Курс физики в трех частях. Часть 1: Механика. Молекулярная физика и термодинамика: Пособие для студентов вузов

Ваган В.А., Конкин Б.Б., Сафронов В.П.

ФИЗИКА Часть I

2009

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ростовская-на-Дону государственная академия сельскохозяйственного машиностроения

Ваган В.А., Конкин Б.Б., Сафронов В.П. КУРС ФИЗИКИ В трех частях Часть первая

Механика. Молекулярная физика и термодинамика

Утверждено редакционно-издательским советом академии в качестве конспекта лекций для студентов вузов всех технических специальностей

Ростов-на-Дону 2009

УДК 537.8 Ф48 Рецензенты:

доктор технических наук, профессор Донского государственного технического университета Ю.И. Ермольев

кандидат физико-математических наук, доцент Ростовской-на-Дону государственной академии сельскохозяйственного машиностроения В.А. Ваган

Ф48

Физика. В 3 ч. Ч. I. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: Пособие для студентов вузов. / Авт.-сост. В.А.Ваган, Б.Б. Конкин, В.П. Сафронов, РГАСХМ ГОУ, Ростов н/Д., 2009. — 82 с.

Даны основные понятия, положения, зависимости, формулы, графики к разделам «Механика. Молекулярная физика и термодинамика» курса физики. Предназначено для студентов технических вузов. Материал изложен в соответствии с утвержденной учебной программой

© В.А. Ваган, Б.Б. Конкин, В.П. Сафронов, 2009 © Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ростовская-на-Дону государственная академия сельскохозяйственного машиностроения, 2009

КИНЕМАТИКА ЧАСТЬ 1 МЕХАНИКА изучает закономерности механического движения. Механическое движение — изменение взаимного расположения тел с течением времени. Глава 1 КИНЕМАТИКА изучает движение тел, не рассматривая причины этого движения. 1.1. Кинематические уравнения движения материальной точки ♦ Материальная точка — тело, размерами которого можно пренебречь в данной задаче (размеры тел намного меньше расстояний между ними или тело движется поступательно, т.е. все точки тела описывают одинаковые траектории). ♦ Система отсчета включает тело отсчета (относительно которого рассматривается движение), связанную с ним систему координат (рис. 1.) и способ отсчета времени (часы). Система отсчета выбирается для определения положения материальной точки (тела) в пространстве и времени. ♦ Относительность механического движения заключается в зависимости координат, Z траектории, скорости и z1 ΔS ускорения тела от выбоM ра системы отсчета. r Δr ♦ Положение материальной точки в проr r странстве задается укаr2 r1 r занием координат k x , y , z точки M, лиy1 1 1 1 r r бо значением радиусi 0 j r Y вектора r1 , проведенноx1 го в точку М из начала X координат (точка 0). Рис. 1 Причем, r r r r r1 = x1 ⋅ i + y1 ⋅ j + z1 ⋅ k ,

3

КИНЕМАТИКА r r r где x1 , y1 , z1 — координаты точки, ⋅i , j , k — единичные векторы (орты) осей x , y , z (рис. 1). Модуль радиус-вектора находится по теореме Пифагора: r | r1 |= r1 = x12 + y12 + z12 . ♦ Траектория — линия, по которой движется тело. r r r ♦ Перемещение Δ r = r2 − r1 — приращение радиус-вектора за рассматриваемый промежуток времени. ♦ Путь ΔS ,м — расстояние, пройденное движущейся точкой за рассматриваемый промежуток времени вдоль траектории (рис. 1). ♦ Дуговая координата s ,м — длина участка траектории, пройденного движущейся точкой в течение рассматриваемого промежутка времени. ♦ Кинематические уравнения движения — это зависимость раr диус-вектора r (или координат x , y , z ) от времени t (с), позволяющая определить положение материальной точки при ее движении в любой момент времени: r r r = r ( t ) или x = x ( t ), y = y( t ), z = z ( t ) . Эти две формы связаны принципом суперпозиции движений: любое сложное движение в пространстве можно представить как сумму трех независимых прямолинейных движений вдоль осей x, y, z : r r r r r ( t ) = x ( t ) ⋅ i + y( t ) ⋅ j + z( t ) ⋅ k .

1.2. Скорость

♦ Математика. Средней скоростью изменения функции f ( t ) называется отношение приращения функции Δf к приращению аргумента Δt : Δf vср = . Δt Мгновенной, истинной скоростью изменения f ( t ) называется предел, к которому стремится средняя скорость при Δt → 0 . Это скорость в заданный момент времени: Δf df v = lim = = f t/ . Δt → 0 Δ t dt 4

КИНЕМАТИКА Таким образом, чтобы определить скорость изменения функции, нужно взять производную этой функции по времени. Скорость определяет быстроту изменения функции. ♦ Скорости движения определяют быстроту движения. При r движении материальной точки r ,{ x , y , z }, s становятся функциями r r от времени: r = r ( t ), { x = x ( t ), y = y( t ), z = z ( t )}, S = S ( t ) . Поэтому, вводится три типа скоростей: r Векторная скорость (просто скорость) v , м/с — равна r r dr r / Y v= = rt dt v и направлена по касательной к траектоvy рии (рис. 2). r Проекции v на оси координат определяют быстроту изменения координат точки dx dy dz vx = = x t/ , v y = = y t/ , v z = = z t/ . vx X 0 dt dt dt Рис. 2 Скалярная скорость v ,м/с: dS v= = S t/ . dt ♦ Связи между скоростями. Дифференцируя принцип суперпозиции, получаем: r r r r r ′( t ) = x ′ ( t ) ⋅ i + y ′( t ) ⋅ j + z ′ ( t ) ⋅ k ⇒ r r r r v( t ) = v x ( t ) ⋅ i + v y ( t ) ⋅ j + v z ( t ) ⋅ k . r r Так как dr = dS , | v | = v . Из теоремы Пифагора r | v( t ) | = v( t ) = v x 2 + v y 2 + v z 2 .

♦ Сложение скоростей. Если тело в выбранной системе отсчета одновременно участвует r r r в нескольких движениях со скоростями v1 , v 2 ...vn , то его скоr рость v равна векторной сумме этих скоростей:

r n r v = Σ vi . i =1

5

КИНЕМАТИКА Этот закон является следствием инвариантности перемещений и интервалов времени в разных системах отсчета в классической (ньютоновской) механике.

1.3. Ускорение r 2 ♦ Ускорение a , м/с — определяет быстроту изменения скорости (скорость изменения скорости). Аналогично скоростям вводятся следующие типы ускорений: r Векторное ускорение (просто ускорение) a , м/с2: r r d v r/ r a= = v t = rt′′2 . dt r Проекции ускорения a на оси координат: d vy dv dv a x = x = x ′′, a y = = y ′′, a z = z = z ′′ . dt dt dt Тангенциальное ускорение a τ , м/с2: aτ =

dv = S ′′ . dt

♦ Связи между ускорениями. Дифференцируя принцип суперпозиции два раза, получаем: r r r r vʹ ( t ) = (v x )′ ⋅ i + (v y )′ ⋅ j + (v z )′ ⋅ k ⇒ r r r r a ( t ) = ax ( t ) ⋅ i + ay (t ) ⋅ j + az (t ) ⋅ k . r a (t ) = ax 2 + ay 2 + az 2 . По теореме Пифагора: ♦ Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения. r В общем случае, ускорение a может быть направлено под любым углом к aτ v r скорости v . Поэтому его удобно представить как векторную сумму двух ускорений (рис. 3): r r r a an a = a τ + an . r a τ — тангенциальное ускорение наРис. 3 правлено по (против) скорости и определяет быстроту изменения модуля скорости материальной точки: dv = S ′′ . aτ = dt 6

КИНЕМАТИКА r an — нормальное (центростремительное) ускорение направлено перпендикулярно скорости и определяет быстроту изменения направления скорости материальной точки: v2 , an = r где r — радиус кривизны траектории (радиус окружности, по котоr рой двигалась бы материальная точка при a τ = 0 ). 1.4. Равнопеременное движение При таком движении a τ = const , то есть модуль скорости за равные промежутки времени изменяется на одинаковые величины. Если a τ = const > 0 , движение называется равноускоренным, а если

a τ = const < 0

—

равнозамедленным.

Если

a τ = a = const и an = 0 , то движение будет равнопеременное прямолинейное. Определим в этом случае скорость и кинематическое уравнение движения. ♦ Скорость. r r r dv r r По определению a τ = a = ⇒ d v = a ⋅ d t . Выберем ось 0Х dt вдоль направления движения, тогда в проекциях на эту ось d v x = a x ⋅ d t . Проинтегрируем это выражение:

v x ( t ) = ∫ a x ⋅ d t + c1 = a x ∫ d t + c1 = c1 + a x t . Если t = 0 , то v x (0) = c1 , значит v x ( t ) = v0x + a x t , где v0x — проекция начальной скорости на ось 0Х. ♦ Кинематическое уравнение движения. dx По определению v x = ⇒ d x = vx ⋅ d t . dt Проинтегрируем это выражение: x ( t ) = ∫ v x ⋅ d t + c 2 = ∫ ( v0 x + a x ⋅ t )d t + c 2 = = v0 x ⋅ t +

ax ⋅ t 2 + c2 2

7

.

КИНЕМАТИКА Если t = 0 , то x (0) = c 2 , значит x ( t ) = x 0 + v0 x ⋅ t +

ax ⋅ t 2 , 2

где x 0 = x(0) — начальная координата. При равномерном прямолинейном движении, когда a = 0 , получаем v x ( t ) = v0x = const

x ( t ) = x 0 + v0 x ⋅ t . ♦ Графическое представление кинематических характеристик Графики ускорения Равномерное

Равнопеременное a1>0 a

ax

x

0

t

a2<0

a=0 t

0 Рис. 4а

Рис. 4б Графики скорости

Равномерное

vx

vx

v1>0

Равнопеременное a1>0

v0x 0

v2<0

t

0

t a2<0

Рис. 5а

Рис. 5б

8

КИНЕМАТИКА Кинематическое уравнение движения Равномерное

Равнопеременное

v1>0

x

a1>0

x

x0

x0

0

t

0

v2<0 Рис. 6а

a2<0

t

Рис. 6б

1.5. Кинематика вращательного движения твердого тела Абсолютно твердым (твердым) называется тело, для которого расстояние между любыми двумя его точками всегда остается неизменным. Любое движение твердого тела можно представить в виде комбинации поступательного и вращательного движений. При поступательном движении траектории любых точек тела одинаковы, поэтому оно эквивалентно движению материальной точки. При вращательном движении все точки движутся по концентрическим окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения (ОО‫ ׳‬рис. 7). r ♦ Элементарный поворот d ϕ — мера перемещения тела во вращательном движении. По модулю он равен углу поворота dϕ и ориентирован вдоль оси вращения OO‫׳‬ (рис. 7). Его направление определяется правилом правого винта (для правой системы координат, координат, см. рис. 1), см. илирис. правилом 1), или левого правилом винта левого (для O' винта (для левой системы координат, в котоr ω рой оси 0Х и 0Y меняются местами). Вектоr ра, имеющие разное направление в разных dϕ системах координат, называются псевдовекdϕ O торами. r ♦ Угловая координата ϕ , рад — определяβ ет положение тела при вращательном двиРис. 7 жении. ♦ Кинематическое уравнение движения ϕ = ϕ ( t ) — позволяет определить положение тела в любой момент времени.

9

КИНЕМАТИКА r Угловая скорость ω , рад/с — определяет направление и быстроту вращения. Вектор угловой скорости лежит на оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого винта. r dϕ r dϕ ω= , или в проекции на ось OO‫ ׳‬ω = . dt dt r ♦ Угловое ускорение β , рад/с2 — определяет быстроту изменения угловой скорости. При неподвижной оси вращения угловое ускорение направлено вдоль (ускоренное движение) или против (замедленное движение, рис.7) направления угловой скорости: r r dω dω , или в проекции на ось OO‫ ׳‬β = . β= dt dt r При равномерном вращении вокруг неподвижной оси β = 0 и r ω = const . В проекциях на ось ОО‫( ׳‬аналогично равномерному прямолинейному движению): 2π β = 0; ϕ = ω ⋅ t (ϕ 0 = 0); ω = = 2πν . T T ,с — период вращения, т.е. время одного оборота. ν,1/с — частота вращения — количество оборотов в единицу времени. Равнопеременное вращение вокруг неподвижной оси происходит с постоянным угловым ускорением, направленным вдоль (+) или против (–) начальной O' r угловой скорости (рис.8): ω0 β⋅ t2 ϕ = ω0 ⋅ t ± , ω = ω 0 ± β ⋅ t , где 2 R O ω0 , ω — проекции начальной и конечной угr r ловой скорости на направление ω 0 , β — моβ дуль углового ускорения. Рис. 8 Связь угловых и линейных переменных Из определения радиана S = ϕ⋅ R. Продифференцировав это выражение по времени S ′ = ϕ′ ⋅ R , получаем связь линейной и угловой скоростей: v = ω ⋅ R . Дифференцируя повторно, получаем связь модулей тангенциального и углового ускорений: 10

ДИНАМИКА aτ = β ⋅ R . Нормальное ускорение приводится к виду: an = v 2 / R = ( ω R ) 2 / R = ω 2 R . Глава 2 ДИНАМИКА раздел механики, в котором изучается движение тел и причины этого движения. Основа динамики поступательного движения тела — три закона Ньютона.

2.1. Первый закон Ньютона (закон инерции) ♦ Тело сохраняет свою скорость (движется по инерции), если на него не действуют другие тела или их действие скомпенсировано. ♦ Инерциальными называются системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Системы отсчета, движущиеся с ускорением, называются неинерциальными (тормозящий автобус). В дальнейшем мы будем использовать только инерциальные системы отсчета. ♦ Инертность — способность тел сохранять свою скорость. ♦ Масса m, (кг) — мера инертности тел при поступательном движении. ♦ Плотность ρ, кг/ м3 — ρ = m / V — масса в единице объема. Зависит от вещества, из которого состоит тело и внешних условий. Табличная величина . V — объем тела. ♦ Принцип относительности Галилея: Механические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Законы механики имеют одинаковый вид в любой инерциальной системе отсчета.

11

ДИНАМИКА 2.2. Второй и третий законы Ньютона r r r r ♦ Сила F , f , N , T , Н — векторная величина, являющаяся мерой взаимодействия тел при поступательном движении. Действие тел заменяется действием сил (рис. 9 а, б, в):

r f тр

r N

r T

m

r F2

r a

r mg Рис. 9а

r F

Рис. 9в

Рис. 9б

r F r F1

Рис. 10

r r ♦ Сложение сил: если на тело действуют несколько сил F1 , F2 , r то их можно заменять равнодействующей силой F , равной их векторной сумме (рис. 10). Силы в механике*(для самостоятельного повторения) ♦ Силы упругости возникают при упругих деформациях тел. Они стремятся вернуть телу исходную форму и объем (рис. 11). Деформация — изменение формы и объема l0 l тела. r Fупр Упругая деформация исчезает после снятия нагрузки. При этом силы упругости возвращают телу исходную форму и объx 0 ем. x Закон Гука: сила упругости FУПР пропорРис. 11 циональна удлинению пружины x: FУПР = −k ⋅ x , где l0 — начальная и l — конечная длина пружины, x = l - l0 , знак минус означает, что сила упругости направлена против удлинения, k, Н/м — коэффициент жесткости (упругости), зависящий от упругих свойств материала. r ♦ Сила трения Fтр возникает между поверхностями соприкасающихся тел и препятствует их относительному перемещению. Сила трения покоя препятствует возникновению относительного перемещения соприкасающихся тел. Сила трения покоя равна по модулю r результирующей (T ) всех остальных сил, действующих на тело (рис. 12). 12

ДИНАМИКА Закон трения скольжения: сила трения скольжения возникает при движении соприкасающихся r тел и пропорциональна силе реакции опоры N , или равной ей по величине силе нормального r давления Pn :

r Fтр

r N

r T

r Pn

FТР = μ ⋅ N , Рис. 12 где μ — коэффициент трения скольжения, зависящий от материала соприкасающихся тел и качества обработки их поверхностей. ♦ Гравитационные силы (силы тяготения) — силы притяжения, существующие между любыми телами. ♦ Закон всемирного тяготения: две материальные точки притягиваются друг к другу (рис. 13) с силой, прямо пропорциональm1 r m2 ной массам m 1 и m 2 этих точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними. Модуль силы тяготения Рис. 13 m1 ⋅m2 , F = G 2

r Н ⋅ м /кг — гравитационная постоянная. где G = 6, 7 ⋅ 10 r ♦ Сила тяжести Fтяж — сила, с которой планета (Земля) притягивает тело. Под действием одной силы тяжести тело свободно падает с ускорением g . По второму закону Ньютона: r r Fтяж = m g . r ♦ Вес тела P — сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес. Вес приложен к опоре или подвесу (рис. 14). Если опора покоится или движется равномерно и прямолинейно, то вес тела равен силе тяжести: P = mg. Если опора движется с ускорением вверх, то вес r r P увеличивается (+), вниз — уменьшается (-): P P = m(g ± a). При свободном падении (a = g) тело не давит на Рис. 14 опору. Отсутствие веса (Р = 0) называется невесомостью. ♦ Движение под действием силы тяжести — свободное падение. При этом все тела движутся с одинаковым ускорением — ускорением свободного падения. Вблизи поверхности Земли g = 9,8 м/с2: −11

2

2

13

ДИНАМИКА а) если начальная скорость v0 направлена вертикально, то движение прямолинейное; б) если начальная скорость v0 направлена горизонтально, то тело будет двигаться по параболе, в) если v0 направлена горизонтально и v0= v1=7,9 км/с, то тело становится искусственным спутником Земли и движется по круговой орбите. Роль центростремительного ускорения выполняет ускорение свободного падения: aц = g = v12 RЗемли . Отсюда найдем первую космическую скорость: v1 = RЗемли ⋅ g = 7, 9 км/с. Так как спутник свободно падает, в нем наблюдается невесомость.

r ♦ Импульс P , кг м/с — мера количества поступательного двиr r жения тела P = mv . ♦ Второй закон Ньютона (основной закон динамики). Скорость изменения импульса тела в инерциальной системе отсчета равна силе, приложенной к телу. r r dP F= . dt r r dv r 1 следствие. Если масса тела не меняется F = m ⋅ = ma ⇒ dt r r F = ma . 2 следствие. Если равнодействующая сила равна нулю, то импульс тела не меняется: r r dP = 0; P = const . dt ♦ Закон изменения количества движения. r r r dP r = F , dP = Fdt ⇒ dt t2 t2 r r r r P2 − P1 = ∫ Fdt , где ∫ Fdt — импульс силы за время t 2 − t1 = Δt . t1

t1

Изменение импульса (количества движения) за время Δt равно импульсу силы за это же время.

14

ДИНАМИКА

♦ Третий закон Ньютона. При взаимодействии двух тел возникают силы, равные по величине, направленные в противоположные стороны вдоль одной прямой и приложенные к разным телам (рис. 15) r r F12 = − F21 .

r F1

r F2 Рис. 15

2.3. Сохраняющиеся величины ♦ Внутренними силами механической системы тел называются силы, действующие между телами этой системы: r f ij — внутренняя сила, действующая на i-ую частицу со стороны

j-ой. Внешние силы описывают действие на систему других тел: r Fi — равнодействующая внешних сил, действующая на i-ую частицу. ♦ Система тел называется замкнутой, если она включает в себя все взаимодействующие тела или равнодействующая внешних сил и их моментов равна нулю. В случае замкнутой системы суммарные (интегральные) ее характеристики могут быть изменены только свойствами пространства и времени. Неизменность этих свойств приводит к сохранению интегральных характеристик. ♦ Основными свойствами пространства и времени в инерциальных системах отсчета являются: 1) однородность пространства — равнозначность всех его точек — приводит к закону сохранения импульса механической системы; 2) однородность времени приводит к закону сохранения энергии; 3) изотропность пространства — равнозначность всех направлений — приводит к закону сохранения момента импульса. 2.4. Закон сохранения импульса механической системы ♦ Импульсом системы из N материальных точек, обладающих r массами m i и скоростями v i , называется векторная сумма r N r P = ∑ mi vi . i

15

ДИНАМИКА Вывод закона изменения импульса механической системы. Рассмотрим систему из N материальных точек, на каждую из r r которых действуют внутренние силы f ij и внешняя Fi .

Запишем для каждой из них второй закон Ньютона: r N r r dPi = ∑ f ij + Fi , (i = 1,2,..., N ) . dt j≠i r N N N r N r dPi = ∑ ∑ f ij + ∑ Fi . Сложим все N уравнений ∑ i dt i i j≠i N r r По третьему закону Ньютона f ij = − f ji , поэтому ∑ i

N

r

∑ f ij = 0 . j≠i

r r N r N r d ∑ Pi dPi Таким образом, ∑ = ∑ Fi ⇒ = ∑ Fi ⇒ dt i dt i i Закон изменения импульса механической системы. r dP N r = ∑ Fi . dt i Скорость изменения импульса системы материальных точек равна векторной сумме внешних сил (главному вектору внешних сил). ♦ Вывод закона сохранения импульса механической системы. Для замкнутой системы материальных точек результирующая внешняя сила равна нулю, поэтому: r r dP = 0 ⇒ P = const . dt При любых событиях в замкнутой системе материальных точек импульс системы не меняется (сохраняется).

(

N

)

2.5. Центр масс (центр инерции) ♦ Центром масс или центром инерции системы из N материальных точек называется точка с радиус–вектором N r r rc = ∑ m i ri i

16

N

∑ mi i

,

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ r где m i , ri — масса и радиус-вектор i -ой материальной точки,

∑ mi = m

— масса системы.

♦ Скорость центра масс (инерции): r r N N drc N dri r r vc = = ∑ mi m = mi vi m ∑ ∑ i dt dt i i i

. ♦ Импульс центра масс (инерции) совпадает с импульсом систеN r r r мы материальных точек: Pc = m ⋅ vc = ∑ mi vi . i

♦ Закон движения центра масс. Из предыдущего ясно что r d Pc N r = ∑ Fi . dt i Таким образом, центр инерции механической системы движется как материальная точка массой m i = m , на которую действует

∑

r r сила F = ∑ Fi (главный вектор сил). Для замкнутой системы тел N i

центр инерции движется равномерно.

Глава 3 РАБОТА и ЭНЕРГИЯ

3.1. Работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл. Мощность силы r ♦ Работа A , Дж = Н·м, постоянной силы F при прямолинейr ном перемещении Δr определяется формулой A = F Δr cos α , где α — угол между силой и перемещением. Но, что делать, когда сила меняется в процессе движения, а траектория криволинейна? Для этого определяют элементарную работу. r ♦ Работа при бесконечно малом перемещении dr , когда можно r считать F = const , а траекторию — прямолинейной: r r dA = Fdr = Fdr cos α = Fτ dr = Fτ ds ,

17

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ r r где Fdr — скалярное произведение силы и элементарного перемещения, Fτ = F ⋅ cos α — проекция силы на направление двиr жения, ds =| dr | — приращение дуговой координаты (путь точки) за малое время dt .

♦ Работа при конечном перемещении находится суммированием (интегрированием) всех элементарных работ вдоль траектории (рис. 16):

r r1

Y

r r

r dr

0

r r1

Y

r r F (r ) r α( r ) r r2

r F = const

r r Δrr

α = const r r2

0

X

X

Рис. 16

Рис. 17 r r2

r

r r1

r1

r r r 2 r r A12 = ∑ dA = ∫ F ( r )dr = ∫ F ( r )cos α( r )dr . ♦ Пример. Работа постоянной силы при прямолинейном движении. r Под действием силы F = const материальная точка движется r r прямолинейно из положения r1 в r2 . Определить работу силы (рис. 17). r r2

r

r r1

r r1

r r r r r2 r A12 = ∫ F (r )dr = F ⋅ ∫ dr = r r r r r = F ⋅ (r2 − r1 ) = F ⋅ Δr = F ⋅ Δr ⋅ cos α⋅ = F ⋅ S ⋅ cos α .

18

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ ♦ Графическое вычисление работы Работу можно представить в виде интеграла F

dA = Fτ ds

τ

s2

A12 = ∫ Fτ ds ,

a

b

s1

поэтому она равна площади криволинейной трапеции 0 s1 s s+ds s2 S s1abs2 под кривой Fτ ( s ) (рис. Рис. 18 18). s — дуговая координата материальной точки, отсчитанная вдоль траектории. ♦ Мощность силы Мощность N , Дж/с=Вт — это скорость совершения работы dA N= . dt r r dA F ⋅ dr r r Мощность силы N = = = F ⋅ v = F ⋅ v ⋅ cos α . dt dt r r N = F ⋅v . Мощность силы равна скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения. Работа и мощность силы зависят от выбора системы отсчета.

3.2.Энергия — это общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не возникает из ничего и не исчезает в никуда, а только переходит из одной формы в другую. При этом может совершаться механическая работа. Понятие энергии объединяет все явления в природе. ♦ Кинетическая энергия K, Дж — это запас работы, связанный с движением тела. Кинетическая энергия, как и скорость, величина относительная. Ее значение можно изменить выбором системы отсчета. Для материальной точки: mv 2 p2 . K= = 2 2m

19

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ Для системы материальных точек N m v2 N p2 K =∑ i i =∑ i , 2 i i 2m i где m i , v i , pi — масса, скорость и импульс i -ой частицы, N — число частиц. Примеры использования кинетической энергии: пресс, молоток, пуля, парус. ♦ Вывод теоремы о кинетической энергии материальной точки. Пусть материальная точка массой m изменила свою скорость от v1 до v 2 под действием результирующей силы F . Работа силы привела к изменению кинетической энергии. Определим работу результирующей силы: v v2 v2 r r v2 r r v2 d vr r v2 drr r v2 r r mvr 2 2 A = ∫ dA = ∫ Fdr = ∫ madr = ∫ m dr = ∫ m d v = ∫ mvd v = ⇒ 2 v dt dt v1 v1 v1 v1 v1 v1 1

2 2

2 1

mv mv − , A = K 2 − K 1 = ΔK . 2 2 Работа результирующей силы равна приращению кинетической энергии материальной точки. A=

♦ Потенциальная энергия. Взаимодействие тел передается соответствующим полем — особой формой материи. Например: 1) электромагнитное взаимодействие передается электрическим и магнитным полями; 2) гравитационное — гравитационным полем; 3) ядерное — ядерным. Поля, в отличие от частиц, непрерывно заполняют пространство. Взаимодействие осуществляется по схеме: частица создает поле, это поле действует на другую частицу. ♦ Поле консервативных (потенциальных) сил. При движении материальной точки в поле консервативных сил работа не зависит от траектории, а определяется только начальным и конечным положением точки. При движении по замкнутой траектории (контуру) работа таких сил равна нулю. Консервативными являются гравитационное поле и создаваемая им сила тяжести, электростатические силы и поля. Силы, не обладающие

20

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ этими свойствами, называются диссипативными (например, силы трения). Работа этих сил переводит энергию из механической в другие формы, например, во внутреннюю энергию. ♦ Потенциальная энергия материальной точи в поле консерваr тивных сил U ( r ) — это работа, которую могут совершить конr сервативные силы при перемещении тела из данной точки r1 в r точку r2 , принятую за начало отсчета потенциальной энергии (рис 19). Потенциальная энергия — величина относительная, зависящая от выбора начала отсчета энергии. Например, потенциальная энергия тела массой m , находящегося на высоте h над поверхностью земли, r U ( r1 ) равна работе силы тяжести mg при пеr r r1 ремещении тела из точки r1 в любую r mg r точку r2 , лежащую на поверхности земh ли, принятой за начало отсчета энергии r (рис 19): r2 r r r2 r U =0 r r r r2 r U ( r1 ) = A = ∫ mgdr = mg ∫ dr = r r r1 r1 Рис. 19 r r r = mg ⋅ ( r2 − r1 ) = mgh ⇒ r U ( r1 ) = U ( h) = mgh . Следствие 1. Работа, совершаемая силами поля при переходе матеr r риальной точки из положения r1 в r2 , равна разности потенциальных энергий в этих точках: A 12 = U 1 − U 2 . Следствие 2. Работа консервативных сил при перемещении материальной точки осуществляется за счет убыли ее потенциальной энергии: A12 = U 1 − U 2 = −ΔU ⇒ dA = −dU .

3.3. Потенциальные кривые это графический способ изображения потенциальной энергии, позволяющий судить о силах и характере движения тела.

21

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ Консервативная сила — градиент потенциальной энергии. Пусть частица находится в поле U ( x) консервативных сил (например, в гравитационном) и ее потенциальная энергия зависит только от одной координаты (рис 20). Работа FA = 0 консервативных сил осуществляется FB = 0 за счет убыли потенциальной энерx гии A B dA = F ⋅ dx = −dU ⇒ Рис. 20 dU F =− . dx Сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком. Градиент определяет скорость изменения скалярной величины в пространстве. Следствие. Точки локального максимума и минимума потенциальной кривой являются точками, соответственно, устойчивого (А) и неустойчивого (В) равновесия (рис.20). Действительно, в этих точках со стороны поля на тело не действуют силы dU =0. FX = − dx ♦ Определение вида потенциальной энергии по силе. dU FX = − ; dU = − FX dx ⇒ U ( x ) = ∫ dU = − ∫ FX ( x ) dx . dx ♦ Потенциальная энергия деформированной пружины. По закону Гука сила упругости Fупр = − k x , где k — жесткость

пружины, x — удлинение. При изменении длины пружины от 0 до x x x kx 2 U ( x ) = − ∫ Fупр ( x ) dx = ∫ kxdx = . 2 0 0 ♦ Потенциальная энергия поля центральных сил Центральными называются силы, линия действия которых проходит всегда через одну и ту же точку. Например, для гравитационных сил эта точка — центр масс.

22

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ m1 m 2 , m1 , m 2 — массы, взаимодействующих тел, r r2 — расстояние между центрами масс. Для кулоновских сил данная точка — центр "тяжести" зарядов. 1 q1q2 , q1 , q2 — заряды взаимодействующих тел, r Fкулон = 4πεε 0 r 2 Fгравит = G

— расстояние между центрами "тяжести" зарядов. Таким обра1 зом, для центральных сил справедливо FЦ ~ 2 . r dr 1 U ( r ) ~ ∫ FЦ dr ~ ∫ 2 ~ . r r Потенциальная энергия поля центральных сил обратно пропорциональна расстоянию до центра тела, создающего поле.

3.4. Закон сохранения механической энергии ♦ Одно тело. r Пусть тело движется под действием консервативных F и диссиr пативных f сил (например, трения). По теореме о кинетической энергии, работа результирующей силы равна приращению кинетической энергии тела r r r F + f dr = dK . r r r r Так как Fdr = −dU , то fdr = dK + dU или r r fdr = dE . Диссипативные силы направлены против перемещения, поэтому r r fdr < 0 . Следовательно, работа диссипативных сил приводит к

(

)

уменьшению механической энергии E . Если материальная точка находится в поле только консервативных сил, то полная механическая энергия материальной точки сохраняется. E = K + U = const — закон сохранения механической энергии.

23

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ ♦ Закон сохранения энергии системы материальных точек Полная механическая энергия системы N материальных точек N m v2 r r r E = ∑ i i + U ( r1 , r2 ...rN ) , определяется формулой 2 i =1 m i v i2 — сумма кинетических энергий материальных то∑ 2 i =1 r r r чек, U ( r1 , r2 ...rN ) — их потенциальная энергия. Полная механическая энергия системы тел без диссипативных взаимодействий не меняется, хотя в системе возможны переходы механической энергии из одной формы в другую: N m v2 r r r E = ∑ i i + U ( r1 , r2 ...rN ) = const . 2 i =1 где

N

3.5. Соударения Соударением (ударом) называются кратковременные взаимодействия тел, при которых возникающие силы столь велики, что внешними силами можно пренебречь и рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему. ♦ Абсолютно неупругий удар При таком ударе тела объединяются и r r движутся как единое целое (рис. 21). p2 p1 Выберем систему отсчета, связанную с r r r p = p1 + p2 центром инерции. В ней импульс тел r после удара, а, следовательно, их скоp2 pr рость и кинетическая энергия будут 1 равны нулю (по закону сохранения имРис. 21 пульса). Кинетическая энергия неупруго соударяющихся тел переходит во внутреннюю энергию. Закон сохранения механической энергии не выполняется, но выr r r полняется закон сохранения импульса: p = p1 + p2 . Или в проекциях на координатные оси: x) mv X = m1v1X + m 2 v 2X ; y) mv Y = m1v1Y + m 2 v 2Y ; где m = m1 + m 2 . Зная массы и скорости исходных частиц, можно определить скорость и импульс объединенного тела после удара.

24

РАБОТА и ЭНЕРГИЯ По теореме Пифагора

r r v = v x2 + v y2 , p = mv .

♦ Абсолютно упругий удар После такого удара тела полностью восстанавливают свою форму и объем. Рассмотрим соударение двух упругих шаров массами m и M. r MV До соударения большой шар покоr r r p = mu M ится, малый движется со скороp r r r x стью u и импульсом p = mu (рис r 22). Считая систему замкнутой, mv Рис. 22 можно использовать следующие законы сохранения: r r r 1) mu = mv + M V — закон сохранения импульса; mu 2 mv 2 M V 2 = + — закон сохранения энергии. 2 2 2 Рассмотрим центральный удар, при котором линия удара проходит через центр тяжести обоих тел (рис. 23). Тогда в проекциях на ось x : 2)

(

)

1) m ( ux − v x ) = M Vx , 2) m ux2 − v x2 = M Vx2 . Разделив второе уравнение на первое, получаем Vx = ux + v x . Подставляя в первое уравнение, получаем скорость налетавшего x шара после удара: Рис. 23 m−M vx = ux . m+M Если массы шаров равны m = M , налетающий шар останавливается, а второй движется с его скоростью. Если шар ударяется о стенку M → ∞ , v x = − ux — шар отскакивает с начальной скоро-

r r M p = mu

r mv

r MV

стью u , причем стенке передается импульс 2mu .

25

МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Глава 4 МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 4.1. Кинетическая энергия вращательного движения. Момент инерции. ♦ Вывод формулы кинетической энергии вращательного движения. Пусть тело массой M вращается со скоростью O ri ω вокруг оси ОО‫׳‬. Разобьем тело на N матеr риальных точек (рис. 24), где m i , v i — масса r mi vi и скорость i -ой материальной точки, ri — длина перпендикуляра, соединяющего ось

r O' ω Рис. 24

вращения с i -ой материальной точкой. Кинетическая энергия системы материальных точек определяется суммой их кинетических энерN m v2 гий: K = ∑ i i . Линейная скорость i -ой 2 i =1

материальной точки v i = ri ω . Так как угловая скорость ω одинакова для всех точек, то m i ri2 ω 2 ω 2 = 2 2 i =1 N

K =∑

N

∑m r i =1

i i

2

.

♦ Момент инерции I, кг м2 тела относительно выбранной оси вращения это сумма: N

I = ∑ m i ri2 . i =1

Момент инерции является мерой инертности тел во вращательном движении. Момент инерции зависит от массы тела и от распределения массы относительно оси вращения. Таким образом, кинетическая энергия вращательного движения определяется формулой: I ω2 mv 2 K вр = . аналогично, K = 2 2 26

МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ƒ

Моменты инерции тел правильной геометрической формы. Рассмотрим момент инерции материальной точки, кольца или пустого цилиндра с массой m и радиусом R : N

N

I = ∑ Δm i ri2 = ( ri = R ) = R 2 ∑ Δm i = mR 2 i =1

i =1

2

I к = mR .

ƒ

В диске (сплошной однородный цилиндр) часть массы смещена к оси вращения, поэтому его момент инерции уменьшается I диск =

ƒ

1 mR 2 . 2

Момент инерции шара по той же причине меньше, чем у диска Iш =

2 mR 2 . 5

♦ Теорема Штейнера. В теоретической механике доказывается, что кинетическую энергию любого движения твердого тела можно представить в виде суммы кинетической энергии центра масс и кинетической энергии вращения тела относительно оси, проходящей через центр масс: 2 mv ЦМ I ω2 K = K ЦМ + K ВР = + 0 . 2 2 Вращение тела c угловой скоростью ω вокруг произвольной оси aa' можно представить как вращение a o вокруг этой оси центра масс и вращение самого тела с этой же угловой скоростью вокруг оси oo', параллельной заданной и проходящей через a′ L o′ центр масс (рис 25). Поэтому, учитыРис. 25 вая, что v ЦМ = Lω , получим: I aa / ω 2

mL2 ω 2 I oo / ω = + ⇒ I aa/ = mL2 + I oo / 2 2 2 Момент инерции тела относительно произвольной оси aa' равен сумме момента инерции центра масс относительно этой же оси и момента инерции тела относительно оси oo', параллельной заданной и проходящей через центр инерции. 2

27

МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 4.2. Механическая работа вращательного движения. Момент силы. Мощность ♦ Вывод формулы механической работы вращательного движения r Пусть тело под действием силы F поворачивается на бесконечно малый угол dϕ . На (рис. A Линия действия силы 26): R — расстояние от оси R вращения до точки прилоr h жения силы, α F α dϕ α —угол между направлеB dS нием перемещения и силой, AB — линия действия силы, Направление перемещения h = R cos α — плечо силы. Элементарная работа Рис. 26 dA = F ⋅ dS ⋅ cos α .

По определению радиана d ϕ = dS / R ⇒ dS = R ⋅ d ϕ . Тогда, dA = F ⋅ R ⋅ cos α ⋅ d ϕ = F ⋅ h ⋅ d ϕ = M ⋅ d ϕ . Элементарная механическая работа вращательного движения равна произведению момента силы M на угловое перемещение dϕ : r r dA = M ⋅ dϕ аналогично, dA = Fdr . Конечная работа получается интегрированием A12 =

ϕ2

∫ M ⋅ dϕ .

ϕ1

r

r ♦ Момент силы M , Нּм — вектор, β r направленный по оси вращения (праr M вило правого винта), и характеризуюF щий силовое взаимодействие тел при плечо h вращательном движении. Он равен произведению силы на плечо (рис 27): Линия действия силы M = F ⋅h. Рис. 27 h — плечо силы — длина перпендикуляра, опущенного от оси вращения на линию действия силы.

28

МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Если на тело действуют несколько моментов сил, то результирующий момент находится векторным сложением этих моментов: r r M = ∑ Mi . i

Угловое ускорение совпадает по направлению с результирующим моментом (рис 27). ♦ Механическая мощность вращательного движения dA Мощность — это скорость совершения работы: N = . dt dA Md ϕ = = Mω . N вр = dt dt r r Таким образом, N вр = Mω аналогично, N = F ⋅ v . 4.3. Второй закон Ньютона для вращательного движения ♦ Используя аналогию формул поступательного и вращательного движения, получаем, что мера взаимоr r r βr действия между телами ( F , M ) должна M быть пропорциональна вызываемому усr r I корению (a , β ) , коэффициентом пропор-

циональности является мера инертности r r тел ( m , I ) , поэтому M = I ⋅ β по аналогии Рис. 28 r r с F = ma . Результирующий момент сил равен произведению момента инерции и углового ускорения (рис 28). Результирующий момент сил определяется по правилу сложения векторов. ♦ Вывод второго закона Ньютона вращательного движения. По теореме о кинетической энергии мощность результирующего момента сил равна скорости изменения кинетической энергии вращающегося тела: dAвр dK вр = ⇒ dAвр = dK вр ⇒ dt dt /

⎛ I ω2 ⎞ 2I ω / Mω = ⎜ ( ω )t ⇒ M = I ⋅ β . ⎟ ⇒ Mω = 2 ⎝ 2 ⎠t 29

МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 4.4. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса ♦ Основной закон динамики вращательного движения Перепишем второй закона Ньютона в следующем виде: r r r r d ω d ( I ω) . M = Iβ = I = dt dt r r Введем L = Iω , кг⋅м2/с — момент импульса тела как меру количества механического движения при вращении, совпадающий по направлению с угловой скоростью. ♦ Моментом импульса системы из N тел, обладающих моментами r инерции I i и скоростями ωi , называется векторная сумма

r N r L = ∑ I i ω i , Тогда i

r r dL M= — основной закон динамики вращательного движения. dt Скорость изменения момента импульса системы тел равна векторной сумме внешних моментов сил. ♦ Закон сохранения момента импульса Если сумма моментов внешних сил равна нулю (замкнутая система тел), то в замкнутой системе тел векторная сумма моментов импульса тел не меняется. N

r

∑I ω i =1

i

i

= const .

Закон сохранения момента импульса является следствием изотропности пространства. Например, свободно вращающиеся маховики (гироскопы, Земля) сохраняют направление оси вращения, так как все направления равнозначны и нет внешних причин для его изменения.

30

МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 4.5. ТАБЛИЦА СООТВЕТСТВИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ поступательное вращательное КИНЕМАТИКА положение тела в пространстве r r (м) — радиус-вектор ϕ (рад) — угловая координата скорость

r r v = d r d t (м/с) — скорость

ω = d ϕ dt (рад/с) — угловая скорость

ускорение r r dv dω a= (м/с2) — ускорение β= (рад/с2) — угловое ускорение dt dt

ДИНАМИКА мера инертности тел m (кг) — масса I (кг⋅м2) — момент инерции мера взаимодействия тел r M = F ⋅ h (Н⋅м) — момент силы F (Н) — сила мера количества механического движения r r L = Iω (кг⋅м2/с) — момент импульса p = m v (кг⋅м/с) — импульс основной закон динамики (второй закон Ньютона) r r M = dL d t F = dP dt r r M = I ⋅β F = ma закон сохранения количества движения N r r P = ∑ m i v i = const L = ∑ I i ω i = const N

i =1

i =1

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ элементарная механическая работа dA = Fdr cos α (Дж) dA = Mdϕ (Дж) мощность N = dA / dt = F v cos α (Вт) N = dA / dt = M ⋅ ω (Вт) кинетическая энергия K = m v 2 2 (Дж) K = I ω 2 2 (Дж) 31

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Глава.5 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ раздел механики, в котором изучается движение тел, чьи скорости соизмеримы со скоростью света. 5.1. Принцип относительности Галилея ♦ Преобразования Галилея Рассмотрим преобразования координат материальной точки М и времени при переходе от одной инерциальной системы к другой (рис. 29). y K y′ K ′ Система K ′ движется вдоль оси ОХ u⋅ t x′ M инерциальной системы K с постоянr x ной скоростью u = const , причем при r u t = 0 координаты точки М совпадают x, x′ в обеих системах отсчета x = x ′ . В Рис. 29 классической механике считается, что время во всех системах отсчета идет одинаково t = t ′ , тогда получаем связь между координатами т. М в системах K и K ′ : x = x ′ + ut , y = y ′ ⇒ r r r r = r′ + u ⋅ t′ и t = t′ . Это преобразования Галилея, позволяющие переходить в классической механике от одной инерциальной системы к другой. r r dr dr ′ r = + u , получаДифференцируя полученное соотношение dt dt ′ ем формулу преобразования скоростей при переходе от одной инерциальной системы к другой: r r r v = v′ + u . Скорость — относительная величина и зависит от выбора системы отсчета. r Дифференцируя еще раз ( du dt = 0 ) , получаем: r r a = a′ . Ускорение не зависит от выбора инерциальной системы отсчета. r r Следовательно, сила взаимодействия F = m ⋅ a будет одинакова в любой инерциальной системе отсчета. При этом предполагается, что масса одинакова во всех системах отсчета m = m ′ . 32

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Принцип относительности Галилея. Механические явления протекают одинаково, а законы механики имеют одинаковый вид в любой инерциальной системе отсчета.

5.2. Принцип относительности Эйнштейна ♦ В классической механике предполагается, что взаимодействие между телами осуществляется мгновенно, а, следовательно, время во всех системах отсчета идет одинаково t = t ′ . Это допущение приводит к классическим преобразованиям Галилея. Однако опыт показывает, что мгновенных взаимодействий не существует. Значит, есть процесс, осуществляющийся с максимальной скоростью, быстрее которой материальные объекты двигаться не могут. Таким процессом является распространение света в вакууме. Его скорость c = 2,998 ⋅ 10 8 ≈ 3 ⋅ 10 8 м/с. ♦ Принцип относительности Эйнштейна Первый постулат В любых инерциальных системах отсчета все физические явления при одних и тех же условиях протекают одинаково. Физические законы имеют одинаковый вид в любой инерциальной системе отсчета. Второй постулат (принцип инвариантности скорости света) Скорость света в вакууме не зависит от скорости источника света. Эти постулаты приводят к изменению классических представлений о времени и пространстве. На их основе Эйнштейном была создана релятивистская (относительная) механика процессов, происходящих со скоростями, близкими к скорости света. Одновременность событий Допустим, что в центре вагона (т. O ), движущегося в системе r отсчета K со скоростью u , вспыхивает лампочка (рис. 30). Событиями здесь являются достиK K′ жение светом передней (событие O B A A ) и задней (событие B ) стенок r u вагона. x , x ′ Система K ′ связана с вагоном, Рис. 30 поэтому в ней вагон покоится, и события A и B происходят одновременно как в классической, так и в релятивистской механике. У 33

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Ньютона события остаются одновременными и в системе K , где вагон движется, так как скорости движения сигнала «вперед» и «назад» становятся различными. В релятивистской механике скорость света не зависит от движения источника света, поэтому событие B происходит раньше, чем событие A . 5.3. Интервал ♦ Событие в механике определяется координатами и временем, где и когда оно произошло. Событие изображается мировой точкой в четырехмерном пространстве, на осях которого откладываются x , y , z , ct . Для простоты будем считать, что y = z = 0 и в начальный момент соабсолютное бытие произошло в мибудущее K система ровой точке 0 (рис. 31). 3 c⋅t При изменении коор2 1 динат и времени мировая точка рисует мировую линию. Например, (рис. 31): абсолютно абсолютно 1. мировая лиудаленные 0 удаленные x ния частицы, покояточки точки щейся в точке x = 0 ; 2. мировая линия частицы, движущейся равномерно абсолютное вдоль оси x со скоропрошлое стью u < c ; Рис. 31 3. мировая линия объекта (например, фотона), движущегося вдоль оси x со скоростью света c . Абсолютно удаленные мировые точки не могут быть причинно связаны с событием 0, так как для попадания в них из 0 надо двигаться со скоростью, большей скорости света, что невозможно. Мировые точки, лежащие в конусах «абсолютное прошлое, будущее» могут быть причинно связаны с событием 0 , являясь либо его причиной («абсолютное прошлое»), либо следствием («абсолютное будущее»). 34

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Интервал. Свойства пространства-времени характеризуются интервалом s12 — расстоянием между двумя мировыми точками (событиями):

s12 = c 2 ( t 2 − t1 ) 2 − ( x 2 − x1 ) 2 − ( y 2 − y1 ) 2 − ( z 2 − z1 ) 2 . 2 ≥ 0 между событиями возможна причинная связь, а если Если s12 2 s12 < 0 — невозможна. Интервал имеет одинаковое значение (т.е. инвариантен) в любой инерциальной системе отсчета.

5.4. Преобразования Лоренца Определяют изменение события при переходе от одной инерциальной системы к другой. В системе отсчета K частица движется со скоростью u вдоль оси 0X. В системе отсчета K ′ , связанной с частицей, частица покоится и ее мировая линия (рис. 31 линия 2) системы K : станет осью ct ′ системы K ′ (рис. 32). Переход от инерциальной сисK − система K ′ − система темы K к K ′ (где частица покоится) сводится в четырехмерc ⋅ t′ c⋅t ном пространстве к повороту оси ct на угол α (рис.32), причем α x = v⋅t tan α = x / ct = ut / ct = β , где β = u / c . x 0 Из геометрических соображений можно получить преобразования x′ Лоренца — связь между старыРис. 32 ми x , y , z , t и новыми x ′, y ′, z ′, t ′ координатами мировой точки: x′ + u ⋅ t ′ t ′ + (u / c 2 ) ⋅ x′ x= , y = y ′, z = z ′, t = , или 1 − β2 1 − β2 x′ =

x − u⋅ t

, y′ = y, z′ = z, t ′ =

t − (u / c 2 ) ⋅ x

1 − β2 1 − β2 Если u << c , то β → 0 и преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. При малых (по сравнению со скоростью 35

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

света) скоростях релятивистская механика переходит в классическую. Дифференцируя преобразования Лоренца по времени, получаем закон сложения скоростей в релятивистской механике:

v′y 1 − β 2 v′z 1 − β 2 v′x + u vx = , vy = , vz = . 1 + uv′x / c 2 1 + uv′x / c 2 1 + uv′x / c 2 ™

Например: dx =

dx ′ + u ⋅ dt ′

1 − β2

, dt =

dt ′ + ( u / c 2 ) ⋅ dx ′

1 − β2 v′x + u v′x + u dx dx ′ + u ⋅ dt ′ dt ′ = = ⋅ = vx = dt dt ′ + ( u / c 2 ) ⋅ dx ′ 1 + ( u / c 2 ) ⋅ v′x dt ′ 1 + uv′x / c 2

При u << c они дают закон сложения скоростей классической r r r механики Ньютона: v = v′ + u . ♦ Лоренцево сокращение длины Из преобразований Лоренца слеK дует, что линейный размер тела, K′ y движущегося относительно инерr y′ циальной системы отсчета K со u r скоростью u , уменьшается в наl0 x′ правлении движения. В направлеx ′2 0′ 1 ниях, перпендикулярных движе0 x′ x1 нию, размеры тела не меняются. x2 x l Свяжем с движущимся стержнем Рис. 33 систему отсчета K ′ (рис. 33):

l 0 = x 2′ − x1′ = ( x 2 − x1 ) / 1 − β 2 = l / 1 − β 2 ⇒

l = l0 1 − β 2 ,

где l 0 — наибольшая длина стержня (в системе K ′ , где стержень покоится), l — длина стержня в системе отсчета K . ♦ Замедление времени События, происходящие в одной точке системы K ′ с интервалом τ 0 = t 2′ − t1′ , в системе K происходят в разных точках на расстоянии x 2 − x1 = u ⋅ τ , где τ = t 2 − t1 — интервал времени между событиями в системе K . 36

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Из преобразований Лоренца следует, что

τ=

τ0

. 1 − β2 Промежутки времени, измеряемые часами, движущимися вместе с объектом, называются собственным временем этого объекта. Неподвижные часы ( τ 0 ) идут быстрее движущихся ( τ ). Все процессы в движущейся системе протекают медленнее, чем в неподвижной (подтверждаются экспериментально). 5.5. Релятивистская динамика ♦ Импульс. Из принципа относительности следует, что запись любого закона физики должна быть одинакова (инвариантна) во всех инерциальных системах отсчета. Поэтому в релятивистской динамике импульс является нелинейной функцией скорости частицы v : r r m0v m0v r p= = . 1 − v2 / c2 1 − β2

Только в этом случае основное уравнение релятивистской динамики остается инвариантным относительно инерциальных систем. r r ⎞ r m0 v dp r d⎛ =F. ⎜ ⎟ = F или dt dt ⎜⎝ 1 − v 2 / c 2 ⎟⎠ ♦ Масса. Новое определение импульса иногда трактуют, как изменение массы движущегося тела: m = m0

1 − v 2 / c 2 , где

m0 — масса покоя. При приближении к скорости света его масса m неограниченно увеличивается, неограниченно растет инертность и энергия необходимая для увеличения скорости, поэтому объекты, имеющие массу покоя, не могут двигаться со скорость света.

37

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ♦ Релятивистская энергия тела определяется формулой E = m0c 2

1 − v 2 / c 2 = mc 2

™ Вывод релятивистской энергии тела. Энергия тела растет за счет работы внешней силы dE = dA . Тогда, r r dpr r drr r r r r r r dE = Fdr = dr = dp = vdp = v( md v + vdm ) = mvd v + +v 2 dm dt dt ⎛ m ⎞ vd v + v 2 ⎟ , так как dE = dm ⎜ dm ⎝ ⎠ m0 m0 , то m= = 12 2 2 1 − v2 / c2 1− v /c

(

)

⎛ ⎞ m0 m0 vd v ⎜ ⎟ . dm = d ⎜ = 12 ⎟ 32 ⎜ 1 − v2 / c2 ⎟ 1 − v2 / c2 c2 ⎝ ⎠ Подставляя, получаем 32 ⎛ ⎞ 2 2 c2 ⎜ m0 vd v 1 − v / c 2⎟ dE = dm ⎜ +v ⎟= 12 ⎜ m0 vd v 1 − v 2 / c 2 ⎟ ⎝ ⎠

(

)

(

((

)

(

(

)

)

)

)

(

)

= dm 1 − v 2 / c 2 c 2 + v 2 = dm c 2 − v 2 + v 2 = c 2 dm m

E = ∫ c 2 dm ⇒ E = mc 2 . 0

и неограниченно возрастает при v → c . Эта формула определяет взаимосвязь массы и энергии. Масса — мера энергии заключенной в телах. Если меняется энергия тела, меняется его масса. E 0 = m0 c 2 можно трактовать, как полную внутреннюю энергию

тела, а K = E − E 0 как его кинетическую энергию.

38

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Глава 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

6.1. Основные понятия ♦ Колебаниями называются процессы в той или иной степени повторяющиеся во времени. Периодическими называются колебания, при которых значения физических величин повторяются через равные промежутки времени. Период колебаний T , с — время одного полного колебания. Частота ν , Гц — количество полных колебаний, совершаемых

за единицу времени. ν = 1/ T . Циклическая ( круговая) частота ω , рад/с — количество полных колебаний за 2π секунд. ω = 2πν = 2π / T . Гармонические колебания — это процессы, в которых физические величины меняются по гармоническому закону (рис. 34): A ( t ) = A0 sin ( ωt + ϕ 0 ) . A0 — амплитуда колебаний —

Гармонические колебания. Начальная фаза ϕ 0 = 0 A

A0 0

π

2π ϕ -фаза

T /2

T

t

максимальное значение колеблющейся величины A . Например, наибольшее отклонение x0 , наибольшая маятника скорость и ускорение маятника ( v0 , a0 ) . ϕ = ( ωt + ϕ 0 ) — фаза колеба-

Рис. 34

ний — определяет значение A

в данный момент времени, ϕ 0 — начальная фаза колебаний — определяет состояние системы в момент старта колебаний. В механике колебания осуществляются маятниками (осцилляторами) — любыми телами, колеблющимися вблизи положения равновесия.

39

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 6.2. Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний ♦ Скорость и ускорение гармонических колебаний Для механических колебаний A( t ) = x( t ) , где x смещение маятника (осциллятора) из положения равновесия. Кинематическое уравнение движения имеет вид: x ( t ) = x0 sin ( ωt + ϕ 0 ) .

Скорость колебаний, по определению, является первой производной смещения по времени: dx v(t ) = = x0 ω cos ( ωt + ϕ 0 ) , dt где x0 ω = v0 — амплитуда скорости. Ускорение определяется второй производной: a (t ) =

d2x dt

2

= − x0 ω 2 sin ( ωt + ϕ 0 ) ,

2

где x0 ω = a0 — амплитуда ускорения. Легко заметить, что

d2x dt

2

= −ω 2 x , или d2x

+ ω2 x = 0 . dt 2 ♦ Дифференциальное уравнение гармонических колебаний Если процесс подчиняется дифференциальному уравнению d2x 2

+ ω2 x = 0 ,

dt то он является гармоническим колебанием x ( t ) = x0 sin ( ω 0 t + ϕ 0 )

с собственной циклической частотой ω0 = ω 2 . Амплитуда x0 и начальная фаза ϕ 0 определяются из начальных условий.

40

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 6.3. Примеры свободных гармонических колебаний ♦ Пружинный маятник — груз массой m на пружине жесткостью k , совершающий колебания под действием возвращающей силы упругости (рис 35). По закону Гука Fупр = − kx , по второму

закону Ньютона m ⋅ d 2 x / dt 2 = Fупр ⇒ m ⋅ d 2 x / dt 2 + kx = 0 ⇒ d2x

k x = 0. m dt Получили уравнение, тождественное (6.2). Значит, колебания пружинного маятника x происходят по гармоническому закону собственной циклической частотой

r Fупр

k

0 Рис. 35 x ( t ) = x0 sin ( ω0 t )

с

2

+

ω0 = k / m и периодом T = 2π m / k .

Положение равновесия

♦ Физический маятник — твердое тело массой m , с моментом инерции I 0 , имеющее ось вращения O , O расположенную выше центра тяжести C (рис. 36). Тело совершает вращательно– колебательные движения под действием ϕ L момента силы тяжести, приложенной в h центре тяжести C C M = − mgh = − mgL sin ϕ . Для малых колебаний h << L , r mg sin ϕ = tan ϕ = ϕ . Таким образом, Рис. 36 M = − mgL ⋅ ϕ . По второму закону Ньютона для вращательного движения I 0β = M ⇒ I 0 d 2 ϕ / dt 2 = − mgL ⋅ ϕ ⇒ d 2ϕ

mgL ⋅ϕ = 0. I0 dt Получили уравнение, тождественное (6.2). Значит, малые колебания физического маятника происходят по гармоническому закону ϕ ( t ) = ϕ 0 sin ( ω 0 t ) 2

+

41

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ с собственной круговой частотой ω 0 = mgL / I 0 и периодом

T = 2π I 0 / mgL .

Положение равновесия

♦ Математический маятник — материальная точка массой m , подвешенная на невесомой нерастяжимой нити L . Предельный случай физического длиной O маятника с моментом инерции I = mL2 (рис ϕ 37). При малых углах ( ϕ < 10o ) колебания маL тематического маятника являются гармоничеC скими. Период колебаний математического маятника (для малых углов) определяется r формулой Гюйгенса T = 2π L / g . Период не mg зависит от массы и амплитуды колебаний (изоРис.37 хронность колебаний). Изохронность колебаний используется для измерения времени. ♦ Превращение энергии при гармонических колебаниях При свободных гармонических колебаниях выполнятся закон сохранения механической энергии: в любой точке траектории сумма кинетической и потенциальной энергий не меняется. Для пружинного маятника: kx 2 kx02 U= = sin 2 ( ωt ) — потенциальная энергия в момент вре2 2 мени t. mv 2 mv02 K= = ⋅ cos 2 ( ωt ) — кинетическая энергия в момент вре2 2 мени t. mv 2 kx 2 kx02 mv02 E = K +U = + = = = const — полная механиче2 2 2 2 ская энергия в любой момент времени одинакова. Для математического маятника: mv2 mv2 E = K +U = + mgh = mgH = 0 = const . 2 2 x0 , x — амплитуда и текущее значение смещения, H , h — максимальная и текущая высота подъема материальной точки, 42

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ v0 , v — максимальная и текущая скорость материальной точки. ™ Общий случай Если в функции потенциальной энергии колеблющейся системы есть минимум в т. x0 = 0 ( U ( x = 0 ) = U min ), ее можно разложить в ряд Тейлора 1 d 2U 2 1 d 3U 3 U ( x) = ⋅x + ⋅ x + ... . 2! dx 2 3! dx 3 Колебания называются малыми, если можно пренебречь всеми 1 d 2U членами, кроме первого, так что U ( x ) = ( 2 )0 ⋅ x 2 . Так как 2 dx dU F =− , то F ( x ) = − k ⋅ x — квазиупругая сила, dx ⎛ d 2U ⎞ а k = ⎜ 2 ⎟ — коэффициент квазиупругой силы. ⎜ dx ⎟ ⎝ ⎠0 Дифференциальное уравнение гармонических колебаний приобd2x

k — собственная циклиM dt ческая частота, M — мера инертности системы, например, масса, момент инерции и др.

ретает вид

2

+ ω 02 x = 0 , где ω 0 =

6.4. Свободные затухающие колебания ♦ Определение. Свободными затухающими называются колебания, механическая энергия которых расходуется на работу против диссипативных сил (сил трения): dAтр = − dE . Амплитуда колебаний уменьшается, колебания затухают. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Для случая малых колебаний в отсутствии сухого трения можно считать, что сила трения равна F тр = −αv = −α ⋅ dx / dt , α — коэффициент сопротивления. Для малых колебаний основной закон динамики будет иметь вид:

(

)

(

)

m d 2 x / dt 2 = −a ( dx / dt ) − kx ⇒ d 2 x / dt 2 + 2δ ( dx / dt ) + ω02 x = 0 , 43

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ где δ = α / 2m — коэффициент затухания, ω02 = k / m — собственная частота свободных колебаний. Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний. выбирается в виде гармонической функx ( t ) A( t ) = x0 e − δt ции x ( t ) = A( t )sin ( ωt + ϕ 0 ) , амплитуда которой A( t ) экспоненциально убывает

t

со временем (рис. 38): A( t ) = x0 e − δt . Циклическая частота определяется фор-

мулой ω = ω 02 − δ 2 . Логарифмическим декрементом затухания θ называется натуральный логарифм отношения амплитуд соседних колебаний в моменты времени t и t + T : A( t ) θ = ln = δT . A(t + T ) Рис. 38

Время релаксации: τ = NT = 1 δ — время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз. N = 1/ θ — количество колебаний, по истечении которых амплитуда колебаний уменьшается в e раз. 6.5. Вынужденные колебания Вынужденные гармонические колебания происходят под действием внешней вынуждающей силы, которая меняется по гармоническому закону: F ( t ) = F0 sin ( Ωt ) , где Ω — циклическая частота вынуждающей силы, F0 — максимальное значение (амплитуда) силы.

Кроме вынуждающей на систему действуют силы Fупр = − kx и F тр = −α ⋅ dx / dt . Установившиеся колебания также являются гармоническими, причем совершаются с циклической частотой вынуждающей силы Ω . Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Для малых колебаний основной закон динамики будет иметь вид: 44

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ m (d 2 x / dt 2 ) = −α(dx / dt ) − kx + F0 sin ( Ωt ) ⇒ d 2 x / dt 2 + 2δ ⋅ ( dx / dt ) + ω 02 x = F0 / m ⋅ sin ( Ωt ) , где δ = α / 2m — коэффициент затухания (6.4), ω02 = k / m — собственная циклическая частота свободных колебаний. Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний выбирается в виде гармонической функции x ( t ) = A sin ( Ωt + ϕ1 ) ,

где tg ϕ1 = −

2δΩ ω 02

− Ω2

— сдвиг фазы между смещением x ( t ) и

вынуждающей силой F ( t ) . Амплитуда колебаний ⎡ A = F0 ⎢ m ⎣

(ω

2 0

2 ⎤ − Ω 2 ) + 4δ 2 Ω 2 ⎥ — зависит от соотношения ω 0 и Ω . ⎦

Анализ амплитуды вынужденных колебаний. Резонанс На рисунке 39 приведены кривые зависимости амплитуды А от цикA лической частоты вынуждающей δ1 = 0 силы Ω (резонансные кривые). δ 2 > δ1 1) При Ω << ω 0 амплитуда δ3 > δ2 A ≈ Aст = F0 / k , что соответствует Aст статической деформации системы ω0 Ω под действием постоянной внешней Рис. 39 силы F0 . 2) При Ω >> ω 0 , A → 0 .

ω 02 − 2δ 2 наступает резонанс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты вынуждающей силы Ω к собственной частоте системы ω 0 (рис.39). Амплитуда увеличивается до тех пор, пока работа сил трения не сравняется с работой внешней силы. При отсутствии трения δ 1 = 0 возрастание амплитуды неограниченно. 3) При Ω =

45

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 6.6. Автоколебания Автоколебательной называется система, совершающая незатухающие колебания за счет ось маятника вода действия источника энеранкер гии, не обладающего косифон лебательными свойствамаятник ми. Например, механические часы, анкерный механизм которых обеспечивает положительную обратную связь постоянгиря ного источника энергии Рис. 40 Рис. 41 (гиря) с маятником (рис 40). На рис.41 показана автоколебательная система с отрицательной обратной связью (сифон). Негармонические колебания совершает уровень воды в сосуде. Обратная связь. Любая автоколебательная система состоит из четырех частей

источник энергии

обратная связь колебательная клапан система Рис. 42

(рис. 42): а) колебательной системы; б) источника энергии, компенсирующего потери энергии; в) клапана – устройства, регулирующего поступление энергии в колебательную систему; г) обратной связи — основного признака автоколебательной системы – устройства для обратного воздействия автоколебательной системы на клапан. Положительная обратная связь "раскачивает", возбуждает систему, отрицательная — возвращает систему в исходное положение. 46

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 6.7. Сложение колебаний ♦ Сложение колебаний одинаковой частоты и направления Гармонические x ( t ) = x 0 sin( ω t + ϕ 0 ) колебания x0 моделируются колебаниями x0 проекции радиусϕ0 ωt вектора амплитуды ϕ=0 t x0 при его вращении с угловой скоростью ω (рис.43). С помощи x0 – вектор амплитуды Рис. 43 векторов амплитуд можно складывать колебания одинаковой частоты и направx02 x03 ления, но разной амплитуды и фазы (рис.44). Из рисунка видно, что x01 2 2 2 x03 = x01 + x02 + ϕ1 x (t ) = + x1 ( t ) = 2 x3 (t ) =

ϕ2

+2 x01 x02 cos ( ϕ 2 − ϕ1 ) . В общем случае амплитуда результирующего колебания x03 будет меняться в пределах

ϕ3

ϕ=0 x 01 sin( ω t + ϕ 1 ) x 02 sin( ω t + ϕ 2 ) x 03 sin( ω t + ϕ 3 )

x01 − x02 ≤ x03 ≤ x01 + x02 . Происходит увеличение или уменьшение результирующей амплитуды. Частота колебаний не меняется. ♦ Биения. (Сложение колебаний близкой частоты и одинакового направления)

Рис. 44

x x1 ( t ) = x0 cos ωt x 2 ( t ) = x0 cos(ω + Δω)t Δω x 3 ( t ) = (2 x0 cos t )cos ωt 2

+

t Рис. 45 47

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Результирующее движение в этом случае можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой (рис. 45) — биения. ♦ Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Рассмотрим материальную точку, участвующую в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, но отличающихся по фазе на ϕ : x = a cos ωt и y = b cos( ωt + ϕ ) или x / a = cos ωt , y / b = cos(ωt + ϕ ) . Это параметрические уравнения траектории. Исключая время , получаем различные типы колебаний. ♦ Линейно поляризованные колебания x y b = ±  ⇒ y = ± x — траектория — прямая линия. ϕ = 0, π : a b a ♦ Эллиптически поляризованные колебания x2 y2 π 3π x y = cos ωt , = m sin ωt  ⇒ 2 + 2 = 1 — траектоϕ= , : a b 2 2 a b рия — эллипс (рис. 46а).

y b

ω 2 = ω1

y b

a x

ω 2 = 2 ω1 a x

Рис. 46 б) а) ♦ Круговая поляризация Если a = b материальная точка движется по окружности радиуса R=a=b. Таким образом, в зависимости от разности фаз двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты траектория меняется от прямой линии до эллипса. В случае рационального отношения частот ω1 и ω 2 траектории движения материальной точки замкнуты и называются фигурами Лиссажу (рис. 46 а,б).

48

УПРУГИЕ ВОЛНЫ Глава 7. УПРУГИЕ ВОЛНЫ 7.1. Основные понятия Бегущей волной называется всякое возмущение (изменение) состояния вещества или поля, распространяющееся в пространстве без переноса элементов среды. ♦ Распространение колебаний в упругих средах происходит за счет упругих волн. Упруго деформированный участок среды, возвращая начальную форму, деформирует соседние участки и т.д. Волны переносят энергию и импульс без переноса вещества. Поперечной называется волна, в которой частицы среды колеблются в направлении, ρ перпендикулярном направлению распростраx v нения волны (наблюдаются только в твердых а) б) Рис. 47 телах, рис.47а). Продольной называется волна, в которой колебание частиц происходит в направлении y λ распространения волны, изменяя плотность среды ρ (наблюдаются в газах, жидкостях и x твердых телах , рис.47б). Рис. 48 Длина волны λ , м — расстояние между двумя ближайшими точками среды, которые колеблются в одинаковой фазе (рис.48). Волновой поверхностью (фронтом волны) называется геометрическое место точек среды, которые колеблются в одной фазе. По форме фронта волны делятся на плоские, цилиндрические, сферические. ♦ Фазовая скорость распространения упругих волн c — скорость движения фронта волны. Она зависит от упругости и плотности среды.

c = B / ρ , где B — модуль объемной упругости, ρ — плотность среды. 49

УПРУГИЕ ВОЛНЫ

♦ Связь длины волны λ со скоростью ее распространения v Длина волны равна расстоянию, которое проходит волна за время, равное периоду колебаний источника волн: λ = c ⋅ T; λ ⋅ ν = c . ♦ Звуковые волны — упругие волны в слышимом диапазоне частот: инфразвук, 16 Гц < слышимый диапазон < 20 000 Гц, ультразвук. Громкость (сила) звука определяется квадратом амплитуды колебаний частицы среды. Высота тона определяется частотой звуковых колебаний: чем больше частота, тем выше тон. 7.2. Уравнение волны. Волновое уравнение ♦ Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ. y( x , t ) Определим смещение ( y ) точек

o

среды в волне в любой точке ( x ) луча

x = ct ′ A Рис. 49

x

ОХ в любой момент времени

(t) .

Источник гармонических колебаний y ( x0 , t ) = A cos ( ωt ) находится в точке

x0 = 0 . Отклонение y ( x , t ) в т. x в момент времени t совпадает

с отклонением источника колебаний в момент времени t − t ′ , y ( x0 , t − t ′ ) . t ′ — время движения волны от x0 до x . Так как x = c t ′ ⇒ t ′ = x / c (рис. 49). Таким образом, самый общий вид уравнения бегущей волны: y ( x , t ) = y( x0 , t − x / c ) .

В случае плоской синусоидальной волны y ( x , t ) = A cos ω( t − x / c ) . ♦ Период колебаний волны T , частота ν , циклическая частота ω , совпадает с периодом, частотой и циклической частотой колебаний источника волн. Действительно, фиксируя точку наблюдения x1 , получаем гармоническое колебание точки среды 50

УПРУГИЕ ВОЛНЫ y ( x1 , t ) = A cos(ωt − ϕ1 ), где , ϕ1 = ωx1 / c = const .

Причем, ω = 2πν = 2π / T . ♦ Пространственный период волны определяет длина волны λ .

Фиксируя время наблюдения t1 , получаем

y( x , t1 ) = A cos( ωt1 − ωx / c ) . y1 ( x , t1 ) = y 2 ( x + λ , t1 ) , тогда

Из определения длины волны ω ( x + λ ) / c − ω x / c = 2π ⇒

λ = 2πc/ω = c/ ν = c ⋅ T . Уравнение плоской синусоидальной волны обычно записывается в виде: y ( x , t ) = A cos(ωt − kx ) , где k = 2π / λ — волновое число. ♦ Волновое уравнение Уравнение плоской синусоидальной волны является решением ∂2 y

волнового уравнения: Действительно, 1 ∂2 y c 2 ∂ 2t

=−

ω2

c2

∂2 y ∂x 2

∂x 2

=

1 ∂2 y

c 2 ∂ 2t

.

= − k 2 A cos(ωt − kx ) ,

A cos(ωt − kx ) = −

=−

( 2π ) 2 λ2

( 2πν ) 2 c2

A cos(ωt − kx ) =

A cos( ωt − kx ) = − k 2 A cos(ω t − kx ) .

7.3. Энергия волны ♦ Плотность энергии волны Волновое движение переносит энергию из одного места пространства в другое. Однако, точки среды, участвующие в передаче энергии, колеблются около положения неизменного равновесия. Все точки тела участвуют в колебании. Поэтому средняя плотность энергии волны (энергия единицы объема), равна

51

УПРУГИЕ ВОЛНЫ w = ρv02 / 2 , где ρ — плотность, v0 = ωA — амплитудное значе-

ние скорости колебаний (6.2) точек среды. Поэтому, w = ρω 2 A 2 / 2 . ♦ Интенсивность волны. I , Вт/м2 — это энергия, переносимая волной за единицу времени (мощность) S = 1, м 2 l = u, м через единицу площади заданной поверхности (рис. 50). 3 V = u, м Скорость переноса энергии называется энергия групповой скоростью u . Для синусоидальной волны фазовая и Рис. 50 групповая скорости совпадают: u = c . За единицу времени волна переносит энергию на расстояние u в объем цилиндра единичной площади и длиной u (рис. 50). Так как w это плотность энергии, то значение интенсивности волны будет равно: I = w⋅u Интенсивность волны имеет смысл потока энергии, проходящего через единицу площади в единицу времени. Поток энергии изображают вектором, направленным вдоль распространения энергии и величиной, равной интенсивности волны. Этот вектор называют вектором Умова.

52

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧАСТЬ 2 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ Глава 8 ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 8.1. Основные понятия и определения ♦ Опытное обоснование основных положений молекулярнокинетической теории. Молекулярно–кинетическая теория объясняет строение и свойства тел движением и взаимодействием атомом, молекул и ионов, из которых состоят тела. 1) Все тела состоят из атомов или молекул. Подтверждается химическими реакциями, прямыми микроскопическими наблюдениями, диффузией (проникновением молекул и атомов одних веществ в промежутки между молекулами и атомами других веществ).

2) Атомы и молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении. Подтверждается диффузией и броуновским движением — хаотическим движением микрочастиц под действием беспорядочных соударений молекул жидкости или газа. На рис.51 изображена траектория броуновской частицы. Рис. 51 3) Молекулы и атомы взаимодействуют между собой. На близких расстояниях отталкиваются, при увеличении расстояния притягиваются, на расстоянии, намного большем диаметра молекул, практически не взаимодействуют. Подтверждается упругими свойствами твердых тел, жидкостей и газов. ♦ Моль ν , моль — мера количества вещества в СИ. В одном моле содержится NА = 6,02 1023 моль–1 (постоянная Авогадро) молекул или атомов. Молярная масса μ , кг/моль — масса одного моля вещества, μ = m0 N A . m0 — масса одной молекулы. μ определяется по таблице Мен-

делеева, например, для углерода μ(C ) = 12 ⋅ 10 −3 кг/моль. Масса одной молекулы m 0 = μ / N A ≈ 10 − 26 кг.

53

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ Размеры молекул и атомов определяются размерами орбиталей внешних электронов и составляют, примерно, 10 –10 м = 1 Å( ангстрем). ♦ Идеальный газ. Считается, что молекулы такого газа состоят из материальных точек, и не взаимодействуют друг с другом на расстоянии. Соударения таких молекул являются абсолютно упругими. ♦ Термодинамические параметры определяют состояние газа.: Р, Па — давление газа на стенки сосуда ( P = Fn / S , где Fn — сила нормального давления, S — площадь действия силы.); V, м3 — объем, занимаемый газом; Т, К (кельвин) — термодинамическая, абсолютная температура. Температура по шкалам Кельвина и Цельсия связаны между собой: Т,К = 273 К + t °C. Абсолютная температура является мерой средней кинетической энергии молекул. ♦ Термодинамическое равновесие — состояние системы, при котором температура и давление в любой точке системы одинаковы. Равновесными называются термодинамические процессы, при которых в любой момент времени в любой точке объема температуру и давление можно считать одинаковыми. Термометры — приборы для измерения температуры. Используют зависимость давления, объема, электрического сопротивления и др. параметров от изменения температуры.

8.2.Уравнение состояния идеального газа ♦ Уравнение состояния определяет связь термодинамических параметров в состоянии термодинамического равновесия и в равновесных термодинамических процессах. ♦ Уравнение состояния идеального газа (МенделееваКлапейрона) определяет связь термодинамических параметров m для идеального газа: PV = RT , μ где R = 8, 31 Дж/(моль ⋅ К) — универсальная газовая постоянная, m — масса газа; μ — молярная масса газа. 54

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Этому уравнению можно придать другой вид, вводя постоянную Больцмана N R k = R / N A = 1, 38 ⋅ 10 −23 Дж/К, тогда P = T⇒ V NA P = nkT , где n = N / V — концентрация молекул. Плотность идеального газа можно определить по формуле: μP ρ= . RT 8.3. Основное уравнение молекулярно–кинетической теории идеального газа (основное уравнение МКТ)

позволяет определить макроскопические термодинамические параметры ( P , T ), исходя из микроскопических представлений о строении и поведении молекул. ♦ Число степеней свободы молекулы i — это количество независимых координат, необходимое для определения положения молекулы в пространстве. Одноатомный газ имеет молекулы, состоящие из z одной материальной точки (рис. 52). Материальная y точка обладает тремя степенями свободы ( i = 3 ), так x как может двигаться вдоль осей X,Y,Z. Рис. 52 Двухатомный газ имеет молекулы, состоящие из двух жестко связанных материальных точек (рис. z 53) и обладает пятью степенями свободы ( i = 5 ): y может двигаться вдоль осей X,Y,Z и вращаться воx круг осей X,Z. (Относительно оси Y момент инерРис. 53 ции молекулы равен нулю). Многоатомный газ имеет молекулы, состоящие из трех и более жестко связанных между собой y материальных точек (рис. 54). Такая молекула, как x любое абсолютно твердое тело, обладает шестью Рис. 54 — тремя степенями свободы (i = 6) поступательными и тремя вращательными.

z

55

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ Средняя квадратичная скорость молекулы u (м/с). За счет хаотичности движений и столкновений кинетические энергии молекул газа близки по значениям. Будем считать, что любая молекула идеального одноатомного газа обладает средней кинетической энергией: m u2 1 m v2 m v2 〈 E 〉 = 0 = ∑ 0 i , где 0 i — кинетическая энергия i – 2 N 2 2

ой молекулы, тогда u =

∑ vi2 / N

— средняя квадратичная ско-

рость молекулы. ♦ Вывод основного уравнения молекулярно–кинетической теории идеального газа Рассмотрим движение n молекул идеz ального одноатомного газа, находящихся в y кубическом сосуде (рис. 55) объемом V = 1 м3, 1м тогда n — численно равно концентрации моx 1м лекул газа. Считаем, что: 1м 1) молекулы между столкновениями со стенРис. 55 ками сосуда движутся равномерно со средней квадратичной скоростью u ; 2) вследствие хаотичности движения молекул вдоль каждой оси координат движется n / 3 молекул; 3) удар молекул о стенку сосуда — абсолютно упругий. По закону сохранения импульса при каждом упругом соударении молекула передает стенке ( y = 0,5 ) r импульс (рис. 56): r m0 u r r r r Δ ( m0 u ) r Δ m 0 u = m 0 u − ( − m 0 u ) = 2m 0 u . − m0 u y За одну секунду молекула совершает u / 2 Рис. 56 таких передач, а переданный импульс станет равным по величине m0 u 2 . Вдоль каждой оси координат движется n / 3 молекул, которые за одну секунду передадут 1м2 поверхности грани куба импульс 1 nm0 u 2 . 3

56

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

По второму закону Ньютона изменение импульса грани куба в единицу времени равно средней силе давления частиц. Так как площадь грани y = 0,5 равна 1м2, эта сила численно равна давлению газа. Поэтому, основное уравнение МКТ 1 P = nm0 u 2 , 3 где n = N / V — концентрация молекул газа, m0 , u — масса и средняя квадратичная скорость молекулы. ♦ Средняя энергия молекулы и температура Основное уравнение МКТ можно переписать в виде: 2 m0 u 2 2 P= n ⇒ P = n 〈 E〉 3 2 3 Сравнивая с уравнением состояния P = nkT , получаем 3 〈 E 〉 = kT . 2 Таким образом, абсолютная температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекулы. ♦ Внутренняя энергия идеального газа U , Дж — это кинетическая энергия поступательного и вращательного движения его молекул. В классической физике вводится закон равнораспределения, согласно которому на каждую степень свободы молекулы 1 приходится одинаковая энергия, равная kT . Поэтому, в общем 2 случае многоатомных молекул внутренняя энергия идеального i i i газа: U = N kT = ν ( N A k ) T = νRT , где i — число степеней 2 2 2 свободы молекулы.

8.4. Закон распределения молекул по скоростям ♦ Распределение молекул по скоростям Максвелла. В параграфе 8.3 мы ввели понятие средней квадратичной скорости, справедливо считая, что скорости конкретных молекул отличаются друг от друга даже в состоянии термодинамического равновесия: u=

∑ vi2 N

=

3kT = m0 57

3 RT . μ

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Максвелл установил закон, определяющий число молекул dn из общего их числа в единице объема n0 , которые обладают при данной температуре T скоростями поступательного движения в интервале от v до v + d v : 3

m v2

0 ⎛ m0 ⎞ 2 − 2 kT ⋅ 4π v 2 d v , где dn = n0 ⎜ ⎟ ⋅e ⎝ 2πk T ⎠

dn dv

dn dv T1 < T2 < T3

0

dn uВ v v + d v v Рис. 57

0

v Рис. 58

m0 — масса молекулы, k — постоянная Больцмана. На рис.57 приведена кривая распределения молекул по скоростям. Число частиц dn со скоростями в интервале от v до v + d v равно площади криволинейной трапеции. Очевидно, что dn , равна концентрации мовся площадь, ограниченная кривой dv лекул газа n0 . С увеличением температуры газа максимум кривой смещается в сторону больших скоростей, а его высота уменьшается (рис. 58). ♦ Наиболее вероятная скорость молекул Из закона распределения молекул по скоростям можно определить наиболее вероятную скорость молекул uB . Решая задачу на ⎡ ⎛ − m0 v 2 ⎞⎤ d экстремум функции ⎢ ⎜ e 2 k T ⋅ v 2 ⎟ ⎥ = 0, ⎢ dv ⎜ ⎟⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ v = uВ 58

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ u В2 e

−

m 0 u В2 2kT

⎛ 2m 0 u В 2 ⎞ 2kT 2 , + ⎜− ⎟ = 0 ⇒ uВ = uВ ⎠ m0 ⎝ 2kT

получаем uв =

2kT 2 RT 2 = =u . Таким образом наиболее m0 3 μ

вероятная скорость молекул меньше средней квадратичной и зависит только от температуры и массы (молярной массы) молекул. Закон максвелловского распределения молекул по скоростям мо−

v2 uВ2

2

⎛ v ⎞ ⎛ v ⎞ ⋅e ⋅⎜ жет быть записан в виде: dn = ⎟ d⎜ ⎟ , где скоπ ⎝ uВ ⎠ ⎝ uВ ⎠ рости молекул v рассматриваются в единицах наиболее вероятной скорости uВ . ♦ Средняя арифметическая скорость молекул определяется интегралом

4n0

1 〈 u〉 = n0

n0

∫ v dn

=

0

8 RT 8 = u⋅ . 3π πμ

Таким образом, существуют три скорости, характеризующие состояние газа: 3 RT RT = 1,73 — средняя квадратичная скорость; u= μ μ

〈 u〉 = uВ =

8 RT RT = 1,60 — средняя арифметическая скорость; πμ μ

2 RT RT = 1,41 μ μ

— наиболее вероятная скорость.

8.5. Барометрическая формула В реальных земных условиях на молекулы газа всегда действует сила тяжести. Тяготение и тепловое движение приводят к тому, что концентрация молекул и давление убывают с высотой. Найдем закон изменения давления газа с высотой. По формуле Паскаля при увеличении высоты на бесконечно малую величину dh , давление газа понизится на dP : dP = −ρg ⋅ dh . 59

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа m Pμ . Тогда, PV = RT и заменим плотность по формуле ρ = RT μ Pμ dP μg dP = − gdh ⇒ dh . =− RT P RT Считая T = const и интегрируя по высоте от 0 до h , получим: P gμ ln =− h , или P0 RT

P = P0e

−

gμ h RT

= P0e

−

gm0 h kT

(барометрическая формула).

Здесь P , P0 — давление газа на высотах h и h = 0 . 8.6. Явления переноса Газообразное вещество представляет собой огромное число мельчайших частиц (молекул) диаметром d ≈ (2 ÷ 5) ⋅ 10 −10 м, пролетающих большие расстояния без соударений (в среднем l ≈ 1000 ⋅ 10 −10 м). Средняя арифметическая скорость равномерного движения молекулы при обычных температурах велика ( u ≈ 500 м/с), поэтому столкновения происходят, в среднем,

через 10 −10 с. Можно считать, что молекулы сталкиваются упруго. ♦ Средняя длина свободного пробега 〈λ〉 , м — это среднее расстояние, которое проходит частица от одного соударения до следующего. Длина свободного пробега зависит от плотности частиц газа n и от размеров молекул. С увеличение этих параметров 〈λ〉 должно уменьшаться. Эффективным диаметром молекулы считается диаметр шарика d , за пределами которого молекула почти не взаимодействует со своими соседями. За единицу времени молекула сталкивается со всеми молекулами-мишенями, центры которых лежат в цилиндре объемом πd 2 ⋅ 〈 u〉 (рис. 59). Тогда средняя частота столкновений равна

〈 Z 〉 = πd 2 〈 u〉 ⋅ n . 60

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

〈 u〉 〈 u〉

молекула-мишень

Рис. 59

d

S=πּd 2

Если учитывать движение молекул–мишеней в цилиндре, то это число увеличивается, так как эффективный диаметр молекулмишеней при этом растет:

〈 Z 〉 = 2 ⋅πd 2 〈 u〉 ⋅ n .

Средняя

длина свободного пробега

〈λ〉 = ( путь за секунду 〈 u〉 ) / ( число столкновений за секунду〈 Z 〉 ) ⇒ 〈λ〉 = 〈 u〉 / 〈 Z 〉 = 1 /( 2 ⋅πd 2 ⋅ n ) . Если учесть, что давление газа P = nkT (8.2), то при одинаковой температуре и различных давлениях, имеем 〈λ 1 〉 ⋅ P1 = 〈λ 2 〉 ⋅ P2 = const = kT /( 2 ⋅πd 2 ) . ♦ Обратимые и необратимые процессы. Необратимыми называются процессы, способные развиваться только в одном направлении. Примерами таковых являются процессы переноса, за счет которых в системе устанавливается термодинамическое равновесие (диффузия, теплопроводность, внутреннее трение). ♦ Диффузия — выравнивание концентрации вещества в объеме системы. Вещество переходит из областей с большей концентрацией (плотностью) в области с меньшей. Диффузия подчиняется закону Фика, который в простейшем случае одномерной диффузии (плотность газа зависит только от одной координаты ρ = ρ( x ) ) записывается в виде: dρ Im = − D , dx dm где I m = — удельный поток массы — масса вещества, dSdt диффундирующего за единицу времени через единицу площади, перпендикулярной направлению переноса вещества; D — коэфdρ фициент диффузии; — градиент плотности — скорость изdx менения плотности в пространстве.

61

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

♦ Теплопроводность — выравнивание температуры в объеме замкнутой системы, при котором теплота переходит только от горячего тела к холодному. Теплопроводность подчиняется закону Фурье, который в случае одномерной теплопроводности (температура газа зависит только от одной координаты T = T ( x ) ) записывается в виде: IQ = − K

dT , dx

dQ — плотность теплового потока — количество тепdSdt лоты (внутренней энергии), которое переносится за единицу времени через единицу площади, перпендикулярной направлению переноса; K — коэффициент теплопроводности (теплопроводность). Теплопроводность численно равна плотности теплового потока при единичном градиенте температуры dT / dx = 1 К/м. где I Q =

♦ Внутреннее трение — выравнивание скоростей молекул системы. Области (слои), имеющие больший импульс (скорость) молекул, за счет соударений передают импульс (скорость) соседним областям (слоям). В результате процессов переноса импульса между областями возникают силы трения, направленные по касательной к поверхности соприкасающихся областей. Эти силы выравнивают скорости слоев. Внутреннее трение подчиняется закону Ньютона: dv τ=η , dn где τ = dF / dS — напряжение трения — сила, касательная к слою и действующая на единицу его площади. Если сила ускоряет слой, то τ > 0 , если тормозит — τ > 0 . η называется динамической вязкостью (коэффициент внутреннего трения). Она численно равна напряжению при d v/dn = 1 с-1 . d v/dn — градиент скорости в направлении внешней нормали к слою газа (жидкости). 62

ТЕРМОДИНАМИКА

Коэффициенты явлений переноса пропорциональны средней арифметической скорости u и средней длине свободного пробега λ . Процессы переноса переводят материю в состояние предельной дезорганизации (хаоса), которым является термодинамическое равновесие. Глава 9 ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ 9.1. Первый закон термодинамики является законом сохранения энергии в термодинамических процессах. ♦ Внутренняя энергия U , Дж — это кинетическая и потенциальная энергия атомов и молекул, из которых состоит тело. Для идеального газа это кинетическая энергия его молекул (8.3). i U = νRT , где i — число степеней свободы молекулы. 2 Внутренняя энергия является однозначной функцией термодинамических параметров T ,V и не зависит от предыстории состояния, поэтому d U является полным дифференциалом. Например, для идеального газа: i d U = νR dT . 2 ♦ Количество теплоты δ Q , Дж — это энергия, передаваемая системе в процессе теплообмена, т.е. без совершения механической работы. Количество теплоты зависит от предыстории состояния. Например, для изменения температуры системы на один градус в различных процессах требуется разное количество теплоты. Количество теплоты не является полным дифференциалом. Его можно определить, зная теплоемкость процесса.

♦ Теплоемкость C , Дж/К — это количество теплоты, необходимое для изменения температуры системы на один градус: C = δQ / d T .

63

ТЕРМОДИНАМИКА Удельная теплоемкость — это теплоемкость одного килограмма вещества. Зависит от строения вещества и температуры: C УД = δ Q / ( m d T ) .

♦ Работа, совершаемая системой при изменении объема δA , Дж — не является полным дифференциалом и зависит от типа термодинамического проS цесса. Элементарная работа (рис. 60) δA = F ⋅ dh = ( P = F / S ) = PSdh ⇒ dh δA = PdV . Работа при конечном изменении объема от P V1 до V2 определяется интегрированием A12 =

Рис. 60

V2

∫ P dV .

Она численно равна площади

V1

криволинейной трапеции на графике P = P (V ) (рис. 61).

A+ > 0

P

A− < 0

P

V

0 V1

V

0 V2

V2 Рис. 61

P

V1 Рис. 62

A = A+ + A− > 0

P

A = A+ + A− < 0

V

V

0 V1

0 V1

Рис. 63 Рис. 64 На графиках стрелками указаны направления процессов. При увеличении объема системы (рис. 61) работа газа положительна, при уменьшении (рис. 62)— отрицательна. В циклических (замкнутых) процессах при возвращении в исходное состояние V1 (рис. 63,64) знак общей работы зависит от направления процесса. 64

ТЕРМОДИНАМИКА

♦ Первый закон термодинамики является законом сохранения энергии в термодинамических процессах: Количество теплоты δQ , сообщенное системе, идет на приращение ее внутренней энергии d U и на совершение системой работы δ A : δQ = d U + δ A . 9.2. Простейшие процессы в идеальных газах ♦ Изохорный процесс происходит без изменения объема (рис. 66, 67): ( V = const ). а)Уравнение состояния. PV = ν RT ⇒ , P = a ⋅ T где a = ν R / V = const . Давление растет прямо пропорционально росту температуры (рис. 65). Диаграммы (графики) изохорного процесса.

P

V1 < V2 T Рис. 65

P

V1 < V2

T

V Рис. 66

V1 < V2

V Рис. 67

б)Первый закон термодинамики. Так как V = const ⇒ dV = 0 ⇒ δA = 0 . Работа в изохорном процессе не совершается, поэтому δ Q = d U . Теплота расходуется на изменение внутренней энергии (нагревание). в)Теплоемкость. По определению изохорная теплоемкость C V = δQ / dT .

Так как δ Q = d U , где U = i νRT , то

2 dU i = νR , а dU = CV dT . CV = dT 2

г)Работа в изохорном процессе не совершается V = const ⇒ dV = 0 , δA = 0 .

65

ТЕРМОДИНАМИКА

♦ Изобарный процесс происходит при постоянном давлении (рис. 69, 70): ( P = const ). а) Уравнение состояния. PV = νRT ⇒ V = b ⋅ T , где

b = νR / P = const . Объем газа растет пропорционально температуре (рис. 68). Диаграммы (графики) изобарного процесса

V P1 < P2 T Рис. 68

T

P1 < P2

Рис. 69

V

P

P1 < P2

Рис. 70

P

б) Первый закон термодинамики. δQ = dU + δA . Теплота расходуется на изменение внутренней энергии (нагревание) и совершение газом работы. в) Работа в изобарном процессе δA = PdV , из уравнения состояния получаем: PdV = νR dT , поэтому δA = νRdT . После интегрирования: A12 = P (V2 − V1 ) или A12 = νR ( T2 − T1 ) . Следствие: универсальная газовая постоянная R численно равна работе одного моля идеального газа в изобарном процессе при изменении его температуры на один градус. г) Теплоемкость. По определению, изобарная теплоемкость C P = δQ / dT . Так как

δQ = C V dT + νRdT , получаем уравнение Майера:

i CP = CV + νR = ( + 1)νR . 2 Изобарная теплоемкость больше изохорной, так как часть теплоты идет на совершение работы.

66

ТЕРМОДИНАМИКА

♦ Изотермический процесс происходит при постоянной температуре ( T = const , рис.73, 74) в контакте T с термостатом. Термостат (рис.71) — устройство для поддержания постоянT ной температуры. Например, организм T теплокровного животного (человека), атмосфера и океаны Земли. T а) Уравнение состояния. Термостат PV = νRT ⇒ , P = d / V , где Рис. 71 d = νRT = const . Давление уменьшается с ростом объема (рис. 72). Диаграммы (графики) изотермического процесса

P

T1 < T2

Рис. 72

V

T1 < T2

P

Рис. 73

V

T

T1 < T2

Рис. 74

T

б) Первый закон термодинамики. По определению, T = const ⇒ dT = 0 ⇒ dU = 0 . Внутренняя энергия идеального газа при изотермическом процессе постоянна. δQ = δA . Теплота расходуется только на совершение газом работы. в) Работа в изотермическом процессе δA = PdV . Интегрируя, V2

V

2 1⎞ 1 ⎛ получим, A12 = ∫ PdV = ⎜ P = νRT ⎟ = νRT ∫ dV ⇒ V⎠ V ⎝ V1 V1

A12 = νRT ln

V2 P = νRT ln 1 . V1 P2

г) Теплоемкость. По определению, C T = δQ / dT . Так как d T = 0 , C T ⇒ ∞ . Изотермическая теплоемкость стремиться к бесконечности.

67

ТЕРМОДИНАМИКА

♦ Адиабатный процесс происходит без теплообмена δQ = 0 . Такой процесс наблюдается в теплоизолированных системах или при быстропротекающих процессах. а) Первый закон термодинамики. δA = − dU — работа совершается за счет уменьшения внутренней энергии, или dU = −δA — внутренняя энергия растет за счет работы внешних сил. б) Уравнение состояния. В адиабатном процессе меняются все термодинамические параметры, следовательно PV = νRT . Для графического отображения адиабатного процесса удобно иметь зависимость P = f (V ) , как в изотермическом процессе. Для ее нахождения воспользуемся уравнением состояния: d ( PV = νRT ) ⇒ PdV + VdP = νRdT , а также первым законом термодинамики: dU = −δA ⇒ CV dT = − PdV . Подставляя dT в первое уравнение, получаем ⎛ νR ⎞ νR P dV + VdP = − PdV ⇒ ⎜ 1 + ⎟ ⋅ PdV = −V dP . CV CV ⎠ ⎝ Так как νR = C P − CV , ⇒ χ dV / V = − dP / P , где χ = C P / C V — показатель адиабаты. Для идеального газа χ = ( i / 2 + 1) /( i / 2) . После интегрирования находим уравнение адиабаты: V2

χ∫

V1

P

2 V P dV dP = −∫ ⇒ χ ln 2 = − ln 2 ⇒ P1V1χ = P2V2 χ = const . V P V1 P1 P 1

Диаграммы (графики) адиабатного процесса (рис.75-77)

P

адиабата

P

V

изотерма

V Рис. 75

T Рис. 76

68

T Рис. 77

ТЕРМОДИНАМИКА

Адиабата проходит круче изотермы. Это связано с повышением температуры при адиабатном сжатии газа. в) Работа в адиабатном процессе δA = − dU ⇒ δA = − CV dT . Интегрируя, получим: T2

A12 = − ∫ C V dT = C V ( T1 − T2 ) = T1

i R ( T1 − T2 ) 2

г)Теплоемкость. По определению, адиабатная теплоемкость C Q = δQ dT .

Так как δQ = 0 , C Q = 0 . Адиабатная теплоемкость равна нулю.

♦ Политропный процесс является обобщением рассмотренных выше четырех процессов. а) Уравнение состояния. PV n = const , где n — показатель политропы. n = 0 — изобарный процесс, P = const . n = 1 — изотермический процесс, T = const . n = χ — адиабатный процесс, δQ = 0 . n = ±∞ — изохорный процесс, V = const . б) Первый закон термодинамики δQ = d U + δ A . PV n −1 в) Работа A12 = 1 1 ⎡⎢1 − (V1 / V2 ) ⎤⎥ . ⎦ n−1⎣ г) Теплоемкость

C=

n−χ

(χ − 1)(n − 1)

νR .

9.3. Второй закон термодинамики определяет направление протекания процессов в замкнутой системе. ♦ Энтропия (приведенное количество теплоты) S , Дж/К — однозначная функция состояния равновесной термодинамической системы (термодинамических параметров), описывает направление протекания процессов в замкнутой термодинамической системе. Как и внутренняя энергия, является полным дифференциалом. По определению, для равновесных процессов: δQ δQ . ∫ dS = ∫ = 0. dS = T T

69

ТЕРМОДИНАМИКА

♦ Энтропия идеальных газов. Для идеальных газов первый закон термодинамики: δQ = CV dT + PdV ⇒ dS = δQ / T = CV dT / T + PdV / T . Из уравнения состояния P / T = νR / V ⇒ dS = CV ⋅ dT / T + νR ⋅ dV / V . Интегрируя, получаем S = CV ln T + νR lnV + const . Конечное изменение энтропии идеальных газов при переходе системы из 1 состояния во 2 состояние:

P

Δ S = S 2 − S1 =

= CV ln ( T2 / T1 ) + νR ln (V2 / V1 ) .

0 V1

V Рис. 78

Для циклических (круговых) равновесных процессов (рис. 78): ΔS = 0, ΔU = 0 .

♦ Принцип возрастания энтропии (второй закон термодинамики). Рассмотрим изменение энтропии в процессах переноса в замкнутой системе. Диффузия. Пусть газ изотермически расширяется в пустоту в системе, состоящей из: 1,2 — заполненной газом и Термостат (3) пустой полости, 3 — термостата (рис.79). (1) (2) Изменение энтропии будет: Замкнутая система

ΔS = νR ⋅ ln

Рис. 79

V1 + V2 > 0. V1

В процессе диффузии энтропия возрастает.

70

ТЕРМОДИНАМИКА Теплопроводность. T1 > T2 ΔQ

T1

T2 Замкнутая система

Рис. 80

Первая подсистема имеет температуру T1 > T2 и отдает теплоту δQ , вторая — принимает теплоту δQ при температуре T2 (рис. 80): δQ δQ ΔS = ΔS1 + ΔS 2 = − + >0. T1 T2 В процессе теплопроводности

энтропия возрастает. Внутреннее трение. В замкнутой системе за счет внутреннего трения механическое движение переходит в тепловое хаотическое движение молекул, температура повышается, поэтому изменение энтропии: ΔS = CV ln(T2 / T1 ) > 0 , так как T2 > T1 . В процессе внутреннего трения энтропия возрастает. Таким образом, энтропия возрастает в процессах переноса. Так как реальные процессы всегда содержат процессы переноса, то В замкнутой системе процессы проходят так, чтобы энтропия не убывала: dS ≥ 0 ( второй закон термодинамики). Энтропия — мера хаоса в системе. Чем больше хаос, тем больше энтропия. ♦ Энтропия и энергия Если система не замкнута, то за счет внешней работы ( −δA) можно понизить энтропию (увеличить порядок в системе): dS =

δQ dU + (− δA) = <0. T T

Например, сжимая и охлаждая газ, можно получить кристаллическое тело с упорядоченным расположением атомов. Из определения энтропии при обратимом изменении состояния системы δQ = TdS , при необратимом процессе δQ < TdS , или в общем случае, TdS ≥ dU + δA . Это неравенство объединяет оба закона термодинамики и является их важнейшим следствием. В частности, из неравенства для обратимого процесса следует: 71

ТЕРМОДИНАМИКА

δA = −(dU − TdS ) ⇒ δA = − d (U − TS ) − SdT ⇒ δA = − ( dF + SdT ) , где F = U − TS — свободная энергия, также являющаяся однозначной функцией состояния системы и мерой работы, которую может совершить система в изотермическом процессе. Действительно, если dT = 0 ⇒ δA = − dF . Из определения свободной энергии U = F + TS . TS называют связанной энергией. Это часть внутренней энергии, которая не может быть превращена в работу в изотермическом процессе. Она увеличивается с ростом энтропии — хаоса в системе. ♦ Статистический смысл второго закона термодинамики Как показывает статистическая физика, энтропия является мерой вероятности состояния системы: S = k ln z , где k — постоянная Больцмана, z — среднее количество способов реализации данного макроскопического состояния (статистический вес). В состоянии термодинамического равновесия энтропия достигает максимального значения. Согласно второму закону термодинамики в этом случае реализуется наиболее вероятное состояние системы. 9.4. Цикл Карно ♦ Круговые процессы или циклы — это процессы, в результате которых система возвращается в исходное состояние. Если при этом совершается положительная работа, цикл называется прямым (по часовой стрелке, рис. 63), а если отрицательная — обратным (против часовой стрелки, рис. 64). Принцип действия тепловых двигателей Тепловой двигатель превращает внутреннюю энергию топлива в механическую энергию (работу). Примеры: паровой, турбинный, двигатель внутреннего сгорания, двигатель Дизеля. Двигатель состоит из нагревателя (котел, камера сгорания), холодильника (теплообменник, атмосфера), рабочего тела (газ, пар).

72

ТЕРМОДИНАМИКА

В рабочем цикле (рис. 81): — рабочее тело получает от нагревателя теплоту Q1 при Нагреватель, T1 температуре Т1; Q1 — рабочее тело, расширяA ясь, совершает работу А1; Рабочее тело (газ) — для возвращения в начальное состояние рабочее Q2 тело отдает холодильнику Холодильник, T2 < T1 остаток теплоты Q2 при температуре Т2 < Т1; Рис. 81 — внешние силы доводят температуру и давление рабочего тела до начальных значений, совершая работу A2 . ♦ КПД теплового двигателя η определяется отношением полезной работы Aп = A1 − A2 к затраченной энергии Q1. Применяя для рабочего тела закон сохранения энергии, получаем: А Q − Q2 Q Aп = Q1 − Q2 , тогда η = п = 1 =1− 2 Q1 Q1 Q1 Тепловые двигатели с обратными циклами называются холодильниками. Для них Q1 < Q2 , Ап < 0 и T2 > T1 . Противоестественный ход тепла (от холодного к горячему) обеспечивается работой внешних сил. ♦ Цикл Карно. Идеальный тепловой двигатель для построения рабочего цикла использует обP 1 ратимые процессы. Например, цикл Карно состоит из двух изоQ1 > 0 терм (1–1/ , 2–2/) и двух адиабат (1/–2, 2/ –1), в которых теплота и 1′ изменение внутренней энергии AП > 0 полностью превращаются в ра2′ боту (рис. 82). Рассмотрим изменение энтро2 Q2 < 0 пии рабочего тела. Общее изменение энтропии в цикле: V 0 Рис. 82 ΔS = ΔS11/ + ΔS1/ 2 + ΔS 22 / + ΔS 2 /1 73

ТЕРМОДИНАМИКА

ΔS = ΔS11/ + ΔS1/ 2 + ΔS 22 / + ΔS 2 /1 Так как мы рассматриваем только обратимые процессы, общее изменение энтропии ΔS = 0 . Q ΔS11/ = 1 — изменение энтропии при изотермическом расшиT1 рении 1–1/. Q1 > 0 (тело принимает теплоту).

ΔS1/ 2 = 0 — адиабатное расширение ( δQ = 0 ) с охлаждением до

температуры холодильника T2 .

ΔS 22 / = −

Q2

— изотермическое сжатие в контакте с холодиль-

T2

ником. Q2 < 0 (тело отдает теплоту).

ΔS 2 /1 = 0 — адиабатное сжатие ( δQ = 0 ) до начального состоя-

ния P1 , T1 ,V1 . Общее изменение энтропии в равновесном цикле

ΔS =

Q1 T1

ηmax = 1 −

+0−

Q2 T2

+0= 0⇒

T2 Q2 = . Поэтому, T1 Q1

T2 — максимальный кпд теплового двигателя. T1

♦ Следствия КПД цикла Карно не зависит от рода рабочего тела. 2. КПД определяется только разницей температур нагревателя и холодильника. 3. КПД не может быть 100% даже у идеальной тепловой машины, так как при этом температура холодильника должна быть T2 = 0 , что запрещено законами квантовой механики и треть1.

им законом термодинамики. 4. Невозможно создать вечный двигатель второго рода, работающий в тепловом равновесии без перепада температур, т.е. при T2 = T1 , так как в этом случае ηmax = 0 . 5.

Тепловые двигатели повышают энтропию замкнутой системы.

74

РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ

Глава 10 РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ

притяжение

равновесие

отталкивание

10.1. Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван–дер– Ваальса). ♦ Силы межмолекулярного взаимодействия а) Молекулы идеального газа (упругие материальные точки) не взаимодействуют друг с другом. Их внутренняя энергия не зависит от расположения молекул и определяется только их кинетической энергией. Такая модель Силы межмолекулярного описывает поведение весьма взаимодействия разряженных реальных газов и плохо работает в области больF отталкивание ших давлений и фазовых переF >0 ходов газ—жидкость. б) Изучение упругих свойства твердых тел и жидкостей показывает, что на близких расстояравновесие ниях ( ~ 3 − 5 диаметров) моле1 2 кулы отталкиваются, на расr 0 F =0 притяжение стояниях ~ 5 − 7 диаметров— F <0 притягиваются, на расстояниях >9 диаметров взаимодействием Рис. 83 молекул можно пренебречь. Силы межмолекулярного взаиПотенциальная энергия модействия имеют электромагвзаимодействия молекул нитную квантовую природу. WП Примерная зависимость сил взаимодействия двух молекул (1 и 2) от межмолекулярного расстояния представлена на рис. 83. На рис. 84 показана зависи1 2 мость потенциальной энергии r 0 двух молекул ( Wп ) от расстояния между молекулами ( r ). Пунктирной линией отмечено Рис. 84 положение равновесия, в котором потенциальная энергия достигает минимума. 75

РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ

Внутренняя энергия реального газа включает кинетическую энергию молекул K и потенциальную энергию их взаимодействия Wп : U = K + Wп = C VT + Wп . Соотношение между потенциальной и кинетической энергией молекулы определяет агрегатное состояние вещества ( K >> Wп у газа, K ≈ Wп у жидкости, K < Wп у твердого тела). ♦ Уравнение состояния реальных газов Уравнение состояния одного моля идеального газа PVμ = RT справедливо и для реальных разряженных газов. Однако, при относительно больших давлениях и низких температурах оно теряет смысл. а) Учтем конечный объем реальных молекул, обозначив его b . Тогда свободный молярный объем уменьшится: Vμ ⇒ Vμ − b , сле-

(

)

P Vμ − b = RT .

довательно

Так

как

при

P → ∞,

(Vμ − b ) = RTP → 0 , Vμ → b — собственный объем молекул. б) Учтем взаимодействие молекул. За счет их взаимного притяжения давление на стенки сосуда уменьшится на P / : RT P= − P / или P + P / Vμ − b = RT . Vμ − b

(

(

)

)(

)

Определим P / . Для этого представим объем газа в виде двух частей (рис. 85) с концентрациями Граница раздела n1 = n2 ~ 1/ Vμ . Силы притяжения пер-

вой и второй частей пропорциональны концентрации молекул в поверхностных слоях у границы раздела, поэтому

P / = a / Vμ2 ,

где

a

—

параметр,

n1

n2 Рис. 85

зависящий только от природы газа. В результате, уравнение Ван–дер–Ваальса принимает вид: ⎛ a ⎞ ⎜ P + 2 ⎟ Vμ − b = RT . ⎜ Vμ ⎟⎠ ⎝

(

)

76

РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ

10.2.Изотермы реальных газов ♦ Идеальный газ Изотермы идеальных газов были получены в P T < T 1 2 (9.2). Газ находится в контакте с термостатом, обеспечивающим постоянство температуры (рис. 86). При сжатии газа его объем уменьшается V обратно пропорционально давлению. Рис. 86

♦ Изотермы реальных газов. Эксперимент

P

P K

PК

B′ B

VB′ VК

T4 T3 TК

C′

C VC Рис. 87

V

3 K ( PК ,VК , TК ) 1 2

T2 T T1

V Рис. 88 На рис. 87 приведены шесть экспериментальных изотерм реальных газов: T1 < T < T2 < TK < T3 << T4 . Если T >> TK — изотерма близка к изотерме идеального газа. Если T < TK — на изотерме появляется горизонтальный участок, например B / C / , на котором сжатие не сопровождается изменением давления. Работа внешней силы идет на изменение потенциальной части внутренней энергии. При этом изменяется фазовое состояние вещества: газ конденсируется, превращаясь в жидкость. В области B B / K C / C существует одновременно и жидкость и газ (пар). При изотермическом сжатии точки C / и B / оп77

РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ

ределяют начало и конец конденсации, а при изотермическом расширении — конец и начало кипения. Точка K называется критической точкой. Для изотерм с T > TK кинетическая энергия молекул так велика, что силы притяжения не могут удержать молекулы вместе. Таким образом, на диаграммах изотерм выделяется три области (рис. 88): 1 — область, в которой вещество существует в виде газа; 2 — область фазового перехода, где газ (пар) существует одновременно с жидкостью; 3 — область, в которой вещество существует только в виде жидкости. В критической точке с параметрами PK ,VK , TK теряется различие между газом и жидкостью.

♦ Изотермы реальных газов. Теория На рис. 89 представлены графики изотерм, полученных из P уравнения Ван–дер–Ваальса. Сравнение с изотермами реK T4 альных газов показывает, что теория хорошо описывает эксперимент не только в области T3 газообразного состояния, но TК F также в областях двухфазного C BE T2 и жидкого состояний. Участок BD изотермы T соответствуD T T1 ет жидкости, нагретой выше V температуры кипения (перегретой жидкости), участок Рис. 89 CF — пересыщенному пару. Это метастабильные состояния, реализующиеся в однородной жидкости или паре. При введении центров конденсации (кипения) происходит бурный фазовый переход. Участок изотермы DEF практически неосуществим. 10.3. Эффект Джоуля — Томсона. Сжижение газов. ♦ Эффект Джоуля — Томсона. Для перехода молекул газа в жидкое состояние надо газ охладить до T < TK и изотермически сжать (рис. 89). 78

РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ

Критические температуры TK для газов достаточно низки: t He = −268°C , t H 2 = −240°C , t Ne = −229°C . Охладить газ можно

за счет адиабатных процессов, в которых работа газа δA совершается за счет уменьшения его внутренней энергии δA = − dU . Например, в теплоизолированной системе газ двигает поршень или вращает турбину. Оказывается, что и без совершения газом полезной работы в адиабатном процессе температура газа может меняться. Изменение температуры газа при адиабатном расширении газа через пористую мембрану (дроссель) без совершения поршень P1 > P2 поршень работы называется эффектом Джоуля — Томсона P1 P2 (рис. 90). Для идеального газа, молекулы которого не взаимодейстдроссель (из пробки) вуют, внутренняя энергия Рис. 90 определяется только кинетической энергией молекул: dU = C V dT . По первому закону термодинамики для адиабатного процесса δA = − dU , поэтому в случае δA = 0 ⇒ dU = C V dT = 0 ⇒ dT = 0 . Изменения температуры газа не происходит. Для реального газа dU = C V dT + dWп = 0 ⇒ dT = − dWп / C V — температура газа меняется. Если в процессе дросселирования потенциальная энергия газа переходит в кинетическую — dT > 0 , газ нагревается (отрицательный эффект Джоуля — Томсона). Если кинетическая энергия переходит в потенциальную— dT < 0 , газ охлаждается (положительный эффект Джоуля — Томсона).

79

РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ

♦ Сжижение газов. газ сжатие

компрессор теплообменник

дроссель сжиженный газ

Рис. 91 жидкость (рис.91).

80

Технология сжижение газа выглядит так: сжатый газ поступает в теплообменник и охлаждается. Затем, расширяясь через дроссель, охлаждается и приобретает атмосферное давление. Если этого не достаточно для конденсации, охлажденный газ поступает в теплообменник, где охлаждает новые порции газа до более низкой температуры. Затем газ сжимается и процесс повторяется. В конце концов, газ превращается в

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА Глава 1. КИНЕМАТИКА 1.1. Кинематические уравнения движения материальной точки 3 1.2. Скорость. 4 6 1.3. Ускорение. 1.4. Равнопеременное движение. 7 9 1.5. Кинематика вращательного движения твердого тела. Глава 2. ДИНАМИКА 2.1. Первый закон Ньютона (закон инерции) 11 12 2.2. Второй и третий законы Ньютона. 2.3. Сохраняющиеся величины 15 2.4. Закон сохранения импульса механической системы. 15 2.5. Центр масс (центр инерции). 16 Глава 3. РАБОТА и ЭНЕРГИЯ 3.1. Работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл. Мощность силы. 17 3.2.Энергия. 19 3.3. Потенциальные кривые 21 3.4. Закон сохранения механической энергии. 23 3.5. Соударения. 24 Глава 4. МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 4.1. Кинетическая энергия вращательного движения. Момент инерции. 26 4.2. Механическая работа вращательного движения. Момент силы. Мощность 28 4.3. Второй закон Ньютона для вращательного движения. 29 4.4. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. 30 4.5. Таблица соответствия поступательного и вращательного движений 31 Глава.5. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 5.1. Принцип относительности Галилея. 32 5.2. Принцип относительности Эйнштейна 33 5.3. Интервал 34 5.4. Преобразования Лоренца. 35 5.5. Релятивистская динамика. 37 Глава 6.МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 6.1. Основные понятия. 39 6.2. Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний 40

81

ОГЛАВЛЕНИЕ 6.3. Примеры свободных гармонических колебаний 41 6.4. Свободные затухающие колебания 43 44 6.5. Вынужденные колебания 6.6. Автоколебания 46 6.7. Сложение колебаний 47 Глава 7. УПРУГИЕ ВОЛНЫ 7.1. Основные понятия 49 7.2. Уравнение волны. Волновое уравнение 50 51 7.3. Энергия волны. ЧАСТЬ 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ Глава 8. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО–КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 8.1. Основные понятия и определения 53 8.2.Уравнение состояния идеального газа 54 8.3. Основное уравнение молекулярно–кинетической теории 55 идеального газа (основное уравнение МКТ). 8.4. Закон распределения молекул по скоростям. 57 8.5. Барометрическая формула 59 8.6. Явления переноса. 60 Глава 9. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ 9.1. Первый закон термодинамики 63 9.2. Простейшие процессы в идеальных газах 65 69 9.3. Второй закон термодинамики. 9.4. Цикл Карно 71 Глава 10. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ 10.1. Уравнение состояния реальных газов (уравнение Ван– 75 дер–Ваальса) 10.2.Изотермы реальных газов 77 10.3. Эффект Джоуля — Томсона. Сжижение газов. 79

82