Свойства и преобразования дискретных сигналов, Ч.1

1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агенство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Ю.А. Романюк ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ В 3-х частях ЧАСТЬ 1 СВОЙСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ Рекомендовано Учебно-методическим советом Московского физико-технического института (государственного университета) в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений по направлению «Прикладные математика и физика»

МОСКВА 2005

2

УДК 681.3.06 Р69

Рецензенты:

Кафедра теории электрической связи Московского технического университета связи и информатики (МТУСИ) Доктор технических наук, профессор Московского института радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА) А.А. Щука

Романюк Ю.А. Основы цифровой обработки сигналов. В 3-х ч. Ч.1. Свойства и преобразования дискретных сигналов: Учебное пособие. – М.: МФТИ, 2005. – 332 с. ISBN 5-7417-0144-2 (Ч. 1)

Р69

Учебное пособие создано на основе многолетнего опыта чтения одноименного курса лекций для студентов Московского физико-технического института по специальности «Прикладные математика и физика». Методически ясно изложены фундаментальные основы и наиболее важные законченные результаты по цифровой обработке сигналов. В первой части всесторонне изучаются свойства и преобразования дискретных сигналов, методы исследования линейных систем во временной и частотной областях. Значительное внимание уделено вопросам дискретизации аналоговых сигналов, применению различных ортогональных преобразований. Книга содержит большое количество иллюстраций, практических примеров, упражнений и задач. Предназначено для студентов вузов, аспирантов и специалистов в области цифровой обработки сигналов. УДК 681.3.06 Учебное издание

РОМАНЮК Юрий Андреевич ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ (в 3 частях)

Часть 1. Свойства и преобразования дискретных сигналов Редактор О.П. Котова. Корректор И.А. Волкова Подписано в печать 16.12.2005. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 20,75. Уч. -изд. л. 20,0. Тираж 700 экз. Заказ № ф-458. Московский физико-технический институт (государственный университет) Отдел автоматизированных издательских систем “ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ” 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9 ISBN 5-7417-0144-2 (Ч. 1) ISBN 5-7417-0145-0

© Романюк Ю.А., 2005 © Московский физико-технический институт (государственный университет), 2005

3

Предисловие

Цифровая обработка сигналов (ЦОС) как научно-техническая дисциплина включена в программы профессионального образования крупнейших мировых технических университетов, а в последнее время – и в общеобразовательные стандарты вузов России. Известные фундаментальные монографии по ЦОС изданы давно, рассчитаны на специалистов и не восполняют потребности в учебных пособиях для студентов и аспирантов. Поэтому представляется важным выпуск современных учебников и учебных пособий, в которых бы методически ясно были изложены фундаментальные основы и наиболее важные законченные результаты по ЦОС. Подобных изданий должно быть много и разных. Это объясняется значимостью и обширностью научно-технической дисциплины, которую практически невозможно охватить в одной работе. Кроме того, необходимо учитывать направленность выходящих учебников и учебных пособий на определённые специальности. В каждом из них должен быть свой подход к изложению материала, и в этом смысле все они призваны дополнять друг друга. Предлагаемое учебное пособие написано автором на основе многолетнего опыта чтения курсов лекций «Импульсные процессы в линейных системах и цепях» (6-й семестр) и «Основы цифровой обработки сигналов» (9-й, 10-й семестры) в Московском физико-техническом институте по специальности «Прикладные математика и физика». Оно базируется на ранее изданных автором учебных пособиях [6] – [10]. Основной особенностью книги следует считать ориентацию на студентов, аспирантов и молодых специалистов, работающих в различных областях науки и техники. Многолетний опыт общения с ними убедил автора в необходимости соблюдения следующих принципов при написании учебного пособия: системный подход; подробное и ясное изложение основных положений и закономерностей; доказательность; наполнение формул физическим содержанием; тщательный подбор примеров и иллюстраций. Главный критерий качества подготовки специалистов – их способность самостоятельно решать научно-практические задачи. Учебное пособие выпускается в трёх частях. Часть 1. Свойства и преобразования дискретных сигналов. Часть 2. Цифровые методы спектрального анализа и фильтрации сигналов. Часть 3. Применение ЦОС в системах связи и радиолокации. Основные разделы первой части. • Математические основы обработки сигналов. • Дискретизация аналоговых сигналов. • Преобразования дискретных сигналов. • Дискретные линейные фильтры. • Дискретные случайные последовательности. С прикладных позиций даётся изложение необходимого математического аппарата для описания сигналов и систем с дискретным временем. Многочисленные примеры позволяют создать запас наглядных физических представлений, полезных при решении конкретных практических задач. В каждом разделе содержится большое количество иллюстраций, упражнений и задач. Формулы и рисунки в пределах каждого параграфа имеют тройную нумерацию. Например, нумерация (1.10.15) обозначает 15-ю формулу в 10-м параграфе главы 1. Так что, раскрыв книгу в произвольном месте, вы сразу ориентируетесь в расположении материала. В книге даются ссылки на работы отечественных и зарубежных авторов. Все они перечислены в сводном списке литературы по направлениям. Исключение составляют малодоступные оригинальные статьи. Как на форму, так и на содержание учебного пособия огромное влияние оказало общение автора в прошлом со своим учителем, выдающимся учёным и педагогом, профессором Борисом Николаевичем Митяшевым. В заключение автору хотелось бы выразить благодарность своим коллегам по кафедре прикладной радиофизики за поддержку и помощь, а также за веру, что книга когда-нибудь будет завершена.

4

Г Л А В А 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

1.1. Классификация сигналов Под сигналом обычно понимают величину, отражающую состояние физической системы. Поэтому естественно рассматривать сигналы как функции, заданные в физических координатах. Примером могут служить одномерные сигналы, заданные как функции времени x(t ), двумерные сигналы I ( x, y ), заданные на плоскости, и т. д. В дальнейшем мы будем рассматривать в основном сигналы как действительные функции времени x(t ). Аналоговые или континуальные сигналы описываются непрерывными и кусочно-непрерывными функциями x(t ), причем как сама функция, так и ее аргумент могут принимать любые значения в пределах некоторого интервала (рис. 1.1.1).

Рис. 1.1.1

Дискретные сигналы xд (t ) образуются путём умножения аналогового сигнала x(t ) на так называемую функцию дискретизации y (t ), представляющую собой периодическую последовательность коротких импульсов, следующих с шагом дискретизации ∆t (рис. 1.1.1а). В идеальном случае в качестве функции дискретизации используется периодическая последовательность дельта-функций (рис. 1.1.1б). Цифровой сигнал xц (k ) описывается квантованной решетчатой функцией (рис. 1.1.2), т. е. решетчатой функцией, принимающей лишь ряд дискретных уровней − уровней квантования mq, где q – шаг квантования по уровню, а m – номер интервала квантования, m = 0, 1, 2, K , M − 1, M = 2n , n – целое положительное число.

Рис. 1.1.2

Цифровой сигнал представляется последовательностями чисел, имеющих ограниченное количество разрядов. Финитный сигнал характеризуется тем, что отличен от нуля лишь на конечном интервале T .

5

Очень важным является класс сигналов с финитным спектром. У таких сигналов спектральная функция (преобразование Фурье) X ( f ) обращается в нуль вне некоторого конечного интервала частот, например,

[− f в , f в ]. Определим случайный сигнал как выборочную функцию некоторого случайного процесса, задаваемого ансамблем реализаций, т. е. совокупностью реализаций, рассматриваемых совместно с вероятностями их появления. Неслучайные сигналы называются детерминированными и описываются известными функциями, заданными на конечных или бесконечных интервалах. Каузальный сигнал x(t ) характеризуется тем, что x(t ) = 0 при t < 0. Будем рассматривать физические сигналы как действительные функции времени. Вместе с тем иногда для аналитических удобств вводится комплексное представление действительных колебаний.

1.2. Пространства сигналов Метрические пространства

Сигналы, обладающие некоторым общим свойством, можно объединить в одно множество S. Примером является множество периодических сигналов, множество сигналов с финитным спектром и т. д. Определив множество, мы начинаем интересоваться отличительными свойствами элементов этого множества. Общий подход заключается в том, что каждой паре элементов x, y ставится в соответствие действительное положительное число d (x, y ), которое трактуется как расстояние между элементами x и y. Множество, в котором определено расстояние, представляет собой пространство сигналов. При этом сигналы удобно рассматривать как векторы в этом пространстве. Функционал d (x, y ) отображает каждую пару элементов на действительную ось и называется метрикой, обладающей следующими свойствами: а) d (x, y ) ≥ 0 и d (x, y ) = 0 , если только x = y; б) d (x, y ) = d (y, x) (симметрия); в) d (x, z ) ≤ d (x, y ) + d (y, z ) (неравенство треугольника). Множество S с метрикой d называется метрическим пространством. Две разные метрики, определённые на одном и том же множестве, порождают разные метрические пространства. Приведём примеры часто используемых метрик.Equation Chapter 1 Section 2 Для аналоговых сигналов, заданных на интервале [0, T ], T

(1.2.1)

d1 (x, y ) = ∫ x(t ) − y (t ) dt ; 0

T

d 2 (x, y ) =

∫

x(t ) − y (t )

2

dt ≥ 0;

(1.2.2)

0

x(t ) − y (t ) .

(1.2.3)

d1 (x, y ) = ∑ x(k ) − y (k ) ;

(1.2.4)

d3 (x, y ) = sup

[0, T ]

Для дискретных сигналов, заданных на интервале N , N −1 k =0

d 2 (x, y ) =

N −1

∑

2

x(k ) − y (k ) ;

(1.2.5)

k =0

d3 (x, y ) = max x (k ) − y (k ) . k

(1.2.6)

В пространстве n-разрядных двоичных сигналов расстояние между любой парой таких сигналов x = ( xn −1 K x1 x0 ) и y = ( yn −1 K y0 y1 ) вполне будет определяться числом несовпадающих символов: n −1

d ( x, y ) = ∑ [ xi ⊕ yi ], i=0

6

(1.2.7)

где ⊕ означает сложение по модулю 2: 1 + 0 = 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 1 + 1 = 0 без переноса в старший разряд. Метрика (1.2.7) определяет расстояние по Хеммингу для двоичных слов. Линейные пространства

Метрическое пространство является линейным, если в нём определены операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр, в результате которых образуется новый вектор в том же пространстве. Эти операции должны удовлетворять известным аксиомам [13]. Важным является понятие линейно независимых векторов ϕ n . Векторы ϕ1 , ϕ 2 , K, ϕ N называются линейно независимыми, если равенство N

∑α ϕ n

n

=0

n =1

выполняется тогда и только тогда, когда все α n = 0. Путем линейных комбинаций таких N линейно независимых векторов можно образовать векторное пространство S , где каждый вектор x соответствует единственной линейной комбинации векторов ϕ n : x=

N −1

∑α ϕ . n

n

(1.2.8)

n= 0

Пространство S называется N-мерным векторным линейным пространством. Множество линейно независимых векторов {ϕ n } называется базисом для S . Говорят, что пространство S натянуто на этом базисе. Совокупность N чисел {αn} называется координатами или спектром вектора x в этом базисе. Координаты вектора в общем случае могут быть комплексными. Гильбертово пространство

Это пространство определяют следующим образом. 1. Задано линейное пространство H . 2. Для каждой пары x и y сигналов из H вводится линейная операция (x, y ), называемая скалярным произведением двух векторов, в результате которой образуется скаляр, а не вектор. Эта операция должна удовлетворять аксиомам: ( x , y ) = ( y , x )∗ ; (x, y + z ) = (x, y ) + (x, z ); (α x, y ) = α (x, y ),

(1.2.9)

но (x, α y ) = α (x, y ); ∗

( x, x ) ≥ 0, причём ( x, x ) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0. Здесь и далее звездочка означает комплексное сопряжение. 3. В H существует счётное число линейно независимых векторов. Норма или длина вектора определяется как x = (x, x) ≥ 0. (1.2.10) В гильбертовом пространстве вводится угол θ между двумя векторами, косинус которого определяется через скалярное произведение: cos θ =

(x, y ) (x, x) (y, y )

=

(x, y ) . x y

(1.2.11)

Это соотношение используется для определения понятия ортогональных векторов. Векторы x и y называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т. е. если (x, y ) = 0. Поскольку cos θ ≤ 1, то (x, y ) ≤ x ⋅ y (1.2.12) – неравенство Коши–Буняковского. 7

По определению гильбертова пространства в нем существует счетная система линейно независимых векторов, которые можно ортогонализировать, пользуясь известной процедурой Грама–Шмидта. Поэтому в гильбертовом пространстве существует счётная ортогональная система векторов {ϕ n } , образующих ортогональный базис. В этом случае любой вектор x ∈ H может быть представлен в виде x=

∞

∑c ϕ , n

(1.2.13)

n

n=0

где cn =

(x, φ n ) 2

φn

(1.2.14)

,

2  φ , (φ m , φ n ) =  n  0,

m = n, m ≠ n.

(1.2.15)

Для ортонормированного базиса

x

2

(1.2.16)

(φ n , φ n ) = 1,

φn =

∞

∑

= (x, x) =

cn

2

(1.2.17)

,

n=0 ∞

∑

x =

2

cn

(1.2.18)

.

n=0

Квадрат нормы (1.2.17) называется энергией сигнала. Ряд (1.2.13) называется рядом Фурье по базису {ϕ n } , а коэффициенты cn − коэффициентами Фурье сигнального вектора x в этом базисе. Аналогично для любых двух векторов x и y , имеющих в ортонормированном базисе {ϕ n } спектры {an} и {bn} соответственно, справедливо равенство ∞

(x, y) = ( ∑ an φ n , n = 0

∞

∑ bm φ m ) =

n=0

∞

∑a

n

bn∗ .

(1.2.19)

n=0

При переходе к другому ортонормированному базису координаты an и bn изменятся (станут α m и βm соответственно), однако скалярное произведение останется без изменения: ∞

∑a b n

n=0

∗ n

=

∞

∑α

n

(1.2.20)

β∗n .

n=0

Это соотношение называется равенством Парсеваля. За расстояние между векторами x и y в гильбертовом пространстве принимается длина разностного вектора: x−y =

∞

∑

an − bn

2

.

(1.2.21)

n=0

Сигналы, принадлежащие гильбертову пространству, изображаются точками и векторами, идущими из начала координат в данную точку. Их можно складывать и умножать на числа. Можно рассматривать длину вектора, представляющего сигнал, как его норму, измерять расстояние между сигналами, вводить угол между векторами, изображающими сигналы. Пример 1.2.1. Рассмотрим совокупность N линейно независимых векторов x n , n = 1, 2, K , N . Практически всегда можно преобразовать эту совокупность в систему из N взаимно перпендикулярных единичных векторов {ϕ n } , которая позволяет представить любой из векторов x n в виде

xn =

N

∑c

nm

m =1

8

ϕm .

Чтобы найти такую координатную систему, воспользуемся известной процедурой Грама–Шмидта. а) Пусть ϕ 1= a 1x 1, выбираем a 1 таким образом, чтобы ϕ 1 = 1. б) Допустим, что ϕ 2 = a 2 (b 1ϕ 1+ x 2 ), выбираем b 1 таким образом, чтобы (b 1ϕ 1+ x 2 , ϕ 1) = 0. На основании этого вычисляем значение b 1= −(x 2 , ϕ 1). Далее находится значение a 2 из условия нормирования ϕ 2 . в) Аналогично допустим, что ϕ 3 = a 3 (c 1ϕ 1+ c 2 ϕ 2 + x 3 ). Из условия ортогональности этого вектора обоим векторам

ϕ 1 и ϕ 2 получаем значения c 1= −(x 3, ϕ 1) и c 2 = −(x 3, ϕ 2 ) . Затем найдём значение a 3 из условия нормирования ϕ3 . г) Продолжая эту процедуру, последовательно найдём ϕ 4 , ϕ 5 и т. д. Пример 1.2.2. Из равенств (1.2.9) и (1.2.19) следует ∞

( x, y ) = ( ∑ an φ n , n=0

∞

∑b

m φm ) =

n=0

∞

∑a b n

∗ n

=

n=0

∞

∑ ( x, φ

n

)(φ n , y ).

n=0

1.3. Примеры пространств сигналов Пространство L 2 Элементами множества S являются в общем случае комплексные функции x(t ), заданные на интервале T , конечном или бесконечном. Будем считать, что функции x(t ) являются функциями с интегрируемым квадратом

∫

x (t )

2

dt < ∞.

T

Этот интеграл обычно трактуется как энергия сигнала, если принять, что x(t ) − это ток или напряжение на сопротивлении 1 Ом. При этом L 2 является пространством с ограниченной энергией. Все физические сигналы имеют конечную энергию. В L2 скалярное произведение, норма и расстояние определяются соответственноEquation

Chapter 1 Section 3 (x, y ) = ∫ x(t ) y ∗ (t ) dt ,

(1.3.1)

T

x =

∫

( x, x ) =

x (t )

2

dt ,

(1.3.2)

T

∫

d 2 ( x, y ) = x − y =

x(t ) − y (t )

2

dt .

(1.3.3)

T

Метрика d 2 (x, y ) называется среднеквадратичной метрикой и определяет среднеквадратичное отклонение сигнала y (t ) от x(t ). Условие ортогональности двух векторов φ m и φ n в L 2 записывается в виде

m ≠ n,

 0,  ∗ ϕ ( t ) ϕ ( t ) dt =  φ ∫T n m  n Обобщенный ряд Фурье (1.2.13) в L 2 принимает вид x (t ) =

2

= ∫ ϕ n (t )

2

dt , m = n.

(1.3.4)

T

∞

∑c ϕ

(t ),

(1.3.5)

∫ x(t ) ϕ (t ) dt

(1.3.6)

n

n

n=0

где

cn =

1 φn

2

∗ n

T

есть коэффициенты Фурье по системе {ϕ ϕn}.

Пространство l 2 Элементами множества S являются последовательности чисел (в общем случае комплексные) x = [ x(0), x(1), x(2), K , x(k ), K], удовлетворяющие условию ∞

∑

k=0

9

x(k )

2

< ∞.

(1.3.7)

Такие последовательности называют также счётномерными векторами. В последовательностей вводят операции сложения векторов и умножения их на скаляр: x + y = [ x(0) + y (0), x(1) + y (1), K , x(k ) + y (k ), K],

данном

классе

αx = [αx(0), αx(1), K , αx(k ), K]. Скалярное произведение, норма и расстояние определяются соответственно ∞

( x, y ) =

∑ x(k ) y (k ), ∗

(1.3.8)

k =0

x =

∞

∑

( x, x ) =

x(k )

2

,

(1.3.9)

k =0 ∞

∑

d 2 ( x, y ) = x − y =

2

x(k ) − y (k ) .

(1.3.10)

k =0

Эти соотношения определяют пространство l 2 , которое можно рассматривать как координатную реализацию гильбертова пространства L 2 . Обратимся к формулам обобщенного ряда Фурье (1.2.13) – (1.2.16). Эти формулы устанавливают взаимно однозначное соответствие (изоморфизм) между сигналом и совокупностью его коэффициентов Фурье. Сигнал x(t ) является элементом пространства L 2 , а совокупность коэффициентов Фурье (счетномерный вектор) – элементом пространства l 2 . Между пространствами L 2 и l 2 устанавливается изометрия, при которой сохраняется норма элементов пространств L 2 и l 2 (1.2.18).

Пространство l N2 Ограничение размерности векторов до N координат x = [ x(0), x(1), x(2), K , x(k ), K , x( N − 1)] приводит

к

пространству l N2 ,

которое

является

подпространством

комплексного

гильбертова

N 2

пространства l 2 . Характерно, что в l существуют N линейно независимых векторов ψ n . Эти N векторов называют базисом N-мерного пространства. Обобщенный ряд Фурье в пространстве l N2 с ортогональным базисом {ψ n } принимает вид

x(k ) =

N −1

∑c

ψ n (k ),

(1.3.11)

x(k ) ψ∗n (k ),

(1.3.12)

n

k =0

где

1 ψn

cn =

N −1

∑

k =0

N −1  2  ψ n = ∑ ψ n ( k ) , m = n, (ψ n , ψ m ) = ∑ ψ n (k ) ψ (k ) =  (1.3.13) k=0 k =0  0, m ≠ n.  N Пример 1.3.1. В качестве базисной системы в l 2 рассмотрим дискретные экспоненциальные функции (ДЭФ) (см. п. N −1

∗ m

1.7):

WNn k = e

j

2π nk N

.

(1.3.14)

В этой формуле n и k принимают целочисленные значения, n, k = 0, 1, K , N − 1, т. е. число функций в системе равно числу отсчетов каждой функции. Вследствие этого, а также в силу линейной независимости, система ДЭФ является полной в пространстве l N2 . Функции (ДЭФ) ортогональны: N −1

∑W

nk N

k = 0

 N , если n = m, ⋅ WN− m k =   0, если n ≠ m.

(1.3.15)

Поэтому ряд Фурье по этой системе

x(k ) =

N −1

∑

n=0

где коэффициенты Фурье

10

X (n) WNn k ,

(1.3.16)

X ( n) =

1 N

N −1

∑

x(k ) WN− n k .

(1.3.17)

n = 0

Соотношения (1.3.16) и (1.3.17) определяют пару дискретного преобразования Фурье (ДПФ), которое будет рассмотрено в главе 3. Отличительной особенностью ДПФ является то, что сигнал и его спектр определяются на конечных и равных интервалах N . Последовательности x ( k ) и X ( n) – периодические (с периодом N ) функции дискретного аргумента. Это объясняется N-периодичностью базисных функций ДПФ по обоим аргументам. При этом меняется привычное понятие сдвига, а именно: сдвиг сигнала и его спектра на интервале N понимается как циклическая перестановка отсчетов (часть сигнала или его спектра, выходящая за пределы интервала N с одного конца, вставляется в этот интервал с другого конца). При циклическом сдвиге значения индексов k и n отсчитываются по модулю N .

1.4. Представление сигналов ортогональными рядами. Общий метод дискретизации Аналоговый сигнал x(t ), определенный на интервале Т, конечном или бесконечном, при соблюдении некоторых условий может быть представлен в виде Equation

Chapter 1 Section 4 x(t ) = ∑ cn ϕn (t ),

(1.4.1)

n

где {ϕn (t )} − ортогональный базис, в общем случае бесконечномерный, а {cn } − "спектр" сигнала x(t ) в базисе

{ϕn (t )} ,

т. е. набор чисел, выбираемых по определенному правилу, причем cn могут быть

комплексными. Считаем, что x(t ) является функцией с интегрируемым квадратом:

∫

x(t )

2

dt < ∞.

(1.4.2)

T

Для реальных физических сигналов это означает конечность их удельной энергии, выделяемой на единичном сопротивлении. Базисные функции ϕn (t ) ортогональны на интервале Т, т. е.

m ≠ n,  0,  2 2 ∫ ϕn (t ) ϕ (t ) dt =  φ n = ∫ ϕn (t ) dt , m = n. T  T Практически всегда число членов в ряде (1.4.1) должно быть ограничено. Как будет показано в следующем параграфе, коэффициенты Фурье (x, φ n ) 1 xn = = x(t ) ϕ∗n (t ) dt 2 ∫ (φ n , φ n ) φn T ∗ m

обеспечивают наименьшую среднеквадратическую погрешность аппроксимации: x(t ) ≈ ∑ xn ϕn (t ).

(1.4.3)

(1.4.4)

(1.4.5)

n ≤N

Вывод. Замена аналогового сигнала x(t ) последовательностью {xn }, представляющей коэффициенты разложения этого сигнала по какому-либо ортогональному базису, − самый общий метод дискретизации. Вместо того, чтобы рассматривать функциональную зависимость x(t ) в несчётном множестве точек, мы можем характеризовать сигнал счётной системой коэффициентов xn . Базис выбирается из удобства физической реализации, простоты вычисления коэффициентов и точности аппроксимации (1.4.5). Практический способ вычисления коэффициентов разложения xn по действительному ортонормированному базису {φn (t )} показан на рис. 1.4.1. Рис. 1.4.1. Корреляционный способ обобщённого спектрального анализа

Это так называемый корреляционный способ обобщённого спектрального анализа. Для его реализации требуются генератор ортонормированных функций {φn (t )}, умножители и интеграторы.

11

Другой практический способ вычисления коэффициентов разложения иллюстрируется на рис. 1.4.2.

Рис. 1.4.2. Способ фильтрации в обобщённом спектральном анализе

В этом способе анализируемый сигнал x(t ) пропускается через набор линейных фильтров с импульсными характеристиками hn (t ) = φ n (T − t ). Спектральные коэффициенты определяются выходными отсчётами фильтров в момент t = T : T

T

0

0

∫ x(τ) hn (T − τ) d τ = ∫ x(τ) φn (τ)d τ = xn ,

n = 1, 2, ..., N .

1.5. Обобщённые ряды Фурье. Полные ортонормированные системы Важная особенность дискретных представлений вида (1.4.1) состоит в том, что от них просто перейти к приближенным конечным представлениям, необходимым для численных расчетов и при физических измерениях сигналов. В связи с этим возникает ряд математических и практических вопросов. К числу математических вопросов относятся следующие. Equation Chapter 1 Section 5 1) Практически можно использовать только конечное число коэффициентов cn . Как следует выбирать эти коэффициенты, чтобы минимизировать среднеквадратическую ошибку 2

ε ( N ) = ∫ x (t ) − 2

T

∑

cn ϕn (t )

dt ?

(1.5.1)

n ≤N

2) Желательно, чтобы lim ε 2 ( N ) = 0. Когда это имеет место? N →∞

Для ответа на первый вопрос достаточно продифференцировать (1.5.1) по некоторому конкретному cn . Если коэффициенты cn комплексные, производная берется по действительной и мнимой частям. Приравняв производную нулю и решая относительно cn , получим, что коэффициенты cn должны быть

cn =

(x, φ n ) 1 = (φ n , φ n ) φn

2

∫ x(t ) ϕ

∗ n

(t ) dt.

(1.5.2)

T

Коэффициенты cn , выбираемые по алгоритму (1.5.2), называются коэффициентами Фурье по системе

{ϕn (t )} .

Таким образом, из всех полиномов N-го порядка вида (1.4.5) наименьшее среднеквадратическое

отклонение от данного сигнала x(t ) имеет N-я частичная сумма ряда Фурье по системе {ϕn (t )} . Это следует из того, что вторая производная (1.5.1) является положительной постоянной величиной, и коэффициенты, определяемые из (1.5.2), обеспечивают абсолютный минимум ошибки ε 2 ( N ). Важно отметить, что при увеличении N величины ранее вычисленных коэффициентов cn остаются неизменными. В результате значительно экономится объем вычислений, если после оценки ошибки приходится принять решение об увеличении числа членов ряда. Для ортонормированной системы функций

φn (t ) =

ϕn (t ) φn

(1.5.3)

коэффициенты Фурье будут вычисляться по формуле

an = ∫ x(t ) φ∗n (t ) dt. T

12

(1.5.4)

Ответим теперь на второй вопрос. Из выражения (1.5.1) имеем

ε 2 ( N ) = ∫ {[ x (t ) − T

∑

∑

an φn (t )][ x(t ) −

n ≤N

am∗ φ∗m (t )]} dt.

m ≤N

Отсюда

ε 2 ( N ) = ∫ x 2 (t ) dt − T

∑

2

an .

(1.5.5)

n ≤N

Поэтому при любом конечном N имеет место

∑

an

2

≤ ∫ x 2 (t ) dt

n ≤N

(1.5.6)

T

– неравенство Бесселя. Из (1.5.6) вытекает, что lim an = 0. Если lim ε 2 ( N ) = 0 для всех x(t ) с конечной n→ ∞

N →∞

энергией, то {φn (t )} – полная ортонормированная система в пространстве L 2 . Смысл полноты системы заключается в том, что для такой системы ошибка ε 2 ( N ) при увеличении N может быть сделана как угодно малой. Для полных ортонормированных систем имеет место равенство Парсеваля:

∫

∞

x 2 (t ) dt =

∑

an

2

(1.5.7)

.

n =0

T

Поэтому

ε 2 (N ) =

∑

an

2

,

(1.5.8)

n >N

т. е. ошибка определяется суммой квадратов модулей отброшенных коэффициентов Фурье. Пример 1.5.1. Дадим геометрическую трактовку представления сигнального вектора x ортогональным рядом. N

Пусть необходимо выбрать коэффициенты cn в конечной сумме y =

∑c ϕ n

n

так, чтобы расстояние между векторами

n =1

x и y x−y

2

N

2

= x − ∑ cn ϕ n n =1

было минимальным. Предположим, в частности, что необходимо найти минимальное расстояние между вектором y , лежащим в ϕ1 ϕ 2 -плоскости, и трёхмерным вектором x, как показано на рис. 1.5.1.

Рис. 1.5.1 Ясно, что минимум x − y достигается, если вектор x − y перпендикулярен ϕ1 ϕ 2 -плоскости. При этом составляющие вектора y равны составляющим вектора x по координатам ϕ1 и ϕ 2 . Это означает, что они должны равняться коэффициентам Фурье. Далее из рисунка следует соотношение, эквивалентное неравенству Бесселя:

x ≥ y .

13

1.6. Некоторые системы базисных функций из L2 Можно выделить два класса базисных функций: сдвиговые и мультипликативные. Сдвиговые базисные функции строятся из одной функции путём сдвига по её аргументу. Наиболее употребительными сдвиговыми базисными функциями являются функции отсчётов и импульсные функции.

Функции отсчётов

Equation Chapter 1 Section 6

Функциями отсчетов называют функции, определяемые как

ϕk (t ) =

sin 2π f в (t − k ∆t ) 1 , ∆t = . 2π f в (t − k ∆t ) 2 fв

(1.6.1)

Эти функции отличаются друг от друга только сдвигом на целое число интервалов ∆t , они ортогональны на (−∞, ∞ ):

k ≠ l,  0,  (1.6.2) ∫ ϕk (t )ϕl (t )dt =  φn 2 = ∆t = 1 , k = l. −∞  2 f в  Функции отсчетов используются для дискретного представления аналоговых сигналов по теореме отсчетов Котельникова (см. п. 2.2). Свое название эти функции получили потому, что для сигналов, имеющих финитный спектр, коэффициенты Фурье ck по этим функциям являются отсчётами сигнала ∞

при t = k ∆t:

ck =

∞ sin 2π f в (t − k ∆t ) 1 x (t ) dt = x(k ∆t ). ∫ ∆t −∞ 2π f в (t − k ∆t )

(1.6.3)

Простота вычисления коэффициентов ck является большим преимуществом ряда

sin 2π f в (t − k ∆t ) , (1.6.4) 2π f в (t − k ∆t ) k = −∞ который называется рядом Котельникова. Об этом будет идти речь в следующей главе, а сейчас перечислим некоторые полезные свойства функций отсчетов. Фурье-образ функции отсчётов x (t ) =

∞

∫

−∞

∞

∑

x ( k ∆t )

ϕ k (t ) e− j 2 π f t dt = П 2 fв ( f ) exp(− j 2π f k ∆t )

(1.6.5)

имеет фазовый множитель из-за сдвига по времени на k ∆t. Модуль этого спектра П 2 fв ( f ) является прямоугольной функцией с единичной площадью (рис. 1.6.1). В момент времени t = k ∆t функция отсчетов достигает своего наибольшего значения, равного 1. В моменты t = (k ± l )∆t , где l = 1, 2, K , функция отсчетов обращается в нуль.

Рис. 1.6.1. Функция отсчётов и ее спектр

Ширина главного лепестка функции отсчетов на нулевом уровне равна 2∆t = 1/ f в . Отсюда следует, что минимальная длительность импульса на выходе фильтра с полосой [− f в , f в ] равна 1/ f в . Непосредственно из формулы прямого преобразования Фурье следует, что

14

∞

∫

ϕk (t ) dt = П 2 fв (0) =

−∞

1 = ∆t . 2 fв

(1.6.6)

В пространстве L2 (−∞, ∞) система функций отсчетов ортогональна, но не полна. Однако в подпространстве B ⊂ L2 функций с финитным спектром она полна.

Импульсные базисные функции Эти функции определяются как

1, k ∆t ≤ t < (k + 1)∆t , П k (t ) =  при других t , 0,

(1.6.7)

где ∆t – стандартный сдвиг, k = 0, 1, 2, K Функции П k (t ) ортогональны на всей оси t. Пространство, натянутое на этот базис, составляют ступенчатые функции ∞

∑cП k

k

(t ).

k =0

Рассмотрим теперь мультипликативные базисные функции, которые обладают тем свойством, что произведение двух функций даёт базисную функцию из той же системы. Известными мультипликативными базисными функциями являются комплексные экспоненциальные функции и функции Уолша.

Комплексные экспоненциальные функции Это функции вида

2π n t ), n ∈ (−∞, ∞ ). T Функции ϕn (t ) периодичны по оси t с периодом T. Система {ϕ n } составляет счетное бесконечное множество и является мультипликативной, ортогональной и полной в L2[0, T]. Нетрудно убедиться, что при n ≠ m,  0, ∗ ∫T ϕn (t )ϕm (t ) dt =  φn 2 = T , при n = m.  ϕn (t ) = exp ( j

(1.6.8)

(1.6.9)

Поэтому для сигнала x(t ) ∈ L 2 [0, T ] коэффициенты Фурье по этой системе определяются следующим образом:

cn =

1 T

T

∫ x(t ) e

−j

2π nt T

dt.

(1.6.10)

0

Пространство, натянутое на базис {ϕ n }, составляют Т-периоди-ческие сигналы. Разложение сигналов по этим функциям называется разложением в ряд Фурье. Для представления двумерных сигналов, заданных в прямоугольнике [ R1 , R2 ], используется двумерный базис, определяемый в прямоугольных координатах через произведение одномерных базисных функций:   n r m r  ϕn, m (r1 , r2 ) = exp  j 2π  1 + 2   , r1 ∈ [ 0, R1 ], r2 ∈ [ 0, R2 ]. (1.6.11) R2    R1 

Функции Уолша t – безразмерное время и t ∈ [0, T ), была введена Уолшем (Walsh) T в 1923 году как полная ортонормированная система функций в L 2 [0, 1), каждая из которых принимает значения ±1 и обладает тем свойством, что ряд Фурье Система Уолша {wal(n, θ )}, где θ =

∞

∑ c wal(n, θ ), n

n=0

где

15

(1.6.12)

1

cn = ∫ x(θ)wal(n, θ ) d θ,

(1.6.13)

0

для непрерывной функции x(θ) равномерно сходится по подпоследовательности частичных сумм с номерами N = 2ν , ν – целое, положительное число [25]. Характерным для нумерации Уолша является то, что число перемен знака у функции wal(n, θ ) внутри интервала [0, 1) равно n . Рассмотрим процедуру построения функции wal(n, θ ). По определению

wal(0, θ ) = 1, wal(n, 0 ) = 1 для всех n . Известно также, что функция wal(n, θ ) или симметрична (если n – чётное), или антисимметрична (если n – нечётное) относительно оси, проходящей через точку θ = 1/ 2 . Таким образом, если n – четное, то в точке θ = 1/ 2 знак не меняется, а если n – нечетное, то знак меняется. Смена знака у функций Уолша может происходить только в двоично-рациональных точках. Поэтому представим номер функции n в двоичном виде: ν −1

n = ∑ ni 2i , где либо ni = 0, либо ni = 1, n = (nν −1 K n1 n0 ). i=0

Если ni = 1, то должна происходить смена знака в точках

1 3 5 1   , , , K , 1 − i +1 ,  . 2i +1 2i +1 2i +1 2   Если ni = 0 , то в этих точках знаки остаются неизменными. Построим, например, функцию wal(5, θ ). Т. к. n – нечётное, то имеет место смена знака в точке θ = 1/ 2. Номер n в двоичном виде будет n = (101). Коэффициент n2 = 1, поэтому имеет место смена знаков в точках θ = 1/ 8, 3 / 8, 5 / 8, 7 / 8. Функция wal(5, θ ) изображена на рис. 1.6.2. θ=

0

1/8

1/4

3/8

1/2

5/8/

3/4

7/8

1 θ

+1 -1

Рис. 1.6.2. Функция wal(5, θ ) на интервале [ 0,1)

В 1932 году Пэли (Paley) рассмотрел систему Уолша в другой нумерации. Обозначим её pal( p, θ ). Функции pal( p, θ ) определяются через функции Радемахера:

R0 (θ) = 1,

Ri (θ) = sgn (sin 2i πθ),

(1.6.14) i = 1, 2, 3, K , θ ∈ [0, 1). Первые четыре функции системы Радемахера приведены на рис. 1.6.3. Функции Радемахера нечетные на интервале [0,1); их называют еще меандровыми функциями, т. к. по виду они соответствуют меандровым сигналам в разрядах двоичного счетчика. Функции Уолша–Пэли определяются через функции Радемахера следующим образом: ν −1

Рис. 1.6.3

pal( p, θ ) = ∏ R ip+i 1 (θ). i=0

Здесь pi – коэффициенты двоичного представления числа p:

p=

ν −1

∑

i = 0

pi 2 i , где либо pi = 0, либо pi = 1;

p = ( pν −1 K p1 p0 ). Отсюда следует, что для p = 2i имеет место

pal(2 i , θ ) = R i +1 (θ ), т. е. система Радемахера входит в систему Уолша.

16

(1.6.15)

Расположение функций Уолша в нумерации Пэли связано с кодом Грея. Пусть n – номер функции wal(n, θ ) в нумерации Уолша. Двоичное представление этого номера n = (nν −1 K n1 n0 ). Тогда разрядные коэффициенты номера p = ( pν −1 K p1 p0 ) могут быть рассчитаны по формуле pi = ni ⊕ ni +1 , где ⊕ означает сложение по модулю 2. Системы Уолша и Уолша–Пэли получаются одна из другой путем перестановки функций внутри блоков с номерами [2ν−1 , 2ν − 1). Первые восемь функций этих систем изображены на рис. 1.6.4. Для некоторых сигналов ряд Фурье по системе Уолша–Пэли сходится быстрее, чем по системе Уолша.

а)

б) Рис. 1.6.4. Первые восемь функций Уолша: а – в нумерации Уолша; б – в нумерации Пэли

Функции Уолша ортонормальны на интервале [0, 1). Система Уолша является мультипликативной. Однако при перемножении двух функций сдвиг по индексу не арифметический, а диадный, определяемый через поразрядное сложение по модулю 2:

wal(n, θ )wal(m, θ ) = wal(n ⊕ m, θ ).

(1.6.16)

Ещё одна разновидность функций Уолша had(h, θ) связана с нумерацией по Адамару. Переход от нумерации Пэли к нумерации по Адамару осуществляется путём разрядной инверсии в двоичном представлении номера p (младшие разряды зеркально меняются местами со старшими). Взаимосвязь различных нумераций показана в таблице 1.6.1.

n десятич. 0 1 2 3 4 5 6 7

n двоичн. 000 001 010 011 100 101 110 111

p

p

двоичн. 000 001 011 010 110 111 101 100

десятич. 0 1 3 2 6 7 5 4

Т а б л и ц а 1.6.1 h h двоичн. десятич. 000 0 100 4 110 6 010 2 011 3 111 7 101 5 001 1

Функции Уолша могут быть периодически продолжены по оси θ с периодом 1. Рассмотрим теперь частичную сумму ряда Уолша–Фурье:

S N (θ) =

N −1

∑ c wal(n, θ), n

n = 0

где 1

cn = ∫ x(θ)wal(n, θ)d θ. 0

17

(1.6.17)

При N = 2ν , где ν – целое положительное, частичная сумма S N (θ) является кусочно-ступенчатой функцией с интервалами постоянства длиной 1/ N , принимающей на этих интервалах значения, равные средним значениям сигнала x(θ): N −1

S N (θ) = ∑ xk П k (θ ),

(1.6.18)

k =0

где k +1 N

xk = N

∫ x(θ) d θ, k N

1, если k / N ≤ θ ≤ (k + 1) / N , П k (θ) =  при других θ.  0, Кусочно-ступенчатая аппроксимация средними значениями приводит к среднеквадратичной ошибке: 1

ε 2 ( N ) = ∫ [ x(θ) − S N (θ)] 2 d θ. 0

В [7] приводится простая инженерная формула для оценки этой ошибки при N = 2ν : 1 1 1 ε2 ( N ) = [ x′(θ)] 2 d θ + o( 2 ), 2 ∫ 12 N 0 N где x ′(θ) – первая производная. Двумерные функции Уолша получают как произведение одномерных: wal n, m (θ, τ ) = wal(n, θ )wal(m, τ ).

(1.6.19)

(1.6.20)

Предполагается, что θ и τ заданы в прямоугольных координатах; θ ∈ [0, 1), τ ∈ [0, 1), как показано на рис. 1.6.5. Это делается для того, чтобы упростить вычисление коэффициентов представления сигналов по таким двумерным функциям. Вычисление двумерного интеграла скалярного произведения сводится к вычислению двух одномерных. Рис. 1.6.5. Первые шестнадцать двумерных функций Уолша

1.7. Некоторые базисные системы из l N2 В системах с дискретным временем важное место занимают дискретные сигналы, определенные на конечных интервалах N. Такие сигналы являются N-мерными векторами в пространстве l N2 . Рассмотрим некоторые базисные системы из этого пространства.

18

Система единичных импульсов Простейшая система базисных векторов в N-мерном пространстве может быть задана единичной матрицей порядка N, т. е. диагональной матрицей размера N × N с единичными диагональными элементами. Каждая строка этой матрицы соответствует единичному импульсу, смещенному на k позиций:

 1 при n = k , 1(n, k ) =  0 при n ≠ k .

(1.7.1)

Любые две строки ортогональны, и норма базисной функции равна 1: N −1

∑ k =0

1 при n = m, 1 (n, k ) ⋅ 1 (m, k ) =  0 при n ≠ m.

(1.7.2)

Дискретные экспоненциальные функции (ДЭФ) Функции (ДЭФ) определяются следующим образом:

WNnk = e

j

2π nk N

.

(1.7.3)

Здесь n и k – целые числа, n, k = 0, 1, K , N − 1, т. е. число функций в системе равно числу отсчетов каждой функции. Вследствие этого, а также в силу линейной независимости, система ДЭФ является полной в пространстве l N2 . Можно формально перейти от (1.6.8) к (1.7.3), если в первой из этих формул положить t = k ∆t , где ∆t – шаг дискретизации по времени. Основные свойства ДЭФ. 1. ДЭФ является комплексной функцией. 2. Матрица WNn k является симметрической. 3. ДЭФ периодична с периодом N по обеим переменным. 4. Система ДЭФ ортогональна: N −1

∑W

nk N

k =0

 N , если n = m, ⋅ WN− m k =   0, если n ≠ m.

(1.7.4)

Ряд Фурье по этой системе

x(k ) =

N −1

∑

X (n) WNn k

,

(1.7.5)

n=0

где коэффициенты Фурье

1 N −1 (1.7.6) ∑ x(k )WN−n k . N n=0 Соотношения (1.7.5) и (1.7.6) определяют пару дискретного преобразования Фурье (ДПФ), которое будет подробно рассмотрено в главе 3. 5. Система ДЭФ мультипликативная: WNn k WNm k = WNl k , (1.7.7) X ( n) =

где l = (n + m) mod N , т. е. индексы суммируются по модулю N . 6. Среднее значение ДЭФ для n ≠ 0 равно нулю:

19

1 N

N −1

∑ WNn k =

k =0

1 WNn N − 1 ⋅ = 0⋅ N WNn − 1

(1.7.8)

7. Комплексно-сопряженные функции WNn k и WN− n k расположены симметрично на интервале N . Действительно, используя свойство периодичности, можно записать WN− n k = WN( N − n ) k . Номера n и ( N − n) являются противоположными по модулю N и расположены симметрично на интервале N . Следовательно, на интервале N фаза ДЭФ ϕ(n) = 2πnk / N является нечетной функцией. Это свойство ДЭФ объясняется их периодичностью относительно номера функции n и отсутствует у комплексных экспоненциальных функций. 8. Система ДЭФ может определяться на любом интервале N как четном, так и нечетном. При четном N N система ДЭФ состоит из двух действительных функций (при n = 0 и n = N / 2 ) и ( − 1) пар 2 комплексно-сопряженных функций. При N нечетном система ДЭФ содержит только одну действительную функцию (при n = 0 ) и ( N − 1) / 2 комплексно-сопряженных пар. 9. ДЭФ можно изобразить на плоскости в виде вращающегося вектора единичной длины (рис. 1.7.1). Если у комплексных экспоненциальных функций этот вектор вращается непрерывно, то у ДЭФ он вращается скачкообразно, проходя при изменении k на единицу угол 2πn / N радиан. В результате на интервале N вектор WNn k проходит угол 2πn радиан, т. е. совершает N оборотов. Вектор комплексносопряженной функции WN− n k = WN( N − n ) k совершает N − n оборотов. Рис. 1.7.1

Частота как скорость нарастания фазы равна n / N для WNn k и ( N − n) / N для комплексно-сопряженной функции WN( N − n ) k . Комплексные экспоненциальные функции (1.6.8) подобным свойством не обладают. 10. Двумерные ДЭФ в прямоугольной системе координат определяются как произведение одномерных:

def n , m (k , q) = e

j

2π (n k + m q) N

.

(1.7.9)

Система Уолша–Адамара Рассмотренные в п. 1.6 функции Уолша задавались целочисленным номером n или p и аргументом

θ, который непрерывно изменялся в интервале [0,1). Так как функции Уолша кусочно-постоянные на  k k +1 ν двоичных участках  ,  ; k = 0, 1, 2, K , N − 1 ; N = 2 , то для аргумента θ достаточно указать N N   принадлежность к определенному участку, т. е. можно рассматривать функции Уолша как функции дискретного аргумента wal(n, k ) или pal( p, k ) . При таком представлении первым N = 2ν функциям Уолша может быть сопоставлена квадратная матрица WN . Элементами i -й строки этой матрицы являются значения i -й функции Уолша (в нумерации Уолша или Пэли) на двоичных участках. Пример таких матриц в случае N = 8 приведён на рис. 1.7.2. а)

б) Рис. 1.7.2. Функции Уолша, упорядоченные по Уолшу, при N = 8:

20

а – непрерывные; б – дискретные

Матрицы WN ортогональны, т. е.

WN WNT = N I, (1.7.10) где I – единичная матрица, а верхний индекс T означает транспонирование. Элементы строк равны ±1, кроме того, матрицы WN симметричны. Рассмотрим теперь ещё одну систему функций Уолша – систему Уолша–Адамара. В этой системе функции Уолша расположены одна под другой в таком порядке, что из них образуется матрица Адамара. Для матриц Адамара порядка N = 2ν существует метод итеративного построения на базе элементарной матрицы порядка 2: HL  H 1 1  H2 =  ; H 2L =  L (1.7.11) .  1 −1 H L −H L  Строки матрицы Адамара представляют значения функций Уолша, расположенных в порядке Адамара (рис. 1.7.3).

а)

б)

Рис. 1.7.3. Функции Уолша, упорядоченные по Адамару, для N = 8: а – непрерывные; б – дискретные

Функции Уолша–Адамара had(h, k ) определяются следующим образом:

had(h, k ) = (−1)λ , λ=

ν −1

∑h

i

(1.7.12)

ki.

i=0

Здесь hi и ki – коэффициенты двоичного представления чисел h и k . Функции had(h, k ) ортогональны:

 N , при h = g ,  при h ≠ g ,

N −1

∑ had (h, k ) had ( g , k ) =  0,

k =0

(1.7.13)

симметричны:

had(h, k ) = had(k , h) , N-периодичны по обеим переменным: had(h, k ) = had( h ± N , k ) = had(h, k ± N ).

Функции Хаара Система функций Хаара {har(r , m, θ)} , где θ = t / T – безразмерное время и t ∈ [0, T ), была введена Хааром в 1910 году как полная ортонормированная система функций в L 2 [0, 1). На рис. 1.7.4а изображены первые восемь функций Хаара.       H3 =      

1

1

1

1

1

1

1

1

1

−1

− 2

0

0

2

2

2

− 2

0

0

0

2

−2

0

0

0

0 0

0 0

2 0

−2 0

0 2

0

0

0

0

0

21

1

1

−1

−1

1  −1  0 0 0   2 − 2 − 2 0 0 0   0 0 0   −2 0 0  0 2 − 2 

б) Рис. 1.7.4. Функции Хаара при N = 8 : а – непрерывные; б – дискретные а)

Функции Хаара можно получить, используя рекуррентное соотношение [29]: har(0, 0, θ) = 1, θ ∈ [ 0, 1) ;

m −1 m − 1/ 2  r/2 ≤θ< ; r 2 , 2 2r  m − 1/ 2 m  har(r , m, θ) =  −2r / 2 , ≤θ< r ; r 2 2  0, при остальных θ ∈ [ 0, 1) ,  

(1.7.14)

где 0 ≤ r < log 2 N и 1 ≤ m ≤ 2r . Функции Хаара дискретного аргумента изображены на рис. 1.7.4б. Каждая строка матрицы H 3 является дискретной функцией Хаара. Полученные таким образом матрицы используются для дискретного преобразования Хаара и обозначаются H n , где n = log 2 N . Функция Хаара har(0, 1, θ) является примером материнского вейвлета. Путём целочисленных двоичных растяжений и двухпараметрических сдвигов одной вейвлет-функции образуется ортогональный базис. Сигналы, как элементы гильбертова пространства, анализируются путём разложения по полученным базисным функциям. При обработке сигналов с изменяющимися частотновременными параметрами (например, речевых сигналов) вейвлет-анализ может оказаться более предпочтительным, чем фурье-анализ. Введение в вейвлет-анализ сигналов рассматривается в п. 1.14.

Вопросы, задачи и упражнения к пп. 1.1–1.7 1. Определить линейное метрическое, нормированное и гильбертово пространства сигналов. 2. Определить линейную зависимость и независимость, а также ортогональность сигналов. 3. Определить обобщенный ряд Фурье. 4. Доказать формулы (1.14), (1.16). 5. Доказать равенство Парсеваля (1.17). 6. Пространство L 2 (T ). Определение и примеры. Ряды Фурье в L 2 (T ). Среднеквадратичная метрика. 7. Множество М состоит из прямоугольных видеоимпульсов длительностью τ и амплитудой А. Образует ли множество М линейное пространство? 8. Пусть {ϕn ; n = 1, 2, K , n} − система линейно независимых функций в L 2 (T ). Обозначим через M n линейное подпространство, натянутое на эти функции. Показать, что представление ∞

x(t ) = ∑ an ϕn (t ), x ∈ M n , t ∈ T n =1

единственно вследствие линейной независимости базисных функций. 9. Используя неравенство Коши–Буняковского (x, y ) ≤ x ⋅ y , доказать, что среднее значение действительной периодической функции всегда меньше или равно её среднеквадратическому значению: T

T

1 1 2 x(t ) dt ≤ x (t ) dt . ∫ T 0 T ∫0 10. Автокорреляционная функция действительного периодического процесса определяется следующим выражением: T 1 Rx (τ) = ∫ x(t ) x(t − τ) dt. T 0 Используя неравенство Коши–Буняковского (x, y ) ≤ x ⋅ y , доказать, что

Rx (τ) ≤ Rx (0). 11. Сигнал x(t ) представляет собой несимметричный треугольный импульс амплитудой A и длительностью τ. Вычислить энергию и норму такого сигнала. 12. Вычислить энергию и норму радиоимпульса, содержащего n периодов косинусоидальной функции

x(t ) = A cos(2π f 0 t + ϕ0 ). Рассмотреть случай n 1. 13. Имеются два сигнала:

x(t ) = sin

πt и y (t ) = AП τ (t ), 0 ≤ t ≤ T , T

22

где П τ (t ) – прямоугольная функция длительностью τ и единичной амплитудой. Выбрать амплитуду A так, чтобы расстояние между двумя сигналами было минимальным. 14. Пусть H – вещественное гильбертово пространство, содержащее сигналы x и y. Доказать, что имеет место равенство параллелограмма 2

2

2

2

x+y + x−y = 2 x +2 y . 15. Доказать минимальное свойство коэффициентов Фурье. 16. Пространство сигналов l N2 . Определение и примеры. Ряды Фурье в l N2 . Среднеквадратичная метрика. 17. Практический смысл полноты ортогональной системы. Равенство Парсеваля в нормированном и ненормированном базисе. 18. Пусть {ϕn ; n = 1, 2, K } − полная ортонормированная система в L 2 (T ). Для любых x и y из L 2 (T ) проверить равенство Парсеваля: ∞

(x, y ) = ∑ (x, ϕn )(ϕn , y ). n =1

19. Функции отсчетов. Определение и основные свойства. Доказать ортогональность функций отсчетов на бесконечном интервале (−∞, ∞). 20. Комплексные экспоненциальные функции и их основные свойства. 21. Функции Уолша. Основные свойства. Построить первые восемь функций системы Уолша. 22. Построить первые восемь функций системы Уолша–Пэли. 23. Матрицы Адамара. Построить первые восемь функций системы Уолша–Адамара. 24. Дискретные экспоненциальные функции (ДЭФ). Основные свойства. 25. Построить матрицу ДЭФ размером 8 × 8 с минимальными фазами. 26. Взаимосвязь номеров функций Уолша в нумерации Уолша, Пэли и Адамара. 27. Для линейно изменяющегося сигнала x(θ) = θ, θ ∈ [0, 1) найти первые четыре коэффициента Фурье по системе Уолша. Найти среднеквадратичную ошибку представления такого сигнала четырьмя первыми членами ряда Уолша–Фурье. 28. Сигнал x(t ) представляет собой симметричный треугольный импульс с амплитудой А и длительностью 2τ . Сигнал y (t ) прямоугольной формы вписан в треугольный. Найти амплитуду y (t ), при которой расстояние между двумя сигналами будет минимальным. Рассмотреть три метрики (1.1), (1.2), (1.3). 29. С использованием среднеквадратичной метрики определить взаимные расстояния между любыми двумя функциями из совокупности первых четырех: а) функций Уолша; б) функций ДЭФ, в) функций Хаара. 30. Построить первые 16 функций Хаара. 31. Изобразить матрицу, соответствующую первым 16 функциям Хаара дискретного аргумента.

1.8. Спектральный метод анализа линейных систем 1.8.1. Преобразование Фурье. Основные свойства Все реальные сигналы имеют конечную удельную энергию: Equation

Chapter 1 Section 8

∞

∫

x (t ) 2 d t < ∞.

(1.8.1)

−∞

Действительно, если x (t ) − напряжение (или ток), действующее на единичном сопротивлении, то интеграл представляет энергию, выделяемую на единичном сопротивлении, и эта энергия конечна. В этом случае x (t ) – функция с интегрируемым квадратом на всей оси. Известно [16], что для существования преобразования Фурье достаточно выполнения следующих условий Дирихле: а) x (t ) ограничена при t ∈ (−∞, ∞); б) x (t ) абсолютно интегрируема на (−∞, ∞ ); в) x (t ) имеет конечное число максимумов и минимумов, а также конечное число разрывов на каждом конечном интервале. Имеет место теорема Планшереля: если x (t ) – функция с интегрируемым квадратом на всей оси, то существует функция X ( f ) также с интегрируемым квадратом на всей оси и связанная с x (t ) соотношением T

X ( f ) = l. i. m. ∫ x(t ) e− j 2 π f t dt , T →∞

23

−T

(1.8.2)

где l.i.m. понимается как предел в среднем (limit in the mean): ∞

lim

T →∞

Аналогично, если

∫

2

T

∫ x (t ) e

X(f )−

−∞

− j 2π f t

d f = 0.

dt

(1.8.3)

−T

X ( f ) – функция с интегрируемым квадратом на всей оси, то существует

функция x (t ) также с интегрируемым квадратом на всей оси и связанная с X ( f ) соотношением W

∫

x(t ) = l. i. m.

X ( f ) e j 2 π f t df .

(1.8.4)

W →∞ −W

В этом случае имеет место равенство Парсеваля: ∞

∫

2

x(t )

∞

dt =

−∞

∫

2

X(f )

df .

(1.8.5)

−∞

Если в дополнение к сказанному функция x (t ) абсолютно интегрируема, то ∞

X(f) =

∫ x (t ) e

− j 2π f t

d t.

(1.8.6)

d f.

(1.8.7)

−∞

Если и функция X ( f ) абсолютно интегрируема, то ∞

x (t ) =

∫ X(f)e

j 2π f t

−∞

Соотношения (1.8.6) и (1.8.7) определяют пару преобразований Фурье (ПФ) соответственно прямое и обратное. Для частоты ω = 2 π f пара ПФ имеет вид ∞

∫ x(t )e

X (ω) =

− jω t

dt ,

(1.8.8)

−∞ ∞

1 j ωt (1.8.9) ∫ X (ω) e d ω. 2π −∞ Интеграл (1.8.8) называется спектральной плотностью, а интеграл (1.8.9) – интегралом Фурье. Интеграл Фурье сходится к значению x (t ) в каждой точке, не имеющей разрыва, и к величине, равной среднему значению лево- и правостороннего пределов в точке разрыва x (t ). Теорема Планшереля имеет важное практическое значение, так как часто приходится использовать финитное преобразование Фурье, т. е. преобразование Фурье с конечными пределами интегрирования. Пара ПФ символически изображается в виде x (t ) =

x(t ) ↔ X (ω), x(t ) ↔ X ( f ). В дальнейшем мы будем использовать обе формы записи ПФ.

Свойства спектральной плотности 1) В общем случае X (ω) – комплексная функция частоты

X (ω) = Re [ X (ω) ] − j Im [ X (ω) ] = A(ω) − jB(ω) = X (ω) e j ϕ ( ω) , где

A(ω) = Re [ X (ω) ] =

∞

∫ x(t ) cos ωt dt ,

−∞

B(ω) = Im [ X (ω) ] =

∞

∫ x(t )sin ωt dt ,

−∞

X (ω) = – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ),

A2 (ω) + B 2 (ω)

B (ω) A (ω) – фазочастотная характеристика (ФЧХ) спектральной плотности сигнала. 2) Свойства симметрии X (ω). Для действительного сигнала (физические сигналы всегда действительные функции) имеет место X (ω) = X *(−ω). ϕ (ω) = −arctg

24

Это означает, что для действительного сигнала A(ω) и X (ω) − чётные функции, а B(ω) и ϕ(ω) − нечётные функции частоты. Если в дополнение к этому x (t ) – чётная функция, то

X (ω) = X (−ω) = A(ω) = X (ω) , т. е. спектральная плотность является действительной и чётной функцией ω. 3) Полезные соотношения. Для действительного сигнала x (t ) имеет место ∞

x (t ) =

∞

1 1 j [ ω t +ϕ ( ω) ] X (ω) e j ω t d ω = dω = ∫ ∫ X (ω) e 2π −∞ 2π −∞

∞

=

1 X (ω) cos [ ω t + ϕ(ω)] d ω. π ∫0

∞

При ω = 0 X (0) =

∫ x(t ) dt

– площадь сигнала.

−∞

∞

При t = 0 x(0) =

1 ∫ X (ω) d ω. 2π −∞

4) Понятие отрицательной частоты. Комплексный гармонический сигнал e j ω t изображают обычно вектором, вращающимся против часовой стрелки. Реальный гармонический сигнал – действительная функция времени: A x(t ) = Re  Ae j ω t  = Acos ω t = ( e j ω t + e − j ω t ) . 2 Его можно представить в виде суммы двух векторов, вращающихся в разные стороны с угловыми скоростями ω и −ω (рис. 1.8.1). Проекции этих векторов на действительную ось складываются, а на мнимую – вычи-таются, компенсируя друг друга. Таким образом, для действительного сигнала обязательно наличие как прямого спектра X + (ω) для ω > 0, так и инверсного X − (ω) для ω < 0, причем, как было отмечено выше:

Рис. 1.8.1

X + (ω) = X (ω), ω > 0 и X − (ω) = X *(−ω) , ω < 0.

Основные спектральные теоремы 1) Свойство линейности (спектр суммы равен сумме спектров) ∞

∫ [ x (t ) + x (t )] e 1

− jω t

2

dt = X 1 (ω) + X 2 (ω).

(1.8.10)

−∞

2) Теорема запаздывания ∞

X τ (ω) =

∫ x(t − τ) e

− jω t

dt = e− j ω τ X (ω).

(1.8.11)

1 * ∫ X1 (ω) X 2 (ω) d ω. 2π −∞

(1.8.12)

−∞

3) Теорема Парсеваля–Релея ∞

∫

∞

x1 (t ) x2* (t ) dt =

−∞

Если сигналы действительные и x1 = x2 = x, то ∞

∫

−∞

∞

x 2 (t ) dt =

∞

1 2 2 X (ω) d ω = 2∫ X ( f ) df . ∫ π0 0

(1.8.13)

Пусть x (t ) − напряжение (или ток), действующее на единичном сопротивлении, тогда функция 2

ψx ( f ) = X ( f ) = X ( f ) ⋅ X * ( f ) (1.8.14) по физическому смыслу представляет спектральную плотность энергии сигнала. Эту плотность иногда называют энергетическим спектром сигнала. Спектральная плотность энергии описывает энергию сигнала на единицу ширины полосы и измеряется в Дж/Гц. 4) Теорема о спектре произведения

25

∞

∞

1 ∞  − jωt jν t x ( t ) ∫−∞ ∫−∞ 2  2π −∞∫ X 1 (ν) e d ν  e dt = ∞ ∞  1 − j ( ω−ν ) t X dt  d ν = (1.8.15) = ( ν )  ∫ x2 (t ) e 1 ∫ 2π −∞  −∞  x1 (t ) x2 (t ) e − j ω t dt =

∞

1 ∫ X 1 (ν) X 2 (ω − ν) d ν = X 1 (ω) ⊗ X 2 (ω), 2π −∞ т. е. спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров. 5) Теорема о спектре свертки. Составим свертку двух функций: =

∞

y (t ) = x1 (t ) ⊗ x2 (t ) =

∫ x ( τ) x (t − τ) d τ 1

2

(1.8.16)

−∞

и вычислим ее спектр: ∞

Y (ω) =

∞

∫  ∫ x

−∞

−∞

1

 ( τ ) x 2 (t − τ ) d τ  e − j ω t d t = 

∞

=

∞  − j ωt x ( ) d t  d τ. τ  ∫ x2 (t − τ) e 1 ∫−∞  −∞ 

Делая замену ϑ = t − τ, получаем ∞

∫

Y (ω) =

∞

x1 (τ) e − j ω τ d τ

−∞

∫x

2

(ϑ) e − j ω ϑ d ϑ = X 1 (ω) X 2 (ω), (1.8.17)

−∞

т. е. спектр свёртки двух сигналов равен произведению их спектров. Эта теорема имеет большое значение в задачах фильтрации сигналов. Пусть, например, x (t ) – входной сигнал линейного фильтра, а h (t ) − импульсная характеристика фильтра ПФ

ПФ

(по определению отклик на дельта-импульс) и пусть x(t ) ↔ X (ω), h(t ) ↔ H (ω). Тогда по теореме о спектре свертки для выходного сигнала фильтра имеем: ∞

y (t ) =

ПФ

∫ x(τ) h (t − τ) dt = x(t ) ⊗ h(t ) ↔ X (ω) H (ω).

(1.8.18)

−∞

Операцию фильтрации часто проще реализовать в частотной области, чем во временной. 6) Автокорреляционная функция и её спектр. Эта функция для действительного сигнала x(t ) определяется следующим образом: ∞

Rx (τ) =

∫ x(t ) x(t + τ) dt.

(1.8.19)

−∞

Она показывает меру похожести сигнала с его копией, смещённой на τ единиц времени. Переменная τ играет роль параметра сканирования или поиска. Rx (τ) − это не функция времени, а функция смещения τ между сигналом и его копией. Используя (1.8.12), легко показать, что для действительного сигнала x(t ) его автокорреляционная 2

функция Rx (τ) и спектральная плотность энергии ψ x (ω) = X (ω) связаны парой ПФ:

Rx (τ) ↔ ψ x (ω).

(1.8.20)

1.8.2. Импульсные воздействия в линейных системах Особое значение имеет анализ прохождения импульсных сигналов через линейные инвариантные во времени системы (ЛИВС). В качестве примеров таких систем могут быть линейные фильтры и усилители, различные системы передачи и др. Процессы, протекающие в системах при импульсных воздействиях, называются переходными. Можно выделить три основных метода анализа переходных процессов, вызываемых импульсным воздействием. 1. Спектральный метод (метод интеграла Фурье). 2. Операторный метод, развиваемый на основе преобразования Лапласа. 3. Суперпозиционный метод, основанный на представлении импульсного воздействия как суперпозицию элементарных сигналов некоторой «стандартной» формы. В качестве таких стандартных сигналов выбираются функция включения и δ-импульс. Процедура анализа спектральным методом включает:

26

определение спектральной функции X (ω) входного импульсного сигнала x(t ) с помощью прямого преобразования Фурье; определение комплексной передаточной характеристики H (ω) линейной системы; определение спектральной функции Y (ω) = X (ω) H (ω) на выходе системы; определение выходного сигнала y (t ) по найденной спектральной функции Y (ω) с помощью обратного преобразования Фурье. Таким образом, анализ переходного процесса, вызываемого импульсным воздействием, сводится к анализу (с последующим суммированием) стационарных решений, выражающих результат воздействия на систему простых гармонических составляющих, каждая из которых действует от t = −∞ до t = ∞. Единственным условием, которое при этом следует соблюдать, является то, что система должна быть линейной, т. е. допускающей применение к ней принципа наложения (суперпозиции). Заметим, что в ряде случаев могут возникнуть математические трудности, особенно на последнем этапе (получающиеся сложные интегралы не берутся). Однако при этом имеются две возможности: – качественная оценка выходного сигнала по его найденной спектральной функции; – приближённое определение формы выходного сигнала методом численного интегрирования. Помимо задач, связанных с анализом переходных процессов в ЛИВС, иногда ставится задача синтеза системы, обладающей требуемой передаточной характеристикой и позволяющей получить на выходе сигнал заданной формы при определённом воздействии на систему. Для метода интеграла Фурье анализ спектров импульсных сигналов имеет особое значение.

1.8.3. Спектры импульсных сигналов Спектр одиночного прямоугольного импульса Рассмотрим симметричный одиночный прямоугольный импульс амплитудой E и длительностью τ (рис. 1.8.2а). Спектральная функция такого импульса τ/2 sin ωτ2 E − jωt τ / 2 . (1.8.21) X (ω) = ∫ E e − jωt dt = − e −τ / 2 = E τ ωτ jω 2 −τ / 2 АЧХ есть непрерывная функция частоты (рис. 1.8.2б). а)

б)

в)

Рис. 1.8.2. а – симметричный прямоугольный импульс, б – амплитудный спектр, в – фазовый спектр

Ширина главного лепестка X (ω) на нулевом уровне составляет 4π / τ . Максимум главного лепестка равен площади импульса Eτ , а максимумы боковых лепестков – 2E τ , (2n + 1)π где n = 1, 2, 3, K – номер бокового лепестка. ФЧХ (рис. 1.8.2в) учитывает изменение знака синуса. В качестве примера на рис. 1.8.3 изображены (для положительных частот) амплитудный и фазовый спектры прямоугольного импульса длительностью τ = 1 мс и амплитудой E = 1 В. АЧХ показана на рис. 1.8.3а, ФЧХ симметричного импульса – на рис. 1.8.3б. Здесь также учтено изменение знака Рис. 1.8.3 синуса.

27

Однако для импульса, задержанного на τ / 2 , спектральная функция

X ( f ) = Eτ

sin π f τ − j π f τ e πf τ

отличается наличием фазового множителя e − j π f τ и ФЧХ имеет вид, представленный рис. 1.8.3в. Действительно 1 ϕ( f ) = −π f τ, 0 ≤ f < ; τ 1 2 ϕ( f ) = −π f τ − π, ≤ f < ; τ τ 2 3 ϕ( f ) = −π f τ − 2π , ≤ f < . τ τ

Спектр симметричного треугольного импульса Параметры импульса приведены на рис. 1.8.4а. Спектральную функцию проще всего найти, используя теорему о спектре производной. Для производной (рис. 1.8.4б) спектральная функция равна

X 1 (ω) = E а)

 sin π2f τ  j π 2f τ sin 2 π2f τ − j π2f τ e  = 2 j Eπ f τ ⋅ − e = j 2π f X ( f ). πf τ πf τ 2   2 2   2

( )

б)

в)

Рис. 1.8.4

Из последнего равенства получаем окончательно для спектра симметричного треугольного импульса 2 πf τ

X(f ) =

E τ sin ⋅ πf τ 2

2 2

( )

.

(1.8.22)

2

Эта спектральная функция является чётной и вещественной (рис. 1.8.4в). Фазовый спектр чисто нулевой.

Спектр косинусоидального импульса Косинусоидальный импульс (рис. 1.8.5а) записывается в виде π τ   E cos t при t ≤ , x (t ) =  τ 2  0 при других t.

Рис. 1.8.5

После двукратного дифференцирования сигнала x(t ) мы

28

получим исходный сигнал, умноженный на

− ( π / τ) 2 ,

и две дельта функции ( E π / τ)δ(t + τ / 2)

и

( E π / τ)δ(t − τ / 2). Дважды применяя теорему о спектре производной, с учётом спектра двух смещённых дельта-функций можем записать −(π / τ)2 X (ω) + ( E π / τ)(e

j

ωτ 2

+e

−j

ωτ 2

) = ( j ω) 2 X (ω),

откуда

 2π  cos(ωτ / 2) . X (ω) =  E  2 2  τ  (π / τ) − ω

(1.8.23)

Таким образом, спектральная функция косинусоидального импульса является вещественной. АЧХ показана на рис. 1.8.5б.

Спектр одностороннего экспоненциального импульса Такой импульс задаётся функцией

при

 E exp(−αt ), t ≥ 0, x (t ) =  t<0  0, положительном вещественном

значении параметра α.

Рис. 1.8.6

Это сигнал бесконечной длительности, однако условие α > 0 обеспечивает быстрое уменьшение его значений с ростом времени (рис. 1.8.6а). Спектральная плотность импульса ∞

X ( f ) = E ∫ e −α t e − j 2 π f t dt = 0

∞ 1 e − ( α+ j 2 π f ) t 0 − (α + j 2 π f )

(1.8.24) есть комплексная X ( f ) = X ( f ) exp[ j ϕ( f )],

функция имеющая

модуль (амплитудный спектр) E X(f ) = (1.8.25) 2 α + (2π f ) 2 и аргумент (фазовый спектр)

ϕ( f ) = −arctg(2π f / α ),

(1.8.26)

которые изображены на рис. 1.8.6б. Эквивалентным заданием спектральной функции X ( f ) является пара функций Re[ X ( f )] и Im[X ( f )], графики которых представлены на рис. 1.8.6в. Эти графики иллюстрируют свойство симметрии преобразования Фурье любой действительной функции. X ( f ) и Re[ X ( f )] являются чётными функциями, тогда как ϕ( f ) и Im[X ( f )] – нечётными.

Спектр двустороннего экспоненциального импульса Этот импульс задаётся функцией −α t x(t ) = Ee , которая показана на рис. 1.8.7а. Его можно выразить через выше рассмотренный односторонний импульс x1 (t ) следующим образом:

x(t ) = x1 (t ) + x1 (−t ). С учётом этого

29

X (ω) = X 1 (ω) + X 1∗ (ω) = E E 2 E α (1.8.27) + = 2 . (α + jω) (α − j ω) α + ω2

= Спектр чисто вещественный и изображён на рис. 1.8.7б.

Рис. 1.8.7

Спектр колокольного импульса Следующий важный сигнал – колокольный или гауссов импульс: 2

x (t ) = e − ( β t ) , (1.8.28) который имеет бесконечную протяжённость (рис. 1.8.8а). Эффективную длительность импульса можно определить, например, из условия exp[−β2 (τ / 2) 2 ] = 0,1. Тогда получаем τ=

2 − ln 0,1 3, 035 . = β β

Спектральная плотность импульса

∞

X (ω) =

∫e

− ( β2 t 2 + j ω t )

d t.

−∞

Рис. 1.8.8. а – гауссов импульс, б – его спектр

Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы воспользоваться табличным интегралом ∞

∫e

−ξ2

d ξ = π,

−∞

который получается из условия нормировки гауссова закона распределения. Выделяя полный квадрат ω2 ω2 jω ω2 β2 t 2 + jωt = β2 t 2 + j ωt − 2 + 2 = (β t + ) 2 + 2 , 4β 4β 2β 4β можем записать 2

X (ω) = e − ( ω

/ 4 β2 )

∞

∫e

− (β t + j ω / 2β )2

dt.

−∞

Введём новую переменную ξ = β t +

jω , тогда dt = d ξ / β и 2β 2

2

∞

2 e −ω / 4β π − ( ω / 2 β )2 , (1.8.29) e −ξ d ξ = e ∫ β −∞ β т. е. спектральная плотность гауссова импульса вещественна и является гауссовой функцией частоты (рис. 1.8.8б). Чем больше β тем короче сигнал и тем шире его спектр.

X (ω) =

Спектр короткого одиночного импульса Функция x (t ), представляющая короткий импульс произвольной формы, равна нулю вне некоторого малого интервала τ около t = 0, поэтому τ/2

X (ω) =

∫

−τ / 2

τ/2

x(t ) e − jωt dt ≅

∫

x(t ) dt = const = площадь импульса.

−τ / 2

Здесь учтено, что при малых τ можно считать e ± jωτ / 2 ≅ 1. Таким образом, спектр короткого импульса есть непрерывная функция частоты, имеющая постоянное значение, равное площади импульса, форма импульса может быть произвольной. Следует заметить, что e ± jωτ / 2 мало отличается от единицы при 2π ωτ / 2 1 или τ T = . ω

30

Отсюда следует важный практический вывод: короткий одиночный импульс произвольной формы имеет сплошной спектр, который может быть выражен постоянной величиной, пропорциональной площади импульса, в пределах того интервала частот, период колебаний которых остается большим по сравнению с длительностью импульса.

Связь между длительностью импульса и шириной его спектра Как видно из предыдущих примеров, импульсы ограниченной длительности имеют бесконечно протяжённый спектр. Практически под эффективной шириной спектра ∆ωэ принимают область частот, в пределах которой сконцентрировано 90÷99% энергии сигнала. Аналогично можно ввести понятие эффективной длительности τэ импульсных сигналов бесконечной протяженности, таких, как колокольный и экспоненциальный импульсы и др. В этом случае величины τэ и ∆ωэ находятся из выражений τэ 2

∫τ

−

э

2

∆ωэ

1 ∞  1 2 2 2 x 2 (t )dt = a ∫ x 2 (t )dt и a  X ( ω ) d ω X (ω) d ω. = ∫ ∫ π π 2 2 ∆ω  −∞  −∞ − э ∞

2

Для a = 0,9 в таблице 1.8.1 приведены значения произведений τэ ⋅ ∆f э у распространённых на практике импульсов [19]. Из таблицы видно, что произведение τэ ⋅ ∆f э оказывается наибольшим для разрывных сигналов (прямоугольного и экспоненциального); меньшее значение τэ ⋅ ∆f э получается у импульсов с разрывом первой производной (треугольного и косинусоидального). Наконец, наименьшее значение τэ ⋅ ∆f э оказывается у колокольного импульса, для которого выражающая его функция x (t ) непрерывна со всеми своими производными. Из изложенного можно заключить, что невозможно одновременно сконцентрировать сигнал в узкой полосе частот и в коротком интервале времени. Т а б л и ц а 1.8.1 Импульс

Ри с.

Прямоугольный

1. 8.2 1. 8.4

1τ

1. 8.5

6τ

Треугольный Косинусоидальн ый Экспоненциальн

1. 8.6 1. 8.8

ый Колокольный

Это утверждение неопределённости:

τэ 0,9

τ

∆ωэ

∆f э

5,1

0,8 1/τ 0,8 4/τ 0,7 3/τ 0,9 8α 0,2 6β

/τ

0,54

5,3

/τ 0,59

4,57

/τ 1,15

/α

α

0,83

/β

6,16 1,64

β

представляет собой одно

из

τэ ∆

э

0, 73 0, 46 0, 43 1, 13 0, 22

проявлений

известного

в

физике

τ э ⋅ ∆ f э ≥ µ,

принципа (1.8.30)

где µ – постоянная, зависящая от выбора определений τэ и ∆f э . Рассмотрим определения для τэ и ∆f э , основанные на понятии о моментах функции. За меру длительности импульса можно принять величину ∞

∫ (t − t ) 0

τ2эф =

2

x 2 (t )dt

−∞

∞

∫x

2

,

(t ) dt

−∞

∞

где t0 =

2 ∫ t x (t ) dt

−∞

∞

∫x

2

(t ) dt – нормированный первый момент (середина импульса), τ2эф – нормированный

−∞

второй центральный момент. Аналогично, мера ширины спектра

31

∞

(∆ ωэф ) 2 =

∞

1 2 2 ∫ (ω − ω0 ) X (ω) d ω 2π −∞

1 2 ∫ X (ω) d ω , 2π −∞

1 2 ω X (ω) d ω. ∫ 2π Принцип неопределенности записывается в виде ω0 =

1 , (1.8.31) 2 т. е. длительность импульса и ширина его спектра не могут одновременно иметь произвольно малое значение. Наименьшее значение τэф ∆ ωэф = 1/ 2 соответствует колокольному импульсу. τэф ∆ ωэф ≥

Замечание. Метод моментов применим не ко всем сигналам. Сигнал x (t ) с увеличением t должен убывать быстрее, чем 1/ t , а спектр X (ω) – быстрее, чем 1/ ω, т. к. в противном случае соответствующие интегралы расходятся. В частности, это относится к спектру прямоугольного импульса. Итак, при заданной форме сигнала сжатие его во времени неизбежно сопровождается расширением спектра и, наоборот, сжатие спектра сопровождается растяжением сигнала во времени. Принцип неопределенности – фундаментальный принцип, используемый при синтезе и обработке импульсных сигналов.

1.8.4. Дельта-функция и её спектр Введём в рассмотрение дельта-функции Дирака. Их корректное определение даётся в теории обобщённых функций [5–7]. Здесь мы воспользуемся некоторыми полезными свойствами этих функций. Дельта-функция Дирака по определению равна бесконечности, когда её аргумент равен нулю, и нулю – при остальных значениях, причём площадь под её графиком равна единице. Таким образом, ∞ при t = t0 , δ(t − t0 ) =  (1.8.32)  0 при t ≠ t0 и t0 +ε

∫

δ(t − t0 ) dt = 1 при любом ε > 0.

(1.8.33)

t0 −ε

Из последнего соотношения следует, что дельта-функция имеет размерность, обратную размерности её аргумента. Часто желательно определять эту функцию так, чтобы она была чётной функцией своего аргумента:

δ(t − t0 ) = δ(t0 − t ),

(1.8.34)

в этом случае t0 + ε

t0

∫ t −ε

δ(t − t0 ) dt =

0

∫ t

δ(t − t0 ) dt =

0

1 , ε > 0. 2

(1.8.35)

Предположим, что дельта-функция интегрируема по интервалу (−∞, t ). Тогда t

∫ δ( τ − t

0

) d τ = σ(t − t0 ),

(1.8.36)

−∞

где σ(t − t0 ) – функция единичного скачка или функция Хевисайда:

 0 при t < t0 ,  σ(t − t0 ) = 1/ 2 при t = t0 , (1.8.37)  1 при t > t .  0 Таким образом, функция единичного скачка является интегралом от дельта-функции. Следовательно: σ′(t − t0 ) = δ(t − t0 ). (1.8.38) а)

б)

32

Рис. 1.8.9. а – дельта-функция, б – функция единичного скачка

Рассмотрим три импульса (рис. 1.8.10), cхожие тем, что площади их равны единице.

Рис. 1.8.10. Импульсы, обращающиеся в дельта-функцию, при стремлении их длительности к нулю

Введём предельные соотношения:

lim П τ (t ) = δ(t ); τ→ 0

lim τ→ 0

1 2π τ

exp(−

t2 ) = δ(t ); 2τ2

πt τ = δ(t ). lim τ→ 0 πt Каждая из приведённых аппроксимирующих функций (импульсов) является простым и физически наглядным прототипом дельта-функции. Однако следует отметить, что дельта-функция не является ни функцией в классическом смысле, ни импульсом, а является обобщенной функцией. Известно так называемое фильтрующее свойство дельта-функции, заключающееся в том, что её свёртка с любой ограниченной и непрерывной в точке t0 функцией x(t ) равна sin

b

∫ a

x(t0 ),   x(t )δ(t − t0 ) dt = (1 / 2) x(t0 ),  0, 

a < t 0 < b, t0 =a или t0 =b,

(1.8.39)

t0 < a, t0 > b.

Если функция x(t ) в точке t = t0 имеет разрыв (первого рода), то b

∫

x(t ) δ(t − t0 ) dt = (1 / 2)[ x(t0 + ) + x(t0 − )], a < t0 < b, (1.8.40)

a

где x(t0 + ) и x(t0 − ) – значения x(t ) справа и слева от точки разрыва. Доказательство (1.8.39) получается, если под знак интеграла подставить вместо δ(t − t0 ) любую аппроксимирующую её функцию (рис. 1.8.10), а затем перейти к пределу. Если a – действительная величина, то выполняются следующие равенства: ∞

∫ x(t ) δ(t − a) dt = x(a),

(1.8.41)

−∞

x(t ) ⊗ δ(t − a) = x(t − a ),

(1.8.42) x(t ) ⋅ δ(t − a) = x(a) ⋅ δ(t − a ),

δ[(t − t0 ) / a] = a δ(t − t0 ) и δ(at − t0 ) =

t 1 δ(t − 0 ). a a

(1.8.43) (1.8.44)

На основании (1.8.41) находим, что ∞

∫

δ(t )e − j 2 π f t dt = e0 = 1,

(1.8.45)

−∞

т. е. спектр дельта-функции постоянен на всех частотах. Отсюда еще одно полезное соотношение (обратное ПФ): ∞

δ(t ) =

∫e

−∞

33

j 2π f t

df.

(1.8.46)

Аналогично, из того, что 1 ↔ δ( f ), можем записать ∞

δ( f ) =

∫e

− j 2π f t

dt ,

(1.8.47)

−∞

∞

δ( f − f 0 ) =

∫e

− j 2 π ( f − f0 ) t

dt ,

(1.8.48)

−∞

e j 2 π f0 t ↔ δ( f − f 0 ). (1.8.49) Из последних соотношений видно, что спектр единичной константы есть дельта-функция, сосредоточенная в нуле, а спектр комплексной экспоненты e j 2π f0 t – одиночная дельта-функция, сосредоточенная в точке f 0 . Для частоты ω = 2πf соответствие (1.8.49) записывается в виде e j ω0 t ↔ 2πδ(ω − ω0 ).

(1.8.50)

Производные от дельта-функций Производные от дельта-функции определяются как пределы соответствующих производных от аппроксимирующих функций. Так, например, в случае гауссовой аппроксимации для n-й производной от дельта-функции получаем следующее определение:  1 d n − t 2 / 2 τ2  δ( n ) (t ) = lim  e (1.8.51) . n τ→ 0  τ 2π dt  Так же как и сама дельта-функция, её производные равны нулю при t ≠ 0. Поведение производных при t = 0 несколько сложнее. Так, например, первая производная t 1 2 2 lim 2 e − t / 2 τ δ ′(t ) = − τ→ 0 τ 2π равна +∞ при подходе к началу координат слева ( t = 0− ) и равна −∞ при подходе справа ( t = 0+ ). Таким образом, в окрестности t = 0 поведение δ ′(t ) сравнимо с поведением функции −1 / t. Фильтрующее свойство дельта-функции распространяется также и на её производные: ∞

∫

x(t ) δ( n ) (t − t0 ) dt = (−1) n x ( n ) (t0 ).

(1.8.52)

−∞

Если производная x ( n ) (t ) терпит разрыв (первого рода) в точке t = t0 , то ∞

(−1) n ( n ) [ x (t0 + ) + x ( n ) (t0 − )]. ∫ 2 −∞ Спектр производной дельта-функции получаем с использованием (1.8.52) ∞  d n e − j ωt  (n) n − j ωt0 − j ωt δ ( t − t ) e dt = .   = ( j ω) e 0 ∫−∞ n  dt t = t0 x(t ) δ( n ) (t − t0 ) dt =

(1.8.53)

(1.8.54)

Отсюда видно, что если t0 = 0, то

δ( n ) (t ) ↔ ( j ω) n .

(1.8.55)

1.8.5. Спектры некоторых неинтегрируемых сигналов Спектр действительного гармонического сигнала Используя формулу Эйлера и соотношение (1.8.49), можем записать A j 2π f0 t A − j 2π f 0 t A cos 2π f 0 t = (e +e ) ↔ [δ( f − f 0 ) + δ( f + f 0 )], 2 2 (1.8.56)

A j 2π f0 t A − j 2π f 0 t A sin 2π f 0 t = (e −e )↔ [δ( f − f 0 ) − δ( f + f 0 )]. 2j 2j Таким образом, модуль спектра действительного гармонического сигнала с частотой

f0 и

амплитудой A представляет собой пару дельта-функций с весом A / 2, расположенных на частотах ± f 0 . Для частоты ω = 2π f соответствие (1.8.56) записывается в виде

A cos ω0 t =

A jω0 t − jω t (e + e 0 ) ↔ Aπ[δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )], 2

34

(1.8.57)

A jω0 t Aπ − jω t A sin ω0 t = (e −e 0 ) ↔ [δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )]. 2j j

Спектр функции включения Функция σ(t ) была определена соотношениями (1.8.36) – (1.8.38). Возьмём функцию y (t ) = e−αt ⋅ σ(t ), где параметр α > 0 выбирается так, чтобы функция была абсолютно интегрируемой, т. е. ∞

∫

e−αt ⋅ σ(t ) dt < ∞.

0

Тогда ∞

Y (ω) = ∫ e−( α+ jω) t dt = 0

1 . α + jω

Следовательно:

 1  1 σ(t ) ↔ lim  . = α→ 0 α + j ω   jω Переход к пределу справедлив при всех частотах, кроме ω = 0. С другой стороны, функция включения имеет постоянную составляющую (1 / 2) ↔ πδ(ω), поэтому можем записать окончательно: 1 1 σ(t ) ↔ πδ(ω) + = πδ(ω) − j . (1.8.58) jω ω

Рис. 1.8.10

Действительная и мнимая части спектра функции включения изображены на рис. 1.8.10.

Спектр функции знака Эта функция определяется выражением

 +1 , t > 0, sgn t =   −1 , t < 0. Её связь с функцией включения поясняет рис. 1.8.11. Рис. 1.8.11

Видно, что 1 1 1 sgn t = σ(t ) − 1/ 2 ↔ =−j . 2 jω ω Отсюда окончательно

sgn t ↔

2 1 =−j . jω πf

Спектр чисто мнимый, как у всякой нечётной функции.

1.8.6. Примеры нахождения спектров Спектр сигнала на выходе интегратора Упражнение 1.8.1. Найдём спектр функции

35

(1.8.59)

t

∫ x(τ)d τ.

y (t ) =

−∞

Представим интеграл в виде свёртки: ∞

y (t ) =

∫ x(τ)σ(t − τ)d τ.

−∞

По теореме о спектре свёртки с учётом (1.8.58) можем написать

Y (ω) = πδ(ω) X (0) +

X (ω) . jω

(1.8.60)

Упражнение 1.8.2. Определить спектральную плотность сигнала на выходе реального интегратора t

u (t ) =

1 x(τ)d τ. T t −∫T

Здесь T > 0 – фиксированный параметр. Этот определённый интеграл равен разности двух значений первообразной: одно при аргументе t , а другое – при аргументе t − T : t

1 1 x(τ)d τ = [ y (t ) − y (t − T )]. ∫ T t −T T

u (t ) =

Используя спектр первообразной (1.8.60) и теорему запаздывания, получаем

u (t ) =

1 T

t

∫ t

x(τ)d τ ↔ U (ω) =

−T

X (ω) sin(ωT / 2) − j ωT / 2 (1 − e − j ωT ) = X (ω) e . (1.8.61) j ωT ωT / 2

Здесь e − j ωT – оператор задержки на T . Модуль знаменателя линейно растёт с частотой, а величина (1 − e− jωT ) ограничена по модулю. Поэтому интегратор подобно фильтру нижних частот ослабляет высокие частоты в спектре входного сигнала X (ω).

Спектр отрезка синусоиды Упражнение 1.8.3. Определим спектр отрезка синусоиды, состоящего из целого числа периодов:

sin ω0 t , − τ / 2 ≤ t ≤ τ / 2, x (t ) =  t > τ / 2,  0, где τ = NT0 = N 2π / ω0 , N – целое. Представим x(t ) в виде x(t ) = s (t ) ⋅ y (t ). Здесь s (t ) = sin ω0 t , − ∞ ≤ t ≤ ∞, а y (t ) – симметричный прямоугольный импульс длительностью τ и амплитудой 1. Мы уже знаем, что

S (ω) =

π sin ωτ / 2 [δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )] и Y (ω) = τ . j ωτ / 2

По теореме о спектре произведения можем записать ∞

X (ω) = S (ω) ⊗ Y (ω) =

∫ S (Ω)Y (ω − Ω)d Ω =

−∞ ∞

=

π π ∫ [δ(Ω − ω0 ) − δ(Ω + ω0 )]Y (ω − Ω)d Ω = j [Y (ω − ω0 ) − Y (ω + ω0 )] = j −∞ =

sin(ω + ω0 )τ / 2  π  sin(ω − ω0 )τ / 2 −τ τ . j  (ω − ω0 )τ / 2 (ω + ω0 )τ / 2 

(1.8.62)

Для случая τ = 4π / ω0 (два периода синуса) на рис. 1.8.12 изображены смещённые ядра Дирихле Y (ω − ω0 ) и

−Y (ω + ω0 ) и модуль результирующего спектра X (ω) .

36

Рис. 1.8.12. Спектр отрезка из двух периодов синусоиды Как видно, боковые лепестки смещённых ядер, примыкающие к началу координат, синфазно складываются, в результате спектр отрезка синусоиды X (ω) при ω > 0 является ассиметричным: левый лепесток больше правого. Для отрезка косинусоиды, наоборот, правый лепесток будет больше левого.

Спектр пачки равноотстоящих импульсов Упражнение 1.8.4. Найдём спектр пачки равноотстоящих импульсов. Для определённости возьмём пачку из

N прямоугольных импульсов (рис. 1.8.13).

Рис. 1.8.13 Обозначим через X 1 (ω) спектральную плотность первого импульса. Тогда для группы из N импульсов в соответствии с теоремой запаздывания будем иметь

равноотстоящих

N −1

X (ω) = X 1 (ω)[1 + e− j ωT + e − j ω 2T + K + e − j ω ( N −1)T ] = X 1 (ω) ∑ e− j ω kT . k =0

На частотах ω = n 2π / T , где n – целое, каждое слагаемое в квадратных скобках равно единице, следовательно:

X (ω = n2π / T ) = NX 1 (ω = n2π / T ). Таким образом, на частотах ω = n 2π / T модуль спектра пачки в N раз больше модуля спектра одиночного импульса. Это объясняется тем, что на частотах ω = n 2π / T спектральные компоненты различных импульсов складываются с фазовыми сдвигами, кратными 2π. Суммируя N членов геометрической прогрессии, получаем

1 − e − jωNT e − jωNT / 2 [e jωNT / 2 − e − jωNT / 2 ] = X 1 (ω) − jωT / 2 jωT / 2 − j ωT / 2 = − j ωT e 1− e [e −e ] sin ω NT / 2 = X 1 (ω)e− jω( N −1)T / 2) . sin ωT / 2 X (ω) = X 1 (ω)

Видно, что на частотах ω = m 2π / NT , где m – целое, X (ω) = 0. Подставляя сюда значение

X 1 (ω) = E τ

sin ωτ / 2 − j ωτ / 2 e , ωτ / 2

где τ – длительность отдельного импульса, получаем окончательно для спектра пачки из N прямоугольных импульсов:

X (ω) = e − j ω[( N −1)T / 2 +τ / 2] E τ

sin ωτ / 2 sin ωNT / 2 . ωτ / 2 sin ωT / 2

равноотстоящих (1.8.63)

Для иллюстрации на рис. 1.8.14а изображён модуль спектра пачки из трёх прямоугольных импульсов, а на рис. 1.8.14б – из четырёх. При этом интервал между соседними импульсами T = 3τ. Пунктиром изображён модуль спектра одиночного импульса. С увеличением числа импульсов в пачке спектральная плотность X (ω) при N → ∞ принимает дискретную структуру спектра периодической функции (рис. 1.9.2). Нетрудно обобщить этот результат на произвольную форму одиночного импульса.

37

Рис. 1.8.14. Модуль спектра пачки прямоугольных импульсов: а – три импульса в пачке, б – четыре импульса в пачке

В заключении этого параграфа приведём сводку основных свойств преобразования Фурье. Их можно рассматривать как задачи и упражнения для самостоятельной работы.

Сводка основных свойств ПФ Т а б л и ц а 1. 8. 2

№

Сигнал x(t )

Спектр X ( f )

1 f  x (at ) ↔ ⋅ X   a a теорема об изменении масштаба

1

x(t ) ⋅ e ± j 2 π f0 t

↔ X ( f m f0 )

2 теорема смещения

dx (t ) dt

3

4

↔

t ⋅ x (t )

j 2 πf ⋅ X ( f )

↔

−

t

5

y (t ) =

∫ x (τ) dt

↔

Y( f ) =

−∞

1, t > 0 σ(t ) =  0, t < 0

6

↔

1

0

τ

1 j πf

↔

 sin πf τ  λ τ (t ) ↔ τ ⋅    πf τ 

8

−τ

X ( f ) X (0) ⋅ δ ( f ) + j 2 πf 2

1 δ( f ) + j 2πf 2

 1, t > 0 Sgn(t ) =   −1, t < 0

7

1 dX ( f ) ⋅ j 2 π df

t

9

sin 2πf 0 ↔

1  δ ( f − f 0 ) − δ ( f + f 0 )  2j

10

cos 2πf 0 ↔

1 δ ( f − f 0 ) − δ ( f + f 0 )  2

11

e−α t ⋅ σ(t ) ↔

1 , α>0 α + j 2πf

38

2

12

e

13

e

t  −π  τ

2

−α t

↔ τ⋅ e− π ( f τ) ↔

1 α 2 + (2π f ) 2

↔

− j Sgnf

14

1 πt

15

t ⋅ e−α t ⋅ σ(t ) ↔

16

t

jδ′( f ) 2π

1 [ δ(t + t0 ) − δ(t − t0 )] ↔ 2

18

x(t ) cos 2π f 0 t ↔ ∞

∑ x(t − kT )

1 , α>0 (α + j 2πf ) 2

↔

17

19

j sin 2π f t0 1 [ X ( f + f 0 ) + X ( f − f 0 )] 2 1 ∞ n n  ∑ X   ⋅ δ  f − T  T n =−∞  T  

↔

k =−∞

20

∞

2

1

∞

∞ n  X  f −  = ∑ x (kT ) e − j 2 π f k T T  k = −∞  k = −∞

∑ x(kT ) δ (t − kT ) ↔ T ∑

k = −∞

1.9. Спектры периодических сигналов Спектр гармонического сигнала

Рассмотрим функцию x (t ) = e j ω 0 t ,

−∞ < t < ∞,

представляющую в комплексной форме гармонический сигнал с частотой ω0 . Используя приведенные выше интегральные соотношения для дельта-функции, можем записать: Equation Chapter 1 Section 9 e jω 0 t ↔

∞

∫e

− j ( ω−ω0 ) t

dt = 2πδ(ω − ω0 ).

(1.9.1)

−∞

Это важное соотношение мы используем для получения спектральной функции периодического сигнала. Для действительных гармонических сигналов с учётом формул Эйлера имеет место cos ω0 t ↔ π [ δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )] , sin ω0 t ↔

39

π [ δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )] . j

(1.9.2) (1.9.3)

Спектр T-периодического сигнала

Такой сигнал может быть представлен своим рядом Фурье: x (t ) =

∞

∑ n

An e

j

2π nt T

=

= −∞

∞

∑ n

A n e j n ∆ ωt ,

(1.9.4)

= −∞

где по определению T /2

An =

есть коэффициенты Фурье, а ∆ ω =

1 x(t ) e− j n ∆ ωt dt T −T∫/ 2

2π T

– расстояние между гармониками в спектре T-

периодического сигнала. Предполагается, что функция x (t ) удовлетворяет условиям Дирихле, т. е. x (t ) или непрерывная, или имеет конечное число разрывов на интервале [ −T / 2, T / 2] , и число максимумов и минимумов на этом интервале конечно. Чтобы получить спектральную функцию T-периодического сигнала, воспользуемся приведенным выше выражением для спектра комплексного гармонического сигнала. Тогда ∞

∑

x (t ) =

An e

j n ∆ ωt

↔ 2π

n = −∞

∞

∑

(1.9.5)

An δ(ω − n∆ ω).

n = −∞

Таким образом, спектральная функция T-периодического сигнала имеет дискретную структуру в виде взвешенной последовательности дельта-функций. Площади отдельных δфункций равны соответствующим коэффициентам Фурье, а период следования на частотной оси ∆ ω = 2π / T . Такое представление спектра периодического сигнала является удобной математической идеализацией, как впрочем идеализацией является и сам периодический сигнал. Размерность дискретного амплитудного спектра An имеет размерность самого сигнала, в то время как спектральная функция X (ω) непериодического сигнала имеет размерность самого сигнала, умноженную на размерность времени. Средняя мощность периодического сигнала T /2

Px =

T /2

1 1 2 x(t ) dt = x(t ) ⋅ x * (t ) dt = T −T∫/ 2 T −T∫/ 2 =

∞

T /2

∞

∑ m∑ n = −∞

An A*m

= −∞

1 e T −T∫/ 2

j n ∆ ωt

⋅ e− j m ∆ ωt dt =

∞

∑ n

An

2

(1.9.6)

= −∞

определяется суммой мощностей всех его спектральных компонент. Формула (1.9.6) есть равенство Парсеваля для периодического сигнала. Выделим один период x (t ):  x(t ) , − T / 2 ≤ t < T / 2, xT (t ) =  t ≥ T / 2.  0,

Преобразование Фурье такого сигнала конечной длительности T /2

X T (ω) =

∫

xT (t ) e− j ωt dt

−T / 2

связано с коэффициентами Фурье T-периодического сигнала очевидным соотношением: A n=

40

1 X T (n ∆ ω). T

(1.9.7)

Спектр периодической последовательности дельта-функций D (t ) =

∞

∑ k

(1.9.8)

δ(t − kT ).

= −∞

Эту последовательность иногда называют гребенкой Дирака. Ряд Фурье такой Tпериодической последовательности дельта-функций ∞

∑ n

D (t ) =

j

Cn e

2π nt T =

= −∞

1 ∞ ∑e T n = −∞

j n ∆ ωt

,

(1.9.9)

где коэффициенты Фурье 2π − j nt 1 1 T δ ( t − kT ) e dt = T −T∫/ 2 T T /2

Cn =

для всех n.

По аналогии с T-периодическим сигналом можем записать DT (t ) =

∞

∞

1

∑ δ(t − kT ) = T n =∑−∞ e j n ∆ ωt ↔ k = −∞

∞

∑ δ(ω − n∆ ω) = D n = −∞

= ∆ω

∆ω

2π ∞ ∑ δ(ω − n∆ ω) = T n = −∞

(ω).

Соответствие DT (t ) ↔ D∆ω (ω) или ∞

∑

δ(t − kT ) ↔ ∆ ω

k = −∞

∞

∑

δ(ω − n∆ ω)

(1.9.10)

n = −∞

называется формулой Пуассона и иллюстрируется на рис. 1.9.1, где в круглых скобках отмечены площади отдельных дельта-импульсов и по-прежнему ∆ ω = 2π / T . Это соответствие удобно использовать, например, для нахождения спектра сигнала, полученного периодическим повторением одиночного импульса.

Рис. 1.9.1

Так, T-периодический сигнал x (t ) может быть представлен в виде свертки

x(t ) = xT (t ) ⊗

∞

∑

δ(t − kT )

k = −∞

сигнала на одном периоде xT (t ) и T-периодической последовательности дельта-функций D T (t ). В спектральной области свертке соответствует произведение фурье-образов X (ω) = ∆ ω

∞

∑

X T ( ω) δ(ω − n∆ ω) =

n = −∞

= ∆ω

∞

∑

(1.9.11)

X T ( n∆ω) δ(ω − n∆ ω),

n = −∞

где ∆ ω = 2π / T , а X T (ω) – спектральная функция, соответствующая одному периоду сигнала.

41

Спектральная функция периодической последовательности прямоугольных импульсов

Возьмем для примера одиночный прямоугольный импульс, рассмотренный выше, и повторим его с периодом T. Спектральная функция такой последовательности в соответствии с (1.9.11) равна ∞

∑ n = −∞

X (ω) = E τ ∆ ω

sin n ∆2ωτ n ∆ ωτ 2

δ(ω − n∆ ω)

(1.9.12)

и изображена по модулю на рис. 1.9.2 для случая T = 3τ . Рис. 1.9.2

Задачи и упражнения к пп. 1.8–1.9 1–20. Доказать свойства ПФ (1–20) в таблице 1.8.2. Указания к доказательству некоторых из этих свойств: 1. Сделать замену t = at в прямом ПФ. 3. Продифференцировать по t интеграл обратного ПФ и сделать соответствующие выводы. 4. Продифференцировать по f интеграл прямого ПФ и сделать соответствующие выводы. 5. Представить y (t ) как свертку x (t ) с функцией включения σ (t ) и использовать теорему свертки ПФ. 6. Представить σ(t ) = α→ lim e−α t , t > 0, и выполнить предельный переход при α → 0 в 0 спектральной функции экспоненциального импульса. Рассмотреть особенности при f = 0. 7. Представить sgn(t ) = σ(t ) − σ(−t ). 8. Представить треугольный импульс как результат свертки двух одинаковых прямоугольных импульсов. 9–10. Воспользоваться формулой Эйлера, теоремой смещения и линейностью ПФ.

11. В прямом ПФ преобразовать подынтегральное выражение так, чтобы можно было воспользоваться табличным интегралом ∞

∫e

− y2

dy = π.

−∞

12. Обозначив x (t ) = e−α t σ (t ), представить функцию e−α t в виде e−α t = x (t ) + x (−t ). 15–16. Применить свойства ПФ дифференцирования и умножения на t. 21. Получить выражения для спектра пачки из N прямоугольных импульсов амплитудой E, длительностью τ и интервалом следования в пачке T, рассматривая пачку как результат стробирования бесконечной последовательности импульсов прямоугольным окном длительностью NT. Указание. Использовать выражение для спектра периодической последовательности и свойства ПФ для произведения.

42

22. Изобразить на одном чертеже модули спектров двух последовательностей

23. Найти и изобразить спектр отрезка синусоиды x (t ) = sin 2 π f 0 t ; − T ≤ t ≤ T ; T =

2 . f0

Обратить внимание на разные уровни боковых лепестков (левого и правого) в спектре. 24. Найти и изобразить спектр отрезка косинусоиды x (t ) = cos 2π f 0 t ; − T ≤ t ≤ T ; T =

2 f0

.

Обратить внимание на разные уровни боковых лепестков (левого и правого) в спектре. 25. Определить значения мнимой и действительной частей коэффициентов Фурье

следующих последовательностей: Ответ: 1 а) Re C n = 2

2

 sin n2π   n π  , Im C n = 0 .  2  2

 sin n4π   n π  , Im C n = 0.  4   1 для n = 0, 1 Re Cn =  Im C = − . nπ 0 для других n; 1 б) Re C n = 2

в)

26. Разложить в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных импульсов для случая T = 2 τ (меандровая последовательность).

Построить спектральную диаграмму. Определить закон спада максимумов боковых лепестков. Ответ: Re C n = 2

n πτ sin n2π E τ sin T = E . n πτ nπ T T 2

27. Найти спектр функций отсчетов ϕ k (t ) =

sin 2 π f в (t − k ∆ t ) , 2 π f в (t − k ∆ t )

используемых в теореме Котельникова. 28. Доказать ортогональность функций отсчетов 43

∆t =

1 , 2f в

ϕ k (t ) =

sin 2 π f в (t − k ∆ t ) , 2 π f в (t − k ∆ t )

∆t =

1 2fв

на бесконечном интервале (−∞ , ∞). Указание. С учетом теоремы запаздывания ПФ определить фурье-образы функций ϕ k (t ) и ϕ l (t ) , а затем воспользоваться обобщённым равенством Парсеваля. 29. Найти и изобразить спектральную плотность группы из 2 N + 1 дельта-импульсов, расположенных симметрично относительно начала координат. Отметить величины максимумов и их расположение по частотам, а также частоты нулевых значений. Указание. Воспользоваться формулой суммы (2 N + 1) членов геометрической прогрессии S (2 N + 1) =

a 1 (1 − q 2 N +1 ) (1 − q )

,

где a 1 – первый член прогрессии, q – знаменатель прогрессии. Ответ: X 2 N +1 ( f ) =

sin π f (2 N + 1) T . π fT

30. Действительный сигнал имеет финитный спектр

x (t )

X ( f ),

т. е. X ( f ) = 0 вне конечного интервала частот, например, [ − fв , fв ] . Сигнал, дискретизованный в соответствии с теоремой Котельникова с шагом ∆ t = 1/ 2 f в , представляется в виде ∞

x д (t ) = x (t ) ⋅ D (t ) = x (t ) ⋅ ∆ t ∑ δ (t − k ∆ t ) = k =−∞

∞

= ∆ t ∑ x (k ∆ t )δ (t − k ∆t ). k =−∞

Получить выражение для спектра дискретизованного сигнала и выразить его через X ( f ). Указание. Воспользоваться выражением для спектра гребенки Дирака и теоремой о спектре произведения. 31. Показать, что ∞

∑

x (t ) ⋅ h (t − k ∆t ) ⇔

k = −∞

 1 ∞ n   n  ∑ X  f − ∆t  ⋅ H  ∆t  . ∆t n = − ∞    

Указание. Разложить в ряд Фурье периодический множитель

∞

∑

h (t − k∆t ).

k = −∞

32. Показать, что ∞

∑

(−1) k ⋅ δ (t − kT ) ↔

k = −∞

1 T

 n 1  δ f − − . T 2T  n = −∞  ∞

∑

33. Используя соотношения из задач 31 и 32, проверить следующие формулы Пуассона: а)

∞

∑

k = −∞

в)

∞

∑

k = −∞

x ( k ∆t ) =

1 , ∆t

б)

x (k ∆t ) ⋅ e− j 2 π f k ∆ t =

∞

∑

k = −∞

2π

x (t − k∆t ) =

1 ∞  n  j nt X  e ∆t , ∑ ∆t n = − ∞  ∆t 

1 ∞ n   ∑ X  f − ∆t  . ∆t n = − ∞ 

34. Используя равенство Парсеваля, проверить утверждение 44

( x (n) , x ) = (Y, X ) , где Y ( f ) = ( j 2 πf ) n ⋅ X ( f ). 35. Вычислить интегралы: а)

∞

sin θ ∫− ∞ θ d θ;

б)

2

∞

 sin θ  ∫− ∞  θ  d θ;

в)

4

∞

 sin θ  ∫− ∞  θ  d θ.

36. Пользуясь принципом дуальности ПФ, показать, что 1 −2 π ↔ πe 2 1+ t

f

.

Проверить результат непосредственным вычислением обратного преобразования. 37. В спектральном анализе сигнал x(t ) часто умножается на так называемую оконную функцию w(t ). При этом в спектральной области произведению функций будет соответствовать свёртка их фурье-образов: x(t ) w(t ) ↔ X ( f ) ⊗ W ( f ).

Простейшее прямоугольное окно w(t ) имеет фурье-образ W ( f ) со значительным уровнем боковых лепестков, в которые происходит «утечка» спектральной энергии сигнала. В этом смысле относительно хорошим является окно Ханна: 1 + cos πt / T , t ≤ T,  w(t ) =  2  0, t > T, 

которое называется также «приподнятым косинусным окном». Найти и изобразить соответствующее спектральное окно. Оценить уровень боковых лепестков. Объяснить действие окна в частотной области.

1.10. Преобразование Лапласа в линейных системах Некоторые сигналы, не удовлетворяющие условию абсолютной интегрируемости, не могут быть представлены в виде интеграла Фурье:Equation Chapter 1 Section 10 ∞ 1 j ωt x (t ) = ∫ X (ω) e dt , 2π −∞ т. к. для таких сигналов не определена и не существует спектральная функция X (ω). Например, для скачка напряжения  E , t ≥ 0, x (t ) =   0, t < 0 спектральная функция ∞

X (ω) =

∫ x(t ) e

− j ωt

(

dt = ( E / j ω) 1 − lim e − j ωt

−∞

t →∞

)

не определена, поскольку exp (− j ω t ) при t → ∞ не стремится ни к какому пределу. Умножим x (t ) на exp (−βt ) , где β – положительная константа выбирается так, чтобы колебание x(t ) exp (−βt ) было абсолютно интегрируемым. Тогда ∞

X ( ω , β) =

∫  x(t ) e

−∞

−β t

 e − j ωt dt.

Для существования интеграла будем считать сигнал x (t ) каузальным, т. е. x(t ) = 0 при t < 0. В этом случае ∞

X (ω , β) = ∫ x(t ) e− (β+ j ωt ) dt. 0

Обратное преобразование имеет вид ∞

x(t ) e −β t =

1 j ωt ∫ X (ω , β) e d ω. 2π −∞

Умножим обе части этого выражения на exp (βt ) и заменим переменную интегрирования p = β + j ω. Тогда

45

два последних выражения приобретают вид ∞

X ( p ) = ∫ x(t ) e − p t dt ,

(1.10.1)

0

β+ j ∞

x (t ) =

1 X ( p) e p t dp. 2π β−∫j ∞

(1.10.2)

Это есть пара одностороннего преобразования Лапласа, которое символически будем обозначать следующим образом:

x(t ) ⇔ X ( p). Функция x (t ) называется оригиналом, а функция X ( p ) – изображением. Преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа, в котором достаточно положить β = 0 . Обратное преобразование (1.10.2) осуществляется путём интегрирования в комплексной плоскости p вдоль вертикальной прямой

( β − j ∞,

β + j ∞ ) (рис. 1.10.1). Путь интегрирования должен проходить правее полюсов

Рис. 1.10.1

Рис.1.10.2

подынтегральной функции X ( p ) ⋅ e p t . Образуем замкнутый контур интегрирования добавлением к прямой

(β1 − j ∞,

β1 + j ∞ ) дуги бесконечно большого радиуса так, чтобы этот контур охватывал все полюсы подынтегральной функции (рис. 1.10.2). Тогда интеграл (1.10.2) превращается в контурный и в соответствии с теоремой Коши о вычетах может быть определен следующим образом: x (t ) =

1 pt ∫ X ( p) e dp = ∑k pRes. = pk j 2π ABCA

(1.10.3)

Правая часть этого выражения равна сумме вычетов в полюсах подынтегральной функции. Важное свойство контурного интеграла: он не зависит от формы замкнутого контура интегрирования. Пример 1.10.1. Пусть x (t ) = exp ( p0 t ) ⋅ σ (t ), где p0 = β0 + j ω0 – фиксированное комплексное число. Наличие функции включения σ(t ) обусловливает равенство x(t ) = 0 при t < 0. Согласно (1.10.1) ∞

X ( p) = ∫ e

− ( p − p0 )t

dt = −

e

−( p − p 0) t

0

p − p0

t=∞ . t=0

При условии Re p = β > β0 числитель обращается в нуль при t → ∞. В результате получаем соответствие

e

p0t

σ(t ) ⇔

1 . p − p0

(1.10.4)

1 . p + β1

(1.10.5)

Полюс в точке p = p0 . Для действительного экспоненциального импульса

e − β 1 t σ(t ) ⇔ Полюс в точке p = −β1

(β1 > 0).

Пример 1.10.2. Пусть x(t ) = e

−β2t

cos ω2 t σ (t ) и β2 > 0. Тогда

46

∞  1  −β 2 t j ω2 t ( e + e− j ω2 t ) e− p t dt  = ∫ e 2 0  1 1  +  , где p2 = −β2 + j ω2 . p − p2 p − p2* 

X ( p) = =

1  2

Функция X ( p) имеет два полюса в точках Рис. 1.10.3

p = p2 = −β2 + j ω2 и p = p2* = −β2 − j ω2 .

Положение полюсов показано на рис. 1.10.3.

1.10.1. Теорема разложения Хевисайда

Вычисление обратного преобразования значительно упрощается, когда X ( p) является рациональной функцией, которую всегда можно разложить на элементарные дроби. Так если рациональная функция является правильной (степень числителя меньше степени знаменателя) и корни знаменателя (полюса X ( p) ) являются простыми или различными, то всегда можно записать X ( p) =

an p n + an −1 p n −1 + L + a0 p m + bm −1 p m −1+ L + b0

=

an p n + an −1 p n −1 + L + a0 = ( p − p1 ) ( p − p2 )L ( p − pm )

=

k1 k2 km + +L + , p − p1 p − p 2 p − pm

= (1.10.6)

где k1 , k2 , ..., km – вычеты X ( p), т. е.

ki = Res = [ X ( p) ( p − pi )] p = p . p= p i

i

В этом случае с учётом (1.10.4) имеем

x(t ) = k1 e p1 t + k2 e p 2 t + ... + km e pm t , t > 0.

(1.10.7)

Пример 1.10.3. Пусть

X ( p) =

k k p+3 p+3 = = 0+ 1 , 2 ( + 1) +1 p p p p p +p

где

k0 = [ X ( p) ⋅ p ] p = 0 =

p+3 p +1

k1 = [ X ( p) ( p + 1) ] p =−1 =

= 3, p =0

p+3 p

= −2. p =−1

В соответствии с (1.10.7) получаем

x (t ) = 3 − 2 e − t .

Кратные полюсы Если полином знаменателя X ( p) содержит кратные корни, то процедура разложения на простые дроби несколько усложняется. В этом случае к результату разложения необходимо добавить дополнительные члены, соответствующие степеням повторяющегося члена вплоть до порядка самого полюса. Пример 1.10.4.

X ( p) =

k3 k k2 k 1 = 1 + + + 4 . 3 2 3 p+2 ( p + 1) ( p + 2) p + 1 ( p + 1) ( p + 1)

Вычет k4 и коэффициент k3 находятся сразу:

k4 = [ X ( p)( p + 2)] p =−2 =

47

1 ( p + 1)3

= −1, p =−2

k3 = [ X ( p )( p + 1)3 ] p =−1 =

1 p+2

= 1. p =−1

Составляем равенство

k1 k2 1 1 1 − + + = = 2 3 p + 1 p + 2 ( p + 1) ( p + 1) ( p + 1)3 ( p + 2) =

k1 ( p + 1) 2 ( p + 2) − ( p + 1)3 + k2 ( p + 1)( p + 2) + ( p + 2) . ( p + 1)3 ( p + 2)

Сравнивая коэффициенты при максимальных степенях, имеем k1 p3 − p 3 = 0 или k1 = 1. Сравнение коэффициентов при следующей степени даёт k1 (2 p 2 + 2 p 2 ) − 3 p 2 + k2 p 2 = 0 или k2 = −1. Искомое разложение имеет вид

X ( p) =

1 1 1 1 1 = − + − . 3 3 2 p +1 p + 2 ( p + 1) ( p + 2) ( p + 1) ( p + 1)

Чтобы получить оригинал по данному изображению, обратимся к теореме умножения на t. Суть её в следующем. Пусть x(t ) ⇔ X ( p ). Тогда

t x (t ) ⇔ −

dX ( p) , dp

(1.10.8)

что следует непосредственно из дифференцирования прямого преобразования Лапласа (1.10.1). Используя эту теорему, получаем

te −α t ⇔ −

d 1 1 = , dp p + α ( p + α) 2

(1.10.9)

в общем случае

t n e −α t ⇔

n! . ( p + α) n +1

(1.10.10)

Возвращаясь к нашему примеру, для оригинала будем иметь

1 2 −t t e − te − t + e− t − e−2t , t > 0. 2 Одностороннее преобразование Лапласа широко применяется при анализе переходных процессов в линейных системах, когда начало отсчёта времени совмещают с началом воздействия. Возможность учитывать начальное состояние сигнала при t = 0 дает возможность применять одностороннее преобразование Лапласа для решения линейных дифференциальных уравнений с известными начальными условиями. x (t ) =

1.10.2. Применение преобразования Лапласа для анализа цепей Рассмотрим простейшие двухполюсные элементы

Рис.1.10.4

Основные соотношения для этих элементов:

48

t

v(t ) = Ri (t ); i (t ) = C

dv 1 или v(t ) − v(0) = ∫ i (τ)d τ; C0 dt t

v (t ) = L

di (t ) 1 или i (t ) − i (0) = ∫ v(τ)d τ; L0 dt

v0 (t ) не зависит от i (t ) ; i0 (t ) не зависит от v(t ). В области изображений резистор описывается соотношением V ( p) = RI ( p ),

(1.10.11)

где v(t ) ⇔ V ( p) и i (t ) ⇔ I ( p) – пары преобразования Лапласа. Чтобы получить эквивалентные соотношения для ёмкости и индуктивности, нам потребуется теорема дифференцирования. Пусть x(t ) ⇔ X ( p), тогда dx(t ) ⇔ pX ( p) − x(0). (1.10.12) dt Доказательство теоремы простое: ∞ ∞ d x(t ) − pt − pt ∞ − pt e dt = x ( t ) e + p ∫0 dt ∫0 x(t )e dt = pX ( p) − x(0). 0 Применяя эту теорему, находим эквивалентные соотношения для ёмкости и индуктивности в области изображений: I ( p) = CpV ( p) − Cv(0) (1.10.13) или 1 v(0) V ( p) = I ( p) + , (1.10.14) pC p

V ( p) = pLI ( p) − Li (0)

(1.10.15)

1 i (0) V ( p) + . pL p

(1.10.16)

или

I ( p) =

Из (1.10.14) видно, что в частотной области ёмкость представляется в виде импеданса Z ( p) = 1/ pC , последовательно с которым включён источник «напряжения» v(0) / p, отражающий её начальное состояние. Аналогично, из (1.10.16) заключаем, что в частотной области индуктивность представляется импедансом Z ( p) = pL с параллельно включённым «источником тока» i (0) / p, отражающим её начальное состояние. Эти представления элементов в частотной области изображены на рис. 1.10.5. Рис. 1.10.5

В результате таких представлений для линейных инвариантных во времени цепей (ЛИВ-цепей) получается система алгебраических уравнений, которые в решении и интерпретации значительно проще

дифференциальных уравнений. Приведём несколько примеров. Пример 1.10.5. Рассмотрим цепь первого порядка, на которую действует скачок тока (рис. 1.10.6а). Требуется найти отклик v(t ) .

49

а)

б) Рис. 1.10.6.

Изображение этой цепи в частотной области (рис.1.10.6б) позволяет записать следующее уравнение:

I V ( p)  v(0)  = + V ( p) −  pC. p R p   Здесь использован тот факт, что I σ(t ) ⇔

I . p

Решая относительно V ( p ), находим

V ( p) =

( I / C ) + v(0) p . p( p + (1/ RC ))

Эта функция имеет два полюса: p1 = 0 и p2 = −1/ RC. Вычеты в этих точках соответственно будут k1 = IR и

k2 = v(0) − IR. Используя формулы Хевисайда (1.10.6) и (1.10.7), получаем окончательно v(t ) = IR + (v(0) − IR)e −t / RC , t > 0.

(1.10.17)

График этой функции представлен на рис. 1.10.6в.

Рис. 1.10.6в. Переходная характеристика цепи, изображённой на рис. 1.10.6а Пример 1.10.6. Рассмотрим параллельный колебательный контур, подключённый к источнику тока i (t ) (рис. 1.10.7а). Найти отклик

v(t ).

а

б Рис. 1.10.7. Параллельный колебательный контур (а) и его изображение (б)

Пусть на контур действует перепад тока i (t ) = I σ(t ), тогда I ( p ) = I / p. Запишем уравнение Кирхгофа в области изображений:

1 1  I = V ( p)  + + pC  . p R pL   Отсюда

I IL = = 1 1  L  2 p + + pC   p + 1 + p LC    R pL  R 2 I ω0 L 1 R = 2 , где ω02 = , α= . 2 LC 2L ( p + 2αp + ω0 )

V ( p) =

Функция V ( p ) имеет два полюса:

p1,2 = −α ± α 2 − ω02 = −α ± jω, ãäå ω = ω02 − α 2 . Поэтому

V ( p) =

I ω02 L . ( p − p1 )( p − p2 )

50

I ω02 L I ω02 L I I = =− и k2 = . −2 j ω 2 j ω 2 j ωC 2 j ωC По формулам Хевисайда (1.10.6) и (1.10.7) получаем I I −αt v(t ) = k1e p1t + k2 e p2t = e − ( α− jω) t − e − ( α+ jω) t ) = e sin ωt. ( 2 j ωC ωC Находим вычеты в полюсах: k1 =

При слабом затухании α

ω ≈ ω0 , и отклик контура на перепад тока будет v(t ) = I

Здесь ρ =

L −αt e sin ω0 t = I ρe −αt sin ω0 t. C

(1.10.18)

L – характеристическое сопротивление контура. График этой функции изображён на рис. 1.10.8. C

Рис. 1.10.8. Отклик параллельного колебательного контура на перепад тока

Основные теоремы одностороннего преобразования Лапласа Т а б л и ц а 1.10.1 Линейности

a x1 (t ) + bx2 (t ) ⇔ aX 1 ( p ) + bX 2 ( p )

Задержки

x (t − T ) u (t − T ) ⇔ X ( p ) e − pT , t x (t ) ⇔ −

Умножения на t

T >0

dX ( p) dp

e −αt x(t ) ⇔ X ( p + α)

Умножение на e −αt

1  p , X a  a 

Масштабирования

x (at ) ⇔

Дифференцирования

dx (t ) ⇔ pX ( p) − x(0) dt t

∫ x ( τ) d τ ⇔

Интегрирования

0

a>0

X ( p) p

t

∫ x ( τ) x

Свертки

1

2

(t − τ ) d τ ⇔ X 1 ( p ) X 2 ( p )

0

Основные свойства одностороннего преобразования Лапласа Т а б л и ц а 1.10.2

x (t )

⇔

X ( p)

δ(t )

⇔

1

σ(t ) = 1

⇔

1 p

e −α t

⇔

1 p+α

51

e

sin ω0 t

⇔

ω0 p + ω20

cos ω0 t

⇔

p p 2 + ω20

⇔

p+α ( p + α) 2 + ω02

−α t

cos ω0 t

2

Упражнения и задачи к п. 1.10 1. Показать справедливость приведенных ниже преобразований. Всюду считать α и ω 0 положительными величинами. x (t ), t > 0

X ( p)

1 − e −α t

а)

⇔

e +α t sin ω 0 t ⇔

б)

e −α t cos (ω 0 t + π / 4) ⇔

в) г) д)

е) ж) з) и)

α , Re [ p ] > 0, p ( p + α) ω0 , Re [ p ] > α, ( p − α) 2 + ω 20 p + α − ω0

2 ( p + α) 2 + ω 20 

te −α t cos ω 0 t ⇔

, Re [ p ] > −α,

( p + α) 2 − ω 02 , Re [ p ] > −α, ( p + α) 2 + ω 02  2

1< t < 2  1, 1 ⇔ , при любом p,  −p p e − e −2 p  0, в остальных точках 0 < t <1  t, 2  1− e − p   1 α, p −α2 e −α t σ(t − 1) ⇔

e − ( p +α ) , Re [ p ] > −α, p+α

1 − (1 + α t ) e −α t ⇔

α2 , Re [ p ] > 0. p ( p + α) 2

2. Показать справедливость обратных преобразований x (t ), t > 0

X ( p)

а)

б) в) г)

д) е)

1 ⇔ e − t − e −2 t , ( p + 1) ( p + 2) p+3 ⇔ 2 e − t − e −2 t , ( p + 1) ( p + 2) 1 1 ⇔ sh αt , 2 α p −α 2

1 1 − αt ⇔ e sin ω 0 t , ω0 ( p + α) 2 + ω 20 0 < t <1  1, 1  −p 2 (1 − e ) ⇔  −1, 1< t < 2 p 0 , в остальных точках,  sin t , 0 < t < 2π  1 (1 − e −2 πp ) ⇔  2 в остальных точках, p +1  0,

52

ж)

p+2 ⇔ (1 + t ) e − t , ( p + 1) 2

з)

1 ⇔ e t − (1 + t ). p ( p − 1) 2

3. Для линейной инвариантной во времени системы (ЛИВ-системы) с каузальной импульсной характеристикой h(t ) системная функция H ( p ) по определению равна ∞

H ( p) = ∫ h(t )e − p t dt. 0

Областью сходимости системной функции является полуплоскость Re[ p] > β1 ,

где β1 – минимальное действительное число, при котором соблюдается условие сходимости преобразования Лапласа от h(t ). В этой области системная функция является аналитической. Для каждой из приведённых в задачах б, в, г, д импульсных характеристик определить системную функцию и область сходимости так, как это сделано в примере а. б) h(t ) = e −α t cos ω2t , α 2 > 0, t ≥ 0. 2

в) h(t ) = e −α t sin ω2t , α 2 > 0, t ≥ 0. г) h(t ) = sin ω3t , t ≥ 0. д) h(t ) = cos ω3t , t ≥ 0. 4. Сопротивление R, индуктивность L и ёмкость C , соединённые последовательно, подключены при t = 0 к источнику постоянного напряжения E. Найти ток в цепи при нулевых начальных условиях с использованием изображений по Лапласу. 5. Получить аналитическое выражение для импульсной характеристики дифференцирующей RL-цепи. 6. Конденсатор C , заряженный до напряжения E , разряжается через последовательно соединённые индуктивность L и резистор R. Пользуясь изображением по Лапласу, определить ток в цепи i(t ). 2

7. В последовательный RLC контур в момент t = 0 включается синусоидальная ЭДС e(t ) = sin ω1t. Найти ток в контуре i (t ) при t > 0, используя изображения по Лапласу.

8. К параллельно соединённым резистору R и индуктивности L через резистор R1 в момент t = 0 подключается источник ЭДС u (t ) = Ee −αt , α > 0. Начальный ток в индуктивности iL (0) ≠ 0. Получить изображение цепи в p-плоскости. Найти ток в индуктивности iL (t ), t > 0.

9. К интегрирующей RC-цепочке в момент t = 0 подключается ЭДС Ee −αt , α > 0. Считая uc (0) ≠ 0, определить напряжение на ёмкости при t > 0. 10. В последовательный RLC-контур в момент t = 0 включается синусоидальная ЭДС e(t ) = cos ω1t. Найти ток в контуре i (t ) при t > 0, используя изображения по Лапласу.

1.11. Динамическое представление сигналов Особое значение имеет анализ прохождения сигналов через линейные инвариантные во времени системы (ЛИВС). В качестве примеров таких систем могут быть линейные фильтры и усилители, различные системы передачи и др. Процессы, протекающие в таких системах при импульсных воздействиях, называются переходными.

53

В этом параграфе мы рассмотрим суперпозиционный метод анализа, основанный на представлении импульсного воздействия как суперпозиции элементарных сигналов некоторой «стандартной» формы. В качестве таких стандартных сигналов выбираются функция включения и дельта-импульс. Рис. 1.11.1

Рассмотрим некоторый гладкий сигнал x (t ). Такой сигнал можно построить из задержанных с шагом ∆t ступенчатых функций, причем высота каждой ступеньки соответствует приращению функции x (t ) между соседними точками (рис. 1.11.1). Для определенности будем считать сигнал каузальным, т. е. x(t ) = 0 при t < 0. Обозначим xk = x (k ∆ t ). Тогда, как видно из построения, x(t ) ≈ x (0) σ (t ) + ( x1 − x0 ) ⋅ σ (t − ∆ t ) + ( x2 − x1 ) σ (t − 2 ∆ t ) + ∞

+ K = x (0) σ(t ) + ∑ ( xk − xk −1 ) σ (t − k ∆ t ). k =1

Здесь σ ( t ) – функция включения (1.8.35). Если шаг Equation Chapter 1 Section 11

∆t

устремить к нулю, то

 dx  ∆ t → dτ , ( xk − xk −1 ) → dx =   dτ , k ∆ t → τ ,  dτ 

и в пределе получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций включения: ∞

dx σ (t − τ) d τ. dτ

x(t ) = x (0) σ (t ) + ∫ 0

(1.11.1)

Реакция системы с нулевыми начальными условиями на функцию включения σ(t ) называется её переходной характеристикой. Эту безразмерную функцию обозначим через g (t ). Для линейной инвариантной во времени системы (ЛИВС) с переходной характеристикой g (t ) входное воздействие σ(t − τ) вызывает отклик g (t − τ), поэтому ∞

∞

k =1

k =1

x (0)σ(t ) + ∑ ( xk − xk −1 )σ (t − k ∆ t ) ⇒ x (0) g (t ) + ∑ ( xk − xk −1 ) g (t − k ∆ t ).

Переходя к переделу при ∆t → 0, получим выражение t

y (t ) = x (0) g (t ) + ∫ x ′(τ) g (t − τ) d τ.

(1.11.2)

0

Этот суперпозиционный интеграл называется интегралом Дюамеля. Метод интеграла Дюамеля целесообразно применять в тех случаях, когда известна или легко находится переходная характеристика. Иногда удобнее пользоваться тождественными формами интеграла Дюамеля: t

y (t ) = g (0) x (t ) + ∫ g ′(τ) x (t − τ) d τ,

(1.11.3)

0

t

y (t ) = x (0) g (t ) + ∫ x′(t − τ) g (τ) d τ, 0

54

(1.11.4)

t

y (t ) = g (0) x (t ) + ∫ g ′(t − τ) x (τ) d τ.

(1.11.5)

0

Уравнения (1.11.2) – (1.11.5) могут быть преобразованы одно в другое интегрированием по частям. Рассмотрим теперь другое представление непрерывного сигнала x (t ) суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 1.11.2). Длительности импульсов одинаковы и равны ∆ t , а амплитуды равны отсчетам сигнала x(k ∆t ).

Рис. 1.11.2

Отдельный импульс представим в виде x(k ∆t ) [ σ(t − k ∆t ) − σ(t − k ∆t − ∆t ) ] .

Тогда исходный сигнал представляется как сумма таких элементарных слагаемых: x (t ) =

∞

1

∑ x(k ∆t ) ∆t [σ(t − k ∆t ) − σ(t − k ∆t − ∆t )] ∆t.

k = −∞

При достаточно малом ∆t можем записать x ( t ) ≈ ∆t

∞

∑ x(k ∆t )δ(t − k ∆t ).

(1.11.6)

k = −∞

Отдельное слагаемое в правой части равенства (1.11.6) представляет собой δ-функцию с площадью x(k ∆t )∆t , расположенную в точке t = k ∆t (рис. 1.11.3). Смысл выражения (1.11.6) заключается в том, что обе его части будут оказывать одинаковое воздействие на физическую систему. Перейдём к пределу при ∆t → 0. При этом k ∆t → τ, ∆t → d τ, суммирование необходимо заменить интегрированием по переменной τ . Учитывая (1.8.32), получаем формулу динамического представления сигнала: x (t ) =

∞

∫ x(τ)δ(t − τ)d τ = x(t ) ⊗ δ(t ).

(1.11.7)

−∞

Рис. 1.11.3

Реакция системы с нулевыми начальными условиями на дельта-функцию называется импульсной характеристикой. Обозначим её через h(t ). Соответствие (1.11.7) отражает фильтрующее свойство дельта-функции: для получения отсчётного значения сигнала в точке τ = t необходимо сигнал x(τ) пропустить через фильтр с импульсной характеристикой h(t ) = δ(t ). Ясно, что такой фильтр физически нереализуем. Измерение отсчётного значения сигнала будет тем точнее, чем короче импульсная характеристика реального фильтра. Для ЛИВС с импульсной характеристикой h(t ) входное воздействие δ(t − τ) вызывает отклик h(t − τ), поэтому ∆t

∞

∞

k = −∞

k = −∞

∑ x(k ∆t )δ(t − k ∆t ) ⇒ ∆t ∑ x(k ∆t )h(t − k ∆t ) ≈ y(t ).

Если выполнить предельный переход ∆t → 0, то формально получим выражение 55

y (t ) =

∞

∫ x(τ)h(t − τ)d τ = x(t ) ⊗ h(t ),

(1.11.8)

−∞

которое называют общим представлением любой ЛИВС в виде интеграла наложения. Импульсная характеристика и интеграл наложения являются исключительно эффективными средствами описания поведения ЛИВС общего типа. Для физически реализуемых систем h(t ) = 0 при t < 0, т. е. импульсная характеристика должна быть каузальной. Положим, что линейная цепь, имеющая операторное сопротивление Z ( p), присоединена в момент t = 0 к источнику ЭДС x(t ) ⇔ X ( p). Изображение тока, возникающего в цепи, i (t ) ⇔ I ( p) = X ( p) / Z ( p )

равно произведению двух функций: изображения X ( p) и операторной проводимости цепи 1/ Z ( p). Если x(t ) = δ(t ) ⇔ 1, то токовая реакция цепи (импульсная характеристика) h i (t ) ⇔ 1/ Z ( p),

(1.11.9)

т. е. изображение импульсной характеристики h i (t ) равно операторной проводимости цепи. По теореме о спектре свёртки переходной ток в цепи находится по формуле t

i (t ) = ∫ x(τ)h i (t − τ) d τ.

(1.11.10)

0

Пример 1.11.1. К последовательно соединённым R и L в момент t = 0 подключается ЭДС x(t ) = Ee −αt . Найти ток в цепи при t > 0. Операторной проводимости

1/ Z ( p) = 1/( R + pL ) =

1 L [ ( R / L) + p ]

R

1 −L t e . Согласно (1.11.10) L R t − ( t −τ )  − RL t E i (t ) = E ∫ e − α τ e L dτ = − e −α t e L[α − ( R / L )]  0 Если в этой формуле перейти к пределу α → 0, то соответствует функция времени h i (t ) =

  , t > 0. 

R − t  E L 1 − e   , t > 0. R   Это токовая реакция последовательной RL-цепи на функцию E σ(t ).

i (t ) =

Пример 1.11.2. Применяя теоремы дифференцирования и интегрирования преобразования Лапласа, интегратор можно представить во временной и частотной областях так, как показано на рис. 1.11.4 слева.

Рис. 1.11.4 Передаточная характеристика интегратора имеет вид

56

H ( p) =

1 p

и, следовательно, импульсная характеристика

H ( p) ⇔ h(t ) = σ(t ), как представлено на рис. 1.11.4 справа. Интеграл наложения воздействие x(t ):

(1.11.8)

даёт реакцию интегратора на входное

t

t

t

0

0

0

y ( t ) = ∫ x(τ)h(t − τ)d τ = ∫ x(τ)σ(t − τ)d τ = ∫ x(τ)d τ. Выходной сигнал с учётом начальных условий равен t

y (t ) = ∫ x(τ)d τ + y (0), 0

что полностью соответствует действию интегратора. Пример 1.11.3. К параллельной RC-цепочке в момент t = 0 подключается генератор тока i (t ) = Ae −αt . Определить закон изменения выходного напряжения v(t ) при нулевых начальных условиях на ёмкости. Составляем уравнение в области изображений:

V ( p) = I ( p) ⋅ Z ( p) = I ( p)

R(1/ pC ) . R + (1/ pC )

Отсюда находим передаточную функцию

H ( p) =

V ( p) 1/ C = . I ( p ) p + (1/ RC )

Следовательно, импульсная характеристика (см. п. 1.10)

h (t ) =

e − t / RC , t > 0. C

а)

б) Рис. 1.11.5. Цепь (а) и её импульсная характеристика (б)

Обратим внимание на размерность h(t ), которая, как очевидно, есть Ф −1 = В/(А ⋅ с). Исходя из (1.11.8), запишем для выходного напряжения t

t

1  v(t ) = ∫ i (τ)h(t − τ)d τ = ∫ ( Ae −ατ )  e − ( t −τ ) / RC  d τ = C  0 0 A = ( e−t / RC − e−αt ) , t > 0. C[α − (1/ RC )] Этот результат иллюстрируется на рис. 1.11.6.

57

Рис. 1.11.6. Вход и выход цепи, изображённой на рис. 1.11.5 В случае, когда α → 0, получается реакция на ступенчатую функцию Aσ(t ):

v(t ) = AR (1 − e − t / RC ), t > 0. Эта реакция представляет собой масштабированную с множителем AR переходную характеристику цепи. Пример 1.11.4. Рассмотрим цепь на рис. 1.11.7а. Пусть в момент t = 0 включается напряжение x(t ) с законом изменения во времени, показанным на рис. 1.11.7в. Требуется найти закон изменения во времени тока i (t ) в цепи при

t > t1 . Рис. 1.11.7

Схема для изображений показана на рис. 1.11.7б. Т. к. σ(t ) ⇔ 1/ p, для изображения переходной характеристики можем записать

( R / p) β = , pL + R p ( p + β) где β = R / L. Эта функция имеет два полюса p1 = 0 и p2 = −β. Вычеты относительно этих полюсов равны соответственно k1 = 1 и k2 = −1. По формуле Хевисайда (1.10.7) получаем переходную характеристику цепи

g (t ) = 1 − e −βt = 1 − e Для решения задачи используем интеграл Дюамеля в виде (1.11.5) t

y (t ) = g (0) x (t ) + ∫ g ′(t − τ) x (τ) d τ. 0

Поскольку R

g (0) = 0, g ′(t ) =

R − RL t R − ( t −τ ) e и g ′(t − τ) = e L , L L

для тока в цепи i (t ) = y (t ) / R можем записать t1

i (t ) = ∫ 0

t

1 − RL ( t −τ ) 1 − R ( t −τ ) e U 0 d τ + ∫ e L U1e − α ( τ− t1 ) d τ. L t1 L

Произведя интегрирование, получим при t > t1

58

−

R t L

.

(1.11.11)

i (t ) =

U 0  RL t1  − RL t U1 + e  e − 1 e R  r − αL 

αt1

  − αt  −e  e  

R  −α  t1 L 

e

−

R t L

 .  

Задачи и упражнения к п. 1.11

Ёмкость C и сопротивление R, соединённые последовательно, подключаются при t = 0 к источнику ЭДС в виде линейно изменяющегося напряжения x(t ) = kt. Найти и изобразить закон изменения выходного напряжения y (t ). Поменять местами ёмкость и сопротивление и проделать то же самое. Отметить влияние постоянной времени θ = RC и коэффициента наклона k на вид выходного напряжения. 2. Сопротивление R и ёмкость C, соединённые последовательно, подключаются при t = 0 к источнику ЭДС x(t ) в виде симметричного треугольного импульса. Определить ток в цепи при t > 2T . 3. Сопротивление r и индуктивность L, соединённые последовательно, подключаются при t = 0 к источнику ступенчатой ЭДС, показанной на рисунке. Определить ток в цепи при t1 < t < t2 и t > t2 . 4. Сопротивление r и индуктивность L, соединённые последовательно, подключаются при t = 0 к источнику ЭДС Ee −αt . Определить ток в цепи при α ≠ r / L и 1.

α = r / L.

О т в е т: r − t  E  −αt  e − e L ; r − αL  

E − Lr t te . L

5. Решить предыдущую задачу, если ЭДС равна E te −α t . О т в е т:  E EL  − Lr t te−αt + e − e −αt  ; 2  r − αL ( r − αL )  

E 2 − Lr t t e . 2L

6. а) Найти с помощью свёртки переходную характеристику g (t ) системы, импульсная характеристика которой h(t ) показана на рисунке. б) Проверить полученный результат, исходя из того, что h(t ) = g ′(t ). в) Построить блок-схему фильтра по его импульсной характеристике. 7. Пусть y1 (t ) – реакция ЛИВС на воздействие x1 (t ).

59

а) Найти импульсную характеристику системы. б) Найти реакцию y2 (t ) на воздействие x2 (t ). 8. Определить u2 (t ) при u1 (t ) = k (t + T )σ(t ), T = RC.

9. Определить переходную характеристику идеального фильтра нижних частот и с её помощью проиллюстрировать явление Гиббса. 1.12. Представление колебаний в комплексной форме Комплексная огибающая

Рассмотрим узкополосное колебание, у которого частот f ∈ [ f 0 − f в , f0 + fв ] , причем f 0 2 fв (рис. 1.12.1).

спектр

ограничен

полосой

колебания

имеет

Рис. 1.12.1

Наиболее видEquation

общая

форма

записи

узкополосного

Chapter 1 Section 12 x(t ) = A(t ) cos[2πf 0 t + ϕ(t )],

(1.12.1)

где A(t ) и ϕ(t ) – медленно меняющиеся по сравнению с циклическим множителем функции времени. Гармонический сигнал (косинусоида с постоянной частотой f 0 и начальной фазой ϕ0 ) подвергается одновременно амплитудной и фазовой модуляции. Так, в случае строгой амплитудной модуляции гармонического сигнала дисперсионность среды распространения производит частичное преобразование амплитудных изменений в фазовые. Узкополосные сигналы можно считать квазигармоническими − их амплитуда и фаза медленно изменяются во времени. Комплексное представление полосовых сигналов является прямым развитием известного символического метода, позволяющего представлять гармоническое колебание как действительную или мнимую часть комплексной функции:

A cos[2π f 0 t + ϕ0 ] = Re( Ae j ϕ0 e j 2 π f0 t ), A sin[2π f 0 t + ϕ0 ] = Im( Ae j ϕ0 e j 2 π f0 t ). Число Ae jϕ0 называют комплексной амплитудой гармонического колебания. В соответствии с (1.12.1) полосовой радиосигнал представляет собой сложное колебание, получающееся из гармонического сигнала с частотой f 0 при одновременной его модуляции как по амплитуде, так и по фазе. Мы попытаемся корректно распространить символический метод на такие колебания. Для этого (1.12.1) представим в виде

60

x(t ) = xc (t ) cos 2π f 0 t − xs (t ) sin 2π f 0 t.

(1.12.2)

xc (t ) = A(t ) cos ϕ(t ) и xs (t ) = A(t )sin ϕ(t )

(1.12.3)

Здесь

называются квадратурными составляющими узкополосного колебания x(t ), соответственно xc (t ) − синфазная, а xs (t ) − квадратурная компоненты. Квадратурные составляющие являются низкочастотными действительными функциями и несут всю информацию о модуляции сигнала. Спектры этих функций сконцентрированы возле начала координат в полосе 2 f â . Квадратурные компоненты могут быть получены в следующей схеме.

Рис. 1.12.2. Получение квадратурных компонент узкополосного колебания

Действительно, после умножения на сигнал когерентного гетеродина в верхнем канале имеем

x(t ) cos 2πf 0 t = (1/ 2)[ xc (t ) cos 2π2 f 0 t − xs (t )sin 2π2 f 0 t ] + 1/ 2 xc (t ). Высокочастотные составляющие вблизи 2 f 0 подавляются фильтром нижних частот (ФНЧ) и на выходе верхнего канала остается синфазная компонента xc (t ). Аналогично в нижнем канале выделяется квадратурная компонента xs (t ). В реальных формирователях квадратур предъявляются высокие требования к идентичности, линейности и стабильности амплитудных характеристик каналов, а также к точному соблюдению 90° сдвига фаз между гармоническими колебаниями когерентного гетеродина. Амплитудную и фазовую модуляции сигнала x(t ) можно определить с помощью квадратурных компонент. Из (1.12.3) имеем

A(t ) =

xc2 (t ) + xs2 (t ),

ϕ(t ) = arctg

xs (t ) . xc (t )

(1.12.4)

Ветвь арктангенса выбирается таким образом, чтобы ϕ(t ) была непрерывной функцией времени. Введём комплексную огибающую

γ (t ) = xc (t ) + jxs (t ) = A(t )e j ϕ( t ) .

(1.12.5)

Эта функция содержит всю обусловленную модуляцией информацию. При этом физическая огибающая равна A(t ) = γ (t ) . Полная фаза узкополосного колебания

ψ (t ) = 2πf 0 t + ϕ(t ), а мгновенная частота определяется как производная по времени от полной фазы: x 1 dϕ 1 d = f0 + arctg s = 2π dt 2π dt xc 1 xs′ xc − xc′ xs = f0 + . 2π xc2 + xs2 f (t ) = f 0 +

61

(1.12.6)

Комплексную огибающую можно представить на комплексной плоскости вектором, который совершает некоторое сложное движение, изменяясь как по модулю, так и по направлению (рис. 1.12.3). Исходный действительный сигнал x(t ) связан с комплексной огибающей γ (t ) соотношением

x(t ) = Re[ γ (t ) e j 2 π f0 t ].

(1.12.7)

Таким образом, понятие комплекс-ной огибающей обобщает понятие комплексной амплитуды на случай узкополосных радиосигналов. Рис. 1.12.3

Спектр комплексной огибающей Полосовой сигнал x(t ) вида (1.12.1) является действительной функцией времени, поэтому для его спектральной функции имеет место ∞

X(f ) =

∫ x(t )e

− j 2π f t

dt = X ( f ) e jϕx ( f ) ,

−∞

причём

X ( f ) = X (− f ) , ϕ x (− f ) = −ϕ x ( f ), т. е. амплитудный спектр сигнала является чётной функцией частоты, а фазовый – нечётной функцией (рис. 1.12.1). Преобразование Фурье комплексной огибающей этого сигнала ∞

Г( f ) =

∫ γ (t ) e

− j 2π f t

dt = Г ( f ) e

jϕγ ( f )

.

−∞

С учётом (1.12.7) и теоремой смещения для преобразования Фурье имеем 1 1 X ( f ) = Г ( f − f 0 ) + Г ∗ [−( f + f 0 )]. 2 2 Отсюда прямой и инверсный спектры сигнала будут

(1.12.8)

Рис. 1.12.4

1 Г ( f − f 0 ), 2 1 X − ( f ) = Г ∗ [−( f + f 0 )]. 2 X+ ( f ) =

(1.12.9)

Амплитудный спектр Г ( f ) и фазовый спектр ϕγ ( f ) комплексной огибающей γ (t ) полосового сигнала изображёны на рис. 1.12.4. Можно отметить несимметричность амплитудного спектра комплексной огибающей на интервале [− f в , f в ] .

Аналитический сигнал. Преобразование Гильберта Рассмотрим еще один распространенный способ комплексного представления действительных колебаний. Построим аналитический сигнал x A (t ) = Re [ xA (t ) ] + j Im [ x A (t )] , у которого

Re [ x A (t )] = x(t ),  2 X ( f ), ПФ [ x A (t ) ] = X A ( f ) =  +  0,

f > 0, f < 0,

(1.12.10)

т. е. вещественная часть равна исходному действительному сигналу, а спектр содержит только положительные частоты. Нетрудно видеть, что X A ( f ) = X ( f ) + X ( f ) Sign f ,

где 62

(1.12.11)

f > 0, f < 0.

 1, Sign f =   −1 ,

Учитывая, что ПФ [Sign f ] = j / πt , из (1.12.11) имеем x A (t ) = ПФ [ X A ( f ) ] = ПФ [ X ( f )] + ПФ [ X ( f )Sign f ] = = x(t ) + j [ x(t ) ⊗ (1/ πt )] .

Свёртка ∞

x(t ) ⊗ (1/ πt ) =

1 x(τ) ∫ t − τ d τ = x Г (t ) π −∞

(1.12.12)

по определению есть преобразование Гильберта функции x(t ). Таким образом, аналитический сигнал со спектром (1.12.10) будет x A (t ) = x(t ) + j xГ (t ),

(1.12.13)

где xГ (t ) определяется из (1.12.12), т. е. xГ (t ) = x(t ) ⊗ (1/ πt ) ⇔ X Г ( f ) = − j X ( f )Sign f .

(1.12.14)

Из этого выражения вытекает ещё одна связь между спектрами: X ( f ) = j X Г ( f )Sign f ,

из которой следует обратное преобразование Гильберта: ∞ 1 x(τ) (1.12.15) ∫ t − τ d τ. π −∞ Замечание. Выражение под интегралом (1.12.12) и (1.12.15) имеет особую точку τ = t , поэтому интеграл понимается

x(t ) = xГ (t ) ⊗ (−1/ πt ) = −

в смысле главного значения по Коши, т. е. ∞

∫

−∞

t −ε x(τ)d τ ∞ x(τ)d τ  x ( τ) d τ = lim  ∫ + ∫ . ε→ 0 t −τ t +ε t − τ   −∞ t − τ

Некоторые свойства преобразования Гильберта

Отметим прежде всего свойство линейности этого интегрального преобразования, в чём легко можно убедиться непосредственно из (1.12.12) и (1.12.15). Выражению (1.12.12) можно дать следующую интерпретацию: преобразованный по Гильберту сигнал получается пропусканием исходного действительного сигнала через фильтр с импульсной характеристикой 1/ πt (с частотной характеристикой − j Sign f ) (рис. 1.12.5). Такой фильтр осуществляет задержку по фазе всех гармонических компонент сигнала в сторону отставания на 90°.

63

Рис. 1.12.5. Преобразователь Гильберта

Действительно, легко проверить, что для x(t ) = cos 2πf t x(t ) = sin 2π f t имеем xГ (t ) = − cos 2π f t. Следовательно, если

имеем xГ (t ) = sin 2π f t , а для

x(t ) = ∑ (an cos 2π f n t + bn sin 2π f n t ), n

то

xГ (t ) = ∑ (an sin 2π f n t − bn cos 2π f n t ). n

Такие колебания называются сопряжёнными. Для произвольных сигналов преобразователь Гильберта нереализуем, т. к. его импульсная характеристика не является каузальной. Однако его можно реализовать приближённо с некоторой задержкой t0 , если отбросить ветви h(t ) левее точки t = − t0 и правее точки t = t0 и сдвинуть h(t ) вправо на t0 . Погрешности преобразования, связанные с таким усечением импульсной характеристики, могут быть значительными. Кроме того, задержка сигнала на t0 должна быть учтена при работе преобразователя с другими устройствами. Нереализуемость преобразователя Гильберта объяснить можно также тем, что сдвиг фаз на −π / 2 для всех компонент сигнала практически не может быть выполнен точно. Для узкополосных радиосигналов такая операция выполняется тем точнее, чем уже полоса, т. е. чем сильнее неравенство f 0 > 2 fв . Из (1.12.2) и (1.12.7) имеем x(t ) = xc (t ) cos 2π f 0 t − xs (t )sin 2π f 0 t = Re[ γ (t )e j 2 π f0 t ].

Умножение γ(t ) на e j 2 π f t означает перенос спектра γ(t ) вправо на величину f 0 . При достаточной узкополосности сигнал γ(t )e j 2 π f t будет иметь односторонний спектр с положительными частотами и может рассматриваться как аналитический. Поэтому сопряжённый по Гильберту сигнал 0

0

xГ (t ) = Im[ γ (t )e j 2 π f0 t ] = xc (t )sin 2 π f 0 t + xs (t ) cos 2 π f 0 t = = xc (t ) cos(2 π f 0 t − π / 2) − xs (t )sin(2 π f 0 t − π / 2).

Сравнивая выражения для x(t ) и xГ (t ), видим, что преобразование Гильберта выполняется над cos 2 π f 0 t и sin 2π f 0 t , а квадратурные компоненты xc (t ) и xs (t ) остаются неизменными. Ядро преобразования Гильберта является нечётной функцией аргумента τ относительно точки τ = t. Следовательно, сигнал, сопряжённый к константе, тождественно равен нулю: ∞

x Г (t ) =

1 const ∫ t − τ d τ = 0. π −∞

Следствием этого является следующее важное свойство преобразования Гильберта: если сигнал x(τ) достигает экстремума при каком-то τ = t , то в окрестности этой точки сопряжённый сигнал xГ (t ) проходит через нуль. Возьмём спектр аналитического сигнала и сдвинем его так, чтобы он оказался сконцентрированным около нулевой частоты: Г ( f ) = X A ( f + f 0 ).

Этому спектру соответствует колебание

64

(1.12.16)

γ (t ) = xA (t ) exp(− j 2π f 0 t ),

которое называется комплексной огибающей действительного сигнала x(t ). Следовательно: x A (t ) = γ (t ) exp( j 2π f 0 t ) (1.12.17) и x(t ) = Re [ γ (t ) exp( j 2π f 0 t )] . (1.12.18) Во многих случаях частоту f 0 выбрать нетрудно. Например, для узкополосного сигнала (1.12.1) за f 0 принимается частота немодулированного несущего колебания. В этом случае x A (t ) = x 2 (t ) + xГ2 (t )

при достаточной узкополосности совпадает с A (t ) = xc2 (t ) + xs2 (t ).

В других случаях f 0 выбирается так, чтобы минимизировать ширину полосы Г ( f ) . Один из способов состоит в выборе f 0 “центра тяжести” положительной функции X A ( f ) 2 .

Такое f 0 минимизирует величину

∞

∫ (f − f

2

0

) 2 X A ( f ) df . Рис. 1.12.6 поясняет взаимосвязь

−∞

спектров действительного комплексной огибающей.

узкополосного

колебания,

аналитического

сигнала

и

Рис. 1.12.6. Спектры а – узкополосного сигнала; б – аналитического сигнала; в – комплексной огибающей

Пример 1.12.1. Рассмотрим действительный низкочастотный сигнал x(t ) со спектром X ( f ), показанным на рисунке. Соответствующий аналитический сигнал имеет спектр

 2 X + ( f ), XA( f ) =  0,

f ≥ 0, f < 0,

поэтому

fв

x A (t ) = 2 X 0

∫e 0

j 2π f t

dt =

X 0 j 2π fв t (e − 1). Отсюда j πt

65

x(t ) = Re[ x A (t )] = X 0 2 f в sin 2π f в t / 2π f в t , xГ (t ) = Im[ x A (t )] = X 0 2 f в sin 2 (π f в t ) /(π f в t ). На рис. 1.12.7 приведены графики этих сигналов, нормированных по амплитуде. Следует отметить, что сопряжённый сигнал обращается в нуль в точке, где исходный сигнал достигает максимального значения.

Рис. 1.12.7. Исходный и сопряжённый сигналы

Упражнения и задачи к п. 1.12 1. Показать, что квадратурные компоненты xc (t ) и xs (t ) сопряжены по Гильберту лишь при условии, что они соответствуют аналитическому сигналу x(t ), содержащему только положительные частоты. 2. Сигнал x (t ) является суммой двух гармонических компонент x(t ) = A1 cos ω1t + A2 cos ω2 t. Найти сопряжённый по Гильберту сигнал, аналитический сигнал, физическую огибающую, полную фазу, мгновенную частоту. 3. Сигнал x(t ) имеет финитный спектр X (ω), показанный на рисунке слева. Найти соответствующий аналитический сигнал. Изобразить его действительную и мнимую части. 4.

Найти комплексную огибающую импульса включения

гармонической ЭДС x(t ) = A sin 2πf 0 t , t ≥ 0. 5. Найти аналитический сигнал x A (t ), соответствующий колебанию, спектр которого отличен от нуля лишь на отрезке f1 ≤ f ≤ f 2 при f > 0. 6. Показать, что квадратурные компоненты действительного узкополосного радиосигнала x(t ) связаны с компонентами аналитического сигнала x A (t ) = x(t ) + jxГ (t ) следующим образом: xc (t ) = x (t ) cos 2π f 0 t + xГ (t )sin 2π f 0 t ,

xs (t ) = xГ (t ) cos 2π f 0 t − x(t )sin 2π f 0 t.

8. Изобразить спектральную плотность сигнала x∗A (t ), где x A (t ) – аналитический сигнал в задаче 5. Найти сигнал однополосной модуляции с нижней (верхней) боковой полосой, расположенной слева (справа) от точки f 0 = ( f1 + f 2 ) / 2.

9. Пусть xГ (t ) – преобразованный по Гильберту сигнал x(t ). Показать, что xГ (t ) и x(t ) ортогональны, т. е. ∞

∫ x(t ) x

∗ Г

(t ) dt = 0,

−∞

66

где звездочка означает комплексное сопряжение. 10. Непосредственно используя прямое преобразование Гильберта, найти сигнал, сопряженный с x (t ) =

sin ωв t . ωв t

Найти соответствующий аналитический сигнал. 11. Для сигнала x(t ) = A sin 2πf 0 t ⋅ Signt , где

1 , t ≥ 0, Signt =   −1 , t < 0, написать выражение для комплексной огибающей. 12. Сигнал x(t ) как при t < 0 , так и при t > 0 представляет собой гармоническое колебание. В

момент времени t = 0 фаза сигнала изменяется скачком на π. Написать выражение для комплексной огибающей этого сигнала. 13. Найти произведение аналитического сигнала x A (t ) на сопряжённый с ним сигнал x∗A (t ). 13. Показать, что спектральная плотность Г ( f ) комплексной огибающей γ(t ) совпадает со смещённой на f 0 влево спектральной плотностью X A ( f ) аналитического сигнала x A (t ), т. е. Г ( f ) = X A ( f + f 0 ).

14. Показать, выражением

что

корреляционная

функция

аналитического

сигнала,

определяемая

∞

R A ( τ) =

∫x

A

(t ) x∗A (t + τ)dt ,

−∞

является комплексной. Чему равна действительная и мнимая части этого выражения? 15. Найти связь корреляционных функций аналитического сигнала и комплексной огибающей. 16. Найти связь между корреляционными функциями исходного действительного сигнала и соответствующего аналитического сигнала. 17. Изобразить блок-схему формирования аналитического сигнала. 18. Показать, что преобразование Гильберта от преобразования Гильберта есть исходный действительный сигнал со знаком минус. 19. Вычислить преобразование Гильберта от функций:

а) x(t ) = cos 2π f 0 t ; −∞ < t < ∞, в) x(t ) =

sin 2π f в t 1, ; −∞ < t < ∞, г) x(t ) =  2π f в t 0;

б) x(t ) =

1 ; −∞ < t < ∞, 1+ t2

t ≤ T, t > T.

20. Комплексная огибающая γ(t ) аналитического сигнала x A (t ) имеет спектральную плотность Г (ω) =

e jπ / 4 α + jω

. Определить исходный действительный сигнал x(t ), имея в виду, что ω0 >> α.

21. Пусть x1 (t ) и x2 (t ) − вещественные узкополосные сигналы с

комплексными огибающими γ1 (t ) и γ 2 (t ). Показать, что 1 1 Re( γ1 , γ 2 ) и (x1 , x 2Г ) = Im( γ1 , γ 2 ). 2 2 – сопряжённый по Гильберту сигнал x 2 . ( x1 , x 2 ) =

Здесь x 2Г

22. Комплексная огибающая γ(t ) аналитического сигнала x A (t ) имеет спектральную плотность

67

Г (ω) =

e jπ/ 4 α − jω

e − j ω t0 .

Определить исходный действительный сигнал x(t ), имея в виду, что ω0 >> α. 23. Показать, что для действительного узкополосного сигнала x(t ) сопряжённый по Гильберту π 2

сигнал xГ (t ) есть сигнал x(t ) , сдвинутый по фазе на − , и его комплексная огибающая есть γ (t ) e

−j

π 2

= − j γ (t ).

24. Найти преобразование Гильберта следующих функций: а) f ( x) =

1 , 1 + x2

б) f ( x) =

sin ax . x

25. Показать, что для физически реализуемого линейного фильтра действительная P(ω) и мнимая Q(ω) части комплексной частотной характеристики K ( jω) = P(ω) + jQ (ω)

связаны парой преобразования Гильберта.

1.13. Преобразование Хартли Непрерывный прогресс в области обработки информации обусловлен необходимостью решать задачи всевозрастающей сложности в реальном времени. При этом быстродействие и экономичность достигаются как развитием технологии и организацией средств обработки, так и совершенствованием алгоритмов обработки сигналов. В настоящее время при разработке двумерных и быстрых трехмерных преобразований, быстрых алгоритмов интерполяции и спектрального анализа и т. д. широко применяется преобразование Хартли [33]. В отличие от преобразования Фурье, отображающего вещественные функции в комплексную область и несимметричного по j, преобразование Хартли осуществляет прямое и обратное преобразования только в вещественной области и обладает симметрией. Ядром преобразований является функция cas (cosine-and-sine). Определение. Пусть x(t ) – вещественная функция, имеющая преобразование Фурье. Преобразование Хартли определяется следующим образом: ∞

ℵ( f ) =

∫ x(t )cas2π f tdt ,

(1.13.1)

−∞

где cas2π f t = cos 2π f t + sin 2π f t.

(1.13.2)

Функцию x(t ) можно получить с помощью обратного преобразования Хартли: ∞

x (t ) =

∫ ℵ( f )cas2π f tdf ,

(1.13.3)

−∞

Справедливость формул Хартли легко следует из связи ℵ( f ) с действительной и мнимой составляющими преобразования Фурье X ( f ): ℵ( f ) = Re X ( f ) − Im X ( f ) . (1.13.4) Пусть ℵ( f ) = E ( f ) + O( f ) , (1.13.5) где E ( f ) и O( f ) – соответственно чётная и нечётная составляющие функции ℵ( f ). Тогда ∞

E( f ) =

∫ x(t ) cos 2π f t dt ,

−∞

68

(1.13.6) ∞

O( f ) =

∫ x(t ) sin 2π f tdt ,

−∞

X ( f ) = E ( f ) − jO( f ).

(1.13.7)

Соотношение (1.13.4) позволяет найти преобразование Хартли по известному преобразованию Фурье, не прибегая к вычислениям по формулам (1.13.6) и (1.13.7). Примеры вычисления преобразования Хартли Прямоугольный импульс. В качестве первого примера рассмотрим сигнал x(t ), изображённый на рис. 1.13.1а. Преобразование Фурье этого сигнала X ( f ) = Aτ = Aτ

sin π f τ − j πf τ sin π f τ sin π f τ e = Aτ cos π f τ − jAτ sin π f τ = πf τ πf τ πf τ

sin 2π f τ sin 2 π f τ . − jAτ 2π f τ πf τ

В соответствии с (1.13.4) преобразование Хартли сдвинутого прямоугольного импульса будет равно ℵ( f ) = Aτ

sin 2π f τ sin 2 π f τ + Aτ . 2π f τ πf τ

(1.13.8)

Чётная и нечётная компоненты функции ℵ( f ) изображены на рис. 1.13.1б, в

соответственно. Рис. 1.13.1

Отметим симметрию чётной компоненты E ( f ) и симметрию относительно начала координат нечётной составляющей Q( f ) .  A exp(−α t ), t ≥ 0, α > 0, t < 0.  0,

Экспоненциальный импульс x(t ) = 

Преобразование Фурье этого импульса X (ω) =

A Aα Aω = −j 2 . (α + jω) α 2 + ω2 α + ω2

69

На основании (1.13.4) преобразование Хартли экспоненциального импульса есть Aα Aω . + 2 2 α + ω α + ω2

ℵ(ω) =

2

(1.13.9)

Рис. 1.13.2. Экспоненциальный импульс (а) и его преобразование Хартли (б)

Основные теоремы для преобразований Фурье и Хартли приведены в таблице 1.13.1. Т а б л и ц а 1.13.1 x (t ) x (t / a ) x1 (t ) + x2 (t ) x ( −t ) x(t − τ) x(t ) cos 2πf 0 t

X(f ) aX (af ) X1 ( f ) + X 2 ( f ) X (− f ) X ( f ) exp(− j 2πf τ)

ℵ( f ) aℵ(af ) ℵ1 ( f ) +ℵ2 ( f ) ℵ(− f ) ℵ( f ) cos 2πf τ +ℵ(− f )sin 2πf τ

(1/ 2) X ( f − f 0 ) +

(1/ 2)ℵ( f − f 0 ) +

+ (1/ 2) X ( f + f 0 )

+ (1/ 2)ℵ( f + f 0 ) 1/ 2[ℵ1 ( f )ℵ2 ( f ) −

Свёртка x1 (t ) ∗ x2 (t )

−ℵ1 (− f )ℵ2 (− f ) +

X1 ( f ) X 2 ( f )

+ℵ1 ( f )ℵ2 (− f ) + +ℵ1 (− f )ℵ2 ( f )]

Корреляц ия x(t ) ⊗ x (t )

X(f )

1/ 2{[ℵ( f )]2 + [ℵ(− f )]2 }

2

1/ 2[ℵ1 ( f ) ∗ℵ2 ( f ) − x1 (t ) x2 (t ) x ′(t ) x ′′(t )

−ℵ1 (− f ) ∗ℵ2 ( f ) +

X1 ( f ) ∗ X 2 ( f )

+ℵ1 ( f ) ∗ℵ2 (− f ) + +ℵ1 (− f ) ∗ℵ2 (− f )] −2π f ℵ(− f )

j 2πf X ( f ) −4 π 2 f 2 X ( f )

−4π2 f 2 ℵ( f )

Упражнения и задачи к п. 1.13 1. Пусть x(t ) – действительная Т-периодическая функция. Путём соответствующих преобразований ряда Фурье x (t ) =

∞

∑

An e

j

2π nt T

, где A n =

n = −∞

2π − j nt 1 T x ( t ) e dt , T −T∫/ 2

T /2

показать, что x(t ) можно представить в виде x (t ) =

∞

∑

ℵ[n]cas

n = −∞

где

T /2

ℵ[n] =

1 2π x(t ) cas n t dt , ∫ T −T / 2 T

70

2π n t, T

cas

2π 2π 2π n t = cos n t + sin n t , T T T

cas

T , m = n, 2π 2π n t cas m t dt =  T T  0, m ≠ n.

T /2

∫

−T / 2

Найти связь коэффициентов ℵ[n] и A n. 2. Найти преобразование Хартли следующих функций: а) cos 2π f t , б) sin 2π f t , в) δ(t − t0 ), г) σ(t ), д) 1/ t , е) t σ(t ) , ж) t 2 , ∞

з) t exp[−πβ2t 2 ]σ(t ), и) sign t , к)

∑

δ(t − kT ).

k = −∞

Equation Chapter 1 Section 141.14. Введение в вейвлет-анализ сигналов Преобразование Фурье и ряды Фурье являются важнейшим математическим аппаратом при анализе сигналов. Однако иногда они оказываются недостаточно эффективными. Так, например, формула

Equation Chapter 1 Section 14 ∞

X(f) =

∫ x (t ) e

− j 2π f t

dt

(1.14.1)

−∞

прямого преобразования Фурье в таком виде не удобна для практических задач. Во-первых, чтобы получить спектральную информацию на выбранной частоте, следует использовать бесконечные интервалы времени: иметь информацию о прошлом и будущем сигнала. Во-вторых, эта формула не учитывает, что частота может эволюционировать во времени. Кроме того, так как частота сигнала обратно пропорциональна длительности его периода, то для получения спектральной информации на высоких частотах временной интервал может быть взят относительно малым для обеспечения нужной точности, а на низких частотах такой интервал должен быть взят относительно большим. Другими словами, важно иметь гибкое частотновременное окно, которое автоматически сжимается в окрестности высоких частотных центров и расширяется у низких частотных центров. Часть отмеченных трудностей устраняется при использовании оконного преобразования Фурье. Однако бесконечно осциллирующая базисная функция (синусоидальная волна) не позволяет получить локализованную информацию. Элементом базиса вейвлет-преобразования является хорошо локализованная функция, быстро стремящаяся к нулю вне небольшого интервала, что позволяет провести локальный спектральный анализ.

От анализа Фурье к вейвлет-анализу Любой сигнал x(t ) из векторного пространства L2 [0, T ] функций с интегрируемым квадратом, T

∫

2

x(t ) dt < ∞,

0

можно представить рядом Фурье

x (t ) =

∞

∑ n

j

An e

2π nt T ,

(1.14.2)

= −∞

где коэффициенты Фурье

An =

1 T

T/2

∫

x(t ) e

−j

2π nt T dt.

(1.14.3)

−T / 2

Имеются две особенности разложений в ряды Фурье (1.14.2). Первая особенность состоит в том, что

x(t ) разлагается в бесконечную сумму взаимно ортогональных компонент An e

j

2π nt T .

Вторая особенность состоит в том, что ортогональный базис {ϕn } порождается растяжением единственной функции

ϕ(t ) = e

71

j

2π t T ,

так, что ϕn (t ) = ϕ(nt ) для всех целых n. Подводя итог, можно сказать, что каждая Т-периодическая, интегрируемая с квадратом функция порождается суперпозицией целочисленных растяжений базисной функции ϕ(t ) = e

j

2π t T .

Средняя мощность периодического сигнала

Px =

1 T

T /2

∫

2

x(t ) dt =

−T / 2

=

∞

∞

∑ m∑ n = −∞

1 T

T /2

∫

An A*m

= −∞

x(t ) ⋅ x *(t ) dt =

−T / 2

1 T

T /2

∫

e

jn

2π t T

⋅e

− jm

2π t T

dt =

∞

∑ n

An

2

(1.14.4)

= −∞

−T / 2

определяется суммой мощностей всех его спектральных компонент. Формула (1.14.4) есть равенство Парсеваля для периодического сигнала. Поэтому {cn } ∈ l2 , где l2 обозначает пространство всех суммируемых с квадратом бесконечных последовательностей: ∞

∑

An

2

< ∞.

n = −∞

Пространство сигналов L2 [0, T ] и пространство l2 последовательностей коэффициентов Фурье изометричны друг другу. Далее рассмотрим пространство L2 (R ) измеримых функций, определённых на вещественной оси R, удовлетворяющих неравенству ∞

∫

2

x(t ) dt < ∞.

−∞

Ясно, что пространства сигналов L2 [0, T ] и L2 (R ) совершенно различны. Так каждая функция из

L2 (R ) должна затухать до нуля при t → ±∞, но синусоидальные (волны) функции ϕn (t ) не принадлежат L2 (R ). Поэтому, если мы хотим использовать «волны», порождающие L2 (R ), то эти волны должны затухать до нуля при t → ±∞, и это затухание должно быть быстрым. Так мы приходим к рассмотрению малых волн, или вейвлетов, для порождения L2 (R ). Как и в случае L2 [0, T ], когда одна функция  2π  ϕ(t ) = exp  j t  порождает целое пространство, мы должны иметь одну функцию для порождения всего  T  L2 (R ) и будем обозначать её через ψ. Это так называемый материнский вейвлет. Так как материнский вейвлет ψ имеет очень быстрое затухание, то для того, чтобы покрыть всё множество R, рассмотрим всевозможные сдвиги ψ по оси времени. Кроме того вейвлеты необходимо масштабировать по длительности (т.е. сжимать и растягивать). В результате приходим к вейвлетам, которые сконструированы из одного материнского вейвлета ψ (t ) за счёт операций сдвига во времени (b) и изменения временного масштаба (a): ψ ab (t ) = Множитель 1/

 t −b  ψ  a  a 

1

(1.14.5)

a обеспечивает независимость нормы этих сигналов от выбора масштабирующего числа

a. При дискретных значениях параметров сжатия и сдвига получаем дискретные вейвлеты.

Признаки вейвлета Нулевое среднее. График исходной функции должен осциллировать вокруг нуля по оси времени и иметь нулевую площадь ∞

∫ ψ(t )dt = 0.

−∞

72

(1.14.6)

Равенство нулю площади, т.е. нулевого момента, приводит к тому, что фурье-преобразование Sψ ( f ) этой функции равно нулю при f = 0 и имеет вид частотной характеристики полосового фильтра. При различных значениях коэффициента a имеем набор полосовых фильтров. Для приложений часто оказывается необходимым, чтобы не только нулевой, но и все первые m моментов были равны нулю: ∞

∫t

m

ψ (t )dt = 0.

(1.14.7)

−∞

Такой вейвлет называется вейвлетом m-го порядка и позволяет анализировать высокочастотную структуру сигнала, подавляя медленно изменяющиеся его составляющие. Локализация. Вейвлет должен быть локализован и во времени, и по частоте. Для этого достаточно, чтобы выполнялись условия:

ψ (t ) ≤ C /(1 + t ) 1+ε и

Sψ ( f ) ≤ C /(1 + f ) 1+ε , при ε > 0.

Ограниченность. Квадрат нормы функции должен быть конечным:

ψ

2

∞

=

∫

ψ (t )

2

dt < ∞.

−∞

Автомодельность. Все вейвлеты конкретного семейства ψ ab (t ) имеют то же число осцилляций, что и материнский вейвлет ψ (t ), поскольку получены из него посредством масштабных преобразований (a) и сдвига (b).

Примеры материнских вейвлетов Наиболее распространённые вещественные базисы конструируются на основе производных гауссовой функции x(θ) = exp(−θ2 / 2), θ –безразмерное время, например θ = β t. Это объясняется тем, что функция Гаусса имеет наилучшую локализацию как во временной, так и в частотной областях (частота ν = ω / β. ). Здесь уместно вспомнить процедуру нахождения спектра колокольного импульса (1.8.29). На рис. 1.14.1–1.14.6 приведены основные материнские вейвлеты (слева) и модули их спектральных плотностей (справа).

ψ (θ) = −θ exp(−θ2 / 2)

↔

ξ(ν ) = ( j ν ) 2 π exp(−ν 2 / 2)

Рис. 1.14.1. WAVE-вейвлет или гауссов вейвлет первого порядка и модуль его спектральной функции

73

ψ (θ) = (1 − θ2 ) exp(−θ2 / 2)

↔

ξ(ν ) = ( j ν ) 2 2 π exp(−ν 2 / 2)

Рис. 1.14.2. MHAT-вейвлет (мексиканская шляпа) или гауссов вейвлет второго порядка и модуль его спектральной функции

У MHAT-вейвлета нулевой и первый моменты равны нулю. Он имеет лучшее разрешение, чем WAVEвейвлет. Хорошо видно, что данный вейвлет напоминает затухающее синусоидальное колебание с некоторой «средней частотой». При этом нетрудно убедиться, что если вейвлет сужается вдвое, то его средняя частота и ширина спектра возрастают также вдвое. Гауссов вейвлет n-го порядка: dn  exp(−θ2 / 2)  ↔ ξ(ν ) = (−1) n ( j ν) n 2π exp(−ν 2 / 2) ψ (θ) = (−1) n d θn  Вейвлеты n-го порядка позволяют анализировать более тонкую (высокочастотную) структуру сигнала подавляя медленно изменяющиеся его компоненты.

2

ψ (θ) = e −θ ↔

ξ(ν ) = 2π  e −ν 

2

/2

/2

2

− e −θ

/8

− e −2 ν   2

Рис. 1.14.3. DOG-вейвлет (difference of gaussians) и модуль его спектра

(πθ) −1 (sin 2πθ − sin πθ)

↔

 1, π ≤ ν ≤ 2π, ξ (ν ) =  0, при других θ. Рис. 1.14.4. LP-вейвлет (Littlewood & Paley) и его спектр

Если исследуемый сигнал существует на отрезке [0, T ] временной оси, то удобно перейти к безразмерному времени θ = t / T . При такой замене аргумент сигнала будет находиться в пределах отрезка [0, 1]. Рассмотрим теперь вейвлет Хаара. Эта функция существует на отрезке [0, 1] и принимает одно из трёх значений:  1, 0 ≤ θ < 1/ 2,  ψ (θ) =  −1, 1/ 2 ≤ θ < 1, (1.14.8) 0, при других θ.  Его спектральная функция аргумента ν = ωT имеет вид:

74

ξ(ν ) = je − j ν / 2

sin 2 (ν / 4) . ν/4

(1.14.9)

Обе функции показаны на рис. 1.14.5.

Рис. 1.14.5. HAAR-вейвлет и модуль его спектра

Рис. 1.14.6. FHAT-вейвлет (французская шляпа) и модуль его спектра

FHAT-вейвлет (рис. 1.14.6 слева) задаётся формулой

 1, θ ≤ 1/ 3,  ψ (θ) =  −1/ 2, 1/ 3 < θ ≤ 1,  0, θ > 1.

(1.14.10)

и имеет спектральную плотность

ξ (ν ) =

4 sin 3 (ν / 3) . 3 ν/3

(1.14.11)

Эта функция изображена по модулю на рис. 1.14.6 справа. Вейвлет Хаара и WHAT-вейвлет являются разрывными функциями, вследствие чего возникает бесконечное чередование «лепестков» в частотной области, хотя и убывающих как 1/ ν. LP-вейвлет, наоборот, имеет резкие границы в ν -области. Непрерывные вейвлеты позволяют построить на их основе полные аналоги преобразований Фурье и Лапласа.

Вейвлет-преобразование (ВП) Сконструируем базис функционального пространства L2 (R ) с помощью непрерывных масштабных преобразований (a) и сдвигов (b) материнского вейвлета:

t −b  ψ  , a, b ∈ R, ψ ∈ L2 (R ). a  a 

1

ψ ab (t ) =

(1.14.12)

Запишем интегральное вейвлет преобразование сигнала x(t ) ∞

Wx (a, b) =

∫

−∞

x(t )ψ ∗ab (t )dt =

1 a

∞

∫ x (t ) ψ

−∞

∗

 t −b    dt ,  a 

(1.14.13)

которое по смыслу соответствует преобразованию Фурье с той разницей, что здесь ядром преобразования является вейвлет ψ ∗ ((t − b) / a) вместо функции exp(− j ωt ). С учётом ограниченной области R определения сигналов и a, b ∈ R, a ≠ 0 :

75

1

Wx (a, b) =

a

∫ x (t ) ψ R

∗

 t −b    dt ,  a 

(1.14.14)

Вейвлет-спектр Wx (a, b) (масштабно-временной спектр) в отличие от фурье-спектра является функцией двух аргументов: первый аргумент а (временной масштаб) обратен частоте, а второй b – аналогичен смещению сигнала во времени. При этом параметры а и b могут принимать любые значения в пределах указанных выше областей их определения. Следует отметить, что Wx (a0 , b) характеризует временную зависимость (при a = a0 ), тогда как

Wx (a, b0 ) – частотную зависимость (при b = b0 ). Если исследуемый сигнал x(t ) представляет собой некоторый одиночный импульс, сосредоточенный в окрестности точки t0 и имеющий длительность τ, то его вейвлет-преобразование будет принимать наибольшее значение в окрестности точки с координатами a = τ, b = t0 на плоскости ab. Обратное вейвлет-преобразование записывается с помощью того же базиса (1.14.12), что и прямое [37]: x (t ) =

1 Cψ

∞

∞

∫ ∫

−∞

Wx (a, b)ψ ab (t )

−∞

dadb , где a2 ∞

Cξ =

∫

2

ξ(ω) ω

−1

dω < ∞

(1.14.15)

−∞

– нормирующий коэффициент, аналогичный коэффициенту 2π в обратном преобразовании Фурье, ξ(ω) − фурье-преобразование материнского вейвлета ψ (t ). Для ортонормированных вейвлетов Cξ = 1. Условие конечности константы Cξ ограничивает класс функций ψ (t ) ∈ L2 (R ), которые могут быть использованы в качестве базисных вейвлетов. В частности, очевидно, что фурье-образ ξ(ω) должен быть равен нулю при ω = 0. Следовательно должен быть равен нулю по крайней мере нулевой момент, т. е. ∞

∫ ψ(t )dt = 0.

−∞

Свойства вейвлет преобразования Линейность. Это свойство следует из скалярного произведения (1.14.13):

Wαx (t ) +βy (t ) (a, b) = αWx (a, b) + βWy (a, b).

(1.14.16)

Теорема запаздывания. Сдвиг сигнала во времени на b0 приводит к сдвигу вейвлет-образа также на b0 :

Wx (t − b0 ) (a, b) = Wx (a, b − b0 ).

(1.14.17)

Теорема об изменении масштаба. Растяжение (сжатие) сигнала приводит к растяжению (сжатию) вейвлет образа:

Wx (t / a0 ) (a, b) =

1 a b Wx ( , ). a0 a0 a0

(1.14.18)

Дифференцирование: ∞

Wd m x (a, b) = (−1) m t

где d = d

[K] / dt

∫ x(t ) d

−∞

m t

ψ ∗ab (t )  dt , (1.14.19)

, m ≥ 1. Из этого свойства следует, что проанализировать особенности высокого порядка или мелкомасштабные вариации сигнала x(t ) можно дифференцированием нужного числа раз либо вейвлета, либо самого сигнала. Это свойство особенно полезно когда сигнал задан дискретным рядом. m t

m

m

Частотно-временная локализация ВП Это свойство обусловлено тем, что элементы базиса ВП хорошо локализованы и обладают подвижным частотно-временным окном. Есть прямая связь между временным и частотным представлением вейвлетов. Так малые значения параметра а, характеризующие быстрые составляющие в сигналах, соответствуют высоким частотам, а большие значения (соответствующие медленным изменениям сигнала) – низким частотам. Таким образом, за счёт изменения масштаба вейвлеты способны выявлять различия на разных

76

частотах, а за счёт сдвига (параметр b) проанализировать свойства сигнала в разных точках на всём исследуемом временном интервале. Поэтому при анализе нестационарных сигналов (звуковых сигналов, сигналов изображения и т.д.) за счёт свойства локальности вейвлет-преобразование получает преимущество перед преобразованием Фурье, которое даёт только глобальные сведения о частотах анализируемого сигнала. Это объясняется тем, что ПФ использует базисную систему гармонических функций, которая определена на бесконечном интервале. Каковы параметры частотно-временного окна ВП? Для нетривиального вейвлета ψ (t ) ∈ L2 ( R ) его центр t• и радиус ∆ ψ определяются формулами:

t• =

∞

1 ψ

∫t

2

ψ (t )

2

dt ,

(1.14.20)

−∞

1/ 2

∞  1  2 2 ∆ψ =  ∫ (t − t• ) ψ(t ) dt  . ψ  −∞  Тогда ВП (1.14.13) даёт локальную информацию об аналоговом сигнале x(t ) с временным окном

[ wint ] = b + at• − ∆ ψ ,

b + at• + ∆ ψ  .

(1.14.21)

(1.14.22)

Это окно сужается при малых значениях а и расширяется при больших а. Рассмотрим затем

1

ξ a ,b (ω) =

a

∞

a − jωb  t − b  − j ωt e ξ(aω),  e dt = a  a

∫ ψ 

−∞

(1.14.23)

где ξ(ω) – фурье-образ материнского вейвлета ψ (t ). Предположим, что центр и радиус фурье-образа ξ(ω) равны соответственно ω• и ∆ ξ . Тогда, положив

η(ω) = ξ(ω + ω• ),

(1.14.24)

мы имеем функцию-окно η с центром в нуле и радиусом, равным ∆ ξ . Воспользовавшись равенством Парсеваля (x, ψ ) = ( X, ξ ) / 2π, мы можем с учётом (1.14.23) и (1.14.24) записать вейвлет преобразование (1.14.13) в виде

Wx (a, b) = =

a 2π a

∞

1 t −b  x(t ) ψ∗   dt = ∫ a   a −∞ 2π a

1

∞

∫ X (ω)e

−∞

j ωb

ξ∗ (aω)d ω =

a 2π a

∞

∫ X (ω)e

j ωb

ξ∗a ,b (ω)d ω =

−∞

∞

∫ X (ω)e

j ωb

η∗ [a(ω −

−∞

ω• )]d ω. a

(1.14.25) ω• Ясно, что функция-окно η[a(ω − )] = η(aω − ω• ) = ξ(aω) имеет радиус, равный ∆ ξ / a. Если отвлечься от a a множителя и линейного сдвига по фазе e j ωb , то очевидно, что ВП (1.14.25) даёт и о спектре X (ω) 2π a локализованную информацию с «частотным окном»

 ω•

[ winω ] = 

a

η

ω• a1 ω• a2

77

−

∆ ξ ω• ∆ ξ  , + . a a a 

(1.14.26)

b1 + a1t•

b2 + a2 t•

t

Рис. 1.14.7. Частотно-временные окна, a1 < a2 .

Частотная локализация происходит около центра окна ω• / a с шириной окна 2∆ ξ / a. Заметим, что отношение центральной частоты к ширине окна, −1

ω•  2∆ ξ  ω• ,   = a  a  2∆ ξ не зависит от местоположения центральной частоты, а частотно-временное окно

[ wint ] ⋅ [ winω ] =  ω ∆ ξ ω• ∆ ξ  , = b + at• − ∆ ψ , b + at• + ∆ ψ  ⋅  • − + , a a a  a

(1.14.27)

имеющее площадь 4∆ ψ ∆ ξ , сужается при высокой центральной частоте ω• / a и расширяется при низкой. Важно, что частотно-временное окно (1.14.27) сужается (по переменной t ) при больших частотных центрах ω• / a и расширяется при малых частотных центрах ω• / a (см. рис. 14.7); в то же время площадь частотновременного окна остаётся постоянной, равной 4∆ ψ ∆ ξ . Это как раз наиболее желательно при частотновременном анализе.

Вейвлет-ряды Непрерывное вейвлет-преобразование обладает большой избыточностью, что ведёт к неоправданно большим затратам времени на его вычисление. Поэтому для практического его применения необходима дискретизация параметров а и b при сохранении возможности восстановления сигнала из его преобразования. Наиболее распространена так называемая диадная дискретизация, при которой 1 1  t −b  a = 2m , b = k 2m , ψ m , k (t ) = ψ ψ ( 2− m t − k ) , (1.14.28) = a  a  2m где m и k – целые числа. В результате плоскость ab превращается в соответствующую сетку mk. Параметр m называется параметром масштаба. Выбор b = k 2m гарантирует, что растянутые вейвлеты на уровне m «покрывают» ось времени также, как и исходные вейвлеты на уровне m = 0. Прямое и обратное диадное ВП записываются в виде

cmk = ( x(t ), ψ mk (t ) ) =

∞

∫ x(t )ψ

mk

(t )dt ,

(1.14.29)

−∞

x(t ) = ∑ cmk ψ mk (t ).

(1.14.30)

m, k

По аналогии с преобразованием Фурье коэффициенты cmk можно выразить через непрерывное ВП

Wx (a, b): cmk = Wx (2m , k 2m ). (1.14.31) Из (1.14.30) следует, что сигнал x(t ) может быть представлен суммой «вейвлетных волн» с коэффициентами cmk . Формально обобщённый ряд Фурье (1.14.30) отличается тем, что суммирование проводится не по одному, а по двум индексам. Рассмотрим простой, но очень важный случай, когда порождающим элементом базиса служит вейвлет Хаара ψ (t ) = ψ 00 (t ) (рис. 1.14.8). ψ (t )

ψ 01 (t )

ψ 07 (t ) t

ψ10 (t )

ψ11 (t )

ψ12 (t )

ψ13 (t ) t

78

ψ 20 (t )

ψ 21 (t ) t

ψ 30 (t ) t

Рис. 1.14.8. Ортогональные вейвлеты Хаара

Нетрудно убедиться, что базисная система вейвлетов Хаара является ортонормированной, т. е. ∞

∫ψ

−∞

mk

 1, если одновременно m = p и k = q; (t )ψ pq (t )dt =   0, если иначе.

Вейвлет-спектр действительного сигнала можно представить себе как «лес» из вертикальных отрезков, размещённых над mk-плоскостью в точках с целочисленными координатами. При этом координата m указывает на скорость изменения сигнала, а координата k – на положение вдоль оси времени.

Дискретное вейвлет-преобразование Такое преобразование характеризуется тем, что не только параметры а и b, но и сигналы также дискретизуются во времени. Дискретизация сигнала осуществляется в соответствии с теоремой Котельникова (теоремой отсчётов), которая рассматривается в п. 2.3. Если число отсчётов сигнала составляет N = 2ν ( ν – целое), то параметры m и k можно изменять в пределах: m = 0, 1, 2, K , ν; k = 0, 1, 2, K , 2ν− m − 1. В частности, для m = 0 (т. е. a = 1) число сдвигов k базисного вейвлета составит 2ν − 1 = N − 1. С каждым последующим значением m (1, 2, 3, K) вейвлет ψ mk (t ) расширяется в два раза, а число сдвигов k уменьшается в два раза. Для максимального значения mmax = ν имеем k = 0, т. е. один вейвлет ψ mmax 0 (t ) «накрывает» весь временной интервал сигнала (рис. 1.14.8; N=8).

Пример вейвлет преобразования Рассмотрим сигнал в виде суммы двух синусоид с заметно отличающимися амплитудами и частотами t t x(t ) = sin 2π + α sin 2π ; T1 = 50; T2 = 10; α = 0, 4 T1 T2 График этого сигнала приведён на рис. 1.14.9 вверху. В вычислениях использовался МХАТ-вейвлет (рис. 1.14.2). Результатом вейвлет-преобразования одномерного сигнала является двумерный массив значений коэффициентов Wx (a, b). Распределение этих значений в пространстве (а, b) даёт информацию об эволюции относительного вклада компонент разного масштаба во времени и называется вейвлет-спектром. Спектр Wx (a, b) одномерного сигнала представляет собой поверхность в трёхмерном пространстве (рис. 1.14.9 внизу). Вместо изображения поверхности на рис. 1.14.10 приведены проекции Wx (a, b) на плоскость (а, b) с изоуровнями; по оси абсцисс отложено время, по оси ординат – временной масштаб (он линейно растёт вверх).

79

Рис. 1.14.9. Сигнал и результаты его вейвлет преобразования

20

10

0 0

10

20

30

40

Рис. 1.14.10. Линий локальных экстремумов

Тёмные области соответствуют положительным, а светлые – отрицательным значениям Wx (a, b); оттенками серого цвета в каждой из областей выделены диапазоны значений Wx (a, b). Многочисленные периодически повторяющиеся детали в нижней части картины (при малых значениях масштаба а) являются результатом резонанса высокочастотной составляющей сигнала с мелкомасштабными вейвлетами. Тёмные и светлые области на крупных масштабах ( положительные и отрицательные значения Wx (a, b) соответственно) являются результатом сильной корреляции между крупномасштабными вейвлетами и низкочастотной составляющей, представленной всего четырьмя периодами.

80

Г Л А В А 2. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ АНАЛОГОВЫХ СИГНАЛОВ Equation Chapter 2 Section 1 Как уже отмечалось в первой главе, дискретизация – это переход от континуального сигнала x(t) к последовательности чисел – коэффициентам разложения сигнала по какому-либо ортогональному базису. С точки зрения организации обработки наиболее удобным способом дискретизации является представление сигналов в виде выборок их значений (отсчётов) в отдельных эквидистантно расположенных точках. Поэтому в качестве базисов дискретизации чаще всего используются сдвиговые базисные функции (функции отсчётов и прямоугольные функции), рассмотренные в п. 1.7.

2.1. Функция дискретизации. Модель дискретизованного сигнала В этой главе рассматриваются дискретные представления сигналов, основанные на использовании периодических моментов дискретизации. В таком случае процесс дискретизации эквивалентен амплитудной модуляции последовательности импульсов с постоянной амплитудой и иллюстрируется на рис. 2.1.1.

Рис. 2.1.1. Дискретизация как амплитудно-импульсная модуляция

В пределе дискретизатор можно рассматривать как периодически действующий прерыватель. При этом длительность импульсов τ практически должна быть исчезающе мала по сравнению с периодом дискретизации ∆t. Периодическую функцию y (t ) (рис. 2.1.1) можно представить в виде ряда Фурье (см. п. 1.9):

Aτ y (t ) = ∆t

∞

∑

sin n

n = −∞

n

π

π ∆t

τ

e

jn

2π t ∆t .

τ

∆t Устремляя τ к нулю и предполагая, что произведение Aτ остаётся постоянным, например, ( Aτ = ∆t )τ →0 , получаем lim[ y (t )] = D∆t (t ) =

τ →0

∞

∑

e

jn

2π t ∆t .

n = −∞

Это есть ряд Фурье для периодической последовательности дельта-функций, следующих с периодом ∆t , т. е.

D∆t (t ) = ∆t

∞

∑ δ (t − k ∆t ). k = −∞

(2.1.1)

Эту функцию мы будем называть функцией идеальной дискретизации. Дискретизованный сигнал можно рассматривать как результат модуляции последовательности импульсов D∆t (t ) функцией x(t ) :

xд (t ) = x(t ) ⋅ D∆t (t ) = = ∆t

∞

∑ x(k∆t )δ (t − k ∆t ), k = −∞ 81

(2.1.2)

что иллюстрируется на рис. 2.1.2.

Рис. 2.1.2

При таком определении функции дискретизации размерности левой и правой части (2.1.2) совпадают. Рассмотрим ещё одну трактовку процесса дискретизации. Идеальный способ взятия отсчётов сигнала x(t ) основывается на фильтрующем свойстве дельта-функции: ∞

x ( k ∆t ) =

∫

∞

x(t ) δ(t − k ∆t )dt =

−∞

∫ x(t ) δ(k ∆t − t )dt.

(2.1.3)

−∞

Последний интеграл есть интеграл свёртки. Отсюда вытекает, что устройством, осуществляющим измерение мгновенных значений x(k ∆t ), является дискретизатор (фильтр) с бесконечно короткой импульсной характеристикой. Ясно, что в реальных дискретизаторах измерение величины x(k ∆t ) будет тем точнее, чем короче их импульсная характеристика. Математическую модель (2.1.2) дискретного сигнала xд (t ) можно получить и другим способом. Возьмём формулу динамического представления сигнала (п. 1.11): ∞

x (t ) =

∫ x(τ ) ⋅ δ(t − τ )dτ .

(2.1.4)

−∞

Поскольку дискретный сигнал определён лишь в точках tk = k ∆t (k = 0, ± 1, ± 2, K), интегрирование в (2.1.4) следует заменить суммированием по индексу ∆t , на

dτ

k, а

тогда x д (t ) = ∆ t

∞

∑ x ( k ∆ t ) ⋅ δ(t − k ∆ t ) k = −∞

=

∞   = x (t ) ⋅  ∆ t ∑ δ(t − k ∆ t )  = x ( t ) ⋅ D∆ t (t ).  k = −∞ 

(2.1.5)

Таким образом, операция дискретизации, т. е. переход от аналогового сигнала x(t ) к дискретному xд (t ) осуществляется умножением x(t ) на функцию дискретизации:

D∆t (t ) = ∆t

∞

∑ δ (t − k ∆t ). k = −∞

Эту периодическую последовательность дельта-функций, следующих с периодом ∆t , называют ещё гребёнкой Дирака. В соответствии с (2.1.2) и (2.1.5) дискретизованный сигнал представляется бесконечно узкими импульсами с площадями ∆t ⋅ x(k ∆t ). Эти импульсы расположены в равноотстоящих точках

tk = k ∆t , k = 0, ± 1, ± 2, ± 3, K , как показано на рис. 2.1.2. xд (t ) в виде (2.1.2) является удобной идеализацией. По существу это континуальная запись дискретного сигнала. Теперь мы можем интегрировать и дифференцировать xд (t ), подвергать его различным линейным преобразованиям, в том числе вычислять преобразование Фурье. Свойства обобщённых дельта-функций позволяют это. Математическая модель дискретизованного сигнала

2.2. Спектр дискретизованного сигнала Найдём сначала спектр функции дискретизации (2.1.1). Периодическую последовательность дельтафункций можно представить рядом Фурье:Equation Chapter 2 Section 2

D∆t (t ) = ∆t

∞

∞

cn e ∑ δ(t − k ∆t ) = ∆t n ∑ k = −∞ = −∞

j

2π nt ∆t ,

где коэффициенты Фурье ∆t

1 2 cn = ∆t −∆∫ t

∞

∑ δ(t − k ∆t ) e k = −∞

−j

2π nt ∆t

dt =

1 ∆t

2

одинаковы для всех n . Поэтому

D∆ t (t ) = ∆t

∞

∑

δ(t − k ∆t ) =

k = −∞

Отсюда с учётом (1.9.10) получаем для спектра функции дискретизации

82

∞

∑

n = −∞

j 2π

e

n t ∆t

.

(2.2.1)

D fд ( f ) = где

f д = ∆f = 1/ ∆t

∞

∑

δ( f − n f д ),

(2.2.2)

n = −∞

− частота дискретизации. Таким образом, спектр функции дискретизации

представляется периодической последовательностью дельта-функций, период следования которых на частотной оси равен частоте дискретизации. Рис. 2.2.1. Функция дискретизации и её спектр

Соответствие

D∆ t (t ) = ∆t

∞

∑

k = −∞

δ (t − k ∆t ) ⇔ D fд ( f ) =

∞

∑

δ ( f − n fд )

(2.2.3)

k = −∞

иллюстрируется на рис. 2.2.1. Найдём теперь спектр дискретизованного сигнала xд (t ). Пусть X ( f ) – спектр сигнала x(t ). Произведению функций в правой части (2.1.5) соответствует свертка их фурье-образов в спектральной области, поэтому

Xд ( f ) = X ( f ) ⊗

∞

∑

δ( f − n f д ) =

n = −∞

∞

∞

∑ ∫

X ( f − ν ) δ(ν − n f д ) d ν.

n = −∞ −∞

С учётом фильтрующего свойства дельта-функции получаем

Xд( f ) =

∞

∑

n = −∞

∞

X ( f − n f д ) = X ( f ) + ∑ X ( f ± n f д ).

(2.2.4)

n =1

Таким образом, дискретизация аналогового сигнала по времени с шагом ∆t приводит к периодическому повторению его спектра по оси частот с периодом, равным частоте дискретизации f д = ∆f = 1/ ∆t. На рис. 2.2.2 изображён случай, когда спектр аналогового сигнала является финитной функцией и частота дискретизации выбрана так, что частичные спектры не перекрываются.

Рис. 2.2.2. Спектр дискретизованного сигнала

83

При этом любой из частичных спектров является неискажённой копией исходного спектра, поэтому, выделив с помощью фильтра один из них (например, при n = 0 ), можно по нему точно восстановить сигнал. Возможность такого восстановления подтверждается теоремой Котельникова.Equation Chapter 2 Section 3

2.3. Теорема Котельникова В 1933 году В.А. Котельников доказал теорему, которая имеет фундаментальное значение в физике и технике [18]. В соответствии с этой теоремой аналоговый сигнал x(t ) при определённых условиях однозначно представляется последовательностью своих отсчётов, взятых через равные промежутки времени. В зарубежной литературе эта теорема называется теоремой отсчётов.

Сигналы с финитным спектром Рассмотрим сначала сигналы, которые характеризуются тем, что их ПФ существует на всём интервале частот (−∞, ∞), но отлично от нуля только на конечном интервале [ − f в , f в ] (рис. 2.3.1). Для сигнала x(t ) с финитным спектром X ( f ) запишем представление по функциям отсчетов (1.6.1): Рис. 2.3.1

x (t ) =

∞

∑

ck

k = −∞

sin 2π f в (t − k ∆t ) , 2π f в (t − k ∆t )

(2.3.1)

где

ck =

( x, φ k ) 1 = (φ k , φ k ) ∆t

∞

∫

x(t )

−∞

sin 2π f в (t − k ∆t ) dt 2π f в (t − k ∆t )

(2.3.2)

есть коэффициенты Фурье и ∆t = 1/ 2 f в . Спектр функции отсчётов ∞

∫

ϕk (t ) e − j 2π f t dt = П2 fв ( f ) exp(− j 2π f k ∆t )

−∞

имеет фазовый множитель из-за сдвига по времени на k ∆t. Модуль этого спектра П 2 fв ( f ) является прямоугольной функцией с единичной площадью. С учётом обобщённого равенства Парсеваля ∞

∫

−∞

∞

x(t ) y ∗ (t ) dt = ∫ X ( f )Y ∗ ( f ) df

(2.3.3)

−∞

выражение для коэффициента ck можем записать в виде ∞

ck =

1 ∫ X ( f ) П 2 fв ( f ) e ∆t −∞

j 2π f k ∆t

df .

Cтоящее под интегралом произведение

X ( f ) П2 fв ( f ) = X ( f )

1 = X ( f )∆t , 2 fв

поэтому

ck = x(k ∆t ).

(2.3.4)

Отсюда вывод: если сигнал имеет спектр, ограниченный интервалом [ − f в , f в ] и шаг дискретизации

∆t = 1/ 2 f в , то коэффициенты Фурье ck разложения сигнала по функциям отсчётов ϕk (t ) являются выборками сигнала x(k ∆t ) и для x(t ) имеет место представление рядом Котельникова: x (t ) =

∞

∑

k = −∞

84

x(k ∆t )

sin 2π f в (t − k ∆t ) . 2π f в (t − k ∆t )

(2.3.5)

Справедливость точного равенства (2.3.5) для сигналов с финитным спектром по существу представляет собой формулировку теоремы Котельникова и вытекает из следующих соотношений: ∞

∑

x ( k ∆ t ) ϕ k (t ) =

k = −∞

∞

∑

k = −∞

∞

x(k ∆ t ) ∫ ϕ0 (t − τ)δ(τ − k ∆ t )d τ = −∞

∞ 1 = ϕ0 (t ) ⊗ [∆ t ∑ x(k ∆ t ) δ(t − k ∆ t )]. ∆t k = −∞

(2.3.6)

Свертку (2.3.6) можно интерпретировать как отклик идеального фильтра нижних частот с импульсной характеристикой

h (t ) =

sin 2π f в t 1 ϕ0 (t ) = 2 f в , ∆t 2π f в t

на вход которого поступает взвешенная последовательность дельта-импульсов с площадями ∆t ⋅ x(k ∆t ). Свертке (2.3.6) во времени соответствует произведение соответствующих фурье-образов ∞ n 2 f в П 2 f в ( f ) X д ( f ) = 2 f в П 2 fв ( f ) ∑ X ( f − ) = X ( f ). ∆t n = −∞ Отсюда, если взять обратное преобразование Фурье, следует (2.3.5). Таким образом, приведённые выше соотношения иллюстрируют возможность точного восстановления континуального сигнала x(t ) по его дискретным отсчётам. Замечание. Важно отметить, что любой ряд Котельникова вида (2.3.5) представляет функцию с финитным спектром.

Теорема Котельникова относится к числу фундаментальных результатов и широко используется в теории и практике обработки сигналов. Так, например, чтобы передать по каналу связи непрерывное сообщение x(t ) с ограниченным спектром, можно поступить следующим образом: • • •

взять отсчеты x(k ∆t ), k = 0, ± 1, ± 2, ± 3, K ; передать величины этих отсчетов; на приемном конце сформировать короткие импульсы с площадями ∆t x(k ∆t );

•

восстановить сообщение с помощью фильтра нижних частот с полосой [ − f в , f в ] и постоянным в

пределах этой полосы коэффи-циентом передачи, подавая на вход фильтра сформированные короткие импульсы.

Сигналы с нефинитным спектром Реально любой сигнал наблюдается в течение конечного интервала времени T . Спектр такого сигнала строго не является финитной функцией, т. е. будет неограничен по протяженности (рис. 2.3.2а). В этом случае выбор верхней граничной частоты f в является условным. Дискретизованный с некоторым шагом ∆t = 1/ 2 f в в соответствии с (2.2.2) будет иметь спектр X д ( f ), изображенный на рис. 2.3.2б. Таким образом, при дискретизации сигнала с неограниченным спектром периодическое повторение спектра, вызванное дискретизацией, будет сопровождаться эффектом наложения (“aliasing”) частичных спектров своими "хвостами". В силу неограниченной протяженности исходного спектра этот эффект принципиально неустраним при любом ∆t (он может быть только ослаблен выбором малого ∆t ). а)

б)

Рис. 2.3.2

85

Рассмотрим один период спектра X д ( f ) в полосе [ − f с , f с ] , где

f с = f д / 2 = 1/ 2∆t – частота

Найквиста. Он будет отличаться от исходного X ( f ), во-первых, тем, что не содержит спектральных составляющих выше частоты f с = f д / 2, а во-вторых, тем, что содержит "лишние" составляющие за счёт наложения. Пусть T = N ∆t. Тогда восстановленный по отсчётам сигнал

xˆ(t ) =

N/2

∑

x(k ∆t )

k = −N / 2

=

N /2

∑

x(k ∆t )

sin 2π f c (t − k ∆t ) = 2π f c (t − k ∆t )

sin π f д (t − k ∆t ) π f д ( t − k ∆t )

k = −N / 2

по указанным двум причинам будет отличаться от исходного x(t ). Наилучшим способом дискретизации сигнала с нефинитным спектром является представление с помощью коэффициентов Фурье:

(x, φ k ) 1 = (φ k , φ k ) ∆t

ck =

∞

∫

x(t )

sin π f д (t − k∆t ) π f д (t − k ∆t )

−∞

(2.3.7)

dt ,

которые уже не равны отсчётам x(k ∆t ). Действительно, применяя к (2.3.7) равенство Парсеваля (2.3.3), будем иметь ∞ 1 j 2π f k ∆ t ck = df = ∫ X ( f ) П 2 fc ( f ) e ∆t −∞ fc

=

∫

X(f ) e

j 2π f k ∆ t

df = x1 (k ∆t ),

− fc

т. е. коэффициенты Фурье ck равны выборкам сигнала x1 (t ), имеющего финитный спектр

при f ∈ [− f c , f c ], X ( f ) X1 ( f ) =  f.  0 при других Восстановленный по этим коэффициентам сигнал

x1 (t ) =

sin π f д (t − k ∆t )

∞

∑c

k

k = −∞

(2.3.8)

π f д (t − k ∆t )

также будет отличаться от исходного x(t ). Среднеквадратическая ошибка определяется энергией отброшенных "хвостов" спектра с частотами f > f c : ∞

ε 2min =

∫

∞

2

x(t ) − x1 (t ) d t =

−∞

∫

2

X ( f ) − X 1 ( f ) d f или

−∞

− fc

ε 2min =

∫ −∞

∞

2

X(f ) d f +

∫ f

2

X(f ) d f.

(2.3.9)

c

Если вместо ck в (2.3.8) взять отсчёты x(k ∆t ), то к ошибке (2.3.9) добавится ошибка за счет наложения частичных спектров: 2 ε 2 = ε 2min + εдоп , где 0

2 ε доп =

∫ − fc

∞

∑

n =1

2

X ( f + n fд ) d f +

fc

∫0

∞

∑

2

X ( f + n fд ) d f

(2.3.10)

n =1

зависит от интенсивности компонент спектра при f > f c . Поэтому для ослабления эффекта наложения сигнал перед дискретизацией пропускают через фильтр нижних частот с целью подавления

86

высокочастотных составляющих сигнала выше частоты f с = f д / 2 = 1/ 2∆t , чтобы не допустить их свертывание в информационную часть спектра [ − f с , f с ] .

• • • • •

Можно перечислить основные причины, по которым восстановленный в соответствии с (2.3.5) сигнал будет отличаться от исходного: спектры реальных сигналов ограничены по частоте приближенно; невозможно измерить отсчёты сигнала за бесконечно малый промежуток времени; отличие реальных фильтров восстановления от идеального фильтра нижних частот; отличие импульсов отсчетов от δ-функций ; конечное число отсчетов. Ниже остановимся на этих причинах подробнее.

2.4. Дискретизаторы с конечным временем выборки При идеальной дискретизации формирование отсчета производится в соответствии с ∞

x ( k ∆t ) =

∫

∞

x(t ) ⋅ δ(t − k ∆t )dt =

−∞

т.

е.

в

∫ x(t ) ⋅ δ(k ∆t − t )dt,

−∞

результате

свертки

сигнала

x (t )

импульсной

с

характеристикой

идеального дискретизатора δ(t ). На практике формирование отсчетов сигнала импульсная реакция h(t ) которого отличается от распределена на отрезке конечной длительности

осуществляется устройством, обобщенной функции Дирака и θ ≤ ∆t (рис. 2.4.1).

Рис. 2.4.1

Результат измерения отсчета можно записать как k ∆t

xˆ(k ∆t ) =

∫

∞

x(t ) h(k ∆t − t )dt =

k ∆t −θ

момент t = k ∆t. По аналогии

∫

x(t ) h(k ∆t − t )dt = [ x(t ) ⊗ h(t )] t = k ∆t , т. е. как результат свёртки в

−∞

с

(2.1.2)

дискретизованный

сигнал

может

быть

представлен

в

виде

Equation Chapter 2 Section 4 xˆд (t ) = ∆t

∞

∑

xˆ (k ∆t ) δ(t − k ∆t ) =

k = −∞

= [ x(t ) ⊗ h(t )] ⋅ ∆t

∞

∑

(2.4.1)

δ(t − k ∆t ).

k = −∞

Из (2.4.1) следует, что функция xˆд (t ) получена идеальной дискре-тизацией сигнала

xˆ(t ) = [ x(t ) ⊗ h(t )] на выходе фильтра с импульсным откликом h(t ). Применяя к (2.4.1) преобразование Фурье, находим спектр реально дискретизованного сигнала Xˆ д ( f ) = [ X ( f ) ⋅ H ( f )] ⊗ D fд ( f ), где D fд ( f ) =

∞

∑ δ( f − n f n = −∞

д

(2.4.2)

) – гребенка Дирака в частотной области, X ( f ) = ПФ[ x(t )] – спектр сигнала,

H ( f ) = ПФ [h(t )] – частотная характеристика дискретизатора. При выводе (2.4.2) использованы известные свойства преобразования Фурье для свертки и произведения двух функций. Спектральные функции, входящие в (2.4.2), изображены на рис. 2.4.2. Рис. 2.4.2. Спектры сигналов для дискретизатора с конечным

87

временем выборки

Таким образом, спектр сигнала на выходе реального дискретизатора есть периодическое повторение искажённой копии исходного спектра [ X ( f ) ⋅ H ( f )]. Чем короче импульсная характеристика дискретизатора h(t ), тем лучше в полосе частот сигнала выполняется приближённое равенство

H ( f ) ≈ const, тем меньше искажения. Если для восстановления использовать идеальный ФНЧ с характеристиками

h0 (t ) =

sin 2 π f в t 1 ϕ0 (t ) = 2 f в , ∆t 2 π fв t

H 0 ( f ) = 2 f в П 2 fв ( f ) = 1 в полосе [ − f в , f в ] , то на выходе его будет сигнал ∞ sin 2 π f в (t − k ∆t ) xˆ (t ) = ∑ xˆ (k ∆t ) ⋅ , 2 π f в (t − k ∆t ) k = −∞ Нетрудно видеть, что для получения восстанавливающего фильтра

отличающийся от исходного x(t ). исходного сигнала характеристика должна быть H (f) H1 ( f ) = 0 . H( f )

Рис. 2.4.3

Таким образом, характеристика восстанавливающего фильтра H1 ( f ) должна корректировать искажения, вызванные взвешивающим действием импульсов отсчетов h(t ) (рис. 2.4.3). Замечание. Так как для физически реализуемых фильтров импульсная характеристика h(t ) = 0 для t < 0, то мнимая часть фурье-образа H ( f ) функции h(t ) не равна тождественно нулю. Следовательно, умножение X ( f ) на H ( f ) вызывает дополнительный сдвиг фаз. Пример 2.4.1. Вариантом рассмотренного способа дискретизации с конечным временем выборки является дискретизация прямоугольными импульсами П (t − k ∆t ), которым соответствуют средние значения исходного

θ

сигнала в течение длительности импульса (рис. 2.4.4а).

а)

б)

в) Рис. 2.4.4. Дискретизация с усреднением

Такая дискретизация встречается, например, в АЦП с устройством выборки и хранения (УВХ). Введение операции интегрирования сигнала в пределах прямоугольного стробирующего импульса приводит к уменьшению динамических погрешностей АЦП. Импульсная реакция физически реализуемого дискретизатора с усреднением представлена на рис. 2.4.4б и определяется соотношением ПФ

h(t ) = Пθ (t − θ/ 2) ↔ H ( f ) = θ Выходной сигнал такого дискретизатора k ∆t

xˆ(k ∆t ) =

∞

1 1 x(t ) dt = ∫ x(t ) h(k ∆t − t ) dt = ∫ θ k ∆t − θ θ −∞

1 = [ x(t ) ⊗ h(t )] t = k ∆ t . θ Дискретизованный сигнал, как и ранее, может быть представлен в виде

88

sinπ f θ − j π f θ ⋅e . πfθ

(2.4.3)

∞

xˆд (t ) = ∆t

∑

xˆ (k ∆t )δ(t − k ∆t ) =

k = −∞ ∞ 1 = [ x(t ) ⊗ h(t )] ⋅ ∆t ∑ δ(t − k ∆t ). θ k = −∞

(2.4.4)

Переходя к фурье-образам, имеем

Xˆ д = [ X ( f ) ⋅ H ( f )] ⊗ D fд ( f ) =

∞

∑

X 1 ( f − m f д ),

(2.4.5)

m = −∞

где

X1 ( f ) = X ( f ) Итак, усреднение на интервале θ изменяет модуль входного спектра в

sin π f θ − jπ f θ . e πfθ

sinπ f θ π f θ

(2.4.6)

раз и приводит к сдвигу фаз

ϕ( f ) = − π f θ. Пусть θ = α ∆t ; α ≤ 1; ∆t = 1 / 2 fв . Тогда для того, чтобы изменение модуля спектра было меньше 1% на всех f 2 fв частотах вплоть до f в , необходимо выполнить неравенство ≥ 0.99. Отсюда α ≤ 0,15, т. е. ширина f πα 2 fв импульса должна быть меньше 15% от ∆t. При этом сдвиг фазы для f = f составит ϕ = −13, 5o. sin πα

в

Пример 2.4.2. Рассмотрим ещё два практических способа дискретизации с помощью импульсов конечной длительности, которые иллюстрируются на рис. 2.4.5. В способе а дискретный сигнал получается путём фиксации на некоторое время мгновенных значений исходного сигнала x(t ). Длительность импульсов дискретизации τ соответствует времени фиксации; в пределе она может быть равна шагу дискретизации ∆t = 1 / 2 f в . На рис. 2.4.5в приведена типичная схема высокоскоростного устройства выборки-хранения (УВХ).

Рис. 2.4.5. Типичный сверхскоростной УВХ В способе б каждые ∆t секунд стробируются сегменты сигнала x(t ) длительностью τ. Обозначим отношение длительности импульса τ к периоду ∆t через α = τ / ∆t. Это отношение всегда удовлетворяет неравенству α ≤ 1. Будем считать, что спектр X ( f ) ограничен полосой

f ≤ f в . Опишем детально спектры указанных импульсных

последовательностей и покажем, что в каждом случае с высокой точностью можно восстановить исходный сигнал x(t ). Спектр последовательности а. Импульсная последовательность а может рассматриваться как результат прохождения последовательности идеальных импульсов

∆t

∞

∑

k = −∞

89

x(k ∆t )δ(t − k ∆t ) через фильтр с импульсной

характеристикой h(t ) , представляющей собой узкий прямоугольный импульс длительностью τ. Последовательность а аналитически записывается в виде

y (t ) = ∆t

∞

∑

x(k ∆t ) П τ (t − k ∆t ),

(2.4.7)

k = −∞

где

1 при 0 ≤ t < τ, П τ (t ) = h(t ) =  0 при других t.

(2.4.8)

Спектр этой последовательности

Y( f ) = ∆t

∞

∑

x(k ∆ t ) e− j 2 π f k ∆ t ⋅ τ

k = −∞

=

∞

∑

X ( f − n fд ) ⋅ τ

n = −∞

sin π f τ − j π f τ e = πfτ

sin π f τ − j π f τ e . πfτ

(2.4.9)

На рис. 2.4.6 изображены спектр исходного сигнала X ( f ) и спектр Y ( f ).

Рис. 2.4.6. Спектры исходного и дискретизованного по способу а сигнала ∞

Видно, что спектр последовательности а получается из спектра идеально дискретизованного сигнала

∑

X ( f − n fд )

n = −∞

путём модуляции его спектральной функцией τ

sin π f τ одиночного прямоугольного импульса. Спектр Y ( f ) πfτ

изображён для случая α = (τ / ∆t ) = 1/ 4 . Характерно, что в разных периодах повторения искажающее действие весовой функции τ sin π f τ / π f τ проявляется по-разному. Отметим, что энергия идеально дискретизованного сигнала

x д ( t ) = ∆t

∞

∑ x(k ∆t )δ(t − k ∆t ) k = −∞

(2.4.10)

бесконечно велика. Соответственно и энергия спектра ∞

∑

n = −∞

X ( f − n fд )

также бесконечно велика. При использовании же реальных тактовых импульсов а получаем дискретный сигнал (2.4.7) с конечной энергией. Соответствующий спектр Y ( f ) при f → ∞ убывает. Последовательность (2.4.7) формально получается пропусканием идеально дискретизованного сигнала (2.4.10) через фильтр с импульсной характеристикой в виде прямоугольного импульса отсчёта (2.4.8), как показано на рис. 2.4.7. Нетрудно видеть, что для получения исходного сигнала характери-

Рис. 2.4.7

90

стика восстанавливающего фильтра действием функции

H1 ( f ) должна корректировать искажения, вызванные взвешивающим τ

sin π f τ ПФ ⇔ h (t ). πfτ

Спектр последовательности б. Импульсная последовательность б полу-чается путём умножения x(t ) на ∞

периодическую последовательность прямо-угольных импульсов ∆t

∑

Пτ (t − k ∆t ) и аналитически записывается в

k = −∞

виде

s (t ) = x(t ) ⋅

∞

∑

П τ (t − k ∆t ) ,

(2.4.11)

k = −∞

где

1 при − τ / 2 ≤ t ≤ τ / 2, П τ (t ) =  при других t. 0

(2.4.12)

Спектр ∆t-периодической последовательности прямоугольных импульсов в соответствии с (1.9.12) имеет вид

Р( f ) =

τ ∆t

∞

∑

n = −∞

sin(π nτ / ∆t ) δ( f − n / ∆ t ). (π nτ / ∆t )

(2.4.13)

Произведению сигналов в (2.4.11) соответствует свёртка их спектров

S ( f ) = X ( f ) ⊗ P( f ) = = =

∞

τ ∆t

sin(πn τ / ∆t ) ∑ (πn τ / ∆t ) n = −∞

τ ∆t

sin(πn τ / ∆t ) X ( f − n / ∆ t) . (πn τ / ∆t ) n = −∞

∞

∫ X ( f − f ) δ( f 1

1

− n / ∆ t ) df1 =

(2.4.14)

−∞

∞

∑

Итак, спектр S ( f ) дискретизованного по способу б сигнала представляет собой последовательность спектров X ( f ) исходного сигнала, сдвинутых один от другого на f д = 1/ ∆t и убывающих по закону

sin(πnτ /∆t ) (πnτ /∆t ) (рис. 2.4.8). Каждый частичный спектр является неискажённой масштабированной копией исходного спектра. На рис. 2.4.8 спектр S ( f ) изображён для случая α = ( τ / ∆t ) = 1/ 4.

Рис. 2.4.8. Спектр исходного и дискретизованного по способу б сигнала

2.5. Восстановление сигналов по их отсчётам Идеальная интерполяция Формула Котельникова (2.3.5) означает, что значения сигнала x(t ) с ограниченным спектром между отсчётными точками можно определить по выборкам x(k ∆t ) путём интерполяции с использованием функций

sin 2π f в t , как показано на рис. 2.5.1. 2π f в t

91

Рис. 2.5.1. Интерпретация формулы Котельникова как интерполяционной формулы

Как уже отмечалось в п. 2.3, восстановление исходного аналогового сигнала x(t ) по его выборкам в принципе может быть осуществлено с помощью идеального фильтра нижних частот (ИФНЧ) с импульсной реакцией sin 2π f в t 1 h0 (t ) = ϕ0 (t ) = 2 f в , ∆t 2π f в t имеющей бесконечную протяженность (рис. 2.5.2а). При этом на вход такого фильтра подается последовательность ∆t

∞

∑

x(k ∆t ) δ(t − k ∆t )

k = −∞

равноотстоящих δ-импульсов с площадями ∆t x(k ∆t )

(рис. 2.5.2б). Интерполяционная формула

Котельникова (2.3.5) есть по существу результат свертки Equation ∞

∞

∑

x(t ′) = ∆t ∫

Chapter 2 Section 5

x(k ∆t ) δ(t − k ∆t )h0 (t ′ − t )dt.

−∞ k = −∞

Используя фильтрующее свойство дельта-функции, получаем

а)

б)

Рис. 2.5.2. а – импульсная характеристика ИФНЧ без задержки и с задержкой; б – схема восстановления аналогового сигнала

x(t ′) = ∆t

∞

∞

x ( k ∆t ) ∑ x(k ∆t ) h (t ′ − k ∆t ) = k ∑ k = −∞ = −∞ 0

sin2π f в (t ′ − k ∆t ) . 2π f в (t ′ − k ∆t )

Поскольку h0 (t ) ≠ 0 при t < 0, то ИФНЧ не является каузальным, а потому физически нереализуем. Простым введением задержки эту проблему решить нельзя. Не существует таких значений t0 , для которых h0 (t − t0 ) была бы строго равна нулю при t < 0.

92

Рис. 2.5.3. Действие ИФНЧ в спектральной области

В спектральной области действие ИФНЧ иллюстрирует рис. 2.5.3. Частотная характеристика ИФНЧ H 0 ( f ) ≡ 0 за пределами полосы [− f в , f в ]. Норберт Винер сказал по этому поводу следующее: «Ни один из фильтров, отвечающих условию причинности, не может иметь бесконечного затухания в конечной (ненулевой) полосе частот. Идеальный фильтр физически неосуществим из-за самой его сущности, а не по причине отсутствия необходимых технических средств». Этот вывод вытекает из известной теоремы Винера–Пэли, которая утверждает, что если импульсная характеристика h(t ) интегрируема в квадрате и отвечает условию причинности, то ∞ ln H ( f ) (2.5.1) ∫−∞ 1 + f 2 df < ∞. Обратно, если АЧХ фильтра H ( f ) интегрируема в квадрате, а интеграл (2.5.1) расходится, то условие

h(t ) ≡ 0 не может быть выполнено для всех t < 0 независимо от вида фазочастотной характеристики arg H ( f ). Теорема Винера–Пэли утверждает также следующее: пусть задана интегрируемая в квадрате функция H ( f ) , для которой выполняется (2.5.1), тогда существует функция arg H ( f ), такая, что

H ( f ) = H ( f ) e j arg H ( f ) является преобразованием Фурье физически осуществимой h(t ). Реальные фильтры Требования к восстанавливающему фильтру можно существенно ослабить, если выбором ∆t обеспечить f c = f д / 2 = 1/ 2∆t > f в . В этом случае спектр дискретизованного сигнала представляется в виде (рис. 2.5.4).

Рис. 2.5.4

Наличие свободного интервала

( fв , f д − fв )

упрощает реализацию фильтра, т. к. устраняется

необходимость резкой отсечки в частотной характеристике H ( f ) (рис. 2.5.4). По этой причине на практике шаг дискретизации ∆t выбирается так, чтобы f д = (2 ÷ 5) f в . При этом если выполняются условия

const при f ≤ fв ,   H ( f ) = произвольная при f в < f ≤ f д − f в , (2.5.2)  0 при f > f д − fв ,  то спектр X ( f ), а потому и сам сигнал x(t ), восстанавливается точно. Однако по теореме Винера–Пэли для любого реального фильтра третье условие (2.5.2) точно не выполняется, т. е.

H ( f ) ≠ 0 при

f > f д − f в . Поэтому на выход такого фильтра пройдут спектральные компоненты выше частоты f д − f в от соседних частичных спектров. Кроме того, реальный восстанавливающий фильтр практически всегда

отличается

некоторой

неравномерностью

93

модуля

H( f )

и

нелинейностью

фазовой

характеристики arg H ( f ) в полосе [− f в , f в ] (рис. 2.5.5). Всё это приводит к тому, что выделенный фильтром Рис. 2.5.5

спектр не совпадает с исходным, т. е. X д ( f ) ⋅ H ( f ) ≠ X ( f ), и восстановленный сигнал будет отличаться

− цифрой 2.

от x(t ). На рис. 2.5.5 идеальные АЧХ и ФЧХ отмечены цифрой 1, а реальные

Каузальная аппроксимация ИФНЧ Пример 2.5.1. В качестве первого примера рассмотрим симметрично усечённую импульсную характеристику ИФНЧ (рис. 2.5.6а).

Рис. 2.5.6. Каузальная импульсная характеристика а и соответствующая ей АЧХ б Аналитическое выражение такой каузальной импульсной характеристики имеет вид

 sin 2π f в (t − T ) ) , 0 ≤ t ≤ 2T ,  h (t ) =  π( t − T ) 0, для всех других значений t. 

)

(2.5.3)

Функция h (t ) получается стробированием идеальной характеристики h0 (t ) прямоугольным окном длительностью

2T и последующим сдвигом вправо на T . Выбирая достаточно большое T и пренебрегая «хвостами» в области отрицательных значений t < 0, наверное, можно с любой наперёд заданной точностью аппроксимировать ИФНЧ физически реализуемой системой с импульсной характеристикой, показанной на рис. 2.5.6а. Однако нетрудно

)

)

показать, что для больших конечных значений T преобразование Фурье H ( f ) для h (t ) приближается по форме к АЧХ ИФНЧ, за исключением всплесков конечной амплитуды на границах полосы частот, как показано на рис. 2.5.6б. Площадь под указанными всплесками стремится к нулю при увеличении T . С увеличением T выброс приближается к точке разрыва f = ± f в и колебания затухают быстрее. Всплески являются следствием явления Гиббса, которое иллюстрируется на рис. 2.5.7, где показан процесс получения свёртки

) H( f ) =

∞

∫H

0

( f1 )W ( f − f1 )df1

(2.5.4)

−∞

ИФНЧ H 0 ( f1 ) с частотной прямоугольного вырезающего окна

частотной характеристики характеристикой

W ( f1 ) = 2T

sin 2π f1 T . 2π f1T

Функция Теоретически

(2.5.5)

(2.5.5) всплески

называется являются

ядром следствием

Дирихле. медленного

)

спадания «хвостов» поэтому их можно использовать оконные Рис. 2.5.7. Явление Гиббса

h (t ), импульсной характеристики искусственно подавить, если функции, отличные от прямоугольной.

Пример характеристику

Рассмотрим

2.5.2.

каузальную

импульсную

 t − T  sin 2π f в (t − T ) ) , 0 ≤ t ≤ 2T ,  1 −  h (t ) =  (2.5.6) T  π( t − T )  для всех других значений t.  0 Здесь h0 (t ) умножается на оконную функцию w(t ) в виде симметричного треугольного импульса. Функция w(t ) и её спектр W ( f ) изображены

94

на рис. 2.5.8. Рис. 2.5.8

Частотная характеристика треугольного окна

 sin π f1 T  W ( f1 ) = T    π f1T 

2

(2.5.7)

носит название ядра Фейера. Как видно из этого рисунка, ядро Фейера по сравнению с ядром Дирихле (2.5.5) имеет значительно меньшие боковые лепестки, причём они однополярные. В результате свёртки (2.5.4) частотная

)

характеристика H ( f ) каузального фильтра, соответствующая (2.5.6), будет аппроксимировать частотную характеристику ИФНЧ без заметных всплесков (рис. 2.5.9). Рис. 2.5.9

Фильтры Баттерворта и Чебышева Рассмотрим некоторые физически реализуемые фильтры нижних частот. Основное назначение таких фильтров с наименьшими потерями передавать на выход колебания с частотами f ≤ f c , где f c – так называемая частота среза фильтра. В то же время компоненты с более высокими частотами должны существенно подавляться. Обычно частота среза выбирается равной половине частоты дискретизации: f c = f д / 2. Удобно рассматривать квадрат модуля частотной характеристики фильтра – так называемый коэффициент передачи мощности. 2

H ( f ) = H ( f ) ⋅ H ∗ ( f ). Эта характеристика всегда вещественна и потому удобна для задания исходных данных к синтезу фильтров. На практике широко используются аппроксимации идеальной характеристики ФНЧ по Баттерворту и по Чебышеву. Фильтр Баттерворта. Для этого фильтра выбирается рациональная аппроксимирующая функция 1 2 H( f ) = , (2.5.8) 2n 1 + ( f / fc ) где n – целое число, определяющее порядок фильтра. Эта функция изображена на рис. 2.5.10.

95

Рис. 2.5.10

Параметры фильтра f c и n рассчитываются следующим образом. Сначала запишем два условия для границ переходной полосы (рис. 2.5.11). 1 1 = ; 2 2n 1+ a  f1  1+    fc  1 1 = . 2 2n A  f2  1+    fc 

Рис. 2.5.11

Отсюда

 f1     fc 

2n

f  = a2 ;  2   fc 

2n

= A2 − 1.

(2.5.9)

Поделим первое равенство (2.5.9) на второе, тогда

 f1     f2 

2n

=

a2 . A2 − 1

Решая относительно n, получим

a

lg n=

A2 − 1  f  lg  1   f2 

.

(2.5.10)

Из первого равенства (2.5.9) находим частоту среза

fc = Таким образом, все параметры функции H ( f )

на границах переходной полосы [ f1 , f 2 ] .

2

f1 . n a

(2.5.11)

определены по заданным ослаблениям

1 1 и 2 2 1+ a A

•

Основные свойства фильтра Баттерворта: на частоте среза f = f c ослабление, вносимое фильтром, составляет 10 lg 0, 5 = −3дБ и не зависит от порядка фильтра n;

•

функция H ( f )

2

монотонно убывает с ростом f и имеет максимальное значение, равное единице, при

f = 0; • • •

первые (2n − 1) производных функции H ( f )

2

равны нулю при f = 0; по этой причине фильтры

Баттерворта называют фильтрами с максимально плоскими частотными характеристиками; чем больше n, тем точнее аппроксимируется идеальная форма частотной характеристики ФНЧ (рис. 2.5.10); f для нормированной частоты ν = >> 1 имеем fc 2

H ( f ) ≈ ν −2 n и ослабление, выраженное в децибелах, 10 lg(ν −2 n ) = −20n lg ν дБ. Отсюда видно, что при увеличении частоты вдвое ослабление в фильтре Баттерворта возрастает на −20n ⋅ 0, 3 = −6n дБ; поэтому можно сказать, что порядок фильтра n связан с крутизной характеристики отношением число дБ октава

96

= 6n.

При n = 10 фильтр обеспечивает после f c затухание −60 дБ/октава. Фильтр Чебышева. Практическое применение находит другой способ аппроксимации частотной характеристики идеального фильтра нижних частот, известный под названием чебышевской аппроксимации. Коэффициент передачи мощности чебышевского ФНЧ для нормированной частоты f ν= даётся выражением fc

1 . (2.5.12) 1 + ε Tn2 (ν ) Здесь ε ≤ 1 − коэффициент, задающий неравномерность в полосе пропускания, а Tn (ν) − полином Чебышева n-го порядка, определяемый соотношениями  cos(n arccos ν ), ν ≤ 1, (2.5.13) Tn (ν) =  cosh(n arccos hν ), ν > 1. Для полиномов Чебышева имеет место рекуррентное соотношение Tn (ν) = 2νTn −1 (ν ) − Tn − 2 (ν), n ≥ 2, (2.5.14) причём T0 (ν ) ≡ 1 и T1 (ν) = ν. На рис. 2.5.12 демонстрируется колебательный характер полиномов Чебышева в интервале −1 ≤ ν ≤ 1. При ν > 1 имеет быстрый рост Tn (ν). Асимптотически для ν 1 имеем Tn (ν) ≈ 2n −1 ν n . 2

H (ν) =

2

Рис. 2.5.12

Характерной особенностью этих полиномов является то, что среди всех полиномов степени n с одинаковым коэффициентом при старшем члене функция Tn (ν ) имеет наименьшее отклонение от нуля на интервале −1 ≤ ν ≤ 1. На границе полосы пропускания при ν = 1 ( f = f c ) Tn (1) = 1 для всех n. Типичный график функции Tn (ν ) показан на рис. 2.5.13 для двух различных значений n и при одном значении коэффициента неравномерности ε. Рис. 2.5.13

С ростом n крутизна спада частотной характеристики ФНЧ с чебышевской аппроксимацией на частотах выше граничной увеличивается значительно. Пример 2.5.3. Фильтр с чебышевской характеристикой 3-го порядка на частоте среза f c обеспечивает ослабление мощности в два раза. Определить ослабление, вносимое этим фильтром на частоте 3 f c . На частоте среза ν = 1 и Tn (1) = 1 при любом n. Поэтому из

1 = 0, 5 1 + ε 2 Tn2 (1) находим ε = 1. Многочлен Чебышева 3-го порядка с учётом (2.5.14) будет иметь вид T3 (ν) = 2νT2 (ν ) − T1 (ν ) = 2ν[2νT1 (ν ) − T0 (ν )] − T1 (ν ) = 4ν 3 − 3ν. Ослабление, вносимое фильтром на частоте ν = 1, составит 10 lg[1 /(1 + 992 )] ≈ −40 дБ. 2

H (ν) =

97

Аналоговые фильтры Баттерворта и Чебышева реализуются с помощью каскадного соединения RLCзвеньев, отделённых друг от друга развязывающими повторителями. Замечание. Задача определения степени близости реального ФНЧ к идеальному возникает постоянно. Для этого может быть использован метод наименьших квадратов. Другой критерий близости − критерий Чебышева, который в качестве меры расстояния между двумя кривыми использует максимальное расстояние между ними. При приближении по Чебышеву параметры подбираются таким образом, чтобы сделать максимальную ошибку как можно меньше, т. е. минимизируется максимальная ошибка. Поэтому этот процесс часто называют минимаксной стратегией приближения. Для фильтров Чебышева минимаксный критерий является основным.

Реальные импульсы Выше предполагалось, что входной сигнал восстанавливающего фильтра представляет собой последовательность взвешенных дельта-импульсов ∞

xд (t ) = ∆t ∑ x(k ∆t ) ⋅ δ(t − k ∆t ).

(2.5.15)

k =−∞

Такую последовательность реализовать невозможно. Поэтому практически формируется сигнал, определяемый выражением ∞

∑

xˆд (t ) = ∆t

x(k ∆t )q(t − k ∆t ) =

k = −∞

= ∆t

∞

∑

k = −∞

(2.5.16)

t

x(k ∆t ) ∫ δ(τ − k ∆t )q (t − τ)d τ = q(τ) ⊗ xд (τ). −∞

где q (t ) − произвольная функция. Выбор q (t ) определяется тем, насколько легко ее можно реализовать. Выражение (2.5.16) можно рассматривать как выход некоторого фильтра с импульсной характеристикой q (τ), на вход которого подан сигнал (2.5.15). С учетом этого на рис. 2.5.14 представлена блок-схема восстановления.

Рис. 2.5.14

Характеристика восстанавливающего фильтра H1 ( f ) выбирается с учетом реальных импульсов и должна удовлетворять соотношению

H1 ( f )Q ( f ) = H ( f ), где Q( f ) = ПФ[q (τ)], а H ( f ) − функция, выбранная так, чтобы имело место ∞

H ( f )⋅ Xд ( f ) = H( f )⋅

∑

X ( f − mf д ) = X ( f ).

т = −∞

Например, H ( f ) может быть выбрана в соответствии с (2.5.2). Тогда H1 ( f ) =

Пример 2.5.4. Пусть

1 при q (τ) =  0 при

0 ≤ t ≤ θ, t < 0.

Спектр этой функции

Q( f ) = θ ⋅

sin πf θ − j πf θ ⋅e . πf θ

Чтобы удовлетворить первому условию (2.5.2), необходимо положить

98

H( f ) . Q( f )

H1 ( f ) =

1 πfθ ⋅ ⋅e jπ f θ. θ sin π f θ

В диапазоне частот, для которых π f θ << 1, с учётом того, что

a a a2 ≈ ≈ 1+ 3 sin a a − a / 3! 6

при a << 1,

будем иметь

H1 ( f ) ≈

(π f θ)2 1 (1 + ). θ 6

Такую характеристику нетрудно реализовать (рис. 2.5.15).

Рис. 2.5.15

2.6. Восстановление сигналов по дискретным отсчётам путём интерполяции Точное восстановление аналогового сигнала по его дискретным отсчётам предполагает, что x(t ) имеет финитный спектр, а фильтр восстановления является идеальным. Практический способ восстановления основывается на аппроксимации функции x(t ) некоторым полиномом, который совпадает с x(t ) при t = k ∆t , k = 0, ± 1, ± 2, K Например,

можно

разложить

x (t )

в

ряд

между

моментами

k ∆t

и

(k + 1)∆t :Equation Chapter 2 Section 6 x(t ) = x(k ∆t ) + x ′(k ∆t )(t − k ∆t ) +

x ′′(k ∆t ) (t − k ∆t ) 2 + K , 2!

(2.6.1)

где

 d 2 x (t )   dx(t )  ′′ x ′(k ∆t ) =  ; x ( k ∆ t ) = .    2  dt  t = k ∆t  dt  t = k ∆t Поскольку единственная информация о x(t ) – её значения в дискретные моменты времени, то производные должны оцениваться по этим значениям: 1 xˆ ′(k ∆t ) = [ x(k ∆t ) − x((k − 1)∆t )] ; ∆t 1 xˆ ′′(k ∆t ) = [ xˆ ′(k ∆t ) − xˆ ′((k − 1)∆t )] = ∆t 1 = 2 [ x(k ∆t ) − 2 x((k − 1)∆t ) + x((k − 2)∆t )]. ∆t Видно, что чем выше порядок производной, тем большее число предшествующих выборок требуется. Можно легко убедиться, что число предшествующих выборок, необходимых для оценки значения x ( n ) (k ∆t ), равно n. Таким образом, описанный метод аппроксимации предполагает, что имеется набор временных задержек, число которых зависит от точности аппроксимации. Наличие временного запаздывания всегда нужно учитывать. Так, например, хорошо известно его влияние на устойчивость

99

систем управления с обратной связью. Кроме того, использование производных более высокого порядка неизбежно влечёт за собой более сложные схемотехнические решения. По этой причине ограничиваются несколькими первыми членами ряда (2.6.1).

Ступенчатая интерполяция В этом случае для аппроксимации сигнала между двумя последовательными выборками используется только первый член (2.6.1). Ступенчатая интерполяция заключается в сохранении величины выборки в пределах шага дискретизации ∆t (рис. 2.6.1).

Интерполятор нулевого порядка Устройство, реализующее такую операцию, называется интерполятором нулевого порядка (рис. 2.4.5в). С интервалом ∆t происходит кратковременное замыкание ключа, и в этот момент конденсатор просто «запоминает» отсчётное значение сигнала (рис. 2.6.1). .

Рис. 2.6.1. Ступенчатая интерполяция

В соответствии с (2.6.1):

xˆk (t ) = x(k ∆t ) , k ∆t ≤ t < (k + 1)∆t. Это выражение определяет импульсную реакцию h(t ) интерполятора нулевого порядка (фиксатора). Частотная характеристика, связанная с импульсной реакцией преобразованием Фурье, будет равна H ( f ) = ∆t

sinπ f ∆t − j π f ∆ t 1 sin(π f / f д ) − j π f / fд e = ⋅ ⋅e . π f ∆t fд π f / fд

Обе характеристики интерполятора нулевого порядка приведены на рис. 2.6.2б, в. Из рисунка видно, что интерполятор нулевого порядка обладает свойствами низкочастотного фильтра. Однако в отличие от идеального восстанавливающего фильтра амплитудно-частотная характеристика интерполятора обращается в нуль при f = f д вместо того, чтобы резко спадать до нуля при f = f д / 2. Непостоянство частотной характеристики в информационной полосе и наличие боковых лепестков в H ( f ) также ухудшают его фильтрующие свойства. Поэтому на выходе фиксатора часто включают дополнительный ФНЧ, например, фильтр в виде интегрирующей RC-цепочки с постоянной времени RC = ∆t / π . Точность интерполятора нулевого порядка существенно зависит от частоты дискретизации.

100

Рис. 2.6.2. Характеристики интерполятора нулевого порядка

Чтобы получить структурную схему интерполятора нулевого порядка, перепишем H ( f ) в следующем виде: e j π f ∆ t + e− j π f ∆ t − j π f ∆ t 1 − e− j 2 π f ∆ t H ( f ) = ∆t e = . j 2 π f ∆t j2 π f Здесь e− j 2 π f ∆ t − частотная характеристика устройства задержки на время ∆t , а (1 / j 2 π f ) – частотная характеристика интегратора. Таким образом, интерполятор нулевого порядка может быть реализован посредством устройства задержки на ∆t , вычитающего устройства и интегратора, как показано на рис. 2.6.3.

Рис. 2.6.3. Блок-схема интерполятора нулевого порядка

101

Линейная интерполяция При линейной интерполяции вершины дискрет соединяются прямолинейными отрезками (рис. 2.6.4а). Соответствующий полином содержит два первых члена в выражении (2.6.1):

xˆk (t ) = x(k ∆t ) + x′(k ∆t )(t − k ∆t ) = = x(k ∆t ) +

1 [ x(k ∆t ) − x((k − 1)∆t )](t − k ∆t ). ∆t

Устройство, реализующее это выражение, называется интерполятором первого порядка. В этом устройстве для каждой выборки x(k ∆t ) формируется отклик, имеющий вид равнобедренного треугольника. Амплитуды этих треугольных импульсов равны (пропорциональны) выборочным значениям, а длительности в основании должны быть 2∆t (рис. 2.6.4б). При этом выходной сигнал оказывается задержанным относительно исходного на один шаг дискретизации ∆t. Импульсная реакция h(t ) и частотная характеристика H ( f ) интерполятора первого порядка приведены на рис. 2.6.4б, в соответственно.

Рис. 2.6.4. Характеристики интерполятора первого порядка

Нетрудно убедиться, что интерполятор первого порядка может быть реализован с помощью следующей

схемы: Рис. 2.6.5. Блок-схема интерполятора первого порядка

Точность восстановления сигнала намного выше, чем при ступенчатой интерполяции. Это связано с тем, что крутизна скатов частотной характеристики больше, а уровень боковых лепестков меньше, чем в фиксаторе нулевого порядка. Можно показать [4], что для восстановления синусоидального сигнала x(t ) = sin 2 π f 0 t с использованием фиксатора первого порядка частота дискретизации должна удовлетворять неравенству f д ≥ f 0 (2, 2 / ε ), (2.6.2) где

ε=

x(t ) − xˆ (t ) max x(t ) max

.

Так, например, если ε = 0, 01 , то f д ≥ 22 f 0 , то есть частота дискретизации должна быть приблизительно в 10 раз больше частоты, требуемой по теореме отсчетов. Пример 2.6.1. Как уже говорилось выше, для ослабления эффекта наложения частичных спектров перед дискретизатором (АЦП) обычно ставится аналоговый ФНЧ, частота среза которого f c согласована с частотой дискретизации f д , т. е. f c = f д / 2. Например, рассмотрим фильтр Баттерворта первого порядка, коэффициент передачи мощности которого для ν = ( f / f c ) > 1 имеет вид (см. п. 2.5) 2

H (ν ) ≈ ν −2 .

102

В таком фильтре ослабление по напряжению проводится по закону

H (ν ) ≈ ν −1 , или −20 дБ на декаду. Условие (2.6.2) должно выполняться для гармонической компоненты с частотой среза f c . Тогда для частоты f в = 10 f c будем иметь f д ≥ 0,1 f в (2, 2 / ε ). Полагая ε = 0, 01, получаем f д ≥ 2, 2 f в , т. е. в соответствии с теоремой отсчётов, если за f в принять частоту 10 f с .

2.7. Дискретизация в частотной области Реально все сигналы наблюдаются в течение конечного интервала времени, например, [−T , T ]. Поэтому можно считать, что x(t ) является финитной функцией. Спектр такого сигнала имеет бесконечную протяжённость и записывается в виде T

X(f ) =

∫ x (t ) e

− j2π f t

dt.

−T

Для периодического продолжения x(t ) с периодом 2Т (без наложения) справедливо представление рядом Фурье:

xп (t ) = ∑ cn e

j 2 π n ∆f t

,

n

где ∆f = 1 / 2T и коэффициенты Фурье T

cn = (1 / 2T ) ∫ x(t )e − j 2 π n ∆f t dt = ∆ f X (n∆ f ). −T

Для спектральной функции можем записать T

X(f ) =



∫  ∑ ∆ f X (n∆ f ) e

−T

j 2π n ∆f t

n

= ∆ f ∑ X (n∆ f ) n

T

∫e

j 2π ( n ∆f − f ) t

 − j2 π f t dt = e 

dt.

−T

Интеграл в этом выражении легко находится T

∫e

−T

j 2π ( n ∆f − f ) t

dt =

1 e j 2π (n∆f − f )

j 2π ( n ∆f − f ) t T −T

Для X ( f ) окончательно получаемEquation

=

2 sin 2π T (n∆f − f ) . 2π (n∆f − f )

Chapter 2 Section 7

X(f ) =

∞

∑

n = −∞

X (n∆ f )

sin 2 π T ( f − n∆ f ) ; ∆f = 1 / 2T . 2 π T ( f − n∆ f )

(2.7.1)

Это интерполяционная формула Котельникова (теорема отсчётов) в частотной области. Функция X ( f ) на любой частоте f однозначно представляется последовательностью своих отсчётов, взятых через равные интервалы ∆ f = 1/ 2T . Дискретизация спектральной функции с шагом ∆ f = 1/ 2T приводит к периодическому повторению сигнала по оси времени с периодом 2T . При этом эффекта наложения отдельных периодов друг на друга не будет, поскольку шаг дискретизации по частоте выбран в соответствии с теоремой отсчётов в спектральной области. Выделив один из периодов, например, при t ∈ [−T , T ], можно точно восстановить спектральную функцию X ( f ), взяв ПФ[x(t )].

Дискретизация энергетического спектра Все физические сигналы обладают конечной энергией, которая может рассматриваться как во временной, так и в спектральной областях, при этом справедливо равенство Парсеваля:

103

∞

∫

∞

2

x(t ) dt =

−∞

∫

2

X ( f ) df .

−∞

Входящая в правый интеграл функция X ( f )

2

имеет размерность спектральной плотности энергии и

называется часто энергетическим спектром. Пусть сигнал равен нулю вне интервала [−T , T ]. В соответствии с теоремой отсчётов определим шаг 2

дискретизации функции X ( f ) . По теореме о свёртке преобразования Фурье 2

X ( f ) = X ( f ) ⋅ X ∗ ( f ) ⇔ x(t ) ⊗ x(−t ). Поскольку сигнал х(t) имеет длительность 2T , то свёртка x(t ) ⊗ x (−t ) имеет длительность 4T . Поэтому 2

шаг дискретизации функции X ( f ) должен удовлетворять неравенству ∆ f ≤ 1/ 4T .

База сигнала Будем считать, что сигнал x(t ) длительностью T дискретизован по времени с шагом ∆t = T / N . Шаг дискретизации по частоте в соответствии (2.7.1) должен быть равным ∆f = 1/ T = 1/ N ∆t = f д / N . По теореме отсчетов f д = 2 f в , где f в − верхняя граница спектра. Ясно, что для сигналов конечной длительности значение f в достаточно условное, при этом часто предполагается, что "хвостами" спектра выше f в можно пренебречь. Поэтому число точек дискретизации спектра X ( f ) равно

2 f в / ∆f = 2 f в ⋅ N / f д = N . Таким образом, сигнал x(t ), имеющий конечную длительность T и спектральную функцию X ( f ), приближенно ограниченную интервалом [− f в , f в ], и по времени, и по частоте будет определяться

N = T / ∆t = 2 f вT (2.7.2) своими мгновенными значениями. Клод Шеннон предложил интерпретировать сигнал с конечными длительностью и полосой как точку в N-мерном евклидовом пространстве. Число N = 2 f вT является размерностью пространства сигналов, ограниченных по длительности и по частоте, и называется базой сигнала. Для Т-периодического сигнала имеет место представление рядом Фурье: ∞

x (t ) =

∑

x(t − mT ) ≈

m = −∞

N / 2 −1

∑

cn e j 2π n∆ f t ,

n = −N / 2

где коэффициенты Фурье

cn =

1 T

T/2

∫

x(t ) e− j 2π n∆ f t dt = ∆ f X (n∆ f ),

−T / 2

а ∆f = 1 / T − расстояние между гармониками в спектре, равное шагу дискретизации по частоте. Эти соответствия можно выразить следующими словами: дискретизация сигнала по времени приводит к периодическому повторению спектра, и, наоборот, дискретизация спектра приводит к периодическому повторению сигнала. Сигналы, дискретные по времени и по частоте, будут подробно рассмотрены в разделе «Дискретное преобразование Фурье» (п. 3.3).

2.8. Дискретизация полосовых радиосигналов

104

Рассмотрим узкополосный сигнал, у которого спектр ограничен полосой частот f ∈ [ f 0 − f в , f 0 + f в ] , причем f 0 >> 2 f в (рис. 2.8.1а).

Рис. 2.8.1

Equation Chapter 2 Section 8 Примером является сигнал с амплитудной и фазовой модуляцией

x(t ) = A(t ) cos[2 π f 0 t + ϕ(t )],

(2.8.1)

где A(t ) и ϕ(t ) − медленно меняющиеся по сравнению с циклическим множителем функции времени. Это наиболее общая форма записи узкополосного колебания. Гармонический сигнал (косинусоида с постоянной частотой f 0 и начальной фазой ϕ0 ) подвергается одновременно амплитудной и фазовой модуляции. Так, в случае строгой амплитудной модуляции гармонического сигнала дисперсионность среды распространения производит частичное преобразование амплитудных изменений в фазовые. Узкополосные сигналы можно считать квазигармоническими – их амплитуда и фаза медленно изменяются во времени. В соответствии с теоремой отсчетов для такого сигнала необходимая частота дискретизации f д = 2 ( f 0 + fв ) может оказаться очень высокой (за пределами быстродействия аналого-цифрового преобразователя). Равномерная дискретизация с шагом ∆t = 1 / 2 f в оказывается недостаточной, т. к. составляющие X + ( f ) и X − ( f ) при периодическом продолжении с периодом f д = 2 f в будут налагаться друг на друга, в результате частичные спектры будут отличаться от исходного и точное восстановление сигнала по его дискретным отсчетам становится невозможным. Тем не менее для полосовых сигналов существуют методы дискретизации с частотой 2 f в , которые позволяют сохранить информацию, необходимую для восстановления исходного сигнала. Дальнейшее изложение основывается на комплексном представлении сигналов, рассмотренном в п. 1.12. Перейдем теперь к методам дискретизации полосовых радиосигналов.

105

Дискретизация аналитического сигнала Естественно применить метод исключения составляющих с отрицательными частотами X − ( f ) . Это эквивалентно формированию аналитического сигнала x A ( t ) = x ( t ) + j xГ ( t ) , где xГ ( t ) − сигнал, получаемый пропусканием x ( t ) через преобразователь Гильберта (линейный фильтр с передаточной функцией H ( f ) = − jsign f ). Как отмечалось в п. 1.12, преобразование Гильберта может быть приближенно выполнено с помощью фазовращателя, работающего в узкой полосе [ f 0 − f в , f 0 + f в ] . Характерно, что спектр аналитического сигнала X А ( f ) = 2 X + ( f ) содержит только составляющие с положительными частотами. При дискретизации аналитического сигнала x А ( t ) с шагом ∆t = 1 / 2 f в его спектр преобразуется в периодическое продолжение 2X + ( f ) с периодом f д = 2 f в (рис. 2.8.1в). Так как частичные спектры

2X + ( f ± n f д ) не перекрываются, возможно точное восстановление x А ( t ) по выборкам x А ( k ∆t ) . На рис. 2.8.2а приведена схема дискретизации аналитического сигнала. Как видно из этого рисунка, исходный сигнал x(t ) предварительно фильтруется полосовым фильтром. Это необходимо для ослабления эффекта наложения частичных спектров при дискретизации. В схеме действуют два синхронно работающих дискретизатора (АЦП), обслуживающих соответственно действительный и мнимый каналы обработки. Рис. 2.8.2а. Дискретизация аналитического сигнала

Для восстановления x А ( t ) по выборкам x А ( k ∆t ) необходим полосовой фильтр с передаточной характеристикой

 1, при f 0 − f в ≤ f ≤ f 0 + f в , H(f)= при других f . 0, Комплексная импульсная характеристика этого фильтра имеет вид h (t ) =

sin2π f в t j 2π f 0 t e . πt

(2.8.2)

(2.8.3)

Действительная часть колебания, получающегося на выходе фильтра, дает исходный действительный сигнал. Взятие действительной части эквивалентно формированию части спектра в области отрицательных частот. Низкочастотная копия спектра Г ( f ) изображена на рис. 2.8.1г сплошной линией. При этом предполагается, что f 0 2 f в = m, где m − целое число. Это условие можно выполнить либо выбором f 0 , либо дополнительным смещением по частоте (гетеродинированием сигнала). Низкочастотная копия спектра является спектром комплексной огибающей γ (t ) = xc (t ) + jxs (t ) = A(t )e jϕ(t ) , которая содержит всю обусловленную модуляцией информацию. Аналогично, исключив составляющие X + ( f ) , можно сформировать сопряжённый аналитический сигнал x∗A ( t ) = x ( t ) − jxГ ( t ) . При дискретизации аналитического сигнала x∗A ( t ) с шагом ∆t = 1 / 2 f в его спектр преобразуется в периодическое продолжение 2X − ( f ) с периодом f д = 2 f в (рис. 2.8.1в). Для восстановления x∗A ( t ) по выборкам x∗A ( k ∆t ) необходим полосовой фильтр с импульсной характеристикой

106

h∗ ( t ) =

sin2π f в t − j 2π f0 t e . πt

Квадратурная дискретизация Для полосового радиосигнала

x(t ) = A(t ) cos[2 π f 0 t + ϕ(t )] = xc (t ) cos 2 π f 0 t − xs (t ) sin 2 π f 0 t (2.8.4) квадратурные компоненты xc ( t ) = A(t ) cos ϕ(t ) и xs (t ) = A(t ) sin ϕ(t ) представляют собой низкочастотные сигналы со спектром, ограниченным полосой 2 f в , и полностью определяются последовательностями отсчетов { xc ( k ∆t )} и { xs (k ∆t )} , где ∆t = 1 2 f в (см. п. 1.12). Таким образом, в этом методе сначала осуществляется двухканальное синхронное детектирование, а затем дискретизация квадратурных компонент с шагом ∆t = 1 / 2 f в (рис. 2.8.2б).

Рис. 2.8.2б. Квадратурная дискретизация

Метод предполагает перенос спектра сигнала x ( t ) с частоты f 0 на нулевую частоту и традиционно реализуется аналоговым способом, т. е. с применением аналоговых умножителей и ФНЧ. Принципиальный недостаток аналоговых способов формирования xc ( t ) и xs ( t ) – трудность реализации квадратурных каналов с идентичными и стабильными характеристиками. Кроме того, небольшой динамический диапазон аналоговых умножителей снижает эффективность использования многоразрядных АЦП для оцифровки отсчетов квадратур. В рассмотренных методах дискретизация выполняется с частотой f д = 2 f в комплексных отсчетов в секунду ( 4 f в действительных отсчётов в секунду). Эта величина значительно меньше частоты

f д = 2( f 0 + f в ), необходимой по теореме отсчетов. Для восстановления исходного полосового сигнала x ( t ) по отсчетам { xc ( k ∆t )} и { xs (k ∆t )} , сначала с помощью ИФНЧ восстанавливаются квадратуры xc ( t ) и xs ( t ) , а затем и сам сигнал x ( t ) , используя соотношение

x (t ) = −

∞

∑ xc (k ∆t ) k = −∞ ∞

∑

k = −∞

sin2π f в ( t − k ∆t ) 2 π f в ( t − k ∆t )

xs ( t − k ∆t )

cos2π f 0 t −

sin2π f в ( t − k ∆t ) 2 π f в ( t − k ∆t )

(2.8.5) sin2π f 0 t.

Формирование отсчетов квадратур из отсчётов узкополосного радиосигнала Появление быстродействующих АЦП, допускающих работу с частотой дискретизации 100 МГц и выше, делает возможным получить цифровые отсчеты высокочастотных колебаний на выходах УПЧ трактов многих радиоприемных устройств, в том числе радиолокационных. Ниже мы рассмотрим способ формирования отсчетов квадратурных компонент непосредственно из отсчетов колебания x ( t ) на выходе УПЧ. Выберем шаг дискретизации x ( t ) равным

∆t =

2n + 1 , 4 f0

(2.8.6)

где f 0 – промежуточная частота, n – целое, для определенности четное, т. е. n = 2, 4, 6, K (выбор n обсуждается далее). В соответствии с (2.8.6) шаг дискретизации x ( t ) выбирается нечетно-кратным четверти периода колебания промежуточной частоты f 0 . Тогда с учетом (2.8.4) имеем

107

x ( k ∆ t ) = xc ( k ∆t ) cos2π f 0 k ∆ t − xs ( k ∆ t ) sin2π f 0 k ∆ t = = xc ( k ∆ t ) cosπk ( n + 1 2 ) − xs ( k ∆ t ) sinπk ( n + 1 2 ) . Отдельно для четных и нечетных отсчетов получим x ( 2k ∆t ) = xc ( 2k ∆t ) ⋅ ( −1) , k

x ( 2k + 1)  = xs ( 2k + 1) ∆t  ⋅ ( −1)

k +n

.

Отсюда

xc ( 2k ∆t ) = x ( 2k ∆t ) ⋅ ( −1) , k

k +n

xs ( 2k + 1) ∆t  = x ( 2k + 1) ∆t  ⋅ ( −1) . (2.8.7) Таким образом, для формирования отсчетов квадратурных компонент достаточно разделить отсчеты сигнала x ( k ∆t ) на чётные и нечётные и в полученных подпоследовательностях инвертировать знак каждого второго отсчета (рис. 2.8.3). Заметим, что моменты взятия отсчетов квадратурных составляющих сдвинуты на ∆t , что может создать определенные трудности при дальнейшей обработке, т. к. в каждый дискретный момент t = k ∆t обычно требуется пара отсчетов xc ( k ∆t ) и xs ( k ∆t ) .

Рис. 2.8.3

Недостающие отсчеты квадратур (в точках, помеченных на рис. 2.8.3 кружками) можно получить путем интерполяции с помощью цифровых интерполирующих фильтров (ЦИФ). Функциональная схема, реализующая рассмотренный метод формирования отсчетов квадратур, приведена на рис. 2.8.4.

Рис. 2.8.4. Схема формирования отсчётов квадратур из отсчётов полосового колебания

Узкополосный сигнал x ( t ) дискретизуется с шагом ∆t =

2n + 1 устройством выборки-хранения (УВХ) (рис. 4 f0

2.4.5в). Отсчёты x ( k ∆t ) после квантования в аналого-цифровом преобразователе (АЦП) разделяются на чётные и нечётные. Полученные подпоследовательности после знаковой модуляции поступают на цифровые интерполирующие фильтры (ЦИФ). Важно отметить, что один АЦП обслуживает оба квадратурных канала.

108

В качестве интерполяторов могут быть использованы цифровые интерполирующие фильтры нулевого и первого порядка. В первом из них недостающий отсчет берётся равным предыдущему отсчёту, например, xc ( 3∆t ) = xc ( 2∆t ) , а во втором – среднему арифметическому предыдущего и последующего отсчётов, например, xs ( 4∆t ) =

xs ( 3∆t ) + xs ( 5∆t ) 2

.

В последнем случае каждый интерполированный отсчёт задерживается на ∆t. Это нужно учитывать при дальнейшей обработке. Самый простой способ интерполяции заключается в том, что недостающие отсчеты квадратур заменяются нулями. Этому методу можно дать наглядную интерпретацию в частотной области. Рассмотрим такое преобразование действительного полосового сигнала x ( t ) , когда из последовательности его отсчетов с некоторым шагом ∆t формируются две подпоследовательности по правилу:

k x (k ) y1 ( k ) y2 ( k )

0 x0 x0 0

1 x1 0 x1

2 x2 − x2 0

3 x3 0 − x3

5 x5 0 x5

4 x4 x4 0

6 x6 − x6 0

7 x7 0 − x7

8 x8 x8 0

9 x9 0 x9

K K K K

Т. е. отсчеты сигнала x ( k ∆t ) разделяются на чётные и нечётные и в полученных подпоследовательностях инвертируется знак каждого второго отсчета. Из подпоследовательностей у1 ( k ) и у2 ( k ) образуем новую последовательность

y ( k ) = y1 ( k ) + j y2 ( k ) . Нетрудно убедиться, что

(2.8.8)

y ( k ) = xc ( 2k ) + j xs ( 2k + 1) .

Сигналы y ( t ) и x ( t ) , из отсчётов которых образуются последовательности у ( k ) и x ( k ) , связаны соотношением

y ( t ) = x ( t ) exp j 2π

fд 4

t , f д = 1 / ∆t .

Между спектрами этих сигналов имеется простая связь:

(

)

Y(f )= X f − f /4 . д

Спектры X ( f ) и Y ( f ) изображены на рис. 2.8.5а и рис. 2.8.5б.

Рис. 2.8.5

Спектр последовательности у ( k ) является периодическим повторением спектра Y ( f ) с периодом f д :

Yд ( f ) =

∞

∑ Y ( f + m f д ). m = −∞

Этот спектр изображён на рис. 2.8.5в для случая f д =

4 f0 . 7

109

Определим частоты дискретизации, при которых один прямой частичный спектр последовательности y ( k ) окажется с центром на нулевой частоте:

fд

f0 +

4

= n f д , n = 1, 2, 3, K ,

f0 4 f0 = , n = 1, 2, 3, K (2.8.9) n − (1 / 4) 4n − 1 Аналогично, чтобы инверсный частичный спектр оказался на нулевой частоте, необходимо выполнить условие fд =

− f0 +

fд 4

= −n f д , n = 0, 1, 2, K , fд =

4 f0 , n = 0, 1, 2, K 4n + 1

(2.8.10)

Можно записать (2.8.9) и (2.8.10) одной формулой:

4 f0 , n = 0, 1, 2, K , (2.8.11) 2n + 1 причем при четном n на нулевую частоту переносится инверсный спектр, при нечетном – прямой. Спектр 4 y ( k ) при f д = f 0 , n = 3 показан на рис. 2.8.5в. 7 Для того чтобы получить комплексную огибающую γ ( t ) сигнала x ( t ) , нужно выделить один fд =

частичный спектр на нулевой частоте, а чтобы получить ее отсчеты с частотой f д , нужно подавить частичные инверсные спектры на частотах ±

fд 2

, ±

3 2

fд , ±

5 2

f д , K Таким образом, интерполяция

недостающих отсчетов комплексной огибающей γ ( t ) сводится к подавлению частичных спектров последовательности y ( k ) , сосредоточенных возле указанных частот. Формула (2.8.11) допустимых для описанного метода частот дискретизации дает всего одно значение, удовлетворяющее теореме Котельникова – это n = 0, f д = 4 f 0 , остальные случаи относятся к субдискретизации (см. далее) с частотами

4 4 4 4  f д =  , , , , K  f0 . 3 5 7 9  При этом наложения частичных спектров не происходит, если

f д ≥ 4 fв ,

(2.8.12)

где 2 f в – полоса сигнала, что непосредственно видно из рис. 2.8.5. Также нетрудно видеть, что выбор частоты дискретизации в соответствии с (2.8.11) обеспечивает одинаковое расстояние между соседними частичными спектрами. Это означает, что при симметричной относительно f 0 форме прямого исходного спектра уровень помех наложения спектров имеет локальные минимумы при этих частотах дискретизации. Таким образом, (2.8.11) также может рассматриваться как формула для оптимальных в указанном смысле частот дискретизации радиосигналов. Требования к апертурной дрожи моментов выборок в рассматриваемом методе остаются высокими и соответствуют требованиям при дискретизации сигналов с верхней частотой спектра ∆f fв = f0 + ≈ f0 . 2 Допустимая величина апертурной дрожи рассчитывается из условия, что изменения самой высоко-частотной компоненты входного сигнала за это время не должно превышать единицы младшего разряда АЦП: x ′tдр < 1 / N . В точке максимальной крутизны (рис. 2.8.6)

sin 2π f в t ≈ 2π f в t , поэтому

Рис. 2.8.6

1 , (2.8.13) N π fв где N – число уровней квантования в АЦП. Максимальная величина шума, обусловленного дрожью моментов выборок, при этом не будет превышать максимальной величины шума квантования. tдр <

110

В некоторых случаях применение описанного цифрового метода получения отсчетов квадратур полосовых сигналов особенно удобно, т. к. отпадает необходимость в интерполяции недостающих отсчетов. Пример 2.8.1. Рассмотрим системы, осуществляющие согласованную фильтрацию. Частотная характеристика цифрового согласованного фильтра (СФ):

H ( f ) = Г д* ( f ) ,

где Г д

(f)

– спектр отсчетов комплексной огибающей γ ( t ) сигнала x(t ). Пусть частота дискретизации выбрана в

соответствии с (2.8.11) ( n – нечетное) и пусть выполняется условие (2.8.12), а на вход СФ подаются не выборки γ ( k ) , а последовательность y ( k ) . Т. к. H ( f

)

сосредоточена возле частот ( 0, ±1, ±2, K) f д , то на выходе фильтра

3 5  1  , ± , ± , K  f д будут подавлены, а значит, специального 2 2  2 

составляющие спектра y ( k ) на частотах  ± интерполятора сигнала y ( k ) не требуется.

Дискретизация второго порядка Отсчёты квадратурных компонент можно получить с помощью так называемой дискретизации второго порядка, когда образуются два перемежающихся набора эквидистантных отсчётов x(k ∆t ) и x(k ∆t − τ) полосового колебания. Если выбрать шаг дискретизации ∆t и временной сдвиг τ из условия n 1 ∆t = ≤ ; n = 1, 2, 3, K ; 2 f 0 2 fв (2.8.14) 1 τ= + λ∆t ; λ − целое число, 4 f0 то по аналогии с (2.8.7) будем иметь

x ( k ∆t ) = ( −1) ⋅ xc ( k ∆t ) , kn

n ( k −λ )

x ( k ∆t − τ ) = ( −1) ⋅ xs ( k ∆t − τ ) . Дискретизация второго порядка (рис. 2.8.7) является вариантом рассмотренного выше метода и также избавляет от необходимости квадратурной демодуляции.

Рис. 2.8.7. Дискретизация второго порядка

2.9. Субдискретизация полосовых радиосигналов По-прежнему рассматриваем узкополосный сигнал со спектром вида рис. 2.9.1. Equation Chapter 2 Section 9

Рис. 2.9.1

Субдискретизация полосовых радиосигналов предполагает, что частота дискретизации должна быть в два раза выше не абсолютно наивысшей частоты ( f 0 + f в ) , а величины, характеризующей информационную полосу 2 f в . Однако правильная субдискретизация налагает некоторые ограничения. Рассмотрим их подробнее.

111

Если граничные частоты спектра f 0 − fв и f 0 + f в кратны его ширине 2 fв , т. е. если f 0 − f в = m (2 f в ),

m = 0, 1, 2, K ,

(2.9.1)

то частоту дискретизации можно взять равной f д = 4 fв . Периодическое повторение прямого и инверсного спектров, вызванное дискретизацией полосового сигнала, показано на рис. 2.9.2.

Рис. 2.9.2

Такая плотная упаковка отображений спектров X + ( f ) и X − ( f ) практически не может быть использована, т. к. условие (2.9.1) чаще всего не выполняется. Кроме того, приходится считаться с эффектом наложения из-за нефинитности спектров. Выбор частоты дискретизации

Для нахождения частоты дискретизации f д необходимо использовать условие, что m и m + 1 переносов X − ( f ) не дают пересечений с X + ( f ) . Ясно, что при этом пересечения отсутствуют везде. Пересечения отсутствуют, если выполнены неравенства (рис. 2.9.3): − f 0 + fв + m f д < f0 − fв ,

(2.9.2)

− f 0 − f в + (m + 1) f д > f 0 + f в .

Рис. 2.9.3

Из (2.9.2) получаем m f д < 2( f0 − fв ), ( m + 1) f д > 2 ( f 0 + fв ) или

2 ( f0 + fв ) m +1

Субдискретизация возможна, если

( f 0 + fв ) m +1

< fд <

2 ( f0 − fв ) m

.

(2.9.3)

f0 − fв , m

<

т. е. m<

f0 − fв . 2 fв

fд

f0 −1 fв

(2.9.4)

Число m называется порядком субдискретизации. Неравенства (2.9.3) перепишем в виде f0 +1 fв

m +1

Введем нормированные частоты ν 0 =

f f0 и νд = д . fв 2 fв

112

<

2 fв

<

m

.

(2.9.5)

Рис. 2.9.4. Зоны для выбора частоты субдискретизации

Тогда неравенства (2.9.5) принимают вид ν0 + 1 ν −1 < νд < 0 . (2.9.6) m +1 m Таким образом, зная центральную нормированную частоту ν 0 = f 0 / f в , можно построить

все зоны, внутри которых расположены значения ν д = f д / 2 fв (рис. 2.9.4). Поскольку общая протяженность спектра X − ( f ) и X + ( f ) равна 4 fв , то при отсутствии перекрытий для всех зон должно быть выполнено неравенство f д > 4 f в или υд > 2. (2.9.7) Строить зоны проще следующим образом. Отмечаются точки с координатами 1, ( 2 ) , ( 3, 2 ) , ( 5, 2 ) , ( 7, 2 ) , K Эти точки соединяются прямыми с точками ( 0, −1) и ( 0, 1) . Между этими прямыми и будут находиться зоны для выбора ν д при различных ν 0 и m.

Практический интерес представляет выбор минимально возможной частоты дискретизации. Такой выбор соответствующей минимальной ординате выше значения ν д = 2. Например, при ν 0 = 8 минимальная частота дискретизации получается при выборе порядка субдискретизации m = 3. Из (2.9.6) при этих значениях ν 0 и m получаем 9 7 < ν д < или 2, 25 < ν д < 2, 33. 4 3

Замечание. Выберем частоту дискретизации в соответствии с (2.8.6) равной f д =

Тогда 113

4 f0 . 2m + 1

νд =

fд 2 fв

f0 2 2 ⋅ = ν0 f в 2m + 1 2m + 1

=

– биссектрисы зон. Если X + ( f ) и X − ( f ) имеют симметричную форму, то при этих частотах дискретизации эффект наложения частичных спектров будет минимальным. Пример 2.9.1. Рассмотрим полосовой радиосигнал, у которого 2 f в = 10 4 Гц и f 0 = 106 Гц. Тогда ν 0 =

f0 = 200. fв

Частота дискретизации, выбираемая по теореме отсчетов, должна быть

f д = 2 ( f 0 + f в ) = 2 f в ( υ0 + 1) = 201⋅104 Гц.

Из (2.9.4) находим для порядка дискретизации: m < 99, 5. Выберем m = 99, тогда 2, 208 < ν д < 2 , 211. Частота дискретизации может взята равной f д = 22090 Гц.

Таким образом, за счет применения субдискретизации частота f д может быть взята значительно ниже значения, требуемого по теореме отсчетов. Ясно также, что для уменьшения f д , порядок субдискретизации следует брать максимально возможным. Для восстановления сигнала достаточно пропустить дискретизованный сигнал xд ( t ) = ∑ x ( k ∆t ) ⋅ δ ( t − k ∆t ) k

через фильтр с частотной характеристикой, изображённой на рис. 2.9.5

Рис. 2.9.5

Импульсная характеристика этого фильтра h ( t ) = 2 fв

sin2π f в t cos2π f 0 t. 2π f в t

(2.9.8)

Ясно, что фильтр с такими характеристиками реализовать невозможно. Реализуемые фильтры обсуждались в п. 2.5. Упражнения и задачи к главе 2 1.

Доказать, что идеально дискретизованный сигнал имеет спектр

Xд ( f ) =

∞

∑

n =−∞

∞

X ( f − n f д ) = X ( f ) + ∑ X ( f ± n f д ), n =1

представляющий собой периодическое повторение исходного спектра X ( f ) по оси частот с периодом, равным частоте дискретизации f д = 1 / ∆t. Представить периодическую функцию X д ( f ) рядом Фурье.

2.

Доказать ортогональность функций отсчетов sin 2 π f в (t − k ∆t ) ϕ k (t ) = , ∆t = 1 / 2 f в 2 π f в ( t − k ∆t )

на бесконечном интервале (−∞, ∞). Является ли система функций отсчётов полной в гильбертовом пространстве L2 ? 3. Найти преобразование Фурье функции

x (t ) =

∞

∑

k = −∞

x(k ∆t ) ⋅

sin 2 π f c (t − k ∆t ) , где f c = 1 / 2∆t. 2 π f c ( t − k ∆t )

114

4. Сигнал x(t ) с финитным спектром на отрезке [− f в , f в ] представить обобщённым рядом Фурье по системе функций отсчётов. Чему равны коэффициенты Фурье? Записать приближённое представление такого сигнала на конечном интервале T . 5. Из каких соображений шаг дискретизации непрерывного сигнала x(t ) с финитным спектром на отрезке [− f в , f в ] часто выбирают меньше чем ∆t = 1 / 2 f в ?

6. Для восстановления континуального сигнала x(t ) по его отсчётам, взятым с шагом ∆t , используется специальный фильтр. Каковы должны быть характеристики фильтра − импульсная, АЧХ, ФЧХ? Ответ обосновать. Что можно сказать о реализуемости такого фильтра? 7. На вход ИФНЧ подаётся последовательность из десяти одинаковых отсчётов с шагом дискретизации ∆t = 10 мкc. Изобразить временную диаграмму сигнала на выходе фильтра. 8. Вместо ИФНЧ для восстановления сигнала из задачи 7 используется однозвенный RC-фильтр с постоянной времени 10 мкc. Изобразить сигнал на выходе восстанавливающего фильтра. Что можно сказать о пригодности однозвенного RC-фильтра для восстановления сигналов? 9. Пусть x(t ) – периодический сигнал с периодом T и пусть x(t ) не содержит частот выше

f в = N / T . Получить выражение ряда Котельникова для этого сигнала. 10. Показать, что функции sin 2 π f в (t − τi ) ϕi (t ) = 2 π f в (t − τ i ) являются собственными функциями системы, имеющей частотную характеристику 1, f < fв , H( f ) =   0 , для других f , для любых значений постоянной τi . Рассмотреть взаимосвязь этого факта с теоремой отсчётов. Указание. Собственные функции определяются следующим свойством: F [ϕi (t )] = λ i ϕi (t ), где λ i – постоянные величины, называемые собственными значениями, а F [ϕi (t )] – реакция линейной системы на входное воздействие в виде ϕi (t ).

11. Пусть частотная характеристика H ( f ) ЛИВ-системы является периодической по частоте: H ( f ) = H ( f + f 0 ) для некоторого значения f 0 и всех значений f . Выразить импульсную характеристику h(t ) через H ( f ). 12. Известно, что для непрерывного сигнала x(t ) имеет место ∞

x (t ) =

∫ x(τ) ⋅ δ(t − τ)d τ.

−∞

Это равенство отражает фильтрующее свойство δ-функции. Показать, что

sinπ t также обладает πt

фильтрующим свойством ∞

x (t ) =

∫ x ( τ) ⋅

−∞

sinπ(t − τ) d τ, π(t − τ)

если спектр x(t ) надлежащим образом ограничен.

13. Действительный сигнал x(t ) имеет финитный спектр X (ω), ограниченный полосой [−ωв , ωв ]. Показать, что если шаг дискретизации ∆t выбран так, что частота Найквиста ωc = π / ∆t ≥ ωв , то x(t ) может быть представлен в виде ∞ sin ω1 (t − k ∆t ) x ( t ) = ∑ x ( k ∆t ) ⋅ , где ωв ≤ ω1 ≤ 2ωc − ωв . ωc (t − k ∆t ) k =−∞

14. Преобразование Фурье ограниченного по длительности сигнала x(t ) выражается в виде T2

X (ω) =

∫ x (t ) e T

− jω t

dt.

1

Сформулировать и доказать теорему отсчетов в спектральной области. Записать ряд Котельникова для этого случая. 15. Определить шаг дискретизации единичного скачка x(t ) = 1, t ≥ 0, при котором длительность фронта сигнала, восстановленного по теореме отсчетов, не превышает τ.

115

16. Имеется x(t ) в виде прямоугольного импульса, t ∈ [ 0, 2T ] . Найти и изобразить мнимую и действительную части спектра этого импульса. В соответствии с теоремой отсчетов в частотной области определить шаг дискретизации:
спектральной функции X ( f ) этого сигнала;


вещественной части Re X ( f );
мнимой части Im X ( f );
модуля спектра X ( f ) ; 2


энергетического спектра X ( f ) . 17. Сигнал x(t ) с финитным спектром точно представляется двумя отличными от нуля отсчетами:

x(2 мкc) = 3 В, x(6 мкc) = 6 В. Определить верхнюю частоту в спектре этого сигнала. Найти мгновенное значение сигнала в момент времени t = 17 мкc. 18. Обобщить теорему Котельникова на случай полосовых радиосигналов, спектр которых отличен от нуля лишь в области ω1 ≤ ω ≤ ω2 , ω > 0. 19. Гармонический сигнал

x(t ) = cos(2π103 t + ϕ0 ), − ∞ < t < ∞, дискретизован в соответствии с теоремой отсчётов. Для восстановления такого сигнала используется интерполятор нулевого порядка. Определить частоты, амплитуды и фазы гармонических компонент на выходе интерполятора. Получить аналитическое выражение для выходного сигнала интерполятора как суперпозицию этих компонент. 20. Выбрать шаг дискретизации ∆t симметричного треугольного импульса длительностью 2τ = 100 мкc. В качестве верхней частоты спектра f в принять значение частоты, при котором спектральная плотность обращается в нуль и при f > f в значения спектральной плотности не превышают 0,1 от максимального значения. Записать ряд Котельникова для этого случая. 21. Определить диапазон допустимых частот субдискретизации полосового колебания x(t ) = A(1 + 0, 5 cos 2πf м t ) cos 2πf 0 t , − ∞ < t < ∞, при f м = 5 кГц, f 0 = 900 кГц. Определить порядок субдискретизации для наименьшей из этих частот. Найти и изобразить АЧХ идеального восстанавливающего фильтра. 22. Гармонический сигнал x(t ) = cos 2πf 0 t , f 0 = 500 кГц дискретизован с частотой f д = 2 MГц. Изобразить как функцию нормированной частоты ν = f / f д в диапазоне ν ≤ 2 • модуль спектра исходного сигнала; • модуль спектра дискретизованного сигнала; • модуль спектра последовательности y (k ) = x(k ) ⋅ (−1) k ; • модуль спектра последовательности z (k ) = x(k ) ⋅ 2 cos(k π / 2).

23. Аналитический сигнал x(t ) имеет финитный спектр, ограниченный полосой ω∈ [ ω1 , ω2 ] , ω > 0. 2

В соответствии с теоремой отсчетов выбрать шаг дискретизации функции x(t ) .

24. Сигнал y (t ) имеет спектр, ограниченный полосой [ − f в , f в ] . Доказать, что ∞

∫

−∞

y 2 (t )dt = ∆t

∞

∑

y 2 (k ∆t ), где ∆t = 1 / 2 f в .

k = −∞

25. Сигнал x(t ) имеет финитный спектр X (ω) и дискретизуется с шагом ∆t =

π . Дискретизованный ωв

сигнал получается умножением x(t ) на функцию дискретизации y (t ). На рисунке представлены два способа дискретизации. В практическом способе а) в периодическая (с периодом ∆t ) качестве y (t ) используется последовательность коротких прямоугольных импульсов амплитудой Е. В идеальном τ ≤ ∆t и длительностью способе б) используется периодическая

116

последовательность дельта-функций y (t ) = ∆t

∞

∑

δ(t − k ∆t ). Для обоих способов описать и изобразить

k = −∞

спектры функции дискретизации и дискретизованного сигнала. 26. Фильтр нижних частот с чебышевской характеристикой третьего порядка на частоте f c обеспечивает ослабление мощности в два раза. Определить величину ослабления, вносимого этим фильтром, на частоте f = 3 f c . 27. Два идеальных дискретизатора работают с одинаковым шагом дискретизации ∆t , но со сдвигом ∆t /2, как показано на рисунке. При f 0 = 1 МГц и частоте дискретизации f д = 1 / ∆t = 5 МГц изобразить как функцию нормированной частоты ν = f / f д в диапазоне ν ≤ 2 :

o модуль спектра исходного сигнала x(t ); o модуль спектра дискретизованного сигнала xд (t ); • модуль спектра сигнала y д (t ) на выходе суммирующего устройства. ПФ

28. Пусть h(t )←→H ( f ) пара преобразования Фурье. Показать, что ∞

∆t ∑ h ( k ∆ t ) = k =−∞

∞

 n 

∑ H  ∆t ,

n =−∞

где ∆t – шаг дискретизации функции h(t ). Определить число отсчетов, необходимое для представления прямоугольного импульса длительностью τ = 1 мкc при условии того, чтобы длительность фронта восстановленного импульса не превышала 3% от τ. 29. Основываясь на теореме отсчетов, рассчитать полосу частот, необходимую для передачи чернобелого телевизионного сигнала, если принять, что • разрешающая способность телевизионного изображения 500 строк; • число элементов в строке 650; • скорость передачи 25 кадров в секунду; • яркость каждой точки передается амплитудой видеосигнала. 30. Два способа генерации радиоимпульсов изображены на рисунке.

В способе А импульсы генерируются с одной и той же начальной фазой для каждого импульса, причём период импульсов T2 не обязательно кратен 1 / f 0 . В способе Б синусоидальный сигнал sin 2πf 0 t стробируется прямоугольными импульсами, причём период несущей 1 / f 0 не обязательно кратен периоду импульсов T2 . Рассмотреть различия между этими сигналами во временной и спектральной областях. 31. Имеется сигнал в виде суммы двух гармонических колебаний различных частот: x(t ) = cos ω1t + cos ω2 t. Найти соответствующий аналитический сигнал, сформулировать для него теорему отсчетов и записать ряд Котельникова. Как по отсчетам аналитического сигнала можно восстановить исходный сигнал x(t ) ?

117

32. Аналитический сигнал

x (t )

имеет финитный спектр, ограниченный полосой

[ 0, ωв ] .

В

2

соответствии с теоремой отсчетов выбрать шаг дискретизации функции x(t ) .

33. Сигнал x(t ) имеет финитный Определить коэффициенты ряда 1 полагая, что ∆t = . Доказать, что 2 fв ∞

1 ∆t

спектр X ( f ) треугольного вида. Котельникова для этого сигнала,

∞

n   X  f − . ∆t   k = −∞ n = −∞ Здесь x(t ) и X ( f ) – сигнал и его спектр соответственно, а ∆t – шаг дискретизации. 34. Доказать теорему Котельникова в частотной области: если сигнал x(t ) тождественно равен

∑

x(k ∆t ) ⋅ e − j 2 πf k ∆t =

∑

нулю вне промежутка t1 ≤ t ≤ t2 , то спектральная плотность

X(f )

последовательностью своих значений в точках на оси частот, отстоящих на

однозначно задается

1 Гц друг от друга. t2 − t1

Записать ряд Котельникова для X ( f ). Изобразить схему восстановления. 35. Рассмотрим сигнал y (t ), полученный путём фиксации на время, равное шагу дискретизации ∆t , мгновенных значений исходного сигнала x(t ). Пусть x(t ) = cos(ω0 t + ϕ0 ), − ∞ < t < ∞, и шаг дискретизации ∆t выбран в десять раз меньше значения, получаемого в соответствии с теоремой отсчётов. Определить частоты, амплитуды и фазы гармонических компонент на выходе фиксатора. Получить аналитическое выражение для выходного сигнала фиксатора как суперпозицию этих компонент. ∞

36. Сигнал x(t ) имеет спектр, ограниченный полосой

f ≤ f в . Доказать, что

∫

−∞

∆t =

∞

x(t )dt = ∆t ∑ x(k ∆t ), k =−∞

1 . 2 fв

37. В реальных системах отсчёты сигнала x(t ) осуществляется импульсами конечной длительности вместо идеальных δ-импульсов. Два способа получения дискретизованного сигнала представлены на рисунке. Изобразить функциональные схемы таких дискретизаторов. Считая, что спектр X ( f )

ограничен полосой f ≤ f в , описать спектры дискретизованных сигналов.

38. Пусть спектр сигнала x(t ) равен нулю вне полосы 1 МГц, а спектр сигнала y (t ) равен нулю вне полосы 2 МГц. В соответствии с теоремой отсчетов выбрать шаг дискретизации следующих сигналов: а) x(t ), б) y (t ), в) y (5t ), г) x(t ) + y (t ), д) x(t ) y (t ), е) x(t ) ∗ y (t ). 39. Импульсная характеристика идеального фильтра нижних частот с верхней граничной частотой f в умножается на периодическую последовательность прямоугольных импульсов, имеющих единичные амплитуды, длительности 1 / 10 f в и частоту следования 5 f в . Найти и изобразить спектр произведения. 40. В стробоскопическом осциллографе отсчёт быстрого Т-перио-дического сигнала производят один раз за период, но с прогрессивно нарастающей задержкой в последующих периодах. Если полученную таким образом импульсную последовательность пропустить через фильтр нижних частот, то на выходе фильтра получим сигнал y (t ) = x(at ), a < 1.

118

Считая, что спектр X ( f ) равен нулю вне полосы f < f x , а спектр Y ( f ) равен нулю вне полосы f < f y , определить наименьший период T и наибольший шаг задержки ∆, которые можно использовать в данной системе.

41. Прямоугольный импульс x(t ) , t ∈ [−τ / 2, τ / 2] дискретизован с шагом ∆t так, что образуется 2 N + 1 отсчётов, расположенных симметрично относительно оси t = 0. Найти спектральную плотность дискретизованного сигнала и изобразить её для случая 2 N + 1 = 9, отметив все особые точки. Описать процедуру восстановления импульса по его отсчётам. Оценить длительность фронта восстановленного импульса. 42. Экспоненциальный импульс x(t ) = e −α t , t ≥ 0, α = 2 ⋅104 Гц, дискретизован с шагом ∆t = 10 мкc . Найти и изобразить спектральную плотность дискретизованного сигнала. 43. Определить и изобразить спектр дискретизованного симметричного треугольного импульса высотой E и длительностью τ, заданного пятью отсчётами с шагом дискретизации ∆t = τ / 5. 2

44. Рассмотреть вопрос о дискретизации колокольного (гауссова) импульса x(t ) = e − (β t ) . Определить

шаг дискретизации ∆t и число отсчётов, достаточное для описания импульса, если в качестве ωв принять значение, при котором спектральная плотность уменьшается в 10 раз. 45. Выбрать шаг дискретизации ∆t прямоугольного импульса длительностью τ = 100 мкc. В качестве верхней частоты спектра f в принять значение частоты, при котором спектральная плотность обращается в нуль и при f > f в значения спектральной плотности не превышают 0,1 от максимального значения. Записать ряд Котельникова для этого случая. 46. Косинусоидальный импульс πt x(t ) = A cos , 0 ≤ t ≤ T = 20 мкc, A = 1 В, T подвергнут дискретизации путём умножения его на периодическую последовательность прямоугольных импульсов:

y (t ) = x(t ) ⋅

∞

∑П

τ

(t − k ∆t ),

k =−∞

где Пτ (t) – прямоугольная функция длительностью τ = 0, 5 мкc и амплитудой 1, ∆t = 2 мкc – шаг дискретизации. Описать и изобразить спектр последовательности y (t ). Указание. При нахождении спектра косинусоидального импульса дважды продифференцировать сигнал.

47. Доказать, что дельта-функцию можно рассматривать как предел  sin αt  δ(t ) = lim  . α→∞  πt  48. Вычислить интеграл 4

∞

 sin θ  ∫− ∞  θ  d θ. 49. Найти и изобразить спектральную плотность группы из (2 N + 1) дельта-импульсов, расположенных симметрично относительно начала координат. Отметить величины максимумов и их расположение по частотам, а также частоты нулевых значений. Указание. Воспользоваться формулой суммы (2 N + 1) членов геометрической прогрессии

119

S (2 N + 1) =

a 1 (1 − q 2 N +1 ) (1 − q)

,

где a 1 – первый член прогрессии, а q – знаменатель прогрессии.

Ответ:

X 2 N +1 ( f ) =

sin π f (2 N + 1) T . πfT 50. Показать, что ∞

∑

(−1) k ⋅ δ (t − kT ) ⇔

k = −∞

1 T

51. Проверить формулы Пуассона: ∞

а)

∑

k = −∞ ∞

x ( k ∆t ) =

1 ∆t

 n 1  δf − − . T 2T  n = −∞  ∞

∑

следующие

∞

 n  X  ,  ∆t  n = −∞

∑

1 ∆t

2π

∞

 n  j nt X   e ∆t ,  ∆t  k = −∞ n = −∞ ∞ 1 ∞ n   X  f − , в) ∑ x (k ∆t ) ⋅ e − j 2 π f k ∆ t = ∑ ∆ t ∆ t  k = −∞ n = −∞

б)

∑

г)

∑

∞

k = −∞

x (t − k ∆t ) =

∑

x (t ) ⋅ h (t − k ∆t ) ⇔

1 ∆t

  n  n  X  f −  ⋅ H  . ∆t  n = −∞   ∆t  ∞

∑

52. Найти и изобразить частотную характеристику системы, импульсная характеристика которой имеет вид

53. Найти ряд Фурье для периодического сигнала, изображённого на рисунке.

54. Сигнал x(t ), имеющий спектр X ( f ), показанный на рисунке, пропускается через физически нереализуемый фильтр с периодической импульсной характеристикой h(t ). Найти и изобразить спектр выходного сигнала фильтра. 55. Показать,

120

что

система,

изображённая на рисунке, ведёт себя как узкополосный фильтр. Импульсная характеристика h(t ) имеет вид прямоугольника с единичной площадью. Оценить полосу пропускания системы. Чем можно регулировать частоту настройки системы? 56. Сигнал x(t ) имеет спектр X ( f ), действительная и мнимая части которого показаны на рисунке.

Показать, что сигнал на выходе дискретизатора y (t ) = δ ( t ) .

57. На выходе дискретизатора стоит фильтр с частотной характеристикой H ( f ). Предположим, что

H( f )

является

H ( f + W ) = H ( f ) для некоторого Описать импульсную

периодической:

f. характеристику h(t ) фильтра и сигнал 58. Имеется система Дискретизация – идеальное взятие

значения W

и всех значений

y (t ) на его выходе дискретизации-восстановления. отсчетов с частотой fд ,

удовлетворяющей условиям теоремы Котельникова.

Восстановление осуществляется интерполятором нулевого порядка. Найти АЧХ входного фильтра, минимизирующего среднеквадратическое отклонение y (t ) от x(t ), в двух случаях: 1) выходного ИФНЧ нет; 2) фильтр ИФНЧ – идеальный ФНЧ с верхней частотой f c = f д / 2.

59. Фильтр нижних частот с чебышевской характеристикой третьего порядка на частоте f c обеспечивает ослабление мощности в два раза. Определить величину ослабления, вносимого этим фильтром, на частоте f = 3 f c . 60. Имеется сигнал в виде суммы двух гармонических колебаний различных частот: x(t ) = cos ω1t + cos ω2 t . Найти соответствующий аналитический сигнал, сформулировать для него теорему отсчетов и записать ряд Котельникова. Как по отсчетам аналитического сигнала можно восстановить исходный сигнал x(t ) ? 61. Найти порядок фильтра Баттерворта с частотой среза f c = 100 кГц, который при f c = 200 кГц обеспечивает ослабление не хуже 20 дБ по отношению к уровню при f = 0. 62. . Рассмотрим сигнал xˆд (t ) , полученный путём фиксации на некоторое время τ мгновенных значений x(k ∆t ) исходного сигнала x(t ) , взятых с шагом ∆t . Отношение длительности импульса к периоду дискретизации a = τ / ∆t = 0, 5. Пусть x(t ) = cos(ω0 t + ϕ0 ), − ∞ < t < ∞, а частота дискретизации в два раза больше ω0 . Определить частоты, амплитуды и фазы гармонических компонент на выходе фиксатора. Получить аналитическое выражение для выходного сигнала фиксатора как суперпозицию этих компонент. 63. Сигнал x(t ) дискретизован в соответствии с теоремой отсчетов. Доказать, что для среднего значения сигнала имеет место T /2 1 1 N/2 mx = lim x (t )dt = lim ∑ x(k ∆t ). ∫ T →∞ T N →∞ N k =− N / 2 −T / 2 64. Определить частоту дискретизации, необходимую для точного восстановления сигнала

121

x(t ) = (sin 6280t ) / 6280t. 65. Определить частоту дискретизации, необходимую для точного восстановления сигнала x(t ) = 10 cos(1000t + π / 3) + 20 cos(2000t + π / 6). 66. Перед дискретизатором стоит фильтр Баттерворта шестого порядка с частотой среза f c = 1000 Гц. Какая частота дискретизации необходима для снижения помехи наложения до уровня −50 дБ по мощности? Какой порядок фильтра нужно выбрать, чтобы обеспечить данный уровень помехи при частоте дискретизации f д = 2 f c ?

122

Г Л А В А 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ Цель данной главы – показать важнейшие свойства преобразований Фурье с дискретным временем и особенно их отличия от преобразования Фурье в непрерывном времени, обозначить проблемы, возникающие при использовании этих преобразований в цифровой обработке сигналов.Equation Chapter 3 Section 1

3.1. Оценка спектра сигнала по последовательности его отсчетов Ответим на вопрос, как оценить спектр исходного сигнала по последовательности его отсчетов x (k ∆ t ),

k = 0, 1, 2, K Как уже отмечалось, спектр последовательности отсчетов представляет собой периодическое (с периодом f д = 1 / ∆ t ) повторение исходного спектра X ( f ). Необходимая спектральная информация будет содержаться в полосе [ − f c , f c ] , где f с = f д / 2 (рис. 3.1.1)

Рис. 3.1.1

Поэтому выделим из суммы ∞

∑

Xд ( f ) =

X ( f − m fд )

(3.1.1)

m = −∞

один частичный спектр, соответствующий m = 0, действием фильтра, подавляющего компоненты выше f с = f д / 2. Тогда отфильтрованный сигнал

xˆ (t ) =

∞

∑

x (k ∆ t )

k = −∞

sin 2π f c (t − k ∆ t ) , 2π f с (t − k ∆ t )

т. е. xˆ (k ∆ t ) = x (k ∆ t ). Преобразование Фурье этого сигнала будет

(3.1.2)

Xˆ ( f ) =

∞

∞

∑

k = −∞

x (k ∆ t ) e− j 2 π f k ∆ t ∫ ∞

∞

=

∑

k = −∞

∆ t x (k ∆ t ) e− j 2 π f k ∆ t Пˆ 2 f C ( f ),

где

1 при f ≤ f c = 1 / 2 ∆ t , П2 f C ( f ) =  при других f . 0 Входящий в (3.1.3) ряд

∆t

∞

∑

x (k ∆ t ) e− j 2 π f k ∆ t

k = −∞

есть ряд Фурье периодической функции X д ( f ). Действительно,

123

sin 2π f c (t − k ∆ t ) − j 2 π f (t − k ∆ t ) e dt = 2 π f c (t − k ∆ t ) (3.1.3)

Xд ( f ) =

∞

∑

k = −∞

с− k e

− j k (2 π / f д ) f

∞

∑

=

k = −∞

с− k e− j 2 π f k ∆ t ,

где коэффициенты Фурье с учётом (3.1.2) равны fд / 2

с− k = (1 / f д )

∫

X д ( f ) e j 2 π f k ∆ t d f =∆ t xˆ (k ∆ t ) = ∆ t x(k ∆ t ).

(3.1.4)

− fд / 2

Подставляя эти коэффициенты, получим ∞

∑

Xд ( f ) =

∆ t x (k ∆ t ) e − j 2 π f k ∆ t .

(3.1.5)

k = −∞

Это есть прямое дискретное во времени преобразование Фурье (ДВПФ) последовательности { x(k )} . Обратное ДВПФ представляется формулой (3.1.4). Рис. 3.1.1 иллюстрирует связь полученной оценки спектра Xˆ ( f ) с исходным спектром X ( f ), который в общем случае является нефинитной функцией. Видно, что оценка спектра, полученная по дискретным отсчетам, отличается от исходного спектра, во-первых, отсутствием компонент выше частоты f с = f д / 2 = 1 / 2∆ t , а во-вторых, наличием “лишних” составляющих вследствие эффекта наложения, вызванного дискретизацией и нефинитностью исходного спектра. Отбрасывание «хвостов» спектра для f > f с сопровождается среднеквадратической ошибкой − fc

ε 2min =

∫ −∞

∞

2

X(f ) d f +

∫ f

2

X(f ) d f.

c

Эффект наложения приводит к дополнительной ошибке (п. 2.3) 0

ε 2доп =

∫

− fc

∞

∑

2

fc

X ( f + n fд ) d f +

n =1

2

∞

∑

∫0

X ( f + n fд ) d f .

n =1

Поэтому для повышения точности оценки спектра в полосе [ − f с , f с ] перед дискретизатором обычно включают фильтр, подавляющий спектральные компоненты после f с = f д / 2 = 1 / 2∆ t. Можно рассматривать выделяющую функцию П 2 f c ( f ) как окно в частотной области. Применение непрямоугольных оконных функций приводит к еще большему отличию оценки спектра Xˆ ( f ) от исходного X ( f ).

Конечное число выборок. Явление Гиббса Практически оценку спектра приходится проводить по конечному числу выборок N /2

Xˆ N ( f ) =

∑

∆ t x (k ∆ t ) e− j 2 π f k ∆ t , f ≤ f c .

(3.1.6)

k = −N/2

Это есть усечённая сумма членов разложения функции X д ( f ) в ряд Фурье. Ограничение числа членов эквивалентно умножению последовательности { x ( k ) } на прямоугольное окно

1, k ≤ N / 2 , y (k ) =   0 , k > N / 2 .

(3.1.7)

ДВПФ этого временного окна Y (f ) = ∆t

N /2

∑ e − j 2π f k ∆ t = ∆ t k = −N /2

sin π ( N + 1) f ∆ t sin π f ∆ t

(3.1.8)

при больших N ведёт себя как функция sin x / x, имеющая пульсирующий характер из-за наличия боковых лепестков. Произведению двух временных последовательностей соответствует свертка их фурье-образов, поэтому оценка спектра будет

Xˆ N ( f ) =

fc

∫

X (v) Y ( f − v) dv.

− fc

Когда N → ∞ Y ( f ) → δ ( f ) и Xˆ N ( f ) → X ( f ). В точках, где кривизна X ( f ) мала, ошибка

X ( f ) − Xˆ

N

( f ) может быть сделана как угодно малой при увеличении N. Однако, когда X ( f ) имеет

разрыв, например, в точке f = f1 , ошибка X ( f1 ) − Xˆ N ( f1 ) не устраняется при увеличении N (явление

124

(3.1.9)

Гиббса). Увеличение N путем увеличения частоты выборок делает явление Гиббса более резко выраженным (рис. 3.1.2). Если при f = f1 функция X ( f ) резко спадает к нулю, то частота дискретизации должна быть равной f д = 2 f1 с тем, чтобы устранить разрыв в крайней точке.

Рис. 3.1.2. Явление Гиббса

Для заданного N функция Xˆ

N

( f ) представляет собой наилучшую аппроксимацию X ( f ) по критерию

среднего квадрата. Ошибка вблизи точек разрыва X ( f ) может быть снижена применением оконных функций, отличных от прямоугольной. Рассмотрим, например, треугольное окно  k k ≤N,  1− , y1 (k ) =  (3.1.10) N 0 , k >N,  которое получается свёрткой двух прямоугольных окон каждое длительностью в N + 1 отсчётов:

 1  N/2 y1 (k ) =   ∑ y (m) y (k − m)  ( N + 1)  m = − N / 2 По теореме о свёртке ДВПФ треугольного окна Y1 ( f ) = ∆ t

N

∑

k = −N

y1 (k )e − j 2 π f k ∆ t =

∆t  sin π ( N + 1) f ∆ t    sin π f ∆ t N +1  

2

(3.1.11)

имеет уже меньший уровень боковых лепестков, благодаря чему оценка спектра

Xˆ 2 N ( f ) =

fc

∫

X (v) Y1 ( f − v) dv

(3.1.12)

− fc

в точках разрыва X ( f ) будет более сглаженной, и явление Гиббса ослабляется. Как и в случае прямоугольного окна, когда N → ∞ Y ( f ) → δ ( f ), а Xˆ ( f ) → X ( f ) в точках с малой кривизной. 1

2N

Поведение функций (3.1.9) и (3.1.12) для прямоугольной X ( f ) отражает рис. 3.1.2. Рис. 3.1.2

3.2. Дискретное во времени преобразование Фурье Вернемся к выражениям (3.1.4) и (3.1.5). Спектр дискретизованного сигнала является периодической функцией частоты и представляется рядом Фурье в частотной области

Equation Chapter 3 Section 2 Xд ( f ) = ∆ t

∞

∑

x (k ∆ t ) e− j 2 π f k ∆ t ,

k = −∞

где

f д/ 2

x(k ∆ t ) =

∫

X д ( f ) e j 2 π f k ∆ t df .

− f д/ 2

125

(3.2.2)

(3.2.1)

Это есть пара дискретного во времени преобразования Фурье (ДВПФ). Прямое ДВПФ X д ( f ) – континуальная и периодическая функция частоты (с периодом f д ): ∞

Xд ( f ) =

∑

X ( f − m f д ).

m = −∞

В выражениях (3.2.1) и (3.2.2) удобно принять ∆ t = 1 и ввести нормированную частоту v = f / f д . Тогда будем иметь соответственно ∞

∑

X (v ) =

x(k ) e − j 2 π v k ,

(3.2.3)

X (v) e j 2 π v k dv.

(3.2.4)

k = −∞ 1/ 2

x (k ) =

∫

−1 / 2

Пару ДВПФ символически обозначим следующим образом: x (k ) ⇔ X (v).

Ещё раз подчеркнём, что прямое ДВПФ X (ν) представляет континуальную и периодическую функцию частоты (с периодом vд = 1 ), а x(k ) – функция дискретного времени. Отметим ещё соотношения дуальности между этими выражениями и формулами для обычного ряда Фурье. Для Т-периодического сигнала имеет место представление рядом Фурье x (t ) =

∞

∑

x(t − mT ) ⇔ ∆ f

m = −∞

∞

∑

X (n ∆ f ) e j 2π n ∆ f t ,

(3.2.5)

n = −∞

где коэффициенты Фурье cn = ∆ f X (n ∆ f ), T /2

X (n∆ f ) =

∫

x(t ) e − j 2 π n∆ f t dt ,

(3.2.6)

=T / 2

а ∆f = 1 / T – шаг дискретизации по частоте. Эти соответствия можно выразить словами: дискретизация сигнала по времени приводит к периодическому повторению спектра, и, наоборот, дискретизация спектра приводит к периодическому повторению сигнала.

Основные свойства и теоремы ДВПФ Некоторые свойства ДВПФ приведены в таблице 3.2.1.

Т а б л и ц а 3.2.1 Последовательность

ДВПФ X (ν)

x(k )

1

x (k − l )

2

x(k ) exp ( j 2πvo k )

X (v) ⋅ exp (− j 2πvl )

(теорема запаздывания) X (v − vo )

(теорема смещения) Свертка Произведение 3

∞

∑

X (ν) H (ν)

x ( k ) h (l − k )

k = −∞

(теорема о свертке) 4

Произведение x(k ) y (k )

Свертка (круговая) 1/ 2

∫

X (ν ′) Y (ν − ν ′) d ν ′

−1 / 2

126

∞

∑

5

2

x(k ) =

k = −∞

1/ 2

2

∫

X (v) dv

−1 / 2

(равенство Парсеваля) Единичный импульс 6

1

k = 0, k ≠ 0.

1 , 1 (k ) =  0 ,

Периодическая последовательность единичных импульсов ∞

∑

7

1(k − m)

Периодическая последовательность δфункций (площади равны 1) ∞

∑

m = −∞

δ (v − n)

n = −∞

2

–2 k

–1

0

1 –2

–1

0

∞

8

9

∑

exp ( j 2πvo k ), − ∞ < k < ∞

1

2

ν

δ (v − vo − n)

n = −∞

Последовательность Последовательность δединичных импульсов функций с периодом 1/L с пери-одом L (площади равны 1/L) ∞

∑

∞

(1 / L ) ∑ δ (v − n / L)

1 (k − mL )

m = −∞

n =−∞

Изменение масштаба ∞

10

∑ x (m) 1 (k − mL)

X ( νL )

k =−∞

Все эти свойства легко доказываются непосредственным вычислением. Докажем, например, свойство 9. Вычисление ДВПФ дает (с учётом теоремы запаздывания) X (v ) = =

∞

∞

∑

k =−∞ ∞

∞

∑

1 ( k − m L) e − j 2 π v k =

m =−∞

1 ( k − m L) e − j 2 π v k ∑ ∑ m =−∞ k =−∞

=

∞

∑

e− j 2 π v L m .

m =−∞

Это есть ряд Фурье (по оси v) периодической последовательности δ-функций с периодом 1/L, т. е. X (v) = (1 / L)

∞

∑ δ (v − n / L).

n =−∞

Для случая L = 3 это свойство иллюстрируется на рис. 3.2.3.

127

Рис. 3.2.3

Докажем теперь свойство 10. Пусть имеется x (k ) ⇔ X (v) пара ДВПФ. Функция непрерывного аргумента X (ν) является периодической на оси v с периодом, равным 1

(рис. 3.2.4) Рис. 3.2.4

Образуем новую последовательность y (k ) путем добавления L–1 нулей между каждой парой отсчетов x(k ) : ∞

∑

y (k ) =

x (m) 1(k − mL ).

m =−∞

Новая последовательность с измененным масштабом имеет ДВПФ ∞

∑

Y (v ) =

y (k ) e − j 2 π v k =

k = −∞

=

∞

∞

∞

∑ ∑ x ( m) 1 ( k − m L ) e − j 2 π v k k = −∞ m = −∞

∞

x (m) ∑ 1(k − mL) e− j 2 π v k ∑ m = −∞ k = −∞

=

=

∞

x (m) e− j 2 π v m L = X (vL). ∑ m = −∞

Функция Y (v) периодична с периодом 1 / L и сжата по оси v в L раз. Случай L = 2

изображен на рис. 3.2.5. Рис. 3.2.5

3.3. Дискретный во времени ряд Фурье Для периодического с периодом T сигнала x (t ) ряд Фурье будетEquation ∞

x (t ) =

∑C

n

Chapter 3 Section 3

e j n (2 π / T ) t ,

n = −∞

где коэффициенты Фурье T /2

C n = (1 / T )

∫

x (t ) e − j n (2 π / T ) t dt.

−T / 2

∆t = T / N

x (t ) При дискретизации ∆ t = 1. краткости записи

с шагом

x (t ) на одном периоде

Тогда периодическую дискретную функцию

свертки

x (k ) = x N (k ) ⊗

∞

∑

m = −∞

128

1(k − mN ).

будет N отсчетов. Примем для x (k ) можно представить в виде

Здесь

 x(k ), x N (k ) =   0, ∞

а

∑

0 ≤ k ≤ N − 1, при других k ,

1(k − mN ) – последовательность единичных импульсов с периодом N .

m = −∞

Рис. 3.3.1

По теореме о свертке для ДВПФ ∞   X (v ) = X N (v) (1 / N ) ∑ δ(v − n / N )  . (3.3.1) n = −∞   Для пояснения (3.3.1) на рис. 3.3.1 приведены последовательности и их спектры. Обозначим площадь отдельной δ-функции в (3.3.1) при v = n / N через X (n). Тогда из (3.2.3) и (3.3.1)

N −1

X (n) = (1 / N ) X N (v = n / N ) = (1 / N ) ∑ x (k ) e− j (2 π / N ) n k .

(3.3.2)

k =0

X (n) – N-периодическая функция дискретного аргумента. В соответствии с (3.2.4) и (3.3.1) будем иметь 1/ 2

x(k ) =

∫

X (v ) e

j 2 πvk

dv =

−1 / 2

1/ 2

=

∫

∞

[ X N (v) (1 / N )

−1 / 2

∑

S (v − n / N )]e

j 2 πvk

dv.

n = −∞

Проведя суммирование по n на одном периоде от 0 до N − 1, получаем

x (k ) =

N −1

∑ X (n) e j (2 π / N ) n k .

(3.3.3)

n=0

Последовательность x (k ) периодична с периодом N .

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) Соотношения (3.3.2) и (3.3.3) определяют прямое и обратное дискретное преобразование Фурье (ДПФ) соответственно. Пара ДПФ ДПФ

x ( k ) ↔ X ( n) устанавливает взаимно однозначное соответствие между N отсчетами во временной области и N отсчетами в спектральной. Пара ДПФ часто записывается в виде X ( n) = x(k ) =

1 N N −1

j

2π nk N

– базисные функции ДПФ.

129

N

k =0

∑ X (n)W

nk

N

n=0

Здесь WNn k = e

N −1

∑ x(k )W − nk , .

(3.3.4)

Пара ДПФ справедлива и для последовательности x (k ) конечной длины в N отсчётов. Однако при этом следует помнить, что обратное ДПФ (3.3.3) дает N-периодическую функцию, совпадающую с исходной последовательностью x (k ) на интервале k = 0 , ..., N − 1. Таким образом, отличительной особенностью ДПФ является то, что сигнал и его спектр определяются на конечных и равных интервалах N. При этом меняется привычное понятие сдвига, а именно: сдвиг сигнала и его спектра на интервале N понимается как циклическая перестановка отсчетов (часть сигнала или его спектра, выходящая за пределы интервала N с одного конца, вставляется в этот интервал с другого конца). При циклическом сдвиге значения индексов k и n отсчитываются по модулю N:

x (k − m) = x [ (k − m) mod N ] = x (k − m) N и

X (n − p) = X [ (n − p) mod N ] = X (n − p) N (целое число раз по N отбрасывается). Например, N = 64. Тогда x (69)64 = x (5).

Свойства и теоремы ДПФ В таблице 3.2.2 приведены наиболее важные свойства ДПФ. Т а б л и ц а 3.2.2 1

Сигнал x*(k )

ДПФ X *( N − n)

2

x (N − k)

X ( N − n)

3 4 5 6 7

8

x (k ) = x*(k ) действ. последовательность x (k ) = − x*(k )

X ( n) = X * ( N − n) X (n) = − X *( N − n)

x (k ) = x ( N − k ) чётная последовательность x (k ) = − x ( N − k )

X ( n) = X ( N − n)

x (k ) = x*(k ) = − x ( N − k )

X ( n) = − X ( N − n) = = X * ( N − n) = − X * ( n)

X ( n) = − X ( N − n) X ( n) = X ( N − n) = x (k ) = x* (k ) = x ( N − k ) чётная действ. послед-сть = X * ( N − n) = X *(n) П р о д о л ж е н и е т а б л и ц ы 3.2.2

1 N

9

N −1

∑ x (k ) y * (k )

k =0

=

N −1

∑ X (n) ⋅ Y * ( n)

n=0

равенство Парсеваля для ДПФ x [ (k − l ) mod N ] X (n) ⋅ W N− n l

10

теорема запаздывания 11

12

1 N

N −1

∑ x (k ) h [ (l − k ) mod N ]

k =0

X ( n) ⋅ H ( n)

теорема о циклической свёртке для ДПФ 1 1 [ (k − l ) mod N ] WN− n l N сдвинутый единичный импульс

Пример 3.1. Свойства 1 ÷ 8 называют ещё свойствами симметрии, они легко проверяются прямой подстановкой в формулы ДПФ. Остановимся на свойстве 3 для действительных сигналов. Коэффициенты ДПФ с номерами, симметрично расположенными на интервале N, являются комплексно-сопряжёнными числами. Это означает, что достаточно вычислить X ( n) для n = 0, 1, K , N / 2, а остальные X ( n) находятся без вычислений из равенства

X (n) = X ∗ ( N − n). Таким образом, почти вдвое сокращается число операций, требуемых для вычисления всех N коэффициентов ДПФ действительной последовательности. Пример 3.2. Пусть имеется две действительные последовательности a (k ) и b( k ) длиной в N отсчётов,

k = 0, 1, 2, K , N − 1. Образуем совмещённую последовательность c(k ) = a (k ) + jb(k ). Вычислить все

130

коэффициенты ДПФ A( n) и B ( n) последовательностей a (k ) и b( k ) из результатов преобразования

C (n) совмещённой последовательности c(k ) . По свойству линейности ДПФ можем записать C (n) = A(n) + jB(n), C ∗ ( N − n) = A∗ ( N − n) − jB∗ ( N − n). В силу симметрии A( n) = A∗ ( N − n) и B( n) = B∗ ( N − n). Отсюда

A(n) = [C (n) + C ∗ ( N − n)] / 2, B(n) = [C (n) − C ∗ ( N − n)] / 2 j. Вычисление коэффициентов A( n) и B ( n) по этим формулам достаточно выполнить только для n = 0, 1, K , N / 2, а остальные коэффициенты можно найти, используя свойство симметрии.

Теорема о циклической свёртке Ввиду важности докажем теорему о циклической свертке (свойство 11 в таблице 3.2.). Пусть x ( k ) ⇔ X ( n) и h ( k ) ⇔ H ( n) пары ДПФ; k = 0, 1, 2, ..., N − 1;

n = 0, 1, 2, ..., N − 1. Операция свёртки двух периодических

последовательностей x(k ) и h(k ) определяется соотношением

y (l ) =

1 N

N −1

∑ x (k ) h [ (l − k ) mod N ].

(3.3.5)

k =0

Нужно показать, что

[ X ( n) H ( n) ] ⇔

1 N

N −1

∑ x (k ) h [ (l − k ) mod N ].

(3.3.6)

k =0

Действительно, N −1

N −1

∑ X ( n) H ( n) W n l = ∑ N

n=0

=

1 N

N −1

n=0

N −1

1 N −1 x (k ) W N− n k H (n) W Nn l = ∑ Nk=0 1

N −1

∑ x (k ) ∑ H (n)W n (l − k ) = N ∑ x (k ) h [ (l − k ) mod N ], N

k =0

n=0

k =0

j

2π nl N

что и требовалось доказать. Здесь W Nn l = e – базисные функции ДПФ. Таким образом, операции свёртки во временной области соответствует произведение ДПФ-образов в частотной области. Свойство 11 имеет большое значение при обработке сигналов в ЛИВ-системах. Последовательности x(k ) и y (k ) рассматриваются как входной и выходной сигналы системы, а h(k ) – как её импульсная характеристика. Таким образом, свёртку (3.3.5) можно производить либо непосредственно во временной области, либо в частотной области. В последнем случае нужно сначала вычислить и перемножить соответствующие ДПФ-преобразования X (n) и H (n), а затем с помощью обратного ДПФ найти выходной сигнал системы y (k ). На первый взгляд, косвенный метод кажется более длительным по сравнению с прямым методом. В действительности же косвенный метод требует значительно меньше вычислительных операций по сравнению с прямым методом. Причина этого заключается в том, что для вычисления ДПФ и ОДПФ может быть использован эффективный метод, известный под названием быстрого преобразования Фурье (БПФ), рассматриваемый далее.

Разбиение 2N-точечного ДПФ на два N-точечных Пусть x(k ) – действительная последовательность длиной в 2N отсчётов и пусть x (k ) ⇔ X (n), n ∈ 2 N . Разобьём последовательность x(k ) на две N - точечные подпоследовательности x1 (k ) = x(2k ) и

x2 (k ) = x(2k + 1) из чётных и нечётных отсчётов соответственно. Пусть x1 (k ) ⇔ X 1 (n) N и x2 (k ) ⇔ X 2 (n) N − два N-точечных ДПФ этих подпоследовательностей. Установим связь X (n) с X 1 (n) N и X 2 ( n) N . Для первых N коэффициентов ДПФ ( n = 0, 1, 2, K , N − 1 ) можем записать

131

X ( n) = = =

1 2N

2 N −1

∑ x (k ) W2−Nn k

N −1

1 2N

=

k =0

N −1

1

∑ x (2k ) W2−N2 n k + 2 N ∑ x (2k + 1) W2−Nn (2k +1) =

k=0

11  2 N

k =0

N −1

1 N

∑ x (k ) WN−n k + W2 N

−n

1

k =0

N −1

∑x

2

k =0

 (k ) WN− n k  = 

1  X 1 (n) N + W2−Nn X 2 (n) N  . 2 Для n = N , N + 1, K , 2 N − 1 с учётом свойств симметрии будем иметь X (n) = X ∗ (2 N − n). Это разбиение позволит лучше понять граф алгоритма БПФ с прореживанием по времени, который будет рассмотрен в п. 3.7. =

Матричная форма ДПФ Введем в рассмотрение квадратную матрицу [W ] N порядка N с элементами

2π n k ), n, k ∈ 0, 1, 2, K , N − 1, так, что номер строки совпадает с номером дискретной N экспоненциальной функции, а номер столбца совпадает с номером отсчета функций. При этом произведение n ⋅ k обычно берется по модулю N, т. е. W Nn k = exp( j

W Nn k = W Nn k (mod N ) . Например, nk = 17, тогда nk 8 = 1. Эти свойства матрицы ДПФ следуют из N-периодичности функции W Nn k по обоим аргументам. Для случая N = 8 матрица ДПФ имеет вид k→ 0 1 2 3 4 5 6 7 n↓

[W ] 8 =

0 W 80  1 W 80 2 W 80  3 W 80 4 W 80  5 W 80 6 W 80  7 W 80

W 80

W 80

W 80

W 80

W 80

W 80

1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8

2 8 4 8 6 8 8 8 10 8 12 8 14 8

3 8 6 8 9 8 12 8 15 8 18 8 21 8

4 8 8 8 12 8 16 8 20 8 24 8 28 8

5 8 10 8 15 8 20 8 25 8 30 8 35 8

6 8 12 8 18 8 24 8 30 8 36 8 42 8

W W W W W W W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W W

W W

W W W W

W W W W

W W W W W

W 80   W 87   W 14 8  21 W8  W 828   W 835  W 842  W 849 

Эта же матрица с минимальными фазами будет k→ n↓

[W ] 8 =

0 0 W  1 W 2 W  3 W 4 W  5 W 6 W  7 W

1 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8

2 W W W W W W W W

0 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8

3 W W W W W W W W

0 8 2 8 4 8 6 8 0 8 2 8 4 8 6 8

W W W W W W W W

4 0 8 3 8 6 8 1 8 4 8 7 8 2 8 5 8

W W W W W W W W

0 8 4 8 0 8 4 8 0 8 4 8 0 8 4 8

5

6

0 8 5 8 2 8 7 8 4 8 1 8 6 8 3 8

0 8 6 8 4 8 2 8 0 8 6 8 4 8 2 8

W W W W W W W W

W W W W W W W W

7 W   W  W   W  W   W  W  W  0 8 7 8 6 8 5 8 4 8 3 8 2 8 1 8

Матрица ДПФ является симметрической и относится к классу так называемых унитарных матриц, для которых обратная матрица получается транспонированием и заменой элементов на комплексносопряженные так, что

W *  где [ I ]N – единичная матрица размером N × N ,

T N

[W] N

= N [I ]

а T – знак транспонирования.

Пример 3.3.

132

N

,

(3.3.7)

[W ] 4

W 04  0 W =  40 W  40 W 4

W 04

W 04

1 4 2 4 3 4

2 4 4 4 6 4

W W W

[W ] 4−1

W W W

W 04  1 1   1 W 34  1 W 4 = 2 W 64  1 W 4   3 W 94  1 W 4

1 1 1 1 W −1 W −2 4 4 = 1 W −42 1  −3 −2 1 W 4 W 4

1

1  W 34  , W 24   W 14 

W 24 1 W 42

1  W 4−3  . W 4−2   W 4−1 

В матричной форме пара ДПФ имеет вид

r 1 r X = [W ] −N1 x – прямое ДПФ, N r r x = [W ]N X – обратное ДПФ. r r Здесь X и x – N-мерные вектор-столбцы:

 X (0)  r  X (1)   X =   M    X ( N − 1) 

 x (0)   x (1)  r . x=   M    x ( N − 1) 

,

3.4. Соответствие между ДПФ, рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье Пусть x (t ) – действительный сигнал длительностью T . Ряд Фурье его T-периодического продолжения в общем случае может содержать бесконечное число членовEquation

x (t ) =

Chapter 3 Section 4 ∞

∑

cm e

j 2π m t /T

,

m = −∞

(3.4.1)

T

1 где C m = ∫ x (t ) e − j 2 π m t / T dt – коэффициенты Фурье. T 0 Сигнал x (t ) дискретизуется так, что на интервале T берется N отсчетов x (k ∆ t ) с шагом ∆ t = T / N . Коэффициенты ДПФ для последовательности { x ( k ∆ t ) }

X ( n) =

1 N

N −1

∑ x (k ∆ t ) e − j 2 π n k / N .

k =0

Здесь n = 0, 1, 2, ..., N − 1. В формуле (3.4.1) перейдем к дискретному времени t = k ∆ t и подставим в X (n), тогда

X ( n) =

1 N

∞

∑

m = −∞

N −1

Cm

∑ e− j 2 π ( m − n) k / N .

k =0

Так как дискретные экспоненциальные функции exp ( j 2 π nk / N ) ортогональны на интервале N , то

1 N Поэтому можем написать

N −1

∑ e − j 2 π (m− n) k / N

k =0

 1, при m = n + lN , l = 0, ± 1, ± 2, K , = при других значениях m. 0, X ( n) =

∞

∑ C n +l N .

l =−∞

Предположим, что ряд Фурье (3.4.1) не содержит гармоник с номерами выше N / 2, т. е. m = − N / 2, ..., − 1, 0, 1, ..., N / 2 (полагаем N четным). В этом случае имеем соотношение

133

(3.4.2)

X ( n) = C n ,

n = 0, 1, 2, ..., ( N / 2) − 1,   X (n) = C − ( N − n ) , n = N / 2, ..., N − 1, 

(3.4.3)

которое отражено на рис. 3.4.1. Рис. 3.4.1. Соотношение между коэффициентами Фурье и ДПФ: а – последовательность коэффициентов Фурье C N длиной N + 1 отсчетов; б – последовательность коэффициентов ДПФ X ( n) ; ∗ – начальная точка следующего периода

Таким образом, существует ограниченный класс сигналов, для которых соответствие между коэффициентами Фурье и ДПФ точное. Он включает в себя периодические сигналы с ограниченным спектром, дискретизованные в соответствии с теоремой отсчетов. В общем случае последовательность коэффициентов Фурье Т-периодического продолжения сигнала может иметь бесконечную протяженность Рис. 3.4.2

(рис. 3.4.2а). При дискретизации такого колебания с шагом ∆ t вследствие размножения спектра (повторения с периодом, равным частоте дискретизации ωд = 2 π / ∆ t = N 2 π / T ) имеет место наложение частичных спектров своими “хвостами” (рис. 3.4.2б). Из-за эффекта наложения соотношение (3.4.3) между коэффициентами Фурье и ДПФ будет теперь приближенным. Чем меньше ∆ t и быстрее спадают “хвосты” последовательности C n , тем точнее это соотношение. Для апериодического сигнала конечной длительности T отсчёты его спектральной функции T/2

∫

X (ω) =

x (t ) e− j ω t d t ,

−T / 2

взятые с шагом ∆ω = 2 π / T , также приближенно соответствуют коэффициентам ДПФ X (n), вычисленным по N отсчетам сигнала с шагом T / N :

X (n ∆ω)  ,  Cn = X ( n) ≈  T C − ( N − n ) , 

n = 0, 1, 2, ..., ( N / 2) − 1; n = N / 2, K , N − 1.

Связь ДПФ и ДВПФ Пусть x(k ) – N-точечная последовательность. ДВПФ этой последовательности

X (ν) =

N −1

∑ x(k )e − j 2 πν k .

k =0

Используя формулу обратного ДПФ, получим

X (ν) =

N −1

N −1

∑ [ ∑ X ( n) e

j

2π nk N

] e − j 2πν k =

k =0 n=0

Просуммируем N членов геометрической прогрессии:

134

N −1

N −1

n=0

k =0

∑ X ( n) ∑ e

− j 2 π ( ν−

n )k N

.

(3.4.4)

N −1

∑e

− j 2 π (ν −

n )k N

k =0

=e

=

1− e

− j 2 π(ν −

1− e − jπ( ν −

n ) ( N −1) N

n )N N

− j 2 π (ν −

n ) N

=

e

− j π(ν −

e

n )N N

− jπ( ν −

n ) N

n )N N ⋅ = n sin π(ν − ) N sin π(ν −

n )N N . n sin π(ν − ) N

sin π(ν −

Поэтому для X (ν ) можем записать

n ) N − jπ (ν − n ) ( N −1) N N X (ν) = ∑ X ( n) e . n n=0 sin π(ν − ) (3.4.5) N Это интерполяционная формула восстановления континуальной функции X (ν ) по коэффициентам ДПФ N −1

sin π(ν −

X (n). В точках ν = n / N имеет место X (ν = n / N ) = NX (n), что соответствует (3.3.2). Таким образом, коэффициенты ДПФ X (n) можно рассматривать как отсчёты функции (1 / N ) X (ν) , взятые с шагом

∆ν = 1 / N в соответствии с теоремой отсчётов в частотной области.

Интерполяция добавлением нулевых отсчётов Практический способ увеличения числа отсчётов функции X (ν ) состоит в следующем. Определим новую последовательность y (k ) длиной в M отсчётов ( M > N ) путём дополнения исходной последовательности x(k ) нулевыми отсчётами. Число таких нулевых отсчётов будет M − N :

 x(k ), 0 ≤ k ≤ N − 1, y (k ) =  N ≤ k ≤ M − 1. 0, Для этой последовательности отсчётные значения функции X (ν ) в точках ν m = m / M , m = 0, 1, K , M − 1, взятые с новым шагом ∆ν = 1 / M , будут X (ν m ) =

M −1

y (k ) e − j 2 π mk / M . ∑ k =0

(3.4.6)

Это выражение с точностью до множителя 1 / M представляет собой М-точечное ДПФ, которое может быть вычислено, например, с использованием быстрых алгоритмов. Характерно, что если взять M = 2 N , то дополнительные отсчёты X (ν m ) будут расположены между N первоначальными. При этом улучшается качество визуали-зации спектральной функции X (ν), которая остаётся неизменной от такого дополнения, так как она определяется первоначальной длиной массива x(k ). Рис. 3.4.3 иллюстрирует такую возможность. На рис. 3.4.3а изображены относительные величины первых восьми отсчётов ДВПФ на интервале 0 ≤ ν < 0, 5:

X (ν =

n ) = NX (n), n ∈ [0, N − 1], N

N = 16.

Эти отсчёты рассчитаны по первым восьми коэффициентам ДПФ X (n) 16-точечной действительной последовательности x(k ).

135

Рис. 3.4.3. Интерполяция за счёт дополнения нулями

На рис. 3.4.3б показаны отсчёты функции (3.4.6) при M = 2 N = 32, т. е. после двукратного увеличения числа её отсчётов путём дополнения последовательности x(k ) нулевыми отсчётами. Шаг дискретизации функции X (ν ) равен при этом ∆ν = (1 / M ) = 1 / 32. Случай M = 8 N = 128 (восьмикратное увеличение числа отсчётов) представлен на рис. 3.4.3в. При M → ∞ и ∆ν → 0 мы получаем непрерывное изображение X (ν ) для 16-точечной последовательности (рис. 3.4.3г).

Интерполяция функций с ограниченной полосой с помощью ДПФ Задача состоит в нахождении значений точек между уже известными точками функции с ограниченной полосой. Аналоговая функция, дискретизованная с шагом ∆t ≤ 1 / 2 f в , точно задаётся интерполяционным рядом Котельникова:

x (t ) =

∞

∑ x ( k ∆t ) ⋅ k = −∞

sin 2π f в (t − k ∆t ) . 2π f в (t − k ∆t )

Предположим теперь, что известно только равна нулю вне интервала от 0 до N ∆t , не Следовательно, строгая интерполяция невозможна. Поэтому допустим, что один период периодической, ограниченной (рис. 3.4.4а). Коэффициенты ДПФ X (n) симметрично расположены на интервале симметрии ДПФ и изображены на рис. (r − 1) N нулей в середину Модифицированное ДПФ показано на рис. преобразование будет иметь rN точек на 3.4.4г. Прямое и обратное ДПФ могут быть быстрого преобразования Фурье (БПФ). 3.5–3.8.

N точек функции. Функция, которая может быть ограниченной по полосе. рядом Котельникова в этом случае известные N точек представляют по полосе действительной функции этой последовательности N в соответствии со свойствами 3.4.4б для случая N = 8 . Поместим последовательности X (n). 3.4.4в для случая r = 2. Обратное одном периоде и изображено на рис. вычислены с помощью алгоритма Этот алгоритм будет рассмотрен в пп.

136

Рис. 3.4.4

Переход от непрерывных к дискретным преобразованиям Рассмотрим теперь последовательные этапы получения коэффициентов ДПФ для апериодического бесконечно протяжённого сигнала x (t ), у которого спектральная функция X (ω) в общем случае также может быть бесконечно протяжённой. Для корректной дискретизации по времени ограничим спектр полосой [−ωв , ωв ] так, чтобы X (ω) = 0 при ω > ωв . Такое ограничение эквивалентно действию частотного окна W (ω). При дискретизации x (t ) с шагом ∆ t = π / ωв в соответствии с теоремой отсчетов спектр X (ω) переходит в периодически продолженный X п (ω) с периодом ωд = 2 π / ∆ t = 2 ωв . Ряд Фурье для X п (ω)

X п (ω) =

∞

∑ ∆ t x (k ∆ t ) e− j ω k ∆ t . k = −∞

(3.4.7)

был рассмотрен в п. 3.1. Это есть формула прямого ДВПФ. Для ДПФ последовательность данных должна иметь конечную длительность N . Поэтому оценка спектра будет (полагаем N чётным)

X па (ω) =

N /2

∆ t x (k ∆ t ) e − j ω k ∆ t . ∑ k = −N / 2

(3.4.8) Переход от (3.4.7) к (3.4.8) эквивалентен действию прямоугольного временного окна w(t ) длительностью T = N ∆t. Проведём дискретизацию спектра с шагом ∆ω = 2 π / T = 2 π / N ∆ t = ωд / N , тогда величины

1 а 1 N /2 X п (n ∆ω) = ∑ x (k ∆ t ) e − j 2 π n k / N . T N k = −N / 2 определяют коэффициенты Фурье дискретного во времени ряда Фурье (ДВРФ), причём n = − N / 2, K , − 1, 0, 1, 2, K , N / 2.

(3.4.9)

Для ДПФ требуется, чтобы последовательность x (k ) была N-пе-риодической, поэтому последнюю справа точку последовательности x (k ) нужно считать начальной точкой следующего периода продолжения последовательности. Ряд (3.4.9) с опущенной правой точкой будет 1 б 1 ( N / 2) −1 X п (n ∆ω) = ∑ xп (k ∆ t ) e − j 2 π n k / N . T N k = −N / 2 Желательно также, чтобы нумерация начиналась с нуля. Для этого произведем циклический сдвиг 1 периодических последовательностей x п (k ) и X пб (n ∆ω) вправо на N/2 отсчетов. Получаем окончательно T для ДПФ 1 1 N −1 X (n) = X пв (n ∆ω) = ∑ xп (k ∆ t ) e j 2 π n k / N . T N k =0 (3.4.10) Здесь, как и в (3.4.4), n = 0, 1, 2, ..., N − 1.

137

Два возможных пути перехода от непрерывных к дискретным преобразованиям Фурье показаны на рис. 3.4.5.

Рис. 3.4.5. Переход от непрерывных к дискретным преобразованиям

3.5. Быстрое преобразование Фурье Быстрое преобразование Фурье (БПФ) представляет собой эффективный метод вычисления ДПФ. Его эффективность заключается в существенном уменьшении числа операций умножения и суммирования, затрачиваемых для получения всех N коэффициентов ДПФ, которые запишем в виде

Equation Chapter 3 Section 5 X ( n) =

N −1

∑ x (k ) W

nk N

,

(3.5.1)

k =0

2π n k ) – дискретные экспоненциальные функции, n = 0, 1, 2, K , N − 1 . Здесь и далее N масштабирующий множитель 1 / N в прямом преобразовании для простоты опущен. Прямое вычисление всех N коэффициентов ДПФ по (3.5.1) требует N 2 операций типа «комплексное умножение плюс сложение». Основная идея БПФ состоит в том, чтобы разбить исходную N-точечную последовательность на две более короткие последовательности, из ДПФ которых можно получить ДПФ исходной N-точечной последовательности. Так, например, если N чётное, то исходная N-точечная последовательность разбивается на две ( N / 2)-точечные последовательности. Для вычисления искомого Nгде WNn k = exp(− j

точечного ДПФ потребуется ( N / 2) 2 ⋅ 2 операций типа «комплексное умножение плюс сложение», т. е. вдвое меньше по сравнению с прямым вычислением. Такое уменьшение размерности ДПФ вдвое называется итерацией. Эту операцию можно повторить, вычисляя вместо ( N / 2)-точечного ДПФ два ( N / 4)-точечных ДПФ, сокращая тем самым объём вычислений ещё в два раза. Процесс уменьшения размера ДПФ продолжается до тех пор, пока не останутся только двухточечные ДПФ. Как будет показано далее, алгоритм БПФ с основанием 2 затрачивает на вычисление искомого N-точечного ДПФ N log 2 N операций, так что выигрыш в числе операций составляет N / log 2 N и при больших N может достигать нескольких сотен. Алгоритм БПФ основан на периодичности ядра преобразования WNn k .

3.6. Алгоритм БПФ с составным основанием Прямой метод вычисления всех коэффициентов в соответствии с (3.5.1) требует N 2 операций комплексного умножения и суммирования. Это число может оказаться очень большим. Возможность сокращения числа операций основывается на представлении одномерного ДПФ в виде многомерного. Для этого необходимо, чтобы длина массива являлась составным числом

138

N = N1 ⋅ N 2 ⋅ ... ⋅ N p

Equation Chapter 3 Section 6Equation Chapter 3 Section 6

. (3.6.1)

Разберем эту возможность на пример двух сомножителей:

N = N1 N 2 .

(3.6.2)

При этом входной массив из N отсчетов разбивается на N 2 блоков по N1 элементов в каждом (рис. 3.6.1).

Рис. 3.6.1. Образование двумерного массива из одномерного

Расположив блоки один под другим, получаем двумерный массив. Нетрудно убедиться, что одномерный номер k может быть представлен в виде k = N1 k2 + k1 . Первое слагаемое соответствует целому числу ( k2 )

(3.6.3) блоков, предшествующих номеру k , а второе слагаемое

определяет номер элемента в блоке, содержащем номер k . ДПФ этого двумерного массива также будет иметь вид двумерного массива с переменными n1 и n2 :

n1 = 0, 1, 2, ..., N1 − 1; n2 = 0, 1, 2, ..., N 2 − 1. Пусть двумерный массив имеет вид (рис. 3.6.2)

Рис. 3.6.2

Одномерный номер n может быть представлен в виде

n = N 2 n 1 + n2 . Для базисной функции ДПФ WNn k с учетом (3.6.3) и (3.6.4) можем записать

WNk n = WN(

N1 ⋅k2 + k1 ) ( N 2 ⋅n1 + n2 )

= WNN ⋅k2 ⋅n1 WNN1 ⋅k2 ⋅n 2 WNN2 ⋅k1 ⋅n 1 WNk1 ⋅n 2 .

Учитывая, что k ⋅n 2

WNN ⋅k2 ⋅n1 = 1; WNN1 ⋅k2 ⋅n 2 = WN22

k ⋅n 1

; WNN2 ⋅k1 ⋅n 1 = WN11

получаем k ⋅n 1

WNk n = WN11

k ⋅n 2

WNk1 ⋅n 2 WN22

Подставим это выражение в (3.5.1), тогда

139

.

,

(3.6.4)

N1 −1

∑ WN11

X ( n 1, n 2 ) =

k ⋅n 1

WNk 1⋅n 2

k 1= 0

N 2 −1

∑ x (k

k 2= 0

k ⋅n 2

2

, k 1 ) WN22

. (3.6.5)

N2-точечные ДПФ вектор поворота

N1-точечные ДПФ

В соответствии с (3.6.5) можно выделить следующие этапы вычисления коэффициентов ДПФ: 1)

k ⋅n 2

сначала вычисляются N2-точечные ДПФ с ядром WN22 N 2 −1

Y ( k1 , n2 ) =

∑ x (k

2

k 2= 0

по столбцам матрицы  x ( k2 , k1 )  : k ⋅n 2

, k1 ) WN 22

;

число таких ДПФ соответствует числу столбцов матрицы  x ( k2 , k1 )  и равно N1 ; n ⋅k 1

2) умножение на поворачивающие множители WN 2

, в результате образуется новый массив

Z ( k1 , n2 ) = Y ( k1 , n2 ) WNn 2⋅k 1 ; число умножений равно N1 ⋅ N 2 ; n ⋅k 1

3) вычисляются ДПФ с ядром WN11

по столбцам матрицы  Z ( k1 , n2 )  :

X ( n 1, n 2 ) =

N1 −1

∑ Z (k

k 1= 0

n ⋅k

1

, n 2 ) WN 12 1 .

Полное число операций в сумме по всем трем этапам будет

M = N1 ⋅ ( N 2 ) + N1 ⋅ N 2 + N 2 ⋅ ( N1 ) = N1 ⋅ N 2 ⋅ ( N1 + N 2 + 1) , 2

2

т. е. меньше, чем N 2 = ( N1 ) ⋅ ( N 2 ) при прямом методе вычислений. 2

2

Таким образом, исходное N-точечное ДПФ оказалось сведённым к ДПФ, производимым над уменьшенными массивами N 2 и N1 . Пример. 3.6.1. Пусть N = 35 = 5 ⋅ 7. БПФ-алгоритм выполняется за M = 5 ⋅ 7 ⋅ ( 5 + 7 + 1) = 455 операций вместо 2

N = 1225 при прямом вычислении по (3.5.1).

Если N1 и N 2 сами являются составными, то каждое из ДПФ N 1 и ДПФ N 2 может быть выполнено с применением рассмотренного алгоритма. Выигрыш в числе операций при этом еще более возрастает. В общем случае, если выполняется (3.6.1), такая процедура позволяет уменьшить общее число операций при вычислении ДПФ до величины p

N

∑N

p

i

вместо N 2 = N Π N i . i =1

i =1

В заключение на рис. 3.6.3 приведен граф БПФ для N = 6 = 2 ⋅ 3 ( N1 = 2, N 2 = 3 ). Рис. 3.6.3. Граф БПФ для составного

N =6 Умножение на поворачивающие множители обозначено стрелками, рядом с которыми записаны значения n ⋅k коэффициентов W6 2 1 . Звёздочкой обозначены ячейки памяти.

3.7. Алгоритмы БПФ с

140

основанием 2 Equation Chapter 3 Section 7Рассмотрим случай, когда N является степенью двойки. Пусть в (3.6.2) N1 = 2, N 2 = N / 2, тогда на первой итерации N-точечное ДПФ представляется через двухточечные и

N / 2-точечные ДПФ: X ( n 1, n 2 ) =

1

W n ⋅k ∑ k =0 2

1

1

WNn 2⋅k 1

1

( N / 2) −1

W n ⋅k x ( k ∑ k =0 2

N /2

2

2

2

, k 1 ). (3.7.1)

Эта же схема вычислений может быть использована на следующей итерации для получения N / 2-точечных N / 4-точечным каждого из

ДПФ. В результате перейдем к

ДПФ и т. д., пока не N =8

останутся только двухточечные ДПФ. Соответствующий граф вычислений для

приведен на рис.

3.7.1.

Рис. 3.7.1. Граф алгоритма БПФ с прореживанием по времени для N = 8

В данном графе умножение на вектор поворота выполняется до двухточечного ДПФ. Такой алгоритм получил название алгоритма БПФ с прореживанием по времени. Его базовая операция «бабочка» приведена на рис. 3.7.2. Само двухточечное ДПФ не содержит умножений: все умножения сводятся к умножениям

WNm , на поворачивающие множители

расположенные у стрелочек.

Рис. 3.7.2. Базовая операция «бабочка» алгоритма БПФ с прореживанием по времени

141

N /2 На каждой итерации имеется

базовых операций алгоритма БПФ, каждая из которых

состоит из умножения на вектор поворота и двухточечного ДПФ. Еще одной особенностью графа на рис. 3.7.1 является то, что входные отсчеты расположены в так называемом разрядно-инверсном порядке, а выходные – в естественном. Equation Chapter 3 Section 7 Номер 0 1 2 3 4 5 6 7

Двоичное представление 000 001 010 011 100 101 110 111

Инверсия разрядов 000 100 010 110 001 101 011 111

Разрядно-инв. порядок 0 4 2 6 1 5 3 7

Пусть теперь в (3.6.2) N1 = N / 2, N 2 = 2. Тогда

X ( n 1, n 2 ) =

N / 2 −1

n ⋅k WN / 2 ∑ k =0 1

1

повор. множит.

1

n ⋅k 1

⋅ WN 2

⋅

1

∑ x (k k =0

2

, k1 ) W2 2

n ⋅k 2

. (3.7.2)

2

двухточ. ДПФ

N / 2-точечные ДПФ

Здесь вначале выполняются двухточечные ДПФ над входным массивом, затем N / 2-точечные. На следующей итерации аналогично представляются N / 2-точечные ДПФ. Соответствующий данной процедуре граф вычислений для N = 8 представлен на рис. 3.7.3. Особенностью этого графа является естественный порядок данных на входе и разрядно-инверсный порядок на выходе. В этом алгоритме в отличие от предыдущего (рис. 3.7.1) самые сложные умножения на поворачивающие множители производятся в начале графа. В базовой операции алгоритма (рис. 3.7.4) сначала выполняется двухточечное ДПФ, а затем умножение на вектор поворота. Такой алгоритм носит название алгоритма БПФ с прореживанием по частоте.

Рис. 3.7.3. Граф алгоритма БПФ с прореживанием по частоте для N = 8

142

Рис. 3.7.4. Базовая операция «бабочка» алгоритма БПФ с прореживанием по частоте

В алгоритме БПФ по основанию 2 на каждой итерации, по крайней мере, половина поворачивающих множителей – единицы, а число итераций равно log 2 N , поэтому общее число комплексных умножений не превышает

M = ( N 2 ) log 2 N . На каждой итерации в алгоритме БПФ по основанию 2 выполняется N / 2 двухточечных ДПФ или N сложений. Всего в алгоритме БПФ по основанию 2 затрачивается

A = N log 2 N комплексных сложений. Можно считать, что при вычислении всех

N

коэффициентов ДПФ требуется около

N log 2 N

2

вычислительных операций типа «комплексное умножение плюс сложение» вместо N при прямом вычислении по (3.5.1). При больших N выигрыш в числе операций может быть значительным. Например, при N = 210 = 1024 этот выигрыш составляет N /log 2 N ≈ 100. Вычисление обратного ДПФ может быть проведено с использованием любого из описанных выше алгоритмов БПФ: ∗

 N −1  X ( n ) WN− n k =  ∑ X ∗ ( n ) WNn k  . (3.7.3) ∑ n=0 n = 0  Выражение в квадратных скобках представляет собой ДПФ последо-вательности X ∗ ( n ) , комплексноx (k ) =

N −1

сопряженной с X ( n ) , и может быть вычислено с использованием одного из описанных выше алгоритмов. Искомая последовательность x ( k ) получается, таким образом, комплексным сопряжением этого ДПФ. Если последовательность x ( k ) действительная, то комплексного сопряжения ДПФ не требуется. В

Error! Reference source not found. по-прежнему WNn k = e − j 2π n k / N . При вычислениях на каждой базовой операции БПФ по основанию 2, включающей вычисление одного двухточечного ДПФ и умножение на поворачивающий множитель, выходные результаты можно размещать в те же ячейки памяти, где находились исходные данные. Такой алгоритм БПФ называется алгоритмом с замещением. Графы, представленные на рис. 3.7.1 и рис. 3.7.2, соответствуют алгоритмам с замещением. Существует большое разнообразие алгоритмов БПФ, отличающихся порядком следования входных, промежуточных и выходных отсчетов, организацией вычислений, регулярностью структуры и т. д. Известна другая, часто используемая модификация алгоритмов БПФ, отличная от алгоритмов с замещением. Она получила название алгоритмов с постоянной структурой. Граф этого алгоритма для N = 8 с нормальным порядком входных и разрядно-инверсным выходных отсчетов приведен на рис. 3.7.5. Отличительной особенностью этого графа является то, что все итерации имеют одинаковую структуру, различаются лишь поворачивающие множители между итерациями.

143

Рис. 3.7.5. Граф алгоритма БПФ с постоянной структурой

Этот алгоритм имеет и другую модификацию, при которой порядок входных отсчётов разрядноинверсный, а выходных – нормальный (рис. 3.7.6).

Рис. 3.7.6. Граф алгоритма БПФ с постоянной структурой

Алгоритм БПФ по основанию 2 был предложен Кули и Тьюки в 1965 году и дал огромный импульс развитию цифровых методов обработки сигналов. Однако алгоритмы БПФ в наиболее общем виде (3.6.5) были получены известным математиком Гауссом (1777–1855) и опубликованы в 1865 году.

3.8. Алгоритм БПФ с основанием 4 Пусть N является степенью 4. Тогда можно записать N = N / 4 ⋅ 4 ( N = N 1 ⋅ N 2 ; N 1 = N / 4, N 2 = 4). В соответствии с процедурой п. 3.6 разобьем последовательность x (k ) на N 2 = 4 блока с номерами

k 2 = 0, 1, 2, 3. Каждый из блоков будет содержать по N 1 = N / 4 элементов с номерами k 1 = 0, 1, 2, ..., N / 4 − 1. Если расположить блоки один под другим, получится двумерный массив входных данных рис. 3.8.1. При этом получается N / 4 столбцов и 4 строки. Одномерный номер k выражается через переменные двумерного массива следующим образом: k = ( N / 4) ⋅ k 2 + k 1 .

Рис. 3.8.1

Рис. 3.8.2

Можно найти ДПФ этого двумерного массива. Тогда результат также будет иметь вид двумерного массива (рис. 3.8.2) с переменными n 1 и n 2 : n 1 = 0, 1, 2, ..., N / 4 − 1, n 2 = 0, 1, 2, 3. При этом

n = 4n 1 + n 2 , поэтому

nk = (4 n 1 + n 2 ) [( N / 4) ⋅ k2 + k 1 ] = = Nn 1 ⋅ k 2 + 4 n 1 ⋅ k 1 + ( N / 4) ⋅ n 2 ⋅ k 2 + n 2 ⋅ k 1 . Подставив это в формулу (3.5.1) для ДПФ, получаем X ( n) = X ( n 1 , n 2 ) =

N / 4 −1

∑ W 4 n ⋅k k =0 1

1

W

n 2 ⋅k 1

1

3

∑ x (k k =0 2

Можно выделить следующие этапы вычислений:

144

2

, k1)W

( N / 4)⋅n 2 ⋅k 2

.

1) вычисление 4-точечных ДПФ всех N / 4 столбцов матрицы [ x (k 2 , k 1 ) ] с ядром W NN / 4 = − j :

Y (k 1 , n 2 ) =

3

∑ x (k k =0

2

( N / 4)⋅n 2 ⋅k 2

, k1 ) W N

;

2

2) умножение на поворачивающие множители; в результате образуется новый массив Z (k 1 , n 2 ) = Y (k 1 , n 2 ) W Nn 2 ⋅k 1 ; 3) вычисление N / 4-точечных ДПФ всех строк матрицы [ Z (k 1 , n 2 ) ] с ядром W 4N . В свою очередь вычисление каждого из N / 4-точечных ДПФ можно разбить на рассмотренные этапы, используя представление N / 4 = ( N /16) ⋅ 4 и т. д. Процесс уменьшения размерности ДПФ продолжается до тех пор, пока не останутся 4-точечные ДПФ. В соответствии с этой процедурой изобразим для примера граф 16-точечного БПФ (рис. 3.8.3). Рис. 3.8.3. Граф 16-точечного БПФ по основанию 4

В этом графе входные данные расположены в естественном порядке, а выходные – в разрядно-инверсном порядке четверичного представления номеров. В алгоритме с основанием 4 четырёхточечные ДПФ выполняется без умножений (рис. 3.8.4). При этом умножения на ±1 и на ± j являются тривиальными и в расчет не принимаются.

Рис. 3.8.4. Четырёхточечное ДПФ

Таким образом, все умножения в графе рис. 3.8.3 состоят только из умножений на поворачивающие множители на различных итерациях. В алгоритме БПФ по основанию 4 на каждой итерации только четверть поворачивающих множителей тривиальные (в БПФ по основанию 2 – половина), однако число итераций равно log 4 N (т. е. вдвое меньше), поэтому общее число комплексных умножений будет M = (3 N / 4) ⋅ log 4 N , что меньше, чем в БПФ по основанию 2. Количество комплексных сложений в алгоритмах БПФ по основанию 2 и 4 одинаково. Можно построить алгоритмы БПФ по основанию 8, 16 и т. д., которые обеспечивают еще больший выигрыш в числе умножений.

3.9. Другие дискретные преобразования ДПФ отображает действительную последовательность в комп-лексную область, что не всегда удобно. При обработке больших массивов данных, например изображений, наличие мнимой части коэффициентов

145

ДПФ настолько усложняют вычисления, что исключается возможность применения ДПФ для целей сжатия таких массивов. Насколько это важная проблема поясним на примере. Для образования одного кадра чёрно-белого изображения используют 625 строк, а на каждой строке 625 элементов (пикселов). Для воспроизведения движения приемлемого качества требуется формировать примерно 50 кадров в секунду. Скорость передачи при этом составляет 625 ⋅ 625 ⋅ 50 = 19 031 250 пикселов/с, что соответствует полосе пропускания 2 f в = 20 МГц . Практически используется полоса 6 МГц. Для сжатия полосы используют черес-строчную развёртку и сокращают число строк до 575. При этом частота дискретизации составляет 12 МГц. С цветными изображениями ситуация усложняется тем, что необходимы дополнительная информация о цвете и применение помехозащищённого кодирования. Необходимая скорость передачи по каналам цветного телевидения может достигать 200 Мбит/с, что практически совершенно недопустимо. В связи с этим разработан ряд международных стандартов сжатия изображений. Все они основаны на кодировании преобразованием. Суть его в следующем. Изображение разделяется на блоки из 64 = 8 ⋅ 8 пикселов. Двумерный массив из 64 пикселов преобразуется в одномерный, далее применяется то или иное дискретное преобразование. Коэффициенты преобразования подвергаются обработке с целью сжатия и передаются по каналу связи. На приёмном конце осуществляется восстановление изображения путём обратного преобразования. Наилучшими с точки зрения объёма вычислений являются преобразования, отображающие вещественные данные в вещественную область. К ним относятся дискретное преобразование Хартли (ДПХ), дискретное косинусное преобразование (ДКП), дискретное преобразование Уолша (ДПУ), дискретное преобразование Хаара и др.

Дискретное преобразование Хартли (ДПХ) Непрерывное преобразование Хартли было рассмотрено в п. 1.13. Прямое и обратное ДПХ вещественной последовательности x(k ) длины N определяются соотношениями:Equation

Chapter 3 Section 9  2πnk  , N  k =0 N −1  2πnk  x(k ) = ∑ Ξ(n)cas  ,  N  n=0

Ξ ( n) =

1 N

N −1

∑ x(k )cas 

(3.9.1) (3.9.2)

где, как и в п. 1.13, используется обозначение casθ = cos θ + sin θ , введённое Хартли. Между ДПФ и ДПХ имеется простая связь: Ξ ( n) + Ξ ( N − n) Re[ X (n)] = , (3.9.3) 2 Ξ ( n) − Ξ ( N − n) Im[ X (n)] = , (3.9.4) 2 Ξ(n) = Re[ X (n)] − Im[ X (n)] . (3.9.5) Эти выражения имеют сходство с соотношениями, полученными в п. 1.13 для непрерывного преобразования. Так же, как и в ДПФ имеет место N-периодичность прямого и обратного ДПХ. Симметричность прямого и обратного ДПХ, отсутствие комплексного представления данных и ряд других свойств ДПХ обеспечивают высокую вычислительную эффективность при обработке вещественных данных.

Сдвинутое дискретное преобразование Фурье Базисные функции ДПФ таковы, что нулевые отсчёты сигналов и спектров попадают в начало координат. Однако чаще всего отрезок дискретизации определяется устройством дискретизации (АЦП) и не зависит от сигнала. Поэтому в принципе возможен произвольный сдвиг базисных функций относительно координат сигнала и спектра. Пусть сдвиг нулевого отсчёта сигнала относительно начала его координат равен m ∆ t , а сдвиг нулевого отсчёта спектра относительно его начала координат равен r ∆ f . Числа m и r не обязательно целые. Тогда пара ДПФ (3.3.2) и (3.3.3) примет вид [30]. N −1

X m , r (n) = (1 / N ) ∑ x (k ) e− j [(2 π / N ) ( n + r )( k + m )] , k =0

xm, r (k ) =

N −1

∑X

m, r

( n) e

j [(2 π / N ) ( n + r )( k + m )]

.

n=0

В эти выражения входят постоянные множители exp(± j 2πmr / N ), зависящие только от параметров сдвига и не влияющие на свойства преобразований. Исключив их, получим:

146

N −1   X m, r (n) =  (1 / N ) ∑ x (k ) e− j [(2 π / N ) ( n + r ) k ]  e− j 2 π n m / N , (3.9.6) k =0    N −1  xm, r (k ) =  ∑ X m, r (n) e j 2 π n ( k + m ) / N  e j 2 π k r / N . (3.9.7) n = 0  Эта пара называется сдвинутыми дискретными преобразованиями Фурье СДПФ m , r и обладает рядом

интересных свойств. • При целых m и r

СДПФ m , r сводится к циклическому сдвигу ДПФ циклически сдвинутых

последовательностей. Поэтому свойства СДПФ m , r при целых m и r совпадают со свойствами ДПФ. • Обобщённая цикличность. При целых l и p

xm, r (k + lN ) = x(k ) e j 2 πl r ; X m, r (n + pN ) = X m , r (n) e − j 2 π p m . (3.9.8) Здесь в отличие от простого периодического продолжения (цикличности) происходит поворот комплексных чисел на угол, пропорциональный сдвигу. • Симметрия: 

xm, r ( N − k ) e

− j 2 π  r − 

2k r   N 



← СДПФ → X m, r ( N − n) e

j 2 π  m − 

2n m   N 

. (3.9.9)

• Теорема сдвига:

xm, r (k + k0 ) ← СДПФ → X m, r (n) e xm, r (k ) e •

( k + m ) n0 j 2π N

− j 2π

( n + r ) k0 N

;

(3.9.10)

← СДПФ → X n + n0 (m, r ).

(3.9.11)

СДПФ m , r соответствует более общая формула восстановления сигнала по его спектру, из которой

вытекает возможность интерполяции сигнала с помощью пары преобразований СДПФ m , r , и ОСДПФµ , q с соответственно подобранными m, r , µ, q. •

Для СДПФ m , r справедлива более общая теорема о свёртке, которая гласит: перемножив сдвинутые

спектры СДПФ m1 , r1 и СДПФ m2 , r2 двух последовательностей и выполнив обратное ОСДПФµ , q , получим последовательность, являющуюся обобщённой циклической свёрткой исходных последовательностей. Сворачиваемые последовательности комплексных чисел являются здесь обобщённо-циклическими в соответствии с (3.9.8). Благодаря этим особенностям некоторые разновидности СДПФ оказываются более удобными при обработке сигналов, чем ДПФ.

Дискретное косинусное преобразование (ДКП) Это преобразование занимает особое место среди разновидностей СДПФ. ДКП определяется как [29] πn(k + 1 / 2) 1 N −1 X 1/2, 0 (n) = ∑ x(k ) cos N ; n = 1, 2, K , N − 1, N k=0 (3.9.12) 1 N −1 X 1/2, 0 (0) = ∑ x(k ). 2N k = 0 Таким образом, ДКП сводится к СДПФ1/2, 0 действительных чётных последовательностей вида:

x(k ) = x(2 N − 1 − k ); x(k + 2 Np) = x(k ); k = 0, 1, K , 2 N − 1. В соответствии со свойствами СДПФ для таких последовательностей выполняются соотношения { x(k )} ← СДПФ → { X1/2, 0 (n) = − X1/2, 0 (2 N − n) = − X 1/2, 0 (2 N + n)} ; (3.9.13)  N (k + 1 / 2)    k = j ( − 1) x ( k ) ← СДПФ → X ( n + N ) . { }  x(k ) exp  j 2π  1/2, 0  2N     Полученный дискретный спектр является нечётным относительно точки n = N и чётным относительно точки n = 0. Преобразованию (3.9.12) соответствует обратное преобразование N −1 πn(k + 1 / 2) ; k = 0, 1, K , N − 1. (3.9.14) x(k ) = 2∑ X 1/2, 0 (n) cos N n =0 В [30] показано, что ДКП даёт лучшие результаты при кодировании изображений по сравнению с другими дискретными преобразованиями.

147

Задачи и упражнения к главе 3 1. Сигнал x(t ) имеет спектр X ( f ) и дискретизуется с шагом ∆t. Доказать, что ∞

∑

k = −∞

x ( k ∆t ) ⋅ e

− j 2 πf k ∆t

=

1 ∆t

∞

n   X  f − . ∆t   n = −∞

∑

2. Найти и изобразить по модулю ДВПФ для сигнала   2π  k  , 0 ≤ k < N = 8,  A sin  x(k ) =  N   0, при других k .  3. Определить ДВПФ следующих последовательностей

 k , −N ≤ k ≤ N, 1 − а) x(k ) =  N  0, при других k . 

в)

г)

 1 , − N ≤ k ≤ N, б) x(k ) =  0, при других k .

k , − N ≤ k ≤ N,  a x(k ) =   0, при других k .

cos(πk / 2 N ) , − N ≤ k ≤ N , x(k ) =  0, при других k . 

4. Найти ДВПФ последовательности

2k π 1 ), 0 ≤ k ≤ N − 1,  (1 − cos h( k ) =  2 N  0 при других k. 5. Определить обратное ДВПФ для следующих спектральных функций: а)

X 1 (ν) =

∞

∑

δ(ν + k );

k = −∞

N

б) X 2 (ν) = 1 + 2 ∑ cos 2πνk ; k= 0

j 2 πν ( N +1)

в)

X 3 (ν) =

1− e 1 − e j 2 πν

; г) X 4 (ν) =

j αe j 2 πν

(1 − αe ) j 2 πν

2

, α < 1.

6. Пусть x(k ) – финитная последовательность

x(k ) = {2 1 − 1 0 3 2 0 − 3 4}, ↑ k = 0, имеющая ДВПФ X (ν). Вычислить следующие функции от X (ν), не вычисляя самого ДВПФ: а) X (0); б) X (1 / 2); в)

∫

−1 / 2

2

1/ 2

1/ 2

X (ν )d ν; г)

∫

1/ 2

X (ν ) d ν; д)

−1 / 2

∫

−1 / 2

2

dX (ν ) d ν. dν

7. Повторить задачу 6 для последовательности

x(k ) = {1 5 − 2 1 3 4 2 0 5} ↑ k = 0.

8. Определить ДВПФ каузальной последовательности (k ≥ 0)

x(k ) = Aa k cos(2πν 0 k + ϕ), где A, a, ν 0 , ϕ – действительные. 9. Определить коэффициенты дискретного во времени ряда Фурье следующих периодических последовательностей:

148

а) x1 (k ) = sin(πk / 4), б) x1 (k ) = 2 sin(πk / 4) + cos(πk / 3).

10. Пусть

последовательность

x1 (k )

имеет

X 1 (ν).

ДВПФ

Выра-зить

через

X 1 (ν )

ДВПФ

последовательностей x2 (k ), x3 (k ), x4 (k ), показанных на рисунке

11. Показать, что периодическая последовательность единичных импульсов

∞

x(k ) =

∑ 1(k − mN ),

m =−∞

может быть представлена в виде 2π

1 ∞ j N lk ∑e . N l =−∞ 12. Определить коэффициенты ДВРФ следующих периодических последовательностей: а) x1 (k ) = sin(πk / 4), б) x2 (k ) = 2 sin(πk / 4) + cos(πk / 3). x(k ) =

13. Пусть x(k ) ↔ X (n) – пара N-точечного ДПФ, N – чётное. а) Если x(k ) – симметричная на интервале N последовательность, т. е. x(k ) = x( N − 1 − k ), показать, что

X ( N / 2) = 0. б) Если x(k ) – антисимметричная на интервале N последовательность, т. е. x(k ) = − x( N − 1 − k ), показать, что X (0) = 0. в) Если x(k ) – последовательность, удовлетворяющая условию

x(k ) = − x(k + R),

R = N / 2,

показать, что X (2r ) = 0 для r = 0, 1, 2, K , R − 1. 14. Пусть X (n) и Y (n) – шеститочечные ДПФ двух последовательностей x(k ) и y (k ) соответственно. а) Пусть X (n) = {(1 + j ) (−2,1 + j 3, 2) (−1, 2 − j 2, 4) 0 (0, 9 + j 3,1) (−0, 3 + j1,1)} и y (k ) = x[(k − 4)6 ]. Определить Y (n) без вычисления ДПФ. б) Пусть x(k ) = {4,1 3, 5 1, 2 5 2 3, 3} и Y (n) = X [(k − 3)6 ]. Определить y (k ), не вычисляя ДПФ. 15. Пусть

X ( n) =

11

∑ x ( k )e

−j

2π nk N

k =0

– 12-точечное ДПФ действительной последовательности x(k ) и пусть X (0) = 10, X (1) = −5 − j 4, X (2) = 3 − j 2, X (3) = 1 + j 3,

X (4) = 2 + j 5, X (5) = 6 − j 2. Определить 11

a) x(0), б) x(6), в)

∑ x(k ),

11

г)

k =0

16. Пусть

y (k )

∑

e

j

2π k 3

11

x(k ), д)

k =0

∑

2

x(k ) , не вычисляя обратного ДПФ,

k =0

означает циклическую свёртку двух последовательностей

x(k ) и

h(k ),

0 ≤ k ≤ N − 1. Проверить равенство N −1

 N −1

  N −1



∑ y ( k ) =  ∑ x ( k )   ∑ h( k )  .

k =0 k = 0  17. Пусть Y (n) обозначает MN-точечное ДПФ N-точечной последовательности x(k ), дополненной k =0

( M − 1) N нулями. Показать, что N-точечное ДПФ X (n) может быть получено из Y (n) следующим образом:

149

X (n) = Y (nM ), 0 ≤ n ≤ N − 1 . 18. Пусть X (n) означает N-точечное ДПФ последовательности x(k ), длиной в N отсчётов. Определить N-точечное ДПФ Y (n) N-точечной последовательности y (k ) = x(k ) cos(2πlk / N ).

19. Вычислить коэффициенты ДПФ X (n) для

2π  cos( rk ), 0 ≤ k ≤ N − 1, x(k ) =  N  0, при других k . и фиксированного значения r из диапазона 0 ≤ r ≤ N − 1. 20. Записать и доказать равенство Парсеваля для ДПФ. 21. Пусть x ( k ) ↔ X ( n) – пара ДПФ, k, n ∈ N. Образуем

новую

последовательность

N − 1. Выразить коэффициенты ДПФ Y (m) через X (n). 5 22. Пусть x(k ) ↔ X (n) – пара ДПФ, k , n ∈ 2 N . Образуем новые последовательности

y (l ) = x(5l ) , 0 ≤ l ≤

g (l ) = x(2l ) ↔ G (m) и h(l ) = x(2l + 1) ↔ H (m), 0 ≤ l ≤ N − 1, 0 ≤ m ≤ N − 1. Выразить X (n) через G (m) и H (m).

23. Пусть имеется две действительные последовательности a (k )

и b(k ) длиной в

N отсчётов

(k = 0, 1, 2, K , N − 1). Образуем совмещённую последовательность c(k ) = a (k ) + jb(k ). Вычислить все коэффициенты ДПФ A(n) и B (n) последовательностей a (k ) и b(k ) из результатов преобразования C (n) совмещённой последовательности c(k ).

24. Пусть x(k ) действительная последовательность длиной в 2N отсчётов и пусть x (k ) ⇔ X (n),

n ∈ 2 N . Разобьём последовательность x(k ) на две N-точечные подпоследовательности x1 (k ) = x(2k ) и x2 (k ) = x(2k + 1) из чётных и нечётных отсчётов соответственно. Пусть x1 (k ) ⇔ X 1 (n) N и x2 (k ) ⇔ X 2 (n) N – два N-точечных ДПФ этих подпоследовательностей. Установить связь X (n) с X 1 (n) N и X 2 (n) N .

25. Пусть известно ДВПФ X (ν ) некоторой N-точечной последовательности x(k ). Определим Mточечное ДПФ как 1 Y (m) = X (ν = m / M ), m = 0, 1, 2, K , M − 1. M Обратное ДПФ от Y (m) обозначим через y (k ). Эта M-точечная последовательность как-то связана с x(k ). Установить эту связь. Показать, что x(k ) может быть полностью восстановлена из y (k ), только если M ≥ N. 26. Рассмотрим N-точечную последовательности x(k ) и её N-точечное ДПФ X (n). Определим последовательность y (l ) длиной LN , 0 ≤ k ≤ LN − 1 следующим образом:

y (l ) =

N −1

∑ x(k )1(l − kL),

k =0

где

l = kL,  1, 1(l − kL) =  0, при других l,  и L – положительное целое. Видно, что последовательность y (l ) получается из x(k ) изменением её масштаба по оси времени (между каждой парой отсчётов x(k ) вставляется L − 1 нулей). Выразить NLточечное ДПФ Y (m) последовательности y (l ) через X (n). 27. Построить граф БПФ для N = 3 ⋅ 5. 28. Для заданной последовательности x(k ), k = 0, 1, 2, K , 15, построить граф БПФ при N = 16.

29. Показать, что для действительной последовательности x(k ) фазовый спектр является нечётной

N  N  относительно точки k = N / 2 функцией, т. е. ϕ  + l  = −ϕ  − l  . 2  2  30. Пусть x(k ) ⇔ Ξ(n) – пара N-точечного дискретного преобразования Хартли (ДПХ), k , n ∈ N . а) Записать и доказать равенство Парсеваля для дискретного преобразования Хартли (ДПХ). б) Показать, что ДПХ для x[(k − k0 ) mod N ] будет

150

 2πnk0   2πnk0 Ξ(n) cos   + Ξ(−n) sin   N   N в) Определить N-точечное ДПХ для x[(−k ) mod N ]. 31. Найти соотношения между N-точечными ДПФ и ДПХ.

151

 . 

Г Л А В А 4. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ

Z-преобразование дискретных сигналов широко используют при анализе и синтезе дискретно-аналоговых и цифровых устройств обработки сигналов. По отношению к дискретным сигналам оно играет ту же роль, какую играют интегральные преобразования Фурье и Лапласа по отношению к аналоговым сигналам.

4.1. Переход от преобразования Лапласа к z-преобразованию Как уже отмечалось в п. 1.10, преобразование Лапласа можно рассматривать как обобщение преобразования Фурье на случай комплексных частот p = β + j ω, где β – положительная константа, выбираемая так, чтобы сигнал x ( t ) ⋅ e −β t был абсолютно интегрируемым при t ≥ 0 : Equation Chapter 4 Section 1 ∞

X ( p ) = ∫ x ( t ) e− pt dt < ∞,

(4.1.1)

0

x ( t ) = (1 j 2π )

β+ j ∞

∫

X ( p ) e p t dp.

(4.1.2)

β− j ∞

Это есть пара преобразования Лапласа. Обратное преобразование (4.1.2) совершается путем интегрирования в комплексной плоскости p вдоль вертикальной прямой β = const. Преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа, в котором достаточно p заменить на jω, т. е. положить β = 0. Пусть теперь x ( t ) дискретизуется с шагом ∆ t. Подставим в (4.1.1) выражение для дискретизованного сигнала: ∞

xд ( t ) = ∆ t ∑ x ( k ∆t ) δ ( t − k ∆t ), k =0

а в (4.1.2) перейдем от t к k ∆ t. Учитывая, что вдоль линии, параллельной оси jω, изображение X д ( p ) является периодической функцией с периодом, равным частоте дискретизации ωд = 2π / ∆ t , получаем ∞

X д ( p ) = ∆t ∑ x ( k ∆ t ) e− p k ∆ t ,

(4.1.3) x ( k ∆t ) = (1 j 2π )

k =0

β+ j π / ∆ t

∫

X д ( p ) e p k ∆ t dp.

β− j π / ∆ t

(4.1.4)

152

..Это есть пара дискретного преобразования Лапласа, которое иллюстрируется на рис. 4.1.1 для случая β = 0.

Рис. 4.1.1

Представление (4.1.3) и (4.1.4) широко используется при анализе дискретных сигналов и цепей. Часто его применяют в несколько модифицированном виде, носящем название zпреобразования. Для этого перейдем к новой переменной z = exp ( p ∆t ) . Учитывая, что dz = ∆t exp ( p ∆t ) dp и dp = dz / z ∆t , получаем ∞

X ( z ) = ∆t ∑ x ( k ) z − k ,

(4.1.5)

k =0

x ( k ) = (1 j 2π∆t ) ∫ X ( z ) z k −1 dz ,

(4.1.6)

C

где C – замкнутый контур в плоскости z , охватывающий все особые точки функции X ( z ) z k −1 . Выражения (4.1.5) и (4.1.6) определяют прямое и обратное z -преобразование соответственно. Здесь x ( k ) – дискретный сигнал, определенный на бесконечном интервале [ 0, ∞ ) , а X ( z ) является комплексной функцией непрерывного комплексного аргумента z. Из теории функций комплексного переменного известно, что ряд (4.1.5) будет сходиться, если коэффициенты ряда удовлетворяют условию x ( k ) < M ⋅ Rk ,

где M > 0 и R > 0 – постоянные вещественные числа. Ряд (4.1.5) будет сходиться при всех z , таких, что z > R (рис. 4.1.2). В этой области X ( z ) представляет собой аналитическую функцию z , не имеющую ни полюсов, ни существенно особых точек. Поскольку Рис. 4.1.2

z = e p∆t = e(

β+ j ω) ∆t

,

и arg z = ω ∆t. Переход от переменной p к переменной z соответствует то z = e отображению плоскости p на плоскость z , в результате которого линии, параллельные β∆t

153

концентрические окружности координат. Сама ось jω единичную окружность, от −π / ∆t до π / ∆t , совершает один оборот на (рис. 4.1.3б). Полоса шириной полуплоскости p круга единичного радиуса в p Правая полуплоскость плоскость, исключая 4.1.3г. Все полюсы функции расположены в плоскости p интервалом ωд = 2π / ∆t ,

оси jω, отображаются в с центром в начале отображается в причем, когда ω меняется отображающая точка единичной окружности ωд = 2π / ∆t левой отображается внутрь плоскости z (рис. 4.1.3в). преобразуется во всю zединичный круг, рис. X ( p) , которые на одной вертикали с

единственный полюс X ( z ) в Функция X д ( p ) (рис. 4.1.1) X (z) так, что одному соответствует один оборот по (рис. 4.1.4). Отметим еще, что задержке на один интервал p, в то время как z −1 означает

отображаются в плоскости z (рис. 4.1.3д). отображается в функцию периоду Xд ( p) окружности в плоскости z e − p∆t соответствует дискретизации в плоскости такую же задержку в плоскости z.

Рис. 4.1.3. Отображение плоскости p в плоскость z

Рис. 4.1.4

4.2. Свойства z-преобразования Перечислим наиболее важные свойства z-преобразования, которые используются в дальнейшем. Пару z-преобразования будем обозначать x ( k ) ↔ X ( z ) , где по-прежнему x ( k ) − каузальный сигнал, т. е. x ( k ) = 0 при k < 0. Если в (4.1.5) и (4.1.6) положить ∆ t = 1, то пара z-преобразования записывается в видеEquation Chapter 4 Section 2 X (z) =

∞

∑ x (k )z

−k

,

(4.2.1) x ( k ) =

k =0

1 j 2π

∫ X (z) z

k −1

dz.

(4.2.2)

C

Этой формой записи мы будем пользоваться в дальнейшем. 1) Линейность Z Z Если x1 ( k ) ← → X 1 ( z ) и x2 ( k ) ← → X 2 ( z ) , то Z ax1 ( k ) + bx2 ( k ) ← → aX 1 ( z ) + bX 2 ( z ) .

2) Теорема запаздывания 154

(4.2.3)

Z Z Если x ( k ) ← → X ( z ) , то x ( k − m ) ← → z −m X ( z ) . Доказательство ∞

∑ x (k − m) z

−k

= z −m

k =0

∞

∑ x ( k − m) z

−( k − m )

=

k =0

∞

∑ x (l ) z

= z −m

(4.2.4)

= z −m X ( z ) .

−l

l=0

В последнем равенстве проведена замена l = k − m и использовано свойство каузальности сигнала x ( l ) , т. е. x ( l ) = 0 при l = k − m < 0. 3) Теорема о свертке Z Z Если x ( k ) ← → X ( z ) и h ( k ) ← → H ( z ) , то последовательность y (k ) =

k

∑ x (m) h (k − m)

(4.2.5)

m=0

имеет z-преобразование Y ( z) = X ( z) H ( z) ,

(4.2.6) т. е. z-преобразование линейной свертки двух последовательностей равно произведению их z-преобразований. Доказательство Y ( z) =

∞

∑ y (k ) z

−k

=

k =0



∞



k

∑  ∑ x ( m ) h ( k − m ) z

k =0

m = 0

−k



.

Сделаем замену k − m = l. В результате получим ∞

Y ( z) =

∑

x ( m ) z −m

m=0

∞

∑ h (l ) z

−1

= X ( z) H ( z) ,

l =0

что и требовалось доказать. 4) Связь с ДПФ Пусть x ( k ) – последовательность конечной длины в N отсчетов. Тогда X ( z ) =

N −1

∑ x (k ) z

−k

.

Вычисляя эту сумму при z = e j 2π n / N , т. е. в точке единичной

k =0

окружности с полярным углом 2πn / N , получаем X (z = e j 2 π n / N ) =

N −1

∑ x (k ) e

− j 2π n k / N

,

(4.2.7)

k =0

что с точностью до масштабирующего множителя 1 / N совпадает с коэффициентом ДПФ X ( n ) последовательности x ( k ) . Поэтому можно сделать вывод: значения z-преобразования последовательности конечной длины в N отсчетов, взятые в N равномерно распределенных точках на единичной окружности, равны (с точностью до множителя 1 / N ) коэффициентам ДПФ этой последовательности. 5) Умножение сигнала на k Продифференцируем по z обе части (4.2.1): dX ( z ) dz

=

∞

∑ ( −k ) x ( k ) z

− k −1

.

k =0

Умножим обе части этого равенства на − z: −z

dX ( z ) dz

=

∞

∑  k x ( k )

z −k .

k =0

Отсюда Z k x ( k ) ← → −z

6) Умножение на экспоненту 155

dX ( z ) dz

.

(4.2.8)

Умножим последовательность комплексное): ∞

∑ e ± a k ∆t x ( k )

x (k ) z −k =

k =0

на экспоненту e ± a k ∆ t ∞

∑ x ( k ) ( e ± a ∆t z )

−k

k =0

(a

в общем случае

= X  z e ± a ∆t  .

Таким образом, Z x ( k ) e ± a k ∆t ← → X  z e ± a ∆t  .

(4.2.9)

Это теорема смещения для z-преобразования. 7) Теорема опережающего сдвига Для сигнала x ( k ) ∞

X (z) =

∑ x (k ) z

−k

= x ( 0 ) + x (1) z −1 + x ( 2 ) z −2 + K

k =0

Для упреждающего сигнала x ( k + 1) ∞

∑ x ( k + 1)

k =0

z − k = x (1) + x ( 2 ) z −1 + x ( 3) z −2 + K = z  X ( z ) − x ( 0 )  .

Таким образом, Z x ( k + 1) ← → z  X ( z ) − x ( 0 )  .

4.3. Примеры z-преобразования Рассмотрим некоторые тестовые последовательности. 1) x ( k ) – единичный импульс, т. е. 1, k = 0, x (k ) = 1(k ) =  0, k ≠ 0.

Очевидно, X ( z ) = 1 на всей z-плоскости. 2) x ( k ) – единичный скачок, т. е. 1, k ≥ 0, x (k ) =  0, k < 0,

тогда X (z) =

∞

∑z

−k

.

k =0

Умножим обе части этого равенства на z −1 и вычтем новое из первого: X ( z ) − X ( z ) z −1 = 1.

Отсюда X (z) =

1 z = . −1 1− z 1− z

Функция X ( z ) имеет полюс в точке z = 1 и сходится при z > 1 (рис. 4.3.1).

156

(4.2.10)

Рис. 4.3.1

3) x ( k ) – действительная экспонента, т. е. x ( k ) = a k , k ≥ 0. X (z) =

∞

∑a

k

z −k =

k =0

∞

∑ (a z )

−1 k

.

k =0

Это сумма бесконечной геометрической прогрессии (знаменатель прогрессии q = a z −1 ). Ряд сходится к X (z) =

1 z = , 1 − a z −1 z − a

если az −1 < 1 или z > a . Функция X ( z ) имеет нуль при z = 0 и полюс при z = a на окружности, ограничивающей область сходимости (рис. 4.3.2).

Рис. 4.3.2

4) x ( k ) = k a , k ≥ 0. С учетом предыдущего примера и теоремы умножения на k имеем k

X ( z ) = −z

 1 d  az − 2 a = = .   −1 2 2 dz  1 − a z  (1 − a z −1 ) (z −a )

Функция X ( z ) имеет двойной полюс при z = a. 5) x ( k ) – комплексная экспонента, т. е. x ( k ) = exp ( p0 k ∆t ), k ≥ 0, p0 = β0 + j ω0 .

Z-преобразование этой последовательности в форме (4.1.5) X ( z ) = ∆t

∞

∑ e p0 k ∆t z −k = ∆t

k=0

∞

k

∑ ( e p0∆t z −1 ) =

k =0

∆t 1− e

p0 ∆t

z −1

.

Функция X ( z ) имеет полюс в точке z = exp( p0 ∆t ). Этот полюс будет внутри единичного круга, если exp ( p0 ∆t ) = exp ( β0 ∆t ) < 1, что соответствует затухающей экспоненте ( β0 < 0 ). Угол, набегающий за один интервал дискретизации, равен ω0 ∆t. Модуль полюса, равный exp ( β0 ∆t ) , показывает, как изменяется амплитуда экспоненты за шаг дискретизации. Положение полюса зависит от выбора шага ∆t. Связь положения полюсов с соответствующими экспонентами иллюстрируется на рис. 4.3.3. Рис. 4.3.3

6) x(t ) = cos ω t , t ≥ 0. Пусть имеется 4 отсчета на периоде, т. е. ω∆t = π / 2. Дискретизованный сигнал x ( k ) = (1 2 ) exp ( jk π / 2 ) + exp ( − jk π / 2 )  .

z-преобразование будет 157

∞

X ( z ) = (1 2 ) ∑ exp ( jk π 2 ) + exp ( − jk π 2 )  z − k = k =0

1 1 z2   = (1 2 )  + = . j π / 2 −1 z 1 − e − j π / 2 z −1  ( z − j ) ( z + j ) 1 − e

Функция X ( z ) имеет двойной нуль при z = 0 и два полюса при z = ± j. 7) x(t ) = sin ωt , t ≥ 0. Пусть имеется 4 отсчета на периоде, т. е. ω∆t = π / 2. Тогда x ( k ) = sin k ∆t =

e j k ∆t − e − j k ∆t 2j

и ∞

X ( z ) = (1 2 j ) ∑  e j k π / 2 − e − j k π / 2  z − k = k =0

z

( z − j) ( z + j)

.

Функция X ( z ) имеет простой нуль в точке z = 0 и два полюса при z = ± j. 8) x(t ) = cos ω t + sin ωt , t ≥ 0. Пусть имеется 4 отсчета на периоде, т. е. ω∆t = π / 2. Тогда X (z) =

z ( z + 1) . ( z − j )( z + j )

Последние три примера иллюстрируются на рис. 4.3.4.

Рис. 4.3.4

Оригиналы и изображения, рассмотренные в примерах 1–8, сведены в таблицу 4.3.1. Т а б л и ц а 4.3.1 Последовательность x( k ) 1 2 3 4 5

1, k = 0, 1(k ) =   0, k ≠ 0 1, k = m, 1 ( k − m) =   0, k ≠ m 1, k ≥ 0, σ (k ) =   0, k < 0 1, k ≥ m, σ (k − m) =   0, k < m ±ak , k ≥ 0 exp ( p0 k ∆t ),

6

k ≥ 0, p0 = β0 + j ω0

Z-изображение 1

z −m X (z) =

1 , z >1 1 − z −1

X (z) = X (z) =

z−m 1 − z −1

1 , az −1 < 1 −1 1m az

1

, 1− e z −1 exp ( p0 ∆t ) = exp ( β0 ∆t ) < 1 p0 ∆t

158

7

r k cos kθ k ≥ 0, θ = ω∆t

1 − (r cos θ) z −1 , re ± jθ z −1 < 1 r z − (2r cos θ) z −1 + 1

8

r sin kθ k ≥ 0, θ = ω∆t

(r sin θ) z −1 , re ± jθ z −1 < 1 − (2r cos θ) z −1 + 1

−2

2

k

r 2 z −2

4.4. Вычисление обратного z-преобразования Метод разложения на простые дроби

Эффективный способ вычисления обратного z-преобразования аналогичен способу разложения на простейшие дроби в теореме Хевисайда (п. 1.10, формула 1.10.6). Форму разложения X ( z ) на простейшие дроби выбираем так, чтобы были слагаемые вида 1/(1 − az −1 ), которые можно поставить в соответствие последовательности a k , k ≥ 0. (См. пример 3 в предыдущем параграфе). Пример 4.4.1 X (z) = =

(1 −

30 z 2

=

2

6z − z −1

5 1 − z − 16 z −2

5

1 2

z

−1

) (1 +

1 3

z

−1

1 6

−1

)

=

3 1− z 1 2

−1

+

= 2 1 + z −1 1 3

.

Коэффициенты каждой дроби мы определили, как и при выводе (1.10.6), т. е.

(1 − z ) (1 − z ) (1 + z ) z 5 (1 + z ) (1 − z ) (1 + z ) z 5

1 2

1 2

−1

−1

−1

1 3

1 3

1 2

−1

−1

=2

=3

(вычет в точке z −1 = 2 ),

−1

1 3

−1

−1

= −3

=2

(вычет в точке z −1 = −3 ).

Поскольку z-преобразование линейно, получаем k

k

1  1 x ( k ) = 3   + 2  −  , k ≥ 0. 2    3

Пример 4.4.2

(1 − e ) z , ( z − 1) ( z − e ) −α∆t

X (z) =

−α∆t

α > 0.

Разложим на простые дроби функцию X ( z) z

=

1 − e −α ∆t

( z − 1) ( z − e −α ∆t )

,

которая имеет полюсы в точках z = 1 и z = e −α∆t . Вычеты в этих точках будут 1 и −1 соответственно. Поэтому X ( z) z

=

1 1 − z − 1 z − e−α∆t

и X (z) =

Отсюда

z z 1 1 − = − −α∆t −1 −α∆t z −1 z − e 1− z 1− e x ( k ) = 1 − e−αk ∆t .

159

z −1

.

Метод контурного интегрирования

Определим обратное z-преобразование для функции X ( z ) , заданной в предыдущем примере:

(1 − e ) z ∫ ( z − 1) ( z − e ) −α ∆ t

1 x (k ) = j 2 k ∆t

z k −1 dz ,

−α ∆ t

c

где c – замкнутый контур интегрирования, включающий полюса z = z p = 1 и z = z p = e −α ∆t . По теореме вычетов 1

x ( k ) = ∑ Res X ( z ) z k −1 i

2

. z= zp i

Следовательно:

(1 − e ) z ( z − 1) ( z − e ) −α ∆t

x ( k ) = ∑ Res i

+ Res

z

−α ∆t

(1 − e ) z ( z − 1) ( z − e ) z = e −α ∆t

(1 − e ) z + ( z − 1) ( z − e ) z = 1 −α ∆t

k −1

= Res z = zpi

k

−α ∆t

что

совпадает

с

k

−α ∆t

= 1 − e −α k ∆t , −α ∆t

результатом, полученным методом разложения на простые дроби. Метод разложения в степенной ряд

Из выражения (4.2.1) получаем X ( z ) = x(0) + x(1) z −1 + x(2) z −2 + K x(k ) z − k + K

Следовательно, коэффициенты ряда по степеням z −1 соответствуют значениям x(k ). Пример 4.4.3. Определить обратное z-преобразование функции

(1 − e ) z −α∆t

X ( z) =

z 2 − (1 + e −α∆t ) z + e −α∆t

,

которая совпадает с функцией X ( z ) из примера 4.4.2. Последовательное деление (столбиком) числителя на знаменатель даёт X ( z ) = (1 − e −α∆t ) z −1 + (1 − e −2α∆t ) z −2 + K (1 − e − k α∆t ) z − k + K

Легко видеть, что x ( k ) = 1 − e −αk ∆t , k = 0, 1, 2, K Пример 4.4.4. Пусть, например,

X (z) =

(z

z2 2

+ 1)

.

Делением числителя на знаменатель получаем X ( z ) = 1 − z −2 + z −4 − z −6 K Следовательно, x ( k ) = cos(k π / 2). Эта последовательность получается дискретизацией сигнала x ( t ) = cos ω t , t ≥ 0, так, что имеется 4 отсчета на периоде, т. е. ω∆t = π / 2. Это иллюстрируется на рис. 4.4.1.

Рис. 4.4.1

4.5. Применение z-преобразования для анализа линейных дискретных фильтров 160

Z-преобразование является одним из математических методов, разработанных специально для анализа и проектирования дискретных и цифровых систем. Линейные дискретные фильтры

Пусть имеется линейный фильтр с импульсной характеристикой h ( t ) . При поступлении на вход фильтра сигнала x ( t ) , t ≥ 0, отклик на его выходе определяется интегралом свертки t

y ( t ) = ∫ x ( t − τ ) h ( τ ) d τ. 0

Дискретному фильтру соответствует уравнение дискретной свёртки: y ( k ∆ t ) = ∆t

k

∑ x ( k − m ) ∆t  h ( m ∆t ) . m=0

Если фильтр имеет конечную импульсную характеристику (КИХфильтр), то Equation Chapter 4 Section 5 N −1

y ( k ∆t ) = ∆t ∑ x ( k − m ) ∆t  h ( m ∆t ).

(4.5.1)

m=0

Возможен и другой подход. Выходной отклик фильтра y ( k ) определяется как функция присутствующего в данный момент на входе отсчета x ( k ) и некоторого количества предшествующих входных и выходных отсчетов:

y (k ) =

N −1

M

∑ a x ( k − m) + ∑ b y ( k − m) . m

m

m=0

(4.5.2)

m =1

Такой фильтр называется рекурсивным. Если y ( k ) зависит только от входных отсчетов (настоящего и предшествующих), то фильтр называется нерекурсивным. Если выборочные значения сигналов x ( k ) , y ( k ) и коэффициенты фильтра am и bm квантованы по величине, т. е. представлены цифровым кодом с ограниченным количеством разрядов, то фильтр называется цифровым. Эффективным методом решения разностных уравнений (4.5.2) является z-преобразование.

Передаточная функция дискретного фильтра Возвратимся к разностному уравнению дискретного фильтра (4.5.2). В терминах z-преобразования, с учетом его свойств, это уравнение будет иметь вид

Y ( z) = X (z)

N −1

∑a

m=0

M

m

z − m + Y ( z ) ∑ bm z − m . m =1

Здесь z −1 – оператор задержки на один такт дискретизации. Комплексный коэффициент передачи, т. е. передаточная функция фильтра: N −1

H (z) =

Y (z) X ( z)

∑a

=

m

z −m

m=0

1−

M

.

(4.5.3)

∑ bm z −m

m =1

Эта наиболее общая форма H ( z ) является дробно-рациональной функцией z −1 и часто используется при анализе и синтезе дискретных и цифровых фильтров. Для физически реализуемых фильтров число нулей H ( z ) не должно превышать числа полюсов, т. е. степень полинома в числителе не должна превышать степени полинома в знаменателе. Фильтр называется устойчивым, если при любых конечных начальных условиях и любом ограниченном входном сигнале выход-ной сигнал также остается ограниченным. Необходимым и доста-точным условием устойчивости фильтра является требование, чтобы модули полюсов его передаточной характеристики H ( z ) были меньше 1. Например, при

161

H (z) =

z +1 ( z + 0, 5 ) ( z − 0, 4 )

фильтр будет устойчивым, т. к. он имеет два полюса, z = − 0, 5 и z = 0, 4, по модулю меньшие единицы. Очевидно, что нерекурсив-ный фильтр всегда устойчив. Неустойчивый фильтр неработоспособен в том случае, когда входной сигнал действует неограниченно долго, т. к. в конце концов выходной сигнал перестанет зависеть от входного. Однако он работоспособен и используется в тех случаях, когда входной сигнал действует в течение ограниченного интервала времени. Примером такого фильтра является цифровой интегратор, которому соответствует разностное уравнение y ( k ) = x ( k ) + y ( k − 1) . В терминах z-преобразования оно имеет вид

Y ( z ) = X ( z ) + z −1Y ( z ) . Передаточная функция цифрового интегратора

H (z) =

Y (z) X (z)

=

1 1 − z −1

имеет полюс в точке z = 1, фильтр неустойчивый. Однако цифровой интегратор работоспособен и используется в тех случаях, когда входной сигнал действует в течение ограниченного интервала времени, например, когда 0 ≤ k ≤ N − 1, после чего следует сброс, т. е. восстанавливаются нулевые начальные условия.

Импульсная и частотная характеристики дискретного фильтра Дискретные и цифровые фильтры характеризуются также своей импульсной характеристикой h ( k ) , за которую по определению принимается реакция фильтра (при нулевом начальном состоянии) на входное воздействие в виде единичного импульса: при k = 0,  1, 1(k ) =   0, при других k . Для линейного инвариантного во времени дискретного фильтра (ЛИВДФ) импульсная характеристика h ( k ) связана с передаточной функцией z-преобразованием:

H ( z ) = ∑ h ( k ) z −k .

(4.5.4)

k

Это непосредственно следует из линейности фильтра и из того, что z-преобразование единичного импульса равно 1 на всей плоскости z. При нулевом начальном состоянии отклик фильтра с каузальной импульсной характеристикой h ( k ) на произвольный входной сигнал x ( k ) находится с помощью линейной дискретной свёртки:

y (k ) =

k

∑ x ( m)h ( k − m ) .

(4.5.5)

m=0

В этом случае

Y ( z ) = X ( z ) H ( z ). Если же y ( 0 ) ≠ 0, то в (4.5.5) нужно добавить второе слагаемое как реакцию при нулевом входном воздействии. Различают фильтры с конечной импульсной характеристикой, так называемые КИХ-фильтры, и фильтры с бесконечной импульсной характеристикой, так называемые БИХ-фильтры. Пусть входной сигнал и импульсная характеристика являются финитными функциями и содержат N и M отсчетов соответственно. Тогда отклик фильтра будет представлять собой более протяженную функцию, состоящую из N + M + 1 отсчетов. Это приводит к тому, что при обработке сигналов необходимо резервировать дополнительно M + 1 ячеек памяти для хранения выходного сигнала. Отметим еще одно обстоятельство. В теории z-преобразования сдвиг сигнала во времени понимается как параллельный перенос его отсчетов без нарушения порядка их следования, т. е. соседними всегда являются отсчеты, стоящие рядом. ЛИВДФ имеют характеристики, инвариантные относительно такого сдвига. Условие устойчивости (необходимое и достаточное) заключается в том, что импульсная характеристика h ( k ) является абсолютно суммируемой, т. е. ∞

∑ h (k )

k =0

162

< ∞.

(4.5.6)

Если x ( k ) ограничено по величине, т. е. x ( k ) ≤ X max < ∞ , то такое входное воздействие порождает ограниченный выходной сигнал. Действительно:

y (k ) =

∞

∑

m=0

≤ X max

∞

∑ x ( m) h ( k − m) ≤

x ( m )h ( k − m ) ≤

m=0

∞

∑ h ( k − m)

< ∞.

k =0

По известной передаточной характеристике фильтра H ( z ) можно определить его частотную характеристику:

H ( ω) = H  z = exp ( j ω∆t )  , для чего достаточно в выражение для H ( z ) подставить значение z = exp ( j ω∆t ) .

(4.5.7)

Амплитудно-частотная характеристика:

A(ω) = H  z = exp ( j ω∆t )  .

(4.5.8)

Фазочастотная характеристика:

ϕ(ω) = arg H  z = exp ( j ω∆t )  . Результат прохождения синусоидального воздействия sinω k ∆t , k = 0, 1, 2, K через дискретный

(4.5.9)

(цифровой) фильтр сводится к изменению амплитуды в A(ω) раз и к фазовому сдвигу ϕ(ω). Для определения амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик дискретного фильтра на плоскости z наносятся положения нулей и полюсов передаточной функции. На рис. 4.5.1 для примера показаны два полюса и один нуль. При ω = ω r амплитудно-частотная характеристика равна H (ω) = L0 / L p1 ⋅ L p 2 , фазочастотная характеристика arg H ( ω) = ϕ0 − ( ϕ p1 + ϕ p 2 ) .

Рис. 4.5.1. Влияние нулей и полюсов передаточной функции на АЧХ и ФЧХ дискретного фильтра

Чтобы убедиться в этом, обратимся к общему выражению (4.5.3) для передаточной функции. Разлагая полиномы в числителе и знаменателе H ( z ) на множители, получаем N −1

H ( z ) = H0

Π ( z − z0 n )

n= 0

Π ( z − z pn ) M

,

n =1

где z0n – нули, а z pn – полюса H ( z ) . Если в это выражение подставить z = exp ( j ω∆t ) и обозначить

e j ω∆t − z 0 n = L 0 n e j ϕ0 n , e j ω∆t − z pn = L pn e H ( ω) = L ( ω) e N −1

L ( ω) = H 0 Π

n= 0

M

j ϕ ( ω)

, то

, где

L 0 n : Π L pn , Ф ( ω) = n =1

j ϕ pn

N −1

∑Ф

0n

n= 0

M

− ∑ Ф pn . n =1

Как видно из рис. 4.5.1, частотная характеристика H ( ω) повторяется с периодом ωд = 2π / ∆t. Геометрическая интерпретация на рис. 4.5.1 дает представление о влиянии нулей и полюсов передаточной функции на характеристики фильтра

163

4.6. Примеры линейных дискретных фильтров БИХ-фильтр Система, показанная на рис. 4.6.1, включает сумматор, элемент задержки z −1 и цепь обратной связи с коэффициентом β. Это пример рекурсивного фильтра. Рис. 4.6.1

Разностные уравнения фильтра для двух выходов имеют вид y1 ( k ) = x ( k ) + βy1 ( k − 1) ,

y2 ( k + 1) = x ( k ) + βy2 ( k ) . Пусть на вход подан единичный импульс x ( k ) = 1 ( k ) , тогда

y1 ( 0 ) = 1, y1 (1) = β, y1 ( 2 ) = β2 , y2 ( 0 ) = 0, y2 (1) = 1, y2 ( 2 ) = β и т. д. Единичный импульс циркулирует в системе с временем задержки ∆t , изменяясь при каждом обороте в β раз. На выходах устанавливаются собственные колебания (импульсные характеристики) бесконечной длительности. Поэтому этот рекурсивный фильтр называется фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр). Соответствующие передаточные характеристики получаются применением z-преобразования к разностным уравнениям: Y1 ( z ) = X ( z ) + βz −1Y1 ( z ) ,

zY2 ( z ) = X ( z ) + βY2 ( z ) . ОтсюдаEquation

Chapter 4 Section 6 H1 ( z ) = H2 ( z) =

Y1 ( z ) X ( z) Y2 ( z ) X (z)

=

1 z = , −1 z −β 1 − βz

(4.6.1)

=

1 z −1 = . z − β 1 − β z −1

(4.6.2)

Для обоих выходов передаточная функция имеет полюс в точке z = β. Функции H1 ( z ) и H 2 ( z ) сходятся при z > β . Этот полюс внутри круга, если β < 1, т. е. в цепи обратной связи имеется затухание и система устойчива. Замечание. Изменение знака в цепи обратной связи не приводит к неустойчивости системы, а лишь сдвигает полюс в точку z = −β. При β < 1 импульсная характеристика имеет вид затухающего знакопеременного колебания, полюс расположен внутри единичного круга и система устойчива.

Дискретный накопитель При β = 1 фильтр по выходу 1 представляет собой дискретный накопитель, которому соответствуют разностное уравнение y1 ( k ) = x ( k ) + y1 ( k − 1) (4.6.3) и передаточная функция

Y1 ( z )

1 z = . 1 − z −1 z − 1 Этот фильтр неустойчивый, так как имеет полюс на единичной окружности. Он неработоспособен в том случае, когда входной сигнал действует неограниченно долго, т. к. в конце концов, выходной сигнал перестанет зависеть от входного. Однако он работоспособен и используется в тех случаях, когда входной сигнал действует в течение ограниченного интервала времени, например, когда H1 ( z ) =

X (z)

=

164

0 ≤ k ≤ N − 1, после чего следует сброс, т. е. восстанавливаются нулевые начальные условия. При β = 1 фильтр по выходу 2 представляет собой накопитель (рис. 4.6.2б), работающий по алгоритму Эйлера «вперёд», которому соответствует разностное уравнение y2 ( k + 1) = x ( k ) + y2 ( k ) , y (0) = 0. Рис. 4.6.2. Аналоговый интегратор (а) и дискретный накопитель (б)

Дискретный накопитель эквивалентен аналоговому интегратору (рис. 4.6.2а), если принять ∆t = 1 и y (0) = 0.

Простой дискретный дифференциатор Поскольку единственная информация об x(t ) – его значения в дискретные моменты времени, то производная должна оцениваться по этим значениям: 1 xˆ ′(k ∆t ) = [ x(k ∆t ) − x((k − 1)∆t )]. ∆t Полагая ∆t = 1, приходим к разностному уравнению простого дифференциатора: y ( k ) = x ( k ) − x ( k − 1) , (4.6.4) которому соответствует блок-схема на (рис. 4.6.3). Передаточная функция дифференциатора: H ( z ) = 1 − z −1 . (4.6.5) Фильтр нерекурсивный, не имеет полюсов, всегда устойчив. Р ис. 4.6.3. Простой дифференциатор

Если x ( k ) = 1 ( k ) , то y ( k ) = h ( k ) . Поэтому импульсная характеристика простого дифференциатора имеет вид:

h(k ) = 1(k ) − 1(k − 1), Это пример КИХ-фильтра. Его АЧХ ω ∆t H ( ω) = 1 − e − j ω∆t = 2 sin (4.6.7) 2 Фазочастотная характеристика ϕ(ω) = −(ω∆t / 2) + π / 2.

(4.6.6)

изображена на рис. 4.6.4.

Рис. 4.6.4. АЧХ простого дифференциатора

Идеальный дискретный дифференциатор В п. 1.8 было показано, что при дифференцировании сигнала x(t ) его спектральная функция X (ω) умножается на jω . Таким образом, частотная характеристика идеального дискретного дифференциатора имеет вид  j (ω − n ωд ), ω − n ωд < ωд / 2, H (ω) =  (4.6.8) ω − n ωд = ωд / 2  0 для всех целочисленных значений n. Графики АЧХ и ФЧХ идеального дискретного дифференциатора показаны на рис. 4.6.5.

165

Рис. 4.6.5. АЧХ и ФЧХ идеального дискретного дифференциатора

Обратное преобразование Фурье от участка спектра для частот ω ≤ ωд / 2 дает континуальную импульсную характеристику

ωд t ωд t  1  ωд t cos − sin . 2  2 2  πt  2 Вводя дискретное время t = k ∆t и умножая на ∆t , получаем импульсную характеристику идеального дискретного дифференциатора:  (−1) k , k ≠ 0,  (4.6.9) h ( k ) =  k ∆t  0, k = 0,  которая не является каузальной, следовательно, физически нереализуема. График импульсной характеристики идеального дискретного дифференциатора изображён на рис. 4.6.6, где по-прежнему принято ∆t = 1. h (t ) =

Рис. 4.6.6. Импульсная характеристика идеального дискретного дифференциатора

Кроме того, импульсная характеристика не является безразмерной, так как при дифференцировании континуальной функции x(t ) меняется её размерность. Поскольку идеальный дифференциатор физически нереализуем, выполнить дифференцирование дискретного сигнала можно лишь приближённо. Простой дифференциатор, рассмотренный выше, является тому примером.

Трансверсальный фильтр Пусть в передаточной характеристике общего вида (4.5.3) знаменатель есть постоянная величина. Тогда

H (z) =

N −1

∑h

m

m=0

Соответствующее разностное уравнение имеет вид

166

z −m .

(4.6.10)

y (k ) =

N −1

∑

hm x ( k − m ) ,

(4.6.11)

m=0

т. е. фильтр имеет отклик, зависящий только от входных отсчетов (текущего и предыдущих) и является нерекурсивным. В соответствии с (4.6.10) hm – отсчеты импульсной характеристики. Такой фильтр называется трансверсальным. Цифровая реализация линейного трансверсального фильтра показана на рис.

4.6.7. Входной сигнал x(t ) предварительно дискретизуется по времени и квантуется по уровню. Последовательность отсчётов x(k ∆t ) вырабатывается Рис. 4.6.7. Цифровой трансверсальный фильтр

аналого-цифровым преобразователем (АЦП) (обычно в двоичном коде) и поступает на N-каскадную линию задержки (регистр сдвига), где числа сдвигаются на один каскад каждые ∆t секунд под воздействием тактового импульса. С отводов регистра Отсчёты x(k − m), поступающие с отводов регистра, умножаются на весовые коэффициенты фильтра hm и в соответствии с (4.6.11) формируются выходные отсчёты y (k ) . Следует отметить, что фильтр может обрабатывать бесконечный поток входных данных, при этом отклик y (k ) в момент t = k ∆t будет определяться содержимым его регистра в этот момент, т. е. отсчётами входного сигнала x(k − N + 1), x(k − N + 2), K , x(k ) . Замечание. При цифровой реализации погрешность квантования входных отсчётов x( k ∆t ) и коэффициентов фильтра hm , а также ошибки округления при умножении приводят к специфическим погрешностям при формировании отклика фильтра y ( k ) и будут рассмотрены во второй части в разделе «Цифровые фильтры».

Задачи и упражнения к главе 4 1. Для нижеследующих тестовых последовательностей найти z-преобразование, определить его особые точки и области сходимости: а) единичного импульса 1, k = 0, x (k ) = 1(k ) =  0, k ≠ 0; б) единичного скачка 1, k ≥ 0, x ( k ) = σ( k ) =  0, k < 0; в) действительной экспоненты x ( k ) = a k , k ≥ 0; г) последовательности

x ( k ) = k a k , k ≥ 0;

д) комплексной экспоненты x ( k ) = exp ( p0 k ∆t ), k ≥ 0, p0 = β0 + j ω0 ; е) дискретизованной косинусоиды x ( t ) = cos ω t , t ≥ 0; имеется 4 отсчета на периоде; з) дискретизованной синусоиды x ( t ) = sin ω t , t ≥ 0; имеется 4 отсчета на периоде;

167

ж) последовательности, полученной дискретизацией сигнала x ( t ) = cos ω t + sin ωt ,

t ≥ 0, при

этом образуется 4 отсчета на периоде; и) последовательности r k cos kθ, k ≥ 0, θ = ω∆t ; к) последовательности r k sin kθ, k ≥ 0, θ = ω∆t.

2. Найти z-преобразование для x(θ) = e −0,2θ cos θ при интервале дискретизации ∆θ. Изобразить полюсы и нули в z-плоскости при ∆θ = π / 4, π / 2. Показать, как будут располагаться нули и полюсы при ∆θ → π и ∆θ = π. 3. Вычислить z-преобразование дискретного аналога сигнала x(t ) = at (t > 0), где a – постоянная величина.

4. Вывести следующие пары z-преобразований: а) 2 ⋅ 1(k − 1) ⇔ 2 z −1 ; б) 1 + (1 / 2)k в) k 2

⇔

⇔

z (4 z − 3) ; 2 z 2 − 3z + 1

z ( z + 1) ; ( z − 1)3

4 − z −1 . 4 − 2 z −1 + z −2 5. Определить z-преобразование X ( z ) последовательности г) (1 / 2) k cos(k π / 3) ⇔

x(k ) = (cos k θ + α sin k θ)σ(k ), где α – произвольная постоянная, а σ(k ) – дискретная функция включения. 6. Дискретная система задаётся соотношением y (k ) + b1 y (k − 1) + b2 y (k − 2) = a0 x(k ) + a1 x(k − 1). Полагая последовательности каузальными, найти передаточную функцию системы H ( z ). 7. Определить с помощью метода непрерывного деления обратное z-преобразование для X ( z ) = 1 /(1 − az −1 ). 8. Найти с помощью метода разложения в степенной ряд обратное z-преобразование для X ( z ) = 1 /(1 − az −1 ). Указание. Разложить правую часть в ряд Тейлора в окрестности точки

z −1 = 0. 9. Пусть X ( z ) = 1 /(1 − az −1 )(1 − bz −1 ). а) Найти обратное преобразование функции X ( z ) методом разложения на простые дроби. б) Определить последовательность x(k ), если

a = 0, 5 + j 0, 5 и b = a∗ . 10. Пусть z-преобразование дискретного сигнала с x(k ) имеет вид

X ( z ) = ( z 2 + 2 z + 1) / z. Найти отсчётные значения этого сигнала.

11. Дискретная система описывается разностным уравнением y (k ) − ay (k − 1) = x(k ). Определить выходную последовательность при x(k ) = cos k θ, θ = ω∆t.

cos k θ − a cos[(k + 1)θ] . 1 − 2a cos θ + a 2 12. Дискретная система описывается разностным уравнением y (k ) = 1, 75 x(k ) − 0, 55 x(k − 1) + 0, 25 x(k − 2). Определить её передаточную функцию и частотную характеристику. 13. Доказать, что передаточная H ( z ) и импульсная h(k ) характеристики линейного дискретного фильтра связаны соотношением Ответ:

y (k ) =

H (z) =

N −1

∑ h( k ) z

k =0

168

−k

.

14. Показать, что линейная фазочастотная характеристика дискретного фильтра соответствует полюсу или нулю передаточной функции H ( z ) при z = 1. 15. Показать, что если передаточная характеристика фильтра H ( z ) имеет полюс на единичной окружности, то при воздействии единичным импульсом на выходе фильтра возникнут незатухающие колебания. 16. Передаточная функция фильтра H ( z ) имеет в точке z = a нуль первого порядка. Составить соответствующее разностное уравнение. Можно ли реализовать такой фильтр? Изменится ли условие реализуемости, если в передаточной функции добавить однократный полюс в точке z = 0 ? Сопоставить результаты с утверждением: для физически реализуемой линейной дискретной системы степень полинома в числителе H ( z ) должна быть меньше степени полинома в знаменателе H ( z ). 17. Передаточная функция фильтра H ( z ) имеет в точке z = −1 нуль первого порядка и однократный полюс в точке

z = 0.

Построить амплитудно-частотную

A(ω / ωд )

и фазочастотную

ϕ(ω / ωд )

характеристики, где ωд = 2π / ∆t – частота дискретизации.

18. Изменятся ли амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики фильтра, если в передаточной функции H ( z ), имеющей в точке z = a полюс (нуль), добавить нуль (полюс) любой кратности m при z = 0? 19. Передаточная функция фильтра H ( z ) имеет комплексно-сопряженную пару нулей в точках z = 1 ± j. Записать выражение для H ( z ) и соответствующее разностное уравнение. Можно ли реализовать такой фильтр? Изменится ли условие реализуемости, если в дополнение к нулям в H ( z ) добавить двукратный полюс в точке z = 0 ? Изменится ли от такого добавления амплитудно-частотная характеристика фильтра A(ω) ?

20. Импульсная характеристика фильтра h(k ) является последовательностью конечной длины, т. е.

k = 0, 1, 2, K , N − 1. Выразить передаточную функцию фильтра H ( z ) через коэффициенты ДПФ H (n) последовательности h(k ). Изобразить нули и полюса H ( z ) и блок-схему рекурсивного КИХ-фильтра.

21. Импульсная характеристика фильтра h(k ) является последовательностью конечной длины, т. е.

k = 0, 1, 2, K , N − 1. Как связана частотная характеристика фильтра с коэффициентами ДПФ H (n) последовательности h(k ) ? 22. Для фильтра с импульсной характеристикой 1, k = 0, 1, 2, K , N − 1, h( k ) =  при других k  0, найти передаточную функцию H ( z ) и расположение ее особых точек. Написать соответствующее разностное уравнение для рекурсивной и нерекурсивной реализации. Определить и изобразить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики фильтра. Нарисовать блок-схемы рекурсивной и нерекурсивной реализации фильтра. 23. Дискретная система описывается уравнением 1 1 y (k + 2) − y (k + 1) − y (k ) = 2 x(k ). 6 6 Найти отклик на сигнал x(k ) = 1, k ≥ 0 при начальных условиях y (0) = 0, y (1) = 1. Подсказка. Дважды применить теорему опережающего сдвига.

24. Импульсная характеристика дискретного фильтра задана тремя ненулевыми отсчётами: {h(k )} = (1, 0, 5, 0, 25). Найти передаточную функцию и частотную характеристику данного фильтра. 25. Рассмотрим RC -фильтр нижних частот. а) Найти импульсную характеристику h(t ). б) Определить последовательность h(k ) = h(k ∆t ) для интервала дискретизации ∆t = 0,1 c. в) Найти z-преобразование h(k ). г) Найти частотную характеристику последовательности h(k ). д) Изобразить АЧХ последовательности h(k ). е) Определить дискретный фильтр, имитирующий RC -фильтр нижних частот. 26. Рекурсивный фильтр работает в соответствии с алгоритмом

169

y (k ) = x(k ) + 0, 5 y (k − 1) − 0, 75 y (k − 2). импульсную и частотную характеристики

Определить передаточную, фильтра. устойчивость этого фильтра. 27. Исследовать устойчивость рекурсивного дискретного фильтра второго порядка с передаточной функцией a0 . H ( z) = −1 1 − b1 z − b2 z −2 28. Исследовать АЧХ и ФЧХ трансверсального фильтра, работающего по алгоритму

Исследовать

y (k ) = (1 / 3)[ x(k ) + x(k − 1) + x(k − 2)]. 29. На вход трансверсального характеристикой фильтра

фильтра

поступает

сигнал

x(k ), совпадающий

с

импульсной

 1 при 0 ≤ k < 4, h( k ) =  0 при k < 0 и k ≥ 4. Найти сигнал на выходе фильтра. 30. Определить реакцию на единичный импульс накопителя, работающего по алгоритму Эйлера «вперёд» (рис. 4.6.2).

170

Г Л А В А 5. СВЕРТКА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ Equation Chapter 5 Section 1

5.1. Линейная дискретная свертка Рассмотрим две непериодические последовательности сверткой

этих

последовательностей

называется

x (k )

и h ( k ). Линейной дискретной

последовательность

y ( k ),

определяемая

соотношением

y (k ) =

k

∑ x ( m )h ( k − m ) .

(5.1.1)

m= 0

На рис. 5.1.1 приведены примеры последовательностей x ( k ) , h ( k ) и их линейной свертки. Для вычисления свертки необходимо выполнить операции сдвига, умножения и суммирования. Нетрудно видеть, что если последовательности x ( m ) и h ( m ) содержат по N1 и N 2 отсчетов соответственно, то последовательность y ( k ) является также конечной и имеет длину ( N1 + N 2 − 1) отсчетов, т. е.

k = 0, 1, 2, K , N1 + N 2 − 2. С линейной сверткой тесно связано понятие линейной фильтрации.

Рис. 5.1.1. Линейная дискретная свёртка

При этом x ( k ) – входной сигнал, y ( k ) – отклик фильтра, а h ( k ) – импульсная характеристика фильтра, которая по определению есть реакция на единичный импульс 1, k = 0, 1(k ) =  (5.1.2) 0, k ≠ 0. Для физически реализуемых фильтров должно выполняться условие каузальности импульсной характеристики, которое можно трактовать следующим образом: сигнал на выходе фильтра не может появиться раньше момента его появления на входе. Часто это условие называют условием причинности. Рассмотрим пример. Пример 5.1.1. Найдем реакцию y ( k ) системы, показанной на рис. 5.1.2б, на входную ступенчатую функцию x ( k ) = σ(k ).

Рис. 5.1.2

Нетрудно убедиться, что реакция этой системы на единичный импульс (5.1.2) будет иметь вид (рис. 5.1.3а), т. е. импульсная характеристика системы имеет бесконечную протяжённость, и система представляет собой БИХ-фильтр. Чтобы рассчитать отклик фильтра по формуле (5.1.1), построим графики x ( m ) и h ( k − m ) в зависимости от m для некоторого конкретного k . На рис. 5.1.3б иллюстрируется случай k = 3.

171

Рис. 5.1.3. К понятию линеной дискретной свертки

Имеем

y ( 3) =

3

∑ x ( m ) h ( 3 − m ) = 1⋅ a

3

+ 1 ⋅ a 2 + 1 ⋅ a + 1 ⋅1 =

m= 0

1 − a4 . 1− a

Видно, что при условии каузальности импульсной характеристики h ( k ) = 0 при k < 0,

(5.1.3)

в отклик фильтра в момент k = 3 будут вносить вклад предшествующие отсчеты входного сигнала, взятые вплоть до этого момента включительно. В общем случае 1 − a k +1 y (k ) = , k ≥ 0. (5.1.4) 1− a График y (k ) приведён на рис. 5.1.3в.

5.2. Циклическая свертка и корреляция Пусть теперь x ( k ) и h ( k ) – две N-периодические последовательности. Свертка таких последовательностей будет Equation Chapter 5 Section 2 y (k ) =

k

∑ x (m) h (k − m)

(5.2.1)

m =0

или y (k ) =

k

∑ x ( k − m )h ( m ) .

(5.2.2)

m= 0

С изменением k последовательность x ( k − m ) смещается относительно h ( m ) таким образом, что часть последовательности x ( k − m ) , выходящая за пределы интервала [ 0, N − 1] слева, вставляется в этот интервал справа, т. е. происходит круговая (циклическая) перестановка отсчетов последовательности x ( m ) на интервале N (рис. 5.2.1). При циклическом сдвиге значения аргумента отсчитываются по модулю N : x(k − m) = x[(k − m) mod N ] = x(k − m) N .

(5.2.3)

Например, пусть N = 32, тогда x(35) = x(3) = x (−29). Последовательность y ( k ) является также периодической с периодом в N отсчетов, поэтому достаточно вычислять ее на одном периоде, например, для k = 0, 1, 2, K , N − 1. Выражения (5.2.1) и (5.2.2), в которых сдвиг понимается как круговая перестановка отсчетов на интервале N , определяют так называемую круговую или циклическую свертку последовательностей x ( k ) и h ( k ) , заданных на интервале N : y (k ) =

N −1

∑ x ( k − m ) mоdN  h ( m ) .

m=0

172

(5.2.4)

Рис. 5.2.1. К пояснению циклической свёртки

Разъясним понятие циклической свёртки. На рис 5.2.1а, б, в изображены периодические последовательности h(m), x(m) и x(−m), а на рис. 5.2.1г показано, как вычисляется значение циклической свёртки (5.2.4) при k = 2. В силу периодичности последовательностей h(m) и x(k − m) достаточно рассматривать их на интервале 0 ≤ m ≤ N − 1. С изменением k происходит круговая перестановка отсчётов последовательности x(k − m) так, что когда отсчёт x(k − m) выходит за точку m = 0, точно такой же отсчёт появляется в точке m = N − 1. Циклическая свертка резко отличается от линейной полным нарушением предыстории. В результате оказывается, что на краях последовательности (при k , близких к 0 и N − 1 ) в свертке (5.2.4) участвуют не соседние отсчеты сигнала, близкие к отсчету с номером k , а удаленные от него на всю длину последовательности N . Для борьбы с этими краевыми эффектами используется метод удлинения последовательности с соответствующим доопределением значений сигнала (см. далее). Матричная форма циклической свёртки

В матричной форме циклическая свертка (5.2.4) имеет вид →

→

→

→

y = [h] ⋅ x

(5.2.5)

или y = [ x] ⋅ h,

→

→

→

где x , h, y – N-мерные векторы (вектор-столбцы)  x (0)    → x (1)  ; x=   M    x ( N − 1) 

 h (0)    → h (1)  ; h=   M    h ( N − 1) 

173

 y (0)    → y (1)  , y=   M    y ( N − 1) 

(5.2.6)

а [ h ] и [ x ] – циклические матрицы размером N × N : h(2) L h( N − 1)  h(3) L h(0)  h(4) L h(1)  ; M M  h(0) L h( N − 3)   h(1) L h( N − 2) 

h(1)  h(0)  h(1) h(2)   h(2) h(3) [ h] =  M M   h( N − 2) h( N − 1)  h(0)  h( N − 1)

x(1) x(2) L x( N − 1)   x(0)  x(1) x(2) x(3) L x (0)    x(2) x(3) x(4) L x(1)  [ x] =  . M M M M    x( N − 2) x( N − 1) x (0) L x( N − 3)    x(0) x (1) L x( N − 2)   x( N − 1)

Как видно, каждая строка матрицы получается из предыдущей циклическим сдвигом вправо на один отсчёт. Корреляция двух N-периодических последовательностей определяется следующим образом: y (k ) =

N −1

∑ x ( m )h ( k + m ) ;

(5.2.7)

m=0

y (k ) =

N −1

∑ x ( k + m )h ( m ) ,

(5.2.8)

m=0

т. е. отличается от свёртки направлением циклического сдвига (теперь это сдвиг влево). Матричные уравнения (5.2.5) и (5.2.6) справедливы и для корреляции с той лишь разницей, что циклические матрицы строятся сдвигом влево. 5.3. Вычисление линейной свертки с помощью циклической методом БПФ Как было отмечено в предыдущем параграфе, циклическая свертка резко отличается от линейной из-за полного нарушения предыстории. При фильтрации сигналов требуется линейная свертка, поэтому важно рассмотреть вопрос о вычислении линейной свертки с помощью циклической. Рассмотрим пример на рис. 5.3.1, где изображены две конечные последовательности x(k ) и h(k ) по N1 и N 2 отсчётов и результат их линейной свёртки y (k ) длиной N = N1 + N 2 − 1. В главе 3 было показано, что, перемножая ДПФ двух конечных последовательностей и находя обратное ДПФ произведения, получаем такой же результат, как и при циклической свёртке эквивалентных периодических последовательностей. Свёртка yп ( k ) периодических последовательностей периодична и имеет тот же период, что и сами последовательности. Если увеличить периоды этих последовательностей путем дополнения нулевыми отсчётами, то можно получить совпадение одного периода периодической свертки с линейной сверткой. Поскольку период свёртки yп (k ) равен N = N1 + N 2 − 1 отсчётам, то для получения такого же периода необходимо, чтобы сворачиваемые последовательности x(k ) и h(k ) содержали по N = N1 + N 2 − 1 отсчётов, что достигается дополнением каждой из двух последовательностей соответствующим числом нулевых отсчётов.

174

Рис. 5.3.1. Линейная свёртка Рис. 5.3.2. Вычисление линейной свёртки с помощью циклической

Сначала находятся N = ( N1 + N 2 − 1)-точечные ДПФ дополненных последовательностей: X п ( n) =

1 N

N −1

∑x

п

(k )WN− nk ,

H п ( n) =

k =0

1 N

N −1

∑ h (l )W п

− nl N

.

l=0

Затем надо перемножить результаты ДПФ: Yп (n) = X п (n) H п (n)

и выполнить обратное ДПФ произведения, чтобы получить N-периодическую свёртку: yп ( k ) =

N −1

∑ [X

п

(n) H п (n)] WNnk =

n=0

1 N

N −1

∑x

п

(m)hп (k − m) N .

m=0

Один период этой последовательности совпадает с линейной свёрткой исходных j

2π

nk

последовательностей. В этих формулах WNn k = e N – базисные функции ДПФ. Эффективность данного способа обеспечивается использованием алгоритма БПФ для нахождения всех ДПФ. При больших N выигрыш в объеме вычислений по сравнению с прямым способом вычисления свертки во временной области может быть весьма значительным. Подсчитаем вычислительные затраты при использовании алгоритма БПФ с основанием 2 по схеме рис. 5.3.3.

Рис. 5.3.3. Вычисление свёртки методом ДПФ

1)

N log 2 N 2

базовых операций при вычислении всех коэффициентов ДПФ X ( n ) ; 175

2) 3)

N log 2 N базовых операций при вычислении всех коэффициентов ДПФ H ( n ) ; 2 N комплексных умножений для вычисления произведения H ( n ) X ( n ) ,

n = 0, 1, 2, K , N − 1.

4)

N log 2 N 2

базовых операций при вычислении ОДПФ.

Если интересоваться только самыми трудоемкими операциями комплексного умножения, то их число при использовании БПФ будет N + 3N log 2 N вместо N 2 при прямом вычислении. Пример 5.3.1. Пусть N = 1024 = 210 . Выигрыш быстрого способа вычисления свертки по сравнению с прямым составляет N

2

3 N log 2 N

≈ 33

и растет с увеличением N . Если коэффициенты фильтра H ( n ) найдены заранее и занесены в память, то выигрыш ещё более возрастает N

2

2 N log 2 N + N

≈ 50.

Алгоритмы БПФ, приведенные в главе 3 на рис. 3.7.1 и 3.7.3, дополняют друг друга при вычислении свертки. В графе на рис. 3.7.3 входные отсчеты расположены в нормальном порядке, а выходные – в разрядно-инверсном. В графе на рис. 3.7.1 – наоборот. Если для прямого ДПФ использовать граф, приведенный на рис. 3.7.3, а для обратного – граф, приведенный на рис 3.7.1, то необходимости в переупорядочении входных и выходных данных, а также промежуточных результатов, нет. Рассмотренный метод является важным вычислительным средством при обработке сигналов. Методы быстрого вычисления циклической свертки основаны на использовании быстрого преобразования Фурье (БПФ), теоретико-числовых преобразований (ТЧП), модульной арифметики в кольце полиномов [ 9 ].

5.4. Секционированная свертка При выполнении фильтрации часто бывает так, что фильтруемая последовательность много длиннее импульсной характеристики фильтра h ( k ) . В принципе можно поступить так же, как и в предыдущем параграфе. Но такой подход по ряду причин неудобен. Во-первых, перед вычислением свёртки нужно иметь всю более длинную последовательность и результат вычисления получается с большой задержкой. Во-вторых, при больших ( N1 + N 2 − 1) вычисление ДПФ значительно усложняется. В этом случае используется процедура секционирования длинной последовательности и многократного вычисления частичных циклических сверток, из которых и формируется искомая линейная свертка. Рассмотрим два метода вычисления свёртки, основанные на этой процедуре [27]. x (k )

Метод перекрытия с накоплением

Пусть импульсная h ( k ) имеет L отсчетов (рис. 5.4.1а), а последовательность x ( k ) не ограничена (непрерывно идущий поток данных) (рис. 5.4.1б). Выделим из x ( k ) первый Nточечный «кадр» (рис. 5.4.1в). По причине, которая станет понятной ниже, выберем N > L. Поскольку используется ДПФ, кадр необходимо рассматривать как один период периодической последовательности x1 ( k ) (рис. 5.4.1г). Далее дополним h ( k ) нулями до N отсчетов, и будем рассматривать расширенную последовательность как один период периодической последовательности h 1 ( k ) (рис. 5.4.1г), которая свёртывается с x1 ( k ) умножением в частотной области: 176

Y1 (n) = X 1 (n) H1 (n),

n = 0, 1, 2, K , N − 1,

гдеEquation Chapter 5 Section 4 X 1 ( n) =

1 N

N −1

∑ x (k )W 1

− nk N

,

H1 ( n ) =

k =0

1 N

N −1

∑ h ( p)W 1

−n p N

.

p=0

Применив обратное ДПФ, получим y1 (m) =

N −1

∑ [X

п

(n) H п (n)] WNnm , m = 0, 1, K , N − 1.

n=0

Рис 5.4.1. Вычисление линейной свёртки методом перекрытия с накоплением

Подставляя сюда выражения для X 1 (n) и H1 (n) , с учётом ортогональности базисных функций ДПФ будем иметь N −1  1  m  ∑ h 1 ( p) x1 (m − p) + ∑ h 1 ( p) x1 ( N + m − p)  . (5.4.1) N p = 0 p = m +1  учтём, что N > L. Рассмотрим случай, когда m = L − 1: N −1  1  L −1 y1 ( L − 1) =  ∑ h 1 ( p) x1 ( L − 1 − p) + ∑ h 1 ( p ) x1 ( N + L − 1 − p)  . N p = 0 p=L  что h1 ( L) = h1 ( L + 1) = K = h1 ( N − 1) = 0, поэтому вторая сумма равна нулю и мы

y1 (m) =

В этом месте

Здесь учтём, имеем

177

y1 ( L − 1) =

1 N

L −1

∑ h ( p) x ( L − 1 − p). 1

1

p=0

Это выражение совпадает с ( L − 1)-м отсчётом линейной свёртки на выходе трансверсального фильтра с L отводами. Отсчёты y1 ( L), y1 ( L + 1), K y1 ( N − 1) по той же причине корректны. Остаётся рассмотреть первые ( L − 1) выходных отсчётов. Все они содержат ложные члены, вызванные наложением и определяемые второй суммой в формуле (5.4.1), поэтому не корректны и должны быть отброшены. Этот случай иллюстрируется на рис. 5.4.1е. Теперь ясно, как нужно выбирать второй N-точечный кадр, первые ( L − 1) отсчётов которого должны быть идентичны последним ( L − 1) отсчётам предыдущего кадра (рис. 5.4.1з). Это необходимо по той причине, что в начале следующей N-точечной свёртки снова будет ( L − 1) первых ложных отсчётов, которые должны быть отброшены. N − L + 1 корректных отсчётов первой свёртки можно отправить в память на место, занимаемое первым N-точечным кадром. Такой процесс фильтрации с «замещением» требует относительно небольшого объёма «обязательной» памяти для проведения самой свёртки и преобразований. Стыковка корректных частей от первой и второй свёрток показана на рис. 5.4.1к. Рассмотренный способ получения полной свёртки из большого числа N-точечных свёрток известен как метод перекрытия с накоплением.

Метод перекрытия с суммированием

Этот метод основан на разбиении длинной последовательности x ( k ) на смежные секции по N отсчетов: x (k ) =

∞

∑ x ( k ), m

m=0

где  x ( k ) , при mN ≤ k ≤ ( m + 1) N − 1, xm ( k ) =  0, при других k .

Линейная свертка последовательностей x ( k ) и h 1 ( k ) равна l

∞

k =0

m=0

y ( l ) = ∑ h 1 ( k ) ⋅ ∑ xm ( l − k ) =

∞

∑ h (k ) ⊗ x (k ). 1

m

m=0

Длина каждой из частичных сверток в этой сумме равна (2 N − 1) отсчетов, следовательно, имеется участок длиной в ( N − 1) отсчетов, на котором m-я и (m + 1)-я частичные свертки перекрываются, поэтому их отсчеты на участке перекрытия нужно сложить. Проделывая указанные действия для всех m, получаем искомую свёртку: y (l ) =

∞

∑ y ( l ). m

m=0

В этом методе, известном под названием метод перекрытия с суммированием, в отличие от предыдущего метода перекрываются не входные, а выходные секции. Итак, используя метод перекрытия с накоплением или метод перекрытия с суммированием, можно легко найти свёртку короткой и очень длинной 178

последовательностей, причём, результат получается в виде отдельных небольших секций, которые объединяются соответствующим образом в одну последовательность.

179

Г Л А В А 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ При обработке сигналов одним из важнейших является вероятностный подход, в соответствии с которым сигналы рассматриваются как случайные процессы, причём случайный характер обусловлен либо помехами различного происхождения, либо случайными считаются как сами полезные сигналы, так и помехи. Вероятностный подход получил широкое распространение в физике и технике. Вместе с тем представление случайных сигналов в системах с дискретным временем имеет свои особенности, и нужно проявлять определённую аккуратность, перенося методы представления детерминированных сигналов на случайные сигналы. В этой главе с прикладных позиций даётся изложение необходимого аппарата для описания и задания случайных процессов с дискретным временем. Многочисленные примеры позволяют создать запас наглядных физических представлений, полезных при решении конкретных практических задач.

Equation Chapter 6 Section 1 6.1. Случайные величины и ожидания Случайной величиной х называется некоторая величина, которая случайным образом принимает значения из некоторого континуума возможных значений. Примером может служить случайная величина, образованная сечением случайного процесса x(t) (ансамбля реализаций) в некоторый фиксированный момент t = t0 : x = { x(t ), t = t0 }. (6.1.1) Вероятности, с которыми случайная величина принимает различные значения, количественно описываются функцией распределения вероятности:

F ( x) = P(x ≤ x), (6.1.2) т. е. вероятностью того, что случайная величина х принимает значение, меньшее или равное x. Плотность вероятности по определению равна dF ( x) p( x) = . dx (6.1.3) С учётом (6.1.2) можем записать x

F ( x) = P (x ≤ x) =

∫

p(ξ)d ξ.

−∞

(6.1.4) Математическое ожидание случайной величины х, обозначаемое М(х), определяется выражением ∞

M ( x) =

∫ x p( x) dx = x.

(6.1.5)

−∞

Его называют также средним значением случайной величины х или её первым моментом. Если х – случайная дискретная величина, принимающая значения x = x1 , x2 , ..., xN с соответствующими N

вероятностями P( xk ), такими что

∑ P( x

k

) = 1, то её среднее значение по определению будет

k =1

M ( x) =

N

∑ x P( x k

k

).

(6.1.6)

k =1

Плотность вероятности такой случайной величины имеет вид

p( x) =

N

∑ P( x

k

)δ( x − xk ).

k =1

Моменты, дисперсия, неравенство Чебышёва Моментом m-го порядка случайной величины х называется среднее значение

180

(6.1.7)

M (x m ) =

N

∑x

m k

P ( xk )

k =1

для дискретных величин и ∞

M (x m ) =

∫x

m

p ( x)dx

−∞

для непрерывно распределённых величин. В частном случае при m = 2 получаем средний квадрат случайной величины х: ∞

M (x 2 ) =

∫x

2

p( x)dx = x 2 .

(6.1.8)

−∞

Другой важный статистический параметр – средний квадрат центрированной случайной величины (x − x ) – называется дисперсией и обозначается σ 2x :

σ 2x = M [(x − x) 2 ] = M (x 2 ) − 2M (xx ) + M [( x) 2 ], т. е.

σ 2x = x 2 − ( x) 2 . (6.1.9) Дисперсия – это разность между средним квадратом случайной величины и квадратом её математического ожидания. Величина σх – значение корня квадратного из дисперсии – называется стандартным или средним квадратическим отклонением, которое служит для количественного описания меры разброса результатов отдельных случайных испытаний относительно математического ожидания. В качестве примера на рис. 6.1.1 приведены функция распределения F ( x) и плотность вероятности p( x) случайной гауссовской величины с нулевым средним и единичной дисперсией. Р ис. 6.1.1

Имеет место неравенство Чебышёва: 2

P( x > a) ≤

M(x ) a2

,

(6.1.10)

каково бы ни было a > 0. В самом деле, если положить  0 при x ≤ a, ξ=  a при x > a, 2

то, очевидно, x ≥ ξ и M ( x ) ≥ M (ξ 2 ) = a 2 P( x > a), что равносильно (6.1.10). 2

В соответствии с неравенством Чебышёва если M ( x ) = 0, то x = 0 с вероятностью единица. Для центрированной случайной величины (x − x ) из неравенства Чебышёва следует

P( x − x > a) ≤

σ 2x

, (6.1.11) a2 так что при относительно малой дисперсии σ 2x случайная величина x с большой вероятностью принимает значение, близкое к x. Характеристикой взаимосвязи двух случайных величин x и y служит корреляция, которая определяется как ожидание их произведения ∞ ∞

M (xy ) =

∫ ∫ xy p( x, y )dxdy,

(6.1.12)

−∞ −∞

где p(x, y) – совместная плотность вероятности случайных величин x и y. Корреляция центрированных случайных величин (x − x ) и (y − y ) называется ковариацией:

M [(x − x )(y − y )] = M (xy ) − x ⋅ y. (6.1.13) Если ковариация равна нулю, то говорят, что величины некоррелированы или линейно независимы.

181

Более сильный тип независимости имеет место, когда независимы события [x ≤ a1 ] и [y ≤ a2 ] для всех а1 и а2. Говорят, что случайные величины, обладающие этим свойством, статистически независимы. Для их совместной плотности справедливо соотношение p ( x, y ) = p ( x ) ⋅ p ( y ) для всех x и y. Отсюда с учётом (6.1.12) следует, что для статистически независимых величин имеет место M (xy ) = M (x) ⋅ M (y ) = x ⋅ y. Если величины статистически независимы, то они и линейно независимы. Обратное, вообще говоря, неверно. Все эти соотношения легко обобщаются на случай N независимых величин.

6.2. Случайные процессы В физических системах источники сигналов способны вырабатывать одну из большого множества возможных функций времени x(t ). Поэтому удобно ввести вероятностный закон, описывающий случайные появления каждого элемента такого множества. Множество вместе с законом вероятности задаёт ансамбль сигналов, вырабатываемых источником. Случайный процесс X (t ) представляет собой ансамбль выборочных функций времени,

подчиняющихся некоторой общей статистической закономерности. Каждая из функций этого ансамбля называется реализацией случайного процесса (рис. 6.2.1).

Рис. 6.2.1

Случайный

сигнал

можно

рассматривать

как

функцию

двух

аргументов:

Equation Chapter 6 Section 2 x(a, t ), a ∈ Ω, t ∈ T . Первый аргумент a является элементарным событием и принадлежит пространству Ω элементарных событий с заданной на нем вероятностной мерой. Это так называемое выборочное пространство. Второй аргумент t имеет обычно смысл времени и принадлежит множеству T . Аргумент t может быть непрерывным или дискретным. В соответствии с этим x(a, t ) – непрерывный или дискретный сигнал. В обоих случаях T может быть конечным или бесконечным. Функция, происходящая из Ω, обозначается как x(a, t ), однако проще обозначать её как x(t ), имея всегда ввиду то, что конкретной реализации x(t ) соответствует точка в выборочном пространстве Ω. В пространстве функций времени (гильбертовом пространстве L2) отдельная реализация x(t ) есть вектор. Когда мы наблюдаем значения случайного процесса на определённом промежутке T , мы имеем дело лишь с одной реализацией случайного процесса. Случайность процесса X (t ) проявляется в том, что вид наблюдаемой функции случайным образом меняется от одного наблюдения к другому. Однако каждая отдельная реализация x(t ) не случайна.

Чаще всего реализации случайного процесса представляются функциями со сложным нерегулярным во времени поведением, как показано на рис. 6.2.1, но это не общее правило. Иногда рассматриваются случайные процессы, образованные, например, гармоническими сигналами x(t ) = A sin(ωt + ϕ), у которых один из трёх параметров A, ω, ϕ – случайная величина, принимающая определённое значение в каждой реализации (рис. 6.2.2). Случайные процессы, реализации которых зависят от конечного числа параметров, называются квазидетерминированными.

182

Рис. 6.2.2. Гармонический сигнал со случайной фазой, а – реализации; б – плотность вероятности

Наблюдая ансамбль X (t ) в любой момент времени t1 , приходим к случайной величине x(t1 ) = x1 . Если рассматривать ряд моментов времени t1 , t2 , t3 , K , t N на интервале наблюдения процесса, то им соответствует N случайных величин x(t1 ), x(t2 ), K , x(t N ). Другая точка зрения заключается в том, что случайный процесс трактуется как совокупность (последовательность) случайных значений, каждое из которых относится к своему моменту времени: x = {x(t ); t ∈ T } .

Если T – счётное множество (конечное или бесконечное), то X (t ) – процесс с дискретным временем, если T – вещественный интервал, то X (t ) – процесс с непрерывным временем. Полное задание процесса предполагает задание совместной плотности вероятности p(x1 , x 2 , ..., x N ) для любого конечного N. Этот способ задания для произвольного процесса имеет практические трудности. Частичное задание процесса возможно различными способами. Рассмотрим два наиболее распространённых. 1. Задание одномерной плотности. 2. Задание двумерной плотности. В первом случае задаётся только p(x, tk ) – одномерная плотность вероятности случайной величины x(tk ), относящаяся к одному моменту времени t = tk (одному сечению процесса). Задание одномерной плотности позволяет произвести статистическое усреднение (усреднение по ансамблю) как самой величины x, так и любой функции f (x). Для практических приложений важными являются следующие параметры случайного процесса X (t ) : математическое ожидание ∞

mX (t ) = x (t ) = M [x(t )] =

∫ x p(x, t )dx;

(6.2.1)

−∞

дисперсия (6.2.2) Среднее значение определяет «центр тяжести» распределения в каждый момент времени t. Дисперсия является мерой расплывчатости или разброса относительно центра тяжести также в каждый момент времени t. σ 2X (t ) = M {[x(t ) − mX (t )]2 }.

Рис. 6.2.3. Флуктуационный процесс:

а – с постоянной составляющей; б – со средним значением, равным нулю.

183

Более полной вероятностной характеристикой процесса является двумерная плотность вероятности p(x1 , x 2 ; t1 , t2 ), определяющая связь значений x1 = x(t1 ) и x 2 = x(t2 ), принимаемых случайной функцией X (t ) в произвольно выбранные моменты времени t1 и t2 (рис. 6.2.1). Имея дело с парами случайных значений процесса в разнесённые моменты t1 и t2 , удобно ввести так называемую корреляционную функцию случайного процесса (или второй смешанный момент): RX (t1 , t2 ) = M [x(t1 ) ⋅ x(t2 )]. (6.2.3) В соответствии с этим определением корреляционная функция случайного процесса X (t ) представляет собой усреднённое по ансамблю произведение значений случайной функции X (t ) в моменты времени t1 и t2 . Для каждой реализации x(t ) случайного процесса произведение x(t1 ) ⋅ x(t2 ) является некоторым числом. Ансамбль реализаций образует множество случайных чисел, распределение которых характеризуется двумерной плотностью вероятности p(x1 , x 2 ; t1 , t2 ). При заданной функции p(x1 , x 2 ; t1 , t2 ) усреднение по ансамблю в (6.2.3) можно выполнить по формуле ∞ ∞

RX (t1 , t2 ) =

∫ ∫xx 1

2

p (x1 , x 2 ; t1 , t2 )dx1 dx 2 .

(6.2.4)

−∞ −∞

При нулевом расстоянии между моментами t1 и t2 корреляционная функция определяет величину среднего квадрата случайного процесса при t = t1 : ∞

RX (t1 , t1 ) =

∫x

2 1

p(x1 ; t1 )dx1 = M [x 2 (t )].

(6.2.5)

−∞

Замечание. Для комплексного случайного процесса X (t ) корреляционная функция определяется следующим образом:

RX (t1 , t2 ) = M [x(t1 ) ⋅ x∗ (t2 )].

(6.2.6)

В этом случае корреляция связана со скалярным произведением в комплексном линейном пространстве.

Корреляционная функция центрированного случайного процесса называется ковариационной функцией: K X (t1 , t2 ) = M {[x(t1 ) − x (t1 )][x(t2 ) − x(t2 )]} = (6.2.7) = RX (t1 , t2 ) − x(t1 ) x(t2 ). Отсюда видно, что K X (t , t ) есть дисперсия процесса. Как средний квадрат, так и дисперсия в общем случае зависят от времени. Ковариационная функция обладает следующими свойствами: а) она симметрична: K X (t1 , t2 ) = K X (t2 , t1 ), б) неотрицательно определена: T T

∫ ∫ ϕ(t ) K

X

(t , θ)ϕ(θ)dtd θ ≥ 0, где ϕ(t ) – некоторая детерминированная функция, интегрируемая в квадрате

0 0

на интервале [0, T ].

6.3. Стационарность и эргодичность В практических приложениях важное место занимают стационарные случайные процессы. Различают стационарность в узком и широком смысле.Equation Chapter 6 Section 3 Случайный процесс называется стационарном в узком смысле (строго стационарным), если его плотность вероятности p (x1 , x 2 , K , x n ; t1 , t2 , K , tn ) произвольного порядка n зависит только от интервалов t2 − t1 , t3 − t1 , K , tn − t1 и не зависит от начала отсчета времени. В приложениях обычно ограничиваются требованием независимости от начала отсчета времени только одномерного и двумерного законов распределения. В этом случае процесс называется стационарным в широком смысле. Выполнение этого условия позволяет считать, что среднее значение и дисперсия случайного процесса не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от интервала между отсчетами τ = t2 − t1 .

Таким образом, для случайного процесса, стационарного в широком смысле, выражения (6.2.1) 184

– (6.2.6) записываются без обозначения фиксированных моментов времени: ∞

m X = x = M ( x) =

(6.3.1)

∫ x p (x) dx;

−∞

σ 2x = M [ x − mX ] ; 2

(6.3.2)

RX (τ) = M [ x (t ) ⋅ x(t + τ)] = ∞

∞

∫ ∫ [x (t ) ⋅ x (t + τ) p (x, x , τ) dx dx ] τ

−∞

(6.3.3)

τ

−∞

– четная функция; ∞

RX (0) =

∫x

2

p (x) dx = x 2 ;

(6.3.4)

−∞

K X (τ ) = M [ (x (t ) − mX ) ⋅ (x (t + τ ) − mX ) ] = RX (τ ) − m 2X .

(6.3.5)

Корреляционная функция RX (τ ) является показателем того, насколько сохраняется форма случайного процесса X (t ) в среднем по ансамблю и не относится к отдельно взятой реализации x (t ). Так если

RX (τ ) > 0, то о случайных величинах X (t1 ) и X (t1 + τ ) можно сказать лишь то, что у них вероятно одинаковые знаки. Если RX (τ ) < 0, то эти случайные величины, скорее всего, имеют противоположные знаки.

Стационарностью в широком смысле обладает довольно большой класс случайных процессов, встречающихся на практике. Поэтому слова “в широком смысле” часто опускают и называют процессы стационарными. Дальнейшее упрощение анализа случайных процессов достигается, если процессы обладают свойством эргодичности. Это свойство означает, что почти каждый член ансамбля ведет себя в статистическом смысле так же, как и весь ансамбль. Таким образом, можно проанализировать статистические характеристики процесса путем усреднения по времени вдоль одной реализации (рис. 6.3.1). Условие эргодичности случайного процесса включает в себя и условие стационарности. Рис. 6.3.1. Получение кривой распределения p(u ) эргодического процесса u (t )

Обозначая усреднение по времени условными скобками, запишем характеристики (6.3.1) – (6.3.5). Среднее значение процесса T /2 1 ) mx = x (t ) = lim ∫ x (t ) dt T →∞ T −T / 2 равно постоянной составляющей выбранной реализации. Дисперсия T /2 1 2 ) ) σ x 2 = [ x (t ) − mx ] 2 = lim [ x (t ) − m) x ] dt ∫ T →∞ T −T / 2 имеет смысл мощности флуктуационной составляющей эргодического процесса. Корреляционная функция T/2 ) 1 Rx (τ ) = [ x (t ) ⋅ x (t + τ ) ] = lim ∫ x (t ) x (t + τ ) dt , T →∞ T −T / 2 при этом T /2 ) 1 Rx (0) = lim x 2 (t ) dt T →∞ T ∫ −T / 2 – средняя мощность реализации. Ковариационная функция Kˆ x (τ ) = [ x (t ) − mˆ x ][ x (t + τ − mˆ x ] =

= lim

T →∞

1 T

T/2

∫ [ x (t ) − mˆ ][ x (t + τ ) − mˆ ] dt. x

(6.3.6)

(6.3.7)

(6.3.8)

(6.3.9)

(6.3.10)

x

−T / 2

Достаточным условием эргодичности центрированного стационарного в широком смысле случайного процесса является условие [23]: lim Rx (τ ) = 0. (6.3.11) τ →∞

185

Менее жесткое условие эргодичности T /2

1 Rx (τ ) dτ = 0 T →∞ T ∫ −T / 2 lim

(6.3.12)

– условие Слуцкого. а)

б)

Рис. 6.3.2. Типичные корреляционные функции центрированных процессов

Типичная корреляционная функция центрированного процесса убывает при увеличении τ (рис. 6.3.2а). Однако приближение R x (τ ) к нулю не всегда происходит монотонно. В ряде случаев R x (τ ) колеблется около нулевого значения, приближаясь к нему при увеличении τ (рис. 6.3.2б). Если процесс имеет постоянную составляющую, то ) 2 Rx (∞) = x (t ) x (t + τ ) = x (t ) x (t ) = x (t ) , (6.3.13) т. е. корреляционная функция при τ → ∞ стремится к квадрату постоянной составляющей.

Интервал корреляции Для многих процессов, встречающихся на практике, характерно свойство: их корреляционная функция стремится к нулю с увеличением временного сдвига τ между отсчетами. Числовой характеристикой, служащей для оценки скорости убывания корреляционной функции, является интервал корреляции, определяемый выражением

τk =

1 Rx (0)

∞

∫ 0

∞

Rx (τ ) d τ = ∫ ρ x (τ ) d τ ,

(6.3.14)

0

где

ρ x (τ ) =

Rx (τ ) Rx (0)

(6.3.15)

– так называемый коэффициент корреляции (безразмерная величина). Физический смысл интервала корреляции заключается в следующем. Если известна информация о поведении какой-либо реализации “в прошлом”, то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на время порядка τ k . Для τ >> τ k мгновенные значения x (t ) и x(t + τ ) будут практически некоррелированы и прогноз невозможен. Следовательно, для любого ε > 0 существует такое положительное τ k , что при условии τ > τ k выполняется неравенство

ρ (τ ) ≤ ε . (6.3.16) ) Замечание. Любая характеристика LT эргодического случайного процесса, полученная усреднением за большой, но конечный интервал T , является случайной относительно ансамбля оценкой. Эта оценка связана с истинной характеристикой L, полученной усреднением по всему ансамблю, соотношением ) lim P  L T = L  = 1, (6.3.17) T →∞ ) т. е. при T → ∞ вероятность совпадения оценки LT с истинной характеристикой L сколь угодно близка к единице. Так применительно к корреляционной функции это записывается в виде ) lim P  RT (τ ) = RX (τ )  = 1. (6.3.18) T →∞

Фильтрация случайных процессов Пример 6.3.1. Пусть стационарный процесс x(t ) пропускается через ЛИВ-фильтр с импульсной характеристикой h(t ) (рис. 6.3.3).

186

Рис. 6.3.3

Процесс на выходе y (t ) также стационарен. Кросс-корреляцион-ная функция процессов на входе и выходе фильтра будет равна ∞

Rxy (τ) = M [y (t + τ) ⋅ x∗ (t )] = M {[ ∫ h(t + τ − θ)x(θ)d θ] ⋅x∗ (t )} = −∞

∞

=

∫ h(t + τ − θ) R

xx

−∞

∞

(θ − t )d θ = ∫ h(τ − η) Rxx (η)d η. −∞

Т. е. кросс-корреляционная функция Rxy (τ) процессов на входе и выходе фильтра связана с автокорреляционной функцией Rxx (τ) входного процесса тем же линейным преобразованием (свёрткой), которое преобразует сигнал на входе в сигнал на выходе фильтра. Найдём теперь автокорреляционную функцию выходного про-цесса: Ryy (τ) = M [y (t + τ) ⋅ y ∗ (t )] =

∞ ∞  = M  ∫ ∫ h(t + τ − θ)x(θ) h∗ (t − η)x∗ (η)d θ d η =  −∞ −∞  ∞

=

∫ h(t + τ − θ) h (t − η) R ∗

xx

(θ − η) d θ d η.

−∞

Изменяя порядок интегрирования и обозначая ∞

θ − η = s и λ ( τ) =

∫ h(τ + η)h

∗

(η)d η,

−∞

будем иметь ∞

Ryy (τ) =

∫ λ (τ − s ) R

xx

( s )ds,

(6.3.19)

−∞

т. е. автокорреляционные функции Ryy (τ) и Rxx ( s ) связаны интегралом свёртки. В спектральной области (6.3.19) имеет простую форму: 2

G yy ( f ) = H ( f ) ⋅ Gxx ( f ),

(6.3.20)

G yy ( f ) = ПФ  Ryy (τ) 

(6.3.21)

где

– спектральная плотность мощности процесса на выходе фильтра,

Gxx ( f ) = ПФ [ Rxx ( s )]

(6.3.22)

– спектральная плотность мощности входного процесса, 2

H ( f ) = H ( f ) ⋅ H ∗ ( f ), H ( f ) = ПФ[h(t )] – частотная характеристика фильтра.

6.4. Спектральная плотность мощности Представим физическую интерпретацию этой важной спектральной характеристики случайного процесса. Кажется естественным использовать преобразование Фурье для определенной реализации x (t ) случайного процесса ∞

X (ω) =

∫ x (t ) ⋅ e

−∞

187

− jωt

dt

(6.3.23) (6.3.24)

в качестве спектральной характеристики процесса. Однако такой подход оказывается невозможным по двум причинам. Во-первых, спектральная плотность X (ω) для любой фиксированной частоты ω будет случайной величиной относительно ансамбля реализаций. Усреднение функции X (ω) по ансамблю приводит к нулевому спектру (при M [ x (t ) ] = 0 ) из-за случайности и независимости фаз спектральных составляющих в отдельных реализациях.

Equation Chapter 6 Section 4 Вторая, более важная, причина нерезультативности этого подхода заключается в том, что для стационарного процесса X (ω) почти никогда не существует, т. к. абсолютная интегрируемость ∞

∫

x(t ) dt < ∞

(6.4.1)

−∞

никогда не удовлетворяется для реализаций стационарного случайного процесса. Ограничим длительность реализаций следующим образом: T  t ≤ < ∞,  x (t ), 2 xT (t ) =  (6.4.2) T 0, t > .  2 Такой усеченный процесс X T (t ) удовлетворяет условию (6.4.1), если исходный стационарный процесс X (t ) имеет ограниченную дисперсию. В этом случае xT (t ) будет удовлетворять строгому требованию интегрируемости в квадрате: ∞

∫

2

dt < ∞.

(6.4.3)

(t ) e − j ωt dt , T < ∞.

(6.4.4)

xT (t )

−∞

Следовательно, для xT (t ) будет существовать преобразование Фурье: ∞

∫x

X (ω, T ) =

T

−∞

Энергию рассматриваемого отрезка реализации можно определить, используя равенство Парсеваля: T /2 ∞ 1 2 x 2T (t ) dt = X (ω, T ) d ω. ∫ ∫ 2 π −T / 2 −∞ Разделив обе части на T, получим T /2 ∞ 1 1 2 2 x t dt = X (ω, T ) d ω (6.4.5) ( ) T ∫ ∫ T −T / 2 2 πT −∞ – выражение для средней мощности реализации x (t ) на отрезке T . Если процесс эргодический, то эта величина при T → ∞ приближается к значению среднего квадрата случайного процесса. Однако на данном этапе еще нельзя переходить к пределу при T → ∞. Необходимо напомнить, что X (ω, T ) является случайной относительно ансамбля реализации случайного процесса X (t ). Выполнив сначала усреднение обеих частей выражения (6.4.5), а потом, переходя к пределу при T → ∞, получим с учетом эргодичности

 1 M  T 1 lim T →∞ T

 xT2 dt  = M ∫  −T / 2 T /2

∞ X (ω, T )  1  ∫ 2 π −∞ T 

2

 d ω , 

2 ∞ M  X (ω, T )  1   x dt= lim d ω, ∫ T →∞ ∫ 2 π T −T / 2 −∞

T/2

2 T

∞

x 2 (t ) =

1 ∫ G (ω) d ω, 2 π −∞

(6.4.6)

где 2  T /2  1 1 2 − j ωt    G (ω) = lim M X (ω, T ) = lim M x (t ) e dt  (6.4.7) ∫   T→ ∞ T T→ ∞ T  −T / 2  называется спектральной плотностью мощности случайного процесса X (t ). В соответствии с (6.4.6) G (ω)

интерпретируется как распределение среднего квадрата процесса по частотам. Если x (t ) – напряжение или ток, действующие на сопротивлении 1 Ом, то x 2 (t ) – есть средняя мощность, рассеиваемая на этом

188

резисторе. Спектральную плотность мощности G (ω) можно интерпретировать как среднюю мощность, сосредоточенную в полосе частот шириной 1 Гц при центральной частоте f =

ω Гц. 2π

Для любой заданной реализации xT (t ) функция 2

) X (ω, T ) G (ω, T ) = (6.4.8) T называется периодограммой и представляет собой флуктуирующую по ансамблю реализаций оценку спектральной плотности мощности. По своему определению G (ω) есть вещественная неотрицательная функция частоты. Спектральная плотность мощности играет фундаментальную роль в прикладной теории стационарных случайных процессов.

6.5. Теорема Винера–Хинчина Эта теорема устанавливает связь между корреляционной функцией R (τ) и спектральной плотностью мощности G (ω) и утверждает, что эти характеристики стационарного случайного процесса связаны парой преобразования Фурье [22]:Equation

Chapter 6 Section 5 ∞

G (ω) =

∫ R ( τ) e

− jωτ

d τ,

(6.5.1)

−∞

∞

R (τ) =

1 j ωτ ∫ G (ω)e d ω. 2 π −∞

(6.5.2)

Поскольку R (τ) – чётная функция аргумента τ, то соответствующий спектр мощности G (ω) представляет собой чётную функцию частоты. Отсюда следует, что пара ПФ (6.5.1) и (6.5.2) может быть записана в виде ∞

G (ω) = 2 ∫ R (τ) cos ωτ d τ,

(6.5.3)

0

∞

R (τ) =

1 G (ω) cos ωτ d ω. π ∫0

(6.5.4)

Пример 6.5.1. Рассмотрим стационарный процесс X (t ) с равномерной спектральной плотностью в полосе частот [ −ωв , ω в ] :

G0 = const, при ω ≤ ωв , G (ω) =  при ω > ωв . 0,

ограниченным по полосе спектром: мощности, б – корреляционная функция

Рис. 6.5.1. Характеристики шума с а – спектральная плотность

В соответствии с (6.5.4) корреляционная функция этого процесса

R (τ) =

G0 π

ωв

∫ cos ωτd ω = 0

G0 ωв sin ω в τ . π ωв τ

(6.5.5)

Из рис. 6.5.1б видно, что при значениях τ, кратных π / ωв , R (τ) = 0, т. е. сечения процесса, разделенные интервалом λ ⋅ ( π / ωв ) , где λ – целое, некоррелированы между собой. При ωв → ∞ приходим к процессу, который называется белым шумом. Корреляционная функция белого шума R (τ) = (G0 / 2) ⋅ δ ( τ ) .

(6.5.6)

Это следует из (6.5.5), если воспользоваться определением δ-функ-ции на рис. 1.8.10. Таким образом, белый шум является дельта-коррелированным. Некоррелированность мгновенных значений такого случайного

189

сигнала означает бесконечно большую скорость изменения их во времени. Белый шум физически нереализуем, однако он часто используется в качестве математической модели многих процессов, например, когда полоса пропускания системы, на которую воздействует широкополосный случайный сигнал, много меньше ширины спектра шума. Пример 6.5.2. Для узкополосного случайного процесса со спектром шириной ∆ ω, сосредоточенным возле частот ±ω0 (рис. 6.5.2а), имеем с учётом предыдущего примера и теоремы смещения ПФ:

Рис. 6.5.2. Характеристики узкополосного случайного процесса: а – спектральная плотность мощности, б – корреляционная функция

R (τ) =

G0 ∆ω 2π

∆ω τ 2 cos ω 0 τ. ∆ω τ 2

sin

(6.5.7)

Эта функция изображена на рис. 6.5.2б. Пример 6.5.3. Пусть процесс X (t ) имеет экспоненциальную функцию корреляции

R (τ) = σ 2 e На основании (6.5.1) его спектральная плотность мощности будет

∫

−∞

,

α > 0.

(6.5.8)

∞

0

G (ω) = σ 2

−α τ

eα τ ⋅ e − j ωτ d τ + σ 2 ∫ e −α τ e− j ωτ d τ =

 1 = σ2  e( α− j ω) τ α − j ω 

0

τ= 0

− τ=−∞

1 e − ( α+ j ω) τ α + jω

 =  τ= 0 

τ=∞

 1 1  2α σ 2 = σ2  + . = 2 2  α − j ω α + jω  α + ω По форме эта функция совпадает с резонансной кривой колебательного контура (рис. 6.5.3б). Видно, что спектр мощности рассматриваемого процесса имеет выраженный низкочастотный характер – его максимум имеет место на нулевой частоте.

Рис. 6.5.3. Экспоненциальная функция корреляции – а и соответствующая ей спектральная плотность мощности – б

190

6.6. Представление случайных сигналов ортогональными рядами Как уже отмечалось, случайный сигнал можно рассматривать как функцию двух аргументов x(a, t ), a ∈ Ω, t ∈ T . Первый аргумент a является элементарным событием и принадлежит пространству Ω элементарных событий с заданной на нем вероятностной мерой. Это так называемое выборочное пространство. Второй аргумент t имеет обычно смысл времени и принадлежит множеству T . Аргумент t может быть непрерывным или дискретным. В соответствии с этим x(a, t ) – непрерывный или дискретный сигнал. В обоих случаях T может быть конечным или бесконечным. Функция, происходящая из a, обозначается как x(a, t ), однако проще обозначать её как x(t ), имея всегда в виду то,

что

конкретной

реализации

x (t )

соответствует

точка

в

выборочном

пространстве

Ω.

Equation Chapter 6 Section 6 В качестве элементов пространства сигналов можно рассматривать отдельные реализации некоторого случайного процесса. В гильбертовом пространстве реализаций L2 (T) скалярное произведение, норма и расстояние определяются следующим образом: (x, y ) = ∫ x(a, t ) y ∗ (a, t )dt , (6.6.1) T

2

x = M ∫ x (a, t ) dt ,

(6.6.2)

T

2

d (x, y ) = M ∫ x(a, t ) − y (a, t ) dt .

(6.6.3)

T

В этих формулах оператор M – оператор усреднения по всему множеству реализаций. В дискретном случае эти соотношения имеют вид

(x, y ) = ∑ x(a, k ) ⋅ y ∗ (a, k ),

(6.6.4)

x = M ∑ x ( a, k ) ,

(6.6.5)

k

2

k

d ( x, y ) = M ∑ x ( a , k ) − y ( a, k ) . 2

(6.6.6)

k

В предыдущих разделах мы познакомились с представлением детерминированных сигналов ортогональными рядами. Теперь распространим эти идеи на выборочные функции x(t ) случайного процесса

{ϕn (t )} ,

X (t ).

Выберем

произвольную

полную

ортонормированную

систему

функций

n = 1, 2, 3, K Тогда N

x(t ) = l.i.m ∑ cn ϕn (t ), 0 ≤ t < T ,

(6.6.7)

cn = ∫ x(t ) ⋅ ϕ∗n (t ) dt

(6.6.8)

N →∞

n =1

где T

– коэффициенты Фурье, а l.i.m. (limit in the mean – предел в среднем) соответствует пределу 2  N   lim = M ∫ x(t ) − ∑ cn ϕn (t ) dt  . (6.6.9) N →∞  T  n =1 Здесь возникают два вопроса. 1. Выбор ортогонального базиса, который при фиксированном N обеспечивает минимум ошибки в L2 (Т). 2. Какие условия, налагаемые на процесс, обеспечивают сходимость, оговоренную в (6.6.9)? Ответим сначала на первый вопрос. Пусть процесс центрирован, т. е. M [ x(t )] = mx = 0, и имеет автокорреляционную функцию Rx (t , s ) = M [ x(t ) x( s )]. (6.6.10)

Rx (t , s ) – симметричная функция. Тогда  N ε 2 ( N ) = M  ∫ x (t ) − ∑ an ϕn (t ) n =1  T

2

191

 N dt  = ∫ Rx (t , t )dt − ∑ M an n =1  T

2

=

N

= ∫ Rx (t , t ) dt − ∑

∫ ∫ R (t , x

s ) ϕn (t ) ϕ∗n ( s ) dsdt.

(6.6.11)

n =1 T T

T

Минимум (6.6.11) достигается, если ϕn (t ) – собственные функции интегрального уравнения

λ n ϕn ( s ) = ∫ Rx (t , s ) ϕn (t ) dt ,

(6.6.12)

T

соответствующие первым наибольшим собственным значениям λ1 , λ 2 , λ3 , K , λ n > 0.

В этом случае

симметричное ядро Rx (t , s ) интегрального уравнения (6.6.12) по теореме Мерсера представляется равномерно сходящимся на 0 ≤ t , s ≤ T рядом ∞

Rx (t , s ) =

∑ λ ϕ (t )ϕ (s). ∗ i

i

i

(6.6.13)

i =1

Подставляя (6.6.13) в (6.6.11), получаем после интегрирования N

ε 2 ( N ) = ∫ Rx (t , t )dt − ∑ λ n .

(6.6.14)

n =1

T

Условие (6.6.13) гарантирует нам, что ∞

lim ε 2 ( N ) = lim

N →∞

N →∞

∑

λ n = 0.

(6.6.15)

n = N +1

Разложение выборочной функции x(t ) случайного процесса по собственным функциям интегрального уравнения (6.6.12) с ядром Rx (t , s ) называется разложением Карунена–Лоэва или каноническим разложением. В этом случае коэффициенты Фурье некоррелированы, т. е. 0, при n ≠ m, M (cn cm∗ ) =  (6.6.16)  λ n , при n = m. Действительно:

M (cn cm∗ ) = ∫ ∫ Rx (t , s ) ϕn (t ) ϕ∗m ( s ) dsdt. T T

Подставляя сюда (6.6.13), получаем (6.6.16). Отметим, что для стационарных в широком смысле процессов, когда корреляционная функция зависит только от разности аргументов:

Rx (t , s ) = Rx (t − s ) = Rx (τ). Если величина интервала T выбрана такой, что при τ ≥ T значения корреляционной функции равны нулю или пренебрежимо малы, то собственные функции ϕn (t ) приближаются к комплексным экспоненциальным функциям e j n ∆ ωt , ∆ω = 2π / T . Разложение Карунена–Лоэва весьма полезно в теоретических исследованиях. Практическое использование его затруднено, т. к. решение уравнения (6.6.12) можно получить лишь в специальных случаях, например, для стационарных случайных процессов с рациональной спектральной плотностью. Однако даже если решение найдено, то практическая реализация разложения не всегда возможна.

6.7. Теорема Котельникова для случайных сигналов Введём понятие непрерывности случайного процесса [23]. Случайный процесс называется непрерывным в точке t в среднеквадратическом, если Equation Chapter 6 Section 7

{

lim M x(t + ς) − x(t ) ς→ 0

2

} = 0.

(6.7.1)

Случайный процесс, непрерывный при всех значениях t на некотором интервале, называется непрерывным на этом интервале. Необходимым и достаточным условием непрерывности стационарного случайного процесса при любом t является непрерывность его корреляционной функции при τ = 0. Это означает, что

lim Rx (τ) = Rx (0) = M [ x 2 (t )] < ∞. τ→ 0

Иначе говоря, процессы с конечной средней мощностью непрерывны. 192

Из непрерывности в среднеквадратическом следует непрерывность по вероятности: lim P { x(t + ς) − x(t ) ≥ ε} = 0, ε > 0. ς→ 0

Пусть x(t ) – реализация непрерывного стационарного процесса, спектральная плотность мощности которого G (ω) есть непрерывная функция частоты, тождественно равная нулю вне полосы частот ω ≤ ωв . Покажем, что для такого процесса выполняется равенство (в среднеквадратическом смысле) x (t ) =

∞

∑

x ( k ∆t ) ⋅

k = −∞

sin ωв (t − k ∆t ) , ωв (t − k ∆t )

∆t =

π . ωв

(6.7.2)

Для доказательства того, что это равенство справедливо в среднеквадратическом смысле, следует установить равенство корреляционных функций процессов, представляющих левую и правую части. Обозначив ϕ k (t ) =

sin ωв (t − k ∆t ) , ωв (t − k ∆t )

будем иметь ∞  ∞  M  ∑ x(k ∆t ) ϕk (t ) ∑ x(m∆t ) ϕm (t + τ)  = m = −∞  k = −∞ 

∞  ∞  =  ∑ ∑ Rx [(k − m)∆t ]ϕk (t )ϕm (t + τ)  =  k = −∞ m = −∞  ∞ sin ωв (τ − n∆t ) = ∑ Rx (n∆t ) = Rx (τ). ωв (τ − n∆t ) n = −∞

Последнее равенство обусловлено тем, что спектральная плотность G (ω) ограничена полосой частот ω ≤ ωв . Равенство (6.7.2) означает, что непрерывный в среднеквадратичном стационарный случайный процесс с ограниченным спектром мощности может быть представлен счётным множеством случайных величин (координат в базисе функций отсчётов) xk = x(k π / ωв ), k = 0, ± 1, ± 2, K Это представление точно в том смысле, что средний квадрат ошибки равен нулю. Координаты xk в общем случае являются коррелированными случайными величинами.

6.8. Восстановление случайного сигнала по дискретным отсчётам Будем считать, что восстановление сигнала осуществляется с помощью интерполирующего фильтра определённого вида.

Среднеквадратичная погрешность интерполяции для случайного сигнала Пусть x(t ) – реализация стационарного непрерывного в среднеквадратичном случайного процесса с нулевым средним ( M [ x(t )] = 0) и корреляционной функцией Equation

Chapter 6 Section 8

Rx (τ) = M [ x(t ) x(t − τ) ] .

(6.8.1)

где M – оператор математического усреднения (усреднения по ансамблю). Дискретизованный с шагом ∆t сигнал поступает на вход интерполирующего фильтра. Восстановленный сигнал

193

) x (t ′) =

∞

∑

x(k ∆t )h(t ′ − k ∆t ),

(6.8.2)

k = −∞

где t ′ = t − τ з – текущее время с учётом запаздывания отклика фильтра, h(t ) – импульсная характеристика фильтра. Вид этой функции для трёх видов интерполяции – ступенчатой, линейной и интерполяции по Котельникову – представлен на рис. 6.8.1.

Рис. 6.8.1. Восстановление с помощью интерполирующих фильтров: а – интерполятор нулевого порядка; б – интерполятор первого порядка; в – интерполяция по Котельникову

Ошибку интерполяции будем рассматривать без учета запаздывания отклика фильтра:

ξ(t ) = x(t ) −

∞

∑

x(k ∆t ) ⋅ h(t − k ∆t ).

(6.8.3)

k = −∞

При принятых условиях ошибка интерполяции является реализацией нестационарного случайного процесса. Характеристики такого процесса, в том числе корреляционная функция

Rξ (t , τ) = M [ξ(t ) ⋅ ξ(t − τ)],

(6.8.4)

зависят от времени. Практически удобно пользоваться усредненной по аргументу t корреляционной функцией. В данном случае Rξ (t , τ) периодична по t с периодом, равным шагу дискретизации ∆t , поэтому достаточно усреднить Rξ (t , τ) в интервале [0, ∆t ]:

Rξ (τ) =

1 ∆t

∆t

∫

Rξ (t , τ)dt.

(6.8.5)

0

Получим выражение, связывающее Rξ (τ) с корреляционной функцией Rx (τ) исходного сигнала x(t ), шагом дискретизации ∆t и импульсной характеристикой интерполирующего фильтра h(t ) . Положив далее

τ = 0, сможем получить выражение для дисперсии ошибки интерполяции σξ2 = Rξ (0). Выражение (6.8.5) с учетом (6.8.1) – (6.8.4) будет

Rξ (τ) = =

1 ∆t

∆t

1 ∆t

∫

M [ξ(t ) ⋅ ξ(t − τ)]dt =

0

∆t

∫

M {[ x(t ) −

∞

∑

x(k ∆t ) ⋅ h(t − k ∆t )] ⋅

k = −∞

0

∞

∑

⋅[ x(t − τ) −

x(l ∆t ) ⋅ h(t − τ − l ∆t )]}dt =

l = −∞

= Rx (τ) + − −

1 ∆t 1 ∆t

∞

1 ∆t

∞

∆t

∞

∑ ∑ R [(k − l )∆t ] ∫ x

k = −∞ l = −∞

h(t − k ∆t )h(t − τ − l ∆t )dt −

0

∆t

∑ ∫ R (t − k ∆t )h(t − τ − k ∆t )dt − x

k = −∞ 0 ∞

∆t

∑ ∫ R (t − τ − k ∆t )h(t − k ∆t )dt. x

k = −∞ 0

Сделаем замену переменной интегрирования t − k ∆t = s и переменной суммирования k − l = m. Тогда

194

Rξ (τ) = Rx (τ) + −

1 ∆t

∞

( k +1) ∆t

k = −∞

k ∆t

∑

∫

1 ∆t

∞

∑

[Rx (m∆t )

m = −∞

Rx ( s )h( s − τ)ds −

∞

( k +1) ∆t

k = −∞

k ∆t

∑

1 ∆t

∫

h( s )h( s − τ − m∆t )]ds −

∞

( k +1) ∆t

k = −∞

k ∆t

∑

∫

Rx ( s − τ)h( s )ds.

Используя очевидное тождество ∞

( k +1) ∆t

k = −∞

k ∆t

∑

∞

∫

∫ y(s)ds,

y ( s )ds =

−∞

можем записать

Rξ (τ) = Rx (τ) + 1 − ∆t

1 ∆t

∞

∞

∑

m = −∞

Rx (m∆t ) ∫ h( s )h( s − τ − m∆t )ds − −∞

∞

1 ∫−∞ Rx ( s)h(s − τ)ds − ∆t

∞

∫

Rx ( s − τ)h( s )ds.

−∞

Положив τ = 0, получаем выражение для средней за период ошибки интерполяции:

σξ2 = Rξ (0) = σ 2x +

1 ∆t

∞

∑

m = −∞

∞

Rx (m∆t ) ∫ h( s )h( s − m∆t )ds −

2 ∆t

∞

∫

Rx ( s )h( s )ds, (6.8.6)

∫ R (s)h(s)ds].

(6.8.7)

−∞

−∞

где σ 2x = Rx (0) – дисперсия исходного случайного сигнала. Для ступенчатой интерполяции (рис. 6.8.1а)

σξ2 = 2[σ2x −

1 ∆t

∆t x

0

Для линейной интерполяции (рис. 6.8.1б)

σξ2 =

5 2 1 4 σ x + Rx (∆t ) − 3 3 ∆t

∆t

s

∫ R (s)(1 − ∆t )ds. x

(6.8.8)

0

Для интерполяции по Котельникову (рис. 6.8.1в)

σξ2 = 2[σ 2x −

2 ∆t

∞

∫ R (s) x

0

sin 2πf c s ds ], 2πf c s

fc =

1 . 2 ∆t

(6.8.9)

В (6.8.9) было учтено, что функции отсчетов ортогональны на (−∞, ∞). Полученные выражения позволяют по известной корреляционной функции случайного процесса достаточно просто рассчитать ошибку восстановления случайного сигнала по его выборочным значениям для трех важных видов интерполяции. Можно показать, что в общем случае не существует такого интерполирующего фильтра, который обеспечивает безошибочное восстановление стационарного случайного сигнала по дискретным отсчётам. Лишь сигналы со строго ограниченным спектром могут быть безошибочно восстановлены с помощью идеального фильтра нижних частот в соответствии с теоремой Котельникова. Реальные сигналы не могут иметь строго ограниченного спектра, поэтому восстановление их по дискретным отсчётам всегда будет сопровождаться некоторой ненулевой погрешностью.

6.9. Дискретный случайный процесс Дискретный случайный процесс можно рассматривать как ансамбль действительных или комплексных временных последовательностей. Обозначим такой ансамбль x [ k ; i ] , где i – i -я последовательность этого ансамбля, а k – индекс дискретного времени. При заданном i будем использовать сокращенное обозначение x [ k ] . Для фиксированного k значения наблюдаемого отсчета по всем последовательностям ансамбля (сечение в момент k ) будет представлять некоторую случайную величину. Вероятность того, что x [ k ] ≤ a, описывается функцией распределения F ( a, k ) = P ( x [ k ] ≤ a ) .

Соответствующая плотность вероятности будет 195

p ( a; k ) =

∂F ( a, k ) ∂a

.

Среднее значение случайного процесса x [ k ] : x [ k ] = M { x [ k ]}

в общем случае зависит от момента k . Автокорреляция случайного процесса

rxx [ k1 , k2 ] = M { x[k1 ] x∗ [k2 ]} .

Автоковариация, т. е. автокорреляция центрированного случайного процесса: cxx [ k1 , k2 ] = M

{( x [ k ] − x [ k ]) ( x 1

1

∗

[ k2 ] − x ∗ [ k2 ])} =

= rxx [ k1 , k2 ] − x [ k1 ] ⋅ x ∗ [ k2 ] .

Если среднее значение случайного процесса равно нулю при всех k , то автокорреляция и автоковариация такого процесса совпадают. При рассмотрении двух различных случайных процессов x [ k ] и y [ k ] вводятся понятия взаимной корреляции (кросскорреляции): rxy [ k1 , k2 ] = M { x [ k1 ] ⋅ y ∗ [ k2 ]}

и взаимной ковариации:

cxy [ k1 , k 2 ] = rxy [ k1 , k 2 ] − x [ k1 ] ⋅ y ∗ [ k2 ] .

Во всех выше приведенных определениях отражена явная зависимость от индекса времени.

Equation Chapter 6 Section 9 Стационарный в широком смысле случайный процесс характеризуется тем, что его среднее значение постоянно при всех k , а автокорреляция зависит только от разности m = k2 − k1 : x [k ] = x , rxx [ m ] = M { x [ k + m ] x∗ [ k ]}

(6.9.1) – автокорреляционная последовательность (АКП). Отметим следующие полезные на практике свойства АКП: rxx [ 0] ≥ rxx [ m ] , (6.9.2) rxx [ −m ] = rxx ∗ [ m ] ,

(6.9.3)

справедливые при всех целых m. Спектральная плотность мощности (СПМ) определяется как дискретное во времени преобразование Фурье (ДВПФ) автокорреляционной последовательности Gxx ( f ) = ∆t

∞

∑

rxx [ m ] e − j 2 πf m ∆t ,

(6.9.4)

m = −∞

где ∆t – шаг дискретизации по времени. Ширина полосы СПМ ограничена значениями ±1 / 2∆t Гц. Кроме того, СПМ периодична по частоте с периодом f д = 1 / ∆t Гц. Функция СПМ описывает распределение мощности случайного процесса по частоте. Обратное ДВПФ 1

rxx [ m ] =

2∆ t

∫

Gxx ( f ) ⋅ e j 2 πf m∆t df

(6.9.5)

− 12∆ t

при m = 0 дает 1

rxx [ 0] =

2∆ t

∫

Gxx ( f ) df

(6.9.6)

− 12 ∆ t

– среднюю мощность случайного процесса. Пара ДВПФ (6.9.4) и (6.9.5) представляет теорему Винера–Хинчина для дискретного времени. Поскольку rxx [ −m] = rxx∗ ( m ) , то СПМ должна быть действительной положительной 196

функцией. Если АКП – действительная функция, то rxx [ −m] = rxx [ m] и СПМ – чётная функция частоты, и мы можем записать Gxx ( f ) = 2∆t

∞

∑ r [m]cos 2π f m∆t. xx

(6.9.7)

m = 0

Приведём примеры дискретных случайных процессов. Пример 6.9.1. Особый интерес представляет дискретно-временной белый шум ν ( k ) , для которого ν ( k ) = 0, rνν [ m ] = σν2 ⋅ 1 [ m ] ,

где 1, m = 0, 1 [ m] =  0, m ≠ 0,

– единичный импульс и σν2 – дисперсия шума, равная rνν [ 0] . При остальных m ≠ 0 белый шум не коррелирован сам с собой. СПМ белого шума Gνν ( f ) = ∆t σ2ν

постоянна на всех частотах. Пример 6.9.2. Рассмотрим дискретную линейную инвариантную во времени систему с импульсной характеристикой h [ k ] .

Пусть на входе действует стационарный в широком смысле дискретный случайный процесс x [ k ] с нулевым средним значением. Выход y [ k ] системы также будет процессом стационарным в широком смысле. Имеют место следующие соотношения между автокорреляциями и взаимными корреляциями входного и выходного процессов:  ∞  ryx [ m ] = M { y [ k + m ] ⋅ x∗ [ k ]} = M  ∑ x [ k + m − l ] ⋅ h [l ] ⋅ x∗ [ k ]  = l = −∞ 

=

∞

∑ r [m − l ] ⋅ h [l ], xx

l = −∞

т. е. где ⊗ – символ свертки. Аналогично

ryx [ m ] = rxx [ m ] ⊗ h [ m ] ,

(6.9.8)

rxy [ m ] = rxx [ m ] ⊗ h∗ [ −m ] ,

(6.9.9)

  ryy [ m ] = rxx ⊗  ∑ h [ k + m ] ⋅ h∗ [ k ]  .  k = −∞  ∞

Введем z-преобразование характеристики:

этих

корреляционных

функцией

Z Z Gxx ( z ) ← → rxx ( m ) ; Gxy ( z ) ← → rxy ( m ) ; Z Z G yy ( z ) ← → ryy ( m ) ; G yx ( z ) ← → ryx ( m ) и Z H ( z ) ← → h ( m) .

Тогда по теореме о свертке для z-преобразования будем иметь 197

(6.9.10) и

импульсной

G yx ( z ) = Gxx ( z ) ⋅ H ( z ) ,  1 Gxy ( z ) = Gxx ( z ) ⋅ H ∗  ∗ z

 ,   1 G yy ( z ) = Gxx ( z ) ⋅ H ( z ) ⋅ H ∗  ∗ z

 , 

где мы использовали свойство  1 Z h∗ [ −m ] ← → H∗  ∗ z

 . 

Если h [ m] – действительная последовательность, то  1 1 H∗  ∗  = H  . z  z Отсюда получаем связь спектральных плотностей мощности на выходе и входе дискретной ЛИВ-системы: G yy ( f ) = ∆t ⋅ G yy ( z )

2

z = e j 2 πf ∆t

= Gxx ( f ) ⋅ H ( f ) ,

(6.9.11)

т. е. СПМ стационарного дискретного случайного процесса на выходе ЛИВ-истемы определяется произведением СПМ входного процесса на квадрат модуля частотной характеристики системы. Пример 6.9.3. Рассмотрим теперь гауссов дискретный стационарный случайный процесс. При любом индексе времени k он будет характеризоваться плотностью вероятности p ( x) =

−

1 2πσ x

e

( x−x )

2

2 σ2x

,

−∞ < x < ∞.

Для действительного случайного процесса последовательные отсчеты x [ k ] , x [ k + 1] , K , x [ k + N − 1]

образуют вектор-столбец x = ( x [ k ] x [ k + 1] K x [ k + N − 1]) с совместной плотностью вероятности вида T

p ( x ) = (2π) N det C N 

−1 / 2

 1  exp  − (x − x )T C N−1 (x − x )  ,  2 

где ковариационная ( N × N ) матрица С имеет вид: C N = M {(x − x )(x − x )T } ,

 cxx [ 0] cxx [1] L cxx [ N − 1]    cxx [ 0] L cxx [ N − 2]  cxx [1] , CN =  cxx [1]   M M M   c [ N − 1] c [ N − 2]  c 0 [ ] xx xx xx   cxx [m] = M {( x[k + m] − x )( x[k ] − x )} .

Здесь T – знак транспонирования, а N-элементный вектор среднего значения x даётся выражением x = M (x). Видно, что для стационарного процесса все ковариационные коэффициенты на любой диагонали матрицы CN одинаковы. Такая матрица называется матрицей Теплица. Пример 6.9.4. Пусть имеется суперпозиция L действительных синусоид L

x[k ] = ∑ Ai sin(2π f i k ∆t + ϕi ), i =1

каждая из которых имеет фиксированные значения амплитуды и частоты, а случайная фаза равномерно распределена на интервале [−π, π] и не зависит от фаз других синусоид. Тогда среднее значение и автокорреляционная последовательность этих L синусоид будут

198

L

x = ∑ Ai i =1

π

1

∫ sin(2πf k ∆t + ϕ ) 2π d ϕ i

i

i

= 0,

−π

L

rxx (m) = ∑ Ai 2 i =1

L

=∑ i =1

π

1

∫ sin[2πf (k + m)∆t + ϕ ]sin(2πf k ∆t + ϕ ) 2π d ϕ i

i

i

i

i

=

−π

Ai 2 cos(2πf i m∆t ). 2

6.10. От средних по ансамблю к средним по времени Свойство эргодичности позволяет оценивать статистические характеристики процесса по одной выборочной реакции, заменяя усреднение по ансамблю усреднением по времени. Говорят, что случайный процесс эргодичен, если все его статистические характеристики с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно предсказать по одной реакции из ансамбля с помощью усреднения по времени. Эргодичность требует стационарности процесса, вплоть до момента четвертого порядка.Equation Chapter 6 Section 10 Замечание. Почти все наблюдаемые на практике стационарные процессы являются также эргодическими процессами. Допущение об эргодичности позволяет ввести следующее определение СПМ:  N 1 Gx x ( f ) = lim M  ∆ t ∑ x [k ] e − j 2π f k ∆ t N →∞ k = −N  ( 2 N + 1) ∆ t

2

 . 

(6.10.1)

Эта эквивалентная форма СПМ получается статистическим усреднением квадрата модуля ДВПФ последовательности x [ k ] , поделенного на длину массива данных, когда число отсчетов увеличивается до бесконечности. Соотношение (6.10.1) эквивалентно теореме Винера–Хинчина (доказать самостоятельно). Если в выражении (6.10.1) опустить операцию математического ожидания, то получим оценку СПМ: ) G xx ( f ) = lim

2

N 1 ∆t ∑ x [ k ] ⋅ e− j 2 π f k ∆ t , N →∞ (2 N + 1) ∆ t k = −N

(6.10.2)

которая называется выборочным спектром или периодограммной оценкой. Т. о. при пользовании периодограммой необходимо некоторое усреднение или сглаживание. Можно показать, что выборочный спектр не является состоятельной оценкой истинной СПМ. Хотя среднее значение выборочного спектра в пределе стремится к истинной СПМ, дисперсия при этом к нулю не стремится и по своей величине сравнима со средним значением выборочного спектра. Во второй части будут рассмотрены методы усреднения, которые обеспечивают получение гладких и статистически устойчивых спектральных оценок по конечному числу отсчетов x [ k ] . Задачи к главе 6

6.1. Пусть x(t ) – выборочная функция центрированного стационарного случайного процесса с корреляционной функцией Rx (τ). Образуем новую функцию y (t ) = x(t ) − ρx(t + τ). Определить величину ρ, которая минимизирует средний квадрат процесса y (t ). 6.2. Действительный случайный сигнал x(t ) имеет автокорреляционную функцию Rx (τ) =

sin 2πf в τ , −∞ < τ < ∞. 2πf в τ

а) Найти постоянную составляющую для x(t ). б) Найти среднюю мощность для x(t ). в) x(t ) пропускается через фильтр с частотной характеристикой

199

 − j,  H ( f ) =  j,  0, 

0 < f < f в / 4, − f в / 4 < f < 0, f > f в / 4.

Найти полную среднюю мощность на выходе фильтра. Найти спектральную плотность мощности на выходе фильтра. 6.3. Пусть L

x[k ] = ∑ Ai exp(2πf i k ∆t + ϕi ) i=1

процесс, состоящий из L комплексных синусоид, каждая из которых имеет фиксированные значения амплитуды и частоты, а случайная фаза равномерно распределёна на интервале [−π, π] и не зависит от фаз других синусоид. Показать, что автокорреляционная последовательность процесса L

rxx (m) = ∑ Ai2 exp(2πfi m ∆t ). i =1

6.4. К процессу, рассмотренному в предыдущем примере, добавляется белый шум υ [k ] с дисперсией σ2υ . Показать, что суммарный процесс y[k ] = x[k ] + υ[k ] будет иметь автокорреляционную последовательность следующего вида: L

rxx (m) = ∑ Ai2 exp(2πf i m∆t ) + σ 2υ 1[m]. i =1

6.5. Трансверсальный фильтр (см. п. 4.6) представляет собой линию задержки с отводами, взятыми с шагом ∆t . Сигналы с различных отводов суммируются с определённым весом, как показано на рисунке. Сигналы на отводах линии задержки представляется вектор-столбцом X(t ) = [ X (t ) X (t − ∆t ) K X (t − N ∆t )]T . Аналогично векторстолбец весовых коэффициентов h = (h0 h1 K hN )T .

а) Написать выражение для вектора Y(t ) на выходе фильтра. б) Пусть X (t ) – стационарный случайный процесс с автокорреляционной функцией RX (τ). Написать выражение для автокорреляционной функции RY (τ) выходного процесса Y (t ).

200

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Учебники и учебные пособия 1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Высшая школа, 2000. 2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Радио и связь, 1986. 3. Манаев Е.И. Основы радиоэлектроники. – М.: Радио и связь, 1990. 4. Митяшев Б.Н. Лекции по импульсной технике. – М.: МФТИ, 1972. 5. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.И. Цифровая обработка сигналов. – М.: Радио и связь, 1990. 6. Романюк Ю.А. Спектры импульсных сигналов. – М.: МФТИ, 1992. 7. Романюк Ю.А. Дискретные преобразования сигналов. – М.: МФТИ, 1981. 8. Романюк Ю.А. Основы обработки сигналов. – М.: МФТИ, 1989. 9. Романюк Ю.А., Лилеин А.Л. Быстрое вычисление свёртки и ДПФ. – М.: МФТИ, 1988. 10. Романюк Ю.А., Лилеин А.Л. Задачи и упражнения по обработке сигналов. – М.: МФТИ, 1991. 11. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2003. 12. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций / Авторы Солонина А.И. и др. – СПб.: БХВ– Петербург, 2003.

Книги по математике 13. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1972. 14. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – 5-е изд. – М.: Наука 1988. 15. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1989. 16. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. – М.: МФТИ, 1997. 17. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1989.

Литература по отдельным разделам 18. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости. – М.–Л.: Госэнергоиздат, 1956. 19. Харкевич А.А. Спектры и анализ. – М.: Гос. изд. ф.м. лит., 1962. 20. Френкс Л. Теория сигналов: Пер. с англ. / Под ред. Д.Е. Вакмана. – М.: Советское радио, 1974. 21. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике. – М.: Наука, 1971. 22. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. – М.: Наука, 1976. 23. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая. – М.: Советское радио, 1974. 24. Давенпорт В.Б., Рут В.Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. Пер. с англ. / Под ред. Р.Л. Добрушина. – М.: ИЛ, 1960. 25. Хармут Х.Ф. Передача информации ортогональными функциями / Пер. с англ. – М.: Связь, 1975. 26. Введение в цифровую обработку сигналов. Пер. с англ. / Под ред. Р. Богнера и А. Константинидиса. – М.: Мир, 1976. 27. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. Пер. с англ. – М.: Мир, 1978. 28. Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов / Пер. с англ. – М.: Связь, 1980. 29. Ярославский Л.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии. – М.: Радио и связь, 1987. 30. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. Пер. с фр. / Под ред. Н.Г. Волкова. – М.: Мир, 1983. 31. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы / Пер. с англ. – М.: Мир, 1988. 32. Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли / Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. 33. Марпл.-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. 34. Sanjit K. Mittra. Digital Signal Processing. McGraw-Hill, 1998. 35. Чуи К. Введение в вейвлеты / Пер. с англ. – М.: Мир, 2001 36. Бернард Скляр. Цифровая связь / Пер. с англ. – М.: Изд. дом Вильямс, 2003.

201

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ....................................................................................... 3 ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ...................................................................... 5 1.1. Классификация сигналов .............................................................. 5 1.2. Пространства сигналов ................................................................. 7 Метрические пространства.......................................................................... 7 Линейные пространства............................................................................... 8 Гильбертово пространство .......................................................................... 9

1.3. Примеры пространств сигналов ................................................. 11 Пространство L 2 ....................................................................................... 11 Пространство l 2 ......................................................................................... 12 Пространство l N2 ....................................................................................... 13

1.4. Представление сигналов ортогональными рядами. Общий метод дискретизации ............................................................ 15 1.5. Обобщённые ряды Фурье. Полные ортонормированные системы ............................................. 17 1.6. Некоторые системы базисных функций из L2 .......................... 19 Функции отсчётов ...................................................................................... 20 Импульсные базисные функции ............................................................... 21 Комплексные экспоненциальные функции.............................................. 22 Функции Уолша ......................................................................................... 22

1.7. Некоторые базисные системы из l N2 .......................................... 28 Система единичных импульсов ................................................................ 28 Дискретные экспоненциальные функции (ДЭФ) .................................... 28 Система Уолша–Адамара.......................................................................... 30 Функции Хаара…………………………………………………………… 33

Вопросы, задачи и упражнения к пп. 1.1–1.7................................... 34 1.8. Спектральный метод анализа линейных систем....................... 37 1.8.1. Преобразование Фурье. Основные свойства.................................. 37 Свойства спектральной плотности........................................................ 38 Основные спектральные теоремы ......................................................... 40 1.8.2. Импульсные воздействия в линейных системах............................ 42 1.8.3. Спектры импульсных сигналов....................................................... 43 Спектр одиночного прямоугольного импульса.................................... 43 Спектр симметричного треугольного импульса .................................. 45 Спектр косинусоидального импульса................................................... 46 Спектр одностороннего экспоненциального импульса....................... 47 Спектр двустороннего экспоненциального импульса ......................... 48 Спектр колокольного импульса............................................................. 48 Спектр короткого одиночного импульса………………………………49 Связь между длительностью импульса и шириной его спектра ........ 50 1.8.4. Дельта-функция и её спектр............................................................ 52 Производные от дельта-функций………………………………………55 1.8.5. Спектры некоторых неинтегрируемых сигналов .......................... 56 Спектр действительного гармонического сигнала .............................. 56 Спектр функции включения .................................................................. 57 Спектр функции знака............................................................................ 58 1.8.6. Примеры нахождения спектров...................................................... 58 Спектр сигнала на выходе интегратора ................................................ 58 Спектр отрезка синусоиды..................................................................... 59 Спектр пачки равноотстоящих импульсов ........................................... 60 Сводка основных свойств ПФ ............................................................... 62

1.9. Спектры периодических сигналов ............................................. 65 Спектр гармонического сигнала............................................................ 65 Спектр T-периодического сигнала ........................................................ 65 Спектр периодической последовательности дельта-функций ............ 67 Спектральная функция периодической последовательности прямоугольных импульсов ................................. 68

202

Задачи и упражнения к пп. 1.8–1.9 ................................................... 69 1.10. Преобразование Лапласа в линейных системах ..................... 74 1.10.1. Теорема разложения Хевисайда.................................................... 76 Кратные полюсы………………………………………………………….. 77 1.10.2. Применение преобразования Лапласа для анализа цепей………79 Основные теоремы одностороннего преобразования Лапласа............... 83 Основные свойства одностороннего преобразования Лапласа .............. 84

Упражнения и задачи к п. 1.10 .......................................................... 84 1.11. Динамическое представление сигналов .................................. 87 Упражнения и задачи к п. 1.11 .......................................................... 95 1.12. Представление колебаний в комплексной форме................... 97 Комплексная огибающая ........................................................................... 97 Спектр комплексной огибающей ............................................................ 100 Аналитический сигнал. Преобразование Гильберта ............................. 101 Некоторые свойства преобразования Гильберта ................................... 102

Упражнения и задачи к п. 1.12 ........................................................ 106 1.13. Преобразование Хартли.......................................................... 109 Примеры вычисления преобразования Хартли ..................................... 110

Упражнения и задачи к п. 1.13 ........................................................ 113 1.14. Введение в вейвлет-анализ сигналов ..................................... 114 От анализа Фурье к вейвлет-анализу...................................................... 114 Признаки вейвлета ................................................................................... 117 Примеры материнских вейвлетов ........................................................... 118 Вейвлет-преобразование (ВП)................................................................. 121 Свойства вейвлет преобразования .......................................................... 123 Частотно-временная локализация ВП .................................................... 123 Вейвлет-ряды............................................................................................ 126 Дискретное вейвлет-преобразование...................................................... 128 Пример вейвлет преобразования ............................................................ 128

ГЛАВА 2. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ АНАЛОГОВЫХ СИГНАЛОВ ……131 2.1. Функция дискретизации. Модель дискретизованного сигнала ............................................... 131 2.2. Спектр дискретизованного сигнала ......................................... 134 2.3. Теорема Котельникова .............................................................. 136 Сигналы с финитным спектром .............................................................. 136 Сигналы с нефинитным спектром .......................................................... 138

2.4. Дискретизаторы с конечным временем выборки ................... 141 2.5. Восстановление сигналов по их отсчётам............................... 149 Идеальная интерполяция………………………………………………...149 Реальные фильтры……………………………………………………….151 Каузальная аппроксимация ИФНЧ ......................................................... 152 Фильтры Баттерворта и Чебышева ......................................................... 155 Реальные импульсы.................................................................................. 159

2.6. Восстановление сигналов по дискретным отсчётам путём интерполяции......................................................................... 161 Ступенчатая интерполяция...................................................................... 162 Фиксатор нулевого порядка .................................................................... 163 Линейная интерполяция .......................................................................... 165

2.7. Дискретизация в частотной области ........................................ 167 Дискретизация энергетического спектра ............................................... 168 База сигнала .............................................................................................. 169

2.8. Дискретизация полосовых радиосигналов .............................. 170 Дискретизация аналитического сигнала ................................................ 171 Квадратурная дискретизация .................................................................. 173 Формирование отсчетов квадратур из отсчётов узкополосного радиосигнала .............................................. 175 Дискретизация второго порядка ............................................................. 181

2.9. Субдискретизация полосовых радиосигналов ........................ 182 Выбор частоты дискретизации………………………………………….183

Упражнения и задачи к главе 2 ....................................................... 187 ГЛАВА 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ ...... 201 3.1. Оценка спектра сигнала последовательности его отсчётов... 201 Конечное число выборок. Явление Гиббса ............................................ 203

3.2. Дискретное во времени преобразование Фурье...................... 205 Основные свойства и теоремы ДВПФ.................................................... 207

3.3. Дискретный во времени ряд Фурье.......................................... 210 Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) ............................................ 211

203

Свойства и теоремы ДПФ........................................................................ 212 Теорема о циклической свёртке .............................................................. 214 Разбиение 2N-точечного ДПФ на два N-точечных................................ 215 Матричная форма ДПФ ........................................................................... 216

3.4. Соответствие между ДПФ, рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье ........................................ 218 Связь ДПФ и ДВПФ................................................................................. 220 Интерполяция добавлением нулевых отсчётов ..................................... 221 Интерполяция функций с ограниченной полосой с помощью ДПФ ... 223 Переход от непрерывных к дискретным преобразованиям .................. 224

3.5. Быстрое преобразование Фурье ............................................... 226 3.6. Алгоритм БПФ с составным основанием................................ 227 3.7. Алгоритмы БПФ с основанием 2 ............................................. 230 3.8. Алгоритм БПФ с основанием 4 ................................................ 235 3.9. Другие дискретные преобразования ........................................ 238 Дискретное преобразование Хартли (ДПХ)........................................... 239 Сдвинутое дискретное преобразование Фурье ...................................... 239 Дискретное косинусное преобразование (ДКП).................................... 241

Задачи и упражнения к главе 3........................................................ 242 ГЛАВА 4. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ…………………………………………………………... 248 4.1. Переход от преобразования Лапласа к z-преобразованию................. 248

4.2. Свойства z-преобразования ...................................................... 252 4.3. Примеры z-преобразования ...................................................... 254 4.4. Вычисление обратного z-преобразования............................... 258 Метод разложения на простые дроби…………………………………..258 Метод контурного интегрирования…………………………………….260 Метод разложения в степенной ряд…………………………………….260

4.5. Применение z-преобразования для анализа линейных дискретных фильтров....................................................................... 261 Линейные дискретные фильтры………………………………...261 Передаточная функция дискретного фильтра........................................ 262 Импульсная и частотная характеристики дискретного фильтра ......... 264

4.6. Примеры линейных дискретных фильтров ............................. 267 БИХ-фильтр……………………………………………………………...267 Дискретный накопитель…………………………………………………268 Простой дискретный дифференциатор…………………………………269 Идеальный дискретный дифференциатор……………………………..269 Трансверсальный фильтр………………………………………………..271

Задачи и упражнения к главе 4........................................................ 273 ГЛАВА 5. СВЕРТКА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ………………..278 5.1. Линейная дискретная свертка………………………………….278 5.2. Циклическая свертка и корреляция.......................................... 280 Матричная форма циклической свёртки ................................................ 282

5.3. Вычисление линейной свертки с помощью циклической методом БПФ…………………………...283 5.4. Секционированная свертка....................................................... 287 Метод перекрытия с накоплением .......................................................... 287 Метод перекрытия с суммированием ..................................................... 290

ГЛАВА 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ................. 291 6.1. Случайные величины и ожидания ........................................... 291 Моменты, дисперсия, неравенство Чебышёва....................................... 292

6.2. Случайные процессы................................................................. 294 6.3. Стационарность и эргодичность .............................................. 299 Интервал корреляции............................................................................... 302 Фильтрация случайных процессов ......................................................... 303

6.4. Спектральная плотность мощности ......................................... 304 6.5. Теорема Винера–Хинчина ........................................................ 307 6.6. Представление случайных сигналов ортогональными рядами .................................................................. 310 6.7. Теорема Котельникова для случайных сигналов.................... 313 6.8. Восстановление случайного сигнала по дискретным отсчётам .................................................................. 314 Среднеквадратичная погрешность интерполяции для случайного сигнала ........................................................................... 314

6.9. Дискретный случайный процесс .............................................. 318

204

6.10. От средних по ансамблю к средним по времени .................. 323 Задачи к главе 6 ................................................................................ 324 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………..326

205