МИНИСТЕРСТВО ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ И ТОРГОВЛИ РФ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей и прикладной математики
Одобрено учебно-методическим советом экономического факультета
М.В. Зайцев, Т.А. Лавриненко
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Сборник задач ЧАСТЬ I
Москва 2003
Зайцев Михаил Владимирович, Лавриненко Татьяна Алексеевна
Пособие написано в соответствии с программой по высшей математике для студентов экономических специальностей и содержит задачи и упражнения по курсу высшей математики, изучаемому студентами РГТЭУ в первом семестре. В пособии рассматриваются следующие темы: предел и непрерывность функции, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, интегральное исчисление функций одной переменной, дифференциальное уравнения, ряды. Задачник может быть использован как для проведения практических занятий, так и для самостоятельной работы студентов. Все задачи снабжены ответами.
СОДЕРЖАНИЕ Раздел 1. Дифференциальное исчисление. Тема 1. Предел и непрерывность функции. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.
Понятие функции. Способы задания функций. Элементарные функции. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Непрерывность функции. Точки разрыва.
Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.
Понятие производной. Вычисление производных. Понятие дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. Исследование функций и построение графиков. Применение дифференциального исчисления в экономических вопросах.
Тема 3. переменных. 3.1. 3.2. 3.3.
Дифференциальное
исчисление
функций
нескольких
Частные производные 1-го и 2-го порядка. Дифференциал функции. Производная по направлению и градиент функции. Экстремум функции двух переменных.
Раздел II. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ряды. Тема 4. Интегралы. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.
Понятие неопределенного интеграла. Вычисление неопределенных интегралов. Понятие определенного интеграла. Вычисление определенных интегралов. Геометрические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы.
Тема 5. Дифференциальные уравнения. 5.1. 5.2. 5.3.
Понятие о дифференциальных уравнениях. Уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Тема 6. Ряды. 6.1. Понятие числового ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости. 6.2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда. 6.3. Степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд.
Ответы
Раздел 1. Дифференциальное исчисление Тема 1. Предел и непрерывность функций 1.1. Понятие функции 1.1. Найти области определения и построить графики функций: 1) y = x 6) y = -x 2 + 1
2) y = - x 1 3) y = x 4) y = 1 - x 5) y = x + x
7) y = (x - 1) 2 + 2 1 8) y = 2 x +1 1 9) y = 1- x 10) y =
x −1
1.2. Найти области определения функций 1) y = x - 1 - 5 - x 5) y = ( x - 1)(x - 2)
2) y = log 2 x
6) y = log x 2 - x 1 1 + 2 x +1 x −1 1 8) y = -x − 2+x
3) y = ln x 4) y =
7) y =
1 x -1 −1
2
1.3. По заданным функциям f ( x) u g(x) построить сложную функцию y = f ( g ( x)) : 1) f(x) = ln x, g(x) = x ;
6) f(x) = x + 1, g(x) = x 2 ;
2) f(x) = x , g(x) = ln x;
7) f(x) = ln x, g(x) = e x ;
3) f(x) = sin x, g(x) = x ;
8) f(x) = e x , g(x) = ln x;
4) f(x) = x , g(x) = sin x; 9) f(x) = tg x, g(x) = arctg x; 5) f(x) = x 2 , g(x) = x + 1; 10) f(x) = arctg x, g(x) = tg x.
1.2. Числовая последовательность и ее предел 1.4. Написать пять первых членов последовательности: 1 1) x n = ; 5) x n = n 2 − 1; n 1 2) x n = ; 6) x n = 10 n ; n +1 1 3) x n = (-1)n ⋅ n; 7) x n = 1 + 2 ; n 1 − 1 4) x n = 1 - ; 8) x n = (1 + n) 2 . n
1.5. Написать формулу общего члена последовательности: 1 1 1 1) 1; ; ; ;... 3) 0; 0,9; 0,99; 0,999;... 3 5 7 3 4 5 2) 2; 2 ; 3 2 ; 4 2 ;... 4) 2; ; ; ;... 2 3 4
Используя определения предела последовательности, доказать равенства: n +1 5 1.6. lim = 0; 1.7. lim = 1; n →∞ n n →∞ n n −1 1 1.8. lim 2 = 0; 1.9. lim = 0; n →∞ n n →∞ n
1 (-1)n = 0; 1.11. lim = 0. n →∞ 2n n →∞ n + 1 5n 2 − 5 n 2 − 2n + 3 ; 3) lim ; 1.12. 1) lim 2 n →∞ n + 1 n →∞ n3 − 1 1 n 2 − 20n + 100 2) lim ; 4) lim . n →∞ n → ∞ 1 n(n − 10) 1+ n +1 3 1- n 1.13. 1) lim 2 ; 6) lim ( n + 1 − n − 1); n →∞ n n →∞ n 2 +1 n2 +1 ; 2) lim n ; 7) lim n →∞ 3 n → ∞ ( n + 1) 4
1.10. lim
(n + 1) 2 3) lim ; n →∞ 4n 2
8) lim
n →∞
4n n + 2 + n2 − 2 2
;
3 n2 + n n 2 + 2n + 3 4) lim ; 9) lim . n →∞ n →∞ n + 5 n 2n 2 + 3− n ln 2n + ln 3n 5) lim n ; 10) lim . n → ∞ 3 + 2− n n →∞ 6n
1.3. Предел функции. Используя определения предела функции, доказать равенства 1.14. lim(3x + 2) = 5; 1.15. lim (1 − 2 x) = 3; x →1
1.16. lim x →1
x →−1
1 = ∞; x -1
1.18. lim x = 2 ; x →2
1.17. lim ( x 2 − 1) = ∞; x →∞
sin x = 0; x →∞ x
1.19. lim
Найти пределы: x2 + 1 ; 1.20. lim 2 x →1 x − 2 2 1+ x − ); 1.22. lim( x →1 x − 1 x −1 1.24. lim x →0
1+ x −1 ; x
1.26. lim ( x 2 + 1 − x); x →+∞
1.28. lim
x →+∞
x +1 x −1 2
;
1+ x −1 ; x →0 x2 ln(3 + x) ; 1.32. lim x →1 1 1− x sin x ; 1.34. lim x →∞ x
1.30. lim
1.21. lim x →1
1.23. lim
x 2 − 2x + 1 ; x3 − x2 2x2
x →0
x 2 + 16 − 4
;
x2 + 1 ; x →∞ 2 x 2 − 2
1.25. lim
1.27. lim ( x 2 + 1 − x); x →−∞
1.29. lim
x →−∞
x +1 x2 − 1
;
3x 2 + 2 x − 8 ; x →∞ x3 + 4 1 + x + x2 ; 1.33. lim x →∞ 1 + x − x 2
1.31. lim
( x − 1) 2 − x . x →1 x2 − 1
1.35. lim
Используя первый замечательный предел, вычислить: sin5 x tg x ; ; 1.36. lim 1.37. lim x →0 x →0 x x tg3x sin 7 x ; ; 1.38. lim 1.39. lim x →0 sin 4 x x →0 sin 3 x 1 − cos x x tg x ; ; 1.40. lim 1.41. lim x →0 1 − cos 2 x x →0 x2 1 1 x ; ); − 1.42. lim 1.43. lim( x →0 1 − cos x x →0 sin x tg x tg x tg 2 x ; ; 1.44. lim 1.45. lim x →π π − x x →π tg x Используя второй замечательный предел, вычислить: x 2 2 x + 1 2x ) ; 1.46. lim(1 + ) ; 1.47. lim ( x →∞ → ∞ x x x 1 x −1 x ) ; 1.48. lim(1 + 2 x) 3 x ; 1.49. lim ( x →0 x →∞ x + 1 3x − 4 3 x x2 +1 2 ) ; 1.50. lim ( 2 ) x ; 1.51. lim ( x →∞ 3 x + 4 x →∞ x − 1 1 1 2 1.52. lim (1 − ) x ; 1.53. lim (1 + 2 ) x −1 ; x →∞ x →∞ x x 2 ln(1 + x) x − 2x + 1 x ; ) 1.54. lim 1.55. lim ( 2 → ∞ x →0 x x x − 3x + 2
Смешанные задачи на вычисление пределов. Найти пределы. x3 x2 ); x →∞ 3 x 2 − 4 3 x + 2 2 1 1.58. lim( - 2 ); x →1 x − 1 x − 1 x + sin x 1.60. lim ; x →∞ x + cos x 2x 1.62. lim x ; x → +∞ 2 + 1
1.57. lim ( x − x 2 + x + 1);
1.56. lim (
x → +∞
1.59. lim ( x 2 + 4 − x 2 − 3 x + 1); x → −∞
1.61. lim ( x 2 + 1) cos x →∞
2x ; x → −∞ 2 x + 1
1.63. lim
3x ; x →0 3 x − 1
1.65. lim
( x 5 + 5) 20 ; x →∞ ( x 20 + 20) 5
1.67. lim
1.64. lim
x →0
1.66. lim 1.68. lim x →0
1 ; x +1 2
x →−∞
1+ x2 − 1+ x ; 1− 1+ x x2 + 4 x−4 2x
sin 3 x ; 1+ x − 1− x
1.69. lim10 x −2 ; x →∞
Найти левый и правый пределы: 1 1 1.70. 1) lim ; 2) lim 1 1 х →3+ 0 х →3−0 x −3 x −3 x+2 x+2 1
1
1.71. 1) lim e x -2 ; х →2+ 0
2) lim e x −2 ; х → 2 −0
1.4. Непрерывность функций. Точки разрыва. Найти точки разрыва функции x+5 1 1.72. y = 2 ; ; 1.73. y = 2 x - 3x + 2 x +x-2 3x + 2 x 1.74. y = ; ; 1.75. y = 2 2x + 3 ln(1 + x ) x +π x +1 1.76. y = 1.77. y = 3 ; ; x −1 sin πx (x + 1)(x + 2)(x + 3) x -1 ; 1.78. y = 3 ; 1.79. y = ( x - 1)(x - 2)(x - 3) x +1 x +2 x −3 . + 1.80. y = x -3 x + 2 1.81. Исследовать на непрерывность функцию y = 1) [2;5] ;
2) [4;10] ;
1 ( x − 1)( x − 6)
на отрезке:
3) [0;7] . 1 1 1 1.82. Исследовать на непрерывность функцию y = + + x x − 10 x + 10 на отрезке:
1) [- 2;2] ; 5) [2;12] ;
2) [- 20;20] ; 6) [0,1;9,9] ;
3) [1;5] ; 7) [- 11;-9] ;
4) [- 1;5] ; 8) [- 90;-20].
Определить характер точек разрыва: 1 x+2 ; ; 1.83. y = 1.84. y = ( x − 2)( x − 3) x−2 1.85. y =
1 ; 1 − e1− x
1.86. y =
ex ; ( x − 1) 2
⎧ sin x ⎧ 12 , x≠0 ⎪ ⎪ x ; 1.88. y = ⎨e , x ≠ 0 ; 1.87. y = ⎨ x ⎪⎩− 1, x = 0 ⎪⎩0, x = 0 ⎧− 1, x p 0 ⎪ 1.89. y = sgn x = ⎨ 0, x = 0 . ⎪ 1, x f 0 ⎩
Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. 2.1. Понятие производной. Вычисление производных. Исходя из определения производной, найдите производную функции: 1 1 2.1. y = 2x + 3. 2.2. y = 1 - 5x. 2.3. y = x 2 + . 2 4 1 2.4. y = (x + 1) 2 . 2.5. y = x + 1. 2.6. y = . x-2 Вычислить производные: 2.7. 1) x 2 - 6x + 8; 2) 1 + x + x 2 + x 3 ;
4) 2x + 2 x ; 3
x + 3 2;
2.8. 1) sin x - cos x; 1 1 + 2) ; sin x cos x 3) x - arcsin x; 2.9. 1) 2 + 3 + 5e ; x
x
7)
3
x+
3
3 ; x
1 ; x 1 1 9) 2x - 2 − 3 ; x x 2 5 10) x . 5 4) x - arctg x; 8) x +
3) - 1 - x -1 - x -2 ;
5)
1 ; x
6)
x
2) log 2 x + log3 x;
5) tg x + ctg x; 6) cos x + arccos x. 3) e x − 2 ln x; 4) xe x ;
2.10. 1)
x +1 ; x -1
2)
x ; 2 x +1
3)
x5 . x3 - 2
1 + sin x . 2.12. ln x ⋅ sin x. 2.13. x ⋅ (sin x - cos x). x 1+ x x -1 2.14. . 2.15. x ⋅ sin x ⋅ ln x. 2.16. . ln x 1- x 2.17. Найти значение производной функции f ( x) : 1 1) f(x) = arcsin3x. Найти f ′(0), f ′( ). 5 1 2) f(x) = arctg 2x. Найти f ′(0), f ′(- ). 2 x e +1 Найти f ′(1), f ′(-1). 3) f(x) = x . e -1 4) f(x) = esin x . Найти f ′(π ). 2.11.
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найти производные функций: e x + e -x . 2.18. y = x arctg x. 2.19. y = 2x x ln x . 2.20. y = 2.21. y = ln sin x. x + ex 2.22. y = e cos x . 2.23. y = 3 sin 2 x + cos x . 1
x
2.24. y = 53 .
2.25. y = e cos x .
2.30. y = sin(arccos x).
ln sin x . cos x 1 2.29. y = arctg . x 2.31. y = tg (arccos x).
2.32. y = x ⋅ e x .
2.33. y = sin 3 x 2 .
2.34. y = x + x .
2.35. y = e ln x .
2.36. y = cos( x − cos x).
2.37. y = arcsin sin x .
2
2.26. y = e cos x . 2.28. y = arcsin(e 4 x ).
2.27. y =
1
x +1 . x -1 2.40. y = x arcsin(ln x). 2.38. y = arctg
2.42. y = 2 ⋅ x x . 2.44. y=cos (x2 +2x - 4).
2.46. y=sin ex.
1 - ex . 1 + ex 2.41. y = x x .
2.39. y = tg
2.43. y = x ln x . 2.45. y=sin (x3 - 3x +5).
2.48. y=e 2x-3 .
2.47. y=cos ln x . 2 2.49. y=e − x .
2.50. y=etgx .
2.51. y=esinx .
2.52. y= ln(1+2 x ).
2.53. y= ln( 2x2 +4x -1).
2.54. y= ln cos x .
2.55. y=ln(2ex+3) .
2.56. y= (3x+2)11 .
2.57. y=(x3+x2+1)10 .
2.58. y= ln5 x .
2.59. y=(ex - 1)6 .
2.60. y= sin2x .
2.61. y=cos3 x .
2.62. y= tg 10x .
2.63. y=ctg2 x .
2.64. y= ln (5x+7) .
2.65. у= e2x-9 .
2.66. y= sin 3x . x 2.68. y= tg . 2 2.70. y= tg x2.
2.67. y=cos 10x .
2.72. y= arctg
2.69. y=arctg 5x . 2.71. y= ctg ex. x.
2.73. y=arctg sinx .
2.74. y= arcsin ex . 2.76. y= 2.78. y=
5
2.75. y= arcsin
x.
3x − 1 .
2.77. y= 3 x 2 − 3x + 2 .
sin x .
2.79. y= 2 ex + 1 .
2.80. y= 2sin 3x +3cos 2x .
2.81. y= 2arctg 5x + e10x .
2.82. y= x ln (3x+1) . 2x . 2.84. y= cos x 3 2.86. y= ln sin ex .
2.83. y=sinx ecos x . tg 3x . 2.85. y= ln( 6x 2 + 5) 2.87. y= sin ln(ex+1) .
2.88. y= cos3 x2 .
2.89. y= sin2 x3 .
2.90. y= e 3x + 10 .
2.91. y= arctg
2.92. y= 2arctg lnx .
2.93. y= e
2.94. y= arcsin 2.96. y=
6 .
2
x . 5
4 + s in 3x
.
2.97. y= ln( x 2 − 3x − 4 ) .
2.98. y= ln ( x + x 2 + 4 ). x 2.100. y= tg3 . 3 1 + 4x 2.102. y= ln . 1 − 4x 1 2.104. y= . (1 + cos 3x ) 4
2.108. y= e
x 2 +1
2.95. y= arcsin e4x .
x
ex + 10 .
2.106. y= ln cos
2x − 1 .
2.99. y= ln ln( 3 x +10) . x 2.101. y= ctg5 . 5 x2 2.103. y= ln . 1 − x2 1 2.105. y= . 2 (ln x + 5)10 2.107. y=
.
2.109. y=
5 x − cos 7
2
3x
arctg e7x
2.110. y= tg sin cos 2x .
2.111. y= arccos
2.112. y= xsinx .
2.113. y= x
1
x
.
e
−
x3 2
. .
Составить уравнения касательных к графикам функций: 2.114. y=x2 - 3x + 2 в точке (3;2) . 2.115. y= x
в точке (4;2) .
2.116. y= ln x
в точке пересечения с осью Оx.
2.117. y= x2 - 5x + 6
в точках пересечения с осью Оx .
2.118. y=e7x
в точке пересечения с осью Оy.
2.119. y=x3 - x2 + x + 1 в точке (-1;-2) . 2.120. При каких значениях х касательные к графику функции y=x3 -7x параллельны прямой y=5x? 2.121. Найти угол наклона к оси Оx касательной к гиперболе y=
1 в точке (1;1) . x
2.2. Понятие дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Найти дифференциалы функций: 2.122. y= x3 - 3ln x .
2.123. y= cos x × ex .
2.124. y= sin 3x .
2.125. y= tg ln x . 1 + sin x 2.127. y= . 1 − sin x
2.126. y= x2 arctg x . sin x . 1 + cos x 2.130. y= arcsin ex .
2.128. y=
2.132. y=
e
tgx
2.129. y= sin 2 x + 2 x x . 2.131. y= x arctg x . 2.133. y=
sin cos x
2.134. Найти приращение Δ y и дифференциал dy
1) функции у=х2, 1 2) функции у= , x 3) функции у= x ,
если х=1 , Δ х= -0,2;
4) функции у= x3,
если х= 1 , Δ х= 0,1.
если х=3, Δ х=0,01;
если х= 1 , Δ х=-0,1351;
2.135. Найти приближенно приращение Δ у: 1 1) функции у= , если х= 4 , Δ х= 0,08; x
2) функции у= sinx , 3) функции у= lnx ,
π
, Δ х= 0,02; 3 если х= 5 , Δ х= -0,1. если х=
Найти производные 2-го порядка от функций: 2.136. у= sin2x. 2.137. у= arctg x. 2.138. у= x2 lnx.
2.139. у= ex × sin x.
2.140. у= arcsin x. 2
2.142. у= e x . 2.144. у= ctg x.
2.141. у= ln cosx. 2.143. у= 3x + 1 . 1 + 2x 2.145. у= . 1 − 2x
Найти производные 3-го порядка от функций: 2.146. y=ex × cosx. 2.147. y= x2 × ex . 2.148. y=ln(2x+5).
2.149. y= xlnx.
Найти производные n-го порядка от функций: 1 2.150. y= . 2.151. y= e2x. x 2.152. y= 5x. 2.153. y= ln(1+x). 2.154. y= xex.
2.155. y= (2x-3)n.
Найти дифференциалы 2-го порядка от функций: 2.156. y= x3 - 3x2 + x + 1. 2.157. y= (0,1x+1)5. 2.158. y= xcos2x.
2.159. y= sin2x.
2.160. y= 25 5 x x2.
2.161. y= ln(1+x2).
2.3.Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. 2.162. Удовлетворяют ли условиям теоремы Ролля функции: 1) f(x)=x, x ∈ [0,1]; ⎧ x, если x ∈ [0,1) ; 2) f(x)= ⎨ ⎩0, если x = 1
3) f(x)= x , x ∈[-1,1] ? Пояснить графически. 2.163. Применима ли теорема Ролля к функции f(x)=1 отрезке [-1,1] ?
3
x 2 на
2.164. Удовлетворяют ли условиям теоремы Ролля функции: π 3π ]; 1) f(x) = sinx на отрезке [ , 4 4 1 на отрезке [ -2,2]; 2) f(x) = 2 x +1 3) f(x) = x2 -2x-15 на отрезке [ 0,2]; 3 2 4) f(x) = x +2x -x -2 на отрезке [ -1,1];
5) f(x) =
5
sin 2 x
6) f(x) = sin x
на отрезке [ − на отрезке [ −
π π 2
,
2
π π 4
,
4
]; ]?
В случае применимости теоремы найти точку с, в которой f ′ ( c) = 0 . 2.165. Доказать, что уравнение х3 +3х - 5 = 0 имеет только один вещественный корень. 2.166. Проверить, применима ли теорема Лагранжа к функциям: 1) f(x) = x3 на отрезке [-1,1]; 2) f(x) = x на отрезке [ 0,4]; 3) f(x) = ln x на отрезке [1,2]; 4) f(x) = x2 - 3x + 2 на отрезке [ 3,5]; 5) f(x) =
3
x2
на отрезке [-1,2].
В случае применимости найти точку с , для которой f ′ ( c) =
f (b ) − f ( a ) , b−a
где а,b - концы указанных отрезков. 2.167. Написать формулу Лагранжа для функции f(x)=x2 на отрезке [a,b] и найти с. Пояснить графически. 2.168. В какой точке касательная к параболе у=х2 параллельна хорде, стягивающей точки А(1;1) и В(3;9)? Пояснить графически. 2.169. В какой точке касательная к кривой у=arctg x параллельна хорде, стягивающей точки
А(0;0) и В(1;
π
4
)?
2.170. Построить график функции у= x − 2 на отрезке [0,3]. Почему здесь нельзя провести
касательную, параллельную хорде ? Какое из условий теоремы Лагранжа здесь не выполнено? 2.171. Проверить, что функции:
1) f(x) =sin x и g(x)=cosx на отрезке [ 0, 2) f(x) = x2 и g(x)= x
π 2
];
на отрезке [ 1,4];
3) f(x) = x2 +2x + 3 и g(x) =x3 +1 на отрезке [ 0,1]; 4) f(x) = x3 и g(x)=x2 на отрезке [a,b], 0 ∉[a,b], удовлетворяют условиям теоремы Коши. Для каждой пары функций f ′ ( c) f (b ) − f ( a ) = найти точку с, в которой , где а,b - концы указанных отрезков. g ′ ( c) g (b ) − g ( a ) 2.172. Удовлетворяют ли условиям теоремы Коши функции f(x)=ex 1 на отрезке [-2,2]? и g(x)= 1 + x2 Найти пределы с помощью правила Лопиталя: ex − 1 sin 5x 2.173. lim . 2.174. lim 2 x . x→ 0 x → 0 x e −1 e x − e− x x − sin x . 2.176. lim x . 2.175. lim x → 0 ln(1 + x ) x → 0 e − e sin x ln x ln x . 2.177. lim 2.178. lim . x →0+ 1 x→+ ∞ x x
ln( x 2 − 2 x + 10) . x →∞ ln( 3x 2 + x − 5) ln( x − 1) lim . x → 1+ ctgπx 3x − sin 3x lim . x→0 x2 tgx − sin x lim . x → 0 x − sin x x − arctgx lim . x→0 x3
2.179. lim 2.181. 2.183. 2.185. 2.187.
2.189. lim x→
π
6
x −1 . ln x
2.180. lim x →1
ex 2.182. lim 2 . x →+ ∞ x sin 2 x − sin x − x 2.184. lim . x→0 x3 x3 2.186. lim . x → 0 sin 6 x − 6 sin x ln( x − a ) 2.188. lim . x → a + ln( e x − e a )
1 − 2 sin x . cos 3x
2.190. lim x→0
2.191. lim xe − x
e x − e − x − 2x . sin x − x
2.192. lim(1 − x ) tg
πx
2.193. lim tgx ln x.
. 2 2.194. lim(1 − e 2 x ) ctgx.
⎛e sin x ⎞ 2.195. lim⎜ − ⎟ x→0⎝ x x2 ⎠
⎛ 2 ln(1 + 2 x ) ⎞ 2.196. lim⎜ − ⎟. x→0⎝ x ⎠ x2
⎛ 1 1 ⎞ 2.197. lim⎜ − 2 ⎟. x → 0 ⎝ x sin x x ⎠
2.198. lim(
2.199. lim x sin x .
2.200. lim (sin x ) tgx .
x →1
x →+ ∞
x →0+
x→0
x
x→0
x →0+
1 − ctgx ). x
x → 0+
(1 + x ) 2.201. xlim → 0+
ln x
. 1
(1 2.202. lim x→ 0
+ sin x ) e
x
−1
.
2.4. Исследование функций и построение графиков. 2.203. Найти максимумы и минимумы и промежутки возрастания и убывания функций: x 2 − 6x + 13 3 2 ; 1) f(x)=x - 3x - 9x + 5; 2) f(x)= x−3 3) f(x)=xlnx; 4) f(x)= x - arctg2x; 2 -x 5) f(x)=x e . 2.204. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функций: 2x 1) f(x)=x3- 12x2 +5x - 1; 2) f(x)= ; 1 + x2 4) f(x)=x arctgx. 3) f(x)=x2lnx;
Исследовать функции и построить их графики: 2 2.205. у=e −x . 2.206. у=12х-х3. ( x + 1) 2 2.207. у= 2 . x + 2x
2.208. у=
x . 1 − x2
6 x ex . 2.210. у= . x+2 x 2.211. у= x ln2 x. 2.212. у= x - lnx. x2 + 4 x2 2.213. у= 2.214. у= . . 2x x−1 2.215. у= x+ arctgx. 2.216. у= x- arctg 2x. 1 ln x+ 1 . 2.217. y= 2.218. y=x2 e x . x 2.219. В промышленности нужно разместить заказ на изготовление цилиндрической емкости для расфасовки жидкого продукта. Каковы должны быть радиус основания и высота емкости, чтобы при заданном объеме V затраты на материал для ее изготовления были минимальными? Учесть при этом, что затраты на материал пропорциональны площади поверхности емкости. 2.209. у=
2.220. Объем пакета в форме параллелепипеда для расфасовки молока равен W. Каковы должны быть стороны основания, чтобы затраты на материал упаковки были минимальными, если стороны основания относятся как 1:2. Принять, что затраты на материал пропорциональны площади поверхности пакета. 2.221. Переносной торговый павильон имеет форму конуса, для которого необходимо заказать ткань для покрытия. Каково должно быть соотношение между высотой и радиусом конуса, чтобы при заданной вместимости (объема) павильона W было затрачено минимальное количество материи? 2.222. Прямоугольная площадка, примыкающая одной стороной к каменной стене, с трех сторон огорожена железной решеткой. Какова должна быть длина сторон площадки, чтобы она имела наибольшую площадь, если имеется 200 м решетки? 2.223. Бак без крышки с квадратным основанием должен иметь объем 1 м3. Каково должно быть отношение стороны основания бака к высоте, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала? 2.224. Кооператив имеет грузовой автомобиль. Расходы на топливо для автомобиля пропорциональны кубу средней скорости его движения. Известно, что при скорости 20 км/час расходы на топливо составляют 4 у.е. в час; остальные же расходы, не зависящие от скорости, составляют 625 у.е. в час . При какой скорости движения автомобиля общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшая? 2.225. Директору универмага нужно принять решение о том, какого вида рекламное объявление целесообразно разместить в местной газете. Объем рекламного объявления (число строк) определяет объем продажи товара в стоимостном выражении, но не так однозначно, как этого бы хотелось: излишнее многословие в рекламе портит дело, и, если при объявлении в 20 строк текста ожидаемый объем продаж товара достигает 5800 у.е., то при объявлении в 60 строк текста объем продаж снижается до 2200 у.е. Связь между размером объявления и объемом продаж описывается зависимостью az2+bz+4000, где z число строк в объявлении.Определить количество строк в рекламе, обеспечивающих универмагу максимальную выручку (с учетом расходов на рекламу), и размер этой выручки. Стоимость строки в объявлении составляет 30 у.е.. 2.226. Директор продовольственного магазина установил из повседневной практики, что прибыль С(х) возрастает при увеличении объема завозимых продуктов х (кг) до
определенного значения, а затем убывает при больших значениях х, так как слишком большой запас продуктов приводит к возникновению значительных затрат, связанных с их хранением и транспортировкой внутри магазина . Определите, какое количество продуктов (кг) следует завезти единовременно в магазин, чтобы прибыль от их продажи достигала максимального значения. Известно, что при завозе 300 кг продуктов прибыль составляет 10600 у.е., а при завозе 2,5 тонн продуктов прибыль увеличивается до 15000 у.е. Принять при этом С(х) =ах2+bх. 2.227. Зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска продукции имеет вид: А=-0,01 х3 +300х - 500. Определить, при каком объеме выпуска продукции финансовые накопления предприятия убывают и при каком возрастают. 2.228. На предприятии переменные издержки К в зависимости от объема выпуска продукции V составляют: 1 3 9 2 К= V - V + 80V +300. 10 2 Исследовать, как изменяются издержки при изменении объема выпуска продукции. Построить график К (V). 2.229. В какой точке кривой у=х3 , х ∈[1,2] следует провести касательную, чтобы она пересекала прямые х=1 и х=2 в точках, сумма расстояний до которых от оси абсцисс наибольшая . Написать уравнение этой касательной. x−a 2.230. При каких а<0 касательная к графику функции у= в точке с абсциссой х=0,5 2x отсекает от координатного угла треугольник с наименьшей суммой длин катетов?
2.5. Применение дифференциального исчисления в экономических вопросах. 2.231. Зависимость спроса (объема продаж) от цены выражается формулой d(p)= e Определить, для каких p спрос эластичен, неэластичен, нейтрален. 2.232. Зависимость спроса от цены при р ≥ p0 выражается формулой d(p)=
−
p2 16
.
1 , где α >0pα
const. Определить, когда спрос будет эластичен, неэластичен, нейтрален. 2.233. Пусть х - объем продаж некоторого товара торговой фирмой, р(х) - функция спроса (выражает зависимость между ценой и объемом продаж), Z(х)- функция издержек (затраты фирмы на реализацию товара). Учитывая, что прибыль от продажи товара находится по формуле V(x) = x p(x) - Z(x), определить: а) интервалы значений объемов продаж, при которых торговля этим товаром будет прибыльной (убыточной); б) оптимальные значения объема продаж х* и цены р*, обеспечивающие максимум прибыли V(x), вычислить Vmax. Используя эскизы графиков функций выручки W(x) =x p(x) и функции издержек Z(x), дать геометрическую интерпретацию полученным результатам. Выполнить задание для случаев: 1) р(х)=155-3х, Z(x)=1800+5х;
2) р(х)= 100-2х, Z(x)= 375+3х2; 10 3) р(х)= , Z(x)=21+х; x 175 , Z(x)=20+0,5x. 4) р(х)= 4 x + 30 В задачах 2.234 - 2.238 х-объем продаж некоторого товара торговой фирмой, Z(x) - функция издержек (затраты фирмы на реализацию товара), р0 - равновесная рыночная цена товара, W(x)=p0 x - выручка фирмы, V(x)= p0 x - Z(x) - прибыль фирмы от продажи рассматриваемого товара. 2.234. Определить: а) интервалы значений объемов продаж, при которых торговля этим товаром будет прибыльной (убыточной); б) оптимальный объем продаж х*, обеспечивающий максимум прибыли V(x), вычислить max V(x). Выполнить задание для случаев: 1) р0 =165, Z(x)= 3200 +5х ;
2) р0 =650, Z(x)= 9000 +10х2 ; 3) р0 =560, Z(x)= 9600 +8х2 . Используя эскизы графиков функций W(x) и Z(x), дать геометрическую интерпретацию полученным результатам. 2.235. При каких значениях рыночной цены р0 фирма будет иметь прибыль хотя бы при некоторых объемах продаж, если: 1) Z(x)= 3200+5х; 2) Z(x)=1000+10х;
3) Z(x)= 9000+10х2;
4) Z(x)= 9800 +8х2 ?
Дать геометрическую интерпретацию полученным результатам. 2.236. При каких значениях рыночной цены р0 фирма будет иметь убытки при любых объемах продаж, если: 1) Z(x)= 1800+5х;
2) 2) Z(x)=5000+4х2 ? 2.237. При каких значениях параметра b0 ≥ 0 фирма будет иметь прибыль хотя бы при некоторых объемах продаж, если: 1) р0 =165, Z(x)= b0 +5х ;
2) р0 =640, Z(x)= b0 +10х2 ; 3) р0 =560, Z(x)= b0 +8х2 ? 2.238. При каких значениях параметра b1 ≥ 0 фирма будет иметь убытки при любых объемах продаж, если: 1) р0 =165, Z(x)= 3200+b1х ;
2) р0 =50, Z(x)= 1000+b1х ; 3) р0 =750, Z(x)= 9000 +b1х2; 4) р0 =560, Z(x)= 9600 +b1х2?
Тема 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. 3.1. Понятие функции нескольких переменных. Частные производные 1-го и 2-го порядка. Дифференциал функции. 3.1. Вычислить:
1) значения F(2,3), F(1,2), F(2,1), F(a,0), F(0,a), если F ( x , y ) = 2) значения F(2,4), F(4,2), F(1,a), если F ( x , y ) = x 3.2. Найти области определения функций: 1 5 1) z = 2 ; 2) z = 3) z = 2 x+y x + y
4) z = ln( xy);
5) z =
4 ; x − y2 2
y
+
x − 2y ; y2 − x2
y − 2x + 6 .
1 − x2 − y2 ;
6) z =
x − y;
7) z = arcsin( x 2 + y 2 ). 3.3. Построить несколько линий уровня функций: 5 ; 1) z=xy; 2) z=y-x2; 3) z= 4) z=ln(x2+y2); x+y Найти частные производные 1-го порядка функции: 3.4. z=x2-2xy-5y3. 2 2 3.6. z= e x − y .
3.5. z=2x3+3x2y-y+5. 3.7. z=ln(x2+y2). x−y . 3.9. z= 2x + y 3.11. z=x2exy.
y . x 3.10. z= xy .
3.8. z=
xey ) .
y . x Найти дифференциал 1-го порядка функции:
3.12. z= arctg(
3.14. z=
x y2 .
3.16. z=
ex y .
3.13. z= arcsin
3.15. z=ln( x +
2
y . x 3.19. z=y arcsin x .
3.17. z=sin
3.18. z= arctg xy . 3.20. Доказать:
1) если z =
y x sin , то x
z xz′x + yz′y = ; 2
x
2) если
z=e
y2
y ).
, то 2 x z x′ + yz ′y = 0 .
5) z=
7 . x + y2 2
3.21. Доказать:
1) если
x y
z = e ln y , то xzx′ + yz′y =
2) если u =
z ln y ;
(ux′ )2 + (u′y )2 + (uz′ )2 = 1.
x 2 + y 2 + z 2 , то
Найти дифференциал 1-го порядка функции: 3.22. z= x 2 + y 2 в точке (3;4). x+2y 3.23. z= e в точке (-2;1). 3.24. z= x siny 3.25. z= ln(x+y2)
в точке (3;
π
). 2 в точке (-3;2).
3.26. Вычислить dz и Δ z для функции z=ху при х=5, у=4, Δ х=0,1 , Δ у=-0,2. 3.27. Вычислить dz и Δ z для функции z=ln(x2+y2), когда х изменяется от 2 до 2,1 , а у - от 1 до 0,9. 3.28. Подсчитать приближенно приращение функции: y 1) z=arctg , если х изменяется от 2 до 2,1 , а у- от 3 до 2,5; x y 2) z=arcsin , если х изменяется от 5 до 4,5, а у- от 3 до 3,3. x Найти частные производные 2-го порядка: 3.29. z= x2-2xy+5y2. 3.31. z=
x2 . 1 − 2y
3.33. Проверить , что
x y2 .
3.30. z=
3.32. z= ln(x2-y2).
zxy′′ = z′′yx
для функций:
x2 ; 2) z = ln( x - 2 y ). y2 3.34. Найти частные производные 3-го порядка для функций: x3 1) z=2x3+xy2-y3+y2-x; 2) z= . 3 y 1) z =
3.2. Производная по направлению и градиент функции. 3.35. Найти grad z(x,y) для функции:
1) z =
x y + tg ( y 2 );
2) z =
3) z = ln( x y + sin x ) ; 4)
xy ; e + ey x
z = ecos( x ln y ) .
3.36. Построить линии уровня и grad z в точке А(1;2) для функций:
1) z=4-x2-y2;
2) z=x2-y; y 4) z= . x
3) z=2x+y-3; 3.37. Найти
dz da
, если
1) z=ln(x+y) ⋅ arctgy ,
a=
2 2) z=e x − y +xy,
a =
3) z=
y + sin xy , x
1 2
a=
j;
2
3 4 i− j; 5 5
1
a =−
4) z=x3+xy2-y3 ,
1
i+
2 1 5
1
i+
i+
2
2 5
j;
j.
3.38. Найти производную функции z=ln(ex+ey) в точке (0;0) в направлении a(
3 4 ; ) ив 5 5
направлении градиента. 3.39. Найти производную функции z(x,y) в точке (1;2) в направлении a(
направлении градиента, если: 1) z=4-x2-y2;
2) z=x2-y; y 4) z= x
3) z= 2x+y-3; (cм. задачу 3.36).
3.3. Экстремум функции двух переменных. Найти экстремумы функции: 3.40. z= 3x2 +xy+2y2+4x-7y+15. 3.41. z= -x2+2xy-2y2 +2x+20. 3.42. z= 5x2 +2xy - y2-4x-8y+10. 3.43. z= x3 +8y3 -6xy +1. 3.44. z= 2x3 -xy2 +5x2+y2. 3.45. z= y x − y 2 − x + 6 y . 3.46. z= e y ( x 2 + 2 y ) .
Найти наибольшее и наименьшее значения функции: 3.47. z= -2xy -2x+y при 2 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2. 3.48. z= x2-2xy +x+y+5 при 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2. 3.49. z= x2-xy +y2 -x-y+2 при 0 ≤ x ≤ 3, - 1 ≤ y ≤ 2.
1 2
;
1 2
)и в
3.50. z= sin (x+y)+sinx+siny при 0 ≤ x ≤
π 2
,
0≤ y≤
π 2
.
Найти экстремумы функции: 3.51. z =
1 1 + x y
при х+у=2 .
1 1 1 + 2 = . 2 2 x y 2 3.53. z=xy при условии, что х +у2=2.
3.52. z=x+y при
Раздел II. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ряды. Тема 4. Интегралы. 4.1. Понятие неопределенного интеграла. Вычисление неопределенных интегралов. 4.1. Проверить, что: dx 1 x 4x x 1) ∫ 2 = arctg + C ; 2) ∫ 2 x dx = + C; x +4 2 2 3 dx 1 3) ∫ = 2 x + C; 4) ∫ e −5 x dx = − e −5 x + C ; 5 x dx 1 dx 6) ∫ = ln x + x 2 + a + C ; 5) ∫ 4 = − − arctgx+ C; 2 2 x x +x x +a 3x + 5 2x − 1 7) ∫ 2 dx = + arctg ( x + 1) + C. ( x + 2 x + 2) 2 2( x 2 + 2 x + 2)
Вычислить интегралы: 2 4.2. ∫ (5 x 4 − x 2 + x + )dx. x 4.4. ∫ (2 x + 1) 2 dx.
4.3. ∫ ( x 3 + 3x 2 −
1
+
2 )dx. x2
2 x 1 2 − 4.5. ∫ ( )dx. 2 1- x 2 1+ x 2 4.7. ∫ sinx(1 + 3 − 4ctgx)dx. x sin x
ex + 4)dx. cos x 2 − x cos 2 x + 3ctg 2 x + 5 cos 3 x 4.8. ∫ dx. cos 2 x 2 + x + 3x + x ⋅ 3 x e−x x 4.9. ∫ dx. 4.10. ∫ e (3 + )dx. x 1+ x2 e−x x −1 + 6 5 xe − x + 2)dx. 4.12. ∫ 2 x(2 + 4.11. ∫ e x ( )dx. 3 1− x2 x4 cos 2 x 4.13. ∫ ctg 2 xdx. 4.14. ∫ dx. cos 2 x sin 2 x 4.6. ∫ cos x(2tg x +
4.15.
∫ sin
2
x dx. 2
x
x 2
4.16.
x
∫ (sin 2
x 2 ) dx. 2
− cos
x2 + 3 ∫ x 2 + 1 dx. Применяя метод замены переменных, вычислить интегралы: 4.19. ∫ e cosx sinx dx. 4.20. ∫ cos10 x sinx dx. 4.17.
∫ (e 2 + e
4.21.
−
) 2 dx.
4.18.
∫
e x sine x dx.
4.22.
∫
4.23.
∫
6
ln 5 x dx. x
4.24.
∫
4.25.
∫
4.27.
∫
4.29.
∫
cosx
dx. sin x tgx + tg 2 x
ex dx. 1 + e2 x dx x 1 − ln 2 x
∫ ctgx dx.
4.26.
e ctgx dx. sin 2 x sin(arctgx ) dx. 1 + x2
4.28.
∫
4.30.
∫
4.32.
∫
x 2 dx.
4.34.
∫ x sin x
∫
x2 dx. x3 + 1
4.36.
∫ 1+ x
4.37.
∫
cos x
4.39.
∫e
4.41.
∫ 10 x + 7 .
4.43.
∫ sin
cos 2 x arctg 3 x dx. 1 + x2
e arcsinx
4.31.
∫
4.33.
∫e
4.35.
dx.
1 − x2 x3
dx .
.
dx 1 − x 2 arccos 2 x xdx
4
2
.
dx. .
1
dx .
x -3x
dx.
dx
2
∫
dx . ( x + 2)
2
e x dx
4.49.
∫
4.51.
∫ x sin(3x
4.53.
∫
4.55.
∫ 1+ x
3
2 + 3e x
2
∫
4.40.
∫ cos (2 x + 3) dx.
2
4.44. ∫
- 5) dx.
dx.
dx
. 1 − 4x2 dx 4.46. ∫ . 2 9x + 6x + 2 4.48. ∫ cos3x cos7 x dx.
(3 ln x + 4)10 dx. x cosx 4.52. ∫ dx. 3 + sin x cos 3x 4.54. ∫ dx. 3 + 2 sin 3x arcsin x + x 4.56. ∫ dx. 1 - x2 4.50. ∫
.
3 + cos 5x sin 5xdx.
x −1
4.38.
4.42. ∫ (3 x + 1) 5 dx.
dx . x + 4x + 5 4.47. ∫ sin4 x cos 10 x dx.
4.45.
ex dx. x2
4.57.
∫
4.59.
∫
2x + 3 dx . x + 3x + 5 e sin x cosxdx. 1 + e 2 sin x
4.58.
∫
4.60.
∫
2
4x + 1 dx. 2x + x + 2 sin e x ⋅ e x dx. cos10 e x 2
С помощью метода интегрирования по частям вычислить интегралы:
4.69.
∫ xe dx. ∫ x e dx. ∫ (2 x + 1) sin x dx. ∫ x lnx dx. ∫ xarctgx dx.
∫ xe dx. 4.64. ∫ ( x + x + 1) e dx. 4.66. ∫ x cosx dx. 4.68. ∫ ln(3x + 2) dx. 4.70. ∫ arctg 7 x - 1 dx.
4.71.
∫ arcsin x dx.
4.72.
∫
4.73.
∫
4.74.
∫ ln x dx.
4.75.
∫
4.76.
∫
4.61. 4.63. 4.65. 4.67.
2x
3 2x
10
ln x dx . x2 xdx . cos 2 x
воспользоваться тем, что 4.77. 4.78.
∫ e sin x dx. ∫ e cos 3x dx.
−x
4.62.
2
3x
2
arcsinxdx 1+ x
.
2
arctgx dx. При вычислении интеграла x2
1 1 x = − . 2 x x (1 + x ) 1 + x2
x
2x
∫ cos(lnx )dx.
4.79.
Вычислить интегралы, используя формулы: 1 − cos 2α 1 + cos 2α , cos 2 α = , 2 2 sin 2α sin α cosα = . 2 4.80. ∫ sin 3 x dx. 4.81. ∫ cos5 x dx.
sin 2 α =
4.82. 4.84. 4.86. 4.88.
4.90.
∫ cos ∫ sin ∫ sin
4
x dx.
2
x cos 2 x dx.
2
x cos 3 x dx.
dx
∫ sin x . ∫
cos 3 x dx. sin 2 x
∫ sin x dx. 4.85. ∫ sinx cos x dx. 4.87. ∫ sin xcos x dx. 4
4.83.
3
3
4.89.
∫
4.91.
∫
2
dx . x cos( ) 3 5 sin x dx. cos 3 x
В примерах 4.92 - 4.95 применить подстановку x x 2 tg 1 − tg 2 2t 1− t2 x 2 2 t = tg , тогда sin x = ; cos x = ; = = 2 1+ t2 1+ t2 2 x 2 x 1 + tg 1 + tg 2 2 2 dt x = 2 arctg t , dx = . 1+ t2 dx
4.92.
∫ 1 + sin x .
4.94.
∫ 3 sin x + 4 cos x .
dx
dx
4.93.
∫ 3 + cos x .
4.95.
∫
dx . sin x + cos x
Вычислить интегралы: 3x − 7 dx . x − 5x + 6 dx 4.98. ∫ 2 . x −1 3x 2 + 2 x − 3 4.100. ∫ dx. x( x − 1)( x + 1) 2x + 3 4.102. ∫ dx. ( x − 2) 3 2x + 1 4.104. ∫ 2 dx . x + 4x + 5 dx 4.106. ∫ . 1 − x3 dx 4.108. ∫ 4 . x + x2 x3 + 1 4.110. ∫ 3 dx. x − 5x 2 + 6 x 4.96.
∫
4.112.
x 4 − 2 x 3 + 3x + 4 dx. ∫ 1 + x3
2
e3x ∫ 1 + e 2 x dx. dx 4.116. ∫ . 1 − e2 x
x+8 dx. x +x−2 x dx 4.99. ∫ 2 . x + 3x + 2 x2 + 2 4.101. ∫ dx. x( x − 2)( x + 1) dx 4.103. ∫ . ( x − 1) 2 ( x + 1) 4x − 3 4.105. ∫ 2 dx. x − 2x + 5 dx 4.107. ∫ . x + x3 x3 + 2x 2 − x + 2 4.109. ∫ dx. x4 −1 x4 4.111. ∫ 2 dx. ( x − 1)( x + 2) 4.97.
4.113. ∫
2
2x 4 + x3 + 2x 2 + x + 1 dx. x( x 2 + x + 1)
4.115. ∫
4.114.
∫
e4x dx. 1 − e2x
4.2. Понятие определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла. 4.117. Составлением интегральных сумм и переходом к пределу найти интегралы: b
1)
∫ c dx; a
a
2)
∫ 0
a
x dx ;
3)
∫e 0
x
dx
2
4. 118. Вычислить интегральную сумму S5 для интеграла
∫
dx
, разбив отрезок [1;2] на пять x равных частей и взяв в каждой части ее середину. Сравнить с точным значением интеграла. 1
2
4.119. Выполнить задание предыдущей задачи для интеграла
∫ x dx. 2
1
Вычислить: 9
4.120.
π
dx
∫
4.121.
x
1
∫e
1
2x
4.123.
dx .
0
3
4.124.
∫
1
4.125.
∫ ( x − 1)( x − 2 )dx.
4.128.
∫
0 ,5
∫ xe
dx.
x
e dx 4.130. ∫ 2 x . e −1 ln 2 e
4.132.
∫ 1
2 ln x + 1 dx. x
4.131.
∫π
x cos xdx
ln xdx . x(ln2 x − 1) ln 10
4.133.
∫
ex dx 5ex − 1
0
.
1
x sin xdx .
4.135.
∫ xe
−2 x
dx.
−1
2
1
4.136.
∫ 1
2π
4.134.
5
0
e
4
.
4
∫ sin
4.129.
1
ln 4
1 − 4x2
−0 ,5
π −x2
dx
∫
4.127.
1
2
x + x 2 )dx.
3x 4 + 3x 2 + 1 dx. x2 + 1
0
2
4.126.
∫( 0
dx . 2 x +1
−1
∫ (sin x + cos x )dx. 0
1
4.122.
2
∫ arctgxdx.
4.137.
0
∫x
2
ln x dx.
1
4. 3. Геометрические приложения определенного интеграла.
Найти площади фигур, ограниченных линиями: 4.138. у= ex, х=0, х=1, у=0. 4.139. у= x2+5x+6, х=-1, х=2, у=0. 4.140. у= -x2+2x+3, у=0. 4.141. у=x7, х=2, у=0. 4.142. у= ln x, х=e, у=0. 4.143. у= sin x, у=0, 0 ≤ x ≤ π . 4.144. у= x2, у=4.
4.145. у= cos x, у=1/2, − 4.146. у=x2 , у=2-x2.
π 2
≤x≤
π 2
.
4.147. у= x2 , у= x . 4.148. xу=1, у=-x+2,5. 4.149. у= x3, у=x2-4x+4, y=0. 4.150. у=
x , у=2- x , y=0.
4.151. у= x3 , х=-1, у=0. 4.152. у= 2x2-10x+12, у=-x2+5x-6. 4.153. у= sinx, у=x2- π x. 4.154. у= 4 − x , х=0, у=x2-4x. 4.155. у= x2-2, у=1-2x2. 4.156. у= x2+x-2, у=2x. 4.157. у= x2+4x, у=x+4.
Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями: 4.158. у= 4-x2, у=0, х=0, где x ≥ 0 , вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу. 4.159. у= ex, x=0, x=1, у=0
вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
4.160. у= x2+1, у=0, х=1, x=2
вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
3
4.161. у= x 2 , х=1, y=0
вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
4.162. у= sin x, у=0, 0 ≤ x ≤ π вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу. 4 4.163. у= , х=1, x=4, y=0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу. x 4.164. у=x-x2, у=0 вокруг оси Ох. 4.165. у= x3 , у=1, х=0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу. 4.166. у= cosx, у= 1/2, − 4.167. у=x2, у=
π
≤x≤
π
2 2 x , вокруг оси Ох.
вокруг оси Ох.
4.168. у= 9/x, у=x , х=4, y=0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу. 4.169. у= x2+1, у= 3x-1 вокруг оси Оу. 4.170. х=1-3y2, x=-2y2 вокруг оси Ох.
4.4. Несобственные интегралы. Исследовать сходимость и вычислить сходящиеся интегралы: +∞ +∞ +∞ +∞ dx dx dx dx 4.171. 1) ∫ ; 2) ∫ ; 3) ∫ 2 ; 4) ∫ a , a > 0. x x 1 1 1 x 1 x +∞
0
x ∫ e dx;
4.172. 1)
2)
∫
4.173.
2
+∞
∫
4.175.
2
x
-∞
0
+∞
∫ e dx. +∞
dx . x ln 2 x
∫x
4.176.
+∞
+∞
+∞
∫ xe dx. x
∫
4.184.
−∞
1
4.186.
∫ 0
∫ 1
1
4.192.
∫ 0
dx 5
2−x
dx . 2 x −x
.
dx ∫0 x ; 3)
1
ln xdx . x2 1
dx ∫0 x 2 ; 4)
dx
∫x
4.187.
∫x 0
π
.
4.189.
a
, a > 0.
0
1
1 − x2
3
∫
2)
dx
0
4.190.
1
1
ln xdx . x
1
4.188.
x
2
−∞
0
;
xdx
∫ 1+ x
4.182.
−∞
0
2
−∞
3
∫
.
−x ∫ xe dx.
4.180.
2 −x ∫ x e dx.
dx
x (1 + x )
0
dx 4.179. ∫ . 1 + x2 −∞
4.185. 1)
dx
∫
4.178.
+∞
1
dx . −1
2
2
0
4.183.
dx.
+∞
∫ sin xdx.
4.181.
x
x
+∞
dx . 2 x −x
+∞
e−
0
+∞
4.177.
∫
4.174.
2
dx . − 2x
2
∫ tgxdx. 0
4
.
4.191.
∫ 2
1
4.193.
∫ 0
dx 3
.
(6 − 2x ) 2 dx x (1 − x )
.
Тема 5. 5.1. Понятие о дифференциальных уравнениях. Уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. 5.1. Выяснить, является ли функция у=
1 х
решением дифференциального уравнения
2 у′ + у 3 = 0 . 5.2. Выяснить, является ли функция у = х + Сх 2 решением дифференциального уравнения ху ′ − 2 у + х = 0.
2
5.3. Является ли функция у = Се х + х решением дифференциального уравнения у ′ − 2 ху + х 2 = 0 ? 5.4. Является ли функция у = е sin х + C cos х решением дифференциального уравнения у ′ − у cos x = 0 ? Найти общий интеграл дифференциального уравнения: 5.5. cos x (1 + y 4 )dx = 2 y dy. 5.6. tgx ⋅ y′ = ctgy. 5.7.
x y′ − (1 + 3x) y = 0.
5.8. ( sinx ⋅ y + sinx ) y′ − y cosx = 0. Найти частный интеграл дифференциального уравнения, удовлетворяющий указанным начальным условиям:
π
5.9. 2 y dx − cos 2 x dy = 0,
y ( ) = 4. 4
5.10. y′ + 2tgy ⋅ x = 0,
y (0) =
5.11. x 2 y′ − 5e y = 0,
y (1) = 0.
5.12. 2 x y y′ − 2 x − 1 = 0,
π
6
.
y (4) = 3.
5.2. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Найти общее решение дифференциального уравнения: 3y 5.13. y ′ − 5.14. y ′ + ytgx = 2 cos 2 x. = x 3 sin x. x 2
ex 5.15. y ′ − 2 y = 5e . 5.16. y ′ − 2 xy = . 1+ x2 Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям: x
5.17.
y ′ + y sin x = 6 xe cos x , 3
5.18. y ′ + 3x 2 y = e 4 x − x ,
π
y( ) = π 2 . 2 1 y (2) = . 4
y y (0) = −4. = 4( x + 2), x+2 xy 2 5.20. y ′ − − = 0, y (0) = 3. 2 1+ x 1+ x2 5.19. y ′ −
5.3.
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Найти общее решение дифференциального уравнения: 5.21. 2 y ′′ + y ′ − у = 0. 5.22. y ′′ − 2 y ′ − 15 у = 0. 5.23. y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 0. 5.24. y ′′ − 2ay ′ + a 2 y = 0. 5.25. y ′′ − 4 y ′ + 13 y = 0. 5.26. y ′′ + 6 y ′ + 25 y = 0. 5.27. y ′′ + 16 y = 0. 5.28. y ′′ + 4 y = 0. Найти общее решение дифференциального уравнения: 5.29. y ′′ + 5 y ′ + 6 y = 6 x 2 + 22 x. 5.30. y ′′ − 4 y ′ + 3 y = 6 x 2 − 16 x + 1. 5.31. y ′′ − 2 y ′ = x 2 - x.
5.32. y ′′ + 3 y ′ = 9 x.
5.33. y ′′ − 4 y ′ + 4 y = 18e 5 x .
5.34. y ′′ + 5 y ′ + 6 y = 3e − x .
5.35. y ′′ + y ′ − 6 y = 5e 2 x . 5.37. y ′′ − 4 y ′ + 29 y = 104 sin 5 x.
5.36. y ′′ − 2 y ′ + y = 6e x . 5.38. y ′′ − y ′ − 2 y = 16 cos 2 x − 12 sin 2 x.
5.39. y ′′ + 25 y = 20 cos 5 x.
5.40. y ′′ + 4 y = 4 sin 2 x.
5.41. y ′′ + 2 y ′ + y = 12e x + x.
Тема 6. Ряды. 6.1. Понятие числового ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости. Вычислить первые четыре члена ряда: ∞ ∞ 1 1 6.1. ∑ . 6.2. ∑ n . n =1 2n - 1 n=1 5 ∞ ∞ n 2n 6.3. ∑ 2 . 6.4. ∑ 2 . n=1 n + 1 n =1 n n ∞ ∞ (-1) (-1) n +1 6.5. ∑ . 6.6. ∑ . 3n n n =1 n =1 nπ nπ ⋅ n! cos ∞ sin ∞ 2 2 6.7. ∑ . 6.8. ∑ . n! n =1 n =1 (2n - 1)(2n + 3) Найти формулу для общего члена ряда: 1 1 1 1 1 1 1 1 6.10. + + + +... . 6.9. + + + +... . 3 9 27 81 2 4 6 8 1 1 1 1 1 1 1 1 + − + −... . 6.12. − 6.11. − + − +... . ln2 2 ln 3 3 ln 4 4 ln 5 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 4 ⋅ 5 5⋅ 6 8 16 2 4 52 53 54 + + +... . + 6.14. 6.13. 5- + − +... . 1 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 4 9 16 Проверить, выполнено ли необходимое условие сходимости ряда: ∞ ∞ n 1 6.15. ∑ . 6.16. ∑ (1 − ) n . n n=1 7n + 100 n=1
∞
6.17.
∑ n=1
∞
6.19.
∑ n=1
∞
1 . 2n 3n . 7n
n=1
∞
∑n
6.20.
n=1
∞
6.21.
1
∑ n+2.
6.18.
∞
1 . n
∑ n ⋅ sin n=1
∑(
6.22.
1 n
.
n + 1 − n ).
n=1
∞
sin n . n=1 ln n 6.24. Выяснить вопрос о сходимости и для сходящихся рядов найти их суммы:
6.23.
1) 1 ∞
∑
1 1 1 + − +... ; 5 25 125
2) 1 +
2
22
+
7
72
+
23 73
+... ;
∞ 1 5) ; ( n + 1 − n ). ∑ ∑ n=1 n=1 (3n − 1)(3n + 1) n=1 ∞ ∞ 1 Сравнением с рядом ∑ a , a>0 или ∑ q n исследовать сходимость ряда: n =1 n n =1 ∞ ∞ n n2 + n 6.25. ∑ 2 . 6.26. ∑ 3 . n=1 n - 0,5 n=1 2n − n
3)
∞
6.27.
∞
1 ; n(n + 2)
∑ n=1
4) ∑
n −1 . 3n2 + 1
∞
6.28.
∑ n=1
3n 3 − n − 1 . 2n5 + 2
∞ sin( n + 1) 2n - 1 . 6.30. . ∑ ∑ 2 n n=1 n + n + 2 n=1 3n n − ∞ ∞ 1 6n 6.31. ∑ . 6.32. ∑ . n n ⋅ 7n n=1 n ⋅ 3 n=1 ∞ ∞ 6n 1 6.33. ∑ n . 6.34. ∑ . n n=1 7 (3n + 1) n=1 ( n + 1) ∞ ∞ 5n cos2 (ln n ) . . 6.35. ∑ 6.36. ∑ n 3 n=1 n=1 n(5 + 3) n4 + 3 n ∞ ∞ 1 ( n − 1)! 6.37. ∑ . 6.38. ∑ . n n+ 2 n=1 (n + 1)! n=1 C помощью признака Даламбера исследовать, сходятся или расходятся ряды: ∞ ∞ 1 2n 6.39. ∑ . 6.40. ∑ . n=1 n! n=1 n! ∞ ∞ n3 n! 6.41. ∑ n . 6.42. ∑ 5 . n=1 3 n=1 n ∞
6.29.
∞
6.43.
∑ n=1 ∞
6.45.
∑ n=1 ∞
6.47.
∑ n=1
2n . n2 + 1 n⋅3 . (2n - 1)! 1 . nn
∞
6.44.
∑ n=1
∞
n
6.46.
∑ n=1 ∞
6.48.
∑ n=1
n . 2n n
2 . 5n nn . n!
C помощью интегрального признака исследовать, сходятся или расходятся ряды: ∞ ∞ 1 1 6.49. ∑ a , a > 0. 6.50. ∑ 2 . n =1 n n =1 n + 1 ∞ ∞ 1 1 6.51. ∑ 2 6.52. ∑ . . 5n - 1 n=1 n − 0,25 n=1 ∞ ∞ 1 1 . 6.53. ∑ 6.54. ∑ . 2 n = 2 n ln n n = 2 n ln n
6.2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда. Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие ряды: 1 1 1 1 1 (−1) n+1 - + − + − ... + 6.55. + ... . 2 4 6 8 10 2n 1 1 1 (−1) n+1 + ... . 6.56. 1 − 3 + 3 − 3 + ... + 3 2 3 4 n 1 1 1 (−1) n+1 6.57. 1 + − + ... + + ... . 2 2 3 3 4 4 п п 1 1 1 1 (−1) n+1 6.58. 1 + − 2 + 3 − 4 + ... + n−1 + ... . 5 5 5 5 5 ∞ ∞ sin n cos(nπ / 6) . . 6.59. ∑ 6.60. ∑ 3 n 6n n =1 n=1 ∞
6.61.
∑ n=1 ∞
6.63.
∑ n=1
6.67.
(-1)
∑n
ln n
∞
n+1
(-1)
∞
6.69.
∑ n=2 ∞
6.71.
∑ n=1 ∞
6.73.
∑ n=1 ∞
6.75.
∑2 n=1
⋅5
(-1) n . n ln n
∞
n
.
6.68.
∑ n=1 ∞
6.70.
∑ n=1
(n − 1) . n+2
6.72.
(-1) n+1
n=1
n3 − 1
6.74.
∑ n=1 ∞
.
(-1) n+1 ( n + 1) . 3n
∑ ∞
.
(-1) n+1 ⋅ n 2 . 5n
∞
n+1
n ⋅ 2n 4
∑ n=2
(-1) n+1 3
∑ n=1
6.66.
6.76.
∑ n=1
.
(-1) n+1 (n 2 + 1) . 5n2
∞
6.64.
∞
.
(-1) n ⋅ n . n2 − 1 (-1)
n +n n
n=1
n!
n=1
(-1) n+1
∑
n
n=2
∑
6.62.
(-1) n+1 (n + 2) . 2n
∞
6.65.
∞
(-1) n+1 . n + 2n
(-1) n+1 n 2 n +5 (-1) n+1 n (n + 1) 2
(-1) n+1 ⋅ 3 n 2 3
n4 − 1
. . .
6.3. Степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд. Найти радиус и область сходимости ряда: ∞
6.77. 6.79. 6.81. 6.83.
xn . ∑ n 3 n =1 2 ⋅ n ∞
5n x n . ∑ n = 0 3n − 2
6.82.
xn . ∑ n n =0 2
∑
(-1)
6.84. ⋅x
6.91.
∞
n
∑2
n
n
.
xn.
∞
n
n!
6.86.
.
∞
∑ n! x n .
6.88.
∞
(-1) n +1 n n ⋅x . ∑ 3n n =1 ∞
∑7
xn
n =0
n +1
n =0
6.89.
∞
n =1
∞
n =1
6.87.
x2 . ∑ 3 n =1 n ⋅ n ∞ 3n x n 6.80. ∑ 2 . n =1 n 6.78.
∞
∞
6.85.
∞
xn . ∑ 2 n =1 n
∑ (−1)
n +1
⋅
n =0
6.90.
x2 . ∑ n n =1 n ∞
n! x n . ∑ n n =0 7 ∞
∑ (−1)
n +1
nx n+1 .
n =1
(n + 1) x . n+3 n
3 3 3 3 x4 4 x5 1 ⋅ x2 2 x3 6.92. + + + +... . 32 42 52 22 x x2 x3 6.93. 1 + − +... . 4 ⋅ 63 2 ⋅ 6 3 ⋅ 62 ∞ ∞ x 2 n −1 x 2n n-1 n −1 6.94. ∑ ( −1) ⋅ . 6.95. ∑ (-1) ⋅ . 2n - 1 ( 2n) ! n=1 n=1 3
6.96. 1 −
x2
x4
3
−
x6
+... . 3 2 32 3 33 4 Разложить функцию в ряд Маклорена и найти интервал сходимости полученного ряда.
6.97. f(x)=
+
ex .
6.98. f(x)= ax, a>0, a ≠ 1.
6.99. f(x)= sin 3x .
6.100. f(x)= e-5x.
6.101. f(x)= cos x2 .
6.102. f(x)= xe -x .
6.103. f(x)= x3 e5x .
6.104. f(x)= x2cos2x.
6.105. f(x)= sin2 x .
6.106. f(x)= cos2x.
6.107. f(x)= ln(1-x3 ).
6.108. f(x)= ln(1+3x2).
6.109. f(x)= ln(2+3x). 1+ x . 6.111. f(x)= ln 1- x 6.113. f(x)= ln(x2 +3x +2).
6.110. f(x)= ln(10-x). 1 + 2x 6.112. f(x)= ln 3 1 − 2x 2 6.114. f(x)= ln(x -4x+3).
2
1+ x . 1 . 6.117. f(x)= 1 + x2 x+2 6.119. f(x)= 2 . x + 4x + 3
1 − 2x . 1 6.118. f(x)= . 2 − 5x 3 − 2x 6.120. f(x)= 2 . x − 3x + 2 1 6.121. Пользуясь разложением функции f(x)= , полученным в задаче 6.117, найти 1 + x2 разложение в ряд Маклорена для функции f(x)=arctg x. ∞ 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5⋅. . .⋅( 2 n − 1) 2 n , при x <1, 6.122. Пользуясь разложением функции = 1+ ∑ x
6.115. f(x)=
6.116. f(x)=
1 − x2
n =1
2n ⋅ n !
найти разложение в ряд Маклорена для функции f(x)=arcsin x. 6.123. Определить в виде рядов по степеням х интегралы: ex − 1 sin x 2) ∫ 1) ∫ dx; dx. x x 6.124. Разложить функцию: 1) f(x)=x4+x2 в ряд по степеням (х-2); 2) f(x)=x3-4x2+2x+1 в ряд по степеням (х+2); 1 в ряд по степеням (х-4); 3) f(x)= x 1 в ряд по степеням (х-9); 4) f(x)= x 5) f(x)=sin x в ряд по степеням (х-
π
). 4 В каждом случае найти радиус сходимости ряда. 6.125. Пользуясь разложением в ряд Маклорена для функции 1 + x , полученным в задаче 6.115, вычислить: 1) 1,004 ; 2) 0,992 ; 3) 90 , ограничившись двумя членами ряда. Оценить погрешность. 1+ x 6.126. Пользуясь разложением в ряд Маклорена для функции ln , полученным в задаче 1- x 6.111, и ограничившись тремя членами этого разложения, вычислить: 1)ln 2; 2) ln 3. 6.127. Определить в виде ряда функцию x 2 1 Ф(х)= ∫ e− t dt и вычислить Ф( ) с точностью до 0,001. 3 0
Ответы. Тема 1. 1.1. 1) [0; ∞ ); 2) (- ∞;0]; 3) (0; ∞ ); 4) (- ∞;1]; 5) (- ∞; ∞ ); 6) (- ∞;+∞ ); 7) (- ∞;+∞ ); 8) (- ∞;+∞ ); 9) х ≠ 1; 10) (- ∞;-1] ∪ [1; ∞ ). 1.2. 1) [1;5]; 2)(0; ∞ ); 3) [1; ∞ ); 4) [1;2 ) ∪ (2; ∞ ); 5) (- ∞;1] ∪ [2; ∞ ); 6) (0;1) ∪ (1;2); 7) х ≠ ±1; 8) [ - 2;-1) ∪ (-1;0 ]. 1.3. 1) y = ln x , x ≠ 0; 2) y = lnx , x > 0; 3) y = sin x , x ≥ 0; 4) y = sin x , x ∈ [2πk, 2πk + π ]; 5) y = (x + 1) 2 ; 6) y = x 2 + 1; 7) y = x; 8) y = x, x > 0; 9) y = x; 10) y = x, x ≠
π 2
+ πk .
1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.4. 1)1; , , , ; 2) , , , , ; 3) - 1, 2, - 3, 4, - 5; 4) 1, , , , ; 5) 0,3,8,15,24; 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 6 5 10 17 26 1 1 1 1 1 6) 10,100, 1000, 10000,100000; 7) 2, , , , ; 8) , , , , . 4 9 16 25 2 3 4 5 6 1
1 1 n +1 1.5. 1) x n = ; 2) ) x n = 2 n ; 3) ) x n = 1 − ( ) n−1 ; 4) ) x n = . 10 2n − 1 n 1.12. 1) 5; 2) 1; 3) 0; 4) 1. 1 ln 6 1.13. 1) - ∞; 2) 0; 3) ; 4) 1; 5) 0; 6) 0; 7) 1; 8) 2; 9) 0; 10) . 4 6 1 1 1.20. - 2. 1.21. 0. 1.22. − 1. 1.23. 16. 1.24. . 1.25. . 1.26. 0. 1.27. ∞. 2 2 1 1.28. 1. 1.29. − 1. 1.30. ∞. 1.31. 0. 1.32. ∞. 1.33. − 1. 1.34. 0. 1.35. . 2 1 1 3 7 1.36. 5. 1.37. 1. 1.38. . 1.39. . 1.40. . 1.41. . 1.42. ∞. 1.43. 0. 4 3 2 2 1 1.44. − 1. 1.45. 2. 1.46. e. 1.47. e 2 . 1.48.3 e 2 . 1.49. 2 . 1.50. e 2 . 1.51. e −8 . e 1 1 3 1 2 1.52. . 1.53. e. 1.54. 1. 1.55. e. 1.56. . 1.57. − . 1.58. . 1.59. − . e 9 2 2 2 1.60. 1. 1.61. ∞. 1.62. 1. 1.63. 0. 1.64. ∞. 1.65. 1. 1.66. 1. 1.67. − 1. 1 1.68. 3. 1.69. 100. 1.70. 1) ; 2) 0. 1.71. 1) ∞; 2) 0. 1.72. − 2;1. 3 3 1.73. 1;2. 1.74. 0. 1.75. − . 1.76. x = 0;±1;±2;... 1.77. 1. 1.78. − 1. 2 1.79. 1;2;3. 1.80. − 2;3. 1.81. 1) непрерывна ; 2) разрывна в точке х=6; 3) разрывна в точке х=0. 1.82. 1) разрывна в точке х=0; 2) разрывна в точках х=0; ± 10 ; 3) непрерывна ; 4) разрывна в точке х=0; 5) разрывна в точке х=10; 6) непрерывна; 7) разрывна в точке х=-10; 8) непрерывна. 1.83. х=2 - точка разрыва II рода . 1.84. х=2 и х=3 - точки разрыва II рода. 1.85. х=1 - точка разрыва II рода. 1.86. х=1 - точка разрыва II рода. 1.87. х=0 - точка разрыва I рода. 1.88. х=0 - точка разрыва II рода. 1.89. х=0 - точка разрыва I рода.
Тема 2. 1 1 . . 2.6. y= − ( x - 2) 2 2 x +1 1 1 1 2.7. 1) 2x - 6, 2) 3x 2 + 2x + 1, 3) 2x -3 + x -2 , 4) 2 + , 5) , 6) , x 33 x 2 23 x 2 1 1 1 2 3 7) - 3 , 8) 1 - 2 , 9) 2 + 3 + 4 , 10) - х 3 . x x x 33 x 2 x x
2.1. y=2. 2.2. y=-5. 2.3. y=x. 2.4. y=2x+2. 2.5. y=
2.8. 1) cos x + sin x; 2) 6) - sin x -
1 1- x2
sin x cos x 1 x2 1 1 − − ; 3) 1 ; 4) ; 5) ; 2 2 2 2 cos x sin x 1+ x cos x sin 2 x 1- x2
.
1 1 1 2 + ( ); 3) e x − ; 4) e x ( x + 1). x ln 2 ln 3 x 2 4 3 2 1- x 2x (x - 5) 2.10. 1) ; 2) 2 ; 3) . 2 2 (x - 1) (x + 1) (x 3 - 2) 2 sin x x cos x - sin x - 1 2.11. + ln x cos x. 2.13. (x + 1) sinx + (x - 1)cos x. . 2.12. 2 x x 3- x 1 x −1 2.14. − . 2.15. (1 + lnx) sin x + x cos x ln x. 2.16. . 3 ln x хln 2 x 2(1 - x) 2 2.9. 1) 2 x ln2 + 3 x ln 3 + 5e x ; 2)
2e 1 15 1 2e 2.17. 1) f ′(0) = 3, f ′( ) = ; 2) f ′(0) = 2, f ′(- ) = 1; 3) f ′(1) = − , f ′(-1) = ; 4) - 1. 2 5 4 2 (e − 1) (e - 1) 2 2.18.
arctg x x + . 1+ x 2 2 x
2.19.
e x ( x - 1) - e -x (x + 1) (ln x + 1)(x + e x ) - x lnx(1 + e x ) 2.20. . . 2x 2 (x + e x ) 2 x
2.21. ctg x. 2.22. − sin x ⋅ e cos x . 2.23. 3 sin 2x - sin x. 2.24. 53 ⋅ 3 x ln 5 ⋅ ln 3. 1
2 sin x cos x 1 sin x 2.25. ⋅ e . 2.26. - 2x sin x 2 ⋅ e cos x . 2.27. + ln sin x. 2 sin x cos 2 x cos x
2.28.
1 e x (1 + x ) 1 x . 2.29. − 2 . 2.30. .2.32. . .2.31. x +1 2 x 1 - e 8x x 1- x 2 1- x 2 4e 4x
1
2 x +1
e ln x 2.33. 3x ⋅ sin x 2 ⋅ sin 2x 2 .2.34. .2.35. − .2.36. − (1 + sin x)sin(x - cos x). x ln 2 x 4 x2 + x x 2.37.
cos x 2 sinx - sin 2 x
2.40. arcsin ln x +
. 2.38. -
1
1 . 2.39. 2 х +1
1 - ln x
1− ex (1 + e ) cos 1+ ex x 2
. 2.41. x (1 + ln x). 2.42. x x
2
2e x
.
2
x−
1 2
(ln x + 2). 2.43. 2x ln x-1 ⋅ ln x.
2.44. - (2x + 2)sin(x 2 + 2x - 4). 2.45. (3x 2 - 3)cos(x 3 - 3x + 5). 2 sin lnx 1 2.46. e x cose x . 2.47. . 2.48. 2e 2x -3 . 2.49. - 2xe - x . 2.50. e tgx . 2 x cos x 1 4x + 4 2..51. cosx e sinx . 2.52. . 2.53. 2 . 2x + 4x - 1 x (1 + 2 x ) 2.54. - tgx. 2.55.
2e x . 2.56. 33(3x + 2)10 . 2.57.10(3x 2 + 2x )( x 3 + x 2 + 1) 9 . x 2e + 3
5ln 4 x . 2.59. 6e x ⋅ (e x − 1) 5 . 2.60. sin2x. 2.61. - 3sinx cos 2 x. x 10 2ctgx 5 ⋅ tg 9 x. 2.63. 2.62. . 2.64. . 2.65. 2e 2x -9 . 2.66. 3cos3x. 2 2 5x + 7 cos x sin x 2x 1 5 2.67. - 10sin10x. 2.68. . 2.69. 2.70. . 2 2 2 2 cos x 1 + 25x x 2cos 2 2 x e 1 cosx 2.71. . 2.72. . 2.73. . 2 x sin e 1 + sin 2 x 2 x (1 + x )
2.58.
2.74.
ex 1− e
2x
. 2.75.
1 . 2 x(1 - x)
2x - 3 cosx ex 3 . 2.77. . . . 2.78. 2.79. 2 4 x 2 3 5 2 3x - 1 + 2 1 e 3(x − 3x + 2) 5(sinx) 10 3x + 10e10 x . 2.82. ln(3x + 1) + . 2.80. 6cos3x - 6sin2x. 2.81. 2 3x + 1 1 + 25x 2 x (ln 2 ⋅ cos x 3 + 3x 2 sin x 3 ) . 2.83. (cosx - sin 2 x)e cosx . 2.84. cos 2 x 3 3(6x 2 + 5) ln(6 x 2 + 5) − 6x sin 6x e x ⋅ cos ln(e x + 1) x x . . e . . . 2.85. 2.86 2.87 ctge (6x 2 + 5) ln 2 (6x 2 + 5) ⋅ cos 2 3 x ex +1 3 2.88. - 6x ⋅ sinx 2 ⋅ cos 2 x 2 . 2.89. 3x 2 ⋅ sin(2 x 3 ). 2.90. ⋅ e 3 x +10 . 2 3x + 10 arctg ( lnx) x 6 x ln 6 1 2 ⋅ ln 2 x 2 +1 . . . . 2.92. e 2.91. 2.93 2.94. ⋅ x(1 + ln 2 x) 2x 2x - 1 x 2 +1 2 6 x (1 − 6 x ) 2.76.
2.95.
4e 4x 1− e
8x
. 2.96.
x ⋅ ex 2
2
e x + 10
. 2.97.
2x - 3 2(x − 3 x − 4) ln(x 2 − 3x - 4) 2
x 1 1 3. . 2.99. . 2.100. 2.98. 2 3 2 3 x 4 x +4 3(x + 10 x ) ln( x + 10) cos 3 x cos 4 2 5 . 2.102. 4 . 2.103. 2.101. . 2 2 1 16x x(1 x ) 6 x sin 5 sin 2
.
1 x 20 ln x 12sin3x . 2.106. - tg . . 2.105. − 5 2 11 5 5 x(ln x + 5) (1 + cos3x) 2 3cos3x 2.107. (1 + 3 sin 6x) ⋅ 5 x -cos 3 x ⋅ ln5. 2.108. ⋅ e 4+sin 3 x . 2 4 + sin 3x 7x 2sin2x ⋅ cos(cos2x) e 2.109. . . 2.110. − 7 cos 2 sin cos2x arctg 6 e 7 x ⋅ (1 + e14 x ) 2.104.
- 3x ⋅ e 2
2.111.
-
x3 2
2 1 - e -x
3
1
. 2.112. x sinx ⋅ (cosx ⋅ lnx +
sinx 1 - lnx x ⋅x . ). 2.113. x x2
1 x + 1. 2.116. y = x - 1. 2.117. y = -x + 2 , y = x - 3. 4 2.118. y = 7x + 1. 2.119. y = 6x + 4. 2.120. При x = ±2. 3 2.121. 135o. 2.122.(3x 2 - )dx. 2.123. e x (cos x - sinx)dx. 2.124. 3cos3x dx. x dx x2 2.125. 2.126. . (2x arctg x + )dx. x cos 2 ln x 1+ x2 2 cos x dx dx e x dx . 2.127. 2.128. 2.129. + 3 x ) dx . 2.130. . (2cos2x (1 - sinx) 2 1 + cos x 1 − e2x
2.114. y = 3x - 7. 2.115. y =
2.131. (arctg x +
x e tgx dx sinx ⋅ cos cosx dx )dx. 2.132. . 2.133. . 2 2(1 + x) 2cos x ⋅ tgx 2 sin cos x
2.134. 1) Δy = 0,0601, dy = 0,06; 2) Δy = 0,25, dy = 0,2; 3) Δy = -0,07, dy = -0,06755; 4) Δy = 0,331, dy = 0,3. 2.135. 1) Δy ≈ −0,005; 2) Δy ≈ 0,01; 3) Δy ≈ -0,02; 2x 2.136. - 4sin2x. 2.137. − . 2.138. 2 ln x + 3. 2.139. 2e x cos x. 2 2 (1 + x ) 2 9 x 1 2.140. . 2.141. − . 2.142. 2(2 x 2 + 1) ⋅ e x . 2.143. . 3 3 2 2 2 2 cos x (1 - x ) 4(3x + 1) 16 2 cos x . 2.145. − . 2.146. - 2e x (sin x + cosx). 3 sin x (2x - 1) 3 8 1 2.147. e x ( x 2 + 6 x + 6). 2.148. . 2.149. - 2 . 3 (2x + 5) x
2.144.
2.150.
(−1) n n! (-1) n +1 (n − 1)! n 2x x n 2.151. 2.152. 2.153. . 2 . 5 ln 5 . . ⋅ ⋅ e x n +1 (1 + x) n
2.154. e x ( x + n). 2.155. n!⋅2 n. 2.156. (6x - 6)(dx) 2 . 2.157. 0,2(0,1x + 1) 3 (dx) 2 . 2.158. − 4( x cos2x + sin2x)(dx) 2 . 2.159. 2 cos 2 x ⋅ (dx) 2 . 2.160. 66 5 x (dx) 2 . 2(1 - x 2 ) ⋅ (dx) 2 . 2 2 (1 + x ) 2.162. 1) Нет; 2) нет; 3) нет. 2.163. Нет. π -2+ 7 2.164. 1) c = ; 2) c = 0; 3) c = 1; 4) c = ; 5) условия теоремы Ролля не выполнены; 6) 2 3 условия теоремы Ролля не выполнены. 2.161.
2.166. 1) c1 =
1
, c2 = -
1
; 2) c = 1; 3) c = log2 e; 4) c = 4; 5) теорема Лагранжа 3 a+b . 2.168. M(1;1). неприменима. 2.167. c = 2 π 4 2 2(a 2 + ab + b 2 ) 2 15 3 2.169. ) ; 3) ; 4) . 2.172. Нет. Не выполнено − 1. 2.171. 1) ; 2) ( 4 4 3 3(a + b) π условие g ′( x ) > 0. 2.173. 1. 2.174. 2,5. 2.175. 2. 2.176. 1. 2.177. 0. 2.178. 0. 2.179. 1. 7 2.180. 1. 2.181. 0. 2.182. +∞ . 2.183. 0. 2.184. − . 2.185. 3. 6 1 1 1 2 2.186. . 2.187. . 2.188. 1. 2.189. . 2.190. - 2. 2.191. 0. 2.192. . 35 3 π 3 1 2.193. 0. 2.194. - 2. 2.195. 1. 2.196. 2. 2.197. . 2.198. 0. 2.199. 1. 2.200. 1. 6 2.201. 1. 2.202. e. 3
2.203. 1) При х=-1 - максимум, f(-1)=10; при х=3 - минимум, f(3)=-22; на (- ∞ ;-1) и на (3;+ ∞ ) функция возрастает, на (-1;3) функция убывает; 2) при х=1 - максимум, f(1)=-4; при х=5 минимум, f(5)=4; на (−∞;1) и на (5;+∞ ) функция возрастает; на (1;3) и на (3;5) функция убывает; 3) при х=
1 1 1 1 1 - минимум, f( )=- ; на (0; ) функция убывает, на( ;+ ∞ ) функция e e e e e
возрастает; 4) при х=-
1 - максимум, 2
1 1 1 1 π - минимум, f( )= − ≈ −0,28; на ( −∞;− ) и на 2 4 2 2 2 1 1 1 ( ;+∞) функция возрастает, на (- ; ) функция убывает; 5) при х=0 - минимум, 2 2 2 f(0)=0; при х=2 - максимум, f(2)=4e-2; на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ ) функция убывает; на (0;2)
f(-
1 1 π )= − ≈ 0,28; при 4 2 2
х=
функция возрастает. 2.204. 1) при х=4 - точка перегиба; на (- ∞ ;4) - выпуклость вверх, на (4; + ∞ ) - вниз; 2) при x = ± 3 и при х=0 - точки перегиба; на (- ∞ , - 3 ) и на (0, −
3) -
3
выпуклость вверх, на (- 3 ,0) и на ( 3 ,+ ∞ ) - выпуклость вниз; 3) при x = e 2 - точка перегиба; на (0, e
−
3 2
) - выпуклость вверх, на ( e
−
3 2
, + ∞ ) - вниз;
4) точек перегиба нет;
на
(- ∞ , + ∞ ) выпуклость вниз. 1 - точки перегиба; у=0 - горизонтальная 2 асимптота; функция положительна. 2.206. При х=2 - максимум, у(2)=16; при х=-2 - минимум, у=-16; при х=0 - точка перегиба. 2.207. При х=-1 - максимум, у(-1)=0; х=0, х=-2 вертикальные асимптоты, у=1 - горизонтальная асимптота. 2.208. Экстремальных точек нет. х= ± 1 - вертикальные асимптоты, у=0 - горизонтальная асимптота. 2.209. При х=2 3 4 максимум, у(2)= - точка перегиба; у=0 - горизонтальная асимптота при ; при х = 2+ 2 3 2.205.При х=0 - максимум, у(0)=1; при х= ±
х → +∞ . 2.210. При х=1 - минимум, у(1)=е; точек перегиба нет; х=0 - вертикальная асимптота; у=0 - горизонтальная асимптота при х → −∞ . 2.211. При х=1 - минимум, у(1)=0; 1 при х= 2 - максимум, у(е-2)=4е-2; lim y = 0; функция неотрицательна. 2.212. При х=1 x →0 + е минимум, у(1)=1; точек перегиба нет; х=0 - вертикальная асимптота; функция неотрицательна. 2.213. При х=2 - минимум, у(2)=2; при х=-2 - максимум, у(-2)=-2; х=0 x вертикальная асимптота, у= - наклонная асимптота. 2.214. При х=0 - максимум, у(0)=0; при 2 х=2 - минимум, у(2)=4; х=1 - вертикальная асимптота, у=х+1 - наклонная асимптота. 2.215. Экстремальных точек нет. При х=0 - точка перегиба; у=х+ х → +∞ , у=х-
π 2
π
2
- наклонная асимптота при
- наклонная асимптота при х → −∞ . 2.216. При х=-
1 -максимум, 2
π 1 1 π 1 1 1 π у(- )= − + ; при х= - минимум, у( )= − ; у=х − - наклонная асимптота при 2 2 4 2 2 2 4 2 х → +∞ ; у=х +
π
2
- наклонная асимптота при х → −∞ . 2.217. При х=1 - максимум, у(1)=1; при
1
х= e 2 - точка перегиба; х=0 - вертикальная асимптота при х → 0+, у=0 - горизонтальная 1 1 1 асимптота при х → +∞ . 2.218. При х= - минимум, у( ) = 2 ; точек перегиба нет; х=0 2 4e 2 1 V R=3 lim x 2e x = 0. 2.219. ; вертикальная асимптота при х → 0+, x →0 − 2π 9W 2 3W 3 6 H= . 2.220. u 3W . 2.221. H ÷ R = 2, причем R = . 2.222. 50 м и 2 π 2π 2 100м. 2.223. 2. 2.224. 50 3 5 км/час ≈ 85,5 км/час. 2.225. 20 строк; 5200 у.е. 2.226. 1475 кг. 2.227. При х∈(0;100) финансовые накопления возрастают, при х∈(100, + ∞ ) - убывают. 2.228. С увеличением объема выпуска продукции издержки увеличиваются. 2.229. В точке 2 . 2.231. При р>2 2 спрос эластичен, при 0 < p < (1,5; 3,375); у=6,75х - 6,75. 2.230. а= − 4 2 2 - неэластичен, при р=2 2 - нейтрален. 2.232. Если α > 1, то спрос при любых р ≥ p0 эластичен; если 0 < α < 1, то спрос неэластичен; если α = 1 , то спрос нейтрален. 2.233. 1) При х ∈ (20;30) торговля прибыльная, при х ∈ (0;20) и при х ∈ (30;+∞) - торговля убыточная; х*=10, р*=125, Vmax=75; 2)При х ∈ (5;15) торговля прибыльная, при х ∈ (0;5) и при х ∈ (15;+∞) торговля убыточная; х*=10,р*=80, Vmax=125; 3) При х ∈ (9;49) торговля прибыльная, при х ∈ (0;9) и при х ∈ (49;+∞) - торговля убыточная; х*=25, р*=2, Vmax=4; 4) При х ∈ (10;30) торговля прибыльная, при х ∈ (0;10) и при х ∈ (30;+∞) - торговля убыточная; 3
4V
3
х*=2,5( 105 − 3) ≈ 18,1 , р* ≈ 1,7, Vmax ≈ 1,9. 2.234. 1)При х ∈ (0;20) торговля убыточная, при х ∈ (20;+∞) - торговля прибыльная; так как V(х) - возрастающая функция при всех х , то точек максимума у нее нет; 2) при х ∈ (20;45) торговля прибыльная, при х ∈ (0;20) и при 3) при х ∈ (30;40) торговля х ∈ (45;+∞) торговля убыточная; х*=32,5 , Vmax=1562,5; прибыльная, при х∈(0;30) и при х∈(40; + ∞ ) торговля убыточная; х*=35, Vmax=200. 2.235. 1) При р0 > 5 ; 2) при р0 > 10 ; 3) при р0 > 600 ; 4) при р0 > 560. 2.236. 1)При р0 ≤ 5; 2)при р0 < 200 2. 2.237. 1) При любых b0 ≥ 0; 2) при b0 ∈ [0;10240); 3) при b0 ∈ [0;9800). 2.238. 1) 1 При b1 > 165 ; 2) при b1 > 50; 3) при b1 > 15,625; 4) при b1 > 8 . 6
Тема 3. 1 2 3.1. 1) если а ≠ 0 , то F(a, 0)= − , F(0, a) = − ; 2) F (1, a) = 1 + a + 4 . a a 3.2. 1) Вся плоскость, кроме точки (0,0); 2) вся плоскость, кроме точек прямой у=-х; 3) круг х2+у2 ≤ 1 радиуса 1 с центром в начале координат; 4) I и III квадранты, исключая точки, лежащие на осях координат; 5) вся плоскость, кроме точек прямых у=х и у=-х; 6) полуплоскость, лежащая ниже прямой у=х, включая эту прямую; 7) круг х2+у2 ≤ 1 радиуса 1 с центром в начале координат. 2
2
2
2
3.6. 2х e x − y , - 2yex − y . 2x 2y . 3.7. 2 2 , 2 x + y x + y2 3y 3x 3.9. ,− . 2 (2x + y) (2x + y) 2
3.8. -
3.10. yx y-1 , x y ln x.
3.11. (x 2 y + 2x)e xy , x 3 e xy . 3.13. −
yx
x
,
x 2 x 2 - y2 x x 2 − y2
y 1 , . x2 x
3.12.
xe y . 2y 2 x (1 + xe 2y ) 1 + xe 1
,
.
y y 1 y x dy - y dx y cos dx + cos dy = ⋅ cos . 2 2 x x x x x x y dx + x dy y 3.18. dz = . 3.19. dx + arcsin x dy. 2 xy (1 + xy ) 2 x - x2 3.22. 0,6 dx + 0,8 dy. 3.23. dx + 2dy. 3.24. dx. 3.25. dx + 4dy. 3.27. Δz = 0,0431, dz = 0,04. 3.28. 1) - 0,1; 2) 0,15. 3.17. dz = -
′ = 2, z′xy ′ = −2, z′yy ′ = 10. 3.29. z′xx ′ = 3.31. z′xx
2)
y2 4 x
3
′ = , z′xy
y ′ = 2 x. , z′yy x
2
2 4x 8x ′ = ′ = , z′xy , z′yy . 2 1 − 2y (1 - 2y) (1 − 2 y)3
′ =− 3.32. z ′xx′ = z′yy 3.34. 1)
3.30. z ′xx′ = −
∂3z = 12, ∂x 3
2x 2 + 2y 2 4xy ′ = 2 2 2. , z′xy 2 2 2 (x − y ) (x - y ) ∂3 z = 0, ∂x 2 ∂y
∂3z = 2, ∂x ∂y 2
∂3 z ∂3z 2x 6 = =− , , 3 2 3 y ∂x ∂x ∂y y3 y
4x 2 ∂3z , = ∂x ∂y 2 3y 2 ⋅ 3 y
28x 3 ∂3 z . = − ∂y 3 27 y 3 ⋅ 3 y
2y 1 x ); 2) x ⋅ ( у (e x − xe x + e y ), х (е − ye y + e y )); 2 2 y 2 cos ( y ) (e + e ) 2 x x x 1 3) ); 4) - sin(xlny) ⋅ e cos(xlny) ⋅ (ln y, ). ⋅ ( y + cos x, y 2 y x y + sin x 3.36. Координаты вектора grad z (1,2) таковы: 1) (-2, -4); 2) (2,-1); 3) (2, 1); 4) (-2,1). 3.35. 1) (
y
∂3z = −6; ∂y 3
, x+
3.37. 1) 4)
1 5 1
2arctg y ln(x + y) 1 x2 − y + + − 4x + 3y); 3) 6 x 4)e ; 2) (( x+y 5 2 (1 + y 2 )
(3x 2 + 4xy - 5y 2 ). 3.38. 0,7; 5 ≈ 2,236; 3)
3
2
(
2 x
y 2
+
1 2x y
+ ( x - y)cosxy);
≈ 0,707. 3.39. 1) - 3 2 ≈ −4,243 , 2 5 ≈ 4,472;
≈ 2,122,
1
≈ −0,707, 5. 2 2 2 3.40. zmin=6 при х=-1, у=2. 3.41. zmax=22 при х=2, у=1. 3.42. Экстремума нет. 1 3.43. zmin=0 при х=1, у= . 3.44. zmin=0 при х=у=0. 3.45. zmax=12 при х=у=4. 2 2 3.46. zmin= − при х=0, у=-1. 3.47. zнаим. =-16 при х=3,у=2; zнаиб.=-4 при х=2,у=0. 3.48. е zнаим. =5 при х=у=0 и при х=1,у=2; zнаиб.=7 при х=0,у=2 и при х=1, у=0. 3.49. zнаим. =1 при 2)
≈ 0,707,
1
1
5 ; 4) -
х=у=1; zнаиб.=13 при х=3,у=-1. 3.50. zнаим. =0 при х=у=0; zнаиб.=1,5 3 при х=у=
π
. 3.51. 3 zmin=2 при х=у=1. 3.52. zmin=-4 при х=у=-2; zmax=4 при х=у=2. 3.53. zmax=1 при х=у= ± 1; zmin=-1 при х=-у= ± 1 .
Тема 4. x3 2 + x x + 2 ln x + c. 3 3 2 2x -1 + 2 x +1 4.4. + x + c. ln2 4.2. x 5 −
4.6. - 2 cos x + e x + 4 sin x + c.
4.12. 4.14. 4.17. 4.20. 4.24. 4.27.
x4 2 + x 3 − x − + c. 4 x
4.5. arcsin x − 2arctg x + c. 1 − 4 sin x + c. x2 3x 4.9. 2 ln x + 2 x + 3x + + c. ln3 4.11. arcsin x + 5 x 5 x + 2e x + c. 4.7. − cos x −
x2 - 3ctg x + 5 sin x + c. 2 3e x + arctgx + c. 6 2 x 2 + x 3 x 2 − 3 3 x 2 + c. 4.13. − (ctgx + x) + c. 5 1 - (tg x + ctg x) + c. 4.15. ( x - sin x) + c. 4.16. x + cos x + c. 2 e x − e − x + 2x + c. 4.18. x + 2arctg x + c. 4.19. − e cos x + c. 1 − cos11 x + c. 4.21. − cos e x + c. 4.22. arctg e x + c. 4.23. ln 6 x + c. 11 arcsin ln x + c. 4.25. 2 sin x + c. 4.26. ln sin x + c.
4.8. 2tg x − 4.10.
4.3.
3 2 1 (tgx) 2 + tg 3 x + c. 3 3
4.28. − e ctgx + c. 4.29.
1 arctg 4 x + c. 4
1 1 3 + c. 4.33. e x + c. arccos x 3 1 1 1 4.34. − cos x 2 + c. 4.35. ln x 3 + 1 + c. 4.36. arctg x 2 + c. 2 3 2 4.30. − cos(arctgx).
4.31. e arcsin x + c.
4.32.
1 4.39. − e −3 x + c. 3 1 1 1 sin(2x + 3) + c. 4.41. ln 10x + 7 + c. 4.42. (3 x + 1) 6 + c. 2 10 18 1 − ctg ( x + 2) + c. 4.44. arcsin 2x + c. 4.45. arctg ( x + 2) + c. 2 1 1 1 arctg (3x + 1) + c. 4.47. cos 6 x - cos14x + c. 3 12 28 1 1 1 sin 10x + sin 4x + c. 4.49. 3 (2 + 3e x ) 2 + c. 20 8 2 1 1 4.51. − cos(3x 2 − 5) + c. 4.52. ln(3 + sin x) + c. (3 ln x + 4)11 + c. 3 33 3 2 1 1 - (3 + cos5x) 2 + c. 4.54. ln(3 + 2 sin 3x) + c. 4.55. ln(1 + x 2 ) - arctg x + c. 15 6 2 1 arcsin 2 x - 1 - x 2 + c. 4.57. ln(x 2 + 3x + 5) + c. 4.58. ln(2x 2 + x + 2) + c. 2 1 1 arctg(esinx ) + c. 4.60. + c. 4.61. (2x - 1)e 2x + c. 4.62. − ( x + 1)e -x + c. 9 x 4 9 cos e 1 2x 1 3x e (4 x 3 − 6 x 2 + 6 x − 3) + c. 4.64. e (9 x 2 + 3x + 8) + c. 8 27 2 − (2 x + 1)cos x + 2sin x + c. 4.66. (x − 2) sin x + 2x cos x + c. 1 11 1 x (11 ln x - 1) + c. 4.68. (3x + 2)ln(3x + 2) - x + c. 121 3 2 1 x x +1 arctgx - + c. 4.70. x arctg 7x - 1 7x - 1 + c. 4.71. x arcsin x + 1 - x 2 + c. 7 2 2 ln x + 1 + c. 4.74. x 1 + (lnx - 1) 2 + c. 2 1 + x arcsin x + 4 1 - x + c. 4.73. − x 1 1 arctgx 1 x tgx + ln cos x + c. 4.76. − − ln(1 + 2 ) + c. 4.77. e x (sin x - cos x) + c. x 2 2 x 2x e x (3 sin 3x + 2cos 3x ) + c. 4.79. [cos(lnx) + sin(ln x )] + c. 13 2 3 2 1 cos x − cos x + + c. 4.81. sin 5 x - sin 3 x + sin x + c. 3 5 3 x sin4x 3x sin2x sin4x 3x sin 2 x sin 4 x + + + c. 4.83. + + c. 4.84. + c. 8 32 4 32 8 8 4 32 cos 4 x sin 5 x sin 3 x cos 5 x cos 3 x + c. 4.86. − + + c. 4.87. + c. 5 3 4 5 3
4.37. 2 sin x + c. 4.40. 4.43. 4.46. 4.48. 4.50. 4.53. 4.56. 4.59. 4.63. 4.65. 4.67. 4.69. 4.72.
4.75. 4.78. 4.80. 4.82. 4.85.
1 x
4.38. − e + c.
[
]
x 3 + c. 4.90. - 1 − sin x + c. x sin x 1 − sin 3 2 cos x 1 2 + 2 ln cos x − + c. 4.92. + c. 2 x 2 2cos x 1 + tg 2 x 2tg ( ) + 1 ⎛ tg ( x ) ⎞ 1 1 2 ⎟ + c. 4.94. 2 + c. arctg ⎜ ln ⎜ ⎟ x 5 2 2 ⎝ ⎠ tg ( ) − 2 2 tg ( x ) − 1 + 2 1 2 + c. ln x 2 tg ( ) − 1 − 2 2 ln x - 2 + 2 ln x − 3 + c. 4.97. 3ln x - 1 − 2 ln x + 2 + c.
1 1 + cos x + c. 4.88. - ln 2 1 − cos x 4.91.
4.93.
4.95. 4.96. 4.98.
3 4.89. ln 2
1 x-1 ln + c. 2 x+1
1 + sin
4.99. 2ln x + 2 − ln x + 1 + c.
4.100. 3ln x + ln x − 1 − ln x + 1 + c. 4.101. ln x - 2 + ln x + 1 − ln x + c. 4.102. -
7 2 + c. 2 2(x - 2) x-2
4.103. -
1 1 x+1 + ln + c. 2(x - 1) 4 x-1
4.104. ln(x 2 + 4 x + 5) − 3arctg ( x + 2) + c. 4.105. 2ln(x 2 − 2 x + 5) +
1 x-1 arctg + c. 2 2
1 1 1 2x + 1 ln x - 1 + ln(x 2 + x + 1) + arctg + c. 3 6 3 3 1 1 4.107. ln x − ln( x2 + 1) + c. 4.108. − − arctg x + c. 2 x x-1 1 1 9 28 ln x - 3 + c. 4.109. ln + ln( x 2 + 1) + c. 4.110. x + ln x - ln x - 2 + x+1 2 6 2 3 4.106. -
4.111.
x2 1 x-1 16 - 2x + ln ln x + 2 + c. + 3 2 6 (x + 1) 3
x2 4 2 8 2x - 1 − 2 x + ln x + 1 − ln( x 2 − x + 1) + + c. 4.112. arctg 3 2 3 3 3 3 2x + 1 + c. 4.114. ex − arctg ex + c. arctg 2 3 2x 1 e 1 + ln 1 - e2x + c. 4.116. x - ln 1 - e2x + c. 4.115. 2 2 2 4.113. x2 - x + ln x +
2
4.118. S5 ≈ 0,8279 ,
∫ 1
dx x
2
≈ 0,8284.
4.119. S5 ≈ 2 ,33,
∫x 1
2
dx = 2
1 . 3
π 7π . 4.125. 1 + . 12 4 3 3 π 1 e -1 1 . 4.131. ln . 4.126. - . 4.127. . 4.128. 2 . 4.129. . 4.130. ln 2 6 2 48 2e 5
4.120. 4. 4.121. 2. 4.122. 0,5(e 2 − 1). 4.123. 1. 4.124.
π - 2ln2 26 e4 + 3 24ln2 - 7 . 4.133. 2. 4.134. - 3π . 4.135. . 4.136. . 4.137. . 2 3 4 9 4e 2 4.138. e - 1. 4.139. 28,5. 4.140. 10 . 4.141. 32. 4.142. 1. 4.143. 2. 3 π 2 8 1 4.144. 10 . 4.145. 3 − . 4.146. . 4.147. . 4.148. 1,875 - 2ln2. 3 3 3 3 π3 7 1 . 4.154. 16. 4.149. . 4.150. 2. 4.151. . 4.152. 0,5. 4.153. 2 + 12 4 6 π (e 2 − 1) 256 125 π ; 2) 8π . 4.159. 1) . 4.158. 1) ; 2) 2π . 4.155. 4. 4.156. 2,5. 4.157. 6 15 2 π π2 178π 21π 4π ; 2) . 4.161. 1) ; 2) . 4.162. . 4.163. 1)12π ; 2) 24π . 4.160. 1) 15 2 4 7 2 π 6π 3π 2π 2 3π 3π 4.164. . 4.165. 1) ; 2) . 4.166. . 4.167. . + 30 7 5 12 4 10 π π 63π 4.168. 1) ; 2) 36π . 4.169. . 4.170. . 4 2 2 4.171. 1) интеграл расходится; 2) интеграл расходится; 3)1; 4) при 0<а ≤ 1интеграл 1 . 4.172. 1) расходится; 2) 1. расходится, при а>1 интеграл равен a −1 1 ln3 4.173. . 4.174. 2. 4.175. ln2. 4.176. . 4.177. Расходится. ln2 2 4.178. π . 4.179. π . 4.180. 0. 4.181. Расходится. 4.182. Расходится. 4.183. -1. 4.184. 1. 4.185. 1) 2; 2) расходится; 3) расходится ; 1 , при а ≥ 1 интеграл расходится. 4) при 0
Тема 5. 5.1. Да. 5.2. Да. 5.3. Нет. 5.4. При С=0 - является, при С ≠ 0 - нет. 5.5. sin x − arctgy 2 = C. 5.6. sin x ⋅ cos y = C. 5.7. y = Ce 2 x ( x +1) . 1 2 5.8. y + 2 y − 2 sin x = C. 5.9. y = tgx + 1. 5.10. sin y = e − x . 2
5 5.11.e−y = − 4. 5.12.y2 = 2x + 2 x −3. 5.13.y = Cx3 − x3 cosx. 5.14.y = Ccosx +sin2x. x 2 2 π2 1 3 5.15.y = Ce2x −5ex. 5.16.y = Cex +arctgx⋅ ex . 5.17.y = ecosx+3x2ecosx. 5.18.y = e4x−x . 4 4
5.19.y = 4x2 +6x −4. 5.20. y = (2arctgx+3) ⋅ 1+ x2 . 1
x
5.21.y = C1e−x +C2e2 . 5.22.y = C1e−3x +C2e5x. 5.23.y = (C1 +C2x)e3x. 5.24.eax(C1 +C2x). 5.25.y = e2x(C1 cos3x +C2 sin3x). 5.26.y = e−3x(C1 cos4x +C2 sin4x). 5.27.y = C1 cos4x +C2 sin4x. 5.28.y = C1 cos2x +C2 sin2x. 5.29.y = C1e−2x +C2e−3x + x2 + 2x −2. 5.30.y = C1ex +C2e3x + 2x2 −1. x3 3 5.31.y = C1 +C2e2x − . 5.32.y = C1 +C2e−3x + x2 − x. 5.33. y = (C1 +C2x)e2x + 2e5x. 6 2 −3x −2x −x 2x 5.34. y = C1e +C2e +1,5e . 5.35. y = C1e +C2e−3x + xe2x. 5.36. y = ex (C1 +C2x) +3x2 ⋅ ex. 5.37.y = e2x(C1 cos5x +C2 sin5x) +sin5x +5cos5x. 5.38. y = C1e−x +C2e2x −3cos2x +sin2x. 5.39.y = C1 cos5x +C2 sin5x + 2xsin5x. 5.40.y = C1 cos2x +C2 sin2x − xcos2x. 5.41. y = e−x (C1 +C2x) +3ex + x −2.
Тема 6. 1 1 1 1 1 1 1 6.2. + + + +... . + + +... . 3 5 7 5 25 125 625 3 4 1 2 8 6.4. 2 + 1 + + + + +... . + 1+... . 2 5 10 17 9 1 1 1 1 1 1 1 -1+ - + − + −... . 6.6. − +... . 27 81 3 9 3 4 2 4! 1 2! 6.8. 0 +0+ +... . 1+ 0 + 0+... . 7 ⋅ 11 3! 3⋅7 1 1 (−1) n +1 an = . 6.10. a n = n . 6.11. a n = . 2n (n + 1)(n + 2) 3
6.1. 1 + 6.3. 6.5. 6.7. 6.9.
n
(−1) n (−1) n +1 ⋅ 5 2n 6.12. a n = . 6.13. a n = . 6.14. a n = . n ln(n + 1) n! n2 6.15. Нет. 6.16. Нет. 6.17. Да. 6.18. Да. 6.19. Да. 6.20. Да.
6.21. Нет. 6.22. Да. 6.23. Да. 6.24. Да. 6.25. Расходится. 6.26. Расходится. 6.27. Сходится. 6.28. Сходится. 6.29. Расходится, так как 2n − 1 2n − n 1 ≥ 2 = . 6.30. Сходится. 6.31. Сходится. 2 2 4n n +n+2 n + n + 2n 2
6.32. Сходится. 6.33. Сходится. 6.34. Сходится. 6.35. Сходится. 6.36. Расходится. 6.37. Сходится. 6.38. Сходится. 6.39. Сходится. 6.40. Сходится. 6.41. Сходится. 6.42. Расходится.
6.43. Расходится. 6.44. Сходится. 6.45. Сходится. 6.46. Сходится. 6.47. Сходится. 6.48. Расходится. 6.49. При 01 ряд сходится. 6.50. Сходится. 6.51. Сходится. 6.52. Расходится. 6.53. Расходится. 6.54. Сходится. 6.55. Условно сходится. 6.56. Условно сходится. 6.57. Абсолютно сходится. 6.58. Абсолютно сходится. 6.59. Абсолютно сходится. 6.60. Абсолютно сходится. 6.61. Абсолютно сходится. 6.62. Абсолютно сходится. 6.63. Расходится. 6.64. Расходится. 6.65. Условно сходится. 6.66. Условно сходится. 6.67. Абсолютно сходится. 6.68. Абсолютно сходится. 6.69. Условно сходится. 6.70. Условно сходится. 6.71. Расходится. 6.72. Расходится. 6.73. Абсолютно сходится. 6.74. Абсолютно сходится. 6.75. Условно сходится. 6.76. Условно сходится.
6.77. R = 1, [− 1;1].
6.78. R = 1, [− 1;1].
6.79. R = 2, [− 2;2].
1 ⎡ 1 1⎤ 6.80. R = , ⎢− ; ⎥. 3 ⎣ 3 3⎦
1 ⎡ 1 1⎞ 6.81. R = , ⎢− ; ⎟. 6.82. R = 7, [- 7;7 ). 5 ⎣ 5 5⎠ 1 ⎛ 1 1⎞ 6.83. R = 2, (−2;2). 6.84. R = , ⎜ − ; ⎟. 2 ⎝ 2 2⎠ 6.85. R= ∞ . Ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой. 6.86. R= ∞ . Ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой. 6.87. R=0. Ряд расходится на всей числовой прямой, кроме точки х=0. 6.88. R=0. Ряд расходится на всей числовой прямой, кроме точки х=0. 6.89. R=3, (-3;3). 6.90. R=1, (-1;1). 6.91. R=1, (-1;1). 6.92. R=1, [-1;1]. 6.93. R=6, (-6;6]. 6.94. R=1, [-1;1]. 6.95. R= ∞ . 6.96. R = ∞
6.97.
∑ n= 0
xn , x < +∞. 6.98. 3n ⋅ n ! ∞
∑ ( −1)n ⋅
x < +∞. 6.100.
n= 0
∞
6.102.
∑ ( −1)
n
⋅
n= 0 ∞
6.104.
∑ ( −1) n ⋅ n= 0
∞
6.106. 1 +
∑ n= 0
ln n a n ⋅ x , x < +∞. 6.99. n!
n
5 n x , x < +∞. 6.101. n!
2n+1
x , x < +∞. 6.103. n!
∞
2
2 n −1
n
5
∑ n! x
n+ 3
∞
∑ ( −1) n ⋅ n= 0
∞
∑ n= 0
( −1) n −1 ⋅ 32 n −1 2n-1 x , (2n − 1) !
x4n , x < +∞. ( 2n) !
, x < +∞.
n= 0
4 n ⋅ x 2n+ 2 , x < +∞. 6.105. ( 2 n) !
∑ ( −1) n ⋅ n=1
∞
3 , [- 3 , 3 ].
∞
∑ ( −1)n +1 ⋅ n=1
2 2 n −1 ⋅ x 2n , x < +∞. ( 2n) !
∞ ⋅x x3n , x < +∞. 6.107. - ∑ , - 1 < x ≤ 1. ( 2n) ! n=1 n 2n
∞ 3n ⋅ x n 2 2 3 n ⋅ x 2n 1 , - <x≤ . , x ≤ . 6.109. ln2 + ∑ (−1) n −1 ⋅ n 3 3 n n⋅2 3 n =1 n =1 ∞ ∞ xn 2 x 2 n −1 , 10 ≤ x < 10. , x < 1. 6.110. ln10 - ∑ ⋅ 6.111. ∑ n n =1 n ⋅ 10 n =1 2n − 1
6.108.
∞
∑ (−1) n−1 ⋅
∞ 2 2 n ⋅ x 2n -1 1 1 + 2n n , x < . 6.113. ln2 + ∑ (−1) n −1 ⋅ x , - 1 < x ≤ 1. 2 n ⋅ 2n n =1 3( 2n − 1) n =1 Указание: разложите квадратный трехчлен на множители. ∞ 1 + 3n n 6.114. ln3 - ∑ x , - 1 ≤ x < 1. n n =1 n ⋅ 3 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n − 3) n x ∞ 6.115. 1 + + ∑ (−1) n −1 ⋅ x , x < 1. 2 n=2 2 n ⋅ n! ∞ ∞ 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n − 3) n 6.116. 1 - x - ∑ ⋅ x , x < . 6.117. ∑ (−1) n ⋅ x 2n , x < 1. 2 n! n=2 n =0 ∞
6.112. ∑
n +1 ∞ +1 n 2 5n ⋅ x n n 3 6.118. ∑ n +1 , x < .6.119. ∑ (−1) ⋅ x , x < 1. n +1 5 2⋅3 n =0 n =0 2 ∞
∞
∞ 1 n x 2n +1 n 6.121. ) x , x 1 . ( < − ⋅ , x < 1. 1) ∑ 2n + 1 2n n =0 n =0 ∞ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n - 1) 2n +1 6.122. x + ∑ n x , x < 1. n =1 2 ⋅ ( 2n + 1) ⋅ n!
6.120. ∑ (1 +
∞
6.123. 1) ∑ (−1) n ⋅ n =0
∞
x 2n +1 + c; x < +∞. (2n + 1)!(2n + 1)
n
x + c, x < +∞. 6.124. 1) 20 + 36(x - 2) + 25(x - 2) 2 + 8(x - 2) 3 + (x - 2) 4 ; n =1 n! n
2) ∑
∞
2) - 27 + 30(x + 2) - 10(x + 2) 2 + (x + 2) 3 ; 3)∑ (−1) n ⋅ n =0
(x - 4) n , x - 4 < 4; 4 n +1
1 1 (−1) ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (2n − 1) ( x − 9) n , x - 9 < 9. 4) + ∑ n 3 3 n =1 18 ⋅ n! ∞
n
6.125. 1) 1,002; Δ ≤ 0,000002; 2) 0,996; Δ ≤ 0,000008; ∞
3) 9,5; Δ ≤ 0,0125. 6.126. 1) 0,693; 2) 1,096. 6.127. Ф(x) = ∑ (−1) n ⋅ n =0
1 Ф( ) ≈ 0,321. 3
x 2n +1 ; n!(2n + 1)
