Введение в теорию колебаний конструкций. Часть 1: Учебное пособие

Ф Е Д Е Р АЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О Б Р АЗО В АН И Ю В О Р О Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т

З и н овье вН . М . М я с н я н ки н Ю . М .

В В Е Д Е Н И Е В Т Е О РИ Ю

К О Л Е Б АН И Й К О Н С Т Р У К ЦИ Й

Часть1 У чебное пособие д л я сту д е нто в сп е циал ьно сте й 010901 (010500) «М е х аника» и 010500 (510200), 010501 (010200) «П рикл ад ная мате матика и инфо рматика»

В О РО Н Е Ж 2005

2

У тве рж де н о н ау чн о-ме тоди че с ки м с ове том факу льте та ПМ М (30 с е н тя бря 2004 года, протокол № 1)

А вторы: З и н овье вН . М . М я с н я н ки н Ю . М .

У че бн ое пос оби е подготовле н о н а кафе дре Т е оре ти че с кой и При кладн ой ме хан и ки факу льте та ПМ М Ворон е ж с кого гос у дарс тве н н ого у н и ве рс и те та и ре коме н ду е тс я для с ту де н тов4-5 ку рс ов.

3

В ведение Н ас тоя щ е е у че бн ое пос оби е пре дн азн аче н о впомощ ьс ту де н там 4-5 ку рс ов по с пе ци альн ос тя м 010500, 010200 и маги с тров по с пе ци альн ос ти 510300 «ме хан и ка де форми ру е мого тве рдого те ла» и «при кладн ая мате мати ка» при и зу че н и и и ми с пе цку рс а «Коле бан и я кон с тру кци й». Этот ку рс чи тае тс я н а кафе дре те оре ти че с кой и при кладн ой ме хан и ки вте че н и е 3-х ле т. Хотя по дан н ому ку рс у с у щ е с тву е т обш и рн ая ли те рату ра, ре коме н довать с ту де н там для и зу че н и я при е мле мый у че бн и к и ли дос ту пн у ю кн и гу н е пре дс тавля е тс я возмож н ым: ос обе н н о э то отн ос и тс я к практи че с кому при ме н е н и ю те ори и коле бан и й. В у че бн ом пос оби и кратко рас с мотре н ы те оре ти че с ки е вопрос ы те ори и коле бан и й, с опроти вле н и я мате ри алов, ме хан и ки с плош н ой с ре ды. О с обое вн и ман и е обращ е н о н а ре ш е н и е кон кре тн ых и н ж е н е рн ых задач; опре де ле н и е рас че тн ых с хе м, при ме н е н и е точн ых и при бли ж е н н ых те ори й для дос ти ж е н и я при е мле мого ре зу льтата. Р ас с мотре н о ре ш е н и е мн оги х и н ж е н е рн ых задач, дан ы при ме ры для с амос тоя те льн ого ре ш е н и я и с оотве тс тву ю щ и е ме тоди че с ки е у казан и я . В пре длагае мой пе рвой час ти рас с матри ваю тс я коле бан и я с одн ой с те пе н ью с вободы. Во второй и тре тье й час тя х у че бн ого пос оби я план и ру е тс я рас с матри вать коле бан и я с н е с кольки ми с те пе н я ми с вободы и коле бан и я с плош н ых те л, обс у ди тьчи с ле н н ые ме тоды и ре али заци ю ме тодовре ш е н и я н а ЭВМ . Т е оре ти че с кое обос н ован и е коле бате льн ых проце с с ов и и х при ме н е н и я мож н о н айти вработах [1-10]. С одержание §1. С вободн ые гармон и че с ки е коле бан и я . §2. Кру ти льн ые коле бан и я . §3. И зги б бру с а. §4. О бобщ е н н ый коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти . §5. Эн е рге ти че с ки й ме тод и с с ле дован и я коле бан и й. §6. З адачи .

4 6 10 11 15 20

4

§1. С вободные гармонические кол ебания [1,2,5] С вободн ыми н азываю тс я коле бан и я мате ри альн ой точки , прои с ходя щ и е под де йс тви е м вос с тан авли ваю щ е й с и лы, с тре мя щ е йс я ве рн у ть точку в н е которое полож е н и е . Вос с тан авли ваю щ ая с я с и ла ли н е йн о зави с и т от с ме щ е н и я u (Р и с . 1.) F = −cu (1) u где c коэ ффи ци е н т у пру гос ти и ли коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти . 0

X

Р и с у н ок 1.

При ме р1. Г ру з ве с ом P подве ш е н н а ве рти кальн ой пру ж и н е , с оздае т с тати че с кое у дли н е н и е ∆ с т . В н ачальн ый моме н т вре ме н и гру з и ме е т пе ре ме щ е н и е x0 , отс чи тывае мое от полож е н и я с тати че с кого равн ове с и я и н ачальн у ю с корос ть v0 . Пре н е бре гая с опроти вле н и е м с ре ды, н айти закон дви ж е н и я гру за. По второму закон у ди н ами ки a)

mW = F

c)

b)

0

для Р и с .2(c) и ме е м

(2), mW = P + F F = −c(x + Pс т ) .

0

где

Н ачало отс че та 0 ос и X выбран о в полож е н и и с тати че с кого равн ове с и я Р и с .2(b) F x P = Fс т и ли P P = c∆ с т (3) Р и с у н ок 2. P Прое кти ру я ве кторн ое раве н с тво x (2) на ос ь X, и ме е м m&x& = P − c(x + ∆ с т ) . И с пользу я раве н с тво (3), пос ле дн е е у равн е н и е е с ть m&x& + cx = 0 (4) Полу че н н ое у равн е н и е опи с ывае т и коле бан и я мате ри альн ой точки (Р и с .1) под де йс тви е м гори зон тальн ой вос с тан авли ваю щ е й с и лы. Д ля заве рш е н и я пос трое н и я мате мати че с кой моде ли прои с ходя щ е го фи зи че с кого проце с с а н е обходи мо добави ть к ди ффе ре н ци альн ому у равн е н и ю второго поря дка (4) н ачальн ые у с лови я при t = 0 x(0 ) = x0 x& (0 ) = v0 (5) У равн е н и е (4) с н ачальн ыми у с лови я ми (5) – задача Кош и . Вводи тс я пон я ти е кру говой час тоты коле бан и й Δ

Fс т

Δ

ст

k=

c m

(6)

ст

и ли и з(3)

k=

g ∆ст

(7),

5

которая н е зави с и т от н ачальн ых у с лови й (5). Т аки е коле бан и я н азываю тс я и зохрон н ыми . У равн е н и е (4) пре дс тави мо вви де &x& + k 2 x = 0 , (8) общ е е ре ш е н и е которого x(t ) = C1 cos kt + C 2 sin kt (9) опи с ывае т гармон и че с ки е коле бан и я мате ри альн ой точки с пе ри одом коле бан и й T=

2π k

(10)

Д и ффе ре н ци ру я по t полу че н н ое ре ш е н и е (9), и ме е м x& (t ) = −C1k sin kt + C 2 k cos kt

(11) Подс тави в н ачальн ые дан н ые (5) в у равн е н и я (9) и (11), полу чи м C1 = x0 C2 =

v0 . k

О кон чате льн ое ре ш е н и е пос тавле н н ой задачи x(t ) = x0 cos kt +

v0 sin kt k

(12)

Г е оме три че с кая и н те рпре таци я полу че н н ого ре ш е н и я A C

X

O

Пу с ть ве ктор О А = x0 i , где i е ди н и чн ый орт вращ ае тс я с пос тоя н н ой у гловой с корос тью k вокру г полю с а 0, т.е . ϕ = kt . Вводи м ве ктор OB ортогон альн ый к ве ктору v0 . Т огда k OC = OA + OB .

OA и по моду лю равн ый

B

Р и с у н ок 3

ве ктор OC е с ть Прое кти ру я пос ле дн е е раве н с тво н а ос ь X , полу чи м x = x0 cos kt +

v0 sin kt k

(13)

которое полн ос тью с овпадае т с ре ш е н и е м (12). С дру гой с торон ы, е с ли вве с ти у гол α ме ж ду ве кторами OA и OC , то прое кци я ве ктора OC н а ос ь X бу де т x = OC cos(kt − α ) , где С ле довате льн о, ре ш е н и е (12) пре дс тави мо вви де x(t ) = A cos(kt − α ) ,

OC = x 02 +

v02 . k2

(14)

v 02 - ампли ту да коле бан и й – абс олю тн ая ве ли чи н а н аи больш е го k2 отклон е н и я коле блю щ е йс я точки от полож е н и я равн ове с и я . α - н ачальн ая фаза

где A = x02 +

коле бан и й и ли с дви гфазы.

6

§2. К ру тил ьные кол ебания [2,4] При ве де н н ая ге оме три че с кая и н те рпре таци я позволя е т пе ре йти к рас с мотре н и ю коле бан и й прос тран с тве н н ых тве рдых те л. Р ас с мотри м ве рти кальн ый вал AB , мас с ой которого бу де м пре н е бре гать, к н и ж н е му кон цу которого при кре пле н одн ородн ый гори зон тальн ый ди с к ради у с а R . Е с ли вплос кос ти ди с ка при лож и тькру тя щ и йс я моме н т, который вн е запн о с н и мае м, то возн и каю т с вободн ые кру ти льн ые коле бан и я вала с ди с ком. И з ку рс а «Т е оре ти че с кая ме хан и ка» и зве с тн о ди ффе ре н ци альн ое у равн е н и е вращ е н и я тве рдого те ла вокру гн е подви ж н ой ос и [4,6] J

d 2ϕ =M, dt 2

(1)

где J - ос е вой моме н т и н е рци и те ла, M - моме н т вс е х с и л отн ос и те льн о ос и вращ е н и я . Е с ли вве с ти кру тя щ и йс я моме н т M 0 , вызываю щ и й у гол закру чи ван и я вала в оди н ради ан , тогда M = M 0ϕ и у равн е н и е (1) при н и мае т ви д Jϕ&& = − M 0ϕ (2) l З н ак ми н у с показывае т, что моме н т, возн и каю щ и й в тве рдом те ле , раве н и проти вополож н о н аправле н де йс тву ю щ е му н а вал кру тя щ е му моме н ту . (При н ци п де йс тви я и B проти воде йс тви я ). О пре де ле н и е е ди н и чн ого моме н та вн у тре н н и х с и л и с ами х вн у тре н н и х с и л Р и с у н ок 4. я вля е тс я ос н овн ой задаче й ме хан и ки де форми ру е мого те ла. Р ас с мотри м тве рдое те ло под де йс тви е м вн е ш н и х акти вн ых с и л, н аходя щ и хс я вравн ове с и и . При ме н и вме тод с е че н и й, т.е . проводи м мыс ле н н о плос кос ть, де ля щ у ю те ло н а две час ти , и рас с мотри м равн ове с и е одн ой и зн и х, заме н и вотброш е н н у ю час тьде йс тву ю щ и ми с и лами (Р и с .5) [6,10].

Р и с у н ок 5.

7

При ме н и м закон ы с тати ки . Прои звольн ая прос тран с тве н н ая с и с те ма с и л э кви вале н тн а главн ому ве ктору R и главн ому моме н ту M . Выде ли м вс е че н и и те ла э ле ме н тарн у ю площ адку ∆S с вн е ш н е й н ормалью n и кас ате льн ой τ . Н а площ адку де йс тву е т с у ммарн ая с и л ∆F и с у ммарн ый моме н т ∆M . С ле ду е т отме ти ть, что ∆F я вля ю тс я вн у тре н н и ми с и лами , возн и каю щ и ми в тве рдом те ле под де йс тви е м вн е ш н и х н агру зок. Р азлож и м ве ктор ∆F н а н ормальн у ю ∆Fn и кас ате льн у ю ∆Fτ с ос тавля ю щ и е . Вводи тс я пон я ти е де йс тви те льн ое н апря ж е н и е и ли прос то н апря ж е н и е в точке М σ = lim

∆S → 0

прое кци и которого е с ть

∆F , ∆S

∆Fn - н ормальн ое н апря ж е н и е и ∆S → 0 ∆S ∆F σ τ = lim τ - кас ате льн ое н апря ж е н и е ∆S →0 ∆S

σ n = lim

Р ас с мотри м бру с с кру говым попе ре чн ым с е че н и е м, н агру ж е н н ый по торцам дву мя моме н тами M . M dz Z M

Д ву мя попе ре чн ыми с е че н и я ми мыс ле н н о выде ли м и з бру с а э ле ме н т дли н ой dz и дву мя ци ли н дри че с ки ми пове рхн ос тя ми ради у с ами ρ и ρ + dρ выде ли м э ле ме н тарн ое кольцо толщ и н ы dρ . dz

A

B d B1

Поворот одн ого с е че н и я отн ос и те льн о дру гого в торце вом с е че н и и с ос тави т у гол dϕ , а образу ю щ ая ци ли н дра АВ пове рн е тс я н а у гол γ . О тре зок BB1 = γdz , с дру гой с торон ы, BB1 = ( ρ + dρ )dϕ = ρdϕ + dρdϕ . Т ак как dϕ и dρ - бе с кон е чн о малые , то малыми dρ ⋅ dϕ второго поря дка бу де м вдальн е йш е м пре н е бре гатьи полу чи м с оотн ош е н и е γ =ρ

dϕ dz

и ли

8 γ = ρΘ

(3),

dϕ – отн ос и те льн ый у гол закру чи ван и я , который я вля е тс я ан алогом dz ∆l отн ос и те льн ого у дли н е н и я при рас тя ж е н и и . l

где Θ =

По закон у Г у ка для с дви га кас ате льн ое н апря ж е н и е τ = GρΘ (4), где G - моду льс дви га Эле ме н тарн ые с и лы τdS с оздаю т кру тя щ и й моме н т M К р = ∫ τρdS , где S S

площ адьпопе ре чн ого с е че н и я бру с а. И с пользу я форму лу (4), полу чи м M К р = GΘ ∫ ρ 2 dS , (5) S

где

∫ρ

2

4

dS = J p [с м ]- поля рн ый моме н т и н е рци и попе ре чн ого с е че н и я бру с а.

S

О кон чате льн о полу чи м M К р = GJ рΘ ,

(6) где GJ р - ж е с ткос тьбру с а при кру че н и и . Д ля с плош н ого кру гового с е че н и я d

2

J р = 2π ∫ ρ 3 dρ = 0

Т ак как

dϕ = Θdz =

M Кр GJ р

πd 4 . 32

dz

И н те гри ру я пос ле дн е е у равн е н и е при M К р = const , полу чи м ϕ = M Кр =

GJ рϕ l

=

πd 4 G ϕ 32l

M К рl GJ р

, отку да

(7)

И з полу че н н ой форму лы с ле ду е т, что е ди н и чн ый моме н т M 0 вн у тре н н и х с и л, отн е с е н н ый к одн ому ради ан у , е с ть M0 =

πd 4 G 32l

(8)

И зформу л (4) и (6) с ле ду е т, что кас ате льн ое н апря ж е н и е τ=

M К рρ Jр

и τ max =

M К р ρ max Jр

Поте н ци альн ая э н е рги я де формаци и , н акопле н н ая бру с ом при кру че н и и , равн а работе моме н тов M К р , при лож е н н ых по торцам M К2рdz 1 dU = M К рdϕ = . 2 2GJ р

При M К р = const U=

M К2рl 2GJ р

(9)

9

И так, у равн е н и е дви ж е н и я (2) ди с ка (Р и с .4) при н и мае т ви д у равн е н и я гармон и че с ки х коле бан и й ϕ&& + k 2ϕ = 0 , где

час тота k =

M0 J

с

пе ри одом

кру ти льн ых коле бан и й T=

2π J = 2π , k M0

(10)

Г де M 0 я вля е тс я ан алогом коэ ффи ци е н та ж е с ткос ти с пру ж и н ы и в дальн е йш е м M 0 = f бу де м н азыватькоэ ффи ци е н том ж е с ткос ти вала. Пре дполож и м, что вал с ос тои т и з дву х у час тков дли н ой l1 и l 2 и с оотве тс тву ю щ и ми ди аме трами d1 и d 2 , у гол закру чи ван и я α , вызывае мый при лож е н н ым по торцам моме н том M 32 Ml1 32 Ml 2 32 M  d14   ϕ= + = l1 + l 2 4  . πd1n G πd 24 G πd 14 G  d2 

О тс ю да с ле ду е т, что и с ходн ый вал э кви вале н те н валу дли н ой L = l1 + l 2

d 14 d 24

ди аме тра d1 и и ме е т тот ж е коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти . В общ е м с лу чае вал, с ос тоя щ и й и зn у час тковэ кви вале н те н валу дли н ой L = li

d4 d i4

i = 1, n

Р ас с мотри м вал с дву мя кон це выми мас с ами . Кру ти льн ые коле бан и я , возн и кш и е пос ле вн е запн о с н я тых закру чи ваю щ и х пар н а торцах, ос у щ е с твля ю т вращ е н и е кон це вых мас с в проти вополож н ых н аправле н и я х, что с ле ду е т и ззакон а с охран е н и я моме н та коли че с тва дви ж е н и я . О тме ти м, что пос ле дн и й раве н н у лю , так как в н ачальн ый моме н т с и с те ма н аходи лас ьвпокое . О тс ю да с ле ду е т, что с у щ е с тву е т н е которое проме ж у точн ое n − m , которое в проце с с е коле бан и й ос тае тс я попе ре чн ое с е че н и е н е подви ж н ым. О но н азывае тс я m у зловым попе ре чн ым с е че н и е м, a b полож е н и е е го опре де ля е тс я и з у с лови я , что у час тки вала с права и с ле ва от н е го и ме ю т оди н аковый J1 J2 пе ри од коле бан и й. Т огда и зформу лы (10) с ле ду е т

n l

отн ош е н и е при н и мае т ви д

f1 J 1 = . f2 J2

Т ак как f =

πd 4 G , то пос ле дн е е 32l

lJ 2 a J1 = . О тку да a = и пе ри од коле бан и й ле вого l J2 J1 + J 2

у час тка T = 2π

32l ( J 1 ⋅ J 2 ) πd 4 G ( J 1 + J 2 )

10

O

§3. И згиббру са [6,10] Под и зги бом пон и мае тс я такой ви д н агру ж е н и я , при котором впопе ре чн ых с е че н и я х бру с а возн и кае т и зги баю щ и й моме н т M . Е с ли в лю бом с е че н и и бру с а возн и кае т оди н и тот ж е и зги баю щ и й моме н т, то вс лу чае одн ородн ого бру с а и зме н е н и е кри ви зн ы ρ для вс е х у час тков бу де т одн и м и те м ж е . Т акой ви д н агру ж е н и я н азывае тс я чи с тым и зги бом. Р ас с мотри м два с ме ж н ых с е че н и я , отс тоя щ и х дру г от дру га н а рас с тоя н и и dz . При ме м ле вое с е че н и е у с ловн о за н е подви ж н ое . Т огда при повороте правого с е че н и я н а у гол dθ ве рхн и е с лои попе ре чн ого с е че н и я бру с а у дли н я тс я , а н и ж н и е у коротя тс я . С ле довате льн о, с у щ е с тву е т с лой, в котором у дли н е н и я отс у тс тву ю т – н е йтральн ый

Y

с лой. Р ади у с кри ви зн ы н е йтральн ого с лоя ρ =

M dz dθ y C

B1

ρ

н е йтральн ый с лой

X

у дли н е н и е отре зка AB : BB1 = ydθ , где y - рас с тоя н и е от рас с матри вае мого объ е кта до н е йтральн ого с лоя . По закон у Г у ка

σ dS

dz ; dθ

x

σ = Eε = E

y Z

y , ρ

(1)

где отн ос и те льн ое у дли н е н и е ε =

y . ρ

При чи с том и зги бе моме н т э ле ме н тарн ых с и л σdS отн ос и те льн о ос и y раве н н у лю , а отн ос и те льн о ос и x - и зги баю щ е му моме н ту M x = M : => ∫ σxdS = 0 ∫ σydS = M S

S

E ρ

E xydS = 0 ρ ∫S

∫y

2

dS =

(2)

S

отс ю да с ле ду е т, что це н тробе ж н ый моме н т и н е рци и J xy = ∫ xydS = 0 , ос е вой S

моме н т и н е рци и отн ос и те льн о главн ой це н тральн ой ос и

J x = ∫ y 2 dS S

И з(2) с ле ду е т

1 M = , ρ JxE

где J x E - ж е с ткос тьбру с а при и зги бе . З акон Г у ка при ме т ви д σ =

My Jx

(3)

11

Кри ви зн а кри вой с вя зан н а с прои зводн ыми и с с ле ду е мой фу н кци и – в d 2u dz 2

1 = 3 2 ρ  2  du 1 +      dz     du << 1 с чи тае м При малых де формаци я х у гла поворота dz 1 d 2u = (4) ρ dz 2

дан н ом с лу чае проги ба u форму лой

С равн и вая форму лы (3) и (4) полу чае м ди ффе ре н ци альн ое у равн е н и е ос и и зогн у той балки d 2u =M dz 2 1 Эн е рги я у пру ги х де формаци й du = Mdθ , т.е . 2 JxE

(5) u=∫ l

M 2 dz 2 EJ x

Р ас с мотри м задачу опре де ле н и я проги ба кон с оли при н агру ж е н и и е ё с вободн ого кон ца с ос ре доточе н н ой с и лой F . F A Е с ли отс че т рас с тоя н и я z1 Z прои зводи ть от правого кон ца, то B и ди ффе ре н ци альн ое M = − Fz1 у равн е н и е (5) при ме т с ле ду ю щ и й X Y ви д JxE

d 2u = − Fz1 dz12

(6)

Вве де м коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти k=

F JxE

(7)

и полу чи м у равн е н и е коле бан и й вви де d 2u + k 2 z1 = 0 dz12

§4. О бобщ енный коэф ф иц иент жесткости [2,3,4] Н е обходи мо и с с ле довать с ос тавле н и е ди ффе ре н ци альн ых у равн е н и й дви ж е н и я точки и ли тве рдого те ла, когда н аправле н и е дви ж е н и я н е с овпадае т с ли н и е й де йс тви я вос с тан авли ваю щ е й с и лы и ли те ло н аходи тс я под де йс тви е м н е с кольки х пру ж и н . Е с ли н а точку (те ло) де йс тву е т н е с колько пру ж и н , то мыс ле н н о с ообщ ае м мате ри альн ой точке пе ре ме щ е н и е . В н е котором и с с ле ду е мом н аправле н и и x и вычи с ля е м с у мму прое кци й вс е х у пру ги х с и л н а задан н ое н аправле н и е . Коэ ффи ци е н т при пе ре ме щ е н и и я вля е тс я обобщ е н н ым (при ве де н н ым) коэ ффи ци е н том ж е с ткос ти . С ле ду е т отме ти ть, что обобщ е н н ый коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти опре де ля е тс я отде льн о для малых и кон е чн ых пе ре ме щ е н и й.

12

Н ахож де н и е обобщ е н н ого коэ ффи ци е н та ж е с ткос ти поя с н и м н а с ле ду ю щ е м при ме ре . К мате ри альн ой точке M мас с ы m при кре пле н а к пру ж и н е ж е с ткос ти c , второй кон е ц которой закре пле н в точке O1 . О пре де ли ть обобщ е н н ый коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти пру ж и н ы в н аправле н и и x при малых пе ре ме щ е н и я , е с ли н е де форми рован н ая пру ж и н а дли н ы l 0 с ос тавля е т с н аправле н и е м дви ж е н и я у гол α 0 . Коле бан и я прои с ходя т в O1 гори зон тальн ой плос кос ти . F Полож е н и е равн ове с и я мате ри альн ой точки выби рае м за н ачало отс че та O . l Д ади м точке малое пе ре ме щ е н и е OM = x , A l0 при котором дли н а пру ж и н ы l и он а образу е т с ос ью x у гол α . Вос с тан авли ваю щ ая с и ла O M тогда F = c(l − l 0 ) , Fx = c(l − l 0 ) cos α (1) И зге оме три и че рте ж а x = l cos α − l 0 cos α 0

С дру гой с торон ы, (OA ⊥ O1 M )

l = l 0 cos δα + x cos α cos α = cos(α 0 − δα ) = cos α 0 Д ля малых пе ре ме щ е н и й cos δα ≈ 1 и ме е м (l − l 0 ) = x cos α 0 При э том с и ла у пру гос ти (1) при ме м ви д Fx = (c cos 2 α 0 )x . О бобщ е н н ый коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти cx =

Fx c cos 2 α 0 x

Д и ффе ре н ци альн ое у равн е н и е дви ж е н и я мате ри альн ой точки &x& + k 2 x = 0 , c , m 2π 2π T= = k cos α 0

где час тота коле бан и й k = cosα 0 пе ри од коле бан и й

m . c

При де йс тви и n пру ж и н , с ос тавля ю щ и х с н аправле н и е м дви ж е н и я у глы α i и ж е с ткос тью ci каж дый обобщ е н н ый коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти n

c x = ∑ ci cos 2 α i i =1

При пос ле довате льн ом с ое ди н е н и и для малых и кон е чн ых пе ре ме щ е н и й n 1 1 =∑ с x i =1 ci

при паралле льн ом с ое ди н е н и и

13 n

c x = ∑ ci i =1

При ре ш е н и и задач коле бан и й мате ри альн ой точки под де йс тви е м н е с кольки х пру ж и н ре коме н ду е тс я при де рж и ватьс я с ле ду ю щ е й пос ле довате льн ос ти де йс тви й: 1) опре де ли тьполож е н и е равн ове с и я мате ри альн ой точки под де йс тви е м у пру ги х с и л; 2) мыс ле н н о с ообщ и ть малое пе ре ме щ е н и е точки в и с с ле ду е мом н аправле н и и ; 3) вычи с ли ть прое кци и у пру ги х с и л, возн и каю щ и х вс ле дс тви е пе ре ме щ е н и я точки , н а н аправле н и е э ти х пе ре ме щ е н и й; 4) опре де ли ть обобщ е н н ый коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти , разде ли в полу че н н у ю с у мму у пру ги х с и л н а пе ре ме щ е н и е ; 5) у прос ти тьполу че н н ый ре зу льтат, отброс и вве ли чи н ы второго и выш е поря дка малос ти ; 6) с ос тави тьди ффе ре н ци альн ое у равн е н и е дви ж е н и я с и с те мы. Задачи: 1. Г ру з мас с ы m при кре пле н к пру ж и н ам разн ой ж е с ткос ти с оглас н о задан н ой с хе ме (Р и с .6). О пре де ли ть обобщ е н н ый коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти в н аправле н и и ос и x . С ос тави тьди ффе ре н ци альн ое у равн е н и е малых коле бан и й, опре де ли тьчас тоту и пе ри од коле бан и я . О тве т: c x =

c3 (c1 + c 2 ) cc cos 2 α 1 + c 4 cos 2 α 2 + 5 6 cos 2 α 3 ; c1 + c 2 + c3 c5 + c 6

m &x& + c x x = 0 ;

k=

cx ; m

T=

2π . k

2. Пре дыду щ у ю задачу ре ш и тьдля пе ре ме щ е н и й вдольос и x1 .

14

3. Т очка мас с ы m н аходи тс я под де йс тви е м n ради альн о рас полож е н н ых пру ж и н , ле ж ащ и х водн ой плос кос ти и образу ю щ и х с оотве тс тве н н о у глы α i с ос ью x и и ме ю щ и х разн ые коэ ффи ци е н ты ж е с ткос ти с i . При каки х с оотн ош е н и я х ме ж ду с i и α i обобщ е н н ый коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти в лю бом ради альн ом н аправле н и и бу де т оди н аков при малых пе ре ме щ е н и я х мате ри альн ой точки . К оэф ф иц иент жесткости восстанавл иваю щ ей сил ы при конечных перемещ ения х [2,4] Поя с н и м вычи с ле н и е обобщ е н н ого коэ ффи ци е н та ж е с ткос ти н а с ле ду ю щ е м при ме ре . С ос тави ть ди ффе ре н ци альн ое у равн е н и е с вободн ых коле бан и й мате ри альн ой точки M мас с ы m в н аправле н и и ос и x . Т очка при кре пле н а к че тыре м пру ж и н ам оди н аковой ж е с ткос ти с , дли н а каж дой в равн ове с н ом с ос тоя н и и l , пре двари те льн ый н атя г ∆l , дли н а н е рас тя н у той пру ж и н ы l 0 .(Р и с .7) A (1) С

(2)

С

l

M (3) С

F1

(4) С

F4

F2 O x

D

M

B

X

F3 C

Р и с у н ок 7.

Д ади м точке пру ж и н ы

кон е чн ое

пе ре ме щ е н и е

OM = x . У пру гая

с и ла пе рвой

F1 = c (δl1 + ∆l ) ,

где у дли н е н и е е ё δl1 = AM − l = l 2 + x 2 − l Прое кци я с и лы F1 н а ос ь x

(

)

F1x = −c l 2 + x 2 − l + ∆l cos α ,

где cos α =

x l 2 + x2

В с и лу с и мме три чн ого рас полож е н и я отн ос и те льн о ос и x пру ж и н (1) и (3) и ме е м  l − ∆l  F1x = F3 x = −cx1 −  l 2 + x2   Л и н и и де йс тви я с и л F2 и F4 н аправле н ы вдольос и x , с ле довате льн о: F2 x = −c(x − ∆l ) F4 x = −c(x + ∆l ) .

С у ммарн ая прое кци я вс е х у пру ги х с и л:

15 n  l − ∆l R x = ∑ Fix = −2cx1 − i =1 l 2 + x2 

  l l  − 2cx = −2cx 2 − − ∆   2 l + x2  

 .  

У равн е н и е коле бан и й мате ри альн ой точки  l − ∆l m&x& == −2cx 2 − l 2 + x2 

 .  

О бобщ е н н ый коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти зде с ь я вля е тс я фу н кци е й пе ре ме щ е н и й x и опре де ля е тс я как прои зводн ая от вос с тан авли ваю щ е й с и лы сx =

 dR x (l − ∆l )x 2 l − ∆l = − 2c  2 − + 3  dx l 2 + x 2 (l 2 + x 2 ) 2 

 .  

Задачи: 1) В у с лови я х пре дыду щ е й задачи опре де ли ть вос с тан авли ваю щ у ю с и лу вдольос и y , которая де ли т у гол ме ж ду с ос е дн и ми пру ж и н ами пополам.   2 x + 2l 2 x − 2l  О тве т: с x = −2c 2 x − (l − ∆l ) + 2 2 2 2   2 l + x + 2l x 2 l + x − 2l x 

    

2) Т очка при кре пле н а к тре м ради альн ым, с и мме три чн ым пру ж и н ам оди н аковой ж е с ткос ти c , рас полож е н н ым в одн ой плос кос ти . Н айти ди ффе ре н ци альн ое у равн е н и е коле бан и й мате ри альн ой точки мас с ой m в н аправле н и и ос и , с ос тавля ю щ е й с одн ой и зпру ж и н у гол 60 0 . 







О тве т: m&x& = −c 3x − (l − ∆l )1 −

   l 2 + x 2 − lx   l − 2x

§5. Э нергетический метод иссл едования кол ебаний [2,4] Н ахож де н и е с обс тве н н ых час тот коле бан и й - одн а и з ос н овн ых задач те ори и коле бан и й (у с лови е ре зон ан с а, флатте р и т.д.) Эн е рге ти че с ки й ме тод при ме н я е тс я для кон с е рвати вн ых с и с те м, т.е . когда полн ая ме хан и че с кая э н е рги я пос тоя н н а T +U = h , (1) где T - ки н е ти че с кая э н е рги я , U - поте н ци альн ая э н е рги я И с с ле дован и я проводя тс я дву мя с пос обами : 1) Вычи с ли в прои зводн у ю по вре ме н и от обе и х час те й раве н с тва (1), н аходи м ди ффе ре н ци альн ое у равн е н и е дви ж е н и я ме хан и че с кой с и с те мы. 2) Поте н ци альн у ю э н е рги ю отс чи тывае м от полож е н и я с тати че с кого равн ове с и я , тогда и з закон а (1) с ле ду е т, что е с ли поте н ци альн ая э н е рги я макс и мальн а, то поте н ци альн ая э н е рги я обращ ае тс я вн оль. С ле довате льн о, Tmax =U max (2) Г армон и че с ки е коле бан и я мате ри альн ой точки подчи н я ю тс я закон у x = a sin (kt + α ) , x& max = ak отку да x& = ak cos(kt + α ) и

16

Пос ле дн е е раве н с тво позволя е т опре де ли ть макс и мальн ое ки н е ти че с кой э н е рги и че ре зампли ту ду коле бан и й a и час тоту k . Tmax =

зн аче н и е

1 2 ma 2 k 2 mx& max = 2 2

Д опу с ти м, что опре де ли ли макс и мальн ое зн аче н и е поте н ци альн ой э н е рги и U max . Т огда и зраве н с тва (2) с ле ду е т k2 =

2U max . am

(3)

В с лу чае , когда поте н ци альн ая и ки н е ти че с кая э н е рги и с кладывае тс я и з отде льн ых час те й ме хан и че с кой с и с те мы, с обс тве н н ая час тота k=

2∑ U i max i

∑a m i

.

(4)

i

i

Этот с пос об н ос и т н азван и е ме тода Р э ле я и мож е т быть при ме н е н н а с и с те мы с рас пре де ле н н ыми мас с ами . Д ля балки пе ре ме н н ого с е че н и я с рас пре де ле н н ыми мас с ами выби рае тс я прои звольн о, н о у довле творя ю щ ая гран и чн ым у с лови я м, форма коле бан и й. При э том пре дполагае тс я , что коле бан и я вс е х точе к с и с те мы прои с ходя т с одн ой и той ж е час тотой и н аходя тс я в одн ой и той ж е фазе . Т огда квадрат час тоты с обс тве н н ых коле бан и й опре де ля е тс я по форму ле Р э ле я l

k = 2

∫ EJ ( f ′′)

2

dx

0

2 ∫ mf dx

.

(5)

где f (x ) - форма коле бан и й, f (x ) - ж е с ткос ть балки н а и зги б. При рас че тах форма коле бан и й выби рае тс я прои звольн о и , с ле довате льн о, по форму ле (5) полу чи м час тоту бли зку ю к и с ти н н ой. З н аче н и е э той час тоты, как показал Р э ле й, вс е гда больш е и с ти н н ой. При ме н е н и е пре длож е н н ых ме тодовпоя с н и м н а с ле ду ю щ е м при ме ре : Г ру змас с ы m при кре пле н к пру ж и н е , коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти которой c . М ас с а пру ж и н ы m1 . О пре де ли тьчас тоту с вободн ых коле бан и й гру за. В отли чи е от вс е х l выш е пе ре чи с ле н н ых задач впос ле дн е й н е обходи мо у чи тывать мас с у с амой пру ж и н ы. Д ля ре ш е н и я задачи при ме н и м э н е рге ти че с ки й ме тод. X O Р ас с мотри м пру ж и н у в прои звольн ом x dx полож е н и и , когда дли н а е ё е с тьl . Выде ли м э ле ме н тарн ый у час ток dx , н аходя щ и йс я н а рас с тоя н и и x от точки закре пле н и я . С корос тьгру за вэ тот моме н т вре ме н и v . О че ви дн о, что с корос тьпру ж и н ы вточке закре пле н и я x = 0 е с ть v = 0 , т.е . с корос тьточе к пру ж и н ы зави с и т от коорди н аты x . З адае м закон опре де ле н и я с корос ти , у довле творя ю щ и й гран и чн ым у с лови я м

17 vi = v

x . l

О че ви дн о, что пос ле дн я я форму ла н е я вля е тс я е ди н с тве н н ой формой рас пре де ле н и я с корос те й по дли н е пру ж и н е . Ки н е ти че с кая э н е рги я ме хан и че с кой с и с те мы с ос тои т и з с у ммы ки н е ти че с кой э н е рги и гру за и пру ж и н ы 2

T=

l l 1 2 1 2 1 1 x  m 1 l3  1 mv + ∫ vi dx = mv 2 + ∫  v   1 dx  = mv 2 + m1 2 20 2 2 0 l   l 2 3l 3  2 m  1 T =  m + 1 v 2 2 3 

→

Поте н ци альн ая э н е рги я пру ж и н ы е с ть U=

1 2 cy , 2

где y - отс чи тывае тс я от полож е н и я с тати че с кого равн ове с и я . При э том v =

dy dt

Полн ая ме хан и че с кая э н е рги я дан н ой кон с е рвати вн ой с и с те мы е с ть 2

T +U =

m  dy  1 1 2  m + 1   + cy = const . 2 3  dt  2

Вычи с ли вот обе и х час те й раве н с тва прои зводн у ю по вре ме н и m    m + 1  &y& + cy = 0 , 3  

полу чи м ди ффе ре н ци альн ое пру ж и н ы.

у равн е н и е

дви ж е н и я гру за с

Ч ас тота с вободн ых коле бан и й гру за k =

у че том мас с ы

c m+

m1 3

М етод Рэл ея [3,4] l0 y

x

S

O

Вводи м с ле ду ю щ и е обозн аче н и я : O - полож е н и е с тати че с кого равн ове с и я с и с те мы, l 0 - дли н а пру ж и н ы в н е рас тя н у том рас с тоя н и и , m1 - мас с а е ди н и цы дли н ы пру ж и н ы, l0

dy - э ле ме н т пру ж и н ы, н аходя щ и йс я н а рас с тоя н и и y от точки закре пле н и я

пру ж и н ы; S - пе ре ме щ е н и е э ле ме н та dy и зполож е н и я с тати че с кого равн ове с и я . По ме тоду Р э ле я н е обходи мо задать закон дви ж е н и я гру за. В дан н ом с лу чае , оче ви дн о, и ме е т ме с то закон гармон и че с ки х коле бан и й S = a sin( kt + β ) (1) О тку да макс и мальн ая с корос тьдви ж е н и я гру за S& max = ak = kS max (2)

18

Ки н е ти че с кая э н е рги я пру ж и н ы е с ть l

Tп р =

1 m1 0 & 2 S dy 2 l 0 ∫0

(3)

И зс оотн ош е н и й (1)-(3) с ле ду е т Tп рmax =

1 m1 2 l0

l0

∫ (ak ) dy = 2 m a 2

1

1

2

k2

(4)

0

Д ля вычи с ле н и я и н те грала l

Tп рmax

1 m1 2 0 2 k ∫ S max dy = 2 l0 0

(5)

Н е обходи мо опре де ли ть зави с и мос ть S max = S ( y ) , которая обычн о задае тс я , и с ходя и зфи зи че с кой пос тан овки задачи и гран и чн ых у с лови й. О гран и чи мс я рас с мотре н и е м дву х с лу чае в 1) S max = A 2) S max

y l0

п ри

πy = A sin 2l 0

п ри

 m ≥ m1    m ≤ m1  

(6)

З де с ь A - макс и мальн ое пе ре ме щ е н и е гру за. О че ви дн о, при m < m1 гру з н е в с ос тоя н и и рас тя н у тьпру ж и н у и S max ≤ A . С чи тая и н те грал (5) при пре длож е н и я х (6), полу чи м макс и мальн ое зн аче н и е ки н е ти че с кой э н е рги и пру ж и н ы 2

1 m1 2 0  y  1 m1 2 2 k ∫  A  dy = k A 2 l0 l 2 3 0   0 l

1) Tп рmax =

1 m1 2 0  πy = k ∫  A sin 2 l0 2l 0 0 l

2) Tп рmax

при

m ≥ m1

при

m ≤ m1

2

 1 m1 2 2  dy = k A 4 2 

М акс и мальн ое зн аче н и е ки н е ти че с кой э н е рги и вс е й с и с те мы е с ть  1) T = k 2 A 2  m + 1 2

m1   3 

 m 1 2) T = k 2 A 2  m + 1  2 2  

при

m ≥ m1

при

m ≤ m1

(7)

Д ля с пи ральн ой пру ж и н ы пос тоя н н ого ради у с а поте н ци альн ая э н е рги я пру ж и н ы вычи с ля е тс я , как прави ло, так ж е , как при рас тя ж е н и и с те рж н я 1 δU = σSεdy , (8) 2 F dS где σ = - н апря ж е н и е , ε = - отн ос и те льн ое у дли н е н и е , S - площ адь S sy попе ре чн ого с е че н и я , F - рас тя ги ваю щ ая с и ла.

При ме н я я закон Г у ка σ = εE ,

где E - моду льу пру гос ти , форму ла (8) при ме т ви д 1 SEε 2 dy 2 А бс олю тн ое у пру гое у дли н е н и е ∆ с те рж н я равн о δU =

(9)

19 ∆=

Fl0 . SE

Т огда коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти н аходи м по форму ле c=

F SE = ∆ l0

И зформу лы (9) опре де ля е м δU =

1 cl 0ε 2 dy 2

И ли , и с пользу я пон я ти е отн ос и те льн ого у дли н е н и я ε , окон чате льн о и ме е м 2

0  dS  1 U = cl 0 ∫   dy 2 0  dy 

l

(10)

В рас с матри вае мых с лу чая х и ме е м 2

0  A 1 1 = cl 0 ∫   dy = cA 2 2 0  l0  2

l

1) U max

1 A2 π 2 0 1π2 2 2π y    cos dy = cA 2l  2 l 0 4 ∫0 2 8  0

при

m ≥ m1

при

m ≤ m1

l

2) U max = c

Д ля опре де ле н и я с обс тве н н ой час тоты коле бан и й при равн и вае м макс и мальн ое зн аче н и е ки н е ти че с кой э н е рги и и поте н ци альн ой. О кон чате льн о и ме е м 1) k =

c

m m+ 1 3 π c 2) k = 2 2m + m1

при

m ≥ m1

(11)

при

m ≤ m1

(12)

О тме ти м, что полу че н н ые с оотн ош е н и е даю т оди н аковые зн аче н и я час тоты при m1 = 2,63m . С ле довате льн о, форму лой (12) с ле ду е т пользоватьс я при зн аче н и я х

m1 > 2,63 . m

При ме н е н и е э н е рге ти че с кого ме тода проде мон с три ру е м н а с ле ду ю щ е м при ме ре : Т ри фи ля рн ый подве с с ос тои т и з одн ородн ого ди с ка ради у с а R и мас с ы m, подве ш е н н ого на тре х с и мме три чн ых н и тя х оди н аковой дли н ы l . Н и ти закре пле н ы н а рас с тоя н и и r от це н тра ди с ка. О пре де ли тьс обс тве н н у ю час тоту коле бан и й ди с ка, прои с ходя щ и х около ве рти кальн ой ос и , проходя щ е й че ре зце н тр ди с ка. Вводи м у гол ϕ поворота

20

вокру г ве рти кальн ой ос и z , и малый у гол ψ отклон е н и я каж дой н и ти от ве рти кали . С точн ос тью до малых пе рвого поря дка вклю чи те льн о rϕ = l ψ (1) Поте н ци альн ая э н е рги я ди с ка U = mgz (2) И зге оме три и че рте ж а z = l − l cosψ = l (1 − cosψ ) = 2l sin 2

ψ l 2 ≈ ψ . 2 2

С у че том форму лы (1) н аходи м U = mg

r2 2 ϕ 2l

(3)

Ки н е ти че с кая э н е рги я ди с ка е с ть с у мма ки н е ти че с кой э н е рги и T1 е го при пос ту пате льн ом ве рти кальн ом дви ж е н и и и ки н е ти че с кая э н е рги я T2 при е го вращ е н и и вокру гос и , т.е . 1 2 1 2 mv z = mz& , 2 2 mr 4 ϕ 2ϕ& 2 то T1 = 2 l2 1 1  mR 2 T2 = J zϕ& 2 =  2 2 2 T1 =

так как

z=

r 2ϕ 2 , 2l

 2 ϕ& 

Полн ая ме хан и че с кая э н е рги я с и с те мы 1 mr 4 2 2 mg 2 2 2 2 & E = T1 + T2 + U = mR ϕ + 2 ϕ ϕ& + r ϕ 4 2l 2l Р ас с матри вае м малые коле бан и я ди с ка, т.е . ϕ и ϕ& - бе с кон е чн о малые ве ли чи н ы, с ле довате льн о, ϕ 2 ⋅ ϕ& 2 - ве ли чи н а че тве ртого поря дка малос ти .

Пре н е бре гая э ти м чле н ом, окон чате льн о полу чи м 1 r2 mR 2ϕ& 2 + mg ϕ 2 = const 4 2l

Проди ффе ре н ци ровав пос ле дн е е раве н с тво по ди ффе ре н ци альн ое у равн е н и е малых коле бан и й ди с ка ϕ&& +

вре ме н и ,

полу чи м

2 gr 2 ϕ =0 lR 2

О тку да час тота с обс тве н н ых коле бан и й k=

2y r ⋅ l R

§6. Задачи [2,4,5,9] 1. Г ру з ве с ом Р = 15 кг подве ш е н н а ве рти кальн ой с тальн ой проволоке дли н ой l =125 с м и площ адью попе ре чн ого с е че н и я А = 0,0065 с м 2. О пре де ли ть час тоту с вободн ых коле бан и й гру за, е с ли моду льу пру гос ти с тали Е = 2·106 кг/с м 2. О пре де ли тьампли ту ду э ти х коле бан и й, е с ли н ачальн ое пе ре ме щ е н и е x& 0 = 2,5 с м/с е к. Р еш ен и е. С тати че с кое у дли н е н и е проволоки равн о δст =

15 ⋅ 125

2 ⋅ 10 ⋅ 0,0065 6

-1

= 0,144 с м . Т огда к = 15,2 с ек . А мпли ту да

Рис. 8

21

коле бан и й с ос тавля е т x02 + ( x& / P) 2 = (0,025) 2 + [2,5 / 2π ⋅ 15,2]2 = 0,0367 с м . 2. Г ру з ве с ом Р опи рае тс я н а балку дли н ой l (ри с . 8). О пре де ли ть коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти балки и час тоту с вободн ых ве рти кальн ых коле бан и й гру за, пре н е бре гая мас с ой балки . Р еш ен и е. С тати че с ки й проги б балки под н агру зкой раве н Pl 0 (l − l 0 ) 3lEJ 2

δст =

З де с ь l0 – рас с тоя н и е гру за от ле вого кон ца балки и EJ – и зги бн ая ж е с ткос тьбалки вве рти кальн ой плос кос ти . Пре дполагае тс я , что э та плос кос ть с оде рж и т одн у и з главн ых це н тральн ых ос е й и н е рци и попе ре чн ого с е че н и я балки , так что ве рти кальн ые н агру зки вызываю т только ве рти кальн ые пе ре ме щ е н и я . По опре де ле н и ю коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти вдан н ом с лу чае раве н c=

3lEJ l (l − l 0 ) 2 0

2

.

в И с комая час тота мож е т быть н айде н а подс тан овкой δ с т с оотве тс тву ю щ у ю форму лу . Вли я н и е мас с ы балки н а час тоту коле бан и й бу де т рас с мотре н о н и ж е . 3. Г ру з Р подве ш е н н а дву х пру ж и н ах, как показан о н а ри с . 9,а. О пре де ли ть общ и й коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти и час тоту ве рти кальн ых коле бан и й гру за, е с ли коэ ффи ци е н ты ж е с ткос ти пру ж и н равн ы c1 и c2 . О пре де ли ть час тоту коле бан и й гру за Р, е с ли он подве ш е н н а дву х оди н аковых пру ж и н ах, как показан о н а ри с . 9, б. Р еш ен и е. В с лу чае , показан н ом н а ри с . 9, а, с тати че с кое пе ре ме щ е н и е гру за Р равн о δст = Рис. 9

P P P(c1 + c 2 ) + = . c1 c 2 c1c 2

О бщ и й коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти раве н c1c2 /( c1 + c2). При подс тан овке δ с т полу чи тс я час тота коле бан и й k=

gc1c 2 . P(c1 + c 2 )

1 2π

В с лу чае , показан н ом н а ри с . 9 б, δст =

P 2c

и

k=

1 2π

2 gc . P

4. О пре де ли ть пе ри од гори зон тальн ых коле бан и й рамы (ри с . 10) с гру зом Р, рас полож е н н ым пос е ре ди н е проле та. В э том рас че те мас с у рамы н е у чи тывать.

22

Р еш ен и е. Н ачн е м с о с тати че с кой задачи и опре де ли м гори зон тальн ое с ме щ е н и е δ рамы, которое вызывае тс я гори зон тальн ой с и лой Н , де йс тву ю щ е й в точке рас полож е н и я гру за Р . Пре н е бре гая де формаци я ми рас тя ж е н и я – с ж ати я э ле ме н тов и у чи тывая только и зги б, н айде м, что гори зон тальн ый с те рж е н ьАВ и зги бае тс я дву мя равн ыми моме н тами Hh/2. Т огда у гол поворота у злов А и В раве н α=

hhl . 12EJ 1

Р и с . 10

Р ас с матри вая те пе рь с тойки рамы как кон с оли , и зги бае мые гори зон тальн ыми с и лами Н /2, н аходи м, что гори зон тальн ое пе ре ме щ е н и е δ бу де т с ос тоя ть и з дву х час те й, одн а и з которых опре де ля е тс я и зги бом кон с оле й, а дру гая – вычи с ле н н ым выш е поворотом α у злов А и В . С ле довате льн о, 3

δ =

2

3

Hh Hh l Hh + = 6 EJ 12 EJ 1 6 EJ

 1l J  1 +  .  2 h J 1 Р и с . 10

В таком с лу чае коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти раве н c=

H = δ

Полу чи м:

6 EJ  1l J   h 1 +  2 h J1 

.

3

1l J  3  Ph 1 + 2 h J 1   . T = 2π 6 gEJ

Е с ли ж е с ткос ть гори зон тальн ого э ле ме н та ве ли ка по с равн е н и ю с ж е с ткос тью с тое к, то чле н , с оде рж ащ и й отн ош е н и е J/J1, мал и и м мож н о пре н е бре чь. Т огда 3

Ph T = 2π 6 gEJ

и час тота равн а k=

1 2π

6 gEJ Ph

3

.

5. Пре дполагая , что гру з ве с ом Р (ри с . 11), пре дс тавля е т каби н у ли фта, дви ж у щ е гос я вн и з с пос тоя н н ой с корос тью v0, и у чи тывая у пру гос ть с тальн ого торс а, опре де ли ть н аи больш е е н апря ж е н и е в с е че н и и , е с ли ве рхн и й кон е ц А трос а вн е запн о ос тан овле н . При н я ть, что ве с Р = 4500 кг, дли н а трос а l = 18 м , площ адьпопе ре чн ого с е че н и я трос а А = 16 с м 2, моду ль у пру гос ти мате ри ала трос а Е = 106 кг/с м 2, с корос тьv0 = 1 м /с ек. Ве с ом трос а пре н е бре чь.

Р и с . 11

23

Р еш ен и е. При равн оме рн ом дви ж е н и и каби н ы рас тя ги ваю щ ая с и ла втрос е равн а Р = 4500 кг и у дли н е н и е трос а вмоме н т ос тан овки равн о δ с т = Рl/АЕ = 0,51 с м . Д ви гавш и йс я с о с корос тью v0 ли фт н е мож е т вн е запн о ос тан ови тьс я и н ачн е т с ове рш ать коле бан и я н а трос е . Бу де м отс чи тывать вре мя от моме н та ос тан овки ; вэ тот моме н т с ме щ е н и е гру за от полож е н и я равн ове с и я равн о н у лю и с корос ть ран а v0. З аклю чае м, что ампли ту да коле бан и й равн а v0/q, где q = -1 g / δ с т = 44 с ек и v0 = 100 с м /с ек; тогда н аи больш е е у дли н е н и е трос а равн о δд = δ с т + v0/q = 0,51 + 100/44 = 2,78 с м и н аи больш е е н апря ж е н и е равн о (4500/16)(2,78/0,51)=1530 кг/с м 2. Как ви дн о, н апря ж е н и е в с е че н и и трос а вс ле дс тви е вн е запн ое ос тан овки е го ве рхн е го кон ца вдан н ом с лу чае возрас тае т при ме рн о впя тьраз. 6. Ви н товая пру ж и н а и ме е т с ре дн и й ди аме тр ви тка D = 2,5 с м , ди аме тр проволоки d = 0,25 с м и с оде рж и т n = 20 ви тков. М оду ль с дви га мате ри ала проволоки G = 0,8·102 кг/с м 2, и ве с подве ш е н н ого гру за P = 14 кг. Вычи с ли тьпе ри од с вободн ых коле бан и й. О т вет . Т = 0,67 с ек. 7. Балка, показан н ая н а ри с . 8, и ме е т проле т l = 3,6 м и тавровое попе ре чн ое с е че н и е , показан н ое н а ри с . 12. М ате ри алом с лу ж и т алю ми н и й, для которого моду ль у пру гос ти Е = 0,7·106 кг/с м 2. Ве с P = 230 кг. Вычи с ли ть час тоту с вободн ых ве рти кальн ых коле бан и й, е с ли гру з у дале н от ле вой опоры н а рас с тоя н и е с = 1,2 м . Пре н е бре чьвли я н и е м с обс тве н н ой мас с ы балки . О т вет . к = 6,13 кол/с ек. 8. Каково бу де т н аи больш е е ди н ами че с кое пе ре ме щ е н и е δм ах, е с ли гру зP (с м. пре дыду щ у ю задачу ) паде т н а балку пос е ре ди н е проле та с выс оты h = 2,5 с м , и зме ря е мой от у ровн я опор? О т вет . δм ах = 3,05 с м . 9. Вычи с ли тьчас тоту с вободн ых коле бан и й гру за P = 4,5 кг(ри с . 13).

Р и с . 12

Р и с . 13

Вал А и ме е т с плош н ое кру глое с е че н и е ди аме тром d = 2,5 с м , дли н у l = 1 м и заде лан вс те н е в Р и с . 11

24

с е че н и и А. Кон с ольн ая полос а В С ж е с тко при кре пле н а к валу вс е че н и и В и и ме е т дли н у a = 0,3 м , ш и ри н у b = 2,5 м и толщ и н у t = 0,6 с м . М ате ри ал вс е й кон с тру кци и – с таль, для которой Е = 2·106 кг/с м 2 и G = 0,8·106 кг/с м 2. О т вет . к = 5,11 кол/с ек. 10. Ч тобы у ме н ьш и ть н аи больш и е ди н ами че с ки е н апря ж е н и я , н айде н н ые для у с лови й задачи 5, ме ж ду н и ж н и м кон цом трос а и каби н ой ли фта поме щ е н а короткая пру ж и н а, и ме ю щ ая коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти с = 360 кг/с м . Вычи с ли ть н аи больш и е ди н ами че с ки е н апря ж е н и я , которые бу ду т вызван ы в э том с лу чае , е с ли ве рхн и й кон е ц трос а вн е запн о Р и с . 14 ос тан овле н . При н я ть те ж е чи с ловые зн аче н и я , что взадаче 5. О т вет . σм ах = 530 кг/с м 2. 11. Портальн ая рама с ос тои т и з тя ж е лой дву тавровой балки № 60 с дли н ой 6 м , опе ртой н а две отн ос и те льн о ги бки е с тойки выс отой 4,9 м (ри с . 14). Каж дая с тойка и ме е т коробчатое попе ре чн ое с е че н и е площ адью А = 26 с м 2 и н аи ме н ьш е го ради у с а и н е рци и r = 1,6 с м ; Е = 2·106 кг/с м 2. Вычи с ли ть с обс тве н н ый пе ри од боковых коле бан и й в плос кос ти рамы: а) пре дполагая полн у ю ж е с ткос ть с ое ди н е н и я э ле ме н тов; б) пре дполагая ш арн и рн у ю с вя зь балки с о с тойками . И зги бом балки пре н е бре чь. [ Р ас че тн у ю выс оту с тойки при н я тьравн ой 4,6 м ]. О т вет . Т1 = 0,813 с ек, Т2 = 2,30 с ек. 12. О пре де ли ть час тоту кру ти льн ых коле бан и й вала, н а кон цах которого и ме ю тс я два кру глых ди с ка пос тоя н н ой толщ и н ы, е с ли ве с а ди с ков равн ы P1 = 450 кг и P2 = 900 кг и и х вн е ш н и е ди аме тры с ос тавля ю т с оотве тс тве н н о D1 = 125 с м , D2 = 190 с м . Д ли н а вала равн а l = 300 с м и ди аме тр е го с е че н и я d = 10 с м . М оду ль с дви га G = 0,8·106 кг/с м 2. Р еш ен и е. Р ас с тоя н и е у злового попе ре чн ого с е че н и я от больш е го ди с ка равн о α=

Полу чае м: k=

300 ⋅ 450 ⋅ 125

2

450 ⋅ 125 + 900 ⋅ 190 2

1 2π

2

=

300 = 53,4 с м . 1 + 4,62

π ⋅ 981 ⋅ 10 ⋅ 0,8 ⋅ 10 4

4 ⋅ 900 ⋅ 190 ⋅ 53,4 2

8

= 9,52 кол/с ек.

13. Во с колько раз у ве ли чи тьс я час тота коле бан и й вала, рас с мотре н н ого впре дыду щ е м при ме ре , е с ли н а дли н е , равн ой 160 с м , ди аме тр вала у ве ли чи вае тс я с 10 до 20 с м ?

25

Р еш ен и е. Вал дли н ой 160 с м и ди аме тром 20 с м мож е т бытьзаме н е н валом дли н ой 10 с м и ди аме тром 10 с м . Т аки м образом, дли н а э кви вале н тн ого вала равн а 10 + 140 = 150 с м , т. е . Вдвое ме н ьш е дли н ы вала, рас с мотре н н ого в пре дыду щ е м при ме ре . Т ак как час тота с вободн ых коле бан и й обратн о пропорци он альн а квадратн ому корн ю и здли н ы вала, мы заклю чае м, что в ре зу льтате у с и ле н и я Р и с . 15 вала час тота у ве ли чи тс я вотн ош е н и и 2 :1. 14. О пре де ли ть час тоту коле бан и й кольца (ри с . 15) отн ос и те льн о ос и О , пре дполагая , что це н тр кольца н е подви ж е н и что повороты обода с вя зан ы с н е которым и зги бом с пи ц, как показан о н а ри с . 15 пу н кти ром. При н я ть, что общ ая мас с а кольца рас пре де ле н а вдоль с ре дн е й ли н и и обода и дли н у с пи ц полож и ть равн ой ради у с у r э той с ре дн е й ли н и и . При н я ть такж е , что и зги бом обода мож н о пре н е бре чь, так что кас ате льн ые к и зогн у тым ос я м с пи ц вбли зи и х кон цов и ме ю т н аправле н и е ради у с ов обода. Д ан ы общ и й ве с кольца Р и и зги бн ая ж е с ткос тьВ с пи ц. Р еш ен и е. Р ас с матри вая каж ду ю с пи цу как кон с ольдли н ой r (ри с . 15, б), н а кон це которой де йс тву ю т попе ре чн ая с и ла и и зги баю щ и й моме н т М, и и с пользу я и зве с тн ые форму лы для и зги ба кон с оли , полу чае м с ле ду ю щ и е выраж е н и я для у гла φ и пе ре ме щ е н и я rφ кон ца: 2

Qr Mr ϕ= − , 2B B 3 2 Qr Mr rϕ = − , 3B 2B

отку да M =

Qr 2 Bϕ = . 3 r

Е с ли Мt обозн ачае т при лож е н н ый к ободу кру тя щ и й моме н т, то и ме е м: M t = 4Qr − 4 M =

16 Bϕ . r

Кру тя щ и й моме н т, с пос обн ый вызвать поворот обода, равн ый одн ому ради ан у , я вля е тс я коэ ффи ци е н том ж е с ткос ти и равн я е тс я с =16 В /r . Н аходи м и с кому ю час тоту k=

1 2π

16 B 1 = rJ 2π

16 gB Pr

3

.

15. О пре де ли ть час тоту кру ти льн ых коле бан и й ди с ка (ри с . 16), е с ли кон цов вала закре пле н ы вс е че н и я х А и В . О бе час ти вала и ме ю т оди н аковый ди аме тр d, н о разли чн ые дли н ы l1 и l2. М оме н т и н е рци и ди с ка раве н J.

Р и с . 16

26

О т вет . k=

1 2π

πd G (l1 + l 2 ) . 32 Jl1l 2 4

16. О пре де ли ть э кви вале н тн у ю дли н у l пря мого вала, и ме ю щ е го кру ти льн у ю ж е с ткос тьС 1 таку ю ж е , как кри вош и п коле н чатого вала (ри с . 17). Р и с . 16 Щ е ки кри вош и па С Е и DF и ме ю т и зги бн у ю ж е с ткос ть В . Пре дполож и ть, что подш и пн и ки А и В и ме ю т дос таточн ые зазоры и н е пре пя тс тву ю т с вободе попе ре чн ых пе ре ме щ е н и й у зловС и D при кру че н и и вала. Ш ату н н ая ш е йка ЕF и ме е т кру ти льн у ю ж е с ткос тьС 2 и отс тои т от ос и вала н а рас с тоя н и и r. О т вет . l = 2a +

C1 C b + 2 1 r .. C2 B

Р и с . 17

Р и с . 18

17. Д ва паралле льн ых вала АВ и CD опе рты н а подш и пн и ки и вращ аю тс я вме с те (ри с . 18).Каж дый вал н е с е т тя ж е лый ди с к н а вн е ш н е м кон це , и с и с те ма с ове рш ае т кру ти льн ые коле бан и я . Вычи с ли тьпе ри од с вободн ых коле бан и й при с ле ду ю щ и х чи с ле н н ых зн аче н и я х: Ja = Jb =1150 кг/с м 2, l1 = l2 = 150 с м , d1 = d2 = 7,5 с м , r1 / r2 = 0,5. Пре н е бре чьи н е рци е й ш е с те ре н и валов. М оду льс дви га G = 0,8·106 кг/с м 2. О т вет . Т = 0,203 с ек. 18. Д ля с и с те мы, показан н ой н а ри с . 18, выве с ти общ е е выраж е н и е э кви вале н тн ой дли н ы l е ди н ого вала ди аме тром d1, с вя зываю щ е го два ди с ка А и D. О т вет . d  l = l1 +  1   d2 

4

2

 r1    l 2 .  r1 

19. Кру говой с тальн ой обод ве с а Р и с ре дн е го ради у с а r при кре пле н n ради альн ыми с пи цами к н е подви ж н ой с ту пи це ради у с а r0; каж дая и з с пи ц и с пытывае т зн ачи те льн ое н ачальн ое рас тя ж е н и е S0 (ри с . 19). О пре де ли ть пе ри од с вободн ых кру ти льн ых коле бан и й обода, при н и мая , что при малых ампли ту дах коле бан и й рас тя ги ваю щ ая с и ла в каж дой с пи це ос тае тс я пос тоя н н ой. С пи цы ш арн и рн о закре пле н ы н а кон цах и н е могу т и с пытывать и зги б. Р и с . 19

27

О т вет . T = 2π

P r (r − r0 ) . ngS 0 r0

20. Вычи с ли ть час тоты малых коле бан и й мая тн и ков, показан н ых н а ри с . 20, а, б, в, пользу я с ь у равн е н и е м э н е рги и . Пре н е бре чь мас с ой с те рж н я и при н я тьво вс е х с лу чая х, что мас с а гру за Р с ос ре доточе н а ве го це н тре . Р еш ен и е. Е с ли φ – у гол отклон е н и я мая тн и ка (ри с . 20, а) и l - е го дли н а, то ки н е ти че с кая э н е рги я мая тн и ка равн а Pϕ& 2 l 2 / 2 g . И зме н е н и е поте н ци альн ой э н е рги и опре де ля е тс я ве рти кальн ым с ме щ е н и е м 2 l (1 − cos ϕ ) ≈ lϕ / 2 гру за Р , и у равн е н и е э н е рги и при н и мае т ви д Pϕ& l Plϕ + = const . 2g 2 2 2

2

Пре дполагая , дви ж е н и е прои с ходи т

Р и с . 20

что по

закон у ϕ = ϕ 0 sin Pt , полу чи м у глову ю час тоту q=

g . l

При запи с и у равн е н и я э н е рги и для с лу чая ри с . 20, б н у ж н о к поте н ци альн ой э н е рги и гру за Р при бави тьэ н е рги ю де формаци и пру ж и н . Е с ли с – коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти , подс чи тан н ый с у че том обе и х пру ж и н , то э н е рги я де формаци и пру ж и н равн а c(aϕ ) 2 / 2 , и полу чи м:

(

)

Pϕ& l 2 ϕ + Pl + ca = const , 2g 2 2 2

2

и час тота коле бан и й равн а g  ca 1+ l  Pl

2

q=

  .  

В с лу чае , показан н ом н а ри с . 20, в, при лю бом отклон е н и и мая тн и ка от ве рти кальн ого полож е н и я поте н ци альн ая э н е рги я гру за Р у ме н ьш ае тс я ; при ме н я я те ж е с оображ е н и я , что и выш е , полу чи м: q=

2  g  ca − 1 .  l  Pl 

Как ви ди м, де йс тви те льн ые зн аче н и я для Р мы полу чи м только при у с лови и 2

ca >1 Pl

и ли

P<

ca l

2

.

Е с ли э то у с лови е н е с облю де н о, то ве рти кальн ое полож е н и е равн ове с и я мая тн и ка н е у с тойчи во.

с . 22

28

21. Д ля запи с и коле бан и й корабля и с пользу е тс я с хе ма, показан н ая н а ри с . 21. О пре де ли ть час тоту ве рти кальн ых коле бан и й гру за Р , е с ли и зве с те н моме н т и н е рци и J гру за вме с те с о с те рж н е м В D отн ос и те льн о точки вращ е н и я В . Р еш ен и е. Пу с ть φ – у гловое отклон е н и е с те рж н я В D от е го гори зон тальн ого полож е н и я равн ове с и я и с – коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти пру ж и н ы. Т огда э н е рги я , н акапли вае мая при таком 2 2 Р и с . 21 отклон е н и и , равн а ca ϕ / 2 и ки н е ти че с кая э н е рги я с и с те мы равн а Jϕ 2 / 2 . У равн е н и е э н е рги и при н и мае т ви д: Jϕ ca ϕ + = const . 2 2 2

2

2

Полу чи м для у гловой час тоты выраж е н и е ca J

q=

2

.

Е с ли пре н е бре чь мас с ой с те рж н я В D и при н я ть, что мас с а гру за Р с ос ре доточе н а ве го це н тре , то J = Pl 2 / g , и час тота оказывае тс я равн ой 2

q=

ca g Pl

2

=

ag , lδ с т

где δ с т = Р l/ас – с тати че с кое у дли н е н и е пру ж и н ы под де йс тви е м ве с а Р. М ож н о заклю чи ть, что при том ж е у дли н е н и и пру ж и н ы гори зон тальн ый мая тн и к и ме е т зн ачи те льн о ме н ьш у ю час тоту , е с ли отн ош е н и е а/l дос таточн о мало. В дан н ом с лу чае н и зкая час тота коле бан и й при бора тре бу е тс я потому , что с обс тве н н ая час тота коле бан и й корабля мож е т быть с равн и те льн о малой, а час тота при бора долж н а быть в н е с колько раз ме н ьш е час тоты и с с ле ду е мых коле бан и й. 22. Н а ри с . 22 пре дс тавле н тя ж е лый мая тн и к, ос ьвращ е н и я которого с ос тавля е т малый у гол α с ве рти калью . О пре де ли ть час тоту малых коле бан и й, у чи тывая только ве с Р , который пре дполагае тс я с ос ре доточе н н ым вце н тре тя ж е с ти С. Р и с . 22 Р еш ен и е. Е с ли α обозн ачае т малый у гол поворота мая тн и ка отн ос и те льн о н аклон н ой ос и , отс чи тывае мый от полож е н и я равн ове с и я , то с оотве тс тву ю щ е е повыш е н и е у ровн я це н тра С равн о lϕ α , 2 2

l (l − cos α ) sin α ≈

и у равн е н и е э н е рги и при н и мае т ви д:

29 P 2 2 Plϕ α l ϕ& + = const . 2g 2 2

У гловая час тота мая тн и ка равн а q=

ga . l

О че ви дн о, что при выборе малого у гла α мож н о полу чи ть ве с ьма н и зку ю час тоту коле бан и й мая тн и ка. Этот ти п мая тн и ка и н огда при ме н я е тс я для запи с и коле бан и й при зе мле тря с е н и я х. Ч тобы полу чи ть две с ос тавля ю щ и е гори зон тальн ых коле бан и й, при ме н я ю тс я два при бора, оди н для с ос тавля ю щ е й с е ве р – ю г, а второй для с ос тавля ю щ е й вос ток – запад. 23. Вычи с ли ть час тоту с вободн ых коле бан и й с и с те мы. Д ля с ле ду ю щ и х чи с ле н н ых зн аче н и й: Р = 2,3 кг, с 1 = 0,4 кг/с м , с 2 = 1,8 кг/с м , b = 10 с м , с = 5 с м . Р ычагВ О А рас с матри ватькак тон ки й одн ородн ый с те рж е н ьве с ом Р = 0,18 кг и при н я тьдли н у О А равн ой 30 с м . О т вет . k = 2,80 кол/с ек. 24. Когда с и с те ма, показан н ая н а ри с . 20, в, и ме ла гру з Р 1 = 1 кг, н а ве рхн е м кон це ве рти кальн ого с те рж н я н аблю далас ь час тота 90 кол/м и н ; при гру зе Р 2 = 2 кг н аблю далас ь час тота 45 кол/м и н . Какой гру з Р 3 при води т с и с те му к с ос тоя н и ю н е у с тойчи вого равн ове с и я ? Ве с ом с те рж н я пре н е бре чь. О т вет . Р 3 = 3 кг. 25. О пре де ли ть у глову ю час тоту q для с и с те мы ри с . 20, в, е с ли ве рти кальн ый с те рж е н ь и ме е т полн ый ве с Рl, равн оме рн о рас пре де ле н н ый по е го дли н е . О т вет . q=

2 g  3c / l 3  4 P − pl   . −   l  3P + pl 4  3P + pl 

26. Д ля ре ги с траци и ве рти кальн ых коле бан и й при ме н я е тс я при бор, и зображ е н н ый н а ри с . 23, в котором ж е с тки й рычаг АО В , н е с у щ и й гру з Р , мож е т вращ атьс я вокру г ос и , проходя щ е й че ре з точку О , пе рпе н ди ку ля рн ой к плос кос ти ри с у н ка. О пре де ли ть час тоту малых ве рти кальн ых коле бан и й гру за, е с ли дан ы: моме н т и н е рци и J рычага вме с те с гру зом отн ос и те льн о ос и вращ е н и я , коэ ффи ци е н т ж е с ткос ти с и вс е разме ры. О т вет . Р и с . 23 q=

ca J

2

∗)

*) [ Пре дполагае тс я , что у гол α ве с ьма мал].

30

27. При змати че с ки й с те рж е н ьАВ , подве ш е н н ый н а дву х ве рти кальн ых проволоках, с ове рш ае т малые вращ ате льн ые коле бан и я вгори зон тальн ой плос кос ти отн ос и те льн о ос и О О (ри с . 24). О пре де ли тьчас тоту э ти х коле бан и й. О т вет . q=

Р и с . 24

3 ga lb

2

.

2

28. Какая час тота полу чи тс я , е с ли в пре дыду щ е й задаче проволоки бу ду т рас полож е н ы под у глом β к ос и О О ? О т вет . q = cos β

3 ga lb

2

2

.

29. Ц апфы ротора опе рты н а кри воли н е йн ые н аправля ю щ и е ради у с а R (ри с . 25). О пре де ли ть час тоту малых коле бан и й ротора, е с ли каче н и е по н аправля ю щ и м н е с опровож дае тс я с кольж е н и е м. М оме н т и н е рци и ротора раве н J. Указан и е. Е с ли φ – у гол, опре де ля ю щ и й полож е н и е цапф при коле бан и я х,

Р и с . 25

и r - ради у с цапф, то у гловая с корос тьротора при коле бан и я х равн а ϕ& ( R − r ) / r , с корос ть е го це н тра тя ж е с ти равн а ( R − r )ϕ& , и повыш е н и е у ровн я це н тра тя ж е с ти с ос тавля е т ( R – r)φ2/2. О т вет . 2

q = 2

30. О пре де ли ть час тоту с вободн ых коле бан и й гру за Р , опе ртого н а балку АВ (ри с . 26) пос тоя н н ого попе ре чн ого с е че н и я : 1) пре дполагая , что ве с ом балки мож н о пре н е бре чь; 2) у чи тывая ве с балки с помощ ью

Pr . 2   r 1 + P (R − r )  g  

Р и с . 26

31

ме тода Р э ле я . Р еш ен и е. Е с ли а и b – рас с тоя н и я гру за от кон цовбалки , то с тати че с ки й проги б балки под гру зом раве н δ = Р а2b2/3lЕ J. При н и мая для коэ ффи ци е н та ж е с ткос ти выраж е н и е с = 3lЕ J/а2b2 и пре н е бре гая мас с ой балки , н айде м у глову ю час тоту коле бан и й и зу равн е н и я э н е рги и : cx P 2 x& max = 0 , 2g 2

(1)

где x& max = x0 q . О тс ю да q=

cg = P

3lEJg 2

Pa b

.

2

Ч тобы у че с ть мас с у балки , рас с мотри м и зогн у ту ю ос ь балки при с тати че с ком де йс тви и гру за Р. Проги б прои звольн ой точки ле вого у час тка, н аходя щ е йс я н а рас с тоя н и и ξот опоры А, раве н x1 =

[

]

Pξb 2 a (l + b ) − ξ . 6lEJ

Д ля проги ба прои звольн ой точки , рас полож е н н ой с права от гру за Р и н аходя щ е йс я н а рас с тоя н и и η от опоры В , и ме е м: x2 =

[

]

Paη 2 b(l + a ) − η . 6lEJ

При ме н я я ме тод Р э ле я и полагая , что при коле бан и я х макс и мальн ая с корос ть лю бой точки ле вого у час тка, рас полож е н н ой н а рас с тоя н и и ξ от опоры А, дае тс я у равн е н и е м ( x&1 ) max = x& max

[

]

x1 ξ 2 = x& max 2 a(l + b ) − ξ , δ 2a b

вкотором x& max - макс и мальн ая с корос тьгру за Р, н аходи м, что для у че та мас с ы ле вого у час тка балки н у ж н о при бави ть к ле вой час ти у равн е н и я (1) ве ли чи н у p ⋅ x& max  x1    dξ = 2g δ  a

∫ 4a b [a(l + b ) − ξ

0

23 l 8 al  pa  1 l −  2 +  2 g  3 b 105 b 2 15 b 2 

2

p ⋅ x& 2g

2 max

∫

a

ξ

2

4

2

] dξ =

2 2

0

(2) 2

= x& max 2

2

Р ас с матри вая правый у час ток балки , мы те м ж е с пос обом н айде м, что к ле вой час ти у равн е н и я (1) н у ж н о при бави тьвыраж е н и е 2 2 2 x& max pb  1 (l + a ) 1 b 1 b(l + a )  + − .  2 2 2 g 12 a 28 a 10 a 2 

(3)

У равн е н и е э н е рги и при н и мае т ви д:

(P + αpa + βpb ) x& 2 2g

max

2

=

cx0 2

,

где α и β обозн ачаю т ве ли чи н ы, с тоя щ и е вс кобках выраж е н и й (2) и (3); для у гловой час тоты коле бан и й полу чи м:

32 q=

3lEJg

(P + αap + βbp )a 2 b 2

.

О пре де ли ть час тоту с вободн ых ве рти кальн ых коле бан и й гру за Р , ле ж ащ е го н а раме , ш арн и рн о закре пле н н ой вточках А и В (ри с . 27, а), пре дполагая , что вс е три э ле ме н та рамы и ме ю т оди н аковые дли н ы и оди н аковые попе ре чн ые с е че н и я и что гру з рас полож е н пос е ре ди н е с те рж н я С D. При вычи с ле н и я х: 1) пре н е бре чь мас с ой рамы; 2) у че с тьмас с у рамы с помощ ью ме тода Р э ле я . Р и с . 27 Реш ен и е. И с пользу я и зве с тн ые форму лы проги бов балок, н аходи м, что и зги баю щ и е моме н ты в у злах С и D равн ы 3Р l/40. Проги б ве рти кальн ого с те рж н я н а рас с тоя н и и ξ от н и ж н е го с е че н и я раве н 31.

3Pl ξ x1 = 240 EJ 2

 ξ2  1 − 2  .  l  

Проги б гори зон тальн ого с те рж н я с ле ва от гру за раве н x2 =

(

)

Pη 3 Pl 2 2 3l − 4η − η (l − η ) . 48 EJ 80 EJ

Проги б под гру зом Р раве н δ = (x

)

1 2 η= 2

3

11 Pl = 960 EJ

.

Пре н е бре гая мас с ой рамы, н аходи м у глову ю час тоту q=

g 960 EJg = 3 δ 11Pl

.

При вычи с ле н и и вли я н и я э той мас с ы н а час тоту обозн ачи м че ре з x& max макс и мальн у ю с корос ть коле блю щ е гос я те ла Р . Т огда макс и мальн ая с корос тьлю бой точки ве рти кальн ого с те рж н я , н аходя щ е йс я н а рас с тоя н и и ξ от н и ж н е го с е че н и я , равн а

(x&1 )max

= x& max

x&1 12 ξ = x& max δ 11 l

 ξ2  1 − 2   l  

(1)

и макс и мальн ая с корос ть лю бой точки ле вого у час тка гори зон тальн ого с те рж н я равн а

(x& 2 )max

= x& max

2  20 η    x2  3 − 4η2  − 36 η 1 − η  . = x& max   δ l  l  11 l   11 l 

(2)

Ки н е ти че с кая э н е рги я рамы, котору ю н у ж н о при бави ть к ки н е ти че с кой э н е рги и гру за Р, равн а

33 l 2

2

2 max

3

2

px&  x1  px&  x  2∫   dξ + 2 ∫ max  2  dη . 2g  δ  2g  δ  0 0 l

Подс тавля я для отн ош е н и й x1/δ и x2/δ и х выраж е н и я и з (1) и (2) и и н те гри ру я , пре дс тавля е м дополн и те льн у ю ки н е ти че с ку ю э н е рги ю в с ле ду ю щ е й форме : pαl 2 (x& )max , 2g

где α – пос тоя н н ая . Выраж е н и е у гловой час тоты коле бан и й те пе рьполу чае т ви д: 960 EJg

q=

11(P + αpl )l

.

3

32. О пре де ли ть час тоту боковых коле бан и й рамы, показан н ой н а ри с . 27, б. Р еш ен и е. Ч ас тота э ти х коле бан и й, е с ли пре н е бре чь мас с ой рамы, мож е т быть вычи с ле н а по форму лам при ме ра 4. Д ля у че та мас с ы рамы н е обходи мо рас с мотре тье е и зги б. Е с ли х – попе ре чн ое пе ре ме щ е н и е гру за Р , с ове рш ае мое вме с те с гори зон тальн ым с те рж н е м С D, то гори зон тальн ое пе ре ме щ е н и е прои звольн ой точки ве рти кальн ого с те рж н я , рас полож е н н ой н а рас с тоя н и и ξот ос н ован и я , и зрас с мотре н и я и зги ба рамы полу чи тс я вви де 2 3 x  ξ  2 3  ξ  1 ξ   x1 = x − 1 −  − x  1 −  − 1 −   . 3 l  3  2  l 2 l  

(1)

Ки н е ти че с кая э н е рги я ве рти кальн ых с те рж н е й равн а px&1 αpl 2 dξ = x& , 2g g 2

l

2∫ 0

где α – пос тоя н н ая , полу чае мая пос ле подс тан овки для х1 е го выраж е н и я (1) и и н те гри рован и я . При опре де ле н и и ки н е ти че с кой э н е рги и гори зон тальн ого с те рж н я у чте м только гори зон тальн у ю с ос тавля ю щ у ю x& с корос те й э ле ме н тов с те рж н я . Т огда полн ая ки н е ти че с кая э н е рги я вс е й с и с те мы равн а Px& (1 + 2α ) plx& + 2g 2g 2

2

,

и час тота опре де ля е тс я и зформу лы (с м. при ме р 4) k=

1 2π

4 EJg

[P + (1 + 2α ) pl ]l 3

.

33. Каку ю час ть равн оме рн о рас пре де ле н н ой н агру зки с вободн о опе ртой балки н у ж н о при бави ть к гру зу Р , е с ли при н я ть и зогн у ту ю ос ь при попе ре чн ых коле бан и я х балки в ви де полу волн ы с и н у с ои ды вме с то кри вой с тати че с кого и зги ба? О т вет . 1 2 вме с то 17 35 .

34

34. Е с ли балка и ме е т вме с то с вободн о опе ртых кон цов ж е с тки е заде лки , то какая час тье е полн ого ве с а долж н а бытьпри бавле н а к ве с у гру за Р при вычи с ле н и и с обс тве н н ого пе ри ода попе ре чн ых коле бан и й? Пре дполож и ть и зогн у ту ю ос ь балки при коле бан и я х с овпадаю щ е й с о с тати че с кой кри вой и зги ба под де йс тви е м гру за Р . О т вет . 13 35 . 35. Р е ш и ть пре дыду щ у ю задачу в пре дполож е н и и , что форма и зги ба при коле бан и я х с овпадае т с волн ой кос и н у с ои ды. Указан и е. Е с ли н ачало коорди н ат с овпадае т с ле вым кон цом балки , то у равн е н и е и зогн у той ос и и ме е т ви д: y=

Δ  2πx  1 − cos , 2 l 

где Δ – пе ре ме щ е н и е под гру зом Р . О т вет . 3 8 .

Д ля рамы, показан н ой н а ри с . 14, пре дполож и ть, что каж дая с тойка и ме е т погон н ый ве с 30 кг/м и ш арн и рн о закре пле н а вн и зу . Н айти с обс тве н н у ю час тоту боковых коле бан и й рамы с у че том вли я н и я мас с с тое к. И с пользовать чи с ловые зн аче н и я задачи 11. О т вет . Т = 2,52 с ек. 37. Каку ю час ть равн оме рн о Р и с . 28 рас пре де ле н н ого ве с а балки АВ С (ри с . 28) н у ж н о при бави тьк ве с у Р, с ос ре доточе н н ому н а с вободн ом кон це , при вычи с ле н и и с обс тве н н ой час тоты попе ре чн ых коле бан и й? При н я ть с тати че с ку ю кри ву ю и зги ба. 36.

О т вет . 2391688 ≈ 1 7 . 38. Пе ре с чи тать час тоту кру ти льн ых коле бан и й коле с а (ри с . 15), у чи тывая вли я н и е мас с ы ради альн ых с пи ц. При н я ть, что каж дая с пи ца и ме е т мас с у pr/g, равн оме рн о рас пре де ле н н у ю вдольдли н ы. О т вет . k=

1 2π

16 gB

(P + 116 / 105 pr )r 3

.

35

Л итерату ра 1)

2)

3) 4)

5) 6) 7) 8) 9)

О с н овн ая Р аби н ови ч М .И . Вве де н и е вте ори ю коле бан и й и волн / М .И . Р аби н ови ч, Д .И . Т ру бе цков. – 3-е и зд. – М . ; И ж е вс к : Р е гу ля рн ая и хаоти че с кая ди н ами ка, 2000. – 560 с . С ве тли цки й В.А . З адачи и при ме ры по те ори и коле бан и й / В.А . С ве тли цки й. – М . : И зд–во М Г Т У , 1998 – 1999. – Ч .1. 1998. – 307 с . ; Ч .2. 1999. – 262 с . Бу гае н ко Г .А . О с н овы клас с и че с кой ме хан и ки / Г .А . Бу гае н ко, В.В. М алан и н , В.И . Я ковле в. – М . : Выс ш . ш к., 1999. – 366 с . Т и мош е н ко С .П. Коле бан и я ви н ж е н е рн ом де ле / С .П. Т и мош е н ко. – М . : Н ау ка, 1967. – 444 с . Д ополн и те льн ая Бу хгольц. Н .Н . О с н овн ой ку рс те оре ти че с кой ме хан и ки / Н .Н . Бу хгольц. – М . : Н ау ка, 1972. – Ч .1. – 470 с . ; Ч .2. – 332 с . Фе одос ье в. В.И . С опроти вле н и е мате ри алов / В.И . Фе одос ье в. – М . : Н ау ка, 1986. – 544 с . М алов. Н .Н . О с н овы те ори и коле бан и й / Н .Н . М алов. – М . : Прос ве щ е н и е , 1971. – 198 с . А н дрон ов. А .А . Т е ори я коле бан и й / А .А . А н дрон ов, А .А . Ви тт, Р .Э. Хайки н . – М . : Н ау ка, 1981. – 568 с . С аргс я н . А .Е . С опроти вле н и е мате ри алов, те ори и у пру гос ти и плас ти чн ос ти / А .Е . С аргс я н . – М . : И зд-во А С В, 1998. – 240 с .

А вторы: З и н овье вН и колай М и хайлови ч М я с н я н ки н Ю ри й М и хайлови ч Р е дактор: Т и хоми рова О льга А ле кс ан дровн а