Программы и задания факультета естественных наук по специальности ''Химия'': 2-й курс, IV семестр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет естественных наук

ПРОГРАММЫ И ЗАДАНИЯ ФЕН по специальности «Химия» 2-й курс, IV семестр

Новосибирск 2005

Данный сборник содержит сведения о рабочем учебном плане 2-го курса IV семестра химического отделения ФЕН. Приведены перечни зачетов и экзаменов, а также программы основных курсов, которые будут изучаться в IV семестре.

Составители: Г. С. Лбов, В. Н. Бунева, С. В. Анищик

Печатается по решению деканата ФЕН от 25.04.04.

© Новосибирский государственный университет, 2005

2

РАБОЧИЙ ПЛАН № п/п 1 2 3 4 5 6 7

Количество часов в неделю

Дисциплина

Лекции 2

Социальная философия Английский язык Теория вероятностей и математическая статистика Ферментативный катализ и химия метаболизма Органическая химия Физика Физвоспитание

Лабораторные работы

3

Семинары 2 4 3

2

2

3 4

ЗАЧЕТЫ 1. Английский язык (диф.). 2. Физика. 3. Органическая химия. 4. Физвоспитание (диф.). 1. 2. 3. 4. 5.

ЭКЗАМЕНЫ Социальная философия. Теория вероятностей и математическая статистика. Ферментативный катализ и химия метаболизма. Органическая химия. Физика.

3

7 4

2 2 4

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Г. С. Лбов 1. Теория вероятностей 1. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. 2. Аксиомы теории вероятностей, вероятностное пространство, свойство вероятности. 3. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. 4. Континуальные вероятностные пространства. 5. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса. 6. Последовательные испытания. Схема Бернулли. Теорема Пуассона. 7. Случайные величины. Дискретные и абсолютно непрерывные функции распределения. Плотность распределения. 8. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин. 9. Числовые характеристики для равномерного и нормального распределения. 10. Функции случайных величин. Дискретный и непрерывный случай. Математической ожидание от функции случайных величин. 11. Многомерное распределения. Условные распределения. Условное математическое ожидание. 12. Математическое ожидание и дисперсия для суммы и произведения случайных величин. Примеры. 13. Теорема Муавра-Лапласа. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел. 14. Цепи Маркова. 15. Ковариация случайных величин. Многомерное нормальное распределение. 16. Корреляционная теория случайных функций. 2. Математическая статистика 17. Предмет и задачи математической статистики. Понятие выборки. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма и полигон частот. Выборочные моменты и их свойства. 18. Задача оценивания неизвестных параметров. Основные свойства оценок. Метод максимального правдоподобия и примеры его использо-

4

вания. 19. Определение доверительных интервалов для математического ожидания при известной и неизвестной дисперсии; для дисперсии; для вероятности события.

2

20. Статистическая проверка гипотез. Критерий χ - квадрат. Примеры. 21. Теория статистических решений. Задача классификации многомерных наблюдений. Основные понятия: решающая функция, вероятность ошибки, оптимальная функция. 22. Оптимальная и выборочная решающая функция для независимых бинарных переменных. 23. Оптимальная и выборочная решающая функция для нормальных законов распределения при равных матрицах ковариации. 24. Регрессионный анализ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов. Библиографический список 1. Боровков А.А. Курс теории вероятностей. –М.: Наука.-1972.-287с. 2. Боровков А.А. Математическая статистика. . –М.: Наука.-1984.472с. 3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. . –М.: Мир.-1967.-498с. 4. Крамер Г. Математические методы статистики. -М.: Мир. - 1975.648с. 5. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. . –М.: Наука.-1982.-256с. 6. Андерсен Т. Введение в многомерный статистический анализ. М., ФМ.-1963.-290с. 7. Лбов Г.С., Теория и методы построения решающих функций распознавания образов. Уч. Пособие НГУ, 2000, 62с. 8. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций, под редакцией А.А. Свешникова. –М.: Наука.-1972. –656с Программа семинарских занятий по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» 1. Теория вероятностей 1. Понятие вероятностного пространства. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. ([1] – задачи к главе 1, [2] - 1).

5

2. Классическое определение вероятности (модель Лапласа). Симметричность, равновозможность ([1] – задачи к главе 2, [2] - 2). 3-4. Геометрические вероятности. ([1] – задачи к главе 2, [2] - 3). 4-5. Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения событий. Сложение вероятностей. ([1] – задачи к главе 3, [2] – 4,5). 6. Формула полной вероятности. Вычисление вероятностей гипотез после испытаний (формула Байеса). ([1] – задачи к главе 3, [2] – 6,7). 7-8. Последовательные испытания. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. ([1] – задачи к главе 4, [2] - 8). 9. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная теорема Муавра-Лапласа. ([1] – задачи к главе 4). 10. Контрольная работа. 11. Случайные величины. Функция распределения. Плотность распределения. Законы распределения. ([1] – задачи к главе 5, [2] – 10, 11). 12. Совместное распределение нескольких случайных величин. Независимость случайных величин. Функция от случайных величин. ([1] – задачи к главе 5, [2] – 22, 24). 14-15. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия. Ковариация. Коэффициент корреляции. ([1] – задачи к главе 6, [2] – 12, 13, 21). 16. Контрольная работа. 2. Математическая статистика 17. Задачи математической статистики. Понятие выборки. Эмпирическая функция распределения. ([1] – задачи к главе 9). 18. Выборочные моменты. Математическое ожидание и дисперсия выборочных моментов. Смещённые и несмещённые оценки. ([1] – задачи к главе 9, [2] – 41 ). 19. Точечные оценки. Состоятельные и эффективные оценки. Метод максимального правдоподобия для нахождения оценок параметров ([1] – задачи к главе 9, [2] – 42 ). 20. Интервальные оценки. Доверительные вероятности. Доверительные интервалы. Оценка мат.ожидания при известной и неизвестной дисперсии. Распределение Стьюдента. ([1] – задачи к главе 9, [2] – 42 ). 21. Оценка дисперсии при известном и неизвестном математическом

2

ожидании. Распределение χ . Оценка вероятности попадания в доверительный интервал. ([1] – задачи к главе 9, [2] – 42 ). 22. Регрессионный анализ. Линейная регрессия. ([1] – задачи к главе 9).

6

Библиографический список 1. 2.

Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – М. Наука. –1982.- 256с. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций, под редакцией А.А. Свешникова. – М.: Наука.-1972. –656с. ФЕРМЕНТАТИВНЫЙ КАТАЛИЗ И ХИМИЯ МЕТАБОЛИЗМА В. Н. Бунева. Введение

Метаболизм, его основа – катаболизм и анаболизм. Ферментативный катализ. Основные сложные органические биомолекулы – биополимеры, клетки: ДНК, РНК, белки, углеводы (полисахариды) и липиды. Мономеры биополимеров. Главные биологические функции биополимеров. Биополимеры Химическое строение белков, углеводов, нуклеиновых кислот и липидов. Белки. Биологические функции: структурообразующие, запасные, транспортные, двигательные, защитные, регуляторные и двигательные. Мономеры белков – аминокислоты: биологические функции, общая структура, изомерия. Проекции Фишера. Цвиттерионы. Классификация 20 протеиногенных аминокислот (трех- и однобуквенные обозначения): алифатические, серосодержащие, ароматические, иминокислоты, нейтральные, кислые и основные. Посттрансляционная модификация аминокислот: гидроксипролин, γ-карбоксиглутамат, О-фосфосерин, их биологическая роль. Первичная структура пептидов и белков: пептидная связь, направление последовательности акислот, S-S-мостики. Понятие о пространственной структуре белков и нековалентных взаимодействиях, обеспечивающих ее: вторичная (α-спираль, β-складки), третичная и четвертичная структуры. Углеводы. Биологические функции моно- и полисахаридов. Структура моносахаридов. Альдозы и кетозы. Простейшие триозы: глицеральдегид и дигидрокси ацетон, D- и L- изомеры. Важнейшие моносахариды: глюкоза, фруктоза и рибоза. Образование циклических полу-

7

ацеталей. Фуранозы и пиранозы. α-и β-аномеры. Проекционные формулы Хеуорса и Фишера. Эпимеры глюкозы: галактоза и манноза. Важнейшие производные моносахаридов: O- и N-гликозиды, фосфомоноэфиры и их биологическое значение. Структура полисахаридов. Гомо- и гетерогликаны. Линейные и разветвленные. Важные полисахариды (мономеры, тип связи(ей), биологическое значение): гликоген, муреин, декстран, агароза, целлюлоза, крахмал (амилоза и амилопектин), инулин и хитин. Гиалуроновая кислота – глюкозамингликан, мономеры и биологические функции. O- и N-гликопротеины. Нуклеиновые кислоты. Биологические функции нуклеиновых кислот и нуклеотидов. Азотистые основания ДНК и РНК. Модифицированные минорные компоненты гетероциклов. Рибоза и дезоксирибоза. Нуклеозиды. Нуклеотиды. Электрохимические и спектральные характеристики компонентов нуклеиновых кислот. Межнуклеотидная связь. Олиго- и полинуклеотиды. Понятие о пространственной структуре ДНК (двойная спираль, А-, В- и Z-формы) и РНК («шпильки», «кленовый лист»). Липиды. Биологические функции липидов. Классификация липидов: нейтральные жиры, фосфо- и сфинголипиды. Жирные кислоты и их биологические функции. Структура и номенклатура жирных кислот. Арахидоновая кислота как пример незаменимой жирной кислоты. Структура жиров. Фосфатидная кислота и структура фосфолипидов. Сфинго- и гликолипиды и их главные компоненты. Стероиды. Базовая структура стероидов – пергидроциклофенатрен (холестан). Классификация стероидов: стерины, желчные кислоты и стероидные гормоны. Холестерол как важный представитель стеринов. Желчные кислоты и стероидные гормоны, их биологические функции. Ферменты Строение и механизм действия Ферментативный катализ как основной путь протекания химических процессов в живой природе. Механизм действия ферментов: равновесие реакции и энергия активации, каталитическая сила (карбоангидраза), специфичность, трансформация различных видов энергии. Активный центр и адсорбционный центр фермента. Каталитический центр фермента. Образование комплекса фермент•субстрат – первая стадия ферментативного катализа, основные нековалентные взаимодействия, участвующие в образовании ES-комплекса. Две модели взаимодействия субстрата с ферментом (Э.

8

Фишера и Д. Кошланда). Активный центр и механизм действия панкреатической рибонуклеазы. Ферменты как кислотно-основные катализаторы. Механизм действия сериновых протеаз как пример нуклеофильного катализа. Химическое взаимодействие субстратов с ферментами как промежуточная стадия ряда ферментативных реакций. Активный центр и механизм действия карбоксипептидазы. Участие кофакторов - ионов металлов в формировании активных центров некоторых ферментов. Электрофильный катализ в ферментативных реакциях. Участие специальных органических молекул (простетических групп) в формировании каталитических центров ферментов. Апоферменты и холоферменты. Коферменты - универсальные переносчики в ферментативных реакциях. Флавиновые нуклеотиды - флавинмононуклеотид и флавинадениндинуклеотид (FMN и FAD) как простетические группы ряда ферментов, катализирующих окислительно-восстановительные реакции (глюкозооксидаза). Организующая и определяющая роли апофермента по отношению к простетической группе. Зависимость функции простетических групп от природы апофермента на примере гема (гемоглобин, цитохром С и каталаза) и пиридоксальфосфата (катализ реакций переаминирования и декарбоксилирования аминокислот). Кинетика ферментативных реакций. Уравнение Михаэлиса– Ментен (вывод с учетом ограничений). Параметры, характеризующие эффективность фермента: константа Михаэлиса и максимальная скорость ферментативной реакции. КМ как мера сродства субстрата к ферменту. Физический смысл величины Vmax. Графические методы определения величин КМ и Vmax (Лайнуивера–Берка, Иди–Хофсти и Эйзенталя– Корниш-Боудена). Эффекторы: активаторы и ингибиторы. Необратимое ингибирование. Конкурентное и неконкурентнее ингибирование. Аллостерические ингибиторы. Субъединичные ферменты. S-образные зависимости скорости ферментативной реакции от концентрации субстратов и эффекторов в субъединичных системах. Классы ферментативных реакций Классификация и систематическая номенклатура ферментов. Классы, подклассы и подподклассы. Коферменты. Первый класс - оксидоредуктазы. Рациональная номенклатура. Подклассы. Дегидрогеназы. Никотинамидадениндинуклеотид (NAD+) и его фосфат (NADP+) – главные переносчики электронов. Оксидоредуктазы – флавопротеиды, глюкозооксидаза. Окислительное декарбоксилирование α-кетокислот с участием тиаминпирофосфата и липоамида. Цитохром С

9

оксидаза как представитель гемопротеида. Каталаза. Окислительновосстановительные реакции с участием кислорода. Оксидазы. Ферменты, катализирующие включение одного или двух атомов кислорода в окисляемые субстраты. Монооксигеназы. Цитохром Р-450 и его роль в выведении из организма гидрофобных соединений, в том числе лекарств и других ксенобиотиков. Второй класс - трансферазы. Рациональная номенклатура. Подклассы. Тетрагидрофолат как переносчик одноуглеродных фрагментов. Перенос метильных групп. S-аденозилметионин (его биосинтез из гомоцистеина) как универсальный переносчик метильных групп. Транскетолазы и трансальдолазы. Перенос ацильных остатков. Кофермент А (CoA). Перенос гликозидных остатков и его роль в синтезе олиго- и полисахаридов. Нуклеозиддифосфат сахара как универсальные переносчики гликозидных остатков. Перенос азотсодержащих групп, аминотрансферазы. Перенос остатков фосфорной кислоты, ее ангидридов и эфиров. Киназы. Аденозинтрифосфат как универсальный донор фосфата. Перенос нуклеотидных остатков. Полинуклеотидтрансферазы. ДНК- и РНКполимеразы. Третий класс - гидролазы. Рациональная номенклатура. Подклассы. Панкреатическая РНКаза как гидролаза сложноэфирных связей. Липазы и фосфатидазы как гидролазы эфиров карбоновых кислот (жиров и фосфолипидов). Гидролиз углеводов. Амилазы. Аденозилгомоцистеиназа – гидролаза тиоэфира. Пептидазы. Сериновые протеазы. Карбоксипептидаза. Специальные функции гидролаз. Ацетилхолинэстераза. Четвертый класс - лиазы. Рациональная номенклатура. Подклассы. Углерод-углерод лиазы. Декарбоксилирование. Альдегидлиазы. Альдолазы. Лиазы кетокислот. Цитратсинтаза. Карбоангидраза – гидролиаза. Аденилатциклаза. Пятый класс - изомеразы. Классификация и номенклатура. Рацемазы и эпимеразы. Рибулозо-5-фосфат-3-эпимераза. UDP-глюкоза-4эпимераза. Внутримолекулярные оксидоредуктазы. Глюкозо-6-фосфатизомераза. Внутримолекулярные трансферазы – мутазы. Изомеризация углеродного скелета. Фосфоглицерат мутаза. S-метилмалонил-СоА мутаза. Кобаламидные коферменты. Шестой класс - лигазы (синтетазы). Рациональная номенклатура. Синтез, сопряженный с гидролизом пирофосфатных связей в ATP или GTP. Подклассы. Аминоацил-тРНК синтетазы. Механизм действия. Промежуточное образование аминоациладенилатов. CoA-лигазы жирных кислот. Карбоксилирование с помощью лигаз. Участие биотина в зависимом от ATP карбоксилировании пирувата. ДНК- и РНК-лигазы,

10

трехстадийный механизм катализа. Типы реакций в живой клетке. Реакции присоединения. Окислительно-восстановительные реакции. Взаимодействие кислот и оснований. Реакции замещения. Нуклеофильный и электрофильный характер замещения. Реакции перегруппировки (изомеризации). Биоэнергетические процессы. Генерирование и хранение метаболической энергии Катаболические и анаболические процессы. Значение катаболических процессов для биоэнергетики клетки. Ферментативный распад белков, жиров и углеводов с образованием АТР – главного донора свободной энергии в клетке. Макроэргические связи в АТР. Факторы, определяющие макроэргичность фосфоангидридных связей АТР и ррi. Енолфосфаты, ацилфосфаты, ацилтиоэфиры. Никотинамидадениндинуклеотид (NAD+) и его фосфат (NADP+) главные переносчики электронов, NADH и NADPH - промежуточные аккумуляторы энергии. Окисление углеводов Гликолиз и его основные этапы. Образование глюкозо-6-фосфата из глюкозы и гликогена. Изомеризация глюкозо-6-фосфат во фруктозо-6фосфат. Получение фруктозо-1,6-дифосфата. Расщепление фруктозо-1,6дифосфата до глицеральдегид-3-фосфата и дигидроксиацетонфосфата. Взаимопревращение триозофосфатов. Окисление глицеральдегид-3фосфата до 3-фосфоглицерат, сопряженное с фосфорилированием карбоксильной группы. Механизм сопряжения. Образование макроэргической связи. Перенос фосфорильного остатка на ADP. Изомеризация 3фосфоглицерата в 2- фосфоглицерат. Участие 1,3-дифосфоглицерата в реакции изомеризации. Дегидратация 2- фосфоглицерата и образование макроэргического соединения - фосфоенолпирувата. Пируваткиназа и образование ATP из ADP. Пируват, как конечный продукт гликолиза. Превращение пирувата в анаэробных условиях. Молочно-кислое и спиртовое брожение. Биоэнергетический баланс анаэробного гликолиза. Превращение пирувата в аэробных условиях. Пируватдегидрогеназный комплекс. Окислительное тиаминпирофосфат зависимое декарбоксилирование пирувата, сопровождающееся переносом остатка ацетальдегида на липоат. Образование ацетилкофермента А. Регенерация окисленного липоата. Энергетический баланс пре-

11

вращения глюкозы в ацетил-CoA. Цикл трикарбоновых кислот ЦТК (цикл лимонной кислоты, цикл Кребса) как пример биохимического цикла и основной источник образования NADH из NAD+. Основные реакции ЦТК. Синтез цитрата из оксалоацетата и ацетил-СоА. Изомеризация цитрата в изоцитрат. Аконитаза. Окислительное декарбоксилирование изоцитрата. α-Оксоглутарат. Зависимое от тиаминпирофосфата декарбоксилирование α-оксоглутарата. Перенос сукцинильного остатка на липоат. Образование сукцинил-СоА. Превращение сукцинилСоА в сукцинат, сопряженное с фосфорилированием GDP. Окисление янтарной кислоты до фумаровой. Гидратация фумарата и образование малата. Окисление малата до оксалоацетата. Биоэнергетический баланс цикла трикарбоновых кислот. Цепь переноса элетронов (окислительное фосфорилирование, дыхательная цепь) Локализация процесса. 4 трансмембранных комплекса и перенос электронов от NADH или FADH2 к О2 с образованием АТР. Окисление NADH NADH-Q-оксидоредуктазным комплексом (I). Железосерные комплексы и кофермент Q - убихинон. Окисление сукцината сукцинат-Q-редуктазным комплексом (II). Окисление восстановленного убихинона QН2-цитохром-с-редуктазным комплексом (III). Окисление восстановленного цитохрома с цитохром-с-оксидазным комплексом (IV). Цитохромы а и а3. Сопряжение окисления и фосфорилирования ADP до АТР протонным градиентом. Возникновение трансмембранного градиента рН при переносе электронов и хемиоосмотическая гипотеза окислительного фосфорилирования. Генерация протонного градиента в трех трансмембранных комплексах (I, III, IV). АТР-синтезирующий комплекс митохондрий. Окисление цитоплазматического NADH дыхательной цепью. Глицеролфосфатный и малат-аспартатный челночные механизмы. Полный биоэнергетический баланс окисления глюкозы. Окисление жирных кислот Номенклатура жирных кислот. Гидролиз триацилглицеролов. Активация жирных кислот путем зависимого от гидролиза АТР присоединения к СоА. Карнитин - переносчик активированных жирных кислот с длинной цепью через внутреннюю митохондриальную мембрану. Дегидрирование СН2-СН2-группы ацил-СоА. Гидратация двойной связи и образование β-гидроксиацил-СоА. Окисление оксигруппы до оксогруппы. Перенос β-ацильного остатка на СоА. Биоэнергетический баланс окисления жирных кислот до ацетил-СоА. 12

Катаболизм аминокислот Окислительное дезаминирование аминокислот оксидазами. Реакции переаминирования между аминокислотами и α-кетоглутаратом. Глутамат- и аланин-аминотрансферазы. Дегидрогеназа глутаминовой кислоты. Цикл мочевины как путь вывода аммиака из организма млекопитающих. Превращение аммиака в мочевину. Синтез карбамоилфосфата. Присоединение карбамоильного остатка к орнитину и образование цитруллина. Взаимодействие цитруллина с аспартатом с образованием аргининосукцината. Отщепление фумарата и образование аргинина. Замыкание цикла при гидролитическом отщеплении мочевины от аргинина. Синтез фумарата - связующее звено цикла мочевины и ЦТК. Превращения углеродных скелетов дезаминированных аминокислот. Образование пирувата и компонентов цикла трикарбоновых кислот, кетогенные и глюкогенные аминокислоты. Образование пирувата в процессах трансаминирования аланина и дезаминирования серина. Превращение аспарагиновой кислоты в фумарат и оксалоацетат. Катаболизм валина как пример деградации разветвленной углеродной цепи. Переаминирование и образование α-оксоизовалерата. Окислительное декарбоксилирование α-оксоизовалерата и образование изобутирил-СоА. Дегидрирование до метакрил-СоА. Гидратация с образованием βоксиизобутират-СоА. Окисление до семиальдегида метилмалоновой кислоты. Повторное окисление до метилмалонил-СоА. Изомеризация с образованием сукцинил-СоА. Участие В12 - кофермента в реакции изомеризации. Альтернативный путь окисления глюкозо-6-фосфата (гексозомонофосфатный шунт, пентозофосфатный путь). Окисление глюкозо-6-фосфата через глюконо-δ-лактон-6-фосфат до 6-фосфоглюконата. Окислительное декарбоксилирование 6-фосфоглюконата до рибулозо-5фосфата. Изомеризация рибулозо-5-фосфата в ксилулозо-5-фосфат и в рибозо-5-фосфат. Взаимопревращение пентоз и гексоз. Тиаминпирофосфат-зависимый перенос остатка гликолевого альдегида с ксилулозо-5фосфата на рибозо-5-фосфат. Образование седогептулозо-7-фосфата и глицеральдегид-3-фосфата. Перенос остатка дигидроксиацетона с седогептулозо-7-фосфата на глицеральдегид-3-фосфата и образование фруктозо-6-фосфата и эритрозо-4-фосфата. Перенос остатка гликолевого альдегида с ксилулозо-5-фосфата на эритрозо-4-фосфат с образованием фруктозо-6-фосфата и глицеральдегид-3-фосфата. Полный итог взаимопревращения альдоз и кетоз - образование пяти молекул гексоз из шести

13

молекул пентоз. Биоэнергетический баланс гексозо-монофосфатного шунта. Глюконеогенез Синтез глюкозы из неуглеводных предшественников: лактата, аминокислот и глицерола.. Общие реакции для глюконеогенеза и гликолиза. Образование фосфоенолпирувата через промежуточное образование оксалоацетата. Превращение фосфоенолпирувата в гексозофосфат путем обращенной цепи гликолиза. Изменение энергетики при обращении стадий, идущих с существенным падением энергии Гиббса. Фотосинтез Локализация фотосинтеза в хлоропластах. Световые и темновые реакции фотосинтеза. Световая стадия фотосинтеза как индуцированный светом перенос электронов от воды к NADP+. Хлорофиллы и концепция фотосинтетической единицы, реакционный центр. Две фотосистемы I и II. Фотосистема I. Восстановленный ферредоксин, и перенос электрона с него на NADP+ с образованием NADPH. Фотосистема II. Образование сильного окислителя. Окисление воды до молекулярного кислорода. Перенос электронов от системы II к системе I. Пластохинон, цитохромы b559, c552 (цитохром f) и пластоцианин - промежуточные переносчики электронов. Создание в процессе переноса электронов протонного градиента и запуск синтеза АТP. Циклическое фотосинтетическое фосфорилирование. Общий энергетический баланс световой стадии фотосинтеза. Темновая стадия фотосинтеза (Цикл Кальвина). Взаимодействие СО2 с 1,5-рибулозодифосфатом с образованием двух молекул 3фосфоглицерата. Рибулозодифосфат карбоксилаза. Фосфорилирование 3-фосфоглицерата с образованием 1,3-дифосфоглицерата и восстановление последнего с помощью NADPH до 3-фосфоглицеринового альдегида. Синтез гексозы из двух молекул триозофосфата. Цепь превращений альдозо- и кетозо-фосфатов при фотосинтезе с регенерацией в конце рибулозо-1,5-дифосфата.. Перенос двууглеродного остатка от фруктозо-6фосфата на 3-фосфоглицериновый альдегид с образованием эритрозо-4фосфата и ксилулозо-5-фосфата. Синтез седогептулозо-1.7-дифосфата из эритрозо-4-фосфата и дигидроксиацетонфосфата. Перенос двууглеродного остатка с седогептулозо-1.7-дифосфата на 3-фосфоглицериновый альдегид с образованием рибозо-5-фосфата и ксилулозо-5-фосфата. Изомеризация рибозо-5-фосфата и ксилулозо-5-фосфата в рибулозо-5фосфат. Фосфорилирование рибулозо-5-фосфат и регенерация рибулозо1,5-дифосфата. Биоэнергетический баланс синтеза одной молекулы гек-

14

созы из СО2. Регуляция цикла Кальвина. Биосинтез предшественников макромолекул Биосинтез олиго- и полисахаридов. Синтез сахарозы и лактозы. Роль UDP-глюкозы и UDP-галактозы и их взаимопревращение. Биосинтез амилозы и гликогена. Биосинтез жирных кислот. Биосинтез липидов. Ацетил-СоА исходное соединение при биосинтезе жирных кислот. Ацилпереносящий белок (ACP). Образование ацетил-ACP и малонил- ACP из ацетил-СоА и малонил-СоА. Перенос ацетильного остатка от ацетилACP на малонил- ACP с отщеплением СО2. Восстановление 3кетогруппы до оксигруппы в 3-кетоацил- ACP с помощью NADPH. Дегидратация 3-оксиацил-ACP. Восстановление двойной связи с помощью NADPH. Регуляция синтеза жирных кислот. Биоэнергетический баланс синтеза жирных кислот. Отличия путей синтеза и расщепления жирных кислот. Взаимодействие глицерол-3-фосфата с ацил-СоА и образование фосфатидной кислоты – промежуточного продукта синтеза липидов. Гидролиз ее до диацилглицерола, образование жиров. Два пути синтеза фосфолипидов. Активированные промежуточные соединения фосфатидата и аминоспирта (или оксиаминокислоты) в этих процессах. Взаимопревращения лецитинов и кефалинов. Три этапа синтеза холестерола (холестерина, стероидов). Синтез мевалоновой кислоты – ключевого соединения синтеза изопреноидов.. Образование активного изопрена и его последовательная конденсация в сквален (С 30). Превращение сквалена в холестерин. Пергидроциклопентанофенантрен как основа стероидов. Биосинтез нуклеотидов. Синтез пуриновых нуклеотидов. Образование ФРПФ из рибозо-5-фосфата и АТР. Взаимодействие ФРПФ с глутамином и образование 5-фосфорибозил-1-амина. Присоединение остатка глицина и образование глицинамидрибонуклеотида. Формилирование N5,N10-метинил-TGF с образованием N-. Превращение в формилглицинамидинрибонуклеотид при взаимодействии с глутамином. Замыкание пятичленного цикла и образование 5аминоимидазолрибонуклеотида. Взаимодействие с СО2 с образованием 5-амино-, 4-карбоксиимидазолрибонуклеотида. Взаимодействие с аспарагиновой кислотой с образованием 5-аминоимидазол-4-сукцинокарбоксамидрибонуклеотида. Отщепление фумарата и образование 5формамидоимидазол-4-карбоксамидрибонуклеотида. Его циклизация с образованием 5'-IMP. Пути превращения 5'-IMP в 5'-AMP и 5'-GMP.

15

Синтез пиримидиновых нуклеотидов. Синтез карбамоиласпартата. Дигидрооротаза и образование дигидрооротата. Дигидрирование его до оротата. Взаимодействие оротата с 5-фосфорибозил-1пирофосфатом (ФРПФ) и образование оротидин-5'-фосфата. Декарбоксилирование оротидин-5'-фосфата и образование 5'- UMP. Превращение 5'-NMP в 5'-NDP и 5'-NTP. Синтез CTP из UTP. Восстановление рибонуклеотидов до дезоксирибонуклеотидов. Восстановительное метилирование dUMP с образованием TМP с помощью N5,N10-метилен- тетрагидрофолата (TGF) и дегидрирование кольца TGF в ходе этой реакции. Образование 7.8-дигидрофолата. Биосинтез аминокислот. Превращение N2 в NH4 микроорганизмами. Включение NH4 в аминокислоты через глутамат и глутамин. Заменимые и незаменимые аминокислоты. Шесть биосинтетических семейств. Введение аммиака в α-оксоглутарат. Переаминирование оксалоацетата с образованием аспарагиновой кислоты и пирувата с образованием аланина. Образование амидов аминодикарбоновых кислот. Аспарагин и глутамин синтетазы. Биосинтез изолейцина как пример синтеза аминокислот с разветвленной алифатической боковой цепью. Превращение треонина в (α- кетомасляная кислота). Тиаминпирофосфат зависимое присоединение группы ацетальдегида к α-оксобутирату и образование α-ацетил, α-гидроксибутирата. Восстановление его до α,βдигидрокси-β-метилвалерата. Дегидратация с образованием α-оксо-βметилвалерата и его переаминирование с образованием изолейцина. Биосинтез тирозина и фенилаланина. Превращение метионина в гомоцистеин через S-аденозилметионин. Образование цистатионина из серина и гомоцистеина, и его превращение в цистеин. Интеграция и принципы контроля метаболизма. Биохимические цепи и циклы как общий принцип организации систем биохимических превращений в живой природе. Общие принципы стратегии метаболизма и механизмов его регуляции. Гликолиз как пример биохимической цепи. Необратимая последовательность превращений веществ через биохимическую цепь. Необратимые стадии гликолиза. Участие вспомогательных компонентов и их регенерация. Точки разветвления цепи: глюкозо-6-фосфат, пируват и ацетил-СоА. Использование промежуточных продуктов гликолиза в биосинтезе углеродного скелета аминокислот, нуклеотидов, жиров, фосфолипидов и NADPH. Цикл трикарбоновых кислот как пример биохимического цикла, его регуляция.. Расходование компонентов цикла в реакциях синтеза аминокислот. Поддержание уровня компонентов цикла путем анаплеротических реакций (реакций, пополняющих запас компонентов, участвующих 16

в цикле). Зависимое от АТР и биотина карбоксилирование пирувата анаплеротический путь синтеза оксалоацетата. Цикл Кори, взаимопревращение глюкозы и лактата в процессах гликолиза и глюконеогенеза. Система взаимоуравновешиваемых компонентов. Уравновешивание гексозофосфатов и пентозофосфатов. Их значение при окислении глюкозы и в темновой стадии фотосинтеза. Пространственная организация систем биохимических процессов Пространственное разобщение - компартментация, биохимических процессов. Разобщение синтеза и катаболизма жирных кислот. Разобщение синтеза карбамоилфосфата в цикле мочевины и при синтезе пиримидиновых нуклеотидов. Мультиферментные комплексы как способ более совершенной организации систем биохимических реакций. Пируватдегидрогеназный и α-оксоглутаратдегидрогеназный комплексы. Полиферментный комплекс синтеза жирных кислот. Регуляция систем биохимических процессов Уровни контроля процессов метаболизма. Метаболическая регуляция. Стехиометрическая регуляция в точках разветвления. Регуляция взаимопревращения глицеральдегид-3-фосфата и дигидроксиацетонфосфата. Регуляция за счет накопления продукта реакции по принципу обратной связи. Ингибирование ацетил-СоА карбоксилазы образовавшимся при синтезе пальмитоил-СоА. Регуляция синтеза пуриновых и пиримидиновых нуклеотидов по принципу обратной связи. Регуляция энергетическим зарядом. Регуляция скорости окислительного фосфорилирования. Воздействие АТР на цепь переноса электронов (дыхательный контроль). Аллостерическая регуляция. Активация ключевой реакции гликолиза - фосфорилирования фруктозо-6-фосфата с помощью AMP и ADP. Ингибирование синтеза фруктозо-1,6-дифосфата избытком АТР. Ингибирующее действие АМР на конечную стадию глюконеогенеза гидролиз фосфоэфирной связи в фруктозо-1.6-дифосфате. Изменение соотношения между процессами гликолиза и глюконеогенеза в зависимости от концентрации АТР, АМР и цитрата - реципрокная регуляция. Активация ключевой стадии глюконеогенеза - превращение пирувата в оксалат и фосфоенол пируват ацетил-коферментом А. Регуляция активности ферментов путем их модификации. Регуляция синтеза и фосфоролиза гликогена модификацией гликоген фосфорилазы и гликоген синтазы каскадом реакций, в которых участвуют ад-

17

реналин, аденилатциклаза, сАМР, протеинкиназа и киназа фосфорилазы. Аденилаты (АМР, ADP, АТР) как универсальные регуляторы ряда биохимических процессов. Понятие о нервной и гормональной системах регуляции. Библиографический список Кнорре Д.Г., Мызина С.Д. Биологическая химия. М.: Высшая школа, 1998, 2000. Страйер Л. Биохимия. 3 т. М.: Мир, 1984. Албертс Б. Молекулярная биология клетки. 3 т. М.: Мир, 1994. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА С. В. Анищик 1.

Соотношение неопределенности. Волновая функция. Операторы, собственные функции, собственные значения.

1.1. Противоречие опытных данных по микроскопическим объектам представлениям классической механики. Стабильность атома. Фотоэффект. Дифракция частиц на атомных решетках. Волны де Бройля. Принцип неопределенности. Соотношение неопределенности. 1.2. Вероятность события. Плотность вероятности. Сумма вероятностей и их произведение. Нормировка. Средние значения. Вектор состояния. Плотность вероятности в квантовой механике. Фазовый множитель. Волновая функция. Скалярное произведение. Нормировка волновой функции. Квантово-механические операторы. Представление физической переменной в квантовой механике. Операторы координаты, потенциальной энергии, импульса. 1.3. Действия с квантовомеханическими операторами. Сложение операторов. Произведение операторов. Коммутативность. Принцип соответствия. Оператор полной энергии (гамильтониан). Строгий вывод соотношения неопределенности. Некоторые свойства квантовомеханических операторов. Линейность. Сопряженный, самосопряженный (эрмитов) оператор. Собственные значения оператора, их связь со значением физической величины. Состояние с определенным импульсом. 1.4. Ортогональность волновых функций, соответствующих разным собственным значениям физического оператора. Принцип суперпозиции. Волновая функция системы невзаимодействующих частиц. Волновая функция системы с независимыми степенями свободы. 18

2.

Физический смысл собственных значений операторов. Решение стационарного уравнения Шрёдингера 2.1. Уравнение Шрёдингера. Плотность потока вероятности. Плотность потока вероятности для волны де Бройля. Стационарные состояния. Стационарное уравнение Шрёдингера. Разложение общего решения уравнения Шрёдингера по стационарным волновым функциям. 2.2. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Стационарные волновые функции, их ортогональность. Уровни энергии. Частица в трехмерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Стационарные волновые функции. Уровни энергии. Вырождение. 2.3. Отражение и прохождение через потенциальные барьеры: ступеньку, прямоугольный барьер. Формула Гамова. Общие свойства волновой функции. Непрерывный и сплошной спектр. Роль граничных условий. 2.4. Гармонический осциллятор. Стационарные волновые функции, их ортогональность, уровни энергии. 3. Теория возмущений 3.1. Теория возмущений, не зависящих от времени. Поправки первого и второго порядка к уровням энергии и первого порядка к волновой функции в случае невырожденных исходных уровней. Условие применимости теории возмущений. 3.2. Ортогонализация вырожденных волновых функций. Стационарная теория возмущения в случае вырождения. "Правильные" волновые функции. Секулярное уравнение. Частичное и полное снятие вырождения. 3.3. Возмущения, зависящие от времени. Волновая функция возмущенного состояния. Переходы под влиянием конечного во времени возмущения. Вероятность перехода. Связь вероятности перехода с разложением Фурье оператора возмущения. 3.4. Переходы под влиянием периодического возмущения. Вероятность перехода. δ-функция Дирака. "Золотое" правило Ферми. 4. Теория представлений 4.1. Полный набор одновременно измеримых величин. Роль коммутации операторов в квантовой механике. 4.2. Матричный аппарат квантовой механики. Кет- и бра-векторы.

19

Скалярное произведение векторов. Разложение вектора по базису. Оператор разложения вектора по базису (единичный оператор). Матричное представление оператора. Матрица оператора в собственном базисе. Матрица эрмитова оператора. 4.3. Обобщение матричного аппарата на непрерывный базис. Кет- и бра-векторы в непрерывном базисе, разложение вектора по непрерывной системе ортов. Волновая функция. Единичный оператор. Матричное представление операторов для непрерывной системы ортов. Ортонормированность базиса. Нормировка волновой функции оператора импульса. 4.4. Оператор в базисе из собственных функций для непрерывной системы ортов. Перевод оператора из одного базиса в другой. Представления динамических квантовых величин и операторов. x-представление. Матрица оператора xˆ в собственном базисе. Оператор импульса в xпредставлении. 4.5. p-представление. Матрица оператора импульса в собственном представлении. Оператор xˆ в p-представлении. Волновая функция в pпредставлении, ее связь с волновой функцией в x-представлении. Eпредставление. Шрёдингеровское и Гайзенберговское представления. 5. Момент импульса. Атом водорода 5.1. Оператор момента импульса. Коммутационные соотношения операторов момента. Повышающий и понижающий операторы, правила коммутации для них. Вид операторов момента в сферической системе координат. Гамильтониан в сферической системе координат, его коммутация с операторами момента 5.2. Собственные функции и собственные значения оператора Lˆz . Собственные значения оператора Lˆ2 . Матричные элементы операторов момента. 5.3. Собственные функции оператора Lˆ2 . px -, p y - и pz -функции. 5.4. Полярная диаграмма шаровых функций. Полярная диаграмма pфункций. Движение в центрально-симметричном поле. Гамильтониан. Общий вид решения уравнения Шрёдингера. Уравнение Шрёдингера для радиальной части волновой функции в случае водородоподобного атома. 5.5. Решение уравнения Шредингера для водородоподобного атома. Уровни энергии. Степень вырождения. 5.6. Оператор инверсии координат. Четность состояния. Четность ре-

20

шений уравнения Шрёдингера для водородоподобного атома. 6.

Спин. Сложение моментов. Влияние квантового момента импульса и спина на строение атомов и молекул 6.1. Спин частиц. Опыты Штерна-Герлаха. Операторы спинового момента. Коммутационные соотношения. Собственные функции оператора Sˆz спина 1/2 в собственном базисе. 6.2. Матрицы Паули. Коммутационные соотношения между ними. Действие операторов σˆ x , σˆ y , σˆ z , σˆ + и σˆ − на собственные функции оператора Sˆz спина 1/2. Сложение моментов в слабовзаимодействующих системах. Оператор суммарного момента. Коммутационные соотношения для суммарного момента. Величина квадрата суммарного момента. Проекция суммарного момента на выделенную ось. 6.3. Сложение двух моментов. Правило поиска суммарного значения и значения проекции суммарного момента. 6.4. Векторная диаграмма сложения моментов. Волновые функции, описывающие состояния суммарного момента. Коэффициенты КлебшаГордана, принципы поиска коэффициентов. Сложение двух спинов 1/2. Триплетное и синглетное состояния. 6.5. Системы тождественных частиц. Принцип неразличимости тождественных частиц. Перестановка тождественных частиц. Фермионы и бозоны, их волновые функции. Многоэлектронные системы. Детерминант Слэтера. Спин-орбитали. Принцип Паули. Волновая функция двухэлектронной системы.

7. Матрица плотности

7.1. Описание квантовомеханических систем с помощью матрицы плотности. Ансамбль систем. Чистые и смешанные состояния. Вычисление средних значений физических переменных. Свойства матрицы плотности. Матрица плотности подсистемы. Пример: система из двух спинов 1/2. Уравнение Лиувилля для матрицы плотности. Библиографический список

1. П.В. Елютин, В.Д. Кривченков, Квантовая механика (с задачами). М.: Наука, 1976. 2. В.Г. Зелевинский, Лекции по квантовой механике. Новосибирск.: Сибирское университетское издательство. 2002. 21

3. А.С. Давыдов, Квантовая механика. М.: Наука, 1973. 4. Э. В. Шпольский, Атомная физика. М.: Наука, 1974, Т. 1, 2. 5. Л. Шифф, Квантовая механика, М.: Издательство иностранной литературы, 1959. 6. Д. И. Блохинцев, Основы квантовой механики. М.: Наука, 1976. 7. А.Н. Матвеев, Атомная физика. М.: Высшая школа, 1989. 8. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1974. 9. Р. Г. Левич, Ю.А. Вдовин, В.А. Мямлин, Курс теоретической физики. М.: Наука, 1971, Т. 2. 10. П. А. Дирак, Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979. 11. Р. Фейнман, Р. Лейтон, Р. Сэндс, Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1978, Вып. 8,9. 12. К. Блум, Теория матрицы плотности и её приложения. М.: Мир, 1983. 13. В. А. Толкачев, В.Л. Вязовкин, В.А. Багрянский, Б.В. Большаков, П.А. Пуртов, М.Ф. Ступак, Задачи по квантовой механике. Новосибирск: НГУ, 2003. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

С.В. Анищик, В.А. Багрянский, В.Л. Вязовкин, П.А. Пуртов, Д.В. Стась ЗАДАНИЯ

1. Соотношение неопределенности. Волновая функция. Операторы, собственные функции, собственные значения Вопросы к коллоквиуму 1. Волновая функция в квантовой механике, ее нормировка. Представление физических величин в квантовой механике. Операторы координаты, импульса, полной энергии (гамильтониан). 2. Строгий вывод соотношения неопределенности. 3. Собственная функция и собственное значение оператора. Их

22

физический смысл. Почему операторы физических величин эрмитовы? Задачи 1. Найти длину волны де Бройля и кинетическую энергию электронов, падающих нормально на диафрагму с двумя щелями, если на экране, отстоящем от диафрагмы на l = 75 см, расстояние между соседними интерференционными максимумами Δx = 7,5 мкм. Расстояние между щелями d = 25 мкм. 2. Исходя из соотношения неопределенности, оценить минимально возможную энергию следующих систем: а) частицы массой m, движущейся в потенциальном поле kx 2 U ( x) = ; 2 б) электронов в атоме гелия.

Волновая функция частицы в сферических координатах имеет вид: ⎧ sin kr , r ≤ π / k, ⎪C ψ (r ,θ , ϕ ) = ⎨ r ⎪⎩0, r > π / k. Найти нормировочную константу C. 4. Волновая функция ψ ( x) задана следующим образом: 3.

⎧2 cos x, − π / 2 ≤ x ≤ π / 2, ⎪ ψ ( x) = ⎨2sin x, π ≤ x ≤ 2π , ⎪0, при всех прочих значениях x. ⎩

Нормировать функцию, построить ее график. Эрмитовы операторы Aˆ и Bˆ не коммутируют друг с другом. Доказать, что оператор ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ — неэрмитов, а операторы ˆ ˆ + BA ˆ ˆ — эрмитовы. i ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ и AB 6. Найти вид оператора Aˆ 2 , если оператор Aˆ равен: d d 1 d ∂ ∂ + . a) 1 + , б) x + , в) x, г) ∂x ∂y dx dx x dx 5.

23

7. 8.

9.

d . dx Найти собственные функции и собственные значения операторов: d a) −i , если ψ ( x) = ψ ( x + a), где a - постоянная; dx d2 б) − 2 , если ψ ( x) = 0 при x < 0 и x > l. dx

Найти собственные функции оператора x +

Найти вид ⎡⎣Cˆ , Aˆ 2 ⎤⎦ , если ⎡⎣Cˆ , Aˆ ⎤⎦ = λ Aˆ .

Срок выполнения задания – 3 недели. 2. Физический смысл собственных значений оператора. Решение стационарного уравнения Шредингера Вопросы к коллоквиуму.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Ортогональность волновых функций, соответствующих разным собственным значениям физи–ческого оператора. Уравнение Шредингера. Стационарные состояния. Стационарное уравнение Шредингера. Разложение общего решения уравнения Шредингера по стационарным волновым функциям. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Стационарные волновые функции, их ортогональность. Уровни энергии. Частица в трехмерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Стационарные волновые функции. Уровни энергии. Вырождение. Отражение и прохождение через потенциальные барьеры: ступеньку, прямоугольный барьер. Гармонический осциллятор. Стационарные волновые функции. Ортогональность волновых функций гармонического осциллятора. Уровни энергии гармони-ческого осциллятора.

Задачи

24

1.

Найти среднюю кинетическую энергию частицы массой m в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками ( 0 ≤ x ≤ l ) , если она находится в состояниях, описываемыми волновыми ψ ( x) = A sin 2 (π x / l ) ; б) ψ ( x) = Ax(l − x) .

2.

3.

функциями:

а)

Вычислить (Δx) 2 и (Δp ) 2 , а также их произведение для частицы массой m в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (0 ≤ x ≤ l ) . Линейный осциллятор массой m с частотой ω в момент времени t = 0 находился в состоянии ψ ( x) = A (ξψ 1 + ψ 3 ) , где ψ 1 и

ψ 3 — стационарные состояния с n = 1 и 3, а ξ = mω / h . Най4.

5.

ти зависимость от времени средней энергии и средней координаты осциллятора. В одномерном потенциальном поле U ( x) , таком, что U ( x) = 0 при x = ∞ , находится частица массой m в стационарном состоянии, описываемом волновой функцией ψ ( x) = Ax e − ax при x ≥ 0 и ψ = 0 при x < 0 . Найти вид функции U ( x) , энергию частицы и константу A . В двумерной потенциальной яме U ( x, y ) = U ( x) + U ( y ) , где mω 2 x 2 , U ( y ) = 0 при 0 ≤ y ≤ a , U ( y ) = ∞ при y < 0 и 2 y > a , a = π h / mω , находится частица массой m в состоянии, описываемом волновой функцией ψ ( x, y ) = [ 2ψ 2 ( x) + ψ 6 ( x )] ⋅ [ϕ1 ( y ) + 2ϕ 3 ( y ) ] , где ψ i ( x) и ϕ j ( y ) — U ( x) =

6.

волновые функции стационарных состояний для одномерного движения вдоль осей x и y, соответственно. Найти вероятности получения при измерении энергии значений hω , 3hω , 7 hω . Состояние частицы описывается волновой функцией ⎛ x2 ⎞ ψ ( x) = exp ⎜ − 2 + ikx ⎟ . ⎝ a ⎠

а) Нормировать волновую функцию.

25

б) Найти среднее значение координаты. в) Найти среднее значение импульса. г) Имеют ли координата и импульс определенные значения в этом состоянии? д) Найти неопределенность координаты и импульса в этом состоянии. ж) Проверить соотношение неопределенности. 7.

В показанной на рисунке потенциальной U(x) яме с бесконечно высокими стенками ⎛ 4π 2 h 2 ⎞ ⎜U 0 = ⎟ находится частица массой ma ⎠ U0 ⎝ m . Ее состояние описывается волновой x функцией a /2 a ⎧⎪ A sin ( 3π x / a ) , при 0 ≤ x ≤ a / 2, ψ ( x) = ⎨ ⎪⎩− A sin (π x / a ) , при a / 2 < x ≤ a. Нормировать волновую функцию и нарисовать ее график. Найти значение энергии частицы. Какова вероятность найти частицу при 0 ≤ x ≤ a / 3 ?

Срок выполнения задания – 2 недели. 3. Теория возмущений Вопросы к коллоквиуму. 1. Получить выражения для поправок первого порядка к волновым функциям невырожденных состояний при стационарном возмущении. 2. Поправки первого и второго порядков к энергии невырожденного состояния при стационарном возмущении. 3. Условие применимости стационарной теории возмущений. 4. Вероятности переходов под действием возмущения конечной длительности. 5. «Правильные» волновые функции и соответствующие им значения энергии в стационарной теории возмущений при

26

наличии вырождения. Задачи 1. Во втором порядке теории возмущений найти энергию основного состояния частицы массы m в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (0 ≤ x ≤ l ) при наличии возмущения Vˆ = a cos ( 3π x / l ) . При каком значении a применима теория

2.

3.

4.

возмущений? U(x) В «полубесконечной» прямоугольной потенциальной яме ⎧∞, x < 0, U0 ⎪ U ( x) = ⎨0, 0 ≤ x ≤ l , ⎪U , x > l , ⎩ 0 0 l 3π h где l = , существует стационарное 4 mU 0

δU

x

состояние частицы массой m с энергией E = U 0 / 2 . Определить явный вид нормированной волновой функции этого состояния. В первом порядке теории возмущений определить изменение энергии при увеличении высоты правой стенки ямы на δ U . Система двух одинаковых связанных осцилляторов, массой m каждый, описывается гамильтонианом 2 pˆ 2 pˆ mω 2 ( x 2 + y 2 ) Hˆ ( x, y ) = x + y + + α xy. 2m 2m 2 Рассматривая последнее слагаемое как возмущение, найти во втором порядке теории возмущений энергию основного состояния системы. Эта задача допускает и точное решение. Найти его и сравнить с приближенным. Гармонический осциллятор массы m находился в основном состоянии, когда потенциал, в котором он находился, мгновенно mω 2 x 2 изменил свой вид: был стал , U ( x) = 2 mω 2 ( x − d ) 2 . Найти вероятность обнаружения осцилляU ( x) = 2 тора в возбужденном состоянии после такого изменения потенциала.

27

5.

На гармонический осциллятор массы m, находящийся при t = −∞ в стационарном состоянии с энергией 5hω / 2, действует возмущение Vˆ ( x, t ) = α x exp ( − | t | / τ ) , где α и τ — постоянные. В первом порядке теории возмущений найти вероятности обнаружения осциллятора при t = +∞ в различных стационарных состояниях.

Срок выполнения задания – 3 недели. 4. Теория представлений Вопросы к коллоквиуму

1. 2. 3. 4.

Вектор состояния и волновая функция. Матрица оператора физической величины. Смысл собственных векторов и собственных значения этой матрицы. Преобразование волновых функций и операторов при переходе от одного представления к другому. Дискретный и непрерывный базисы. Сходства и различия.

Задачи

1.

В некотором представлении оператор физической величины f и гамильтониан имеют вид: ⎛ 3 0 8⎞ ⎛ 0 1 0⎞ ˆf = ⎜ 0 1 0 ⎟ , Hˆ = ⎜ 1 0 1 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0⎟ ⎜ ⎟ 8 0 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Система находится в состоянии, в котором вероятность обнаружить определенные значения физической величины f1 > f 2 > f3 равны 2 / 3 , 0 и 1/ 3 , соответственно. Чему равно среднее значение энергии? Однозначен ли ответ на этот вопрос? Могут ли величина f и энергия одновременно иметь определенные значения? 2. В базисе 1 , 2 операторы невозмущенного гамильтониана Hˆ 0 и стационарного возмущения Vˆ имеют вид:

28

⎛ 3 0 ⎞ ˆ ⎛ −0, 4 0, 2 ⎞ Hˆ 0 = ⎜ ⎟ , V = ⎜ 0, 2 0, 3 ⎟ . ⎝0 2⎠ ⎝ ⎠ Найти значения энергии во втором порядке теории возмущений. Сравнить с точными значениями. 3. В x- и p-представлениях записать коммутатор операторов кинетической и потенциальной энергии частицы массой m с зарядом q, находящейся в однородном электрическом поле напряженности E. 4. Гармонический осциллятор массой m с частотой ω находится в состоянии, описываемом волновой функцией h ⎞ ⎛ ψ ( x) = C ⎜ x 2 − ψ ( x), где ψ 3 ( x) — собственная функция m ω ⎟⎠ 3 ⎝ осциллятора с n = 3 . Выразить волновую функцию в Eпредставлении. Нормировать ее. 5. Собственные функции и собственные значения невозмущенного гамильтониана равны ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 и 2 E , E , E , соответственно. Оператор возмущения в E-представлении имеет вид: 0 ia ⎞ ⎛ b Vˆ = ⎜⎜ 0 0 ia ⎟⎟ , ⎜ −ia −ia 0 ⎟ ⎝ ⎠

6.

где a и b — действительные константы. В первом порядке теории возмущений найти «правильные» волновые функции и соответствующие им значения энергии. На двухуровневую систему, гамильтониан которой в энергетическом представлении имеет вид 0⎞ ⎛E ⎛V V ⎞ Hˆ = ⎜ 1 , äåéñòâóåò âî çì óù åí èå Vˆ (t ) = e −|t |/τ ⎜ 11 12 ⎟ , ⎟ ⎝ 0 E2 ⎠ ⎝V21 V22 ⎠ где τ — постоянная, t — время. Найти вероятность перехода с первого уровня на второй при t = +∞, если возмущение начало действовать в момент времени t = −∞.

Срок выполнения задания – 2 недели. 5. Квантовый момент импульса. Атом водорода.

29

Вопросы к коллоквиуму.

1. 2. 3.

Операторы проекций момента импульса и квадрата момента. Коммутационные соотношения. Трактовка закона сохранения момента импульса в квантовой механике. Повышающий и понижающий операторы, коммутационные соотношения для них. Матричные элементы операторов Lˆ2 , Lˆz , Lˆ x , Lˆ− , Lˆ+ для момента L = 2 .

Задачи

1.

Найти собственное значение оператора квадрата момента, соответствующее его собственной функции ψ (θ , ϕ ) = cos θ + cos (θ + ϕ ) − cos (θ − ϕ ) .

2.

Атом водорода находится в возмущающем потенциале Vˆ = kr , где k — константа, r — расстояние до ядра. В первом порядке теории возмущений вычислить смещение уровней с n = 2. Указать, по какому квантовому числу снимается вырождение. В первом порядке теории возмущений вычислить смещение уровней энергии атома водорода с n = 2, l = 1 для возмущения, оператор которого имеет вид Vˆ = α Lˆ + Lˆ .

3.

(

4.

x

y

)

Электрон в атоме водорода находится в состоянии, описываемом волновой функцией ψ (r ,θ , ϕ ) = A exp ( −r / 2aB ) , где A — постоянная, aB — радиус Бора. Найти вероятность того, что при измерении энергии в этом состоянии будет получено значение, равное энергии первого возбужденного состояния атома водорода.

Срок выполнения задания – 1 неделя. 5.

Спин. Сложение моментов.

Вопросы к коллоквиуму.

30

1. 2. 3. 4.

Исходя из коммутационных соотношений между операторами проекции спина, найти матрицу оператора Sˆ x для спина 1/ 2 . Триплетное и синглетное состояния системы из двух спинов по 1/ 2 . Правила сложения двух моментов. Использование повышающего и понижающего операторов для решение задачи о сложении моментов.

Задачи

1.

Спин 1/ 2 в магнитном поле с индукцией B = ( 0, 0, B0 ) имеет проекцию на ось z равную 1/ 2 . Магнитное поле мгновенно поворачивают в плоскости x-z на угол 30° . Найти среднюю энергию спина после поворота, а также вероятность того, что измерение проекции спина на новое направление магнитного поля даст значение 1/ 2 . Гамильтониан спина в магнитном поле Hˆ = γ h B ⋅ Sˆ , где γ — постоянная.

(

2.

3.

)

Имеется система из трех спинов S1 = S2 = S3 = 1. Найти значения суммарного спина. Указать, сколько состояний имеют проекцию суммарного спина на ось z, равную 2. Система из двух спинов S1 = S 2 = 1/ 2 находится в состоянии, описываемом как следующая комбинация синглетного и триплетного состояний A ( 2 T0 + S ) , где S — синглетное со-

стояние, T0 — триплетное состояние, с проекцией момента на

4.

ось z равной нулю. Найти коэффициент A . Найти вероятности возможных значений S1z и S 2 z в этом состоянии, а также средние значения этих проекций. Два невзаимодействующих спина S1 = 3 / 2 и S 2 = 5 / 2 находятся в таком состоянии, что их проекции на ось z равны S1z = 1/ 2 и S 2 z = 3 / 2 . Найти разложение этого состояния по состояниям с определенными значениями полного момента и его проекции на ось z. Найти среднее значение квадрата полного момента спиновой системы.

Срок выполнения задания – 2 недели.

31