Линейная алгебра: Методические указания по курсу для студентов ОЗО экономического факультета специальности ''Экономическая теория''. Часть 1

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé ôåäåðàöèè Ôåäåðàëüíîå àãåíòñòâî ïî îáðàçîâàíèþ Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî è ñðåäíåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾ÐÎÑÒÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿

Ãàâðèëÿ÷åíêî Ò. Â.

Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî êóðñó ¾ËÈÍÅÉÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ¿ äëÿ ñòóäåíòîâ ÎÇÎ ýêîíîìè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ñïåöèàëüíîñòè ¾ýêîíîìè÷åñêàÿ òåîðèÿ¿ ×àñòü 1

Ðîñòîâ-íà-Äîíó 2006

Ãàâðèëÿ÷åíêî Ò. Â. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî êóðñó ¾Ëèíåéíàÿ àëãåáðà¿ äëÿ ñòóäåíòîâ ÎÇÎ ýêîíîìè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ñïåöèàëüíîñòè ¾ýêîíîìè÷åñêàÿ òåîðèÿ¿. ×àñòü 1. ÓÏË ÐÃÓ. 2006ã. 33ñ.

Äàííûå ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ñîäåðæàò òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë è ïðèìåðû ðåøåíèÿ îñíîâíûõ òèïîâ çàäà÷ ïî òåìàì ¾àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ íà ïðÿìîé è ïëîñêîñòè¿, ¾ìàòðèöû¿, ¾ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé¿, ¾îïðåäåëèòåëè¿, ¾îáðàòíàÿ ìàòðèöà¿ è ¾êîìïëåêñíûå ÷èñëà¿, âõîäÿùèì â êóðñ ¾Ëèíåéíàÿ àëãåáðà¿ äëÿ ñòóäåíòîâ ÎÇÎ ýêîíîìè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà, îáó÷àþùèõñÿ ïî ñïåöèàëüíîñòè ¾ýêîíîìè÷åñêàÿ òåîðèÿ¿. Ïå÷àòàåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì êàôåäðû àëãåáðû è äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ îò 11 ñåíòÿáðÿ 2006ã, ïðîòîêîë 1.

1

Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ Ÿ1 Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ íà ïðÿìîé Îïðåäåëåíèå Ïðÿìàÿ, äëÿ êîòîðîé âûáðàíî ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå,

íàçûâàåòñÿ

îñüþ

.

Îïðåäåëåíèå Îòðåçîê îñè AB , îãðàíè÷åííûé òî÷êàìè A è B , íàçûâàåòñÿ

, åñëè óêàçàíî, êàêàÿ èç ýòèõ òî÷åê ñ÷èòàåòñÿ íà÷àëîì îòðåçêà, à êàêàÿ  êîíöîì. Îïðåäåëåíèå Âåëè÷èíîé îòðåçêà AB ìû áóäåì íàçûâàòü åãî äëèíó, âçÿòóþ ñî çíàêîì ïëþñ, åñëè íàïðàâëåíèå AB ñîâïàäàåò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè, è ñî çíàêîì ìèíóñ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Âåëè÷èíà îòðåçêà AB îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì AB , à åãî äëèíà  |AB|. Åñëè íà ïðÿìîé âûáðàíî ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå, ìàñøòàáíûé îòðåçîê äëÿ èçìåðåíèÿ äëèí îòðåçêîâ è íåêîòîðàÿ òî÷êà O, òî ãîâîðÿò, ÷òî íà ïðÿìîé çàäàíà ñèñòåìà êîîðäèíàò. Òî÷êà O íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì êîîðäèíàò. Êîîðäèíàòà ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M ïðè ýòîì îïðåäåëÿåòñÿ êàê âåëè÷èíà îòðåçêà OM : íàïðàâëåííûì

x = OM. Òî÷êà M ñ êîîðäèíàòîé x îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì M (x). Åñëè M1 (x1 ) è M2 (x2 )  äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè ïðÿìîé, òî âåëè÷èíà îòðåçêà M1 M2 äàåòñÿ ôîðìóëîé

M1 M2 = x 2 − x 1 , à åãî äëèíà 

|M1 M2 | = |x2 − x1 |. Ÿ2 Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ íà ïëîñêîñòè Îïðåäåëåíèå Äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà

íà ïëîñêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ îñåé è ëèíåéíîé åäèíèöû äëÿ èçìåðåíèÿ äëèí. Îáû÷íî ãîðèçîíòàëüíóþ îñü îáîçíà÷àþò áóêâîé X èëè ñèìâîëîì OX , à âåðòèêàëüíóþ  áóêâîé Y èëè ñèìâîëîì OY . Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ îñåé íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì êîîðäèíàò è îáîçíà÷àåòñÿ áóêâîé O. Îïðåäåëåíèå Êîîðäèíàòàìè ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M íàçûâàþò ÷èñëà

x = OMx ,

êîîðäèíàò

y = OMy ,

ãäå Mx è My  ïðîåêöèè òî÷êè M íà îñè êîîðäèíàò OX è OY . Ïðè ýòîì x íàçûâàåòñÿ àáñöèññîé, à y  îðäèíàòîé òî÷êè M . Òî÷êà M ñ êîîðäèíàòàìè x, y îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì M (x; y).

3

Åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû òî÷åê M1 (x1 ; y1 ) è M2 (x2 ; y2 ), òî ïðîåêöèè îòðåçêà M1 M2 íà îñè êîîðäèíàò âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì:

X = x2 − x1 ,

Y = y2 − y1 .

Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè ïëîñêîñòè M1 (x1 ; y1 ) è M2 (x2 ; y2 ) äàåòñÿ ôîðìóëîé: p

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . Ïóñòü çàäàíà äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ  l2 Y 6 J l1   J ñèñòåìà êîîðäèíàò è íåêîòîðàÿ ïðÿìàÿ M2 J ϕ s y2  (ðèñ. 1). Îáîçíà÷èì ÷åðåç α óãîë ìåæäó ïîJ  J M1 ëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè OX è ýòîé y1 s J J  ïðÿìîé, îòëîæåííûé ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåë J  b J  α êè. Óãîë α íàçîâåì óãëîì íàêëîíà äàííîé  J  JX  ïðÿìîé ê îñè OX. Òàíãåíñ óãëà íàêëîíà O x1 x2 ïðÿìîé ê îñè OX (ïðè óñëîâèè, ÷òî îíà íå Ðèñ. 1. ïåðïåíäèêóëÿðíà ê OX) íàçûâàåòñÿ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì ýòîé ïðÿìîé: k = tg α. Åñëè α = 0, òî è k = 0, ò. å. ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñè OX èìååò óãëîâîé êîýôôèöèåíò, ðàâíûé íóëþ. Åñëè α = π/2, òî k íå îïðåäåëåí. Èç øêîëüíîãî êóðñà ãåîìåòðèè èçâåñòíî, ÷òî óðàâíåíèå ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k èìååò âèä y = kx + b, d=

ãäå b  âåëè÷èíà îòðåçêà, îòñåêàåìîãî ýòîé ïðÿìîé íà îñè OY. Òåîðåìà 1 Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M1 (x1 ; y1 ) íå ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îñè OX , èìååò âèä

y − y1 = k(x − x1 ).

(1)

Äëÿ ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê OX , èìååì x = x1 . Òåîðåìà 2 Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè M1 (x1 ; y1 ) è M2 (x2 ; y2 ) èìååò âèä:

x − x1 y − y1 = . y2 − y1 x2 − x1

(2)

Ïðèìåð Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè M1 (5; 6) è

M2 (8; 8). Ðåøåíèå Ïîäñòàâëÿÿ äàííûå êîîðäèíàòû â óðàâíåíèå (2), ïîëó÷èì

y−6 x−5 = 2 3 4

èëè

2 8 y = x+ . 3 3 Ðàññìîòðèì äâå ïðÿìûå l1 è l2 , ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî íè îäíà èç íèõ íå ïåðïåíäèêóëÿðíà ê îñè OX (ðèñ. 1). Îáîçíà÷èì óãëîâûå êîýôôèöèåíòû ýòèõ ïðÿìûõ ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç k1 è k2 , à óãîë ìåæäó íèìè  ÷åðåç ϕ. Óãîë ϕ áóäåì ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûì, åñëè ïîâîðîò îò l1 ê l2 îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, è îòðèöàòåëüíûì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Òåîðåìà 3 Óãîë ìåæäó ïðÿìûìè l1 è l2 âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå tg ϕ =

k2 − k1 . 1 + k1 k 2

(3)

Òåîðåìà 4 Äâå ïðÿìûå ñ óãëîâûìè êîýôôèöèåíòàìè k1 è k2 ïåðïåíäèêó-

ëÿðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

k1 k2 = −1 èëè k2 = −

1 . k1

(4)

Òåîðåìà 5 Äâå ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíû èõ

óãëîâûå êîýôôèöèåíòû:

k1 = k2 .

(5)

Ïðèìåð Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó A(1;3) a)

ïàðàëëåëüíî ê ïðÿìîé y = 2x + 1; b) ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïðÿìîé y = 3x − 2. Íàéòè óãîë ìåæäó ïîëó÷åííûìè ïðÿìûìè. Ðåøåíèå a) Óãëîâîé êîýôôèöèåíò k èñêîìîé ïðÿìîé äîëæåí ðàâíÿòüñÿ óãëîâîìó êîýôôèöèåíòó çàäàííîé ïðÿìîé: k = 2. Ò. ê. èñêîìàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó A, ïî ôîðìóëå (1) èìååì:

y − 3 = 2(x − 1) èëè

y = 2x + 1. b) Óãëîâîé êîýôôèöèåíò èñêîìîé ïðÿìîé íàõîäèì èç ñîîòíîøåíèÿ (4):

1 k=− . 3 Ò. ê. èñêîìàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó A, òî

1 y − 3 = − (x − 1) 3 5

èëè

1 10 y =− x+ . 3 3 Óãîë ìåæäó ïîëó÷åííûìè ïðÿìûìè íàéäåì, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3): 2 + 13 tg ϕ = = 7. 2 1− 3

Ñëåäîâàòåëüíî, îñòðûé óãîë, ñîñòàâëÿåìûé ðàññìîòðåííûìè ïðÿìûìè, ðàâåí arctg 7. Îïðåäåëåíèå Óðàâíåíèå âèäà Ax+By +C = 0, ãäå A2 +B 2 6= 0, íàçûâàåòñÿ îáùèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé.

Òåîðåìà 6 Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M (xM ; yM ) äî ïðÿìîé Ax + By + C = 0 íà

ïëîñêîñòè âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

AxM + ByM + C . √ d = A2 + B 2

(6)

Ïðèìåð Äàíû ïðÿìàÿ 4x − 3y + 2 = 0 è òî÷êà M (3; 2). Íàéòè ðàññòîÿíèå

îò òî÷êè M äî äàííîé ïðÿìîé. Ðåøåíèå Ñîãëàñíî ôîðìóëå (6)

4 · 3 − 3 · 2 + 2 8 = . d = √ 5 2 2 4 +3

2

Ìàòðèöû Ÿ3 Ïîíÿòèå ìàòðèöû. Ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè Îïðåäåëåíèå Ïðÿìîóãîëüíûå òàáëèöû ÷èñåë íàçûâàþòñÿ ìàòðèöàìè.

Çàìåòèì, ÷òî ïî âèäó ìàòðèöû ñõîæè ñ ðàçëè÷íûìè âåäîìîñòÿìè: ïëàòåæíîé, áàëàíñîâîé è äð. ×èñëà, âõîäÿùèå â ìàòðèöó, íàçûâàþò åå ýëåìåíòàìè, ãîðèçîíòàëüíûå ðÿäû ÷èñåë  ñòðîêàìè ìàòðèöû, âåðòèêàëüíûå  ñòîëáöàìè. Ìàòðèöà, ñîäåðæàùàÿ m ñòðîê è n ñòîëáöîâ èìååò âèä:

   A= 

a11 a12 a21 a22 .. .. . . am1 am2

6

. . . a1n . . . a2n .. ... . . . . amn

   . 

Ýëåìåíòû ìàòðèöû èìåþò äâîéíûå èíäåêñû: ïåðâûé èíäåêñ  ýòî íîìåð ñòðîêè, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ ýòîò ýëåìåíò; âòîðîé  íîìåð ñòîëáöà, â êîòîðîì îí ñòîèò. Ãîâîðÿò, ÷òî ìàòðèöà èìååò ðàçìåð (m × n), åñëè â íåé ñîäåðæèòñÿ ðîâíî m ñòðîê è n ñòîëáöîâ. Åñëè m 6= n, òî ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíîé. Åñëè m = n, òî ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ êâàäðàòíîé. Ìàòðèöà, ñîñòîÿùàÿ èç îäíîé ñòðîêè, íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé-ñòðîêîé :

A=

a11 a12 . . . a1n




.

Ìàòðèöà, ñîñòîÿùàÿ èç îäíîãî ñòîëáöà, íàçûâàåòñÿ



a11 a21 .. . am1

  A= 

ìàòðèöåé-ñòîëáöîì

:

   . 

Îïðåäåëåíèå Ìàòðèöû îäèíàêîâîãî ðàçìåðà íàçûâàþòñÿ

ðàâíûìè

òîãäà è

òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíû èõ ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû:



a11 a12 a21 a22



 =

b11 b12 b21 b22

 ⇐⇒ a11 = b11 ,

a12 = b12 ,

a21 = b21 ,

a22 = b22 .

Ñðàâíèâàòü ìàòðèöû ðàçíîãî ðàçìåðà íåëüçÿ. Îïðåäåëåíèå Ñóììîé ìàòðèö îäèíàêîâîãî ðàçìåðà íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà òîãî æå ðàçìåðà, âñå ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû ñóììàì ñîîòâåòñòâåííûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèö-ñëàãàåìûõ:



a11 a12 a21 a22



 +

b11 b12 b21 b22



 =

a11 + b11 a12 + b12 a21 + b21 a22 + b22

 .

Ïðèìåð Íàéòè ìàòðèöó A + B , åñëè

 A=

3 5 1 2 −1 3



 ,

B=

−4 1 0 3 −2 5

 .

Ðåøåíèå

 A+B =

3 5 1 2 −1 3



 +

−4 1 0 3 −2 5



 =

−1 6 1 5 −3 8

 .

Îïðåäåëåíèå Ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèöû A íà ÷èñëî α íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà,

âñå ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû ïðîèçâåäåíèþ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû A íà ÷èñëî α:

 α·A=

α · a11 α · a12 α · a21 α · a22 7



Ïðèìåð Íàéòè ìàòðèöó



1 −3 4 5

C =3·



 −2·

−2 1 7 5

 .

Ðåøåíèå

 C= Îïðåäåëåíèå

3 −9 12 15

Íóëåâîé



 −



−4 2 14 10

 =

7 −11 −2 5

 .

ìàòðèöåé íàçûâàþò ìàòðèöó, âñå ýëåìåíòû êîòîðîé

ðàâíû íóëþ. ê ìàòðèöå A íàçûâàþò ìàòðèöó −A, âñå ýëåìåíòû êîòîðîé ïðîòèâîïîëîæíû ýëåìåíòàì A: Îïðåäåëåíèå

   A= 

Ïðîòèâîïîëîæíîé

a11 a12 a21 a22 .. .. . . am1 am2

. . . a1n . . . a2n .. ... . . . . amn





  , 

  −A= 

−a11 −a12 −a21 −a22 .. .. . . −am1 −am2

. . . −a1n . . . −a2n .. ... . . . . −amn

   . 

Ÿ4 Ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö

Îáîçíà÷èì ñèìâîëîì Ai i-þ ñòðîêó ìàòðèöû A (i = 1 . . . m):

Ai =

ai1 ai2 . . . ain




,

à ñèìâîëîì Ak  åå k -é ñòîëáåö (k = 1 . . . n):

   k A = 

a1k a2k .. . amk

   . 

Îïðåäåëåíèå Ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèö A è B áóäåì íàçûâàòü ìàòðèöó C ,

ýëåìåíò cik êîòîðîé ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé ñîîòâåòñòâåííûõ ýëåìåíòîâ i-é ñòðîêè ìàòðèöû A è k -ãî ñòîëáöà ìàòðèöû B :

cik = ai1 · b1k + ai2 · b2k + · · · + ain · bnk , i = 1 . . . m, k = 1 . . . n. Èíà÷å ãîâîðÿ, ýëåìåíò cik ðàâåí ñòîëáöà ìàòðèöû B :

ïðîèçâåäåíèþ

i-é

ñòðîêè ìàòðèöû

cik = Ai · Ak , i = 1 . . . m, k = 1 . . . n. 8

A

è

k -ãî

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö A è B èìåëî ñìûñë, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ÷èñëî ýëåìåíòîâ â ñòðîêàõ ìàòðèöû A ñîâïàäàëî ñ ÷èñëîì ýëåìåíòîâ â ñòîëáöàõ ìàòðèöû B . Äðóãèìè ñëîâàìè, ÷èñëî ñòîëáöîâ ìàòðèöû A äîëæíî ñîâïàäàòü ñ ÷èñëîì ñòðîê ìàòðèöû B . Åñëè ìàòðèöà A èìååò ðàçìåð (m × n), à ìàòðèöà B  (n × p), òî ïðîèçâåäåíèå ýòèõ ìàòðèö èìååò ðàçìåð (m × p). Ïðèìåð Âû÷èñëèòü ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö



   2 −1 3 1 1 A =  3 5 è . 2 −1 1 2 2 Ðåøåíèå ×èñëî ñòîëáöîâ ìàòðèöû A ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ñòðîê ìàòðèöû

B , ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâåäåíèå ýòèõ ìàòðèö ñóùåñòâóåò:     2 −1 3 1 1  3 5 · = 2 −1 1 2 2   2 · 2 + (−1) · 2 2 · 1 + (−1) · (−1) 2 · 1 + (−1) · 1 3 · 1 + 5 · (−1) 3·1+5·1 = = 3·3+5·2 2·3+2·2 2 · 1 + 2 · (−1) 2·1+2·1   2 3 1 =  19 −2 8  . 10 0 4 Ïðèìåð Âû÷èñëèòü ïðîèçâåäåíèÿ:  

  4 4 3

a) 2 3 1 ·  1 3  ; b) −2 0 1 ·  −2  ; 3 0 −2       4
4 3 3 c) · ; d)  1  · 3 2 1 . 1 −2 1 2 Ðåøåíèå   4 3
a) 2 3 1 ·  1 3  = 0 −2

= 2 · 4 + 3 · 1 + 1 · 0 2 · 3 + 3 · 3 + 1 · (−2) = 11 13 ;   4
b) −2 0 1 ·  −2  = 3 9



−2 · 4 + 0 · (−2) + 1 · 3 = −5 ;     4 3 3 · = c) 1 −2 1     4·3+3·1 15 = = ; 1 · 3 + (−2) · 1 1   4
d)  1  · 3 2 1 = 2     4·3 4·2 4·1 12 8 4 =  1 · 3 1 · 2 1 · 1  =  3 2 1 . 2·3 2·2 2·1 6 4 2 Îïðåäåëåíèå Åäèíè÷íîé ìàòðèöåé íàçûâàåòñÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà âèäà   1 0 0 ... 0  0 1 0 ... 0     0 0 1 ... 0  E= ,  .. .. .. . . ..  . .   . . . 0 0 0 ... 1 =

ó êîòîðîé ýëåìåíòû, ñòîÿùèå íà ãëàâíîé äèàãîíàëè (ýëåìåíòû aii , i = 1 . . . n) ðàâíû åäèíèöå, à âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ. Ðàçìåð ìàòðèöû E ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíûì: (2 × 2), (3 × 3) è ò. ä.  àëãåáðå ìàòðèö E âûïîëíÿåò ðîëü åäèíèöû. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî A · E = A è E · A = A äëÿ ëþáîé ìàòðèöû A, åñëè ðàçìåð åäèíè÷íîé ìàòðèöû òàêîâ, ÷òî óêàçàííûå ïðîèçâåäåíèÿ èìåþò ñìûñë. Ñâîéñòâà ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö: 1. Ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö, âîîáùå ãîâîðÿ,

íåêîììóòàòèâíî

:

A · B 6= B · A. Íàïðèìåð,



     4 3 4 11 A·B = · = ; 0 2 4 7       4 3 1 4 7 22 B·A= · = . 0 2 1 2 2 4 Íî ñóùåñòâóþò ìàòðèöû, ïðîèçâåäåíèå êîòîðûõ ïåðåñòàíîâî÷íî, íàïðèìåð:             1 2 2 3 8 7 2 3 1 2 8 7 · = ; · = . 2 1 3 2 7 8 3 2 2 1 7 8 1 4 1 2

10

2. Ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö àññîöèàòèâíî:

(A · B) · C = A · (B · C). 3. Ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö äèñòðèáóòèâíî:

(A + B) · C = A · C + B · C. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå íàòóðàëüíûå ñòåïåíè ìàòðèö:

A0 = E,

A2 = A · A è ò. ä.

A1 = A,

Ïðèìåð Íàéòè çíà÷åíèå ìíîãî÷ëåíà f (x) = x2 + 2x + 3 îò ìàòðèöû

 A=

1 −1 2 3

 .

Ðåøåíèå Ïîäñòàâèì âìåñòî ïåðåìåííîé x ìàòðèöó A:

f (A) = A2 + 2A + 3A0 = A2 + 2A + 3E. .

3



    1 −1 −1 A2 = A · A = · = 2 3 8     2 −2 3 0 2A = ; 3E = . 4 6 0 3        −1 −4 2 −2 3 0 f (A) = + + = 8 7 4 6 0 3 1 −1 2 3

−4 7

 ;

4 −6 12 16

 .

Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé Ÿ5 Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ

Ïðîèçâîëüíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (ÑËÓ), ñîäåðæàùàÿ m óðàâíåíèé è n íåèçâåñòíûõ èìååò âèä:

  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1    a x + a x + · · · + a x = b 21 1 22 2 2n n 2  ..............................    a x + a x + · · · + a x = b , m1 1 m2 2 mn n m

11

ãäå xk  íåèçâåñòíûå, aik  êîýôôèöèåíòû ïðè íåèçâåñòíûõ, bi  ñâîáîäíûå ÷ëåíû ñèñòåìû; i = 1 . . . m, k = 1 . . . n. Åñëè m 6= n, òî ÑËÓ íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíîé, à åñëè m = n, òî ÑËÓ íîñèò íàçâàíèå êâàäðàòíîé. Îïðåäåëåíèå Ðåøåíèåì ÑËÓ íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííûé íàáîð ÷èñåë α1 , α2 , . . . , αn , ïðè ïîäñòàíîâêå êîòîðûõ âî âñå óðàâíåíèÿ ÑËÓ âìåñòî ñîîòâåòñòâóþùèõ íåèçâåñòíûõ, êàæäîå óðàâíåíèå îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî. Îïðåäåëåíèå ÑËÓ íàçûâàåòñÿ ñîâìåñòíîé, åñëè îíà èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå è íåñîâìåñòíîé, åñëè îíà íå èìååò ðåøåíèé. Îïðåäåëåíèå Ñîâìåñòíàÿ ÑËÓ íàçûâàåòñÿ îïðåäåëåííîé, åñëè îíà èìååò òîëüêî îäíî ðåøåíèå, è íåîïðåäåëåííîé, åñëè îíà èìååò áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ. Îïðåäåëåíèå ÑËÓ ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì íåèçâåñòíûõ íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè, åñëè ìíîæåñòâà èõ ðåøåíèé ñîâïàäàþò. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ìàòðèöû:

   A= 

a11 a12 a21 a22 .. .. . . am1 am2

. . . a1n . . . a2n .. ... . . . . amn





  , 

  b= 

b1 b2 .. . bm





  , 

  x= 

x1 x2 .. . xm

   . 

Ìàòðèöà A, ñîñòàâëåííàÿ èç êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû, íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ñèñòåìû. Ìàòðèöû b è x íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ìàòðèöåé-ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ è ìàòðèöåé-ñòîëáöîì íåèçâåñòíûõ. Íàéäåì ïðîèçâåäåíèå Ax. Ýòî ìàòðèöà-ñòîëáåö:

 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn  a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn     ........................... . am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn 

Òåïåðü ÑËÓ ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå: Ax = b. Îïðåäåëåíèå Ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé ÑËÓ áóäåì íàçûâàòü ìàòðèöó Ap , ïîëó÷åííóþ èç ìàòðèöû A äîáàâëåíèåì ñòîëáöà ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ:

   Ap =  

a11 a12 a21 a22 .. .. . . am1 am2

. . . a1n . . . a2n .. ... . . . . amn



b1 b2 .. . bm

Ÿ6 Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåìû

12

   . 

Ðàññìîòðèì äâå çàäà÷è: èññëåäîâàíèå ÑËÓ, ò. å. óñòàíîâëåíèå åå ñîâìåñòíîñòè (íåñîâìåñòíîñòè), îïðåäåëåííîñòè (íåîïðåäåëåííîñòè) è íàõîæäåíèå ìíîæåñòâà ðåøåíèé (â ñëó÷àå ñîâìåñòíîñòè). Ñóùåñòâóåò ñïîñîá ïðåîáðàçîâàíèÿ âñÿêîé ÑËÓ ê ðàâíîñèëüíîé ÑËÓ òàêîãî âèäà, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî ðåøàòü îáå ýòè çàäà÷è. Äëÿ ïðèâåäåíèÿ ÑËÓ ê ðàâíîñèëüíîé ïðèìåíÿþò òðè òèïà ïðåîáðàçîâàíèé, êîòîðûå íàçûâàþò ýëåìåíòàðíûìè (ÝÏ): 1. Óìíîæåíèå îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ íà íåðàâíîå íóëþ ÷èñëî. 2. Ïðèáàâëåíèå ê îäíîìó óðàâíåíèþ äðóãîãî, óìíîæåííîãî íà ëþáîå ÷èñëî. 3. Ïåðåìåíà ìåñòàìè äâóõ óðàâíåíèé ñèñòåìû. Îòìåòèì, ÷òî åñëè â ðåçóëüòàòå ÝÏ â ÑËÓ ïîÿâèëîñü óðàâíåíèå, â êîòîðîì âñå êîýôôèöèåíòû ïðè íåèçâåñòíûõ è ñâîáîäíûé ÷ëåí ðàâíû íóëþ, òî òàêîå óðàâíåíèå ìîæíî âû÷åðêíóòü èç ñèñòåìû, íå íàðóøàÿ ðàâíîñèëüíîñòè ïðåîáðàçîâàíèé. Îïðåäåëåíèå ÑËÓ íàçûâàåòñÿ ÑËÓ êàíîíè÷åñêîãî âèäà, åñëè â êàæäîì åå óðàâíåíèè íàéäåòñÿ íåèçâåñòíîå, êîýôôèöèåíò ïðè êîòîðîì ðàâåí åäèíèöå, è êîòîðîå îòñóòñòâóåò âî âñåõ äðóãèõ óðàâíåíèÿõ ñèñòåìû. Òåîðåìà 7 Ëþáóþ ñîâìåñòíóþ ÑËÓ ñ ïîìîùüþ ÝÏ ìîæíî ïðèâåñòè ê ðàâíîñèëüíîé ÑËÓ êàíîíè÷åñêîãî âèäà. Ÿ7 Ìåòîä Æîðäàíà-Ãàóññà (ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ)

Ñóòü ìåòîäà Æîðäàíà-Ãàóññà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïðè ïîìîùè ÝÏ èñõîäíóþ ÑËÓ ïðèâîäÿò ëèáî ê ñèñòåìå, ñîäåðæàùåé ïðîòèâîðå÷èâîå óðàâíåíèå 0x1 + 0x2 + · · · + 0xn = f, f 6= 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, íåñîâìåñòíîé; ëèáî ê ñèñòåìå êàíîíè÷åñêîãî âèäà, ðåøåíèå êîòîðîé íå ñîñòàâëÿåò òðóäà.  ïåðâîì ñëó÷àå èñõîäíàÿ ÑËÓ ÿâëÿåòñÿ íåñîâìåñòíîé, âî âòîðîì ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà êàíîíè÷åñêîãî âèäà èìååò òî æå ìíîæåñòâî ðåøåíèé, ÷òî è èñõîäíàÿ. Ïðîèëëþñòðèðóåì ìåòîä Æîðäàíà-Ãàóññà íà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ. Ïðèìåð

  2x1 −3x2 +5x3 +4x4 = 1 3x1 −2x2 +4x3 −3x4 = 7  4x1 −11x2 +17x3 +26x4 = −9. Ðåøåíèå Èñïîëüçóÿ ïåðâîå óðàâíåíèå, èñêëþ÷èì íåèçâåñòíîå x1 èç äðóãèõ

óðàâíåíèé ñèñòåìû ñ ïîìîùüþ ÝÏ: âòîðîå óðàâíåíèå óìíîæèì íà äâà è âû÷òåì èç íåãî óòðîåííîå ïåðâîå, çàòåì èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ âû÷òåì óäâîåííîå

13

ïåðâîå. Ïîëó÷èì:

  2x1 −3x2 +5x3 +4x4 = 1 5x2 −7x3 −18x4 = 11  −5x2 +7x3 +18x4 = −11. Èñêëþ÷àåìîå íåèçâåñòíîå íàçûâàåòñÿ âåäóùèì íåèçâåñòíûì, à óðàâíåíèå, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ïðîèçâîäèòñÿ èñêëþ÷åíèå, âåäóùèì óðàâíåíèåì. Íà ïåðâîì øàãå âåäóùèìè áûëè íåèçâåñòíîå x1 è ïåðâîå óðàâíåíèå. Äàëåå âîçüìåì â êà÷åñòâå âåäóùåãî óðàâíåíèÿ âòîðîå, à â êà÷åñòâå âåäóùåãî íåèçâåñòíîãî  x2 . Èñêëþ÷èì x2 èç ïåðâîãî è òðåòüåãî óðàâíåíèé: ê ïåðâîìó óðàâíåíèþ, óìíîæåííîìó íà ïÿòü, ïðèáàâèì âòîðîå, óìíîæåííîå íà òðè, à ê òðåòüåìó óðàâíåíèþ ïðîñòî ïðèáàâèì âòîðîå. Áóäåì èìåòü:



10x1 5x2

+4x3 −34x4 = 38 −7x3 −18x4 = 11.

Òðåòüå óðàâíåíèå îòáðîñèì, ò. ê. îíî ïðåâðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 0. Ðàçäåëèì òåïåðü êàæäîå óðàâíåíèå íà êîýôôèöèåíò ïðè òîì íåèçâåñòíîì, êîòîðîå ïîáûâàëî â íåì âåäóùèì. Ïîëó÷èì ÑËÓ êàíîíè÷åñêîãî âèäà: 

2 17 19 + x3 − x4 = 5 5 5 7 18 11   x2 − x3 − x4 = . 5 5 5 Åñëè â ñèñòåìå êàíîíè÷åñêîãî âèäà êîëè÷åñòâî óðàâíåíèé ìåíüøå ÷èñëà íåèçâåñòíûõ, òî ÑËÓ íå èìååò åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå íàõîäÿò âûðàæåíèå îäíèõ (à èìåííî, âåäóùèõ) íåèçâåñòíûõ ÷åðåç äðóãèå (îñòàâøèåñÿ). Íåèçâåñòíûå, ïîáûâàâøèå âåäóùèìè, íàçûâàþò ãëàâíûìè èëè áàçèñíûìè, à îñòàëüíûå  ñâîáîäíûìè. Ôîðìóëû æå, äàþùèå ñâÿçü ìåæäó áàçèñíûìè è ñâîáîäíûìè íåèçâåñòíûìè, îïðåäåëÿþò îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû  ïðèäàâàÿ â íèõ ñâîáîäíûì íåèçâåñòíûì ïðîèçâîëüíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ, ìîæíî ïîëó÷èòü âñå ðåøåíèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì, â ðàññìàòðèâàåìîé ÑËÓ x1 è x2  áàçèñíûå íåèçâåñòíûå, x3 è x4  ñâîáîäíûå, è îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä:    x1 = − 2 x3 + 17 x4 + 19 5 5 5 18 11 7   x2 = x3 + x4 + . 5 5 5 Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè êàêîå-íèáóäü ðåøåíèå ÑËÓ, íåîáõîäèìî â îáùåå ðåøåíèå âìåñòî ñâîáîäíûõ íåèçâåñòíûõ ïîäñòàâèòü ëþáûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ è   x1

14

âû÷èñëèòü ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ áàçèñíûõ íåèçâåñòíûõ. Ïîëîæèì, íàïðèìåð, x3 = 1, x4 = −1. Òîãäà x1 = −2/5−17/5+19/5 = 0, x2 = 7/5−18/5+11/5 = 0. Òàêèì îáðàçîì, îäíî èç ðåøåíèé ñèñòåìû èìååò âèä: {x1 = 0 , x2 = 0, x3 = 1, x4 = −1}. Òàêèå ðåøåíèÿ íàçûâàþòñÿ ÷àñòíûìè. Î÷åâèäíî, ÷àñòíûõ ðåøåíèé èìååòñÿ áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî, ò. ê. ñâîáîäíûì íåèçâåñòíûì ìîæíî ïðèäàâàòü áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé. Çàìåòèì, ÷òî ïðè ðåøåíèè ñèñòåìû ìåòîäîì Æîðäàíà-Ãàóññà ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì ïîäâåðãàþò, ïî ñóùåñòâó, ñòðîêè åå ðàñøèðåííîé ìàòðèöû. Ïîýòîìó íà ïðàêòèêå ñîñòàâëÿþò ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó çàäàííîé ñèñòåìû è ñ ïîìîùüþ ÝÏ ñòðîê ïðèâîäÿò åå ê ðàñøèðåííîé ìàòðèöå êàíîíè÷åñêîãî âèäà. Ýòî ìàòðèöà, ó êîòîðîé â êàæäîé ñòðîêå íàéäåòñÿ ýëåìåíò, ðàâíûé åäèíèöå, â ñòîëáöå êîòîðîãî âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ. Ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà êàíîíè÷åñêîãî âèäà ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé ÑËÓ êàíîíè÷åñêîãî âèäà, êîòîðàÿ ðàâíîñèëüíà èñõîäíîé ñèñòåìå. Ïðèìåð

  x1 −x2 −x3 +2x4 = 3 2x1 −2x2 −2x3 +4x4 = 6  2x1 +2x2 +x4 = 5. Ðåøåíèå

Ñîñòàâèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû:



1 −1 −1 2  2 −2 −2 4 2 2 0 1

 3 6  5

 êà÷åñòâå âåäóùåãî âîçüìåì ýëåìåíò a13 = −1 èç ïåðâîé ñòðîêè è â åãî ñòîëáöå ïðè ïîìîùè ÝÏ ñòðîê âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû îáðàòèì â íóëü. (Âåäóùèì ìîæíî ñäåëàòü ëþáîé îòëè÷íûé îò íóëÿ ýëåìåíò âûáðàííîé ñòðîêè, êðîìå ñâîáîäíîãî ÷ëåíà. Âûáîð âåäóùåé ñòðîêè òàêæå ïðîèçâîëåí.) Âû÷òåì èç âòîðîé ñòðîêè óäâîåííóþ ïåðâóþ. Ïîëó÷èì:

 1 −1 −1 2 1 0 0 0 0 0  2 2 0 1 5 

Âòîðóþ ñòðîêó âû÷åðêíåì, ò. ê. îíà ñîîòâåòñòâóåò óðàâíåíèþ 0x1 +0x2 +0x3 + 0x4 = 0. Ñäåëàåì âåäóùåé òðåòüþ ñòðîêó è âûáåðåì â íåé âåäóùèé ýëåìåíò a34 = 1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îáðàòèòü â íóëü îñòàëüíûå ýëåìåíòû åãî ñòîëáöà,

15

âû÷òåì èç ïåðâîé ñòðîêè óäâîåííóþ òðåòüþ (ýëåìåíò a24 óæå è òàê ðàâåí íóëþ). Áóäåì èìåòü:  

−3 −5 −1 0 −9 2 2 0 1 5

.

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòà ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà ïðèîáðåëà êàíîíè÷åñêèé âèä, óìíîæèì ïåðâóþ ñòðîêó íà −1:



 3 5 1 0 9 . 2 2 0 1 5

Ñõåìàòè÷åñêè ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàê:

1 −1 −1 2  2 −2 −2 4 2 2 0 1  −3 −5 ∼ 2 2 

   1 −1 −1 2 1 3 C − 2C1  C − 2C3 0 0 0 0 0  1 6  2 ∼ ∼ 2 2 0 1 5 5    −1 0 −9 (−1) · C1 3 5 1 0 9 . 0 1 5 ∼ 2 2 0 1 5

Ïîñëåäíÿÿ ìàòðèöà ñîîòâåòñòâóåò ÑËÓ êàíîíè÷åñêîãî âèäà



3x1 +5x2 +x3 = 9 2x1 +2x2 +x4 = 5.

Çäåñü x3 , x4  áàçèñíûå, x1 , x2  ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå. Îáùåå ðåøåíèå áóäåò èìåòü âèä: 

x3 = 9 −3x1 −5x2 x4 = 5 −2x1 −2x2 .

Ïîëàãàÿ x1 = 0, x2 = 1, ïîëó÷èì îäíî èç áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ÷àñòíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû: {x1 = 0, x2 = 1, x3 = 4, x4 = 3}. Ïðèìåð

 

x1 −2x3 = 1 x1 −2x2 +x3 = 1  −2x1 +2x2 +x3 = 1 Ðåøåíèå Ñîñòàâèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû è ïðèâåäåì åå ê ðàñøè-

ðåííîé ìàòðèöå êàíîíè÷åñêîãî âèäà:

  1 0 −2 1 −3 4 0 C1 + 2C3  1 −2 1 1   ∼ 3 −4 0 −2 2 1 1 C2 − C3 −2 2 1 

16

 3 C1 + C2 0  ∼ 1 2C3 + C2



0 0 0  ∼ 3 −4 0 −1 0 2

 3 0 . 2

Ïåðâàÿ ñòðîêà ïîëó÷åííîé ìàòðèöû ñîîòâåòñòâóåò óðàâíåíèþ 0x1 + 0x2 + 0x3 = 3. Åìó íå óäîâëåòâîðÿåò íèêàêîé íàáîð çíà÷åíèé íåèçâåñòíûõ, ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíàÿ ÑËÓ íåñîâìåñòíà. Ïðèìåð

  2x1 −x2 +x3 = 2 3x1 +2x2 +2x3 = −2  x1 −2x2 +x3 = 1

Ðåøåíèå Ïðåîáðàçóåì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû:

   2 −1 1 2 C1 + 2C3 C2 − 2C1 2 −1 1 2  3 2 2 −2    ∼ ∼ −1 4 0 −6 C2 − C3 1 C3 − C1 −1 −1 0 −1 1 −2 1     0 −3 1 0 C2 /5 0 −3 1 0 C1 + 3C2  0 1 0 −1  ∼ ∼  0 5 0 −5  ∼ (−1) · C3 −1 −1 0 −1 C3 − C2 1 1 0 1     1 0 0 2 0 0 1 −3 C ↔ C3  0 1 0 −1  . ∼  0 1 0 −1  1 ∼ 0 0 1 −3 1 0 0 2 

Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîé ìàòðèöå ñèñòåìà èìååò âèä:

 2  x1 = x2 = −1  x3 = −3. Çäåñü îòñóòñòâóþò ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå, ò. ê. ÷èñëî óðàâíåíèé ðàâíî ÷èñëó íåèçâåñòíûõ. Èñõîäíàÿ ÑËÓ èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x1 = 2, x2 = −1, x3 = −3. Ñóììèðóÿ ñêàçàííîå, ïåðå÷èñëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèé ïðè ðåøåíèè ÑËÓ ìåòîäîì Æîðäàíà-Ãàóññà: 1. Ñîñòàâèòü ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû. 2. Âûáðàòü âåäóùóþ ñòðîêó, à â íåé âåäóùèé ýëåìåíò (ñëåâà îò ÷åðòû). 3.  ñòîëáöå âåäóùåãî ýëåìåíòà ñ ïîìîùüþ ÝÏ ñòðîê îáðàòèòü âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû â íóëü. 17

4. Åñëè â ïîëó÷åííîé ìàòðèöå ïîÿâèëàñü ñòðîêà (0 0 0 · · · 0|f ), ãäå f 6= 0, ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðåêðàòèòü, ò. ê. èñõîäíàÿ ñèñòåìà íåñîâìåñòíà. 5. Åñëè ïðîòèâîðå÷èâîé ñòðîêè íå ïîÿâèëîñü, âû÷åðêíóòü âñå íóëåâûå ñòðîêè, çàòåì ñíîâà âûáðàòü âåäóùóþ ñòðîêó èç ÷èñëà òåõ, êîòîðûå åùå íå áûëè âåäóùèìè. Ïîâòîðÿòü ïðåîáðàçîâàíèÿ äî òåõ ïîð, ïîêà êàæäàÿ íåíóëåâàÿ ñòðîêà íå ïîáûâàåò âåäóùåé. 6. Êàæäóþ ñòðîêó ìàòðèöû ðàçäåëèòü íà ïðèñóòñòâóþùèé â íåé âåäóùèé ýëåìåíò. Íà ýòîì ýòàïå áóäåò ïîëó÷åíà ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà ÑËÓ êàíîíè÷åñêîãî âèäà. 7. Âûïèñàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ åé ñèñòåìó. Çàòåì â ëåâîé ÷àñòè îñòàâèòü áàçèñíûå íåèçâåñòíûå (òå, êîòîðûå ïîáûâàëè âåäóùèìè), à îñòàëüíûå (ñâîáîäíûå) ïåðåíåñòè â ïðàâóþ ÷àñòü. Ïîëó÷åííûå ñîîòíîøåíèÿ áóäóò îïðåäåëÿòü îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû. Åñëè ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå îòñóòñòâóþò, ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Çàìå÷àíèå 1. Åñëè â ñîâìåñòíîé ÑËÓ ñîäåðæèòñÿ óðàâíåíèé ìåíüøå, ÷åì

íåèçâåñòíûõ, òî çàðàíåå ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îíà áóäåò íåîïðåäåëåííîé. Çàìå÷àíèå 2. Ïðèâåäåíèå ñîâìåñòíîé ÑËÓ ê ñèñòåìå êàíîíè÷åñêîãî âèäà ïðîèçâîäèòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, íå åäèíñòâåííûì îáðàçîì, ò. ê. âûáîð âåäóùåãî ýëåìåíòà íà êàæäîì øàãå ïðîèçâîëåí.

4

Îïðåäåëèòåëè

Ÿ8 Ñèñòåìû äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè. Îïðåäåëèòåëè âòîðîãî ïîðÿäêà

Ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ âîçíèêëî â ñâÿçè ñ çàäà÷åé î ðåøåíèè ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ðàññìîòðèì êâàäðàòíóþ ñèñòåìó

( a11 x1 + a21 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2 .

(7)

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà ñîâìåñòíà. Óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà a22 , âòîðîå íà −a12 è ñëîæèì ðåçóëüòàò. Ïîëó÷èì: (a11 a22 − a21 a12 )x1 = b1 a22 − b2 a12 . Åñëè a11 a22 − a21 a12 6= 0, òî

x1 =

b1 a22 − b2 a12 . a11 a22 − a21 a12 18

(8)

Àíàëîãè÷íî âûðàçèì x2 :

b2 a11 − b1 a21 . (9) a11 a22 − a21 a12 Ïîäñòàíîâêîé ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ åñòü ðåøåíèå ñèñòåìû (7). Òàêèì îáðàçîì, åñëè a11 a22 −a21 a12 6= 0, òî ÑËÓ (7) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëàìè (8), (9). Ìàòðèöà ñèñòåìû (7) èìååò âèä   a11 a12 A= . a21 a22 x2 =

Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî îáùèé çíàìåíàòåëü â ôîðìóëàõ (8), (9) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòû ìàòðèöû A. Ýòî ÷èñëî íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëåì ìàòðèöû A è îáîçíà÷àåòñÿ îäíèì èç ñèìâîëîâ:

a11 a12 a21 a22

,

D(A),

|A|,

det(A).

ìàòðèöû âòîðîãî ïîðÿäêà (èëè îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà) åñòü ÷èñëî, ðàâíîå ðàçíîñòè ïðîèçâåäåíèÿ ýëåìåíòîâ, ñòîÿùèõ íà ãëàâíîé äèàãîíàëè, è ïðîèçâåäåíèÿ ýëåìåíòîâ, ñòîÿùèõ íà ïîáî÷íîé äèàãîíàëè: Îïðåäåëåíèå

Îïðåäåëèòåëü

a11 a12 a21 a22

= a11 a22 − a21 a12 .

Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ÷èñëèòåëè â ôîðìóëàõ (8), (9) èìåþò òó æå ñòðóêòóðó, ÷òî è çíàìåíàòåëè. ×èñëèòåëü ïåðâîé äðîáè åñòü îïðåäåëèòåëü, ïîëó÷åííûé èç îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû A çàìåíîé åãî ïåðâîãî ñòîëáöà ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ ñèñòåìû (7); ÷èñëèòåëü âòîðîé  îïðåäåëèòåëü, ïîëó÷åííûé èç îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû A çàìåíîé åãî âòîðîãî ñòîëáöà ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ. Ôîðìóëû (8), (9) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

x1 = ãäå

b a D1 = 1 12 b2 a22

,

D1 , D

x2 =

D2 , D

a11 b1 , D2 = a21 b2

Ïîëó÷åííûå ôîðìóëû íàçûâàþòñÿ

a a D = 11 12 a21 a22 .

ôîðìóëàìè Êðàìåðà

Ÿ9 Îïðåäåëèòåëè n-ãî ïîðÿäêà

19

.

Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ìàòðèöó 3-ãî ïîðÿäêà:



 a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  . a31 a32 a33 Mik ýëåìåíòà aik ìàòðèöû A íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà, ïîëó÷åííûé ïîñëå âû÷åðêèâàíèÿ èç ìàòðèöû A i-é ñòðîêè è k -ãî ñòîëáöà. Íàïðèìåð: a12 a13 . M31 = a22 a23 Îïðåäåëåíèå

Ìèíîðîì

Îïðåäåëåíèå Âåëè÷èíà Aik = (−1)i+k Mik íàçûâàåòñÿ

àëãåáðàè÷åñêèì äî-

ýëåìåíòà aik . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû 3-ãî ïîðÿäêà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îïðåäåëèòåëè âòîðîãî ïîðÿäêà  àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ åå ýëåìåíòîâ  ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïîëíåíèåì

D = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 . Ïî àíàëîãèè ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ 4-ãî ïîðÿäêà, èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ 3-ãî ïîðÿäêà; ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ 5-ãî ïîðÿäêà, èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ 4-ãî ïîðÿäêà, è ò. ä. Áóäåì ñ÷èòàòü ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ (n−1)-ãî ïîðÿäêà óñòàíîâëåííûì. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó n-ãî ïîðÿäêà

   A= 

a11 a12 a21 a22 .. .. . . an1 an2

 . . . a1n . . . a2n   . . . . ..  .  . . . ann

Âû÷åðêíåì i-þ ñòðîêó è k -é ñòîëáåö, íà ïåðåñå÷åíèè êîòîðûõ ñòîèò ýëåìåíò aik . Îïðåäåëèòåëü ïîëó÷åííîé ìàòðèöû (n − 1)-ãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ìèíîðîì ýëåìåíòà aik è îáîçíà÷àåòñÿ Mik . Àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà aik áóäåì íàçûâàòü âåëè÷èíó (−1)i+k Mik . Îïðåäåëåíèå Îïðåäåëèòåëåì ìàòðèöû n-ãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, ðàâíîå ñóììå ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ ïåðâîãî ñòîëáöà ìàòðèöû íà èõ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ:

D=

a11 a12 a21 a22 .. .. . . an1 an2

. . . a1n . . . a2n . . . .. = a11 A11 + a21 A21 + · · · + an1 An1 . . . . ann 20

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êâàäðàòíàÿ ÑËÓ n-ãî ïîðÿäêà, îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîòîðîé îòëè÷åí îò íóëÿ, èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ýòî ðåøåíèå íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà:

D1 D2 Dn , x2 = , · · · , xn = , D D D ãäå D  îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ÑËÓ (èëè îïðåäåëèòåëü ÑËÓ ), à Di (i = 1 . . . n)  îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷åííûå èç D çàìåíîé i-ãî ñòîëáöà ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ. Ïðèìåð Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü: 1 2 1 D = 2 3 0 3 1 1 x1 =

Ðåøåíèå Âîñïîëüçîâàâøèñü îïðåäåëåíèåì, ïîëó÷èì:

D = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 = 3 0 2 1 + 2 · (−1)2+1 + 3 · (−1)3+1 2 1 = 1 · (−1)1+1 1 1 3 0 1 1

=

= (3 − 0) − 2(2 − 1) + 3(0 − 3) = −8. Îäíàêî, ïðè âû÷èñëåíèè îïðåäåëèòåëÿ ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ íå òîëüêî ýëåìåíòàìè ïåðâîãî ñòîëáöà. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ Òåîðåìà 8 Îïðåäåëèòåëü ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé âñåõ ýëåìåíòîâ ëþáîãî ñòîëáöà (èëè ñòðîêè) íà èõ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ:

D = a1k A1k + a2k A2k + · · · + ank Ank ,

k = 1...n

èëè

D = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain ,

i = 1 . . . n,

Òàêîé ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ íàçûâàåòñÿ ñòîëáöó (i-é ñòðîêå) ñîîòâåòñòâåííî. Ïðèìåð Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü:

3 −2 0 D = 4 −1 1 1 1 0

ðàçëîæåíèåì

ïî k -ìó

.

Ðåøåíèå Ïîñêîëüêó â òðåòüåì ñòîëáöå îïðåäåëèòåëÿ ëèøü îäèí ýëåìåíò

îòëè÷åí îò íóëÿ, ðàçëîæèì îïðåäåëèòåëü ïî ýòîìó ñòîëáöó:

3 −2 = −(3 − (−2)) = −5. D = 1 · (−1)2+3 1 1 21

Ÿ10 Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé

Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà íàèáîëåå âàæíûå ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé. 1) Îïðåäåëèòåëü íå èçìåíèòñÿ, åñëè â íåì ñòðîêè è ñòîëáöû ñ îäèíàêîâûìè íîìåðàìè ïîìåíÿòü ìåñòàìè (ò. å. òðàíñïîíèðîâàòü îïðåäåëèòåëü). Íàïðèìåð:

a11 a12 a21 a22

a11 a21 = a12 a22

.

Èç ýòîãî ñâîéñòâà ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå óòâåðæäåíèå, ñïðàâåäëèâîå äëÿ ñòðîê îïðåäåëèòåëÿ, ñïðàâåäëèâî è äëÿ åãî ñòîëáöîâ. 2) Åñëè âñå ýëåìåíòû êàêîé-ëèáî ñòðîêè (ñòîëáöà) óìíîæèòü íà îäíî è òî æå ÷èñëî, òî îïðåäåëèòåëü óìíîæèòñÿ íà ýòî ÷èñëî (ÝÏ 1). Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè âñå ýëåìåíòû íåêîòîðîé ñòðîêè (ñòîëáöà) èìåþò îáùèé ìíîæèòåëü, òî åãî ìîæíî âûíåñòè çà çíàê îïðåäåëèòåëÿ. Íàïðèìåð:

αa11 αa12 a21 a22

= α a11 a12 a21 a22

.

3) Åñëè ê îäíîé ñòðîêå (ñòîëáöó) îïðåäåëèòåëÿ ïðèáàâèòü äðóãóþ ñòðîêó (ñòîëáåö), óìíîæåííóþ íà îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî, îïðåäåëèòåëü íå èçìåíèòñÿ (ÝÏ 2). Íàïðèìåð:

a11 a12 a21 a22

a11 + αa21 a12 + αa22 = a21 a22

.

4) Åñëè â îïðåäåëèòåëå ïîìåíÿòü ìåñòàìè äâå ñòðîêè (ñòîëáöà), òî îïðåäåëèòåëü ïîìåíÿåò çíàê (ÝÏ 3). Íàïðèìåð:

a11 a12 a21 a22

= − a21 a22 a11 a12

.

5) Îïðåäåëèòåëü, ñîäåðæàùèé íóëåâóþ ñòðîêó (ñòîëáåö), ðàâåí íóëþ. Íàïðèìåð:

0 0 a21 a22

= 0.

6) Îïðåäåëèòåëü, ñîäåðæàùèé äâå ïðîïîðöèîíàëüíûå ñòðîêè (ñòîëáöà), ðàâåí íóëþ. Íàïðèìåð:

a11 a12 αa11 αa12

= 0.

Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî îïðåäåëèòåëü åäèíè÷íîé ìàòðèöû ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà ðàâåí åäèíèöå. Äåéñòâèòåëüíî, ðàñêëàäûâàÿ âñÿêèé ðàç ïî ïåðâîìó 22

ñòîëáöó, áóäåì èìåòü:

1 0 |E| = .. . 0 |

0 1 .. . 0

... ... ... ... {z n

1 0 0 0 .. = 1 · .. . . 0 1 | }

0 1 .. . 0

0 1 0 0 .. = · · · = 1 · 0 1 . 1 }

... ... ... ... {z

n−1

=1

Ïðèìåð Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü:



1 0 3 2 2 −3 2 3 4 −7 3 4 5 −5 3 8

.

Ðåøåíèå Åñëè ìû âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé î ðàçëîæåíèè îïðåäåëèòåëÿ, òî

ïðèäåì ê ÷åòûðåì îïðåäåëèòåëÿì òðåòüåãî ïîðÿäêà, êàæäûé èç êîòîðûõ, â ñâîþ î÷åðåäü, âûðàæàåòñÿ ÷åðåç òðè îïðåäåëèòåëÿ âòîðîãî ïîðÿäêà. Òàêîé ñïîñîá íåðàöèîíàëåí, ïîýòîìó ïîïûòàåìñÿ ïðåîáðàçîâàòü çàäàííûé îïðåäåëèòåëü òàê, ÷òîáû â êàêîì-ëèáî åãî ñòîëáöå òðè ýëåìåíòà îáðàòèëèñü â íóëü, à çàòåì ðàçëîæèì îïðåäåëèòåëü ïî ýòîìó ñòîëáöó. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê ñ ó÷åòîì ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ñâîéñòâ:



1 0 3 2 2 −3 2 3 4 −7 3 4 5 −5 3 8

C2 − 2C1 = C3 − 4C1 C5 − 5C1



1 0 3 2 0 −3 −4 −1 . 0 −7 −9 −4 0 −5 −12 −2

Ïî ñâîéñòâó 3 ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ íå èçìåíÿþò çíà÷åíèÿ îïðåäåëèòåëÿ. Óìíîæèì âòîðóþ÷åòâåðòóþ ñòðîêè îïðåäåëèòåëÿ íà (−1). Ïðè ýòîì îïðåäåëèòåëü óìíîæèòñÿ íà (−1)3 . Áóäåì èìåòü:

(−1)3 ·

1 0 0 0

0 3 3 4 7 9 5 12

2 1 4 2

3 4 1 = (−1)3 · 1 · (−1)1+1 7 9 4 5 12 2

3 4 1 = − 7 9 4 5 12 2

.

Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííûé îïðåäåëèòåëü:

3 4 1 − 7 9 4 5 12 2

C2 − 4C1 3 4 1 −5 −7 0 = − C3 − 2C1 −1 4 0 23

−5 −7 = (−1) · 1 · (−1)1+3 −1 4 = 27.

Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 1 ìîæíî äåëàòü ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ íå òîëüêî ñòðîê, íî è ñòîëáöîâ îïðåäåëèòåëÿ (÷òî íåâîçìîæíî ïðè ïðåîáðàçîâàíèè ðàñøèðåííûõ ìàòðèö ñèñòåì). Ïðèìåð Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü:



1 0 1 2 6 −3 7 12 2 −2 3 3 6 −8 4 12

.

Ðåøåíèå Ïðåîáðàçóåì äàííûé îïðåäåëèòåëü. Ïîñêîëüêó ýëåìåíòû ïîñëåä-

íåé ñòðîêè èìåþò îáùèé ìíîæèòåëü, ¾âûíåñåì¿ åãî çà çíàê îïðåäåëèòåëÿ, à çàòåì âîñïîëüçóåìñÿ ñòîëáöîâûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè (äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñòîëáöîâ áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ âåðõíèìè èíäåêñàìè):

1 0 1 2 4 1 0 1 2 C − 2C 1 6 −3 7 12 6 −3 7 12 = = 2 · 2 −2 3 3 2 −2 3 3 3 −4 2 6 6 −8 4 12 1 0 1 0 1 0 1 6 −3 7 0 = 2 · (−1) · (−1)3+4 · 6 −3 7 = = 2 · 2 −2 3 −1 3 −4 2 3 −4 2 0   −3 7 6 −3 + 1 · (−1)4 = 2 1 · (−1)2 3 −4 = 14. −4 2

Çàìå÷àíèå. Ðàáîòàÿ ñ îïðåäåëèòåëåì, ñëåäóåò èçáåãàòü êîìáèíèðîâàííûõ

ïðåîáðàçîâàíèé òèïà αCi + βCj , ò. ê. ïðè ýòîì ñíà÷àëà ïðîèñõîäèò óìíîæåíèå ñòðîêè Ci íà ÷èñëî α, à çàòåì ïðèáàâëåíèå ê íåé ñòðîêè Cj , óìíîæåííîé íà ÷èñëî β . Ïåðâîå ïðåîáðàçîâàíèå èçìåíÿåò çíà÷åíèå îïðåäåëèòåëÿ (ñì. ñâîéñòâî 2). Ïîýòîìó â êà÷åñòâå âåäóùåãî ýëåìåíòà öåëåñîîáðàçíî âñåãäà âûáèðàòü ÷èñëî 1. Åñëè åäèíèöû íåò â îïðåäåëèòåëå, âñåãäà ìîæíî ñäåëàòü âñïîìîãàòåëüíîå ÝÏ è ïîëó÷èòü åäèíèöó. Íàïðèìåð:



4 3 −2 2 2 −9 6 3 C3 − C1 = 5 −4 3 2 5 −3 4 7

24



4 3 −2 2 2 −9 6 3 . 1 −7 5 0 5 −3 4 7

5

Îáðàòíàÿ ìàòðèöà

Ÿ11 Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü îáðàòíîé ìàòðèöû

Ïóñòü çàäàíà êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A. Îïðåäåëåíèå Ìàòðèöó A−1 áóäåì íàçûâàòü

îáðàòíîé

ê A, åñëè

AA−1 = E. Ñïðàâåäëèâî òàêæå ñîîòíîøåíèå

A−1 A = E. Ìàòðèöà A, èìåþùàÿ îáðàòíóþ, íàçûâàåòñÿ îáðàòèìîé. Çàìåòèì, ÷òî ïîíÿòèå îáðàòèìîñòè ñóùåñòâóåò òîëüêî äëÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèö. Òåîðåìà 9 Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà èìååò îáðàòíóþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åå îïðåäåëèòåëü îòëè÷åí îò íóëÿ. Îáðàòíóþ ìàòðèöó ìîæíî ïîñòðîèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü äàíà ìàòðèöà  

  A= 

a11 a12 a21 a22 .. .. . . an1 an2

. . . a1n . . . a2n   . . . . ..  .  . . . ann

e, ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåÑîñòàâèì ìàòðèöó A íèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû A:   e= A  

A11 A12 A21 A22 .. .. . . An1 An2

. . . A1n . . . A2n .. ... . . . . Ann

   . 

e, ò. å. ïîìåíÿåì â íåé ìåñòàìè ñòîëáöû è ñòðîêè ñ Òðàíñïîíèðóåì ìàòðèöó A îäèíàêîâûìè íîìåðàìè:    A =  0

Ìàòðèöà A0 íàçûâàåòñÿ

A11 A12 .. . A1n

A21 A22 .. . A2n

ïðèñîåäèíåííîé

25

... ... ... ... ê A.

An1 An2 .. . Ann

   . 

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè |A| = 6 0 ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

A0 = E, A |A| ò. å. îáðàòíàÿ ê A ìàòðèöà çàäàòñÿ ôîðìóëîé

A

−1

A0 = . |A|

(10)

Ïîêàæåì åäèíñòâåííîñòü îáðàòíîé ìàòðèöû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìàòðèöà A èìååò äâå îáðàòíûå: A−1 è B . Òîãäà ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:

AA−1 = E,

BA = E.

Óìíîæàÿ ïåðâîå ðàâåíñòâî íà B ñëåâà, ïîëó÷èì:

B(AA−1 ) = BE. Ïî ñâîéñòâó 2 ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö áóäåì èìåòü:

(BA)A−1 = BE

èëè

EA−1 = BE,

îòêóäà

A−1 = B.

Ÿ12 Ðåøåíèå ÑËÓ ñ ïîìîùüþ îáðàòíîé ìàòðèöû

Ðàññìîòðèì êâàäðàòíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, çàïèñàííóþ â ìàòðè÷íîé ôîðìå: Ax = b. (11) Ïóñòü ñèñòåìà (11) ñîâìåñòíà è |A| = 6 0. Ïî òåîðåìå 9 ìàòðèöà A èìååò îáðàò−1 íóþ A . Óìíîæàÿ (11) ñëåâà íà A−1 , áóäåì èìåòü:

A−1 Ax = A−1 b èëè (A−1 A)x = A−1 b. Íî ò. ê. A−1 A = E , Ex = x, ïîëó÷èì

x = A−1 b.

(12)

Òàêèì îáðàçîì, åñëè ðåøåíèå (11) ñóùåñòâóåò, îíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (12). Ïîäñòàíîâêîé íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî (12) äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (11). Ÿ13 Âû÷èñëåíèå îáðàòíîé ìàòðèöû ìåòîäîì Ãàóññà

Ïóñòü êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A èìååò îáðàòíóþ ìàòðèöó A−1 . Ïðåäñòàâèì ñåáå ïðîöåññ íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíîé ìàòðèöû A−1 êàê ðåøåíèå ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ AX = E . 26

Èç àëãîðèòìà óìíîæåíèÿ ìàòðèö ñëåäóåò, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ìàòðèöû A íà ïåðâûé ñòîëáåö ìàòðèöû X åñòü ïåðâûé ñòîëáåö ìàòðèöû E : AX 1 = E 1 . Àíàëîãè÷íî, AX 2 = E 2 . . . AX n = E n . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ òîãî ÷òîáû âû÷èñëèòü ìàòðèöó X , íåîáõîäèìî íàéòè âñå åå ñòîëáöû èç ñèñòåì âèäà Ax = E 1 , Ax = E 2 , . . . Ax = E n , çàïèñàííûõ â ìàòðè÷íîé ôîðìå. Ïîñêîëüêó âñå îíè èìåþò îäèíàêîâûå ëåâûå ÷àñòè, ðåøàòü èõ ìîæíî ñîâìåñòíî ìåòîäîì Æîðäàíà-Ãàóññà, ñîñòàâèâ ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó âèäà

(A|E 1 |E 2 | . . . |E n ). Ïîñëå ðÿäà ÝÏ ýòà ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà ïðèìåò êàíîíè÷åñêèé âèä, ïðè÷åì íà ìåñòå A îêàæåòñÿ åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, à íà ìåñòå E 1 , E 2 , . . . , E n  ðåøåíèÿ ðàññìîòðåííûõ ñèñòåì, ò. å. èñêîìûå ñòîëáöû ìàòðèöû A−1 . Èòàê, ïðîöåññ âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû ìîæíî ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàçèòü òàê:

(A|E) → (E|A−1 ). Ïðèìåð Íàéòè îáðàòíóþ ê ìàòðèöå A:



 1 2 3  2 4 1 . 3 4 0 Ðåøåíèå

   −5 −10 0 1 −3 0 2C1 + 5C3 1 2 3 1 0 0 C − 3C 1 2  2 2 4 1 0 1 0  4 1 0 1 0  ∼ ∼ 3 4 0 0 0 1 C2 − C3 3 4 0 0 0 1     5 0 0 2 −6 5 5 0 0 2 −6 5 5C2 + C1  0 0 5 2 −1 0  ∼ ∼  −1 0 1 0 1 −1  ∼ 0 20 0 −6 18 −10 3 4 0 0 0 1 5C3 − 3C1   C1 /5, C2 /5 1 0 0 2/5 −6/5 1  0 1 0 −3/10 9/10 −1/2  . ∼ C3 /20, C2 ↔ C3 0 0 1 2/5 −1/5 0 

Òàêèì îáðàçîì,



A−1

 2/5 −6/5 1 =  −3/10 9/10 −1/2  . 2/5 −1/5 0 27

Ïðèìåð Íàéòè îáðàòíóþ ê ìàòðèöå A:



 1 1 1  4 3 2 . 3 2 1 Ðåøåíèå

 C2 − 2C1 1 1 1 1 0 0 4 3 2 0 1 0  ∼ C3 − C1 3 2 1 0 0 1  −1 0 1  ∼ 2 1 0 0 0 0 

 1 1 1 1 0 0 C1 − C2  2 1 0 −2 1 0  ∼ C3 − C2 2 1 0 −1 0 1  3 −1 0 −2 1 0  . 1 −1 1 

Ïîÿâëåíèå ñòðîêè íóëåé ñëåâà îò ÷åðòû ãîâîðèò î òîì, ÷òî óðàâíåíèå AX = E íå èìååò ðåøåíèé, ò. ê. íè îäíà èç ñèñòåì Ax = E 1 , Ax = E 2 , Ax = E 3 íå ÿâëÿåòñÿ ñîâìåñòíîé. Òàêèì îáðàçîì, îáðàòíàÿ ìàòðèöà íå ñóùåñòâóåò.

6

Êîìïëåêñíûå ÷èñëà Ÿ14 Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà Îïðåäåëåíèå Êîìïëåêñíîå ÷èñëî îïðåäåëÿåòñÿ êàê óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà

äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë: z = (x, y). Ìíîæåñòâî âñåõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì C. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà z1 = (x1 , y1 ) è z2 = (x2 , y2 ) ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x1 = x2 è y1 = y2 . Îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì (êàê ñòàíåò ÿñíî èç äàëüíåéøåãî, íåò íóæäû çàïîìèíàòü ôîðìóëû (13)(15)): z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ), (13) (14)

z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ).

Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòè îïåðàöèè êîììóòàòèâíû, àññîöèàòèâíû è äèñòðèáóòèâíû. Îïåðàöèÿ äåëåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë äëÿ z2 6= (0, 0) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:  

z1 = z2

x1 x2 + y1 y2 −x1 y2 + x2 y1 , x22 + y22 x22 + y22 28

.

(15)

Ïðîèçâîëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî a áóäåì ïîëàãàòü ðàâíûì (a, 0). Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. ×èñëà âèäà (0, b) íàçûâàþòñÿ ÷èñòî ìíèìûìè. Îïðåäåëåíèå ×èñëî i = (0, 1) íàçûâàåòñÿ ìíèìîé åäèíèöåé. Íåñëîæíî âèäåòü, ÷òî i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1. Ìû ïîëó÷èëè îñíîâíîå ðàâåíñòâî òåîðèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë :

i2 = −1.

(16)

Ïðîèçâîëüíîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â âèäå:

z = (x, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy. Îïðåäåëåíèå Ïðåäñòàâëåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà â âèäå z = x + iy íàçûâà-

åòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Ïðè ýòîì âåùåñòâåííîå ÷èñëî x íàçûâàåòñÿ âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z , à âåùåñòâåííîå ÷èñëî y  ìíèìîé ÷àñòüþ z . Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà óäîáíà äëÿ ïðîâåäåíèÿ âû÷èñëåíèé. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà â ýòîé ôîðìå ñêëàäûâàþòñÿ è óìíîæàþòñÿ êàê îáû÷íûå äâó÷ëåíû ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà (16). Íàïðèìåð:

z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 , +iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ); z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 , +iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + ix2 y1 + i2 y1 y2 = = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ). Î÷åâèäíî, ïîëó÷åííûå ôîðìóëû ñîâïàäàþò ñ (13), (14). Îïðåäåëåíèå Ïóñòü z = x + iy  ïðîèçâîëüíîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûì åìó íàçûâàåòñÿ ÷èñëî z ¯ = x − iy . Ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî: z·¯ z = (x+iy)(x−iy) = x2 +y 2 . Ñ åãî èñïîëüçîâàíèåì ïðîèçâîäÿò îïåðàöèþ äåëåíèÿ äëÿ z2 6= 0 + i0 (ñð. ðåçóëüòàò ñ (15)):

z1 z1 z¯2 (x1 x2 + y1 y2 ) + i(−x1 y2 + x2 y1 ) = = z2 z2 z¯2 x22 + y22 Ïðèìåð Âû÷èñëèòü:

z=

(1 + 2i)2 + (1 − 3i)2 . (1 − i)2 − (2 + i)2

Ðåøåíèå Âîçâåäåì ñëàãàåìûå â ÷èñëèòåëå â êâàäðàò, à çíàìåíàòåëü ïðåîá-

ðàçóåì ïî ôîðìóëå ðàçíîñòè êâàäðàòîâ:

(1 + 4i + 4i2 ) + (1 − 6i + 9i2 ) z= = (3 + 0i)(−1 − 2i) 29

(−11 − 2i) 1 11 + 2i −3 + 4i − 8 − 6i = = · . (−3)(1 + 2i) (−3)(1 + 2i) 3 1 + 2i Óìíîæèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè íà ñîïðÿæåííîå ê çíàìåíàòåëþ: =

1 15 − 20i 4 1 (11 + 2i)(1 − 2i) 1 11 − 20i − 4i2 · = · = · = 1 − i. 3 (1 + 2i)(1 − 2i) 3 5 3 5 3 Ïðèìåð Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü:

(2 + 3i) (3 − 2i) D = (1 + i) (1 − i)

.

Ðåøåíèå

D = (2 + 3i)(1 − i) − (3 − 2i)(1 + i) = 2 + i + 3 − (3 + i + 2) = 0. Ÿ15 Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà

Ðàññìîòðèì äåêàðòîâó ïðÿìîóãîëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò XOY íà ïëîñêîñòè, â êîòîðîé òî÷êè îñè OX ïðåäñòàâëÿþò âåz = x + iy ùåñòâåííûå ÷èñëà, à òî÷êè îñè OY  ìíèy s 3   ìûå ÷èñëà (ðèñ. 2). Êîìïëåêñíûå ÷èñëà r ϕ  z = x + iy ïðåäñòàâëÿþòñÿ íà òàêîé ïëîñ êîñòè òî÷êàìè ñ êîîðäèíàòàìè (x, y). Âñÿx O X êîìó ÷èñëó z ìîæíî ñîïîñòàâèòü âåêòîð ñ Ðèñ. 2. íà÷àëîì â òî÷êå O(0, 0) è êîíöîì â òî÷êå z (ðèñ. 2). Äëèíà ýòîãî âåêòîðà íàçûâàåòñÿ ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z è îáîçíà÷àåòñÿ r = |z|. Äëÿ z 6= 0 óãîë íàêëîíà âåêòîðà ê ïîëîæèòåëüíîìó íàïðàâëåíèþ îñè OX íàçûâàåòñÿ àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z è îáîçíà÷àåòñÿ ϕ = arg z .  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ëèøü òå çíà÷åíèÿ ϕ = arg z , êîòîðûå ïðèíàäëåæàò ïðîìåæóòêó [0, 2π). Êàæäîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî z 6= 0 îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïàðîé ÷èñåë (r, ϕ). Äëÿ z = 0 àðãóìåíò íå îïðåäåëåí. Ðàññìîòðèì ôîðìó çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîíÿòèé ìîäóëÿ è àðãóìåíòà. Äëÿ z = x + iy x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (ðèñ. 2), ïîýòîìó Y

6

z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Òàêàÿ ôîðìà ïðåäñòàâëåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íàçûâàåòñÿ ñêîé. Ïðè ýòîì r = |z| âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

p r = x2 + y 2 , 30

(17) òðèãîíîìåòðè÷å-

ãäå èìååòñÿ â âèäó àðèôìåòè÷åñêîå (íåîòðèöàòåëüíîå) çíà÷åíèå êâàäðàòíîãî êîðíÿ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ϕ = arg z èñïîëüçóþò ñèñòåìó ðàâåíñòâ:

( y cos ϕ = r ; sin ϕ = x r. Ïðèìåð Ïðåäñòàâèòü êîìïëåêñíûå ÷èñëà â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå:

a)z1 = 2i; b)z2 = 1 − i; c)z3 = −1 +

√

3i.

Ðåøåíèå √

a) r1 =

îòêóäà

02 + 22 = 2.

( cos ϕ = 20 = 0; sin ϕ = 22 = 1;

π ϕ= .  2  + i sin π Òàêèì îáðàçîì, z1 = 2 cos π 2 2 . p √ b) r2 = 12 + (−1)2 = 2.  cos ϕ = √1 ; π 7π 2 =⇒ ϕ = − = . −1 ; sin ϕ = √ 4 4 2   √ 7π 7π Îêîí÷àòåëüíî, z2 = 2 cos 4 + i sin 4 . q √ c) r3 = (−1)2 + ( 3)2 = 2. ( cos ϕ = − 21 2π √ =⇒ ϕ = . 3 3 sin ϕ = 2 ,   2π 2π Èòàê, z3 = 2 cos 3 + i sin 3 . Çàìå÷àíèå. Òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà íàçûâàåòñÿ òîëüêî ôîðìà âèäà (17). Ëþáûå îòêëîíåíèÿ îò íåå, êàê òî: çíàê "−"ìåæäó òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè, ðàçíûå àðãóìåíòû ýòèõ ôóíêöèé, îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå ìîäóëÿ, è, íàêîíåö, ñëàãàåìîå âèäà i cos ϕ, ãîâîðÿò î òîì, ÷òî êîìïëåêñíîå ÷èñëî çàïèñàíî íå â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ ÷èñåë z1 = r1 (cos ϕ1 +i sin ϕ1 ) è z2 = r2 (cos ϕ2 +i sin ϕ2 ) â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå ââîäèòñÿ ôîðìóëîé: z1 z2 = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )). 31

Îïåðàöèÿ äåëåíèÿ 

r1 z1 = (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )). z2 r2 Èç ôîðìóëû óìíîæåíèÿ ñëåäóåò ôîðìóëà Ìóàâðà äëÿ âîçâåäåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë â ñòåïåíü:

z n = rn (cos(nϕ) + i sin(nϕ)),

n ∈ Z.

Äëÿ ëþáîãî íåðàâíîãî íóëþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = r(cos ϕ + i sin ϕ) ñóùåñòâóåò ðîâíî n ðàçëè÷íûõ êîðíåé n-é ñòåïåíè, îïðåäåëÿåìûõ ïî ôîðìóëå

√ n





 ϕ + 2πj ξj = + i sin , j = 0, 1, 2, . . . , n − 1. n √ Âñå ÷èñëà ξj íàçûâàþòñÿ çíà÷åíèÿìè n z . Ïðèìåð Âû÷èñëèòü: √ √ √ √ 3−i 3 a)(1 + 3i)(1 + i); b) ; c)(1 − 3i)25 ; d) 1. −1 − i ϕ + 2πj r cos n





Ðåøåíèå Ïåðåéäåì ê òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå è âîñïîëüçóåìñÿ ïðèâå-

äåííûìè âûøå ôîðìóëàìè: a)

(1 +

√

π √  π π π · 2 cos + i sin = 3i)(1 + i) = 2 cos + i sin 3 3 4 4   √ 7π 7π . = 2 2 cos + i sin 12 12

b)



√

 11π 11π 3 − i 2 cos 6 + i sin 6  = = √  5π 5π −1 − i 2 cos 4 + i sin 4   √ 7π 7π = 2 cos + i sin . 12 12 

c)

(1 −

√

3i)25

25   5π 125π 5π 125π + i sin + i sin = 2 cos = 225 cos = 3 3 3 3      5π 5π 25 2 cos 40π + + i sin 40π + . 3 3 

32

Îòáðîñèì öåëîå êîëè÷åñòâî ïåðèîäîâ â àðãóìåíòå ïîëó÷åííîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà:  

225 cos

5π 5π + i sin 3 3

.

d)

j = 0, j = 1, j = 2, Ïîëó÷èëè òðè

1 = 1 + 0i = cos 0 + i sin 0. · 0 + i sin 0 + 2π · 0 = 1; òîãäà ξ0 = cos 0 + 2π 3 3 √ 0 + 2π · 1 1 0 + 2π · 1 + i sin = − 2 + 23 i; òîãäà ξ1 = cos 3 3 √ 0 + 2π · 2 0 + 2π · 2 1 òîãäà ξ2 = cos + i sin = − 2 − 23 i. 3 3 √ çíà÷åíèÿ ξ0 , ξ1 , ξ2 äëÿ 3 1.

ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ.

1. 2.

Êðàòêèé êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ì.: Ãîñ. èçä-âî ôèç.-ìàò. ëèòåðàòóðû, 1962. Åôèìîâ Í. Â.

Âëàäèìèðñêèé Á. Ì., Ãîðñòêî À. Á., Åðóñàëèìñêèé ß. Ì.

Ìàòåìàòèêà.

ÑÏá.: Èçä-âî "Ëàíü", 2002. 3.

Èëüèí Â. À., Ïîçäíÿê Ý. Ã.

Ëèíåéíàÿ àëãåáðà. Ì.: Íàóêà, 1974.

33