Тензорная алгебра. Часть 1: Методическая разработка

Œ¨­¨áâ¥àá⢮ ®¡é¥£® ¨ ¯à®ä¥áᨮ­ «ì­®£® ®¡à §®¢ ­¨ï ®áᨩ᪮© ”¥¤¥à æ¨¨ ¨¦¥£®à®¤áª¨© £®á㤠àá⢥­­ë© ã­¨¢¥àá¨â¥â ¨¬. .ˆ.‹®¡ ç¥¢áª®£® Œ¥å ­¨ª®-¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨© ä ªã«ìâ¥â Š ä¥¤à  £¥®¬¥âਨ ¨ ¢ëá襩  «£¥¡àë

’…‡Ž€Ÿ €‹ƒ…€ — áâì I

¨¦­¨© ®¢£®à®¤, 2004

“„Š 515.1 ’¥­§®à­ ï  «£¥¡à . — áâì I / ‘®áâ. €.‚. « ­¤¨­, Ž.€.Œã«ïà, €.ƒ. §ã¢ ¥¢. .®¢£®à®¤: ƒ“, 2004.

Œ¥â®¤¨ç¥áª ï ࠧࠡ®âª  ¯à¥¤­ §­ ç¥­  ¤«ï áâ㤥­â®¢ 1-£® ªãàá  ¬¥å ­¨ª®¬ â¥¬ â¨ç¥áª®£® ä ªã«ìâ¥â . Ž­  ¯®á¢ï饭  ⥭§®à­®©  «£¥¡à¥, ïî饩áï à §¤¥«®¬ ªãàá  "‹¨­¥©­ ï  «£¥¡à  ¨ £¥®¬¥âà¨ï". ‘®áâ ¢¨â¥«¨: ¤®æ¥­â €.‚. « ­¤¨­,  áá¨á⥭⠎.€.Œã«ïà, ¤®æ¥­â €.ƒ. §ã¢ ¥¢.

¥æ¥­§¥­âë: ¤®æ¥­â ª ä¥¤àë —¨”€ ä-â  ‚ŒŠ ƒ“, ª.ä-¬.­. €.ˆ. ƒ ¢à¨ª®¢, ¤®æ¥­â ª ä¥¤àë ¯à¨ª« ¤­®© ¬ â¥¬ â¨ª¨ ƒ’“, ª.ä-¬.­. ƒ.‚. ®â¥¬¨­.

¨¦¥£®à®¤áª¨© £®á㤠àá⢥­­ë© ã­¨¢¥àá¨â¥â ¨¬. .ˆ.‹®¡ ç¥¢áª®£® 2004

1. „¢®©á⢥­­®¥ ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮

‚ ­ áâ®ï饩 à ¡®â¥ ¢á¥ ¢¥ªâ®à­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠ ¯à¥¤¯®« £ îâáï ª®­¥ç­®¬¥à­ë¬¨ ¢¥ªâ®à­ë¬¨ ¯à®áâà ­á⢠¬¨ ­ ¤ ¯®«¥¬ P ­ã«¥¢®© å à ªâ¥à¨á⨪¨. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. ‹¨­¥©­®© ä㭪樥© ­  ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V ­ §ë¢ ¥âáï ®â®¡à ¦¥­¨¥ f : V → P , 㤮¢«¥â¢®àïî饥 á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬: → → → → → → 1. f (− x +− y ) = f (− x ) + f (− y ) ∀− x ,− y ∈ V, → → 2. f (a− x ) = af (− x)

→ ∀− x ∈V

∀a ∈ P.

‹¨­¥©­ ï äã­ªæ¨ï ­  V â ª¦¥ ­ §ë¢ ¥âáï «¨­¥©­ë¬ ä㭪樮­ «®¬, 1-ä®à¬®© ¨«¨ ª®¢¥ªâ®à®¬ ­  V . ‡ ¬¥ç ­¨¥ 1. “á«®¢¨ï 1 ¨ 2 ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 1 íª¢¨¢ «¥­â­ë á«¥¤ãî饬ã → → → → → → f (a− x + b− y ) = af (− x ) + bf (− y ) ∀− x ,− y ∈ V, ∀a, b ∈ P.

‡ ¬¥ç ­¨¥ 2. ‘ ¬® ¯®«¥ P ï¥âáï 1-¬¥à­ë¬ ¢¥ªâ®à­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬ ­ ¤

„¥©á⢨⥫쭮, «î¡®© ­¥­ã«¥¢®© í«¥¬¥­â a ∈ P ®¯à¥¤¥«ï¥â ¡ §¨á B = {a}, ¯®áª®«ìªã ¤«ï «î¡®£® b ∈ P ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì à ¢¥­á⢮ b = ab a. ‘ í⮩ â®çª¨ §à¥­¨ï «¨­¥©­ë¥ ä㭪樨 ­  V { íâ® «¨­¥©­ë¥ ®â®¡à ¦¥­¨ï ¨§ V ¢ P. ‡ ¬¥ç ­¨¥ 3. ‹¨­¥©­ ï äã­ªæ¨ï (ª ª ¨ «¨­¥©­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ¢¥ªâ®à­ëå ¯à®áâà ­áâ¢) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥¤¨­á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬ ᢮¨¬¨ §­ ç¥­¨ï¬¨ ­  ¢¥ªâ®à å ª ª®£®-«¨¡® ¡ §¨á  (á¬., ­ ¯à¨¬¥à, [1]). à¨¬¥à 1. ãáâì Rn { n-¬¥à­®¥  à¨ä¬¥â¨ç¥áª®¥ ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, â.¥. Rn = {(x1 , x2 , ..., xn ) | xi ∈ R}. ’®£¤  ¤«ï «î¡®£® i = 1, n ®â®¡à ¦¥­¨¥ fi : (x1 , x2 , ..., xn ) → xi ï¥âáï «¨­¥©­®© ä㭪樥© ­  Rn . à¨¬¥à 2. ”ã­ªæ¨ï α(f ) = f 0(x0), x0 ∈ R, ï¥âáï «¨­¥©­®© ä㭪樥© ­  ¯à®áâà ­á⢥ C 1 (R) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ëå ä㭪権 ­  ¢¥é¥á⢥­­®© ¯àאַ©. à¨¬¥à 3. ”ã­ªæ¨ï f (A) = tr A, £¤¥ tr A− c«¥¤ ¬ âà¨æë A, ï¥âáï «¨­¥©­®© ­  ¯à®áâà ­á⢥ Mn (P ) ª¢ ¤à â­ëå ¬ âà¨æ. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. à®áâà ­á⢮ ¢á¥å «¨­¥©­ëå ä㭪樮­ «®¢ ­  V ­ §ë¢ ¥âáï ¤¢®©á⢥­­ë¬ ª V ¯à®áâà ­á⢮¬ ¨ ®¡®§­ ç ¥âáï V ∗ . „¢®©á⢥­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ â ª¦¥ ­ §ë¢ ¥âáï ᮯà殮­­ë¬ ¨«¨ ¤ã «ì­ë¬. €­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ¯à®áâà ­á⢮ ¢á¥å «¨­¥©­ëå ä㭪樮­ «®¢ ­  V ∗ ­ §ë¢ ¥âáï ¤¢ ¦¤ë ¤¢®©á⢥­­ë¬ ª V ¯à®áâà ­á⢮¬ ¨ ®¡®§­ ç ¥âáï V ∗∗ . ‡ ¬¥ç ­¨¥ 4. ’¥¯¥àì, ®ç¥¢¨¤­®, ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì ¡¥áª®­¥ç­ãî ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì ¯à®áâà ­á⢠V ∗∗∗ , V ∗∗∗∗ , .... P.

’¥®à¥¬  1. dim V = dim V ∗. „®ª § â¥«ìá⢮. ãáâì BV =

{ ¡ §¨á ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V. ’®£¤  ¤«ï «î¡®£® i = 1, ..., n áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï «¨­¥©­ ï äã­ªæ¨ï fi : V → P, → 㤮¢«¥â¢®àïîé ï à ¢¥­á⢠¬: fi (− ej ) = δij (á¬. § ¬¥ç ­¨¥ 3). ‡¤¥áì δij - ᨬ¢®« Šà®­¥ª¥à , â.¥. δij { ª®íää¨æ¨¥­âë ¥¤¨­¨ç­®© ¬ âà¨æë (

δij =

→ → {− e1 , ..., − en }

1 0

¯à¨ i = j ¯à¨ i 6= j

.

®ª ¦¥¬, çâ® «¨­¥©­ë¥ ä㭪樨 fi ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V ∗ . à®¢¥à¨¬, çâ® ¢ë¯®«­¥­® ¯¥à¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¡ §¨á , â.¥. çâ® «î¡®© «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « 1

­  V ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª «¨­¥©­ãî ª®¬¡¨­ æ¨î ª®¢¥ªâ®à®¢ fi . ãáâì φ ∈ V ∗ → ¨ φ(− ei ) = ai .  áᬮâਬ «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « ψ ­  V, ®¯à¥¤¥«¥­­ë© à ¢¥­á⢮¬Pψ = Pnj=1 aj fj . ‚ëç¨á«ïï §­ ç¥­¨ï ä㭪権 φ ¨ ψ ­  ¯à®¨§¢®«ì­®¬ ¢¥ªâ®à¥ → − → x = ni=1 xi − ei , ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢠: n

n

n

i=1

i=1

i=1

X X X → → → ei ) = xi φ(− ei )) = x i ai , φ(− x ) = φ( xi − n

n

n

n

i=1

i=1

i=1

j=1

X X X X → → → → ψ(− x ) = ψ( xi − ei ) = xi ψ(− ei ) = xi ( aj fj (− ei )) =

=

n X

xi (

i=1

n X

aj δji ) =

j=1

n X

x i ai .

i=1

Žâá á«¥¤ã¥â, çâ® ä㭪樮­ «ë ψ ¨ φ ᮢ¯ ¤ îâ. ‡­ ç¨â, ä㭪樮­ « φ, â ª ¦¥ ª ª ¨ ψ, ¤®¯ã᪠¥â à §«®¦¥­¨¥ ¯® ª®¢¥ªâ®à ¬ fi . ‹¨­¥©­ãî ­¥§ ¢¨á¨¬®áâì ª®¢¥ªâ®à®¢ fi ¤®ª ¦¥¬ ¬¥â®¤®¬ ®â ¯à®â¨¢­®£®. ãáâì fi «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ë, â.¥. áãé¥áâ¢ãîâ aj ∈ P , ­¥ ¢á¥ à ¢­ë¥ ­ã«î, â ª¨¥, çâ® Pn j=1 aj fj = 0. ®á«¥¤­¥¥ ®§­ ç ¥â, çâ® n X

(1)

→ − aj fj (− x ) = 0, ∀→ x ∈ V.

j=1

P P → → − ®¤áâ ¢«ïï − x =− ek ¢ (1), ¨¬¥¥¬ nj=1 aj fj (→ ek ) = nj=1 aj δjk = ak = 0. ‡ ¬¥â¨¬, çâ®  ­ «®£¨ç­®¥ à ¢¥­á⢮ ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ¤«ï «î¡®£® k = 1, ..., n. ®«ãç ¥¬ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ á ­¥âਢ¨ «ì­®áâìî «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ æ¨¨ (1). Q.E.D.  §¨á, ¯®áâ஥­­ë© ¯à¨ ¤®ª § â¥«ìá⢥ ⥮६ë, ¤ «¥¥ ¡ã¤¥â ç áâ® ¨á¯®«ì§®¢ âìáï. ®í⮬㠮ª §ë¢ ¥âáï ¯®«¥§­ë¬ → Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3. ãáâì BV = {−→ e1 , ..., − en } { ¡ §¨á ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V. ’®£¤  ¡ §¨á → − BV = {f1 , ..., fn } â ª®©, çâ® fi ( ek ) = δik , ­ §ë¢ ¥âáï ¤¢®©á⢥­­ë¬, ᮯà殮­­ë¬ ¨«¨ ¤ã «ì­ë¬ ª ¡ §¨áã BV . → ’¥®à¥¬  2.0 ãáâì0 C { ¬ âà¨æ  ¯¥à¥å®¤  ®â ¡ §¨á  BV = {−→ e1 , ..., − en } ª ¡ 0 → − → − §¨áã BV = { e1 , ..., en } ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V . Ž¡®§­ ç¨¬ BV = {f1 , ..., fn } ¨ BV0 = {f10 , ..., fn0 } ¡ §¨áë, ¤¢®©á⢥­­ë¥ ª BV ¨ BV0 ᮮ⢥âá⢥­­®. ’®£¤  (C −1 )t ï¥âáï ¬ âà¨æ¥© ¯¥à¥å®¤  ®â BV ª BV0 . P → „®ª § â¥«ìá⢮. ® ãá«®¢¨î −→ ei 0 = nj=1 cji − ej . ãáâì D { ¬ âà¨æ  ¯¥à¥å®¤  0 0 ®â ¡ §¨á  BV = {f1 , ..., fn } ª ¡ §¨áã BV = {f1 , ..., fn0 }, â.¥. fj0 = Pni=1 dij fi .  ©¤¥¬ § ¢¨á¨¬®áâì ¬¥¦¤ã ¬ âà¨æ ¬¨ C ¨ D. ˆ§ ãá«®¢¨ï ¤¢®©á⢥­­®á⨠¡ §¨á®¢ BV0 ¨ BV0 ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮: ∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

δik =

→ ek 0 ) fi0 (−

=

n X s=1

=

n X s=1

dsi (

n X

p=1

n

n

s=1

p=1

X X − → dsi fs (→ ek 0 ) = dsi fs ( cpk − ep ) = n

n

n

s=1

p=1

s=1

X X X → cpk fs (− ep )) = dsi ( cpk δsp ) = dsi csk .

Ž¡®§­ ç¨¬ Dt = ||dtij || ¬ âà¨æã, â࠭ᯮ­¨à®¢ ­­ãî ª ¬ âà¨æ¥ ’®£¤  à ¢¥­á⢮ (2) ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤: 2

(2) D = ||dij ||.

δik =

n X s=1

dsi csk =

n X

dtis csk = (Dt C)ik .

s=1

‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, E = D C ¨ D = (C ) . Q.E.D. ‡ ¬¥ç ­¨¥ 5. ˆ§ ⥮६ë 1 á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à®áâà ­á⢠ V ¨ V ∗ ïîâáï ¨§®¬®àä­ë¬¨. €­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬, ­¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, çâ® ¢á¥ ¢¥ªâ®à­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠ V, V ∗ , V ∗∗ , V ∗∗∗ , ... ¨§®¬®àä­ë ¬¥¦¤ã ᮡ®©.  á ¡ã¤¥â ¤ «¥¥ ¨­â¥à¥á®¢ âì á«¥¤ãî騩 ᯥ樠«ì­ë© ª« cc ¨§®¬®à䨧¬®¢. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 4. ‚¥ªâ®à­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠ ­ §ë¢ îâáï ª ­®­¨ç¥áª¨ ¨§®¬®àä­ë¬¨, ¥á«¨ ¬¥¦¤ã ­¨¬¨ ¬®¦­® ãáâ ­®¢¨âì ¨§®¬®à䨧¬, ­¥ § ¢¨áï騩 ®â ¢ë¡®à  ¡ §¨á®¢. ’¥®à¥¬  3. à®áâà ­á⢠ V ¨ V ∗∗ ïîâáï ª ­®­¨ç¥áª¨ ¨§®¬®àä­ë¬¨. „®ª § â¥«ìá⢮. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥ F : V → V ∗∗, ª®â®à®¥ ¢¥ªâ®àã −→x ∗∗ áâ ¢¨â ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ F− → x ∈ V , ¯à¨ ¯®¬®é¨ á«¥¤ãî饣® à ¢¥­á⢠: −1 t

t

∗ → − F− → x (g) = g( x ), ∀g ∈ V .

’ ª ª ª ¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ F ¡ §¨áë ¢¥ªâ®à­ëå ¯à®áâà ­á⢠­¥ ãç áâ¢ãîâ, â® ®âá á«¥¤ã¥â ª ­®­¨ç­®áâì ®â®¡à ¦¥­¨ï F. Žáâ «®áì ¤®ª § âì, çâ® F { ¨§®¬®à䨧¬ ¢¥ªâ®à­ëå ¯à®áâà ­áâ¢. ‹¨­¥©­®áâì F ¯à®¢¥àï¥âáï ­¥¯®á।á⢥­­®. „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ª®¢¥ªâ®à  g ∈ V ∗ ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢠: → − → − → − → − Fα− → → → → x +β − y (g) = g(α x + β y ) = αg( x ) + βg( y ) = αF− x (g) + βF− y (g).

‡¤¥áì ¯¥à¢®¥ à ¢¥­á⢮ § ¯¨á ­® ­  ®á­®¢¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ®â®¡à ¦¥­¨ï F , ¢â®à®¥ à ¢¥­á⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ «¨­¥©­®á⨠ª®¢¥ªâ®à  g,   âà¥âì¥ { ®¯ïâì ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï F . —⮡ë ã¡¥¤¨âìáï ¢ ¡¨¥ªâ¨¢­®á⨠F , ¢ë¡¥à¥¬ ¢ V ¨ V ∗ ¤¢®©á⢥­­ë¥ ¡ §¨áë → → → BV = {− e1 , − e2 , . . . , − en } ¨ BV = {f1 , f2 , . . . , fn }. ’®£¤  ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï F á«¥¤ãîâ à ¢¥­á⢠ → − F− (3) → ej (fi ) = fi ( ej ) = δij . à¨ ¤®ª § â¥«ìá⢥ ⥮६ë 1 ¡ë«® ãáâ ­®¢«¥­®, çâ® ª®¢¥ªâ®àë fi , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨î (3), ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¢ ¤¢®©á⢥­­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V ∗ .  áᬠâਢ ï ⥯¥àì ¤¢ ¦¤ë ¤¢®©á⢥­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ V ∗∗ , ¨§ (3) ¯®«ãç ¥¬, çâ® ∗∗ {F− → → e1 , . . . , F− en } { ¡ §¨á V , ¤¢®©á⢥­­ë© ª BV = {f1 , f2 , . . . , fn }. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ∗∗ «¨­¥©­ ï ®¡®«®çª  < F− → → en >= V , çâ® ®§­ ç ¥â áîàꥪ⨢­®áâì ®â®e1 , . . . , F− ¡à ¦¥­¨ï F. ’¥¯¥àì ¨§ ä®à¬ã«ë dim V = dim Ker F + dim Im F á«¥¤ã¥â, çâ® dim Ker F = 0. ’¥¬ á ¬ë¬ ¨­ê¥ªâ¨¢­®áâì ¤®ª § ­ . Q.E.D. ‡ ¬¥ç ­¨¥ 6. ‘ ãç¥â®¬ ¯®áâ஥­­®£® ¨§®¬®à䨧¬  ®¡ëç­® ®â®¦- ¤¥á⢫ïîâ → → ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 í«¥¬¥­âë ¯à®áâà ­á⢠V ¨ V ∗∗ , ¯®« £ ï − x ≡ F (− x ) ∈ V ∗∗ . ’ ª¨¬ → → → ®¡à §®¬, ¥á«¨ f { ª®¢¥ªâ®à, â® ¨¬¥¥â á¬ëá« ¢ëà ¦¥­¨¥ − x (f ) ¨ − x (f ) = f (− x ). à¨¬¥à 4.  áᬮâਬ ¯à¨¬¥à ­¥ª ­®­¨ç¥áª®£® ¨§®¬®à䨧¬  ¯à®áâà ­á⢠→ → → V ¨ V ∗ . ‚롥६ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V ¡ §¨á BV = {− e1 , − e2 , ..., − en }. ãáâì BV = {f1 , f2 , ..., fn } { ¡ §¨á ¤¢®©á⢥­­ë© ª ¡ §¨áã BV . ‡ ¤ ¤¨¬ ¨§®¬®à䨧¬ F : V → V ∗ à ¢¥­á⢠¬¨: → (4) F (− ei ) = fi , i = 1, n ∗

∗

∗

3

(â ª®© ¨§®¬®à䨧¬ ®¯à¥¤¥«¥­ ¥¤¨­á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬, á¬. P § ¬¥ç ­¨¥ 3.). ’®£¤  ¤«ï P P → → → → «î¡®£® ¢¥ªâ®à  − x = ni=1 xi − ei ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮: F (− x ) = ni=1 xi F (− ei ) = ni=1 xi fi , â.¥. «î¡®¬ã ¢¥ªâ®àã áâ ¢¨âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ª®¢¥ªâ®à á ⥬¨ ¦¥ ª®®à¤¨­ â ¬¨ ®â­®á¨â¥«ì­® ¤¢®©á⢥­­®£® ¡ §¨á . à®¢¥à¨¬, çâ® F § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à  ¡ §¨á  BV , â.¥. ­¥ ï¥âáï ª ­®­¨ç¥áª¨¬. „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¥á«¨ F § ¤ âì ¢ ¤à㣮¬ ¡ §¨á¥ ¯à¨ ¯®¬®é¨ à ¢¥­áâ¢,  ­ «®£¨ç­ëå à ¢¥­á⢠¬ (4), â® ¯®«ã稬 ¤à㣮¥ «¨­¥©­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥.  áᬮâਬ ¥é¥ → → → ®¤­ã ¯ àã ¤¢®©á⢥­­ëå ¡ §¨á®¢ BV0 = {− e1 0 , − e2 0 , ..., − en 0 } ¨ BV0 = {f10 , f20 , ..., fn0 } ¨ 0 ∗ → ¨§®¬®à䨧¬ F : V → V , § ¤ ­­ë© à ¢¥­á⢠¬¨: F 0 (− ei 0 ) = fi0 . ’®£¤  ¤«ï ®â®¡à P → ¦¥­¨ï F 0 , â ª ¦¥ ª ª ¨ ¤«ï F, ¯®«ã稬 à ¢¥­á⢮ F 0 (− x ) = ni=k x0k fk0 , £¤¥ x0k { → ª®®à¤¨­ âë ¢¥ªâ®à  − x ®â­®á¨â¥«ì­® ¡ §¨á  BV0 . P → → ãáâì C = ||cij || { ¬ âà¨æ  ¯¥à¥å®¤  ®â BV ª BV0 , â. ¥. − ei 0 = nj=1 cji − ej . P P P P 0 n n n n 0→ 0 → − → − − → − ’¥¯¥àì à ¢¥­á⢠ x = j=1 xj ej = k=1 xk ek = k=1 xk ( j=1 cjk ej ) = Pn Pn 0 → − ä®à¬ã« ¬, á¢ï§ë¢ î騬 ª®®à¤¨­ âë j=1 ( k=1 xk cjk ) ej ¯à¨¢®¤ïâ ª ¨§¢¥áâ­ë¬ ¢¥ªâ®à®¢ ¢ à §­ëå ¡ §¨á å: xj = Pnk=1 x0k cjk . ®¤áâ ¢«ïï í⨠ᮮ⭮襭¨ï ¢ ¢ëà Pn Pn Pn → − → − ¦¥­¨¥ ¤«ï F ( x ), ¯à¨å®¤¨¬ ª à ¢¥­áâ¢ã: F (Px ) = i=1 xi fi = i=1 ( k=1 x0k cik )fi . ‚ â® ¦¥ ¢à¥¬ï, ãç¨â뢠ï ᮮ⭮襭¨ï fj0 = ni=1 dij fi , ­ å®¤¨¬ ∗

n

n

n

n

i=k

i=k

i=1

n

X X X X X → ( x0k dik )fi . F 0 (− x)= x0k fk0 = x0k ( dik fi ) = i=1 i=k

→ → → Žâá ¯®«ãç ¥¬, çâ® à ¢¥­á⢮ F (− x ) = F 0 (− x ) ¯à¨ «î¡®¬ − x ¢®§¬®¦­® ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  cik = dik . Ž¤­ ª® ¨§ ⥮६ë 3 á«¥¤ã¥â à ¢¥­á⢮ Dt = C −1 . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨§®¬®à䨧¬ë F ¨ F 0 , ¢®®¡é¥ £®¢®àï, à §«¨ç­ë ¨ ᮢ¯ ¤ îâ ⮫쪮 ¤«ï ¬ âà¨æ, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î C t = C −1 , â.¥. ⮫쪮 ¤«ï ®à⮣®­ «ì­ëå ¬ âà¨æ.

2. ’¥­§®à­ë¥ ®¡®§­ ç¥­¨ï

„ «¥¥, çâ®¡ë ¨á¯®«ì§®¢ âì ¬ âà¨ç­ãî § ¯¨áì ä®à¬ã«, ¡ã¤¥â ¯®«¥§­® ¯¥à¥©â¨ ª ­®¢ë¬ ⥭§®à­ë¬ ®¡®§­ ç¥­¨ï¬. 1. Ž¡®§­ ç¥­¨ï ©­è⥩­ . …᫨ ¢ ­¥ª®â®à®© ä®à¬ã«¥ ®¤¨­ ¨ â®â ¦¥ ¨­¤¥ªá ¢áâà¥ç ¥âáï ¤¢  à § , ¯à¨ç¥¬ ®¤¨­ à § ª ª ¢¥àå­¨© ¨ ®¤¨­ à § ª ªP­¨¦­¨©, â® ¯® í⮬㠨­¤¥ªá㠯।¯®« £ ¥âáï á㬬¨à®¢ ­¨¥.  ¯à¨¬¥à, ¢¬¥áâ® ni=1 xi yi ¡ã¤¥¬ Pn i i ¯¨á âì x yi . €­ «®£¨ç­®, ¢ëà ¦¥­¨¥ i=1 xk yi § ¬¥­¨¬ ­  xik yi , ¨ â ª ¤ «¥¥. ®í⮬㠡㤥â 㤮¡­® § ¯¨á뢠âì ª®®à¤¨­ âë ¢¥ªâ®à®¢ á ¢¥àå­¨¬¨ ¨­¤¥ªá ¬¨, â.¥. Pn Pn → → − → − − → ei . ’®£¤  á ãç¥â®¬ ®¡®§­ ç¥­¨© ¢¬¥áâ® x = i=1 xi ei ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì x = i=1 xi − → − → ©­è⥩­  ¯®á«¥¤­¥¥ à ¢¥­á⢮ ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤ x = xi − ei . „ «¥¥ ¢á¥£¤ , ¥á«¨ ­¥ 㪠§ ­® ¤®¯®«­¨â¥«ì­®, ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï á㬬¨à®¢ ­¨¥ ®â 1 ¤® dim V. 2. ‚ ¬ âà¨æ å ¯¥à¥å®¤  ®â ®¤­®£® ¡ §¨á  ª ¤à㣮¬ã ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V ¢¬¥áâ® ¤¢ãå ­¨¦­¨å ¨­¤¥ªá®¢ ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ®¤¨­ ¢¥àå­¨© ¨ ®¤¨­ ­¨¦­¨©, ¯à¨ç¥¬ ¢¥àå­¨© ¨­¤¥ªá ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ­®¬¥àã áâப¨,   ­¨¦­¨© { ­®¬¥àã á⮫¡æ . P Pn 0 → → → → − ej . ej ¡ã¤¥¬ § ¯¨á뢠âì ª ª − ei 0 = nj=1 cji − ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, à ¢¥­á⢠ ei = j=1 cji − ®á«¥¤­¨¥ à ¢¥­á⢠, ãç¨âë¢ ï ®¡®§­ ç¥­¨ï ©­è⥩­ , ¯à¨­¨¬ îâ ¢¨¤: − → → ei 0 = cji − ej .

4

(5)

→ → 3. ãáâì ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V ¢ë¡à ­ ­¥ª®â®àë© ¡ §¨á BV = {− e1 , ..., − en }. Š®¢¥ªâ®∗ àë ¤¢®©á⢥­­®£® ¡ §¨á  ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V ¡ã¤¥¬ ­ã¬¥à®¢ âì ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¢¥àå­¨å ¨­¤¥ªá®¢,   ¨¬¥­­®, ¯®«®¦¨¬ BV = {f 1 , f 2 , ..., f n }. ’®£¤  ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î → ¤¢®©á⢥­­®£® ¡ §¨á  ¯®«ã稬 à ¢¥­á⢠: f j (− ei ) = δji , £¤¥ δji { ¯®-¯à¥¦­¥¬ã ¥¤¨­¨ç­ ï ¬ âà¨æ , â.¥. ( 1 ¯à¨ i = j i δj = . 0 ¯à¨ i 6= j → → → ‚롥६ ¥é¥ ®¤¨­ ¡ §¨á BV0 = {− e1 0 , ..., − en 0 } ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V ¨ ¯®«®¦¨¬ − ei 0 = → ej . ãáâì BV0 = {f 01 , ..., f 0n } { ¤¢®©á⢥­­ë© ¡ §¨á ª ¡ §¨áã BV0 . ˆá¯®«ì§ãï cji − ®¡®§­ ç¥­¨ï ©­è⥩­ , à §«®¦¥­¨¥ f 0i ¯® ª®¢¥ªâ®à ¬ {f i } § ¯¨è¥¬ ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥ f 0i = qji f j . (6) ‚ ¦­® ®â¬¥â¨âì, ç⮠⥯¥àì ¬ âà¨æ  Q = ||qji || ­¥ ï¥âáï ¬ âà¨æ¥© ¯¥à¥å®¤  ®â BV ª BV0 . ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¤«ï ¬ âà¨æë Q ª®®à¤¨­ â ¬¨ ¢¥ªâ®à®¢ f 0i ®â­®á¨â¥«ì­® "áâ à®£®" ¡ §¨á  BV ïîâáï áâப¨,   ­¥ á⮫¡æë, ª ª íâ® ¤®«¦­® ¡ëâì ¤«ï ¬ âà¨æë ¯¥à¥å®¤ . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ âà¨æ  Q ï¥âáï â࠭ᯮ­¨à®¢ ­­®© ¯® ®â­®è¥­¨î ª ¬ âà¨æ¥ ¯¥à¥å®¤  ¤«ï ¡ §¨á®¢ BV ¨ BV0 . ®í⮬㠨§ ⥮६ë 2 á«¥¤ã¥â à ¢¥­á⢮ Q = C −1 . (7) 4. „«ï ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ¬ âà¨æë ¯¥à¥å®¤  C ®â BV ª BV0 ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ®¡®§­ ç¥­¨¥ cji ¢¬¥áâ® cji . ’ ª¦¥ ¡ã¤¥¬ áâ ¢¨âì èâà¨å ­ ¤ ¨­¤¥ªá ¬¨ ¢¥ªâ®à®¢ "­®¢®£®" ¡ §¨á . ’®£¤  à ¢¥­á⢠ (5) ¯à¨­¨¬ îâ ¢¨¤: ∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

0

(8)

− → → ei0 = cji0 − ej .

„«ï ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ¬ âà¨æë Q ¨ ¤«ï ª®¢¥ªâ®à®¢ "­®¢®£®" ¡ §¨á  èâà¨å ¡ã¤¥¬ áâ ¢¨âì ­ ¤ ¢¥àå­¨¬ ¨­¤¥ªá®¬. ®í⮬ã à ¢¥­á⢠ (6) ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: 0

(9)

0

f i = qji f j .

„ «¥¥, çâ®¡ë ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ®¡®§­ ç¥­¨ï¬¨ ©­è⥩­ , ¡ã¤¥¬ áâ ¢¨âì èâà¨å â ª¦¥ ­ ¤ ¨­¤¥ªá ¬¨ "­®¢ëå" ª®®à¤¨­ â ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ª®¢¥ªâ®à®¢. ’®£¤  à §«®¦¥­¨¥ ¢¥ªâ®à  § ¯¨è¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: (10)

0 − → → → x = xi − ei = xi − ei0 .

Š®®à¤¨­ âë ª®¢¥ªâ®à®¢ ¡ã¤¥¬ ­ã¬¥à®¢ âì ¯à¨ ¯®¬®é¨ ­¨¦­¨å ¨­¤¥ªá®¢. ®íâ®¬ã  ­ «®£¨ç­ë¥ à ¢¥­á⢠ ¤«ï ª®¢¥ªâ®à  f ¨¬¥îâ ¢¨¤: (11)

0

f = yi f i = yi0 f i .

5. „ «¥¥ ¢¬¥áâ® ª®íää¨æ¨¥­â®¢ qji ¡ã¤¥¬ § ¯¨á뢠âì cij . ’®£¤ , ª ª á«¥¤ã¥â ¨§ à ¢¥­á⢠ (7), èâà¨å ­ ¤ ¢¥àå­¨¬ ¨­¤¥ªá®¬ ¢ ¬ âà¨æ¥ ||cij || ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤«ï ®¡®§­ ç¥­¨ï ¬ âà¨æë, ®¡à â­®© ª ¬ âà¨æ¥ C, â.¥. ||cij || = C −1 . ‚ â® ¦¥ ¢à¥¬ï, èâà¨å ­ ¤ ­¨¦­¨¬ ¨­¤¥ªá®¬ ¢ ¬ âà¨æ¥ ||cij || á«ã¦¨â, ¯®-¯à¥¦­¥¬ã, ¤«ï ®¡®§­ ç¥­¨ï á ¬®© ¬ âà¨æë ¯¥à¥å®¤ , â.¥. ||cij || = C. 0

0

0

0

0

0

5

‚ ¦­® ®â¬¥â¨âì, ç⮠⥯¥àì ¯à¨ â࠭ᯮ­¨à®¢ ­¨¨ ¬ âà¨æ ||cij || ¨ ||cij ||, ¢®®¡é¥ £®¢®àï (§  ¨áª«î祭¨¥¬ á«ãç ï ®à⮣®­ «ì­®© ¬ âà¨æë C ), ­¥«ì§ï ¯®¬¥­ïâì ¬¥áâ ¬¨ ¢¥àå­¨© ¨ ­¨¦­¨© ¨­¤¥ªáë ¬ âà¨æë C . 6. ‚ ⥭§®à­®©  «£¥¡à¥ ¨­¤¥ªá, ¯® ª®â®à®¬ã ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï á㬬¨à®¢ ­¨¥, ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¬ë¬ ¨ ¤®¯ã᪠¥â § ¬¥­ã ¤à㣨¬ ¨­¤¥ªá®¬, ¯®áª®«ìªã ¯à¨ â ª®© § ¬¥­¥ १ã«ìâ â á㬬¨à®¢ ­¨ï ®áâ ­¥âáï ¯à¥¦­¨¬. Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ­ è¨¬¨ ®¡®§­ ç¥­¨ï¬¨, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ­¥«ì§ï § ¬¥­ïâì èâà¨å®¢ ­­ë¥ ¨­¤¥ªáë ­  ¨­¤¥ªáë ¡¥§ èâà¨å®¢ ¨ ­ ®¡®à®â. Žª®­ç â¥«ì­®, á ãç¥â®¬ ­®¢ëå ®¡®§­ ç¥­¨©, ä®à¬ã«ë ¯¥à¥å®¤  ®â BV ª BV0 ¨ ®â BV ª BV0 ¯à¨­¨¬ îâ ¢¨¤: → − → ei = cji − ej , f i = cij f j , (12) £¤¥ (13) cji cik = δkj , cik ckj = δji . ‚ëïá­¨¬ ⥯¥àì, ª ª®© ¢¨¤ ¨¬¥îâ ä®à¬ã«ë (??) c ãç¥â®¬ ­®¢ëå ®¡®§­ ç¥­¨©. → → ˆ§ à ¢¥­á⢠(10) ¨ (12) á«¥¤ã¥â, çâ® xi − ei = xi cji − ej . Žâá ¯à¨å®¤¨¬ ª à ¢¥­áâ¢ã: cji xi = xj . (14) j “¬­®¦ ï ®¡¥ ç á⨠ࠢ¥­á⢠ (14) ­  ¬ âà¨æã, ®¡à â­ãî ª C, ¯®«ã稬 ckj ci xi = ckj xj . ’¥¯¥àì, ãç¨â뢠ï ä®à¬ã«ë (13), «¥¢ãî ç áâì ¯®á«¥¤­¥£® à ¢¥­á⢠ ¯¥à¥¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥ ckj cji xi = δik xi = xk . Žâá ¯®«ãç ¥¬: 0

0

∗

∗

0

0

0

0

0

0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

0

0

0

0

xk = ckj xj .

€­ «®£¨ç­ë¥ à áá㦤¥­¨ï ¤«ï ª®®à¤¨­ â á⢠¬: 0

cik yi0 = yk ,

3. ’¥­§®àë. Š®®à¤¨­ âë ⥭§®à 

yi

(15) ª®¢¥ªâ®à®¢ ¯à¨¢®¤ïâ ª à ¢¥­-

yi0 = cki0 yk .

(16)

Ž¡®¡é¥­¨¥ ¯®­ïâ¨ï «¨­¥©­®£® ®â®¡à ¦¥­¨ï ¢¥ªâ®à­ëå ¯à®áâà ­á⢠¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饬㠪« áá㠮⮡ࠦ¥­¨©. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5. ãáâì V1, V2, ..., Vk , W { ¢¥ªâ®à­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠ ­ ¤ ¯®«¥¬ P. Žâ®¡à ¦¥­¨¥ f : V1 × V2 × ... × Vk → W ­ §ë¢ ¥âáï ¯®«¨«¨­¥©­ë¬ ¨«¨ k-«¨­¥©­ë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬, ¥á«¨ ®­® «¨­¥©­® ¯® ª ¦¤®¬ã  à£ã¬¥­â㠯ਠ䨪á¨à®¢ ­­ëå §­ ç¥­¨ïå ®áâ «ì­ëå  à£ã¬¥­â®¢, â.¥. ¤«ï ª ¦¤®£® ¨­¤¥ªá  j = 1, n ¨ ¤«ï «î¡®£® 䨪á¨à®¢ ­­®£® ­ ¡®à  ¢¥ªâ®à®¢ vi ∈ Vi , i = 1, n, i 6= j ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥: f (v1 , v2 , ..., αvj0 + βvj00 , ...., vn ) = αf (v1 , v2 , ..., vj0 , ...., vn ) + βf (v1 , v2 , ..., vj00 , ...., vn ), ∀vj0 , vj00 ∈ Vj ¨ ∀α, β ∈ P. …᫨ n = 2, â® ¯®«¨«¨­¥©­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ­ §ë¢ ¥âáï â ª¦¥ ¡¨«¨­¥©­ë¬. …᫨ W = P, â® ¯®«¨«¨­¥©­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ­ §ë¢ ¥âáï ¯®«¨«¨­¥©­®© äã­ª-

樥© ¨«¨ ¯®«¨«¨­¥©­®© ä®à¬®©. ‡ ¬¥ç ­¨¥ 7. Œ­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯®«¨«¨­¥©­ëå ®â®¡à ¦¥­¨© ¨§ V1 × V2 × ... × Vk → W ®¡à §ã¥â ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ®â­®á¨â¥«ì­® ®¡ëç­ëå ®¯¥à æ¨© á«®¦¥­¨ï ®â®¡à ¦¥­¨© ¨ 㬭®¦¥­¨ï ­  α ∈ P. 6

à¨¬¥à 5. ãáâì V1 = V2 = ... = Vn = V, W = P. Ž¡®§­ ç¨¬ (ai1, ai2, ..., ain) → ª®®à¤¨­ âë ¢¥ªâ®à  − ai ®â­®á¨â¥«ì­® ­¥ª®â®à®£® 䨪á¨à®¢ ­­®£® ¡ §¨á  BV ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V.  áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥­¨¥ → → → det : V × V × ... × V → P : (− a1 , − a2 , ..., − an ) → det||aij ||.

’®£¤  ¨§ ᢮©á⢠®¯à¥¤¥«¨â¥«ï á«¥¤ã¥â, çâ® ®â®¡à ¦¥­¨¥ det ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯®«¨«¨­¥©­ãî äã­ªæ¨î. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6. ãáâì V { ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ¨ V ∗ { ¤¢®©á⢥­­®¥ ª ­¥¬ã ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ’¥­§®à®¬ t ⨯  (p, q) ­  ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V ­ §ë¢ ¥âáï ¯®«¨«¨­¥©­ ï äã­ªæ¨ï ∗ × V ∗ {z × ... × V ∗} → P. t : |V × V × ... × V} × V {z | p

q

Œ­®¦¥á⢮ ¢á¥å ⥭§®à®¢ ⨯  (p, q) ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì Tpq (V ).  àã ­¥®âà¨æ â¥«ì­ëå ç¨á¥« (p, q) ­ §ë¢ îâ ¢ «¥­â­®áâìî ⥭§®à . „«ï 㤮¡á⢠ ®¡®§­ ç¥­¨© ¯à®áâà ­á⢮ T00 ç áâ® ®â®¦¤¥á⢫ïîâ á ¯®«¥¬ P. à¨¬¥à 6. «¥¬¥­â ¬¨ ¯à®áâà ­á⢠ T10(V ) ïîâáï «¨­¥©­ë¥ ä㭪樨 ­  V. ®í⮬㠯à®áâà ­á⢮ T10 (V ) ᮢ¯ ¤ ¥â á V ∗ . à¨¬¥à 7.  áᬮâਬ ¯à®áâà ­á⢮ T01(V ). …£® í«¥¬¥­â ¬¨ ïîâáï «¨­¥©­ë¥ ä㭪樨 t : V ∗ → P, â.¥. T01 (V ) = V ∗∗ . ‘ ãç¥â®¬ ª ­®­¨ç¥áª®£® ¨§®¬®à䨧¬  V ∗∗ ∼ = V ¯®«ãç ¥¬, çâ® T01 (V ) ∼ = V. à¨¬¥à 8. ãáâì f «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ®â®→ → ¡à ¦¥­¨¥ tf : V × V ∗ → P á«¥¤ãî騬 à ¢¥­á⢮¬ tf (− x , y) = y(f (− x )). ’®£¤  ¨§ «¨­¥©­®á⨠y ¨ f á«¥¤ã¥â, çâ® tf ï¥âáï ⥭§®à®¬ ⨯  (1, 1) ­  ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V. ®«¥¥ ⮣®, ¯®ª ¦¥¬, çâ® ª ¦¤ë© ⥭§®à ⨯  (1, 1) ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ¯®¤®¡­ë¬ ®¡à §®¬. „¥©á⢨⥫쭮, ¯ãáâì t ∈ T11 (V ), â.¥. t : V × V ∗ → P { ¡¨«¨­¥©­ ï äã­ª→ æ¨ï. ’®£¤  ¤«ï «î¡®£® 䨪á¨à®¢ ­­®£® − x ∈ V ®â®¡à ¦¥­¨¥ tx : V ∗ → P, ®¯à¥¤¥→ − «¥­­®¥ ãá«®¢¨¥¬ tx (y) = t( x , y) ï¥âáï «¨­¥©­ë¬, ¨ á«¥¤®¢ â¥«ì­®, tx ∈ V ∗∗ . ‘ ãç¥â®¬−−ª ­®­¨ç¥áª®£® ¨§®¬®à䨧¬  ¯à®áâà ­á⢠V ¨ V ∗∗ ®â®¦¤¥á⢨¬ tx á ¢¥ª→ −−→ → â®à®¬ t(x), ¯à¨ í⮬ ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮ t(x)(y) = t(− x , y). Ž¯à¥¤¥«¨¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥ − − → → − f : V → V á«¥¤ãî騬 à ¢¥­á⢮¬ f ( x ) = t(x). ’¥¯¥àì «¨­¥©­®áâì ®â®¡à ¦¥­¨ï f á«¥¤ã¥â ¨§ «¨­¥©­®á⨠ª ­®­¨ç¥áª®£®−¨§®¬®à䨧¬  ¨ ®â®¡à ¦¥­¨ï t. ’ ª¨¬ −→ → − → − → ®¡à §®¬, ¯à¨å®¤¨¬ ª à ¢¥­á⢠¬ t( x , y) = t(x)(y) = f ( x )(y) = y(f (− x )). Žâ¬¥â¨¬, ç⮠㪠§ ­­ ï ¡¨¥ªæ¨ï ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬ «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ ­  V ¨ ¢¥ªâ®à­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬ ⥭§®à®¢ T11 (V ) ï¥âáï «¨­¥©­ë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬ ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¤ ­­ ï ¡¨¥ªæ¨ï { ¨§®¬®à䨧¬. à¨ í⮬, ¯®áª®«ìªã ¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ¡¨¥ªæ¨¨ ¡ §¨áë ­¥ ãç áâ¢ãîâ, â® ¤ ­­®¥ ᮮ⢥âá⢨¥ { ª ­®­¨ç¥áª¨© ¨§®¬®à䨧¬. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 7. ãáâì ­  ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V § ¤ ­ ⥭§®à t ∈ Tpq (V ). → → ‚롥६ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V ­¥ª®â®àë© ¡ §¨á BV = {− e1 , ..., − en } ¨ ¤¢®©á⢥­­ë© ª j j ...j 1 n p+q ­¥¬ã ¡ §¨á BV = {f , ..., f }.  ¡®à n ç¨á¥« ti i ...i , ®¯à¥¤¥«¥­­ë© à ¢¥­á⢠¬¨ ∗

1 2

q

1 2

p

j j ...j jq − → j1 e→ ti11i22...ipq = t(− i1 , ..., eip , f , ...f )

7

­ §ë¢ ¥âáï ª®®à¤¨­ â ¬¨ ¨«¨ ª®¬¯®­¥­â ¬¨ ⥭§®à  t ®â­®á¨â¥«ì­® ¡ §¨á  BV . ‡¤¥áì ¢á¥ ¨­¤¥ªáë i1 , i2 , ..., ip , j1 , j2 , ..., jq ¯à¨­¨¬ îâ §­ ç¥­¨ï ®â 1 ¤® n. ’¥®à¥¬  4. ‡­ ç¥­¨¥ ⥭§®à  t ∈ Tpq (V ) ­  ­ ¡®à¥  à£ã¬¥­â®¢ → → x1 , ..., − xp , y 1 , ...y q ) (−

®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª®®à¤¨­ â ¬¨ ⥭§®à  t ®â­®á¨â¥«ì­® ¡ §¨á  BV ,   â ª¦¥ ª®®à¤¨­ → â ¬¨ ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢ − xi ®â­®á¨â¥«ì­® ¡ §¨á  BV ¨ ª®®à¤¨­ â ¬¨ ¢á¥å ª®¢¥ªâ®à®¢ j y ®â­®á¨â¥«ì­® ¤¢®©á⢥­­®£® ¡ §¨á  BV . → „®ª § â¥«ìá⢮. ãáâì BV = {−→ e1 , ..., − en } ¨ BV = {f 1 , ..., f n }. Ž¡®§­ ç¨¬ xik → ª®®à¤¨­ âë ¢¥ªâ®à  − xk (k = 1, p) ¨ yjs ª®®à¤¨­ âë ª®¢¥ªâ®à  y s (s = 1, q) ®â­®á¨â¥«ì­® ¡ §¨á®¢ BV ¨ BV ᮮ⢥âá⢥­­®. ˆ§ ¯®«¨«¨­¥©­®á⨠⥭§®à  t ¯®«ã稬 à ¢¥­á⢠: ∗

k

∗

s

∗

q jq i2 − ip − → → → → 1 j1 2 j2 t(− x1 , ..., − xp , y 1 , ...y q ) = t(xi11 − e→ i1 , x2 ei2 , ..., xp eip , yj1 f , yj2 f , ..., yjq f ) = jq − → − → j1 j2 e→ = xi11 xi22 ...xipp yj11 yj22 ...yjqq t(− i1 , ei2 , ..., eip , f , f , ..., f ) = j j ...j

= xi11 xi22 ...xipp yj11 yj22 ...yjqq ti11i22...ipq .

Q.E.D.

’¥®à¥¬  5. ãáâì tji ij ...i...j ª®®à¤¨­ âë ⥭§®à  t ∈ Tpq (V ) ®â­®á¨â¥«ì­® ¡ §¨á  1 2

q

1 2

p

¨t ¥£® ª®®à¤¨­ âë ®â­®á¨â¥«ì­® ¡ §¨á  BV0 . …᫨ C = ||cji || ï¥âáï ¬ âà¨æ¥© ¯¥à¥å®¤  ¢ ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V ®â ¡ §¨á  BV ª ¡ §¨áã BV0 , â® á¯à ¢¥¤«¨¢ë à ¢¥­á⢠: j10 j20 ...jq0 i01 i02 ...i0p

BV

0

j 0 j 0 ...j 0

i

j0 j0

(17)

j 0 j j ...j

ti01i02...i0pq = cii10 cii20 ...cip0p cj11 cj22 ...cjqq ti11i22...ipq . 1 2

1

2

„®ª § â¥«ìá⢮. ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ª®®à¤¨­ â ⥭§®à  ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì j 0 j 0 ...j 0 jq0 jq ip − i1 − jq0 − → j10 → → j10 j1 e→ ti01i02...i0pq = t(− i01 , ..., ei0p , f , ...f ) = t(ci0 ei1 , ..., ci0p eip , cj1 f , ...cjq f ) = 1 2

1

j0 → jq0 j1 j2 ...jq i j0 j0 ip j10 j20 i1 i2 j1 jq = cii10 cii20 ...cip0p cj11 cj22 ...cjqq t(− ei1 , ..., − e→ ip , f , ...f ) = ci0 ci0 ...ci0p cj1 cj2 ...cjq ti1 i2 ...ip .

Q.E.D.

1

2

1

2

‡ ¬¥ç ­¨¥ 8. ˆ§ ⥮६ë 5 á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ª®®à¤¨­ â ⥭§®à 

®â­®á¨â¥«ì­® ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¡ §¨á  ¤®áâ â®ç­® §­ âì ¥£® ª®®à¤¨­ âë ®â­®á¨â¥«ì­® ®¤­®£® ª ª®£®-«¨¡® ¡ §¨á . ‡ ¬¥ç ­¨¥ 9. ‚ ⥮६¥ 5 ¨ ¤ «¥¥ ¤«ï ª®®à¤¨­ â ⥭§®à  ¢ "­®¢®¬" ¡ §¨á¥ j j ...j 0 BV ¨á¯®«ì§ãîâáï ®¡®§­ ç¥­¨ï ti i ...i  ­ «®£¨ç­® ®¡®§­ ç¥­¨ï¬ ª®®à¤¨­ â xi ¨ yi ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ª®¢¥ªâ®à®¢. Žª §ë¢ ¥âáï, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ¨ ®¡à â­®¥ ª ⥮६¥ 5 ã⢥ত¥­¨¥,   ¨¬¥­­®: ’¥®à¥¬  6. ãáâì ª ¦¤®¬ãj j¡ §¨áã BV ¢ n-¬¥à­®¬ ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V ...j p+q ᮯ®áâ ¢«¥­ ­ ¡®à n ç¨á¥« ti i ...i , ¯à¨ç¥¬ ¤ ­­ë¥ ­ ¡®àë á¢ï§ ­ë à ¢¥­á⢠¬¨ (17), ¥á«¨ cii { ¬ âà¨æ  ¯¥à¥å®¤  ®â ¡ §¨á  BV ª ¡ §¨áã BV0 . ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë© ⥭§®à t ⨯  (p, q) ­  ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V, ¤«ï ª®â®à®£® j j ...j ti i ...i ïîâáï ª®®à¤¨­ â ¬¨ ®â­®á¨â¥«ì­® BV . 0 1 0 1

0 2 0 2

0 q 0 p

1 2

q

1 2

p

0

0

0

1 2

q

1 2

p

8

„®ª § â¥«ìá⢮. ãáâì ¡ §¨áã BV ᮯ®áâ ¢«¥­ ­ ¡®à tji ij ...i...j . Ž¯à¥¤¥«¨¬ ®â®1 2

¡à ¦¥­¨¥ t : V|

∗ ×V × ... × V} × V × V ∗ {z × ... × V ∗} → P {z | p

q

¯à¨ ¯®¬®é¨ à ¢¥­á⢠: 1 2

p

q

j j ...j → → t(− x1 , ..., − xp , y 1 , ...y q ) = xi11 xi22 ...xipp yj11 yj22 ...yjqq ti11i22...ipq ,

(18)

→ £¤¥ xik ª®®à¤¨­ âë ¢¥ªâ®à  − xk ¨ yjk ª®®à¤¨­ âë ª®¢¥ªâ®à  y k ®â­®á¨â¥«ì­® ¡ §¨á®¢ BV ¨ BV ᮮ⢥âá⢥­­®. „®ª ¦¥¬ ª®à४⭮áâì ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ®â®¡à ¦¥­¨ï t ¯à¨ ¯®¬®é¨ ä®à¬ã«ë (18), â.¥. ­¥§ ¢¨á¨¬®áâì ®â®¡à ¦¥­¨ï t ®â ¢ë¡®à  ¡ §¨á . ãáâì BV0 { ­¥ª®â®àë© ¤à㣮© ¡ §¨á ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V ¨ ¥¬ã ᮯ®áâ ¢«¥­ ­ ¡®à ...j ç¨á¥« tij ij ...i , ¯à¨ç¥¬ cii { ¬ âà¨æ  ¯¥à¥å®¤  ®â BV ª BV0 .  áᬮâਬ äã­ªæ¨î t0 , ®¯à¥¤¥«¥­­ãî à ¢¥­á⢮¬ k

k

∗

0 1 0 1

0 2 0 2

0 q 0 p

0

j 0 j 0 ...j 0 i0 i0 i0 → → t0 (− x1 , ..., − xp , y 1 , ...y q ) = x11 x22 ...xpp yj110 yj220 ...yjqq0 ti01i02...i0pq , 1 2

→ £¤¥ xik ¨ yjs { ª®®à¤¨­ âë ¢¥ªâ®à  − xk ¨ ª®¢¥ªâ®à  y s ®â­®á¨â¥«ì­® ¡ §¨á®¢ BV0 ¨ 0 k

BV0 ∗ .

0 s

→ → → → ®ª ¦¥¬, çâ® t0 (− x1 , ..., − xp , y 1 , ...y q ) = t(− x1 , ..., − xp , y 1 , ...y q ) ¯à¨ ¢á¥å §­ ç¥­¨ïå  à£ã¬¥­â®¢. „«ï í⮣® ¯¥à¥¯¨è¥¬ ä®à¬ã«ë (15) ¨ (16), ¯® ª®â®àë¬ ¯à¥®¡à §ãîâáï ª®®à¤¨­ âë ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ª®¢¥ªâ®à®¢ ¯à¨ § ¬¥­¥ ¡ §¨á , ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: r0

r0

xkk = crkk xrkk ,

yss0k = cssk0 yssk . k

’¥¯¥àì ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî騬 à ¢¥­á⢠¬: r0 s0 s0 ...s0 r0 r0 → → t0 (− x1 , ..., − xp , y 1 , ...y q ) = x11 x22 ...xpp ys101 ys202 ...ysq0q tr10 r20 ...rp0q = 1 2

0

r0

s0 s0 ...s0

s

= crr11 xr11 ...crpp xrpp css10 ys11 ...csq0q ysqq tr10 r20 ...rp0q = 1

r10 r1

rp0 rp

1 2

s

i

s0 s0

s0 j j ...j

= xr11 xr22 ...xrpp ys11 ys22 ...ysqq c ...c css10 ...csq0q cir10 cir20 ...crpp0 cj11 cj22 ...cjqq ti11i22...ipq = =

1

1

2

s j j ...j xr11 xr22 ...xrpp ys11 ys22 ...ysqq δri11 δri22 ...δripp δjs11 δjs22 ...δjqq ti11i22...ipq

j j ...j

= xi11 xi22 ...xipp yj11 yj22 ...yjqq ti11i22...ipq .

Žâá ¢¨¤­®, çâ® §­ ç¥­¨ï ä㭪権 t ¨ t0 ᮢ¯ ¤ î⠯ਠ«î¡ëå §­ ç¥­¨ïå  à£ã¬¥­â®¢. ’¥¬ á ¬ë¬ ª®à४⭮áâì ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ®â®¡à ¦¥­¨ï t ¤®ª § ­ . ®«¨«¨­¥©­®áâì ®â®¡à ¦¥­¨ï t á«¥¤ã¥â ­¥¯®á।á⢥­­® ¨§ à ¢¥­á⢠ (18). Q.E.D. ’¥®à¥¬ë 5 ¨ 6 ¯®ª §ë¢ îâ, ç⮠⥭§®à ¥¤¨­á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥£® ª®®à¤¨­ â ¬¨. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ⥭§®àë ⨯  (p, q) ¢ ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V à §¬¥à­®á⨠n ­ å®¤ïâáï ¢® ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ç­®¬ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¨å ª®®à¤¨...j , ª®â®àë¥ ¯à¨ ¨§¬¥­¥­¨¨ ¡ §¨á  ¯à¥­ â ¬¨, â.¥. á ­ ¡®à ¬¨ n(p+q) ç¨á¥« tji ij ...i ®¡à §ãîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬ (17). ’ ª®¥ ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ç­®¥ ᮮ⢥âá⢨¥ ¯®§¢®«ï¥â 㪠§ âì ¤à㣮© ¯®¤å®¤ ª ¯®­ïâ¨î ⥭§®à , ª®â®àë© â ª¦¥ ç áâ® ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ «¨â¥à âãà¥. à¨ â ª®¬ ¯®¤å®¤¥ ⥭§®à ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. 1 2

q

1 2

p

9

Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 8. ãáâìj jª ¦¤®¬ã ¡ §¨áã BV ¢ n-¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V ᮯ®...j

áâ ¢«¥­ ­ ¡®à np+q ç¨á¥« ti i ...i , 㤮¢«¥â¢®àïî騩 á«¥¤ãî饬ã ãá«®¢¨î: ­ ¡®àë ...j ...j ç¨á¥« tij ij ...i ¨ tji ij ...i ¤«ï ¡ §¨á®¢ BV ¨ BV0 á¢ï§ ­ë à ¢¥­á⢠¬¨ (17), ¥á«¨ cii { ¬ âà¨æ  ¯¥à¥å®¤  ®â ¡ §¨á  BV ª ¡ §¨áã BV0 . ’®£¤  £®¢®àïâ, çâ® ­  ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V § ¤ ­ ⥭§®à t ⨯  (p, q). ’¥­§®à t ⨯  (p, q) â ª¦¥ ­ §ë¢ îâ p-à § ª®¢ à¨ ­â­ë¬ ¨ q-à § ª®­âà ¢ à¨ ­â­ë¬ ⥭§®à®¬, ¯à¨ í⮬ ­¨¦­¨¥ ¨­¤¥ªáë ­ §ë¢ îâáï ª®¢ à¨ ­â­ë¬¨,   ¢¥àå­¨¥ - ª®­âà ¢ à¨ ­â­ë¬¨. à¨¬¥à 9.  áᬮâਬ á â®çª¨ §à¥­¨ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 8 ⥭§®àë ⨯  T10(V ). ãáâì ª ¦¤®¬ã ¡ §¨áã ¢ n-¬¥à­®¬ ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V ᮯ®áâ ¢«¥­ ­ ¡®à n ç¨á¥« yi , ¯à¨ç¥¬ ¤«ï à §­ëå ¡ §¨á®¢ BV ¨ BV0 ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ­ ¡®àë á¢ï§ ­ë à ¢¥­á⢠¬¨ 1 2

q

1 2

p

0 1 0 1

0 2 0 2

0 q 0 p

1 2

q

1 2

p

0

yi0 = cii0 yi ,

£¤¥ cii { ¬ âà¨æ  ¯¥à¥å®¤  ®â ¡ §¨á  BV ª ¡ §¨áã BV0 . ’¥¬ á ¬ë¬, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ 8 ­  ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V § ¤ ­ ⥭§®à ⨯  T10 (V ). —⮡ë ãáâ ­®¢¨âì á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï¬¨ ⥭§®à , â ª ¦¥ ª ª ¯à¨ ¤®ª § â¥«ìá⢥ ⥮६ë 6 ®¯à¥¤¥«¨¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî í⮬ã ⥭§®àã ¯®«¨«¨­¥©→ → ­ãî äã­ªæ¨î t : V → P, ¯®« £ ï t(− x ) = yi xi , £¤¥ xi { ª®®à¤¨­ âë ¢¥ªâ®à  − x ®â­®á¨â¥«ì­® ¡ §¨á  BV . 0

4. ’¥­§®à­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ⥭§®à®¢. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 9. ’¥­§®à­ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ⥭§®à®¢

t ∈ Tpq11 (V ) ¨ s ∈ Tpq22 (V )

+q ­ §ë¢ ¥âáï ⥭§®à t ⊗ s ∈ Tpq +p (V ), ®¯à¥¤¥«¥­­ë© ãá«®¢¨¥¬ 1 1

2 2

→ → t ⊗ s(− x1 , ..., − x p1 +p2 , y 1 , ...y q1 +q2 ) = → → → → = t(− x1 , ..., − x p1 , y 1 , ...y q1 )s(− x p1 +1 , ..., − x p1 +p2 , y q1 +1 , ...y q1 +q2 ) → ¯à¨ ¢á¥å − xi ∈ V,

yj ∈ V ∗.

‡ ¬¥ç ­¨¥ 10. ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 7 ¨ ᢮©á⢠¯®«ï ­¥¯®á।á⢥­­® á«¥¤ãîâ

᢮©á⢠  áá®æ¨ â¨¢­®á⨠¨ ¤¨áâਡã⨢­®á⨠⥭§®à­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ⥭§®à®¢. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 10. ’¥­§®à t ∈ Tpq (V ), ¤«ï ª®â®à®£®Náãé¥áâ¢ã¥â ­ ¡®à ¨§ p → − → − → ¢¥ªâ®à®¢ − xi ¨ q ª®¢¥ªâ®à®¢ y j â ª¨å, çâ® t = y j ⊗ y j ⊗ ... y j ⊗ − x→ i ⊗ xi ⊗ ... ⊗ xi ­ §ë¢ ¥âáï à §«®¦¨¬ë¬. → ’¥®à¥¬  7. ãáâì BV = {−→ e1 , ..., − en } ¨ BV = {f 1 , ..., f n } ¤¢®©á⢥­­ëe ¡ §¨áë. ’®£¤  ¡ §¨á ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Tpq (V ) ®¡à §ãîâ ⥭§®à­ë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ¢¨¤  f i ⊗ N − → − → f i ⊗ ... f i ⊗ − e→ j ⊗ ej ⊗ ... ⊗ ej , £¤¥ i1 , ..., ip , j1 , ..., jq = 1, n. „®ª § â¥«ìá⢮. ‘­ ç «  ¯à®¢¥à¨¬, çâ® «î¡®© ⥭§®à t ∈ Tpq (V ) ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ æ¨¨ à §«®¦¨¬ëå ⥭§®à®¢ ¢¨¤  f i ⊗ f i ⊗ N i j j ...j q − → − → ... f ⊗ − e→ j ⊗ ej ⊗ ... ⊗ ej . „¥©á⢨⥫쭮, ¯ãáâì t ∈ Tp (V ) ¨ ti i ...i { ª®®à¤¨­ âë t ®â­®á¨â¥«ì­® ¡ §¨á  BV . ‘®áâ ¢¨¬ «¨­¥©­ãî ª®¬¡¨­ æ¨î 1

q

2

1

p

2

∗

1

p

2

1

q

2

1

p

1

2

q

1 2

q

1 2

p

j j ...j − → − → e→ t0 = ti11i22...ipq f i1 ⊗ f i2 ⊗ ... ⊗ f ip ⊗ − j1 ⊗ ej2 ⊗ ... ⊗ ejq .

2

(19)

‚ëç¨á«ïï §­ ç¥­¨ï ⥭§®à®¢ t ¨ t0 ­  ¯à®¨§¢®«ì­ëå ­ ¡®à å  à£ã¬¥­â®¢, ¨¬¥-

j j ...j q → → − → − →− → → 1 − e→ ¥¬: t0 (− x1 , ..., − xp , y 1 , ...y q ) = ti i ...i f i ⊗f i ⊗...⊗f i ⊗− j ⊗ej ⊗...⊗ej ( x1 , ..., xp , y , ...y ) = 1 2

q

1 2

p

1

p

2

1

j j ...j 1 − → → → → 2 − → q ti11i22...ipq f i1 (− x1 )f i2 (− x2 )...f ip (− xp )− e→ j1 (y )ej2 (y )...ejq (y ) 1 q → − → − = t(x1 , ..., xp , y , ...y ).

=

2

’¥¬ á ¬ë¬ ¯®ª § ­®, çâ® t = t . 10

q

j j ...j ti11i22...ipq xi11 xi22 ...xipp yj11 yj22 ...yjqq 0

=

à®¢¥à¨¬ «¨­¥©­ãî ­¥§ ¢¨á¨¬®áâì 㪠§ ­­ëå ⥭§®à­ëå ¯à®¨§¢¥¤¥­¨©.  áá㦤 ï ¬¥â®¤®¬ ®â ¯à®â¨¢­®£®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬ çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ª®íää¨æ¨¥­âë j j ...j ai i ...i , ­¥ ¢á¥ à ¢­ë¥ ­ã«î, â ª¨¥ çâ® 1 2

q

1 2

p

(20)

j j ...j − → − → a = ai11i22...ipq f i1 ⊗ f i2 ⊗ ... ⊗ f ip ⊗ − e→ j1 ⊗ ej2 ⊗ ... ⊗ ejq = 0.

®á«¥¤­¥¥ à ¢¥­á⢮ ®§­ ç ¥â, çâ® äã­ªæ¨ï a ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì ¤«ï «î¡®£® ­ ¡®à   à£ã¬¥­â®¢. ‚ëç¨á«ïï §­ ç¥­¨¥ ä㭪樨 a ¤«ï ­ ¡®à   à£ã¬¥­â®¢ r − → r (− e→ k , ..., ek , f , ..., f ), ¯®«ãç ¥¬: q

1

1

p

rq − → r1 0 = a(− e→ k1 , ..., ekp , f , ...f ) = j j ...j i2 − ip − → →− → r1 − → r2 − → rq = ai11i22...ipq f i1 (− e→ k1 )f (ek2 )...f (ekp )ej1 (f )ej2 (f )...ejq (f ) = j j ...j

i

r

r r ...r

= ai11i22...ipq δki11 δki22 ...δkpp δjr11 δjr22 ...δjqq = ak11 k22 ...kqp .

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, «¨­¥©­ ï ª®¬¡¨­ æ¨ï (20) ï¥âáï âਢ¨ «ì­®©. Q.E.D.

‘«¥¤á⢨¥ 1. dimTpq (V ) = (dimV )p+q .

„®ª § â¥«ìá⢮ ¯®«ãç ¥âáï ¯®¤áç¥â®¬ ç¨á«  ¡ §¨á­ëå ¢¥ªâ®à®¢ f i

1

− → − → f ip ⊗ − e→ j1 ⊗ ej2 ⊗ ... ⊗ ejq .

⊗ f i2 ⊗ ... ⊗

‡ ¬¥ç ­¨¥ 11.  ¢¥­á⢮ (19) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ª®íää¨æ¨¥­âë à §«®¦¥­¨ï − → − → e→ ⥭§®à  t ∈ Tpq (V ) ¯® ¡ §¨áã f i ⊗ f i ⊗ ... ⊗ f i ⊗ − j ⊗ ej ⊗ ... ⊗ ej ᮢ¯ ¤ îâ á ...j ⥭§®à  t ®â­®á¨â¥«ì­® ¡ §¨á  BV , â.¥. ª®¬¯®­¥­âë ⥭§®à  ª®¬¯®­¥­â ¬¨ tji ij ...i − → − → e→ ïîâáï ¥£® ª®®à¤¨­ â ¬¨ ®â­®á¨â¥«ì­® ¡ §¨á  f i ⊗f i ⊗...f i ⊗ − j ⊗ ej ⊗...⊗ ej . 1

p

2

1

1 2

q

1 2

p

1

q

2

p

2

‡ ¤ ç¨. ‡ ¤ ç  1. „®ª § âì, çâ® ¬­®¦¥á⢮ «¨­¥©­ëå ä㭪樮­ «®¢ ­  V á® §­ ç¥­¨1

q

2

ﬨ ¢ P ï¥âáï ¯®¤¯à®áâà ­á⢮¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ ¢á¥å ä㭪権 ­  ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V á® §­ ç¥­¨ï¬¨ ¢ P. ‡ ¤ ç  2. „®ª § âì, çâ® ¥á«¨ «¨­¥©­ë¥ ä㭪樨 ­  ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¨¬¥îâ ®¤¨­ ª®¢ë¥ ï¤à , â® ®­¨ ®â«¨ç îâáï ¬­®¦¨â¥«¥¬. ‡ ¤ ç  3. Ÿ¢«ïîâáï «¨ ª®¢¥ªâ®à ¬¨ á«¥¤ãî騥 ä㭪樨 ­  ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®→ → áâà ­á⢥ V = R3 : 1) F 1 (− x ) = 2x1 − x2 + 3x3 + 5, 2) F 2 (− x ) = 3x1 + (x2 )2 − → x3 , 3) F 3 (− x ) = x1 +4x2 −x3 . „«ï ª®¢¥ªâ®à®¢ ­ ©â¨ ¨å à §«®¦¥­¨¥ ¯® ¡ §¨áã, ¤¢®©→ → → á⢥­­®¬ã ª ª ­®­¨ç¥áª®¬ã ¡ §¨áã BV = {− e1 = (1, 0, 0), − e2 = (0, 1, 0), − e3 = (0, 0, 1)}. 0 → − → − − → − → ‡ ¤ ç  4. ãáâì BV = { e1 , e2 } ¨ BV = {e1 , e2 } { ¡ §¨áë ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V. → − → − − →  ©â¨ ¬ âà¨æã ¯¥à¥å®¤  ¤«ï ¤¢®©á⢥­­ëå ¡ §¨á®¢, ¥á«¨ − e→ 1 = e1 + 2 e2 , e2 = 0

0

0

− → −→ e1 + − e2 .

‡ ¤ ç  5. ãáâì

0

→ → BV = {− e1 , − e2 } ¨ BV ∗ = {f 1 , f 2 } { ¤¢®©á⢥­­ë¥ ¡ §¨áë. → V1 ⊂ V § ¤ ­® ãà ¢­¥­¨¥¬: f 1 − f 2 = 0, â.¥. V1 = {− x ∈ V |(f 1 −

®¤¯à®áâà ­á⢮ → f 2 )(− x ) = 0}.  ©â¨ ãà ¢­¥­¨ï í⮣® ¯®¤¯à®áâà ­á⢠ ¢ ¡ §¨á¥, ¤¢®©á⢥­­®¬ ª → → → e1 , − e1 + 2− e2 }. ¡ §¨áã BV0 = {− ‡ ¤ ç  6. ãáâì V = {f (x) ∈ R[x]|degf (x) ≤ 2}. Ž¯à¥¤¥«¨¬ g ∈ V ∗ à ¢¥­R1 á⢮¬ g(f (x)) = 0 f (x)dx. ‚ë¡à ¢ ª ª®©-«¨¡® ¡ §¨á BV ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V , ­ ©â¨ à §«®¦¥­¨¥ ª®¢¥ªâ®à  g ¯® ¡ §¨áã, ¤¢®©á⢥­­®¬ã ª BV . ‡ ¤ ç  7. ãáâì V = {g(x) ∈ R[x]|deg g(x) ≤ n}. 1) Žâ®¡à ¦¥­¨¥ at : V → R ®¯à¥¤¥«¥­® ä®à¬ã«®©: at (g) = g(t), £¤¥ t ∈ R. „®ª § âì, çâ® ®â®¡à ¦¥­¨ï at , t = 1, n + 1 ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¢ V ∗ . 11

2) Žâ®¡à ¦¥­¨¥ bi : V → R ®¯à¥¤¥«¥­® ä®à¬ã«®©: bi (g) = g(i) (0), £¤¥ i ∈ N ¨ g (0) { i - ï ¯à®¨§¢®¤­ ï ä㭪樨 g(x) ¢ â®çª¥ 0. „®ª § âì, çâ® ®â®¡à ¦¥­¨ï bi , i = 0, n ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¢ V ∗ . 3)  ©â¨ ¡ §¨áë ¢ V ¤¢®©á⢥­­ë¥ ª ¡ §¨á ¬, 㪠§ ­­ë¬ ¢ ¯ã­ªâ å 1 ¨ 2 ¤ ­­®© § ¤ ç¨. → → ‡ ¤ ç  8. „®ª § âì, çâ® ¢¥ªâ®àë −→ e1 , − e2 , ..., − ek ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  áãé¥áâ¢ãîâ ª®¢¥ªâ®àë f 1 , f 2 , ..., f k â ª¨¥, çâ® (i)

→ det||f j (− ei || 6= 0.

‡ ¤ ç  9. ãáâì tr äã­ªæ¨ï á«¥¤  ­  ¯à®áâà ­á⢥ V = Mn(R) ¢á¥å ª¢ ¤à â­ëå ¬ âà¨æ ¯®à浪  n ­ ¤ ¯®«¥¬ R, â.¥. tr : X → trX, X ∈ V. ¤®ª § âì, çâ® «î¡ ï «¨­¥©­ ï äã­ªæ¨ï ­  V ¨¬¥¥â ¢¨¤:Nf (X) =Ntr(AX) ¤«ï ­¥ª®â®à®© ¬ âà¨æë A. ‡ ¤ ç  10. ãáâì f, g ∈ V ∗ ¨ f g = g f. „®ª § âì, çâ® f = λg ¤«ï ­¥ª®â®à®£® λ ∈ P. → → ‡ ¤ ç  11. ãáâì BV = {−→ e1 , − e2 , ..., − en } ¨ BV = {f1 , f2 , ..., fn } { ¤¢®©á⢥­­ë¥ → ¡ §¨áë. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥ F : V → V ∗ à ¢¥­á⢠¬¨: F (− ei ) = fi , i = 1, n. „®ª § âì, çâ® F ï¥âáï ­¥ª ­®­¨ç¥áª¨¬ ¨§®¬®à䨧¬®¬. ‡ ¤ ç  11. ¥è¥­¨¥. ’ ª®© ¨§®¬®à䨧¬ ®¯à¥¤¥«¥­ ¥¤¨­á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬, á¬. P → − → → § ¬¥ç ­¨¥ 3. ’®£¤  ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à  x = ni=1 xi − ei ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮: F (− x) = Pn P n → − i=1 xi F ( ei ) = i=1 xi fi , â.¥. «î¡®¬ã ¢¥ªâ®àã áâ ¢¨âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ª®¢¥ªâ®à á ⥬¨ ¦¥ ª®®à¤¨­ â ¬¨ ®â­®á¨â¥«ì­® ¤¢®©á⢥­­®£® ¡ §¨á . ‡ ¤ ç  11. ãáâì F { «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ®¯¥→ → à â®à F ∗ : V ∗ → V ∗ : g → F ∗ (g) á«¥¤ãî騬 à ¢¥­á⢮¬: F ∗ (g)(− x ) = g(F (− x )). ãáâì A = ||aij || { ¬ âà¨æ  ®¯¥à â®à  F ®â­®á¨â¥«ì­® ¡ §¨á  BV .  ©â¨ ¬ âà¨æã ®¯¥à â®à  F ∗ ¢ ¡ §¨á¥, ¤¢®©á⢥­­®¬ ª BV . ‡ ¤ ç  12. ãáâì F { «¨­¥©­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ¯à®áâà ­á⢠ V ¢ W. Ž¯à¥¤¥«¨¬ → → → ®â®¡à ¦¥­¨¥ F ∗ : W ∗ → V ∗ ä®à¬ã«®© F ∗ (g)(− x ) = g(F (− x )), ∀− x ∈ V, ∀g ∈ W ∗ . ‡­ ï, çâ® A = 11 20 −1 { ¬ âà¨æ  «¨­¥©­®£® ®â®¡à ¦¥­¨ï F ®â­®á¨â¥«ì­® 1 ¡ §¨á®¢ BV ¨ BW , ­ ©â¨: a) ®¡à § ª®¢¥ªâ®à  f = (1, −1); b) ¬ âà¨æ㠮⮡ࠦ¥­¨ï ∗

F

∗

®â­®á¨â¥«ì­® ¡ §¨á®¢

BV 0

¨

BW 0 ,

¥á«¨

C1

1 0 0 = 1 −1 0 0 0 2

,

C2

1 −1 = 1 0

{

¬ âà¨æë ¯¥à¥å®¤  ª "­®¢ë¬" ¡ §¨á ¬. → → ‡ ¤ ç  13. ãáâì BV = {−→ e1 , − e2 , − e3 } { ¡ §¨á ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V ¨ BV = {f 1 , f 2 , f 3 } → → → → → → → - ¤¢®©á⢥­­ë© ª ­¥¬ã ¡ §¨á. ‡­ ï, çâ® − x =− e1 − − e2 + 3− e3 , − y = −− e1 + − e2 , p = N → → → → − f 1 − f 2 + 3f 3 , q = f 1 + 2f 2 , ­ ©â¨: 1) p ⊗ q(− x ,− y ); 2) − y x (p, q). N → − → ‡ ¤ ç  14.  ©â¨ ª®¬¯®­¥­âë ⥭§®à  t = (−→ e1 − − e2 ) (− e1 + → e2 ) ®â­®á¨â¥«ì­® → − → − ¡ §¨á  BV = { e1 , e2 }. ‡ ¤ ç  15. ãáâì a = (1, 2, 3), b = (−2, 1, 0) ®â­®á¨â¥«ì­® ¡ §¨á  BV . ‡­ ï, çâ® f, g ∈ V ∗ ¨ Nf = (5, N 0, 1), g = (1, 1, −2) ®â­®á¨â¥«ì­® ¤¢®©á⢥­­®£® ¡ §¨á  ª N N N N BV , ­ ©â¨: a) a b, b)a f, c)a f + b g, d)a b − b a. ‡ ¤ ç  16. ãáâì V { âà¥å¬¥à­®¥ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà ­á⢮. „®ª § âì, çâ® → → → → ®â®¡à ¦¥­¨¥ t : V × V × V ∗ → R : t(− x ,− y , a) → a([− x ,− y ]) ï¥âáï ⥭§®à®¬, → − → − → − → − §¤¥áì [ x , y ] { ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ x , y .  ©â¨ ª®®à¤¨­ âë ⥭→ → → → → → → → §®à  t ®â­®á¨â¥«ì­® ¡ §¨á  BV = {− e1 , − e2 , − e3 }, ¢ ª®â®à®¬ [− e1 , − e2 ] = − e3 , [− e2 , − e3 ] = ∗

12

‡ ¯¨á âì à §«®¦¥­¨¥ ⥭§®à  ¯® ¡ §¨áã. y 1 (− → → x1 ) y 2 (− x1 ) 1 2 → − → − ‡ ¤ ç  17. „®ª § âì, çâ® t : (x1 , x2 , y , y ) = y1(−→ { ⥭§®à.  ©â¨ → x2 ) y 2 (− x2 ) ¥£® ª®®à¤¨­ âë ¢ ª ª®¬-«¨¡® ¡ §¨á¥ ¨ ­ ¯¨á âì ¥£® à §«®¦¥­¨¥ ¯® ¡ §¨áã. → → → ‡ ¤ ç  18. ãáâì BV = {−→ e1 , − e2 , − e3 , − e4 } { ¡ §¨á ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V ¨ BV = N→ N→ N→ 1 2 3 4 {f , f , f , f } - ¤¢®©á⢥­­ë© ª ­¥¬ã ¡ §¨á ¨ t = f 1 − e2 + f 2 − e3 + f 3 − e4 .  ©â¨: → → 1) ¢á¥ y ∈ V ∗ â ª¨¥, çâ® t(− x , y) = 0 ¯à¨ ¢á¥å − x ∈V; → − → − 2) ¢á¥ x ∈ V â ª¨¥, çâ® t( x , y) = 0 ¯à¨ ¢á¥å y ∈ V ∗ . ‡ ¤ ç  19.  ©â¨ §­ ç¥­¨¥ t(−→x , −→x , −→x , y, y), ¥á«¨ ¢á¥ ª®®à¤¨­ âë ⥭§®à  t → → → → → à ¢­ë 3 ¨ − x = − e1 + 2− e2 + 3− e3 + 4− e4 , y = f 1 − f 2 , £¤¥ f i { ª®¢¥ªâ®àë ¡ §¨á , → − ¤¢®©á⢥­­®£® ª ¡ §¨áã ei . ‡ ¤ ç  20. ˆ§¬¥­ïâáï «¨ ª®¬¯®­¥­âë ⥭§®à  δji ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª ¤à㣮¬ã ¡ §¨áã? ‡ ¤ ç  21. ãáâì xi ¨ yj ª®®à¤¨­ âë ¢¥ªâ®à®¢, ᮮ⢥âá⢥­­®, −→x ¨ −→y . Ÿ¢«ïîâáï «¨ ­ ¡®àë ç¨á¥« tij = xi + yj ª®¬¯®­¥­â ¬¨ ­¥ª®â®à®£® ⥭§®à ? ‡ ¤ ç  22. ãáâì tkij { ª®¬¯®­¥­âë ⥭§®à  T21(V ) ¨ dim V = 2.  ¯¨á âì § ª®­ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ª®¬¯®­¥­âë t112 . ‡ ¤ ç  23. „®ª § âì, ç⮠⥭§®à tij { à §«®¦¨¬ ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ 

− → − → → e1 , [→ e3 , − e1 ] = − e2 .

∗

rang ||tij || = 1.

‡ ¤ ç  24. Š ª¨¥ ¨§ á«¥¤ãîé¨å ⥭§®à®¢, § ¤ ­­ëå ᢮¨¬¨ ª®®à¤¨­ â ¬¨, à §«®¦¨¬ë: a) tij = ij; b) tij = δ1i j; c) tij = i + j? ‡ ¤ ç  25. ãáâì tijk { ª®¬¯®­¥­âë ⥭§®à  ¢ BV .  ©â¨ tij k , ¥á«¨: a) C = 0 0 0 0 1 −1 i ; , tj2 = { ¬ âà¨æ  ¯¥à¥å®¤  ®â BV ª BV0 ¨ tij1 = −1 1 1 0 −1 2 0 0 0

b) C 0 0 −1 1 1 1

1 0 0 = −1 −1 0 0 0 1 0 1‘ . 0



{ ¬ âà¨æ  ¯¥à¥å®¤  ®â BV ª BV0 ¨ tij1

0 1 −1 = 1 0 2 , tij2 = 0 0 0

Žâ¢¥âë ¨ à¥è¥­¨ï. ‡ ¤ ç  2. “ª § ­¨¥.  ©â¨ à §¬¥à­®áâì ï¤à  «¨­¥©­®© ä㭪樨. ‡ ¤ ç  3. …¤¨­á⢥­­ë¬ ª®¢¥ªâ®à®¬ ï¥âáï äã­ªæ¨ï F 3. Ž¡®§­ ç¨¬ ç¥à¥§

ª®¢¥ªâ®àë ¡ §¨á , ¤¢®©á⢥­­®£® ª BV . ãáâì F 3 = a1 f 1 + a2 f 2 + a3 f 3 . „«ï ⮣®, çâ®¡ë ­ ©â¨ ª®íää¨æ¨¥­âë à §«®¦¥­¨ï ai ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢ à ¢¥­á⢮ F3 = P3 P3 i − i 3 − → − → ai f (→ ej ). 1P 1 ai f ¢ ª ç¥á⢥  à£ã¬¥­â  ¢¥ªâ®à ej , j = 1, 2, 3. ˆ¬¥¥¬: F ( ej ) = 3 3 − → ’¥¯¥àì, ãç¨âë¢ ï ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¤¢®©á⢥­­®£® ¡ §¨á , ¯®«ã稬 F ( ej ) = 1 ai δji = → → → aj . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, a1 = F 3 (− e1 ) = 1, a2 = F 3 (− e2 ) = 4, a3 = F 3 (− e3 ) = −1. 1 2 ‡ ¤ ç  4. 1-ë© á¯®á®¡ à¥è¥­¨ï. ãáâì BV = {f , f } ¨ BV0 = {f 1 , f 2 } { ¡ §¨áë ¤¢®©á⢥­­ë¥, ᮮ⢥âá⢥­­®, ª BV ¨ BV0 . ‚ëç¨á«¨¬ ª®íää¨æ¨¥­âë dij ¢ à §«®¦¥­¨¨ ª®¢¥ªâ®à®¢ f 1 = d11 f 1 + d21 f 2 , (21) f 2 = d12 f 1 + d22 f 2 . (22) f 1, f 2, f 3

0

∗

0

0

13

∗

0

„«ï í⮣® ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢¥ªâ®à − e→ 1 ¢ ª ç¥á⢥  à£ã¬¥­â  ¢ ®¡¥ ç á⨠ࠢ¥­á⢠ (21). ’®£¤ , ãç¨âë¢ ï ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¤¢®©á⢥­­®£® ¡ §¨á , ¯à¨å®¤¨¬ ª à ¢¥­áâ¢ã: 1 = d11 +d21 2. €­ «®£¨ç­®, ¯®¤áâ ¢«ïï ¢ (21) ¢¥ªâ®à − e→ 2 , ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì: 0 = d11 (−1)+d21 . ¥è ï ¯®«ã祭­ãî á¨á⥬㠮⭮á¨â¥«ì­® ª®íää¨æ¨¥­â®¢ d11 , d21 , ­ å®¤¨¬ d11 = 1/3, d21 = 1/3. €­ «®£¨ç­® ¨§ à ¢¥­á⢠ (22) ­ å®¤¨¬ ª®íää¨æ¨¥­âë d12 , d22 . 2-®© ᯮᮡ à¥è¥­¨ï. à¨¬¥­ïï ⥮६ã 2, ­ å®¤¨¬ ¬ âà¨æã ¯¥à¥å®¤  D ¤«ï ¤¢®©á⢥­­ëå ¡ §¨á®¢ ¯® ä®à¬ã«¥ D = (C −1 )t , £¤¥ ||C|| { ¬ âà¨æ  ¯¥à¥å®¤  ®â BV ª BV0 . ‡ ¤ ç  5. “ª § ­¨¥.  ©â¨ ª®®à¤¨­ âë ª®¢¥ªâ®à  f 1 − f 2 ¢ ¡ §¨á¥ ¤¢®©á⢥­­®¬ ª ¡ §¨áã BV0 . Qn+1 ‡ ¤ ç  7. 3).  §¨á {gt(x) = Qn+1 k=1, k6=t (x − k)/ k=1, k6=t (t − k)} { ¤¢®©á⢥­­ë© ª ¡ §¨áã {at }, ¡ §¨á {gi (x) = xi! } { ¤¢®©á⢥­­ë© ª ¡ §¨áã {gi }. ‡ ¤ ç  9. “ª § ­¨¥.  ©â¨ ¬ âà¨æã A, ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ä㭪樨 f : X = 0

0

i

||xij || → xij .

‡ ¤ ç  10. “ª § ­¨¥.  áᬮâà¥âì ï¤à  íâ¨å ä㭪権. j → ‡ ¤ ç  11. ¥è¥­¨¥. ® ãá«®¢¨î ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢠: F (−→ ei ) = ai − ej , £¤¥ i, j = 1, n.

ãáâì BV = {f t } { ¤¢®©á⢥­­ë© ª BV ¡ §¨á ¨ F ∗ (f t ) = bts f s . ’®£¤  ¯® ®¯à¥¤¥«¥→ → → → ­¨î F ∗ ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢠ F ∗ (f t )(− ei ) = f t (F (− ei )) = f t (aji − ej ) = aji f t (− ej ) = aji δjt = ati . → → ‚ â® ¦¥ ¢à¥¬ï F ∗ (f t )(− ei ) = bts f s (− ei ) = bts δis = bti . ‚ ¦­® ®â¬¥â¨âì, çâ® B ­¥ ï¥âáï ¬ âà¨æ¥© ®¯¥à â®à  F ∗ ¢ ¡ §¨á¥ BV , â.ª. ®¡à §ë ¡ §¨á­ëå ¢¥ªâ®à®¢ F ∗ (f i ) ïîâáï áâப ¬¨ ¬ âà¨æë B,   ­¥ á⮫¡æ ¬¨. ®í⮬㠬 âà¨æ¥© ®¯¥à â®à  F ∗ ï¥âáï ¬ âà¨æ  At . ‡ ¤ ç  14. “ª § ­¨¥. ‚®á¯®«ì§®¢ âìáï «¨­¥©­®áâìî ⥭§®à­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ¨«¨ ­ ©â¨ §­ ç¥­¨ï ⥭§®à  ­  ­ ¡®à å ¡ §¨á­ëå ª®¢¥ªâ®à®¢. → − ‡ ¤ ç  17. “ª § ­¨¥.  ©â¨ t(−e→i , −e→i , f j , f j ). Žâ¢¥â: t = f 1 ⊗ f 2 ⊗ −→ e1 ⊗ e2 + ∗

∗

1

1

−2 − → →1 →2 − − →1 1 22 → − − → 2 1 1 2 f ⊗ f ⊗ e ⊗ e − f ⊗ f ⊗ e ⊗ e − f ⊗ f 1 ⊗ e1 ⊗ e2 .

‡ ¤ ç  20. ¥â. ‡ ¤ ç  21. “ª § ­¨¥.  ¯à¨¬¥à, à áᬮâà¥âì á«ãç ©, ª®£¤  → −

− → x = 0.

‡ ¤ ç  23. ãáâì rang||tij || = 1. ’®£¤ 

t11 6= 0. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, tjp = tj1t11t1p ¯à¨ a = tj1 f j ¨ b = tt1p f p . ’®£¤  t = a ⊗ b. 11

¢á¥å

t im tjm

dim V = 2

¨



tip = 0 ∀i, j, m, n = 1, n. ãáâì tjp i, p = 1, n.  áᬮâਬ ¤¢  ª®¢¥ªâ®à 

‹¨â¥à âãà  [1] Š®áâਪ¨­ €.ˆ. ‚¢¥¤¥­¨¥ ¢  «£¥¡àã. — áâì II. Œ.: ”¨§-¬ â. «¨â¥à âãà , 2001. 368 á. [2] ‘¡®à­¨ª § ¤ ç ¯®  «£¥¡à¥. ®¤ ।. €.ˆ. Š®áâਪ¨­ . Œ.: ” ªâ®à¨ «, 1995. 454 á. [3] Œ « å «ì楢 Œ.€., ”®¬¨­ ‚.…., ˜ ¯ãª®¢ .., ˜ãà루­ ‚.‚. ‡ ¤ ç¨ ¯® ⥭§®à­®¬ã  ­ «¨§ã ¨ ਬ ­®¢®© £¥®¬¥âਨ. Š § ­ì: ˆ§¤-¢® Š § ­áª®£® ã­-â , 1993. 159 á. 14