Математика: Учебное пособие. Часть 1

Федеральное агентство по образованию ГОУВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»

А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко

МАТЕМАТИКА Часть 1 Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ по образованию в области строительства в качестве учебного пособия для студентов всех форм обучения специальностей направления 6533500 – Строительство

Научный редактор доц., канд. физ.–мат. наук С.И. Тарлинский

Екатеринбург 2004

ББК УДК С54

22.1я73 51(075.8)

Рецензенты: кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета (зав. кафедрой физики УГЛУ, д–р физ.-мат. наук, проф. М.П. Кащенко); д–р физ.-мат. наук, проф. А.П. Танкеев, Институт физики металлов УрО РАН. С 54

А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко Математика: учебное пособие / А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко. – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2004. – 180 с. ISBN 5–321–00769–1

Курс лекций по дисциплине ЕН.Ф.01 «Математика» предназначен для студентов строительных специальностей технических вузов, изучающих данную дисциплину в объеме 540–800 часов в течение 4 семестров. Содержание лекций соответствует ГОС и рабочим программам технических специальностей. Первая часть включает 16 лекций и содержит материал, обычно изучаемый в первом семестре, – линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, основы математического анализа (функции, пределы, производная). Электронная версия книги, используемая в аудиториях, сопровождается дополнительным иллюстративным материалом. Наряду с курсом лекций существуют пособия, рассматривающие решение типичных задач и способствующие усвоению понятий и методов. ББК 51 (075.8) УДК 22.1я 73

ISBN 5–321–00769–1

© ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университете – УПИ», 2004

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Курс лекций предназначен для студентов строительных специальностей технических вузов и состоит из четырех частей, в которых излагается теоретический материал курса математики для инженеров. В первой части излагаются следующие разделы: линейная алгебра, аналитическая геометрия, начала математического анализа (теория пределов и дифференцирование). В начале каждой лекции приведены заголовки разделов. В совокупности эти заголовки образуют программу дисциплины и являются базой вопросов для тестовых и экзаменационных заданий. Звездочкой помечены разделы, предназначенные для более глубокого изучения. В конце каждой лекции приведен список ключевых понятий. В лекциях студент найдет основные определения, формулировки теорем, примеры, демонстрирующие методы решения типичных задач. Если отсутствуют доказательства каких–либо утверждений, то формулировки результатов сопровождаются примерами, разъясняющими их смысл. В тексте приняты следующие условные обозначения: О

-

определение

Т

-

теорема

С

-

следствие

!

-

замечание

4

СОДЕРЖАНИЕ ЧАСТЬ 1 Лекции 1–2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ………………………………………….. 11 1.1. 1.2.* 1.3.* 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Понятие матрицы. Частные виды матриц Перестановки и подстановки Понятие определителя любого порядка Определители второго и третьего порядка Свойства определителей Теорема о разложении определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителя n–го порядка 1.7.1. Метод понижения порядка 1.7.2. Метод сведения к треугольному виду Операции над матрицами Обратная матрица. Теорема о существовании левой и правой обратной матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы Решение матричных уравнений Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров. Элементарные преобразования матриц

Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ…………………………………. 29 Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Основные определения 3.2. Системы n линейных уравнений с n неизвестными. Матричный метод решения. Правило Крамера. Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных) 3.2.1. Системы n–линейных уравнений с n неизвестными 3.2.2. Правило Крамера 3.2.3. Метод Гаусса 3.3. Теорема Кронекера – Капелли 3.4. Однородные системы линейных уравнений 3.5. Схема отыскания общего решения системы m уравнений с n неизвестными 3.6.* Фундаментальная система решений 3.1.

5 Лекция 4 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА……………………………………………………... 45 4.1. Основные определения 4.2. Линейные операции над векторами 4.3.* Линейная зависимость векторов. Геометрические критерии линейной зависимости. 4.4. Базис и координаты 4.5. Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат 4.6. Скалярное произведение векторов. Определение. Алгебраические свойства. Геометрические приложения. Выражение через декартовы координаты сомножителей 4.7. Векторное произведение векторов. Определение. Алгебраические и геометрические свойства. Выражение через декартовы координаты сомножителей 4.8. Смешанное произведение векторов. Определение. Алгебраические и геометрические свойства. Выражение через декартовы координаты сомножителей Лекция 5 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ…………………………. 60 5.1. 5.2.

5.3.

Основы аналитической геометрии 5.1.1. Уравнение поверхности 5.1.2. Уравнения линии Плоскость в пространстве 5.2.1. Плоскость как поверхность первого порядка. Общее уравнение плоскости. 5.2.2. Неполные уравнения плоскостей 5.2.3. Уравнения плоскости «в отрезках» 5.2.4. Нормальное уравнение плоскости 5.2.5. Расстояние от точки до плоскости 5.2.6. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки 5.2.7. Угол между двумя плоскостями 5.2.8. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей Прямая линия в пространстве 5.3.1. Векторное уравнение прямой 5.3.2. Параметрические уравнения прямой 5.3.3. Канонические уравнения прямой 5.3.4. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

6

5.4.

5.3.5. Общие уравнения прямой 5.3.6. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую 5.3.7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Прямая и плоскость 5.4.1. Точка пересечения прямой и плоскости 5.4.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Лекция 6 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ…………………. 72 6.1.

Простейшие задачи на плоскости 6.1.1. Расстояние между двумя точками 6.1.2. Деление отрезка в данном отношении 6.2. Прямая линия на плоскости 6.2.1. Общее уравнение прямой 6.2.2. Каноническое уравнение прямой 6.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки 6.2.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении 6.2.5. Уравнение прямой в отрезках 6.2.6. Нормальное уравнение прямой 6.2.7. Расстояние от точки до прямой 6.2.8. Координаты точки пересечения двух прямых 6.2.9. Угол между двумя прямыми 6.2.10. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых 6.3. Кривые второго порядка 6.3.1. Эллипс 6.3.2. Окружность 6.3.3. Гипербола 6.3.4. Парабола 6.4. Преобразования координат 6.4.1. Параллельный перенос 6.4.2. Поворот координатных осей 6.4.3. Изменение начала координат и поворот осей 6.4.4.* Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду 6.5.* Линии в полярной системе координат 6.5.1.* Полярные координаты на плоскости 6.5.2.* Связь полярных координат с декартовыми

7 6.5.3.* Уравнения линий в полярной системе координат 6.6.* Параметрическое задание линий 6.6.1.* Окружность 6.6.2.* Циклоида 6.6.3.* Астроида

Лекция 7 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА…………………………………... 88 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5.

Поверхности Линейчатые поверхности Поверхности вращения Поверхности второго порядка Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям 7.5.1. Эллипсоид 7.5.2. Однополостный гиперболоид 7.5.3. Двуполостный гиперболоид 7.5.4. Эллиптический параболоид 7.5.5. Гиперболический параболоид 7.5.6. Конус 7.5.7. Эллиптический цилиндр 7.5.8. Гиперболический цилиндр 7.5.9. Параболический цилиндр

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекции 8–9 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ………………………………... 97 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 9.1. 9.2.

Элементы теории множеств и математической логики Числовые множества Числовые промежутки Ограниченные множества Числовые последовательности Свойства ограниченных последовательностей Предел числовой последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

8 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7.

Свойства бесконечно малых последовательностей Свойства сходящихся последовательностей Монотонные последовательности Число е как предел монотонной последовательности Предельные точки. Верхний и нижний пределы

Лекции 10–11 ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ………………………………………… 115 10.1. Понятие функции. График функции. Способы задания функции 10.2. Основные характеристики функции 10.3. Обратная функция. Сложная функция 10.4. Основные элементарные функции 10.5. Элементарные и неэлементарные функции 11.1. Предел функции в точке 11.2. Предел функции в бесконечности 11.3. Односторонние пределы 11.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства 11.5. Таблица определений предела Лекции 12–13 ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ…………………………………………... 131 12.1. Свойства функций, имеющих предел 12.2. Замечательные пределы 12.2.1. Первый замечательный предел 12.2.2. Второй замечательный предел 12.3. Сравнение бесконечно малых функций 13.1. Непрерывность функции 13.1.1. Непрерывность функции в точке 13.1.2. Непрерывность функции на множестве 13.1.3. Непрерывность основных элементарных функций 13.1.4. Свойства непрерывных функций 13.1.5. Непрерывность обратной функции 13.1.6. Непрерывность сложной функции 13.1.7. Свойства функций, непрерывных на отрезке 13.2. Точки разрыва и их классификация

9 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекции 14–15 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ………………………………….. 151 14.1. Производная функции. 14.1.1. Определение производной функции 14.1.2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции 14.1.3. Механический смысл производной 14.2. Правила и формулы дифференцирования 14.2.1. Производная суммы, разности, произведения и частного функций 14.2.2. Производная обратной функции 14.2.3. Таблица производных 14.2.4. Производная сложной функции 14.2.5. Логарифмическая производная 14.2.6. Производная неявной функции 14.2.7. Производная функции, заданной параметрически 15.1. Производные высших порядков 15.1.1. Определение производной n–го порядка 15.1.2. Правила вычисления производной n–го порядка 15.1.3. Вторая производная от неявной функции 15.1.4. Вторая производная от параметрически заданной функции 15.1.5. Механический смысл второй производной 15.2. Дифференциал функции 15.2.1. Дифференциал независимой переменной 15.2.2. Свойства дифференциалов 15.2.3. Геометрический смысл дифференциала 15.2.4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 15.2.5. Дифференциал сложной функции 15.2.6. Дифференциалы высших порядков Лекция 16 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ – БЕРНУЛЛИ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА……... 167 16.1. Основные теоремы анализа 16.1.1 Теорема Ролля (о нуле производной)

10 16.1.2. Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях) 16.1.3. Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных разностях) 16.1.4. Правило Лопиталя – Бернулли. Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей 16.1.5. Формула Тейлора. Частные случаи формулы Тейлора. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций. Оценка остаточного члена. Приложения формул Тейлора и Маклорена БИБЛИОГРАФИЯ…………………………………………………………… 180

Лекции 1-2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ В лекциях 1 – 2 излагаются элементы линейной алгебры, в них приведены первоначальные сведения о матрицах и определителях и их применении. Матричное исчисление широко применяется в различных областях математики (решение систем линейных уравнений, векторная алгебра, дифференциальные уравнения, теория вероятности), механики, электротехники, теоретической физики и т.д. Матричное исчисление позволяет в компактной форме получить решение реальных задач, содержащих большое количество переменных. 1.1. 1.2.* 1.3.* 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Понятие матрицы. Частные виды матриц Перестановки и подстановки Понятие определителя любого порядка Определители второго и третьего порядка Свойства определителей Теорема о разложении определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителя n-го порядка 1.7.1. Метод понижения порядка 1.7.2. Метод сведения к треугольному виду Операции над матрицами Обратная матрица. Теорема о существовании левой и правой обратной матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы Решение матричных уравнений Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров. Элементарные преобразования матриц

Ниже будут использоваться сокращенные способы записи сумм и произведений большого количества элементов: n

∑a j =1

j

= a1 + a2 + K + an ,

n

∏a

j

j =1

= a1 ⋅ a2 ⋅K ⋅ an .

1.1. Понятие матрицы. Частные виды матриц О

Матрицей размерности m × n называется прямоугольная таблица чисел aij

A = aij

m ,n

= (aij ) m ,n

⎛ a11 a12 ⎜a a22 = ⎜ 21 ⎜ ... ... ⎜⎜ ⎝ am1 am 2

... a1n ⎞ ... a2 n ⎟⎟ , ... ... ⎟ ⎟ ... amn ⎟⎠

12

Лекции 1-2

где i = 1,..., m; j = 1,..., n , расположенных в m строках и n столбцах. Числа aij называют элементами матрицы. Числа i, j - индексы элемента матрицы, указывающие его местоположение: i - номер строки, j - номер столбца. Число элементов матрицы m × n определяется как произведение числа строк m на число столбцов n . Частные виды матриц О

Нулевой матрицей ∅ размерности m × n называется матрица, все эле⎛0 0 0⎞ менты которой равны нулю, например: ∅ = ⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎟ . ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠

О

Матрица размерности 1 × n называется матрицей-строкой или просто строкой, например: B = ( 2 1 7,3 )1,3 .

О

Матрица размерности m × 1 называется матрицей-столбцом или просто ⎛ 7 ⎞ столбцом, например: C = ⎜⎜ 3,5 ⎟⎟ . ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠3,1

О

Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу столбцов, m = n . Число n называется порядком матрицы, например при n=3:

⎛ 3 1 2⎞ D = ⎜⎜ 0 7 0 ⎟⎟ . ⎜4 5 1⎟ ⎝ ⎠3,3 О

Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, составленная из чисел a11 , a22 ,..., ann , идущая из левого верхнего угла в правый нижний; побочной называется диагональ, идущая из правого верхнего угла в левый нижний:

.

13

Определители и матрицы

О

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие выше и ниже главной диагонали, равны нулю:

⎛6 0 0 ⎞ A = ⎜⎜ 0 2 0 ⎟⎟ . ⎜ 0 0 −11⎟ ⎝ ⎠ О

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю:

⎛ 4 1 2⎞ D = ⎜⎜ 0 7 5 ⎟⎟ - верхняя треугольная матрица; ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 0 0⎞ D = ⎜⎜ 6 −2 0 ⎟⎟ - нижняя треугольная матрица. ⎜ 4 −8 1 ⎟ ⎝ ⎠ О

Квадратная диагональная матрица с единичными элементами называется единичной и обозначается буквой Е. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид:

⎛1 0 0⎞ E = ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ . ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ О

Транспонированием матрицы называется преобразование, состоящее в замене строк столбцами с сохранением их номеров. Таким образом, строки данной матрицы будут в той же последовательности столбцами транспонированной матрицы, и наоборот. ⎛ 1 2 3⎞ A=⎜ ⎟, ⎝ 4 5 6⎠

⎛1 4⎞ A = ⎜⎜ 2 5 ⎟⎟ . ⎜ 3 6⎟ ⎝ ⎠ T

В случае квадратной матрицы транспонирование сводится к повороту матрицы на 180˚ вокруг главной диагонали.

14

Лекции 1-2

1.2. * Перестановки и подстановки О

Перестановкой n символов a1 , a2 ,..., an называется любое расположение этих символов в определенном порядке. Так как данные n символов можно занумеровать числами 1,2,..., n , то изучение перестановок любых n символов сводится к изучению перестановок этих чисел. Число всех перестановок из n чисел равно n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n (читается: « n -факториал»). Пример: Все перестановки чисел 1, 2, 3 имеют вид: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Число их 3! = 6.

О

Два числа в перестановке образуют инверсию, если большее число стоит впереди меньшего, и образуют порядок, если меньшее число стоит впереди большего. Способ подсчета числа инверсий: читаем числа перестановки в порядке их записи (слева направо), для каждого из чисел считаем, сколько чисел, меньших данного, стоит правее него, и все полученные числа складываем. Пример: В перестановке 528371964 число инверсий равно 4 + 1 + 5 + 1 + 3 + 2 + 1 = 17.

О

Перестановка называется четной или нечетной, смотря по тому, будет число инверсий в ней четно или нечетно.

О

Транспозицией называется перемена местами двух чисел перестановки. Транспозиция чисел i и j обозначается через ( i, j ) . От любой перестановки n чисел к любой другой перестановке тех же чисел можно перейти путем ряда транспозиций, причем можно обойтись не более чем n − 1 транспозициями. Пример: От перестановки 25134 к перестановке 42513 можно перейти путем четырех транспозиций: ( 2,4 ) , ( 2,5) , (1,5) , (1,3) .

О

Подстановкой n чисел 1, 2, … n, или подстановкой n-й степени, называется взаимно однозначное отображение совокупности этих чисел на себя, т.е. такое отображение, при котором каждому числу от 1 до n соответствует одно из этих чисел и двум различным числам всегда соответствуют два различных числа. Подстановка записывается двумя строками в общих скобках, причем каждому числу верхней строки соответствует стоящее под ним число нижней строки. ⎛2 1 3 4⎞ Например, ⎜ ⎟ обозначает подстановку, в которой 1 → 1 , 2 → 3 , 3 → 4 , ⎝3 1 4 2⎠ 4 → 2 . Иначе можно сказать, что подстановка n-й степени – это соответствие между двумя перестановками n чисел.

15

Определители и матрицы

В зависимости от расположения чисел в верхней строке одну и ту же подстановку можно записывать многими способами. ⎛ 1 2 3⎞ ⎛2 3 1⎞ ⎛3 2 1⎞ Например, записи ⎜ ⎟, ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ обозначают одну и ту же ⎝ 2 3 1⎠ ⎝ 3 1 2⎠ ⎝1 3 2⎠ подстановку, в которой 1 переходит в 2, 2 в 3, 3 в 1. Каждая подстановка n чисел допускает n! различных записей. Число различных подстановок n элементов также равно n!.

О

Подстановка называется четной, если общее число инверсий в обеих ее строках четно, и нечетной, если нечетно. Иначе говоря, подстановка четна, если ее строки имеют одинаковую четность, и нечетна, если – противоположную четность.

1.3. * Понятие определителя любого порядка Пусть дана квадратная матрица порядка n:

A = (aij ) n ,n

О

⎛ a11 ⎜ a = ⎜ 21 ⎜ ... ⎜⎜ ⎝ an1

... a1n ⎞ ⎟ ... a2 n ⎟ . ... ... ⎟ ⎟ ... ann ⎟⎠

a12 a22 ... an 2

Определителем n -го порядка, или определителем матрицы A , при n > 1 называется число, полученное из элементов этой матрицы по формулам:

A = aij

n,n

=

a11 a21

a12 a22

... a1n ... a2 n

...

...

...

an1

an 2 ... ann

...

= ∑ ( −1) ai1 j1 ai2 j2 ...ain jn , s +t

где сумма берется по всем различным между собой подстановкам ⎛ i1 ⎜j ⎝ 1

i2

...

j2

...

in ⎞ , jn ⎟⎠

причем s - число инверсий в верхней, а t - в нижней строке. Слагаемые суммы называются членами определителя; каждый член определителя равен произведению n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем это произведение берется со своим знаком, если подстановка индексов четна, и с противоположным, если нечетна. Определитель первого порядка равен единственному своему элементу. Число всех членов определителя n -го порядка равно n !. Элементы, строки, столбцы и т. д. матрицы A называются соответственно элементами, строками, столбцами и т. д. определителя A .

16

Лекции 1-2

1.4. Определители второго и третьего порядка О

Определителем квадратной матрицы A второго порядка называется a a12 = a11a22 − a21a12 . число, равное det A = 11 a21 22 Например,

О

1 2 = 1 ⋅ 4 − 2 ⋅ 3 = −2 . 3 4

Определителем квадратной матрицы А третьего порядка называется число, равное

a11

a12

det A = A = a21 a22 a31

a32

a13 a23 = a33

= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a21a32 a13 − a13a22 a31 − a21a12 a33 − a32 a23a11 . Это выражение получается по правилу треугольников (правилу Саррюса), которое можно пояснить следующей схемой:

+

-

где элементы определителя изображаются кружками, а соответствующие произведения - отрезками или треугольниками. Знаки «+» и «-» соответствуют знакам слагаемых, входящих в определитель, например,

1 0 0 ∆ = 1 2 1 = 1 ⋅ 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 3 ⋅ 0 − 0 ⋅ 2 ⋅ 0 − 1 ⋅ 3 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 ⋅ 0 = −1 . 0 3 1

1.5. Свойства определителей Сформулированные ниже свойства легко проверяются непосредственным вычислением определителей 2-го или 3-го порядков и остаются справедливыми для определителей порядка n . Введем необходимые определения.

17

Определители и матрицы

О

Суммой нескольких строк одинаковой длины называется строка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных строк.

О

Произведением строки на число называется строка, каждый элемент которой получен из соответствующего элемента данной строки умножением его на данное число.

О

Линейной комбинацией нескольких строк одинаковой длины называется строка, равная сумме произведений данных строк на некоторые числа, называемые коэффициентами этой линейной комбинации. Если одна строка является линейной комбинацией других, то говорят, что она линейно выражается через эти строки. Например, равенство (1, −1, −3, −5) = 3 (1,1,1,1) − 2 (1, 2, 3, 4 ) означает, что первая строка является линейной комбинацией двух других.

1˚. При транспонировании определителя его значение не меняется. Свойство 1˚ устанавливает полное равноправие строк и столбцов определителя |A|. Иначе говоря, свойства определителей, доказанные для строк, верны и для столбцов, и наоборот. 2˚. При перестановке местами двух любых строк (столбцов) определитель меняет знак. 3˚. Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен 0. Из 2˚: при перестановке строк ∆ = −∆ , ∆ + ∆ = 0 , 2∆ = 0 ⇒ ∆ = 0 . 4˚. Общий множитель любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя. Это свойство можно сформулировать иначе: умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на число k равносильно умножению определителя на это число, например,

2 1 2 1 1 2 4 3 4 = 2⋅ 2 3 4 . 6 5 6

3 5 6

5˚. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Это свойство вытекает из предыдущего при k = 0 . 6˚. Если все элементы одной строки (столбца) определителя пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца), то он равен нулю. 7˚. Если всякий элемент любой строки (столбца) представляет собой сумму двух слагаемых, определитель равен сумме двух определителей, в пер-

18

Лекции 1-2

вом из которых в соответствующей строке (столбце) оставлены первые слагаемые, а во втором – вторые, например,

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 = 1+ 3 3+ 2 5 +1 = 1 3 5 + 3 2 1 . 7 8 9

7

8

9

7 8 9

7 8 9

8˚. Если к элементам любой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число, то он не изменится. Пользуясь свойством 8˚, можно все элементы некоторой строки (столбца) определителя, кроме одного, сделать равными нулю, не меняя при этом величину определителя.

1.6. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу) a11 a Рассмотрим определитель n -го порядка A = 21 ... a n1 О

a12 a22 ... an 2

... a1n ... a2 n . ... ... ... ann

Минором Мij элемента аij определителя n-го порядка называется определитель (n-1) порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-строки и j–столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.

.

1 2 3 4 5 1 3 Например, ∆ = 4 5 6 , M 13 = , M 32 = . 7 8 4 6 7 8 9 О

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется его минор со знаком (-1)i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij, Aij = (−1)i + j M ij , например,

19

Определители и матрицы

A13 = (−1)1+3 M 13 = (−1) 4 M 13 = M 13 , A32 = (−1)3+ 2 M 32 = (−1)5 M 32 = − M 32 . Т

Определитель n-го порядка |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения: n

det A = ∑ aij Aij = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain , i = 1,..., n , i =1 n

det A = ∑ aij Aij = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj , j = 1,..., n . i =1

Эти формулы представляют собой разложение определителя по i-й строке и по j-му столбцу. Например, для определителей третьего порядка разложение по первому столбцу имеет вид:

a11 a 21

a12 a 22

a13 a 23 = a11 A11 + a 21 A21 + a 31 A31 =

a 31

a 32

a 33

= a11

a22 a32

a23 a − a21 12 a33 a32

a13 a + a31 12 a33 a22

a13 = a23

= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a21a32 a13 − a13a22 a31 − a21a12 a33 − a32 a23a11 . С

Алгебраическая сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя |A| на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю:

n

∑A a j =1

ij kj

= 0, k ≠ i .

Непосредственным вычислением показывают, что этой сумме соответствует определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами).

1.7. Методы вычисления определителя n-го порядка Определители высшего порядка вычисляются с использованием их свойств двумя способами.

20

Лекции 1-2

1.7.1. Метод понижения порядка Так как в формуле разложения определителя n-го порядка по строке (столбцу) n

detA= ∑ aij Aij = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ...+ ain Ain , j=1

все алгебраические дополнения являются определителями (n-1)-го порядка, то задача свелась к вычислению n определителей меньшего, (n-1)-го порядка. Если в некоторой строке исходного определителя много нулей, то именно по ней удобно проводить разложение. Более того, используя свойство 8˚, можно добиться того, что все элементы некоторой строки (столбца), кроме одного, станут равны нулю.

1.7.2. Метод сведения к треугольному виду Используя свойства 1˚– 8˚, добиваются такой структуры определителя, при которой все его элементы, стоящие выше (ниже) главной диагонали, равны нулю, т.е. определитель имеет треугольную форму и численно равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

a11

a12

... a1n

0 A= ...

a22 ...

n ... a2 n = ∏ aii =a11 ⋅ a22 ⋅ ... ⋅ ann . ... ... i =1

0

... ann

0

Пример:

1 0 0 Вычислить определитель ∆ = 1 2 1 двумя способами.

0 3 1 1). Разложим определитель по первой строке: ∆ = 1 ⋅ (−1)1+1

2 1 3 1

+ 0 ⋅ (−1)1+ 2

1 1 0 1

+ 0 ⋅ (−1)1+3

1 2 0 3

= 2 − 3 = −1 .

2). Приведем определитель к треугольному виду: 1 0 0

1 0 0

1 0

0

1 2 1=0 2 1 =0 2

1

0 3 1

0 3 1

0 0 − 0,5

⎛ 1⎞ = 1 ⋅ 2 ⋅ ⎜ − ⎟ = −1 . ⎝ 2⎠

21

Определители и матрицы

2.1. Операции над матрицами О

Две матрицы A = ( aij )m, n и B = ( bij )m, n равны, A = B , если равны их размер-

aij = bij ,

ности и все их соответствующие элементы совпадают,

i = 1,..., m; j = 1,..., n . О

Суммой двух матриц A = ( aij )m, n и B = ( bij )m, n одинаковой размерности m × n

называется матрица C = ( cij )m, n , C = A + B , все элементы которой равны

cij = aij + bij , i = 1,..., m;

j = 1,..., n .

Свойства операции сложения: 1˚. 2˚. 3˚. 4˚. О

A + B = B + A. A + B + C = ( A + B) + C . A+∅ = A. A + (− A) = ∅ .

Произведением матрицы A = ( aij )m , n на число α называется матрица

B = ( bij )m ,n ,

B = α ⋅ A,

все

элементы

которой

равны

bij = α aij ,

i = 1,..., m; j = 1,..., n . Свойства операции умножения на число: 5˚. (α ⋅ β ) A = α ( β A) . 6˚. α ( A + B) = α A + α B . 7˚. (α + β ) A = α A + β A . 8˚. 0 ⋅ A = ∅; 1 ⋅ A = A . Для доказательства свойств 1˚-8˚ достаточно воспользоваться соответствующими определениями. Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. О

Произведением матрицы A = (ail ) m ,n размерности ( m × n ) на матрицу

B = (blj ) n ,k размерности

(n × k )

называется матрица C = ( cij )m ,k = A ⋅ B

размерности ( m × k ) , элементы которой вычисляются по формуле: k

cij = ∑ ail ⋅ blj = ai1 ⋅ b1 j + ai 2 ⋅ b2 j + ... + ail ⋅ blj i = 1,..., m , j = 1,..., k . l =1

22

Лекции 1-2

Иначе: элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы произведения cij , равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Пример:

⎛1 3⎞ ⎛ 1 9 10 ⎞ Дано: A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ . Найти C = A ⋅ B . ⎝ 2 4⎠ ⎝0 2 1 ⎠ c11 = 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 = 1 , c12 = 1 ⋅ 9 + 3 ⋅ 2 = 15 , c13 = 1 ⋅ 10 + 3 ⋅ 1 = 13 , c21 = 2 ⋅1 + 4 ⋅ 0 = 2 ,

c22 = 2 ⋅ 9 + 4 ⋅ 2 = 26 ,

c23 = 2 ⋅10 + 4 ⋅ 1 = 24 .

⎛ 1 15 13 ⎞ C =⎜ ⎟. ⎝ 2 26 24 ⎠

Свойства операции умножения матриц: 9˚. (A× B)×C= A×( B× C) (A× B)× C= A×( B× C). 10˚. (A+ B)× C = A× C+ B× C. 11˚. A×( B + C)= A× B+ A× C. 12˚. A×E=E× A= A. 13˚. A×∅=∅× A =∅. 14˚. (A×B)T = B T× AT. 15˚. det( A × B) = det A × det B . Для доказательства свойств 9˚-14˚ достаточно воспользоваться определениями операций над матрицами. О

Матрицы A и B называются перестановочными (коммутирующими), если A×B=B×A. В общем случае произведение матриц не коммутативно, A×B≠B×A.

23

Определители и матрицы

2.2. Обратная матрица. Теорема о существовании левой и правой обратной матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы О

Квадратная матрица A n–го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, A = 0 , и невырожденной, если

A ≠ 0. О

Матрица А-1 называется обратной матрицей для некоторой квадратной матрицы А, если выполняется соотношение: A × A−1 = A−1 × A = E .

Т

Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Если матрица A не вырождена, то существует, и притом единстT 1 венная, обратная матрица A−1 , равная A−1 = AV ) , где AV = ( Aij ) ( det A присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы). Доказательство: Пусть дана квадратная матрица порядка n :

A = ( aij ) n ,n

⎛ a11 ⎜a = ⎜ 21 ⎜ ... ⎜ ⎝ a n1

a12 a22 ... an 2

... a1n ⎞ ... a2 n ⎟ ⎟. ... ... ⎟ ⎟ ... ann ⎠

1. Доказательство существования (необходимость). Пусть существует A−1 . По определению A−1 A = E . По свойству 15˚ операции умножения матриц det( A−1 A) = det E , det A−1 ⋅ det A = det E = 1 ⇒ det A ≠ 0 , то есть матрица A не вырождена. 2. Доказательство существования (достаточность). Пусть матрица A не вырождена. Найдем вид элементов A−1 , для чего вычислим произведение

C = A ⋅ ( AV ) = ( aij ) ⋅ ( Aij ) , T

T

⎧det A, i = j cij = ∑ aik ( A ) kj = ∑ aik Ajk = ⎨ k =1 k =1 ⎩0, i ≠ j n

T

n

по теореме о разложении определителя по строке (столбцу),

24

Лекции 1-2

0 ⎛ det A ⎜ 0 det A откуда C = ⎜ ⎜ ... ... ⎜ 0 ⎝ 0

0 ⎞ ⎛1 ⎜0 ... 0 ⎟⎟ = det A ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ... ... ... ⎟ ⎜ ... det A ⎠ ⎝0 ...

0 ... 0 ⎞ 1 ... 0 ⎟⎟ = det A ⋅ E , ... ... ... ⎟ ⎟ 0 ... 1 ⎠

т.е. A ⋅ ( AV ) = det A ⋅ E . T

(A ) Так как det A ≠ 0 , A ⋅ V

T

det A

= E и A−1 =

T 1 AV ) . ( det A

3. Доказательство единственности (от противного). Предположим, что кроме матрицы A−1 , для которой A−1 ⋅ A = E , существует матрица B , для которой также B ⋅ A = E , причем B ≠ A−1 . Вычтем из одного равенства другое:

A−1 ⋅ A − B ⋅ A = E − E = ∅ , ( A−1 − B ) ⋅ A = ∅ . Умножив последнее равенство на A−1 справа, получим:

( A−1 − B ) ⋅ AA−1 = ∅ ⋅ A−1 = ∅ . Так как A ⋅ A−1 = E , ( A−1 − B ) E = ∅ , A−1 − B = ∅ , A−1 = B , что противоречит B ≠ A−1 . Предположение неверно, обратная матрица единственна. !

1˚. ( A−1 ) = A . −1

2˚. (α ⋅ A ) = −1

1

α

⋅ A −1 .

3˚. ( A × B ) = B −1 × A−1 . −1

4˚. ( A−1 ) = ( AT ) . T

−1

Алгоритм нахождения обратной матрицы: 1.

Находим det A , проверяем det A ≠ 0 .

2.

Находим M ij - все миноры матрицы A .

3.

Определяем Aij = (−1)i + j M ij .

4.

Строим матрицу алгебраических дополнений AV = ( Aij ) и транспонируем: ( AV ) = ( Aji ) . T

5.

Делим каждый элемент матрицы на det A : A−1 =

T 1 AV ) . ( det A

Определители и матрицы

25

Пример:

⎛1 2⎞ ⎟⎟ . Найти матрицу, обратную для матрицы A = ⎜⎜ ⎝3 4⎠ 1. det A = 4 − 6 = −2 ≠ 0 . 2. M 11 = 4, M 12 = 3, M 21 = 2, M 22 = 1 . 3. A11 = 4, A12 = −3, A21 = −2, A22 = 1 . ⎛ 4 −2 ⎞ ⎛ 4 −3 ⎞ ∨ T 4. A∨ = ⎜ ⎟. ⎟ , (A ) = ⎜ ⎝ −3 1 ⎠ ⎝ −2 1 ⎠ 1 ⎞ 1 ⎛ 4 −2 ⎞ ⎛ −2 5. A−1 = − ⋅ ⎜ ⎟=⎜ ⎟. 2 ⎝ −3 1 ⎠ ⎝ 3 / 2 −0, 5 ⎠ 1 ⎞ ⎛ −2 + 3 1 − 1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ −2 Проверка: A ⋅ A−1 = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎟=E. ⎝ 3 4 ⎠ ⎝1,5 −0,5 ⎠ ⎝ −6 + 6 3 − 2 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠

2.3. Решение матричных уравнений О

Если A , B - известные матрицы, а X – неизвестная, то равенство вида A ⋅ X = B называется матричным уравнением.

Основные типы матричных уравнений: 1. A ⋅ X = B . Матрица A должна быть квадратной, A ≠ 0 . Умножим уравнение на A−1 слева: A−1 ⋅ A ⋅ X = A−1B , E ⋅ X = A−1B , X = A−1B . 2. X ⋅ A = B . Матрица A должна быть квадратной, A ≠ 0 . Умножим уравнение на A−1 справа: X ⋅ AA−1 = B ⋅ A−1 ⇒ X = B ⋅ A−1 . 3. A ⋅ X ⋅ B = C . Матрицы A и B должны быть квадратными, A ≠ 0 , B ≠ 0 . Умножим на A−1 слева: A−1 ⋅ A ⋅ X ⋅ B = A−1C ⇒ X ⋅ B = A−1C . Умножим на B −1 справа: X ⋅ B ⋅ B −1 = A−1C ⋅ B −1 ⇒ X = A−1 ⋅ C ⋅ B −1 . Пример:

Решить матричное уравнение: A ⋅ X = B , ⎛1 2⎞ ⎛3 5⎞ где A = ⎜ ⎟; B = ⎜ ⎟. ⎝3 4⎠ ⎝5 9⎠

26

Лекции 1-2

X = A −1 B , A−1 =

1 ⎞ ⎛ −2 1 ( A∨ )T = ⎜ ⎟, det A ⎝1, 5 −0, 5 ⎠

1 ⎞ ⎛ 3 5 ⎞ ⎛ − 1 − 1⎞ ⎛− 2 ⎛ − 1 − 1⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟. ⎟⎟ , X = ⎜⎜ A −1 B = ⎜⎜ 3 ⎟⎠ 3⎠ ⎝ 1,5 − 0,5 ⎠ ⎝ 5 9 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2

2.4. Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров. Элементарные преобразования матриц Пусть в матрице A размерности ( m × n ) выбраны k строк и k столбцов,

причем k ≤ min ( m, n ) . Тогда элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k -го порядка. Определитель M k этой матрицы называется минором k -го порядка матрицы A .

Рангом матрицы A называется число, равное максимальному порядку r отличных от нуля миноров M k этой матрицы: r = r ( A ) = rang A . О Матрицы называются эквивалентными, что обозначается A B , если r ( A) = r ( B ) . Ранг матрицы A вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований. О

Метод окаймляющих миноров Пусть в матрице A элемент aij ≠ 0 , тогда M 1 ≠ 0 и r ( A ) ≥ 1 . Окаймляем этот элемент элементами нор 2-го порядка:

( j + 1) -го столбца и ( i + 1) -й строки, получаем миM2 =

ai , j ai +1, j

ai , j +1 . ai +1, j +1

Если M 2 = 0 , то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то r ( A ) = 1; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, то r ( A ) ≥ 2 . Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M 2 и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: M r ≠ 0 , но все M r +1 = 0 .

27

Определители и матрицы

Пример: ⎛1 −1 1 ⎞ ⎟ ⎜ Найти ранг матрицы A = ⎜ 2 − 2 2 ⎟ . ⎜ 1 1 − 1⎟ ⎠ ⎝

M 1 = 1 ; M 12 = M = 3 2

2 −2 1

1

1 −1 2 −2

= −2 + 2 = 0 , M 22 = 1

−1

= 2+ 2 = 4 ≠ 0; M3 = 2 − 2 1

−1 1 −2 2

= −2 + 2 = 0 ,

1 2 = 0 ⇒ r ( A) = 2 .

−1 −1

Метод элементарных преобразований К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие: ƒ транспонирование; ƒ перестановка строк (столбцов); ƒ умножение строки (столбца) на число α ≠ 0 ; ƒ прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки, умноженных на некоторое число; ƒ отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы. Т

1. 2.

Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Для определения ранга матрицы A методом элементарных преобразований следует: Переставить строки так, чтобы в верхнем левом углу матрицы был ненулевой элемент. Все элементы первого столбца, кроме a11 , обратить в ноль:

⎛ a11 ... a1n ⎞ M M ⎟⎟ A = ⎜⎜ M ⎜a ⎟ ⎝ m1 ... amn ⎠ 3.

⎛ a11 L a1n ⎞ ⎜ 0 M M ⎟⎟ . ⎜ ⎜ 0 L a ⎟ mn ⎠ ⎝

Повторить операцию со второй строкой: во втором столбце должен быть ненулевой элемент, после чего все элементы второго столбца, кроме a12 и a22 , обратить в ноль. Окончательно после многократного применения указанной процедуры и отбрасывания нулевых строк преобразованная матрица будет иметь вид:

28

Лекции 1-2

⎛ a11 a12 ⎜ 0 a 22 ⎜ A% = ⎜ ... ... ⎜ 0 ⎜ 0 ⎜ 0 0 ⎝

... a1,r −1 a1r ... a2,r −1 a2 r ... ... ... ... ar −1,r −1 ar −1,r ... 0 arr

... a1n ⎞ ... a2 n ⎟⎟ ... ... ⎟ . ⎟ ... ar −1,n ⎟ ... arn ⎟⎠

Тогда ранг матрицы A = r ( A ) = rang A = rang A% .

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, у студентов должны сформироваться следующие понятия: ƒ матрица - таблица, ƒ определитель - число, ƒ ранг матрицы - число, ƒ минор, ƒ алгебраическое дополнение. Студент должен уметь: ƒ вычислять определители 2-го, 3-го и n -го порядков, ƒ перемножать матрицы, ƒ находить обратную матрицу, ƒ определять ранг матрицы, ƒ решать матричные уравнения.

Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В лекции 3 излагаются элементы теории систем линейных уравнений. Системы линейных уравнений возникают при решении многих задач механики, электротехники, теоретической физики и т.д. Матричное исчисление позволяет в компактной форме получить решение таких систем. Реальные задачи, содержащие большое количество переменных (десятки и сотни), требуют владения этими методами.

3.1. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Основные определения 3.2. Системы n линейных уравнений с n неизвестными. Матричный метод решения. Правило Крамера. Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных) 3.2.1. Системы n-линейных уравнений с n неизвестными 3.2.2. Правило Крамера 3.2.3. Метод Гаусса 3.3. Теорема Кронекера - Капелли 3.4. Однородные системы линейных уравнений 3.5. Схема отыскания общего решения системы m уравнений с n неизвестными 3.6.* Фундаментальная система решений

3.1. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Основные определения Рассмотрим систему линейных уравнений (СЛУ), содержащую m уравнений и n неизвестных:

⎧a11 x1 + a12 x2 + K + a1n xn = b1 , ⎪a x + a x + K + a x = b , ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 , ⎨ KKKKKKKKKKKKK ⎪ ⎪⎩am1 x1 + am 2 x2 + K + amn xn = bm .

(1)

где aij , i = 1,..., m; j = 1,..., n - коэффициенты системы, bi , i = 1,..., m - свободные члены, x j ,

j = 1,..., n - неизвестные.

Система может быть записана в матричном виде: A ⋅ X = B ,

30

где

Лекция 3

A = ( aik )m ,n

⎛ a11 a12 ⎜a a22 = ⎜ 21 ⎜ ... ... ⎜ ⎝ am1 am 2

... a1n ⎞ ... a2 n ⎟⎟ - основная матрица системы, ... ... ⎟ ⎟ ... amn ⎠m ,n

⎛ b1 ⎞ ⎜b ⎟ B = ( bi )m ,1 = ⎜ 2 ⎟ - матрица-столбец свободных членов, ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ bm ⎠m ,1 ⎛ x1 ⎞ ⎜x ⎟ X = ( xk )n ,1 = ⎜ 2 ⎟ - матрица-столбец неизвестных. ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠ n,1 Например, первое уравнение системы получено умножением первой строки матрицы A на столбец неизвестных: a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 . О Матрица, полученная из матрицы A добавлением столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы:

⎛ a11 a12 ⎜ a a22 A = ( A B ) = ⎜ 21 ⎜ ... ... ⎜⎜ ⎝ am1 am 2 О

... a1n b1 ⎞ ⎟ ... a2 n b2 ⎟ . ... ... ... ⎟ ⎟ ... amn bm ⎟⎠ m,n+1

Упорядоченное множество из n величин x1 = c1 , x2 = c2 , … xn = cn называется решением СЛУ, если при подстановке этих чисел в систему уравнения превращаются в тождества. Решение может быть записано в виде матрицы

⎛ c1 ⎞ X = ( ck )n ,1 = ⎜⎜ ... ⎟⎟ . ⎜c ⎟ ⎝ n ⎠ n ,1 О

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

О

Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

Системы линейных уравнений

31

О

Система линейных уравнений (1) называется неоднородной, если матрица B не является нуль−матрицей ∅ , и называется однородной, если B =∅.

!

Однородная система всегда имеет нулевое (так называемое тривиальное) решение: x1 = x2 = ... = xn = 0 . Например,

⎧x + x = 1 несовместна, решений нет; 1). Система ⎨ 1 2 x + x = 2 ⎩ 1 2 ⎧x + x = 1 совместна, но не определена, так как имеет беско2). Система ⎨ 1 2 ⎩ x1 + x2 = 1 нечное множество решений: x1 = 1 − c, x2 = c или (в матричной форме) ⎛1 − c ⎞ X =⎜ ⎟ , где c - произвольная постоянная; c ⎝ ⎠ ⎧ x1 + x2 = 1 3). Система ⎨ , совместна и определена, так как имеет единствен⎩ x1 − x2 = 1 ⎛1⎞ ное решение: x1 = 1, x2 = 0 (или X = ⎜ ⎟ ). ⎝0⎠

3.2. Системы n линейных уравнений с n неизвестными. Матричный метод решения. Правило Крамера. Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных) 3.2.1. Системы n линейных уравнений с n неизвестными Т

Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, если определитель основной матрицы A отличен от нуля. Доказательство: Запишем систему уравнений в матричном виде: A ⋅ X = B , где

⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a11 ... a1n ⎞ A = ⎜⎜ ... ... ... ⎟⎟ , X = ( xi )n ,1 = ⎜⎜ ... ⎟⎟ , B = ( bk )n ,1 = ⎜⎜ ... ⎟⎟ . ⎜x ⎟ ⎜b ⎟ ⎜ a ... a ⎟ nn ⎠ n ,n ⎝ n ⎠ n ,1 ⎝ n ⎠ n ,1 ⎝ n1 Пусть det A ≠ 0, тогда существует обратная матрица A−1 , A−1 ⋅ A = E . Умножим уравнение слева на A−1 : A−1 ⋅ A ⋅ X = A−1B , X = A−1 ⋅ B .

(2)

32

Лекция 3

С

1. Если система n уравнений с n неизвестными имеет отличный от нуля определитель, она может быть решена матричным методом.

⎧x + x = 1 Например, система ⎨ 1 2 в матричном виде выглядит как ⎩ x1 − x2 = 1 ⎛1 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛1⎞ ⎜ 1 −1 ⎟ ⋅ ⎜ x ⎟ = ⎜ 1 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −1 −1 ⎞ A=⎜ , det A = −2 ≠ 0 , A−1 = ⎜ − ⎟⎜ ⎟ ⎟, 1 − 1 − 1 1 2 ⎝ ⎠⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎛ x ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −1 −1⎞⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ X = ⎜ 1 ⎟ = ⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ . ⎝ x2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ −1 1 ⎠⎝1⎠ ⎝ 0 ⎠ 2. Если однородная система n уравнений с n неизвестными имеет отличный от нуля определитель основной матрицы системы, то у нее существует только нулевое (тривиальное) решение. Для однородной системы B = ∅ ; A ⋅ X = ∅ . Так как существует A−1 , то X = A−1 ⋅∅=∅.

3.2.2. Правило Крамера Обозначим через ∆ - определитель основной матрицы системы (2) (главный определитель системы)

a11 ... a1n ∆ = det A = A = ... ... ... , an1 ... ann ∆ i - i-й вспомогательный определитель системы (2), получается из ∆ заме-

ной i -го столбца на столбец свободных членов,

a11 ... a1,i −1 b1 a1,i +1 ... a1n a21 ... a2,i −1 b2 a2,i +1 ... a2 n ∆ i = A%i = . ... ... ... ... ... ... ... an1 ... an ,i −1 bn

an ,i +1 ... ann

33

Системы линейных уравнений

Т

Если главный определитель системы линейных уравнений не равен нулю, то система совместна и определена, причём единственное решение ( x1 , x2 ,K, xn ) вычисляется по формулам Крамера:

x1 =

∆1 ∆ ∆ , x2 = 2 , … , xn = n . ∆ ∆ ∆

Доказательство: Элементы присоединенной матрицы:

(A ) V

ij

обратная к матрице коэффициентов: A−1 = менты qij =

= Aij = ( −1)i + j M ij ; матрица,

1 ⋅ ( AV )T = ( qij ) , ее элеdet A

(−1)i + j M ji

. det A Запишем элемент произведения X = A−1 ⋅ B : (−1)i + k M ki 1 ⎛ n ⎞ xi = ∑ qik bk = ∑ ⋅ bk = (−1)i + k bk M ki ⎟ . ∑ ⎜ det A det A ⎝ k =1 k =1 k =1 ⎠ n

n

По теореме о разложении определителя по столбцу сумма в круглых скобках – это определитель матрицы A%i , которая отличается от матрицы A тем, что i-й столбец заменен на столбец свободных членов. ∆ Таким образом, xi = i . ∆ Пример: ⎧2 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 9, ⎪ Решить систему: ⎨ x1 + 2 x2 + 3 x3 = 14, ⎪3 x + 4 x + x = 16. 2 3 ⎩ 1 По формулам Крамера: 2 3

2

9

3

2

2

9

2

∆ = 1 2 −3 = −6 ≠ 0, ∆1 = 14 2 −3 = −12, ∆ 2 = 1 14 −3 = −18, 3 4 1 16 4 1 3 16 1 2 3

9

∆ 3 = 1 2 14 = 12. 3 4 16 Вычислим значения неизвестных: x1 =

∆ ∆ ∆1 = 2 , x2 = 2 = 3 , x3 = 3 = −2 . ∆ ∆ ∆

34

Лекция 3

3.2.3. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) Рассмотрим систему n уравнений с n неизвестными (2). Данная система с помощью элементарных преобразований приводится к эквивалентной системе, решение которой находится проще. Элементарными преобразованиями системы являются следующие: ƒ

перемена местами двух любых уравнений системы;

ƒ

умножение любого уравнения системы на произвольное число k ≠ 0 ;

ƒ

прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на произвольное число k ≠ 0 . !

1). Элементарным преобразованиям уравнений соответствуют элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы A = ( A B ) . 2). Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. 3). Метод Гаусса справедлив и для произвольных систем ( m × n ).

Метод Гаусса предполагает следующий алгоритм:

⎧a11 x1 + ... + a1n xn = b1 ⎪ 1. Для системы уравнений ⎨.............................. ⎪a x + ... + a x = b nn n n ⎩ n1 1 записывают расширенную матрицу системы:

⎛ a11 a12 ⎜ a a22 A = ( A B ) = ⎜ 21 ⎜ ... ... ⎜⎜ ⎝ an1 an 2

... a1n b1 ⎞ ⎟ ... a2 n b2 ⎟ . ... ... ... ⎟ ⎟ ... ann bn ⎟⎠ n ,n+1

2. Элементарными преобразованиями строк приводят ее к трапециевидной форме, при этом основная матрица системы приводится к верхнему треугольному виду. 3. Возвращаясь к системе уравнений, определяют все неизвестные. Пример: ⎧ x1 + x2 + x3 = 6 ⎪ Решить систему ⎨2 x1 − x2 + x3 = 3 . ⎪x + x − x = 0 3 ⎩ 1 2 Для удобства будем обозначать строки матрицы α i , а столбцы – β j .

35

Системы линейных уравнений

⎛1 1 1 ⎜ ⎜ 2 −1 1 ⎜ 1 1 −1 ⎝ нений: ⎧ x1 + x 2 ⎪ − 3 x2 ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ x1 + 5 = 6 ⎪ ⇒ ⎨ x2 = 2 ⎪x = 3 ⎩ 3

!

6⎞ ⎟ α 2 − 2α1 3⎟ α 3 − α1 0 ⎟⎠ + − −

x3 x3 2 x3

⎛1 1 1 ⎜ ⎜ 0 −3 −1 ⎜ 0 0 −2 ⎝

= = =

6 −9 ⇒ −6

⎧ x1 ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

6⎞ ⎟ −9 ⎟ , вернемся к системе урав−6 ⎟⎠ + −

x2 3 x2

+ −

3 3 x3

= = =

6 −9 ⇒ 3

⎧ x1 = 1 ⎪ ⎨ x2 = 2 . ⎪x = 3 ⎩ 3

Употребляется также расширенный метод Гаусса, или метод Гаусса – Ньютона. В нем основная матрица системы элементарными преобразованиями строк преобразуется к диагональному виду, пункт 2 предыдущей схемы (так называемый прямой ход) дополняется обратным ходом – преобразованием верхней треугольной матрицы к диагональной. Для предыдущего примера это будет выглядеть так:

⎛1 1 1 ⎜ ⎜ 0 −3 −1 ⎜ 0 0 −2 ⎝

6⎞ ⎟ −9 ⎟ −6 ⎟⎠

⎛1 1 1 ⎜ ⎜ 0 −3 −1 ⎜0 0 1 ⎝

⎛1 1 0 ⎜ ⎜0 1 0 ⎜0 0 1 ⎝

3⎞ ⎟ 2⎟ 3 ⎟⎠

6⎞ ⎟ −9 ⎟ 3 ⎟⎠

⎛1 0 0 ⎜ ⎜0 1 0 ⎜0 0 1 ⎝

⎛1 1 0 ⎜ ⎜ 0 −3 0 ⎜0 0 1 ⎝

3⎞ ⎟ −6 ⎟ 3 ⎟⎠

1⎞ ⎟ 2⎟, 3 ⎟⎠

откуда ответ очевиден.

3.3. Теорема Кронекера - Капелли Рассмотрим систему m -линейных уравнений с n -неизвестными (1). В начале лекции было показано, что ее можно представить в матричном виде. Будем рассматривать матрицу A размерности m × n как набор строк α i (столбцов β j ):

⎛ α1 ⎞ ⎜ ⎟ α A=⎜ 2 ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝α m ⎠

или

A = ( β1 , β 2 , ..., β n ) ,

36

Лекция 3

⎛ a1 j ⎞ ⎜a ⎟ 2j где α i = (ai1 , ai 2 ,..., ain ) – матрица - строка; β j = ⎜ ⎟ - матрица-столбец. ⎜ M ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ amj ⎠ Введем понятие линейной зависимости строк (столбцов) матрицы. О

Линейной комбинацией строк называется выражение вида: k

λ1α1 + λ2α 2 + ... + λkα k = ∑ λα i i = i =1

= λ1 ( a11 a12 ... a1n ) + λ2 ( a21 a22 ... a2 n ) + ... + λk ( ak 1 ak 2 ... akn ). О

Строки матрицы α1 , α 2 , ..., α k называют линейно зависимыми, если существует такой набор чисел λ1 , λ2 , ..., λk , не равных одновременно нулю, при которых линейная комбинация строк обращается в ноль:

λ1α1 + λ2α 2 + ... + λkα k = 0 . Т

Строки матрицы являются линейно зависимыми, если одна из них является линейной комбинацией остальных:

α k = λ1α1 + λ2α 2 + ... + λk −1α k −1 + λk +1α k +1 + ... + λnα n . !

Действиям над строками матрицы соответствуют действия над уравнениями системы.

О

Пусть матрица A размерности (m × n) имеет ранг r . Отличный от нуля минор порядка r , составленный из элементов матрицы A , называется базисным минором матрицы A .

О

Неизвестные, коэффициенты перед которыми входят в базисный минор, называются базисными неизвестными. Неизвестные, не являющиеся базисными, называются свободными.

Т

Теорема о базисном миноре. Если матрица (m × n) имеет ранг r , то существуют r таких строк (столбцов), что все остальные строки (столбцы) являются линейными комбинациями данных. Из элементов, входящих в эти строки (столбцы), можно построить базисный минор матрицы.

!

Базисных миноров может быть много, но ранг определяется однозначно.

С

1). Строки (столбцы), входящие в базисный минор, линейно независимы. 2). Все строки (столбцы) матрицы, не входящие в базисный минор, линейно зависимы с базисными.

37

Системы линейных уравнений

3). Число линейно независимых строк матрицы равно числу линейно независимых столбцов и равно рангу r . 4). rang ( A ) ≤ min ( m, n ) . Т

Теорема Кронекера - Капелли. Для того чтобы система m уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы: r ( Α) = r ( Α Β ) . Доказательство*:

Достаточность. Пусть r ( Α) = r (Α Β ) . Рассмотрим столбцы матрицы A и A :

⎛ b1 ⎞ ⎛ a11 ⎞ ⎛ a1n ⎞ ⎜ M ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ β1 = ⎜ 21 ⎟ , … , β n = ⎜ 2 n ⎟ , B = ⎜ ⎟ . ⎜ M ⎟ ⎜ M ⎟ ⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ bm ⎠ ⎝ a m1 ⎠ ⎝ amn ⎠ Так как добавление столбца B в множество {β 1 ,..., β n } не увеличивает количество линейно независимых столбцов, столбец B есть линейная комбинация столбцов основной матрицы, т.е. существуют такие x1 , x2 ,K , xn ≠ 0 , что

B = x1β1 + x2 β 2 + K + xn β n , или

⎛ b1 ⎞ ⎛ a11 ⎞ ⎛ a12 ⎞ ⎛ a1n ⎞ ⎜ M ⎟ = x ⎜ M ⎟ + x ⎜ M ⎟ + ... + x ⎜ M ⎟ . 1⎜ n⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 2⎜ ⎟ ⎟ ⎜b ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ m⎠ ⎝ m1 ⎠ ⎝ m2 ⎠ ⎝ mn ⎠ ⎧b1 = a11 x1 + ... + a1n xn ⎪ Записывая последнее в виде ⎨M , ⎪b = a x + ... + a x m1 1 mn n ⎩ m убеждаемся в том, что x1 , x2 ,K, xn - решение системы, система совместна.

Необходимость. Пусть система совместна, x1 , x2 ,K, xn - решение системы. Записывая систему в виде ⎛ a11 ⎞ ⎛ a12 ⎞ ⎛ a1n ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ M ⎟ x + ⎜ M ⎟ x + ... + ⎜ M ⎟ x = ⎜ M ⎟ , ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ n ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ m1 ⎠ ⎝ m2 ⎠ ⎝ mn ⎠ ⎝ m⎠ x1β1 + x2 β 2 + K + xn β n = B ,

видим, что B является линейной комбинацией β1 ,..., β n , добавление столбца свободных членов не увеличивает ранга матрицы, r ( A) = r ( A) .

Итак, если r ( Α ) ≠ r ( Α Β ) , то система заведомо не имеет решений; если же

r ( Α ) = r ( Α Β ) , то возможны два случая: 1) если r = n , тогда решение единственно; 2) если r < n , тогда решений бесконечно много.

38

Лекция 3

3.4. Однородные системы линейных уравнений Однородная система имеет вид:

⎧a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0, ⎪a x + a x + ... + a x = 0, ⎪ 21 1 22 2 2n n ⎨ ⎪............................................ ⎪⎩am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0, ей соответствует матричное уравнение Α ⋅ Χ = ∅ . Однородная система всегда совместна, так как r ( A) = r ( A) , поскольку нулевой столбец не меняет ранг матрицы, всегда существует нулевое решение (0, 0, ..., 0) .

Т

Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r ( A) < n . Доказательство: 1) r не может быть больше n (ранг матрицы не превышает числа столбцов или строк); 2) r ≠ n , т.к. если r = n , то главный определитель системы ∆ ≠ 0 , и, по формулам Крамера, существует единственное тривиальное решение x1 = x2 = ... = xn = 0 , что противоречит условию. Значит, r ( A) < n .

С

Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ∆ = 0.

3.5. Схема отыскания общего решения системы m уравнений с n неизвестными 1. Находим ранги матриц A и ( A B ) .

Если r (Α ) ≠ r ( Α Β ) , то система не имеет решений.

Если r (Α ) = r ( Α Β ) = r , то у системы есть решения. У матриц A и

( A B)

есть общий базисный минор. Выбираем его. 2. Оставляем в системе только те уравнения, коэффициенты которых входят в общий базисный минор. Остальные уравнения являются линейными комбинациями этих уравнений и не несут дополнительной информации.

39

Системы линейных уравнений

3. Сравниваем ранг и количество неизвестных. Если r = n , то есть порядок базисного минора совпадает с количеством неизвестных, решаем систему n уравнений с n неизвестными (ее определитель ∆ ≠ 0 ) и получаем единственное решение. Если r < n , то в системе имеются (n − r ) свободных неизвестных. Тогда x1 , x2 , ..., xr – базисные неизвестные, а xr +1 , ..., xn – свободные неизвестные. Переносим свободные неизвестные в правую часть уравнений системы:

⎧a11 x1 + a12 x2 + ... + a1r xr = b1 − a1,r +1 xr +1 − ... − a1n xn , ⎪ ⎪a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 r xr = b2 − a2,r +1 xr +1 − ... − a2 n xn , ⎨ ⎪........................................................................... ⎪ar1 x1 + ar 2 x2 + ... + arr xr = bn − ar ,r +1 xr +1 − ... − arn xn . ⎩

(3)

или, в матричной форме,

% % = B% + x B% + x B% + ... + x B% , AX r 0 r +1 1 r +2 2 n n−r

(4)

где

⎛ a11 a12 ⎜ %A = ⎜ a21 a22 ⎜ ... ... ⎜ ⎝ ar1 ar 2

... a1r ⎞ ... a2 r ⎟⎟ , det A% ≠ 0 , ... ... ⎟ ⎟ ... arr ⎠

⎛ a1,r +1 ⎞ ⎛ a1,n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎜x ⎟ ⎜b ⎟ 2, r +1 ⎟ 2, n ⎟ 2⎟ 2⎟ ⎜ % ⎜ % % % ⎜ Xr = , B0 = , B1 = − , ..., Bn−r = − ⎜ . ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ br ⎠ ⎝ xr ⎠ ⎝ ar ,r +1 ⎠ ⎝ ar ,n ⎠ Система (3) является следствием исходной системы (1) и ее решение может быть найдено любым ранее рассмотренным способом. Пусть свободные неизвестные принимают значения

xr +1 = c1 , xr + 2 = c2 , ..., xn = cn − r . Тогда система (4) принимает вид: % % = B% + c B% + c B% + ... + c B% AX r 0 1 1 2 2 n−r n−r

(5)

и базисные неизвестные x1 , x2 , ..., xr выражаются определенным образом через эти значения: xi = xi ( c1 , c2 , ..., cn − r ) , i = 1, 2,..., r .

40

Лекция 3

Решение неоднородной системы A ⋅ X = B можно записать в виде матрицыстолбца:

⎛ x1 (c1 , c2 , ..., cn−r ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 (c1 , c2 , ..., cn−r ) ⎟ ⎜ ........................... ⎟ ⎜ ⎟ xr (c1 , c2 , ..., cn−r ) ⎟ ⎜ X= . ⎜ ⎟ c1 ⎜ ⎟ c ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ ... ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ cn−r ⎝ ⎠

(6)

Поскольку свободные неизвестные могут принимать произвольные числовые значения, то исходная система имеет бесконечно много решений. Выражение (6) называется общим решением системы (1). Если константам c1 , c2 , ..., cn−r придать конкретные значения, то получим частное решение системы (1). Пример: ⎧2 x1 + 3 x2 − x3 = 2, ⎪ Решить систему: ⎨7 x1 + 4 x2 + 2 x3 = 8, ⎪3 x − 2 x + 4 x = 5. 2 3 ⎩ 1

Рассмотрим расширенную матрицу: ⎛ 2 3 −1 2 ⎞ ⎛ −1 3 2 2 ⎞ ⎜ ⎟ ( Α Β ) = ⎜ 7 4 2 8 ⎟ ~ β3 ↔ β1 ~ ⎜⎜ 2 4 7 8 ⎟⎟ ~ ⎜ 3 −2 4 5 ⎟ ⎜ 4 −2 3 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ −1

α + 2α1 ⎜ ~ 2 ~ 0 α 3 + 4α1 ⎜⎜ ⎝0

3 2 2⎞ ⎟ 10 1112 ⎟ . 0 0 1 ⎟⎠

Следовательно, r ( Α) = 2 и r ( Α Β) = 3 . Поскольку r ( Α) ≠ r ( Α Β) , система

несовместна. Очевидно, что третье уравнение преобразованной системы: 0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 + 0 ⋅ x3 = 1 не имеет решений.

41

Системы линейных уравнений

Пример: x1 − x2 + x3 = 12, ⎧ ⎪ 2 x + 3 x − x = 13, ⎪ 1 2 3 Решить систему ⎨ 3 x 2 + 4 x3 = 5, ⎪ ⎪⎩− 3 x1 + x2 + 4 x3 = −20.

Рассмотрим расширенную матрицу: ⎛ 1 −1 1 12 ⎞ ⎛ 1 −1 ⎜ ⎟ ⎜ 2 3 −1 13 ⎟ α 2 − 2α1 ⎜ 0 5 ⎜ ( Α Β) = ~ ~ ⎜ 0 3 4 5 ⎟ α 4 + 3α1 ⎜ 0 3 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ −3 1 4 −20 ⎠ ⎝ 0 −2 ⎛ 1 −1 ⎜ 0 3 ~ α2 + α4 ~ ⎜ ⎜0 3 ⎜⎜ ⎝ 0 −2

1 12 ⎞ ⎟ 3 −11⎟ ~ 4 5 ⎟ ⎟ 7 16 ⎟⎠

1 12 ⎞ ⎛ 1 −1 1 12 ⎞ ⎟ 4 5 ⎟ α 2 − α3 ⎜ ⎟ ~ ~ ⎜ 0 −2 7 16 ⎟ ~ ⎟ α4 ↔ α2 ⎜ 4 5 ⎟ ⎟⎟ ⎝0 3 4 5 ⎠ 7 16 ⎠

⎛ 1 −1 1 12 ⎞ ⎛ 1 −1 1 12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ~ 2α 3 + 3α 2 ~ ⎜ 0 −2 7 16 ⎟ ~ ⎜ 0 −2 7 16 ⎟ ⎜ 0 0 29 58 ⎟ ⎜ 0 0 1 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Следовательно, r ( Α) = r ( Α Β) = 3 , поэтому система совместна и имеет единственное решение. ⎧ x1 − x2 + x3 = 12, ⎪ Преобразованная система имеет вид: ⎨ − 2 x2 + 7 x3 = 16, ⎪ x3 = 2, ⎩ ее решение: x1 = 9, x2 = −1, x3 = 2 .

42

Лекция 3

Пример: ⎧ x1 − 4 x2 + 2 x3 = −1, ⎪ Решить систему ⎨2 x1 − 3 x2 − x3 − 5 x4 = −7, ⎪3 x − 7 x + x − 5 x = −8. 2 3 4 ⎩ 1 Рассмотрим расширенную матрицу:

⎛ 1 −4 2 0 −1 ⎞ ⎛ 1 −4 2 0 −1 ⎞ ⎜ ⎟ α 2 − 2α1 ⎜ ⎟ ( Α Β) = ⎜ 2 −3 −1 −5 −7 ⎟ ~ ~ ⎜ 0 5 −5 − 5 − 5 ⎟ ~ ⎜ 3 −7 1 −5 −8 ⎟ α 3 − 3α1 ⎜ 0 5 −5 −5 −5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 −4 2 0 −1⎞ ⎛ 1 0 −2 −4 −5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ~ α 3 − α 2 ~ ⎜ 0 1 −1 −1 −1⎟ ~ α1 + 4α 2 ~ ⎜ 0 1 −1 −1 −1 ⎟ . ⎜0 0 0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Следовательно, r ( Α) = r ( Α Β) = 2 , поэтому система совместна и не определена. Выберем x1 и x2 в качестве базисных неизвестных и запишем преобразованную систему: ⎧ x1 = −5 + 2 x3 + 4 x4 , ⎨ ⎩ x2 = −1 + x3 + x4 .

Полагая x3 = c1 , x4 = c2 , где c1 и c2 − произвольные числа, получаем общее решение системы ⎛ x1 ⎞ ⎛ −5 + 2c1 + 4c2 ⎞ ⎛ −5 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x2 ⎟ ⎜ −1 + c1 + c2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ 1⎟ 1 ⎜ ⎜ = = + c1 + c2 ⎜ ⎟ . X= ⎜ x3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ c1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c2 ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝ x4 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝0⎠ Решение соответствующей однородной системы ⎧ x1 − 4 x2 + 2 x3 = 0, ⎪ ⎨2 x1 − 3 x2 − x3 − 5 x4 = 0, ⎪3 x − 7 x + x − 5 x = 0 2 3 4 ⎩ 1 можно записать в виде: ⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎟ 1 ⎜ X = c1 + c2 ⎜ ⎟ . ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎝1⎠

43

Системы линейных уравнений

3.6*. Фундаментальная система решений Т

Если СЛУ имеет вид A ⋅ X = c1B1 + c2 B2 , то ее решение может быть записано в виде X = c1 X 1 + c2 X 2 , где X 1 и X 2 - решения систем A ⋅ X = B1 и A ⋅ X = B2 соответственно. Доказательство:

X 1 = A−1 ⋅ B1 , X 2 = A−1 ⋅ B2 , X = A−1 ⋅ ( c1 B1 + c2 B2 ) = A−1 ⋅ ( c1 B1 ) + A−1 ⋅ ( c2 B2 ) = = c1 A−1 ⋅ B1 + c2 A−1 ⋅ B2 = c1 X 1 + c2 X 2 . В предыдущем параграфе возникла система (5) % % = B% + c B% + c B% + ... + c B% . AX r 0 1 1 2 2 n−r n−r Из только что доказанной теоремы следует, что

X% r = X% r ,0 + c1 ⋅ X% r ,1 + c2 ⋅ X% r ,2 + ... + cn − r ⋅ X% r , n − r ,

(7)

где X% r ,0 , X% r ,1 , X% r ,2 , ..., X% r ,n − r - решения системы (5) при подстановке в нее (5) вместо правой части столбцов B0 , B1 , B2 , ..., Bn − r .

⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ x2 % = X Поскольку r ⎜ ⎟ , это означает, что базисные неизвестные линейно зависят от ⎜ ... ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ xr ⎠ свободных неизвестных и в выражении, приведенном в предыдущем параграфе ⎛ x1 (c1 , c2 , ..., cn − r ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 (c1 , c2 , ..., cn − r ) ⎟ ⎜ ........................... ⎟ ⎜ ⎟ xr (c1 , c2 , ..., cn − r ) ⎟ ⎜ X =⎜ ⎟ c1 ⎜ ⎟ c2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ... ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c n−r ⎝ ⎠

(8)

для общего решения системы xi = xi (c1 , c2 , ..., cn − r ) - линейные функции

c1 , c2 , ..., cn − r . Это позволяет записать матрицу–столбец (6) - общее решение системы (1) в виде:

X = X 0 + c1 ⋅ X 1 + c2 ⋅ X 2 + ... + cn − r ⋅ X n − r ,

(9)

44

Лекция 3 где частные решения X i (i = 0, 1, 2, ..., n − r ) , образующие фундаментальную систему решений, получены при следующих значениях постоянных в выражении (5):

⎛ x1 (0, 0, ..., 1) ⎞ ⎛ x1 (0, 0, ..., 0) ⎞ ⎛ x1 (1, 0, ..., 0) ⎞ ⎛ x1 (0, 1, ..., 0) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 (0, 0, ..., 1) ⎟ ⎜ x2 (0, 0, ..., 0) ⎟ ⎜ x2 (1, 0, ..., 0) ⎟ ⎜ x2 (0, 1, ..., 0) ⎟ ⎜ ................... ⎟ ⎜ .................... ⎟ ⎜ .................... ⎟ ⎜ .................... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ xr (0, 0, ..., 0) ⎟ xr (1, 0, ..., 0) ⎟ xr (0, 1, ..., 0) ⎟ xr (0, 0, ..., 1) ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ X0 = , X1 = ,X = , ..., X n − r = . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 0 1 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 1 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ... ... ... ... ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 0 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Выражение (9) называется разложением по фундаментальной системе решений.

В результате изучения материала, изложенного в этой лекции, студент должен знать: ƒ основные понятия теории СЛУ (основная и расширенная матрицы системы, совместные / несовместные, определенные/неопределенные однородные/неоднородные системы, базисные и свободные неизвестные, общее и частное решение СЛУ); ƒ способ выяснения, имеет ли система решения (теорема Кронекера – Капелли); ƒ методы решения СЛУ – матричный, правило Крамера, метод Гаусса; ƒ схему отыскания общего решения СЛУ. Студент должен понимать, что преобразования строк матриц системы соответствуют преобразованиям уравнений системы.

Лекция 4 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В лекции 4 излагаются элементы векторной алгебры. Необходимость применения векторного исчисления при изложении технических дисциплин вызвана не столько удобством и наглядностью математических формулировок законов, сколько объективными свойствами изучаемых явлений. Направленные величины используются при описании широкого круга явлений, относящихся к теоретической механике, механике жидкости и газа, теории электромагнетизма. Курс математики для инженерных специальностей включает также элементы векторного анализа, который будет излагаться после изучения дифференциального и интегрального исчислений одного и нескольких переменных. 4.1. Основные определения 4.2. Линейные операции над векторами 4.3.* Линейная зависимость векторов. Геометрические критерии линейной зависимости. 4.4. Базис и координаты 4.5. Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат 4.6. Скалярное произведение векторов. Определение. Алгебраические свойства. Геометрические приложения. Выражение через декартовы координаты сомножителей 4.7. Векторное произведение векторов. Определение. Алгебраические и геометрические свойства. Выражение через декартовы координаты сомножителей 4.8. Смешанное произведение векторов. Определение. Алгебраические и геометрические свойства. Выражение через декартовы координаты сомножителей

4.1. Основные определения Величины, для определения которых достаточно знать одно число, называются скалярами (температура, масса, работа силы, плотность). Величины другого рода характеризуются не только численным значением, но и направлением в пространстве. Таковы перемещение, скорость, ускорение, сила, напряженность электрического поля и т.д. Рассмотрение такого рода величин приводит к понятию вектора. О

Геометрическим вектором (вектором) называется направленный отрезок (отрезок, у которого одна граничная точка считается начальной, другая – конечной).

46

Лекция 4

На чертеже вектор обозначается стрелкой; uuur r над буквенным обозначением вектора также ставится стрелка AB , a . О Длиной вектора (модулем) называется расстояние между началом и конuuur r цом вектора. Обозначение: AB или a . О

Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совr r падают: 0 , 0 = 0 .

Векторы называются коллинеарными, если лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. О Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если тройка векторов содержит нулевой вектор или пару коллинеарных векторов, то эти векторы компланарны. О

!

Вектор, фигурирующий в определении, носит название связанного, или закрепленного вектора. uuur Если же точка приложения вектора (точка A для вектора AB ) может быть выбрана произвольно, вектор называется свободным. Если точка приложения может двигаться по линии действия вектора, говорят о r скользящем векторе. Иначе говоря, свободный вектор a является представителем бесконечного множества связанных или скользящих векторов. В дальнейшем мы будем рассматривать только свободные векторы. Для них, в частности, справедливо следующее определение.

О

Два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинаковую r rдлину и направление. Например, a = b .

4.2. Линейные операции над векторами r r О

r r Суммой a + b двух векторов a и b называется r a в конец вектор, идущий из начала вектора r r вектора b при условии, что начало вектора b приr ложено к концу вектора a (правило треугольника).

47

Векторная алгебра

Свойства операции сложения векторов: r r r r 1˚. a + b = b + a (переместительное свойство). r r r r r r 2˚. a + b + c = a + b + c (сочетательное свойст-

(

)

(

)

во). r 3˚. Существует нулевой вектор 0 , такой, что r r r r a + 0 = a для любого вектора a (особая роль нулевого вектора). r 4˚. Для каждого вектора a существует противоr r положный ему вектор a′ = − a , такой, что r r r a + (− a ) = 0 . Свойства доказываются геометрически. Докажем, например, свойствоuuu 1˚. r r ABCD . Пусть a = AB Рассмотрим произвольный параллелограмм uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r , r uuur r r uuur b = BC . Тогда a + b r= AC BC = AD , DC = AB ⇒ AC = AD + DC = b + a . r . Но r r Таким образом, a + b = b + a . При доказательстве свойства 1˚ обосновано еще одно правило сложения векторов, называемое правилом параллелограмма: если r r векторы a и b приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма r r a + b этих векторов представляет собой диагональ параллелограмма, идущую из общего r r начала векторов a и b . r r r r ! Вычитание векторов определяется через сложение: a − b = a + (− b ) . r r Иначе: если векторы a и b приложены к общему началу, то разностью r r r r r векторов a и b будет вектор a − b , идущий из конца вектора b к концу r вектора a . r r α a вектора a на вещественное число α называется О Произведением r r r вектор b , коллинеарный вектору a , имеющий длину α ⋅ a и наr правление, совпадающее с направлением вектора a в случае α > 0 и r противоположное направлению вектора a в случае α < 0 . Геометрический смысл операции умножения вектора на число: r r при умножении вектора a на число α вектор a «растягивается» в α раз 1 раз. Если α < 0 , векпри α > 1 , при 0 < α < 1 вектор «сжимается» в !

α

тор, кроме этого, меняет направление на противоположное.

48

Лекция 4

Свойства операции умножения вектора на число: r r r r 5˚. α a + b = α a + α b (распределительное свойство относительно суммы

(

)

векторов). r r r 6˚. (α + β ) a = α a + β a (распределительное свойство относительно суммы чисел). r r 7˚. α ( β a ) = (αβ ) a (сочетательное свойство числовых сомножителей). r r 8˚. 1 ⋅ a = a (существование единицы). Докажем,r например, свойство 5˚. Отложим r векторы a и b от общего начала и построим на них параллелограмм, диагональ которого будет r r представлять собой сумму a + b . При «растяжении» ( α > 1 ) сторон этого па«растягивается» в α раз, но это и раллелограмма в α раз его rдиагональ также r r r означает, что сумма α a + α b равна α (a + b ) . !

Свойства 1˚ ÷ 7˚ для векторов позволяют производить выкладки в векторной алгебре по тем же правилам, по которым производятся аналогичные выкладки в алгебре вещественных чисел.

4.3.* Линейная зависимость векторов. Геометрические критерии линейной зависимости О

r r r Линейной комбинацией векторов a1 , a2 , ..., an называют выражение:

r

r

r

n

r

α1a1 + α 2 a2 + ... + α n an = ∑ α i ai , i =1

О

!

где α1 , α 2 , ..., α n - произвольные действительные числа. r r r Система векторов a1 , a2 , ..., an называется линейно зависимой, если существуют действительные числа α1 , α 2 , ..., α n , такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля, и выполняется равенство: r r r r α1a1 + α 2 a2 + ... + α n an = 0 . (*) В противном случае, т.е. если линейная комбинация (*) обращается в ноль только при всех α i = 0, i = 1, ..., n , то система векторов называется линейно независимой. Если векторы линейно зависимы, то любой вектор может быть выражен в виде линейной комбинации остальных. Например, если α n ≠ 0 , то из (*) следует, что n −1 α α r r r r r an = β1a1 + β 2 a2 + ... + β n −1an −1 = ∑ β i ai , где β1 = − 1 , ..., β n −1 = − n −1 . i =1

αn

αn

49

Векторная алгебра

Т

Геометрические критерии линейной зависимости r r Система двух ненулевых векторов a1 , a2 линейно зависима тогда, и только тогда, когда векторы коллинеарны. Доказательство: α r r r r r r r Необходимость. Пусть α1a1 + α 2 a2 = 0 и α1 ≠ 0 . Тогда α1a1 = − α 2 a2 , a1 = − 2 a2 ; или

α r r a1 = λ a2 , где λ = − 2 .

α1

α1

Т Т

r r r r r Достаточность. Пусть a1 = λ a2 . Запишем это равенство в виде a1 − λ a2 = 0 или r r r α1a1 + α 2 a2 = 0 , где α1 = 1 , α 2 = −λ ≠ 0 . Итак, существует нулевая линейная комбинация с ненулевыми коэффициентами, а это и означает, что система векторов линейно зависима. r r r Система трех векторов a1 , a2 , a3 линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны. r r r r Система четырех векторов всегда линейно зависима, т.е. для любых a1 , a2 , a3 , a4

найдутся такие числа α1 , α 2 , α 3 , α 4 , не равные одновременно нулю, что r r r r r α1a1 + α 2 a2 + α 3 a3 + α 4 a4 = 0 .

4.4. Базис и координаты О

Базисом в пространстве будем называть три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

Базисом на плоскости будем называть два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке. О Базисом на прямой будем называть любой ненулевой вектор этой прямой. О

Т

Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве и это разложение единственно. r r r Иначе, если a , b , c – три некомпланарных r d вектора в пространстве, то rлюбой вектор r r r может быть записан в виде: d = α a + β b + γ c . Доказательство возможности: r r r Пусть a , b , c - некоторый базис в пространr стве, d - произвольный вектор. Тогда

{

}

50

Лекция 4

r r r r r r r α a + β b + γ c = 0 только при α = β = γ = 0 . α1ar + α 2b + α 3cr + α 4 d = 0 , r r r r α ≠ 0 α = 0 при этом 4 , так как если 4 , то α1a + α 2b + α 3c = 0 , а этого

r r r быть не может, т.к. a , b , c - базис. Тогда

r

r

{

}

r

r r

α 4 d = −α1a − α 2b − α 3c , d = −

r r r α1 r α 2 r α 3 r r a − b − c , d = αa + βb + γ c . α4 α4 α4

Доказательство единственности: r Предположим, что существуют два разложения вектора d по базису r r r r r r r r r r r a , b , c , то есть d = α1a + β1b + γ 1c ; d = α 2 a + β 2b + γ 2c . Вычтем из одr r r r ного равенства другое: (α1 − α 2 ) a + ( β1 − β 2 ) b + (γ 1 − γ 2 ) c = 0 . Так как r r r r r r a , b , c - базис, ни один из векторов a , b , c не может быть выражен

{

}

{

}

через другие β1 = β 2 , γ 1 = γ 2 .

{

при

ненулевых

}

коэффициентах,

поэтому

α1 = α 2 ,

r Геометрически вектор d представляет собой пространственную диагоr r r наль параллелепипеда, построенного на векторах a , b и с . О Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в данном базисе и в каждом базисе определяются однозначно: !

r r r r d = α a + β b + γ c ={ α , β ,γ } .

r r При сложении двух векторов d1 и d 2 их координаты (относительно люr бого базиса) складываются. При умножении вектора d1 на любое число α все его координаты умножаются на это число. Доказательство: r r r r r r r r Пусть d1 = α1a + β1b + γ 1c , d 2 = α 2 a + β 2b + γ 2c . Тогда в силу свойств 1˚-7˚ линейных операций r rнад векторами r r r d1 + d 2 = (α1 + α 2 )a + ( β1 + β 2 )b + (γ 1 + γ 2 )c , r r r r λ d1 = (λα1 )a + (λβ1 )b + (λγ 1 )c . В силу единственности разложения вектора по базису теорема доказана. О Системой координат в пространстве называют совокупность базиса r r r a , b , c и некоторой точки, называемой началом координат. uuuur О Вектор OM , идущий из начала координат в точку M , называется радиус-вектором точки M . uuuur О Координатами точки M (α , β , γ ) называются координаты вектора OM . uuuur Таким образом, координаты радиус-вектора OM и координаты точки M совпадают. Т

{

}

51

Векторная алгебра

4.5. Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат Пусть в качестве базиса выбраны три взаимно перпендикулярных вектора с длинами, равными единице. rr r r r r Обозначения: i, j,k , i = j = k = 1

{

О

О

}

Такой базис называетсяr ортонормированным r r (ОНБ). Векторы i , j , k называются базисными ортами. Зафиксируем точку О – начало коr r r ординат и отложим от нее векторы i , j , k . Полученная система координат называется прямоугольной декартовой. Координаты любого вектора в этом базисе называются декартовыми координатами вектора: r r r r a = { x, y, z} = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k

Z

z r k

r 0 x i

M r j

Y y

X

Прямые линии, проведенные через начало координат по направлениям r базисных векторов, называются координатными осями: i – порождает r r Ox ; j – порождает Oy ; k – порождает Oz . Координаты точки М (вектора uuuur OM ) в декартовой системе координат по осям Ox , Oy , Oz называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой. r Декартовы прямоугольные координаты x, y, z вектора a равны проекциям этого вектора на оси Ox , Oy , Oz соответственно; другими словами, r r r r r r x = npOX a = a cos α , y = npOY a = a cos β , z = npOZ a = a cos γ . r Здесь α , β , γ – углы, которые составляет вектор a с координатными осями Ox , Oy , Oz соответственно, при этом cosα , cos β , cos γ называr ются направляющими косинусами вектора a . r a r Вектор a0 = r = {cosα , cos β , cos γ } представляет собой вектор единичa ной длины данного направления, или орт данного направления. Для направляющих косинусов справедливо соотношение:

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 .

52

Лекция 4

4.6. Скалярное произведение векторов. Определение. Алгебраические свойства. Геометрические приложения. Выражение через декартовы координаты сомножителей

( )

r r r r Углом между векторами a и b (обозначается a , b ) называется наиr меньший угол, на который надо повернуть вектор a до совмещения с r вектором b . r r О Проекцией вектора a на ось l, прl a , называется uuuuur величина А`В` направленного отрезка A`B` оси l. r r r r r r прl a = a cos ϕ = a cos a , l0 , где l0 - орт О

( )

О

оси l. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: r r r r r r r r r r a ⋅ b = a , b = a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos a , b . r r r r Если один из векторов a , b нулевой, то a ⋅ b = 0 .

(

!

( )

) ( )

(

)

Алгебраические свойства скалярного произведения: r r r r 1˚. Переместительное свойство: a ⋅ b = b ⋅ a . r r r r r r λ a ⋅ b = λ a ⋅ b = a ⋅ λb 2˚. Сочетательное свойство: r r r r r r r a + b ⋅ c = (a ⋅ c ) + b ⋅ c , 3˚. Распределительное свойство: r r r r r r r a ⋅ b + c = a ⋅ b + (a ⋅ c ) . r r r r r r r r 4˚. ( a ⋅ a ) > 0 , если a ≠ 0 , и ( a ⋅ a ) = 0 , если a = 0 .

( (

) ( ) ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ( )) ( )

!

Доказательства свойств следуют из определения.

Геометрические приложения скалярного произведения: 1.

Связь с понятием модуля: r r r r r r r2 r2 r ( a ⋅ a ) = a ⋅ a cos a , a = a cos 0o = a ; a =

( )

r r

(a ⋅ a ) .

2.

r r a ⋅b r r Косинус угла между векторами: cos a , b = r r . a⋅b

3.

Связь с понятием проекции.

( )

(

)

53

Векторная алгебра

r r r Проекция прbr a вектора a на вектор b : r r r r r r ⋅b a ⋅ b a ⋅ b a r r r r r r r = = a прbr a = a cos a , b = a ⋅ r , т.е. пр r . r r b a ⋅ b b b r r a ⋅b r Аналогично: прar b = r . a Необходимым и достаточным условием ортогональности (перпендикулярности) двух ненулевых векторов является равенство нулю их скалярr r r π r r r ного произведения: a ⊥ b : a , b = ⇔ a ⋅ b = 0 . 2

(

( )

(

4.

)

(

)

(

)

)

( )

(

)

Выражение скалярного произведения векторов через декартовы координаты сомножителей r r Т Если два вектора a и b заданы своими декартовыми прямоугольными r r координатами a = { x1 , y1 , z1} , b = { x2 , y2 , z2 } , то скалярное произведение этих векторов равно сумме парных произведений их соответствуюr r щих координат, т.е. a ⋅ b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . r r r r r r r r Доказательство: a = x1i + y1 j + z1k , b = x2i + y2 j + z2 k . В силу свойств 2 и 3 имеем: r r r r r r r r a ⋅ b = x1i + y1 j + z1k ⋅ x2 i + y2 j + z2 k = r r r r r r = x1 x2 ( i ⋅ i ) + x1 y2 ( i ⋅ j ) + x1 z2 i ⋅ k + r r r r r r + y1 x2 ( j ⋅ i ) + y1 y2 ( j ⋅ j ) + y1 z2 j ⋅ k + r r r r r r + z1 x2 k ⋅ i + z1 y2 k ⋅ j + z1 z2 k ⋅ k . r r r r r r Так как i ⊥ j , i ⊥ k , j ⊥ k , r r r r r r r r r r r r то (i ⋅ j ) = (i ⋅ k ) = ( j ⋅ i ) = ( j ⋅ k ) = ( k ⋅ i ) = ( k ⋅ j ) = 1 ⋅ 1 ⋅ cos 90o = 0 . r r r r r r r r r r Но (i ⋅ i ) =| i |2 cos(i , i ) =| i |2 = 1 , аналогично ( j ⋅ j ) = 1 , ( k ⋅ k ) = 1 . r r Таким образом, a ⋅ b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .

(

(

)

) ((

)(

( )

(

С

(

)

)) ( ) ( ) ( )

)

r 1. Длина вектора: a = { x, y, z} ,

r a =

r r

(a ⋅ a ) =

2. Расстояние между двумя точками: Если A = ( x1, y1, z1 ) , B = ( x2 , y2 , z2 ) – точки,

x2 + y2 + z2 .

54

Лекция 4

uuur то ρ( AB) = AB = (x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2 . 3. Угол между векторами: r r Если a = ( x1 , y1 , z1 ) , b = ( x2 , y2 , z2 ) , то r r ⋅b a r x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 r cos a , b = r . r = a ⋅ b x12 + y12 + z12 ⋅ x22 + y22 + z22 r r r 4. Проекция прbr a вектора a на вектор b r r ⋅b a x x + y1 y2 + z1 z2 r прbr a = r = 1 2 . 2 2 2 b x2 + y 2 + z 2

( )

(

)

(

)

5. Направляющие косинусы вектора: r r cos α = cos a , i =

( ) r r cos β = cos ( a , j ) =

( )

r r cos γ = cos a , k =

x x2 + y2 + z2 y x +y +z z 2

2

2

x2 + y2 + z2 cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

, , ;

4.7. Векторное произведение векторов. Определение. Алгебраические свойства. Геометрические приложения. Выражение через декартовы координаты сомножителей О

r r r Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a1 , a2 , a3 , приведенных к одному началу, называется правой, если из конца третьего вектоr r r ра a3 кратчайший поворот первого вектора a1 ко второму a2 виден совершаемым против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой . uur uur a3 a3 uur a2 uur a2 ur ur a1 a1 правая

левая

55

Векторная алгебра

О

О

Система координат называется правой, если ее базисные векторы образуют правую тройку. В дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат. При перестановке местамиr двух соседних векторов ориентация тройки r r rr r r r r rr r r r r меняется. Если тройки a b c , b c a , c a b - правые, то a c b , c b a , r rr b a c - левые. При круговой (циклической) перестановке векторов ориентация тройки не меняется.

r r Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор r r r r r r r c = ⎡⎣ a , b ⎤⎦ = ⎡⎣ a × b ⎤⎦ = a × b , удовлетворяющий следующим трем требованиям: r r r 1). Длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус r r r r r r r угла между ними, т.е. c = ⎡⎣ a × b ⎤⎦ = a ⋅ b ⋅ sin a , b . r r r r 2). Вектор c ортогонален к каждому из векторов ar и b , т.е. c перпендиr кулярен плоскости, в которой лежат векторы и b. a r r rr 3). Вектор c направлен так, что тройка a b c является правой.

( )

Алгебраические свойства векторного произведения: r r r r ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ a × b = − b 1˚. Антиперестановочность сомножителей: ⎣ ⎦ ⎣ × a⎦ . r r r r ⎡α a × b ⎤ = α ⎡ a × b ⎤ . 2˚. Сочетательное свойство: ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ r r r r r r r ⎡ a + b × c ⎤ = [a × c ] + ⎡b × c ⎤ . 3˚. Распределительное свойство: ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ r r r r 4˚. [ a × a ] = 0 для любого вектора a . Геометрические свойства векторного произведения векторов: r r Т Модуль вектора ⎡ a × b ⎤ равен площади Sпар параллелограмма, построен⎣ ⎦ r r ного на векторах a и b . r r Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , равна

( )

uuur uuur r r r r r Sпар =| AD | ⋅ | BE |=| b | ⋅h =| b || a | sin a, b .

56

Лекция 4

Т

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения. Доказательство: r r Необходимость. Пусть a и b коллинеарны. r r r r r r r r r Тогда [a × b ] =| a | ⋅ | b | ⋅ sin a , b = 0 ⇒ [a × b ] = 0 .

( )

Достаточность. r r r r r r r r r Пусть [a × b ] = 0 ⇒ [a × b ] = 0 ⇒ | a | ⋅ | b | ⋅ sin a , b = 0 . r r Тогда существуют три возможности: 1) либо sin a , b = 0 , r r 2) либо ar = 0 , r 3) либо b = 0 . r r r r r r r r 1) sin a , b = 0 ⇒ a , b = 0 , a коллинеарен b ; 2) и 3) a коллинеарен b

( ) ( )

( )

( )

по определению. Т

Выражение векторного произведения через координаты сомножитеr r лей. Если два вектора a и b заданы своими декартовыми координатами r r a = { x1 , y1 , z1} , b = { x2 , y2 , z2 } , то их векторное произведение имеет вид: r r r c = ⎡⎣ a × b ⎤⎦ = { y1 z2 − z1 y2 , z1 x2 − x1 z2 , x1 y2 − y1 x2 } , или в виде символического определителя ния): r r i j r r r c = ⎡⎣ a × b ⎤⎦ = x1 y1 x2 y 2

(более удобном для запомина-

r k z1 . z2

Доказательство: r r r Тройка i , j , k - правая. Преобразуем: r r r r r r r r r c = ⎡⎣ a × b ⎤⎦ = ⎡ x1i + y1 j + z1k × x2i + y2 j + z2 k ⎤ = ⎣ ⎦ r r r r r r = x1 x2 ⎡⎣ i × i ⎤⎦ + x1 y2 ⎡⎣ i × j ⎤⎦ + x1 z2 ⎡⎣ i × k ⎤⎦ + r r r r r r + y1 x2 ⎡⎣ j × i ⎤⎦ + y1 y2 ⎡⎣ j × j ⎤⎦ + y1 z2 ⎡⎣ j × k ⎤⎦ + r r r r r r + z1 x2 ⎡⎣ k × i ⎤⎦ + z1 y2 ⎡⎣ k × j ⎤⎦ + z1 z2 ⎡⎣ k × k ⎤⎦ .

{

}

(

) (

)

57

Векторная алгебра

Заметим, что

r r r r r r r r r r r r ⎡⎣i × i ⎦⎤ = ⎣⎡ j × j ⎦⎤ = ⎣⎡k × k ⎦⎤ = 0, ⎣⎡i × j ⎦⎤ = − ⎣⎡ j × i ⎦⎤ = k , r r r r r r r r r r ⎡i × k ⎤ = − ⎡ k × i ⎤ = − j , ⎡ j × k ⎤ = − ⎡ k × j ⎤ = i . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ r

С учетом этих равенств выражение для c можно представить в виде: r r r r r ⎡ a × b ⎤ = ( y1 z2 − z1 y2 ) ⋅ i − ( x1 z2 − z1 x2 ) ⋅ j + ( x1 y2 − y1 x2 ) ⋅ k , ⎣ ⎦ что можно выразить через определители:

y r r ⎡a × b ⎤ = 1 ⎣ ⎦ y 2

С

z1 r x1 ⋅i − z2 x2

z1 r x1 ⋅j+ z2 x2

r i y1 r ⋅ k = x1 y2 x2

r j y1

r k z1 .

y 2 z2 r r Если два вектора a = ( x1 , y1 , z1 ) и b = ( x2 , y2 , z2 ) коллинеарны, то их x y z координаты пропорциональны, то есть 1 = 1 = 1 . x2 y2 z2

4.8. Смешанное произведение векторов. Определение. Алгебраические и геометрические свойства. Выражение через декартовы координаты сомножителей О

r r r r Если вектор a умножить векторно на вектор b , а результат ⎡⎣ a × b ⎤⎦ скаr лярно умножить на вектор c , то полученное число называется смешанr r r rrr r r r ным произведением векторов a , b , c : ⎡⎣ a × b ⎤⎦ ⋅ c = a b c . r r r Смешанное произведение некомпланарных векторов a , b , c по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, приведенных к одному началу. Оно положительно, если тройка r r r r r r если она левая. Если же векторы , b, c a , b , c правая и отрицательно, a r rr компланарны, то a b c равно нулю. Доказательство: Объем параллелепипеда равен произведеr a нию площади основания на высоту. r r r Sосн. = ⎡⎣b × c ⎤⎦ ; h = a ⋅ cosθ ; r и r r r c V = Sосн. ⋅ h = ⎡⎣b × c ⎤⎦ ⋅ a ⋅ cos θ = 0 r r r r r r r b = a , ⎡⎣b × c ⎤⎦ = a b c .

(

Т

(

)

)

58 !

Лекция 4

rrr Знак смешанного произведения зависит от знака cosθ : a b c > 0 , если r вектор a направлен в ту же сторону, от плоскости, определяемой вектоr r r r рами b и c , что и вектор ⎡⎣b × c ⎤⎦ , т.е. когда тройка векторов правая; анаrrr логично доказывается, что a b c < 0 для левой тройки. r r r r Если же векторы a , b и c компланарны, то вектор c лежит в плоскости, r r r r r r определенной векторами a и b , следовательно, пр er c = 0 ⇒ ⎡⎣a × b ⎤⎦ ⋅ c = 0 .

(

С

)

rr r r r r r r r r r r rrr 1. ⎡⎣ a × b ⎤⎦ ⋅ c = ⎡⎣ b × c ⎤⎦ ⋅ a = [ c × a ] ⋅ b , поскольку тройки a b c и b c a , rrr c a b имеют одинаковую ориентацию (циклическая перестановка векторов в смешанном произведении не меняет его знака). Нециклическая перестановка векторов в смешанном произведении приводит к изменению ориентации векторов и смене знака смеr r r r r rтройки rrr rrr шанного произведения: b a c = a c b = c b a = − a b c . Это означает, что rrr смешанное произведение можно записывать просто в виде a b c , так как r r r r r r r r r ⎡ a × b ⎤ ⋅ c = ⎡ b × c ⎤ ⋅ a = a ⋅ ⎡ b × c ⎤ (смешанное произведение зависит ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ от порядка сомножителей, но не зависит от того, какие сомножители связаны первичным знаком векторного произведения). 2. Критерий компланарности трех векторов. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Доказательство: rrr r r r Если a b c = a ⋅ ⎡⎣b × c ⎤⎦ ⋅ cos θ = 0 , то должно выполняться хотя бы одно из условий: r 1) a = 0 => векторы компланарны; r r r r r r r ⎡ ⎤ 2) ⎣b × c ⎦ = 0 , если b и c коллинеарны, => a , b , c - компланарны; r r r r r r ⎡ ⎤ 3) cosθ = 0 , тогда a ⊥ ⎣b × c ⎦ , т.е. a компланарен b и c . r r r Обратно, если a , b , c - компланарны и не имеют место случаи 1) и 2), то имеет место случай 3).

(

(

) (

) (

) (

) (

)

)

59

Векторная алгебра

Выражение смешанного произведения через декартовы координаты сомножителей r r r Т Если три вектора a , b и c заданы своими декартовыми координатами r r r r r r r r r r r r a = x1i + y1 j + z1k , b = x2i + y2 j + z2 k , c = x3i + y3 j + z3k , то смешанное rrr произведение a b c равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов:

Доказательство:

r i r r ⎡ b × c ⎤ = x2 ⎣ ⎦ x3

( С

r j y2 y3

r r r y a ⋅ ⎡⎣b × c ⎤⎦ = x1 2 y3

)

x1 rrr a b c = x2

y1

z1

y2

z2 .

x3

y3

z3

r k r y z2 = i 2 y3 z3

z2

z2 z3

− y1

rx +k 2 z3 x3

rx −j 2 z3 x3

z2

x2

z2

x2

y2

x3

z3

x3

y3

+ z1

y2 y3

,

x1 = x2

y1 y2

z1 z2 .

x3

y3

z3

Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов, заданных в декартовом базисе, является равенство нулю определителя третьего порядка, в первой строке которого записаны координаты первого вектора, во второй - второго, в третьей - третьего.

В результате изучения материала, изложенного в этой лекции, студент должен знать: ƒ различия между скалярными и векторными величинами; ƒ определения и свойства линейных операций над векторами (сложение и умножение на число); ƒ понятие базиса и координат вектора в данном базисе; ƒ определения скалярного, векторного и смешанного произведений; ƒ алгебраические и геометрические свойства произведений векторов; ƒ выражение произведений векторов через координаты сомножителей; ƒ что вычисляется с помощью произведений векторов: скалярного (число) – длины векторов, углы, проекции, векторного (вектор) – площади треугольников и параллелограммов, смешанного (число) – объемы.

Лекция 5 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Предметом изучения аналитической геометрии является описание геометрических объектов на плоскости и в пространстве с помощью уравнений. Методы аналитической геометрии широко используются в современном естествознании и прикладных технических дисциплинах при построении математических моделей объектов и процессов. В лекции 5 рассматриваются наиболее простые объекты, описываемые уравнениями первой степени – плоскости и прямые. Приводятся различные виды уравнений плоскостей и прямых в пространстве, показывается, для какого типа задач тот или иной тип более уместен. Примеры иллюстрируют методы решения типичных задач. 5.1. Основы аналитической геометрии 5.1.1. Уравнение поверхности 5.1.2. Уравнения линии 5.2. Плоскость в пространстве 5.2.1. Плоскость как поверхность первого порядка. Общее уравнение плоскости. 5.2.2. Неполные уравнения плоскостей 5.2.3. Уравнения плоскости «в отрезках» 5.2.4. Нормальное уравнение плоскости 5.2.5. Расстояние от точки до плоскости 5.2.6. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки 5.2.7. Угол между двумя плоскостями 5.2.8. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей 5.3. Прямая линия в пространстве 5.3.1. Векторное уравнение прямой 5.3.2. Параметрические уравнения прямой 5.3.3. Канонические уравнения прямой 5.3.4. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки 5.3.5. Общие уравнения прямой 5.3.6. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую 5.3.7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 5.4. Прямая и плоскость 5.4.1. Точка пересечения прямой и плоскости 5.4.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве

61

5.1. Основы аналитической геометрии 5.1.1. Уравнение поверхности Аналитическая геометрия ставит своей задачей изучение геометрических объектов с помощью аналитического метода. Геометрические объекты: точка, линия, поверхность. Точка. Задается аналитически совокупностью чисел: одного - для точки на прямой; двух - для точки на плоскости; трех - для точки в пространстве. Эти числа называются координатами. Введем в пространстве декартову прямоугольную систему координат, r r r т.е. зададим начало координат 0, базис i j k , оси Ox, Oy, Oz. О

Декартовыми координатами uuuur точки М называются декартовы координаты ее радиус–вектора OM = { x, y, z } . Более сложные геометрические объекты задаются уравнениями, связывающими координаты точек, принадлежащих данному объекту. Эти уравнения реализуют условия принадлежности точки данному геометрическому объекту. Пусть задано уравнение: F (x, y, z) = 0 (*) и поверхность S. Поверхность S - есть геометрическое место точек, определяемое уравнением (*), если координаты любой точки поверхности S удовлетворяют уравнению (*), а координаты любой точки, не лежащей на ней, - не удовлетворяют.

О

Поверхность, определяемая в декартовой системе координат алгебраическим уравнением n–й степени, называется алгебраической поверхностью n–го порядка.

5.1.2. Уравнения линии В аналитической геометрии каждая линия в пространстве рассматривается как пересечение двух поверхностей и определяется заданием двух уравнений. Если F(x, y, z)=0 и Ф(x, y, z)=0 являются уравнениями двух поверхностей S1 и S2, пересекающихся по линии L , то линия L есть геометрическое место общих точек этих поверхностей, координаты которых удовлетворяют систе⎧ F ( x, y, z ) = 0, ме уравнений: L : ⎨ ⎩Φ ( x, y, z ) = 0.

62

Лекция 5

5.2. Плоскость в пространстве 5.2.1. Плоскость как поверхность первого порядка. Общее уравнение плоскости Т

В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость. Возьмем на плоскости P произвольную точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) . Выбеr рем вектор n = { A, B, C} , перпендикулярный плоскости (нормальный вектор). Пусть M ( x, y, z ) – произвольная точка плоскости P . Точка M принадлежит плоскости P (записывается: M ( x, y, z ) ∈ P ) тогда и только uuuuuur r uuuuuur r тогда, если M 0 M ⊥ n => ( M 0 M ⋅ n ) = 0 . uuuuuur r Так как n = { A, B, C}, M 0 M = {x − x0 , y − y0 , z − z0 }, то скалярное произведение r uuuuur (n ⋅ M 0 M ) = A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) . Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) с нормальr ным вектором n = { A, B, C} , имеет вид:

A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 . Раскрывая скобки и обозначая через D = − Ax0 − By0 − Cz0 , получим уравнение первой степени (так называемое общее уравнение плоскости):

Ax + By + Cz + D = 0 . Составим, например, уравнение плоскости, проходящей через точку M (1,1,1) перпендикулярно r к вектору n = {2, 2,3} . Искомое уравнение примет вид:

2 ( x − 1) + 2 ( y − 1) + 3 ( z − 1) = 0 , 2 x + 2 y + 3z − 7 = 0 . С

Если два уравнения A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 определяют одну и ту же плоскость, то коэффициенты их пропорциональны:

A1 B1 C1 D1 = = = . A2 B2 C2 D2

Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве

63

5.2.2. Неполные уравнения плоскостей Если в общем уравнении плоскости отсутствуют какие-то слагаемые, то оно называется неполным. Рассмотрим частные случаи уравнения первой степени

Ax + By + Cz + D = 0 . D = 0: Ax + By + Cz = 0

- плоскость, проходящая через начало координат.

Эти уравнения определяют плоскости, параллельные соответственно координатным осям OX, OY, OZ, так как соответствующие компоненты нормального вектора плоскости равны нулю: r А = 0: By + Cz + D = 0 - n ║YOZ → P ║ OX; r B = 0: Ax + Cz + D = 0 - n ║XOZ → P ║ OY; r C = 0: Ax + By + D = 0 - n ║XOY → P ║ OZ. Эти уравнения определяют плоскости, параллельные соответственно координатным плоскостям OXY, OXZ, OYZ: r A = 0, B = 0: Cz + D = 0 - n ║OZ → P ║ XOY; r A = 0, C = 0: By + D = 0 - n ║OY → P ║ XOZ; r B = 0, C = 0: Ax + D = 0 - n ║OX → P ║ YOZ. Эти уравнения определяют координатные плоскости XOY, XOZ,YOZ: A = 0, B = 0, D = 0: Cz = 0 - плоскость XOY; A = 0, C = 0, D = 0: By = 0 - плоскость XOZ; B = 0, C = 0, D = 0: Ax = 0 - плоскость YOZ.

5.2.3. Уравнение плоскости «в отрезках» Пусть плоскость не проходит через начало координат. Преобразуем общее уравнение плоскости:

Ax By Cz + + = 1, −D −D −D x y z + + = 1. D D D − − − A B C

Ax + By + Cz = − D ,

64

Лекция 5

x y z + + = 1 называется уравнением плоскости «в отрезках». a b c −D −D −D Параметры a = , b= , c= представляют собой координаты точек A B C пересечения плоскости с координатными осями и равны (с точностью до знака) отрезкам, отсекаемым плоскостью на координатных осях. Пусть, например, точка лежит на оси Оx и плоскости Р, т.е. y0 = z0 = 0 . x Тогда 0 = 1 , откуда x0 = a . a Уравнение

Пример: Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость 2x – 4y + 6z –12 = 0? Приведем общее уравнение плоскости к виду уравнения «в отрезках»: 2x 4 y 6z x y z − + =1⇒ + + = 1. 12 12 12 6 −3 2 Отрезки, отсекаемые на осях, равны a = 6 , b = −3 , c = 2 . Отрицательный знак перед b показывает, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy .

5.2.4. Нормальное уравнение плоскости Пусть Р – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, а M ( x, y, z ) uuuur – произвольная точка плоскости ( OM = {x, y, z} ), uuur r длина вектора OP = p , n0 – единичный вектор норuur r мали к плоскости, n0 = 1 , no = {cosα ,cos β ,cos γ } . Проекция радиус-вектора любой точки плоскоr сти на направление, задаваемое вектором n0 – велиuuuur чина постоянная, равная p: пр nr0 OM = p , uuuur uuuur uur r пр n0 OM = OM ⋅ n0 = x cosα + y cos β + z cos γ . Уравнение x cosα + y cos β + z cos γ = p задает нормальное уравнение плоскости в виде

x cosα + y cos β + z cos γ − p = 0 , где cosα ,cos β ,cos γ - направляющие косинусы нормали к плоскости, а p – расстояние от плоскости до начала координат (длина нормали, опущенной на плоскость из начала координат).

65

Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве

Приведение уравнения плоскости к нормальному виду (нормализация) Приведем общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 к нормальному виду: x cosα + y cos β + z cos γ − p = 0 . Так как эти уравнения определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны: cosα = µ A,cos β = µ B,cos γ = µC , − p = µ D . Из условия cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 , которому удовлетворяют направляющие косинусы вектора, следует, что µ 2 ( A2 + B 2 + C 2 ) = 1 . Введем так называемый нормирующий множитель µ = ±

1

, A2 + B 2 + C 2 знак которого определяется из условия µ D < 0 , т.е. должен быть противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения. Умножением на нормирующий множитель µ общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду: µ Ax + µ By + µCz + µ D = 0. !

1. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду позволяет узнать ее расположение относительно системы координат. 2. Введение нормирующего множителя соответствует замене произвольr ного вектора нормали n = { A, B, C} в уравнении плоскости единичным r uur n вектором нормали no = {cosα ,cos β ,cos γ } = r . |n|

5.2.5. Расстояние от точки до плоскости О

Отклонением δ точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) от плоскости называется число, равное длине перпендикуляра, опущенного из точки M 1 на плоскость, взятое со знаком «-», если точка M 1 и начало координат находятся по одну сторону от плоскости, и со знаком «+», если по разные стороны. Пусть дана точка M 1 ( x1 , y1 , z1 ) . Спроектируем точку M 1 на нормаль к r плоскости n. Отклонение δ = PQ = OQ − OP. uuuuur uuur OQ = пр nr OM 1 , OP = p, uuuuur δ = пр nr OM 1 − p, uuuuur r пр n OM 1 = x1 cosα + y1 cos β + z1 cos γ ,

δ = x1 cosα + y1 cos β + z1 cos γ − p .

66

Лекция 5

Таким образом, чтобы найти отклонение какой-либо точки от плоскости, нужно в левую часть нормального уравнения этой плоскости подставить координаты точки. Если плоскость задана общим уравнением, то отклонение точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) от плоскости Ax + By + Cz + D = 0 вычисляется по формуле

δ=

Ax1 + By1 + Cz1 + D ± A + B +C 2

2

.

2

Расстояние от точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) до плоскости:

d = δ =

Ax1 + By1 + Cz1 + D A +B +C 2

2

2

.

Пример: Найти расстояние от точки M ( 4,3,1) до плоскости 3x − 4 y + 12 z + 14 = 0 .

µ= −

−1 3 + 4 + 12 2

2

2

=−

1 ; 13

1 (3 x − 4 y + 12 z + 14) = 0, 13

δ =−

1 (3 ⋅ 4 − 4 ⋅ 3 + 12 ⋅1 + 14) = −2 → d = 2. 13

5.2.6. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки Пусть даны три точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , M 3 ( x3 , y3 , z 3 ). M ( x, y,z ) - текущая точка плоскости. Рассмотрим три вектора: uuuuur M1M = {x − x1 , y − y1, z − z1} , uuuuuuur M1M 2 = {x2 − x1 , y2 − y1 ,z2 − z1} , uuuuuuur M1M 3 = {x3 − x1 , y3 − y1 ,z3 − z1} . Точка M ( x, y, z ) лежит в плоскости M1M 2 M 3 в том и только в том случае, есuuuuuur ли эти векторы компланарны. Условие компланарности трех векторов M1M ,

67

Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве

uuuuuuur uuuuuuur M1M 2 и M1M 3 определяет плоскость, проходящую через три данные точки: uuuuuur uuuuuuur uuuuuuur M1M ⋅ M1M 2 ⋅ M1M 3 = 0 . x − x1 x2 − x1 x3 − x1

y − y1 y2 − y1 y3 − y1

z − z1 z2 − z1 = 0. z3 − z1

5.2.7. Угол между двумя плоскостями Пусть плоскости P1 и P2 заданы уравнениями: A1x + B1 y + C1z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. Угол между плоскостями определяется как угол между их нормальными векr r торами n1 = { A1 , B1 , C1}, n2 = { A2 , B2 , C2 } .

ur uur

(n , n ) cos ϕ = ur uur = 1

A1 A2 + B1B2 + C1C2

2

| n1 || n2 |

A + B +C ⋅ A + B +C 2 1

2 1

2 1

2 2

2 2

2 2

.

Пример: Найти угол между плоскостями x − y − 2 z − 6 = 0, y = 0. r r Нормальные векторы плоскостей n1 = {1,−1,− 2} , n 2 = {0,1,0} .

cos ϕ =

1 ⋅ 0 − 1 ⋅1 − 2 ⋅ 0 2

12 + 12 + 2 ⋅ 02 + 12 + 02

=−

1 → ϕ = 60° . 2

5.2.8. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей Плоскости P1 и P2 параллельны, если их нормальные векторы r r n1 = { A1 , B1 , C1} и n2 = { A2 , B2 , C2 } коллинеарны, то есть их координаты проA B C порциональны: 1 = 1 = 1 . A2 B2 C2 Плоскости P1 и P2 перпендикулярны, если их нормальные векторы r r перпендикулярны, (n1 ⋅ n2 ) = 0, следовательно, A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 .

68

Лекция 5

5.3. Прямая линия в пространстве 5.3.1. Векторное уравнение прямой Рассмотрим некоторую прямую L в пространстве. Пусть M 0 – фиксированная точка L ( M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ L ). M – произвольная точка L r ( M ( x, y, z ) ∈ L ), a = {l , m, n} – направляющий вектор прямой (любой вектор, лежащий на прямой либо параллельный ей). Точка M принадлежит uuuuuur r прямой L тогда и только тогда, когда M 0 M a и эти uuuuuur r векторы пропорциональны: M 0 M = t ⋅ a . uuuuuur r r r r Так как M 0 M = rM − rM 0 , где rM , rM 0 - радиус–векторы точек M и M 0 , то для r r r произвольной точки на прямой имеем: rM = rM 0 + t ⋅ a – векторное уравнение

прямой. 5.3.2. Параметрические уравнения прямой В координатном виде векторное уравнение прямой распадается на три:

⎧ x = x0 + l ⋅ t , ⎪ ⎨ y = y0 + m ⋅ t , ⎪ ⎩ z = z0 + n ⋅ t - параметрические уравнения прямой.

5.3.3. Канонические уравнения прямой x − x0 y − y0 z − z0 Исключая параметр t, получим - канонические = = l m n уравнения прямой, проходящей через фиксированную точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и r имеющей направляющий вектор a = {l , m, n}. 5.3.4. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки Пусть даны две точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y2 , z2 ) . В направляющего вектора прямой выберем uuuuuurкачестве M 1M 2 = {x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1} , и уравнение прямой примет вид:

x − x1 y − y1 z − z1 . = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

вектор

69

Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве

5.3.5. Общие уравнения прямой Рассмотрим две плоскости:

⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. A1 B1 C1 = = , то плоскости параллельны. В противном случае плоскоA2 B2 C2 сти пересекаются и соответствующие уравнения определяют прямую линию пересечения плоскостей. Если

5.3.6. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую Пусть прямая L задана линией пересечения двух плоскостей:

⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. Возьмем любые отличные от нуля числа α и β и составим равенство

α ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 . Это равенство определяет плоскость, которая проходит через прямую L. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей. Если положить λ = β

α , то уравнение

A1 x + B1 y + C1 z + D1 + λ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 определяет все плоскости пучка, кроме второй из задающих прямую.

5.3.7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Пусть заданы направляющие векторы прямых r r L1 : a1 = {l1 , m1 , n1} , L2 : a2 = {l2 , m2 , n2 } .

ϕ

Угол между прямыми принимается равным углу между направляющими векторами:

cos ϕ =

l1l2 + m1m2 + n1n2 l12 + m12 + n12 ⋅ l22 + m22 + n22

.

L1

L2

70

Лекция 5

r r Прямые будут параллельны, если их направляющие векторы a1 и a2 паралl m n лельны, т.е. 1 = 1 = 1 . l2 m2 n2 Прямые будут перпендикулярны, если их направляющие векторы перпендикулярны, то есть, l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 .

5.4. Прямая и плоскость 5.4.1. Точка пересечения прямой и плоскости Пусть даны уравнения прямой L и плоскости P :

x − x0 y − y0 z − z0 , = = l m n P : Ax + By + Cz + D = 0.

L:

Координаты точки пересечения прямой L и плоскости P должны одновременно удовлетворять этим уравнениям. Перейдем к параметрическим уравнениям прямой: x = x0 + lt , y = y0 + mt , z = z0 + nt . Подставляя их в уравнение плоскости P , получим значение параметра t, равAx + By0 + Cz0 + D ное t = − 0 , подстановка которого в параметрические уравAl + Bm + Cn нения прямой даст координаты точки пересечения прямой и плоскости.

5.4.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости Из рисунка видно, что если ϕ – угол между прямой и плоскостью, то

r r ⎛π ⎞ cos n , a = cosψ = cos ⎜ − ϕ ⎟ = sin ϕ ⎝2 ⎠

( ) π

sin ϕ = cos( − ϕ ) = 2

Al + Bm + Cn A2 + B 2 + C 2 ⋅ l 2 + m 2 + n 2

.

Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве

71

Прямая L перпендикулярна плоскости P, если направляющий вектор пряA B C мой коллинеарен нормальному вектору плоскости, т.е. = = . l m n Прямая L параллельна плоскости P, если направляющий вектор прямой r r перпендикулярен нормальному вектору плоскости, (a ⋅ n ) = 0, т.е. Al + Bm + Cn = 0.

В результате изучения материала, изложенного в этой лекции, студент должен знать: ƒ виды уравнений плоскости, назначение каждого вида, способ преобразования одного вида в другой; ƒ виды уравнений прямой, назначение каждого вида, способ преобразования одного вида в другой; ƒ способы решения стандартных задач, связанных с прямой и плоскостью: (угол между плоскостями, между прямыми, между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности этих объектов, расстояние от точки до плоскости, координаты точки пересечения прямой и плоскости).

Лекция 6 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция 6 посвящена аналитической геометрии на плоскости. Рассмотрены задачи, связанные с простейшими объектами на плоскости – точками и прямыми. Подробно анализируются кривые второго порядка: выводятся канонические уравнения кривых, исследуется их форма, обсуждаются элементы кривых. Показано, что преобразованиями координат, т.е. параллельным переносом и поворотом координатных осей общее уравнение второго порядка можно привести к каноническому виду. Заканчивается лекция рассмотрением линий в полярной системе координат и линий, заданных параметрически. 6.1. Простейшие задачи на плоскости 6.1.1. Расстояние между двумя точками 6.1.2. Деление отрезка в данном отношении 6.2. Прямая линия на плоскости 6.2.1. Общее уравнение прямой 6.2.2. Каноническое уравнение прямой 6.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки 6.2.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении 6.2.5. Уравнение прямой в отрезках 6.2.6. Нормальное уравнение прямой 6.2.7. Расстояние от точки до прямой 6.2.8. Координаты точки пересечения двух прямых 6.2.9. Угол между двумя прямыми 6.2.10. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых 6.3. Кривые второго порядка 6.3.1. Эллипс 6.3.2. Окружность 6.3.3. Гипербола 6.3.4. Парабола 6.4. Преобразования координат 6.4.1. Параллельный перенос 6.4.2. Поворот координатных осей 6.4.3. Изменение начала координат и поворот осей 6.4.4.* Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду 6.5.* Линии в полярной системе координат 6.5.1.* Полярные координаты на плоскости 6.5.2.* Связь полярных координат с декартовыми 6.5.3.* Уравнения линий в полярной системе координат 6.6.* Параметрическое задание линий 6.6.1.* Окружность 6.6.2.* Циклоида 6.6.3.* Астроида

73

Аналитическая геометрия на плоскости

6.1. Простейшие задачи на плоскости 6.1.1. Расстояние между двумя точками Пусть даны две точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2). Расстояние между ними равно длине вектора uuuuuur M 1M 2 = { x2 − x1 , y2 − y1} и может быть вычислено по uuuuuur формуле: d = M1M 2 = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 .

6.1.2. Деление отрезка в данном отношении Точка M(x,y) делит отрезок M1M2 в отношении uuuuuur uuuuur uuuuur M 1M λ , если uuuuuur = λ . Тогда M 1M = λ MM 2 , а отсюда MM 2

x − x1 y − y1 = = λ , и координаты точки М находятx2 − x y2 − y x1 + λ x2 ⎧ x = ⎪⎪ 1+ λ . ся по формулам: ⎨ y y λ + 2 ⎪y = 1 ⎪⎩ 1+ λ Координаты середины отрезка С получаются при М1М=ММ2, то есть λ = 1 :

xc =

x1 + x2 y + y2 , yc = 1 . 2 2

Отметим, что число λ не зависит от того, как выбрано положительное направление на отрезке М1М2, так как при изменении направления на противоположное λ не меняется.

6.2. Прямая линия на плоскости 6.2.1. Общее уравнение прямой Общее уравнение прямой на плоскости XOY получается из общего уравнения плоскости в пространстве при z = 0. Прямая на плоскости в декартовых координатах задается уравнением Ax+By+C=0. Если А = 0 (В = 0), то прямая параллельна оси OX (оси OY). Если С=0, то прямая проходит через начало координат. Если прямая проходит через точку r (x0,y0) перпендикулярно вектору n = { A, B} , ее уравнение принимает вид: A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0 .

74

Лекция 6

6.2.2. Каноническое уравнение прямой Если прямая проходит через точку (x0,y0) параллельно направляющему r вектору a = {l,m} , то из канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве при z = 0 получаем каноническое и параметрические уравнения прямой на плоскости в виде x − x0 y − y0 ⎧ x = x0 + lt , = и⎨ l m ⎩ y = y0 + mt , где t – параметр, t ∈ (−∞, ∞) .

6.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки Y M2

M1 O

X

Пусть на плоскости заданы две точки M1(x1,y1), M2(x2,y2). Для того чтобы написать уравнение прямой, проходящей через эти точки, полагаем в соответствующем уравнении прямой в пространстве z = z1 = z2 = z3 = 0. Тогда получаем искомое уравнение в виде x − x1 y − y1 = . x2 − x1 y2 − y1

6.2.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении Пусть прямая составляет угол α с осью OX. Угловым коэффициентом прямой k называется число k = tgα . Прямая может быть задана точкой М1(x1,y1) и угловым коэффициентом k или двумя точками М1(x1,y1) и М2(x2,y2). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k может быть получено из общего уравнения прямой Ax+By+C=0, если B ≠ 0 , тогда y = k x + b , где C А k = − и b = − . Пусть прямая пересекает ось OY B B в точке P(0,b). Из уравнения прямой, проходящей через две точки, имеем y − y1 y − y1 = 2 ( x − x1 ). x2 − x1

75

Аналитическая геометрия на плоскости

y2 − y1 = tgα = k . Таким образом, y − y1 = k ( x − x1 ). Уравнение x2 − x1 полученной прямой принимает вид уравнения прямой с угловым коэффициентом k, если b = y1 - k x1. Отсюда

6.2.5. Уравнение прямой в отрезках Общее уравнение прямой Ax+By+C=0 может быть преобразовано к виду x y уравнения прямой «в отрезках»: + = 1 . Прямая в отрезках пересекает ось a b OX в точке А(а,0) и ось OY в точке В(0,b).

6.2.6. Нормальное уравнение прямой Пусть известно расстояние от прямой до начала uuur координат OP = p и угол α между перпендикуляром к прямой и осью OX. Из нормального уравнения плоскости в пространстве, полагая z = 0 и учитывая, что

π

cos( − α ) = sin α , 2 получаем нормальное уравнение прямой на плоскости в виде: x cosα + y sin α − p = 0 . Нормальное уравнение прямой можно получить из общего уравнения прямой 1 Ax+By+C=0, умножив его на нормирующий множитель µ = ± . Знак A2 + B2 числа µ должен быть противоположен знаку числа С. Косинусы углов, образуемых прямой с осями координат, называются направляющими косинусами прямой. Если угол между прямой и осью OX равен α и угол между прямой и осью OY равен β, то cos 2 α + cos 2 β = 1 .

6.2.7. Расстояние от точки до прямой Расстояние d от точки M0(x0,y0) до прямой, задаваемой нормальным уравнением, равно модулю отклонения точки от прямой δ, d = |δ|, где

δ = x0 cos α + y0 sin α − p = ±

Ax0 + By0 + C A +B 2

2

.

76

Лекция 6

По этой формуле δ положительно, если точка М0 и начало координат лежат по разные стороны от прямой, в противном случае δ отрицательно.

6.2.8. Координаты точки пересечения двух прямых Если прямые заданы уравнениями A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, то координаты точки их пересечения (x0, y0) получаются как решение системы уравнений:

⎧ A1 x + B1 y + C1 = 0, ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C2 = 0 по формулам Крамера в виде:

B1 x0 =

C1

C1

B2 C2 C , y0 = 2 A1 B1 A1 А2

B2

A2

A1 A A2 , при 1 B1 A2 B2

B1 ≠ 0. B2

6.2.9. Угол между двумя прямыми Пусть две прямые заданы уравнениями:

y1 = k1 x + b1 , y2 = k2 x + b2 . Острый угол ϕ пересечения этих прямых (отсчитываемый против часовой стрелки) находится из следующих соотношений:

tgϕ = tg(α 2 − α1 ) = Отсюда tgϕ =

tgα 2 − tgα1 . 1 + tgα1 tgα 2

k 2 − k1 . 1 + k2 k1

Если прямые заданы общими уравнениями А1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, то A A угловые коэффициенты прямых равны: tgα1 = − 1 , tgα 2 = − 2 и угол ϕ меB1 B2 жду прямыми определяется формулой:

tgϕ =

A1 B2 − A2 B1 . A1 A2 + B1 B2

77

Аналитическая геометрия на плоскости

6.2.10. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых Прямые y1=k1x+b1 и y2=k2x+b2 параллельны друг другу, если ϕ = 0 . Следовательно, tgϕ = 0 , то есть k1=k2. Прямые y1=k1x+b1 и y2=k2x+b2 перпендикулярны друг другу, если ϕ = довательно, tgϕ → ∞ , то есть k1k2 = -1. Отсюда k1 = −

1 . k2

π

2

. Сле-

Если прямые заданы общими уравнениями, то: A A А1В1 – А2В1=0, 1 = 2 – условие параллельности, B1 B2 А1А2+В1В2=0 – условие перпендикулярности прямых.

6.3. Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости описываются алгебраическими уравнениями второго порядка.

6.3.1. Эллипс О Эллипсом называется геометрическое место всех точек M ( x, y ) , для которых сумма расстояний до двух заданных точек F1 ( + c,0 ) и F2 ( −c,0 )

(называемых фокусами эллипса) постоянна и равна 2a .

Каноническое уравнение эллипса может быть получено непосредственно из определения эллипса. uuuur uuuuur По определению и F1M + F2 M = 2a uuuur F1F2 = 2c, где a > c . Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками: uuuur uuuuur F1M = ( x − c) 2 + y 2 = r1 , F2 M = ( x + c) 2 + y 2 = r2 . По определению r1 + r2 = 2a . Подставим в это равенство найденные r1 и r2 :

( x + c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 = 2a .

78

Лекция 6

Проделаем очевидные преобразования: ( x + c ) 2 + y 2 = 2a − ( x − c ) 2 + y 2 ,

( x + c ) 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 , a ( x − c ) 2 + y 2 = a 2 − cx, (a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 ( a 2 − c 2 ).

Так как a > c , то положим a 2 − c 2 = b 2 , тогда b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 2

или

2

x y + 2 = 1 . Полученное уравнение называется каноническим уравнением 2 a b эллипса. Элементами эллипса являются: ƒ ƒ ƒ ƒ

точка О - центр эллипса; точки A, B, C , D - вершины эллипса; точки F1 ( + c,0 ) , F2 ( −c,0 ) - фокусы эллипса; 2c - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле:

c = a 2 − b2 ; ƒ ƒ ƒ

AB = 2a и CD = 2b - большая и малая оси эллипса; a и b - большая и малая полуоси эллипса; c e = , ( e < 1 ) - эксцентриситет эллипса, который вычисляется по форa

b2 муле: e = 1 − 2 . a Эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и характеризует его форму: чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси. Прямые, параллельные малой оси и отстоящие от неё на расстояние a / e, называются директрисами эллипса. Уравнения правой и левой директрис a эллипса имеют вид: x = ± . e a Отметим, что > a , так как для эллипса e < 1 . e b2 Фокальный параметр p = - это половина хорды, проведённой через фоa кус параллельно малой оси.

79

Аналитическая геометрия на плоскости

6.3.2. Окружность О

Окружность представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от точки О, называемой центром окружности. Уравнение окружности можно получить из уравнения эллипса при a = b = R: x2 + y2 = R2.

6.3.3. Гипербола О

Гиперболой называется геометрическое место всех точек M ( x, y ) , для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек F1 ( + c,0 ) и F2 ( −c,0 ) (называемых фокусами гиперболы) постоянна и равна 2a ( a < c ) .

Каноническое уравнение гиперболы может быть получено непосредственно из определения гипербоuuuur uuuuur лы. По определению F1M − F2 M = 2a uuuur и F1F2 = 2c, где а<с. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками: uuuur uuuuur F1M = ( x − c) 2 + y 2 = r1 , F2 M = ( x + c) 2 + y 2 = r2 . По определению r1 − r2 = ±2a . Подставим в это равенство найденные r1 и r2:

( x + c)2 + y 2 − ( x − c) 2 + y 2 = ±2a . Проделаем очевидные преобразования: ( x + c ) 2 + y 2 = ±2 a + ( x − c ) 2 + y 2 ,

( x + c ) 2 + y 2 = 4a 2 ± 4a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 , cx − a 2 = ± a ( x − c ) 2 + y 2 ,

( c 2 − a 2 ) x 2 − a 2 y 2 = a 2 ( c 2 − a 2 ).

x2 y2 Так как c>a, то положим c -a =b , тогда b x -a y =a b или 2 − 2 = 1 . a b 2

2

2

2 2

2 2

2 2

80

Лекция 6

Полученное уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. Элементами гиперболы являются: точка О - центр гиперболы; точки А и В вершины гиперболы; точки F1(+C,O) и F2(-C,O) - фокусы гиперболы; 2с -

фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле c = b 2 + a 2 ; AB=2a - действительная ось гиперболы; CD=2b - мнимая ось гиперболы; c b = c 2 − a 2 ; e = - эксцентриситет гиперболы, который вычисляется по a

b2 формуле: e = 1 + 2 , e > 1 . a Эксцентриситет определяется отношением осей гиперболы и характеризует еe форму: чем больше e, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоугольник гиперболы. Уравнения директрис гиперболы имеют вид: a x=± . e a Отметим, что < a , так как e > 1 . e Асимптоты гиперболы - это прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность. b С учётом того, что k = ± tgα = ± , уравнения асимптот гиперболы принимаa ⎛b⎞ ют вид y = ± ⎜ ⎟ ⋅ x . ⎝a⎠ b2 Фокальный параметр гиперболы p = . a 6.3.4. Парабола О

Параболой

называется геометрическое место точек M ( x, y ) , равноудалённых от заданной точки F(p/2,0) (называемой фокусом параболы) и от данной прямой (называемой директрисой параболы).

Аналитическая геометрия на плоскости

81

Каноническое уравнение параболы может быть получено непосредственно из определения параболы. uuuur uuuur uuuur p uuuur p По определению FM = MK . MK = + x , FM = ( x − )2 + y 2 . Таким об2 2

p p p p ( x − ) 2 + y 2 = + x или ( x − ) 2 + y 2 = ( + x) 2 , 2 2 2 2 2 откуда y = 2px. Полученное уравнение называется каноническим уравнением параболы. Элементами параболы являются: точка О - вершина параболы; OX - ось p параболы; точка F(р/2,0) - фокус параболы; x = − - уравнение директри2 сы параболы; e = 1 - эксцентриситет параболы; p - фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половины хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси OX). разом, получено равенство

6.4. Преобразования координат 6.4.1. Параллельный перенос Перенесём начало координат из точки О в точку О1 параллельным переносом осей. Пусть в системе координат xOy точка М имеет координаты x и y. Система координат x′O1y′ получена из системы координат xOy параллельным переносом осей, при котором начало координат О1 имеет координаты x0 и y0 в системе координат xOy. Точка М в системе координат x′O1y′ имеет координаты x′ и y′. Связь между координатами точки M(x,y) и точки M(x′,y′) в старой и новой системах координат задается формулами:

⎧ x = x′ + x0 , ⎨ ⎩ y = y′ + y0 ,

(1)

⎧ x′ = x − x0 , ⎨ ⎩ y′ = y − y0 .

(2)

82

Лекция 6

Уравнения кривых второго порядка, когда их центры симметрии находятся в точке с координатами O1(x0,y0), получаются с помощью преобразования координат при параллельном переносе осей (2). ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = R 2 - уравнение окружности с центром в точке O1(x0,y0) и радиусом R. Аналогично получаются уравнения других кривых второго порядка: ( x − x0 ) 2 ( y − y0 )2 ± = 1 - уравнения эллипса и гиперa2 b2 болы с центром симметрии в точке O1(x0,y0); ( y − y0 ) 2 = 2 p ( x − x0 ) - уравнение параболы с вершиной в точке O1(x0,y0). a При этом, например, уравнения директрис эллипса и гиперболы: x − x0 = ± , e p а параболы: x − x0 = − . Аналогично преобразуются и уравнения асимптот 2 b гиперболы: y − y0 = ± ( x − x0 ) . a

6.4.2. Поворот координатных осей Выведем формулу преобразования координат при повороте координатных осей. Повернём оси координат на угол α относительно исходной системы координат. Координаты точки М в системе координат x′Oy′ равны x′ и y′. Найдём её координаты в системе координат xOy. В треугольнике CMD ∠CMD = α , OD = x′, MD = y′. Следовательно, x = OA = OB – AB = OB - CD, Поскольку

y = MA = AC + CM = DB + CM.

OB = x′ cosα , CD = y′ sin α , CM = y′ cosα , DB = x′ sin α ,

то

⎧ x = x′ cosα − y′ sin α , ⎨ ⎩ y = x′ sin α + y′ cosα .

(3)

Эти формулы выражают старые координаты (x,y) произвольной точки М через новые координаты (x′,y′) этой же точки при повороте осей на угол α. Формулы, выражающие новые координаты (x′,y′) точки М через её старые координаты (x,y), получим из следующих соображений: если новая система

Аналитическая геометрия на плоскости

83

получена поворотом старой на угол α, то старая система получается поворотом новой на угол (-α), поэтому в равенствах (3) можно поменять местами старые и новые координаты, заменяя одновременно α на (-α). Выполнив это преобразование, получим

⎧ x′ = x cosα + y sin α , ⎨ ⎩ y′ = − x sin α + y cosα . При этом, например, уравнения директрис эллипса (гиперболы) и параболы принимают вид: a x′ cosα − y′ sin α = ± ; e p x′ cosα − y′ sin α = − . 2

6.4.3. Изменение начала координат и поворот осей Если оси декартовой прямоугольной системы переносятся параллельно на величины x0 по оси OX и на y0 по оси OY и, кроме того, поворачиваются на угол α, то этому изменению системы соответствуют формулы преобразования координат, выражающие старые координаты через новые:

⎧ x = x′ cosα − y′ sin α + x0 , ⎨ ⎩ y = x′ sin α + y′ cosα + y0 ,

(4)

и новые координаты через старые:

⎧ x′ = ( x − x0 ) cosα + ( y − y0 ) sin α , ⎨ ⎩ y′ = −( x − x0 )sin α + ( y − y0 )cosα .

(5)

6.4.4*. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду Пусть кривая второго порядка задана в общем виде: Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 . Приведение этого уравнения к каноническому виду заключается в нахождении системы координат, в которой кривая имеет канонический вид, геометрически это может быть достигнуто переносом начала координат в центр кривой (x0,y0) и поворотом координатных осей на угол, совмещающий оси симметрии кривой с координатными осями. Алгебраически это приводит к исчезновению членов с произведением текущих координат и членов, содержащих их в первой степени, после применения формул (1) и (3).

84

Лекция 6

Уравнения, определяющие центр кривой, если он существует, записываются как

⎧ Ax0 + By 0 + D = 0, ⎨ ⎩ Bx0 + Cy 0 + E = 0.

(6)

Кривые второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными. После переноса начала координат в центр (x0,y0) уравнение кривой примет вид

Ax ′ 2 + 2 Bx ′y ′ + Cy ′ 2 + F1 = 0 ,

(7)

где F1 = Dx 0 + Ey 0 + F . Чтобы получить каноническое уравнение кривой A1 ( x ′′) 2 + C1 ( y ′′) 2 + F2 = 0 , подвергнем уравнение (7) преобразованию поворота осей координат на угол α . После преобразования получим: x′ = x′′ cos α − y′′ sin α , y ′ = x′′ sin α + y′′ cos α , где x ′′, y ′′ - новые координаты. Выпишем из преобразованного уравнения слагаемые второго порядка:

A( x′′ cos α − y′′ sin α ) 2 + 2 B( x′′ cos α − y′′ sin α ) ⋅ ⋅( x′′ sin α + y′′ cos α ) + C ( x′′ sin α + y′′ cos α ) 2 . Из этих слагаемых нас интересует слагаемое, содержащее произведение x ′′ ⋅ y ′′ , коэффициент перед которым равен

B1 = −2 Asinα cosα + 2 B( cos 2α − sin 2α ) + +2Csinα cosα = 2 Bcos2α + ( C − A )sin2α . Найдём угол поворота из условия В1=0: 2 B cos 2α = ( A − C ) sin 2α . Если А = С, то cos 2α = 0 и в качестве угла поворота можно выбрать α =

A ≠ C , то выбираем α =

1 2B arctg . A−C 2

6.5*. Линии в полярной системе координат 6.5.1*. Полярные координаты на плоскости Полярные координаты определяются заданием на плоскости полюса О и полярной оси ρ. Координаты точки М в полярных координатах задаются длиной радиус-вектора OM = ρ этой точки и углом его наклона к полярной оси. При этом 0 ≤ ρ ≤ ∞, 0 ≤ ϕ ≤ ∞ .

π 4

; если

85

Аналитическая геометрия на плоскости 6.5.2*. Связь полярных координат с декартовыми Совместим начало декартовой системы с полюсом полярной системы координат, а ось OX с полярной осью ρ. Найдём связь координат точки M(x,y) и M(ρ,ϕ). Она выражается следующей системой уравнений:

⎧ x = ρ cos ϕ , ⎨ ⎩ y = ρ sin ϕ ,

ρ = x2 + y2 , tgϕ = y . x

Если известны координаты точек A(x1,y1) и B(x2,y2), то проекции отрезка AB = {x 2 − x1 , y 2 − y1 } = {ρ cos ϕ , ρ sin ϕ } , а полярный угол отрезка по координатам его начала и конца находится по формулам: x − x1 y − y1 cos ϕ = 2 , sinϕ = 2 ,

ρ

tgϕ =

ρ

y 2 − y1 , ρ = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 . x 2 − x1

6.5.3*. Уравнения линий в полярной системе координат Построим линию ρ = a cos ϕ , а = const>0. Координата ρ принимает только положительные значения. При ϕ = 0 cos ϕ = 1, ρ = a получаем точку А(а,0). Рассмотрим точку М(ρ,ϕ). Из уравнения линии - cos ϕ =

ρ

, a значит угол ОМА - прямой. С возрастанием угла ϕ от 0 до π/2 косинус этого угла убывает от 1 до 0, таким образом, ρ убывает от а до 0 в точке О(0, π/2) и радиус-вектор точки М описывает верхнюю половину окружности. Нижняя её половина получается при изменении ϕ от 3π/2 до 2π. Этим значениям угла соответствуют положительные значения cosϕ, возрастающие от 0 до 1, что приводит к возрастанию ρ от 0 до а и геометрическому замыканию окружности. Итак, уравнение ρ = a cos ϕ задаёт окружность с центром в точке (a/2,0) и радиусом a/2. Такой же результат получается, если в уравнении линии ρ = a cos ϕ перейти к декартовым координатам. 2

a⎞ a2 ⎛ , x 2 + y 2 − ax = 0, ⎜ x − ⎟ + y 2 = - каноническое уравнение 2⎠ 4 ⎝ x2 + y 2 окружности с центром в точке (a/2,0) и радиусом a/2. p В полярных координатах кривые второго порядка имеют уравнения ρ = , если 1 − e cos ϕ полюс находится в фокусе, полярная ось направлена из фокуса к ближайшей вершине (для гиперболы этим уравнением определяется только одна ветвь); р - фокальный параметр, е эксцентриситет кривой. Тогда

x2 + y 2 = a

x

86

Лекция 6

6.6*. Параметрическое задание линий Параметрические уравнения линий задаются в виде зависимости текущих координат x и y от некоторого параметра t. Каждому значению t соответствуют два значения: - x и y. При изменении параметра t текущая точка M(x,y) описывает некоторую кривую на плоскости. Методом исключения параметра уравнение линии приводится к уравнению в декартовых координатах, и, наоборот, линия, заданная в декартовых координатах, может быть приведена к виду кривой, заданной параметрически.

6.6.1*. Окружность Пусть M(x,y) - текущая точка окружности с центром в начале координат и радиусом R. В качестве параметра t выберем угол, который составляет радиус-вектор точки М с осью OX. Из треугольника ОМА: ⎧ x = R cos t , ⎨ ⎩ y = R sin t , - параметрические уравнения окружности. Исключим из параметрических уравнений параметр t. Для этого возведём эти уравнения в 2 2 2 2 2 2 квадрат и сложим их: x + y = R (cos t + sin t ) = R . Таким образом, получено уравнение окружности в декартовых координатах.

6.6.2*. Циклоида Обыкновенной циклоидой называется кривая, описываемая точкой круга, катящегося без скольжения по прямой линии. Пусть OX - прямая, по которой катится круг радиуса а. Тогда МС = СК = а, где К точка касания. За параметр t примем угол поворота МС относительно СК: t = ∠MCK угол качения (в радианах). Так как качение окружности происходит без скольжения, то ∪

ОК= MK =at.

Из рисунка видно, что x = OP = OK − PK = OK − MQ = at − a sin t = a (t − sin t ),

y = PM = KC − QC = a − a cos t = a (1 − cos t ).

87

Аналитическая геометрия на плоскости

⎧ x = a (t − sin t ), где ⎨ ⎩ y = a (1 − cos t ), − ∞ < t < ∞ . При 0 ≤ t < 2π получаем первую арку циклоиды. Укажем, что длина дуги ОА1О1=8а, а площадь одной арки S=3πa2.

Таким

образом,

параметрические

уравнения

циклоиды

6.6.3*. Астроида Астроидой называется кривая, которую описывает точка окружности радиуса R/4, когда окружность катится без скольжения внутри окружности радиуса R. ⎧⎪ x = R cos3 t , Параметрические уравнения астроиды ⎨ 3 ⎪⎩ y = R sin t , где 0 ≤ t < 2π . В декартовых координатах уравнение астроиды x2/3+y2/3=R2/3. Длина астроиды L=6R, а площадь, ограниченная астроидой, S=3πR2/8.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: ƒ виды уравнений прямой на плоскости, преобразования от одного вида к другому; ƒ канонические уравнения кривых второго порядка; ƒ полярные координаты на плоскости, их связь с декартовыми; ƒ параметрический способ задания линии. Студент должен уметь: ƒ решать простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости; ƒ находить элементы кривой второго порядка по ее каноническому уравнению; ƒ преобразовывать уравнения кривых от декартовых координат к полярным и обратно; ƒ преобразовывать параметрические уравнения кривой в декартовы и обратно.

Лекция 7 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В лекции 7 излагаются элементы общей теории поверхностей и подробно рассматриваются поверхности второго порядка, для исследования формы которых применяется метод сечений. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5.

Поверхности Линейчатые поверхности Поверхности вращения Поверхности второго порядка Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям 7.5.1. Эллипсоид 7.5.2. Однополостный гиперболоид 7.5.3. Двуполостный гиперболоид 7.5.4. Эллиптический параболоид 7.5.5. Гиперболический параболоид 7.5.6. Конус 7.5.7. Эллиптический цилиндр 7.5.8. Гиперболический цилиндр 7.5.9. Параболический цилиндр

7.1. Поверхности О

Поверхность в трехмерном пространстве можно определить следующим образом: в явной форме: z = z ( x, y ) ; ( x, y ) ∈ G ; (1) в неявной форме:

F ( x, y, z ) = 0; ( x, y, z ) ∈U ;

(2)

в параметрической форме:

x = x ( u, v ) , y = y ( u, v ) , z = z ( u, v ) ; ( u, v ) ∈ G в векторной форме:

(3)

r r r = r ( u,v ) ; ( u,v ) ∈ G , (4) где G - плоскаяrобласть, rU - пространственная r r область. В формуле (4) r = x ( u,v ) i + y ( u,v ) j + z ( u,v ) k - радиус-вектор точки по-

верхности M ( x, y, z ) .

Аналитическая геометрия. Поверхности второго порядка

89

7.2. Линейчатые поверхности О

Поверхность называется линейчатой, если она получается при движении в пространстве прямой, называемой образующей.

О

Коническая поверхность возникает, когда образующая движется по некоторой плоской кривой, называемой направляющей, и имеет неподвижную точку, называемую вершиной.

О

Цилиндрическая поверхность возникает, когда фиксированная точка образующей движется по некоторой плоской кривой, называемой направляющей; в процессе перемещения образующая остается параллельной заданному направлению.

Кроме конических и цилиндрических поверхностей к линейчатым относятся однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид, но закон движения образующей в этих случаях более сложен; ниже, при исследовании формы конкретных поверхностей, этот вопрос будет рассмотрен детально.

7.3. Поверхности вращения Если поверхность получается вращением плоской кривой, лежащей в одной из координатных плоскостей вокруг одной из координатных осей, то уравнение поверхности может быть получено из уравнения линии: 1)

кривая L ( x, y ) = 0 , лежащая в плоскости Oxy ; вращение вокруг оси Ox : вращение вокруг оси Oy :

2)

) x + z , y) = 0;

( F ( x, y , z ) = L ( ±

) x + y , z) = 0;

( F ( x, y , z ) = L ( ±

) x + y , z) = 0;

2

2

кривая L ( x, z ) = 0 , лежащая в плоскости Oxz ; вращение вокруг оси Ox : вращение вокруг оси O z :

3)

( F ( x, y , z ) = L ( ±

F ( x, y , z ) = L x, ± y 2 + z 2 = 0 ,

F ( x, y , z ) = L x, ± y 2 + z 2 = 0 , 2

2

кривая L ( y, z ) = 0 , лежащая в плоскости Oyz ; вращение вокруг оси Oy : вращение вокруг оси O z :

F ( x, y , z ) = L y , ± x 2 + z 2 = 0 , 2

2

Лекция 7

90

7.4. Поверхности второго порядка О

Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверхность S , уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:

a11 x 2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + +2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0,

(5)

где не все коэффициенты при членах второго порядка равны одновременно нулю (в противном случае (5) – алгебраическая поверхность первого порядка, т.е. плоскость). В зависимости от значений коэффициентов возможны случаи, когда уравнение (5) определяет вырожденную поверхность (пустое множество, точку, прямую, плоскость, пару плоскостей). Например, уравнение x 2 + y 2 + z 2 + 1 = 0 не имеет решений и задает пустое множество, уравнение x 2 + y 2 + z 2 = 0

задает точку с координатами

(0,0,0), уравнение x + y = 0 определяет прямую – координатную ось Oz , 2

2

x 2 = 0 задает координатную плоскость x = 0 , уравнение x 2 = 1 задает пару плоскостей x = −1 и x = 1 . Далее будем рассматривать только невырожденные поверхности. Поверхности второго порядка обладают определенными элементами симметрии. Некоторые имеют центр симметрии; все имеют хотя бы одну плоскость симметрии; многие имеют ось симметрии. Всякое уравнение вида (5) посредством преобразования координат, т.е. сдвигов и поворотов (так называемое приведение к главным осям), можно привести к каноническому виду. В уравнении канонического вида каждая переменная содержится только в одной степени: либо только в нулевой, либо только в первой, либо только во второй. Канонический вид уравнение принимает, когда оси системы координат совпадают с осями симметрии поверхности, а начало системы координат выбрано специальным образом (для центрально-симметричных поверхностей совпадает с центром симметрии).

7.5. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям Основным методом исследования формы поверхности по ее уравнению является метод сечений, когда о форме поверхности судят по форме кривых, которые получаются при пересечении данной поверхности плоскостями:

x = const ; y = const ; z = const. Последовательно рассмотрим канонические уравнения поверхностей второго порядка.

Аналитическая геометрия. Поверхности второго порядка

91

7.5.1. Эллипсоид О Эллипсоидом называется поверхность второго порядка с каноническим уравнением x2 y 2 z 2 + + = 1. a 2 b2 c2 Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью z = 0 . Линия пересечения эллипсоида и плоскости задается системой уравнений:

⎧ x2 y2 z 2 ⎧ x2 y 2 = 1, ⎪ 2 + 2 + 2 =1 ⎪ + или ⎨ a 2 b 2 b c ⎨a ⎪z = 0 ⎪ z = 0. ⎩ ⎩ Очевидно, что линия пересечения – эллипс с полуосями а и b. Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью z = h . Линия пересечения задается системой уравнений:

⎧ x2 y2 ⎧ x2 y2 z 2 ⎪ 2 + 2 = 1, ⎪ 2 + 2 + 2 =1 или a b c ⎨ a1 b1 ⎨ ⎪ z = h. ⎪z = h ⎩ ⎩ h2 h2 где a1 = a ⋅ 1 − 2 ; b1 = b ⋅ 1 − 2 . Таким образом, если 0 < h < c , то сечение – c c эллипс с полуосями a1 < a; b1 < b . Если h = c , сечение – точка с координатами (0,0, c). Если h > c , система решений не имеет, т.е. исследуемая поверхность не имеет общих точек с рассматриваемой плоскостью. Аналогично рассматриваются сечения поверхности S плоскостями x = const , y = const . Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, эллипсоид называется трехосным. При равенстве двух полуосей получаются эллипсоиды вращения: при a = b < c - вытянутый, при a = b > c сплющенный. Эти поверхности получаются при вращении эллипса, соответственно, вокруг большой и малой оси. Если a = b = c = R , каноническое уравнение принимает вид:

x2 + y 2 + z 2 = R2 и задает сферу с центром в начале координат и радиусом R.

Лекция 7

92

Гиперболоиды 7.5.2. Однополостный гиперболоид О

Однополостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка с каноническим уравнением x2 y2 z 2 + − = 1. a 2 b2 c2

Линия пересечения гиперболоида и плоскости z = 0 ⎧ x2 y2 z 2 − = 1, ⎪ + опрезадается системой уравнений: ⎨ a 2 b 2 c 2 ⎪ z = 0, ⎩ деляющей эллипс с полуосями а и b. ⎧ x2 y 2 = 1, ⎪ + В сечении плоскостью z = h имеем эллипс ⎨ a12 b12 с полуосями ⎪ z = h, ⎩

h2 h2 a1 = a ⋅ 1 + 2 и b1 = b ⋅ 1 + 2 . Сечение поверхности S плоскостью c c ⎧ y2 z2 ⎪ − = 1, x = 0 : ⎨ b2 c2 является гиперболой с действительной осью Oy и мнимой ⎪x = 0 ⎩ осью Oz . Сечение S плоскостью y = 0 - гипербола с действительной осью Ox и мнимой осью Oz . При a = b получается однополостный гиперболоид вращения. Покажем, что однополостный гиперболоид также является линейчатой поверхностью, для чего перепишем уравнение в виде

x2 z 2 y2 y ⎞⎛ y ⎛ x z ⎞⎛ x z ⎞ ⎛ − 2 = 1 − 2 ⇒ ⎜ − ⎟⎜ + ⎟ = ⎜1 − ⎟⎜ 1 + 2 a c b ⎝ a c ⎠⎝ a c ⎠ ⎝ b ⎠⎝ b

⎞ ⎟. ⎠

Рассмотрим две системы линейных уравнений

⎧ ⎛x z⎞ y⎞ ⎛ + = + 1 v u ⎜ ⎟, ⎪ ⎜a c⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ b⎠ ⎨ ⎪u ⎛ x − z ⎞ = v ⎛ 1 − y ⎞ , ⎪⎩ ⎜⎝ a c ⎟⎠ ⎜⎝ b ⎟⎠

⎧ ⎛x z⎞ y⎞ ⎛ + = − 1 v u ⎜ ⎟, ⎪ ⎜a c⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ b⎠ ⎨ ⎪u ⎛ x − z ⎞ = v ⎛ 1 + y ⎞ , ⎪⎩ ⎜⎝ a c ⎟⎠ ⎜⎝ b ⎟⎠

где u и v - параметры, не равные нулю. Каждая из этих систем определяет прямую (линию пересечения двух плоскостей). Если перемножить уравнения каждой системы, получится уравнение однополостного гиперболоида, откуда следует, что каждая из этих прямых целиком лежит на однополостном гипер-

Аналитическая геометрия. Поверхности второго порядка

93

болоиде. Таким образом, через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две прямые, называемые прямолинейными образующими однополостного гиперболоида, он имеет два семейства прямолинейных образующих. Русский инженер В.Г. Шухов предложил использовать линейчатый характер однополостного гиперболоида в строительной технике. Он предложил конструкции из металлических балок, расположенных так, как расположены прямолинейные образующие однополостного гиперболоида вращения. Такие конструкции оказались легкими и прочными, они используются для устройства водонапорных башен и радиомачт.

7.5.3. Двуполостный гиперболоид О

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка с каноническим уравнением x2 y 2 z 2 + − = −1 . a 2 b2 c2

Линия пересечения гиперболоида и плоскости z = 0 ⎧ x2 y2 = −1, ⎪ + задается системой уравнений: ⎨ a 2 b 2 ⎪ z = 0, ⎩ которой соответствует пустое множество. В сечении плоскостью

z=h

имеем кривую

⎧ x2 y 2 z 2 ⎪ 2 + 2 = 2 − 1, c b ⎨a ⎪z = h ⎩

или

⎧ x2 y 2 h2 h2 ⎪ 2 + 2 = 1, где a = a ⋅ − 1 и b = b ⋅ − 1. a b ⎨ 1 1 1 1 2 2 c c ⎪ z = h, ⎩ Очевидно, что решения есть при h ≥ c . Если h = ± с , сечение – точка

( 0,0, ±c ) . При

h > c сечение – эллипс с полуосями a1 , b1.

⎧ y2 z2 ⎪ − = −1, Сечение поверхности S плоскостью x = 0 ⎨ b 2 c 2 является гипербо⎪x = 0 ⎩ лой с действительной осью Oz и мнимой осью Oy . Сечение S плоскостью y = 0 - гипербола с действительной осью Oz и мнимой осью Ox .

Лекция 7

94

Параболоиды 7.5.4. Эллиптический параболоид О

Эллиптическим параболоидом называется поверхность с каноническим уравнением x2 y 2 + = pz , p > 0. a 2 b2

Поверхность расположена в верхнем полупространстве z ≥ 0 ; поперечные сечения плоскостями z = h, h > 0 представляют собой эллипсы с полуосями a1 = a ph и

b1 = b ph , размеры которых увеличиваются по мере возрастания h , продольные сечения плоскостями x = 0 и y = 0 - параболы.

7.5.5. Гиперболический параболоид О

Гиперболическим параболоидом называется поверхность с каноническим уравнением x2 y2 − = pz , p > 0. a 2 b2

Сечение плоскостью z = 0 дает скрещивающиеся b прямые y = ± x , сечения z = h - гиперболы. a При h > 0 действительная ось гиперболы параллельна оси Ox , мнимая ось параллельна оси Oy , при h < 0 оси меняются местами. Сечения плоскостями x = const и y = const - параболы. Как и однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью и имеет два семейства прямолинейных образующих – прямых, полностью лежащих внутри поверхности. Уравнения образующих получаются аналогично случаю однополостного гиперболоида и имеют вид: ⎧ ⎛x y⎞ ⎧ ⎛x y⎞ ⎪v ⎜ a + b ⎟ = upz , ⎪v ⎜ a − b ⎟ = upz , ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎨ ⎪u ⎛ x − y ⎞ = v, ⎪u ⎛ x + y ⎞ = v, ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎝ a b ⎠ ⎪⎩ ⎜⎝ a b ⎟⎠ т.е. через каждую точку поверхности проходит две прямолинейных образующих.

Аналитическая геометрия. Поверхности второго порядка

95

Это свойство гиперболического параболоида также используется в строительных конструкциях: из прямолинейных металлических элементов создается каркас кровли в форме гиперболического параболоида. Такая поверхность, благодаря своей кривизне, обладает собственной жесткостью, тогда как жесткость кровли традиционной формы - в виде совокупности плоских участков – обеспечивается поддерживающими конструкциями (стропилами) и требует дополнительного расхода материалов.

7.5.6. Конус О

Эллиптическим конусом называется поверхность с каноническим уравнением

x2 y 2 z 2 + − = 0. a 2 b2 c2 Сечения плоскостями z = const - эллипсы, размеры которых возрастают по мере удаления от начала координат; сечения плоскостями, проходящими через ось Oz , скрещивающиеся прямые.

Цилиндры В выбранной системе координат образующие цилиндров параллельны оси Oz и уравнения не содержат координаты z. Это свойство сохраняется и для уравнения общего вида (5): если уравнение не содержит какой-либо переменной, то определяемая им поверхность – цилиндр, образующие которого параллельны соответствующей оси.

7.5.7. Эллиптический цилиндр Эллиптический цилиндр задается каноническим x2 y 2 уравнением: 2 + 2 = 1 . a b Осью цилиндра является координатная ось Oz , поперечные сечения – эллипсы. Плоскости Oxz и Oyz являются плоскостями зеркальной симметрии поверхности. О

Лекция 7

96

7.5.8. Гиперболический цилиндр Гиперболический цилиндр задается каноническим x2 y2 уравнением: 2 − 2 = 1 . a b Осью цилиндра является координатная ось Oz , поперечные сечения – гиперболы. Плоскости Oxz и Oyz являются плоскостями зеркальной симметрии поверхности. О

7.5.9. Параболический цилиндр Параболический цилиндр задается каноническим уравнением: y 2 = 2 px, p > 0 . Плоскость Oxz является плоскостью зеркальной симметрии поверхности. О

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: ƒ различные виды поверхностей, их свойства; ƒ канонические уравнения поверхностей второго порядка, уметь исследовать их методом сечений.

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекции 8 - 9 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В лекциях 8 – 9 излагаются необходимые элементы теории множеств, рассматриваются наиболее часто встречающиеся числовые множества и их свойства. Вводится понятие числовой последовательности и ее предела, рассмотрены специальные виды последовательностей (бесконечно малые, бесконечно большие, монотонные) и их свойства. 8.1. Элементы теории множеств и математической логики 8.2. Числовые множества 8.3. Числовые промежутки 8.4. Ограниченные множества 8.5. Числовые последовательности 8.6. Свойства ограниченных последовательностей 9.1. Предел числовой последовательности 9.2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности 9.3. Свойства бесконечно малых последовательностей 9.4. Свойства сходящихся последовательностей 9.5. Монотонные последовательности 9.6. Число е как предел монотонной последовательности 9.7. Предельные точки. Верхний и нижний пределы

8.1. Элементы теории множеств и математической логики В дальнейшем для сокращения записей будут использоваться некоторые понятия и операции теории множеств и математической логики. Понятие множества относится к основным понятиям математики и в силу этого его нельзя определить через какое-то более общее понятие. О

Объекты, имеющие какой-либо общий признак и рассматриваемые как единое целое, составляют множество; сами объекты по отношению к множеству являются элементами множества.

Элементы множества, в свою очередь, также могут быть множествами. Например, учащиеся школы № N образуют множество, каждый ученик (уче-

98

Лекции 8 – 9

ница) – элемент этого множества. Это же множество можно организовать иначе: множество учащихся школы № N состоит из классов школы № N, а класс школы № N состоит из учеников (учениц) данного класса. Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами, элементы множеств – малыми латинскими буквами. Множества могут быть заданы: ƒ простым перечислением элементов (элементы заключаются в фигурные скобки): A = { 1, 2, 3 } ;

указанием общего признака всех элементов: X = { x : 1 < x < 2} . В первом примере множество состоит из 3 чисел 1, 2 и 3; во втором примере множество состоит из бесконечного количества действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих условию 1 < x < 2 . ƒ

О

Множество, не содержащее элементов, называется пустым.

О

Если все элементы множества B являются также элементами множества A , то B называется подмножеством множества A . Пустое множество является подмножеством любого множества, Любое непустое множество является подмножеством самого себя (это так называемые несобственные подмножества).

О

Множества A и B равны, если одновременно A - подмножество B и B - подмножество A . Равные множества состоят из одних и тех же элементов.

Рассмотрим способы сокращенной записи некоторых утверждений относительно множеств и операций над множествами:

∅

пустое множество;

a∈ A

« a принадлежит множеству A » (« a содержится в множестве A », «множество A содержит a », «множество A включает элемент a »);

a∉ A

«элемент а не принадлежит множеству A »;

A⊃ B

« B - подмножество множества A » (« A содержит B », « B содержится в A », « A включает B », « B включается в A »);

A⊂ B

« A - подмножество множества B »;

A= B AU B

«A равно B», «А совпадает с В»;

AI B

объединение (сумма) множеств А и В; вобъединение входят элементы, принадлежащие хотя бы одному из этих множеств; пересечение (произведение) множеств А и В; в пересечение входят элементы, каждый из которых принадлежит и множеству А, и множеству B.

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

99

Рассмотрим способы сокращенной записи некоторых логических операций и стандартных словосочетаний (ниже малыми греческими буквами будут обозначаться некоторые высказывания (утверждения)): α⇒β импликация, логическое следствие; читается «из высказывания α следует высказывание β », «высказывание β является следствием высказывания α »; α⇔β эквивалентность, равносильность; читается «высказывание α равносильно высказыванию β », « α эквивалентно β », « α и β равносильны»; означает, что α ⇒ β и β ⇒ α , т.е. высказывания α и β либо оба верны, либо оба неверны;

α

отрицание высказывания α ;

∨ ∧

дизъюнкция, логическое «или»; α ∨ β означает « α или β »;

∃

квантор существования, ∃α ∈ A – читается «существует элемент a , принадлежащий множеству A »;

∀

квантор всеобщности, ∀α ∈ A – читается «для каждого элемента α , принадлежащего множеству A ».

:

читается «такой, что», «удовлетворяющий условию», «имеет место».

конъюнкция, логическое «и»; α ∧ β означает « α и β »;

Кроме того, далее будут использоваться сокращенные способы записи сумм и произведений большого количества элементов: n

∑a j =1

1) 2) 3)

j

= a1 + a2 + K + an ,

n

∏a j =1

j

= a1 ⋅ a2 ⋅ K ⋅ an .

Покажем на нескольких примерах применение символической записи: ( x ∈ A U B ) ⇔ ( ( x ∈ A) ∨ ( x ∈ B ) ) - определение объединения;

( A = B ) ⇔ ( ( A ⊃ B ) ∧ ( A ⊂ B ) ) - определение равенства множеств; ( A ⊃ B ) ⇔ ( ∀x ∈ B : ( ( x ∈ B ) ⇒ ( x ∈ A) ) ) - определение подмножества.

8.2. Числовые множества О О

Числа 1, 2, 3,... называются натуральными и обозначаются = {n} = {1, 2,3,..., n,...} . = { 0, 1, −1, 2, −2, ... , ± n, ...} , n ∈ , образуют множество цеЧисла лых чисел.

100 О

Лекции 8 – 9

Числа вида

m ⎧ ⎫ = ⎨q = : m ∈ , n ∈ ⎬ образуют множество рациональn ⎩ ⎭

ных чисел. О

Если

m < n , то рациональная дробь называется правильной, если

m ≥ n – неправильной. !

Рациональные дроби представляются в виде конечных или бесконечных периодических десятичных дробей после деления числителя на знаменатель.

Пример:

1 2 = 0,333... = 0,(3) , = 0, 4 = 0,3999... = 0,3(9) , 3 5 7 = 0,0707... = 0,(07) . 99 О

Числа, выражающиеся бесконечной непериодической десятичной дробью, составляют множество иррациональных чисел I . Например, 2 = 1,41... , π = 3,14159265359... , e = 2,71828 18284 59045... .

О

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел = U I .

!

Между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой существует взаимно-однозначное соответствие.

8.3. Числовые промежутки Примеры числовых множеств: Множество элементов x:

{ x}

Элемент множества: x ∈ { x} Отрезок (сегмент): Интервал:

{ x} = [ a, b] : a ≤ x ≤ b, где a ∈ { x} , b ∈ { x} { x} = ( a, b ) : a < x < b

⎧ {x} = ( a, b ] : a < x ≤ b, Полуинтервал (полусегмент): ⎨ ⎩ {x} = [ a, b ) : a ≤ x < b, ⎧ {x} = [ a, ∞ ) : ( x ≥ a ) Луч: ⎨ ⎩ {x} = ( −∞, b ] : ( x ≤ b )

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

Окрестность точки c - это произвольный интервал (a,b), содержащий точку с. Эпсилон – окрестность точки с представляет собой множество, задаваемое неравенством: {x : x − c < ε } , то есть c −ε < x < c +ε .

101

b c

8.4. Ограниченные множества О

Множество { x} называется ограниченным сверху, если существует та-

кое число М, что ∀x ∈ { x} : x ≤ M , где М называется верхней гранью множества { x} (ВГ { x} ).

Пример:

{−1, 2,3, 4,5} ,

M 1 = 5, M 2 = 6, M 3 = 10,... .

Т

Ограниченное сверху множество имеет бесконечное число верхних граней.

О

Наименьшая из всех верхних граней называется точной верхней гранью x = Sup { x} (от латинского supremum - наивысшее) (ТВГ { x} ).

Пример:

{−1, 2,3, 4,5} ,

О

x = 5.

Множество { x} называется ограниченным снизу, если существует та-

кое число m, что ∀x ∈ { x} : x ≥ m , где m – нижняя грань { x} (НГ { x} ). Т

Ограниченное снизу множество имеет бесконечное число нижних граней.

О

Наибольшая из всех нижних граней называется точной нижней гранью x = Inf { x} (от латинского infimum - наинизшее) (ТНГ { x} ).

О

О

Множество { x} называется ограниченным, если существует число М > 0 такое, что ∀x ∈ { x} : x ≤ M . Ограниченное множество является одновременно ограниченным и снизу, и сверху. Множество { x} называется неограниченным, если для любого сколь

угодно большого числа М > 0 найдется элемент x ∈ { x} , удовлетворяю-

102

Лекции 8 – 9

щий неравенству: x ≥ M . Пример: Неограниченные множества: (-∞,∞) – неограниченное множество, (-∞,2] – неограниченное снизу множество, [-5,∞) - неограниченное сверху множество.

!

Для того чтобы множество было неограниченным, достаточно, чтобы оно было неограниченным либо сверху, либо снизу.

О

Число М называется наибольшим элементом множества M = max{ x} , если 1) M ∈{ x} ; 2) ∀x ∈{ x} : x ≤ M .

О

Число

m

называется

наименьшим

элементом

m = min { x} , если 1) m ∈ { x} ; 2) ∀x ∈{ x} : x ≥ m . !

множества

{ x} , { x} ,

Ограниченное сверху (снизу) множество может иметь наибольший (наименьший) элемент, а может и не иметь его: { x} = [ a; b] , max{ x} = b , min { x} = a ;

{ x} = ( a; b ) , max{ x} , min { x} не существуют.

8.5. Числовые последовательности О

!

Если каждому натуральному числу n по определенному закону поставxn , то множество лено в соответствие некоторое число { xn } = { x1 , x2 , x3 ,....xn ,...} нумерованных чисел x1, x2 , x3 ,.... называется числовой последовательностью. Элементы этого множества называются членами или элементами последовательности. Числовая последовательность может быть задана: 1) перечислением элементов; 2) заданием общего члена последовательности как функции номера xn = f ( n ) ; 3) в виде рекуррентных (возвратных) соотношений; в этом случае задается несколько первых членов последовательности и закон, по которому вычисляются последующие члены: xn+1 = f ( xn ) , x1 = const - одно-

членная рекуррентная формула, xn+ 2 = f ( xn+1 , xn ) , x1 = c1 , x2 = c2 - двучленная рекуррентная формула, и т.д.

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

103

Пример: 1)

{−1,1, −1,1,...} = {( −1)

n

};

⎧ 1 2 ⎫ ⎧ n − 1⎫ 2) ⎨0, , ,...⎬ = ⎨ ⎬; ⎩ 2 3 ⎭ ⎩ n ⎭ 3)

{1, 2,3,...} = {n} ;

4) xn +1 =

xn 1 , x1 = 1 ⇒ xn = n −1 , n = 1, 2, 3,... ; 2 2

5) xn + 2 = xn +1 + xn , x1 = 1, x2 = 1 ⇒ x3 = 2, x4 = 3,...

О

!

Если рассмотреть произвольную возрастающую последовательность натуральных чисел: k1 , k2 , k3 ,....kn ,... и выбрать из последовательности { xn } ее члены с соответствующими номерами xk1 , xk2 ,..., xkn ,... то полученная последовательность называется подпоследовательностью последовательности { xn } . Например, для произвольной последовательности подпоследовательностями являются последовательности четных или нечетных членов. Числовые последовательности являются упорядоченными числовыми множествами, для них справедливы теоремы об ограниченных множествах.

Пример: Последовательность

{ xn } = {−n} = {−1, −2, −3,... − n,...}

ограничена сверху,

поскольку все члены этой последовательности удовлетворяют неравенству xn ≤ −1 . Последовательность { xn } = {n 2 } ограничена снизу, т.к. x n = n 2 ≥ 1 .

1 ⎧1 ⎫ Последовательность ⎨ ⎬ ограничена. Для любого n∈N 0 < ≤ 1 , т.е. n ⎩n⎭ M = 1, m = 0 . Пример: Неограниченные последовательности: 1) 2)

{ xn } = {n2 } . При любом

M > 0 достаточно взять n > M .

{(1 − (− 1) )n}. Среди нечетных всегда найдется член, удовлетворяющий n

условию x n ≥ M для любого M > 0 .

104

Лекции 8 – 9

8.6. Свойства ограниченных последовательностей 1. Сумма двух ограниченных последовательностей есть последовательность ограниченная. 2. Разность двух ограниченных последовательностей есть последовательность ограниченная. 3. Произведение двух ограниченных последовательностей есть последовательность ограниченная. !

Неограниченные последовательности таких свойств не имеют.

9.1. Предел числовой последовательности О

Конечное число a называется пределом числовой последовательности { xn } (обозначается lim xn = a или xn → a ), если для любого положиn →∞

n→∞

тельного числа ε найдется такое натуральное число N (зависящее от ε ), что при всех n > N выполняется неравенство xn − a < ε . Это может быть описано также в следующих терминах: ƒ последовательность { xn } сходится к a ; ƒ последовательность { xn } имеет предел, равный a ; ƒ xn (общий член последовательности) стремится к a . Сокращенная запись:

( lim x = a ) ⇔ (∀ε > 0 ∃N = N (ε ) : ∀n > N (ε ) ⇒ n→∞

О

!

n

xn − a < ε ) .

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. То же утверждение может быть сформулировано короче. Число a есть предел последовательности { xn } , если ее члены отличаются от a сколь угодно мало, начиная с некоторого места. Исходное определение уточняет, как следует понимать «сколь угодно мало» и «начиная с некоторого места». ∀ε > 0 xn − a < ε - точная формулировка первого утверждения, а ∀n > N ( ε ) - второго.

Пример:

n −1 ⎧ n − 1⎫ ⎛ 1⎞ xn = lim = lim ⎜1 − ⎟ = 1 . Дано: { xn } = ⎨ ⎬ , lim n n n →∞ →∞ →∞ n ⎩ n ⎭ ⎝ n⎠ ⎛ n −1⎞ Докажем, что lim ⎜ ⎟ = 1. n →∞ ⎝ n ⎠

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

105

Доказательство:

∀ε > 0,

n −1 1 1 1 −1 < ε ⇒ 1 − − 1 < ε ; < ε , n > ⇒ n n n ε

Если взять N ( ε ) – любое целое, большее, чем

1

ε

, то неравенство

n −1 − 1 < ε будет выполнено ∀n > N ( ε ) , ч.т.д. n Геометрическая интерпретация примера: 1 2

0

x1

x2

2 3

3 4

4 5

5 6

1

x3 x4 x5 x6

− ε < x n − 1 < ε ,1 − ε < x n < ε + 1 . 1

⎛1⎞

1

1

⎛1⎞

1

ε = , N ⎜ ⎟ = 2; n > 2 ⇒ xn − 1 < . 2 ⎝2⎠ 2 ε = , N ⎜ ⎟ = 5; n > 5 ⇒ xn − 1 < . 5 ⎝5⎠ 5

!

Последовательность

{( −1) } не имеет предела, так как нельзя указать n

номер, после которого все члены последовательности окажутся в сколь угодно малой окрестности какого-либо числа. О

Последовательности, не имеющие предела, называются расходящимися.

9.2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности О

Последовательность { xn } называется бесконечно большой, если для любого положительного числа M можно указать такое натуральное число N (зависящее от M ), что при всех n > N выполняется неравенство xn > M .

∀M > 0 ∃N = N ( M ) : ∀n > N ( M ) ⇒ xn > M .

О

Если числовая последовательность { xn } бесконечно большая и ее члены (по крайней мере, начиная с какого-то номера) сохраняют определенный знак ( + или − ), говорят, что последовательность { xn } имеет предел +∞

106

Лекции 8 – 9

(или −∞ ): lim xn = +∞ , xn → +∞ или lim xn = −∞ , xn → −∞ . n →∞

n →∞

n →∞

n→∞

Пример: Последовательности {nα } , α > 0 , являются бесконечно большими, т.к. для любого M > 0 из nα > M следует, что если n > α M , то условие определения выполнено.

О

Последовательность { xn } называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N (зависящее от ε ), что при всех n > N ( ε ) выполняется неравенство xn < ε . ( ∀ε > 0 ∃N ( ε ) : ∀n > N ( ε ) : xn < ε ).

!

Из определения предела последовательности следует, что последовательность { xn } бесконечно мала, если lim xn = 0 . n→∞

Пример: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия xn = q n , q < 1 , является бесконечно малой последовательностью, т.к. для любого ε > 0 из неравенства q n < ε следует, что при n > log q ε это неравенство выпол-

[

]

нено, т.о. N ( ε ) = log q ε .

9.3. Свойства бесконечно малых последовательностей Т

Бесконечно малая последовательность ограничена. Доказательство: Пусть { xn } – бесконечно малая последовательность. Тогда для данного

ε , начиная с некоторого номера, имеет место неравенство xn < ε . Выбирая в качестве M максимальное из чисел ε , x1 , x2 ,..., xn −1 , получим xn < M для всех n , что и требовалось доказать. Т

Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Т

Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Т

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть последовательность бесконечно малая.

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

107

Доказательство: Пусть { xn } – бесконечно малая, а { yn } – ограниченная последовательности, т.е. для любого ε > 0 существует N ( ε ) такое, что для n > N ( ε )

xn < ε , и существует такое число M , что для всех n yn < M . Тогда для

последовательности { xn ⋅ yn } при n > N ( ε ) имеем xn ⋅ yn < ε ⋅ M . Так как M – фиксированное число, а ε – сколь угодно малое, то ε ⋅ M также сколь угодно малое. Теорема доказана. С

Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая. Справедливость этого утверждения следует из того, что бесконечно малая последовательность всегда ограничена.

Т

Если элементы бесконечно малой последовательности

Т

⎧1⎫ нулю, то последовательность ⎨ ⎬ будет бесконечно большой. ⎩ xn ⎭ Если { xn } бесконечно большая последовательность и xn ≠ 0 , то последо-

{ xn }

не равны

⎧1⎫ вательность ⎨ ⎬ – бесконечно малая. ⎩ xn ⎭ Пример:

⎧ sin n ⎫ 1). Последовательность ⎨ ⎬ – бесконечно малая, т.к. ее элементы яв⎩ n ⎭ ляются произведением элементов ограниченной последовательности {sin n} и бесконечно малой последовательности ⎧⎨ 1 ⎫⎬ . ⎩n⎭ ⎧ n + 1⎫ 2). Последовательность ⎨ 3 ⎬ – бесконечно малая, т.к. является суммой ⎩ n ⎭ 1 1 бесконечно малых последовательностей ⎧⎨ 2 ⎫⎬ и ⎧⎨ 3 ⎫⎬ . ⎩n ⎭

⎩n ⎭

⎧e ⎫ 3). Последовательность ⎨ ⎬ – бесконечно малая, т.к. является произве⎩ n ⎭ дением бесконечно малой последовательности e − n на бесконечно малую ⎧1 ⎫ последовательность ⎨ ⎬ . ⎩n⎭ −n

{ }

О

Последовательность

{ xn }

называется фундаментальной, если для лю-

бого положительного ε > 0 найдется номер N ( ε ) такой, что для всех n , удовлетворяющих условию n > N ( ε ) , и для всех натуральных чисел m

( m = 1, 2,3,... ) справедливо неравенство xn+ m − xn < ε .

∀ε > 0 ∃N (ε ) : ∀n > N (ε ) ∀m ∈ N : xn+ m − xn < ε .

108 Т

Лекции 8 – 9

Критерий Коши. Для того чтобы последовательность { xn } была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

9.4. Свойства сходящихся последовательностей 1º. Если последовательность xn сходится и lim xn = a , то ее элементы имеют n →∞

вид xn = a + α n , где {α n } – бесконечно малая последовательность. Доказательство: По определению предела ∀ε > 0 ∃N (ε ) : n > N (ε ) , xn − a < ε . Рассмотрим α n = xn − a ⇒ xn = a + α n , подставим a + α n − a < ε ⇒ ∀ε > 0∃N (ε ) : ∀n > N (ε ) ⇒ α n < ε , т.е. limα n = 0 ⇒ α n - бесконечно малая последовательность. n→∞

2º. Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Доказательство: Пусть a = lim xn и b = lim xn , a ≠ b , a < r < b – два предела сходящейся n→∞

n→∞

последовательности {x n } . ∀ε > 0 ∃ N1 : ∀n > N1 xn − a < r − a ⇒ ∀n > N1 xn < r ;

∀ε > 0 ∃ N 2 : ∀n > N 2 xn − b < b − r ⇒ ∀n > N 2 xn > r . Выберем N = N ( ε ) = max { N1 ,N 2 } и n ≥ N : тогда должно одновременно выполняться xn < r и xn > r , что невозможно, значит, a = b . 3º. Сходящаяся последовательность ограничена. Обратное утверждение неверно, например, последовательность ⎧ πn⎫ {xn } = ⎨sin ⎬ является ограниченной, но предела не имеет. 2 ⎭ ⎩ 4º. Сумма, разность, произведение и также частное (при условии, что ∀n ∈ yn ≠ 0 и lim yn ≠ 0 ) двух сходящихся последовательностей { xn } и !

{ yn }

n→∞

есть сходящаяся последовательность, и ее предел равен соответственно сумме, разности, произведению и частному пределов исходных последовательностей. Доказательство (сумма): Пусть { xn } и { yn } – сходящиеся последовательности и lim xn = a , n →∞

lim yn = b . Тогда xn = a + α n , yn = b + β n где {α n } и { β n } – бесконечно

n →∞

малые последовательности, и xn + yn = a + b + α n + β n , т.е. последова-

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

109

тельность { xn + yn − a − b} – бесконечно малая, и поэтому { xn + yn } сходится и имеет своим пределом a + b . С

Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же операциям над их пределами.

5º. Если элементы сходящейся последовательности { xn } , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≤ b ( xn ≥ b ), то и предел этой последовательности lim xn ≤ a удовлетворяет неравенству a ≤ b n →∞

( a ≥ b ). С

1. Если элементы xn и yn сходящихся последовательностей { xn } и { yn } , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≤ yn , то их пределы удовлетворяют такому же неравенству: lim xn ≤ lim yn . n →∞

n →∞

2. Если все элементы сходящейся последовательности { xn } находятся на

отрезке [ a; b ] , то и ее предел также находится на этом отрезке.

6º. Пусть { xn } и { zn } – сходящиеся последовательности и lim xn = lim zn = a . n →∞

n→∞

Пусть, начиная с некоторого номера, элементы последовательности { yn } удовлетворяют неравенствам xn ≤ yn ≤ zn .Тогда последовательность { yn } сходится и lim yn = a . n →∞

7º. Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.

9.5. Монотонные последовательности О

Последовательность { xn } называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательности не меньше (не больше) предыдущего, т.е. если для всех номеров n справедливо неравенство xn ≤ xn+1 ( xn ≥ xn+1 ).

О

Неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными последовательностями.

О

Если вместо нестрогих неравенств xn ≥ xn+1 и xn ≤ xn+1 имеют место строгие неравенства xn < xn+1 или xn > xn+1 , то последовательности называются возрастающей и убывающей соответственно.

110

Лекции 8 – 9

Пример: 1). Последовательность {1,1, 2, 2,3,3, 4, 4,..., n, n,...} - неубывающая.

⎧ n2 ⎫ 2). Последовательность ⎨ 2 ⎬ – возрастающая, так как xn +1 > xn . ⎩ n + 1⎭ 2 2 2 ( n + 1) − n 2 = ( n + 1) ( n + 1) − n ( ( n + 1) 2 ( n + 1) + 1 n2 + 1 (( n + 1)2 + 1) ( n2 + 1) 2

Действительно,

=

(

2n + 1

)

( n + 1) + 1 ( n 2 + 1) 2

2

)=

+1

> 0.

⎧1 ⎫ 3). Последовательность ⎨ ⎬ – убывающая, так как ⎩n⎭ xn +1 − xn =

Т

1 1 1 − =− < 0. n +1 n n ( n + 1)

Признак сходимости монотонной последовательности. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность { xn } ограничена сверху (снизу), то она сходится. Докажем, что если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она сходится (имеет предел). Доказательство: { xn } - ограничена сверху ⇒ { xn } имеет

x = Sup { x} ⇒ покажем, что ∃ lim xn = x . n →∞

x

1) ∀n, xn ≤ x ; 2) ∀ε > 0 найдется элемент xN > x − ε , ∀n > N , xN ≤ xn (по условию { xn } - неубывающая последовательность), т.е. запишем последовательно:

x − ε < xN ≤ xn ≤ x

⇒

x − ε < xn ≤ x ⇒

− x ≤ − xn < − x + ε ⇒ 0 ≤ x − xn < ε ⇒ xn − x < ε , то есть по определению предела x = lim xn . n→∞

!

1. Любая неубывающая последовательность всегда ограничена снизу первым элементом. Любая невозрастающая последовательность всегда ограничена сверху первым элементом. 2. Не всякая сходящаяся последовательность является монотонной.

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

111

Пример:

{ xn } , Т

xn = 1 +

( −1) n2

n

, lim xn = 1 , однако { xn } - немонотонная. n →∞

Неограниченная монотонная последовательность является бесконечно большой.

9.6. Число е как предел монотонной последовательности n

⎛ 1⎞ Рассмотрим последовательность { xn } , xn = ⎜1 + ⎟ . ⎝ n⎠ Исходя из признака сходимости монотонной последовательности, достаточно доказать, что: 1) { xn } - является возрастающей; 2) { xn } - ограничена сверху.

⎧⎪⎛ 1 ⎞n ⎫⎪ Из 1) и 2) делаем вывод о существовании предела ⎨⎜1+ ⎟ ⎬ . ⎪⎩⎝ n ⎠ ⎭⎪ Доказательство: Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

( a + b) +

n

= a nb0 + na n−1b1 +

n ( n − 1) n−2 2 a b + 2!

n ( n − 1)( n − 2 ) ...( n − ( n − 1) ) 0 n n ( n − 1)( n − 2 ) n−3 3 a b + ...... + ab , 3! n!

где n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n . Тогда n ( n − 1) ...( n − ( n − 1) ) 1 1 n(n − 1) 1 ⎛ 1⎞ xn = ⎜1 + ⎟ = 1 + n + + ... + = 2 n 2! n n! nn ⎝ n⎠ n

=2+

1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ n −1⎞ ⎜1 − ⎟ + ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟ + ... + ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟ ⋅ ... ⋅ ⎜1 − ⎟. 2! ⎝ n ⎠ 3! ⎝ n ⎠⎝ n ⎠ n! ⎝ n ⎠⎝ n ⎠ n ⎠ ⎝

Аналогично для xn+1

xn+1 = 2 +

1⎛ 1 ⎞ 1⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎜1 − ⎟ + ⎜1 − ⎟⎜ 1 − ⎟ + ... + 2! ⎝ n + 1 ⎠ 3! ⎝ n + 1 ⎠⎝ n + 1 ⎠

112

Лекции 8 – 9

+

1 ⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ n ⎞ ⎛ , ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟ ⋅ ... ⋅ ⎜1 − ( n + 1)! ⎝ n + 1 ⎠⎝ n + 1 ⎠ ⎝ n + 1 ⎟⎠

1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎜1 − ⎟ < ⎜1 − ⎟ . Заметим, что xn +1 содержит на одно положитель⎝ n ⎠ ⎝ n +1⎠ ное слагаемое больше, чем xn , следовательно ∀n xn < xn +1 .

1)

Таким образом, { xn } – последовательность возрастающая

⎛ 1⎞ При n ≥ 2 0 < ⎜1 − ⎟ < 1 => xn > 2 . ⎝ n⎠ 1 1 1 3) xn < 2 + + + ... + ; если заменить каждое слагаемое еще боль2! 3! n! 1 1 1 1 1 1 1 1 < = 2 ,... , < n , шим: = , = 2! 2 3! 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 2 n! 2 1⎫ ⎧1 1 1 получаем: xn < 2 + ⎨ + 2 + 3 + ... + n ⎬ . 2 2 ⎭ ⎩2 2 {...} - сумма убывающей геометрической прогрессии, для которой 2)

b1 (1 − q n ) 1 1 1 1 b1 = , q = , bn = n−1 , S = ⇒ S = 1− n ; 2 2 2 2 1− q ∀n S < 1 ⇒ ∀n xn < 3 . Вывод: возрастающая последовательность { xn } ограничена сверху, следовательно, последовательность сходится. n

!

⎛ 1⎞ 1. Обозначение lim ⎜1 + ⎟ = e , 2 < e < 3 (Эйлер); n →∞ ⎝ n⎠ e ≈ 2,7 1828 1828 459045... 2. Число e имеет большое значение в математическом анализе. y = e x - показательная функция с основанием e ; y = ln x - натуральный логарифм (логарифм по основанию e ). 3. Справедливо утверждение: если {α n } – произвольная бесконечно малая последовательность и α n ≠ 0 , то lim n→∞

( ) 1+ α

n

1 α

n

= e.

113

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

9.7. Предельные точки. Верхний и нижний пределы О

!

Точка x бесконечной прямой называется предельной точкой числовой последовательности { xn } , если в любой ε -окрестности этой точки име-

ется бесконечно много элементов последовательности { xn } . Иногда предельная точка именуется точкой сгущения (что связано с геометрической интерпретацией действительных чисел как точек на числовой оси). Точки, представляющие собой члены последовательности, как бы «сгущаются» вблизи предельной точки.

Подобный «геометрический» подход позволяет высказать два утверждения, строгое доказательство которых опустим: 1) всякая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку; 2) последовательность, имеющая несколько предельных точек, расходится. Пример: 1). Последовательность

{ 1 − (−1) } имеет две предельные точки n

x=0 и

x = 2 , но не имеет предела.

{ }

2). Последовательность e − n имеет одну предельную точку x = 0, которая является одновременно пределом этой последовательности.

Т

Принцип Больцано – Вейерштрасса. У всякой ограниченной последовательности существует хотя бы одна предельная точка.

О

Наибольшая предельная точка последовательности

{ xn }

называется

верхним пределом последовательности и обозначается a = lim xn . n→∞

О

Наименьшая предельная точка последовательности { xn } называется нижним пределом последовательности и обозначается a = lim xn . n →∞

Пример: 1). Последовательность 1,

1 1 1 , 1, , ..., 1, 2 3 n

имеет верхний предел a = 1 и нижний предел a = 0 . 2). Последовательность 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 5, ..., 1, 2, n, .... имеет нижний предел a = 1 , тогда как обычного предела у нее нет, поскольку она неограниченная.

114

Лекции 8 – 9

Сформулируем без доказательства теорему, показывающую важность этих понятий (значения пределов в ней могут быть и несобственными числами, т.е. + ∞ или −∞ ). Т

!

Для любой числовой последовательности верхний и нижний пределы всегда существуют. Их равенство есть условие, необходимое и достаточное для существования предела (в обычном смысле). Предел в обычном смысле также может оказаться несобственным числом.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен владеть следующими понятиями: ƒ множество, элемент множества; ƒ целые, натуральные, рациональные, действительные числа; ƒ виды числовых множеств (интервал, сегмент, луч и т.п.); ƒ ограниченные и неограниченные множества; ƒ числовая последовательность, способы ее задания; ƒ предел числовой последовательности; ƒ бесконечно большие и бесконечно малые последовательности, их свойства; ƒ свойства сходящихся последовательностей; ƒ монотонные последовательности, признак сходимости монотонной последовательности; ƒ предельная точка (точка сгущения) последовательности.

Лекции 10 - 11 ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В лекциях 10 – 11 рассматривается одно из основных понятий математики – понятие функции. Обсуждаются способы задания функции, различные свойства функций, приводится классификация функций и, для справки, таблица основных элементарных функций с их графиками. Далее рассмотрено опорное для всего математического анализа понятие предела функции, приведены разновидности определений (определение по Коши и определение по Гейне, предел в точке и предел в бесконечности, односторонние пределы и т.п.). Заканчивается лекция описанием бесконечно малых и бесконечно больших функций - весьма удобного математического инструмента, широко использующегося в различных доказательствах. 10.1. Понятие функции. График функции. Способы задания функции 10.2. Основные характеристики функции 10.3. Обратная функция. Сложная функция 10.4. Основные элементарные функции 10.5. Элементарные и неэлементарные функции 11.1. Предел функции в точке 11.2. Предел функции в бесконечности 11.3. Односторонние пределы 11.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства 11.5. Таблица определений предела

10.1. Понятие функции. График функции. Способы задания функции Понятие функции – одно из основных математических понятий, оно относится к установлению соответствия между элементами двух множеств. О

Если задано правило f , по которому каждому элементу x из множества X поставлен в соответствие единственный элемент y из множества Y , то говорят, что на множестве X задана функция y = f ( x ) , x ∈ X , y ∈ Y . Множество X называется областью определения функции (ООФ) и обозначается D ( f ) . Множество изменения функции Y называется об-

ластью значений функции (ОЗФ) и обозначается E ( f ) . В дальнейшем будем рассматривать (в основном) числовые функции, т.е. функции, у которых ООФ и ОЗФ являются числовыми множествами, X ⊂ , Y ⊂ . В этом случае переменная величина x называется независимой переменной или аргументом, величина y - зависимой переменной или функцией (от x). Число y , соответствующее данному значению x, называется частным значением функции в точке x.

116 О

Лекции 10 – 11

Множество точек ( x, f ( x ) ) плоскости Oxy называется графиком функ-

ции y = f ( x ) . Функция может быть задана: 1) аналитически; 2) графически; 3) с помощью таблицы. При аналитическом задании функция может быть определена: ⎧⎪ f1 ( x ) , x ∈ D1 ⊂ D ( f ) 1) явно - уравнением вида y = f ( x ) или y = ⎨ ; f x x ∈ D ⊂ D f , ( ) ( ) ⎪⎩ 2 2 2) неявно - уравнением вида F ( x, y ) = 0 ; 3) параметрически – с помощью вспомогательной переменной – ⎧ x = x (t ), t ∈T ⊂ . параметра – ⎨ = y y t , ( ) ⎩ Пример: Явное задание: 1). y = 1 − x 2 ,

{ x} = { x :

x ≤ 1} , { y} = { y : 0 ≤ y ≤ 1} ;

⎧ x, x ≥ 0, y= x =⎨ 2). ⎩− x, x < 0, { x} = { x : −∞ ≤ x ≤ ∞} ,{ y} = { y : 0 ≤ y ≤ ∞}

⎧1, x > 0, ⎪ 3). y = sgn x - знак x , sgn x = ⎨0, x = 0, ⎪ ⎩−1, x < 0, { x} = { x : −∞ ≤ x ≤ ∞} , { y} = {−1,0,1}

⎧0, x − иррац., 4). Функция Дирихле y = ⎨ ⎩1, x − рац., { x} = { x : −∞ ≤ x ≤ ∞} ,

{ y} = {0,1} . 5). y = [ x ] - целая часть

x (наибольшее целое,

не превосходящее x ) D ( f ) = { x} = { x : −∞ ≤ x ≤ ∞} ,

E ( f ) = { y} = { y :целые числа} ; эта функция может быть задана в виде ⎧... ⎪1, x ∈ 1; 2 , [ ) ⎪⎪ [ x ] = ⎨0, x ∈ [0;1) , . ⎪−1 x ∈ [ −1; 0 ) , ⎪ ⎪⎩...

117

Функции. Предел функции

Неявное задание: уравнение F ( x, y ) = 0 может определять не одну, а несколько функций вида y = f ( x ) . Так, уравнение

x2 + y 2 − 1 = 0

определяет

две

функции:

y = f1 ( x ) = + 1 − x 2 и y = f 2 ( x ) = − 1 − x 2 .

Аналитический способ задания функции является наиболее точным и предпочтительным для дальнейшего исследования функции методами математического анализа. Графическое и табличное описание возникает, например, при исследовании экспериментально наблюдаемых функциональных зависимостей, но и в этом случае обычно подбирают подходящую аналитическую формулу, с достаточной степенью точности воспроизводящую экспериментальные данные (так называемая аппроксимация).

10.2. Основные характеристики функции Функция f ( x ) с симметричной относительно нуля областью определения X называется четной, если для любого x ∈ X выполняется равенство f ( x ) = f ( − x ) . Из определения четной функции следует, что ее график симметричен относительно оси ординат. Например, функции y = x 2 , y = x являются четными, их графики имеют вид: О

y

y

y=x

2

y= x

y0 –x0 О

0

x0

x

0

x

Функция f ( x ) с областью определения X называется нечетной, если

для любого x ∈ X выполняется равенство f ( − x ) = − f ( x ) . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, функции y = x3 и y = 2 x являются нечетными, их графики имеют вид:

118

Лекции 10 – 11 y

y

y = x3 –x0

x

0

y = 2x

y0 0 x0

x

–y0

Функция

(−x) О

2

y = x2 + x

не является ни четной, ни нечетной, так как

+ ( − x ) = x2 − x ≠ ± y .

Функция y = f ( x ) называется периодической, если существует такое число T ≠ 0 , что для любого x ∈ X выполнены условия: 1) x + T ∈ X ; 2) f ( x + T ) = f ( x ) . Число T называется периодом функции y = f ( x ) .

Множество значений числовой функции может быть ограниченным, ограниченным сверху (снизу) и неограниченным. В соответствии с этим подразделяются и сами функции. О

Функция f называется ограниченной на множестве E ⊂ D ( f ) , если

∃A : ∀x ∈ E f ( x ) ≤ A .

Например, функция y = sin ( x ) ограничена на всей числовой оси; y = x3 ограничена на любом промежутке конечной длины, но не ограничена на всей области определения x ∈ . О

Функция f называется ограниченной сверху (снизу) на множестве E ⊂ D ( f ) , если ∃A : ∀x ∈ E f ( x ) ≤ A ; ( ∃A : ∀x ∈ E f ( x ) ≥ A ).

Например, y = x 2 ограничена снизу на всей области определения x ∈ . О Точная верхняя (нижняя) грань множества M значений функции f на E называется точной верхней (нижней) гранью функции f на E и обозначается sup f ( x ) ( inf f ( x ) ). x∈E

x∈E

1 = 0 , inf x 2 = 0 . x∈ x∈( −∞ ;0 ) x Если число sup f ( x ) ( inf f ( x ) ) принадлежит множеству M значений

Например, sup

О

x∈E

x∈E

функции f на E , то оно называется наибольшим (наименьшим) значением f на E и обозначается max f ( x ) ( min f ( x ) ). x∈E

x∈E

1 не существует. x∈ x∈( −∞ ;0 ) x Пусть y = f ( x ) определена на множестве D ( f ) и множество E ⊂ D ( f ) . Например, min x 2 = 0 , max

119

Функции. Предел функции

О

Если ∀ x1 , x2 ∈ E : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) - f ( x ) возрастающая на E ;

x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) - f ( x ) неубывающая на E ; x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) - f ( x ) убывающая на E ;

x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) - f ( x ) невозрастающая на E . Все четыре типа в совокупности называются монотонными на E , а возрастающие и убывающие - строго монотонными на E .

10.3. Обратная функция. Сложная функция О

О

Функция y = f ( x ) , x ∈ X , y ∈ Y обратима, если каждое свое значение она принимает один раз, то есть для каждого y ∈ Y существует только одно значение x ∈ X такое, что y = f ( x ) . Тогда функции y = f ( x ) , осуществляющей отображение множества X в множество Y, может быть сопоставлена функция x = g ( y ) , осуществляющая отображение Y в X, такое, что g ( f ( x ) ) = x . Эта функция называется

y

y = f ( x)

y

x = f −1( y) x

x

обратной к f ( x ) и обозначается f −1 ( y ) .

С другой стороны, для функции x = f −1 ( y ) обратной является функция y = f ( x ) , поэтому функции y = f ( x ) и x = f ся взаимно обратными.

−1

( y)

x x = f −1 ( y )

называют-

Графики функций y = f ( x ) и x = f −1 ( y ) совпадают, но если мы хотим описать функцию f −1 ( y ) обычным образом, то есть ее аргумент обозначить через x , а зависимую переменную через y , то графическая иллюстрация изменится. Вначале изменим направления осей; затем изменим названия осей; в результате получаем, что графики взаимно обратных функций симмет-

y y

y = f −1 ( x )

x

120

Лекции 10 – 11

ричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, то есть линии y = x. Множество значений обратной функции y = f −1 ( x ) совпадает с областью определения функции y = f ( x ) , а область определения обрат-

y y= f (x) y = f −1(x)

x

ной функции y = f −1 ( x ) совпадает с множеством

значений функции y = f ( x ) . Пример: 1 x

1) y = = f (x ) , x ∈ (− ∞, 0) U (0, ∞ ) , y ∈ (− ∞, 0) U (0, ∞ ) ;

g ( x ) = f −1 ( x ) =

1 (обратная функция совпадает x

с исходной). ⎧ x x ∈ (− ∞, 0) U (0, ∞ ), 2) y = f (x ) = ⎪⎨ e ,x x > 0, ⎪⎩− e , x < 0, y ∈ (− 1,0) U (1, ∞ );

y= f

О

Если

f

−1

и

ln x, x > 1, x ∈ (− 1, 0) U (1, ∞ ), ⎩ln (− x ), x ∈ (− 1, 0), y ∈ (− ∞,0) U (0, ∞ ).

(x ) = ⎧⎨

g

- функции одного переменного, то функция h ,

h ( x ) = g ⎡⎣ f ( x )⎤⎦ на области D ( h ) = { x ∈ D ( f ) : f ( x ) ∈ D ( g )} , называется сложной функцией или

определенная

соотношением

суперпозицией (композицией) функций f и g и обозначается g o f . Операции производятся справа налево – вначале вычисляется частное значение функции f и в точке x , а затем для данного числа, рассматриваемого как аргумент, вычисляется значение функции g . Операция суперпозиции может применяться повторно, например,

(

)

F ( x ) = lg sin tg ( x 2 ) представляет собой суперпозицию пяти операций: воз-

ведение в квадрат, вычисление тангенса, синуса, модуля и логарифма.

121

Функции. Предел функции

10.4. Основные элементарные функции 1. Степенные функции 1.1. y = x n , n ∈ N .

1.2. y =

1 , x ≠ 0. xn

1.3. y = n x .

1.4. y = xα , α ∈ .

122

Лекции 10 – 11

2. Трансцендентные функции 2.1. Показательная y = a x , a > 0, a ≠ 1.

2.2. Логарифмическая y = log a x, a > 0, a ≠ 1, x ∈ (0, ∞) .

3. Тригонометрические функции 3.1.

3.3.

.

3.2. y = cosx

y = sinx

y = tg x, x ≠

π 2

+ nπ

3.4. y = ctgx, x ≠ kπ .

123

Функции. Предел функции

4. Обратные тригонометрические функции 4.1. y = arcsin x, | x |≤ 1 . arcsin(− x) = − arcsin x .

4.2. y = arccos x, | x |≤ 1 . arccos(− x) = π − arccos x .

4.3. y = arctg x ,

4.4. y = arcctg x .

arcctg(− x) = π − arcctg x .

arctg(− x) = − arctg x .

arcsin x + arccos x =

π 2

, arctg x + arcctg x =

π 2

, arctg x =

π

1 − arctg . x 2

5. Гиперболические функции 5.1. Гиперболический синус e x − e− x . y = sh x = 2

5.2. Гиперболический косинус e x + e− x . y = ch x = 2

124

Лекции 10 – 11

5.3. Гиперболический тангенс

e x − e − x sh x y = th x = x = . e + e − x ch x

5.4. Гиперболический котангенс e x + e− x ch x . y = cth x = x − x = e −e sh x

ch 2 x − sh 2 x = 1, th x ⋅ cth x = 1 , sh( x + y ) = sh x ch y + sh y ch x , ch( x + y ) = ch x ch y + sh x sh y .

10.5. Элементарные и неэлементарные функции Функции, получающиеся из основных элементарных функций и констант с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций суперпозиции, называются элементарными функциями. (Список основных элементарных функций, изучаемых в рамках школьного курса математики, пополнен гиперболическими функциями – они широко встречаются в различных приложениях и тесно связаны с обычными тригонометрическими функциями.) Рассмотренные выше функции y = sgn x , y = x , y = [ x ] , функция Дирихле относятся к неэлементарным. О

11.1. Предел функции в точке О

11.1.1. Число A называется пределом функции y = f ( x ) в точке a , если

для

любой

последовательности

{ xn }

такой,

что

xn ∈ D ( f ) , xn ≠ a, lim xn = a , выполняется равенство lim f ( xn ) = A , коn →∞

торое обозначают: lim f ( x ) = A .

n →∞

x→a

Определение 11.1.1 сформулировано «на языке последовательностей» (иначе определение предела по Гейне).

125

Функции. Предел функции

Пример: 1) y = x; ∀ xn → a y ( xn ) = xn → a ⇒ lim x = a. n →∞

x→a

2) y = y ( x ) − функция Дирихле, x → a, y → ? рациональные − { xn } → a ⇒ { y ( xn )} → 1,

иррациональные − { xn } → a ⇒ { y ( xn )} → 0. Функция Дирихле не имеет предела при x → a , где a - любое.

О

11.1.2. Число A называется пределом функции y = f ( x ) в точке a , если ∀ε > 0 ∃δ ( ε ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ (ε ) ⇒ f ( x ) − A < ε .

Таким образом, для любой ε - окрестности точки А можно найти δ окрестность точки a , такую, что все значения функции для x из δ - окрестности точки a попадут в ε - окрестность точки А. Смысл этого утверждения заключается в том, что чем ближе точка x расположена к точке a , тем ближе значение f ( x ) к числу A . Определение 11.1.2 сформулировано «на языке эпсилон-дельта» (иначе определение предела по Коши).

11.2. Предел функции в бесконечности Если ООФ не ограничена сверху (снизу), то можно поставить вопрос о поведении функции при x → + ∞ ( x → −∞ ). О 11.2.1. Число A называется пределом f ( x ) при x → + ∞ ( x → −∞ ), ес-

⎛ ⎞ ли ∀{ xn } : xn → +∞ ⇒ f { xn } → A ⎜ ∀{ xn } : xn → −∞ ⇒ f { xn } → A ⎟ . n →∞ n →∞ ⎝ ⎠ n→∞ n→∞ Определение 11.2.1 сформулировано «на языке последовательностей». О

11.2.2. Число A называется пределом f ( x ) при x → + ∞ ( x → −∞ ), если ∀ε > 0 ∃M ( ε ) : ∀x : x ≥ M ⇒ f ( x ) − A < ε

( ∀ε > 0 ∃M (ε ) : ∀x : x ≤ M ⇒ f ( x ) − A < ε ) .

126

Лекции 10 – 11

Определение 11.2.2 сформулировано «на языке эпсилон-дельта». Т

Определение 11.1.1 ⇔ определение 11.1.2, определение 11.2.1 ⇔ определение 11.2.2, т.е. определения Гейне и Коши эквивалентны.

Покажем, как пользоваться обеими разновидностями определений для доказательства существования и отсутствия предела. Для доказательства существования предела обычно удобнее определение Коши, для доказательства отсутствия предела – определение Гейне. Пример: 1) y = x 2 , x → 1 . Доказать, что lim x 2 = 1 . x →1

Доказательство: ∀ε > 0 x 2 − 1 < ε ,

( x − 1)( x + 1) < ε

⇒ x −1 <

ε

. x +1 Так как в предельном переходе рассматриваемая область значений x находится вблизи точки a = 1 , можно считать, что 0 < x < 2 , x + 1 = x + 1 ,

1 1 < < 1 , тогда x − 1 < ε , т.е. можно взять δ ( ε ) = ε . Что3 x +1 бы доказать существование предела f ( x ) при x → a , следует для любо1< x +1< 3 ,

го ε найти формулу для построения δ ( ε ) .

x +1 x +1 Доказать, что lim =1. ,x → ∞. x →∞ x x Доказательство: 1 x +1 1 1 ∀ε > 0 −1 < ε ⇒ < ε ⇒ x > , т.е. M ( ε ) = . x x ε ε 2) y =

1 1 3) y = sin , x → 0 . Доказать, что lim sin не существует. x →0 x x Доказательство: Рассмотрим две последовательности 1 xn = , lim x = 0 , f ( xn ) = sin ( nπ ) = 0 , lim f ( xn ) = 0 ; n →∞ π n n →∞ n 2 ⎛π ⎞ x′n = , lim x′n = 0 , f ( x′n ) = sin ⎜ + 2nπ ⎟ = 1 , lim f ( xn′ ) = 1 . n →∞ π + 4π n n →∞ ⎝2 ⎠ Поскольку для различных последовательностей значений аргумента, сходящихся к нулю, соответствующие последовательности значений 1 функции сходятся к различным пределам, lim sin не существует. x →0 x

127

Функции. Предел функции

11.3. Односторонние пределы О

11.3.1. Число A называется правым пределом функции y = f ( x ) в

точке a , если ∀{ xn } → a , ( xn > a ) ⇒ { f ( xn )} → A . Эквивалентное опре-

деление: число A называется правым пределом функции y = f ( x ) в точке a , если ∀ε > 0 ∃δ ( ε ) > 0 : 0 < x − a < δ ( ε ) ⇒ f ( x ) − A < ε .

Обозначение правого предела: lim f x→ a +0

О

(x) =

A.

11.3.2. Число A называется левым пределом функции y = f ( x ) в точке

a , если ∀ {xn } → a : ( xn < a ) ⇒ { f ( xn )} → A , или если ∀ε > 0 , то

∃δ ( ε ) > 0 : 0 < a − x < δ ( ε ) ⇒ f ( x ) − A < ε . Обозначение левого предела: lim

x→ a −0

f

(x ) =

A.

Пример:

y = Sgn x , lim Sgn x = 1, lim Sgn x = −1 . x →+0

Т

x →−0

Функция y = f ( x ) имеет предел в точке a , если правый и левый пределы в точке a существуют и равны: lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) = A . x →a + 0

x →a −0

x→a

Доказательство: Из определения 11.3.1 ⇒ ∀ε > 0 ∃δ 1 ( ε ) : 0 < x − a < δ 1 ( ε ) ⇒ f ( x ) − A < ε . Из определения 11.3.2 ⇒ для того же ε ∃δ 2 ( ε ) : 0 < a − x < δ 2 ( ε ) ⇒ f ( x ) − A < ε . Возьмем δ ( ε ) = min {δ 1 , δ 2 } , тогда можно сказать, что

∀ε > 0∃δ ( ε ) : x − a < δ (ε ) ⇒ f ( x ) − A < ε , то есть lim f ( x ) = A . x →a

11.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства О

Функция α ( x )

называется бесконечно малой в точке

a,

если

lim α ( x ) = 0 . x→a

!

Аналогично определяется функция, бесконечно малая при x → + ∞ ( x → −∞ ).

128

Лекции 10 – 11

Свойства бесконечно малых функций: 10 . Если limα ( x ) = lim β ( x ) = 0 , то lim (α ( x ) + β ( x ) ) = 0 . x →a

x→a

x →a

Доказательство: Из условия следует, что для любой последовательности xn → a соответствующие последовательности α ( xn ) → 0 и β ( xn ) → 0 . Покажем, что α ( xn ) + β ( xn ) → 0 . Для этого фиксируем произвольное ε :

∃N1 ( ε ) : n > N1 ⇒ α ( xn ) <

ε

2 Возьмем N = max { N1 , N 2 } ,

и ∃N 2 ( ε ) : n > N 2 ⇒ β ( xn ) <

ε 2

.

тогда для n > N ⇒ α ( xn ) + β ( xn ) ≤ α ( xn ) + β ( xn ) < ε .

Свойство может быть расширено: сумма конечного количества бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. 0 2 . Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая. 1⎞ ⎛ Например, lim ⎜ x 2 ⋅ sin ⎟ = 0 . x 2 - бесконечно малая функция в точке x = 0 ; x →0 x⎠ ⎝ 1 sin - ограниченная функция. x 0 3 . Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. α ( x) 40 . Если lim f ( x ) = A ≠ 0, limα ( x ) = 0 , то lim = 0. x →a x →a x →a f ( x ) Функция f ( x ) называется бесконечно большой в точке a , если О

!

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) > M . Записывается это как

lim f ( x ) = ∞ . Если же функция при x → a не только возрастает по абсоx→a

лютной величине, но и сохраняет определенный знак, это обозначают: lim f ( x ) = + ∞ ⇔ ∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) > M ; x →a

lim f ( x ) = −∞ ⇔ ∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) < M . x →a

!

1). Аналогично определяются функции, бесконечно большие при x → +∞ ( x → − ∞ ). 2). Функция, бесконечно большая при x → a , является неограниченной в окрестности точки a , но обратное утверждение неверно: не всякая не1 ограниченная функция является бесконечно большой. Так, f1 ( x ) = x

Функции. Предел функции

129

⎛1⎞ sin ⎜ ⎟ ⎝ x ⎠ - является неогранибесконечно большая при x → 0 , а f 2 ( x ) = x ченной при x → 0 , но бесконечно большой не является. В первом случае для любого числа M можно указать окрестность точки x = 0 , в каждой точке которой f ( x ) > M ; во втором случае для любого числа M в каждой окрестности точки x = 0 можно указать точку, в которой f ( x ) > M , но в этой же окрестности найдутся точки,

не удовлетворяющие этому условию, для которых, например, f ( x ) = 0 .

Связь между функциями бесконечно большими и бесконечно малыми при x → a подтверждается следующей теоремой. Т

Если α ( x ) - бесконечно малая функция при x → a и α ( x ) ≠ 0 при x ≠ a , 1 то - бесконечно большая функция при x → a . Если α ( x ) - бескоα ( x) 1 - бесконечно малая. нечно большая, то α ( x)

Свойства бесконечно больших функций 1˚. Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию, не равную нулю, есть функция бесконечно большая. 2˚. Произведение бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая. 3˚. Сумма бесконечно больших функций может не быть бесконечно большой функцией: f ( x ) = x , g ( x ) = 1 − x , f ( x ) + g ( x ) = 1 . f ( x ) и g ( x ) - бесконечно большие при x → ∞ функции, но f ( x ) + g ( x ) таковой не является;

f ( x ) = x , g ( x ) = 1 − x2 , f ( x ) + g ( x ) = 1 + x − x2 . Все функции, f ( x ) , g ( x ) и f ( x ) + g ( x ) - бесконечно большие при x → ∞.

11.5. Таблица определений предела В таблице приведены все встречавшиеся в лекции определения пределов. Для краткости приведены только определения Коши.

130

Лекции 10 – 11

Понятие Предел функции f в точке x = a «Обращение функции f в бесконечность» в точке

x=a

Предел функции f при x → +∞ , соответственно

x → −∞

«Обращение функции f в бесконечность» при x → +∞ , соответственно

x → −∞

Пределы справа и слева

Обозначение lim f ( x ) = A

∀ε > 0 ∃δ ( ε ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) − A < ε

lim f ( x ) = +∞ x →a

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) > M

lim f ( x ) = −∞

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) < M

lim f ( x ) = ∞ x→a

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) > M

x →+∞

lim f ( x ) = A

∀ε > 0 ∃M ( ε ) : ∀x : x ≥ M ⇒ f ( x ) − A < ε

lim f ( x ) = A

∀ε > 0 ∃M ( ε ) : ∀x : x ≤ M ⇒ f ( x ) − A < ε

lim f ( x ) = +∞

∀M ∃x0 ( M ) : ∀x : x ≥ x0 ⇒ f ( x ) > M

lim f ( x ) = −∞

∀M ∃x0 ( M ) : ∀x : x ≥ x0 ⇒ f ( x ) < M

lim f ( x ) = +∞

∀M ∃x0 ( M ) : ∀x : x ≤ x0 ⇒ f ( x ) > M

lim f ( x ) = −∞

∀M ∃x0 ( M ) : ∀x : x ≤ x0 ⇒ f ( x ) < M

x →+∞

lim f ( x ) = ∞

∀M ∃x0 ( M ) : ∀x : x ≥ x0 ⇒ f ( x ) > M

x →−∞

lim f ( x ) = ∞

∀M ∃x0 ( M ) : ∀x : x ≤ x0 ⇒ f ( x ) > M

x →a + 0

lim f ( x ) = A

∀ε > 0 ∃δ ( ε ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) − A < ε

lim f ( x ) = A

∀ε > 0 ∃δ ( ε ) > 0 : ∀x : 0 < a − x < δ ⇒ f ( x ) − A < ε

lim f ( x ) = +∞

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) > M

lim f ( x ) = +∞

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < a − x < δ ⇒ f ( x ) > M

lim f ( x ) = −∞

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) < M

lim f ( x ) = −∞

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < a − x < δ ⇒ f ( x ) < M

lim f ( x ) = ∞

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) > M

lim f ( x ) = ∞

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < a − x < δ ⇒ f ( x ) > M

x→a

x →a

x →−∞ x →+∞ x →+∞ x →−∞ x →−∞

x →a −0

«Обращение функции f в бесконечность» справа и слева в точке x = a

Определение

x →a + 0 x →a −0

x →a + 0 x →a −0

x →a + 0 x →a −0

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен владеть следующими понятиями: ƒ функция, график функции, способы задания функции; ƒ предел функции в точке и в бесконечности, односторонние пределы; ƒ бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства.

Лекции 12-13 ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ В лекциях 12–13 доказаны основные теоремы, на которые опираются конкретные приемы вычисления пределов функций. Рассмотрены первый и второй замечательные пределы, позволяющие вычислять пределы неопределенных выражений, приведена классификация бесконечно малых величин, показана важность эквивалентных бесконечно малых для вычисления пределов функций. Рассмотрено понятие непрерывности, излагаются определения и теоремы, разъясняющие это понятие.

12.1. Свойства функций, имеющих предел 12.2. Замечательные пределы 12.2.1. Первый замечательный предел 12.2.2. Второй замечательный предел 12.3. Сравнение бесконечно малых функций 13.1. Непрерывность функции 13.1.1. Непрерывность функции в точке 13.1.2. Непрерывность функции на множестве 13.1.3. Непрерывность основных элементарных функций 13.1.4. Свойства непрерывных функций 13.1.5. Непрерывность обратной функции 13.1.6. Непрерывность сложной функции 13.1.7. Свойства функций, непрерывных на отрезке 13.2. Точки разрыва и их классификация

12.1. Свойства функций, имеющих предел Для рассмотрения свойств функций, имеющих предел, будет полезна следующая теорема о связи бесконечно малой функции и функции, имеющей предел. Теоремы этого параграфа сформулированы для пределов в точке x0 , но все они справедливы и для пределов при x → ± ∞ . Т

Если lim f ( x) = A и A < ∞ , то f ( x ) = A + α ( x ) , где lim α ( x) = 0. x → x0

x → x0

Доказательство: Если lim f ( x) = A, то, по определению Коши, при произвольном ε > 0 x → x0

выполняется неравенство

f ( x ) − A < ε . Обозначим

f ( x) − A = α ( x).

Тогда для любого ε > 0 выполняется α ( x ) < ε . Но это и означает, что

α ( x ) – бесконечно малая при x → x0 .

132 !

Лекции 12 – 13

Справедливо и обратное утверждение: если функция f ( x ) представима

в виде f ( x ) = A + α ( x ) , где lim α ( x ) = 0 , то существует lim f ( x) = A . x → x0

x → x0

Пусть функции y = f ( x) и y = ϕ ( x) имеют одну область определения D . Т

Если lim f ( x ) = A и lim ϕ ( x) = B , то x → x0

x → x0

1) lim ( f ( x ) + ϕ ( x ) ) = lim f ( x ) + lim ϕ ( x ); x → x0

x → x0

x → x0

2) lim ( f ( x ) ⋅ ϕ ( x ) ) = lim f ( x ) ⋅ lim ϕ ( x ); x → x0

x → x0

x → x0

3) lim ( k ⋅ f ( x ) ) = k ⋅ lim f ( x ); x → x0

x → x0

f ( x) f ( x) xlim → x0 = 4) lim , где ϕ (x) ≠ α (x) . x → x0 ϕ ( x ) lim ϕ ( x) x → x0

Из теоремы о связи функции, предела и бесконечно малой:

lim f ( x) = A ⇔ f ( x) = A + α ( x),

где lim α ( x) = 0;

lim ϕ ( x) = B ⇔ ϕ ( x) = B + β ( x),

где lim β ( x) = 0

x → x0 x → x0

x → x0

x → x0

Докажем свойство 1:

f ( x ) + ϕ ( x ) = ( A + α ( x )) + ( B + β ( x )) = = ( A + B ) + (α ( x ) + β ( x ) ) = ( A + B ) + γ ( x ) , где γ ( x ) = α ( x ) + β ( x ) . Применяя теорему о связи вновь и учитывая, что

lim γ ( x) = lim (α ( x) + β ( x) ) = 0,

x → x0

получаем

lim ( f ( x) + ϕ ( x) ) = A + B = lim f ( x) + lim ϕ ( x).

x → x0

!

x → x0

x → x0

x → x0

Свойства 1, 2, 4, в которых фигурируют три различных предела, можно читать в двух направлениях: если два любых предела существуют, то существует и третий и соотношение выполняется.

133

Замечательные пределы. Непрерывность функции

Пример: x2 + 5 Вычислить предел lim 2 . x →2 x − 3

x2 + 5 определено x2 − 3 22 + 5 9 x2 + 5 f (2) = 2 = = 9 , поэтому lim 2 = 9. x →2 x − 3 2 −3 1

Значение

f ( x) =

функции

в

точке

x0 = 2 ,

Если функция f ( x) определена в точке x0 , то

( )

lim f ( x) = f lim x = f ( x0 ).

x → x0

x → x0

Пример: Вычислить предел lim

x →∞

x3 + x . x3 − 3x 2 + 1

Как и для последовательностей, применим метод деления числителя и знаменателя на наивысшую степень x , т.е. на x 3 : x3 + x 1 + 1 x2 1+ 0 ⎡∞⎤ lim 3 = = lim = 2 3 ⎢⎣ ∞ ⎥⎦ x →∞ 1 − 3 x + 1 x 1 − 0 + 0 = 1. x →∞ x − 3 x + 1 Пример: 9 + 5x + 4 x2 − 3 . x →0 x Непосредственно подставляя число x0 = 0 в функцию, получаем неопре-

Вычислить предел lim

деленность (0/0). Учтем формулу ( a − b )( a + b ) = a 2 − b 2 и умножим чис-

литель и знаменатель на выражение

9 + 5x + 4 x lim x →0 x = lim x →0

=

2

( − 3 ⎡0⎤ = = lim ⎢⎣ 0 ⎥⎦

9 + 5x + 4 x2 − 9

x⋅

(

9 + 5x + 4 x2 + 3

5 5 = . 3+3 6

)

x →0

= lim x →0

(

)

9 + 5x + 4 x2 + 3 :

) − ( 3) = x ⋅ ( 9 + 5 x + 4 x + 3) 9 + 5x + 4 x2

2

2

2

5 + 4x 9 + 5x + 4 x2 + 3

=

5+0 = 9+0+0 +3

134

Лекции 12 – 13

Пример: Вычислить предел: lim

x →+∞

)

(

x2 + 1 − x .

В данном примере имеет место неопределенность типа (∞ - ∞); наличие иррациональности не допускает прямого сокращения, поэтому применяется следующий прием: f ( x ) − g ( x )) ( f ( x ) + g ( x )) f 2 ( x ) − g 2 ( x ) ( : f ( x) − g ( x) = = f ( x) + g ( x) f ( x) + g ( x) lim ( x 2 + 1 − x ) = [ ∞ − ∞ ] = lim

x →+∞

= lim

x →+∞

x2 + 1 − x2

x →+∞

Т

(

x +1 + x 2

= lim

x →+∞

1 x +1 + x 2

)

2

x 2 + 1 − ( x )2 x2 + 1 + x

=

=0.

Если функции y = f ( x) и y = ϕ ( x) имеют одну область определения D и ∀x ∈ D f ( x ) ≤ ϕ ( x ) , то lim f ( x) ≤ lim ϕ ( x). Иначе говоря, знак нераx → x0

x → x0

венства сохраняется при предельном переходе. Заметим, что из строгого неравенства f ( x ) < ϕ ( x ) по-прежнему следует lim f ( x) ≤ lim ϕ ( x) : пусть x → x0

x → x0

x →0

x →0

f ( x ) = x , ϕ ( x ) = x , при x < 1 f ( x ) < ϕ ( x ) , но lim f ( x) = lim ϕ ( x) = 0 . 4

Т

2

Теорема о пределе промежуточной функции. Если 1) ∀x ∈ D f ( x ) ≤ ϕ ( x ) ≤ g ( x ) , 2) lim f ( x) = lim g ( x) = A , то ∃ lim ϕ ( x) = A .

x → x0

x → x0

x → x0

12.2. Замечательные пределы. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел В теории пределов большую роль играют два предела, которые, в силу их важности, получили названия замечательных пределов.

12.2.1. Первый замечательный предел Т

Функция y =

sin x sin x при x → 0 имеет предел, равный 1: lim = 1. x →0 x x

Замечательные пределы. Непрерывность функции

135

Доказательство: Рассмотрим единичную окружность. Пусть ∠COB = x , 0 < x <

π

, OC = OB = r = 1 , 2 AC = sin x , OA = cos x , BD = tg x . Сравнивая площади треугольника OAC , сектора OBC и треугольника OBD , получаем

S OAC < SOBC < S OBD , 1 1 1 sin x . sin x ⋅ cos x < x < ⋅ 2 2 2 cos x 1 x sin x < . Нера( > 0 ) : cos x < sin x cos x 2 для x < 0 , так как cos( − x ) = cos x ,

Разделим двойное неравенство на

венство справедливо и sin( − x ) sin( x ) . Перейдем к пределу при x → 0 : cos( x) - функция не= x −x прерывная, cos x → cos(0) = 1. Применяя теорему о пределе промежуточной функции, получаем:

sin x sin x ≤ 1 , то есть lim = 1. x →0 x →0 x x

1 ≤ lim !

0 В первом замечательном пределе имеет место неопределенность ⎡⎢ ⎤⎥ . ⎣0⎦ Пример:

sin 2 x . x →0 x

Вычислить предел: lim

Если x → 0, то и 2x → 0 и тогда

lim x →0

sin 2 x ⎡ 0 ⎤ 2 ⋅ sin 2 x sin 2 x = ⎢ ⎥ = lim = 2 ⋅ lim = 2 ⋅ 1 = 2. x → 0 x → 0 x 2⋅ x 2x ⎣0⎦

Пример:

tg x . x →0 x

Вычислить предел: lim

tg x ⎡ 0 ⎤ sin x 1 1 ⎛ sin x 1 ⎞ = ⎢ ⎥ = lim ⎜ ⋅ = lim ⋅ lim = 1⋅ = 1. ⎟ x →0 x cos 0 ⎣ 0 ⎦ x→0 ⎝ x cos x ⎠ x→0 x x→0 cos x

lim

136

Лекции 12 – 13

12.2.2. Второй замечательный предел x ⎛ 1⎞ Т Функция y ( x ) = ⎜ 1 + ⎟ при x → ∞ имеет предел, равный числу e : x⎠ ⎝ x

⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ = e . x →∞ x⎠ ⎝ Доказательство: При рассмотрении предела монотонной последовательности было полуn ⎛ 1⎞ чено соотношение: lim ⎜1 + ⎟ = e . n →∞ ⎝ n⎠ Пусть x → + ∞ . Любое x удовлетворяет двойному неравенству 1 1 1 < ≤ , n ≤ x < n + 1 , где n = [ x ] - целая часть x . Тогда n +1 x n n x n +1 1 1 1 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ и ⎜1 + 1+ <1+ ≤1+ ⎟ < ⎜ 1 + ⎟ ≤ ⎜ 1 + ⎟ . При x → + ∞ n +1 x n x⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n +1⎠ ⎝ n → +∞ . Рассмотрим раздельно пределы левой и правой части двойного неравенства: n +1

1 ⎞ ⎛ lim ⎜1 + n 1 ⎞ n→∞ ⎝ n + 1 ⎟⎠ e ⎛ lim ⎜1 + = = =e, ⎟ n →∞ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎝ n +1⎠ lim ⎜1 + ⎟ n→∞ ⎝ n +1⎠

⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ n →∞ ⎝ n⎠

n +1

n

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ = lim ⎜ 1 + ⎟ ⋅ lim ⎜ 1 + ⎟ = e ⋅ 1 = e . n→∞ ⎝ n ⎠ n→∞ ⎝ n ⎠

Применяя теорему о пределе промежуточной функции, получаем, что x

x

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ e ≤ lim ⎜1 + ⎟ ≤ e , откуда lim ⎜1 + ⎟ = e . x →+∞ x →+∞ x⎠ x⎠ ⎝ ⎝ Пусть x → −∞ . Сделаем замену переменной: t = − ( x + 1) , x = − ( t + 1) ; из x → −∞ следует t → + ∞ . x

1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ lim ⎜1 + ⎟ = lim ⎜1 − ⎟ x →−∞ ⎝ x ⎠ t →+∞ ⎝ t + 1 ⎠

⎛ 1⎞ = lim ⎜1 + ⎟ t →+∞ ⎝ t⎠

t +1

⎛ 1⎞ = lim ⎜ 1 + ⎟ t →+∞ ⎝ t⎠

t

− t −1

⎛ t ⎞ = lim ⎜ ⎟ t →+∞ t + 1 ⎝ ⎠

− t −1

t

⎛ t +1⎞ = lim ⎜ ⎟ t →+∞ ⎝ t ⎠

t +1

=

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⋅ ⎜ 1 + ⎟ = lim ⎜ 1 + ⎟ ⋅ lim ⎜ 1 + ⎟ = e ⋅ 1 = e ⎝ t ⎠ t →+∞ ⎝ t ⎠ t →+∞ ⎝ t ⎠

137

Замечательные пределы. Непрерывность функции

С

lim (1 + t )

1/ t

t →0

=e

(заменим переменную: t =

1 1/ t x ; lim (1 + t ) = lim (1 + 1 x ) = e ). x →∞ x t →0

Пример: Вычислить предел: lim (1 + 1 x ) . 7x

x →∞

7

7

7x x x lim (1 + 1 x ) = ⎡⎣1∞ ⎤⎦ = lim ⎡(1 + 1 x ) ⎤ = ⎡ lim (1 + 1 x ) ⎤ = e7 . ⎦ ⎣ x →∞ x →∞ x →∞ ⎣ ⎦

О

ϕ( x)

Функция y = ( f ( x ) )

( f ( x ) > 0 ) называется степенно-показательной

функцией или сложно-показательной функцией.

Т

ϕ( x)

Предел степенно-показательной функции y = ( f ( x ) )

при x → x0 вы-

числяется по формуле:

lim ( f ( x) )

ϕ ( x)

x → x0

lim ϕ ( x )

x → x0 = ⎡ lim f ( x) ⎤ ⎣⎢ x→ x0 ⎦⎥

.

Применим основное логарифмическое тождество, считая

lim f ( x ) = A, lim ϕ ( x ) = B.

x → x0

lim ( f ( x) )

ϕ ( x)

x → x0

=e !

= lim e

ϕ (x)

ln ( f ( x ) )

x → x0

lim ϕ ( x ) ⋅ lim ln f ( x )

x → x0

x → x0

x → x0

=e

lim ϕ ( x )⋅ln f ( x )

= lim eϕ ( x )⋅ln f ( x ) = e x → x0 x → x0

B ⋅ln A

=e

ln AB

=

lim ϕ ( x )

x → x0 = A = ⎡ lim f ( x ) ⎤ ⎣⎢ x → x0 ⎦⎥

B

.

Во втором замечательном пределе имеет место неопределенность ⎡⎣1∞ ⎤⎦ . Пример:

⎛ x +1 ⎞ Вычислить предел lim ⎜ ⎟ x →∞ x − 2 ⎝ ⎠ Вычислим

предел

2 x −1

.

x +1 1+1 x 1+ 0 = lim = =1 x →∞ x − 2 x →∞ 1 − 2 x 1− 0

lim

⎛ x +1 ⎞ lim ( 2 x − 1) = ∞. Таким образом, функция y = ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x − 2⎠ определенность [1∞].

и

предел

2 x −1

порождает не-

x +1 x +1− x + 2 3 1 ⎛ x +1 ⎞ = 1+ ⎜ − 1⎟ = 1 + = 1+ = 1+ . x−2 x−2 x−2 ( ( x − 2) 3) ⎝ x−2 ⎠

138

Лекции 12 – 13

⎛ x +1⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ x − 2 ⎝ ⎠

2 x −1

= (1

∞

)

⎛ ⎞ 1 = lim ⎜1 + ⎟⎟ x →∞ ⎜ ⎝ ( ( x − 2) 3) ⎠

⎡ ⎛ ⎞ 1 = lim ⎢ ⎜ 1 + ⎟ x →∞ ⎢ ( ( x − 2) 3) ⎠ ⎝ ⎢⎣

x −2 3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

( 2 x −1)⋅

3 x −2

=e

lim

x →∞

2 x −1

3( 2 x −1) x −2

=

= e6 ,

6x − 3 = 6. x →∞ x − 2

поскольку lim

12.3. Сравнение бесконечно малых функций Пусть функции α1(x) и α2(x) являются бесконечно малыми при x → x0. α ( x) Если lim 1 = A, то возможно несколько ситуаций: x → x0 α ( x ) 2 1) если A < ∞, то α1(x) и α2(x) называются бесконечно малыми одного порядка; 2) если A = 1, то α1(x) и α2(x) называются эквивалентными. Обозначение: α ( x) α1(x) ∼ α2(x) ⇔ lim 1 = 1; x → x0 α ( x ) 2 3) если A = 0, то функция α1(x) называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с α2(x). α ( x) Введем символ α1(x) = о (α2(x)) ⇔ lim 1 = 0. x → x0 α ( x ) 2 Т Если α1(x), α2(x), α3(x), α4(x) являются бесконечно малыми при x → x0 и α ( x) α ( x) . при этом α1(x) ∼ α2(x), α3(x) ∼ α4(x), то lim 1 = lim 2 x → x0 α ( x ) x → x0 α ( x ) 3 4 α ( x) В самом деле, α1(x) ∼ α2(x) ⇔ lim 1 = 1; x → x0 α ( x ) 2 α ( x) α3(x) ∼ α4(x) ⇔ lim 3 = 1. x → x0 α ( x ) 4 α ( x) α ( x) ⋅ α2 ( x) ⋅ α4 ( x) α ( x) α ( x) α ( x) Тогда lim 1 = lim 1 = lim 1 ⋅ lim 2 ⋅ lim 4 = x → x0 α ( x ) x → x0 α ( x ) ⋅ α ( x ) ⋅ α ( x ) x→x0 α ( x) x→x0 α ( x) x→x0 α ( x) 3 3 2 4 2 4 3 α2 ( x) α2 ( x) = 1 ⋅ lim ⋅ 1 = lim . x → x0 α ( x ) x → x0 α ( x ) 4 4

139

Замечательные пределы. Непрерывность функции

Аналогично: если α1(x) ∼ α2(x) при x → x0, то

1) lim ( f ( x) ⋅ α1 ( x) ) = lim ( f ( x) ⋅ α 2 ( x) ) ; x → x0

2) lim

x → x0

α1 ( x)

x → x0

f ( x)

= lim

x → x0

α 2 ( x) f ( x)

;

3) lim f (α1 ( x) ) = lim f (α 2 ( x) ) . x → x0

Т

!

x → x0

Если x → 0, то выполняются следующие эквивалентности: 1) sin x ∼ x

5) arcsin x ∼ x

2) tg x ∼ x

6) arctg x ∼ x

x2 9) 1 − cos x 2 10) sh x x

3) ex – 1 ∼ x

7) ln(1 + x) ∼ x

11) 1 ± x − 1 ±

4) a x − 1 x ⋅ ln a

8) log a (1 + x )

x ln a

x 2

12) (1 + x ) − 1 α x α

Указанные эквивалентности являются следствиями соответствующих предельных соотношений:

sin x ⎯⎯⎯ →1 , x →0 x

ax −1 = ⎯⎯⎯ → ln a , x →0 x

tg x ⎯⎯⎯ →1, x →0 x

(1 + x ) x

log a (1 + x) 1 , = ⎯⎯⎯ → x →0 x ln a

a

−1

= ⎯⎯⎯ →a, x →0

1+ x −1 1 = ⎯⎯⎯ → . x →0 x 2

Пример: Вычислить предел lim (1 + sin x ) . 1x

x→0

При x → 0 применим sinx ∼ x. lim (1 + sin x )

1x

x→0

= lim (1 + x )

1x

x→0

= e.

Пример:

ln(1 + sin x) . sin 4 x При x → 0 применим эквивалентность sinx ∼ x, sin4x ∼ 4x.

Вычислить lim x →0

140

Лекции 12 – 13

ln(1 + sin x) ln(1 + x) 1 ln(1 + x) 1 1 = lim = lim = ⋅1 = . x →0 x →0 x sin 4 x 4x 4 x →0 4 4

lim Пример:

1 + cos π x . x →1 tg 2π x Заменим t = x - 1. Получаем t → 0 и x = t + 1, тогда cos πx = cosπ(t + 1) = = cos (πt + π) = -cosπt, tg2πx = tg2π(t + 1) = tg2(πt + π) = tg2πt.

Вычислить lim

2

⎛πt ⎞ 2 sin ⎜ ⎟ 1 + cos π x ⎛ 0 ⎞ 1 − cos π t 2 2 lim = ⎜ ⎟ = lim = lim = 2 ⋅ lim ⎝ ⎠2 = 2 2 2 x →1 t → t → t → 0 0 0 tg π x tg π t tg π t ⎝0⎠ (π t ) 2

πt

1 1 π 2t 2 4 = 2 ⋅ lim 2 2 = 2 ⋅ lim = . t →0 π t t →0 4 2

13.1. Непрерывность функции 13.1.1. Непрерывность функции в точке О.1

Пусть функция y = f ( x) определена на множестве D и пусть точка x0 ∈ D . Функция y = f ( x) называется непрерывной в точке x0 , если функция определена в точке x0 , существует предел lim f ( x) и при этом x → x0

lim f ( x) = f ( x0 ). (Иначе: 1) ∃f ( x0 ) , 2) ∃ lim f ( x) , 3) lim f ( x) = f ( x0 ) ).

x → x0

!

x → x0

x → x0

1). При нарушении любого из трех условий функция называется разрывной в точке x0 . 2). Поскольку lim x = x0 , поэтому первое определение непрерывности x → x0

(

)

может быть записано в виде lim f ( x) = f lim( x) , то есть операция выx → x0

x → x0

числения непрерывной в точке x0 функции y = f ( x) и операция вычисления предела перестановочны. Пример: 1) f ( x) = x , ∀x0 lim f ( x) = lim x = x0 = f ( x0 ) . x → x0

x → x0

f ( x) = x - непрерывна в любой точке x0 по определению. ⎧ x 2 , x < 0, 2) f ( x) = ⎨ ⎩1, x ≥ 0. f ( x) непрерывна в любой точке x0 ≠ 0 ,

1 0

141

Замечательные пределы. Непрерывность функции

f ( x) разрывна в точке 0 (нарушено второе условие определения).

Рассмотрим точку x0 ∈ D функции y = f ( x) и точку x ≠ x0 . Величина ∆ x = x − x0 называется приращением аргумента, x = x0 + ∆x . Величина ∆ y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) называется приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента ∆x . О.2

Функция y = f ( x) называется непрерывной в точке x0 , если функция определена в точке x0 и при этом lim ∆y = 0. ∆x →0

Вариант формулировки: функция непрерывна в точке, если бесконечно малым приращениям аргумента соответствуют бесконечно малые приращения функции. Пример: Показать, что первое и второе определения непрерывности равносильны. Используя арифметические свойства предела, получаем lim ∆y = 0, lim [ f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )] = 0, ∆x → 0

∆x → 0

lim f ( x0 + ∆x) − lim f ( x0 ) = 0, lim f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = 0.

∆x → 0

∆x → 0

∆x → 0

По определению приращения ∆x = x − x0 , поэтому lim f ( x0 + ∆x) = lim f ( x),

∆x → 0

x → х0

и тем самым lim f ( x) − f ( x0 ) = 0 или lim f ( x) = f ( x0 ). x → x0

О.3

Функция y = f ( x) называется непрерывной в точке x0 , если функция определена в точке x0 , существуют односторонние пределы lim f ( x), lim f ( x) и при этом lim f ( x) = lim f ( x) = f ( x0 ) . x → x0 −0

! О

x → x0 + 0

x → x0 −0

x → x0 + 0

Все три определения непрерывности равносильны. Используется также понятие односторонней непрерывности. Функция y = f ( x) называется непрерывной в точке x0 слева, если функция определена в точке x0 и существует односторонний предел lim f ( x) и при этом lim f ( x) = f ( x0 ) . x → x0 −0

О

x → x0

x → x0 −0

Функция y = f ( x) называется непрерывной в точке x0 справа, если функция определена в точке x0 и существует односторонний предел lim f ( x) и при этом lim f ( x) = f ( x0 ) . x → x0 + 0

x → x0 + 0

142

Лекции 12 – 13

Используя понятие односторонней непрерывности, можно сказать, что функция непрерывна в точке x0 , если она непрерывна в ней справа и слева.

!

13.1.2. Непрерывность функций на множестве О.

О

Функция, непрерывная в любой точке множества D , называется непрерывной на множестве D . Для некоторых точек множества двусторонние пределы могут не существовать, например, если в качестве множества D рассматривается отрезок [ a, b ] . В этом случае в крайних точках отрезка двусторонние пределы заменяются на односторонние. Функция непрерывна на отрезке [ a, b ] , если она непрерывна на ин-

тервале ( a, b ) , непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b .

13.1.3. Непрерывность основных элементарных функций Основными элементарными функциями обычно называют следующие: y = xα , a x , log a x , sin x , cos x , tg x , ctg x , arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x . Т

Основные элементарные функции непрерывны в каждой точке x0 их области определения. Пример: Показать, что функция y = x2 непрерывна в произвольной точке x0 вещественной оси. ∆y = (x0 + ∆x)2 – x02 = x02 + 2x0 ⋅ ∆x + ∆x2 – x02 = 2x0 ⋅ ∆x + ∆x2. lim ∆y = lim ( 2 x0 ⋅ ∆x + ∆x 2 ) = 2 x0 ⋅ lim ∆x + lim ∆x ⋅ lim ∆x = 2 x0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 = 0.

∆x → 0

!

∆x → 0

∆x → 0

∆x → 0

∆x → 0

Непрерывность функции y = xn в произвольной точке x0 вещественной оси доказывается с использованием формулы бинома Ньютона. Пример: Показать, что функция f ( x) = sin x непрерывна в произвольной точке x0 вещественной оси. Докажем, что: 1) lim sin x = 0 . ∀ { xn } → + 0 ( x > 0) . x →+0

По лемме 0 < sin xn < xn при n → ∞ , по теореме о переходе к пределу в

неравенствах lim sin xn = 0 . lim sin x = 0 = sin(0) - непрерывность в n →∞

x →0+

143

Замечательные пределы. Непрерывность функции

точке x = 0 справа. Пусть { xn } → − 0 . Заменим x на ( − x ) , ( − x ) > 0 . Тогда выполняется условие: 0 < sin(− x) < (− x) , 0 < − sin x < (− x) .

Умножим неравенство на (-1). Тогда 0 > sin x > x . Рассмотрим ( xn < 0) , xn < sin xn < 0 ⇒ lim sin x = 0 = sin(0) - непрерывность в x →0−

точке x = 0 слева. 2) ∀ точки x = x0 ≠ 0 . Покажем, что

lim sin x = sin x0 , то есть

x → x0

lim(sin x − sin x0 ) = 0 .

x → x0

x + x0 x − x0 . sin 2 2 x + x0 x + x0 x − x0 lim (sin x − sin x0 ) = 2 lim (cos sin ) = 0 (так как cos x → x0 x → x0 2 2 2 x − x0 - бесконечно малая и → 0 ) ⇒ и все величина ограниченная, sin 2 произведение → 0 . sin x − sin x0 = 2 cos

Пример: Вычислить предел: lim sin x. x→

π

4

Функция y = sinx непрерывна в любой точке, поэтому

⎛ ⎞ 2 ⎛π ⎞ . lim sin x = sin ⎜ lim x ⎟ = sin ⎜ ⎟ = π ⎜ x→π ⎟ 4⎠ 2 x→ ⎝ ⎝ 4 ⎠ 4

13.1.4. Свойства непрерывных функций Т

Если функции y = f ( x ) и y = ϕ ( x ) определены на множестве D и непрерывны в точке x0 ∈ D , то функции f ( x) f ( x ) + ϕ ( x ) , k ⋅ f ( x ) , f ( x ) ⋅ϕ ( x ) , ϕ ( x)

непрерывны в точке x0 , причем частное требует условия ϕ ( x0 ) ≠ 0 . Поскольку функции непрерывны в точке x0 , выполняется условие: lim f ( x ) = f ( x0 ), lim ϕ ( x) = ϕ ( x0 ). x → x0

x → x0

Используя арифметические свойства предела, получаем: lim ( f ( x) + ϕ ( x) ) = lim f ( x) + lim ϕ ( x) = f ( x0 ) + ϕ ( x0 ), x → x0

x → x0

x → x0

но это и означает, что функция f ( x ) + ϕ ( x ) непрерывна в точке x0 .

144 С

Т Т

Лекции 12 – 13

1). Многочлен Pn(x) = anxn + … +a1x + a0 непрерывен в любой точке x0 вещественной оси. Pn ( x) an x n + ... + a1 x + a0 2). Дробно-рациональная функция R ( x) = = неQm ( x) bm x m + ... + b1 x + b0 прерывна в любой точке x0 вещественной оси, где Qm(x0) ≠ 0. Если функция y = f ( x ) непрерывна в точке x0 , то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Об устойчивости знака непрерывных функций. Если f ( x) - непрерывна в точке x0 и f ( x0 ) ≠ 0 , то ∃ такая δ окрестность точки x0 , что для всех значений x из этой окрестности f ( x) ≠ 0 и имеет знак, совпадающий со знаком f ( x0 ) . Доказательство: По условию, lim f ( x) = f ( x0 ) . x → x0

Таким образом для ∀ε > 0 ∃δ : x − x0 < δ ⇒ f ( x) − f ( x0 ) < ε , то есть, f ( x0 ) − ε < f ( x) < f ( x0 ) + ε . Если взять ε : ε < f ( x0 ) , то числа f ( x0 ) − ε , f ( x0 ) + ε и f ( x0 ) должны иметь одинаковый знак. Таким образом, для ε < f ( x0 ) , f ( x) из ε - окрестности имеет один знак с f ( x0 ) .

13.1.5. Непрерывность обратной функции Т

Если: 1) y = f ( x) - строго монотонная, непрерывная на [ a, b ] , 2) α = f (a ), β = f (b) , то ∃x = f −1 ( y ) - строго монотонная, непрерывная на [α , β ] . Пример:

⎡ π π⎤ y = sin x , на ⎢ − , ⎥ - строго монотонна и непре⎣ 2 2⎦ рывна ⇒ имеет строго монотонную и непрерывную обратную функцию x = arcsin y на [ −1,1] . После переобозначения y = arcsin x .

Замечательные пределы. Непрерывность функции

145

13.1.6. Непрерывность сложной функции Функции, полученные в результате суперпозиции двух или большего числа функций, называются сложными: О Пусть: 1) x = ϕ (t ) задана на {t} и имеет множество значений { x} ; 2) y = f ( x ) задана на { x} . О

Тогда на

y = F (t ) = менная.

{t} задана сложная функция y = f ( x) , где x = ϕ (t ) или f [ϕ (t )] , x - промежуточный аргумент, t - независимая пере-

Пример:

y = sin x , x = t 2 , y = sin t 2 - сложная функция. Т

Непрерывность сложной функции. Если: 1) x = ϕ (t ) непрерывна в точке t = a , 2) y = f ( x) непрерывна в точке x = b = ϕ (a ) , то y = f [ϕ (t )] непрерывна в точке t = a . Доказательство: Используя определение предела по Гейне, докажем, что lim f [ϕ (t )] = f [ϕ (a ) ] = f (b) . t →a

По первому из определений непрерывности функции из условия 1): ∀{tn } → a {ϕ (tn )} → ϕ (a ) = b .

Из условия 2): xn = ϕ (tn ) , то есть { xn } → b , { f ( xn )} → f (b) .

Но f ( xn ) = f [ϕ (tn ) ] , то есть ∀{tn } → a , { f [ϕ (tn ) ]} → f [ϕ (a ) ] ⇒

f [ϕ (t ) ] - непрерывна в точке t = a , что и требовалось доказать.

1). Если исходные функции непрерывны, то в результате их сложения, вычитания, умножения, деления (если знаменатель ≠ 0 ), взятия обратной и сложной функций получаются непрерывные функции. 2). Для непрерывной в точке x0 функции f ( x) справедливо: lim f ( x) = f ( x0 ) = f (lim x) .

!

x → x0

x → x0

Для непрерывных функций переходить к пределу можно под знаком функций: x2

а) lim e = e x →5

lim x 2

x →5

= e 25 ,

б) lim ln(1 + sin x) = ln(lim(1 + sin x)) = ln(1 + 0) = 0 . x →0

x →0

146

Лекции 12 – 13

13.1.7. Свойства функций, непрерывных на отрезке Т

[ a, b] , то ∀x ∈ [ a, b ] ).

Если f ( x) непрерывна на ( ∃M и m : m ≤ f ( x) ≤ M

она ограничена на этом отрезке

Пример:

⎡ π⎤ f ( x) = sin x, ⎢0, ⎥ , ⎣ 2⎦

1

m = −1, m = −5, m = 0, π 2

0

!

M = 2, M = 3, M = 1, m = inf { f ( x)} = 0, M = sup { f ( x)} = 1,

Требование непрерывности на отрезке является обязательным, так как функция, непрерывная на интервале, может и не быть ограниченной. Пример:

1 непрерывна на интервале (0, 1), но не огx раничена. f ( x) =

0

Т

1

Если f ( x) непрерывна на [ a, b ] , то она достигает на нем своих точной верхней и точной нижней граней ( ∃ x1 ∈ [ a, b ]: f ( x1 ) = M , ∃ x2 ∈ [ a, b ]: f ( x2 ) = m ). Докажем от противного. Если точки x1 не существует, то f ( x) < M ∀x , f ( x) − M < 0 и M − f ( x) > 0 . 1 Рассмотрим F ( x) = , функция F ( x) - непрерывна на [ a, b ] M − f ( x) (по теореме о непрерывности сложной функции). Из непрерывности F ( x) следует ее ограниченность на [ a, b ] , 1 1 F ( x) = ≤ B ⇒ f ( x) ≤ M − , M − f ( x) B 1 M − - верхняя грань, тогда M - не является точной верхней гранью. B Полученное противоречие доказывает теорему.

Замечательные пределы. Непрерывность функции

147

Пример:

⎛π ⎞ ⎡ π⎤ 1) f ( x) = sin x , x ∈ ⎢0, ⎥ , m = f (0) = 0, M = f ⎜ ⎟ = 1 . ⎣ 2⎦ ⎝2⎠ 2) f ( x) = x , x ∈ [ −1,1] , m = 0, M = 1 .

!

1). Для интервалов ( a, b ) и полуинтервалов [ a, b) или (a, b ] теорема не справедлива. Пример:

y = x, x ∈ (0,1) . Значения m = 0 и M = 1 - не достигаются на интервале x ∈ (0,1) .

2). Для f ( x) , непрерывной на [ a, b ] , m и M можно назвать наименьшим и наибольшим значениями функции: max f ( x) = M ,min f ( x) = m. Т

Если функция y = f ( x) непрерывна на [ a, b ] и имеет на концах отрезка значения f (a ) и f (b) разных знаков, то найдется точка ξ ∈ (a, b) такая, что f (ξ ) = 0 . Доказательство: Пусть f (a ) < 0, f (b) > 0 . Рассмотрим { x} : f ( x) < 0 , { x} - ограничено сверху, например, числом b ⇒ ∃sup { x} = ξ . Покажем, что f (ξ ) = 0 . Если бы f (ξ ) = C > 0 , тогда по теореме о сохранении знака непрерывной функции существовала бы δ -окрестность точки ξ : ∀x ∈ (ξ − δ ,ξ + δ ) ⇒ f ( x) > 0 , но тогда бы ξ не являлась бы точной верхней гранью sup { x} , где f ( x) < 0 . Аналогично для f (ξ ) = C < 0 остается f (ξ ) = 0 , что и требовалось доказать.

Т

Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение. Если функция y= f ( x) - непрерывна на [ a, b ] , имеет на концах отрезка значения f (a ) = A, f (b) = B и число С расположено между числами А и В : A < C < B , то найдется точка ξ ∈ ( a , b) такая, что f (ξ ) = C .

148

Лекции 12 – 13

Доказательство: Рассмотрим ∀C : A < C < B . Введем F ( x) = f ( x) − C . F ( a ) = f ( a ) − C = A − C ⇒ F (a ) < 0, F (b) > 0 . F ( x) - непрерывна на

[ a, b] . По предыдущей теореме ∃ξ ∈ (a, b) , F (ξ ) = 0 ⇒ f (ξ ) − C = 0 ⇒ f (ξ ) = C , что и требовалось доказать.

!

Теорема применяется для отыскания корней уравнения вида F ( x) = 0 методом половинного деления отрезка. Пример: Имеет ли корень уравнение sinx – x + 1 = 0? Рассмотрим функцию f(x) = sinx – x + 1, которая непрерывна на всей числовой оси, поскольку является суммой непрерывных функций.

f(0) =1>0, f(2π) = -2π + 1 < 0. Следовательно, внутри отрезка [0, 2π] имеется, по крайней мере, один корень исходного уравнения.

Пример: Принимает ли функция f ( x) =

x3 1 − sin π x + 3 значение 2 внутри отрез3 4

ка [-2, 2]? Функция является непрерывной на [-2, 2]. На концах отрезка функция принимает числовые значения f(-2) = 1, f(2) = 5.

1 1 Так как 1 < 2 < 5, то ∃ξ ∈ (-2, 2) такая, что f (ξ ) = 2 . 3 3

13.2. Точки разрыва и их классификация Точка x0, в которой функция y = f(x) обладает свойством непрерывности, называется точкой непрерывности функции, в противоположном случае точка x0 называется точкой разрыва функции. Для классификации точек разрыва удобно использовать третье определение непрерывности. О

Если односторонние пределы существуют, причем lim f ( x) = lim f ( x), а функция y = f(x) не определена в точке x0, или x → x0 −0

x → x0 + 0

lim f ( x ) ≠ f ( x0 ), то точка x0 называется точкой устранимого разрыва.

x → x0

!

Устранимый разрыв можно устранить, вводя функцию

x ≠ x0 , ⎧⎪ f ( x ), f1 ( x ) = ⎨ lim f ( x ), x = x0 . ⎪⎩ x → x0

149

Замечательные пределы. Непрерывность функции

Пример:

⎧ x2 − 4 , x ≠ 2, ⎪ f ( x) = ⎨ x − 2 ⎪5, x = 2. ⎩

5 4

Точка x = 2 - точка устранимого разрыва, поскольку lim f ( x) = lim f ( x) = 4 , f (2) = 5 ≠ 4 .

2

x →2+ 0

0

x →2−0

⎧ x2 − 4 , x ≠ 2, ⎪ Устраним разрыв: f1 ( x ) = ⎨ x − 2 ⎪⎩ 4, x = 2.

2

Функция f1 ( x) непрерывна всюду.

О

Если: 1) x0 – точка разрыва f ( x ) , 2) существуют конечные пределы справа и слева: ∃ lim f ( x), ∃ lim f ( x) , x → x0 + 0

3) lim f ( x) ≠

x → x0 − 0

lim f ( x),

x → x0 + 0

x → x0 − 0

то точка x0 называется точкой разрыва 1-го рода (неустранимый конечный скачок). Пример: y = f ( x) =

1 1+ 2

lim

x →0+ 0

1 1+ 2

1 x

1 x

, x = 0 - точка разрыва f ( x ) .

x → +0, 1 = → +∞, x

= 0.

1 x

2 → +∞.

lim

x →0 − 0

1 1+ 2

1 x

x → −0, 1 = → −∞, = 1 . x 1 x

2 → 0. x = 0 - точка разрыва первого рода.

150

О

Лекции 12 – 13

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка х0 называется точкой разрыва 2-го рода. Пример:

1 , x = 0 - точка разрыва 2-го рода; так x как lim f ( x) = +∞ , lim f ( x) = −∞ . f ( x) =

x →0 +

0

x →0 −

.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: ƒ методы практического вычисления пределов; ƒ замечательные пределы; ƒ эквивалентные бесконечно малые; ƒ различные определения непрерывности; ƒ свойства непрерывных функций; ƒ классификацию точек разрыва.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Целью этого раздела является исследование поведения функции y = y ( x ) в окрестности точки x по ее числовым характеристикам в самой этой точке.

Лекции 14 - 15 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ В лекциях 14 – 15 излагаются основные понятия дифференциального исчисления – понятия производной и дифференциала, рассматривается их геометрический и механический смысл. Выведены правила и формулы дифференцирования, указаны методы вычисления производных для различных способов задания функций. Показано практическое применение дифференциала в приближенных вычислениях.

14.1. Производная функции. 14.1.1. Определение производной функции 14.1.2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции 14.1.3. Механический смысл производной 14.2. Правила и формулы дифференцирования 14.2.1. Производная суммы, разности, произведения и частного функций 14.2.2. Производная обратной функции 14.2.3. Таблица производных 14.2.4. Производная сложной функции 14.2.5. Логарифмическая производная 14.2.6. Производная неявной функции 14.2.7. Производная функции, заданной параметрически 15.1. Производные высших порядков 15.1.1. Определение производной n-го порядка 15.1.2. Правила вычисления производной n-го порядка 15.1.3. Вторая производная от неявной функции 15.1.4. Вторая производная от параметрически заданной функции 15.1.5. Механический смысл второй производной 15.2. Дифференциал функции 15.2.1. Дифференциал независимой переменной 15.2.2. Свойства дифференциалов 15.2.3. Геометрический смысл дифференциала 15.2.4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 15.2.5. Дифференциал сложной функции 15.2.6. Дифференциалы высших порядков

152

Лекции 14 – 15

14.1. Производная функции 14.1.1. Определение производной функции Пусть y = f ( x ) определена на (a, b) и x ∈ ( a, b ) - некоторая фиксированная точка, ∆x - приращение аргумента в точке x , ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) - со∆y - отношение приращений (зависит ответствующее приращение функции, ∆x от ∆x , x - фиксировано).

∆y при условии, ∆x →0 ∆x dy ∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim = lim что он существует. Обозначение: y′ = . dx ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x

О

Производной функции f ( x) в точке x называется lim

О

Функция f ( x) называется дифференцируемой в точке x , если производная y′( x) существует; операция нахождения производной называется дифференцированием.

О

Функция f ( x) называется дифференцируемой на интервале ( a, b ) , если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Найдем, исходя из определения, производные некоторых элементарных функций. Пример:

y = sin x, y′ = ? ∆x ⎞ ∆x ⎛ 2 cos ⎜ x + ⋅ sin ⎟ sin( x + ∆x) − sin x ⎡ 0 ⎤ 2 ⎠ 2 ⎝ y′( x) = lim = ⎢ ⎥ = lim = ∆x → 0 ∆ x → 0 ∆x ∆x ⎣0⎦ ∆x ⎞ ∆x ⎛ ∆x cos ⎜ x + sin ⎟ ⋅ sin 2 ⎠ 2 ⎝ 2 =1. = lim = cos x, т.к. lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x 2 2

(sin x)′ = cos x . Пример: y ( x) = log a x, 0 < a ≠ 1 , y′( x) = ?

∆y = log a ( x + ∆x) − log a x = log a

x + ∆x ⎛ ∆x ⎞ = log a ⎜1 + ⎟. x x ⎠ ⎝

⎛ ∆x ⎞ 1 log a ⎜1 + ⎟ ∆x ⎞ ∆x x ⎠ ⎛ ⎝ y′ = lim = lim log a ⎜ 1 + ⎟ = ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x x ⎠ ⎝

153

Производная и дифференциал 1 ⎡ ⎤ 1 1 ⋅x ⎤ x ⎡ ⎤ ⎡ 1 ⎢ 1 ⎛ ∆x ⎞ ∆x ⎥ ⎛ ∆x ⎞ ∆x ⎥ ⎥ x ⎢ log lim 1 = log a ⎢ lim ⎜1 + = + = log e = log a e . ⎢ ⎥ a a ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ∆x → 0 ⎝ x ⎠ ⎥ x ⎠ ⎥ ⎥ x ⎢ ∆x →0 ⎢⎣⎝ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣⎢ ⎦⎥

(log a x)′ =

1 1 log a e , (ln x)′ = . x x

Пример: y = xα ; y′ = ( x

α

′

)

( x + ∆x )

α

= lim

− xα

. ∆x Без ограничения общности можем считать α натуральным показателем и раскрыть скобку, как бином Ньютона: ∆x → 0

( x + ∆x )

α

− xα

xα + α ⋅ xα −1 ∆x + α ⋅ (α − 1) xα − 2 ∆x 2 + ... − xα = lim = lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x ⎧ α ⋅ xα −1 ∆x α ⋅ (α − 1) xα − 2 ∆x 2 ⎫ = lim ⎨ + + ... ⎬ = lim {α ⋅ xα −1 + o( ∆x )} = α ⋅ xα −1 . ∆x → 0 ∆x ∆x ⎩ ⎭ ∆x → 0

14.1.2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции Рассмотрим две точки графика f ( x) : M ( x, f ( x )) и функции P ( x + ∆x, f ( x + ∆x)) . MP - секущая. При стремлении ∆x к нулю (т.е. при стремлении точки P к точке M ) эта секущая будет поворачиваться относительно точки M .

О

Касательной к графику функции y = f ( x) в точке M ( x, f ( x)) называется предельное положение секущей при ∆x → 0 ( P → M ).

О

Нормалью к графику функции y = f ( x) в точке M ( x, f ( x)) называется перпендикуляр к касательной, проведенный через точку касания. Если функция y = f ( x) имеет в точке x производную f ′( x ) , то график функции в точке M ( x, f ( x)) имеет касательную с угловым коэффициентом f ′( x) .

Т

154

Лекции 14 – 15

Доказательство: Пусть

tg ϕ (∆x) =

∆y ∆x

и

∆x → 0 .

Так

как

существует

∆y = f ′( x) = lim tg ϕ (∆x) , то: 1) существует предельное положение ∆x →0 ∆x ∆x →0 секущей, то есть касательная; 2) угловой коэффициент касательной равен k = f ′( x) . lim

С

1). Значение y′ ( x0 ) позволяет записать уравнение касательной к кривой y = y ( x ) в точке x0 :

y − y 0 = y ′( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) .

2). Поскольку условие перпендикулярности двух прямых: k1 ⋅ k2 = −1 , то уравнение нормали имеет вид:

y = f ( x0 ) +

−1 ( x − x0 ) . f ′( x0 )

3). При y′ ( x ) > 0 в точке x функция является возрастающей, а при y′ ( x ) < 0 – убывающей. 14.1.3. Механический смысл производной Рассмотрим движение точки по прямой. S = f (t ) - перемещение точки в f (t + ∆t ) − f (t ) момент времени t , V = f ′(t ) = lim - мгновенная скорость в ∆t → 0 ∆t момент времени t . Пример: S (t ) =

gt 2 , V (t ) = S ' ( t ) = gt . 2

14.2. Правила и формулы дифференцирования 14.2.1. Производная суммы, разности, произведения и частного функций 1) ( c ) ′ = 0 , c = const ; 2)

( f ( x ) ± g ( x ))′ = f ′( x ) ± g ′( x) ;

3) 4)

(c ⋅ f ( x ))′ = c ⋅ f ′( x ) ;

5)

( f ( x) ⋅ g ( x))′ = f ′( x) ⋅ g ( x) + g ′( x) ⋅ f ( x) ; ⎛ f ( x) ⎞′ f ′( x) g ( x) − g ′( x) f ( x) , g ( x) ≠ 0 . ⎜ ⎟ = g 2 ( x) ⎝ g ( x) ⎠

155

Производная и дифференциал

Доказательство правила 2:

lim

(f

+ ∆f ) + ( g + ∆g ) − ( f + g ) = ∆x

∆x →0

= lim

∆x →0

f + ∆f − f g + ∆g − g + lim = ∆x →0 ∆x ∆x

∆f ∆g + lim = f +g ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x .

= lim Пример:

1 y = 3sin x + 5log 2 x − 10 , y′ = 3cos x + 5 log 2 e . x

14.2.2. Производная обратной функции Т

Пусть функция f ( x ) : 1) строго монотонна и непрерывна в окрестности точки x0 , f ( x0 ) = y0 , 2) дифференцируема в точке x0 и f ′( x0 ) ≠ 0 , тогда: ′ 1) существует производная обратной функции в точке y0 : ( f −1 ( y ) ) ; ′ 2) ( f −1 ( y ) ) y = y0 =

1 . f ′( x0 )

Доказательство: Из условия 1 следует существование непрерывной строго монотонной −1 обратной функции x = f ( y ) . Рассмотрим x = f −1 ( y ) в окрестности точки y0 = f ( x0 ) . Зададим приращение аргументу ∆y ; ему соответствует ∆x 1 . приращение функции ∆x и = ∆y ⎛ ∆y ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ∆x ⎠ Из строгой монотонности f −1 ( y ) при ∆y ≠ 0 следует, что ∆x ≠ 0 . Устре−1 мим ∆y → 0 , из непрерывности x = f ( y ) ⇒ ∆x → 0 . Но при ∆x → 0 , ∆y ∆x 1 → f ′( x0 ) , следовательно, → . ∆x ∆y f ′( x0 ) 1 ′ Таким образом, ( f −1 ( y ) ) y = y0 = . f ′( x0 )

156

Лекции 14 – 15

Пользуясь этой формулой, найдем производные некоторых элементарных функций. ′ 1) y = a x , a > 0, a ≠ 1 , ( a x ) = ? . x = log a y ;

y ax = = = = a x ln a ; (a ) = 1 ( log a y )′ log a e log a e log a e y ( a x )′ = a x ln a , ( e x )′ = e x . x

′

1

1

2) y = arcsin x , ( arcsin x )′ = ? x = sin y , 1 1 1 1 = = = ; ( arcsin x )′ = 2 2 ′ cos y 1 sin y 1 x − − ( sin y )

1

( arcsin x )′ =

1 − x2 1

3) ( arccos x )′ = −

.

. 1 − x2 4) y = arctg x, ( arctg x )′ = ? x = tg y , ( tg y )′ =

1 ; cos 2 y 1 1 1 = cos 2 y = = ; ( arctg x )′ = 2 2 ′ 1 tg y 1 x + + ( tg y ) 1 . ( arctg x )′ = 1 + x2 1 . 5) ( arcctg x )′ = − 1 + x2 14.2.3. Таблица производных Таблица получена, исходя из определения производной и правил дифференцирования. ′ 1. ( xα ) = α ⋅ xα −1 . ′ ′ 2. ( a x ) = a x ln a ( a > 0, a ≠ 1) ⇒ ( e x ) = e x . 3. 4. 5.

′

( log a x ) ′

= log a e ⋅

( sin x ) = cos x . ′ ( cos x ) = − sin x .

1 ′ 1 ( a > 0, a ≠ 1) ⇒ ( ln x ) = . x x

157

Производная и дифференциал

6. 7. 8. 9. 10. 11.

′

1 . cos 2 x 1 ′ ( ctgx ) = − 2 . sin x 1 ′ . ( arcsin x ) = 1 − x2 1 ′ . ( arccos x ) = − 2 1− x 1 ′ . ( arctgx ) = 1 + x2 (arcctgx )′ = − 1 2 . 1+ x

( tgx )

′

12.

(shx )

13.

( chx )

14.

( thx )

15.

′

′

=

e x − e− x . Гиперболический синус shx = 2 e x + e− x Гиперболический косинус chx = . 2 shx Гиперболический тангенс thx = . chx chx Гиперболический котангенс cthx = . shx

= chx . = shx .

1 ch 2 x 1 ′ ( cthx ) = 2 sh x =

14.2.4. Производная сложной функции Т

Если: 1) y = f [ϕ (t )] - сложная функция, t- независимая переменная, x = ϕ ( t ) - промежуточный аргумент; 2) существуют f ′( x0 ) и ϕ ′(t0 ) , где

x0 = ϕ (t0 ) , то { f [ϕ (t )]}′ = f ′( x0 ) ⋅ ϕ ′(t0 ) . Доказательство: Рассмотрим: x0 = ϕ ( t0 ) , x0 + ∆x = ϕ ( t0 + ∆t ) ⇒ ∆x = ϕ ( t0 + ∆t ) − ϕ ( t0 ) ;

y0 = f ( x0 ) , y0 + ∆y = f ( x0 + ∆x ) , ⇒ ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) . ∆x (см. условие f ′( x0 ) = y′( x0 ) ). ∆t → 0 ∆ t

Пусть ∆t → 0 , тогда ∃ lim

Вычислим: ∆y ∆y ∆x ∆y ∆x lim = lim ⋅ = lim ⋅ lim = f ′( x0 ) ⋅ ϕ ′(t0 ) , что и требовалось ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆x ∆t ∆t →0 ∆x ∆t →0 ∆t доказать.

158 !

Лекции 14 – 15

Независимой переменной была t , промежуточным аргументом - x . На практике чаще имеем дело с функциями вида: y = f (u ), u = ϕ ( x) , тогда y ′ = y ′u ′ . Например, y = earctg x ; y = eu , u = arctg x, y ′ = ? Решение: x

u

x

x

yu′ = eu , u x′ =

1 1 , y x′ = earctg x ⋅ . 2 1+ x 1 + x2

14.2.5. Логарифмическая производная При вычислении производной некоторого выражения полезно предварительное логарифмирование этого выражения. Рассмотрим функцию y = f ( x), y′ = ? 1 y′ - называется логарифмической производной. ln y = ln f ( x), [ ln y ]x′ = y′ ; y y ′ Отсюда y′ = y ⋅ [ ln y ] . Пример: 1) y = xα , α ≠ 0, y′ = ? y′ 1 ln y = α ln x, =α . y x 1 xα y′ = y ⋅ α ⋅ , y′ = α ⋅ , ( xα )′ = α ⋅ xα −1 . x x 2) y = ( sin x ) , y′ = ? ln y = x 2 ln(sin x) , 1 y′ = 2 x ln(sin x) + x 2 ⋅ cos x . y sin x x2

y ′ = {2 x ln(sin x ) + x 2 ctg x} ( sin x ) . x2

Пример:

В общем случае для степенно-показательных выражений. ϕ ( x) y = f ( x) ⇒ ln y = ϕ ( x ) ln f ( x ) . y′ = f ( x )

ϕ ( x)

f ′( x) ⎞ ⎛ ⋅ ⎜ ϕ ′ ( x ) ⋅ ln f ( x ) + ϕ ( x ) ⎟. f ( x) ⎠ ⎝

Пример: Логарифмическая производная применяется для вычисления производной произведения большого числа сомножителей. 1). y = sin x ⋅ cos x ⋅ x, y ′ = ? ln y = ln sin x + ln cos x + ln x .

159

Производная и дифференциал

y′ cos x − sin x 1 1⎤ ⎡ = + + ⇒ y′ = sin x ⋅ cos x ⋅ x ⎢ctg x − tg x + ⎥ y sin x cos x x x⎦ ⎣ x 3 ( x − 1) , y′ = ? x+6 7

2). y = 5

ln y =

1 ⎡3ln x + 7ln ( x − 1) − ln ( x + 6 ) ⎤⎦ ; 5⎣

′

( ln y )

=

1⎡3 7 1 ⎤ + − ; ⎢ 5 ⎣ x x − 1 x + 6 ⎥⎦

3 1 ⎡3 7 1 ⎤ 5 x ( x − 1) y′ = ⎢ + . − ⋅ 5 ⎣ 6 x − 1 x + 6 ⎥⎦ x+6 7

14.2.6. Производная неявной функции Пусть уравнение F ( x, y ( x ) ) = 0 задает неявно функцию y = y ( x ) .

y′ ( x )

продифференцировать

тождество

x , а затем полученное ную функцию аргумента F1 ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) = 0 разрешить относительно y′ ( x ) .

уравнение

Для

вычисления

нужно

F ( x, y ) = 0 по переменной x , рассматривая функцию F ( x, y ( x ) ) как слож-

Пример: x2 y 2 + = 1, y′ = ? ( y > 0) . a 2 b2 Решение: Первый способ. Выразим явно y из уравнения: b 2 b 2 y=± a − x 2 . Так как y > 0 , y = a − x2 , a a 1 b2 x b1 2 b x 2 −2 − y′ = a x x 2 − − = − = ( ) ( ) a 2 2 a2 y . a2 a −x Второй способ. Продифференцируем выражение ной x :

!

x2 y 2 + = 1 по переменa 2 b2

2x 2 y b2 x ′ ′ = − + y = 0 , откуда . y a 2 b2 a2 y

Выражение для производной y′ ( x ) может зависеть как от x , так и от y .

160

Лекции 14 – 15

14.2.7. Производная функции, заданной параметрически

Т

⎧ x = x(t ) Пусть функция y = y ( x ) задана параметрически: ⎨ . ⎩ y = y (t ) Если: 1) x(t ), y (t ) - дифференцируемы, 2) x = x(t ) имеет обратную функy′ цию t = t ( x), ∃t ′( x) , 3) x′(t ) ≠ 0 , то y x′ = t . xt′ Доказательство: Рассмотрим функции: y = y (t ), t = t ( x) . Рассматривая t как промежуточный аргумент, можно считать, что y - сложная функция x . Тогда 1 y′ ⇒ y x′ = t . y x′ = yt′ ⋅ t x′ , t x′ = x′ x′ t

t

Пример: x = t 2 , y = t 3 , y x′ = ? 3t 2 3 2 ′ ′ ′ Решение: xt = 2t , yt = 3t , y x = = t. 2t 2

15.1. Производные высших порядков 15.1.1. Определение производной n-го порядка О

Производной второго порядка от функции y = f ( x) называется производная от ее первой производной. Обозначение: f ′′( x) = ( f ′( x) )′ . Производной n -го порядка (или n–й производной) называется производная первого порядка от производной ( n − 1) -го порядка.:

f

(n)

( x) = ( f

( n −1)

dny ( x) ) .Также используют обозначение y ( x) = n . dx ′

(n)

Пример: 1) y = sin x, y′ = cos x, y′′ = − sin x, y′′′ = − cos x . 2) y = x n , y′ = nx n −1 , y′′ = n(n − 1) x n − 2 ,K , y ( n ) = n !, y ( n +1) = 0 .

15.1.2. Правила вычисления производной n-го порядка 1.

[ f ( x) + g ( x) ]

(n)

= f ( n ) ( x) + g ( n ) ( x) .

2. Формула Лейбница (производная произведения):

161

Производная и дифференциал n

n! - число сочетаний k !(n − k )! k =0 из n по k , k ! (читается k - факториал) определен для целых неотрицательных k , причем ( k + 1)! = ( k + 1) ⋅ k ! , 0! = 1! = 1 .

[ f ( x) ⋅ g ( x) ]

(n)

= ∑ Cnk f ( n−k ) ( x) ⋅ g ( k ) ( x) , где Cnk =

Пример: Найти n–ю производную от функции y = e ax ⋅ x 2 . Решение: y = f ( x) ⋅ g ( x); где f ( x) = e ax ; g ( x) = x 2 f ( x) = e ax ;

g ( x) = x 2 ;

f ′( x) = a ⋅ e ax ;

g ′( x) = 2 ⋅ x;

f ′′( x) = a 2 ⋅ e ax ; ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

g ′′( x) = 2; g ′′′( x) = 0;

f ( n ) ( x) = a n ⋅ e ax ;

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

g ( n ) ( x ) = 0. Таким образом, в формуле Лейбница всего 3 ненулевых члена. Вычисляем коэффициенты: n! = 1; n! n! k = 1 → C n1 = = n; 1!⋅(n − 1)! n! n(n − 1) k = 2 → C n2 = = ; 2!⋅(n − 2)! 2 k = 0 → C n0 =

y ( n ) ( x) = a n e ax ⋅ x 2 + na n −1e ax ⋅ 2 x +

n(n − 1) n − 2 ax a e ⋅ 2. 2

15.1.3. Вторая производная от неявной функции Рассмотрим неявную функцию y = y ( x ) , определяемую уравнением F ( x, y ) = 0 . Для отыскания второй производной соотношение F ( x, y ) = 0 дифференцируем два раза по переменной x , считая y функцией x , и выражаем y′′ как функцию y и x . Пример: x 2 + y 2 = 1, y′′ = ? 2 x + 2 y ⋅ y′ = 0, y′ = − y ′′ = −

1 + ( y ′) y

2

=−

2x x = − , 2 + 2 y′ ⋅ y′ + 2 y ⋅ y′′ = 0 , 2y y

y 2 + x2 . y3

162

Лекции 14 – 15

15.1.4. Вторая производная от параметрически заданной функции ⎧ x = x(t ) Рассмотрим ⎨ ⎩ y = y (t ) ⎛ yt′ ⎞′ ytt ′′ xt ′ − xtt ′′ yt ′ 1 1 ( y′x )t′ ′ ′ = ⋅ . или y xx′′ = ⎜ ⎟ x = t x = y ′′xx = ( y ′x ) x = 2 xt′ ′ ⎝ xt′ ⎠ ′ xt xt ′ xt

( )

Таким образом, y xx′′ =

ytt′′ xt′ − xtt′′ yt′

( ) x′

3

.

t

15.1.5. Механический смысл второй производной Пусть S = f (t ) - закон движения тела, движущегося поступательно. Скорость тела V ( t ) в данный момент времени: V ( t ) = f ′(t ) . Если движение неравномерно, то для приращения времени ∆t приращение скорости составляет ∆V . ∆V Тогда - среднее ускорение тела за промежуток времени ∆t . При ∆t → 0 ∆t получим ускорение в данный момент времени t : ∆V = V ′(t ) . a = lim ∆t → 0 ∆t Таким образом, a ( t ) = f ′′(t ) - ускорение прямолинейного движения равно второй производной от перемещения по времени.

15.2. Дифференциал функции 15.2.1. Правила вычисления производной n-го порядка Если функция y = f ( x) - дифференцируема на ( a, b ) , то ∀x ∈ ( a, b ) ∆y ∆y при ∆x → 0 стремится к числу f ′( x) , следо∃ lim = f ′( x) . Отношение ∆x →0 ∆x ∆x ∆y отличается от f ′( x) на бесконечно малую α ( x ) : вательно, ∆x ∆y = f ′( x) + α ( x ) , причем lim α ( x ) = 0 , или ∆y = f ′( x) ⋅ ∆x + α ( x ) ⋅ ∆x . ∆x →0 ∆x Рассмотрим f ′( x)∆x . В общем случае f ′( x) ≠ 0 , f ′( x)∆x - бесконечно малая величина первого порядка относительно ∆x при ∆x → 0 .

Производная и дифференциал

163

α ( x ) ⋅ ∆x

= lim α ( x ) = 0 , то α ( x ) ⋅ ∆x - бесконечно малая вели∆x →0 ∆x чина более высокого порядка, чем ∆x .

Поскольку lim

∆x →0

О

!

Главная, линейная по ∆x часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке x и обозначается dy = f ′( x) ⋅ ∆x .

Главная часть, потому что α ( x ) ⋅ ∆x - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем ∆x . Линейная, потому что дифференциал зависит от ∆x в первой степени.

15.2.2. Дифференциал независимой переменной Пусть y = x . Тогда ∆y = ∆x, y ′ = ( x )′ = 1, dy = dx = ∆x . Вывод: дифференциал независимой переменной равен ее приращению, dx = ∆x . В общем случае: dy = f ′( x)∆x = f ′( x)dx . dy = f ′( x)dx . С Производная может быть записана как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного (так называемые обоdy значения Лейбница): f ′( x) = dx

15.2.3. Свойства дифференциалов Поскольку дифференциалы функций вычисляются по основной формуле dy = y′ ( x ) ⋅ dx , то справедливы обычные правила дифференцирования. 1. d ( c ) = 0 ;

2. d ( u ± v ) = du ± dv; d ( u ± c ) = du ; 3. d ( uv ) = udv + vdu; d ( uc ) = cdu ;

⎛ u ⎞ vdu − udv . 4. d ⎜ ⎟ = v2 ⎝v⎠ 15.2.4. Геометрический смысл дифференциала Рассмотрим функцию y = f ( x ) . Обозначения, приведенные на рисунке, соответствуют: M ( x, y ), M ′( x + ∆x, y + ∆y ) , ∆y = NM ′ , MT - касательная в точке M . Рассмотрим ∆MNT : MN = ∆x, NT = ∆x ⋅ tg ϕ , NT = ∆x ⋅ f ′( x) , dy = NT .

164

Лекции 14 – 15

Дифференциал функции y = f ( x) в точке x есть приращение ординаты касательной к графику функции в точке x .

15.2.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям Метод основан на замене приращения функции ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) приближенно дифференциалом этой функции: ∆y ≅ dy = f ′ ( x ) dx . Это возможно, так как ∆y и dy отличаются на бесконечно малую вели∆y α∆x α чину o ( ∆x ) . lim = 1 + lim = 1 + lim = 1. ∆x →0 dy ∆x →0 f ′( x ) ∆x ∆x →0 f ′( x ) Основные рабочие формулы: x = x0 + ∆x ,

f ( x) = f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + dy ,

f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )∆x . Геометрический смысл: истинная функция на отрезке [ x0 , x0 + ∆x ] заменяется линейной функцией, график которой – касательная в точке ( x0 , f ( x0 ) ) . Пример: Вычислить приближенно Решение: Пусть y = 4 x , x0 = 16 .

4

15,8 .

Тогда y (16) = 4 16 = 2 ; y = (15,8) = y (16 ) + ∆y ; заменим ∆y ≈ dy = y ′( x )∆x ; ∆x = 16 − 15,8 = −0,2 ; ′ 1 1 −1 1 −3 1 y ′( x ) = ⎛⎜ x 4 ⎞⎟ = x 4 = x 4 ; ⎠ ⎝ 4 4 −3 1 1 1 y ′(16) = ⋅ 16 4 = = . 4 4 ⋅ 8 32

Тогда y (15,8) = 2 +

1 ⋅ (− 0,2) = 2 − 0,0062 = 1,9938 . 32

Пример: Вычислить приближенно значение объема V шара радиусом r = 1,02 м. Решение: 4 Так как V (r ) = π ⋅ r 3 , то, полагая r0 = 1 , ∆r = 0,02 , V ′ ( r ) = 4π r 2 и ис3 пользуя формулу для ∆V , получаем:

4 V (1,02 ) = V (1) + ∆V ≈ V (1) + V ′ (1) ⋅ 0,02 = π + 4π ⋅ 0,02 ≅ 4,44 м3 . 3

165

Производная и дифференциал

15.2.6. Дифференциал сложной функции Рассмотрим сложную функцию y = f [ϕ ( x)] , Пусть u – промежуточный аргумент: y = f ( u ) , u = ϕ ( x) . y x′ = fu′ ⋅ u x′ умножим это равенство на dx :

y x′dx = f u′ ⋅ u x′ ⋅ dx , dy = f ′du . u

Сравнение с dy = f x′dx показывает, что дифференциал функции сохраняет свою форму независимо от того, является ли ее аргумент x независимой переменной или функцией независимой переменной (промежуточным аргументом). Это свойство называется свойством инвариантности (неизменности) формы первого дифференциала.

15.2.7. Дифференциалы высших порядков Пусть y = f ( x ) - дифференцируемая функция, а ее аргумент x - независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = f ′( x)∆x = f ′( x)dx также является функцией x , от которой в свою очередь можно найти дифференциал. О

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции f ( x) называется дифференциал ее дифференциала при фиксированном dx . 2 d 2 f ( x) = d (df ( x)) = d ( f ′( x) dx) = dx ⋅ d ( f ′( x)) = dx ⋅ f ′′( x)dx = f ′′( x) ⋅ ( dx ) =

= f ′′( x)dx 2 ; d 2 f ( x) = f ′′( x)dx 2 . Аналогично определяется дифференциал порядка n: n (n) n n n −1 d f ( x) = d ( d f ( x) ) . Можно показать, что d f ( x) = f ( x)dx . Здесь dx n = (dx) n . !

1. Для независимой переменной d 2 x = 0, d 3 x = 0,K 2. В приведенных формулах предполагалось, что x - независимая переменная. Если x - промежуточный аргумент, то форма для второго дифференциала будет другой, отличной от выражения d 2 f = f ′′( x)dx 2 . Покажем это на примере второго дифференциала. Пусть y = f ( x ) ,

x = g ( t ) , t - независимая переменная. Тогда d 2 f = d ( df ) = d ( f ′ ( x ) ⋅ dx ) = d ( f ′ ( x ) ) ⋅ dx + f ′ ( x ) ⋅ d ( dx ) =

166

Лекции 14 – 15

= f ′′ ( x ) ⋅ dx 2 + f ′ ( x ) ⋅ d 2 x = f ′′ ( x ) ⋅ ( g ′ ( t ) ) ⋅ dt 2 + f ′ ( x ) ⋅ g ′′ ( t ) ⋅ dt 2 . 2

Таким образом, в случае сложной функции в выражении для второго дифференциала появляется дополнительное слагаемое; форма второго дифференциала не инвариантна.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: ƒ понятия производной и дифференциала, их геометрический и механический смысл; ƒ правила и формулы дифференцирования; ƒ таблицу производных; ƒ способы вычисления производных от сложных функций; функций, заданных неявно и параметрически; ƒ таблицу производных; ƒ производные высших порядков и правила их вычисления; ƒ применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Лекция 16 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ – БЕРНУЛЛИ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА В лекции 16 рассмотрены основные теоремы анализа (Ролля, Лагранжа и Коши), широко использующиеся практически во всех разделах анализа. Излагается правило раскрытия неопределенностей Лопиталя – Бернулли, позволяющее вычислять пределы с помощью дифференцирования. Выводится формула Тейлора, которая при достаточно широких предположениях относительно вида функции дает возможность представить ее приближенно в виде многочлена и оценить допускаемую при этом погрешность.

16.1. Основные теоремы анализа. 16.1.1 Теорема Ролля (о нуле производной) 16.1.2. Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях) 16.1.3. Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных разностях) 16.1.4. Правило Лопиталя – Бернулли. Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей 16.1.5. Формула Тейлора. Частные случаи формулы Тейлора. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций Оценка остаточного члена. Приложения формул Тейлора и Маклорена

16.1. Основные теоремы анализа 16.1.1. Теорема Ролля (о нуле производной) Т

Если: 1) функция f ( x) - непрерывна на отрезке [ a, b ] , 2) на интервале ( a, b ) существует производная f ′( x) , 3) значения функции на концах от-

резка совпадают, f (a ) = f (b) , то существует точка ξ ∈ ( a, b ) такая, что f ′(ξ ) = 0 . Доказательство: Так как функция f ( x) непрерывна на [ a, b ] , то на отрезке существуют наибольшее M и наименьшее m значения функции. Возможны два случая: 1) M = m и 2) M > m . Рассмотрим: 1) M = m , f ( x) - постоянная, следовательно, f ′( x) = 0 ∀ x ∈ ( a, b ) ;

168

Лекция 16

2) M > m , следовательно, хотя бы одно из этих значений достигается внутри [ a, b ] , так как f (a ) = f (b) .

Пусть f (ξ ) = M , ξ ∈ ( a, b ) . Так как f (ξ ) - наибольшее значение функции, то f (ξ + x ) − f (ξ ) ≤ 0 при любом знаке x . f (ξ + x ) − f ( ξ ) ≤ 0, x > 0 , x f (ξ + x ) − f ( ξ ) ≥ 0, x < 0, x переходя к пределу x → 0 и рассматривая отдельно правый и левый пределы, получаем f (ξ + x ) − f (ξ ) lim = f ′ (ξ ) ≤ 0 , x > 0 , x →+0 x f (ξ + x ) − f (ξ ) lim = f ′ (ξ ) ≥ 0 , x < 0 . x →−0 x Эти соотношения совместимы, если f ′(ξ ) = 0 . Доказательство для случая, когда во внутренней точке отрезка достигается минимум, проводится аналогично. Геометрический смысл теоремы Ролля Если функция удовлетворяет условию теоремы Ролля, то в некоторой точке отрезка касательная к графику параллельна оси 0x . С

!

Теорема Ролля позволяет узнать об обращении производной в ноль без ее вычислений. Если f ( x) такова, что производная существует не во всех точках внутри отрезка [ a, b ] , то может не оказаться такой точки ξ , в которой f ′(ξ ) обращается в ноль. Пример: y= x ,

( y )′ = 1 , ( y )′ = −1 . прав 0 лев 0

y′(0) не существует (по определению).

169

Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора

16.1.2. Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях) Т

Если: 1) f ( x ) - непрерывна на отрезке [ a, b] , 2) на интервале ( a, b ) существует производная f ′( x) , то существует, по крайней мере, одна точка ξ ∈ ( a, b ) такая, что f ( b ) − f ( a ) = f ′(ξ ) ( b − a ) . Доказательство: f (b) − f ( a ) Обозначим = Q . Построим F ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − Q ⋅ ( x − a ) . b−a F ( x ) обладает следующими свойствами: 1) непрерывна на [ a, b] , 2) ∃ F ′ ( x ) на ( a, b ) , 3) F ( a ) = F ( b ) = 0 .

Из теоремы Ролля следует, что существует точка ξ ∈ ( a, b ) такая, что

F ′(ξ ) = 0 , F ′ ( x ) = ( f ( x ) − f ( a ) − Q ( x − a ) )′ , F ′ ( x ) = f ′ ( x ) − Q = 0 , уравнение

f ′ (ξ ) =

f ′( x ) − Q = 0 f (b) − f (a ) b−a

имеет

решение

x = ξ , т.е.

f ′ (ξ ) = Q , или

.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа CB f ( b ) − f ( a ) - угловой коэффициент се= AC b−a кущей AB . f ′ (ξ ) - угловой коэффициент касательной к

кривой y = f ( x ) в точке x = ξ . На кривой AB найдется, по крайней мере, одна точка M , в которой касательная параллельна хорде AB .

!

1). Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Так как a < ξ < b , то ξ − a < b − a , ξ − a = θ (b − a ) , где 0 < θ < 1, откуда ξ = a + θ (b − a ) ,

f ( b ) − f ( a ) = f ′ ⎡⎣ a + θ ( b − a ) ⎤⎦ ( b − a ) . 2). Точек ξ может быть несколько. 3). Если f ( a ) = f ( b ) , то f ′ (ξ ) = 0 , получаем утверждение теоремы Ролля. 4). Теорему Лагранжа можно использовать для приближенных вычисле1 ний: f ( b ) − f ( a ) = f ′ ⎡⎣ a + θ ( b − a ) ⎤⎦ ( b − a ) , где 0 < θ < 1. Положим θ = , 2

170

Лекция 16

⎡a + b⎤ тогда f ( b ) − f ( a ) ≈ f ′ ⎢ ( b − a ) . Погрешность тем меньше, чем ⎣ 2 ⎥⎦ ближе b к a . Пример:

arctg1,1 = ?

b = 1,1 ; a = 1, 0 ; b − a = 0,1 ; arctg1,1 ≈ arctg1 + 0,1⋅ ( arctg x )′ , x=

1,1 + 1, 0 2,1 . = 2 2

( arctg x )′ =

1 1 ; = 2 1 + x 1 + x2

x=

2,1 2

=

π 1 ≈ 0,5 , arctg1,1 ≈ + 0, 05 . 4 2,1

16.1.3. Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных разностях) Т

Если: 1) f ( x ) ,ϕ ( x ) непрерывны на [ a, b] , 2) на ( a, b ) существуют производные f ′ ( x ) ,ϕ ′ ( x ) , 3) ϕ ′ ( x ) ≠ 0 ∀x ∈ ( a, b ) , то существует, по крайней мере, одна точка ξ ∈ ( a, b ) такая, что

f ( b ) − f ( a ) f ′ (ξ ) . = ϕ ( b ) − ϕ ( a ) ϕ ′ (ξ )

Доказательство: ϕ ( b ) ≠ ϕ ( a ) , так как иначе, по теореме Ролля, ϕ ′ ( x ) обратилась бы в

ноль, по крайней мере, в одной точке ξ ∈ ( a, b ) . Рассмотрим вспомогательную функцию:

F ( x) = f ( x) − f (a) −

f (b) − f ( a ) ⎡ϕ ( x ) − ϕ ( a ) ⎤⎦ . ϕ (b) − ϕ ( a ) ⎣

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, следовательно, существует точка ξ ∈ ( a, b ) такая, что F ′ (ξ ) = 0 ,

F ′ (ξ ) = f ′ (ξ ) −

f (b) − f ( a ) f (b) − f ( a ) ϕ ′ (ξ ) = 0 , f ′ (ξ ) = ϕ ′ (ξ ) . ϕ (b) − ϕ ( a ) ϕ (b) − ϕ ( a )

Разделим на ϕ ′ (ξ ) , ϕ ′ (ξ ) ≠ 0 , получим

f ( b ) − f ( a ) f ′ (ξ ) . = ϕ ( b ) − ϕ ( a ) ϕ ′ (ξ ) !

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.

Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора

171

16.1.4. Правило Лопиталя – Бернулли

⎡0⎤ ⎡∞⎤ Это правило описывает раскрытие неопределенностей типа ⎢ ⎥ и ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎣∞⎦ методами дифференциального исчисления. f ( x) Рассмотрим F ( x ) = , где f ( x ) и ϕ ( x ) дифференцируемы в некотоϕ ( x) рой окрестности точки a , исключая, быть может, саму точку a . Если при x → a f ( x ) и ϕ ( x ) → 0 ( ∞ ) , функция F ( x ) имеет в точке a неопределен⎡∞⎤ ⎡0⎤ ность ⎢ ⎥ или ⎢ ⎥ . ⎣∞⎦ ⎣0⎦ Вычислить lim F ( x ) поможет следующая теорема (правило Лопиталя). x →a

Т

Правило Лопиталя. Если: 1) f ( x ) , ϕ ( x ) - непрерывны на [ a, b] ; 2) на ( a, b ) существуют f ′ ( x ) , ϕ ′ ( x ) , причем ϕ ′ ( x ) ≠ 0 ;

f ′( x) , то существует и x→a ϕ ′ ( x )

3) f ( a ) = ϕ ( a ) = 0 ; 4) существует предел lim предел lim x→a

f ( x)

ϕ ( x)

, причем lim x→a

f ( x)

ϕ ( x)

f ′( x) . x→a ϕ ′ ( x )

= lim

Доказательство: Возьмем на отрезке [ a, b] точку x ≠ a . На отрезке [ a, x ] по теореме Коши промежуточная точка отрезка [ a, x ] .

f ( x ) − f ( a ) f ′ (ξ ) = a <ξ < x, ξ ϕ ( x ) − ϕ ( a ) ϕ ′ (ξ )

f ( x ) f ′ (ξ ) = . Если x → a ,то и ξ → a , слеϕ ( x ) ϕ ′ (ξ ) f ( x) f ′ (ξ ) f ′( x ) довательно, lim = lim = lim . x →a ϕ ( x ) ξ → a ϕ ′ (ξ ) x→a ϕ ′ ( x ) Более коротко это утверждение формулируют так: предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Но f ( a ) = ϕ ( a ) = 0 , значит,

!

1). Если рассматривается предел при x → ∞ , ϕ ( x ) → 0 , f ( x ) → 0 , то утверждение остается справедливым:

⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ 1 f⎜ ⎟ f ′ ⎜ ⎟⎜ − 2 ⎟ f ′⎜ ⎟ f ( x) f ′( x) x= z z z ⎠ z lim = lim ⎝ ⎠ = lim . = lim ⎝ ⎠ = = lim ⎝ ⎠⎝ z x →∞ ϕ ( x ) z →0 z →0 1 ⎞⎛ 1 ⎞ z →0 ⎛ 1 ⎞ x→∞ ϕ ′ ( x ) ⎛ ⎛1⎞ ϕ⎜ ⎟ z →0 ϕ′⎜ ⎟ ϕ ′ ⎜ ⎟⎜ − 2 ⎟ ⎝ z ⎠⎝ z ⎠ ⎝z⎠ ⎝z⎠

172

Лекция 16

2). Если f ′ ( a ) = ϕ ′ ( a ) = 0 и f ′ ( x ) , ϕ ′ ( x ) удовлетворяют условиям теоремы, то можно применять правило Лопиталя к f ′( x) f ′( x ) f ′′ ( x ) ⇒ lim = lim . Правило Лопиталя можно применять неx →a ϕ ′ ( x ) x →a ϕ ′′ ( x ) ϕ′( x) сколько раз. 3). Без доказательства приведем следующее утверждение:

f ( x) ⎡ ∞ ⎤ f ′( x ) = ⎢ ⎥ = lim . x →a ϕ ( x ) ⎣ ∞ ⎦ x→a ϕ ′ ( x )

lim

Предел отношения двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей Пример:

⎡0⎤ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ .

a) lim

sin 2 x cos 2 x ⋅ 2 = lim = 2. x → 0 1 x

б ) lim

x2 2x 2 ⎡0⎤ ⎡0⎤ = ⎢ ⎥ = lim = ⎢ ⎥ = lim =∞. x − sin x ⎣ 0 ⎦ x→0 1 − cos x ⎣ 0 ⎦ x →0 sin x

x →0

x →0

Пример:

⎡∞⎤ ⎢⎣ ∞ ⎥⎦ . ax a x ⋅ ln a = lim =∞. x →∞ x x →∞ 1

a ) lim

1 1 − x + 1) 2 ( x +1 1 б ) lim = lim 2 = lim =0. x →∞ x →∞ x →∞ 2 x + 1 x 1

Пример: ⎡⎡ 0 ⎤ ⎢⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ . f ( x) → 0 , ϕ ( x) → ∞ . a) [ 0 ⋅ ∞ ] = ⎢ ⎢⎡ ∞ ⎤ x→a x →a ⎢⎢ ⎥ ⎣⎣ ∞ ⎦ lim f ( x ) ⋅ ϕ ( x ) = lim x →a

x→a

f ( x) ⎡ 0 ⎤ ϕ ( x) ⎡ ∞ ⎤ = ⎢ ⎥ = lim =⎢ ⎥. x → a 1 1 ⎣0⎦ ⎣∞⎦ f ( x) ϕ ( x)

Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора

173

Пример: 1 ⎛ 1 x3 ⎞ ln x ∞ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ = lim x = = lim ⎜ − ⋅ ⎟ = 0 lim x 2 ⋅ ln x = [ 0 ⋅ ∞ ] = lim x →0 x →0 1 x →0 ⎣ ∞ ⎦ x →0 −2 ⋅ 1 ⎝ 2 x⎠ 3 2 x x

Пример:

⎡⎣ 00 ⎤⎦ , ⎡⎣∞ 0 ⎤⎦ , ⎡⎣1∞ ⎤⎦ . Применяется предварительное логарифмирование, откуда следует неопределенность [ 0 ⋅ ∞ ] . Пример: y = x x , x → 0 . lim x x = ? x →0

Логарифмируем: ln y = x ⋅ ln x . Вычислим:

1 ln x ⎡ ∞ ⎤ = ⎢ ⎥ = lim x = 0 . lim ln y = lim x ⋅ ln x = [ 0 ⋅ ∞ ] = lim x →0 x →0 x →0 1 ⎣ ∞ ⎦ x →0 − 12 x x

lim ln y = 0 , ln lim y = 0 , lim y = 1 , lim x x = 1 . x →0

x →0

x →0

x →0

16.1.5. Формула Тейлора Т

Если f ( x) дифференцируема (n + 1) раз в окрестности точки x0 , то для любого x из указанной окрестности справедлива формула Тейлора порядка n: f ′( x0 ) f ′′( x0 ) ( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 + f ( x) = f ( x0 ) + 1! 2! (n) f ′′′( x0 ) f ( x0 ) ( x − x0 )3 + ... + ( x − x0 ) n + Rn+1 ( x), + 3! n! ( n +1) f ( x0 + θ ( x − x0 )) Rn+1 ( x) = ⋅ ( x − x0 ) n+1; 0 < θ < 1 . где (n + 1)! Rn+1 ( x) называется остаточным членом в форме Лагранжа. Доказательство: Обозначим

f ′ ( x0 ) f ( ) ( x0 ) n ϕ ( x, x0 ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ... + ( x − x0 ) , 1! n! n

ϕ ( x, x0 ) - многочлен n-го порядка (так называемый многочлен Тейлора), Rn+1 ( x ) = f ( x ) − ϕ ( x, x0 ) .

174

Лекция 16

Покажем, что данная формула справедлива. Зафиксируем x из указанной окрестности, пусть x > x0 . На отрезке [ x0 , x ] рассмотрим вспомогательную функцию:

(x − t) Ф ( t ) = f ( x ) − ϕ ( x, t ) − ⋅ Rn +1 ( x ) , где t ∈ [ x0 , x ] . n +1 ( x − x0 ) Поскольку Ф ( x0 ) = Ф ( x ) = 0 , Ф ( t ) удовлетворяет условиям теоремы Ролля и существует точка ξ ∈ ( x0 , x ) , в которой Ф ′ (ξ ) = 0 . Для вычисления Ф ′ ( t ) запишем ϕ ( x, t ) : n +1

f ′(t ) f ′′(t ) f ( n ) (t ) 2 n ϕ ( x, t ) = f (t ) + (x − t) + (x − t) +K+ (x − t) . n! 1! 2!

(x − t) Ф ′ ( t ) = −ϕ t′ ( x, t ) + ( n + 1) ⋅ Rn +1 ( x ) . n +1 ( x − x0 ) n

ϕ t′ ( x, t ) = f ′ ( t ) + f ′′ ( t ) ⋅ ( x − t ) − f ′ ( t ) + −

f ′′ ( t ) 2!

2 ⋅ ( x − t ) + ... +

f ( n +1) ( t ) n!

=

(x − t)

f(

n +1)

n

(t )

n!

−

f (n) (t ) n!

(x − t)

n

f ′′′ ( t ) 2!

(x − t)

n ⋅(x − t)

n −1

2

−

=

.

Следовательно, −Ф ′ ( t ) =

f(

n +1)

(t )

n!

(x − t) ⋅ Rn +1 ( x ) , ( x − t ) − ( n + 1) n +1 ( x − x0 ) n

n

при t = ξ f ( ) (ξ ) n +1 Rn+1 ( x ) = ( x − x0 ) . ( n + 1)! n +1

!

1). Формула Тейлора порядка n позволяет представить функцию y = f ( x) в виде суммы многочлена n–й степени и остаточного члена. 2). Полученная формула для Rn+1 ( x ) дает остаточный член в форме Лагранжа, но есть и другие формы остаточного члена, например, в форме

(

Пеано: Rn+1 ( x ) = o ( x − x0 )

n

) - бесконечно малая более высокого порядка

малости по сравнению с ( x − x0 ) . n

Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора

175

Частные случаи формулы Тейлора 1). При x0 = 0 формула Тейлора называется формулой Маклорена:

f ( x ) = f (0) +

f ′ (0)

1!

f ′′ ( 0 )

x+

Rn+1 ( x ) =

2!

x + ... + 2

(θ x ) x n+1 ; ( n + 1)!

f(

n +1)

f(

n)

(0)

n!

x n + Rn +1 ( x ) ,

0 < θ < 1.

2). Рассмотрим f ( x ) = c0 + c1 x1 + c2 x 2 + ... + cn x n - многочлен порядка n .

( x ) = 0 , то ∀ x Rn+1 ( x ) = 0 и f ′ ( x0 ) f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ... +

Поскольку ∀x f (

n +1)

1!

f( ) n ( x − x0 ) . n! n

Вывод: по формуле Тейлора любой многочлен порядка n можно представить в виде многочлена по степеням ( x − x0 ) . Пример: Многочлен 2 x 3 − 3 x 2 + 5 x + 1 разложить по степеням ( x + 1) . Решение: f ( x) = 2 x 3 − 3 x 2 + 5 x + 1 ; x0 = −1 ; f (−1) = −9 . Ищем коэффициенты формулы Тейлора: f ′( x) = 6 x 2 − 6 x + 5 → f ′(−1) = 17; → f ′′(−1) = −18; f ′′( x) = 12 x − 6

f ′′′( x) = 12

→ f ′′′(−1) = 12;

f IV ( x) = 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ f ( n ) ( x) = 0;

17 18 12 ( x + 1) − ( x + 1) 2 + ( x + 1) 3 . 1! 2! 3! Учитывая, что 1!= 1 ; 2!= 1 ⋅ 2 ; 3!= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 , получим ответ: f ( x) = −9 +

2 x 3 − 3 x 2 + 5 x + 1 = −9 + 17( x + 1) − 9( x + 1) 2 + 2( x + 1) 3 .

176

Лекция 16

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

f ( x ) = ex ,

f ( 0 ) = 1,

f ′′ ( x ) = e x ,

f ′′ ( 0 ) = 1 ,

1.

f ′ ( 0) = 1,

f ′( x ) = ex , f(

n)

( x ) = ex ,

f(

n)

( 0 ) = 1.

x x2 xn eθ x x n+1 . e = 1 + + + ... + + Rn+1 ( x ) , Rn+1 ( x ) = 1! 2! n! ( n + 1)! x

2.

f ( x ) = sin x ;

f ( 0) = 0 ,

)

(

f ′ ( x ) = cos x = sin x + π ; f ′ ( 0 ) = 1, 2

( ) f ′′′ ( x ) = − cos x = sin ( x + 3 π ) ; 2

f ′′ ( x ) = − sin x = sin x + 2 π ; f ′′ ( 0 ) = 0, 2 f ′′′ ( 0 ) = −1,

……………………………………………..,

f(

n)

f(

n)

( x + n π2 ) , ⎧⎪0, π ( 0 ) = sin ( n 2 ) = ⎨ ⎪( −1)

( x ) = sin

⎩

n –четное, n −1 2

,

n - нечетное

3 5 2 n +1 n sin x = x − x + x + ... + ( −1) x + R2 n + 2 ( x ) . 3! 5! (2n + 1)!

! 3.

Нечетная функция sin x разложена по нечетным степеням x .

f ( x ) = cos x , f ( 0 ) = 1 ,

f( f

n)

(n)

( x ) = cos ( x + n π2 ) ,

( 2)

⎧0,

( 0 ) = cos n π = ⎪⎨

n – нечетное, n 2

⎪⎩( −1) ,

n - четное

2 4 2n n cos x = 1 − x + x − ... + ( −1) x + R2 n +1 ( x ) 2! 4! (2n)! .

!

Четная функция cos x разложена по четным степеням x .

Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора

f ( 0) = 0 ,

f ( x ) = ln (1 + x ) 1 f ′( x) = , 1+ x 1 f ′′ ( x ) = − , 2 (1 + x ) 2 f ′′′ ( x ) = , 3 (1 + x )

4.

177

f ′ ( 0 ) = 1, f ′′ ( 0 ) = −1 , f ′′′ ( 0 ) = 1 ⋅ 2 ,

( −1) ( n − 1)! , n −1 n f ( x) = f ( ) ( 0 ) = ( −1) ( n − 1)!. n (1 + x ) 2 3 n −1 n ln (1 + x ) = x − x + x − ... + ( −1) x + Rn+1 ( x ) . 2 3 n n −1

(n)

f ( x ) = (1 + x ) , где α -любое вещественное число. α

5.

(1 + x )

α

=1+α ⋅ x +

α (α − 1)

x 2 + ... +

α (α − 1) ...(α − n + 1)

x n + Rn+1 ( x ) .

2! n! Частный случай α = n : n ( n − 1) 2 n x + ... + x n - формула бинома Ньютона. (1 + x ) = 1 + nx + 2!

Формулы Маклорена для элементарных функций:

x 2 x3 xn x n+1 θ x e ; 0 < θ < 1. 1. e = 1 + x + + + ... + + n! (n + 1)! 2! 3! x

x3 x5 x 2 n+1 x 2n+2 2n + 2 n 2. sin x = x − + − ... + (−1) ⋅ + ⋅ sin(θ x + π ); 0 < θ < 1. 3! 5! 2 ( 2n + 1)! (2n + 2)! x2 x4 x2n x 2 n+1 2n + 1 n 3. cos x = 1 − + − ... + (−1) ⋅ + ⋅ cos(θ x + π ); 0 < θ < 1. 2! 4! 2 ( 2n )! (2n + 1)! n x 2 x3 x 4 (−1) n ⋅ x n +1 n −1 x 4. ln(1 + x) = x − + − + ... + (−1) + ; 0 < θ < 1. 2 3 4 n (n + 1) ⋅ (1 + θ x) n

178

Лекция 16

Оценка остаточного члена Пусть f ( x ) такова, что ∀ n и ∀ x из окрестности точки x0 f (

n)

( x) ≤ M .

f ( ) (ξ ) n +1 Рассмотрим остаток: Rn+1 ( x ) = ( x − x0 ) . ( n + 1)! n +1

n +1

x − x0 1 n +1 Rn+1 ( x) = ⋅ f ( n+1) (ξ ) ⋅ x − x0 ≤ M , (n + 1)! (n + 1)!

∀ x − x0

при

n→∞

n +1

x − x0 → 0 и остаточный член может быть сделан сколь угодно малым пу( n + 1)! тем увеличения n . Итак, если f ( x ) обладает указанным выше свойством, то формулу Тейлора можно использовать для приближенных вычислений с любой наперед заданной точностью.

Приложения формул Тейлора и Маклорена 1). Для вычисления приближенных значений функций:

f ′ ( x0 ) f ( ) ( x0 ) n f ( x ) ≈ f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ... + ( x − x0 ) . 1! n! n

Погрешность (ошибка) вычисления находится по оценке остаточного члена. Rn+1 ( x ) ≤ ε , где ε - погрешность. Пример: Вычислить e с точностью ε = 10−3 . Рассмотрим e x , x = 1, x0 = 0 .

eθ , 0 <θ <1. e = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + Rn +1 (1) , Rn +1 (1) = n! 1! 2! ( n + 1)! Rn +1 (1) <

3 e , e < 3 ⇒ Rn +1 (1) < ≤ε . ( n + 1)! ( n + 1)!

Найдем наименьшее n , удовлетворяющее условию

n = 6. e = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 1957 = 2, 714 . 1! 2! 6! 720

3 ≤ 0,001 : ( n + 1)!

Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора

2). Для вычисления пределов функций: Пример:

{

}

3 5 x 3 + ... x − x + x + ... − x − sin x − x 1 3! 5! lim = lim = lim 3! 3 =− . 3 3 x →0 x →0 x →0 x x x 3!

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: ƒ теорему Ролля (о нуле производной) и теорему Лагранжа (о конечных приращениях); ƒ правило Лопиталя – Бернулли раскрытия неопределенностей и способы его применения к неопределенностям вида ⎡0⎤ ⎡∞⎤ 0 0 ∞ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ , ⎢⎣ ∞ ⎥⎦ , [ 0 ⋅ ∞ ] , ⎡⎣ 0 ⎤⎦ , ⎡⎣∞ ⎤⎦ , ⎡⎣1 ⎤⎦ ; ƒ вид многочленов Тейлора для основных элементарных функций.

179

Учебное издание

Александр Борисович Соболев Александр Федорович Рыбалко

МАТЕМАТИКА Часть 1

Редактор Н.П. Кубыщенко Компьютерная верстка Е.В. Денисюк

Подписано в печать 07.11.2004 Бумага писчая Печать цифровая Уч.-изд. л. 10 Тираж 200 экз. Заказ №____

Формат 60х84 1/16 Усл. печ. л. 10,46 Цена «С»

Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19 Отпечатано с готового оригинал-макета в Отделении полиграфии ИВТОБ 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира 19, тел. (343) 375 –41–43