Линейное программирование и смежные вопросы. Часть 10. Методические указания по курсу ''Методы оптимизации'' для студентов механико-математического факультета

1

Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

С.В.Гусаков, Л.Н.Землянухина, А.Б.Зинченко, Л.И.Сантылова

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по курсу "Методы оптимизации" для студентов механико-математического факультета дневного и вечернего отделения

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 10

Ростов-на-Дону 2004

2

Методические заседанием кафедры

указания

рекомендованы к печати

исследования

операций механико-

математического факультета РГУ протокол № 5 от 27 января 2004 г.

3

ОГЛАВЛЕНИЕ 13.

ДИСКРЕТНЫЕ КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ . . . . . . . . . . . . . 4

13.1.

Основные понятия

............ ................. 4

13.2.

Примеры дискретных кооперативных игр . . . . . . . . . . . 6

13.3.

С-ядро дискретной кооперативной игры. . . . . . . . . . . . .10

13.4.

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

13.5.

Индивидуальные задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4

13. ДИСКРЕТНЫЕ КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ Кооперативные игры, описанные в методических указаниях [1,2], не могут моделировать экономические ситуации, в которых разыгрываются неделимые виды ресурсов или продукции. Стоимостное выражение этих величин не решает проблему, так как выигрыши должны принимать значения, принадлежащие дискретному множеству. В данной части методических указаний рассматриваются дискретные кооперативные игры, дополняющие теорию классических кооперативных игр. 13.1. Основные понятия Д и с к р е т н а я к о о п е р а т и в н а я и г р а < N, ν >, как и классическая, определяется множеством игроков N ={1, 2 ,…, n}, n ≥ 3, и супераддитивной характеристической функцией ν ν(∅)=0,

ν(S∪T) ≥ ν(S) + ν(T), S∩T=∅,

но функция ν должна быть целочисленной ν : 2N → Z+, где Z+ - множество неотрицательных целых чисел. Предполагается, что побочные платежи между членами любой коалиции измеряются целыми числами. Исходом или д е л е ж о м д и с к р е т н о й и г р ы называется вектор x = ( x1 ,…, x n ), удовлетворяющий условиям

x1 + … + x n = ν(N), i∈N, xi ≥ ν (i ) , i∈N, xi - целые,

5

ν(N), ν (i ) , i∈N, – целые числа. Любую дискретную игру можно привести 0 - р е д у ц и р о в а н н о й ф о р м е , когда

к

ν (i ) = 0, i∈N; ν(S) ≥ 0, S ⊆N. Формула перехода к 0-редуцированной игре имеет вид

ν ′( S ) = ν ( S ) − ∑ν (i ) , i∈S

S ⊆N.

x ′ = ( x1′ ,..., x n′ ) – дележ игры x = ( x1 ,..., x n ) , где xi = xi′ + ν (i ) , i∈N, Если

< N, ν ′ >,

то

является дележом исходной игры < N, ν>. В дальнейшем будем считать, что дискретная игра задана в 0редуцированной форме. Для 0-редуцированной дискретной игры множество дележей определяется системой

x1 + … + x n = ν(N), i∈N, xi ≥ 0, xi - целые, i∈N, ν(N) – целое число, то есть является множеством целочисленных точек симплекса с вершинами

x 1 = (ν(N), 0, …, 0),

x 2 = (0, ν(N), 0, …, 0), … , x n = (0, … , 0, ν(N)).

множество дележей дискретной кооперативной игры не пусто. Следовательно,

6

Дискретную кооперативную игру < N, ν> будем обозначать через ГZ = < N, ν>, а соответствующую ей недискретную игру (то есть игру с тем же множеством игроков N и той же характеристической функцией ν, допускающую нецелочисленные дележи) будем обозначать через ГR = < N, ν> и называть релаксированной к ГZ игрой или просто р е л а к с и р о в а н н о й и г р о й . Множество дележей дискретной игры ГZ будем обозначать через DZ(ν), а множество дележей релаксированной игры ГR будем обозначать через DR (ν). Ясно, что DR (ν) является выпуклой оболочкой точек множества DZ(ν), то есть DR (ν) = conv DZ(ν).

13.2. Примеры дискретных кооперативных игр П р и м е р 1 (″Р а с п р е д е л е н и е н е д е л и м о й п р о д у к ц и и ″). Несколько предприятий, специализирующихся по сборке, поставке комплектующих, закупке сырья и т.п. для дорогостоящей продукции неделимого типа, решили создать кооперативное объединение. Для каждой группы предприятий S ={ i1, … , in } известно максимальное количество готовой продукции a(S), которую они могут произвести, работая совместно в течение данного отрезка времени. Все предприятия заинтересованы производить взаимные расчеты путем перераспределения конечного продукта. Поскольку каждый участник кооперативного объединения заинтересован в увеличении своей доли прибыли, компромиссное решение вырабатывается в результате переговоров. Базой для переговоров может служить множество альтернатив, полученных с помощью кооперативной игры ГZ с характеристической функцией

7

ν′(S) = a(S)

S ⊆N.

Положим, например, n = 3, a(1) = 2, a(2) = 1, a(1,2) = 4, a(1,3) = 8, a(1,2,3) = 10.

a(3) = 3, a(2,3) = 6,

После перехода к 0-редуцированной форме, получаем дискретную игру с характеристической функцией

ν (i ) = 0, i=1,2,3; ν (1,2) = 1, ν (1,3) = 3,

ν (2,3) = 2,

ν (1,2,3) = 4.

Графическая иллюстрация множества дележей DR(ν) релаксированной игры приведена на рис.1 (заштрихованная область). Дележами рассматриваемой дискретной игры являются целочисленные точки множества DR (ν). Графическая иллюстрация множеств DR (ν) и DZ(ν) для примера 1

Рис.1.

8

П р и м е р 2 ( ″У п а к о в к а в к о н т е й н е р ы ″). Каждый из n игроков имеет некоторое количество груза и владеет контейнерами (вагонами, рефрижераторами и т.п.), в которых этот груз перевозится. Предполагается, что игроки могут перевести свои грузы, пользуясь только собственными контейнерами. Если при оптимальной упаковке груза, все контейнеры какого-либо игрока будут заполнены полностью, то он в игре не участвует. Остальным игрокам выгодно кооперироваться, то есть загружать в один и тот же контейнер грузы разных владельцев. Проблема состоит в определении количества контейнеров, которые должен выделить каждый игрок для перевозки грузов кооперативного объединения. Характеристическая функция игры имеет вид ν′(S) = k(S)

S ⊆N, где k(S) – количество контейнеров, необходимых для перевозки грузов коалиции S. Заметим, что в этой игре распределяются ″убытки″, а в предыдущих методических указаниях рассматривались игры с дележом ″прибыли″. Чтобы не менять определение решения, игру с распределением убытков сводят к эквивалентной игре с дележом прибыли, умножая значения характеристической функции на (-1). Для игры ″У п а к о в к а в к о н т е й н е р ы ″ получаем ν″(S) = - k(S)

S ⊆N.

Положим, например, n = 3, k(1) = 3,

k(2) = 2,

k(3) = 3,

k(1,2) = 4,

k(1,3) = 5,

k(2,3) = 5,

k(1,2,3) = 6.

9

После перехода к 0-редуцированной форме, получаем дискретную кооперативную игру с характеристической функцией

ν (i ) = 0, i=1,2,3; ν (1,2) = 1, ν (1,3) = 1,

ν (2,3) = 0,

ν (1,2,3) = 2. П р и м е р 3 (Игра ″М у с о р ″). У каждого из n игроков имеется мешок с мусором, который он должен выбросить во дворе у кого-то другого. Нужно выяснить, сумеют ли игроки достичь соглашения о размещении мусора. Характеристическая функция игры имеет вид

⎧0, ⎪ ν ′( S ) = ⎨n − S , ⎪n , ⎩

S = 0, 0 < S < n, S = n.

После перехода от задачи ″распределения убытков″, к задаче ″дележа прибыли″, получаем

⎧0, ⎪ ν ′′( S ) = ⎨− ( n − S ), ⎪− n, ⎩

S = 0, 0 < S < n, S = n.

В недискретном варианте этой симметричной игры, предложенном Шепли и Шубиком [3], одному мешку с мусором присваивалась ″полезность″, равная (-1), однако, более естественно игру ″М у с о р ″ считать дискретной. Ниже будут рассмотрены различные подходы к ее решению.

10

13.3. С-ядро дискретной игры Как уже говорилось в предыдущих методических указаниях [1,2], в теории кооперативных игр нет единой концепции решения, но основным считается понятие С-ядра. Существует два подхода к определению С-ядра классической (недискретной) кооперативной игры. П о д х о д п е р в ы й ( для ГR ). На множестве всех дележей DR(ν) игры ГR вводится отношение доминирования. Говорят, что дележ x 1 = ( x11 ,..., x1n )

x 2 = ( x12 ,..., xn2 ) (записывается

x 1 f x 2 ),

д о м и н и р у е т дележ если существует такая

коалиция S ⊂ N, что 1. ∑ xi1 ≤ ν(S), i∈S

2.

xi1 > xi2 ,

i∈S.

Множество всех недоминируемых дележей недискретной кооперативной игры ГR называется ее С - я д р о м . Будем обозначать С-ядро игры ГR через СR (ν), то есть СR (ν) = DR (ν) \ dom DR (ν), где dom DR (ν) – множество дележей, каждый из которых доминируется некоторым дележом из DR (ν). П о д х о д в т о р о й ( для ГR ). С-ядро определяется, как множество решений линейной системы.

11

С - я д р о м недискретной кооперативной игры ГR называется множество векторов x = ( x1 ,…, x n ), удовлетворяющих следующим условиям: у с л о в и ю и н д и в и д у а л ь н о й р а ц и о н а л ь н о с т и , которое для 0-редуцированных игр становиться условием неотрицательности переменных (1) xi ≥ 0, i∈N, условию оптимальности по Парето ∑ xi = ν(N),

(2)

i∈N

условию групповой рациональности ∑ xi ≥ ν(S),

i∈S

1 < S < n , S ⊂ N.

(3)

Неоднозначность определения С-ядра недискретных кооперативных игр не вызывает трудностей, так как эти определения эквивалентны, то есть справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 1 . Вектор x ∈ Rn принадлежит множеству недоминируемых дележей недискретной игры ГR в 0– редуцированной форме тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условиям (1), (2) и (3). Покажем теперь, что для дискретной игры ГZ описанные выше подходы к определению С-ядра дают разные множества. П о д х о д п е р в ы й ( для ГZ ). Пусть С*Z (ν) – множество недоминируемых дележей дискретной игры ГZ , то есть С*Z (ν) = DZ(ν) \ dom DZ(ν),

12

где dom DZ(ν) – множество дележей, каждый из которых доминируется некоторым дележом из DZ(ν). Рассмотрим два дележа x 1 и x 2 игры ГZ. Если дележ x 1 доминирует дележ x 2 , то есть x 1 f x 2 , то из условий

xi1 > xi2 ,

i∈S;

xi1 , xi2 - целые, i∈S следует, что xi1 ≥ xi2 + 1, i∈S, ⇒ ⇒

2 1 ∑ xi + S ≤ ∑ xi ≤ ν(S)

i∈S

i∈S

⇒

2 ∑ xi ≤ ν(S) - S .

i∈S

Так как левая и правая части последнего неравенства целочисленны, то получаем, что доминироваться могут только дележи, удовлетворяющие условию 2 ∑ xi < ν(S) - S + 1. i∈S

Следовательно, условие недоминируемости дележа задается системой ∑ xi ≥ ν(S) - S + 1, S ⊂ N. i∈S

Это условие является также и необходимым условием недоминируемости дележа, то есть справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 2 . Вектор x ∈Rn принадлежит множеству недоминируемых дележей дискретной игры ГZ в 0-редуцированной форме тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условиям ∑ xi ≥ ν(S) - S +1,

i∈S

1 < S < n, S ⊂ N,

(4)

13

∑ xi = ν(N),

(5)

i∈N

xi ≥ 0,

i∈N,

(6)

xi - целые, i∈N,

(7)

ν (S ) - целое число, S ⊆ N. П о д х о д в т о р о й ( для ГZ ). Так как множество дележей дискретной игры есть подмножество целых точек множества дележей релаксированной игры, то естественно определить С-ядро дискретной игры как подмножество целых точек С-ядра релаксированной игры , то есть как множество решений системы ∑ xi ≥ ν(S),

i∈S

1 < S < n , S ⊂ N.

(8)

∑ xi = ν(N),

(9)

xi ≥ 0, i∈N,

(10)

xi - целые, i∈N,

(11)

i∈N

ν (S ) - целое число, S ⊆ N. Множество решений системы (8) - (11) обозначим через СZ (ν). Сравнив системы (4) – (7) и (8) – (11), определяющие множества С*Z (ν) и СZ (ν), получаем, что СZ (ν) ⊆ С*Z (ν).

14

Найдем множества С*Z (ν) и СZ (ν) для конкретных дискретных игр. 1. Игра ″Р а с п р е д е л е н и е н е д е л и м о й п р о д у к ц и и ″ (см. пример 1, стр. 6 -7 ). 0-редуцированная характеристической функции имеет вид

ν (i ) = 0, i=1,2,3; ν (1,2) =1, ν (1,3) =3, ν (1,2,3) =4.

ν (2,3) =2,

Множество С*Z (ν) определяется системой ≥ 0, x1 + x2 + x3 ≥ 2, x1 x2 + x3 ≥ 1, x1 + x2 + x3 = 4, x1 , x2 , x3 ≥ 0,

x1 , x2 , x3 - целые. После исключения переменной x3 получаем x1 + x2 ≤ 4, ≤ 3, x1 x2 ≤ 2, x1 , x2 ≥ 0,

x1 , x2 - целые. Из рисунка 2 видно, что множество С*Z (ν) состоит из 11 точек С*Z (ν) = {(0,0,4), (1,0,3), (2,0,2), (3,0,1), (0,1,3), (1,1,2), (2,1,1), (3,1,0), (0,2,2), (1,2,1), (2,2,0)}.

15

Графическая иллюстрация множества С*Z (ν) для примера 1

Рис.2. Множество СZ (ν) определяется системой ≥ 1, x1 + x2 + x3 ≥ 3, x1 x2 + x3 ≥ 2, x1 + x2 + x3 = 4, x1 , x2 , x3 ≥ 0, x1 , x2 , x3 - целые. После исключения переменной x3 получаем 1 ≤ x1 + x2 ≤ 4, ≤ 2, x1 x2 ≤ 1, x1 , x2 ≥ 0,

x1 , x2 - целые. Из рисунка 3 видно, что множество СZ (ν) состоит из 5 точек

16

СZ (ν) = { (1,0,3), (2,0,2), (0,1,3), (1,1,2), (2,1,1) }. Графическая иллюстрация множества СZ (ν) для примера 1

Рис.3. В данном примере С*Z (ν) ≠ СZ (ν). Для исходной (не 0-редуцированной игры) с характеристической функцией ν′ имеем С*Z (ν′) = {(2, 1, 7), (3, 1, 6), (4, 1, 5), (5, 1, 4), (3, 2, 5), (4, 2, 4), (5, 2, 3), (5, 2,3), (2, 3, 5), (3, 3, 4), (4, 3, 3)}. СZ (ν′) = { (3, 2, 6), (4, 1, 5), (2, 2, 6), (3, 2, 5), (4, 2, 4) }. Рассмотрим точки, принадлежащие разности С*Z (ν′) \ СZ (ν′):

x 1 = (20,10,70),

множеств

x 2 = (50,10,40),

x 3 = (50,20,30),

x 4 = (20,30,50), x 5 = (30,30,40),

x 6 = (40,30,30).

17

Любой из дележей x j , j =1,…,6, хотя и не доминируется другими дележами из DZ(ν′), является дискриминирующим по крайней мере для одной из коалиций, приписывая ей доход, меньший, чем ее собственные коалиционные возможности. Например, 1 ∑ xi = 3 < ν (1,2) = 4,

2 ∑ xi = 5 < ν (2,3) = 6

i∈{2 , 3}

i∈{1, 2}

и т. д.

Эти коалиции будут возражать против соответствующих исходов игры, так как существуют пять дележей из множества СZ(ν′), удовлетворяющих минимальным требованиям всех коалиций. 2. Игра ″У п а к о в к а в к о н т е й н е р ы ″ (см. пример 2, стр. 8-9). 0-редуцированная характеристической функции имеет вид

ν (i ) = 0, i=1,2,3; ν (1,2) =1,

ν (1,3) =1,

ν (2,3) =0,

ν (1,2,3) =2.

Графическая иллюстрация множества СZ (ν) для примера 2

Рис.4.

18

Множество С*Z (ν) определяется системой ≥ 0, x1 + x2 + x3 ≥ 0, x1 x2 + x3 ≥ -1, x1 + x2 + x3 = 2, x1 , x2 , x3 ≥ 0, x1 , x2 , x3 - целые. После исключения переменной x3 получаем x1 + x2 ≤ 2, x1 , x2 ≥ 0, x1 , x2 - целые. В данном примере множество С*Z (ν) совпадает с множеством всех дележей DZ(ν) и состоит из 6 точек С*Z (ν) ={ (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) }. Множество СZ (ν) определяется системой ≥ 1, x1 + x2 + x3 ≥ 1, x1 x2 + x3 ≥ 0, x1 + x2 + x3 = 2, x1 , x2 , x3 ≥ 0, x1 , x2 , x3 - целые. После исключения переменной x3 получаем

1 ≤ x1 + x2 ≤ 2, x2 ≤ 1, x1 , x2 ≥ 0, x1 , x2 - целые. Из рисунка 4 видно, что множество СZ (ν) состоит из 4 дележей СZ (ν) ={ (2,0,0), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) }. Возвращаясь к исходной игре с характеристической функцией ν′, получаем С*Z (ν′) = { (1,2,3), (3,0,3), (3,2,1), (2,1,3), (2,2,2), (3,1,2) }, СZ (ν′) = { (1,2,3), (2,1,3), (2,2,2), (3,1,2) },

19

С*Z (ν′) \ СZ (ν′) = { (3,0,3), (3,2,1) }. Рассмотрим, например, дележ (3,0,3) ∈ С*Z (ν′) \ СZ (ν′). Согласно этому исходу игры, коалиция {1,3} должна выделить 6 контейнеров, хотя свой груз она может упаковать в 5 контейнеров. Следовательно, коалиция {1,3} будет возражать против дележа (3,0,3). 3. Игра ″ М у с о р ″

(см. пример 3, стр. 9).

Положим n=3, тогда характеристической функции игры будет иметь вид ν ′(1) = ν ′(2) = ν ′(3) = 2, ν ′(1,2) = ν ′(1,3) = ν ′(2,3) = 1, ν ′(1,2,3) = 3. После перехода от игры с ″распределением убытков″ к 0-редуцированной форме игры с ″дележом прибыли″, получаем

ν (i ) = 0, i=1,2,3; ν (1,2) = ν (1,3) = ν (2,3) = 3, ν (1,2,3) = 3. Множество С*Z (ν) определяется системой ≥ 2, x1 + x2 + x3 ≥ 2, x1 x2 + x3 ≥ 2,

x1 + x2 + x3 = 3, x1 , x2 , x3 ≥ 0,

20

x1 , x2 , x3 - целые. После исключения переменной x3 получаем 2 ≤ x1 + x2 ≤ 3,

x1 ≤ 1,

x2 ≤ 1,

x1 , x2 ≥ 0,

x1 , x2 - целые.

В данной игре С*Z (ν) = С*Z (ν′) = { (1,1,1) }, СZ (ν) = СZ (ν′) =∅. Было доказано (методические указания [2], стр. 17), что С-ядро релаксированной игры тоже не существует СR (ν′) =∅. Поскольку в игре ″ М у с о р ″ (для трех игроков), множество недоминируемых дележей С*Z (ν′) состоит из единственного дележа { (1,1,1) }, а множество СZ (ν′) пустое, то, скорее всего, такой исход игры будет одобрен всеми коалициями. Из рассмотренных выше примеров вытекает, что прямое применение принципа недоминирования к определению С-ядра дискретной игры может дать дележи, противоречащие интересам промежуточных коалиций. Таким образом, предпочтительнее следующее определение. С - я д р о м д и с к р е т н о й к о о п е р а т и в н о й и г р ы будем называть множество недоминируемых дележей, удовлетворяющих условию групповой рациональности, то есть множество СZ (ν). Находить все недоминируемые дележи С*Z (ν) имеет смысл только в случае пустоты С-ядра СZ (ν).

21

13.4. Упражнения У п р а ж н е н и е 1. Каким условиям должна удовлетворять характеристическая функции дискретной кооперативной игры с ″распределением убытков″. У п р а ж н е н и е 2 . Привести пример дележа из множества С*Z (ν′), доминирующего дележ (6, 1, 3) для игры ″ Р а с п р е д е л е н и е н е д е л и м о й п р о д у к ц и и ″ (см. стр.6-7, 14-17). У п р а ж н е н и е 3 . Получить формулы перехода от дележей из множеств С*Z (ν), СZ (ν) к соответствующим дележам множеств С*Z (ν′), СZ (ν′) для игры ″ Уп а к о в к а в к о н т е й н е р ы ″ (см. пример 2, стр.8-9, 17-19). У п р а ж н е н и е 4 . Получить формулы перехода от дележей из множества С*Z (ν) к соответствующим дележам множества С*Z (ν′) для игры ″ М у с о р ″ (см. пример 3, стр. 9, 19, 20). У п р а ж н е н и е 5 . Почему С-ядро дискретной игры ″ М у с о р ″ (см. пример 3, стр. 9, 19, 20) является пустым при любом количестве игроков? У п р а ж н е н и е 6 . Возможен ли для игры трех лиц случай, когда СR (ν) ≠ ∅, а С-ядро соответствующей дискретной игры является пустым, то есть СZ (ν) = ∅ ? У п р а ж н е н и е 7 . Дайте содержательную интерпретацию множества, определенного ограничениями

∑ xi ≤ ν(S),

i∈S

∑ xi = ν(N),

i∈N

1 < S < n, S ⊂ N,

xi ≥ 0 - целые, i∈N,

22

где ν - характеристическая функция 0-редуцированной дискретной игры с ″распределением прибыли″. У п р а ж н е н и е 8 . Дана дискретная кооперативная игра ГZ = и один из ее дележей x = ( x1 ,…, xn ) ∈ СZ (ν). Будет ли дележ α x = (α x1 ,…,α xn ) принадлежать С-ядру дискретной игры , где ν′(S) = αν(S), S⊆ N, α - целое положительное число? Таблица 1 №

a (1)

a (2)

a (3)

a (1,2)

a (1,3)

a (2,3)

a (1,2,3)

1

25

25

50

60

80

80

110

2

15

40

20

65

40

75

90

3

30

25

20

65

55

60

90

4

40

45

15

90

65

65

110

5

40

20

35

60

80

60

100

6

25

25

20

60

55

45

80

7

25

20

10

65

70

45

90

8

50

20

10

75

65

40

90

9

50

30

30

80

90

70

120

10

25

25

30

65

85

70

110

11

20

15

15

45

35

40

60

12

20

20

40

60

70

70

100

13

10

40

30

60

50

70

90

14

30

30

20

80

70

50

100

23

ν (1,2,3,4) = a , У п р а ж н е н и е 9 . Дана функция: ν (1,2) = a12 , ν (1,3) = a13 , ν (1,4) = a14 , ν (2,3) = a 23 , ν (2,4) = a 24 , ν (3,4) = a 34 , ν (S ) = 0 для остальных коалиций S ⊂ N, где aij , a - целые положительные числа, a ≥ max aij . 1≤ i , j ≤ n

Может ли эта функция быть характеристической функцией дискретной кооперативной игры четырех лиц? 13.5. Индивидуальные задания З а д а н и е 1. Используя графический метод, определите множества С*Z (ν), СZ (ν), С*Z (ν′) \ СZ (ν′) Таблица 2 №

k (1)

k (2)

k (3)

k (1,2)

k (1,3)

k (2,3)

k (1,2,3)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

5 3 3 5 5 3 5 6 5 4 4 3 3 3

2 4 2 3 4 5 2 3 4 4 2 2 6 2

3 3 6 4 4 3 2 3 2 2 2 2 2 5

7 6 4 7 8 8 6 8 8 8 5 5 8 5

7 6 8 8 9 6 7 8 7 6 6 4 4 7

4 6 7 6 7 7 3 6 4 5 3 4 9 6

8 8 9 10 12 9 7 10 9 9 6 5 9 8

24

для игры трех лиц ″ Р а с п р е д е л е н и е н е д е л и м о й п р о д у к ц и и ″ (см. таблицу 1). З а д а н и е 2. Используя графический метод, определите множества С*Z (ν) и СZ (ν) для игры трех лиц ″ У п а к о в к а в к о н т е й н е р ы ″ (см. таблицу 2). Интересы каких коалиций нарушаются при исходах игры, принадлежащих множеству С*Z (ν′) \ СZ (ν′). Дайте содержательную интерпретацию этих дележей.

Литература 1. Гусаков С.В. и др. Линейное программирование и смежные вопросы. Часть 5. Методические указания. Ростов-на-Дону: РГУ, 2001, 38 с. 2. Гусаков С.В. и др. Линейное программирование и смежные вопросы. Часть 7. Методические указания. Ростов-на-Дону: РГУ, 2001, 31 с. 3. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социологическим, биологическим и экологическим задачам. М., 1986. С.320. 4. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. М., 1991, 436 с.