Высшая математика: Учебное пособие для студентов технических вузов. Часть 1

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА учебное пособие для студентов технических вузов (часть1) составитель Семёнова Т.В.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1. Введение Пара действительных чисел (x,y), взятых в определенном порядке, называется комплексным числом. Число x называется действительной частью комплексного числа и обозначается Rez: х=Rez, у называется мнимой частью и обозначается Imz: у=Imz. Таким образом, z=(х,у). Комплексное число z изображается точкой плоскости с координатами (х,у).

Очевидно, точки с координатами (х,0) располагаются на оси Ох и изображают обычные действительные числа: (х,0)=х. Ось Ох называется при этом действительной осью. Точки с координатами (0,у) располагаются на оси Оу. Они изображают так назывемые мнимые числа и обозначаются символом jy: (0,у)=jy. Ось Оу называется при этом мнимой осью..Число (0,1) =j называется мнимой единицей. Рассмотрим прямоугольный треугольник ОММ 1 . Длину вектора ОМ обозначим буквой ρ и назовём модулем z а угол, образованный этим вектором с положительным направлением оси Ох обозначим буквой ϕ и назовём аргументом z. Для комплексного числа (0,0)=0 аргумент не определён. Угол, откладываемый против хода часовой стрелки, принято считать положительным, по ходу часовой стрелки – отрицательным. Аргумент z определяется до целого числа полных оборотов, т.е. до слагаемого, кратного 2 π . Поэтому вводится понятие главного значения аргумента, по абсолютной величине меньшее π . ϕ =argz, ρ =modz. Из треугольника ОММ 1 имеем: х= ρ cos ϕ , у= ρ sin ϕ , х 2 +у 2 = ρ 2 , у = tg ϕ . х Упражнения Изобразить следующие комплексные числа, найти их модули и аргументы: 1 3 ), 1, -2, 3 j, -4 j, (2,-3), (-3, 3 3 ), (2,-5), (-7,-1). (1,-1), (-2,2), (-3,-3), (1, 3 ), (- , 2 2 Итак, геометрическим образом комплексного числа является точка плоскости М(х,у). Иногда геометрическим образом комплексного числа удобно считать вектор ОМ, соединяющий эту точку с началом координат. В частности это удобно делать при рассмотрении действий над комплексными числами.

2. Сложение и умножение комплексных чисел Сложим два комплексных числа z 1 и z 2 . Поскольку каждому из них соответствует вектор, соединяющий соответствующую точку с началом координат, то для этого достаточно сложить 2 вектора ОМ 1 и ОМ 2 . Делается это по известному из школы правилу параллелограмма: в точке М 1 строится треугольник М 1 МК, равный треугольнику ОМ 2 А. ОМ- искомый вектор, равный сумме векторов ОМ 1 и ОМ 2 .

Из построения следует : х=х 1 + х 2 , у=у 1 + у 2 .(*) Таким образом, чтобы сложить два комплексных числа, следует сложить по отдельности их действительные и мнимые части. Для умножения двух комплексных чисел следует воспользоваться пропорциональностью сторон подобных треугольников. Если на отрезке ОМ 2 построить углы ϕ1 и β , прилежащие стороне О1 треугольника О1М 1 , то стороны этих углов пересекаются в искомой точке М.

В самом деле, ΔО1М 1 подобен ΔОММ 2 (по трём углам), следовательно, ρ ОМ ОМ 2 ρ = или = 2 , откуда ρ = ρ1 ρ 2 . Обращаясь к чертежу , замечаем, ОМ 1 О1 ρ1 1 что углы связаны соотношением: ϕ = ϕ 2 + ϕ1 . Таким образом, чтобы перемножить 2 комплексных числа, нужно перемножить их модули и сложить аргументы. Но тогда

х = ρ cos ϕ = ρ1 ρ 2 cos(ϕ1 + ϕ 2 ) = = ρ1 ρ 2 ( cos ϕ1 cos ϕ 2 − sin ϕ1 sin ϕ 2 )= ρ1 cos ϕ1 ρ 2 cos ϕ 2 − ρ1 sin ϕ1 ρ 2 sin ϕ 2 = x1 x 2 − y1 y 2. у = ρ sin ϕ = ρ1 ρ 2 sin(ϕ1 + ϕ 2 ) = = ρ1 ρ 2 (sin ϕ1 cos ϕ 2 + cos ϕ1 sin ϕ 2 ) = ρ1 sin ϕ1 ρ 2 cos ϕ 2 + ρ1 cos ϕ1 ρ 2 sin ϕ 2 = y1 x 2 + x1 y 2 . Итак, (х 1 ,у 1 ) (х 2 ,у 2 )= ( х1 х 2 − у1 у 2 , у 1 х 2 +у 2 х 1 ).(**) Упражнения Пользуясь формулами (*) и (**), найти сумму и произведение следующих комплексных чисел (2,3) и (3,-2); (-4,3) и (-5,-6).

3. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел

Изобразим мнимую единицу: j= (0,1). Очевидно mod j=1, arg j =

π 2

.

Пользуясь правилом умножения комплексных чисел, вычислим j 2 = jj. Для этого перемножим модули и сложим аргументы: mod j 2 =1, arg j 2 = π . Получилось число (-1,0)= -1. Запомним: j 2 = -1, следовательно, j = − 1 .

Это обстоятельство позволяет записывать комплексные числа в алгебраической форме в виде двучлена (х,у)= х+jу.Учитывая значение j, комплексные числа можно складывать и умножать по обычным алгебраическим законам. При этом формулы (*) и (**) будут выполняться автоматически. Так как х= ρ cos ϕ и у= ρ sin ϕ , от алгебраической формы легко перейти к

тригонометрической: х+jу= ρ (cos ϕ + j sin ϕ ) . Таким образом, чтобы складывать и перемножать комплексные числа, достаточно записать их в алгебраической форме и работать с ними, как с обычными двучленами. Например, (2,-1)+(-3,4)=(2-j)+(-3+4j)=(2-3)+j(-1+4)=-1+3j; (3, -2 ) (-7,-5)=(3-2j)(-7-5j)=-21+14j-15j+10j 2 = -31-j. Вычитание производится так же, как и сложение: (2+j)-(3-4j)=-1+5j. Для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое, т.е. вычислить a + jb , нужно освободиться от j в знаменателе. Для этого достаточно значение дроби c + jd умножить знаменатель и одновременно (чтобы дробь не изменилась) числитель на число

c-jd. Такие комплексные числа, у которых действительные части одинаковы, а мнимые части отличаются знаками, называются сопряженными. Если одно из −

сопряженных чисел обозначено z, то другое обозначается z . Итак, умножив и числитель и заменатель дроби на число, сопряжённое знаменателю, получим ответ: ac + jbc − jad + bd ac + bd + j (bc − ad ) (a + jb)(c − jd ) = = . (c + jd )(c − jd ) c2 + d 2 c2 + d 2 Пример. (4 − 5 j )(−3 − 2 j ) − 12 + 15 j − 8 j + 10 j 2 − 22 + 7 j . = = (4-5j):(-3+2j)= (−3 + 2 j )(−3 − 2 j ) 13 9 − 4 j2 Упражнения 1. Пусть z 1 = 1+j 3 , z 2 =-2+2j. Изобразить сопряжённые им числа. Сравнить модули и аргументы взаимно сопряжённых комплексных чисел. 3− 2j 1 1− 2 j 2. Выполнить указанные действия: , . , j 1+ j −4+3j

4.Возведение в натуральную степень Возвести число z в n-ую степень значит умножить его само на себя n раз.Поскольку при этом модули сомножителей перемножаются, а аргументы складываются, то z n = [ ρ (cos ϕ + j sin ϕ )]n = ρ n (cos nϕ + j sin nϕ ) . При ρ = 1 эта формула принимает вид: (cos ϕ + j sin ϕ ) n = cos nϕ + j sin nϕ Она называется формулой Муавра по имени английского ученого (француза по происхождению) Abracham’а de Moivre’а (1667 – 1754). Формула Муавра позволяет выражать синусы и косинусы кратных дуг через cos ϕ и sin ϕ . Пример. При n=3 имеем: (cos ϕ + j sin ϕ ) 3 = cos3 ϕ + j sin 3ϕ C другой стороны, возводя двучлен в куб, получим: (cos ϕ + j sin ϕ ) 3 = cos 3 ϕ + 3 cos 2 ϕ jsin ϕ + 3 cos ϕ (jsin ϕ ) 2 + ( j sin ϕ ) 3 = =cos 3 ϕ + j 3cos 2 ϕ sin ϕ − 3 cos ϕ sin 2 ϕ − j sin 3 ϕ =(cos 3 ϕ − 3 cos ϕ sin 2 ϕ ) + j(3cos 2 ϕ sin ϕ − sin 3 ϕ ) . Левые части обоих выражений равны, следовательно, равны и правые. Два комплексных числа считаются равными, если равны их действительные и мнимые части. (заметим, что понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся ). Итак, сos 3 ϕ = сos 3ϕ − 3 cos ϕ sin 2 ϕ , sin 3 ϕ = 3cos 2 ϕ sin ϕ − sin 3 ϕ . Чтобы получить аналогичные формулы для n=4, 5, … , нужно воспользоваться формулой: (a+b) n = =a n n n − n n n n(n − 1)(n − 2)(n − 3)...(n − (n − 1)) n ( 1 ) ( 1 )( 2 ) − − n + a n −1b + a n−2 b 2 + a n −3b 3 + ... + b 1 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ...n

Эта формула называется биномом Ньютона по имени английского математика Isaac`а Newton`а (1643-1727). Формулу нетрудно запомнить: она содержит n+1 слагаемое, коэффициенты (после сокращения) первый и последний равны единице, второй n(n − 1) и предпоследний равны n, третий от начала и третий от конца и т.д., сумма 1⋅ 2 степеней a и b у каждого слагаемого равна n. Упражнения 1. Вычислить, предварительно записав в тригонометрической форме: 1 3 1002 1 ) . (1+j) 5 , (2-2j) 7 , (-3+3j) 4 , (- 2 -j 2 ) 8 , ( 5 -j 5 ) 9 , ( ) 6 , ( − j 2 2 2 2. Выразить через cos ϕ и sin ϕ cos4 ϕ , sin4 ϕ , cos5 ϕ и sin5 ϕ .

5. Извлечение корня n-ой степени Пусть в результате извлечения корня n-ой степени из z получилось комплексное число с модулем r и аргументом ω : n z = n ρ (cos ϕ + j sin ϕ ) = r (cos ω + j sin ω ) . Нужно выразить r и ω через известные значения ρ и ϕ . Для этого возведём обе части равенства в n-ю степень: ρ (cos ϕ + j sin ϕ ) = r n (cos nϕ + j sin nϕ ) . Получилось два равных комплексных числа, записанных в тригонометрической форме. Их модули должны быть равны, а аргументы могут отличаться на целое число полных оборотов, т.е. ρ = r n , ϕ + 2kπ = nω . Откуда ϕ + 2kπ r= n ρ , ω= . n Пример. 0 + 2kπ 0 + 2kπ 5 1 = 5 1 ⋅ (cos 0 + j sin 0) = 1 ⋅ (соs + j sin ). 5 5 При k=0: ε 0 = cos 0 + j sin 0 = 1 , 2π 2π + j sin , при k=1: ε 1 = cos 5 5 4π 4π + j sin , при k=2: ε 2 = cos 5 5 6π 6π , при k=3: ε 3 = cos + j sin 5 5 8π 8π ε 4 = cos + j sin , при k=4: 5 5 10π 10π ε 5 = cos + j sin = cos 0 + j sin 0 = ε 0 . при k=5: 5 5 Таким образом, корень n-ой степени имеет ровно n значений , полученных из выведенной формулы при k=1, 2, 3, …, n-1, которые изображаются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса n ρ с центром в начале координат.

Упражнения Вычислить все значения следующих корней и построить их: 3

1 ,

4

j ,

1− j ,

3

−2+2j ,

−8 ,

6

−1+ j 3 .

5

6.Показательная форма записи По определению е a + jb = e a (cos b + j sin b) . При a=0 получим е jb = cos b + j sin b . Эта формула принадлежит Леонарду Эйлеру. Leonard Euler (1707- 1783) родился в швейцарском городе Базеле, работал в Берлинской и Петербургской академии. При жизни опубликовал 530 книг и статей, умирая, оставил огромное количество рукописей по различным областям математики, которые Петербургская академия публиковала в течение 47 лет после его смерти. Формула Эйлера позволяет записать комплексное число в более компактной показательной форме: ρ (сosϕ + j sin ϕ ) = ρ ⋅ e jϕ . Таким образом, любое комплексное число (х,у) может быть записано в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Примеры. (1,1)= 1 + j =

2( cos

(0,5)= 5j = 5(cos

π

π

π

π

+ jsin ) = 4 4

2

+ j sin ) = 5e 2

2e j

j

π 4

.

π 2

.

Упражнения

1 1 в алгебраической форме. + 2 (a + jb) (a − jb) 2 Найти действительные решения уравнений: (4+2j)x + (5-3j)y =13+j, (3x-j) ⋅ (2 + j ) + ( x − jy ) ⋅ (1 + 2 j ) = 5 + 6 j . Найти целое n, если (1+j) n = (1 − j ) n . Существуют ли два неравных комплексных числа, каждое из которых равно квадрату другого? Существуют ли два неравных комплексных числа, каждое из которых равно кубу другого? Решить уравнения: z + z = 2 + j , z 2 + z =0.

1. Представить комплексное число 2.

3. 4. 5. 6.

⎛z ⎞ z 7. Доказать следующие соотношения: z1 − z 2 = z1 - z 2 , z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 , ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = 1 . ⎝ z2 ⎠ z2 8. Может ли случиться, что: a. модуль разности двух комплексных чисел окажется равным сумме модулей этих чисел? b. модуль суммы двух комплексных чисел окажется равным разности модулей этих чисел? c. модуль разности двух комплексных чисел окажется больше суммы их модулей?

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Определение матрицы. Виды матриц Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В. В общем виде матрицу размером m×n записывают так

. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами aij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце. Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1. Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья. Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец. Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например, . Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например,

или . Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица

3-го порядка имеет вид

.

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны aij = bij. Так

если

и , то A=B, если a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 и a22 = b22. Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если

, то . Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием. Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT. Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде Например. Найти матрицу транспонированную данной.

1.

2.

.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

или Примеры. Найти сумму матриц:

1.

.

2.

- нельзя, т.к. размеры матриц различны.

3.

. Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C). Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу

или . Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства: 1. 2. 3.

. Примеры.

1. 2. Найти 2A-B, если 3.

4.

. ,

. .

Найти C=–3A+4B. Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры. Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца

второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом: . Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c13, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицыпроизведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы. В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (aij) размера m×n на матрицу B = (bij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент cij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения. Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат. Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу– столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

. Примеры.

Пусть Найти элементы c12, c23 и c21 матрицы C.

1. Найти произведение матриц.

.

. 1.

- нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.

2. Пусть Найти АВ и ВА.

3.

Найти АВ и ВА.

, B·A – не имеет смысла. Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A·B ≠ B·A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей. Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC. Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A. Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице. Например, если

, то .

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов . Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a11a22 – a12a21. Определитель обозначается символом . Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали. Примеры. Вычислить определители второго порядка. 1. . 2. 3. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

. Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка. Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

1.

.

2.

.

3. Решите уравнение.

.

. (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0. (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0. (x-4)(x-1)=0. x1 = 4, x2 = 1. Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются. Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 1. Если квадратная матрица AT является транспонированной матрицей A, то их определители совпадают |AT | = |A|, т.е. определитель не меняется, если заменить его строки столбцами и обратно, например, для определителя третьего порядка

. Доказательство проводится проверкой, т.е. сравнением обеих частей записанного равенства. Вычислим определители, стоящие слева и справа:

2. При перестановке 2-х строк или столбцов определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е., например,

Доказательство проводится аналогично доказательству свойства 1 сравнением обеих частей. Проведём его для определителя второго порядка. . Для определителя третьего порядка проверьте самостоятельно. 3. Если определитель имеет две одинаковые строки или столбца, то он равен нулю.

Например, . Действительно, если переставить здесь 2-ю и 3-ю строки, то по свойству 2 этот определитель должен изменить знак, но сам определитель в данном случае не меняется, т.е. получаем |A| = –|A| или |A| = 0. 4. Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя.

Например, . Доказательство проводится проверкой, как и свойство 1. (Самостоятельно) 1. Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю. (Доказательство – проверкой). 2. Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле, например,

. Доказательство - проверкой, аналогично свойству 1. 3. Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины. Например,

. Докажем это равенство, используя предыдущие свойства определителя.

Эти свойства определителей довольно часто используются при вычислении определителей и в различных задачах.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ И МИНОРЫ

Пусть имеем определитель третьего порядка: . Минором, соответствующим данному элементу aij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i-ой строки и j-го столбца. Миноры соответствующие данному элементу aij будем обозначать Mij. Например, минором M12, соответствующим элементу a12, будет определитель , который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца. Таким образом, формула, определяющая определитель третьего порядка, показывает, что этот определитель равен сумме произведений элементов 1-ой строки на соответствующие им миноры; при этом минор, соответствующий элементу a12, берётся со знаком “–”, т.е. можно записать, что 1) . Аналогично можно ввести определения миноров для определителей второго порядка и высших порядков. Введём ещё одно понятие. Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор Mij, умноженный на (–1)i+j. Алгебраическое дополнение элемента aij обозначается Aij. Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством Aij = (–1)i+jMij. Например,

Пример. Дан определитель

. Найти A13, A21, A32.

Легко видеть, что используя алгебраические дополнения элементов, формулу (1) можно записать в виде: . Аналогично этой формуле можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца. Например, разложение определителя по элементам 2-ой строки можно получить следующим образом. Согласно свойству 2 определителя имеем:

Разложим полученный определитель по элементам 1-ой строки.

2) .

Отсюда т.к. определители второго порядка в формуле (2) есть миноры элементов a21, a22, a23. Таким образом, , т.е. мы получили разложение определителя по элементам 2-ой строки. Аналогично можно получить разложение определителя по элементам третьей строки. Используя свойство 1 определителей (о транспонировании), можно показать, что аналогичные разложения справедливы и при разложении по элементам столбцов. Таким образом, справедлива следующая теорема. Теорема (о разложении определителя по заданной строке или столбцу). Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Всё вышесказанное справедливо и для определителей любого более высокого порядка. Примеры.

1. Вычислить определитель

, раскладывая его по элементам 2-го столбца.

2. Вычислить определитель, используя его свойства. Прежде чем раскладывать определитель по элементам какой–либо строки, сводя к определителям третьего порядка, преобразуем его, используя свойство 7, сделав в какой–либо строке или столбце все элементы, кроме одного, равными нулю. В данном случае удобно рассмотреть 4-й столбец или 4-ю строку:

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц. Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A-1 и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел) Справедлива следующая теорема: Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля. Доказательство: 1. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная матрица A-1. Покажем, что |A| ≠ 0. Прежде всего заметим, что можно доказать следующее свойство определителей . Предположим, что |A| = 0. Тогда

. Но с другой стороны

. Полученное противоречие и доказывает, что |A| ≠ 0. 2. Достаточность. Для простоты доказательство проведём для случая матрицы

третьего порядка. Пусть и |A| ≠ 0. Покажем, что в этом случае обратной матрицей будет матрица

, где Aij алгебраическое дополнение элемента aij.

Найдём AB=C. Заметим, что все диагональные элементы матрицы C будут равны 1. Действительно, например,

Аналогично по теореме о разложении определителя по элементам строки можно доказать, что c22 = c33 = 1. Кроме того, все недиагональные элементы матрицы C равны нулю. Например,

Следовательно, AB=E. Аналогично можно показать, что BA=E. Поэтому B = A -1. Таким образом, теорема содержит способ нахождения обратной матрицы. Если условия теоремы выполнены, то матрица обратная к матрице

находится следующим образом

, где Aij - алгебраические дополнения элементов aij данной матрицы A. Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно: 1. Найти определитель матрицы A. 2. Найти алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы A и составить матрицу , элементами которой являются числа Aij. 3. Найти матрицу, транспонированную полученной матрице

, и умножить её на

– это и будет . Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица . Примеры.

1. Найти матрицу, обратную данной . Сделать проверку. |A| = 2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A.

Проверка:

.

Аналогично A·A-1 = E. 2. Найти элементы

и

матрицы A-1 обратной данной

. Вычислим |A| = 4. Тогда

. .

3.

. Найдем обратную матрицу.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИ Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы

, которую назовём матрицей системы. Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами. Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn. Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации: 1. Система может иметь единственное решение. 2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.

.

3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице. Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной. Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы

и свободных членов Найдем произведение

и матрицы столбцы неизвестных

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A·X=B. Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением. Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, . Поскольку A-1A = E и E·X = X, обратную матрице A: -1 то получаем решение матричного уравнения в виде X = A B. Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B. Примеры. Решить системы уравнений.

1.

Найдем матрицу обратную матрице A.

, Таким образом, x = 3, y = – 1.

2.

Итак, х1=4,х2=3,х3=5.

3. Решите матричное уравнение: XA+B=C, где Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.

Найдем матрицу А-1.

Проверка:

Решите матричное уравнение AX+B=C, где

Из уравнения получаем

.

Следовательно,

ПРАВИЛО КРАМЕРА Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы. Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат. Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца . Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

Аналогично можно показать, что и

.

Наконец несложно заметить, что Таким образом, получаем равенство: Следовательно,

.

.

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы. Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна. Примеры. Решить систему уравнений

1.

Итак, х=1, у=2, z=3.

2. Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:

Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0. . Поэтому

.

1. При 2. При p = 30 получаем систему уравнений решений. 3. При p = –30 система принимает вид бесконечное множество решений x=y, y∈R.

которая не имеет

и, следовательно, имеет

МЕТОД ГАУССА Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

. Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на – а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на иметь систему уравнений:

, умножим на

и сложим со вторым. Тогда будем

Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами. Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований. К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования: 1. перестановка строк или столбцов; 2. умножение строки на число, отличное от нуля; 3. прибавление к одной строке другие строки. Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

1.

2.

Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.

Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.

3.

Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.

Вернемся к системе уравнений. Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

СИСТЕМА ОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системой однородных линейных уравнений называется система вида

Ясно, что в этой случае этих определителях равны нулю.

, т.к. все элементы одного из столбцов в

, то в случае, Так как неизвестные находятся по формулам когда Δ ≠ 0, система имеет единственное нулевое решение x = y = z = 0. Однако, во многих задачах интересен вопрос о том, имеет ли однородная система решения отличные от нулевого. Теорема. Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0. Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение. Если же Δ ≠ 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений. Примеры.

1.

, а значит x=y=z=0.

2.

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ

Пусть задана квадратная матрица

, X – некоторая матрица–

столбец, высота которой совпадает с порядком матрицы A. . Во многих задачах приходится рассматривать уравнение относительно X , где λ – некоторое число. Понятно, что при любом λ это уравнение имеет нулевое

решение . Число λ, при котором это уравнение имеет ненулевые решения, называется собственным значением матрицы A, а X при таком λ называется собственным вектором матрицы A. Найдём собственный вектор матрицы A. Поскольку E·X = X, то матричное уравнение можно переписать в виде или . В развёрнутом виде это уравнение можно переписать в виде системы линейных уравнений.

Действительно

.

И, следовательно, Итак, получили систему однородных линейных уравнений для определения координат x1, x2, x3 вектора X. Чтобы система имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.

Это уравнение 3-ей степени относительно λ. Оно называется характеристическим уравнением матрицы A и служит для определения собственных значений λ. Каждому собственному значению λ соответствует собственный вектор X, координаты которого определяются из системы при соответствующем значении λ. Примеры. Найти собственные векторы и соответствующие им собственные значения матрицы . Составим характеристическое уравнение и найдём собственные значения

При λ1 = –1 получаем систему уравнений

, где t∈R.

Если x1 = t, то Если λ2 = 5

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Понятие вектора При изучении различных разделов физики встречаются величины, которые полностью определяются заданием их численных значений, например, длина, площадь, масса, температура и т.д. Такие величины называются скалярными. Однако, кроме них встречаются и величины, для определения которых, кроме численного значения, необходимо знать также их направление в пространстве, например, сила, действующая на тело, скорость и ускорение тела при его движении в пространстве, напряжённость магнитного поля в данной точке пространства и т.д. Такие величины называются векторными. Введём строгое определение. Направленным отрезком назовём отрезок, относительно концов которого известно, какой из них первый, а какой второй. Вектором называется направленный отрезок, имеющий определённую длину, т.е. это отрезок определённой длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец. Если A – начало вектора, B – его конец, то вектор

обозначается символом , кроме того, вектор часто обозначается одной буквой рисунке вектор обозначается отрезком, а его направление стрелкой. Модулем или длиной вектора

отрезка. Обозначается |

| или | |.

. На

называют длину определяющего его направленного

К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Он обозначается . Нулевой вектор не имеет определенного направления и модуль его равен нулю | |=0. Векторы

и

называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой

или на параллельных прямых. При этом если векторы

и

одинаково направлены, будем

писать , противоположно . Векторы, расположенные на прямых, параллельных одной и той же плоскости, называются компланарными. Два вектора

и

называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены

и равны по длине. В этом случае пишут . Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. Например. 1. Если дан вектор

, то, выбрав любую точку

, можем построить вектор

,

равный данному, и притом только один, или, как говорят, перенести вектор в точку . 2. Если рассмотреть квадрат ABCD, то на основанииопределения равенства векторов, мы можем написать имеют одинаковую длину.

и

, но

,

, хотя все они

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

1. Умножение вектора на число. Произведением вектора

на число λ называется новый вектор

такой, что:

;

1. 2. вектор 3. векторы

коллинеарен вектору и

;

направлены одинаково, если λ>0 и противоположно, если λ<

0. (Если λ=0, то из условия 1 следует, что Произведение вектора

Например,

на число λ обозначается

). .

есть вектор, направленный в ту же сторону, что и вектор

,и

имеющий длину, вдвое меньшую, чем вектор . Введённая операция обладает следующими свойствами: 4. Для любых чисел a и b и вектора

выполняется равенство

.

Действительно, векторы, стоящие в обеих частях равенства имеют . Кроме того, ясно, что они одинаково

одинаковую длину

направлены, т.к. их направление совпадает с направлением вектором если a и b одного знака, и противоположно направлению разных знаков. 5. Пусть дан вектор

,

, если a и b

. Для любого коллинеарного ему вектора

и притом только одно число λ , удовлетворяющее равенству

найдётся .

Доказательство свойства 2:

1. Пусть

поэтому

. Рассмотрим вектор

. Очевидно,

. Из этих двух свойств следует, что

2. Аналогично, если

. Тогда

. Кроме того

, а значит

2. Сложение векторов Пусть и – два произвольных вектора. Возьмём произвольную точку O и построим . После этого из точки A

отложим вектор

. Вектор

,

соединяющий начало первого вектора концом второго

c

, называется суммой этих

векторов и обозначается . Сформулированное определение сложения векторов называют правилом параллелограмма, так как ту же самую сумму векторов можно получить следующим образом. Отложим от точки O векторы и . Построим на этих векторах параллелограмм ОАВС. Так как векторы

, то вектор , являющийся диагональю параллелограмма, проведённой из вершины O, будет очевидно суммой векторов

.

.

Единственность числа λ следует из того, что при умножении вектора числа, получаем два разных вектора.

вектор

,

.

Легко проверить следующие свойства сложения векторов:

на два разных

1. Ясно, что прибавление нулевого вектора к некоторому вектору ā не меняет вектора

, т.е.

. .

2.Сложение векторов коммутативно, т.е.

Это свойство сразу следует из правила параллелограмма.. 3. Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых трёх векторов . . Сумму трёх векторов можно получить следующим образом. Из произвольной точки O откладывается вектор, равный первому вектору. К его концу присоединяется начало второго, к концу второго – начало третьего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, будет суммой данных векторов. Аналогично строится сумма любого конечного числа векторов. 4. Для любого числа λ и любых векторов

иb

. Заметим, что при умножении векторов на число λ меняются только размеры векторов, т.е. масштаб чертежа, фигуры остаются подобными. Поэтому, так как векторы образуют стороны и диагональ параллелограмма, то, умножив все члены на λ, т.е. изменив лишь размеры векторов одинаковым образом, мы получим снова параллелограмм, а значит, сохранится равенство

.

5.Для любых чисел α и β и любого вектора

выполняется равенство

. 3.Вычитание векторов.

Вектор, коллинеарный данному вектору , равный ему по длине и противоположно направленный, называется противоположным вектором для вектора

и обозначается

. Противоположный вектор

как результат умножения вектора Разностью двух векторов

векторов

и

, т.е.

и

можно рассматривать

на число λ = –1:

.

называется вектор

, равный сумме

.

Очевидно, что

, для любого вектора

Легко показать, что

.

.

Действительно, . Таким образом, если Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора разности. Откладываем векторы из общей точки O. Чтобы найти вектор-разность, нужно к вектор

или

концы векторов

. Тогда и

. Вектор

сложения векторов

или

Таким образом, если на векторах

, соединяющий

. Действительно, по правилу

. и

, отложенных из общей точки O,

построить параллелограмм OACB, то вектор

, совпадающий с одной

диагональю параллелограмма, равен сумме

, а вектор

другой диагональю, равен разности

.

ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ

Пусть в пространстве даны два вектора

и

.

Отложим от произвольной точки O векторы

и

. Углом между векторами и называется . Обозначается нименьший из углов . Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный (т.е. вектор, длина которого равна единице).

Под углом между вектором угол

добавить

и направленный от "вычитаемого" к "уменьшаемому" (т.е. от

второго вектора к первому), и будет разностью

вектор

между векторами

и осью l понимают

и .

Итак, пусть l – некоторая ось и – вектор. Обозначим через A1 и B1 проекции на ось lсоответственно точек A и B. Предположим, что A1 имеет координату x1, а B1 – координату x2 на оси l. Тогда проекцией вектора на ось l называется разность x1 – x2 между координатами проекций конца и начала вектора

на эту ось.

Проекцию вектора

и

на ось l будем обозначать

. Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x2> x1, и проекция x2 – x1> 0; если этот угол

, совпадающий с

тупой, то x2< x1 и проекция x2 – x1< 0. Наконец, если вектор

перпендикулярен оси l, то x2= x1 и x2– x1= 0.

Таким образом, проекция вектора на ось l – это длина отрезка A1B1, взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр. Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор. Рассмотрим некоторые основные свойства проекций. 1. Проеция вектора

на ось l равна произведению

модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:

Доказательство. Ясно, что проекция вектора не изменится при его параллельном переносе, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда начало вектора совпадает с началом отсчёта O оси l. Так как координата проекции начала равна .

нулю, то обозначим

1. Если угол φ острый, то из прямоугольного получаем

. Откуда

или 2. Если угол φ тупой, то x< 0, . Тогда из или . Т.е. . 2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось: . . Доказательство. Пусть Обозначим через x1, x2 и x3 координаты проекций A1, B1, C1 на ось l точек A, B и C. Тогда . Но

. Это свойство можно обобщить на случай любого числа слагаемых. 3. Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число: . Доказательство. Пусть угол между вектором и осью

.

Если λ > 0, то вектор направление, что и же угол . При λ > 0

имеет то же

, и составляет с осью такой

. Если же λ < 0, то

и

имеют

противоположные направления и вектор составляет с осью угол π – φ и . Следствие. Проекция разности двух векторов на ось равна разности проекций этих векторов на ту же ось.

ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ И ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

. Рассмотрим несколько векторов Линейной комбинацией данных векторов называется любой вектор вида , где

- некоторые числа. Числа

называются

коэффициентами линейной комбинации. Говорят также, что в этом случае выражается через данные векторы действий. Например, если даны три вектора

линейно

, т.е. получается из них с помощью линейных то в качестве их линейной комбинации

можно рассматривать векторы: Если вектор представлен как линейная комбинация каких-то векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам. Векторы числа

называются линейно зависимыми, если существуют такие , не все равные нулю, что

. Ясно, что заданные векторы

будут линейно зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через остальные. В противном случае, т.е. когда соотношение

выполняется только

при

, эти векторы называются линейно независимыми. Теорема 1. Любые два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Доказательство: 1. Действительно, пусть имеем два коллинеарных вектора

и

. Тогда либо оба они

при равны нулю, и следовательно, любая их линейная комбинация любых λ1 и λ2, либо один из них не нуль, тогда другой отличается от него на числовой множитель, например,

. Но отсюда

, а это и означает

линейную зависимость векторов и . 2. Докажем обратное, т.е. если два вектора линейно зависимы, то они коллинеарны. Пусть векторы

и

линейно зависимы. Тогда найдутся числа λ1 и λ2 такие, что

, причём, например, λ2 ≠ 0. Тогда коллинеарны.

, т.е. векторы

Таким образом, теорема утверждает, что линейно независимыми на плоскости могут быть только те векторы, которые неколлинеарны. Аналогично можно доказать следующую теорему. Теорема 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Доказательство. 1. Пусть три вектора

линейно зависимы, т.е.

где, например, λ3 ≠ 0. Тогда Отнесём векторы Тогда

и

и

, .

к одному началу и проведём через них плоскость.

будут лежать в той же плоскости, а потому и их сумма, т.е.

будет лежать в той же плоскости, т.е.

– компланарны.

– компланарны. Тогда они будут лежать в одной 2. Пусть теперь векторы плоскости. Отнесём все три вектора к одному началу. и

Если векторы

не коллинеарны, то очевидно, вектор

. Действительно из рисунка видно, что

виде

, а значит найдутся числа Если же вектор через другой, т.е.

и

такие, что

коллинеарен вектору

можно предствить в , где .

, то один из них линейно выражен

. Что и требовалось доказать.

и

Таким образом, три некомпланарных вектора всегда линейно независимы. Кроме того, можно показать, что каждые четыре вектора линейно зависимы. БАЗИС Базисом называется совокупность отличных от нулей линейно независимых векторов. . Элементы базиса будем обозначать В предыдущем пункте мы видели, что два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы. Поэтому согласно теореме 1, из предыдущего пункта, базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости. Аналогично в пространстве линейно независимы любые три некомпланарных вектора. Следовательно, базисом в пространстве назовём три некомпланарных вектора. Справедливо следующее утверждение. Теорема. Пусть в пространстве задан базис

. Тогда любой вектор

, где x, y, z – некоторые

представить в виде линейной комбинации числа. Такое разложение единственно. Доказательство. I.

можно

Докажем сначала существование такого представления. 1.

Предположим, что например,

коллинеарен какому-либо из векторов базиса,

. Тогда по доказанному выше

. Следовательно,

, где x = l, y = z = 0. 2.

Пусть и

компланарен с какой-либо парой базисных векторов, например, с

. Отложим три вектора от одной точки O. Через точку A проведём и

прямые, параллельные векторам

. Тогда

, причём

векторы

и

коллинеарны соответственно

векторам

и

. Поэтому найдутся числа x и y , а значит

такие, что . 3.

Пусть

некомпланарен ни с одной парой от одной

базисных векторов. Отложим точки и проведём через конец вектора прямую, параллельную вектору A1. Очевидно, что

. Она пересечёт плоскость . Но вектор

компланарен векторам

, следовательно, по доказанному выше, II.

в точке

, а вектор

коллинеарен , поэтому . Таким образом, Докажем теперь единственность такого представления. Допустим, что возможны два представления вектора . Причём, например,

.

и

. Тогда должны иметь

, т.к. иначе мы имели бы две прямые, проходящие через точку A1

и

параллельно . Из последнего равенства вытекает, что . Получили противоречие с нашим предположением, что и доказывает теорему. В качестве частного случая из этой же теоремы можно сформировать следующее утверждение: Если задан базис

на плоскости, то любой вектор, компланарный с

можно представить в виде , причём такое векторами разложение единственно. Таким образом, базис позволяет однозначно сопоставить каждому вектору тройку чисел – коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса: . Верно и обратное, каждой тройке чисел x, y, z при помощи базиса можно сопоставить вектор, .

если составить линейную комбинацию Если вектора

базис и

, то числа x, y, z называются координатами

в данном базисе. Координаты вектора

обозначают

.

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ Пусть в пространстве задана точка O и три некомпланарных вектора

. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность точки и базиса, т.е. совокупность точки и трёх некомпланарных векторов (2-х неколлинеарных векторов), выходящих из этой точки. Точка O называется началом координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями. Рассмотрим в выбранной системе координат произвольную точку M. Введём понятие координаты точки M. Вектор , соединяющий начало координат с точкой M. называется радиус-вектором точки M. Вектору в выбранном базисе можно сопоставить тройку чисел – его . координаты: Координаты радиус-вектора точки M. называются координатами точки M. в рассматриваемой системе координат. M(x,y,z). Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья –

jj

аппликатой. Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости. Здесь точка имеет только две координаты – абсциссу и ординату. Легко видеть, что при заданной системе координат каждая точка имеет определённые координаты. С другой стороны, для каждой тройки чисел найдётся единственная точка, имеющая эти числа в качестве координат. Если векторы, взятые в качестве базиса, в выбранной системе координат, имеют единичную длину и попарно перпендикулярны, то система координат называется декартовой прямоугольной системой координат. В этом случае основные векторы принято обозначать буквами , а оси координат Ox, Oy и Oz.

Таким образом, любой вектор в декартовой прямоугольной системе координат можно записать в виде: . 1. . В дальнейшем мы в основном будем использовать только декартову прямоугольную систему координат.

Пример. На рис.1 изображён вектор - i +3 j .

Рис.1

На рис.2 вектор 2 i - j + 3 k

Рис.2

НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ ВЕКТОРА

Пусть в декартовой прямоугольной системе координат задан вектор . Направление вектора в пространстве определяется углами α, β, γ которые вектор составляет с осями координат. Косинусы этих углов cos α, cos β, cos γ называются направляющими косинусами вектора. Найдем выражение для направляющих косинусов вектора. .

Пусть вектор задан в координатной форме Тогда

, откуда

.

Несложно показать, что . Направляющие косинусы вектора полностью определяют его . направление, но ничего не говорят о его длине.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

1. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, .

т.е. если

Действительно, используя свойства операций умножения вектора на число и сложения векторов, будем иметь . При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, т.е. если . Доказательство очевидно. Условие коллинеарности двух векторов в координатной форме. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Т.е. если то

. Доказательство:

,

1. Пусть вектор

коллинеарен

, тогда найдется λ такое, что

и

. Значит,

. Поскольку разложение вектора по единственно, то

элементам базиса

2. Пусть выполняется равенство

.

. Обозначим коэффициент и,

пропорциональности через λ. Тогда следовательно,

, т.е.

.

Теорема доказана. Пример.

1. Даны векторы

. Найти вектор

.

. 2. Найти координаты вектора ,

векторами

в базисе, образованном ,

Обозначим координаты вектора Тогда в новом базисе будем иметь:

Итак,

. в новом базисе

.

.

Рассмотрим две произвольные точки . Найдем координаты вектора

и .

Очевидно, что

. Но по определению координат вектора

и

. Следовательно,

Таким образом, чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала. Примеры. 3. Заданы точкиA(1; -2; 3), B(2; 0; -1). Найти вектор

.

4. Даны A(-2; 3; 1), В(-1; 2; 0), С(0; 1; 1). Найти

5. Известно, что

.

. Найти координаты точки D, если

А(3; -4; -1), В(-4; 4; 1), С(-3; -5; 4).

тогда

Пусть

. С другой стороны должно выполняться равенство (x+3; y+5; z-4)=(5;10;-8). Отсюда x=2, y=5, z=-4, т.е. точка D имеет координаты D(2; 5; -4).

. Следовательно,

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА Мы рассмотрели умножение вектора на число. Однако во многих задачах механики и физики встречается операция умножения вектора на вектор. Но при этом результат может быть как числом, так и вектором. Поэтому рассматривают два вида умножения векторов: скалярное и векторное.

Пусть даны два вектора

и

, угол между, которыми равен

.

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначается

. Итак, . Если один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное произведение по определения считается равным нулю. Рассмотрим свойства скалярного произведения. 1. Скалярное произведение двух векторов подчиняется коммутативному закону, т.е. для любых векторов

и

.

Очевидно, из определения скалярного произведения:

. 2. Для любого числа λ и любых векторов

имеем:

. Доказательство. Ограничимся случаем, когда λ > 0. В этом случае угол между векторами

и

совпадает с углом между векторами

и

,

.

Поэтому

. Откуда

Аналогично доказывается и равенство Случай λ <0 рассмотреть самостоятельно. 3. Для любых векторов

.

выполняется равенство

.

Доказательство. Используя определение скалярного произведения и свойства проекций вектора на ось, будем иметь

4. Для любого вектора

выполняется соотношение

Действительно, так как

.

, то

Из этого свойства в частности следует

. .

5. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда,когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны. Это свойство очевидно из определения скалярного произведения. Таким образом, необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Пример. Дан вектор

Найти Имеем Найдем:

. Известно, что

. , т.е.

Следовательно,

.

.

Рассмотрим, как находится скалярное произведение векторов, если они заданы в и

координатной форме. Пусть даны два вектора

.

Рассмотрим сначала все возможные скалярные произведения векторов друга.

друг на

Поэтому

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих . координат: Это соотношение позволяет вычислить длину вектора через его координаты: . Далее из определения скалярного произведения

находим

. Выражая скалярное произведение и длины векторов через их координаты ,получим формулу для нахождения косинуса угла между векторами . Условие ортогональности двух векторов:

или . Т.о., для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю. Примеры. 1. Пусть А(-1; 1; 0), B(3; 1; -2), 1. 2. 3.

. Найти:

; и

; .

a.

.

b.

.

c.

.

2. Найти в С(2,1,14).

, если известны координаты его вершин A(1; 5; 6), В(5,3,10) и

Определим координаты ВА и ВС :

3. При каком значении m векторы

и

перпендикулярны? .

Условие ортогональности двух векторов

. Следовательно, m = 15.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА Введем сначала понятие ориентации тройки векторов.

Пусть даны три некомпланарных вектора определенном порядке: первый –

, второй –

с общим началом, перечисленных в , третий – .

называется правоориентированной или Тройка некомпланарных векторов просто правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройку векторов называют левой, в этом случае если мы будем смотреть с конца вектора осуществляется по часовой стрелке. Векторным произведением векторов удовлетворяющий условиям:

и

, то кратчайший поворот от

называется новый вектор

,

к

1. Длина вектора 2. Вектор

равна площади параллелограмма, построенного на векторах

и

.

перпендикулярен плоскости этого параллелограмма.

3. Он направлен так, что векторы

,

и c образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение векторов и обозначается символом . Если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то векторное произведение по определению считают равным нулю Векторное произведение обладает следующими свойствами: 1. Из определения следует, что длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, и, следовательно, находится по формуле: . Таким образом,

и

.

2. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак . Действительно из определения векторного произведения следует, что векторы и

имеют одинаковые модули, расположены на одной прямой, но

направлены в противоположные стороны. Поэтому, векторы противоположными векторами и поэтому

и

являются

.

3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. для любого числа λ и любых векторов .

Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения .

векторного произведения. Докажем для λ > 0. В этом случае Тогда по определению векторного произведения

перпендикулярен векторам

Вектор векторам

и

, т.к. векторы

и

, и

Следовательно, векторы

и

и

. Вектор

также

лежат в одной плоскости. коллинеарны. Очевидно, что ,и

направления их также совпадают. Т. к. , то

следовательно,

.

. Поэтому Аналогично проводится доказательство для случая λ < 0. 4. Для любых векторов

имеет место равенство .

Примем без доказательства. 5. Векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы коллинеарны. Действительно, если векторы коллинеарны, то , т.е. площадь параллелограмма, построенного на данных векторах,равна нулю. Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору. В частности Примеры.

.

1. Раскрыть скобки . 2. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и

что

.

. Найдем

. .

и

, если известно,

Можно показать, что если

и

векторного произведения векторов

и

, то координаты

находятся по формуле:

. Примеры.

1. Найти векторное произведение векторов

и

.

. 2. Найти площадь

, если A(2; 3; 1), B(-1; -2; 0), C(-3; 0; 1).

3. Даны векторы

. Найти параметры n, p, q

если известно, что векторы

Так как векторы

и

и

коллинеарны, а векторы

коллинеарны, то

ортогональны, поэтому

и ортогональны.

. Векторы

и

. Итак, получили систему уравнений

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА

Смешанным произведением трёх векторов

Обозначается

называют число, равное

.

. Здесь первые два вектора умножаются векторно и затем

полученный вектор умножается скалярно на третий вектор произведение есть некоторое число. Рассмотрим свойства смешанного произведения.

. Очевидно, такое

1. Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах, т.е.

Таким образом,

.

и

.

Доказательство. Отложим векторы параллелепипед. Обозначим скалярного произведения

от общего начала и построим на них

и заметим, что

. По определению

. Предполагая, что обозначив через h высоту параллелепипеда, находим

и

.

Таким образом, при Если же

, то

и

.

.

Следовательно,

Объединяя оба эти случая, получаем или . Из доказательства этого свойства в частности следует, что если тройка векторов левая, то

правая, то смешанное произведение

, а если

–

.

2. Для любых векторов

,

, справедливо равенство

. Доказательство этого свойства следует из свойства 1. Действительно, легко показать, что

и

одновременно, т.к. углы между векторами или тупые.

. Причём знаки "+" и "–" берутся и и

и

одновременно острые

3. При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение меняет знак.

Действительно, если рассмотрим смешанное произведение

, то,

или

например,

. 4. Смешанное произведение

тогда и только тогда, когда один из

сомножителей равен нулю или векторы

– компланарны.

Доказательство. 1. Предположим, что

, т.е.

, тогда

или

или

. Если компланарны.

, то

Если 2. Пусть векторы

или

, то

,

. Поэтому

–

, - компланарны.

– компланарны и α – плоскость, которой они и

параллельны , т. е. поэтому

или

или

. Тогда

, а значит

,

.

Т.о., необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Кроме того отсюда образуют басис в пространстве, если следует, что три вектора Если векторы заданы в координатной форме

.

, то можно показать, что их смешанное произведение находится по формуле:

. равно определителю третьего порядка, у Т. о., смешанное произведение которого в первой строке стоят координаты первого вектора, во второй строке – координаты второго вектора и в третьей строке – третьего вектора. Примеры. 3. Показать, что векторы образуют базис в пространстве.

, т.е. векторы

– базис.

4. Найти объём пирамиды с вершинами в точках A(2; -2; 0), B(-1; 4; -4), C(4; -8; 5), D(1; -7; 0). Правую или левую тройку образуют векторы

и

?

, то тройка векторов левая.

Т. к.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Уравнение F(x, y, z) = 0 определяет в пространстве Oxyz некоторую поверхность, т.е. геометрическое место точек, координаты которых x, y, z удовлетворяют этому уравнению. Это уравнение называется уравнением поверхности, а x, y, z – текущими координатами. Однако, часто поверхность задаётся не уравнением, а как множество точек пространства, обладающих тем или иным свойством. В этом случае требуется найти уравнение поверхности, исходя из её геометрических свойств. ПЛОСКОСТЬ. НОРМАЛЬНЫЙ ВЕКТОР ПЛОСКОСТИ. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ

Рассмотрим в пространстве произвольную плоскост σ. Её положение определяется заданием вектора , перпендикулярного этой плоскости, и некоторой фиксированной точки M0(x0, y0, z0), лежащей в плоскости σ.

Вектор

перпендикулярный плоскости σ, называется нормальным вектором этой

. плоскости. Пусть вектор имеет координаты Выведем уравнение плоскости σ, проходящей через данную точку M0 и имеющей нормальный вектор рассмотрим вектор

. Для этого возьмём на плоскости σ произвольную точку M(x, y, z) и .

Для любой точки M∈ σ вектор

.Поэтому их скалярное произведение равно

. Это равенство – условие того, что точка M∈ σ. Оно справедливо для нулю всех точек этой плоскости и нарушается, как только точка M окажется вне плоскости σ. Если обозначить через радиус-вектор точки M,

– радиус-вектор точкиM0, то

и уравнение можно записать в виде . Это уравнение называется векторным уравнением плоскости. Запишем его в , то

координатной форме. Так как

. Итак, мы получили уравнение плоскости, проходящей через данную точку. Таким образом, для того чтобы составить уравнение плоскости, нужно знать координаты нормального вектора и координаты некоторой точки, лежащей на плоскости. Заметим, что уравнение плоскости является уравнением 1-ой степени относительно текущих координат x, y и z. Примеры. 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;-2;3) перпендикулярно вектору

.

Используя выведенное уравнение, получим 2(x-1)+0(y+2)+4(z-3)=0 или x+2z7=0. 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(1;2;3), B(-1;0;0), C(3;0;1). Чтобы составить требуемое уравнение, нужно найти вектор перпендикулярный плоскости. Заметим, что таким вектором будет вектор вектор.

. Найдем это

. Тогда

. Взяв в качестве точки, через которую проходит плоскость точку A, получим уравнение –2(x-1)-10(y-2)+8(z-3)=0 или x+5y-4z+1=0. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ Можно показать, что любое уравнение первой степени относительно декартовых координат x, y, z представляет собой уравнение некоторой плоскости. Это уравнение записывается в виде: Ax+By+Cz+D=0 и называется общим уравнением плоскости, причём координаты A, B, C здесь являются координатами нормального вектора плоскости. Рассмотрим частные случаи общего уравнения. Выясним, как располагается плоскость относительно системы координат, если один или несколько коэффициентов уравнения обращаются в ноль.

1. Свободный член равен нулю D= 0. В этом случае уравнение плоскости принимает видAx+Cy+Bz=0. Т.к. числа x=0, y=0, z=0 удовлетворяют уравнению плоскости, то она проходит через начало координат. 2. Один из коэффициентов при текущих координатах равен нулю. Пусть например A =0. В этом случае уравнение плоскости имеет вид By+Cz+D=0. Нормальный вектор и плоскости имеет координаты перпендикулярен оси Ox. Следовательно, плоскость параллельна оси Ox. Аналогично, если B= 0, то плоскость параллельна оси Oy и C= 0 – плоскость параллельна оси Oz. Т.о., если в уравнении плоскости один из коэффициентов при текущей координате равен нулю, то плоскость параллельна соответствующей координатной оси. 3. Коэффициент при текущей координате и свободный член равны нулю. Например, A = D = 0. В этом случае уравнению By + Cz = 0 соответствует плоскость, проходящая через начало координат (согласно п.1). Кроме того, учитывая п.2, данная плоскость должна быть параллельна оси Ox. Следовательно, плоскость проходит через ось Ox. Аналогично, при B=D=0 плоскость Ax+Cz=0 проходит через ось Oy. При C=D=0 плоскость проходит через ось Oz. 4. Два коэффициента при текущих координатах раны нулю. Пусть, например, A=B=0. Тогда плоскость Cz+D=0 в силу п.2 будет параллельна осям Oxи Oy, а следовательно параллельна координатной плоскости xOу. . Аналогично, уравнениям Ax+D=0 и By+D=0 соответствуют плоскости, параллельные координатным плоскостям yOz и xOz. 5. Два коэффициента при текущих координатах и свободный член равны нулю. Пусть, например, A=B=D=0. Тогда уравнение плоскости имеет вид Cz=0 или z=0. Эта плоскость проходит через начало координат и параллельна осям Ox и Oy, т. е. уравнение определяет координатнуюплоскость xOy. Аналогично, x=0 – уравнение координатной плоскости yOz и y=0 – плоскость xOz.

Примеры.

1. Составить уравнение плоскости, проходящей параллельно оси Oy, через точки M1(1; 0; -1), M2(-1; 2;0). Так как ось Oy параллельна , то уравнение плоскости Ax+Cy+D=0. Учитывая, что M1∈ α, M2∈ α, подставим координаты этих точек в уравнение и получим систему из двух линейных уравнений с тремя неизвестными

Положив D= 1, найдем A= 1 и C= 2. Следовательно, уравнение плоскости имеет видx+2z+1=0. 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(2;3;-4) параллельно плоскости yOz (перпендикулярно оси Ox). Так как yOz||α, то уравнениеплоскости будет Ax+D=0. С другой стороны M∈ α, поэтому 2A+D=0, D=-2A. Поэтому плоскость имеет уравнениеx-2=0.

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ОТРЕЗКАХ. ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ Рассмотрим плоскость, пересекающую все три координатные оси и не проходящую через начало координат. Пусть плоскость задана своим общим уравнением Ax+By+Cz+D=0, где ни один из коэффициентов не равен нулю. Преобразуем это уравнение. Ax+By+Cz=-D. Поделим полученное равенство на –D и запишем его в виде:

. Тогда, обозначив

рис. к примеру 1.

, приходим

. Это уравнение и называется к уравнению уравнением плоскости в отрезках. Выясним геометрический смысл чисел a, b и c. Если положим y=z=0, то изуравнения x=a. Т.е. данному уравнению удовлетворяет точка с координатами (0; 0; 0). Следовательно, a – это длина отрезка, отсекаемого плоскостью на оси Ox. Аналогично, можно показать, что b и c – длины отрезков, отсекаемых рассматриваемой плоскостью на осях Oy и Oz. Уравнением плоскости в отрезках удобно пользоваться для построения плоскостей. Примеры. 1. Построить плоскость 2x+3y+6z-6=0. Приведём это

уравнение к уравнению плоскости в отрезках:

рис.к примеру 3.

. 2.

рис.к примеру 4. 2x-y-4z-4=0.

рис.к примеру 5

рис.к примеру 2 3. Рассмотрим ещё один способ построения плоскостей. Для построения плоскости достаточно найти три какие-либо её точки, не лежащие на одной прямой. Удобнее всего определять точки пересечения плоскости с осями координат.

3. 2x+5z-10=0. Плоскость параллельна оси Oy. Найдём точки пересечения с осями Ox и Oz. 4. Плоскость 3x+2y=0 проходит через ось Oz. 5. 2z+5=0, z=-5/2.

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ Рассмотрим две плоскости α1 и α2, заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и

плоскостей α1 и α2 равен одному из указанных смежных двугранных углов

или

. Поэтому

. Т.к.

и

, то . Пример. Определить угол между плоскостями x+2y-3z+4=0 и 2x+3y+z+8=0.

Условие параллельности двух плоскостей. Две плоскости α1 и α2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные

параллельны, а значит . векторы и Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны: или Условие перпендикулярности плоскостей. Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные или

векторы перпендикулярны, а следовательно, Таким образом, Примеры.

.

.

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(-2; 1; 4) параллельно плоскости 3x+2y-7z+8=0. Уравнение плоскости будем искать в виде Ax+By+Cz+D=0. Из условия

. Поэтому можно положить параллельности плоскостей следует, что: A=3, B=2, C=-7. Поэтому уравнение плоскости принимает вид3x+2y-7z+D=0. Кроме того, так какM∈ α, то-6+2-28+D=0, D=32. Итак, искомое уравнение 3x+2y-7z+32=0. 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1; 1; 1), M2(0; 1; –1) перпендикулярно плоскости x+y+z=0. Так как M1∈ α, то используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, будем иметь A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0. Далее, так как M2∈ α, то подставив координаты точки в выписанное уравнение, получим равенство -A-2C=0 или A+2C=0. Учтем, что заданная плоскость перпендикулярна искомой. Поэтому A+B+C=0. Выразим коэффициенты A и B через C: A=-2C, B=C и подставим их в исходное уравнение: -2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0.

Окончательно получаем -2x+y+z=0. 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(-2; 3; 6) перпендикулярно плоскостям 2x+3y-2z-4=0 и 3x+5y+z=0. Так как M∈ α, то A(x+2)+B(x-3)+C(z-6)=0. По условию задачи

, поэтому

Итак уравнение плоскости принимает вид 13(x+2)-8(y-3)+z-6=0 или 13x8y+z+44=0. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М1 и вектора , параллельного этой прямой. Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой. Итак, пусть прямая l проходит через точку М1(x1, y1, z1), лежащую на прямой . параллельно вектору Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что . и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t, что , где Векторы множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы и , получаем . Это точек М1 и М соответственно через уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М, лежащей на прямой. Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что

,

и отсюда Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x, y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

– её направляющий Пусть М1(x1, y1, z1) – точка, лежащая на прямой l, и вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор . и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты Ясно, что векторы должны быть пропорциональны, следовательно, – канонические уравнения прямой. Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t. Действительно, из параметрических уравнений получаем

или

Пример. Записать уравнение прямой

. в параметрическом виде.

, отсюда x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t. Обозначим Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox. Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox, следовательно, m=0.

Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения . Таким образом, если в знаменателе одной из прямой в виде дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz. Примеры.

соответствует прямая

1. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М1(1;0;-2) параллельно вектору

Канонические уравнения:

.

.

Параметрические уравнения: 2. Составить уравнения прямой, проходящей через две точки М1(-2;1;3), М2(-1;3;0).

Составим канонические уравнения прямой. Для этого найдем направляющий вектор

.

.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой. Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой. Примеры. Построить прямую, заданную уравнениями Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z= 0:

Решив эту систему, найдем точку M1(1;2;0). Аналогично, полагая y= 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz:

От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М1 на прямой и направляющий вектор прямой. Координаты точки М1 получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и . Поэтому за направляющий вектор можно взять векторное произведение нормальных векторов:

прямой l

. Пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду. Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y= 0 и решим систему уравнений:

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую имеют координаты Поэтому направляющий вектор прямой будет

. Следовательно, l:

.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным. Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как формуле для косинуса угла между векторами получим

, то по

. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и : Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l1 параллельна l2 тогда и только тогда, когда параллелен . Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: Примеры.

.

1. Найти угол между прямыми

и

.

2. Найти уравнения прямой проходящей через точку М1(1;2;3) параллельно прямой l1:

Поскольку искомая прямая l параллельна l1, то в качестве направляющего вектора искомой прямой l можно взять направляющий вектор прямой l1.

3. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М1(-4;0;2) и перпендикулярной прямым:

и

.

Направляющий вектор прямой l можно найти как векторное произведение векторов

и

:

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией на плоскость. Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями

Рассмотрим векторы

и

. Если угол между ними острый, то он будет

угол между прямой и плоскостью. Тогда Если угол между векторами

и

, где φ –

.

тупой, то он равен

. Поэтому в любом случае

. Следовательно . Вспомнив формулу

вычисления косинуса угла между векторами, получим Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и . нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е. Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны. Примеры.

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М1(2;-3;4) параллельно прямым

и

.

Так как M1∈ α, то уравнение плоскости будем искать в виде . Применяя условие параллельности прямой и плоскости, получим систему линейных уравнений Отсюда

Итак,

2. Найти угол между прямой

или

и плоскостью

.

.

.

Направляющий вектор прямой плоскости

. Нормальный вектор

. Следовательно,

3. Найдите точку, симметричную данной М(0;-3;-2) относительно прямой .

Составим уравнение плоскости α перпендикулярной l. M∈ α, Следовательно, Найдём точку пересечения прямой l и α:

или

. .

Итак, N(0.5;-0.5;0.5). Пусть искомая точка М1 имеет координаты М1(x,y,z). Тогда очевидно равенство векторов Откуда x=1, y=2, z=3 или М1(1;2;3)..

, т.е. (0,5;2,5;2,5)=(х-0.5;у+0.5;z-0.5).

Кривые второго порядка Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Определение 1 Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка (1)

где нуля.

-- вещественные числа, и хотя бы одно из чисел

отлично от

Ограничимся констатацией того, что уравнение (12.1) в зависимости от коэффициентов может задавать только четыре типа кривых, а именно, окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Изучению этих кривых в "удобной" системе координат и посвящена данная глава.

Окружность Начнем с определения окружности, известного из школьного курса математики. Определение 2 Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности. Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус. Теорема 1 Окружность радиуса уравнение

с центром в точке

имеет

(2)

Доказательство.

окружности расстояние

Пусть

-- текущая точка окружности. По определению

равно

Точки окружности и только они удовлетворяют уравнению

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение (2). Если в уравнении (2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду (2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным

и .

Пример 1 Нарисуйте кривую Решение. Выделив полные квадраты, получим

.

Если выделение полных квадратов вызывает затруднение, то более подробные объяснения можно получить здесь. Итак, центр окружности --

, радиус равен 2 .

Окружность, заданная уравнением

Решение задачи закончено.

Эллипс Определение 3 Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. Для эллипса можно дать еще несколько эквивалентных определений. Отметим только то, что эллипс -- это кривая, получающаяся как проекция на плоскость окружности, лежащей в плоскости, которая образует острый угол с плоскостью . В отличие от окружности, записать в "удобном" виде уравнение эллипса в произвольной системе координат не удается. Поэтому для фиксированного эллипса приходится подбирать систему координат так, чтобы его уравнение было достаточно простым.

Пусть

и

-- фокусы эллипса. Начало

системы координат расположим на середине

. Ось направим вдоль этого отрезка, ось -- перпендикулярно к этому отрезка отрезку (3). Теорема 2 Пусть сумма расстояний от точки эллипса до фокусов равна ,а расстояние между фокусами -- . Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет уравнение (4)

где

(5)

Доказательство.

эллипса

Пусть

-- текущая точка эллипса. По определению

. Из треугольника , то есть

,

(рис. 12.3) видно, что , и поэтому число

Фокусами в выбранной системе координат являются точки

существует.

,

.

Тогда по определению эллипса

Пренесем один из корней вправо и обе части возведем в квадрат:

После того, как раскроем скобки и приведем подобные члены, приходим к выражению

Разделим обе части этого уравнения на 4 и возведем в квадрат Раскроем скобку и приведем подобные члены

Учитывая, что

, имеем равенство

Наконец, разделив обе части на , получим уравнение (4). Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллипса. Прежде, чем нарисовать эллипс, выясним некоторые его свойства. Предложение 1 Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (4), то его осями симметрии служат оси и , начало координат -- центр симметрии. Доказательство. Можно было бы провести доказательство на основе определения эллипса (предлагаем читателю попробовать сделать это), но для усиления аналитического аспекта мы проведем доказательство на основе уравнения (4).

Пусть эллипс задан уравнением (4) и

-- какая-то точка эллипса. Тогда (6)

Точка 4).

является точкой, симметричной точке

относительно оси

Симметрия точек

Вычисляем значение левой части уравнения (4) в точке

В силу равенства (6) получаем

следовательно, точка симметричной точке убеждаемся, что

лежит на эллипсе. Точка относительно оси

является точкой

(рис.4). Для нее аналогичным путем

(рис.

то есть

является точкой эллипса. Наконец точка

является

относительно начала координат (рис. 4). Повторяя предыдущие симметричной точке рассуждения, получим, что и эта точка тоже лежит на эллипсе. Итак, утверждение предложения доказано, если эллипс имеет уравнение (4). А так как по теореме 2 любой эллипс в некоторой системе координат имеет такое уравнение, то предложение полностью доказано. Проведем построение эллипса, заданного уравнением (4). Заметим, что из-за симметрии достаточно нарисовать часть эллипса, лежащую в верхней полуплоскости. Уравнение этой линии мы получим, выразив из уравнения (4) и взяв перед корнем знак "

",

Построим график этой функции. Область определения -- отрезок , , при увеличении переменного от 0 до функция монотонно убывает. В силу симметрии графика относительно оси

функция

монотонно растет при изменении

от

до 0.

Производная определена во всех точках интервала и, следовательно, график является гладким (не содержит изломов, касательная есть в любой точке). Вторая производная

отрицательна во всех точках интервала

, следовательно, график -- выпуклый вверх. Осталось не исследованным поведение кривой вблизи концов отрезка из уравнения (4) переменное

через

:

. Очевидно, что в точке

. Выразим эта

функция имеет производную, то есть касательная к этому графику в точке существует. Легко проверить, что она параллельна оси . Из симметрии эллипса делаем вывод, что это гладкая кривая и строим ее с учетом полученных данных (рис.5).

Эллипс

Определение 4 Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса, центр симметрии -- центром эллипса, отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью эллипса, половина его длины -- большой полуосью эллипса. Отрезок между вершинами на оси симметрии, не содержащей фокусов, называется малой осью эллипса, половина его длины -- малой

полуосью. Величина называется эксцентриситетом эллипса. Если эллипс задан каноническими уравнениями, то его вершины имеют координаты

, , , , большая полуось равна , малая полуось равна . Величина , являющаяся половиной расстояния между фокусами, определяется из формулы (5) для величины , а именно,

.

Замечание 1 Уравнение (12.4) было получено в предположении, что

различные точки, то есть

. Тогда

мы можем рассмотреть и в случае

и

--

. Но кривую, определяемую уравнением (4), ,

. Уравнение (4) в этом случае после

умножения на примет вид . Это -- уравнение окружности радиуса с центром в начале координат. Таким образом, можно рассматривать окружность как предельный вариант эллипса, когда , , или, как иногда говорят математики, окружность является "вырожденным" эллипсом, у которого фокусы совпали. Эксцентриситет эллипса характеризует степень вытянутости эллипса. Чем ближе экцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на окружность. Чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут эллипс. Отметим, что по определению для эллипса . Если задано каноническое уравнение эллипса и требуется его построить, то для отображения качественных характеристик достаточно правильно отметить вершины эллипса и провести через них линию, похожую на кривую рис. 4, выдерживая симметрию и избегая образования углов на рисунке. Если же из рисунка предполагается получать числовую информацию о координатах его точек, то тогда построение следует проводить более точно. Нужно построить по точкам верхнюю половину эллипса как график функции , взяв для построения достаточно много точек, а нижнюю половину эллипса получить, используя его симметрию. С другим способом построения эллипса можно познакомиться в курсе черчения. Эллипс обладает многими замечательными свойствами. Приведем без доказательства одно из них (рис. 6). Предложение 2 Пусть и -- фокусы эллипса, -- произвольная точка на эллипсе. Тогда нормаль (перпендукуляр к касательной) к эллипсу в точке делит угол

пополам.

Отражение лучей света от эллипса

Данное свойство имеет достаточно простой физический смысл. Если из одного фокуса выходит в плоскости эллипса луч света, то отразившись от самого эллипса, он обязательно пройдет через другой фокус. Возьмем поверхность, образованную вращением эллипса вокруг большой оси, и будем считать, что внутри она зеркальная. В один из фокусов поместим источник света. Тогда все лучи, выходящие из источника, отражаясь от поверхности, пройдут через другой фокус, то есть освещенность в обоих фокусах будет одинаковой. Пример 2 Постройте кривую . Найдите фокусы и эксцентриситет. Решение. Разделим обе части уравнения на 36. Получаем уравнение

Это -- каноническое уравнение эллипса,

,

. Делаем чертеж

Эллипс, заданный уравнением

Из соотношения (5) находим

,

,

. Фокусы --

, эксцентриситет --

Пример 3 Нарисуйте эллипс

. Найдите его фокусы и эксцентриситет.

Решение. Уравнение запишем в виде

(7)

Это уравнение не является каноническим уравнением эллипса, так как в соответствии с уравнением (4) в нем

,

,

переобозначить оси, то есть положить

, а должно быть ,

. Однако, если

, то уравнение (7) в координатах

примет вид

,

Это -- каноническое уравнение эллипса при

. Делаем чертеж

Эллипс, заданный уравнением

Из соотношения (5) находим имеют координаты

. Значит, фокусы в системе координат ,

, а в системе координат

-- координаты

, . Эксцентриситет равен . Замечание. Из примера 3 ясно, что построение кривой (эллипса) с уравнением (4) при

можно вести так же, как и для эллипса, заданного каноническим уравнением:

, полуось -- на оси и через получившиеся вершины отложить полуось на оси провести эллипс. Различие заключается в том, что фокусы теперь располагаются на оси ординат (большой оси), величину нужно вычислять по формуле

,и

.

Гипербола

Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением , где -- число, называется гиперболой. Однако это -- частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола). Определение 5 Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная. Так же, как и в случае эллипса, для получения уравнения гиперболы выберем подходящую систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось направим вдоль этого отрезка, а ось ординат -- перпендикулярно к нему. Теорема 3 Пусть расстояние между фокусами и гиперболы равно , а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна . Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение

(8)

где

(9)

Доказательство.

Пусть

-- текущая точка гиперболы.

Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то , то есть , . В силу последнего неравенства вещественное число , определяемое формулой (9), существует. По условию, фокусы --

,

.

По определению гиперболы

Это уравнение запишем в виде

Обе части возведем в квадрат:

После приведения подобных членов и деления на 4, приходим к равенству

Опять обе части возведем в квадрат: Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим С учетом формулы (9) уравнение принимает вид и получим уравнение (8) Разделим обе части уравнения на Уравнение (8) называется каноническим уравнением гиперболы. Предложение 3 Гипербола обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых лежат фокусы гиперболы, и центром симметрии. Если гипербола задана каноническим уравнением, то ее осями симметрии служат координатные оси и , а начало координат -- центр симметрии гиперболы. Доказательство. Проводится аналогично доказательству предложения 1. Проведем построение гиперболы, заданной уравнением (8). Заметим, что из-за симметрии достаточно построить кривую только в первом координатном угле. Выразим

из канонического уравнения

как функцию

, при условии, что

,

и построим график этой функции. Область определения -- интервал Производная

,

, функция монотонно растет.

существует во всей области определения, кроме точки . Следовательно, график -гладкая кривая (без углов). Вторая производная

во всех точках интервала вверх.

отрицательна, следовательно, график -- выпуклый

Проверим график на наличие асимптоты при уравнение

. Пусть асимптота имеет

. Тогда по правилам математического анализа

Выражение под знаком предела домножим и разделим на

Итак, график функции имеет асимптоту

. Получим

. Из симметрии гиперболы следует, что

-- тоже асимптота. Остается неясным характер кривой в окрестности точки

оси

, а именно, образует ли график и симметричная ему относительно часть гиперболы в этой точке угол или гипербола в этой точке -- гладкая кривая

(есть касательная). Для решения этого вопроса выразим из уравнения (8)

Очевидно, что данная функция имеет производную в точке

через :

,

, и в точке

у гиперболы есть вертикальная касательная. По полученным данным рисуем график функции

.

График функции

Окончательно, используя симметрию гиперболы, получаем кривую рисунка

Гипербола

Определение 6 Точки пересечения гиперболы, заданной каноническим уравнением (8), с осью называются вершинами гиперболы, отрезок между ними называется действительной осью гиперболы. Отрезок оси ординат между точками

и называется мнимой осью. Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Начало координат называется ее центром. Величина

называется эксцентриситетом гиперболы.

Замечание. Из равенства (9) следует, что , то есть у гиперболы . Эксцентриситет характеризует угол между асимптотами, чем ближе к 1, тем меньше этот угол. Замечание. В отличие от эллипса в каноническом уравнении гиперболы соотношение между величинами и может быть произвольным. В частности, при мы получим равностороннюю гиперболу, известную из школьного курса математики. Ее

, если взять уравнение имеет знакомый вид биссектрисам четвертого и первого координатных углов.

, а оси

и

направить по

Равносторонняя гипербола

Для отражения на рисунке качественных характеристик гиперболы достаточно определить ее вершины, нарисовать асимптоты и нарисовать гладкую кривую, проходящую через вершины, приближающуюся к асимптотам. Пример 4 Постройте гиперболу , найдите ее фокусы и эксцентриситет. Решение. Разделим обе части уравнения на 4. Получим каноническое уравнение

,

. Проводим асимптоты

и строим гиперболу (рис. 13).

Гипербола

. Тогда фокусы --

Из формулы (9) получим

,

. Пример 5 Постройте гиперболу эксцентриситет. Решение. Преобразуем уравнение к виду

. Найдите ее фокусы и

Данное уравнение не является каноническим уравнением гиперболы, так как знаки перед

и

противоположны знакам в каноническом уравнении. Однако, если

переобозначить переменные каноническое уравнение

,

, то в новых переменных получим

,

Действительная ось этой гиперболы лежит на оси

, то есть на оси

исходной

системы координат, асимптоты имеют уравнение , то есть уравнение в исходных координатах. Действительная полуось равна 5, мнимая -- 2. В соответствии с этими данными проводим построение.

Гипербола с уравнением

,

Из формулы (9) получим действительной оси -системе координат.

,

, фокусы лежат на , где координаты указаны в исходной

Парабола В школьном курсе математики достаточно подробно изучалась парабола, которая, по определению, являлась графиком квадратного трехчлена. Здесь мы дадим другое (геометрическое) определение параболы. Определение 7 Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы. Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого из фокуса опустим перпендикуляр на

директрису . Начало координат расположим на середине отрезка , ось направим вдоль отрезка так, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора . Ось

проведем перпендикулярно оси

Теорема. Пусть расстояние между фокусом

и директрисой параболы равно

. Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение

(10)

Доказательство.

точка Пусть

В выбранной системе координат фокусом параболы служит

, а директриса имеет уравнение -- текущая точка параболы. Тогда находим

Расстоянием от точки

до директрисы служит длина перпендикуляра

опущенного на директрису из точки по определению параболы

. Из рисунка очевидно, что , то есть

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

откуда

После приведения подобных членов получим уравнение (10). Уравнение (10) называется каноническим уравнением параболы.

, . Тогда

Предложение 4 Парабола обладает осью симметрии. Если парабола задана каноническим уравнением, то ось симметрии совпадает с осью . Доказательство. Проводится так же, как и доказательство предложения 1. Точка пересечения оси симметрии с параболой называется вершиной параболы.

Если переобозначить переменные виде

,

, то уравнение (10) можно записать в

который совпадает с обычным уравнением параболы в школьном курсе математики. Поэтому параболу нарисуем без дополнительных исследований.

Парабола

Пример 6 Постройте параболу

. Найдите ее фокус и директрису.

Решение. Уравнение является каноническим уравнением параболы, , . Осью параболы служит ось , вершина находится в начале координат, ветви параболы направлены вдоль оси . Для построения найдем несколько точек параболы. Для этого

придаем значения переменному

и находим значения

. Учитывая симметрию относительно оси

. Возьмем точки

, рисуем кривую.

,

,

Парабола, заданная уравнением

Фокус

лежит на оси

на расстоянии

от вершины, то есть имеет координаты

. Директриса имеет уравнение , то есть . Парабола так же, как и эллипс, обладает свойством, связанным с отражением света (рис. 18). Свойство сформулируем опять без доказательства. Предложение 5 Пусть -- фокус параболы, -- произвольная точка параболы, -- луч с началом в точке параллельный оси параболы. Тогда нормаль к параболе в точке делит угол, образованный отрезком и лучом , пополам.

Отражение светового луча от параболы

Это свойство означает, что луч света, вышедший из фокуса , отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.

Параллельный перенос системы координат

Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат: ("старая") и ("новая"), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны и одинаково направлены

Параллельный перенос системы координат

В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой "параллельным переносом". Пусть начало

"новой" системы координат имеет в "старой" системе координат

координаты точки

, и пусть

-- некоторая точка плоскости. Обозначим координаты

в "старой" системе координат

, а в "новой" --

. Из рис. 19 ясно,

, . Откуда , . Так как точка что взята произвольно, то индекс 0 в записи ее координат, как "старых", так и "новых", можно убрать. Получаем связь между "старыми" и "новыми" координатами точки при параллельном переносе осей координат: (11)

Выясним теперь, как связаны друг с другом уравнения одной и той же кривой в "старых" и "новых" координатах. Предложение 6 Пусть некоторая кривая задана уравнением

системе координат

. Тогда в

, полученной параллельным переносом, с началом в точке

уравнение кривой будет иметь вид . Однако, для практического использования это предложение удобнее сформулировать немного по-другому. Предложение 7 Пусть некоторая кривая задана уравнением . Тогда в системе координат переносом, с началом в точке

, полученной параллельным

уравнение кривой будет иметь вид

.

Доказательство обоих предложений очевидным образом следует из формул (11) связи между старыми и новыми координатами. Пример 7 Нарисуйте кривую Решение. Выделим полные квадраты по переменным

и найдите ее фокусы. и (см. пример 1):

Откуда Разделим обе части на 9:

Введем новую систему координат с началом в точке , получающуюся из старой параллельным переносом. По предложению 12.7 получим, что кривая задается уравнением

а это -- каноническое уравнение эллипса с полуосями 3 и 1. Сделаем рисунок.

Эллипс, заданный уравнением

Из формулы (5)

. Поэтому фокусы в новой системе координат имеют ,

координаты фокусов

,

. Используя формулы (11), находим старые координаты . Таким образом, фокусами являются точки

, . Пример 8 Постройте параболу

найдите ее фокус и директрису. Решение. Преобразуем уравнение к виду квадрат по переменному :

и выделим полный

Из этого уравнения получим осей координат:

. Произведем параллельный перенос

,

, новое начало координат --

.В

новых координатах уравнение параболы примет вид , которое тоже не является каноническим. Но если мы изменим направление оси ординат и переобозначим оси: , ,

, то получим уравнение

. Это уравнение -- каноническое,

. Строим оси и параболу.

Парабола, заданная уравнением

В системе координат уравнением уравнение директрисы фокус

фокус имеет координаты . В системе координат

, а директриса задается

координаты фокуса --

. Наконец, в исходной системе координат

и уравнение директрисы Пример 9 Постройте кривую

,а получим

, что и служит ответом к задаче.

Решение. Преобразуем уравнение к виду

(12)

Возведем обе части в квадрат:

При этом появились новые точки, которые удовлетворяют последнему уравнению, но не удовлетворяют уравнению (12). Эти посторонние точки мы отбросим потом. Выделим полный квадрат по переменному

:

то есть Обе части разделим на 4 и произведем параллельный перенос системы координат: ,

. Получим уравнение

которое является каноническим уравнением эллипса с полуосями: 2 и (рис. 22).

. Нарисуем его

Эллипс, заданный уравнением

Чтобы отбросить посторонние точки, возникшие при возведении в квадрат, преобразуем уравнение (12) к виду

Из этого уравнения видно, что . Поэтому от нарисованного ранее эллипса нужно оставить только левую половину.

Кривая, заданная уравнением

Последний рисунок и является ответом к задаче.

Поверхности второго порядка Рассмотрим поверхности, которые "похожи" на поверхности, образованные вращением кривой второго порядка вокруг ее оси симметрии. Например, сфера может быть получена вращением окружности вокруг диаметра. Однако, наряду с такими поверхностями мы встретимся и с более сложными случаями. Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат. Определение 1 Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением

(1)

где

-- вещественные числа, причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

В дальнейшем будет показано, что поверхности второго порядка, за исключением случаев сильного вырождения, можно разделить на пять классов: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы и цилиндры. Для каждой из поверхностей существует декартова прямоугольная система координат, в которой поверхность задается простым уравнением, называемым каноническим уравнением. Этот факт будет обоснован позже. В этой главе мы укажем канонические уравнения для поверхностей второго порядка и покажем, как выглядят эти поверхности.

Сфера Определение 2 Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром. Теорема 1 Сфера радиуса

с центром в точке

имеет уравнение

(2)

Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1. Пример 1 Нарисуйте сферу Решение. Выделив полные квадраты, получим

Значит, центром сферы является точка , радиус сферы равен 2. Для ее изображения нарисуем сечения сферы плоскостями, проходящими через центр и параллельными координатным плоскостям. Каждое такое сечение будет окружностью радиуса 2 с центром в точке

Сфера, изображенная сечениями

Более "художественное" изображение сферы приведено на следующем рисунке.

Сфера

Эллипсоид Определение 3 Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

(3)

где , , -- положительные числа. Исследуем форму эллипсоида. Из уравнения (3) видно, что координаты точек поверхности ограничены: , , . Эллипсоид обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для выяснения формы эллипсоида рассмотрим его сечения плоскостями. Найдем линию пересечения эллипсоида с плоскостью нулевую третью координату, удовлетворяют уравнению

. Так как любая точка плоскости

имеет

, то координаты точек эллипсоида на плоскости (4)

По теореме 2 получаем, что линия пересечения является эллипсом с полуосями и (рис. 3).

Сечение плоскостью

Аналогично, сечение в плоскости

дает эллипс

с полуосями и , а сечение плоскостью

с полуосями

-- эллипс

и .

Сечения эллипсоида координатными плоскостями

Нарисованный "каркас" из сечений уже дает представление об эллипсоиде. Но чтобы выяснить, как ведет себя поверхность между нарисованными кривыми, рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью . Эта плоскость параллельна плоскости пересекает ось в точке . Уравнения этой линии

и

Очевидно, что если , то ни одна точка пространства не может удовлетворять этой системе: в левой части первого уравнения стоит неотрицательное число, а в правой -отрицательное.

Если от знака

, то сечении получим лишь одну точку

или

в зависимости

.

Пусть

. Тогда первое уравнение преобразуем к виду

то есть к виду (5)

где

,

. Уравнение (5) является уравнением эллипса,

подобного эллипсу, задаваемому уравнением (4), с коэффициентом подобия полуосями

и

. Ясно, что сечение плоскостью

и

является таким же эллипсом,

расположенным симметрично первому относительно плоскости сечения

. Нарисуем эти

Дополнительные сечения эллипсоида

Таким образом, весь эллипсоид составлен из эллипсов, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости и подобных эллипсу в плоскости рисунок дает более привычное глазу изображение эллипсоида.

. Следующий

Эллипсоид

Так же, как для эллипса, точки пересечения эллипсоида с координатными осями называются вершинами эллипсоида, центр симметрии -- центром эллипсоида. Числа , , называются полуосями. Если полуоси попарно различны, то эллипсоид называется трехосным. Если две полуоси равны друг другу, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей. Например, если , то все сечения эллипсоида плоскостями окружностями. Сам эллипсоид может быть получен из эллипса

лежащего в плоскости

, при вращении его вокруг оси

,

, будут

.

Эллипсоид вращения

Гиперболоиды Определение 4 Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

(6)

где , , -- положительные числа. Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью

Это уравнение на плоскости пересечения с плоскостью

. На этой плоскости

, поэтому

задает эллипс с полуосями и . Найдем линию . На этой плоскости

, поэтому

Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу..

Сечения однополостного гиперболоида двумя плоскостями

Сечение плоскостью

также является гиперболой с уравнением

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями линий

,

.

. Уравнения этих

Первое уравнение преобразуем к виду

то есть к виду (7)

где

,

подобного эллипсу в плоскости и

. Уравнение (13.7) является уравнением эллипса, , с коэффициентом подобия

и полуосями

. Нарисуем полученные сечения.

Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений

Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на следующем рисунке

Однополостный гиперболоид

Если в уравнении (6)

, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными

, являются окружностями. В этом случае поверхность называется плоскости однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости

, вокруг оси

.

Однополостный гиперболоид вращения

Определение 5 Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

(8)

где , , -- положительные числа. Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и

центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью

. На этой плоскости

, поэтому

Координаты ни одной точки плоскости не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью

. На этой плоскости

, поэтому

Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна , а мнимая полуось равна . Построим эту гиперболу .

Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью

Сечение плоскостью

также является гиперболой, с уравнением

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями линий

,

.

. Уравнения этих

Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если Если точку

или

, то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну

или

Пусть

.

. Эти точки называются вершинами гиперболоида.

. Первое уравнение преобразуем к виду

то есть к виду (9)

где

,

подобного эллипсу в плоскости и

. Уравнение (13.9) является уравнением эллипса, , с коэффициентом подобия

и полуосями

. Нарисуем полученные сечения.

Изображение двуполостного гиперболоида с помощью сечений

Привычное для глаза изображение двуполостного гиперболоида приведено на рисунке :

Двуполостный гиперболоид

Если в уравнении (8)

, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными

, являются окружностями. В этом случае поверхность называется плоскости двуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости

, вокруг оси

.

Двуполостный гиперболоид вращения

Конус Определение 6 Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

(10)

где

, , -- положительные числа. Замечание 1 С математической точки зрения поверхность (10) лучше определять с помощью уравнения (11)

так как в нем меньше параметров, но при этом, во-первых, теряется аналогия с уравнениями предыдущих поверхностей, а во-вторых, если считать, что величины

, ,

, , имеют размерность длины, то в уравнении (11) размерности правой и левой части не согласуются. Для краткости в дальнейшем конус второго порядка будем называть просто конус. Исследуем форму конуса. Так же, как эллипсоид и гиперболоиды, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения конуса найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью

. На этой плоскости

Координаты только одной точки плоскости

, поэтому

могут удовлетворять данному

уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью На этой плоскости , поэтому

Это уравнение пары прямых

на плоскости

. Построим эти прямые.

также является парой прямых с уравнением Сечение плоскостью Нарисуем и эти прямые.

Сечения конуса координатными плоскостями

.

.

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями линий

,

. Уравнения этих

Первое уравнение преобразуем к виду

то есть к виду (12)

где , . Уравнение (12) является уравнением эллипса. Нарисуем полученные сечения .

Изображение конуса с помощью сечений

Привычное для глаза изображение приведено на следующем рисунке.

Конус

Точка пересечения конуса с плоскостью называется вершиной конуса. Если в уравнении (10) , то сечения конуса плоскостями параллельными плоскости являются окружностями. В этом случае поверхность называется прямым круговым , вокруг конусом и может быть получена вращением прямой, лежащей в плоскости оси . Именно с таким конусом мы имеем дело в школьном курсе математики.

Параболоиды Определение 7 Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид (13)

где и -- положительные числа. Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости , координатная ось . Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью поэтому

Координаты только одной точки плоскости

и

. На этой плоскости

,

могут удовлетворять данному

уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью На этой плоскости , поэтому

Это уравнение параболы на плоскости . Построим ее. Сечение плоскостью также является параболой. Нарисуем и ее. Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью . Уравнения этой линии

Очевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, . Эта точка называется вершиной параболоида. если

.

Пусть

. Первое уравнение преобразуем к виду

то есть к виду (14)

где

,

. Уравнение (14) является уравнением эллипса. Нарисуем

полученное сечение . При

плоскость поверхность не пересекает.

Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями

Найдем сечения параболоида плоскостями Линии этих сечений удовлетворяют уравнениям

и являются параболами, такими же, как в плоскости величину плоскостью

, параллельными плоскости

.

, только сдвинутыми вверх на

, их вершины при таком сдвиге лежат на параболе, получившейся в сечении .

Дополнительные сечения параболоида

Следовательно, вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости . Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна , а вершина скользила по параболе в плоскости плоскости Привычное для глаза изображение приведено на рисунке :

.

Эллиптический параболоид

Если в уравнении (13) , то сечения плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости .

, вокруг оси

Параболоид вращения

Определение 8 Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

(15)

где и -- положительные числа. Исследуем форму гиперболического параболоида. Так же, как и эллиптический параболоид, он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости , и координатная ось . Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью поэтому

Это уравнение определяет на плоскости рисунке

. На этой плоскости

пару прямых

Найдем линию пересечения с плоскостью

. На этой плоскости

, изображенных на , поэтому

Это уравнение на плоскости задает параболу, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 23). Сечение плоскостью также является параболой

но ее ветви направлены вверх. Нарисуем и ее.

,

Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью линии

,

. Уравнения этой

Первое уравнение преобразуем к виду

то есть к виду (16)

где

,

. Уравнение (16) является уравнением гиперболы. Ее

действительная ось параллельна оси

, а мнимая -- оси

. Полуоси равны

соответственно и . Нарисуем полученное сечение, но чтобы не перегружать рисунок линиями, асимптоты изображать не будем . Найдем линии пересечения с плоскостями Уравнения этих линий

, параллельными плоскости

.

Первое из этих уравнений является уравнением параболы, такой же, как и в сечении плоскостью , только сдвинутой вдоль оси изображены на рисунке :

на величину

вверх. Эти параболы

Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений

Так как

-- произвольное число, то вся поверхность может быть получена движением

параболы, лежащей в плоскости

. Передвигать параболу нужно так, чтобы ее

плоскость оставалась параллельной плоскости плоскости . Плоскость

,

, а вершина скользила по параболе в

, пересекает поверхность по гиперболе, но в отличие от

гиперболы (16), ее действительная ось параллельна теперь оси

, а мнимая -- оси

Дополнительное сечение

Привычное для глаза изображение приведено на следующем рисунке:

Гиперболический параболоид

Цилиндры Определение 9 Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые -- образующими. Рассмотрим уравнение вида (17)

и покажем, что оно определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси . Пусть -- некоторая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (17). Поскольку в это уравнение не входит явно переменная , ему будут удовлетворять координаты всех точек , где -- любое число. Следовательно, при любом точка лежит на поверхности, определяемой уравнением (17). Отсюда следует, что на поверхности целиком лежит прямая, проходящая через точку параллельно оси . А это означает, что поверхность, определяемая уравнением (17), составлена из прямых, параллельных оси , то есть она является цилиндрической поверхностью. уравнение (17) определяет направляющую Заметим, что на плоскости рассматриваемой цилиндрической поверхности. Итак, делаем вывод, что если уравнение поверхности не содержит в явном виде какойлибо переменной, то это уравнение определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси отсутствующего переменного и направляющей, которая в плоскости двух других переменных имеет то же самое уравнение. Нас будут интересовать только те цилиндрические поверхности, которые являются поверхностями второго порядка, а это значит, что уравнение (17), их задающее будет иметь вид (1). Определение 10 Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением

(18)

называется эллиптическим цилиндром, поверхность, которая задается уравнением (19)

называется гиперболическим цилиндром, а которая задается уравнением (20)

называется параболическим цилиндром. Для того чтобы построить поверхность, задаваемую уравнением (18), или уравнением (19), или (20), достаточно нарисовать на плоскости направляющую, уравнение которой на этой плоскости совпадает с уравнением самой поверхности, и затем через точки направляющей провести образующие параллельно оси . Для наглядности следует построить также одно-два сечения плоскостями, параллельными плоскости В каждом таком сечении получим такую же кривую, как и исходная направляющая. Изображения этих цилиндров сечениями приведены на рисунках.

Изображение эллиптического цилиндра с помощью сечений

.

Эллиптический цилиндр

Изображение гипербоического цилиндра с помощью сечений

Гиперболический цилиндр

Изображение параболического цилиндра с помощью сечений

Параболический цилиндр

Параллельный перенос системы координат Так же как и на плоскости, в пространстве можно выполнить параллельный перенос системы координат. Формулы и их доказательства для пространственного случая аналогичны плоскому случаю. Пусть в пространстве заданы две декартовы прямоугольные системы координат: "старая" с началом в точке

и осями

,

,

и "новая" с началом в точке

и осями

, , , причем оси одной системы координат соответствено параллельны осям другой системы и одинаково с ними направлены. Будем говорить, что вторая система координат получена из первой параллельным переносом.

Пусть начало . Пусть

новой системы координат имеет в старой системе координаты -- некоторая точка пространства с координатами

в старой

системе координат и -- в новой системе координат. Тогда связь между "старыми" и "новыми" координатами точки задается формулами, аналогичными формулам (11): (21)

Справедливо и предложение, аналогичное предложению 7. Предложение 1 Пусть некоторая поверхность задана уравнением

Тогда в системе координат с началом в точке и осями , полученной параллельным переносом, уравнение поверхности будет иметь вид

,

,

. Пример 2 Нарисуйте поверхность Решение. Выделим полные квадраты по переменным

. , и :

Отсюда Разделим обе части на 4:

Введем новую систему координат с началом в точке , получающуюся из старой параллельным переносом. По предложению 1 получим, что в новой системе поверхность задается уравнением

Данное уравнение отличается от канонического уравнения однополостного ) и аппликат ( ). Не гиперболоида тем, что поменялись ролями оси ординат ( переобозначая осей, произведем построение поверхности с помощью сечений. В сечении плоскостью

получаем эллипс с уравнением

Его полуоси равны 1 и 2 и лежат соответственно на осях плоскостью

получаем гиперболу с уравнением

и

. В сечении

Ее мнимая ось лежит на оси

, а действительная ось лежит на оси

соответственно равны 2 и 1. В сечении плоскостью гиперболу с уравнением

, полуоси

получаем равностороннюю

Ее мнимая ось лежит на оси , а действительная ось лежит на оси , обе полуоси равны 2. Для большей наглядности нарисуем еще два сечения плоскостями параллельными плоскости

. В сечениях получим эллипсы, подобные эллипсу в

. По рассмотренным сечениям можно представить себе форму плоскости гиперболоида и его расположение в пространстве.

Изображение поверхности с помощью сечений

Объемное изображение поверхности

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь от их конкретного содержания. В дальнейшем, говоря о величинах, мы будем иметь в виду их числовые значения. В различных явлениях некоторые величины изменяются, а другие сохраняют свое числовое значение. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость остается постоянной. Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной. Переменные величины будем обозначать буквами x, y, z,…, постоянные – a, b, c,… Заметим, что в математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все числовые значения одинаковы. Областью изменения переменной величины называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений. Область изменения может состоять как из одного или нескольких промежутков, так и из одной точки. УПОРЯДОЧЕННАЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ Будем говорить, что переменная x есть упорядоченная переменная величина, если известна область ее изменения, и про каждые из двух любых ее значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее. Частным случаем упорядоченной переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность x1,x2,…,xn,… Для таких величин при i < j, i, j ∈ N, значение xi считается предшествующим, а xj – последующим независимо от того, какое из этих значений больше. Таким образом, числовая последовательность – это переменная величина, последовательные значения которой могут быть перенумерованы. Числовую последовательность будем обозначать

. Отдельные числа последовательности называются ее элементами. Например, числовую последовательность образуют следующие величины:

1. 2. 3.

, , , где а, d – постоянные числа.

ФУНКЦИЯ При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, известно, что площадь круга выражается через радиус формулой S = πr2. Если радиус r принимает различные числовые значения, то площадь S также принимает различные числовые значения, т.е. изменение одной переменной влечет изменение другой. Если каждому значению переменной x, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y, то y называется

функцией переменной х. Символически будем записывать y=f(x). При этом переменная x называется независимой переменной или аргументом. Запись y=C, где C – постоянная, обозначает функцию, значение которой при любом значении x одно и то же и равно C. Множество значений x, для которых можно определить значения функции y по правилу f(x), называется областью определения функции. Заметим, что числовая последовательность также является функцией, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел. К основным элементарным функциям относятся все функции, изучаемые в школьном курсе математики:

Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана основными элементарными функциями и постоянными при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В дальнейшем курсе математики понятие предела будет играть фундаментальную роль, так как с ним непосредственно связаны основные понятия математического анализа – производная, интеграл и др. Начнем с понятия предела числовой последовательности. Число a называется пределом последовательности x = {xn}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn - a| < ε. Если число a есть предел последовательности x = {xn}, то говорят, что xn стремится к

a, и пишут . Выясним, что же означает геометрически понятие предела числовой последовательности. Для этого запишем последнее неравенство из определения в виде

Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε). Этот интервал называется ε -окрестностью точки а. Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {xn}, если для любой сколь угодно малой окрестности точки a найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементыс номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности. Примеры. 1. Пусть переменная величина x последовательно принимает значения

Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное число ε. Нам нужно найти такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn - 1| < ε. Действительно, т.к. ,

то для выполнения соотношения |xn - a| < ε достаточно, чтобы или Поэтому, взяв в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее , получим что нужно. Так если взять, например,

неравенству

положив N=6, для всех n>6 будем иметь

.

, то,

.

2. Используя определение предела числовой последовательности, доказать что . Возьмем произвольное ε > 0. Рассмотрим . Тогда

, если

или

, т.е.

. Поэтому

. выберем любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству Сделаем несколько замечаний. Замечание 1. Очевидно, что если все элементы числовой последовательности принимают одно и то же постоянное значение xn = c, то предел этой последовательности будет равен самой постоянной. Действительно, при любом ε всегда выполняется неравенство |xn - c| = |c - c| = 0 < ε. Замечание 2. Из определения предела следует, что последовательность не может иметь двух пределов. Действительно, предположим, что xn → a и одновременно xn → b. и отметим окрестности точек a и b радиуса ε. Тогда по Возьмем любое определению предела, все элементы последовательности, начиная с некоторого, должны находиться как в окрестности точки а, так и в окрестности точки b, что невозможно. Замечание 3. Не следует думать, что каждая числовая последовательность имеет предел. Пусть, например, переменная величина принимает значения Несложно заметить, что эта последовательность не стремится ни к какому пределу. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a. Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается к числу a. Это означает, что мы можем придавать х значения сколь угодно близкие к a, но не равные a. Будем обозначать это так x → a. Для таких x найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f(x) также неограниченно приближаются к некоторому числу b.Тогда говорят, что число b есть предел функции

.

f(x) при x → a. Введем строгое определение предела функции. Функция y=f(x) стремится к пределу b при x → a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a| < δ, имеет место неравенство |f(x) - b| < ε. Если b есть предел функции f(x) при x → a,

то пишут или f(x) → b при x → a. Проиллюстрируем это определение на графике функции. Т.к. из неравенства |x - a| < δ должно следовать неравенство |f(x) - b| < ε, т.е. при x ∈ (a δ, a + δ) соответствующие значения функции f(x) ∈ (b - ε, b + ε), то, взяв произвольное ε > 0, мы можем подобрать такое число δ, что для всех точек x, лежащих в δ – окрестности точки a, соответствующие точки графика функции должны лежать внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми y = b – ε и y = b + ε. Несложно заметить, что предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно если при x → a функция имеет предел, то он единственный. Примеры.

и

1. Найти предел функции y=2x+1 при x → 1. Используя график функции, можно увидеть, что если x → 1 с любой стороны, то соответствующие точки M(x, y) графика стремятся к точке M(1, 3), т.е. можно предположить, что . Докажем это. Зададим произвольное число ε > 0. Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство |(2x+1) – 3|<ε или |2x–2| < ε, откуда |x– 1| < ε. Таким образом, если положить δ = ε/2, то при всех x, удовлетворяющих неравенству |x– 1|<δ, будет выполняться неравенство |y – 3| < ε. По определению предела это и означает, что 3 есть предел функции y=2x+1 при x → 1. 2. Найти предел функции y=ex+1 при x → 0. Используя график заданной функции, несложно заметить,

.

рис. к примеру 1 Рис.к

2

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ ТОЧКЕ До сих пор мы рассматривали пределы для случая, когда переменная величина x стремилась к определенному постоянному числу. Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности, если для каждого заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение х=х0, начиная с которого, все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x|>M. Например, пусть переменная х принимает значения x1= –1, x2=2, x3= –3, …, xn=(–1)nn, … Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M. Переменная величина x → +∞, если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M. Аналогично, x → – ∞, если при любом M > 0 x < -M. Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x|>M, выполняется неравенство |f(x) - b| < ε.

Обозначают Примеры.

.

1. Используя определение, доказать, что

.

Нужно доказать, что при произвольном ε будет выполняться неравенство , как только |x|>M, причем число М должно определяться выбором ε. Записанное неравенство эквивалентно следующему

, которое будет

выполняться, если |x|>1/ε=M. Это и значит, что

2. Несложно заметить, что 3.

.

не существует.

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

(см. рис.).

Ранее мы рассмотрели случаи, когда функция f(x) стремилась к некоторому конечному пределу b при x → a или x → ∞. Рассмотрим теперь случай, когда функция y=f(x) стремится к бесконечности при некотором способе изменения аргумента. Функция f(x) стремится к бесконечности при x → a, т.е. является бесконечно большой величиной, если для любого числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое δ > 0, что для всех значений х≠a, удовлетворяющих условию |x-a| < δ, имеет место неравенство |f(x)| > M. или f(x)→∞ при Если f(x) стремится к бесконечности при x→a, то пишут x→a. Сформулируйте аналогичное определение для случая, когда x→∞. Если f(x) стремится к бесконечности при x→a и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут или

. Примеры.

1.

.

2.

(см. рис.).

3.

.

4. Функция

при x→0 не стремится ни к какому пределу (см. рис.).

ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Пусть задана функция y=f(x), определенная на некотором множестве D значений аргумента. Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D, если существует положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества, выполняется неравенство |f(x)|≤M. Если же такого числа М не существует, то функция f(x) называется неограниченной на множестве D. Примеры. 1. Функция y=sin x, определенная при -∞<x<+∞, является ограниченной, так как при всех значениях x |sin x|≤1 = M. 2. Функция y=x2+2 ограничена, например, на отрезке [0, 3], так как при всех x из этого отрезка |f(x)| ≤f(3) = 11. 3. Рассмотрим функцию y=ln x при x ∈ (0; 1). Эта функция неограниченна на указанном отрезке, так как при x→0 ln x→-∞. Функция y=f(x) называется ограниченной при x → a, если существует окрестность с центром в точке а, в которой функция ограничена. Функция y=f(x) называется ограниченной при x→∞, если найдется такое число N>0, что при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x|>N, функция f(x) ограничена. Установим связь между ограниченной функцией и функцией, имеющей предел. Теорема 1. Если

и b – конечное число, то функция f(x) ограничена при x→a.

, то при любом ε>0 найдется такое число δ>0, что при Доказательство. Т.к. вех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x-a|<δ, выполняется неравенство |f(x) – b|<ε. Воспользовавшись свойством модуля |f(x) – b|≥|f(x)| - |b|, последнее неравенство запишем в виде |f(x)|<|b|+ ε. Таким образом, если положить M=|b|+ ε, то при x→a |f(x)|<M. Замечание. Из определения ограниченной функции следует, что если , то она является неограниченной. Однако обратное неверно: неограниченная функция может не быть бесконечно большой. Приведите пример. Теорема 2. Если , то функция y=1/f(x) ограничена при x→a. Доказательство. Из условия теоремы следует, что при произвольном ε>0 в некоторой окрестности точки a имеем |f(x) – b|<ε. Т.к. |f(x) – b|=|b – f(x)| ≥|b| - |f(x)|, то |b| - |f(x)|< ε.

Следовательно, |f(x)|>|b| - ε >0. Поэтому и

.

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю. Примеры. 1. Функция f(x)=(x-1)2 является бесконечно малой при x→1, так как (см. рис.). 2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0. 3. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0. 4. f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞. Установим следующее важное соотношение: Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x):

Обратно, если Доказательство.

f (x)=b+ α(x),

то

.

, то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.

1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|<ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что

.

, то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a 2. Если будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α, то |α(x)|<ε, а это значит, что a – бесконечно малая. Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций. Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая. Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x), и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом где ε>0 найдется δ>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ, выполняется |f(x)|< ε. Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ1>0, что при |x – a|<δ1 имеем |α(x)|< ε/2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ2>0, что при |x – a|<δ2 имеем | β(x)|< ε/2. Возьмем δ=min{ δ1, δ2}.Тогда в окрестности точки a радиуса δбудет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/2 и | β(x)|< ε/2. Следовательно, в этой окрестности будет |f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε, т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично. Из доказанной теоремы вытекают: Следствие 1. Если

и

, то

.

Следствие 2. Если и c=const, то . Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть

. Тогда 1/f(x) есть ограниченная

функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a. Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0

,а (зависящим от ε) при всех x, для которых |x – a|<δ, выполняется неравенство это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a, то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ, так |f(x)|>1/ ε. Но тогда для тех же x Примеры.

.

1. Ясно, что при x→+∞ функция y=x2+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция при x→+∞, т.е. 2.

– бесконечно малая

. .

Можно доказать и обратную теорему. Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией. Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

Примеры.

1.

.

2. 3.

. , так как функции

и

- бесконечно малые при x→+∞, то

, как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство. Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0 . ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

. Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого .Тогда f(x)=b+α(x) и числа слагаемых оно проводится так же. Пусть g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно, f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)). Так как b + cесть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то . Пример. . Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

. . Следовательно, f(x)=b+α(x) и Доказательство. Пусть g(x)=c+β(x) и fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ). Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому . Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: .

Следствие 2. Предел степени равен степени предела:

. Пример. . Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

. . Следовательно, f(x)=b+α(x) и Доказательство. Пусть g(x)=c+β(x), где α, β – бесконечно малые. Рассмотрим частное . Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c2≠0. Примеры.

1.

.

2.

.

3. Рассмотрим

. При x→1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель , т.е.

стремится к 0. Но так как функция при x→1, то

есть бесконечно малая

.

Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x), удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x). Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если

, то . Смысл этой теоремы понятен из рисунка. Доказательство теоремы 4 можно найти, например, в учебнике: Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1 – М.: Наука, 1985.

Теорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0. Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b<0, тогда |y – b|≥|b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x→a. Но тогда y не стремится к пределу b при x→a, что противоречит условию теоремы. Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы

, то имеет место неравенство b≥c. Доказательство. По условию теоремы f(x)-g(x) ≥0, , или

следовательно, по теореме 5 .

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ До сих пор мы рассматривали определение предела функции, когда x→a произвольным образом, т.е. предел функции не зависел от того, как располагалось x по отношению к a, слева или справа от a. Однако, довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела при этом условии, но они имеют предел, если x→a, оставаясь с одной стороны от а, слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят понятия односторонних пределов. Если f(x) стремится к пределу b при x стремящемся к некоторому числу a так, что

xпринимает только значения, меньшие a, то пишут и называют b пределом функции f(x) в точке a слева. Таким образом, число b называется пределом функции y=f(x) при x→a слева, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (меньшее a), что для

выполняется неравенство

всех

.

Аналогично, если x→a и принимает значения большие a, то пишут и называют b пределом функции в точке а справа. Т.е. число b называется пределом функции y=f(x) при x→a справа, если каково бы ни было положительное число ε, найдется выполняется неравенство . такое число δ (большее а), что для всех Заметим, что если пределы слева и справа в точке a для функции f(x) не совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а. Примеры. 1. Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на отрезке [0,1] следующим образом

Найдем пределы функции f(x) при x→3. Очевидно,

,а .

2.

3.

. 4.

.

ТИПЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И СПОСОБЫ ИХ РАСКРЫТИЯ

Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Условные выражения

характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей. I. Неопределенность

1. 2.

.

. .

При разложении числителя на множители воспользовались правилом деления многочлена на многочлен «углом». Так как число x=1 является корнем многочлена x3 – 6x2 + 11x– 6, то при делении получим

3.

4.

.

5.

II. Неопределенность

1.

.

.

При вычислении предела числитель и знаменатель данной дроби разделили на x в старшей степени.

2.

.

3.

. При вычислении предела воспользовались равенством ,если x<0. Следующие виды неопределенностей с помощью алгебраических преобразований функции, стоящей под знаком предела, сводят к одному из рассмотренных выше случаев или . III. Неопределенность 0 ·∞. . IV. Неопределенность ∞ –∞. 1.

2.

3. .

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Функция не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке. Однако, можно найти предел этой функции при х→0.

Приведем доказательство записанной формулы. Рассмотрим окружность радиуса 1 и предположим, что угол α, выраженный в радианах, заключен в пределах 0 < α < π/2. (Так четная функция и ее значения не изменяются при как изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α > 0.) Из рисунка видно, что SΔOAC <Sсект.OAC <SΔOBC. Так как указанные площади соответственно равны SΔOAC=0,5·OC·OA·sinα=0,5sinα,Sсект.OAC=0,5·OC2·α=0,5α,SΔOBC=0,5 ·OC·BC=0,5tgα. Следовательно, sin α < α < tg α. Разделим все члены неравенства на sin α > 0: . Но

. Поэтому на основании теоремы 4 о пределах заключаем, что

. Выведенная формула и называется первым замечательным пределом. Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности

. Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами .

Примеры.

1.

.

2.

. 3.

. 4.

. 5.

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1∞ и выглядит следующим образом

Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу). Примеры.

1. 2.

3.

. .

.

4.

.

5.

.

.

6. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ Пусть при x→a функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями.

1. Если , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка, чем g(x) (относительно g(x)). 2. Если одногопорядка. 3. Если относительноg(x).

, то функции f(x) и g(x) называются бесконечно малыми

, то f(x) называется бесконечно малой k-го порядка

Если , то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. В этом случае обе функции стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью. Эквивалентные бесконечно малые будем обозначать f ≈ g. Примеры. 1. Пусть f(x)=x2,g(x)=5x. Функции являются бесконечно малыми при x→0. Найдем . Следовательно, f(x) – бесконечно малая высшего порядка относительно g(x). 2. Пусть f(x)=x2–4,g(x)=x2–5x+6 – бесконечно малые при x→2.

. Поэтому f(x) и g(x) одного порядка. 3. f(x)=tg2x,g(x) = 2x – бесконечно малые при х→0.

. Следовательно, f ≈ g.

4.

– бесконечно малые при n→∞.

– этот предел не существует. Поэтому говорят, что функции f и g не сравнимы. При вычислении пределов полезно помнить о следующем свойстве эквивалентных бесконечно малых функций. Теорема. Пусть f и g – бесконечно малые функции при х→а. Если

и f ≈ f1 ,

g ≈ g1, то , т.е. если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится, если каждую из бесконечно малых заменить эквивалентной бесконечно малой.

Доказательство. Имеем

. Тогда ,

что и требовалось доказать. Докажите самостоятельно эквивалентность следующих бесконечно малых функций при

x→0: sinx ≈ x,tgx ≈ x,arcsinx ≈ x,arctgx ≈ x,1–cosx ≈ x2⁄2,loga(1+x) ≈ x/lna,ln (1+x) ≈ x,(1+x)m–1 ≈ mx,ax–1 ≈ xlna,ex–1 ≈ x. Примеры.

1.

.

2. 3.

.

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Представление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что её графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия. При рассмотрении графика такой функции y = f(x) мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют

близкие значения функции: если независимая переменная приближается к точке x0, то значение функции y = f(x)

неограниченно приближается к значению функции в точкеx0, т.е. к f(x0). Дадим строгое определение непрерывности функции. Итак, пусть имеем функцию y = f(x). Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке и в некоторой окрестности содержащей x0 и . 1)

Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точкеx0, если выполнены 3 условия: 1. она определена в точке x0 и в некоторой её окрестности; 2. имеет предел при x → x0; 3. этот предел равен значению функции в точке x0.

Формулу (1) можно записать в виде , т.к. . Это означает, что для того, чтобы найти предел непрерывной функции при x → x0, достаточно в выражение функции подставить вместо аргумента xего значение x0. Пример: Докажем, что функция y = 3x2 непрерывна в произвольной точке x0. Для этого найдем . Если функция y=f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (a; b), где a < b, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале. Непрерывные функции обладают следующими свойствами. Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то их сумма φ(x) = f(x) + g(x) также есть непрерывная функция в точке x0. Доказательство. Так как функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то исходя из определения можно написать свойств пределов будем иметь

. Тогда на основании

. Эта теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых. Следующие две теоремы докажите самостоятельно аналогично теореме 1. Теорема 2. Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная. Теорема 3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль. Если функцию можно представить в виде y = f(u), где u = φ(x), т.е. если функция зависит от переменной через промежуточный аргумент u, то называется сложной функцией переменной x. Примеры: 1. y = sinx3. Здесь u = x3, y = sin u. 2. y = etg x, u = tg x, y = eu.

Таким образом, под термином сложная функция следует понимать не какое – либо очень сложное выражение, а функцию, которая зависит от аргумента x через несколько промежуточных функций. Справедлива следующая теорема. Теорема 4. Если функция u = φ(x) непрерывна в точкеx0 и принимает в этой точке значение u0 = φ(x0), а функция f(u) непрерывна в точке u0, то сложная функция y = f(φ(x)) непрерывна в точке x0. Используя эти теоремы можно доказать следующий результат. Теорема 5. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена. Заметим, что если функция y = f(x) непрерывна в точке x0 и её значение в этой точке отлично от 0, f(x0) ≠ 0, то значения функции f(x) в некоторой окрестности точки x0 имеют тот же знак, что и f(x0), т.е. если f(x0) > 0, то найдётся такое δ > 0, что на интервале(x0– δ;x0+ δ) f(x) > 0 (в этой окрестности значения функции f(x) очень мало отличаются от своего предела). ТОЧКИ РАЗРЫВА И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Если рассмотреть график функции в окрестности точки x= 0 (см. рис. справа), то ясно видно, что он как бы “разрывается” на отдельные кривые. Аналогично можно рассмотреть функцию, изображенную на рисунке слева в окрестности точки 3. Говорят, что во всех указанных точках соответствующие функции становятся разрывными.

Точка называется точкой разрыва функции y = f(x), если она принадлежит области определения функции или её границе и не является точкой непрерывности. В этом случае говорят, что при x= x0 функция разрывна. Это может произойти, если в точке x0 функция не определена или не существует предел существует, но Примеры.

, или если предел

.

1. Рассмотрим функцию:

Эта функция определена во всех точках отрезка [0, 4] и её значение при x = 3 равно 0. Однако, в точке x = 3 функция имеет разрыв, т.к. она не имеет предела при x = 3:

Следует отметить, что f(x) непрерывна во всех остальных точках отрезка [0, 4]. При этом в точке x = 0 она непрерывна справа, а в точке x = 4 – слева, т.к. .

2. Как уже отмечалось, функция функция не определена: 3. Функция

разрывна при x = 0. Действительно, при x = 0 .

разрывна при x = 0. Действительно, . При x = 0

функция не определена. 4. Функция определена для всех значений x, кроме x = 0. В этой точке она имеет разрыв, т.к. предел не существует (рисунок см. в предыдущей лекции ). Точки разрыва функции можно разбить на два типа. Точка разрыва x0 функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют оба односторонних конечных предела и , но они не равны между собой или не равны значению функции в точке x0, т.е. f(x0). Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода. Примеры: В первом примере точка х=3 является точкой разрыва первого рода. В примерах 2 – 4 все точки разрыва являются точками разрыва второго рода. 5. Для функции, изображённой на рисунке точка x = 2 является точкой разрыва первого рода. 6. Функция не определена в точке x = 0. Эта точка является точкой разрыва 1-го рода, т.к. в ней существуют пределы справа и слева. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства. Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее. Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x1 ∈ [a, b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x1) ≥ f(x). Аналогично найдётся такая точка x2, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x1) ≤ f(x). Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x2 и x2'. Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Действительно, если рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области. Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример. Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке. Теорема 2. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x), соответствующие концам отрезка [a, b] лежат по разные стороны от оси Ox, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox. Разрывные функции этим свойством могут не обладать. Эта теорема допускает следующее обобщение. Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка CÎ [a, b], что f(c) = C. Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C – любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C.

Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности: Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке.

Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x) имеет определенное значение. Рассмотрим два значения аргумента: исходное x0 и новое x. Разность x– x0 называется приращением аргумента x в точке x0 и обозначается Δx. Таким образом, Δx = x – x0 (приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным). Из этого равенства следует, что x=x0+Δx, т.е. первоначальное значение переменной получило некоторое приращение. Тогда, если в точке x0 значение функции было f(x0), то в новой точке x функция будет принимать значение f(x) = f(x0 +Δx). Разность y – y0 = f(x) – f(x0) называется приращением функции y = f(x) в точке x0 и обозначается символом Δy. Таким образом, Δy = f(x) – f(x0) = f(x0 +Δx) - f(x0). 1) Обычно исходное значение аргумента x0 считается фиксированным, а новое значение x – переменным. Тогда y0 = f(x0) оказывается постоянной, а y = f(x) – переменной. Приращения Δy и Δxтакже будут переменными и формула (1) показывает, что Dy является функцией переменной Δx. Составим отношение приращения функции к приращению аргумента

Найдем предел этого отношения при Δx→0. Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) в точке x0 и обозначают f '(x0). Итак, . Производной данной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда последнее произвольным образом стремится к нулю. Заметим, что для одной и той же функции производная в различных точках xможет принимать различные значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию аргумента x. Эта функция обозначается f '(x)

Производная обозначается символами f '(x),y ', . Конкретное значение производной при x = aобозначается f '(a) или y '|x=a. Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции. Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило: 1. Придать x приращение Δx и найти наращенное значение функции f(x + Δx). 2. Найти приращение функции Δy = f(x + Δx) – f(x). 3. Составить отношение при Δx∞0.

и найти предел этого отношения

Примеры.

1. Найти производную функции y = x2 а) в произвольной точке; б) в точке x= 2. а) 1. f(x + Δx) = (x + Δx)2; 2. Δy = (x + Δx)2 – x2=2xΔx– x2; .

3. б) f '(2) = 4

2. Используя определение найти производную функции точке. 1. 2.

.

в произвольной

3. МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид s = v·t, где s – путь, пройденный к моменту времени t, v– скорость равномерного движения. Однако, т.к. большинство движений происходящих в природе, неравномерно, то в общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние sбудет зависеть от времени t, т.е. будет функцией времени. Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s=s(t). Отметим некоторый момент времени t0. К этому моменту точка прошла путь s=s(t0). Определим скорость v материальной точки в момент времени t0. Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t0+Δt. Ему соответствует пройденный путь s=s(t0+Δt). Тогда за промежуток времени Δt точка прошла путь Δs=s(t0+Δt)–s(t).

. Оно называется средней скоростью в промежутке Рассмотрим отношение времени Δt. Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в момент t0 (т.к. движение неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток времени Δt. Итак, скоростью движения в данный момент времени t0 (мгновенной скоростью) называется предел средней скорости в промежутке от t0 до t0+Δt, когда Δt→0: , т.е. скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку М0 (см. рисунок).Рассмотрим другую точку М этой кривой и проведем секущую M0M. Если точка М начинает перемещаться по кривой, а точка М0 остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к точке М0 с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М0Т, то прямая М0Т называется касательной к кривой в данной точке М0. Т.о., касательной к кривой в данной точке М0 называется предельное положение секущей М0М, когда точка М стремится вдоль кривой к точке М0.

Рассмотрим теперь непрерывную функцию y=f(x) и соответствующую этой функции кривую. При некотором значении х0 функция принимает значение y0=f(x0). Этим значениям x0 и y0 на кривой соответствует точка М0(x0; y0).

Дадим аргументу x0 приращение Δх. Новому значению аргумента соответствует наращенное значение функции y0+Δ y. Получаем точку М(x0+Δx; y0+Δy). Проведем секущую М0М и обозначим через φ угол, образованный секущей с положительным и заметим, что . направлением оси Ox. Составим отношение Если теперь Δx→0, то в силу непрерывности функции Δу→0, и поэтому точка М, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М0. Тогда секущая М0М будет стремиться занять положение касательной к кривой в точке М0, а угол φ→α при Δx→0, где через α обозначили угол между касательной и положительным направлением оси Ox. Поскольку функция tg φ непрерывно зависит от φ при φ≠π/2 то при φ→α tg φ → tg α и, следовательно, угловой коэффициент касательной будет:

т.е. f '(x) = tg α . Т.о., геометрически у '(x0) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x0, т.е. при данном значении аргумента x, производная равна тангенсуугла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М0 (x; y) с положительным направлением оси Ox. Пример. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = х2 в точке М(-1; 1). Ранее мы уже видели, что (x2)' = 2х. Но угловой коэффициент касательной к кривой есть tg α = y'|x=-1 = – 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x0, если она имеет в

существует и этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения конечен. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а; b] или интервала (а; b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [а; b] или соответственно в интервале (а; b). Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x0, то она в этой точке непрерывна. Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Доказательство. Если

, то

, где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx→0.

Но тогда Δy=f '(x0) Δx+αΔx=> Δy→0 при Δx→0, т.е f(x) – f(x0)→0 при x→x0, а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x0. Что и требовалось доказать. Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).

Рассмотрим на рисунке точки а, b, c. не имеет предела (т.к. односторонние пределы В точке a при Δx→0 отношение различны при Δx→0–0 и Δx→0+0). В точке A графика нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к1 и к2. Такой тип точек называют угловыми точками. В точке b при Δx→0 отношение

является знакопостоянной бесконечно большой

. Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график величиной имеет вертикальную касательную. Тип точки – "точка перегиба" c вертикальной касательной. В точке c односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиесявертикальные касательные. Тип – "точка возврата" с

вертикальной касательной – частный случай угловой точки. Примеры. 1. Рассмотрим функцию y=|x|.Эта функция непрерывна в точке x = 0, т.к. . Покажем, что она не имеет производной в этой точке. f(0+Δx) = f(Δx) = |Δx|. Следовательно, Δy = f(Δx) – f(0) = |Δx| Но тогда при Δx< 0 (т.е. при Δx стремящемся к 0 слева)

А при Δx > 0

при Δx→ 0 справа и слева имеет различные пределы, а это Т.о., отношение значит, что отношение предела не имеет, т.е. производная функции y=|x| в точке x= 0 не существует. Геометрически это значит, что в точке x= 0 данная "кривая" не имеет определенной касательной (в этой точке их две). 2. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Выясним, имеет ли эта функция производную при x= 0.

Следовательно, рассматриваемая функция не дифференцируема в точке x= 0. Касательная к кривой в этой точке образует с осью абсцисс угол π /2, т.е. совпадает с осью Oy.

ПРОИЗВОДНЫЕ НЕКОТОРЫХ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 1. y = xn. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона: (a + b)n = an+n·an-1·b + 1/2·n(n – 1)an-2·b2+ 1/(2·3)·n(n – 1)(n – 2)an-3b3+…+ bn, можно доказать, что Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)n, и, следовательно, Δy=(x+Δx)n – xn =n·xn-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·xn-2·Δx2 +…+Δxn. Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3. Найдем предел

Мы доказали эту формулу для n ∈ N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n ∈ R. 2. y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной. Так как, f(x+Δx)=sin(x+Δx), то

Таким образом,

3. Аналогично можно показать, что

4. Рассмотрим функцию y= ln x. Имеем f(x+Δx)=ln(x+Δx). Поэтому

Итак,

5. Используя свойства логарифма можно показать, что

Формулы 3 и 5 докажите самостоятельно. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x.

1. .

2.

(справедлива для любого конечного числа слагаемых).

3. 4.

.

5.

.

а) б)

. .

Формулы 1 и 2 докажите самостоятельно. Доказательство формулы 3. Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента x+Δx имеем y(x+Δx)=u(x+Δx) + v(x+Δx). Тогда Δy=y(x+Δx) – y(x) = u(x+Δx) + v(x+Δx) – u(x) – v(x) = Δu +Δv. Следовательно, . Доказательство формулы 4. Пусть y=u(x)·v(x). Тогда y(x+Δx)=u(x+Δx)·v(x+Δx), поэтому Δy=u(x+Δx)·v(x+Δx) – u(x)·v(x). Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x, то они непрерывны в этой точке, а значит u(x+Δx)→u(x), v(x+Δx)→v(x), при Δx→0. Поэтому можем записать

На основании этого свойства можно получить правило дифференцирования произведения любого числа функций.

Пусть, например, y=u·v·w. Тогда, y ' = u '·(v·w) + u·(v ·w) ' = u '·v·w + u·(v '·w +v·w ') = u '·v·w + u·v '·w + u·v·w '. Доказательство формулы 5. Пусть

. Тогда

При доказательстве воспользовались тем, что v(x+Δx)→v(x) при Δx→0. Примеры.

1. Если , то 2. y = x3 – 3x2 + 5x + 2. Найдем y '(–1). y ' = 3x2 – 6x+ 5. Следовательно, y '(–1) = 14.

3. y = ln x · cos x, то y ' = (ln x) ' cos x + ln x (cos x) ' =1/x·cos x – ln x · sin x. 4.

5. Таким образом,

6. Аналогично для y= ctgx,

ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y= f(u). Операция "функция от функции" может проводиться не один раз, а любое число раз. Установим правило дифференцирования сложной функции. Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x0 производную и принимает в этой точке значение u0 = u(x0), а функция y= f(u) имеет в точке u0 производную y 'u= f '(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже имеет производную, которая равна y 'x= f '(u0)·u '(x0), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x). Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x. Доказательство. При фиксированном значении х0 будем иметь u0=u(x0), у0=f(u0). Для нового значения аргумента x0+Δx: Δu= u(x0 + Δx) – u(x0), Δy=f(u0+Δu) – f(u0). Т.к. u – дифференцируема в точке x0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.

. Из этого соотношения, пользуясь определением По условию предела, получаем (при Δu→0) , где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.

Перепишем это равенство в виде: Δy= y 'uΔu+α·Δu. Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx . По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y 'x= y 'u·u 'x . Теорема доказана. Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной. Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y 'x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы. По доказанному правилу имеем y 'x= y 'u·u 'x . Применяя эту же теорему для u 'x получаем

, т.е. y 'x = y 'x· u 'v· v 'x = f 'u (u)·u 'v (v)·v 'x (x).

Примеры.

1. y = sin x2. Тогда

.

2. 3.

ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Начнем с примера. Рассмотрим функцию y= x3. Будем рассматривать равенство y= x3 как уравнение относительно x. Это уравнение для каждого значения у определяет единственное . Геометрически это значит, значение x: что всякая прямая параллельная оси Oxпересекает график функции y= x3 только в одной точке. Поэтому мы можем рассматривать x как функцию от y. Функция называется обратной по отношению к функции y= x3. Прежде чем перейти к общему случаю, введем определения. Функция y = f(x) называется возрастающей на некотором отрезке, если большему значению аргумента x из этого отрезка соответствует большее значение функции, т.е. если x2>x1, то f(x2) > f(x1). Аналогично функция называется убывающей, если меньшему значению аргумента соответствует большее значение

функции, т.е. еслих2 < х1 , то f(x2) > f(х1). Итак, пусть дана возрастающая или убывающая функция y= f(x), определенная на некотором отрезке [a; b]. Для определенности будем рассматривать возрастающую функцию (для убывающей все аналогично). Рассмотрим два различных значения х1 и х2. Пусть y1=f(x1), y2=f(x2). Из определения возрастающей функции следует, что если x1<x2, то у1<у2. Следовательно, двум различным значениям х1 и х2 соответствуют два различных значения функции у1 и у2. Справедливо и обратное, т.е. если у1<у2, то из определения возрастающей функции следует, чтоx1<x2. Т.е. вновь двум различным значениям у1 и у2 соответствуют два различных значенияx1 и x2. Т.о., между значениями x и соответствующими им значениями y устанавливается взаимно однозначное соответствие, т.е. уравнение y=f(x) для каждого y (взятого из области значений функции y=f(x)) определяет единственное значение x, и можно сказать, что x есть некоторая функция аргумента y: x= g(у).

Эта функция называется обратной для функции y=f(x). Очевидно, что и функция y=f(x) является обратной для функции x=g(у). Заметим, что обратная функция x=g(y) находится путем решения уравнения y=f(x) относительно х. Пример. Пусть дана функция y = ex. Эта функция возрастает при –∞ < x <+∞. Она имеет обратную функцию x = lny. Область определения обратной функции 0 < y < + ∞. Сделаем несколько замечаний. Замечание 1. Если возрастающая (или убывающая) функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b], причем f(a)=c, f(b)=d, то обратная функция определена и непрерывна на отрезке [c; d]. Замечание 2. Если функция y=f(x) не является ни возрастающей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько обратных функций. Пример. Функция y=x2 определена при –∞<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотрим интервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет

. На интервале – ∞ <x≤ 0 функция – убывает и

. обратная для нее Замечание 3. Если функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными, то они выражают одну и ту же связь между переменными x и y.

Поэтому графикомих является одна и та же кривая. Но если аргумент обратной функции мы обозначим снова через x, а функцию через y и построим их в одной системе координат, то получим уже два различных графика. Легко заметить, что графики будут симметричны относительно биссектрисы 1-го координатного угла. ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ Докажем теорему, позволяющую находить производную функции y=f(x), зная производную обратной функции. Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у0 имеет производную g '(v0), отличную от нуля, то в соответствующей

точке x0=g(x0) функция y=f(x) имеет производную f '(x0), равную

, т.е. справедлива

. формула Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x0=g(y0). Следовательно, при Δx→0 Δy→0. .

Покажем, что

. Тогда по свойству предела

Пусть

. Перейдем в этом

равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е.

.

Следовательно,

, что и требовалось доказать. Эту формулу можно записать в виде . Рассмотрим применение этой теоремы на примерах. Примеры. 1. y = ex. Обратной для этой функции является функция x= ln y. Мы уже доказали, что . Поэтому согласно сформулированной выше теореме

Итак, ( e ) ' = ex x

2. Аналогично можно показать, что (ax) ' = ax·lna. Докажите самостоятельно. 3. y = arcsin x. Рассмотрим обратную функцию x = sin y. Эта функция в интервале – π/2
. Но на (–π/2; π/2) Поэтому

.

4. Аналогично

Докажите самостоятельно. 5. y = arctg x. Эта функция по определению удовлетворяет условию существования обратной функции на интервале –π/2< y < π/2. При этом обратная функция x = tg y

монотонна. По ранее доказанному

Следовательно, y ' = cos2 y . Но Поэтому

.

.

6.

7. Используя эти формулы, найти производные следующих функций:

ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Дифференцирование многих функций упрощается, если их предварительно прологарифмировать. Для этого поступают следующим образом. Если требуется найти y' из уравнения y=f(x), то можно:

1. Прологарифмировать обе части уравнения (по основанию е) ln y = ln f(x) = j(x). 2. Продифференцировать обе части равенства, считая ln y сложной функцией от . переменной x: 3. Выразить y' = y·j'(x) = f(x)·(lnx)'. Примеры.

1. y = xa – степенная функция с произвольным показателем.

.

2. ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Показательно-степенной функцией называется функция вида y = uv, где u=u(x), v=v(x). Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции.

Примеры.

1. .

2.

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ Объединим в одну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенные ранее. Всюду будем полагать u=u(x), v=v(x), С=const. Для производных основных элементарных функций будем пользоваться теоремой о производной сложной функции.

1.

. .

2.

.

3. 4.

.

5.

.

.

а)

.

б) 6. 7.

. .

.

8. 9. 10.

. .

11. 12.

. . .

13.

.

14. 15. 16. 17.

. . .

Примеры.

1.

2. 3.

. Найти y'(–1).

ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ. СВЯЗЬ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ И ПРОИЗВОДНОЙ Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a; b]. Производная этой функции в некоторой точке х0 ∈ [a; b] определяется равенством

. Следовательно, по свойству предела

Умножая все члены полученного равенства на Δx, получим: Δy = f '(x0)·Δx + a·Δx.

Итак, бесконечно малое приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f '(х0) ≠ 0) главная часть приращения, линейная относительно Δx, а второе – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δx. Главную часть приращения функции, т.е. f '(х0)·Δx называют дифференциалом функции в точке х0 и обозначают через dy. Таким образом, если функция y=f(x) имеет производную f '(x) в точке x, то произведение производной f '(x) на приращение Δx аргумента называют дифференциалом функции и обозначают: dy = f '(x)·Δx 1)

Найдем дифференциал функции y= x. В этом случае y' = (x)' = 1 и, следовательно, dy=dx=Δx. Таким образом, дифференциал dxнезависимой переменной xсовпадает с ее приращением Δx. Поэтому формулу (1) мы можем записать так: dy = f '(x)dx Но из этого соотношения следует, что . Следовательно, производную f '(x) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. Ранее мы показали, что из дифференцируемости функции в точке следует существование дифференциала в этой точке. Справедливо и обратное утверждение. Если для данного значения x приращение функции Δy = f(x+Δx) – f(x) можно представить в виде Δy = A·Δx + α, где α – бесконечно малая величина, удовлетворяющая , т.е. если для функции y=f(x) существует дифференциал dy=A·dx в условию некоторой точке x, то эта функция имеет производную в точке x и f '(x)=А. , и так как при Δx→0, то Действительно, имеем Таким образом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциала имеется очень тесная связь, оба понятия равносильны. Примеры. Найти дифференциалы функций:

1. 2.

.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

.

Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy = NM1. Значениям x+Δx и y+Δy на кривой y = f(x) будет соответствовать точка M1(x+Δx; y+Δy). Из ΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f '(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·Δx, поэтому dy = NT. Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х. ТЕОРЕМА ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛА Ранее мы видели, что если u является независимой переменной, то дифференциал функции y=f '(u) имеет вид dy = f '(u)du. Покажем, что эта форма сохраняется и в том случае, когда u является не независимой переменной, а функцией, т.е. найдем выражение для дифференциала сложной функции. Пусть y=f(u), u=g(x) или y = f(g(x)). Тогда по правилу дифференцирования сложной функции:

. Следовательно, по определению , но g'(x)dx= du, поэтому dy= f'(u)du. Мы доказали следующую теорему. Теорема. Дифференциал сложной функции y=f(u), для которой u=g(x), имеет тот же вид dy=f'(u)du, какой он имел бы, если бы промежуточный аргумент u был независимой переменной. Иначе говоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала.

Пример. . Найти dy. Учитывая свойство инвариантности дифференциала, находим

. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x. Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину

бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx. Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx. Откуда f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx Примеры.

1. y = x2 – 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δy), когда x изменяется от 3 до 3,01. Имеем Δy≈dy=f'(x)·Δx. f'(x)=2x – 2 ,f'(3)=4, Δx=0,01. Поэтому Δy ≈ 4·0,01 = 0,04.

2. Вычислить приближенно значение функции

в точке x = 17.

Пусть x0= 16. Тогда Δx = x – x0= 17 – 16 = 1,

, .

Таким образом,

.

3. Вычислить ln 0,99. Будем рассматривать это значение как частное значение функции y=lnx при х=0,99. Положим x0 = 1. Тогда Δx = – 0,01, f(x0)=0. , f '(1)=1.Поэтому f(0,99) ≈ 0 – 0,01 = – 0,01.

ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a; b]. Значение производной f'(x), вообще говоря, зависит от x, т.е. производная f'(x) представляет собой тоже функцию переменной x. Пусть эта функция также имеет производную. Дифференцируя ее, получим так называемую вторую производную от функции f(x). Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от данной функции y=f(x) и обозначается y''или f''(x). Итак, y'' = (y')'. Например, если у = х5, то y'= 5x4, а y''= 20x4.

Аналогично, в свою очередь, производную второго порядка тоже можно дифференцировать. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается y'''или f'''(x). Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первая) от производной (n – 1)-го порядка и обозначается символом y(n) или f(n)(x): y(n) = (y(n-1))'. Таким образом, для нахождения производной высшего порядка от данной функции последовательно находят все ее производные низших порядков. Примеры. 1. Найти производную четвертого порядка функции y= ln x.

. 2.

. 3. Найти производную n-го порядка функции y = ekx. y'= k·ekx, y''= k2·ekx, y''' = k3·ekx, …,y(n) =kn·ekx.

4. Найти производную n-го порядка функции y = sin x. Имеем

Выясним механический смысл второй производной. (Механический смысл первой производной – скорость).

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s=s(t), где s – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость vэтого движения есть v= s'(t) = v(t), т.е. тоже некоторая функция времени. В момент времени t скорость имеет значение v=v(t). Рассмотрим другой момент времени t+Δt. Ему соответствует значение скорости v1 = v(t+Δt). Следовательно, приращению времени Δt соответствует приращение скорости Δv= v1 – v = v(t + Δt) – v(t). Отношение Δt .

называется средним ускорением за промежуток времени

Ускорением в данный момент времени t называется предел среднего ускорения при Δt→0: . Таким образом, ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени. Но как мы уже видели, скорость есть производная пути s по времени t: v = s'. Учитывая это, имеем: a = v'(t) = (s')' = s''(t), т.е. ускорение прямолинейного движения точки равно 2-й производной пути по времени a = S''(t).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть имеем функцию y=f(x), где x – независимая переменная. Тогда дифференциал этой функции dy=f'(x)dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только первый сомножитель f'(x) , а dx = Δx от x не зависит (приращение в данной точке x можно выбирать независимо от этой точки). Рассматривая dy как функцию x, мы можем найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала данной функции y=f(x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y: d(dy)=d2y. Найдем выражение второго дифференциала. Т.к. dxот x не зависит, то при нахождении производной его можно считать постоянным, поэтому d2y = d(dy) = d[f '(x)dx)] = [f '(x)dx]'dx = f ''(x)dx·dx = f ''(x)(dx)2. Принято записывать (dx)2 = dx2. Итак, d2у= f''(x)dx2. Аналогично третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала: d3y=d(d2y)=[f ''(x)dx2]'dx=f '''(x)dx3. Вообще дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка: dn(y)=d(dn-1y) dny = f (n) (x)dxn

Отсюда, пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:

ПРОИЗВОДНАЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть значения двух переменных x и y связаны между собой некоторым уравнением, которое символически запишем так: F(x , y) = 0. 1)

Если на некотором множестве D каждому значению переменной x соответствует единственное значение y, которое вместе с x удовлетворяет уравнению (1), то будем говорить, что это уравнение задает неявную функцию y=f(x). Из определения следует, что для любой неявной функции y=f(x), заданной уравнением (1), имеет место тождество F(x, f(x)) ≡ 0, справедливое при всех x ∈ D. Например, уравнение x2 + y2 – a2 = 0 неявно определяет две элементарные функции . Действительно, после подстановки в исходное уравнение этих значений получим равенство x2+(a2–x2) – a2 = 0. Однако, не всякую неявно заданную функцию можно представить явно, т.е. в виде y=f(x). Например, функции, заданные уравнениями y2– y – x2=0 или , не выражаются через элементарные функции, т.е. эти уравнения нельзя разрешить относительно y. Заметим, что каждая явная функция y=f(x) может быть представлена и как неявная y– f(x) = 0. Таким образом, неявная функция – это определенный способ задания зависимости между переменными x и y. Рассмотрим правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, т.е. не представляя в виде y=f(x). Чтобы найти производную у' неявной функции F(x, y)=0, нужно обе части этого уравнения продифференцировать по x, рассматривая у как функцию от x, и из этого полученного уравнения найти искомую производную y'. Чтобы найти y'', нужно уравнение F(x, y)=0 дважды продифференцировать по x и выразить y'' и т.д. Примеры. Найти производные функций заданных неявно.

Итак, производная неявной функции выражается, как правило, не только через аргумент, но и через функцию. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

Пусть даны два уравнения x=x(t),y=y(t), где t ∈ [T1, T2]. 1)

Каждому значению t из [T1, T2] соответствуют определенные значения x и y. Если рассматривать значения x и y как координаты точки на плоскости xOy, то каждому значению t будет соответствовать определенная точка плоскости. Когда t изменяется от T1 до T2, эта точка на плоскости описывает некоторую кривую. Уравнения (1) называются параметрическими уравнениями этой кривой, t называется параметром, а способ задания кривой уравнениями (1) называется параметрическим. Предположим, что функция x=x(t) имеет обратную t=t(x). Тогда, очевидно, у является функцией от x: y=y[t(x)]. Следовательно, уравнения (1) определяют y как функцию от x, и говорят, что функция y от x задается параметрически. При рассмотрении функций, заданных параметрически, исключение параметра не всегда возможно. Во многих случаях удобнее задавать различные значения t и затем вычислять соответствующие значения аргумента x и функции y.

Пример. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями:

Построим эту кривую на плоскости, придавая различные значения параметру t и находя соответствующие значения х и у. При t =0 M(R, 0). Таким образом, получаем окружность с центром в начале координат, радиуса R. Здесь t обозначает угол, образованный радиусом, проведенным в некоторую точку окружности М(x, y), и осью Ox. Если исключим из этих уравнений параметр t, то получим уравнение окружности, содержащее только x и y. Возводя в квадрат параметрические уравнения и складывая их, находим: x2+ y2=R2(cos2t + sin2t) или x2+ y2=R2.

Выведем правило нахождения производных функций, заданных параметрически. Пусть x=x(t), y=y(t), причем на некотором отрезке [T1, T2] функции x(t) и y(t) дифференцируемы и x' ≠ 0. Т.к. у – функция, зависящая от переменной x, то будем считать, что функция x=x(t) имеет обратную t=t(x). Будем обозначать: yx' – производная функции по переменной x, yt', xt', tx' – соответственно производные по t и х. Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции, получим . Производную tx' найдем по правилу дифференцирования обратной функции . Окончательно, Итак,

.

Полученную функцию

можно рассматривать как функцию, заданную

параметрически: . Используя эту формулу, можно находить и производные высших порядков функций, заданных параметрически. Найдем

. По определению второй производной

. Учитывая, что yx' есть функция параметра t, yx'=f(t), получаем:

Примеры.

1.

, y = arcsin (t–1). Найдем

Следовательно,

.

.

2. Найти угловой коэффициент касательной к циклоиде x = a·(t – sin t), y = a·(1 – cost) в произвольной точке (0 ≤t≤ 2·π). Угловой коэффициент касательной

.

x' = a·(1 – cost) ,y' = a·sin t. Поэтому

.

3.

Найти

.

УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ К КРИВОЙ

Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку M(x0, y0), и составим уравнение касательной к данной кривой в точке M, предполагая, что эта касательная не параллельна оси Oy. Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kx + b. Поскольку для касательной k= f'(x0), то получаем уравнение y= f'(x0)·x + b. Параметр b найдем из условия, что касательная проходит через точку M(x0, y0). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: y0= f'(x0)·x0 + b. Отсюда b=y0– f'(x0)·x0. Таким образом, получаем уравнение касательной y= f'(x0)·x +y0 – f'(x0)·x0 или y = f '(x0)·(x – x0) + f(x0) Если касательная, проходящая через точку М(x0,y0) параллельна оси ординат (т.е. производная в этой точке не существует), то ее уравнение x= x0. Наряду с касательной к кривой в данной точке часто приходится рассматривать нормаль. Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в данной точке. Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент kn связан с угловым коэффициентом касательной k равенством: .

Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку M(x0, y0), то уравнение нормали к кривой y= f(x) в данной точке M имеет вид:

Ясно, что если касательная параллельна оси Ox, т.е.f'(x0) = 0 и ее уравнение имеет вид y= y0, то нормаль в этой же точке будет перпендикулярна оси Ox. Значит, ее уравнение имеет вид x= x0. Примеры. 1. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = tg2x в точке с абсциссой x0=π/4.

Уравнение касательной имеет вид y =4·(x – π/4) + 1 или y = 4x – π + 1. Уравнение нормали будет y = –1/4·(x – π/4) + 1 или у = –1/4·x + π/16 + 1. 2. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = 0.5·(x – 2)2 + 5 в точке M(2; 5). y'= x – 2, y'(2) = 0 . Следовательно, касательная параллельна оси Ox, а значит ее уравнение y= 5 . Тогда нормаль параллельна оси Oy и имеет уравнение x= 2 .

3. Найти уравнение касательной и нормали к эллипсу

в точке M(2; 3).

Найдем y' по правилу дифференцирования неявной функции . Уравнение касательной: Уравнение нормали:

,т.е. , т.е.

. .

4. Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде x= t – sin t, y= 1 – cos tв точке М(x0; y0), которая соответствует значению параметра t = π/2. При t=π/2x0= π/2 – 1, y0=1. . Уравнение касательной: y = x – π/2 + 1 + 1, т.е. у = x – π/2 + 2. Уравнение нормали: y = – x – π/2 – 1 + 1, т.е. у = – x – π/2.

ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ Теорема Ролля. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка (т.е. на (а; b)) и на концах отрезка обращается в нуль f(a) = f(b) = 0, то на (a; b) найдется хотя бы одна точка c ∈ (a; b), в которой f'(c) = 0. Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a; b], то по одной из теорем о непрерывных функциях она достигает на этом отрезке наибольшего

значения и наименьшего. Пусть Заметим, что если М = m, то f(x) = const = 0 (по условию теоремы f(a)=f(b)=0) и, следовательно, f'(x)=0при всех x ∈ [a; b] . Предположим, что M≠m, тогда, по крайней мере, одно из этих чисел отлично от нуля. Для определенности будем считать, что М ≠0 и М > 0. Пусть в точке x = c f(c)=М, при этом c≠a и с ≠ b, т.к. f(a)=f(b)=0. Придадим значению c приращение Δx и рассмотрим новую точку c+Δx. Поскольку f(c) – наибольшее значение функции, то f(c+Δx) – f(c)≤0 для любого Δx. Отсюда следует, что

Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→0 и учитывая, что производная при x = c существует, будем иметь:

Но неравенства f'(c) ≤ 0 и f'(c) ≥ 0 одновременно возможны лишь в случае, когда f'(c)=0. Теорема доказана. Эта теорема имеет простой геометрический смысл. Если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ox в точках x=a и x=b, то на этой кривой найдется хотя бы одна точка с абсциссой c, a < c < b, в которой касательная параллельна оси Ox. Заметим, что доказанная теорема останется справедливой, если предположить, что на концах отрезка функция принимает равные значения f(a)=f(b), не обязательно равные нулю. Кроме того, отметим, что если внутри [a; b] найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции f(x) не существует, то

утверждение теоремы может оказаться неверным. Пример. Функция непрерывна на [–1; 1], обращается в нуль на концах отрезка. Но

не производная обращается в нуль ни в одной точке этого отрезка. Теорема Лагранжа. Если функция y= f(x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка c, a
Подставляя в это равенство значение k, получим , что и требовалось доказать.

Теорему Лагранжа геометрически можно пояснить так. Рассмотрим график функции y=f(x), удовлетворяющий условиям теоремы и соединим концы графика для хорды на [a; b] хордой AB. Как мы уже отметили, отношение AB, а f'(c) есть угловой коэффициент касательной. Следовательно, теорема утверждает, что на графике функции y=f(x) найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна хорде, соединяющей концы дуги. Теорема Коши. Если f(x) и g(x) – две функции, непрерывные на [a; b] и дифференцируемые внутри него, причем g'(x) ≠ 0 при всех x ∈ (a; b), то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка c ∈ (a; b), что

.

Доказательство.Определим число . Заметим, что g(b) – g(a) ≠ 0, т.к. в противном случае выполнялось бы равенство g(b)=g(a) и по теореме Ролля в некоторой точке d ∈ (a; b)g'(d) = 0. Это противоречит условию теоремы. Составим вспомогательную функцию. F(x) = f(x) – f(a) – k[g(x) – g(a)]. Несложно заметить, что F(a)=F(b)=0. Функция F(x) удовлетворяет на [a;b] всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, найдется число сÎ(a; b) такое, что F'(c) = 0. Но F'(x) = f'(x) – k·g(x), а значит F'(c) = f'(c) – k·g'(c) = 0,

откуда

.

доказать, Заметим, что теорему Коши нельзя применяя теорему Лагранжа к числителю и знаменателю дроби k. Объясните почему. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть

или отношения производных этих функций самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

. Тогда, если существует предел , то существует и предел отношения

1)

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных. Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует. Например, найти . Этот предел существует . Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу. Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее. Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞. Для раскрытия неопределенностей 1∞, 10, ∞0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма. Примеры.

.

1. 2.

3.

4.

.

.

5. .

Обозначим

. Найдем

Прологарифмируем это равенство . Так как lny функция непрерывная, то или

. Следовательно,

.

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x0 ∈ (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значенийf(x) в окрестности точки x0 можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x). Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = Pn(x). Будем искать его в виде 1)

В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты . Для того чтобы этот многочлен был "близок" к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств: Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты многочлена Pn(x) исходя из условия равенства производных. Введем обозначение n! = 1·2·3…n, 0! = 1, 1! = 1. Подставим в (1) x = x0 и найдем

, но с другой стороны

.

Поэтому и

Далее найдем производную Следовательно, вычислим Учитывая третье условие и то, что

. ,

получим

, т.е.

.

Далее

. Значит, , т.е.

.

Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула

Подставляя найденные значения коэффициентов искомый многочлен:

Обозначим

в формулу (1), получим

и назовем эту разность n-ым остаточным членом

и, следовательно, если функции f(x) в точке x0. Отсюда остаточный член будет мал. Оказывается, что если x0 ∈ (a, b) при всех x ∈ (a, b) существует производная f (n+1)(x), то для произвольной точки x ∈ (a, b) существует точка, лежащая между x0 и x такая, что остаток можно представить в виде:

Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена. Формула

где x ∈ (x0, x) называется формулой Тейлора. Если в этой формуле положить x0 = 0, то она запишется в виде

где x ∈ ( x0, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

1. Рассмотрим функцию f(x)=ex. Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n+1) порядка:

Таким образом, получаем

Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение ex. Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e: причем остаток Отметим, что для любого x ∈ R остаточный член Действительно, так как ξ ∈ (0; x), то величина eξ ограничена при фиксированном x. При x> 0 eξ < ex. Докажем, что при фиксированном x

Имеем Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x|
Но

Заметив, что 0N можем написать

, не зависящая от n, а

так как q<1.

Поэтому Следовательно, Таким образом, при любом x, взяв достаточное число слагаемых, мы можем вычислить ex с любой степенью точности. 2. Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x. Найдем последовательные производные от функции f(x)=sin x.

Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:

Несложно заметить, что преобразовав n-й член ряда, получим

. , то аналогично разложению ex можно показать, что

Так как для всех x.

Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n=3 будем иметь:

Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:

Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001. 3. f(x) = cos x. Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу:

Здесь также

для всех x. Докажите формулу самостоятельно.

4. f(x)=ln (1+x). Заметим, что область определения этой функции D(y)=(–1; +∞). Найдем формулу МакЛорена для данной функции.

Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена.

Можно доказать, что если x ∈ (–1;1],то справедлива при x ∈ ( –1;1].

, т.е. выведенная формула

5. f(x) = (1+x)m, где m ∈ R, m≠0. При m≠Z данная функция определена при x> –1. Найдем формулу МакЛорена для этой функции:

И следовательно,

Можно показать, что при |x|<1 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ

Вспомним сначала определения возрастающей и убывающей функций.

Функция y=f(x), определенная на некотором отрезке [a, b] (интервале (a, b)), называется возрастающей на этом отрезке, если большему значению аргумента x из [a, b] соответствует большее значение функции, то есть если x1 < x2, то f(x1) < f(x2). Функцияy=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [a, b], если меньшему значению аргумента x из [a, b]соответствует большее значение функции, то есть если x1 < x2, то f(x1) > f(x2). Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке. Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения. Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции. (-∞, a), (c, +∞) – убывает; (a, b) – постоянная; (b, c) – возрастает. Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции. Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

1. Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f '(x)≥ 0. 2. Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ' (x)≥ 0 для a<x0, то x<x+Δx. Поэтому по определению возрастающей функции f(x)0. Но тогда и Аналогично, если Δx<0, то x>x+Δx и значит f(x+Δx)f(x)<0, а

Переходя в этом равенстве к пределу при Δx→0, получим , то есть f '(x)≥0.

2. Докажем вторую часть теоремы. Пусть f '(x)>0при всех x ∈ (a,b). Рассмотрим два любых значения x1 и x2 таких, что x1 < x2. Нужно доказать, что f(x1)< f(x2). По теореме Лагранжа существует такое число c ∈ (x1, x2), что . По условию f '(x)>0, x1 – x2>0⇒ , а это и значит, что f(x) – возрастающая функция. Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций. Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то

на этом отрезке. Если на (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b]. Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tga≥0, а значит f '(x)≥0. Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы. Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f '(x)>0 – для возрастания или f '(x)<0 – для убывания. Примеры. Определить интервалы монотонности функции.

3.

. Область определения заданной функции D(y) = (-∞; 0)∪(0; +∞).

. Следовательно, f(x) – убывает на (-∞; 0) и (0; +∞). 4.

Найдем промежутки, на которых производная заданной функции положительна или отрицательна методом интервалов. Итак, f(x) – убывает на (–∞; –1] и [1; +∞),

возрастает на отрезке [–1; 1]. 5.

. Используя метод интервалов, получим f(x) убывает на (0; 1) и (1; e], возрастает на [e; +∞).

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке. Значение функции в точке x1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x1. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x1 максимум. В точке x3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x2, то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x2 минимум. Аналогично для точки x4. Функция y=f(x) в точке x0 имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0, т.е. если существует такая окрестность точки x0, что для всех x≠x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)f(x0. Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции. Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка. Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x1 имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x1. В частности, f(x1) < f(x4) т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близкихк точке максимума. Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x0 экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль. Доказательство. Пусть для определенности в точке x0 функция имеет максимум. Тогда

при достаточно малых приращениях Δx имеем f(x0+ Δx)
Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→ 0 и учитывая, что производная f '(x0) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как Δx → 0, получаем: при Δx → 0 – 0 f'(x0) ≥ 0 а при Δx → 0 + 0 f'(x0) ≤ 0. Так как f '(x0) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f '(x0) = 0. Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль. Мы рассмотрели случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в тех случаях, когда производная не существует? Рассмотрим примеры. Примеры.

1. y=|x|. Функция не имеет производной в точке x=0 (в этой точке график функции не имеет определенной касательной), но в этой точке функция имеет минимум, так как y(0)=0, а при всех x≠ 0y > 0. 2. Функция

не имеет производной при

x=0, так как обращается в бесконечность приx=0. Но в этой точке функция имеет максимум.

3. Функция

не имеет производной при x=0, так

при x→0. В этой точке функция не как имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, f(x)=0 и при x<0f(x)<0, а при x>0f(x)>0. Таким образом, из приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна нулю; 2) в точке, где производная не существует. Однако, если в некоторой точке x0 мы знаем, что f '(x0)=0, то отсюда нельзя делать вывод, что в точке x0 функция имеет экстремум. Например.

.

Но точка x=0 не является точкой экстремума, поскольку слева от этой точки значения функции расположены ниже оси Ox, а справа выше. Значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками.

Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди критических точек, и, однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого служит следующая теорема. Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x0, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x0). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x0 функция имеет максимум. Если же при переходе через x0 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум. Таким образом, если

a. f '(x)>0 при x<x0 и f '(x)<0 при x> x0, то x0 – точка максимума; b.

при x<x0 и f '(x)>0 при x> x0, то x0 – точка минимума.

Доказательство. Предположим сначала, что при переходе через x0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x, близких к точке x0 f '(x)>0 для x< x0, f '(x)<0 для x> x0. Применим теорему Лагранжа к разности f(x) - f(x0) = f '(c)(x- x0), где c лежит между x и x0 . 1. Пусть x < x0. Тогда c< x0 и f '(c)>0. Поэтомуf '(c)(x- x0)<0и, следовательно, f(x) - f(x0)<0,т.е. f(x)< f(x0).

2. Пусть x > x0. Тогда c> x0 и f '(c)<0. Значитf '(c)(x- x0)<0. Поэтому f(x) f(x0)<0,т.е.f(x) < f(x0). Таким образом, для всех значений x достаточно близких к x0 f(x) < f(x0). А это значит, что в точке x0 функция имеет максимум.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы о минимуме.

Проиллюстрируем смысл этой теоремы на рисунке. Пусть f '(x1)=0 и для любых x, достаточно близких к x1, выполняются неравенства f '(x)<0 при x< x1, f '(x)>0 при x> x1. Тогда слева от точки x1 функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при x = x1 функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум. Аналогично можно рассматривать точки x2 и x3.

Схематически все вышесказанное можно изобразить на картинке: Правило исследования функции y=f(x) на экстремум 1. Найти область определения функции f(x). 2. Найти первую производную функции f '(x). 3. Определить критические точки, для этого: a. найти действительные корни уравнения f '(x)=0; b. найти все значения x при которых производная f '(x) не существует.

4. Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки. 5. Вычислить значение функции в точках экстремума. Примеры. Исследовать функции на минимум и максимум.

1.

. Область определения функции D(y)=R.

Найдем производную заданной функции Определим критические точки . Производная не существует при х2= 0. Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось и определим знак производной на каждом из полученных промежутков.

2.

Критическая точка функции x =3. Точка x= –1 не входит в область определения функции.

3.

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений. Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a, b]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции

достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках. Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]: 1. Найти все критические точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках. 2. Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b. 3. Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее. Примеры.

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 2; –0,5].

на отрезке [–

Найдем критические точки функции. Вычислим значения функции в найденной точке и на концах заданного отрезка.

Итак, 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функцииy=x-2·ln x на [1; e].

3. Чему равна наименьшая площадь боковой поверхности прямого кругового конуса объема 3π?

По теореме Пифагора

. .

Следовательно,

. Найдем критические точки функции S: S' = 0, т.е. Покажем, что при найденном значении h функция Sбок достигает минимума.

. 4. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

Пусть r – радиус основания цилиндра, h – высота. . Нам нужно максимизировать объем цилиндра Используя условие задачи, найдем связь между r и h. По теореме Пифагора из треугольника ABC следует, что

. Отсюда

.

, по смыслу задачи 0≤h≤2R. . Покажем, что при найденном значении h функция V принимает наибольшее значение.

ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c). Примеры. выпукла на [– 1. Полуокружность 1; 1]. 2. Парабола y = x2 вогнута на интервале (-∞; +∞). 3. График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других вогнутым. Так график функции y = sin x на [0,2; π], выпуклый в интервале (0; π) и вогнутый в (π; 2π). Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым. Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый. Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M0 с абсциссой x0 ∈ (a; b) и проведем черезточку M0 касательную. Ее

уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим

ординату касательной,

соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет . Разность f(x) – f(x0) преобразуем по теореме Лагранжа c между x и x0. Таким образом,

, где

. К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где c1 между c0 и x0. По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей. 1. Предположим, что x>x0. Тогда x0 0 и (c – x0) > 0. Поэтому . 2. Пусть x<x0, следовательно, x < c < c1 < x0 и (x – x0) < 0, (c – x0) < 0. Поэтому вновь . Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x0 ∈ (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично. Примеры. 1. Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой y = 2 – x2. Найдем y '' и определим, где вторая производная положительна и где отрицательна. y' = –2x, y'' = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла. 2. y = ex. Так как y'' = ex > 0 при любых x, то кривая всюду вогнута.

3. y = x3. Так как y'' = 6x, то y'' < 0 при x < 0 и y'' > 0 при x > 0. Следовательно, при x < 0 кривая выпукла, а при x > 0 вогнута. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею. Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба. Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x0) = 0 или f ''(x0) не существует и при переходе через значение x = x0 производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x0 есть точка перегиба. Доказательство. Пусть f ''(x) < 0 при x < x0 и f ''(x) > 0 при x > x0. Тогда при x < x0 кривая выпукла, а при x > x0 – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x0 есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f ''(x) > 0 при x < x0 и f ''(x) < 0 при x > x0. Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует. Примеры. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости кривых. 1. Найдем производные заданной функции до второго порядка. . . Вторая производная не существует при x = 1. Исследуем эту точку на возможный перегиб. Итак, точка перегиба x = 1. Функция выпукла на (1; +∞), вогнута на (–∞; 1).

2. Возможные точки перегиба найдем, решив уравнение 2x2 – 1 = 0. Отсюда . .

Точки перегиба

и

Функция выпукла на

.

вогнута на 3. y = ln (1 – x2). Область определения функции D(y) = (-1; 1).

. при всех x из (–1; 1). Следовательно, f(x) выпуклая на (–1; 1).

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Особый интерес представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую.

Если обозначим через d расстояние от точки M кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность. Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ Пусть при x→ x0 с какой-либо стороны функция y = f(x)неограниченно возрастает по

абсолютной величине, т.е. или или определения асимптоты следует, что прямая x = x0 является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая x = x0 является

. Тогда из

асимптотой, т. о. . Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→ x0 – 0 или x → x0 + 0, x = x0 Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x0, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x0. Примеры.

1. Найти вертикальные асимптоты графика функции

.

, то прямая x = 2 является

Так как вертикальной асимптотой.

2.

. Прямая x = 0 – вертикальная асимптота.

НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b. Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда

и только тогда, когда . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞. Доказательство. Пусть MP – длина отрезка, равного расстоянию от точки M до асимптоты. По условию Ox. Тогда из ΔMNP следует, что

, но

. Обозначим через φ угол наклона асимптоты к оси . Так как φ постоянный угол (φ ≠ π/2), то

MN = MK – NK = y - yас = f(x) - (kx+b). Следовательно, мы можем записать следующее равенство

. Так как x → +∞, то должно выполняться равенство постоянных k и b

и

. Следовательно,

. Но при , т.е.

. Если число k уже известно, то , поэтому . Для доказательства в случае x → –∞ все рассуждения аналогичны. Докажем обратное утверждение. Предположим, что существуют пределы, определяющие числа k и b. Тогда несложно заметить, что выполняется равенство . Действительно

Следовательно, прямая y = kx + b есть асимптота. Теорема полностью доказана. Сделаем несколько замечаний. Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет. Замечание 2. В случае, когда k = 0 асимптота y = b называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что существуют пределы . Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при x → +∞ и x → – ∞ и, следовательно, график функции может иметь две различные асимптоты при x → +∞ и x → –∞. Примеры. Найти асимптоты кривых.

1.

. 1. Вертикальные:

x = 0 – вертикальная асимптота.

2. Наклонные:

. При x → - ∞ получим те же значения k и b. Следовательно, прямая y = x + 2 является наклонной асимптотой. 2. y = e–x sin x + x. 1. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, следовательно, вертикальных асимптот нет. 2.

. а) Итак, при x → +∞ наклонная асимптота у= х. б)

, т. к. , поэтому при x → - ∞ наклонных асимптот

нет. 3. y = x – 2arctg x. 1. Вертикальных асимптот нет. 2.

а)

. . Наклонная асимптота y = x – π при

б)

.

при

.

ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ 1. 2. 3. 4. 5.

a. Найти ОДЗ и точки разрыва функции. b. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания. Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные. На основании проведенного исследования построить график функции.

Заметим, что перед построением графика полезно установить, не является ли данная функция четной или нечетной. Вспомним, что функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется: f(-x) = f(x) и функция называется нечетной, если f(-x) = f(x). В этом случае достаточно исследовать функцию и построить её график при положительных значениях аргумента, принадлежащих ОДЗ. При отрицательных значениях аргумента график достраивается на том основании, что для четной функции он симметричен относительно оси Oy, а для нечетной относительно начала координат. Примеры. Исследовать функции и построить их графики.

1.

. 1. Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет. Пересечение с осью Ox: x = 0,у=0. Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на промежутке [0, +∞).

2.

. Критические точки: x1 = 1; x2= –1.

3. 4. а) Вертикальных асимптот нет

б)

. Асимптота – y = 0.

2.

. 1. D(y)=(–∞; +∞). Точек разрыва нет.

Пересечение с осью Ox:

.

2.

3.

4. . 5. 6. а) Вертикальных асимптот нет

б)

Наклонных асимптот нет.

.

3.

. 1. D(y)=(0; +∞). Функция непрерывна на области определения.

Пересечение с осью

:

2.

3.

4.

5. а)

. Вертикальная асимптота x = 0.

.

б) Наклонная асимптота y = 0.

4.

. 1. D(y)=( –∞;0)∪(0;1)∪(1;+∞). Функция имеет две точки разрыва x= 0 и x= 1. Точек пересечения с осями координат нет.

2.

при любых действительных значениях x. Поэтому функция возрастает на всей числовой прямой.

3.

4.

а)

Вертикальные асимптоты x = 0, x = 1.

б) Наклонная асимптота y = x + 1. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций. Эти комбинации рассматриваются как новые функции и обозначаются:

– гиперболический синус. – гиперболический косинус. С помощью этих функций можно определить еще две функции. – гиперболический тангенс. – гиперболический котангенс. Функции sh x, ch x, th x определены, очевидно, для всех значений x, т.е. их область определения (–∞; +∞). Функция же cthx определена всюду за исключением точки x = 0. Между гиперболическими функциями существуют следующие соотношения, аналогичные соответствующим соотношениям между тригонометрическими функциями. Найдем: Т.е.

. . .

Итак,

.

Следовательно, . Найдем производные гиперболических функций

. Аналогично можно показать

. .

и . Т.е. Графики гиперболических функций. Для того чтобы изобразить графики функций

shx и chx нужно вспомнить графики функций y = ex и y = e-x

Проведем исследования функции y = th x. 1. a. D(f) = (–∞; +∞), точек разрыва нет. b. Точка пересечения с осями координат 2.

, функция возрастает на (–∞; +∞).

3. 4. a. Вертикальной асимптоты нет. b.

.

.

y = cth x

D

. Точка разрыва x = 0 cth x = 0 – нет

убывает на

.

При x → +∞