Методические указания к лабораторным работам по курсу ''Статистическая радиофизика и теория информации''. Часть 1

В ороне ж ск и й г осударстве нны й уни ве рси те т Ф и зи ч е ск и й ф ак ульте т К а ф едр а р а ди оф и зи к и

М е тоди ч е ск и е ук азани як лабораторны м работам по к урсу "С татистич е ская р ад иоф изика и те ор ия инф ор м ации" (Ч асть 1)

дл я ст удент ов 4 к ур са дневного от дел ени я и 5 к ур са веч ер него от дел ени я

С ост а ви т ел и : А.П . Тр и ф онов В.К . М а р ша к ов Ю .Э . К ор ч а ги н

В ороне ж - 2002

2

С оставите л и: Т р иф онов А нд р е й Павл ович , до к то р те хни ч е ск и х наук ; М ар ш аков Вл ад им ир К ир ил л ович , к анди дат ф и зи к о-мате мати ч е ск и хнаук ; К ор ч агин Ю р ий Э д уар д ович , к анди дат ф и зи к о-мате мати ч е ск и х наук ; Ре це нзе нт Бобр е ш ов А натол ий М ихайл ович , док тор ф и зи к о -мате мати ч е ск и х наук .

М е то ди ч е ск о е посо би е к лабо раторны м работам соде рж и т к ратк и е те о ре ти ч е ск и е све де ни я и опи сани ялаборато рны храбо т по к урсу «Стати сти ч е ск аяради оф и зи к а и те ори яи нф ормац и и » дляспе ц и альности 013800 «Ради оф и зи к а и эле к тро ни к а» и пре дназнач е но длязак ре пле ни ястуде нтами ле к ц и о нног о мате ри ала и при о бре те ни яи ми прак ти ч е ск и хнавы к ов экспе ри ме нтальног о и ссле довани ястати сти ч е ск и х харак те ри сти к случ ай ны хпро ц е ссо в.

3

С О ДЕРЖ А НИ Е 1. Лабо раторнаяработа № 1 «Иссле до вани е зак оно в распре де ле ни й случ ай ны х си г налов»

4

2. Лабо раторнаяработа № 2 «Иссле до вани е стати сти ч е ск и х харак те ри сти к вы бро со в случ ай ны х про ц е ссов»

14

3. Лаборато рнаярабо та № 3 «В заи мнаяк о рре ляц и яш умов на вы ходахф и льтров с пе ре к ры ваю щ и ми сяч асто тны ми харак те ри сти к ами »

22

Ли те ратура

31

4 Лабораторнаяработа № 1 И С С Л ЕДО ВА НИ Е З А К О НО В РА С ПРЕДЕЛ ЕНИ Й С Л У Ч А Й НЫ Х С И Г НА Л О В Ц е л ь р аботы : о знак о мле ни е с ме тоди к ой построе ни яо ц е но к о дноме рны х зак онов распре де ле ни я по ре али зац и ям эрг оди ч е ск и хслуч ай ны х про ц е ссо в. О сновны е соотнош е ния иопр е д е л е ния Пусть ξ (t ) — стац и онарны й случ ай ны й проц е сс, дляк о торог о не о бходи мо най ти о дно ме рны й зак о нраспре де ле ни я. Разо бьём и нте рвал во змож ны х знач е ни й случ ай но г о про ц е сса ξ (t ) на ди ф ф е ре нц и альны е к ори до ры ш и ри но й ∆x . Тог да при малой ве ли ч и не ∆x дляо дно ме рны х ф унк ц и и распре де ле ни яи пло тности ве ро ятно сти стац и о нарног о случ ай ног о проц е сса ξ (t ) мож но запи сать j P∆ x j F1 ( x ) ≈ ∑ P∆ ( x k ) , W1 ( x ) ≈ , x ∈ x j , x j + ∆x , j = 1,2,3,... (1.1) ∆x k =1 З де сь P∆ x j = P x j ≤ ξ (t ) < x j + ∆x — ве ро ятность то г о, ч то случ ай ны й про ц е сс

( )

( ) {

[

)

}

ξ (t ) в моме нт вре ме ни t при ме т знач е ни е и з j-г о ди ф ф е ре нц и ально г о к о ри дора x j , x j + ∆x В ве дём вспо мо г ате льны е случ ай ны е ф унк ц и и 1, x j ≤ ξ (t ) < x j + ∆x, η j (t ) =  0, ξ (t ) < x j и ли ξ (t ) ≥ x j + ∆x. Ри с. 1.1 и ллю стри руе т ф о рми x(t) ро вани е ре али зац и й y j (t ) слуxj+∆x ч ай ны х ф унк ц и й η j (t ) и з ре аx

[

)

ли зац и й x(t ) случ ай но г о проц е сса ξ (t ) . В е роятно сти P∆ x j при этом мо ж но опре де ли ть к ак P∆ x j = η j (t ) , j = 1,2,3,... (1.2)

j

t

( )

( )

— стати сти ч е ск и е сре дни е случ ай ны х ф унк ц и й η j (t ) . Д ля

yj(t) 1

эрг о ди ч е ск и х случ ай ны х проц е ссов стати сти ч е ск ое усре дне ни е (1.2) мож но заме ни ть на усре дне ни е по вре ме ни ре али зац и й y j (t ) проц е ссов η j (t ) и

( )

дляве роятносте й P∆ x j по луч и ть о ц е нк и

t Ри с. 1.1

5 P∆*

(x j )

1 = T0 j

t0 j +T0 j

∫ y j (t )dt ,

(1.3)

t0 j

г де t 0 j и T0 j — нач ало и дли те льность и нте рвала усре дне ни яре али зац и и y j (t ) . Подставляяв (1.1) вме сто ве роятносте й P∆ x j и х о ц е нк и (1.3), и ме е м

( )

F1* (x ) ≈

j

∑ P∆* (xk ) ,

k =1

(x ) ≈

[

)

[

)

x ∈ x j , x j + ∆x ,

( )

P∆* x j

j = 1,2,3,...

(1.4)

, j = 1,2,3,... (1.5) x ∈ x j , x j + ∆x , ∆x Соо тно ш е ни я(1.4) и (1.5) о пре де ляю т оц е нк и о дно ме рны х ф унк ц и и распре де ле ни яи плотно сти ве роятности стац и онарног о эрг о ди ч е ск о г о проц е сса ξ (t ) . Э ти оц е нк и о бы ч но назы ваю т эмпи ри ч е ск ой ф унк ц и е й распре де ле ни яи г и сто г раммо й проц е сса ξ (t ) со отве тстве нно. W1*

К ак сле дуе т и з ф ормулы (1.4), дляф орми ро вани яо ц е нк и F1* ( x ) не о бходи мо

( )

и ме ть оц е нк и все х ве ро ятносте й P∆* x j , j = 1,2,3,... , на осно ве к о то ры х стро и тся

и г и стог рамма W1* ( x ) (1.5). По это му сч и тае тся, ч то о ц е нк а F1* (x ) (1.4) ф о рми руе тсяна осно ве г и стог раммы случ ай ног о проц е сса ξ (t ) . В то ж е вре мяв не к оторы х случ аях удо бне е снач ала про и зве сти оц е нк у ф унк ц и и распре де ле ни я, и уж е по не й строи ть г и стог рамму. Д ля получ е ни я алг о ри тмов так и х оц е нок F1* ( x ) и W1* ( x ) заме ти м, ч то

F1 ( x + ∆x ) − F ( x ) P(x + ∆x ) − P( x ) = , (1.6) ∆x ∆x г де P ( x ) = P{ξ (t ) ≤ x} — ве роятность тог о, ч то знач е ни е случ ай ног о про ц е сса ξ (t ) в мо ме нт вре ме ни t не пре восходи т по ро г х. В (1.6), так ж е к ак и в (1.1), пре дполаг ае тся, ч то ве ли ч и на ∆x мала. В ве дём вспомог ате льны е случ ай ны е ф унк ц и и 1, ξ (t ) < x j , j = 1,2,3,... γ j (t ) =  0, ξ (t ) ≥ x j , Ри с. 1.2 и ллю стри руе т ф о рми ро вани е ре али зац и й z j (t ) случ ай ны х ф унк ц и й γ j (t ) F1 ( x ) = P ( x ) ,

W1 (x ) ≈

( )

и з ре али зац и й x(t ) случ ай ног о проц е сса ξ (t ) . Тог да P x j = γ j (t ) — стати сти ч е -

ск о е сре дне е случ ай ны х ф унк ц и й γ j (t ) . Используяэрг оди ч е ск о е сво й ство случ ай но г о про ц е сса ξ (t ) , и ме е м

*

( )

P xj

1 = T0 j

t0 j +T0 j

∫ z j (t )dt ,

t0 j

(1.7)

6 г де z j (t ) — ре али зац и и случ ай ны х проц е ссо в γ j (t ) , вре ме нное усре дне ни е к о то ры х нач и нае тсяв моме нт вре ме ни t 0 j и зак анч и вае тсяв t 0 j + T0 j . Испо льзуя оц е нк и (1.7), и з (1.6) по луч ае м F1* (x ) = P * x j , x ∈ x j , x j +1 , j = 1,2,3,... (1.8) W1* ( x ) ≈

( ) [ P * (x j +1 ) − P * (x j )

В ы раж е ни я(1.8) и (1.9) опре де ляю т алг ори тмы оц е но к одноме рны х ф унк ц и и распре де ле ни я и пло тно сти ве ро ятно сти эрг о ди ч е ск о г о случ ай но г о про ц е сса ξ (t ) ,

,

∆x

)

[

)

x ∈ x j , x j +1 , j = 1,2,3,...

(1.9)

x(t) xj t

к о г да г и сто г рамма W1* ( x ) строи тсяпо данны м эмпи ри ч е ск о й ф унк ц и и распре де ле zj(t) ни яF1* (x ) . 1 Сог ласно (1.4), (1.5) и (1.8), (1.9), для по луч е ни я F1* ( x ) и W1* ( x ) не обхо ди мо: • знать ди апазон возмо ж Ри с. 1.2 ны х знач е ни й случ ай но г о про ц е сса ξ (t ) ; • задать ш и ри ну ди ф ф е ре нц и альны хк ори до ро в ∆x и ли и х ч и сло n; • и зме ри ть по ре али зац и и случ ай но г о проц е сса ξ (t ) ве ли ч и ны P∆* x j

t

( )

( )

и ли

P * x j , j = 1, n .

Е сли и нте рвал во змо ж ны х знач е ни й про ц е сса ξ (t ) не и зве сте н, ли бо бе ск о не ч е н, к ак , напри ме р, дляг ауссовск о г о случ ай но г о проц е сса, то е г о оц е нк о й мож е т служ и ть и нте рвал [x min , x max ] , в пре де лах к о торог о сосре доточ е но о сновно е множ е ство (в ве роятностно м смы сле ) мг но ве нны х знач е ни й проц е сса ξ (t ) . При этом xmin и x max вы би раю тсятак , ч тобы , напри ме р, вы по лняли сь услови я F1* (x min ) = P * ( x min ) ≤ β ,

1 − F1* ( x max ) = 1 − P * ( x max ) ≤ β ,

(1.10)

г де β — заране е вы бранно е ч и сло, так ое , ч то 0 < β << 1, а P * ( x ) — о ц е нк а ве ро ятности P{ξ (t ) < x}, ф орми руе маяв соо тве тстви и с (1.7). Е сли и схо ди ть и з вы раж е ни й (1.1) и (1.6), то ши ри ну ди ф ф е ре нц и альны х к о ри доров ∆x сле дуе т задавать к ак мож но ме ньше й . Д е й стви те льно, то ч ность ф ормул (1.1) и (1.6) повы ш ае тсяс ро стом ч и сла ди ф ф е ре нц и альны х к о ри доров n , и те м больше , к азалось бы , долж но бы ть соо тве тстви е ме ж ду г и сто г раммо й и и сти нно й к ри вой W (x ) . О днак о это не про и схо ди т в си лу то г о, ч то с уме ньш е ни е м ∆x уме ньш ае тсяо тноси те льное вре мяпре бы вани яре али зац и и случ ай ног о про -

7 ц е сса внутри ди ф ф е ре нц и альног о к о ри дора. При ф и к си ро ванном вре ме ни анали за T0 j это при води т к больш е му разбросу знач е ни й P∆* x j (1.3) и

(

)

( )

( )

(1.7) о т опы та к опы ту. А нали з то ч но сти о ц е но к F1* ( x ) и

P * x j +1 − P * x j

W1* ( x ) пок азы вае т, ч то ш и ри ну ди ф ф е ре нц и альны х к ори до ро в сле дуе т вы би рать так , ч тобы и хч и сло n на и нте рвале [x min , x max ] бы ло порядк а 10÷20. По стро е нны й на осно вани и соо тно ш е ни й (1.4), (1.5) и ли (1.8), (1.9) эмпи ри ч е ск и й одноме рны й зак он распре де ле ни я случ ай но г о про ц е сса ξ (t ) не о бхо ди мо сопо стави ть с к ак и м-ли бо те о ре ти ч е ск и м зак о ном распре де ле ни я. Ч тобы к о ли ч е стве нно оц е ни ть, наск ольк о хорош о вы бранны й те оре ти ч е ск и й зак он распре де ле ни я сог ласуе тсяс ре зультатами наблю де ни й , и спользую т к ри те ри и со г ласи я. О днак о на прак ти к е довольно ч асто ог рани ч и ваю тсяли ш ь к ач е стве нны м со по ставле ни е м вы бранног о те оре ти ч е ск о г о зак о на с получ е нны м эмпи ри ч е ск и м зак о ном распре де ле ни я. С этой ц е лью по ре зультатам наблю де ни й оц е ни ваю т параме тры те оре ти ч е ск о г о зак о на распре де ле ни я. З ате м по те о ре ти ч е ск и м ф о рмулам, г де вме сто параме тров и спо льзую т и х оц е нк и , рассч и ты ваю т г раф и к и ф унк ц и й распре де ле ни яи пло тности ве роятности . Э ти г раф и к и со поставляю т с эмпи ри ч е ск о й ф унк ц и е й распре де ле ни я и г и сто г раммо й случ ай ног о проц е сса. Бо льш и нство те о ре ти ч е ск и х о дно ме рны х зак оно в распре де ле ни я, и спользуе мы х на прак ти к е , являю тсядвухпараме три ч е ск и ми . При это м и х параме тры , к ак прави ло , опре де ляю тсяч е ре з мате мати ч е ск о е ож и дани е и ди спе рси ю случ ай но г о про ц е сса. Поэтому рассмотри м о ди н и з во змо ж ны х спосо бов расч ёта мате мати ч е ск ог о ож и дани яи ди спе рси и проц е сса по е г о г и сто г рамме . Используяданны е г и сто г раммы W1* ( x ) мо ж но получ и ть о ц е нк и длямате мати ч е ск ог о о ж и дани яи ди спе рси и случ ай ног о про ц е сса ли бо вы ч и сли в соо тве тствую щ и е и нте г ралы M [ξ (t )] = *

xmax

∫

xW1* ( x )dx ,

xmin

D * [ξ (t )] =

xmax

∫

[x − M

*

[ξ (t )]] W1* (x )dx , 2

(1.11)

xmin

ли бо воспо льзо вавш и сь ме тодо м г руппи ровк и наблю де ни й . Э то т ме тод зак лю ч ае тсяв то м, ч то к о г да случ ай наяве ли ч и на ξ по падае т в j-ы й к о ри дор x j , x j + ∆x ,

(

]

то е й при пи сы вае тсязнач е ни е x *j = x j + ∆x 2 . О ц е нк ой ве ро ятности так ог о собы -

( )

ти ясч и тае тсяве ли ч и на P∆* x j (1.3). Так и м образо м, по ре зультатам экспе ри ме н-

{

}

та строи тсявари ац и онны й ряд x1* , P∆* ( x1 ), x 2* , P∆* ( x 2 ),..., x *n , P∆* ( x n ) , а зате м вы ч и сляю т оц е нк и длямате мати ч е ск ог о ож и дани яи ди спе рси и путе м стати сти ч е ск о г о усре дне ни я: M * [ξ (t )] =

n

( )

∑ x *j P∆* x j , j =1

D * [ξ (t )] =

∑ [x *j − M * [ξ (t )]] n

j =1

2

( )

P∆* x j .

В рабо те и ссле дую тсяодноме рны е стати сти ч е ск и е харак те ри сти к и сле дую щ и х си г налов.

8 1. Г ауссовск и й ш ум n(t ) с плотно стью ве роятно сти и ф унк ц и е й распре де ле ни я со отве тстве нно  ( x − m n )2   x − mn  1  , Wn ( x ) = exp − , Fn ( x ) = Φ (1.12)  2 σ σ n 2π 2σ n   n   г де mn — мате мати ч е ск о е о ж и дани е , σ n2 — ди спе рси я,

(

)

1 x Φ(x ) = exp − t 2 2 dt — и нте г рал ве ро ятно сти . ∫ 2π −∞ 2. Г армони ч е ск и й си г нал s (t ) = A sin (ω 0 t + ϕ ) с посто янной ампли тудо й А и случ ай но й , равно ме рно распре де лённо й на и нте рвале [− π , π ] нач альной ф азой ϕ . Пло тность ве ро ятно сти и ф унк ц и яраспре де ле ни ятак о г о си г нала и ме ю т ви д 0, x < − A, 1   1 1 , x ≤ A , x  2 2 W s ( x ) = π A − x Fs ( x ) =  + arcsin , x ≤ A, . (1.13) A 2 π  0,  x > A,  1, x > A

3. Пи ло образное пе ри о ди ч е ск ое напряж е ни е r (t ) = r ( A,ε , t ) с постоянно й ампли тудо й А и случ ай ны м, равно ве роятно распре де лённы м параме тро м сдви г а ε . Пло тность ве ро ятно сти и ф унк ц и яраспре де ле ни ятак о г о си г нала и ме ю т ви д x < − A, 0, 1   , x ≤ A, x + A Fr ( x ) =  (1.14) , x ≤ A, Wr ( x ) =  2 A 2 A 0,  x > A,  x > A. 1,

4. А дди ти внаясме сь n(t ) + s(t ) г ауссо вск о г о шума n(t ) (1.12) с нуле вы м мате мати ч е ск и м ож и дани е м m n = 0 и г армо ни ч е ск ог о си г нала s(t ) со случ ай ной нач ально й ф азой (1.13). Плотность ве роятно сти так о г о си г нала и ме е т ви д π  ( x − A cos ϕ )2  1 Wn + s ( x ) = (1.15)  dϕ . ∫ exp− πσ n 2π 0 2σ n2   5. А дди ти внаясме сь n(t ) + r (t ) г ауссо вск о г о шума n(t ) (1.12) с нуле вы м мате мати ч е ск и м о ж и дани е м mn = 0 и пи ло образно г о напряж е ни ясо случ ай ны м параме тро м сдви г а (1.14). Плотно сть ве ро ятности и ф унк ц и яраспре де ле ни ятак ог о си г нала и ме ю т ви д  x − A  1   x + A     , Wn + r ( x ) = Φ − Φ (1.16)  2 A   σ n   σ n    ( x + A)2   ( x − A)2   Fn + r ( x ) =  +  − exp − exp− 2 2 A 2π   2σ n2  2 σ n     σn

1 x   x + A 1  x  x − A  + 1 − Φ . + 1 + Φ 2 A  σ n  2  A   σ n 

9

О писание л абор атор ного м аке та Лабораторны й мак е т состои т и з г е не ратора случ ай ны х си г налов, анали затора и х зак о нов распре де ле ни я, во льтме тра эф ф е к ти вны хнапряж е ни й и о сц и лло г раф а. Г е не р атор случ ай ны х си г нало в со де рж и т три не зави си мы х и сточ ни к а случ ай ны хнапряж е ни й : 1) и сто ч ни к г ауссо вск ог о шума n(t), в к ач е стве к ото ро г о и спо льзуе тсяпо лупро во дни к о вы й стаби ли трон; 2) и сточ ни к г армони ч е ск о г о си г нала s(t) со случ ай ной нач альной ф азой , в к ач е стве к ото рог о и спользуе тсяRC-г е не ратор; 3) и сто ч ни к пи ло образно г о напряж е ни яr(t) со случ ай ны м параме тром сдви г а, в к ач е стве к о торог о и спо льзуе тсяг е не ратор на о пе рац и онном уси ли те ле . В ы ходны м к аск адом г е не рато ра являетсяуси ли те ль-суммато р. Н а е г о вход мо г ут подаватьсялю бы е и з г е не ри руе мы х случ ай ны х напряж е ни й . При это м на вы хо де г е не ратора ф орми рую тсяре али зац и и случ ай но г о напряж е ни я— ли бо г ауссовск ог о шума n(t), ли бо си нусои дально г о напряж е ни яs(t), ли бо пи ло образног о напряж е ни яr(t), ли бо и х адди ти вны х сме се й . У ро вни г е не ри руе мы х напряж е ни й n(t), s(t), r(t) задаю тсяне зави си мы ми ре г ули ровк ами – «уро ве нь шум» , «урове нь си нус» и «уро ве нь пи ла» и и зме ряю тсявольтме тро м эф ф е к ти вны х напряж е ни й , к о торы й по дк лю ч ае тся к вы хо ду г е не рато ра. При ф орми ровани и адди ти вны х сме се й г е не ри руе мы х случ ай ны х напряж е ни й это по зволяет задавать не обходи мы е со отно ш е ни яме ж ду уро внями слаг ае мы х. К вы хо ду г е не рато ра так ж е мо ж но подк лю ч и ть осц и лло г раф длянаблю де ни яза ф о рмой ре али зац и й г е не ри руе мог о случ ай но г о напряж е ни я. А нал изатор зак о нов распре де ле ни й лабо раторно г о мак е та позволяет о пре де лять эмпи ри ч е ск и е ф унк ц и и распре де ле ни я (1.8) и г и сто г раммы (1.5) и ссле дуе мы х случ ай ны х проц е ссо в. Ф унк ц и онально анали зато р со стои т и з двух блок о в. Бло к 1 позво ляет по луч ать ч и сле нны е оц е нк и F(x) и W(x) в руч ном ре ж и ме и зме ре ни я, а блок 2 ф орми руе т к ач е стве нны е оц е нк и F(x) и W(x) и пре дставляет и х в наг лядном ви де на экране осц и ллог раф а, к ото ры й по дк лю ч ае тся к вы хо ду блок а 2. В не ш ни й ви д пе ре дне й пане ли блок а 1 и зображ ён на ри с. 1.3, а пе ре дняяпане ль блок а 2 пре дставле на на ри с. 1.4. Блок -схе ма анали зато ра и зображ е на на ри с. 1.5, г де о бо знач е но : 1. А мпли тудны й се ле к тор (к о мпаратор) с порог ом x j , ф о рми рую щ и й напряж е ни е z j (t ) (см. ри с. 1.2) пе рво г о к анала. 2. А мпли тудны й се ле к то р (к о мпаратор) с по ро г ом x j +1 , ф орми рую щ и й напряж е ни е z j +1 (t ) вто ро г о к анала.

10 3. 4. 5. 6. 7.

В ы ч и таю щ е е устрой ство . У сре дняю щ е е устрой ство. Инди к атор (дляблок а 1). Г е не ратор пи лоо бразно г о напряж е ни я(дляблок а 2). О сц и ллог раф .

А нали затор Блок 1

–порог

F(x)

+порог m РЕ Ж ИМ

W(x)

Ч У В СТВ ИТ. ИН Д ИК .

В ХОД

ПО РО Г

ТО Ч Н О

Г РУ БО

СЕ ТЬ

Ри с. 1.3 А нали зато р Бло к 2 ПИЛА 1

В ХО Д Пи ла1-2 ампли туда

ПИЛА 2

К орре к ц пи лы 2

F(x) Ш и ри на к ори дора

СЕ ТЬ

А мпл пи лы на Х осц

Ри с. 1.4

W(x)

Х осц

11

1 ξ(t)

3

4

5

7

2 6 Ри с. 1.5

При и зме ре ни и ф унк ц и и распре де ле ни яи спользую т оди н к анал пре дставле нно й схе мы . В этом ре ж и ме напряж е ни е z j (t ) по дае тсяне посре дстве нно на усре дняю щ е е устрой ство 4 и на е г о вы ходе ф о рми руе тсянапряж е ни е , про по рц и о нально е F * x j (1.8).

( )

При и зме ре ни и пло тности ве роятности и спользую тся о ба к анала схе мы ри с. 1.5. Н а вы хо де вы ч и таю щ е г о устро й ства 3 в этом случ ае буде т напряж е ни е y j (t ) = z j +1 (t ) − z j (t ) (см. ри с. 1.1, 1.2), к ото рое после усре дне ни я про по рц и о -

( )

нально W * x j (1.5). В блок е 1 ве ли ч и ны по ро г овы х напряж е ни й x j и x j +1 к о мпараторов 1, 2 задаю тсяэкспе ри ме нтато ром. При это м на и нди к аторе 5 бло к а 1 о тображ ае тся знач е ни е и зме ряемо й стати сти ч е ск о й харак те ри сти к и длявы бранно г о порог а x j . В блок е 2 по рог и x j и x j +1 задаю тсяуправляю щ и м си г налом, вы рабаты вае мы м г е не ратором 6. Поск ольк у этот управляю щ и й си г нал и зме няетсяво вре ме ни по пи ло образно му зак о ну, то и порог и к омпарато ро в 1, 2 так ж е за вре мяанали за и зме няю тсяпо пи лоо бразно му зак ону. Сле до вате льно, вы хо дно е напряж е ни е усре дняю щ е г о устрой ства 4 блок а 2 в к аж ды й моме нт вре ме ни анали за буде т про порц и о нально и зме ряемо й стати сти ч е ск о й харак те ри сти к е дляо пре де лённо г о знач е ни япо рог а x j . Э то напряж е ни е зате м по даётсяна вхо д «У » о сц и лло г раф а, на вход «Х » к ото ро г о по ступае т пи лоо бразны й си г нал с г е не ратора 6. В ре зультате этог о на экране о сц и ллог раф а ф орми руе тсязави си мость и ссле дуе мой стати сти ч е ск о й харак те ри сти к и от ве ли ч и ны поро г а. Э кспе р им е нтал ьная ч асть 1. О пре де ле ни е э мпи ри ч е ск ой ф унк ц и и распре де ле ни я и г и стог раммы г ауссовск о г о ш ума n(t) с и спользовани е м блок а 1 анали зато ра. З адани е вы по лняется

12 для двух знач е ни й эф ф е к ти вног о напряж е ни я шума на вы ходе г е не ратора U эф = 1В , U эф = 2 В . К вы хо ду г е не ратора случ ай ны х си г нало в подк лю ч ае тсявольтме тр эф ф е к ти вны х напряж е ни й и блок 1 анали затора. При это м тумбле р «Ш ум» на г е не раторе сле дуе т постави ть в ве рхне е полож е ни е , а тумбле ры «си нус» и «пи ла» — в ни ж не е по ло ж е ни е . Руч к о й «У рове нь ш ума» устанавли вае тся тре буе мо е эф ф е к ти вное напряж е ни е шума. Д але е опре де ляется ди апазо н возмо ж ны х мг но ве нны х знач е ни й и ссле дуе мог о про ц е сса. Д ля это г о руч к и бло к а 1 (ри с. 1.3) «Ч увств. и нд.» , «По ро г г рубо» и «Поро г плавно » устанавли ваю тсяв к рай ни е ле вы е по лож е ни я. Пе ре к лю ч ате ль «Ре ж и м» устанавли ваю т в по ло ж е ни е «W(x)» . В ращ е ни е м руч к и «По ро г г рубо» доби ваю тсямак си мально г о отк лоне ни ястре лк и и нди к атора, после ч е г о руч к ой «Ч увств. и нд» стре лк у и нди к атора устанавли ваю т наи боле е бли зк о к право му к раю шк алы . В дальне й ше м полож е ни е руч к и «Ч увств. и нд» не ме няетсядо к онц а все х и зме ре ни й при ф и к си ро ванном знач е ни и U эф . З ате м пе ре к лю ч ате ль «Ре ж и м» стави тсяв по ло ж е ни е «F(x)» и вращ е ни е м руч е к «По ро г г рубо » и «Порог то ч но » доби ваю тсяо тк лоне ни ястре лк и и нди к атора на 2-3 малы х де ле ни яш к алы от нуля. После этог о пе ре к лю ч ате ль «Ре ж и м» стави тся в по ло ж е ни е «Порог –». Инди к атор блок а 1 при этом пок азы вае т ве ли ч и ну мо дуляпорог а, к ото раяс уч ёто м знак а опре де ляет ни ж ню ю г рани ц у ди апазона мг нове нны х знач е ни й и ссле дуе мог о про ц е сса xmin (1.10). Д але е пе ре к лю ч ате ль «Ре ж и м» снова пе ре во ди тсяв поло ж е ни е «F(x)» и ре г ули ровк о й руч е к «Порог г рубо » и «По ро г точ но» доби ваю тся, ч тобы стре лк а и нди к ато ра не доходи ла 2-3 малы х де ле ни ядо к онц а ш к алы . З ате м пе ре к лю ч ате ль «Ре ж и м» пе ре во ди тсяв полож е ни е «Порог +» и по и нди к атору и зме ряетсяве рхняяг рани ц а ди апазона мг но ве нны х знач е ни й xmax (1.10) и ссле дуе мо г о про ц е сса. По сле это г о находи тсяве ли ч и на ∆x ′ = ( x max − x min ) n , г де n по лаг ае тсяравны м 10÷12. О пре де ле ни е эмпи ри ч е ск и х ф унк ц и й распре де ле ни я и г и сто г рамм. Пе ре к лю ч атль «Ре ж и м» блок а 1 анали затора устанавли вае тсяв полож е ни е «Порог – » и руч к ами «По ро г » вы ставляется x = x min . З ате м при со отве тствую щ и х по ло ж е ни ях пе ре к лю ч ате ля«Ре ж и м» с и нди к атора сч и ты ваю тсяв усло вны х де ле ни ях знач е ни яF*(xmin) и W*(xmin). Д але е ве ли ч и на порог а уве ли ч и вае тсяна ∆x ′ , 2∆x ′ и т.д., и по и нди к атору ф и к си рую тсязнач е ни яF*(xj) и W*(xj). В про ц е ссе вы полне ни яэти х и зме ре ни й сле дуе т по мни ть, ч то при дости ж е ни и по ло ж и те льны х по ро г ов не обхо ди мо устанавли вать и х ве ли ч и ну в поло ж е ни и «По рог +» пе ре к лю ч ате ля«Ре ж и м» . Д анны е и зме ре ни й сво дятсяв табли ц у, по к о торо й зате м стро ятсяэмпи ри ч е ск и е ф унк ц и и распре де ле ни яи г и стог раммы . 2. А нали з зак онов распре де ле ни й случ ай ны х про ц е ссов с и спо льзо вани е м блок а

2 анали зато ра. При вы полне ни и это г о задани явнач але не о бходи мо установи ть нуж ны е ре ж и мы работы осц и ллог раф а, подк лю ч ае мо г о на вы ход бло к а 2, и отк али бро вать бло к 2 анали зато ра. С этой ц е лью вход «Х » о сц и лло г раф а сое ди няетсяс к ле ммой «Х ось» блок а 2. О сц и ллог раф пе ре води тсяв ре ж и м работы ч е ре з вход

13 «Х » , дляч е г о сле дуе т наж ать на ле во й и право й пане ли о сц и лло г раф а к но пк и «Х –У » . При это м на экране о сц и лло г раф а по являетсяг ори зо нтальнаяразвёртк а. Руч к а «А мпл. пи лы на Х о сц .» бло к а 2 позво ляет установи ть г ори зо нтальны й про бе г луч а равны м ши ри не экрана о сц и лло г раф а. Д але е к о тк ры тому входу осц и лло г раф а «У » подк лю ч ае тсяк ле мма «Пи ла 1» блок а 2. Пи ло образное напряж е ни е , сни мае мое с этой к ле ммы , задаёт ве ли ч и ну порог а к о мпарато ра 1 ри с. 1.5. Пе ре к лю ч ате ль уси ле ни е о сц и лло г раф а ре к о ме ндуе тсяпостави ть в по ло ж е ни е 0,1÷0,2в/см. Руч к ой «Пи ла 1–2» сле дуе т вы стави ть ампли туду пи лы так и м о бразом, ч тобы про бе г луч а осц и лло г раф а по ве рти к али ук лады вался в рамк и экрана, а с по мо щ ью руч е к ↔, ↑ доби тьсяси мме три ч ног о отно си те льно ц е нтра экрана про бе г а луч а. Д але е не обхо ди мо прове сти к орре к ц и ю ампли туды пи ло образно г о напряж е ни я, сни мае мог о с к ле ммы «Пи ла 2» . Э то напряж е ни е опре де ляет по рог к омпарато ра 2, к ото ры й долж е н о тли ч атьсяот по ро г а к о мпаратора 1 на ве ли ч и ну ди ф ф е ре нц и ально г о к о ри дора ∆x –по стоянную для все х знач е ни й по рог ов анали за. При ∆x = 0 (руч к а ши ри на к ори до ра находи тся в к рай не м ле вом по ло ж е ни и ) по рог и к омпарато ро в 1 и 2 долж ны со впадать и , сле до вате льно, долж ны совпадать управляю щ и е напряж е ни яэти х к о мпарато ро в, сни мае мы е с к ле мм «Пи ла 1» и «Пи ла 2» . Д ляпрове рк и этог о при ∆x = 0 (руч к а ш и ри на к ори до ра находи тсяв к рай не м ле во м по ло ж е ни и ) вход «У » осц и лло г раф а по дк лю ч аю т к к ле мме «Пи ла 2» и руч к ой «К о рре к ц . пи лы 2» устанавли ваю т ампли туду вто ро й пи лы равно й ампли туде пе рвой . З ате м руч к у ши ри на к ори до ра ставят в сре дне е по ло ж е ни е , при к ото ро м ∆x не равно нулю . В дальне й ш е м, и зме няяш и ри ну ∆x , мож но при и зме не ни и уро вня анали зи руе мо г о случ ай ног о напряж е ни як о рре к ти ровать ве ли ч и ну напряж е ни я, про порц и о нально г о W * ( x ) , сни мае мог о с к ле ммы «W(x)» . Д лявы полне ни язадани япо анали зу зак оно в распре де ле ни яслуч ай ны х про ц е ссо в на вхо д блок а 2 подаётсяслуч ай но е напряж е ни е с г е не ратора случ ай ны х си г налов, а вход «У » осц и лло г раф а подк лю ч ае тся к к ле ммам «F(x)» и «W(x)» блок а 2. При это м на экране о сц и ллог раф а будут и зо браж атьсязави си мо сти F * ( x ) и W * ( x ) . Э ти зави си мости сле дуе т зари совать. А нали з зак о но в распре де ле ни явы полняетсядляслуч ай ны х проц е ссов: 1) г ауссовск и й ш ум n(t) (1.12); 2) си нусои дальное напряж е ни е s(t) (1.13); 3) пи ло образное напряж е ни е r(t) (1.14); 4) адди ти внаясме сь n(t)+s(t) (1.15); 5) адди ти внаясме сь n(t)+r(t) (1.16). З ак о ны распре де ле ни яслуч ай ны х про ц е ссов 1) – 3) и ссле дую тсядлядвух знач е ни й эф ф е к ти вны х напряж е ни й U эф = 1В , U эф = 2 В . А нали з зак о нов распре де ле ни яадди ти вны х сме се й 4) –5) вы по лняетсяпри отно ш е ни ях си г нал/ш ум (о тнош е ни е эф ф е к ти вно г о напряж е ни яси нусо и дальног о и ли пи лоо бразног о си г нала к эф ф е к ти вно му напряж е ни ю ш ума) равны х 1/3, 1 и 3. Изме ре ни е о тнош е ни я си г нал/шум осущ е ствляется и зме ре ни е м U эф ш ума при не и зме нном эф ф е к ти вно м напряж е ни и си г нала равно м о дно му вольту.

14 О ф ор м л е ние отч е та О тч е т до лж е нсоде рж ать: 1. Г раф и к и э мпи ри ч е ск и х ф унк ц и й распре де ле ни я и г и сто г рамм для г ауссовск о г о шума n(t), сняты е с по мо щ ью бло к а 1. 2. Сопо ставле ни е э мпи ри ч е ск и х зак о но в распре де ле ни й г ауссовск о г о ш ума n(t) с те оре ти ч е ск и ми зак о нами , параме тры к о торы х о пре де ле ны по экспе ри ме нтальны м данны м. 3. К ач е стве нны е г раф и к и зак оно в распре де ле ни й , сня ты е с экрана осц и лло г раф а длявсе х ти пов, рассмо тре нны хв рабо те случ ай ны хпро ц е ссо в. 4. В ы воды и оц е нк у получ е нны хре зультатов. Л ите р атур а [1] и [2]. Л абор атор ная р абота № 2 И С С Л ЕДО ВА НИ Е С Т А Т И С Т И Ч ЕС К И Х Х А РА К Т ЕРИ С Т И К ВЫ БРО С О В С Л У Ч А Й НЫ Х ПРО Ц ЕС С О В Ц е л ь р аботы : о знак о мле ни е с ме тоди к ой экспе ри ме нтальног о о пре де ле ни яхарак те ри сти к вы бросо в стац и онарног о случ ай ног о проц е сса. О сновны е соотнош е ния иопр е д е л е ния Рассмотри м ре али зац и ю x(t ) случ ай но г о про ц е сса ξ (t ) (ри с. 2.1) дли те льно стью Т.

х(t) u0

θ τ t

0

Т

Ри с. 2.1 По ск о льк у все ре альны е ф и зи ч е ск и е про ц е ссы являю тся не пре ры вны ми ф унк ц и ями свои х арг уме нто в, то ре али зац и япро ц е сса ξ (t ) на и нте рвале Т и ме е т к о не ч но е ч и сло мак си мумов, ми ни мумо в, пе ре се ч е ни й не к о торо г о уровняu 0 . К ог да случ ай ны й проц е сс ξ (t ) пе ре се к ае т u 0 сни зу вве рх, то г оворят, ч то и ме е т ме сто полож и те льны й вы бро с. Е сли ж е уро ве нь u 0 пе ре се к ае тсясве рху вни з, то мож но г овори ть о б отри ц ате льном вы бро се . В е ли ч и ну τ назы ваю т дли те льностью полож и те льног о вы бро са, ве ли ч и ну θ – дли те льно стью и нте рвала ме ж ду вы бросами (дли те льно стью отри ц ате льног о вы бро са). Н а к оне ч но м и нте рвале наблю де ни яТ ре али зац и и x(t ) ч и сло полож и те льны х вы бросо в обознач и м n + , а ч и сло о три ц ате льны х вы бро сов — n − .

15 В е ли ч и ны n , n , τ , θ в пре де лах одной ре али зац и и мо г ут и ме ть разли ч ны е знач е ни я(в зави си мости о т уровня u0 и и нте рвала Т) и и зме нятьсяслуч ай ны м образо м о т о дно й ре али зац и и к друг о й . Н аи боле е простой стати сти ч е ск о й харак те ри сти к ой пе ре ч и сле нны х случ ай ны х ве ли ч и нявляю тсяи х сре дни е знач е ни я(мате мати ч е ск и е ож и дани я). Рассмотри м снач ала сре дне е ч и сло по ло ж и те льны х вы бро со в случ ай ног о про ц е сса ξ (t ) за урове нь u 0 в е ди ни ц у вре ме ни . Буде м сч и тать случ ай ны й про ц е сс ξ (t ) и е г о прои зво дную ξ ′(t ) не пре ры вны ми в сре дне к вадрати ч е ск о м ф унк ц и ями вре ме ни . То г да сре дне е ч и сло по ло ж и те льны х вы бросо в за уро ве нь u 0 на и нте рвале вре ме ни [0, T ] мо ж е т бы ть о пре де ле но по ф о рмуле +

−

T

∞

N + (u 0 , T ) = n + = ∫ dt ∫ W (u 0 , y, t )dy , 0

(2.1)

0

г де W ( x, y, t ) — со вме стнаяпло тно сть ве ро ятности случ ай но г о проц е сса ξ (t ) и е г о про и зводной ξ ′(t ) в оди ни тот ж е мо ме нт вре ме ни t, т.е .

∂ 2 F ( x, y , t ) , F ( x, y , t ) = P{ξ (t ) < x, ξ ′(t ) < y} . W ( x, y , t ) = ∂x∂y Е сли случ ай ны й проц е сс ξ (t ) являетсястац и онарны м, то W ( x, y, t ) = W ( x, y ) и внутре ни и й и нте г рал в вы раж е ни и (2.1) не зави си т от вре ме ни . Поэто му длястац и о нарны х случ ай ны х про ц е ссов сре дне е ч и сло полож и те льны й вы бро сов за уро ве нь u 0 в е ди ни ц у вре ме ни опре де ляетсяк ак

N + (u 0 , T ) ∞ (2.2) = ∫ yW (u 0 , y )dy . T 0 К ак сле дуе т и з (2.1) и (2.2) длярасч ёта сре дне г о ч и сла вы бро сов, не о бходи мо знать совме стную плотно сть ве роятно сти W ( x, y, t ) длясамо г о про ц е сса ξ (t ) и е г о про и зводной ξ ′(t ) в со впадаю щ и е мо ме нты вре ме ни . Э та совме стнаяплотность ве роятно сти мо ж е т бы ть вы ч и сле на длядостато ч но бо льш ог о ч и сла случ ай ны х про ц е ссов. Рассмо три м зде сь случ ай г ауссо вск ог о стац и онарног о случ ай ног о про ц е сса ξ (t ) с нуле вы м мате мати ч е ск и м о ж и дани е м и ф унк ц и е й к о рре ляц и и N1+ (u 0 ) =

K ξ (τ ) = σ 2 Rξ (τ ) . К ак и зве стно, стац и онарны й случ ай ны й проц е сс и е г о прои зво днаяв со впадаю щ и е моме нты вре ме ни не к орре ли ро ваны , а при г ауссовск ом распре де ле ни и –стати сти ч е ск и не зави си мы . Сле довате льно, в этом случ ае ~ W ( x, y ) = W1 ( x )W1 ( y ) , (2.3) ~ г де W1 ( x ) и W1 ( y ) — одноме рны е г ауссо вск и е плотности ве ро ятности с нуле вы ми мате мати ч е ск и ми ож и дани ями и

ди спе рси ями σ 2 и − K ξ′′ (0 ) соо тве тстве нно.

Подставляя(2.3) в (2.2) и вы по лняяи нте г ри ровани е , получ ае м  u2  1 − Rξ′′ (0 ) exp − 02  , N1+ (u 0 ) = 2π  2σ 

(2.4)

[

г де Rξ′′ (0 ) = d Rξ (τ ) dτ 2

2

]

τ =0

16 .

В прак ти ч е ск и х при лож е ни ях ч асто удобно рассч и ты вать ве ли ч и ну N1+ (u 0 ) ч е ре з спе к тральную плотность K ξ (ω ) проц е сса ξ (t ) . Пре дставляяK ξ (ω ) к ак Ф у-

рье пре образо вани е от K ξ (τ ) , не трудно по луч и ть, ч то − Rξ′′ (0 ) =

∞

K ξ (ω )dω 2πσ − ∞ и ли вво дяпо няти е ф и зи ч е ск ой спе к трально й пло тности 2 K ξ (2πf ), f ≥ 0, Gξ ( f ) =  f < 0, 0, и ме е м 4π 2 ∞ − Rξ′′ (0 ) = 2 ∫ f 2 Gξ ( f )df . σ 0 Подставляя(2.5) в (2.6), нахо ди м 1

2

∫ω

2

(2.5)

1

 u 02  ∞ 2 Gξ ( f )  2 +  f (2.6) nξ (u 0 ) = exp − df  . 2  ∫ 2  σ  2σ  0  Сог ласно (2.6) сре дне е ч и сло по ло ж и те льны х вы бросов за урове нь u 0 в е ди ни ц у вре ме ни зави си т от норми рованно г о по ро г а u 0 σ и о т параме тров норми рован-

ног о эне рг е ти ч е ск ог о спе к тра Gξ ( f ) σ 2 случ ай но г о про ц е сса ξ (t ) . О пре де ли м дале е сре дне е знач е ни е дли те льно сти вы бро сов и сре дню ю ве ли ч и ну и нте рвала вре ме ни ме ж ду вы бросами случ ай но г о проц е сса ξ (t ) . Э ти стати сти ч е ск и е харак те ри сти к и вы бро сов наи бо ле е про сто нахо дятся, к ог да ξ (t ) – эрг оди ч е ск и й случ ай ны й про ц е сс. Со г ласно эрг о ди ч е ск о му сво й ству, отно си те льное вре мяпре бы вани яре али зац и и так о г о случ ай ног о проц е сса над уровне м u 0 за вре мяТ при не ог раг и ч е нном уве ли ч е ни и Т стре ми тсяк ве ро ятности P[ξ (t ) > u 0 ] = 1 − F (u 0 ) , (2.7) г де F (x ) –о дно ме рнаяф унк ц и яраспре де ле ни япроц е сса ξ (t ) . Суммарно е вре мяпре бы вани яре али зац и и x(t ) эрг оди ч е ск ог о проц е сса ξ( t ) над уро вне м u0 аси мпто ти ч е ск и с уве ли ч е ни е м Т при бли ж ае тсяк [1 − F (u 0 )]T . К ро ме то г о, за достаточ но дли те льное вре мяТ общ е е ч и сло и нте рвало в, на к о то ры х x(t ) > u 0 , равно сре дне му ч и слу полож и те льны х вы бросо в за это вре мя, то

е сть равно N1+ (u 0 )T . Сле довате льно, сре дняядли те льность полож и те льно г о вы броса эрг оди ч е ск ог о случ ай но г о про ц е сса за урове нь u0 мож е т бы ть опре де ле на к ак 1 − F (u ) τ (u 0 ) = + 0 . (2.8) N1 (u 0 )

17 А нало г и ч но по луч ае тсявы раж е ни е длясре дне й дли те льно сти и нте рвалов вре ме ни ме ж ду по ло ж и те льны ми вы бросами эрг оди ч е ск о г о случ ай но г о про ц е сса: F (u 0 ) θ (u 0 ) = . (2.9) N1+ (u 0 ) О писание л абор атор ного м аке та Блок -схе ма лабораторног о мак е та дляэкспе ри ме нтально и ссле довани яхарак те ри сти к вы бро сов эрг о ди ч е ск и х случ ай ны х про ц е ссов пре дставле на на ри с. 2.2. Г е не ратор шума мак е та вк лю ч ае т в се бяи сточ ни к ш и ро к о полосно г о г ауссовск о г о ш ума, вы полне нно г о на по лупро водни к о вом стаби ли троне , и и зби рате льны й уси ли те ль с ре г ули руе мы м к оэф ф и ц и е нтом уси ле ни яс и зме няемой ц е нтрально й ч астото й f0i и ш и ри но й полосы пропуск ани яП i. Изби рате льны й уси ли те ль ф унк ц и онально вы по лне н в ви де мног о к аск адно г о ре зонансно г о уси ли те ля на LC к онтурах. По это му ч асто тную харак те ри сти к у уси ли те ляс достаточ но й для прак ти к и точ но стью мож но аппро к си ми ро вать г ауссово й к ри вой .

Г енер атор шум а

Вол ьтм е тр э ф ф е ктивны х знач е ний

А нали зато р харак те ри сти к с г е не рато ро м си нхро и мпульсо в

С ч ё тч ик 1 Ч З -33

С ч ё тч ик 2 Ч З -33

Вол ьтм е тр постоя нного напр я ж е ния

Ри с. 2.2 Пе ре дняяпане ль г е не рато ра шума и зображ е на на ри с. 2.3. Пе ре к лю ч ате ль “F0 по ло са” задаёт о дну и з ч е ты рёх ре зонансны х ч асто т f01≈3к Г ц , f02≈6к Г ц , f03≈9к Г ц , f04≈12к Г ц уси ли те ля. Д ляк аж дой и з эти х ре зонансной ч астот те м ж е пе ре к лю ч ате ле м устанавли вае тсяодна и з двух полос пропуск ани яуси ли те ля«У » и ли «Ш » . Сре дне к вадрати ч е ск о е знач е ни е (эф ф е к ти вное напряж е ни е ) ш ума на вы хо де г е не рато ра устанавли вае тсяруч к ой «У си ле ни е плавно » и к онтроли руе тся во льтме тром эф ф е к ти вны х напряж е ни й , подк лю ч ае мы м к г нёздам «В ы хо д» г е не ратора.

18

Г е не ратор

Г Е Н Е РА ТО Р В ХОД

F02

F01 У СИЛИТЕ ЛЬ

В Ы ХО Д

F03 F04

F0 поло са

СЕ ТЬ

У СИЛЕ Н ИЕ ПЛА В Н О

Ри с. 2.3 А нали зато р харак те ри сти к вы бросо в состои т и з: 1) к о мпаратора с и зме няемы м порог о м u 0 ; 2) г е не рато ра так то вы х и мпульсов, пе ри о д сле довани як о торы х сущ е стве нно ме ньше вре ме ни к о рре ляц и и и ссле дуе мы х про ц е ссов; 3) схе мы совпаде ни й . Пе ре дняяпане ль анали затора пре дставле на на ри с. 2.4. Н а вхо д к о мпаратора по ступае т ре али зац и яслуч ай но г о напряж е ни я с вы хо да и зби рате льно г о уси ли те ля г е не ратора шума. Н а вы ходе к о мпаратора ф орми рую тсяпрямоуг о льны е ви де о и мпульсы , дли те льности к ото ры х со впадаю т с дли те льно стями вы бросо в входной ре али зац и и к омпарато ра над порог о м u 0 . В ре ж и ме и зме ре ни ясре дне г о ч и сла вы бро сов «n+» и мпульсы с к омпарато ра по ступаю т на сч ётч и к 1, к ото ры й ф и к си руе т ч и сло вы бро со в за вре мяанали за. В ре ж и ме и зме ре ни ясре дне й дли те льно сти вы бро сов τ и сре дне й дли те льно сти и нте рвала ме ж ду вы бросами θ и мпульсы с вы хо да к омпаратора по ступаю т на оди н и з входов схе мы со впаде ни й . Н а друг о й вход схе мы совпаде ни й по даю тсяи мпульсы с так товог о г е не рато ра. В ре зультате на вы хо д схе мы со впаде ни й про хо дят так то вы е и мпульсы тольк о в те и нте рвалы вре ме ни , к ог да случ ай но е напряж е ни е , по ступаю щ е е на вход к о мпаратора, пре восходи т е г о по ро г . Сле до вате льно, ч и сло так то вы х и мпульсов на вы хо де схе мы совпаде ни й , к оторы е ре г и стри рую тся в этом случ ае сч ётч и к о м 1 , про порц и о нально вре ме ни нахож де ни я случ ай но г о проц е сса над заданны м по рог ом за вре мяанали за. В ре мяанали за задаётсяо бщ и м ч и слом так то вы х и мпульсо в, ре г и стри руе мы х сч ётч и к о м 2.

19

А нали затор К онтро ль u0

СЧ Ё ТЧ ИК 2

СЧ Ё ТЧ ИК 1

n+ В ХОД СЕ ТЬ

В РЕ М Я А Н А ЛИЗ А

У РО В Е Н Ь А Н А ЛИЗ А

τ,θ

U0

РЕ Ж ИМ

Ри с. 2.4 Э кспе р им е нтал ьная ч асть В про ц е ссе вы полне ни яэкспе ри ме нтально й ч асти рабо ты проводи тсяанали з зави си мо сте й сре дне г о ч и сла полож и те льны х вы бросов, сре дне й дли те льно сти вы бро сов и сре дне й дли те льно сти и нте рвала ме ж ду вы бро сами эрг о ди ч е ск и х случ ай ны х проц е ссо в о т ве ли ч и ны порог а u 0 . Э к спе ри ме нтальное опре де ле ни е эти х зави си мо сте й осущ е ствляется дляг ауссовск и х случ ай ны х напряж е ни й , ф о рми руе мы х г е не ратором шума на вы хо де ре зо нансно г о уси ли те ля. З нач е ни я ц е нтральны х ч асто т и полос про пуск ани я(по ло ж е ни япе ре к лю ч ате ля“ F0 по ло са” ) задаю тсяпре подавате ле м. Д лятог о ч то бы и ме ть возмож ность сравни ть экспе ри ме нтальны е данны е с те оре ти ч е ск и ми зави си мостями , опре де ляю тсяпараме тры стати сти ч е ск ог о опи сани яг ауссовск и х проц е ссо в на вы хо де ре зонансног о уси ли те ля. С этой ц е лью и зме ряю тся ампли тудно -ч астотны е харак те ри сти к и (А Ч Х ) ре зо нансног о уси ли те ля. 1. Изме ре ни е А Ч Х ре зонансно г о уси ли те ля и о пре де ле ни е спе к тральной пло тности случ ай ног о напряж е ни яна вы ходе г е не ратора ш ума. Пе ре к лю ч ате ль “ F 0 полоса” г е не ратора шума устанавли вае тсяв о дно и з заданны х пре подавате ле м полож е ни й , а тумбле р «Ре ж и м» г е не ратора ш ума — в полож е ни е «У си ли те ль» . Н а к ле ммы «В ход» г е не рато ра по даётсяг армони ч е ск о е напряж е ни е с ни зк оч асто тног о г е не рато ра ве ли ч и но й ≤ 150 мВ дляполосы «У » и ≤ 1В для«Ш » . К к ле ммам «В ы ход» г е не рато ра по дк лю ч ае тсяво льтме тр. А Ч Х сни маю т длядвух знач е ни й ц е нтрально й ч асто ты f0i и двух знач е ни й П i по лосы про пуск ани я. Получ е нны е экспе ри ме нтальны е зави си мости аппро к си ми рую тся г ауссовск и ми к ри вы ми  π ( f − f 0 )2  H ( jf ) = H 0 exp− (2.10) , 2 2 П э   г де H 0 –мак си мум мо дуляпе ре даточ но й ф унк ц и и (А Ч Х ) на ц е нтрально й ч асто те f0, П э –эне рг е ти ч е ск аяпо ло са про пуск ани я, опре де ляемаявы раж е ни е м

20 П

э=

1

∞

∫ H ( jf )

2

df . H 02 0 К ак и зве стно, ф и зи ч е ск аяспе к тральнаяпло тно сть случ ай но г о про ц е сса на вы хо де ли не й но й си сте мы , и ме ю щ е й пе ре даточ ную ф унк ц и ю H ( jf ), равна

G ( f ) = Gвх ( f ) H ( jf ) , г де Gвх ( f ) — ф и зи ч е ск аяспе к тральнаяпло тность случ ай но г о проц е сса на вхо де ли не й ной си сте мы . Поск ольк у на вход ре зонансног о уси ли те ля мак е та поступае т ши рок ополосны й случ ай ны й проц е сс, то в пре де лах е г о полосы пропуск ани я спе к тральную пло тность мож но по лаг ать посто янной N 0 . При этом 2

 π ( f − f 0 )2  2 G ( f ) = N 0 H ( jf ) = N 0 H 02 exp − . 2 П э  

(2.11)

Н е и зве стное знач е ни е про и зве де ни яN 0 H 02 в (2.11) мож но вы рази ть ч е ре з сре дне к вадрати ч е ск ое знач е ни е шума σ на вы ходе ре зонансног о уси ли те ля. Д е й стви те льно, при П э << f 0 ∞ ∞  π ( f − f 0 )2  2 σ 2 = ∫ G ( f )df = N 0 H 02 ∫ exp −  df = N 0 H 0 П э. 2 Пэ   0 0

О тк уда  π ( f − f 0 )2  σ2 G( f ) = exp− . Пэ 2 П э2  

(2.12)

Подставляя(2.12) в (2.6) и уч и ты вая, ч то П э << f 0 , не трудно по луч и ть анали ти -

ч е ск о е вы раж е ни е длясре дне г о ч и сла вы бросов N1+ (u 0 ) . В это вы раж е ни е вхо дят ве ли ч и ны f 0 и П э. З нач е ни я f 0 и П э о пре де ляю тсяпо ре зультатам и зме ре ни я А Ч Х ре зо нансно г о уси ли те ля. При это м знач е ни е эне рг е ти ч е ск ой по ло сы про пуск ани яП э удо бне е и зме рять и схо дяи з соотнош е ни яП э = 1,065 П 0,5 , г де П 0,5 — ш и ри на полосы пропуск ани япо уровню 0,5 норми рованно й А Ч Х . 2. Изме ре ни е зави си мо сте й сре дне г о ч и сла вы бросов N1+ (ai ) от ве ли ч и ны отно си те льно г о уровняанали за ai = u 0i σ , ai = i / 2 , i = 0,6 . • Пе ре к лю ч ате ль «Ре ж и м» г е не рато ра ш ума стави тсяв полож е ни е «Г е не ратор» . • В ы ход г е не рато ра шума по дк лю ч ае тсяк к ле ммам «В ход» анали зато ра харак те ри сти к вы бросо в. О дно вре ме нно к вы хо ду г е не рато ра ш ума по дк лю ч ае тся во льтме тр эф ф е к ти вны х знач е ни й . • К к ле ммам «Сч ётч и к 1» анали затора сле дуе т по дк лю ч и ть эле к тро нны й сч ётч и к и тумбле р «Ре ж и м» анали зато ра пе ре к лю ч и ть в полож е ни е «n+» . • После вк лю ч е ни явсе й схе мы при бо ро в руч к ой г е не ратора шума «У си ле ни е плавно » устанавли вае тсяэф ф е к ти вное напряж е ни е ш ума σ =2В .

21 • К к ле ммам анали зато ра «К онтроль u 0 » подк лю ч ае тсявольтме тр постоянног о напряж е ни яи с по мо щ ью руч к и « u 0 » устанавли вае тсятре буе мы й поро г u 0i к о мпаратора. • Тумбле р «В ре мяанали за» стави тсяв полож е ни е «вы к л» и про и зводи тсясбро с сч ётч и к а на ноль. З ате м тумбле р «В ре мяанали за» пе ре води тсяв полож е ни е «вк л» . При этом по дби рае тсяре ж и м рабо ты сч ётч и к а руч к о й «У ро ве нь к анала А » так , ч то бы прои зво ди лсяусто й ч и вы й сч ёт вы бросо в при и зме не ни и отно си те льно г о уро вняанали за ai о т 0 до 3.

Изме ре ни е сре дне г о ч и сла полож и те льны х вы бросо в N1+ (ai ) при заданном порог е про и зводят в сле дую щ е м по рядк е : 1. У станавли вае тсязнач е ни е поро г а u 0i , соотве тствую щ е е ai . 2. Тумбле р «В ре мяанали за» стави тсяв по ло ж е ни е «вы к л» и про и зводи тся сбро с сч ётч и к а. 3. Пе ре к лю ч ате ль «В ре мяанали за» пе ре во дят в по ло ж е ни е «вк л» на вре мяТ (не ме не е 50 се к унд) а зате м — в по ло ж е ни е «вы к л» . 4. Сре дне е ч и сло по ло ж и те льны х вы бро сов за о тноси те льны й урове нь ai в е ди ни ц у вре ме ни опре де ляетсяк ак ~ N1+ (ai ) = N T , г де N — пок азани е сч ётч и к а 1 в данном и зме ре ни и . З ави си мости N1+ (ai ), ai=u0i /σ, 0 ≤ ai ≤ 3 сни маю тсядлядвух знач е ни й f0k –ре зонансной ч астоты уси ли те ляг е не ратора при узк ой и ш и ро к о й полосе е г о про пуск ани я. 3. Изме ре ни е зави си мо сте й сре дне й дли те льно сти по ло ж и те льны х вы бро со в τ и сре дне й дли те льно сти и нте рвалов ме ж ду вы бросами θ о т ве ли ч и ны отно си те льног о порог а ai = u 0i σ , ai = i / 2 , i = 0,6 . Э ти зави си мо сти к ак и зави си мо сти N1+ (a ) опре де ляю тсядлядвух знач е ни й f0k и длядвух знач е ни й П эm. Э ф ф е к ти вное напряж е ни е устанавли вае тсяравны м σ = 2 В . • К к ле ммам «Сч ётч и к 2» анали затора по дк лю ч аю т второй сч ётч и к . • Тумбле р «Ре ж и м» анали затора пе ре води тся в по ло ж е ни е «τ ,θ » . • Руч к о й г е не рато ра ш ума «У си ле ни е плавно » устанавли ваю т тре буе мое знач е ни е σ = 2 В . • Тумбле р «В ре мяанали за» стави тсяв полож е ни е «вы к л» и про и зводи тсясбро с сч ётч и к о в на но ль. • После устано вк и не обхо ди мог о по ро г а u 0i тумбле р «В ре мяанали за» пе ре во ди тсяв по ло ж е ни е «вк л» . • При до сти ж е ни и пок азани й сч ётч и к а 2 не к о торог о знач е ни я N 2 (удобно вы брать N 2 = 10 6 ÷ 10 5 ) тумбле р «В ре мяанали за» стави тсяв по ло ж е ни е «вы к л» . При это м сч ётч и к 1 ф и к си руе т не к ото рое ч и сло N1 так то вы х и мпульсов, к о то ро е пропорц и онально вре ме ни пре бы вани яре али зац и и и ссле дуе мог о случ ай ног о проц е сса над по ро г ом u0i за вре мяанали за, к ото рое про порц и о нально N2.

22 Сле довате льно , о тнош е ни е N1//N2 мо ж но и спользовать дляпо луч е ни яоц е нк и знач е ни яф унк ц и и распре де ле ни я ~ F (u 0i ) = 1 − N1 N 2 (2.12) ~+ Используя(2.12), а так ж е най де нны е знач е ни я N1 (ai ) и вы раж е ни я(2.8), (2.9), мо ж но получ и ть оц е нк и сре дни х τ (ai) и θ (ai) для0 ≤ ai ≤ 3 при заданны х знач е ни ях f 0 k и П эm . О ф ор м л е ние отч ё та О тч ёт до лж е нсоде рж ать: 1. Све дённы е в табли ц ы экспе ри ме нтальны е данны е . 2. Э к спе ри ме нтально получ е нны е ампли тудно-ч асто тны е харак те ри сти к и ре зонансног о уси ли те ляг е не ратора ш ума с нане сённы ми на ни х аппрок си ми рую щ и ми зави си мостями . 3. Те оре ти ч е ск и е г раф и к и зави си мосте й сре дне г о ч и сла по ло ж и те льны х вы бро сов N1+ (a ) в е ди ни ц у вре ме ни от отно си те льно г о уровня анали за a = u 0 σ с нане сённы ми на ни х экспе ри ме нтальны ми данны ми . 4. Те оре ти ч е ск и е г раф и к и зави си мосте й сре дни х дли те льносте й τ по ло ж и те льны х вы бро сов и и нте рвало в ме ж ду вы бро сами θ к ак ф унк ц и и отно си те льног о уровняанали за a = u 0 σ с нане сённы ми на ни х экспе ри ме нтальны ми данны ми . Л ите р атур а [1] и ли [3] и ли [4]. Л абор атор ная р абота № 3 ВЗ А И М НА Я К О РРЕЛ Я Ц И Я Ш У М О В НА ВЫ Х О ДА Х Ф И Л Ь Т РО В С ПЕРЕК РЫ ВА Ю Щ И М И С Я Ч А С Т О Т НЫ М И Х А РА К Т ЕРИ С Т И К А М И Ц е л ь р аботы : о знак о мле ни е с ме тоди к ой экспе ри ме нтальног о о пре де ле ни як оэф ф и ц и е нта взаи мно й к орре ляц и и двух случ ай ны хпроц е ссо в. О сновны е соотнош е ния иопр е д е л е ния Д ляре ше ни ямног и х ради о ф и зи ч е ск и х задач при ме няю тсямно г ок анальны е си сте мы . Рассмотри м двухк анальную си сте му (ри с. 3.1), к аж ды й к анал к оторой состои т и з ли не й ног о ф и льтра с пе ре даточ ной ф унк ц и е й H i ( jω ) и ли соо тве тствую щ е й е й и мпульсной пе ре ходной ф унк ц и е й hi (t ) . Н а общ и й вхо д эти х ф и льтро в по ступае т стац и о нарны й случ ай ны й проц е сс ξ (t ) с нуле вы м мате мати ч е ск и м ож и дани е м и ф унк ц и е й к орре ляц и и Kξ (τ ) .

23

ξ(t)

H 1(jω)

η1(t)

H 2(jω)

η2 (t)

Ри с. 3.1 В устано ви вш е мсяре ж и ме случ ай ны е проц е ссы ηi (t ) на вы хо дах ф и льтров ф ормально мож но пре дстави ть в ви де η i (t ) =

∞

∫ hi (t − τ )ξ (τ )dτ .

(3.1)

−∞

Н е трудно пок азать, ч то η1 (t ) и η 2 (t ) – стац и онарны е и стац и онарно связанны е случ ай ны е про ц е ссы , дляк оторы х ф унк ц и и к орре ляц и и о пре де ляю тсявы раж е ни ем K i (τ ) = ηi (t )ηi (t + τ ) =

∞ ∞

∫ ∫ hi (u )hi (v )Kξ (τ + u − v )dudv , i = 1,2 ,

(3.2)

−∞ −∞

а ф унк ц и явзаи мной к о рре ляц и и –со отнош е ни е м K12 (τ ) = η1 (t )η 2 (t + τ ) =

∞ ∞

∫ ∫ h1 (u )h2 (v )Kξ (τ − u + v )dudv .

(3.3)

−∞ −∞

Е сли в (3.2) и (3.3) о т hi (t ) пе ре й ти к пе ре даточ ны м ф унк ц и ям H i ( jω ) , а о т Kξ (τ ) — к спе к трально й плотно сти Kξ (ω ) , то получ ае м 1 K i (τ ) = 2π K12 (τ ) =

∞

∫ Kξ (ω ) H i ( jω )

−∞ ∞

1 2π

2 jωτ

e

dω , i = 1,2

∫ Kξ (ω )H1 ( jω )H 2 ( jω )e *

jωτ

dω ,

(3.4) (3.5)

−∞

г де звёздоч к а о знач ае т к омпле к сно е сопряж е ни е . Пре дстави м пе ре дато ч ны е ф унк ц и и в ви де H i ( jω ) = H i ( jω ) e jϕ i (ω ) = H i (ω )e jϕ i (ω ) , i = 1;2 (3.6)

З де сь H i (ω ) – ампли тудно-ч астотны е харак те ри сти к и (А Ч Х ), а ϕ i (ω ) – ф азоч астотны е харак те ри сти к и (Ф Ч Х ) ф и льтров. К ак и зве стно, H i ( jω ) – ч е тны е , а ϕ i (ω ) –не ч е тны е ф унк ц и и . У ч и ты ваятак ж е , ч то дляде й стви те льног о случ ай ног о про ц е сса ξ (t ) е г о спе к тральнаяплотность Kξ (ω ) – ч ётнаяф унк ц и я, вы раж е ни я (3.4) и (3.5) мо ж но пе ре пи сать и нач е 1∞ K i (τ ) = ∫ Kξ (ω )H i2 (ω )cos[ωτ ]dω , i = 1,2 , (3.7) π 0

24 K12 (τ ) =

∞

1 ∫ Sξ (ω )H1(ω )H 2 (ω )cos[ωτ + ϕ1(ω ) − ϕ 2 (ω )]dω . π 0

(3.8)

К ак сле дуе т и з (3.7) и (3.8), ф унк ц и и к о рре ляц и и K i (τ ) проц е ссов ηi (t ) опре де ляю тсяспе к трально й пло тностью Kξ (ω ) вхо дно г о про ц е сса ξ (t ) , А Ч Х H i (ω ) ф и льтро в к анало в и не зави сят о т Ф Ч Х ф и льтров. В то ж е вре мяф унк ц и явзаи мной к орре ляц и и K12 (τ ) зави си т от Kξ (ω ) , А Ч Х H i (ω ) и Ф Ч Х H i (ω ) ф и льтро в.

При этом е сли H1 (ω )H 2 (ω ) ≡ 0 , то е сть А Ч Х ф и льтро в не пе ре к ры ваю тся, то K12 (τ ) ≡ 0 –случ ай ны е про ц е ссы η1 (t ) и η 2 (t ) не к орре ли ро ваны , а в случ ае г ауссовск о г о проц е сса ξ (t ) про ц е ссы η1 (t ) и η 2 (t ) стати сти ч е ск и не зави си мы . Используя(3.7) и (3.8), не трудно так ж е запи сать вы раж е ни е дляк о эф ф и ц и е нта взаи мной к о рре ляц и и случ ай ны хпроц е ссо в η1 (t ) и η 2 (t ) K12 (τ ) 1 ∞ = R12 (τ ) = ∫ Kξ (ω )H1 (ω )H 2 (ω )cos[ωτ + ϕ1 (ω ) − ϕ 2 (ω )]dω , (3.9) σ 1σ 2 πσ 1σ 2 0

г де σ i2 –ди спе рси и проц е ссо в ηi (t ) , опре де ляемы е соо тнош е ни е м σ i2

1∞ = ∫ K ξ (ω )H i2 (ω )dω . π 0

К онк ре ти зи руе м получ е нное вы раж е ни е (3.9) дляслуч ая, к о г да ли не й ны е ф и льтры в к аналах пре дставляю т собой два и де нти ч ны х к о ле бате льны х к о нтура с ре зо нансны ми ч астотами ω i , а ξ (t ) – бе лы й шум с односто ро нне й спе к тральной пло тностью N 0 . Полаг аядляпросто ты ве ли ч и ну мак си мальног о уси ле ни яре зо нансны х к онтуро в равно й е ди ни ц е , дляи х пе ре дато ч ны х ф унк ц и й мож но запи сать   ω ω  H i ( jω ) = 1 1 + jQ − i  . (3.10)  ωi ω  

З де сь Q – до бротно сть к о нтуров, ω1 = 2πf 0 , ω 2 = 2πf 0 + 2π∆f , ∆f – расстро й к а по ч астоте одног о к онтура о тноси те льно друг ог о . Буде м сч и тать, ч то к о нтуры являю тсяузк ополосны ми , а расстро й к а ∆f не оч е нь бо льш ая, т.е П << f 0 , ∆f << f 0 , (3.11) г де П = f 0 Q –ши ри на полосы к о нтура по уровню по ло ви нно й мощ но сти . Подставляявы раж е ни е (3.10) в (3.9), после упрощ е ни й получ ае м exp(− π∆f τ ) (3.12) R12 (τ ) = cos(2πf 0τ + ϕ ) , σ 12 = σ 22 = πN 0 П 2 , 2  ∆f  1+   П  г де ∆f ϕ = arctg . (3.13) П

25 К ак сле дуе т и з (3.12) ог и баю щ аяк о эф ф и ц и е нта взаи мной к орре ляц и и уме ньш ае тсяс уве ли ч е сни е м τ и ∆f и в пре де ле стре ми тсяк нулю . Е сли τ = 0 , то и з (3.12), (3.13) и ме е м   ∆f  2  R12 (0 ) = 1 1 +    . (3.14)   П   Г раф и к зави си мо сти R12 (0 ) от о тноси те льной расстро й к и ∆f П пок азанна ри с. 3.2. R12 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

∆ f/П 0

1

2

3

Ри с.3.2 При ве дённы е со отно ш е ни я(3.12) – (3.14) и г раф и к на ри с. 3.2 являю тсяпри бли ж ённы ми , т.к . они по луч е ны в пре дполож е ни е (3.11). По этому ц е ле соо бразно так ж е экспе ри ме нтально и ссле до вать пове де ни е взаи мной к о рре ляц и и случ ай ны х про ц е ссов на вы хо де ре зонансны х к онтуро в от расстро й к и и х ц е нтральны х ч астот. Э к спе ри ме нтально е о пре де ле ни е взаи мно й к о рре ляц и и ме ж ду случ ай ны ми про ц е ссами мож но о сущ е стви ть до статоч но больш и м ч и слом спо со бо в. При ве дём зде сь о ди ни з ни х. Пусть на г ори зо нтально и ве рти к ально о тк лоняю щ и е пласти ны о сц и ллог раф а (ри с. 3.3) по даю тсянапряж е ни я x(t ) и y (t ) , про порц и о нальны е ре али зац и ям стац и онарны х э р год ич е ских случ ай ны х про ц е ссов η1 (t ) и η 2 (t ) . Тог да ярк о сть све ч е ни я экрана о сц и ллог раф а буде т о пре де лятьсясо вме стной плотно стью ве ро ятно сти W ( x, y ) проц е ссо в η1 (t ) и η 2 (t ) . Д е й стви те льно, ярк ость све ч е ни ялю бой точ к и экрана η2(t) у х с к оо рди натами ( x, y ) буде т пропо рц и ональна ч асто те по η1(t) Ри с. 3.3

26 явле ни ялуч а в о к ре стности этой то ч к и , к о тораядляэрг оди ч е ск и х про ц е ссов η1 (t ) и η 2 (t ) пропорц и ональна знач е ни ю совме стной плотно сти ве ро ятности W ( x, y ) . Е сли η1 (t ) и η 2 (t ) совме стно г ауссо вск и е случ ай ны е про ц е ссы с нуле вы ми мате мати ч е ск и ми ож и дани ями , то зави си мо сть ярк ости све ч е ни яо т к оо рди нат то ч е к экрана опре де ляетсявы раж е ни е м   x2 xy y 2  1 1 W12 ( x, y ) = + exp −  2 − 2 R12   , (3.15) σ 1σ 2 σ 22   2πσ 1σ 2 1 − R12  2(1 − R12 ) σ 1 г де σ 12 , σ 22 – ди спе рси и , а R12 = R12 (τ )τ = 0 – знач е ни е к оэф ф и ц и е нта взаи мной

к о рре ляц и и R12 (τ ) случ ай ны х про ц е ссов η1 (t ) и η 2 (t ) . В и зуально подобное и зо браж е ни е воспри ни мае тсяк ак совок упно сть ли ни й по стоянно й ярк о сти , то е сть ли ни й , дляк о торы х W ( x, y ) = const . При г ауссовск о м распре де ле ни и ли ни ями по сто янно й ярк ости являю тсяэлли псы , к о торы е о бы ч но назы ваю т элли псами рассе яни я. У равне ни яэти хэлли псов рассе яни яи ме ю т ви д x2 xy y2 − 2 R + = const . (3.16) 12 σ 1σ 2 σ 22 σ 12

М о ж но пок азать, ч то оси си мме три и (г лавны е оси ) элли псов (3.16) со ставляю т с осью О х уг о л α , о пре де ляемы й со отно ш е ни е м 2R σ σ tg 2α = 212 1 22 . (3.17) σ1 − σ 2 К ак сле дуе т и з (3.17), ве ли ч и на α зави си т от ди спе рси й σ 12 , σ 22 и о т к оэф ф и ц и е нта взаи мной к орре ляц и и R12 . Е сли ди спе рси и случ ай ны х про ц е ссо в η1 (t ) и η 2 (t ) о ди нак овы , то о си си мме три и элли псо в рассе яни ясо ставляю т с о сью О х уг о л α = π 4 при R12 > 0 и α = π 4 + π 2 , к о г да R12 < 0 . В е ли ч и на к оэф ф и ц и е нта к о рре ляц и и R12 при это м опре де ляет соо тно ш е ни е ме ж ду мало й и бо льшой осями элли псов рассе яни я. Д е й стви те льно, уравне ни яэлли псо в рассе яни яв си сте ме к о орди нат Ox′y′ , оси к ото ро й со впадаю т с г лавны ми о сями элли псов, и ме ю т ви д x′ 2

y′2

+ = const , (3.18) a2 b2 г де a и b – большаяи малаяполуо си элли псов. По ск о льк у си сте ма к оо рди нат Ox′y ′ повёрнута относи те льно си сте мы к оо рди нат Оху на уг о л α , то (3.19) x′ = x cosα + y sin α , y ′ = − x sin α + y cosα . Д ляслуч аяо ди нак о вы х ди спе рси й σ 1 = σ 2 и R12 > 0 в (3.19) полаг ае м α = π 4 . То г да, подставляя(3.19) в (3.18), по луч ае м a2 − b2 2 2 (3.20) x − 2 xy 2 + y = const . a + b2 Сопоставляя(3.16), г де σ 1 = σ 2 с (3.20), нахо ди м

27 R12 =

a − b2 2

a2 + b2

Е сли ж е R12 < 0 , то анало г и ч но R12 = −

1 − (b a )2

=

1 + (b a )2

.

(3.21)

1 − (b a )2

. (3.22) 1 + (b a )2 Так и м образо м, сог ласно (3.21) и (3.22), и зме ри в больш ую и малую оси элли пса рассе яни я, мож но о пре де ли ть к оэф ф и ц и е нт взаи мной к о рре ляц и и г ауссо вск и х эрг о ди ч е ск и х проц е ссов с оди нак о вы ми ди спе рси ями . О днак о прак ти ч е ск ое и зме ре ни е ве ли ч и но се й элли псов рассе яни яи ме е т бо льш ую пог ре ш но сть. Поэто му в рабо те пре длаг ае тсядляи зме ре ни е R12 и спо льзо вать не ск ольк о друг о й подход. Блок -схе ма установк и дляи зме ре ни як о эф ф и ц и е нта взаи мной к о рре ляц и и , и спользуе маяв работе , и зображ е на на ри с. 3.4.

η2(t) у

—

η1(t) К

х

К η1(t)

Ри с.3.4 Сущ е ство ме то да и зме ре ни ясво ди тсяк сле дую щ е му. Ре али зац и и эрг о ди ч е ск и х случ ай ны х проц е ссов η1 (t ) и η 2 (t ) , и ме ю щ и х о ди нак овы е ди спе рси и , к оэф ф и ц и е нт взаи мно й к о рре ляц и и к ото ры х не обхо ди мо и зме ри ть, подаю тсяна схе му вы ч и тани я. При ч е м ре али зац и япро ц е сса η1 (t ) пе ре д эти м проходи т ч е ре з уси ли те ль с ре г ули руе мы м к о эф ф и ц и е нто м уси ле ни я K ≤ 1 . Получ е ннаяна вы ходе схе мы вы ч и тани яре али зац и япроц е сса (3.23) ν (t ) = η 2 (t ) − Kη1 (t ) поступае т на ве рти к ально о тк лоняю щ и е пласти ны о сц и лло г раф а. Н а г о ри зо нтально отк ло няю щ и е пласти ны подае тсяре али зац и япроц е сса η1 (t ) . По ск о льк у и ссле дуе мы е про ц е ссы η1 (t ) и η 2 (t ) и ме ю т г ауссовск и е распре де ле ни я, то и разность (3.23) так ж е подч и няетсяг ауссовск ому распре де ле ни ю . По этому ярк ость све ч е ни яэкрана о сц и ллог раф а буде т про порц и о нальна со вме стной г ауссовск ой пло тности ве роятно сти проц е ссо в η1 (t ) и ν (t )   1 1 W ( x, y ) = exp− x 2 − 2 R12 x( y + Kx) + ( y + Kx)2  (3.24) 2 2 2  2σ 1 − R12  2πσ 2 1 − R12 и ли

(

)

[

]

28

[ (

]

)

  1 exp− x 2 1 + K 2 − 2KR12 − 2(R12 − K )xy + y 2  2 2 2  2σ 1 − R12  2πσ 2 1 − R12 (3.25) Так и м образо м, элли псы рассе яни яв данном случ ае опре де ляю тсяуравне ни е м x 2 1 + K 2 − 2 KR12 − 2(R12 − K )xy + y 2 = const . (3.26) К ак сле дуе т и з (3.26), при K = 0 оси си мме три и элли псов рассе яни япове рнуты на π 4 по о тнош е ни ю к осям к о орди нат О х и О у. Е сли ж е K ≠ 0 , то ди спе рси и про ц е ссов η1 (t ) и ν (t ) не о ди нак овы и г лавны е о си элли псо в рассе яни янахо дятся под уг лом к к о орди натны м о сям, не равны м π 4 . В е ли ч и на этог о уг ла зави си т о т к о эф ф и ц и е нта взаи мно й к орре ляц и и R12 и знач е ни яК . При этом, е сли K = R12 , оси си мме три и элли псов рассе яни ясо впадаю т с к о орди натны ми осями (ри с.3.5) и случ ай ны е проц е ссы η1 (t ) и ν (t ) стати сти ч е ск и не зави си мы . Так и м образо м, и зме ре ни е к оэф ф и ц и е нта взаи мной к о рре ляц и и сво ди тсяк подбо ру к оэф ф и ц и е нта уси ле ни яK , при к о торо м г лавны е оси элли псо в рассе яни яна экране о сц и ллог раф а со впадаю т с к о орди натны ми о сями , ч то со отве тствуе т стати сти ч е ск о й не зави си мо сти η1 (t ) и ν (t ) . W ( x, y ) =

1

(

(

)

)

y

y

x

a)

x

b)

Ри с.3.5 Э лли псы рассе яни ядвух си г налов σ 1 = σ 2 , R12 = 0.5 а) ν (t ) = η 2 (t ) , b) ν (t ) = η 2 (t ) − 0,5η1 (t ) . О писание л абор атор ного м аке та Лабораторны й мак е т вк лю ч ае т в се бя: • два узк о по ло сны х уси ли те ляна и нте г ральны х ми к росхе мах с к оле бате льны ми LC- к онтурами ; • вы ч и таю щ е е устрой ство; • два о к о не ч ны хуси ли те ля. В не шни й ви д ли ц е вой пане ли мак е та схе мати ч но и зображ ён на ри с. 3.6. К о ле бате льны й к о нтур в 1-м к анале мак е та настро е н на ф и к си рованную ч асто ту ≈ 11к Г ц . Ре зонанснаяч астота к оле бате льно г о к о нтура во 2-м к анале мож е т пе ре страи ватьсяв ди апазо не 8÷15к Г ц пе ре ме нны м к о нде нсатором С2. Пре де лы и зме не ни я ре зонансной ч асто ты к онде нсатором С2 так о вы , ч то мак си мальная расстрой к а ме ж ду ре зонансны ми ч астотами к онтуро в 1-г о и 2-г о к аналов равна при ме рно ч е ты ре м по ло сам про пуск ани яП эти х к о нтуров. Поэто му при мак си маль-

29 ной расстрой к е ме ж ду ре зонансны ми ч асто тами к онтуров и х ампли тудно ч астотны е харак те ри сти к и прак ти ч е ск и не пе ре к ры ваю тся. Руч к а С2 на ли ц е вой сто ро не при бо ра снабж е на усло вны ми де ле ни ями , к ото ры е не обходи мо пре двари те льно сопостави ть с ре альны ми ре зо нансны ми ч асто тами к онтура 2-г о к анала (вы по лни ть г радуи ро вк у по ч астоте ). 2 В к л.

Т В ХОД 1

1

СЕ ТЬ

В Ы ХОД Y(t)=y(t)-Kx(t)

С2

В ХОД 2

R1

В Ы ХОД X(t)=x(t)

R2

Ри с. 3.6 У зк о полосны й уси ли те ль 1-г о к анала и ме е т ре г ули руе мы й к оэф ф и ц и е нт уси ле ни я–руч к а R1 на ри с. 3.6. Э та ре г ули ровк а по зволяет о бе спе ч и ть раве нство ди спе рси й случ ай ны х проц е ссов на вы хо дах1-г о и 2-г о к анало в. В ы ч и таю щ е е устро й ство мак е та служ и т дляф орми ровани яразности ме ж ду вы хо дны ми напряж е ни ями ре зонансны х уси ли те ле й к аналов. При это м вы хо дное напряж е ни е уси ли те ля1-г о к анала поступае т на вы ч и таю щ е е устрой ство ч е ре з де ли те ль. Ре г ули ровк а к оэф ф и ц и е нта де ле ни я, осущ е ствляемаяруч к о й R2, экви вале нтна и зме не ни ю к оэф ф и ц и е нта уси ле ни я К <1 в ф ормуле (3.23). Сле довате льно , и зме ре ни е к о эф ф и ц и е нта взаи мной к о рре ляц и и ме ж ду вы хо дны ми про ц е ссами ре зонансны х уси ли те ле й 1-г о и 2-г о к аналов своди тся к подбо ру так ог о к оэф ф и ц и е нта де ле ни я (по ло ж е ни е руч к и R2), при к о тором вы хо дны е напряж е ни я ре зонансног о уси ли те ля 1-г о к анала и вы ч и таю щ е г о устрой ства стати сти ч е ск и не зави си мы — о си си мме три и элли псов рассе яни я совпадаю т с к оо рди натны ми о сями . Д ва ок оне ч ны х уси ли те ля мак е та служ ат длясо г ласо вани яе г о вы ходов с и зме ри те льны ми при бо рами –во льтме тро м и осц и ллог раф ом. Тумбле р Т на ли ц е во й пане ли мак е та пе ре к лю ч ае т со вме стное и ли разде льное подк лю ч е ни е входо в ре зонансны хуси ли те ле й 1-г о и 2-г о к анало в. Э кспе р им е нтал ьная ч асть 1. Изме ре ни е ампли тудно-ч астотной харак те ри сти к и 1-г о к анала. Тумбле р Т мак е та зде сь и дале е , е сли не ог о воре но и ное , находи тсяв поло ж е ни и 1, ч то со отве тствуе т разде льно му вк лю ч е ни ю вхо до в уси ли те ле й 1-г о и 2г о к анало в. Н а вхо д уси ли те ля1-г о к анала по дк лю ч ае тсяг е не ратор Г 3-33, на

2.

3. • • • • • • •

5. • • • •

30 вы хо де к о торог о сле дуе т установи ть напряж е ни е 0.1-1В . Изме няяч асто ту г е не рато ра в пре де лах от 3к Г ц до 20к Г ц (с ш аг о м 1-2к Г ц ) с по мо щ ью вольтме тра, не обходи мо и зме рять напряж е ни е на вы ходе 1-г о к анала. При это м нуж но сле ди ть за постоянством входног о напряж е ни яуси ли те ля1-г о к анала. По по луч е нны м экспе ри ме нтальны м данны м сле дуе т построи ть А Ч Х 1-г о к анала (на ми лли ме тровк е ), о пре де ли ть е ё ц е нтральную ч астоту f 01 и полосу пропуск ани яП 1 (по уро вню 0.707 от мак си мума). А нало г и ч но пре ды дущ е му пунк ту не обхо ди мо снять А Ч Х 2-г о к анала длятрёх полож е ни й руч к и ре г ули ровк и С2 – вбли зи нач ала, се ре ди ны и к онц а шк алы . Н ане сти эти три зави си мо сти на оди н г раф и к с А Ч Х 1-г о к анала. О пре де ли ть полосы пропуск ани я П 2k ре зо нансног о к о нтура во 2-м к анале дляк аж до г о kг о ( k = 1,2,3 ) по ло ж е ни яруч к и С2. В связи с те м, ч то эле ме нты ре зонансны х к о нтуров в к аналах подобраны так , ч тобы полосы про пуск ани яэти х к онтуро в бы ли при ме рно о ди нак о вы и не ме няли сь с и зме не ни е м ц е нтральной ч астоты , по и зме ре нны м знач е ни ям П 1 и П 2k находи м П — сре дню ю по ло су пропуск ани яре зонансны х к о нтуров схе мы . В е ли ч и на П являетсяпараме тром аппрок си мац и и пе ре даточ ны х ф унк ц и й ре зонансны х к онтуров вы раж е ни ями (3.10), (3.11). Сопоставле ни е усло вны х де ле ни й руч к и С2 с ре зонансны ми ч асто тами к оле бате льног о к онтура во 2-м к анале — г радуи ровк а по ч астоте . Д ляэто г о сле дуе т: Н а вхо д уси ли те ля2-г о к анала подк лю ч и ть г е не ратор Г 3-33 и устано ви ть напряж е ни е на вы хо де г е не ратора 0.1-1В . К к ле ммам «В ы ход У » подк лю ч и ть вольтме тр. У станови ть руч к у С2 в к рай не е ле вое по ло ж е ни е . Изме няяч асто ту звук ово г о г е не рато ра, доби тьсямак си мально г о о тк лоне ни я стре лк и вольтме тра, те м самы м най ти ре зонансную ч астоту к о ле бате льног о к о нтура во 2-м к анале . Пове рнуть руч к у С2 на 10 де ле ни й вправо и опять о пре де ли ть ц е нтральную ч астоту к оле бате льно г о к онтура 2-г о к анала. Повторять эти и зме ре ни я(ч е ре з 10 де ле ни й ш к алы ) до к рай не г о правог о по ло ж е ни яруч к и С2. Постро и ть г радуи рово ч ную к ри вую на ми лли ме тровк е , отлож и в по о си абсц и сс к оли ч е ство де ле ни й ш к алы , а по о си орди нат – соо тве тствую щ и е знач е ни яц е нтрально й ч асто ты к оле бате льно г о к о нтура 2-г о к анала. Г радуи ровк а по к оэф ф и ц и е нту к о рре ляц и и — сопоставле ни е усло вны х де ле ни й руч к и R2 с ре альны ми знач е ни ями к о эф ф и ц и е нта взаи мно й к орре ляц и и R12. Д ляэтог о сле дуе т: Подк лю ч и ть к о входу уси ли те ля1-г о к анала звук о во й г е не ратор. В ольтме тр подк лю ч и ть к к ле ммам «В ы ход У » — это вы ход вы ч и таю щ е г о устро й ства. Н астрои ть г е не ратор на ч астоту f 01 — ц е нтральную ч астоту к оле бате льно г о к о нтура в 1-м к анале . В ращ е ни е м руч к и R2 до би тьсямак си мально г о о тк лоне ни ястре лк и во льтме тра.

• • • •

6. • • • • • • •

7. • • • • •

31 Изме няявхо дное напряж е ни е уси ли те ля1-г о к анала, устано ви ть напряж е ни е на к ле ммах «В ы хо д У » равны м 1 В . Полож е ни е руч к и R2 при это м соо тве тствуе т знач е ни ю к оэф ф и ц и е нта взаи мной к о рре ляц и и 1. В ращ е ни е м руч к и R2 доби тьсянапряж е ни яна к ле ммах «В ы ход У » 0.9В . Э то полож е ни е руч к и R2 соо тве тствуе т к о эф ф и ц и е нту взаи мно й к о рре ляц и и R12=0.9. Про долж и ть до получ е ни ями ни мальног о знач е ни янапряж е ни яна к ле ммах «В ы хо д У » . Постро и ть г радуи рово ч ную к ри вую на ми лли ме тровк е , отлож и в по о си абсц и сс к о ли ч е ство де ле ни й шк алы R2, а по о си орди нат – со отве тствую щ е е знач е ни е к о эф ф и ц и е нта взаи мно й к орре ляц и и R12. У становк а к о эф ф и ц и е нта уси ле ни яуси ли те ля1-г о к анала, обе спе ч и ваю щ е г о раве нство ди спе рси й случ ай ны хпро ц е ссо в на вы ходах уси ли те ле й 1-г о и 2-г о к аналов. Д ляэто г о сле дуе т: Подк лю ч и ть на вход уси ли те ля1-г о к анала звук овой г е не рато р Г 3-33, вы хо дное напряж е ни е к о торог о устано ви ть в ди апазоне 0,1–1В . О сц и ллог раф подк лю ч и ть к к ле ммам «В ы хо д У » . У станови ть к оэф ф и ц и е нт взаи мной к о рре ляц и и равны м 1 с по мо щ ью руч к и R2 и г радуи ро во ч ной к ри во й . По мак си муму напряж е ни яна «В ы ходе У » вы стави ть ч асто ту г е не рато ра равной ре зо нансно й ч асто те к о нтура 1-г о к анала f 01 . Н е и зме няяч астоты г е не рато ра, подать си г нал на вход уси ли те ля2-г о к анала и вращ е ни е м руч к и С2 настрои ть к оле бате льны й к онтур во 2-м к анале на ч астоту f 01 . Подк лю ч и ть о ба к анала мак е та к вы ходу г е не ратора одновре ме нно , пе ре к лю ч и в тумбле р Т в по ло ж е ни е ″2″. В ращ е ни е м руч к и R1 до би тьсями ни мальног о напряж е ни яна к ле ммах «В ы хо д У » , по сле ч е г о убе ди ться, ч то при и зме не ни и к о эф ф и ц и е нта взаи мно й к орре ляц и и о т 1 до 0 напряж е ни е на к ле ммах «В ы хо д У » и зме няетсяне ме не е ч е м в 10 раз. В случ ае , е сли это не вы по лняется, не обхо ди мо про и зве сти по дстро й к у к онде нсатором C2. З ате м с по мо щ ью о сц и лло г раф а и зме ри ть размах вхо дног о напряж е ни я. Изме ре ни е к оэф ф и ц и е нта взаи мной к о рре ляц и и . Подк лю ч и ть г е не рато р ш ума Г 2-12 к о вхо ду мак е та. У станови ть тумбле р Т в полож е ни я″2″. Подк лю ч и в осц и ллог раф на вход мак е та, сле дуе т устано ви ть так о е знач е ни е напряж е ни яш ума, при к о тором размах ре али зац и и ш ума при ме рно раве н размаху г армо ни ч е ск о г о си г нала, опре де ле нному в пре ды дущ е м пунк те . Подк лю ч и ть о сц и ллог раф к вы ходу мак е та со г ласно ри с.3.4. Изме няяруч к о й C2 расстрой к у ме ж ду ц е нтральны ми ч асто тами к о ле бате льны х к о нтуров в к аналах в пре де лах − 3 П ≤ ∆f ≤ 3П ч е ре з и нте рвал ч астоты 0,2 П , в к аж до й то ч к е ( ∆f i = ±i ⋅ 0.2 П , i = 0,1,2,...,12 ) и зме ри ть к о эф ф и ц и е нт взаи мной к о рре ляц и и .

32 Д ляи зме ре ни як о эф ф и ц и е нта к о рре ляц и и при не к ото ро й расстро й к е ∆f i достаточ но вращ е ни е м руч к и R2 доби ться совпаде ни я г лавны х осе й элли пса рассе яни яна экране осц и лло г раф а с осями к оорди нат. Полож е ни е руч к и R2 при этом дае т знач е ни е к оэф ф и ц и е нта взаи мной к о рре ляц и и ме ж ду вхо дны ми случ ай ны ми проц е ссами уси ли те ле й 1-г о и 2-г о к аналов Повто ри ть и зме ре ни я три ж ды . 8. Сре дни е по тре м и зме ре ни ям знач е ни як о эф ф и ц и е нта взаи мно й к орре ляц и и нане сти на те о ре ти ч е ск и й г раф и к зави си мо сти R12 о т но рми ро ванной расстрой к и ∆f П (ри с. 3.2) . О ф о рмле ни е отч е та О тч е т до лж е нсоде рж ать: 1. Бло к -схе му экспе ри ме нтальной устано вк и . 2. Сняты е к али бро воч ны е к ри вы е установк и . 3. Г раф и к зави си мо сти к о эф ф и ц и е нта взаи мно й к орре ляц и и о т но рми ро ванной расстро й к и ∆f П и нане се нны е на не г о экспе ри ме нтальны е знач е ни я. 4. В ы вод и оц е нк у получ е нны хре зультатов. Л ите р атур а [1] и ли [4] и [5]. Л И Т Е РА Т У РА 1. Ти хонов В .И. Стати сти ч е ск аяради оте хни к а, М .: Сов. ради о , 1982, 624с. 2. М и рск и й Г .Я. А ппаратурное о пре де ле ни е харак те ри сти к случ ай ны х про -

ц е ссо в. М .: Э не рг и я, 1972, 456с. 3. Ти хонов В .И. В ы бро сы случ ай ны х проц е ссов. М .: Н аук а, 1970, 392с. 4. Ле ви н Б.Р. Те о ре ти ч е ск и е о сновы стати сти ч е ск о й ради оте хни к и , т.1, М .:

Сов. ради о 1989, 654с. 5. А хмано в С.А ., Д ья к о в Ю .Е ., Ч и рк и н А .С. В ве де ни е в стати сти ч е ск ую ради оф и зи к у и опти к у, М .: Н аук а, 1981, 640с. Состави те ли : Три ф оно в А ндре й Павло ви ч , док тор те хни ч е ск и хнаук ; М аршак ов В лади ми р К и ри лло ви ч , к анди дат ф и зи к о -мате мати ч е ск и х наук ; К орч аг и нЮ ри й Э дуардо ви ч , к анди дат ф и зи к о-мате мати ч е ск и х наук ; Ре дак то р Ти хо ми рова О .А .