Методические указания к курсу ''Аэроакустика''. Часть 1

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÐÎÑÒÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ

Ì. À. Ñóìáàòÿí ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÊÀÇÀÍÈß ê êóðñó ¾Àýðîàêóñòèêà¿. ×àñòü I (äëÿ ñòóäåíòîâ 4 è 5 êóðñîâ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà)

ÐîñòîâíàÄîíó 2003

Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ êàôåäðû òåîðåòè÷åñêîé ãèäðîàýðîìåõàíèêè ÐÃÓ. Ïðîòîêîë  8 îò 29 àïðåëÿ 2003 ã.

3

1. Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ ëèíåéíîé àêóñòèêè Îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ ëèíåéíîé àêóñòèêè ÿâëÿþòñÿ ëèíåàðèçîâàííûìè óðàâíåíèÿìè îáùèõ íåëèíåéíûõ ñîîòíîøåíèé ãàçîâîé äèíàìèêè ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ âîçìóùåíèé. Ïóñòü â íåâîçìóùåííîì ñîñòîÿíèè æèäêîé èëè ãàçîîáðàçíîé ñðåäû åå ïëîòíîñòü ρ0 è äàâëåíèå p0 ïîñòîÿííû, à ñêîðîñòü

v 0 = 0. Òîãäà ïîëíîå äàâëåíèå ðàâíî p = p0 + p0, âîçìóùåííàÿ ïëîòíîñòü ρ = ρ0 +ρ0 , à ñêîðîñòü v = v 0 , ãäå çíà÷åíèÿ ñî øòðèõàìè ÿâëÿþòñÿ ìàëûìè âåëè÷èíàìè, ïî êîòîðûì íåîáõîäèìî ïðîèçâåñòè ëèíåàðèçàöèþ. Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ Ýéëåðà

ρ

∂v + ρ(v · ∇)v + grad p = 0 ∂t

(1.1)

â ñëó÷àå ìàëûõ êîëåáàíèé (ëèíåàðèçîâàííûå óðàâíåíèÿ) ïðèíèìàþò âèä

∂v 0 ρ0 + grad p0 = 0 ∂t

(1.2)

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî æèäêîñòü áàðîòðîïíàÿ. Òîãäà óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ p = p(ρ) ⇔ ρ = ρ(p) â ëèíåàðèçîâàííîé ôîðìå:

p = p0 +

∂p (ρ − ρ0) ⇔ p0 = c2ρ0 + const, ∂ρ

ãäå âåëè÷èíà

c2 =

∂p (ρ = ρ0) ∂ρ

(1.3)

(1.4)

4

íàçûâàåòñÿ ñêîðîñòüþ çâóêà â äàííîé ñðåäå. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ðàçìåðíîñòü âåëè÷èíû c åñòü ì/ñ, ÷òî îïðàâäûâàåò åå íàçâàíèå. Êðîìå òîãî, èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ÿñíî, ÷òî äëÿ ðåàëüíûõ ñðåä çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè îò äàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé, ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíà ∂p/∂ρ > 0, ïîýòîìó c2 > 0. Òàêèì îáðàçîì, ñêîðîñòü çâóêà  âñåãäà âåëè÷èíà ðåàëüíàÿ è ïîëîæèòåëüíàÿ. Óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè

∂ρ + div(ρv) = 0 ∂t

(1.5)

â ëèíåàðèçîâàííîì âèäå

∂ρ0 + ρ0 · div(v 0) = 0 ∂t

(1.6)

Âûâåäåì èç óðàâíåíèé (1.2), (1.3), (1.6) âîëíîâîå óðàâíåíèå (øòðèõè â äàëüíåéøåì îïóñêàåì). Äëÿ ýòîãî ïðîäèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèå (1.6) ïî ∂t è ïîäñòàâèì â íåãî ρ0 ∂v/∂t, âûðàæåííîå èç óðàâíåíèÿ (1.2):

∂ 2ρ ∂ 2ρ = div(grad p) ⇔ = 4p. ∂t2 ∂t2

(1.7)

Òîãäà èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ñ ó÷åòîì (1.3) âûòåêàåò:

∂ 2p 2 = c 4p ∂t2

(1.8)

 âîëíîâîå óðàâíåíèå. Åñëè êîëåáàíèÿ  ãàðìîíè÷åñêèå ïî âðåìåíè: p(x, y, z, t) =

Re{e−iωtpe(x, y, z)}, ãäå íîâàÿ ôóíêöèÿ pe íå çàâèñèò îò âðåìåíè,

5

òî èìååì (çíàê ðåàëüíîé ÷àñòè è òèëüäû â äàëüíåéøåì îïóñêàåì)

ω  âîëíîâîå ÷èñëî. (1.9) c Óðàâíåíèå (1.9) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ãåëüìãîëüöà. 4p + k 2p = 0, ãäå k =

2. Ïðîñòåéøèå âèäû âîëí Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ âèäà

p = f (n · r ± ct),

(2.1)

ãäå n = {n1 , n2 , n3 }  åäèíè÷íûé âåêòîð, r = {x1 , x2 , x3 } óäîâëåòâîðÿåò âîëíîâîìó óðàâíåíèþ (1.8). Ïðîâåðèì ýòî:

∂ 2p p = f (n1x1 + n2x2 + n3x3 ± ct); = c2f 00; 2 ∂t

(2.2)

4p = (n21 + n22 + n23)f 00 = f 00; Íàéäåì êîîðäèíàòíîå ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì ýòà ôóíêöèÿ ïîñòîÿííà. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ïîñòîÿíñòâó àðãóìåíòà:

n · r ± ct = const ⇔ n · r = const ∓ct

(2.3)

Èç àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè èçâåñòíî, ÷òî åñëè åäèíè÷íîå íàïðàâëåíèå n = {cos α, cos β, cos γ}, òî óðàâíåíèå x1 cos α+x2 cos β+

x3 cos γ − q = 0 îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü ñ íîðìàëüþ n, îòñòîÿùóþ îò íà÷àëà êîîðäèíàò íà ðàññòîÿíèå q .  íàøåì ñëó÷àå

n = {n1, n2, n3}, à ðàññòîÿíèå äî íà÷àëà êîîðäèíàò ðàâíî d(t) =

6

const ∓ct. Ýòà ïëîñêîñòü íàçûâàåòñÿ ôðîíòîì âîëíû, à íàïðàâëåíèå n îïðåäåëÿåò åäèíè÷íóþ íîðìàëü ê ýòîìó ôðîíòó. Ïðè ýòîì ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé ôðîíò âîëíû óäàëÿåòñÿ îò íà÷àëà êîîðäèíàò:

˙ = ∓c d(t)

(2.4)

îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôðîíòà. Âîëíû áûâàþò è íåïëîñêèå. Ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà:

2∂ 1 ∂2 2 2 2 21 p = f (r ± ct), r = |r| = (x1 + x2 + x3) , 4 = 2 + ⇒ r ∂r r ∂r ∂ 2p 2 ∂p 1 ∂ 2(rp) f 00 ∂ 2p c2 00 4p = 2 + = ⇒ 4p = ; = f ∂r r ∂r r ∂r2 r ∂t2 r

(2.5)

ïîýòîìó âîëíîâîå óðàâíåíèå (1.8) àâòîìàòè÷åñêè âûïîëíÿåòñÿ. Çäåñü ôðîíò âîëíû îïèñûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì r ± ct = const ⇔

r = const ∓ct. Î÷åâèäíî, â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t  ýòî ñôåðà. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôðîíòà âîëíû ïî-ïðåæíåìó ðàâíà r(t) ˙ = ∓c. Òàêèì îáðàçîì, ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôðîíòà è ïëîñêîé, è ñôåðè÷åñêîé âîëíû ðàâíà ñêîðîñòè çâóêà â äàííîé àêóñòè÷åñêîé ñðåäå.  ãàðìîíè÷åñêîì ðåæèìå êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòîé ω , êîãäà êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà äàâëåíèÿ (èëè ïðîñòî ¾ôóíêöèÿ äàâëåíèÿ¿) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.9), áóäåì ðàçûñêèâàòü ïëîñêóþ âîëíó â âèäå

p = f (n · r) = f (n1x1 + n2x2 + n3x3) ⇒ 4p = f 00 + k 2f = 0 ⇒ f = A1eikn·r + A2e−ikn·r

(2.6)

7

Ðàññìîòðèì, êàêîé çíàê îòâå÷àåò çà ðàñïðîñòðàíåíèå âîëíû âäîëü n, à êàêîé  âäîëü −n.

ωt ± kn · r = const ⇒ d = n · r = const ∓

ωt ; k

d˙ = ∓ ωk = ∓c; ⇒ âäîëü n : Ae−i(ωt−kn·r) = Ae−iωt · eikn·r ;

(2.7)

Äëèíà âîëíû λ îïðåäåëÿåòñÿ êàê íàèìåíüøåå ðàññòîÿíèå â íàïðàâëåíèè âåêòîðà n, äëÿ êîòîðîãî ôàçà êîëåáàíèé (ò. å. àðãóìåíò ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèè â óðàâíåíèè (2.7)) â òî÷êå, îïðåäåëÿåìîé ðàäèóñâåêòîðîì r è ðàäèóñâåêòîðîì r+λn, ñîâïàäàþò: λk = 2π ⇒

λ=

2π 2πc f = = , ãäå ω = 2πf k ω ω

(2.8)

Ïðè ýòîì ω íàçûâàåòñÿ êðóãîâîé ÷àñòîòîé êîëåáàíèé è èçìåðÿåòñÿ â ðàä/ñ, à f íàçûâàåòñÿ ïðîñòî ÷àñòîòîé êîëåáàíèé è èçìåðÿåòñÿ â 1/ñ = Ãö.

3. Îòðàæåíèå ïëîñêîé âîëíû îò ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõ ñðåä Ïóñòü èç âåðõíåãî ïîëóïðîñòðàíñòâà 1 íà ïëîñêóþ ãðàíèöó ðàçäåëà ñ ïîëóïðîñòðàíñòâîì 2 ïàäàåò ïëîñêàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ âî âðåìåíè âîëíà ñ êðóãîâîé ÷àñòîòîé ω . Ïóñòü ñêîðîñòü çâóêà â ýòèõ ñðåäàõ ðàâíà ñîîòâåòñòâåííî c1 è c2 , à ïëîòíîñòü ρ1 è ρ2 . Òîãäà âîëíîâûå ÷èñëà â íèõ k1,2 = ω/c1,2 . Êàê îáû÷íî, ïîëíîå

8

äàâëåíèå â êîìïëåêñíîì âèäå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî âî âðåìåíè ìíîæèòåëÿ è êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû, ïðè÷åì ïîñëåäíÿÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà: 2 e−iωtp(r) : 4p + k1,2 p = 0, (k1,2 =

ω ); c1,2

(3.1)

 ïåðâîé ñðåäå p1 = pinc +psc , ãäå pinc  ïàäàþùàÿ èçâåñòíàÿ ïëîñêàÿ âîëíà, à psc  íåèçâåñòíàÿ îòðàæåííàÿ (ðàññåÿííàÿ íà ãðàíèöå) âîëíà. Ïðè ýòîì ïàäàþùàÿ âîëíà  ïëîñêàÿ

pinc = eik1n·r = eik1(x sin θ−y cos θ); n = {sin θ, − cos θ, 0}

(3.2)

ïðè÷åì θ  óãîë ìåæäó íîðìàëüþ N ê ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä è íàïðàâëåíèåì ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôðîíòà ïàäàþùåé âîëíû

n (óãîë ïàäåíèÿ). Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå äëÿ ðàññåÿííîé âîëíû è âîëíû, ïðîøåäøåé â íèæíåå ïîëóïðîñòðàíñòâî, â âèäå ïëîñêèõ âîëí:

psc = Reik1n1·r = Reik1(x sin α+y cos α); n1 = {sin α, cos α, 0}; p2 = T e

ik2 n2 ·r

= Te

ik2 (x sin β−y cos β)

; n2 = {sin β, cos β, 0}

(3.3)

ãäå íè óãîë îòðàæåíèÿ α, íè óãîë ïðåëîìëåíèÿ β ïîêà íåèçâåñòíû è äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Çàìåòèì, ÷òî ôèçè÷åñêèé ñìûñë íåèçâåñòíûõ ïîñòîÿííûõ R è T ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïåðâàÿ èç íèõ ðàâíà êîýôôèöèåíòó îòðàæåíèÿ (R) ïàäàþùåé âîëíû â âåðõíåì ïîëóïðîñòðàíñòâå, à âòîðàÿ  êî-

ýôôèöèåíòó ïðîõîæäåíèÿ (T ) ýòîé âîëíû âî âòîðîå ïîëóïðîñòðàíñòâî.

9

Ðèñ. 1: Ïðåëîìëåíèå ïëîñêîé âîëíû íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä

Ïåðåéäåì ê ôîðìóëèðîâêå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, êîòîðûå ñîñòîÿò â òîì, ÷òî íà ãðàíèöå èäåàëüíîãî êîíòàêòà äâóõ àêóñòè÷åñêèõ ñðåä äîëæíà áûòü îáåñïå÷åíà íåïðåðûâíîñòü äàâëåíèÿ è íîðìàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè: ïðè y = 0 èìååì

p1 = p2 ,

1 ∂p1 1 ∂p2 = ρ1 ∂y ρ2 ∂y

(3.4)

Çàìåòèì, ÷òî âòîðîå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç óðàâíåíèÿ (1.2), åñëè åãî çàïèñàòü äëÿ âûðàæåíèÿ ñêîðîñòè ÷åðåç äàâëåíèå â ãàðìîíè÷åñêîì ðåæèìå.

10

Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (3.4) äàþò äâà ñîîòíîøåíèÿ

eik1x sin θ + Reik1x sin α = T eik2x sin β ; k1(R cos αe

ik1 x sin α

− cos θe

ik1 x sin θ

) = k2T cos βe

ik2 x sin β

(3.5)

êîòîðûå äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ òîæäåñòâåííî äëÿ ∀x ∈ (−∞; ∞). Ýòî âîçìîæíî ëèøü ïðè âûïîëíåíèè ñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé: 1. Çàêîí îòðàæåíèÿ. Óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ: (3.6)

α = θ.

2. Çàêîí ïðåëîìëåíèÿ (çàêîí Ñíåëëèóñà): k1 sin θ = k2 sin β

⇔

sin θ sin β = c1 c2

(3.7)

Êðîìå òîãî, ïîñëå íåêîòîðûõ óïðîùåíèé â (3.5), èìååì äâà óðàâíåíèÿ äëÿ äâóõ íåèçâåñòíûõ R è T :

1 + R = T,

cos θ cos β (R − 1) = − T ρ1c1 ρ2c2

(3.8)

Ðåøåíèåì ýòîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ïàðà

R=

Z2 − Z1 , Z2 + Z1

T =

2Z2 Z2 + Z1

(3.9)

ãäå âåëè÷èíû

ρ1c1 ρ2c2 , Z2 = cos θ cos β  ñîîòâåòñòâåííî èìïåäàíñ âåðõíåé è íèæíåé ñðåäû. Z1 =

(3.10)

11

Ðèñ. 2: Ðàññåÿíèå ïëîñêîé àêóñòè÷åñêîé âîëíû íà àáñîëþòíî òâåðäîì ïðåïÿòñòâèè

4. Îñíîâû òåîðèè äèôðàêöèè Ïóñòü â áåçãðàíè÷íîé àêóñòè÷åñêîé ñðåäå èìååòñÿ íåêîòîðàÿ èçâåñòíàÿ àêóñòè÷åñêàÿ âîëíà. Òîãäà ïðè âñòðå÷å ñ êàêèìëèáî ïðåïÿòñòâèåì ñòðóêòóðà ýòîé âîëíû íà÷èíàåò èçìåíÿòüñÿ. Ëþáîå èçìåíåíèå âîëíîâîãî ïîëÿ èç-çà âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ïðåïÿòñòâèåì íàçûâàåòñÿ äèôðàêöèåé. Íàèáîëåå õàðàêòåðíàÿ êàðòèíà äèôðàêöèè ïîëó÷àåòñÿ ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ïëîñêèõ àêóñòè÷åñêèõ âîëí. Ïóñòü âäîëü ïîëîæèòåëüíîãî íàïðàâëåíèÿ îñè x1 ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà ñ ÷àñòîòîé ω :

pinc = eik(n·r) = eikx1 ; n = {1, 0, 0};

(4.1)

12

Òîãäà, åñëè áû íà ïóòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû íå áûëî íèêàêèõ ïðåïÿòñòâèé, òî íå áûëî áû è äèôðàêöèè, ò. å. ïîëíîå äàâëåíèå â âîëíå áûëî áû p = pinc . Íà ñàìîì æå äåëå èìååòñÿ ïðåïÿòñòâèå, ïîýòîìó p = pinc + psc , ãäå psc  ðàññåÿííîå âîëíîâîå ïîëå. Ðàññåÿííîå ïîëå äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ óõîäÿùåé íà áåñêîíå÷íîñòü âîëíû (óñëîâèå èçëó÷åíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòü) è, êàê ïðàâèëî, èìåííî îíî ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé èñêîìîé âåëè÷èíîé â çàäà÷àõ äèôðàêöèè. Âîçüìåì ýëåìåíòàðíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà:

Φ=

  i (1)   4 H0 (k|x − y|) 1 eik|x−y|    4π |x − y|

;

ãäå y − ∀ òåêóùàÿ òî÷êà ïðîñòðàíñòâà;

x − ∀ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà; (4.2)

ãäå ïåðâàÿ ñòðîêà ñîîòâåòñòâóåò äâóìåðíîé çàäà÷å, à âòîðàÿ  òðåõìåðíîé çàäà÷å. Ôóíêöèÿ Φ ðåãóëÿðíà, óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà âî âíåøíîñòè Vε ïî ïåðåìåííîé y è óñëîâèþ èçëó÷åíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè. Êðîìå òîãî, ðàññåÿííàÿ âîëíà òàêæå óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà âî âíåøíîñòè ïðåïÿòñòâèÿ, çàíèìàþùåãî îáëàñòü V . Òîãäà

4y psc + k 2p = 0 (âî âíåøíîñòè V ); 4y Φ + k 2Φ = 0 (âî âíåøíîñòè Vε)

(4.3)

ãäå íèæíèé èíäåêñ ó îïåðàòîðà Ëàïëàñà ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòîò îïåðàòîð äåéñòâóåò ïî ïåðåìåííîé y = (y1 , y2 , y3 ). Ïðè ýòîì òî÷êà x = (x1 , x2 , x3 ) ñ÷èòàåòñÿ ïðîèçâîëüíîé, íî ôèêñèðîâàííîé â

13

ïðîñòðàíñòâå òî÷êîé. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïîêà ðàññìàòðèâàåì òîëüêî òðåõìåðíûé ñëó÷àé, ò.ê. âñå îêîí÷àòåëüíûå ðåçóëüòàòû ñïðàâåäëèâû è â äâóìåðíîé çàäà÷å. Óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå â (4.3) íà Φ, à âòîðîå - íà

psc(y). Òîãäà ïðèìåíåíèå ôîðìóëû Ãðèíà ïðèâîäèò ê ñîîòíîøåíèþ

Z

Z sc

0=

sc

(p 4y Φ − Φ4y p ) dV = R3 −(V +Vε )

∂Φ ∂psc (p −Φ ) dS; ∂ny ∂ny sc

S+SE

(4.4)

Äàëåå ëåãêî äîêàçûâàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî, ÷òî è äëÿ äâóìåðíîãî è äëÿ òðåõìåðíîãî ñëó÷àÿ

Z

Z ∂psc ∂Φ dS −−→ 0, dS → −psc(x) (ε → 0); ⇒ psc ε→0 ∂ny ∂ny Sε Sε ¸ Z · sc ∂Φ(x, y) ∂p (y) psc(y) psc(x) = dSy ; − Φ(x, y) ∂ny ∂ny

(4.5)

S

Íî âíóòðè V èìååì:

4y pinc + k 2pinc = 0; 4y Φ + k 2Φ = 0 ⇒ R 0 = (pinc4y Φ − Φ4y pinc) dV = VZ µ ¶ inc ∂Φ ∂p =− pinc −Φ dS; ∂ny ∂ny

(4.6)

S

ïîýòîìó ñëîæåíèå äâóõ ïîñëåäíèõ ôîðìóë äàåò îñíîâíîå èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ðàññåÿííîé âîëíû ÷åðåç çíà÷åíèå ïîëíîãî äàâëåíèÿ è åå íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé íà ãðàíè÷íîé ïî-

14

âåðõíîñòè:

¸ Z · ∂p(y) ∂Φ(x, y) psc(x) = p(y) − Φ(x, y) dSy ; ∂ny ∂ny

(4.7)

S

åñëè òî÷êà íàáëþäåíèÿ x ðàñïîëîæåíà âî âíåøíîñòè îáëàñòè V . Åñëè áû è äàâëåíèå, è åå íîðìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ áûëè îäíîâðåìåííî èçâåñòíû íà ãðàíèöå îáëàñòè S , òî ñîîòíîøåíèå (4.7) ïîçâîëèëî áû âûïèñàòü ðåøåíèå â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå àêóñòè÷åñêîé ñðåäû. Îäíàêî, êàê õîðîøî èçâåñòíî èç îáùåé òåîðèè êðàåâûõ çàäà÷, îáû÷íî çàäàííûì íà ãðàíèöå áûâàåò ëèáî ñàìà íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ (êðàåâàÿ çàäà÷à Äèðèõëå), ëèáî åå íîðìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ (êðàåâàÿ çàäà÷à Íåéìàíà). Ïîýòîìó íåïîñðåäñòâåííî ôîðìóëó (4.7) äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàññåÿííîãî íà ïðåïÿòñòâèè âîëíîâîãî ïîëÿ ïðèìåíÿòü íåëüçÿ. Äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ ïîçâîëÿþò ïðåîäîëåòü óêàçàííóþ òðóäíîñòü. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïðåïÿòñòâèå  àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî, òîãäà èìååì ñëåäóþùåå ãðàíè÷íîå óñëîâèå òèïà Íåéìàíà, ïîçâîëÿþùåå óïðîñòèòü ôîðìóëó (4.7):

∂p ¯¯ ¯ = 0 ⇒ psc(x) = ∂ny S

Z

p(y) S

∂Φ(x, y) dSy ; ∂ny

(4.8)

Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ èçâåñòíûì èç òåîðèè ïîòåíöèàëà ãðàíè÷íûì ñâîéñòâîì ïîòåíöèàëà äâîéíîãî ñëîÿ ïðè x → y0 ∈ S :

Z S

∂Φ(x, y) p(y) dSy → ∂ny

Z

p(y) S

∂Φ(y0, y) p(y0) dSy + ∂ny 2

(4.9)

15

Òîãäà ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî

psc(y0) = p(y0) − pinc(y0)

(4.10)

ïîëó÷àåì îñíîâíîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ p(y) íà ãðàíèöå:

p(y0) − 2

Z p(y) S

∂Φ(y0, y) dSy = pinc(y0), y0 ∈ S ∂ny

(4.11)

Çàìåòèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå (4.11) òðåáóåò ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ. Íàéäåííîå òàêèì îáðàçîì ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå ïîëíîãî äàâëåíèÿ ìîæåò áûòü ïîäñòàâëåíî â âûðàæåíèå (4.8) äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàññåÿííîãî âîëíîâîãî ïîëÿ â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå x.

5. Ðàññåÿííîå ïîëå â äàëüíåé çîíå Ôîðìóëà (4.8) ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü íàèáîëåå èíòåðåñíóþ â òåîðèè äèôðàêöèè õàðàêòåðèñòèêó îòðàæàþùåé ñïîñîáíîñòè ïðåïÿòñòâèÿ, à èìåííî äèàãðàììó ðàññåÿíèÿ â äàëüíåé çîíå.  òðåõìåðíîì ñëó÷àå èìååì:

1 eik|x−y| 1 eikr Φ(x, y) = = ; 4π |x − y| 4π r ∂Φ(x, y) ∂Φ ∂r ik ikr ∂r = ∼ e · ; (r → ∞) ∂ny ∂r ∂ny 4πr ∂ny ∂r = cos(ny\ , x − y); ∂ny

(5.1)

16

Äàëåå, ïðè |x| → ∞ ìîæåì îöåíèòü ïîâåäåíèå ðàññòîÿíèÿ â äàëüíåé çîíå, ïðè÷åì, ïîñêîëüêó ýòà âåëè÷èíà ïîïàäàåò â ïîêàçàòåëü ñèëüíî îñöèëëèðóþùåé ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèè, íåîáõîäèìî ó÷åñòü íå òîëüêî ãëàâíûé, íî è ñëåäóþùèé ÷ëåí ïðè áîëüøîì x:

r = |x − y| =

p (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2 =

p

x21 + x22 + x23 − 2(x1y1 + x2y2 + x3y3) + y12 + y22 + y32) ∼ n o (x·y) ∼ |x| 1 − |x|2 = |x| − (x·y) |x| ⇒ =

eikr ∼ eik|x|e−ik(x·y)/|x|, |x| → ∞ (5.2) Òîãäà ïðè |x| → ∞ èìååì

ik ik|x| psc(x) ∼ e 4π|x|

Z

p(y) · cos(ny\ , x − y)e−ik(x·y)/|x| dSy

(5.3)

S

Ñëåäîâàòåëüíî,

¯ ¯ ¯ ¯Z ¯ ¯ k −ik(x·y)/|x| sc ¯ |p (x)| ∼ p(y) cos([ ny , x)e dSy ¯¯ ¯ 4π|x| ¯ ¯

(5.4)

S

 äâóìåðíîì ñëó÷àå èìååì:

q

i (1) 4 H0 (k|x

2 eπi/4 √ eikr π 4 rk

q

3πi/4 eikr

⇒ ∼ π2 ke 4 − y|) ∼ R kei(k|x|+3π/4) sc √ p (x) ∼ √ p(y) cos([ ny , x)e−ik(x·y)/|x| d`y 2 2π |x|k ` ¯ ¯ √ ¯ ¯ R k sc −ik(x·y)/|x| ¯ |p (x)| ∼ √ √ ¯ p(y) cos([ ny , x)e d`y ¯¯ Φ=

2 2π

|x|

`

∂Φ ∂r

√

rk

⇒

(5.5)

17

6. Ïðèìåð. Äèôðàêöèÿ íà êðóãå ìàëîãî ðàäèóñà (ïëîñêàÿ çàäà÷à) Ïóñòü a  ðàäèóñ êðóãà. Òîãäà èìååì (1)

pinc = eikx1 ; Φ = 4i H0 (kr); r = |y0 − y|; (6.1)

1 Φ ∼ − 2π ln(kr), r → 0

⇒

∂Φ ∂ny

=

∂Φ ∂r

∂r 1 ∂r · ∂n · ∂n = − 2πr =− y y

cos(r,n dy ) 2πr ;

Åñëè êðóã-ìàëûé, òî

y = {a cos θ, a sin θ}, y0 = {a cos ψ, a sin ψ}, r = y − y0 = {a(cos θ − cos ψ), a(sin θ − sin ψ)}, ny = {cos θ, sin θ}, =

cos(r,d ny ) =

(6.2)

(r · ny ) cos θ(cos θ − cos ψ) + sin θ(sinθ − sin ψ) =a ; r r

Ïîýòîìó

∂Φ 1 1 − cos(θ − ψ) =− = ∂ny 2πa (cos θ − cos ψ)2 + (sin θ − sin ψ)2 1 1 − cos(θ − ψ) 1 =− =− 2πa 2[1 − cos(θ − ψ)] 4πa

(6.3)

Îòñþäà âûòåêàåò îñíîâíîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ äàâëåíèÿ íà êðóãå ìàëîãî ðàäèóñà:

p(ψ) 1 R2π + p(θ) dθ = pinc(ψ), (d`y = adθ) ∼ 2 4π 0 p(ψ) 1 R2π ∼ + p(θ) dθ = eika cos ψ 2 4π 0

(6.4)

18

Åñëè ïðîèíòåãðèðîâàòü ýòî óðàâíåíèå ïî îòðåçêó [0, 2π], òî ïîëó÷èì

R2π ika cos ψ 1 R2π 1 R2π p(ψ) dψ + p(θ) dθ = e dψ ⇒ 20 20 0 R2π R2π ika cos ψ dψ = p(θ) dθ = e

(6.5)

0

0

R2π = {1 + ika cos ψ + O[(ak)2]} dψ = 2π + O[(ak)2] 0

ïîýòîìó ñ òî÷íîñòüþ äî O[(ak)2 ] èç óðàâíåíèÿ (6.4) ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ïîëíîãî äàâëåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè êðóãà

p(ψ) = 2eika cos ψ − 1 ≈ 2(1 + ika cos ψ) − 1 = 1 + 2ika cos ψ (6.6) Êàêîâî ðàññåÿííîå ïîëå â äàëüíåé çîíå? Åñëè

x = (R cos α, R sin α), y = (a cos ψ, a sin ψ), ny = {cos ψ, sin ψ},

(6.7)

òîãäà â äàëüíåì ïîëå

cos(ny\ , x − y) ≈ cos([ ny , x) ⇒ (ny · x) = |x| R(cos ψ · cos α + sin ψ · sin α) = = cos(ψ − α); R (x · y) Ra(cos α · cos ψ + sin α · sin ψ) = = a cos(ψ − α) |x| R cos(ny\ , x − y) ≈

(6.8)

ïîýòîìó èíòåãðàë â ôîðìóëå (5.5) äëÿ ðàññåÿííîãî ïîëÿ â ïëîñ-

19

êîé çàäà÷å, ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëûõ ïîðÿäêà O[(ak)2 ], èìååò âèä

R

p(y) cos([ ny , x)e−ik(x·y)/|x| dSy =

`

R2π = a (1 + 2ik cos ψ) cos(ψ − α) · e−ika cos(ψ−α) dψ = 0 R2π

= a [1 + 2ika cos(ψ + α)] cos ψe−ika cos ψ dψ = =a

0 R2π

(6.9)

cos ψ[(1 − ika cos ψ) + 2ika cos(ψ + α)] dψ = 0 µ ¶ −ika 1 =a + 2ika · cos α 2π = −πika2(1 − 2 cos α) 2 2 Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ìû èíòåðåñóåìñÿ çàâèñèìîñòüþ àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ îò óãëà íàáëþäåíèÿ A(α), òî ñ òî÷íîñòüþ äî íåñóùåñòâåííîãî ìíîæèòåëÿ ïîëó÷àåì:

A(α) ∼ |1 − 2 cos α|,

0 < α < 2π

(6.10)

7. Íèçêî÷àñòîòíàÿ äèôðàêöèÿ íà òâåðäîì ýêðàíå (ïëîñêàÿ çàäà÷à) Ðàññìîòðèì íîðìàëüíîå ïàäåíèå ïëîñêîé àêóñòè÷åñêîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü îñè x1 : pinc = eikx1 , íà òâåðäîé ïëàñòèíå äëèíîé 2a. Åñëè âçÿòü çàìêíóòûé êîíòóð `, îõâàòûâàþùèé ïëàñòèíó è áëèçêî ïðèëåãàþùèé ê íåé, òî â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå x = (x1 , x2 ) âíå ýòîãî êîíòóðà âûïîëíÿåòñÿ îñíîâíîå èíòåãðàëüíîå ñîîòíîøåíèå (4.7), êîòîðîå ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó

20

Ðèñ. 3: Ðàññåÿíèå ïëîñêîé àêóñòè÷åñêîé âîëíû íà àáñîëþòíî òâåðäîì ïëîñêîì ýêðàíå

ïðåäñòàâëåíèþ

¸ ∂p(y) ∂Φ(x, y) − Φ(x, y) d`y = psc(x) = p(y) ∂ny ∂ny `   Z Z Za ∂Φ(x, y) ∂Φ =  +  p(y) d`y = (p+ − p−)(y) d`y ∂ny ∂ny Z ·

`+

(7.1)

−a

`−

Åñëè âçÿòü íîðìàëüíóþ ïðîèçâîäíóþ îò ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ ïî ïåðåìåííîé x, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ýòà òî÷êà íàõîäèòñÿ âáëèçè ãðàíè÷íîãî êîíòóðà, à çàòåì óñòðåìèòü ýòó òî÷êó íà êîíòóð:

x → y0 ∈ `, òî ïîëó÷èì: sc ¯

∂p ¯ ∂ ¯ = ∂ny0 ` ∂ny0

Za (p+ − p−)(y) −a

∂Φ(y0, y) d`y ∂ny

(7.2)

Ââåäåì íîâóþ íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ (p+ − p− )|` = g(y), ôèçè÷åñêèé ñìûñë êîòîðîé  ñêà÷îê äàâëåíèÿ ïðè ïðîõîæäåíèè

21

ñêâîçü ïëàñòèíó (ò.å. ðàçíîñòü äàâëåíèé ñëåâà è ñïðàâà îò ïëàñòèíû). Âñïîìíèì òàêæå, ÷òî p = pinc + psc , ïîýòîìó â ñèëó ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (∂p/∂n)|` = 0 ∼ (∂psc /∂n)|` = −(∂pinc /∂n)|` =

−ik , ïðèõîäèì ê îñíîâíîìó èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ ïî ïëàñòèíå

∂ ∂ny0

Za g(y) −a

∂Φ(y0, y) d`y = −ik, ∂ny

y0 ∈ (−a, a)

(7.3)

Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ çàìåòèì, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì íèçêî÷àñòîòíûé ðåæèì äèôðàêöèè, êîãäà âîëíîâîå ÷èñëî

k = ω/c ìàëî. Òîãäà ôóíêöèÿ Ãðèíà 1 ∂Φ 1 ∂r Φ ≈ − ln(kr) ⇒ =− · , 2π ∂ny 2πr ∂y1 ãäå

r=

p

(y1 − y01)2 + (y2 − y02)2 ⇒

ïîýòîìó

∂r 1 y1 − y01 =− · ∂ny 2πr r

∂ 2Φ ¯¯ 1 ¯¯ 1 = ¯ = ¯ ∂ny0 ∂ny ` 2πr2 ` 2π(y2 − y02)2

(7.4)

(7.5)

(7.6)

Ñëåäîâàòåëüíî, îñíîâíîå óðàâíåíèå (7.3) ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä

1 2π

Za −a

g(y) dy = −ik, (y − y0)2

|x| < a

(7.7)

Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðîèíòåãðèðóåì ïî ÷àñòÿì:

Za

−a

Za 0 ¯ a g(y) ¯ g(y) g (y) dy = − dy + ¯ (y − y0)2 y − y0 −a y − y0 −a

(7.8)

22

îòêóäà, â ñèëó òîãî, ÷òî ïðè ïðèáëèæåíèè ê êîíöàì òâåðäîãî ýêðàíà ñêà÷îê äàâëåíèÿ (à ñëåäîâàòåëüíî, è ôóíêöèÿ g(y)) äîëæåí èñ÷åçàòü, âûòåêàåò, ÷òî âíåèíòåãðàëüíûé ÷ëåí â (7.8) èñ÷åçàåò. Òîãäà ïðèõîäèì ê ñèíãóëÿðíîìó èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ ñ ÿäðîì òèïà Êîøè, ðåøåíèå êîòîðîãî õîðîøî èçâåñòíî èç òåîðèè ñèíãóëÿðíûõ óðàâíåíèé

Za −a

g 0(y) dy = −ik; y − y0



ik C − g 0(y) = − p 2 a2 − y 2



Za p

a2

−a

y02 dy0 

− y − y0

(7.9)

Ñèíãóëÿðíûé èíòåãðàë â (7.9) ÿâëÿåòñÿ òàáëè÷íûì:

Za p −a

a2 − y02 dy0 = πy y − y0

(7.10)

Ïîñêîëüêó â íàøåé çàäà÷å ôóíêöèÿ g(y) ïî ôèçè÷åñêîìó ñìûñëó  ÷åòíàÿ, òî ôóíêöèÿ g 0 (y)  íå÷åòíàÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ñ ó÷åòîì (7.9) è (7.10), êîíñòàíòà C = 0.  ðåçóëüòàòå ðåøåíèå îñíîâíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä

πiky g 0(y) = p 2 a2 − y 2

(7.11)

Òåïåðü âû÷èñëèì ðàññåÿííîå âîëíîâîå ïîëå â äàëüíåé çîíå.

23

Ïóñòü x = (R cos α, R sin α), òîãäà èìååì

|psc(x)| ∼ = = =

¯ ¯ ¯R ¯ −ik(x·y)/|x| ¯ p(y) cos([ ny , x)e d`y ¯¯ = ¯ ¯ `a ¯ ¯R ¯ ¯ g(y) cos α · e−iky cos α dy ¯ = ¯ ¯ −a ¯ ¯ ¯ ¯ cos α Ra 0 −iky cos α ¯= ¯ g (y)e dy ¯ ¯ ik cos α −a ¯ ¯ ¯ ¯ a π ¯R y ¯ −iky cos α e dy ¯ ∼ ¯ p ¯ 2 ¯−a a2 − y 2

(7.12)

Ra y 2 dy πk | cos α| p ∼ 2 a2 − y 2 −a ãäå â ñðåäíåé ÷àñòå ïðåîáðàçîâàíèé áûëî ïðèìåíåíî èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Òàêèì îáðàçîì, îêîí÷àòåëüíàÿ ôîðìà äèàãðàììû ðàññåÿíèÿ, ò. å. çàâèñèìîñòè àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ îò óãëà íàáëþäåíèÿ, ñ òî÷íîñòüþ äî íåñóùåñòâåííîãî ìíîæèòåëÿ, íå çàâèñÿùåãî îò

α: A(α) ∼ | cos α|,

0 < α < 2π

(7.13)

24

ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ 1. Áðåõîâñêèõ Ë. Ì. Âîëíû â ñëîèñòûõ ñðåäàõ.  Ì.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1956. 2. Øåíäåðîâ Å. Ë. Âîëíîâûå çàäà÷è ãèäðîàêóñòèêè.  Ë.: Ñóäîñòðîåíèå, 1979. 3. Ä. Êîëòîí, Ð. Êðåññ Ìåòîäû èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé â òåîðèè ðàññåÿíèÿ.  Ì.: Ìèð, 1987.