212 221 225 219 220 222 216 223 218 230 211 219 227 226 220 219 216 232 215 219 218 223 По этим данным написать: а) интервальный вариацион­ ный ряд с равными интервалами в три деления; б) построить гистограмму; в) написать кумулятивный ряд; г) построить ку­ мулянту и огиву. Решение, а) Разобьем диапазон изменения напряжений на равные интервалы и составим таблицу, в первой строке которой расположим в порядке возрастания интервалы, а во второй зна­ чения подсчитанных частот интфвал х.-х.^1

209- 212- 215- 218- 221212 215 218 221 224

22Ф- 227- 230227 230 233

п,

2

1

6

11

6

4

3

3

У'

2

3

9

20

26

30

33

36

б) Гистограмма распределения показана на рис. 27.7. п. ^

209 212 215 218 221224 227 230 233 х Рис. 27.7

в) Находим накопленные частоты для каждого из интер­ валов вариационного ряда // "^^у ==2; /^ =«7+«2 ~^' Уз

254

Гпава

27

=п^'^П2+п^=9; у^ =20; у^ =26; у^ =30; Уу =33; 7^=36. Подставляя частоты в третью строку таблицы, получим кумулятивный ряд. г) Откладывая накопленные частоты по оси ординат, ин­ тервалы по оси абсцисс, получим кумулянту (рис. 27.8). 7/ 30 20

10 0\

210

220

230

Рис. 27.8

Откладывая на оси абсцисс накопленные частоты, а на оси ординат границы интервалов, получим огиву (рис. 27.9).

О

10

20

30

г.

Рис. 27.9

27.2. Средние значения признака совокупности 1°. Генеральной средней при наличии в совокупности по­ вторяющихся значений признака называется среднее значение изучаемого признака в генеральной совокупности

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

^=Щ^

(1^, = ^).

255

(О

где N- — частота признака х.. При отсутствии повторений признака используется форму­ ла средней арифметической ^ =^^^, (2) N Выборочной средней называется среднее значение призна­ ка в выборочной совокупности

^^Z,_^

- I-,

п

G«,=«.

(3)

^

или х=^^=^—, если признак не повторяется. п Ошибка репрезентативности А определяется разностью меж­ ду выборочной средней и генеральной средней А = х - X. 2°. Генеральной долей называется отношение количества единиц М, обладающих данным признаком, к численности гене­ ральной совокупности М Выборочная доля определяется отношением w-min, где т — количество единиц, обладающих данным признаком в вы­ борочной совокупности п. Ошибка репрезентативности опреде­ ляется разностью А = и^ -/7. Пусть значения признака X генеральной или выборочной совокупности разбиты на несколько групп. Групповой средней называется среднее арифметическое значение признака в груп­ пе. Общая средняя совокупности равна средней арифметической групповых средних, взвешенных по объемам групп. Если варианты х^ — большие числа, то с целью упрощения расчета из каждой варианты следует вычесть некоторое число

256

Гпава 27

Хд, близкое к среднему значению, т. е. перейти к условным вари­ антам U = X-'-XQ.B ЭТОМ случае среднее арифметическое выбор­ ки определяется по формуле х=^^-^Н-х, (4) п Средним степенным к-го порядка искомого признака не­ которой выборки называется величина x^=Vx\

(х,>0)

если к = 1 среднее степенное есть среднее арифметическое; к = 2 — среднее квадратическое; к = 3 — среднее кубическое и т. д. При А: = -1 среднее степенное называется средним гармони­ ческим. Среднее геометрическое определяется по формуле

^Ф

5^«.=/!, X. >0 /

2.1. Из генеральной совокупности взята выборка, определяемая распределением ^'

1 "i

2

4

6

9

10

11

8

12

14

5

Найти ошибку репрезентативности, если генеральная сред­ няя равна X = 6. Решение. Находим выборочную среднюю - Е^Л 11-2 + 8-4 + 12-6 + 14-9 + 5 1 0 ^ ^, X = ^== = = 6,04. п 50 Ошибка репрезентативности равна А = х - Х = 6,04-6 = 0,04. 2.2. В цехе из 1000 рабочих 126 женщин. В выбороч­ ной совокупности из 100 человек их оказалось 14. Найти ошибку репрезентативности.

257

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

Решение. Генеральная доля женщин в генеральной совокупМ 126 « , ^ ^ „ ^ т ности равна р — = = 0,126. Выборочная доля w= — = 14 Л^ 1000 п 100 = 0,14. Таким образом, ошибка репрезентативности будет А = 0,14-0,126 = 0,014. 2.3. Совокупность разбита на две группы ^,"'•

1

2

4 1

У1

1

3

6

3

7

5

nil

2

4

4

Найти общую среднюю совокупности. Решение. Найдем групповые средние _ _ 3 - 1 + 7-2 + 5 - 4 _ 3 7 3+7+5 ~15' _ 2-1 + 4-3 + 4-6 . _ У= = 3,8. 2+4+4 Общую среднюю находим по фупповым средним 37 1 5 — + 10-3,8 Z = —^ = 3. 15 + 10 2.4. Пусть известно распределение роста мужчин Рост, см

число мужчин

Рост, см

число мужчин

150-154

174-178 178-182

158-162 162-166 166-170

1 4 7 9 12

13 10 5 2 2

170-174

15

154-158

182-186 186-190 190 и выше

258

гпава

27

Найти среднее арифметическое роста. Решение. Считаем, что среднее значение искомого признака примерно 170 см. Воспользуемся формулой (4), необходимые вычисления по которой приведены в таблице интервал 150-154 154-158 158-162 162-166 166-170 170-174 174-178 178-182 182-186 186-190 190 и выше

",• 1 4 7 9 12 15 13 10 5 2 2

^

80

середина интервала 152 156 160 164 168 172 176 180 184 188 192

", -18 -14 -10 -6 -2 2 6 10 14 18 22

«.«,. -18 -56 -70 -54 -24 30 78 100 70 36 44 136

J = ^ ^ i ^ + Xo= — + 170 = 171,7сл. п " 80

27.3. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение 1°. Генеральной дисперсией назьшается ср&цщя взвешенная квадратовотклонений значений пршнака от их qxapero значения Д = \Y^N,(X,-X,A/N

(1)

Выборочной дисперсией называется средняя взвешенная квад­ ратов отклонений значений признака от их среднего значения в выборке

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

259

D = 2^и/д:,-х/ /п

(2)

V '

Дисперсия равна разности среднего квадратов значений и квадрата общей средней п

п V

(3) J

2^. Выборочным средним квадратическим отклонением на­ зывается квадратный корень из выборочной дисперсии G = 4D

(4)

Исправленная выборочная дисперсия обозначается за s^ и определяется по формуле

Среднее квадратическое отклонение в этом случае равно Если ;?>30, то формулы (2) и (5) практически совпадают. Средним абсолютным отклонением Ъ называется среднее арифметическое абсолютных отклонений 5=(5^А2.|х.-х|)/^А2..

(6)

Если первоначальные варианты большие числа, то в услов­ ных вариантах U^-X^-XQ И и.= Сх., где С = 10^, исправленная дисперсия равна

^1={j,^i^f -(L^i^if ^^)/{^--^)^

(7)

а сами дисперсии будут s^ =sl и s^ =sl /С^. 3°. Коэффициентом вариации называется отношение сред­ него квадратического отклонения к средней величине признака (в процентах):

260

Гпава

27

X

Размахом вариации называется разность между наибольшим и наименьшим значениями признака. 4^. Если совокупность разбита на группы, то групповой дисперсией называется дисперсия значений признака некоторой группы, относительно ее групповой средней

д=(1«,(^,-^Г )/!«,• Если известны дисперсии каждой группы, то внутригрупповой дисперсией называется средняя арифметическая диспер­ сия, взвешенная по объемам групп.

где N— объем всей совокупности; N. — объем группы. Если известны групповые средние и общая средняя, то ме^н:групповой дисперсией называется дисперсия групповых средних относительно общей средней

где J —общая средняя. Общей дисперсией называется дисперсия признака всей совокупности относительно общей средней

Яб=(Х'^Д^/-Ю'+Х'^/и~Ю')/(^ + '^)-

(8)

3.1. Дана выборочная совокупность распределения X.

1

3

4

8

"-•

5

25

20

10

Найти: а) выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение; б) среднее абсолютное отклонение.

261

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОИ СТА ТИСТИКИ

Решение, а) Найдем общую среднюю 5 И - 2 5 - 3 + 20-4+10-8

240

= 4. 5 + 25 + 20+10 60 Выборочная дисперсия по формуле (2) равна X

D

—•

_ 5 ( 1 - 4 ) ' + 2 5 ( 3 - 4 ) ' + 2 0 ( 4 - 4 ) ' + 1 0 ( 8 - 4 ) ' _ 23

60 6 Дисперсия, найденная по формуле (3), дает тот же самый результат D=

5 - 1 Ч 2 5 - З Ч 2 0 - 4 Ч 1 0 - 8 ' .2 23 -4^=—. 6 60

Среднее квадратическое отклонение равно

23 (Т = J— =

= 1,95789. б) Для нахождения среднего абсолютного отклонения вос­ пользуемся формулой (6) 5=

5|1-4| + 25|3-4| + 20|4-4| + 10|8-4| _ 4 60

"З'

3.2. Совокупность разбита на две группы .X.

1

4

1 «-•

1

6

5 1

1 "*•' 3 1 1 '"/

1

3

4

1

3

2

Найти: а) групповые дисперсии; б) внутригрупповую дис­ персию; в) межгрупповую и общую дисперсию. Решение, а) Найдем групповые средние: х=(^п.х.)/^п.={\'1

+ 6-4-\-3 5)/{1 + 6 + 3) = 4;

У = (Х'^л)/1'^.=(Ы + 3.3 + 2-4)/(1 + 3 + 2) = 3.

262

Гпава 27

Искомые групповые дисперсии: Д=(]^ПХ^-Х)')/А1 = (1(1-4)%6(4~4)'+3(5-4)')/Ш

^ ; - ( 1 ^ Ь - Я ' ) / ^ = (К1~3)^3(3~3)Ч2(4-3)^)/6^ б) Внутригрупповая дисперсия равна A,^=ri01.2 + 6 U / 1 6 = | . в) Найдем общую среднюю _

М + 6-4+3-5 + Ы + 3 - 3 + 2-4

П+б+з;+п+з+2;

29 8

Межгрупповая дисперсия равна D..м гр

^

2 \

11

29 \ 10 4 - — + 6 Гз_29^' /16 = 8 8 64'

Находим общую дисперсию по формуле (8)

Я.=

^

V / Г, 29^'2 г 29 V + 3 5 - ^ + 1 1+6 4 8 V 8 2 \ 29 29 "i' 87 /16 = +3 3 +2 48 8 64' 29 V

3.3. В результате измерений некоторой физической ве­ личины одним прибором получены следующие значения 80, 83, 87, 89, 91. Найти выборочную и исправленную диспер­ сии ошибок измерений. Решение. Найдем сначала выборочную среднюю _ „^ 0+3+7+9+11 _, х=80+ =86

263

ЭЛЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОИ СТА ТИСТИКИ

Выборочная дисперсия, вычисленная по формуле (2), будет равна д ^ X (^i - ^>'' ^ ("80 - 8 6 / + (%Ъ - 8 6 / + Г87 - 8 6 / ^ п 5 (^89-86/+(^91-86/ По формуле (5) найдем исправленную дисперсию

п-\

4

3.4. Найти исправленную выборочную дисперсию по задан­ ному распределению X,.

151

155

159

"i

2

5

3

Решение. Переходя к условным вариантам и. =х^-155, получим распределение "/

-4

0

4

"/

2

5

3

Исправленную выборочную дисперсию условных вариант находим по формуле (7) /

"

9

2 Л

216 + 5 0 + 3 1 6 -

(2(-4) + 5 0 + 3 - 4 ) 10

392 45 •

Поскольку искомая дисперсия равна дисперсии условных вариант, то 392 s'^sl 45 ' 3.5. Найти исправленную выборочную дисперсию по заданно­ му распределению

264

гпава

X.

0,02

0,03

0,07

«,•

2

5

3

27

Решение. С целью упрощения расчетов переходим в распределении к целым числам посредством условных ва­ риант и- = ЮОх. 2

3

7

2

5

3

" ' •

"'•

Исправленную выборочную дисперсию условных вариант находим по формуле (7) Г2-2 + 5-3+3-7/ 40 52=1^2-4 + 5-9 + 3-499 • 9 10 Искомая исправленная дисперсия находится по формуле • ) • •

40 1 9 100' 2250' с' 3.6. В результате испытания некоторого параметра полу­ чено распределение о2 S

"'

^и =-—•

170-190

190-210

210-230

230-250

250-270

10

11

12

9

8

Найти дисперсию, коэффициент вариации и размах вари­ ации признака. Решение. Необходимые вычисления приведем в виде таб­ лицы интервал

«,

середина интервала

w,.=Vr-220

«Л

170-190 190-210

10 11

180 200

-40 -20

-400 -220

265

ЭЛЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

210-230 230-250 250-270

12 9 8

сумма

50

220 240 260

0 20 40

0 180 320 -120

=..+i^= 220-2,4 = 217,6. Искомую выборочную дисперсию находим по формуле 101600+11-400+9-400+81600

D=

50 -2,4'=730,34.

Среднее квадратическое отклонение равно =27,0248. Отсюда коэффициент вариации ^ = —100% = 12,419, а ее размах R = x^^- jc^.„ = 270 -170 = 100.

27.4. Мода и медиана 1°. Модой называется варианта с наибольшей частотой, т. е. наиболее часто встречающееся значение признака. Если интервалы вариационного ряда имеют постоянную ширину Л, то мода признака определяется по формуле Мо=х^+Л

^ ж ^^п,

1

K-«m-l)+K-«m+l)'

(1)

где х^ — начальное значение модального интервала, п^ — наи­ большая частота, п^^ и n^^j — частота интервала предшеству­ ющего и последующего модальному.

266

Гпава

27

2°. Медианой называется варианта, которая делит статис­ тическую совокупность на две равные части по числу вариант. Медиана признака в случае интервального распределения опре­ деляется по формуле п (2)

М =X+А

где п — объем статистической совокупности, y^j — накопленная частота до ^-го интервала, п^ — частота е-то интервала, е номер медианного интервала определяется из условия 7e-i <1 ~ п и 7е+1 > Т ' х^ — начальное значение медианного интервала. 4.1. Дано интервальное распределение 8-11

11-14

14-17

17-20

20-23

23-26

5

И

32

18

17

6

Найти моду и медиану. Решение. Наибольшей частоте п,„ = 32 соответствует ин­ тервал 14—17. Воспользуемся формулой (1). Так как А = 3; л: = 14; «т-; = 11 и «^^^ = 18, то 32-11 = 14+18 = 15,8. М„=14+3(32-11)+(32-18) Для нахождения медианы строим кумулятивный ряд 8-11

11-14

14-17

17-20

20-23

23-26

5

16

48

66

83

89

лл с

в нашем случае ~ = 44,5, поэтому медианным интерва­ лом является интервал 14-17. Медиану находим по формуле (2) 44 5-16 М,^14 + 3 ^ ^16,67. 32

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

267

27.5. Доверительные интервалы для средних. Выборочный метод 1°. Пусть требуется оценить по данным выборки некото­ рый параметр. При выборке малого объема пользуются то­ чечными и интервальными оценками. Точечной называется оценка, которая определяется одним числом. При точечном оценивании предполагается, что истинное значение парамет­ ра генеральной совокупности приблизительно равно соответ­ ствующей выборочной характеристике. Так, выборочное сред­ нее X служит точечной оценкой величины генеральной сред­ ней х^ и т. д. Под интервальной оценкой будем понимать интервал, который покрывает оцениваемый параметр. Интер­ вал, покрывающий оцениваемый параметр с заданной надеж­ ностью Y, (доверительной вероятностью), называется довери­ тельным. Доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормально распределенной величины по выборочной средней х при известном среднем квадратриеском отклонении а генеральной совокупности определяется неравенством x—t—r=
п\

где п — объем выборки, / — значение аргумента функции ЛапУ

ласа Ф(г) = - . Значение t определяется по таблице функции Лап­ ласа по заданной надежности уТочность оценки или средняя ошибка выборки, с которой доверительный интервал покрывает неизвестный параметр а, определяется по формуле d = ta/^. (2) Доверительный интервал для оценки математического ожи­ дания нормального распределения при неизвестном среднем

268

Гпава

27

квадратическом отклонении о генеральной совокупности по вы­ борочной средней X и объеме выборки/7 >30 определяется не­ равенством x—t

^ ^ —F=^< а < X +t —т=-,

'4^

'^

(3)

где S — исправленное среднее квадратическое отклонение, зна­ чение t находится при заданных пи у по таблице (4). Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения а нормального распределения количествен­ ного признака Z генеральной совокупности с надежностью у по исправленному выборочному среднему квадратическому откло­ нению S определяются неравенствами s(l-q)l, (5) где значения q находятся по таблице (5) по заданным пи у. 2°. Выборочный метод позволяет по данным выборочного обследования определить признаки, характеризующие генераль­ ную совокупность. Пользуясь теоремой Лапласа Р(\Х-х\<6)

= 2Ф\-\

(6)

где X — генеральная средняя, ^г — средняя квадратическая ошибка выборки, можно найти: 1) какова вероятность того, что отклонение генеральной средней от выборочной не превышает заданного значения 8; 2) при каком объеме выборки п выполнима заданная точ­ ность того, что отклонение генеральной средней X от выбороч­ ной X не превышает определенного числа; 3) в каких границах заключена генеральная средняя, если известна вероятность того, что отклонение генеральной средней

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

269

ОТ выборочной удовлетворяет соответствующему отклонению. Для случайной повторной выборки при определении средней при­ знака величина ii определяется по формуле (7)

л/и

где si —дисперсия случайной величины в выборке; для беспов­ торной выборки .2/

/i=V

где 1

N

(8)

необследованная часть генеральной совокупности.

Для случайной повторной выборки при определении доли признака

\w(\-w)

(9)

для бесповторной выборки \w(\ — w)(^ 1-^ (10) N где WW 1-W — доли данного и противоположного признака в выборке. Если требуется определить необходимый объем выборки с за­ данной точностью Р=2Ф(г), то разрешая формулы (7), (8) относитель­ но п для повторной выборки получим М=

п=

(И)

Nt'sl N5^+rs2„2

(12)

для бесповторной п

270

Гпава

27

Разрешая относительно п (9), (10) при определении доли при­ знака, для повторной выборки получим п=

^,

Л

(13)

для бесповторной Nt^pq п=5.1. Найти доверительный интервал для оценки мате­ матического ожидания нормально распределенной величины с надежностью 0,95, если известно генеральное среднее квадратическое отклонение а =4, объем выборки п=36 и выбо­ рочная средняя jc=8. Решение. Для нахождения доверительного интервала восполь­ зуемся формулой (1). Значение t находим из соотношения У Ф(() = — = 0,475 по таблице (3): t-1,96. Подставив все значения

в формулу (1), получим 8 - 1 , 9 6 - Д - < а < 8 + 1,96 ^ 136 л/36 6,794<а<9,206. 5.2. Известно среднее квадратическое отклонение (J = 3 нор­ мально распределенной генеральной совокупности. Найти с на­ дежностью 0,95: а) минимальный объем выборки, если точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней равна <5= 0,2; б) точность 5, с которой вы­ борочная средняя оценивает математическое ожидание, если вы­ борка объема п= 100. Решение, а) Для определения минимального объема выборки воспользуемся формулой (2) п =

. По условию /=0,95, тог-

271

ЭЛЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

да Ф(0=0,475 и по таблице (3) находим t = 1,96. Искомый объем 2 ^2 1,96-3 1^96М выборки п = = 869. я= t 0,2 ГО, 2 / б) Для определения точности оценки математического ожи­ дания генеральной совокупности по выборочной средней вос­ пользуемся формулой (2). Поскольку при 7 = 0,95 значения t =1,96, то точность оценки выборки объема и = 100 равна

5 = 1,96

лЛоо

= 0,588.

5.3. Из генеральной совокупности извлечена выборка ^z

2

3

5

8

",•

2

3

6

4

Оценить с надежность 0,99 математическое ожидание нор­ мально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней. Решение. Математическое ожидание будем оценивать при помощи доверительного интервала. Поскольку среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности неизвестно, то для оценки математического ожидания воспользуемся формулой (3). Выборочную среднюю находим по формуле х = 5 ^ « . х > = ^2-2 + 3-3 + 6-5 + 4-8;/15 = 5. Исправленное среднее квадратическое отклонение находим по формуле

44f8-5/;/14/'=2,1679. Пользуясь таблицей (4) по у- 0,99 и /? = 15 находим / = 2,98.

272

Гпава

27

Подставляя найденные величины в формулу (3), получим искомый доверительный интервал ^ ^^^2,1679 ^ ^^^2,1679 5-2,98 г—
Vl5

Vl5

3,3319 < a < 6,6681. 5.4. По данным 7 независимых испытаний физической ве­ личины найдено среднее арифметическое результатов отдельных измерений J = 50,7 и исправленное среднее квадратическое от­ клонение 5" = 4,5. Оценить истинное значение измеряемой вели­ чины с надежностью у- 0,99. Решение. Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию. Следовательно, решение сводит­ ся к оценке математического ожидания при неизвестном сред­ нем квадратическом отклонении генеральной совокупности. Рас­ сматривая число измерений, как объем выборки, математичес­ кое ожидание (истинное значение измеряемой величины) оценим при помощи доверительного интервала по формуле (3). Значе­ ние Г определяем по таблице (4) при / = 0,99 и п = 7: / = 3,71. Подставляя все величины в формулу (3), получим 5 0 , 7 - 3 , 7 1 ^ < л < 50,7 + 3 , 7 1 ^ ; л/7 л/7 44,389<а<57,01. 5.5. По выборке объема и = 12 из генеральной совокупнос­ ти найдено исправленное среднее квадратическое отклонение 5 = 1,2 нормально распределенного количественного признака X, Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение а с надежностью 0,95. Решение. Доверительный интервал в данном случае нахо­ дится по формуле (4) или (5) в зависимости от q. Так как при

273

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИ ЧЕСКОЙ СТА ТИС ТИКИ

у = 0,95 и « = 12 по таблице (5) q = 0,55 < 1, то искомый дове­ рительный интервал находим по формуле (4) 1,2П-0,55;<С7<1,2П + 0,55;; 0,54 <(Т< 1,86. 5.6. Найти точность прибора с надежностью 0,99, если по 8 равноточным измерениям некоторой величины найдено, что ис­ правленное среднее квадратическое отклонение равно S = 0,25. Решение. Точность прибора определяется средним квадратическим отклонением <j случайных ошибок измерений. Найдем доверительный интервал, покрывающий <т с заданной надежно­ стью у= 0,99. Поскольку при / = 0,99 nn = Suo таблице (5) зна­ чение ^ = 1,38> 1, то воспользуемся неравенством (5) 0<сг<0,25П + 1,38;; О < а < 0,595. 5.7. Результаты урожайности риса на различных участках поля площадью 1000 га приведены в следующей таблице урожайность в ц. с га

10-12

12-14

14-16

16-18

количество га

15

20

45

20

Найти: а) при повторной и бесповторной выборке вероятность того, что средняя урожайность риса на всем поле отличается от средней выборочной не более чем на 0,1 ц; б) границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключена урожайность на всем поле. Решение, а) Принимая за значение признака середины ин­ тервалов, найдем среднюю арифметическую и дисперсию задан­ ного в условии распределения _ Уп.х, 15-11 + 20'13 + 45'15 + 20-17 , ^ ^ = - - "^ = = 14,4; 1 15 + 20 + 45 + 20

X

274

Гпава 27

'^щ(х,-х)тг

\2

15(^-3,5/ +20Г-1,5/ +45(^0,5/ +20f 2 , 5 / = 2,53. 99 При определении вероятности искомого события восполь­ зуемся формулой (6), в которой 5 = 0,1. Найдем среднюю квадратическую ошибку выборки jJ.. Для повторной выборки по формуле (7), в которой п= 100, получим М

2,53

'юо

= 0,16.

Искомая вероятность по таблице Р(\Х-14А\<0,\)

= 2Ф

^0,1 ^ = 2Ф(0,625) = 0,468. 1,0,16

В случае бесповторной выборки по формуле (8), (6) и табл. (3) имеем ^

2,53 = 0,150897. 11000 100

РЛХ-14,4 < 0,1; = 2Ф

0,1 = 2ФГ0,6627; = 0,49. 0,151

б) По таблице (3) и правилу трех сигм Pf|X-3c|< 5 ; = 20(^3; = 0,9973 находим, что д = Зц. Если выборка повторная, то 5 =30,16=0,48 ц; если беспов­ торная, то 5 = 30,150897= 0,45269 ц. Таким образом, средняя урожайность при повторной вы­ борке на всем поле с вероятностью 0,9973 находится по форму­ ле (3) и заключена в границах

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

х-5<Х<х+5;

275

14,4-~0,48<Х < 14,4 + 0,48; 13,92 < Х < 14,88;

если выборка бесповторная 14,4-0,45 < ^ < 1 4 , 4 + 0,45; 13,95 < ^ < 14,85. 5.8. В партии из 10000 лампочек было проверено 1000 лам­ почек. Среди проверенных оказалось 5% бракованных. Найти: а) при повторной и бесповторной выборке вероятность того, что доля бракованных лампочек во всей партии отличается от их доли в выборке не более чем на 0,01. б) границы, в которых с вероятностью 0,9836 заключена доля бракованных лампочек во всей партии. Решение, а) Средняя квадратическая ошибка при повтор­ ной выборке при доле бракованных лампочек в выборке w=0,05 по формуле (9) равна 0,05-0,95^ V 1000 при бесповторной выборке и объеме генеральной совокупности Л^= 10000 равна _

0,05 0,95 Л 1000

1000 = 0,0065364. 10000

Искомая вероятность при повторной выборке будет

Р(\р-0Щ<0М)

^ 0,01 "» = 0,853, 0,00689

= 2Ф

при бесповторной Р('|/?-0,05|<0,01; = 2Ф

^ 0,01 "1= 0,874. 0,006536;

276

Гпава

27

б) По таблице (3) находим, что Ф(2,4) = 0,9836; откуда , = i = 2,4. Средняя квадратическая ошибка, если выборка повтор­ ная, /I = 0,00689, а, если выборка бесповторная, \i = 0,0065364. Таким образом, предельная ошибка для повторной выборки д = 2,40,00689 = 0,0165;длябеспоеторной5 = 2,4- 0,0065364= 0,0157. Границы, в которых с вероятностью 0,9836 заключена доля бракованных лампочек, для повторной выборки равна 0,5-0,0165 < Р < 0,5 + 0,0165; 0,4835 < Р < 0,5165, для бесповторной 0,5-0,0157 < Р < 0 , 5 + 0,0157; 0,4843 < Р < 0,5157. 5.9. При каком объеме повторной выборки можно утверж­ дать с вероятностью 0,9836, что отклонение выборочной сред­ ней от генеральной не превысит 8 = 0,2, если а = 0,9? Решение. Из выражения (6) имеем Р(^|Х-Зс|< 0,2; = 20(^0 = 0,9836, откуда по таблице (3) t = 2,4. Поскольку выборка повторная, то полагая сг-^^ по формуле (11) ее объем равен 2,4^ 0,9^ П=

:;

м^ = 117.

0,2' 5.10. Из партии в 1000 деталей для определения доли брака производится выборка. Найти объем выборки, при котором с вероятностью Р = 0,9973 гарантируется ошибка не свыше 0,2, если: а) выборка повторная; б) выборка бесповторная и вероят­ ность изготовления бракованных деталей равна q = 0,2.

Т11

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

Решение. В условии нет значения доли брака, поэтому при определении объема выборки в формуле (13) « =

5'

следует

использовать наибольшее значение/?^ = 0,25. Таким образом, учитывая, что при заданной вероятности по формуле (6) / = 3, получим п =

— = 57. и, Z.

б) По условию P(\w-p\ < 0,2) = 0,9973 значение t - 3, /7 = 1- ^ = 0,8. Величина выборки по формуле (14) равна 1000-90,8а2 п =-1 0 0 0 0 , 2 Ч 9 0 , 8 а 2 = 34,749. 5.11. При изучении физико-механических свойств ткани было испытано « =12 образцов и получены следующие значе­ ния предела прочности на разрыв Н1мм^: 19,5;16,8;17,1;17,5; 15,7; 15,5; 14,6; 20,0; 19,4; 18,2; 16,2; 19,2. Требуется: а) найти выборочное среднее х , «исправленное» стандартное откло­ нение s(x) и коэффициент вариации v изучаемого признака; б) найти доверительный интервал для среднего предела проч­ ности а этой ткани на уровне заданной надежности у = 0,95. Решение, а) Вычисления будем вести в табличном виде. За­ пишем результаты наблюдений в столбец 1 таблицы и найдем их сумму пределы прочности

(х^-х)

fx,-j/

1

2

3

19.5 16.8

2.02

4.08

-0.68 -0.38 0.02 -1.78 -1.98

0.46 0.14 0.00О4 3.17 3.92

17.1 17.5 15.7 15.5

278

Гпава

14.6 20.0 19.4 18.2 16.2 19.2

-2.88 2.52 1.92 0.72 -1.28 1.72

27

8.28 6.35 3.69 0.52 1.64 2.96 135.21

I 209.7

Выборочное среднее равно х=

i = - l - У ; c . = ^ ^ ^ = 17,48Я/лш^ „ У " X, 1 2 t r ' 12

Вычислим отклонения (х. -J) и внесем их в столбец 2. В столбец 3 запишем квадраты (х. - х/ этих отклонений и най­ дем их сумму 2^(x.-xf =35,21. Найдем «исправленное» стандартное отклонение

Коэффициент вариации v изучаемого признака ,.

s(x) , _ /

1,79

100% = 10,24%. X 17,48 б) Для заданной доверительной вероятности у = 0,95 и чис­ ла степеней свободы V = A I - 1 = 1 2 - 1 = 1 1 H 3 табл.4 находим t^(0,95; 11^-2,20. В случае малой выборки п < 30 предельная ошибка выборки определяется по формуле % =•

д = / ^ ^ у , у ; ^ = 2,2-^2 :=.lД4Я/мм^ yjn vl2 Искомый 95% -ный доверительный интервал для ожидаемого предела прочности а исследуемой ткани определяется неравен-

279

ЭЛЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОИ СТА ТИСТИКИ

СТВОМ х - А < а < х 4 - А , откуда 17,48-1Д4< (Я<17,48+1,14 или 16,34< а< 18,62. Таким образом, средний предел прочности тка­ ни находится В интервале от 16,34 Н1мм^ до 18,62 Н/мм^. 5.12. С целью определения размеров детской одежды про­ ведено выборочное обследование детей и получено следующее распределение количества детей по величине обхвата груди 56-58 59-61 62-64 65-67 68-70 71-73 36 28 48 70 78 20

обхват груди, х, см количествог детей

Требуется: а) построить гистограмму относительных час­ тот для наблюдаемых значений признака Х\ б) определить вы­ борочное среднее х , выборочное стандартное отклонение а^, коэффициент вариации v изучаемого признака; в) найти дове­ рительный интервал для ожидаемого среднего значения а обхвата груди на уровне надежности у = 0,9108, вероятность того, что величина признака X у выбранного случайным образом ребен­ ка окажется в пределах от а: = 58 см до j8 = 66 см. Решение, а) Вычисления будем вести в табличном виде. В рассматриваемой задаче область наблюдаемых значений при­ знака X разбита на w = 6 непересекающихся и одинаковых по длине интервалов (столбец 1). В столбце 2 приведено распреде­ ление числа Uj^ наблюдений по этим интервалам (x,-x)'w,\

Х,си 1

"к 2

^* 3

'Ч 4

ХкЧ 5

(х^-х) 6

1

8

56-58 5^-61 62-64

57 60 63 66 69 72

0.1

5.7

50.84

5.084

0.171 0.25

10.26

-7.13 ^.13

17.06

-1.13 1.87 4.87 7.87

1.28

2.916 0.32

3.5

0.975

68-70 71-73

28 48 70 78 36 20

23.72 61.94

3.059 4.397

Итого

280

63-67

0.279 0.129 0.071 1,000

15.75 18.41 8.90 5.11 64,13

(x,-xf

16,751

280

Гпава

27

Построим гистограмму относительных частот для наблю­ даемых значений признака X. Для этого определим среднее зна­ чение х^ признака Z для каждого /с-го интервала по формуле ^к = 'т:(^н(^)^^в(^))^ где х^{)<) и х^(/:) — нижняя и верхняя границы А:-го интервала. Полученные значения х^ внесем в столбец 3. Вычислим относительную частоту w^ = - ^ попадания веп личины признака X в /с-ый интервал, где «^ — число наблюде­ ний в /с-м интервале; п = ^ п^ — общее число наблюдений. По­ лученные значения w^. внесем в столбец 4. Проверка X ^А: ~ ^ • Гистограмма относительных частот показана на рис. 27.10.

0,3 02

0,1 1 I

I I

57 60 63 66 69 72

X, см

Рис. 27.10

б) Выборочное среднее х, стандартное отклонение с^ и коэффициент вариции v признака А" определим по формулам

ы\

Л=1

Вьиислим произведения x^w^^, внесем их в столбец 5 и най­ дем сумму X = 64,13. Вычислим отклонения х^ - х и внесем их в столбец 6. В столбце 7 запишем квадраты (х^ - х / этих отклонений. Опре-

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

делим произведения (Xj^-xf'Wj^,

281

внесем их в столбец 8 и пай-

дем

сумму Х=16,751. Откуда ст^ =^16,751 =4,09; 4,09 100% = 6,38%. и=" 64,13 в) Поскольку объем выборки достаточно велик {п >30), то

величину предельной ошибки выборки А определяем по форму­ ле А = ^^ -—г, где t— есть 7% -пая критическая точка нормального распределения и находится из уравнения 7 _ 0,9108

ФГО = ^ =

= 0,4554;

г=1,7 из табл.3. Тогда

Д = 1.742^ = 0,42.

л/280 Доверительный интервал для ожидаемого среднего значе­ ния а обхвата груди у детей рассматриваемой группы определя­ ется неравенством х - - А < а < х + А или 64,13-0,42<а< < 64,13 + 0,42. Откуда 13,71< а < 64,55. Будем полагать, что случайная изменчивость признака А" описывается законом нормального распределения с пара­ метрами л и <J, и воспользуемся точечными оценками вели­ чин этих параметров: а = 64,13 и с7 = (Т^ =4,09. Используя соотношение Р(а<Х<^)

= Ф\

-Ф

Уа }

ус

и учитывая нечетность функции Лапласа, имеем Г66-64.13 "i' _ ^("58-64,13^ ф' 4.09 4.09 Р(5%<Х<вв) = Ф = ФГ0.46; + Ф а 5 ; = 0.1772 + 0,4332 = 0.6104.

282

Гпава

27.6.

27

Моменты, асимметрия и эксцесс

1°. Моментом к-го порядка называется среднее арифмети­ ческое из к-\ степеней отклонений значений признака от С

v.=(X",(^,-C)*)/n, где X.—наблюдаемая варианта;«.—частота варианты; « = ^ п. — объем выборки; С—произвольное постоянное число. Если С = О, то момент называется началъньш. Нетрудно за­ метить, что начальный момент первого порядка есть выбороч­ ная средняя

Если С = JC, то момент называется центральным порядка к

Нетрудно заметить, что центральный момент первого по­ рядка равен нулю, а центральный момент второго порядка ра­ вен дисперсии. Между центральными и начальными моментами существу­ ет зависимость

^гз = Vз-Зv2Vl+2vJ^• li,=v,-Av,v,+evy,

-3v;.

(1)

2^. Асимметрия распределения определяется равенством а = 11^/а^

(аб]-оо,+оо[ )

(2)

и является показателем отклонения распределения признака X от симметрии относительно х. При а = О—распределение сим­ метрично.

283

ЭЛЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

3°. Эксцессом называется величина

г=^-3

(г€[-3,М)-

(3)

Эксцесс характеризует степень крутости кривой распре­ деления признака X по сравнению с кривой нормального рас­ пределения. При в =0 — распределение нормально. Если г > О, то кривая распределения имеет более острую вершину, чем нор­ мальное; если в < О — более плоскую вершину, чем нормаль­ ная кривая. 6.1. Дано распределение признака X X,.

".

-2

-1

0

1

3

5

1

3

7

6

2

1

Найти асимметрию и эксцесс. Решение. Начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков данного распределения находим, пользу­ ясь расчетами в табличном виде X.

"i

-2 -1

1 3 7

0 1 3 5

6 2 1

Z

20

прс.

прс.^

npcf

n,jc/

-2 -3

4 3

-8 -3

16 3

0 6

0 6

6 5

18 25

0 6 54

0 6 162

125

625

12

56

174

812

12 ^ ^ 56 ^ ^ 174 ^ ^ -^ ^ Отсюда v,= — = 0,6; v,= — = 2,8; V3 = — = 8,7; v, =40,6. Центральные моменты вычисляем по формулам (1):

284

Гпава

27

Ai2= 2,8-(0,6)2 =2,44;

Дз = 8,7 - 30,6-2,8 + 2(0,6)3 = 4,092; д^ = 40,6 - 40,6-8,7+ 6(0,6)2-2,8 - 3(0,6)^ = 25,3792. ju, 4,092 , лт^^^ Асимметрия(2)равна « = —р= = -^ = ^>0/365. >2 (72:44) Эксцесс находим по формуле (3) г = ^% = ^ ^ = 4,2628. А^2 (2,44)^

27Л. Условные варианты. Метод расчета сводных характеристик выборки 1°. Равностоящими называются варианты, которые обра­ зуют арифметическую прогрессию с одинаковой разностью А между любыми двумя соседними вариантами. Условньши называются варианты, определяемые по формуле «, = (х,-С)/А,

(1)

где С — произвольное постоянное число. Если вариационный ряд состоит из равностоящих вариант с шагом А, то условные варианты целые числа. Условным моментом к-го порядка называется начальный момент порядка к, вычисленный по формуле

L

(2)

к'

Обычный момент равен условному, умноженному на А^,

т.е.

v,=v\h\

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

285

Центральные моменты через условные определяются равен­ ствами: i"2=(v'2-(v',)')•л^ li,=[v\-Ъv\v\Щv\)')•h\

(3)

^i,=[v\-Av\v\+6v\{v\)'-^{v\)'\h\ Выборочная средняя и дисперсия по условным моментам оп­ ределяются, соответственно, равенствами x=v\h

+ C и D = (v\-(v\f)'h\

(4)

2°. Вычисление центральных моментов по условным целе­ сообразно выполнять методом произведений в табличном виде по следующей схеме: 1) первый столбец таблицы содержит заданные варианты; 2) второй—заданные частоты; 3) третий столбец содержит условные варианты, вычислен­ ные по формуле (1), причем за С выбирается варианта, располо­ женная в середине вариационного ряда; 4) четвертый столбец содержит А2^г/., пятый—п^л?, шестой — п.(щ+1)'. 5) шестой столбец служит для контроля, т.к. 1J п.(и.+1)^ = ZJ п^и? + 2 X пи. + п. Если требуется найти моменты четвертого порядка, то в седьмом столбце помещают п^л^, в восьмом — n^f и девятом Контролем в данном случае будет выражение S n.(ur^l)'^ = S nii/^ + 4 2 п^и.^+ 6 2 n^u.^+ 4 S п.и. + п. Если первоначальные варианты не являются равностоящи­ ми, то для сведения их к равностоящим весь интервал, в котором

286

Гпава

27

ОНИ заключены, делят на несколько равных частотных интерва­ лов. Середины частотных интервалов образуют равностоящие варианты. За частоту каждой равностоящей варианты принима­ ют сумму частот, попавших в соответствующий частотный ин­ тервал. 7.1. Методом произведений найти асимметрию и эксцесс по за­ данному распределению выборки •^,-

6

8

10

12

14

16

«,.

4

16

50

18

10

2

Решение. Составим расчетную таблицу. В качестве лож­ ного нуля С выберем варианту (10), которая имеет наибольшую частоту и в клетке третьего столбца, которая принадлежит стро­ ке, содержащей ложный нуль, пишем О и над нулем последова­ тельно записываем - 1 , - 2 , а под нулем последовательно записываем 1, 2, 3. Последовательность расчета приведена в таблице 1

2

3

4

5

6

7

8

9

X.

",•

"/

«,«/

n^(u^•l)^

и,«/

«,^/

«/«.+;/

6 8 10 12 14 16

4 16 50 18 10 2

-2 -1 0 1 2 3

«Л-8 -16 0 18 20 6

16 16 0 18 40 18

4 0 50 72 90 32

-32 -16 0 18 80 54

64 16 0 18 160 162

4 0 50 288 810 512

S

100

20

108

248

104

420

1664

Последний столбец служит для контроля вычислений

= 4 2 0 + 4 1 0 4 + 6 1 0 8 + 4-20+100 = 1664.

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

287

Найдем условные моменты '

У п,и.

20

/7

100

У ^М^ 108 '

У п.и] 104

/1

100

У п.щ 420

' « 100 ' п 100 Найдем центральные эмпирические моменты третьего и чет­ вертого порядков:

= П,04-3-1.080,2 + 2 - а 2 ' ; - 2 ' = 3 , 2 6 4 ; i"4=(v4-4v'3v',+6v',(v',)^-3(v',)')-/z^ = = (4,2-41,040,2 + 61,080.2'-За2')-2'=57,952. Выборочная дисперсия по условным моментам равна Z) = ( V ' 2 - ( V ' , ) ' ) A ' =

(1,08-0,04)4 = 4.16.

Таким образом, асимметрия и эксцесс будут

« = 4 = 42^1 = 0,38. <7

(У

л/4,16'

у]4 Л 6'

27.8. Элементы теории корреляции 1°. в массовых явлениях некоторому значению одной вели­ чины JC соответствует распределение значений другой у, причем с различными вероятностями. Связь такого характера называется статистической и, как

288

Гпава

27

правило, задается таблицей распределения или корреляционной таблицей, связывающей значения переменных.

iX,

У,

У2

Уп

"и

"х "х1

"г;

"х2

"2.2 "т.п "т.2

"^

"./

"У2

«.«

Л^

Во внутренних клетках таблицы обозначены частоты по­ явления переменной х. (/= 1,...,т), соответствующей переменной v.(/=l,...,«). Суммы чисел п.. по строкам представляют часто­ ты соответствующих значений переменной х.. Так

^ '^ij = Hi "^ "2,2 +•••+ «г« = V Суммы чисел по столбцам представляют частоты соответ­ ствующих значений переменной;^.

^ '^и = "Л2 + «2,2 •*"•••+ "^,2 =

V -

причем 2-г «^ = iL « - N. Математическая обработка корреляционной таблицы позво­ ляет установить форму корреляционной связи между перемен­ ными X и j^ и тесноту этой связи. Найденные из этой таблицы пары соответствующих значений у^ и х (у по х) или х^, и>^(х по у) используются для отыскания параметров уравнений рег­ рессии. Методы математического описания анализа корреляцион­ ных (стохастических) связей между признаками рассматриваются

ЭЛЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

289

В разделах корреляционного и регрессионного анализа матема­ тической статистики. Уравнение M^(^Fj =f (х), описывающее зависимость ус­ ловного математического ожидания случайной величины Y при заданном X - х, называется уравнением регрессии Y на X, а график этого уравнения на плоскости будет линией регрессии. Корреляционная связь между Xи Охарактеризуется двумя параметрами: формой связи и теснотой этой связи. Форма корреляционной связи определяется формой линии регрессии. Различают положительную и отрицательную, линейную и нелинейную корреляцию. Теснота связи характеризуется степе­ нью случайного разброса величин признака У вокруг линии рег­ рессии, чем меньше разброс, тем связь будет теснее. 2°. В случае линейной корреляции уравнения прямых рег­ рессии имеют вид у^ =ax'hb и х^, =cy-\-d,

(1)

Система нормальных уравнений для отыскания парамет­ ров а и b уравнения прямой регрессии у по х, получаемая в результате использования метода наименьших квадратов, име­ ет вид

\aY,n,x-bb^n^=^nJ^

,

а для отыскания параметров с и Й? уравнения прямой регресии X по у \с^ ПуУ^ + ^ Х ^уУ = X ^уУ ^у'

3°. Схема расчета. Расчет удобнее вести в табличном виде:

290

Гпава

1

2

3

4

5

6

7

X.

«л-

п^х

и^.х^

Л

"хЛ

«с^Ух

Е

iV

S и^х

S и^х^

^Л

^".Л-

Ъп^ху^

27

а) для каждого значения .v. находим сумму частот и распо­ лагаем их во втором столбце; б) третий столбец равен произведению членов первых двух столбцов, а четвертый равен произведению членов второго на квадраты первого, соответственно; в) в пятом столбце для каждого значения х. корреляцион­ ной таблицы находим среднее значение 'у^ по правилу опреде­ ления средней взвешенной

-

Х^х,Д '^

где п^ — частота появления значения х. ,у^ — соответствую­ щее значению х. при данной частоте значение переменной у\ г) шестой столбец равен произведению членов второго и пятого, а седьмой третьего и пятого. Поскольку Y^n^x^Nx.

Y,n^x'^Nx\

Y.^'^y^^^y^

(4)

^n^xy^^Nxy, то после сокращения на 1SS система (2) примет вид ах^ -\-Ьх= ху, \ - и (5) [ах-\-Ь = у. Откуда уравнение прямой регрессии у по х имеет вид Ух-У = Ру/х(х-^1

(6)

ЭПЕМЕНТЫ

MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ

СТА ТИСТИКИ

291^

здесь р^/^ =-^= коэффициент прямой регрессии у по х, х^-х'^ Аналогично, уравнение прямой регрессии х по у ^у-^

= Р.г/у(У-у)^

(7)

ху-Х'у г д е р^/у = -=—;;;;;—

КОЭффиЦИСНТ ПрЯМОИ регрСССИИ X ПО у;

у^-у^ У=^^-'—; N

у =^^=^-^ N

; х = '^ N

; N^J^riy.

Ху:

(8)

Если ввести коэффициент корреляции, характеризующий меру тесноты линейной корреляционной связи

^^^ху-ху а а

ГИ<и

(9)

V

X

то коэффициенты регрессии примут вид Руу. = г — ;

P^fy^r — ,

X

(10)

у

где (7^ = JC" - х ^ , сг^ = j;^ ~у^ — дисперсии соответствующих рядов распределений. Если г < 0,4, то считают, что линейной корреляции между хну нет. Чем |г| ближе к единице, тем теснее связь между переменными. 3°. Упрощенный способ вычисления коэффициента корре­ ляции. При постоянных разностях Дх и Aj; в таблице распре­ деления вычисления значительно упрощаются, если перейти к но­ вым переменным X-XQ

Ах

У^УО

Ау

^ ^

292

Гпава 27

где XQ, Уд — произвольно выбираемые значения переменных х и у (обычно их средние или ближайшие к ним). Вычисление коэффициентов корреляции и коэффициентов регрессии сводится к аналогичным операциям над новыми пере­ менными W и t; (со значительно меньшими по абсолютной вели­ чине числами). Так 1 ху- ху __ IV-и

V г

г—

<^/^у

ху -ху "

х' -х'

(^u^v

Ау uv-uv -^2sLr Ах

ху- ху _ Ах ^х/у

/ -

•г

2

—2

и —и

UV -UV

Ау у2

-v'

Ах(Т„

(12)

^о^ Ауог„

Новые переменные и, v помещают в исходной таблице, со­ ответственно, и—слева от соответствующих значений л:,а у — над соответствующими значениями у. Если линейная корреляция обнаруживает малую тесноту связи г = 0,4 ~ 0,6, то следует обратиться к криволинейной кор­ реляции. 4°. Если корреляционная зависимость между значениями х и у корреляционной таблицы близка к параболической, то урав­ нение регрессии примет вид у^=ах^ +Ьх'\'С,

(13)

где параметры а, Ь, с на основании метода наименьших квадра­ тов определяются из решения системы нормальных уравнений

а^пУ

-^Ь^^пУ +с^пУ

=Y,^\y^,

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

293

5°. в случае корреляционной зависимости гиперболическо­ го типа уравнение регрессии имеет вид Л = « + -^

(15)

где параметры а, b определяются из решения системы нормаль­ ных уравнений X

(16) При составлении системы нормальных уравнений (14), (16) необходимые данные целесообразно вычислять в табличном виде. 8.1. Дана корреляционная таблица л: \^

15 20 25 30 35 40 "у

11

21

31

41

51

2 -

3 4 4 2 -

6 10 16 8 -

3 10 12 8

5 7

"* 5 10 17 28 25 15

2

13

40

33

12

100

Найти уравнение прямой регрессии: а) >^ по х ; б) х по у. Решение, а) Проведем расчет в табличном виде

L^ 15 20 25

"х

5 10 17

п^х 75 200 425

1125 4000 10625

Л

"х-Л

Пх-ХУх

17

85 270 516,97

1275 5400 12924,25

27 30,41

Гпава

294

30 35 40

28 25 15

840 875 600

25200 30625 24000

33,86 39,8 45,66

948,08 995 684,9

2:

100

3015

95575

193,74 3499,95

По данным таблицы и формулам (4) х = -^=* —2

J'=909,0225;

_ X M L - = 34,999; у= [00

Зс-7= 1055,23; ху = '^

х'

1^ 100

27

28442,4 34825 27396 110262,65

= 30,15; = 955,75;

" " =1102,63. 100

Коэффициент регрессии j ; по х равен Ру/х=- 1102,63-1055,23 = 1,014. ''" 955,75-909,0225 Таким образом, уравнение прямой регрессии упох (6) при­ мет вид у^-34,999 = 1,014('х-30,15; или у^ =1,014 + 4,4269. б) При определении прямой регрессии х по >- составим вспо­ могательную таблицу ПуХ^

ПуУХу

242

^г 15

30

330

5733

21,923

284,999

38440

28,25 33,788

ИЗО

5984,98 37510

1115,004

45715,164

30,333

363,9996

18563,979

131,29

3004,0026

108104,12

У/

".V

11 21 31 41 51

2 13 40 33 12

22 273 1240 1353

612

55473 31212

100

3500

131100

Пу-У

Пу-У^

\ ^

По данным таблицы и формулам (8) х = -^^ ^v^v = 30,04; 100

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

У = ^ ^ ^ - ^ = 35; 100

v'=1225;

/ =^

295

""^ =1311; 100

х-57 = 1051,4; ху^-^'^^^^^ =1081,0412. Коэффициент регрессии ,x n o j равен 1081,04-1051,4 ^х/у

1311-1225

= 0,34465.

Уравнение прямой регрессии jc по j^ (7) примет вид х^.-30,04 = 0,34465(^>'-35Л х;. =0,34465;;+ 17,97725. 8.2. Пользуясь таблицей распределения задачи 8.1, найти уп­ рощенным способом коэффициент корреляции и уравнения пря­ мых регрессий. Решение. Дополним заданную корреляционную таблицу со­ ответствующими значениямиuwv, полагая, чтоXQ = 30, j ^ = 31.

и и -3 -2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

11

21

31

41

51

2

3 4 4 2

-

-

-

15 20 25 30 35 40

-

-

6 10 16 8

-

-

-

3 10 12 8

">•

2

13

40

33

-

Составляем вспомогательные таблицы

«.V

5 7

5 10 17 28 25 15

12

100

-

296

Глава

и

"х

"х"

пУ

-3 -2 -1 0 1 2

5 10 17 28 25 15

-15 -20 -17 0 25 30

45 40 17 0 25 120

-7 -4 -1 8 22 22

21 8 1 0 22 44

1.1

100

3

247

40

96

27

""А

П V

V

«.

n^v

пу

-2 -1 0 1 2

2 13 40 33 12

-4 -13 0 33 24

8 13 0 33 48

100

40

102

. ^ .

По данным расчетов находим: Л/" = 100; ir = 2 ^ = 0.03; ЕГ = 2 ^ = 0,04; й^ = Ъ!!^ = 2А1; N N N -г Уи„и^ , , — у, ««А у'=^^^-^^ = 1,02; ы'=0,0009; Г =0,16; "^ = ^ „ = 0,96. N N Учитывая, что Дх = 5, Ау = 10 и средние значения новых переменных м = 0,03, v= 0,4, находим средние значения старых переменных х=Хо+мАх = 30+0,03-5 = 30,15; У = 7О+^^АУ = 31 + 0.4-10 = 35.

Незначительное расхождение со значениями J и у , вы­ численных в задаче 8.1., связано с приближенным характером

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОЙ СТА ТИСТИКИ

297

вычислении и является подтверждением правильности упрощен­ ного способа расчета. Находим средне квадратические отклонения (Т„ =у1и^-й^ =^/2,47-0,0009 =1,571337; сг„ = л/у^-у' = Vl, 02-0,16 = 0,9273618. Отсюда коэффициент корреляции uv-Uv г=•

0,96-0,030,4

<^«<^<,

1,571337-0,9273618

= 0,6505635,

а коэффициенты регрессии 10 0,9273618

АУ<^„ Ахсг„

5 1,571337

Ах ст..

Рх,.=-Г

5 1,571337 •г = •

Ау<Т„

0,6505635 = 0,7678909,

•0,6505635 = 0,5511626.

10 0,9273618

Уравнение прямой регрессии упох примет вид: y , - 3 5 = 0,7678(^jc-30,15; или у, =0,7678х+11,85, а л: ПОЗ'

Зс^-30,15 = 0,5511626(^7-35; или Зс^ =0,5511626^+10,859. 8.3. Дана корреляционная таблица

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2 -

4 7 2 1 -

7 13 4 1 -

8 5 5 -

5 6 1 -

2 -

2 1

1 2

1

298

гпава

27

Найти уравнение регрессии у по х, полагая корреляцион­ ную зависимость параболической. Решение. Для составления системы нормальных уравнений (14) необходимые данные находятся суммированием, выполнен­ ным в табличном виде 4

".•^•л «.•^'•я

п^х

п^-х:

п^-х^

13

13

13

13

13

44

44

44

1,5 28

42

63

94,5

141,75

ИЗ

169,5

254,25

2,0

16

32

64

128

256

77

154

308

2,5

13

32,5

81,25

68

170

425

3,0

6

18

54

162

486

45

135

405

3,5

4

14

49

171,5

600,25

36

126

441

772,Г25 2004,8125 383

798,5

1877,25

X.

«г

1

Г

80

151,5 324,25

п^х

203,125 507,8125

«.•Л

По результатам таблицы система нормальных уравнений имеет вид: 2004,8125й + 772,1256 + 324,25с = 1877,25; 772,125л+ 324,25^7 +151,5с = 798,5; 324,25a + 151,5Z? + 80c = 383. Решая систему, находим, что а - 0,47, Ъ =-1091,45, с = 2069,82. Таким образом, искомое уравнение будет у^ = 0,47х' -1091,45х + 2069,82. 8.4. Корреляционная таблица отражает связь между зна­ чениями JC и соответствующими частными средними у^

299

ЭЛЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОИ СТА ТИСТИКИ

X

0-2

2-4

4-6

6-8

8-10

10-12

у.

15

12

12

11

10

9

"х

7

6

8

6

4

2

Найти корреляционное уравнение связи. Решение. Прибрасывая зависимость между 'у^ и х на гра­ фике рис. 27.11, считаем, что наиболее близко соответствует урав­ нение гиперболы (15). Данные для составления нормальной системы уравнений (16) находим в табличной форме.

X

1 3 5 7 9 11

I

Л

«.

15 12 12 11

7 6 8 6 4 2 33

10 9

х~

ХУ X

«Л

105 72

105 24 19,2

П V

7 2

0,6666

1,6

0,32

0,856

0,122

0,444

0,049

0,182

0,016

96 66 40 18

12,083

8,174

397

1

9,428 4,444 1,636 164,9

Система нормальных уравнений имеет вид: 33 а + 12,083 b = 397; 12,083 а + 8,174 Z>= 164,9. Решая эту систему, получим: а = 10,122; b = 5,21. Искомое уравнение примет вид 7^=10,122 +

5,21

300

гпава

27

Соответствующая этому уравнению кривая регрессии по­ казана на рис. 27.11. У. 14 \ 12 \ 10 I

•

I

'

I

'

4

I

•

I

8

< *

X

Рис. 27.11

8.5. При изучении зависимости выработки}^ (тыс. руб.) на одного работника торговли от величины товарооборота х (тыс. руб.) магазина за отчетный период обследовалось л = 10 мага­ зинов торга и были получены следующие данные ^i

80

55

75

ПО

85

70

40

100 50

95

У1

4,4

4,0

3,7

5,7

4,2 3,8 3,1 4,3 3,8

5,0

Полагая, что между признаками х IA у имеет место ли­ нейная корреляционная связь, определить выборочное урав­ нение линейной регрессии, выборочный коэффициент линейной корреляции и построить диаграмму рассеяния и линию регрессии. Сделать вывод о направлении и тесноте связи между признаками xviy. Используя полученное урав­ нение регрессии, оценить ожидаемое среднее значение при­ знака у при X* = 60 тыс. руб. Решение. Построим диаграмму рассеяния (рис. 27.12). Из диаграммы видно, что между признаками хну действи­ тельно наблюдается линейная корреляция. Составим исходную расчетную таблицу и найдем суммы по всем ее столбцам

ЭПЕМЕНТЫ MA ТЕМА ТИЧЕСКОИ СТА ТИСТИКИ

301

1

д:,

У,

х:

У^

^У1

80 55 75 110 85 70 40 100 50 95

4,4 4,0 3,7 5,7 4,2 3,8 3,1 4,3 3,8 5,0

6400 3025

19,36 16,00

352 220

5625

13,69

277,5

12100

32,49 17,64

760

42,0

10000 2500

9,61 18,49 14,44

9025

25,00

627 357 266 124 430 190 475

62400

181,16

3318,5

7225 4900 1600

14,44

', тыс. руб. 11 6 •

А

А

5 • А

А^^'^А

4 3.

А

''•'А

'

11

•

^

1

60

30

90

X, тыс. руб.

Рис, 27Л2

Используя полученные суммы по столбцам, вычислим ис­ ходные статистические характеристики ^

1^ п

760 10

^^

^

1^ п^

42 10

^^

ст, = 2 ^ j c ' ~ - ( ^ ] £ x / =62400-57760 = 4640;

302

Гпава

27

а =У/--ГУ7/=181,16-176,4 = 4,76; п п Определим параметры у и р^^у уравнения линейной рег­ рессии Хг ~У'^Рх/у(^^'^) и величину г У = 4,2;

о,У ^126,5 р^/^,=-^ = _ 1 - . . 0 , 0 2 7 ; '^/> а^ 4640

о^У _ 126,5 _ 126,5 -0,85. ^^ог^. 74640-4,76 148,61 Выборочное уравнение регрессии имеет вид jT^ ZZ 4,2 + 0,027(^х - 76; или у^ = 0,027х + 2,15. Проведем анализ полученных результатов. Расчеты под­ твердили, что между производительностью труда у и объемом товарооборота х магазина при изучении группы предприятий торговли наблюдается положительная линейная корреляция. Теснота связи между признаками высокая (г = 0,85) Подставляя х* = 60 тыс. руб. в полученное уравнение регрессии, находим ожидаемое среднее значение производи­ тельности труда для предприятий с объемом товарооборота 60 тыс. руб. Убо =0,027-60 + 2,15 = 1,62 + 2,15 = 3,77 тыс.руб.

Глава 28 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 28.1. Основные понятия 1°. Статистической гипотезой называется гипотеза о виде неизвестного распределения или о характеристиках известных распределений. Различают нулевую Н^ (основную) гипотезу, которая выд­ вигается, и противоположную ей гипотезу, которая называется конкурирующей Н^. В результате статистической проверки выдвинутой гипоте­ зы могут быть ошибки двух видов. Ошибка первого вида зак­ лючается в том, что отвергается правильная гипотеза, а ошибка второго вида, что принимается неправильная гипотеза. Вероят­ ность ошибки первого вида называется уровнем значимости, который принимается обычно равным а - 0,05 или а = 0,01. 2°. Для проверки статистической гипотезы используется ста­ тистический критерий К, Множество значений критерия, при ко­ торых нулевая гипотеза принимается, образует область приня­ тия гипотезы. Множество значений критерия, при которых нуле­ вая гипотеза отвергается, образует критическую область.

304

Гпава

28

Таким образом, если статистический критерий принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают, если ста­ тистический критерий принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают. Все возможные значения критерия при­ надлежат некоторому интервалу. 3°. Для определения критической области задаются доста­ точно малой вероятностью (уровнем значимости а). Если Р{К>к^) = а, тдск^ —критическая точка, отделяю­ щая критическую область от области принятия гипотезы, то К определяет такие значения критерия, при которых нулевая гипо­ теза отвергается. Значения К>к^, где к^ > О, определяют правостороннюю критическую область. Если Р{К< к^)=а (к^ <0), то значения К определяют левостороннюю критическую область. Если P(K>kJ=^ (к^> 0)и Р{К< -кJ = ^ , тозначения К определяют двустороннюю симметричную относительно нуля область.

28.2. Сравнения двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей р . Пусть по двум независимым выборкам с объемами Uj и п^, извлеченными из нормальных генеральных совокупностей X, Г, найдены исправленные выборочные дисперсии ^ ^ и s^. Требуется, при заданном уровне значимости а, проверить нуле­ вую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей Я^: D(X) = D(Y) при конкурирующей гипотезе а) Hj:D(X)>D(Y)\Q) H/.D(X)^D(Y), а) При вычислении наблюдаемого значения критерия F^ на­ ходим отношение большей исправленной выборочной дисперсии

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

ПРОВЕРКА

305

К меньшей ^« =-у- По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора (табл.6), при заданном уровне значимости а и числам степеней свободы к=п-1, к^-п^-\, находим кри­ тическую точку к^ (а, kj, /с^). Если F< к^ — нулевая гипотеза принимается, если F> к^ —нулевая гипотеза отвергается. б) В этом случае рассматриваем двустороннюю критичес­ кую область. Правую критическую точку к^ {а/2, к^,к^ нахо­ дим по таблице по уровню значимости all и числам степеней свободы к J и к^. Если F^< к^ — нулевая гипотеза принимает­ ся, если F> к^ — нулевая гипотеза отвергается. При решении практических задач достаточно находить только одну критичес­ кую точку (правую). 2^. Пусть гипотетическая (предполагаемая) дисперсия нор­ мальной генеральной совокупности равна о1, а выборка объе­ ма п из генеральной совокупности имеет исправленную выбо­ рочную дисперсию s^ с к-п-Х степенями свободы. Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии а^ гипотетичес­ кому значению а], HQ\G^ = CTQ при конкурирующей гипотезе: а) Я, .• а^ ><7о; б) Н^:а^а]; в) Н^:а <а]. ч^ л 2 (n-\)s^ а) Сначала по формуле Хн i— находят наблюдаемое значение критерия. Затем по таблице критических точек распределения X (табл. 7) по заданному уровню значимости а и числу степеней свободы к-п-\ находят критическую точку Хкр(^'^) • Если Хн < Хкр — нулевая гипотеза принимается, 2

2

если Хн > Хкр —нулевая гипотеза отвергается. б) В случае двусторонней критической области по табл. 7 находят правую ;i:^„^,('—,A:^ и левую XIKP(^'"Z*^) критические

306

Гпава 2

2

28

2

ТОЧКИ. Если Хп,кр < Хп ^ Хп.кр — нулевая гипотеза принимается, ')

2

2

2

если Хи ^ Хл.кр или Хп ^ Хп.кр — нулевая гипотеза отвергается. в) В случае левосторонней критической области по табл. 7 находят критическую точку Хкр(^'~^^^^) • Если х1 ^ Хкр — ну2

2

левая гипотеза принимается, если Хп ^ Хкр —нулевая гипотеза отвергается. 3°. В случае, если число степеней свободы к >30, то крити­ ческую точку х1р (^> ^) находят по формуле Уилсона-Гильфери

где .V определяется по таблице (3) значений функции Лапласа, используя выражение Ф(х) = —(\- 2а). 2.1. По двум независимым выборкам объемов п^-\\ и п^~\А, извлеченных из нормальных генеральных совокупностей Хи F, найдены исправленные выборочные дисперсии ^^=21,5 и si =7,6. При уровне значимости л = 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий Н^: D(X) = D(Y) при конкурирующей гипотезе Н^ : D(X) > D(Y). Решение. Поскольку конкурирующая гипотеза имеет вид D(X) >D(Y), то критическая область—правосторонняя. На­ ходим наблюдаемое значение критерия F =—'—. '7,6 Определяем числа степеней свободы к =11 -1 = 10 и к^=14-1 = 13. По таблице (6) критических точек распределения Фишера-Снедекора находим критическую точку к^^(^0,01; 10; 13^ = 4,1. Поскольку F^< к^, то нулевую гипотезу о равенстве гене­ ральных дисперсий принимаем.

СТА ТИСТИЧЕСКАЯ

ПРОВЕРКА

Ъ^1

2.2. В результате двух независимых измерений некоторой величины получены значения: а) первым методом х^-%,1\ JC^=9,4; Л^^^Ю; Х^=10,7; Х^ 9,6; в) вторым методом у-=^\^,\\ у^= 9,8; у^= 9,3; >^^=10,5. Предполагая, что результаты замеров распределены нор­ мально, можно ли считать при уровне значимости а= 0,\ оба метода одинаковой точности? Решение. Точность методов будем определять их дисперси­ ями. Равенство генеральных дисперсий (нулевая гипотеза) HQ : D(X) = D(Y) обеспечивает одинаковую точность мето­ дов. Конкурирующая гипотеза имеет вид Н^ : D(X) Ф D(Y), т. е. критическая область двусторонняя и при нахождении крити­ ческих точек уровень значимости следует брать в два раза мень­ ше а/2 = 0,05. Найдем выборочные дисперсии sl^s]. Для этого по форму­ лам и. = 1 Ох. -100; V. = 1 Oj;^ -100 перейдем к условным вари­ антам и.

-18

-6

0

7

I

-2

-7

5

-4

1

V. 1

Таким образом, исправленные выборочные дисперсии

S"'"~(S"-)

(324 + 36+49 + 16)—441

1

sl =

Х^'

^84,2;

5-1

щ-\ ">

(Х^/)" «2 - 1

1

(1 + 4 + 49 + 25)--9 4 _ 4-1

25,58.

Здесь каждая из дисперсий увеличина в 10^ раз. Найдем наблюдаемое значение критерия F^ = - ^ , т. е. отношение боль-

Гпава

308

28

84,2 3,29. 25,58 По числам степеней свободы /:^= «^-1=5-1= 4 и к = п- 1 = 4 - 1 = 3 и табл. 6 находим критическую точку /:^(0,05;4;3) = 9,12. Поскольку F^13,1. Решение. Конкурирующая гипотеза имеет вид Н^ :а^ >\ 3,1, шей исправленной дисперсии к меньшей F^ =

поэтому критическая область правосторонняя. Найдем наблю­

2jn-\)s^

даемое значение критерия

Ли

_ П8-1Л5.3 13Д

^0

= 19,585. Число степеней свободы равно А: = л - 1 = 18-1 = 17. По таблице 7 находим критическую точку х1р (^> 05; 17 j = 27,6. Поскольку Хн ^Хкр> то нулевую гипотезу о равенстве гене­ ральной дисперсии гипотетическому значению 0*0 =13,1 прини­ маем. Иначе, различие между исправленной дисперией ^=15,3 и теоретической ст^ =13,1 незначительное. 2.4. Партия изделий проверяется по дисперсии выборки, ко­ торая не должна превышать сг^ = 0,15. Выборка дала следую­ щие результаты 1

контрольныйразмер изделии частота

X.

5,6

6,0

6,4

5,8

6,2

2

3

10

4

1

1

п. 1

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

309

ПРОВЕРКА

Можно ли принять партию при уровне значимости 0,05? Решение. Примем за нулевую гипотезу равенство неизвес­ тной генеральной дисперсии cf гипотетическому значению CTQ, Н^ :а^ =(У1 =0,15, а за конкурирующую Я, :а^ ч^ 0,15, Кри­ тическая область в этом случае двусторонняя и при определении критических точек уровень значимости берем меньше в два раза — = 0,025. 2

Найдем исправленную выборочную дисперсию. Для этого по формуле W. = IOJC,. - 60 перейдем к условным вариантам и.

-4

0

4

-2

2

2

3

10

4

1

t

п

Отсюда, вспомогательная дисперсия условных вариант

I«,«f--(!«,",)

г=

(32 + 160+16+4)--^26 20

и-1

:9,38.

19

Искомая исправленная дисперсия будет

^2=-%-= 0,0938. 10' Таким образом, наблюдаемое значение критерия -' /in

do'

19 0,0938 0,15

= 11,88.

Число степеней свободы равно к = п-\=20-1= 19. По таблице 7 находим правую ;|f^^^ (0,025; 19) = 32,9 и левую ;|^^^^^ (0,975; 19) = 8,91 критические точки. Поскольку х1кр ^х1^ х1.кр* то нулевая гипотеза принимается и партию при­ нять можно.

310

Гпава

28

2.5. Партия деталей принимается, если дисперсия контроли­ руемого размера меньше или равна 0,3. Если исправленная вы­ борочная дисперсия при выборе /2 =124 равна s^- 0,2, то мож­ но ли при уровне значимости 0,05 партию принять? Решение. Равенство неизвестной генеральной дисперсии & предполагаемого значения о^ принимаем за нулевую гипотезу Я^ ;ст^ -а\ =0,3. За конкурирующую гипотезу принимаем Я| ; (7^ > 0,2, т. е. критическая область правосторонняя. Наблюдаемое значение критерия , _ r « - i y _ 1230,2 _

о1

^"

" 0,3

Поскольку значение числа степеней свободы /: = 123 боль­ ше 30, то критическую точку находим из выражения УилсонаГильферти(1). Учитывая, что уровень значимости 0^ = 0,05, из равенства Ф(х) = —(\-1а)-^А'^

по табл. (3) значений функ­

ции Лапласа находим, что л-=1,645. Подставляя А: и х в формулу (1), получим

х1(а;к) = Ш 1

+1645J 9123

-150,7.

V9123

V

J

Так как х1 "^х1р> то нулевая гипотеза справедлива и партию деталей можно принять.

28.3. Сравнение двух средних генеральных совокупностей 1°. Пусть генеральные совокупности X VL Y распреде­ лены нормально и дисперсии их известны D(X) и D(Y), По выборкам большого объема п >30 и т >30 найдены соот-

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

ПРОВЕРКА

311

ветствующие выборочные средние Зс и j ; . Требуется, при заданном уровне значимости а, проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних двух нормальных генераль­ ных совокупностей Н^: М(X) = M(Y) при конкурирующей гипотезе: а) Н,:М(Х)ФМ(У); б) Н, :М(Х)>M(Y); в) Н,:М(Х)<М(У). Сначала по формуле 2 ^ '^-У " (D(X)/n

+ D(Y)/m)''^^

^^^

находится наблюдаемое значение критерия. а) По табл. (3) функции Лапласа из формулы ^(^кр)-~(^''^)

находится критическая точка z^^. Если

\^н \^^кр — нулевая гипотеза принимается, если |Z ^ \^ ^кр — ^У" левая гипотеза отвергается. б) В случае правосторонней критической области критичес­ кая точка определяется из равенства Ф(2^ ) = — а по табл. (3). Если Z^ < z^p — нулевая гипотеза принимается, если Z^ > z^^ — нулевая гипотеза отвергается. в) Критическую точку z^^ находим аналогично пункту б). Если Z^, > -z^^ —нулевая гипотеза принимается, если Z^^ < -z^^ — нулевая гипотеза отвергается. 2°. Пусть по независимым выборкам малого объема п < 30, m < 30 найдены выборочные средние х и ;; и исправленные выборочные дисперсии s ^ w s^. Генеральные дисперсии неизвестны, но предполагаются одинаковыми. Требуется при задан­ ном уровне значимости ос проверить нулевую гипотезу о ра­ венстве генеральных средних двух нормальных генеральных со­ вокупностей Н^ :M(X)-M(Y) при конкурирующей гипотезе: а) Н,: М(Х) Ф M(Y); б) Щ : М(Х) > M(Y); в) Н,: М(Х) < M(Y).

312

Гпава

28

Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

где к = п+т -2 — число степеней свободы. а) По таблице (8) критических точек распределения Стьюдента при заданном числе степеней свободы к находится дву­ сторонняя критическая точка ^^^^,/а Д / Если |7'„| t^^^ — нулевая гипотеза отвергается. б) В случае правосторонней критической области по таб­ лице (8) находят правостороннюю критическую точку t^^^^ . Если|Г^| t^p^ — нулевая гипотеза отвергается. в) В случае левосторонней критической области находят сна­ чала правостороннюю критическую точку по правилу б), затем определяют t^^^ =~V-/> • Если T^>-t„p,,p, — нулевую гипотезу принимают, если Т^ < -t^^^p —нулевую гипотезу отвергают. 3^. Пусть генеральная совокупность X распределена нор­ мально, причем ее дисперсия cf известна. По выборке объема п найдена выборочная средняя х . Требуется при заданном уров­ не значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве неиз­ вестной генеральной средней а гипотетическому значению а^,Н^:а = а^ при конкурирующей гипотезе: а) Н^:аФа^; б) Н^:а>а^; ъ) Н^:а<а^, Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

а а) По таблице (3) функции Лапласа из формулы Ф(и^ ) = —(1-а)

находится критическая точка и^^. Если

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

ПРОВЕРКА

31^

1^/1 Н "кр — нулевая гипотеза принимается, если |С/„ | > "^р — ну­ левая гипотеза отвергается. б) В случае правосторонней критической области критичес­ кая точка определяется из равенстваOf'w^^ ) = — а по таблице (3). Если

и^ <и^р — нулевая гипотеза принимается, если

^н > ^кр — нулевая гипотеза отвергается. в) Критическую точку и^^ находим аналогично по пункту б). Если и^>-и^ — нулевая гипотеза принимается, если и^ <-и^р — нулевая гипотеза отвергается. 4°. Пусть генеральная совокупность X распределена нор­ мально, причем ее дисперсия неизвестна. По выборке объема п найдена выборочная средняя х . Требуется при заданном уров­ не значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве неиз­ вестной генеральной средней ос гипотетическому значению UQ, HQ :а=^GQ при конкурирующей гипотезе: а) Н^:аФа^; б) Н^:а>а^; в) Н^:а<а^. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

T.Jl^^^.

(4)

S

1 Y^n.x]—{^п.х) где S =

— исправленное среднее квадрати-

ческое отклонение. а) По таблице (8) распределения Стьюдента при заданном числе степеней свободы к=п-1 находится двусторонняя кри­ тическая точка t^^p(a,k). Если |71|<^^.«.р.—нулевая гипотеза принимается, если |Г^| > t^^^ — нулевая гипотеза отвергается. б) В случае правосторонней критической области по табл. (8) находят правостороннюю критическую точку t^^^^ . ЕслиГ^ tnp.Kp. — нулевая гипотеза отвергается.

314

Гпава 28

в) В случае левосторонней критической области сначала на­ ходят правостороннюю критическую точку по правилу пункта б) и полагают /, ,^ = 'Кр.кр. • ЕслиГ^ > -/,^.,^ — нулевую гипотезу принимают, если 7^, <-Кр.кр. —нулевую гипотезу отвергают. 5°. Пусть генеральные совокупности X У распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. По выборкам оди­ накового объема п, варианты которых соответственно равны X. и у., найдены разности вариант с одинаковыми номерами d. = х.-у.. Тогда средняя разностей вариант с одинаковыми номерами будет d =—\^d., а исправленное среднее квадратип ческое отклонение 2Л"'

1

Г S =

1

Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве двух средних нормальных сово­ купностей X и У,т. е. HQ :M(X) = M(Y) при конкурирую­ щей гипотезе Я, ; М(Х) Ф M(Y) . Наблюдаемое значение критерия находится по формуле 7-.=^.

(5)

S

По таблице (8) распределения Стьюдента при заданном чис­ ле степеней свободы к-п-\ находится двусторонняя крити­ ческая точка t^^p(a,k). Если \Т^^ | < t^^^ — нулевая гипотеза при­ нимается, если |Г I > t^^p — нулевая гипотеза отвергается. 3.1. По двум независимым выборкам объема п = 20 и m = 30 найден средний размер изделий, соответственно, X =^ 95 см, j^ =105 см. Генеральные дисперсии известны: D(X) =15 см^, D(Y) =21 см^. Предполагая, что случайные ве-

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

315

ПРОВЕРКА

ЛИЧИНЫ X И у распределены нормально, проверить, при уровне значимости 0,01, нулевую гипотезу Н^: М(Х) = M(Y) при конкурирующей гипотезе Н^ : М(Х) ^ M(Y). Решение. Так как конкурирующая гипотеза имеет вид Я, ; М(Х) Ф М(У), то критическая область двусторонняя. По формуле (1) найдем наблюдаемое значение критерия

z.=4£il£L=-8,53. 20^30 По таблице (3) функции Лапласа из Ф(2 )-—(1-а)

формулы

= —^-^— = 0,495 находим критическуюточ-

ку z^^=2,58. Поскольку | z j > z^ , нулевую гипотезу отверга­ ем, т. е. средние размеры изделий различаются значительно. 3.2. По двум независимым выборкам объема « = 8 и m =10 X.

2,3

2,4

2,6

2

1

3

1

п. 1

2,8 1 2 1

У!

2,1

2,4

2,5

т

4

5

1

г

проверить гипотезу о равенстве средних размеров изделии НQ : М (X ) = М (У ) при конкурирующей гипотезе Н^ : М( X )Ф M(Y) , если уровень значимости сс =0,1 и слу­ чайные величины X, У распределены нормально. Решение. Найдем выборочные средние j c = - y « . j c . =-(^4,6 + 2,4 + 7,8 + 5,6; = 2,55; п 8 y = - I ' ^ . J ^ / = : ; ^ r 8 , 4 + 12,0 + 2,5; = 2,29. т^ 10 При вычислении исправленных дисперсий перейдем к ус­ ловным вариантам w. = 1 Ох. - 26, v. = 1 Qy. - 24.

316

Гпава

28

Тогда

S«,«f-^(I«,«,)' 3o-ii6

s" =—

«-—

п-\

—=

2.,..f-l(Xm...,.)^ si =

^ m-1

= 4-

37-I12I =

2

§

^^ 9

= 27,7.

2

Следовательно, sl^-^ = QA; sl=^ = X 11. ' 1 0 ^10 Поскольку исправленные дисперсии различны, а по усло­ вию (2) должны быть одинаковы, то их необходимо сравнить, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н^: D(X) ФВ(¥). Используя критерий Фишера-Снедекора, находим наблю­ даемое значение критерия. F=^

=

si

= 0,144.

2,77 ОС

По уровню значимости — = 0,05 и числам степеней сво­ боды к^= п-\= 1; к= т-1=9 из таблицы (6) находим F^p(0,05;l;9) = 3,29. Так как F^< F^, то допущение о равен­ стве генеральных дисперсий справедливо. Для сравнения средних по формуле (2) находим наблюдае­ мое значение критерия ^ ^ 2,55-2,29 81016^^^^ " л/7-0,4 + 9-2,27 V 8 + 10 Так как конкурирующая гипотеза имеет вид Н^: М(Х) ФМ(7) , то критическая область двусторонняя. По уровню значимости а = ОД и числу степеней свободы /с =16 находим из таблицы (8) критическую точку t^ ^^ (0,1,-16^ = 1,75.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

317

ПРОВЕРКА

Поскольку Т^ < t^^py то гипотеза о равенстве средних размеров изделий принимается. 3.3. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением <J = 3 извлечена выбор­ ка объема « = 10 и по ней найдена выборочная средняя ^=15,1. Проверить нулевую гипотезу Н^: а = а^=\Ъ при конкурирую­ щей гипотезе Н^:а^\Ъ, если уровень значимости а = 0,05. Решение. Так как конкурирующая гипотеза имеет вид аФа^, то критическая область двусторонняя. По формуле (3) находим наблюдаемое значение критерия

Поскольку критическая область двусторонняя, то критичес­ кую точку находим из выражения ФК>> = ^Г1-«>> = ^Г1-0,05; = 0,475 по табл. (3) функции Лапласа и^ =1,96. Таким образом, f/„>w^^,, следовательно, нулевую гипоте­ зу отвергаем. 3.4. Измерения 16 случайно отобранных изделий приведе­ ны в таблице размер л:. частота п.

2,9

3,0

3,1

3,3

3

4

5

4

1

При уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезу, что проектный размер изделий а^ 3 выдерживается при изго­ товлении HQ :a = aQ =^3,0, при конкурирующей гипотезе Н,:ач^ЗЛ Решение. По выборке определяем средний размер изделий Зс=-У;с.А2.=—(^2,9-3+3,0-4 + 3,1-5 + 3,3-4; = 3,09. п"^ 16

318

Гпава 28

При вычислении исправленной дисперсии перейдем к услов­ ным вариантам и. - IOJC. - 3 , тогда 1

2

11476-11449 15

5.S

1,8.

Таким образом, исправленная дисперсия первоначальных ,2

2л = 0,018, а исправленное среднее квадравариантравна 5' =;;-^ W тическое отклонение будет ^ = .^0,018 = 0,134. Наблюдаемое значение критерия находим по формуле (4) 0Д34 Так как конкурирующая гипотеза имеет вид Н^: а^а^ = = 3,0, то критическая область двусторонняя. По уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы к = n-l = \6-l = l5 находим из таблицы (8) распределения Стьюдента критическую точку t^^^(0,05; 15^ = 2,13. Поскольку Т^> t^^, то гипотезу о равенстве проектного размера и контрольного отвергаем. 3.5. Каждым из двух методов сделано 7 замеров и получе­ ны следующие результаты X. f

У>

2,1

2.2

2.4

2.5

2.6

2.8

2.9

2.0

2.2

2.3

2.6

2.7

2.9

3.0

Проверить нулевую гипотезу о равенстве двух средних нор­ мальных совокупностей HQ : M(X) = M(Y), если уровень зна­ чимости а = 0,05. Решение. Найдем разности одноименных замеров d = 0,1; d = 0;d = 0,Ud = - 0,Ud = - 0,\;d = - 0,\;d = - 0,1 и вычис­ лим выборочную среднюю

СТА ТИСТИЧЕСКАЯ

ПРОВЕРКА

319

028. п 7 Тогда исправленное среднее квадратическое отклонение будет 1 V 0,06- - 0 , 4 7 = 0,022. S п-\

I<'-^(Z'',)

Наблюдаемое значение критерия находим по формуле (5) -0,02877 _ 3^^ 0,022 Так как конкурирующая гипотеза имеет вид Я, : М(Х) ^М(Y), то критическая область двусторонняя. По уровню значимости а- 0,05 и числу степеней свободы к = п- 1 = 6 находим из таблицы (8) критическую точку t^^ (0,05;6) = 2,45. Поскольку |Г | > t^^, то гипотезу о равен­ стве двух средних отвергаем.

28.4. Сравнение предполагаемой вероятности с наблюдаемой относительной частотой появления события Пусть при достаточно большом числе независимых испы­ таний п найдена относительная частота — появления события. п Требуется, при заданном уровне значимости а, проверить нуле­ вую гипотезу о равенстве неизвестной вероятности р появле­ ния события гипотетической вероятности р^, т. е. Н^: р- р^ при конкурирующей гипотезе: а) Н^:рФр^; б) Н^ :р>р^;

в)

Н,:р<р^. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

320

Гпава

28

а) По таблице (3) функции Лапласа из формулы ФГ"кр.>' = 'гП"~^>' находится критическая точка и^^. Если |^н \^^кр — нулевая гипотеза принимается, если |^„ | > w^^ — ну­ левая гипотеза отвергается. б) В случае правосторонней критической области критичес­ кая точка определяется из равенства Ф(и^р ) =

а по таб­

лице (3). Если и^ < и^р — нулевая гипотеза принимается. Если ^н > ^кр - нулевая гипотеза отвергается. в) В случае левосторонней критической области находят сначала правостороннюю критическую точку по правилу б). Если и^>-и^р — нулевую гипотезу принимают, если и^ < "~"^р — нулевую гипотезу отвергают. 4.1. Партия деталей принимается, если вероятность того, что деталь окажется бракованной, не превышает 0,015. Из 300 слу­ чайно отобранных деталей 6 оказались с браком. Можно ли при­ нять партию? Решение. По условию нулевая гипотеза имеет вид Яо .* /7 = Ро = 0,015. Тогда конкурирующая гипотеза будет Я^ .* /7 > 0,015, т. е. критическая область правосторонняя. Найдем относительную частоту брака — = —г = 0,02. Вычислим наблюдаемое значение критерия, учитывая, что ^,= 1-/?^=1-0,015 = 0,985

^ ^ГО>02~о,015;Узоо_^^^^ V0,9850,015 При уровне значимости 0,05 найдем критическую точку wкр правосторонней критической области

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

ПРОВЕРКА

321

0(
28.5. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей 1°. Критерий Кочрена. Пусть из т , нормально распреде­ ленных, генеральных совокупностей Xj,X^,...,X^ извлечены т независимых выборок одинакового объема п. По выборкам най­ дены исправленные выборочные дисперсии s^ ,sl,...,sl^ с одина­ ковым числом степеней свободы к-п-\. Требуется, при заданном уровне значимости а, проверить нулевую гипотезу о равенстве между собой генеральных дис­

персий H,:D(X,) = D(X,) = .., = D(XJ. За наблюдаемое значение критерия примем критерий Коч­ рена, равный отклонению наибольшей исправленной дисперсии к сумме всех исправленных дисперсий /^

max

,^ .

По таблице критических точек распределения Кочрена (9) находим критическую точку G^p(a,k,m), Если G„ < G^^ — ну­ левая гипотеза принимается, если G^ > G^^ — нулевая гипотеза отвергается. 2°. Критерий Бартлетта. Пусть из w, нормально распре­ деленных, генеральных совокупностей Xj,X^,...,X^ извлечены т независимых выборок различных объемов п. (щ >4) и по выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии

322

Гпава

28

s\,s\,...,s\. Требуется, при заданном уровне значимости а, про­ верить нулевую гипотезу о равенстве между собой генеральных дисперсий Яо ; D(X,) = D(X,) = ... = D(XJ. За наблюдаемое значение критерия примем критерий Бартлетта, равный отношению V ^.= 7^. (2) С

где V = 2,30l(klgj'-Y',JJgs]);

С = 1 + — ^^

X1: , f Р t к

Ъ(т-\) к.= И.-1 — число степеней свободы дисперсии; А: = V™ к. — сумма чисел степеней свободы; s^ ~ TAi^^t^i^f

— средняя

К

арифметическая исправленных дисперсий, взвешенная по чис­ лам степеней свободы. 2

По таблице (7) критических точек распределения X и чис­ лу степеней свободы / = m -1 находим критическую точку B^^(aJ). Если В^<В^р—нулевая гипотеза принимается, если ^н ^ ^кр — нулевая гипотеза отвергается. Следует заметить, что если V <В^^, то В^ тем более мень­ ше В^р, т.к. С >1, и нулевую гипотезу можно принять, не вы­ числяя С. 5.1. По пяти независимым выборкам одинакового объема « =11, извлеченным из нормальных генеральных совокупнос­ тей, найдены исправленные выборочные дисперсии 1,2; 1,6; 2,1; 2,5; 2,7. При уровне значимости 0,01, требуется: а) проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий; б) оценить генераль­ ную дисперсию. Решение, а) Воспользуемся критерием Кочрена (1). Найдем наблюдаемое значение критерия 27 G, = — = 0,267. " 1,2 + 1,6+2,1 + 2,5 + 2,7

СТА ТИСТИЧЕСКАЯ

323

ПРОВЕРКА

Из таблицы (9) критических точек распределения Кочрена по числу степеней свободы /c = w-l = l l - l = 10 и числу выборок / =5 находим критическую точку G^ (0,01; 10;5) = 0,4697. Поскольку G^ < G^p , нулевую гипотезу об однородности дисперсий принимаем. б) Так как равенство дисперсий установлено, то в качестве оценки генеральной дисперсии возьмем среднюю арифметичес­ кую исправленных дисперсий D=-

1,2 + 1,6 + 2,1 + 2,5 + 2,7

= 2,02.

5.2. По трем независимым выборкам объемов п = 8, п=\2, п^=13, извлеченных из нормальных генеральных совокупнос­ тей, найдены исправленные выборочные дисперсии, соответ­ ственно, 2,2; 2,6; 4,1. Требуется, при уровне значимости 0,01: а) проверить гипотезу об однородности дисперсий; б) оценить ге­ неральную дисперсию. Решение, а) Расчеты удобнее выполнять в табличном виде. Заполним расчетную таблицу 1

2

3

4

5

6

7

8

НОМф объем число исправленные выборки выборки степеней дисперсии свободы 1

i

«,

^,

si

Ksl Igs] kjgs]

1 2 3

8 12 13

7 11 12

2,2 2,6 4,1

15,4 0,334 2,338 0,143 28,6 0,404 4,444 0,091 49,2 0,613 7,356 0,083

I

к=30

93,2

14,138 0,317

Из таблицы находим s^ =—^k.s] =ЪЛ\; /g^^ =0,486;

324

Гпава

28

К = 2,303(^^/g5'-]£^t./g5f; = 2,303(^30 0,468-14,138; = 1,018. Из таблицы (7) по уровню значимости 0,01 и числу степе­ ней свободы / - 1 = 3 - 1 = 2 находим критическую точку 4 Г 0 , 0 1 ; 2 ; = 9.2. Поскольку V < х1р, то при С > 1 наблюдаемое значение критерия (2) В^ тем более меньше Хкр ^ нулевая гипотеза об однородности дисперсий принимается. б) Так как однородность дисперсий установлена, то гене­ ральную дисперсию будем оценивать по формуле средней ариф­ метической исправленной дисперсии ]_

D,=s'=-J^k,sf=3M,

к

28.6. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности V. Пусть эмпирическое распределение задано последова­ тельностью равностоящих вариант и соответствующих им частот X. 1

п. 1

X

'^2

^7 «У

т

п

«2

т

Требуется, при заданном уровне значимости а, проверить нулевую гипотезу о том, что генеральная совокупность X рас­ пределена нормально. За наблюдаемое значение критерия примем критерий Пирсона

,_^(п^^ /LH

где щ-—(р(и^)

О)

/ {

— теоретические частоты; п — объем вы-

СТА ТИСТИЧЕСКАЯ

ПРОВЕРКА

325

борки; h — разность между двумя соседними вариантами, 9(щ)-'-г^^

"

— функция Лапласа табл. (1);

и.=-^—-;

х^ — выборочная средняя; а^ — выборочное среднее кйадратическое отклонение. 2

Из таблицы критических точек распределения X по чис­ лу степеней свободы к = т-3, где т — число групп выборки, находится критическая точка Хкр (^> ^)' Если Хн ^ Хкр, то нулевая гипотеза о нормальном распре­ делении принимается. 2

2

Если Хн > Хкр — нулевая гипотеза отвергается. 2°. Пусть эмпирическое распределение задано последова­ тельностью интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот (х,,х,) (х,,х,) ... (x^^x^J Требуется при заданном уровне значимости а, проверить нулевую гипотезу о том, что генеральная совокупность X рас­ пределена нормально. За наблюдаемое значение критерия принимают критерий Пирсона (1). Для этого сначала методом произведений вычисля­ ют выборочную среднюю х* и выборочное среднее квадратическое отклонение а^, принимая в качестве вариант х] среднее арифметическое концов интервала х*=-^^ '—, Пронормиро­ вав совокупность X, переходят к совокупности Z, вычисляя по •

X —X

—•

X

— JC

формулам z^ = -^—^—, z^^j = -^^ концы интервалов и по­ лагая, что наимень1пему значению* Zj соответствует ~оо, а наи­ большему 2^ соответствует оо. Вычисляя по формуле р.=Ф(2.^^-Ф(г.) вероятности по­ падания X в интервалы (x.,x.^J, гдеФ(^7^ —функция Лапла-

326

Гпава

28

са, находят теоретические частоты п' = п-р., здесь п — объем выборки, т. е. сумма всех частот. Из таблицы критических точек распределения X по числу степеней свободы к-т-Ъ, где т —число интервалов выбор­ ки, находится критическая точка Хкр(^>^) • Если х1 < х1р ? то нулевая гипотеза о нормальном распределении принимается. Если х1 > х1р — нулевая гипотеза отвергается. 6.1. Задано эмпирическое распределение выборки объема «=100: X.

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

3

4

13

13

15

13

11

12

10

4

2

1

п. 1

Проверить при уровне значимости 0,05, справедлива ли ги­ потеза о нормальном распределении генеральной совокупности. Решение. Методом произведений находим выборочную сред­ нюю х^ и выборочное среднее квадратическое отклонение сг^. Для этого составим таблицу 1

2

3

X.

п.

и.

1

1

1

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

3 4 13 13 15 13 11 12 10 4 2 п=100

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

4 пи 1 (

5 п.1 и^. 1

-15 -16 -39 -26 -15 0 11 24 30 16 10

75 64 117 52 15 0 11 48 90 64 50

Х«,«,=-20

Х«,«,'=586

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

327

ПРОВЕРКА

Вычислим условные моменты первого и второго поряд­ ков: • '

^ п,и. п

20 \00

* ^ ri.u^ 586 ^ п 100

Поскольку шаг равен /г = 6 - 4 = 2 и ложный нуль С = 14, то Х ^ = М ; А + С = : - 0 , 2 - 2 + 1 4 = 15,6.

Теоретические частоты находим, пользуясь табл. 1, по фор­ муле п- = —(р(и.) в табличном виде ст. /

X. 1

и '•

-'"'''''• СТ.

(р(и.)

' '

100-2 . . 4,82 ^ '

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

-2,41 -1,99 -1,58 -1,16 -0,75 -0,33 0,08 0,50 0,91 1,33

0,0219 0,0551 0,1145 0,2036 0,3011 0,3778 0,3977 0,3521 0,2637 0,1647

0,91 2,29 4,75 8,45 12,49 15,67 16,50 14,61 10,94 6,83

11

24

1,74

0,0878

3,64

Критерий Пирсона (1) ищем в табличном виде

Гпава

328

i

п.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 4 13 13 15 13 11 12 10 4 2

0,91 2,29 4,75 8,45 12,49 15,67 16,50 14,61 10,94 6,83 3,64

щ-щ

(«,-«')'

2,09 1,71 8,25 4,55 2,51 -2,67 -5,50 -2,61 -0,94 -2,83 -1,64

4,37 2,92 68,06 20,70 6,30 7,13 30,25 6,81 0,88 8,01 2,69

[_I

28

4,80 1,28 14,33 2,45 0,50 0,45 1,83 0,47 0,08 1,17 0,74

; f ' = 28,10

Таким образом, ;t;^ = 28,10 . Из таблицы критических то­ чек распределения ')(^ (табл. 7) при уровне значимости а= 0,05 и чисел степеней свободы к-т - 3 = 11-3 = 8 находим

4Г0,05;8; = 15,5. 2

2

Поскольку Хн ^ Хкр •> то гипотезу о нормальном распреде­ лении генеральной совокупности отвергаем. 8.2. Задано эмпирическое распределение выборки объема «=100: ^i

'-^i^l

п.

1-1

7-12

12-17

17-22

22-27

27-32

4

16

50

15

10

5

1

Проверить при уровне значимости 0,025, справедлива ли ги­ потеза о нормальном распределении генеральной совокупности. Решение. Эмпирическое распределение задано в виде пос­ ледовательности интервалов одинаковой длины. При вычисле­ нии выборочной средней и выборочного среднего квадратичес-

СТА ТИСТИЧЕСКАЯ

ПРОВЕРКА

329

КОГО отклонения методом произведений перейдем от данного * 1, интервального распределения по формуле х. = --(х^ + х^^,) к распределению равностоящих вариант * X.

4,5

9,5

14,5

19,5

24,5

29,5

п.

4

16

50

15

10

5

1

Находим выборочную среднюю х* и выборочное среднее квадратическое отклонение о*^. Составим таблицу *

п. 1

4,5 9,5 14,5 19,5 24,5 29,5

Е

4 16 50 15 10 5 /1=100

и

пи,

"/",'

-8 -16 0 15 20 15

16 16 0 15 40 45

5;л,м,=26

X«,«f=132

1

-2 -1 0 1 2 3

Условные моменты первого и второго порядков M ; = S ^ = ^ = 0.26; М; = 2 ^ = 1 ^ = 132. и 100 ' и 100 Так как шаг равен А = 9,5 - 4,5 = 5 и ложный нуль С =14,5, то ]с;=м;л + С = 0,26-5+ 14,5 = 15,8. <^<,= J [ ^ 2 - ( < / ] ^ ' =^(l,32-0,26')-25 =5,123. По формулам ^/ = —^;;—, ^,>i "^

- найдем интерва-

лы (^z.,z.^,^, полагая, что наименьшему значению первого ин-

330

Глава

28

тервала соответствует -оо, а наибольшему значению последне­ го интервала + 00. Вычислим теоретические вероятности р- и теоретические частоты п.. Для этого составим таблицу. /

х.

1 2 2 7 3 12 4 17 5 22 6 27

^м

2,-

%1

— ОО 7 12 -1,72 17 -0,74 22 0,23 1,21 27 32 2,19

Ф(г,)

«;=100д

ФГ^,ч,;

-\,11

-0,5000 -0,4573

0,0427

4,27

-0,74 1,21 2,19

0,091 0,3869

0,3869 0,4853

0,187 0,3613 0,2959 0,0984

18,7

0,23

-0,4573 -0,2703 -0,2703 0,091

36,13 29,59 9,84

ОО

0,4853

0,5000

0,0147

1,47

Наблюдаемое значение критерия Пирсона находим в таб­ личном виде /

п.

«;-"/

1

1 2 3 4 5 6

I..A

4 16 50 15 10 5

(n-n\f

4,27

-0,27

18,7 36,13

-2,7 13,87 -14,59

212,87

0,16 3,53

0,03 12,46

29,59 9,84

100

1,47

100

0,07 7,29 188,22

(n-n'f 0,016 0,39 5,209 7,194 0,003 8,476 Ж« =21.29

Таким образом, ;[;^ = 21,29. Из таблицы критических то­ чек распределения у^^ (табл. 7) при уровне значимости а = 0,025 и числе степеней свободы /: = т - 3 = 6~3 = 3 находим

4Г0,025;3; = 9,4.

СТА ТИСТИЧЕСКАЯ

331

ПРОВЕРКА

Поскольку х1 > х1р •> то нулевая гипотеза о нормальном распределении отвергается.

28Л. Проверка гипотез о других законах распределения генеральной совокупности р . Проверка гипотезы о распределении дискретной слу­ чайной величины Хио биномиальному закону. Пусть вероят­ ность появления события А в каждом из п опытов одна и та же. Тогда таблица распределения дискретной случайной вели­ чины У имеет вид X 1

п.

0

1

2

т

"о

"/

"2

п ш

где п.—число опытов, в которых зарегистрировано х. появле­ ний события А. Найдем по формуле Бернулли вероятности Р^ = С'^р'д"''' появления события А ровно / раз в т испытаниях и вычислим теоретические частоты п' = пР-, где п = ^п. число опытов. Используя критерий Пирсона, находим как правило в таб­ личном виде, наблюдаемые значения критерия Л/Н

/

(1)

л

Число степеней свободы принимаем равным А: = /, где / — максимальное число появлений события А в одном опыте, если вероятность р задана. Если р оценивается по выборке, то к = I1, где /—число групп выборки. 2

Критические точки распределения X , при уровне значимо­ сти а, находим из табл. (7) Хкр(^*^). 2

2

Если Хн ^ Хкр — нулевая гипотеза о биномиальном рас-

332

Гпава

28

Пределении генеральной совокупности принимается. Если 2

2

Хн ^ Хкр — отвергается. 2°. Проверка гипотезы о распределении дискретной слу­ чайной величины по закону Пуассона. По заданному распреде­ лению находим выборочную среднюю х^ и параметр Я распре­ деления Пуассона принимаем равным Я = Зс^. По формуле Пуассона р.^ находим вероятности появ/!

ления событий равно /раз при п испытаниях. По формуле п.=пР., где f^^^J^i — объем выборки, находим теоретические частоты и по формуле Пирсона (1) наблюдаемые значения критерия Хн • Приняв число степеней свободы к-1-1, где ^ — число различных групп выборки, при уровне значимости а, из табл.(7) находим критические точки распределения XjOL'k). Если 2 2 Хн ^ Хкр, то гипотеза о распределении случайной величины по 2

2

закону Пуассона принимается. Если Хн ^ Хкр — отвергается. 3°. Проверка гипотезы о показательном распределении. Пусть эмпирическое распределение непрерывной случайной ве­ личины задано последовательностью интервалов jc. - x.^j и со­ ответствующих им частот п. Находим сначала выборочную среднюю х^, принимая в качестве вариант среднее арифметическое концов интервала *

Х^ + Xj-^j

Xi = — - — . принимая параметр Я показательного распреде­ ления равным ^ = zr^ находим вероятности попадания X в частные интервалы Р. = Р(х^ <Х<х.^.,) = е"^""' -e'^""'^' и вычис­ ляем теоретические частоты п' = пР^, где п = ^п- —объем вы­ борки. Наблюдаемое значение критерия Хн находим по формуле Пирсона (1).

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

333

ПРОВЕРКА

Приняв число степеней свободы к-1-2, где / — число интервалов выборки, при уровне значимости а, из табл.(7) на­ ходим критические точки распределения х1п (^> ^) • 2

2

Если Хн ^ Хкр, то гипотеза о показательном распределе2

2

НИИ принимается; если Хн > Хкр — отвергается. 4°. Проверка гипотезы о равномерном распределении, т. е. по закону 1 хе [а,Ь] f(x) = i О x€[a,b]' По заданному в виде т интервалов х. - х.^^ и соответству­ ющих им частот п. распределению находим выборочную сред­ нюю х^ и среднее квадратическое отклонение а^. По форму­ лам (3* = 3с^-л/3(7^, Z?* = jc^ + v3cj^ оцениваем параметры а и Ь. Вычисляя по формулам Щ=п ^ _ ^ (х^ - л *Л П2=щ=...= Ь*-а* 1 :(b*-x^_J, w = ^ « . теоп'^^п= п^ = «-6*-а*:(x,-x._J, ' " Ь*-а'^ ретические частоты, находим из формулы Пирсона (1) наблюда­ емое значение критерия Хн • Приняв число степеней свободы к =т - 3, при уровне зна­ чимости а, из табл. (7) находим критические точки Хкр(^*^). 2

2

Если Хн ^ Хкр, то гипотеза о равномерном распределении при2

2

нимается; если Хн ^ Хкр — отвергается. 7.1. В результате испытаний 100 элементов получено эмпи­ рическое распределение интервалов времени безотказной работы в часах; п.—количество элементов, отказавших в /-м интервале 1+}

1

п.

0-10

10-20

20-30

30-40

40-50

37

24

15

10

7

50-60 60-70 5

2

1

Проверить гипотезу о показательном распределении вре­ мени безотказной работы элементов, принимая уровень зна-

334

Гпава

28

чимости равным а- 0,05. Решение. Принимая в качестве вариант op^ms^ арифметическое концов интервалов х*. = —(^х. + х.^^), находим выборочную среднюю / 3 7 - 5 + 24-15 + 15-25-И0-35 + 7-45 + 5-55 + 2-65; = 19,9. 100 Принимая параметр показательного распределения 1 1 Я= 01 Q ^ ' ^^ ? находим по формуле Р. = Р(х. <Х < x^^j) = • е'^""'^' вероятности попадания X в частичные интерва­

-AJC:

лы. Так, вероятность попадания Z в первый интервал равна Р,=Р(0<Х<10)

= в""'"^" _^-.">iu = 1 ^^-.^ = 0,39.

Аналогично Р2=0,24; Р,=0Л5; P,=0,OS; Р,=0,06; Р,=0,03; Р, =0,02. По формуле п' = пР. вычисляем теоретические частоты: n; = n/J=1000,39 = 39; п^=24; гц=\5; n',=S; п,=6; п,=3; гц=1 По формуле Пирсона находим наблюдаемое значение кри­ терия х1 i

п.

",-«'

(«,-<)'

(«,-«')'/"/

2 0 0 2 1 2 0

4 0 0 4 1 4 0

0,10 0,00 0,00 0,50 0,17 1,33 0,00

1

1 2 3 4 5 6 7

37 24 15 10 7 5 2

1

100

39 24 15 8 6 3 2

Х1=1Л0

СТА ТИСТИЧЕСКАЯ

335

ПРОВЕРКА

Из табл. (7) Критических точек распределения Хн при уровне значимости а = 0,05 и числу степеней свободы к = 1-2 = 1-2 = 5 находим критические точки распределения xL Г^, 05; 5^ = 9,5. 2

2

Поскольку Хн ^ Хкр , то гипотеза о показательном распре­ делении принимается. 7.2, На основании эксперимента, состоящего из «=100 испы­ таний, в каждом из которых фиксировалось число х. появлений некоторого события А, получено эмпирическое распределение X.

0

1

2

3

4

53

34

10

2

1

1

п. 1

Здесь п. — число испытаний (частота) в которых наблюда­ лось х. появлений события А, I

Проверить гипотезу о распределении дискретной случайной величины по закону Пуассона при уровне значимости а= 0,05. Решение. По формуле ^^ = ^ п-х./п вычислим выборочную среднюю _ _Г53-0+34-1 + 10-2 + 2-3 + 1-4; = 0,64. 100 Принимая параметр распределения Пуассона равным Я = х^ = 0,64, по формуле Пуассона /^ = —:— находим вероят­ ности/^ появления / р а з с о б ы т и я ^ при 100испытаниях и^оч^ n^^Wff ^ 0 34; О! 1! О 64^6""" О 64^е""'^ и^04_е p-!^i2l£ = 0,0233; 2! 3! ^^^1Лоч_£ = 0,0037. 4!

336

Гпава

28

По формуле п\ = пР. находим теоретические частоты: 1000,53 = 53; п{ = 34; п^=П; п;=2,33; :0,37. Наблюдаемое значение критерия Хн находим по формуле Пирсона 1

п.

и.-п,

(«,-«')'

53 34 11

0 0 -1

0 0 1

2,33 0,37

0,67

0,45 0,40

1

0 1 2 3 4

53 34 10 2 1

S

100

0,63

(n,-n;)Vn; 0 0 0,091 0,193 1,08 Z'=1,365

Из табл. (7) критических точек распределения X при уровне значимости а = 0,05 и числу степеней свободы к = I — 2 = 5 - 2 = 3 находим критические точки распределения 2

2

Поскольку Хн ^ Хкр, то гипотеза о распределении случай­ ной величины по закону Пуассона принимается.

28.8. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции Пусть двумерная генеральная совокупность {X, Y) распре­ делена нормально. По выборке объема п из этой совокупности найден выборочный коэффициент корреляции г^ ^ О. Требует­ ся, при заданном уровне значимости а, проверить нулевую ги­ потезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреля­ ции HQ :Г^=0 при конкурирующей гипотезе Н^ : г^^О, Наблюдаемое значение критерия находим по формуле

СТА ТИСТИЧЕСКАЯ

337

ПРОВЕРКА

т: =

(1)

По числу степеней свободы к-п-2 из табл. (8) критичес­ ких точек распределения Стьюдента находим критическую точ­ ку t^p(cc,k) двусторонней критической области. Если |7'«|<^,,р, то нулевая гипотеза принимается, т. е. X и Y—некоррелированы. Если |Г„ I > t^^, то нулевая гипотеза отвергается, т. е. А" и Y— коррелированы (связаны линейной зависимостью). 8.1. По выборке объема « =100, извлеченной из двумерной нормальной генеральной совокупности {X, У) составлена кор­ реляционная таблица.

ж 40 45 50 55 60 65 70 X

14

24

34

44

54

64

74

4 2

1 6 2

—

-

—

-

—

10 7 1 5

-

-

2

-

-

-

-

4 25 8 4

-

-

-

-

2 6 2

6

10

23

41

12

-

-

1

-

1 6 7

у

1

5 18 15 26 16 11 9

1

«=100

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корре­ ляции. Решение. Найдем сначала выборочный коэффициент кор­ реляции. С целью упрощения вычислений перейдем к условным вариантам Х;-С U;

=•

К

338

Гпава

28

где \ = ц^1 - щ ; h^ = v-^^^ - v. — разность (шаг) между двумя со­ седними вариантами; С,, С^—ложные нули. За ложный нуль принимаем варианту, расположенную при­ мерно в середине вариационного ряда, т. е. С, =44, С2=55. По­ скольку /Zy=10; А^=5, то, переписывая частоты из исходной таблицы (среднее положение числа в клеточке), получим корре­ ляционную таблицу в условных вариантах. В правом верхнем углу клетки записываем произведение частоты п^^ на варианту W, в левом нижнем — произведение частоты п^^ на варианту v. (см. табл.). Выборочный коэффициент корреляции находится по фор­ муле г =

Y,\,uv-nuv ^^u(^v

где п

100

- X V 5r-3;+18f-2;+15('-i;+26-0+161+ll-2+9-3 ^^, V -^=^—-—— •— — = -0,01, п 100 — У"У 6-9 + 10-4 + 23 + 12 + 7-4+1-9 , ^^ и -^=== = 1,66, п 100 — Х"У 5-9 + 18-4+15-1 + 16И-11-4+9-9 ^ ^, V =^^ = = -2,73, п 100 ст„ = д / ? Ч ^ = л / ^ б б Ч ^ О З З / = 1,25, o,=^v^-(vf

= ^ 2 , 7 3 - ( ^ - 0 , 0 1 / =1,65.

Складывая все числа, помещенные в правых верхних уг­ лах одной строки, записываем их в столбце U. Умножая их

-3

-2

1

1

2

3

-

-

-

-

-

-14

42

~

~

~

"~

-28

56

~

~

-9

9

-

-

-1

0

-

-

-5

-5

-

8

16

17

51

10

6

2

-12

~

0

-7

-2 0

25

1

-

-5

-2 1

2

8 2

8

5

2

0

5

1

-

0

0

-

2

-4

-3 -1

-

2

4

7

2

-2

1

0 2

-

-

6

4

8

2 1

6 2

12

12

2 3

-

-

-

-

uV

3

6

2

18

6

V=J,n,.v

^f^uu^

-20 -4

0

=

-10

-12

-6

-1

^

-3

-12

-2

0

-2

-12 4

-3

vU

-1

1 3

-16

-16

-22

12

18

20

3

^vU=\e9

48

32

22

0

18

40

9

^uV=\69

340

Гпава

28

затем на варианты v и складывая, будем иметь Ху^^~Х^"^ -i/y=169. С целью проверки, складываем все чис­ ла, помещенные в левом нижнем углу одного столбца, и записы­ ваем их в строке V. Умножая их затем на варианты и и склады­ вая, будем иметь тот же результат 2а ^ ^ = 169. Таким образом, искомый коэффициент корреляции равен 169-1000,32а01_^^_. 1001,251,65 Найдем теперь по формуле (1) наблюдаемое значение кри­ терия г. = " # ^

= 14.19.

По табл. (8) распределения Стьюдента для двусторонней кри­ тической области при числе степеней свободы к- 100 - 2 = 98 и уровню значимости а = 0,05 находим критическую точку ^^^(^0,05,98^ = 1,665 двусторонней критической области. По­ скольку Т^ > t^p, то нулевая гипотеза о равенстве нулю гене­ рального коэффициента корреляции г^ = 0 отвергается, т. е. X и Y коррелированы.

28.9. Однофакторный дисперсионный анализ 1°. Одинаковое число испытаний на всех уровнях. Счита­ ем, что генеральные совокупности Х^,Х^..,Х^ нормально рас­ пределены и групповые генеральные дисперсии хотя и неизвес­ тны, но одинаковы. Требуется установить, какое влияние ока­ зывает некоторый качественный фактор F, имеющий п уров­ ней F^,Fy...,F^ на количественный признак X, т. е. проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий

СТА ТИСТИЧЕСКАЯ

341

ПРОВЕРКА

HQ : M(XJ = М(Х2) =... = М(Х^), если уровень значимости ра­ вен а и на каждом уровне произведено по одинаковому чис­ лу испытаний т. Результаты испытаний значения x^j приведе­ ны в таблице, где / — номер испытания (/ =1,2,..., т), j — номер уровня фактора (/=1,2,..., w) Номер испытания /

Уровни фактора

P^

Рг

1

•^12

2

•^22

...

^

... т ep.j

тп

^т2

ХгрЛ

^гр.1

...

^гр.п

Для решения поставленной задачи сначала вычисляют об­ щую сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей средней m

п

^o6u,=YiL(^4-^)'>

(1)

1=1 /=1

факторную сумму квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая обусловлена воздействием фактора и характеризует рассеяние «между группами»

Vm^^E^'^^p/-^/

(2)

И остаточную сумму квадратов отклонений наблюдаемых значе­ ний группы от своей групповой средней, которая обусловлена слу­ чайными причинами и характеризует рассеяние «внутри группы»

342

Гпава

S

=S

ост

-S

общ

факт

/=1

i=\

28

i=]

Для практических вычислений общей и факторной сумм удобнее пользоваться следующими формулами \

1 ^общ

~ ^ ^ ' " "

тп

У=1

/=1

1

(3)

факт

/•='

У=1

где ^ =У]^^ ^1 —сумма квадратов наблюдаемых значений при­ знака на уровне /^; Rj=^"'_ X.J —сумма наблюдаемых значе­ ний признака на уровне Fj. Если наблюдаемые значения x.j — десятичные дроби с / знаками после запятой, то по формуле y^j = 10 x^j -с удобнее перейти к целым числам, где с — примерно среднее значение чисел 10 x^j. В этом случае факторная и остаточная дисперсии увеличатся в 10' раз, однако их отклонение не изменится. Если наблюдаемые значения x.j сравнительно большие чис­ ла, то для упрощения вычислений пользуются формулой yij - ^ij " ^ 9 где с — примерно среднее значение x.j. В этом случае формулы (3) будут 5o.. = l Q y - — S T ; /=1 тп /=1 факт /=i

где

1 тп

(4) /=1

СТА ТИСТИЧЕСКАЯ

ПРОВЕРКА

343

ч

т

Факторная и остаточная дисперсии находятся по формулам S

^

2 __ "^факт факт ^ *

2 _ ост

^ост /

п-\

i \'

(Ь)

п(т-\)

где /1-1 и п(т-1) — соответствующее число степеней свободы. Используя критерий Фишера-Снедекора (28.2), находим на­ блюдаемое значение критерия р

факт ост

и сравниваем его с F^^ табл. 6. Если / ; < F^^ — групповые сред­ ние различаются незначительно и нулевую гипотезу принимаем, если F^ > F^p — отвергаем. 2°. Число испытаний на различных уровнях неодинаково. Пусть число испытаний на уровне F^ равно т^, на уровне F,— т^,..., на уровне F^— т^. Общая сумма квадратов отклонений находится как и в случае одинакового числа испытаний на всех уровнях. Факторная сумма квадратов отклонений находится по формуле 2

,Гп

V (6)

факт /=1

где к = т^+ т^+.,.+ т^^ — общее число испытаний. Остаточная сумма квадратов отклонений равна S^^^ = = ^общ - ^факт .

дисперсии,

COOTBCTCTBCHHO

S 2

факт

_.

^

фа'<^т

л *

2

ост

_ . ^ост

i

/^уч

*

\')

Дальнейшие вычисления такие же, что и для одинакового числа испытаний.

344

Гпава 28

9.1. На каждом из трех уровней фактора F произведено по 5 испытаний (табл.). Предполагая, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, прове­ рить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних х^^.^, если уровень значимости а =0,05. Номер испытания

Уровни фактора

/

^

Рг

F.

1 2 3 4 5

38 56 64 65 70

51 58 60 55 11

55 59 64 65 67

^гр.}

48,6

60,2

62

Решение. С целью упрощения расчета перейдем к умень­ шенным величинам г/,у = х.-~с = х.^.-56, где с- 56 — общая средняя. Расчетная таблица примет вид F

F

Рг

/

Уп

У1

Уп

У1

Уп

У1

1 2 3 4 5

-18 0 8 9 14

324 0 64 81 196

-5 2 4 -1 21

25 4 16 1 441

-1 3 8 9 11

1 9 64 81 121

Ti=Y.y4

13 665

Qi=^yl

п

21

196

441

IT;.=64

30 487

276 900

Итоговый столбец

XQ/=1428

5^7;.'=1537

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

345

ПРОВЕРКА

Используя итоговый столбец (табл.) и учитывая, что число уровней фактора п = 3, а число испытаний на каждом уровне m = 5, по формулам (4) находим

5-.=lQ/-f7 Х^;. тп

= 1428-—64'=1154,93;

/=1

/=1

V

факт

= -1537-—64^=34,33. =^±п-Мъ-г, 5 15 тп т^

/=1

Отсюда, остаточная сумма квадратов отклонений ^ост "= ^общ "" ^факт ~ ^ 1 2 0 , 6 .

Учитывая, что число степеней свободы равно w-l = =3 -1=2; AZ (m -1) = 3 (5 -1) =12, находим по формулам (5) фак­ торную и остаточную дисперсии факт факт

ост

34.33

rt-1 ~

2

= 17,16;

1154,93

ост

п(т-\)

^96,24.

12

Таким образом, наблюдаемое значение критерия „2

F=-

= 5,61. факт

При уровне значимости а = 0,05 и числу степеней свобо­ ды А:^=2, к=\2 из табл. (6) находим критическую точку /;р('0,05;2;12^ = 3,88. Поскольку / ; > 7;^, то нулевую гипоте­ зу о равенстве групповых средних отвергаем. 9.1. Произведено 12 испытаний, из них 5 на первом уровне фактора, 4—на втором и 3 на третьем (табл.). Предполагая, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковы-

346

Гпава

28

МИ дисперсиями, проверить нулевую гипотезу о равенстве груп­ повых средних ^гр.}^ если уровень значимости а =0,05. Номер испытания

i 1 2 3 4 5 ^ep.j

Уровни фактора ^ 0,21 0,23 0,31 0,38 0,41

Рг

^3

0,37 0,39 0,41 0,45

0,32 0,35 0,37

0,308

0,405

0,347

Решение. Пользуясь формулой ijij = lO^x.j -с , где с = 35, перейдем к целым числам и составим таблицу i^

/ 1 2 3 4 5

к/=Х^.7

^3

Уп

yf.

Уа

У1г

Уп

У1

-14 -12 -4 3 6

196 144 16 9 36

2 4 6 10 -

4 16 36 100 -

-3 0 2 -

9 0 4 -

-21

к=1у1

JL.^

Р2

441

22 401 484

1^=0

-1 156

Итоговый столбец

13

SQ-570

1

Используя итоговый столбец таблицы и учитывая, что А: = 12 и формулу (6), находим общую и факторную суммы квадратов отклонений

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

ПРОВЕРКА

347

So.. = 1 ^ у - ^ ( 1 7 ; ) ' = 5 7 0 - 0 = 570. S ^ _ = l l - + - l l - 4 - ^ - 1 ( 7 . ) = — + - ^ + - - 0 = 209,53.

Отсюда, остаточная сумма квадратов отклонений ^ост - ^ббщ ^^факт "=570 - 209,53 =360,47. Учитывая, что число сте пеней свободы равно: к^= w -1 =5 -1 = 4; к^= к-п =12-5 = 7,ио формулам (7) находим факторную и остаточную дисперсии 7 ^

\акт _ 209,53 п-1 4

, i . = ^ , M i Z = 51,5. ост

л

«

'

^-дг 7 Таким образом, наблюдаемое значение критерия

f^=^

= ^l:^ = l02. ^факт

Ы, Ь

При уровне значимости ос = 0,05 и числу степеней свободы /:^= 4; /:^= 7 из табл. (6) находим критическую точку F^p (0,05;4;7) = 4,12. Поскольку F^ < F^^, то нулевую гипотезу о равенстве групповых средних принимаем.

28.10. Разыгрывание дискретной случайной величины. Метод Монте-Карло (статистических испытаний) V. Метод Монте-Карло состоит в отыскании значений а некоторой случайной величины X, иногда его называют мето­ дом статистических испытаний или методом разыгрывания слу­ чайной величины. Суть метода заключается в моделировании (розыгрыше) случайной величины посредством определенной

Гпава

348

28

процедуры, которая дает случайный результат. Поскольку «ро­ зыгрыш» проводится большое число раз, то набирается статис­ тический материал, который позволяет с определенной точнос­ тью моделировать случайное явление. Метод статистических испытаний позволяет установить связь между вероятностными характеристиками различных слу­ чайных явлений, например, между математическими ожидания­ ми и величинами, являющимися результатами аналитических решений, т. е. значениями интегралов, решениями краевых за­ дач дифференциальных уравнений и т. д. 2°. Под розыгрышем случайной величины А" будем понимать получение последовательности ее возможных значений Xi. Дис­ кретная случайная величина X задана законом распределения X

X,

х^

^п

р

Pi

Pi

Рп

Пусть непрерывная случайная величина R равномерно рас­ пределена в интервале (0,1). Обозначим за fj (j = 1,2,...^ ее воз­ можные значения (случайные числа). Разобьем интервал (0,1) оси От точками Pi, Д + р2, А + р2 "*" Рз»• • • ^^ ^ частичных интерва­ лов. Если выбранное случайное число г попадает в /-тый час­ тичный интервал, то разыгрываемая дискретная случайная ве­ личина принимает значение х^. Если требуется разыграть испытания, в каждом из кото­ рых вероятность появления события А равна/?, а непоявления А равна 1 - Р , то для случайных чисел /} < р событие насту­ пило, а для /} > р не наступило. 10.1. Разыграть 7 значений дискретной случайной величи­ ны X, заданной распределением X

р

3 0,21

6 0,17

14 0,62

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

ПРОВЕРКА

349

для случайных чисел г.: 0,65; 0,48; 0,11; 0,76; 0,74; 0,17; 0,36. Решение. Разобьем интервал (0,1) точками 0,21; 0,38 на 3 частичных интервала (О - 0,21), (0,21 - 0,38), (0,38 - 1). Случайное число г^ = 0,65 принадлежит третьему частично­ му интервалу, поэтому разыгрываемая дискретная случайная величина принимает значение х^ =14. Число г^ =0,48 попадает также в третий интервал, следовательно, х^ = 14 . Аналогично: ^3 = 3; х^ = 14; х^ = 14; х^ = 3; х^ = 6. 10.2. Разыграть 5 испытаний, в каждом из которых вероят­ ность появления события А равна 0,63, если случайные числа г: 0,61; 0,19; 0,69; 0,4; 0,06. Решение. Считаем, что при г <0,63 событие А имеет мес­ то, а при г. > 0,63 наступает противоположное событие А. Ис­ комая последовательность событий в данном случае имеет вид 10.3. Заданы вероятности трех событий, образующих пол­ ную группу: р , = Я Г Д ; = 0,24; р , = Я Г 4 ; = 0,15; Рз =^Мз>> = 0,61. Разыграть 5 испытаний, в каждом из которых появляется одно из трех заданных событий при условии, что случайные чис­ ла равны г: 0,68; 0,93; 0,59; 0,14; 0,16. Решение. Разобьем интервал (0,1) на три частичных интер­ вала (О - 0,24), (0,24 - 0,39), (0,39 - 1). Поскольку случайное число г^ = о, 68 принадлежит третьему интервалу, то появляется событие А 3. Аналогично находятся остальные события. Таким образом, искомая последовательность событий имеет вид: ^т^у ^^у

Ау

А^,

/\^.

10.4. События А и В независимы и совместны. Требуется разыграть 5 испытаний, в каждом из которых вероятность появ­ ления события А равна 0,4, а события В равна 0,7, если случай­ ные числа г: 0,02; 0,29; 0,53; 0,68; 0,70.

350

Гпава

28

Решение. Составим полную группу событий. Возможны 4 исхода испытания: Д = АВ; Д = АВ; Д = АВ; Д = АВ. Поскольку события независимы, то вероятности появления этих событий, соответственно: Р(АВ) = Р(А)' Р(В) = 0,4.0,7 = 0,28; Р(АВ) = Р(А)Р(В)

= 0А0,3 = 0Л2;

Р(АВ) = Р(А) • Р(В) = 0,6 • 0,7 = 0,42; Р(АВ) = Р(А)- Р(В) = 0,6 • 0,3 = 0,18. Разобьем интервал (0,1) на четыре частичные интервала (О - 0,28), (0,28 - 0,40), (0,40 - 0,82), (0,82 - 1). Так как случайное число Tj = о, 02 принадлежит первому интервалу, то наступило событие А,. Аналогично находятся исходы и для остальных слу­ чайных чисел. Окончательно, искомая последовательность ис­ ходов разыгранных испытаний примет вид: А^^А^^А^.А^^Ау

28.11. Разыгрывание непрерывной случайной величины 1°. Пусть непрерывная случайная величина А"задана функ­ цией распределения F(x) . Для нахождения возможных значе­ ний X. непрерывной случайной величины необходимо выбрать случайное число г., приравнять его функции распределения F(x.) = г. и решить это уравнение относительно х.. 2°. Если непрерывная случайная величина Z задана плот­ ностью вероятности f( х),то для нахождения ее возможного зна­ чения X. необходимо выбрать случайное число г- и решить отно­ сительно х^ уравнение

jf(x)dx = r,,

(1)

а

где а — наименьшее возможное значение случайной величи­ ны X

СТА ТИСТИЧЕСКАЯ

351

ПРОВЕРКА

3°. Пусть функция распределения случайной величины X задана в виде линейной комбинации двух функций F(x)^C,F,(x)-\-C^F^(x)^ где С, >0, С2>0, q + C 2 = l . Чтобы разыграть возможные значения, необходимо выбрать два случайных числа ^\\i г^ и по случайному числу г; разыграть вспомогательную дискретную случайную величину Z с зако­ ном распределения Z

1

2

р

с,

Сг

Если Z= 1, то относительно х решают уравнение Р/х) = Г2, если Z=2, то решают уравнение р2(х) = Гз. Метод суперпозиции обобпдается на п слагаемых функций распределения. 11.1. Разыграть 4 возможных значения непрерывной слу­ чайной величины X, распределенной равномерно в интервале (3, И), если выбранные случайные числа г^ равны: 0,73; 0,05; 0,38; 0,52. Решение. Функция распределения равномерно распределен­ ной случайной величины имеет вид F(x) = (х-а)/(Ь-а). Так как а = 3, 6 =11, то F(x) = (x-3)/S. Отсюда, возможные зна­ чения непрерывной случайной величины находят из уравнения (x.-3)/S = r. или x.^Sr.-\-3. Подставляя ;;., окончательно по­ лучим Xj =8-0,05+3 =3,4; Х2=6,06; Хз=7,16. 11.2. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону и задана функцией распределения F(x) = 1 - е'^"" (х > 0). Требуется разыграть 3 возможных зна­ чения, если Я = 5, а выбранные случайные числа г. равны: 0,28; 0,35; 0,54.

352

Гпава

28

Решение. Согласно правилу Р , запишем разрешающее урав­ нение в общем виде \-е'^''^ = А: . Решим это уравнение относи­ тельно х-^: e'^''^ = 1 ~А; или ^/ = ~—1пП-г.), Подставляя А;., бу­ дем иметь: ^1 =

In 0,72 = - 0 , 0 6 5 6; Xj =

In 0,65 =

= -0,086; Хз=---1пО,46 = -0,155. 11.3. Непрерывная случайная величина А'задана плотнос­ тью вероятности [(х) = 1 /(^1 - axf в интервале 0<х<1/(1-а); вне этого интервала f(x) = 0. Найти явную формулу для разыг­ рывания возможных значений X, Решение. В соответствии с формулой (1) уравнение относи­ тельно х. имеет вид

I dx i(l--ax/

= Г:.

Интегрируя, получим 11^.. ,_,... . — {(l-ax)-^d(l-ax) ло

'

\ 1-ах

л

1

1

а (Х-ах)

о

г

1 =А;., откуда х- =\л-аг,

11.4. Найти явные формулы для разыгрывания непрерыв­ ной случайной величины X, заданной функцией распределения ^Гх; = 1--Ге-'"+2в-";, 0<х<оо. Решение. Применяя метод суперпозиции, представим задан1 _ 2 _ ную функцию в виде F(x) = ~f 1 - e'^"" ) + —(l-e~''). ^ 1 2 Таким образом, F^(x) = 1 -e''^\ F^(x) = 1 -e'\' C, = - ; Сз = ~.

СТА ТИСТИЧЕСКАЯ

353

ПРОВЕРКА

Рассмотрим вспомогательную дискретную случайную ве­ личину Z, заданную законом распределения Z

2 2/3

1 1/3

р

Выберем случайные числа г^ и г^ и разыграем Z по слу­ чайному числу Г|. Разобьем интервал (0,1) на два частичных ин1 1 1 ^1 тервала (О, т") и ( - , 1). Если ^i < - , то Z = 1, если ^i ^ —, то Z = 2. Таким образом, возможные значения JSf находятся из реше­ ния относительно х уравнений 1

\-е

-2.

1

=г., если п <-; 2

1

3

1 1-е "" =г,, если г. > или Х=

1 1 /1 ^ 1П(1-Г2^,

х = -\п(\-Г2),

1 если ^ 1 < ~ '

если rj>—.

28.12. Оценка погрешности метода Монте-Карло 1°. Величина допускаемой ошибки 5 с заданной вероятнос­ тью 7 : Я у J^ - а| < 5 j = 7, если случайная величина распределе­ на нормально и ее среднее квадратическое отклонение о* извес­ тно, определяется по формуле 5 = Ш/^.

(1)

354

Гпава 28

где п — число испытаний, t — значение аргумента функции Лап­ ласа Ф(1)-у /1, 2°. Если случайная величина А'распределена нормаль­ но и ее среднее квадратическое отклонение С неизвестно, то верхняя граница ошибки с вероятностью у определяется по формуле

Ь = t^s /4п,

(2)

где S — «исправленное» среднее квадратическое отклонение, t^ — берется из табл. 4. 3°. Если произведено п независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью/?, то вероятность того, что частота (О события А отличается от вероятности собы­ тия/7 не больше, чем на заданную величину 5 > О определяется по формуле Р(\(о-р\< 5 ) = 2Ф

(3)

Задаваясь достаточно близким к единице значением веро­ ятности у — «уровнем доверия» и разрешая равенство • у относительно п, находим расчетную формулу для необходимого числа опытов п

v2/

ф-

(у\

(4)

-l2

ДЛЯ некоторых, наиболее ре­ V2/ альных значений уровня доверия приведены в табл. 11 прило­ жения. Значение функции

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

355

ПРОВЕРКА

4°. Если производится п независимых опытов и известно среднее квадратическое отклонение а, то вероятность того, что среднее арифметическое х отклоняется от математического ожидания а меньше чем на 8 определяется по формуле

Р(\х-а\<5

)^2Ф

(5) \

где G, поскольку оно, как правило, неизвестно, определяется выражением

Число опытов «, в которых среднее арифметическое X на­ блюдаемых значений случайной величины отклоняется от ее математического ожидания не больше чем на 5 при уровне до­ верия 7, определяется по формуле f^^4 ф-

п\^

)

J.

(6)

12.1. С вероятностью 7 = 0,97 найти верхнюю границу ошибки 5 , если для оценки математического ожидания нор­ мальной величины X с известным средним квадратическим отклонением ст = 0,4 было разыграно 49 возможных значе­ ний X Решение. Воспользуемся формулой (1). По условию: п = 49; 7 О 97 сг = 0,4; Ф(t) = — = -^— = 0,485. Из таблицы функций Лапласа (табл. 3) находим г = 2,18. Таким образом, искомая верхняя границаошибки 5 = 2,180,4/749=0,1246. 12.2. С вероятностью 7 = 0,99 найти верхнюю границу ошибки 5 , если для оценки математического ожидания нормаль-

Гпава

356

28

НОЙ величины X было разыграно 64 ее возможных значения и по ним найдено «исправленное» среднее квадратическое отклоне­ ние 5" = 0,3. Решение. Воспользуемся формулой (2). По условию: п = 64; S = 0,3. Из таблицы(4) по у = 0,99 при л = 64 находим t^ -1,9985. Таким образом, искомая верхняя граница ошибки 5 =1,9985 0,3/^64 =0,075. 12.3. Произведено « = 100 независимых опытов, в каждом из которых событие А появилось с вероятностью/? = 0,6. Найти вероятность того, что частота появления события А отличается от вероятности меньше чем на 5 = 0,02. Решение. Учитывая, что ^ = 1 - р = 1 - 0,6 = 0,4, по формуле (3) имеем f

\

.г.^—\

Р(\(0 - О, б| < 0,02 = 2Ф 0,02, - i ^

= 2ФГ0,41; = 0,3182.

12.4. Вероятность появления события А в каждом из неза­ висимых опытов равна/7 = 0,3. Сколько опытов необходимо провести для того, чтобы частота (хУ события А с вероятнос­ тью (уровнем доверия) / = 0,95 отличалась от/? не больше, чем на 5=0,01? Решение. Число опытов п вычисляем по формуле (4). Из {

табл. (И) для 7 = 0,95 имеем

/.,\V

L.\\

=3,84. Поскольку

^ = 1-р = 1_0,3 = 0,7, то A2=-

0,30,7 •3,84 = 8064. Г0,01/

12.5. Производится п = 400 независимых опытов. Найти вероятность того, что среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины X будет отличаться от ее ма-

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

357

ПРОВЕРКА

тематического ожидания меньше чем на 5 = 0 , 0 1 , если ст = 1,5. Решение. По формуле (5), пользуясь табл. (3), имеем Р(\Х'-а\<0М)

= 2Ф

0,0Ь20 = 20(0,13) = 0,1034. 15

Отсюда следует, что значения случайной величины X зак­ лючены в интервале от а-0,0\ до <2+0,01 с вероятностью р-0,1. 12.6. Какое число опытов требуется провести с целью при­ ближенного определения математического ожидания случайной величины, чтобы с уровнем доверия / = 0,99 среднее арифмети­ ческое X наблюдаемых значений случайной величины Z отли­ чалось от ее математического ожидания не больше, чем на 5 = 0,01, если а, найденное приближенно из первой серии опы­ тов, равно (J = 0,5. Решение. Из таблицы (11) для уровня доверия / = 0,99 име­ /п/Л\

ем, что Ф"

= 6,61. Пользуясь формулой (6), получим

v2y ( 0,5 ^' п=

1,0,01

•6,61 = 16525.

28.13. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло Вычисление определенных интегралов методом статисти­ ческих испытаний целесообразно в тех случаях, когда не тре­ буется высокая точность или численные методы вычисления многократных интегралов требуют большого объема вычис­ лений. Суть метода рассмотрим на простейшем одномерном интеграле.

358

Гпава

28

Пусть требуется найти значение определенного интеграла b

\(p(x)dx. Если X — случайная величина, распределенная рав« 1 номерно с плотностью f(^) = ' в интервале интегрирования о —а [а, Ь], то математическое ожидание .

b

M[(p(x)]=\(p(x)f(x)dx

b

=

a

\(p(x)dx, a

откуда интеграл b

jQ=\(p(x)dx=(b-a)M[(p(x)]. a

Заменяя математическое ожидание выборочной средней, будем иметь 1 '^ Jo=(b-a)-^(p(x.)^ ^

(1)

1=1

где х^ — возможное значение случайной величины X, Поскольку случайная величина X распределена равномер­ но, то X. разыгрываем по формуле j f(x)dx =

j dx = r.,

a

a

откуда x-=a-\-(b-a)r-.

(2)

3

13.L Вычислить интеграл

, найти абсолют1

ную погрешность и минимальное число испытаний, которое с надежностью 7 = 0,95 обеспечит верхнюю границу ошибки 5 = 0,1.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

359

ПРОВЕРКА

Решение. По условию а = \; Ь = 3; (р(х) = х^ +1. Величина интеграла определяется по формуле

с целью упрощения вычислений примем число испытаний равным « = 10. Используя зависимость (2), находим, что Х-=1 + 2г.. Выбирая 10 случайных чисел (табл. 10), составим таблицу i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

п

0,66 0,65

0,47 0,73 0,07 0,76

0,50 0,16 0,97

0,61

2/;.

1,32

1,30

0,94 1,46 0,14 1,52

1,00 0,32 1,94

1,22

\+ц

2,32 2,30

1,94 2,46 1,14 2,52

2,00 1,32 2,94

2,22

U/

5,38 5,29

3,76 6,05 1,30 6,35

4,00 1,74 8,64

4,93

к'+1

6,38 6,29

4,76 7,05 2,30 7,35

5,00 2,74 9,64

5,93

X,. =1 +

Складывая

числа

последней

строки,

получим

Y,(p(x,) = 51M. откуда /о = — -57,44 = 11,49. 3

Поскольку / = {(х^ +\)dx = lO,67,T^oабсолютнаяпогреш1

кость равна | / - / о | = |10,67-11,49| = 0,82. Случайная величина X в интервале интегрирования распре­ делена равномерно. Дисперсия ее в этом случае равна D(X) = (b-af

/12 = (3-1/

/12 = 1/3,

360

Гпава

28

Минимальное число испытаний, которое с надежностью 0,95 обеспечивает верхнюю границу ошибки 5=0,1 находим из равенства o^^D(X),

(2)

(параграф

(28.12))

^""Т^"'

^Д^

ФГ^>> = ~- Таким образом, Ф(^^; = ^^^^ = 0,475; из

табл.(З) ^ = 1,96; п = - ^ ^ ^ = 128. ^^ 0,1'-3

Глава 29 СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 29.1. Случайные функции и их характеристики 1°. Случайной функцией называется функция неслучайно­ го аргумента /, которая при любом фиксированном значении аргумента представляет случайную величину. Случайная фун­ кция как совокупность случайных величин, зависящих от аргу­ мента t, обозначается X(t). Каждому фиксированному значе­ нию аргумента t соответствует случайная величина, которая называется сечением случайной функции. Математическим оон:иданием случайной функции называ­ ется неслучайная функция mjt), которая при любом фиксиро­ ванном значении аргумента / равна математическому ожида­ нию сечения mJt)='M(X(t)). С геометрической точки зрения математическое ожидание случайной функции есть средняя кри­ вая, около которой группируются другие кривые. Дисперсией случайной функции называется неслучайная функция DJt), которая при любом фиксированном значении аргумента / равна дисперсии сечения DJt)^D(X(t)). Диспер-

362

Гпава

29

СИЯ характеризует рассеяние возможных кривых около матема­ тического ожидания случайной функции. Среднее квадратическое отклонение случайной функции определяется по формуле: (Jjt) = yJDJt). Свойства математического ожидания и дисперсии случай­ ной функции аналогичны свойствам математического ожидания и дисперсии случайной величины. 2°. Разность между случайной функцией и ее математичес­ ким ожиданием называется центрированной случайной функо

щей X(t) = X(t)-m/t). Корреляционной функцией K^=(t^,t2) случайной функции X(t) называется неслучайная функция, равная корреляционно­ му моменту сечений для каждой пары фиксированных значений о

о

аргументов t^Jj т.е. K(t^,t2) = M(X(t^)X(t2)). Нормированной корреляционной функцией Px(^\>h) случай­ ной функции X(t) называется неслучайная функция, равная ко­ эффициенту корреляции сечений для каждой пары фиксирован­ ных значений аргументов t^, ^2

3°. Корреляционная функция суммы двух коррелирован­ ных случайных функций Z(t)=X(t)-^Y(t) равна сумме корре­ ляционных функций слагаемых и взаимных корреляционных функций с разным порядком следования аргументов, т. е. Если случайные функции некоррелированы, то корреляци­ онная функция суммы равна сумме корреляционных функций. 1.1. Найти математическое ожидание и дисперсию случай­ ных функций: а) X(t) = Us'm3t + e~'; б) X(t) = UcostVt^, где t / и V—случайные величины M(U)=2; M(V)=3;D(U)=5; D(V)=OJ,

СПУЧАЙНЫЕ фУНКиИИ

363

Решение, а) Поскольку математическое ожидание суммы случайной и неслучайной функции равно сумме математическо­ го ожидания случайной функции и неслучайной функции и не­ случайный множитель выносится за знак математического ожи­ дания, то будем иметь M(X(t))

= M(U sin 3 0 + в"= sin 3^ M(U) + e" = 2 sin Ъ( + e"'.

Так как дисперсия суммы случайной функции и неслучай­ ной функции равна дисперсии случайной функции и дисперсия произведения случайной функции на неслучайную равна произ­ ведению квадрата неслучайного множителя на дисперсию слу­ чайной функции, то получим D(X(t))^D(Usm3t

+ e-' ) = П(и^тЪ1) =

= sin'3/i)(^t/; = 5sin'3/. б) Аналогично M(X(t))

= M(Ucost-Vt^)

= costM(U)-t^M(V) D(X(t))

=

= 2cost-3t\

= D(Ucost-Vt^)

=

=^cos^tD(U) + t'D(V) = 5cos^t + 0,lt\ Здесь использовано свойство дисперсии, что дисперсия раз­ ности равна сумме дисперсий. 1.2. Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию; в) нормированную корреляционную функцию случайной функ­ ции X(t) = и cos 2/, где U — случайная величина, причем M(U)=2, D(U)=5. Решение, а) Сначала найдем математическое ожидание m/t) = M(X(t))

= M(Ucos2t)

= cos2t M(U) = 2cos2/

и центрированную функцию X(t)=X(t)-m/t)=Ucos2t-2cos2t=(U-'2)cos2t.

364

Гпава

29

Отсюда X(t, )^(U-

2;cos 21,; X(t^ ) = (U- 2;cos 21^.

Таким образом, корреляционная функция будет равна K/t,J^)

= M(X(tJX(tJ)

= M((U-'2)cos2t,-(U-2)cos2tJ

= cos2 t^cos2 t^MffU -2/

=

) = cos2t^cos2 t^D(U ) =

= 5cos2^jCos2^2-

б) Поскольку дисперсия случайной функции равна корре­ ляционной функции этой функции при равных между собой зна­ чениях аргументов ty=t2= t, т. е. D^(t) = K(t^,t^), то Z)/^; = 5cos2^cos2^ = 5cos^2л в) Нормированную корреляционную функцию случайной функции X(t) определяем, пользуясь формулой (1), по найден­ ной в а) корреляционной функции .

5 cos 2/.cos 2/. д/5 cos 2/j cos 2/, лУ5 cos 2 ^2 cos 2 ^2

Так как нормированная корреляционная функция равна еди­ нице, то между сечениями линейная функциональная зависимость. 1.3. Даны случайные функции X(t)=(t-\-l)U и Y(t) =t'V, где и п V — некоррелированные случайные величины, причем M(U)=2; M(V)=4; D(U)=3; D(V)=5. Найти: a) математи­ ческое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию суммы Z(t)=X(t)-^Y(t), Решение, а) Математическое ожидание суммы двух слу­ чайных функций равно сумме математических ожиданий m/t) = m/t) + m/t) = M((t + l)U)+M(t^V) = (t + l)M(U) + t^M(V) = 2(t + l)-h4t\

=

СПУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

365

б) Поскольку случайные величины С/ и F не коррелирова­ ны, то их корреляционный момент равен нулю M((U-2)(V-4)) = 0. Следовательно, взаимная корреляционная функция K/t,J,) = (t,-l)t',M((U-'2)(V^4)) = 0. т. е. функции X(t) и Y(t) не коррелированы. Таким образом, корреляцион­ ная функция равна

=^M(x(tjx(t,))+M(htjht2))Находя центрированные функции X(tJ = (t,^\)U-2(t,+\)

= (t,+l)(U--2);

X(t,) = (t,-\-l)(U-2); Y(tJ=^tfV^4tf =tf(V^4);

Y(t,) = tl(V-^4)

и подставляя их в предыдущее выражение, получим K/t„t,) = (t,+\)(t,+\)M(U-2/+ty,M(V-4f

=

= (t^+\)(t^+l)D(U) + tftlD(V) = 3(t^+l)(t^+l)+5tftl в) Искомая дисперсия равна D/t) = K/t,t) = 3(t + lf + 5t\ 29.2. Производная и интеграл случайной функции 1°. Производной случайной функции X(t) называется сред­ неквадратичный предел отклонения приращения функции к при­ ращению аргумента при Д/ -^ О: Az-^O

Д^

^ ^

366

Гпава

29

Математическое ожидание производной от случайной фун­ кции X(t) равно производной от ее математического ожидания m,(t)^m\(t).

(2)

Корреляционная функция производной от случайной функ­ ции X(t) равна второй смешанной производной от ее корреля­ ционной функции

Взаимная корреляционная функция случайной функции X(t) и ее производной X'ft) = х равна частной производной от кор­ реляционной функции по соответствующему аргументу: i?.rvU — 3 ^ ,

^.rVU-—з;^-

(4)

2°. Интегралом от случайной функции X(t) на отрезке называется предел в среднеквадратическом интегральной сум­ мы при стремлении к нулю максимальной длины частичного ин­ тервала А S. и обозначается max t

^(0= }imj;^X(sJAs,=lx(s)ds. max

(5)

О

/

Математическое ожидание интеграла Y(t)= \X(s)ds

от

о

случайной функции X(t) равно интегралу от ее математичес­ кого ожидания t

m/t) = jm/s)ds ^^^ о Здесь переменная интегрирования обозначена через s, что­ бы не спутать ее с пределом интегрирования /. Корреляционная функция интеграла Y(t)= \X(s)ds от

СПУЧАЙНЫЕ ФУНКиИИ

367

случайной функции X(t) равна двойному интегралу от ее кор­ реляционной функции hh

K/t,jJ

= jJK/s,,s,)ds,ds,

(7)

оо

Взаимная Y(t)= \X(s)ds

корреляционная

функция

интеграла

и случайной функции Х(^^у1 равна интегралу от

о

корреляционной функции случайной функции X(t) RJhA,J

= \KJt,^s)ds; 0

RJt,jJ

= JK/sjJds.

(g)

0

2.1. Дано математическое ожидание m/t) = t^ -I случай­ ной функции X(t). Найти математическое ожидание: а) ее производной; б) случайной функции Y(t) = t^X'(t) +1^. Решение, а) Математическое ожидание производной равно m^(t)=^m[(t) = (t'^\/ = 3t\ б) Математическое ожидание случайной функции равно m^(t) = M (Y(t)) = t^M (X'(t))-^M (t^). Поскольку

M(X'(t)) = mJt) = Zt\ то т/1) = Ъг'Л'1'=Аг\ 2.2. Задана корреляционная функция KJt^J^)= cos2^jCOs3/2 случайной функции X(t), Найти: а) взаимные корреляционные функции R^ (t^ Jj) ^ ^хх (h ^h ) 5 б) корреляци­ онную функцию ее производной. Решение, а) Воспользуемся формулами (4). Дифференцируя корреляционную функцию по t^ VL t^, получим R^Jt^J^) = (cos2tJ'^cos3t2 =-2sin2/iCOs3^2>' Кх (h '^2) = cos 2^/cos 3 /2 X = ~3 cos 2 ^jsin 31^. 6) Корреляционную функцию производной находим по фор­ муле (3)

368

Гпава

K,(t.t.)=|-^^^^=|-rcos2r,cos3r,;;

29

=

= —f-3cos2/jSin3/2>> = 6sin2/jSin3/2. 2.3. Зная математическое ожидание mjt) = t^ -ht случай­ ной функции X(t), найти математическое ожидание интеграла t

Y(t) = jX(s)ds, о

Решение. Математическое ожидание искомого интеграла находим по формуле (6) о

о

Ь

I

2Л. Задана случайная функция X(t) = Usin^t, где U — случайная величина, причем M(U) = 3. Найти математическое ожидание случайной функции Y(t) =

(t-l)\X(s)ds. о

Решение. Найдем математическое ожидание случайной функции X(t) mjt) = M(X(t))

= M(Usm^t) = sin'/ • M(U) = 3sin'/.

Математическое ожидание случайной функции Y(t) опре­ деляем по формуле (6) m/t) = (t-l)J3sm^sds

^(t-\)j(\-cos2s)ds=: ^

о

=

=

3 2

0

1 -(t-l)(t—sin2/;. 2

2.5. Задана корреляционная функция

KJt^,t2) =

= /fcos2/2 случайной функции X(t). Найти: а) корреляционную функцию и дисперсию интеграла Y(t)=\X(s)ds\

б) взаимные

СПУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

369

корреляционные функции R^,(1^,(2)^ ^vx(^\ >h) случайных фунt

кцийА^^/J и

Y(t)^^X(s)ds. о

Решение, а) Используя формулу (7), находим корреляцион­ ную функцию интеграла Y(t) KJt^,t2)-\\slco^2s2ds^ds2

=—sin2^2j'^f^'^i -

00

^

0

2 ' 4 8 ' ' Поскольку дисперсия равна DJt) = KJt.t),

то

DJt) = U\\n2t. 6) Взаимные корреляционные функции находим по форму­ лам (8) R^(h.t2)'=^\KJt^,s)ds=^tl^cQ^lsds о

RyJt^,t2) =

= -tlsm2t2;

о

^

\KJs,t2)ds=cos2t2\s^ds=^-t'lcos2t2. о

о

2.6. Задана случайная функция X(t) = Usm3t, где U — случайная величина, причем M(U)=3; D(U)=]. Найти корреляционную функцию и дисперсию интеграла Y(t) - \

X(s)ds.

о

Решение. Найдем сначала математическое ожидание слу­ чайной функции X(t) mJt) = M(Us\nZt)^^mitM(U) = ^smit. Отсюда, центрированные функции будут Х(г,) = Х(г^-т^г^

=

и^тЪц-Ъ^тЪ1,=(и-Ъ)^тЪг,;

X(t2) = X(t2)-mJt2)

= UsmЪt2-ЪsmЪt2=(U'•Ъ)smЪt2.

Гпава

370

29

Находим корреляционную функцию

К^1,Л2) = М(Х(ц)Х(1,)) - sin3^jSin3t2M((U -З/)

= М((и-Ъ)^тЪ1,(и-Ъ)^тЪ1^) = sin3^, sin3t2D(U) = sin3^jSinit^.

Корреляционную функцию интеграла Y(t) формуле (7)

0 0

1

=

находим по

0 0

f

1

= —(cos3t2-l)\sin3s^ds^ =—(^cosЗ/J-lXcosЗ/2~U• Поскольку дисперсия равна D^,(t) = K^(t,t), D/t)

=

то

^(cos3t^\)\

293. Стационарные случайные функции и их характеристики 1°. Стационарной случайной функцией X(t) называется функция, математическое ожидание которой постоянно при всех значениях аргумента Г, и корреляционная функция зависит толь­ ко от разности аргументов т = ^2 " ^ Р '^- ^• KJt,J2) = K(t2-tO = K(T).

(1)

Дисперсия стационарной случайной функции X(t) посто­ янна при всех значениях аргумента t и равна D/t) = K/t,t) = k/t-t) = k/0), т. е. равна значению ее кор­ реляционной функции в начале координат (г = 0). 2°. Нормированной корреляционной функцией стационарной случайной функции называется неслучайная функция аргумента Т p/r) = kjT)/kJO). (2)

СПУЧАЙНЫЕ фУНКиИИ

371

Случайные функции X(t) и Y(t) на.зывз.ются стационар­ но связанными, если их взаимная корреляционная функция зави­ сит только от разности аргументов ^ = ^2 ""^i • RJtvh)

= rJz)

(3)

3.1. Доказать, что X(t) = ^in(t^-(p) —стационарная слу­ чайная функция, если (р — случайная величина, распределен­ ная равномерно в интервале ("О, 2к). Решение. Найдем сначала математическое ожидание mJt) = M(sin(t + (р)) = M(sinх cos(р + sin(p cost) = =

sintM(cos(p)-costM(sm(p).

Поскольку распределение равномерное, то 1

г2я

11

f2;r Г27Г

M(cos(p) = — J

cos(pd(p = 0 и .

M(sm(p) = 2л: — JJo sin(pd(p = 0. Таким образом, m^(t) = 0, ^ Учитывая, что центрированная функция равна X(t) = = X(t) - mJt) = sin (t + (p), найдем корреляционную функцию KJt,jJ

= M(X(tJX(tJ)

= M(-(cos(u

-tJ-cos(t^

= M(sm(t,+(p)sm(t^-\-(p)) +t2+2(p))) = -'(cos(t2

—Mcos(t^+t^ + 2(p)) = -cos(t2-tJ—cos(t2'^tJM(cos2(p) +—sin(t2-tJM(sm2(p)

= -tj+

= —cos(t2-tJ,

здесь M(cos2(p) = M(sin2(p) = 0. Полагая t^=t2=t, находим, что дисперсия D^(t) =

= KJtj) = ^cos(t--t) = -.

372

Гпава

29

Так как математическое ожидание случайной функции по­ стоянно и ее корреляционная функция зависит только от разно­ сти аргументов, а дисперсия сохраняет постоянное значение при любых значениях аргумента, то функция X(t) — является ста­ ционарной случайной функцией. 3.2. Задана корреляционная функция k/t) = Ъе~^' стацио­ нарной случайной функции X(t), Найти нормированную кор­ реляционную функцию. Решение. При определении нормированной корреляцион­ ной функции воспользуемся формулой (2)

к/О)

Зе'

3.3. Доказать, что две стационарные случайные функции X(t) = cos(2t + (p) и У(^^^ = sin(^2^ + ) -^mlt M (smq>) - 0; m/t) = M(sm(2t + (p)) = sin2tM(cos(p)-cos2tM(sm(p)

= 0.

Центрированные функции примут вид X(t) = X(t)-mjt)

= cos(2t + (p); X(t) = sm(2t-\-(p).

Таким образом, взаимная корреляционная функция равна R^,(t^jJ = M(X(t,)Y(t^))^M(Q0^(2t, = -M(sm2(t2-tJ-{-sm2(t^+t2+(p))

+(p)^m(2t^ +(р)) = =

-sm2(t2-tJ,

СПУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

373

Нетрудно доказать, что здесь математическое ожидание второго слагаемого равно нулю. Поскольку взаимная корреляционная функция заданных стационарных случайных функций зависит только от разности аргументов, то эти функции стационарно связаны.

29.4. Корреляционная функция производной и интеграла стационарной случайной функции 1°. Корреляционная функция производной X'(t) дифферен­ цируемой стационарной случайной функции X(t) равна вто­ рой производной от ее корреляционной функции, взятой со зна­ ком минус:

к(х)^-к':(х).

(1)

Взаимная корреляционная функция дифференцируемой ста­ ционарной случайной функции X(t) и ее производной X'(t) = х равна первой производной от корреляционной функции к^(х) со знаком в зависимости от порядка индекса х rjT)

= K(x)

и rJx) = -K(T).

2°. Корреляционная функция интеграла Y(t)=\X(s)ds

(2) от

стационарной случайной функции X(t) определяется по формуле

K/t„tJ =

j(t,-T)kjT)dTО

- J (t^ -t, -r)k/T)dT

+ l(t, -T)kjT)dT.

0

(3)

0

/

Дисперсия интеграла Y(t) = j X(s)ds

от стационарной слу-

0

чайной функции X(t) определяется по формуле

374

Гпава

D/t) = l\(t-t)kJx)dx.

29

(4)

О

4.1. Задана корреляционная функция kjT ) = 0,5 е'^^ ста­ ционарной случайной функции X(t). Найти: а) корреляционную функцию и дисперсию производной х; б) взаимные корреляци­ онные функции случайной функции X(t) и ее производной. Решение, а) Искомую корреляционную функцию находим по формуле (1) Полагая т = О, находим дисперсию б) Взаимные корреляционные функции находим по формуле (2)

4.2. Задана корреляционная функция к/г)=

. ста­ л/т'+1 ционарной случайной функции X(t). Найти дисперсию интег-

рала Y(t) =

\x(s)ds. о

Решение. Дисперсию интеграла находим по формуле (4)

D^(t) = l\(t-T)kJx)dT

= 2\-j^===dx =

о

I

I

о VТ +1

о

'

'

Поскольку дисперсия не постоянна и зависит от аргумента t, то функция Y(t) нестационарна.

Глава 30 ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 30.1. Основные понятия системы массового обслуживания (СМО) Установление зависимости между случайными потоками зая­ вок, числом каналов, где эти заявки обслуживаются, производи­ тельностью каналов, условиями работы СМО и эффективностью обслуживания представляет суть теории массового обслуживания. Примерами таких систем могут служить сбербанки, почто­ вые отделения, телефонные станции, бензоколонки, билетные кассы и т. д. Обычно СМО состоит их некоторого числа каналов обслу­ живания, например, линии связи, рабочие точки обслуживания и т. д. СМО могут быть одноканальные или многоканальные . Каждая СМО обладает определенной пропускной способно­ стью, позволяющей справляться с потоками заявок. Задача тео­ рии массового обслуживания — установление зависимости между характером потока заявок, числом каналов, их производительно­ стью и пропускной способностью. СМО бывают двух типов: 1. Системы с отказами, когда все каналы заняты, то заявка не обслуживается и покидает систему.

376

Гпава 30

2. Система с ожиданием (с очередью). Заявка становится в очередь, которая бывает упорядоченная, случайная, с при­ оритетом. Системы с очередью делятся на системы с неограниченным ojtcudanueM, когда заявка «терпеливо ждет», когда ее обслужат и системы с ограниченным олсиданием, когда заявка после ка­ кого-то срока пребывания в очереди уходит. Эффективность СМО определяется абсолютной пропускной способностью, т. е. средним числом заявок, которые могут быть обслужены в единицу времени, и относительной пропускной способностью, т. е. отношением обслуженных заявок ко всем заявкам, поступившим в СМО. 1. Поток событий называется стационарным, если вероят­ ность попадания события на интервал т зависит только от дли­ ны участка и не зависит от того, где именно на оси Ot находится этот участок. 2. Поток событий называется потоком без последствий, если для любых участков число событий, попавших на один уча­ сток, не зависит от того, сколько событий попало на другой уча­ сток. Например, появление одного клиента у бензоколонки не зависит от появления другого. 3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух событий пренебрежи­ мо мала по сравнению с вероятностью попадания одного собы­ тия. Так, поток посылок, поступающих на предприятие, можно рассматривать как ординарный, но поток посылок, поступаю­ щих в контейнерах, не ординарен. Поток, обладающий этими свойствами, называется про­ стейшим, Я = const — интенсивность потока событий. Если поток нестационарен, но не имеет последствия и орди­ нарен, то называется нестационарным пуассоновским потоком Я = Я (t), то есть потоком, связанным с распределением Пуассона.

ТЕОРИЯ

МАССОВОГО

Z11

ОБСПУУКИВАНИЯ

Математический анализ СМО значительно облегчается, если случайный процесс марковский. Тогда работа СМО сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а в пределе к системе линейных алгебраических уравнений. Для того, чтобы процесс был марковским, необходимо, что­ бы поток заявок описывался пуассоновским потоком, потоком без последствий. Если поток не является пуассоновским, то за­ дача значительно усложняется.

30.2. Определение цепи Маркова. Матрица перехода у. Цепью Маркова называется последовательность изме­ нения состояний, когда вероятностные свойства системы в пос­ ледующий промежуток времени t>t^ определяются их значениями в данный момент t^t^ и не зависят от значений в предыдущие моменты. Если система из одного состояния в другое переходит скач­ ком (мгновенно), то случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями. Для процессов с непрерывными со­ стояниями характерен постепенный, плавный переход из одного состояния в другое. Геометрически процесс с дискретными состояниями изоб­ ражается графом состояний (рис. 30.1), который стрелками по­ казывает возможные переходы из состояния S^ в состояние Sy.

/

>

S,

S, *v^

/

ч

^г' 3 ^ г> ^ '23

с'5

г0

34

Рис. 30.1

^ Sj\

^

378

Гпава

30

2°. Переходной вероятностью Рц называется условная ве­ роятность перехода системы из состояния / в состояние/ Матрицей перехода системы называется матрица, элемен­ тами которой являются переходные вероятности этой системы Гр Р.-

р

Ml

^12

Р

Р

^21

^22

Р

Р

Р ^ 2л

Р

где сумма вероятностей каждой строки равна единице м Если переход из состояния i в состояние j невозможен, то вероятность перехода /^у =0. На графе состояний переходные вероятности проставляют­ ся у соответствующих стрелок (рис. 30.1). Матрица перехода из одного состояния в другое за два шага выражается через матрицу перехода за один шаг по формуле Р =р р =р^

(1)

р=р.р=р.р^=р^

(2)

за три шага В общем случае Р^=Р^'^ ^ т. е. задача сводится к перемноже­ нию матриц. Марковская цепь называется однородной, если вероятнос­ ти перехода не зависят от номера шага; если зависят, то неодно­ родной. Зная матрицу переходных вероятностей или размеченный граф состояний S., вероятности состояний после к- того шага определяются по формуле

ТЕОРИЯ МАССОВОГО

379

ОБСПУЖИВАНИЯ

п

причем ^SP(k)

= 1, т.к. вероятности состояний несовместных

/=1

событий образуют полную систему. Г0,8 0,2^1 Найти мат0,6 0,4

2.1. Задана матрица перехода Р^

Р.иР., рицу перехода г^ Решение. Воспользуемся формулой (1), тогда получим f0,8 0,2Y0,8 0,2^ ('0,80,8+0,60,2 Рг = 0,6 0,4 0,6 0,4 '[о,80,6+0,60,4

0,20,8+0,40,2'| 0,20,6+0,40,4J

f0,76 0,24^1 0,72

0,28

Пользуясь формулой (2), будем иметь (0,% 0,2^1 '0,76 0,24^1 0,6 0,4 0,72 0,28 ("0,608 + 0,144 0,456 + 0,288

(0,152 0,744

0,192 + 0,056 0,144 + 0,112

0,248 0,256

2.2. По некоторой цели ведется стрельба. Граф состояний с переходными вероятностями показан на рис. 30.2.

N?

0, >

0,4^^\>^з \о,б^

^

|3

380

Гпава 30

Возможные состояния цели: Sj —цель не повреждена; S2 — незначительные повреждения; S3 —значительные повреждения и S^ — цель полностью уничтожена. Найти вероятности состоя­ ний цели после четырех выстрелов. Решение. Найдем матрицу переходных вероятностей. Из графа состояний системы имеем Р^^ =0,5; Р^^ =0,3; Р,^^^^\. Поскольку сумма переходных вероятностей образует полную группу событий, то /^1 = 1 -(^/^2 + /^3 + ^4>' = 1 "•0,9 = 0,1. Аналогично: Ри = 0 ; Ргъ =0^4; Р24 =0,3; P^i =0^3; ^31=0; Яз2=0; /^34=0,6; Рзз=0^4; Р =0- Р =0- Р =0* Р =1 ^41

^у

^42

^>

^43

^'

^44

^•

Таким образом, матрица переходных вероятностей будет (^0,1 0,5 Р,=

О О 0

0,3

0,0

0,3 0,4 О 0,4 0 0

0,3 0,6 1^

Поскольку в начальный момент цель находится в состоя­ нии S,, то PJ^^) — 1. Вероятности состояний после первого выст­ рела (шага) определяются первой строкой матрицы Р^(\) = 0,1; Р^(\) = 0,5; Р,(\) = 0,3; Р/\) = 0,1. По формуле (3) находим вероятности состояний после второго выстрела

^;Г2;=/^п;/^,=о,1о,1=о,о1; Р2Г2; = ^;п;/^2+^2П>»^22=0,1.0,5 + 0,5.0,3 = 0,20; Р,(2) = Р,(\)Р,,^Р,(\)Р,,

+ Р,(1)Р,,=

= 0,10,3 + 0,50,4 + 0,30,4 = 0,35;

ТЕОРИЯ

МАССОВОГО

ОБСПУЖИВАНИЯ

381^

=0,1 ол+о.зо.з+азаб+ол 1=0,44. Проверка: Р,(1)^Р^(1)^Рг^(1)+Р^(1) = \. Вероятности состояний после третьего выстрела / > n ; = f | ( ' 2 ; / ^ , =0,01 ОД=0,001; Р2ГЗ; = /^(^2;/^2+^2('2;Я22=0,01-0,5 + 0,20,3 = 0,065; Р,(Ъ) = Р,(1)Р,,+Р,(1)Р,,л-Р,(2)Р,,

=

= 0,010,3 + 0 , 2 0 . 4 + 0 , 3 5 0 , 4 = 0,223; Р,(Ъ) = Р,(2)Р,, +Р,(2)Р,,+Р,(2)Р,,

+Р,(2)Р^ =

= 0,01 •0,1 + 0,20,3 + 0,350,6 + 0,441= 0,711. Вероятности состояний после четвертого выстрела Р^(4) = Р^(3)Р,, = 0,001 • 0,1 = 0,0001; Д (4) = /^ (3)Р,2 + Р^ (Ъ)Р,, = 0,001 • 0,5 + 0,065 • 0,3 = 0,02; Р,(4) = Р,(3)Р,,+Р,(3)Р,,+Р,(3)Р,,

=

= 0,001 0,3 + 0,0650,4+0,2230,4 = 0,1155; Р/4) = Р,(3)Р,, + Р,(3)Р,, + РзГЗ;Яз4 + P/VP^ = = 0,0010,1 + 0,0650,3 + 0,2230,6 + 0,7111 = 0,8644. Таким образом, вероятность первого состояния при четы­ рех выстрелах f} (4) = 0,0001; второго — Р^ (4) = 0,02; третье­ го — Р^(4) = 0,1155 и четвертого — Р^(4) = 0,711. 2.3. Цель может быть в тех же четырех состояниях, что и в предыдущем примере. Вероятности перехода при трех выстре­ лах различны и заданы тремя матрицами

382

Гпава

(0,\ 0,4 О 0,2 « ' ) = О О 0 0

0,3 0,2^1 0,5 0,3 0,4 0,6 0 1

(0,1 0 ("?)- 0 0

0,3 0,4 0,3 0

0,2"! 0,2 0,7 1 ,

(0,Ъ 0,4 0,2 О 0,5 0,3 (ef')= О О 0,2 0 0 0

0,0 0,2 0,8 1

0,3 0,4 0 0

30

Требуется найти вероятности состояний после трех выстре­ лов, если в начальный момент цель находится в состоянии S^. Решение. Поскольку вероятности перехода меняются шаг от шага, то марковская цепь неоднородная. Вероятности состо­ яний при первом выстреле берем из первой матрицы Р^(\) — 0,1; P / i ; = 0.4; Р,(\) = 0,Ъ; Р,(1) = 0,2Вероятности состояний после второго выстрела /^ (^2; =/^ n ; / ^ f ^ = 0,1 • 0,2 = 0.02; Р / 2 ; =/^fU^^z'^ + Д ("^^22^^ = 0,1 • 0,3 + 0,4 • 0,4 = 0,19; Р/2) = Р,(\)Р!,'> + Р,(1)Р<,'>+Р,(1)Р^,'^ = = 0,10,3 + 0,40,4 + 0,30,3 = 0,28; Р,(2) = Р,(\)Р<:> + Р,(\)Р<^> + Р,(\)Р<^> + Р,(\)Р^> = = 0,10,2 + 0,40,2 + 0,30,7 + 0,21 = 0,51. Вероятности состояний после третьего выстрела

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСПУЖИВАНИЯ

383

f!(^3; = f|r2;/^^'^=0,02 0,3 = 0,006; Р / 3 ; = /^(^2;/^^/ЧР/2;Р//^=0,02а4 + 0,19 0,5 = 0,103;

=-0М0,2 + 0Л90,3 + 0Л^'0,2 = 0ЛП; Р,(Ъ) = Р,(2)Р<:> -^Р,(2)Р^> -^'Р,(2)Р1Г

^Р,(2)^^^

= 0,020,1 + 0Д90,2 + 0,280,8 + 0,511 = 0,774. Следовательно, вероятности состояний после трех выстре­ лов будут: /^(^3; = 0,006; Р / 3 ; = 0,103; РзГЗ; = 0,117; Р / 3 ; = 0,774.

30.3. Непрерывные марковские цепи. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояния 1°. Пусть переход системы из состояния S- в состояние Sj происходит не в фиксированные, а в случайные моменты време­ ни t. Случайный процесс с дискретными состояниями и непре­ рывным временем называется непрерывной цепью Маркова. Вместо вероятностей перехода P^j системы введем плотности ве­ роятностей перехода Я .^, которые в непрерывной цепи Марко­ ва представляют интенсивность потока событий, переводящую систему из одного состояния в другое. Поток событий рассмат­ ривается как простейший (пуассоновский). 2°. Имея размеченный граф (рис. 30.3) и зная начальное со­ стояние системы, можно для любого / определить вероятности состояний P/t). Для этого используют дифференциальные урав­ нения Колмогорова, которые формально составляются по сле­ дующей схеме.

Гпава 30

384

Каждому состоянию соответствует линейное дифференци­ альное уравнение первого порядка. Левая часть содержит про­ изводную вероятности состояния, а правая — столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Каждый член ра­ вен произведению плотности вероятности перехода Я^у на веро­ ятность того состояния, из которого исходит стрелка и имеет знак «плюс», если стрелка направлена в рассматриваемое состояние, и знак «минус», если стрелка направлена из искомого состоя­ ния. Так для графа (рис. 30.3) система уравнений Колмогорова имеет вид --(^Aj2+Ai3>>/^;

dt dP.2 _ dt dP, _ = А'.'.Р'у Л-А.'.Р.. '2V 2 '\У V dt Следует заметить, что, пользуясь условием P^-vP^-^P^^l, число уравнений можно было бы уменьшить на одно. Кроме того, система уравнений Колмогорова справедлива не только для по­ стоянных интенсивностей потоков, но и для переменных: ^П^^П(ОУ ^\У=^^\Ъ(0> ^ii^^2z(^)Если в начальный момент времени при ^ = Q система на­ ходится в состоянии Sj, то, принимая начальные условия fj = 1; Я2 = ^3 ~ ^ ' решение системы особого труда не соста­ вит.

ТЕОРИЯ

МАССОВОГО

385

ОБСПУРКИВАНИЯ

У. Если число состояний S системы конечно и из каждого состояния можно перейти в любое другое, то существуют пре­ дельные вероятности состояний, которые не зависят от началь­ ного состояния системы и при ^ _> о в системе устанавливается предельный стационарный режим. В этом случае в системе урав­ нений Колмогорова можно все левые части приравнять нулю. Тогда система дифференциальных уравнений, описывающая вероятности состояний, превращается в систему линейных алп

гебраических уравнений. Присоединяя сюда условие 2 ^ ^ " ^ ' эти уравнения дают возможность определить все неизвестные предельные вероятности. Практически, алгебраические уравнения для предельных вероятностей можно записать сразу, минуя составление диффе­ ренциальных уравнений. 3.1. Система состоит из двух независимых узлов и может принимать следующие состояния: Sjj — оба узла исправны; Si2 — первый узел исправен, второй ремонтируется; 5*21 — второй узел исправен, первый ремонтируется; S22 — оба узла ремонтируются (рис. 30.4). Записать уравнения Колмогоро­ ва, если поток восстановлений с интенсивностью Я, поток от­ казов первого узла с интенсивностью Я, и второго узла — Я^ , причем все потоки пуассоновские и каждый узел после отка­ за начинает сразу же ремонтироваться.

s„ Д,

Х^X

^.

/ $2)

h

X .<>1^22

1^">^

Рис. 30.4

386

Гпава

30

Решение. Обозначим вероятности состояний, соответствен­ но:/^^, /^2> ^21' Язг-^^^-^^^^^^^^^УР^^^^^^^^^^^^^^Р^®^*^^^ вероятностей состояний будет dP,11 dt

dR12

_

•гя,+я,;/^,+яг/^,+р„л-

_

-гя+я,;р^2+^^1+^^22/ dt dP, ^=-ГЯ+я,;р,,+^/^,+яр,,; dt dP.22 _ - - 2ЯЯ22 + \P\2 + Я^^г! • dt Если в начальный момент при / = О система исправна, то начальные условия будут: Р^^=\: Р^2- ^ix == ^22 == ^ • 3.2. Группа бомбардировщиков в составе девяти самоле­ тов движется над территорией противника. Поток атак сред­ ствами ПВО с интенсивностью X/k распределяется равномерно между самолетами, где к — число сохранившихся самолетов. Записать уравнения Колмогорова для вероятностей состоя­ ний, если в результате атаки самолет поражается с вероят­ ностью Р. Решение. Составим граф состояний (рис. 30.5). Обозначим за SQ — состояние системы, что все самолеты целы; Sj — сбит один; $2 —сбито два,..., S^ —сбито девять самолетов. Вероят­ ности состояний обозначим, соответственно: ^о* ^> ...,^9 • Ин­ тенсивность потока поражающих атак с учетом сбитых самолетов равна Хр. Проставим эту интенсивность у стрелок.

Хр ^

W

Хр

А

—^

Хр ^

Ss Рис. 30.5

хр

хр

хр

ТЕОРИЯ MA ОСОБОГО ОБСПУЖИВАНИЯ

387

Уравнения Колмогорова примут вид

at ^ = -lpP^^XpP,; at

dt dt

= -ХрР^+ХрР^;

^ '

Поскольку в начальный момент все самолеты целы, то на­ чальные условия будут: Р^=\; Р^=Р2=... = Рд=0 при ^ = О. 3.3. В условиях задачи (3.1.) по графу состояний системы (рис. 30.4) записать алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний. Решение. Минуя этап дифференциальных уравнений, запи­ шем систему алгебраических уравнений для предельных веро­ ятностей состояний в виде -(X,+X,)P,,+XP,,+?iP,,=0;

Х,Р,,-(Х +

1,)Р,,+Щ,=0;

^^2+^^21-2ЯР,,=0. Поскольку алгебраическая система однородная и опреде­ ляет искомые вероятности /^ i, /^2' ^2Р ^22 только с точностью до постоянного множителя, то следует к ней добавить нормировоч­ ное условие

388

Гпава

\\

\2

2\

12

30

'

которое позволяет совместно с системой найти все искомые ве­ роятности.

30.4. Универсальные марковские цепи V. процесс «гибели и размножения». Марковская непре­ рывная цепь называется «процессом гибели и размножения», если все состояния можно вытянуть в одну цепочку вида (рис. 30.6). ^12

^25

Я,._;,.

^ij^l

^п-1,п

5.-;

S, Я,.

Я,,

Ai^i^i

/+Л/

Рис, 30.6 Процесс «гибели и размножения» встречается в различных приложениях и, в общем случае, предельные вероятности состо­ яний находят по формулам

_ КгКг Ри КгК\

Р.=

(1)

Р =

^п-1,п - ^ 2

р .

Л'

Р,=\/ Я2,

Яз2^1

^и-1---^1

^пл-1-^1

ТЕОРИЯ МАССОВОГО

389

ОБСПУЖИВАНИЯ

2^. Циклический процесс. Марковский непрерывный про­ цесс называется циклическим, если случайные состояния объе­ динены в кольцо (рис. 30.7) с односторонними переходами. \l2

S,

К,.

^23 W

5,

Sr

^н-Л«

Рис. 30.7 Предельные вероятности состояний для циклических про­ цессов имеют вид

А=

Pv

Р,=

Ри

р= ^'2

р

р.

=2Jl.p. ' п\

р,=\/

1 1 + Я,2

1 +

1 лл + ... + — 'п\

Если от интенсивностей X-j перейти к средним временам J. пребывания системы в состоянии S^ (^/ = 1,...,Azj, то предельные вероятности состояний (2) в циклической схеме находятся по формуле

Я=

(i = \,...,n). (3)

Гпава 30

390

4.1. Система характеризуется графом состояний (рис. 30.8). Найти предельные вероятности состояний. Я;,=3

[Т

K=J

^25-^

1*

1

Ss

К =1

izzs х,,=з

Рис. 30.8 Решение. Из графа состояний видно, что процесс, протека­ ющий в системе, представляет собой процесс «гибели и размно­ жения». Воспользуемся формулой (1), учитывая, что по условию имеет место четыре состояния. 3

Р=\/

R=

3 1 18

3

^2-18

8'

3-2-1

2-3 1 _ ^

= т ; ^3

8

1-2-3

2-3

1+- + 1 2-1

_Ь2-3

8

1

1

3-2-1 8

8

4.2. В течение суток ЭВМ может находиться в одном из сле­ дующих состояний: S, — исправна, ^ = 19^; Sj — неисправна, ведется поиск неисправности,

J^=\ti\

53 — ремонтируется, ^^ = 3^; 54 — подготовка к пуску, ^ = Ы. Найти предельные вероятности состояний, если потоки со­ бытий простейшие. Решение. Составим граф состояний ЭВМ (рис. 30.9).

к

t,1

5.

t. ч

Рис. 30.9

и 3

Ss

sA

ТЕОРИЯ

МАССОВОГО

391

ОБСПУУКИВАНИЯ

Поскольку граф состояний имеет циклический вид и извес­ тно среднее время пребывания ЭВМ в каждом из состояний, то при определении предельных вероятностей состояний восполь­ зуемся формулой (3) ^ =

и /, + ^2 + ^3 + ^4

1А'

19

19

'

19 + 1 + 3 + 1 24

24'

'

24'

28.5. Одноканальная и многоканальная СМО с отказами 1°. Пусть СМО состоит из одного канала и поток заявок пуассоновский с интенсивностью Я= X(t). Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покида­ ет систему. Система имеет граф состояний (рис. 30.10). Обозна­ чим: SQ — канал свободен; S, — канал занят; PQ(t) и P/t) — вероятности состояний; Я — поток заявок, который переводит систему из состояния SQ в S,; i" — интенсивность потока об­ служивания.

5; /^

Рис. 30.10 Очевидно для любого момента времени P,(t) + P,(t) = \ Составим уравнения Колмогорова

(1)

392

Гпава 30

i^:=-XP„

+ IXP,

(2)

Из решения уравнений вероятностей состояния (2) находим, что '

Я + АХ

Хл-11

^^^

Для одноканальной СМО Р^ есть не что иное, как относи­ тельная пропускная способность q и при / —> с», т. е. когда про­ цесс обслуживания уже установился

Отсюда абсолютная пропускная способность равна

Относительная пропускная способность характеризуется тем, что заявка, пришедшая в момент t, будет обслужена. Таким образом, вероятность отказа будет

2°. Рассмотрим п -канальную СМО с отказами. Будем нуме­ ровать состояния по числу занятых каналов. SQ — все каналы свободны; S, —один канал занят,..., Sj^ —заняты А: каналов,..., S„ — заняты все п каналов. Граф состояний показан на рис. 30.11.

Рис. 30.11

ТЕОРИЯ

МАССОВОГО

ОБСПУУКИВАНИЯ

393

Обозначим Х/\1 = р — приведенная интенсивность потока, иначе среднее число заявок за среднее время обслуживания. Со­ ставляя для графа 30.11. уравнения Колмогорова и решая их, находим предельные вероятности состояний (формулы Эрланга)

К=^Ро;

(k = \,2....,n)

ft=

1! 2! п\ (7) V 1! 2! п\ Зная предельные вероятности Р^, fJ,...,P„ найдем характе­ ристики СМО, вероятность отказа, относительную пропускную способность, абсолютную пропускную способность. Если все каналы заняты, заявка получает отказ и покидает систему. Таким образом, вероятность отказа

" ,.Р.£!....,Р:

п\ Вероятность того, что заявка будет обслужена, т. е. проти­ воположное событие, равна

(7 = 1-Р„ = 1 - 4 ^ 0 ,

(9)

здесь q — относительная пропускная способность. Абсолютная пропускная способность будет A = :iq = X(l-PJ. _ (10) Найдем теперь среднее число занятых каналов k . Восполь­ зуемся средним значением или МО дискретной случайной ве­ личины ^ = 0 ^ 0 + 1 / ^ + 2 ^ 2 + • • + ^-^„Поскольку А есть среднее число заявок, обслуженное в еди­ ницу времени, то

394

Гпава 30

5.1. Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию. Интенсивность потока вызовов Я = 0,8 (вызовов в минуту). Средняя продолжительность разговора t^^ = 1,5 мин. Все потоки событий — простейшие. Определить предельные (при ^ ^©о) значения: а) относительной и абсолют­ ной пропускной способности; б) вероятности отказа. Решение. Определяем параметр /I потока обслуживания ^1 = 1/^^ =1/1,5 = 0,667. По формуле (4) находим относительную пропускную спо­ собность 0.667 ^^.. а= = 0,455. 0,8 + 0,667 По формуле (5) определяем абсолютную пропускную спо­ собность Л = Я(7 = 0,8 0,455 = 0,366, Вероятность отказа будет

Т. е. около 55% вызовов будут получать отказ. 5.2. Рассмотрим 3 -х канальную СМО. Пусть Я = 0,8 — по­ ток заявок, д = 0,667 — интенсивность потока обслуживания. Найти вероятности состояний, относительную и абсолютную про­ пускную способность, вероятность отказа и среднее число заня­ тых каналов. Решение. Приведенная интенсивность потока заявок р = Я/А1 = 0,8/0,667 = 1,2. По формулам Эрланга 2

Р z=: ПР • Р =^Р Р,=12Ро;

Р2=0,72Р,;

3

' Р =В-Р • Рз=0.288Ро;

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСПУЖИВАНИЯ

395

Ро=

\ Г= ^ = 0,312. р" р" 1 + 1,2 + 0,288 1 + р + ^^—+ ^^— 2! 3! Вероятность отказа по формуле (8) будет Р^^^ = 0 , 0 9 . Вероятность состояний f; =1,20,312 = 0,374; P^^^Jl•0,312 = 0,22; Р3 =0^2880,312 = 0,09. Относительная пропуск­ ная способность ^ = 1 -Рз = 0,91. Абсолютная пропускная спо­ собность Л = Я-^ = 0,80,91 = 0,728. Среднее число занятых каналов ^ = р П - Я з ^ = 1^20,9 = 1,09.

28.6. Одноканальная СМО с ожиданием V. Рассмотрим простейшую систему, т. е. одноканальную СМО с ожиданием. Если канал занят, то заявки становятся в очередь и ожидают обслуживания.

ОГО

я

iCl-

я

—-В

Рис. 30.12 Поток заявок с интенсивностью Я; поток восстановле­ ний — ji. Пусть число мест в очереди ограничено числом т , т. е. если заявок больше т , то заявки, поступившие позже, по­ кидают систему. SQ — канал свободен; S, — канал занят, очереди нет; S^ — канал занят, в очереди одна заявка;... S^ — канал занят, в очереди k-X заявок; S^^j — канал занят, в очереди т зая­ вок. Составим граф состояний (рис. 30.12). Пользуясь общим решением для схемы гибели и размножения, запишем выраже­ ния предельных вероятностей состояний

396

Гпава 30

p,=(i/ii)P„

(1)

Р,=(Х/ц/Р,.

Рл=-

"

1

1+(Vfi)+(X/^f

+...+ГЯ/ju/^' •

Если ввести обозначение Я/д = р , то /> = рРо. р, = р^п,..., р, = р*Ро.-••.^... = Р'"^'П; р= "

(2)

\ l+p+p^.-.+p""*'

или через геометрическую прогрессию со знаменателем р Р=

^-Р

...

2°. Определим характеристики СМО с очередью. Вероят­ ность отказа будет, т. е. когда все т каналов заняты р

_р

- п^-^^Р - Р

(^^Р)

...

Относительная пропускная способность (5) Абсолютная пропускная способность A = Xq. (6) Среднее число заявок в очереди, ожидающих обслужи­ вания

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОВСПУЖИВАНИЯ

397

p'[l-p'"(m + l-mp)] (1-р'"")(1-р)

^^^

Среднее число заявок в системе k равно сумме среднего числа заявок в очереди и среднего числа заявок под обслужива­ нием О) ^=^+^ =^ + 7 1 ^ -

(8)

Среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок _ F _ p [ l - p " ' ( m + l-mp)] ---Х-

^,(1-р-)(1-р)

•

(9)

Среднее время пребывания заявки в системе равно сумме среднего времени ожидания и среднего времени обслуживания l=l^+q/^,

(10)

3"^. Одноканальная СМО с неограниченной очередью. Пусть число мест в очереди т стремится к бесконечности. Найти веро­ ятности состояний СМО при /п —> оо. При р = Я/д > 1 очередь растет неограниченно. При р < 1 существует установившийся режим работы. Формулы предель­ ных состояний при неограниченной очереди будут Р о = 1 - р ; Р,=рРо; Р, = р'(\-р)..... Р, = р'(1-р),... (11) При отсутствии ограничений по длине очереди каждая за­ явка будет выполнена, т. е. ^ — относительная пропускная спо­ собность ^ = 1. Абсолютная пропускная способность будет A = Xq = X,

(12)

Среднее число заявок в очереди находим из (7) при m —> «> 9

^=1^-

03)

398

Гпава 30

Среднее число заявок в системе г Р^ Р A;=/-+p=-tl_+p = - t l - . 1-р 1-р Среднее время ожидания

(14) ^ '

^'^^

''^ Я ЯП-р; МП-Р/

Среднее время пребывания в СМО равно сумме времени ожидания в очереди и времени обслуживания

6.1. Рассмотрим АЗС как одноканальную СМО. Пусть стан­ ция позволяет поставить в очередь только 3 машины, следую­ щая машина остается необсл уженной. Поток машин Я = 1 (одна машина в мин.). Заправка 1,25 мин. Определить: вероятность отказа; относительную и абсолютную пропускную способность; среднее число машин в очереди; среднее время в очереди; сред­ нее число машин, находящихся на АЗС; среднее время нахожде­ ния машины на АЗС. Решение. Время заправки 1,25, откуда п =

= 0,8 и

р = - = — = 1,25. п 1-р 1-125 _.^. По формулам (2), (3) П = ] ~ ^ " i^n 2 5 / " ' ^!=рРо=1,250,122 = 0,152; Рз =р'Яо =0,238;

Р^=

p^P,=0,\9l;

Р, = р'Ро =0,297.

Вероятность отказа по формуле (4) равна Р^^^ = 0,297. От­ носительная пропускная способность с{ = ^-Ротк =0,703. Абсо­ лютная пропускная способность Л = ^Я = 0,703.

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

399

Среднее число машин в очереди находим по формуле (7) г=

1,25'fl-1,25'(3 + 1-3,75)1 i-^^ ^J -1,56. (l-l,25')(l-l,25)

Подставляя к 7 среднее число машин, находящееся под об­ служиванием 1 25-1 25' 1-1,25' получим по формуле (8) среднее число машин в системе ^ = г" + ш = 2,44. Среднее время ожидания машины в очереди находим по формуле (9)

L = ^ = 1^56 (мин). Среднее время пребывания машины на АЗС будет ^ = L + ^ / M = b56 + 0,88 = 2,44(MHH). 6.2. На сортировочную станцию прибывают машины с ин­ тенсивностью Я = 2 (две в час). Среднее время, в течение которо­ го сортировочная станция обрабатывает машину, равно 0,4 часа. Если станция занята, машины ожидают на стоянке в порадке оче­ реди. На стоянку помещается три машины. Машина, прибывшая когда стоянка занята, становится в очередь на улице. Найти: сред­ нее число машин, ожидающих в очереди (как на стоянке, так и вне ее); среднее время ожидания на стоянке и вне ее; среднее время нахождения на станции; вероятность того, что машина займет место на внешних путях. Решение. Интенсивность потока Я = 2 ; время обслужи1 Я 2 вания и= = 2,5. Отсюда р = —= —-- = 0,8<1. 0,4 М 2,5

400

Г пава 30

Среднее число машин в очереди (на стоянке и вне) 1-р

1-0,8

0,2

Среднее число машин вне стоянки подсчитываем так: Р^— вероятность того, что вне стоянки 1 машина; Р^ — две машины т. д.; с вероятностью Р^ {к >5) — {к-А) машины. Среднее число машин, ожидающих вне парка , как МО дискретной величины будет Г = \- Р^+2- Р^ + ...+(k-A)P^+ ...= = \(\-p)p'

+ 2(\-p)p'+...

= p'(l-p)(\

+

(k-A)(\-p)p'+...=

+ 2p + 3p'+... + (k-A)p'-'+...)

=р'а-рк

1

.. _

а-рг

1 -,

•. 2

=

р'

1-Р

1-р"'П+т-тр)

1

(1-Р>

(^-p)

то г =1,64. Вероятность того, что машина займет место вне станции, равна вероятности того, что длина очереди будет не меньше трех, т. е. Р, + Р,+Р, + ... = (1-р)р'+(1-р)р'+(\-р)р' + ...= = (1-р)р\\

(\-р)р'-^=:р'=0,А\. 1-Р Среднее время ожидания вне стоянки /л

fj,

fU,

+ Р + р'+...) =

fX

=£lri-p;ru2p.3p4...>''Vi-p;i-p7H>.-mp;^ }1

Ц

(l-pf

ТЕОРИЯ

МАССОВОГО

=

ОБСПУ^КИВАНИЯ

р' ^(\-р)

401^

^ _ М 1 _ = о,82 (час). 2.50,2

Среднее время ожидания на стоянке J"

м

м

=1[(1-р)р+2(1-р)рЧз((1-р)рЧ(1-р)рЧ(1-р)рЧ...)]= = - [ ( 1 - р ) р + 2(1-р)рЧЗр^(1-р+(1-р)р+(1-р)рЧ...)] =

= 1[(1-р)р + 2(1-р)рЧЗр^] = 1(р + рЧр^) = -

Р~Р =0,78(час). М 1-р Среднее время пребывания на сортировочной станции, счи­ тая ожидание и обслуживание, будет \ =0,82+0,78+0,4=2(^ча^^. ЗОЛ. Многоканальная СМО с ожиданием 1°. Рассмотрим /2-канальную СМО, на которую поступает поток заявок с интенсивностью Я; интенсивность обслуживания одного канала //; число мест в очереди т. Состояние системы: SQ — все каналы свободны; Sj — занят один канал, остальные свободны; S^ — заняты k каналов, остальные свободны; S„ — заняты все п каналов; S^^j — заняты все п каналов, одна заявка в очереди;

402

Гпава

30

S^^^ — заняты все п каналов, г заявок в очереди; \+т — заняты все п каналов, т заявок в очереди . Запишем предельные вероятности состояний, полагая 1/11 = р\

р=£.р-

р-Е-р

п^1

=11 р ^ /1+1 пп\I О' Ро =

. р =R^p •

п+2

Р

,

'

р

=11

-* п+2

р.

2 • П^П\

р

р'

р"

1!

2!

п\

О'

. р •••'

=

О'

^ п+т

т+\

(1)

-1

р'р/п-{р/п) п\

1-р/п

2°. Найдем некоторые характеристики эффективности об­ служивания. Заявка получает отказ, если заняты все п каналов и все т мест в очереди о р =11 р (2) п п\ Относительная пропускная способность равна ?=1-^„..=1-

•р..

(3)

п"'п\

Абсолютная пропускная способность (

\

п+т

\

п"'п\ ~"

(4)

Обозначим за z среднее число занятых каналов. Каждый канал обслуживает /л заявок в единицу времени. СМО обслу­ живает А заявок в среднем в единицу времени. Отсюда число занятых каналов ^--

Ро = Р 1-Е—я п"'п\ п"'п\ "

(5)

ТЕОРИЯ

МАССОВОГО

ОБСПУХСИВАНИЯ

403

Среднее число заявок в очереди г вычисляем непосред­ ственно как МО случайной величины, т.е.

Если ввести обозначение р/п =<^, то

' ^ п п \ '

(\-3Bf

^^^

Среднее число заявок в очереди г и среднее число занятых каналов даст среднее число заявок в системе k = г + г . Найдем теперь среднее время ожидания в очереди t

=— Р ч njl

Р

+

ч

Р n/Ll

nfl

Отсюда t

= — = ^—

ож

л

• ,

Я njj^nl

-.

/1

\2

ал V'/

(i-ce)

Среднее время пребывания заявки в очереди будет где д//л — среднее время обслуживания. 3"^. Рассмотрим многоканальную СМО, у которой очередь т может неограниченно возрастать. Сумма соответствующей геометрической прогрессии сходит­ ся при р/п < 1 и расходится при р/п > 1, т.е. в последнем случае очередь будет неограниченно возрастать. Пусть р/п < 1 и m —> «з, тогда выражения для предельных вероятностей состояний будут

Р

-К

р. пп\

р

-И р. п п\

. р

=11 р п п\

404

Гпава 30

n =,

р р' 1! 2!

р" n!

р"" 1 п\ n-pj

^^^

Так как каждая заявка рано или поздно будет обслужена, то характеристики пропускной способности СМО будут: Ро..=0;

q = \; A^Xq = L

Среднее число заявок в очереди Я+1

(9)

т-^^

1

Среднее время ожидания -

_Г _р'Р, 1 я njxn\ (1 -gsf

(И)

Среднее число занятых каналов ^

А

X

а среднее число заявок под обслуживанием k=r+z.

(13)

7.1. Почтовое отделение (ПО) с двумя почтовыми окнами п = 2 обслуживает клиентов с интенсивностью Я = 0,8 (клиен­ тов в минуту). Среднее время обслуживания одного клиента ^^g = — = 2 мин. В районе другого ПО нет, так что очередь может расти неограниченно. Найти характеристики СМО. Решение. Имеем д = — = 0,5; р = —= -^—= 1,6; п = 2; Ж = ^ = 0,8. п Поскольку <ж< 1, то очередь не растет безгранично. Най­ дем предельные вероятности.

ТЕОРИЯ

МАССОВОГО

405

ОБСПУ^СИВАНИЯ

n-i ^0

=

l+^ + ^-H-

1!

2!

2\(п-р)

1 + 1.6+1,28+

1.6^ 20,4

= 0,111;

2

/^=-^Ро=Ь60,111 = 0,178; 1!

Я = - ^ Я , = 1 , 2 8 0 , 1 1 1 = 0,142; 2!

Рз=—Яо=0Л14 и т.д. 3! Среднее число занятых каналов найдем, разделив абсолют­ ную пропускную способность на интенсивность обслуживания ^ = 0,5; Л = Я^ = 0,8; 2 = — = — = 1,6. /i 0,5 Вероятность отсутствия очереди у ПО будет Po + fl + P^ =0,111 + 0,178 + 0,142 = 0,431. Среднее число клиентов в очереди г=

1,6'Ро

1,б'0,111 = 0,71.

Среднее число клиентов в ПО ^ = Г + г = 2 , 3 1 . Среднее время ожидания в очереди

Среднее время пребывания клиента в ПО ^ = С + ^ = 0 , 8 9 + 2 = 2,89Гмин.;.

30.8. СМО с ограниченным временем ожидания V. До сих пор мы рассматривали СМО с ожиданием, огра­ ниченным только длиной очереди, числом т . В такой очереди заявка, раз встав, «терпеливо» ждет обслуживания. Существу-

406

Гпава 30

ЮТ СМО, в которых заявка, постояв, покидает ее—«нетерпели­ вые заявки». Пусть имеется п канальная СМО с ожиданием, в которой число мест в очереди не ограничено, а время пребывания в оче­ реди ограничено некоторым t^^, т. е. есть поток уходов v = 1/ (,,. Предельные вероятности состояний, где fi = v/ji, г — чис­ ло заявок в очереди, rv — суммарная интенсивность потока ухо­ дов, будут ^п

.2

'

Рп.2 =

п\

^

Р=Р-РР

Р=^-Р1! "' ' 2! "

^

^Е^^р. (1)

(n^+v)(nii-\-2v)

я я. =рп\ (nfi+v)---(nfj. •Ра,+ rv)

п= •

р

р'

р"

2!

«!

р"^

п +р п-1

Р' •+...+(п + р)(п + 2р) (п + Р)--(п + гр) / J

2°. В СМО с «нетерпеливыми» заявками при t -^°о устано­ вившийся режим устанавливается всегда, т.к. знаменатель Р^ всегда сходится, поскольку «нетерпеливые» заявки уходят и Р^^^ просто нет. Подсчитаем, какое число заявок покидает очередь. Найдем число заявок в очереди р 2 '•='^-Рп.^+^-Рп.2++ Г-Рп.г (2)

Р Р

Интенсивность потока ухода v , умноженная на среднее число Т уходов, будет vT . Следовательно, в единицу времени будет обслужено A = ^.'Vr. (3)

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОВСПУЖИВАНИЯ

407

Относительная пропускная способность системы. А

,

v_

Среднее число занятых каналов будем определять как МО случайной величины 2=/^+2P,+...+rt[i-rn+^+-+^«-i;] или по формуле _

А

X-vT

^_

8.1. Рассматривается простейшая двухканальная СМО с «не­ терпеливыми» заявками. Интенсивность потока заявок Я = 3 заяв­ ки/час; среднее время обслуживания одной заявки t^^^^ = 1/^ = 1ч.; средний срок, в течение которого заявка «терпеливо» стоит в очере­ ди, равен 0,5 ч. Подсчитать предельные вероятности состояний, огра­ ничиваясь теми, которые не меньше 0,001. Найти характеристики эффективности СМО: q,A,Y,Tj^^J^, Решение. По условию задачи имеем: AZ = 2; Я = 3; ^u = 1; 1

о

Предельные вероятности состояний находим по формулам (1), ограничиваясь теми, которые не меньше 0,001. ^0

=

, ^ 3' 3' 3 9 27 81 1 + 3 + 2— + — ( + + + 2 2 + 2 4(^2 + 2-2; 4-6-8 4-6-810 •

243 4-6-81012

729 2178 . . ^ ,J 4-6-8101214 + 4-6-8-10-12-1416 2

/^=рРо=0,208; Р,=^Р,=0,Ъ\\;

= 0.0692;

3

P,=^^P,=0,2ЪA:

408

Гпава 30 4

J

о

Р , = - ^ Р о =0,117; Рз =77^0 =0,044; Р, = ^ Р о =0.013; 4!

J!

О!

Р = - ^ Р о =0,003; Р = - ^ Р о =0,001. 7! 8! Среднее число занятых каналов г=Ру^л-'1(\-Р^-Р^) = л усл — Р - 2 " 3-1,654 „ , „ = 1,654; число заявок в очереди г = — = • = 0,673; j3 2 абсолютную и относительную пропускную способность находим 1,654 по формулам (3), (4) Л = 3 - 2 0 , 6 7 3 = 1,654; Ч = 3

= 0,551; t^^ = — = 0,224; среднее число заявок в СМО ^ ^ k ife=2+r =2,327; ^, = ~ = 0,776ч.

30.9. Замкнутые системы СМО 1°. Системы, в которых интенсивность потока зависит от состояния системы, называют замкнутыми. Рассмотрим та­ кую систему. Пусть рабочий-наладчик обслуживает п машин, причем любая машина может выйти из строя. Интенсивность потока неисправностей Я. Если рабочий свободен, то время на наладку машины ^об = ~ ' где \1 — интенсивность потока обслуживании. Если рабочий занят, машина становится в очередь и ждет, пока рабочий не освободится, т. е. источником заявок являются машины. Для замкнутой СМО характерным является ограничен­ ное число источников заявок. 2°. Предельные вероятности состояний в данном случае имеют вид Р,=прР,: Р,=п(п--1)р'Р,; ...; Р,=п(п^1)..Лр''Р,;

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСПУЖИВАНИЯ

409

Po=[l + AZp+A2(^/2-i;p'+... + n(^AZ-l>...-lp"]"\

(1)

Под абсолютной пропускной способностью надо понимать среднее количество неисправностей, устраняемых рабочим в единицу времени. Вероятность, что рабочий занят Р^^^ -\-Р^, Если рабочий обслуживает II машин в единицу времени, то аб­ солютная пропускная способность А = (\-Р,)11,

(2)

Поскольку любая заявка будет удовлетворена, то относи­ тельная пропускная способность ^ = I. Вероятность того, что ра­ бочий не будет занят ^св=1-^за.=1-1 + П=^0(3) Среднее число неисправных машин как МО случайной ве­ личины Р Найдем теперь среднее число машин, ожидающих ремонта. Число машин, которые ремонтируются, равно w=^\-P^. Таким образом г = ш - ш = А г - Ь ^ - Г 1 - Я ^ = А2~П-/'о>>Г1 + ->>. (5) р р Потеря производительности группы машин L = wl, где / —производительность исправной машины. У. Рассмотрим более общую СМО. Бригада т рабочих об­ служивает п станков (т<п). Предельные вероятности будут р^Ц^р. р __п(п-\)Х' 2 ц " ^ l-2ju^ "'

^у^

'

1 ^/^ О ^/^'Я 1 п(п-\)(п-2) 1-2-3 у^

i-

р _п(п-\)...(т1-т)^ХЛ l-2-...-m

р^

V

Ро.-

410

Гпава

п(П'-\)...(п-т) = l-2-...-m-m

Р

'm+2

~

(I

n(n-l)---l \-2---m-m"

\m+l

l^J

P.;

(6)

( Я T""^

n(n-\)...(n-m-\) 1-2-... mm

P =

30

P.:

( 1 Y

Po; ^)

Отсюда пЯ Po = 1 + li

n(n-\)(X^ n(^n~lX^"-2^"Y^~^+U +...+ 1-2 l-2-m

n(n-\)---(n-m) 1-2-...-m-m

l^

f . Y+i

l^

nfm-lJ-'-l +...+• l-2-...-m-m"

/^Q

UJ

Y

v^y

1

(7)

Среднее число занятых рабочих г=1-/^+2-Р2+... + / ^ П - ^ о - ^ Абсолютная пропускная способность А-111

•-п.-,;

(8)

(9)

Среднее число неисправных машин Z

w=n

.

(10)

9.1. Рабочий обслуживает три машины. Каждая машина останавливается в среднем 3 раза в час. Процесс наладки зани­ мает у рабочего в среднем 20 мин. Определить характеристики замкнутой СМО: вероятность занятости рабочего; его абсолют­ ную пропускную способность А; среднее количество неисправ­ ных машин; среднюю относительную потерю производительности машин за счет неисправностей.

ТЕОРИЯ МАССОВОГО

411

ОВСПУЖИВАНИЯ

Решение. По условию задачи имеем: п = 3; Я = 3; 1 1 Я 1. / ! = = - = —= 3; р = Предельная вероятность Р^ по формуле (1) равна 1

= 0,0625. 3-2-м Вероятность занятости рабочего

я.= 1 + 3 + 3-2-1 +

^з.« =1-^0 =0,9375. Абсолютная пропускная способность по формуле (2) равна Л = 0,9375-3 = 2,81. Среднее количество неисправных машин по формуле (4) О 9375 ^ = 3 - ^ ^ ^ ^ ^ ^ = 2,0625. 1

Средняя относительная потеря производительности машин за счет неисправностей w/n = 0,6875. 9.2. Двое рабочих обслуживают группу из четырех машин. Остановка работающей машины происходит в среднем через каждые полчаса. Процесс наладки занимает у рабочего в сред­ нем 20 мин. Определить характеристики замкнутой СМО: сред­ нее число занятых рабочих; абсолютную пропускную способность; среднее количество неисправных машин. Решение. По условию задачи имеем: Я = 2; fi = ^

= 3; р

L

п = 4; т = 2;

3

Предельные вероятности по формулам (7), (6) будут ,

/oV

4-3-2 / 2 ^ ^

1-2 чЪ

1-2-2 УЪ

и 2 4-3 Ро = 1 + 4-- +

3

4-3-2-1 1-2-2^

= 0,115;

412

Гпава 30

Я = 4 - 0 , 1 1 5 = 0,306. ' 3 Среднее число занятых рабочих равно 2 = l f J + 2 n ~ P o - ^ > * = 0,306 + 2 n - 0 , 4 2 i ; = l,464. По формуле (9) находим абсолютную пропускную спо­ собность Л = 1,464-3 = 4,392. Среднее количество неисправных машин по формуле (10) будет й) = 4 - ^ ^ = 1,804.

К 30.10. СМО со "взаимопомощью" между каналами 1°. Рассмотрим СМО, где заявка может обслуживаться дву­ мя и более каналамид. е. со «взаимопомощью» между канала­ ми. Для этого необходимо учитывать два фактора: 1. Насколько убыстряется обслуживание заявки, когда над ней работает сразу несколько каналов. 2. Какова «дисциплина взаимопомощи», т. е. когда и как каналы берут на себя обслуживание. Самый простой случай «дисциплины» взаимопомощи «все как один», т. е. при появлении заявки ее начинают обслужи­ вать все п каналов и остаются занятыми пока не закончится обслуживание. В этом случае СМО становится как одноканальная СМО, но с более высокой интенсивностью обслужи­ вания. 2^. Рассмотрим влияние «взаимопомощи» на работу СМО с ожиданием, причем с неограниченной очередью. Среднее число заявок в очереди без «взаимопомощи»:

ТЕОРИЯ

MA ССОВОГО

ОБСПУЖИВАНИЯ

413

р'^^Я,о "^-

(1)

Среднее время ожидания ^ож

•

—•

(2)

nnn\(i-as)

Среднее время пребывания в системе ^с=С+-.

(3)

г д е ^ = ^ ; Р о 4 1 + ^ + ^ + .-. + ^ п ' L 1! 2! п\ Если применяется «взаимопомопц>» типа «все как один», то сис­ тема будет работать как одноканальная. Ее характеристики будут X р* =

X р ^ д^ = — = —=Ж; г = ;

jU*

nil

ев

(4)

l-cO

п

-

-

1

3°. Рассмотрим случай равномерной «взаимопомощи» меж­ ду каналами. Если заявка приходит, когда все каналы свобод­ ны, то все п каналов принимаются за ее обслуживание; если в момент обслуживания заявки приходит еще одна, часть каналов переключается на ее обслуживание и т.д., до тех пор, пока не окажутся занятыми все п каналов. Для СМО с отказами характеристики системы будут

р

.^•(•-•-^.

(5)

414

Гпава 30

A = Xq = X j ^ ,

зе=Х/(п11).

(7)

4°. Рассмотрим СМО с очередью и максимальным числом заявок в очереди т . Предположим, что между каналами имеет­ ся равномерная «взаимопомощь» и iJ,(k) = k/j.. Характеристики системы примут вид

I

•у-'"*"'

g=^_^..m..'

(9)

1 /jQ^^"^

^"^^"^l^^"-^-'-

(10)

10.1. Имеется 3-х канальная СМО с отказами. Интенсив­ ность потока заявок Я = 4. Среднее время обслуживания одной заявки одним каналом t^ = 0,5; функция lJ.(k) - kfi. Спрашива­ ется, выгодно ли с точки зрения пропускной способности СМО вводить «взаимопомощь» между каналами по типу «все как один»? Выгодно ли это с точки зрения среднего времени пребы­ вания в системе? Решение, а) Без взаимопомощи; /2=3; Я = 4; /1 =

= 2;

р = 2. По формулам параграфа 30.5.

П = — у - ^ ^ - ^ = 0,158; Я_=Рз=|.р„ =1^0.158 = 0.21. 1+-+ —+— 1! 2! 3! Относительная пропускная способность а = \-Р т

-^

=0.79. отк

V/, / ^ .

Абсолютная пропускная способность Л = ^ Я = 0,79 • 4 = 3,16.

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСПУЖИВАНИЯ

4Г5

Среднее время пребывания в системе i^=^.^^ =0,79 0,5 = 0,395. б) Со взаимопомощью: п* = 1; Я = 4; ^"^-Zii-

1

1 3

1+Р 1!

1+2 3

2 5'

6;

23

' 3 ^ 3 5

^о..=^^=0,4; ^ = 1 - Р _ = 0 , 6 ; Л = ^Я = 0,6.4 = 2,4; F = Я — = 0,4 • - = 0,0667. '

^3/1

6

Таким образом, пропускная способность со «взаимопомо­ щью» меньше, т.к. заявка, пришедшая, когда система занята, получает отказ и уходит. Что касается среднего времени пре­ бывания, то оно уменьшилось, т.к. заявку обслуживает сразу три канала. 10.2. Имеется 3-х канальная СМО с неограниченной очере­ дью; интенсивность заявок Я = 4 . Среднее время обслуживания t^^ = 0,5 . Функция li(k) - kfi. Выгодно ли вводить взаимопо­ мощь «все как один», имея в виду: среднюю длину очереди; сред­ нее время ожидания обслуживания; среднее время пребывания заявки в СМО. Решение. Найдем характеристики системы без «взаимопомо­ щи», используя формулы (1), (2), (3). п = Ъ; Я = 4; ^^ = ^=- = 2; р = —= 2; де= — = -; ' 2 2' 2' 2' Ро = 1 + - + — + — + 1! 2! 3! 3.Y3-2;

-1

~9^

416

Гпава

30

>4 1 Г

=•

3-3! 1--

V

= 0,889; С =0,222;

t = С+^об =0,722

Найдем теперь по формулам (4) характеристики системы со «взаимопомощью» Я 2 п* = 1; Я = 4; |х* = 3/х = 6; р * = — =i^=—; ^х* 3 2

Р1 г =

-1

I'll-

1-2" 3

'

2 3

ож

6

:0,333; 4 =0,333 + - = 0,5

3

Таким образом, средняя длина очереди и среднее время ожи­ дания в случае с «взаимопомощью» больше, а среднее время пре­ бывания в СМО меньше.

Глава 31 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ 31.1. Оптимизация планирования комплекса работ 1°. Основным материалом для сетевого планирования яв­ ляется список или перечень работ, который называется струк­ турной таблицей комплекса работ. В структурной таблице для нахождения работы а^ должно быть указано, выполнение каких работ она требует или на какие работы опирается. Работа «/ «1

а^ а, а. а, «6

Опирается на работу -

Ранг

Обозначение в новой нумерации

Ь^ Ьэ

a^, 02, а^

1 2 1 3 4

0-2 ^а^

3

bs

«1.^

а , , Oj.Oj

^^

К К

Первая операция называется упорядочением. Для упоря­ дочения все работы разделяются на ранги. Работа называется

418

Гпава 31

работой 1-го ранга, если для ее начала не требуется выполне­ ние никаких других работ. Работа называется работой второго ранга, если она опирается на одну или несколько работ пер­ вого ранга и т. д. Если задано t. —время вьшолнения работы а-, то минималь­ но возможный срок окончания работы находится по формуле 7:=т,+/,,

(1)

где т. = тах|7^., 7^, Т^ j — минимально возможный срок начала работы а-, которая опирается на работы а^, a^^Uf^ и не может начаться прежде, чем не будет завершена работа, которая за­ канчивается позже всех. Работы а., из длительностей которых составлено минималь­ ное время завершения комплекса работ Г, называются крити­ ческими работами. Чтобы найти критические работы, а следовательно, и критический путь, надо найти работу а., для которой время окончания Т. максимально; эта работа и будет критической. Далее следует найти работу, для которой Т. будет моментом начала работы а.. Величина т^ представлена в виде максимума Tj,T^,Tf^, Необходимо найти max. Это будет вторая критическая работа от конца и т. д. 2°. Пусть общее время вьшолнения работ Т = ^1^ нас не (кр)

устраивает и требуется его сократить до времени Т^. Очевидно, что надо форсировать критические работы. Вложение дополни­ тельных средств X. в работу а. сокращает время ее вьшолнения с t- до f.=f.(x-). Время вьшолнения комплекса работ будет 7'= ^

/ / j c J < 7о . Нахождение минимума вложенных

Средств л: = ^ х^ = min разберем на примере 1.2. 3°. Рассмотрим задачу перераспределения уже имеющихся средств между отдельными работами. Известно, что количество

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАиИИ

419

средств X > о, снятое с работы щ, увеличивает время ее выпол­ нения с t. до t' = f.(x), а количество средств х, вложенное до­ полнительно в работу а^, уменьшает время ее выполнения до t-'= (pj(x) . Сумма средств, снимаемых с каких-то работ, долж­ на быть равна сумме средств, добавляемых к другим работам, так что X,+Х2+... + х„ =0. (2) Для решения задачи необходимо, чтобы общий срок выпол­ ненного комплекса работ был минимален кр

кр

4°. Сетевое планирование при случайных временах выпол­ нения работ. При сложении достаточно большого числа незави­ симых случайных величин, распределенных по любым законам, закон распределения суммы близок к нормальному, поэтому МО времени равно сумме кр

где ] т^ — МО времени выполнения /-й работы. Среднеквадратическое отклонение, соответственно, будет

^'=JZ^''

(5)

кр

гдесг^ —среднеквадратическое отклонение времени выполне­ ния /-Й работы. Если величины (4), (5) известны, то вероятность выполне­ ния комплекса в срок Т^ находится по формуле

Р(Т<Т,) = Ф

(То-т,

+ 0,5,

V где Ф — функция Лапласа находится из таблицы.

(6)

420

Гпава 31

1.1. Пусть дана упорядоченная структурная таблица Работа

Опирается на работу

Время

а, а,

-

^2

-

10 5 15 18 19

^ ^4

1 ^5

a^Mj

а^,а,

Работа

а. 0-6

а, ^

Опирается на работу

Время

а. а^,а^ а^,а^,а.

18 8 25 30 8

^9

«7

«,0

a^,ag

Построить временной график и найти критические работы. Решение. Для работы первого ранга имеем: т^=:0;Т2=0;Гз=0;7;=/, =10;Г2=/2=5;Гз=^з=15. Работа а^ опирается на работы Oj, Оз, т. е. она может на­ чаться тогда, когда закончится наиболее большая работа Т4 =max{7J,72} = max{10,5} = 10. Момент окончания работы а^ будет 7^ =T^+t^ =10+18 = 28. Для работы «3: Т5=тах{72,7з} = тах{5,15} = 15; T^=r^+t^=l5 + l9 = 34, а^: Тб=тах{74} = 28; T^=T^+t^=2S'hlS = 46. а,:т^ =ГШК{Т^,%}=ГШК{34,46}=46; Tj=i:,+t^=46-hS = 54, Оз*. Tg = max{73,75,7g} = max{15,34,46} = 46; 7з=Т8 + ^з=46 + 25 = 71. o^: T9=max{77} = 54; 79 =Т9 + /9 =54+30 = 84. O^Q', TJO = max{75,7g} = max{34,71} = 71; Tio-^10 + ^0=71 + 8 = 79. Время окончания работы равно максимальному времени окончания Т= 84и Од последняя критическая работа. Посколь­ ку Од опирается на О;, то следующая критическая работа cij. Так как большая работа, на которую опирается Оу, будет а^, то

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

421

ОПТИМИЗАПИИ

а, следующая критическая работа, а^ — опирается из, а^,з.а^ — на Oj. Таким образом, а^, а^, а^, а^, а^ — критические работы. Сетевой график показан на рис. 31.1.

Рис. 31.1 1.2. Комплекс работ задан структурно-временной таблицей Опирается на работу

Время

аа,

-

^

Работа

^

а.

Опирается на работу

Время

а, 20

а.

Oj , ^2 , Оз

10

-

10

^б

а^.а^.Оъ

5

-

8

а.

^6

5

а^,а^

20

«8

^4,0^5'^

10

Работа

Находим время выполнения работ: 7] = 20; Tj = 10; 7^ = 8; T,=T,+t, =40; T,=T,+t, ^30;T,=T,+t,=25: T,=T,+t, =30; 7, = 7 ; + ^, =50. Критические работы будут: а^, а^, а^. Время окончания комплекса работ равно 7 = 7] + 7^ + Tg = 50. Уменьшим это время до Т^ = 40. Известно, что в работу аможно вложить средствах, в размере не более чем с^, т.е. х,<с,, при этом

(1)

422

Г пава 31 t:=t,(\-b,xj. Пусть для критических работ параметры будут &, =0,2; Ь,=0,3; &8=0,1; L/J

Z,

С^

Z,

Cg

(2)

J.

Условия (1) примут вид JCi-2<0; Х 4 - 2 < 0 ; Х5-5<0. (3) Новый срок выполнения работ находим по формуле (2)

r=^;+^;+/;=^/i-o,2xj+^/i-o,3xj+^gn-o,ixj = = 50-4Xi -6X4-Xg. Поскольку 7Q = 40, ТО 50 - 4х^ - 6х^"~ ^8 ^ 40, откуда 4x,+6x4 + Xg>10.

(4)

Требуется найти минимум функции L = х, + ^4 + Xg при не­ равенствах ограничений (3), (4), т. е. налицо задача линейного программирования. Решая задачу симплекс методом, находим, что L^.^ = 5/3 и оптимальным решением будет вложение Х4 = 5/3 в работу а^.

31.2. Оптимизация размещения узлов почтовой связи 1"^. При проектировании городской почтовой связи необхо­ димо решить, где разместить узлы связи и как организовать их транспортные связи с опорными пунктами города (вокзалами, аэропортами, пристанями, типографиями и т. д.). Пусть в городе имеется узел связи (У), два вокзала (Bj, В2), типография (7) и аэропорт {А) (рис. 31.2). В качестве критерия оптимизации выберем минимум пробега транспорта между узлом и опорными пунктами. Обозначим за Л^^ — число рейсов за сутки между каждым из вокзалов и узлом; Nj — между аэропортом и узлом; Л^з—между узлом и типографией.

ЭПЕМЕНТЫ

ТЕОРИИ

423

ОПТИМИЗАиИИ I

'В,

•

1

1

Т

1

^3

1

1

У2

,

1

h.

1

у

Уз

©7

У4

i т

1

л, X,

Xj

'в.

1

'

1

[

4

1

х, ^

Т

^/

1 ''

1

^2

Рис. 31.2 2°. Пусть транспортные магистрали образуют прямоуголь­ ную сеть. Протяженность каждого маршрута представим как сумму расстояний по оси х и по оси у. Обозначим через х^ расстояние по горизонтали между каж­ дым из вокзалов и узлом; х^ — между аэропортом и узлом; Хз — между типографией и узлом. Величины /j и 1^ заданы. Целевая функция, минимум которой требуется найти, будет иметь вид Lj = IN^x^ + N^x^ + Л^з^з • Система ограничивающих условий будет XI+A:2

>/i+/2;

Xj+X3>/2;

л:2+Хз>/,.

Полученная модель является моделью задачи линейного программирования. Рассмотрим по оси у. Обозначим через у^ — расстояние между вокзалом 1 и узлом; у^ — между аэропортом и узлом; у^— между типографией и узлом; у^ — между вокзалом 2 и узлом. Целевая функция, минимум которой необходимо найти, будет L^=N,(y,+yJ + N^y^+N,y,,

424

Гпава 31

Система ограничивающих условий, при заданных величи­ нах /ij, /г^, /^3, примет вид

y^+y^>h,+h^. Поставленная задача решается симплекс-методом. В резуль­ тате решения двух задач определяется общая минимальная ве­ личина пробега L = Lj+L2, а соответствующие значения переменных х., у- определят координаты узла. 2.1. Пример. Пусть Л^, = 10; Л^2 = 8; Л^з = 6; /j = 4 км; и = 8/сж;/Zj = 5км;^2 = бкж; 1ц =4км. Найти L^.„. Решение. Математическая модель задачи относительно оси X примет вид Lj =20X1+8X2+6X3; Xi+X2>12; Xi+X3>8; Х2+Хз>4. Введем базисные переменные Х4,Х5,х^ и запишем решение в виде L =0~(-20х,-8х2-6х)з; Х4=-12-(-х,-х)^; Хз = - 8 - ( - х , - Х з ) ; х^ =-4-(-Х2-Хз). Запишем таблицу Базисные переменные

А X, X,

[_

^6

6,

X,

0

Х3

Х2

'

-20 96

-12

-12 -1

12 -8

1

-4

-1 0

8

[^

е^

0 ' -1

-1 -8

-'

-6

1

" г^

Kd

' -1

0

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

425

ОПТИМИЗАиИИ

Находим разрешающий элемент -1 и меняем Xj <-> JC^. За­ полним новую таблицу X,

&,

А х^ X,

-12

96

-8

120 12

X,

X, -8

-6 1

-1

12

1

-1

" ' ( ^

°И

-'(Г "'гГ 'гГ ©rd 8

1

-1

0

Хб

-1

0

._:'г^

Далее заменим х^ <г^ х^ 6,

^1

X,

X,

144

-6

-8

-6

Хг

12

1

-1

0

Хг

8

1

0

-1

Хб

0

0

-1

1

^

Так как в первой строке все свободные переменные отри­ цательны, то Ц ^i„ = 144 при Xj = 0; ^2 = 12; Х3 = 8. Математическая модель относительно оси у запишется в виде L^=l0y,+Sy^+6y^+\0y^; у,+у^>15; у,+у,>10; у^+у,>6; y,+y^>U. Через базисные переменные L2=0-(-10i/,-8i/2-6i/3-10i/,),

426

Гпава

Г/5 = - 1 5 - ( - / / , - Г / 4 ) ;

31

^б=-10-(-^1-^з)/

Составим таблицу

ь.

Ух

0

-10

Уь Уь

-1

^

-10 4

-8 0

@

fio -6 -6

-и

v

0

^

-1

0

^..-^

Го

-11

-1

1 ^ -1

-

[о

1

1

-1

-1 0

-1

[ 0 0

-1

-1

1 -10

0 0

-5 -10 ^ ^ . . ^

УА

-6

-8

Г^о

-15

У1

Уг

^ . ^

100

^

Уз

У2

-1

0

0 -1

-1

Делаем замену г/, <-> i/^ 6,

Уб

100

-10 150

-5 ^5

^

[5 10 -6

0

-11

1 -1

-1 -1

Еще раз заменяем у^ <-^ у^

'г^ ®н 1

-1

1

-6

0

0 0

-6

^^.^

[О

0

-1

-6

^7

^8

V

-1 10

^1

-8 0

У4

4

-8 0

^

Уз

У2

-1 0

-1

-1

O^J Го 0 J

-'d

ЭЛЕМЕНТЫ

ТЕОРИИ

ь.

Уь

Ул

1

-1

У^

4

Уп

•V -6

2 0

-1

1

0

-1

V -1

1 0

1

i/5 -10

-

1

11 10

Уг

-8 0

186 5

Уз

Уг

0

150 ^

427

ОПТИМИЗАиИИ

0

-10

- ' ( <

-'г^ V %

-.г^

-1 0

01

"Н

Последняя замена у^, <-> y-j 6,

г/б

Уг

Уп

L,

186

0

-2

-6

-10

Ул

11

1

1

-1

-1

У^

4

-1

-1

1

0

Уг

6

0

1

-1

0

Уг

0

1

0

-1

-1

ys

Отсюда имеем: L = 186 при у^ = 4; у^ = 0; у^=(>; у^=\\. Следовательно, минимум пробега транспорта в горизонтальном и вертикальном направлениях составляет L = 144 +186 = 330 км .

31.3. Расчет оптимального числа работников на предприятии 1 °. Характерной особенностью ряда предприятий является неравномерность поступления нагрузки по часам суток, дням

Гпава 31

428

недели и месяцам года. В условиях постоянного штата необхо­ димо, с одной стороны, обеспечить выполнение всей работы, а с другой — обеспечить выполнение работы минимальным коли­ чеством работников. Обозначим через х-^ — число работников, работающих по / -му графику, I), — нагрузку в /-й рабочий день, выраженную в числе требуемых работников; щ.—коэффициент, равный еди­ нице, если по / -му графику предусматривается работа в /-й день, и нулю, если в этот день предусматривается выходной. Задача может быть сформулирована так: требуется найти минимум целевой функции L = Xj + Х2 +... + х^ при выполнении следующих ограничений:

а^,х. +а^.х^ +...-ьа„х„ >й . ml 1 ml L тп п т 2°.Для простоты вычислений рассмотрим пример четырех­ дневной рабочей недели с двумя выходными, исходные данные для которого приведены в таблице День недели

Число работников

1

2

X,

В

В

Ч X,

в

в В

в В

в в в

в

Хб

6,

4

В

^4

^Ь

3

100

80

40

60

ЭЛЕМЕНТЫ

ТЕОРИИ

429

ОПТИМИЗАЦИИ

Запишем задачу линейного программирования следующим образом При следующих ограничениях ^2 + Х4 + х^ > 100; ^2 + ^3 + Хз > 80; Xj + Хз + Xg > 40; X, + Х4 + Х5 > 60; х^- > 0. Введем базисные переменные и перепишем ограничения в виде, удобном для использования симплекс-метода г/, = - 1 0 0 - ( ~ Х 2 - Х 4 - х , ) ;

г/2 =-80-(-Х2-Хз~Х5);

у^ = -40 - (-Х, - Хз - Хб); У4 = -60 - (-Xj - Х4 - Х5); L = у) — v^"~Xj — Х2 ~ Х3 — Х^ — Х3 — Xg j .

Запишем решение в виде таблицы X,

6. L

0

-100

-80

\УА

0

0

-80

1

«

0

-40 -60^.^ |б0

-1

- f ^

0

-1

- 1 г-"^ 0 |-1

0

-1

-1 0

-1

-40

-1

-1 -1

0

-1

-1 -1

0

ч

Хз

X,

- I

-1

0

-40

У2

\Уз

-1

- 1 60

У1

Хз

Х2

-1

I'n:: г ^ 1.к

"Г V (^)

-1 1 -1

-1

0 0

0

-1

0

-1 -1

!

^ ^

"l^

Выбираем разрешающий элемент, находим Я = - l и пере­ водим базисную переменную ^/4 в разряд свободной Х4. Пере­ пишем таблицу, заменяя у^<г^ х^.

430

гпава

ь^ Л

Ух

60 120 -40

1

-80

1 ^4

1

0

^.^ Г40

60

1 -^

-1

г0

-1

[-1

Го

(3

-1

1

0

0

1

60

1

0

-1

-1 0

0

V

0

1 -1

0

-1 -1

0 -1

"V

0

Ч

0

-1

1

"г^

X,

^4

-1 -1

-40 -40

-1

1

-40

\У1

Уз

'

Хз

X.)

X,

31

1 0

-1 0

. ' ^

1 0

-'г^ 0

1

0

1

Выберем разрешающий элемент и перепишем таблицу, за­ меняя ^3 <-^ ^3

ь. L

Ух

X,

140 -40 0

1 40 40 40 60

^4

УА

X,

ч

-1

0

1

0

0

-1

1

-1

-1^х^

V

Уъ

-1

100

\У1

х^

X,

60

1 1

1 -1 1

' [ ^ Н) 1

0

1

0

0

0

-1

^ ^

°f^

-1

0

0

1

0

-1

1

0

Выберем разрешающий элемент и перепишем таблицу, за­ меняя у^ <-> ^2

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

431

ОПТИМИЗАиИИ

ь,

X,

У2

Уз

УА

X,

^6

140

2

1

0

0

2

0

0

2

1

1

-1

1

-1

^2

40

-1

-1

-1

0

-1

0

J^3

40

1

0

-1

0

1

1

^4

60

1

0

0

-1

1

0

],

Ух

Целевая функция L^.^ =140 при ^2 = 40, х^ = 40, х^ = 60,

31.4. Задача нахождения кратчайшего пути V. Граф задается конечным множеством вершин или узлов {а^^а^у..., ^^) и множеством дуг ияиребер (/р А,..., /^), соединя­ ющих некоторые или все вершины. Если ребра ориентированы, что обычно показывают стрелками, то они называются дугами, а граф с такими ребрами называется ориентированным графом. Если ребра графа не имеют ориентации, то граф называют неориентированным. Каждая дуга может быть задана упорядочен­ ной парой вершин {ctidj), где а- называется начальной, а а^ — конечной вершиной дуги. Сетыо называется граф, каждой дуге которого поставлено в соответствие некоторое неотрицательное число. Эти числа могут выражать длину, пропускную способность, стоимость пе­ ревозки и т.п. Иногда сеть ассоциируется с транспортной сетью или сетью связи.

432

Г пава 31

Путем в графе называют последовательность дуг или вер­ шин, в которой каждая конечная вершина является начальной вершиной следующего ребра. Простым путем называется путь, в котором каждая вершина обходится не более одного раза. Если в простом пути ориентации дуг не совпадают, то такой путь на­ зывается простой цепью. Граф, в котором каждая пара вершин соединена некоторой цепью, называется связным. Задача нахож­ дения кратчайшего пути между двумя заданными вершинами представляет одну из главных задач теории сетей. 2°. Пусть требуется найти кратчайшие пути от одной вер­ шины ко всем остальным вершинам сети. Алгоритм Флойда. 1) Введем матрицу С^у, в которой запи­ саны длины всех дуг сети

с.

О, если i = / длине дуги между вершинами а. и а^ оо, если дуги между а. и UJ нет.

Положимfe= 1. 2) Для всех i^i^k и j^k осуществить операцию

C..: = min{Q..,

Q+QJ.

3) Если k = m, вычисления закончены, иначе перейти к п. 4. 4)fe:= ^ +1 и перейти к шагу 2. Алгоритм применим и для отрицательных длин ребер. 3°. Алгоритм Дейкстры. Алгоритм позволяет найти крат­ чайшие пути от заданной вершины до всех остальных. Обозна­ чим: С^.у—расстояние от узла щ до а^; I'.—временная пометка для вершины а., I.—постоянная пометка для вершины а-\ т—число вершин в сети. Полагаем: 1. 4=0, ( = ^ для / = 1,..., т; i Фз; k-1; p^s.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

433

ОПТИМИЗАиИИ

2. Для всех соседей вершины а^ с временными пометками изменить пометки по формуле /; = min(^/;,/^+C^J. 3. Для всех вершин, имеющих временные пометки, найти /^ =minl', 4. Положить р = г, k: = k + l. Если k = m, вычисления закон­ чены, иначе перейти к шагу 2. 4.1. Пусть дана сеть (рис. 31.3). Найти кратчайшие пути между всеми узлами.

Рис. 31.3 Решение. Составим исходную матрицу 1

2

3

4

5

6

1

0

1

ОО

ОО

ОО

5

2

1

0

3

оо

6

2

3

оо

3

0

5

1

3

4

оо

оо

5

0

1

ОО

5

сх>

6

1

1

0

3

6

5

2

3

оо

3

0

при k = l матрица не меняется, поэтому рассмотрим слу­ чай, когда k = 2' Cj3 = min(^C,3, Cj2 + С23 >) = min(^oo, 1 + 3 j = 4;

434

Г пава 31

Ci4 = min(^Ci4, Q2 + Q4 >> = min(^oo, 1 + oo^ = oo; Cj5 = min(^Cj5, C,2 + C25 J = min(^oo, 1 + 6^ = 7; Cj6 = rmn(C^^, Cj2 + C26; = min(^5,1 + 2 ; = 3. Найдем элементы матрицы во второй строке матрицы С^^ = min(^C2i, С22 + С2 J = min(^l, 1^ = 1; С

-О-

22 ~

*

С23 = min(^C23 > ^11 + Q3 >^" min(^3,3^ = 3; С24 = m i n ( ' C 2 4 , С22 + С24 >) = m i n f ' o o , оо^ = o o ;

С25 = min(^C25' Q2 + Qs >^" min(^6,6^ = 6; C26 = min('C26' ^22 + ^26 >* = min("2,2^ = 2. Для третьей строки найдем Сз1 = тт(^Сз1, Сз2 + С21 ^ = min(^oo, 3 +1^ = 4; С32 = тт(^Сз2, Сз2 +^22^ = min(^3,3^ = 3; Сзз=0; Сз4 = тт('Сз4, Сз2 + С24,) = min(^5,3 + 00^ = 5; С35 = тш(^Сз5' Q2 + ^ 5 >^ = min(^l, 3 + 6^ = 1; С36 = тт('Сзб, Сз2 +^26^* = m i n p , 3-f 2 ; = 3. Для четвертой строки С41 = min(^C4i, С42 + Q J = min(^oo, 00 +1^ = 00; C42 = min(^C42, C42 + C22 >) = ^ ; C43 = min(^C43' Q2 + ^23 >* = min(^5,00 + 3 J = 5; ^44=0; C45 = min('C45, C42 +025^ = m i n n , сю + 6 J = 1; C46 = inin('C46, Q2 + ^26 >> = min(^oo, 00 + 2 ; = 00.

ЭПВМЕНТЫ ТЕОРИИ

435

ОПТИМИЗАиИИ

Пятая строка примет вид Cj, = minf'Cj,, С52 +Cj^) = min(^co, в + \) = 7; C52 = minf C52, C52 + C22 ^ = min(^6,6^ = 6; C53 = minfC53, C52 + C23 ^ = minf'l, 6 + 3 j = 1; C54 = minfC54, C52 + C24 j = mm(\, 6 + 00; = l; Q,=0; ^56 = minf C5,, C52 + C2 J = min(^3,6 + 2 ; = 3. Элементы шестой строки Q, = minf'Q,, Q2 + C2,; = min('5,2-\-\) = 3; Q2 = ^10(^^2, Q2 +^22^ = min(^2,2; = 2; Q3 = min('Q3, Q2 + C23; = тш(Ъ, 2 + З; = 3; Сб4 = minf'C^, Q2 + C24; = minf'oo, 2 + 00; = 00; Q5 = minf'Qs, Q2 + C25; = minf'S, 2 + 6; = 3;

Матрица, полученная после второй итерации, имеет вид 1

2

3

4

5

6

1

0

1

4

ОО

7

3

2

1

0

3

оо

6

2

3

4

3

0

5

1

3

4

оо

оо

5

0

1

оо

5

7

6

1

1

0

3

6

3

2

3

оо

3

0

Рассмотрим случай, когда k = 3

436

Гпава 31

С,з=ттГС,з,С,з+Сзз; = 4; Ci4 = тт('С,4, С,з +Сз4>) = minf'oo, 4 + 5 ; = 9; С,5 = min(^Cj5, Q3 + С35 >) = min(^7,4 +1^ = 5; С,б = mini'C,^, С,з + Сз J = mini's, 4 + 3 ; = 3. Для второй строки получим С2з=тт('С2з,С2з+Сзз>> = 3; С24 = min('C24, С23 +^34^ = minf'oo, 3 + 5^ = 8; С25 = min('C25, С23 + Q5 >^ - minf^e, 3 + 1^ = 4. Приведем теперь расчет элементов, которые меняют свои значения Сз4 = тш('Сз4, Сзз + Сз4>> = mini's, 5^ = 5; С41 = тт(С^^' Qs + Qi >> = niinf'c», 5 + 4 ; = 9; С42 = min('C42, C43 + C32 j = mini'oo, 5 + З; = 8; C43 = m\n(C^^, C43 + C33; = 5,C46 = rmn(C^, C43 + C3 J = minf'oo, 5 + З ; = 8; C51 = min('C5i, C53 + C3 J = minf 7,1 + 4J = 5; C52 = mm(C^^, Q3 + C32; = mini'e, 1 + 3^ = 4; C^ = min('C64, Q3 + C34 J = minf'oo, 3 + 5^ = 8. Матрица, полученная после третьей итерации, будет

1 2 3 4 5

1 0 1 4 9 5

2 1 0 3 8 4

3 4 3 0 5 1

4 9 8 5 0 1

5 5 4 1 1 0

6 3 2 3 8 3

6

3

2

3

4

3

0

ЭЛЕМЕНТЫ

ТЕОРИИ

437

ОПТИМИЗАЦИИ

Приведем расчет для /^ = 5 только тех элементов, которые меняются ^4 = min('C,4, С,5 + С54 у) = min('9,5 -h I; = 6; С24 = min('C24, С25 + С54 j = min(^8,4 -h i ; = 5; C34 = 1ШП('Сз4, Сз5 + C54 ^ = тт(Ъ, 1 +1^ = 2; C41 = min(^C4j, C45 + C5 J = min(^9,1 + 5 J = 6; C42 = min('C42, C45 + C52 ^ = min(^8,1 + 4 J = 5; C46 = min(^C46, C45 + C5 J = min(^8,1 + З; = 4. Таким образом, кратчайшие пути между всеми узлами 1

2

3

4

5

6

1

0

1

4

6

5

3

2

1

0

3

5

4

2

3

4

3

0

2

1

3

4

6

5

2

0

1

4

5

5

4

1

1

0

3

6

3

2

3

4

3

0

4.2. Для сети, представленной на рис. 31.3, найти кратчай­ шие пути от вершины Oj до остальных. Решение. Результаты расчетов приведены в таблице.

к

пг~

4

4

оо

оо

ОО

оо

ОО

оо

5

0

4

оо

7

3

3

0

4

оо

6

3

5

4

0

4

9

5

3

6

5

0

4

6

5

3

k

Р

k

4

1

1

0

00

2

2

0

3

6

4

438

г пава 31

В первом столбце дается номер итерации, во втором — но­ мер вершины, получающей на данной итерации постоянную по­ метку, а в остальных — величины пометок для каждой вершины. Столбец вьщеляется жирными линиями, начиная с той итерации, на которой пометка соответствующей вершины стала постоян­ ной. Рассмотрим порядок расчета. 1. На первой итерации пометка первой вершины постоянная и равна /j = О, пометки остальных вершин временные и равны 1.=оо, 2. Соседями вершины а^ являются 02 и а^. Временные по­ метки этих вершин равны Выбираем минимальную из них /2=1, Р = 2, /р = 1. 3. На третьей итерации соседями вершины «2 являются вер­ шины а^,а^,а^. Временные пометки этих вершин /; = minf^oo, 1 + 3 ; = 4; /; = min(^oo, 1 + 6; = 7; /;=min(^5,l + 2 ; = 3. Минимальная из них /^ становится постоянной /^ == 3 и р = 6. 4. Соседями вершины а^ являются ci^,ci^. Временные помет­ ки этих вершин /з = min(^4,3 + 3 j = 4; /5 = тт(1,3 + 3^ = 6. Ми­ нимальная из них /з становится постоянной /з = 4 и р = 3 . 5. На пятой итерации соседями вершины а^ являются вер­ шины а^,а^. Найдем временные пометки этих вершин /;=min(^oo,4 + 5; = 9; /; = min(^6,4 + lj = 5. Минимальная из них 1^ = 5 становится постоянной 4 = 5 и р = 5. 5. Вершина а^ соседствует с вершиной а^, временная по­ метка которой /^ = min(^9,5 + 1^ = 6, Р5 = 4. Таким образом, кратчайшие пути от первой вершины ко всем остальным приведены в вершинах выделенных столбцов и со­ впадают с первой строкой матрицы алгоритма Флойда преды­ дущей задачи.

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ

439

31.5. Алгоритмы определения максимального потока 1°. Пусть в сети имеется единственный источник а^ и един­ ственный сток а„*5 Обозначим положительным числом Ь.. про­ пускную способность дуги от а. кfl^y,а за Ь-.^ — пропускную способность дуги от а. к а., причем выполнение равенства 6,у = Ьу^ не обязательно. Потоком в сети из источника а^ в сток а^ называется множество неотрицательных чисел х.у, поставлен­ ных в соответствие дугам сети, таких, что -t;, / = 0,

&/-Х^/.= О,

/ -t О, п,

где О < X.J < b.j; число v>0 называется величиной потока, 2°. Пусть начальные пропускные способности дуг заданы. Выберем некоторый начальный поток, например, нулевой. Ал­ горитм работает следующим образом. 1. Выберем путь из а^ в а^ положительной пропускной способности в, где в — минимальная величина из пропуск­ ных способностей дуг. Источник а^ считается вначале поме­ ченным, но не просмотренным, а все остальные узлы не помеченными. 2. Выбрать любой помеченный, но не просмотренный узел а.. 3. Всем узлам а^, для которых b.j > О , приписать пометки (i,j) и считать их помеченными. Считать узел UQ просмотрен­ ным. Если при этом сток а^ оказался помеченным, то по по­ меткам легко восстановить искомый путь из а^ в а„. В противном случае следует перейти к шагу 2. Если это невоз­ можно, то искомого пути не существует.

440

Г пава 31

4. Пусть (a^.a-ij, (а^,а^),.,., (а.^^,щ^)—найденый путь. Тогда для каждой дуги (а^^, а.^^^), входящей в этот путь, следует вьшолнить операторы: ^k^k+\

h^k+i

^k+\ h

^k^k+l

^k^k+l

h+\ *A

Далее переходим к шагу 1. Если пути положительной про­ пускной способности не существует, то полученный поток явля­ ется максимальным. 5.1. В области имеется семь городов, соединенных дорога­ ми. Граф задачи показан на рис. 31.4.

Рис, 31.4 На каждой дуге (а,, а^) около узла а- указано макси­ мальное (за один день) число мешков с корреспонденцией, которые можно перевезти от щ к а^, а около узлаfly— макси­ мальное число мешков, которые можно перевезти из aj в а^. Найти максимальное число мешков, которые можно перевез­ ти из а^ в а^. Решение. Пусть начальный поток задан числами ^ = ^о2 == = ^25 = ^56 ~ ^ (потоки по остальным дугам равны нулю). После изменения пропускных способностей дуг Ь- получается сеть.

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

441

ОПТИМИЗЛиИИ

Далее выбираем путь а^-^а^-^ а^-^а^, где 0 = 3 — минимальная величина из пропускных способностей. Изменяя пропускные способности дуг, получим

v=5^3=8

На следующем шаге выбираем путь а^ --> aj —> 02 - ^ ^4 - ^ а^, 0 = 1,

тогда граф примет вид

v=8+l=9

442

Гпава

Далее а^-^а^-^а^^а^,

в =^2 и граф будет

v=:9+2=ll

Следующий шаг а^ --^ а^ -^ а^ ^> а^ --^ а^, в = \

v=im=i2

Далее а^ -^ а^ -^ а2 -^ а^ ^ а^, в = 1

v=12-^l=13

Наконец, а^ -^ а^ -^ а^ -^ а2 -^ а^ -^ а^, в = \

31

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ

443

v = 14

Поскольку положительной пропускной способности нет, то полученный поток является максимальным.

31.6. Задача замены оборудования Покупная цена нового оборудования известна и равна S . Известны затраты на эксплуатацию (уход, ремонт и т. д.) в соот­ ветствующие периоды (1, 2,..., ^,..., п). Пусть периоды равны, а затраты в период t будут Q . В результате старения балансо­ вая цена оборудования непрерывно падает. Обозначим ее за S^. Считаем, что Q и S^ экспоненциально зависят от t

C,=a,(e"-l);

S,=V"'"-

Средние затраты равны

Y(t)=(S+J^Q-SJ/t, (=1

Y(t) = (S + ao(e^' -\)-bae-'")/t

= (ao(e^' -\) +

Отсюда dY _ (a,Xe^ + З/ие-"' )t - a^(e^' -\)dt~ f Преобразуя, будем иметь

S(\-e-^'))/t.

S(\ - e'"') _^

444

Гпава 31

Если обозначить У; = а^(Ие^' -е^' ^\) ^^ Y^^S(\- е'^' -lite'^^), то точка пересечения этих кривых и даст искомое время t, когда следует произвести замену оборудования.

31 Л . Метод наименьших квадратов 1°. Метод наименьших квадратов заключается в том, что из данного множества функций у = 1(х) выбирается та, для ко­ торой сумма квадратов отклонений опытных значений от рас­ четных является наименьшей. Подбор параметров функции у = 1(х) делается после опре­ деления вида функции. Вид функции выбирается из графическо­ го изображения опытных данных таким образом, чтобы график функции наиболее точно отражал расположение опытных дан­ ных на графике. Пусть дана таблица значений переменных х.^ и соответствующих им значений \)-^. X,

[ У'

х,

^2

^п

Ух

Уг

Уп

Рассмотрим некоторые простейшие виды функций. 2°. Линейная функция у = ах-{-Ь. Нормальная система для определения коэффициентов аиЬ имеет вид п

п

п

1=1 П

Г1

а^х^ +bn = Y, Уг1=1

(1)

3°. Квадратичная функция г/ = ах^+6х + с. Нормальная система для определения коэффициентов а, Ьис имеет вид

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

445

ОПТИМИЗАиИИ

(2)

4°. Гипербола вида у = а + — . Нормальная система для опX

ределения параметров аиЬ имеет вид

«Xf-^I^^Z^ X.

X;

X;

па +*1^=Ей.

(3)

7.1. Результаты экспериментальных исследований представ­ лены таблицей X,.

1

2

3

4

5

6

1 ^•

13

8

4

1

-2

-9

Полагая, что зависимость лршейная, найти значения параметров функции у = ах-\-Ь. Решение. Воспользуемся методом наименьших квадратов. При составлении системы нормальных уравнений (1) суммиро­ вание удобнее выполнять в табличной форме i

X,.

У.

х/

^iVi

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 21

13 8 4 1 -2 -9 15

1 4 9 16 25 36 91

13 16 12 4 -10 -54 -19

2 .

446

Гпава 31

Система нормальных уравнений примет вид Г91а + 216 = -19, [21а + 66 = 15. Из решения этой системы получим: а =

143

84 ; Ь=—. Зави­ 143

84 х+—. 35 5 7.2. Результаты опыта представлены таблицей

симость между X и // представляется в виде у -

1h

0

1

2

3

4

1 У1

1

2

4

7

11

Найти зависимость между переменными. Решение. Прибрасывая опытные данные на графике, счи­ таем, что зависимость между ними квадратичная. Воспользуемся методом наименьших квадратов. При состав­ лении системы нормальных уравнений (2) суммирование пред­ ставим в табличной форме /

X,

У1

^f

х]

х;

^iy;

xfyi

1 2 3 4 5

0 1 2 3 4

1 2 4 7 11

0 1 4 9 16

0 1 8 27 64

0 1 16 81 256

0 2 8 21 44

0 2 16 63 176

2

10

25

30

100

354

75

257

Система нормальных уравнений примет вид [354а+ 100Ь +30с = 257, 100а+ 306 +Юс = 75, 30а + 106 + 5с = 25.

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

447

ОПТИМИЗАиИИ

Умножая третье уравнение на 2 и вычитая из второго, и умножая второе на 3 и вычитая из первого уравнения, полу­ чим Г40а + 106 = 25, |54а + 10& = 32, откуда а = - , 6 = - с = 1. 2 2' Таким образом, X

X

,

у =—+ —+ 1. 2 2 7.3. По таблице опытных данных Xi

1 Ус

0,5

1

2

4

6

5

2

0

-1

-1,5

найти зависимость между переменными. Решение. Прибрасывая опытные данные на графике (рис. 31.5.), считаем, что зависимость между переменными ги­ перболическая. Пользуясь методом наименьших квадратов, сум­ мирование, при составлении системы нормальных уравнений (3), приведем в табличном виде /

X,

У1

1/х.

Ух^

yAi

1 2 3 4 5

0,5 1 2 4 6

5 2 0 -1 -1,5

2 1 1/2 о;25 1/6

4 1 1/4 1/16 1/36

10 2 0 -1/4 -1/4

4,5

3,916

5,34

11,5

I

Система нормальных уравнений примет вид

448

Г пава 31

J3,916a-h5,346 = ll,5, |5а + 3,9166 = 4,5. Решая эту систему, находим: а = --1,847; 6 = 3,5. Таким об­ разом, зависимость примет вид 35 ^ = -1,847 + — . X

1А. Найти нормальную систему для определения коэффи­ циентов а, b показательной функции у^аЬ"" ^ Решение. Прологарифмируем функцию In г/ = In а + х1п b и считаем \пу линейной функцией от х, а In а, In 6 принимаем за параметры. Будем подбирать параметры так, чтобы сумма квадратов отклонений вычисленных значений 1па + хДп6 от наблюдаемых значений \пу., т. е. величина S = (\па + Xjlnfe - In !/j / + (\па + x^Xnb - \пу^ f + п

+ --- + Ппа + х^п6-1п^/^^ =^('1па + х.1п6-1п//./ принимала наименьшее значение. Рассматриваем сумму S как функцию двух переменных In а и In 6. Функция S принимает минимальное значение при тех значениях In а и In 6, при которых обращаются в нуль частные производные по этим параметрам, т. е. = 0 и = 0. Э1па Э1п6 Находим частные производные —— = 2 У (\па + хДпб - 1п^^; = dlna ^ п

п.

= 2(п1па + Inb^ Х- -^ ]пу.) ^ /=1

/=1

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗЛиИИ

449

^

дтЪ п

п

п

= 21па^ Х- + 1п6^ х^ - ^ х-\пу-. Приравнивая частные производные нулю, получим нормаль­ ную систему п

п

п \па + \пЬ^ Х- = ^ \пу. П

П

Г1

1па^ X. + 1п6^ х^ = ^ x.ln г/. /=1

/=1

/=1

Найденные из этой системы значения параметров In а и In 6 позволяют с помощью таблиц натуральных логарифмов опреде­ лить значения а и b.

31.8. Методы расчета надежности V. Основные понятия надежности. Наделсностью p(t) элемента называется вероятность того, что этот элемент будет работать в течение времени t безотказно. Отказ — это собы­ тие, состоящее в нарушении работоспособности элемента. От­ казы бывают внезапные и постепенные. Внезапный отказ происходит в случайный момент времени. Постепенный отказ характеризуется постепенным ухудшением характеристик ма­ шины (элемента). Деление технических устройств на элементы носит услов­ ный характер. Так одно и то же устройство может рассматри­ ваться как машина, состоящая из элементов, так и как элемент технологической линии машин. В дальнейшем под «элементом» мы будем понимать техническое устройство, не подлежащее дальнейшему расчленению.

450

Гпава

31

При оценке надежности машины следует рассмотреть не­ которые количественные характеристики. При ^ = 0 надежность p(t) = 1 и с увеличением времени убывает (рис. 31.6.). Ненадеж­ ность определяется по формуле q(t) = 1 - p(t). Характер изме­ нения кривой q(t) показан на рис. 31.6. При возрастании / кривая q(t) стремится к единице.

Рис. 31.6 Одной из количественных характеристик, определяющих бе­ зотказность работы «элемента» машины, является среднее вре­ мя наработки на отказ. Если Т — время безотказной работы, то функция распределения этой случайной величины определяется выражениями F(t) = Р(Т
f(t)=^-NAt

(1)

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

451

ОПТИМИЗАиИИ

где т ("А^^ — число элементов, отказавших за время А^, т. е. от t до t + dt; N — обш;ее число элементов.

/

t+At

t

Рис. 31.7 Если Т величина непрерывная, то среднее время безотказ­ ной работы равно

t =M(T) = jtf(t)dt = jtq(t)dt о

о

оо

оо

= -ltp(t)dt = jp(t)dt. О

(2)

О

Среднее время безотказной работы t равно площади, огра­ ниченной кривой надежности и осями координат (рис. 31.6). Основные показатели надежности машин, состоящих из k групп элементов, определяются на основании статистического мате­ риала. Если число элементов в группах равно щ, п^, ...^rif^, а ^р ^2' '••>ЧУ—время наработки элементов на отказ в каждой группе, то среднее время наработки на отказ будет

/ =1/2«Д-

(3)

i=l

Среднее время восстановления работоспособности являет­ ся одной из основных характеристик ремонтопригодности ма­ шин. Пусть Тр Т2, ...,т^ — среднее время восстановления элементов машины в каждой группе. В этом случае среднее вре­ мя восстановления будет

452

Г пава _

31

__ k

ts=t^n.T./t,.

(4)

которое определяет вероятность того, что восстанавливаемая машина в данный момент времени находится в рабочем со­ стоянии. Одним из комплексных показателей надежности является коэф­ фициент готовности kj^=T/(T+T^),

(5)

Время наработки на отказ t- перемонтируемых элемен­ тов машины, число отказов в случае ремонтируемых элемен­ тов и ряд других характеристик надежности подчиняются различным законам распределения. Наиболее распространен­ ным в технических устройствах является экспоненциальное распределение. Экспоненциальный закон надежности имеет вид p(t) = e-'\

(6)

где Я — интенсивность потока событий (отказов) постоянная величина. Функция распределения времени безотказной работы рав­ на F(t) = q(t) = l-е-^', а плотность — f(t) = Хе"^' (t>0). Интенсивность отказов определяется по формуле р(0

NAtp(t)

И характеризует среднее число отказов в единицу времени, при­ ходящееся на один работающий элемент. Надежность определяется через интенсивность отказов по формуле -\Mt)dt

p(t) = e о

,„.

^^^

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ

453

Если X(t) = Я — const, то формула (8) выражает экспонен­ циальный закон надежности (6). 2°. HadejWHocmb простой системы. Под простой системой будем понимать такую систему элементов, отказ любого элемен­ та которой равносилен отказу системы в целом. Простая систе­ ма с точки зрения надежности представляет схему последовательного соединения элементов (рис. 31.8).

э.

э.

Ч э„

Рис. 31.8 Надежность простой системы Р, составленной из п незави­ симых по отказам элементов, равна произведению надежностеи ее элементов

^ = ПА.

(9)

где р. — надежность /-го элемента. Если р^=р2=... = р^,то формула (9) примет вид Р = р\

(10)

При последовательном (в смысле надежности) соединении независимых по отказам элементов интенсивности отказов скла­ дываются и интенсивность отказов простой системы равна

A(t) = J^X,(t).

(И)

Действительно, выразим интенсивности отказов простой системы A(t) через интенсивности отказов отдельных ее эле­ ментов X/t). Согласно определению надежности через интен­ сивность (8), имеем -JA(t)dl

P(t) = e »

454

Гпава

p,(t) = e^

(i = l2^,..^n).

31

^^^^

Подставляя выражения (12) в выражение (9), получим -JA(t)dt -j^(t)dt -jl2(t)dt -JK(t)dt e ' =e ' e " ...e ' = t

t

n

-j[X,(t)+l,(t)+...+?^(t)]dt -lY,^idt =e ' =e ''=' , откуда и следует соотношение (11). 3°. Наделсностъ резервированной системы. Для повыше­ ния надежности в систему включают резервные элементы «па­ раллельно» тем, надежность которых недостаточна (рис. 31.9). Э;

э.

Рис. 31.9 Если основной элемент Э^ отказал, то система переключа­ ется автоматически на резервный элемент Э^ и т. д. Переключе­ ние безотказное, надежность переключения р„р = 1. Вероятности безотказной работы элементов обозначим за Рр рз» •••' Рл' ^ ^^' надежность элементов, соответственно, за ^j, ^2' •••' ^п • Ненадеж­ ность всей системы будет равна произведению ненадежностеи элементов Q^Qx'Qi'-'QnПоскольку надежность системы равна Я = 1 - Q, то

(13)

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

P=

455

ОПТИМИЗАиИИ

\-q,-q,-...,q„=\-(\-p,)(\-p,)...(\-pJ^ = 1-ПП-Д;-

(14)

/=1

Если надежности всех элементов р^= р^=,,, = р , то соотношения (14) примут вид Р =1-П-Р/.

одинаковы (15)

В общем случае в резервированных системах могут исполь­ зоваться как «параллельные», так и «последовательные» соеди­ нения элементов (рис. 31.10).

•-С Рис. 31,10 Полагаем, что все надежности элементов равны р , тогда надежность каждой «строки» равна р'" (t), где т — число пос­ ледовательных элементов в «строке». Поскольку «строки» пред­ ставляют «параллельные» соединения элементов, то по формуле (15) получим р=1-п-р";% (16) здесь п — число «строк». При оценке надежности сложной системы ее следует разде­ лить на ряд подсистем, не имеющих общих элементов, и найти надежность каждой из них, а затем системы в целом. 4°. Предположим теперь, что переключение на резервный элемент имеет надежность, меньшую единицы.

456

Гпава

гШ"

31

э.

Рис. 31.11 Пусть переключение на резервный элемент осуществляется одним переключателем (рис. 31.11) с надежностью р^р. Рассмат­ ривая резервную систему как блок параллельных соединений элементов, а переключатель и блок резервных элементов как пос­ ледовательную, находим надежность этой подсистемы р; =(\-(\-p,)(\-pj...(\-pj)p„^.

(17)

Отсюда надежность всей системы будет р=\-а-юа-Р2)(18) Если каждый резервный элемент имеет свой переключатель, соответственно, с надежностью p^p^ p^^Jу..., р^^'', то, объединяя переключатели и резервные элементы в последовательные цепи, в выражении (14) надежность резервного элемента следует ум­ ножить на надежность переключателя

р=\-(\-р)(\-р,р[]>

)(\-р,р[1> )-...-(\-р„р[;>).

(19)

Здесь надежность любого резервного элемента не зависит от того, включился он в работу или нет. 5°. Надежность резервной линии. Пусть линия имеет две резервные машины. Считаем, что потоки отказов простейшие, т. е. интенсивности отказов постоянные и что линия с холодным резервом. При отказе машины Mj включается машина М^ > ^

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

457

ОПТИМИЗАиИИ

при отказе М^ включается М^. До включения каждая из резер­ вных машин находится в холодном резерве и отказать не может. Пусть Я, —интенсивность потока отказов основной машины, Я2 — остальных машин. Представим процесс, как марковский случайный процесс (рис. 31.12). 5;

Яу I 1 '^1 I

1Я 1 "-2 I

1 "-2

1 *^L_LJ *^LZJ *" Рис. 31.12

Введем обозначения: S, — работает основная машина; Sj —работает первая из резерва машина; S^ —работает вто­ рая из резерва машина; S^ — не работает ни одна машина. Система уравнений Колмогорова для вероятностей состоя­ ний будет dp, _ dt = - ^ ' ^ " " dp2

_

dt ^Рз_ = dt

-^2Рз+^2р2''

(20)

dp4 = ^1Ръ-

dt Добавим к системе нормировочное условие А+Р2+Рз+Р4=1Интегрируя первое уравнение при P,((i) = 1, получим

p,(t) = e-'r Подставляя во второе уравнение, будем иметь

458

Гпава

31

Интегрируя с начальным условием P2(Q) = О, получим Я, '-^е-'^'.

-XJ

P2(t) = - ^

Подставляя в третье уравнение, будем иметь '''^2.g-V_.

dt

А 2"" ЯI

• '

е-'^'.

А 2— А J

При Рз^О^ = О' после интегрирования p,(t)=

Л|Л2

-е-"'' -

Л|Л2

.е-^2<_.

^1^2?

а,-я,/

гя^-я,/

-i.t

Для нахождения функции р ^( t ) воспользуемся норми­ ровочными условиями, тогда

= \-ё -я,/ Л|Л2

>я,-я,/

Я,

-е'•''+Я 2— А] л 2—А]

-е-^'Ч-

е-^'-' -

ЯДз

ГЯ2-Я,/

Я2-Я1

8.1. Интенсивность отказов элемента задана графически (рис. 31.13). Найти закон надежности p(t) и среднее время без­ отказной работы.

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

459

ОПТИМИЗАиИИ

Решение. Из рисунка находим, что интенсивность отказов на участке (0,1) меняется по закону X(t) = 2 - ^, а на участке t>\ постоянна и равна Я = 1. Надежность на участке (0,1) по формуле (8) будет -j(2-t)dt

p,(t) = e

=е Найдем p(t) на участке t > 1

•(it-'i)

jX(t)dt = jdt = t-\; тогда p^(t) = e -t+\

График закона надежности показан на рис. 31.14. Среднее время безотказной работы равно площади, ограниченной кри­ выми p/t), p2(t) И осями координат _

1

со

1

^

со

t = j p,(t )dt + j p^ft )dt = je'^^'~^^dt + je-'^'dt =105 + 1 = 2,05. Здесь первый интеграл [e'^^^'^^dt = 1,05 вычислен прибли­ женно, о 8.2. Плотность распределения времени безотказной рабо­ ты элемента на участке {t^yt^ ) постоянна и равна нулю вне

460

Гпава

31

ЭТОГО участка (рис. 31.15). Найти интенсивность отказов и по­ строить график.

Рис. 31.15 Решение. Интенсивность отказов по формуле (7) равна

p(t)

l-q(t)

Поскольку

,a>J\imt--\^--^. t, •'2

"1

'-2

TO

X(t) =

1 /J-/

График интенсивности отказов приведен на рис. 31.16.

Mt)\

t,-t, t, Рис. 31.16

t,

t

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ

461

8.3. Простая система состоит из 7 независимых элементов, на­ дежность каждого из которых р = 0,9 .Найти надежность системы. Решение. Воспользуемся формулой (10), тогда Р = 0,9'-0,478. 8.4. Простая система состоит из 100 одинаково надежных независимых элементов. Какова должна быть надежность отдель­ ного элемента, чтобы надежность системы была бы не менее 0,85? Решение. Представим формулу (10) в виде . Тогда надежность отдельного элемента р = ^Ч^а85; 1пр = —1пО,85; р = 0,9995. 8.5. Простая система состоит из трех независимых элемен­ тов. Найти интенсивность отказов системы, если плотности рас­ пределения времени безотказной работы заданы выражениями: fx(t)^l

f2(t) = ^t\ f,(t) = \-2t

при 0<^<1.

Решение. Поскольку f(t) = q'(t), то ненадежность каждого элемента будет 4x(t) = t; q,(t) = f; q^(t) = t-f

при 0<^<1.

Отсюда надежность элементов p^(t) = \^t; p^(t) = \-t\'

p^(t) = \-t + t^ при 0 < / < 1 .

Интенсивность отказа каждого элемента по формуле (7) равна 1

3f

l-2t

Интенсивность отказов системы находим по формуле (11) \ /

и /

21 /

31 /

j _ _ ^ j_^3

l_f^f

462

Гпава

31

_2(l-t + 2t^-2f+3t^) (\-f)(\-t-¥f) 8.6. Найти надежность системы, состоящей из семи элемен­ тов с надежностями p^,p2,...,pj (рис. 31.17). // / /

И '

\

/

э.

к

-ч

m

IV

///

% ^

Э.5 ^г^:::

у

^ ^

Pwc. 57.77 Решение. Поскольку в системе применяются как «последо­ вательное», так и «параллельное» соединение элементов, то при оценке надежности расчленяем ее на ряд подсистем. Рассматри­ вая подсистемы как условные элементы, находим надежность системы в целом. Подсистема I — «параллельно» включенные элементы Э^ и Э^; надежность Ру = 1 - (^1 - Р2 >* П "" Рз Л Подсистема II — «последовательно» соединенные элемен­ ты 3j и I; надежность pjj = р^-р^. Подсистема III — «параллельно» включенные элементы Э^и Э^; надежность pjjj =l-(l-pj(l-p^). Подсистема IV — «последовательное» соединение элемен­ тов Э^и Эу, надежность pjy = р^-р^. Подсистема V — «последовательно» соединенные элемен­ ты III и IV; надежность ру = р^ -pjy.

ЭПЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

ОПТИМИЗАиИИ

463

Вся система — «параллельно» включенные II и V элемен­ ты; надежность Р = l-(\-pjj)(\-py). 8.7. Рассмотрим технологическую линию, состоящую из одной основной машины и трех резервных. Пусть основная ма­ шина подвергается простейшему потоку отказов с интенсивнос­ тью Aj. Найти надежность линии с облегченным резервом, т. е. когда резервные машины до включения подвергаются простей­ шему потоку отказов с интенсивностью ^2, а после включения интенсивность повышается до величины А.^. Решение. При определении надежности линии введем сле­ дующие обозначения состояний. Если основная машина работа­ ет, то первый индекс равен нулю, если основная машина отказала, то первый индекс равен единице, а второй индекс определяет число исправных резервных машин. Так, S^^, — основная машина ис­ правна, из резервных исправны к машин (/: = О, 1, 2, 3); S^^,— основная машина отказала, из резервных исправны к машин, причем одна из них работает. Для составления уравнений Колмогорова представим граф состояний (рис. 31.18).

зх,

Я

^02

2Я, 1 с

X,

Я, Л2 +

2А

2

А,

"^0/

X, }

1 <ч 12

Я, f

, 1" + Я 9

1

//

1 ^^ .

Рис. 31.18 Система уравнений вероятностей состояний в этом случае будет dp,03 =-(Х^+зХ2)роз; dt

464

Гпава 31

%=-ГЯ,+2Я,;ро,+зя2Роз; at

% = -ГЯ,+ Я,М,+2Я,р„,; at

%=Чя;+2А,Мз+я,Роз; ^А ^J^ = - ^ 3 + A J p , 2 + A , P o 2 + a ° + 2Ajp,3;

^ = я^Я,Роо , р . . +я Я: ,р„. Из интегрирования первого уравнения системы имеем Роз=^ Подставляя это решение во второе уравнение системы и интегрируя, находим р^^ • Продолжая последовательно процесс интегрирования уравнений, находим остальные значения веро­ ятностей состояний. Вероятность состояния, когда линия не ра­ ботает, может быть найдена из условия Отсюда надежность линии, как обратное событие, будет

P(t)^\-^pjt). т. е. равна сумме вероятностей, при которых линия работает. Нетрудно заметить, что изменение числа резервных машин в технологической линии приводит только к увеличению или уменьшению графа состояний (рис. 31.18), а, соответственно, и числа уравнений системы. В остальном схема расчета остается без изменений.

Питература

465

ЛИТЕРАТУРА 1. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копчёнова Н. В. Вычислитель­ ные методы для инженеров, М.: Высшая школа, 1994. — 544 с, 2. Бахвалов Н. С, Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные мето­ ды в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 2000. — 190 с. 3. Вентцель Е. С, Исследование операций: задачи, примеры, ме­ тодология, М,: Наука, 1980. — 551 с. 4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории веро­ ятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1998. — 400 с, 5. Коваленко И. Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей и ма­ тематическая статистика. М.,Высшая школа, 1982. — 256 с. 6. Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику, М,: Наука, 1993, — 294 с. 7. Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математичес­ кой статистики. М.: Наука, 1982, — 255 с,

Таблица значений функции 0

1

0,398 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661

3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637

3989 3961 3894 3790 8653 3485 3292 3079 2850 2613

3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589

1,0 0,2420 2179 1,1 1942 1,2 1714 1,3 1497 1,4 1295 1,5 1,6 1109 0946 1,7 1,8 0790 0656 1,9

2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644

2371 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632

2,0 0,0540 0440 2,1 2,2 0355 2,3 0283 2,4 0224 2,5 0175 2,6 0136 0104 2,7 2,8 0079 2,9 0060

0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058

3,0 0,0044 3,1 0033 3,2 0024 0017 3,3 3,4 0012 3,5 0009 3,6 0006 3,7 0004 3,8 0003 3,9 0002

0043 0032 0023 0017 0012 0008 0006 0004 0003 0002

JC

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

4

4

7

5

6

3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565

4984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 2780 2541

3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516

3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492

2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620

2323 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608

2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596

0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056

0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055

0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053

0042 0031 0022 0016 0012 0008 0006 0004 0003 0002

0040 0030 0022 0016

0039 0029 0021 0015

ООН

ООП

0008 0005 0004 0003 0002

0008 0005 0004 0003 0002

3

8

9

3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468

3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444

2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584

2251 2227 2012 1989 1781 1758 1561 1539 1354 1334 1163 1145 0989 0973 0833 0818 0694 0681 0573 0562

2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551

0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051

0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050

0468 0459 0379 0371 0303 0297 0241 0235 0189 0184 0147 0143 0113 ОНО 0086 0084 0065 0063 0048 0047

0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046

0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002

0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002

0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002

0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001

ЗОИ

0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001

Распределение Пуассона

0 1 2 3 4 5 6

0,1

0,2

0,3

0,9048 0,0905 0,0045 0,0002 0,0001

0,8187 0,1638 0,0164 0,0019 0,0002

0,7408 0,2222 0,0333 0,0033 0,0007 0,0001

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0,3679 0,3679 0,1839 0,0613 0,0153 0,0031 0,0005 0,0001

2 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120 0.0037 0,0009 0,0002

3 0,0498 0,1494 0,2240 0,2240 0,1680 0,1008 0,0504 0,0216 0,0081 0.0027 0,0008 0,0002 0,0001

0,4 0,6703 0,2681 0,0536 0,0072 0,0016 0,0002

4 0,0183 0,0733 0,1465 0.1954 0,1954 0.1563 0,1042 0,0595 0,0298 0,0132 0,0053 0,0019 0,0006 0.0002 0,0001

0,5

0,6

0,7

0,8

0.9

0.6065 0,3033 0,0758 0,0126 0,0030 0,0004

0,5488 0,3293 0.0988 0,0198 0,0050 0,0007 0,0001

0,4966 0,3476 0,1217 0,0284 0,0077 0,0012 0,0002

0,4493 0,3595 0,1438 0,0383 0,0111 0,0020 0,0003

0,4066 0,3659 0,1647 0,0494

5 0,0067 0,0337 0,0842 0,1404 0,1755 0,1755 0,1462 0,1044 0,0653 0,0363 0,0181 0,0082 0,0034 0,0013 0,0005 0,0002

6

7

0,0025 0.0009 0,0149 0,0064 0,0446 0,0223 0,0892 0,0521 0,1339 0,0912 0,1606 0.1277 0,1606 0,1490 0,1377 0.1490 0,1033 0.1304 0,0688 0,1014 0,0413 0,0710 0,0225 0,0452 0,0126 0,0263 0,0052 0,0142 0,0022 0,0071 0,0009 0,0033 0,0003 0,0014 0.0001 0,0006 0,0002 0,0001

8 0,0003 0,0027 0,0107 0,0286 0,0572 0,0916 0,1221 0,1396 0,1396 0,1241 0,0993 0,0722 0,0481 0,0296 0,0169 0,0090 0,0045 0,0021 0,0009 0,0004 0,0002 0,0001

9 0,0001 0,0011 0,0050 0,0150 0,0337 0,0607 0,0911 0,1171 0.1318 0.1318 0,1186 0,0970 0,0728 0,0504 0,0324 0,0194 0,0109 0,0058 0,0029 0,0014 0,0006 0,0003 0,0001

10 0,0000 0,0005 0,0023 0,0076 0,0189 0,0378 0,0631 0,0901 0,1126 0,1251 0,1251 0,1137 0,0948 0,0729 0,0521 0,0347 0,0217 0,0128 0,0071 0,2237 0,0019 0,0009 0,0004 0 0002 0,0001

468

Припоткение

Таблица 3 1

-~

Значения функции Лапласа Ф[х) = -^={е -dz 0

1

2

3

4

6

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,00000 03983 07926 11791 15542 19146 22575 25804 28814 31594

00399 04380 08317 12172 15910 19497 22907 26115 29103 31859

00798 04776 08706 12552 16276 19847 23237 26424 29389 32121

01197 05172 09095 12930 16640 20194 23565 26730 29673 32381

01595 05567 09483 13307 17003 20540 23891 27035 29955 32639

01994 05962 09871 13683 17364 20884 24215 27337 30234 32894

02392 06356 10257 14058 17724 21226 24537 27637 30511 33147

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

34134 36433 38493 40320 41924 43319 44520 45543 46407 47128

34375 36650 38686 40490 42073 43448 44630 45637 46485 47193

34614 34850 35083 36864 37076 37286 38877 39065 39251 40658 40824 40988 42220 42364 42507 43574 43699 43822 44738 44845 44950 45728 45818 45907 46562 46638 46712 47257 47320' "47381

35314 37493 39435 41149 42647 43943 45003 45994 46784 47441

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

47725 48214 48610 48928 49180 49379 49534 49653 49744 49813

47778 48257 48645 48956 49202 49396 49547 49664 49752 49819

47831 48300 48679 48983 49224 49413 49560 49674 49760 49825

47882 48341 48713 49010 49245 49430 49573 49683 49767 49831

1^

49903 49984

X

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4.

1 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

0,49 865 0,49 911 0,49 ?968 0,49 9991 0,49 999997

3,6

47932 47982 48382 48422 48745 48778 49036 49061 49266 49286 49446 49461 49585 49598 49693 49702 49774 49781 49836 49841

1 3,2 3,7

49931 49989

6

7

8

9

02790 06749 10642 14431 18082 21566 24857 27935 30785 33398

03188 07142 11026 14803 18439 21904 25175 28230 31057 33646

03586 07535 11409 15173 18793 22240 25490 28524 31327 33891

35543 35769 37698 37900 39617 39796 41309 41466 42786 42-922 44062 44179 45154 45254 46080 46164 46856 46926 47500 47558

35993 38100 39973 41621 43056 44295 40352 46246 46995 47615

36214 38298 40147 41774 43189 44408 45449 46327 47062 47670

48030 48461 48809 49086 49305 49477 49609 49711 49788 49846

48077 48500 48840 49111 49324 49492 49621 49720 49795 49851

48124 48537 48870 49134 49343 49506 49632 49728 49801 49856

48169 48574 48899 49158 49361 49520 49643 49736 49807 49861

1 3,3

49952 49993

1 3,4

49966 49995

3,8

3,9

Таблица значений функции

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

0,95

0,99

0,999

2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,15 2,13 2,12 2,11 2,10

4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,06 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88

8,61 6,86 5,96 5,41 5,04 4,78 4,59 4,4 4,32i 4,22 4,14 4,07 4,02 3,97 3,92

20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 120

0,95

0,99

0,099

2,093 2,064 2,045 2,032 2,023 2,016 2,009 2,001 1,996 1,991 1,987 1,984 1,980 1,960

2,861 2,797 2,756 2,720 2,708 2,692 2,679 2,662 2,649 2,640 2,633 2,627 2,617 2,576

3,883 3,745 3,659 3,600 3,558 3,527 3,502 3,464 8,439 3,418 3,403 3,392 3,374 3,291

Таблица значений функции

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

0,95

0,95

0,999

рч^

0,95

0,99

0,999

1,37 1,09 0,92 0,80 0,71 0,65 0,59 0,55 0,52 0,48 0,46 0,44 0,42 0,40 0,39

2,67 2,01 1,62 1,38 1,20 1,08 0,98 0,90 0,83 0,78 0,73 0,70 0,66 0,63 0,60

5,64 3,88 2,98 2,42 2,06 1,80 1,60 1,45 1,33 1,23 1,15 1,67 1,01 0,96 0,92

20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 350 200 250

0,37 0,32 0,28 0,26 0,24 0,22 0,21 0,188 0,174 0,161 0,151 0,143 0,115 0,099 0,089

0,58 0,49 0,43 0,38 0,35 0,32 0,30 0,269 0,245 0,226 0,231 0,198 0,160 0,136 0,120

0,88 0,73 0,63 0,56 0,50 0,46 0,43 0,38 0,34 0,31 0,29 0,27 0,211 0,185 0,162

470

Припо?кение

Таблица 6 Критические точки распределения F Фишера - Снедекора (кJ— число степеней свободы большей дисперсии, к2—число степеней свободы меньшей дисперсии) Уровень значимости а = 0,01 1

2

3

4052 98,49 34,12 21,20 16,26 13,74 12.25 11,26 10,56 10,04 9,86 9.33 9,07 8,86 8,68 8,53 8,40

4999 99,01 30,81 18,00 13,27 10,9S 9,55 8,65 8,02 7,56 7,20 6,93 6,70 6,51 6,36 6,23 6,11

5403 90,17 29,46 16,69 12,06 9,78 8,45 7,59 6,99 6,55 6,22 5,95 5,74 5,56 5,42 5,29 5,18

^ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

:4 5625 99,25 28,71 15,98 11,39 9,15 7,85 7,01 6,42 5,99 5,67 5,41 5,20 5,03 4,89 4,77 4,67

5

6

5764 99,33 28,24 15,52 10,97 8,75 7,46 6,63 6,06 5,64 5,32 5,06 4,86 4,69 4,56 4,44 4,34

5889 99,30 27.91 15,21 10,67 8,47 7,19 6,37 5,80 5,39 5,07 4,82 4,62 4,46 4,32 4,20 4,10

7 5928 99,34 27,67 14,98 10,45 8,26 7,00 6,19 5,62 5,21 4,88 4,65 4,44 4,28 4,14 4,03 3,93

8

9

5981 99,36 27,49 14,80 10,27 8,10 6,84 6,03 5,47 5,06 4,74 4,50 4,30 4,14 4,00 3,89 3,79

6022 99,36 27,34 14,66 16,15 7,98 6,71 5,91 5,35 4,95 4,63 4,39 4,19 4,03 3,89 3,78 3,68

10 6056 99,40 27,23 14,54 10,05 7,87 6,62 5,82 5,26 4,85 4,54 4,30 4,10 3,94 3,80 3,69 3,59

11

12

6082 99,41 27,13 14,45 9,96 7,79 6,54 5,74 5,18 4,78 4,46 4,22 4,02 3,86 3,73 3,61 3,52

6106 99,42 27,05 14,37 9,89 7,72 6,47 5,67 5,11 4,71 4,40 4,16 3,96 3,80 3,67 3,55 3,45

11

12

Уровень значимости а = 0,05 ><^ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17

1

2

161 200 18,51 19,09 10,13 9,55 7,71 6,94 6,61 5,79 5,99 5,14 5,59 4,74 5,32 4.46 5,12 4,26 4,96 4,19 4,84 3,98 4,75 3,88 4,67 3,80 4,60 3,74 4,54 3,68 4,49 3,63 4,45 3,59

3 216 19,16 9,28 6,59 5,41 4,76 4,35 4,07 3,86 3,71 3,59 3,49 3,41 3,34 3,29 3,24 3,20

4

5

225 230 19,25 19,30 9,12 9,01 6,39 6,26 5,19 5,05 4,53 4,39 4,12 3,97 3,84 3,69 3,63 3,48 3,48 3,33 3,36 3,20 3,26 3,11 3,18 3,02 3,11 2,96 3,06 2,90 3,01 2,85 2,96 2,81

6

7

234 237 19,33 19,36 8,94 8,88 6,16 6,09 4,95 4,88 4,28 4,21 3,87 3,79 3,58 3,50 3,37 3,29 3,22 3,14 3,09 3,01 3,00 2,92 2,92 2,84 2,85 2,77 2,79 2,70 2,74 2,66 2,70 2,62

8

9

10

239 19,37 8,84 6,04 4,82 4,15 3,73 3,44 3,23 3,07 2,95 2,85 2,77 2,70 2,64 2,59 2,55

241 19,38 8,81 6,00 4,78 4,10 3,68 3,39 3,18 3,02 2,90 2,80 2,72 2,65 2,59 2,54 2,50

242 19,39 8,78 5,96 4,74 4,06 3,63 3,34 3,13 2,97 2,86 2,76 2,67 2.60 2,55 2,49 2,45

243 19,40 8,76 5,93 4,70 4,03 3,60 3,31 3,10 2,94 2,82 2,72 2,63 2,56 2,51 2,45 2,41

244 19,41 8,74 5,91 4,68 4,00 3,57 3,28 3,07 2,91 2,79 2,69 2,60 2,53 2,48 2,42 2,38

471

Припоясение

Таблица 7 Критические точки распределения % Число степеней свободы к

Уровень значимости а 0,01

0,025

0,05

0,95

0,975

0,99

0,0039 0,103 0,352 0,711 1,15 1,64 2,17 2,73 3,33

0,00098 0,051 0,216 0,484 0,831 1,24 1,69 2,18 2,70

0,00016 0,020 0,115 0,297 0,554 0,872 1,24 1,65 2,09

3,25 3,82 4,40 5,01 5,63 6,26 6,91 7,56 8,23 8,91

2,56 3,05 3,57 4,11 4,66 5,23 5,81 6,41 7,01 7,63

1 2 3 4 5 6 7 8 9

6,6 9,2 11,3 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7

5,0 7,4 9,4 11,1 12,8 14,4 16,0 17,5 19,0

3,8 6,0 7,8 9,5 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

23,2 24,7 26,2 27,7 29,1 30,6 32,0 33,4 34,8 36,2

20,5 21,9 23,3 24,7 26,1 27,5 28,8 30,2 31,5 32,9

18,3 19,7 21,0 22,4 23,7 25,0 26,3 27,6 28,9 30,1

3,94 4,57 5,23 5,89 6,57 7,26 7,96 8,67 9,39 10,1

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

37,6 38,9 40,3 41,6 43,0 44,3 45,6 47,0 48,3 49,6

34,2 35,5 36,8 38,1 39,4 40,6 41,9 43,2 44,5 45,7

31,4 32,7 33,9 35,2 36,4 37,7 38,9 40,1 41,В 42,6

10,9 11,6 12,3 13,1 13,8 14,6 15,4 16,2 16,9 17,7

9,59 10,3 11,0 11,7 12,4 13,1 13,8 14,6 15,3 16,0

8,26 8,90 9,54 10,2 10,9 11,5 12,2 12,9 13,6 14,3

30

50,9

47,0

43,8

18,5

16,8

15,0

Критические точки распределения Стьюдента Число степеней свободы к

Уровень значимости а (двусторонняя критическая область) 0,01

0,025

0,05

0,95

0,975

0,99

1 2 3 4 5 6 7 8 9

6,31 2,92 2,35 2,13 2,01 1,94 1,89 1,86 1,83

12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26

31,82 6,97 4,54 3,75 3,37 3,14 3,00 2,90 2,82

63,7 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25

318,3 22,33 10,22 7,17 5,89 5,21 4,79 4,50 4,30

637,0 31,6 12,9 8,61 6,86 5,96 5,40 5,04 4,78

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,75 1,74 1,73 1,73

2,23 2,20 2,18 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09

2,76 2,72 2,68 2,65 2,62 2,60 2,58 2,57 2,55 2,54

3,17 3,11 3,05 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 2,86

4,14 4,03 3,93 3,85 3,79 3,73 3,69 3,65 3,61 3,58

4,59 4,44 4,32 4,22 4,14 4,07 4,01 3,96 3,92 3,88

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

1,73 1,72 1,72 1,71 1,71 1,71 1,71 1,71 1,70 1,70

2,09 2,08 2,07 2,07 2,06 2,06 2,06 2,05 2,05 2,05

2,53 2,52 2,51 2,50 2,49 2,49 2,48 2,47 2,46 2,46

2,85 2,83 2,82 2,81 2,80 2,79 2,78 2,77 2,76 2,76

3,55 3,53 3,51 3,49 3,47 3,45 3,44 3,42 3,40 3,40

3,85 3,82 3,79 3,77 3,74 3,72 3,71 3,69 3,66 3,66

30 40 60 120

1,70 1,68 1,67 1,66 1,64

2,04 2,02 2,00 1,98 1,96

2,46 2,42 2,39 2,36 2,33

2,75 2,70 2,66 2,62 2,58

3,39 3,31 3,23 3,17 3,09

3,65 3,55 3,46 3,37 3,29

0,05

0,025

0,01

0,005

оо

0,001

0,0005

Уров ень значим ости а (односторонняя критическая о бласть)

473

Припожение

Таблица 9 Критические точки распределения Кочрена к—число степеней свободы, /—количество выборок)

н 2 3 4

• 5

6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120

Уровень значимости а = 0,01 1 0,9999 9933 9676 0,9279 8828 8376 0,7945 7544 7175 0,6528 5747 4799 0,4247 3632 2940 0,2151 1225 0000

2

3

0,9950 9423 8643 0,7885 7218 6644 0,6152 5727 5358 0,4751 4069 3297 0,2871 2412 1915 0,1371 0759 0000

0,9794 8831 7814 0,6957 6258 5685 0,5209 4810 4469 0,3919 3317 2654 0.2295 1913 1508 0,1069 0585 0000

4 0,9586 8335 7212 0,6329 5635 5080 0,4627 4251 3934 0.3428 2882 2288 0,1970 1635 1281 0,0902 0489 0000

5

6

7

0.9172 7606 6410 0,5531 4866 4347 0,3932 3592 3308 0.2861 2386 1877 0,1608 1327 1033 0,0722 0387 0000

0,8988 7335 6129 0,5259 4608 4105 0.3704 3378 3106 0,2680 2228 1748 0.1495 1232

36

144

СХ5

0,6062 4230 3251 0,2644 2229 1929 0,1700 1521 1376 0,1157 0934 0709 0,0595 0480 0363 0,0245 0125 0000

0,9373 7933 6761 0,5875 5195 4659 0,4226 3870 3572 0.3099 2593 2048 0,1759 1454 1135 0,0796 0429 0000

0957 1 0,0668 0357 0000

Уровень значимости а = 0,01

Н 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 оо

8 0,8823 7107 5897 0,5037 4401 3911 0,3522 3207 2945 0,2535 2104 1646 0,1406 1157 0898 0,0625 0334 0000

9 0,8674 6912 5702 0,4854 4229 3751 0,3373 3067 2813 0,2419 2002 1567 0,1338 1100 0853 0,0594 0316 0000

10

16

0,8539

0,7949

0,7067

6743 5536 0,4697 4084 3616 0,3248 2950 2704 0,2320 1918 1501 0,1283 1054 0816 0,0567 0302 0000

6059 4884 0.4094 3529 3105 0,2779 2514 2297 0,1961 1612 1248 0,1060 0867 0668 0,0461 0242 0000

5153 4057 0,3351 2858 2494 0,2214 1992 1811 0,1535 1251 0960 0,0810 0658 0503 0,0344 0178 0000

0.5000 3333 2500 0,2000 1667 1429 0,1250 1111 1000 0,0833 0667 0500 0,0417 0333 0250 0,0167 0083 0000

474

Припожение

Таблица 9

(продолжение)

Уровень значимости а = 0,05

рч 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 оо

1 0,9985 9669 9065 0,8412 7808 7271 0,6798 6385 6020 0,5410 4709 3894 0,3434 2929 2370 0,1737 0998 0000

2

3

0,9750 8709 7679 0,6338 6161 5612 0,5157 4775 4450 0,3924 3346 2705 0,2354 1980 1576 0,1131 0632 0000

0,9392 7977 6841 0,5981 5321 4800 0,4377 4027 3733 0,3624 2758 2205 0,1907 1593 1259 0,0895 0495 0000

4 0,9057 7457 6287 0,5440 4803 4307 0,3910 3584 3311 0,2880 2419 1921 0,1656 1377 1082 0,0765 0419 0000

5 0,8772 7071 5895 0,5063 4447 3974 0,3595 3286 3029 0,2624 2195 1735 0,1493 1237 0968 0,0682 0371 0000

6 0,8534 6771 5598 0,4783 4184 3726 0,3362 3067 2823 0,2439 2034 1602 0,1374 1137 0887 0,0623 0337 0000

7 0,8332 6530 5365 0,4564 3980 3535 0,3185 2901 2666 0,2299 1911 1501 0,1286 1061 0827 ! 0,0583 1 0312 0000

Уровень значимости а = 0,05 ^ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 оо

8

9

0,8159 6333 5175 0,4387 3817 3384 0,3043 2768 2541 0,2187 1815 1422 0,1216 1002 0780 0,0552 0292 0000

0,8010 6167 5017 0,4241 3682 3259 0,2926 2659 2439 0,2098 1736 1357 0,1160 0958 0745 0,0520 0279 0000

10 0,7880 6025 4884 0,4118 3568 3154 0,2829 2568 2353 0,2020 1671 1303 0,1113 0921 0713 0,0497 0266 0000

16 0,7341 5466 4366 0,3645 3135 2756 0,2462 2226 2032 0,1737 1429 1108 0,0942 0771 0595 0,0411 0218 0000

36 0,6602 4748 3720 0,3066 2612 2278 0,2022 1820 1655 0,1403 1144 0879 0,0743 0604 0462 0,0316 0165 0000

144 0,5813 4031 3093 0,2013 2119 1833 0,1616 1446 1308 0,1100 0889 0675 0,0567 0457 0347 0,0234 0120 0000

оо

0,5000 3333 2500

0,2000 1 1667 1429 0,1250 1111 1000 0,0833 0667 0500 0,0417 0333 0250 0,0167 0083 0000

Припо^квние

475

Таблица 10 Равномерно распределенные случайные числа 10 37 08 99 12

09 54 42 01 80

73 20 26 90 79

25 48 89 25 99

33 05 53 29 70

76 64 19 09 80

52 89 64 37 15

01 47 50 67 73

35 42 93 07 61

86 96 03 15 47

34 24 23 38 64

67 80 20 31 03

35 52 90 13 23

48 40 25 И 66

76 37 60 65 53

80 20 15 88 98

95 63 95 67 95

90 61 33 67 И

91 04 47 43 68

17 02 64 97 77

66 31 85 63 73

06 06 26 57 79

57 01 97 33 64

47 08 76 21 57

17 05 02 35 53

34 45 02 05 03

07 57 05 32 52

27 18 16 54 96

68 24 56 70 47

50 06 92 48 78

36 35 68 90 35

69 30 66 55 80

73 34 57 35 83

61 26 48 75 42

70 14 18 48 82

65 86 73 28 60

81 79 05 46 93

33 90 38 82 52

98 74 52 87 03

85 39 47 09 44

98 11 83 88 99

52 80 45 68 59

01 50 29 54 46

77 54 96 02 73

67 31 34 00 48

14 39 06 86 87

90 80 28 50 51

56 82 89 75 76

86 77 80 84 49

07 32 83 01 69

22 50 13 36 91

10 72 74 76 82

94 56 67 66 60

05 82 00 79 89

58 48 78 51 28

60 29 18 90 93

97 40 47 36 78

09 52 54 47 56

34 42 06 64 13

33 01 10 93 68

65 80 74 69 09

48 12 35 91 89

И 43 09 62 32

76 56 98 68 05

74 35 17 03 05

17 17 77 66 14

46 72 40 25 22

85 70 27 22 56

09 80 72 91 85

50 15 14 48 14

58 45 43 36 46

04 31 23 93 42

77 82 60 68 75

69 23 02 72 67

74 74 10 03 88

73 21 45 76 96

03 И 52 62 29

95 57 16 И 77

71 82 42 39 88

86 53 37 90 22

91 80 44 12 63

49 33 10 55 60

91 69 48 07 64

45 45 19 37 93

23 98 49 42 29

68 26 85 11 16

47 94 15 10 50

92 03 74 00 53

76 68 79 20 44

86 58 54 40 84

46 70 32 12 40

16 29 97 86 21

28 73 92 07 95

35 41 65 46 25

54 35 75 97 63

94 53 57 96 43

75 14 60 64 65

08 03 04 48 17

99 33 08 94 70

23 40 81 39 82

61 15 94 42 23

19 47 55 48 52

69 44 72 11 37

04 52 85 62 83

46 66 73 13 17

26 95 67 97 73

45 27 89 34 20

74 07 75 40 88

77 99 43 87 98

74 53 87 21 37

51 59 54 16 68

92 36 62 86 93

43 78 24 84 59

37 38 44 87 14

29 48 31 67 16

65 82 91 03 26

39 39 19 07 25

45 61 04 И 22

95 01 25 20 96

93 18 92 59 63

04 00 35 59 46

49 54 96 80 05

35 99 31 80 88

24 76 53 83 52

94 54 07 91 36

75 64 26 45 01

24 05 89 42 39

63 18 80 72 09

38 81 93 68 22

24 59 54 42 86

45 96 33 83 77

86 11 35 60 28

25 96 13 94 14

10 38 54 97 40

25 96 62 00 77

61 54 77 13 93

96 69 97 02 91

27 28 45 12 08

93 23 00 48 36

35 91 24 92 47

32 69 19 45 94

17 23 56 15 86

90 46 54 51 43

05 14 14 49 19

97 06 30 38 94

87 20 01 19 36

37 11 75 47 16

92 74 87 60 81

52 52 53 72 08

41 04 79 46 51

05 15 40 43 34

56 95 41 66 88

70 66 92 79 88

70 00 15 45 15

07 00 85 43 53

86 18 66 59 01

74 74 67 04 54

31 39 43 79 03

71 24 68 00 54

57 23 06 33 56

476

Припо^кение

Таблица 11 Таблица значений функции Ф"

г

Щ пл у

0,80

0,85

0,90

0,95

0,96

0,97

1,64

2,08

2,71

3,84

4,21

4,49

0,98

0,99

0,995

0,999

0,9995

0,9999

5,43

6,61

7,9

10,9

12,25

15,2

i

ISBN 5-7325-0769-8

9ll785732ll507690»

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

Черненко Владимир Дмитриевич ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ В трех томах Том 3 Заведующая редакцией Е. В. Шарова Переплет художника М. Л. Черненко Корректор У4. Я. Пятницкая Макет Т. Л. Пивоваровой Компьютерный набор и верстка М. М. Пивоварова, Т. Л. Пивоваровой ЛР№ 010292 от 18.08.98 Сдано в набор 22.05.03. Подписано в печать 13.08.03. Формат 60x90 7,^. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 30,0. Уч.-изд. л. 29,1. Тираж 3000 экз. Зак. К» 2850. ФГУП «Издательство "Политехника"». 191023, Санкт-Петербург, Инженерная ул., 6. Отпечатано с готовых диапозитивов в ГУП «Республиканская типография им. П. Ф. Анохина». 185()05, г. Петрозаводск, ул. «Правды», 4.