ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÐÎÑÒÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
Â. Ì. Êóçíåöîâ Çàäà÷è ñ ìåòîäè÷åñê...
11 downloads
210 Views
218KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÐÎÑÒÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
Â. Ì. Êóçíåöîâ Çàäà÷è ñ ìåòîäè÷åñêèìè óêàçàíèÿìè ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ ñòóäåíòîâ ÎÇÎ ýêîíîìè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ ×àñòü 1
Ðîñòîâ-íà-Äîíó 2004
Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ êàôåäðû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ. Ïðîòîêîë 8 îò 21.03.2003. Îòâåòñòâåííûé çà âûïóñê äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Â. Ï. Êîíäàêîâ.
Îâëàäåíèå îñíîâàìè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé òðåáóåò ðåøåíèÿ áîëüøîãî êîëè÷åñòâà çàäà÷. Ñóùåñòâóþùèå ó÷åáíûå ïîñîáèÿ íå ðàññ÷èòàíû íà çàî÷íèêîâ.  îòëè÷èå îò ñóùåñòâóþùèõ ó÷åáíûõ ïîñîáèé íàñòîÿùàÿ ðàçðàáîòêà ñîäåðæèò ìíîãî ðåøåííûõ çàäà÷ ñ ïîäðîáíûì îñâåùåíèåì õîäà ðåøåíèÿ.  ïîñîáèè èìåþòñÿ òàêæå çàäà÷è ñ îòâåòàìè, êîòîðûå ñòóäåíòû ìîãóò èñïîëüçîâàòü äëÿ êîíòðîëÿ óñâîåíèÿ ìàòåðèàëà.  ïåðâîé ÷àñòè ïîñîáèÿ ïðåäñòàâëåíû çàäà÷è ïî òåîðèè ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé.
3
Ñîäåðæàíèå Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. Ýëåìåíòû òåîðèè ìíîæåñòâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Êëàññè÷åñêàÿ ñõåìà è êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè . . . . 6 3. Êëàññèôèêàöèÿ ñîáûòèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4. Îñíîâíûå òåîðåìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5. Ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è Áýéåñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6. Ñõåìà Áåðíóëëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ëèòåðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4
Ââåäåíèå  ìåòîäè÷åñêîì ïîñîáèè àâòîðà [2] ïðèâåäåíû ïðîãðàììà, ìåòîäè÷åñêèå è ëèòåðàòóðíûå óêàçàíèÿ ïî êóðñó òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ ñòóäåíòîâ ÎÇÎ ýêîíîìè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ.  [2] ïðèâåäåíû òàêæå îáðàçöû òèïè÷íûõ çàäà÷ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Îäíàêî, â ýòîì ïîñîáèè íå óêàçàíû ìåòîäû ðåøåíèé òàêèõ çàäà÷. Ñòóäåíòû-çàî÷íèêè íóæäàþòñÿ â ìåòîäè÷åñêîé ïîìîùè â áîëüøåé ñòåïåíè, ÷åì ñòóäåíòû ñòàöèîíàðà, èáî îíè íå èìåþò ïîñòîÿííîãî êîíòàêòà ñ ïðåïîäàâàòåëåì. Ýòî îñîáåííî ñêàçûâàåòñÿ â îâëàäåíèè ìåòîäàìè ðåøåíèÿ çàäà÷. Ñóùåñòâóþùèå ó÷åáíûå ïîñîáèÿ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé [1], [4], ñîäåðæàíèå çàäà÷è, íå ðàññ÷èòàíû íà çàî÷íèêîâ. Ñáîðíèê çàäà÷ [5] àäðåñîâàí çàî÷íèêàì ýêîíîìè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé, îäíàêî, ñîäåðæèò ìàëî ðåøåííûõ çàäà÷ è òåîðåòè÷åñêèõ ñâåäåíèé è, êðîìå òîãî, â íàñòîÿùåå âðåìÿ ÿâëÿåòñÿ áèáëèîãðàôè÷åñêîé ðåäêîñòüþ. Ñáîðíèê çàäà÷ [3] íå ðàññ÷èòàí íà çàî÷íèêîâ ýêîíîìè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé. Îí ñîäåðæèò ìíîãî óñëîæíåííûõ çàäà÷, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ òðåáóþòñÿ ñâåäåíèÿ, âûõîäÿùèå çà ðàìêè ïðîãðàììû äëÿ ñïåöèàëüíîñòåé ¾ýêîíîìè÷åñêàÿ òåîðèÿ¿ è ¾ìåíåäæìåíò¿. Ïîïûòêè îâëàäåíèÿ ìåòîäàìè ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî [3] ïðèâåäóò ê íåîïðàâäàííî áîëüøèì çàòðàòàì âðåìåíè. Ñêàçàííîå ãîâîðèò î òîì, ÷òî ñòóäåíòû-çàî÷íèêè ýêîíîìè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ íóæäàþòñÿ â ñïåöèàëèçèðîâàííîì ó÷åáíîì ïîñîáèè, ïî êîòîðîìó ìîæíî îâëàäåòü ìåòîäàìè ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Äëÿ îâëàäåíèÿ òàêèìè ìåòîäàìè ïðèâåäåíû íåîáõîäèìûå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ ïî êóðñó òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Äëÿ óäîáñòâà â èçëîæåíèè ìàòåðèàëà ïðèâåäåíû òàêæå ñâåäåíèÿ ïî òåîðèè ìíîæåñòâ. ×àñòü ïðèâîäèìûõ â íàñòîÿùåì ïîñîáèè çàäà÷ ñîäåðæèòñÿ â [2]. Äðóãèå çàäà÷è ïðèâîäÿòñÿ âïåðâûå. Ïîñîáèå ñîäåðæèò êàê ðåøåííûå çàäà÷è, òàê è çàäà÷è, êîòîðûå ñòóäåíòû äîëæíû ðåøèòü ñàìîñòîÿòåëüíî äëÿ çàêðåïëåíèÿ ìàòåðèàëà.  ïåðâîé ÷àñòè ïîñîáèÿ ïðèâåäåíû îáùåòåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ ïî òåî-
5
ðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, à òàêæå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ è çàäà÷è ñ ìåòîäè÷åñêèìè óêàçàíèÿìè ïî òåîðèè ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé.
1. Ýëåìåíòû òåîðèè ìíîæåñòâ Ïîíÿòèÿ ìíîæåñòâà è ýëåìåíòà ÿâëÿþòñÿ íåîïðåäåëÿåìûìè. Ìîæíî ëèøü ñêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ, à ýëåìåíòû ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó. Åñëè ýëåìåíòû ω1 ω2 . . . ωn îáðàçóþò ìíîæåñòâî, òî ýòî ìíîæåñòâî îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç {ω1 ω2 . . . ωn }. Äëÿ êðàòêîñòè ìíîæåñòâà îáîçíà÷àþò áîëüøèìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè. Ýëåìåíòû îáû÷íî îáîçíà÷àþò ìàëûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè. Çàïèñü x ∈ A ÷èòàåòñÿ ¾x ïðèíàäëåæèò
¯ A èëè x 6∈ A. A¿. Åñëè x íå ïðèíàäëåæèò A, òî çàïèñûâàþò x∈ Ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåíòà, íàçûâàåòñÿ ïóñòûì è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì ∅.
Ñóììîé èëè îáúåäèíåíèåì A ∪ B ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò õîòÿ áû îäíîìó èç ýòèõ ìíîæåñòâ. Ñóììà n ìíîæåñòâ A1 A2 . . . An îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç
n S
i=1
Ai . Ñóììà áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ìíîæåñòâ A1 A2 . . . An . . .
îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç
∞ S n=1
An .
Ïðîèçâåäåíèåì èëè ïåðåñå÷åíèåì A ∩ B ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò êàê ìíîæåñòâó A, òàê è ìíîæåñòâó B . Ïðîèçâåäåíèå n ìíîæåñòâ
A1 A2 . . . An îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç
n T
i=1
Ai . Ïðîèçâåäåíèå áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà
ìíîæåñòâ A1 A2 . . . An . . . îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç
∞ T n=1
An .
Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà B (çàïèñûâàåòñÿ A ⊂ B ), åñëè èç x ∈ A ñëåäóåò x ∈ B , ïðè÷åì A è ∅ íàçûâàþò
íåñîáñòâåííûìè ïîäìíîæåñòâàìè, âñå îñòàëüíûå ïîäìíîæåñòâà A íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè. Åñëè A1 ⊂ J , A2 ⊂ J ,. . . , An ⊂ J , òî ìíîæåñòâî J íàçûâàåòñÿ óíè-
âåðñàëüíûì äëÿ ìíîæåñòâ A1 A2 . . . An . Åñëè A ⊂ J , òî ìíîæåñòâî A¯
6
ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò J , íî íå ïðèíàäëåæàò A, íàçûâàåòñÿ
äîïîëíåíèåì ìíîæåñòâà A.
2. Êëàññè÷åñêàÿ ñõåìà è êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè Ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé (èñõîäîâ) U íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ âçàèìíî èñêëþ÷àþùèõ èñõîäîâ èñïûòàíèÿ. Ïðîñòðàíñòâî U íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíûì, åñëè îíî êîíå÷íî èëè ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.  äèñêðåòíîì ïðîñòðàíñòâå ëþáîå ïîäìíîæåñòâî A ìíîæåñòâà U íàçûâàåòñÿ ñîáûòèåì. U íàçûâàåòñÿ äîñòîâåðíûì ñîáûòèåì, ∅ íåâîçìîæíûì.  òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ∅ îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç V . Ñîáñòâåííîå ïîäìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíûì ñî-
áûòèåì. Åñëè A ñîáûòèå, òî åãî äîïîëíåíèå A¯ íàçûâàåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì ñîáûòèåì.  äàííîì ñëó÷àå U , î÷åâèäíî, îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ
J . Ïîñêîëüêó â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñîáûòèÿ îòîæäåñòâëÿþòñÿ ñ ìíîæåñòâàìè, ìîæíî ãîâîðèòü î ñóììå è ïðîèçâåäåíèè ñîáûòèé. Ýëåìåíòàðíûå èñõîäû íàçûâàþòñÿ ðàâíîâîçìîæíûìè, åñëè íåò îñíîâàíèé êàêîìó-ëèáî èç íèõ ïðèïèñûâàòü áîëüøóþ âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ, ÷åì âñåì îñòàëüíûì. Êîíå÷íîå ïðîñòðàíñòâî U = {ω1 ω2 . . . ωn } èç
n ðàâíîâîçìîæíûõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ íàçûâàåòñÿ êëàññè÷åñêîé ñõåìîé. Åñëè U = {ω1 ω2 . . . ωn } êëàññè÷åñêàÿ ñõåìà èç n ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ è k èç íèõ îáðàçóþò ñîáûòèå A, òî âåðîÿòíîñòüþ p(A) ñîáûòèÿ
A íàçûâàåòñÿ ÷àñòíîå k/n. Òàêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè íàçûâàåòñÿ êëàññè÷åñêèì. Çàäà÷è 1. Áðîñàþò îäíîâðåìåííî äâå èãðàëüíûå êîñòè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñóììà î÷êîâ íà âûïàâøèõ ãðàíÿõ ðàâíà 6. Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ñóììà î÷êîâ íà âûïàâøèõ ãðàíÿõ ðàâíà 6. Ïðÿìîé ïåðåáîð âñåõ ñëó÷àåâ âûïàäåíèÿ
7
ïàð
11
12 . . .
16
21
22 . . .
26
... ... ... ... 61
62 . . .
66
ïîêàçûâàåò, ÷òî n = 36. Ñóììà î÷êîâ ðàâíà 6 â ñëåäóþùèõ ñëó÷àÿõ
15 24 33 42 51, ò. å. k = 5.  òàêîì ñëó÷àå, ñîãëàñíî êëàññè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòè,
p(A) =
k 5 = . n 36
2. Óðíà ñîäåðæàëà 16 áåëûõ è 10 ÷åðíûõ øàðîâ, îäèí øàð, öâåò êîòîðîãî íåèçâåñòåí, áûë óòåðÿí. Íàóãàä èçâëå÷åííûé èç óðíû øàð, îêàçàëñÿ áåëûìè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áûë óòåðÿí ÷åðíûé øàð. Ðåøåíèå. Ïóñòü ñîáûòèå A óòåðÿí ÷åðíûé øàð. Èçâëå÷åííûé íàóãàä áåëûé øàð, î÷åâèäíî, íå ìîã áûòü óòåðÿí. Óòåðÿííûì ìîã áûòü ëþáîé èç îñòàëüíûõ 25 øàðîâ, ñðåäè êîòîðûõ 10 ÷åðíûõ. Ïîýòîìó n = 25,
k = 10 è p(A) =
10 2 = = 0,4. 25 5
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 3. Áðîñàþò îäíîâðåìåííî äâå èãðàëüíûå êîñòè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñóììà î÷êîâ íà âûïàâøèõ ãðàíÿõ ðàâíà 9. Îòâåò: p = 4/9. 4. Óðíà ñîäåðæàëà 9 áåëûõ è 10 ÷åðíûõ øàðîâ. Îäèí øàð, öâåò êîòîðîãî íåèçâåñòåí, áûë óòåðÿí, èçâëå÷åííûé íàóãàä èç óðíû øàð îêàçàëñÿ áåëûì. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áûë óòåðÿí áåëûé øàð. Îòâåò:
p = 4/9.
8
3. Êëàññèôèêàöèÿ ñîáûòèé Äëÿ ðåøåíèÿ áîëåå ñëîæíûõ çàäà÷ íóæíà íåêîòîðàÿ êëàññèôèêàöèÿ ñîáûòèé. Ïîñêîëüêó ìû îïðåäåëèëè ñîáûòèÿ êàê ìíîæåñòâà, ìîæíî íå ââîäèòü îïðåäåëåíèÿ ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ ñîáûòèé. Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåñîâìåñòíûìè â äàííîì èñïûòàíèè (ä. è.), åñëè A∩B = V .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ ñîâìåñò-
íûìè. Ñîáûòèÿ A1 A2 . . . An íàçûâàþòñÿ íåñîâìåñòíûìè â ä. è., åñëè
V.
n T i=1
Ai =
Ñîáûòèÿ A1 A2 . . . An íàçûâàþòñÿ ïîïàðíî íåñîâìåñòíûìè â ä. è., åñëè ïðè i 6= j Ai ∩ Aj = V (i, j = 1, 2, . . . , n). Ñîáûòèÿ A1 A2 . . . An íàçûâàþòñÿ åäèíñòâåííî âîçìîæíûìè â ä. è., åñëè
n S
i=1
Ai = U .
Î÷åâèäíî, ïðîòèâîïîëîæíûå ñîáûòèÿ åäèíñòâåííî âîçìîæíû è íåñîâ-
¯=V. ìåñòíû, ò. å. A ∪ A¯ = U , A ∩ A Ñîáûòèÿ A1 A2 . . . An îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó â ä. è., åñëè îíè åäèíñòâåííî âîçìîæíû è ïîïàðíî íåñîâìåñòíû.  ÷àñòíîñòè, ïîëíóþ ñèñòåìó îáðàçóþò ïðîòèâîïîëîæíûå ñîáûòèÿ.
4. Îñíîâíûå òåîðåìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé Äëÿ ðåøåíèÿ áîëåå ñëîæíûõ çàäà÷ ñëåäóåò íå îãðàíè÷èâàòüñÿ êëàññè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòè, à ïîëüçîâàòüñÿ ñïåöèàëüíûìè òåîðåìàìè, êîòîðûå ñóùåñòâåííî óïðîùàþò ïðîöåññ ðåøåíèÿ çàäà÷è. Òåîðåìà 1 (Òåîðåìà ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé). Âåðîÿòíîñòü ñóììû äâóõ íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé ðàâíà ñóì-
ìå âåðîÿòíîñòåé ýòèõ ñîáûòèé,
p(A + B) = p(A) + p(B). ×åðåç A + B îáû÷íî îáîçíà÷àþò ñóììó íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé.
9
Ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû 1 1) Âåðîÿòíîñòü ñóììû ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé ðàâíà ñóììå âåðîÿòíîñòåé ýòèõ ñîáûòèé,
p
n ³X
´ Ai =
i=1
n X
p(Ai ).
i=1
Ñóììó ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé A1 A2 . . . An îáû÷íî îáîçíà÷àþò ÷åðåç
n P
i=1
Ai .
2) Ñóììà âåðîÿòíîñòåé ñîáûòèé, îáðàçóþùèõ ïîëíóþ ñèñòåìó, ðàâíà 1. 3) Ñóììà âåðîÿòíîñòåé ïðîòèâîïîëîæíûõ ñîáûòèé ðàâíà 1
¯ = 1. p(A) + p(A) ¯ = q , òî p + q = 1, îòêóäà Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèÿ p(A) = p, p(A) q = 1 − p. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñëåäóåò ââåñòè ïîíÿòèÿ óñëîâíîé è áåçóñëîâíîé âåðîÿòíîñòè. Óñëîâíîé
âåðîÿòíîñòüþ pA (B) ñîáûòèÿ B íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ, âû÷èñëåííàÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ñîáûòèå A ïðîèçîøëî. Âåðîÿòíîñòü
p(B) ñîáûòèÿ B , âû÷èñëåííàÿ áåç ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî ñîáûòèå A ïðîèçîøëî, íàçûâàåòñÿ áåçóñëîâíîé. Òåîðåìà 2 (Òåîðåìà óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé). Âåðîÿòíîñòü
ïðîèçâåäåíèÿ A ∩ B ñîáûòèé A è B ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòè êàæäîãî èç ýòèõ ñîáûòèé íà óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü äðóãîãî, âû÷èñëåííóþ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïåðâîå èç íèõ ïðîèçîøëî,
p(A ∩ B) = p(B)pB (A) = p(A)pA (B). Ñëåäñòâèå. Âåðîÿòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîáû-
òèé ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòåé ýòèõ ñîáûòèé, ïðè÷åì âåðîÿòíîñòü êàæäîãî ïîñëåäóþùåãî ñîáûòèÿ âû÷èñëÿåòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âñå ïðåäûäóùèå ïðîèçîøëè.  ÷àñòíîñòè, äëÿ òðåõ ñîáûòèé A, B , C
p(A ∩ B ∩ C) = p(A)pA (B)pA∩B (C).
10
Îïðåäåëåíèå.
Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè
pA (B) = p(B) è pB (A) = p(A), ò. å. åñëè èõ óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè ñîâïàäàþò ñ áåçóñëîâíûìè. Òåîðåìà 3 (Òåîðåìà óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé). Âåðîÿòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ
A ∩ B íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé A
è B ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòåé ýòèõ ñîáûòèé,
p(A ∩ B) = p(A) · p(B). Çàìå÷àíèå. Ðàâåíñòâî
p(A ∩ B) = p(A) · p(B) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè. Â òàêîé ôîðìå îïðåäåëåíèå èìååò îáîáùåíèå: ñîáûòèÿ A1 A2 . . . An íàçûâàþòñÿ âçàèìíî
íåçàâèñèìûìè, åñëè äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà ýòèõ ñîáûòèé âåðîÿòíîñòü èõ ïðîèçâåäåíèÿ ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ èõ âåðîÿòíîñòåé.  òåêñòàõ ñëîâî ¾âçàèìíî¿ íåðåäêî îïóñêàåòñÿ. Òåîðåìà 4 (Îáùàÿ òåîðåìà ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé). Âåðîÿò-
íîñòü ñóììû A ∪ B ñîáûòèé A è B îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
¯ p(A ∪ B) = 1 − p(A¯ ∩ B), ïðè÷åì åñëè ñîáûòèÿ A è B íåçàâèñèìû, òî
¯ · p(B). ¯ p(A ∪ B) = 1 − p(A) Ñëåäñòâèå. Âåðîÿòíîñòü ñóììû
n S i=1
Ai ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîáûòèé
A1 A2 . . . An îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå n n ´ ´ ³\ ³[ A¯i , p Ai = 1 − p i=1
i=1
ïðè÷åì åñëè ñîáûòèÿ A1 A2 . . . An âçàèìíî íåçàâèñèìû, òî
p
n ³[ i=1
´ Ai = 1 −
n Y i=1
p(A¯i ).
11
Çàäà÷è 5.  ñåññèþ âûíåñåí îäèí ýêçàìåí. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñòèïåíäèè íóæíî ñäàòü ýêçàìåí íà ¾îòëè÷íî¿ èëè ¾õîðîøî¿. Âåðîÿòíîñòü ïîëó÷åíèÿ ñòóäåíòîì îòëè÷íîé îöåíêè 0,1; õîðîøåé 0,2. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñòóäåíò ïîëó÷èò ñòèïåíäèþ. Ðåøåíèå. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: ñîáûòèå A ñòóäåíò ïîëó÷èò îòëè÷íóþ îöåíêó, ñîáûòèå B õîðîøóþ.  òàêîì ñëó÷àå p(A) = 0,1; p(B) = 0,2. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è íóæíî íàéòè
p(A ∪ B). Ñîáûòèÿ A è B íåñîâìåñòíû, ïîýòîìó ïî òåîðåìå 1 p(A + B) = p(A) + p(B) = 0,1 + 0,2 = 0,3. 6. Âåðîÿòíîñòü ïîëó÷åíèÿ ñòóäåíòîì íà ýêçàìåíå îòëè÷íîé îöåíêè
0,3; õîðîøåé 0,4; óäîâëåòâîðèòåëüíîé 0,2. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñòóäåíò íå ñäàñò ýêçàìåí. Ðåøåíèå. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: ïîëó÷åíèå îòëè÷íîé îöåíêè ñîáûòèå A, õîðîøåé B , óäîâëåòâîðèòåëüíîé C , íåóäîâëåòâîðèòåëüíîé D.  òàêîì ñëó÷àå p(A) = 0,3; p(B) = 0,4; p(C) = 0,2. Íóæíî íàéòè p(D). Ñîáûòèÿ A, B , C , D â ä. è. îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó. Ïîýòîìó ïî ñëåäñòâèþ 2 èç òåîðåìû 1
p(A) + p(B) + p(C) + p(D) = 1, 0,3 + 0,4 + 0,2 + p(D) = 1, p(D) = 0,1. 7.  óðíå íàõîäèòñÿ 6 áåëûõ è 4 ÷åðíûõ øàðà. Èç óðíû äîñòàþò íàóãàä, ïîäðÿä, äâà øàðà. Ïåðâûé âûíóòûé øàð íàçàä íå âîçâðàùàåòñÿ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðâûé âûíóòûé øàð áóäåò áåëûì, à âòîðîé ÷åðíûì. Ðåøåíèå. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: ñîáûòèå A ïåðâûé âûíóòûé øàð áåëûé, B âòîðîé ÷åðíûé, p(A) = 6/10 = 3/5, pA (B) = 4/9. Ñîãëàñíî
12
òåîðåìå 2
p(A ∩ B) = p(A)pA (B) =
3 4 4 · = . 5 9 15
8.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 7 íàéòè áåçóñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ B . Ðåøåíèå. Ïóñòü, êàê è ðàíüøå, A ïåðâûé áåëûé, B âòîðîé
¯ = 4/10 = 2/5, ÷åðíûé.  òàêîì ñëó÷àå p(A) = 3/5, pA (B) = 4/9, p(A) pA¯(B) = 3/9 = 1/3. ¯ A¯(B) = 3 · 4 + 2 · 1 = 6 = 2 . p(B) = p(A)pA (B) + p(A)p 5 9 5 3 15 5 ¯. Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî p(B) ñîâïàäàåò ñ p(A) 9.  óðíå íàõîäèòñÿ 6 áåëûõ è 4 ÷åðíûõ øàðà. Èç óðíû äîñòàþò íàóãàä, ïîäðÿä, òðè øàðà. Âûíóòûå øàðû íàçàä íå âîçâðàùàþòñÿ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðâûå äâà âûíóòûõ øàðà áóäóò áåëûìè, à òðåòèé ÷åðíûì. Ðåøåíèå. Ïóñòü ñîáûòèå A ïåðâûé âûíóòûé øàð áåëûé, B âòîðîé áåëûé, C òðåòèé ÷åðíûé.  òàêîì ñëó÷àå p(A) = 6/10 =
3/5, pA (B) = 5/9, pA∩B (C) = 4/8 = 1/2. Ïî ñëåäñòâèþ èç òåîðåìû 2 p(A ∩ B ∩ C) = p(A)pA (B)pA∩B (C) =
3 5 1 1 · · = . 5 9 2 6
10.  óðíå íàõîäèòñÿ 6 áåëûõ è 4 ÷åðíûõ øàðà. Èç óðíû äîñòàþò íàóãàä, ïîäðÿä, äâà øàðà. Ïåðâûé âûíóòûé øàð âîçâðàùàåòñÿ íàçàä. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðâûé âûíóòûé øàð áóäåò áåëûì, à âòîðîé ÷åðíûì. Ðåøåíèå. Ïóñòü A ïåðâûé âûíóòûé øàð áåëûé, B âòîðîé ÷åðíûé. p(A) = 6/10 = 3/5, p(B) = 4/10 = 2/5. Òàê êàê ñîáûòèÿ A è
B íåçàâèñèìû, òî ïî òåîðåìå 3 p(A ∩ B) = p(A) · p(B) =
3 2 6 · = = 0,24. 5 5 25
11. Äâà ñòðåëêà îäíîâðåìåííî ñòðåëÿþò â ìèøåíü. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ïðè îäíîì âûñòðåëå ó ïåðâîãî ñòðåëêà 0,7; ó âòîðîãî 0,6. Íàéòè âåðîÿòíîñòü õîòÿ áû îäíîãî ïîïàäàíèÿ.
13
Ðåøåíèå. Ïóñòü ñîáûòèå A ïåðâûé ñòðåëîê ïîïàë â ìèøåíü, B âòîðîé.  òàêîì ñëó÷àå p(A) = 0,7; p(B) = 0,6. Ïî ñëåäñòâèþ 3 èç
¯ = 0,3; p(B) ¯ = 0,4. Ñîãëàñíî òåîðåìå 4 òåîðåìû 1 p(A) ¯ = 1 − p(A)p( ¯ B) ¯ = 1 − 0,3 · 0,4 = 0,88. p(A ∪ B) = 1 − p(A¯ ∩ B) 12. Ðàáî÷èé îáñëóæèâàåò òðè ñòàíêà. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðâûé ñòàíîê â òå÷åíèå ÷àñà ïîòðåáóåò åãî âíèìàíèÿ ðàâíà 0,6; âòîðîé 0,7; òðåòèé 0,8. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â òå÷åíèå ÷àñà âíèìàíèÿ ðàáî÷åãî à) íå ïîòðåáóåò íè îäèí ñòàíîê, á) ïîòðåáóåò êàêîé-ëèáî îäèí ñòàíîê, â) ïîòðåáóåò õîòÿ áû îäèí ñòàíîê. Ðåøåíèå. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: ñîáûòèå A ïåðâûé ñòàíîê ïîòðåáóåò âíèìàíèÿ ðàáî÷åãî â òå÷åíèå ÷àñà, B âòîðîé, C òðåòèé.  òàêîì ñëó÷àå
p(A) = 0,6;
p(B) = 0,7;
p(C) = 0,8;
¯ = 0,4; p(A)
¯ = 0,3; p(B)
¯ = 0,2. p(C)
¯∩B ¯ ∩ C) ¯ = p(A)p( ¯ B)p( ¯ C) ¯ = 0,4 · 0,3 · 0,2 = 0,024. a) p(A Âåðîÿòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòåé, òàê êàê
¯, B ¯ , C¯ âçàèìíî íåçàâèñèìû. ñîáûòèÿ A £
¤
¯ ∩ C) ¯ + (A¯ ∩ B ∩ C) ¯ + (A¯ ∩ B ¯ ∩ C) = á) p (A ∩ B ¯ ∩ C) ¯ + p(A¯ ∩ B ∩ C) ¯ + p(A¯ ∩ B ¯ ∩ C) = = p(A ∩ B ¯ C) ¯ + p(A)p(B)p( ¯ ¯ + p(A)p( ¯ B)p(C) ¯ = p(A)p(B)p( C) = = 0,6 · 0,3 · 0,2 + 0,4 · 0,7 · 0,2 + 0,4 · 0,3 · 0,8 = 0,188.  äàííîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü ñóììû ðàâíà ñóììå âåðîÿòíîñòåé, òàê êàê
¯ ∩ C¯ , A∩B ¯ ¯ B ¯ ∩C ïîïàðíî íåñîâìåñòíû. Ýòî âûðàñîáûòèÿ A∩ B ∩ C¯ , A∩ æàåòñÿ â òîì, ÷òî â ñóììå ñòîÿò + âìåñòî ∪. Ðàññóæäåíèÿ î âåðîÿòíîñòÿõ ïðîèçâåäåíèé ïðîâîäÿòñÿ òàê æå, êàê â ïóíêòå à).
¯∩B ¯ ∩ C) ¯ = 1 − p(A)p( ¯ B)p( ¯ C) ¯ = â) p(A ∪ B ∪ C) = 1 − p(A = 1 − 0,4 · 0,3 · 0,2 = 0,976.
14
 ýòîì ñëó÷àå ïðèìåíÿåòñÿ ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 4. 13.  ìåøêå ñìåøàíû íèòè áåëîãî è ÷åðíîãî öâåòà. Áåëûõ 60%, ÷åðíûõ 40%. Èç ìåøêà âûòÿãèâàþò íàóãàä, ïîäðÿä, äâå íèòè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáå âûòÿíóòûå íèòè áóäóò à) îäíîãî öâåòà, á) ðàçíûõ öâåòîâ. Ðåøåíèå. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
A1 ïåðâàÿ âûòÿíóòàÿ íèòü áåëàÿ, A2 âòîðàÿ áåëàÿ, B1 ïåðâàÿ ÷åðíàÿ, B2 âòîðàÿ ÷åðíàÿ. Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â ìåøêå íàõîäèòñÿ ìíîãî íèòåé. Ïîýòîìó ñîáûòèÿ A1 , A2 , B1 , B2 ìîæíî ñ÷èòàòü âçàèìíî íåçàâèñèìûìè.  òàêîì ñëó÷àå
p(A1 ) = p(A2 ) = 0,6,
p(B1 ) = p(B2 ) = 0,4.
à) p[(A1 ∩A2 )+(B1 ∩B2 )] = p(A1 )·p(A2 )+p(B1 )p(B2 ) = 0,62 +0,42 = 0,52. Ðàññóæäåíèÿ î ïðèìåíåíèè îñíîâíûõ òåîðåì çäåñü íå ïðèâîäÿòñÿ. Èõ ìîæíî ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíî, âçÿâ çà îáðàçåö ðåøåíèå çàäà÷è 12. á) p[(A1 ∩ B2 ) + (A2 ∩ B1 )] = p(A1 ∩ B2 ) + p(A2 ∩ B1 ) =
= p(A1 )p(B2 ) + p(A2 )p(B1 ) = 2p(A1 )p(B2 ) = 2 · 0,6 · 0,4 = 0,48. Ìîæíî òàêæå ïîëó÷èòü ýòó âåðîÿòíîñòü, âû÷èòàÿ èç åäèíèöû p[(A1 ∩
A2 ) + (B1 ∩ B2 )]. Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 14.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 5 íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñòóäåíò íå ïîëó÷èò ñòèïåíäèþ. Îòâåò: p = 0,7. 15. Äëÿ òåêóùåãî êîíòðîëÿ çíàíèé ñòóäåíòîâ ïðåïîäàâàòåëü ïðåäëàãàåò ðåøèòü ñàìîñòîÿòåëüíî çàäà÷ó, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü çàèìñòâîâàíà èç òðåõ çàäà÷íèêîâ, â êîòîðûõ ñîäåðæèòñÿ 100 çàäà÷.  ïåðâîì çàäà÷íèêå èìååòñÿ 30 çàäà÷, âî âòîðîì 40. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áóäåò ïðåäëîæåíà çàäà÷à èç òðåòüåãî çàäà÷íèêà. Îòâåò: p = 0,3.
15
16.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 7 íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáà âûíóòûõ øàðà áóäóò áåëûìè. Îòâåò: p = 1/3. 17.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 9 íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðâûé âûíóòûé øàð áóäåò áåëûì, à âòîðîé è òðåòèé ÷åðíûìè. Îòâåò: p = 0,1. 18.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 10 íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáà âûíóòûõ øàðà áóäóò áåëûìè. Îòâåò: p = 0,36. 19.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 11 íàéòè âåðîÿòíîñòü õîòÿ áû îäíîãî ïðîìàõà. Îòâåò: p = 0,58. 20.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 10 íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî õîòÿ áû îäèí èç âûíóòûõ øàðîâ áóäåò áåëûì. Îòâåò: p = 0,84. 21.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 7 íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî õîòÿ áû îäèí èç âûíóòûõ øàðîâ áóäåò áåëûì. Îòâåò: p = 13/15. 22.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 12 íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âíèìàíèÿ ðàáî÷åãî ïîòðåáóþò äâà ñòàíêà. Îòâåò: p = 0,452. 23.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 13 íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî õîòÿ áû îäíà èç âûòÿíóòûõ íèòåé áóäåò áåëîé. Îòâåò: p = 0,84. 24.  ìåøêå ñìåøàíû íèòè òðåõ öâåòîâ. Áåëûõ 50%, ÷åðíûõ 30%, êðàñíûõ 20%. Èç ìåøêà âûòÿãèâàþò íàóãàä, ïîäðÿä, òðè íèòè. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî à) âñå òðè íèòè îäíîãî öâåòà, á) âñå òðè íèòè ðàçíûõ öâåòîâ. Îòâåò: à) p = 0,16,
á) p = 0,18.
5. Ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è Áýéåñà Òåîðåìà 5. Ïóñòü ñîáûòèå
A ìîæåò ïðîèçîéòè òîëüêî âìåñòå ñ îä-
íèì èç ñîáûòèé H1 H2 . . . Hn , îáðàçóþùèõ ïîëíóþ ñèñòåìó è íàçûâàåìûõ ãèïîòåçàìè.  òàêîì ñëó÷àå
p(A) =
n X i=1
(ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè).
p(Hi )pHi (A)
16
Åñëè ïðè óêàçàííûõ óñëîâèÿõ ñîáûòèå A ïðîèçîøëî, òî
pA (Hi ) =
p(Hi )pHi (A) p(A)
(ôîðìóëà Áýéåñà). Çàäà÷è 25. Ñ ïåðâîãî àâòîìàòà ïîñòóïàåò íà ñáîðêó 60%, ñî âòîðîãî 40% äåòàëåé. Ïåðâûé àâòîìàò äàåò, â ñðåäíåì, 1% áðàêà, âòîðîé 2%. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî à) ïîñòóïèâøàÿ íà ñáîðêó äåòàëü áðàêîâàííàÿ. á) îêàçàâøàÿñÿ áðàêîâàííîé äåòàëü èçãîòîâëåíà íà ïåðâîì àâòîìàòå. Ðåøåíèå. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: A äåòàëü îêàçàëàñü ñ áðàêîì,
H1 äåòàëü èçãîòîâëåíà íà ïåðâîì àâòîìàòå, H2 íà âòîðîì.  òàêîì ñëó÷àå
p(H1 ) = 0,6,
p(H2 ) = 0,4,
pH1 (A) = 0,01,
pH2 (A) = 0,02.
à) Ïî ôîðìóëå ïîëíûé âåðîÿòíîñòè
p(A) = p(H1 )pH1 (A) + p(H2 )pH2 (A) = 0,6 · 0,01 + 0,4 · 0,02 = 0,014. á) Ïî ôîðìóëå Áýéåñà
pA (H1 ) =
p(H1 )pH1 (A) 0,6 · 0,01 3 = = ≈ 0,43. p(A) 0,014 7
26. Èìååòñÿ òðè óðíû ñ øàðàìè.  ïåðâîé óðíå 3 áåëûõ è 6 ÷åðíûõ øàðîâ, âî âòîðîé 6 áåëûõ è 3 ÷åðíûõ, â òðåòüåé 5 áåëûõ øàðîâ. Íàóãàä âûáðàíà óðíà è èç íåå íàóãàä èçâëå÷åí øàð. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî à) èçâëå÷åííûé øàð îêàçàëñÿ áåëûì, á) îêàçàâøèéñÿ áåëûì øàð èçâëå÷åí èç òðåòüåé óðíû. Ðåøåíèå. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: ñîáûòèå A èçâëå÷åí áåëûé øàð,
H1 íàóãàä âûáðàíà ïåðâàÿ óðíà, H2 âòîðàÿ, H3 òðåòüÿ.
17
Òîãäà, î÷åâèäíî,
1 p(H1 ) = p(H2 ) = p(H3 ) = , 3 3 1 6 2 pH1 (A) = = , pH2 (A) = = , 9 3 9 3 à)
pH3 (A) = 1.
p(A) = p(H1 )pH1 (A) + p(H2 )pH2 (A) + p(H3 )pH3 (A) = µ ¶ 1 1 2 2 = + +1 = . 3 3 3 3
á) pA (H3 ) =
p(H3 )pH3 (A) 1/3 · 1 1 = = = 0,5. p(A) 2/3 2
27. Ïåðâûé öåõ âûïóñêàåò çà äåíü 3000 äåòàëåé, âòîðîé 2000, òðåòèé 1000. Ïåðâûé öåõ äàåò çà äåíü â ñðåäíåì 2% áðàêà, âòîðîé è òðåòèé ïî 3%. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî à) âçÿòàÿ íàóãàä íà ñêëàäå äåòàëü îêàçàëàñü áðàêîâàííîé, á) îêàçàâøàÿñÿ áðàêîâàííîé äåòàëü âûïóùåíà âòîðûì öåõîì. Ðåøåíèå. Ââîäèì îáîçíà÷åíèÿ: ñîáûòèå A äåòàëü îêàçàëàñü áðàêîâàííîé,
H1 äåòàëü èçãîòîâëåíà ïåðâûì öåõîì, H2 âòîðûì, H3 òðåòüèì.  òàêîì ñëó÷àå
p(H1 ) =
3000 3000 1 = = , 3000 + 2000 + 1000 6000 2
p(H2 ) =
2000 1 = , 6000 3
pH1 (A) = 0,02,
à)
p(A) =
3 X
p(H3 ) =
1000 1 = , 6000 6
pH2 (A) = pH3 (A) = 0,03.
p(Hi )pHi (A) =
i=1
=
1 1 1 · 0,02 + · 0,03 + · 0,03 = 0,025. 2 3 6
á) pA (H2 ) =
p(H2 )pH2 (A) 1/3 · 0,03 2 = = = 0,4. p(A) 0,025 5
18
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 28.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 25 íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îêàçàâøàÿñÿ áðàêîâàííîé äåòàëü èçãîòîâëåíà íà âòîðîì àâòîìàòå. Îòâåò: pA (H2 ) =
4/7 ≈ 0,57. 29.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 26 íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îêàçàâøèéñÿ áåëûì øàð èçâëå÷åí èç âòîðîé óðíû. Îòâåò: pA (H2 ) = 1/3. 30.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 27 íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îêàçàâøàÿñÿ áðàêîâàííîé äåòàëü âûïóùåíà ïåðâûì öåõîì. Îòâåò: pA (H1 ) = 0,4.
6. Ñõåìà Áåðíóëëè Ïóñòü ïðîâîäèòñÿ ñåðèÿ èç n îäíîðîäíûõ èñïûòàíèé ñ äâóìÿ èñõîäà-
¯. Ýòè èñïûòàíèÿ íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè ïî îòíîøåíèþ ê ìè A è A ñîáûòèþ A, åñëè âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â êàæäîì îòäåëüíîì èñïûòàíèè íå çàâèñèò îò èñõîäîâ äðóãèõ èñïûòàíèé. Åñëè ýòà âåðîÿòíîñòü p îäíà è òà æå äëÿ êàæäîãî èñïûòàíèÿ, òî ñåðèÿ íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé íàçûâàåòñÿ ñõåìîé Áåðíóëëè. Âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A k ðàç â ñõåìå Áåðíóëëè èç n èñïûòàíèé, Pn (k) îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Pn (k) = Cnk pk q n−k èëè
n! pk q n−k , k!(n − k)! íàçûâàåìîé ôîðìóëîé Áåðíóëëè, ãäå q = 1 − p, n! = 1 · 2 . . . n, Pn (k) =
Cnk =
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) , k!
Cnk = Cnn−k ,
Cnn = Cn0 = 1,
Cn1 = n,
Pn (0) = q n ,
Pn (n) = pn .
Ïðè áîëüøèõ n è k ñëåäóåò ïîëüçîâàòüñÿ àñèìïòîòè÷åñêèìè ôîðìóëàìè. (Ôóíêöèÿ ϕ(x) íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ïðèáëèæåíèåì ôóíê-
19
öèè f (x), åñëè
f (x) = 1.) x→∞ ϕ(x)  ôîðìóëó Áåðíóëëè p è q âõîäÿò ðàâíîïðàâíî. Åñëè ñ÷èòàòü p 6 q , òî lim
ïðè p 6 0,1 ñëåäóåò ïîëüçîâàòüñÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìóëîé Ïóàññîíà
λk e−λ Pn (k) ≈ , k!
ãäå λ = np.
Ïðè p > 0,1 ñëåäóåò ïðèìåíÿòü ëîêàëüíóþ òåîðåìó Ëàïëàñà
Pn (k) ≈ ãäå σ =
√
npq , x =
1 ϕ(x), σ
k − np , σ 1 2 ϕ(x) = √ e−x /2 . 2π
Ôóíêöèÿ ϕ(x) òàáóëèðîâàíà. ϕ(−x)
=
ϕ(x). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ
Pn (a 6 k 6 b) ïðè áîëüøèõ n ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ èíòåãðàëüíîé òåîðåìîé Ëàïëàñà
Pn (a 6 k 6 b) ≈ Φ(β) − Φ(α), a − np b − np 1 √ ãäå α = , β= , σ = npq , Φ(x) = √ σ σ 2π
Zx e−t
2
/2
dt.
0
Ôóíêöèÿ Φ(x) òàáóëèðîâàíà. Φ(−x) = −Φ(x). lim Φ(x) = 0,5. x→+∞
Çàäà÷è 31. Èç ïàðòèè èçäåëèé òîâàðîâåä îòáèðàåò èçäåëèÿ âûñøåãî ñîðòà. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íàóãàä âçÿòîå èçäåëèå îêàæåòñÿ èçäåëèåì âûñøåãî ñîðòà, ðàâíà 0,8. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç òðåõ ïðîâåðåííûõ èçäåëèé òîëüêî äâà âûñøåãî ñîðòà. Ðåøåíèå. n = 3, k = 2, p = 0,8, q = 0,2
P3 (2) = C32 · 0,82 · 0,2 = C31 · 0,82 · 0,2 = 3 · 0,82 · 0,2 = 0,384. 32. Âñõîæåñòü ñåìÿí äàííîãî ñîðòà ðàñòåíèé ðàâíà 0,8. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç ïÿòè ïîñåÿííûõ ñåìÿí âçîéäóò íå ìåíåå ÷åòûðåõ.
20
Ðåøåíèå. n = 5, p = 0,8, q = 0,2. Íóæíî îïðåäåëèòü P5 (k > 4). Ñëó÷àéíîå ñîáûòèå (k > 4) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñóììîé íåñîâìåñòíûõ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé (k = 4) è (k > 4), ò. å. (k = 5)
(k > 4) = (k = 4) + (k = 5).  òàêîì ñëó÷àå ïî òåîðåìå ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé (òåîðåìå 1)
P5 (k > 4) = P5 [(k = 4) + (k = 5)] = = P5 (k = 4) + P5 (k = 5) = P5 (4) + P5 (5) = = C54 p4 q + p5 = C51 p4 q + p5 = 5 · 0,84 · 0,2 + 0,85 = 0,73728 ≈ 0,74. 33. Îðóäèå ïðîèçâåëî 600 âûñòðåëîâ. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ïðè îäíîì âûñòðåëå ðàâíà 0,6. Íàéòè âåðîÿòíîñòü 330 ïîïàäàíèé. Ðåøåíèå. n = 600, k = 330, p = 0,6, q = 0,4.
σ= x=
√
npq =
p
600 · 0,6 · 0,4 = 6 · 2 = 12,
330 − 600 · 0,6 30 5 = − = − = −2,5, 12 12 2 ϕ(−2,5) = ϕ(2,5).
Ïî ëîêàëüíîé òåîðåìå Ëàïëàñà
P600 (330) ≈
1 1 1 ϕ(−2,5) = ϕ(2,5) = · 0,0175 = 0,001458 ≈ 0,0015. 12 12 12
34. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ñòîëáèêå èç 100 íàóãàä îòîáðàííûõ ìîíåò ÷èñëî ìîíåò, ðàñïîëîæåííûõ ¾ãåðáîì ââåðõ¿ áóäåò à) îò 45 äî 55,
á) íå ìåíåå 45,
â) íå áîëåå 44.
Ðåøåíèå. n = 100, p = q = 0,5, σ =
√
npq =
√
100 · 0,5 · 0,5 = 5.
à) a = 45, b = 55,
α=
a − np 45 − 100 · 0,5 = = −1, σ 5
β=
b − np 55 − 100 · 0,5 = = 1. σ 5
21
Ñîãëàñíî èíòåãðàëüíîé òåîðåìå Ëàïëàñà
P100 (45 6 k 6 55) ≈ Φ(1) − Φ(−1) = 2Φ(1) = 2 · 0,3413 = 0,6826. á) a = 45, b = 100,
α = −1,
β=
100 − 100 · 0,5 = 10. 5
 òàáëèöå, ïðèâåäåííîé â [1], íåò çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà x = 10. Íàèáîëüøåå çíà÷åíèå àðãóìåíòà x = 5. Îäíàêî Φ(5) ≈ 0,5, à òàê êàê lim Φ(x) =
0,5; ñ÷èòàåì, ÷òî Φ(10) = 0,5. Ïîýòîìó,
x→+∞
P100 (k > 45) = P100 (45 6 k 6 100) ≈ Φ(10) − Φ(−1) = = 0,5 + Φ(1) = 0,5 + 0,3413 = 0,8413. â) Ïî óñëîâèþ çàäà÷è íóæíî íàéòè P100 , (k 6 44), ò. å.
P100 (0 6 k 6 44). Çäåñü ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì ôàêòîì, ÷òî ñîáûòèÿ (k 6 44) è (k > 45) ïðîòèâîïîëîæíûå. Ïîýòîìó, ïî òðåòüåìó ñëåäñòâèþ èç òåîðåìû 1
P100 (k 6 44) = 1 − P100 (k > 45) ≈ 1 − 0,8413 = 0,1587. Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 35.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 32 íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âçîéäåò ìåíåå äâóõ ñåìÿí. Îòâåò: P5 (k < 2) = P5 [(k = 0) + (k = 1)] = 0,00672. 36.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 33 íàéòè âåðîÿòíîñòü 390 ïîïàäàíèé. Îòâåò: P600 (390) ≈ 0,0015. 37.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 34 íàéòè P100 (k 6 40). Îòâåò: P100 (k 6 40) ≈ 0,0228.
22
Ëèòåðàòóðà [1] Â. Å. Ãìóðìàí. Ðóêîâîäñòâî ê ðåøåíèþ çàäà÷ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1979. [2] Â. Ì. Êóçíåöîâ. Ïðîãðàììà, ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ è òèïîâûå çàäà÷è ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ ñòóäåíòîâ ÎÇÎ ýêîíîìè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ. Ðîñòîâ-íà-Äîíó: ÓÏË ÐÃÓ, 1995. [3] È. È. Ëèõîëåòîâ, È. Ï. Ìàöêåâè÷. Ðóêîâîäñòâî ê ðåøåíèþ çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå, òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. Ìèíñê: Âûñøàÿ øêîëà, 1969. [4] Â. À. Ïîäîëüñêèé, À. Ì. Ñóõîäñêèé. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1974. [5] Í. ß. Ñåìèãèí, À. È. Êàðàñåâ, Ì. Ñ. Ëåáåäåâà, À. ß. Ìàðãóëèñ, Ò. À. Ñîëîâüåâà. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1967.