Федеральное агентство по образованию ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Методические указан...
9 downloads
90 Views
475KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Федеральное агентство по образованию ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Методические указания и контрольные задания для студентов заочного обучения. Часть1.
Составители: Бурлова Л.В., Бадлуева А.А. Сордохонова Е.Н.
Издательство ВСГТУ Улан-Удэ 2006
Данные методические указания содержат варианты контрольных заданий и краткие теоретические сведения, которые нужно рассматривать как дополнение к имеющимся учебникам. Номер варианта выполняемой контрольной работы выбирается в соответствии с последней цифрой номера зачетной книжки. Ключевые слова: вероятность случайного события, случайные величины, закон распределения, числовые характеристики случайных величин, статистическое оценивание законов и параметров распределения, корреляция.
Рецензент: С.С. Дашиева , к.ф.-м.н., доц.
Обучение на заочном факультете требует от студента самостоятельного изучения материала, предусмотренного программой. Результаты этой работы оцениваются на экзамене. Практические навыки в решении задач, необходимые для успешной сдачи экзамена, проверяются при защите контрольных работ. В помощь студентам по теоретическим основам курса читаются установочные лекции, решение типовых задач разбирается на лекциях и практических занятиях во время сессии. Кроме этого в данном пособии приводится список рекомендуемой литературы. Правила выполнения и защиты контрольных работ изложены перед второй контрольной работой. Программа первого семестра включает следующие разделы: I. Линейная алгебра. II. Аналитическая геометрия и векторная алгебра. III. Введение в математический анализ. IV. Производная функции и ее приложения. Перечислим основные вопросы, которые необходимо изучить, напомним кратко содержание некоторых и рассмотрим примеры. I. Линейная алгебра 1. Матрицы, операции над матрицами. 2. Определители 2 и 3 порядка, правила их вычисления и свойства. Разложение определителя по строке (столбцу) и понятие об определителе nго порядка. 3. Обратная матрица, условие существования и правила вычисления. 4. Решение матричных уравнений. 3
Решим матричное уравнение АХ=В, где А и В заданные матрицы, а Х – неизвестная матрица. Умножим обе части уравнения слева на обратную матрицу А-1 : А-1АХ=А-1В ЕХ=А-1В Х=А-1В - решение уравнения. Пример. Решим уравнение 0 1 1 2 − 1 0 − 1 1 Х= − 1 1 , где 2 2 2 0 − 1 1 2 − 1 0 1 А= 0 − 1 1 , В= − 1 1 . Найдем матрицу Х. 2 0 − 1 2 2 Убедитесь, что обратная матрица А-1 имеет вид 1 2 1 -1 1 А = 2 1 − 1 . Теперь получаем 3 2 4 − 1 5 0 3 0 5 1 2 1 0 1 1 1 1 Х= 2 1 − 1 − 1 1 = − 3 1 = − 1 . 3 3 3 − 6 4 4 2 4 − 1 2 2 − 2 3 Можно сделать проверку, подставив Х в уравнение. 5. Ранг матрицы. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймления миноров, метод элементарных преобразований. Понятие базисного минора. Для любой прямоугольной матрицы определяется понятие ранга этой матрицы. Выбирая произвольным 4
образом несколько строк и такое же число столбцов матрицы, составим определитель из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов. Каждый такой определитель называется минором соответствующего порядка данной матрицы. Пример. Пусть 1 3 2 4 А= 2 6 4 3 . 3 9 6 7 Выбрав 1 и 3 строки, 1 и 4 столбцы данной матрицы, получаем минор 2-го порядка матрицы А: 1 4 3 7
= 7 − 12 = −5 .
Этот минор равен -5.
Взяв три строки и первые три столбца, составим минор 3-го порядка данной матрицы: 1 3 2 2 6 4 = 0 , который оказался равен нулю.
3 9 6 Минорами первого порядка являются сами элементы матрицы. Среди отличных от нуля миноров найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Определение. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Ранг матрицы А обозначается r(А). Метод окаймления миноров нахождения ранга матрицы состоит в следующем: 1). Находится минор рассматриваемой матрицы, отличный от нуля (первого, второго и т.д. порядков). 2). Окаймляя его строками и столбцами ( из числа оставшихся строк и столбцов), то есть добавляя еще одну 5
строку и столбец, находят минор следующего порядка, отличный от нуля. Как только такой минор нашелся, прекращают вычисление миноров данного порядка и переходят к вычислению миноров следующего порядка, получаемых окаймлением найденного. Процесс продолжается до тех пор, пока не получат, что все миноры какого-либо порядка равны нулю. Миноры более высоких порядков далее уже не рассматриваются, так как все они равны нулю. Пример. Найдем ранг матрицы 1 2 3 4 А= 1 0 1 2 . 3 4 7 10 1 2 Минор М 12 = −2 ≠0. 12 = 1 0 Далее миноры второго порядка уже не вычисляют, а вычисляют миноры третьего порядка, полученные окаймлением минора М 12 12 . Для окаймления осталась третья строка и столбцы третий и четвертый. 1 2 3 1 3 4 123 124 М 123 = 1 0 1 = 0 ; М 123 = 1 0 2 = 0 .
3 4 7
3 4 10
Больше миноров третьего порядка, окаймляющих М 12 12 нет, все миноры третьего порядка равны нулю. Следовательно, ранг матрицы r(А)=2. Метод элементарных преобразований определения ранга матрицы основан на следующих свойствах. Ранг матрицы не меняется: 1) при перестановке местами ее строк (или столбцов); 2) при умножении всех элементов ее строки (столбца) на отличное от нуля число; 3) если к элементам какой - либо строки (столбца) 6
прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число. Преобразования 1-3 называются элементарными преобразованиями матрицы. Метод же заключается в том, что с помощью элементарных преобразований исходная матрица приводится к так называемому каноническому виду 1 0 0 Λ 0 1 0 Λ 0 0 1 Λ
0 0 , 0
число единиц на главной диагонали
которого равно рангу матрицы. 2 −1 3 − 2 4 Пример. Найдем ранг матрицы А= 4 − 2 5 1 7 . 2 −1 1 8 2
Проследите самостоятельно преобразования были проделаны.
какие
элементарные
2 −1 3 − 2 4 2 −1 3 − 2 4 4 − 2 5 1 7 → 0 0 −1 5 −1 → 2 − 1 1 8 2 0 0 − 2 10 − 2 1 − 1 3 − 2 4 1 − 1 3 − 2 4 0 0 − 1 5 − 1 → 0 0 − 1 5 − 1 → 0 0 − 1 5 − 1 0 0 0 0 0 3 − 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 4 0 −1 −1 5 0 → 0 −1 −1 5 0 → 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Две единицы на главной диагонали, следовательно, ранг матрицы r(А)=2. Пусть матрица А имеет ранг r. По определению, эта матрица содержит отличный от нуля минор r-го порядка. Их может быть несколько. Любой отличный от нуля минор матрицы А порядка, равного рангу матрицы, называется базисным минором. 7
Столбцы и строки, на пересечении которых расположен базисный минор, называются базисными строками и столбцами. 6.
n-мерные векторы, n-мерное векторное пространство. Линейная зависимость векторов, свойства линейной зависимости. Базис системы векторов, ранг системы векторов. Базис пространства Rn. Координаты вектора. Теорема о базисном миноре.
Кратко сформулируем правила решения типовых задач. Исследование линейной зависимости векторов. Пусть требуется исследовать линейную зависимость векторов a1 , a 2 ,..., a k . Если векторы линейно независимы, то все они входят в базис этой системы векторов и ранг этой системы равен k. Ранг матрицы, составленной из координат этих векторов, также равен k. Если векторы линейно зависимы, то число базисных векторов меньше k, ранг системы векторов меньше k. Отсюда правило: а) составляется матрица из координат данной системы векторов и находится ее ранг; б) если ранг матрицы равен числу векторов, то векторы линейно независимы, если же ранг матрицы меньше числа векторов, то они линейно зависимы. Нахождение какого-либо базиса системы векторов. Находится какой-либо базисный минор матрицы системы векторов. Векторы, координаты которых вошли в базисный минор, образуют базис. Нахождение ранга системы векторов. Составляется матрица системы векторов. Ранг системы векторов равен рангу этой матрицы. Пример. Найти ранг системы векторов, какой-либо ее базис, разложить по данному базису векторы не вошедшие в базис. Даны 8
3 а1= 5 , 1 7
− 1 а 2= − 3 , − 3 − 5
3 а 3= 2 , − 5 1
2 а 4= 3 , 0 4
5 а 5= 4 . − 7 1
Составим матрицу, столбцами которой являются векторы, и найдем ее ранг. 3 −1 3 2 5 5 − 3 2 3 4 А= 1 − 3 − 5 0 − 7 − 7 5 1 4 1 Приведем матрицу к каноническому виду, не меняя местами столбцы. Получим, матрицу 1 0 0 0 0 . 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Видно, что r (A)=3, ранг системы векторов также равен 3, r (А)=3<5, поэтому данная система векторов линейно зависима . в базисный минор вошли векторы а1, а4, а5, следовательно, эти векторы образуют базис данной системы векторов. В базис не вошли векторы а2, а3. Разложим вектор а2 по найденному базису:
а2=x1a1+x2а4+x3а5.
Запишем это равенство в матричном виде − 1 3 5 2 − 3 =х1 5 + х2 3 +х3 4 . − 3 1 − 7 0 − 5 4 7 1 Умножая матрицы на число, складывая матрицы в правой части и учитывая, что две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы, получим систему уравнений 9
− 1 = 3 x1 + 2 x2 + 5 x3 − 3 = 5 x + 3x + 4 x 1 2 3 − 7 x3 − 3 = x1 − 5 = 7 x1 + 4 x2 + x3 Решив систему найдем коэффициенты разложения x1 , x 2 , x 3 . Аналогично находится разложение вектора а3 по базису { а1, а4, а5}. (решение таких систем рассмотрим в след. пункте). Теорема (о базисном миноре): Всякий столбец (строка) матрицы является линейной комбинацией ее базисных столбцов (строк). Сами базисные столбцы (строки) линейно независимы. Вследствие этой теоремы определитель n-порядка тогда и только тогда равен нулю, когда его столбцы (строки) линейно зависимы. 7. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): основные понятия. Теорема КронекераКапелли. Решение произвольных СЛАУ. Правило Крамера. Метод Жордана-Гаусса. Матричный метод. Однородные СЛАУ. По теореме Кронекера-Капелли СЛАУ имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Остановимся на решении произвольных систем. Рассмотрим систему
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a x + a x + ... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 где .......................................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm , 10
a11 a А = 21 ... am1 a11 a А / b = 21 ... am1
... a1n ... a2 n - матрица системы, а .... ... ... am 2 ... amn a12 ... a1n b1 a22 ... a2 n b2 -расширенная матрица системы, .... ... ... ... am 2 ... amn bm a12 a22
х1,х2,…,хn – неизвестные. Пусть r (А)=r (А/b)=r. Согласно теореме КронекераКапелли система совместна. Базисный минор матрицы А будет иметь r строк и r столбцов. Уравнения, соответствующие базисным строкам, называются базисными уравнениями., а неизвестные, соответствующие базисным столбцам, называются базисными неизвестными, остальные неизвестные системы – свободные. Выражение базисных неизвестных через свободные неизвестные называется общим решением системы, а решения, получаемые из общего при заданных числовых значениях свободных неизвестных называются частными решениями системы. Теорема. СЛАУ эквивалентна системе своих базисных уравнений. Из вышеизложенного следует правило решения произвольной системы линейных уравнений. а) Вычисляются ранги основной и расширенной матриц системы. Если система совместна (r (А)=r (А/b)), то находится какой-либо базисный минор. б) Составляется базисная система уравнений, при этом свободные неизвестные переносятся в правую часть уравнений. в) Решается базисная система относительно базисных неизвестных и находится общее решение системы. Пример. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна. 11
x1 − 2 x 2 + x 3 = 3 x1 + 3x 2 − x 3 = 1 3x + 4 x − x = 5 2 3 1 1 − 2 1 A = 1 3 − 1 3 4 − 1
1 − 2 1 3 A / b = 1 3 − 1 1 3 4 − 1 5
Применяя один из описанных выше методов найдем ранги матриц. Проверьте, что r (А)=r (А/b)=2. По теореме Кронекера-Капелли система совместна, то есть имеет решение. В качестве базисного минора можно взять любой минор 2-го порядка, не равный нулю. Возьмем в качестве базисного минора 1 − 2 = 5 . 1
3
В базисную систему войдут 1-е и 2-е уравнения, х1 и х2 являются базисными неизвестными, а х3 – свободной неизвестной. Запишем базисную систему в виде x1 − 2 x 2 = 3 − x3 x1 + 3x 2 = 1 + x3
Вычитая из первого уравнения второе, найдем Подставляя х2 в первое уравнение, найдем
2 − 2 x3 . x2 = 5 11 − x 3 . x1 = 5
И так, общее решение
11 1 x1 = 5 − 5 x 3 . 2 2 x 2 = − + x3 5 5
Так как х3 может принимать любые действительные значения, то система имеет бесконечное множество решений. Найдем частное решение, например при х3=1 11 1 − ⋅1 = 2 5 5 2 2 x2 = − + ⋅ 1 = 0 5 5 x1 =
12
Это частное решение следующее: х1=2, х2=0, х3=1. Методы решения систем линейных уравнений методом Крамера, Гаусса, с помощью обратной матрицы смотри, например, в [2]. Рассмотрим пример применения теории линейных уравнений в экономических задачах. Пусть производится n видов продукции, для чего используется m видов ресурсов (сырье, электроэнергия, трудозатраты и т.д.). Обозначим через аij – количество ресурса i-го вида, необходимое для производства единицы продукции j-го вида, bi – объем затраченного i-го ресурса, а xj – количество производимой j-ой продукции. Построим матрицы затрат А, вектор ресурсов В и вектор выпуска Х: a11 a12 a22 a А = 21 ... .... am1 am 2
... a1n ... a2 n , ... ... ... amn
x1 x X = 2 , ... xn
b1 . b B= 2 ... bm
Тогда соотношение между израсходованными ресурсами и произведенной продукцией можно записать в виде матричного уравнения АХ=В. Пример. На производство двух видов вязанных изделий (свитеров и костюмов) предприятие израсходовало 62 кг шерсти и 32 кг пана. Вязальные машины работали 170 часов. На изготовление одного свитера расходуется 0,5 кг шерсти, 0,2 кг пана 1,5 часа работы вязальной машины. Для одного костюма эти данные соответственно таковы: 0,8кг, 0,5 кг, 2 часа. Найти количество выпущенных свитеров и костюмов. Имеем 0,5 0,8 62 А = 0,2 0,5 В = 32 1,5 2 170
х Х = 1 х2
Запишем матричное уравнение 0,5 0,8 62 х1 , 0 , 2 0 , 5 = 32 1,5 2 х 2 170 13
которое равносильно системе уравнений
0,5 x1 + 0,2 x 2 = 62 0,2 x1 + 0,5 x 2 = 32 1,5 x1 + 2,0 x 2 = 170
Решив систему например методом Гаусса найдем вектор выпуска продукции: х1=60, х2=40. II.
Аналитическая геометрия векторной алгебры
и
элементы
В данном разделе необходимо изучить следующие вопросы. Рассмотрим также решение некоторых основных задач. 1. Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. В прямоугольной системе координат каждой точке М плоскости соответствует упорядоченная пара чисел (x,y), числа являются проекциями точки на оси координат и называются координатами точки. Расстояние d = AB между двумя точками А(х1,y1) и В(x2,y2) на плоскости вычисляется по формуле d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 . Для точек А (х1,y1,z1) и В(x2,y2,z2), заданных в пространстве, справедлива аналогичная формула d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 . Зная координаты концов А и В отрезка АВ, можно найти координаты точки М(х,у,z), которая делит данный отрезок в отношении λ = АM , по формулам: xM =
x A + λ xB , 1+ λ
yM
MB y + λ yB z + λ z B В частности, = A , zM = A 1+ λ 1+ λ
если М является серединой отрезка АВ, то λ=1. 14
Пример. В треугольнике с вершинами А(-2,0), В(6,6) и С(1,-4) определить длину медианы АД. у
всех точек, лежащих на линии, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней. у
6
В b Д
-2 А
• M0 6
-4
х
Так как АД – медиана, то точка Д делит отрезок ВС пополам, т.е. λ=1. х + хС 6 + 1 7 = xД = В = 2 2 2 у + уС 6 − 4 уД = В = =1 2 2
7 Д ,1 2
Найдем длину медианы АД: 2
7 АД = ( х Д − х А ) 2 + ( у Д − у А ) 2 = + 2 + (1 − 0) 2 = 2 2
125 5 5 11 = +1 = = . 4 2 2
2. Уравнения прямой линии на плоскости: общее уравнение, уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой проходящей через две точки. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых. В аналитической геометрии уравнением линии в прямоугольной системе координат называется такое уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты
15
φ
n ( A, B )
С
х Прямая линия на плоскости задается линейным уравнением с двумя переменными. Любую прямую на плоскости можно описать общим уравнением Ах+Ву+С=0, где А,В – координаты нормального (перпендикулярного прямой) вектора n , т.е. n ( A, B ) . Прямые, не параллельные оси ординат, могут быть описаны уравнением с угловым коэффициентом k: y=kx+b. Здесь k=tg φ, где φ – угол, который прямая составляет с положительным направлением оси абсцисс, отсчитываемый от оси ох против часовой стрелки, b – ордината точки пересечения прямой с осью оу. Пусть заданы две прямые l1 : y = k1 x + b1 , l 2 : y = k 2 x + b2 . Тогда угол φ между ними вычисляется по формуле:
tgϕ =
k 2 − k1 . 1 + k1 k 2
Из этой формулы следует: k1 = k 2 ⇔ l1 // l 2 (условие параллельности прямых) 16
1 ⇔ l1 ⊥ l 2 (условие перпендикулярности прямых). k2 Если задана точка М0 (х0,у0), через которую проходит прямая, и известен ее угловой коэффициент k, то уравнение этой прямой имеет вид: y − y 0 = k ( x − x 0 ) . Если в этом уравнении k является произвольным параметром, то данное уравнение называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку М0. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А (х1,у1) и В (х2,у2), имеет вид: у − у1 = х − х1 (при у 2 − у1 х 2 − х1 условии, что х1 ≠ х 2 и у1 ≠ у 2 ). Если у2=у1, то уравнение искомой прямой имеет вид: у=у1 и в этом случае прямая параллельна оси ох. Если х1=х2, то прямая параллельна оси оу и ее уравнение имеет вид: х=х1. Пример. Задан треугольник с вершинами А (1,1), В (2,5) и С (5,-1). Найти уравнения стороны ВС, средней линии MN треугольника, параллельной ВС, проекцию точки Д (6,5) на прямую ВС. у k1 = −
у−5 х−2 = ⇒ 3( у − 5) = −6( х − 2) −1− 5 5 − 2
или, окончательно, у = −2 х + 9 . Из уравнения следует, что k BC = −2 . Найдем координаты точки N – середины стороны АВ: x + xB 3 y + yB xN = A yN = A = = 3. 2
2
найдем k КД = −
из 1 k BC
Д
N 1А М
х С
Подставив координаты точек В и С в уравнение прямой, проходящей через две точки, получаем уравнение прямой ВС: 17
условия
перпендикулярности
прямых:
1 = . Воспользуемся опять уравнением пучка 2
прямых и найдем уравнение перпендикуляра ДК: 1 1 y − 5 = (x − 6) ⇒ y = x + 2 . 2
Наконец, чтобы найти координаты точки К надо решить систему уравнений прямых ВС и КД: у = −2 х + 9 16 13 у = 1 х + 2 . Откуда К , . 5 5 2
К
1
2
Проекцией точки Д на прямую ВС называют точку пересечения прямой l и перпендикуляра, опущенного из точки Д на ВС. Это будет точка К (см. рис.). Значение k КД
2
В
2
Так как средняя линия параллельна стороне ВС, то k MN = k BC = −2 . Подставляя известные данные в уравнение пучка прямых, получим уравнение медианы: 3 y − 3 = −2 x − ⇒ y = −2 x + 6 .
3.
Векторы на плоскости и в пространстве. Координаты вектора. Базис, разложение по базису.
Из школьного курса известно, что вектор на плоскости можно единственным образом разложить по двум 18
неколлинеарным векторам, а вектор в пространстве – по трем некомпланарным векторам. Если i, j , k - единичные векторы, сонаправленные с координатными осями, то вектор a можно представить:
a = xi + y j + z k - в пространстве, - на плоскости, a = xi + y j где x,y,z – координаты вектора a в данной системе координат. Координаты вектора являются также проекциями вектора a на оси координат. Если известны координаты точек А( x A , y A , z A ), B ( x B , y B , z B ) - начала и конца вектора a = AB , то координаты вектора AB находятся по формулам: xa = xB − x A , ya = y B − y A , z a = z B − z A .
Длина вектора (модуль вектора) находится как расстояние между двумя точками: 2 2 2 a = AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) = =
xa2
+
ya2
+
z a2 .
4. Скалярное произведение векторов и его свойства. Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, обозначаемое ( a , b ) или a · b , равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. a ⋅ b = a ⋅ b cos ϕ , где φ – угол между векторами. Свойства скалярного произведения: 1) a ⋅ b = b ⋅ a 2) a ⋅ b = 0 ⇔ a и b − перпендикулярны
3) a ⋅ b = а ⋅ пра b = b ⋅ прb a 19
4) (λ a ) ⋅ b = λ (a ⋅ b) 5) a ⋅ a = а ⋅ а = а
2
6) a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c 7) cos ϕ =
a ⋅b a⋅b
, пр b a =
a⋅b b
Для векторов, заданных в координатной справедливы формулы: a ⋅ b = x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2 x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2 cos ϕ = , x12 + y12 + z12 ⋅ x 22 + y 22 + z 22 где a ( x1 , y1 , z1 ) пр b a =
форме,
b (x2 , y2 , z 2 )
x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2 x 22 + y 22 + z 22
Пример. Найти вектор c = 3a − 2b и косинус угла между векторами a и b , если известно, что a = AB , b = CД , где А(1,-3,2), В(4,5,-1), С(0,2,-3), Д(3,-2,5) – заданные точки. Решение. Найдем координаты векторов a и b по известным координатам начала и конца
a (4-1,5-(-3),-1-2) или a (3,8,-3) или a = 3i + 8 j − 3k . Аналогично, b (3,-4,8) или b = 3i − 4 j + 8k . c = 3a − 2b = 3 (3i + 8 j − 3k ) -2 (3i − 4 j + 8k ) =
= 3i + 32 j − 25k . соsϕ =
3 ⋅ 3 + 8 ⋅ (−4) + (−3) ⋅ 8 2
2
3 + 8 + (−3)
2
2
2
3 + (−4) + 8
2
=−
47
.
82 ⋅ 89
По данному разделу достаточно подробно рассмотрены примеры в [3]. 20
5. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Плоскость однозначно определяется точкой на плоскости и вектором, перпендикулярным к ней. Пусть точка М0 (х0,у0,z0) лежит на плоскости, вектор n ( A, B, C ) перпендикулярен к плоскости, М(x,y,z) – произвольная точка плоскости скалярное произведение M 0M ⊥ n ⇒ Преобразуя M 0 M ⋅ n = 0 ⇒ A ( x − x0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 . последнее равенство, получим Ах+Ву+Сz+Д=0, где Д=-Ах0Ву0-Сz0. Уравнение Ах+Ву+Сz+Д=0 называется общим уравнением плоскости в пространстве. Вектор n называется нормальным вектором плоскости. Верно, что всякое уравне n ( A, B, C ) ние первой степени отно сительно трех переменных х,у,zопределяет некоторую М0 плоскость в пространстве. М Уравнение плоскости, проходящей через три точки имеет вид x − x1 y − y1 z − z1 x − x y − y z − z = 0, 2
1
2
1
2
1
x 3 − x1 y 3 − y1 z 3 − z1 где точки имеют координаты: М1 (х1,у1,z1), М2 (х2,у2,z2), М3 (х3,у3,z3). Расстояние от точки М0 (х0,у0,z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+Д=0 находится по формуле Ax 0 + By 0 + Cz 0 + Д . d= A2 + B 2 + Д 2
21
Угол между плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами: . n1 ⋅ n 2 A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 cos α =
n1 ⋅ n 2
=
A12 + B12 + C12 ⋅ A22 + B22 + C 22
Отсюда следует - условие параллельности плоскостей: A1 = B1 = C1 A2
B2
C2
-условие перпендикулярности плоскостей: A1 A2 + B1 B2 + C1C2 . Общее уравнение прямой в пространстве определяется как уравнение линии пересечения двух плоскостей: A1 x + B1 y + C1 z + Д 1 = 0 A2 x + B2 y + C 2 z + Д 2 = 0.
Каноническое уравнение прямой в пространстве – это уравнение прямой проходящей через точку М0 (х0,у0,z0) параллельно вектору l ( m, n, p) , называемому направляющим вектором прямой: x − x0 y − y0 z − z 0 = = . m n p
Уравнение прямой проходящей через две точки М1(х1,у1,z1), М2 (х2,у2,z2) получается из канонического, если в качестве направляющего взять вектор М 1 М 2 : x − x1 y − y1 z − z1 . = = x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1
Угол между двумя прямыми определяется как угол между направляющими векторами, откуда следует условие параллельности и перпендикулярности прямых. Угол φ между прямой и плоскостью определяется из соотношения sin ϕ =
Am + Bn + Cp 2
2
2
2
. 2
A +B +C ⋅ m +n + p
2
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0 (3,-2,4) перпендикулярно плоскости 5х+3у7z+1=0. Так как прямая перпендикулярна плоскости, то 22
нормальный вектор плоскости n (5,3,-7) будет для прямой направляющим вектором, поэтому подставим в каноническое уравнение прямой координаты точки и нормального вектора x−3 y+2 z−4. = = 5
3
собственные векторы х к линейно независимы. Заметим, матрицы с кратными и комплексными корнями редко встречаются в экономических приложениях. Пример. См. [2] стр.80.
−7
Решения типовых задач на плоскость и прямую в пространстве см. [1] стр. 113-129. 6. Собственные значения и собственные векторы матрицы. Собственным вектором квадратной матрицы А порядка n называется такой ненулевой вектор х , который удовлетворяет уравнению Ах = λх , где λ – число. Числовой множитель λ называется собственным значением матрицы А. преобразуем уравнение: Ах − λх = 0 ⇒ Ах − λ Е х = 0 ⇒ ( А − λ Е ) х = 0 . Уравнение ( А − λ Е ) х = 0 есть однородное уравнение. Чтобы однородное уравнение имело ненулевое решение х, необходимо и достаточно, чтобы А − λ Е = 0 . Уравнение относительно λ: А − λ Е = 0 называется характеристическим уравнением, которое является алгебраическим уравнением степени n относительно λ. Возьмем любой корень λк характеристического уравнения и подставим в уравнение ( А − λ к Е ) х = 0 , которое имеет ненулевое решение х к . Так как уравнение однородно, то вектор х к определен лишь с точностью до числового множителя, т.е. определено направление собственного вектора, но не его длина. Поэтому часто рассматривают нормированные собственные векторы, т.е. орты собственных векторов. Справедливо: если характеристические корни λ к , к = 1, n матрицы А различны, тогда соответствующие им 23
7. Кривые второго порядка. Необходимо знать определение, канонические уравнения и свойства линий 2-го порядка: окружности, эллипса, гиперболы, параболы, их графики. Пример. Найдем каноническое уравнение эллипса, если его эксцентриситет ε = 5 , а сумма длин полуосей равна 5. 3
2 2 Каноническое уравнение эллипса имеет вид x + y = 1 , 2 2
a
b
где а,b – большая и малая полуоси. Эксцентриситет c ε = , где c 2 = a 2 − b 2 . a
ε=
5. c a2 − b2 = = 3 a a
2 2 Возведем это равенство в квадрат, получим a − b = 5 . 2
a
a+b=5 Получим систему: a 2 − b 2 =9 a 2 Решение системы: а=3, b=2, 2
2
9
4
9
следовательно,
каноническое уравнение эллипса x + y = 1 .
24
Контрольная работа 1. Вариант 1. Задание 1. Решить матричное уравнение (используя обратную матрицу): 1 0 3 3 13 AX = B; где A = − 2 1 − 1; B = − 7 − 4 3 2 0 7 7
Задание 2. Исследовать совместность и решить систему уравнений, найти общее и базисное решение: 2 x1 − 3x 2 + 11x 3 − 8 x 4 = −2, − 3 x + 2 x − 9 x + 7 x = 3, 1 2 3 4 − 4 + 13 − 9 = −1, x x x x 2 3 4 1 − x1 + 9 x 2 − 28 x 3 + 19 x 4 = 1
Задание 3. Предприятие выпускает 4 вида продукции, используя 5 видов сырья. Известна матрица затрат А и вектор ресурсов В. Найти вектор выпуска Х, решив систему методом Гаусса: 5 9 А = 2 4 2
4 2 6 1 9
3 4 4 2 5
1 24 8 40 8 , В = 30 22 7 8 36
Задание 3. Найти базис системы векторов и разложение какого-либо вектора, не вошедшего в базис, по этому найденному базису: 3 4 −5 7 2 − 3 3 − 2 , а4 = а1 = , а 2 = , а 3 = 4 11 16 − 13 7 − 2 1 3
Задание 4. Даны вершины четырехугольника А,В,С,Д и точка М. 1) Доказать, что четырехугольник АВСД является трапецией. 25
2) Найти уравнение высоты, проведенной из вершины В на основание АД. 3) Найти уравнение средней линии трапеции. Вычислить длину средней линии трапеции. 4) 5) Выяснить, лежат ли точки О(0,0) и М по одну или по разные стороны от средней линии трапеции. А(-5,0), В(1,1), С(4,-2), Д(1,-6), М(3,3) Задание 5. Даны вершины пирамиды АВСД. 1) составить уравнение плоскости АВС; 2) составить уравнение плоскости, проходящей: а) через точку Д параллельно плоскости АВС; б) через точку Д перпендикулярно плоскости АВС; 3) составить уравнение высоты пирамиды, проведенной из точки Д; 4) найти проекцию точки Д на плоскость АВС; 5) найти угол между ребром АД и плоскостью основания АВС; найти длину вектора и его 6) а = АВ − 3ВС направляющие косинусы; найти угол между диагоналями параллелограмма, 7) построенного на векторах АВ и AC : А(3,4,5), В(1,2,1), С(-2,-3,6), Д(3,-6,-3) Задание 6. Найти собственные значения и собственные нормированные векторы, соответствующие действительным собственным значениям данной квадратной матрицы:
1 1 3 1 5 1 3 1 1 Задание 7. Составьте канонические уравнения: 1)эллипса; 2)гиперболы; 3)параболы, где А и В-точки кривой; Р - фокус; а и b-полуоси; е-эксцентриситет; Д-директриса; у=±КХ уравнения асимптот гиперболы; 2с-фокусное расстояние. Постройте чертеж. 1) В=15, Р(-10,0); 2) а=13, е=(14/13); 3) Д:х=-4. 26
Вариант 2. Задание 1. Решить матричное уравнение (используя обратную матрицу): 3 − 1 0 15 0 11 XА = B; где A = − 1 2 1 ; B = 13 4 15 2 1 3
Задание 2. Исследовать совместность и решить систему уравнений, найти общее и базисное решение: 3 x1 + x2 − x3 + 2 x4 = 10, 2 x − 3 x + x + 9 x = 0, 1 2 3 4 − + − − x x x x 4 2 9 2 3 4 = 6, 1 4 x1 + 5 x2 − 3 x3 − 5 x4 = 20 Задание 3. Предприятие выпускает 4 вида продукции, используя 5 видов сырья. Известна матрица затрат А и вектор ресурсов В. Найти вектор выпуска Х, решив систему методом Гаусса: 4 3 А=6 2 11
1 2 7 1 9
7 1 5 7 6
4 9 2 , 7 8
42 34 В = 70 35 111
Задание 3. Найти базис системы векторов и разложение какого-либо вектора, не вошедшего в базис, по этому найденному базису: 1 1 1 1 1 3 2 1 − 3 1 а1 = , а2 = , а3 = , а4 = , а5 = 0 1 2 6 1 5 4 3 1 − 1
Задание 4. Даны вершины четырехугольника А,В,С,Д и точка М. 1) Доказать, что четырехугольник АВСД является трапецией. 2) Найти уравнение высоты, проведенной из вершины В на основание АД. 3) Найти уравнение средней линии трапеции. 27
4)Вычислить длину средней линии трапеции. 5)Выяснить, лежат ли точки О(0,0) и М по одну или по разные стороны от средней линии трапеции. А(1,1), В(7,2), С(12,-3), Д(10,-8), М(10,5) Задание 5. Даны вершины пирамиды АВСД. 1)составить уравнение плоскости АВС; 2)составить уравнение плоскости, проходящей: а) через точку Д параллельно плоскости АВС; б) через точку Д перпендикулярно плоскости АВС; 3)составить уравнение высоты пирамиды, проведенной из точки Д; 4)найти проекцию точки Д на плоскость АВС; 5)найти угол между ребром АД и плоскостью основания АВС; 6)найти длину вектора а = АВ − 3ВС и его направляющие косинусы; 7)найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах АВ и AC : А(-7,-5,6), В(-2,5,-3), С(3,-2,4), Д(1,2,2) Задание 6. Найти собственные значения и собственные нормированные векторы, соответствующие действительным собственным значениям данной квадратной матрицы:
4 − 2 2 −1 3 1 1 −1 5 Задание 7. Составьте канонические уравнения: 1)эллипса; 2)гиперболы; 3)параболы, где А и В-точки кривой; Р - фокус; а и b-полуоси; е-эксцентриситет; Д-директриса; у=±кх уравнения асимптот гиперболы; 2с-фокусное расстояние. Постройте чертеж. 1) А(3,0), В (2, 5 ) ; 2) к = 3 , е = 5 ; 3) Д:у=-2. 4 4 3
28
Вариант 3. Задание 1. Решить матричное уравнение (используя обратную матрицу): 0 2 − 1 5 АХ = B; где A = 1 − 1 2 ; B = − 1 3 0 6 3
− 4 15 33
Задание 2. Исследовать совместность и решить систему уравнений, найти общее и базисное решение: 3x1 + x2 − 3x3 + 8 x4 = 5, 2 x − 3x − 2 x + 9 x = 7, 1 2 3 4 − x1 − 4 x2 + x3 + x4 = 2, 4 x1 + 5 x2 − 4 x3 + 7 x4 = 3 Задание 3. Предприятие выпускает 4 вида продукции, используя 5 видов сырья. Известна матрица затрат А и вектор ресурсов В. Найти вектор выпуска Х, решив систему методом Гаусса: 7 11 3 4 9 7 6 5 А = 5 2 4 6 , 1 4 12 3 4 10 13 8
58 62 В = 41 32 69
Задание 3. Найти базис системы векторов и разложение какого-либо вектора, не вошедшего в базис, по этому найденному базису: 1 2 3 − 4 4 0 1 − 1 1 − 3 а1 = , а2 = , а3 = , а4 = , а5 = 1 3 0 1 −3 0 − 7 3 1 − 3
Задание 4. Даны вершины четырехугольника А,В,С,Д и точка М. 1) Доказать, что четырехугольник АВСД является трапецией. 2) Найти уравнение высоты, проведенной из вершины В на основание АД. 29
3) Найти уравнение средней линии трапеции. 4)Вычислить длину средней линии трапеции. 5)Выяснить, лежат ли точки О(0,0) и М по одну или по разные стороны от средней линии трапеции. А(-4,-7), В(-2,-2), С(4,0), Д(5,-4), М(2,-1) Задание 5. Даны вершины пирамиды АВСД. 1)составить уравнение плоскости АВС; 2)составить уравнение плоскости, проходящей: а) через точку Д параллельно плоскости АВС; б) через точку Д перпендикулярно плоскости АВС; 3)составить уравнение высоты пирамиды, проведенной из точки Д; 4)найти проекцию точки Д на плоскость АВС; 5)найти угол между ребром АД и плоскостью основания АВС; 6)найти длину вектора а = АВ − 3ВС и его направляющие косинусы; 7)найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах АВ и AC : А(1,3,1), В(-1,4,6), С(-2,-3,4), Д(3,4,-4) Задание 6. Найти собственные значения и собственные нормированные векторы, соответствующие действительным собственным значениям данной квадратной матрицы:
5 2 3 2 10 2 3 2 5 Задание 7. Составьте канонические уравнения: 1)эллипса; 2)гиперболы; 3)параболы, где А и В-точки кривой; Р - фокус; а и b-полуоси; е-эксцентриситет; Д-директриса; у=±кх уравнения асимптот гиперболы; 2с-фокусное расстояние. Постройте чертеж. 1)2а=22,, е = 57 ; 2) к = 2 , 2с = 10 3 11
13
; 3)ось симметрии 0х
и А(27,9). 30
Вариант 4. Задание 1. Решить матричное уравнение (используя обратную матрицу): 2 − 3 1 10 − 12 4 XА = B; где A = − 1 1 4 ; B = − − 4 10 13 0 −1 0
Задание 2. Исследовать совместность и решить систему уравнений, найти общее и базисное решение: x1 + 4 x2 − 6 x3 − 12 x4 = 1, 2 x + x − 5 x − 3x = 9, 1 2 3 4 − − + + 11 13 33 x x x x4 = 6, 2 3 1 − 3x1 + 2 x2 + 4 x3 − 6 x4 = −17 Задание 3. Предприятие выпускает 4 вида продукции, используя 5 видов сырья. Известна матрица затрат А и вектор ресурсов В. Найти вектор выпуска Х, решив систему методом Гаусса: 3 5 А=6 8 12
8 9 4 2 2 , 2 9 5 8 10 6 7
4
5
5
62 62 В = 36 48 84
Задание 3. Найти базис системы векторов и разложение какого-либо вектора, не вошедшего в базис, по этому найденному базису: − 2 1 −1 1 1 2 1 1 2 − − 3 а1 = , а2 = , а3 = , а4 = , а5 = 3 −2 1 −1 −2 − 5 1 − 2 2 2
Задание 4. Даны вершины четырехугольника А,В,С,Д и точка М. 1) Доказать, что четырехугольник АВСД является трапецией. 2) Найти уравнение высоты, проведенной из вершины В на основание АД. 31
3) Найти уравнение средней линии трапеции. 4)Вычислить длину средней линии трапеции. 5)Выяснить, лежат ли точки О(0,0) и М по одну или по разные стороны от средней линии трапеции. А(-4,-5), В(-2,4), С(4,6), Д(5,-2), М(2,-2) Задание 5. Даны вершины пирамиды АВСД. 1)составить уравнение плоскости АВС; 2)составить уравнение плоскости, проходящей: а) через точку Д параллельно плоскости АВС; б) через точку Д перпендикулярно плоскости АВС; 3)составить уравнение высоты пирамиды, проведенной из точки Д; 4)найти проекцию точки Д на плоскость АВС; 5)найти угол между ребром АД и плоскостью основания АВС; 6)найти длину вектора а = АВ − 3ВС и его направляющие косинусы; 7)найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах АВ и AC : А(2,4,1), В(-3,-2,4), С(3,5,-2), Д(4,2,-3) Задание 6. Найти собственные значения и собственные нормированные векторы, соответствующие действительным собственным значениям данной квадратной матрицы:
5 3 − 3 2 6 − 2 −1 1 3 Задание 7. Составьте канонические уравнения: 1)эллипса; 2)гиперболы; 3)параболы, где А и В-точки кривой; Р - фокус; а и b-полуоси; е-эксцентриситет; Д-директриса; у=±кх уравнения асимптот гиперболы; 2с-фокусное расстояние. Постройте чертеж. 1) b=5, е = 12 ; 2) к = 1 , 2а = 6 ; 3)ось симметрии 0у и 3 13 А (-9,6). 32
Вариант 5. Задание 1. Решить матричное уравнение (используя обратную матрицу): 4 −1 0 27 АХ = B; где A = 1 2 − 1; B = − 1 3 0 20 2
12 − 6 6
Задание 2. Исследовать совместность и решить систему уравнений, найти общее и базисное решение: 4 x1 − 2 x2 + x3 + 12 x4 = −5, 2 x + 3x − x + 5 x = 6, 1 2 3 4 x x x − + − = −15, 5 13 1 3 4 5 x1 − 2 x2 − 4 x3 + 25 x4 = 10 Задание 3. Предприятие выпускает 4 вида продукции, используя 5 видов сырья. Известна матрица затрат А и вектор ресурсов В. Найти вектор выпуска Х, решив систему методом Гаусса: 6 2 1 1 3 2 А = 2 4 5 1 10 3 8 13 7
7 4 1 , 5 9
47 31 В = 37 47 100
Задание 3. Найти базис системы векторов и разложение какого-либо вектора, не вошедшего в базис, по этому найденному базису: 2 3 9 1 1 7 5 4 1 0 а1 = , а2 = , а3 = , а4 = , а5 = 3 2 1 1 1 1 2 7 1 0
Задание 4. Даны вершины четырехугольника А,В,С,Д и точка М. 1) Доказать, что четырехугольник АВСД является трапецией. 2) Найти уравнение высоты, проведенной из вершины В на основание АД. 33
3) Найти уравнение средней линии трапеции. 4)Вычислить длину средней линии трапеции. 5)Выяснить, лежат ли точки О(0,0) и М по одну или по разные стороны от средней линии трапеции. А(-5,5), В(0,4), С(2,-1), Д(-1,-5), М(5,5) Задание 5. Даны вершины пирамиды АВСД. 1)составить уравнение плоскости АВС; 2)составить уравнение плоскости, проходящей: а) через точку Д параллельно плоскости АВС; б) через точку Д перпендикулярно плоскости АВС; 3)составить уравнение высоты пирамиды, проведенной из точки Д; 4)найти проекцию точки Д на плоскость АВС; 5)найти угол между ребром АД и плоскостью основания АВС; 6)найти длину вектора а = АВ − 3ВС и его направляющие косинусы; 7)найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах АВ и AC : А(-5,-3,-4), В(1,4,6), С(3,2,-2), Д(8,-2,4) Задание 6. Найти собственные значения и собственные нормированные векторы, соответствующие действительным собственным значениям данной квадратной матрицы:
5 − 3 3 − 2 4 2 1 −1 7 Задание 7. Составьте канонические уравнения: 1)эллипса; 2)гиперболы; 3)параболы, где А и В-точки кривой; Р - фокус; а и b-полуоси; е-эксцентриситет; Д-директриса; у=±кх уравнения асимптот гиперболы; 2с-фокусное расстояние. Постройте чертеж. 1)b=2, р(4 2 ,0) ; 2) а = 7, е = 85 ; 3) Д:х=5. 7
34
Вариант 6. Задание 1. Решить матричное уравнение (используя обратную матрицу): − 3 2 0 5 − 13 21 XА = B; где A = 1 − 1 4 ; B = 7 − 8 2 2 − 3 1
Задание 2. Исследовать совместность и решить систему уравнений, найти общее и базисное решение: 3x1 − 4 x2 + 4 x3 − 10 x4 = −11, x − x + x − 3x = −3, 1 2 3 4 − + 2 − 2 + 4 x4 = 5, x x x 1 2 3 2 x1 − 3x2 + 3x3 − 7 x4 = −8 Задание 3. Предприятие выпускает 4 вида продукции, используя 5 видов сырья. Известна матрица затрат А и вектор ресурсов В. Найти вектор выпуска Х, решив систему методом Гаусса: 2 12 А = 11 6 7
4 5 13 2 8 7 3 7 4 , 1 4 5 6 8 15
56 67 В = 65 35 89
Задание 3. Найти базис системы векторов и разложение какого-либо вектора, не вошедшего в базис, по этому найденному базису: 8 5 7 3 − 7 7 − 4 − 5 а1 = , а2 = , а3 = , а4 = −4 3 2 1 5 − 6 3 4
Задание 4. Даны вершины четырехугольника А,В,С,Д и точка М. 1) Доказать, что четырехугольник АВСД является трапецией. 2) Найти уравнение высоты, проведенной из вершины В на основание АД. 35
3) Найти уравнение средней линии трапеции. 4)Вычислить длину средней линии трапеции. 5)Выяснить, лежат ли точки О(0,0) и М по одну или по разные стороны от средней линии трапеции. А(2,-4), В(3,2), С(7,5), Д(10,2), М(8,-5) Задание 5. Даны вершины пирамиды АВСД. 1)составить уравнение плоскости АВС; 2)составить уравнение плоскости, проходящей: а) через точку Д параллельно плоскости АВС; б) через точку Д перпендикулярно плоскости АВС; 3)составить уравнение высоты пирамиды, проведенной из точки Д; 4)найти проекцию точки Д на плоскость АВС; 5)найти угол между ребром АД и плоскостью основания АВС; 6)найти длину вектора а = АВ − 3ВС и его направляющие косинусы; 7)найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах АВ и AC : А(3,4,2), В(-2,3,-5), С(4,-3,6), Д(6,-5,3) Задание 6. Найти собственные значения и собственные нормированные векторы, соответствующие действительным собственным значениям данной квадратной матрицы:
5 −1 − 2 2 2 − 2 4 −1 2 Задание 7. Составьте канонические уравнения: 1)эллипса; 2)гиперболы; 3)параболы, где А и В-точки кривой; Р - фокус; а и b-полуоси; е-эксцентриситет; Д-директриса; у=±кх уравнения асимптот гиперболы; 2с-фокусное расстояние. Постройте чертеж. 1) А (0, 3 ), В ( 14 ,1) ; 2) к = 21 , е = 11 ; 3) Д:у=-4. 10 10 3 36
Вариант 7. Задание 1. Решить матричное уравнение (используя обратную матрицу): 8 1 1 2 АХ = B; где A = 3 0 − 1; B = − 2 8 −1 2 3
− 10 0 − 8
Задание 2. Исследовать совместность и решить систему уравнений, найти общее и базисное решение: 4 x1 − 2 x2 + 5 x3 + 5 x4 = −5, − 2 x + x − 3x − 2 x = 3, 1 2 3 4 3 + 4 − 13 = 2, х x x 2 3 4 2 x1 − x2 + 2 x3 + 3x4 = −2 Задание 3. Предприятие выпускает 4 вида продукции, используя 5 видов сырья. Известна матрица затрат А и вектор ресурсов В. Найти вектор выпуска Х, решив систему методом Гаусса: 3 4 1 4 А = 5 6 8 4 1 10
1 5 2 1 1 4 , 3 1 1 9
57 37 В = 61 58 94
Задание 3. Найти базис системы векторов и разложение какого-либо вектора, не вошедшего в базис, по этому найденному базису: 4 8 3 6 1 −1 − 2 −1 − 2 1 а1 = , а2 = , а3 = , а4 = , а5 = 6 4 8 1 3 − 2 − 4 − 2 − 4 1
Задание 4. Даны вершины четырехугольника А,В,С,Д и точка М. 1) Доказать, что четырехугольник АВСД является трапецией. 2) Найти уравнение высоты, проведенной из вершины В на основание АД. 37
3) Найти уравнение средней линии трапеции. 4)Вычислить длину средней линии трапеции. 5)Выяснить, лежат ли точки О(0,0) и М по одну или по разные стороны от средней линии трапеции. А(-3,-6), В(-1,1), С(3,3), Д(5,-2), М(-2,5) Задание 5. Даны вершины пирамиды АВСД. 1)составить уравнение плоскости АВС; 2)составить уравнение плоскости, проходящей: а) через точку Д параллельно плоскости АВС; б) через точку Д перпендикулярно плоскости АВС; 3)составить уравнение высоты пирамиды, проведенной из точки Д; 4)найти проекцию точки Д на плоскость АВС; 5)найти угол между ребром АД и плоскостью основания АВС; 6)найти длину вектора а = АВ − 3ВС и его направляющие косинусы; 7)найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах АВ и AC : А(-4,6,3), В(3,-5,1), С(2,6,-4), Д(2,4,-5) Задание 6. Найти собственные значения и собственные нормированные векторы, соответствующие действительным собственным значениям данной квадратной матрицы:
− 5 3 6 − 6 4 6 − 3 3 4 Задание 7. Составьте канонические уравнения: 1)эллипса; 2)гиперболы; 3)параболы, где А и В-точки кривой; Р - фокус; а и b-полуоси; е-эксцентриситет; Д-директриса; у=±кх уравнения асимптот гиперболы; 2с-фокусное расстояние. Постройте чертеж. 1)а=4, Р(3,0) ; 2) b = 2 , P ( −11,0) ; 3) Д:х=-2. 10
38
Вариант 8. Задание 1. Решить матричное уравнение (используя обратную матрицу): 0 2 − 1 4 1 2 XА = B; где A = 1 − 3 2 ; B = 11 4 5 4 −1 3
Задание 2. Исследовать совместность и решить систему уравнений, найти общее и базисное решение: 3 x1 + x2 − 4 x3 − x4 = −9, − 4 x + 3 x + x − 3 x = 12, 1 2 3 4 − x1 + 4 x2 − 3 x3 − 4 x4 = 3, x1 + 9 x2 − 10 x3 − 9 x4 = −3
Задание 3. Предприятие выпускает 4 вида продукции, используя 5 видов сырья. Известна матрица затрат А и вектор ресурсов В. Найти вектор выпуска Х, решив систему методом Гаусса: 1 6 А = 4 2 1
9 1 2 7 3 5 1 3 7 , 3 1 4 6 2 8
21 47 В = 41 21 36
Задание 3. Найти базис системы векторов и разложение какого-либо вектора, не вошедшего в базис, по этому найденному базису: 1 − 4 − 2 − 5 7 2 2 1 2 − 3 а1 = 2 , а2 = − 1 , а3 = − 1 , а4 = − 2 , а5 = 3 0 2 1 0 − 1 2 1 −1 0 1
Задание 4. Даны вершины четырехугольника А,В,С,Д и точка М. 1) Доказать, что четырехугольник АВСД является трапецией. 2) Найти уравнение высоты, проведенной из вершины В на основание АД. 39
3) Найти уравнение средней линии трапеции. 4)Вычислить длину средней линии трапеции. 5)Выяснить, лежат ли точки О(0,0) и М по одну или по разные стороны от средней линии трапеции. А(2,-5), В(-1,1), С(0,4), Д(6,7), М(5,2) Задание 5. Даны вершины пирамиды АВСД. 1)составить уравнение плоскости АВС; 2)составить уравнение плоскости, проходящей: а) через точку Д параллельно плоскости АВС; б) через точку Д перпендикулярно плоскости АВС; 3)составить уравнение высоты пирамиды, проведенной из точки Д; 4)найти проекцию точки Д на плоскость АВС; 5)найти угол между ребром АД и плоскостью основания АВС; 6)найти длину вектора а = АВ − 3ВС и его направляющие косинусы; 7)найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах АВ и AC : А(7,5,8), В(-4,-5,3), С(2,-3,5), Д(5,1,-4) Задание 6. Найти собственные значения и собственные нормированные векторы, соответствующие действительным собственным значениям данной квадратной матрицы:
− 4 6 − 1 1 1 − 1 − 6 6 1 Задание 7. Составьте канонические уравнения: 1)эллипса; 2)гиперболы; 3)параболы, где А и В-точки кривой; Р - фокус; а и b-полуоси; е-эксцентриситет; Д-директриса; у=±кх уравнения асимптот гиперболы; 2с-фокусное расстояние. Постройте чертеж. 1) е = 7 , А(8,0) ; 2) А(3,- 3 ) , В ( 13 ,6) ; 3) Д:у=4. 8 5 5 40
Вариант 9. Задание 1. Решить матричное уравнение (используя обратную матрицу): − 3 − 1 1 0 АХ = B; где A = 2 3 4 ; B = 12 15 1 − 1 3
3 5 − 6
Задание 2. Исследовать совместность и решить систему уравнений, найти общее и базисное решение: − 2 x1 + 5 x2 − 3x3 + 14 x4 = −11 4 x1 + 3x2 + x3 = 15, х1 − х2 + 4 x3 − 13x4 = 17, − x1 + 4 x2 + x3 + x4 = 6 Задание 3. Предприятие выпускает 4 вида продукции, используя 5 видов сырья. Известна матрица затрат А и вектор ресурсов В. Найти вектор выпуска Х, решив систему методом Гаусса: 7 4 А = 1 5 9
1 2 3 7 3 7 7 5 3 , 1 4 2 2 8 1
30 62 В = 45 29 42
Задание 3. Найти базис системы векторов и разложение какого-либо вектора, не вошедшего в базис, по этому найденному базису: 2 4 5 2 1 5 11 3 3 − 7 а1 = , а2 = , а3 = , а4 = , а5 = 1 3 1 −1 1 2 1 2 1 2
Задание 4. Даны вершины четырехугольника А,В,С,Д и точка М. 1) Доказать, что четырехугольник АВСД является трапецией. 2) Найти уравнение высоты, проведенной из вершины В на основание АД. 41
3) Найти уравнение средней линии трапеции. 4)Вычислить длину средней линии трапеции. 5)Выяснить, лежат ли точки О(0,0) и М по одну или по разные стороны от средней линии трапеции. А(-7,-1), В(1,1), С(4,-2), Д(2,-10), М(5,4) Задание 5. Даны вершины пирамиды АВСД. 1)составить уравнение плоскости АВС; 2)составить уравнение плоскости, проходящей: а) через точку Д параллельно плоскости АВС; б) через точку Д перпендикулярно плоскости АВС; 3)составить уравнение высоты пирамиды, проведенной из точки Д; 4)найти проекцию точки Д на плоскость АВС; 5)найти угол между ребром АД и плоскостью основания АВС; 6)найти длину вектора а = АВ − 3ВС и его направляющие косинусы; 7)найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах АВ и AC : А(3,-2,6), В(-6,-2,3), С(1,1,-4), Д(4,6,-7) Задание 6. Найти собственные значения и собственные нормированные векторы, соответствующие действительным собственным значениям данной квадратной матрицы:
− 2 3 − 3 6 −2 0 12 − 9 7 Задание 7. Составьте канонические уравнения: 1)эллипса; 2)гиперболы; 3)параболы, где А и В-точки кривой; Р - фокус; а и b-полуоси; е-эксцентриситет; Д-директриса; у=±кх уравнения асимптот гиперболы; 2с-фокусное расстояние. Постройте чертеж. 1)b=2 2 , е = 7 ; 2) к = 2 ,2а = 12 ; 3)ось симметрии 0у и 2 9 А(-45,15). 42
Вариант 10. Задание 1. Решить матричное уравнение (используя обратную матрицу): 1 4 − 5 6 12 − 17 XА = B; где A = 0 2 1 ; B = 4 − 19 29 1 − 1 2
Задание 2. Исследовать совместность и решить систему уравнений, найти общее и базисное решение: 5 x1 − 3x2 + x3 + 3x4 = −9, x + 4 x − 9 x − 4 x = −11, 1 2 3 4 − 4 + 7 − 10 − 7 x4 = −2, x x x 1 2 3 − 6 x1 − x2 + 8 x3 + x4 = 20 Задание 3. Предприятие выпускает 4 вида продукции, используя 5 видов сырья. Известна матрица затрат А и вектор ресурсов В. Найти вектор выпуска Х, решив систему методом Гаусса: 6 5 А=1 8 10
1 2 5 5 2 8 3 4 7 , 5 1 4 4 5 8
19 37 В = 28 34 44
Задание 3. Найти базис системы векторов и разложение какого-либо вектора, не вошедшего в базис, по этому найденному базису: 1 4 2 0 2 1 − 2 −1 0 − 1 а1 = 3 , а2 = 5 , а3 = 1 , а4 = 0 , а5 = 1 0 1 − 2 0 8 0 2 0 7 4
Задание 4. Даны вершины четырехугольника А,В,С,Д и точка М. 1) Доказать, что четырехугольник АВСД является трапецией. 2) Найти уравнение высоты, проведенной из вершины В на основание АД. 43
3) Найти уравнение средней линии трапеции. 4)Вычислить длину средней линии трапеции. 5)Выяснить, лежат ли точки О(0,0) и М по одну или по разные стороны от средней линии трапеции. А(-6,5), В(0,4), С(2,-1), Д(-2,-5), М(4,5) Задание 5. Даны вершины пирамиды АВСД. 1)составить уравнение плоскости АВС; 2)составить уравнение плоскости, проходящей: а) через точку Д параллельно плоскости АВС; б) через точку Д перпендикулярно плоскости АВС; 3)составить уравнение высоты пирамиды, проведенной из точки Д; 4)найти проекцию точки Д на плоскость АВС; 5)найти угол между ребром АД и плоскостью основания АВС; 6)найти длину вектора а = АВ − 3ВС и его направляющие косинусы; 7)найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах АВ и AC : А(-5,-4,-3), В(7,3,-1), С(6,-2,0), Д(3,2,-7) Задание 6. Найти собственные значения и собственные нормированные векторы, соответствующие действительным собственным значениям данной квадратной матрицы:
7 −5 5 8 −5 6 − 2 3 − 2 Задание 7. Составьте канонические уравнения: 1)эллипса; 2)гиперболы; 3)параболы, где А и В-точки кривой; Р - фокус; а и b-полуоси; е-эксцентриситет; Д-директриса; у=±кх уравнения асимптот гиперболы; 2с-фокусное расстояние. Постройте чертеж. 1) 2а = 22, е = 10 ; 2) к = 11 , 2с = 12 ; 3)ось симметрии 5 11 0х и А(-7,5). 44
III. Введение в математический анализ 1. Функция, способы задании, область определения, множество значений. Четность, нечетность, периодичность функции. Основные элементарные функции и их свойства и графики. 2. Числовая последовательность, способы задания. Предел числовой последовательности. Монотонные последовательности, ограниченные. Основное свойство монотонных последовательностей. Число е. 3. Предел функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение б.м. и б.б. функций. Предел функции на бесконечности, односторонние пределы. Неопределенные выражения. В основе решения задач на нахождение пределов функций лежит понятие непрерывности функции и тот факт, что предельная точка может не принадлежать области определения функции. Любая элементарная функция непрерывна в точках, принадлежащих области определения функции (неэлементарные функции в курсе не рассматриваются). Для нахождения предела непрерывной функции в точке х 0 достаточно найти значение этой функции в точке х 0 , т.е. lim f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0
Пример. Найти lim x + 3 + 2 . Так как эта функция x →1 x +1 элементарная и определена в точке х=1, то искомый предел равен f (1) : lim x →1
45
x+3+2 1+ 3 + 2 4 = f (1) = = = 2. 2 x +1 1 +1
Если же f (x ) не определена в точке х 0 , то следует тождественно преобразовать функцию f (x ) в функцию g (x ) , непрерывную в точке х 0 , т.е. f (x) и g (x ) совпадают при x ≠ х0 (в виду тождественности преобразований). Так как из определения предела функции следует, что lim f ( x) не x→ x0
зависит от f ( x0 ) ( f ( x0 ) может даже не существовать, как в рассматриваемом случае), то lim f ( x) = lim g ( x ) = g ( x0 ) . x → x0
Пример. Найти lim x →1
x → x0
x −1 . x+3−2
x − 1 не определена в точке х =1, следовательно 0 x+3−2 разрывна в этой точке, причем имеет место
f ( x) =
она
неопределенность
вида
преобразование при x ≠ 1 : f ( x) = =
x −1 = x+3−2
(
( x − 1) ( x + 3 + 2) = ( x + 1) ( x − 1)
lim
x →1
0 . 0
Проведем
тождественное
( x − 1) ( x + 1) ( x + 3 + 2) = x + 3 − 2 ( x + 1) ( x + 3 + 2)
)
x+3+2 = g ( x) x +1
x −1 x+3+2 2+2 = lim = = 2. 1+1 x + 3 − 2 x →1 x +1 2 Пример. Найти lim 3x − x + 1 . x →∞ 7 + x − 5 x 2
При x → ∞ получаем также неопределенное выражение
∞ . ∞
Разделим числитель и знаменатель дроби на х 2 : 46
1 1 1 1 + 2 lim 3 − lim + lim 2 3x − x + 1 3−0+0 3 x→∞ x x→∞ x x x = x→∞ lim = lim = =− x →∞ 7 + x − 5x 2 x→∞ 7 1 7 1 0+0−5 5 + − 5 lim 2 + lim − lim 5 x →∞ x x →∞ x x→∞ x2 x 3−
2
Первый замечательный предел:
lim
x →0
sin α
α
=1
sin 3 x . x→ 0 tg 7 x Произведем тождественные преобразования, так как имеем неопределенное выражение: Пример. Найти lim
sin 3x sin 3 x sin 3x 0 3 3x lim = = lim = lim cos 7 x ⋅ 3x = sin 7 1 sin 7 x x x → 0 tg 7 x x → 0 x →0 0 7 7x ⋅ ⋅ 7 x cos 7 x 7x 3 = , так как lim cos 7 x = cos 0 = 1; x →0 7 sin 3x sin 7 x lim = lim = 1. x →0 3x x →0 7 x Пример. Найти lim 4 x . x→ 0 arcsin 9 x 3x ⋅
Сделаем
замену
переменной
arcsin 9 x = α .
1 sin α и при х → 0 α → 0 . И так 9 4 sin α 4 4x 0 = = lim 9 = . lim x → 0 arcsin 9 x 9 0 α →0 α
9 x = sin α
или x =
Второй замечательный предел: α
1
1 lim 1 + = lim (1 + β ) β = e α → ∞ β →0 α
Пример. Найдем следующий предел 47
5x + 9 lim x →∞ 5 x − 7
4 x −1
=
{1 }
(5 x − 7) + 16 = lim → ∞ x неопределенное 5x − 7 ∞
=
выражение
5 x −7 16 1 = lim 1 + x →∞ 5x − 7 16 16 x lim 7 x →∞ 5− x e
4 x −1
16 ( 4 x −1) 5 x −7 lim 5x − 7 = → ∞ = e x →∞ 16
64 x −16 5 x −7
=
64 −
=
=
64 e5.
4. Непрерывность функции в точке, на отрезке. Точки разрыва и их классификация. Непрерывность элементарных функций. Определение: функция называется непрерывной в точке если выполняется равенство lim f ( x) = f ( x0 )
x → x0
или подробнее Тогда
lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0 − 0
x → x0 + 0
Это означает, что функция должна быть определена в точке х 0 , должен существовать предел функции в данной точке (это равносильно существованию пределов слева и справа в точке х 0 и их равенству) и должны выполняться все равенства. Если одно из перечисленных условий не выполняется, то в точке х 0 функция терпит разрыв. Пример. Исследовать на непрерывность функцию 4x , f ( x) = x − 2 15 − x,
− ∞ < x ≤ 3, x > 3.
На каждом из указанных промежутков функция является элементарной, поэтому точки, где функция не будет 48
непрерывной, это точки, в которых функция не определена, или точки, где функция меняет свое аналитическое выражение. Следовательно, х=2 – точка разрыва, т.к. в ней функция не определена. Проверим точку х=3, в которой функция меняет свое аналитическое выражение. 4x 12 lim f ( x) = lim = = 12 x →3− 0 x →3− 0 x − 2 1 lim f ( x) = lim (15 − x) = 12 x →3+ 0
x →3+ 0
f (3) = 12. Равенство выполняется, непрерывности функций.
поэтому
х=3
–
точка
IV. Производная функции и ее приложения
1.
Производная функции. Геометрический и физический смысл производной. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Дифференциал функции. Уравнение касательной и нормали к графику функции. Производная параметрической, неявной функции, логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков.
Для усвоения техники дифференцирования необходимо хорошо знать правила дифференцирования (1-5), таблицу производных элементарных функций (6-18), правило нахождения производной сложной функции (19). y′ = 0 y ′ = c ⋅ u ′ ( x)
1. y = c = const 2. y = c ⋅ u ( x) 3. y = u ( x) ± v ( x) 4. y = u ( x) ⋅ v ( x) 5. y = 49
u ( x) v ( x)
y ′ = u ′ ( x) ± v ′ ( x) y′ = u′ v + u v′ y′ =
u ′v − u v′ v2
6. y = x α
y ′ = α x α −1
7. y = e x
y′ = e x
8. y = a x
y ′ = a x ln a
9. y = ln x
y′ =
10. y = log a x
y′ =
1 x
12. y = cos x
1 x ⋅ ln a y ′ = cos x y ′ = − sin x
13. y = tgx
y′ =
11. y = sin x
1
cos 2 x 1 14. y = ctgx y′ = − sin 2 x 1 15. y = arcsin x y′ = 1− x 2 1 16. y = arccos x y′ = − 1− x 2 1 17. y = arctgx y′ = 1 + x2 1 18. y = arcctgx y′ = − 1 + x2 19. y = f (u ( x)) y ′ = f u/ ⋅ u x/ Примеры. 1) Найдем производную функции y = 6x 5 − 3
4 x
+ 9.
Применяя правила дифференцирования (3), (2) и (1), имеем 50
′ ′ 1 1 5 y ′ = (6 x ) ′ − 4 3 + (9) ′ = 6( х ) ′ − 4 3 + 0. x x
Применяя правила (4), (19), формулы (6) и (9), получим
5
( x 2 ln (5 x + 1)) ′ = ( x 2 ) ′ ln (5 x + 1) + x 2 (ln (5 x + 1)) ′ =
Используя табличную производную (6) для степенной функции, получим ′ −1 ′ 4 1 1 −3 5 4 3 ( x )′ = 5х ; 3 = х =− х . 3 x Окончательно имеем 4 1 −4 4 − y ′ = 6 ⋅ 5 x 4 − 4 − х 3 + 0 = 30 х 4 + х 3 . 3 3
u=
y = arcsin u , по табличной формуле (15) имеем
3 , тогда 2− x
1
′ 3 −1 ′ −1 ′ −2 u x/ = = 3(2 − x) = 3 (2 − x) = 3( −1) (2 − x) (2 − x)′ = 2− x
[
] [
]
= 3(−1) ( 2 − x) − 2 (−1) = 3(2 − x) − 2 .
Окончательно получим y x/ = yu/ ⋅ u x/ =
1 1− u
2
⋅ u x/ =
1 3 1− 2− x
2
⋅ 3(2 − x) − 2 .
3) Вычислить производную функции y = x 2 ln(5 x + 1) − 31− x . Сначала дифференцируем у как разность ′ y ′ = ( x 2 ln(5 x + 1)) ′ − 31− x .
( )
51
1 ⋅ 5. 5x + 1
По формуле (8) и правилу (19) найдем производную от 1− x
3
.
(3 )′ = 3 1− x
1− x
ln 3(1 − x) ′ = 31− x ln 3(−1) = −31− x ln 3. 5x + 1
. 1 − u2 В соответствии с правилом дифференцирования сложной функции (19) и формулой (6) получим yu/ =
+ x2 ⋅
1 (5 x + 1) ′ = 2 x ln (5 x + 1) + 5x + 1
2 Таким образом y ′ = 2 x ln (5 x + 1) + 5 x + 31− x ln 3.
2) Найдем производную функции 3 y = arcsin . 2− x Введем промежуточный аргумент
= 2 x ln(5 x + 1) + x 2
Большое количество примеров, заданий с ответами на производную сложной функции можно найти в [4]. 2. Исследование функции и построение графика. Необходимое и достаточное условие существования экстремума функции, монотонности функции. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Глобальные экстремумы. Рассмотрим некоторые моменты исследования. Поскольку интервалы монотонности функции совпадают с интервалами знакопостоянства ее первой производной, то следует: 1) найти первую производную, найти ее корни и точки разрыва. Эти точки являются точками, подозрительными на экстремум (критическими точками); 2) отметить на числовой оси точки подозрительные на экстремум и определить интервалы знакопостоянства у/. На тех участках, где y/>0, функция возрастает, где y/<0, функция убывает; 3) если при переходе через критическую точку производная меняет знак с «-» на «+» и в этой точке функция 52
определена, то в этой точке функция имеет min, если наоборот с «+» на «-», то max. + + х0 х0 max min Известно, что интервалы знакопостоянства второй производной совпадают с промежутками выпуклости и вогнутости графика функции. Поэтому в данном пункте необходимо: а) найти вторую производную, найти ее корни и точки разрыва, которые являются точками подозрительными на перегиб; б) определить интервалы знакопостоянства второй производной. На тех участках, где у//>0, функция вогнута, где у/<0, функция выпукла; + ∪ ∩ в) если справа и слева от подозрительной точки вторая производная имеет разные знаки, то данная точка является точкой перегиба графика функции. Полное исследование функции включает следующие пункты: а) область определения функции; б) точки разрыва 2 рода и вертикальные асимптоты; в) наклонные асимптоты графика функции; г) четность, нечетность, периодичность функции; д) точки пересечения с осями координат; е) интервалы монотонности и точки локального экстремума; ж) интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба; з) построение графика. Пример. Исследовать и построить график функции y=
а) О.о.ф.: x ≠ −1 53
3
x 2( x + 1) 2
б) В точке х=-1 функция терпит разрыв 2 рода, т.к. x3 lim f ( x) = lim = −∞ x → −1− 0 x → −1− 0 2( x + 1) 2
lim f ( x) = lim
x3
= +∞ 2( x + 1) 2 Следовательно, уравнение х=-1 является уравнением вертикальной асимптоты. в) уравнение наклонной асимптоты ищем в виде y = kx + b , причем если k = 0 , то имеем горизонтальную асимптоту. Параметры k и b найдем по известным формулам f ( x) x3 x2 1 k = lim = lim = lim = x →∞ x → ∞ 2( x + 1) 2 x 1 2 x 2 x →∞ 2 x (1 + ) x 1 1 1 = lim = 1 2 2 2 x →∞ (1 + ) x x3 1 b = lim [ f ( x) − kx] = lim − x = 2 x →∞ x → ∞ 2( x + 1) 2 x → −1+ 0
x → −1+ 0
1 x 2 (−2 − ) 1 x = −1 = lim x → ∞ 1 2 x 2 (1 + ) 2 x Наклонная асимптота существует и имеет уравнение 1 y = x − 1. 2 г) y = (− x) =
(− x) 3 2(− x + 1) 2
=−
x3 2( x − 1) 2
Функция не удовлетворяет ни условию четности, ни условию нечетности, следовательно, они не четная, ни нечетная. 54
Функция не периодическая. x3 д) С осью ох: у=0 =0⇒ х=0 2( x + 1) 2 С осью оу: х=0→ у=0. График функции проходит через начало координат точку О(0,0). 2 е) Проверьте, что y ′ = x ( x + 3) 2( x + 1) 3 у/=0 при х=0, х=-3 у/ терпит разрыв в точке х=-1. +
-
+
-3 max
-3 -1
х
−
27 8
-1 0 разрыв
3x ( x + 1) 4 // у =0 при х=0 у// терпит разрыв в точке х=-1.
ж) y′′ =
-
-
+ 0 перегиб
-1 разрыв
Для наглядности удобно построить таблицу -3 (-3;-1) -1 (-1;0) 0 (-∞;-3) + 0 + 0 0 0 27
−
(0;∞) + +
8 max
55
у
+
И так, в точке х=-3 функция имеет максимум.
у/ у// у
з) График имеет вид
точка перегиба
Задача нахождения глобального экстремума функции это задача нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке. Наибольшее и наименьшее значение непрерывная на отрезке [a,b] функция имеет либо в точках экстремума либо на концах отрезка. Поэтому решение задачи производят в следующей последовательности: а) определить точки в которых у/=0 ; б) найти значение функции в найденных критических точках и принадлежащих отрезку, а также на концах отрезка; в) выбрать из всех найденных значений наибольшее и наименьшее. 2. Формула Тейлора, Маклорена. 3. Правило Лопиталя определения предела функции. 4. Применение производной в задачах с экономическим содержанием. В контрольной работе будет предложена одна задача на 56
максимизацию прибыли. Для ее решения необходимо знать следующие понятия. Функция издержек С(х) определяет затраты, необходимые для производства х единиц данного продукта. Прибыль Р(х)=Д(х)-С(х), где Д(х) – доход от производства х единиц продукта. Средние издержки А(х) при производстве х единиц продукта есть С ( х) . х
/
Предельные издержки М(х)=С (х). Оптимальным значением выпуска для производителя является то значение х единиц продукта, при котором прибыль Р(х) оказывается наибольшей. Правила выполнения и оформления контрольных работ 1. Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради чернилами темного цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний. 2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия, имя, отчество студента, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины. В конце работы следует проставить дату ее выполнения и расписаться. 3. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением задачи надо записать полностью условие задачи. 4. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно. 5. Сдавать работу следует на кафедру заранее, чтобы к защите контрольной работы перед экзаменом успеть исправить ошибки и ответить на замечания.
Контрольная работа 2. Вариант 1. Задание 1. Найти пределы функций: 3x 2 − 5 x − 28 ; x → x0 x 2 + x − 20
1) lim 2) lim
x →0
при a) x → 2; b) x → 4; c) x → 8
1 + 3x − 1 − 7 x tg 3x 2x + 3 ; 3) lim ; 4) lim x → 0 sin 5 x x → ∞ 2 x − 5 x
3 x −1
Задание 2. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3)построить график функции. − 2, если х < −1, f ( x) = x 2 + 1, если − 1 ≤ x < 2, x - 1, если x ≥ 2.
Задание 3. Найти производные данных функций 4
1) y = arctg x − 1;
1 2) y = x 5 − 33 x − 4 ; 3) y = ( x + x 2 ) x ; 5
x = (arcsin t ) 2 t 4) ; 5) x 3 + y 3 − 3axy = 0; 6) y = x 3tg 5 x − 2 2 − 2 x. y= 1 − t2
Задание 4. При производстве монополией х единиц товара цена за единицу товара р(х). Определить оптимальное для монополии значение выпуска х0 (предполагается, что весь произведенный товар реализуется), если издержки производства С(х). С ( x ) = 10 + x +
x2 2
p( x) = 8 − x
Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функ16 ции y = f (x) на отрезке [а,в]: [1,4]. y = x2 + − 16; x
Задание 6. Исследовать средствами дифференциального 4
исчисления функцию и построить график: y = 1 + 3x . 3 5x
57
58
Вариант 2. Задание 1. Найти пределы функций: 1) lim
x → x0
x 2 + 3x − 40 ; 2x2 − 9x − 5
2) lim
x→4
Вариант 3. Задание 1. Найти пределы функций:
при a) x → 3; b) x → 5; c) x → ∞
х−4 2x 3x − 5 ; 3) lim ; 4) lim x → 0 arcsin 3 x x → ∞ 3 x + 2 3х + 4 − 5 х − 4
1) lim
x → x0
2 x +1
2) lim
x → −1
Задание 2. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3)построить график функции. x + 2, если х < −2, f ( x ) = 4 - x 2 , если − 2 ≤ x ≤ 1, 3 - 2x, если x > 1.
(
)
5
y x = arctg ; 6) y = x 2ctg 3 x − 33− 5 x. x y
Задание 4. При производстве монополией х единиц товара цена за единицу товара р(х). Определить оптимальное для монополии значение выпуска х0 (предполагается, что весь произведенный товар реализуется), если издержки 4 производства С(х): С ( x) = 10 − ( x − 1) 3 p ( x) = 10 − x 3
Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке [а,в]: функции y = f (x) y = x2 +
2 + 2 x − 5; x +1
[1,7].
Задание 6. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить график: y = 1 − 5. 3x 2 − 3
59
;
при a) x → 4; b) x → 3; c) x → ∞
arctg 5 x 1 − 3х − 5 + х 3− x ; 3) lim ; 4) lim x →0 x → ∞ 2 − x x +1 3x
5 x −2
Задание 2. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3)построить график функции. − 3 − x, если х < −2, f ( x) = x 2 − 5, если − 2 ≤ x < 3, 7 - 2x, если x > 3.
1 1) y = arctg ; x −1
2
2) y = 3 x 8 + 55 x 2 − 3 ; 3) y = (cos x ) x ;
5)
4 x 2 + x − 39
Задание 3. Найти производные данных функций
Задание 3. Найти производные данных функций 2 1) y = arctg ; x−3 x = 2t − t 2 1 4) y = ; 2 3 (t − 1)
5 x 2 − 14 x − 3
5
2 4 2) y = 3 x 4 − 4 − 3 ; 3) y = x x ; x
3t 2 + 1 x= y 3t 3 ; 5) tg = 5 x; 6) y = x 5 cos 3 x + 23+ 4 x. 4) t3 x y = sin + t 3
Задание 4. При производстве монополией х единиц товара цена за единицу товара р(х). Определить оптимальное для монополии значение выпуска х0 (предполагается, что весь произведенный товар реализуется), если издержки производства С(х): С ( x) =
x x3 + 2 8
p( x) = 8 −
x 2
Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) на отрезке [а,в]: y = x 3 − 3x 2 − 24 x + 3; [0,5]. Задание 6. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить график: y = x − 3 + 2 . 2
2
x−3
60
Вариант 4. Задание 1. Найти пределы функций: 7 x 2 + 12 x − 4 ; x → x0 3 x 2 + 2 x − 8
Вариант 5. Задание 1. Найти пределы функций:
при a) x → 5; b) x → −2; c) x → ∞
1) lim
x−3
sin 7 x 4x + 1 2) lim ; 3) lim ; 4) lim x →3 3 х + 7 − 5 х + 1 x →0 tg 5 x x → ∞ 4 x − 3
x → −2
Задание 3. Найти производные данных функций
)
2) y = 5 x 2 + 43 x 5 + 3 ; 3) y = (arctgx) x ;
Задание 4. При производстве монополией х единиц товара цена за единицу товара р(х). Определить оптимальное для монополии значение выпуска х0 (предполагается, что весь произведенный товар реализуется), если издержки производства С(х). x3 − 3x 2 + 3x + 3 3
p( x) = 8 − x
Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения 4 функции y = f (x) на отрезке [а,в]: [1,4]. y=4−x− ; x2
Задание 6. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить график: 2x + 3 y= . ( x + 3) 2
2 x + 1, если х < −1, f ( x) = x 2 , если − 1 ≤ x ≤ 2, 6 - x, если x > 2.
Задание 3. Найти производные данных функций 5
1) y = arccos 2 x + 1 − 4 x 2 ;
5 2) y = 3 x 4 − 4 + 2 ; 3) y = x tgx ; x
x = ln tgt 1 ; 5) x − y + e y ⋅ arctgx = 0, 6) y = 2 x 5 sin 3 x + 3 2 −3 x . 4) y= sin 2 t
Задание 4. При производстве монополией х единиц товара цена за единицу товара р(х). Определить оптимальное для монополии значение выпуска х0 (предполагается, что весь произведенный товар реализуется), если издержки производства С(х). С ( x) =
2 3 9x2 x − + x +1 3 2
p ( x) = 5 − x
Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функ108 ции y = f (x) на отрезке [а,в]: [2,4]. y = 2x2 + − 59; x
Задание 6. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить график: y=
61
4 x −1
Задание 2. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3)построить график функции.
3
x = ln(1 − t 2 ) x 4) ; 5) ln y = arctg ; 6) y = x 4tg 7 x + 32 + 5 x. 2 y y = arcsin 1 − t
С ( x) =
при a) x → 2; b) x → −1; c) x → ∞
7 − х − 11 + х sin 5 x 2 − 5x ; 3) lim ; 4) lim x → 0 sin 6 x x → ∞ 3 − 5 x x+2
2) lim
− 3x, если х ≤ 1, f ( x) = x 2 − 4, если 1 < x < 3, 2x - 5, если x ≥ 3.
(
x → x0
20 x 2 + 13x − 7 ; 6 x 2 − 5 x − 11
7 x +3
Задание 2. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3)построить график функции.
1) y = arctg x 2 − 1;
1) lim
2 x 3 − 27 . x2 62
Вариант 6. Задание 1. Найти пределы функций: 2 x 2 + 5x − 3 ; x → x0 3 x 2 + 10 x + 3
при a) x → 5; b) x → −3; c) x → ∞
1) lim
2) lim x →2
Вариант 7. Задание 1. Найти пределы функций:
x−2 2 х + 5 − 5х − 1
x 6x − 5 ; 4) lim x →0 arctg 7 x x →∞ 6 x + 7
1) lim
x → x0
8 x −5
; 3) lim
2) lim
x → −3
Задание 2. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3)построить график функции. − x, если х < 0, f ( x) = x 2 , если 0 ≤ x ≤ 2, x + 1, если x > 3.
4 x 2 + 15 x − 4 2 x 2 + 5 x − 12
;
arcsin 5 x 7 − 3х − 1 − 5 х 2 − 7x ; 3) lim ; 4) lim x →0 x → ∞ 5 − 7 x х+3 x
Задание 2. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3)построить график функции.
Задание 3. Найти производные данных функций 2
3
2 1 2) y = x 8 + 83 x 2 − 1 ; 3) y = (arcsin x) x ; 4
x = 1 − t2 t ; 5) x − y + a sin y = 0, 6) y = 3x 4 ctg 5 x + 41− 2 x. 4) y= 1 − t2
Задание 4. Функция издержек имеет вид С(х). На начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки А(х). В дальнейшем на товар устанавливается цена р условных единиц за единицу товара. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск, чтобы максимизировать прибыль. Как при этом 2 изменяются средние издержки? С ( x) = 10 + 2 x + 5 x p = 37 2
Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x ) на отрезке [а,в]: y = x 2 + 2 + 2 x − 5; [− 0,2;5]. x +1
Задание 6. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить график: y = x − 4 . ( x − 5) 2
63
6 x+2
x − 1, если х ≤ 0, f ( x) = x 2 , если 0 < x < 2, 2x, если x ≥ 2.
Задание 3. Найти производные данных функций 1) y = arccos x + 1;
при a) x → 3; b) x → −4; c) x → ∞
1) y = arccos 1 − x ;
2 2) y = 5 x 4 − + 3 ; 3) y = (ln x)sin x ; x x
x = ln(t + t 2 + 1) 4) ; 5) y sin x = cos( x − y ), 6) y = 3 x 5 ln(1 − 2 x) + 7 2 x − 3 2 y = t t + 1
Задание 4. Функция издержек имеет вид С(х). на начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки А(х). В дальнейшем на товар устанавливается цена р условных единиц за единицу товара. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск, чтобы максимизировать прибыль. Как при этом изменяются средние издержки? С ( x ) = 10 +
x 5x 2 + 2 4
p = 10,5
Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x ) на отрезке [а,в]: y = x 3 − 3x 2 − 24 x + 3; [− 5;−1]. Задание 6. Исследовать средствами дифференциального 2 исчисления функцию и построить график: y = 4 − x .
2x − 1
64
Вариант 8. Задание 1. Найти пределы функций: 1) lim
x → x0
2) lim x →5
2 x 2 + 7 x − 15 x 2 − x − 30
;
x−5 3х + 1 − 5 х − 9
Вариант 9. Задание 1. Найти пределы функций: 13x 2 − 6 x − 40 ; x → x0 5 x 2 + x − 22
при a) x → 4; b) x → −5; c) x → ∞ tg 5 x 8x − 3 ; 4) lim x →0 tg 7 x x →∞ 8 x + 5
1) lim
9 x −4
; 3) lim
2) lim
x → −4
Задание 2. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3)построить график функции. x − 1, если х ≤ 0, f ( x) = x 2 , если 0 < x < 2, 2x, если x ≥ 2. 5
3 2) y = 4 x 3 + 3 − 2 ; 3) y = (sin x)ln x ; x x
y x = 2t − t 2 4) ; 5) y 2 x = e x , 6) y = 4 x 3 cos 5 x + 51− 2 x y = arcsin(t − 1)
Задание 4. Функция издержек имеет вид С(х). на начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки А(х). В дальнейшем на товар устанавливается цена р условных единиц за единицу товара. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск, чтобы максимизировать прибыль. Как при этом 3 изменяются средние издержки? С ( x) = 2 + x + x p = 6,5 2
8
Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функ1 ции y = f (x) на отрезке [а,в]: y = 4 − 8 x − 15; − 2;− . x2
2
Задание 6. Исследовать средствами дифференциального 2 исчисления функцию и построить график: y = x .
5 − 2x
x + sin 5 x 1 − 2 х − 13 + х 4 − 9x ; 4) lim ; 3) lim x →0 sin 3x x → ∞ 5 − 9 x х+4
7 x −5
Задание 2. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3)построить график функции. 3 x + 1, если х < 0, f ( x) = x 2 + 1, если 0 ≤ x < 1, 0, если x ≥ 1.
Задание 3. Найти производные данных функций 1) y = arctg x − 1;
при a) x → 3; b) x → 2; c) x → ∞
Задание 3. Найти производные данных функций 1) y = arcsin 3x − 1 − 9 x 2 ;
)
(
4
2) y = 7 x 5 − 3x3 x 2 − 6 ; 3) y = (cos x)ln x ;
x = ln ctgt 1 ; 5) (e x − 1)(e y − 1) − 1 = 0, 6) y = 8 x 4tg 6 x − 36 x. 4) y= cos2 t
Задание 4. Функция издержек имеет вид С(х). на начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки А(х). В дальнейшем на товар устанавливается цена р условных единиц за единицу товара. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск, чтобы максимизировать прибыль. Как при этом 2 изменяются средние издержки? С ( x) = 10 + x + x p = 14,5 2
10
Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) на отрезке [а,в]: y = 2 x − x; [0;4]. Задание 6. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить график: y = 1 x + 4 . 2
x2
66 65
Вариант 10. Задание 1. Найти пределы функций: 1) lim
x → x0
2) lim x →7
2 x 2 − 11x − 21 2
x + x − 56
;
x−7 3х + 4 − 4 х − 3
Список рекомендуемой литературы
при a) x → 2; b) x → 7; c) x → ∞ sin 5 x 10 x + 1 ; 4) lim x →0 2 x + sin 3 x x →∞ 10 x − 3
10 x + 3
; 3) lim
Задание 2. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента «х»: 1)найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3)построить график функции. x + 4, если х < −1, f ( x) = x 2 + 2, если − 1 ≤ x < 1, 2x, если x ≥ 1. Задание 3. Найти производные данных функций 5
1) y = arcsin 1 − x ;
9 2) y = 8 x 3 − 2 + 6 ; 3) y = x ln x ; x x
x = 1 − t 2 ; 5) x − y + arctgy = 0, 6) y = 2 x 3 sin 5 x − 63 x + 2 4) y = tg 1 + t
Задание 4. Функция издержек имеет вид С(х). на начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки А(х). В дальнейшем на товар устанавливается цена р условных единиц за единицу товара. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск, чтобы максимизировать прибыль. Как при этом изменяются средние издержки? С ( x) = 16 + 2 x + x 3 p = 50 Задание 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) на отрезке [а,в]: y = x − 4 x + 5; [1;9]. Задание 6. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить график: y = x .
1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, И.М.Тришин, М.Н. Фридман; Под ред.проф. Н.Ш.Кремера.-2-е изд., М.:ЮНИТИ,2003.471с. 2. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб.пособие для вузов/ Н.Ш. Кремер, И.М. Тришин, Б.А.Путко и др.; Под ред.проф. Н.Ш. Кремера.-М.:ЮНИТИДана,2002.-423с. 3. Векторная алгебра: Методическое пособие/ М.Д. Улымжиев/ ВСГТУ – Улан-Удэ,2000.-46с. 4. Методические указания к самостоятельной работе студентов по овладению техникой дифференцирования сложных функций: Методическое пособие/ Д.Д.Маланова, Е.Г. Васильева/ ВСГТУ-Улан-Удэ,1997.-20с. 5. Линейная алгебра/В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк - М.: Наука,1978 6. Основы математического анализа/В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк - М.: Наука,1993
Подписано в печать 20.09.2006г. Формат 60х84 1/16. Усл.п.л. 3,95 Тираж 500 экз. Заказ №168. Издательство ВСГТУ.670013.г.Улан-Удэ, ул.Ключевская,40, в.
3 − x2
67
68
