kAZANSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET
s n tRONIN .
.
wwedenie w teori` grupp zada~i i teoremy ~astx 1
kazanx | 2006
...
118 downloads
292 Views
450KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
kAZANSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET
s n tRONIN .
.
wwedenie w teori` grupp zada~i i teoremy ~astx 1
kazanx | 2006
pE^ATAETSQ PO REENI@ U^ENOGO SOWETA MEHANIKO-MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA kgu
nAU^NYJ REDAKTOR D F M N PROFESSOR i i sAHAEW :
.
.-
.
.,
.
.
tRONIN s n .
.
wWEDENIE W TEORI@ GRUPP. zADA^I I TEOREMY. ~ASTX 1.: u^EBNOE POSOBIE / s.n. tRONIN.| kAZANX: kAZANSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET, 2006. | 100 S. dANNOE U^EBNOE POSOBIE PREDNAZNA^ENO DLQ STUDENTOW-MATEMATIKOW MLADIH KURSOW. oNO MOVET BYTX ISPOLXZOWANO DLQ RABOTY NA PRAKTI^ESKIH ZANQTIQH PO KURSU ALGEBRY KAK DOPOLNENIE K UVE IME@]EJSQ LITERATURE, A TAKVE DLQ SAMOSTOQTELXNOJ RABOTY. mATERIAL POSOBIQ W CELOM OHWATYWAET WSE RAZDELY TEORII GRUPP, SODERVA]IESQ W DEJSTWU@]EJ NA DANNYJ MOMENT PROGRAMME KURSA ALGEBRY.
sodervanie wWEDENIE : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1. oPREDELENIQ, OBOZNA^ENIQ, PRIMERY : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 2. gRUPPY PODSTANOWOK : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29 3. sMEVNYE KLASSY, KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW, PORQDKI : : : : 43 4. fAKTORGRUPPY I PRQMYE PROIZWEDENIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70 literatura : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 98
wWEDENIE dANNOE U^EBNOE POSOBIE PREDNAZNA^ENO DLQ STUDENTOW-MATEMATIKOW, IZU^A@]IH KURS ALGEBRY. w \TOT KURS WHODQT W KA^ESTWE SOSTAWNOJ ^ASTI NEKOTORYE NA^ALXNYE SWEDENIQ IZ TEORII GRUPP. oSNOWAM TEORII GRUPP I POSWQ]QETSQ DANNAQ KNIGA. sOBSTWENNYJ OPYT AWTORA SWIDETELXSTWUET O TOM, ^TO INOGDA WOZNIKAET RAZRYW MEVDU MATERIALOM, IZLAGAEMYM NA LEKCIQH, I TEM, ^TO PRIHODITSQ DELATX NA PRAKTI^ESKIH ZANQTIQH. cELX DANNOJ KNIVKI | ESLI NE LIKWIDIROWATX, TO, PO KRAJNEJ MERE, UMENXITX \TOT RAZRYW. aWTOR POPYTALSQ SOEDINITX W NEJ NEBOLXOJ ZADA^NIK I NEKOTOROE KOLI^ESTWO TEORETI^ESKIH SWEDENIJ, NEOBHODIMYH DLQ REENIQ ZADA^ I DLQ PONIMANIQ OSNOW TEORII W CELOM. oPIEM WKRATCE SODERVANIE. pERWAQ ^ASTX SODERVIT ^ETYRE RAZDELA. w PERWOM RAZDELE PRIWODITSQ NEKOTOROE KOLI^ESTWO OPREDELENIJ I PRIMEROW, S KOTORYH MOVNO NA^INATX IZU^ENIE TEORII GRUPP. wTOROJ RAZDEL POSWQ]EN GRUPPAM PODSTANOWOK. w NEM SODERVITSQ TOT MINIMUM SWEDENIJ, KOTORYE KAVDYJ STUDENT-MATEMATIK DOLVEN ZNATX 3
O PODSTANOWKAH. bOLXAQ ^ASTX MATERIALA PREDSTAWLENA W WIDE WZAIMOSWQZANNYH ZADA^. pRI REENII POSLEDU@]IH O^ENX ^ASTO NEOBHODIMO ISPOLXZOWATX REZULXTATY PREDYDU]IH. tRETIJ RAZDEL SODERVIT ZADA^I O SMEVNYH KLASSAH GRUPPY PO PODGRUPPE, O PORQDKAH \LEMENTOW I O KLASSAH SOPRQVENNYH \LEMENTOW. zADA^I W \TOM RAZDELE PREOBLADA@T. ~ETWERTYJ RAZDEL POSWQ]EN GOMOMORFIZMAM GRUPP, FAKTORGRUPPAM I PRQMYM PROIZWEDENIQM GRUPP. oN TAKVE SOSTOIT W OSNOWNOM IZ ZADA^, HOTQ SFORMULIROWANY I WSE NEOBHODIMYE DLQ IH PONIMANIQ I REENIQ TEORETI^ESKIE REZULXTATY. oSTALXNYE PQTX RAZDELOW SOSTAWLQ@T SODERVANIE WTOROJ ^ASTI POSOBIQ. zADA^I I TEOREMY PQTOGO RAZDELA SWQZANY S DEJSTWIEM GRUPP NA MNOVESTWAH. |TO FUNDAMENTALXNAQ KONSTRUKCIQ, RABOTA@]AQ WO MNOGIH OBLASTQH MATEMATIKI, A NE W ODNOJ TOLXKO ALGEBRE. tEHNIKA DEJSTWIJ ISPOLXZUETSQ PRI DOKAZATELXSTWE MNOGIH WAVNYH TEOREM. w DANNYJ PARAGRAF WKL@^ENY ZADA^I, OSNOWANNYE NA TEOREMAH sILOWA, PROQSNQ@]IMI SSTROENIE KONE^NYH GRUPP. w ESTOM RAZDELE RASSMATRIWA@TSQ LINEJNYE DEJSTWIQ I SAMYE PROSTEJIE PONQTIQ TEORII LINEJNYH PREDSTAWLENIJ GRUPP. tO OBSTOQTELXSTWO, ^TO MY SOZNATELXNO OGRANI^ILISX IMENNO PROSTEJIMI PONQTIQMI, SU]ESTWENNO POWLIQLO NA TEMATIKU ZADA^ \TOGO RAZDELA. sEDXMOJ RAZDEL SODERVIT NEKOTORYE TEOREMY I ZADA^I O GRUPPAH WRA]ENIJ W DWUMERNOM I TREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWAH, I SOWSEM NEMNOGO | O KONE^NYH PODGRUPPAH GRUPP WRA]ENIJ. w KONE^NOM S^ETE RE^X IDET OB MATEMATI^ESKIH OSNOWAH PONQTIQ SIMMETRII. wOSXMOJ RAZDEL POSWQ]EN KWATERNIONAM | ^ETYREHMERNOMU OBOB]ENI@ POLQ KOMPLEKSNYH ^ISEL. nA PERWYJ WZGLQD, \TA TEMA NE OTNOSIT4
SQ PRQMO K TEORII GRUPP. nO, WO-PERWYH, ONA INTERSNA SAMA PO SEBE, I STUDENTU-MATEMATIKU BUDET POLEZEN TOT MINIMUM SWEDENIJ, KOTORYJ PRIWEDEN W DANNOM RAZDELE. wO-WTORYH, KWATERNIONY SU]ESTWENNEJIM OBRAZOM ISPOLXZU@TSQ PRI DOKAZATELXSTWE OSNOWNYH TEOREM SLEDU@]EGO, DEWQTOGO RAZDELA, GDE WYQSNQETSQ STROENIE SPECIALXNOJ UNITARNOJ GRUPPY SU (2) I SPECIALXNOJ ORTOGONALXNOJ GRUPPY SO(3) | GRUPPY WRA]ENIJ W TREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE. w OTLI^IE OT NEKOTORYH DRUGIH U^EBNIKOW (NAPRIMER, 3]), GDE \TI VE REZULXTATY DOKAZYWA@TSQ S ISPOLXZOWANIEM SSYLOK NA OB]IE TEOREMY LINEJNOJ ALGEBRY, MY PRIWODIM PRQMOE DOKAZATELXSTWO, GDE SSYLKI NA LINEJNU@ ALGEBRU SWEDENY K MINIMUMU, A IZWESTNYJ FAKT O PREDSTAWLENII KAVDOGO POWOROTA W WIDE SUPERPOZIJII TREH POSLEDOWATELXNYH WRA]ENIJ WOKRUG OSEJ OX , OZ I OX (\UGLY |JLERA") WYWODITSQ KAK SLEDSTWIE. dANNOE POSOBIE OHWATYWAET WESX MATERIAL TEORII GRUPP, WKL@^ENNYJ W NYNE DEJSTWU@]U@ UNIWERSITETSKU@ PROGRAMMU. oNO, RAZUMEETSQ, NE MOVET ZAMENITX PODROBNYH U^EBNIKOW, I NE QWLQETSQ ALXTERNATIWOJ ZADA^NIKU 4], NE GOWORQ UVE O SPECIALIZIROWANNOM ZADA^NIKE 5]. aWTOR NADEETSQ TOLXKO, ^TO EGO KNIGA HOTQ BY W NEKOTORYH OTNOENIQH MOVET SLUVITX IM DOPOLNENIEM.
5
1.
oPREDELENIQ OBOZNA^ENIQ PRIMERY ,
,
pOLUGRUPPA P ESTX MNOVESTWO WMESTE S ZADANNOJ NA NEM BINARNOJ OPERACIEJ, TO ESTX OTOBRAVENIEM P P ;! P (x y) 7! xy (REZULXTAT PRIMENENIQ KOTOROGO ^ASTO NAZYWAETSQ \UMNOVENIEM"), PRI^EM DOLVNO BYTX WYPOLNENO SLEDU@]EE TOVDESTWO ASSOCIATIWNOSTI: DLQ L@BYH x y z 2 P IMEET MESTO RAWENSTWO (xy)z = x(yz ) . pOLUGRUPPA NAZYWEETSQ KOMMUTATIWNOJ, ESLI DLQ WSEH x y 2 P IMEET MESTO RAWENSTWO xy = yx . |LEMENT e 2 P NAZYWAETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM POLUGRUPPY, ESLI DLQ L@BOGO x 2 P IME@T MESTO RAWENSTWA xe = ex = x . nEJTRALXNYJ \LEMENT ^ASTO NAZYWA@T EDINICEJ POLUGRUPPY I ISPOLXZU@T DLQ NEGO SOOTWETSTWU@]EE OBOZNA^ENIE: e = 1 . pOLUGRUPPA S EDINICEJ NAZYWAETSQ TAKVE MONOIDOM. uBEDIMSQ, ^TO W POLUGRUPPE MOVET BYTX NE BOLEE ODNOGO NEJTRALXNOGO \LEMENTA. dOPUSTIM, ^TO IH DWA. nAPRIMER, e1 I e2 . tOGDA \LEMENT e1e2 DOLVEN BYTX RAWNYM e2 , TAK KAK e1 NEJTRALXNYJ \LEMENT. nO TOT VE e1e2 DOLVEN BYTX RAWNYM I e1 , TAK KAK e2 TOVE NEJTRALXNYJ \LEMENT. sLEDOWATELXNO, e1 = e2 . rEZULXTAT BINARNOJ OPERACII P P ;! P , WOOB]E GOWORQ, MOVNO OBOZNA^ATX SAMYM PROIZWOLXNYM OBRAZOM. zAPISX W WIDE (x y) 7! xy NAZYWA@T MULXTIPLIKATIWNOJ. kROME NEE, ^ASTO ISPOLXZUETSQ TAK NAZYWAEMAQ ADDITIWNAQ ZAPISX (x y) 7! x + y (OPERACIQ \SLOVENIQ"), DLQ KOTOROJ TOVDESTWO ASSOCIATIWNOSTI WYGLQDIT TAK: (x + y) + z = x + (y + z ) A NEJTRALXNYJ \LEMENT NAZYWAETSQ NULEM, I OBOZNA^AETSQ SOOTWETSTWENNO KAK 0 . ~A]E WSEGO ADDITIWNYE OBOZNA^ENIQ ISPOLXZU@TSQ DLQ KOMMUTATIWNYH POLUGRUPP, TO ESTX KOGDA x + y = y + x . dALEE W TEKSTE 6
MNOGIE OPREDELENIQ I FAKTY FORMULIRU@TSQ TOLXKO W MULXTIPLIKATIWNOJ ZAPISI. pODRAZUMEWAETSQ, ^TO W SLU^AE NEOBHODIMOSTI ^ITATELX SMOVET SAM PEREJTI K DRUGOJ FORME OBOZNA^ENIJ. wOT NEKOTOROYE PRIMERY POLUGRUPP.
pRIMER
| MNOVESTWO WSEH NEOTRICATELXNYH CELYH ^ISEL S BINARNOJ OPERACIEJ SLOVENIQ. |TO KOMMUTATIWNAQ POLUGRUPPA. nEJTRALXNYJ \LEMENT | NULX.
pRIMER
1.1. N
| MNOVESTWO POLOVITELXNYH CELYH ^ISEL S OPERACIEJ UMNOVENIQ. |TO TAKVE KOMMUTATIWNAQ POLUGRUPPA, NO NEJTRALXNYJ \LEMENT W NEJ | EDINICA.
pRIMER
1.2. N+
rASSMOTRIM L@BOE MNOVESTWO X , I PUSTX PX ESTX MNOVESTWO WSEH OTOBRAVENIJ IZ X W X . oPREDELIM NA PX BINARNU@ OPERACI@ KAK WZQTIE SUPERPOZICII OTOBRAVENIJ. tO^NEE, ESLI f1 f2 2 f2 PX , TO REZULXTAT UMNOVENIQ f1f2 ESTX SUPERPOZICIQ OTOBRAVENIJ X ;! f1 X . tAK KAK SUPERPOZICIQ OTOBRAVENIJ ASSOCIATIWNA, TO P X ;! X PREWRA]AETSQ W POLUGRUPPU, EDINICEJ KOTOROJ QWLQETSQ TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE 1X . zAMETIM, ^TO PRI jX j 2 POLUGRUPPA PX NE QWLQETSQ KOMMUTATIWNOJ.
pRIMER
1.3.
sWOBODNAQ ASSOCIATIWNAQ POLUGRUPPA FPX S BAZISOM X OPREDELQETSQ KAK MNOVESTWO WSEWOZMOVNYH KONE^NYH POSLEDOWATELXNOSTEJ WIDA (x1 x2 : : : xn) , xi 2 X , 1 i n , n 0 . \uMNOVENIE" DWUH TAKIH POSLEDOWATELXNOSTEJ a = (x1 x2 : : : xn) I b = (y1 y2 : : : ym) ESTX PRIPISYWANIE IH DRUG K DRUGU: 1.4.
ab = (x1 x2 : : : xn y1 y2 : : : ym ): 7
qSNO, ^TO \TA OPERACIQ ASSOCIATIWNA. rOLX NEJTRALXNOGO \LEMENTA (EDINICY) IGRAET WWODIMAQ FORMALXNO POSLEDOWATELXNOSTX NULEWOJ DLINY, PRIPISYWANIE KOTOROJ SLEWA ILI SPRAWA K L@BOJ DRUGOJ NI^EGO NE MENQET. bOLEE TRADICIONNAQ FORMA ZAPISI: (x1 x2 : : : xn) = x1x2 : : : xn . |TO MOVNO NAZWATX STROKOJ, ILI SLOWOM W ALFAWITE X . pOLUGRUPPY WIDA FPX IGRA@T BOLXU@ ROLX W TEORII KODIROWANIQ. kAK I W PRIMERE 3, PRI jX j 2 POLUGRUPPA FPX NE QWLQETSQ KOMMUTATIWNOJ.
pRIMER
pUSTX P | PROIZWOLXNAQ POLUGRUPPA. rASSMOTRIM MNOVESTWO P , SOSTOQ]EE IZ WSEH NEPUSTYH PODMNOVESTW MNOVESTWA P , I OPREDELIM NA NEM BINARNU@ OPERACI@ UMNOVENIQ SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX A I B | \LEMENTY MNOVESTWA P . |TO OZNA^AET, ^TO A P I B P . pOLOVIM PO OPREDELENI@ AB = f ab j a 2 A b 2 B g (1) pOKAVEM, ^TO \TA OPERACIQ ASSOCIATIWNA, T.E. ESLI C P , TO (AB )C = A(BC ) . tAK KAK RE^X IDET O MNOVESTWAH, NEOBHODIMO USTANOWITX WKL@^ENIQ (AB )C A(BC ) , A(BC ) (AB )C . pUSTX x 2 (AB )C . |TO ZNA^IT, ^TO x = yc , GDE y 2 AB , c 2 C . y 2 AB OZNA^AET, ^TO y = ab , GDE a 2 A , b 2 B . tOGDA x = (ab)c = a(bc) PO SWOJSTWU ASSOCIATIWNOSTI. iNYMI SLOWAMI, x = az , GDE z = bc 2 BC . sLEDOWATELXNO, PO OPREDELENI@, x 2 A(BC ) . oBRATNOE WKL@^ENIE USTANAWLIWAETSQ ANALOGI^NYM RASSUVDENIEM. iTAK, P WMESTE S OPERACIEJ (1) QWLQETSQ POLUGRUPPOJ. uSLOWIMSQ O SLEDU@]EM. bUDEM OTOVDESTWLQTX \LEMENTY IZ P I SOOTWETSTWU@]IE ODNO\LEMENTNYE MNOVESTWA. eSLI, NAPRIMER, a 2 P , TO WMESTO fag , BUDEM PISATX PROSTO a , I WMESTO, NAPRIMER, fagB BUDEM PISATX aB = fabjb 2 B g , I TO^NO TAK VE W DRUGIH PODOBNYH SLU^AQH. tAKIM OBRAZOM, UMNOVENIE W P STANOWITSQ ^ASTNYM SLU^AEM UMNOVENIQ (1) W P . eSLI W POLUGRUPPE P 1.5.
8
ESTX NEJTRALXNYJ \LEMENT e , TO \TOT VE \LEMENT (ILI ODNO\LEMENTNOE MNOVESTWO feg ) BUDET NEJTRALXNYM \LEMENTOM W P . w SAMOM DELE, DLQ KAVDOGO A P MNOVESTWA eA = feaja 2 Ag = faja 2 Ag I Ae = faeja 2 Ag = faja 2 Ag SOWPADA@T S A . eSLI POLUGRUPPA P KOMMUTATIWNA, TO KOMMUTATIWNA I P . w SAMOM DELE, ESLI ab = ba DLQ L@BYH a I b , TO AB = fabja 2 A b 2 B g = fbaja 2 A b 2 B g = BA . |TOMU PRIMERU UDELENO TAK MNOGO MESTA POTOMU, ^TO UMNOVENIE PODMNOVESTW I SWOJSTWO EGO ASSOCIATINOSTI (A INOGDA I KOMMUTATIWNOSTI) BUDET ISPOLXZOWATXSQ W DALXNJEM O^ENX ^ASTO. zAMETIM E]E, ^TO ESLI OPERACIQ W P ZAPISYWAETSQ ADDITIWNO, TO WMESTO (1) NADO ISPOLXZOWATX SLEDU@]EE OPREDELENIE: A + B = f a + b j a 2 A b 2 B g
nEJTRALXNYM \LEMENTOM W P (ESLI ON ESTX).
P
(2)
W \TOM SLU^AE QWLQETSQ NULX POLUGRUPPY
gRUPPOJ NAZYWAETSQ POLUGRUPPA G S NEJTRALXNYM \LEMENTOM e (KOTORYJ ^A]E WSEGO BUDET NAZYWATXSQ EDINICEJ GRUPPY), W KOTOROJ DLQ KAVDOGO x 2 G SU]ESTWUET TAKOJ \LEMENT y 2 G , ^TO xy = yx = e . |LEMENT y NAZYWAETSQ OBRATNYM K \LEMENTU x , I OBOZNA^AETSQ x;1 . kAVDAQ GRUPPA QWLQETSQ POLUGRUPPOJ S NEJTRALXNYM \LEMENTOM. oBRATNOE NEWERNO. tAK, NI ODNA IZ POLUGRUPP W PRIMERAH 1 { 4 GRUPPOJ ZAWEDOMO NE QWLQETSQ. w PRIMERE 5 SITUACIQ BOLEE SLOVNAQ, NO I W NEM WSE MNOVESTWO P GRUPPOJ, WOOB]E GOWORQ, NE BUDET. oDNAKO NEKOTORYE PODMNOVESTWA P MOGUT BYTX GRUPPAMI, ESLI SAMA POLUGRUPPA P QWLQETSQ GRUPPOJ. |TI SLU^AI RAZOBRANY DALEE W RAZDELE 4. sOBEREM WSE SWOJSTWA IZ OPREDELENIQ GRUPPY WMESTE. iTAK, DOLVNA 9
BYTX OPREDELENA BINARNAQ OPERACIQ (UMNOVENIE): G G ;! G (g1 g2) 7! g1g2
TAKAQ, ^TO WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE SWOJSTWA: 1) (ASOCIATIWNOSTX) (g1g2)g3 = g1(g2g3) DLQ L@BYH g1 g2 g3 2 G 2) SU]ESTWUET e 2 G , TAKOJ, ^TO DLQ WSEH g 2 G IME@T MESTO RAWENSTWA: ge = eg = e 3) DLQ KAVDOGO x 2 G NAJDETSQ y 2 G TAKOJ, ^TO xy = yx = e .
pOKAVEM, ^TO \LEMENT y IZ SWOJSTWA 3) OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO. dOPUSTIM, ^TO DLQ DANNOGO x NALOSX DWA OBRATNYH \LEMENTA y1 I y2 . tOGDA (y1 x)y2 = ey2 = y2 . nO, S DRUGOJ STORONY, (y1 x)y2 = y1(xy2) = y1e = y1 . iTAK, y1 = y2 . tAK KAK OBRATNYJ K g 2 G \LEMENT OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO, EGO OBOZNA^A@T KAK g;1 . sWOJSTWO EDINSTWENNOSTI g;1 ISPOLXZUETSQ PRI DOKAZATELXSTWE NEKOTORYH WAVNYH SOOTNOENIJ. pOKAVEM, NAPRIMER, ^TO W L@BOJ GRUPPE G DLQ WSEH x y 2 G IMEET MESTO RAWENSTWO:
(xy);1 = y;1 x;1 dLQ \TOGO DOSTATO^NO PROWERITX, ^TO (xy)(y;1 x;1) = (y;1 x;1)(xy) = e , ^TO NE DOLVNO WYZYWATX ZATRUDNENIJ. oTS@DA SLEDUET, ^TO \LEMENT y;1 x;1 OBLADAET W TO^NOSTI TEMI VE SAMYMI SWOJSTWAMI, KOTORYE HARAKTERIZU@T (xy);1 . wWIDU EDINSTWENNOSTI OBRATNOGO \LEMENTA ZAKL@^AEM, ^TO (xy);1 = y;1x;1 . iNDUKCIEJ NETRUDNO POKAZATX, ^TO (x1x2 : : :xn );1 = x;n 1 : : : x;2 1x;1 1
DLQ WSEH n . 10
dOKAVITE, ^TO ESLI G | L@BAQ GRUPPA, x 2 G , I xn = e , TO x;1 = xn;1 . wERNO I OBRATNOE: IZ x;1 = xn;1 SLEDUET xn = e . dOKAVITE TAKVE BOLEE OB]IJ FAKT: ESLI 1 k n ; 1 I xn = 1 , TO x;k = xn;k . 1.1.
w ^ASTNOSTI, SWOJSTWO x = x;1 RAWNOSILXNO TOMU, ^TO x2 = e . nAIMENXEE CELOE POLOVITELXNOE n , DLQ KOTOROGO xn = e , NAZYWAETSQ PORQDKOM \LEMENTA x . sWOJSTWA PORQDKOW \LEMENTOW BUDUT PODROBNO IZU^ATXSQ W RAZDELE 3. oTMETIM E]E, ^TO (x;1 );1 = x . |TO TAKVE MOVNO USTANOWITX, ISPOLXZUQ SWOJSTWO EDINSTWENNOSTI OBRATNOGO \LEMENTA. pOLOVIM y = x;1 , I NAJDEM y;1 . dLQ \TOGO DOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO RAWENSTWA xy = yx = e MOGUT SLUVITX NE TOLXKO OPREDELENIEM OBRATNOGO \LEMENTA DLQ x , NO I OBRATNOGO \LEMENTA DLQ y , A \TIM \LEMENTOM OKAZYWAETSQ IMENNO x , I TOLXKO ON, WWIDU EDINSTWENNOSTI OBRATNOGO DLQ y.
i E]E ODNO (WOZMOVNO, TRIWIALXNOE) ZAME^ANIE. |LEMENT z }|n {
xx : : : x
( n -KRATNOE PROIZWEDENIE x NA x ) PRINQTO OBOZNA^ATX ^EREZ xn . bUDEM S^ITATX O^EWIDNYM, ^TO, WWIDU ASSOCIATIWNOSTI UMNOVENIQ, xnxm = xn+m (W NEKOTORYH KNIGAH \TO RAWENSTWO DOKAZYWAETSQ!). bUDEM TAKVE POLAGATX PO OPREDELENI@, ^TO }|n
z
{
x;n = x;1x;1 : : : x;1 :
pROWERXTE, ^TO (xn);1 = x;n . dLQ GRUPP, W KOTORYH WMESTO UMNOVENIQ PIETSQ SLOVENIE, WMESTO x;1 NADO PISATX ;x , WMESTO xn DOLVNO STOQTX x + + x = nx , I SOOTWETSTWENNO WMESTO x;n ISPOLXZUETSQ ZAPISX ;nx . 11
sLEDU@]IJ PRIMER QWLQETSQ ODNIM IZ CENTRALXNYH WO WSEJ TEORII GRUPP.
pRIMER
pUSTX F | POLE. nAPRIMER, \TO MOVET BYTX L@BOE IZ POLEJ Q (RACIONALXNYE ^ISLA), R (DEJSTWITELXNYE ^ISLA), C (KOMPLEKSNYE ^ISLA). oBOZNA^IM ^EREZ GLn(F ) MNOVESTWO WSEH NEWYROVDENNYH n n -MATRIC S KOMPONENTAMI IZ POLQ F . nAPOMNIM, ^TO MATRICA A NAZYWAETSQ NEWYROVDENNOJ, ESLI EE OPREDELITELX det(A) NE RAWEN NUL@. |TO \KWIWALENTNO SU]ESTWOWANI@ OBRATNOJ K A MATRICY, TO ESTX TAKOJ MATRICY A;1 , ^TO 1.6.
AA;1 = A;1A = En:
zDESX En | EDINI^NAQ n n -MATRICA. hOROO IZWESTNO, ^TO PROIZWEDENIE NEWYROVDENNYH MATRIC QWLQETSQ NEWYROVDENNOJ MATRICEJ. sLEDOWATELXNO, PROIZWEDENIE MATRIC OPREDELQET BINARNU@ OPERACI@ GLn(F ) GLn(F ) ;! GLn(F ) (A B ) 7! AB:
iZWESTNO, ^TO PROIZWEDENIE MATRIC ASSOCIATIWNO, A MATRICA En OBLADAET SWOJSTWOM NEJTRALXNOGO \LEMENTA: AEn = EnA = A . wSE \TO POKAZYWAET, ^TO GLn(F ) QWLQETSQ GRUPPOJ. gRUPPA GLn(F ) NAZYWAETSQ OB]EJ LINEJNOJ GRUPPOJ STEPENI n NAD POLEM F . w GRUPPE GLn(F ) OPREDELENA OPERACIQ TRANSPONIROWANIQ: A 7! tA , GDE i j -J \LEMENT MATRICY tA RAWEN j i -MU \LEMENTU A DLQ WSEH 1 i j n . oDNO IZ SWOJSTW OPERACII TRANSPONIROWANIQ TAKOWO: t(AB ) = (t B )(t A) . kROME TOGO t(t A) = A . |TO POKAZYWAET, ^TO OPERACIQ TRANSPONIROWANIQ POHODIT NA OPERACI@ WZQTIQ OBRATNOGO \LEMENTA. w DALXNEJEM (RAZDELY 7 I 9) BUDUT PODROBNO IZU^ENY MNOVESTWA NEWYROVDENNYH MATRIC, U 12
KOTORYH TRANSPONIROWANNYE MATRICY SOWPADA@T S OBRATNYMI. a POKA DOKAVEM, ^TO
(tA);1 = t(A;1): pUSTX X = tA . l@BAQ MATRICA Y , TAKAQ, ^TO XY = Y X = En , BUDET OBRATNOJ K X . pOKAVEM, ^TO W KA^ESTWE Y MOVNO WZQTX t(A;1) . w SAMOM DELE, ISPOLXZUQ SWOJSTWA TRANSPONIROWANIQ, POLU^IM:
XY = (t A)(t(A;1)) = t(A;1A) = tEn = En
I TO^NO TAK VE PROWERQETSQ, ^TO Y X = En . wWIDU EDINSTWENNOSTI OBRATNOGO \LEMENTA W GRUPPE TREBUEMOE RAWENSTWO DOKAZANO. oTMETIM, ^TO PRI n = 1 GRUPPA GLn(F ) QWLQETSQ MNOVESTWOM WSEH NENULEWYH \LEMENTOW POLQ F , A OPERACIQ UMNOVENIQ 1 1 -MATRIC SWODITSQ K OPERACII UMNOVENIQ \LEMENTOW POLQ. tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO NENULEWYH \LEMENTOW POLQ F , OBOZNA^AEMOE ^ASTO KAK F , QWLQETSQ GRUPPOJ OTNOSITELXNO OPERACII UMNOVENIQ POLQ. gRUPPY R I C W DALXNEJEM BUDUT ^ASTO ISPOLXZOWATXSQ. gOMOMORFIZM h IZ GRUPPY G1 W GRUPPU G2 | \TO OTOBRAVENIE h : G1 ;! G2 , UDOWLETWORQ@]EE SLEDU@]IM DWUM SWOJSTWAM. wO-PERWYH, DLQ L@BYH x y 2 G1 IMEET MESTO RAWENSTWO h(xy) = h(x)h(y) . wOWTORYH, NEJTRALXNYJ \LEMENT GRUPPY G1 DOLVEN OTOBRAVATXSQ W NEJTRALXNYJ \LEMENT GRUPPY G2 , TO ESTX h(e) = e , ILI h(1) = 1 , ESLI NEJTRALXNYE \LEMENTY OBOZNA^ENY SIMWOLOM 1 . eSLI IZ KONTEKSTA NE BUDET QSNO, K KAKOJ GRUPPE PRINADLEVIT TOT ILI INOJ NEJTRALXNYJ \LEMENT,TO NADO ISPOLXZOWATX OBOZNA^ENIQ WIDA eG ILI e1 DLQ NEJTRALXNOGO \LEMENTA G1 , I T.P. gOMOMORFIZMY GRUPP BUDUT PODROBNO IZU^ENY DALEE W RAZDELE 4, A 1
13
POKA DOKAVEM, ^TO DLQ KAVDOGO g 2 G1 IMEET MESTO RAWENSTWO: h(g;1) = h(g);1 :
pOLOVIM x = h(g) , I PUSTX y = h(g;1) . tOGDA xy = h(g)h(g;1 ) = h(gg;1) = h(e) = e yx = h(g;1 )h(g) = h(g;1 g) = h(e) = e:
tAKIM OBRAZOM, y = x;1 , ^TO I UTWERVDALOSX. gOMOMORFIZM h NAZYWAETSQ IZOMORFIZMOM, ESLI SU]ESTWUET GOMOMORFIZM f : G2 ;! G1 , TAKOJ, ^TO hf = 1G I fh = 1G . zDESX ^EREZ 1G I 1G OBOZNA^A@TSQ TOVDESTWENNYE OTOBRAVENIQ G1 I G2 . iNYMI SLOWAMI, DLQ KAVDOGO x 2 G1 IMEETMESTO RAWENSTWO f (h(x)) = x , A DLQ KAVDOGO y 2 G2 | RAWENSTWO h(f (y)) = y . 2
1
1
2
dOKAVITE, ^TO W OPREDELENII IZOMORFIZMA DOSTATO^NO POTREBOWATX, ^TOBY GOMOMORFIZM h BYL BIEKTIWNYM OTOBRAVENIEM. tOGDA OBRATNOE OTOBRAVENIE f BUDET GOMOMORFIZMOM AWTOMATI^ESKI. 1.2.
eSLI SU]ESTWUET KAKOJ-NIBUDX IZOMORFIZM IZ G1 W G2 , TO GOWORQT, ^TO GRUPPY G1 I G2 IZOMORFNY. |TO OBOZNA^AETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: G1
= G2 . pUSTX G | GRUPPA. zAFIKSIRUEM KAKOJ-NIBUDX g 2 G , I RASSMOTRIM OTOBRAVENIE g : G ! G , DEJSTWU@]EE PO PRAWILU: g (x) = gxg;1 . dOKAZATX, ^TO g | GOMOMORFIZM GRUPP. bOLEE TOGO, g | IZOMORFIZM: ;g 1 = g; . pROWERXTE \TO. 1.3.
1
14
iZOMORFIZMY IZ G W G NAZYWA@TSQ AWTOMORFIZMAMI GRUPPY G . aWTOMORFIZMY WIDA g NAZYWA@TSQ WNUTRENNIMI AWTOMORFIZMAMI. |LEMENTY x I gxg;1 NAZYWA@TSQ SOPRQVENNYMI (INOGDA GOWORQT | SOPRQVENNYMI POSREDSTWOM \LEMENTA g ). zAMETIM, ^TO ESLI y = gxg;1 , TO x = (g;1)y(g;1);1 . pUSTX G | GRUPPA. mO]NOSTX MNOVESTWA G , OBOZNA^AEMAQ ^EREZ jGj , NAZYWAETSQ PORQDKOM GRUPPY G . eSLI G1
= G2 , TO jG1j = jG2j , OBRATNOE NEWERNO. nEKOTORYE SWOJSTWA GOMOMORFIZMOW SOBRANY W SLEDU@]EJ PROSTOJ LEMME.
lEMMA
eSLI DANY DWA GOMOMORFIZMA GRUPP h1 : G1 ! G2 , h2 : G2 ! G3 , TO IH SUPERPOZICIQ h2h1 : G1 ! G3 , OPREDELQEMAQ KAK (h2 h1)(x) = h2(h1 (x)) , TAKVE QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP. tOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE IZ GRUPPY G W G ESTX GOMOMORFIZM GRUPP (O^EWIDNO, ^TO \TO IZOMORFIZM). sUPERPOZICIQ IZOMORFIZMOW QWLQETSQ IZOMORFIZMOM. eSLI g I w | WNUTRENNIE AWTOMORFIZMY, TO g w = gw . 1.4.
1.1.
dOKAVITE \TU LEMMU.
pODGRUPPOJ G0 GRUPPY G NAZYWAETSQ PODMNOVESTWO G0 G , OBLADA@]EE SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: 1) NEJTRALXNYJ \LEMENT (EDINICA) GRUPPY G PRINADLEVIT G0 2) IZ x y 2 G0 SLEDUET xy 2 G0 3) ESLI x 2 G0 , TO x;1 2 G0 . 15
|TO OPREDELENIE OZNA^AET, ^TO, ESLI WZQTX OGRANI^ENIE BINARNOJ OPERACII DLQ G NA G0 G0 G G , TO EGO MOVNO RASSMATRIWATX KAK OTOBRAVENIE W G0 , I OTNOSITELXNO \TOJ BINARNOJ OPERACII MNOVESTWO G0 SAMO STANOWITSQ GRUPPOJ, PRI^EM OTOBRAVENIE WKL@^ENIQ G0 G OKAZYWAETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP. sAMA GRUPPA G I MNOVESTWO feg QWLQ@TSQ PODGRUPPAMI G . |TI PODGRUPPY PRINQTO NAZYWATX TRIWIALXNYMI. o^EWIDNO, ^TO ESLI G0 | PODGRUPPA GRUPPY G , A G00 | PODGRUPPA GRUPPY G0 , TO G00 QWLQETSQ I PODGRUPPOJ GRUPPY G . rASSMOTRIM NESKOLXKO PRIMEROW PODGRUPP. pUSTX SLn(F ) = fA 2 GLn(F )jdet(A) = 1g . dOKAZATX, ^TO \TO PODGRUPPA GRUPPY GLn(F ) . 1.5.
SLn(F ) NAZYWAETSQ SPECIALXNOJ LINEJNOJ GRUPPOJ n -J STEPENI NAD POLEM F .
pUSTX Dn (F ) ESTX MNOVESTWO DIAGONALXNYH MATRIC IZ GLn(F ) , TO ESTX MATRIC WIDA: 1.6.
0 BB 1 BB 0 diag(1 2 : : : n) = BBB . BB . @
0 2 .. 0 0
::: ::: ... :::
1 CC CC CC CC CA
0 0 .. n GDE 1 2 : : : n | NENULEWYE \LEMENTY POLQ F . dOKAZATX, ^TO \TO PODGRUPPA GRUPPY GLn(F ) .
Dn(F ) OBY^NO NAZYWA@T GRUPPOJ DIAGONALXNYH MATRIC. 16
pUSTX Tn(F ) ESTX MNOVESTWO WERHNETREUGOLXNYH MATRIC IZ GLn(F ) , TO ESTX MATRIC WIDA: 1.7.
0 BB a11 BB 0 BB BB ... B@
a12 a22 ... 0 0
::: ::: ... :::
1
a1n CC a2n CCCC ... CC CA ann
GDE a11 a22 : : : ann | NENULEWYE \LEMENTY POLQ F . dOKAZATX, ^TO Tn(F ) | PODGRUPPA GRUPPY GLn(F ) , A Dn (F ) | PODGRUPPA GRUPPY Tn(F ) .
gRUPPU Tn(F ) PRINQTO NAZYWATX TREUGOLXNOJ GRUPPOJ. pUSTX UTn(F ) ESTX MNOVESTWO WERHNETREUGOLXNYH MATRIC IZ GLn(F ) , NA GLAWNOJ DIAGONALI KOTORYH STOQT EDINICY, TO ESTX MATRIC WIDA: 0 1 1.8.
BB 1 a12 : : : BB 0 1 : : : BB BB .. .. . . . B@
a1n CC a2n CCCC .. CC : CA 0 0 ::: 1
dOKAZATX, ^TO UTn(F ) | PODGRUPPA I GRUPPY Tn(F ) , I GRUPPY GLn(F ) . gRUPPA UTn(F ) NAZYWAETSQ UNITREUGOLXNOJ. dOKAZATX, ^TO IMEET MESTO IZOMORFIZM ADDITIWNOJ GRUPPY POLQ F I GRUPPY UT2(F ) . uKAZANIE. oTOBRAVENIE h : F ! UT2(F ) STROITSQ TAK. pUSTX a 2 F . tOGDA 0 1 1.9.
h(a) = B@ 1 a CA : 0 1 17
dOKAVITE, ^TO h | BIEKCIQ I GOMOMORFIZM. gRUPPOWAQ OPERACIQ W F | SLOVENIE, A W UT2(F ) | UMNOVENIE. pO\TOMU h BUDET GOMOMORFIZMLM, ESLI h(a + b) = h(a)h(b) I h(0) = E2 . pUSTX 1 m n ; 2 I UTnm(F ) ESTX MNOVESTWO MATRIC IZ Tn(F ) , U KOTORYH m ; 1 DIAGONALEJ WYE GLAWNOJ DIAGONALI SOSTOQT IZ ODNIH NULEJ, TO ESTX MATRIC WIDA: 1.10.
0 : : : 0 a1m+1 BB 1 0 BB ::: 0 BB 0 1 0 BB ::: BB 0 0 1 0 BB ... ... BB BB ... BB BB BB BB BB BB B@
0
1 a2m+1 : : : a1n CC a2m+2 : : : a2n CCCC CC 0 . . . .. C . . . an;mn CCC CC CC : ::: 0 CC ... CC CC . . . ... CC CC ... 0 CC CA
1
zDESX PREDPOLAGAETSQ, ^TO \PUSTYE" MESTA W MATRICE NIVE GLAWNOJ DIAGONALI ZAPOLNENY NULQMI. dOKAZATX, ^TO Tnm (F ) | PODGRUPPA GRUPPY Tn(F ) . pRI \TOM Tn1(F ) = Tn(F ) . dOKAZATX, ^TO IMEET MESTO IZOMORFIZM ADDITIWNOJ GRUPPY POLQ F I GRUPPY UTnn;2(F ) . uKAZANIE. oTOBRAVENIE h : F ! UTnn;2(F ) STROITSQ TAK. pUSTX a 2 F . tOGDA 1 0 1.11.
BB 1 BB 0 BB h(a) = BBB .. BB BB 0 @
0 1 .. 0 0 0
18
::: ::: ... ::: :::
0 0 .. 1 0
a CC 0 CCCC .. CC : CC 0 CCC A 1
dOKAVITE, ^TO h | BIEKCIQ I GOMOMORFIZM. dOKAZATX, ^TO ESLI H | PODGRUPPA GRUPPY G , I g 2 G , TO MNOVESTWO gHg;1 = fgxg;1jx 2 H g TAKVE BUDET PODGRUPPOJ GRUPPY 1.12.
G.
dOKAZATX, ^TO jH j = jgHg;1j . uKAZANIE. rASSMOTRETX AWTOMORFIZM g : x 7! gxg;1 . pODGRUPPU gHg;1 NAZYWA@T PODGRUPPOJ, SOPRQVENNOJ K H .
pUSTX K I H | PODGRUPPY GRUPPY G . dOKAZATX, ^TO MNOVESTWO KH = fxyjx 2 K y 2 H g BUDET PODGRUPPOJ GRUPPY G TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI KH = HK . 1.13.
lEMMA
pUSTX h : G1 ;! G2 | GOMOMORFIZM GRUPP, I G0 | PODGRUPPA G . tOGDA MNOVESTWO h(G0 ) = f h(x) j x 2 G0 g G2 QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY G2 . gOMOMORFIZM h MOVNO PREDSTAWITX W WIDE SUPERPOZICII S@R_EKTIWNOGO GOMOMORFIZMA G1 ! h(G1 ) I IN_EKTIWNOGO GOMOMORFIZMA (WKL@^ENIQ) h(G1 ) G2 . 1.14.
1.2.
dOKAVITE \TU LEMMU.
eSLI f : X ;! Y | L@BOE OTOBRAVENIE, I Z Y , TO ^EREZ f ;1 (Z ) OBOZNA^AETSQ MNOVESTWO f x 2 X j f (x) 2 Z g . oNO NAZYWAETSQ (POLNYM) PROOBRAZOM Z OTNOSITELXNO f . oTOBRAVENIE f IN_EKTIWNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI PROOBRAZ L@BOGO \LEMENTA y 2 Y ESTX LIBO PUSTOE MNOVESTWO, LIBO MNOVESTWO IZ ODNOGO \LEMENTA. 19
lEMMA
pUSTX h : G1 ;! G2 | GOMOMORFIZM GRUPP, I G02 | PODGRUPPA GRUPPY G2 . tOGDA G01 = h;1 (G02) QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY G01 . 1.15.
lEMMA
1.3.
dOKAVITE \TU LEMMU.
1.4.
pERESE^ENIE L@BOGO SEMEJSTWA PODGRUPP SNOWA QWLQET-
SQ PODGRUPPOJ. 1.16.
dOKAVITE \TU LEMMU.
sFORMULIRUEM W QWNOM WIDE AKSIOMY GRUPPY DLQ SLU^AQ, KOGDA GRUPPOWAQ OPERACIQ ZAPISYWAETSQ KAK x + y (SLOVENIE). oPERACIQ SLOVENIQ DOLVNA UDOWLETWORQTX SLEDU@]IM SWOJSTWAM: 1) (ASSOCIATIWNOSTX) (g1 +g2)+g3 = g1 +(g2 +g3) DLQ L@BYH g1 g2 g3 2 G 2) SU]ESTWUET \LEMENT 0 2 G , TAKOJ, ^TO DLQ WSEH g 2 G IME@T MESTO RAWENSTWA: g + 0 = 0 + g = e 3) DLQ KAVDOGO x 2 G NAJDETSQ y 2 G TAKOJ, ^TO x + y = y + x = 0 . w ADDITIWNOJ ZAPISI OBRATNYJ \LEMENT y OBOZNA^AETSQ KAK ;x , PRI \TOM ISPOLXZUETSQ TAKVE OBOZNA^ENIE a ; b = a + (;b) .
aDDITIWNAQ ZAPISX GRUPPOWOJ OPERACII ^A]E WSEGO ISPOLXZUETSQ DLQ KOMMUTATIWNYH GRUPP, TO ESTX GRUPP, W KOTORYH 4) x + y = y + x DLQ WSEH x y 2 G . 20
tAKIE GRUPPY ^ASTO NAZYWA@TSQ ABELEWYMI. pROSTEJIJ PRIMER TAKOJ GRUPPY | GRUPPA Z WSEH CELYH ^ISEL. gOMOMORFIZM ABELEWYH GRUPP h : G1 ;! G2 DOLVEN UDOWLETWORQTX SWOJSTWAM: 1) h(x + y) = h(x) + h(y) DLQ WSEH x y 2 G1 2) h(0) = 0 .
oTS@DA SLEDUET, ^TO h(;x) = ;h(x) . pRIMER 1.7. kAVDOE LINEJNOE (ILI WEKTORNOE) PROSTRANSTWO QWLQETSQ ABELEWOJ GRUPPOJ PO SLOVENI@. kAVDOE LINEJNOE OTOBRAVENIE WEKTORNYH PROSTRANSTW QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM ABELEWYH GRUPP. tAKIM OBRAZOM, TEORI@ GRUPP MOVNO S^ITATX I OBOB]ENIEM TEORII WEKTORNYH PROSTRANSTW I LINEJNYH OTOBRAVENIJ. nAPOMNIM, ^TO W DALXNEJEM, KAK PRAWILO, OPERACIQ W PROIZWOLXNOJ GRUPPE BUDET OBOZNA^ATXSQ KAK UMNOVENIE. pODRAZUMEWAETSQ, ^TO ^ITETELX SUMEET W SLU^AE NEOBHODIMOSTI DATX PEREFORMULIROWKU DLQ SLU^AQ ADDITIWNYH OBOZNA^ENIJ. pUSTX G | NEKOTORAQ GRUPPA, I X G | PODMNOVESTWO G . rASMOTRIM MNOVESTWO hX i = fx"1 x"2 : : : x"mm jxi 2 X "i = 1 1 i m m 0g . |LEMENTY \TOGO MNOVESTWA BUDEM NAZYWATX SLOWAMI W ALFAWITE X . ~ISLO m ESTESTWENNO NAZWATX DLINOJ SLOWA x"1 x"2 : : : x"mm pODRAZUMEWAETSQ, ^TO PRI m = 0 SOOTWETSTWU@]EE SLOWO ESTX NEJTRALXNYJ \LEMENT (EDINICA) GRUPPY G . w MNOVESTWO hX i WHODQT WSE WOZMOVNYE SLOWA W ALFAWITE X WSEH WOZMOVNYH DLIN. w ^ASTNOSTI, SLOWA DLINY 1 | \TO \LEMENTY x 2 X I x;1 x 2 X . tAKIM OBRAZOM, X hX i . 1
2
1
lEMMA
2
mNOVESTWO hX i QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY G , SODERVA]EJ MNOVESTWO X . eSLI G0 | KAKAQ-TO DRUGAQ PODGRUPPA 1.5.
21
GRUPPY G , SODERVA]AQ MNOVESTWO X , TO hX i G0 .
dOKAZATELXSTWO eDINICA (NEJTRALXNYJ \LEMENT) GRUPPY G PO OPRE.
DELENI@ PRINADLEVIT hX i . eSLI x"1 : : : x"mm 2 hX i , TO (x"1 : : : x"mm );1 = x;m"m : : : x;1 " . pOKAZATELI ;"i RAWNY PL@S ILI MINUS EDINICAM, OTKUDA SLEDUET, ^TO PROIZWEDENIE xm;"m : : : x;1 " UDOWLETWORQET OPREDELENI@ m : : :x"m k 2 hX i , TO PRO\LEMENTOW hX i . eSLI x"1 : : : x"mm 2 hX i , I x"m+1 m+k IZWEDENIE \TIH \LEMENTOW ESTX SLOWO 1
1
1
1
+1
1
+
m : : : x"m k x"1 : : : x"mm x"m+1 m+k +1
1
+
KOTOROE TAKVE SOGLASNO OPREDELENI@ DOLVNO SODERVATXSQ W hX i . tAKIM OBRAZOM, WSE SWOJSTWA IZ OPREDELENIQ PODGRUPPY WYPOLNENY. 2 dOKAZATX, ^TO hX i SOWPADAET S PERESE^ENIEM WSEH PODGRUPP GRUPPY G , SODERVA]IH PODMNOVESTWO X . 1.17.
gOWORQT, ^TO PODGRUPPA hX i POROVDENA MNOVESTWOM X , I ^TO X ESTX MNOVESTWO POROVDA@]IH (ILI OBRAZU@]IH) \LEMENTOW \TOJ PODGRUPPY. oSOBYJ INTERES PREDSTAWLQET NAHOVDENIE MNOVESTW OBRAZU@]IH \LEMENTOW DLQ WSEJ GRUPPY G . |TOT KLASS ZADA^ NEMNOGO POHODIT NA ZADA^I O NAHOVDENII BAZISOW WEKTORNORNYH PROSTRANSTW.
pRIMER
pUSTX GRUPPOWAQ OPERACIQ W G OBOZNA^AETSQ KAK PL@S, I GRUPPA G KOMMUTATIWNA (ABELEWA). wOZXMEM X G , I POSMOTRIM, ^TO TAKOE hX i . pRIMENENIE OB]EGO OPREDELENIQ POKAZYWAET, ^TO POSLE \PRIWEDENIQ PODOBNYH ^LENOW" \TO BUDET MNOVESTWO fn1x1 + n2x2 + + nmxm jx1 : : : xm 2 X n1 : : : nm 2 Z m 0g . nAPOMNIM, ^TO Z ESTX MNOVESTWO WSEH CELYH ^ISEL. oTS@DA WIDNO, ^TO KONSTRUKCIQ ABELEWOJ 1.8.
22
PODGRUPPY, POROVDENNOJ MNOVESTWOM X , O^ENX POHODIT NA LINEJNU@ OBOLO^KU MNOVESTWA W WEKTORNOM PROSTRANSTWE. w OB]EM (NEABELEWOM I NEADDITIWNOM) SLU^AE ANALOGIQ MEVDU hX i I LINEJNOJ OBOLO^KOJ TAKVE MOVET OKAZATXSQ POLEZNOJ. dOKAVITE, ^TO hX i = X TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI X | PODGRUPPA G . wYWEDITE OTS@DA, ^TO hhX ii = hX i . 1.18.
wOZMOVNO, PROSTEJIMI GRUPPAMI QWLQ@TSQ CIKLI^ESKIE GRUPPY | GRUPPY, POROVDENNYE ODNIM \LEMENTOM, T.E. GRUPPY, KOTORYE SOSTOQT IZ STEPENEJ (POLOVITELXNYH I OTRICATELXNYH) ODNOGO \LEMENTA. iNYMI SLOWAMI, ESLI G | CIKLI^ESKAQ GRUPPA, TO SU]ESTWUET x 2 G , TAKOJ, ^TO G = f1 x x;1 x2 x;1 : : :g (ILI, DLQ ADDITIWNYH OBOZNA^ENIJ G = f0 x 2x 3x : : :g ).
pRIMER
gRUPPA (S OPERACIEJ SLOVNIQ) WSEH CELYH ^ISEL Z = f0 1 2 : : :g QWLQETSQ CIKLI^ESKOJ S OBRAZU@]IM \LEMENTOM 1 , TAK KAK L@BOJ EE NENULEWOJ \LEMENT RAWEN LIBO 1 + + 1 , LIBO (;1) + : : : + (;1) . rASSMOTRIM MNOVESTWO Un , SOSTOQ]EE IZ WSEH KOMPLEKSNYH KORNEJ n -J STEPENI IZ EDINICY. hOROO IZWESTNO, ^TO MNOVESTWO Un SOSTOIT 2k = ei nk , PRI + i sin IZ \LEMENTOW u0 u1 : : : un;1 , GDE uk = cos 2k n n k = 0 1 : : : n ; 1 . iZ SWOJSTW KOMPLEKSNYH ^ISED SLEDUET, ^TO uk ul = uk+l (mod n) , GDE k + l (mod n) OZNA^AET OSTATOK OT DELENIQ NA n . w ^ASNOSTI, PROIZWEDENIE DWUH KORNEJ n -J STEPENI IZ EDINICY | SNOWA KORENX n -J STEPENI IZ EDINICY. oTS@DA VE SLEDUET, ^TO uk = uk1 . o^EWIDNO, ^TO un1 = 1 , OTKUDA SLEDUET, ^TO u;k 1 = un;k . tAKIM OBRAZOM, 1.9.
2
23
OKAZYWAETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY C = GL1(C) , I QSNO, ^TO \TA GRUPPA CIKLI^ESKAQ S OBRAZU@]IM u1 .
Un
oSNOWNYE SWOJSTWA CIKLI^ESKIH GRUPP SOBRANY W SLEDU@]EJ TEORE-
ME.
tEOREMA
kAVDAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA IZOMORFNA LIBO Z (BESKONE^NAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA), LIBO Un | KONE^NAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA. l@BAQ PODGRUPPA CIKLI^ESKOJ GRUPPY QWLQETSQ CIKLI^ESKOJ. 1.1.
dOKAZATELXSTWO pUSTX G = hxi = f: : : x;2 x;1 1 x1 x2 : : :g . sNA.
^ALA WYQSNIM, KOGDA WOZMOVNA TAKAQ SITUACIQ: xk = xm PRI k 6= m NAPRIMER PRI k < m . uMNOVAQ OBE ^ASTI \TOGO RAWENSTWA NA x;k , PRIHODIM K RAWENSTWU xm;k = 1 , PRI^EM m;k > 0 . rASSMOTRIM MNOVESTWO WSEH CELYH POLOVITELXNYH ^ISEL l TAKIH, ^TO xl = 1 . kAK TOLXKO ^TO WYQSNILOSX, \TO MNOVESTWO NEPUSTO. pUSTX n | NAIMENXEE ^ISLO IZ \TOGO MNOVESTWA. rASSMOTRIM \LEMENTY 1 x : : : xn;1 , I POKAVEM, ^TO SREDI NIH NET ODINAKOWYH. eSLI BY xk = xm PRI 0 k < m < n , TO SNOWA POLU^ILOSX BY xm;k = 1 , NO 0 < m ; k < n , I \TO PROTIWORE^IT WYBORU n . s DRUGOJ STORONY, PUSTX xm | PROIZWOLXNYJ \LEMENT IZ G . rAZDELIM m NA n S OSTATKOM: m = nq + r , GDE 0 r < n . tOGDA xm = xnq+r = xnq xr = (xn )q xr = xr
TAK KAK xn = 1 . oTS@DA SLEDUET, ^TO xm 2 f1 x : : : xn;1g , I \TO OZNA^AET, ^TO WSQ GRUPPA G SOSTOIT IZ POPARNO RAZLI^NYH \LEMENTOW 1 x : : : xn;1 , I, W ^ASTNOSTI, QWLQETSQ KONE^NOJ. oPREDELIM OTOBRAVENIE h : G ! Un , POLAGAQ PRI 0 k n ; 1 EGO ZNA^ENIE RAWNYM h(xk ) = e nk i = uk , GDE u = cos 2n + i sin 2n . qSNO, ^TO \TO BIEKCIQ, I ^TO h(1) = 1 . oSTAETSQ PROWERITX, ^TO h(xk xl ) = 2
24
h(xk+l ) = h(xk )h(xl ) DLQ L@BYH 0 k l < n . eSLI k + l < n , TO \TO O^EWIDNO. eSLI VE m = k + l > n , TO PUSTX, KAK I WYE, m = nq + r , 0 r < n . tOGDA xm = xr , I h(xm ) = h(xr ) = ur (NADO POMNITX, ^TO ZNA^ENIE h(xk ) OPREDELENO TOLXKO PRI 0 k < n ). s DRUGOJ STORONY, h(xk )h(xl ) = uk ul = uk+l = unq ur = (un )q ur = ur TAK KAK u ESTX KORENX n -J STEPENI IZ EDINICY. sLEDOWATELXNO, h QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM, A ZNA^IT, I IZOMORFIZMOM. eSLI VE GRUPPA G BESKONE^NA, TO SOOTNOENIE WIDA xk = xm PRI k 6= m NEWOZMOVNO. |TO ZNA^IT, ^TO WSE STEPENI xk PRI k 2 Z RAZLI^NY, I OTOBRAVENIE h : Z ! G , h(k) = xk QWLQETSQ BIEKCIEJ. tAK KAK x0 = 1 , xk+l = xk xl , TO \TO K TOMU VE GOMOMORFIZM GRUPP. iTAK, POSTROEN BIEKTIWNYJ GOMOMORFIZM, TO ESTX IZOMORFIZM Z
= G. pUSTX TEPERX G = hxi | NEKOTORAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA, I DOPUSTIM, ^TO G0 G | NETRIWIALXNAQ PODGRUPPA G . mNOVESTWO G0 SOSTOIT IZ STEPENEJ \LEMENTA x , POLOVITELXNYH I (WOZMOVNO) OTRICATELXNYH. wYBEREM \LEMENT y = xn 2 G0 S NAIMENXIM WOZMOVNYM n > 0 , I POKAVEM, ^TO G0 SOSTOIT IZ WSEWOZMOVNYH STEPENEJ y , I TOLXKO IZ NIH. s ODNOJ STORONY PONQTNO, ^TO yk = xnk 2 G0 DLQ L@BOGO CELOGO m . pUSTX xm 2 G0 . pREDSTAWIM m W WIDE m = nq + r , S 0 r < n . tOGDA xm = (xn)q xr . oTS@DA xr = (xn );q xm . tAK KAK xm 2 G0 I xn 2 G0 , OTS@DA SLEDUET, ^TO xr 2 G0 . eSLI r > 0 , TO POLU^IM PROTIWORE^IE S MINIMALXNOSTX@ n . zNA^IT, r = 0 , m = nq , I xm = (xn)q = yq . iTAK, G0 SOSTOIT IZ WSEH WOZMOVNYH STEPENEJ y . 2
bUDEM W DALXNEJEM OBOZNA^ATX KONE^NYE CIKLI^ESKIE GRUPPY PORQDKA n ^EREZ Zn ( W NEKOTORYH KNIGAH WSTRE^AETSQ TAKVE OBOZNA^ENIE Cn ). iTAK, Zn = f1 x x2 : : : xn;1g I xn = 1 . 25
pRIMER
oPIEM NEKOTOROE MNOVESTWO OBRAZU@]IH DLQ GRUPPY GLn(F ) . dLQ \TOGO PREDWARITELXNO WWEDEM ODIN BAZIS W LINEJNOM PROSTRANSTWE Mn(F ) KWADRATNYH n n -MATRIC NAD POLEM F . pUSTX Eij ESTX MATRICA, W KOTOROJ WSE KOMPONENTY RAWNY NUL@, KROME i j -J, RAWNOJ EDINICE. eSLI A 2 Mn(F ) | MATRICA S KOMPONENTAMI akl W k -J STROKE I l -M STOLBCE ( 1 k l n ), TO 1.10.
A=
n X n X
k=1 l=1
aklEkl :
nAPRIMER, DLQ n = 2 \TO WYGLQDIT TAK: 0 B@ a11
1
0
1
0
1
0
1
0
1
a21 CA = a B@ 1 0 CA + a B@ 0 0 CA + a B@ 0 1 CA + a B@ 0 0 CA = 22 11 12 21 0 0 0 1 a12 a22 0 0 1 0 = a11E11 + a12E12 + a21E21 + a22E22 o^EWIDNO, ^TO MATRICY Eij LINEJNO NEZAWISIMY NAD F . oSNOWNYE SWOJSTWA MATRI^NYH EDINIC TAKOWY: Eij Ejk = Eik Eij Elk = 0 PRI j 6= l Pn E kk = En : k=1
|TI TOVDESTWA LEGKO PROWERQ@TSQ PRQMYM WY^ISLENIEM. tAKVE LEGKO PROWERQETSQ, ^TO Eij A ESTX MATRICA, W KOTOROJ i -Q STROKA ESTX j -Q STROKA A , A WSE OSTALXNYE \LEMENTY RAWNY NUL@. aNALOGI^NO, AEij ESTX MATRICA, W KOTOROJ j -J STOLBEC ESTX i -J STOLBEC A , A WSE OSTALXNYE KOMPONENTY NULEWYE. oPREDELIM SLEDU@]IE MATRICY ( 1 i j n ): 6 j 2 F ) tij () = E + Eij (i = (3) di ( ) = E + ( ; 1)Eii = diag(1 : : : : : : 1) ( 2 F = 6 0 \TOT \LEMENT RASPOLOVEN NA i-MESTE) uMNOVENIE tij () NA A SLEWA RAWNOSILXNO PRIBAWLENI@ K i -J STROKE A EE j -J STROKI, UMNOVENNOJ NA SKALQR , A UMNOVENIE tij () 26
NA A SPRAWA RAWNOSILXNO PRIBAWLENI@ K j -MU STOLBCU i -GO STOLBCA, UMNOVENNOGO NA . iNYMI SLOWAMI, \TO IZWESTNYE S 1-GO KURSA \LEMENTARNYE PREOBRAZOWANIQ. zAMETIM, ^TO tij () 2 GLn(F ) , TAK KAK tij ();1 = tij (;) (PROWERXTE \TO!). mATRICA di ( ) TAKVE OBRATIMA: di( );1 = di ( ;1) . uMNOVENIE di( ) NA A SLEWA RAWNOSILXNO UMNOVENI@ WSEH \LEMENTOW i -J STROKI A NA NENULEWOJ \LEMENT , UMNOVENIE SPRAWA RAWNOSILXNO UMNOVENI@ NA g WSEGO i -GO STOLBCA A . tAKIM OBRAZOM, \TO SNOWA IZWESTNOE S PERWOGO KURSA \LEMENTARNOE PREOBRAZOWANIE. tEPERX NADO WSPOMNITX ALGORITM NAHOVDENIQ OBRATNOJ K A 2 GLn(F ) MATRICY S POMO]X@ \LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIJ. w EGO OSNOWE | POSLEDOWATELXNOSTX \LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIJ, PEREWODQ]IH A W EDINI^NU@ MATRICU. pOSKOLXKU W KAVDOJ STROKE I KAVDOM STOLBCE A NA KAVDOM \TAPE PREOBRAZOWANIJ ZAWEDOMO ESTX NENULEWYE \LEMENTY, TO NEOBHODIMOSTI W PERESTANOWKE STROK I STOLBCOW NET: DOSTATO^NO K STROKE (ILI STOLBCU), i -J DIAGONALXNYJ \LEMENT KOTOROJ (KOTOROGO) NULEWOJ, PRIBAWLQTX TU STROKU (ILI STOLBEC), GDE \LEMENT i -GO STOLBCA (ILI STROKI) NE RAWEN NUL@. tAK KAK \LEMENTARNOE PREOBRAZOWANIE OZNA^AET UMNOVENIE SLEWA ILI SPRAWA NA MATRICY WIDA tij () ILI di( ) , TO W REZULXTATE DOLVNO POLU^ITXSQ RAWENSTWO WIDA: B1B2 : : : Bm AC1C2 : : : Ck = En
GDE MATRICY Bs , Cr | \TO NEKOTORYE MATRICY tij () ILI di( ) . oTS@DA POLU^AEM DLQ A RAWENSTWO: A = Bm;1 : : :B1;1 Ck;1 : : :C1;1 :
pOSKOLXKU MATRICY, OBRATNYE K tij () I di( ) | \TO SNOWA MATRICY \LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIJ TAKIH VE TIPOW, PRIHODIM K SLEDU@]EMU WYWODU: GRUPPA GLn(F ) POROVDAETSQ MNOVESTWOM WSEH MATRIC WIDA
(3).
27
dOKAZATX, ^TO W KA^ESTWE MNOVESTWA OBRAZU@]IH DLQ GLn(F ) MOVNO WZQTX \LEMENTY tij () I dn( ) . 1.19.
1.20.
dOKAZATX, ^TO \LEMENTY tij () POROVDA@T GRUPPU SLn(F ) .
1.21.
dOKAZATX, ^TO \LEMENTY di( ) , 1 i n POROVDA@T GRUPPU
Dn(F ) .
dOKAZATX, ^TO W KA^ESTWE MNOVESTWA OBRAZU@]IH DLQ Tn(F ) MOVNO WZQTX \LEMENTY tij () PRI i j I diag( 1 : : : n) , 1 : : : n 6= 0 . 1.22.
1.23.
dOKAZATX, ^TO \LEMENTY tij () PRI i < j POROVDA@T GRUPPU
UTn(F ) .
zAFIKSIRUEM m , 1 m n ; 2 . dOKAZATX, ^TO \LEMENTY tij () PRI j ; i m POROVDA@T GRUPPU UTnm(F ) . 1.24.
oBOZNA^IM ^EREZ x y] \LEMENT xyx;1 y;1 . |TOT \LEMENT NAZYWAETSQ KOMMUTATOROM \LEMENTOW x I y . lEGKO ZAMETITX, ^TO x y] = 1 TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI xy = yx . kROME TOGO, x y];1 = y x] . 1.25.
dOKAVITE, ^TO ESLI G | L@BAQ GRUPPA, x y z 2 G , TO x yz ] = x y]x z ]x z ] y]
1.26.
dOKAVITE, ^TO xy z ] = y z ]z y] x]x z]
1.27.
pROWERXTE TOVDESTWO: xy z ] = (xy z ]x;1)x z ] 28
bUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ ab \LEMENT aba;1 . dOKAVITE, ^TO ESLI G | L@BAQ GRUPPA, x y z 2 G , TO 1.28.
x y] y z ]y z ] zx]z x] xy] = 1:
2.
gRUPPY PODSTANOWOK
pUSTX X | NEKOTOROE MNOVESTWO. oBOZNA^IM ^EREZ SX MNOVESTWO WSEH BIEKTIWNYH OTOBRAVENIJ IZ X W X . ~EREZ 1X OBOZNA^IM TOVDESTWENNOE (EDINI^NOE) OTOBRAVENIE IZ X W X , TO ESTX TAKOE OTOBRAVENIE, ^TO 1X (x) = x DLQ KAVDOGO \LEMENTA x 2 X . eSLI DANY
2 SX , TO SUPERPOZICIQ FUNKCIJ I OBOZNA^AETSQ ^EREZ I QWLQETSQ OTOBRAVENIEM, DEJSTWU@]IM PO PRAWILU (x) = ( (x)) . sUPERPOZICIQ BIEKTIWNYH OTOBRAVENIJ QWLQETSQ BIEKTIWNYM OTOBRAVENIEM, T.E. 2 SX . iZWESTNO, ^TO SUPERPOZICIQ L@BYH OTOBRAVENIJ ASSOCIATIWNA: ESLI DANY TRI OTOBRAVENIQ f : Z ;! W , g : Y ;! Z , h : X ;! Y , TO (fg)h = f (gh) . tEM BOLEE ASSOCIATIWNA SUPERPOZICIQ \LEMENTOW SX . wWIDU BIEKTIWNOSTI 2 SX SU]ESTWUET OBRATNOE K NEMU OTOBRAVENIE ;1 2 SX , HARAKTERIZU@]EESQ SWOJSTWAMI:
;1 = 1X , ;1 = 1X . sUPERPOZICI@ FUNKCIJ IZ SX MOVNO RASSMATRIWATX KAK BINARNU@ OPERACI@ NA SX : SX SX ;! SX
( ) 7! :
sUPERPOZICIQ FUNKCIJ W DANNOM SLU^AE OBY^NO NAZYWAETSQ UMNOVENIEM \LEMENTOW SX . pERE^ISLENNYE WYE SWOJSTWA \TOGO UMNOVENIQ OZNA^A@T, ^TO ONO PREWRA]AET SX W GRUPPU S EDINICEJ 1X . pOLOVIM X = f1 2 : : : ng . wMESTO SX W \TOM SLU^AE ISPOLXZUETSQ OBOZNA^ENIE Sn . |TA GRUPPA NAZYWAETSQ GRUPPOJ PODSTANOWOK n -J 29
STEPENI, ILI SIMMETRI^ESKOJ GRUPPOJ. |LEMENTY \TOJ GRUPPY NAZYWA@TSQ PODSTANOWKAMI n -J STEPENI, ILI PROSTO PODSTANOWKAMI. kAK IZWESTNO, NEKOTORYE FUNKCII OPREDELQ@TSQ TABLICAMI, W KOTORYH KAVDOMU ZNA^ENIQ@ ARGUMENTA SOPOSTAWLENO ZNA^ENIE FUNKCII OT \TOGO ARGUMENTA. dLQ FUNKCIJ IZ Sn ISPOLXZUETSQ SLEDU@]AQ RAZNOWIDNOSTX TABLI^NOGO ZADANIQ: TABLICA POHODIT NA MATRICU IZ DWUH STROK, W WERHNEJ STROKE ZAPISANY \LEMENTY IZ MNOVESTWA ARGUMENTOW FUNKCII, A W NIVNEJ | IZ MNOVESTWOM ZNA^ENIJ FUNKCII, PRI^EM ZNA^ENIE FUNKCII
(i) ZAPISYWAETSQ POD ZNA^ENIEM ARGUMENTA i . w SLU^AE PROIZWOLXNOGO
2 Sn \TO WYGLQDIT TAK: 0 1 1 2 : : : i : : : n
= @ (1) (2) : : : (i) : : : (n)A nAPRIMER, EDINI^NAQ (ILI TOVDESTWENNAQ) PODSTANOWKA, KOTORAQ W DALXNEJEM BUDET OBOZNA^ATXSQ KAK 1n ILI PROSTO KAK 1 , ZAPISYWAETSQ W WIDE: 0 1 1 2 : : : n @ A 1 2 ::: n : sLEDUET OTMETITX, ^TO PORQDOK SLEDOWANIQ ARGUMENTOW W WERHNEJ STROKE NE QWLQETSQ SU]ESTWENNYM. sU]ESTWENNYM DLQ ZADANIQ FUNKCII QWLQETSQ TOLXKO WERTIKALXNOE SOOTWETSTWIE MEVDU ZNA^ENIEM ARGUMENTA i I ZNA^ENIEM FUNKCII (i) . nAPRIMER, TABLICY 0 1 1 2 3 4 5 @ A
43152 I
0 1 3 5 1 4 2 @ A
12453
QWLQ@TSQ PROSTO RAZNYMI FORMAMI ZAPISI ODNOJ I TOJ VE FUNKCII, T.E. PODSTANOWKI, I POLU^A@TSQ ODNA IZ DRUGOJ PERESTANOWKAMI STOLBCOW. iZ TOGO, ^TO ZNAK FUNKCII ZAPISYWAETSQ SLEWA OT ARGUMENTA, I IZ OPREDELENIQ SUPERPOZICII (i) = ( (i)) SLEDUET, ^TO PRI WY^ISLENII UMNOVENIQ (SUPERPOZICII) DWUH PODSTANOWOK NADO NA^INATX S ARGUMENTA, NAHODQ]EGOSQ W WERHNEJ STROKE SAMOJ PRAWOJ PODSTANOWKI, I 30
DWIGATXSQ SPRAWA NALEWO. |TO MOVNO PREDSTAWITX TAK: 0 @
nAPRIMER,
10
1
0
1
: : : (i) : : : A@ : : : i : : : A = @ : : : i : : : A : : : ( (i)) : : : : : : (i) : : : : : : ( (i)) : : : 0 10 1 0 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 @ A@ A=@ A
34251 25134
41325 pODSTANOWKU, OBRATNU@ K ZADANNOJ PODSTANOWKE , MOVNO WY^ISLITX, PROSTO POMENQW MESTAMI WERHN@@ I NIVN@@ STROKI W TABLICE, ZADA@]EJ PODSTANOWKU. nAPRIMER, ESLI 0 1 0 1 0 1 1 2 3 4 5 3 4 2 5 1 1 2 3 4 5
= @3 4 2 5 1A TO ;1 = @1 2 3 4 5A = @5 3 1 2 4A: 2.1.
dOKAZATX, ^TO MO]NOSTX MNOVESTWA Sn RAWNA n! .
nAPOMNIM, ^TO MO]NOSTX MNOVESTWA \LEMENTOW GRUPPY G NAZYWAETSQ PORQDKOM GRUPPY I OBOZNA^AETSQ ^EREZ jGj . pUSTX DANA PODSTANOWKA 2 Sn . mNOVESTWO f i j i 2 f1 2 : : : ng (i) 6= i g BUDEM NAZYWATX MNOVESTWOM PEREME]AEMYH SIMWOLOW PODSTANOWKI
, A MNOVESTWO f i j i 2 f1 2 : : : ng (i) = i g | MNOVESTWOM NEPODWIVNYH SIMWOLOW PODSTANOWKI . dOKAZATX, ^TO ESLI 2 Sn , I MNOVESTWA PEREME]AEMYH SIMWOLOW U I NE PERESEKA@TSQ, TO = . 2.2.
oPREDELIM PODSTANOWKI SPECIALXNOGO WIDA, NAZYWAEMYE CIKLAMI. pUSTX DANO PODMNOVESTWO fi1 i2 : : : ikg f1 2 : : : ng . rASSMOTRIM OTOBRAVENIE , TAKOE, ^TO (i1) = i2 , (i2) = i3 , : : : , (ik;1 ) = ik , 31
(ik ) = i1 , A DLQ j 62 fi1 i2 : : : ikg POLOVIM (j ) = j . lEGKO UBEDITXSQ, ^TO \TO OTOBRAVENIE BIEKTIWNO, TO ESTX 2 Sn . pODSTANOWKA NAZYWAETSQ CIKLOM DLINY k I OBOZNA^AETSQ ^EREZ (i1 i2 : : : ik) . pORQDOK SLEDOWANIQ \LEMENTOW i1 i2 : : : ik W ZAPISI CIKLA QWLQETSQ SU]ESTWENNYM. cIKLY DLINY 2 PRINQTO TAKVE NAZYWATX TRANSPOZICIQMI. lEGKO UBEDITXSQ, ^TO (i j ) = (j i) = (i j );1 . pEREME]AEMYE SIMWOLY CIKLA (i1 i2 : : : ik) | \TO MNOVESTWO fi1 : : : ikg .
pUSTX = (i1 i2 : : : ik ) , = (j1 j2 : : : jm) . dOKAZATX, ^TO = TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI fi1 i2 : : : ikg \ fj1 j2 : : : jmg = . 2.3.
cIKLY S OPISANNYMI W \TOJ ZADA^E SWOJSTWAMI NAZYWA@TSQ NEZAWISIMYMI. zAPISX CIKLA W WIDE (i1 i2 : : : ik) NE QWLQETSQ ODNOZNA^NOJ. iSHODQ IZ OPREDELENIQ CIKLA KAK OTOBRAVENIQ, NETRUDNO UBEDITXSQ, ^TO (i1 i2 : : : ik) = (i2 i3 : : : ik i1) = (i3 i4 : : : ik i1 i2) = : : : = (ik i1 i2 : : : ik;1) . 2.4.
dOKAZATX, ^TO KOLI^ESTWO CIKLOW DLINY k W GRUPPE Sn RAWNO n(n ; 1) : : : (n ; k + 1) . k
tEOREMA
kAVDU@ PODSTANOWKU 2 Sn MOVNO PREDSTAWITX W WIDE PROIZWEDENIQ POPARNO NEZAWISIMYH CIKLOW = 1 2 : : : r . mNOVESTWO CIKLOW f 1 : : : r g OPREDELQETSQ PO PODSTANOWKE ODNOZNA^NO. |TO ZNA^IT, ^TO ESLI IMEETSQ WTOROJ SPOSOB ZAPISI W WIDE PROIZWEDENIQ NEZAWISIMYH CIKLOW = 10 20 : : : d0 , TO r = d I f 1 : : : r g = f 10 : : : r0 g 2.1.
32
kRATKOE DOKAZATELXSTWO pUSTX DANO RAZLOVENIE PODSTANOWKI W .
PROIZWEDENIE NEZAWISIMYH CIKLOW: = 1 2 : : : r . pUSTX Xj | MNOVESTWO PEREME]AEMYH SIMWOLOW CIKLA j , j = 1 : : : r . pO OPREDELENI@ NEZAWISIMYH CIKLOW, PRI j = 6 t MNOVESTWA Xj I Xt NE PERESEKA@TSQ. mNOVESTWO PEREME]AEMYH SIMWOLOW | \TO X1 X2 : : : Xr . eSLI i 2 Xj , TO (i) = j (i) . iNYMI SLOWAMI, OTOBRAVENIE j NA PODMNOVESTWE Xj SOWPADAET S , A WNE \TOGO MNOVESTWA DEJSTWUET TOVDESTWENNO. eSLI Xj = fi1 i2 : : : ikg I j = (i1 i2 : : : ik) , TO i2 = (i1) ,
i2 = (i2) = ( (i1)) = 2(i1) , i3 = ( ( (i1 ))) = 3(i1) , : : : , ik =
k;1(i1) , i1 = k (i1) . pRI \TOM WYBOR i1 2 Xj PO SUTI, PROIZWOLEN, TAK KAK (i1 i2 : : : ik) = (i2 i3 : : : ik i1) = (i3 i4 : : : ik i1 i2) = : : : . iZ WSEGO \TOGO MOVNO SDELATX WYWOD, ^TO MNOVESTWA X1 , : : : , Xr , I SAMI CIKLY
1 , : : : , r OPREDELQ@TSQ PO PODSTANOWKE ODNOZNA^NO. iSHODQ IZ \TOGO NABL@DENIQ, MOVNO POSTROITX MNOVESTWA X1 , : : : , Xr I CIKLY 1 : : : sr DLQ PROIZWOLXNOJ PODSTANOWKI SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX X | MNOVESTWO PEREME]AEMYH SIMWOLOW . wYBEREM KAKOJ-NIBUDX ARGUMENT i 2 X , I RASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX i ,
(i) , 2(i) , 3(i) , : : : . tAK KAK MNOVESTWO ARGUMENTOW f1 2 : : : ng KONE^NO, TO DLQ NEKOTORYH m < q POLU^IM m(i) = q (i) . tAK KAK OTOBRAVENIE BIEKTIWNO, TO \TO OZNA^AET, ^TO q;m (i) = i . pUSTX k > 1 | NAIMENXEE ^ISLO SO SWOJSTWOM k (i) = i . pOLOVIM X1 = fi (i) : : : k;1(i)g (TAK KAK WYBRANO k SO SWOJSTWOM MINIMALXNOSTI, TO WSE \TI \LEMENTY RAZLI^NY), I 1 = (i (i) : : : k;1(i)) . o^EWIDNO, ^TO (t) = 1(t) DLQ KAVDOGO t 2 X1 . wYBEREM DALEE PROIZWOLXNYM OBRAZOM d 2 X n X1 , I RASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX d (d) 2(d) 3 (d) : : : . aNALOGI^NO TOMU, KAK \TO BYLO SDELANO WYE, UBEVDAEMSQ, ^TO ONA KONE^NA, I ^TO MOVNO WYBRATX p TAK, ^TO p(d) = d I p | MINIMALXNOE ^ISLO, OBLADA@]EE \TIM SWOJSTWOM. pOLOVIM 33
X2 = fd (d) : : : p;1(d)g , 2 = (d (d) : : : p;1(d)) . sNOWA LEGKO UBEDITXSQ W TOM, ^TO (t) = 2(t) DLQ t 2 X2 . pROWERIM, ^TO X1 \ X2 = . w SAMOM DELE, ESLI BY, NAPRIMER, m (d) = q (i) PRI m q , TO d = q;m (i) 2 X1 , ^TO PROTIWORE^IT WYBORU d . eSLI VE m > q , TO i = m;q (d) . wSPOMINAQ, ^TO p(d) = d , WYBEREM ^ISLO v TAK, ^TO v + m ; q = pl , I PRIMENIM K LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQM RAWENSTWA i = m;q (d) PODSTANOWKU v . w REZULXTATE POLU^IM d = v (i) | SNOWA PROTIWORE^IE. iTAK, 1 I 2 | NEZAWISIMYE CIKLY. pUSTX UVE POSTROENY NEZAWISIMYE CIKLY 1 : : : j;1 S MNOVESTWAMI PEREME]AEMYH SIMWOLOW X1 , : : : , Xj;1 SOOTWETSTWENNO, PRI^EM X1 : : : Xj;1 X , I (t) = l (t) DLQ L@BOGO 1 l j ; 1 I WSEH t 2 Xl . pUSTX
0 = 1 : : : j;1 . tOGDA (t) = 0 (t) PRI t 2 X 0 = X1 : : : Xj;1 . eSLI X = X 0 , TO RAZLOVENIE W PROIZWEDENIE NEZAWISIMYH CIKLOW POLU^ENO. eSLI VE SU]ESTWUET w 2 X n X 0 , TO MOVNO POWTORITX OPISANNOE WYE POSTROENIE, I POLU^ITX CIKL j = (w (w) 2(w) : : :) S MNOVESTWOM PEREME]AEMYH SIMWOLOW Xj = fw (w) : : :g . rASSUVDENIQ, ANALOGI^NYE UVE PROWEDENNYM, POKAZYWA@T, ^TO (t) = j (t) PRI t 2 Xj , I Xj \ X 0 = . tAKIM OBRAZOM, CIKL j NEZAWISIM OT CIKLOW
1 : : : j;1 . pRODOLVAQ \TOT PROCESS DO POLNOGO IS^ERPANIQ MNOVESTWA X , POLU^IM NEZAWISIMYE CIKLY 1 : : : r , TAKIE, ^TO I 1 : : : r PRINIMA@T ODINAKOWYE ZNA^ENIQ NA KAVDOM ARGUMENTE. 2
w DOKAZATELXSTWE \TOJ TEOREMY SODERVITSQ I ALGORITM RAZLOVENIQ PODSTANOWOK W PROIZWEDENIE NEZAWISIMYH CIKLOW. rASSMOTRIM PRIMER. pRIMER 2.1. pUSTX DANA PODSTANOWKA 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A:
=@
3 4 5 2 10 8 12 11 9 1 6 7 sLEDUQ HODU RASSUVDENIJ TEOREMY, WYBEREM KAKOJ-TO PEREME]AEMYJ SIMWOL , SKAVEM, 1 . tOGDA (1) = 3 , (3) = 5 , (5) = 10 , (10) = 1 . 34
nA \TOM POSTROENIE PERWOGO CIKLA ZAKON^ENO. |TOT CIKL | (1 3 5 10) . eGO PEREME]AEMYE SIMWOLY | MNOVESTWO f1 3 5 10g . dALEE WYBIRAEM L@BOJ PEREME]AEMYJ SIMWOL , NE PRINADLEVA]IJ \TOMU MNOVESTWU, NAPRIMER 6 . pOLU^IM (6) = 8 , (8) = 11 , (11) = 6 . iTAK, WTOROJ CIKL W NAEM RAZLOVENII | (6 8 11) . sLEDU@]IJ PEREME]AEMYJ SIMWOL NADO WYBIRATX WNE MNOVESTWA f1 3 5 10g f6 8 11g . pUSTX \TO \LEMENT 2 . tOGDA (2) = 4 , (4) = 2 . pOLU^AEM CIKL (2 4) . nAKONEC, WOZXMEM \LEMENT 7 , NE QWLQ@]IJSQ PEREME]AEMYM SIMWOLOM NI W ODNOM IZ UVE POSTROENNYH CIKLOW. tOGDA (7) = 12 , (12) = 7 . iTAK, SLEDU@]IJ CIKL | (7 12) . nO BOLXE PEREME]AEMYH SIMWOLOW U NET (TAK KAK (9) = 9 , TO \TO NE PEREME]AEMYJ SIMWOL), PO\TOMU NAJDENNYJ CIKL (7 12) QWLQETSQ POSLEDNIM. oKON^ATELXNO POLU^AEM:
= (1 3 5 10)(6 8 11)(2 4)(7 12):
nAPOMNIM SLEDU@]EE OPREDELENIE. pUSTX G | NEKOTORAQ GRUPPA, X G . gOWORQT, ^TO MNOVESTWO X POROVDAET GRUPPU G (ILI ^TO G POROVDAETSQ MNOVESTWOM X , ILI ^TO X ESTX MNOVESTWO OBRAZU@]IH GRUPPY G ), ESLI KAVDYJ \LEMENT IZ G MOVNO PREDSTAWITX W WIDE x"1 x"2 : : :x"mm , GDE xi 2 X , "i = 1 DLQ WSEH i , 1 i m , I m 0 . sLU^AJ m = 0 SOOTWETSTWUET EDINICE GRUPPY G . gRUPPA, POROVDENNAQ MNOVESTWOM X , OBOZNA^AETSQ ^EREZ hX i . zNANIE MNOVESTWA OBRAZU@]IH \LEMENTOW GRUPPY G ^ASTO DAET WESXMA SU]ESTWENNU@ INFORMACI@ O WSEJ GRUPPE, PRI \TOM ^EM MENXE MNOVESTWO OBRAZU@]IH, TEM (KAK PRAWILO) ONO UDOBNEE DLQ ISPOLXZOWANIQ. pRIWEDENNAQ WYE TEOREMA UTWERVDAET, ^TO GRUPPA Sn POROVDAETSQ MNOVESTWOM WSEH SODERVA]IHSQ W \TOJ GRUPPE CIKLOW. w SLEDU@]IH ZADA^AH OPISYWA@TSQ NEKOTORYE GORAZDO MENXIE MNOVESTWA, POROVDA@]IE GRUPPY PODSTANOWOK. 1
2
35
2.5.
2.6.
2.7.
(i1 i2 : : : ik) = (i1 ik)(i1 ik;1) : : : (i1 i3)(i1 i2) = = (ik;1 ik)(ik;2 ik) : : : (i2 ik)(i1 ik)
dOKAZATX, ^TO Sn POROVDAETSQ WSEMI TRANSPOZICIQMI. (i j ) = (k i)(k j )(k i)
zDESX i j k POPARNO RAZLI^NY. aNALOGI^NOE PREDPOLOVENIE DEJSTWUET I W DRUGIH ZADA^AH \TOGO RAZDELA: RAZLI^NYE BUKWY OBOZNA^A@T RAZLI^NYE \LEMENTY MNOVESTWA f1 2 : : : ng . 2.8.
(i j )(i k) = (i k j ) , (i j )(k m) = (j k m)(i m j )
2.9.
(i j k)2 = (i k j )
2.10.
2.11.
(i j k m)2 = (i k)(j m)
pROWERITX, ^TO
(i1 i2 : : : ik)k = 1 (i1 i2 : : : ik);1 = (i1 i2 : : : ik)k;1 = = (i1 ik ik;1 : : : i2) = (ik ik;1 : : : i2 i1) .
w SLEDU@]IH DWUH ZADA^AH ^EREZ x y] OBOZNA^AETSQ \LEMENT xyx;1 y;1 . 2.12.
(i j ) (i k)] = (i j k)
2.13.
(i j d) (i k m)] = (i j k)
36
pUSTX DANY DWE PODSTANOWKI 0 2 Sn . gOWORQT, ^TO ONI IME@T ODINAKOWOE CIKLI^ESKOE STROENIE, ESLI I W I RAZLOVENII , I W RAZLOVENII 0 W PROIZWEDENIE NEZAWISIMYH CIKLOW SODERVITSQ PO ODNOMU I TOMU VE KOLI^ESTWU CIKLOW ODNOJ I TOJ VE DLINY. tAKOWY, NAPRIMER, PODSTANOWKI
= (1 2 3 4)(5 6 7)(8 9 10)(11 12)(13 14)(15 16) I
0 = (16 15 14 13)(12 11 10)(9 8 7)(6 5)(4 3)(2 1):
pUSTX DANY DWE PODSTANOWKI I 0 , IME@]IE ODINAKOWOE CIKLI^ESKOE STROENIE. rASSMOTRIM IH RAZLOVENIQ W PROIZWEDENIQ NEZAWISIMYH CIKLOW 2.14.
= (1 2 : : :)( 1 2 : : :)(: : :) 0 = (01 02 : : :)( 10 20 : : :)(: : :)
GDE SOMNOVITELI UPORQDO^ENY TAK, ^TO CIKLY ODINAKOWOJ DLINY SOOTWETSTWU@T DRUG DRUGU. nAPRIMER, ODINAKOWU@ DLINU IME@T CIKLY (1 2 : : :) I (01 02 : : :) , ( 1 2 : : :) I ( 10 20 : : :) , I T.D. rASSMOTRIM PODSTANOWKU 0 1 1 2 : : :A x = @10 2 :: :: : : : : : :
dOKAZATX, ^TO 0 = x x;1 .
1 2
1 2
pUSTX = (1 2 : : : k ) , x 2 Sn . tOGDA 0 = xx;1 | SNOWA CIKL DLINY k . pRI \TOM, ESLI 2.15.
0 1 : : : : : : : : : 1 2 k A x=@ 0 0 0
TO
0 = (01 02 : : : 0k ):
: : : 1 2 : : : k : : : 0 2.16. dOKAZATX, ^TO DWE PODSTANOWKI I SWQZANY SOOTNOENIEM
0 = x x;1 TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI ONI IME@T ODINAKOWOE CIKLI^ESKOE STROENIE. 37
pUSTX 1 i < j n , I = (i i + 1)(i + 1 i + 2) : : : (j ; 2 j ; 1) . pOKAZATX, ^TO (i j ) = (j ; 1 j ) ;1 . u^ESTX PRI \TOM, ^TO W L@BOJ GRUPPE (xy);1 = y;1x;1 , I ^TO DLQ L@BOJ TRANSPOZICII (a b) = (b a) = 2.17.
(a b);1 . 2.18.
dOKAZATX, ^TO GRUPPA Sn POROVDAETSQ TRANSPOZICIQMI WIDA
(i i + 1) .
rASSMOTRIM GRUPPU S3 , I PUSTX A = (1 2) 2 S3 , B = (1 2 3) 2 S3 . pRQMYM WY^ISLENIEM POKAZATX, ^TO S3 = f1 A B B 2 AB AB 2g , PRI^EM A2 = 1 , B 3 = 1 , BA = AB 2 . (w ^ASTNOSTI, A I B POROVDA@T GRUPPU S3 .) 2.19.
w GRUPPE S4 RASSMOTRIM CIKLY R = (3 4) , S = (1 2 3) , T = (1 2 3 4) . dOKAZATX, ^TO R S I T POROVDA@T GRUPPU S4 . pROWERITX SOOTNOENIQ R2 = S 3 = T 4 = 1 , RST = 1 . 2.20.
dOKAZATX, ^TO S4 POROVDAETSQ CIKLAMI C = (1 2) , D = (1 2 3 4) . pROWERITX SOOTNOENIQ C 2 = D4 = 1 , (CD)3 = 1 . 2.21.
2.22.
dOKAZATX, ^TO GRUPPA Sn POROVDAETSQ DWUMQ CIKLAMI X =
(1 2) , Y = (1 2 : : : n) .
oPREDELIM DLQ PROIZWOLXNOJ PODSTANOWKI 2 Sn ^ISLO (NAZYWAEMOE ZNAKOM PODSTANOWKI ): Y (i) ; (j ) : sgn( ) = i ; j ni>j 1 38
2.23.
dOKAZATX, ^TO sgn( ) = 1 , I ^TO ESLI 0
= @1 2
1
: : : n A i1 i2 : : : in
TO sgn( ) = (;1)r , GDE r ESTX KOLI^ESTWO TRANSPOZICIJ W UPORQDO^ENNOJ POSLEDOWATELXNOSTI (PERESTANOWKE) (i1 i2 : : : in) , TO ESTX KOLI^ESTWU TEH PAR (is it) , DLQ KOTORYH s < t , NO is > it . w ^ASTNOSTI, sgn(1) = +1 (ZNAK EDINI^NOJ PODSTANOWKI RAWEN EDINICE). 2.24. dOKAZATX, ^TO DLQ PROIZWOLXNYH PODSTANOWOK 2 Sn IMEET MESTO RAWENSTWO sgn( ) = sgn( )sgn(t) . uKAZANIE. mOVNO NA^ATX S TOVDESTWA Y ( (i)) ; ( (j )) Y ( (i)) ; ( (j )) Y (i) ; (j ) = i;j (i) ; (j ) ni>j1 i ; j : ni>j 1 ni>j 1 oSTAETSQ POKAZATX, ^TO Y (i) ; (j ) Y ( (i)) ; ( (j )) = (i) ; (j ) i;j : ni>j 1 ni>j 1 dLQ \TOGO DOSTATO^NO RASSMOTRETX DWA SLU^AQ: PUSTX i > j , TOGDA LIBO (i) > (j ) , LIBO (i) < (j ) . nAPOMNIM, ^TO SOOTNOENIQ sgn( ) = sgn( )sgn(t) I sgn(1) = 1 OZNA^A@T, ^TO OTOBRAVENIE sgn : Sn ;! f+1 ;1g QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM IZ GRUPPY Sn W fg . 2.25. dOKAZATX, ^TO sgn((i j )) = ;1 DLQ L@BOJ TRANSPOZICII (i j ) . (uKAZANIE: MOVNO OGRANI^ITXSQ SLU^AEM TRANSPOZICIJ WIDA (i i + 1) . pO^EMU?) 2.26. pOKAZATX, ^TO DLQ L@BOGO CIKLA = (i1 i2 : : : ik ) IMEET MESTO RAWENSTWO sgn( ) = (;1)k;1 . w ^ASTNOSTI, ESLI k NE^ETNO, TO sgn( ) = +1 .
39
pUSTX DANO RAZLOVENIE PROIZWOLXNOJ PODSTANOWKI 2 Sn W PROIZWEDENIE NEZAWISIMYH CIKLOW: = 1 : : : r , I PUSTX t | KOLI^ESTWO NEPODWIVNYH ARGUMENTOW , TO ESTX KOLI^ESTWO TEH j , DLQ KOTORYH
(j ) = j . pOKAZATX, ^TO sgn( ) = (;1)n;(r+t) . 2.27.
pRIMER
wY^ISLIM ZNAK PODSTANOWKI IZ PRIMERA 1.1. w PRIMERE 1.1 BYLO NAJDENO RAZLOVENIE W PROIZWEDENIE ^ETYREH NEZAWISIMYH CIKLOW, TAK ^TO r = 4 . kROME TOGO, ODIN SIMWOL BYL NEPODWIVNYM, TO ESTX t = 1 . nAKONEC, n = 12 . sLEDOWATELXNO, sgn( ) = (;1)12;(4+1) = (;1)7 = ;1 . 2.2.
pOLOVIM An = f 2 Snjsgn( ) = +1g . dOKAZATX, ^TO An | PODGRUPPA GRUPPY Sn , I ^TO x x;1 DLQ KAVDOGO 2 An I PROIZWOLXNOGO x 2 Sn . dOKAZATX, ^TO An SOSTOIT W TO^NOSTI IZ TEH PODSTANOWOK, KOTORYE MOVNO PREDSTAWITX W WIDE PROIZWEDENIQ ^ETNOGO ^ISLA TRANSPOZICIJ. 2.28.
pODSTANOWKA SO SWOJSTWOM sgn( ) = +1 NAZYWAETSQ ^ETNOJ, A ESLI sgn( ) = ;1 , TO NE^ETNOJ. tAKIM OBRAZOM, CIKLY NE^ETNOJ DLINY OKAZYWA@TSQ ^ETNYMI PODSTANOWKAMI, A CIKLY ^ETNOJ DLINY | NE^ETNYMI. gRUPPA An NAZYWAETSQ GRUPPOJ ^ETNYH PODSTANOWOK n -J STEPENI, ILI VE ZNAKOPEREMENNOJ GRUPPOJ n -J STEPENI. zAFIKSIRUEM TRANSPOZICI@ (i j ) (NAPOMNIM, ^TO \TO NE^ETNAQ PODSTANOWKA). rASSMOTRIM MNOVESTWO NE^ETNYH PODSTANOWOK Sn n An I OPREDELIM DWA OTOBRAVENIQ, f : An ;! Sn n An I h : Sn n An ;! 2.29.
40
An , OPREDELQEMYH SLEDU@]IM OBRAZOM: f ( ) = (i j ) , h( ) = (i j ) . dOKAZATX, ^TO \TI OTOBRAVENIQ OPREDELENY KORREKTNO, T.E. ESLI 2 Sn , TO f ( ) 2 Sn n An , A ESLI 2 Sn n An , TO h( ) 2 An . dALEE, PROWERITX, ^TO f I h | WZAIMNO OBRATNYE OTOBRAVENIQ. wYWESTI OTS@DA, ^TO KOLI^ESTWO ^ETNYH PODSTANOWOK n -J STEPENI RAWNO 21 n! , I RAWNO KOLI^ESTWU NE^ETNYH PODSTANOWOK n -J STEPENI. 2.30.
nAJTI W QWNOM WIDE WSE \LEMENTY GRUPP A3 I A4 .
w SLEDU@]EJ SERII ZADA^ OPISYWA@TSQ MNOVESTWA OBRAZU@]IH \LEMENTOW GRUPP ^ETNYH PODSTANOWOK. dOKAZATX, ^TO GRUPPA An POROVDAETSQ CIKLAMI DLINY 3 (\TROJNYMI CIKLAMI"). uKAZANIE. iSPOLXZOWATX ZADA^I 2.8 I 2.28. 2.31.
dOKAZATX, ^TO PRI n 5 L@BYE DWA TROJNYH CIKLA (j1 j2 j3) I (i1 i2 i3) SWQZANY SOOTNOENIEM (j1 j2 j3) = x(i1 i2 i3)x;1 , GDE x | ^ETNAQ PODSTANOWKA. 2.32.
dOKAZATX, ^TO GRUPPA A4 POROVDAETSQ \LEMENTAMI S = (1 2 3) I R = (1 2)(3 4) . pROWERITX, ^TO IME@T MESTO RAWENSTWA S 3 = R2 = 2.33.
(SR)3 = 1 .
dOKAZATX, ^TO GRUPPA A5 POROVDAETSQ \LEMENTAMI R = (1 2)(4 5) I S = (1 3 4) . pROWERITX , ^TO IME@T MESTO RAWENSTWA S 3 = R2 = 2.34.
(RS )5 = 1 .
dOKAZATX, ^TO PRI ^ETNOM n > 3 GRUPPA An POROVDAETSQ \LEMENTAMI X = (1 2)(3 4 : : : n) I Y = (1 2 3) , A PRI NE^ETNOM n > 3 | \LEMENTAMI Z = (3 4 : : : n) I Y = (1 2 3) . 2.35.
41
nAPOMNIM, ^TO MATRI^NOJ EDINICEJ NAZYWAETSQ MATRICA Eij , WSE \LEMENTY KOTOROJ RAWNY NUL@, KROME i j -GO, RAWNOGO EDINICE. l@BAQ MATRICA A S \LEMENTAMI ai j ODNOZNA^NO PREDSTAWLQETSQ W WIDE A = Pn a E . iNYMI SLOWAMI, MATRI^NYE EDINICY QWLQ@TSQ BAZISOM W i j ij ij=1 PROSTRANSTWE WSEH n n -MATRIC. oSNOWNYE SWOJSTWA MATRI^NYH EDINIC SFORMULIROWANY W PRIMERE 1.10. pUSTX 2 Sn . sOPOSTAWIM PODSTANOWKE MATRICU M ( ) =
n X
i=1
E(i)i :
iNYMI SLOWAMI, W i -M STOLBCE MATRICY M ( ) EDINICA NAHODITSQ W STROKE S NOMEROM 0 1 (i) , WSE OSTALXNYE \LEMENTY RAWNY NUL@. nAPRIMER, ESLI = @13 21 34 42A , TO 0 1 0 1 0 0 BB C BB 0 0 0 1 CCC CC M ( ) = BBB BB 1 0 0 0 CCC @ A
0 0 1 0 M ( ) NAZYWAETSQ MATRICEJ PODSTANOWKI .
dOKAZATX, ^TO M (1n) = En , M ( ) = M ( )M ( ) , M ( ;1) = M ( );1 = tM ( ) , A OTOBRAVENIE 7! M ( ) IN_EKTIWNO. tAKIM OBRAZOM, OTOBRAVENIE, SOPOSTWLQ@]EE PODSTANOWKE MATRICU M ( ) , QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM IZ GRUPPY Sn W GRUPPU GLn(F ) , GDE W KA^ESTWE F MOVNO WZQTX L@BOE POLE (ILI DAVE KOLXCO, TAK KAK TREBUETSQ TOLXKO NALI^IE W F NESOWPADA@]IH NULQ I EDINICY). w SLEDU@]EJ ZADA^E MOVNO PREDPOLAGATX, ^TO F = Q | POLE RACIONALXNYH ^ISEL. 2.36.
42
2.37.
3.
dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ PODSTANOWKI sgn( ) = det(M ( )) .
sMEVNYE KLASSY KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW PORQDKI ,
,
tEORETI^ESKOJ OSNOWOJ DLQ ZADA^ \TOGO RAZDELA QWLQETSQ SLEDU@]AQ KONSTRUKCIQ. dANA GRUPPA G , MNOVESTWO X , I OTOBRAVENIE G X ;! X
KOTOROE PEREWODIT PARU \LEMENTOW (g x) W \LEMENT gx 2 X . pRI \TOM DOLVNY WYPOLNQTXSQ DWA SWOJSTWA: 1) (g1g2)x = g1(g2x) DLQ WSEH g1 g2 2 G , x 2 X 2) 1x = x DLQ L@BOGO x 2 X . zDESX 1 2 G | EDINICA GRUPPY G . eSLI \TI SWOJSTWA WYPOLNQ@TSQ, TO GOWORQT, ^TO ZADANO DEJSTWIE GRUPPY G NA MNOVESTWE X , ILI ^TO GRUPPA G DEJSTWUET NA MNOVESTWE X . tO^NEE, TAKIM OBRAZOM OPREDELQETSQ LEWOE DEJSTWIE (GRUPPA G DEJSTWUET SLEWA NA MNOVESTWE X ). pRAWOE DEJSTWIE OPREDELQETSQ ANALOGI^NO: ZADAETSQ OTOBRAVENIE WIDA X G ! X , (x g) 7! xg , I DOLVNY WYPOLNQTXSQ DWA SWOJSTWA: x(g1g2) = (xg1)g2 I x1 = x . sWOJSTWA PRAWOGO DEJSTWIQ POLNOSTX@ ANALOGI^NY SWOJSTWAM LEWOGO DEJSTWIQ, I NE NUVDA@TSQ W OTDELXNYH DOKAZATELXSTWAH. |TO WYTEKAET, W ^ASTNOSTI, I IZ SLEDU@]EGO UTWERVDENIQ: 3.1. pUSTX ZADANO LEWOE DEJSTWIE G NA X . wWEDEM OBOZNA^ENIE xg = g;1x . dOKAZATX, ^TO OTOBRAVENIE X G ! X , ZADAWAEMOE FORMULOJ (x g) 7! xg = g;1x , QWLQETSQ PRAWYM DEJSTWIEM G NA X . aNALOGI^NYM OBRAZOM PO PRAWOMU DEJSTWI@ MOVNO POSTROITX LEWOE DEJSTWIE: 43
gx = xg;1 . |TIM ZADAETSQ WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU LEWYMI I PRAWYMI DEJSTWIQMI G NA X .
wAVNO POMNITX, ^TO OPERACIQ \UMNOVENIQ" (g x) 7! gx MOVET W KONKRETNYH ^ASTNYH SLU^AQH ZADAWATXSQ SAMYMI RAZNYMI SPOSOBAMI I PO-RAZNOMU OBOZNA^ATXSQ. rASSMOTRIM NESKOLXKO PRIMEROW. pUSTX Y | PROIZWOLXNOE MNOVESTWO, X = Y n , G = Sn . dLQ g 2 G I x = (y1 y2 : : : yn) POLOVIM gx = (yg; (1) yg; (2) : : : yg; (n) ) . dOKAZATX, ^TO \TO | LEWOE DEJSTWIE Sn NA X = Y n . dALEE, POLOVIM xg = (yg(1) yg(2) : : : yg(n)) . pROWERITX, ^TO \TA FORMULA OPREDELQET PRAWOE DEJSTWIE Sn NA Y n . 3.3. dOPUSTIM, ^TO X | GRUPPA, A G | PODGRUPPA GRUPPY X . pOKAZATX, ^TO UMNOVENIE (W GRUPPE X ) \LEMENTOW G SLEWA NA \LEMENTY X OPREDELQET LEWOE DEJSTWIE G NA X . (w \TOM SLU^AE PRINQTO GOWORITX, ^TO G DEJSTWUET NA X LEWYMI SDWIGAMI.) aNALOGI^NO, UMNOVENIE \LEMENTOW G SPRAWA NA \LEMENTY X ZADAET PRAWOE DEJSTWIE G NA X | DEJSTWIE PRAWYMI SDWIGAMI. 3.2.
1
1
1
|LEMENTY x I gxg;1 PRINQTO NAZYWATX SOPRQVENNYMI. sOPRQVENNYMI BUDUT TAKVE \LEMENTY x I g;1xg = yxy;1 y = g;1 . pUSTX OPQTX G | PODGRUPPA GRUPPY X . dLQ g 2 G , x 2 X POLOVIM g x = gxg;1 . tEM SAMYM OPREDELENO OTOBRAVENIE G X ! X , (g x) 7! g x . pOKAZATX, ^TO \TO | LEWOE DEJSTWIE G NA X (GOWORQT, ^TO G DEJSTWUET SOPRQVENIQMI NA X ). aNALOGI^NO, MOVNO OPREDELITX PRAWOE DEJSTWIE (x g) 7! xg = g;1xg . 3.4.
44
wERNEMSQ NA NEKOTOROE WREMQ WNOWX K PROIZWOLXNOMU LEWOMU DEJSTWI@ G NA X . pUSTX x 2 X . oBOZNA^IM ^EREZ Gx MNOVESTWO WSEH \LEMENTOW WIDA gx , GDE g PROBEGAET WS@ GRUPPU G . |TO MNOVESTWO NAZYWAETSQ ORBITOJ DEJSTWIQ GRUPPY G NA MNOVESTWE X . |LEMENT x NAZYWAETSQ PREDSTAWITELEM ORBITY Gx . iZ OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO ORBITA POLNOSTX@ ZADAETSQ SWOIM PREDSTAWITELEM. w SLEDU@]EM UPRAVNENII SFORMULIROWANY OSNOWNYE SWOJSTWA ORBIT. 1) x 2 Gx 2) ESLI y 2 Gx , TO Gy = Gx (PREDSTAWITELEM ORBITY MOVET BYTX L@BOJ EE \LEMENT) 3) ESLI Gx I Gy | DWE ORBITY, TO LIBO Gx = Gy , LIBO Gx I Gy NE PERESEKA@TSQ 4) MNOVESTWO X MOVNO PREDSTAWITX W WIDE OB_EDINENIQ POPARNO NEPERESEKA@]IHSQ ORBIT. 3.5.
rASSMOTRIM PROIZWOLXNU@ PODSTANOWKU 2 Sn , I PUSTX G = h i | CIKLI^ESKAQ PODGRUPPA GRUPPY Sn , POROVDENNAQ \LEMENTOM . pOLOVIM X = f1 2 : : : ng , I OPREDELIM OTOBRAVENIE G X ! X , POLAGAQ k i RAWNYM sk (i) , T.E. ZNA^ENI@ PODSTANOWKI (OTOBRAVENIQ) k NA ARGUMENTE i . dOKAVITE, ^TO \TO DEJSTWIE GRUPPY G NA MNOVESTWE 3.6.
X.
pUSTX = 1 : : : r | RAZLOVENIE PODSTANOWKI W PROIZWEDENIE NEZAWISIMYH CIKLOW, I PUSTX Xj ESTX MNOVESTWO PEREME]AEMYH SIMWOLOW CIKLA j DLQ WSEH j = 1 : : : r . pUSTX fxi : : : xit g | MNOVESTWO NEPODWIVNYH SIMWOLOW (WOZMOVNO, PUSTOE). pOLOVIM Xr+1 = fxi g , Xr+2 = fxi g , : : : , Xr+t = fxit g . dOKAVITE, ^TO MNOVESTWA X1 , : : : , 1
1
2
45
Xr , Xr+1 , : : : , Xr+t QWLQ@TSQ ORBITAMI POSTROENNOGO TOLXKO ^TO DEJSTWIQ.
rASSMOTRIM PODROBNO SLU^AJ, KOGDA PODGRUPPA G DEJSTWUET SDWIGAMI NA GRUPPE X . oRBITY \TOGO DEJSTWIQ NAZYWA@TSQ SMEVNYMI KLASSAMI GRUPPY X PO PODGRUPPE G . eSLI G DEJSTWUET LEWYMI SDWIGAMI, TO SOOTWETSTWU@]IE SMEVNYE KLASSY NAZYWA@TSQ PRAWYMI SMEVNYMI KLASSAMI X PO G , A ESLI PRAWYMI SDWIGAMI | TO LEWYMI SMEVNYMI KLASSAMI. iTAK, PRAWYE SMEVNYE KLASSY IME@T WID Gx = fgxjg 2 Gg , A LEWYE | xG = fxgjg 2 Gg . dLQ SMEVNYH KLASSOW IME@T MESTO WSE SWOJSTWA ORBIT, SFORMULIROWANNYE W PREDYDU]EJ ZADA^E. pUSTX X | GRUPPA, A G | EE PODGRUPPA, x y 2 G , z w 2 X . 1) Gx = G ( xG = G ) TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI x 2 G 2) Gx = Gy ( xG = yG ) TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI xy;1 2 G ( SOOTWETSTWENNO, ESLI x;1y 2 G ). 3) oTOBRAVENIQ z 7! zx I w 7! wx;1 QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI BIEKCIQMI MEVDU G I Gx . w ^ASTNOSTI, RAWNY MO]NOSTI MNOVESTW G I Gx DLQ WSEH x . sFORMULIRUJTE I DOKAVITE ANALOGI^NYE UTWERVDENIQ DLQ LEWYH SMEVNYH KLASSOW. 4) pUSTX Gx1 Gx2 : : : | MNOVESTWO WSEH RAZLI^NYH (IMENNO RAZLI^NYH) PRAWYH SMEVNYH KLASSOW X PO G . tOGDA x;1 1 G x;2 2G : : : | MNOVESTWO WSEH RAZLI^NYH LEWYH SMEVNYH KLASSOW X PO G . w ^ASTNOSTI, MO]NOSTX MNOVESTWA WSEH RAZLI^NYH PRAWYH SMEVNYH KLASSOW X PO G RAWNA MO]NOSTI MNOVESTWA WSEH RAZLI^NYH LEWYH SMEVNYH KLASSOW. 3.7.
46
nAPOMNIM, ^TO MO]NOSTX jGj GRUPPY G NAZYWAETSQ PORQDKOM GRUPPY, A SMEVNYH KLASSOW GRUPPY G PO EE PODGRUPPE H (ONO ODINAKOWO I DLQ LEWYH, I DLQ PRAWYH KLASSOW) NAZYWAETSQ INDEKSOM GRUPPY G PO PODGRUPPE H , I OBOZNA^AETSQ ^EREZ jG : H j . iZ REZULXTATA PREDYDU]EJ ZADA^I LEGKO WYWODITSQ SLEDU@]AQ TEOREMA.
tEOREMA
3.1.
(lAGRANV) jGj = jG : H j jH j , ESLI GRUPPA G KONE^NA.
tAKIM OBRAZOM, PORQDOK GRUPPY DELITSQ NACELO NA PORQDOK L@BOJ EE PODGRUPPY. 3.8. pUSTX K I H | KONE^NYE PODGRUPPY GRUPPY G , PRI^EM nod(jK j jH j) = 1 . dOKAZATX, ^TO TOGDA K \ H = f1g . ~TOBY WY^ISLITX W QWNOM WIDE MNOVESTWO WSEH RAZLI^NYH SMEVNYH KLASSOW GRUPPY G PO PODGRUPPE H , ^ASTO BYWAET DOSTATO^NO NAJTI W KAVDOM KLASSE PO ODNOMU PREDSTAWITEL@. bUDEM GOWORITX OB \TOM MNOVESTWE KAK O POLNOJ SISTEME PREDSTAWITELEJ SMEVNYH KLASSOW (PRAWYH ILI LEWYH) G PO H , ILI (KRATKO) KAK O POLNOJ SISTEME PREDSTAWITELEJ G PO H . 3.9. dOKAZATX, ^TO MNOVESTWO K = fgi ji 2 I g \LEMENTOW GRUPPY G QWLQETSQ POLNOJ SISTEMOJ PREDSTAWITELEJ PRAWYH SMEVNYH KLASSOW G PO H TODA I TOLXKO TOGDA, ESLI WYPOLNQ@TSQ DWA USLOWIQ: 1) gigj;1 62 H DLQ L@BYH DWUH RAZLI^NYH gi gj 2 Z 2) DLQ KAVDOGO g 2 G SU]ESTWU@T \LEMENTY h 2 H I gi 2 Z TAKIE, ^TO g = hgi (\TO E]E MOVNO WYRAZITX W FORME G = HK . dOKAZATX, ^TO ESLI USLOWIQ 1) I 2) WYPOLNQ@TSQ, TO PREDSTAWLENIE \LEMENTA g 2 G W WIDE PROIZWEDENIQ g = hgi , GDE h 2 H , gi 2 K , QWLEETSQ EDINSTWENNO WOZMOVNYM. 47
sFORMULIROWATX I DOKAZATX ANALOGI^NOE UTWERVDENIE DLQ POLNOJ SISTEMY PREDSTAWITELEJ LEWYH SMEVNYH KLASSOW G PO H . iZ \TIH FAKTOW MOVNO SDELATX SLEDU@]IJ WYWOD. eSLI G | GRUPPA, H | EE PODGRUPPA, I K | POLNAQ SISTEMA PREDSTAWITELEJ PRAWYH SMEVNYH KLASSOW G PO H , TO SU]ESTWUET WZAIMNO-ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU G I PRQMYM PROIZWEDENIEM MNOVESTW H K . oNO USTANAWLIWAETSQ OTOBRAVENIEM g 7! (h gi) , GDE h 2 H I gi 2 K | \LEMENTY, SU]ESTWOWANIE KOTORYH UTWERVDAETSQ W PUNKTE 2) PREDYDU]EJ ZADA^I. oBRATNOE OTOBRAVENIE WYGLQDIT TAK: (h gj ) 7! hgj . tAKIM OBRAZOM, WYBOR POLNOJ SISTEMY PREDSTAWITELEJ K PRIWODIT K POQWLENI@ W GRUPPE G SWOEGO RODA \SISTEMY KOORDINAT": PODGRUPPA H IGRAET ROLX ODNOJ KOORDINATNOJ OSI, A DRUGAQ KOORDINATNAQ OSX | \TO MNOVESTWO K . oSOBYJ INTERES PREDSTAWLQ@T SLU^AI, KOGDA MOVNO WYBRATX TAKU@ POLNU@ SISTEMU PREDSTAWITELEJ, KOTORAQ SAMA QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY G . pUSTX DANA GRUPPA G I DWE EE PODGRUPPY H I K . dOPUSTIM, ^TO WYPOLNENY DWA USLOWIQ: 1) H \ K = f1g 3.10.
2) G = HK . dOKAVITE, ^TO MNOVESTWO K QWLQETSQ POLNOJ SISTEMOJ PREDSTAWITELEJ PRAWYH SMEVNYH KLASSOW G PO H , A MNOVESTWO H | POLNOJ SISTEMOJ PREDSTAWITELEJ LEWYH SMEVNYH KLASSOW G PO K . kAK NADO IZMENITX FORMULIROWKU, ^TOBY POLU^ITX ANALOGI^NOE UTWERVDENIE DLQ SLU^AQ PRAWYH SMEVNYH KLASSOW? 48
dOKAVITE, ^TO RAWENSTWO G = HK RAWNOSILXNO RAWENSTWU G =
KH .
pUSTX DANA KONE^NAQ GRUPPA G I DWE EE PODGRUPPY H I K . dOPUSTIM, ^TO H \ K = f1g . dOKAZATX, ^TO TOGDA IZ jGj = jK j jH j SLEDUET G = HK = HK . 3.11.
w NEKOTORYH DALXNEJIH ZADA^AH RASSMATRIWAEMYE GRUPPY KOMMUTATIWNY (T.E. DLQ L@BYH \LEMENTOW a b WYPOLNENO RAWENSTWO ab = ba ). dLQ KOMMUTATIWNYH GRUPP PRAWYE SMEVNYE KLASSY SOWPADA@T S LEWYMI, T.E. Hx = xH DLQ WSEH x 2 G I L@BOJ PODGRUPPY H . oPREDELIM NEKOTORYE GRUPPY I IH PODGRUPPY, KOTORYE BUDUT WSTRE^ATXSQ DALEE W ZADA^AH \TOGO I SLEDU@]EGO RAZDELOW. wSE \TI GRUPPY KOMMUTATIWNY. pUSTX R | MNOVESTWO WSEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL, C | MNOVESTWO WSEH KOMPLEKSNYH ^ISEL. |TO POLQ I, SLEDOWATELXNO, GRUPPY PO SLOVENI@, NEJTRALXNYMI \LEMENTAMI KOTORYH QWLQ@TSQ NULI. ~EREZ R2 , KAK OBY^NO, OBOZNA^AETSQ MNOVESTWO PAR UPORQDO^ENNYH PAR (r1 r2) , GDE r1 r2 | DEJSTWITELXNYE ^ISLA. |TO WEKTORNOE (LINEJNOE) PROSTRANSTWO NAD POLEM R , KOTOROE IZOBRAVAETSQ OBY^NO KAK PLOSKOSTX. l@BOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO (A ZNA^IT, I R2 ) QWLQETSQ GRUPPOJ PO SLOVENI@. oBOZNA^IM ^EREZ R I C MNOVESTWA NENULEWYH \LEMENTOW W R I C . |TO GRUPPY PO UMNOVENI@, NEJTRALXNYE \LEMENTY W NIH | EDINICY. w R SODERVITSQ PODGRUPPA R+ WSEH POLOVITELXNYH DEJSTWITELXNYH ^ISEL. pOLOVIM U = fu 2 C j juj = 1 g (MNOVESTWO KOMPLEKSNYH ^ISEL, MODULX KOTORYH RAWEN EDINICE), Un = fu 2 C j un = 1 g (MNOVESTWO 49
KORNEJ n -J STEPENI IZ EDINICY), Kn = fz 2 C j z n 2 R+ g . (zAMETIM, ^TO OBOZNA^ENIE Kn , W OTLI^IE OT WSEH OSTALXNYH, NE QWLQETSQ OB]EUPOTREBITELXNYM.) dOKAZATX, ^TO U , Un , Kn | PODGRUPPY GRUPPY RAZITX NA PLOSKOSTI MNOVESTWA U , U2 , U3 , U4 . 3.12.
.
C
iZOB-
w SLEDU@]IH ZADA^AH VELATELXNO DATX I ANALITI^ESKOE, I GRAFI^ESKOE REENIE (W WIDE RISUNKA). nAJTI SMEVNYE KLASSY GRUPPY G = R2 PO PODGRUPPE H = f(r 0)j r 2 R g , I PO PODGRUPPE K = f(0 r)j r 2 R g . (nAJTI POLNYE SISTEMY PREDSTAWITELEJ SMEVNYH KLASSOW I OPISATX KLASSY CELIKOM KAK MNOVESTWA.) 3.13.
nAJTI SMEVNYE KLASSY GRUPPY G = C PO PODGRUPPE H = U , I PO PODGRUPPE K = R+ . (nAJTI POLNYE SISTEMY PREDSTAWITELEJ SMEVNYH KLASSOW I OPISATX KLASSY CELIKOM KAK MNOVESTWA.) 3.14.
lEGKO PROWERQETSQ, ^TO Un Ukn , +i ;ig , Un Kn , R+ Kn .
U2
= f+1 ;1g ,
U4
= f+1 ;1
nAJTI QWNYJ WID \LEMENTOW Kn . w ^ASTNOSTI, POKAZATX, ^TO K2 = R . iZOBRAZITX GRAFI^ESKI K2 , K3 , K4 , K6 . 3.15.
rASSMOTRIM MNOVESTWO fz 2 C jz n 2 R g . dOKAZATX, ^TO \TO GRUPPA, I ^TO ONA SOWPADAET S K2n . 3.16.
pOLOVIM G = Kn , H = Un , K = R+ . nAJTI SMEVNYE KLASSY G PO H I G PO K . 3.17.
50
pUSTX G = U6 , H = U3 , K = U2 . nAJTI SMEVNYE KLASSY G PO H I G PO K . 3.18.
pUSTX G = U15 , H = U3 . nAJTI SMEVNYE KLASSY G PO H . (kARTINKU MOVNO NE RISOWATX.) w \TOJ ZADA^E UDOBNO OTWLE^XSQ OT KONKRETNOGO WIDA \LEMENTOW U15 , A WYBRATX KAKOJ-TO x | PERWOOBRAZNYJ KORENX IZ EDINICY 15-J STEPENI, I TOGDA WSE \LEMENTY U15 | \TO MNOVESTWO f1 x x2 x3 : : : x14g , A PODGRUPPA U3 SOSTOIT IZ \LEMENTOW f1 x5 x10g (DOKAVITE \TO!). tEPERX BUDET NETRUDNO WYPISATX WSE SMEVNYE KLASSY W QWNOM WIDE, I POLNU@ SISTEMU PREDSTAWITELEJ SMEVNYH KLASSOW. nELXZQ LI WYBRATX POLNOJ SISTEMOJ PREDSTAWITELEJ KAKU@-NIBUDX PODGRUPPU GRUPPY U15 ? 3.19.
3.20.
rEITX ANALOGI^NU@ ZADA^U DLQ G = U16 I H = U4 .
aNALOGI^NO PREDYDU]IM ZADA^AM, PUSTX x | PERWOOBRAZNYJ KORENX IZ EDINICY n -J STEPENI. tOGDA Un = f1 x x2 : : : xn;1g . pUSTX n = mk . kAKIE STEPENI \LEMENTA x SOSTAWLQ@T PODGRUPPU Um GRUPPY Un ? nAJTI SMEVNYE KLASSY Umk PO Um QWNO, I KAKU@-NIBUDX POLNU@ SISTEMU PREDSTAWITELEJ DLQ \TIH SMEVNYH KLASSOW. kOGDA MOVNO WYBRATX W KA^ESTWE SISTEMY PREDSTAWITELEJ PODGRUPPU GRUPPY Umk ? 3.21.
nAPOMNIM, ^TO GRUPPA G , WSE \LEMENTY KOTOROJ MOVNO WYRAZITX W WIDE STEPENEJ ODNOGO \LEMENTA, NAZYWAETSQ CIKLI^ESKOJ, I ^TO WSE BESKONE^NYE CIKLI^ESKIE GRUPPY IZOMORFNY GRUPPE (PO SLOVENI@) WSEH CELYH ^ISEL Z , A L@BAQ KONE^NAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA PORQDKA n IZOMORFNA GRUPPE Un . tAKIM OBRAZOM, W PREDYDU]IH ZADA^AH FAKTI^ESKI BYL RAZOBRAN OB]IJ SLU^AJ KONE^NYH CIKLI^ESKIH GRUPP. rASSMOTRIM TEPERX NESKOLXKO ZADA^ S NEKOMMUTATIWNYMI GRUPPAMI. 51
rASSMOTRIM W GRUPPE S4 PODMNOVESTWO V4 = f1 (1 2)(3 4) , (1 3)(2 4) , (1 4)(2 3)g I PODMNOVESTWO K , SOSTOQ]E IZ WSEH PODSTANOWOK WIDA 0 1 3.22.
@ 1 2 3 4 A:
4 dOKAZATX, ^TO V4 I H | PODGRUPPY, I ^TO H
= S3 . ~EMU RAWNO MNOVESTWO V4 \ H ? iSPOLXZUQ PREDYDU]U@ ZADA^U, NAJTI POLNU@ SISTEMU PREDSTAWITELEJ SMEVNYH KLASSOW (PRAWYH ILI LEWYH) S4 PO V4 . nAJTI W QWNOM WIDE I PRAWYE, I LEWYE SMEVNYE KLASSY S4 PO V4 . zAMETIM, ^TO W STARYH KNIGAH PODGRUPPU V4 INOGDA NAZYWA@T \^ETWERNOJ GRUPPOJ kLEJNA". rASSMOTRIM MATRICY
0 2 cos B a = BB@ 2n
; sin 2n sin n cos 2n
1 CC CA
0 1 0 1 CC b = BB@ A:
1 0
gRUPPA Dn , POROVDENNAQ \TIMI DWUMQ MATRICAMI, NAZYWAETSQ GRUPPOJ DI\DRA n -J STEPENI, I SOSTOIT IZ 2n \LEMENTOW: 1 a a2 : : : an;1 b ab a2b : : : an;1b:
zDESX EDINICA OZNA^AET EDINI^NU@ MATRICU. pRI \TOM WYPOLNQ@TSQ SOOTNOENIQ: an = b2 = 1 , ba = an;1b . pOSLEDNEE SOOTNOENIE, WWIDU RAWENSTWA a;1 = an;1 , RAWNOSILXNO SOOTNOENI@ (ab)2 = 1 . pODROBNOE OBOSNOWANIE TOGO, ^TO GRUPPA Dn USTROENA IMENNO TAKIM OBRAZOM, MOVNO NAJTI W KNIGE 24] NA S. 319 { 320. rASSMOTRIM W Dn PODMNOVESTWO H = f1 bg . dOKAZATX, ^TO \TO PODGRUPPA, I NAJTI W QWNOM WIDE LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY 3.23.
52
Dn PO H . sU]ESTWUET LI PODGRUPPA K SO SWOJSTWAMI H \ K = f1g I HK = Dn ?
lEMMA
pUSTX H | PODGRUPPA GRUPPY G . tOGDA \KWIWALENTNY SLEDU@]IE TRI USLOWIQ: 1) xH = Hx DLQ KAVDOGO x 2 G 3.1.
2) xHx;1 = H DLQ L@BOGO x 2 G 3) xHx;1 H DLQ L@BOGO x 2 G .
dOKAZATELXSTWO zDESX ISPOLXZU@TSQ SWOJSTWA UMNOVENIQ PODMNO.
VESTW GRUPPY, OPISANNYE W PRIMERE 1.5. w ^ASTNOSTI, ISPOLXZUETSQ ASSOCIATIWNOSTX \TOGO UMNOVENIQ. dOPUSTIM, ^TO xH = Hx DLQ KAVDOGO x 2 G . uMNOVIM OBE ^ASTI \TOGO RAWENSTWA SPRAWA NA x;1 , I POLU^IM RAWENSTWO xHx;1 = H . o^EWIDNO, ^TO IZ USLOWIQ 2) SLEDUET USLOWIE 3). pOKAVEM, ^TO IZ 3) SLEDUET 2). zDESX NEOBHODIMO UBEDITXSQ, ^TO ESLI xHx;1 H DLQ WSEH x , TO H xHx;1 . zDESX KL@^EWU@ ROLX IGRAET USLOWIE \DLQ WSEH x ". \dLQ WSEH x 2 G " OZNA^AET, ^TO W TOM ^ISLE I DLQ x;1 . zAMENQQ x NA x;1 , POLU^AEM, ^TO IZ 3) SLEDUET x;1H (x;1);1 = x;1Hx H . uMNOVAQ SLEWA NA x , A SPRAWA NA x;1 , POLU^IM TREBUEMOE WKL@^ENIE H xHx;1 . oSTALOSX POKAZATX, ^TO IZ USLOWIQ 2) SLEDUET USLOWIE 1). i SNOWA BEREM RAWENSTWO xHx;1 = H , I UMNOVAEM EGO SPRAWA NA x . pOLU^IM TREBUEMOE RAWENSTWO xH = Hx . 2 pODGRUPPA H GRUPPY G NAZYWAETSQ NORMALXNOJ, ESLI WYPOLNQETSQ L@BOE IZ \KWIWALENTNYH USLOWIJ 1), 2), 3) \TOJ LEMMY. l@BAQ PODGRUPPA KOMMUTATIWNOJ GRUPPY QWLQETSQ NORMALXNOJ PODGRUPPOJ. 53
dOKAZATX, ^TO ESLI PODGRUPPA H GRUPPY G QWLQETSQ NORMALXNOJ, x y 2 G , I xy 2 H , TO I yx 2 H: 3.24.
dOKAZATX, ^TO PODGRUPPA V4 GRUPPY S4 QWLQETSQ NORMALXNOJ, A PODGRUPPA H (IZ TOJ VE ZADA^I, GDE BYLA WWEDENA V4 ) NORMALXNOJ NE QWLQETSQ. 3.25.
dOKAZATX, ^TO KAVDAQ PODGRUPPA H GRUPPY G TAKAQ, ^TO jG : H j = 2 , QWLQETSQ NORMALXNOJ. dOKAZATX, ^TO DLQ WSEH n IMEET MESTO RAWENSTWO jSn : Anj = 2 , TAK ^TO WSE ZNAKOPEREMENNYE PODGRUPPY NORMALXNY. 3.26.
dOKAZATX, ^TO ESLI H | NORMALXNAQ PODGRUPPA GRUPPY G , A K | PROIZWOLXNAQ PODGRUPPA, TO HK = KH , I \TO MNOVESTWO QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY G . 3.27.
dOKAZATX, ^TO ESLI H I K | NORMALXNYE PODGRUPPY GRUPPY G , I K \ H = f1g , TO xy = yx DLQ L@BYH x 2 K I y 2 H . 3.28.
dOKAZATX, ^TO ESLI H I K | NORMALXNYE PODGRUPPY GRUPPY G , TO NORMALXNYMI PODGRUPPAMI BUDUT TAKVE H \K I HK . dOKAZATX, ^TO PERESE^ENIE PROIZWOLXNOGO SEMEJSTWA NORMALXNYH PODGRUPP TAKVE BUDET NORMALXNOJ PODGRUPPOJ. 3.29.
dOKAZATX, ^TO UNITREUGOLXNAQ GRUPPA UTn(F ) QWLQETSQ NORMALXNOJ PODGRUPPOJ TREUGOLXNOJ GRUPPY Tn(F ) (OPREDELENIQ \TIH GRUPP SM. W RAZDELE 1). 3.30.
dOKAZATX, ^TO GRUPPY UTnm(F ) QWLQ@TSQ NORMALXNYMI PODGRUPPAMI TREUGOLXNOJ GRUPPY Tn(F ) (OPREDELENIQ \TIH GRUPP SM. W RAZDELE 1). 3.31.
54
w PROIZWOLXNOJ GRUPPE G RASSMOTRIM MNOVESTWO C (G) = fx 2 G j xg = gx DLQ WSEH g 2 G g . dOKAZATX, ^TO C (G) | NORMALXNAQ PODGRUPPA GRUPPY G . 3.32.
pODGRUPPA C (G) NAZYWAETSQ CENTROM GRUPPY G . gRUPPA G KOMMUTATIWNA TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI C (G) = G . 3.33.
dOKAZATX, ^TO C (Sn) = f1g .
rASSMOTRIM GRUPPU GLn(F ) WSEH KWADRATNYH NEWYROVDENNYH n n -MATRIC NAD POLEM F . dOKAZATX, ^TO CENTR GLn(F ) SOSTOIT IZ WSEH SKALQRNYH NEWYROVDENNYH MATRIC, T.E. IZ MATRIC, WSE DIAGONALXNYE KOMPONENTY KOTORYH RAWNY ODNOMU I TOMU VE NENULEWOMU \LEMENTU F , A NEDIAGONALXNYE KOMPONENTY RAWNY NUL@. 3.34.
rASSMOTRIM GRUPPU Q8 (NAZYWAEMU@ GRUPPOJ KWATERNIONOW), SOSTOQ]U@ IZ \LEMENTOW 1 a a2 a3 b ab a2b a3b . pRI \TOM DOLVNY BYTX WYPOLNENY SOOTNOENIQ: a4 = 1 , a2 = b2 , ba = a2b . pOKAZATX, ^TO CENTR Q8 SOSTOIT IZ \LEMENTOW 1 I a2 = b2 . 3.35.
rASSMOTRIM PROIZWOLXNU@ GRUPPU G , I EE PODMNOVESTWO X . pOLOVIM X = fgxg;1jx 2 X g 2 Gg , I RASSMOTRIM PODGRUPPU hX i , POROVDENNU@ MNOVESTWOM X . 3.36.
dOKAZATX, ^TO hX i | NORMALXNAQ PODGRUPPA GRUPPY G . 55
dOKAZATX, ^TO ESLI H | KAKAQ-NIBUDX PODGRUPPA GRUPPY G , I X H , TO hX i H . wYWESTI OTS@DA, ^TO hX i QWLQETSQ PERESE^ENIEM WSEH NORMALXNYH PODGRUPP GRUPPY G , SODERVA]IH PODMNOVESTWO X . 3.37.
bUDEM NAZYWATX hX i NORMALXNOJ PODGRUPPOJ GRUPPY G , POROVDENNOJ MNOVESTWOM X . rASSMOTRIM PODROBNEE NORMALXNU@ PODGRUPPU GRUPPY G , POROVDENNU@ WSEMI KOMMUTATORAMI, TO ESTX \LEMENTAMI x y] = xyx;1 y;1 . |TA NORMALXNAQ PODGRUPPA OBOZNA^AETSQ ^EREZ G G] , I NAZYWAETSQ KOMMUTANTOM GRUPPY G . tAK KAK x y] = 1 TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI xy = yx , TO W KOMMUTATIWNYH GRUPPAH KOMMUTANT TRIWIALEN: \TO PODGRUPPA, SOSTOQ]AQ IZ ODNOGO EDINI^NOGO (NEJTRALXNOGO) \LEMENTA. dOKAZATX, ^TO PODGRUPPA, POROVDENNAQ WSEMI KOMMUTATORAMI, SOWPADAET S NORMALXNOJ PODGRUPPOJ, POROVENNOJ WSEMI KOMMUTATORAMI, T.E. S KOMMUTANTOM. uKAZANIE. pROWERITX TOVDESTWO gx y]g;1 = gxg;1 gyg;1] , I ISPOLXZOWATX EGO. ;1 = y x] . dOKAZATX, ISPOLXZUQ EGO, 3.39. pROWERITX TOVDESTWO x y ] ^TO \LEMENTY KOMMUTANTA | \TO WSEWOZMOVNYE PROIZWEDENIQ KOMMUTATOROW: x1 y1]x2 y2] : : : xn yn] n 0: 3.40. pROWERITX, ^TO S2 S2] = 1 , A3 A3] = 1 . 3.41. dOKAZATX, ^TO Sn Sn] = An DLQ WSEH n . 3.42. dOKAZATX, ^TO A4 A4] = V4 . nAPOMNIM, ^TO V4 = f1 (1 2)(3 4) (1 3)(2 4) (1 4)(2 3)g 3.38.
56
3.43.
dOKAZATX, ^TO PRI n 5 IMEET MESTO RAWENSTWO An An] = An .
3.44.
pUSTX F ESTX ODNO IZ POLEJ Q R C . dOKAZATX, ^TO GLn(F ) GLn(F )] = SLn(F )
DLQ WSEH n 1 . 3.45.
pUSTX F ESTX ODNO IZ POLEJ Q R C . dOKAZATX, ^TO SLn(F ) SLn(F )] = SLn(F )
DLQ WSEH n 1 . pUSTX SNOWA F ESTX ODNO IZ POLEJ Tn(F ) Tn(F )] = UTn(F ) DLQ WSEH n 1 . 3.46.
. dOKAZATX, ^TO
Q R C
pRI TEH VE PREDPOLOVENIQH OTNOSITELXNO POLQ F DOKAZATX, ^TO UTnr(F ) UTns (F )] = UTnr+s (F ) DLQ WSEH n m r s . 3.47.
3.48.
nAJTI KOMMUTANT GRUPPY KWATERNIONOW Q8 .
rASSMOTRIM DALEE PODROBNO DEJSTWIE GRUPPY G NA SAMOJ SEBE SOPRQVENIQMI. oRBITA \LEMENTA x W \TOM SLU^AE ESTX MNOVESTWO fgxg;1 j g 2 G . |TI ORBITY NAZYWA@TSQ KLASSAMI SOPRQVENNYH \LEMENTOW GRUPPY G . kAK SLEDUET IZ OB]IH SWOJSTW ORBIT, L@BYE DWA KLASS SOPRQVENNYH \LEMENTOW LIBO NE PERESEKA@TSQ, LIBO SOWPADA@T. eSLI G KONE^NA, TO IZWESTNO, ^TO KOLI^ESTWO \LEMENTOW W KAVDOM KLASSE SOPRQVENNYH \LEMENTOW DELIT PORQDOK GRUPPY (\TO BUDET DOKAZANO W RAZDELE 5). eSLI GRUPPA KOMMUTATIWNA, TO KAVDYJ KLASS SOPRQVENNYH \LEMENTOW SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA. kAK UVE FAKTI^ESKI IZWESTNO (SM. RAZDEL 2), W GRUPPAH Sn KLASSAMI SOPRQVENNYH \LEMENTOW QWLQ@TSQ MNOVESTWA PODSTANOWOK, IME@]IH ODINAKOWOE CIKLI^ESKOE STROENIE. nA PERWOM 57
KURSE DOKAZYWAETSQ, ^TO W GRUPPE GLn(C) DWE MATRICY A I B PRINADLEVAT ODNOMU KLASSU SOPRQVENNYH \LEMENTOW (T.E. B = XAX ;1 ) TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI A I B IME@T ODNU I TU VE VORDANOWU NORMALXNU@ FORMU (ODIN I TOT VE NABOR VORDANAOWYH KLETOK). iZ \TIH PRIMEROW WIDNO, ^TO KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW GRUPPY SODERVAT \LEMENTY, OBLADA@]IE NEKOTORYMI OB]IMI SWOJSTWAMI. dOKAZATX, ^TO PODGRUPPA H GRUPPY G NORMALXNA TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI QWLQETSQ OB_EDINENIEM NESKOLXKIH KLASSOW SOPRQVENNYH \LEMENTOW. eSLI H SOSTOIT IZ BOLEE ^EM ODNOGO \LEMENTA, TO W \TOM OB_EDINENII NE MENEE DWUH KLASSOW (PO^EMU?). 3.49.
dOKAZATX, ^TO CENTR C (G) GRUPPY G QWLQETSQ OB_EDINENIEM WSEH TEH KLASSOW SOPRQVENNYH \LEMENTOW, KOTORYE SOSTOQT W TO^NOSTI IZ ODNOGO \LEMENTA. 3.50.
nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW GRUPPY KWATERNIONOW Q8 . 3.51.
uSTANOWITX SLEDU@]IE SOOTNOENIQ MEVDU \LEMENTAMI GRUPPY DI\DRA Dn : 3.52.
(ak b)ar(ak b);1 = a;r = an;r bar = an;rb (akb)b(ak b);1 = a2kb (ak b)ab(akb);1 = a2k;1b:
dOKAZATX, ^TO PRI n = 2m KLASSAMI SOPRQVENNYH \LEMENTOW Dn QWLQ@TSQ MNOVESTWA: f1g famg fak a2m;k g 1 k m ; 1 fb a2b a4b : : : a2m;2bg fab a3b a5b : : : a2m;1bg: 3.53.
58
dOKAZATX, ^TO PRI n = 2m + 1 KLASSAMI SOPRQVENNYH \LEMENTOW Dn QWLQ@TSQ MNOVESTWA: f1g fak a2m+1;k g 1 k m fb ab a2b a3b a4b : : : a2m;1b a2mbg: 3.54.
oTS@DA, W ^ASTNOSTI, SLEDUET, ^TO CENTR D2m | \TO PODGRUPPA f1 amg , A CENTR D2m+1 SOSTOIT TOLXKO IZ EDINICY. 3.55.
f1 amg . 3.56.
nAJTI QWNO SMEVNYE KLASSY GRUPPY D2m PO EE CENTRU H =
wY^ISLITX KOMMUTANT Dn Dn] GRUPPY DI\DRA.
nAPOMNIM, ^TO PORQDOK \LEMENTA g GRUPPY G | \TO NAIMENXEE CELOE POLOVITELXNOE ^ISLO n , TAKOE, ^TO xn = 1 . eSLI TAKOGO n > 0 NAJTI NELXZQ, TO GOWORQT, ^TO PORQDOK g BESKONE^EN. pORQDOK NEJTRALXNOGO \LEMENTA GRUPPY RAWEN EDINICE. w KONE^NOJ GRUPPE PORQDKI WSEH \LEMENTOW KONE^NY. w DALXNEJEM RASSMATRIWA@TSQ TOLXKO \LEMENTY KONE^NOGO PORQDKA. nAZWANIE \PORQDOK" SOGLASUETSQ S TEM, ^TO ^ISLO n RAWNO PORQDKU PODGRUPPY hgi , POROVDENNOJ \LEMENTOM g : hgi = f1 g g2 : : : gn;1g .
lEMMA
PORQDOK g , I gm = 1 , TO m DELITSQ NA n BEZ OSTATKA. eSLI gk = gl , TO k ; l DELITSQ NA n . 3.2.
1) eSLI n
|
2) eSLI \LEMENT g IMEET BESKONE^NYJ PORQDOK, TO IZ gk = gl SLEDUET k = l . 59
iZ TEOREMY lAGRANVA SLEDUET PROSTOE, NO WAVNOE UTWERVDENIE:
tEOREMA
w KONE^NOJ GRUPPE G PORQDOK L@BOGO \LEMENTA DELIT PORQDOK GRUPPY. w ^ASTNOSTI, DLQ KAVDOGO g 2 G IMEET MESTO RAWENSTWO gjGj = 1 . 3.2.
3.57.
dOKAZATX, ^TO ESLI PORQDOK g 2 G RAWEN mk , TO PORQDOK gk
3.58.
w OB]EM SLU^AE, ESLI PORQDOK g RAWEN n , TO PORQDOK gk RAWEN
RAWEN m .
n nod(n k) .
pUSTX x y | \LEMENTY GRUPPY G TAKIE, ^TO xy = yx , I PUSTX n | PORQDOK x , A m | PORQDOK y . dOKAZATX, ^TO ESLI n I m WZAIMNO PROSTY (T.E. nod(n m) = 1 ), TO PORQDOK \LEMENTA xy RAWEN nm . 3.59.
3.60.
xgx;1 .
pOKAZATX, ^TO PORQDOK \LEMENTA g RAWEN PORQDKU \LEMENTA
3.61.
pOKAZATX, ^TO PORQDOK xy RAWEN PORQDKU yx .
3.62.
pOKAZATX, ^TO ODIN I TOT VE PORQDOK IME@T \LEMENTY xyz ,
zxy I yzx .
dOKAZATX, ^TO ESLI PORQDOK KAVDOGO NEEDINI^NOGO \LEMENTA GRUPPY RAWEN DWUM, TO GRUPPA KOMMUTATIWNA. 3.63.
3.64.
~EMU RAWNY PORQDKI \LEMENTOW ak b W GRUPPE DI\DRA Dn ? 60
dOKAZATX, ^TO GRUPPY Q8 I D4 NE IZOMORFNY. (nA PERWYJ WZGLQD, \TA ZADA^A NIKAK NE SWQZANA S TEMOJ PORQDKOW. oDNAKO NAIBOLEE PROSTOE REENIE OSNOWANO NA TOM, ^TO U IZOMORFNYH GRUPP DOLVNO BYTX ODINAKOWOE KOLI^ESTWO \LEMENTOW ODNIH I TEH VE PORQDKOW. oSTAETSQ PODS^ITATX KOLI^ESTWO \LEMENTOW PORQDKA 2 W GRUPPAH Q8 I D4 , I SDELATX WYWODY.) 3.66. eSLI G | NEKOMMUTATIWNAQ GRUPPA IZ 6 \LEMENTOW, TO G
= S3 . ( uKAZANIE: RASMOTRETX W G \LEMENTY PORQDKOW 2 I 3. pO^EMU OBQZATELXNO DOLVNY SU]ESTWOWATX \LEMENTY TAKIH PORQDKOW? kAKIE SOOTNOENIQ MEVDU NIMI OBQZATELXNO DOLVNY WYPOLNQTXSQ?) 3.67. pUSTX DLQ 2 Sn IZWESTNO RAZLOVENIE W PROIZWEDENIE NEZAWISIMYH CIKLOW = 1 2 : : : m , I PUSTX DLQ WSEH i , 1 m DLINA CIKLA i RAWNA ki . dOKAZATX, ^TO PORQDOK RAWEN NAIMENXEMU OB]EMU KRATNOMU ^ISEL k1 : : : km . 3.65.
w SLEDU@]EJ SERII ZADANIJ DANY GRUPPY IZ 16 \LEMENTOW, UKAZANY POROVDA@]IE IH \LEMENTY, I WYPISANO QWNOE ZADANIE WSEH OSTALXNYH \LEMENTOW W WIDE PROIZWEDENIJ POROVDA@]IH \LEMENTOW. uKAZANY TAKVE SOOTNOENIQ MEVDU POROVDA@]IMI \LEMENTAMI, S POMO]X@ KOTORYH MOVNO WY^ISLITX PROIZWEDENIQ I OBRATNYE \LEMENTY DLQ WSEH \LEMENTOW GRUPPY. 3.68.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 T ST S 2T S 3T S 4T S 5T S 6T S 7T
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: S 8 = T 2 = 1 TS = S 3T: 61
1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = ST . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.69.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 T ST S 2T S 3T S 4T S 5T S 6T S 7T
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: S 8 = T 2 = 1 TS = S 5T: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = S 2T 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.70.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 S S 2 S 3 T T 2 T 3 TS TS 2 TS 3 T 2S T 2S 2 T 2S 3 T 3S T 3S 2 T 3S 3
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: S 4 = T 4 = 1 ST = TS 3: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = TS . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 62
3.71.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 R R2 R3 S S 2 S 3 SR SR2 SR3 S 2R S 2R2 S 2R3 S 3R S 3R2 S 3R3
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: R4 = S 4 = 1 RS = S 3R3 R3S = S 3R: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = SR2 . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.72.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI 1 R S T RS RT TR SR ST TS A A2 A3 B C D
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: R2 = S 2 = T 2 = 1 RST = TRS = STR (RST )4 = 1 TRT = SRS RTR = STS TST = RSR A = RST B = TRT C = RTR D = TST: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = RS . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . uKAZANIE: DOKAZATX PREDWARITELXNO, ^TO AR = RA , AS = SA , AT = TA . 3.73.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 T ST S 2T S 3T S 4T S 5T S 6T S 7T 63
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: S 8 = T 4 = 1 S 4 = T 2 TS = S 7T ST = TS 7: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = ST . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.74.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 X SX S 2X S 3X S 4X S 5X S 6X S 7X KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: S 8 = X 4 = 1 S 4 = X 2 XS = S 3X: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA Y = S 2X . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hY i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.75.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 X SX S 2X S 3X S 4X S 5X S 6X = X 3 S 7X KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM:
S 8 = X 8 = 1 X 2 = S 6 X 4 = S 4 X 6 = S 2 XS = S 5X: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA Y = SX . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hY i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 64
3.76.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 X Y Z XY XZ Y Z (Y Z )2 (Y Z )3 Y ZY ZY Z XY Z XZY XY ZY XZY Z X (Y Z )2 KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM:
X 2 = Y 2 = Z 2 = 1 XY = Y X XZ = ZX ZY = (Y Z )3: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA S = Y Z . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hS i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.77.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 R SR S 2R S 3R S 4 R S 5R S 6 R S 7R
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: S 8 = R4 = 1 S 4 = R2 RS 2 = S 2R3 RS 3 = S 5R: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = RS 2 . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.78.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 R S T R2 R3 S 3 S 3 RS SR TR TS TR2 TRS TR3 TS 3 TSR
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: R4 = T 2 = 1 R2 = S 2 = (RS )2 RT = TR TS = ST: 65
1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = TSR . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.79.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 A B A2 A3 A4 A5 A6 A7 B AB A2B A3B A4B A5B A6B A7B
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: A8 = B 2 = 1 BA7 = A5B: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = A5B . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.80.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 P Q P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 Q PQ P 2 Q P 3Q P 4Q P 5 Q P 6Q P 7Q
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: P 8 = Q2 = 1 QP 7 = P 3Q: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = P 6 Q . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 66
3.81.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 U U 2 U 3 V V 2 V 3 V U V U 2 V U 3 V 2U V 3U V 3U 2 V 2U 2 V 2U 3 V 3U 3
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: U 4 = V 4 = 1 U 3V 3 = V 3U: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = V 3U 3 . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.82.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 X X 2 X 3 Y Y 2 Y 3 XY XY 2 XY 3 X 2Y X 2Y 2 X 2Y 3 X 3Y X 3Y 2 X 3Y 3
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: X 4 = Y 4 = 1 X ;1 = Y XY Y = XY ;1X: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA Z = XY 2 . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hZ i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.83.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 X Y Z XY XZ ZX Y X Y Z ZY XY Z (XY Z )2 (XY Z )3 XY X XZX Y XY KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: X 2 = Y 2 = Z 2 = 1 XY = Z (XY )Z ZX = Y (ZX )Y ZY = X (ZY )X XY X = ZY Z XZX = Y ZY Y XY = ZXZ: 67
1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA R = XZ . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hRi . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . uKAZANIE. pUSTX W = XY Z . pOKAZATX, ^TO W 4 = 1 , I ^TO XW = WX , Y W = WY , ZW = WZ . 3.84.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 X Y X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 Y XY X 2Y X 3Y X 4Y X 5Y X 6Y X 7Y
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: X 8 = 1 X 4 = Y 2 Y XY ;1 = X ;1 XY X = Y: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA Z = XY . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hZ i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.85.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 U U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 V V 3 UV U 2V UV 3 U 2V 3U 3V U 3V 3
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: U 8 = 1 V 2 = U 4 V U 3V ;1 = U: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = U 2V . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 68
3.86.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 C C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 Y CY C 2Y C 3Y C 4Y C 5Y C 6Y C 7Y
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: C 8 = Y 8 Y 2 = C 6 Y 4 = C 4 Y 6 = C 2 Y CY = C 3: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = CY . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.87.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 A B C AB AC BC (BC )2 (BC )3 BCB CBC ABC ACB ABCB ACBC A(BC )2 KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM:
A2 = B 2 = C 2 = (BC )4 = 1 AB = BA AC = CA: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA X = ABC . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hX i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.88.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 X X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 Y XY X 2Y X 3Y X 4Y X 5Y X 6Y X 7Y
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: Y 4 = 1 Y 2 = X 4 Y X 2 = X 6Y Y X = X 7Y: 69
1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA Z = X 2Y 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hZ i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] . 3.89.
dANA GRUPPA G S \LEMENTAMI
1 X X 2 X 3 Y Y 3 Z XY Y X ZX ZY ZX 2 ZXY ZX 3 ZY 3 ZY X
KOTORYE UDOWLETWORQ@T SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: X 2 = Y 2 = (XY )2 Z 2 = (XY )4 = 1 ZXZ ;1 = X ZY Z ;1 = Y: 1) nAJTI W QWNOM WIDE KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW G . 2) nAJTI CENTR G . 3) nAJTI PORQDOK \LEMENTA W = ZY X . 4) nAJTI LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY G PO H = hW i . 5) nAJTI KOMMUTANT G G] .
4.
fAKTORGRUPPY I PRQMYE PROIZWEDENIQ
pUSTX G I W | GRUPPY. nAPOMNIM, ^TO OTOBRAVENIE h : G ;! W NAZYWAETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP, ESLI WYPOLNENY DWA USLOWIQ: A) h(g1g2) = h(g1)h(g2) DLQ L@BYH g1 g2 2 G I B) h(1) = 1 (NEJTRALXNYJ \LEMENT GRUPPY G OTOBRAVAETSQ W NEJTRALXNYJ \LEMENT GRUPPY W ). iZ \TIH USLOWIJ WYTEKAET, ^TO h(g;1) = (h(g));1 . eSLI GRUPPOWYE OPERACII W GRUPPAH G I W ZAPISYWA@TSQ S POMO]X@ ZNAKA \ + ", A NEJTRALXNYE \LEMENTY OBOZNA^A@TSQ KAK NULI, 70
TO SWOJSTWA GOMOMORFIZMA WYGLQDQT TAK: h(g1 + g2) = h(g1) + h(g2 ) , h(0) = 0 , h(;g) = ;h(g) . nO WOZMOVNY SITUACII, KOGDA W ODNOJ IZ GRUPP, NAPRIMER, W G , GRUPPOWAQ OPERACIQ ZAPISYWAETSQ MULXTIPLIKATIWNO (KAK UMNOVENIE), A W DRUGOJ, T.E. W W | ADDITIWNO (W WIDE SLOVENIQ). tOGDA h QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM, ESLI h(g1 + g2) = h(g1)h(g2 ) , h(0) = 1 , h(;g) = (h(g));1 . eSLI, NAOBOROT, ADDITIWNO ZAPISYWAETSQ OPERACIQ W W , A MULXTIPLIKATIWNO | W G , TO OTOBRAVENIE h QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP PRI USLOWIII, ^TO h(g1g2) = h(g1) + h(g2) , h(1) = 0 , h(g;1 ) = ;h(g) . pRIMERY GRUPP I OTOBRAVENIJ WSEH \TIH RAZNOWIDNOSTEJ OBNARUVIWA@TSQ BEZ TRUDA. wOT NEKOTORYE IZ NIH.
pRIMER
G = W = C , h(z ) = z n DLQ FIKSIROWANNOGO CELOGO NENULEWOGO n . sWOJSTWO (z1z2)n = z1nz2n OZNA^AET, ^TO h(z1z2) = h(z1)h(z2 ) , A 1n = 1 OZNA^AET, ^TO h(1) = 1 . tOJ VE FORMULOJ MOVNO ZADATX GOMOMORFIZMY MEVDU DRUGIMI GRUPPAMI. nAPRIMER, ESLI G = R , W = R+ , A n = 2k , TO POLU^AEM OTOBRAVENIE h : R ;! R+ TAKOE, ^TO h(r) = r2k . oNO BUDET GOMOMORFIZMOM GRUPP.
pRIMER
4.1.
pUSTX G W | WEKTORNYE (LINEJNYE) PROSTRANSTWA. |TO | GRUPPY OTNOSITELXNO OPERACII SLOVENIQ. l@BOE LINEJNOE OTOBRAVENIE h : G ;! W QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM \TIH GRUPP, TAK KAK PO OPREDELENI@ LINEJNOGO OTOBRAVENIQ h(g1 + g2) = h(g1) + h(g2 ) , h(0) = 0 , h(;g) = ;h(g) . kOGDA RE^X IDET O GRUPPAH, TO UMNOVENIQ NA SKALQRY (\LEMENTY POLQ) NE RASSMATRIWA@TSQ.
pRIMER
4.2.
pUSTX F | L@BOE POLE (ILI KOMMUTATIWNOE KOLXCO), GLn(F ) | GRUPPA NEWYROVDENNYH n n -MATRIC NAD F , F | GRUP4.3.
71
PA (PO UMNOVENI@) WSEH OBRATIMYH \LEMENTOW F . eSLI F | POLE, TO \TO PROSTO WSE NENULEWYE \LEMENTY F . eSLI VE, NAPRIMER, F = Z , TO F = f+1 ;1g . dLQ MATRICY A 2 GLn(F ) OBOZNA^IM ^EREZ det(A) EE OPREDELITELX. |TO | \LEMENT MNOVESTWA F (PO^EMU?). oTOBRAVENIE det : GLn(F ) ;! F QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP, TAK KAK, SOGLASNO IZWESTNYM SWOJSTWAM OPREDELITELQ, det(AB ) = det(A)det(B ) I det(En) = 1 (NAPOMNIM, ^TO En | \TO EDINI^NAQ n n -MATRICA).
pRIMER
pUSTX R | GRUPPA (OTNOSITELXNO OPERACII SLOVENIQ) WSEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL, a | NEKOTOROE FIKSIROWANNOE POLOVITELXNOE ^ISLO. oPREDELIM OTOBRAVENIE h : R ;! R+ PO FORMULE h(x) = ax . iZ SWOJSTW FUNKCII ax SLEDUET, ^TO h(x1 + x2 ) = h(x1 )h(x2 ) I h(0) = 1 .
pRIMER
4.4.
rASSMOTRIM OTOBRAVENIE h : R+ ;! R , OPREDELENNOE FORMULOJ h(x) = loga x , GDE a | FIKSIROWANNOE POLOVITELXNOE ^ISLO. iZ SWOJSTW LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII SLEDUET, ^TO h(x1 x2) = h(x1) + 4.5.
h(x2 ) , h(1) = 0 .
pRIMER
rASSMOTRIM ZAPISX KOMPLEKSNYH ^ISEL W FORME z = jz jei' , GDE jz j | MODULX KOMPLEKSNOGO ^ISLA, A ei' = cos ' + i sin ' . iZ SWOJSTW MODULQ jz1z2j = jz1j jz2j I j1j = 1 SLEDUET, ^TO FORMULA h(z ) = jz j OPREDELQET GOMOMORFIZM IZ GRUPPY C W GRUPPU R+ .
pRIMER
4.6.
wERNEMSQ K FORMULE z = jz jei' , ' = arg z . zAMETIM, ^TO MODULX ei' RAWEN EDINICE. fORMULA h(z ) = ei' = jzz j OPREDELQET GOMOMORFIZM IZ C W U = fz 2 C j jz j = 1g . zDESX h(z1z2) = h(z1)h(z2 ) I h(1) = 1 . 4.7.
oTMETIM E]E WAVNOE DLQ REENIQ MNOGIH ZADA^ \TOGO RAZDELA SWOJ72
STWO: ESLI DANY DWA GOMOMORFIZMA GRUPP h : G1 ;! G2 I f : G2 ;! G3 , TO IH SUPERPOZICIQ fh QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM IZ GRUPPY G1 W GRUPPU G3 . nAPRIMER, OTOBRAVENIE A 7! (det(A))m ( m FIKSIROWANO) ESTX SUPERPOZICIQ GOMOMORFIZMA det : GLn(F ) ;! F I GOMOMORFIZMA IZ F W F , PEREWODQ]EGO x W xm . qDRO GOMOMORFIZMA GRUPP h : G ;! W OPREDELQETSQ KAK PODMNOVESTWO Ker(h) = f g 2 G j h(g) = 1 g . eSLI GRUPPOWAQ OPERACIQ W W OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM \ + ", A NEJTRALXNYJ \LEMENT ZAPISYWAETSQ W WIDE NULQ, OPREDELENIE QDRA DOLVNO IMETX SLEDU@]IJ WID: Ker(h) = f g 2 G j h(g) = 0 g . w SLU^AE INYH OBOZNA^ENIJ SLEDUET WNOSITX SOOTWETSTWU@]IE KORREKCII, OTNOSQ]IESQ, WPRO^EM, NE K SUTI DELA, A TOLXKO K SPOSOBU ZAPISI. nAPOMNIM, ^TO NORMALXNOJ NAZYWAETSQ PODGRUPPA H GRUPPY G , OBLADA@]AQ SWOJSTWOM: gH = Hg DLQ KAVDOGO g 2 G . |TO \KWIWALENTNO TOMU, ^TO gHg;1 H , ILI ^TO gHg;1 = H DLQ WSEH g 2 G . w KOMMUTATIWNOJ GRUPPE KAVDAQ PODGRUPPA QWLQETSQ NORMALXNOJ.
lEMMA PA.
4.1.
qDRO L@BOGO GOMOMORFIZMA | \TO NORMALXNAQ PODGRUP-
dOKAZATELXSTWO rASSMOTRIM GOMOMORFIZM h : G ! W . pOKAVEM, .
^TO Ker(h) QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY G . tAK KAK h(1) = 1 , TO 1 2 Ker(h) . pUSTX g1 g2 2 Ker(h) , TOGDA h(g1g2) = h(g1)h(g2 ) = 1 1 = 1 , OTS@DA SLEDUET, ^TO g1g2 2 Ker(h) . eSLI h(g) = 1 , TO h(g;1) = h(g);1 = 1;1 = 1 . oTS@DA g;1 2 Ker(h) . tAKIM OBRAZOM, Ker(h) QWLQETSQ PODGRUPPOJ. sNOWA PUSTX g 2 Ker(h) , TO ESTX h(1) = 1 . eSLI x 2 G , TO h(xgx;1 ) = h(x)h(1)h(x);1 = h(x)h(x);1 = 1 . |TO OZNA^AET, ^TO xgx;1 2 Ker(h) , TO ESTX Ker(h) QWLQETSQ NORMALXNOJ PODGRUPPOJ. 2 73
qDRA NEKOTORYH GOMOMORFIZMOW IME@T OSOBOE ZNA^ENIE. nAPRIMER, QDRO GOMOMORFIZMA det : GLn(F ) ;! F (T.E. MNOVESTWO WSEH n n MATRIC A TAKIH, ^TO det(A) = 1 ) NAZYWAETSQ SPECIALXNOJ LINEJNOJ GRUPPOJ STEPENI n NAD POLEM (ILI NAD KOLXCOM) F , I OBOZNA^AETSQ SLn(F ) (NAPOMNIM, ^TO GRUPPA GLn(F ) NAZYWAETSQ OB]EJ LINEJNOJ GRUPPOJ STEPENI n ). zNAKOPEREMENNAQ GRUPPA An OPREDELQETSQ KAK QDRO GOMOMORFIZMA sgn . nAPOMNIM, ^TO ESLI f : X ;! Y | NEKOTOROE OTOBRAVENIE, I Y 0 Y , TO POLNYM PROOBRAZOM Y 0 OTNOSITELXNO f NAZYWAETSQ MNOVESTWO f ;1 (Y 0 ) = fx 2 X jf (x) 2 Y 0 g X . iZ \TOGO OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO f (f ;1 (Y 0)) Y 0 .
lEMMA
pUSTX h : G ;! W | GOMOMORFIZM GRUPP, I H = Ker(h) . tOGDA DLQ KAVDOGO w 2 W POLNYJ PROOBRAZ h;1(fwg) ESTX LIBO PUSTOE MNOVESTWO, LIBO MNOVESTWO WIDA gH = Hg , GDE h(g) = w . |LEMENT g 2 h;1 (fwg) MOVNO ZDESX WYBIRATX PROIZWOLXNYM OBRAZOM. 4.2.
dOKAZATELXSTWO wMESTO h;1(fwg) BUDEM PISATX h;1(w) . |TO MNO.
VESTWO WSEH TAKIH g 2 G , ^TO h(g) = w . iNA^E GOWORQ, h;1(w) ESTX MNOVESTWO REENIJ URAWNENIQ h(x) = w . zAMETIM, ^TO PO SAMOMU OPREDELENI@ Ker(h) = h;1 (1) . pREDPOLOVIM, ^TO h;1 (w) NEPUSTO. wYBEREM KAKOJ-NIBUDX g 2 h;1(w) , I PUSTX x 2 H = Ker(h) . tOGDA h(gx) = h(g)h(x) = w 1 = w , I ANALOGI^NO h(xg) = w . |TO OZNA^AET, ^TO gH h;1(w) I Hg h;1 (w) . pUSTX y 2 h;1(w) , T.E. h(y) = w . rASSMOTRIM x = g;1y . tAK KAK h(x) = h(g);1h(y) = w;1w = 1 , TO x 2 H . oTS@DA y = gx 2 gH . 74
sLEDOWATELXNO, h;1(w) gH , A ZNA^IT, h;1 (w) = gH . eSLI VE WZQTX x = yg;1 , TO h(x) = 1 , x 2 H , y = xg 2 Hg , A ZNA^IT h;1(w) = Hg . w ^ASTNOSTI, Hg = gH . 2
sLEDSTWIE
gOMOMORFIZM h IN_EKTIWEN TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI EGO QDRO Ker(h) SOSTOIT TOLXKO IZ ODNOGO \LEMENTA (T.E. \TO MNOVESTWO, SODERVA]EE LIX NEJTRALXNYJ \LEMENT GRUPPY). 4.1.
dOKAZATELXSTWO oTOBRAVENIE h IN_EKTIWNO TOGDA I TOLXKO TOG.
DA, ESLI WSE NEPUSTYE h;1(w) , GDE w 2 W , SOSTOQT LIX IZ ODNOGO \LEMENTA. |TO PROSTO DRUGAQ FORMULIROWKA OPREDELENIQ IN_EKTIWNOSTI: W KAVDYJ \LEMENT w 2 W OTOBRAVAETSQ NE BOLEE ODNOGO \LEMENTA IZ G . eSLI h { IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE, TO WSE h;1 (w) SOSTOQT IZ ODNOGO \LEMENTA, W TOM ^ISLE I h;1 (1) = Ker(h) . oBRATNO, PUSTX jH j = jKer(h)j = 1 . tOGDA, ESLI h;1 (w) NE PUSTO, BUDEM IMETX jh;1(w)j = jgH j = jH j = 1 . 2 zADA^I O NAHOVDENII QDRA ZADANNOGO GOMOMORFIZMA O^ENX POHOVI NA ZADA^I O NAHOVDENII KORNEJ URAWNENIQ (ILI SISTEMY URAWNENIJ). pRIMER 4.8. pUSTX G = R4 , W = R3 , I LINEJNOE OTOBRAVENIE h : R4 ! R3 ZADAETSQ MATRICEJ: 1 0 1 ; 1 0 2 CC BB B A = BB 2 0 1 ;1 CCC A @ 1 ;2 ;1 0 iNYMI SLOWAMI, h(x) = Ax , GDE x = (x1 x2 x3 x4)T . qDRO Ker(h) | \TO MNOVESTWO REENIJ SISTEMY Ax = 0 : 8 > x1 ; x2 + 2x4 = 0 > < 2x1 + x3 ; x4 = 0 > > > : x1 ; 2x2 ; x3 =0 75
pRIMER
zAFIKSIRUEM DEJSTWITELXNOE ^ISLO a 6= 0 , I PUSTX x 2 R . tOGDA MODULX KOMPLEKSNOGO ^ISLA eiax = cos ax + i sin ax RAWEN EDINICE. rASSMOTRIM OTOBRAVENIE fa : R ! U , fa(x) = eiax . lEGKO PROWERQETSQ, ^TO h(x + y) = h(x)h(y) I h(0) = 1 . tAKIM OBRAZOM, h | GOMOMORFIZM. |TOT GOMOMORFIZM S@R_EKTIWEN. w SAMOM DELE, KAVDOE KOMPLEKSNOE ^ISLO, PO MODUL@ RAWNOE EDINICE, IMEET WID eiy , GDE y | DEJSTWITELXNOE ^ISLO, 0 y < 2 . pROLAGAQ x = ya , POLU^IM eiy = eiax = h(x) . wY^ISLIM Ker(fa) . |TO MNOVESTWO SOSTOIT IZ WSEH TEH x 2 R , DLQ KOTORYH h(x) = 1 . iNYMI SLOWAMI, \TO MNOVESTWO WSEH REENIJ URAWNENIQ eiax = 1 . iZWESTNO (FAKTI^ESKI \TO KOLXNAQ TRIGONOMETRIQ), ^TO eiy = 1 TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI y = 2k k = 0 1 2 : : : . sLEDOWATELXNO, Ker(fa) = f 2a k j k = 0 1 2 : : : g = 2 Z . w ^ASTNOSTI, PRI a = 2 QDRO BUDET RAWNO Z | GRUPPE (PO a SLOVENI@) WSEH CELYH ^ISEL. 4.1.
4.9.
bUDET LI GOMOMORFIZM det : GLn(F ) ;! F S@R_EKTIWNYM?
wY^ISLITX QDRO GOMOMORFIZMA h : C ;! C , h(z ) = z n DLQ NEKOTOROGO FIKSIROWANNOGO n > 0 . wYQSNITX, BUDET LI \TOT GOMOMORFIZM S@R_EKTIWNYM. 4.2.
wY^ISLITX QDRO GOMOMORFIZMA h : C ;! R+ , h(z ) = jz j . wYQSNITX, BUDET LI \TOT GOMOMORFIZM S@R_EKTIWNYM. 4.3.
wY^ISLITX QDRO GOMOMORFIZMA h : C ;! U , h(z ) = jzz j . wYQSNITX, BUDET LI \TOT GOMOMORFIZM S@R_EKTIWNYM. rASSMOTRETX GOMOMORFIZM f : U ;! U , OPREDELENNYJ PO TOJ VE FORMULE f (u) = un . wY^ISLITX EGO QDRO, I WYQSNITX, BUDET LI ON S@R_EKTIWNYM. 4.4.
76
h : C ;! U ,
z !n
wY^ISLITX QDRO GOMOMORFIZMA h(z ) = jz j DLQ NEKOTOROGO FIKSIROWANNOGO n > 0 . nAJTI \TU PODGRUPPU GRUPPY C SREDI GRUPP, IZU^AWIHSQ W PREDYDU]EM PARAGRAFE. wYQSNITX, BUDET LI \TOT GOMOMORFIZM S@R_EKTIWNYM. 4.5.
wY^ISLITX QDRO GOMOMORFIZMA h : GLn(F ) ;! F , h(A) = (det(A))m DLQ NEKOTOROGO FIKSIROWANNOGO m > 0 . rASSMOTRETX OTDELXNO SLU^AI F = R I F = C . wYQSNITX, BUDET LI \TOT GOMOMORFIZM S@R_EKTIWNYM. 4.6.
pUSTX F = R ILI F = C . wY^ISLITX QDRO GOMOMORFIZMA h : GLn(F ) ;! R+ , h(A) = jdet(A)j . rASSMOTRETX OTDELXNO SLU^AI F = R I F = C . wYQSNITX, BUDET LI \TOT GOMOMORFIZM S@R_EKTIWNYM. 4.7.
wY^ISLITX QDRO GOMOMORFIZMA h : GLn(F ) ;! F , OPREDELQEMOdet(A) . rASSMOTRETX OTDELXNO SLU^AI F = R GO PO FORMULE h(A) = jdet (A)j I F = C . wYQSNITX, BUDET LI \TOT GOMOMORFIZM S@R_EKTIWNYM. 4.8.
pUSTX F | POLE. rASSMOTRIM W GLn+m(F ) PODMNOVESTWO G , SOSTOQ]EE IZ BLO^NYH MATRIC WIDA: 4.9.
0 BB A @
B 0 C
1 CC A
TAKIH, ^TO A ESTX NEWYROVDENNAQ n n -MATRICA, C | NEWYROVDENNAQ m m -MATRICA, A OSTALXNYE BLOKI IME@T SOOTWETSTWU@]IE RAZMERY. dOKAZATX, ^TO MNOVESTWO G QWLQETSQ PODGRUPPOJ GRUPPY GLn+m(F ) . dOKAZATX, ^TO OTOBRAVENIQ 0 BB @
A B 0 C
1 CC A 7! A
77
0 BB A @
B 0 C
1 CC A 7! C
BUDUT GOMOMORFIZMAMI IZ G W GLn(F ) I GLm (F ) SOOTWETSTWENNO. wY^ISLITX QDRA \TIH GOMOMORFIZMOW I WYQSNITX, BUDUT LI ONI S@R_EKTIWNYMI. pUSTX H ESTX NORMALXNAQ PODGRUPPA GRUPPY G . oBOZNA^IM ^EREZ G=H MNOVESTWO RAZLI^NYH SMEVNYH KLASSOW G PO H . tAK KAK DLQ NORMALXNOJ PODGRUPPY Hx = xH DLQ KAVDOGO x 2 G , TO NET NEOBHODIMOSTI RAZLI^ATX LEWYE I PRAWYE SMEVNYE KLASSY. nAPOMNIM (SM. PRIMER 1.5), ^TO ESLI A B G , TO AB = fabja 2 A b 2 B g , I \TO PROIZWEDENIE ASSOCIATIWNO: (AB )C = A(BC ) DLQ L@BYH NEPUSTYH A B C G .
lEMMA
sMEVNYE KLASSY PO NORMALXNOJ PODGRUPPE H OBLADA@T SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: 4.3.
1) HH = H . 2) pROIZWEDENIE DWUH SMEVNYH KLASSOW SNOWA QWLQETSQ SMEVNYM KLASSOM. tO^NEE, ESLI A = xH , B = yH , TO AB = xyH . tAKIM OBRAZOM, G=H QWLQETSQ POLUGRUPPOJ OTNOSITELXNO OPERACII UM-
NOVENIQ SMEVNYH KLASSOW.
3) kLASS H QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM (EDINICEJ) POLUGRUPPY G=H . 4) pUSTX A
NEKOTORYJ SMEVNYJ KLASS. oPREDELIM A;1 KAK MNOVESTWO fa;1ja 2 Ag ,. tOGDA A;1 SNOWA QWLQETSQ SMEVNYM KLASSOM. w ^ASNOSTI, ESLI A = xH , TO A;1 = x;1H . pRI \TOM AA;1 = A;1A = H . |
78
dOKAZATELXSTWO dOKAVEM 1). nEOBHODIMO USTANOWITX WKL@^ENIQ: .
HH H I H HH . pO OPREDELENI@, HH = fx1x2jx1 x2 2 H g . nO TAK KAK H | PODGRUPPA, TO IZ x1 x2 2 H SLEDUET x1x2 2 H . oTS@DA HH H . tAK KAK 1 2 H , TO L@BOJ x 2 H PREDSTAWIM W WIDE x = x1x2 , GDE x1 x2 2 H : x1 = x x2 = 1 . tEPERX LEGKO DOKAZATX 2). pREDSTAWIM KLASS A W WIDE A = xH , KLASS B W WIDE B = yH , I TOGDA AB = (xH )(yH ) = (x(Hy))H = (x(yH ))H = (xy)(HH ) = xyH:
zDESX ISPOLXZOWANA ASSOCIATIWNOSTX UMNOVENIQ MPODMNOVESTW GRUPPY, SWOJSTWO NORMALXNOSTI H ( Hy = yH ) I SWOJSTWO 1): HH = H . iTAK KLASSY UMNOVA@TSQ PO SLEDU@]EMU PRAWILU: (xH )(yH ) = xyH
(1)
iZ DOKAZATELXSTWA WIDNO, ^TO REZULXTAT PROIZWEDENIQ NE ZAWISIT OT SPOSOBA PREDSTAWLENIQ KLASSOW W WIDE xH , yH . pRIMERNO TAK VE DOKAZYWAETSQ SWOJSTWO 3): (xH )H = x(HH ) = xH H (xH ) = (Hx)H = (xH )H = x(HH ) = xH:
sWOJSTWO 4) MOVNO WYWESTI IZ DWUH OB]IH SWOJSTW PROIZWEDENIJ PODMNOVESTW PODGRUPPY: H ;1 = H DLQ L@BOJ PODGRUPPY H , I (AB );1 = B ;1A;1 DLQ L@BYH A B G . w SAMOM DELE, ESLI x 2 H , TO x;1 2 H . |TO ZNA^IT, ^TO H ;1 H . s DRUGOJ STORONY, KAVDYJ x 2 H PREDSTAWMI W WIDE x = (x;1);1 , GDE x;1 2 H . |TO ZNA^IT, ^TO H H ;1 . dALEE, (AB );1 = f(ab);1 = b;1a;1ja 2 A b 2 B g , B ;1A;1 = fb;1a;1jb 2 B a 2 Ag . o^EWIDNO, ^TO \TO ODNO I TO VE MNOVESTWO. pUSTX TEPERX A = xH = fxgH . tOGDA A;1 = H ;1fxg;1 = H ;1x;1 = Hx;1 = x;1H: 79
iTAK,
(xH );1 = x;1H (2) kAK I W (1), PRAWAQ ^ASTX RAWENSTWA (2) NE ZAWISIT OT WYBORA PREDSTAWITELQ x W KLASSE xH . nAKONEC, ESLI A = xH , A;1 = x;1H , TO
AA;1 = (xH )(x;1 H ) = (xx;1 )H = H A;1A = (x;1 H )(xH ) = (x;1 x)H = H:
2
wSE \TI SWOJSTWA SMEVNYH KLASSOW OZNA^A@T, ^TO UMNOVENIE KLASSOW PREWRA]AET MNOVESTWO G=H W GRUPPU S NEJTRALXNYM \LEMENTOM H . |TA GRUPPA NAZYWAETSQ FAKTORGRUPPOJ GRUPPY G PO NORMALXNOJ PODGRUPPE H . fORMULY (1) I (2) ZADA@T SPOSOB WY^ISLENIQ PROIZWEDENIQ \LEMENTOW FAKTORGRUPPY I OBRATNYH \LEMENTOW. sOPOSTAWLQQ \LEMENTU x 2 G SMEVNYJ KLASS xH , POLU^IM S@R_EKTIWNOE OTOBRAVENIE : G ;! G=H , (x) = xH . qSNO, ^TO (x) = H TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI x 2 H . fORMULA (1) ZAPISYWAETSQ KAK (xy) = (x)(y) . tAKIM OBRAZOM, OKAZYWAETSQ S@R_EKTIWNYM GOMOMORFIZMOM GRUPP, QDRO KOTOROGO ESTX H . |TOT GOMOMORFIZM NAZYWAETSQ (ESTESTWENNOJ) PROEKCIEJ GRUPPY G NA FAKTORGRUPPU G=H . sLEDU@]AQ TEOREMA NAZYWAETSQ TEOREMOJ O GOMOMORFIZME.
tEOREMA
pUSTX DANA GRUPPA G , EE NORMALXNAQ PODGRUPPA H , I GOMOMORFIZM GRUPP h : G ;! W TAKOJ, ^TO H Ker(h) . tOGDA SU]ESTWUET, PRITOM TOLXKO ODIN, GOMOMORFIZM : G=H ;! W , TAKOJ, ^TO = h (INYMI SLOWAMI, (xH ) = h(x) ). gOMOMORFIZM IN_EKTIWEN TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI H = Ker(h) . gOMOMORFIZM S@R_EKTIWEN TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI S@R_EKTIWEN GOMOMORFIZM h . 4.1.
80
dOKAZATELXSTWO dOPUSTIM, ^TO GOMOMORFIZM SO SWOJSTWOM = .
h SU]ESTWUET. pOKAVEM, ^TO ON OPREDELEN ODNOZNA^NO. dOPUSTIM, ^TO ESTX DWA OTOBRAVENIQ, 1 I 2 , TAKIE, ^TO 1 = 2 = h . oTOBRAVENIE S@R_EKTIWNO: KAVDYJ \LEMENT G=H IMEET WID xH = (x) DLQ NEKOTOROGO x 2 G . tOGDA 1(xH ) = 1((x)) = h(x) , I 2(xH ) = 2((x)) = h(x) . tAKIM OBRAZOM, ZNA^ENIQ OTOBRAVENIJ 1 I 2 SOWPADA@T DLQ WSEH ZNA^ENIJ ARGUMENTA. zNA^IT, 1 = 2 . iZ \TIH VE RASSUVDENIJ DOLVNO BYTX QSNO, ^TO ESLI SU]ESTWUET, TO EGO ZNA^ENIE NA ARGUMENTE xH 2 G=H DOLVNO BYTX RAWNO h(x) . pOKAVEM, ^TO USLOWIE H Ker(h) POZWOLQET KORREKTNO OPREDELITX TAKOE OTOBRAVENIE. pROBLEMA ZDESX ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO ODIN I TOT VE KLASS MOVNO ZADATX NESKOLXKIMI SPOSOBAMI: x1H = x2H = : : : , I NE O^EWIDNO, ^TO TOGDA ZNA^ENIE NA \TOM ARGUMENTE OPREDELENO ODNOZNA^NO, TAK KAK OPREDELENIE ZAWISIT OT WYBORA PREDSTAWITELQ KLASSA. oDNOZNA^NOSTX POLU^ITSQ, ESLI IZ x1H = x2H BUDET SLEDOWATX h(x1 ) = h(x2 ) . iTAK, PUSTX x1H = x2H . tOGDA x;1 1x2 2 H Ker(h) . |TO ZNA^IT, ^TO h(x;1 1 x2) = 1 . pRIMENQQ OPREDELENIE GOMOMORFIZMA, POLU^AEM, ^TO h(x;1 1 x2) = h(x1 );1h(x2 ) = 1 , OTKUDA I SLEDUET, ^TO h(x1 ) = h(x2) . iTAK, OTOBRAVENIE : G=H ;! W SO SWOJSTWOM (xH ) = h(x) SU]ESTWUET I OPREDELENO ODNOZNA^NO. pOKAVEM, ^TO ONO QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP. eDINICEJ GRUPPY G=H QWLQETSQ KLASS H = 1H S PREDSTAWITELEM 1 2 G . pO OPREDELENI@ BUDEM IMETX (H ) = h(1) = 1 . dALEE, ((xH )(yH )) = (xyH ) = h(xy) = h(x)h(y) = (xH )(yH ): |TIM DOKAZANO, ^TO QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM. iZ SAMOGO OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO \TO OTOBRAVENIE S@R_EKTIWNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA S@R_EKTIWEN GOMOMORFIZM h . wY^IS81
LIM QDRO . kLASS xH PRINADLEVIT QDRU TOGDA I TOLXKO TOGDA, ESLI (xH ) = h(x) = 1 , TO ESTX W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI x 2 Ker(h) . eSLI GOMOMORFIZM IN_EKTIWEN, TO EGO QDRO SOSTOIT IZ EDINSTWENNOGO KLASSA H , A \TO ZNA^IT, ^TO IZ x 2 Ker(h) SLEDUET xH = H . nO OTS@DA SLEDUET x 2 H , ^TO OZNA^AET Ker(h) H . tAK KAK OBRATNOE WKL@^ENIE IMEETSQ PO USLOWI@, TO H = Ker(h) . oBRATNO, ESLI H = Ker(h) , TO QDRO SOSTOIT IZ TEH KLASSOW xH , DLQ KOTORYH x 2 Ker(h) = H , TO ESTX xH = H , I QDRO SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA. kAK UVE BYLO POKAZANO WYE, \TO OZNA^AET IN_EKTIWNOSTX h . 2 kAK SLEDSTWIE, POLU^AETSQ TEOREMA, NAZYWAEMAQ TEOREMOJ OB IZOMORFIZME.
tEOREMA
pUSTX DANA GRUPPA G , EE NORMALXNAQ PODGRUPPA H , I S@R_EKTIWNYJ GOMOMORFIZM GRUPP h : G ;! W TAKOJ, ^TO H = Ker(h) . tOGDA IMEET MESTO IZOMORFIZM G=H
=W. 4.2.
w ZADA^AH 4.1 | 4.9, TAM, GDE GOMOMORFIZMY S@R_EKTIWNY, FAKTI^ESKI (S TO^NOSTX@ DO IZOMORFIZMA) WY^ISLENY FAKTORGRUPPY. sFORMULIROWATX \TI UTWERVDENIQ W QWNOM WIDE I OBOSNOWATX IH. 4.11. dOKAZATX, ^TO Z=nZ
= Un . uKAZANIE: RASSMOTRETX GOMOMORm FIZM h : Z ! Un , h(m) = e n . 4.12. dOKAZATX, ^TO Unm =Um
= Un . uKAZANIE: RASSMOTRETX GOMOMORFIZM h : C ! C , h(z ) = z m , I EGO OGRANI^ENIE NA PODGRUPPU Unm . nAJTI OBRAZ I QDRO \TOGO GOMOMORFIZMA. 4.10.
2
wY^ISLITX FAKTORGRUPPU n C jz 2 R + g . 4.13.
=Kn .
C
82
nAPOMNIM, ^TO
Kn
= fz 2
uKAZANIE: ISPOLXZUQ OPREDELENIE Kn , NAJTI GOMOMORFIZM IZ C , QDROM KOTOROGO BUDET PODGRUPPA Kn . zATEM OPREDELITX OBRAZ \TOGO GOMOMORFIZMA. 4.14. dOKAZATX, ^TO FAKTORGRUPPA D2n =C (D2n ) GRUPPY DI\DRA D2n PO EE CENTRU C (D2n) IZOMORFNA GRUPPE Dn . 4.15. dOKAZATX, ^TO FAKTORGRUPPA G=G G] GRUPPY G PO EE KOMMUTANTU KOMMUTATIWNA. 4.16. dOKAZATX, ^TO ESLI h : G ;! W | GOMOMORFIZM PROIZWOLXNOJ GRUPPY G W KOMMUTATIWNU@ GRUPPU W , TO G G] Ker(h) . ~TO MOVNO WYWESTI IZ \TOGO FAKTA S POMO]X@ TEOREMY O GOMOMORFIZME? uKAZANIE. pROWERITX, ^TO W QDRE h SODERVATSQ KOMMUTATORY WSEH \LEMENTOW GRUPPY G . iSPOLXZUQ OPREDELENIE KOMMUTANTA, WYWESTI OTS@DA TREBUEMOE UTWERVDENIE. sMYSL O^EREDNOJ SERII ZADANIJ PROQSNQET SLEDU@]AQ TEOREMA:
tEOREMA
pUSTX DANA GRUPPA G I DWE EE PODGRUPPY H I K TAKIE, ^TO H | NORMALXNAQ PODGRUPPA, G = KH , I K \ H = f1g . tOGDA G=H
=K. 4.3.
nABROSOK DOKAZATELXSTWA rASSMOTRIM ESTESTWENNU@ PROEKCI@ : .
G ;! G=H , I OPREDELIM GOMOMORFIZM h : K ;! G=H KAK OGRANI^ENIE NA PODGRUPPU K . wWIDU TOGO, ^TO OTOBRAVAET W EDINICU TOLXKO \LEMENTY H , A EDINSTWENNYM \LEMENTOM K , SODERVA]IMSQ W H , QWLQETSQ EDINICA GRUPPY G , QDRO GOMOMORFIZMA h SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA | EDINICY. sLEDOWATELXNO, GOMOMORFIZM h IN_EKTIWEN. s DRUGOJ STORONY, RASSMOTRIM PROIZWOLXNYJ \LEMENT gH GRUPPY 83
G=H . tAK KAK G = KH , TO g = xy DLQ NEKOTORYH x 2 K , y 2 H . tOGDA gH = xyH = xH , TAK KAK yH = H PRI y 2 H . oSTAETSQ ZAMETITX, ^TO xH = h(x) PRI x 2 K PO OPREDELENI@ GOMOMORFIZMA h . iTAK, h ESTX IZOMORFIZM MEVDU K I G=H . 2
dOKAZATX, ^TO ESLI H I K | PODGRUPPY GRUPPY G , I KH = G , TO K \ H QWLQETSQ NORMALXNOJ PODGRUPPOJ W K , I G=H
= K=(K \ H ) . uKAZANIE. wOSPOLXZOWATXSQ PRIWEDENNYM WYE DOKAZATELXSTWOM TEOREMY 4.3. 4.18. dOKAZATX, ^TO Tn (F )=UTn (F )
= Dn (F ) . (oPREDELENIQ \TIH GRUPP | W RAZDELE 1.) 4.17.
w SLEDU@]EJ GRUPPE UPRAVNENIJ ZADANO MNOVESTWO G , IME@]EE WID 0 G G = BB@ 1
1 0 ( G2 CC BB g1 A= @
1 ) g2 CC A jg1 2 G1 g2 2 G2 g3 2 G3
0 G2 0 g2 I PODMNOVESTWO H , USTROENNOE PO TOMU VE PRINCIPU (T.E. NEKOTOROE MNOVESTWO MATRIC WTOROGO PORQDKA). tREBUETSQ POKAZATX, ^TO A) G | GRUPPA B) H | NORMALXNAQ PODGRUPPA dALEE TREBUETSQ NAJTI PODGRUPPU K GRUPPY G , OBLADA@]U@ SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: G = KH , PERESE^ENIE K I H SOSTOIT TOLXKO IZ EDINI^NOJ MATRICY.
84
4.19.
0 BB R G=@
0
4.20.
0 BB R G=@
0
4.21.
0 BB R G=@
0
4.22.
R R
R R
R R
1 CC A
0 BB C G=@
0
4.23.
b 0 1
0 (B a H = @B
b 0 a;1
C
C
1 CC A
1 ) CC Aj b 2 R
1 ) CC Aj a 2 R b 2 R
0 R H = BB@ +
0
C R+
1 CC A
0 R H = BB@ +
C
C
C
1 CAC
C
0
U
C U
1 CC A
0 1 C 0 CC G = BB@ A
1 0 U 0 CC H = BB@ A
0 1 R 0 CC G = BB@ A
H
0 1 R 0 CC = BB@ + A
0 1 R 0 CC G = BB@ A
0 1 R 0 H = BB@ + CCA
C
4.27.
0 (B 1 H = B@
0 BB C G=@
C
4.26.
1 CC A
0 a
0 1 U 0 C CA H = BB@
0
4.25.
0 1 (B a 0 C ) CA j a 2 R H = B@
0 1 C 0 CC G = BB@ A C
4.24.
1 CC A
C
C
C
C
C
85
C
C
R+
R+
U
4.28.
0 1 R 0 CC G = BB@ A
0 1 U 0 CC H = BB@ 2 A
0 1 R 0 CC G = BB@ A
0 1 U 0 H = BB@ 2 CCA
C
4.29.
C
4.30.
0 BB C G=@
0
4.31.
0 BB C G=@
0
4.32.
0 BB C G=@
0
4.33.
0 BB C G=@
0
4.34.
0 R B B G=@
0
4.35.
C
C
H
1 CC A
0 U H = BB@
1 CC A
0 R H = BB@ +
1 CC A
0 U H = BB@
1 CC A
0 R = BB@ +
C R
0 R B B G=@
0
C
1 CC A
C R
C R
C R
R
R
R
0
0
0
H
0
R+
U
C R+
C R+
C U2
C U2
R R+
1 CC A 1 CC A 1 CC A 1 CC A 1 CC A
0 1 U 0 CC H = BB@ 2 A
R
R
0 R = BB@ +
0
0 1 R 0 CC G = BB@ A R
4.36.
C
R
1 CC A
0 R H = BB@ +
0
86
R+
R U2
1 CC A
4.37.
0 K G = BB@ 4
0
4.38.
0 K G = BB@ 4
0
4.39.
0 R H = BB@ +
K4
C
K4
C
1 CC A
C
C
0
U4
R+
C R+
1 CC A
0 1 C 0 CC G = BB@ A
0 1 U 0 CC H = BB@ A
0 1 C 0 CC G = BB@ A
0 1 U 0 CC H = BB@ A
0 BB C G=@
1 CC A
0 R H = BB@ +
1 CC A
0 U H = BB@
0
4.45.
U4
0 K G = BB@ 4
C
4.44.
0
C
1 CC A
0 1 U 0 CC H = BB@ 4 A
C
4.43.
K4
0 U H = BB@ 4
R+
0 1 K 0 CC G = BB@ 4 A
0
4.42.
C
1 CC A
0
C
1 CC A
0 1 R 0 CC H = BB@ + A
C
4.41.
K4
0 R H = BB@ +
0 1 K 0 CC G = BB@ 4 A C
4.40.
C
1 CC A
0 C B B G=@
0
K4
K4
C
R
C R
C
C
0
87
0
U4
R+
C U2
C U2
1 CC A 1 CC A
4.46.
0 BB R G=@
0
C
R
1 CC A
0 U H = BB@ 2
0
C U2
1 CC A
pUSTX DANY GRUPPY G1 I G2 . rASSMOTRIM MNOVESTWO G = G1 G2 , SOSTOQ]EE IZ WSEH UPORQDO^ENNYH PAR WIDA (g1 g2) , GDE g1 2 G1 , g2 2 G2 . bINARNAQ OPERACIQ NA \TOM MNOVESTWE OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
(g10 g20 )(g100 g200 ) = (g10 g100 g20 g200): lEGKO PROWERITX, ^TO \TA OPERACIQ ASSOCIATIWNA. oNA BUDET TAKVE KOMMUTATIWNOJ, ESLI KOMMUTATIWNY OBE GRUPPY G1 I G2 . eSLI 1G1 | EDINICA GRUPPY G1 , A 1G2 | EDINICA GRUPPY G2 , TO \LEMENT (1G1 1G2 ) QWLQETSQ EDINICEJ G1 G2 . oBRATNYE \LEMENTY WY^ISLQ@TSQ PO FORMULE (g1 g2);1 = (g1;1 g2;1) . w KONE^NOM S^ETE POLU^AETSQ GRUPPA, KOTORAQ NAZYWAETSQ PRQMYM PROIZWEDENIEM GRUPP G1 I G2 .
dOKAZATX, ^TO OTOBRAVENIQ 1 : G1 G2 ;! G1 , 2 : G1 G2 ;! G2 , TAKIE, ^TO 1(g1 g2) = g1 , (g1 g2) = g2 , QWLQ@TSQ S@R_EKTIWNYMI GOMOMORFIZMAMI GRUPP. 4.47.
gOMOMORFIZMY 1 I 2 NAZYWA@TSQ ESTESTWENNYMI PROEKCIQMI PRQMOGO PROIZWEDENIQ GRUPP NA PERWYJ I WTOROJ MNOVITELI SOOSTWETSTWENNO. pROWERITX, ^TO QDRO 1 SOSTOIT IZ WSEH PAR WIDA (1G g2) , g2 2 G2 . dOKAZATX, ^TO \TA PODGRUPPA GRUPPY G1 G2 IZOMORFNA GRUPPE G2 . iZOMORFIZM USTANAWLIWAETSQ SOOTWETSTWIEM g2 ! (1 g2) . aNALOGI^NYM OBRAZOM QDRO 2 , SOSTOQ]EE IZ WSEH PAR WIDA (g1 1) , g1 2 G1 , IZOMORFNO GRUPPE G1 . 4.48.
1
88
eSLI OTOVDESTWITX G2 S IZOMORFNOJ EJ PODGRUPPOJ Ker(1) , TO PO TEOREME OB IZOMORFIZME POLU^IM SLEDU@]IJ IZOMORFIZM: (G1 G2)=G2
= G1: aNALOGI^NO \TOMU IMEET MESTO IZOMORFIZM (G1 G2)=G1
= G2: |TI IZOMORFIZMY DA@T NEKOTOROE OBOSNOWANIE TERMINU \FAKTORGRUPPA" I OBOZNA^ENI@ G=H . zAMETIM E]E, ^TO IME@T MESTO SOOTNOENIQ: (g1 g2) = (g1 1)(1 g2) = (1 g2)(g1 1):
oBRATNO, IMEET MESTO SLEDU@]AQ TEOREMA.
tEOREMA
pUSTX W GRUPPE G IME@TSQ DWE PODGRUPPY K , H , OBLADA@]IE SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: 4.4.
1) G = KH 2) K \ H = f1g 3) DLQ L@BYH x 2 K I y 2 H IMEET MESTO RAWENSTWO xy = yx .
|TO SWOJSTWO AWTOMATI^ESKI WYPOLNENO W SLU^AE KOMMUTATIWNOJ GRUPPY G .) tOGDA SU]ESTWUET IZOMORFIZM G
=K H. (
dOKAZATELXSTWO oPREDELIM OTOBRAVENIE h : K H ;! G , PO PRA.
WILU: (x y) 7! h(x y) = xy . zDESX x 2 K , y 2 H . wWIDU USLOWIQ 1), \TO S@R_EKCIQ. pROWERIM, ^TO h QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM. qSNO, ^TO 89
EDINICA GRUPPY K H , T.E. \LEMENT (1 1) , OTOBRAVAETSQ W EDINICU GRUPPY G . pUSTX x0 x00 2 K , y0 y00 2 H . tOGDA h((x0 y0)(x00 y00 )) = h(x0 x00 y0 y00 ) = (x0 x00 )(y0 y00 ) = = x0 (x00 y0 )y00 = x0 (y0 x00 )y00 = (x0 y0)(x00 y00 ) = h(x0 y0 )h(x00 y00 ): zDESX x00 y0 = y0 x00 SOGLASNO USLOWI@ 3). nAKONEC, WY^ISLIM QDRO GOMOMORFIZMA h . pUSTX h(x y) = xy = 1 . tOGDA y = x;1 . iTAK, \LEMENT x , PO WYBORU, PRINADLEVIT PODGRUPPE K . i ON VE RAWEN \LEMENTU y;1 IZ GRUPPY H . zNA^IT, x 2 K \ H . nO PO USLOWI@ 2) \TO PERESE^ENIE SOSTOIT TOLXKO IZ EDINI^NOGO \LEMENTA. oTS@DA x = y = 1 . zAKL@^AEM, ^TO QDRO h TRIWIALXNO, I SLEDOWATELXNO, GOMOMORFIZM h IN_EKTIWEN. 2
nA \TOJ TEOREME OSNOWANY REENIQ SLEDU@]IH DALEE ZADA^. nA^NEM S PRIMERA.
pRIMER
4.10.
pUSTX
0 U G = BB@
0
oPREDELIM PODGRUPPY
1 0 CC A
U4
0 1 0 U 0 C CA H = BB@ 1 K = BB@
0 1
0
1 0 CC A:
U4
lEGKO PROWERITX, ^TO \TI PODGRUPPY UDOWLETWORQ@T WSEM TREM SWOJSTWAM IZ TEOREMY 4.4. bOLEE TOGO, O^EWIDNO, ^TO K
= U, H
= U4 . tAKIM OBRAZOM, G
= U U4 . uBEDITXSQ, ^TO MNOVESTWA REENIJ URAWNENIJ y = ax I y = bx (OBOZNA^IM IH SOOTWETSTWENNO ^EREZ K I H ) QWLQ@TSQ PODGRUPPAMI 4.49.
90
GRUPPY G = R2 . dOKAZATX, ^TO PRI a 6= b \TI PODGRUPPY UDOWLETWORQ@T USLOWIQM TEOREMY 4.4. kAKIM IZWESTNYM GRUPPAM IZOMORFNY PODGRUPPY H I K ? nAPOMNIM, ^TO ^EREZ Zn OBOZNA^AETSQ KONE^NAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA PORQDKA n : Zn = f1 x : : : xn;1g , xn = 1 . 4.50.
rASSMOTRIM ^ETWERNU@ GRUPPU kLEJNA V4 = f1 (1 2)(3 4) (1 3)(2 4) (1 4)(2 3)g:
dOKAZATX, ^TO \TA GRUPPA IZOMORFNA PROIZWEDENI@ DWUH CIKLI^ESKIH PODGRUPP PORQDKA 2, T.E. V4
= Z2 Z2: 4.51.
dOKAZATX, ^TO
= R+
U
4.52.
dOKAZATX, ^TO Kn
= R+
Un
4.53.
dOKAZATX, ^TO ESLI n NE^ETNO, TO D2n
= Dn Z2 .
4.54.
dOKAZATX, ^TO ESLI n I m WZAIMNO PROSTY, TO Znm
= Zn Z m .
C
. . w ^ASTNOSTI, R
= R+ f+1 ;1g .
pUSTX Z10 , Z20 , : : : , Zn0 | KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW GRUPPY G1 , Z100 , Z200 , : : : , Zm00 | KLASSY SOPRQVENNYH \LEMENTOW GRUPPY G2 . dOKAZATX, ^TO KLASSAMI SOPRQVENNYH \LEMENTOW GRUPPY G1 G2 QWLQ@TSQ MNOVESTWA Zi0 Zj00 = f(g1 g2)jg1 2 Zi0 g2 2 Zj00 g , 1 i n , 1 j m. 4.55.
dOKAZATX, ^TO CENTR GRUPPY G1 G2 RAWEN PROIZWEDENI@ CENTROW SOMNOVITELEJ: C (G1 G2) = C (G1) C (G2) . 4.56.
91
tO^NO TAK VE, KAK BYLO OPREDELENO PROIZWEDENIE DWUH GRUPP, MOVNO OPREDELITX PROIZWEDENIE PROIZWOLXNOGO KOLI^ESTWA GRUPP. pUSTX G1 , Qn G ) : : : , Gn | GRUPPY. ~EREZ G = G1 Gn (DRUGOE OBOZNA^ENIE: i=1 i OBOZNA^IM MNOVESTWO WSEH UPORQDO^ENNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ: (g1 g2 : : : gn) GDE g1 2 G1 g2 2 G2 : : : gn 2 Gn:
pROIZWEDENIE DWUH \LEMENTOW G OPREDELQETSQ PO FORMULE: (g10 g20 : : : gn0 )(g100 g200 : : : gn00) = (g10 g100 g20 g200 : : : gn0 gn00):
lEGKO PROWERQETSQ ASSOCIATIWNOSTX, I TO, ^TO \LEMENT (1 1 : : : 1) QWLQETSQ EDINICEJ G . oBRATNYJ \LEMENT OPREDELQETSQ TAK: (g1 g2 : : : gn);1 = (g1;1 g2;1 : : : gn;1):
w SLU^AE, ESLI GRUPPOWYE OPERACII WO WSEH Gi OBOZNA^A@TSQ PL@SAMI, WSE \TI OPREDELENIQ WYGLQDQT TAK: (g10 g20 : : : gn0 ) + (g100 g200 : : : gn00) = (g10 + g100 g20 + g200 : : : gn0 + gn00 ) ;(g1 g2 : : : gn) = (;g1 ;g2 : : : ;gn)
A NEJTRALXNYM \LEMENTOM BUDET (0 0 : : : 0) . lEGKO ZAMETITX SHODSTWO \TOGO OPREDELENIQ S OPREDELENIEM LINEJNOGO PROSTRANSTWA STROK. 4.57.
dOKAZATX, ^TO z Dn(F )
= F
}|n
{
F :
(nAPOMNIM, ^TO Dn(F ) | GRUPPA DIAGONALXNYH MATRIC NAD POLEM F , OPREDELENNAQ W RAZDELE 1.) 92
4.58.
dOKAZATX, ^TO UTnm(F )=UTnm+1)
n;}|m
z
{
= F F :
zDESX F ESTX ADDITIWNAQ GRUPPA POLQ F . uKAZANIE. rASSMOTRETX SOOTWETSTWIE, SOPOSTAWLQ@]EE MATRICE 0 1 0 : : : 0 a1m+1 B B B B 0 1 0 ::: 0 B B B B 0 0 1 0 ::: B B B ... ... B B B ... A = BBB B B B B B B B B B B B B @
\LEMENT
0
1 a2m+1 : : : a1n CC a2m+2 : : : a2n CCCC CC 0 . . . .. C . . . an;mn CCC CC CC : ::: 0 CC ... CC CC . . . .. CC CC ... 0 CC CA
1
h(A) = (a1m+1 a2m+2 : : : an;mn) I POKAZATX, ^TO \TO GOMOMORFIZM GRUPP. w DANNOM SLU^AE NADO PROWERITX, ^TO h(AB ) = h(A) + h(B ) I h(E ) = 0 (STROKA IZ NULEJ). zATEM NADO DOKAZATX S@R_EKTIWNOSTX h I WY^ISLITX EGO QDRO.
4.59.
pUSTX DANA GRUPPA
SOSTOQ]AQ IZ MATRIC WIDA
0 G G = BB@ 1
F 0 G2
0 BB @
x z 0 y 93
1 CC A
1 CC A
GDE x 2 G1 , y 2 F , z 2 G2 , MNOVESTWO F QWLQETSQ KOLXCOM (ILI POLEM), G1 I G2 | PODGRUPPY MULXTIPLIKATIWNOJ GRUPPY OBRATIMYH \LEMENTOW F . dOPUSTIM, ^TO IME@TSQ DWA GOMOMORFIZMA GRUPP h1 : G1 ;! W1 , h2 : G2 ;! W2 I H1 = Ker(h1) , H2 = Ker(h2 ) . rASSMOTRIM GRUPPU W = W1 W2 , I OTOBRAVENIE h : G ;! W , SOSPOSTAWLQ@]EE MATRICE 0 1 BB x z CC @ A2G
0 y \LEMENT (h1 (x) h2(y)) . dOKAZATX, ^TO 1) OTOBRAVENIE h QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM GRUPP 2) GOMOMORFIZM h QWLQETSQ S@R_EKTIWNYM, ESLI S@R_EKTIWNY h1 I h2 3) QDROM GOMOMORFIZMA h QWLQETSQ MNOVESTWO 0 1 H F CC H = BB@ 1 A: 0 H2 oTS@DA PO TEOREME OB IZOMORFIZME BUDET SLEDOWATX, ^TO G=H
= W1 W2 . w SLEDU@]EJ GRUPPE UPRAVNENIJ DLQ ISHODNYH DANNYH TOGO VE TIPA, ^TO I WYE, TREBUETSQ POKAZATX, ^TO A) G | GRUPPA B) H | NORMALXNAQ PODGRUPPA W) WY^ISLITX W QWNOM WIDE FAKTORGRUPPU G=H . pREDUPREVDENIE: PODGRUPPY K , KOTORYE MOVNO BYLO NAJTI W NEKOTORYH PREDYDU]IH ZADA^AH, ZDESX ISKATX NE STOIT. 4.60.
0 1 R 0 CC G = BB@ A C
H
C
94
0 1 U 0 = BB@ 2 CCA C
R
4.61.
0 1 R 0 CC G = BB@ A
0 1 R 0 CC H = BB@ + A
0 1 R 0 CC G = BB@ A
0 1 U 0 CC H = BB@ 2 A
0 U G = BB@
0 U H = BB@ n
C
4.62.
C
4.63.
0
4.64.
0
C R+
1 CC A
0 BB R H=@
1 CC A
0 U H = BB@ 4
1 CC A
H
0 BB R =@
1 CC A
0 H = BB@
1 CC A
0 U H = BB@ 4
0 K G = BB@ 4 0 K G = BB@ 4 0 K G = BB@ 4
0
4.69.
R
1 CC A
Un
1 CC A
0
4.68.
C
C
0 BB C G=@
0
4.67.
U
Un
0 1 U 0 CC H = BB@ A
0
4.66.
C
0 1 C 0 CC G = BB@ A C
4.65.
C
0 K G = BB@ 4
0
K4
C
C
C
C
C
C
C
C
C K4
C
0
0
0
R
0 0
95
U4
C R+
C
R
C Un
C
R
C
R
1 CC A 1 CC A 1 CC A 1 CC A 1 CC A
4.70.
0 K G = BB@ 4
0
4.71.
0 BB R G=@
0
4.73.
0 C B B G=@
0
4.74.
0 C B B G=@
0
4.75.
C U
C
C
C
C
0 1 R 0 CC H = BB@ A C
1 CC A
0 U H = BB@ 2
1 CC A
0 BB R H=@
1 CC A
0 BB R H=@
0
0
0
U
C Un
C R+
C R
1 CC A 1 CC A 1 CC A
0 1 C 0 CC G = BB@ A
0 1 U 0 CC H = BB@ n A
0 BB C G=@
1 CC A
0 R H = BB@ +
1 CC A
0 U H = BB@ n
0
4.78.
C
R+
0 1 R 0 CC H = BB@ A
C
4.77.
0
C
1 CC A
0 1 K 0 CC G = BB@ 4 A C
4.76.
K4
0 BB R H=@
0 1 C 0 CC G = BB@ A C
4.72.
C
1 CC A
0 BB C G=@
0
K4
C
C
C
C
C
C
C
0
96
0
R
R+
C Un
C U
1 CC A 1 CC A
4.79.
0 BB C G=@
0
4.80.
0 K G = BB@ 4
0
4.81.
C
0 BB R =@
H
0
Un
C R+
1 CC A
0 C B B G=@
1 CC A
0 U H = BB@ n
0 1 U 0 CC G = BB@ A
0 U H = BB@ n
0 BB R G=@
0 H = BB@
C
4.84.
C
1 CC A
0
C
1 CC A
0 1 K 0 CC H = BB@ 4 A
0
4.83.
C
0 U H = BB@ n
0 1 C 0 CC G = BB@ A C
4.82.
C
1 CC A
0
C
C K4
C
0
K4
C
C
C
1 CC A
97
U2
0
Un
C R+
C U2
C K4
1 CC A 1 CC A 1 C AC
literatura 1] kOSTRIKIN a.i. wWEDENIE W ALGEBRU. ~ASTX I. oSNOWY ALGEBRY. | 2-E IZD., ISPRAWL. | m.: fIZ.-MAT. LIT., 2001. | 272 S. 2] kOSTRIKIN a.i. wWEDENIE W ALGEBRU. ~ASTX II. lINEJNAQ ALGEBRA. | 2-E IZD., ISPRAWL. | m.: fIZ.-MAT. LIT., 2001. | 368 S. 3] kOSTRIKIN a.i. wWEDENIE W ALGEBRU. ~ASTX III. oSNOWNYE STRUKTURY. | 2-E IZD., ISPRAWL. | m.: fIZ.-MAT. LIT., 2001. | 272 S. 4] sBORNIK ZADA^ PO ALGEBRE / pOD RED. a.i. kOSTRIKINA. | m.: nAUKA. gL.RED. FIZ.-MAT. LIT. , 1987. | 352 S. 5] bELONOGOW w.a. zADA^NIK PO TEORII GRUPP. | m.: nAUKA, 2000. | 239 S. 6] kURO a.g. tEORIQ GRUPP. | 3-E IZD. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.MAT. LIT., 1967. | 648 S. 7] hOLL m. tEORIQ GRUPP. | m: il, 1962. | 468 S. 8] kARGAPOLOW m.i., mERZLQKOW `.i. oSNOWY TEORII GRUPP. | 3-E IZD., PERERAB. I DOP. | m.: nAUKA, 1982. | 288 c. 9] bOGOPOLXSKIJ o.w. wWEDENIE W TEORI@ GRUPP. | mOSKWA-iVEWSK: iNSTITUT KOMPX@TERNYH ISSLEDOWANIJ, 2002. | 148 S. 10] wAN-DER-wARDEN b.l. aLGEBRA. | m.:nAUKA, 1976. | 648 S. 11] lENG s. aLGEBRA. | m.: mIR, 1968 | 564 S. 98
12] sKORNQKOW l.a. |LEMENTY ALGEBRY. | m.: nAUKA. gL.RED. FIZ.-MAT. LIT. , 1980. | 240 S. 13] bAHTURIN `.a. oSNOWNYE STRUKTURY SOWREMENNOJ ALGEBRY. | m.: nAUKA, 1990. | 320 S. 14] fADDEEW d.k. lEKCII PO ALGEBRE. | iZD. 3-E, STER. | spB.: lANX, 2004. | 415 S. 15] wINBERG |.b. kURS ALGEBRY. | 3-E IZD., PERERAB. I DOP. | m.: fAKTORIAL pRESS, 2002. | 544 S. 16] kOKSETER g.s.m., mOZER u.o. pOROVDA@]IE \LEMENTY I OPREDELQ@]IE SOOTNOENIQ DISKRETNYH GRUPP. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1980. | 240 S. 17] k\RTIS ~., rAJNER i. tEORIQ PREDSTAWLENIJ KONE^NYH GRUPP I ASSOCIATIWNYH ALGEBR. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1980. | 668 S. 18] kLEJN f. lEKCII OB IKOSA\DRE I REENII URAWNENIJ PQTOJ STEPENI. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1989. | 336 S. 19] dXEDONNE v. lINEJNAQ ALGEBRA I \LEMENTARNAQ GEOMETRIQ. | m.: nAUKA. gL.RED. FIZ.-MAT. LIT. , 1972. | 336 S. 20] bRANEC w.n., {MYGLEWSKIJ i.p. pRIMENENIE KWATERNIONOW W ZADA^AH ORINTACII TWERDOGO TELA. | m.: nAUKA. gL.RED. FIZ.-MAT. LIT., 1973. | 320 S. 21] kANTOR i.l., sOLODOWNIKOW a.s. gIPERKOMPLEKSNYE ^ISLA. | m.: nAUKA. gL.RED. FIZ.-MAT. LIT., 1973. | 144 S. 99
22] gILXBERT d., kON-fOSSEN s. nAGLQDNAQ GEOMETRIQ. | 3-E IZD. | m.: nAUKA, 1981. | 344 S. 23] wEJLX g. sIMMETRIQ. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1968. | 192 S. 24] gOLOWINA l.i. lINEJNAQ ALGEBRA I NEKOTORYE EE PRILOVENIQ. | iZD. 2-E, DOPOLN. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1975. | 408 S. 25] {UBNIKOW a.w., kOPCIK w.a. sIMMETRIQ W NAUKE I ISKUSSTWE. | iZD. 3-E, DOPOLN. | mOSKWA-iVEWSK: iN-T KOMPX@TERN. ISSLED., 2004. | 560 S. 26] |LLIOT dV., dOBER p. sIMMETRIQ W FIZIKE. tOM 1. oSNOWNYE PRINCIPY I PROSTYE PRILOVENIQ. | m.: mIR, 1983. | 368 S. 27] |LLIOT dV., dOBER p. sIMMETRIQ W FIZIKE. tOM 2. dALXNEJIE PRILOVENIQ. | m.: mIR, 1983. | 416 S. 28] l@BARSKIJ g.q. tEORIQ GRUPP I FIZIKA. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1986. | 224 S. 29] wINBERG |.b. lINEJNYE PREDSTAWLENIQ GRUPP. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1985. | 144 S. 30] mEDWEDEW b.w. nA^ALA TEORETI^ESKOJ FIZIKI. | m.: nAUKA. gL. RED. FIZ.-MAT. LIT., 1977. | 496 S.
100