Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1: Методические указания

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й го суда р стве нный уни ве р си те т

Ф а культе тпр и кла дно й ма те ма ти ки и ме ха ни ки

Ка фе др а выч и сли те льно й ма те ма ти ки

Ч и сле нно е р е ше ни е за да ч и Ко ши для о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й ме то да ми ти па Рунге -Кутта . Ч а сть 1 .

М е то ди ч е ски е ука за ни я по кур су «Ч и сле нные ме то ды» для студе нто в 3 и 4 кур со в д/о и в/о фа культе та ПМ М

С о ста ви те ли : Ко р зуни на В .В . Ш а б уни на З.А .

В о р о не ж - 2001

2 С ОДЕРЖ А Н И Е

1. Я вные ме то дыти па Рунге -Кутта р е ше ни я о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й ................................................................ ................. 1.1. Об щ а я фо р мули р о вка ме то до в ти па Рунге -Кутта ................................. 3 1.2. М е то д пе р во го по р ядка то ч но сти (о дно ч ле нна я фо р мула , q=1) .......... 5 1.3. М е то дывто р о го по р ядка то ч но сти (двуч ле нные фо р мулы, q=2) ........ 6 1.4. М е то дытр е тье го по р ядка то ч но сти (тр е хч ле нные фо р мулы, q=3) ..... 9 1.5. М е то ды ч е тве р то го по р ядка то ч но сти (ч е тыр е хч ле нные фо р мулы, q=4) ......................................................................................................................... 10 1.6. М е то дыпо р ядка выше ч е тве р то го ....................................................... 11 1.7. Ре ше ни е си сте м о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й ме то да ми ти па Рунге -Кутта .................................................................................. 11 2. Двухсто р о нни е явные ме то дыРунге -Кутта ................................ ..................... 2.1. Двуч ле нные двухсто р о нни е ме то дыРунге -Кутта .............................. 14 2.2. Т р е хч ле нные двухсто р о нни е ме то дыРунге -Кутта ............................. 16 2.3. Ор га ни за ци я сч е та в двухсто р о нни х ме то да х ти па Рунге -Кутта ....... 18 3. По выше ни е то ч но сти экстр а по ляци о нным ме то до м Ри ч а р дсо на ....................... 19 3.1. По выше ни е то ч но сти в ме то де Э йле р а ................................................ 20 3.2. По стр о е ни е не пр е р ывно го пр и б ли ж е нно го р е ше ни я ......................... 22 4. Пр а кти ч е ски е спо со б ыо це нки по гр е шно сти явных о дно ша го вых ме то до в р е ше ни я за да ч и Ко ши ................................................................ ........ 4.1. Оце нка гло б а льно й по гр е шно сти по пр а ви лу Рунге ........................... 27 4.2. Оце нка ло ка льно й по гр е шно сти по пр а ви лу Рунге ............................ 31 4.3. Оце нка ло ка льно й по гр е шно сти на о сно ве ко мб и на ци и ме то до в р а зно го по р ядка то ч но сти ..................................................................................... 32 4.4. В ло ж е нные ме то дыо це нки ло ка льно й по гр е шно сти ......................... 35 4.5. М е р а по гр е шно сти пр и б ли ж е нно го р е ше ни я...................................... 38 5. А вто ма ти ч е ски й выб о р ша га и нте гр и р о ва ни я за да ч и Ко ши ............................... 41 5.1. М е то д удво е ни я и де ле ни я ша га по по ла м........................................... 42 5.2. М е то д выб о р а ма кси ма льно й для за да нно й то ч но сти дли ныша га ... 45 6. И нди ви дуа льные за да ни я по ч и сле нным ме то да м р е ше ни я за да ч и Ко ши ......... 46 6.1. О де мо нстр а ци и р а б о тыпр о гр а мм ...................................................... 46 6.2. Об о ши б ка х, до пущ е нных пр и за да ни и вхо дных па р а ме тр о в ........... 50

3 В связи с си сте ма ти ч е ски м со кр а щ е ни е м ч и сла ле кци о нных ч а со в по кур су “Ч и сле нные

ме то ды” , по лным и сч е зно ве ни е м и з уч е б ных пла но в

пр а кти ч е ски х за няти й по

это му пр е дме ту и усто йч и вым сущ е ство ва ни е м

пр а кти ки на Э В М , по дде р ж и ва ю щ е й ле кци о нный кур с “Ч и сле нные ме то ды” , во зни кла о стр а я не о б хо ди мо сть в но во й уч е б но -ме то ди ч е ско й ли те р а тур е , ко то р а я: 1. со де р ж и ткр а тко е ко нспе кти вно е и зло ж е ни е ле кци о нно го ма те р и а ла ; 2. вклю ч а е т

те о р е ти ч е ски е

ма те р и а лы,

пе р е да ва е мые

студе нта м

са мо сто яте льно го и зуч е ни я; 3. да е то пи са ни е о сно вных выч и сли те льных а лго р и тмо в и р е ко ме нда ци и к и х пр а кти ч е ско му и спо льзо ва ни ю ; 4. вклю ч а е тв се б я по др о б но е и нди ви дуа льно е за да ни е на Э В М ; 5. уч и тгр а мо тно со ста ви ть те сто вые и де мо нстр а ци о нные пр и ме р ы. Н а сто ящ е е по со б и е “Ч и сле нно е р е ше ни е за да ч и Ко ши для о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й ме то да ми ти па Рунге - Кутта ” являе тся пе р вым и з се р и и ме то ди ч е ски х р а зр а б о то к ука за нно го ти па . Оно на пи са но на о сно ве б о льшо го о пыта ве де ни я ле кци о нных, пр а кти ч е ски х и ла б о р а то р ных за няти й, на ко пле нно го на ка фе др е В ыч и сли те льно й ма те ма ти ки . По со б и е со сто и ти з двух ч а сте й. В пе р во й ч а сти на хо дятся ма те р и а лы, пе р е ч и сле нные в п. п. 1 - 5, во вто р о й - и нди ви дуа льные за да ни я на Э В М . И нди ви дуа льные за да ни я со ста вле ны а вто р а ми та к, ч то б ы о ни со о тве тство ва ли де ви зу Р.В . Х е мми нга “Ц е ль р а сч е то в – не ч и сла , а по ни ма ни е ".

1. Я вны ем е т о ды т и п а Р унге -К ут т а ре ше ни я о б ы к но ве нны х ди ф ф е ре нци а льны х ура вне ни й 1.1. Об щ а я ф о рм ули ро вк а м е т о до в т и п а Р унге -К ут т а Пусть на о тр е зке [ x0 , x0 + X ] тр е б уе тся на йти ч и сле нно е р е ше ни е за да ч и Ко ши

y′ = f (x, y) y(x ) = y  0 0

(1) (2)

4 на се тке узло в

x0 <x1 <x2 <...<xN <x0 +X .

(3)

М е то ды ти па Рунге -Кутта являю тся явными о дно ша го выми ме то да ми , т.е . та ки ми , ко то р ые по сле до ва те льно в ка ж до м узле пр и б ли ж е нно е р е ше ни е

xi се тки (3) о пр е де ляю т

y i на о сно ве и зве стно го зна ч е ни я пр и б ли ж е нно го

р е ше ни я y i − 1 в пр е дыдущ е м узле

xi −1 .

Осно вна я

и де я ме то да

б ыла

пр е дло ж е на К. Рунге в 1895г., а за те м р а зви та В . Кутта в 1901г. С о гла сно пр е дло ж е ни ю

Рунге , пр и б ли ж е нно е р е ше ни е

y 1 в узле x1 = x0 + h и щ е тся в

ви де ли не йно й ко мб и на ци и с по сто янными ко эффи ци е нта ми

y1 = y0 + pq1k1(h)+ pq2k2(h)+...+ pqqkq(h),

(4)

где

k1(h) = hf( x0 , y0 ),

k2 (h) = hf( x0 +α2h, y0 + β21k1(h)), ... kq (h) = hf(x0 +αqh, y0 + βq1k1(h) +...+ βq,q−1kq−1(h)). Ко эффи ци е нты

α i , β ij , pqi

о пр е де ляю тся

(5)

из

тр е б о ва ни я,

ч то б ы

по гр е шно сть р а ве нства (4) на то ч но м р е ше ни и за да ч и (1),(2) и ме ла во змо ж но высо ки й по р ядо к ма ло сти пр и пр о и зво льно м ша ге

h

для лю б ых ур а вне ни й ви да

(1). За пи ше м то ч но е р е ше ни е

y(x1) в узле x0 + h по

фо р муле Те йло р а

h2 hs (s) hs+1 (s+1) y(x1) = y0 +hy0′ + y0′ +...+ y0 + y (ξ), 2 s! (s +1)! где

y0(k) = y(k) (x0), x0 <ξ < x1 .

(6)

5 По гр е шно сть ме то да на ша ге , и ли ло ка льна я по гр е шно сть ме то да , е сть ве ли ч и на q

ϕ q (h) = y( x0 + h) − y0 − ∑ pqi ki (h) .

(7)

i =1

Ее р а зло ж е ни е по сте пе ням h до лж но на ч и на ться с ма кси ма льно во змо ж но й сте пе ни :

hs+1 (s+1) ϕq (h) = ϕq (0) + o(hs+1 ) . (s + 1)!

(8)

Если ко эффи ци е нты αi ,βij , pqi о пр е де ле ны та к, ч то по гр е шно сть и ме е т ви д (8), то го во р ят, ч то фо р мула (4) ме то да Рунге -Кутта и ме е тпо р ядо к то ч но сти

s

, пр и это м пе р во е сла га е мо е в (8) на зыва ю т гла вным ч ле но м ло ка льно й

по гр е шно сти ме то да на ша ге . И зве стно , ч то е сли

αi ,βij , pqi , не во змо ж но

q = 1,2,3,4 , то

мо ж но по до б р а ть та ки е ко эффи ци е нты

ч то по луч и тся ме то д Рунге -Кутта по р ядка то ч но сти по стр о и ть ме то д ти па Рунге -Кутта пято го

По др о б но е о пи са ни е ко эффи ци е нто в для

q.

Для

q =5

по р ядка то ч но сти .

q = 1,2,3,4 мо ж но на йти в кни ге [1].

Н и ж е мы по др о б но о пи сыва е м по луч е ни е двуч ле нных ме то до в Рунге -Кутта

(q = 2) ,

а для ме то до в с б о льши м ко ли ч е ство м ч ле но в о гр а ни ч и ва е мся

пр и ве де ни е м не ко то р ых р а сч е тных фо р мул. 1.2. М е тодп е рво го п о рядк а т о чно ст и (о дно чле нна я ф о рм ула , q=1) Еди нстве нно во змо ж ный о дно ч ле нный ме то д Рунге -Кутта пе р во го по р ядка то ч но сти и зве сте н ка к ме то д Э йле р а

y1 = y0 + hf ( x0 , y0 ) , для ко то р о го р а зло ж е ни е (8) и ме е тви д

(9)

6

h2 ϕ1 (h) = { f x′ + ff y′ }x= x0 + o(h 2 ) . y = y0 2

(10)

1.3. М е т о ды вт о ро го п о рядк а т о чно ст и (двухчле нны еф о рм улы , q=2) Двухч ле нные фо р мулыме то да Рунге -Кутта и ме ю тви д

y1 = y0 + p21k1(h) + p22k2 (h) ,

(11)

где

k1 (h) = hf ( x0 , y0 ),

k2 (h) = hf ( x0 +α2h, y0 + β21k1 (h)). В

фо р мула х

α2 , β21, p21, p22.

(11)

пр и сутствую т ч е тыр е

не и зве стных

па р а ме тр а

Для и х о пр е де ле ни я по стр о и м вспо мо га те льную функци ю ,

являю щ ую ся по гр е шно стью на ша ге ко нстр уи р уе мо го ме то да Рунге -Кутта .

ϕ2 (h) = y(x0 + h) − y0 − p21hf ( x0 , y0 ) − p22hf (x0 + α2 h, y0 + β21hf ( x0 , y0 )). (12) По тр е б уе м, ч то б ы в р а зло ж е ни и

по

сте пе ням

h

функци и

ϕ 2 (h)

ма кси ма льно е ч и сло ч ле но в о б р а ти ло сь в нуль. Пе р вые две пр о и зво дные по пе р е ме нно й h

ϕ2′ (h) = y′(x0 +h) − p21f (x0, y0 ) − p22 f (x0 +α2h, y0 + β21hf( x0, y0 )) − − p22h(α2 fx′(x0 +α2h, y0 +β21hf(x0, y0 )) +β21f (x0, y0 ) f y′(x0 +α2h, y0 +β21hf(x0, y0 ))),

ϕ2′′(h) = y′′(x0 + h) − 2 p22(α2 f x′( x0 + α2h, y0 + β21hf ( x0 , y0 )) + + β21 f ( x0 , y0 ) f y′ ( x0 + α2h, y0 + β21hf (x0 , y0 ))) d − p22h (α2 f x′(x0 + α2h, y0 + β21hf ( x0 , y0 )) + dx + β21 f ( x0 , y0 ) f y′ ( x0 + α2h, y0 + β21hf (x0 , y0 ))) пр и

h=0

пр и ни ма ю тзна ч е ни я

ϕ2′ (0) = (1− p21 − p22) f ( x0 , y0 ) ,

(13)

7

ϕ 2′′ (0) = {(1 − 2α 2 p 22 ) f x′ + (1 − 2 β 21 p 22 ) ff y′ }x = x0 .

(14)

y = y0

Для то го , ч то б ы эти две

пе р вые

пр о и зво дные

о б р а ти ли сь в нуль,

не о б хо ди мо , ч то б ыне и зве стные па р а ме тр ыудо вле тво р яли си сте ме ур а вне ни й 1 − p 21 − p 22 = 0  1 − 2α 2 p 22 = 0 1 − 2 β p = 0. 21 22 

(15)

Т р е тью пр о и зво дную

{(

)

(

)

ϕ 2′′′(0) = 1 − 3α 22 p22 f xx′′ + 2(1 − 3α 2 β 21 p 22 ) ff xy′′ + 1 − 3β 212 p 22 f 2 f yy′′ + ( f x′ + ff y′ ) f y′

}

x = x0 y = y0

(16)

за сч е т выб о р а па р а ме тр о в α 2 , β 21 , p21 , p 22 о б р а ти ть в нуль для пр о и зво льно й функци и

f ( x, y ) не льзя. С ле до ва те льно , ма кси ма льно е

ко ли ч е ство ч ле но в в

р а зло ж е ни и по гр е шно сти ϕ 2 (h) по сте пе ням h , о б р а щ а ю щ и хся в нуль, р а вно двум: ϕ q ( h) =

h3 ϕ 2′′′(0) + o(h 3 ) . 6

(17)

С и сте ма ур а вне ни й (15) и ме е т о дно па р а ме тр и ч е ско е се ме йство р е ше ни й. Если в ка ч е стве па р а ме тр а выб р а ть α 2 , то β 21 = α 2 ,

p 22 =

1 , 2α 2

1 , 2α 2

p 21 = 1 −

(18)

пр и ч е м α 2 ≠ 0 . За ме ти м, ч то па р а ме тр α 2 не мо ж е тб ыть р а вным нулю , по ско льку в это м случ а е те р яе тсмысл вто р о е ур а вне ни е си сте мы(15). Т а ки м

о б р а зо м,

о дно па р а ме тр и ч е ско е

мы

по ка за ли ,

се ме йство

ч то

фо р мулы

(11)

о б р а зую т

фо р мул ти па Рунге -Кутта вто р о го по р ядка

то ч но сти  1 y1 = y 0 + 1 −  2α 2

  1 k1 (h) +    2α 2

 k 2 (h) , 

где k1 (h) = hf ( x0 , y 0 ),

k 2 (h) = hf ( x0 + α 2 h, y 0 + α 2 k1 (h) ), α 2 – ч и сло во й па р а ме тр , о тли ч ный о тнуля.

(19)

8 За ме ч а ни е 1. Для на ч а льных за да ч Ко ши е сте стве нным являе тся пр е дпо ло ж е ни е , ч то р е ше ни е в то ч ке ( x0 + h) за ви си т о т по ве де ни я пр а во й ч а сти ур а вне ни я (1) на о тр е зке [ x0 , x0 + h] . По это му в фо р мула х (19) о б ыч но по ла га ю т, ч то α 2 ∈ (0,1] . За ме ч а ни е 2. Н е льзя выб р а ть на и луч ше е зна ч е ни е па р а ме тр а α 2 с то ч ки зр е ни я ма ло сти а б со лю тно й ве ли ч и ны гла вно го ч ле на по гр е шно сти (17). Для о дни х ур а вне ни й это б уде то дно зна ч е ни е , для др уги х – др уго е [2]. Ра ссмо тр и м не ско лько на и б о ле е ч а сто и спо льзуе мых пр и ме р о в двуч ле нные фо р мул ме то да Рунге -Кутта вто р о го по р ядка . 1. Пусть α 2 = 1 . То гда y1 = y 0 +

1 (K1 + K 2 ) , 2

(20)

K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf ( x0 + h, y 0 + K 1 ) .

По гр е шно сть на ша ге ме то да (20), ка к сле дуе ти з (16),(17),(18), и ме е тви д ϕ2 =

(

)

h3  1  2 3 − f xx′′ + 2 ff xy′′ + f f yy′′ + ( f x′ + ff y′ ) f y′  x= x + o( h ) . 6  2  y = y0

(21)

0

1 2

2. Пусть α 2 = . То гда y1 = y 0 + K 2 ,

(22)

1 1   K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf  x 0 + h, y 0 + K 1  . 2 2  

По гр е шно сть на ша ге ме то да (22), ка к сле дуе ти з (16),(17),(18), и ме е тви д ϕ2 =

(

)

h3  1  2 3  f xx′′ + 2 ff xy′′ + f f yy′′ + ( f x′ + ff y′ ) f y′  x = x + o( h ) . 6 4  y = y0 0

(23) 2 3

3. Пусть α 2 = . То гда y1 = y 0 +

1 ( K 1 + 3K 2 ) , 4

(24)

9 2 2   K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf  x 0 + h, y 0 + K 1  . 3 3  

По гр е шно сть на ша ге ме то да (24), ка к сле дуе ти з (16-18), и ме е тви д ϕ2 =

h3 {( f x′ + ff y′ ) f y′ }xy==xy0 + o(h 3 ) . 6 0

(25)

1.4. М е т о ды т ре т ье го п о рядк а т о чно ст и (т ре хчле нны еф о рм улы , q=3) Ф о р мулыви да y1 = y0 + p31 k1 (h) + p32 k 2 (h) + p 33 k 2 (h) ,

(26)

где K1 (h) = hf ( x0 , y0 ), K 2 ( h) = hf ( x0 + α 2 h, y0 + β 21 K1 ( h) ), K 3 (h) = hf ( x0 + α 3 h, y0 + β 31 K1 ( h) + β 32 K 2 (h) ), о б р а зую т тр и се ме йства фо р мул ти па Рунге -Кутта тр е тье го по р ядка . Одно се ме йство – двухпа р а ме тр и ч е ско е со сво б о дными па р а ме тр а ми α 2 ,α 3 : y1 = y 0 + (1 − p32 − p33 )K1 ( h) + p32 K 2 (h) + p33 K 2 (h) ,

(27)

где p32 , p33 о пр е де ляю тся и з си сте мыдвух ли не йных ур а вне ни й 1   p 32α 2 + p 33α 3 = 2  p α 2 + p α 2 = 1 , 32 2 33 3 3 

(28)

2 3

пр и ч е м α 2 ≠ α 3 , α 2 ≠ , α 2 ≠ 0, p33 ≠ 0 . Ко эффи ци е нты β ij выч и сляю тся пр о стым пе р е сч е то м: β 21 = α 2 , β 32 = (6α 2 p33 ) , β 31 = α 3 − β 32 . −1

(29)

Два др уги х се ме йства – о дно па р а ме тр и ч е ски е со сво б о дным па р а ме тр о м p 33 ≠ 0 . Для пе р во го α2 =

2 3

3 4

и з эти х се ме йств α 2 = α 3 = , p32 = − p33 , для вто р о го –

2 3 , α 3 = 0, p 32 = . Для о б о и х се ме йств и ме ю тме сто со о тно ше ни я (29). 3 4

Н а и б о ле е упо тр е б и те льным ме то до м тр е тье го по р ядка являе тся ме то д, по луч а е мый и з (27-29) пр и α 2 = 1 2 ,α 3 = 1 :

10 y1 = y 0 +

1 (K 1 + 4 K 2 + K 3 ) , 6

(30)

1 1   K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf  x0 + h, y 0 + K 1 , K 3 = hf ( x 0 + h, y 0 − K 1 + 2 K 2 ) . 2 2  

Ещ е о ди н пр и ме р ме то да (α 2 = 13 , α 3 = 2 3 ) : y1 = y 0 +

1 (K 1 + 3K 3 ) , 4

(31)

1 1  2 2    K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf  x0 + h, y 0 + K 1 , K 3 = hf  x0 + h, y 0 + K 2  . 3 3  3 3   

1.5. М е т о ды

че т ве рт о го

п о рядк а

т о чно ст и

(че т ы ре хчле нны е

ф о рм улы , q=4) В

это м случ а е фо р мулы ти па Рунге -Кутта со де р ж а т 13 не и зве стных

па р а ме тр о в; усло ви я, о б е спе ч и ва ю щ и е ч е тве р тый по р ядо к то ч но сти ме то да на ша ге , да ю т 11 не ли не йных ур а вне ни й. По др о б ные све де ни я о ч е тыр е хч ле нных се ме йства х фо р мул мо ж но на йти в кни ге [1]. Н и ж е мы пр и во ди м тр и на и б о ле е ч а сто упо тр е б ляе мые фо р мулы. 1. С та нда р тна я фо р мула Рунге -Кутта ч е тве р то го по р ядка y1 = y 0 +

1 (K1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) 6

(32)

K  K  h h   K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf  x0 + , y 0 + 1 , K 3 = hf  x 0 + , y 0 + 2 , 2 2  2 2    K 4 = hf ( x 0 + h, y 0 + K 3 ),

2. Ф о р мула тр е х во сьмых y1 = y 0 +

1 ( K 1 + 3K 2 + 3K 3 + K 4 ) , 8

(33)

1 1   K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf  x 0 + h, y 0 + K1 , 3 3   2 1   K 3 = hf  x0 + h, y 0 − K1 + K 2 , K 4 = hf ( x0 + h, y 0 + K 1 − K 2 + K 3 ) . 3 3  

3. y1 = y 0 +

1 (K 1 + 4 K 3 + K 4 ) , 6

(34)

11 K  h  K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf  x 0 + , y 0 + 1 , 4 4   K h  K 3 = hf  x0 + , y 0 + 2 2 2 

 , K 4 = hf ( x0 + h, y 0 + K 1 − 2 K 2 + K 3 ) . 

1.6. М е т о ды п о рядк а вы ш ече т ве рт о го Для фо р мул ти па Рунге -Кутта сте пе ни б о льше ч е тыр е х по ка за но , ч то о ни тр е б ую т N -кр а тно го выч и сле ни я пр а во й ч а сти , где

N б о льше сте пе ни . Э ти

фо р мулы и ме ю тгр о мо здки е ко эффи ци е нты, и мы о тпр а вляе м ч и та те ля к кни га м [2,3]. 1.7. Р е ше ни еси ст е м о б ы к но ве нны х ди ф ф е ре нци а льны х ура вне ни й м е т о да м и т и п а Рунге -К ут т а М е то ды Рунге -Кутта б е з тр уда пе р е но сятся на р е ше ни е за да ч Ко ши для си сте м о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й р а зме р но сти M  y ′ = f ( x, y ), x ∈ [ A, B]   y ( x0 ) = y 0 ,

(35)

где y = ( y 1 , y 2 ,..., y M ) , f = ( f 1 (x, y 1 ,..., y M ),..., f M (x, y 1 ,..., y M )) , y 0 = ( y 10 , y02 ,..., y 0M ) . Τ

Τ

Τ

Ф о р мулыРунге -Кутта за пи сыва ю тся в ве кто р но м ви де _

_

_

y1 = y 0 + pq1 K (h) + p q 2 K 2 (h) + ... + p qq K q (h) ,

(36)

1

где _

K 1 ( h) = hf (x0 , y0 ), _ _   K 2 ( h) = hf  x0 + α 2 h, y0 + β 21 K 1 (h) ,   ... _ _ _   K q ( h) = hf  x0 + α q h, y0 + β q1 K 1 ( h) + ... + β q ,q −1 K q −1 (h) .   В

ка ч е стве

ур а вне ни й

пр и ме р а

р а ссмо тр и м си сте му двух ди ффе р е нци а льных

12  dy 1 = f 1 (x, y 1 , y 2 ),  dx  2  dy = f 2 (x, y 1 , y 2 ),  dx y 1 ( x0 ) = y 10 , y 2 ( x0 ) = y 02 .

и двуч ле нную фо р мулу ме то да Рунге -Кутта (20) _  1 _  y = y + K + K  1 2 , 0  1 2  _ _  K 1 = hf ( x0 , y0 ), k 2 = hf  x0 + h, y0 + K 1 .   

(37)

Об р а щ а е м вни ма ни е ч и та те ля на то , ч то в за пи сях yi , k i , yil , k il ве р хни й и нде кс о б о зна ч а е т но ме р ко мпо не нты ве кто р но го р е ше ни я, а ни ж ни й и нде кс – но ме р то ч ки , в ко то р о й за пи сыва е тся р а ссма тр и ва е мо е р е ше ни е . Ра спи ше м по ко мпо не нтно ве кто р ную фо р мулу (37):

(

)

(

)

1 1 1 K1 + K 21 , y12 = y02 + K12 + K 22 , 2 2 K11 = hf 1 x0 , y10 , y02 , K12 = hf 2 x0 , y10 , y02 , K 21 = hf 1 x0 + h, y10 + K11 , y02 + K12 , K 22 = hf 2 x0 + h, y10 + K11 , y 02 + K12 . y11 = y10 +

( ( (

)

(

)

) )

В ыр а ж е ни я для гла вных ч ле но в по гр е шно сте й в случ а е р е ше ни я си сте м ур а вне ни й (35) ста но вятся гр о мо здки ми , мыи х не пр и во ди м. Одна ко по дч е р кне м, ч то выво ды о тно си те льно гла вных ч ле но в по гр е шно сти , сде ла нные для о дно го ди ффе р е нци а льно го

ур а вне ни я,

о ста ю тся

в

си ле

и

для

си сте мы

ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й. Если для си сте мы ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й за пи сыва е тся а на ло г ме то да ти па Рунге -Кутта по р ядка s , то гла вна я ч а сть по гр е шно сти для ка ж до й ко мпо не нты р е ше ни я y 1 , y 2 ,..., y M и ме е т та кж е по р ядо к s + 1: q

( )

ϕ ql (h) = y l ( x0 + h) − y 0l − ∑ p qi k il (h) = O h s +1 i =1

(38)

Ко гда го во р ят, ч то р е ше ни е си сте мы о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й по луч е но с а б со лю тно й по гр е шно стью ε , то по др а зуме ва ю т, ч то все ко мпо не нтыр е ше ни я и ме ю та б со лю тную по гр е шно сть, не пр е выша ю щ ую ε .

13

2. Двухст о ро нни еявны ем е т о ды Р унге -К ут т а Ка к и в о б ыч ных, о дно сто р о нни х ме то да х Рунге -Кутта , в двухсто р о нни х ме то да х пр и б ли ж е нно е р е ше ни е в узле

x0 + h б уде м и ска ть в ви де

(4),(5).

Отно си те льно гла вно й ч а сти по гр е шно сти на ша ге ϕ q (h) сде ла е м до по лни те льно е пр е дпо ло ж е ни е . А и ме нно , б уде м сч и та ть, ч то гла вна я ч а сть по гр е шно сти мо ж е т б ыть пр е дста вле на в ви де γh s +1 Ψ[ f ]0 , где γ – не ко то р ый па р а ме тр , Ψ[ f ]0 – впо лне о пр е де ле нный о пе р а то р , за ви сящ и й о тфункци и f и выч и сле нный в то ч ке ( x0 , y0 ) . Н а с б уде ти нте р е со ва ть си туа ци я, ко гда до пусти ма я о б ла сть зна ч е ни й па р а ме тр а γ со де р ж и тпа р ы зна ч е ни й, о тли ч а ю щ и хся то лько зна ко м. Т о гда фо р мулы Рунге -

Кутта (4),(5) для двух р а вных по ве ли ч и не и пр о ти во по ло ж ных по зна ку зна ч е ни й па р а ме тр а γ (γ ≠ 0) б удут да ва ть ве р хне е и ни ж не е пр и б ли ж е ни я к и ско мо му р е ше ни ю . Т а ки е фо р мулы б уде м на зыва ть фо р мула ми двухсто р о нне го ме то да Рунге -Кутта . По луч е нные пр и б ли ж е нные р е ше ни я б уде м о б о зна ч а ть y1+ , y1− . С о о тве тствую щ и е эти м пр и б ли ж е нным р е ше ни ям ло ка льные по гр е шно сти на ша ге р а вны ϕ q+ (h) = +γh s +1 Ψ[ f ]0 + o(h s +1 )

(39)

ϕ q− (h) = −γh s +1 Ψ[ f ]0 + o(h s +1 ).

И та к, ко эффи ци е нты α i , β ij , p qi

в двухсто р о нни х ме то да х Рунге -Кутта

выб и р а ю тся та к, ч то б ы по гр е шно сть ме то да и ме ла ма кси ма льно во змо ж ный по р ядо к по h пр и усло ви и , ч то гла вна я ч а сть по гр е шно сти и ме е т мно ж и те ле м ч и сло во й па р а ме тр , мо гущ и й пр и ни ма ть зна ч е ни я, р а вные по ве ли ч и не

и

пр о ти во по ло ж ные по зна ку. Оч е ви дно , ч то выч и сли в зна ч е ни я y1+ , y1− , мо ж но в ка ч е стве пр и б ли ж е нно го р е ше ни я взять и х ср е дне е а р и фме ти ч е ско е y10 =

(

)

1 + y1 + y1− , 2

(40)

по гр е шно сть ко то р о го на по р ядо к выше по гр е шно сте й y1+ , y1− : y q0 (h) =

1 + y q ( h) + y q− ( h) ) = o( h s +1 ) . ( 2

(41)

14 2.1. Двучле нны едвухст о ро нни ем е т о ды Р унге -К ут т а Ра ссмо тр и м двухч ле нную фо р мулу (11). Если сущ е ствуе т двухсто р о нни й ме то д Рунге -Кутта

вто р о го

по р ядка

с двуч ле нно й фо р муло й, то

тр е тья

пр о и зво дна я по гр е шно сти ϕ 2′′′(h) в то ч ке h = 0 до лж на и ме ть в ка ч е стве мно ж и те ля ч и сло во й па р а ме тр для лю б о й функци и f ( x, y ) . Э то не во змо ж но , по ско льку в выр а ж е ни и (16) для ϕ 2′′′(0) по сле дне е сла га е мо е не и ме е т ч и сло во го мно ж и те ля. С ле до ва те льно , двуч ле нно го двухсто р о нне го ме то да Рунге -Кутта вто р о го по р ядка не сущ е ствуе т. По ка ж е м, ч то мо ж но по стр о и ть двуч ле нные двухсто р о нни е ме то ды пе р во го по р ядка . В это м случ а е мы по ла га е м, ч то ϕ 2′ (0) = 0 , ϕ 2′′ (0) ≠ 0 . И з выр а ж е ни я (13) сле дуе т, ч то р а ве нство нулю пе р во й пр о и зво дно й по гр е шно сти в то ч ке h = 0 сво ди тся к усло ви ю 1 − p 21 − p 22 = 0 ,

(42)

а пр о по р ци о на льно сть ϕ 2′′ (0) ч и сло во му па р а ме тр у γ с уч е то м пр е дста вле ни я (14) – к р а ве нства м 1 − 2α 2 p 22 = 2γ

(43)

1 − 2 β 21 p 22 = 2γ .

Оч е ви дно , ч то си сте ма ур а вне ни й (38),(39) о тно си те льно не и зве стных α 2 , β 21 , p 21 , p 22 , γ и ме е т двухпа р а ме тр и ч е ско е се ме йство р е ше ни й. В

са мо м де ле ,

выр а зи м p 22 ,α 2 , β 21 ч е р е з зна ч е ни я па р а ме тр о в p 21 , γ : p 22 = 1 − p 21 , α 2 =

Т а ки м

1 − 2γ 1 − 2γ (п ри p 21 ≠ 1), β 21 = . 2(1 − p 21 ) 2(1 − p 21 )

о б р а зо м,

со о тно ше ни я

(44)

пр и

(44) p 21 ≠ 1

о пр е де ляю т

двухпа р а ме тр и ч е ско е се ме йство двухсто р о нни х фо р мул Рунге -Кутта пе р во го по р ядка . За ме ч а ни е 1. С луч а й

p 21 = 1 не

пр е дста вляе т и нте р е са . В

са мо м де ле , и з

ур а вне ни я (42) то гда сле дуе т, ч то p 22 = 0 , а ур а вне ни я (43) да ю т е ди нстве нно е р е ше ни е для ч и сло во го мно ж и те ля γ (γ = 1 2) . За ме ч а ни е 2. Если по тр е б о ва ть выпо лне ни я е сте стве нно го усло ви я 0 ≤ α 2 ≤ 1 , то р е ше ни е (44) на кла дыва е то гр а ни ч е ни я на выб о р па р а ме тр а γ :

15 1 1 ≤γ ≤ 2 2

п ри 1 − p 21 > 0 ,

(45)

1 1 ≤ γ ≤ p 21 − 2 2

п ри 1 − p 21 < 0 .

(46)

p 21 −

В

двухсто р о нне м ме то де

Рунге -Кутта на с и нте р е сую т па р ы

р а сч е тных фо р мул, со о тве тствую щ и е

зна ч е ни ям ± γ . По это му

усло ви е (46) являе тся не до пусти мым, а усло ви е (45) для выб о р а па р а ме тр о в p 21 , γ луч ше за пи са ть в ви де p 21 <

1 , 2

За ме ч а ни е 3. Если

1 1 γ ≤ min , p 21 − 2 2

па р а ме тр

  . 

p 21 = 0 ,

С о о тве тствую щ и е

(47) то

p 22 = 1, α 2 =

1 1 − γ , β 21 = − γ . 2 2

эти м зна ч е ни ям па р ы р а сч е тных фо р мул

двухсто р о нне го ме то да Рунге -Кутта за пи шутся в ви де y1+ = y 0 + hf  x 1 + γh, y 1 + γhf ( x0 , y 0 )  2  2 y1− = y 0 + hf  x 1 − γh, y 1 − γhf ( x0 , y 0 ), 2  2  h 2

где x 1 = x0 + , y 1 = y 0 + 2

2

(48)

h f ( x0 , y 0 ) . 2

В ыч и сле нно е по фо р муле (40) пр и б ли ж е нно е зна ч е ни е пр и во ди тк сле дую щ е й двуч ле нно й фо р муле h y10 = y 0 +  f  x 1 + γh, y 1 + γhf ( x0 , y 0 ) + f  x 1 − γh, y 1 − γhf ( x 0 , y 0 )  . (49) 2   2 2  2  2

Ф о р мулы ти па (49) тр е б ую т 3-кр а тно го выч и сле ни я пр а во й ч а сти и схо дно го ур а вне ни я, и ме ю т по гр е шно сть по р ядка O(h 3 ) , но пр и это м о дно вр е ме нно о пр е де ляю тся ве р хне е и ни ж не е пр и б ли ж е ни я к и ско мо му р е ше ни ю . Пр и ме р ыдвуч ле нных двухсто р о нни х фо р мул ме то да Рунге -Кутта : 1 2

1. γ = , p 21 = 0. y1+ = y 0 + hf ( x0 , y 0 )

y1− = y 0 + hf ( x0 + h, y 0 + hf ( x0 , y 0 ))

(50)

16 1 4

2. γ = , p 21 = 0. h h   y1+ = y 0 + hf  x0 + , y 0 + f ( x0 , y 0 ) 4 4   3 3   y1− = y 0 + hf  x0 + h, y 0 + hf ( x0 , y 0 ) 4 4  

(51)

1 6

3. γ = , p 21 = 0. h h   y1+ = y 0 + hf  x0 + , y 0 + f ( x0 , y 0 ) 3 3   2 2   y1− = y 0 + hf  x0 + h, y 0 + hf ( x0 , y 0 ) 3 3   1 4

(52)

1 4

4. γ = , p 21 = . h 3  h h  f ( x0 , y 0 ) + hf  x 0 + , y 0 + f ( x0 , y 0 ) 4 4  3 3  h 3 y1− = y 0 + f ( x0 , y 0 ) + hf ( x0 + h, y 0 + hf ( x0 , y 0 )) 4 4 y1+ = y 0 +

(53)

Н а по мни м, ч то во все х двуч ле нных двухсто р о нни х ме то да х Рунге -Кутта по гр е шно сть ша га и ме е тви д ϕ 2 (h) = γh 2 { f x′ + ff y′ }x = x0 + O(h 3 ) . y = y0

(54)

2.2. Тре хчле нны едвухст о ро нни ем е т о ды Р унге -К ут т а М е то ды это го ти па о б р а зую тне ско лько тр е хпа р а ме тр и ч е ски х се ме йств [2 ] и и ме ю тпо гр е шно сть на ша ге по р ядка O(h 3 ) . В пр и ве де нных ни ж е пр и ме р а х 1-2 по гр е шно сть на ша ге и ме е тви д ϕ 3 (h) = γh 3 { f x′ f y′ + ff y′ }x = x0 + O(h 4 ) , y = y0

(55)

в пр и ме р а х 3-4 – ви д ϕ 3 (h) = γ

1. γ = 1 .

h3 {f xx′′ + 2 ff xy′′ + f 2 f yy′′ }xy==xy00 + O(h 4 ) . 2

(56)

17 1 K 1 + K 2 + 4 K 3+ ) ( 6 1 y1− = y 0 + (K 1 + K 2 + 4 K 3− ), 6 y1+ = y 0 +

(57)

где K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf ( x 0 + h, y 0 + K 1 ), h 7 5 h 5 7     K 3+ = hf  x0 + , y 0 + K 1 − K 2 , K 3− = hf  x0 + , y 0 − K 1 + K 2  . 2 4 4 2 4 4    

2. γ =

1 . 24

1 ( K 1 + 3K 3+ ) 4 1 y1− = y 0 + (K 1 + 3K 3− ), 4 y1+ = y 0 +

(58)

где K  h 5 5    K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2+ = hf  x0 + , y 0 + 1 , K 2− = hf  x0 + h, y 0 + K 1 , 4 4  12 12    2 2 2 2     K 3+ = hf  x0 + h, y 0 + K 2+ , K 3− = hf  x0 + h, y 0 + K 2−  . 3 3 3 3     1 2

3. γ = . 1 ( 3K 1 + 6 K 2+ + K 3+ ) 2 3 2 y1− = y 0 + K 1 − K 2− + K 3− , 2 3

y1+ = y 0 −

(59)

где K  h h    K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2+ = hf  x 0 + , y 0 + 1 , K 2− = hf  x0 + , y 0 , 3 3  3     K K−  K 3+ = hf x0 + h, y 0 + 2 K 1 − K 2+ , K 3− = hf  x0 + h, y 0 + 1 + 2  . 2 2  

(

)

1 2

4. γ = . y1+ = y 0 + K 3+ y1− = y 0 +

где

1 (2K1 + 3K 3− ), 3

(60)

18 K  h  K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf  x 0 + , y 0 + 1 , 3 3   K h  K 3+ = hf  x0 + , y 0 + 2 2 2 

5 5  −   , K 3 = hf  x 0 + h, y 0 + K 2  . 6 6   

2.3. Орга ни за ци я сче т а в двухст о ро нни х м е т о да х т и п а Р унге -К ут т а С о гла сно по луч е нным в пр е дыдущ и х пункта х двухсто р о нни м ме то да м, лю б о й и з ни х за да е тся двумя фо р мула ми yi+ = yi+ ( xi −1 , hi −1 , yi −1 ), yi− = yi− ( xi −1 , hi −1 , yi −1 ),

(61)

ко то р ые по зво ляю т и з на ч а льно й то ч ки x0 пе р е йти в сле дую щ ую то ч ку x1 и по луч и ть два пр и б ли ж е нных зна ч е ни я y1+ , y1− . Да ле е выч и сле ни я пр и б ли ж е нно го р е ше ни я мо ж е тпр о хо ди ть по р а зли ч ным схе ма м. С хе ма 1. Зна ч е ни я y1+ , y1− (i = 2,3,...) о пр е де ляю тся не за ви си мо др уг о тдр уга

( (x

) ),

y i+ = y i+ xi −1 , hi −1 , y i+−1 , − i

y =y

− i

i −1

, hi −1 , y

− i −1

т.е . по зна ч е ни ю y1+ ( y1− ) выч и сляе тся y 2+ ( y 2− ), по зна ч е ни ю y 2+ ( y 2− ) выч и сляе тся

( )

y 3+ y 3− и та к да ле е до ко нца о тр е зка и нте гр и р о ва ни я.

С хе ма 2. Пусть для о пр е де ле нно сти в то ч ке x1 выч и сле нные зна ч е ни я y1+ , y1− связа ны не р а ве нство м y1− ≤ y1+ . И схо дя и з y1− мо ж но по луч и ть два зна ч е ни я y 2− , y 2− пр и б ли ж е нно го р е ше ни я в то ч ке x2 , пр о ве дя выч и сле ни я по о б е и м фо р мула м двусто р о нне го ме то да . М е ньше е и з y 2− , y 2− пр и ни ма е тся за y 2− . А на ло ги ч но , и схо дя и з y1+ , выч и сляю тся два зна ч е ни я y 2+ , y 2+ и б о льше е и з ни х пр и ни ма е тся за y 2+ . Если по луч и тся, ч то y 2− > y 2+ , то сч и та е тся, ч то двусто р о нни й ме то д пр и выб р а нно м зна ч е ни и ша га

не пр и ме ни м, выч и сле ни я пр е кр а щ а ю тся. Если

y 2− ≤ y 2+ , то

выч и сли те льный пр о це сс пр о до лж а е тся по до б ным о б р а зо м. С хе ма 3. Пустьо пять, ка к и в схе ме 2, зна ч е ни я y1+ , y1− связа ныне р а ве нство м y1− ≤ y1+ . В ыч и сле ни е

пр и б ли ж е нных зна ч е ни й y 2+ , y 2− пр о и схо ди т а на ло ги ч но

19 выч и сле ни ям по схе ме 2. Отли ч и е за клю ч а е тся в то м, ч то в ка ч е стве

y 2−

пр и ни ма е тся б о льше е и з y 2− , y 2− , а в ка ч е стве y 2+ – ме ньше е и з y 2+ , y 2+ . С хе ма 4. В это й схе ме выч и сле ни е пр и б ли ж е нно го р е ше ни я о сущ е ствляе тся по пе р е ме нно – то по о дно й, то по др уго й фо р муле . Н а пр и ме р , е сли пр и нять, ч то y1 = y1+ ( x 0 , h0 , y 0 ) ,

y 2 = y 2− ( x1 , h1 , y1 ) , y 3 = y 3+ ( x 2 , h2 , y 2 ) , y 4 = y 4− ( x3 , h3 , y 3 )

то

и

т.д.

По стр о е нно е пр и б ли ж е нно е р е ше ни е б уде тха р а кте р и зо ва ться те м, ч то на ка ж до м ша ге гла вна я ч а сть ло ка льно й по гр е шно сти , ка к пр а ви ло , и зме няе т зна к на пр о ти во по ло ж ный.

3. По вы ш е ни е

т о чно ст и

эк ст ра п о ляци о нны м

м е т о до м

Р и ча рдсо на Пусть р е ше ни е

не ко то р о го

ди ффе р е нци а льно го

ур а вне ни я и щ е тся с

по мо щ ью ч и сле нно го ме то да пе р во го по р ядка то ч но сти о тно си те льно ша га се тки h . Если и спо льзо ва ть это тме то д с па р а ме тр о м h , а за те м h , то вто р о е р е ше ни е 2

б уде тв два р а за то ч не е пе р во го . Если по луч и ть р е ше ни е с па р а ме тр о м h 3 , то о но б уде тв тр и р а за б о ле е то ч ным и т.д. Если на м по тр е б уе тся по луч и ть р е ше ни е в 103 р а з то ч не е , ч е м пр и б ли ж е нно е р е ше ни е , со о тве тствую щ е е па р а ме тр у h , то не о б хо ди мо в 103 р а з уме ньши ть ша г се тки . По нятно , ч то в это м случ а е во зни ка ю тпр о б ле мыс о ши б ка ми о кр угле ни я и вр е ме не м сч е та . Одна ко , е сли е сть до по лни те льна я и нфо р ма ци я о до ста то ч но й гла дко сти р е ше ни я, то мо ж но сде ла ть экстр а по ляци ю р е ше ни я по ша гу се тки , ко то р а я да е т по р а зи те льные р е зульта ты. До пусти м, ч то р е ше ни е и схо дно й ди ффе р е нци а льно й за да ч и

по зво ляе т пр е дпо ло ж и ть, ч то

пр и б ли ж е нно е

р е ше ни е

и ме е т тр и

о гр а ни ч е нных пр о и зво дных по па р а ме тр у h . Т о гда мо ж но до ка за ть, ч то ли не йна я ко мб и на ци я тр е х пр и б ли ж е нных р е ше ни й, со о тве тствую щ и х h, h 2 , h 3 , б уде т да ва ть то ч но сть O(h 3 ) . Если б е зр а зме р ный па р а ме тр h взять р а вным 1/10, то для по луч е ни я то ч но сти р е ше ни я по р ядка 10-3 ме то до м пе р во го по р ядка ч и сло узло в се тки

20 пр о по р ци о на льно 103. М е то д экстр а по ляци и по Ри ч а р дсо ну о б е спе ч и тта кую ж е то ч но сть и схо дя и х тр е х р е ше ни й с ч и сло м узло в, пр о по р ци о на льных со о тве тстве нно 10, 20, 30! И спо льзо ва ни е пр и б ли ж е нных р е ше ни й на по сле до ва те льно сти се то к – о сно вна я и де я ме то да экстр а по ляци и Ри ч а р дсо на , выска за нна я и м в на ч а ле это го ве ка . М е то д Ри ч а р дсо на в пр и нци пе по зво ляе т по луч и ть уто ч не нные р е ше ни я лю б о го по р ядка то ч но сти , е сли о б е спе ч е нысо о тве тствую щ и е усло ви я гла дко сти . 3.1. По вы ш е ни ет о чно ст и в м е т о деЭйле ра Ра ссмо тр и м на ч а льную за да ч у Ко ши  du  = f (t , u ) t ∈ (0,1)  dt u (0) = u 0 ,

(63)

где f (t , u ) ∈ C r ([0,1] × (−∞,+∞) ), r ≥ 2, r – це ло е . Пр е дпо ло ж и м, ч то

р е ше ни е

за да ч и

(1) сущ е ствуе т, е ди нстве нно

и

u ∈ C r +1 [0,1] .

За ме ч а ни е .

Пр и р а ссмо тр е ни и экстр а по ляци и по Ри ч а р дсо ну пр е дпо ла га е тся, ч то а р гуме нт пр и ве де н к б е зр а зме р но му ви ду (и зме няе тся на о тр е зке

[0,1]).

Э ти м о б ъясняе тся и спо льзо ва ни е

о б о зна ч е ни й,

о тли ч ных о то б о зна ч е ни й пр е дыдущ и х па р а гр а фо в. Пр и б ли ж е нно е р е ше ни е за да ч и (63), по луч е нно е ме то до м Э йле р а (9) на р а вно ме р но й се тке ϖ τ = {t j = jτ , j = 0,1,..., M } с ша го м τ =

1 о б о зна ч и м u τ . M

Для фи кси р о ва нных це лых ч и се л 0 < N1 < ... < N r по стр о и м се тки ϖ τ ша га ми τ k =

k

с

1 , где M мо ж е т не о гр а ни ч е нно во зр а ста ть. Н а ка ж до й и з се то к Nk M

по луч и м пр и б ли ж е нно е р е ше ни е ме то до м Э йле р а . За ме ти м, ч то все р е ше ни я u τ о пр е де ле нына се тке ϖ τ с ша го м τ = k

Ра ссмо тр и м си сте му

1 . M

k

21  r ∑ γ k = 1  k =1  r  γ τ j = 0, j = 1,..., r − 1 k k ∑ k =1

(64)

ли не йных а лге б р а и ч е ски х ур а вне ни й о тно си те льно

не и зве стных γ 1 , γ 2 ,..., γ r .

По ско льку о пр е де ли те ль си сте мы (о пр е де ли те ль В а нде р мо нда ) о тли ч е н о тнуля, и ме е тся е ди нстве нно е р е ше ни е γ 1 , γ 2 ,..., γ r . С эти ми ве са ми в узла х се тки ϖ τ со ста ви м ли не йную ко мб и на ци ю r

U H = ∑γ k uτk .

(65)

k =1

По луч е нно е р е ше ни е U H на зыва ю т о тко р р е кти р о ва нным р е ше ни е м и ли р е ше ни е м, экстр а по ли р о ва нным по Ри ч а р дсо ну. По гр е шно сть р е ше ни я U H и ме е т по р ядо к τ r : max U H − u = O (τ r ) .

(66)

ϖτ

С тр о го е

до ка за те льство

пр и ве де нно го

выше

утве р ж де ни я о

по р ядке

то ч но сти U H мо ж но на йти в кни ге [4]. За ме ч а ни е о б о це нке по гр е шно сти . Пустьо пр е де ле но р е ше ни е за да ч и Ко ши с по сто янным ша го м H на се тке ϖ τ экстр а по ляци о нным ме то до м Ри ч а р дсо на по р ядка r . Т о е сть выб р а ны r це лых ч и се л 0 < N 1 < ... < N r , по стр о е ны се тки ϖ τ k , k = 1,2,..., r , и ме то до м Э йле р а по луч е ныр е ше ни я u τ1 , u τ 2 ,..., u τ r , и з r

ко то р ых по стр о е на ли не йна я ко мб и на ци я U H = ∑ γ k u τ (65), ко то р а я k

k =1

являе тся ч и сле нным р е ше ни е м по р ядка r . Для о це нки по гр е шно сти р е ше ни я U H по ступи м сле дую щ и м о б р а зо м. В о зьме м це ло е ч и сло N r +1 ,

удо вле тво р яю щ е е

усло ви ю

N r < N r +1 ,

и

на

се тке

ϖ τ r +1

пр о и нте гр и р уе м ме то до м Э йле р а е щ е р а з и схо дную за да ч у Ко ши . Да ле е по уж е выч и сле нным р е ше ни ям и вно вь по луч е нно му р е ше ни ю u τ , т.е . и схо дя и з на б о р а р е ше ни й u τ , u τ ,..., u τ , u τ , r +1

1

2

r

r +1

22 r +1

по стр о и м но вую ли не йную ко мб и на ци ю U H = ∑ γ k u τ

k

ти па (65),

k =1

ко то р а я б уде т являться уж е

р е ше ни е м

(r + 1) -о го

по р ядка .

Оч е ви дно , ч то в узла х се тки ϖ τ а б со лю тна я ве ли ч и на р а зно сти U H и U H е сть ве ли ч и на по р ядка O(τ r ) и е е зна ч е ни е да е т гла вную ч а сть по гр е шно сти пр и б ли ж е нно го р е ше ни я U H . 3.2. По ст ро е ни ене п ре ры вно го п ри б ли же нно го ре ше ни я Отме ти м о дно и з не удо б ств пр и ме не ни я экстр а по ли р о ва ни я по Ри ч а р дсо ну. Отко р р е кти р о ва нно е

р е ше ни е

о тыски ва е тся в то ч ка х, являю щ и хся о б щ и ми

узла ми все х се то к, ко то р ых мо ж е т о ка за ться ма ло . Кр о ме то го , пр и б ли ж е нно е р е ше ни е мо ж е тпо тр е б о ва ться в то ч ка х, во о б щ е не являю щ и хся узла ми се то к. Для та ки х то ч е к во змо ж но пр и ме не ни е и нте р по ляци и спла йна ми , мно го ч ле на ми и т.п. Пр о сте йши й выхо д – пр и ме не ни е и нте р по ляци о нных по ли но мо в Л а гр а нж а . Пр о до лж и м пр и б ли ж е нно е р е ше ни е u τ , о пр е де ле нно е на се тке ϖ τ , на ве сь k

k

о тр е зо к [0,1] сле дую щ и м о б р а зо м. В о зьме м пр о и зво льный эле ме нта р ный о тр е зо к [t j , t j +1 ] се тки ϖ τ k . Ре ше ни е u τ k о пр е де ле но ли шь на ко нца х это го о тр е зка в узла х t j , t j +1 . В ыб е р е м до по лни те льно к ни м е щ е r − 2 б ли ж а йши х узло в се тки ϖ τ k и на

о тр е зке

[t j , t j +1 ]

о пр е де ли м

не пр е р ывно е

пр и б ли ж е нно е

u τ k (t ) ,

р е ше ни е

со впа да ю щ е е с и нте р по ляци о нным по ли но мо м Л а гр а нж а , по стр о е нным по r выб р а нным узла м. В р е зульта те и нте р по ляци и по все м эле ме нта р ным о тр е зка м мы по луч и м не пр е р ывную функци ю , со впа да ю щ ую с u τ в узла х се тки ϖ τ . Б уде м k

k

u τ k (t ) .

о б о зна ч а ть е е

И спо льзуе м по стр о е нные

и нте р по лянты u τ (t ) k

для

выч и сле ни я пр и б ли ж е нно го не пр е р ывно го о тко р р е кти р о ва нно го р е ше ни я U H (t ) в фо р ме r

U H (t ) = ∑ γ k u τ k (t ), k =1

t ∈ [0,1],

где ве са γ k те ж е , ч то и в ли не йно й ко мб и на ци и (65).

(67)

23 По гр е шно сть не пр е р ывно го о тко р р е кти р о ва нно го р е ше ни я U H (t ) , та к ж е ка к и по гр е шно сть се то ч но го р е ше ни я U H , и ме е тпо р ядо к τ r : max U H (t ) − u (t ) = O (τ r ) .

(68)

[ 0 ,1]

За ме ч а ни е о ко эффи ци е нта х и нте р по ляци о нных по ли но мо в о тко р р е кти р о ва нно го р е ше ни я. Ка ж дый и з по стр о е нных и нте р по лянто в u τ (t ) е сть не пр е р ывна я k

функци я, являю щ а яся на ка ж до м и з эле ме нта р ных о тр е зко в со о тве тствую щ е й сте пе ни

се тки

ϖ τk

и нте р по ляци о нным

r − 1 . Отко р р е кти р о ва нно е

р е ше ни е

по ли но мо м - это та кж е

UH

не пр е р ывна я функци я, являю щ а яся по ли но мо м сте пе ни r − 1 на ка ж до м и з эле ме нта р ных о тр е зко в са мо й ме лко й се тки ϖ τ . r

Н е тр удно

ви де ть,

по ли но мо в

ч то

ко эффи ци е нты

о тко р р е кти р о ва нно го

эле ме нта р ных

уч а стко в

ко мб и на ци ями

се тки

р е ше ни я ϖτ r

со о тве тствую щ и х

и нте р по ляци о нных на

ка ж до м

являю тся

из

ли не йными

ко эффи ци е нто в

и нте р по ляци о нных по ли но мо в для u τ с те ми ж е ко эффи ци е нта ми , k

ч то и ли не йна я ко мб и на ци я (67). За ме ч а ни е о б и нте р по ляци о нных мно го ч ле на х Л а гр а нж а . Если f ( x) ∈ C r [0,1] и и зве стны зна ч е ни я f ( x j ) в r р а вно о тсто ящ и х то ч ка х x j = x1 + ( j − 1)h о тр е зка [0,1] , то для и нте р по ляци о нно го по ли но ма Л а гр а нж а r

r

i =1

j ≠i j =1

Lr −1 ( x ) = ∑ f ( xi )∏

x − xj

(69)

xi − x j

спр а ве дли во со о тно ше ни е f ( x) − Lr −1 ( x) =

1 (r ) f (ξ )ϖ r ( x) , 2! r

где x ∈ [ x1 , xr ], ξ ∈ [0,1], ϖ r ( x) = ∏ ( x − x j ) . j =1

Для ϖ r (x) и ме е тме сто о це нка

24 ϖ r ( x) ≤

hr (r − 1)! . 4

С ле до ва те льно , f ( x) − Lr −1 ( x) ≤

hr max f ( r ) (ξ ) . r ξ ∈[ 0 ,1] 4

(70)

За ме ч а ни е о р е ше ни и си сте мыур а вне ни й (64). 1 i

Если в си сте ме ур а вне ни й (64) τ i = , то р е ше ни е мо ж но выпи са ть в ви де [4] γk =

(−1) r − k k r , k = 1,2,..., r . k!(r − k )!

(71)

Если в си сте ме ур а вне ни й (64) τ i =

1 , то р е ше ни е мо ж но выпи са ть i2

в ви де [4] γk =2

(−1) r −k k 2 r , k = 1,2,..., r . (r + k )!(r − k )!

4. Пра к т и че ск и е сп о со б ы

о це нк и

(72)

п о гре ш но ст и

явны х

о дно ш а го вы х м е т о до в ре ше ни я за да чи К о ш и Пр и ч и сле нно м р е ше ни и за да ч и Ко ши (1),(2) по гр е шно сть (о ши б ка ) р е зульта то в скла дыва е тся и з тр е х со ста вляю щ и х: по гр е шно сть и схо дных да нных (за да ни е на ч а льно го зна ч е ни я y0 с не ко то р о й о ши б ко й), по гр е шно сть ме то да р е ше ни я (по гр е шно сть ди скр е ти за ци и ) и по гр е шно сть о кр угле ни й. Да ле е мы б уде м по ла га ть, ч то зна ч е ни я y0 в (2) за да ныве р но . По гр е шно сть ме то да – это сво йство и спо льзуе мо го ме то да . Если б ы все а р и фме ти ч е ски е

выч и сле ни я выпо лняли сь то ч но , то

по лна я, и ли о б щ а я,

по гр е шно сть б ыла б ы р а вна по гр е шно сти ме то да , т.е . по гр е шно сть ме то да являе тся не устр а ни мо й по гр е шно стью . В а ж но по ни ма ть, ч то по гр е шно сть ме то да мо ж но о це ни ва ть дво яко – ло ка льно и гло б а льно . Л о ка льна я по гр е шно сть– это о ши б ка , сде ла нна я на да нно м

25 ша ге пр и усло ви и , ч то пр е дыдущ и е зна ч е ни я р е ше ни я то ч ны и не т о ши б ки о кр угле ни я. По ясни м ска за нно е . Пусть y n (x) – р е ше ни е за да ч и Ко ши  dy n ( x) = f (t , y n ( x) )   dx  y n ( x n ) = y n ,

(72)

то е сть y n (x) являе тся р е ше ни е м и схо дно го ур а вне ни я (1), о пр е де ле нным не на ч а льным усло ви е м (2) в то ч ке x0 , а зна ч е ни е м выч и сле нно го р е ше ни я y n в то ч ке xn . Л о ка льна я по гр е шно сть

ε n е сть р а зно сть ме ж ду то ч ным р е ше ни е м

y n ( x n + h) и выч и сле нным р е ше ни е м y n+1 , о пр е де ляе мыми о дни ми и те ми ж е

да нными в то ч ке xn : ε n = y n ( x n +1 ) − y n +1 .

(73)

По дч е р кне м, ч то в пр и ве де нно м выр а ж е ни и (73) y n+1 –это выч и сле нно е ка ки м-ли б о пр и б ли ж е нным ме то до м зна ч е ни е в то ч ке xn +1 в пр е дпо ло ж е ни и о б о тсутстви и о ши б о к о кр угле ни я. Л о ка льна я по гр е шно сть ме то до в ти па Рунге Кутта и ме нно в та ко м а спе кте уж е о б суж да ла сь в п.1.1 (см. фо р мулу (8)). Г ло б а льна я по гр е шно сть – это р а зно сть ме ж ду то ч ным р е ше ни е м за да ч и ко ши (1),(2) в то ч ке

x n , о пр е де ляе мым на ч а льным зна ч е ни е м в то ч ке

x0 , и

выч и сле нным р е ше ни е м y n (все о ши б ки о кр угле ни я и гно р и р ую тся): en = y ( x n ) − y n .

(74)

За ме ч а ни е 1. Пусть за да ч а Ко ши (1),(2) р е ша е тся ме то до м Э йле р а (9) и пр а ва я ч а сть ур а вне ни я (1) не за ви си т о т y . Т о гда то ч но е р е ше ни е y(x) x

е сть пр о сто и нте гр а л y ( x) = y0 + ∫ f (τ )dτ и ме то д Э йле р а фа кти ч е ски x0

со впа да е т с ч и сле нным ме то до м и нте гр и р о ва ни я по фо р мула м ле вых пр ямо уго льни ко в: n −1

y n = y 0 + ∑ hk f ( x k ) . k =0

Л о ка льна я по гр е шно сть ε n на о дно м по ди нте р ва ле р а вна

(75)

26 εk =

xk +1

∫ f (τ )dτ − h

k

f ( xk ) ,

(76)

xk

гло б а льна я по гр е шно сть р а вна ek =

xn

∫

n −1

f (τ )dτ − ∑ hk f ( x k ) ,

(77)

k =0

x0

С р а вни ва я со о тно ше ни я (76),(77), ви ди м, ч то в р а ссма тр и ва е мо м случ а е

гло б а льна я

по гр е шно сть

р а вна

сумме

ло ка льных

по гр е шно сте й ме то да : n −1

en = ∑ ε n .

(78)

k =0

В

о б щ е м случ а е , ко гда пр а ва я ч а сть ур а вне ни я (1) за ви си т о т двух

пе р е ме нных x и y(x) , ло ка льна я по гр е шно сть ме то да на лю б о м по ди нте р ва ле за ви си т о т зна ч е ни й р е ше ни я, выч и сле нных на

пр е дыдущ и х и нте р ва ла х.

В сле дстви е это го гло б а льна я по гр е шно сть не б уде т р а вна сумме ло ка льных по гр е шно сте й. 2.

Пусть на все м о тр е зке и нте гр и р о ва ни я за да ч и Ко ши (1),(2) о т

на ч а льно го x0 до ко не ч но го xn ша г по сто яне н и р а ве н h . Т о гда о б щ е е ч и сло ша го в N = ( xn − x0 ) h . Пр е дпо ло ж и м, ч то выч и сле ни е пр и б ли ж е нно го р е ше ни я пр о во ди тся не ко то р ым явным ме то до м ти па Рунге -Кутта по р ядка s , ч то в со о тве тстви и с о пр е де ле ни е м (8) о зна ч а е т, ч то ло ка льна я по гр е шно сть ме то да е сть ве ли ч и на по р ядка O(h s +1 ) . Г ло б а льна я по гр е шно сть e N в ко не ч но й то ч ке и нте гр и р о ва ни я xn , гр уб о го во р я, мо ж е т б ыть пр е дста вле на в ви де суммы N сла га е мых, ка ж до е и з ко то р ых и ме е т по р ядо к O(h s +1 ) , по это му гло б а льна я по гр е шно сть и ме е тпо р ядо к N ⋅ O(h s +1 ) = O(h s ) : e N = O (h s ) .

За ме ч а ни е 3. По смо тр и м,

(79) ч то

пр о и схо ди т с

ло ка льно й

и

гло б а льно й

по гр е шно стью ме то да Э йле р а ( s = 1) пр и уме ньше ни и дли ны ша га . ~

Пусть дли на ша га уме ньши ла сь в 2 р а за : h = h 2 , то гда ло ка льна я по гр е шно сть ε~k уме ньша е тся пр и ме р но в 2s+1=4 р а за . Н о та к ка к

27 для до сти ж е ни я ко нца о тр е зка и нте гр и р о ва ни я те пе р ь по тр е б уе тся вдво е б о льше ша го в, то гло б а льна я о ши б ка уме ньши тся то лько в 2s=2 р а за . В ли яни е по гр е шно сти о кр угле ни я на пр и б ли ж е нные зна ч е ни я р е ше ни я за да ч и Ко ши (1),(2) пр о и ллю стр и р уе м на пр и ме р е ме то да Э йле р а с по сто янным ша го м. Пусть на ка ж до м ша ге ме то да Э йле р а де ла е тся на и худша я во змо ж на я о ши б ка о кр угле ни я E y k +1 = y k + hf ( x k , y k ) + E ,

(80)

то гда по лна я о ши б ка всле дстви е о кр угле ни й р а вна NE . С умми р уя гло б а льную по гр е шно сть ме то да (408) и по гр е шно сти о кр угле ни я, по луч а е м, ч то о б щ а я по гр е шно сть R R ≅ O(h) + NE ≤ ch + E ( x n − x0 ) h ,

(81)

где ко нста нта c не за ви си т о т зна ч е ни я ша га h . И з по сле дне го со о тно ше ни я сле дуе т, ч то сущ е ствуе то пти ма льно е зна ч е ни е ша га hоп т , ко то р о е ми ни ми зи р уе т о б щ ую по гр е шно сть R hоп т ≅

x n − x0 ⋅E . c

(82)

За ме ч а ни е 4. С пр а ве дли во сти р а ди за ме ти м, ч то в ме то де

Э йле р а о б щ а я

по гр е шно сть, на ко пи вша яся о т о кр угле ни й, на са мо м де ле ве де т се б я ка к

N E , по ско льку по гр е шно сть о кр угле ни й являе тся ско р е е

случ а йно й ве ли ч и но й, ч е м ко нста нто й, ка к мы пр е дпо ло ж и ли в пр е дыдущ и х р а ссуж де ни ях. 4.1. Оце нк а гло б а льно й п о гре ш но ст и п о п ра ви лу Рунге Пусть за да ч а Ко ши (1),(2) р е ша е тся ка ки м-ли б о явным ме то до м ти па Рунге Кутта по р ядка s на се тке с по сто янным ша го м h . Л о ка льную по гр е шно сть ме то да (8) за пи ше м в ви де y ( x n +1 ) − y n+1 = ψ ( x n , y n )h s +1 + O (h s + 2 ) ,

где ψ ( x n , y n ) =

1 ϕ q( s +1) (0) x = xn . ( s + 1)! y = yn

(83)

28 Если по гр е шно сть на ч а льно го усло ви я и по гр е шно сти о кр угле ни й сч и та ть р а вными нулю , то для гло б а льно й по гр е шно сти ме то да

εn

и ме е т ме сто

а си мпто ти ч е ско е пр е дста вле ни е [5] ε n = z ( x n )h s + O(h s +1 ) ,

(84)  xn ∂f  (τ , y (τ ))dτ dξ .  ξ ∂y 

xn

где z ( xn ) = ∫ψ (ξ , y (ξ )) exp ∫ xo

Пр е не б р е га я ч ле но м O(h s +1 ) в о це нке (84), за пи ше м фо р мулу для гло б а льно й по гр е шно сти ε n в ви де ε n ≅ z ( xn )h s .

(85)

Да ле е б уде м пр е дпо ла га ть, ч то р а ссма тр и ва ю тся то лько та ки е за да ч и Ко ши , для ко то р ых гло б а льна я по гр е шно сть ε n в ви де (85) до ста то ч но а де ква тно о тр а ж а е тпо лную по гр е шно сть Rn пр и б ли ж е нно го ме то да : Rn ≅ z ( x n ) h s .

(86)

Н а пр е дста вле ни и по лно й по гр е шно сти в ви де (86) о сно выва е тся ме то д Рунге о це нки гло б а льно й по гр е шно сти . С о гла сно ме то ду Рунге , пр и б ли ж е нно е р е ше ни е за да ч и Ко ши в не ко то р о й то ч ке xn выч и сляе тся два ж ды с р а зными ша га ми (о б ыч но с ша го м h и h 2 ), но о дни м и те м ж е ме то до м. Два по луч е нных пр и б ли ж е нных р е ше ни я по зво ляю та по сте р и о р но суди ть о по гр е шно сти р е ше ни я. Пусть в то ч ке xn выч и сле но р е ше ни е y n с ша го м h ; по гр е шно сть это го р е ше ни я на о сно ва ни и (86) р а вна y ( xn ) − y n ≅ z ( x n )h s .

(87)

Ре ше ни е , выч и сле нно е по то й ж е фо р муле с ша го м h 2 , о б о зна ч и м в то ч ке x n ч е р е з y n . По гр е шно сть р е ше ни я y n о пять о це ни м по со о тно ше ни ю (86): s

h y ( x n ) − y n ≅ z ( x n )  . 2

(88)

И склю ч и в и з (87-88) зна ч е ни е то ч но го р е ше ни я y ( xn ) , по луч и м z ( xn ) ≅

yn − yn 1  h s 1 − s  2

  

.

(89)

29 Т е пе р ь о це нки по гр е шно сти для пр и б ли ж е нных зна ч е ни й y n , y n пр и ни ма ю т ви д 1   Rn = y ( x n ) − y n ≅ ( y n − y n ) 1 − s  ,  2 

(

)

Rn = y ( x n ) − y n ≅ ( y n − y n ) 2 s − 1 .

(90) (91)

За ме ти м, ч то по луч е нные пр и б ли ж е нные зна ч е ни я y n , y n мо ж но уто ч ни ть, по ло ж и в y ( x n ) ≅ y n + Rn

(92)

y ( x n ) ≅ y n + Rn .

(93)

и ли

Пр и это м по р ядо к то ч но сти уве ли ч и ва е тся на е ди ни цу y ( x n ) − y n = O ( h s +1 ) ,

(94)

но во пр о с о зна ч е ни и по гр е шно сти уто ч не нно го р е ше ни я о ста е тся о ткр ытым. За ме ч а ни е 1. Пр и ве де нные выше р а ссуж де ни я спр а ве дли вы и в то м случ а е , ко гда се тки с р а зным ч и сло м узло в не р а вно ме р ны, но и х мо ж но о пи са ть функци ями h(x) , о тно ше ни е ко то р ых h ( x) h ( x) = r = const . Об ыч но в ка ч е стве р е ше ни я в то ч ке xn пр и ни ма ю тзна ч е ни е y n ка к б о ле е то ч но е по ср а вне ни ю с y n . За ме ч а ни е 2. Если за да на ма кси ма льно до пусти ма я по гр е шно сть ε и о ка за ло сь, ч то R > ε , то не о б хо ди мо по вто р и ть выч и сле ни я с б о ле е ме лки м ша го м. В е ли ч и ну но во го ша га hε мо ж но о пр е де ли ть, по ло ж и в z ( x n ) hεs = ε ,

о ткуда на хо ди м hε = s ε z ( x n ) .

(95)

По дста вляя (89) и (91) в по сле дне е выр а ж е ни е , по луч а е м hε =

h (2 s − 1)ε h ε . = s s 2 yn − yn 2 R n

(96)

30 За ме ч а ни е 3. И з фо р мулы (96) сле дуе т, ч то пр и R > ε но во е зна ч е ни е ша га уме ньша е тся, пр и R < ε – уве ли ч и ва е тся. Э ти м о б сто яте льство м по льзую тся то гда , ко гда на о тр е зке и нте гр и р о ва ни я за да ч и Ко ши е сть не ско лько

ко нтр о льных то ч е к, в ко то р ых по гр е шно сти

пр и б ли ж е нно го

р е ше ни я до лж ны не

пр е во схо ди ть на пе р е д

за да нных до пусти мых по гр е шно сте й. За ме ч а ни е 4. И де я о пр е де ле ни я ша га и нте гр и р о ва ни я, пр и ко то р о м до сти га е тся за да нна я то ч но сть, по двум пр и б ли ж е нным зна ч е ни ям р е ше ни я мо ж е т б ыть и спо льзо ва на не пр и б ли ж е нно го во спо льзо ва ться двухсто р о нни ми

р е ше ни я по пр и

то лько пр и дво йно м пе р е сч е те пр а ви лу Рунге . Та к, е ю

ч и сле нно м

ме то да ми

р е ше ни и

Рунге -Кутта .

мо ж но

за да ч и Пусть

Ко ши по р ядо к

двухсто р о нне го ме то да р а ве н S . Т о гда с уч е то м выр а ж е ни й для ло ка льных по гр е шно сте й ме то да на ша ге (39) за пи ше м гла вные ч а сти по лных по гр е шно сте й в ви де y ( x n ) − y n+ ≅ Rn+ = γz ( x n )h s , y ( x n ) − y n− ≅ Rn− = −γz ( x n )h s ,

о ткуда 2γz ( x n ) h s = y n− − y n+ .

В е ли ч и ну но во го ша га hε мо ж но о пр е де ли ть, е сли по ло ж и ть γz ( x n ) hεs = ε . 2

Отсю да на хо ди м hε = h

За ме ч а ни е 5. В

2ε y n− y n+

.

(97)

случ а е р е ше ни я си сте мы ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й (35)

пр а ви ло Рунге за пи сыва е тся для ка ж до й и з ко мпо не нт р е ше ни я y 1 , y 2 ,..., y M

31

( ≅ (y

) 1 − 1  , l = 1,2,..., M ,  2  − y ) (2 − 1), l = 1,2,..., M .

Rnl = y l ( xn ) − y nl ≅ y nl − y nl Rnl

= y ( xn ) − l

y nl

l n

l n

s

s

4.2. Оце нк а ло к а льно й п о гре ш но ст и п о п ра ви лу Р унге М е то д Рунге

пр а кти ч е ско й о це нки ло ка льно й по гр е шно сти являе тся

на и б о ле е р а спр о стр а не нным, хо тя и не са мым эффе кти вным ме то до м. Он за клю ч а е тся в то м, ч то по о дно й и то й ж е выб р а нно й выч и сли те льно й фо р муле сч и та ю тся два пр и б ли ж е ни я к р е ше ни ю в о дно й то ч ке , но с р а зными ша га ми . С р а вне ни е

эти х

двух

пр и б ли ж е нных

зна ч е ни й

по зво ляе т

по луч и ть

а по сте р и о р ную о це нку по гр е шно сти . Об о зна ч и м ч е р е з y1 р е ше ни е , по луч е нно е по выб р а нно й р а сч е тно й фо р муле ти па (4),(5) в то ч ке x1 = x0 + h . Г ла вный ч ле н ло ка льно й по гр е шно сти о б о зна ч и м ч е р е з ψ ( x0 , y 0 )h s +1 , по дч е р кнув те м са мым, ч то р е ше ни е по луч е но и з то ч ки x0 : y ( x0 + h) − y1 = ψ ( x0 , y 0 ) h s +1 .

(98) h 2

Об о зна ч и м ч е р е з yˆ р е ше ни е , по луч е нно е по пр а ви лу (4,5) в то ч ке x0 + , гла вный ч ле н по гр е шно сти ко то р о го р а ве н h  h y x 0 +  − yˆ = ψ ( x0 , y 0 )  2  2

И з то ч ки x0 +

s +1

.

(99)

h выч и сли м пр и б ли ж е ни е 2

y1 к р е ше ни ю в то ч ке

x0 + h с

по гр е шно стью h  h   yˆ ( x0 + h) − y1 = ψ  x0 + , yˆ   2  2  

s +1

,

(100)

где yˆ ( x) – то ч но е р е ше ни е ур а вне ни я (1), удо вле тво р яю щ е е усло ви ю h  yˆ  x +  = yˆ . 2 

32 Если в ка ч е стве пр и б ли ж е ни я к р е ше ни ю в то ч ке x пр и нять y1 , то со гла сно пр а ви лу Рунге [6] гла вна я ч а сть по гр е шно сти ме то да на двух по сле до ва те льных ша га х h 2 р а вна y ( x0 + h) − y1 = ( y1 − y1 ) ( 2 s − 1) .

(101)

В ыч и сле нно е пр и б ли ж е нно е зна ч е ни е y1 мо ж но уто ч ни ть, пр и б а ви в к не му ве ли ч и ну гла вно го ч ле на по гр е шно сти , то е сть по ло ж и в y ( x1 ) ≅ y1 = y1 + ( y1 − y1 ) (2 s − 1) .

(102)

Т о гда y ( x1 ) − y1 = O(h s + 2 ) .

В

да нно м спо со б е

(103) о це нки по гр е шно сти фо р мула

Рунге -Кутта (4,5)

пр и ме няе тся тр и р а за и тр е б уе тся 3q − 1 выч и сле ни й пр а во й ч а сти

f ( x, y )

ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я (1), по это му пр и сло ж ных и тр удо е мки х для выч и сле ни я пр а вых ч а стях это тспо со б вле ч е тб о льши е выч и сли те льные за тр а ты. 4.3. Оце нк а ло к а льно й п о гре ш но ст и на о сно век о м б и на ци и м е т о до в ра зно го п о рядк а т о чно ст и Э то т ме то д, та к ж е ка к и ме то д о це нки по гр е шно сти Рунге , о сно ва н на ср а вне ни и двух пр и б ли ж е нных зна ч е ни й р е ше ни я в о дно й то ч ке , то лько эти зна ч е ни я выч и сляю тся по фо р мула м ти па (4),(5) р а зных по р ядко в то ч но сти с о дни м и те м ж е ша го м. Пусть выб р а ны два ме то да ти па Рунге -Кутта р а зных по р ядко в. Оди н ме то д по р ядка p : r

y1p = y 0 + ∑ pi k i ,

(104)

i =1

где i −1   k1 = hf ( x0 , y 0 ), k i = hf  x0 + α i h, y 0 + ∑ β ij k j  , j =1  

др уго й – по р ядка s : ~ r

~ y = y0 + ∑ ~ pi k i , s 1

i =1

(105)

33 где i −1  ~ ~ ~ ~  k1 = hf ( x0 , y 0 ), k i = hf  x0 + α i h, y 0 + ∑ β ij k j  . j =1  

Пусть p > s, r ≥ ~r . То гда о це нка ло ка льно й по гр е шно сти ρ s фо р мулы (105) и ме е тви д ρ s = y1p − y1s + O (h p +1 )

и ли , о ста вляя то лько ч ле ныгла вно го по р ядка , ρ s ≅ y1p − y1s .

(106)

По луч е нна я о це нка по гр е шно сти (106) тр е б уе т ~r + r − 1 выч и сле ни й пр а во й ч а сти ур а вне ни я (1). Если ко эффи ци е нтыв фо р мула х (104) и (105) та ко вы, ч то ~ r, α i = α~i , β ij = β ij , i = 1,2,..., ~

(107)

~

то k i = k i , i = 1,2,..., ~r , и для ло ка льно й по гр е шно сти (13?) по луч а е тся выр а ж е ни е ви да r

ρ s ≅ y1p − y1s = ∑ q i k i .

(108)

i =1

где

qi = pi − ~ pi , i = 1,2,..., ~ r , qi = pi , i = ~ r + 1,..., r

В е ли ч и на r

E = ∑ qi k i

(109)

i =1

на зыва е тся ко нтр о льным ч ле но м. И спо льзо ва ни е ко мб и на ци й

спе ци а льно

ко нтр о льных ч ле но в для

по до б р а нных фо р мул по зво ляе т уме ньши ть по

ср а вне ни ю с пр а ви ло м Рунге (102) и о це нко й (106) ко ли ч е ство выч и сле ни й пр а во й ч а сти ур а вне ни я (1). Пр и ме р 1. Ко мб и на ци я не за ви си мых фо р мул. Для ме то да тр е тье го по р ядка ( s = 3, ~r = 3) y1 = y 0 +

1 (K 1 + 3K 3 ) , 4

1 1  2 2    K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf  x0 + h, y 0 + K 1 , K 3 = hf  x0 + h, y 0 + K 2  , 3 3  3 3   

(110)

фо р мула

ко то р о го

34 пр и на дле ж и т двухпа р а ме тр и ч е ско му се ме йству (27) и 1 3

2 3

со о тве тствуе т зна ч е ни е м α 2 = , α 3 = , о ста то ч ный ч ле н о це ни м с по мо щ ью ме то да тр е х во сьмых (33) ч е тве р то го по р ядка ( p = 4, r = 4) y1 = y 0 +

1 ( K 1 + 3K 2 + 3K 3 + K 4 ) , 8

(111)

1 1   K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf  x 0 + h, y 0 + K1 , 3 3   2 1   K 3 = hf  x0 + h, y 0 − K1 + K 2 , K 4 = hf ( x0 + h, y 0 + K 1 − K 2 + K 3 ) . 3 3  

За ме ч а ни е .

Если о це ни ва ть по гр е шно сть ме то да (110) по пр а ви лу Рунге , то тр е б уе тся 8 о б р а щ е ни й к пр а во й ч а сти f ( x, y ) вме сто пяти по р а ссмо тр е нно му в пр и ме р е 1 ме то ду.

Пр и ме р 2. Ко мб и на ци я спе ци а льно по до б р а нных фо р мул. М е то ды(30) y1 = y 0 +

1 (K 1 + 4 K 2 + K 3 ) , 6

(112)

K  h  K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf  x 0 + , y 0 + 1 , K 3 = hf ( x0 + h, y 0 − K 1 + 2 K 2 ) , 2 2  

и (22) y1 = y 0 + K 2 ,

(113)

K  h  K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf  x0 + , y 0 + 1  , 2 2  

удо вле тво р яю тусло ви ю (107), пр и это м p = 3, s = 2, r = 3, ~r = 2 . Ко нтр о льный ч ле н (109) за пи сыва е тся в ви де E=

1 (K 1 − 2 K 2 + K 3 ) 6

(114)

и и ме е тпо р ядо к O(h 3 ) . Пр и ме р 3. Ко мб и на ци я спе ци а льно по до б р а нных фо р мул. С та нда р тный ме то д Рунге -Кутта ч е тве р то го по р ядка (32) y1 = y 0 +

1 (K1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) 6

(115)

35 K  K  h h   K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf  x0 + , y 0 + 1 , K 3 = hf  x 0 + , y 0 + 2 , 2 2  2 2    K 4 = hf ( x 0 + h, y 0 + K 3 ),

и ме то д вто р о го

по р ядка

(22) удо вле тво р яю т усло ви ю

(107), пр и это м

p = 4, s = 2, r = 4, ~ r = 2 . Ко нтр о льный ч ле н (109) за пи сыва е тся в ви де E=

1 (K1 − 4 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) 6

(116)

и и ме е тпо р ядо к O(h 3 ) . За ме ч а ни е .

Если о це нку по гр е шно сти ме то да (22) пр о во ди ть по пр а ви лу Рунге , то

по тр е б уе тся пять о б р а щ е ни й к пр а во й ч а сти и схо дно го

ур а вне ни я. В

пр и ме р е

2 для та ко й о це нки до ста то ч но

тр е х

о б р а щ е ни й, в пр и ме р е 3 – двух о б р а щ е ни й к пр а во й ч а сти . 4.4. Вло же нны ем е т о ды о це нк и ло к а льно й п о гре ш но ст и В ло ж е нные ме то дыо це нки ло ка льно й по гр е шно сти р е ше ни я за да ч и Ко ши – это ме то ды, о сно ва нные на ко мб и на ци и пр и б ли ж е нных ме то до в по р ядка p и p + 1 . Ка к и в пр е дыдущ е м пункте , два пр и б ли ж е нных зна ч е ни я р е ше ни я в о дно й

то ч ке по зво ляю т по луч и ть по гр е шно сть и нте гр и р о ва ни я ме то да по р ядка p . Н о вло ж е нные ме то ды – это та ки е ме то ды, в ко то р ых ме то д p -о го по р ядка по луч а е тся ка к “по б о ч ный пр о дукт” ме то да

( p + 1) -о го

по р ядка . Если

в

пр е дыдущ е м пункте б р а ли сь два са мо сто яте льных ме то да ти па Рунге -Кутта (4),(5), в ко то р ых ко эффи ци е нты α i , β ij , p qi о пр е де ляли сь и з усло ви я ми ни мума по гр е шно сти на ша ге , то во вло ж е нно м ме то де б е р е тся о ди н ме то д ти па Рунге Кутта по р ядка p + 1 . Для это го ме то да выч и сляю тся не о б хо ди мые зна ч е ни я k i (h) и с и х по мо щ ью по дб и р а е тся но вый пр и б ли ж е нный ме то д по р ядка p , ко то р ый, е сте стве нно , уж е не ми ни ми зи р уе т по гр е шно сть на ша ге и в это м смысле не являе тся ме то до м Рунге -Кутта . А лге б р а по луч е ни я та ки х ме то до в до ста то ч но гр о мо здка , о со б е нно для ме то до в по р ядка

p > 4 , о дна ко

за 1967-1969 го ды

36 И нгле ндо м, С и нта ни и Ф е льб е р го м б ыло по луч е но мно ж е ство та ки х ме то до в. Н и ж е пр и ве де ныпр о сте йши е пр и ме р ывло ж е нных ме то до в. За ме ч а ни е .

И но гда в ка ч е стве “по б о ч но го пр о дукта ” б е р ут ме то д по р ядка ме ньше , ч е м

В

p.

это м случ а е

выч и сли те льные

фо р мулы

зна ч и те льно упр о щ а ю тся (см. пр и ме р 1). Пр и ме р 1. С та нда р тный ме то д Рунге -Кутта ч е тве р то го по р ядка (32) y1 = y 0 +

1 (K1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) 6

(117)

по зво ляе то це ни ть ме то д вто р о го по р ядка y1 = y 0 +

1 (− K1 + 2 K 2 + 2 K 3 − K 4 ) . 2

(118)

Ко нтр о льный ч ле н за пи сыва е тся в ви де E=

2 (K 1 − K 2 − K 3 − K 4 ) , 3

(119)

и ме е тпо р ядо к O(h 3 ) и и зве сте н ка к ко нтр о льный ч ле н Его р о ва . Пр и ме р 2. М е то д Рунге -Кутта тр е тье го по р ядка (30) y1 = y 0 +

1 (K 1 + 4 K 2 + K 3 ) 6

(120)

по зво ляе то це ни ть ме то д вто р о го по р ядка (20) y1 = y 0 +

1 (K1 + K 3 ) . 2

(121)

Ко нтр о льный ч ле н и ме е тпо р ядо к O(h 3 ) и за пи сыва е тся в ви де E=−

1 (K 1 − 2 K 2 + K 3 ) . 3

(122)

Пр и ме р 3. Пяти ч ле нна я

фо р мула

ме то да

Рунге -Кутта

ч е тве р то го

по р ядка ,

пр е дло ж е нна я М е р со но м, y1 = y 0 +

где

1 (K 1 + 4 K 4 + K 5 ) , 6

(123)

37 K  K K  h h   K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf  x0 + , y 0 + 1 , K 3 = hf  x0 + , y 0 + 1 + 2 , 3 3  3 6 6    K K h 3  3    K 4 = hf  x 0 + , y 0 + 1 − K 3 , K 5 = hf  x0 + h, y 0 + 1 − K 3 + 2 K 4  , 2 8 8  2 2   

(124)

по зво ляе то це ни ть ме то д тр е тье го по р ядка y1 = y 0 +

1 (K 1 + 3K 3 + 4 K 4 + 2 K 5 ) . 10

(125)

Ко нтр о льный ч ле н по р ядка O(h 4 ) в да нно м случ а е за пи сыва е тся в ви де E=

1 (2 K1 − 9 K 3 + 8K 4 − K 5 ) . 30

(126)

Пр и ме р 4. Ш е сти ч ле нна я фо р мула ме то да Рунге -Кутта пято го по р ядка , по стр о е нна я И нгле ндо м, y1 = y 0 +

1 (14 K1 + 35K 4 + 162 K 5 + 125K 6 ) , 336

(127)

где K  K K  h h   K 1 = hf ( x0 , y 0 ), K 2 = hf  x0 + , y 0 + 1 , K 3 = hf  x0 + , y 0 + 1 + 2 , 2 2  2 4 4    2 7 10 1   K 4 = hf ( x0 + h, y 0 − K 2 + 2 K 3 ), K 5 = hf  x0 + h, y 0 + K1 + K2 + K 4 , (128) 3 27 27 27   h 1  (28K1 − 125K 2 + 546 K 3 + 54 K 4 + 378K 5 ) , K 6 = hf  x 0 + h, y 0 − 5 625  

да е то це нку для ме то да ч е тве р то го по р ядка y1 = y 0 +

1 (K 1 + 4 K 3 + K 4 ) 6

(129)

в ви де ко нтр о льно го ч ле на по р ядка O(h 5 ) E=

1 (− 42 K1 − 224 K 3 − 21K 4 + 162 K 5 + 125K 6 ) . 336

За ме ч а ни е .

(130)

М е то ды, пр и ве де нные в пр и ме р а х 1-4, по зво ляю туме ньши ть ч и сло о б р а щ е ни й к пр а во й ч а сти и схо дно го ур а вне ни я по ср а вне ни ю с те м, ко то р о е и ме е тме сто пр и по льзо ва ни и пр а ви ло м Рунге : пр и ме р 1 – ме то д вто р о го по р ядка , ч е тыр е о б р а щ е ни я вме сто пяти ; пр и ме р 2 – ме то д вто р о го по р ядка , тр и о б р а щ е ни я вме сто пяти ;

38 пр и ме р 3 – ме то д тр е тье го по р ядка , пятьо б р а щ е ни й вме сто во сьми ; пр и ме р 4 – ме то д ч е тве р то го по р ядка , ше сть о б р а щ е ни й вме сто о ди нна дца ти . 4.5. М е ра п о гре ш но ст и п ри б ли же нно го ре ше ни я В ыше

р а ссма тр и ва ли сь пр а кти ч е ски е

спо со б ы о це нки гло б а льных и

ло ка льных а б со лю тных по гр е шно сте й р е ше ни я, ко то р ые ле ж а тв о сно ве мно ги х а лго р и тмо в по луч е ни я пр и б ли ж е нных р е ше ни й с на пе р е д за да нно й ве р хне й гр а ни це й по гр е шно сти . Одна ко б ыва ю т си туа ци и , ко гда за да ни е а б со лю тных по гр е шно сте й р е ше ни я не то лько не р а зумно , но и пр и во ди т к пр и нци пи а льно й не во змо ж но сти по луч е ни я р е ше ни я на да нно й Э В М . В

са мо м де ле , пусть

до пусти ма я а б со лю тна я по гр е шно сть р а вна 10 − k , а ма кси ма льно е зна ч е ни е р е ше ни я – 10 − p . Т о гда для то го , ч то б ы тр е б уе ма я то ч но сть б ыла до сти гнута , ко ли ч е ство

и спо льзуе мых пр и выч и сле ни ях де сяти ч ных зна ко в t до лж но

удо вле тво р ять не р а ве нству t >k + p.

(131)

Оч е ви дно , ч то зна ч е ни е t мо ж е тпр е взо йти дли ну р а зр ядно й се тки Э В М и выч и сле ни я ста нутне во змо ж ны. По до б ные си туа ци и не

во зни ка ю т, ко гда за да е тся не

а б со лю тна я, а

о тно си те льна я по гр е шно сть пр и б ли ж е нно го р е ше ни я. Одна ко пр и за да нно й о тно си те льно й по гр е шно сти на до сле ди ть, ч то б ы пр и б ли ж е нно е р е ше ни е не о б р а щ а ло сь в нуль, ве р не е , ч то б ы пр и б ли ж е нно е р е ше ни е не по па да ло в ма лую о кр е стно сть нуля. Б о ле е

ги б ки м

и нстр уме нто м,

че м

а б со лю тна я

и

о тно си те льна я

по гр е шно сти , являе тся ме р а по гр е шно сти . М е р о й по гр е шно сти пр и б ли ж е нно го р е ше ни я на зыва е тся ди скр е тна я функци я Vn =

y( xn ) − y n yn

p

qp,

(132)

где q – не ко то р о е по ло ж и те льно е ч и сло , выб и р а е мо е с уч е то м о со б е нно сте й р е ша е мо й за да ч и ; p = 0 пр и y n ≤ q ; p = 1 пр и y n > q .

39 Л е гко ви де ть, ч то пр и y n ≤ q ме р а по гр е шно сти Vn со впа да е тс а б со лю тно й по гр е шно стью пр и б ли ж е нно го р е ше ни я, а пр и

yn > q

– с е е взве ше нно й

о тно си те льно й по гр е шно стью . За ме ч а ни е 1. Н а пр а кти ке и де я р а ссмо тр е ни я ме р ы по гр е шно сти р е а ли зуе тся сле дую щ и м о б р а зо м. Пусть ε ( А б с) , ε (О т н ) – на и б о льши е до пусти мые зна ч е ни я

а б со лю тно й

со о тве тстве нно .

То гда

и

о тно си те льно й

сч и та ю т,

ч то

по гр е шно сте й

ме р а

по гр е шно сти

удо вле тво р яе тза да нным тр е б о ва ни ям, е сли выпо лняе тся усло ви е ε n ≤ ν yn + µ ,

(133)

где ε ( А б с) , если y n ≤ q, 0, если y n ≤ q, ν =  (О т н ) µ= , если y n > q, 0, если y n > q. ε

(134)

За ме ти м, ч то е сли в не ко то р о й то ч ке xn ве р но р а ве нство y n = 1 , то о тно си те льна я и а б со лю тна я по гр е шно сти пр и б ли ж е нно го р е ше ни я в это й то ч ке со впа да ю т. По это му ч а сто за да ю то дно зна ч е ни е ε ( 0 ) и пр о ве р яю твыпо лне ни е усло ви я (133), где 0, если yn ≤ 1, ε ( 0 ) , если y n ≤ 1, µ= ν =  (0) ε , если yn > 1, 0, если y n > 1.

(135)

За ме ч а ни е 2. O пр и б ли ж е нно м р е ше ни и с на пе р е д за да нным ч и сло м ве р ных зна ко в. Пусть тр е б уе тся по стр о и ть пр и б ли ж е нно е р е ше ни е , и ме ю щ е е m ве р ных зна ко в пр и за пи си в де сяти ч но й си сте ме Пр е дпо ло ж и м, ч то зна ч е ни е

y n и ме е т по р ядо к

сч и сле ни я.

p , то гда о но

пр е дста ви мо в ви де y n = a1 ⋅10 p −1 + a 2 ⋅10 p −2 + ... + a m ⋅ 10 m −1 + ... (a1 ≠ 0) .

(136)

Н а по мни м, ч то ци фр а a k сч и та е тся ве р но й, е сли а б со лю тна я 1 2

по гр е шно сть не пр е во схо ди т 10 p− k . Если мы хо ти м и ме ть m

40 ве р ных зна ко в, то не о б хо ди мо по тр е б о ва ть, ч то б ы а б со лю тна я по гр е шно сть пр и б ли ж е нно го р е ше ни я удо вле тво р яла не р а ве нству 1 y ( x n ) − y n ≤ 10 p − m 2

(137)

Пр и это м о тно си те льна я по гр е шно сть не б уде тза ви се ть о тпо р ядка p:

y ( xn ) − y n yn

1 ≤ 101− m 2

(138)

И та к, ч то б ы на йти пр и б ли ж е нно е р е ше ни е с ве р ными зна ка ми , нуж но и ска ть зна ч е ни е ша га и нте гр и р о ва ни я и з усло ви я (138) и пр и это м сле ди ть, ч то б ы y n не о б р а ти ло сь в нуль 4.6. Сп о со б ы о це нк и п о гре ш но ст и п ри б ли же нно го ре ше ни я си ст е м ура вне ни й. Т а к ж е ка к и са ми ме то ды ти па Рунге -Кутта , по луч е нные в 2.1 для о дно го

ди ффе р е нци а льно го

по гр е шно сти ле гко

ур а вне ни я, пр а кти ч е ски е

спо со б ы о це нки

их

пе р е но сятся на случ а й р е ше ни я си сте м о б ыкно ве нных

ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й. Пусть ч и сле нно р е ша е тся си сте ма ур а вне ни й (501) ка ки м-ли б о ме то до м ти па Рунге -Кутта (502). А по сте р и о р на я о це нка гло б а льно й по гр е шно сти по пр а ви лу Рунге . В ыпи ше м по ко мпо не нтно о це нки по гр е шно сти , а на ло ги ч ные (307),(308): Rni = y i ( xn ) − y ni ≅ ( yni − y ni ) /(1 − 1 / 2 s ), i = 1,2,..., M Rni = y i ( xn ) − yni ≅ ( yni − y ni ) /(2 s − 1),

i = 1,2,..., M

Зде сь ч е р та на д о б о зна ч е ни ями являе тся не си мво ло м ве кто р а , а ста ви тся в зна к то го , ч то р е ше ни е (и ли по гр е шно сть) по луч е но с ша го м h. Н а и б о ле е

ч а сто сч и та ю т, ч то для гло б а льно й по гр е шно сти р е ше ни я

до сти га е тся не ко то р а я то ч но сть ε , е сли эта то ч но сть до сти гнута для все х ко мпо не нтр е ше ни я: Rni ≤ ε ,

i = 1,2,..., M .

Одна ко

б ыва е т, ч то

41 фи зи ч е ски й смысл за да ч и

и ли

и ные

со о б р а ж е ни я

по дска зыва ю т, ч то о це нку по гр е шно сти до ста то ч но пр о и зво ди ть то лько по о дно й и з ко мпо не нт р е ше ни я. В спо мни в,

ч то

по гр е шно сть р е ше ни я си сте мы

ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й являе тся ве кто р о м р а зме р но сти

M, мо ж но

пр е дста ви ть си туа ци и , ко гда о це нка по гр е шно сти пр о во ди тся по не ко то р о й ве кто р но й но р ме по гр е шно сти . Оце нка ло ка льно й по гр е шно сти

пр и р е ше ни и си сте мы о б ыкно ве нных

ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й та кж е пр о во ди тся ч а щ е все го по ко мпо не нтно , т.е . те м и ли и ным ме то до м о це нки ло ка льно й по гр е шно сти (ме то до м Рунге , и ли на о сно ве ко мб и на ци й фо р мул р а зных по р ядко в то ч но сти , и ли вло ж е нным ме то до м) выч и сляю тся гла вные ч а сти по гр е шно сте й y i ( x0 + h) − y1i для все х ко мпо не нт р е ше ни я ( (i = 1,2,..., M ). За те м о пр е де ляе тся на и б о льша я и з по гр е шно сте й, ко то р а я и

пр и ни ма е тся за

о це нку по гр е шно сти

си сте мы. Одна ко

за

ло ка льную

по гр е шно сть р е ше ни я си сте мы ур а вне ни й мо ж но пр и нять и и ные о б ъе кты – ло ка льную по гр е шно сть не ко то р о й фи кси р о ва нно й ко мпо не нтыр е ше ни я, ср е дне е а р и фме ти ч е ско е по гр е шно сте й о тде льных ко мпо не нти т.п. За ме ти м, ч то в те ста х За да ни й все гда о со б о о го ва р и ва е тся, ч то пр и ни ма е тся за о це нку по гр е шно сти ч и сле нно го и нте гр и р о ва ни я си сте мыур а вне ни й.

5. Авт о м а т и че ск и й вы б о р ш а га и нт е гри ро ва ни я за да чи К о ш и И нтуи ти вно по нятно , ч то пе р е ме нных ша г и нте гр и р о ва ни я по зво ляе т уч и тыва ть о со б е нно сть по ве де ни я р е ше ни я и ми ни ми зи р о ва ть выч и сли те льные за тр а ты пр и со хр а не ни и тр е б уе мо й то ч но сти ч и сле нно го р е ше ни я. М е то да ми ва р и а ци о нно го выч и сле ни я по ка за но , ч то пр и за да нно м ур о вне гло б а льно й по гр е шно сти

р е ше ни я выч и сли те льные

за тр а ты б удут ми ни ма льны, е сли

ло ка льна я по гр е шно сть на ка ж до м ша ге б уде т по сто янна . Э то т фа кт являе тся це нтр а льно й и де е й а лго р и тмо в а вто ма ти ч е ско го выб о р а ша га . За ме ч а ни е . По гр е шно сть о кр угле ни я в на сто ящ е м ме то де не уч и тыва е тся.

42 5.1. М е т о д удво е ни я и де ле ни я ш а га п о п о ла м Пусть для по луч е ни я пр и б ли ж е нно го р е ше ни я за да ч и Ко ши (1),(2) выб р а н не ко то р ый ме то д ти па Рунге -Кутта и и ме е тся в р а спо р яж е ни и спо со б о це нки ло ка льно й по гр е шно сти выб р а нно го ме то да . Ка к и р а не е , о б о зна ч и м ч е р е з ε n+1 ло ка льную по гр е шно сть ме то да в то ч ке

xn + h , а

пр и б ли ж е нно е

зна ч е ни е ,

выч и сле нно е с ша го м h – y nh+1 . Пусть на и б о льша я до пусти ма я ло ка льна я по гр е шно сть ша га и нте гр и р о ва ни я р а вна ε > 0 . Т о гда е сли ε n +1 > ε ,

(139)

то пр и б ли ж е нно е зна ч е ни е y nh+1 сч и та е тся не удо вле тво р и те льным по то ч но сти и выб и р а е тся но во е зна ч е ни е ша га h (1) = h . 2

(140)

С эти м но вым ша го м по то й ж е фо р муле Рунге -Кутта выч и сляе тся но во е зна ч е ни е y nh+1 в но во й то ч ке xn + h (1) . Если о це нка ло ка льно й по гр е шно сти ε n(1+)1 на (1)

но во м ша ге

h (1)

о пять пр е во схо ди т за да нную

на и б о льшую

до пусти мую

ло ка льную по гр е шно сть ε ε n(1+)1 > ε ,

(141)

то ша г сно ва де ли тся по по ла м h ( 2) = h

(1)

2

.

и выч и сле ни я по вто р яю тся. Т а к пр о и схо ди т до

(142) те х по р , по ка ло ка льна я

по гр е шно сть не ста не тме ньше и ли р а вна ε пр и ка ко й-то ве ли ч и не ша га , ко то р ую о б о зна ч и м hn : ε n +1 ≤ ε .

(143)

Да льне йше е и нте гр и р о ва ни е ур а вне ни я б уде т пр о и зво ди ться и з то ч ки x n +1 = x n + hn с ша го м hn +1 , ко то р ый выб и р а е тся по сле дую щ е му пр а ви лу. Если

ло ка льна я по гр е шно сть ε n +1 на ша ге hn = xn +1 − xn удо вле тво р яе тне р а ве нству ε n +1 <

ε , k

(144)

43 где

k

– ко нста нта , то

ша г и нте гр и р о ва ни я удва и ва е тся hn +1 = 2hn . Если

выпо лняе тся не р а ве нство ε ≤ ε n+1 ≤ ε , k

(145)

то ша г и нте гр и р о ва ни я не ме няе тся, hn+1 = hn .

(146)

Ко нста нта k по ла га е тся р а вно й 2 s , где s – по р ядо к и спо льзуе мо й о це нки ло ка льно й по гр е шно сти ме то да . Т а ки м о б р а зо м о сущ е ствляе тся и зме не ни е

ша га

и нте гр и р о ва ни я в

за ви си мо сти о т ха р а кте р а р е ше ни я: та м, где высо ка то ч но сть пр и б ли ж е нно го р е ше ни я, ша г во зр а ста е т, а та м, где за да нна я то ч но сть не до сти га е тся, ша г уме ньша е тся. И зло ж е нный выше а лго р и тм о тр а ж а е тли шь о сно вную и де ю ме то да удво е ни я и де ле ни я ша га по по ла м. В хо р о ши х пр о гр а ммных р е а ли за ци ях это т ме то д со де р ж и т мно го о со б е нно сте й, ко то р ые де ла ю т е го б о ле е на де ж ным и эко но ми ч ным. В

ни ж е сле дую щ и х за ме ч а ни ях пр и ве де ны не ко то р ые и з эти х

о со б е нно сте й. За ме ч а ни е 1. Для со кр а щ е ни я ч и сла б е спо ле зных пр о ве р о к пр и ме ни мо сти ша га и нте гр и р о ва ни я а лго р и тм мо ди фи ци р уе тся сле дую щ и м о б р а зо м. Если пр и и нте гр и р о ва ни и и з то ч ки xn в то ч ку xn +1 = xn + hn ша г и нте гр и р о ва ни я уме ньша лся хо тя б ы о ди н р а з, то пр и выб о р е сле дую щ е го

зна ч е ни я

пр е дыдущ е го ша га

ша га

и нте гр и р о ва ни я

hn +1

удво е ни е

не пр о и схо ди т, да ж е е сли удо вле тво р яю тся

со о тно ше ни я (144). И ными сло ва ми , е сли на да нно м ша ге б ыла не уда ч на я по пытка пр и ме не ни я ша га и нте гр и р о ва ни я, то для сле дую щ е го ша га не до пуска е тся уве ли ч е ни е е го дли ны. За ме ч а ни е 2. За

два

ша га

впе р е д

пр о ве р яе тся

то ч ка

ко нца

и нте р ва ла

и нте гр и р о ва ни я с те м, ч то б ы и спр а ви ть пр и не о б хо ди мо сти ве ли ч и ну ша га , ч то б ы до сти гнуть ко нца о тр е зка и нте гр и р о ва ни я б е з сли шко м р е зки х и зме не ни й в ве ли ч и не ша га .

44 За ме ч а ни е 3. По льзо ва те ль до лж е н и ме ть во змо ж но сть за ка зыва ть вр е мя сч е та по

пр о гр а мме . Э то

мо ж но

сде ла ть тр е мя спо со б а ми : и ли

пр о гр а мми ст ста ви т сч е тч и к ч и сла выч и сле ни й пр а во й ч а сти ур а вне ни я, о гр а ни ч и в ч и сло выч и сле ни й пр а во й ч а сти не ко то р ым па р а ме тр о м,

и ли

ста ви т

и нте гр и р о ва ни я,

и ли

и нте гр и р о ва ни я.

Ре а кци я

о гр а ни ч е ни е

на

ста ви т о гр а ни ч е ни я на пр о гр а ммы на

дли ну

ша га

ч и сло

ша го в

пр е выше ни е

эти х

па р а ме тр о в о го ва р и ва е тся с за ка зч и ко м пр о гр а ммы, в р о ли ко то р о го в уч е б но м пр о це ссе выступа е т пр е по да ва те ль, ве дущ и й за няти я. За ме ч а ни е 4. Пр и выб о р е сле дую щ е го ша га ч и сло удво е ни й дли ны ша га мо ж е т б ыть о гр а ни ч е но не ко то р ым па р а ме тр о м; о б ыч но не до пуска ю т5кр а тно го удво е ни я дли ныша га . За ме ч а ни е 5. Ч то б ы и зб е ж а ть за ци кли ва ни й пр о гр а ммы, не о б хо ди мо пр о ве р ять, ч то в усло ви ях ма ши нно й а р и фме ти ки выпо лнятся не р а ве нство x n + hn ≠ x n ,

(147)

т.е . ч то ве ли ч и на hn не ме ньше р а ссто яни я о т xn до со се дне го спр а ва (пр и hn > 0 ) и ли сле ва (пр и hn < 0 ) ве щ е стве нно го ч и сла , ко то р о е пр е дста вле но на и спо льзуе мо й Э В М . Для это го ша г и нте гр и р о ва ни я до лж е н удо вле тво р ять усло ви ю h ≥ max{σ , r},

где

σ

(148)

– на и ме ньше е по ло ж и те льно е ч и сло , пр е дста ви мо е на

да нно й Э В М , τ ≅ macheps ⋅ x , macheps – ма ши нно е эпси ло н [7]. Зна ч е ни е ,

б ли зко е

к

ма ши нно му

по сле дую щ е му пр о сто му а лго р и тму:

эпси ло н,

выч и сляе тся

45 R := 1 п ока (1 + R) > 1 нц R := R 2 кц macheps := R ∗ 2

(149)

За ме ч а ни е 6. Для то го , ч то б ы и зб е ж а ть не пр и ятно сте й, о ко то р ых го во р и ло сь в За ме ч а ни и 5, мо ж но ста ви ть о гр а ни ч е ни я на ч и сло де ле ни й пе р во на ч а льно го ша га и нте гр и р о ва ни я. Н а пр и ме р , е сли о гр а ни ч и ть ко ли ч е ство

де ле ни й два дца тью , то до пуска е тся ма кси ма льно е

уме ньше ни е ша га в 10 6 р а з. За ме ч а ни е 7. В ыб о р о пти ма льно го са мо го пе р во го ша га и нте гр и р о ва ни я – тр удна я за да ч а , е сли р е ша ть е е в по лно м о б ъе ме . С а мый пр о сто й выхо д – по ло ж и ть пе р во на ч а льный ша г р а вным не ко то р о й ч а сти о тр е зка и нте гр и р о ва ни я, на де ясь на то , ч то ме то д удво е ни я и де ле ни я

ша га

по по ла м

до во льно

б ыстр о

выйде т

на

удо вле тво р и те льно е зна ч е ни е дли ныша га . 5.2. М е т о д вы б о ра м а к си м а льно й для за да нно й т о чно ст и дли ны ш а га Н а по мни м, ч то ми ни ма льные выч и сли те льные за тр а тыпр и р е ше ни и за да ч и Ко ши (1),(2) ме то да ми ти па Рунге -Кутта и ме ю тме сто то гда , ко гда на все х ша га х и нте гр и р о ва ни я ло ка льна я по гр е шно сть ме то да по сто янна и р а вна не ко то р о му ε . Пусть р е ше ни е в то ч ке xn выч и сле но и и де тпр о ве р ка удо вле тво р и те льно сти ша га h для о пр е де ле ни я сле дую щ е й то ч ки и нте гр и р о ва ни я x n +1 = x n + h . С это й це лью

сч и та е тся по гр е шно сть ε n +1 (гла вна я ч а сть по гр е шно сти , см. со о тно ше ни е (84)), с ко то р о й о пр е де ляе тся зна ч е ни е y n+1 в то ч ке xn + h , и ср а вни ва е тся с ε . Если ψ ( x n , y n ) h s +1 = ε n +1 > ε ,

(150)

то зна ч е ни е ша га h пр и зна е тся не удо вле тво р и те льным и выб и р а е тся но вый ша г и нте гр и р о ва ни я hε и з со о тно ше ни я hε = αh ,

(151)

46 где па р а ме тр α вве де н для то го , ч то б ы гла вна я ч а сть ло ка льно й по гр е шно сти б ыла то ч но р а вна ε : ψ ( xn , y n ) hεs +1 = ε .

(152)

И з со о тно ше ни й (150)- (152) ле гко по луч а е м зна ч е ни е но во го ша га hε hε = s +1

ε ε n +1

⋅h,

(153)

пр и это м α = s +1

ε ε n +1

< 1.

(154)

Н о вым узло м и нте гр и р о ва ни я б уде тявляться узе л xn +1 = xn + hε . Если ло ка льна я по гр е шно сть ε n+1 не пр е во схо ди тза да нно го ε ε n +1 ≤ ε ,

ша г h

сч и та е тся удо вле тво р и те льным и

(155) в ка ч е стве

сле дую щ е го

узла

и нте гр и р о ва ни я пр и ни ма е тся узе л xn +1 = xn + h , пр и это м та кж е о пр е де ляе тся ша г hε по фо р муле (153), где α б уде туж е б о льше е ди ни цы, т.е . ша г hε б уде тб о льше

ша га h . Да льне йше е и нте гр и р о ва ни е ур а вне ни я (1) и з то ч ки xn+1 на ч и на е тся с пр о ве р ки удо вле тво р и те льно сти ша га hε . К о пи са нно му в это м пункте ме то ду выб о р а ша га и нте гр и р о ва ни я в по лно й ме р е о тно сятся За ме ч а ни я 2,5,7 и з пр е дыдущ е го пункта . За ме ч а ни е .

Пр и пр а кти ч е ско й р е а ли за ци и па р а ме тр α за ме няе тся на па р а ме тр α ∗ = 0,9α .

6. И нди ви дуа льны еза да ни я п о чи сле нны м м е т о да м ре ше ни я за да чи К о ш и 6.1. О де м о нст ра ци и ра б о т ы п ро гра м м В о вр е мя сда ч и пр е по да ва те лю пр о гр а ммы студе нт на р яде пр и ме р о в, ко то р ые по дго та вли ва е т са мо сто яте льно , до лж е н по ка за ть, ч то е го пр о гр а мма р а б о та е т в со о тве тстви и с за да ни е м. Н а пр и ме р , е сли за да ч а Ко ши р е ша е тся

47 ме то до м Рунге -Кутта тр е тье го по р ядка , на до по ка за ть, ч то р е а ли зо ва н в са мо м де ле ме то д тр е тье го по р ядка то ч но сти . Для это го до ста то ч но выпо лни ть р яд те сто вых пр и ме р о в – в за да ч а х Ко ши , в ко то р ых р е ше ни е являе тся по ли но мо м нуле во й, пе р во й, вто р о й и тр е тье й сте пе ни , до лж но по луч а ться то ч но е р е ше ни е , а е сли р е ше ни е е сть по ли но м б о ле е высо ко й сте пе ни , то ч и сле нно е р е ше ни е и ме е т по гр е шно сть. Если в со о тве тстви и с за да ни е м а вто ма ти ч е ски й выб о р ша га и нте гр и р о ва ни я р е а ли зуе тся ме то до м удво е ни я и де ле ни я ша га по по ла м, то не о б хо ди мо

по до б р а ть пр и ме р ы с за р а не е

и зве стно й

по гр е шно стью

и

спе ци а льным о б р а зо м за да ва ть то ч но сть с те м, ч то б ы р е ше ни е по луч а ло сь в за р а не е пр е дска за нных то ч ка х и т.п. По стр о е ни е

те сто вых

пр и ме р о в

не

до лж но

тр е б о ва ть

б о льшо й

выч и сли те льно й р а б о ты. Одна ко и х со ста вле ни е не во змо ж но б е з глуб о ко го по ни ма ни я пр о гр а мми р уе мо го ме то да . Н и ж е пр и ве де н р яд за ме ч а ни й по р а зр а б о тке и ллю стр и р ую щ и х те сто вых пр и ме р о в. В ни ма те льно е и х и зуч е ни е да ж е в случ а е , е сли о ни не по ср е дстве нно не о тно сятся к и нди ви дуа льно му за да ни ю

студе нта , зна ко мят ч и та ю щ е го

с

о сно вными пр и нци па ми и и де ями , ле ж а щ и ми в о сно ве по стр о е ни я те сто вых пр и ме р о в для р е ше ни я на ч а льных за да ч (1)-(2) ме то да ми ти па Рунге -Кутта . За ме ч а ни е о на ч а льно й то ч ке и нте гр и р о ва ни я. Н и ж е пр и со ста вле ни и те сто вых пр и ме р о в для пр о сто ты выкла до к по ла га е м x0 = 0 . За ме ч а ни е о со ста вле ни и ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я с за р а не е и зве стным р е ше ни е м. До пусти м, мы хо ти м со ста ви ть ур а вне ни е , р е ше ни е ко то р о го е сть y ( x) = x 3 . У ч и тыва я, ч то

y′( x) = 3 x 2 , за пи ше м не ско лько пр и ме р о в

та ки х ур а вне ни й: y ′ = 3x 2 , y ′ = y − x 2 ( x − 3) , y ′ = x( y − x 3 + 3x ) .

За ме ч а ни е о со ста вле ни и ди ффе р е нци а льно й за да ч и , ко то р а я пр и ч и сле нно м р е ше ни и да е тза р а не е и зве стную по гр е шно сть ме то да на ша ге . Пр и ме р 1.

48 Пусть пр о гр а мми р уе мый ме то д Рунге -Кутта вто р о го по р ядка (22), по гр е шно сть на ша ге ко то р о го и ме е тви д (23). Пр е дпо ло ж и м, ч то пр а ва я ч а сть ур а вне ни я не за ви си т о т y . Т о гда в выр а ж е ни и для по гр е шно сти

(23)

о ста е тся

о дно

пе р во е

сла га е мо е .

Если

по тр е б о ва ть, ч то б ывто р а я пр о и зво дна я f xx′′ р а вняла сь ко нста нте , то о ч е ви дно , ч то на лю б о м ша ге и нте гр и р о ва ни я по гр е шно сть ме то да б уде тпо сто янна . Зде сь в ка ч е стве те сто во го пр и ме р а удо б но взять за да ч у y ′ = 12 x 2 , y (0) = 0 , по ско льку в это м случ а е по гр е шно сть на ша ге (23) и ме е тна и б о ле е пр о сто й ви д ϕ 2 ≡ h 3 . Пр и ме р 2. М о ж но

по дб и р а ть те сто вые пр и ме р ы с на пе р е д и зве стными

по гр е шно стями ме то да на ша ге , не и спо льзуя выр а ж е ни я для по гр е шно сти , ка к это сде ла но в пр и ме р е 1. Пусть пр о гр а мми р уе мый ме то д ч е тве р то го по р ядка (33). Опять по ло ж и м, ч то пр а ва я ч а сть и схо дно го ур а вне ни я не за ви си то т y . Т о гда со гла сно (7) не по ср е дстве нно выч и сли м по гр е шно сть  h h 2    ϕ 4 (h) = y ( x 0 + h ) − y 0 −  f ( x0 ) + 3 f  x 0 +  + 3 f  x0 + h  + f ( x0 + h ) , (156) 8 3 3    

р а скла дыва я то ч но е р е ше ни е y( x0 + h ) и функци ю f в р яд Т е йло р а в о кр е стно сти то ч ки x0 : ϕ 4 ( h) = − f

IV

h5 . 9 ⋅ 6!

(157)

Оч е ви дно , ч то в ка ч е стве пр о сте йше го те сто во го пр и ме р а удо б но взять функци ю f с по сто янно й ч е тве р то й пр о и зво дно й, на пр и ме р , f

IV

= 9 ⋅ 6! . Т о гда

по гр е шно сть на ша ге

ϕ 4 ( h) = − h 5 , а

и ско ма я

де мо нстр а ци о нна я за да ч а Ко ши и ме е тви д  ′ 9 ⋅ 6! 4 x , y = 24   y (0) = 0.

(158)

49 За ме ч а ни е о со ста вле ни и те сто во го пр и ме р а , де мо нстр и р ую щ е го удво е ни е ша га и нте гр и р о ва ни я пр и

а вто ма ти ч е ско м выб о р е

ша га

ме то до м

удво е ни я и де ле ни я ша га по по ла м. Пусть р е ша е тся за да ч а Ко ши ме то до м Рунге -Кутта по р ядка S и ка ки м-ли б о ме то до м на ка ж до м ша ге о це ни ва е тся по гр е шно сть р е ше ни я. Т о гда е сли в ка ч е стве те сто во го пр и ме р а взять за да ч у Ко ши , р е ше ни е м ко то р о й являе тся по ли но м сте пе ни не выше S , то по гр е шно сть на ка ж до м ша ге б уде тр а вна нулю (ч и сле нный ме то д б уде т

да ва ть

то ч но е

р е ше ни е )

и,

сле до ва те льно ,

ша г

и нте гр и р о ва ни я б уде тпо сто янно удва и ва ться. К пр и ме р у, пусть на ч а льный ша г и нте гр и р о ва ни я за да е тся р а вным 0.005.

Т о гда

по сле до ва те льно сть то ч е к,

в ко то р ых б уде т

выда ва ться р е ше ни е , та ко ва : x0 = 0, x1 = 0.005, x 2 = 0.015, x3 = 0.035, x 4 = 0.075, x5 = 0.155 и та к да ле е .

За ме ч а ни е о со ста вле ни и те сто во го пр и ме р а , де мо нстр и р ую щ е го уме ньше ни е ша га и нте гр и р о ва ни я в два р а за пр и а вто ма ти ч е ско м выб о р е ша га ме то до м удво е ни я и де ле ни я ша га по по ла м. Пусть пр о гр а мми р уе тся ме то д Рунге -Кутта вто р о го по р ядка (22). И з Пр и ме р а 1 о со ста вле ни и ди ффе р е нци а льно й за да ч и с за р а не е и зве стно й по гр е шно стью

ме то да

на

ша ге

сле дуе т, ч то

пр и

и нте гр и р о ва ни и ур а вне ни я y ′ = 12x 2 о тна ч а льно го усло ви я y(0) = 0 по гр е шно стьме то да на лю б о м ша ге р а вна h 3 . Пустьна ч а льный ша г

( 2 ) , где

и нте гр и р о ва ни я H , а тр е б уе ма я то ч но сть р е ше ни я H

3

k

k –

не ко то р о е це ло е ч и сло . То гда о ч е ви дно , ч то пр и выч и сле ни и пе р во й то ч ки пе р во на ч а льный ша г б уде т k р а з по де ле н на два , а да ле е р а сч е тные то ч ки б удут сле до ва ть с по сто янным ша го м, р а вным H

2k

x0 = 0, x1 = H

:

2k

( 2 ), x

, x2 = 2 ⋅ H

k

3

( 2 ) и та к да ле е .

= 3⋅ H

k

Пр и ве де нные

выше

50 р а ссуж де ни я де ла ли сь в пр е дпо ло ж е ни и

о тсутстви я по гр е шно сте й о кр угле ни я. Для то го , ч то б ы о ни не по вли яли

на

пр е дпо ла га е мую

по сле до ва те льно сть

то ч е к

выч и сле ни я р е ше ни я, р е ко ме ндуе м зна ч е ни е то ч но сти б р а ть ч уть

( 2 ) , на пр и ме р (H 2 ) 1 − (H 2 )  . 3

ме ньше , ч е м H

3

k

k

3

k

За ме ч а ни е о те сти р о ва ни и , связа нно м с гло б а льно й по гр е шно стью ме то до в ти па Рунге -Кутта . Пр и те сти р о ва ни и это го р о да и спо льзую тто тфа кт, ч то гло б а льна я по гр е шно сть ме то до в ти па Рунге -Кутта р а вна сумме по гр е шно сте й на о тде льных ша га х и нте гр и р о ва ни я, е сли пр а ва я ч а сть и схо дно го ур а вне ни я не а р гуме нта

за ви си т о т y (x) , а являе тся то лько

x. В

это м случ а е

функци е й

по дб и р а е тся за да ч а Ко ши (см.

За ме ч а ни е о со ста вле ни и ди ффе р е нци а льно й за да ч и , ко то р а я пр и ч и сле нно м р е ше ни и да е т за р а не е и зве стную по гр е шно сть ме то да на ша ге ) с за р а не е

и зве стными по гр е шно стями на ша ге

и

пр о во ди тся и х не по ср е дстве нно е сумми р о ва ни е . 6.2. Об о ш и б к а х, до п ущ е нны х п ри за да ни и вхо дны х п а ра м е т ро в Одни м и з о б яза те льных тр е б о ва ни й, пр е дъявляе мых к р а зр а б а тыва е мым по дпр о гр а мма м, являе тся и х б е за ва р и йна я р а б о та . В

ч а стно сти , пр и лю б ых

вхо дных да нных выпо лне ни е по дпр о гр а ммы до лж но успе шно за ве р ши ться. У спе шно е за ве р ше ни е р а б о ты пр о гр а ммы пр и не пр а ви льно за да нных вхо дных па р а ме тр а х – это за ве р ше ни е р а б о ты с со о тве тствую щ и ми зна ч е ни ями ко да за ве р ше ни я. Пусть, к пр и ме р у, вхо дными па р а ме тр а ми являю тся: N – ч и сло то ч е к р а вно ме р но го р а зб и е ни я для о пр е де ле ни я пе р во на ч а льно го

ша га и нте гр и р о ва ни я; A, B – на ч а ло и ко не ц и нте р ва ла и нте гр и р о ва ни я; C – то ч ка , где за да нына ч а льные усло ви я (ли б о это то ч ка A , ли б о то ч ка B );

y C – на ч а льно е зна ч е ни е р е ше ни я в то ч ке C ;

51 m – ч и сло ве р ных зна ко в р е ше ни я,

а зна ч е ни е ко да за ве р ше ни я по дпр о гр а ммы ICOD = 3 со о тве тствуе т о ши б ке вхо дных да нных. Т о гда е сли ICOD = 3 , то до пущ е на о дна и з сле дую щ и х о ши б о к (на са мо м де ле пе р е ч е нь о ши б о к для да нно го пр и ме р а мо ж но сущ е стве нно р а сши р и ть):

N ≤ 0; A ≥ B; (C − A)(C − B ) ≠ 0; m < 1; m > m _ max ,

где

зна ч е ни е

m _ max связа но с р а зме р о м ма нти ссыу ва ше й Э В М . С о ста вле ни е на б о р а усло ви й для сво е го и нди ви дуа льно го за да ни я, пр и ко то р о м вхо дные да нные б удут сч и та ться о ши б о ч ными , выпо лняе тся студе нто м са мо сто яте льно . Л И Т ЕР А Т У Р А 1.

С а ма р ски й А .А. Ч и сле нные ме то ды / А .А .С а ма р ски й, А .В .Г ули н. М .: Н а ука , 1989. – 368 с.

2.

Л яшко И .И . М е то ды выч и сле ни й / И .И .Л яшко , В .Л .М а ка р о в. – Ки е в: В и щ а шко ла , 1977. – 408 с.

3.

Б а б ушка И . Ч и сле нные пр о це ссы р е ше ни я ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й. / И .Б а б ушка , Э .В и та се к, М .Пр а ге р .– М .: М и р , 1969. – 368 с.

4.

М а р ч ук Г .И . По выше ни е то ч но сти р е ше ни й р а зно стных схе м. / Г .И .М а р ч ук, В .В .Ш а йдур о в.– М .: Н а ука , 1979. – 320 с.

5.

Кр ыло в

В .И .

Н а ч а ла

те о р и и

выч и сли те льных

ме то до в.

Ди ффе р е нци а льные ур а вне ни я. / В .И .Кр ыло в, В .В .Б о б ко в,– М и нск: Н а ука и те хни ка , 1982. – 286 с. 6.

С о вр е ме нные

ч и сле нные

ме то ды

р е ше ни я

о б ыкно ве нных

ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й / По д р е д. Дж . Х о лла , Дж . У а мла . – М .: М и р , 1979. – 312 с. 7.

Ар уша нян

О.Б .

Ч и сле нно е

р е ше ни е

о б ыкно ве нных

ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й на Ф о р тр а не . / О.Б .А р уша нян, С .Ф .За ле тки н. – М .: И зд-во М Г У , 1990. – 336 с.

52 С о ста ви те ли : Ко р зуни на В е р а В а си лье вна , Ш а б уни на Зо я А ле кса ндр о вна . Ре да кто р Т и хо ми р о ва О.А .