Математический анализ: Методические рекомендации для студентов-заочников. Часть 1

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÂÎËÃÎÃÐÀÄÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÎÍÍÛÕ ÒÅÕÍÎËÎÃÈÉ È ÒÅËÅÊÎÌÌÓÍÈÊÀÖÈÉ

Êàôåäðà èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì è òåõíîëîãèé

Ìåòîäè÷åñêèå ðåêîìåíäàöèè ïî äèñöèïëèíå «Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç» Äëÿ ñòóäåíòîâ-çàî÷íèêîâ ñïåöèàëüíîñòè «Òåëåêîììóíèêàöèè» Â 2 ÷àñòÿõ

×àñòü I

Âîëãîãðàä 2002 —1—

Ñîñòàâèòåëü — ñòàðøèé ïðåïîäàâàòåëü êàôåäðû èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì è òåõíîëîãèé ÂîëÃÓ Å.Â. Áîíäàðåâà Ðåöåíçåíòû: êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîö. Å.À. Ìèõàéëîâà (ÂîëÃÓ); êàíä. ïåä. íàóê, äîö. Ì.Â. Ëàðèíà (ÂÃÑÕÀ) Ðåêîìåíäîâàíî ê ïå÷àòè ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì ñîâåòîì ÂîëÃÓ

Ìåòîäè÷åñêèå ðåêîìåíäàöèè ïî äèñöèïëèíå «Ìàòå àòè÷åñêèé àíàëèç»: Äëÿ ñòóäåíòîâ-çàî÷íèêîâ ñïåöèàëüíîñòè «Òåëåêîììóíèêàöèè»:  2 ÷. / Ñîñò. Å.Â. Áîíäàðåâà. — Âîëãîãðàä: Èçä-âî ÂîëÃÓ, 2002. — ×. I. — 32 ñ.  ðàáîòå ïðåäñòàâëåíû ìåòîäè÷åñêèå ðåêîìåíäàöèè ïî èçó÷å èþ êóðñà, à òàêæå äàíû íåêîòîðûå òèïîâûå ïðèìåðû ñ êî åíòàðèÿ è ïî èõ ðåøåíèþ. Ñîäåðæèò âîïðîñû ïðîãðàììû êóðñà, âàðèàíòû êîíòðîëü ûõ çàäàíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó äëÿ ñòóäåíòîâ 1-ãî êóðñà çàî÷ îãî îòäåëåíèÿ ñïåöèàëüíîñòè «Òåëåêîììóíèêàöèè».

© Ñîñòàâëåíèå. Å.Â. Áîíäàðåâà, 2002 © Èçäàòåëüñòâî Âîëãîãðàäñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà, 2002 —2—

ÐÀÁÎ×Àß ÏÐÎÃÐÀÌÌÀ ÊÓÐÑÀ «ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ» ÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÏËÀÍ

I. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç

4

4

8

30

II. Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíê-

8

8

16

55

III. Èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå

6

6

12

60

IV. Ôóíêöèè ìíîãèõ íåçàâèñèìûõ ïåðå-

4

4

8

50

V. Êðàòíûå è êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëû

4

4

8

45

VI. ×èñëîâûå è ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû

4

4

8

40

30

30

60

280

Íàçâàíèÿ òåì

Âñåãî

Ñåìèíàðñêèå çàíÿòèÿ

Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòà, ÷

Ëåêöèè

Ðàáîòà ñ ïðåïîäàâàòåëåì, ÷

öèè îäíîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé

ìåííûõ

Âñåãî

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÏÐÎÃÐÀÌÌÛ I. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç 1. Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, íåîáõîäè ûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ. Ïðÿìàÿ è îáðàòíàÿ òåîðåìû. Ñè âîëû àòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, èõ èñïîëüçîâàíèå. Áèíîì Íüþòîíà. Ôîð óëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ. 2. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà, äåéñòâèÿ ñ íèìè. Èçîáðàæå èå êî ïëåêñíûõ ÷èñåë íà ïëîñêîñòè. Ìîäóëü è àðãóìåíò êî ïëåêñ îãî ÷èñëà. Àëãåáðàè÷åñêàÿ è òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîð û çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Ôîðìóëà Ýéëåðà. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôîð à êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Êîðíè èç êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. 3. Ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Ôóíêöèÿ, îáëàñòü åå îïðåäåëåíèÿ. Ñïîñîáû çàäàíèÿ ôóíêöèé. Îñíîâíûå ýëå å òàðíûå ôóíêöèè, èõ ñâîéñòâà è ãðàôèêè. 4. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, èõ ðîëü â âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöåññàõ. Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ñòàáèëè—3—

çàöèÿ äåñÿòè÷ ûõ ç àêîâ ó ÷ëå îâ ïîñëåäîâàòåëü îñòè, è åþùåé ïðåäåë. Ñóùåñòâîâà èå ïðåäåëà î îòî îé îãðà è÷å îé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. 5. Ïîíÿòèå ôóíêöèè. Ñâîéñòâà ôóíêöèè. Ñëîæíûå è îáðàòíûå ôóíêöèè, èõ ãðàôèêè. Êëàññ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. 6. Ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå. Ïðåäåë ôóíêöèè â áåñêî å÷íîñòè. Ïðåäåëû ìîíîòîííûõ ôóíêöèé. 7. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèé â òîêå. Íåïðåðûâíîñòü îñ îâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. 8. Áåñêîíå÷íî ìàëûå â òî÷êå ôóíêöèè, èõ ñâîéñòâà. Ñðàâíåíèå áåñêîíå÷íî ìàëûõ. 9. Ñâîéñòâà ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå: îãðà è÷å íîñòü, ñóùåñòâîâàíèå íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî ç à÷å èé, ñóùåñòâîâàíèå ïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèé.

II. Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå ôóíêöèè îäíîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé 1. Ïîíÿòèå ôóíêöèè, äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå, åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè. Îáùåå ïðåäñòàâëåíèå î ìåòîäàõ ëèíåàðèçàöèè. 2. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè, åå ñìûñë â ðàçëè÷íûõ çàäà÷àõ. Ïðàâèëà íàõîæäåíèÿ ïðîèçâîäíîé è äèôôåðåíöèàëà. 3. Ïðîèçâîäíàÿ ñëîæíîé è îáðàòíîé ôóíêöèè. È âàðèà òíîñòü ôîðìû äèôôåðåíöèàëà. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ôó êöèé, çàäàííûõ ïàðàìåòðè÷åñêè. 4. Òî÷êè ýêñòðåìóìà ôóíêöèè. Òåîðåìà Ôåð à. 5. Òåîðåìû Ðîëëÿ, Ëàãðàíæà, Êîøè. Èõ ïðè åíå èå. 6. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ. 7. Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ. 8. Ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíî â ôîð å Ëàãðàíæà. Ïðåäñòàâëåíèå e x, sin x, cos x, ln (1 + x), ln (1 + x) α ôó êöèé ïî ôîðìóëå Òåéëîðà. Ïðèìåíåíèå ôîðìóëû Òåéëîðà â âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå. Ïðèìåíåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ äëÿ èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèé è ïîñòðîåíèÿ èõ ãðàôèêîâ 1. Óñëîâèÿ ìîíîòîííîñòè ôóíêöèé. Ýêñòðå ó û ôó êöèè, íåîáõîäèìîå óñëîâèå. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ. Îòûñêàíèå àèáîëü—4—

øåãî è àè å üøåãî ç à÷å èé ôó êöèè, äèôôåðå öèðóå îé à îòðåçêå. 2. Èññëåäîâàíèå âûïóêëîñòè ôóíêöèè. Òî÷êè ïåðåãèáà. 3. Àñèìïòîòû ôóíêöèè. Ïîíÿòèå îá àñèìïòîòè÷åñêî ðàçëîæåíèè. 4. Îáùàÿ ñõåìà èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè è ïîñòðîå èå åå ãðàôèêà. 5. Ïîíÿòèå êðèâîé. Ïðèìåðû. Óðàâíåíèå êàñàòåëü îé ê êðèâîé â äàííîé òî÷êå.

ÎÁÙÈÅ ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÊÀÇÀÍÈß Â ñîîòâåòñòâèè ñ ó÷åáíûì ïëàíîì ñòóäåíòû-çàî÷ èêè ñïåöèàëüíîñòè «Òåëåêîììóíèêàöèè» âûïîëíÿþò ïî êóðñó àòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà 4 êîíòðîëüíûå ðàáîòû. Íà âíåøíåé îáëîæêå òåòðàäè ñëåäóåò óêàçàòü ôà èëèþ è è èöèàëû ñòóäåíòà, ïîëíûé ó÷åáíûé øèôð è äàòó îòïðàâêè ðàáîòû. Ñòóäåíò âûïîëíÿåò âàðèàíò, óêàçàííûé ïðåïîäàâàòåëå . Ðåøåíèÿ âñåõ çàäà÷ è ïîÿñíåíèÿ ê íèì äîëæíû áûòü äîñòàòî÷íî ïîäðîáíûìè. Âñå âû÷èñëåíèÿ íåîáõîäè î äåëàòü ïîëíîñòüþ. Äëÿ çàìå÷àíèé ïðåïîäàâàòåëÿ íóæíî íà êàæäîé ñòðàíèöå îñòàâëÿòü ïîëÿ. Ïåðåä âûïîëíåíèåì êàæäîé êîíòðîëüíîé ðàáîòû ñòóäå ò äîëæåí èçó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçäåëû ðåêî åíäóå îé ëèòåðàòóðû; îí òàêæå ìîæåò âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåøåíèÿ è òèïîâûõ ïðèìåðîâ, ñîäåðæàùèõñÿ â íàñòîÿùåé ðàáîòå. Ñïèñîê ðåêîìåíäóåìîé ëèòåðàòóðû 1. Ïèñêóíîâ Í.Ñ. Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëü îå èñ÷èñëåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1973. Ò. I, II. 2. Äàíêî Ï.Å., Ïîïîâ À.Ã. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà â óïðàæ åíèÿõ è çàäà÷àõ. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1974. ×. I, II. 3. Ùèïà÷åâ Â.Ñ. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1985.

—5—

ÓÊÀÇÀÍÈß Ê ÂÛÏÎËÍÅÍÈÞ ÊÎÍÒÐÎËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ ¹ 1 ÒÅÌÀ I. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ. ÔÓÍÊÖÈÈ ÎÄÍÎÉ ÍÅÇÀÂÈÑÈÌÎÉ ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÉ Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1], ãë. I, § 1—3, 6, 8; ãë. II, § 1, 2, 4—6, 9; [2]. Ïðè èçó÷åíèè ýòîé òåìû îáðàòèòå âíèìàíèå íà ïî ÿòèå ôóíêöèè, ñïîñîáû çàäàíèÿ ôóíêöèè, îñíîâíûå ýëå å òàð ûå ôóíêöèè. Öåíòðàëüíûìè ïîíÿòèÿìè â ýòîé òåìå ÿâëÿþòñÿ ïî ÿòèÿ ïðåäåëà ïåðåìåííîé âåëè÷èíû, ïðåäåëà ôóíêöèè è ïî ÿòèå íåïðåðûâíîé ôóíêöèè. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà âû÷èñëå èå ïðåäåëîâ ôóíêöèè îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî â îïðåäåëå èè ïðåäåëà ôóíêöèè íå ó÷èòûâàåòñÿ çíà÷åíèå ôóíêöèè â ïðåäåëüíîé òî÷êå, äðóãèìè ñëîâàìè, âåëè÷èíà lim f (x) íå çàâèñèò x→a îò âåëè÷èíû f (a). Çíà÷åíèå f (à) ìîæåò è íå ñóùåñòâîâàòü. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïîä çíàêîì ïðåäåëà ìîæíî ïðîèçâîäèòü òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèÿ, íå ïðèíè àÿ âî â èìàíèå åãî ïîâåäåíèå â ïðåäåëüíîé òî÷êå.  ÷àñòíîñòè, ïîä ç àîæèêîì ïðåäåëà ìîæíî ïðîèçâîäèòü ñîêðàùåíèå äðîáè íà òåëü, îáðàùàþùèéñÿ â íóëü â ïðåäåëüíîé òî÷êå (íî å ðàâ ûé íóëþ âáëèçè ýòîé òî÷êè). Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1. ×òî òàêîå ïåðåìåííàÿ âåëè÷èíà? 2. Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèå ôóíêöèè. ×òî íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè? 3. Êàêèå ñïîñîáû çàäàíèÿ ôóíêöèè Âû çíàåòå? 4. Êàêèå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíû è? 5. Ñôîðìóëèðóéòå ïîíÿòèå ïðåäåëà ïåðåìåííîé âåëè÷è û. 6. Äàéòå îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè. 7. Êàêàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé? 8.  êàêîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷ î àëîé? 9. Ñôîðìóëèðóéòå îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 10. Äàéòå îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå. 11. Óêàæèòå îñíîâíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôó êöèé. 12. Òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè, èõ êëàññèôèêàöèÿ. —6—

13. Êî ïëåêñ ûå ÷èñëà, èõ ãåî åòðè÷åñêîå èçîáðàæå èå, ðàâå ñòâî êî ïëåêñ ûõ ÷èñåë, ñîïðÿæå ûå ÷èñëà. 14. Îñíîâíûå äåéñòâèÿ íàä êî ïëåêñíû è ÷èñëà è â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå. 15. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. 16. Óìíîæåíèå è äåëåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë â òðèãî îìåòðè÷åñêîé ôîðìå. 17. Ñòåïåíü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ñ íàòóðàëüíû ïîêàçàòåëåì, ôîðìóëà Ìóàâðà. 18. Èçâëå÷åíèå êîðíÿ èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.

Òåìà II. Ïðîèçâîäíàÿ è äèôôåðåíöèàë Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1], ãë. III, § 1—17, 20—21; [2], ÷. I, ãë. 6, § 1. Ïðè èçó÷åíèè ýòîé òåìû îáðàòèòå âíèìàíèå íà îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé, åå ãåîìåòðè÷åñêîå è ìåõàíè÷åñêîå èñòîëêîâàíèå. Îñîáóþ ðîëü ïðè ðåøåíèè çàäà÷ èãðàåò ïðàâèëî âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ñëîæíîé ôóíêöèè. Ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè íåêîòîðûõ ôóíêöèé åðåäêî çíà÷èòåëüíî óïðîùàåò âû÷èñëåíèå ïðèåì, ñîñòîÿùèé â òî , ÷òî ïåðåä âû÷èñëåíèåì ïðîèçâîäíîé ôóíêöèþ ïðåäâàðèòåëüíî ëîãàðèôìèðóþò (ñì.: [1], § 12). Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1. Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé. 2. Êàêîâ ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé? 3. ×òî íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ê êðèâîé? Íàïèøèòå óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x). 4. Êàêîâ ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë ïåðâîé è âòîðîé ïðîèçâîä îé? 5. Ñôîðìóëèðóéòå ïðàâèëî âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîä îé ñëîæíîé ôóíêöèè. 6. ×òî íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèè? 7. ×åì îòëè÷àåòñÿ äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè îò åå ïðèðàùåíèÿ?

—7—

Òåìà III. Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1], ãë. V, 1—5, 9—11; [2], ÷. I, ãë. 6, § 2. Èçó÷åíèå ýòîé òåìû ñëåäóåò íà÷àòü ñ óñâîåíèÿ ïî ÿòèé âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ ôóíêöèè, ìàêñèìóìà è èíè ó à ôó êöèè, âûïóêëîñòè è âîãíóòîñòè êðèâîé. Îáðàòèòå âíè à èå à ñëåäóþùèå îáñòîÿòåëüñòâà: 1) ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà îòðåçêå, ìîæåò äîñòèãàòü ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà òîëüêî ïðè çíà÷åíèÿõ , çàêëþ÷å ûõ âíóòðè ðàññìàòðèâàåìîãî îòðåçêà; 2) íå ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî ìàêñèìóì è ìèíè ó ôó êöèè ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî åå íàèáîëüøèì è íàè åíüøè ç à÷åíèÿìè íà ðàññìàòðèâàåìîì îòðåçêå (íàïðèìåð, â òî÷êå àêñèìóìà ôóíêöèÿ èìååò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ëèøü ïî ñðàâ åíèþ ñ òåìè çíà÷åíèÿìè, êîòîðûå îíà èìååò âî âñåõ òî÷êàõ, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê òî÷êå ìàêñèìóìà). Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî ïðèâåäåííûé â ôîðìóëèðîâêå çàäà÷ ¹ 4.1—4.4 ïîðÿäîê èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèé ìîæåò áûòü íàðóøåí: òàê, ç àíèå îäíèõ ñâîéñòâ ôóíêöèè ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î äðóãèõ åå ñâîéñòâàõ. Íàïðèìåð, åñëè ïðè èññëåäîâàíèè òî÷åê ðàçðûâà ôóíêöèè âûÿñíåíî, ÷òî îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû ôó êöèè â íåêîòîðîé òî÷êå áåñêîíå÷íû, òî ýòî îçíà÷àåò íàëè÷èå â ýòîé òî÷êå âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòû ãðàôèêà. Èíîãäà öåëåñîîáðàçíî íàìå÷àòü ýëåìåíòû ãðàôèêà ïàðàëëåëüíî ñ èññëåäîâàíèåì ôóíêöèè. Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè 1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ òåîðåìà Ëàãðàíæà? 2. Êàêîâû ïðèçíàêè âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ ôó êöèè? 3. Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ y = cos (x) – õ óáûâàåò â ëþáî ïðîìåæóòêå. 4. Ñôîðìóëèðóéòå ïðàâèëà íàõîæäåíèÿ ýêñòðå ó îâ ôóíêöèè. 5. Ïðèâåäèòå ïðèìåð, ïîêàçûâàþùèé, ÷òî îáðàùå èå â íóëü ïðîèçâîäíîé íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íû óñëîâèå ýêñòðåìóìà ôóíêöèè. 6. Êàê íàéòè èíòåðâàëû âûïóêëîñòè, âîãíóòîñòè, òî÷êè ïåðåãèáà êðèâîé? —8—

1 7. Ïîêàæèòå, ÷òî ãðàôèê ôó êöèè Ó= x4+3x2+àx+b å 4 èìååò òî÷åê ïåðåãèáà, êàêîâû áû íè áûëè çíà÷å èÿ à è b. 8. Äàéòå îïðåäåëåíèå àñèìïòîòû êðèâîé. Êàê íàéòè âåðòèêàëüíûå è íàêëîííûå àñèìïòîòû ãðàôèêà ôóíêöèè?

Òåìà IV. Ïðèìåíåíèå ïðàâèë îòûñêàíèÿ íàèáîëüøèõ è íàèìåíüøèõ çíà÷åíèé ê ðåøåíèþ çàäà÷ Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1], ãë. V, § 6, 7; [2], ÷. I, ãë. 6, § 2. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ýòîé òåìû ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèÿ äîñòèãàåò ëèáî íà êîíöàõ çàäàííîãî îòðåçêà, ëèáî â òåõ åãî âíóòðå èõ òî÷êàõ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè ïåðâîãî ðîäà ýòîé ôóíêöèè (òî÷êàìè, ïîäîçðèòåëüíûìè íà ýêñòðå ó ).

ÊÎÍÒÐÎËÜÍÀß ÐÀÁÎÒÀ ¹ 1 Çàäàíèå 1. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíû è ÷èñëà è: z 5 1) z1 + z2; 6) z2 . 2) z1 z2; 3) z1 ⋅ z2; 4) 1 ; 5) 5 z1 ; z2 1.1. z1 = 1 + i;

z2 = 3 + i.

1.2. z1 = 1

z2 = − 3 − i.

i;

z2 = −

1.3. z1 = 1 + i;

1 3 + i. 2 2

1.5. z1 = 1 +

3 ⋅i;

1 3 i z2 = − 2 2 z2 = 2 2 i

1.6. z1 = 1

3 ⋅i;

z2 = 2 + 2 i

1.4. z1 = 1 i;

1.7. z1 = 1 +

3 ⋅i;

z2 = 2 2 i

1.8. z1 = 1

3 ⋅i;

z2 = 2 + 2 i

—9—

1.9. z1 =

3 +i;

1.10. z1 =

3 −i;

1 3 i − 2 2 1 3 i z2 = + 2 2

z2 = −

1.11. z1 = 3 + 3 i ;

z2 = 2 + 2 3 ⋅ i

1.12. z1 = 3 3 i ;

z2 = 2 2 3 ⋅ i

1.13. z1 =

3 1 − i; 2 2

1.14. z1 = −

3 1 + i; 2 2

z2 = 1 + 3 ⋅ i z 2 = 2 3 + 2i

1.15. z1 = 1 + i;

z2 = 2 3 + 2i

1.16. z1 = 2 2 3 ⋅ i

1 3 i; z2= + 2 2

1.17. z1 = 2 + 2 i ;

z2=-2+2 3 ⋅ i ;

1.18. z1 = - 3 + i ;

z2 = 1;

1.19. z1 = -i;

1 3 i; z2= + 2 2

Çàäàíèå 2. Íàéòè ïðåäåëû ôóíêöèé, íå ïîëüçóÿñü ïðàâèëîì Ëîïèòàëÿ:

x2 − 1 ; x→1 x2 − 6 x + 5 1 + x + x2 − 1 ; â) lim x→∞ x 3x 3  ä) lim1 +  . x→∞  2 x 3x2 − 5 x − 2 2.2. à) lim 2 ; x→2 2 x − x − 6 2.1. à) lim

— 10 —

x3 + 2 x − 5 ; x→∞ x2 + 5 x3 + 1 sin 6 x ; ã) lim x→0 sin 2 x á) lim

x2 + 6 x3 + 1 ; x→∞ 2 x + 7 x3

á) lim

â) lim x→0

1+ x − 1+ x ; 1+ x −1

ã) lim x→0

arctg2 x ; 4x

 2x − 3  ä) lim . x→∞ 2 x + 5  

x3 + 27 ; x→−3 x2 + 4 x + 3

á) lim

5x ; x→0 1 − 1 + x

ã) lim

2.3. à) lim

x→∞

â) lim

x→0

2x

 x+ 2 ä) lim   . x→∞  x+1  x3 − 27 ; x→3 x − 7 x + 12 4− x− 4+ x â) lim ; x→ 0 x ä) lim ( 2 x + 1)[ln( x + 2) − ln x] .

2.4. à) lim

2

2 x2 − 3 x + 1 ; 3 x2 + x + 4 tg 2 2 x ; x sin 2 3

5 x2 − 2 x + 1 ; x→ ∞ 2 x2 + x − 3 1− cos x ; ã) lim x→0 xtgx á) lim

x→∞

x2 + 2 x − 15 ; x→3 x2 − 7 x + 12 x−1 ; â) lim x→1 x+ 3 − 2 2 x−3  4x + 3  ä) lim  . x→ ∞ 4 x − 1   x2 − 16 2.6. à) lim 2 ; x→ 4 x − 9 x + 20 x+ 4 − 3 ; â) lim x→5 x−1 − 2 2 x+1  5x − 1  ä) lim  . x→ ∞ 5 x + 4  

10 x3 + x − 1 ; x→ ∞ 3 x + 4 x − 2 arcsin2 x ; ã) lim x→0 4x

2.5. à) lim

á) lim

x2 + 5 x3 − 1 ; x→ ∞ 6 x3 + 3 x + 2 tg 2 x ã) lim ; x→0 x sin 2 x

á) lim

— 11 —

2.7. à) lim x→ 2

x2 − 5 x + 6 ; x2 − 4

8 x + 5 x2 + 2 ; x→ ∞ 3 x2 + 7 x2 + 9 ; ã) lim x→∞ 3 x − 1

á) lim

3x ; arcsin6 x 1+ x  x+ 4 ä) lim .  x→∞ x + 1   â) lim x→0

2.8. à) lim x→ 2

â) lim

x2 + 2 x − 8 ; 8 − x3 x2 + 1 − 1 x +4−2

x→0

á) lim

x2 + 6 x + 1 ; 8 x + 3 x2 + 2

ã) lim

tg 2 x ; 5x 2

x→∞

;

x→0

3x

 2x  ä) lim  . x→∞ 2 x − 3   x3 − 1 ; 2.9. à) lim 2 x→1 x − 8 x + 7 sin 2 2 x â) lim ; x→0 x2 2 x−3  4x + 5  ä) lim  . x→∞ 4 x + 1   x2 − 4 ; 2.10. à) lim 2 x→2 x − 5 x + 6

7 x3 − 2 x + 1 ; x→∞ 6 x2 + x3 − 2 4x + 9 − 5 ã) lim ; x→ 4 x− 4

á) lim

á) lim x→∞

x− 3 ; 3x + 7 − 4

â) lim x→3

x3 + 8 x2 − 1 ; 2 − x3

tg7x ã) lim ; x→0 sin 8x

ä) lim x[ln( x − 1) − ln(x + 3)] . x→∞ x2 − 2 x + 1 ; 4 x2 + x − 5 x + 1 − 4x + 1 â) lim ; x→0 x

2.11. à) lim x→1

3− x

 2x + 5   .  2x − 1 

ä) lim  x→∞

— 12 —

1 + 2 x3 ; 7 − x + 4 x3 x2 ã) lim ; x→0 1 − cos x

á) lim x→∞





x2 + 3 x + 2 2.12. à) lim 2 ; x→2 3 x − 2 x − 16 â) lim x→0

1 − cos 6 x ; 1 − cos 2 x 2x

3x2 − 5 x + 4 ; x→∞ x3 − x + 1 x2 + 3 − 2 ã) lim ; x→1 x +8 −3

á) lim

 4x + 1 ä) lim  . x→∞  4x 

2.13. à) lim x→ 2

2 x2 + x − 1 ; x2 − 3 x − 4

á) lim x→∞

20 x ; 20 + x − 20 − x 3x  x+ 7 ä) lim .  x→∞  x  x2 − 3 x + 2 2.14. à) lim ; x→1 4 − x − 3 x2 6x ; â) lim x→ 0 11 + x − 11 − x â) lim x→ 0

ã) lim x→ 0

7 x3 + 2 x2 − 4 ; 6 x3 − 3 x2 + 1

arctg 2 x ; 4x

2 x 5 + x 2 − 8õ ; x→∞ x4 − 8 sin4 x ã) lim ; x→ 0 tg8x á) lim

2

 5 + x x ä) lim  . x→∞  5  x 3 − 27 2.15. à) lim 2 ; x→3 x − 7x + 12 â) lim x→ 0

á) lim

x 2 − 7x − 1 ; 2 + 3x 3

ã) lim

ñtg3x ; sin9 x

x→∞

2x ; 2+x − 2−x

x→ 0

ä) lim 2 x[ln( x + 3) − ln( x − 1)] . x→ ∞

2.16. à) lim

x 2 − 5x + 6 ; x 2 − 3õ + 2

â) lim

5x ; arcsin 2 x

x→ 2

x→ 0

7 + 2x2 + 4õ ; x→∞ x 2 − 3õ + 7 x +1 ã) lim ; x→ ∞ 2x + 5 á) lim

— 13 —

1+ 3 x

 x + 5  .  x −1  6 + 2õ − x2 2.17. à) lim ; x→2 8 − x3 x2 + 9 − 3 lim ; â) x→0 x2 + 1 −1 4x  3x  lim ä) x→∞   .  3x − 1  x3 − 1 2.18. à) lim 2 ; x→1 x + 6 x − 7 sin 2 3x lim ; â) x→0 x 2 cos 5 x ä) lim  x →∞

á) lim

7x2 − 4x + 1 ; x + 3x 2 − 1

ã) lim

tg 2 2 x ; 5x 2 cos x

x→∞

x→0

x3 − 2x + 1 ; x→∞ x 2 + 5 x 3 − 2 2x − 8 ã) lim ; x→4 4x − 9 − 5

á) lim

7 x −8

 2x + 5  ä) lim   . x→∞  2x − 1    x 3 − 27 2.19. à) lim 2 ; x→ 2 x − 5 x + 6 â) lim x→3

3x − 9 ; 3x + 7 − 4

5x3 + x 2 − 9 ; x→∞ 2 − 5x3

á) lim ã) lim x→0

tg2x ; 5 sin 4x cos 3x

ä) lim 7 x[ln(2 x − 1) − ln(2 x + 3)] . x→∞

x2 − 2x + 1 ; x→1 x3 − 1 4x + 3 − 7x + 3 ; â) lim x→0 x 8−3 x 2x + 5   ä) lim  . x →∞  2x − 7 

2.20. à) lim

— 14 —

6 − 5x3 ; x→∞ 7 + x + 10 x 3 2x2 ã) lim ; x→0 4 − 4 cos x

á) lim

Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ

x2 − 6 x + 5 2 2 − 6 ⋅ 2 + 5 3 1 = =− =− . 2 x→2 2 x2 + x − 1 2 ⋅ 2 + 2 −1 9 3 2 x2 − 3 x − 9 2 ⋅ 32 − 3 ⋅ 3 − 9 0 = =" ". Ïðèìåð 2. lim x→3 x2 − x − 6 32 − 3 − 6 0 Ïðèìåð 1. lim

Ðåøåíèå. Ïðè ïîäñòàíîâêå âìåñòî ïåðåìåííîé x åå ïðå0 0

äåëüíîãî çíà÷åíèÿ 3 ïîëó÷àåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòü âèäà " " . Äëÿ èçáàâëåíèÿ îò ýòîãî òèïà íåîïðåäåëåííîñòè â íàøå ñëó÷àå ïðåäñòàâèì êâàäðàòíûå òðåõ÷ëåíû ÷èñëèòåëÿ è çíà å àòåëÿ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé, âîñïîëüçîâàâøèñü èçâåñòíîé ôîðìóëîé ax2 + bx + c = a (x – x1)(x – x2), ãäå x1 è x2 — êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà ax2 + bx + c. Ó íàñ 2x 2 – 3x – 9 = 2(x – 3)(x +

3 ), 2

òàê êàê äèñêðèìèíàíò êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà D = 9 – 4 ⋅ 2 ( 9) = 81,

3 2

à ñëåäîâàòåëüíî, x1 = 3, x2 = − . Àíàëîãè÷íî x2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2). Òåïåðü óñëîâèå ïðèìåðà ìîæíî ïåðåïèñàòü â äðóãî è ïðîäîëæèòü ðåøåíèå:

âèäå

3 2( x − 3)( x + ) 2 x2 − 3x − 9 2 = lim 2 x + 3 = 2 ⋅ 3 + 3 = 9 . = lim lim 2 x→3 ( x − 3)( x + 2) x→3 x + 2 x→3 x − x − 6 3+ 2 5

2 x2 + x − 4 ∞ =" ". Ïðèìåð 3. lim 3x2 − 2 x + 5 ∞ x→∞ ∞ ∞

Ðåøåíèå. Çäåñü ñòàëêèâàåìñÿ ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ " ", èçáàâèòüñÿ îò êîòîðîé ìîæíî âûíåñåíèåì çà ñêîáêè â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå äðîáè ñòàðøåé ñòåïåíè ïåðå åí îé: — 15 —

 2 x 2 + 1 +  x 2 x2 + x + 4  lim 3x2 − 2 x + 5 = lim x→∞ 2 x→∞ x 3 − 2 +  x  x sin 2x . Ïðèìåð 4. lim x→ ∞ tg 2 4 x

 4  2 x  2 = . 5  3 2 x 

Ðåøåíèå.  äàííîì ñëó÷àå äëÿ îñâîáîæäåíèÿ îò åîïðåäåëåííîñòè áóäåì èñïîëüçîâàòü ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë è tgÆ sin Æ = 1 èëè lim0 = 1. îäíî èç åãî î÷åâèäíûõ ñëåäñòâèé: lim α →0 α→ Æ Æ Ðåøåíèå ïðèìåðà áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùè îáðàçî :

1 4x sin 2 x 4 x 1 1 x sin 2 x x sin 2x = lim = lim = . 2 → → x 0 x 0 tg4 x ⋅ tg4 x 4 tg4 x 2x tg 4x 2 8 tg 4x

x2 + 5 − 3 . x→2 x− 2 Ðåøåíèå. Êîãäà x → 2 ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü è åþò ñâîè Ïðèìåð 5. lim

ïðåäåëîì íóëü, à ïîòîìó îíè ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íî àëû è âåëè÷èíàìè ïðè x → 2 . Äëÿ òîãî ÷òîáû ðåøèòü âîïðîñ î ïðåäåëå èõ îò îøå èÿ, óìíîæèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè íà âûðàæå èå, ñîïðÿæåííîå ÷èñëèòåëþ, òî åñòü íà lim x→ 2

= lim x→ 2

x2 + 5 − 3 . Áóäå è åòü

x2 + 5 − 3 x2 + 5 − 9 ( x2 + 5 − 3)( x2 + 5 + 3) = = lim = lim x→ 2 x→ 2 x− 2 ( x − 2)( x2 + 5 + 3) ( x − 2)( x2 + 5 + 3) x2 − 4 ( x − 2)( x + 5 + 3) 2

=

lim( x + 2) x→ 2

lim( x + 5 + 3) 2

x→ 2

=

4 2 +5 +3 2

=

= lim

=

x→ 2

( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 5 + 3) 2

lim x + lim 2 x→ 2

x→ 2

lim x + 5 + lim 3 2

x→ 2

x→ 2

4 4 2 = = . 9 +3 6 3

— 16 —

=

= lim x→ 2

x+ 2 x +5 +3 2

2+2 lim x + lim 5 + 3 2

x→ 2

x→ 2

=

=

Çàäàíèå 3. Íàéòè ïðîèçâîä ûå

(

)

4

3.1. à) y = 3x − 43 x + 2 ; â) y = cos3x ⋅ e sin x ;

(

dy äà dx

ûõ ôó êöèé.

4 x + 7tgx ; 1 + 9x 2 ã) y = ln arctg2x. arcsin3 x ; á) y = 1 − 8 x2 ã) y = cos ln5x. á) y =

)

2

3.2. à) y= 3 x3 − 23 x2 − 1 ; â) y = 2 3x tg2 x ; 4

1   3.3. à) y =  x2 − 3 + 5 x  ; x   tgx â) y = e ln 2 x ; 3

3   + 4 ; 3.4. à) y =  4 x2 − x   â) y = 2 8 x tg3x ;

(

)

5

3.5. à) y = x5 − 3 x + 1 ; â) y = e ctgx ⋅ sin 4 x ; 2  2 2  x − + 5 ; 3.6. à) y =  6 x4   â) y = 3tgx arcsin x 2 ;

(

)

3

3.7. à) y = x3 − 44 x3 + 2 ; â) y = e ctgx ⋅ cos 6 x ;

(

)

4

3.8. à) y = x2 − 25 x + 4 ; â) y = 4 cos x arctg2 x ;

— 17 —

á) y =

arcsin7 x ; x4 + e x

ã) y = cos x2 + 3 . sin 2 x ; cos 5 x ã) y = arcsin ln4x. 1 − 4x 2 ; á) y = x 2 + tgx ã) y = sin ln7x. cos 3 x ; á) y = 3 x2 + 4 ã) y = ln sin(3x + 5). arctg7x ; á) y = 2 − 9x 2 2 ã) y = sin ln( x + 1 ). x3 + e x á) y = ; 4 − 9 x5 ã) y = ln cos(2x + 5). á) y =

5

5   3.9. à) y =  3x5 − 3 − 2  ; x   â) y = e x ⋅ tg7x ;

cos 6 x ; sin 3x ã) y = arcsin ln(4x 1). 3 − 5x 3 á) y = x ; e + ctgx

á) y =

3

(

)

2

3.10. à) y = x4 − 23 x + 1 ; â) y = 2sin x ⋅ arcsin2 x; 3 1   3.11. à) y =  3x5 − 4 + 7  ; x   â) y = e arcsin x ⋅ ctg3x ;

(

)

4

3.12. à) y = 2 x4 − 33 x − 1 ; â) y = 5 arctgx ⋅ sin 4 x ;

(

)

3

3.13. à) y = 4 x5 − 35 x2 − 7 ; â) y = e sin x ⋅ arctg7x ; 4

5   3.14. à) y =  3x2 − 3 + 1 ; x   â) y = 2 arctgx ⋅ arcsin 3x ;

(

)

5

4 4 3.15. à) y = 2 x − 5 x + 7 ;

â) y = e tgx ⋅ arccos 3x ;

(

)

4

3 3.16. à) y = 7 x − 43 x + 1 ;

â) y = 3cos x arcctg5x ;

 

3.17. à) y =  9 x 4 −

(

4 x2 − 1 .

x 4 + tgx ; 4x 2 + 7 ã) y = arctg ln8x.

á) y =

2 − x2 ; cos 2 x ã) y = ln arcsin3x. cos x − 4 x3 ; á) y = 8 + 7 x5 ã) y = sin ln (7 x2 − 5). á) y =

4 x5 − 2 ; sin 7 x ã) y = ln cos (3x3 − 5) . 3arñctg5x á) y = ; 4 + 9x 2 3 ã) y = cos ln( x − 2 ).

á) y =

á) y =

2x5 + a x ; 1 − 3x 4

ã) y = ln sin(3x 5). 7

4  − 3 ; x5 

â) y = e x 4 ⋅ arctg5x ;

ã) y = arctg

)

4

2 3.18. à) y = x − 4 4 x + 5 ; cos x â) y = 3 ⋅ arccos 5 x ;

— 18 —

á) y =

ln 6 x ; cos 5 x

ã) y = arccos ln(2x 5). 1 − 5x 2 á) y = x ; e − tgx ã) y = arcctg

x3 + 1 .

4

1   3.19. à) y =  2 x 5 − 7 + 5  ; x  

á) y =

ã) y = arctg ln(8x + 3).

â) y = e tgx ⋅ arcctg2 x ;

(

x 3 + ctgx ; 3x 5 − 1

)

6

3.20. à) y = 7 x 4 − 53 x + 12 ;

á) y =

3 − x5 ; cos 4 x

â) y = 3arccos x ⋅ tg3x ; ã) y = ln arcsin(3x 8). Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ Ïðè ðåøåíèè ïîñëåäóþùèõ ïðèìåðîâ, êðî å òàáëèöû ïðîèçâîäíûõ, áóäóò èñïîëüçîâàíû èçâåñòíûå ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñóììû, ðàçíîñòè, ïðîèçâåäåíèÿ, äðîáè è òåîðåìà î ïðîèçâîäíîé ñëîæíîé ôóíêöèè: à) [ f (x) ± ϕ(x)]′ = f ′(x) ± ϕ′(x); á) [ f (x)ϕ(x)]′ = f& ′(x)ϕ(x) + f (x)ϕ′(x); ′  f (x) f ′(x )ϕ(x) − f (x)ϕ′(x)) ; â)   = x ϕ ( )   [ϕ(x)]2 ã) åñëè çàäàíà ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ y = f(u), ãäå u = ϕ(x), òî åñòü y = f [ϕ (x)]; åñëè êàæäàÿ èç ôóíêöèé y = f(u) è u = ϕ(x) äèôôåðåíöèðóåìà ïî ñâîåìó àðãóìåíòó, òî

(

)

6

dy dy du = ⋅ . dx du dx

Ïðèìåð 1. y = 2 x5 − 3 x3 + 1 = u 6 , u = 2 x5 3 x3 + 1; 3 3    dy du = 6u 5 = 6 2 x5 − 3 x2 + 1 2 x5 − 3x2 + 1 = dx dx   

(

5

)

3 5    9 9 1  = 6 2 x5 − 3x 2 + 1 10 x 4 − x 2  = 6 2 x 5 − 3 x 3 + 1 10 x 4 − x . 2 2      

Ïðèìåð 2. y =

cos7 x 1 − 3x4

;

dy (cos 7 x) ′ ⋅ 1 − 3 x4 − cos 7 x ⋅ = 2 dx 1 − 3 x4

(

— 19 —

)

( 1 − 3 x )′ = 4

− sin 7 x ⋅ ( 7 x) ′ 1 − 3 x4 − cos 7 x =

1 2 1 − 3 x4

(1 − 3 x4 ) ′

= 1 − 3 x4 cos 7 x − 7 sin 7 x 1 − 3 x4 − ⋅ (−12 x3 ) 4 − 2 1 3 x = = 1 − 3 x4 − 7 sin 7 x(1 − 3 x4 ) + 6 x3 cos 7 x = . (1 − 3x4 ) 1 − 3x4 Ïðèìåð 3. y = 3tgx sin 5x ; dy ′ 1 = (3 tg x ) sin 5 x + 3 tg x (sin 5 x ) ′ = 3 tg x ln 3 ⋅ sin . cos 2 x dx Ïðèìåð 4. y = ln arcsin6x;

dy 1 1 (arcsin 6 x)′ = 1 (6 x)′ = = dx arcsin6x arcsin6x 1 − (6 x )2 =

1 6 . arcsin6 x 1 − 36 x 2

Çàäàíèå 4. Èññëåäîâàòü ìåòîäàìè äèôôåðåíöèàëü îãî èñ÷èñëåíèÿ çàäàííûå ôóíêöèè è ïîñòðîèòü èõ ãðàôèêè. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé è ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîâîäèòü ïî ñëåäóþùåé ñõåìå: 1) íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè D(y); 2) èññëåäîâàòü ôóíêöèþ íà íåïðåðûâíîñòü; íàéòè òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè è åå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû â òî÷êàõ ðàçðûâà; 3) âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ ÷åòíîé èëè å÷åò îé; 4) íàéòè òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñÿ è êîîðäè àò (íóëè ôóíêöèè); 5) íàéòè òî÷êè ýêñòðåìóìà ôóíêöèè è îïðåäåëèòü è òåðâàëû åå ìîíîòîííîñòè; 6) íàéòè òî÷êè ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè è îïðåäåëèòü èíòåðâàëû âûïóêëîñòè è âîãíóòîñòè ãðàôèêà; 7) íàéòè àñèìïòîòû ãðàôèêà; 8) ïîñòðîèòü ãðàôèê, èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùèõ èññëåäîâàíèé; — 20 —

9) äëÿ ôó êöèè èç ïó êòà (à) àéòè äîïîë èòåëü î àèáîëüøåå è àè å üøåå ç à÷å èå à îòðåçêå [α; β].

4.1. à) y = 2 x3 − 9 x2 + 12 x − 5 x2 + 1 á) y = x 4.2. à) y = x3 − 6 x2 + 9 x + 1 x2 á) y= x−1 4.3. à) y = x3 − 3 x2 − 9 x + 10 x2 − 3 á) y = x+ 2 4.4. à) y = x3 + 3x2 − 9 x − 10 x2 − 8 á) y = x− 3 3 2 4.5. à) y = x + 6 x + 9 x + 2 2 x +9 á) y = x+ 4 4.6. à) y = 2 x3 − 3 x2 − 12 x + 5 x2 + 4 á) y = x 4.7. à) y = 2 x3 + 3x2 − 12 x − 8 x2 + 3 á) y = x−1 4.8. à) y = 2 x3 + 9 x2 + 12 x + 7 x2 + 5 á) y = x+ 2 4.9. à) y = 2 x3 − 15 x2 + 36 x − 32 x2 −5 á) y = x− 3

— 21 —

Æ = −1 ;

=3

Æ = −1 ;

=2

Æ =2; β= 4

Æ = −1 ; β = 2

α = 0; β = 4

Æ = −2 ; β = 3

Æ = −3 ; β = 0

Æ = −3 ; β = 1

Æ =1; β = 4

4.10. à) y = 2 x 3 − 3 x 2 − 36 x + 20 x2 − 15 á) y = x+ 4 4.11. à) y = 2 x3 + 3 x2 − 36 x − 21 x2 + 9 á) y = x 3 4.12. à) y = 2 x + 15 x2 + 36 x + 32 x2 + 8 á) y = x+1 4.13. à) y = 2 x 3 − 15 x 2 + 24 x + 4 x 2 + 21 á) y = x−2 4.14. à) y = 2 x 3 − 9 x 2 − 24 x + 61 x 2 + 16 á) y = x+3 3 4.15. à) y = x − 8,5 x 2 + 20 x − 12,5

4x x + 16 1 3 2 4.16. à) y = ( x − 16 x + 9 x − 54) 3 2x á) y = 2 x +1 1 3 2 4.17. à) y = x − x − 3 x 3 3õ á) y = 1 + x2 á) y =

4.18. à) y = á) y =

Æ = −4 ; β = 1

Æ = −4 ;

=0

α =1; β = 5

α = −2 ; β = 3

α = 0; β = 3

2

α = −1 ; β = 4

α = −2 ; β = 2

õ (õ − 4 )3 9

α = −3 ; β = 5

õ3 3

Æ = −1 ; β = 2

x 2 −1 x2 + 1

4.19. à) y = 2 x 2 − á) y =

Æ = −1 ; β = 4

x3 − 8 2x 2

— 22 —

1 3 ( x − 8 x 2 + 5 x + 14) 3 6 á) y = 2 x +3

4.20. à) y =

α = −2 ; β = 3

Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ 1 Ïðèìåð 1. y = ( x3 + 9 x2 + 15 x − 9) . 4 Ðåøåíèå. 1) Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ äàííîé ôó êöèè ÿâëÿþòñÿ âñå äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà x, òî åñòü D(y): x ∈ (−∞, ∞), à ýòî çíà÷èò, ÷òî ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé è åå ãðàôèê íå èìååò âåðòèêàëüíûõ àñè ïòîò. 2) Èññëåäóåì ôóíêöèþ íà ýêñòðåìóì è èíòåðâàëû îíîòîííîñòè. Ñ ýòîé öåëüþ íàéäåì åå ïðîèçâîäíóþ è ïðèðàâíÿåì ê íóëþ:

1 y′ = (3x2 + 18 x + 15); x2 + 6 x + 5 = 0 . 4

Ðåøàÿ ïîëó÷åííîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, äåëàå âûâîä, ÷òî ôóíêöèÿ èìååò äâå êðèòè÷åñêèå òî÷êè 1-ãî ðîäà: x1 = 5, x2 = –1. Ðàçáèâàåì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòèìè òî÷êà è à ÷àñòè è ïî èçìåíåíèþ çíàêà ïðîèçâîäíîé â íèõ âûÿâëÿå ïðî åæóòêè ìîíîòîííîñòè è íàëè÷èå ýêñòðåìóìà:

x f ′(x) f(x)

( − ∞, − 5) +

5

( 5, 1)

1

( 1, +∞ )

0

0

+

max

min

1 y max = y( −5) = [( −5) 3 + 9( −5) 2 + 15( −5) − 9] = 4; 4 1 y min = y( −1) = [( −1) 3 + 9( −1) 2 + 15( −1) − 9] = −4. 4 3) Îïðåäåëèì òî÷êè ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè è è òåðâàëû åãî âûïóêëîñòè è âîãíóòîñòè. Äëÿ ýòîãî íàéäå âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ çàäàííîé ôóíêöèè è ïðèðàâíÿåì åå ê óëþ:

1 y′′ = (6 x + 18); 4

x + 3 = 0, x = 3.

— 23 —

Èòàê, ôó êöèÿ è ååò îä ó êðèòè÷åñêóþ òî÷êó 2-ãî ðîäà: x = –3. Ðàçîáüå îáëàñòü îïðåäåëå èÿ ïîëó÷å îé òî÷êîé à ÷àñòè, â êàæäîé èç êîòîðûõ óñòàíîâè çíàê âòîðîé ïðîèçâîä îé:

x f ′′(x)

( −∞, − 3 )

f(x)

∩

3

( −3, + ∞ )

0 òî÷êà ïåðåãèáà

+ ∪

Çíà÷åíèå x = –3 ÿâëÿåòñÿ àáñöèññîé òî÷êè ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè, à îðäèíàòà ýòîé òî÷êè

y( 3) =

1 [( −3) 3 + 9( −3) 2 + 15(−3) − 9] = 0. 4

4) Âûÿñíèì íàëè÷èå ó ãðàôèêà çàäàííîé ôóíêöèè àêëîííûõ àñèìïòîò. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ óðàâíå èÿ àñè ïòîòû y = kx + b âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé

k = lim x→ ∞

Èìååì

f ( x) ; b = lim( f ( x) − kx) . x→ ∞ x

1 3 ( x + 9 x2 + 15x − 9) 1 2 9 4 k = lim ( x + 9x + 15 − ) = ∞. = lim x→ ∞ x→∞ 4 x x Òàêèì îáðàçîì, ó ãðàôèêà çàäàííîé ôóíêöèè íàêëî ûõ àñèìïòîò íåò. 5) Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà â âûáðàííîé ñèñòå å êîîðäè àò èçîáðàçèì òî÷êè ìàêñèìóìà À1(–5; 4), ìèíèìóìà À2(–1; 4), ïå9 ðåãèáà À3(–3; 0) è òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ Oy À4(0; – ). 4 Ñ ó÷åòîì ðåçóëüòàòîâ ïðåäûäóùèõ èññëåäîâàíèé ïîñòðîè êðèâóþ (ñì. ðèñ. 1). 6) Íàéäåì íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ çàäà îé ôóíêöèè íà îòðåçêå [–3; 0]. Äëÿ ýòîãî ïîñ÷èòàå çíà÷å èÿ çàäàííîé ôóíêöèè íà êîíöàõ ýòîãî îòðåçêà, â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ 1-ãî ðîäà, ïîïàâøèõ íà îòðåçîê, è ñðàâíè ðåçóëüòàòû:

y( 3) = 0;

y( 1) = 4;

— 24 —

y(0)= −

9 . 4

Î÷åâèä î,

min f ( x ) = −4 ; − [

3; 0 ]

max f ( x) = 0 . [−3; 0 ]

Ðèñ. 1

x + 20 . x− 4 2

Ïðèìåð 2. y =

Ðåøåíèå. 1) Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D(y) = {x ∈ ( ∞ ; 4) ∪ (4; + ∞ )}. 2) Èññëåäîâàíèå íà íåïðåðûâíîñòü è êëàññèôèêàöèÿ òî÷åê ðàçðûâà. Çàäàííàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà âñþäó, êðî å òî÷êè x = 4. Âû÷èñëèì åå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû â ýòîé òî÷êå:

x2 + 20 = −∞ ; z→ 4− 0 z→ 4 − 0 x − 4 x2 + 20 = +∞ . lim f ( x) = lim x→ 4 + 0 x→ 4 + 0 x − 4 lim f ( x) = lim

Òàêèì îáðàçîì, òî÷êà x = 4 ÿâëÿåòñÿ äëÿ çàäàííîé ôó êöèè òî÷êîé ðàçðûâà âòîðîãî ðîäà, à ïðÿìàÿ x = 4 — âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà. 3) Èññëåäîâàíèå íà ýêñòðåìóì è ïðîìåæóòêè îíîòî îñòè.

y′ =

2 x( x − 4) − ( x2 + 20) x2 − 8 x − 20 ; = (x − 4)2 (x − 4)2

x2 − 8 x − 20 = 0; (x − 4 )2

x2 − 8 x − 20 ,

— 25 —

x1 = −2 ,

x2 = 10 .

x

( ∞, 2)

2

f ′(x )

+

0

f(x)

( 2, 4)

4

(4, 10)

10

(10, + ∞ )

0

+

íå ñóùåñòâóåò

max

min

ymax = y(− 2 ) = − 4 ;

ymin = y(10 ) = 20 .

4) Èññëåäîâàíèå ãðàôèêà íà âûïóêëîñòü, âîãíóòîñòü, òî÷êè ïåðåãèáà.

(2 x − 8)(x − 4 )2 − 2(x − 4 )(x 2 − 8 x − 20 ) = (x − 4 )4 2(x − 4)[(x − 4) − (x − 8x − 20)] 36 . = = (x − 4) (x − 4) y ′′ =

2

2

4

3

Òàê êàê y′′ ≠ 0 , òî ãðàôèê çàäàííîé ôóíêöèè òî÷åê ïåðåãèáà íå èìååò. Îñòàåòñÿ âûÿñíèòü âîïðîñ îá èíòåðâàëàõ åãî âûïóêëîñòè, âîãíóòîñòè:

x

(−∞, 4)

f ′′(x)

−

f (x)

∩

4 íå ñóùåñòâóåò

(4, +∞) + ∪

5) Èññëåäîâàíèå ãðàôèêà íà íàëè÷èå íàêëîííûõ àñè ïòîò.  20  x2 1 + 2  2 f (x) x + 20 x  = 1; k = lim = lim  = lim 2 x→∞ x x → ∞ → ∞ 4 x x − 4x 2 x 1 −  x 

 x2 + 20  4 x + 20 = 4. − x = lim b = lim( f (x) − kx) = lim x→∞ x→∞ x  x− 4  →∞ x − 4 Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìàÿ y = x + 4 — íàêëîííàÿ àñè ïòîòà ãðàôèêà.

— 26 —

6) Ïîñòðîå èå ãðàôèêà. Î÷åâèä î, ÷òî ãðàôèê çàäà îé ôó êöèè ïåðåñåêàåò îñü Oy â òî÷êå (0; –5) è íà îñíîâå îáîáùåíèÿ ðåçóëüòàòîâ âñåõ ïðåäûäóùèõ èññëåäîâàíèé èìååò âèä, ïðåäñòàâëåííûé à ðèñ. 2.

Ðèñ. 2

Çàäàíèå 5 5.1. Êàêîâû äîëæíû áûòü ðàçìåðû ïðÿìîóãîëü èêà àèáîëüøåé ïëîùàäè, âïèñàííîãî â êðóã ðàäèóñà 6 ñ ? 5.2. Ïðîâîëîêà äëèíîé 40 ñì ñîãíóòà â ïðÿ îóãîëü èê. Êàêîâû äîëæíû áûòü ðàçìåðû ýòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà, ÷òîáû ïëîùàäü åãî áûëà íàèáîëüøåé? 5.3. Íàéòè íàèáîëüøèé îáúåì öèëèíäðà, ó êîòîðîãî ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü ðàâíà 24π ì2. 5.4. Íàéòè íàèáîëüøèé îáúåì êîíóñà, îáðàçóþùàÿ êîòîðîãî ðàâíà L = 3 ì. 5.5. Îáúåì ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïðèçìû V = 16 3. Êàêîâà äîëæíà áûòü äëèíà ñòîðîíû îñíîâàíèÿ ïðèç û, ÷òîáû åå ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü áûëà íàèìåíüøåé? 5.6. Îòêðûòûé ÷àí èìååò ôîðìó öèëèíäðà îáúå î V = 27p ì3. Êàêîâû äîëæíû áûòü ðàäèóñ îñíîâàíèÿ è âûñîòà ÷àíà, ÷òîáû íà åãî èçãîòîâëåíèå óøëî íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ìàòåðèàëà? 5.7. Òðåáóåòñÿ èçãîòîâèòü êîíè÷åñêóþ âîðîíêó ñ îáðàçóþùåé, ðàâíîé 20 ñì. Êàêîâà äîëæíà áûòü âûñîòà âîðî êè, ÷òîáû åå îáúåì áûë íàèáîëüøèì? — 27 —

5.8. Íàéòè ïðÿ îóãîëü ûé òðåóãîëü èê àèáîëüøåé ïëîùàäè, åñëè ñó à äëè åãî êàòåòà è ãèïîòå óçû ïîñòîÿ à è ðàâíà 4 ñ . 5.9. ×èñëî 8 ðàçáèòü íà äâà òàêèõ ñëàãàåìûõ, ÷òîáû ñó à èõ êâàäðàòîâ áûëà íàèìåíüøåé. 5.10. Êàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, áóäó÷è ñëîæå û ñ îáðàòíûì åìó ÷èñëîì, äàåò íàèìåíüøóþ ñóììó? 5.11. Äåòàëü èç ëèñòîâîãî æåëåçà èìååò ôîð ó ðàâ îáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ñ áîêîâîé ñòîðîíîé 10 ñ . Êàêè äîëæíî áûòü îñíîâàíèå òðåóãîëüíèêà, ÷òîáû åãî ïëîùàäü áûëà àèáîëüøåé? 5.12. ×èñëî 8 ðàçáèòü íà äâà òàêèõ ñëàãàåìûõ, ÷òîáû ñó à èõ êóáîâ áûëà íàèìåíüøåé. 5.13. Òðåáóåòñÿ èçãîòîâèòü ÿùèê ñ êðûøêîé, îáúå êîòîðîãî áûë áû ðàâåí 72 ñì3, ïðè÷åì ñòîðîíû îñíîâàíèÿ îò îñèëèñü áû êàê 1 : 2. Êàêîâû äîëæíû áûòü ðàçìåðû âñåõ ñòîðî , ÷òîáû ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü áûëà íàèìåíüøåé? 5.14. Òðåáóåòñÿ èçãîòîâèòü ïîëîòíÿíûé øàòåð, è åþùèé ôîðìó ïðÿìîãî êðóãîâîãî êîíóñà çàäàííîé â åñòè îñòè 9 V = π ì3. Êàêîâû äîëæíû áûòü ðàçìåðû êîíóñà (âûñîòà è ðà2 äèóñ îñíîâàíèÿ), ÷òîáû íà øàòåð óøëî íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ïîëîòíà? 5.15. Ðåçåðâóàð, êîòîðûé äîëæåí èìåòü êâàäðàò îå ä î è áûòü îòêðûòûì ñâåðõó, íóæíî âûëóäèòü âíóòðè îëîâî . Êàêîâû äîëæíû áûòü ðàçìåðû ðåçåðâóàðà, ÷òîáû íà åãî ëóæå èå ïîøëî íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâà îëîâà, åñëè îí äîëæå â åùàòü 108 ë âîäû? 5.16. Ñå÷åíèå òîííåëÿ èìååò ôîðìó ïðÿìîóãîëüíèêà, çàâåðøåííîãî ñâåðõó ïîëóêðóãîì. Ïåðèìåòð ñå÷åíèÿ ðàâåí 18 . Ïðè êàêîì ðàäèóñå ïîëóêðóãà ïëîùàäü ñå÷åíèÿ áóäåò íàèáîëüøåé? 5.17. Òðåáóåòñÿ âûðûòü ÿìó êîíè÷åñêîé ôîð û (âîðî êó) ñ îáðàçóþùåé, ðàâíîé à ì. Ïðè êàêîé ãëóáèíå îáúå âîðî êè áóäåò íàèáîëüøèì? 5.18.  òðåóãîëüíèê ñ îñíîâàíèåì à è âûñîòîé h âïèñàòü ïðÿìîóãîëüíèê íàèáîëüøåé ïëîùàäè. 5.19. Îïðåäåëèòü ëèíåéíûå ðàçìåðû öèëèíäðà, âïèñà íîãî â øàð ñ ðàäèóñîì R, ñ óñëîâèåì, ÷òîáû îáúå öèëè äðà áûë íàèáîëüøèì. — 28 —

5.20. Ïðÿ îóãîëü óþ ïëîùàäêó çå ëè ïëîùàäüþ 512 2 òðåáóåòñÿ îãîðîäèòü çàáîðî è ðàçäåëèòü à òðè ðàâ ûå ÷àñòè, ïàðàëëåëüíûå îäíîé èç ñòîðîí ïëîùàäêè. Êàêè è ñëåäóåò âûáðàòü ðàçìåðû ñòîðîí ïëîùàäêè, ÷òîáû íà ïîñòðîéêó çàáîðà ïîøëî íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ìàòåðèàëà? Ðåøåíèå òèïîâîé çàäà÷è Çàäà÷à. Ñðåäè öèëèíäðîâ, ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü êîòîðûõ ðàâíà S = 6π (ì3), íàéòè öèëèíäð, èìåþùèé íàèáîëüøèé îáúå . Ðåøåíèå. Ïóñòü ðàäèóñ îñíîâàíèÿ öèëèíäðà ðàâå x, à âûñîòà ðàâíà y. Òîãäà S = 2 x 2 + 2 xy , îòêóäà

y=

S − 2 x2 1 S  =  − 2 x , 2 x 2π  x 

òî åñòü îáúåì öèëèíäðà ìîæåò áûòü âûðàæåí ñëåäóþùè îáðàçî :

V=

x2 ⋅

1 S  S  − 2 x = x − 2 x  2

x3 .

Èññëåäóåì ïîëó÷åííóþ ôóíêöèþ íà ìàêñè ó

ïðè x > 0.

S 6 dv S = = 1. Òàê êàê ïðè = − 3 x 2 = 0 ïðè x = 6 6 dx 2 d 2V = −6 < 0, òî îáúå è ååò àèx = 1 âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå dx 2 S−2 6 −2 = = 2, ïîýòî ó áîëüøåå çíà÷åíèå. Ïðè ýòîì y = 2 2 èñêîìûå çíà÷åíèÿ ðàäèóñà îñíîâàíèÿ è âûñîòû öèëè äðà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 1 è 2. Èìååì

Çàäàíèå 6.  çàäà÷àõ 6.1.—6.6. äàíà ôóíêöèÿ ó = f(x) è ç à÷åíèÿ àðãóìåíòà x1 è x2. Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå äà îé ôóíêöèè ïðè x = x2 , èñõîäÿ èç åå òî÷íîãî çíà÷åíèÿ ïðè x = x1 è çàìåíÿÿ ïðèðàùåíèå ôóíêöèè ∆y ñîîòâåòñòâóþùè äèôôåðåíöèàëîì dy.

— 29 —

3

3 x2 + 8 x − 16

x1 = 4,

x2 = 3,94

3

5 x2 + 4 x − 1

x1 = 5,

x2 = 5,08

5

x2 − 2 x + 8

x1 = 6,

x2 = 5,84

4

x3 + 6 x − 7

x1 = 4,

x2 = 4,06

3

2 x2 + 2 x + 13

x1 = 8,

x2 = 7,85

6.6. y =

3x2 − 5 x − 2

x1 = 9,

x2 = 9,08

6.7. y =

x2 + 7

x1 = 3,

x2 = 3,02

x2 + 2x + 5

x1 = 1,

x2 = 0,97

x2 + x + 3

x1 = 2,

x2 = 1,97

4x − 1

x1 = 2,5,

x2 = 2,56

6.1. y = 6.2. y = 6.3. y = 6.4. y = 6.5. y =

6.8. y = 6.9. y = 6.10. y =

3

 çàäà÷àõ 6.11.—6.20. íàéòè ïðèáëèæåííûå çíà÷å èÿ óêàçàííûõ âåëè÷èí ñ ïîìîùüþ äèôôåðåíöèàëîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèé.

6.11. cos 63°

6.12. tg 46°

6.13. sin 32°

6.14. ctg 43°

6.15. sin 27°

6.16. cos 59°

6.17. sin 29°

6.18. sin 59°

6.19. cos 32°

6.20. tg 44°

— 30 —

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÐÀÁÎ×Àß ÏÐÎÃÐÀÌÌÀ ÊÓÐÑÀ «ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ» ........................................... 3 ÎÁÙÈÅ ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÊÀÇÀÍÈß ............................... 5 ÓÊÀÇÀÍÈß Ê ÂÛÏÎËÍÅÍÈÞ ÊÎÍÒÐÎËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ ¹ 1 ................................................ 6 ÊÎÍÒÐÎËÜÍÀß ÐÀÁÎÒÀ ¹ 1 ................................................. 9

— 31 —

Ìåòîäè÷åñêèå ðåêîìåíäàöèè ïî äèñöèïëèíå «Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç» Äëÿ ñòóäåíòîâ-çàî÷íèêîâ ñïåöèàëüíîñòè «Òåëåêîììóíèêàöèè» Â 2 ÷àñòÿõ ×àñòü I

Ñîñòàâèòåëü Áîíäàðåâà Åëåíà Âëàäèìèðîâíà

Ãëàâíûé ðåäàêòîð À.Â. Øåñòàêîâà Ðåäàêòîð Í.Â. Ãîðåâà Òåõíè÷åñêèé ðåäàêòîð Å.À. Ìàëü÷åíêî

Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 26.11.02. Ôîðìàò 60½84/16. Áóìàãà îôñåòíàÿ. Ãàðíèòóðà Òàéìñ. Óñë. ïå÷. ë. 1,86. Ó÷.-èçä. ë. 2,00. Òèðàæ 50 ýêç. Çàêàç . Èçäàòåëüñòâî Âîëãîãðàäñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. 400062, Âîëãîãðàä, óë. 2-ÿ Ïðîäîëüíàÿ, 30. — 32 —