Введение в теорию распространения света в случайных средах. Ч.1. Определение основных оптических характеристик распространения светового излучения. Уравнение переноса: Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ “МИФИ”

В.С. Ремизович, А.И. Кузовлев

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СВЕТА В СЛУЧАЙНЫХ СРЕДАХ Часть 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ОПТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК РАСПРОСТРАНЕНИЯ СВЕТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2010

УДК 535.361(075) ББК 22.343я7 Р 38 Ремизович В.С., Кузовлев А.И. Введение в теорию распространения света в случайных средах. Ч.1. Определение основных оптических характеристик распространения светового излучения. Уравнение переноса: Учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2010. 244 с. В пособии излагается материал, соответствующий одному из разделов курса “Физическая теория переноса излучения” – распространение светового излучения в случайных средах. В данной части пособия приведены определения основных характеристик оптического излучения. Дан вывод уравнений, описывающих распространение светового излучения в случайных средах. Учебное пособие частично восполняет практически полное отсутствие учебного материала по вопросам курса, одновременно обеспечивая специфическую форму подачи материала именно для студентов дневного отделения НИЯУ МИФИ. При этом предполагается необходимый уровень знаний определенных разделов математики (теории линейных дифференциальных уравнений, теории интегральных преобразований) и теоретической физики (квантовой механики, элементов физической кинетики). При написании пособия авторы стремились к максимально подробному изложению материала, включив многие промежуточные выкладки. Некоторые задачи решены одновременно несколькими способами. Это, несомненно, будет полезно для широкой студенческой аудитории с большой дифференциацией знаний и поможет существенно легче усвоить излагаемый материал. Пособие снабжено богатым иллюстративным материалом, что придает максимальную наглядность излагаемому предмету. Данное учебное пособие может быть полезным для студентов факультетов дневного отделения НИЯУ МИФИ, обучающимся по специальностям “Физика плазмы”, “Физика конденсированного состояния вещества”, “Радиационная безопасность человека и окружающей среды”, а также аспирантам, специализирующимся в области теории взаимодействия излучения с веществом. Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ. Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Калашников Н.П. ISBN 978-5-7262-1259-3 © Национальный исследовательский ядерный университет “МИФИ”, 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие………………..……………..………………….…….…..5 Введение…………..……………..………………………………….….7 Глава 1. Уравнение переноса светового излучения в случайных средах…………………………………………………16 §1. Основные характеристики световых полей в случайных средах…………..…..……..……..………………..…………..…...16 §2. Уравнение для интенсивности света в неупорядоченных средах………....………….……….…………………..…….……..25 §3. Начальное и граничные условия.…….…………….………..37 §4. Связь между нестационарными и стационарными задачами линейной теории переноса светового излучения………………………………………………..…..….....42 Глава 2. Индикатрисы рассеяния в реальных и модельных средах………………………………………………………………....47 §1. Общие соотношения для индикатрис рассеяния на сферических центрах …………..………………………..……....47 §2. Индикатрисы рассеяния в моно - и полидисперсных средах. Формулы Ми …………………………………………….62 §3 Модельные индикатрисы при произвольном угле рассеяния…..………………………………………………….…..75 Глава 3. Распространение излучения от объемных источников в плоских средах…………………………………..…86 §1. Уравнение переноса в средах с плоскими границами при отсутствии внешнего облучения….………………….……..86 §2. Нерассеянное излучение в средах с плоскими границами при наличии объемных источников……………………………….…………………….….92 §3. Интегральная форма уравнения переноса при наличии в плоском слое объемных источников………………………………………………..…..…101 §4. Равновесный спектр в однородной бесконечной среде…………………………………….……………………..…107

3

Глава 4. Распространение излучения при облучении плоских сред широкими световыми потоками……………………...…………………………………….130 §1. Уравнение переноса при наклонном облучении плоского слоя вещества широким световым потоком…………………………………………………………..130 §2. Разложение интенсивности излучения по сферическим гармоникам. Общий случай………………………………….....140 §3. Разложение интенсивности излучения по угловым гармоникам при нормальном падении широкого светового потока………………………………………………..…………...153 §4. Отражение и прохождение излучения через слой конечной толщины. Общие соотношения……..….……….…..159 §5. Одно- и двукратное рассеяние в плоском слое вещества……….....……………………………………………....168 §6. Одно- и двукратное рассеяние в полубесконечной среде……………….………………………………………..…....186 Приложение 1. Традиционный вывод уравнения переноса светового излучения в случайных средах..……….…………...…..198 Приложение 2. Теорема единственности для плоского слоя вещества….………………………………………….………………207 Приложение 3. Вычисление вероятности рассеяния на заданный угол при произвольном числе столкновений (актов упругого рассеяния)………………………….…………..…215 Приложение 4. Теорема оптической взаимности………………...220 Вопросы для самоконтроля………………….……………………..239 Список литературы………………..……………………………..…243

4

ПРЕДИСЛОВИЕ Особенность курса “Физическая теория переноса излучения”, который более двадцати лет читается студентам дневного отделения НИЯУ МИФИ, состоит в том, что с единых позиций линейной теории переноса излагаются как классическая теория распространения светового излучения в случайных средах, так и теория распространения заряженных части. Настоящее пособие является введением в теорию распространения светового излучения в случайных средах и состоит из двух частей. В первой части приведены основные характеристики, описывающие распространение светового излучения в мутных средах. Дан вывод интегродифференциального уравнения, описывающего этот процесс, так называемого транспортного уравнения переноса. Подробно проанализированы начальные и граничные условия к этому уравнению. Показана связь между стационарными и нестационарными задачами теории переноса. Рассмотрены различные реальные и модельные индикатрисы рассеяния, которые являются ядром уравнения переноса. Так как настоящее пособие является всего лишь введением в теорию распространения светового излучения в случайных средах, то во второй части рассмотрены простейшие, точно решаемые задачи теории переноса, такие как распространение света в бесконечной среде, вычисление равновесного спектра светового поля, блуждание фотона в модельной среде с двухнаправленной индикатрисой рассеяния. Также рассмотрена задача об отражении излучения от полубесконечной изотропно рассеивающей среды. Эта задача в теории переноса одна из немногих, которая решается аналитически в квадратурах. Подробно изложено двухпотоковое приближение – наиболее простое приближение в теории переноса. Показано, что даже такое простое приближение при определенных параметрах рассеяния достаточно точно описывает процесс распространения света в мутных средах и позволяет с высокой точно-

5

стью рассчитать не только полный коэффициент отражения, но и угловое распределение фотонов, отраженных от полубесконечной, изотропно рассеивающей среды. При написании пособия авторы стремились к максимально подробному изложению материала, включив многие промежуточные выкладки. Это, несомненно, будет полезно для широкой студенческой аудитории с большой дифференциацией знаний и поможет существенно легче усвоить излагаемый материал. Пособие снабжено большим количеством таблиц, графиков и иллюстраций. Это придает наглядность и облегчает понимание излагаемого материала.

6

ВВЕДЕНИЕ Множество сред как естественного, так и искусственного происхождения содержат беспорядочно распределенные неоднородности различной формы и размера, которые рассеивают и поглощают проходящее через среду электромагнитное излучение. Такие среды называются неупорядоченными или случайными. Прошедшее и отраженное от такой среды световое излучение содержит важную информацию об оптических свойствах и геометрических размерах среды. Исключительно большое значение имеют также параметры световых полей внутри самой среды. В сложном процессе формирования изображения рассеяние света имеет первостепенное значение. С одной стороны, рассеяние света, и только оно, позволяет увидеть предмет. Нерассеивающий предмет не виден. С другой стороны, рассеяние света искажает наблюдаемое изображение. Даже в относительно чистом воздухе вследствие молекулярного и аэрозольного рассеяния дальность видимости ограничена несколькими десятками километров. В условиях тумана или облачности она уменьшается до сотен метров. В морской воде, за счет большой концентрации органических примесей, планктона, взвесей и т.д. дальность прямой видимости может составлять всего несколько метров и меньше. Электромагнитное излучение оптического диапазона широко используется в исследованиях физики Мирового океана, атмосферы Земли и планет солнечной системы, при разработке систем подводного оптического наблюдения, а также для контроля и диагностики биологических тканей человека и животных. Важным свойством оптических методов является то, что они не разрушают объект исследования. Световое поле излучения представляет собой колебания электромагнитного поля с частотой ν и длиной волны λ : λ = ñT = c/ ν . Здесь c – скорость света в среде. Скорость света (а, следовательно, и длина волны) зависит от показателя преломления среды n : c = c0 / εμ = c0 / n . Поэтому более представительной величиной является частота ν . Однако по традиции в оптике видимого излучения принято пользоваться длиной волны λ .

7

Свет в узком смысле – то же, что видимое излучение, т.е. электромагнитные волны в интервале частот, воспринимаемых человеческим глазом: 4 ⋅ 1014 ≤ ν ≤ 7.5 ⋅ 1014 cц ,

т.е.,

400 …м ≤ λ",д ≤ 750…м

D

( 1…м = 10−9 м = 10−6 мм = 0.1 A ). Свет в широком смысле – синоним оптического излучения, который включает кроме видимого, инфракрасное излучение (ИК) и ультрафиолетовое излучение (УФ). Кратко остановимся на основных свойствах ИК- и УФ-излучения. Инфракрасное излучение ИК-излучение отрыто английским ученым Гершелем (1800). ИК-излучение занимает спектральную область между красным концом видимого излучения λ ≈ 740 ÷ 760 …м и коротковолновым радиоизлучением 740 …м ≤ λ ,* ≤ (1 ÷ 2) ⋅ 106 …м . ИК-область спектра обычно условно разделяют на ближнюю ИКобласть, среднюю и далекую ИК-область. Таблица В1. Спектральная область различных ИК- диапазонов ИК-области

λ ,* (…м)

Ближняя

740 ≤ λ ≤ 2.5 ⋅ 103

Средняя

2.5 ⋅ 103 ≤ λ ≤ 50 ⋅ 103

Дальняя

50 ⋅ 103 ≤ λ ≤ 2 ⋅ 106

Оптические свойства веществ в ИК-диапазоне, как правило, сильно отличаются от оптических свойств в видимом и УФдиапазонах. Например, слой воды толщиной в несколько сантиметров не прозрачен для ИК-излучения с λ > 103 …м , т.е. в ближней ИК- области. Поэтому вода часто используется как теплозащитный фильтр. В то же время, чёрная бумага прозрачна в далекой ИКобласти.

8

Проходя через земную атмосферу, ИК-излучение ослабевает в результате двух процессов: рассеяния и поглощения. Азот и кислород воздуха не поглощают ИК-излучение, а ослабляют его лишь в результате рассеяния, которое, однако, значительно меньше, чем для видимого света. Наличие в атмосфере взвешенных частиц (аэрозолей) – дыма, пыли, дымки, тумана приводит к дополнительному ослаблению ИК-излучения в результате рассеяния его на этих частицах. Интенсивность рассеяния зависит от соотношения размеров частиц a и длины волны λ ,* . При малых размерах частиц a << λ ,* (воздушная дымка) ИК-излучение рассеивается меньше, чем видимое излучение. Это используется в ИК-фотографии. Кроме того, молекулы H2O, CO2 , O3 и другие вещества, имеющиеся в атмосфере, селективно поглощают ИК-излучение. Особенно сильно поглощают ИК-излучение пары воды (полосы поглощения H2O расположены почти во всей области ИК-спектра) и молекулы углекислого газа CO2 в средней части ИК-спектра. В приземных слоях атмосферы имеется лишь небольшое число "окон", прозрачных для ИК-излучения. "ОКНА" ПРОЗРАЧНОСТИ АТМОСФЕРЫ ДЛЯ ИК-ИЗЛУЧЕНИЯ, λ , * (…м) 2 ⋅ 103 ≤ λ , * ≤ 2.5 ⋅ 103 , 3.2 ⋅ 103 ≤ λ , * ≤ 4.2 ⋅ 103 , 4.5 ⋅ 103 ≤ λ , * ≤ 5.2 ⋅ 103 , 8 ⋅ 103 ≤ λ , * ≤ 13.5 ⋅ 103 . ИК-излучение используется в научных исследованиях при решении большого числа практических задач в военном деле (теплопеленгация, системы наведения и т.д.). На основе фотокатодов,

чувствительных к ИК-излучению

( λ, * < 1.3 ⋅ 103 …м )

созданы

электронно-оптические преобразователи, в которых невидимое глазом ИК-излучение преобразуется в видимое. На этом принципе построены различные приборы ночного видения. ИК-локаторы и дальномеры позволяют в темноте обнаруживать объекты, температура которых выше температуры окружающего фона и измерять расстояния до них. ИК-локаторы используются также для наземной

9

и космической связи. Фотографии, полученные в ИК-области, обладают рядом особенностей, по сравнению с обычными фотографиями из-за различия коэффициентов рассеяния, отражения и пропускания тел в видимом и ИК-диапазонах. На ИК-снимках часто видны детали, невидимые на обычной фотографии. Ультрафиолетовое излучение УФ-излучение – не видимое глазом электромагнитное излучение, занимающее спектральную область между видимым и рентгеновским излучением: 10…м ≤ λ 3- ≤ 400…м . Область УФ-излучения условно разделяют на две области: ближнюю и далекую (вакуумную). Таблица В2. Спектральная область различных УФ-диапазонов УФ-области

λ 3- (…м)

Ближняя

200 ≤ λ 3- ≤ 400 10 ≤ λ 3- ≤ 200

Далекая (вакуумная)

В далекой области УФ-излучение сильно поглощается воздухом и его исследование возможно только в вакууме. Ближнее УФизлучение открыто в 1801 г. немецким ученым В.И. Риттером и английским ученым У. Волластоном. Вакуумное УФ-излучение, до λ 3- ≈ 130 …м , немецким физиком В. Шуманом (1885-1903), а до λ 3- ≥ 25 …м английским физиком Т. Лайманом (1924). Промежу-

ток между вакуумным УФ-излучением и рентгеновским излучением подробно изучен к 1927г. При взаимодействии УФ-излучения с веществом могут происходить ионизация атомов вещества и фотоэффект. Фотоэффект (ФЭ) – испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения – был открыт Г. Герцем (1887) и экспериментально исследован А.Г. Столетовым (1888) и Ф. Ленардом (1899). Первое теоретическое объяснение ФЭ дал А.Эйнштейн (1905). Большой вклад в теоретическое и экспери-

10

ментальное исследование ФЭ внесли А.Ф. Иоффе (1907) и И.Е. Тамм (1931). ФЭ – чисто квантовое явление. Свободный электрон не может поглотить фотон, так как при этом не могут быть соблюдены одновременно законы сохранения энергии и импульса. Поэтому ФЭ возможен только благодаря связи электрона с атомом или с конденсированной средой. При ФЭ на отдельном атоме первичным актом является поглощение фотона и ионизация атома с образованием фотоэлектрона. Таким образом, при ФЭ фотон исчезает как физический объект, но зато появляется новая частица – фотоэлектрон. Связь в атоме характеризуется энергией ионизации Ei . Закон сохранения энергии при ФЭ на отдельном атоме выражается соотношением Эйнштейна: Ee = =ω − Ei , где Ee – кинетическая энергия фотоэлектрона, = – постоянная Планка, ω = 2πν – циклическая частота. Эффективное сечение фотоэффекта σΦ ( ω) сначала растет с ростом энергии кванта =ω , а затем, когда величина =ω становится больше энергии связи электронов на внутренней K оболочке атома, так что электроны можно считать практически свободными, начинает уменьшаться. Величина σΦ ( ω) ~ Z5 , где Z – порядковый номер атома вещества. Оптические свойства веществ в УФ-диапазоне, как правило, сильно отличаются от оптических свойств в видимом и ИКдиапазонах. Например, обычное стекло непрозрачно при λ 3- ≈ 320 …м . В более коротковолновой области прозрачны лишь увиолевое стекло, сапфир, фтористый магний, кварц, фтористый литий (имеет наиболее далекую границу прозрачности – до λ óô ≈ 105 íì ) и некоторые другие материалы. Воздух практически непрозрачен для УФ-излучения при λ 3- < 185 …м из за поглощения кислородом. Естественными источниками УФ-излучения является Солнце, звезды, туманности и другие космические объекты. Однако только длинноволновая часть их УФ-излучения ( λ 3- > 290 …м ) достигает земной поверхности. Более коротковолновое УФ-излучение поглощается на высотах 30 − 200 *м , что играет большую роль в ат-

11

мосферных процессах. УФ-излучение звезд и других космических тел в интервале длин волн 20 …м ≤ λ 3- < 91.2 …м практически полностью поглощается межзвездным водородом. Искусственными источниками УФ-излучения являются твердые тела, с температурой T ≥ 3000 K . Более мощным источником УФизлучения является любая высокотемпературная плазма. Для различных применений УФ-излучения используются ртутные, ксеноновые и другие газоразрядные лампы, колбы которых изготовляются, как правило, из кварца. Существуют лазеры УФ-излучения. Наименьшую длину волны ( λ 3- = 38 …м ) испускает лазер с умножением частоты. Для регистрации УФ-излучения при 230 …м < λ 3- < 400 …м , используются обычные фото материалы. В более коротковолновой области к УФ-излучению чувствительны специальные маложелатиновые фотослои. Используются также фотодиоды, ионизационные камеры, счетчики фотонов, фотоумножители и т.д.. Эти приборы используют ионизацию атомов УФ-излучением и фотоэффект. Различные люминесцирующие вещества позволяют преобразовывать УФ-излучение в видимое излучение. На основе этих материалов создаются специальные приборы для визуализации изображения в УФ-диапазоне излучения. УФ-излучение находит самое различное применение в науке и технике. Изучение УФ-спектров испускания, поглощения и отражения позволяют изучать электронную структуру атомов, молекул, ионов, твердых тел. УФ-спектры Солнца и других космических объектов позволяет получать важную информацию о физических процессах, происходящих в горячих областях этих объектов. На основе фотоэффекта под воздействием УФ-излучения основана фотоэлектронная спектроскопия. УФ-излучение может нарушать химические связи в молекулах, за счет чего возникают принципиально новые фотохимические реакции, что послужило основой для фотохимии. Способность различных веществ к избирательному поглощению УФ-излучения используется для обнаружения вредных примесей в атмосфере (проблемы диагностики атмосферы в рамках экологических исследований), а также в УФ-микроскопии, УФ-криминалистики и искусствоведении.

12

Из сказанного выше становится ясным огромное многообразие взаимодействия электромагнитного излучения с веществом и всё многообразие процессов, происходящих в различных средах при распространении в них излучений различных длин волн. Практически не представляется возможным в рамках одного пособия охватить все перечисленные выше процессы и связанные с ними многочисленные эффекты. Поэтому ниже выделен в качестве объекта исследований только процесс распространения видимого излучения (света) в случайно-неоднородных средах. При этом предполагается, что взаимодействие видимого излучения с веществом определяется только двумя процессами – упругим рассеянием фотонов на хаотически распределенных рассеивающих центрах и поглощением света в веществе. Более тонкие эффекты, связанные с когерентностью рассеиваемого излучения и с поляризацией света, в настоящем пособии не рассматриваются. Прежде чем приступить к систематическому исследованию процесса прохождения световых потоков в случайных средах, представляется целесообразным дать краткую историческую справку о том, кем и когда были получены первые результаты по расчету характеристик световых полей в случайных средах. Другими словами – изложить начало развития раздела физики, которое получило название теории переноса светового излучения (транспортная теория светового излучения). Для нахождения светового поля как в самой рассеивающей среде, так и выходящего из среды излучения необходимо решить транспортное уравнение Больцмана (уравнение переноса) для интенсивности излучения, дополненное соответствующими граничными условиями. Транспортное уравнение переноса представляет собой линеаризованное кинетическое уравнение Больцмана для системы, состоящей из частиц двух сортов – движущиеся фотоны и рассеивающие центры, которые в подавляющем большинстве случаев считаются неподвижными. Само кинетическое уравнение для молекул газа было сформулировано Больцманом в 1872 году. Однако теория переноса света в неупорядоченных средах возникла независимо от Больцмана, в основном благодаря трудам русского ученого профессора Санкт-Петербургского университета Хвольсона (1852-1934) и, независимо, Ломмеля (1837- 1899). В их работах

13

было впервые сформулировано интегральное уравнение с Λ оператором (т.е. интегральное уравнение с разностным ядром) для определения плотности световой энергии ρ ( z ) на глубине z при изотропном законе однократного рассеяния в плоском слое конечной (или полубесконечной) толщины, на который падает широкий стационарный световой поток. Фактически, ими было впервые сформулировано одно из основных уравнений астрофизики и нейтронной физики. Не имея в то время в своем распоряжении методов решения такого рода уравнений, Хвольсон и Ломмель решали полученное ими уравнение методом итераций по числу актов рассеяния. Выражение для интенсивности однократно рассеянного света от плоской среды, называется законом Ломмеля – Зеелигера. Однако, в отличие от Ломмеля, Хвольсон не ограничивается изучением вклада в поле излучения актов однократного и двукратного рассеяния. Он также рассматривает асимптотическое поведение решения в глубоких слоях, т.е. впервые исследует так называемый глубинный режим, когда имеет место экспоненциальное затухание светового поля – ρ ( z ) ~ exp ( −λ0z ) , где λ0 – глубинный показатель затухания. В те годы в физике безраздельно господствовали дифференциальные уравнения. Основополагающие работы Вольтера (1896), Фредгольма (1903), а также Шмидта (1907) и Гильберта (1912) по интегральным уравнениям были ещё впереди. Хвольсон же не только использует интегральное уравнение для решения физической задачи, которое в принципе не может быть сведено к дифференциальному уравнению, но и изучает вопрос об асимптотическом поведении решения! Уже тогда им было сформулировано уравнение для определения глубинного показателя ослабления λ0 , которое имеет первостепенное значение не только в теории распространения светового излучения, но и в нейтронной физике. Впервые в истории теории переноса им было показано, что асимптотическое решение уравнения переноса для слоя вещества конечной толщины 0 ≤ z ≤ L вдали от границ определяется решением однородного уравнения для полного пространства −∞ < z < ∞ . Однако в то время работы Хвольсона и Ломмеля прошли почти не замеченными. Интегральные уравнения с Λ -оператором вновь

14

появились спустя четверть века в связи с задачами о переносе светового излучения в атмосферах Земли и Солнца. Вторым рождением они обязаны Карлу Шварцшильду – выдающемуся астрофизикутеоретику1. О работах Хвольсона и Ломмеля Шварцшильд не знал. Он указал более простой способ вывода уравнения с Λ - оператором, основанный на формальном решении интегродифференциального уравнения переноса Больцмана. Поэтому его фундаментальная работа на долгое время стала стандартной ссылкой. Другой выдающийся ученый, Милн (1921), в связи с изучением солнечной атмосферы, ввел и затем исследовал однородное интегральное уравнение для непоглощающей (консервативной) полубесконечной среды. Поэтому неоднородное интегральное уравнение с Λ - оператором для полубесконечной среды обычно называют уравнением Шварцшильда – Милна. Решение проблемы Милна (т.е. фактически уравнения Хвольсона) было получено лишь спустя полвека методом Виннера – Хопфа. Однако современные исследователи не предали забвению работы Хвольсона. Так, в известнейшей монографии Ван де Хюльста (1980), которая является настольным пособием многих исследователей, имеется конкретная ссылка на работу Хвольсона, касающаяся вопроса об определении глубинного показателя затухания.

1

В 1916г. им было найдено точное решение уравнений тяготения Эйнштейна для сферически-симметричного случая – отсюда гравитационный, или шварцшильдовский радиус.

15

Глава 1. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА СВЕТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛУЧАЙНЫХ СРЕДАХ §1. Основные характеристики световых полей в случайных средах В отличие от строгой теории, исходящей из уравнений Максвелла для электромагнитного поля, классическая теория переноса светового излучения обычно оперирует только с переносом энергии в среде, не учитывая когерентные эффекты, связанные с интерференцией и дифракцией электромагнитных волн. Когерентными эффектами при многократном рассеянии можно пренебречь при соблюдении следующих условий: во-первых, рассеивающие центры должны быть расположены хаотично, во-вторых, расстояние между ними должно быть значительно больше длины волны. При соблюдении этих условий рассеяние на углы, большие некоторого критического значения угла γ0 << 1 , будет не когерентно. Полная когерентность, которая всегда имеет место при рассеянии вперед, (если ей специально не интересоваться) несущественна, так как энергетический вклад области углов рассеяния, для которых имеет место этот эффект, оказывается малым. Эффекты дифракции и интерференции в уравнении переноса учитываются только при описании характеристик рассеяния и поглощения на отдельных рассеивающих центрах. В пособии не рассматриваются также и поляризационные эффекты, т.е. изучается распространение “скалярного” светового излучения. Основная энергетическая характеристика поля излучения – G G G спектральная интенсивность излучения: Iλ r ; Ω; t . Здесь Ω – G G единичный вектор импульса фотона: Ω = p / p . Именно этот термин используется в общей физике и при теоретическом рассмотрении распространения излучения в среде. Величина G G G G dWλ r ; Ω; t = Iλ r ; Ω; t d λd Ωd Σdt (1.1.1)

(

(

)

(

)

)

представляет собой среднее количество световой энергии в диапазоне длин волн λ ÷ λ + d λ , которая протекает через площадку dΣ G в точке r , ориентированную перпендикулярно к направлению рас-

16

G пространения фотонов Ω , в интервале телесных углов dΩ и в интервале времен t ÷ t + dt . Размерность спектральной интенсив-

ности излучения – [ Iλ ] = d›/c) м3 =b2/м3 . Обычно постоянная времени приемников оптического излучения значительно больше периода световых колебаний ( T = 1 / ν ~ 10−15 c ), а их линейные размеры больше длины волны Δl >> λ . Поэтому dWλ есть величина, фактически осредненная за время наблюдения t…=Kл >> T , когда размеры площадки dΣ >> λ2 . Таким образом, поле излучения полностью определяется заданием спектральной интенсивности излучения (1.1.1). Задачи о распространении излучения в веществе можно разделить на два класса. К первому относятся процессы, когда можно пренебречь изменением частоты излучения при его распространении в веществе – монохроматическое рассеяние. Именно с исследования монохроматического рассеяния началось развитие теории переноса и довольно долго именно оно оставалось основным (и единственным) объектом изучения. Предположение о монохроматичности рассеяния является достаточно хорошим приближением при рассеянии света на флуктуациях молекул в газах и при рассеянии на макроскопических частицах. С высокой точностью оно выполняется при изучении распространения светового излучения в атмосфере Земли и других планет, водах Мирового океана и т.д.. Ко второму классу относятся процессы, когда существенно перераспределение излучения по частотам. Подобная ситуация возникает при распространении излучения в резонансной среде, когда за счет процессов столкновений происходит уширение контура спектральной линии, а также в плазме (астрофизика звезд). В настоящем пособии исследуются процессы только первого типа, когда можно пренебречь изменением частоты излучения. Поскольку при монохроматическом рассеянии частота не изменяется, то её значение можно рассматривать как постоянный параметр и световое поле излучения данной частоты (длины волны) рассматривать независимо от полей излучения на других частотах. В процессе измерений реально регистрируется поток световой энергии в конечном диапазоне длин волн Δλ = λ2 − λ1 . Величина

17

λ2 G G G G I r ; Ω; t = ∫ Iλ r ; Ω; t dλ

(

)

λ1

(

)

(1.1.2)

называется интенсивностью (яркостью) излучения в заданном диапазоне длин волн или просто интенсивностью. Таким образом, G G величина I(r ; Ω; t) представляет собой средний поток световой G энергии через единичную площадку в точке r , ориентированную G перпендикулярно к направлению движения фотона Ω в единицу времени. Размерность интенсивности излучения

[I ] = d›/м2 )

“= b2/м2 . Интенсивность излучения является фундаментальной характеристикой светового поля. Её вычисление является основной задачей линейной теории переноса “скалярного” светового излучения, когда не учитываются когерентные эффекты и эффекты, связанные с поляризацией света. Интенсивность излучения связана с функцией распределения G G (фазовой плотностью фотонов) простым фотонов f r ; Ω; t

(

соотношением:

)

G G G G I(r ; Ω; t) = =ωcf r ; Ω; t .

(

)

(1.1.3)

G G Величина f r ; Ω; t d3 rd Ω – среднее число фотонов в момент G времени t в объеме d3 r в окрестности точки r , которые G распространяются в направлении Ω в интервале углов dΩ . Справедливость соотношения (1.1.3) легко доказывается следующим образом. G K Рассмотрим площадку dΣ в точке r , ориентированную G перпендикулярно к произвольному направлению Ω (рис.1.1.1). G Число фотонов, которые распространяются в направлении Ω и пересекают эту площадку в единицу времени, будет равно числу фотонов в прямоугольном параллепипеде с основанием dΣ и длиной ребра, численно равной скорости света c , т.е. равно G G величине cf r ; Ω; t d Σ . Поскольку энергия каждого фотона есть

(

)

(

)

18

G =ω , то средний поток световой энергии в направлении Ω через эту G G площадку в единицу времени будет равен =ωcf r ; Ω; t d Σ .

(

)

G G dΣ Ω

c

G r

G c O Рис.1.1.1. Площадка с нормалью G фотона в точке r

G G dΣ . Ω – направление распространения

С другой стороны, та же величина, по G G интенсивности, есть I(r ; Ω; t)d Σ , т.е. G G G G =ωcf r ; Ω; t d Σ = I(r ; Ω; t )d Σ .

(

определению

)

Отсюда и получается соотношение (1.1.3). Таким образом, интенсивность излучения (яркость светового поля) полностью описывает структуру светового поля в среде. Важной энергетической характеристикой светового поля G являются средняя плотность энергии светового поля ρ ( r ; t ) G G ρ = =ω ∫∫ f r ; Ω; t dΩ .

(

4π

)

Поскольку в соответствие с формулой (1.1.3) G G G G =ωf r ; Ω; t = I(r ; Ω; t) / c ,

(

)

получаем

19

1 G G G ρ ( r ; t ) = ∫∫ I r ; Ω; t dΩ , [ρ] = d›/м3 . (1.1.4) c 4π Полная энергия светового поля в произвольном объеме V в момент времени t определяется обычным образом: G WV ( t ) = ∫∫∫ ρ ( r ; t ) dV . (1.1.5)

(

)

V

Рассмотрим произвольно ориентированную площадку dΣ с G G G G нормалью n dΣ = dΣn в окрестности точки r (рис. 1.1.2).

(

)

G n ϑ G Ω G r

O Рис.1.1.2. Единичная площадка с нормалью

G n

Рассмотрим интеграл π/2 2π G G j+ = ∫ d ϕ ∫ cos ϑI r ; Ω; t sin ϑd ϑ . 0

0

(

)

(1.1.6a)

G Здесь ϑ – угол между направлением распространения фотонов Ω в G G точке r и нормалью n = ( θn , ϕn ) cos ϑ = cos θ cos θn + sin θ sin θn cos ( ϕ − ϕn ) . Интеграл в формуле (1.1.6а) берется по полусфере 0 ≤ ϑ ≤ π / 2 . Величина j+ называется облученностью, или односторонним по-

20

G током лучистой энергии в направлении n . Формулу (1.1.6а) можно записать в виде G G G G G j+ ( r ; t ) = ∫∫ I r ; Ω; t n, Ω d Ω , (1.1.6b)

(

ϑ≤π/2

)(

)

G где Ω – направление распространения фотона. Аналогичный интеграл по полусфере π / 2 ≤ ϑ ≤ π равен потоку лучистой энергии в отрицательном направлении нормали к поверхности площадки: G G G G G j− ( r ; t ) = − ∫∫ I r ; Ω; t n, Ω d Ω = ϑ≥π/2

=

(

)(

)

(1.1.7)

G G

∫∫ I ( r ; Ω; t ) cos ϑ d Ω.

ϑ≥π/2

Величины j+ и j− всегда положительны. Разность односторонних потоков лучистой энергии j+ ( r; t ) и j− ( r; t ) представляет собой полный поток лучистой энергии через произвольно ориентированную единичную площадку: G G G j ( r , t ) = j+ ( r , t ) − j− ( r , t ) . (1.1.8) В отличие от величин j+ и j− величина j является величиной алгебраической. Если j > 0 , то это означает, что односторонний поток лучистой энергии j+ больше, чем j− . Подставляя в (1.1.8) значения j+ и j− определяемые формулами (1.1.6), получим G G G G G j ( r, t ) = ∫∫ I r ; Ω; t cos ϑd Ω + ∫∫ I r ; Ω; t cos ϑd Ω , ( ϑ≤π/2) ( ϑ≥π/2) т.е. G G G G G G G j ( r , t ) = ∫∫ I r ; Ω; t cos ϑd Ω = ∫∫ I r ; Ω; t n, Ω d Ω , 4π

(

)

(

)

(

4π

(0 ≤ ϑ ≤ π ) .

(

)

)(

)

(1.1.9) Здесь учтено, что cos ϑ имеет разные знаки в полусферах. Поэтому полный поток энергии через единичную площадку в направлении G нормали n равен интегралу по всему телесному углу 4π относиG тельно направления n . Из формулы (1.1.9) следует, что если

21

G G площадка dΣ в точке r ориентирована произвольным образом, то величина G G G G G G G G I(r ; Ω; t) ΩdΣ = I(r ; Ω; t) n, Ω dΣ (1.1.10)

(

)

(

)

есть поток лучистой энергии, распространяющейся в направлении G G Ω , проходящей через площадку dΣ в единицу времени. Интегрируя это выражение по всем направлениям движения фотонов, получим значение потока лучистой энергии, проходящей через

G dΣ во всех направлениях в единицу времени: G G G G G G G G dW ( r ; t ) = ∫∫ I ( r ; Ω; t )( Ω, dΣ ) dΩ = j ( r ; t ) dΣ .

площадку

(1.1.11)

4π

В формуле (1.1.11) введено обозначение G G G G G j ( r ; t ) = ∫∫ ΩI r ; Ω; t dΩ ; 4π

(

)

[ j ] = b2/м2 .

(1.1.12)

G G По определению, вектор j ( r ; t ) называется плотностью потока

G

световой энергии в точке r в момент времени t . Таким образом, G G G величина j ( r ; t ) dΣ есть средний поток световой энергии, прохоG K дящей через площадку dΣ в точке r в единицу времени во всех направлениях. Поток световой энергии, проходящей через произвольную поверхность Σ (во всех направлениях) в единицу времени будет G G определяться потоком вектора j ( r ; t ) через эту поверхность: G G G JΣ ( t ) = ∫∫ j ( rΣ ; t ) d Σ . (1.1.13a)

G Σ Направление вектора dΣ совпадает с направлением внешней норG G G мали n Σ к поверхности Σ : d Σ = nΣ d Σ . Значение интенсивности в G формуле (1.1.13а) естественно берется в точках rΣ , на поверхности Σ . Если поверхность Σ V замкнута и ограничивает некоторый объем V , то величина G G G G JΣV ( t ) = w (1.1.13b) ∫∫ j ( rΣ ; t ) dΣ = w ∫∫ jn ( rΣ ; t ) dΣ ΣV

ΣV

22

определяет поток лучистой энергии через поверхность объема V . Величина JΣ V является величиной алгебраической. Если JΣ V > 0 , то в единицу времени через поверхность Σ V из объема V вытекает больше энергии, чем втекает за единицу времени. Формулы (1.1.4) и (1.1.12) позволяют определить основные G G G энергетические характеристики поля ρ ( r ; t ) и j ( r ; t ) , если изG G вестно значение интенсивности излучения I r ; Ω; t .

(

)

Если когерентными и поляризационными эффектами можно пренебречь, то оптические свойства среды определяются тремя основными величинами: 1. Коэффициент истинного поглощения (absorption) κ = na σa : na – концентрация поглощающих центров; σa – полное сечение поглощения на одном центре. Размерность коэффициента поглощения [ κ] = 1 / м . 2. Показатель рассеяния (scattering) σ = n !=“ σ!=“ : n!=“ – концентрация рассеивающих центров; σ3C! – полное сечение упругого рассеяния на одном рассеивающем центре (физически бесконечно малом объеме). Размерность показателя рассеяния [ σ ] = 1 / м . В большинстве случаев процессы поглощения и рассеяния происходят на одних и тех же физических объектах. Поэтому na = n!=“ = n0 – концентрация рассеивающих центров. Величины, обратные κ и σ : la = 1 / κ , l = 1/ σ , (1.1.14) имеют простой физический смысл. Величина la – есть средняя

длина поглощения фотонов, а величина l – средняя длина свободного пробега, т.е. среднее расстояние между двумя последовательными актами упругого рассеяния. Сумма величин κ и σ называется коэффициентом экстинции ε: ε = κ + σ. (1.1.15) Коэффициент экстинции также имеет размерность обратной длины: [ ε ] = 1 / м .

23

Величины κ и σ могут быть различными в разных точках веG G щества: κ = κ ( r ) , σ = σ ( r ) . Такие среды называются неоднородными. Во многих случаях величины κ и σ одинаковы во всех точках рассеивающей среды: κ = const и σ = const . Такие среды называются однородными. В дальнейшем, если это не оговаривается особо, будем изучать распространение светового излучения только в однородных средах. Важнейшей характеристикой процесса взаимодействия фотонов с рассеивающими центрами является вероятность выживания кванта Λ : σ σ Λ= = ≤ 1. (1.1.16) ε κ+σ Величину Λ называют также альбедо однократного рассеяния. (Часто в литературе по распространению светового излучения вероятность выживания кванта обозначается буквой ω .) Если поглощение отсутствует ( κ = 0 ) , то такая среда называется консервативной. В консервативной среде Λ = 1 . В абсолютно поглощающей среде ( κ → ∞ ) величина Λ = 0 . Таким образом, вероятность выживания кванта изменяется в пределах: 0 ≤ Λ ≤ 1 . G G 3. Индикатриса рассеяния (Phase Function) χ Ω′ → Ω . ВелиG G чина χ Ω′ → Ω определяет закон однократного рассеяния, т.е.

(

(

)

)

вероятность перехода фотона из произвольного начального соG G стояния Ω′ в любое конечное состояние Ω при одном акте рассеяния. Индикатрису рассеяния можно рассматривать как отношение дифференциального сечения упругого рассеяния к полному сечению упругого рассеяния света бесконечно малым физическим объемом: G G G G 1 dσ3C! Ω′ → Ω χ(Ω′ → Ω) = . (1.1.17) σ3C! dΩ

(

)

При таком определении индикатриса рассеяния нормирована условием G G G G G (1.1.18) ∫∫ d Ω′χ Ω′ → Ω = ∫∫ dΩχ Ω′ → Ω = 1 . 4π

(

)

4π

24

(

)

Самым простым законом однократного рассеяния является изотропное рассеяние, когда вероятность однократного рассеяния во всех направлениях одинакова. С учетом условия нормировки (1.1.18) G G χ(,ƒ2!) Ω′ → Ω = 1 / 4π . (1.1.19)

(

)

Во многих работах по теории переноса используется несколько G G иная нормировка для индикатрисы рассеяния χ* Ω′ → Ω :

(

)

G G 1 χ* Ω′ → Ω d Ω = 1 . (1.1.20) ∫∫ 4π 4 π G G При такой нормировке χ*(,ƒ2!) Ω′ → Ω = 1 . Связь между двумя G G G G индикатрисами рассеяния χ Ω′ → Ω и χ* Ω′ → Ω определяет-

(

)

(

(

)

)

(

)

ся соотношением G G G G G G G G χ Ω′ → Ω = χ* Ω′ → Ω / 4π , или χ* Ω′ → Ω = 4πχ Ω′ → Ω .

(

)

(

)

(

)

(

)

(1.1.21) Зная перечисленные выше оптические характеристики среды, можно составить уравнение для определения интенсивности излучения – уравнение переноса, которое является основным уравнением линейной теории распространения светового излучения в неупорядоченных (случайных) средах. Именно этому вопросу посвящен следующий параграф. §2. Уравнение для интенсивности света в неупорядоченных средах Несмотря на всё многообразие видов взаимодействия излучения с веществом, теоретические методы исследования распространения излучения в неупорядоченных (случайных) средах, когда отсутствуют какие-либо когерентные эффекты, обладают определенной схожестью. Это связано с тем, что описание систем, состоящих из большого числа частиц (электромагнитное излучение можно рассматривать как газ фотонов), осуществляется едиными методами кинетической теории, которая дает способ перехода от детального изучения движения отдельных частиц к средним движениям мно-

25

жества частиц. Здесь и далее будем считать частицы точечными объектами, так что вращательные и колебательные степени свободы отсутствуют. Такие частицы могут совершать только поступательное движение. Классическое поступательное движение частиG цы полностью описывается её координатами r ( x,y,z ) и импульG G G сом p (или скоростью v = p / m ). Упомянутое выше осреднение осуществляется с помощью функции распределения (фазовой G G G G плотности) f ( r ; v; t ) . Величина f ( r ; v; t ) d3vd3r есть среднее число частиц в элементе фазового объема d3rd3v в окрестности точG G ки ( r ; v ) шестимерного фазового пространства в момент времени t . Размерность величины f : [ f ] = “3/м6 . Функция распределения определяется из кинетического уравнения Больцмана. В узком смысле, кинетическим уравнением Больцмана называется кинетическое уравнение для газов малой плотности для неравновесной одночастичной функции распределения G G f ( r ; v; t ) системы из большого числа частиц. Кинетическое уравнение Больцмана представляет собой по существу уравнение баланса числа частиц (точнее, точек в фазовом пространстве, изображающих состояние частицы) в элементе фазового объема d3rd3v . Это уравнение выражает тот факт, что изменение функции распределения частиц со временем, происходит вследствие трех фактоG ров: свободного перемещения частиц со скоростью v ; изменения их G G скорости под действием внешних сил F ( r ; t ) и столкновений между ними, т.е. взаимодействием частиц друг с другом. Кинетическое уравнение без учета взаимодействия частиц с веществом Получим сначала уравнение для функции распределения G G f ( r ; v; t ) механической системы, состоящего из частиц одного сорта, когда отсутствуют столкновения между частицами. Рассмотрим объем d3rd3v в окрестности произвольной фиксирован-

26

G G ной точки ( r ,v ) в шестимерном пространстве. Изменение числа частиц в указанном объеме за время dt , т.е. величина G G ∂f ( r ; v; t ) 3 3 ⎧∂ ⎡ G G 3 3 ⎤⎫ Δf = ⎨ f ( r ; v; t ) d rd v ⎬ dt = d rd vdt ⎦⎭ ∂t ⎩ ∂t ⎣ будет определяться разностью между числом частиц, пришедших за время dt в элемент объёма d3rd3v из других элементов d3r ′d 3v′ фазового пространства, и частиц, ушедших из рассматриваемого элемента объёма, т.е. G G ∂f ( r ; v; t ) 3 3 d rd vdt = ( ïðèõîä − óõîä )çà âðåìÿ dt . (1.2.1) ∂t Если взаимодействие между частицами отсутствует, то единственными причинами ухода и прихода частиц могут быть только G упомянутые выше их свободное перемещение со скоростью v и G G изменение их скорости под действием внешних сил F ( r ; t ) . Поскольку частицы, вернее их изобразительные точки, перемещаются в фазовом пространстве, то за время dt объём d3rd3v покинут все частицы, которые находились в нём в момент времени t . Поэтому G G óõîä = f ( r ; v; t ) d 3rd3v .

С другой стороны, в объем d3rd3v к моменту времени t попадут те частицы, которые в момент времени t находились в другом d3r ′d 3v′ в окрестности “близкой” точки объеме G G G G G G r ′ = r − vdt; v′ = v − F / m dt , т.е. G ⎛G G G F ⎞ G G 3 3 ïðèõîä = f ( r ′; v′; t ) d r ′d v′ = f ⎜ r − vdt; v − dt; t ⎟ d3r ′d3v′ . m ⎝ ⎠ Здесь учтено, что в соответствие с классическим законом движения G G G dp / dt = F . Поэтому под действием силы F за время dt скорость G G G частицы изменяется на величину dv = dp / m = F / m dt . В си-

(

(

) )

(

)

лу теоремы Лиувилля d3r ′d3v′ = d3rd3v . Следовательно,

27

G ⎞ G G ⎪⎫ ⎪⎧ ⎛ G G G F ( ïðèõîä − óõîä )dt = ⎨ f ⎜ r − vdt; v − dt; t ⎟ − f ( r ; v; t ) ⎬ d3rd3v . m ⎠ ⎩⎪ ⎝ ⎭⎪ Разложим первое выражение в фигурных скобках в ряд Тейлора с точность до членов ~ dt : G G ⎛G G G F ⎞ ∂f G G G ∂f F f ⎜ r − vdt; v − dt; t ⎟ ≈ f ( r ; v; t ) − vdt G − dt G . ∂r m ∂v m ⎝ ⎠ Теперь запишем, что G ⎧ G ∂f F ∂f ⎫ 3 3 (1.2.2) ( ïðèõîä − óõîä )dt = ⎨−v G − G ⎬ d rd vdt . ⎩ ∂r m ∂v ⎭ Подставляя разложение (1.2.2) в выражение (1.2.1) и сокращая на общий множитель d3rd3vdt , окончательно получим: G G ∂f ( r ; v; t ) ⎛ G ∂f ⎞ 1 ⎛ G ∂f ⎞ = − ⎜v G ⎟ − ⎜F G ⎟ . (1.2.3) ∂t ⎝ ∂r ⎠ m ⎝ ∂v ⎠ Уравнение (1.2.3) представляет собой уравнение для функции распределения без учета столкновений между частицами. Для того чтобы учесть столкновения между частицами, нужно в правую часть уравнения (1.2.3) добавить так называемый интеграл столкновений m = ( ∂f / ∂t ) . St (1.2.4) “2

Интеграл столкновений определяет быстроту изменения функции распределения (т.е. её изменение в единицу времени) за счет столкновений частиц. Теперь уравнение для функции распределения запишется так: G G G ∂f ( r ; v; t ) G ∂f F ∂f m (1.2.5) +v G + G = St . ∂t ∂r m ∂v Разумеется, что кинетическое уравнение (1.2.5) приобретает реальный смысл лишь после того, как определен конкретный вид интеграла столкновений (1.2.4), что само по себе является далеко непростой и весьма деликатной задачей. Для молекул (атомов) газа вид интеграла столкновений как, впрочем, и само кинетическое уравнение, был установлен основателем кинетической теории Людвигом Больцманом в 1872 г. Поскольку атомы газа сталкиваются друг с другом, то интеграл

28

столкновений Больцмана является нелинейным интегральным опе m =B ратором St “2 ( f ,f ′ ) , который определяет быстроту изменения функции распределения частиц за счет их ухода из элемента фазового объема d3rd3v при "прямых" столкновениях и прихода частиц в рассматриваемый элемент фазового объема d3rd3v из всех других состояний за счет "обратных" столкновений. Нелинейным оказывается и само кинетическое уравнение Больцмана. Если рассчитывать процесс столкновения частиц по законам классической механики и считать, что нет корреляции между динамическими состояниями сталкивающихся атомов или молекул (гипотеза молекулярного хаоса), то интеграл столкновений имеет вид ⌠  dσ ( u; ϑ ) G (1.2.6) B“2 { f; f ′} = −⎮⎮ ( f ⋅ f1 − f ′ ⋅ f1′ ) u dΩdv1 . d Ω ⌡  Размерность интеграла столкновений [B“2 ] = [ f ] / c = “2 /м6 . ВеG G G G личины f ( r ; v; t ) и f1 ( r ; v1 ; t ) есть функции распределения до G G G G G столкновения, а f ′ ( r ; v′; t ) и f1′ ( r ; v1′ ; t ) – после столкновения; v и G G G v1 – скорости частиц до столкновения, а v′ и v1′ - скорости тех же G G G G частиц после столкновения. Величина u = v − v1 = v′ − v1′ есть относительная скорость сталкивающихся частиц; ϑ – угол между G вектором относительной скорости u сталкивающихся частиц и линией, соединяющей их центры; dσ ( u; ϑ ) – дифференциальное сечение рассеяния частиц в телесный угол dΩ в лабораторной сисG G G G теме отсчета. Величины v , v1 , v′ и v1′ связаны законами сохранения энергии и импульса при упругом рассеянии. В дальнейшем будем считать, что внешние поля отсутствуют, G т.е. F = 0 (что всегда имеет место для фотонов). Тогда, в соотвеьствие со сказанным выше, кинетическое уравнение (1.2.5) для частиц одного сорта будет выглядеть так: G G G  ∂f ( r ; v; t ) G ∂f F ∂f +v G + (1.2.7) G = B“2 { f; f ′} . ∂t ∂r m ∂v

29

Односкоростное уравнение переноса в однородной среде Случайную среду и потоки частиц (световое излучение), распространяющихся в ней, можно рассматривать как некоторую физическую систему, состоящую из "частиц" двух сортов. Распространяющиеся частицы (фотоны) – частицы сорта "a", и атомы вещества (рассеивающие центры) – частицы сорта "b". Их G G G G fa ( r ; va ; t ) и fb ( r ; vb ; t ) функции распределения есть соответственно. Уравнение для функции распределения G G fa ( r ; va ; t ) частиц сорта "a" будет иметь вид, аналогичный (1.2.7): G G  (a −a )  ( a −b ) ∂fa ( r ; va ; t ) G ∂fa + va G = B“2 { fa ; fa′ } + B“2 { fa ; fb } . (1.2.8) ∂t ∂r  (a −a ) Величина Bñò { fa ; fa′ } есть интеграл столкновений частиц сорта "a" с частицами того же сорта, т.е частиц пучка друг с другом. Поскольку в большинстве случаев плотностью рассеиваемых частиц несоизмеримо мала по сравнению с плотность атомов вещества, то взаимодействием между ними можно пренебречь, полагая, что  a −a) B( f ; f′ = 0 . (1.2.9) “2

{

a

a}

Это безусловно имеет место, если под рассматриыаемыми частицами понимать фотоны. Тогда кинетическое уравнение (1.2.8) для частиц сорта "a" будет выглядеть так: G G  ( a −b ) ∂fa ( r ; va ; t ) G ∂fa (1.2.10) + va G = B“2 { fa ; fb } . ∂t ∂r  (a −b) Величина B“2 { fa ; fb } есть интеграл столкновений частиц сорта "a" (фотоны) с частицами сорта "b", т.е. с атомами вещества. Для фотонов это есть рассеивающие центры среды ab ⌠  (a −b) dσ( ) ( uab ; ϑ ) G ⎮ ′ B“2 { fa ; fb } = − ( fa ⋅ fb − fa ⋅ fb ) uab dΩdvb . ⎮ dΩ ⌡ (1.2.11)

30

Если среда однородная, а атомы вещества (рассеивающие центры) G G неподвижны, то функция распределения fb ( r ; vb ; t ) рассеивающих центров будет выглядеть так: G G G fb ( r ; vb ; t ) = n0δ ( vb ) . (1.2.12) Здесь n0 – концентрация атомов (рассеивающих центров) среды. Таким образом, функция распределения fb известна и не зависит от динамических переменных частиц сорта "a". Поэтому в отличие от интеграла столкновений в кинетическом уравнении (1.2.8), интеграл столкновений в уравнении (1.2.10) является линейным интегральным оператором, так как отсутствует процесс взаимодействия частиц пучка друг с другом, т.е. частиц сорта "a" с частицами того  a −b  в же сорта. Таким образом, величина B( ) f ; f = B f “2

{

a

b}

“2 { a }

уравнении (1.2.10) есть линеаризованный интеграл столкновений Больцмана, а само уравнение (1.2.10) оказывается линейным интегродифференциальным уравнением. Опуская везде индекс "a", запишем G G  ∂f ( r ; v; t ) G ∂f (1.2.13) + v G = B“2 { f} . ∂t ∂r Уравнение (1.2.13) описывает процесс распространения излучения в случайной среде и называется уравнением переноса излучения, или транспортным уравнением. Это уравнение, совместно с соответствующим начальным и граничными условиями, позволяет опG G ределить функцию распределения частиц (фотонов) f ( r ; v; t ) . Естественно, что уравнение переноса (1.2.13) реально определено только после того, когда указан явный вид интеграла столкновений  B“2 { f} . Конкретный вид интеграла столкновений определяется возможными процессами взаимодействия частиц с атомами вещества (законом рассеяния фотонов на рассеивающих центрах). Рассмотрим случай, когда взаимодействие частиц с атомами среды сводится к упругому рассеянию, что всегда имеет место при распространении светового излучения в веществе. В этом случае энергия, а, следовательно, и величина скорости частиц не изменяется: v = const . Может изменяться только направление их движе-

31

ния. Поэтому функция распределения частиц, величина скорости которых v = v0 (для фотонов v0 = c ), будет выглядеть так: δ ( v − v0 ) G G G G f ( r ; v; t ) = f r ; Ω; t . v02

(

)

(1.2.14)

G Здесь Ω – единичный вектор скорости G G G G Ω = v/v, Ω = p/p, (1.2.15) который указывает направление движения частицы (фотона). Определим явный вид интеграла столкновений в односкоростных задачах теории переноса. Для этого обратимся к общей формуле (1.2.11). Подставляя в (1.2.11) значение fb , определяемое выраG жением (1.2.12), после интегрирования по vb , находим, что  δ ( v − v0 ) × B“2 { f} = −n0 v0 G G (1.2.16) ⎧⎪ ⎫⎪ dσ3C! Ω′ → Ω G G G G × ⎨σ3C! ⋅ f r ; Ω; t − ∫∫ f r ; Ω′; t d Ω′ ⎬ . d Ω′ ⎪⎩ ⎪⎭ 4π

(

)

(

(

)

)

При получении выражения (1.2.16) было учтено, что относительная скорость при упругом рассеянии uab = v0 и G G a −b dσ( ) ( u; ϑ) / d Ωa = d σ3C! v0 ; Ω′ → Ω / dΩ′ – дифференци-

(

)

альное сечение упругого рассеяния, при котором частица (фотон) G G изменяет направление движения Ω′ на Ω . При рассеянии на сфеG G рических центрах cos ϑ = Ω′,Ω . Величина σ3C! – есть полное

(

)

сечение упругого рассеяния G G d σ3C! Ω′ → Ω d Ω′ . σ3C! = ∫∫ ′ d Ω 4π

(

)

(1.2.17)

Теперь подставим (1.2.14) и (1.2.16) в уравнение (1.2.13). Учитывая, что в соответствие с (1.2.14) G G G G ∂f ( r ; v; t ) δ ( v − v0 ) ⎪⎧ ∂f r ; Ω; t ⎫⎪ = ⎨ ⎬, ∂t ∂t v02 ⎪⎩ ⎪⎭

(

32

)

G G G G G ∂f ( r ; v; t ) δ ( v − v0 ) ⎧⎪ G ∂f r ; Ω; t = v G G ⎨Ωv0 ∂r ∂r v02 ⎪⎩

(

) ⎫⎪ , ⎬ ⎭⎪

после сокращения на общий множитель δ ( v − v0 ) / v02 и полагая v0 = c , получим: G K ∂f ( r ; Ω; t ) G ∂f +Ω G = c∂t ∂r

G G d σ3C! Ω′ → Ω G G G G = −n0σ3C! f r ; Ω; t + n0 ∫∫ f r ; Ω′; t d Ω′. d Ω′ 4π

(

)

(

(

)

)

(1.2.18) Это и есть уравнение для фазовой плотности фотонов в среде без источников и без поглощения (консервативная среда). Умножая обе части уравнения на =ωc и, учитывая, что интенсивность света связана с функцией распределения фотонов соотношением (1.1.4), получим: G K G G 1 ∂I ( r ; Ω; t ) G ∂I G G G G + Ω G = −σI r ; Ω; t + σ ∫∫ χ Ω′ → Ω I r ; Ω′; t d Ω′ . c ∂t ∂r 4π (1.2.19) Здесь σ = n0σ3C! – коэффициент рассеяния, а G G G G χ Ω′ → Ω = d σ3C! Ω′ → Ω / σ3C! – индикатриса рассеяния, о

(

(

)

(

)

(

) (

)

)

которых говорилось в предыдущем параграфе. Первое слагаемое в правой части уравнении (1.2.19) определяет "уход" фотонов из соG стояния Ω в любое другое, а второе слагаемое описывает "приход" G G фотонов из произвольного состояния Ω′ в состояние Ω за счет упругого рассеяния. Чтобы учесть поглощение фотонов, т.е. дополнительный канал G ухода фотонов из состояния Ω , нужно в правую часть уравнения (1.2.19), (по аналогии с первым слагаемым этого уравнения G G G G −σI r ; Ω; t ) добавить величину −κI r ; Ω; t , где κ – истинный G G коэффициент поглощения. Величина −κI r ; Ω; t фактически явля-

(

)

(

33

(

)

)

ется неупругой частью полного интеграла столкновений для фотонов. В самом общем виде, независимо от геометрической формы и размеров среды, уравнение переноса для интенсивности света G G I r ; Ω; t выглядит так: G G G ∂I 1 ∂I r ; Ω; t +Ω G = ∂t ∂r c (1.2.20) G G G G G G = −εI + σ ∫∫ χ Ω′ → Ω I r ; Ω′; t d Ω′ + QV r ; Ω; t .

(

)

(

)

4π

(

) (

)

(

)

Здесь ε = κ + σ – коэффициент экстинции. Величина QV в уравнении (1.2.20) есть плотность объемных источников света (если они G присутствуют) в произвольной точке r внутри среды. Величина G G QV r ; Ω; t dVd Ωdt (1.2.21)

(

)

представляет собой среднюю энергию светового излучения, испусG каемую элементом объема dV в окрестности точки r , в направлеG нии Ω в интервале d Ω , в интервале времени t ÷ t + dt . Размерность этой величины – [QV ] = b2/м3 . Таким образом, уравнение переноса является линейным, интегродифференциальным уравнением, ядром которого является индикатриса рассеяния. Поскольку предполагается, что величина скорости фотонов c не изменяется, то уравнение (1.2.20) является основным односкоростным уравнением теории переноса излучения в случайных средах. Учитывая условие нормировки для индикатрисы рассеяния (1.1.16), уравнение (1.2.21) можно записать в несколько ином виде: 1 ∂I G ∂I +Ω G = c ∂t ∂r G G G G G G G G = −κI + σ ∫∫ χ Ω′ → Ω I r ; Ω′; t − I r ; Ω; t d Ω′ + QV r ; Ω; t . 4π

(

){ (

) (

)}

(

)

(1.2.22)

34

Если индикатриса рассеяния нормирована условием (1.1.18), то в уравнениях переноса (1.2.20) и (1.2.22) нужно сделать замену G G G G χ Ω′ → Ω → χ* Ω′ → Ω / 4π .

(

)

(

)

В обычной трехмерной среде направление единичного вектора G импульса фотонов Ω определяется полярным углом θ и азимутальным углом ϕ : Ωx = sin θ cos ϕ ; Ωy = sin θ sin ϕ ; Ωz = cos θ . (1.2.23) Эти углы изменяются в пределах 0 ≤ θ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π . (1.2.24) С учетом формул (1.2.23), уравнение переноса (1.2.20) в развернутом виде в декартовых пространственных координатах ( x,y,z ) будет выглядеть так: G 1 ∂I ( r ; θ,ϕ; t ) ∂I ∂I ∂I + sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ + cos θ = c ∂t ∂x ∂y ∂z (1.2.25) G G G G G G = −εI + σ ∫∫ χ Ω′ → Ω I r ; Ω′; t d Ω′ + QV r ; Ω; t . 4π

(

) (

)

(

)

Уравнение (1.2.25) и будет предметом дальнейшего изучения. Попутно заметим, что в случае прохождения заряженных частиц через вещество, их скорость изменяется за счет ионизационного торможения. Поэтому сравнительно простой процесс поглощения фотонов заменяется значительно более сложным процессом неупругих столкновений частиц с атомами среды, приводящим к деградации энергии частиц. Кроме того, величины G d2σ3C! Ω′ → Ω; T / d Ω и σ3C! ( T ) , описывающие упругое взаи-

(

)

модействие частиц с атомами вещества, будут теперь зависеть от энергии частиц T , величина которой систематически уменьшается. Учет неупругих столкновений сильно изменяет и вид самого уравнения переноса, так как существенно усложняется вид интеграла столкновений. В этом случае сталкиваемся со значительно более сложной неодноскоростой задачей теории переноса. Поэтому проблема вычисления не только пространственно - углоG G вого, но и энергетического распределения частиц f r ; Ω; T пред-

(

)

ставляет значительно более сложную задачу, чем проблема вы-

35

числения интенсивности светового излучения из односкоростного уравнения переноса (1.2.25) для света. Обобщенное уравнение непрерывности Покажем, что из уравнения переноса (1.2.22) следует уравнение непрерывности для средней энергии светового поля излучения. Поскольку G ∂I G G G G G G Ω G = Ω grad rG I r ; Ω; t = div rG ΩI r ; Ω; t , ∂r то уравнение (1.2.22) можно записать в виде G G G 1 ∂I + div rG ΩI r ; Ω; t = c ∂t G G G G G G = −κI + σ ∫∫ χ Ω′ → Ω I r ; Ω′; t − I r ; Ω; t d Ω′ + QV . (1.2.26)

(

)

{ (

4π

){ (

(

) (

{ (

)}

)}

)}

Проинтегрируем обе части уравнения (1.2.26) по всем направлениG ям распространения фотонов Ω . В силу условия (1.1.18) нормировки индикатрисы рассеяния G G G G G G ∫∫ dΩ ∫∫ χ Ω′ → Ω I r ; Ω′; t − I r ; Ω; t dΩ′ = 0 . (1.2.27) 4π

4π

){ (

(

)}

) (

Поэтому, учитывая выражения (1.1.4) и (1.1.12) для величин G G G ρ ( r ; t ) и j ( r ; t ) , получим: G G G ∂ρ ( r ; t ) G G G + div rG j ( r ; t ) = −κρ ( r ; t ) + ∫∫ QV r ; Ω; t d Ω . (1.2.28) ∂t 4π Это есть обобщенное уравнение непрерывности для плотности свеG товой энергии ρ ( r ; t ) , в котором учитывается как процесс поглощения фотонов, так и наличие объемных источников. Уравнение (1.2.28) принимает особенно наглядный вид, если проинтегрировать обе его части по объему V , ограниченному замкнутой поверхностью Σ V . Учитывая теорему Остроградского – Гаусса, получим: G G G dWV ( t ) (1.2.29) = −w j ( rΣ ; t ) d Σ − κWV ( t ) + QV ( t ) . ∫∫ dt Σ

{

}

(

V

36

)

Здесь

G G G WV ( t ) = ∫∫∫ ρ ( r ; t ) d3r , QV ( t ) = ∫∫∫ d 3r ∫∫ QV r ; Ω; t d Ω . (1.2.30) V

V

4π

(

)

Величина WV ( t ) есть полная световая энергия в объеме V в мо-

мент времени t , а величина QV ( t ) есть количество световой энергии, создаваемой в объеме V световыми источниками в единицу времени. Уравнение (1.2.29) отражает тот очевидный факт, что изменение средней световой энергии светового поля внутри произвольного объема V может происходить по трем причинам: за счет потока энергии светового поля через поверхность Σ V этого объема (первое слагаемое в правой части уравнения (1.2.29)); уменьшения энергии за счет поглощения фотонов внутри объема (второе слагаемое); увеличения энергии поля внутри объема за счет наличия объемных источников QV (третье слагаемое). §3. Начальное и граничные условия Для того чтобы найти значение интенсивности из интегродифференциального уравнения (1.3.20), необходимо задать начальные и граничные условия. Задание начальных условий не представляет никакой сложности – достаточно просто задать значение интенсивности излучения внутри рассматриваемого объема V в начальный момент времени G G G G G I r ; Ω; t = 0 = I…=ч r ; Ω , (1.3.1) (r ∈ V ) .

(

)

(

)

В большинстве задачах теории переноса до начала облучения поверхности вещества или до включения объемных источников, световое поле внутри вещества отсутствует. В этом случае имеем нулевое начальное условие G G G I…=ч r ; Ω = 0 , (1.3.2) (r ∈ V ) .

(

)

Значительно более сложной оказывается проблема задания граничных условий. Вид этих условий достаточно разнообразен и зависит от формы объема и, следовательно, от вида его поверхности ΣV .

37

B

b

C

G Ω

a A Рис. 1.3.1. Условное изображение выпуклой, свободной поверхности

B

B

b2

b

b1 G Ω

a2 A

a

a1

A

Рис. 1.3.2. Условное изображение выпукло-вогнутой, несвободной поверхности

Основной интерес представляет случай свободной поверхности рассеивающей среды. Термин "свободная поверхность" использу-

38

ется в теории переноса излучения для обозначения такой поверхности, которую фотоны, образованные наличием внутренних источников QV , вылетая из вещества, пересекают только один раз. Например, если поверхность везде выпуклая, то она, конечно, является свободной. Свободной будет также любая невогнутая поверхность. Под невогнутой понимают такую поверхность, для которой любая пересекающая её прямая имеет не более двух точек пересечения с этой поверхностью (например, плоский слой вещества). Если же рассматриваемый объем ограничен на некоторых участках вогнутой поверхностью, то на эти части поверхности Σ V могут попадать фотоны, выходящие из вещества через другие участки той же поверхности. На рис. 1.3.1 представлена свободная поверхность. Любая прямая AB пересекает её только в двух точках a и b , а фотон, прямолинейно распространяющийся из точки C внутри объема, пересекает поверхность только в одной точке (пунктирная линия на рисунке). На рис. 1.3.2 представлена поверхность, часть которой является вогнутой поверхностью. Прямая AB может пресекать эту поверхность в двух или более точках. На рисунке это точки a1 , a2 , b1 и b2 . Некоторые фотоны, образованные наличием внутренних источников QV , вылетая из вещества, пересекают её более двух раз. Изображенный на рисунке фотон, распространяющийся в направG лении Ω , пересекает поверхность в трех точках. Если внешнее облучение отсутствует, то световое поле в среде образуется за счет наличия внутри вещества объемных источников G G G QV r ; Ω; t . В этом случае граничное условие для всех точек rΣ на

(

)

свободной поверхности Σ V выглядит так: G G G G I rΣ ; Ω; t = 0 , если Ω,nΣ < 0 . (1.3.3) G Здесь nΣ – единичный вектор внешней нормали к поверхности Σ V G G в точке rΣ на поверхности вещества: ( rΣ ∈ Σ V ) . Действительно, G G отрицательному значению величины Ω,nΣ соответствует па-

(

)

(

)

(

)

дающее на поверхность излучение. Положительному значению ве-

39

G G личины Ω,nΣ соответствует выходящее из вещества излучение, интенсивность которого, так же как и интенсивность излучения внутри объема V , должна быть определена в процессе решения задачи. В других задачах теории переноса приходится сталкиваться с обратной ситуацией, когда объемные источники отсутствуют ( QV = 0 ) , а световое поле в среде образуется за счет облучения поверхности внешними световыми источниками с интенсивностью G G IC=д rΣ ; Ω; t . Если за начало отсчета времени принять тот момент,

(

(

)

)

когда фотоны попадают на границу вещества, то уравнение переноса (1.2.21) и соответствующие дополнительные условия будут выглядеть так: G G G ∂I G G 1 ∂I r ; Ω; t G G + Ω G = −εI + σ ∫∫ χ Ω′ → Ω I r ; Ω′; t d Ω′ , (1.3.4) c ∂t ∂r 4π G G I r ; Ω; t < 0 = 0 , (1.3.5) G G G G G G I rΣ ; Ω; t = IC=д rΣ ; Ω; t , если Ω,nΣ < 0 . (1.3.6) G Здесь, как и раньше nΣ – единичный вектор внешней нормали к поверхности. Важнейшей теоремой линейной теории переноса является теорема единственности. В самом общем виде она формулируется так: интенсивность излучения в заданном объеме пространства V , ограниченным свободной поверхностью Σ V , единственным обраG G зом определяется начальным значением интенсивности I…=ч r ; Ω G G в объеме V , источниками QV r ; Ω; t внутри объема V и распреG G делением излучения IC=д rΣ ; Ω; t , падающего на поверхность Σ V

(

)

(

(

)

(

(

(

)

) (

)

(

)

(

)

)

)

(

)

извне. Теорема единственности играет важную роль в линейной теории переноса. Если бы эта теорема не была доказана, нельзя было бы однозначно утверждать, что задание только падающего на поверх-

40

ность излучения достаточно для определения интенсивности внутри объема V , хотя интуитивно это утверждение кажется очевидным. Например, можно было бы ожидать, что для решения уравнения переноса должно быть задано и выходящее излучение. GG G G На самом деле, выходящее излучение I rΣ ; Ω при ΩnΣ > 0 , само

(

)

подлежит определению в процессе решения задачи и представляет основной интерес для широкого круга альбедных задач теории переноса. Во многих случаях именно выходящее из среды излучение регистрируется внешними фотоприемниками (например, при мониторинге водных бассейнов с помощью искусственных спутников Земли (ИСЗ)), и именно оно несет важнейшую информацию об оптических характеристиках исследуемого объекта. Нетрудно сообразить, что падающее извне излучение можно заменить эквивалентным поверхностным источником, наличие которого приводит к тому же значению интенсивности внутри объема, что и задание падающего излучения. Такая поверхностная плотность источников определяется как средняя энергия фотонов, испускаемых в единицу времени с единицы площади поверхности в G направлении Ω в глубь среды: GG G G G G G G QV r ; Ω; t = QΣ rΣ ; Ω; t δ ( x ) = − ΩnΣ IC=д (rΣ ; Ω; t )δ ( x ) , G G Ω,nΣ < 0 . (1.3.7) G Здесь x – расстояние от данной точки поверхности rΣ по нормали G к поверхности вдоль направления −Ω . Напомним, что δ ( x ) = δ ( − x ) . Например, если излучение падает на плоскую поверхность вещества z = 0 и ось Oz направлена в глубь среды, то δ ( x ) = δ ( z ) . Если излучение падает на шар радиусом R , то

(

)

( (

)

)

(

)

δ ( x ) = δ ( R − rΣ ) , если начало координат выбрано в центре шара. С учетом сказанного выше, уравнение переноса как при наличии объемных источников QV , так и при наличии падающего извне излучения, при отсутствии начального светового поля в веществе, можно записать в следующем виде:

41

G G G ∂I 1 ∂I r ; Ω; t +Ω G = c ∂t ∂r G G G G G G = −εI + σ ∫∫ χ Ω′ → Ω I r ; Ω′; t d Ω′ + QC%л… r ; Ω; t ;

(

4π

Здесь

(

)

) (

)

G G I r ; Ω; t < 0 = 0 ,

(

(

G

)

(r ∈V ) .

)

(1.3.8) (1.3.9)

G G G G G G G G QC%л… r ; Ω; t = QV r ; Ω; t + δ ( x ) Ω,nΣ IC=д (rΣ ; Ω; t) . (1.3.10) Второе слагаемое в формуле (1.3.10) учитывает падающее излучеG G ние, когда Ω,nΣ < 0 . Таким образом, падающее излучение может

(

(

)

(

)

(

)

)

быть учтено либо в виде граничного условия (1.3.6), либо в виде дополнительного слагаемого (1.3.7) в самом уравнении (1.3.8). Подытоживая все сказанное выше, можно сделать следующий вывод. Основные трудности аналитического изучения процессов переноса “скалярного” светового излучения, т.е. вычисления интенсивности света из транспортного уравнения (1.3.8), определяются, в основном, следующими факторами: 1) крайне ограниченными возможностями нахождения общего аналитического решения уравнения переноса, при произвольной G G индикатрисе рассеяния χ Ω′ → Ω ;

(

)

2) геометрией рассеивающей среды; 3) выделением из общего решения только того, которое удовлетворяет граничным условиям конкретной задачи. §4. Связь между нестационарными и стационарными задачами линейной теории переноса светового излучения Любой физический процесс развивается в пространстве и во времени. Это в полной мере относится и к распространению светового излучения в случайных средах. Поэтому интенсивность излуG G чения I(r ; Ω; t ) в произвольном объеме V зависит от координаты G точки наблюдения r и момента времени t и определяется из урав-

42

нения переноса (1.3.8) с заданными начальным и граничными условиями (1.3.9), (1.3.10). Пусть интенсивность излучения в объеме V в начальный моG G G G мент отсутствует I r ; Ω; t = 0 = I…=ч r ; Ω = 0 . Тогда уравнение

(

)

(

)

переноса с соответствующими дополнительными условиями запишется так: G G G ∂I 1 ∂I r ; Ω; t +Ω G = c ∂t ∂r (1.4.1) G G G G G G = −εI + σ ∫∫ χ Ω′ → Ω I r ; Ω′; t d Ω′ + QV r ; Ω; t ,

(

)

4π

(

) (

)

(

)

G G G I r ; Ω; t = 0 = 0 , (1.4.2) (r ∈V ) , G G G G G G I rΣ ; Ω; t ≡ IC=д rΣ ; Ω; t , Ω,nΣ < 0 . (1.4.3) G Здесь, как и ранее, nΣ – единичный вектор внешней нормали к поG верхности Σ V в точке rΣ . Во многих случаях приходится сталкиваться с ситуацией, когда объемные источники и падающее на поверхность излучение включаются в начальный момент времени t = 0 и затем их значение не зависит от времени: G G G G QV r ; Ω; t = QV r ; Ω η ( t )

(

(

)

)

(

и

(

)

)

(

(

)

)

G G G G IC=д rΣ ; Ω; t = IC=д rΣ ; Ω η ( t ) .

(

)

(

)

(1.4.4)

Здесь η ( t ) – единичная функция: η ( t < 0 ) = 0 и η ( t > 0 ) = 1 . В этом случае можно ожидать, что по истечении времени, когда закончатся релаксационные процессы, интенсивность излучения тоже не будет зависеть от времени. Это утверждение формально можно записать так: G G G G I r ; Ω; t → ∞ → I r ; Ω . (1.4.5)

(

)

(

)

Если подобная ситуация имеет место, то говорят о стационарном распределении излучения, т.е. о стационарной задаче теории переG G носа. Естественно ожидать, что интенсивность излучения I r ; Ω

(

43

)

должна удовлетворять стационарному уравнению переноса с независящими от времени объемными источниками и граничными условиями: G ∂I G G G G G G Ω G = −εI + σ ∫∫ χ Ω′ → Ω I r ; Ω′ d Ω′ + QV r ; Ω , (1.4.6) ∂r 4π G G G G G G I rΣ ; Ω = IC=д rΣ ; Ω , Ω,nΣ < 0 . (1.4.7)

(

(

)

) (

(

)

)

(

(

)

)

Уравнения (1.4.6), (1.4.7) описывают световое поле в веществе, когда характерное время пребывания фотона в среде tõàð оказывается много меньше характерного времени t изменения светового поля (например, длительности светового импульса, облучающего мутную среду). В этом случае в среде в каждый момент времени успевает установиться квазистационарный режим, соответствующий заданным внешним условиям практически в тот же момент времени. Именно поэтому в уравнении (1.4.1) можно пренебречь членом, содержащим производную по времени. Например, в поглощающих средах (морская вода, сильно запыленная атмосфера) в качестве характерного времени следует принять время нахождения фотона в среде до его поглощения: t.=! = la / c = 1 / κc . Тогда условие квазистационарности поля излучения может быть записано в виде: t >> la / c . Следует заметить, что необходимо проявлять определенную осторожность при построении стационарного решения предельным переходом по времени t → ∞ в решении нестационарной задачи, когда источники включаются в некоторый момент времени и затем остаются стационарными, т.е. когда источники или падающее излучение имеют вид (1.4.4). Оказывается, например, что G G G G предельное стационарное решение I r ; Ω; t → ∞ = I r ; Ω мо-

(

)

(

)

жет не существовать, если в начальный момент времени все объемные источники фотонов не были сосредоточены в какой-то ограниченной области пространства. Если оптические параметры среды не зависят от времени, то оказывается возможным свести нестационарную систему уравнений (1.4.1) - (1.4.3) к системе уравнений, которые формально вы-

44

глядят как стационарные уравнения (1.4.6), (1.4.7). Для этого воспользуемся преобразованием Лапласа по времени: ∞ G G G G I r ; Ω; p = ∫ I r ; Ω; t e −pt dt . (1.4.8)

(

G G Здесь I r ; Ω; p

(

)

)

(

0

)

– лаплас-образ интенсивности излучения. Умно-

жая обе части уравнений (1.4.1) и (1.4.3) на величину e−pt dt и, интегрируя по t в пределах от нуля до бесконечности, получим: G G G ∂I r ; Ω; p Ω = G ∂r G G p G G G G ⎛ ⎞ = − ⎜ κ + + σ ⎟ I + σ ∫∫ χ Ω′ → Ω I r ; Ω′; p d Ω′ + QV r ; Ω; p ; c ⎝ ⎠ 4π

(

)

(

) (

G G G G I rΣ ; Ω; p = IC=д rΣ ; Ω; p ,

(

)

(

)

)

(

(

)

(1.4.9)

G G Ω,nΣ < 0 .

)

(1.4.10)

Здесь ∞ G G G G QV r ; Ω; p = ∫ QV r ; Ω; t e−pt dt ,

(

)

(

0 ∞

)

G G G G IC=д rΣ ; Ω; p = ∫ Iïàä rΣ ; Ω; t e −pt dt .

(

)

0

(

)

(1.4.11)

G G G G Величины QV r ; Ω; p и IC=д rΣ ; Ω; p есть лаплас-образы плотности объемных источников и падающего внешнего излучения, соответственно. При получении уравнения (1.4.9) было учтено известное соотношение при преобразовании производной G G ∞ ∂I r ; Ω; t −pt t =∞ G G G G G G e = I r ; Ω; t e −pt + pI r ; Ω; p = pI r ; Ω; p , ∫ dt t =0 ∂t 0 G G поскольку I r ; Ω; t = 0 = 0 . Величина p в уравнении (1.4.9) и

(

(

)

(

)

{(

(

)

}

)

(

)

(

)

)

граничном условии (1.4.10) играет роль параметра. Уравнение (1.4.9) формально идентично уравнению (1.4.6), если в последнем сделать замену

45

G G G G G G G G I r ; Ω; t → I r ; Ω; p ; QV r ; Ω; t → Q r ; Ω; p

(

)

(

)

(

)

(

)

и

κ → κ + p / c. (1.4.12) Таким образом, в уравнение (1.4.9) вместо истинного коэффициента поглощения κ входит величина ( κ + p / c ) . Величину κ + p / c называют "временным поглощением" (Time absorption). Временное поглощение учитывает конечность скорости света и связанный с этим эффект "запаздывания". Таким образом, формально, нестационарная задача теории переноса сводится к решению стационарного уравнения с комплексным коэффициентом поглощения ( κ + p / c ) . Если решение уравG G нения переноса (1.4.9) для величины I r ; Ω; p будет найдено, то G G интенсивность излучения I r ; Ω; t можно определить, используя

(

(

)

)

формулу обращения Лапласа: 1 i∞ G G G G I r ; Ω; t = I r ; Ω; p ept dp . (1.4.13) ∫ 2π − i∞ Интегрирование в формуле (1.4.13) ведется в комплексной p плоскости, по прямой, параллельной мнимой оси. На первый взгляд может показаться, что по своей сложности задачи о вычислении интенсивности излучения в нестационарном случае и решение стационарного уравнения (1.4.6) почти одинаковы. Однако это не так. В то время, как в уравнении (1.4.6) все величины действительны и положительны, в преобразованном уравнении (1.4.9) некоторые величины становятся комплексными. Кроме того, выполнение обращения Лапласа (1.4.13) оказывается чрезвычайно сложной математической задачей.

(

)

(

)

46

Глава 2. ИНДИКАТРИСЫ РАССЕЯНИЯ В РЕАЛЬНЫХ И МОДЕЛЬНЫХ СРЕДАХ Поскольку индикатриса является ядром уравнения переноса, то сложность решения этого уравнения определяется в первую очередь именно видом закона однократного рассеяния из состояния Ω′ в состояние Ω . Встречающиеся в природе реальные индикатрисы χ Ω′ → Ω имеют весьма сложный вид, в частности,

(

)

из-за того, что рассеивающие центры имеют несферическую форму, сложную внутреннюю структуру и неодинаковые размеры. Строгой теории рассеяния на таких частицах нет. В подавляющем большинстве случаев характер вероятности однократного рассеяния определяется экспериментально при натурных измерениях. Поэтому для описания процесса однократного рассеяния, что необходимо для получения аналитического решения уравнения переноса, в большинстве случаев приходится заменять реальную среду более простой модельной средой. Одна из самых распространенных моделей среды – модель монодисперсной среды. В этой модели все рассеиватели считаются одинаковыми – однородными сферами радиусом a . Обсудим некоторые общие свойства индикатрис рассеяния на сферических центрах и приведем ряд формул, которые будут в дальнейшем использоваться при решении различных задач теории переноса света в случайных средах. §1. Общие соотношения для индикатрис рассеяния на сферических центрах При рассеянии на сферических частицах индикатриса рассеяния зависит только от косинуса угла рассеяния фотона γ из начального состояния Ω′ в конечное состояние Ω 1: χ Ω′ → Ω = χ ( cos γ ) , cos γ = Ω′, Ω .

(

)

(

1

)

(2.1.1)

Отметим, что это свойство сохраняется и для несферических частиц, если они ориентированы хаотически, так что любой микрообъём, содержащий их, сферически симметричен.

47

Условие нормировки (1.1.15) теперь запишется так: π

1

0

−1

2π ∫ χ ( cos γ ) sin γd γ = 2π ∫ χ ( x ) dx = 1 .

(2.1.2)

Если f ( γ ) есть некоторая функция угла однократного рассеяния, то её среднее значение может быть определено по формуле π

f = 2π ∫ f ( γ ) χ ( cos γ ) sin γd γ .

(2.1.3)

Естественно, предполагается, что функция интеграл в (2.1.3) является сходящимся.

f ( γ ) такова, что

0

Разложение индикатрисы рассеяния в ряд по полиномам Лежандра При решении многих задач теории переноса бывает крайне полезно представить индикатрису рассеяния χ ( cos γ ) в виде ряда по полиномам Лежандра: ∞ 2l + 1 (2.1.4) χ ( cos γ ) = ∑ χl Pl ( cos γ ) . l = 0 4π Полиномы Лежандра ортогональны на интервале значений [ −1 ≤ cos γ ≤ 1] : π

∫ Pn ( cos γ ) Pm ( cos γ ) sin γd γ =

0

1

2 = ∫ Pn ( x ) Pm ( x ) dx = δ n, m . 2n + 1 −1

(2.1.5)

Здесь x = cos γ ; δn, m – символ Кронекера. Полиномы Лежандра n - й степени могут быть вычислены по формуле n⎤ dn ⎡ 2 x − 1 ⎥ , ( n = 0,1,2, ..... ) . n n ⎢⎣ ⎦ 2 n ! dx Из формулы (2.1.6a) сразу следует, что

Pn ( x ) =

1

(

)

48

(2.1.6a)

Pn ( −x ) = ( −1) Pn ( x ) ; Pn ( x = 1) ≡ 1 ; Pn ( x = −1) ≡ ( −1) . (2.1.6b) Напомним явный вид нескольких первых полиномов Лежандра: n

n

(

)

P0 ( x ) = 1 ; P1 ( x ) = x ; P2 ( x ) = 3x2 − 1 / 2 ;

(

)

P3 ( x ) = 5x3 − 3x / 2 .

(2.1.6c)

С учетом условия ортогональности (2.1.5), коэффициенты разложения индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра определяются выражением π

1

0

−1

χl = 2π ∫ χ ( cos γ ) Pl ( cos γ ) sin γd γ = 2π ∫ χ ( x ) Pl ( x ) dx . (2.1.7)

Поскольку

Pl ( x ) ≤ 1 ,

а

индикатриса

рассеяния

является

положительной функцией во всем интервале значений −1 ≤ x ≤ 1 , то из формулы (2.1.7), с учетом условия нормировки (2.1.2), сразу следует, что χl ≤ 1 . (2.1.8a) Действительно, 1

1

1

−1

−1

−1

χl = 2π ∫ χ ( x ) Pl ( x ) dx ≤ 2π ∫ χ ( x ) Pl ( x ) dx ≤ 2π ∫ χ ( x ) dx = 1.

Чтобы ряд в формуле (2.1.4) был сходящимся, необходимо также, чтобы χl → 0 , если l → ∞. (2.1.8b) Условие (2.1.8b) выполняется, поскольку при l → ∞ полномы Лежандра быстро осцилируют, так как полином степени l имеет l нулей на интервале −1 ≤ x ≤ 1 . В предельном случае, когда все коэффициенты равны единице – χl ≡ 1 ( l = 0,1,2, ....... ) , получаем, что ∞ 2l + 1 1 (2.1.9) Pl ( cos γ ) = δ (1 − cos γ ) . ∑ 2π l =0 2

49

Формула (2.1.9) представляет разложение δ -функции в ряд по полиномам Лежандра, что является признаком полноты системы ортогональных функций Pl ( x ) . Таким образом, набор коэффициентов {χl } разложения (2.1.7)

полностью определяет закон однократного рассеяния χ ( cos γ ) . Подставляя разложение (2.1.4) в формулу (2.1.3), получаем выражение для вычисления среднего значения функции f ( γ ) через коэффициенты χl : π 2l + 1 χl fl , где fl = 2π ∫ f ( γ ) Pl ( cos γ ) sin γd γ . (2.1.10a) l = 0 4π 0 ∞

f = ∑

Здесь fl – коэффициенты разложения функции ∞

2l + 1 (2.1.10b) fl Pl ( cos γ ) l = 0 4π в ряд по полиномам Лежандра. Полагая в формуле (2.1.7) l = 0 , из условия нормировки (2.1.2) сразу получаем, что независимо от конкретного вида закона однократного рассеяния χ ( cos γ ) , f (γ) = ∑

χ0 ≡ 1 . (2.1.11) Равенство (2.1.11) представляет собой условие нормировки индикатрисы рассеяния в терминах коэффициентов разложения её в ряд по полиномам Лежандра. Полагая в (2.1.7) l = 1 , в соответствие с формулой (2.1.3) находим, что π

χ1 = 2π ∫ cos γ χ ( cos γ ) sin γd γ = cos γ .

(2.1.12)

0

Здесь

cos γ

– средний косинус угла однократного рассеяния.

Величина cos γ определяет степень анизотропии однократного рассеяния и играет важнейшую роль в теории распространения света в неупорядоченных (случайных) средах.

50

При изучении распространения света в анизотропных средах индикатриса рассеяния вытянута в направлении первоначального движения. Поэтому χ1 = cos γ > 0 . Если 0 ≤ cos γ << 1 , (2.1.13) то однократное рассеяние с большой вероятностью может происходить в широком интервале углов, т.е. близко к изотропному рассеянию. В обратном случае, когда cos γ ~ 1 , т.е. 1 − cos γ << 1 , т.е. 1 − χ1 << 1 , (2.1.14) рассеяние происходит в узком интервале эффективных углов γ ~ γ eff << 1 относительно первоначального рассеяния

направления распространения фотона, т.е. рассеяние имеет резко выраженный анизотропный характер. В табл. 2.1.1 приведены значения среднего косинуса угла однократного рассеяния для различных естественных и искусственных сред. Таблица 2.1.1. Значения среднего косинуса угла однократного рассеяния для различных сред Естественные среды Атмосфера Безоблачная Облачная Средний Морская косинус вода Видимая Видимая ИК-область область область

cos γ Средний косинус

cos γ

0.67-0.83

0.8-0.97

Искусственные среды Фотографический материал Не проявленный Проявленный 0.33 - 0.97

0.67 - 0.93

∼ 0.83

0.73-0.97

Модельная среда Молоко Латекс 0.83 - 0.9

0.17 - 0.9

Из табл. 2.1.1 видим, что значение cos γ , в зависимости от вида среды может варьироваться в очень широких пределах. Разложение (2.1.4) может содержать конечное или бесконечное число членов ряда. Индикатриса, содержащая n + 1 слагаемых ряда (2.1.4)

51

2l + 1 (2.1.15) χl Pl ( cos γ ) , l = 0 4π называется ( n + 1 )-членной индикатрисой рассеяния. Так, если χl = δl0 , то в сумме по l остается только одно слагаемое с l = 0 . В этом случае ,ƒ2! ) χ(1) ( γ ) = χ( ( γ ) = 1 / 4π . (2.1.16) Индикатриса (2.1.16) представляет собой простейшую сферическую индикатрису рассеяния, которая определяет изотропный закон однократного рассеяния. При изотропном законе рассеяния ( ,ƒ2! ) ,ƒ2! ) cos γ (1) = cos γ ( = 0 ; cos2 γ = 1 / 3 . (2.1.17) Если в разложении (2.1.4) сохранить только первые два члена ряда ( χl = δl0 + χ1δl1 ) , то это будет соответствовать простейшей несферической индикатрисе рассеяния 1 л,… ) χ( 2 ) ( γ ) = χ ( (γ) = {1 + 3χ1P1 ( cos γ )} = 4π 1 = (2.1.18) (1 + 3χ1 cos γ ) . 4π Индикатрису (2.1.18) называют двучленной, или линейной индикатрисой рассеяния. Линейная индикатриса имеет один свободный параметр - χ1 . При χ1 = 0 линейная индикатриса рассеяния переходит в изотропную (2.1.15). Если χ1 > 0 , то индикатриса несколько вытянута вперед в направлении γ = 0 . Если χ1 < 0 , то индикатриса вытянута назад в направлении γ = π . В дальнейшем будем рассматривать только индикатрисы рассеяния, вытянутые в направлении первоначального движения фотона. В этом случае значение величины χ1 может изменяться в пределах n

χ( n +1) ( γ ) = ∑

0 ≤ χ1 ≤ 1 / 3 . (2.1.19) Таким образом, величина χ1 не может быть больше чем 1 / 3 , так как иначе при углах рассеяния, когда cos γ ≥ −1 / 3χ1 , индикатриса рассеяния принимала бы отрицательные значения, что физически абсурдно. Для линейной индикатрисы рассеяния

52

( л,… ) л,… ) 0 ≤ cos γ (2 ) = cos γ ( ≤ 1 / 3 ; cos2 γ = 1 / 3 . (2.1.20) На рис.2.1.1a представлены графики линейной индикатрисы рассеяния (2.1.18) для трех значений коэффициента χ1 = 0; 0.25; 1 / 3; в декартовых координатах. На рис.2.1.1b представлены графики той же индикатрисы (2.1.18) для тех же значений коэффициента χ1 в полярных

координатах. Кривая ( χ1 = 0 ) соответствует изотропному закону

рассеяния. Кривая ( χ1 = 1 / 3 ) соответствует предельному значению, когда наблюдается наиболее сильное отличие от изотропного закона рассеяния, причем вероятность рассеяния назад, т.е. на угол γ = π , равна нулю. Из рисунков видно, что с χ1 возрастает асимметрия увеличением коэффициента индикатрисы рассеяния – увеличивается её вытянутость в направлении вперед. Для угла рассеяния γ = π / 2 значения л,… ) χ( перестают зависеть от значения χ : величин

) γ = π / 2 = 1 / 4π ≈ 0.08 . Поэтому при γ = π / 2 χ( ( ) кривые на рис. 2.1.1a и 2.1.1b пересекаются в одной точке. л,…

1

все

χ1 = 0.25 χ1 = 1 / 3 χ1 = 0 γ

(rad)

Рис. 2.1.1a. Графики линейной индикатрисы рассеяния в декартовых координатах

53

χ1 = 0.25

χ1 = 1 / 3

χ1 = 0

Рис. 2.1.1b. Графики линейной индикатрисы рассеяния в полярных координатах

Если в разложении (2.1.4) сохранить три члена ряда ( χl = δl0 + χ1δl1 + χ2δl2 ) , то это будет соответствовать трехчленной индикатрисе рассеяния 1 χ( 3 ) ( γ ) = {1 + 3χ1P1 ( cos γ ) + 5χ2P2 ( cos γ )} . (2.1.21a) 4π Если в (2.1.21a) положить χ1 = 0 , χ2 = 0.1 , то получаем релеевскую индикатрису рассеяния 1 ⎧ 1 ⎫ Ray ) χ( (cos γ) = ⎨1 + P2 ( cos γ ) ⎬ , 4π ⎩ 2 ⎭ т.е. 3 Ray ) χ( (2.1.21b) (cos γ) = 1 + cos2 γ . 16π Выражение для индикатрисы (2.1.21b) было получено Дж. Релеем (1871г.) при изучении рассеяния света на молекулах (так называемое молекулярное рассеяние). При этом Релей использовал

{

54

}

представление об атоме или молекуле, как об электрическом диполе, колеблющемся в поле световой волны. Однако формальные рассуждения Релея были неверны, так как рассеяние на молекулах в однородной сплошной среде не происходит. После построения статистической физики Мандельштамом (1907) было показано, что принципиально необходимым для рассеяния света в сплошной среде является нарушение её оптической однородности, при котором показатель преломления среды не постоянен, а меняется от точки к точке. В безграничной и полностью однородной среде волны, упруго рассеянные отдельными частицами по всем направлениям (за исключением направления, совпадающего с направлением первичной волны), взаимно “гасятся” в результате интерференции. Оптическими неоднородностями (кроме границ среды) являются включения инородных частиц (например, аэрозоли атмосферы или гидрозоли в морской воде), а при их отсутствии – флуктуации плотности, анизотропии и концентрации, которые возникают в силу статистической природы теплового движения частиц. Так, в газовой среде при нормальных условиях концентрация молекул газа n0 ≈ 2.7 ⋅ 1025 1 / м3 ,

а

характерная

величина

флуктуаций

δn0 ~ 1016 1 / м3 . Хотя отношение δn0 / n0 < 10−9 чрезвычайно мало, однако именно эти флуктуации и определяют рассеяние в газовой среде, в частности, в атмосфере Земли. При этом оказалось, что формулы для коэффициента рассеяния и для индикатрисы рассеяния на флуктуациях плотности полностью совпадают с законом Релея (2.1.21b). На ис.2.1.2a представлены графики двух трехчленных индикатрис рассеяния при различных значениях коэффициентов χl . На рис. 2.1.2b представлен график шестичленной индикатрисы рассеяния в полярных координатах. 5 2l + 1 (2.1.22) χ(6) ( cos γ ) = ∑ χl Pl ( cos γ ) . l = 0 4π Из рис. 2.1.2a,b видно, что увеличение числа членов в разложении индикатрисы рассеяния приводит к появлению

55

дополнительных “лепестков” (рис. 2.1.2b). Если сохранить ещё большее число членов в разложении индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра,

2

1- ( χ1

1

Рис. 2.1.2a. Графики трехчленной индикатрисы рассеяния:

= 0.2; χ2 = 0.3 ) ; 2- ( χ1 = 0; χ2 = 0.1) – индикатриса Релея

Рис. 2.1.2b. График шестичленной индикатрисы рассеяния:

χ1 = 0.35; χ2 = 0.25; χ3 = 0.2; χ4 = 0.2; χ5 = 0.15

56

то число лепестков будет увеличиваться – индикатрисы рассеяния будут иметь характерный многолепестковый вид. Это обстоятельство проявляется при расчетах индикатрис рассеяния на сферических рассеивателях, размеры которых велики по сравнению с длиной световой волны ( a >> λ ) , когда в разложении индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра приходится учитывать сотни слагаемых. Разложение индикатрисы рассеяния в рад Фурье по азимутальному углу В уравнения переноса (1.2.19) входит индикатриса рассеяния χ Ω′ → Ω , определяющая вероятность перехода фотона из

(

)

начального состояния Ω′ ( θ′,ϕ′ ) в конечное состояние Ω ( θ,ϕ ) . При рассеянии фотонов на сферических частицах индикатриса рассеяния зависит только от косинуса угла рассеяния фотона γ из Ω′ в конечное состояние Ω начального состояния χ Ω′ → Ω = χ ( cos γ ) . Значение cos γ связано с величинами

(

)

μ′ = cos θ′ , μ = cos θ и ( ϕ′ − ϕ ) формулой тригонометрии cos γ = cos θ′ cos θ + sin θ′ sin θ cos ( ϕ′ − ϕ ) , т.е.

(1 − μ′2 ) (1 − μ2 ) cos(ϕ′ − ϕ) .

cos γ = μ′μ +

(

сферической (2.1.23a) (2.1.23b)

)

Поэтому величина χ Ω′ → Ω = χ ( μ′ → μ,ϕ′ − ϕ ) зависит как от значения косинусов полярных углов μ′ = cos θ′ , μ = cos θ , так и от азимутальных углов ϕ′ и ϕ , которые входят всегда в виде разности ϕ′ − ϕ . При решении уравнения переноса, например, методом сферических гармоник, необходимо использовать разложение индикатрисы рассеяния в ряд Фурье по азимуту. Напомним несколько важных соотношений из теории рядов Фурье, которые

57

будут использованы в дальнейшем. Если функция f ( ϕ ) является четной периодической функцией азимутального угла ϕ , то её можно разложить в ряд Фурье по косинусам: 1 ∞ (m) (2.1.24a) f(ϕ) = ∑ f cos ( mϕ ) . 2π m = 0 m Здесь f ( ) – m -я азимутальная гармоника функции f ϕ .

( )

Поскольку δ 1 2π dϕ cos ( mϕ ) cos ( kϕ ) = mk , ∫ 2π 0 2 − δk0

(2.1.24b)

то, умножая (2.1.24a) на cos ( kϕ ) и, интегрируя по ϕ в пределах 0 ≤ ϕ ≤ 2π , получим выражение для вычисления любой m азимутальной гармоники f ( ) : 2π

m f ( ) = ( 2 − δ m0 ) ∫ f(ϕ) cos ( m ) dϕ ,

( m = 0,1,2,...... ) .

(2.1.24c)

0

Если f ( ϕ ) = δ ( ϕ ) , то из (2.1.24c) и (2.1.24a) получаем: 1 ∞ m δ( ) = ( 2 − δm0 ) , δ(ϕ) = ∑ (2 − δm0 ) cos ( mϕ ) . (2.1.24d) 2π m =0 Вторая из формул (2.1.24d) представляет разложение угловой δ функции в ряд Фурье. Пусть закон однократного рассеяния определяется ( n + 1 )членной индикатрисой рассеяния 1 n 2l + 1 (2.1.25) χ ( cos γ ) = χl Pl ( cos γ ) . ∑ 2π l = 0 2

Чтобы от угла однократного рассеяния γ из состояния ( μ′,ϕ′ ) в

состояние ( μ,ϕ ) прейти к угловым переменным μ′,ϕ′,μ,ϕ , воспользуемся теоремой сложения для полиномов Лежандра: l (l − k)! Pl (cos γ ) = Pl (μ)Pl (μ′) + 2 ∑ Plk (μ)Plk (μ′) cos[k(ϕ − ϕ′)] . + ( )! l k k =1 (2.1.26a)

58

Формулу (2.1.26a) удобнее записать в виде l (l − k)! k Pl (cos γ ) = ∑ ( 2 − δk0 ) Pl (μ)Plk (μ′) cos[k(ϕ − ϕ′)] . (2.1.26b) + ( )! l k k =0 Здесь Plk (μ) – присоединенные полиномы Лежандра Plk (μ) = (1 − μ2 )k /2

dk Pl (μ)

d μk Из формулы (2.1.27a) сразу следует, что

.

(2.1.27a)

Pl0 (μ) = Pl (μ) ; P0k (μ) = δk,0 ; Plk (μ) = 0 , при k > l . (2.1.27b) Слагаемые с k > l в сумме (2.1.27b) отсутствуют, так как

присоединенные функции Лежандра Plk (μ) отличны от нуля

только если k ≤ l . Подставляя (2.1.26b) в (2.1.25), запишем индикатрису рассеяния в виде χ ( cos γ ) =

l 1 n 2l + 1 (l − k)! k Pl (μ)Plk (μ′) cos[k(ϕ − ϕ′)]. χl ∑ ( 2 − δk0 ) ∑ l k + 2π l =0 2 ( )! k =0 Во внутренней сумме верхний предел суммирования k = l можно заменить на n , так как l ≤ n и все слагаемые с индексом k > l обращаются в ноль в силу третьего соотношения (2.1.27b) χ ( cos γ ) =

=

n 1 n 2l + 1 (l − k)! k Pl (μ)Plk (μ′) cos[k(ϕ − ϕ′)]. χl ∑ ( 2 − δk0 ) ∑ 2π l =0 2 (l + k)! k =0 (2.1.28) Теперь в полученном выражении можно переставить порядок суммирования. После этого получим: 1 n (k ) (2.1.29) χ ( cos γ ) = ∑ p (μ′; μ) cos[k(ϕ − ϕ′)] . 2π k = 0 Сравнивая формулы (2.1.29) и (2.1.24а) видим, что k величины p( ) (μ′; μ) – есть азимутальные гармоники индикатрисы

=

рассеяния по разности азимутальных углов ψ = ϕ − ϕ′ :

59

n 2l + 1 (l − k)! k k p( ) (μ′; μ) = ( 2 − δk0 ) ∑ χl Pl (μ)Plk (μ′) . (2.1.30) 2 ( l + k )! l =0 Формулу (2.1.30) конечно можно было получить непосредственно, подставив (2.1.25) в (2.1.24c) и при интегрировании по ψ учесть соотношение (2.1.24b). Из выражения (2.1.30) следует, что все азимутальные гармоники -с k > n обращаются в ноль. Таким образом, разложение ( n + 1 )членной индикатрисы рассеяния в ряд Фурье содержит n + 1 азимутальную гармонику: k = 0,1,2,..........n , что, конечно, непосредственно видно и из формулы (2.1.29). Указанное обстоятельство является прямым следствием того, что рассеяние происходит на сферических центрах, и поэтому индикатриса рассеяния может быть разложена в ряд по полиномам Лежандра и, как следствие этого, оказывается возможным применение к этому разложению теоремы сложения (2.1.26a) для полиномов Лежандра. Нулевая азимутальная гармоника зависит от всех n + 1 коэффициентов χ0 ,χ1 ,χ2 ,......χn разложения индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра, как от параметров n 2l + 1 0 (2.1.31) p( ) (μ′; μ) = ∑ χl Pl (μ)Pl (μ′) . l =0 2 0 Величина p( ) (μ′; μ) представляет собой индикатрису рассеяния,

проинтегрированную по азимуту 2π

0 p( ) (μ′; μ) = χ ( μ′ → μ ) = ∫ χ ( μ′ → μ; ϕ′ − ϕ ) d ϕ′ .

(2.1.32)

0

Условие нормировки для индикатрисы, проинтегрированной по азимуту, следует из общего условия нормировки (1.1.14) и выглядит так: 1

1

−1

−1

∫ χ(μ′ → μ) dμ′ = ∫ χ(μ′ → μ) dμ = 1 .

(2.1.33)

0 Таким образом, величина p( ) (μ′; μ) определяет вероятность рассеяния фотона из состояния μ′ в состояние μ безотносительно к изменению азимутального угла рассеяния.

60

Чем выше номер азимутальной гармоники, тем от меньшего числа коэффициентов разложения χl она зависит. Азимутальная k p( ) зависит от n +1−k коэффициентов гармоника

(

)

χk ,χk +1 ,χk + 2 ,......χn , когда k ≤ l ≤ n . Самая высокая, n -я азимутальная гармоника, зависит только от одного коэффициента χn :

( 2n + 1) n χn Pnn (μ′)Pnn (μ) , p( ) (μ′; μ) = (2n)! n

где

Pnn

(2n)! (μ) = (1 − μ2 ) 2 . n 2 n!

(2.1.34a)

Таким образом, n

n

( 2n + 1) ! n (2.1.34b) p( ) (μ′; μ) = χ (1 − μ′2 ) 2 (1 − μ2 ) 2 . 2 n n (2 n !) Рассмотрим простой пример. Пусть закон однократного рассеяния определяется двучленной (линейной) индикатрисой рассеяния (2.1.18): 1 л,… ) (cos γ ) = χ( (1 + 3χ1 cos γ ) . 4π Разложение линейной индикатрисы в ряд Фурье будет содержать только две азимутальные гармоники – нулевую и первую: 1 1 (m) л,… ) χ( (μ′ → μ; ϕ′ − ϕ) = ∑ p (μ′; μ) cos[m(ϕ′ − ϕ)] . 2π m = 0 Здесь 1 1 1 0 p( ) = ∑ ( 2l + 1) χl Pl (μ′)Pl (μ) = (1 + 3χ1μ′μ ) ; 2 l =0 2 3 1 p( ) = χ1 (1 − μ′2 )(1 − μ2 ) . 2 Подставляя эти значения в предыдущую формулу, получим:

61

χ(

л,… )

{

(μ′ → μ; ϕ′ − ϕ) =

}

1 (1 + 3χ1μ′μ ) + 3χ1 (1 − μ′2 )(1 − μ2 ) cos(ϕ′ − ϕ)) . 4π Тот же результат, естественно, получается, если воспользоваться в выражении для линейной индикатрисы л,… ) χ( (cos γ ) основной формулой сферической тригонометрии: =

cos γ = μ′μ + (1 − μ′2 )(1 − μ2 ) cos(ϕ′ − ϕ) .

§2. Индикатрисы рассеяния в моно- и полидисперсных средах. Формулы Ми Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, при решении уравнения переноса обычно заменяют реальную среду более простой монодисперсной средой, в которой все рассеиватели считаются одинаковыми однородными сферами радиусом a . Задача о рассеянии плоской монохроматической электромагнитной волны на однородном шаре радиусом a при заданных диэлектрической и магнитной проницаемостях точно решена английским ученым А. Лявом (1899) и немецким ученым Г. Ми (1908). В литературе утвердились термины: теория Ми, рассеяние Ми. Монодисперсные среды Для немагнитных частиц, т.е. для частиц, у которых магнитная проницаемость равна единице, амплитуды рассеянных парциальных волн зависят от двух параметров: относительного показателя преломления n%2… и дифракционного параметра β :

β = a/ , (2.2.1) ( = λ / 2π ) , где λ – длина световой волны. Формулы Ми имеют сложный вид рядов по полиномам Лежандра и функциям Ганкеля Hl (β) и Hl (βn%2… ) . Анализ формул Ми показывает, что при рассеянии света на мелкомасштабных рассеивающих центрах, когда длина световой

62

волны существенно больше размеров рассеивателей, т.е. дифракционный параметр мал, рассеяние практически изотропно или близко к изотропному. Поэтому средний косинус угла однократного рассеяния (2.1.8) в таких средах очень мал: >> a , ( β << 1) , то cos γ << 1 . если Ситуация значительно усложняется при рассеянии света на крупномасштабных рассеивающих центрах, когда длина световой волны существенно меньше характерных размеров рассеивателей, т.е. дифракционный параметр велик. В этом случае рассеяние происходит в узком интервале углов γ ≤ γ ef ~ / a и косинус угла однократного рассеяния близок к единице: << a , 1 − cos γ << 1 . если (β >> 1) , то Подобная ситуация возникает, например, при распространении света в атмосфере Земли (капельки воды в облаках, дымы, туман, и т.д.), или в водной среде (планктон, различные органические и неорганические взвеси и т.д.). Так, для капель в облаках Земли ( a ≈ 10 м*м ) в видимой части спектра дифракционный параметр β ≈ 100 . В точные формулы Ми для поля рассеянной волны входит бесконечное число парциальных волн: 0 ≤ l < ∞ . Расчеты рассеянных полей по точным формулам Ми достаточно сложны, так как при больших значениях параметра β необходимо учитывать много почти равнозначных парциальных рассеянных волн, причем каждую с высокой точностью. В частности, как показал Дебай, если β >> 1 , то при разложении индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра существенно учитывать, хотя и конечное, но большое число членов ряда с 0 ≤ l ≤ N ( β ) ~ 1.5β . Парциальные волны с l > N имеют малые амплитуды и ими можно пренебречь. Поэтому N (β) 2l + 1 χ(cos γ) ≈ ∑ χl ( n%2… ; β ) Pl (cos γ ) , ( β >> 1) . (2.2.2) 4π l =0 Так, для типичной биологической частицы в воде ( a ≈ 10 м*м ) при длине волны λ ≈ 0.546 м*м , дифракционный параметр β ≈ 115 и в сумме (2.2.2) нужно удержать 140 членов ряда! Поэтому

63

определить конкретный вид индикатрис рассеяния по формулам МИ можно только с помощью ЭВМ. Однако в некоторых случаях из точных формул Ми удается получить аналитические выражения для индикатрис рассеяния в замкнутом виде, т.е. в виде аналитических формул, в которых отсутствуют бесконечные ряды, входящие в точные формулы Ми. Обычно это удается сделать, когда параметр β мал или велик или если относительный показатель преломления n%2… близко к единице. Релеевское рассеяние Если рассеяние света происходит на мелкомасштабных рассеивающих центрах, когда длина световой волны существенно больше размеров рассеивателей >> a и значение n %2… невелико β << 1 , β n %2… << 1 , (2.2.3) то рассеяние практически близко к изотропному. Удерживая в формулах Ми первое неисчезающее слагаемое, при разложении по малым β , находим: 3 Ray ) (cos γ) = (1 + cos2 γ ) . χ ≈ χ( (2.2.4) 16π Индикатриса (2.2.4) описывает подробно изученный в предыдущем параграфе релеевский закон рассеяния (2.1.21b). Для справки приведем также величину полного сечения упругого рассеяния в этом приближении 2

8 n2 − 1 Ray ) (2.2.5) σ( = β4 %2… πa2 . 2 3 n%2… +2 Отметим, так как β ~ ν , где ν – частота световой волны, то Ray ) σ( ~ ν4 .

64

Указанная ситуация реализуется в важном для оптики атмосферы случае, когда рассеяние видимого света происходит на флуктуациях плотности воздуха (так называемое молекулярное рассеяние). Таким образом, в большей мере на флуктуациях плотности в атмосфере рассеваются волны с большой частотой, чем и объясняется голубой цвет неба1. χ ( γ )

0 , 1 4

0 , 1 2

0 , 1 0

0 , 0 8

0 , 0 6

0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

1 2 0

1 4 0

1 6 0

1 8 0

γ

Рис. 2.2.1. Индикатрисы рассеяния, рассчитанные по формулам Ми: пунктирная кривая β = 0.5 ; штрихпунктирная кривая β = 0.3 ; точки

β = 0.1 ; сплошная кривая – расчет и по формуле Релея (2.2.4) На рис. 2.2.1 приведены индикатрисы, рассчитанные для n%2… = 1.2 и малых значений дифракционного параметра β . Видно, что при β = 0.1 (точки) индикатриса рассеяния хорошо описывается формулой Релея (2.2.4).

1

С увеличением дифракционного параметра закон рассеяния пропорциональный четвертой степени частоты сменяется более слабой зависимостью от частоты вплоть до первой степени. Водяные частицы вообще рассеивают свет нейтрально. Поэтому освященные солнцем облака выглядят белыми.

65

Сферы предельно большого радиуса Ситуация значительно усложняется, если рассеяние света происходит на крупномасштабных рассеивающих центрах. В этом случае длина световой волны существенно меньше характерных размеров рассеивателей ( λ << a ), т.е. дифракционный параметр β >> 1 . С подобной ситуацией сталкиваемся, например, при распространении видимого света в атмосфере Земли (капельки воды в облаках, дымы, туман и т.д.), или в водной среде (планктон, различные органические и неорганические взвеси). Так, размеры капелек воды в облаках Земли достигают величины 10 мкм. Поэтому в видимой части спектра β ≈ 100 , тогда как n%2… ≈ 1.33 . В этом случае индикатриса рассеяния на отдельных сферических χ ( γ )

1 0 0

1 0

1

0 , 1

0 , 0 1

1 E

- 3

1 E

- 4 0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

1 2 0

1 4 0

1 6 0

1 8 0

γ

Рис. 2.2.2. Индикатриса рассеяния сферической каплей воды: n%2… = 1.33 ; β = 100

рассеивающих центрах имеет целый ряд максимумов (так называемые радуги). Также имеет место увеличение интенсивности при рассеянии назад (так называемый эффект ореола или глория). Эти особенности наглядно продемонстрированы на рис. 2.2.2. На рис. 2.2.3 представлены индикатрисы рассеяния морской взвеси

χ∗ = 4πχ ( cos γ ) ,

где

66

χ ( cos γ )

–

индикатриса,

нормированная условием (2.1.2), для различных значений дифракционного параметра β и для различных значений относительного показателя преломления n%2… в монодисперсной среде. Дифракционный параметр β обозначен буквой ρ , а n%2… обозначено m и все кривые построены в логарифмическом масштабе по вертикальной оси. При n%2… = 1.02 и β = 0.3 , когда с большим запасом выполняются оба неравенства (2.2.3), индикатриса рассеяния почти релеевская, т.е. симметрична относительно угла рассеяния γ = π / 2 . При n%2… = 1.15 асимметрия рассеяния становится несколько больше, чем для n%2… = 1.02 . С ростом параметра β индикатриса вытягивается вперёд (эффект Ми), всё больше отходя от симметричной релеевской формы. При этом минимум рассеяния от значения угла γ = 90 перемещается к большему значению угла рассеяния – γ = 115 . В области малых углов влияние коэффициента преломления сказывается слабее. Все эти тенденции, появившиеся на рис.2.2.1,a, ещё более отчётливо выражены для больших частиц a >> λ , когда β >> 1 . Появляется ряд максимумов и минимумов,

вблизи так называемых резонансов Ми ( 2a = kλ,k = 1,2,3... ) 1, т.е. индикатрисы, приобретают многолепестковый характер. Особенно нерегулярный, интерференционный характер, приобретает индикатриса, когда значение дифракционного параметра β ≥ 5 − 10 (рис.2.2.3,b, β = 10 ). На рис.2.2.3,b явно видна резкая анизотропия рассеяния. Если при рассеянии на угол γ = 0 χ ( γ = 0 ) ≈ 100 , то уже для угла γ ≈ 20 ÷ 25

χ ≈ 1 . Таким

образом, на интервале углов в 20 значение вероятности рассеяния уменьшается на два порядка.

1

Вблизи резонансов Ми сечения резко возрастают и становятся равными 6πa2 , рассеяние вперед усиливается, назад – ослабевает.

67

a)

b)

Рис. 2.2.3. Индикатрисы рассеяния

∗

χ = 4πχ ( cos γ ) типичных частиц

морской взвеси: а–

β = 0.3 и β = 1.2 , для двух значений n%2… = m . m = 1.15 –- сплошные кривые; m = 1.02 – пунктирные кривые; b – β = 10 для тех же значений относительного показателя преломления m = 1.15 и m = 1.02

Полидисперсные среды Но даже в тех случаях, когда с приемлемой правдоподобностью рассеиватели можно считать сферическими, ситуация существенно осложняется тем обстоятельством, что размеры рассеивателей оказываются самыми различными. То есть существенной особенностью реальных мутных сред является их полидисперсность. Имеется значительный разброс геометрических размеров отдельных рассеивателей в достаточно широких пределах до a >> . Это обстоятельство существенно влияет на от a ≤ реальную картину рассеяния физически бесконечно малым

68

объемом среды. Например, в чисто молекулярной атмосфере Земли дальность видимости предметов около поверхности составила бы 300 км, в то время, как в реальной атмосфере наблюдаемая дальность видимости составляет около 30 км. Хотя свойства однократного рассеяния в атмосфере в основном определяются атмосферным аэрозолем, т.е. крупномасштабными центрами рассеивающими свет на малые углы, наличие молекулярного рассеяния заметно влияет на дальность видимости из-за рассеяния на большие углы. Если при β ≤ 1 рассеяние является почти изотропным, то при β >> 1 , как было показано ранее, индикатрисы рассеяния на отдельных сферических рассеивающих центрах имеют целый ряд максимумов и минимумов. В полидисперсных средах, из-за разбросов по размерам, происходит сглаживание интерференционных лепестков, т.е. сильно выраженных максимумов и минимумов индикатрисы рассеяния. За счет этого реально наблюдаемые индикатрисы рассеяния становятся достаточно гладкими функциями угла γ . Чем рассеивающие частицы меньше, т.е. чем меньше дифракционный параметр β и чем они оптически мягче ( | n%2… − 1 |<< 1 ), тем более плавными оказываются усредненные индикатрисы рассеяния. Для учета разброса частиц по размерам проводится усреднение индикатрисы рассеяния с использованием функции распределения по размерам частиц f(a) . Если известна функция распределения f(a) ( amin ≤ a ≤ amax ), нормированная условием amax

∫ f(a)da = 1 ,

(2.2.6)

amin

то коэффициент рассеяния σ(a) и индикатрису рассеяния χ(cos γ; a) необходимо усреднить по размерам частиц: σ=

amax

∫ σ(a) f (a)da ;

amin amax

χ(cos γ) =

1 σ

⌠ ⎮ ⎮ ⌡

dσ3C! ( cos γ; a ) dΩ

amin

69

(2.2.7)

f (a)da .

(2.2.8)

Характер усредненной индикатрисы рассеяния χ(cos γ) , конечно, зависит от выбора функции распределения частиц по размерам. Выбор функции f(a) диктуется свойствами конкретной среды. Трудность состоит в том, что формирование свойств аэрозоля в атмосфере Земли, различных взвесей и планктона в морской воде и т.д. подчинено влиянию множества факторов, учесть которые при попытке анализа разброса частиц по размерам, их концентрации, весьма трудно. Из-за недостаточной информации о функции распределения f(a) по размерам рассеивателей возникает большая степень произвола при получении конкретного вида закона рассеяния χ(cos γ) элементарным физическим объемом среды. Поэтому используются различные эмпирические аппроксимации функции распределения f(a) на основе ряда типичных аналитических представлений: нормальное распределение, распределение Кэптейна, степенное распределение, распределение Юнге и т.д. Результаты расчета усредненных индикатрис рассеяния представлены в подробных таблицах. Например, в оптике полидисперсных систем, большое распространение получили обобщенное и простое гаммараспределение. Простое Г-распределение имеет вид ( amin = 0; amax = ∞ ) : ς

(ς + 1)(ς+1) ⎛ a ⎞ a⎫ ⎧ ⎜ ⎟ exp ⎨ −(ς + 1) ⎬ ; a Γ(ς + 1) ⎝ a ⎠ a⎭ ⎩ ς amd = a amd ) . ς= a − amd Таким образом, простое Г- распределение имеет два свободных параметра a и ς . Подставляя (2.2.9), например, в (2.2.7), получим:

f(a; a ,ς) =

70

∞

σ ( a; ζ ) =

⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡

σ(a)

(ς + 1)(ς+1) a Γ(ς + 1)

ς

a⎫ ⎛a⎞ ⎧ ⎜ ⎟ exp ⎨ −(ς + 1) ⎬ da = a⎭ ⎝a⎠ ⎩

0

(2.2.10)

∞

= ∫ σ(ra )F ( r; ζ ) dr . 0

Здесь

r = a/a

–

приведенный

радиус

рассеивателей;

rm = amd / a – приведенное значение моды распределения; F ( r ) – функция распределения по приведенному размеру рассеивателей ς (ς + 1)(ς+1) < 1 . (2.2.11) ( r )ς exp {−(ς + 1)r} ; rm = ς +1 Γ(ς + 1) Таким образом, если радиус рассеивателей измерять в единицах его среднего значения, то функция распределения F ( r; ζ ) будет зависеть только от одного параметра ζ . Другими словами, простое Г-распределение обладает свойством автомодельности. Функции f ( a ) и F ( r ) связаны соотношением: f ( a ) da = F ( r ) dr . F ( r; ζ ) =

Распределение F ( r; ζ ) выглядит особенно просто целочисленных значениях параметра ζ = n , ( n = 1,2,3,......... ):

при

n (n + 1)(n +1) < 1 . (2.2.12) ( r )n exp {−(n + 1)r} ; rm = n +1 n! На рис.2.2.4 представлены графики функции простого Граспределения F ( r; n ) для трех значений параметра n = 1,2,6 : F ( r; n ) =

F ( r;1) = 4r exp {−2r} ;

(2.2.13a)

F ( r;2 ) = 13.5r 2 exp {−3r} ;

(2.2.13b)

F ( r; 6 ) ≈ 1144r 6 exp ( −7r ) . (2.2.13c) Важная особенность Г-распределения – его асимметричность. При a << amd функция распределения f ( a ) убывает по ς

степенному закону - f ~ ( a / a ) , а при a >> amd , убывает экспоненциально - f ~ exp {−(ς + 1) ( a / a )} . Таким образом, при

71

a >> amd , т.е. при r >> rm имеется длинный спадающий “хвост”, определяющий концентрацию аномально больших частиц, что явно видно из рис.2.2.4. Такая форма распределения гораздо лучше соответствует фактическим данным, чем простейшее симметричное гауссово распределение.

n =1 n=2 n=6

Рис. 2.2.4. Простое Г-распределение при различных параметрах

ζ=n

Уже в 1930 г. И. Рокар использовал распределение (2.2.13b) с параметром ς = 2 (кривая n = 2 на рис.2.2.4) при расчете атмосферных индикатрис. Начиная с пятидесятых годов, обобщенное и простое Г-распределение широко используются для расчета оптических характеристик полидисперсных систем как в атмосферной оптике, так и в оптике океана. Дейрменджаном в 1969 г. была предложена модель облака, в которой использовалось простое Г - распределение для описания размеров радиусов капель воды с модальным радиусом am = 4 м*м и параметром анизотропии ς = 6 (рис.2.2.4, n = 6 ),

когда a = ( 7 / 6 ) am ≈ 4.7 м*м . В этой модели была рассчитана индикатриса для длины волны света λ = 0.7 м*м . Данная индикатриса, получившая название Cloud1, наиболее часто используется при расчетах распространения света в облаках. На рис.2.2.5 представлены индикатрисы Cloud1 и индикатриса, рассчитанная по формулам Ми для значений n%2… = 1.33 и

72

β = 2πam / λ = 35.9 . Видно, что после усреднения исчезли интерференционные максимумы и минимумы. Кривая χ(cos γ ) стала гораздо более плавной. На рис. 2.2.6 изображены усредненные индикатрисы χ∗ = 4πχ ( cos γ ) в полидисперсной среде для тех же значений n%2… , что и на рис.2.2.3. Представлены усредненные индикатрисы в полидисперсных средах, когда имеется существенный разброс по размерам частиц: β = 20,50,100 и βmax = 200 . Видно, что кривые

χ∗ (cos γ ) стали почти монотонными. Исчезли интерференционные максимумы (радуги) и минимумы, за исключением "горба" в радугах на рис.2.2.6b. Из рисунков видно, что усредненные индикатрисы становятся более плавными при меньших размерах частиц ( β = 20 ) – сплошные кривые на обоих рисунках.

χ ( γ )

1 0 0 0

1 0 0

1 0

1

0 ,1

0 ,0 1

1 E - 3

γ

1 E - 4 0

2 0

4 0

6 0

8 0

Ð

1 0 0

1 2 0

1 4 0

1 6 0

1 8 0

è ñ .5

Рис. 2.2.5. Индикатрисы Cloud 1 (кружки) и рассчитанная по формулам Ми для значений n %2… = 1.33 , β = 2πamd / λ = 35.9 (сплошная кривая)

Кроме того, чем n%2… ближе к единице, т.е. чем частица оптически мягче, тем усредненная индикатриса тоже оказывается более плавной функцией угла рассеяния γ . Видно, что сплошная

73

кривая на рис.2.2.6,a для n%2… = 1.02 выглядит явно более плавной, чем сплошная кривая на рис.2.2.6,b, когда n%2… = 1.15 .

a)

b) Рис. 2.2.6. Полидисперсные индикатрисы рассеяния. Дифракционный параметр

β

ρ , а n%2… через m . Все кривые построены в логарифмическом масштабе по вертикальной оси: a – m = 1.02 ; b – m = 1.15 обозначен

74

Из рис. 2.2.5 и 2.2.6,b видно, что даже после усреднения индикатрисы рассеяния на крупномасштабных рассеивающих центрах (a >> λ) имеют весьма сложный вид, с трудом поддающимся записи в сколь-нибудь простом аналитическом виде, т.е. в виде сравнительно простых формул. Это обстоятельство вынуждает использовать либо наиболее простые индикатрисы, когда сохраняются несколько первых членов разложения (2.1.4) в ряд по полиномам Лежандра – изотропную, линейную, трехчленную (когда a << λ ), либо достаточно простые, модельные индикатрисы рассеяния: полинаправленные, экспоненциальную, гауссовскую, дифракционную, резерфордовскую, индикатрису Хеньи – Гринстейна, двухпараметрическую индикатрису обобщенно-степенного вида и т.д.. Конкретный вид этих модельных индикатрис и их основные свойства обсуждаются в следующем параграфе настоящей главы. §3. Модельные индикатрисы при произвольном угле рассеяния Учитывая сложный вид реальных индикатрис рассеяния, для описания распространения излучения в среде на практике часто используют модельные индикатрисы. В этом разделе приводятся некоторые, наиболее используемые из них. Каждая из приведенных ниже индикатрис χ ( cos γ ) нормирована условием (2.1.2), а средний косинус угла рассеяния определяется по формуле (2.1.12). Для удобства изложения перепишем их заново: π

2π ∫ χ ( cos γ ) sin γd γ = 1 ;

(2.3.1a)

0

π

cos γ = 2π ∫ cos γ χ ( cos γ ) sin γd γ .

(2.3.1b)

0

Полинаправленные индикатрисы рассеяния Простейшими модельными индикатрисами рассеяния являются полинаправленные индикатрисы, которые предписывают рассеяние фотона в строго определенных направлениях. Такие индикатрисы представляют собой линейную комбинацию δ -функционных

75

слагаемых, каждое из которых определяет вероятность рассеяния фотона только в строго определенном направлении по отношению к направлению его первоначального движения: 1 N (2.3.2a) χN ( cos γ ) = ∑ pk δ ( cos γ − cos γk ) . 2π k =1 Здесь γk – заданное k -е значение угла рассеяния относительно направления первоначального движения фотона; N – число углов, под которыми может рассеяться фотон при одном акте взаимодействия с рассеивающим центром. Величина pk есть вероятность рассеяния на угол γk . Из условия нормировки (2.3.1a) получаем, что N

∑ pk = 1 .

(2.3.2b)

k =1

Средний косинус угла однократного рассеяния (2.3.1b) будет определяться выражением N

cos γ = ∑ pk cos γk .

(2.3.2с)

k =1

Использование модельных полинаправленных индикатрис рассеяния позволяет сравнительно просто найти точное решение уравнения переноса и аналитически рассчитать все характеристики излучения как внутри среды, так отраженного и прошедшего излучения при произвольных углах рассеяния и при точном выполнении всех граничных условий. Простейшими индикатрисами вида (2.3.2a) являются “игольчатая” (однонаправленная) индикатриса рассеяния и индикатриса рассеяния “вперед – назад” (двухнаправленная индикатриса рассеяния). 1. Игольчатая индикатриса получается из формулы (2.3.2a), если в ней сохранить только одно слагаемое и положить γ1 = 0 или γ1 = π : 1 1 χ↓↓ ( cos γ ) = δ ( cos γ − 1) , χ↑↓ ( cos γ ) = δ ( cos γ + 1) . (2.3.3) 2π 2π

76

Индикатриса χ↓↓ ( cos γ ) предписывает фотону рассеяние только вперед, а индикатриса χ↑↓ ( cos γ ) предписывает рассеяние строго назад. 2. Индикатриса “вперед – назад” получается из формулы (2.3.2a), если в ней сохранить два слагаемых, положив γ1 = 0 и γ2 = π : 1 χ ( cos γ ) = {p δ ( cos γ − 1) + p↑↓δ ( cos γ + 1)} ; (2.3.4a) 2π ↓↓ p↓↓ + p↑↓ = 1 . (2.3.4b) Величина p↓↓ есть вероятность того, что фотон при рассеянии не изменит направление своего движения. Величина p↑↓ определяет вероятность того, что фотон при рассеянии изменит направление движения на противоположное. Таким образом, индикатриса “вперед – назад” есть линейная комбинация двух “игольчатых” индикатрис (2.3.3), взятых с соответствующими весовыми коэффициентами. Средний косинус угла однократного рассеяния для индикатрисы “вперед – назад” определяется формулой (2.3.2с): cos γ = p↓↓ − p↑↓ . (2.3.4с) Из двух уравнений (2.3.4b) и (2.3.4с) находим, что 1 + cos γ 1 − cos γ p↓↓ = , p↑↓ = . (2.3.4d) 2 2 Таким образом, индикатриса “вперед – назад” зависит от одного свободного параметра – среднего косинуса угла однократного рассеяния. Если реальную индикатрису с известным значением cos γ в силу каких-то обстоятельств можно с приемлемой правдоподобностью заменить простой модельной индикатрисой “вперед – назад”, то фотон, влетевший в вещество (или испущенный источником), будет двигаться вдоль прямой, систематически меняя направление своего движения на обратное. Другими словами, при использовании модельной индикатрисы “вперед – назад” происходит одномерное блуждание фотона в случайной среде.

77

Однопараметрические индикатрисы рассеяния Однопараметрические индикатрисы рассеяния χ ( cos γ; g ) зависят от одного параметра g , который определяет степень анизотропии однократного рассеяния. При рассеянии фотонов в большинстве случайных сред индикатрисы рассеяния вытянуты вперед. В таких средах величина g не отрицательна и изменяется в пределах 0 ≤ g ≤ 1 . При g → 0 из всех формул для модельных индикатрис рассеяния следует изотропный закон рассеяния: ,ƒ2! ) χ cos γ; g → 0 → χ( = 1 / 4π .

(

)

При g → 1 получаем игольчатую (абсолютно анизотропную) индикатрису рассеяния (2.3.3): 1 χ ( cos γ; g → 1) → δ (1 − cos γ ) . 2π Во многих случаях вместо параметра g бывает удобно ввести другой параметр анизотропии – γ eff . Величины g и γ eff связаны соотношениями 2

⎡ γ2ef γ ef ⎤ ⎥ . − g = ⎢ 1+ (2.3.5) ⎢ 4 2 ⎥ ⎣ ⎦ Из первой формулы (2.3.5) видно, что при изменении параметра g в пределах 0 ≤ g ≤ 1 , параметр γ eff меняется в бесконечных пределах: 0 ≤ γ eff < ∞ . Изотропному рассеянию ( g = 0) 1−g γ eff = ; g

соответствует

значение

анизотропному

рассеянию

γ eff ( g → 0 ) → ∞ .

( g = 1)

соответствует

Абсолютно значение

γ eff ( g = 1) = 0 . При записи приведенных ниже модельных

индикатрис рассеяния можно в равной мере использовать в качестве параметра анизотропии как величину g , так и величину γ eff . Все определяется удобством пользования и простотой

78

выражений для индикатрис рассеяния. Следует отметить, что при рассеянии на малые углы ( γ << 1) параметр γ eff всегда имеет простой

физический

смысл:

величина

γ eff

определяет

эффективный (характерный) угол однократного рассеяния. Индикатриса рассеяния гауссовского вида ⎧⎪ 2 ⎫⎪ A G χ( ) cos γ; γ eff = exp ⎨ − 1 − cos γ ) ⎬ . ( 2 2π ⎪⎩ γ eff ⎭⎪

(

)

(2.3.6a)

−1

⎛ 2 ⎧⎪ 4 ⎞ ⎫⎪ A γ eff = 2 ⎨1 − exp ⎜ − 2 ⎟ ⎬ ; A γ eff → ∞ = 1 / 2 . (2.3.6b) ⎜ γ eff ⎟ ⎪ γ eff ⎪⎩ ⎝ ⎠⎭ G cos γ ( ) = cth 2 / γ2eff − γ2eff / 2 . (2.3.7)

(

)

(

(

)

)

Как и должно быть, при изотропном рассеянии G cos γ ( ) = 0 ,

в

обратном

предельном

случае

( γeff → ∞ ) ( γeff → 0)

G cos γ ( ) = 1 .

Индикатриса рассеяния Хеньи – Гринстейна (индикатриса Х–Г)

имеет вид: 1 1 − g2 , g < 1. (2.3.8) 3/2 4π ⎡ 1 + g2 − 2g cos γ ⎤ ⎣ ⎦ При g = 0 индикатриса Х–Г переходит в изотропную индикатрису χ(

H −G )

( cos γ ) =

рассеяния. Чем ближе g к единице, тем индикатриса Х–Г более вытянута: при g > 0 – вперед, при g < 0 – назад. В предельных случаях при g → 1 и g → −1 индикатриса Хеньи-Гринстейна переходит в игольчатые индикатрисы (2.3.3). Подставляя (2.3.8) в (2.3.1b), получим, что H −G ) cos γ ( = g. (2.3.9)

79

Таким образом, для индикатрисы Х–Г параметр анизотропии g имеет простой физический смысл – величина g определяет средний косинус угла однократного рассеяния. Замечательная особенность индикатрисы Хеньи – Гринстейна состоит в том, что её разложение в ряд по полиномам Лежандра имеет чрезвычайно простой вид: 1 ∞ H −G ) (2.3.10) χ( ( cos γ ) = ∑ ( 2l + 1) gl Pl ( cos γ ) . 4π l = 0 Таким образом, все коэффициенты разложения χl в ряд по полиномам Лежандра очень просто выражаются через значение параметра анизотропии, т.е. через средний косинус угла рассеяния χl = gl . (2.3.11) (Естественно, полагая в (2.3.11) l = 1 , получаем, что χ1 = cos γ = g ). Разложение индикатрисы Х–Г в ряд по полиномам Лежандра (2.3.10) легко получается из формулы для производящей функции полиномов Лежандра

(1 + g2 − 2gx )

−1/2

∞ = ∑ gl Pl ( x ) .

l =0

Поскольку −1/2

⎛ 1 + g2 ⎞ − x⎟ 1 + g − 2gx , ⎜ ⎜ 2g ⎟ ⎝ ⎠ то, вводя в этой формуле вместо величины g новый параметр

(

(

2

)

−1/2

1 = 2g

)

a = 1 + g2 / 2g , т.е. g = a − a2 − 1 ,

dg a − a2 − 1 =− da a2 − 1

запишем: l +1/2

∞ ∞ = 2g ∑ gl Pl ( x ) = 2 ∑ ⎡a − a2 − 1 ⎤ Pl ( x ) . ⎢ ⎥⎦ l =0 l =0 ⎣ Дифференцируя это выражение по параметру a , получаем:

( a − x )−1/2

80

a2 − 1

∞

= ∑ ( 2l + 1) ⎡ a − a2 − 1 ⎤ 3/2 ⎢⎣ ⎥⎦ 2 (a − x) l =0

l +1/2

Pl ( x ) =

∞

= g ∑ ( 2l + 1) g l Pl ( x ). l =0

Подставляя сюда значение a , выраженное через g , приходим к разложению (2.3.10). Индикатриса (2.3.8) была введена названными авторами при изучении распространения света в Галактике. Формулой (2.3.8) довольно хорошо апроксимируются реальные аэрозольные индикатрисы рассеяния. Поэтому её часто используют при численных расчетах интенсивности излучения, полагая g = cos γ , где cos γ – средний косинус реальной (моделируемой) индикатрисы рассеяния. Учитывая вторую формулу (2.3.5), индикатриса Х–Г и средний косинус угла рассеяния в терминах параметра γ eff будут выглядеть так: H −G ) χ( ( cos γ ) = =

γ ef 1 + γ2ef / 4 (2.3.12) 1 1 , 3/2 2π ⎛ 1 + γ 2 / 4 − γ / 2 ⎞ ⎡ 2 ⎜ ⎟ γ ef + 2 (1 − cos γ ) ⎤ ef ef ⎦ ⎝ ⎠⎣ H −G ) cos γ ( = ⎛⎜ 1 + γ2ef / 4 − γ ef / 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ 1 . = 2 ⎛ 1 + γ2 / 4 + γ / 2 ⎞ ⎜ ⎟ ef ef ⎝ ⎠

2

=

(2.3.13)

Индикатриса резерфордовского вида

(1 − g2 )

2

χ(

Ruth )

( cos γ ) =

4π ⎡1 + g2 − 2g cos γ ⎤ ⎣ ⎦

81

2

,

(2.3.14)

2

1+ g Ruth ) cos ( = 2g

При

g→0

1 − g2 ) ( +

2

2

4g

ln

ln ⎡⎣(1 − g ) / (1 + g)⎤⎦ ≈ −2g

1− g . 1+ g

и

(2.3.15) получаем,

что

Ruth ) Ruth ) cos ( → 0 . При g → 1 значение cos ( → 1.

В терминах коэффициента анизотропии γ eff индикатриса резерфордовского вида (2.3.14) и средний косинус угла рассеяния (2.3.15) будут выглядеть так:

(

γ2ef 4 + γ2ef

Ruth ) χ( ( cos γ ) =

)

, (2.3.16) 2 2 ⎡ ⎤ 4π γ ef + 2 (1 − cos γ ) ⎣ ⎦ γ2ef ⎧⎪⎛ γ2ef ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎫⎪ Ruth ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 1⎬ . (2.3.17) =1− + + cos γ ( 1 ln 1 ⎨ 2 ⎟ 2 ⎪⎜ 4 ⎟ ⎜ γ ef ⎠ ⎝ ⎠ ⎭⎪ ⎩⎝ При γ2eff → ∞ из (2.3.16) получаем изотропный закон рассеяния. Ruth ) cos γ ( → 0 . При γ2eff → 0 получаем При этом Ruth ) cos γ ( = 1 , как и должно быть для игольчатой индикатрисы.

Двухпараметрическая индикатриса обобщенно-степенного вида Рассмотрим двухпараметрическую индикатрису рассеяния обобщенно-степенного вида: Aν ( g ) ν , χν ( cos γ ) = ( ν > −1 / 2) . (2.3.18) ν+1 2π ⎡ 2 ⎤ 1 + g − 2g cos γ ⎣ ⎦ Aν (g) =

(

2g 1 − g2

)

2ν

(1 + g )2ν − (1 − g )2ν

;

Aν (g → 0) = 1 / 2ν .

(2.3.19)

Первый параметр g определяет степень анизотропии (узость) индикатрисы рассеяния. Второй параметр ν определяет быстроту

82

убывания χν ( cos γ ) с увеличением угла однократного рассеяния γ . Изотропному рассеянию соответствует, как обычно, значение g = 0 . Частными случаями этой индикатрисы являются

( ν = 1)

рассмотренные выше резерфордовская индикатриса

и

индикатриса Хеньи – Гринстейна ( ν = 1 / 2 ) . При ν = 5 / 6 индикатриса (2.3.18) выражает закон Колмогорова – Обухова рассеяния света в турбулентной среде, когда χ γ >> γ ef ~ γ −11/3 .

(

)

cos γ ν , выраженное через параметры g и ν , выглядит следующим образом: 2 ν−1 g (1 − g ) ( ) ⎤ (1 − g )2 ⎡⎢ ⎥ . (2.3.20) cos γ ν = 1 − 1 − 4ν 2ν 2ν ⎥ 2g (1 − ν ) ⎢ (1 + g ) − (1 − g ) ⎦ ⎣ При ν = 1/ 2 из формулы (2.3.20) получаем, что H −G ) cos γ = cos γ ( = g.

Значение

1/2

Если в качестве параметра анизотропии использовать величину γ eff , то выражение для двухпараметрической индикатрисы рассеяния (2.3.18) запишется так: Aν γ eff ν , χν ( cos γ ) = 1+ν π⎡ 2 ⎤ γ + 2 (1 − cos γ ) ⎣ ef ⎦

(

Aν ( γ eff ) =

)

(

γ2efν 4 + γ2ef

(

4 + γ2ef

)

ν

)

( ν > −1 / 2) .

(2.3.21)

ν

− γ2efν

.

(2.3.22)

cos γ ν при любых γ ef для индикатрисы (2.3.21) может быть рассчитано по формуле ⎧ ⎫ 2( ν−1) γ ef γ2ef ⎪ ⎪ cos γ ν = 1 − (2.3.23) ⎨1 − 4ν ⎬. ν 2 ( ν − 1) ⎪ 4 + γ2ef − γ2efν ⎪ ⎩ ⎭

Значение

(

83

)

1 2

3

γ

(рад)

a)

1

γ

(рад

b) Рис. 2.3.1. Графики двухпараметрических индикатрис рассеяния при значении γ eff = 0.3 : 1 – ν = 1 (индикатриса резерфордовского типа); 2 – ν = 5 / 6 (индикатриса Колмогорова – Обухова); 3 – ν = 0.5 (индикатриса Хеньи – Гринстейна); a – диапазон изменения угла рассеяния 0 ≤ γ ≤ 0.5 ; b– диапазон изменения угла рассеяния 0.5 ≤ γ ≤ 1

84

На рис. 2.3.1 представлены графики зависимости индикатрис рассеяния при значении γ eff = 0.3 для трех различных значений параметра ν = 0.5,1 и ν = 5 / 6 . На рис. 2.3.1,a диапазон изменения угла рассеяния 0 ≤ γ ≤ 0.5 . На рис. 2.3.1,b диапазон изменения угла рассеяния 0.5 ≤ γ ≤ 1 , что позволяет более четко увидеть характер изменения индикатрис рассеяния при относительно больших значениях угла рассеяния γ . Видно, что все индикатрисы достаточно плавно спадают с увеличением угла γ . Наиболее вытянутой является индикатриса резерфордовского типа ν = 1 (кривая 1). Индикатриса Хеньи – Гринстейна (кривая 3) наименее вытянута (рис.2.3.1a) и спадает с увеличением угла рассеяния наиболее медленно (рис. 2.3.1,b). Индикатриса рассеяния Колмогорова – Обухова (кривая 2) занимает как бы промежуточное положение между резерфордовской и индикатрисой Хеньи – Гринстейна.

85

Глава 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ОБЪЕМНЫХ ИСТОЧНИКОВ В ПЛОСКИХ СРЕДАХ §1. Уравнение переноса в средах с плоскими границами при отсутствии внешнего облучения Во многих случаях приходится рассматривать распространение потоков светового излучения в рассеивающих средах с плоскими границами. С такого рода задачами сталкиваемся, например, при изучении распространения солнечного излучения в атмосфере Земли и водах Мирового океана, а также при распространении световых потоков через различные искусственные объекты с плоскими границами. Если к тому же внутри слоя находятся плоские источники излучения или на поверхность такого слоя вещества падают широкие световые потоки, то реализуются условия так называемой плоской геометрии. В таких задачах интенсивность излучения зависит только от одной продольной декартовой координаты и не зависит от поперечных координат. С математической точки зрения, задачи с плоской геометрией относятся к классу наиболее простых и в то же время наиболее распространенных и изученных задач теории переноса. Таким образом, для реализации условий плоской геометрии необходимо выполнение двух условий: 1. Наличие плоского слоя вещества произвольной толщины L , ограниченного двумя параллельными бесконечными плоскостями. Будем считать, что границами вещества будут плоскости z = 0 и z = L соответственно. Если толщина слоя L → ∞ , т.е. 0 ≤ z < ∞ , то говорят о распространении излучения в полубесконечной среде. Если вещество занимает все полное пространство −∞ < z < ∞ , то говорят о распространении излучения в бесконечной среде. 2. Наличие внутри слоя вещества, плоских объемных источников G QV = QV z; Ω; t , плотность которых зависит только от глубины

(

)

z и не зависит от поперечных координат, или при внешнем облучении поверхности вещества бесконечно широкими световыми потоками, интенсивность которых в каждый момент времени одинакова во всех точках облучаемой плоской поверхности.

86

Ниже исследуется в основном распространение стационарного светового излучения. Это тем более оправдано, так как нестационарное уравнение переноса с помощью преобразования Лапласа по времени сводится формально к стационарному уравнению (1.4.6) с комплексным "временным поглощением" ( κ + p / c ) ., которое учитывает конечность скорости распространения света и связанный с этим эффект "запаздывания". Уравнение переноса в условиях плоской геометрии при наличии объемных источников. Оптическая глубина Рассмотрим плоский однородный слой вещества толщиной L , внутри которого находятся плоские световые источники с произG вольной объемной плотностью QV (z; Ω) . Будем считать, что падающее снаружи слоя излучение отсутствует. В этом случае световое поле как внутри вещества, так и выходящее излучение определяется только наличием указанных выше источников. Ось z направим по нормали к поверхности в глубь среды, т.е. вниз. Поскольку величина QV не зависит от поперечных координат ( x, y ) , G то интенсивность света зависит только от глубины z : I = I(z; Ω) . Уравнение переноса для интенсивности излучения внутри слоя вещества имеет обычный вид: G ∂I z; Ω μ = ∂z (3.1.1) G G G G G = −εI z; Ω + σ ∫∫ χ Ω′ → Ω I z; Ω′ d Ω′ + QV z; Ω .

(

)

(

)

4π

(

) (

)

(

)

Граничные условия на поверхности слоя, при отсутствии падающего из вне излучения, имеют вид: I(z = 0; μ > 0, ϕ) = 0 ; I(z = L; μ < 0, ϕ) = 0 . (3.1.2) G G G Здесь μ = (ez , Ω) = cos θ , где ez – единичный орт вдоль оси z ; θ и ϕ – полярный и азимутальный углы единичного вектора скорости G фотона: Ω ( θ, ϕ ) . Если излучение распространяется в глубь вещества в сторону нижней границы z = L (нисходящее излучение), то

87

значения полярного угла 0 ≤ θ < π / 2 , т.е. 0 < μ ≤ 1 . Излучению, распространяющемуся в сторону верхней границы z = 0 (восходящее излучение), соответствуют значения полярного угла π / 2 < θ < π , т.е. −1 ≤ μ < 0 . Азимутальный угол, как обычно, меняется в пределах 0 ≤ ϕ ≤ 2π , ( −π ≤ ϕ ≤ π ) . При решении задач теории переноса в условиях плоской геометрии удобно вместо глубины z ввести безразмерную оптическую глубину τ и вероятность выживания кванта Λ 1. В случае однородной среды: τ = εz = ( κ + σ ) z , Λ = σ / ε = σ / ( κ + σ) . (3.1.3) Поделив обе части уравнения (3.1.1) на величину коэффициента G экстинкции ε = κ + σ , получим для интенсивности I τ; Ω τL сле-

(

)

дующее уравнение: G ∂I(τ; Ω τL ) μ = ∂τ G G G G G (3.1.4) = −I(τ; Ω τL ) + Λ ∫∫ χ Ω′ → Ω I τ; Ω′ τL d Ω′ + q V (τ; Ω); 4π

(

) (

)

I(τ = 0; μ > 0, φ τL ) = 0 , I(τ = τL ; μ < 0, φ τL ) = 0 . (3.1.5) Здесь τL = εL – оптическая толщина однородного слоя вещества G G L . Заметим, что величины QV (z; Ω) и q V (τ; Ω) имеют разные раз-

мерности [QV ] = b2/м3 , [q V ] = b2/м2 , т.е. размерность q V такая же, как у интенсивности: [q V ] = [ I ] . Величины QV и q V связаны соотношением: G G G G QV (z = τ / ε; Ω) , т.е. QV (z; Ω)dz = q V (τ; Ω)d τ . (3.1.6) q V (τ; Ω) = ε Граничные условия (3.1.5) отражают тот факт, что на поверхностях слоя вещества τ = 0 и τL = εL отсутствует внешнее излучение, т.е. они являются свободными границами. На поверхности слоя есть только выходящее из вещества излучение (рис.3.1.1). Условия (3.1.5) представляют специфические, как бы “разорванные” гра1

Часто вероятность выживания кванта обозначается буквой ω .

88

ничные условия. В отличие от стандартных граничных условий, известных из курса “Уравнения математической физики”, ни на нижней, ни на верхней поверхности слоя вещества не задана интенсивность излучения во всем интервале значений −1 ≤ μ ≤ 1 . На верхней границе τ = 0 задано значение интенсивности только для положительных значений 0 ≤ μ ≤ 1 , а на нижней границе слоя τ = τL – для отрицательных значений −1 ≤ μ ≤ 0 . Интенсивность выходящего излучения на верхней и на нижней границах I↑ ( τ = 0 ) = I ( τ = 0; μ < 0, ϕ ) , I↓ ( τ = τL ) = I ( τ = τL ; μ > 0, ϕ ) заранее не известны и также подлежат определению в процессе решения задачи. Более того, во многих случаях именно угловое распределение выходящего излучения представляет основной интерес (альбедные задачи в теории переноса). Если среда неоднородная (стратифицированная среда), величина ε зависит от глубины z . В этом случае z

L

τ = ∫ ε ( z′ ) dz′ ,

τL = ∫ ε ( z′ ) dz′ .

0

(3.1.7)

0

При этом, оптическая толщина даже полубесконечного слоя вещества может оказаться конечной величиной, если ε ( z ) достаточно быстро убывает с глубиной ∞

τL →∞ = ∫ ε ( z′ ) dz′ .

(3.1.8)

0

Например, если ε ( z ) = ε0 exp ( −ε0z ) , то оптическая толщина такого полубесконечного слоя вещества равна единице. Отметим, что даже в стратифицированной среде вероятность выживания кванта (альбедо однократного рассеяния) может не зависеть от глубины σ (z) Λ= = const . (3.1.9) κ (z) + σ (z) Для постоянства величины Λ необходимо, чтобы зависимость коэффициента рассеяния σ ( z ) и коэффициента истинного поглощения κ ( z ) от глубины z были одинаковыми. В дальнейшем, если это не оговаривается особо, будем предполагать что условие (3.1.9)

89

выполняется. При рассмотрении различных задач будем использовать как обычную глубину z , так и оптическую глубину τ , в зависимости от удобства, наглядности и простоты интерпретации получаемых результатов. В табл. 3.1.1 приведены значения оптических толщин и вероятности выживания кванта для различных естественных и искусственных сред. Как видим, диапазон изменения этих величин варьируется в широких пределах в зависимости от вида среды. Таблица 3.1.1. Значения оптических толщин и вероятности выживания кванта для различных сред Естественные среды Атмосфера Море Безоблачная Облачная Оптические параметры Видимая Видимая ИК- обобласть область ласть

τL

≈ 0.5

1-10

1-100

∞

Λ

0.5-1.0

0.98-1.0

0.3-0.8

0.5-0.9

Оптические параметры

τL Λ

Искусственные среды Фотографический материал Не проявленПроявленный ный 1- ∞ 0.1 - 10 0.1 - 0.9

0.95 - 1.0

Модельная среда Молоко

Латекс

0 -∞

0 -∞

0 - 1.0

0 - 1.0

G Любой объемный источник q V τ; Ω , произвольно распреде-

(

)

ленный в области глубин 0 ≤ τ ≤ τL , т.е. не зависший от поперечных координат, всегда можно представить в виде суперпозиции плоских источников τL G G q V τ; Ω = ∫ qΣ τ0 ; Ω δ ( τ − τ0 ) d τ0 . (3.1.10)

(

)

0

(

)

В силу линейности уравнения переноса достаточно ограничиться вычислением интенсивности излучения от плоского мононаправленного источника, расположенного на произвольной глубине τ0 , вида

90

G G q V τ; Ω τ0 = qΣ Ω τ0 δ ( τ − τ0 ) , (0 < τ0 < τL ) . (3.1.11) G Величина qΣ Ω τ0 определяет угловое распределение такого

(

(

)

)

(

)

плоского источника в плоскости τ = τ0 и не зависит от глубины τ G (рис. 3.1.1). В то же время величина qΣ Ω τ0 зависит от τ0 как от

(

)

параметра, так как при различных τ0 угловое распределение испускаемых фотонов может быть различным.

I ↑ (τ = 0; μ < 0) 0

τ=0 τL

G qΣ τ 0 ; Ω

(

)

τ0

θ

I ↓ (τ L ; μ > 0)

G Ω

τ

Рис. 3.1.1. Схематическое изображение плоского слоя вещества

τL с располо-

qΣ на глубине τ0 . На рисунке условно изображены фотоны, выходящие из вещества через верхнюю поверхность τ = 0 ( π / 2 < θ, μ < 0 ) и через нижнюю поверхность слоя τ = τL ( θ < π / 2, μ > 0 ). Звездочкой отмечена точка поглощения фотона женным внутри него плоским источником

91

G G

G

( dΣ, Ω ) ⋅ qΣ ( Ω τ0 )

Величина

есть количество световой энерG гии, испускаемой с элементарной площадки dΣ плоского источниG ка в направлении Ω в единицу времени. В рассматриваемом случае, когда плоский источник (3.1.11) ориентирован перпендикулярG G G G G G G но к оси τ , dΣ = eτ dΣ . Поэтому dΣ, Ω = eτ , Ω dΣ = μ dΣ ,

(

) (

)

где μ = cos θ . Следовательно, количество световой энергии, испускаемой плоским источником, расположенным на глубине τ0 в

направлении ( μ, ϕ ) с единицы его поверхности в единицу времени определяется выражением G μ qΣ Ω τ0 = μ qΣ ( μ, ϕ τ0 ) . (3.1.12) ( −1 ≤ μ ≤ 1) .

(

)

При μ > 0 фотоны испускаются в глубь вещества (в нижнюю полусферу), а при μ < 0 в сторону поверхности τ = 0 (в верхнюю полусферу). Полная энергия, испускаемая источником с единицы поверхности во всех направлениях в единицу времени (мощность источника, отнесенная к единице поверхности), определяется выражением 2π

1

0

−1

PΣ = ∫ dφ ∫ μ qΣ ( τ0 ; μ, ϕ ) dμ .

(3.1.13)

§2. Нерассеянное излучение в средах с плоскими границами при наличии объемных источников Нерассеянное излучение определяет вклад в полную интенсивность излучения от тех фотонов, которые, будучи испущенные исG точником q V в направлении Ω , ни разу не изменили направления своего движения. Нерассеянные фотоны распространяются прямолинейно из точки их испускания до поверхности вещества. Пересекая эту поверхность, они “выбывают” из игры. Из сказанного ясно, ….!=“ ) G G (r ; Ω) не завичто интенсивность нерассеянного излучения I ( сит от закона однократного рассеяния (и вероятности выживания кванта Λ ), а определяется только характером распределения ис-

92

точников в среде. Поэтому уравнение переноса для интенсивности нерассеянного излучения не должно содержать интегрального слагаемого в правой части уравнения (3.1.4), которое как раз определяет процессы рассеяния фотонов, и выглядит так: G ⎛ ∂ ⎞ ….!=“ ) G G + 1⎟ I ( (r ; Ω) = q V (τ; Ω) . (3.2.1) ⎜μ ⎝ ∂τ ⎠ Граничные условия для плоского слоя τL имеют прежний вид (3.1.5), так как в рассматриваемом случае отсутствует падающее на поверхность вещества излучение ….!=“ ) ….!=“ ) I( (τ = 0; μ > 0, ϕ) = 0 , I ( (τ = τ ; μ < 0, ϕ) = 0 . (3.2.2) L

Уравнение (3.2.1) представляет собой “укороченное” уравнение переноса (3.1.4), в котором отсутствует интегральное слагаемое, описывающее "приход" фотонов из-за упругого рассеяния из проG извольного состояния Ω′(μ′, ϕ′) в рассматриваемое состояние G Ω(μ, ϕ) . В отличие от интегродифференциального уравнения (3.1.4) для полной интенсивности излучения, “укороченное” уравнение переноса (3.2.1) является линейным дифференциальным уравнением (в частных производных) первого порядка. Поэтому вычисление интенсивности нерассеянного излучения является простейшей задачей теории переноса. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (3.2.1) можно записать с помощью пространственно-угловой функции Грина (ФГ) нерассеянного излучения G G ….!=“ ) G( (τ − τ′; Ω; Ω′) , которая удовлетворяет уравнению G G G G ⎛ ∂ ⎞ ….!=“ ) (τ − τ′; Ω; Ω′) = δ(τ − τ′)δ(Ω − Ω′) . (3.2.3) + 1⎟ G ( ⎜μ ⎝ ∂τ ⎠ Тогда, в силу линейности уравнения (3.2.1), интенсивность нерас….!=“ ) сеянного излучения I ( при произвольном распределении исG точников q V (τ; Ω) внутри слоя вещества можно рассчитать по формуле

93

I( τL

= ∫ d τ′ ∫∫ G ( 0

4π

….!=“ )

….!=“ )

G (τ; Ω τL ) =

G G G (τ − τ′; Ω; Ω′)q V (τ′; Ω′)dΩ′.

(3.2.4)

….!=“ ) Функция Грина G ( фактически определяет интенсивность нерассеянного излучения от плоского мононаправленного источника единичной мощности, расположенного на глубине τ = τ′ и испусG кающего фотоны в направлении Ω′(μ′, ϕ′) . Если μ′ = cos θ′ > 0 , то фотоны испускаются в сторону границы τ = τL (рис. 3.2.1,a). Если μ′ = cos θ′ < 0 , то фотоны испускаются в сторону границы τ = 0 (рис. 3.2.1,b).

τ=0 τ′

τ = τL

θ′

τ a)

94

I↓ ( τ L )

I↑ ( τ = 0 ) τ=0 τ′

OG d

G Ω′

θ′

τ = τL

τ b) Рис. 3.2.1. Условное изображение плоских мононаправленных источников, испускающих фотоны: а – вниз; b – вверх

Для того чтобы интенсивность нерассеянного излучения G ….!=“ ) ( I (τ; Ω) , определенная формулой (3.2.4), удовлетворяла граничным условиям (3.2.2), необходимо, чтобы и ФГ удовлетворяла тем же условиям на свободных поверхностях слоя: G ….!=“ ) G( (τ − τ′; μ > 0, ϕ; Ω′) = 0, τ=0

G ….!=“ ) G( (τ − τ′; μ < 0, ϕ; Ω′)

τ=τL

= 0.

(3.2.5)

Два граничных условия (3.2.5) могут быть записаны в виде одного эквивалентного дополнительного условия. Действительно, так как рассеяние отсутствует, то испущенные источником фотоны G G распространяются прямолинейно только в направлении Ω = Ω′ , т.е. μ = μ′ , ϕ = ϕ′ . Если фотоны испускаются в сторону границы ….!=“ ) τ = τ , (т.е. вниз) μ′ > 0 , то G ( = 0 над плоскостью источL

(

)

ника, т.е. при τ < τ′ (рис.3.2.1,a). Если фотоны испускаются в сто-

95

….!=“ ) рону границы τ = 0 , (т.е. вверх) ( μ′ < 0 ) , то G ( = 0 под плоскостью источника, т.е. при τ > τ′ (рис.3.2.1,b). Сказанное означает, что ФГ нерассеянного излучения должна удовлетворять одному дополнительному условию: G G ….!=“ ) G( (τ − τ′; Ω; Ω′) = 0 , если τ − τ′ / μ < 0 . (3.2.6)

(

)

Здесь учтено, что μ′ = μ . Из сказанного ясно, что решение уравнения (3.2.3) можно искать в виде: G G G G ….!=“ ) G( (τ − τ′; Ω; Ω′) = g(τ − τ′; μ)δ(Ω − Ω′) . (3.2.7) Подставляя (3.2.7) в (3.2.3), получаем уравнение для функции g(τ − τ′; μ) : ⎛ ∂ ⎞ + 1⎟ g(τ − τ′; μ) = δ(τ − τ′) , (3.2.8) ⎜μ ⎝ ∂τ ⎠ g(τ − τ′; μ) = 0 , если ( τ − τ′ ) / μ < 0 . (3.2.9) Для решения уравнения (3.2.8) введем новую переменную ξ = ( τ − τ′ ) / μ . Поскольку μ ( ∂ / ∂τ ) = d / dξ и δ(τ − τ′′) = δ(ξμ) = δ(ξ) / μ , то для функции g(ξ) получаем следующее уравнение и дополнительное условие: ⎛ d ⎞ δ(ξ) , g(ξ < 0) = 0 . (3.2.10) + 1⎟ g(ξ) = ⎜ μ ⎝ dξ ⎠ Общее решение неоднородного уравнения (3.2.10) складывается из общего решения однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения и находится элементарно: 1 g(ξ) = C exp ( −ξ ) + exp ( −ξ ) η(ξ) . (3.2.11) μ

Здесь η(ξ) – единичная функция, C – произвольная константа. Из условия g(ξ < 0) = 0 , когда η(ξ < 0) = 0 , сразу находим, что C = 0 . Следовательно, 1 exp ( −ξ ) η(ξ) . g(ξ) = (3.2.12) μ

96

Подставляя найденное значение g(ξ) в формулу (3.2.7) и, учитывая, что ξ = ( τ − τ′ ) / μ , получаем следующее выражение для ФГ нерассеянного излучения в условиях плоской геометрии: G G ….!=“ ) G( (τ − τ′; Ω; Ω′) = ⎛ τ − τ′ ⎞ ⎛ τ − τ′ ⎞ G G 1 exp ⎜ − (3.2.13) ⎟η⎜ ⎟ δ(Ω − Ω′) . μ μ ⎠ ⎝ μ ⎠ ⎝ ….!=“ ) Теперь, используя найденное значение G ( , из формулы G (3.2.4), после интегрирования по Ω′ , получим: =

G 1 ….!=“ ) (τ; Ω) = I( μ

τL ⌠ ⎛ ⎮ exp ⎜ − ⎮ ⎝ ⌡ 0

G τ − τ′ ⎞ ⎛ τ − τ′ ⎞ ⎟ η⎜ ⎟ q V (τ′; Ω)d τ′ . (3.2.14) μ ⎠ ⎝ μ ⎠

Формулу (3.2.14) можно представить в несколько ином виде: I(

….!=“ )

G 1 (τ; Ω) = μ

τL ⌠ ⎛ ⎮ exp ⎜ − ⎜ ⎮ ⎝ ⌡ 0

τ − τ′ μ

G ⎞ ⎛ τ − τ′ ⎞ ⎟⎟ η ⎜ ⎟ q V (τ′; Ω)d τ′ . (3.2.15) ⎠ ⎝ μ ⎠

В выражении (3.2.15) записано τ − τ′ / μ , вместо ( τ − τ′ ) / μ , поскольку из-за наличия единичной функции в подынтегральном выражении (3.2.14), величина ( τ − τ′ ) / μ всегда положительна. Величина τ − τ′ / μ есть оптический путь, который проходит фотон, распространяющийся прямолинейно в направлении μ ( −1 ≤ μ ≤ 1) c глубины τ′ , где он был испущен источником, до глубины τ . Пределы интегрирования в формулах (3.2.14), (3.2.15) реально определяются областью значений τ′ , где плотность источников q V отлична от нуля. При этом для слоя конечной толщины 0 < τ′ < τL , для полубесконечной среды 0 < τ′ < ∞ , для бесконечной среды −∞ < τ′ < ∞ . Обратим внимание на то, что в формулах (3.2.14), (3.2.15) интегрирование ведется только по глубине τ′ . Интегрирование по угловым переменным отсутствует. Это является следствием того,

97

что нерассеянные фотоны не могут изменить направление своего движения и распространяются прямолинейно в том направлении, в котором они были первоначально испущены источником. Формулы (3.2.14), (3.2.15) позволяют определить интенсивность не рассеянного излучения на глубине τ при произвольном распределении G объемных источников q V (τ; Ω) внутри слоя вещества. Переходя к обычной глубине z и, учитывая, что G G q V (τ′; Ω)d τ′ = QV (z′; Ω)dz′ и τ = εz , полученное выражение (3.2.15) можно записать в виде: I

( ….!=“ )

G 1 (z; Ω) = μ

L ⌠ ⎛ ⎮ exp ⎜ −ε ⎜ ⎮ ⎝ ⌡ 0

G z − z′ ⎞ ⎛ z − z ′ ⎞ ′ Q z Ω ( ; )dz′ . (3.2.16) ⎟⎟ η ⎜ V ⎟ μ ⎠ ⎝ μ ⎠

Из формулы (3.2.16) видно, что коэффициент экстинкции ε = κ + σ определяет быстроту ослабления нерассеянного излучения с увеличением пути, проходимого фотоном в направлении μ в слое вещества z − z′ . Пусть в веществе на глубине τ0 находится плоский источник

qΣ ( μ, ϕ ) (3.2.11), испускающий фотоны в произвольных направле-

ниях ( −1 ≤ μ ≤ 1; 0 ≤ ϕ ≤ 2π ) . Тогда после интегрирования по τ′ из (3.2.15) находим ( 0 < τ0 < τL ) :

⎛ τ − τ0 ⎞ ⎛ τ − τ0 ⎞ 1 exp ⎜⎜ − ⎟η⎜ ⎟ qΣ ( μ, ϕ ) . (3.2.17) μ μ ⎟⎠ ⎝ μ ⎠ ⎝ Таким образом, нерассеянное излучение не изменяет азимутального распределения фотонов, испускаемых источником. Определив интенсивность нерассеянного излучения, можно вычислить и плотность энергии нерассеянных фотонов по общей формуле (1.1.4) и плотность потока энергии нерассеянного излучения по формуле (1.1.12): G 1 ….!=“ ) ρ( (3.2.18) ( τ ) = ∫∫ I ( ….!=“ ) τ; Ω d Ω ; c 4π I(

….!=“ )

(τ; μ, ϕ τ0 ) =

(

98

)

jz(

….!=“ )

G

( τ ) = ∫∫ μI ( ….!=“ ) ( τ; Ω ) dΩ .

(3.2.19)

4π

Рассмотрим частный случай, когда в слое на глубине 0 < τ0 < τL находится мононаправленный плоский источник, исG пускающий фотоны в направлении Ω0 ( μ0 , ϕ0 = 0 ) ( −1 ≤ μ0 ≤ 1) в азимутальной плоскости ϕ0 = 0 (рис.3.2.1). Объемная плотность такого источника G q V (τ; Ω) = P0δ ( μ − μ0 ) δ ( ϕ ) δ ( τ − τ0 ) , т.е. qΣ ( μ, ϕ ) = P0δ ( μ − μ0 ) δ ( ϕ ) . (3.2.20) Энергия, испускаемая таким источником с единицы поверхности в единицу времени во всех направлениях (т.е. мощность источника, отнесенная к единице поверхности), в соответствие с формулой (3.1.13) будет определяться выражением 2π

1

0

−1

PΣ = ∫ d ϕ ∫ μ I0δ ( μ − μ0 ) δ ( ϕ ) dμ =P0 μ0 ,

[PΣ ] = b2/м2

.

(3.2.21) Подставляя первую формулу (3.2.20) в (3.2.14), или вторую формулу (3.2.20) в (3.2.17), получаем ( −1 ≤ μ0 ≤ 1) : G ….!=“ ) I( (τ; Ω τ0 ; μ0 ) = ⎛ τ − τ0 P = 0 exp ⎜⎜ − μ μ ⎝

⎞ ⎛ τ − τ0 ⎞ (3.2.22) ⎟⎟ η ⎜ ⎟ δ ( μ − μ0 ) δ ( ϕ ) . ⎠ ⎝ μ0 ⎠ ….!=“ ) Как и следовало ожидать, при μ0 > 0 величина I ( отлична от нуля только в области глубин под плоскостью источника – τ0 ≤ τ ≤ τL , а при μ0 < 0 в области глубин над плоскостью ис-

точника – 0 ≤ τ ≤ τ0 . Интенсивность выходящего излучения на границах τ = 0 и τ = τL будет выглядеть так:

99

I↑( =

….!=“ )

G (τ = 0; Ω τ0 ; μ0 ) =

⎛ τ ⎞ P0 exp ⎜ − 0 ⎟ η ( −μ0 ) δ ( μ − μ0 ) δ ( ϕ ) . ⎜ ⎟ μ0 ⎝ μ0 ⎠ G ….!=“ ) I ( (τ = τ ; Ω τ ; μ ) = ↓

L

0

(3.2.23)

0

⎛ τ − τ0 ⎞ P = 0 exp ⎜ − L ⎟ η ( μ0 ) δ ( μ − μ0 ) δ ( ϕ ) . μ0 μ0 ⎠ ⎝

(3.2.24)

Таким образом, через поверхность τ = τL фотоны выходят, если μ0 > 0 , когда η ( μ0 ) = 1 (рис. 3.2.1,a). Наоборот, через границу τ = 0 будут выходить фотоны только в том случае, если μ0 < 0 ,

когда η ( −μ0 ) = 1 (рис. 3.2.1,b). Подставляя выражение (3.2.22) в формулу (3.2.18), и выполняя интегрирование по всем направлениям распространения светового излучения, получим выражение для плотности энергии нерассеянных фотонов от плоского моно направленного источника на глубиG не τ0 , испускающий фотоны в направлении Ω0 ( μ0 , ϕ0 = 0 )

( −1 ≤ μ0

≤ 1) в азимутальной плоскости ϕ0 = 0 (рис.3.2.1):

1 P0 ….!=“ ) ρ( (τ μ0 , τ0 ) = c μ0

⎧ ⎛ τ − τ0 ⎞ ⎪exp ⎜ − ⎟ η ( τ − τ0 ) , μ0 ⎠ ⎝ ⎪ ⎨ ⎛ τ0 − τ ⎞ ⎪ ⎪exp ⎜⎜ − μ ⎟⎟ η ( τ0 − τ ) , 0 ⎠ ⎝ ⎩

μ0 > 0; μ0 < 0.

(3.2.25) ….!=“ ) ( отлична от нуля только в Видно, что при μ0 > 0 величина ρ области глубин под плоскостью источника – τ0 ≤ τ ≤ τL , а при μ0 < 0 в области глубин над плоскостью источника – 0 ≤ τ ≤ τ0 . Подставляя (3.2.22) в формулу (3.2.19), получаем выражение для проекции вектора плотности потока излучения на ось z (ось τ ):

100

⎧ ⎛ τ − τ0 ⎞ ⎪ exp ⎜ − ⎟ η ( τ − τ0 ) , μ 0 ⎝ ⎠ ⎪ ….!=“ ) τμ =P jτ( ( 0) 0 ⎨ ⎛ τ0 − τ ⎞ ⎪ − exp ⎜⎜ − ⎟⎟ η ( τ0 − τ ) , ⎪ μ 0 ⎝ ⎠ ⎩ ….!=“ ) Как и следовало ожидать, величина j ( τμ τ

ны jτ(

испускаются ….!=“ )

( τ μ0 ) < 0 ,

в

сторону

нижней

(

μ0 > 0;

(3.2.26) μ0 < 0. 0

) > 0 , если фото-

границы

( μ0

> 0)

и

если фотоны испускаются в сторону верхней

границы вещества ( μ0 < 0 ) . В плоскости источника τ0 величина jτ(

….!=“ )

имеет разрыв первого рода из-за наличия источника μ0 > 0; ⎧ P, ….!=“ ) jτ( ( τ = τ0 + 0 ) − jτ( ….!=“ ) ( τ = τ0 − 0 ) = ⎨ 0 μ0 < 0. ⎩−P0 , (3.2.27) Таким образом, определение интенсивности нерассеянного излучения не представляет никакого труда. При заданной плотности объG G ….!=“ ) (τ; Ω) емных источников q (τ; Ω) , нахождение величины I ( V

сводится просто к вычислению интеграла в формуле (3.2.15) или, в случае произвольного плоского источника qΣ ( μ, ϕ ) (3.2.20), по формуле (3.2.17). §3. Интегральная форма уравнения переноса при наличии в плоском слое объемных источников Получив общее выражение (3.2.14) или (3.2.15) для интенсивности нерассеянного излучения в плоском слое вещества τL при наG личии объемных источников q V (τ; Ω) (3.1.6) в отсутствии падающего на поверхность вещества внешнего излучения

101

G 1 ….!=“ ) I( (τ; Ω τL ) = μ

τL ⌠ ⎛ ⎮ exp ⎜ − ⎮ ⎝ ⌡ 0

G τ − τ′ ⎞ ⎛ τ − τ′ ⎞ ⎟η⎜ ⎟ q V (τ′; Ω)d τ′ , μ ⎠ ⎝ μ ⎠

(3.3.1) можно легко записать интегродифференциальное уравнение переноса с соответствующими граничными условиями: G ⎛ ∂ ⎞ ⎜ μ + 1⎟ I(τ; Ω τL ) = ⎝ ∂τ ⎠ (3.3.2) G G G G = Λ ∫∫ χ Ω′ → Ω I τ; Ω′ τL dΩ′ + q V (τ; Ω), 4π

(

) (

)

I(τ = 0; μ > 0, φ τL ) = 0 , I(τ = τL ; μ < 0, φ τL ) = 0 (3.3.3) в виде интегрального уравнения для полной интенсивности излуG чения I(τ; Ω τL ) при произвольном распределении источников

внутри слоя вещества τL . Для этого, два слагаемых в правой части уравнения (3.3.4) можно формально рассматривать как один эффективный источник, являющийся линейным функционалом от G искомой интенсивности I(τ; Ω τL ) : G G G G G qeff (τ; Ω τL ) = q V (τ; Ω) + Λ ∫∫ χ Ω′ → Ω I τ; Ω′ τL dΩ′ . (3.3.4) 4π

(

) (

)

Теперь уравнение переноса (3.3.2) запишется в виде G G ⎛ ∂ ⎞ (3.3.5) ⎜ μ + 1⎟ I(τ; Ω τL ) = qeff (τ; Ω τL ) . ⎝ ∂τ ⎠ Условия (3.3.3), отражающие тот факт, что на поверхностях слоя вещества отсутствует падающее извне излучение, остаются прежними. Формально уравнение (3.3.5) ничем не отличается от уравнения (3.2.1) для интенсивности нерассеянного излучения с теми же граничными условиями. Поэтому решение уравнения (3.3.5), удовлетворяющее граничным условиям (3.3.3), будет определяться выражением (3.3.1), в котором нужно только осуществить замену G G G G ….!=“ ) q (τ; Ω) → q (τ; Ω τ ) и I ( (τ; Ω τ ) → I(τ; Ω τ ) . (3.3.6) V

eff

L

L

В результате получим:

102

L

G 1 I(τ; Ω τL ) = μ

τL ⌠ ⎮ ⎮ ⌡ 0

G ⎛ τ − τ′ ⎞ ⎛ τ − τ′ ⎞ exp ⎜ − ⎟ η⎜ ⎟ qeff (τ′; Ω τL )d τ′ . (3.3.7) μ ⎠ ⎝ μ ⎠ ⎝

Выражение (3.3.7) является только формальным решением уравнения переноса (3.3.2), поскольку величина “эффективного” источниG ка qeff (τ′; Ω τL ) , является функционалом от a`priori неизвестной G искомой интенсивности излучения I(τ; Ω τL ) . Подставляя в формулу (3.3.7) выражение для “эффективного” источника G qeff (τ′; Ω τL ) (3.3.4), получим: G G I(τ; Ω) = I(….!=“) (τ; Ω) + τ−τ′ − G G G ⎛ τ − τ′ ⎞ Λ τL d τ′ e μ η ⎜ + ∫ ⎟ ∫∫ χ Ω′ → Ω I τ′; Ω′ d Ω′. (3.3.8) μ 0 ⎝ μ ⎠4 π Это и есть искомое интегральное уравнение переноса для плоского слоя вещества оптической толщины τL при произвольном распреG делении плоских стационарных источников q V (τ; Ω) внутри него. Полагая в уравнении (3.3.8) τ = 0 и τ = τL , нетрудно убедиться, что, граничные условия (3.3.3) для полной интенсивности излучения всегда удовлетворяются автоматически при любом законе G G однократного рассеяния χ Ω′ → Ω .

(

(

) (

)

)

Первое слагаемое в правой части интегрального уравнения (3.3.8) есть интенсивность нерассеянного излучения, которая определяется выражением (3.3.1). Как уже отмечалось ранее, нерассеянное излучение определяет вклад в полную интенсивность излучения от тех фотонов, которые, будучи испущенные источником G q V в направлении Ω , ни разу не изменили направления своего ….!=“ ) G G (r ; Ω τ ) не зависит от закона однодвижения. Величина I ( L

кратного рассеяния и вероятности выживания кванта Λ , а определяется только характером распределения источников в среде. Интенсивность нерассеянного излучения является неоднородностью

103

интегрального уравнения переноса для полной интенсивности изG G лучения I(r ; Ω τL ) . Второе слагаемое в правой части интегрального уравнения G (3.3.8) есть интенсивность I(D) (τ; Ω τL ) диффузно рассеянного излучения G D I ( ) (τ; Ω τ ) = L

τ−τ′ (3.3.9) − G G G ⎛ τ − τ′ ⎞ Λ τL μ ′ ′ ′ ′ ′ d e I ; d . = τ η χ Ω → Ω τ Ω τ Ω ∫ L ⎜ ⎟ ∫∫ μ 0 ⎝ μ ⎠4π Диффузно рассеянное излучение определяется теми фотонами, которые, оказавшись на глубине τ , хотя бы один раз изменили направление своего движения, т.е. испытали один или более актов упG ругого рассеяния. Значение величины I(D) (τ; Ω τL ) существенно G G зависит от закона однократного рассеяния χ Ω′ → Ω и вероятно-

(

) (

)

(

)

сти выживания кванта Λ . Выражение (3.3.9) не является замкнутым уравнением для диффузно рассеянного излучения. Оно определяет интенсивность диффузно рассеянного излучения через полную интенсивность, которая включает в себя помимо диффузно рассеянного излучения и нерассеянное излучение. Определение интенсивности нерассеянного излучения по формуле (3.3.1) при G заданной плотности объемных источников q V (τ; Ω) , не представляет никакого труда. Поэтому вычисление именно диффузно рассеянного излучения представляет основную задачу линейной теории переноса излучения в случайных средах. Уравнения для интенсивности диффузно рассеянного излучения Получим уравнения для диффузно рассеянного излучения в интегродифференциальной и в интегральной формах, для плоского слоя конечной толщины, когда отсутствует падающее излучение. Уравнение для интенсивности нерассеянного излучения

104

G ⎛ ∂ ⎞ ( ….!=“ ) G G (r ; Ω) = q V (τ; Ω) , (3.3.10) ⎜ μ + 1⎟ I ⎝ ∂τ ⎠ представляет собой "укороченное" уравнение переноса (3.3.2) для полной интенсивности излучения, в котором отсутствует интегральное слагаемое, описывающее "приход" фотонов из произG вольного состояния Ω′(μ′, ϕ′) в рассматриваемое состояние G Ω(μ, ϕ) . Вычитая уравнение (3.3.10) из точного уравнения (3.3.2)

для полной интенсивности, с учетом того, что I = I (….!=“) + I(D) , получим интегродифференциальное уравнение для интенсивности диффузно рассеянного излучения: ⎛ ∂ ⎞ (D) G ⎜ μ + 1⎟ I (τ; Ω) = ⎝ ∂τ ⎠ G G D G (1) G = Λ ∫∫ χ Ω′ → Ω I ( ) τ; Ω′ dΩ′ + q V (τ; Ω τL ); (3.3.11) 4π

(

)

(

)

G G ….!=“ ) G (1) G τ; Ω′ τL d Ω′. q V (τ; Ω τL ) = Λ ∫∫ χ Ω′ → Ω I ( 4π

(

)

(

)

D D I ( ) (τ = 0; μ > 0) = 0 ; I ( ) (τ = τL ; μ < 0) = 0 . (3.3.12) Таким образом, интенсивность диффузно рассеянного излучения удовлетворяет интегродифференциальному уравнению того же вида, что и уравнение для полной интенсивности (3.3.2), но с (1) G другим объемным источником q V (τ; Ω τL ) . Объемный источник (1) G q V (τ; Ω τL ) порожден взаимодействием нерассеянного излучения с рассеивающими центрами во всем слое вещества. Значение G G (1) G q V (τ; Ω τL ) зависит от закона однократного рассеяния χ(Ω′ → Ω) и всегда пропорционально вероятности выживания кванта: (1) G q V (τ; Ω) ~ Λ .

D Интегральное уравнение для величины I ( ) сразу получается из интегрального уравнения (3.3.8) для полной интенсивности G I(τ; Ω τL ) , если в него подставить I = I (….!=“) + I(D) или, что, то

105

G G (1) же самое, если в нем осуществить замену q V (τ′; Ω) ⇒ q V (τ′; Ω) . Понятно, что при этом изменится только неоднородность этого G G 1 уравнения: I(….!=“) (τ; Ω) → I ( ) (τ; Ω τL ) . В результате получим: G G 1 I (D) (τ; Ω) = I ( ) (τ; Ω) + τ−τ′

− G G (D) G ⎛ τ − τ′ ⎞ Λ τL μ ′ + d τ e η⎜ τ′; Ω′ d Ω′; (3.3.13) ∫ ⎟ ∫∫ χ Ω′ → Ω I μ 0 ⎝ μ ⎠ 4π

(

)

(

)

τ−τ′

− G G ⎛ τ − τ′ ⎞ (1) 1 τL 1 μ I ( ) (τ; Ω τL ) = d τ′ e η⎜ ∫ ⎟ q V (τ′; Ω τL ). μ 0 ⎝ μ ⎠ G 1 Величина I ( ) τ; Ω τL в уравнении (3.3.13) имеет простой физи-

(

)

ческий смысл. Она представляет собой первую итерацию интегрального уравнения (3.3.8) для полной интенсивности излучения G G 1 I(τ; Ω) . Поэтому I ( ) τ; Ω определяет вклад в интенсивность

(

)

диффузно рассеянного излучения от процесса истинно однократного рассеяния: G 1 I ( ) (τ; Ω τ ) = L

τ−τ′

− G G ( í. ðàñ ) G ⎛ τ − τ′ ⎞ Λ τL μ = η⎜ τ′; Ω′ dΩ′. d τ′ e ∫ ⎟ ∫∫ χ Ω′ → Ω I μ 0 ⎝ μ ⎠4 π (3.3.14) Следует отметить, что интегральные уравнения (3.3.8) для полной интенсивности излучения и уравнение (3.3.13) для интенсивности диффузно рассеянного излучения справедливы не только для слоя вещества конечной толщины τL , но для полубесконечной

(

(0 ≤ τL

)

(

)

≤ ∞ ) и бесконечной ( −∞ < τL < ∞ ) среды, если в этих уравнениях осуществить замену ∞ ⎞ ∞ ⎞ ⎛ τL ⎛ τL или (3.3.15) ⎜ ∫ → ∫ ⎟ ⎜ ∫ → ∫ ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −∞ ⎠ 0 ⎠ ⎝0 ⎝0

106

§4. Равновесный спектр в бесконечной однородной среде Равномерно распределенные произвольные источники Пусть в бесконечной однородной среде −∞ < z < ∞ равномерно распределены произвольные нестационарные объемные источники, которые начинают испускать фотоны с момента времени t = 0 . При t < 0 световое поле в веществе отсутствует. Бесконечную среду можно формально рассматривать как плоский слой вещества, левая и правая граница которого “раздвинуты” до бесконечности: −∞ < z < ∞ . Для простоты вычисления интенсивности излучения, будем считать, что плотность объемных источников не зависит от азимутального угла ϕ , т.е. t < 0; ⎧⎪0, G G QV r ; Ω; t = ⎨ ⎪⎩QV ( μ; t ) , t ≥ 0;

(

)

[QV ] = b2/м3 .

(3.4.1)

Здесь, как и обычно, μ = cos θ (рис. 3.4.1).

θ

z

Рис. 3.4.1. Условное изображение равномерно распределенных источников по всему бесконечному пространству

Поскольку зависимость объемных источников от азимута отсутствует, то интенсивность излучения не зависит от ϕ . Для вычисле-

107

ния интенсивности излучения I ( z; μ; t ) воспользуемся нестационарным уравнением переноса ∂I 1 ∂I ( z; μ; t ) +μ = ∂t ∂z c (3.4.2) 1 = − ( κ + σ ) I + σ ∫ χ ( μ′ → μ ) I ( z; μ′; t ) dμ′ + QV ( μ; t ) . −1

Здесь χ ( μ′ → μ ) – индикатриса рассеяния, проинтегрированная по азимуту (2.1.34). Так как источники равномерно занимают всё пространство, т.е. их плотность в любой точке одинакова, то интенсивность излучения не зависит от координаты z (“равновесный” спектр) I ( z; μ; t ) = I ( μ; t ) . (3.4.3) В этом случае ∂I / ∂z = 0 и уравнение переноса (3.4.2) будет выглядеть так: 1 ∂I ( μ; t ) = c ∂t (3.4.4) 1 = − ( κ + σ ) I ( μ; t ) + σ ∫ χ ( μ′ → μ ) I ( μ′; t ) dμ′ + QV ( μ; t ) . −1

Для решения уравнения (3.4.4) воспользуемся преобразованием Лапласа по времени. Как отмечалось ранее, уравнение для лапласобраза интенсивности излучения ∞

I ( μ; p ) = ∫ e− pt I ( μ; t ) dt

(3.4.5)

0

сводится к стационарному уравнению, в котором нужно произвести формальную замену истинного коэффициента поглощения κ , на “временной” коэффициент поглощения: κ → κ + p / ñ . После этого уравнение (3.4.4) принимает вид: {( κ + p / c ) + σ} I ( μ; p ) = 1

= σ ∫ χ ( μ′ → μ ) I ( μ′; p ) dμ′ + QV ( μ; p ) . −1

108

(3.4.6)

Здесь QV ( μ; p ) – лаплас-образ плотности объемных источников ∞

QV ( μ; p ) = ∫ e− pt QV ( μ; t ) dt .

(3.4.7)

0

Уравнение (3.4.6) допускает точное аналитическое решение при G G произвольном законе однократного рассеяния χ Ω′ → Ω . Для

(

)

этого представим лаплас-образ интенсивности излучения, плотность источников и индикатрису рассеяния в виде разложения в ряд по полиномам Лежандра: ∞ 2l + 1 (3.4.8) I ( μ; p ) = ∑ Il ( p ) Pl ( μ ) ; l = 0 4π ∞

2l + 1 Ql ( p ) Pl ( μ ) ; l =0 4π

QV ( μ; p ) = ∑

∞

(3.4.9)

2n + 1 χn Pn ( μ′ ) Pn ( μ ) . 2 n =0

χ ( μ′ → μ ) = ∑

(3.4.10)

Здесь 1

Ql ( p ) = 2π ∫ QV ( μ; p ) Pl ( μ ) dμ .

(3.4.11)

−1

π

χn = 2π ∫ χ ( cos γ ) Pn ( cos γ ) sin γd γ ,

( χ0 ≡ 1, χ1 ≡

cos γ ) . (3.4.12)

0

Подставляя выражения (3.4.8), (3.4.9) и (3.4.10) в уравнение (3.4.6), получим: ∞ 2l + 1 ∞ 2l + 1 Ql ( p ) Pl ( μ ) + {κ + p / c + σ} Il ( p ) Pl ( μ ) = ∑ ∑ l =0 4π l = 0 4π ∞

∞

1 2l + 1 2n + 1 χn Pn ( μ ) ∫ dμ′Pn ( μ′ ) Pl ( μ′ ) . Il ( p ) 2 l = 0 n = 0 4π −1

+ σ∑ ∑

(3.4.13) Учитывая ортогональность полиномов Лежандра 1

2

∫ Pn ( μ′ ) Pl ( μ′ ) dμ′ = 2n + 1 δn,l , −1 109

(3.4.14)

после суммирования по n , будем иметь: ∞ 2l + 1 ⎧ ∞ 2l + 1 p ⎫ κ + + σ I p P μ = c Ql ( p ) Pl ( μ ) + ( ) ( ) ∑ ∑ ⎨ ⎬ l l c ⎭ l = 0 4π ⎩ l = 0 4π ∞

2l + 1 +σ ∑ Il ( p ) χl Pl (μ). l = 0 4π

(3.4.15)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Pl ( μ ) , получаем уравнение для лаплас-образа всех угловых гармоник Il ( p ) :

{κ + p / c + σ} Il ( p ) = Ql ( p ) + σIl ( p ) χl , (l = 0.1,2, ... ) . Из уравнения (3.4.16) находим величины Il ( p ) : Ql ( p ) cQl ( p ) Il ( p ) = = . κ + p / c + σ (1 − χl ) p + c ⎡⎣ κ + σ (1 − χl ) ⎤⎦

(3.4.16)

(3.4.17)

Формула (3.4.17) определяет лаплас-образ угловых гармоник интенсивности излучения. Выражения для величин Il ( t ) определяется обращением Лапласа c Il ( t ) = 2πi

σ0 + i∞ ⌠ ⎮ ⎮ ⌡ σ0 − i∞

Ql ( p ) exp ( pt )

p + c ⎡⎣ κ + σ (1 − χl ) ⎤⎦

dp .

(3.4.18)

Интегрирование по p в формуле (3.4.18) ведется в комплексной p плоскости по прямой Re p = σ0 , параллельной мнимой оси, правее всех особых точек подынтегральной функции. Формулу (3.4.18) можно записать в несколько ином виде, если использовать теорему о свертке. Суть этой теоремы состоит в следующем. Пусть f1 ( p ) и f2 ( p ) – лаплас-образы функций f1 ( t ) и f2 ( t ) . Тогда обращение от их произведения сводится к интегралу от их оригиналов: ∞ 1 ∞ pt = f p f p e dp ∫ 1( ) 2( ) ∫ f1 ( t − t′ )f2 ( t′ ) dt′ . 2πi −∞ 0

Применяя теорему о свертке к формуле (3.4.18), запишем:

110

(3.4.19)

∞

Il ( t ) = ∫ Ql ( t − t′ )fl ( t′ ) dt ′ .

(3.4.20)

0

Здесь 1

Ql ( t ) = 2π ∫ QV ( μ; t ) Pl ( μ ) dμ ; fl ( t ) =

c 2πi

−1 σ0 + i∞ ⌠ ⎮ ⎮ ⌡ σ0 − i∞

exp ( pt )

p + c ⎡⎣ κ + σ (1 − χl ) ⎤⎦

(3.4.21)

dp .

(3.4.22)

Интеграл по p в формуле (3.4.22) легко вычисляется. Действительно, подынтегральное выражение в (3.4.21) имеет один простой полюс в левой полуплоскости Re p < 0 : p1 = −c ⎡⎣ κ + σ (1 − χl ) ⎤⎦ = −cε (1 − Λχl ) < 0 . При t < 0 замкнем контур интегрирования полуокружностью бесконечно большого радиуса, в правой полуплоскости Re p > σ0 . Поскольку полюс находится вне этого контура, то, как и следовало ожидать, fl ( t < 0 ) = 0 . Наоборот, при t > 0 (после того, когда источник начал испускать фотоны), замкнем контур интегрирования полуокружностью бесконечно большого радиуса, но в левой полуплоскости Re p < 0 (рис.3.4.2). Теперь полюс p1 находится внутри контура интегрирования. Используя теорему о вычетах, получаем, что fl ( t ) = c ⋅ exp −ct ⎡⎣ κ + σ (1 − χl ) ⎤⎦ = (3.4.23) = c ⋅ exp {−cεt (1 − Λχl )} .

{

}

Подставляя (3.4.23) в (3.4.20), находим, что ∞

Il ( t ) = c ∫ Ql ( t − t′ ) exp {−cεt′ (1 − Λχl )} dt′

(3.4.24a)

0

или ∞

{

}

Il ( t ) = c ∫ Ql ( t − t′ ) exp −ct′ ⎡⎣ κ + σ (1 − χl ) ⎤⎦ dt′ . 0

111

(3.4.24b)

Величины Ql ( t ) определяются формулой (3.4.21). Существенно отметить, что трансформация со временем каждой угловой гармоники Il ( t ) с данным значением l происходит независимо от других угловых гармоник Im ( t ) , m ≠ l . Теперь полную интенсивность излучения равновесного спектра I ( μ; t ) можно определить по формуле ∞ 2l + 1 (3.4.25) I ( μ; t ) = ∑ Il ( t ) Pl ( μ ) . l = 0 4π

Рис. 3.4.2. Контур интегрирования в комплексной

p - плоскости

Формулы (3.4.24), (3.4.25) позволяют вычислить “равновесный” спектр при произвольном виде объемных нестационарных источников QV ( μ; t ) и произвольном законе рассеяния χ ( cos γ ) на отдельных центрах. Отметим, что как следует из формулы (3.4.18), число угловых гармоник интенсивности излучения в равновесном спектре не превышает максимального числа гармоник 0 ≤ l ≤ lmax источников излучения QV ( μ; t ) , поскольку в соответствие с (3.4.17) Il ~ Ql . Другими словами,

112

lmax

2l + 1 Il ( t ) Pl ( μ ) . l = 0 4π Рассмотрим несколько частных случаев. I ( μ; t ) = ∑

(3.4.26)

Равномерно распределенный δ -импульсный временной источник Пусть в бесконечной однородной среде −∞ < z < ∞ равномерно распределены плоские δ -импульсные временные источники, испускающие фотоны в произвольных направлениях −1 ≤ μ ≤ 1 с плотностью G QV Ω; t ≥ 0 = QV ( μ ) δ ( t ) . (3.4.27)

(

)

Поскольку размерность ⎡⎣δ ( t ) ⎤⎦ = 1 / ñ , то величины QV и QV имеют разные размерности ⎡⎣QV ⎤⎦ = [QV ] ⋅ ñ = d›/м3 . То есть в то время, как величина QV определяет объемную плотность мощности – [QV ] = b2/м3 источников, величина QV определяет объемную плотность их энергии. В рассматриваемом случае, в соответствие с формулой (3.4.21) Ql ( t ) = Ql δ ( t ) ,

1

Ql = 2π ∫ QV ( μ ) Pl ( μ ) dμ .

где

(3.4.28)

−1

Подставляя (3.4.28) в (3.4.24), получаем: Il ( t ) = cQV ( μ ) exp {−cεt (1 − Λχl )} =

{

}

= cQV ( μ ) exp −ct ⎡⎣ κ + σ (1 − χl ) ⎤⎦ .

(3.4.29)

Определив все угловые гармоники Il ( t ) по общей формуле (3.4.25), получаем выражение для интенсивности излучения I ( μ; t ) : ∞

2l + 1 Ql exp {−σct (1 − χl )} Pl ( μ ) l = 0 4π

I ( μ; t ) = c e−κct ∑

или

113

(3.4.30a)

∞

2l + 1 (3.4.30b) Ql exp {−εct (1 − Λχl )} Pl ( μ ) . l = 0 4π Величина ct = s есть путь, проходимый каждым фотоном, испущенным источником за время t . Из (3.4.30) видно, что интенсивность излучения экспоненциально убывает со временем. При этом разные угловые гармоники убывают по разному временному закону. Чем выше номер угловой гармоники l , тем меньше значение χl , тем меньший вклад дает эта гармоника в поле светового излучения при больших значениях t . При t → ∞ в формуле (3.4.30a) следует сохранить только слагаемое с l = 0 , для которого показатель экспоненты имеет наименьшее значение, так как 1 − χ0 = 0 , I ( μ; t ) = c ∑

Q I ( μ; t → ∞ ) = c 0 e−kct . (3.4.31) 4π Таким образом, в асимптотическом режиме интенсивность равновесного спектра излучения определяется только нулевой гармоникой плотности источников и убывает ~ exp ( −κct ) .

Если в формулах (3.4.30) положить все χl ≡ 0 , что эквивалентно

χ ( cos γ ) = 0 , то получим выражение для интенсивности нерассеянного излучения в рассматриваемой задаче с временными δ импульсными источниками: ∞ 2l + 1 ….!=“ ) I( Ql Pl ( μ ) = cQV ( μ ) e−εct . (3.4.32) ( μ; t ) = c e−εct ∑ 4 π l =0 Определим зависимость полной плотности энергии и плотности энергии нерассеянного равновесного светового излучения от времени: ρ (t) =

2π 1 ∫ I ( μ; t ) dμ , c −1

2π 1 ( ….!=“ ) ….!=“ ) ρ( (t ) = ( μ; t ) dμ . ∫I c −1

114

(3.4.33)

….!=“ ) Подставляя в (3.4.33) значения I ( μ; t ) и I ( ( μ; t ) , определяе-

мые выражениями (3.4.30) и (3.4.32) и, учитывая, что χ0 = 1 , получаем: ….!=“ ) ρ( ρ ( t ) = Q0 e−κct . (3.4.34) ( t ) = Q0 e−εct , Обратим внимание, что плотность энергии нерассеянного излу….!=“ ) − κ+σ ) ct чения убывает по закону ρ( t ~ e −εct = e ( , в то время

( )

как плотность энергии полного излучения убывает по закону ρ ( t ) ~ e−κct , т.е. значительно медленнее. Величина нулевой гармоники источников определяется выражением 1 G Q0 = 2π ∫ QV ( μ ) P0 ( μ ) dμ = ∫∫ QV Ω dΩ = E0 . (3.4.35) −1

4π

( )

Здесь E0 – есть количество световой энергии, испускаемой единицей объема во всех направлениях, т.е. плотность энергии объемных источников [ E0 ] = d›/м3 . Следовательно, ….!=“ ) ρ( ( t ) = E0 e−εct ,

ρ ( t ) = E0 e−κct ,

( t ≥ 0) .

(3.4.36)

В консервативной среде ( κ = 0 ) не происходит диссипации энергии со временем. Поэтому ….!=“ ) ρ( ( t ) = E0 e−σct , ρ ( t; κ = 0 ) = E0 = const . (3.4.37) Выражения (3.4.24), (3.4.32) и (3.4.37) определяют интенсивность излучения равновесного спектра I ( μ; t ) и плотность энергии светового поля ρ ( t ) , а также их нерассеянные составляющие от равномерно распределенных точечных δ - импульсных временных источников. Рассмотрим в порядке иллюстрации полученных решений некоторые частные случаи. 1.Чисто поглощающая среда: σ = 0 . Из формулы (3.4.24) с учетом разложения (3.4.9) находим, что ∞ 2l + 1 I ( μ; t; σ = 0 ) = c e−kct ∑ Ql Pl ( μ ) = c e−kct QV ( μ ) . (3.4.38) l = 0 4π

115

Как и должно быть, при отсутствии рассеяния фотоны распространяются прямолинейно. Поэтому угловая зависимость интенсивности излучения воспроизводит угловой спектр QV ( μ ) фотонов, испускаемых источниками. 2. Изотропные источники. Закон однократного рассеяния χ ( cos γ ) – произвольный.

( ,ƒ2! ) = Q0 = E0 , т.е., Q ( ,ƒ2! ) = 0 при l = 1,2,3,... (3.4.39) QV l 4π 4π В формуле (3.4.24a) остается только одно слагаемое с l = 0 . В результате получаем, что e−κct . (3.4.40) 4π То есть в этом случае интенсивность “равновесного” спектра не зависит от μ . Естественно, что из формулы (3.4.40) следует второе выражение (3.4.36) для плотности энергии полного поля излучения ρ (t) . I(

,ƒ2! )

( μ; t ) = cE0

3. Изотропная среда: - χ(

,ƒ2! )

( cos γ ) = 1 / 4π .

Источники ис-

пускают фотоны в произвольных направлениях – QV = QV ( μ ) . В этом случае χl = δl0 . Теперь из общей формулы (3.4.24) получаем: Q Q ⎪⎫ ⎪⎧ ∞ 2l + 1 ,ƒ2! ) I( Ql Pl ( μ ) − 0 ⎬ , ( μ; t ) = c 0 e−κct + c e−εct ⎨ ∑ 4π 4π ⎪⎭ ⎪⎩l = 0 4π т.е. cE ,ƒ2! ) I( ( μ; t ) = cQV ( μ ) e−εct + 0 e−εct e σct − 1 . (3.4.41) 4π Первое слагаемое в формуле (3.4.41) определяет временную зависимость интенсивности нерассеянного излучения (3.4.32). Второе слагаемое есть интенсивность диффузно рассеянного излучения в бесконечной изотропно рассеивающей среде. Естественно, что если δ -импульсные источники изотропны – QV ( μ ) = E0 / 4π , то из формулы (3.4.41) получаем (3.4.40).

(

116

)

4. Мононаправленные источники: источники испускают фотоны G в фиксированном направлении Ω0 . G Направим ось z вдоль вектора Ω0 (рис.3.4.3)

G Ω0

z

Рис. 3.4.3. Условное изображение равномерно распределенных мононаправленных источников

G В рассматриваемом случае, вектор Ω0 направлен вдоль оси z и азимутальный угол не определен. Поэтому ∞ 2l + 1 δ (1 − μ ) QV ( μ ) = E0 Pl ( μ ) , = E0 ∑ 2π l = 0 4π т.е. Ql ≡ E0 , ( l = 0,1,2,... ) . (3.4.42) Теперь интенсивность равновесного излучения целиком определяется только видом индикатрисы рассеяния χ ( cos γ ) , т.е. значения-

ми коэффициентов χl : ∞

2l + 1 exp {−εct (1 − Λχl )} Pl ( μ ) . (3.4.43) l = 0 4π Например, для линейной индикатрисы рассеяния (2.1.18), когда 0 ≤ χ1 = cos γ ≤ 1 / 3 , χ2 ,χ3 ..... = 0 , из формулы (3.4.43) получаем, что ∞ ⎧ ⎫ cE −σct (1−χ1 ) I ( μ; t ) = 0 e−κct ⎨1 + 3μ e + e−σct ∑ ( 2l + 1)Pl ( μ ) ⎬ . 4π l =2 ⎩ ⎭ Поскольку I ( μ; t ) = cE0 ∑

117

∞

∞

l =2

l =0

∑ ( 2l + 1)Pl ( μ ) = ∑ ( 2l + 1)Pl ( μ ) − 1 − 3μ = 2δ (1 − μ ) − 1 − 3μ ,

то находим, что I ( μ; t ) = cE0 e−εct

δ (1 − μ ) + 2π

(3.4.44) cE0 −εct ⎡ σct σcχ1t ⎤ e + −1 ⎥. ⎢⎣ e − 1 + 3μ e ⎦ 4π Первое слагаемое в (3.4.44) определяет интенсивность нерассеянного излучения. Второе слагаемое определяет интенсивность диффузно рассеянного излучения. Если χ1 = 0 , то из формулы (3.4.44) получаем выражение (3.4.41) при изотропном рассеянии, если учесть, что в рассматриваемом случае QV ( μ ) = E0δ (1 − μ ) / 2π .

(

)

(

)

Равномерно распределенный однородный квазистационарный источник Теперь рассмотрим случай, когда объемные источники включаются в момент времени t = 0 и после этого их интенсивность не зависит от времени. Плотность таких источников: G t < 0; ⎧⎪0, QV Ω; t = QV ( μ ) η ( t ) = ⎨ ⎪⎩QV ( μ ) , t ≥ 0;

(

)

[QV ] = b2/м3 .

(3.4.45) В этом случае, в соответствие с выражением (3.4.21) находим, что 1

Ql ( t ) = Ql η ( t ) , где Ql = 2π ∫ QV ( μ ) Pl ( μ ) dμ . (3.4.46) −1

Подставляя соотношение (3.4.46) в формулу (3.4.24), и выполняя элементарное интегрирование, находим, что t Ql × Il ( t ) = cQl ∫ exp ⎡⎣ −cεt ′ (1 − Λχl ) ⎤⎦ dt ′ = ε [1 − Λχl ] (3.4.47) 0

{

}

× 1 − exp ⎡⎣ −cεt (1 − Λχl ) ⎤⎦ .

118

В отличие от рассмотренного выше δ -импульсного временного источника, теперь каждая из величин Il ( t ) состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое в фигурных скобках формулы (3.4.47) не зависит от времени. Второе слагаемое зависит от времени и стремится к нулю при t → ∞ . Потому интенсивность равновесного спектра (3.4.43) тоже будет состоять из двух слагаемых: первого – стационарного, не зависящего от времени, и второго – нестационарного: “2=ц ) ….“2=ц ) I μ; t = I ( μ + I( μ; t . (3.4.48)

(

)

( )

(

)

Здесь I(

“2=ц )

∞

Ql 2l + 1 Pl ( μ ) , l =0 4π ⎡⎣ κ + σ (1 − χl ) ⎤⎦

(μ) = ∑

I(

….“2=ц )

(3.4.49)

( μ; t ) =

∞ 2l + 1 Ql − ct 1−χ = e−ct κ ∑ e ( l ) Pl ( μ ) . (3.4.50) 4 π κ + σ 1 − χ ⎡ ⎤ ( ) l ⎦ l =0 ⎣

При t → ∞ нестационарное слагаемое стремится к нулю. Поэтому I ( μ; t → ∞ ) = I ( μ ) , где Ql Pl ( μ ) 2l + 1 = l =0 4π ⎡⎣ κ + σ (1 − χl ) ⎤⎦ ∞

I (μ) = ∑

(3.4.51) Ql 1 ∞ 2l + 1 Pl ( μ ) . = ∑ ε l = 0 4π [1 − Λχl ] Нетрудно показать, что стационарный равновесный угловой спектр I ( μ ) (3.4.51) является решением стационарного уравнения переноса 1

( κ + σ ) I ( μ ) = σ ∫ χ ( μ′ → μ ) I ( μ′) dμ′ + QV ( μ ) . −1

(3.4.52)

Полагая в (3.4.51) все χl ≡ 0 , т.е. χ ( cos γ ) = 0 , получим выражение для интенсивности нерассеянного излучения:

119

1 ∞ 2l + 1 Q (μ) . (3.4.53) Ql Pl ( μ ) = V ∑ ε l =0 4π ε Естественно, что в рассматриваемом случае нерассеянное излучение можно определить по общей формуле, (3.2.15). Учитывая, G что q V τ; Ω = QV ( μ ) / ε и распространяя пределы интегрироваI(

(

….!=“ )

(μ) =

)

ния от −∞ до ∞ , запишем: I(

….!=“ )

Q (μ) ∞ (μ) = − V ∫ exp ( − τ′′ / μ ) η ( τ′′ / μ ) d τ′′ , ε μ −∞

( τ′′ = τ − τ′ ) .

Поскольку ∞

∫ exp ( − τ / μ ) η ( − τ / μ ) d τ =

−∞

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = ∫ exp ( − τ / μ ) ⎨η ( τ / μ ) + η ( −τ / μ ) ⎬ d τ = − μ ,  

⎪⎩ ⎪⎭ 0 1 ….!=“ ) (μ) = Q (μ) / ε . находим, что I ( ∞

V

Теперь получим выражение для интенсивности диффузно рассеянного излучения: 1 ∞ 2l + 1 Λχl D ….!=“ ) I ( ) (μ) = I ( μ ) − I ( (μ) = ∑ Ql Pl ( μ ) . (3.4.54) ε l =0 4π 1 − Λχl Рассмотрим несколько частных случаев. 1. Источники изотропные: Ql = Q0δl0 = P0δl0 . Закон однократ-

ного рассеяния χ ( cos γ ) средой – произвольный. В рассматриваемом случае 1

Q0 = 2π ∫ QV ( μ ) dμ = P0 , −1

[P0 ] = b2/м3 .

(3.4.55)

Величина P0 есть плотность мощности объемных источников. Поскольку только величина Q0 отлична от нуля, то в сумме (3.4.54)

120

остается только одно слагаемое с l = 0 . В результате получаем, что при наличии в среде изотропных источников P Λ (,ƒ2!)( D ) . (3.4.56) I (μ) = 0 4πε 1 − Λ Естественно, что формула (3.4.56) получается, если выражение (3.4.40) для δ -импульсного источника проинтегрировать по времени в пределах 0 ≤ t < ∞ и учесть, что при изотропном рассеянии QV (,ƒ2!) = Q0 / 4π = P0 / 4π . Отметим, что в консервативной среде ( Λ = 1) выражение (3.4.56) расходится. Это объясняется тем, что в этом случае в бесконечной среде не существует стационарного решения уравнения переноса. Если выражение 1 / (1 − Λ ) в диссипативной среде разложить в ряд по Λ < 1 , то формулу (3.4.56) можно записать в виде P ∞ (,ƒ2!)( D ) = 0 ∑ Wk , где Wk ( Λ ) = Λk , ( 0 ≤ Λ < 1) . (3.4.57) I 4πε k =1 Выражение (3.4.57) есть представление диффузной интенсивности излучения равновесного спектра при наличии в среде изотропных источников в виде суммы по числу актов рассеяния. Заметим, что у изотропных источников нет какого-то выделенного направления испускания фотонов, поэтому величины Wk ( Λ ) и I(

,ƒ2! )( D )

(μ) = const не зависят от μ при любом законе рассеяния

χ ( cos γ ) на отдельных центрах. Теперь рассмотрим принципиально другой случай, когда в произвольно рассеивающей бесконечной гомогенной среде имеются упорядоченные анизотропные источники, каждый из которых испускает фотоны с наибольшей вероятностью в одном и том же направлении. Простейшим является случай мононаправленных источников, каждый из которых испускает фотоны строго в одном направлении. 2. Мононаправленные источники: δ (1 − μ ) QV ( μ ) = P0 (Ql ≡ P0 ) 2π

121

G испускают фотоны в фиксированном направлении Ω0 . G Выберем, как и ранее, ось z вдоль вектора Ω0 (рис. 3.4.3). Теперь, в отличие от рассмотренного выше случая изотропных источников, интенсивность нерассеянного излучения будет зависеть от угла θ между направлением распространения фотонов и осью z . В этом случае в соответствие с (3.4.42) все значения Ql = P0 одинаковы и не зависят от l . Поэтому общая формула (3.4.54) для интенсивности диффузно рассеянного излучения равновесного спектра будет выглядеть так: P ∞ 2l + 1 Λχl D (3.4.58) I ( ) (μ) = 0 ∑ Pl ( μ ) . ε l =0 4π 1 − Λχl Из формулы (3.4.58) видно, что теперь характер углового спектра диффузно рассеянного излучения существенно зависит от закона однократного рассеяния, т.е. от величин χl .

Поскольку Λχl < 1 , то величину 1 / (1 − Λχl ) можно представить в виде ряда для бесконечно убывшей геометрической прогрессии ∞ 1 m = ∑ Λ m ( χl ) , (0 ≤ Λ < 1) , 1 − Λχl m = 0

и формулу (3.4.59) можно записать в виде ( k = m + 1) ∞ D k I ( ) (μ) = ∑ I ( ) (μ) .

(3.4.59)

k =1

Здесь ∞ 2l + 1 P k (3.4.60) I ( ) (μ) = 0 Λk ∑ ( χl )k Pl ( μ ) . ε π 4 l =0 Поскольку в уравнении переноса вероятность выживания кванта и индикатриса рассеяния входят в виде произведения Λχ ( μ′ → μ ) , то выражение (3.4.59) есть представление диффузной интенсивности излучения равновесного спектра в виде суммы по числу актов рассеяния D 1 2 3 I ( ) (μ) = I ( ) (μ) + I ( ) (μ) + I ( ) (μ) + ... (3.4.61)

122

k Следовательно, величина I ( ) (μ) ~ Λk , определяемая формулой (3.4.60), представляет собой ту часть интенсивности диффузно рассеянного излучения, которая формируется фотонами, испытавшими ровно k актов рассеяния. Нетрудно показать, что ∞ 2l + 1 G G ( χl )k Pl ( μ ) = Wk Ω0 → Ω = Wk ( cos θ ) . (3.4.62) ∑ l = 0 4π

(

)

Здесь Wk ( cos θ ) – вероятность того, что при k актах рассеяния G G фотон перейдет из начального состояния Ω0 в состояние Ω , т.е. рассеется на угол θ , (см. приложение 3). k Теперь выражение (3.4.60) для I ( ) (μ) можно представить в ви-

де P k (3.4.63) I ( ) (μ) = 0 Λk Wk ( μ ) . ε Полагая в формуле (3.4.60) k = 1 , получаем: ∞ 2l + 1 P P 1 (3.4.64) I ( ) (μ) = 0 Λ ∑ χl Pl ( μ ) = 0 Λχ ( cos γ ) . ε l = 0 4π ε Как и следовало ожидать, при одном акте рассеяния 1 I ( ) (μ) ~ Λχ cos γ .

(

)

Рассмотрим сначала случай, когда закон однократного рассеяния определяется двучленной (линейной) индикатрисой рассеяния: 1 1 л,… ) χ( (cos γ) = 1 + 3χ1P1 ( cos γ )} = (1 + 3χ1 cos γ ) . (3.4.65) { 4π 4π Как уже отмечалось ранее, линейная индикатриса имеет один свободный параметр – χ1 = cos γ ≤ 1 / 3 . Будем считать, что закон однократного рассеяния рассеивающими центрами среды определ,… ) = 1 / 3 , т.е. ляется линейной индикатрисой рассеяния с cos γ ( из всех линейных индикатрис рассеяния выберем ту, которая обладает наибольшей анизотропией рассеяния в направлении первоначального распространения фотона (рис.3.4.4):

123

χ(

л,… )

(cos γ ) =

1 (1 + cos γ ) . 4π

a)

(3.4.66)

b)

Рис. 3.4.4. График линейной индикатрисы при

cos γ = 1 / 3 :

a – в декартовых координатах, b – в полярных координатах

Поскольку при линейном законе рассеяния отличны от нуля только величины χ0 и χ1 то в формулах (3.4.58) и (3.4.64) в сумме по l остаются только два слагаемых с l = 0 и l = 0 . В результате находим, что в среде с линейным законом однократного рассеяния и мононаправленными источниками P 3 ⎧ 1 ⎫ D + μ⎬ ; (3.4.67) I ( ) (μ) = 0 Λ ⎨ 4πε ⎩1 − Λ 3 − Λ ⎭ ⎧⎪ ⎛ 1 ⎞k −1 ⎫⎪ P k (3.4.68) I ( ) (μ) = 0 Λk ⎨1 + ⎜ ⎟ μ⎬ . 4πε ⎪⎩ ⎝ 3 ⎠ ⎪⎭

124

Λ = 0.8

Λ = 0.7 k=3 k=

k=1 k=2

a) b) Рис. 3.4.5. Интенсивность диффузно рассеянного излучения в бесконечной линейно рассеивающей среде: a –полная интенсивность; b – интенсивность при различных числах актов рассеяния

На рис. 3.4.5,a представлены зависимости интенсивности излуD чения I ( ) (μ) , рассчитанные по формуле (3.4.67) для значений вероятности выживания кванта Λ = 0.8 и Λ = 0.7 . Нижняя кривая – линейная индикатриса рассеяния ( cos γ = 1 / 3 ): χ(

л,… )

1 (1 + μ ) . 4π На рис. 3.4.5,b представлены зависимости полной интенсивноD k сти излучения I ( ) (μ) (верхняя кривая) и величин I ( ) (μ) , рассчи(μ) =

танных по формуле (3.4.68) для вероятности выживания кванта Λ = 0.8 при различных числах столкновений k = 1,2,3,4 . Видно, 3 что уже при трех столкновениях кривая I ( ) (μ) практически горизонтальна. Это означает, что даже для “самой анизотропной” лиk нейной индикатрисы рассеяния, при k ≥ 3 величины I ( ) (μ) практически не зависят от μ . Тем не менее полной изотропизации пол-

125

D ной интенсивности I ( ) (μ) не наступает из-за вклада от величин 1 2 I ( ) (μ) и I ( ) (μ) .

Как из формул (3.4.67), (3.4.68), так и из приведенных рисунков D k видно, что величины I ( ) (μ; Λ) и I ( ) (μ) линейно зависят от μ при любых значениях Λ . В среде с большим значением вероятности D выживания кванта значение I ( ) (μ) (верхняя кривая) больше во всем диапазоне значений −1 ≤ μ ≤ 1 . Теперь рассмотрим случай, когда индикатриса рассеяния имеет существенно более выраженную анизотропию, чем у линейной индикатрисы: 1 − cos γ << 1 . Будем считать, что рассеяние на отдельных центрах определяется индикатрисой Хеньи – Гринстейна (2.3.8): 1 1 − g2 , ( 0 ≤ g < 1) . (3.4.69) 3/2 4π ⎡ 2 ⎤ 1 + g − 2g cos γ ⎣ ⎦ Разложение индикатрисы HГ по полиномам Лежандра имеет вид: ∞ ( 2l + 1) H −G ) χ( gl Pl ( cos γ ) , т.е. χl = gl . (3.4.70) ( cos γ ) = ∑ l = 0 4π χ(

H −G )

( cos γ ) =

Подставляя значения

χl

(3.4.70) в формулу (3.4.54) для диффузной

D интенсивности равновесного спектра I ( ) ( μ ) , получаем:

P ∞ 2l + 1 Λgl (D) I H − G (μ) = 0 ∑ Pl ( μ ) . ( ) ε l =0 4π 1 − Λgl

126

(3.4.71)

Рис. 3.4.6. График зависимости индикатрисы Хеньи – Гринстейна

( g = 0.7)

–

пунктирная кривая. График зависимости интенсивности диффузно рассеянного излучения

( Λ = 0.9 ) – сплошная кривая

На рис.3.4.6 представлены графики индикатрисы Хеньи – Гринстейна (3.4.69) с параметром анизотропии g = 0.7 и интенсивности диффузно рассеянного излучения, рассчитанной по формуле (3.4.71) в среде с вероятностью выживания кванта Λ = 0.9 . Видим, что за счет многократного рассеяния интенсивность диффузно рассеянного излучения является более плавной функцией μ , чем индикатриса Хеньи – Гринстейна. Поэтому отношения максимального к минимальному значению этих величин существенно различаются: (D) H −G ) I H − G (μ = 1) χ( ( γ = 0 ) 1.503 2.563 ( ) = ≈ 182 , = ≈ 5.28 . H −G ) (D) χ( I H − G (μ = −1) 0.485 ( γ = π ) 0.0083 ( ) В соответствии с формулой (3.4.61) диффузную интенсивность излучения равновесного спектра можно представить в виде суммы по числу актов рассеяния: (D) (1) (2) (3) I H − G (μ) = I H − G (μ) + I H − G (μ) + I H − G (μ) + ... (3.4.72) ( ) ( ) ( ) ( )

127

Здесь ∞ 2l + 1 k P (k ) I H − G (μ) = 0 Λk ∑ gl Pl ( μ ) , ( ε = κ + σ ) . (3.4.73) ( ) ε l = 0 4π Положим в формуле (3.4.73) k = 1 . Тогда, с учетом разложения (3.4.70) для индикатрисы HГ, получим: ∞ 2l + 1 P P (1) H −G ) I H − G (μ) = 0 Λ ∑ gl Pl ( μ ) = 0 Λχ( ( μ ) . (3.4.74) ( ) ε l = 0 4π ε Как и следовало ожидать, при одном акте рассеяния H −G ) (1) I H − G (μ) ~ Λχ( (μ ) . ( )

( )

Λ = 0.9

cos γ = 0.6

k =1 k=2 k=3 μ Рис. 3.4.7. График зависимости полной интенсивности диффузно рассеянного излучения – верхняя кривая. Интенсивности диффузно рассеянного излучения различной кратности – кривые при k = 1 , k = 2 , k = 3

На рис. 3.4.7 представлены графики интенсивности диффузно рассеянного излучения (верхняя кривая) и интенсивности диффуз-

128

(k ) но рассеянного излучения I H − G (μ) различной кратности k = 1 , ( ) k = 2 , k = 3 , с параметром g = cos γ = 0.6 , рассчитанные по формуле (3.4.71) в среде с вероятностью выживания кванта Λ = 0.9 . Видно, что с увеличением кратности рассеяния соответствующие кривые становятся все более плавными во всем диапазоне изменения угла рассеяния. Трехкратно рассеянное излучение ( k = 3 ) уже близко к изотропному. Здесь вклад в интенсивность рассеяния на относительно малые углы ( μ ~ 1) дают в основном рассеяния

малой кратности ( k ≤ 5 ) . При этом основной вклад дает однократное рассеяние ( k = 1) . Что же касается интенсивности рассеяния на большие углы, особенно в области ( −1 ≤ μ < 0 ) , то она формируется за счет очень большого числа актов упругого рассеяния, так как величины интенсивности рассеяния любой кратности в этом направлении чрезвычайно малы по сравнению с полной интенсивностью диффузно рассеянного излучения.

129

Глава 4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ ОБЛУЧЕНИИ ПЛОСКИХ СРЕД ШИРОКИМИ СВЕТОВЫМИ ПОТОКАМИ §1. Уравнение переноса при наклонном облучении плоского слоя вещества широким световым потоком Часто приходится рассматривать задачи, когда объемные источники внутри слоя отсутствуют ( q V = 0 ) , а на поверхность вещества τ = 0 падает широкий, стационарный мононаправленный световой поток с интенсивностью I0 под углом θ0 = arccos μ0 в азимутальной плоскости так, что Ω0 = ( μ0 > 0; ϕ0 = 0 ) . Ось τ направлена по нормали к поверхности в глубь среды (рис.4.1.1).

(

)

IC=д (Ω) = I(τ = 0; μ > 0; ϕ) = I0δ Ω − Ω0 , ( μ = cos θ > 0 ) . (4.1.1)

Уравнение переноса для полной интенсивности При наклонном падении пучка

(

)

δ Ω − Ω0 = δ(μ − μ0 )δ(ϕ) .

(4.1.2)

В соответствие с формулой (1.1.7) величина

(

)

I(τ = 0; Ω) Ωd Σ = μI (τ = 0; μ > 0; ϕ)d Σ

есть поток лучистой энергии, распространяющийся в направлении Ω , проходящий через площадку d Σ на поверхности в единицу времени. Количество световой энергии, входящей через единицу поверхности среды внутрь вещества в единицу времени 2π

1

0

0

j0 = ∫ d ϕ ∫ μIïàä (Ω)dμ = I0μ0 .

130

(4.1.3)

I0

I↑

O

τ=0

θ0 *

τ = τL

τ I↓ Рис. 4.1.1. Условное изображение широкого светового потока, падающего на поверхность вещества под углом θ0 = arccos μ0

При распространении в среде часть фотонов поглощается в веществе (это отмечено звездочкой на рис. 4.1.1). Часть фотонов за счет рассеяния выходит из вещества через его верхнюю границу, образуя поле обратно рассеянного (отраженного) излучения I↑ ( τ = 0; μ < 0, ϕ ) . Другая часть фотонов проходит через слой, об-

разуя световое поле прошедшего излучения I↓ ( τ = τL ; μ > 0, ϕ ) (см. рис. 4.1.1). В соответствии с формулой (1.3.7), падающее излучение всегда можно заменить эквивалентным поверхностным источником qΣ τ = 0; Ω = − ΩnΣ Iïàä (Ω) = (4.1.4) = I0μ0δ Ω − Ω0 = j0δ Ω − Ω0 .

(

(

)

( )

) (

)

В рассматриваемом случае учтено, что вектор −nΣ = nτ направлен вдоль оси τ , т.е. внутрь, а не наружу объема. Поэтому

(

) (

)

− ΩnΣ = Ωnτ = μ . Поверхностный источник (4.1.4) можно записать в виде объемного источника

131

(

)

( )

(

)

q V τ; Ω = qΣ Ω δ ( τ ) = I0μ0δ Ω − Ω0 δ ( τ ) . (4.1.5) Поэтому интегродифференциальное уравнение переноса для полной интенсивности внутри слоя вещества ( 0 < τ < τL ) можно за-

писать двояко: либо с источником q V и нулевыми граничными условиями на обеих поверхностях τ = 0 и τ = L , либо без источника, но с соответствующими граничными условиями. В первом случае ⎧⎛ ∂ ⎞ ⎪⎜ μ ∂τ + 1⎟ I(τ; Ω) = Λ ∫∫ χ Ω′ → Ω I τ; Ω′ d Ω′ + ⎠ 4π ⎪⎝ ⎪ (4.1.6) ⎨ + I0μ0δ(Ω − Ω0 )δ(τ); ⎪I(τ = 0; μ > 0, ϕ) = 0; I (τ = τ ; μ < 0, ϕ) = 0. L ⎪ ⎪ ⎩

(

) (

)

Во втором случае ⎧⎛ ∂ ⎞ ⎪⎜ μ ∂τ + 1⎟ I(τ; Ω) = Λ ∫∫ χ Ω′ → Ω I τ; Ω′ d Ω′, ( τ > 0 ) ; ⎠ (4.1.7) ⎨⎝ 4π ⎪ ⎩I(τ = 0; μ > 0, ϕ) = I0δ(Ω − Ω0 ); I(τ = τL ; μ < 0, ϕ) = 0.

(

) (

)

Интегральное уравнение переноса для полной интенсивности Уравнение переноса в интегральном виде для полной интенсивности излучения I(τ; Ω μ0 ; τL ) получается из общего уравнения (3.3.8). Для того чтобы получить выражение для интенсивности нерассеянного излучения, которое является неоднородностью этого уравнения, достаточно в общую формулу (3.2.17) подставить значение qΣ , определяемое выражением (4.1.5), положить τ0 = 0 и учесть, что поскольку внешнее излучение падает на поверхность вещества τ = 0 , то нерассеянное излучение распространяется только в глубь среды, т.е. в область глубин τ > 0 . Поэтому μ = μ0 > 0 и μ0 / μ = 1 . Тогда получим:

132

⎛ τ ⎞ (τ > 0; Ω) = I0 exp ⎜ − (4.1.8) ⎟ δ Ω − Ω0 . ⎝ μ0 ⎠ С учетом формулы (4.1.8) для интенсивности нерассеянного излучения, уравнение (3.3.8) будет выглядеть так: ⎛ τ ⎞ I(τ; Ω μ0 ; τL ) = I0 exp ⎜ − ⎟ δ(Ω − Ω0 ) + ⎝ μ0 ⎠ I(

+

(

….!=“ )

)

⎛ τ − τ′ ⎞ ⎛ τ − τ′ ⎞ Λ τL d τ′ exp ⎜ − ∫ ⎟ η⎜ ⎟ ∫∫ χ Ω′ → Ω I τ′; Ω′ d Ω′. μ 0 μ ⎠ ⎝ μ ⎠ 4π ⎝

(

) (

)

(4.1.9) Уравнение (4.1.9) есть интегральное уравнение переноса для полной интенсивности I(τ; Ω μ0 ; τL ) в плоском слое вещества τL при падении широкого, мононаправленного, стационарного пучка света на его поверхность под углом θ0 = arccos μ0 . Учитывая очевидное соотношение η ( ( τ − τ′ ) / μ ) = η ( μ ) η ( τ − τ′ ) + η ( −μ ) η ( τ′ − τ ) , (4.1.10) интегральное уравнение (4.1.9) для интенсивности I(τ; Ω) можно записать в виде ⎛ τ ⎞ I(τ; Ω μ0 ; τL ) = I0 exp ⎜ − ⎟ δ(Ω − Ω0 ) + ⎝ μ0 ⎠ ⎛ τ − τ′ ⎞ ⎪⎧ Λ τ ⎪⎫ + η ( μ ) ⎨ ∫ d τ′ exp ⎜ − ⎟ ∫∫ χ ( μ′ → μ; ϕ′ − ϕ ) I τ′; Ω′ d Ω′⎬ + μ ⎠ 4π ⎝ ⎩⎪ μ 0 ⎭⎪

(

)

⎧⎪ Λ τL ⎫⎪ ⎛ τ′ − τ ⎞ +η ( −μ ) ⎨ d τ′ exp ⎜⎜ − ⎟⎟ ∫∫ χ ( μ′ → − μ ; ϕ′ − ϕ ) I τ′; Ω′ d Ω′⎬ . ∫ μ ⎠ 4π ⎝ ⎩⎪ μ τ ⎭⎪ (4.1.11) Во втором слагаемом в правой части уравнения (4.1.11) учтено, что если μ < 0 , то можно записать μ = − μ . Из уравнения (4.1.11) видно, что полная интенсивность излучения может быть представлена в виде суммы нисходящего I↓ и восходящего I↑ излучений

(

(рис. 4.1.2)

133

)

I(τ; Ω μ0 ; τL ) = I↓ (τ; μ > 0, ϕ) + I↑ (τ; μ = − μ < 0, ϕ) .

(4.1.12)

I ↑ (τ = 0)

I0 O

τ=0

I ↑ (τ )

τ

τ = τL

Восходящее излучение Нисходящее излучение

I ↓ (τ )

τ

I ↓ (τ L )

Рис. 4.1.2. Условное изображение восходящего и нисходящего излучения в плоском слое

Нисходящее излучение I↓ определяется теми фотонами, которые на глубине τ распространяются в глубь вещества, т.е. в направлении оси τ . Для таких фотонов μ = cos θ > 0 и проекция их скорости на ось τ положительная: cτ > 0 (см. рис.4.1.2):

{(

)}

I↓ (τ; μ > 0, ϕ) = I0 exp ( −τ / μ0 ) δ(Ω − Ω0 ) + B↓ I τ′; Ω′ . (4.1.13)

Здесь

{(

B↓ I τ′; Ω′ =

)} =

(4.1.14) ⎛ τ − τ′ ⎞ Λτ ′ ′ ′ ′ ′ ′ d exp ; I ; d . τ − χ μ → μ ϕ − ϕ τ Ω Ω ( ) ∫ ⎜ ⎟ ∫∫ μ0 μ ⎠ 4π ↓ ⎝

(

)

Величина χ↓ (μ′ → μ, ϕ′ − ϕ) есть та часть индикатрисы рассеяния, которая описывает однократное рассеяние фотонов из произвольного состояния −1 ≤ μ′ ≤ 1 в состояние μ > 0 , т.е. в нижнюю по-

{(

лусферу. Величина B↓ I τ′; Ω′

)}

определяет интенсивность диф-

134

фузно рассеянного излучения на произвольной глубине 0 ≤ τ ≤ τL , распространяющегося в глубь вещества ( μ > 0 ) :

{(

)}

I(D) (τ; μ > 0; ϕ) = B↓ I τ′; Ω′ . (4.1.15) ↓ Выражение (4.1.15) связывает интенсивность диффузно рассеянного нисходящего излучения с полной интенсивностью I ( τ; μ, ϕ ) . Из формулы (4.1.14) видно, что интенсивность диффузно рассеянного нисходящего излучения на глубине τ определяется интенсивностью полного излучения в слое вещества над плоскостью τ , т.е. в области глубин 0 ≤ τ′ ≤ τ . Таким образом, нисходящее излучение на глубине τ определяется нерассеянным излучением (первое слагаемое в (4.1.13)) и диффузной интенсивностью излучения (второе слагаемое в формуле (4.1.13)). На верхней границе вещества I↓ (τ = 0; μ > 0, ϕ) = I0δ(μ − μ0 )δ ( ϕ ) , т.е. нисходящее излучение оп-

ределяется только падающим излучением. На нижней поверхности слоя τ = τL нисходящее излучение определяет прошедшее через слой излучение I↓ (τ = τL ; μ > 0, ϕ) , которое включает в себя как нерассеянное, так и диффузно рассеянное излучение (см. рис.4.1.2). Восходящее излучение I↑ определяется теми фотонами, которые на глубине τ распространяются в веществе в сторону границы τ = 0 , т.е. в направлении противоположном направлению оси τ . Для таких фотонов μ = cos θ < 0 и проекция их скорости на ось τ отрицательная: cτ < 0 . В отличие от нисходящего излучения, восходящее излучение определяется только диффузно рассеянными фотонами: I↑ = I(D) (τ; μ < 0; ϕ) = B↑ I τ′; Ω′ . (4.1.16)

{(

↑

Здесь B↑ {I} =

)}

⎛ τ′ − τ ⎞ Λ τL d τ′ exp ⎜⎜ − ⎟ ∫∫ χ ( μ′ → − μ ; ϕ′ − ϕ ) I τ′; Ω′ d Ω′. ∫ μ τ μ ⎟⎠ 4π ↑ ⎝

(

)

(4.1.17) Величина χ↑ ( μ′ → − μ ; ϕ′ − ϕ ) есть та часть индикатрисы рассеяния, которая описывает однократное рассеяние фотонов из произ-

135

вольного состояния −1 ≤ μ′ ≤ 1 в состояние μ = − μ < 0 , т.е. в

{(

верхнюю полусферу. Величина B↑ I τ′; Ω′

)} определяет интенсив-

ность диффузно рассеянного излучения на произвольной глубине 0 ≤ τ ≤ τL , распространяющегося в сторону границы τ = 0

(μ > 0) .

Выражение (4.1.16) связывает интенсивность диффузно рассеянного восходящего излучения с полной интенсивностью I ( τ; μ, ϕ ) . Из формулы (4.1.17) видно, что интенсивность диффузно рассеянного восходящего излучения на глубине τ определяется интенсивностью полного излучения в слое вещества под плоскостью τ , т.е. в области глубин τ ≤ τ′ ≤ τL . На нижней поверхности слоя τ = τL восходящее излучение отсутствует. На верхней границе вещества τ = 0 восходящее излучение определяет отраженное от слоя излучение (см. рис.4.1.2). Следует заметить, что поскольку плотность энергии нерассеянного излучения на глубине τ от мононаправленного источника с интенсивностью I0 , расположенного в плоскости τ′ и испускающего фотоны в направлении μ , определяется выражением 1 ….!=“ ) í .ðàñ ) (τ μ, τ′) = ∫∫ I ( (τ − τ′; μ μ′, ϕ′)dΩ′ = ρ( c 4π ⎛ τ − τ′ ⎞ ⎛ τ − τ′ ⎞ I 1 (4.1.18) = 0 exp ⎜⎜ − ⎟ η⎜ ⎟, c μ μ ⎟⎠ ⎝ μ ⎠ ⎝ то уравнение (4.1.9) можно записать в более физически наглядном виде: ….!=“ ) I(τ; Ω μ ; τ ) = I ( τ; Ω Ω + 0

+

(

L

0

)

cΛ τL ( ….!=“ ) (τ μ, τ′) χ Ω′ → Ω I τ′; Ω′ dΩ′. (4.1.19) ∫ d τ′ρ ∫∫ I0 0 4π

(

136

) (

)

Уравнение переноса для диффузно рассеянного излучения при наклонном облучении поверхности Теперь получим уравнения переноса для диффузно рассеянного излучения при облучении поверхности τ = 0 мононаправленным световым потоком, падающим под углом θ0 к внутренней нормали. Подставляя в уравнение (4.1.7) ….!=“ ) D I(τ; Ω) = I ( (τ; Ω) + I ( ) (τ; Ω) и, учитывая, что интенсивность нерассеянного излучения удовлетворяет уравнению ⎧ ⎛ ∂ ⎞ ( ….!=“ ) (τ; Ω) = I0μ0δ(Ω − Ω0 )δ(τ); ⎪ ⎜ μ ∂τ + 1 ⎟ I ⎝ ⎠ (4.1.20) ⎨ ⎪ ( ….!=“ ) ….!=“ ) ( (τ = 0; μ > 0, ϕ) = 0; I (τ = τL ; μ < 0, ϕ) = 0, ⎩I сразу получаем, что ⎧⎛ ∂ ⎞ (D) D = Λ ∫∫ χ Ω′ → Ω I ( ) τ; Ω′ d Ω′ + ⎪⎜ μ ∂τ + 1⎟ I ⎠ 4π ⎪⎪⎝ ⎨ (1) (4.1.21) ⎪+q V (τ; Ω Ω0 ); ⎪ (D) D I ( ) (τ = τL ; μ < 0, ϕ) = 0. ⎪⎩ I (τ = 0; μ > 0, ϕ) = 0; Здесь (1) ….!=“ ) τ; Ω′ d Ω′ , q V (τ; Ω Ω0 ) = Λ ∫∫ χ Ω′ → Ω I ( (4.1.22)

(

4π

)

(

)

(

)

(

)

(1) где q V есть плотность объемных источников, порождаемая взаимодействием нерассеянного излучения с рассеивающими центрами. С учетом выражения (4.1.8) для интенсивности нерассеянного излучения, из уравнения (4.1.22) находим, что ⎛ τ ⎞ (1) (1) q V (τ; μ, ϕ μ0 ) = q V (τ; Ω Ω0 ) = I0 Λ exp ⎜ − ⎟ χ(Ω0 → Ω) .(4.1.23) ⎝ μ0 ⎠ Естественно, что при облучении поверхности τ = 0 , величина (1) q V (τ; Ω μ0 ) не зависит от толщины слоя вещества τL . Кроме то(1) го, q V ~ Λ .

137

Интегральное уравнение для диффузной интенсивности излучения при наклонном облучении поверхности Интегральное уравнение для диффузно рассеянного излучения сразу получается из интегрального уравнения (4.1.9), если в него ….!=“ ) D (τ; Ω) + I ( ) (τ; Ω) и учесть выражение (4.1.8) подставить I = I ( для интенсивности нерассеянного излучения. В результате получим: 1 I(D) (τ; Ω) = I ( ) (τ; Ω) + τ−τ′ (4.1.24) − ⎛ τ − τ′ ⎞ Λ τL μ D) ( ′ ′ ′ ′ ′ + η⎜ τ ; Ω dΩ . ∫ dτ e ⎟ ∫∫ χ Ω → Ω I μ 0 ⎝ μ ⎠ 4π Здесь 1 I ( ) (τ; Ω ) =

(

=

)

(

)

⎛ τ − τ′ ⎞ ⎛ τ − τ′ ⎞ Λ τL ( í. ðàñ ) τ′; Ω′ d Ω′. d τ′ exp ⎜ − ∫ ⎟ η⎜ ⎟ ∫∫ χ Ω′ → Ω I μ 0 μ μ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4π

(

)

(

)

(4.1.25) Таким образом, в уравнении (4.1.24) для I (τ; Ω) изменяется только неоднородный член по сравнению с уравнением (4.1.9) для ….!=“ ) 1 → I ( ) . Подставляя в формулу полной интенсивности: I ( (D)

(4.1.25) значение I (

….!=“ )

( τ; Ω ) ,

определяемое формулой (4.1.8),

получим: 1 I ( ) (τ; Ω μ0 ; τL ) = τ . (4.1.26) τL ⎧⎪ ⎛ 1 1 ⎞ ⎫⎪ ⎛ τ − τ′ ⎞ I0 Λ − μ ′ d = η τ e χ(Ω0 → Ω) ∫ exp ⎨ τ′ ⎜ − . ⎟⎬ ⎜ ⎟ μ ⎩⎪ ⎝ μ μ0 ⎠ ⎭⎪ ⎝ μ ⎠ 0 1 Величина I ( ) (τ; Ω ) определяет вклад в интенсивность диффузного

(и полного) излучения от процесса истинно однократного рассеяния, когда на поверхность вещества падает широкий, мононаправ-

138

ленный световой поток с интенсивностью I0 , а объемные источники отсутствуют. Уравнение переноса при нормальном падении светового потока на поверхность вещества Наиболее простой из всех задач теории переноса в условиях плоской геометрии является задача о распространении излучения, когда на поверхность вещества (например, верхнюю границу τ = 0 ) падает широкий мононаправленный световой поток с интенсивностью I0 по нормали к поверхности θ0 = 0 , т.е. μ0 = 1 . При нормальном падении светового потока задача обладает аксиальной симметрией и интенсивность излучения не зависит от азимутального угла: I = I ( τ; μ ) . Поскольку при нормальном падении азимутальный угол падающего излучения не определен, то интенсивность падающего излучения на верхнюю границу вещества запишется так: I I↓ (τ = 0; μ > 0) = 0 δ(1 − μ) . (4.1.27) 2π j0 = I0 . (4.1.28) Как и в случае наклонного падения, падающее излучение можно рассматривать как плоский источник, расположенный на поверхности τ = 0 : I q V ( τ; μ τ0 = 0 ) = qΣ ( μ ) δ(τ) , qΣ ( μ ) = 0 δ(1 − μ) . (4.1.29) 2π С учетом аксиальной симметрии, уравнения в случае нормального облучения поверхности отличаются от предыдущих уравнений заменой 1 μ0 → 1 , δ(μ − μ0 )δ ( ϕ ) → δ(1 − μ) и χ(Ω′ → Ω) → χ(μ′ → μ) . 2π Здесь χ ( μ′ → μ ) – индикатриса рассеяния, проинтегрированная по азимуту, т.е. нулевая азимутальная гармоника индикатрисы рассеяния (2.1.34), удовлетворяющая условию нормировки (2.1.35). Например, уравнения (4.1.6) и (4.1.9) для полной интенсивности излучения будут выглядеть следующим образом:

139

1 ⎧⎛ ∂ ⎞ + 1⎟ I(τ; μ τL ) = Λ ∫ χ ( μ′ → μ ) I ( τ; μ′ τL ) dμ′ + ⎪⎜ μ ⎠ ⎪⎪⎝ ∂τ −1 ⎨ I0 (4.1.30) δ(1 − μ)δ(τ); ⎪+ ⎪ 2π I(τ = 0; μ > 0) = 0; I(τ = τL ; μ < 0) = 0; ⎪⎩

I e−τ I(τ; μ) = 0 δ(1 − μ) + 2π

(4.1.31) τ−τ′ − 1 ′ ⎛ ⎞ Λ τL τ − τ μ + η⎜ ∫ d τ′ e ⎟ ∫ χ ( μ′ → μ ) I ( τ′; μ′ ) dμ′. μ 0 ⎝ μ ⎠ −1 Аналогичным образом преобразуются уравнения (4.1.21) и (4.1.24) для диффузной интенсивности излучения. §2. Разложение интенсивности излучения по угловым гармоникам. Общий случай Важное значение среди разнообразных методов расчета полей излучения занимает метод сферических гармоник. Суть этого метода состоит в разложении интенсивности излучения I r ; Ω в ряд

(

)

по сферическим гармоникам Υ lm ( θ; ϕ ) . Разложение интенсивности по сферическим гармоникам фактически представляет собой двойное разложение: в ряд Фурье по азимутальному углу ϕ и затем в ряд по присоединенным функциям Лежандра Plm ( μ ) . При этом получается бесконечная система зацепляющихся уравнений для (m) дважды угловых моментов Il (r ) , которые являются коэффициентами этого разложения. Система уравнений для азимутальных гармоник Il(m ) ( r ) является абсолютно точной и полностью эквивалентна исходному уравнению переноса. Поэтому как решение уравнения (1.2.19), так и решение получающейся системы уравне(m) ний для величин Il (r ) представляют собой задачи одинаковой

140

сложности. В общем виде, т.е. при произвольной индикатрисе рассеяния χ ( cos γ ) и произвольных углах распространения фотонов, (m) аналитического решения системы уравнений для величин Il (r ) получено быть не может. Однако новая форма записи уравнения переноса расширяет возможности получения различных приближенных методов решения, в которых не используется, например, предположение о малости угла многократного рассеяния. В частности, так называемое PL -приближение основано как раз на использовании метода сферических гармоник. Суть этого приближения состоит в предположении о том, что в ряде случаев интенсивность излучения является весьма плавной функцией угловых перемененных. Поэтому при разложении интенсивности излучения I ( r ; θ, ϕ ) в ряд по сферическим гармоникам Υ lm ( θ; ϕ ) можно ограничиться лишь конечным числом слагаемых. В этом приближении достаточно решить конечную систему зацепляющихся уравнений. При этом, конечно, формулируются и приближенные граничные условия. Исключительно широко используется самое простое P1 -приближение. В этом приближении уравнение переноса сводится к дифференциальному уравнению диффузии в координатном пространстве. Поэтому P1 -приближение иногда называют диффузионным приближением. В этом разделе излагается метод сферических гармоник для случая плоской геометрии рассеивающей среды. Как и раньше будем считать, что на поверхность однородного слоя вещества толщиной L падает под углом θ0 к оси z широкий, стационарный

световой поток с интенсивностью I0 . Вектор скорости падающих фотонов Ω0 лежит в вертикальной плоскости XoZ ( ϕ0 = 0 ) . В случая плоской геометрии интенсивность излучения зависит от глубины z (оптической глубины τ ), полярного и азимутального

(

)

углов θ и ϕ , соответственно: I r ; Ω = I ( τ; μ, ϕ ) . Разложение интенсивности излучения по сферическим гармоникам будет выглядеть так:

141

∞ 2l + 1 (l − m )! m 1 ∞ ( ) Il (τ)Plm ( μ ) . (4.2.1) ∑ cos( mϕ ) ∑ 2π m =0 l = m 2 (l + m)! При получении системы уравнений для сферических гармоник (m) Il (τ) исходным является уравнение переноса для полной интен-

I(τ; μ, ϕ) =

сивности излучения: ⎛ ∂ ⎞ ⎜ μ + 1⎟ I ( τ; μ, ϕ ) = ⎝ ∂τ ⎠

(

(4.2.2)

)

= Λ ∫∫ χ ( μ′ → μ; ϕ′ − ϕ ) I ( τ; μ′, ϕ′ ) d Ω′ + q V τ; Ω . 4π

Для увеличения точности расчетов, целесообразно перед разложением интенсивности в ряд по шаровым функциям, из общего светового поля выделить нерассеянное излучение ….! =“ ) D I τ; μ, ϕ = I ( + I ( ) τ; μ, ϕ . (4.2.3)

(

)

(

)

Напомним, что нерассеянное излучение определяется только теми фотонами, которые достигли глубины τ , ни разу не изменив направление своего движения. D Уравнение для диффузно рассеянного излучения I ( ) τ; μ, ϕ

(

имеет вид ⎛ ∂ ⎞ (D) ( τ; μ, ϕ ) = ⎜ μ + 1⎟ I ⎝ ∂τ ⎠ D (1) = Λ ∫∫ χ ( μ′ → μ; ϕ′ − ϕ ) I ( ) ( τ; μ′, ϕ′ ) d Ω′ + q V τ; Ω . 4π

(

)

)

(4.2.4)

(1) Величина q V τ; Ω определяется формулой (4.1.23). Уравнения (4.2.2) и (4.2.4) отличаются только видом неоднородности. Поэтому для общности будем рассматривать уравнение

(

)

(

)

переноса с произвольным плоским источником q τ; Ω = q ( τ; μ, ϕ ) : ⎛ ∂ ⎞ ⎜ μ + 1⎟ I ( τ; μ, ϕ ) = ⎝ ∂τ ⎠ 2π

1

0

−1

(

)

= Λ ∫ d ϕ′ ∫ dμ′ χ ( μ′ → μ; ϕ′ − ϕ ) I ( τ; μ′, ϕ′ ) + q τ; Ω .

142

(4.2.5)

При получении уравнений для азимутальных гармоник полной интенсивности I ( τ; μ, ϕ )

(

)

(

)

q τ; Ω = q V τ; Ω . (4.2.6) При получении уравнений для азимутальных гармоник диффузно D рассеянного излучения I ( ) τ; μ, ϕ :

(

)

(1) í. ðàñ ) q τ; Ω = q V τ; Ω = Λ ∫∫ χ Ω′ → Ω I ( τ; Ω′ τL d Ω′ . (4.2.7)

(

)

(

)

4π

(

)

(

)

Разложение интенсивности по сферическим гармоникам удобно осуществлять в два этапа. Сначала определяется система уравнеm ний только для азимутальных гармоник I ( ) τ; μ и показывается,

(

)

что происходит полное разделение по азимутальным гармоникам. m Для каждой m - азимутальной гармоники I ( ) ( τ; μ ) получается своё уравнение, никак не связанное с уравнениями для других азимутальных гармоник. Затем, разлагая каждую из них в ряд по присоединенным функциям Лежандра Plm ( μ ) , получаем систему

(m) уравнений для дважды угловых моментов Il (τ) .

Разделение азимутальных гармоник Поскольку индикатриса рассеяния является четной функцией азимутального угла ϕ , то и интенсивность излучения есть тоже четная функция ϕ . Поэтому индикатрису рассеяния можно разложить в ряд Фурье по косинусам, используя приведенные ранее соотношения (2.1.24). Кроме того, оказывается полезным более общее соотношение δ 1 2π cos ( mϕ ) cos [k(ϕ − ϕ′)] d ϕ′ = mk cos ( mϕ ) = ∫ 2π 0 2 − δk0 δk, m

(1 + δk,0 ) cos ( mϕ ) , 2 частным случаем которого является формула (2.1.24b).

=

143

(4.2.8)

В соответствии с (2.1.24a) представим интенсивность излучения в виде ряда Фурье по азимутальному углу ϕ : I(τ; μ, ϕ) =

1 ∞ (m) ∑ I (τ; μ) cos ( mϕ ) . 2π m = 0

(4.2.9)

m Здесь I ( ) (τ; μ μ0 ) – азимутальные гармоники интенсивности излучения 2π

m I ( ) (τ; μ) = (2 − δm,0 ) ∫ I(τ; μ, ϕ) cos ( mϕ ) d ϕ , 0

( m = 0,1,2, ...... ) .

(4.2.10) Каждая из азимутальных гармоник зависит от двух переменных – оптической глубины τ и величины μ = cos θ , а также от величин μ0 = cos θ0 и оптической толщины слоя τL , как от параметров задачи. В дальнейшем, там где в этом нет явной необходимости для сокращения письма, не будем явно указывать зависимость азимутальной гармоники от величин μ0 и τL . Полагая в формуле (4.2.10) m = 0 , находим, что нулевая азиму0 тальная гармоника I ( ) (τ; μ) представляет собой интенсивность излучения I (τ; μ) , проинтегрированную по азимуту 2π

0 I ( ) (τ; μ) ≡ I (τ; μ) = ∫ I(τ; μ, ϕ)d ϕ .

(4.2.11)

0

Таким образом, величина I (τ; μ) определяет распределение светового потока на глубине τ только по полярному углу θ безотносительно к азимутальному углу ϕ . Пусть закон однократного рассеяния определяется ( n + 1 )членной индикатрисой рассеяния (2.1.15): 1 N 2l + 1 N χ( ) ( cos γ ) = χl Pl ( cos γ ) , ∑ 2π l =0 2 cos γ = μμ′ +

(1 − μ2 )(1 − μ′2 ) cos ( ϕ′ − ϕ) . 144

(4.2.12)

В соответствии с выражением (2.1.29) индикатрису рассеяния представим в виде разложения Фурье по азимутальному углу 1 N (k ) N χ( ) (μ′ → μ; ϕ′ − ϕ) = ∑ p (μ′; μ) cos[k(ϕ′ − ϕ)] . (4.2.13) 2π k =0 k Величины p( ) (μ′; μ) есть азимутальные гармоники индикатрисы рассеяния, определяемые формулой (2.1.30). Чтобы получить уравнения для всех азимутальных гармоник m) ( I (τ; μ μ0 ) , перепишем уравнение переноса (4.2.5) с учетом формулы (4.2.13) в виде ⎛ ∂ ⎞ ⎜ μ + 1⎟ I ( τ; μ, ϕ ) = ⎝ ∂τ ⎠ 2π Λ N 1 k ∑ ∫ dμ′ p( ) (μ′; μ) ∫ cos[k(ϕ′ − ϕ)]dϕ′I ( τ; μ′, ϕ′ ) + q τ; Ω . 2π k =0 −1 0 (4.2.14) Умножим обе части уравнения (4.2.14) на cos ( mϕ ) и проинтегри-

(

=

)

руем по ϕ в пределах [0,2π] . Тогда, с учетом формул (4.2.10), выполняя интегрирование по ϕ и используя формулу (4.2.8), получаем: ⎛ ∂ ⎞ m + 1⎟ I ( ) (τ; μ) = ⎜μ ⎝ ∂τ ⎠ =

1 Λ m m m 1 + δm,0 ∫ p( ) (μ′; μ)I ( ) (τ; μ′)dμ′ + q ( ) (τ; μ) . (4.2.15) 2 −1

(

)

m Здесь q ( ) (τ; μ) – m -я азимутальная гармоника плотности источников фотонов 2π

m q ( ) ( τ; μ ) = ( 2 − δm0 ) ∫ q ( τ; μ, ϕ ) cos ( mϕ ) d ϕ .

(4.2.16)

0

Граничные условия для азимутальных гармоник имеют обычный вид: m m I ( ) (τ = 0; μ > 0 τL ) = 0 , I ( ) (τ = τL ; μ < 0 τL ) = 0 . (4.2.17)

145

Таким образом, как уравнения для всех азимутальных гармоник m I ( ) (τ; μ) (так и граничные условия) независимы друг от друга. Каждое из них представляет собой интегродифференциальное уравнение, ядром которого является соответствующая азимутальm ная гармоника p( ) (μ′; μ) индикатрисы рассеяния, определяемая m формулой (2.1.30). Величины I ( ) (τ; μ) зависят от коэффициентов разложения индикатрисы χm , χm +1, χ m + 2 , .... , как от параметров: m m I ( ) (τ; μ) = I ( ) (τ; μ χ , χ ,χ , ....) . m

m +1

m +2

Для диффузно рассеянного излучения в соответствие с (3.3.11) ….! =“ ) (1) q(τ; Ω) = q (τ; Ω) = Λ χ Ω′ → Ω I ( τ; Ω′ d Ω′ . (4.2.18) V

∫∫

4π

(

)

(

)

m При ( N + 1 )-членной индикатрисе рассеяния p( ) (μ′; μ) = 0 , если (1) m > N . Так как q V (τ; Ω) пропорционально индикатрисе рассея(1) m ния, то величины q V ( ) ( τ; μ ) также равны нулю при m > N . Поэтому правые части системы уравнений (4.2.15) для диффузно рассеянного излучения отличны от нуля только при m ≤ N . Следовательно, все азимутальные гармоники диффузно рассеянного излучения, для которых m > N , равны нулю. Поэтому 1 N ( D )( m ) D (4.2.19) I ( ) (τ; μ, ϕ) = (τ; μ) cos ( mϕ ) . ∑ I 2π m =0 Таким образом, интенсивность диффузно рассеянного излучения в среде с ( N + 1 )-членной индикатрисой рассеяния содержит N + 1 азимутальных гармоник: m = 0,1,2, ...N . Отметим, что для полной интенсивности данного утверждения сделать нельзя, так как нерассеянное излучение может содержать бесконечное число азимутальных гармоник, например, при облучении поверхности вещества широким мононаправленным световым потоком, когда q V (τ; Ω) ~ δ ( ϕ ) , поскольку в соответствии со вто-

рой формулой (2.1.24d) δ ( ϕ ) содержит бесконечное число азимутальных гармоник.

146

Уравнения для сферических гармоник Теперь приступим ко второму этапу – разложению азимутальных гармоник в ряд по присоединенным функциям Лежандра. Такое разложение возможно, поскольку присоединенные функции Лежандра с одинаковым верхним индексом обладают свойством ортогональности: 1 2 (l + m ) ! m m ∫ dμPl ( μ ) Pk ( μ ) = 2l + 1 l − m ! δl,k . (4.2.20) ( ) −1 Кроме того, имеет место рекуррентное соотношение μPlm ( μ ) =

(l + 1 − m ) m (l + m ) m Pl +1 ( μ ) + P (μ) ( 2l + 1) ( 2l + 1) l −1 ( m ≤ l; l = 0,1, 2..... ) .

(4.2.21)

m Представим каждую из азимутальных гармоник I ( ) (τ; μ) в виде разложения по присоединенным функциям Лежандра: l =∞ 2l + 1 (l − m )! m ( ) m (4.2.22) I ( ) (τ; μ) = ∑ Il (τ)Plm ( μ ) . 2 ( l m )! + l =m (m) Здесь Il (τ) – дважды угловые моменты интенсивности излуче-

ния (сферические гармоники) 1

(m) (m) μ ; m Il (τ) = ∫ dμI ( ) (τ; μ)Pl ( ) −1

(l ≥ m ) .

(4.2.23)

Отметим, что для любой m -й азимутальной гармоники индекс l принимает бесконечное множество значений, начиная с l = m до l = ∞ . Как уже отмечалось выше, дважды угловые моменты есть разложение полной интенсивности I(τ; μ, ϕ) в ряд Фурье по ϕ и в ряд по присоединенным функциям Лежандра Plm ( μ ) . Таким обра-

(m) зом, если все сферические гармоники Il (τ) будут определены, то интенсивность излучения можно вычислить по формуле (4.2.1).

147

(m) При получении уравнений для величин Il (τ) умножим обе

(m) части уравнения (4.2.15) на Pl ( μ ) и проинтегрируем по μ в пределах [-1,1]. Преобразуем левую часть уравнения (4.2.15). Используя рекуррентное соотношение (4.2.21) и соотношение (4.2.23) (m) для Il (τ) , будем иметь:

{

1

}

(m) (m) ∫ dμI (τ; μ) μPl ( μ ) =

−1

1 ( l + m ) m ⎪⎫ ⎪⎧ ( l − m + 1) m m = ∫ dμI ( ) (τ; μ) ⎨ Pl +1 ( μ ) + P ( μ ) ⎬, (2l + 1) l −1 ⎭⎪ ⎪⎩ ( 2l + 1) −1

т.е.

{

1

}

(m) (m) ∫ dμI (τ; μ) μPl ( μ ) =

−1

(l − m + 1) ( m ) (l + m ) ( m ) Il +1 ( τ ) + I ( τ) . (2l + 1) ( 2l + 1) l −1

Следовательно, левая часть уравнения (4.2.22) запишется так: ⎛ ∂ ⎞ m + 1⎟ I ( ) (τ; μ) → ⎜μ ⎝ ∂τ ⎠ (4.2.24a) (m) (m) ( l − m + 1) ∂Il +1 ( τ ) ( l + m ) ∂Il −1 ( τ ) ( m ) → + + Il ( τ ) . ∂τ ( 2l + 1) ( 2l + 1) ∂τ Интегральный член в уравнении (4.2.15) последовательно преобразуется следующим образом. Поскольку ∞ ( 2k + 1) (k − m)! m m p( ) (μ′; μ) = (2 − δm,0 ) ∑ χl Pk (μ′)Pkm (μ) , 2 ( k + m )! k=m то в силу условия ортогональности (4.2.20), находим, что 1

(m) m m ∫ p (μ′; μ)Pl ( μ ) dμ = (2 − δm,0 )χl Pl (μ′) . (4.2.24b)

−1

Следовательно,

148

1 Λ m m 1 + δm,0 ∫ p( ) (μ′; μ)I ( ) (τ; μ′)dμ′ → 2 −1

(

)

(4.2.24c) Λ (m) (m) → 1 + δm,0 (2 − δm,0 )χl Il (τ) = Λχl Il (τ). 2 Здесь учтено, что (1 + δm0 ) ( 2 − δm0 ) = 2 . В результате получаем следующую основную систему уравне(m) ний для величин Il ( τ ) :

(

)

(m) (m) ⎧ dI τ dI τ ⎪ ( l + 1 − m ) l +1 ( ) + ( l + m ) l −1 ( ) + ⎪ 2l + 1 2l + 1 dτ dτ ⎪⎪ m m ( ) ( ) ⎨+ (1 − Λχl ) Il ( τ ) = ql ( τ ) ; ⎪ ⎪( m = 0,1,2.....; l = m, m + 1, m + 2, .......... ) ; ⎪ ⎪⎩

(4.2.25)

Здесь 1

(m) m ql ( τ ) = ∫ dμPlm (μ)q ( ) ( τ; μ ) .

(4.2.26)

−1

m Величины q ( ) ( τ; μ ) ( m = 0,1,2, ...l ) , входящие в формулу (4.2.26), определяются выражением (4.2.16). Читателя не должно смущать, что во второе слагаемое в ле(m) вой части уравнений (4.2.25) входит величина Il −1 ( τ ) , нижний

индекс которой может быть отрицательным при l = 0 . Однако индекс l может принимать нулевое значение только при m = 0 , так как l ≥ m . Но когда оба индекса равны нулю, величина l + m = 0 . Поэтому в этом случае второе слагаемое просто выпадает из системы уравнений (4.2.25). Система уравнений (4.2.25) представляет собой систему из бесконечного числа зацепляющихся дифференциальных уравнений для (m) величин Il ( τ ) и полностью эквивалентна исходному уравнению переноса (4.2.5). Каждому значению номера азимутальной гармо-

149

ники m соответствует свой блок уравнений для функций ( m ) τ , I ( m ) τ , I ( m ) τ …. Im ( ) m +1 ( ) m +2 ( ) Если система уравнений (4.2.25) записывается для сферических гармоник полной интенсивности излучения при облучении поверхности вещества широким наклонным световым потоком, то подставляя значение q(τ; μ) , определяемое выражением (4.1.5) в (4.2.16), из формулы (4.2.27) получим: (m) ql ( τ μ0 ) = ( 2 − δm0 ) I0μ0Plm (μ0 )δ(τ) . (4.2.27) Если система уравнений (4.2.25) для той же задачи записывается для сферических гармоник диффузно рассеянного излучения, то значение q(τ; μ) определяется выражениями (4.1.23), (4.2.7). Подставляя (4.2.7) в формулу (4.2.16), из (4.2.26), получим: (m) ql ( τ μ0 ; Λ; χl ) = (2 − δm,0 )I0 Λχl Plm (μ0 ) exp ( −τ / μ0 ) . (4.2.28)

(m) В то время, как величина ql ( τ μ0 ) не содержит никакой информации о законе однократного рассеяния, величина (m) ql ( τ μ0 ; Λ; χl ) ~ Λχl .

(m) При вычислении величин Il ( τ ) для диффузно рассеянного излучения, когда закон однократного рассеяния определяется ( N + 1 )-членной индикатрисой рассеяния, величины χl = 0 для (m) l > N и, следовательно, величины ql ~ χl тоже равны нулю. Но

это вовсе не означает, что отличными от нуля будут сферические гармоники диффузно рассеянного излучения только для 0 ≤ l ≤ N , так как при любом заданном номере азимутальной гармоники m индекс l принимает бесконечное число значений ни чем не ограниченное сверху: l ≥ m . Ограниченным будет только число азимутальных гармоник 0 ≤ m ≤ N , т.е. число блоков в системе уравнений (4.2.25). В то же время число уравнений внутри каждого блока будет бесконечно большим. В этом случае выражение для интенсивности диффузно рассеянного излучения будет выглядеть так:

150

D I ( ) (τ; μ, ϕ) =

(4.2.29) ∞ 2l + 1 (l − m)! 1 N D (m) I ( )l (τ)Plm ( μ ). ∑ cos( mϕ ) ∑ 2π m = 0 l = m 2 (l + m )! Таким образом, в отличие от уравнений (4.2.15) для азимутальных m гармоник I ( ) (τ; μ) , не происходит полного разделения сфериче=

(m) ских гармоник Il ( τ ) по обеим угловым переменным даже для случая, когда разложение индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра содержит конечное число слагаемых. В качестве иллюстрации сказанного выше, выпишем блок урав( D )(0 ) нений для величин Il ( τ ) , т.е. коэффициентов разложения нуD 0 левой азимутальной гармоники I ( )( ) ( τ; μ ) диффузно рассеянного излучения в ряд по присоединенным полиномам Лежандра. Поло-

жим в уравнениях (4.2.25) m = 0 . Учитывая, что Pl0 (μ0 ) = Pl (μ0 ) , из (4.2.28) находим, что (0 ) ql ( τ ) = I0 Λχl Pl (μ0 ) exp ( −τ / μ0 ) .

(4.2.30)

В результате получаем следующую бесконечную систему зацепляющихся уравнений для величин I(D)(0) l ( τ) : (0 ) ⎧ l + 1 dI (0 ) ( τ ) ) l +1 l dIl −1 ( τ ) (0) ⎪( + + (1 − Λχl ) Il ( τ ) = ⎪ 2l + 1 dτ dτ 2l + 1 ⎪ −τ/ μ0 ; (4.2.31) ⎨= I0 Λχl Pl (μ0 ) e ⎪ (l = 0,1,2, ... ) . ⎪ ⎪ ⎩ (Для упрощения записи в системе уравнений (4.2.31) опущен ин(0 ) D (0 ) декс (D) , т.е. обозначено I ( ) = I .) Из системы уравнений l

( 0)

l

(4.2.31) видно, что величины Il ( τ ) зависят от всех коэффициентов разложения индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра:

151

( 0) (0 ) Il ( τ ) = Il (τ χ0 , χ1, .......χ m , ....) . Поэтому, в соответствии с (4.2.22), нулевая азимутальная гармоника l =∞ 2l + 1 0 ( ) 0 (4.2.32) I ( ) (τ; μ) = ∑ Il (τ χ0 , χ1 , .......χk , ....)Pl ( μ ) l =0 2 тоже зависит от всех коэффициентов разложения χl индикатрисы рассеяния. Заметим, что вычисление только нулевой азимутальной гармоники оказывается, например, достаточным при изотропном законе однократного рассеяния. Действительно, изотропная индикатриса рассеяния является одночленной индикатрисой ( N = 1 ). Поэтому в разложении (4.2.19) содержится только одна нулевая гармоника 1 (0 ) ,ƒ2! ) I( I (τ; μ μ0 ) . (4.2.33) (τ; μ μ0 ) = 2π Другими словами, диффузно рассеянное излучение в изотропно рассеивающей среде не зависит от азимутального угла ϕ при любом значении μ0 , т.е. как при нормальном ( μ0 = 1) , так и при наклонном падении светового излучения на поверхность вещества. При изотропном рассеянии χl = δl0 и из формулы (4.2.30) получаем, что ( ,ƒ2! )(0 ) ql ( τ ) = I0 Λδl0Pl (μ0 ) exp ( −τ / μ0 ) . Поскольку P0 (μ0 ) = 1 при любом значении μ0 , то в изотропно рассеивающей среде ( ,ƒ2! )(0 ) ql (4.2.34) ( τ ) = I0 Λδl0 exp ( −τ / μ0 ) . Подставляя (4.2.34) в уравнения (4.2.31), получим: (0) ⎧ l + 1 dI (0 ) ( τ ) ) l +1 l dIl −1 ( τ ) (0) ⎪( + + (1 − Λδl0 ) Il ( τ ) = ⎪ 2l + 1 2l + 1 dτ dτ ⎪ −τ/μ0 ; = I0 Λδl0 Pl (μ0 ) e (4.2.35) ⎨ ⎪ ( l = 0,1,2,... ) . ⎪ ⎪ ⎩

152

Таким образом, в изотропно рассеивающей среде величины 0 D ( 0)( D ) Il ( τ ) = Il( )( ) ( τ μ0 ; Λ ) зависят от оптической глубины и двух параметров – μ0 и вероятности выживания кванта Λ . Выпишем для наглядности первые три уравнения системы (4.2.35) в изотропно рассеивающей среде для значений l = 0,1 и l = 2 : ⎧ dI ( 0) τ ⎛ ⎞ ⎪ 1 ( ) + (1 − Λ ) I (0 ) ( τ ) = I0 Λ exp ⎜ − τ ⎟ ; 0 ⎪ dτ ⎝ μ0 ⎠ ⎪ ⎪ 2 dI (0 ) ( τ ) 1 dI (0 ) ( τ ) (0) 0 2 ⎪ + + I1 ( τ ) = 0; (4.2.36) ⎨3 dτ 3 dτ ⎪ ⎪ 3 dI (0 ) ( τ ) 2 dI (0 ) ( τ ) (0) 3 1 ⎪ + + I2 ( τ ) = 0; dτ 5 dτ ⎪5 ⎪⎩............................................................................... . Таким образом, даже для самой простой одночленной (изотропной) индикатрисы рассеяния, когда имеется только одна нулевая гармоника, число зацепляющихся уравнений для величин (0 ) Il ( τ μ0 ; Λ ) оказывается бесконечно большим. Если величины

( 0) ( 0) I0 (τ),I1 (τ),... будут определены, то значение диффузно рассе-

янного излучения в изотропно рассеивающей среде будут определяться выражением (4.2.33), которое с учетом формулы (4.2.32) запишется так: 1 (0 )( D ) èçòð )( D ) (τ; μ μ0 ; Λ) = (τ; μ) = I( I 2π (4.2.37) l =∞ 2l + 1 0 D ( )( ) (τ μ0 ; Λ)Pl ( μ ) . = ∑ Il l = 0 4π Естественно, что при решении системы уравнений необходимо учитывать граничные условия (4.2.17): 0 D 0 D I ( )( ) (τ = 0; μ > 0) = 0 , I ( )( ) (τ = τ ; μ < 0) = 0 . (4.2.38) L

153

§3. Разложение интенсивности излучения по угловым гармоникам при нормальном падении широкого светового потока Как уже отмечалось ранее, наиболее простой из всех задач теории переноса в условиях плоской геометрии является задача о распространении излучения, когда на поверхность вещества падает широкий световой поток с интенсивностью I0 по нормали к поверхности, т.е. под углом θ0 = 0 , т.е. μ0 = 1 (рис.4.3.1).

I0 I↑

O

τ=0

*

τ = τL I↓

τ

Рис. 4.3.1. Условное изображение широкого светового потока, падающего по нормали к поверхности плоского слоя вещества

При нормальном падении задача обладает аксиальной симметрией и интенсивность излучения не зависит от азимутального угла: I = I ( τ; μ ) . Поэтому в соответствие с (4.2.8) отличной от нуля будет только одна нулевая гармоника (4.2.10): 1 (0 ) I(τ; μ μ0 = 1) = I (τ; μ μ0 = 1) , 2π 2π

0 I ( ) (τ; μ μ0 = 1) = ∫ I(τ; μ μ0 = 1) dϕ . 0

154

(4.3.1)

Таким образом, в этом случае единственная азимутальная гармоника отличается от искомой интенсивности излучения только численным множителем 2π . Cсоотношение (4.3.1) имеет место при любом законе однократного рассеяния. Система уравнений для сферических гармоник Il(0) ( τ ) (4.2.25) в общем случае наклонного падения уже была получена в предыдущем параграфе. Однако учитывая особую значимость случая нормального падения, приведем вывод уравнения для частного случая нормального падения заново. Это, безусловно, может быть полезно начинающему читателю, если его интересует более простой случай нормального падения светового потока на поверхность рассеивающего слоя вещества. Идеология получения соответствующих уравнений та же, что и при наклонном падении, но сама процедура получения уравнений значительно проще и менее громоздка. Это связано с тем, что в отличие от случая наклонного падения, при нормальном падении ядром уравнения переноса является индикатриса рассеяния χ ( μ′ → μ ) , заинтегрированная по азимуту. Поэтому вместо уравнения (4.2.4) имеем более простое уравнение: 1 ⎧⎛ ∂ ⎞ + 1⎟ I ( τ; μ ) = Λ ∫ χ ( μ′ → μ ) I ( τ; μ′ ) dμ′ + q ( τ; μ ) ; ⎪⎜ μ (4.3.2) ⎠ ⎨⎝ ∂τ −1 ⎪ I(τ = 0; μ > 0) = 0; I(τ = τL ; μ < 0) = 0; ⎩ N 2k + 1 χ ( μ′ → μ ) = ∑ χk Pk ( μ′ ) Pk ( μ ) , 2 k =0 1

∫ χ ( μ′ → μ ) d μ ′ = 1 .

(4.3.3)

−1

В уравнении для полной интенсивности I ( τ; μ ) I q ( τ; μ ) = 0 δ(1 − μ)δ(τ) . (4.3.4) 2π При получении уравнений для угловых гармоник диффузно рассеянного излучения в соответствие с (4.1.23) I D (4.3.5) q ( τ; μ ) = q ( ) ( τ; μ ) = 0 Λχ (1 → μ ) exp ( −τ ) . 2π

155

Поскольку индикатриса рассеяния χ ( μ′ → μ ) представима в виде рядя по полиномам Лежандра (4.3.3),то и интенсивность излучения I(τ; μ) тоже можно представить в виде ряда по полиномам Лежандра, а не по присоединенным функциям Лежандра, как в случае наклонного падения. Именно эта возможность делает промежуточные выкладки более простыми и менее громоздкими. Таким образом, представим интенсивность излучения в виде ∞ 2l + 1 (4.3.6) I(τ; μ μ0 = 1) = ∑ Il (τ)Pl (μ) . l = 0 4π Здесь Il (τ) – угловые гармоники (по угловой переменной μ ) интенсивности излучения 1

Il (τ) = 2π ∫ I(τ; μ μ0 = 1)Pl ( μ ) dμ .

(4.3.7)

−1

Чтобы получить уравнения для величин Il (τ μ0 = 1) , умножим обе

части уравнения (4.3.2) на Pl ( μ ) и проинтегрируем полученное уравнение по μ в пределах [-1,1]. При преобразовании левой части уравнения воспользуемся рекуррентным соотношением для полиномов Лежандра: l +1 l μPl ( μ ) = Pl +1 ( μ ) + Pl −1 ( μ ) , ( l = 0,1,2..... ) . (4.3.8) 2l + 1 2l + 1 Рекуррентное соотношение (4.3.8) является частным случаем более общего рекуррентного соотношения для присоединенных полиномов Лежандра (4.2.21), если учесть, что Pl ( μ ) = Pl0 ( μ ) и в формуле (4.2.21) положить m = 0 . В результате, левая часть уравнения (4.3.2) примет вид: l + 1 dIl +1 ( τ ) l dIl −1 ( τ ) ⎛ ∂ ⎞ + + Il ( τ ) (4.3.9a) ⎜ μ + 1⎟ I ( τ; μ ) → dτ dτ 2l + 1 2l + 1 ⎝ ∂τ ⎠ Интегральное слагаемое в правой части уравнения (4.3.2) последовательно преобразуется так:

156

1

∫ χ ( μ′ → μ ) I ( τ; μ′ ) dμ′ →

−1

2k + 1 χk k =0 2 N

∑

⎧⎪ 1 ⎫⎪ ⎧⎪ 1 ⎫⎪ ⎨ ∫ Pk ( μ ) Pl ( μ ) dμ ⎬ ⎨ ∫ Pk ( μ′ ) I ( τ; μ′ ) dμ′⎬. ⎩⎪ −1 ⎭⎪ ⎩⎪−1 ⎭⎪

Поскольку 1

1

2

1

∫ Pk ( μ ) Pl ( μ ) dμ = 2k + 1 δl,k и ∫ Pk ( μ′ ) I ( τ; μ′ ) dμ′ = 2π Ik ( τ ) , −1 −1 получаем: 1

Λ ∫ χ ( μ′ → μ ) I ( τ; μ′ ) dμ′ → Λχl Il ( τ ) .

(4.3.9b)

−1

С учетом соотношений (4.3.9a) и (4.3.9b) будем иметь: l + 1 dIl +1 ( τ ) l dIl −1 ( τ ) + + (1 − Λχl ) Il ( τ ) = ql ( τ ) , dτ dτ 2l + 1 2l + 1 (4.3.10) (l = 0,1,2,..... ) . Здесь 1

ql ( τ ) = ∫ q ( τ; μ ) Pl ( μ ) dμ .

(4.3.11)

−1

Для угловых гармоник источника фотонов в уравнении для полной интенсивности, из (4.3.4) следует, что I ql ( τ ) = 0 δ(τ) . (4.3.12a) 2π Для угловых гармоник ql ( τ ) в уравнении для диффузно рассеянного излучения в соответствие с соотношениями (4.3.3) и (4.3.5) будем иметь, что I ql ( τ ) = 0 Λχl exp ( −τ ) . (4.3.12b) 2π Если все величины Il ( τ ) из системы уравнений (4.3.10) будут определены, то интенсивность излучения I(τ; μ μ0 = 1) можно определить по формуле (4.3.6).

157

Если каждое из системы уравнений (4.3.10) умножить на 2π , то в соответствие с (4.3.1), получим систему уравнений для нулевой азимутальной гармоники в случае нормального падения светового потока на поверхность вещества: (0 ) (0) l + 1 dIl +1 ( τ ) l dIl −1 (0) (0) + + (1 − Λχl ) Il = ql ( τ ) , dτ 2l + 1 2l + 1 d τ (4.3.13) (l = 0,1,2,..... ) . (0) Здесь ql ( τ ) = 2πql ( τ ) . Для полной интенсивности (включая нерассеянное излучение) (0) ql ( τ ) = I0δ(τ) . (4.3.14a) Для угловых гармоник диффузно рассеянного излучения (0 ) ql ( τ ) = I0 Λχl exp ( −τ ) . (4.3.14b) Система зацепляющихся уравнений (4.3.13) является частным случаем системы уравнений (4.2.25) для случая наклонного падения, если в уравнениях (4.2.25) положить μ0 = 1 и учесть, что Pl (μ0 = 1) ≡ 1 . То же относится и к формулам (4.3.14a) и (4.3.14b), которые следуют из более общих формул (4.2.27) и (4.2.28), если в

них положить m = 0 , μ0 = 1 и учесть, что Pl0 (μ0 = 1) ≡ 1 .

В терминах обычной глубины z = ετ система зацепляющихся уравнений (4.3.10) для угловых гармоник полной интенсивности Il ( z ) и гармоник интенсивности диффузно рассеянного излучения (D) Il ( z ) , будут соответственно выглядеть так ( ε = κ + σ ) : l + 1 dIl +1 ( z ) l dIl −1 ( z ) + = dz dz 2l + 1 2l + 1 I = −κIl ( z ) − σ (1 − χl ) Il ( z ) + 0 δ(z). 2π

158

(4.3.15)

(D) (D) l + 1 dIl +1 l dIl −1 + = 2l + 1 dz 2l + 1 dz (4.3.16) I0 (D) (D) −εz = −κIl ( z ) − σ (1 − χl ) Il ( z ) + σχl e . 2π Здесь учтено, что d / d τ = d / εdz и εΛ = σ . Рассмотрим уравнение системы (4.3.15) для l = 0 . Учитывая, что χ0 = 1 , получим:

dI1 ( z ) I = −κI0 ( z ) + 0 δ(z) . (4.3.17) dz 2π В соответствии с определением плотности энергии светового поля ρ ( z ) и проекции вектора плотности потока световой энергии jz ( z ) , из формулы (4.3.7) следует, что 1

1

−1 1

−1 1

cρ ( z ) = 2π ∫ I(z; μ)dμ = 2π ∫ I(z; μ)P0 ( μ ) dμ = I0 (z) . (4.3.18) jz ( z ) = 2π ∫ I(z; μ)μdμ = 2π ∫ I(z; μ)P1 ( μ ) dμ = I1 (z) . (4.3.19) −1

−1

С учетом соотношений (4.3.18) и (4.3.19), уравнение (4.3.17) запишется так: djz ( z ) I = −κcρ ( z ) + 0 δ(z) . (4.3.20) dz 2π (Размерность каждого из членов уравнения (4.3.20) есть b2 / м3 .) Уравнение (4.3.20) есть обобщение уравнения непрерывности ∂ρ / ∂t + divj = 0 для стационарного случая в условиях плоской геометрии при наличии процесса поглощения фотонов и присутствия источника энергии, каковым является падающий на поверхность вещества внешний световой поток. Таким образом, первое уравнение системы (4.3.15) выражает закон сохранения световой энергии. Естественно, что уравнение (4.3.20) может быть сразу получено из уравнения переноса

159

1 I ∂I(z; μ) = − ( κ + σ ) I + σ ∫ χ ( μ′ → μ ) I ( z; μ′ ) dμ′ + 0 δ(z)δ(1 − μ) , ∂z 2π −1 если обе его части проинтегрировать по углам рассеяния фотона dΩ = 2πdμ и учесть условие нормировки (4.3.3) для индикатрисы рассеяния χ ( μ′ → μ ) .

μ

§4. Отражение и прохождение излучения через слой конечной толщины. Общие соотношения Пусть на поверхность τ = 0 плоского слоя вещества падает широкий световой поток с произвольной угловой зависимостью I↓ (τ = 0; μ > 0; ϕ) , (4.4.1) ( μ = cos θ > 0 ) . Количество световой энергии, входящей через единицу поверхности среды внутрь вещества в единицу времени, определяется величиной плотности потока энергии падающего светового излучения j0 : π/2

2π

j0 = ∫ dϕ ∫ cos θI↓ (τ = 0; θ,ϕ) sin θdθ = 0

0

2π

1

0

0

(4.4.2)

= ∫ dϕ∫ μI↓ (τ = 0; μ,ϕ)dμ.

Интенсивность излучения I ( τ; μ,ϕ μ0 ; τL ) можно определить из уравнения переноса, различные формы записи которого были рассмотрены в предыдущих параграфах. Однако во многих задачах теории переноса основной интерес представляет вычисление не интенсивности излучения I ( τ; μ,ϕ μ0 ; τL ) внутри слоя 0 < τ < τL , а только угловые характеристики отраженного и прошедшего через слой излучения. Именно эти величины представляют основной интерес в альбедных задачах теории переноса. Так, например, изучение характеристик отраженного излучения представляет значительный теоретический и практический интерес в астрофизике, оптике атмосферы и океана, светотехнике. Вычисление полного коэффициента отражения (альбедо) позволяет рассчитать энергоба-

160

ланс в системе Солнце - Земля с учетом отражения и поглощения в запылённой атмосфере Земли и отражения от её поверхности и т.д. Угловое распределение отраженного излучения определяется функцией отражения (ФО) SL (| μ |,ϕ) . Угловое распределение прошедшего излучения определяется функцией прохождения (ФП) RL (μ,ϕ) . Величины SL и RL связаны с интенсивностью восходящего и нисходящего излучения на верхней и нижней границах поверхности вещества соотношениями: SL (| μ |,ϕ τL ) =| μ | I ↑ (τ = 0; − μ ,ϕ τL ) , ( −1 ≤ μ < 0 ) . (4.4.3) RL (μ,ϕ τL ) = μI ↓ (τ = τL ; μ,ϕ τL ) ,

(0 < μ ≤ 1) .

(4.4.4)

При таком определении величина SL (| μ |,ϕ)d μ d ϕ есть количество световой энергии, выходящей из вещества с единицы поверхности τ = 0 в интервале значений ( μ ÷ μ + d μ ,ϕ ÷ ϕ + dϕ ) в единицу времени, т.е. яркость поверхности τ = 0 . Аналогичный смысл имеет и функция прохождения RL (μ,ϕ) : величина RL (μ,ϕ)dμd ϕ представляет собой энергию светового излучения, выходящего в единицу времени через единичную площадку нижней поверхности среды ( τ = τL ) в интервале значений μ ÷ μ + dμ , ϕ ÷ ϕ + dϕ ( 0 ≤ μ ≤ 1) . Если ФО проинтегрировать по всем углам

отражения ( 0 ≤ μ ≤ 1;0 ≤ ϕ ≤ 2π ) , а ФП проинтегрировать по всем углам вылета фотонов через нижнюю поверхность вещества (0 ≤ μ ≤ 1;0 ≤ ϕ ≤ 2π ) , то получим значения выходящих потоков энергии на верхней и нижней границах слоя: 2π

1

0

0

j↑ ( τ = 0 τL ) = ∫ d ϕ∫ d μ SL (| μ |,ϕ τL ) ; 2π

1

0

0

j↓ ( τ = τL ) = ∫ d ϕ∫ dμRL (μ,ϕ τL ) .

(4.4.5) (4.4.6)

Величина j↑ ( τ = 0 τL ) представляет собой количество световой энергии, выходящей через единичную площадку поверхности τ = 0 во всех направлениях в единицу времени, т.е. облученность

161

единичной площадки снизу. Аналогичный смысл имеет величина j↓ ( τ = τL ) по отношению к излучению, выходящему из слоя через его нижнюю поверхность τL – облученность единичной площадки τ = τL сверху. Коэффициенты отражения w%2! и прохождения wC! . определяются отношением энергии, выходящей с единицы поверхностей τ = 0 и τ = τL в единицу времени во всех направлениях, к величине энергии, которая входит в вещество в единицу времени через единичную площадку поверхности τ = 0 , т.е. к величине j0 : j ( τ = 0 τL ) 1 2π 1 w%2! ( τL ) = ↑ = ∫ dϕ∫ d μ SL (| μ |,ϕ τL ) . (4.4.7) j0 j0 0 0 2 π 1 j ( τ = τL ) 1 wC! . ( τL ) = ↓ = (4.4.8) ∫ dϕ∫ dμRL (μ,ϕ τL ) . j0 j0 0 0

Таким образом, величины w%2! и wC! . представляют собой долю от той энергии j0 , которая выходит из вещества при внешнем облучении поверхности. Это позволяет дать вероятностную трактовку величин w%2! и wC! . . Величина w%2! ( τL ) есть вероятность того, что фотон, влетев в вещество через верхнюю границу, в результате рассеяния вылетит из вещества, т.е. опять окажется на верхней границе. Аналогично, величина wC! . ( τL ) есть вероятность того, что фотон, влетевший в среду через верхнюю границу, вылетит через её нижнюю границу, т.е. достигнет её нижней границы. Если рассеяние носит чисто упругий характер, то w%2! + wC! . = 1 . В диссипативной среде часть энергии поглощается

веществом,

и

поэтому w%2! + wC! . < 1 .

Величина

1 − (w%2! + wC! . ) есть доля энергии, поглощенная в слое вещества

в единицу времени. Из формул (4.4.7), (4.4.8) следует, что 2π

1

0

0

∫ dϕ∫ d μ SL ( μ ; ϕ τL ) = j0 w%2! (τL ) ; 162

2π

1

0

0

∫ dϕ∫ dμRL (μ; ϕ τL ) = j0 wC! . (τL ) .

(4.4.9)

Все приведенные выше формулы (4.4.3) – (4.4.9) справедливы при любом угловом распределении падающего излучения I↓ (τ = 0; μ > 0; ϕ) . При этом величина j0 определяется формулой (4.4.2). Интенсивность произвольного падающего широкого светового потока удобно представить в виде I↓ (τ = 0; μ > 0; ϕ) = j0Φ ↓ (μ > 0; ϕ) , ( μ = cos θ > 0 ) . (4.4.10) Подставляя (4.4.10) в (4.4.2), получаем, что безразмерная угловая функция Φ↓ (μ > 0; ϕ) падающего излучения должна удовлетворять условию нормировки 2π

1

0

0

∫ dϕ∫ μΦ↓ (μ,ϕ)dμ = 1 .

(4.4.11)

Только при выполнении условия нормировки (4.4.11), величина j0 в формуле (4.4.10) будет иметь указанный выше смысл – количество световой энергии, входящей через единицу поверхности среды внутрь вещества в единицу времени. Представление интенсивности падающего излучения в виде (4.4.10) оказывается удобным тем, что независимо от конкретного вида угловой функции Φ↓ (μ > 0; ϕ) , количество световой энергии, входящей через единицу поверхности среды внутрь вещества в единицу времени, будет одним и тем же и равным j0 . Рассмотрим несколько часто встречающихся случаев облучения поверхности. 1. При мононаправленном облучении среды на поверхность вещества падает световой поток с интенсивностью I0 в направлении

( θ0 ,ϕ0

= 0) :

I↓ (τ = 0; θ,ϕ) = I0δ(μ − μ0 )δ(ϕ) . (4.4.12a) В этом случае 1 j0 = I0 cos θ0 = I0μ0 , т.е. Φ ↓ (μ,ϕ) = δ(μ − μ0 )δ(ϕ) . (4.4.12b) μ0

163

2. При изотропном (диффузном) облучении поверхности слоя ( ,ƒ2! ) (τ = 0; μ,ϕ) = I = const . I (4.4.13a) 0 ↓

Таким образом, при изотропном облучении ( ,ƒ2! ) (μ > 0; ϕ) = 1 / π . j0 = I0 π , т.е. Φ

(4.4.13b)

3. При ортотропном облучении поверхности слоя ( %! 2 ) (τ = 0; μ,ϕ) = I / μ . I 0

(4.4.14a)

↓

↓

В этом случае j0 = 2πI0 ,

Φ

( %! 2 ) (μ > 0; ϕ) = 1 / 2πμ . ↓

(4.4.14b)

При ортотропном облучении количество световой энергии, входящее в вещество через единичную площадку в единицу времени в любом направлении 0 ≤ μ ≤ 1, не зависит от μ: ( %! 2 ) (τ = 0; μ,ϕ) = I = const , в то время, как при изотропном μI 0 ↓

( ,ƒ2! ↓

облучении поверхности величина μI

) (τ = 0; μ,ϕ) = μI , т.е. 0

определяется “законом косинуса”. При мононаправленном облучении верхней границы слоя в соответствие с формулой (4.4.12b) j0 = I0μ0 . Поэтому для величин w%2! (μ0 τL ) wC! . (μ0 τL ) в этом случае будем иметь:

коэффициентов

отражения

и

прохождения

j ( τ = 0 μ0 ; τL ) = w%2! ( μ0 τL ) = ↑ I0μ0

=

1 2π 1 ∫ d ϕ∫ SL (| μ |,ϕ μ0 ; τL )d μ . I0μ0 0 0

(4.4.15)

j ( τ = τL μ0 ; τL ) wC! . ( μ0 τL ) = ↓ = I0μ0 =

1 2π 1 ∫ d ϕ∫ RL (μ,ϕ μ0 ; τL )dμ . I0μ0 0 0

164

(4.4.16)

Здесь SL (| μ |,ϕ μ0 ; τL ) и RL (μ,ϕ μ0 ; τL ) – ФО и ФП при мононаправленном облучении поверхности. Величины SL и RL , как и величины w%2! и wC! . , в этом случае зависят от оптических свойств среды (вероятности выживания кванта Λ ), а также от толщины слоя τL и угла падения θ0 = arccos μ0 , как от параметров. Определив ФО и ФП при мононаправленном облучении поверхности, можно получить выражения для ФО и ФП при произвольном облучении. Действительно, пусть на поверхность τ = 0 падает произвольный световой поток с интенсивностью I↓ ( τ = 0; μ > 0; ϕ ) . В силу линейности уравнения переноса, интенсивность отраженного излучения I↑ ( τ = 0; μ < 0; ϕ ) можно представить в виде линейного функционала от падающего излучения, записав μ I↑ ( τ = 0; μ = − μ ; ϕ τL ) = 2π

1

0

0

= ∫ dϕ′∫ dμ′ GL ( μ ,μ′; ϕ − ϕ′ ) I↓ ( τ = 0; μ′; ϕ′ ).

(4.4.17)

Если на поверхность вещества падает мононаправленный световой поток с интенсивностью I0 в азимутальной плоскости ϕ = 0 под углом 0 < θ0 ≤ π / 2 , то, в соответствии с формулой (4.4.12a), I↓ ( τ = 0; μ > 0; ϕ ) = I0δ(μ − μ0 )δ(ϕ) . Теперь из (4.4.17) получаем,

что

μ I↑ ( τ = 0; μ = − μ ; ϕ μ0 ; τL ) = I0GL ( μ ; μ0 ; ϕ τL ) . (4.4.18)

Но в соответствии с формулой (4.4.3) μ I↑ ( τ = 0; − μ ; ϕ μ0 ; τL ) = SL ( μ ,ϕ μ0 ; τL ) .

Здесь SL ( μ ,ϕ μ0 ; τL ) – ФО при облучении поверхности слоя вещества τL мононаправленным световым потоком в произвольном направлении μ0 . Теперь из (4.4.18) следует, что GL ( μ ; μ0 ; ϕ τL

1

)=I

0

SL (| μ |,ϕ μ0 ; τL ) .

165

(4.4.19)

Функция GL ( μ ; μ0 ; ϕ τL ) является безразмерной величиной. Подставляя (4.4.19) в (4.4.17) получаем: μ I↑ ( τ = 0; − μ ; ϕ τL ) = =

1 (4.4.20) 1 2π ′ ϕ d dμ′ SL ( μ ,ϕ − ϕ′ μ′; τL ) I↓ ( τ = 0; μ′; ϕ′ ). ∫ ∫ I0 0 0

Поскольку в соответствии с (4.4.10) I↓ (τ = 0; μ′; ϕ′) = j0Φ ↓ (μ′; ϕ′) , формулу (4.4.20) можно представить в виде: SL (| μ |,ϕ τL ) = 1 j 2π = 0 ∫ d ϕ′∫ dμ′ SL ( μ ,ϕ − ϕ′ μ′; τL ) Φ↓ ( μ′; ϕ′ ). I0 0 0

(4.4.21)

Совершенно аналогичные рассуждения приводят к формуле для ФП: 1 j 2π RL (μ,ϕ τL ) = 0 ∫ dϕ′∫ dμ′ RL ( μ,ϕ − ϕ′ μ′; τL ) Φ↓ ( μ′; ϕ′ ) . (4.4.22) I0 0 0 Из выражений (4.4.21) и (4.4.22) следует, что для вычисления углового спектра обратно рассеянного излучения SL (| μ |,ϕ τL ) или углового распределения прошедшего излучения RL (μ,ϕ τL ) при

произвольной интенсивности падающего излучения j0Φ ( μ; ϕ ) , дос-

таточно определить ФО SL (| μ |,ϕ μ0 ; τL ) и ФП RL (μ,ϕ μ0 ; τL ) при облучении вещества мононаправленным световым потоком в произвольном направлении ( μ0 = μ′ ) . Коэффициенты w%2! (τL ) и wC! . (τL ) при произвольном законе облучения поверхности можно определить из общих формул (4.4.7) и (4.4.8). Подставляя в них выражения (4.4.21) и (4.4.22), получаем: w%2! ( τL ) = =

2π 1 1 2π 1 d ϕ∫ d μ ∫ d ϕ′∫ dμ′ SL ( μ ,ϕ − ϕ′ μ′; τL ) Φ ↓ ( μ′; ϕ′ ) . (4.4.23) ∫ I0 0 0 0 0 wC! . ( τL ) =

166

=

1 1 2π 1 2π ′ ϕ μ ϕ d d d ∫ ∫ ∫ ∫ dμ′ RL ( μ,ϕ − ϕ′ μ′; τL ) Φ↓ ( μ′; ϕ′ ) . I0 0 0 0 0

Поскольку ( μ0 = μ′ )

при 2π

мононаправленном

облучении

(4.4.24)

поверхности

1

∫ dϕ∫ d μ SL ( μ ; ϕ μ′; τL ) = I0μ0 w%2! (μ′; τL ) ,

0 0 2π 1

∫ dϕ∫ dμRL (μ; ϕ μ′; τL ) = I0μ0 wC! . (μ′; τL ) ,

0

0

формулы (4.4.23) и (4.4.24) запишутся в виде: 2π

1

w%2! ( τL ) = ∫ dϕ′∫ μ′ w%2! (μ′; τL )Φ ↓ ( μ′; ϕ′ ) dμ′ , (4.4.25) 0 2π

1

0

0

0

wC! . ( τL ) = ∫ dϕ′∫ μ′ wC! . ( μ′; τL ) Φ ↓ ( μ′; ϕ′ ) dμ′ . (4.4.26)

Формулы (4.4.25) и (4.4.26) позволяют рассчитать величины w%2! ( τL ) и wC! . ( τL ) при произвольном законе облучения поверхности вещества, если известны значения величин w%2! (μ0 ; τL ) и wC! . (μ0 ; τL ) при мононаправленном падающем потоке в произвольном направлении ( μ0 = μ′ ) . При произвольном (не при мононаправленном) угловом законе падающего излучения величины w%2! ( τL ) и wC! . ( τL ) могут зависеть от целого ряда параметров, которые определяют угловой спектр падающего излучения, а не только от μ0 , как в случае мононаправленного облучения. 1. При мононаправленном облучении поверхности, в соответствии с (4.4.12b) Φ ↓ (μ,ϕ) = δ(μ − μ0 )δ(ϕ) / μ0 . Подставляя это выражение в соотношения (4.4.25) и (4.4.26), получаем, что, как и должно быть, w%2! ( τL ) = w%2! (μ0 ; τL ) ; wC! . ( τL ) = wC! . (μ0 ; τL ) .(4.4.27)

167

2. При изотропном (диффузном) облучении поверхности, в со( ,ƒ2! ) (μ; ϕ) = 1 / π . Подставляя ответствии с формулой (4.4.13b) Φ ↓

это выражение в соотношения (4.4.25) и (4.4.26), получаем, что 1 ,ƒ2! ) ( w (τ ) = 2 μ w (μ ; τ )dμ ; %2!

∫1 0

L

%2!

0

0

L

( ,ƒ2! ) (τ ) = 20 μ w (μ ; τ )dμ . wC! ∫ 0 C! . 0 L 0 . L

(4.4.28)

0 облучении

3. При ортотропном поверхности пластины, в соот%! 2 ) ( (μ; ϕ) = 1 / 2πμ . Подставляя это выраветствии с (4.4.14b) Φ ↓

жение в соотношения (4.4.25) и 1(4.4.26), получаем, что %! 2 w( ) τ = w (μ ; τ )dμ ; %2!

( L ) 1∫

%2!

0

L

0

( %! 2 ) τ = 0w (μ ; τ )dμ . wC! (4.4.29) . ( L ) ∫ C! . 0 L 0 0 Формулы (4.4.28) , (4.4.29) позволяют определить коэффициенты отражения и прохождения при изотропном и ортотропном облучении слоя вещества τL , если известны коэффициент отражения w%2! (μ0 ; τL ) и коэффициент прохождения wC! . (μ0 ; τL ) при мононаправленном облучении его поверхности (4.4.27). §5. Одно- и двукратное рассеяние в плоском слое вещества Пусть на поверхность плоского слоя вещества падает широкий, I0

I↑

O

τ=0

θ0

* τ = τL I↓

τ

Рис. 4.5.1. Условное изображение широкого светового потока, падающего на поверхность вещества под углом θ0 = arccos μ0

168

стационарный световой поток с интенсивностью I0 под углом θ0 = arccos μ0 в азимутальной плоскости ϕ0 = 0 . Ось z , как обычно, направлена по нормали к поверхности в глубь среды, т.е. вниз (рис. 4.5.1). Интегральное уравнение для полной интенсивности при наклонном падении ⎛ τ ⎞ I(τ; Ω μ0 ; τL ) = I0 exp ⎜ − ⎟ δ(μ − μ0 )δ(ϕ) + ⎝ μ0 ⎠ +

⎛ τ − τ′ ⎞ ⎛ τ − τ′ ⎞ Λ τL d τ′ exp ⎜ − ∫ ⎟ η⎜ ⎟ ∫∫ χ Ω′ → Ω I τ′; Ω′ μ0 ; τL d Ω′ μ 0 μ ⎠ ⎝ μ ⎠ 4π ⎝

(

) (

)

(4.5.1) можно решать методом последовательных итераций: ∞ k I(τ; Ω μ0 ; τL ) = I (0) + I(1) + I(2) + … = ∑ I ( ) (τ; Ω μ0 ; τL ) . (4.5.2) k =0

Выражение (4.5.2) представляет интенсивность излучения в виде k ряда по числу столкновений k . Величина I ( ) (τ; Ω μ ; τ ) опреде0

L

ляет вклад в полную интенсивность излучения от тех фотонов, которые, оказавшись на глубине τ , испытали ровно k актов упругого рассеяния. Фактически (4.5.2) есть ряд по степеням вероятности k выживания кванта Λ , так, что I ( ) ~ Λk .

Нулевая итерация ( k = 0 ) есть неоднородный член уравнения (4.5.1) и определяет интенсивность нерассеянного излучения во всей области глубин 0 ≤ τ ≤ τL : 0 I ( ) = I(….!=“) (τ; Ω μ ) = I (0) = I exp −τ / μ δ(Ω − Ω ) . (4.5.3) 0

↓

(

0

0

)

0

Величина I ( ) не зависит от Λ и толщины слоя τL . Следующие итерации определяются последовательно одна за другой с помощью рекуррентного соотношения 0

− Λ τL k ′ I ( ) (τ; Ω) = d e τ ∫ μ 0

τ−τ′ μ

⎛ τ − τ′ ⎞ (k −1) τ′; Ω′ dΩ′ , η⎜ ⎟ ∫∫ χ Ω′ → Ω I ⎝ μ ⎠ 4π

(

k = 1, 2, ...

169

)

(

)

(4.5.4)

Полагая в (4.5.4) k = 1 , получаем выражение для первой итерации: − Λ τL 1 I ( ) (τ; Ω) = d τ′e ∫ μ 0

τ−τ′ μ

⎛ τ − τ′ ⎞ (0 ) τ′; Ω′ d Ω′ . (4.5.5) η⎜ ⎟ ∫∫ χ Ω′ → Ω I μ ⎝ ⎠ 4π

(

Подставляя сюда значение получим: 1 I ( ) (τ; Ω μ ; τ ) = 0 L τ − μ e χ Ω

I (0 ) ,

)

(

)

определяемое формулой (4.5.3),

(4.5.6) ⎧⎪ ⎛ 1 1 ⎞ ⎫⎪ ⎛ τ − τ′ ⎞ ′ ′ ⎟⎬ η ⎜ 0 → Ω ∫ exp ⎨ −τ ⎜ + ⎟ dτ . ⎪⎩ ⎝ μ μ0 ⎠ ⎪⎭ ⎝ μ ⎠ 0 Первая итерация определяет вклад в полную интенсивность излучения от процесса истинно однократного рассеяния: Λ = I0 μ

(

)

τL

1 I ( ) (τ; Ω) ~ Λ .

В случае нормального падения ( μ0 = 1) , когда азимутальный угол падающего излучения не определен, интенсивность падающего излучения, на верхнюю границу вещества имеет вид (4.1.27). Поэтому I 0 I ( ) = 0 exp ( −τ ) δ(μ − 1) . (4.5.7) 2π Подставляя (4.5.7) в (4.5.5), получим: 1 I ( ) (τ; Ω μ = 1; τ ) = 0 τ − e μχ

L

τL

⎧ ⎛1 ⎞ ⎫ ⎛ τ − τ′ ⎞ exp ⎨−τ′ ⎜ + 1⎟ ⎬ η ⎜ ⎟ d τ′. ⎠⎭ ⎝ μ ⎠ ⎩ ⎝μ 0 Здесь χ(1 → μ) – индикатриса рассеяния из состояния μ0 = 1 в произвольное состояние μ , проинтегрированная по азимутальному I Λ = 0 2π μ

(1 → μ ) ∫

углу. Поскольку при μ0 = 1

( Ω0 ,Ω ) = cos γ = μ0μ = μ , то инди-

катриса χ(1 → μ) не зависит от азимутального угла. Поэтому χ(1 → μ) = 2πχ(1 → μ) . Следовательно, при нормальном падении излучения на поверхность вещества, в общей формуле (4.5.6) нуж-

170

но просто положить μ0 = 1 и заменить χ(μ0 → μ; ϕ) → χ(1 → μ) . В результате получим: 1 I ( ) (τ; Ω μ = 1; τ ) = 0 τ − μ e χ

L

(4.5.8) τL ⎧ ⎛1 ⎞ ⎫ ⎛ τ − τ′ ⎞ ′ ′ 1 exp 1 d → μ −τ + η τ . ( )∫ ⎨ ⎜ ⎟⎬ ⎜ ⎟ ⎠⎭ ⎝ μ ⎠ ⎩ ⎝μ 0 Как и полную интенсивность излучения (4.1.12), величину 1) ( I (τ; Ω) можно представить в виде суммы нисходящего I(1) и восΛ μ

= I0

↓

ходящего I

I(1) ↑ 1 ( )

излучения:

(τ; μ,ϕ; τL ) =

= I(1) (τ; μ > 0; ϕ μ0 ) + I (1) (τ; μ = − μ < 0; ϕ μ0 ; τL ). ↓ ↑

(4.5.9)

Получим явные выражения для величин I(1) и I(1) . ↓

↑

Нисходящая часть однократно рассеянного излучения в слое конечной толщины Полагая в общей формуле (4.5.6)

μ>0

и, учитывая, что в этом

случае η ⎣⎡( τ − τ′ ) / μ ⎦⎤ = η ( τ − τ′ ) , будем иметь: I(1) (τ; μ > 0; ϕ μ0 ) = ↓

= I0 Λ

χ(μ0 → μ

ττ − ⎡ ⎛1 μ; ϕ) μ ⌠⎮ e exp τ′ ⎮ ⎮ ⌡

0

Величина

I(1) (τ; μ ↓

1 ⎞⎤ ⎢ ⎜ − ⎟ ⎥d τ′. ⎢⎣ ⎝ μ μ0 ⎠ ⎥⎦

(4.5.10)

> 0; ϕ μ0 ) определяет нисходящее излучение

при однократном рассеянии, т.е. интенсивность излучения от тех фотонов, которые, испытав только один акт рассеяния, достигли глубины τ , не изменив знака проекции скорости (импульса) на ось z : cz > 0 . Эти фотоны систематически распространяются в глубь среды от момента их влета в вещество через его верхнюю границу

171

τ = 0 до первого акта рассеяния. Такой процесс возможен только при условии, что рассеяние из состояния μ0 в состояние μ > 0 происходит над плоскостью τ , т.е. в области глубин 0 ≤ τ′ ≤ τ (рис. 4.5.2).

I0 O

τ′

τ

I ↓(1) (τ )

τ

τL

Рис. 4.5.2. Условное изображение однократного рассеяния в процессе формирования нисходящего излучения

Именно поэтому интегрирование в формуле (4.5.10) ведется по слою вещества 0 ≤ τ′ ≤ τ . Поэтому значение нисходящего излучения при однократном рассеянии не зависит от оптической толщины слоя τL . Величина I(1) одна и та же как в слое вещества конеч↓

ной толщины, так и в полубесконечной среде. На поверхности вещества I(1) (τ = 0) = 0 . ↓

Выполняя в выражении (4.5.10) элементарное интегрирование по переменной τ′ , получим: I(1) (τ; μ > 0; ϕ μ0 ) = ↓

= I0 Λμ0

χ(μ0 → μ; ϕ) ⎧⎪ ⎛ τ ⎞ ⎫⎪ ⎛ τ ⎞ − exp ⎜ − ⎟ ⎬ ⎨exp ⎜ − ⎟ μ0 − μ ⎝ μ ⎠ ⎭⎪ ⎝ μ0 ⎠ ⎩⎪

172

(4.5.11)

Определим из формулы (4.5.11) значение интенсивности нисходящего излучения за счет однократного рассеяния в направлении первоначального движения фотонов, т.е. при μ = μ0 . Переписав выражение (4.5.11) в виде I(1) (τ; μ,ϕ μ0 ) = ↓ ⎛ μ0 − μ ⎞ ⎫⎪ χ(μ0 → μ; ϕ) ⎛ τ ⎞ ⎧⎪ exp ⎜ − ⎨1 − exp ⎜ −τ ⎟⎬ ⎟ μ0 − μ μμ0 ⎠ ⎪⎭ ⎝ μ0 ⎠ ⎪⎩ ⎝ и осуществляя предельный переход μ → μ0 , получим: = I0 Λμ0

τ ⎛ τ ⎞ χ(μ0 → μ; ϕ) exp ⎜ − ⎟ . (4.5.12) μ0 ⎝ μ0 ⎠ Интересно сравнить полученный результат (4.5.12) с нерассеянным излучением (4.5.3), которое распространяется в направлении ….! =“ ) μ ; ϕ = 0 . В то время, как I ( ~ exp −τ / μ экспоненциI(1) (τ; μ = μ0 ; ϕ μ0 ) = I0 Λ ↓

(

)

0

(

0

)

ально убывает с глубиной, величина I(1) (τ; μ = μ0 ) ~ τ exp ( −τ / μ0 ) имеет максимум на оптической ↓

τ…" = μ0 ,

глубине

или,

в

обычных

единицах,

z…" = μ0 / ( σ + κ ) = μ0 / ε , независимо от закона однократного рассеяния. При нормальном падении τ…" = 1 , т.е. z…" = 1 / ε . Проанализируем характер нисходящего излучения в простейшем случае при изотропном законе однократного рассеяния, когда ,ƒ2! ) χ( (μ → μ; ϕ) = 1 / 4π . В этом случае выражение (4.5.11) при0

нимает вид: I(1) (τ; μ μ0 ) = I0 Λ ↓

μ0 ⎧ ⎛ τ ⎞⎫ ⎛ τ ⎞ ⎨exp ⎜ − ⎟ − exp ⎜ − μ ⎟ ⎬ . (4.5.13) μ 4 π ( μ0 − μ ) ⎩ ⎝ ⎠⎭ ⎝ 0⎠

Видим, что при изотропном рассеянии величина I(1) не зависит от азимутального угла ϕ . 1. Нормальное падение μ0 = 1 (рис.4.5.3,a): I (1) (τ; μ μ0 = 1) = ↓

↓

I0 Λ ⎧ ⎛ τ ⎞⎫ ⎨exp ( −τ ) − exp ⎜ − ⎟ ⎬ . (4.5.14) 4π (1 − μ ) ⎩ ⎝ μ ⎠⎭

173

2. Наклонное падение: θ0 = 600 , т.е. μ0 = 1 / 2 (рис. 4.5.3,b). I Λ 1 ⎧ ⎛ τ ⎞⎫ I(1) (τ; μ μ0 = 1 / 2) = 0 ⎨exp ( −2 τ ) − exp ⎜ − ⎟ ⎬ . (4.5.15) ↓ 4π (1 − 2μ ) ⎩ ⎝ μ ⎠⎭

θ0 = 0

1 2 3

4

θ a)

Рис.4.5.3b

θ0 = 600 1 2 3

4

θ b) (1) Рис. 4.5.3. Зависимость величины I / I0 Λ от угла рассеяния θ на различных ↓ оптических глубина при изотропном рассеянии: a – нормальное падение; b – наклонное падение; 1- τ = 0.2 ; 2- τ = 0.5 ; 3- τ = 1.0 ; 4- τ = 3.0

174

Так как I(1) ~ I0 Λ , то на рис.4.5.3 представлены графики зави↓ симости величины I(1) (τ; μ μ0 ) / I0 Λ для нормального и наклонно↓

го падения в зависимости от угла рассеяния θ = arccos μ (рад) в диапазоне углов 0 ≤ θ ≤ π / 2 для четырех значений оптических глубин. Из рисунков видно, что даже при самом простом законе изотропного рассеяния зависимость интенсивности нисходящего однократно рассеянного излучения достаточно сложно зависит от угла рассеяния, причем эта зависимость принципиально различна на различных глубинах. Так, в области малых глубин τ << 1 (кривые 1 и 2) наблюдается отчетливо выраженный локальный максимум в области углов θ ~ π / 2 , причем с увеличением глубины этот максимум расплывается и смещается в область меньших углов (кривая 3). В области относительно больших глубин ( τ = 3 – кривая 4) характер углового спектра совершенно иной. Локальный максимум отсутствует – интенсивность нисходящего излучения монотонно убывает с увеличением угла рассеяния. Причем на больших глубинах само значение интенсивности при любых углах рассеяния существенно меньше, чем интенсивность излучения на относительно малых глубинах τ = 0.2 , τ = 0.5 и τ = 1.0 . Как видно из формулы (4.5.13), нисходящее однократно рассеянное излучение экспоненциально убывает с глубиной. Это объясняется тем, что вероятность однократного рассеяния фотона на больших глубинах незначительна. На таких глубинах преобладает кратное и многократное рассеяние. Восходящая часть однократно рассеянного излучения в слое конечной толщины Полагая в общей формуле (4.5.6) μ < 0 и, учитывая, что в этом случае η ⎣⎡( τ − τ′ ) / μ ⎦⎤ = η ( τ′ − τ ) , будем иметь:

175

I(1) (τ; μ < 0; ϕ μ0 ; τL ) = ↑ τ (4.5.16) ⎡ ⎛1 χ(μ0 → − μ ,ϕ) μ τL 1 ⎞⎤ ′ e ∫ exp ⎢ −τ′ ⎜ + d τ = I0 Λ ⎟⎥ μ ⎢⎣ ⎝ μ μ0 ⎠ ⎥⎦ τ

Величина I(1) (τ; μ < 0; ϕ μ0 ; τL ) определяет восходящее излучение ↑

за счет однократного рассеяния, т.е. интенсивность излучения от тех фотонов, которые, испытав один акт упругого рассеяния, достигли глубины τ , изменив один раз знак проекции скорости на ось z с "плюса" на "минус". Эти фотоны распространяются в сторону верхней границы вещества ( μ = − μ < 0 ) . Очевидно, что такой процесс возможен только при условии, что рассеяние из начального состояния μ0 в состояние μ = − μ происходит под плоскостью τ , т.е. в области глубин τ ≤ τ′ ≤ τL (рис. 4.5.4).

I0 O

τ

I ↑(1) (τ )

τ′

τ

τL

Рис. 4.5.4. Условное изображение однократного рассеяния в процессе формирования восходящего излучения

Именно поэтому интегрирование в формуле (4.5.16) ведется по слою вещества τ ≤ τ′ ≤ τL . Поэтому величина восходящего излучения при однократном рассеянии I(1) существенно зависит от ↑

оптической толщины слоя τL . На нижней, свободной границе слоя I(1) (τ = τL ) = 0 . ↑

176

После интегрирования по переменной τ′ в формуле (4.5.16) получим: I Λμ χ(μ → − μ ; ϕ) I(1) (τ; μ; ϕ μ0 ; τL ) = 0 0 0 × ↑ μ0 + μ (4.5.17) μ0 + μ ⎤ ⎫⎪ ⎡ ⎛ τ ⎞ ⎧⎪ × exp ⎜ − ⎟ ⎨1 − exp ⎢ − ( τL − τ ) μ μ ⎥ ⎬ . 0 ⎝ μ0 ⎠ ⎪⎩ ⎣ ⎦ ⎪⎭ Из выражения (4.5.17) видно, что на нижней границе слоя τ = τL , как и должно быть, восходящее излучение отсутствует: K I (1) (τ = τL ; Ω) = 0 . Наоборот, полагая в формуле (4.5.17) τ = 0 на↑

ходим значение восходящего излучения на верхней границе слоя за счет однократного рассеяния: I(1) (τ = 0; ϕ μ0 ; τL ) = ↑

⎛ μ + μ ⎞ ⎪⎫ (4.5.18) μ0 ⎪⎧ χ(μ0 → − μ ; ϕ) ⎨1 − exp ⎜⎜ −τL 0 ⎟⎬ . μ0 + μ μ0 μ ⎟⎠ ⎭⎪ ⎝ ⎩⎪ Полученные выше выражения (4.5.11) и (4.5.18) для нисходящего и восходящего излучения при однократном рассеянии следуют из общих формул (4.1.14), (4.1.17), если в них заменить G G 0 I τ′; Ω′ → I ( ) τ′; Ω′ . = I0 Λ

(

)

(

)

Ещё раз подчеркнем, что все полученные выше формулы спраG G ведливы при любом законе однократного рассеяния χ Ω′ → Ω .

(

)

Следует отметить, что все формулы для интенсивности нисходящего и восходящего излучения при истинно однократном рассеянии можно получить из простых физических соображений, не прибегая к решению уравнения переноса методом итераций. Получим, например, формулу (4.5.11) для нисходящей части интенсивности излучения I(1) (τ; μ > 0 μ0 ) . ↓ Рассмотрим слой d τ′ на глубине τ′ . Вероятность того, что фотон, распространяясь в первоначальном направлении G Ω0 (μ0 ; ϕ0 = 0) , достигнет глубины τ′ не поглотившись и не испытав ни одного акта упруго рассеяния, пропорциональна величине

177

exp ( −τ′ / μ0 ) . Вероятность того, что, проходя слой d τ′ , фотон не G поглотится и перейдет из состояния Ω0 ( μ0 ; ϕ = 0 ) в состояние G Ω(μ > 0; ϕ) есть Λχ(μ0 → μ; ϕ) ( d τ′ / μ ) . Наконец, вероятность тоG го, что распространяясь в направлении Ω(μ > 0; ϕ) , фотон достигнет глубины τ снова не поглотившись и не испытав ни одного акта упруго рассеяния, пропорциональна величине exp ⎡⎣ − ( τ − τ′ ) / μ ⎤⎦ .

Перемножая все эти вероятности получим: τ

⎡ ⎛ 1 1 ⎞⎤ Λ −μ e χ(μ0 → μ; ϕ) exp ⎢ τ′ ⎜ − ⎟ ⎥ d τ′ . μ ⎣⎢ ⎝ μ μ0 ⎠ ⎦⎥ Эта величина, умноженная на I0 , определяет вклад в нисходящее излучение тех фотонов, которые достигли глубины τ , испытав всего одно упругое рассеяние в слое d τ′ на глубине τ′ < τ . Интегрируя полученное выражение по τ′ в пределах 0 ≤ τ′ ≤ τ находим, что I (1) (τ; μ > 0; ϕ μ0 ) = I0 Λ ↓

χ(μ0 → μ; ϕ) e μ

ττ − ⌠ μ⎮ ⎮ ⎮ ⌡

0

⎡ ⎛1 1 ⎞⎤ exp ⎢ τ′ ⎜ − ⎟ ⎥ d τ′ , ⎢⎣ ⎝ μ μ0 ⎠ ⎥⎦

что в точности совпадает с формулой (4.5.10) , которая описывает нисходящее излучение при однократном рассеянии. Используя аналогичные рассуждения, легко получить формулу (4.5.17) для восходящей части интенсивности при однократном рассеянии. Угловое распределение отраженного излучения при однократном рассеянии в слое вещества конечной толщины Вычислим угловой спектр отраженного излучения при однократном рассеянии фотонов. В соответствие с формулой (4.4.3) функция отражения определяется выражением 1 S( ) (| μ |, ϕ μ ; τ ) =| μ | I (τ = 0; − μ , ϕ μ ; τ ) , 0

L

↑

( −1 ≤ μ = − μ 178

< 0) .

0

L

(4.5.19)

Подставляя сюда (4.5.18), получим значение той части полной функции отражения, которая определяется однократно рассеянными фотонами в слое вещества τL : 1 S( ) (| μ |, ϕ μ ; τ ) = 0

L

⎧⎪ ⎛ μ + μ ⎞ ⎫⎪ (4.5.20) μ |μ| = I0 Λ 0 χ(μ0 → − μ ; ϕ) ⎨1 − exp ⎜⎜ −τL 0 ⎟⎬ . μ0 + μ μ0 μ ⎟⎠ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎝ Естественно, что при однократном рассеянии функция отражения пропорциональна вероятности выживания кванта Λ . Если значение μ << 1 ( θ − π / 2 << 1) , то это соответствует скользящим уг-

лам вылета фотонов. Если значение μ близко к единице, то это соответствует углам θ , близким к 180D , т.е. фотонам, вылетающим из вещества по нормали к поверхности. Поскольку χ(cos γ) = χ(μ0 → μ; ϕ) = χ ⎡μ0μ + (1 − μ20 )(1 − μ2 ) cos ϕ ⎤ , ⎢⎣ ⎥⎦ то индикатриса рассеяния инвариантна относительно замены μ0 ⇔ μ . Следовательно, как это видно из формулы (4.5.20), и 1 функция отражения S( ) (| μ |, ϕ μ0 ; τL ) при однократном рассеянии тоже инвариантна относительно перестановки μ0 ⇔ μ , т.е.

1 1 S( ) (| μ |, ϕ μ0 ; τL ) = S( ) (μ0 , ϕ | μ |; τL ) . (4.5.21) Соотношение (4.5.21) отражает принцип обратимости хода световых лучей и является частным случаем теоремы взаимности применительно к задачам теории переноса в условиях плоской геометрии (приложение 4). В случае относительно тонких слоев вещества, когда выполняется условие μ + μ 1 ⎞ ⎛1 (4.5.22) τL 0 << 1 , т.е. τL ⎜ + ⎟ << 1 , μ0 μ μ μ 0 ⎝ ⎠

из формулы (4.5.17) находим следующее выражение для функции отражения тонким слоем:

179

(1) SL (| μ |, ϕ μ0 ) ≈ I0 Λχ(μ0 → − μ ; ϕ)τL . (4.5.23) Таким образом, в этом случае угловое распределение отраженного излучения воспроизводит закон однократного рассеяния и пропорционально толщине слоя τL . Существенное отличие приближенной формулы (4.5.23) от точной (4.5.20) (для однократно рассеянного излучения) наблюдается только в области углов θ очень близких к π / 2 , когда μ → 0 , так как в этом случае нарушается условие (4.5.22). Последнее следует, конечно, из общей формулы (4.5.20), так как при μ → 0 (распространение отраженных фотонов вдоль поверхности вещества) функция отражения (1) SL (| μ |, ϕ μ0 ) ~ μ должна обращаться в ноль. Угловой спектр однократно отраженного излучения от слоя вещества при изотропном законе однократного рассеяния Проанализируем характер углового спектра обратно рассеянного излучения при однократном рассеянии в самом простом случае ,ƒ2! ) изотропного рассеяния, когда χ = χ( = 1 / 4π . В этом случае формула (4.5.20) будет выглядеть так: (1) S ,ƒ2! (| μ | μ0 ; τL ) = ( ) . (4.5.24) ⎧⎪ ⎛ μ0 + μ ⎞ ⎫⎪ ⎟⎬ ⎨1 − exp ⎜⎜ −τL μ0 μ ⎟⎠ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎝ (1) На рис. 4.5.5 представлена зависимость величины S ,ƒ2! / I0 Λ от ( ) Λ μ0 | μ | = I0 4 π μ0 + μ

угла отражения θ для случая нормального ( μ0 = 1) и наклонного

( μ0

= 1 / 2 ) падения в случае изотропного рассеяния для четырех

различных оптических толщин слоя: τL = 0.1 , τL = 0.5 , τL = 1.0 и τL = 2.0 .

180

4

θ0 = 0

3

θ

2 1π

π/2

π

θ a)

θ 0 = 60

3

4

0

2 1

π/2

π

θ b)

Рис. 4.5.5. Зависимость величины

(1) S èçòð ( θ; τL ) / I0 Λ ( )

от угла рассеяния

θ (рад) для случая нормального (а) и наклонного (b) падения при различных значениях оптической толщины слоя вещества τL :1- τL = 0.1 ; 2- τL = 0.5 ; 3τL = 1.0 ; 4- τL = 2.0

181

Видно, что в случае малых толщин (кривые 1) практически во всем диапазоне углов вылета фотонов, удовлетворяющих условию (4.5.22), функция отражения повторяет закон однократного рассея(1) ния,: S ,ƒ2! ( θ; τL = 0.1) / I0 Λ ≈ τL / 4π = 0.08 , т.е. отражение ( ) практически изотропно. Кривые 1 на обоих рисунках практически совпадают. При θ = π / 2 , т.е. μ = 0 , функция отражения равна нулю при любой толщине слоя. Наблюдается монотонная зависимость спектра отраженного излучения: функция отражения достигает наибольшего значения при θ = π , т.е. при рассеянии фотонов строго назад, когда μ = 1 . Это имеет место как при нормальном, так и при наклонном падении. Угловой спектр однократно отраженного излучения от среды, рассеивающей по закону Хеньи – Гринстейна Проанализируем угловой спектр обратно рассеянного излучения при однократном рассеянии для закона однократного рассеяния Хеньи – Гринстейна (2.3.8). Учитывая формулу сферической тригонометрии, выражение для индикатрисы Х–Г запишется так ( ϕ0 = 0 ) : χ(

H −G )

=

1 4π

{

( μ0 → μ; ϕ ) = 1 − g2

1 + g2 − 2g ⎡μ0μ + (1 − μ20 )(1 − μ2 ) cos ϕ⎤ ⎣⎢ ⎦⎥

}

3/2

. (4.5.25)

Здесь g = cos γ – средний косинус угла однократного рассеяния. С учетом формулы (4.5.25) выражение для функции отражения однократно рассеянного излучения (4.5.20) будет выглядеть так:

182

I Λ μ0 | μ | (1) S Õ −Ã = 0 × ( ) 4π μ0 + μ 1 − g2

×

× (4.5.26) 3/2 ⎧ 2 ⎡ ⎤⎫ 2 2 ⎨1 + g + 2g ⎢μ0 μ − (1 − μ0 )(1 − μ ) cos ϕ⎥ ⎬ ⎣ ⎦⎭ ⎩ ⎛ μ + μ ⎞ ⎪⎫ ⎪⎧ × ⎨1 − exp ⎜⎜ −τL 0 ⎟⎬ . μ0 μ ⎟⎠ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎝ При g = 0 индикатриса Х–Г переходит в изотропную индикатрису рассеяния. Чем ближе g к единице, тем индикатриса Х–Г более вытянута вперед, т.е. описывает более анизотропное рассеяние. Исследуем более подробно вопрос о том, как зависит угловое распределение отраженного излучения от толщины слоя τL и среднего косинуса угла однократного рассеяния g , т.е. от степени “вытянутости” индикатрисы рассеяния Х–Г. Не умоляя общности, рассмотрим случай нормального падения ( μ0 = 1) светового потока на поверхность слоя. В этом случае функция отражения (4.5.26) выглядит достаточно просто: (1) S Õ − Ã ( μ μ0 = 1; g ) = ( ) I Λ |μ| = 0 4π 1 + μ

⎛ 1+ μ ⎪⎧ −τ 1 exp − ⎜ ⎨ L ⎜ 3/2 μ ⎪⎩ ⎝ 1 + g2 + 2g μ

(

1 − g2

)

⎞ ⎪⎫ ⎟⎟ ⎬ ⎠ ⎪⎭

(4.5.27)

При g = 0 выражение (4.5.27) переходит в (4.5.24), если в последнем положить μ0 = 1 :

(1) S Õ − Ã ( μ μ0 = 1; g = 0; τL ) = ( ) ⎛ 1 + μ ⎞ ⎪⎫ ⎪⎧ ⎟⎬ . ⎨1 − exp ⎜⎜ τL μ ⎠⎟ ⎪⎭ ⎝ ⎩⎪ Графики функции (4.5.28) представлены на рис.4.5.5,a. I Λ |μ| = 0 4π 1 + μ

183

(4.5.28)

Рассмотрим случай анизотропного рассеяния, когда средний косинус угла однократного рассеяния cos γ = g = 0.8 . В этом случае (1) S Õ − Ã ( μ ; g = 0.8 ) = ( ) ⎛ 1 + μ ⎞ ⎪⎫ (4.5.29) I Λ |μ| 0.36 ⎪⎧ 1 exp = 0 − −τ ⎜ ⎨ ⎜ L μ ⎟⎟ ⎬ . 4π 1 + μ (1.64 + 1.6 μ )3/2 ⎩⎪ ⎝ ⎠ ⎭⎪ На рис.4.5.6 представлено отношение (1) S Õ − Ã ( θ; θ0 = 0; g = 0.8; τL ) / I0 Λ . ( )

g= g = 0.8 0.8

4 33

22

1 1

π/2

θ

θ

π

(1) S Õ − Ã ( θ ) / I0 Λ от угла отражения ( ) θ (рад) при параметре анизотропии g = 0.8 для различных значениях оптической толщины слоя вещества τL : 1- τL = 0.1 ; 2- τL = 0.5 ; 3- τL = 1.0 ; 4- τL = 2.0 Рис. 4.5.6. Зависимость величины

Пунктирная кривая – расчет по приближенной формуле (4.5.23) для τL = 0.1 ( μ0 = 1) :

184

(1) S Õ − Ã ( μ , g = 0.8; τL ) ( ) H −G ) = χ( (1 → − μ , g = 0.8)τL = I0 Λ =

0.036 4π (1.64 + 1.6 μ

)3/2

(4.5.30)

.

Как и должно быть, выражение (4.5.30) монотонно убывает от своего наибольшего значения при θ = π / 2 ( μ = 0 ) , до наименьшего значения при θ = π

(μ

= 1) , так как индикатриса Х–Г убы-

вает с увеличением угла однократного рассеяния. Из рис. 4.5.6 видно, что даже при относительно слабо выраженной анизотропии рассеяния характер углового спектра однократно отраженного излучения существенно отличается от случая изотропного рассеяния, представленного на рис.4.5.5,a. В спектре обратно рассеянного излучения возникает локальный максимум в области скользящих углов вылета фотонов, когда угол отражения θ близок к π / 2 , т.е. μ << 1 . Такие фотоны вылетают под малыми углами к поверхности вещества. Даже при малых толщинках слоя ( τL = 0.1) характер спектра отражения радикально отличается от закона однократного рассеяния Х–Г в области относительно малых углов вылета (сравни пунктирную кривую и кривую 1 для τL = 0.1 на рис. 4.5.6). В заключение этого параграфа заметим, что возможность полу1 чения сравнительно простых формул для величин I (1) , I (1) , S( ) ↓

↑

при однократном рассеянии связана с простотой выражения для нулевой итерации (4.5.3), т.е. для интенсивности нерассеянного излучения, поскольку при мононаправленном облучении поверхG G ности вещества I(….!=“) ~ δ(Ω − Ω0 ) . Именно наличие угловой дельта-функции позволило легко осуществить интегрирование в 1 формуле (4.5.5) при определении первой итерации I ( ) . Однако ситуация усложняется уже при попытке вычисления второй итера2 ции, т.е. при определении интенсивности излучения I ( ) тех фотонов, которые испытали два акта рассеяния. Действительно, полагая

185

в рекуррентной формуле (4.5.4) k = 2 , можно получить выражение G 2 для величины I ( ) (τ; Ω μ ; τ ) в общем случае, т.е. для слоя веще0

L

ства конечной толщины: G 2 I ( ) (τ; Ω τL ) =

τ−τ′ − G G (1) G ⎛ τ − τ′ ⎞ Λ τL d τ′e μ η ⎜ τ′; Ω′ τL dΩ′. = ∫ ⎟ ∫∫ χ Ω′ → Ω I μ 0 ⎝ μ ⎠ 4π

(

)

(

)

(4.5.31)

Выражение (4.5.31) содержит не берущийся интеграл по Ω′ при G G произвольном законе однократного рассеяния χ Ω′ → Ω (и даже

(

)

для простейшего случая изотропного рассеяния, когда ,ƒ2! ) χ( = 1 / 4π ), ввиду достаточно сложной зависимости величиG 1 ны I ( ) τ′; Ω′ τ от угловых переменных μ′, ϕ′ . Поэтому не

(

L

)

(

)

представляется возможным получить аналитическое выражение 2 для I ( ) , не содержащее квадратур. Понятно, что при вычислении

итераций более высокого порядка ( k = 3, 4, ... ) возникают ещё более сложные выражения, требующие вычисления интегралов все более высокой кратности по угловым переменным dΩ′′ , dΩ′′′ и т.д. Поэтому получение аналитического решения уравнения переноса методом последовательных итераций бесперспективно, если учесть к тому же, что полная интенсивность излучения (4.5.2) выk ражается в виде бесконечного ряда величин I ( ) k = 0,1,..., 3,... .

(

)

§6. Одно- и двукратное рассеяние в полубесконечной среде В этом параграфе рассмотрим процесс одно- и двукратного рассеяния в полубесконечной среде. Пусть, как и ранее, на поверхность вещества падает широкий, стационарный световой поток с интенсивностью I0 под углом θ0 = arccos μ0 в азимутальной плоскости ϕ0 = 0 . Ось z направлена по нормали к поверхности в глубь среды, т.е. вниз (см. рис. 4.5.1).

186

Однократно рассеянное излучение в полубесконечной среде Полученные в предыдущем параграфе формулы для однократного рассеяния в слое вещества τL становятся несколько проще в случае полубесконечной рассеивающей среды, когда τL → ∞ . Что касается интенсивности нисходящего излучения первой кратности I (1) , то её значение не зависит от толщины слоя вещества и по↓

прежнему определяется формулой (4.5.11): I(1) (τ; μ > 0; ϕ μ0 ) = ↓

= I0 Λμ0

χ(μ0 → μ; ϕ) ⎧⎪ ⎛ τ ⎞ ⎫⎪ ⎛ τ ⎞ − exp ⎜ − ⎟ ⎬ . ⎨exp ⎜ − ⎟ μ0 − μ ⎝ μ ⎠ ⎭⎪ ⎝ μ0 ⎠ ⎩⎪

(4.6.1)

Для интенсивности восходящего излучения первой кратности, полагая в (4.5.17) τL → ∞ , получим: K μ0 ⎛ τ ⎞ χ(μ0 → − μ ; ϕ) exp ⎜ − I(1) (τ; Ω μ0 ) = I0 Λ ⎟ . (4.6.2) ↑ μ0 + μ ⎝ μ0 ⎠ Видим, что в полубесконечной среде восходящее излучение, образованное фотонами, испытавшими только одно рассеяние, экспоненциально убывает с глубиной, причем тем быстрее, чем меньше μ0 , т.е. при наклонном падении светового излучения на поверхность вещества, когда угол падения θ0 = arccos μ0 увеличивается. Это и понятно, так как τ / μ0 = εs , где s = z / μ0 – длина пути, проходимого фотоном от точки влета в вещество до глубины z , где происходит акт рассеяния (см. рис. 4.5.4). Складывая величины I (1) и I (1) , определяемые формулами ↓

↑

(4.6.1) и (4.6.2), получаем следующее выражение для полной интенсивности однократно рассеянных фотонов в полубесконечной среде: G G τ τ − ⎞ μ0 Λ ⋅ χ ( Ω0 → Ω ) ⎛⎜ − μ 1) ( μ I (τ; μ, ϕ; μ0 ) = I0 ⋅ ⎜ e 0 − η ( μ ) ⋅ e ⎟⎟ , μ0 − μ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (4.6.3) ( −1 ≤ μ ≤ 1) .

187

Выражение (4.6.3) определяет первую итерацию уравнения переноса во всем диапазоне значений при произвольной индикатрисе рассеяния. Полагая в (4.6.3) μ > 0 , получаем формулу (4.6.1) для нисходящего излучения, а при −1 ≤ μ ≤ 0 , т.е. μ = − μ , получаем формулу (4.6.2) для восходящего излучения. Конечно, формула (4.6.3) может быть получена сразу из общей формулы (4.5.6) при τL → ∞ : G 1 I ( ) (τ; Ω) = τ (4.6.4) G G −μ ∞ Λ 1 ⎞ ⎪⎫ ⎛ τ − τ′ ⎞ ⎪⎧ ⎛ 1 ′ = I0 χ Ω0 → Ω e ∫ exp ⎨−τ′ ⎜ + η τ d , ⎟⎬ ⎜ ⎟ μ ⎩⎪ ⎝ μ μ0 ⎠ ⎭⎪ ⎝ μ ⎠ 0 после вычисления интеграла по τ′ .

(

)

Двукратно рассеянное излучение в полубесконечной среде Для вычисления той части интенсивности излучения в полубесконечной среде, которая формируется фотонами, испытавшими два G 2 акта рассеяния I ( ) (τ; Ω μ ) , воспользуемся формулой (4.5.31) пре0

дыдущего параграфа, положив в ней τL → ∞ : G 2 I ( ) (τ; Ω μ0 ) =

τ−τ′

− G G (1) G ⎛ τ − τ′ ⎞ Λ∞ τ′; Ω′ μ0 d Ω′. = d τ′e μ η ⎜ ∫ ⎟ ∫∫ χ Ω′ → Ω I μ 0 ⎝ μ ⎠ 4π

(

)

(

)

(4.6.5)

1 Подставляя в (4.6.5) значение I ( ) , определяемое формулой (4.6.3), получим: − G μ ∞ 2 I ( ) (τ; Ω) = I0 Λ2 0 ∫ d τ′e μ 0

τ−τ′ μ

⎛ τ − τ′ ⎞ η⎜ ⎟× ⎝ μ ⎠

G G G G τ′ τ′ − ⎞ χ Ω0 → Ω′ χ Ω′ → Ω ⎛⎜ − μ e 0 − η ( μ′ ) ⋅ e μ′ ⎟⎟ d Ω′. (4.6.6) × ∫∫ ⎜ μ0 − μ ′ ⎜ ⎟ 4π ⎝ ⎠

(

) (

)

188

Выполняя интегрирование по 2 I ( ) (τ; Ω) :

τ′ , находим выражение для

(

) (

)

χ Ω0 → Ω′ χ Ω′ → Ω 2 I ( ) = I0μ0 Λ2 ∫∫ × μ0 − μ′ 4π τ ⎧ ⎫ ⎧ −τ − ⎫ ⎪ μ0 ⎪ μ0 ⎪ μ⎪ − η (μ) e ⎬ − ⎪ μ − μ ⎨e ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎩ ⎭ ×⎨ ⎬ d Ω′ . τ ⎧ −τ ⎪ − ⎫⎪ ′ μ ⎪ ⎪ ′ μ ⎪−η ( μ′ ) − η ( μ ) e μ ⎬⎪ ⎨e ⎪ μ′ − μ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎭⎭ ⎩⎪ 2 Как и должно быть, I ( ) ~ Λ2 .

(4.6.7)

Положим в формуле (4.6.7) τ = 0 . Тогда получим выражение для интенсивности двукратно рассеянных фотонов на поверхности вещества: 2 I ( ) τ = 0 = I μ Λ2η −μ ×

(

(

)

0 0

) (

(

)

)

(4.6.8) χ Ω0 → Ω′ χ Ω′ → Ω ⎧ μ0 μ′ ⎫ − η ( μ′ ) ⎨ ⎬ d Ω′. μ0 − μ′ μ′ − μ ⎭ ⎩ μ0 − μ 4π

× ∫∫

При получении (4.6.8) общий множитель 1 − η ( μ ) вынесен из-под

знака интеграла и учтено, что поскольку η ( μ ) + η ( −μ ) = 1 , то 1 − η ( μ ) = η ( −μ ) . Из формулы (4.6.8) видно, что I ( ) ( τ = 0 ) ~ η ( −μ ) , т.е. на поверхности среды есть только фотоны, для которых μ < 0 , т.е. те фотоны, которые и формируют угловой спектр отраженного излучения. Таким образом, даже для относительно простого случая полубесконечной среды получается достаточно сложное выражение для 2 I ( ) (τ; Ω μ ) , в котором не представляется возможным вычислить 2

0

аналитически интеграл по Ω′ при произвольном законе однократного рассеяния χ Ω′ → Ω .

(

)

189

Угловое распределение отраженного излучения от полубесконечной среды Для вычисления функции отражения S(| μ |, ϕ μ0 ) =| μ | I ↑ (τ = 0; − μ , ϕ μ0 )

(4.6.9)

необходимо предварительно определить интенсивность восходящего излучения на поверхности вещества. Так же как и интенсивность восходящего излучения, полную ФО можно представить в виде ∞ 1 2 3 k S(| μ |, ϕ μ0 ) = S( ) + S( ) + S( ) + ... = ∑ S( ) (| μ |, ϕ μ0 ) . (4.6.10) k =1

Каждое слагаемое в формуле (4.6.10) определяет вклад в полную ФО процессов рассеяния различной кратности: (k ) k S( ) (| μ |, ϕ μ0 ) =| μ | I (τ = 0; − μ , ϕ μ0 ) . (4.6.11) ↑

(k )

Поскольку S ~ Λk , то выражение (4.6.10) фактически представляет разложение полной ФО в ряд по степеням Λ . Функция отражения при однократном рассеянии Вычислим сначала ту часть ФО, которая формируется фотонами, испытавшими одно рассеяние от момента влета в среду до вылета из неё: (1) 1 S( ) (| μ |, ϕ μ ) =| μ | I (τ = 0; − μ , ϕ μ ) . (4.6.12) 0

↑

0

Полагая в формуле (4.6.2) τ = 0 , получаем простое выражение для интенсивности восходящего излучения на поверхности полубесконечного слоя вещества: K μ0 I(1) (τ = 0; Ω μ0 ; τL → ∞) = I0 Λ χ(μ0 → − μ ; ϕ) . (4.6.13) ↑ μ0 + μ Подставляя (4.6.13) в (4.6.12), получим выражение для функции отражения от полубесконечной среды за счет истинно однократного рассеяния

190

μ |μ| 1 S( ) (| μ |, ϕ μ0 ) = I0 Λ 0 χ(μ0 → − μ ; ϕ) . μ0 + μ

(4.6.14)

1 Как и должно быть, S( ) ~ Λ . Выражение (4.6.14) является частным случаем более общей формулы (4.5.20) предыдущего парагра1 фа для функции однократного отражения S( ) (| μ |, ϕ μ ; τ ) слоем 0

L

вещества конечной толщины и получается из (4.5.20) при τL → ∞ . Следует иметь в виду, что χ(μ0 → − μ ; ϕ) = χ(cos γ) , где cos γ = −μ0 μ +

(1 − μ02 ) (1 − μ 2 ) cos ϕ .

,ƒ2! ) = 1 / 4π , В изотропно рассеивающей среде, когда χ = χ( ФО не зависит от азимутального угла и выглядит так: 1 Λ μ0 | μ | Λ (1) S(èçòð) (| μ | μ0 ) = I0 = I0 . (4.6.15) 1 1 4 π μ0 + μ 4π + μ0 μ (1) Из формулы (4.6.15) видно, что S(,ƒ2!) есть монотонно возрас-

(1) тающая функция μ . Величина S(,ƒ2!) обращается в ноль при μ = 0 и, независимо от μ0 , достигает наибольшего значения при

μ = 1 , ( θ = π ) , т.е. когда отраженные фотоны вылетают перпендикулярно к поверхности: (1) (1) S(,ƒ2!) = S(,ƒ2!) (| μ |= 1 μ0 ) =

(

)

max

(4.6.16) 1 ⎫ Λ μ0 Λ ⎧ = I0 = I0 ⎨1 − ⎬. 4π 1 + μ0 4 π ⎩ 1 + μ0 ⎭ Наибольшее значение в максимуме имеет место при нормальном падении излучения на поверхность вещества ( μ0 = 1) : Λ (1) S(,ƒ2!) (| μ |= 1 μ0 = 1) = I0 ≈ 0.04I0 Λ . 8π

191

(4.6.17)

На

рис.4.6.1

(1) S(,ƒ2! ) (θ

представлены

графики

( Λ = 1)

θ0 ) от консервативной

зависимости

ФО

полубесконечной изо-

тропно рассевающей среды при единичном значении интенсивности падающего излучения ( I0 = 1) : 1 cos θ0 | cos θ | (1) S(,ƒ2! ) (θ θ0 ) = , 4π cos θ0 + cos θ

( π / 2 ≤ θ ≤ π) .

(4.6.18)

θ0 = 0 θ0 = π / 6 θ0 = π / 3

π/2

θ ( ðàä )

Рис. 4.6.1. Графики зависимости ФО

π

(1) S(,ƒ2! ) (θ θ0 ) от консервативной

полубесконечной, изотропно рассевающей среды при различных углах падения

θ0

Функция отражения при двукратном рассеянии Вычислим теперь ту часть ФО, которая формируется фотонами, испытавшими два рассеяния от момента влета в среду до вылета из неё: 2 (2) S( ) (| μ |,ϕ μ0 ) =| μ | I (τ = 0; − μ ,ϕ μ0 ) . (4.6.19) ↑

192

Полагая в формуле (2) I (τ = 0; − μ ,ϕ μ0 ) : ↑

(2) ↑

I

(4.6.8)

μ=−μ,

находим

значение

( τ = 0 ) = I0μ0Λ2 ×

⎧ μ0 − χ μ0 → Ω′ χ Ω′ → − μ ,ϕ ⎪⎪ μ0 + μ × ∫∫ ⎨ μ0 − μ′ ⎪−η ( μ′ ) μ′ 4π ⎪⎩ μ′ + μ Следовательно, 2 S( ) (| μ |,ϕ μ ) = I μ μ Λ2 ×

⎫ (4.6.20) ⎪ ⎪ ′ d Ω . ⎬ ⎪ ⎪⎭

⎧ μ0 − χ Ω0 → Ω′ χ Ω′ → Ω ⎪⎪ μ0 + μ × ∫∫ ⎨ μ0 − μ ′ ⎪−η ( μ′ ) μ′ 4π ⎪⎩ μ′ + μ

⎫ ⎪ (4.6.21) ⎪ ⎬ d Ω′. ⎪ ⎪⎭

(

) (

0

(

)

0 0

) (

)

2 Как и должно быть, S( ) ~ Λ2 . В то время, как сравнительно простое выражение (4.6.14), позволяет рассчитать ФО однократно рас1 сеянных фотонов S( ) при произвольном законе рассеяния 2 χ(cos γ ) , формула (4.6.21) для S( ) оказывается значительно сложнее, поскольку при произвольном законе однократного рассеяния, входящий в неё интеграл аналитически не вычисляется. Однако если рассеяние является изотропным, можно получить 2 ,ƒ2! ) . Полапростое аналитическое выражение для величины S( )(

гая в (4.6.21) χ = 1 / 4π , после интегрирование по ϕ′ , получим: Λ2 (2 ) S(,ƒ2! ) (| μ | μ0 ) = I0μ0 μ × 8π 1 1 ⎧⎪ μ0 ⎫⎪ μ′dμ′ d μ′ ×⎨ −∫ ⎬. ∫ ⎪⎩ μ0 + μ −1 μ0 − μ′ 0 ( μ0 − μ′ ) ( μ′ + μ ) ⎪⎭

Поскольку

193

(4.6.22)

1

1 + μ0 d μ′ +1 = − ln μ0 − μ′ | −1 = ln , ′ 1 − μ0 −1 μ0 − μ

P∫

1

μ′dμ′ = ′ ′ μ − μ μ + μ ( ) ( ) 0 0 μ 1+ μ μ0 μ0 = − ln ln , μ0 + μ 1 − μ0 μ0 + μ μ

P∫

то, подставляя найденные значения интегралов в (4.6.22), после 2 простых преобразований получим значение S( ) (| μ |,ϕ μ0 ) :

Λ2 μ0 μ (2 ) S(,ƒ2! ) (| μ | μ0 ) = I0 8π μ0 + μ

1 + μ ⎪⎫ 1 + μ0 ⎪⎧ + μ ln ⎨μ0 ln ⎬ .(4.6.23) μ0 μ ⎭⎪ ⎪⎩

(1) Учитывая выражение (4.6.15) для S(,ƒ2! ) (| μ | μ0 ) , выражение (4.6.23) можно записать в виде

(2 ) S(,ƒ2! ) (| μ | μ0 ) = 1 + μ ⎫⎪ 1 + μ0 Λ ⎪⎧ (1) = S(,ƒ2! ) (| μ | μ0 ) ⎨μ0 ln + μ ln ⎬. 2 ⎩⎪ μ0 μ ⎭⎪

(4.6.24)

На рис.4.6.2. представлены для сравнения графики зависимости

(2 ) (1) величин S(,ƒ2! ) (сплошные кривые) и S(,ƒ2! ) (пунктирные кривые) в изотропно рассевающей консервативной среде ( Λ = 1) от угла отражения θ при трех различных значениях угла падения θ0 при единичном значении интенсивности падающего излучения

( I0

= 1) .

194

(1) Видим, что ФО второй кратности, так же как и S(,ƒ2! ) монотонно возрастает от нуля при θ = π / 2 до наибольшего значения при θ = π , оставаясь при различных углах падения θ0 меньше ФО

2 1

3

π/2

π

θ

первой кратности (сплошные кривые расположены ниже пунктирных).

(1) Рис. 4.6.2. Графики зависимости величин S(,ƒ2! ) (θ (2) и S(,ƒ2! ) (θ

θ0 ) (пунктирные кривые)

θ0 ) от консервативной полубесконечной, изотропно рассевающей

среды при различных углах падения 2–

θ0 :1 – θ0 = 0 (нормальное падение);

θ0 = 30 , 3 – θ0 = 60

195

Складывая выражения (4.6.15) и (4.6.24), получим выражение для ФО с точностью до членов ~ Λ2 :

(1) ( 2) S(,ƒ2!) ≈ S(,ƒ2!) + S(,ƒ2!) = I Λ μ0 μ = 0 4π μ0 + μ

⎧⎪ μ ⎛1 + μ μ0 ⎛ 1 + μ0 ⎞ ln ⎜ ⎨1 + Λ ⎟ + Λ ln ⎜⎜ 2 2 ⎝ μ ⎪⎩ ⎝ μ0 ⎠

θ0 = 0

⎞ ⎫⎪ (4.6.25) ⎟⎟ ⎬ . ⎠ ⎪⎭

2 1

3

π/2

θ

π

Рис. 4.6.3. Графики зависимости ФО от одно- и двукратно рассеянных фотонов (сплошные кривые). Пунктирные кривые - графики ФО первой кратности 1 – Λ = 1 ; 2 – Λ = 0.9 ; 3 – Λ = 0.4 .

На рис. 4.6.3 представлены графики зависимости ФО, рассчитанные по формуле (4.6.25) от угла отражения θ для случая нормального падения светового потока на поверхность вещества

( μ0

= 1) при различных значениях вероятности выживания кванта

196

Λ = 1; 0.9; 0.4 (сплошные кривые). Там же, для сравнения приве-

(1) дены графики ФО первой кратности S(,ƒ2!) (пунктирные кривые). Из рис. 4.6.3 видно, что с увеличением поглощения, т.е. с уменьшением Λ отличие между ФО S(,ƒ2!) (4.6.23) и ФО первой крат-

(1) ности S(,ƒ2!) уменьшается, что означает уменьшение вклада ФО ( 2) S(,ƒ2!) второй кратности.

197

Приложение 1 Традиционный вывод уравнения переноса светового излучения в случайных средах В §2 первой главы дан вывод уравнения переноса светового излучения с использованием кинетического уравнения Больцмана для молекул (атомов) газа. Предполагалось, что энергия световых квантов не изменяется ( =ω = const ) и их скорость распространения в среде остается постоянной ( ñ = const ) , т.е. рассматривается односкоростная задача теории переноса. Фактически было показано, что основное классическое уравнение переноса светового излучения в случайных средах при указанных выше условиях представляет собой линеаризованное уравнение Больцмана, поскольку фотоны, распространяющиеся в веществе, не взаимодействуют друг с другом. Однако далеко не для всех студентов различных специальностей читается курс физической кинетики и их представление об уравнении Больцмана зачастую носит весьма поверхностный характер. Поэтому представляется целесообразным дать более простой вывод уравнения переноса, основанный на использовании уравнения баланса энергии, вообще не апеллируя к кинетическому уравнению Больцмана. Именно таким способом выводится уравнение переноса в большинстве изданий, посвященных изучению распространения светового излучения в случайных средах. При этом сначала даются основные определения характеристик световых полей, как это сделано в §1 первой главы. Для удобства изложения напомним некоторые из них. Фундаментальной характеристикой светового поля является инG G тенсивность излучения I(r ; Ω; t) , которая представляет собой средний поток световой энергии через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно к направлению распространеG G ния фотона Ω в точке r в единицу времени в момент времени t .

198

Интенсивность излучения связана с функцией распределения G G фотонов f r ; Ω; t (фазовой плотностью фотонов) соотношением

(

)

(1.1.3):

G G G G I(r ; Ω; t ) = =ωcf r ; Ω; t .

(

)

(П.1.1) G G Величина f r ; Ω; t d3 rd Ω есть среднее число фотонов в момент G времени t в объеме d3 r в окрестности точки r , которые G распространяются в направлении Ω в интервале углов d Ω . Вывод уравнения переноса обычно разбивают на два этапа. Сначала получают уравнение для интенсивности излучения в свободном пространстве без учета поглощения и рассеяния (“бесстолкновительное” уравнение переноса). На втором этапе учитываются процессы взаимодействия фотонов с рассеивающими ценрами среды.

(

)

Уравнение переноса светового излучения в свободном пространстве Среднее число фотонов в момент времени t в объем d3 r в окG рестности произвольной точки r направления, распространения G G G которых лежат в интервале значений Ω ÷ Ω + d Ω , т.е. внутри телесного угла d Ω относительно заданного (произвольного) направG G G ления Ω , будет определяться выражением f r ; Ω; t d3 rd Ω . По-

(

)

этому изменение этого числа фотонов за время dt будет: G G ∂f r ; Ω; t 3 Δf = d rd Ωdt . (П.1.2) ∂t С другой стороны, величина Δf определяется разностью между числом фотонов, пришедших за время dt в элемент “объёма” d3 rd Ω из других элементов d3 r ′d Ω′ , и числом фотонов, ушедших из рассматриваемого элемента объёма, т.е. Δf = ( ïðèõîä − óõîä )çà âðåìÿ dt . (П.1.3)

(

)

Выражение (П.1.3) по сути есть уравнение баланса числа фотонов, записанное в самом общем виде. Поскольку средняя энергия фото-

199

G G нов в элементе “объема” d3 rd Ω есть =ωf r ; Ω; t d 3 rd Ω , то, ум-

(

)

ножив обе части выражения (П.1.3) на =ω , получаем уравнение баланса энергии. Поэтому уравнение баланса числа фотонов и уравнение баланса энергии имеют совершенно одинаковый вид и отличаются только обозначениями. Поскольку взаимодействие между фотонами отсутствует, то единственной причиной их ухода и прихода в свободном пространстве может быть только свободное перемещение со скоростью G G c = cΩ . Поэтому за время dt “объем” d3 rd Ω покинут все фотоны, которые находились в нём в момент времени t : G G óõîä = f r ; Ω; t d3 rdΩ .

(

)

С другой стороны, в “объем” d3 rd Ω к моменту времени t попадут те фотоны, которые в момент времени t находились в “объеме” G G G d3 r ′d Ω′ в окрестности близкой точки r ′ = r − cΩdt . Поэтому G G G G ïðèõîä = f r ′; Ω′; t d 3 r ′d Ω′ = f r − cΩdt d 3 r ′d Ω′ .

(

)

(

)

В силу теоремы Лиувилля d3 r ′d 3c′ = d3 rd 3c . Здесь d3c = c2dcd Ω . Поскольку величина скорости фотонов не изменяется c′ = c , то d3 r ′d Ω′ = d 3 rd Ω . Следовательно, G G G G ( ïðèõîä − óõîä)dt = f r − cΩdt; t − f r ; Ω; t d3rdΩ .

{(

)

(

)}

Разложим первое выражение в фигурных скобках в ряд Тейлора с точностью до членов первого порядка малости включительно G ∂f G G G G f r − cΩdt; t ≈ f r ; Ω; t − G cΩdt , ∂r в результате получаем, что G ∂f (П.1.4) Δf = ( ïðèõîä − óõîä )dt = −cΩ G d3 rd Ωdt . ∂r Подставляя разложение (П.1.4) в выражение (П.1.2), получим: G G ∂f r ; Ω; t 3 G ∂f (П.1.5) d rdΩdt = −cΩ G d3 rdΩdt . ∂t ∂r

(

(

)

(

)

200

)

Сокращая на общий множитель d3 rdΩdt , окончательно получим: G G ∂f r ; Ω; t G ∂f (П.1.6) = −cΩ G . ∂t ∂r Это и есть уравнение для фазовой плотности фотонов в свободном пространстве. Умножая теперь обе части равенства (П.1.6) на =ω и G G учитывая формулу (П.1.1), которая связывает величину f r ; Ω; t с G G интенсивностью светового поля I(r ; Ω; t) , получаем: G G G G ∂I r ; Ω; t G ∂I r ; Ω; t +Ω = 0. (П.1.7) G c∂t ∂r Уравнение (П.1.7) представляет собой уравнение для интенсивности излучения в свободном пространстве без учета взаимодействия фотонов с веществом.

(

)

(

(

)

(

)

)

Уравнение переноса светового излучения с учетом поглощения и рассеяния фотонов Для того чтобы учесть взаимодействие между фотонами и веществом, нужно в уравнении (П.1.6) учесть все дополнительные процессы, которые приводят к изменению среднего числа фотонов. Таких процессов всего два – поглощение фотонов и упругое рассеяние на хаотично распределенных рассеивающих центрах. Поэтому уравнение баланса числа фотонов (П.1.6) теперь запишется так: G G ∂f r ; Ω; t G ∂f = −cΩ G + ( ïðèõîä − óõîä )ïîãë. + ðàññ. . (П.1.8) ∂t ∂r Здесь величина ( ïðèõîä − óõîä ) определяет изменение числа фо-

(

)

тонов в единичном “объеме”

( d3rdΩ = 1)

за единицу времени

( dt = 1) . Поглощение и рассеяние фотонов – принципиально разные процессы. При поглощении фотон исчезает как физический объект. Поэтому поглощение может привести только к уменьшению числа

201

фотонов и, следовательно, к уменьшению энергии светового поля в рассматриваемом единичном “объеме” d3 rdΩ в единицу времени. Вычислим óõîä фотонов (распространяющихся в заданном наG правлении Ω ), из-за поглощения на отдельных центрах, среднее число которых в единице объема равно na . Для этого воспользуемся определением сечения поглощения σa : Na . (П.1.9) σa = nC=д Здесь Na – число фотонов, (распространяющихся в направлении G Ω ), поглощенных на одном центре (физически бесконечно малом объеме) в единицу времени. Величина nC=д есть число фотонов, G распространяющихся в направлении Ω и проходящих в единицу времени через единичную площадку dΣ = 1 , перпендикулярную к G G направлению их движения (см. рис.1.1.1), т.е. nC=д = cf r ; Ω; t .

(

)

Следовательно, число поглощенных фотонов в единице объема ве-

(

)

щества d3 r = 1 будет определяться выражением:

( óõîä )C%гл

= na Na = na σa nC=д = (П.1.10) G G G G = na σa cf r ; Ω; t = κcf r ; Ω; t . Величина κ = na σa называется коэффициентом поглощения. Если обе части равенства (П.1.10) умножить на =ω и учесть, что ΔEa = −=ωna Na есть убыль энергии поля за счет поглощения в единицу времени в единице объема, получим: G G G G ΔEa r ; Ω; t = −κI r ; Ω; t . (П.1.11)

(

(

)

)

(

(

)

)

Формулу (П.1.11) можно рассматривать как определение объемного коэффициента поглощения κ. Поскольку размерность

[ ΔEa ] = d›/м3“=b2/м3 , а [I ] == b2/м2 , то размерность коэффициента поглощения [ κ] = [ ΔEa ] / [ I ] = 1 / м , т.е. та же, что и у величины na σa .

202

Теперь рассмотрим рассеяние фотонов. При упругом рассеянии изменяется только направление распространения фотона в среде. При этом часть фотонов, распространяющихся в заданном направG лении Ω , оставаясь внутри пространственной части объема d3 r , покидает “объем” d3 rdΩ , так как изменяет направление движения G Ω . Однако другие фотоны, находящиеся в объеме d3 r , переходят G G в заданное состояние Ω из различных состояний Ω′ . Если рассеяние фотонов происходит на сферических центрах, то вероятность G G такого перехода зависит от угла γ между векторами Ω′ и Ω . Таким образом, упругое рассеяние дает вклад как в уход, так и в приход фотонов. Вычислим сначала величину ухода фотонов за счет упругого рассеяния на отдельных центрах, среднее число которых в единице объема равно n0 . Используем для определения полного сечения упругого рассеяния σ3C! формулу, аналогичную (П.1.9): σ3C! =

N3C! nC=д

.

(П.1.12)

Здесь N3C! – число фотонов, распространяющихся первоначально G в направлении Ω , и рассеянных на одном центре (физически бесконечно малом объеме) в единицу времени во всех направлениях. Затем, после рассуждений, совершенно аналогичных приведенным выше, получим: G G G G ( óõîä )!=“ = n0N!=“ = n0σ3C!cf r ; Ω; t = σcf r ; Ω; t . (П.1.13)

(

)

(

)

Здесь σ = n0σ3C! – коэффициент рассеяния. Если обе части равенства (П.1.13) умножить на =ω и учесть, что ΔE!=“ = −=ωn0N!=“ есть убыль энергии поля в единице объема в единицу времени за счет упругого рассеяния во все другие состояния, получим: G G G G ΔE!=“ r ; Ω; t = −σI r ; Ω; t . (П.1.14)

(

)

(

)

Формулу (П.1.14) можно рассматривать как определение коэффициента рассеяния σ .

203

Теперь определим величину прихода фотонов в заданное соG G стояние Ω из всех других состояний Ω′ . Для этого воспользуемся формулой, которая определяет дифференциальное сечение упругого рассеяния: G G dN3C! Ω′ → Ω G G dσ3C! Ω′ → Ω = . (П.1.15) ′ д nC=

(

(

)

)

Здесь dN3C! – число фотонов, рассеянных на одном центре из G G произвольного состояния Ω′ в заданное состояние Ω в элемент телесного угла dΩ относительно первоначального направления G ′ д есть число фотонов, расΩ′ в единицу времени. Величина nC= G пространяющихся в направлении Ω′ и проходящих в единицу времени через единичную площадку dΣ = 1 , перпендикулярную к наG G G ′ = cf r ; Ω′; t . правлению их движения Ω′ , т.е. nC=д

(

Следовательно,

)

G G G G G G dN3C! Ω′ → Ω = cn0dσ3C! Ω′ → Ω f r ; Ω′; t .

(

)

(

) (

)

G Чтобы определить полный приход фотонов из всех состояний Ω′ в G состояние Ω , нужно проинтегрировать полученное выражение по всем промежуточным состояниям. В результате получаем: G G G G ( ïðèõîä )!=“ = cn0 ∫∫ dσ3C! Ω′ → Ω f r ; Ω′; t . (П.1.16)

(

4π

) (

)

Выражение в правой части равенства (П.1.16) можно записать в виде: G G dσ3C! Ω′ → Ω G G cn0σ3C! ∫∫ f r ; Ω′; t = σ3C! 4π G G G G = cn0σ3C! ∫∫ χ Ω′ → Ω f r ; Ω′; t dΩ′ . (П.1.17)

(

(

4π

Здесь введено обозначение G G χ Ω′ → Ω =

(

)

)

(

) (

)

)

1

G G d σ3C! Ω′ → Ω

σ3C!

d Ω′

204

(

).

(П.1.18)

G G Величина χ Ω′ → Ω

(

)

называется индикатрисой рассеяния. Из

(П.1.18) следует условие нормировки: G G ∫∫ χ Ω′ → Ω dΩ′ = 1 . 4π

(

)

(П.1.19)

Индикатриса рассеяния определяет вероятность перехода фотона G G из состояния Ω′ в Ω . Теперь выражение (П.1.16) можно записать в виде G G G G (П.1.20) ( ïðèõîä ) = cσ ∫∫ χ Ω′ → Ω f r ; Ω′; t dΩ′ . !=“

4π

(

) (

)

Здесь учтено, что n0σ3C! = σ – коэффициент рассеяния. Умножая обе части равенства (П.1.20) на =ω , можем записать выражение для увеличения энергии поля в единице объема в единиG G G цу времени за счет упругого рассеяния из состояния Ω′ ÷ Ω′ + dΩ′ G в состояния Ω : G G G G G G G ΔE!=“ r ; Ω′ → Ω; t = χ Ω′ → Ω I r ; Ω′; t dΩ′ . (П.1.21)

(

)

(

) (

)

Выражение (П.1.21) можно рассматривать как определение индикатрисы рассеяния физически бесконечно малым объёмом вещества. Учитывая формулы (П.1.10), (П.1.13) и (П.1.20), находим, что

( ïðèõîä − óõîä )C%гл.+!=““.

= G G (П.1.22) G G G G = −c ( κ + σ ) f r ; Ω; t + cσ ∫∫ χ Ω′ → Ω f r ; Ω′; t d Ω′.

(

)

(

4π

) (

)

Подставляя (П.1.22) в уравнение (П.1.8), получаем G G ∂f r ; Ω; t G ∂f +Ω G = ∂r c∂t (П.1.23) G G G G G G = − ( κ + σ ) f r ; Ω; t + σ ∫∫ χ Ω′ → Ω f r ; Ω′; t d Ω′.

(

)

(

)

4π

(

) (

)

Это и есть уравнение для фазовой плотности фотонов с учетом поглощения и рассеяния.

205

Умножая теперь обе части равенства (П.1.23) на =ωc и учитыG G G G вая, что =ωcf r ; Ω; t = I(r ; Ω; t ) , получаем: G G ∂I r ; Ω; t G ∂I +Ω G = ∂r c∂t (П.1.24) G G G G G G = − ( κ + σ ) I r ; Ω; t + σ ∫∫ χ Ω′ → Ω I r ; Ω′; t d Ω′.

(

(

)

)

(

)

4π

(

) (

)

Это и есть классическое уравнение переноса для интенсивности излучения.

206

Приложение 2 Теорема единственности для плоского слоя вещества Важнейшей теоремой линейной теории переноса является теорема единственности. В самом общем виде она формулируется так: Интенсивность излучения в заданном объеме пространства V , ограниченным свободной поверхностью Σ V , единственным обраG G зом определяется начальным значением интенсивности I…=ч r ; Ω G G в объеме V , источниками QV r ; Ω; t внутри объема V и распреG G делением излучения IC=д rΣ ; Ω; t , падающего на поверхность Σ V

(

(

)

(

)

)

извне. Доказательство теоремы единственности в её общем виде для стратифицированных сред можно найти в многочисленных монографиях, посвященных теории распространения света, нейтронов и заряженных частиц. Для иллюстрации приведем доказательство этой теоремы в условиях плоской геометрии только для стационарного случая. Последнее тем более оправдано, поскольку, как было показано ранее, нестационарная задача распространения излучения в веществе формально может быть сведена к стационарной задаче. Рассмотрим плоский, однородный слой вещества L , внутри которого имеется произвольное распределение источников. В стационарном случае уравнение переноса для интенсивности света K I ( z; Ω ) в слое вещества, который ограничен свободными поверхностями z = 0 , z = L ,и граничные условия имеют вид: G ∂I z; Ω

(

) = − ( κ + σ) I

G

( z; Ω ) + ∂z G G G G +σ ∫∫ χ ( Ω′ → Ω ) I ( z; Ω′ ) d Ω′ + QV ( z; Ω ) ;

μ

4π

G I(z = 0; μ > 0, ϕ) = I↓ (z = 0; Ω)η ( μ ) ;

207

(П.2.1)

G I(z = L; μ < 0, ϕ) = I↑ (z = L; Ω)η ( −μ ) . (П.2.2) G G G Здесь μ = (ez , Ω) = cos θ , где ez – единичный орт вдоль оси z ; θ и ϕ – полярный и азимутальный углы единичного вектора скорости G фотона: Ω ( θ, ϕ ) . Если излучение распространяется в глубь вещества в сторону нижней границы z = L (нисходящее излучение), то значения полярного угла 0 ≤ θ < π / 2 , т.е. 0 < μ ≤ 1 . Излучению, распространяющемуся в сторону верхней границы z = 0 (восходящее излучение), соответствуют значения полярного угла π / 2 < θ < π , т.е. −1 ≤ μ < 0 (рис.П.2.1).

I ↑ (τ = 0; μ < 0) 0

τ=0 τL

G qΣ τ 0 ; Ω

(

)

τ0

θ

I ↓ (τ L ; μ > 0)

G Ω

τ

Рис. П.2.1. Схематическое изображение плоского слоя вещества

τL с располо-

qΣ на глубине τ0 . На рисунке условно изображены фотоны, выходящие из вещества через верхнюю поверхность τ = 0 и через нижнюю поверхность слоя τ = τL ( π / 2 < θ, μ < 0 ) ( θ < π / 2, μ > 0 ). Звездочкой отмечена точка поглощения фотона

женным внутри него плоским источником

208

Предположим, что уравнения (П.2.1), (П.2.2) имеют два различG G ных решения I1 z; Ω и I2 z; Ω : G ∂I1 z; Ω μ = − ( κ + σ ) I1 + ∂z (П.2.3a) G G G G +σ ∫∫ χ Ω′ → Ω I1 z; Ω′ d Ω′ + QV z; Ω ;

(

)

(

(

)

(

4π

)

) (

)

(

)

G G I1(z = 0) = I↓ (z = 0; Ω)η ( μ ) ; I1(z = L) = I↑ (z = L; Ω)η ( −μ ) .(П.2.3b) и G ∂I2 z; Ω μ = − ( κ + σ ) I2 + ∂z (П.2.4a) G G G G +σ ∫∫ χ Ω′ → Ω I2 z; Ω′ d Ω′ + QV z; Ω ;

(

4π

)

(

) (

)

(

)

G G I2 (z = 0) = I↓ (z = 0; Ω)η ( μ ) ; I2 (z = L) = I↑ (z = L; Ω)η ( −μ ) .(П.2.4b) G Рассмотрим функцию Ψ z; Ω , которая представляет собой раз-

(

)

ность величин I1 и I2 : G G G Ψ z; Ω = I1 z; Ω − I2 z; Ω .

(

)

(

)

(

)

(П.2.5)

Вычитая из уравнений (П.2.3) уравнения (П.2.4), получим: G ∂Ψ z; Ω G μ = − ( κ + σ ) Ψ z; Ω + ∂z G G G G +σ ∫∫ χ Ω′ → Ω Ψ z; Ω′ d Ω′;

(

4π

)

(

) (

( )

)

(П.2.6)

Ψ ( z = 0; μ > 0, ϕ ) = 0 , Ψ(z = L; μ < 0, ϕ) = 0 . (П.2.7) G Функция Ψ z; Ω удовлетворяет однородному (уже без источни-

(

)

ков) уравнению переноса (П.2.6) с нулевыми граничными условиями (П.2.7) на обеих поверхностях слоя вещества, но на половинном интервале углов на каждой из поверхностей: на поверхности z = 0 при μ > 0 , а на поверхности z = L при μ < 0 .

209

Очевидно, что однородная система уравнений (П.2.6), (П.2.7) G всегда имеет нулевое решение Ψ z; Ω = 0 при любом значении

(

)

−1 ≤ μ ≤ 1 . Нужно доказать, что кроме этого решения никаких G других не существует, т.е. что Ψ z; Ω ≡ 0 для любых значений G G μ . Это будет означать, что I1 z; Ω = I2 z; Ω . Следовательно, исG G ходное предположение о том, что I1 z; Ω и I2 z; Ω два разных

( )

(

(

) (

)

)

(

)

решения системы уравнений (П.2.1) и (П.2.2) необоснованно. В этом и состоит смысл теоремы единственности. Для доказательства умножим обе части уравнения (П.2.6) на веG личину Ψ z; Ω : G 2 G μ ∂Ψ z; Ω = − ( κ + σ ) Ψ2 z; Ω + ∂z 2 (П.2.8) G G G G G +σΨ z; Ω ∫∫ χ Ω′ → Ω Ψ z; Ω′ dΩ′.

(

)

(

(

)

)

( ) (

(

4π

Здесь учтено, что

) )

G G 2 G ∂Ψ z; Ω μ ∂Ψ z; Ω μΨ z; Ω = . ∂z 2 ∂z Проинтегрируем уравнение (П.2.8) сначала по всей толщине слоя. Учитывая граничные условия (П.2.7), будем иметь, что G L ∂Ψ2 z; Ω dz = Ψ2 ( z = L; μ; ϕ ) − Ψ 2 ( z = 0; μ; ϕ ) . (П.2.9) ∫ ∂ z 0

(

(

)

(

)

(

)

)

Вовсе нет никаких причин полагать, что величина в правой части равенства (П.2.9) равна нулю при любых значениях μ , поскольку в силу граничных условий (П.2.7) Ψ 2 ( z = L; μ ) = 0 только при μ < 0 , а Ψ 2 ( z = 0; μ ) = 0 , если μ > 0 .

210

Поэтому Ψ 2 ( z = L; μ; ϕ ) − Ψ 2 ( z = 0; μ; ϕ ) = 2 (П.2.10) ⎪⎧ Ψ ( z = L; μ; ϕ ) , е“л, μ > 0; =⎨ 2 ⎪⎩−Ψ ( z = 0; μ; ϕ ) , е“л, μ < 0. Отличие разности (П.2.10) от нуля связано с тем, что на границах слоя есть выходящее излучение, которое a`priori неизвестно и само должно быть определено в процессе решения задачи. Выражение (П.2.10) можно записать в виде G G Ψ 2 z = L; Ω − Ψ 2 z = 0; Ω = (П.2.11) G G = Ψ2 z = L; Ω η ( μ ) − Ψ2 z = 0; Ω η ( −μ ) .

(

)

(

(

)

)

(

)

Поэтому после интегрирования по толщине слоя, получим: L G G G μ 2 Ψ z = L; Ω − Ψ 2 z = 0; Ω = −κ ∫ dzΨ 2 z; Ω + 2 0

{ (

)

)}

(

(

)

(П.2.12) G G G G G G ⎫⎪ ⎧⎪ 2 +σ ∫ dz ⎨Ψ z; Ω ∫∫ χ Ω′ → Ω Ψ z; Ω′ d Ω′ − Ψ z; Ω ⎬. ⎪⎩ ⎪⎭ 0 4π Теперь проинтегрируем выражение (П.2.12) по всем направлениям G Ω . Получим следующее равенство: L G G G 1 2 2 d Ω μ Ψ z = L Ω − Ψ z = Ω = −κ dz ∫∫ d ΩΨ2 z; Ω + ; 0; ∫∫ ∫ 2 4π 0 4π L

(

)

{ (

(

)

) (

)

(

)}

(

)

(

)

L⎧ G G G G G G ⎫⎪ ⎪ + σ ∫ ⎨ ∫∫ d Ω ∫∫ χ Ω′ → Ω Ψ z; Ω′ Ψ z; Ω d Ω′ − ∫∫ d ΩΨ 2 z; Ω ⎬. ⎪⎭ 0⎪ 4π 4π ⎩4π (П.2.13) Рассмотрим левую часть равенства (П.2.13). Используя формулу (П.2.11), запишем: 1 d Ω μ Ψ2 ( z = L; μ < 0 ) − Ψ 2 ( z = 0; μ > 0 ) = ∫∫ 2 4π (П.2.14) 0 1 2π ⎪⎧1 2 ⎪⎫ 2 = ∫ d ϕ ⎨ ∫ Ψ ( z = L; μ; ϕ ) μdμ − ∫ Ψ ( z = 0; μ; ϕ ) μdμ ⎬ . 2 0 −1 ⎩⎪0 ⎭⎪

(

) (

) (

{

)

(

}

211

)

Сделав во втором интеграле в фигурных скобках замену переменной интернирования μ → −μ , запишем: 0

0

−1 1

1

− ∫ Ψ2 ( z = 0; μ; ϕ ) μdμ = − ∫ Ψ2 ( z = 0; −μ; ϕ ) μdμ = = ∫ Ψ2 ( z = 0; −μ; ϕ ) μdμ. 0

Теперь выражение (П.2.14) запишется так: 1 2 2 ∫∫ dΩ μ Ψ ( z = L; μ < 0 ) − Ψ ( z = 0; μ > 0 ) = 2 4π

{

}

(П.2.15)

1 2π 1 = ∫ d ϕ∫ μdμ Ψ2 ( z = L; μ; ϕ ) + Ψ 2 ( z = 0; −μ; ϕ ) . 2 0 0

{

}

Так как величина Ψ 2 ( z; μ,ϕ ) не отрицательна при любых значениях её аргументов ( z; μ,ϕ ) , то из (П.2.15) следует, что левая часть равенства (П.2.13) не отрицательна. Докажем, что правая часть равенства (П.2.13), наоборот, не положительна. В этом и есть суть доказательства теоремы единственности. Для доказательства воспользуемся очевидным неравенством: G G G G 2 ∫∫ dΩ ∫∫ d Ω′χ Ω′ → Ω ⎡⎣ Ψ z; Ω′ − Ψ z; Ω ⎤⎦ ≥ 0 . (П.2.16a) 4π

(

4π

) (

)

(

)

Возводя выражение в квадратных скобках в квадрат, перепишем неравенство (П.2.16a) в виде: G G 2 2 G G ⎧⎪Ψ z; Ω′ + Ψ z; Ω − ⎫⎪ ⎬ ≥ 0, G G ∫∫ d Ω ∫∫ dΩ′χ Ω′ → Ω ⎨ ⎪⎩−2Ψ z; Ω′ Ψ z; Ω ⎪⎭ 4π 4π т.е. G G G G 2 ∫∫ d Ω ∫∫ d Ω′χ Ω′ → Ω Ψ z; Ω′ Ψ z; Ω ≤

(

4π

4π

)

(

(

(

) (

){ (

)

) (

(

) (

)

)

)

)}

G G G G ≤ ∫∫ d Ω ∫∫ d Ω′χ Ω′ → Ω Ψ2 z; Ω′ + Ψ2 z; Ω . 4π

4π

(

)

(

(П.2.15b)

Учитывая условие нормировки для индикатрисы рассеяния

212

G

G

G

G

∫∫ dΩχ ( Ω′ → Ω ) = ∫∫ d Ω′χ ( Ω′ → Ω ) =1

4π

4π

можем записать, что G G G G 2 2 ∫∫ dΩ ∫∫ d Ω′χ Ω′ → Ω Ψ z; Ω′ = ∫∫ dΩ′Ψ z; Ω′ = 4π

4π

(

)

(

)

G = ∫∫ dΩΨ2 z; Ω , 4π

(

)

G

G

(

4π

G

)

G

2 2 ∫∫ dΩ ∫∫ d Ω′χ ( Ω′ → Ω ) Ψ ( z; Ω ) = ∫∫ dΩΨ ( z; Ω ) .

4π

4π

4π

G G В правой части первого равенства сделана замена Ω′ → Ω , d Ω′ → d Ω . Следовательно, G G G G 2 2 ∫∫ dΩ ∫∫ d Ω′χ Ω′ → Ω Ψ z; Ω′ + Ψ z; Ω = 4π

4π

){ (

(

)

(

)}

(П.2.17)

G = 2 ∫∫ d ΩΨ2 z; Ω . 4π

(

)

С учетом полученного равенства (П.2.17) неравенство (П.2.16b) принимает вид: G G G G G 2 ∫∫ dΩ ∫∫ dΩ′χ Ω′ → Ω Ψ z; Ω′ Ψ z; Ω ≤ ∫∫ dΩΨ z; Ω .(П.2.18) 4π

4π

(

) (

) (

)

(

4π

)

Таким образом, выражение в фигурных скобках в формуле (П.2.13) не положительно. Но тогда и вся правая часть выражения (П.2.13) тоже не положительна, даже в консервативной среде, когда κ = 0 . Поскольку левая часть равенства (П.2.13) не отрицательна, а правая часть того же равенства не положительна, то равенство (П.2.13) может иметь место только тогда, когда обе его части равны нулю, т.е. правая часть равенства (П.2.13) равна нулю: G ⎧− ( κ + σ ) Ψ 2 z; Ω + ⎫ L ⎪ G G G G G ⎪⎬ = 0 . (П.2.19) ∫ dz ∫∫ dΩ ⎨+σ χ Ω ′ ′ ′⎪ → Ω Ψ Ω Ψ Ω Ω z ; z ; d ⎪ ∫∫ 0 4π 4 π ⎩ ⎭ Поскольку толщина слоя L произвольна, то равенство (П.2.19) G G может быть выполнено только при условии, что Ψ r ; Ω ≡ 0 , т.е.

(

(

)

) (

) (

)

(

213

)

G G G G I1 r ; Ω ≡ I2 r ; Ω . Таким образом, теорема единственности доказана. Теорема единственности играет важную роль в линейной теории переноса. Если бы эта теорема не была доказана, нельзя было бы однозначно утверждать, что задание только падающего на поверхность излучения достаточно для определения интенсивности внутри объема V , хотя интуитивно это утверждение кажется очевидным. Например, можно было бы ожидать, что для решения уравнения переноса должно быть задано и выходящее излучение. На самом деле выходящее излучение само подлежит определению в процессе решения задачи и представляет основной интерес для широкого круга альбедных задачах теории переноса, так как во многих случаях именно выходящее из среды излучение регистрируется внешними фотоприемниками.

(

)

(

)

214

Приложение 3 Вычисление вероятности рассеяния на заданный угол при произвольном числе столкновений (актов упругого рассеяния) Если известна индикатриса рассеяния χ ( cos γ ) , то можно вычислить вероятность того, что фотон перейдет из какого-то состояния Ω0 в любое другое состояние Ω , испытав при этом ровно k упругих столкновений. Вероятность того, что фотон перейдет из состояния Ω0 в состояние Ω при одном столкновении ( k = 1) есть просто индикатриса рассеяния:

(

)

(

)

(

)

W1 Ω0 → Ω = χ Ω0 → Ω = χ Ω0 ⋅ Ω .

(П.3.1)

Вероятность того, что фотон перейдет из состояния Ω0 в состояние Ω при двух столкновениях ( k = 2) по самому смыслу индикатрисы, как вероятности однократного рассеяния, будет определяться выражением:

(

)

(

) (

)

W2 Ω0 → Ω = ∫∫ χ Ω0 → Ω1 χ Ω1 → Ω dΩ1 . 4π

(П.3.2)

Интегрирование в последней формуле ведется по всем промежуточным состояниям Ω1 в процессе двукратного рассеяния: Ω0 → Ω1 → Ω . Для вычисления интеграла в формуле (П.3.2) воспользуемся разложением индикатрисы рассеяния в ряд по полиномам Лежандра (2.1.4): ∞ 2l + 1 (П.3.3) χ Ωi → Ωi +1 = ∑ χl Pl Ωi Ωi +1 . l = 0 4π

(

)

(

215

)

Подставляя выражение (П.3.3) в формулу (П.3.2), получим:

(

)

W2 Ω0 → Ω =

. (П.3.4) 2l + 1 2m + 1 χl χm ∫∫ Pl Ω0Ω1 Pm Ω1Ω d Ω1 4π l , m = 0 4π 4π Для вычисления интеграла в формуле (П.3.4) воспользуемся обобщенным свойством ортогональности полиномов Лежандра, которое непосредственно следует из теоремы сложения (2.1.26): ∫∫ Pl Ω i −1Ωi Pm Ω i Ω i +1 dΩi = ∞

(

= ∑

(

4π

)

)

(

(

)

)

(П.3.5) 4π = Pl Ωi −1Ωi +1 δl,m . 2m + 1 Подставляя (П.3.5) в формулу (П.3.4) находим, что ∞ 2l + 1 (П.3.6) W2 Ω0 → Ω = ∑ χ2l Pl Ω0Ω . l = 0 4π Интегрируя полученное выражение по всем направлениям распространения фотона после 2-кратного рассеяния, получим: ∞ 2l + 1 2 ∫∫ W2 Ω0 → Ω dΩ = ∑ 4π χl ∫∫ Pl Ω0Ω dΩ = 1 . (П.3.7) l =0 4π 4π Здесь учтено свойство ортогональности полиномов Лежандра (2.1.5) и условие (2.1.11) нормировки для индикатрисы рассеяния

(

(

)

)

(

(

)

)

(

π

)

4π

∫∫ Pl ( Ω0Ω ) dΩ = 2π ∫ Pl ( cos γ ) sin γd γ = 2l + 1 δl0 и

4π

Формула

(

χ0 = 1 .

0

(П.3.7)

W2 Ω0 → Ω

)

подтверждает

тот

факт,

что

величина

действительно является вероятностью перехода

фотона Ω0 → Ω при двух актах упругого рассеяния. Теперь рассмотрим общий случай k столкновений. Понятно,

(

)

что вероятность перехода Wk Ω0 → Ω при k упругих столкновениях будет выглядеть так:

216

(

)

Wk Ω0 → Ω =

(

) (

)

(

)

= ∫∫ d Ω1 … ∫∫ d Ωk −1 χ Ω0 → Ω1 χ Ω1 → Ω2 … χ Ωk −1 → Ω . 4π

4π

k

(П.3.8) Используя разложение индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра (П.3.3), рассмотрим промежуточный интеграл ∫∫ χ Ω i −1 → Ω i χ Ω i → Ω i +1 dΩi = 4π

(

) (

)

∞

2l + 1 2m + 1 = ∑ χl χ m ∫∫ Pl Ωi −1Ωi Pm Ω i Ωi +1 dΩi . 4π l , m = 0 4π 4π

(

)

(

)

(П.3.9)

Для вычисления интеграла в формуле (П.3.9) воспользуемся обобщенным свойством ортогональности полиномов Лежандра (П.3.5). Подставляя (П.3.5) в формулу (П.3.9) находим, что ∫∫ χ Ω i −1 → Ω i χ Ωi → Ωi +1 dΩ i =

(

4π

) (

∞

)

(П.3.10)

2l + 1 2 χl Pl Ω i −1Ω i +1 . l = 0 4π

(

= ∑

)

Используя формулу (П.3.10) все интегралы по углам dΩ1 … dΩk −1 в (П.3.8) последовательно вычисляются. В результате получаем: ∞ 2l + 1 Wk Ω0 → Ω = ∑ ( χl )k Pl Ω0Ω = l = 0 4π (П.3.11) ∞ 2l + 1 k = ∑ ( χl ) Pl cos Θ!=“ . l = 0 4π

(

)

(

(

)

)

Здесь Θ!=“ – полный угол рассеяния между произвольном начальным направлением распространения фотона Ω0 ( μ0 ; ϕ0 ) и его конечным направлением распространения Ω ( μ; ϕ ) : cos Θ!=“ = μ0μ +

(1 − μ20 ) (1 − μ2 ) cos(ϕ0 − ϕ) .

(П.3.12)

Поскольку χ0 = 1 и P0 ( cos θsc ) = 1 , то формулу (П.3.11) удобно записать в виде

217

∞ 2l + 1 ⎧1 ⎫ Wk Ω0 → Ω = ⎨ + ∑ ( χl )k Pl cos Θ!=“ ⎬ . (П.3.13) ⎩ 4π l =1 4π ⎭ Формулы (П.3.11), (П.3.13) являются абсолютно точными и справедливы при любом законе однократного рассеяния χ ( cos γ )

(

(

)

)

для всех значений Θ!=“ . Интегрируя общее выражение (П.3.11) по всем направлениям распространения фотона после k -кратного рассеяния, аналогично тому, как это было сделано при получении формулы (П.3.7), полу-

(

)

чим, что, как и должно быть, величина Wk Ω0 → Ω удовлетворяет условию нормировки

∫∫ Wk ( Ω0 → Ω ) dΩ = 1 .

4π

(П.3.14)

(

)

В качестве иллюстрации вычислим величину Wk Ω0 → Ω для двух простейших индикатрис: изотропной и линейной. При изотропном рассеянии в разложении (П.3.3) отличен от нуля только один коэффициент χ0 = 1 , т.е. все χl = 0 для l = 1, 2, ... . Поэтому сумма по l в формуле (П.3.13) будет отсутствовать. В результате находим, что ( ,ƒ2! ) Ω → Ω = 1 . Wk (П.3.15) 0 4π Таким образом, при изотропном рассеянии величина ( ,ƒ2! ) cos Θ Wk !=“ вообще не зависит ни от числа столкновений

(

(

)

)

k , ни от угла рассеяния Θ!=“ . Для линейной индикатрисы отличны от нуля два коэффициента: χ0 = 1 и χ1 = cos γ : χ(

л,… )

1 (1 + 3χ1 cos γ ) , (0 ≤ χ1 ≤ 1 / 3 ) . (П.3.16) 4π В этом случае в сумме по l в формуле (П.3.13) остается одно слагаемое с l = 1. Поэтому выражение для величины ëèí ) ( Wk Ω0 → Ω будет выглядеть так:

(

(cos γ ) =

)

218

{

}

( л,… ) Ω → Ω = 1 1 + 3 χ k P (cos Θ ) . (П.3.17) Wk ( 1) 1 0 !=“ 4π Поскольку χ1 = cos γ , то для линейного закона однократного рассеяния получаем ( л,… ) ( л,… ) Wk Ω0 → Ω = Wk cos Θ!=“ = (П.3.18) 1 k = 1 + 3 cos γ cos Θ!=“ . 4π Из формулы (П.3.18) видно, что при линейном законе однократ( л,… ) Ω → Ω уже существенно заного рассеяния величина Wk 0

(

)

{

(

(

)

)

}

(

)

висит как от числа столкновений k , так и от угла рассеяния Θ!=“ (П.3.12). Если k >> 1 , то cos γ

k

→ 0 и вероятность рассея-

( л,… ) перестает зависеть от угла рассеяния Θ!=“ . Это ознания Wk чает, что при большом числе столкновений в консервативной среде ( κ = 0 ) , наступает режим изотропизации. Это утверждение справедливо при любом законе однократного рассеяния χ(cos γ ) , так как ( χl ) → 0 при k → ∞ , для l = 1,2,3 …. Поэтому сумма по l в формуле (П.3.13) зануляется и получаем, что 1 Wk →∞ Ω0 → Ω → . (П.3.19) 4π k

(

)

219

Приложение 4

Теорема оптической взаимности Функции Грина уравнения переноса Важную роль при решении уравнения переноса играют фундаментальные решения, или функции Грина – “объемные” и “поверхностные”. Для произвольной области V решение уравнения переноса (1.2.20) при произвольном распределении объемных исG G точников QV r ; Ω, t и произвольном падающем на его поверхG G ность световым потоком IC=д rΣ ; Ω; t (1.3.6) (начальное световое

(

)

(

)

поле (1.3.5) в объеме V отсутствует): G G G ∂I 1 ∂I r ; Ω; t +Ω G = ∂t ∂r c (П.4.1) G G G G G G = −εI + σ ∫∫ χ Ω′ → Ω I r ; Ω′; t d Ω′ + QV r ; Ω; t .

(

)

4π

(

) (

)

(

)

G G G G G G I rΣ ; Ω; t = IC=д rΣ ; Ω; t , если Ω, nΣ < 0 , (П.4.2) G ( nΣ – единичный вектор внешней нормали к поверхности вещества, ε = κ + σ ), можно выразить через эти две функции Грина. Однако, как отмечалось ранее, падающее на поверхность излучение можно всегда представить в виде эквивалентного поверхностного источника фотонов (1.3.7) GG G G G G QΣ rΣ ; Ω; t = − ΩnΣ IC=д (rΣ ; Ω; t )δ ( x ) ,

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

представляющего собой частный случай объемных источников ( x G – расстояние от данной точки поверхности rΣ по нормали к поG верхности вдоль направления −Ω ). Поэтому и поверхностная функция Грина связана простым соотношением с объемной функцией Грина. Таким образом, для решения задач в области V , необходима лишь одна функция Грина, а не две. Объемной функцией Грина G G G G G G G G G r0 , Ω0 , t0 → r , Ω, t = G r , Ω, t r0 , Ω0 , t0

(

)

220

(

)

нестационарного уравнения переноса (П.4.1) называется решение этого уравнения для единичного мгновенного ( δ -импульсного) моG нонаправленного точечного источника, расположенного в точке r0 G и испускающего фотоны в произвольном направлении Ω0 в момент времени t0 :

G G G G Q* V = δ ( r − r0 ) δ Ω − Ω0 δ ( t − t0 ) , (П.4.3) при нулевых граничных условиях. Таким образом, объемная функция Грина является решением уравнения (П.4.1) с объемным источником (П.4.3), удовлетворяющая нулевым граничным условиям G на поверхности вещества ( rΣ ∈ Σ V ) : G G G G G G G G r = rΣ ; Ω, t r0 , Ω0 , t0 = 0 , если Ω, nΣ < 0 . (П.4.4)

(

(

)

)

(

)

Тогда, в силу линейности уравнения переноса (П.4.1) его решение при произвольном распределении объемных источников G G QV r0 , Ω0 , t0 внутри объема V и отсутствующем падающем

(

)

излучении, запишется так: G G I r ; Ω; t =

(

)

(П.4.5) G ∞ G G G G G G = ∫∫∫ dV0 ∫∫ d Ω0 ∫ dt0G r , Ω, t r0 , Ω0 , t0 QV r0 , Ω0 , t0 . V

4π

−∞

(

) (

)

G G Полагая в (П.4.5) r = rΣ в силу граничного условия (П.4.4) для G G G G функции Грина, будем иметь, что I rΣ ; Ω; t = 0 , если Ω, nΣ < 0 .

(

)

(

)

То есть, как и должно быть, на поверхности объема Σ V отлично от G G нуля только выходящее из объема излучение, когда Ω, nΣ > 0 , а

(

)

падающее излучение отсутсвует. Поскольку нестационарное уравнение переноса формально в большинстве случаев можно свести к стационарному уравнению (см. (1.4.9), (1.4.10)), то в дальнейшем будем рассматривать только стационарный случай, когда плотность объемных источников и ин-

221

G G тенсивность излучения не зависят от времени: QV = QV r ; Ω и G G I = I r ; Ω . В этом случае функция Грина G G G G G G G G G r0 , Ω0 → r , Ω = G r , Ω r0 , Ω0 удовлетворяет уравнениям

(

(

(

)

(

)

)

)

G ∂G Ω G + εG = ∂r G G G G G G G G G G = σ ∫∫ χ Ω′ → Ω G r , Ω′ r0 , Ω0 dΩ′ + δ ( r − r0 ) δ Ω − Ω0 , 4π

) (

(

)

(

)

(П.4.6) G G G G G G G G G r = rΣ ; Ω r0 , Ω0 = 0 , ( rΣ ∈ Σ V ) , если Ω, nΣ < 0 . (П.4.7) G Здесь rΣ – радиус-вектор точки наблюдения на поверхности вещеG ства: rΣ ∈ Σ V . В настоящем пособии рассматривается в основном проблема распространения излучения в плоских средах. Для случая плоской G геометрии, когда интенсивность излучения I z; Ω зависит только

(

)

(

(

)

от координаты z , функция Грина G G G G G z0 , Ω0 → z, Ω = G z, Ω z0 , Ω0

(

(

)

)

)

будет удовлетворять уравнению ∂G μ + εG = ∂z G G G G G G = σ ∫∫ χ Ω′ → Ω G z, Ω′ z0 , Ω0 d Ω′ + δ ( z − z0 ) δ Ω − Ω0 . 4π

(

) (

)

(

)

(П.4.8) G G G Здесь μ = (ez , Ω) = cos θ , где ez – единичный орт вдоль оси z направленный в глубь среды; θ и ϕ – полярный и азимутальный угG лы единичного вектора скорости фотона Ω ( θ, ϕ ) : Ωx = sin θ cos ϕ ;

Ωy = sin θ sin ϕ;

Ωz = cos θ . (П.4.9)

Если излучение распространяется в глубь вещества z = L (нисходящее излучение), то 0 ≤ θ < π / 2 , т.е. 0 < μ ≤ 1 . Излучению, рас-

222

пространяющемуся в сторону верхней границы z = 0 (восходящее излучение), соответствуют значения π / 2 < θ < π , т.е. −1 ≤ μ < 0 . Азимутальный угол меняется в пределах 0 ≤ ϕ ≤ 2π ( −π ≤ ϕ ≤ π ) . G G Величина Q*V = δ ( z − z0 ) δ Ω − Ω0 есть плотность источника,

(

)

расположенного в плоскости z0 внутри слоя L ( 0 < z0 < L ) и исG пускающего фотоны в произвольном направлении Ω0 (рис. П.4.1).

I↑ ( z = 0; μ < 0 )

0

z=0 *

L

z0

QV* G Ω0

z

I↓ ( L; μ > 0 )

Рис. П.4.1. Схематическое изображение слоя вещества L с плоским источником Q*V на глубине z0 . Условно изображены фотоны, выходящие через верхнюю поверхность

z=0

(π / 2 < θ)

и через нижнюю поверхность слоя

z=L

( θ < π / 2) . Звездочкой отмечена точка поглощения фотона Граничные условия для функции Грина на поверхностях слоя вещества толщиной L , при отсутствии падающего излучения, будут иметь вид, аналогичный (П.4.7):

223

G G z = 0; μ > 0, ϕ z0 , Ω0 = 0 , G G z = L; μ < 0, ϕ z0 , Ω0 = 0 .

(

)

(

)

(П.4.10)

Соотношение взаимности в слое вещества конечной толщины При любом законе однократного рассеяния индикатриса рассеяния фотонов инвариантна относительно обращения времени, т.е. G G G G χ Ω′ → Ω = χ −Ω → −Ω′ . (П.4.11)

(

)

(

)

Например, при рассеянии на сферических рассеивающих центрах индикатриса рассеяния зависит только от косинуса угла однократного рассеяния: G G χ Ω′ → Ω = χ ( μ′ → μ; ϕ′ − ϕ ) = χ ( cos γ ) ; (П.4.12) G G cos γ = Ω′, Ω = μ′μ + 1 − μ′2 1 − μ2 cos ( ϕ′ − ϕ ) . (П.4.13) G G В соответствие с формулами (П.4.9), замена Ω → −Ω , т.е. Ωx → −Ωx , Ωy → −Ωy , Ωz → −Ωz , означает, что

(

)

(

)

θ → π − θ , т.е. μ → −μ ; ϕ → π + ϕ. (П.4.14) С учетом (П.4.14) из (П.4.13) видно, что в этом случае условие (П.4.11) выполняется. При выполнении условия инвариантности (П.4.11), можно получить ряд соотношений для решения уравнения (П.4.1) при различных источниках и граничных условий. Эти соотношения обычно называются соотношениями взаимности, которые отражают свойство инвариантности процесса рассеяния по отношению к обращению времени. Соотношения взаимности носят общий характер и позволяют в ряде случаев сводить решение более сложных задач к более простым. Кроме того, эти соотношения незаменимы при тестировании различных приближенных методов решения – все такие решения не должны противоречить соотношениям взаимности, что равнозначно утверждению, что полученные решения не должны противоречить фундаментальному свойству инвариантности по отношению к обращению времени.

224

В монографии Кейза доказывается теорема оптической взаимности для стационарного уравнения переноса в общем случае, для G G интенсивности I r ; Ω . Поскольку в настоящем пособии рассмат-

(

)

риваются в основном задачи в условиях плоской геометрии, то приведем доказательство этой теоремы исходя из уравнения переG носа для интенсивности I z; Ω , которое в терминах оптической

(

)

глубины τ = εz имеет вид (3.1.4): G G G G G G ∂I(τ; Ω) μ = −I(τ; Ω) + Λ ∫∫ χ Ω′ → Ω I τ; Ω′ dΩ′ + q V (τ; Ω) , ∂τ 4π K ⎛ QV ( τ; Ω ) ⎞ ⎜ qV = ⎟. ⎜ ⎟ ε ⎝ ⎠ G 1 Пусть I ( ) τ; Ω – решение этого уравнения в области глубин

(

(

) (

)

)

0 < τ < τL , при наличии как источников K K (1) (1) q V ( τ; Ω ) = QV ( τ; Ω ) / ε , так и падающего внешнего излучения

(1) : IC=д μ

G 1 ∂I ( ) τ; Ω

(

)=

∂τ (П.4.15) G G (1) G G 1) 1) ( ( = −I + Λ ∫∫ χ ( Ω′ → Ω ) I ( τ; Ω′ ) dΩ′ + q V ( τ; Ω ) ; 4π

⎧ I (1) ( τ = 0; μ > 0, ϕ ) ; G ⎪ ïàä (П.4.16a) ïàä τΣ ; Ω = ⎨ (1) ⎪⎩Iïàä ( τ = τL ; μ < 0, ϕ ) . Здесь τL = εL – оптическая толщина однородного слоя вещества L , τΣ – значение τ на поверхностях слоя, т.е при τ = 0 и τ = τL . Граничное условие (П.4.16a) удобно записать в виде

(1) I

(

)

225

G G (1) τ ; Ω (1) τ = 0; Ω IC=д = η ( μ ) IC=д + Σ G (1) τ = τ ; Ω +η ( −μ ) IC=д . L

(

)

(

(

)

(П.4.16b)

)

Здесь η ( μ ) – единичная функция Хэвисайда. G 2 Пусть теперь I ( ) τ; Ω есть решение уравнения переноса с той

(

)

же индикатрисой рассеяния, но с другим распределением плотноK K ( 2) (2) сти объемных источников q V ( τ; Ω ) = QV ( τ; Ω ) / ε и падающего G ( 2) = I ( 2 ) τ ; Ω : внешнего излучения IC=д Σ G 2 ∂I ( ) τ; Ω μ = ∂τ (П.4.17) G G ( 2) G G 2) 2) ( ( = −I + Λ ∫∫ χ Ω′ → Ω I τ; Ω′ d Ω′ + q V τ; Ω ;

(

(

)

)

4π

(

)

(

)

(

)

⎧ I (2) ( τ = 0; μ > 0, ϕ ) ; G ⎪ C=д 2) ( IC=д ( τΣ ; Ω ) = ⎨ (2) τ = τ ; μ < 0, ϕ ; ⎪⎩IC=д ( ) L

или

(П.4.18a)

G G (2) τ ; Ω (2) τ = 0; Ω IC=д = η ( μ ) IC=д + Σ (П.4.18b) G ( 2) τ = τ ; Ω +η ( −μ ) IC=д . L G 2 Рассмотрим функцию I ( ) τ; −Ω , уравнение для которой полуG G чается из уравнений (П.4.17), (П.4.18) заменой Ω → −Ω , с одноG G временной заменой переменной интегрирования Ω′ → −Ω′ . ПоG G G G скольку в соответствии с (П.4.11) χ −Ω′ → −Ω = χ Ω′ → Ω , из

(

)

(

( (

)

)

)

(

)

(

)

уравнений (П.4.17), (П.4.18) получаем уравнения для величины G 2 I ( ) τ; −Ω :

(

)

226

−μ

G 2 ∂I ( ) τ; −Ω

(

)=

∂τ

G G 2 G G 2 ( 2) = −I ( ) + Λ ∫∫ χ ( Ω′ → Ω ) I ( ) ( τ; −Ω′ ) d Ω′ + q V ( τ; −Ω ) ;

(П.4.19)

4π

⎧ I (2) ( τ = 0; μ → −μ < 0, ϕ + π ) ; G ⎪ C=д 2) ( IC=д ( τΣ ; −Ω ) = ⎨ (2) τ = τ ; μ > 0, ϕ + π ; ⎪⎩IC=д ( ) L

или

(П.4.20a)

G G ( 2) τ ; −Ω (2) τ = 0; −Ω IC=д = η ( −μ ) IC=д + Σ (П.4.20b) G 2) ( +η ( μ ) IC=д τ = τL ; −Ω . G 2 Умножим уравнение (П.4.15) на I ( ) τ; −Ω , а уравнение G 1 (П.4.19) на I ( ) τ; Ω и вычтем из первого уравнения второе. Тогда

(

)

(

(

)

)

(

(

получим:

{

)

)

)}

G 2 G ∂ (1) I τ; Ω I ( ) τ; −Ω = ∂τ G ( 2) G ⎧ (1) τ; Ω ′ I τ; −Ω − ⎫⎪ G G ⎪I = Λ ∫∫ d Ω′χ Ω′ → Ω ⎨ G G ⎬ + (П.4.21) ⎪ −I (2) τ; −Ω′ I (1) τ; Ω ⎪ 4π ⎩ ⎭ G G G G 1 2 2 ( ) τ; Ω − I (1) τ; Ω q ( ) τ; −Ω . + I ( ) τ; −Ω q

μ

(

)

(

(

{

(

(

)

)

V

)

(

(

)

(

(

)

) ( ) V (

)

)}

Проинтегрируем равенство (П.4.21) по всей толщине слоя τL и по G всем направлениям Ω . Поскольку τL G ( 2) G ∂ (1) ∫ ∂τ I τ; Ω I τ; −Ω d τ = 0 G G G 2 G 1 2 1 = I ( ) τL ; Ω I ( ) τL ; −Ω − I ( ) τ = 0; Ω I ( ) τ = 0; −Ω ,

{

(

)

(

(

)

)}

(

)

(

то получим равенство

227

)

(

)

{

G

G

G

G

}

(1) ( 2) (1) ( 2) ∫∫ dΩ μ I ( τL ; Ω ) I ( τL ; −Ω ) − I (0; Ω ) I ( 0; −Ω ) =

4π

G ( 2) G ⎧ (1) τ; Ω ′ I τ; −Ω − ⎫⎪ G G ⎪I (П.4.22) = Λ ∫ d τ ∫∫ d Ω ∫∫ d Ω′χ Ω′ → Ω ⎨ G G ⎬+ ⎪ −I (2) τ; −Ω′ I (1) τ; Ω ⎪ 0 4π 4π ⎩ ⎭ τL G G G G 2 1 (1) ( 2) + ∫ d τ ∫∫ d Ω I ( ) τ; −Ω q V τ; Ω − I ( ) τ; Ω q V τ; −Ω . τL

0

(

4π

{

(

(

)

)

(

)

(

(

)

(

)

)

(

)

(

)

)}

Первый интеграл в правой части формулы (П.4.22) равен нулю, как разность двух одинаковых интегралов. Последнее очевидно, если во G G втором слагаемом в фигурных скобках переобозначить Ω → Ω′ , G G G G G G Ω′ → Ω и учесть, что χ Ω → Ω′ = χ Ω′ → Ω . Тогда G G 1 G 2 G χ Ω′ → Ω I ( ) τ; Ω I ( ) τ; −Ω′ → G G 1 G G 2 → χ Ω′ → Ω I ( ) τ; Ω′ I ( ) τ; −Ω

(

(

)

)

(

(

(

)

)

(

) )

(

)

(

)

С учетом этого обстоятельства, выражение (П.4.22) будет выглядеть так: G (2 ) G ⎧I (1) τ = τ ; Ω τ −Ω I ; ( ) ( ) − ⎫⎪ L L ⎪ Ω μ d ⎨ ∫∫ G G ⎬= ⎪ −I (1) ( τ = 0; Ω ) I (2) ( τ = 0; −Ω ) ⎪ 4π (П.4.23) ⎩ ⎭ τL G (1) G G (2) G 2 1 = ∫ d τ ∫∫ dΩ I ( ) ( τ; −Ω ) q V ( τ; Ω ) − I ( ) ( τ; Ω ) q V ( τ; −Ω ) . 0

4π

{

}

G 1 Величина I ( ) τ = 0; Ω в формуле (П.4.23) есть полная интенсив-

(

)

ность излучения на поверхности вещества, которая включает в себя 1 как заданное падающее излучение I ( ) τ = 0; μ > 0, ϕ , так и выC=д

(1) ↑

ходящее из среды излучение I

(

)

( τ = 0; μ < 0, ϕ ) .

Переходя к обычной глубине z , с учетом того, что G G i) ( (i) q V ( τ; Ω ) d τ = QV ( z; Ω ) dz ( i = 1,2 ) , перепишем (П.4.23) в виде

228

G ( 2) G ⎧I (1) z = L; Ω I z = L; −Ω − ⎫⎪ ⎪ ∫∫ dΩ μ ⎨ (1) G ( 2) G ⎬= ⎪ −I 4π z = 0; Ω I z = 0; −Ω ⎪ (П.4.24) ⎩ ⎭ L G (1) G G (2) G 2 1 = ∫ dz ∫∫ d Ω I ( ) z; −Ω QV z; Ω − I ( ) z; Ω QV z; −Ω .

(

)

(

{

4π

0

(

)

(

)

) )

(

(

)

(

)

(

)}

Отличительной чертой полученного основного тождества является то, что в него не входят оптические характеристики среды. СоG 1 отношение (П.4.23) связывает только функции I ( ) τ; Ω и

(

)

G 2 I ( ) τ; −Ω , которые являются решениями уравнений (П.4.15) и

(

)

(П.4.19), соответственно, при любых индикатрисах рассеяния и вероятности выживания кванта. Формула (П.4.24) является основным соотношением, выражающим принцип оптической взаимности для слоя вещества τL . Соотношения взаимности в полубесконечной среде Положим в (П.4.24) τL → ∞ . Поскольку G 2 G 1 I ( ) τL → ∞; Ω I ( ) τL → ∞; −Ω = 0 , получаем основное тожде-

(

)

(

)

ство, выражающее принцип оптической взаимности для полубесконечной среды ( 0 ≤ τ < ∞ ) : G 2 G 1 − d Ω μI ( ) τ = 0; Ω I ( ) τ = 0; −Ω =

(

∫∫

4π ∞

)

(

{

)

}

G (1) G G ( 2) G 2 1 = ∫ d τ ∫∫ dΩ I ( ) ( τ; −Ω ) q V ( τ; Ω ) − I ( ) ( τ; Ω ) q V ( τ; −Ω ) . 0

4π

(П.4.25)

Естественно, предполагается сходимость интеграла по τ , что будет иметь место, если источники занимают ограниченную область пространства в полубесконечном слое вещества. Попутно заметим, что наиболее просто основное тождество (П.4.23) выглядит для бесконечной среды ( ∞ < τ < ∞ ) . Заменяя в (П.4.25)

229

G 2 G G ( 2) G 1 (1) τ → −∞; Ω I ( ) τ = 0; Ω I ( ) τ = 0; −Ω → I∞ I∞ τ → −∞; −Ω , G 2 G 1 и, учитывая, что I ( ) τ → −∞; Ω I ( ) τ → −∞; −Ω = 0 , получаем:

(

)

(

)

(

(

∞

)

)

(

∞

(

)

)

G (1) G ⎧I (2) τ; −Ω q V τ; Ω − ⎫⎪ ⎪∞ . ∫ d τ ∫∫ d Ω ⎨ (1) G (2) G ⎬≡0 ⎪ ⎪ 0 4π −I τ; Ω q V τ; −Ω ⎩ ∞ ⎭

(

∞

) )

(

( (

)

(П.4.26)

)

Вернемся к тождеству (П.4.25) для полубесконечной среды. РасG 2 G 1 смотрим произведение I ( ) τ = 0; Ω I ( ) τ = 0; −Ω . Поскольку

(

)

(

)

G G 1 (1) τ = 0; Ω I ( ) τ = 0; Ω = η ( μ ) IC=д + G (1) τ = 0; Ω +η ( −μ ) I , ↑ G G 2 (2) τ = 0; −Ω I ( ) τ = 0; −Ω = η ( −μ ) IC=д + G (2) τ = 0; −Ω +η ( μ ) I ,

(

) ( )

(

↑

то

(

)

)

(

(

)

)

(П.4.27a)

(П.4.27b)

G 2 G 1 I ( ) τ = 0; Ω I ( ) τ = 0; −Ω = G ( 2) G (1) τ = 0; Ω I = η ( μ ) IC=д τ = 0; −Ω + ↑ G ( 2) G (1) τ = 0; Ω IC=д τ = 0; −Ω . +η ( −μ ) I

(

)

↑

(

( (

)

) )

( (

) )

(П.4.28)

При получении (П.4.28) учтено, что η ( μ ) η ( −μ ) = 0 . Теперь основное тождество (П.4.25) в полубесконечной среде запишется так: G ( 2) G ⎧η ( μ ) I (1) 0; Ω −Ω I 0; ( ) ( ) + ⎫⎪ ïàä ⎪ ↑ ∫∫ dΩ μ ⎨ G (2 ) G ⎬= ⎪+η ( −μ ) I (1) ( 0; Ω ) Iïàä 4π −Ω 0; ( )⎪⎭ (П.4.29) ↑ ⎩

{

)}

∞ G (1) G G ( 2) G 2 1 = − ∫ d τ ∫∫ d Ω I ( ) τ; −Ω q V τ; Ω − I ( ) τ; Ω q V τ; −Ω . 0

4π

(

)

(

)

(

)

(

1 2 Применим соотношение (П.4.29) к случаю, когда I ( ) и I ( ) являются функциями Грина уравнения переноса:

230

G G G G 1 1 1 I ( ) = G ( ) τ1; Ω1 → τ; Ω = G ( ) τ; Ω τ1; Ω1 ; G G G G 2 2 2 I ( ) = G ( ) τ2 ; Ω2 → τ; Ω = G ( ) τ; Ω τ2 ; Ω2 .

( (

( (

) )

) )

(П.4.30) (П.4.31)

Первая функция Грина определяет интенсивность излучения на G глубине τ в направлении Ω от плоского мононаправленного источника, расположенного в плоскости τ1 и испускающего фотоны в G G G G (1) направлении Ω1 , т.е., когда q V τ; Ω = δ ( τ − τ1 ) δ Ω − Ω1 . Вто-

(

)

(

)

рая функция Грина определяет интенсивность излучения в плоскоG сти τ в направлении Ω от плоского мононаправленного источника, расположенного в плоскости τ2 и испускающего фотоны в направG G G G ( 2) лении Ω2 , т.е., когда q V τ; Ω = δ ( τ − τ2 ) δ Ω − Ω2 . Каждая из

(

)

(

)

двух функций Грина удовлетворяет уравнению и граничному условию для плоской геометрии, аналогичным (П.4.1) и (П.4.2): i G G G G ∂G ( ) i i μ = −G ( ) + Λ ∫∫ d Ω′χ Ω′ → Ω G ( ) τ, Ω′ τi , Ωi + ∂τ (П.4.32) 4π G G +δ ( τ − τi ) δ Ω − Ω i ; G i G ( ) τ = 0; μ, ϕ τi , Ω i = 0, μ > 0; ( i = 1,2) . (П.4.33) G G G G 1 2 Подставим значения G ( ) τ; Ω τ1 ; Ω1 и G ( ) τ; Ω τ2 ; Ω2 в основ-

(

(

(

)

)

)

(

)

(

)

(

)

ное соотношение (П.4.29). Поскольку в соответствии с (П.4.33) на поверхности вещества τ = 0 падающее излучение отсутствует, т.е. G G (1) τ = 0; μ τ ; Ω (2) τ = 0; μ → −μ τ ; Ω G 1 1 =0 и G 2 2 = 0 , то ле↓

(

)

↓

(

)

вая часть равенства (П.4.29) равна нулю. Поэтому основное тождество (П.4.29) принимает вид G G G (2) τ; −Ω ⎧q (1) τ; Ω ⎫ G ; τ Ω ∞ 2 2 −⎪ ⎪ V ∫ d τ ∫∫ dΩ ⎨ (2) G G G ⎬ = 0 . (П.4.34) ⎪ −q V τ; −Ω G (1) τ; Ω τ1; Ω1 ⎪ 0 4π ⎩ ⎭

(

(

)

(

)

231

)

(

)

Подставляя сюда выражения для точечных источников G G G (1) q V τ; Ω = δ ( τ − τ1 ) δ Ω − Ω1

(

и

)

(

)

G G G ( 2) q V τ; −Ω = δ ( τ − τ2 ) δ Ω + Ω2 , G после интегрирования по τ и Ω получим: G G G G 2 1 G ( ) τ2 ; Ω2 → τ1; −Ω1 = G ( ) τ1 ; Ω1 → τ2 ; −Ω2 . (П.4.35) G G Если в выражении (П.4.35) заменить Ω2 на −Ω2 , то равенство (П.4.35) запишется так: G G G G 1 2 G ( ) τ ; Ω → τ ; Ω = G ( ) τ ; −Ω → τ ; −Ω . (П.4.36)

(

)

(

(

(1

1

2

2

)

(

)

(

)

)

2

2

1

1

)

Соотношение (П.4.36) представляет собой основную теорему взаимности для односкоростных задач теории переноса в условиях плоской геометрии. Физический смысл соотношения (П.4.36) состоит в следующем. Яркость света (интенсивность излучения), регистрируемая приемником в некоторой плоскости τ2 в направлеG нии Ω2 от плоского мононаправленного источника (единичной

мощности), расположенного в плоскости τ1 и испускающего фоG тоны в направлении Ω1 (рис.П.4.2), равна яркости света от плоского мононаправленного источника, расположенного в плоскости τ2 , G излучающего в направлении −Ω2 , регистрируемая приемником в G плоскости τ1 в направлении −Ω1 (рис.П.4.3). Другими словами, интенсивность излучения, регистрируемая приемником, не изменится, если плоские мононаправленные источник и приемник поменять местами.

232

0

q V(1)

τ1

источник

G Ω1

τ2

G Ω2 детектор

τ Рис. П.4.2. Схематическое изображение излучения, регистрируемого приемником в некоторой плоскости τ2 в направлении

G Ω2 от плоского мононаправленного

источника (единичной мощности), расположенного в плоскости

G щего фотоны в направлении Ω1

0

G −Ω1

детектор

τ2 источник

τ1 и испускаю-

τ1

q V(2) G −Ω2

τ

Рис. П.4.3. Схематическое изображение излучения, регистрируемого приемником в некоторой плоскости τ1 в направлении

G −Ω1 от плоского мононаправленного

источника (единичной мощности), расположенного в плоскости

G щего фотоны в направлении −Ω2

233

τ2 и испускаю-

В общем случае (не плоской геометрии) теорема взаимности для односкоростных задач теории переноса формулируется следующим образом. Яркость света (интенсивность излучения), региG G стрируемая приемником в некоторой точке r2 в направлении Ω2 от точечного мононаправленного источника (единичной мощноG сти), расположенного в точке r1 и испускающего фотоны в наG правлении Ω1 (рис.П.4.4), равна яркости света от точечного моG нонаправленного источника, расположенного в точке r2 и излуG чающего в направлении −Ω2 , регистрируемая приемником в точке G G r1 в направлении −Ω1 (рис. П.4.5): G G G G G 1 G G 2 G G ( ) r1 ; Ω1 → r2 ; Ω2 = G ( ) r2 ; −Ω2 → r1 ; −Ω1 . (П.IX.37)

(

)

(

)

G Ω1 G r1

Источ-

G r2

Детектор

G Ω2

Рис. П.4.4. Схематическое изображение излучения, регистрируемого приемником

G

G

в некоторой точке r2 в направлении Ω2 от точечного мононаправленного G источника (единичной мощности), расположенного в точке r1 и испускающего фотоны в направлении

234

G Ω1

G − Ω2 G r1

Детектор

G r2

Источник

G − Ω1

Рис. П.4.5. Схематическое изображение излучения, регистрируемого приемником

G

G

в некоторой точке r1 в направлении −Ω1 от точечного мононаправленного G источника (единичной мощности), расположенного в точке r2 и испускающего фотоны в направлении

G −Ω2

Таким образом, интенсивность излучения, регистрируемая приемником не изменится, если точечные мононаправленные источник и приемник поменять местами. Наиболее наглядно основная теорема взаимности выглядит для случая, когда источник и приемник излучения не разнесены в проG G G странстве, а находятся в одной точке r1 = r2 = r (рис. П.4.6 и П.4.7).

235

G Ω1 Источник Детектор

G Ω2

G r

Рис. П.4.6. Схематическое изображение излучения, регистрируемого приемником

G G r в направлении Ω2 от точечного мононаправленного G источника (единичной мощности), расположенного в тойже точке r G и испускающего фотоны в направлении Ω1

в некоторой точке

G −Ω2

Источник

G r

Детектор

G −Ω1

Рис. П.4.7. Схематическое изображение излучения, регистрируемого приемником

G G r в направлении −Ω1 от точечного мононаправленного G источника (единичной мощности), расположенного в тойже точке r G и испускающего фотоны в направлении −Ω2

в некоторой точке

236

Соотношения взаимности и функция отражения Из общего соотношения взаимности (П.4.34) можно получить важную информацию о функции отражения от полубесконечной среды (4.6.9). Пусть на полубесконечную среду падает мононаправленный широкий световой поток с интенсивностью I0 , а объемные источники отсутствуют. Тогда соотношение (П.4.34) запишется в виде G (2) G G ⎧η ( μ ) I (1) 0; Ω ⎫ I 0; | 0; −Ω Ω ( ) ( 2) + ⎪ ïàä ⎪ ↑ . (П.4.38) ∫∫ d Ω μ ⎨ G G G ⎬ =0 (2) 0; −Ω ⎪ +η ( −μ ) I (1) ( 0; Ω | 0; Ω1 ) Iïàä ⎪ 4π ( )⎭ ↑ ⎩ При мононаправленном облучении поверхности G G G (1) Iïàä 0; Ω = I0δ(μ − μ1 )δ(ϕ − ϕ1 ) = I0δ(Ω − Ω1 ) , G G G (2) Iïàä 0; −Ω = I0δ(μ + μ2 )δ(ϕ + π − ϕ2 ) = I0δ(Ω + Ω2 ) ,

(

(

)

)

тогда

{

}

G G ( 2) I0 ∫∫ d Ω μ η ( μ ) δ(Ω − Ω1 )I ( 0; −μ, π + ϕ | μ2 , ϕ2 ) = 4π

↑

( 2) = I0μ1I ( τ = 0; −μ1 , π + ϕ1 | μ2 , ϕ2 ) = I0S(2) (μ1 , π + ϕ1 | μ2 , ϕ2 ), ↑ G G (1) I0 ∫∫ d Ω μ η ( −μ ) δ(Ω + Ω2 )I ( 0; μ, ϕ | μ1, ϕ1 ) =

{

4π

(1) ↑

= −I0μ2I

}

↑

( τ = 0; −μ2 , −π + ϕ2 | μ1, ϕ1 ) = −I0S(1) (μ2 , −π + ϕ2 | μ1, ϕ1 ).

Подставляя эти соотношения в выражение (П.4.38), получаем теорему взаимности для функции отражения: S(| μ |, ϕ + π; μ0 , ϕ0 ) = S(μ0 , ϕ0 ;| μ |, ϕ + π) . (П.4.39) Полученное соотношение можно несколько упростить, если учесть, что при облучении плоских сред широкими пучками как интенсивG G ность излучения I z; Ω; Ω0 , так и функция отражения

(

)

S(| μ |, ϕ; μ0 , ϕ0 ) зависят от азимутальных углов падения ϕ0 и рас-

237

сеяния ϕ только в виде комбинации cos m(ϕ − ϕ0 ) , где m – целое число. Поэтому в соотношении (П.4.39) можно опустить величину π . Тогда получаем теорему взаимности для функции отражения в окончательном виде: S(| μ |, ϕ; μ0 , ϕ0 ) = S(μ0 , ϕ0 ; | μ |, ϕ) .

238

Вопросы для самоконтроля Введение 1. Какая область длин волн электромагнитного излучения называется видимым светом? 2. Какая область длин волн электромагнитного излучения называется инфракрасным излучением? 3. Какая область длин волн электромагнитного излучения называется ультрафиолетовым излучением? 4. В чем состоит особенность взаимодействия ультрафиолетового излучения с веществом? Глава 1 1. Что такое интенсивность излучения? 2. Как связаны между собой плотность энергии светового поля и интенсивность? 3. Как связаны между собой плотность потока световой энергии и интенсивность? 4. Что такое индикатриса рассеяния? 5. Как нормирована индикатриса рассеяния? 6. Что такое функция распределения? 7. Как связаны между собой интенсивность и функция распределения? 8. Что определяет интеграл столкновений? 9. Как выглядит уравнение переноса для интенсивности света? 10. Как выглядит обобщенное уравнение непрерывности для плотности световой энергии? 11. Какая поверхность рассеивающей среды называется свободной поверхностью? 12. Как выражается поверхностная плотность источников через интенсивность падающего излучения? 13. Как связаны между собой нестационарная и стационарная задачи теории переноса?

239

Глава 2 1. Какой вид имеет разложение индикатрисы рассеяния по полиномам Лежандра? 2. Как определяются коэффициенты разложения индикатрисы рассеяния по полиномам Лежандра? 3. Какой параметр определяет степень анизотропии индикатрисы рассеяния? 4. Какой вид имеет одночленная и двучленная индикатрисы рассеяния? 5. Какой вид имеет индикатриса рассеяния Релея и рассеяние в какой среде она описывает? 6. Как выглядит разложение по азимутальному углу для линейной индикатрисы? 7. Какая среда называется монодисперсной? 8. Какая среда называется полидисперсной? 9. Какой вид имеет индикатриса при рассеянии на мелкомасштабных неоднородностях? 10. Какой вид имеет индикатриса при рассеянии на крупномасштабных неоднородностях? 11. Как меняется вид индикатрисы рассеяния при переходе от монодисперсной среды к полидисперсной среде? 12. Какие индикатрисы рассеяния называются полинаправленными? 13. В чем особенность индикатрисы Хеньи – Гринстейна? Глава 3 1. Какие необходимы условия для реализации плоской геометрии в задаче о распространении излучения в среде? 2. Что такое оптическая глубина и как она связана с геометрической глубиной в случае однородной и неоднородной сред? 3. Что такое альбедо однократного рассеяния и как оно выражается через коэффициенты рассеяния и поглощения? 4. Как выглядит уравнение переноса для нерассеянного излучения в условиях плоской геометрии? 5. Как выглядит уравнение переноса для функции Грина нерассеянного излучения в условиях плоской геометрии? 6. Какой вид имеет функция Грина нерассеянного излучения в условиях плоской геометрии?

240

7. Какой вид имеет интегральная форма уравнения переноса в условиях плоской геометрии? 8. Что такое диффузно рассеянное излучение? 9. Какой вид имеет уравнения переноса для интенсивности диффузно рассеянного излучения в условиях плоской геометрии? 10. Как выглядит интегральная форма уравнения переноса для интенсивности диффузно рассеянного излучения в условиях плоской геометрии? 11. Что такое равновесный спектр излучения? 12. Какой вид имеет равновесный спектр излучения в чисто поглощающей среде для мгновенных источников? 13. Какой вид имеет равновесный спектр излучения в произвольно рассеивающей среде с изотропными мгновенными источниками? 14. Какой вид имеет равновесный спектр излучения в изотропно рассеивающей среде с произвольными мгновенными источниками? 15. Какой вид имеет равновесный спектр излучения в произвольно рассеивающей среде с мононаправленными мгновенными источниками? 16. Какой вид имеет равновесный спектр излучения в произвольно рассеивающей среде с изотропными квазистационарными источниками? 17. Какой вид имеет равновесный спектр излучения в произвольно рассеивающей среде с мононаправленными квазистационарными источниками? Глава 4 1. Какой вид имеет уравнение переноса для полной интенсивности при наклонном облучении плоского слоя вещества широким световым потоком? 2. Как связаны интенсивность падающего излучения и поверхностный источник излучения? 3. Какой вид имеет интегральное уравнение переноса для полной интенсивности излучения при наклонном облучении плоского слоя вещества широким световым потоком? 4. Какое излучение называется нисходящим и какое восходящим?

241

5. Какой вид имеет уравнение переноса для диффузно рассеянного излучения при наклонном облучении плоского слоя вещества широким световым потоком? 6. Какой вид имеет интегральное уравнение переноса для диффузно рассеянного излучения при наклонном облучении плоского слоя вещества широким световым потоком? 7. Что такое азимутальные гармоники интенсивности излучения? 8. Какой вид имеют уравнения для азимутальных гармоник интенсивности излучения? 9. Что такое сферические гармоники (дважды угловые моменты) интенсивности излучения? 10. Какой вид имеют уравнения для сферических гармоник интенсивности излучения? 11. Какое число азимутальных гармоник входит в выражение для интенсивности диффузно рассеянного излучения при изотропном законе однократного рассеяния? 12. Какое число азимутальных гармоник входит в выражение для полной интенсивности излучения при изотропном законе однократного рассеяния? 13. Что такое функция отражения и функция прохождения и как они связаны с интенсивностью излучения? 14. Что такое коэффициенты отражения и прохождения и как они связаны с функциями отражения и прохождения? 15. Какой вид имеет выражение для интенсивности однократно рассеянного в плоском слое излучения? 16. Какой вид имеет выражение для функции отражения однократно рассеянного в плоском слое излучения? 17. Какой вид имеет выражение для функции прохождения однократно рассеянного в плоском слое излучения? 18. Какой вид имеет выражение для функции отражения при однократном рассеянии в излучения полубесконечной среде? 19. Какой вид имеет выражение для функции отражения при двукратном рассеянии излучения в полубесконечной среде?

242

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Основная литература 1. Соболев В.В. Рассеяние света в атмосферах планет. М.: Наука, 1972. 2. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972. 3. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М.: ИЛ, 1953. Дополнительная литература 1. Соболев В.В. Курс теоретической астрофизики. М.: Наука, 1985. 2. Минин И.Н. Теория переноса излучения в атмосферах планет. М.: Наука, 1988. 3. Зеге Э.П., Иванов А.П., Кацев И.Л. Перенос изображения в рассеивающей среде. Минск: Наука и техника, 1985. 4. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М: Мир, 1969. 5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М: Физматгиз, 1963.

243

Ремизович Валерий Стефанович Кузовлев Александр Иванович

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СВЕТА В СЛУЧАЙНЫХ СРЕДАХ Часть 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ОПТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК РАСПРОСТРАНЕНИЯ СВЕТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Учебное пособие

Редактор Н.В. Шумакова Оригинал-макет изготовлен А.И. Кузовлевым Подписано в печать 10.12.2009. Формат 60х84 1/16 Печ. л. 15,25. Уч.-изд. л. 15,25. Тираж 100 экз. Изд. № 1/4/78. Заказ № 34 _______________________________________________________________________ Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». 115409, Москва, Каширское ш., 31 ООО «Полиграфический комплекс «Курчатовский». 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, д. 42