moskowskij gosudarstwennyj uniwersitet IMENI m w lomonosowa mEHANIKO MATEMATI^ESKIJ FAKULXTET .
.
-
s a tELQKOWSKIJ .
.
kurs lekcij po matemati~eskomu analizu I SEMESTR
KWA
Moc
2002
GOD
moskowskij gosudarstwennyj uniwersitet IMENI m w lomonosowa mEHANIKO MATEMATI^ESKIJ FAKULXTET .
.
-
s. a. tELQKOWSKIJ
kURS LEKCIJ PO MATEMATI^ESKOMU ANALIZU SEMESTR . I
kURS PREDSTAWLQET SOBOJ NESKOLXKO SOKRA]ENNOE (IZ-ZA OGRANI^ENIQ OB_EMA) IZLOVENIE LEKCIJ, ^ITAEMYH AWTOROM NA MEHANIKOMATEMATI^ESKOM FAKULXTETE mgu. ~TOBY OBLEG^ITX WOSPRIQTIE MATERIALA W^ERANIMI KOLXNIKAMI, OB]NOSTX W IZLOVENII NARASTAET POSTEPENNO. pREDNAZNA^AETSQ DLQ STUDENTOW, A TAKVE PREPODAWATELEJ MATEMATI^ESKIH SPECIALXNOSTEJ KLASSI^ESKIH UNIWERSITETOW I WUZOW S POWYENNYM KURSOM MATEMATIKI. rECENZENT | PROFESSOR a. m. sEDLECKIJ
c mEHANIKO-MATEMATI^ESKIJ FAKULXTET mgu, 2002 G.
wWEDENIE
nASTOQ]IJ KURS NAPISAN NA OSNOWE LEKCIJ, ^ITAWIHSQ AWTOROM. bOLEE 15 LET AWTOR ^ITAL LEKCII PO MATEMATI^ESKOMU ANALIZU W mfti. tOGDA PRI RAZRABOTKE KURSA ZA OSNOWU BYL WZQT U^EBNIK s. m. nIKOLXSKOGO \kURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA". rAZUMEETSQ, ISPOLXZOWALISX I DRUGIE ISTO^NIKI. w PERWU@ O^EREDX \kURS DIFFERENCIALXNOGO I INTEGRALXNOGO IS^ISLENIQ" g. m. fIHTENGOLXCA I \kURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA" l. d. kUDRQWCEWA. s 1996 GODA AWTOR ^ITAET KURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA NA MEHANIKO-MATEMATI^ESKOM FAKULXTETE mgu. zNA^ITELXNOE, PO^TI NA 30 PROCENTOW UWELI^ENIE ^ISLA LEKCIONNYH ^ASOW, IZMENENIE PROGRAMMY I EE AKCENTOW PRIWELI K SU]ESTWENNYM IZMENENIQM SODERVANIQ KURSA. pRI \TOJ PERERABOTKE BOLXU@ POMO]X OKAZAL t. p. lUKAENKO, KOTORYJ PREDOSTAWIL AWTORU SWOI ZAPISI LEKCIJ. |TO POWLIQLO NA WYBOR MATERIALA I PODHODY K EGO IZLOVENI@. kURS SOSTOIT IZ 4 WYPUSKOW, SOOTWETSTWU@]IH I, II, III I IV SEMESTRAM. dLQ SOKRA]ENIQ ZAPISI ISPOLXZU@TSQ SLEDU@]IE OBOZNA^ENIQ. 8 | \DLQ KAVDOGO DLQ L@BOGO DLQ WSEH" (\TO PEREWERNUTAQ NA^ALXNAQ BUKWA ANGLIJSKOGO All), 9 | \SU]ESTWUET NAJDETSQ" (\TO PEREWERNUTAQ NA^ALXNAQ BUKWA ANGLIJSKOGO Exist), : | \TAKOJ, ^TO TAKIE, ^TO", := | \OBOZNA^IM", ) | \SLEDUET", , | \RAWNOSILXNO". pOQSNIM UPOTREBLENIE SIMWOLA ). eSLI A I B | NEKOTORYE UTWERVDENIQ, TO ZAPISX A ) B OZNA^AET \IZ A SLEDUET B ". w MATEMATIKE ^ASTO ISPOLXZU@TSQ TERMINY \DOSTATO^NOE USLOWIE", \NEOBHODIMOE USLOWIE". pRI \TOM SLOWA DOSTATO^NOSTX I NEOBHODIMOSTX IME@T TAKOJ VE SMYSL, KAK W OBYDENNOJ RE^I: ESLI A ) B , TO USLOWIE A QWLQETSQ DOSTATO^NYM, DLQ TOGO ^TOBY IMELO MESTO B , A B NEOBHODIMO DLQ WYPOLNENIQ A. sIMWOL A , B QWLQETSQ OB_EDINENIEM SIMWOLOW ) I (. zAPISX A , B OZNA^AET, ^TO IZ A SLEDUET B , A IZ B SLEDUET A. dRUGIMI SLOWAMI, USLOWIE A QWLQETSQ NEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM DLQ WYPOLNENIQ B , A USLOWIE B NEOBHODIMO I DOSTATO^NO DLQ WYPOLNENIQ A. mART 2002 G. s. a. tELQKOWSKIJ 3
gLAWA
1
dejstwitelxnye ~isla bESKONE^NYE DESQTI^NYE DROBI
x 1.1.
rACIONALXNYE ^ISLA (W ^ASTNOSTI, CELYE ^ISLA) I IH SWOJSTWA S^ITA@TSQ IZWESTNYMI IZ KOLY. rACIONALXNYE ^ISLA MOVNO SRAWNIWATX (T.E. DLQ NIH WWEDENY PONQTIQ \BOLXE" I \MENXE"), NAD NIMI OPREDELENY ARIFMETI^ESKIE DEJSTWIQ. nO RACIONALXNYH ^ISEL NEDOSTATO^NO DAVE DLQ NUVD \LEMENTARNOJ MATEMATIKI . tAK, DLINA DIAGONALI KWADRATA SO STORONOJ p 1 RAWNA 2, A \TO ^ISLO IRRACIONALXNOE, T.E. NE RACIONALXNOE. nE QWLQETSQ RACIONALXNYM I ^ISLO , WYRAVA@]EE DLINU OKRUVNOSTI DIAMETRA 1. nAPOMNIM OPREDELENIE ^ISLOWOJ PRQMOJ. nA PRQMOJ, KOTORU@ S^ITA@T RASPOLOVENNOJ GORIZONTALXNO, WYBIRA@T NA^ALXNU@ TO^KU O I EDINICU DLINY | OTREZOK OE , OTLOVENNYJ WPRAWO OT TO^KI O. tO^KE O STAWITSQ W SOOTWETSTWIE ^ISLO 0, TO^KE E | ^ISLO 1. oTKLADYWAQ WPRAWO OT TO^KI E AG ZA AGOM EDINI^NYJ OTREZOK, POLU^IM TO^KI, SOOTWETSTWU@]IE NATURALXNYM ^ISLAM 2 3 : : : , A OTKLADYWAQ EDINI^NYJ OTREZOK WLEWO OT TO^KI O, | TO^KI, SOOTWETSTWU@]IE CELYM OTRICATELXNYM ^ISLAM. zATEM STROQTSQ TO^KI, SOOTWETSTWU@]IE RACIONALXNYM ^ISLAM. ~TOBY POLU^ITX TO^KU, SOOTWETSTWU@]U@ POLOVITELXNOMU RACIONALXNOMU ^ISLU m=n, OTKLADYWAEM m RAZ WPRAWO OT TO^KI O OTREZOK, DLINA KOTOROGO RAWNA 1=n. tO^NO TAKVE DLQ OTRICATELXNYH RACIONALXNYH ^ISEL NAHODIM SOOTWETSTWU@]IE IM TO^KI SLEWA OT TO^KI O. tAKIM OBRAZOM, KAVDOMU RACIONALXNOMU ^ISLU POSTAWLENA W SOOTWETSTWIE TO^KA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ. nO PRI \TOM NE WSEM TO^KAM ^ISLOWOJ PRQMOJ SOOTWETSTWU@T RACIONALXNYE ^ISLA. nAPRIMER p , TAK BUDET DLQ TO^KI, LEVA]EJ SPRAWA OT O NA RASSTOQNII 2. w \TOJ GLAWE BUDET POKAZANO, KAK MOVNO POPOLNITX RACIONALXNYE ^ISLA, ^TOBY KAVDOJ TO^KE ^ISLOWOJ PRQMOJ SOOTWETSTWOWALO ^ISLO, A KAVDOMU ^ISLU | TO^KA NA PRQMOJ. tAKOE POPOLNENIE MOVNO OSU]ESTWITX RAZNYMI SPOSOBAMI. mY SDELAEM \TO NA BAZE BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ. |TOT PUTX BYL O^ENX OSTOROVNO NAME^EN W KOLE. nA^NEM S POSTROENIQ BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI, SOOTWETSTWU@]EJ ZADANNOJ TO^KE A NA ^ISLOWOJ PRQMOJ. pUSTX TO^KA A RASPOLOVENA SPRAWA OT TO^KI O I NE OTWE^AET NATURALXNOMU ^ISLU. nAJDEM CELYE ^ISLA a0 I a0 + 1 TAKIE, ^TO 4
TO^KA A LEVIT MEVDU NIMI. w KA^ESTWE CELOJ ^ASTI BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI, SOOTWETSTWU@]EJ TO^KE A, BEREM a0 . pOSLE \TOGO PROMEVUTOK MEVDU TO^KAMI a0 I a0 + 1 DELIM NA 10 RAWNYH ^ASTEJ I PRIPISYWAEM \TIM ^ASTQM SLEWA NAPRAWO CIFRY OT 0 DO 9. sREDI \TIH PROMEVUTKOW DLINY 1/10 NAHODIM TOT, WNUTRI KOTOROGO NAHODITSQ TO^KA A (SLU^AJ, KOGDA A OKAZYWAETSQ ODNOJ IZ TO^EK DELENIQ, OBSUDIM POZDNEE) I W KA^ESTWE PERWOGO DESQTI^NOGO ZNAKA ISKOMOJ DROBI BEREM CIFRU, PRIPISANNU@ \TOMU PROMEVUTKU. pRODOLVAQ \TOT PROCESS (W PREDPOLOVENII, ^TO A NE QWLQETSQ TO^KOJ DELENIQ), POLU^IM BESKONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX, SOOTWETSTWU@]U@ TO^KE A. rASSMOTRIM TEPERX SLU^AJ, KOGDA NA TO^KU A POPALA ODNA IZ TO^EK DELENIQ. pUSTX, NAPRIMER, BUDET SITUACIQ KAK NA RISUNKE: 0 a0
1
2 A
9 a0+1
tO^KAM, LEVA]IM WBLIZI TO^KI A SPRAWA, MY W KA^ESTWE PERWOGO DESQTI^NOGO ZNAKA PRIPISALI CIFRU 2, A LEVA]IM SLEWA | CIFRU 1. pO POWODU SAMIH TO^EK DELENIQ NUVNO DOGOWORITXSQ, K KAKOMU PROMEVUTKU MY IH OTNOSIM: LEVA]EMU SPRAWA ILI LEVA]EMU SLEWA. eSLI TO^KI DELENIQ OTNOSITX K PRAWYM PROMEVUTKAM, TO DLQ TO^KI A NA RISUNKE POLU^IM a0 2, A WSE OSTALXNYE DESQTI^NYE ZNAKI | NOLI, T.E. POLU^IM a0 2000 : : : . eSLI TO^KI DELENIQ OTNOSITX K LEWYM PROMEVUTKAM, TO DLQ TO^KI A POLU^IM a0 1, A WSE OSTALXNYE DESQTI^NYE ZNAKI | DEWQTKI, T.E. POLU^IM a0 1999 = a0 1(9). w ZAWISIMOSTI OT DOGOWORENNOSTI, OTNOSITX TO^KI DELENIQ K PRAWYM ILI K LEWYM PROMEVUTKAM, DLQ TO^EK ^ISLOWOJ PRQMOJ, SOOTWETSTWU@]IH NATURALXNYM ^ISLAM, TAKVE POLU^IM DWE BESKONE^NYE DESQTI^NYE DROBI. u ODNOJ IZ NIH WSE DESQTI^NYE ZNAKI NOLI, A U DRUGOJ CELAQ ^ASTX NA EDINICU MENXE, A WSE DESQTI^NYE ZNAKI | DEWQTKI. dLQ TO^EK, LEVA]IH NA ^ISLOWOJ PRQMOJ SLEWA OT TO^KI O, PIEM PERED DROBX@ ZNAK MINUS, A ZATEM ANALOGI^NYM OBRAZOM NAHODIM ^ISLA a0 a1 a2 : : : , OPREDELQ@]IE SOOTWETSTWU@]U@ BESKONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX ;a0 a1 a2 : : : . |TI RASSUVDENIQ POKAZYWA@T, ^TO DLQ WSEH TO^EK ^ISLOWOJ PRQMOJ (KROME NA^ALXNOJ TO^KI O), KOTORYE PRI UKAZANNOM POSTROENII POPADA@T NA TO^KI DELENIQ, WOZMOVNY DWE ZAPISI | S NOLEM W PERIODE, T.E. W WIDE CELOGO ^ISLA ILI KONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI, ILI S DEWQTKOJ W PERIODE. dLQ OSTALXNYH TO^EK BESKONE^NAQ DESQTI^NAQ DROBX OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO. 5
~TOBY KAVDOJ TO^KE ^ISLWOJ PRQMOJ SOOTWETSTWOWALA EDINSTWENNAQ BESKONE^NAQ DESQTI^NAQ DROBX, USLAWLIWA@TSQ NE RAZLI^ATX POLU^A@]IESQ PRI NAEM POSTROENII DROBI S 0 I S 9 W PERIODE. oBY^NO W KAVDOM RASSUVDENII ISPOLXZU@T DROBI TOLXKO S NOLEM ILI TOLXKO S DEWQTKOJ W PERIODE. pOSTAWIM OBRATNU@ ZADA^U | DLQ ZADANNOJ BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI a0a1 a2 : : : NAJTI SOOTWETSTWU@]U@ EJ TO^KU NA ^ISLOWOJ PRQMOJ. pO ZNAKU DROBI I ^ISLU a0 NAHODIM DWA IDU]IH PODRQD CELYH ^ISLA, MEVDU KOTORYMI DOLVNA RASPOLAGATXSQ ISKOMAQ TO^KA. zATEM, RAZBIW PROMEVUTOK MEVDU \TIMI TO^KAMI NA 10 RAWNYH ^ASTEJ, PO ZNA^ENI@ a1 MOVNO UKAZATX TOT IZ POLU^IWIHSQ PROMEVUTKOW DLINY 1=10, KOTOROMU DOLVNA PRINADLEVATX NAA TO^KA. pRODOLVAQ \TO POSTROENIE AG ZA AGOM, POLU^IM POSLEDOWATELXNOSTX PROMEVUTKOW, KAVDYJ IZ KOTORYH SODERVITSQ W PREDYDU]EM, A DLINA EGO W 10 RAZ MENXE. iSKOMAQ TO^KA DOLVNA PRINADLEVATX WSEM \TIM PROMEVUTKAM. nO OBQZATELXNO LI SU]ESTWUET TAKAQ TO^KA, MY SEJ^AS NE ZNAEM. w DALXNEJEM BUDET USTANOWLEN POLOVITELXNYJ OTWET NA \TOT WOPROS. wSE SKAZANNOE O BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBQH SLEDUET RASSMATRIWATX KAK NAWODQ]IE SOOBRAVENIQ K TOMU, ^TOBY NAZWATX ^ISLAMI BESKONE^NYE DESQTI^NYE DROBI. oPREDELENIE. dEJSTWITELXNYMI (WE]ESTWENNYMI) ^ISLAMI NAZYWA@TSQ BESKONE^NYE DESQTI^NYE DROBI a0 a1 a2 : : : , GDE WYBRAN OPREDELENNYJ ZNAK: \+" ILI \;", a0 | NATURALXNOE ^ISLO ILI NOLX, A WSE DESQTI^NYE ZNAKI a1 a2 : : : | CIFRY OT 0 DO 9. pRI \TOM DROBX a0 a1 : : : am (9) S^ITAETSQ RAWNOJ DROBI a0a1 : : : am;1d00 : : : , U KOTOROJ m-YJ DESQTI^NYJ ZNAK d RAWEN am + 1. dEJSTWITELXNYE ^ISLA BUDEM OBOZNA^ATX BUKWAMI I PISATX a = a0a1a2 : : : , OPUSKAQ OBY^NO PRI \TOM ZNAK +. ~ISLO 0 ZAPISYWA@T KAK DESQTI^NU@ DROBX 000 : : : , KOTORU@ MOVNO SNABDITX I ZNAKOM + I ZNAKOM ;, NO OBY^NO \TOJ DROBI ZNAK NE PRIPISYWA@T. pRI ZAPISI ^ISEL a b c : : : W WIDE BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ DLQ OBOZNA^ENIQ DESQTI^NYH ZNAKOW BUDEM ISPOLXZOWATX \TI VE BUKWY S INDEKSAMI. tAKIM OBRAZOM, a = a0 a1 a2 : : : b = b0b1 b2 : : : c = c0 c1 c2 : : : : dLQ KAVDOGO ^ISLA a = a0 a1 a2 : : : OPREDELQETSQ ^ISLO ;a, KOTOROE OTLI^AETSQ OT a TOLXKO ZNAKOM, T.E. ;a := a0 a1 a2 : : : . nA 6
^ISLOWOJ PRQMOJ TO^KI, SOOTWETSTWU@IE ^ISLAM a I ;a, RASPOLAGA@TSQ SIMMETRI^NO DRUG DRUGU OTNOSITELXNO NA^ALXNOJ TO^KI O. wYQSNIM, KAK SOOTNOSQTSQ RACIONALXNYE I DEJSTWITELXNYE ^ISLA. rACIONALXNYE ^ISLA PREDSTAWIMY W WIDE DROBI mn , GDE m | CELOE ^ISLO, A n | NATURALXNOE. bUDEM DLQ OPREDELENNOSTI S^ITATX, ^TO m > 0. eSLI RAZDELITX m NA n \UGOLKOM", TO POLU^IM LIBO KONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX, KOTORU@ MOVNO ZAPISATX W WIDE BESKONE^NOJ DROBI S 0 W PERIODE, LIBO BESKONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX, KOTORAQ OBQZATELXNO BUDET PERIODI^ESKOJ. w SAMOM DELE, W \TOM SLU^AE OSTATKAMI PRI DELENII NA n MOGUT BYTX TOLXKO ^ISLA 1 2 : : : n ; 1. rASSMOTRIM OSTATKI, KOTORYE POLU^A@TSQ PRI DELENII m NA n POSLE TOGO, KAK WSE ZNA^A]IE CIFRY ^ISLA m UVE SNESENY. |TI OSTATKI RANO ILI POZDNO NA^NUT POWTORQTXSQ, ZNA^IT, BUDUT POWTORQTXSQ I DESQTI^NYE ZNAKI. tAKIM OBRAZOM, KAVDOE RACIONALXNOE ^ISLO MOVET BYTX PREDSTAWLENO BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ PERIODI^ESKOJ DROBX@. wERNO I OBRATNOE UTWERVDENIE: KAVDAQ BESKONE^NAQ DESQTI^NAQ PERIODI^ESKAQ DROBX RAWNA OTNOENI@ mn CELOGO ^ISLA m K NATURALXNOMU ^ISLU n. w \TOM MOVNO UBEDITXSQ, NAPRIMER, S POMO]X@ FORMULY SUMMY ^LENOW BESKONE^NOJ GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII. wPRO^EM, \TU FORMULU NELXZQ PRIZNATX AKKURATNO DOKAZANNOJ W KOLXNYH U^EBNIKAH, TAK KAK EE WYWOD OSNOWYWALSQ NA NAIWNOINTUITIWNYH PREDSTAWLENIQH O PREDELAH. wO WTOROJ GLAWE BUDET DANO POLNOE DOKAZATELXSTWO UKAZANNOJ FORMULY. iTAK, RACIONALXNYE ^ISLA I TOLXKO ONI PREDSTAWIMY BESKONE^NYMI DESQTI^NYMI PERIODI^ESKIMI DROBQMI. iRRACIONALXNYE ^ISLA ZAPISYWA@TSQ BESKONE^NYMI DESQTI^NYMI NEPERIODI^ESKIMI DROBQMI. pRIMERAMI TAKIH DROBEJ MOVET SLUVITX DROBX 01010010001 : : : (KOLI^ESTWO NOLEJ MEVDU CIFRAMI p 1 KAVDYJ RAZ UWELI^IWAETSQ NA ODIN) ILI DROBX, WYRAVA@]AQ 2. tEPERX NEOBHODIMO OPREDELITX SRAWNENIE DEJSTWITELXNYH ^ISEL I ARIFMETI^ESKIE DEJSTWIQ NAD NIMI. pRI \TOM BUDEM OPIRIATXSQ NA SWOJSTWA SRAWNENIQ RACIONALXNYH ^ISEL I ARIFMETI^ESKIH DEJSTWIJ NAD NIMI. w DALXNEJEM TAM, GDE \TO NE MOVET WYZWATX NEDORAZUMENIJ, DEJSTWITELXNYE ^ISLA BUDEM NAZYWATX PROSTO ^ISLAMI. x 1.2.
sRAWNENIE ^ISEL
rASSMOTRIM ^ISLO a = a0 a1 a2 : : : . eSLI WSE ^ISLA a0 a1 a2 : : : RAWNY NUL@, TO NE IMEET ZNA^ENIQ, KAKOJ ZNAK STOIT PERED DROBX@, 7
^ISLO a NAZYWA@T NULEM I PIUT a = 0. pUSTX TEPERX SREDI ^ISEL a0 a1 a2 : : : ESTX HOTQ BY ODNO, OTLI^NOE OT NULQ. tOGDA ESLI PERED DROBX@ STOIT ZNAK +, ^ISLO a NAZYWA@T POLOVITELXNYM I PIUT a > 0. a ESLI PERED DROBX@ STOIT ZNAK ;, ^ISLO a NAZYWA@T OTRICATELXNYM I PIUT a < 0. oPREDELENIE. mODULEM (ILI ABSOL@TNOJ WELI^INOJ ) ^ISLA a = a0 a1 a2 : : : NAZYWAETSQ ^ISLO jaj := a0a1a2 : : : : tAKIM OBRAZOM, MODULX ^ISLA LIBO POLOVITELEN, LIBO RAWEN NUL@ I, ESLI a > 0, TO jaj = a, A ESLI a < 0, TO jaj = ;a. dLQ RACIONALXNYH ^ISEL OPREDELENIE MODULQ IZWESTNO IZ KOLY. oPREDELIM SRAWNENIE ^ISEL. bUDEM S^ITATX, ^TO PRI ZAPISI BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ MY POLXZUEMSQ KAKOJ-LIBO ODNOJ FORMOJ ZAPISI | ILI S 0, ILI S 9 W PERIODE. oPREDELENIE. oTLI^NYE OT NULQ ^ISLA a = a0a1a2 : : : I b = b0b1b2 : : : NAZYWA@T RAWNYMI, ESLI ONI IME@T ODINAKOWYE ZNAKI I DLQ WSEH k = 0 1 2 : : : WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA ak = bk . w \TOM SLU^AE PIUT a = b, A W PROTIWNOM SLU^AE PIUT a 6= b. oPREDELIM DLQ ^ISEL NERAWENSTWA. nAPOMNIM, ^TO DLQ SLU^AQ, KOGDA ODNO IZ ^ISEL RAWNO NUL@, NERAWENSTWA BYLI WWEDENY WYE. oPREDELENIE . pUSTX ^ISLA a I b NE RAWNY MEVDU SOBOJ. tOGDA 1 : ESLI ^ISLA a I b POLOVITELXNY, TO GOWORQT, ^TO a MENXE b I PIUT a < b, ESLI a0 < b0 , ILI ESLI DLQ NEKOTORGO k = 0 1 2 : : : , IMEEM a0 = b0 a1 = b1 : : : ak = bk I ak+1 < bk+1 2 : ESLI ODNO IZ ^ISEL POLOVITELXNO, A WTOROE OTRICATELXNO, TO OTRICATELXNOE ^ISLO MENXE POLOVITELXNOGO 3 : ESLI OBA ^ISLA a I b OTRICATELXNY, TO a < b, ESLI jbj < jaj. eSLI a < b, TO GOWORQT, ^TO b BOLXE a I PIUT b > a. iZ \TOGO OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO ESLI a < b, TO ;a > ;b. pRI SRAWNENII RACIONALXNYH ^ISEL \TI OPREDELENIQ DA@T TOT VE REZULXTAT, ^TO I PRI PREVNEM OPREDELENII, KOGDA DLQ POLOVITELXNYH DROBEJ m=n I p=q PISALI m=n < p=q, ESLI mq < np. mY NE BUDEM OSTANAWLIWATXSQ NA DOKAZATELXSTWE \TOGO FAKTA. nARQDU SO STROGIMI NERAWENSTWAMI < I > ISPOLXZU@TSQ NESTROGIE NERAWENSTWA 6 I >. zAPISX a 6 b OZNA^AET, ^TO ILI a < b ILI 8
a = b. pOLXZUQSX ZNAKOM NESTROGOGO NERAWENSTWA, LEGKO STROITX OTRICANIE DLQ STROGOGO NERAWENSTWA. tAK, OTRICANIEM UTWERVDENIQ a < b QWLQETSQ a > b. sFORMULIRUEM SWOJSTWA ^ISEL, SWQZANNYE S NERAWENSTWAMI (PERWAQ GRUPPA SWOJSTW DEJSTWITELXNYH ^ISEL). I.1. dLQ L@BYH DWUH ^ISEL a I b IMEET MESTO I PRITOM TOLXKO ODNO IZ SOOTNOENIJ: a < b, a = b ILI a > b. dRUGIMI SLOWAMI: ESLI ^ISLA RAZLI^NY, TO ODNO IZ NIH MENXE DRUGOGO. sWOJSTWO I.1 NAZYWA@T UPORQDO^ENNOSTX@ DEJSTWITELXNYH ^ISEL. sWOJSTWO UPORQDO^ENNOSTI WYTEKAET SRAZU IZ OPREDELENIQ SRAWNENIQ ^ISEL. I.2. eSLI a < b I b < c, TO a < c. eSLI a = b I b = c, TO a = c. |TI SWOJSTWA NAZYWA@TSQ TRANZITIWNOSTX@ ZNAKOW < I =. tRANZITIWNOSTX ZNAKA = SLEDUET SRAZU IZ OPREDELENIQ RAWENSTWA. dOKAVEM TRANZITIWNOSTX ZNAKA <. pUSTX SNA^ALA a > 0. tOGDA ^ISLA b I c POLOVITELXNY. pREDSTAWIM ^ISLA a b c BESKONE^NYMI DESQTI^NYMI DROBQMI a = a0 a1 a2 : : : b = b0 b1 b2 : : : c = c0 c1 c2 : : : ISPOLXZUQ KAKU@-LIBO ODNU FORMU ZAPISI: S 0 ILI S 9 W PERIODE. tAK KAK a < b, TO SU]ESTWUET INDEKS k TAKOJ, ^TO ai = bi DLQ i = 0 1 : : : k ; 1 I ak < bk . tO^NO TAKVE SU]ESTWUET INDEKS l TAKOJ, ^TO bj = cj DLQ j = 0 1 : : : l ; 1 I bl < cl . pUSTX m := min(k l), T.E. m { MENXEE IZ ^ISEL k I l. tOGDA ai = bi = ci DLQ i = 0 1 : : : m ; 1 I WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA am 6 bm I bm 6 cm , PRI^EM PO KRAJNEJ MERE ODNO IZ \TIH NERAWENSTW QWLQETSQ STROGIM. tAK KAK ^ISLA am bm I cm { CELYE, TO POLXZUQSX TRANZITIWNOSTX@ ZNAKA < DLQ CELYH ^ISEL, WIDIM, ^TO am < cm , T.E. a < c. pUSTX TEPERX a < 0. eSLI c 6 0, TO b < 0 I DLQ MODULEJ ^ISEL a, b I c IMEEM jaj > jbj I jbj > jcj. zNA^IT, PO UVE DOKAZANNOMU jaj > jcj, OTKUDA a < c. eSLI VE a < 0 I c > 0, TO a < c PO OPREDELENI@. |TIM ZAKAN^IWAETSQ DOKAZATELXSTWO SWOJSTWA I.2. zNAK 6 TAKVE OBLADAET SWOJSTWOM TRANZITIWNOSTI: ESLI a 6 b I b 6 c, TO a 6 c. |TO SLEDUET IZ TRANZITIWNOSTI ZNAKA <. I.3. dLQ KAVDOGO ^ISLA a SU]ESTWUET NATURALXNOE ^ISLO n TAKOE, ^TO n > a. 9
|TO SWOJSTWO NAZYWA@T ARHIMEDOWYM. pRI OPREDELENII DEJSTWITELXNYH ^ISEL KAK BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ SWOJSTWO I.3 O^EWIDNO: ESLI a = a0 a1 a2 : : : , TO W KA^ESTWE n MOVNO WZQTX a0 +2. wMESTE S TEM, ARHIMEDOWO SWOJSTWO SU]ESTWENNO PRI AKSIOMATI^ESKOM PODHODE K OPREDELENI@ DEJSTWITELXNYH ^ISEL. dOKAVEM NESKOLXKO PROSTYH UTWERVDENIJ, SWQZANNYH SO SRAWNENIEM DEJSTWITELXNYH ^ISEL S KONE^NYMI DESQTI^NYMI DROBQMI. tEOREMA 1.2.1. pUSTX a I b | PROIZWOLXNYE ^ISLA I a < b. tOGDA SU]ESTWUET KONE^NAQ DESQTI^NAQ DROBX TAKAQ, ^TO a < < b. dOKAZATELXSTWO. sNA^ALA BUDEM S^ITATX ^ISLO a NEOTRICATELXNYM. pUSTX W PREDSTAWLENIQH a = a0 a1 a2 : : : , b = b0b1 b2 : : : NE ISPOLXZUETSQ 9 W PERIODE. nAJDEM NAIMENXIJ NOMER k TAKOJ, ^TO ak < bk , I NOMER m > k TAKOJ, ^TO am < 9. lEGKO PROWERITX, ^TO W KA^ESTWE MOVNO WZQTX KONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX a0 a1 : : : am;1 d, U KOTOROJ m-YJ DESQTI^NYJ ZNAK d RAWEN am + 1. eSLI a I b IME@T RAZNYE ZNAKI, TO MOVNO WZQTX = 0. a ESLI ^ISLO b NEPOLOVITELXNO, TO NAHODIM KONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX TAKU@, ^TO jbj < < jaj, I POLAGAEM := ; . tEOREMA DOKAZANA. tEOREMA 1.2.2. dLQ L@BOGO ^ISLA a PRI KAVDOM NATURALXNOM n SU]ESTWUET KONE^NAQ DESQTI^NAQ DROBX n S n ZNAKAMI POSLE ZAPQTOJ TAKAQ, ^TO n 6 a 6 n + 10;n: (1.2.1) dOKAZATELXSTWO. eSLI ^ISLO a NEOTRICATELXNO, TO DLQ KAVDOGO n IMEEM a0 a1 : : : an 6 a 6 a0 a1 : : : an + 10;n I MOVNO WZQTX n := a0 a1 :;: :nan . dLQ OTRICATELXNOGO a = ;a0 a1 a2 : : : IMEEM ;a0a1 : : : an ; 10 6 a 6 ;a0 a1 : : : an I POLAGAEM n := := ;a0a1 : : : an ; 10;n. dROBI n I n + 10;n , UDOWLETWORQ@]IE NERAWENSTWAM (1.2.1), NAZYWA@T n-MI DESQTI^NYMI PRIBLIVENIQMI ^ISLA a SOOTWETSTWENNO S NEDOSTATKOM I S IZBYTKOM. dLQ KRATKOSTI W DALXNEJEM DROBI n , BUDEM NAZYWATX n-MI DESQTI^NYMI PRIBLIVENIQMI ^ISLA a (NE OTME^AQ, ^TO \TO PRIBLIVENIQ S NEDOSTATKOM). lEMMA 1.2.3. pUSTX a < b I n , n | n-YE DESQTI^NYE PRIBLIVENIQ ^ISEL a I b. tOGDA SU]ESTWUET TAKOE NATURALXNOE ^ISLO k, ^TO DLQ WSEH n > k WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO n ; n > 10;k : (1.2.2) 10
dOKAZATELXSTWO. bUDEM S^ITATX, ^TO W PREDSTAWLENII ^ISEL DESQTI^NYMI DROBQMI NE ISPOLXZUETSQ ZAPISX S 9 W PERIODE. pUSTX SNA^ALA a > 0 I m | TAKOE ^ISLO, ^TO ai = bi DLQ i = 0 1 : : : m ; 1 I am < bm . pOKAVEM, ^TO W KA^ESTWE k MOVNO WZQTX L@BOE NATURALXNOE ^ISLO, UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM: k > m I ak < 9. w SAMOM DELE, WOZXMEM ^ISLO c, U KOTOROGO ci = ai DLQ WSEH i 6= k I ck = ak + 10;k . pONQTNO, ^TO b > c. oBOZNA^IM n-YE DESQTI^NYE PRIBLIVENIQ ^ISLA c ^EREZ n . tOGDA DLQ n > m IMEEM n > n . nO ESLI n >;kk, TO n = n + 10;k . zNA^IT, DLQ \TIH n IMEEM n > n + 10 I WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO (1.2.2). eSLI a < 0 I b > 0, TO > 0 I DLQ L@BOGO k TAKOGO, ^TO ;a > 10;k, PRI WSEH n IMEEM n n ; n > ;n > ;a > 10;k : rASSMOTRIM, NAKONEC, SLU^AJ , KOGDA a < 0 I b < 0. tAK KAK a < 0, TO n + 10;n 6 0 I, ZNA^IT , n-YM DESQTI^NYM PRIBLIVENIEM ^ISLA jaj QWLQETSQ jn + 10;n j. tO^NO ;TAKVE n-YM DESQTI^NYM PRIBLIVENIEM ^ISLA jbj QWLQETSQ j n + 10 nj. iZ USLOWIQ a < b SLEDUET, ^TO jaj > jbj > 0. dLQ POLOVITELXNYH ^ISEL LEMMA UVE DOKAZANA I MY MOVEM WYBRATX TAKOE k, ^TO jn + 10;n j ; j n + 10;nj > 10;k DLQ WSEH n > k. nO jn + 10;nj ; j n + 10;n j = ;(n + 10;n) + ( n + 10;n) = n ; n I MY PRILI K OCENKE (1.2.2). lEMMA DOKAZANA. lEMMA 1.2.4. eSLI DLQ ^ISLA p SU]ESTWUET TAKOE NATURALXNOE ^ISLO q, ^TO DLQ WSEH NATURALXNYH n jpj 6 q 10;n TO p = 0. dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVIM PROTIWNOE. pUSTX DLQ NEKOTOROGO k ^ISLO pk (IZ PREDSTAWLENIQ p W WIDE BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI) OTLI^NO OT NULQ. nAJDEM NATURALXNOE m, DLQ KOTOROGO 10;k > q 10;m: tOGDA jpj > pk 10;k > 10;k > q 10;m ^TO PROTIWORE^IT USLOWI@. lEMMA DOKAZANA. 11
x 1.3.
tO^NAQ WERHNQQ I TO^NAQ NIVNQQ GRANI ^ISLOWYH MNOVESTW
sDELAEM NESKOLXKO PREDWARITELXNYH ZAME^ANIJ O MNOVESTWAH. mNOVESTWO QWLQETSQ ODNIM IZ ISHODNYH PONQTIJ W MATEMATIKE, ONO NE OPREDELQETSQ. mOVNO WMESTO SLOWA \MNOVESTWO" GOWORITX O NABORE, SOWOKUPNOSTI, SOBRANII, KOLLEKCII. nO WSE \TI SLOWA NE MOGUT SLUVITX OPREDELENIEM, ONI TOLXKO POQSNQ@T PONQTIE MNOVESTWA. mNOVESTWO MOVET SODERVATX ILI NE SODERVATX TE ILI INYE OB_EKTY, KOTORYE PRINQTO NAZYWATX \LEMENTAMI. eSLI \LEMENT x PRINADLEVIT MNOVESTWU A, TO PIUT x 2 A, A ESLI x NE PRINADLEVIT MNOVESTWU A, TO x 2= A. mNOVESTWO OPREDELQETSQ NABOROM SWOIH \LEMENTOW. pRINQTY SLEDU@]IE OBOZNA^ENIQ: N | MNOVESTWO NATURALXNYH ^ISEL, Z | MNOVESTWO CELYH ^ISEL, Q | MNOVESTWO RACIONALXNYH ^ISEL, R | MNOVESTWO DEJSTWITELXNYH ^ISEL. nARQDU S MNOVESTWAMI, SODERVA]IMI NEKOTORYE \LEMENTY, RASSMATRIWA@T MNOVESTWO, NE SODERVA]EE NI ODNOGO \LEMENTA. tAKOE MNOVESTWO NAZYWA@T PUSTYM I OBOZNA^A@T ?. eSLI MNOVESTWO SODERVIT HOTQ BY ODIN \LEMENT, EGO NAZYWA@T NEPUSTYM. oPREDELENIE. eSLI KAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA A PRINADLEVIT MNOVESTWU B , TO A NAZYWA@T PODMNOVESTWOM MNOVESTWA B I PIUT A B ILI B A. nAPRIMER, Q R, N Z Q . tAK KAK PUSTOE MNOVESTWO ? NE IMEET \LEMENTOW, TO S^ITA@T, ^TO ? A DLQ L@BOGO MNOVESTWA A. oPREDELENIE. eSLI A B I B A (T.E. KAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA A PRINADLEVIT B I KAVDYJ \LEMENT B PRINADLEVIT A), TO MNOVESTWA A I B NAZYWA@T RAWNYMI I PIUT A = B . w PROTIWNOM SLU^AE PIUT A 6= B . tAKIM OBRAZOM, ZAPISX A B NE ISKL@^AET TOGO, ^TO A = B . pEREHODIM K TEME NASTOQ]EGO PARAGRAFA O WERHNIH I NIVNIH GRANQH ^ISLOWYH MNOVESTW. tAK KAK SEJ^AS MY BUDEM RASSMATRIWATX TOLXKO ^ISLOWYE MNOVESTWA, TO BUDEM GOWORITX PROSTO O MNOVESTWAH, PODRAZUMEWAQ, ^TO \TO MNOVESTWA ^ISEL. oPREDELENIE. nEPUSTOE MNOVESTWO A NAZYWAETSQ OGRANI^ENNYM SWERHU, ESLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO K , ^TO x 6 K DLQ WSEH x 2 A. nEPUSTOE MNOVESTWO A NAZYWAETSQ OGRANI^ENNYM SNIZU, ESLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO k, ^TO x > k DLQ WSEH x 2 A. 12
oPREDELENIE eSLI MNOVESTWO OGRANI^ENO I SWERHU I SNIZU, EGO .
NAZYWA@T OGRANI^ENNYM. iNA^E MOVNO SKAZATX TAK: NEPUSTOE MNOVESTWO A NAZYWAETSQ OGRANI^ENNYM, ESLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO K , ^TO DLQ WSEH x 2 A SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO jxj 6 K . |TO WYTEKAET IZ TOGO, ^TO NERAWENSTWO jxj 6 K \KWIWALENTNO DWOJNOMU NERAWENSTWU ;K 6 x 6 K. oPREDELENIE. ~ISLO M NAZYWAETSQ TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ NEPUSTOGO MNOVESTWA A, ESLI 1) DLQ L@BOGO x 2 A WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO x 6 M 2) DLQ KAVDOGO ^ISLA M 0 < M SU]ESTWUET ^ISLO x0 2 A TAKOE, ^TO M 0 < x0 . mNOVESTWO MOVET IMETX TOLXKO ODNU TO^NU@ WERHN@@ GRANX. dEJSTWITELXNO, PREDPOLOVIM, ^TO ^ISLA M I M RAZLI^NY I OBA QWLQ@TSQ TO^NYMI WERHNIMI GRANQMI NEPUSTOGO MNOVESTWA A. pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI M < M . tAK KAK M | TO^NAQ WERHNQQ GRANX , TO SU]ESTWUET \LEMENT x 2 A TAKOJ, ^TO M < x . zNA^IT, M NE MOVET BYTX TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ MNOVESTWA A. oPREDELENIE. ~ISLO m NAZYWAETSQ TO^NOJ NIVNEJ GRANX@ NEPUSTOGO MNOVESTWA A, ESLI 1) DLQ L@BOGO x 2 A IMEEM m 6 x 2) DLQ KAVDOGO ^ISLA m0 > m SU]ESTWUET ^ISLO x0 2 A TAKOE, ^TO x0 < m0 . pONQTNO, ^TO I TO^NAQ NIVNQQ GRANX MNOVESTWA (ESLI ONA SU]ESTWUET) OPREDELQETSQ EDINSTWENNYM OBRAZOM. oBOZNA^ENIQ DLQ TO^NOJ WERHNEJ GRANI M = sup A = sup x x2A
(sup OT LATINSKOGO supremum | \WYSEE") I DLQ TO^NOJ NIVNEJ
GRANI
m = inf A = xinf x 2A
(inf OT LATINSKOGO infimum | \NIZEE"). qSNO, ^TO ESLI MNOVESTWO SOSTOIT IZ KONE^NOGO NABORA ^ISEL, TO EGO TO^NAQ WERHNQQ GRANX RAWNA NAIBOLXEMU, A TO^NAQ NIVNQQ GRANX | NAIMENXEMU IZ \TIH ^ISEL. eSLI MNOVESTWO IMEET TO^NU@ WERHN@@ GRANX, TO ONO OGRANI^ENO SWERHU, A ESLI IMEET TO^NU@ NIVN@@ GRANX, TO ONO OGRANI^ENO SNIZU. pOKAVEM, ^TO W \TIH UTWERVDENIQH OGRANI^ENNOSTX SWERHU 13
(SNIZU) QWLQETSQ NE TOLXKO NEOBHODIMYM, NO I DOSTATO^NYM USLOWIEM SU]ESTWOWANIQ TO^NYH GRANEJ. tEOREMA 1.3.1. eSLI NEPUSTOE MNOVESTWO A OGRANI^ENO SWERHU, TO ONO IMEET TO^NU@ WERHN@@ GRANX. dOKAZATELXSTWO. pREDSTAWIM WSE ^ISLA IZ A W WIDE BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ, ZAPRETIW ZAPISX S 0 W PERIODE. rASSMOTRIM SNA^ALA SLU^AJ, KOGDA SREDI ^ISEL MNOVESTWA A ESTX NEOTRICATELXNYE. tOGDA ZADA^A O SU]ESTWOWANII TO^NOJ WERHNEJ GRANI WSEGO MNO-
VESTWA A RAWNOSILXNA TAKOJ ZADA^E DLQ NEOTRICATELXNYH ^ISEL IZ A. tAK KAK NEOTRICATELXNYE ^ISLA IZ A OGRANI^ENY SWERHU, TO OGRANI^ENY SWERHU I CELYE ^ASTI \TIH ^ISEL. zNA^IT, SU]ESTWUET NAIBOLXEE ^ISLO SREDI \TIH CELYH ^ASTEJ. oBOZNA^IM EGO M0 . oSTAWIM TOLXKO TE ^ISLA IZ A, U KOTORYH CELAQ ^ASTX RAWNA M0 , I RASSMOTRIM PERWYE DESQTI^NYE ZNAKI OSTAWIHSQ ^ISEL. pUSTX M1 | NAIBOLXIJ IZ PERWYH DESQTI^NYH ZNAKOW. bUDEM TEPERX RASSMATRIWATX TOLXKO TE ^ISLA IZ A, U KOTORYH CELAQ ^ASTX I PERWYJ DESQTI^NYJ ZNAK RAWNY SOOTWETSTWENNO M0 I M1, T.E. DESQTI^NAQ ZAPISX KOTORYH NA^INAETSQ S M0 M1 . nAHODIM NAIBOLXIJ WTOROJ DESQTI^NYJ ZNAK U \TIH ^ISEL I OBOZNA^AEM EGO M2 . sNOWA OSTAWLQEM TOLXKO TE ^ISLA IZ A, DESQTI^NAQ ZAPISX KOTORYH NA^INAETSQ S M0 M1 M2 , I PROWODIM ANALOGI^NYE RASSUVDENIQ S TRETXIM DESQTI^NYM ZNAKOM. pRODOLVAQ \TOT PROCESS, POLU^IM BESKONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX M0 M1 M2 : : : . pOLOVIM M := M0 M1M2 : : : I POKAVEM, ^TO M = sup A. pO POSTROENI@ M > x DLQ L@BOGO x 2 A. s DRUGOJ STORONY, WZQW PROIZWOLXNOE ^ISLO M 0 := M00 M10 M20 : : : , MENXEE M , 0NAHODIM SREDI ^ISEL 0 1 2 : : : NAIMENXEE ^ISLO k TAKOE, ^TO Mk < Mk . nO SREDI ^ISEL MNOVESTWA A ESTX ^ISLO x0 , DESQTI^NOE RAZLOVENIE KOTOROGO NA^INAETSQ S M0 M1 : : : Mk . zNA^IT, DLQ ^ISLA x0 IMEEM 0 0 M < x I M DEJSTWITELXNO QWLQETSQ TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ MNOVESTWA A. pUSTX TEPERX MNOVESTWO A SODERVIT TOLXKO OTRICATELXNYE ^ISLA. w PREDSTAWLENII ^ISEL x 2 A W WIDE BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ x = ;x0 x1 x2 : : : NAHODIM NAIMENXEE IZ ^ISEL x0 . oBOZNA^IM \TO NAIMENXEE ^ISLO M0 . oSTAWIM TOLXKO TE ^ISLA IZ A, PREDSTAWLENIE KOTORYH W WIDE BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI NA^INAETSQ S ;M0. nAJDEM NAIMENXIJ PERWYJ DESQTI^NYJ ZNAK U \TIH ^ISEL I OBOZNA^IM EGO M1 . dALEE RASSMATRIWAEM TOLXKO TE ^ISLA, DESQ14
TI^NOE PREDSTAWLENIE KOTORYH NA^INAETSQ S ;M0M1 . nAHODIM U \TIH ^ISEL NAIMENXIJ WTOROJ DESQTI^NYJ ZNAK, OBOZNA^AEM EGO M2 I T.D. tOGDA ^ISLO M := ;M0 M1M2 : : : QWLQETSQ TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ MNOVESTWA A. w SAMOM DELE, NERAWENSTWO x0 6 M WYPOLNQETSQ DLQ WSEH x 2 A PO POSTROENI@. a DLQ L@BOGO M < M NAHODIM ^ISLO x0 2 A TAKOE, ^TO x0 > M 0 , S POMO]X@ RASSUVDENIJ, ANALOGI^NYH PROWEDENNYM WYE. tEOREMA DOKAZANA. tEOREMA 1.3.2. eSLI NEPUSTOE MNOVESTWO A OGRANI^ENO SNIZU, TO ONO IMEET TO^NU@ NIVN@@ GRANX. dOKAZATELXSTWO. wWEDEM MNOVESTWO B , SOSTOQ]EE IZ ^ISEL ;x, GDE x 2 A. iZ OGRANI^ENNOSTI MNOVESTWA A SNIZU SLEDUET OGRANI^ENNOSTX MNOVESTWA B SWERHU I, ZNA^IT, SOGLASNO TEOREME 1.3.1 MNOVESTWO B IMEET TO^NU@ WERHN@@ GRANX. nO ; sup B = inf A I, ZNA^IT, MNOVESTWO A IMEET TO^NU@ NIVN@@ GRANX. tEOREMA 1.3.3. pUSTX MNOVESTWO A NEPUSTO. eSLI 8x 2 A WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO x 6 K , TO sup A 6 K . eSLI 8x 2 A WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO x > k, TO inf A > k. eSLI 8x 2 A IMEEM x 6 K , TO sup A SU]ESTWUET SOGLASNO TEOREME 1.3.1. a NERAWENSTWO sup A 6 K LEGKO USTANOWITX OT PROTIWNOGO, SOSLAWISX NA USLOWIE 2) OPREDELENIQ TO^NOJ WERHNEJ GRANI. dLQ TO^NOJ NIVNEJ GRANI RASSUVDENIQ ANALOGI^NY. tEOREMA 1.3.4. dLQ L@BOGO ^ISLA a SPRAWEDLIWO RAWENSTWO a = sup , GDE TO^NAQ WERHNQQ GRANX BERETSQ PO WSEM RACIONALXNYM ^ISLAM 6 a. pRI \TOM MOVNO RASSMATRIWATX TOLXKO TE 6 a, KOTORYE ZAPISYWA@TSQ KONE^NYMI DESQTI^NYMI DROBQMI. nUVNO UBEDITXSQ TOLXKO W TOM, ^TO DLQ L@BOGO0 ^ISLA a0 < a NAJDETSQ KONE^NAQ DESQTI^NAQ DROBX TAKAQ, ^TO a < 6 a. a \TO SLEDUET IZ TEOREMY 1.2.1. tO^NAQ WERHNQQ I TO^NAQ NIVNQQ GRANI MNOVESTWA A MOGUT KAK PRINADLEVATX SAMOMU MNOVESTWU, TAK I NE PRINADLEVATX EMU. nAPRIMER, TO^NAQ NIVNQQ GRANX MNOVESTWA NATURALXNYH ^ISEL N | ^ISLO 1 | PRINADLEVIT N . a ESLI A | MNOVESTWO WSEH POLOVITELXNYH ^ISEL, TO ^ISLO 0 = inf A NE PRINADLEVIT A. eSLI sup A 2 A, TO WMESTO sup A ^ASTO PIUT max A. w ANALOGI^NOJ SITUACII WMESTO inf A PIUT min A. eSLI VE TO^NYE GRANI NE PRINADLEVAT MNOVESTWU ILI IH PRINADLEVNOSTX MNOVESTWU NEIZWESTNA ILI NE OBSUVDAETSQ, TO PIUT sup I inf. 15
x 1.4.
sLOVENIE ^ISEL
oPREDELIM SLOVENIE DEJSTWITELXNYH ^ISEL I USTANOWIM SWOJSTWA OPERACII SLOVENIQ. oPREDELENIE. sUMMOJ ^ISEL a I b NAZYWAETSQ ^ISLO a + b := sup( + ) GDE TO^NAQ WERHNQQ GRANX BERETSQ PO WSEM RACIONALXNYM ^ISLAM I TAKIM, ^TO 6 a I 6 b. sUMMA a + b OPREDELENA DLQ L@BYH ^ISEL a I b, TAK KAK DLQ WSEH RASSMATRIWAEMYH I ZNA^ENIQ SUMM + OGRANI^ENY SWERHU. w SAMOM DELE, ESLI a = a0 a1 a2 : : : I b = b0 b1 b2 : : : , TO a 6 a0 + 1 I b 6 b0 + 1. zNA^IT, 6 a0 + 1, 6 b0 + 1 I + 6 a0 + b0 + 2. wYQSNIM SWOJSTWA OPERACII SLOVENIQ ^ISEL (WTORAQ GRUPPA SWOJSTW DEJSTWITELXNYH ^ISEL). II.1. dLQ L@BYH ^ISEL a I b IMEEM a + b = b + a (KOMMUTATIWNOSTX ILI PEREMESTITELXNOE SWOJSTWO). |TO SWOJSTWO WYTEKAET IZ KOMMUTATIWNOSTI SLOVENIQ RACIONALXNYH ^ISEL. II.2. eSLI a < b, TO DLQ L@BOGO ^ISLA c IMEEM a + c < b + c. dOKAVEM SNA^ALA ANALOGI^NOE SWOJSTWO DLQ NESTROGIH NERAWENSTW: eSLI a 6 b, TO DLQ L@BOGO ^ISLA c IMEEM a + c 6 b + c. dEJSTWITELXNO, PUSTX I OBOZNA^A@T RACIONALXNYE ^ISLA. tOGDA a + c = sup ( + ): 6a 6c
eSLI ZAMENITX ZDESX USLOWIE 6 a NA 6 b, TO TO^NAQ WERHNQQ GRANX ZNA^ENIJ SUMM + MOVET TOLXKO UWELI^ITXSQ. pO\TOMU a + c 6 sup ( + ) = b + c: 6b 6c
oTS@DA WYTEKAET PRAWILO SLOVENIQ ODNOIMENNYH NESTROGIH NERAWENSTW: eSLI a 6 b I c 6 d, TO a + c 6 b + d. dLQ DOKAZATELXSTWA PRIBAWLQEM DWA RAZA ^ISLA K OBEIM ^ASTQM NESTROGOGO NERAWENSTWA: a + c 6 b + c 6 b + d: dOKAVEM TEPERX SWOJSTWO II.2. 16
oPIRAQSX NA TEOREMU 1.2.1, WYBEREM RACIONALXNYE ^ISLA I , DLQ KOTORYH IME@T MESTO NERAWENSTWA a < < < b. pOLXZUQSX TEM, ^TO SWOJSTWA DEJSTWIJ NAD RACIONALXNYMI ^ISLAMI;NAM IZWESTNY, NAHODIM TAKOE NATURALXNOE ^ISLO k, ^TO ; > > 10 k , OTKUDA < ; 10;k : (1.4.1) pUSTX k | k-OE DESQTI^NOE PRIBLIVENIE ^ISLA c, T.E. k 6 c 6 k + 10;k . sKLADYWAQ NERAWENSTWA I ISPOLXZUQ OCENKU (1.4.1), NAHODIM a + c 6 + k + 10;k < ; 10;k + k + 10;k = + k 6 b + c: tAKIM OBRAZOM, SWOJSTWO II.2 DOKAZANO. s POMO]X@ SWOJSTWA II.2 OBOSNOWYWAETSQ PRAWILO SLOVENIQ ODNOIMENNYH STROGIH NERAWENSTW: eSLI a < b I c < d, TO a + c < b + d. zAMETIM, ^TO ESLI DAVE ZAMENITX ZDESX ODNO IZ NERAWENSTW a < b ILI c < d NA NESTROGOE, TO WSE RAWNO POLU^IM STROGOE NERAWENSTWO a + c < b + d. II.3. dLQ L@BYH ^ISEL a, b I c IMEEM (a + b) + c = a + (b + c) (ASSOCIATIWNOSTX ILI SO^ETATELXNOE SWOJSTWO). wWEDEM OBOZNA^ENIQ u := (a + b) + c, v := a + (b + c). dOKAVEM ASSOCIATIWNOSTX OT PROTIWNOGO. pREDPOLOVIM, ^TO u 6= v. pUSTX, NAPRIMER, u < v. pOLXZUQSX TEOREMOJ 1.2.1, NAJDEM RACIONALXNYE ^ISLA I TAKIE, ^TO u < < < v, I WYBEREM NATURALXNOE n TAK, ^TOBY WYPOLNQLOSX NERAWENSTWO ; > 3 10;n : (1.4.2) wOZXMEM n-YE DESQTI^NYE PRIBLIVENIQ ^ISEL a, b I c: n 6 a 6 n + 10;n n 6 b 6 n + 10;n n 6 c 6 n + 10;n: sKLADYWAQ NERAWENSTWA, NAHODIM n + n 6 a + b 6 n + n + 2 10;n I n + n + n 6 (a + b) + c 6 n + n + n + 3 10;n eSLI !n := n + n + n , TO !n 6 u 6 !n + 3 10;n. aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ NERAWENSTWO v 6 !n + 3 ;10n ;n. u^ITYWAQ (1.4.2), IMEEM + 3 ;10n < < v 6 !n + 3 10;n . ; n oTS@DA + 3 10 < !n + 3 10 I, TAK KAK ZDESX WSE ^ISLA 17
RACIONALXNYE, TO < !n . nO S DRUGOJ STORONY !n 6 u < I MY PRILI K PROTIWORE^I@. sLOVENIE ^ISEL BYLO OPREDELENO DLQ DWUH SLAGAEMYH. nO BLAGODARQ ASSOCIATIWNOSTI SLOVENIQ MOVNO PISATX SUMMU TREH I BOLEE SLAGAEMYH BEZ SKOBOK, UKAZYWA@]IH PORQDOK DEJSTWIJ. eSLI WOSPOLXZOWATXSQ E]E SWOJSTWOM KOMMUTATIWNOSTI, TO POLU^IM, ^TO PRI SLOVENII ^ISEL MOVNO PROIZWOLXNYM OBRAZOM PERESTAWLQTX I GRUPPIROWATX SLAGAEMYE. II.4. dLQ L@BOGO ^ISLA a IMEEM a + 0 = a. dEJSTWITELXNO, a+0= sup + = sup = a 6a 60 2Q
6a 2Q
GDE POSLEDNEE RAWENSTWO IMEET MESTO SOGLASNO TEOREME 1.3.4. oTMETIM, ^TO0 SWOJSTWOM II.4 OBLADAET TOLXKO ^ISLO 0 0. dEJSTWITELXNO , ESLI 0 | TAKOE ^ISLO, ^TO 8a IMEEM a + 0 = a, TO 0 0 0 = 0 + 0 = 0. II.5.
a0 = 0.
dLQ KAVDOGO ^ISLA a SU]ESTWUET ^ISLO a0 TAKOE, ^TO a +
pOKAVEM, ^TO W KA^ESTWE a0 WZQTX ^ISLO ;a, T.E. ^ISLO a S PROTIWOPOLOVNYM ZNAKOM. pUSTX n | n-YE DESQTI^NYE PRIBLIVENIQ ^ISLA a, T.E. n 6 a 6 n + 10;n. tOGDA DLQ ;a, KAK OTME^ALOSX PRI OPREDELENII NERAWENSTW, IMEEM ;n ; 10;n 6 ;a 6 ;n . sLOVIW PO^LENNO \TI NERAWENSTWA, POLU^IM ;10;n 6 a +(;a) 6 10;n ILI ja + (;a)j 6 10;n . tAK KAK \TO NERAWENSTWO WYPOLNQETSQ DLQ WSEH n, TO SOGLASNO LEMME 1.2.4 OTS@DA SLEDUET RAWENSTWO a + (;a) = 0. ~ISLO a0 , DLQ KOTOROGO WYPOLNQETSQ RAWENSTWO a+a0 = 0, NAZYWAETSQ ^ISLOM, PROTIWOPOLOVNYM a. nETRUDNO WIDETX, ^TO L@BOGO a PROTIWOPOLOVNOE ^ISLO OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO. dEJSTWITELXNO, ESLI NARQDU S a + a0 = 0 IMEEM a + a00 = 0, TO a00 = a00 + 0 = a00 + (a + a0 ) = (a00 + a) + a0 = 0 + a0 = a0 :
oPREDELENIE rAZNOSTX@ ^ISEL a I b NAZYWAETSQ ^ISLO a ; b :=
a + (;b). dEJSTWIQ SLOVENIQ I WY^ITANIQ ^ISEL QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI. w SAMOM DELE, DLQ L@BYH a I b IMEEM (a + b) ; b = (a + b) + (;b) = a + (b + (;b)) = a: .
18
aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ RAWENSTWO (a ; b) + b = a. tAK KAK DEJSTWIQ SLOVENIQ I WY^ITANIQ ^ISEL WZAIMNO OBRATNY, TO SLAGAEMYE IZ ODNOJ ^ASTI RAWENSTW I NERAWENSTW MOVNO PERENOSITX (S PROTIWOPOLOVNYM ZNAKOM) W DRUGU@ IH ^ASTX. tEOREMA 1.4.1. dLQ L@BYH ^ISEL a I b SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO ja + bj 6 jaj + jbj: (1.4.3)
dOKAZATELXSTWO. sKLADYWAQ NERAWENSTWA a 6 jaj I b 6 jbj, POLU^AEM a + b 6 jaj + jbj. aNALOGI^NO, ;(a + b) = ;a ; b 6 jaj + jbj. nO ODNO IZ ^ISEL a + b ILI ;(a + b) RAWNO ja + bj, PO\TOMU TEOREMA DOKAZANA. nERAWENSTWO (1.4.3) NAZYWA@T NERAWENSTWOM TREUGOLXNIKA. x 1.5.
uMNOVENIE ^ISEL
oPREDELENIE eSLI ^ISLA a I b NEOTRICATELXNY, TO PROIZWEDENI.
EM a NA b NAZYWAETSQ ^ISLO ab := sup( ), GDE WERHNQQ GRANX BERETSQ PO WSEM NEOTRICATELXNYM RACIONALXNYM ^ISLAM I TAKIM, ^TO 6 a I 6 b. eSLI OBA ^ISLA a I b OTRICATELXNY, TO ab := jajjbj. eSLI ODNO IZ ^ISEL a I b OTRICATELXNO, A DRUGOE NEOTRICATELXNO, TO ab := ;(jajjbj). pROIZWEDENIE OPREDELENO DLQ L@BOJ PARY ^ISEL. dOSTATO^NO UBEDITXSQ W \TOM DLQ NEOTRICATELXNYH MNOVITELEJ a I b. nO ESLI 6 a = a0 a1 a2 : : : I 6 b = b0 b1b2 : : : , TO 6 a0 + 1 6 b0 + 1, ZNA^IT, 6 (a0 +1)(b0 +1) I OSTALOSX TOLXKO SOSLATXSQ NA TEOREMU 1.3.1.
zAMETIM, ^TO IZ OPREDELENIQ UMNOVENIQ SLEDUET, ^TO ESLI HOTQ BY ODIN IZ MNOVITELEJ a I b RAWEN NUL@, TO ab = 0. pERE^ISLIM SWOJSTWA UMNOVENIQ ^ISEL (TRETXQ GRUPPA SWOJSTW DEJSTWITELXNYH ^ISEL). III.1. dLQ L@BYH DWUH ^ISEL a I b SPRAWEDLIWO RAWENSTWO ab = ba (KOMMUTATIWNOSTX ILI PEREMESTITELXNOE SWOJSTWO). III.2. eSLI a < b I c > 0, TO ac < bc. III.3. dLQ L@BYH ^ISEL a b I c SPRAWEDLIWO RAWENSTWO (ab)c = a(bc) (ASSOCIATIWNOSTX ILI SO^ETATELXNOE SWOJSTWO). III.4. dLQ KAVDOGO ^ISLA a SPRAWEDLIWO RAWENSTWO a 1 = a. 0 III.5. dLQ KAVDOGO ^ISLA a 6= 0 SU]ESTWUET ^ISLO a TAKOE, ^TO 0 a a = 1. 19
dLQ L@BYH ^ISEL a, b I c SPRAWEDLIWO RAWENSTWO (a + b)c = ac + bc (DISTRIBUTIWNOSTX UMNOVENIQ OTNOSITELXNO SLOVENIQ ILI RASPREDELITELXNOE SWOJSTWO). sWOJSTWO III.1 WYTEKAET IZ KOMMUTATIWNOSTI UMNOVENIQ RACIONALXNYH ^ISEL. dLQ DOKAZATELXSTWA OSTALXNYH SWOJSTWA III.2{III.6 NE TREBU@ETSQ NOWYH SOOBRAVENIJ PO SRAWNENI@ S DOKAZATELXSTWAMI SWOJSTW SLOVENIQ. tAK VE, KAK I TAM, RASSMATRIWA@TSQ DESQTI^NYE PRIBLIVENIQ ^ISEL I ISPOLXZU@TSQ LEMMY 1.2.3 I 1.2.4. oDNAKO, DLQ POLNOGO DOKAZATELXSTWA SWOJSTW III.2{III.6 NEOBHODIMY KROPOTLIWYE RASSUVDENIQ, KOTORYE MY ZDESX NE PRIWODIM. iZ SWOJSTWA III.2 WYTEKAET PRAWILO UMNOVENIQ ODNOIMENNYH NERAWENSTW: eSLI WSE ^ISLA a b c d NEOTRICATELXNY, TO IZ a < b c < d SLEDUET ac < bd. dEJSTWITELXNO, ac < bc < bd. lEGKO PONQTX, ^TO \TO PRAWILO IMEET MESTO I W TOM SLU^AE, KOGDA ODNO IZ ^ISEL a ILI c OTRICATELXNO. nO ESLI OTRICATELXNY KAKIELIBO DWA IZ ^ISEL a b c d, TO POLU^ENNOE TAKIM OBRAZOM NERAWENSTWO MOVET OKAZATXSQ NEWERNYM. w DOPOLNENIE K SWOJSTWU III.2 OTMETIM, ^TO eSLI c < 0, TO IZ a < b SLEDUET ac > bc. w SAMOM DELE, W SILU SWOJSTWA III.2 IMEEM ajcj < bjcj, OTKUDA ;bjcj < ;ajcj. nO TAK KAK c < 0, TO jcj = ;c, ZNA^IT, bc < ac I MY POLU^ILI TREBUEMOE NERAWENSTWO. III.6.
x 1.6.
nEPRERYWNOSTX MNOVESTWA DEJSTWITELXNYH ^ISEL
dLQ DEJSTWITELXNYH ^ISEL IME@T MESTO TRI GRUPPY SWOJSTW, KASA@]IESQ SRAWNENIQ ^ISEL, SLOVENIQ I UMNOVENIQ. wSE \TI SWOJSTWA FORMULIRU@TSQ TO^NO TAK VE, KAK DLQ RACIONALXNYH ^ISEL. tAKIM OBRAZOM, MY RASIRILI MNOVESTWO RACIONALXNYH ^ISEL DO MNOVESTWA DEJSTWITELXNYH ^ISEL, SOHRANIW UKAZANNYE SWOJSTWA, ^TO DAET WOZMOVNOSTX OPERIROWATX S DEJSTWITELXNYMI ^ISLAMI PO TEM VE PRAWILAM, ^TO I S RACIONALXNYMI ^ISLAMI. w KOLE \TO S^ITALOSX SAMO SOBOJ RAZUME@]IMSQ, A TEPERX TAKOJ WYWOD POLU^IL OBOSNOWANIE. nO DEJSTWITELXNYE ^ISLA OBLADA@T E]E ODNIM SWOJSTWOM, KOTOROE DLQ RACIONALXNYH ^ISEL NE WYPOLNQETSQ. |TO SWOJSTWO NEPRERYWNOSTI MNOVESTWA DEJSTWITELXNYH ^ISEL. w PRINQTOM IZLOVENII ONO FORMULIRUETSQ W WIDE TEOREMY 1.3.1 O TO^NOJ WERHNEJ GRANI. 20
dLQ KAVDOGO NEPUSTOGO OGRANI^ENNOGO SWERHU MNOVESTWA SU]ESTWUET ^ISLO, QWLQ@]EESQ EGO TO^NOJ WERHNEJ GRANX@. sWOJSTWO NEPRERYWNOSTI MOVNO WYRAZITX I W DRUGIH TERMINAH. mY POZNAKOMIMSQ E]E S FORMULIROWKOJ W TERMINAH POSLEDOWATELXNOSTEJ WLOVENNYH OTREZKOW.
IV.
x 1.7.
pOSLEDOWATELXNOSTI WLOVENNYH OTREZKOW
nAPOMNIM OPREDELENIQ ^ISLOWYH PROMEVUTKOW, DAWAWIESQ W KOLE. eSLI a < b, TO MNOVESTWO ^ISEL x, UDOWLETWORQ@]IH NERAWENSTWAM a 6 x 6 b, NAZYWA@T OTREZKOM (^ISLOWYM OTREZKOM) I OBOZNA^A@T a b]. tO^KI a I b NAZYWA@T KONCAMI OTREZKA, A DLINOJ OTREZKA NAZYWA@T ^ISLO b ; a. mNOVESTWO ^ISEL x, UDOWLETWORQ@]IH NERAWENSTWAM a < x < b, NAZYWA@T INTERWALOM (S KONCAMI W TO^KAH a I b) I OBOZNA^A@T (a b). ~ISLO b ; a NAZYWA@T DLINOJ INTERWALA. wSTRE^A@]EESQ W NEKOTORYH RUKOWODSTWAH OBOZNA^ENIE DLQ INTERWALA ]a b NE PRIVILOSX. rASSMATRIWA@T TAKVE POLUOTREZKI a b), KOGDA a 6 x < b, I (a b], KOGDA a < x 6 b. iH NAZYWA@T TAKVE POLUINTERWALAMI. tAKIM OBRAZOM, KWADRATNU@ SKOBKU PIUT, ESLI SOOTWETSTWU@]AQ KONCEWAQ TO^KA PRINADLEVIT PROMEVUTKU, INA^E PIUT KRUGLU@ SKOBKU. oBOZNA^ENIQ DLQ BESKONE^NYH PROMEVUTKOW: MNOVESTWO ^ISEL x, DLQ KOTORYH x > a, OBOZNA^A@T a +1) DLQ KOTORYH x > a, OBOZNA^A@T (a +1) DLQ KOTORYH x 6 a, OBOZNA^A@T (;1 a] DLQ KOTORYH x < a, OBOZNA^A@T (;1 a). nAKONEC, WSE ^ISLA OBRAZU@T INTERWAL (;1 +1). oTREZKI, INTERWALY I POLUOTREZKI (KAK KONE^NYE, TAK I BESKONE^NYE) BUDEM NAZYWATX PROMEVUTKAMI. eSLI a b] c d], TO GOWORQT, ^TO OTREZOK a b] WLOVEN W OTREZOK c d]. dADIM TEPERX OPREDELENIE POSLEDOWATELXNOSTI. oPREDELENIE. eSLI KAVDOMU NATURALXNOMU ^ISLU n POSTAWLEN W SOOTWETSTWIE NEKOTORYJ \LEMENT MNOVESTWA A, KOTORYJ BUDEM OBOZNA^ATX xn , TO GOWORQT, ^TO \LEMENTY x1 x2 x3 : : : OBRAZU@T POSLEDOWATELXNOSTX. |TU POSLEDOWATELXNOSTX OBOZNA^A@T fxn g1 n=1 ILI PROSTO fxn g. 21
|LEMENTY, SOSTAWLQ@]IE POSLEDOWATELXNOSTX, NAZYWA@T ^LENAMI POSLEDOWATELXNOSTI. w \TOM OPREDELENII NUMERACIQ ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI xn NA^INAETSQ S n = 1. |TO NE OBQZATELXNO, INOGDA BYWAET UDOBNO NA^INATX NUMERACI@ S NULQ. mOVNO WOOB]E NA^INATX NUMERACI@ S PROIZWOLXNOGO CELOGO ^ISLA. oTMETIM, ^TO W OTLI^IE OT KOLXNOGO OPREDELENIQ MY S^ITAEM POSLEDOWATELXNOSTI BESKONE^NYMI. ~LENY POSLEDOWATELXNOSTI xn I xm PRI n 6= m NE OBQZATELXNO DOLVNY BYTX RAZNYMI \LEMENTAMI MNOVESTWA A. bOLEE TOGO, WSE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI MOGUT BYTX ODNIM I TEM VE \LEMENTOM. tAKIE POSLEDOWATELXNOSTI NAZYWA@T STACIONARNYMI. oPREDELIM ^ISLOWYE POSLEDOWATELXNOSTI, SHODQ]IESQ K NUL@. oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO ^ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX x1 x2 , : : : SHODITSQ K NUL@, ESLI DLQ KAVDOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA " SU]ESTWUET TAKOE (ZAWISQ]EE OT ") ^ISLO N , ^TO DLQ WSEH NOMEROW n > N SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO jxn j < ": (1.7.1) dRUGIMI SLOWAMI MOVNO SKAZATX, ^TO DLQ KAVDOGO " > 0 NERAWENSTWO (1.7.1) DOLVNO WYPOLNQTXSQ DLQ WSEH DOSTATO^NO BOLXIH n. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fxn g SHODITSQ K NUL@, TO GOWORQT, ^TO ^LENY \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI (T.E. ^ISLA xn ) STREMQTSQ K NUL@. tEOREMA 1.7.1. pUSTX ZADANA POSLEDOWATELXNOSTX OTREZKOW an bn ], n = 1 2 : : : , GDE KAVDYJ SLEDU@]IJ OTREZOK WLOVEN W PREDYDU]IJ. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX DLIN \TIH OTREZKOW SHODITSQ K NUL@, TO SU]ESTWUET I PRITOM TOLXKO ODNO ^ISLO, PRINADLEVA]EE WSEM OTREZKAM an bn ]. dOKAZATELXSTWO. tAK KAK WSE OTREZKI an bn] SODERVATSQ W a1 b1 ], TO POSLEDOWATELXNOSTX fan g LEWYH KONCOW OTREZKOW OGRANI^ENA SWERHU ^ISLOM b1 . rASSMOTRIM ^ISLO c := supn an . sNA^ALA DOKAVEM, ^TO c PRINADLEVIT WSEM OTREZKAM an bn ], A ZATEM UBEDIMSQ, ^TO \TIM SWOJSTWOM OBLADAET TOLXKO ODNO ^ISLO. pO OPREDELENI@ TO^NOJ WERHNEJ GRANI 8n IMEEM an 6 c. s DRUGOJ STORONY, ESLI BY DLQ NEKOTOROGO k MY IMELI bk < c, TO PO OPREDELENI@ TO^NOJ WERHNEJ GRANI NAELSQ BY TAKOJ NOMER m, ^TO bk < am . nO TOGDA OTREZKI ak bk ] I am bm ] NE IMELI BY OB]IH TO^EK, ^TO PROTIWORE^IT USLOWI@, ^TO OTREZKI WLOVENY. iTAK, 8k IMEEM c 6 bk , ZNA^IT, c 2 ak bk ] DLQ WSEH k. 22
dOKAVEM EDINSTWENNOSTX. pUSTX SU]ESTWU@T NERAWNYE MEVDU SOBOJ ^ISLA c I d, PRINADLEVA]IE WSEM OTREZKAM an bn ], I DLQ OPREDELENNOSTI c < d. tOGDA IZ USLOWIJ an 6 c I d 6 bn NAHODIM bn ; an > d ; c > 0 n = 1 2 : : : , T.E. POSLEDOWATELXNOSTX DLIN OTREZKOW NE SHODITSQ K NUL@. pOLU^ENNOE PROTIWORE^IE ZAWERAET DOKAZATELXSTWO TEOREMY. zAMETIM, ^TO W USLOWIQH \TOJ TEOREMY NELXZQ ZAMENITX OTREZKI an bn] NA INTERWALY (an bn). w SAMOM DELE, DLQ POSLEDOWATELXNOSTI INTERWALOW (0 2;n) KAVDYJ SLEDU@]IJ INTERWAL WLOVEN W PREDYDU]IJ I POSLEDOWATELXNOSTX DLIN \TIH INTERWALOW f2;ng SHODITSQ K NUL@. nO NIKAKOE ^ISLO NE MOVET PRINADLEVATX WSEM \TIM INTERWALAM. tEOREMA 1.7.1 POZWOLQET ZAKON^ITX ISSLEDOWANIE SWQZI DEJSTWITELXNYH ^ISEL I TO^EK ^ISLOWOJ PRQMOJ. w x 1.1 BYLO POKAZANO, KAK PO TO^KE NA ^ISLOWOJ PRQMOJ NAJTI SOOTWETSTWU@]U@ EJ BESKONE^NU@ DESQTI^NU@ DROBX. pRI RASSMOTRENII OBRATNOJ ZADA^I O POSTROENII TO^KI, SOOTWETSTWU@]EJ ZADANNOJ BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI, BYLO POKAZANO, ^TO ISKOMAQ TO^KA DOLVNA PRINADLEVATX WSEM OTREZKAM NEKOTOROJ POSLEDOWATELXNOSTI WLOVENNYH OTREZKOW, DLINA KAVDOGO IZ KOTORYH W 10 RAZ MENXE DLINY PREDYDU]EGO. nO WOPROS O SU]ESTWOWANII TAKOJ TO^KI OSTAWALSQ OTKRYTYM. tEPERX MY ZNAEM, ^TO OB]AQ WSEM \TIM OTREZKAM TO^KA SU]ESTWUET. zNA^IT, KAVDOMU DEJSTWITELXNOMU ^ISLU SOOTWETSTWUET I PRITOM TOLXKO ODNA TO^KA ^ISLOWOJ PRQMOJ. wWEDEM PONQTIE WZAIMNO ODNOZNA^NOGO SOOTWETSTWIQ MEVDU MNOVESTWAMI. oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO MEVDU MNOVESTWAMI A I A0 USTANOWLENO WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE, ESLI KAVDOMU \LEMENTU x 2 A POSTAWLEN W SOOTWETSTWIE \LEMENT x0 2 A0 I PRI \TOM KAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA A0 SOOTWETSTWUET I PRITOM TOLXKO ODNOMU \LEMENTU IZ MNOVESTWA A. tAKOE SOOTWETSTWIE \LEMENTOW BUDEM OBOZNA^ATX x $ x0 . iSPOLXZUQ \TO PONQTIE, MOVNO SKAZATX, ^TO MEVDU TO^KAMI ^ISLOWOJ PRQMOJ I DEJSTWITELXNYMI ^ISLAMI USTANOWLENO WZAIMNO ODNOZNA^NOGO SOOTWETSTWIE. pO\TOMU ^ASTO TO^KI ^ISLOWOJ PRQMOJ NAZYWA@T ^ISLAMI I, NAOBOROT, ^ISLA NAZYWA@T TO^KAMI. mY POLU^ILI TEOREMU 1.7.1 O WLOVENNYH OTREZKAH KAK SLEDSTWIE TEOREMY 1.3.1 O TO^NOJ WERHNEJ GRANI. pOKAVEM, ^TO IZ TEOREMY O WLOVENNYH OTREZKAH MOVNO WYWESTI TEOREMU O TO^NOJ WERHNEJ GRANI. pUSTX A | NEPUSTOE OGRANI^ENNOE SWERHU MNOVESTWO. zNA^IT, 23
SU]ESTWUET ^ISLO L TAKOE, ^TO 8x 2 A IMEEM x < L. wOZXMEM PROIZWOLXNOE ^ISLO x0 2 A I WWEDEM OTREZOK a1 b1 ] := x0 L]. zAMETIM, ^TO OTREZOK a1 b1] SODERVIT TO^KI IZ A, A PRAWEE \TOGO OTREZKA TO^EK IZ A NET. rAZDELIM OTREZOK a1 b1] POPOLAM I OBOZNA^IM ^EREZ a2 b2 ] TOT IZ POLU^ENNYH OTREZKOW, KOTORYJ SAM SODERVIT TO^KI IZ A, A PRAWEE EGO TO^EK IZ A NET. pO POSTROENI@ b2 ; a2 = (b1 ; a1 )=2. nA SLEDU@]EM AGE DELIM OTREZOK a2 b2 ] POPOLAM I WYBIRAEM TAKOJ IZ OTREZO^KOW, ^TO SAM ON SODERVIT TO^KI IZ A, A PRAWEE EGO TO^EK IZ A NET. pRODOLVIW \TOT PROCESS NEOGRANI^ENNO, POLU^IM POSLEDOWATELXNOSTX WLOVENNYH OTREZKOW a1 b1 ] a2 b2 ] a3 b3 ] : : : , KAVDYJ IZ KOTORYH SODERVIT TO^KI IZ A, A PRAWEEn;EGO TO^EK IZ A NET. kROME TOGO, PO POSTROENI@ bn ;an = (b1 ;a1)=2 1 , ZNA^IT, POSLEDOWATELXNOSTX DLIN OTREZKOW SHODITSQ K NUL@. pO TEOREME O WLOVENNYH OTREZKAH SU]ESTWUET EDINSTWENNAQ TO^KA c, PRINADLEVA]AQ WSEM \TIM OTREZKAM. pOKAVEM, ^TO \TA TO^KA c = sup A. 1) dLQ WSEH x 2 A IMEEM x 6 c. dEJSTWITELXNO, ESLI BY SU]ESTWOWALA TO^KA x 2 A TAKAQ, ^TO x > c, TO MY WZQLI BY OTREZOK an bn ], DLINA KOTOROGO MENXE x ; c. t.E. x ; c > bn ; an , OTKUDA x > bn ; an + c. tAK KAK \TOT OTREZOK SODERVIT TO^KU c, TO an 6 c I, ZNA^IT, x > bn . nO PO POSTROENI@ TO^EK MNOVESTWA A, LEVA]IH PRAWEE OTREZKOW an bn ], NET. 2) wOZXMEM PROIZWOLXNOE ^ISLO c0 < c I NAJDEM OTREZOK an bn ], DLINA KOTOROGO MENXE c ;0c0. |TOT OTREZOK SODERVIT TO^KU c I, ZNA^IT, NE MOVET SODERVATX c (ZDESX, KAK I WYE, PRIWEDENNOE RASSUVDENIE NA GEOMETRI^ESKOM QZYKE LEGKO ZAPISATX W WIDE NERAWENSTW). nO W KAVDOM OTREZKE an bn ] ESTX TO^KI IZ A, ZNA^IT, PRAWEE TO^KI c0 ESTX HOTQ BY ODNA TO^KA IZ A. iTAK, MY DOKAZALI, ^TO c = sup A. tAKIM OBRAZOM, TEOREMA O TO^NOJ WERHNEJ GRANI I TEOREMA O WLOVENNYH OTREZKAH \KWIWALENTNY. x 1.8.
s^ETNYE I NES^ETNYE MNOVESTWA
rASSMATRIM WOPROSY, SWQZANNYE SO SRAWNENIEM MNOVESTW PO KOLI^ESTWU SODERVA]IHSQ W NIH \LEMENTOW. dLQ KONE^NYH MNOVESTW (T.E. MNOVESTW IZ KONE^NOGO ^ISLA \LEMENTOW) ZADA^A REAETSQ PROSTO, TAK KAK KOLI^ESTWO \LEMENTOW KONE^NOGO MNOVESTWA WYRAVAETSQ NATURALXNYM ^ISLOM. w SLU^AE, KOGDA NE IMEET ZNA^ENIQ, SKOLXKO IMENNO \LEMENTOW SODERVAT KONE^NYE MNOVESTWA A I B , A NUVNO ZNATX TOLXKO, W KAKOM 24
IZ NIH \LEMENTOW BOLXE, UDOBNO ISPOLXZOWATX SLEDU@]EE SOOBRAVENIE. eSLI MOVNO USTANOWITX WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU \LEMENTAMI MNOVESTWA A I \LEMENTAMI NEKOTOROGO PODMNOVESTWA MNOVESTWA B , TO ^ISLO \LEMENTOW MNOVESTWA A NE BOLXE, ^EM ^ISLO \LEMENTOW W B . tAKOJ PODHOD KLADETSQ W OSNOWU SRAWNENIQ KOLI^ESTWA \LEMENTOW BESKONE^NYH (T.E. NE QWLQ@]IHSQ KONE^NYMI) MNOVESTW. oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO DWA MNOVESTWA IME@T ODINAKOWU@ MO]NOSTX (QWLQ@TSQ RAWNOMO]NYMI ), ESLI MEVDU IH \LEMENTAMI MOVNO USTANOWITX WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE. eSLI MNOVESTWO A IMEET ODINAKOWU@ MO]NOSTX S NEKOTORYM PODMNOVESTWOM MNOVESTWA B , TO GOWORQT, ^TO MO]NOSTX MNOVESTWA A MENXE ILI RAWNA MO]NOSTI MNOVESTWA B . oPREDELENIE. mNOVESTWO NAZYWAETSQ S^ETNYM, ESLI ONO IMEET ODINAKOWU@ MO]NOSTX S MNOVESTWOM NATURALXNYH ^ISEL. zAMETIM, ^TO S^ETNOSTX MNOVESTWA \KWIWALENTNA WOZMOVNOSTI PREDSTAWITX WSE EGO \LEMENTY W WIDE POSLEDOWATELXNOSTI a1 a2 a3 : : : (1.8.1) W KOTOROJ KAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA U^ASTWUET ODIN RAZ. dEJSTWITELXNO, ESLI MNOVESTWO A S^ETNO, T.E. IMEETSQ WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE \LEMENTOW A I N , TO MOVNO PREDSTAWITX WSE \LEMENTY MNOVESTWA A W WIDE POSLEDOWATELXNOSTI, ZAPISAW SNA^ALA \LEMENT, SOOTWETSTWU@]IJ ^ISLU 1, ZATEM \LEMENT, SOOTWETSTWU@]IJ ^ISLU 2, I T.D. nAOBOROT, ESLI WSE \LEMENTY MNOVESTWA A ZAPISANY W WIDE POSLEDOWATELXNOSTI (1.8.1), TO POSTAWIW \LEMENT ak W SOOTWETSTWIE ^ISLU k, POLU^IM WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MNOVESTW A I N. s^ETNYE MNOVESTWA | SAMYE \MALENXKIE" SREDI BESKONE^NYH MNOVESTW. dEJSTWITELXNO, PUSTX MNOVESTWO A BESKONE^NO. wOZXMEM NEKOTORYJ \LEMENT IZ A, OBOZNA^AEM EGO a1 . w SILU BESKONE^NOSTI A W A, KROME a1 , ESTX E]E DRUGIE \LEMENTY. wYBIRAEM KAKOJ-LIBO IZ NIH I OBOZNA^AEM EGO a2 . pRODOLVAQ NEOGRANI^ENNO \TOT PROCESS, POLU^IM S^ETNOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA A. tAKIM OBRAZOM, KAVDOE BESKONE^NOE MNOVESTWO SODERVIT S^ETNOE PODMNOVESTWO. rASSMOTRIM PRIMERY S^ETNYH MNOVESTW. pO^TI O^EWIDNYJ PRIMER | S^ETNOSTX MNOVESTWA Z. dEJSTWITELXNO, WSE CELYE ^ISLA MOVNO PREDSTAWITX W WIDE POSLEDOWATELXNOSTI 0 1 ;1 2 ;2 : : : : 25
tEOREMA
mNOVESTWO RACIONALXNYH ^ISEL S^ETNO. dOKAZATELXSTWO. tEOREMA BUDET DOKAZANA, ESLI MY POSTROIM POSLEDOWATELXNOSTX, SODERVA]U@ WSE RACIONALXNYE ^ISLA (KAVDOE RACIONALXNOE ^ISLO DOLVNO U^ASTWOWATX W \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI TOLXKO ODIN RAZ). dLQ \TOGO STROIM SNA^ALA POSLEDOWATELXNOSTI, SODERVA]IE WSE OTLI^NYE OT NULQ RACIONALXNYE ^ISLA S FIKSIROWANNYMI ZNAMENATELQMI: 1.8.1.
1 1
1 1
2 1
2 1
....
1 2
1 2
2 2
2 2
....
1 3
1 3
2 3
2 3
....
...
...
...
...
....
tEPERX PIEM ^ISLO 0, A ZATEM ZAPISYWAEM ^ISLA, DWIGAQSX W POSTROENNOJ BESKONE^NOJ TABLICE PO DIAGONALQM. pERED TEM, KAK NAPISATX O^EREDNOE ^ISLO, PROWERQEM, ^TO \TOGO ^ISLA NET SREDI UVE ZAPISANNYH. tAK POLU^IM NUVNU@ POSLEDOWATELXNOSTX. tEOREMA 1.8.2. mNOVESTWO DEJSTWITELXNYH ^ISEL NES^ETNO. dOKAZATELXSTWO. pOKAVEM, ^TO NES^ETNO MNOVESTWO DEJSTWITELXNYH ^ISEL IZ INTERWALA (0 1). pREDPOLOVIM, ^TO \TO UTWERVDENIE NEWERNO I SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX x1 x2 x3 : : : (1.8.2) SODERVA]AQ WSE ^ISLA IZ (0 1). pUSTX xn = 0 xn1 xn2 : : : , n = = 1 2 : : : | PREDSTAWLENIE ^ISEL xn W WIDE BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ. mY S^ITAEM, ^TO WYBRANA KAKAQ-LIBO ODNA FORMA ZAPISI BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ | ILI S 0, ILI S 9 W PERIODE. zAPIEM \TI PREDSTAWLENIQ W WIDE BESKONE^NOJ TABLICY: x1 = 0 x11 x12 x13 : : : x2 = 0 x21 x22 x23 : : : x3 = 0 x31 x32 x33 : : : ::: ::: ::: ::: 26
pOSTROIM ^ISLO IZ INTERWALA (0 1), KOTOROGO W POSLEDOWATELXNOSTI (1.8.2) NET. pOLOVIM a := 0 a1 a2 : : : , GDE WSE DESQTI^NYE ZNAKI ai WYBIRAEM SREDI CIFR 1 2 : : : 8 TAK, ^TOBY WYPOLNQLISX NERAWENSTWA a1 6= x11 a2 6= x22 : : : . tOGDA W ZAPISI ^ISLA a W WIDE BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI CIFRY 0 I 9 NE U^ASTWU@T WOWSE, I ^ISLO a NE MOVET RAWNQTXSQ NI ODNOMU IZ ^ISEL xn , TAK KAK an 6= xnn DLQ WSEH n. tEOREMA DOKAZANA. oPREDELENIE. mNOVESTWA, IME@]IE ODINAKOWU@ MO]NOSTX S OTREZKOM 0 1], NAZYWA@T MNOVESTWAMI MO]NOSTI KONTINUUM. w \TOM OPREDELENII MOVNO BYLO GOWORITX OB ODINAKOWOJ MO]NOSTI S INTERWALOM (0 1), TAK KAK NETRUDNO USTANOWITX WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE OTREZKA 0 1] I INTERWALA (0 1). |TO MOVNO SDELATX, NAPRIMER, TAK. wYDELIM PROIZWOLXNOE S^ETNOE MNOVESTWO A (0 1). zAPIEM WSE \LEMENTY A W WIDE POSLEDOWATELXNOSTI a1 a2 : : : (WSE \LEMENTY \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI RAZLI^NY) I RASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX B , IME@]U@ WID 0 1 a1 a2 : : : . wSEM ^ISLAM IZ (0 1), NE WHODQ]IM W A, STAWIM W SOOTWETSTWIE IH SAMIH KAK \LEMENTY IZ 0 1]. a POSLEDOWATELXNOSTI A I B ZAPISYWAEM ODNU POD DRUGOJ a1 a2 a3 a4 : : : 0 1 a1 a2 : : : I STAWIM W SOOTWETSTWIE DRUG DRUGU \LEMENTY IZ ODNOGO STOLBCA. w OPREDELENII MNOVESTW MO]NOSTI KONTINUUM NE IMEET ZNA^ENIQ I TOT FAKT, ^TO BERETSQ IMENNO OTREZOK 0 1]. mOVNO BYLO BRATX L@BOJ OTREZOK a b], TAK KAK WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU 0 1] I a b] LEGKO USTANOWITX S POMO]X@ FORMULY t = a + (b ; a)x x 2 0 1], ILI GEOMETRI^ESKI:
0
a
x
1
b
t
w DALXNEJEM MY UWIDIM, ^TO MNOVESTWO WSEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL TAKVE IMEET MO]NOSTX KONTINUUM. 27
gLAWA
x 2.1.
2
predel posledowatelxnosti oPREDELENIE PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI
nAPOMNIM OPREDELENIE POSLEDOWATELXNOSTI \LEMENTOW PROIZWOLXNOGO MNOVESTWA A, DANNOE W x 1.7. eSLI KAVDOMU NATURALXNOMU ^ISLU n POSTAWLEN W SOOTWETSTWIE NEKOTORYJ \LEMENT xn IZ MNOVESTWA A, TO GOWORQT, ^TO \LEMENTY x1 x2 x3 : : : OBRAZU@T POSLEDOWATELXNOSTX fxn g. w \TOJ GLAWE W OSNOWNOM RASSMATRIWA@TSQ ^ISLOWYE POSLEDOWATELXNOSTI. dLQ KRATKOSTI BUDEM NAZYWATX IH PROSTO POSLEDOWATELXNOSTQMI. oPREDELENIE. ~ISLO a NAZYWA@T PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fxng, ESLI DLQ KAVDOGO POLOVITELXNOGO " SU]ESTWUET ^ISLO N = N (") TAKOE, ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jxn ; aj < ": (2.1.1) w \TOM SLU^AE PIUT a = nlim x = lim xn (2.1.2) !1 xn = lim n n ILI xn ! a n ! 1: pRI a = 0 \TO OPREDELENIE BYLO DANO W x 1.7, KOGDA GOWORILOSX O POSLEDOWATELXNOSTQH, SHODQ]IHSQ K NUL@. nERAWENSTWO (2.1.1) RAWNOSILXNO DWOJNOMU NERAWENSTWU ;" < xn ; a < " I, ZNA^IT, RAWNOSILXNO DWOJNOMU NERAWENSTWU a ; " < xn < a + ", KOTOROE OZNA^AET, ^TO xn 2 (a ; " a + "): oPREDELENIE. iNTERWAL (a ; " a + "), GDE " > 0, NAZYWA@T "-OKRESTNOSTX@ TO^KI a. iSPOLXZUQ PONQTIE "-OKRESTNOSTI, OPREDELENIE PREDELA MOVNO SFORMULIROWATX TAK. ~ISLO a NAZYWAETSQ PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI, ESLI DLQ KAVDOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA " WSE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI, NA^INAQ S NEKOTOROGO, PRINADLEVAT "-OKRESTNOSTI TO^KI a. 28
oPREDELENIE eSLI POSLEDOWATELXNOSTX IMEET PREDEL, EE NAZYWA.
@T SHODQ]EJSQ. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX NE IMEET PREDELA, EE NAZYWA@T RASHODQ]EJSQ. eSLI ^ISLO a QWLQETSQ PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fxn g, TO GOWORQT, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ K a. pRO ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI (^ISLA xn ) GOWORQT, ^TO ONI SHODQTSQ ILI STREMQTSQ K a. oTMETIM, ^TO SHODIMOSTX ILI RASHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI I ZNA^ENIE PREDELA, ESLI POSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ, NE ZAWISQT OT EE NA^ALXNYH ^LENOW. tEOREMA 2.1.1. pREDEL SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO. dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVIM PROTIWNOE | PUSTX ^ISLA a I b QWLQ@TSQ PREDELAMI POSLEDOWATELXNOSTI fxn g I a 6= b, DLQ OPREDELENNOSTI a < b. wOZXMEM " := (b ; a)=2. |TO ^ISLO POLOVITELXNOE. pOLXZUQSX SHODIMOSTX@ POSLEDOWATELXNOSTI K a, NAHODIM N1 TAKOE, ^TO a ; " < xn < a + " (2.1.3) DLQ WSEH n > N1 . tO^NO TAKVE W SILU SHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI K b NAHODIM N2 TAKOE, ^TO b ; " < xn < b + " (2.1.4) DLQ WSEH n > N2 . pO\TOMU, ESLI n > N := max(N1 N2 ), TO WYPOLNQ@TSQ OBA NERAWENSTWA: I (2.1.3) I (2.1.4). tAK KAK a+"=a+ b;a = a+b 2
2
I b ; " = (a + b)=2, TO IZ PRAWOGO NERAWENSTWA (2.1.3) I LEWOGO NERAWENSTWA (2.1.4) SLEDUET, ^TO DLQ n > N x
2
n
I MY PRILI K PROTIWORE^I@. tEOREMA DOKAZANA. pRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY RASSMATRIWALISX NERAWENSTWA (2.1.3) I (2.1.4), KOTORYE IMELI MESTO PERWOE DLQ n > N1 I WTOROE DLQ n > N2 . ~TOBY WYPOLNQLISX OBA \TI NERAWENSTWA, MY BRALI n > N = max(N1 N2 ). tAKOJ PRIEM BUDET ^ASTO ISPOLXZOWATXSQ W DALXNEJEM BEZ DOPOLNITELXNYH POQSNENIJ. 29
x 2.2.
tEOREMA
sWOJSTWA PREDELOW SWQZANNYE S NERAWENSTWAMI ,
2.2.1. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ, TO ONA OGRANI^ENA. dOKAZATELXSTWO. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX fxn g SHODITSQ I a := lim x . wZQW " = 1, NAHODIM N TAKOE, ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQn n ETSQ NERAWENSTWO jxn ; aj < 1. tOGDA DLQ \TIH n jxn j = jxn ; a + aj 6 jxn ; aj + jaj < 1 + jaj: pO\TOMU, ESLI POLOVITX L := max(jx1 j jx2 j : : : jxN j 1 + jaj), TO POLU^IM jxn j 6 L DLQ WSEH n, T.E. POSLEDOWATELXNOSTX fxn g OGRANI^ENA. tEOREMA 2.2.2. eSLI lim x = a 6= 0, TO SU]ESTWUET ^ISLO N n n TAKOE, ^TO DLQ WSEH n > N
jxnj > 12 jaj:
pRI \TOM, ESLI a > 0, TO xn > a=2, A ESLI a < 0, TO xn < a=2. dOKAZATELXSTWO. wZQW " := jaj=2, NAJDEM N TAKOE, ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO
tOGDA
jxn ; aj < 12 jaj: a ; 12 jaj < xn < a + 12 jaj:
(2.2.1)
eSLI a > 0, TO jaj = a I POLXZUEMSQ LEWYM NERAWENSTWOM (2.2.1). a ESLI a < 0, TO jaj = ;a I POLXZUEMSQ PRAWYM NERAWENSTWOM (2.2.1). tEOREMA DOKAZANA. tEOREMA 2.2.3. eSLI POSLEDOWATELXNOSTI fxng I fyng SHODQTSQ I xn 6 yn DLQ WSEH n, TO lim x 6 lim y : n!1 n n!1 n dOKAZATELXSTWO. pUSTX a := lim xn I b := lim yn . nUVNO DOKAZATX, ^TO a 6 b. 30
pREDPOLOVIM, ^TO \TO NERAWENSTWO NEWERNO I a > b. wOZXMEM " := (a ; b)=2. tAK KAK " > 0, TO SU]ESTWUET N TAKOE, ^TO DLQ WSEH n>N xn > a ; " = a ; a ;2 b = a +2 b I yn < b + " = b + a ;2 b = a +2 b :
tAKIM OBRAZOM, IMEEM
yn < a +2 b < xn
^TO PROTIWORE^IT USLOWI@. tEOREMA DOKAZANA. zAMETIM, ^TO WYPOLNENIE NERAWENSTWA xn 6 yn MOVNO BYLO TREBOWATX NE DLQ WSEH n, A TOLXKO DLQ WSEH DOSTATO^NO BOLXIH n. pODOBNOE ZAME^ANIE MOVNO BUDET SDELATX I K NEKOTORYM POSLEDU@]IM TEOREMAM, NO MY NE BUDEM ZAOSTRQTX NA \TOM WNIMANIE. bOLEE SU]ESTWENNOE ZAME^ANIE SOSTOIT W SLEDU@]EM. eSLI W TEOREME 2.2.3 WMESTO NESTROGIH NERAWENSTW xn 6 yn PREDPOLAGATX WYPOLNENIE STROGIH NERAWENSTW xn < yn , TO WSE RAWNO MOVNO BYLO BY UTWERVDATX SPRAWEDLIWOSTX TOLXKO NESTROGOGO NERAWENSTWA lim xn 6 lim yn . |TO WIDNO NA PRIMERE POSLEDOWATELXNOSTEJ xn := 0 I yn := 1=n, DLQ KOTORYH xn < yn I lim xn = lim yn = 0. tAKIM OBRAZOM, NEOBHODIMO SOBL@DATX SLEDU@]EE PRAWILO: eSLI SU]ESTWU@T PREDELY WYRAVENIJ IZ LEWOJ I IZ PRAWOJ ^ASTEJ STROGOGO NERAWENSTWA, TO PRI PEREHODE W \TOM NERAWENSTWE K PREDELU STROGOE NERAWENSTWO NUVNO ZAMENITX NA NESTROGOE. tEOREMA 2.2.4. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTI fxng I fyng SHODQTSQ K ODNOMU I TOMU VE PREDELU I xn 6 yn DLQ WSEH n. tOGDA L@BAQ POSLEDOWATELXNOSTX fzng TAKAQ, ^TO xn 6 zn 6 yn DLQ WSEH n, SHODITSQ K TOMU VE PREDELU. dOKAZATELXSTWO. oBOZNA^IM a := lim xn = lim yn . dLQ KAVDOGO " > 0 NAHODIM N TAKOE, ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA a ; " < xn < a + " I a ; " < yn < a + ". tOGDA DLQ \TIH n a ; " < xn 6 zn 6 yn < a + " T.E. zn 2 (a ; " a + ") I TEOREMA DOKAZANA. tEOREMA 2.2.5. eSLI xn ! a, n ! 1, TO jxn j ! jaj n ! 1. 31
|TO UTWERVDENIE IMEET MESTO W SILU NERAWENSTWA jjxnj ; jajj 6 jxn ; aj KOTOROE QWLQETSQ PROSTYM SLEDSTWIEM NERAWENSTWA TREUGOLXNIKA
(1.4.3).
x 2.3.
aRIFMETI^ESKIE SWOJSTWA PREDELOW
pUSTX POSLEDOWATELXNOSTI fxn g I fyng SHODQT1 . nlim !1(xn + yn ) = nlim !1 xn + nlim !1 yn 2 . nlim !1 xn ; nlim !1 yn !1(xn ; yn ) = nlim 3 . nlim !1(xn yn) = nlim !1 xn nlim !1 yn 4 . eSLI yn 6= 0 DLQ WSEH n I lim n yn 6= 0, TO
tEOREMA SQ. tOGDA
2.3.1.
xn = nlim !1 xn : lim n!1 yn lim y n!1 n
zDESX W KAVDOM IZ SLU^AEW 1 {4 SODERVATSQ DWA UTWERVDENIQ: WO-PERWYH, SU]ESTWOWANIE PREDELA WYRAVENIQ, STOQ]EGO W LEWOJ ^ASTI RAWENSTWA, A WO-WTORYH, RAWENSTWO \TOGO PREDELA WYRAVENI@, STOQ]EMU W PRAWOJ ^ASTI. kRATKO \TU TEOREMU OBY^NO FORMULIRU@T TAK: PREDEL SUMMY RAWEN SUMME PREDELOW PREDEL RAZNOSTI RAWEN RAZNOSTI PREDELOW PREDEL PROIZWEDENIQ RAWEN PROIZWEDENI@ PREDELOW PREDEL ^ASTNOGO RAWEN ^ASTNOMU PREDELOW. w POSLEDNEM UTWERVDENII, RAZUMEETSQ, IMEETSQ W WIDU, ^TO NI ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI DELITELEJ, NI PREDEL \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI NE RAWNY NUL@. dOKAZATELXSTWO. pUSTX a := lim xn I b := lim yn . 1 {2. pO ZADANNOMU " > 0 WYBIRAEM N TAK, ^TOBY DLQ WSEH n > N WYPOLNQLISX NERAWENSTWA jxn ; aj < 2" jyn ; bj < 2" : oTS@DA NAHODIM j(xn +yn);(a+b)j = j(xn ;a)+(yn ;b)j 6 jxn ;aj+jyn ;bj < 2" + 2" = ": tO^NO TAKVE j(xn ; yn) ; (a ; b)j = j(xn ; a) ; (yn ; b)j 6 jxn ; aj + jyn ; bj < ": 32
tAKIM OBRAZOM, UTWERVDENIQ 1 I 2 DOKAZANY. 3 . sNA^ALA USTANOWIM WSPOMOGATELXNOE NERAWENSTWO. iMEEM jxn yn ; abj = j(xn yn ; ayn) + (ayn ; ab)j 6 jxn ; ajjynj + jajjyn ; bj: (2.3.1)
w SILU SHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI fyn g ONA OGRANI^ENA, PO\TOMU MOVNO WYBRATX ^ISLO L TAKOE, ^TO jyn j < L DLQ WSEH n I jaj < L. tOGDA IZ (2.3.1) WYTEKAET, ^TO jxn yn ; abj 6 Ljxn ; aj + Ljyn ; bj: (2.3.2) tEPERX PO ZADANNOMU " > 0 NAHODIM ^ISLO N TAKOE, ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQ@TSQ OCENKI jxn ; aj < 2"L jyn ; bj < 2"L : pOLXZUQSX \TIMI OCENKAMI, IZ (2.3.2) NAHODIM, ^TO DLQ WSEH n > N jxn yn ; abj < L 2"L + L 2"L = " I SWOJSTWO 3 DOKAZANO. 4 . oBOSNOWANIE \TOGO UTWERVDENIQ TAKVE NA^NEM S DOKAZATELXSTWA WSPOMOGATELXNOGO NERAWENSTWA. iMEEM xn ; a = xn ; xn + xn ; a 6 x 1 ; 1 + n y yn b yn b b b n b (2.3.3) 1 j x j 1 + b (xn ; a) = jy jjn bj jb ; yn j + jbj jxn ; aj: n
tAK KAK b 6= 0, TO SOGLASNO TEOREME 2.2.2 SU]ESTWUET ^ISLO N1 TAKOE, ^TO jyn j > jbj=2 DLQ WSEH n > N1 . pOSLEDOWATELXNOSTX fxn g W SILU EE SHODIMOSTI OGRANI^ENA. pUSTX ^ISLO L TAKOWO, ^TO jxn j < L DLQ WSEH n. tOGDA SOGLASNO (2.3.3) DLQ n > N1 SPRAWEDLIWA OCENKA xn ; a 6 2L jb ; y j + 1 jx ; aj: (2.3.4) n jbj n yn b b2 tEPERX DLQ PROIZWOLXNOGO POLOVITELXNOGO " WYBIRAEM ^ISLO N > N1 TAKOE, ^TO DLQ WSEH n > N SPRAWEDLIWY OCENKI 2 jxn ; aj < " j2bj jb ; ynj < " 4bL : 33
tOGDA IZ (2.3.4) SLEDUET, ^TO DLQ WSEH n > N xn ; a < ": yn b tEOREMA DOKAZANA. x 2.4.
bESKONE^NO MALYE I BESKONE^NO BOLXIE POSLEDOWATELXNOSTI
oPREDELENIE pOSLEDOWATELXNOSTX NAZYWAETSQ BESKONE^NO MALOJ .
(ILI IS^EZA@]EJ ), ESLI ONA SHODITSQ K NUL@.
oBOZNA^ENIE DLQ BESKONE^NO MALOJ POSLEDOWATELXNOSTI an = o(1) n ! 1: sIMWOL o(1) ^ITAETSQ \o-MALOE OT EDINICY". oPREDELENIE. pOSLEDOWATELXNOSTX fbng NAZYWAETSQ BESKONE^NO BOLXOJ, ESLI DLQ KAVDOGO ^ISLA L SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO N = = N (L), ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQETSQ OCENKA jbn j > L. w \TOM SLU^AE PIUT lim bn = 1 I GOWORQT, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX fbng IMEET PREDELOM 1. pRI \TOM, ESLI DLQ WSEH DOSTATO^NO BOLXIH n IMEEM bn > 0, TO PIUT lim bn = +1, A ESLI bn < 0, TO PIUT lim bn = ;1. |TI OPREDELENIQ MOVNO SFORMULIROWATX INA^E. oPREDELENIE. eSLI DLQ KAVDOGO ^ISLA L SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO N , ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQETSQ OCENKA bn > L, TO GOWORQT, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX fbng IMEET PREDELOM +1 I PIUT lim bn = +1. eSLI DLQ KAVDOGO ^ISLA L SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO N , ^TO DLQ WSEH n > N WYPOLNQETSQ OCENKA bn < L, TO GOWORQT, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX fbng IMEET PREDELOM ;1 I PIUT lim bn = ;1. w SOOTWETSTWII SO SKAZANNYM W x 2.1 POSLEDOWATELXNOSTI, IME@]IE BESKONE^NYE PREDELY, SLEDUET NAZYWATX RASHODQIMISQ. nO OBY^NO OT \TOGO PRAWILA OTSTUPA@T I NAZYWA@T TAKIE POSLEDOWATELXNOSTI SHODQ]IMISQ. ~TOBY IZBEVATX NEDORAZUMENIJ, USLOWIMSQ, ^TO KOGDA GOWORITSQ O SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI, TO \TO WSEGDA BUDET OZNA^ATX, ^TO ONA IMEET KONE^NYJ PREDEL. a W TEH SLU^AQH, KOGDA POSLEDOWATELXNOSTX MOVET IMETX I BESKONE^NYJ PREDEL, \TO BUDET OGOWARIWATXSQ. zAMETIM, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX MOVET SHODITXSQ K 1, NO PRI \TOM NE SHODITXSQ NI K +n1, NI K ;1. tAK BUDET, NAPRIMER, DLQ POSLEDOWATELXNOSTI f(;1) ng. 34
oTMETIM PROSTEJIE SWOJSTWA BESKONE^NO MALYH I BESKONE^NO BOLXIH POSLEDOWATELXNOSTEJ. eSLI fxn g | BESKONE^NO BOLXAQ POSLEDOWATELXNOSTX, PRI^EM xn 6= 0 DLQ WSEH n, TO f1=xn g | BESKONE^NO MALAQ POSLEDOWATELXNOSTX. dEJSTWITELXNO, DLQ PROIZWOLXNOGO " > 0 POLOVIM L := 1=". tEPERX PO L NAHODIM N TAKOE, ^TO jxn j > L DLQ WSEH n > N . tOGDA DLQ \TIH n IMEEM j1=xnj = 1=jxn j < 1=L = " I NAE UTWERVDENIE DOKAZANO. eSLI fxn g | BESKONE^NO MALAQ POSLEDOWATELXNOSTX I xn 6= 0 DLQ WSEH n, TO f1=xng | BESKONE^NO BOLXAQ POSLEDOWATELXNOSTX. dOKAZATELXSTWO \TOGO SWOJSTWA ANALOGI^NO. eSLI fang I fbng | BESKONE^NO MALYE POSLEDOWATELXNOSTI, TO BESKONE^NO MALYMI QWLQ@TSQ I POSLEDOWATELXNOSTI fan + bn g I fan ; bng. |TO SLEDUET IZ SWOJSTW PREDELOW SHODQ]IHSQ POSLEDOWATELXNOSTEJ. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fang BESKONE^NO MALAQ, A POSLEDOWATELXNOSTX fbng OGRANI^ENNAQ, TO POSLEDOWATELXNOSTX fan bn g BESKONE^NO MALAQ. dEJSTWITELXNO, PO USLOWI@ SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO L, ^TO jbn j < L DLQ WSEH n. pO\TOMU SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO jan bnj 6 L janj, IZ KOTOROGO WYSKAZANNOE UTWERVDENIE LEGKO WYWODITSQ. zAMETIM, ^TO EGO NELXZQ POLU^ITX IZ SWOJSTW PREDELOW SHODQ]IHSQ POSLEDOWATELXNOSTEJ, TAK KAK SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI fbng NE PREDPOLAGALASX. dLQ OBOZNA^ENIQ OGRANI^ENNOSTI POSLEDOWATELXNOSTI fbng ISPOLXZUETSQ ZAPISX bn = O(1) 8 n: sIMWOL O(1) ^ITAETSQ \O-BOLXOE OT EDINICY". x 2.5.
pREDEL MONOTONNOJ POSLEDOWATELXNOSTI
oPREDELENIE pOSLEDOWATELXNOSTX fxn g NAZYWAETSQ MONOTONNOJ, .
ESLI ONA NE UBYWAET, T.E. xn 6 xn+1 DLQ WSEH n, ILI NE WOZRASTAET, T.E. xn > xn+1 DLQ WSEH n. wMESTO \NE UBYWAET" OBY^NO BUDEM GOWORITX \WOZRASTAET", DOPUSKAQ W \TOM SLU^AE I NESTROGOE WOZRASTANIE. tAM VE, GDE BUDET WAVNO, ^TO DLQ WSEH n WYPOLNQETSQ STROGOE NERAWENSTWO xn < xn+1 , BUDEM GOWORITX, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX \STROGO WOZRASTAET". tO^NO TAKVE WMESTO \NE WOZRASTAET" BUDEM GOWORITX \UBYWAET". tEOREMA 2.5.1. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX fxng WOZRASTAET. tOGDA 1 . ESLI POSLEDOWATELXNOSTX fxn g OGRANI^ENA SWERHU ^ISLOM B , TO ONA SHODITSQ I lim x 6 B n n 35
2 . ESLI POSLEDOWATELXNOSTX fxn g NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ SWERHU, TO lim x = +1. n n
dOKAZATELXSTWO. 1 . tAK KAK xn 6 B DLQ WSEH n, TO SU]ESTWUET TO^NAQ WERHNQQ GRANX M := sup xn I M 6 B . pOKAVEM, ^TO M n QWLQETSQ PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fxn g. pOSKOLXKU M | TO^NAQ WERHNQQ GRANX, TO xn 6 M DLQ WSEH n I DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET ^ISLO xp TAKOE, ^TO xp > M ; ". nO TOGDA DLQ WSEH n > p IMEEM M ; " < xp 6 xn . tAKIM OBRAZOM, DLQ WSEH n > p WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA M ; " < xn 6 M . |TO POKAZYWAET, ^TO M = lim n xn . 2 . eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fxn g NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ SWERHU, TO DLQ L@BOGO L SU]ESTWUET ^ISLO xq TAKOE, ^TO xq > L. w SILU WOZRASTANIQ POSLEDOWATELXNOSTI OTS@DA SLEDUET, ^TO DLQ WSEH n > q WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA xn > xq > L, A \TO I OZNA^AET, ^TO lim x = +1. n n tEOREMA DOKAZANA. aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ TEOREMA O PREDELE UBYWA@]EJ POSLEDOWATELXNOSTI. rASSMOTRIM DWA PRIMERA. n 1 . dOKAVEM, ^TO ESLI jqj < 1, TO lim n q = 0. pUSTX SNA^ALA 0 < q < 1. tOGDA fqng { UBYWA@]AQ OGRANI^ENNAQ SNIZUn POSLEDOWATELXNOSTX. zNA^IT, ONA IMEET PREDEL. pUSTX a := lim q. n n+1 = pOSLEDOWATELXNOSTX fqn+1 g IMEET \TOT VE PREDEL: lim n q a. nO PO TEOREME O PREDELE PROIZWEDENIQ POSLEDOWATELXNOSTEJ lim qn+1 = lim (qn q) = (lim qn ) q = aq. tAKIM OBRAZOM, a = aq, n n n A \TO WOZMOVNO TOLXKO PRI a = 0 I MY DOKAZALI, ^TO lim qn = 0 DLQ n POLOVITELXNYH q. dLQ OTRICATELXNYH q POLXZUEMSQ TEM, ^TO jqn j = jqjn . 20 : pOKAVEM, ^TO DLQ PROIZWOLXNOGO ^ISLA a an = 0 lim (2.5.1) n n! GDE, NAPOMNIM, n! := 1 2 : : : n. kAK I W PREDYDU]EM PRIMERE, DOSTATO^NO RASSMOTRETX TOLXKO POLOVITELXNYE a. pUSTX m { NATURALXNOE ^ISLO TAKOE, ^TO m + 1 > a. dLQ n > m 36
IMEEM
1 = 1 1 1 1 (m + 1)m 1 6 = n! m! (m + 1) : : : n m! (m + 1)n;m m! (m + 1)n
OTKUDA
an 6 (m + 1)m a n : (2.5.2) n! m! m+1 iZ a=(m + 1) < 1 PO DOKAZANNOMU W PERWOM PRIMERE SLEDUET, ^TO a n ! 0 n ! 1 m+1 A \TO W SILU (2.5.2) PRIWODIT K (2.5.1).
~ISLO e
x 2.6.
nAM BUDET NUVNO SLEDU@]EE NERAWENSTWO, KOTOROE NAZYWA@T NERAWENSTWOM bERNULLI. lEMMA 2.6.1. eSLI m > 2 | NATURALXNOE ^ISLO I x > 0, TO SPRAWEDLIWA OCENKA (1 + x)m > 1 + mx: (2.6.1) dOKAZATELXSTWO. dLQ m = 2 DOKAZATELXSTWO \LEMENTARNO: (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 > 1 + 2x: dALXNEJIE RASSUVDENIQ PROWEDEM METODOM MATEMATI^ESKOJ INDUKCII. pREDPOLOVIM, ^TO DLQ POKAZATELQ m NERAWENSTWO (2.6.1) UVE DOKAZANO, I USTANOWIM EGO DLQ POKAZATELQ m + 1. iMEEM (1 + x)m+1 = (1 + x)m (1 + x) > (1 + mx)(1 + x) = = 1 + (m + 1)x + mx2 > 1 + (m + 1)x: lEMMA DOKAZANA. tEOREMA 2.6.2. pOSLEDOWATELXNOSTX fxng, GDE
SHODITSQ.
n
xn := 1 + n1 n = 1 2 : : :
(2.6.2)
37
dOKAZATELXSTWO. dOKAVEM SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI fyng, GDE n+1 : yn := 1 + n1 oTS@DA BUDET WYTEKATX SHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI fxn g I RAWENSTWO OBOIH PREDELOW, TAK KAK
xn = yn 1 + n1 : pOSLEDOWATELXNOSTX fyng OGRANI^ENA SNIZU, POSKOLXKU yn > 1 DLQ WSEH n. pOKAVEM, ^TO ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI fyn g MONOTONNO UBYWA@T. dLQ \TOGO RASSMOTRIM OTNOENIE .
1 + n1
n
+1
n+1 n+2 = n n+2 1 1 = 1+ n n+2 n+1 1 n+2 n
yn yn+1 = 1 + 1 n+2 n+1 2 n+2 ( n + 1) n +n 1 = 1 + n (n + 2) n + 1 : = n (n + 2) w SILU NERAWENSTWA bERNULLI (2.6.1) OTS@DA SLEDUET, ^TO yn > 1 + n + 2 n = 1 + 1 n = 1: yn+1 n(n + 2) n + 1 n n+1 tAKIM OBRAZOM, yn > yn+1 DLQ WSEH n. pO\TOMU SOGLASNO TEOREME O PREDELE MONOTONNOJ POSLEDOWATELXNOSTI PREDEL lim yn SU]ESTWUET I TEOREMA DOKAZANA. sLEDUQ |JLERU, PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI (2.6.2) OBOZNA^A@T e. nARQDU S ^ISLO e QWLQETSQ ODNOJ IZ NAIBOLEE WAVNYH KONSTANT W MATEMATIKE. dESQTI^NOE PREDSTAWLENIE ^ISLA e IMEET WID e = 2718 : : : w x 6.5 BUDET POKAZANO, ^TO e | IRRACIONALXNOE ^ISLO. x pODPOSLEDOWATELXNOSTI tEOREMA bOLXCANO wEJERTRASSA 2.7.
.
{
pUSTX ZADANA POSLEDOWATELXNOSTX fxn g. wYBEREM NEKOTORU@ STROGO WOZRASTA@]U@ POSLEDOWATELXNOSTX NATURALXNYH ^ISEL n1 < < n2 < : : : . pOSLEDOWATELXNOSTX fxn1 xn2 : : : g = fxnk g NAZYWAETSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@ POSLEDOWATELXNOSTI fxn g. 38
tAKIM OBRAZOM, W \TOM SLU^AE KAVDOE ^ISLO xnk QWLQETSQ ^LENOM POSLEDOWATELXNOSTI fxn g I, KROME TOGO, W POSLEDOWATELXNOSTI fxnk g SOHRANQETSQ TOT VE PORQDOK SLEDOWANIQ \LEMENTOW, KAKOJ ONI IMELI W ISHODNOJ POSLEDOWATELXNOSTI. oBRAZNO GOWORQ, MY ZAPISYWAEM PODRQD WSE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI x1 x2 x3 : : : , \WY^ERKIWAEM" NEKOTORYE EE \LEMENTY, OSTAWLQQ BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW, I \TU OSTAWU@SQ POSLEDOWATELXNOSTX NAZYWAEM PODPOSLEDOWATELXNOSTX@ POSLEDOWATELXNOSTI fxn g. pONQTNO, ^TO ESLI POSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ, TO I L@BAQ EE PODPOSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ K TOMU VE PREDELU. |TO WERNO I DLQ KONE^NYH I DLQ BESKONE^NYH PREDELOW. oPREDELENIE. pREDEL PODPOSLEDOWATELXNOSTI NAZYWAETSQ ^ASTI^NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI. zDESX IME@TSQ W WIDU KAK KONE^NYE, TAK I K BESKONE^NYE PREDELY. iZ OPREDELENIQ ^ASTI^NOGO PREDELA SLEDUET, ^TO ^ISLO a QWLQETSQ ^ASTI^NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fxn g, ESLI KAVDAQ OKRESTNOSTX a SODERVIT BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxn g. ~ASTI^NYJ PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI MOVET NE BYTX EE PREDELOM . nAPRIMER, ^ASTI^NYMI PREDELAMI POSLEDOWATELXNOSTI f(;1)ng, QWLQ@TSQ ^ISLA +1 I ;1, A PREDELA U \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI NET. tEOREMA 2.7.1 (tEOREMA bOLXCANO{wEJERTRASSA). iZ KAVDOJ OGRANI^ENNOJ POSLEDOWATELXNOSTI MOVNO WYDELITX SHODQ]U@SQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX. dOKAZATELXSTWO. pUSTX fxn g | OGRANI^ENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX. rASSMOTRIM OTREZOK a b], SODERVA]IJ WSE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI fxn g. rAZDELIM OTREZOK a b] POPOLAM. tOGDA PO KRAJNEJ MERE ODIN IZ POLU^IWIHSQ OTREZKOW SODERVIT BESKONE^NO MNOGO ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI fxn g. oBOZNA^IM ^EREZ a1 b1 ] TOT IZ \TIH OTREZKOW, KOTORYJ SODERVIT BESKONE^NO MNOGO ^LENOW ZADANNOJ POSLEDOWATELXNOSTI, A ESLI OBA OTREZKA OBLADA@T \TIM SWOJSTWOM, TO | L@BOJ IZ NIH. wYBEREM PROIZWOLXNYJ \LEMENT POSLEDOWATELXNOSTI fxn g, PRINADLEVA]IJ OTREZKU a1 b1]. pUSTX \TO BUDET xn1 . rAZDELIM TEPERX POPOLAM OTREZOK a1 b1 ] I OBOZNA^IM ^EREZ a2 b2] ODIN IZ POLU^IWIHSQ OTREZKOW, KOTORYJ SODERVIT BESKONE^NO MNOGO ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI fxn g. wOZXMEM \LEMENT POSLEDOWATELXNOSTI fxn g, PRINADLEVA]IJ OTREZKU a2 b2 ] I TAKOJ, ^TO EGO INDEKS n2 BOLXE, ^EM n1 . tAK WYBRAN \LEMENT xn2 . 39
nA SLEDU@]EM AGE DELIM OTREZOK a2 b2 ] POPOLAM, BEREM OTREZOK a3 b3 ], SODERVA]IJ BESKONE^NO MNOGO ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI fxn g, I WYBIRAEM W NEM \LEMENT xn3 TAKOJ, ^TO n3 > n2 . pRODOLVIW \TOT PROCESS, POLU^IM, WO-PERWYH, POSLEDOWATELXNOSTX WLOVENNYH OTREZKOW fak bk ]g, KAVDYJ IZ KOTORYH SODERVIT BESKONE^NO MNOGO ^LENOW POSLEDOWATELXNOSTI fxn g, A DLINY OTREZKOW ak bk ] STREMQTSQ K NUL@ I, WO-WTORYH, POSLEDOWATELXNOSTX TO^EK fxnk g TAKIH, ^TO xnk 2 ak bk ]. pO TEOREME O WLOVENNYH OTREZKAH SU]ESTWUET TO^KA, PRINADLEVA]AQ WSEM OTREZKAM ak bk ]. oBOZNA^IM \TU TO^KU c I POKAVEM, ^TO lim x = c: k!1 nk pUSTX " | PROIZWOLXNOE POLOVITELXNOE ^ISLO. tAK KAK DLINY OTREZKOW ak bk ] STREMQTSQ K NUL@, TO WSE \TI OTREZKI, NA^INAQ S NEKOTOROGO, SODERVATSQ W "-OKRESTNOSTI TO^KI c, A WMESTE S NIMI W \TU OKRESTNOSTX POPADUT I SOOTWETSTWU@]IE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI fxnk g. zNA^IT, xnk PRI k ! 1 SHODQTSQ K c. tEOREMA DOKAZANA. zAMETIM, ^TO ESLI WSE \LEMENTY POSLEDOWATELXNOSTI PRINADLEVAT OTREZKU a b], TO I WSE EE ^ASTI^NYE PREDELY PRINADLEVAT a b]. pOKAVEM, ^TO SREDI ^ASTI^NYH PREDELOW OGRANI^ENNOJ POSLEDOWATELXNOSTI ESTX NAIBOLXIJ. tEOREMA 2.7.2. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX OGRANI^ENA, TO TO^NAQ WERHNQQ GRANX EE ^ASTI^NYH PREDELOW SAMA QWLQETSQ ^ASTI^NYM PREDELOM. dOKAZATELXSTWO. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX fxn g OGRANI^ENA I A | MNOVESTWO EE ^ASTI^NYH PREDELOW. oBOZNA^IM a := sup A I POKAVEM, ^TO W KAVDOJ OKRESTNOSTI ^ISLA a SODERVITSQ BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxn g. pO OPREDELENI@ TO^NOJ WERHNEJ GRANI DLQ PROIZWOLXNOGO " > 0 W "-OKRESTNOSTI ^ISLA a NAJDETSQ ^ISLO a , QWLQ@]AQSQ ^ASTI^NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fxng. wOZXMEM NASTOLXKO MALU@ OKRESTNOSTX TO^KI a , ^TOBY ONA CELIKOM SODERVALASX W UKAZANNOJ "-OKRESTNOSTI TO^KI a. |TOJ OKRESTNOSTI TO^KI a PRINADLEVIT BESKONE^NO MNOGO \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxn g, KOTORYE, TAKIM OBRAZOM, PRINADLEVAT I RASSMATRIWAEMOJ "-OKRESTNOSTI TO^KI a. tEOREMA DOKAZANA. pONQTNO, ^TO I TO^NAQ NIVNQQ GRANX ^ASTI^NYH PREDELOW OGRANI^ENNOJ POSLEDOWATELXNOSTI QWLQETSQ EE ^ASTI^NYM PREDELOM. 40
oPREDELENIE tO^NAQ WERHNQQ GRANX ^ASTI^NYH PREDELOW OGRANI.
^ENNOJ POSLEDOWATELXNOSTI NAZYWAETSQ WERHNIM PREDELOM, A TO^NAQ NIVNQQ GRANX ^ASTI^NYH PREDELOW NAZYWAETSQ NIVNIM PREDELOM \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI. wERHNIJ I NIVNIJ PREDELY POSLEDOWATELXNOSTI fxn g OBOZNA^A@T SOOTWETSTWENNO lim x lim xn : n!1 n n!1
eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fxn g NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ SWERHU, TO IZ NEE MOVNO WYDELITX PODPOSLEDOWATELXNOSTX, SHODQ]U@SQ K +1. dEJSTWITELXNO, WYBIRAEM SNA^ALA ^ISLO xn1 TAKOE, ^TO xn1 > > 1. zATEM NAHODIM TAKOJ NOMER n2 > n1 , ^TO DLQ xn2 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO xn2 > 2, I T.D. w REZULXTATE POLU^IM klim x = +1. !1 nk w \TOM SLU^AE WERHNIM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fxn g NAZYWA@T +1 aNALOGI^NO IZ POSLEDOWATELXNOSTI, NE OGRANI^ENNOJ SNIZU, MOVNO WYDELITX PODPOSLEDOWATELXNOSTX, SHODQ]U@SQ K ;1, I W \TOM SLU^AE ;1 NAZYWA@T NIVNIM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI. tAKIM OBRAZOM, WERHNIJ I NIVNIJ PREDELY OPREDELENY DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI. tEOREMA bOLXCANO{wEJERTRASSA OTNOSILASX K OGRANI^ENNYM POSLEDOWATELXNOSTQM. dLQ PROIZWOLXNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ SOOTWETSTWU@]EE UTWERVDENIE FORMULIRUETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. tEOREMA 2.7.3. iZ KAVDOJ POSLEDOWATELXNOSTI MOVNO WYDELITX PODPOSLEDOWATELXNOSTX, IME@]U@ PREDEL, KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ. oTMETIM SWOJSTWA WERHNIH PREDELOW, SWQZANNYE S ARIFMETI^ESKIMI DEJSTWIQMI NAD POSLEDOWATELXNOSTQMI (ANALOGI^NYMI SWOJSTWAMI OBLADA@T I NIVNIE PREDELY). qSNO, ^TO DLQ PROIZWOLXNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ fxn g I fyng RAWENSTWO lim (x + y ) = lim x + lim y n!1 n n n!1 n n!1 n MOVET NE WYPOLNQTXSQ. nO ESLI ODNA IZ \TIH POSLEDOWATELXNOSTEJ IMEET KONE^NYJ PREDEL, TO TAKOE RAWENSTWO UVE IMEET MESTO. pRI \TOM, ^TOBY NE PREDPOLAGATX KONE^NOSTX WERHNEGO PREDELA WTOROJ POSLEDOWATELXNOSTI, POLOVIM PO OPREDELENI@, ^TO SUMMA ^ISLA I BESKONE^NOGO SIMWOLA RAWNA \TOMU BESKONE^NOMU SIMWOLU. tEOREMA 2.7.4. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fxng IMEET KONE^NYJ PREDEL, TO DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI fyn g SPRAWEDLIWO RA41
WENSTWO nlim !1(xn + yn ) = nlim !1 xn + nlim !1 yn :
(2.7.1)
dOKAZATELXSTWO. eSLI WERHNIJ PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI fyn g BESKONE^EN, TO RAWENSTWO (2.7.1) WYTEKAET IZ OPREDELENIQ BESKONE^NYH PREDELOW. bUDEM TEPERX S^ITATX WERHNIJ PREDEL lim y KONE^NYM. n n pUSTX lim x = a . iZ TEOREMY O PREDELE SUMMY SLEDUET, ^TO ESLI n n NEKOTOROE ^ISLO b QWLQETSQ ^ASTI^NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fyng, TO a + b QWLQETSQ ^ASTI^NYM PREDELOM POSLEDOWATELXNOSTI fxn + yng. aNALOGI^NO, ESLI IZ ^ASTI^NOGO PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI fxn + yng WY^ESTX a, TO POLU^IM ^ASTI^NYJ PREDEL DLQ fyng. pO\TOMU TO^NAQ WERHNQQ GRANX ^ASTI^NYH PREDELOW fxn + yn g RAWNA SUMME ^ISLA a I TO^NOJ WERHNEJ GRANI ^ASTI^NYH PREDELOW fyng, A \TO I ESTX UTWERVDENIE TEOREMY. tEOREMA 2.7.5. pUSTX fxng I fyng | NEOTRICATELXNYE POSLEDOWATELXNOSTI, POSLEDOWATELXNOSTX fxn g IMEET KONE^NYJ PREDEL, A POSLEDOWATELXNOSTX fyn g | KONE^NYJ WERHNIJ PREDEL. tOGDA lim (x y ) = lim x lim y : (2.7.2) n!1 n n n!1 n n!1 n dOKAZATELXSTWO. wYBEREM POSLEDOWATELXNOSTX INDEKSOW fnmg, DLQ KOTOROJ mlim !1 ynm = nlim !1 yn : tOGDA SOGLASNO TEOREME 2.3.1 lim (x y ) = nlim m!1 nm nm !1 xn nlim !1 yn I, ZNA^IT, W SILU NEOTRICATELXNOSTI ^ISEL xn I yn lim (x y ) > lim x lim y : (2.7.3) n!1 n n n!1 n n!1 n
~TOBY POLU^ITX PROTIWOPOLOVNOE NERAWENSTWO, ZAMETIM, ^TO DLQ KAVDOGO FIKSIROWANNOGO " > 0 PRI WSEH DOSTATO^NO BOLXIH n xn < nlim yn < nlim !1 xn + " !1 yn + ":
oTS@DA SLEDUET, ^TO xn yn < nlim x + " lim y + " : n n !1 n!1 42
tAK KAK WYRAVENIE W PRAWOJ ^ASTI \TOGO NERAWENSTWA NE ZAWISIT OT n, TO IZ NEGO WYTEKAET, ^TO lim ( x y ) 6 lim x + " lim y + " : (2.7.4) n!1 n n n!1 n n!1 n
tEPERX POLXZUEMSQ TEM, ^TO LEWAQ ^ASTX OCENKI (2.7.4) NE ZAWISIT OT ". pO\TOMU IZ (2.7.4) SLEDUET, ^TO lim (x y ) 6 lim x lim y : (2.7.5) n!1 n n n!1 n n!1 n iZ NERAWENSTW (2.7.3) I (2.7.5) WYTEKAET RAWENSTWO (2.7.2). tEOREMA DOKAZANA. x 2.8.
kRITERIJ kOI
tERMIN \KRITERIJ" OBY^NO UPOTREBLQ@T DLQ OBOZNA^ENIQ NEOBHODIMYH I DOSTATO^NYH USLOWIJ. wPRO^EM, TAKOE PONIMANIE \TOGO TERMINA NE QWLQETSQ OB]EPRINQTYM. pOLU^IM KRITERIJ SU]ESTWOWANIQ U POSLEDOWATELXNOSTI KONE^NOGO PREDELA. rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX fxn g, SHODQ]U@SQ K ^ISLU a. sRAWNIM MEVDU SOBOJ ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI fxn g S BOLXIMI INDEKSAMI. w SILU SHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE N , ^TO DLQ WSEH n > N SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO jxn ; aj < "=2. pO\TOMU, ESLI n > N I m > N , TO jxn ; xm j = j(xn ; a) + (a ; xm )j 6 jxn ; aj + ja ; xmj < 2" + 2" = ":
oPREDELENIE gOWORQT, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX fxng UDOWLETWO.
RQET USLOWI@ kOI (ILI QWLQETSQ FUNDAMENTALXNOJ ), ESLI DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE N , ^TO DLQ WSEH n > N I m > N SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO jxn ; xmj < ":
tAKIM OBRAZOM, USLOWIE kOI QWLQETSQ NEOBHODIMYM DLQ SHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI K KONE^NOMU PREDELU. pOKAVEM, ^TO \TO USLOWIE QWLQETSQ TAKVE I DOSTATO^NYM. tEOREMA 2.8.1 (kRITERIJ kOI). dLQ TOGO ^TOBY POSLEDOWATELXNOSTX SHODILASX K KONE^NOMU PREDELU, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY ONA UDOWLETWORQLA USLOWI@ kOI. 43
dOKAZATELXSTWO. pUSTX DLQ POSLEDOWATELXNOSTI fxn g WYPOLNQETSQ USLOWIE kOI. pOKAVEM SNA^ALA , ^TO POSLEDOWATELXNOSTX fxn g OGRANI^ENA. dLQ " = 1 NAJDEM N TAKOE, ^TO DLQ WSEH n m > N SPRAWEDLIWA OCENKA jxn ; xm j < 1. pOLOVIM m = N + 1. tOGDA DLQ n > N IMEEM jxn ; xN +1 j < 1 I, ZNA^IT, jxnj = jxn ; xN +1 + xN +1 j < 1 + jxN +1j: pO\TOMU, ESLI L := max(jx1 j jx2 j : : : jxN j 1 + jxN +1 j), TO jxn j 6 L DLQ WSEH n. tAKIM OBRAZOM, POSLEDOWATELXNOSTX, UDOWLETWORQ@]AQ USLOWI@ kOI, OGRANI^ENA. sOGLASNO TEOREME bOLXCANO{wEJERTRASSA POSLEDOWATELXNOSTX fxng W SILU EE OGRANI^ENNOSTI IMEET ^ASTI^NYJ PREDEL. oBOZNA^IM EGO a I DOKAVEM, ^TO a QWLQETSQ PREDELOM WSEJ POSLEDOWATELXNOSTI fxng. pUSTX fxnk g | TA PODPOSLEDOWATELXNOSTX, DLQ KOTOROJ lim x = k nk a. zADADIM PROIZWOLXNOE " > 0 I NAJDEM N1 TAKOE, ^TO DLQ WSEH n m > N1 IMEEM jxn ; xm j < "=2, I N2 TAKOE, ^TO DLQ WSEH nk > N2 IMEEM ja ; xnk j < "=2. oCENIM DLQ n > N := max(N1 N2 ) RAZNOSTX xn ; a. pUSTX nk | PROIZWOLXNOE ^ISLO, TAKOE, ^TO nk > N . tOGDA DLQ WSEH n > N IMEEM jxn ; aj 6 jxn ; xnk j + jxnk ; aj < "=2 + "=2 = ": tAKIM OBRAZOM, POSLEDOWATELXNOSTX fxn g SHODITSQ. tEOREMA DOKAZANA. oTMETIM, ^TO DLQ WYQSNENIQ WOPROSA O SHODIMOSTI ILI RASHODIMOSTI POSLEDOWATELXNOSTI KRITERIEM kOI POLXZOWATXSQ UDOBNEE, ^EM OPREDELENIEM SHODIMOSTI. w SAMOM DELE, DLQ PROWERKI WYPOLNENIQ USLOWIQ kOI NET NEOBHODIMOSTI ZARANEE ZNATX (ILI PREDPOLAGATX), ^EMU RAWEN PREDEL RASSMATRIWAEMOJ POSLEDOWATELXNOSTI.
gLAWA
3
predel funkcii x pONQTIE FUNKCII 3.1.
pUSTX D | NEKOTOROE MNOVESTWO ^ISEL ILI (^TO TO VE SAMOE) TO^EK NA ^ISLOWOJ PRQMOJ. eSLI KAVDOMU ^ISLU x 2 D POSTAWLE44
NO W SOOTWETSTWIE NEKOTOROE ^ISLO y, TO GOWORQT, ^TO NA D ZADANA FUNKCIQ, ^ASTO EE OBOZNA^A@T f I TOGDA PIUT y = f (x). pRI \TOM x NAZYWA@T NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ ILI ARGUMENTOM, A y | ZAWISIMOJ PEREMENNOJ ILI FUNKCIEJ. |TO POD^ERKIWAET, ^TO x MOVNO MENQTX PROIZWOLXNO, A ZNA^ENIE y IZMENQETSQ W ZAWISIMOSTI OT WYBRANNOGO x. dLQ OBOZNA^ENIQ FUNKCII ISPOLXZU@T I ODNU BUKWU f I SIMWOL f (x). tAKIM OBRAZOM, f (x) MOVET OBOZNA^ATX I FUNKCI@ f I ZNA^ENIE FUNKCII f , KOGDA ARGUMENT RAWEN x. mNOVESTWO D NAZYWA@T MNOVESTWOM OPREDELENIQ ILI OBLASTX@ OPREDELENIQ FUNKCII f . mNOVESTWO ^ISEL y, KOTORYE POLU^A@TSQ, KOGDA x PROBEGAET WSE ^ISLA IZ D, NAZYWA@T MNOVESTWOM (ILI OBLASTX@) ZNA^ENIJ FUNKCII f . oBOZNA^IM \TO MNOVESTWO E . gOWORQT, ^TO MNOVESTWO E QWLQETSQ OBRAZOM MNOVESTWA D PRI OTOBRAVENII, OSU]ESTWLQEMOM FUNKCIEJ f . sAMO MNOVESTWO E NE WSEGDA PROSTO NAJTI, NO \TO I NE NUVNO, KOGDA MY OBSUVDAEM OPREDELENIE FUNKCII. wAVNO TOLXKO UKAZATX, ^TO PREDSTAWLQ@T SOBOJ ZNA^ENIQ FUNKCII. w PRIWEDENNOM OPREDELENII \TO BYLI ^ISLA. nO ZNA^ENIQMI FUNKCII MOGUT BYTX I DRUGIE OB_EKTY, NAPRIMER, WEKTORY, MATRICY I T.D. fUNKCIQ { ODNO IZ OSNOWNYH PONQTIJ MATEMATIKI. oNO IMEET O^ENX OB]IJ HARAKTER. nE TOLXKO OBLASTX ZNA^ENIJ, NO I OBLASTX OPREDELENIQ MOGUT BYTX NE OBQZATELXNO ^ISLOWYMI. nO SEJ^AS MY BUDEM RASSMATRIWATX FUNKCII W TOM WIDE, KAK ONI BYLI OPREDELENY WYE, KOGDA I OBLASTX OPREDELENIQ D I OBLASTX ZNA^ENIJ E QWLQ@TSQ ^ISLOWYMI MNOVESTWAMI. pONQTIE FUNKCII WYRABATYWALOSX POSTEPENNO. zAWISIMOSTX ODNIH PEREMENNYH WELI^IN OT DRUGIH RASSMATRIWALI DAWNO. tERMIN \FUNKCIQ" WWEL lEJBNIC. pRIWEDENNOE WYE SOWREMENNOE OPREDELENIE FUNKCII IMEETSQ W MONOGRAFII |JLERA \dIFFERENCIALXNOE IS^ISLENIE" (1755 G.). nUVNO TOLXKO IMETX W WIDU, ^TO W TE GODY TEORETIKO-MNOVESTWENNAQ TERMINOLOGIQ E]E NE BYLA WYRABOTANA. |JLER PISAL: \kOGDA NEKOTORYE KOLI^ESTWA ZAWISQT OT DRUGIH TAKIM OBRAZOM, ^TO PRI IZMENENII POSLEDNIH I SAMI ONI PODWERGA@TSQ IZMENENI@, TO PERWYE NAZYWA@TSQ FUNKCIQMI WTORYH. |TO NAIMENOWANIE IMEET ^REZWY^AJNO IROKIJ HARAKTER, ONO OHWATYWAET WSE SPOSOBY, KAKIMI ODNO KOLI^ESTWO MOVET OPREDELQTXSQ S POMO]X@ DRUGIH. iTAK, ESLI x OBOZNA^AET POSTOQNNOE KOLI^ESTWO, TO WSE KOLI^ESTWA, KOTORYE KAK-LIBO ZAWISQT OT x, T.E. OPREDELQ@TSQ IM, NAZYWA@TSQ EGO FUNKCIQMI". dLQ OBOZNA^ENIQ FUNKCII f , ZADANNOJ NA MNOVESTWE D, ZNA^E45
NIQMI KOTOROJ QWLQ@TSQ ^ISLA, ISPOLXZUETSQ ZAPISX f : D ! R: w PODOBNOM OBOZNA^ENII UKAZYWA@TSQ OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII I MNOVESTWO, KOTOROMU PRINADLEVAT ZNA^ENIQ FUNKCII. tAKAQ ZAPISX NE PREDPOLAGAET, ^TO WSE ^ISLA IZ R QWLQ@TSQ ZNA^ENIQMI FUNKCII. iNOGDA FUNKCI@, ZADANNU@ NA MNOVESTWE D, NUVNO RASSMATRIWATX NA BOLEE UZKOM MNOVESTWE D1 D. tOGDA GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f : D1 ! R QWLQETSQ SLEDOM FUNKCII f : D ! R NA MNOVESTWE D1 ILI SUVENIEM FUNKCII f : D ! R NA MNOVESTWO D1 . s PONQTIEM FUNKCII MY UVE WSTRE^ALISX, KOGDA DAWALOSX OPREDELENIE POSLEDOWATELXNOSTI. fAKTI^ESKI TOGDA RE^X LA O ^ISLOWOJ FUNKCII, ZADANNOJ NA MNOVESTWE NATURALXNYH ^ISEL, T.E. O FUNKCII WIDA f : N ! R. pRI IZU^ENII ^ISLOWYH FUNKCIJ ^ISLOWOGO ARGUMENTA UDOBNO POLXZOWATXSQ IH GRAFIKAMI. gRAFIK FUNKCII f (x) : D ! R { \TO MNOVESTWO TO^EK NA PLOSKOSTI, KOTORYE W NEKOTOROJ DEKARTOWOJ PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT IME@T KOORDINATY (x y) = (x f (x)). tO ESTX DLQ KAVDOJ TO^KI x 2 D NA PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ \TU TO^KU PARALLELXNO OSI OY , OTME^ENA TO^KA, ORDINATA KOTOROJ RAWNA f (x). mNOVESTWO WSEH TAKIH TO^EK OBRAZUET GRAFIK FUNKCII f (x). wOZMOVEN I PODHOD, KOGDA GRAFIK ISPOLXZUETSQ DLQ OPREDELENIQ FUNKCII. w \TOM SLU^AE ISHODNYM QWLQETSQ MNOVESTWO TO^EK (x y) NA PLOSKOSTI, TAKOE, ^TO KAVDOE ^ISLO x WSTRE^AETSQ W \TOM MNOVESTWE NE BOLEE ODNOGO RAZA (ILI ODIN RAZ, ESLI ZARANEE S^ITATX, ^TO x 2 D). fUNKCII MOGUT BYTX ZADANY RAZNYMI SPOSOBAMI. oDNIM IZ OSNOWNYH QWLQETSQ ZADANIE FUNKCII FORMULOJ. pRI \TOM, ESLI OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII NE UKAZANA, S^ITA@T, ^TO EE OBLASTX OPREDELENIQ SOSTAWLQ@T WSE ZNA^ENIQ ARGUMENTA, PRI KOTORYH FORMULA IMEET SMYSL. x 3.2.
oPREDELENIE PREDELA FUNKCII
oKRESTNOSTX@ TO^KI x NAZYWA@T PROIZWOLXNYJ INTERWAL (c d), SODERVA]IJ \TU TO^KU, T.E. DOLVNY WYPOLNQTXSQ USLOWIQ c < x < d. rANXE GOWORILOSX OB "-OKRESTNOSTQH, KOTORYE TEPERX MOVNO RASSMATRIWATX KAK ^ASTNYJ SLU^AJ OKRESTNOSTEJ. bUDUT DANY DWA WARIANTA OPREDELENIQ PREDELA FUNKCII. zATEM MY POKAVEM, ^TO \TI OPREDELENIQ \KWIWALENTNY. 46
oPREDELENIE PREDELA FUNKCII PO kOI ~ISLO a NAZYWAETSQ .
PREDELOM FUNKCII f W TO^KE x0 , ESLI 1 . FUNKCIQ f OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , ZA ISKL@^ENIEM, BYTX MOVET, SAMOJ \TOJ TO^KI 2 . DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO = (") > 0, ^TO DLQ WSEH x 6= x0 , UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ jx ; x0 j < , WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jf (x) ; aj < ": (3.2.1)
w \TOM SLU^AE PIUT a = xlim !x0 f (x)
ILI
f (x) ! a x ! x0 : wMESTO \PREDEL FUNKCII W TO^KE x0 " GOWORQT TAKVE \PREDEL FUNKCII PRI x ! x0 ". w OPREDELENII PREDELA FUNKCII NE IMEET ZNA^ENIQ, ZADANA FUNKCIQ f W TO^KE x0 ILI NET, A ESLI ZADANA, TO ^EMU RAWNO f (x0 ). i W USLOWII 10 : I W USLOWII 20: GOWORITSQ OB OKRESTNOSTQH TO^KI x0 , ZA ISKL@^ENIEM SAMOJ \TOJ TO^KI. w SWQZI S \TIM WWODITSQ PONQTIE \PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI" | \TO OKRESTNOSTX, IZ KOTOROJ ISKL@^ENA SAMA \TA TO^KA. pOLXZUQSX \TIM TERMINOM, USLOWIE 10 : MOVNO SFORMULIROWATX TAK: FUNKCIQ f OPREDELENA W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , A W USLOWII 20 : MOVNO GOWORITX, ^TO NERAWENSTWO (3.2.1) WYPOLNQETSQ W PROKOLOTOJ -OKRESTNOSTI TO^KI x0 . oPREDELENIE PREDELA FUNKCII PO kOI NAZYWA@T TAKVE OPREDELENIEM NA QZYKE "{ ILI NA QZYKE OKRESTNOSTEJ.
oPREDELENIE PREDELA FUNKCII PO gEJNE ILI NA QZYKE PO SLEDOWATELXNOSTEJ ~ISLO a NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII f W (
-
.
TO^KE x0 , ESLI 1 . FUNKCIQ f OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , ZA ISKL@^ENIEM, BYTX MOVET, SAMOJ \TOJ TO^KI 2 . DLQ KAVDOJ POSLEDOWATELXNOSTI TO^EK x1 x2 x3 : : : IZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII f , SHODQ]EJSQ K x0 , NO NE PRINIMA@]EJ ZNA^ENIE x0 , POSLEDOWATELXNOSTX f (x1 ) f (x2 ) f (x3 ) : : : SHODITSQ K a, T.E. a = nlim !1 f (xn ): 47
tAKIM OBRAZOM, W OBOIH OPREDELENIQH TREBOWANIQ NA OBLASTX ZADANIQ FUNKCII ODINAKOWY. rAZNICA SOSTOIT W FORMULIROWKE USLOWIJ 2 . tEOREMA 3.2.1. oPREDELENIQ PREDELA FUNKCII W TO^KE PO kOI I PO gEJNE \KWIWALENTNY. dOKAZATELXSTWO. pUSTX a | PREDEL FUNKCII f W TO^KE x0 PO kOI. pOKAVEM, ^TO a QWLQETSQ PREDELOM PO gEJNE. wOZXMEM PROIZWOLXNU@ POSLEDOWATELXNOSTX fxn g, WSE TO^KI xn KOTOROJ PRINADLEVAT OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII f , xn 6= x0 DLQ WSEH NATURALXNYH n I xn ! x0 PRI n ! 1. pO ZADANNOMU " > 0 NAJDEM > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH x, DLQ KOTORYH 0 < jx ; x0 j < , WYPOLNQETSQ USLOWIE jf (x) ; aj < ". tAK KAK xn ! x0 , TO PO \TOMU MOVNO NAJTI N , ZAWISQ]EE OT , A W KONE^NOM S^ETE ZAWISQ]EE OT ", TAKOE, ^TO 8n > N WYPOLNQETSQ USLOWIE jxn ; x0 j < . nO TOGDA DLQ \TIH n IMEEM jf (xn ) ; aj < ", T.E. a = limn f (xn ). tAKIM OBRAZOM, a QWLQETSQ PREDELOM FUNKCII f PO gEJNE. pUSTX TEPERX, NAOBOROT, a | PREDEL FUNKCII f W TO^KE x0 PO gEJNE. bUDEM RASSUVDATX OT PROTIWNOGO. pREDPOLOVIM, ^TO a NE QWLQETSQ PREDELOM PO kOI. |TO OZNA^AET, ^TO SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO "0 > 0, ^TO DLQ L@BOGO > 0 NAJDETSQ TO^KA x0 TAKAQ, ^TO 0 < jx0 ; x0 j < I jf (x0 ) ; aj > "0. bUDEM W KA^ESTWE BRATX ^ISLA 1=n n 2 N . tOGDA DLQ KAVDOGO n POLU^IM TAKU@ TO^KU xn 6= x0 , W KOTOROJ FUNKCIQ f OPREDELENA, 0 < jxn ; x0j < 1=n I jf (xn ) ; aj > "0. pOSTROENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX fxng OTNOSITSQ K ^ISLU TEH, KAKIE RASSMATRIWA@TSQ W OPREDELENII PREDELA PO gEJNE, NO DLQ NEE jf (xn ) ; aj > "0 . |TO PROTIWORE^IT USLOWI@, ^TO a { PREDEL FUNKCII f PO gEJNE. tEOREMA DOKAZANA. |TA TEOREMA POZWOLQET GOWORITX O PREDELE FUNKCII W TO^KE, NE UKAZYWAQ, W KAKOM SMYSLE PONIMAETSQ \TOT PREDEL, I KAVDYJ RAZ POLXZOWATXSQ BOLEE UDOBNYM WARIANTOM OPREDELENIQ. zAMETIM, ^TO IZ OPREDELENIQ PREDELA FUNKCII SLEDUET, ^TO ESLI PREDEL FUNKCII W TO^KE SU]ESTWUET, TO ON OPREDELQETSQ ODNOZNA^NO. wSE, ^TO BYLO SKAZANO O PREDELE FUNKCII, PRISPOSOBLENO K SLU^A@, KOGDA x0 | ^ISLO (TO^KA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ). nO RASSMATRIWA@TSQ TAKVE PREDELY FUNKCII, KOGDA x STREMITSQ K +1, K ;1 ILI K 1. pOZNAKOMIMSQ S NEKOTORYMI PONQTIQMI, KOTORYE POKAVUT, ^TO \TI SLU^AI NE IME@T PRINCIPIALXNYH RAZLI^IJ. 48
nARQDU S ^ISLOWOJ PRQMOJ R = (;1 +1) RASSMATRIWAETSQ RASIRENNAQ ^ISLOWAQ PRQMAQ. zDESX WOZMOVNY DWA WARIANTA. w ODNOM SLU^AE K (;1 +1) DOBAWLQ@TSQ DWE \BESKONE^NO UDALENNYE TO^KI" ;1 I +1. tOGDA WSE \LEMENTY RASIRENNOJ TAKIM OBRAZOM ^ISLOWOJ PRQMOJ OSTA@TSQ UPORQDO^ENNYM MNOVESTWOM (DLQ L@BOGO ^ISLA x IMEEM ;1 < x < +1), NO ARIFMETI^ESKIE DEJSTWIQ OPREDELENY NE DLQ L@BOJ PARY \LEMENTOW. nAPRIMER, IME@T SMYSL WYRAVENIQ x+(+1) (+1)+(+1), NO NE IME@T SMYSLA WYRAVENIQ WIDA (+1) + (;1) ILI 0 (+1). oKRESTNOSTI SIMWOLA (\TO^KI") +1 OPREDELQ@TSQ KAK MNOVESTWA TO^EK x, UDOWLETWORQ@]IH NERAWENSTWAM x > L, GDE L { PROIZWOLXNOE ^ISLO. a DLQ ;1 OKRESTNOSTI OPREDELQ@TSQ NERAWENSTWAMI x < L. dRUGOJ WARIANT RASIRENNOJ ^ISLOWOJ PRQMOJ POLU^IM, KOGDA K ^ISLOWOJ PRQMOJ (;1 +1) DOBAWLQETSQ ODIN SIMWOL 1 (BEZ ZNAKA). zDESX UPORQDO^ENNOSTI NET I ARIFMETR^ESKIE DEJSTWIQ TAKVE OPREDELENY NE DLQ WSEH SLU^AEW. oKRESTNOSTI SIMWOLA (\TO^KI") 1 OPREDELQ@TSQ KAK MNOVESTWA TO^EK, LEVA]IH WNE PROIZWOLXNYH OTREZKOW L M ]. |TI PONQTIQ DA@T PREDSTAWLENIE, KAK DOLVNY WYGLQDETX OPREDELENIQ PREDELOW FUNKCII PRI x ! +1 (ILI ;1 ILI 1). oSTANOWIMSQ PODROBNO NA SLU^AE x ! +1. oSTALXNYE SLU^AI ANALOGI^NY. oPREDELENIE. ~ISLO a NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII f PRI x ! +1, ESLI 1 . FUNKCIQ f OPREDELENA DLQ WSEH x, UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ x > L, GDE L | NEKOTOROE ^ISLO 2 . (OPREDELENIE PO kOI) DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO M ("), ^TO DLQ WSEH x > M WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jf (x) ; aj < " 2 . (OPREDELENIE PO gEJNE) DLQ KAVDOJ POSLEDOWATELXNOSTI fxn g, GDE WSE xn PRINADLEVAT OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII f I xn ! +1, SPRAWEDLIWO RAWENSTWO a = nlim !1 f (xn ): |KWIWALENTNOSTX OPREDELENIJ PO kOI I PO gEJNE DOKAZYWAETSQ ANALOGI^NO. zAMETIM, ^TO ESLI W OPREDELENII PREDELA PO kOI WMESTO ZAPISI NERAWENSTW, GOWORITX OB OKRESTNOSTQH, TO NIKAKOJ RAZNICY MEVDU SLU^AQMI KONE^NOGO x0 I BESKONE^NOGO SIMWOLA NE BUDET. nAKONEC, DA@TSQ OPREDELENIQ, KOGDA PREDELOM QWLQETSQ NE ^ISLO a, A BESKONE^NYJ SIMWOL. nAPRIMER, PO OPREDELENI@ xlim !x0 f (x) = 1, 49
ESLI (POMIMO TREBOWANIQ NA OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII f ) DLQ L@BOGO ^ISLA M SU]ESTWUET TAKOE = (M ) > 0, ^TO DLQ WSEH x 6= x0 , DLQ KOTORYH jx ; x0 j < , IMEEM jf (x)j > M . pODOBNYM OBRAZOM MOVNO GOWORITX O SLU^AQH, KOGDA xlim !x0 f (x) = +1 (ILI ;1), A TAKVE OB OPREDELENIQH, W KOTORYH ROLX x0 OTDANA KAKOMU-LIBO BESKONE^NOMU SIMWOLU. kAK I DLQ POSLEDOWATELXNOSTEJ, BUDEM GOWORITX, ^TO FUNKCIQ IMEET PREDEL, ESLI \TOT PREDEL KONE^EN. a ESLI PREDEL MOVET BYTX I BESKONE^NYM, TO \TO BUDET OTME^ATXSQ. x 3.3.
sWOJSTWA PREDELA FUNKCII
3.3.1. eSLI FUNKCIQ IMEET PREDEL PRI x ! x0 , TO ONA OGRANI^ENA W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . dOKAZATELXSTWO. pUSTX a = xlim !x0 f (x). wZQW " = 1, NAHODIM > 0, PRI KOTOROM DLQ WSEH x 6= x0 TAKIH, ^TO jx ; x0 j < , IMEEM jf (x) ; aj < 1. tOGDA DLQ \TIH x SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO jf (x)j 6 jf (x) ; aj + jaj < 1 + jaj I TEOREMA DOKAZANA. tEOREMA 3.3.2. eSLI xlim !x0 f (x) = a I a 6= 0, TO SU]ESTWUET TAKAQ PROKOLOTAQ OKRESTNOSTX TO^KI x0 , ^TO DLQ WSEH x IZ \TOJ OKRESTNOSTI WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO
tEOREMA
jf (x)j > 21 jaj:
pRI \TOM f (x) > a=2, ESLI a > 0, I f (x) < a=2, ESLI a < 0. dOKAZATELXSTWO. rASSUVDENIQ ANALOGI^NY DOKAZATELXSTWU SOOTWETSTWU@]EJ TEOREMY DLQ POSLEDOWATELXNOSTEJ. pOLAGAEM " := jaj=2 I NAHODIM > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH x, UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ 0 < jx ; x0 j < , WYPOLNQETSQ OCENKA
jf (x) ; aj < 21 jaj:
|TA OCENKA RAWNOSILXNA DWOJNOMU NERAWENSTWU a ; 12 jaj < f (x) < a + 12 jaj:
(3.3.1)
tEPERX, ESLI a > 0, TO POLXZUEMSQ LEWYM NERAWENSTWOM (3.3.1), A ESLI a < 0, TO | PRAWYM NERAWENSTWOM (3.3.1). 50
tEOREMA
3.3.3.
eSLI DLQ FUNKCIJ f I g SU]ESTWU@T PREDELY
lim f (x) I xlim x!x0 !x0 g(x) I W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO f (x) 6 g(x), TO lim f (x) 6 xlim !x g(x):
x!x0
0
dOKAZATELXSTWO. sU]ESTWUET TAKAQ PROKOLOTAQ OKRESTNOSTX TO^KI x0 , W KOTOROJ OPREDELENY OBE FUNKCII f I g. wOZXMEM PROIZWOLXNU@ POSLEDOWATELXNOSTX TO^EK fxn g, PRINADLEVA]IH \TOJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI I SHODQ]IHSQ K x0 . tAK KAK xn ! x0 , TO WSE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI fxn g, NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA n, POPADUT W TU OKRESTNOSTX TO^KI x0 , W KOTOROJ f (x) 6 g(x), T.E. f (xn ) 6 g(xn ) DLQ WSEH DOSTATO^NO BOLXIH n. pO TEOREME 2.2.3 O PREDELAH POSLEDOWATELXNOSTEJ OTS@DA WYTEKAET, ^TO lim f (x ) 6 lim g(x ) n!1 n n!1 n
I OSTALOSX TOLXKO ZAMETITX, ^TO IZ OPREDELENIQ PREDELA FUNKCII PO gEJNE SLEDUET, ^TO nlim !1 f (xn ) = xlim !x0 f (x) I nlim !1 g(xn ) = xlim !x0 g(x). tEOREMA DOKAZANA. tEOREMA 3.3.4. pUSTX W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 DLQ FUNKCIJ f (x), g(x) I h(x) WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA f (x) 6 g(x) 6 h(x): (3.3.2) eSLI xlim !x0 f (x) = xlim !x0 h(x) (PREDPOLAGAETSQ SU]ESTWOWANIE PREDELOW I IH RAWENSTWO), TO PREDEL xlim !x0 g(x) SU]ESTWUET I RAWEN lim f (x). x!x0
dOKAZATELXSTWO. wOZXMEM PROIZWOLXNU@ SHODQ]U@SQ K x0 POSLEDOWATELXNOSTX fxn g IZ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , W KOTOROJ WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA (3.3.2). tOGDA f (xn ) 6 g(xn ) 6 h(xn ) I PREDELY POSLEDOWATELXNOSTEJ ff (xn )g I fh(xn )g SU]ESTWU@T I RAWNY. zNA^IT, PO TEOREME 2.2.4 nlim !1 g(xn ) = nlim !1 f (xn ):
oTS@DA, POLXZUQSX OPREDELENIEM PREDELA FUNKCII PO gEJNE, PRIHODIM K UTWERVDENI@ TEOREMY. 51
tEOREMA
eSLI SU]ESTWUET PREDEL xlim !x0 f (x), TO SU]ESTWUET PREDEL xlim !x0 jf (x)j I SPRAWEDLIWO RAWENSTWO 3.3.5.
lim jf (x)j = xlim !x f (x) :
x!x0
0
dOKAZATELXSTWO. pUSTX xlim !x0 f (x) = a. zNA^IT, DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET TAKOE > 0, ^TO DLQ WSEH x, DLQ KOTORYH 0 < jx;x0 j < , IMEEM jf (x) ; aj < ". nO TOGDA jf (x)j ; jaj 6 jf (x) ; aj < " I TEOREMA DOKAZANA. rASSMOTRIM ARIFMETI^ESKIE DEJSTWIQ NAD FUNKCIQMI, IME@]IMI PREDELY. tEOREMA 3.3.6. pUSTX DLQ FUNKCIJ f I g SU]ESTWU@T PREDELY xlim !x0 f (x) I xlim !x0 g(x). tOGDA SU]ESTWU@T UKAZANNYE NIVE PREDELY I WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA: lim f (x) g(x)] = xlim x!x0 !x0 f (x) xlim !x0 g(x) lim f (x) g(x) = xlim x!x0 !x0 f (x) xlim !x0 g(x) ESLI, KROME TOGO, xlim !x0 g(x) 6= 0, TO
f (x) = xlim !x0 f (x) : lim x!x0 g (x) lim g(x) x!x 0
dOKAZATELXSTWO. zAMETIM, ^TO W UTWERVDENII O ^ASTNOM IZ USLOWIQ xlim !x0 g(x) 6= 0 SOGLASNO TEOREME 3.3.2 SLEDUET, ^TO W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO g(x) 6= 0, ZNA^IT, W \TOJ OKRESTNOSTI IMEET SMYSL ^ASTNOE f (x)=g(x). dOKAZATELXSTWO KAVDOGO IZ UTWERVDENIJ TEOREMY PROWODITSQ PO SLEDU@]EJ SHEME. wYBIRAETSQ PROIZWOLXNAQ SHODQ]AQSQ K x0 POSLEDOWATELXNOSTX TO^EK fxn g IZ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , W KOTOROJ OPREDELENY FUNKCII f I g. dLQ ^ISLOWYH POSLEDOWATELXNOSTEJ ff (xn )g I fg(xn )g SOOTWETSTWU@]IE SWOJSTWA IZWESTNY (KOGDA GOWORITSQ O ^ASTNOM, U^ITYWAEM, ^TO g(xn ) 6= 0 DLQ DOSTATO^NO BOLXIH n). pRI \TOM DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI fxn g UKAZANNOGO WIDA W LEWOJ ^ASTI RAWENSTW KAVDOGO IZ UTWERVDENIJ TEOREMY POLU^AEM ODNI I TE VE ZNA^ENIQ PREDELOW, TAK KAK PREDELY W PRAWYH ^ASTQH NE ZAWISQT OT TOGO, KAKAQ IMENNO POSLEDOWATELXNOSTX fxn g BYLA WZQTA. tAKIM OBRAZOM, TEOREMA DOKAZANA. 52
tEOREMA
x 3.4.
kRITERIJ kOI
3.4.1 (kRITERIJ kOI). pUSTX FUNKCIQ f OPREDELENA W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . dLQ TOGO ^TOBY SU]ESTWOWAL KONE^NYJ PREDEL xlim !x0 f (x), NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY WYPOLNQLOSX USLOWIE kOI, T.E. ^TOBY DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWOWALO TAKOE > 0, ^TO DLQ L@BYH TO^EK x0 I x00 IZ PROKOLOTOJ -OKRESTNOSTI TO^KI x0 IMELO MESTO NERAWENSTWO (3.4.1) jf (x0) ; f (x00 )j < ":
dOKAZATELXSTWO. pUSTX xlim !x0 f (x) = a. dLQ KAVDOGO " > 0 NAHODIM > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH x, DLQ KOTORYH 0 < jx ; x0 j < , WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jf (x) ; aj < "=2. wZQW TEPERX PROIZWOLNYE TO^KI x0 I x00 IZ \TOJ PROKOLOTOJ -OKRESTNOSTI, WIDIM, ^TO jf (x0) ; f (x00 )j 6 jf (x0) ; aj + ja ; f (x00 )j < " + " = " 2
2
I NEOBHODIMOSTX USLOWIQ kOI DOKAZANA. pUSTX TEPERX WYPOLNENO USLOWIE kOI. pO " > 0 WYBIRAEM TAKOE > 0, ^TO DLQ L@BYH TO^EK x0 I x00 IZ PROKOLOTOJ -OKRESTNOSTI TO^KI x0 SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO (3.4.1). rASSMOTRIM PROIZWOLXNU@ POSLEDOWATELXNOSTX TO^EK fxn g IZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII f TAKU@, ^TO xn 6= x0 DLQ WSEH n I xn ! x0 , n ! 1. w SILU SHODIMOSTI xn K x0 SU]ESTWUET ^ISLO N , ZAWISQ]EE OT , A W KONE^NOM S^ETE ZAWISQ]EE OT ", TAKOE, ^TO DLQ WSEH n > N TO^KI xn PRINADLEVAT TOJ PROKOLOTOJ -OKRESTNOSTI TO^KI x0 , GDE WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO (3.4.1). tOGDA DLQ n, m > N IMEEM jf (xn ) ; f (xm )j < ". |TO POKAZYWAET, ^TO WYPOLNENO USLOWIE kOI DLQ POSLEDOWATELXNOSTI ff (xn )g. tAKIM OBRAZOM, DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI fxn g RASSMATRIWAEMOGO WIDA SU]ESTWUET KONE^NYJ PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI ff (xn )g. nUVNO E]E POKAZATX, ^TO DLQ RAZNYH POSLEDOWATELXNOSTEJ fxn g PREDELY POSLEDOWATELXNOSTEJ ff (xn )g ODINAKOWY. rASSMOTRIM DWE POSLEDOWATELXNOSTI UKAZANNOGO WIDA fx g I ftng. pUSTX limn!1 f (xn) = a I limn!1 f (tn) = b. sOSTAWIMn NOWU@ POSLEDOWATELXNOSTX x1 t1 x2 t2 x3 t3 : : : (3.4.2) WKL@^AQ W NEE POPEREMENNO ^LENY POSLEDOWATELXNOSTEJ fxn g I ftn g. 53
wSE ^LENY POSLEDOWATELXNOSTI (3.4.2) PRINADLEVAT OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII f , OTLI^NY OT x0 I POSLEDOWATELXNOSTX (3.4.2) SHODITSQ K x0 . zNA^IT, PO UVE DOKAZANNOMU POSLEDOWATELXNOSTX ZNA^ENIJ FUNKCII f W TO^KAH \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI IMEET PREDEL. ~ISLA a I b QWLQ@TSQ ^ASTI^NYMI PREDELAMI \TOJ SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI. oTS@DA SLEDUET, ^TO a = b. tEOREMA DOKAZANA. x 3.5.
pREDEL SLOVNOJ FUNKCII
sNA^ALA OB_QSNIM TERMIN \SLOVNAQ FUNKCIQ". oPREDELENIE. pUSTX NA MNOVESTWE D ZADANA FUNKCIQ f (x) I E | MNOVESTWO ZNA^ENIJ FUNKCII f . pREDPOLOVIM, ^TO NA E OPREDELENA FUNKCIQ '. tOGDA DLQ WSEH x 2 D IMEET SMYSL WYRAVENIE (x) := '(f (x)): zADANNAQ TAKIM OBRAZOM NA D FUNKCIQ NAZYWAETSQ SLOVNOJ FUNKCIEJ. sLOVNU@ FUNKCI@ NAZYWA@T TAKVE FUNKCIEJ OT FUNKCII, SUPERPOZICIEJ FUNKCIJ ILI KOMPOZICIEJ FUNKCIJ. rASSMOTRIM WOPROS, PRI KAKIH USLOWIQH IZ SU]ESTWOWANIQ PREDELOW FUNKCIJ f I ' SLEDUET, ^TO IMEET PREDEL SLOVNAQ FUNKCIQ . tEOREMA 3.5.1. pUSTX xlim !x0 f (x) = y0 , PRI^EM W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 f (x) 6= y0 : (3.5.1) pUSTX, DALEE, ylim !y0 '(y) = z0 . tOGDA SU]ESTWUET PREDEL xlim !x0 '(f (x)) = z0 :
dOKAZATELXSTWO. zAMETIM, ^TO W DOKAZATELXSTWE NUVDAETSQ I TOT FAKT, ^TO SLOVNAQ FUNKCIQ '(f (x)) OPREDELENA W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . |TO BUDET USTANOWLENO PO HODU RASSUVDENIJ. tAK KAK PREDEL FUNKCII ' W TO^KE y0 RAWEN z0 , TO DLQ PROIZWOLXNOGO " > 0 SU]ESTWUET ^ISLO (") > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH y, UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ 0 < jy ; y0 j < , SPRAWEDLIWA OCENKA j'(y) ; z0j < ". 54
tEPERX PO NAHODIM > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH x, DLQ KOTORYH 0 < jx ; x0 j < , IMEEM jf (x) ; y0j < . uMENXIW W SLU^AE NEOBHODIMOSTI ZNA^ENIE , MOVNO DOBITXSQ TOGO, ^TO W PROKOLOTOJ -OKRESTNOSTI TO^KI x0 WYPOLNQETSQ USLOWIE (3.5.1). tOGDA WSE ZNA^ENIQ FUNKCII f DLQ x IZ \TOJ -OKRESTNOSTI PRINADLEVAT PROKOLOTOJ -OKRESTNOSTI TO^KI y0. zNA^IT, DLQ \TIH x
j'(f (x)) ; z j < ": 0
oTS@DA SLEDUET UTWERVDENIE TEOREMY, POSKOLXKU WYBIRALOSX W ZAWISIMOSTI OT , A W ZAWISIMOSTI OT ", T.E. W KONCE KONCOW WYBOR ZAWISIT OT ". uSLOWIE (3.5.1) SU]ESTWENNO DLQ SPRAWEDLIWOSTI TEOREMY 3.5.1. w SAMOM DELE, IZ SU]ESTWOWANIQ PREDELA limy!y0 '(y) NE SLEDUET, ^TO FUNKCIQ '(y) OPREDELENA W TO^KE y0 , A ESLI I OPREDELENA, TO NIKAKIH USLOWIJ NA EE ZNA^ENIE W \TOJ TO^KE NE NAKLADYWAETSQ. pO\TOMU, ESLI USLOWIE (3.5.1) NE WYPOLNENO, TO W KAK UGODNO MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 MOGUT OKAZATXSQ TO^KI x, DLQ KOTORYH WYRAVENIE '(f (x)) ILI NE OPREDELENO ILI PRINIMAET ZNA^ENIQ, NIKAK NE SWQZANNYE SO ZNA^ENIQMI ' W PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI y0 . wMESTE S TEM, IZ DOKAZATELXSTWA TEOREMY 3.5.1 WIDNO, ^TO OT USLOWIQ (3.5.1) MOVNO OTKAZATXSQ, ESLI POTREBOWATX, ^TO FUNKCIQ ' OPREDELENA PRI y = y0 I ylim !y0 '(y) = '(y0 ). tAKIM OBRAZOM, IMEET MESTO SLEDU@]EE UTWERVDENIE. tEOREMA 3.5.2. pUSTX xlim !x0 f (x) = y0 I ylim !y0 '(y) = '(y0 ). tOGDA xlim !x0 '(f (x)) = '(y0 ):
x 3.6.
oDNOSTORONNIE PREDELY
nARQDU S OKRESTNOSTQMI TO^EK, KOGDA TO^KA LEVIT WNUTRI SOOTWETSTWU@]EGO INTERWALA, RASSMATRIWA@TSQ PROMEVUTKI, KOTORYE NAZYWA@T ODNOSTORONNIMI OKRESTNOSTQMI TO^EK. l@BOJ POLUOTREZOK WIDA (a x0 ] NAZYWA@T LEWOJ OKRESTNOSTX@ TO^KI x0 , A POLUOTREZOK WIDA x0 b) | PRAWOJ OKRESTNOSTX@ TO^KI x0 . w TERMINAH LEWYH I PRAWYH OKRESTNOSTEJ WWODQTSQ ODNOSTORONNIE PREDELY. pRIWEDEM OPREDELENIE PREDELA FUNKCII W TO^KE SPRAWA. oPREDELENIE. pUSTX FUNKCIQ f ZADANA W NEKOTOROJ PRAWOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , ZA ISKL@^ENIEM, BYTX MOVET, SAMOJ TO^KI x0 . ~ISLO a NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII f W TO^KE x0 SPRAWA, 55
ESLI DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET = (") > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH x, UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ x0 < x < x0 + , SPRAWEDLIWA OCENKA jf (x) ; aj < ": w \TOM SLU^AE PIUT a = x!xlim f (x) = x!lim f ( x) x0 +0 0 x>x0 ILI a = f (x0 + 0). |TO | OPREDELENIE PREDELA PO kOI. mOVNO DATX OPREDELENIE ODNOSTORONNIH PREDELOW PO gEJNE I DOKAZATX IH \KWIWALENTNOSTX. nE BUDEM NA \TOM OSTANAWLIWATXSQ WWIDU O^EWIDNOSTI TEH IZMENENIJ, KOTORYE NUVNO SDELATX PO SRAWNENI@ SO SLU^AEM OBY^NYH PREDELOW. sOOTWETSTWU@]IM OBRAZOM FORMULIRUETSQ OPREDELENIE PREDELA FUNKCII SLEWA. |TOT PREDEL OBOZNA^A@T f (x0 ; 0). pRAWYJ I LEWYJ PREDELY W TO^KE 0 OBOZNA^A@T f (+0) I f (;0). pONQTNO, ^TO SU]ESTWOWANIE PREDELA xlim !x0 f (x) RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ I RAWENSTWU ODNOSTORONNIH PREDELOW f (x0 +0) I f (x0 ; 0).
tEOREMA
3.6.1. pUSTX FUNKCIQ f WOZRASTAET NA INTERWALE (a b), T.E. f (x1 ) 6 f (x2 ) DLQ x1 < x2 . tOGDA ESLI ZNA^ENIQ f NA (a b) OGRANI^ENY SWERHU ^ISLOM B , TO PREDEL f (b ; 0) SU]ESTWUET I f (b ; 0) 6 B . eSLI FUNKCIQ f NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ SWERHU NA (a b), TO f (b ; 0) = +1. dOKAZATELXSTWO. rASSUVDENIQ ANALOGI^NY DOKAZATELXSTWU SOOTWETSTWU@]EJ TEOREMY DLQ POSLEDOWATELXNOSTEJ. eSLI f (x) 6 B DLQ x 2 (a b), TO SU]ESTWUET M := sup f (x) I M 6 B . tAK KAK x2(ab) M | TO^NAQ WERHNQQ GRANX, TO DLQ KAVDOGO " > 0 NAJDETSQ TO^KA x" 2 (a b), DLQ KOTOROJ f (x" ) > M ; ". nO TOGDA W SILU WOZRASTANIQ f DLQ WSEH x 2 (x" b) IMEEM M ; " < f (x" ) 6 f (x) 6 M: a \TO POKAZYWAET, ^TO f (b ; 0) = M . eSLI f NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ SWERHU, TO DLQ KAVDOGO ^ISLA L SU]ESTWUET TO^KA xL 2 (a b) TAKAQ, ^TO f (xL ) > L. a W SILU WOZRASTANIQ f DLQ WSEH x 2 (xL b) IMEEM f (x) > f (xL ) > L. zNA^IT, f (b ; 0) = +1. tEOREMA DOKAZANA.
56
aNALOGI^NOE UTWERVDENIE SPRAWEDLIWO I DLQ UBYWA@]IH FUNKCIJ. tEOREMA 3.6.2. eSLI FUNKCIQ f MONOTONNA (T.E. WOZRASTAET ILI UBYWAET) NA (a b), TO DLQ KAVDOGO x 2 (a b) SU]ESTWU@T PREDELY f (x + 0) I f (x ; 0). pRI \TOM, ESLI f WOZRASTAET, TO f (x ; 0) 6 f (x + 0), A ESLI f UBYWAET, TO f (x ; 0) > f (x + 0). dOKAZATELXSTWO. pUSTX f NA (a b) WOZRASTAET. dLQ KAVDOJ TO^KI x0 RASSMOTRIM SLED f NA INTERWALE (a x0 ). tAK KAK WSE ZNA^ENIQ FUNKCII f NA (a x0 ) OGRANI^ENY SWERHU ^ISLOM f (x0 ), TO SOGLASNO TEOREME 3.6.1 SU]ESTWUET PREDEL f (x0 ; 0) I SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO f (x0 ; 0) 6 f (x0 ). tO^NO TAK VE IZ WOZRASTANIQ f NA INTERWALE (x0 b) SLEDUET SU]ESTWOWANIE PREDELA f (x0 + 0) I NERAWENSTWO f (x0 ) 6 f (x0 + 0). |TO DOKAZYWAET TEOREMU DLQ WOZRASTA@]IH FUNKCIJ. dLQ UBYWA@]IH FUNKCIJ RASSUVDENIQ ANALOGI^NY. x 3.7.
sRAWNENIE FUNKCIJ
pUSTX NA MNOVESTWE D ZADANY FUNKCII f (x) I '(x). eSLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO C , ^TO DLQ WSEH x 2 D WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jf (x)j 6 C j'(x)j TO PIUT f (x) = O('(x)) NA D I GOWORQT, ^TO f ESTX O-BOLXOE OT ' NA D. pUSTX TEPERX FUNKCII f (x) I '(x) ZADANY W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . eSLI SU]ESTWU@T ^ISLO C I TAKAQ PROKOLOTAQ OKRESTNOSTX TO^KI x0 , ^TO DLQ WSEH x IZ \TOJ OKRESTNOSTI jf (x)j 6 C j'(x)j TO PIUT (3.7.1) f (x) = O('(x)) x ! x0 I GOWORQT, ^TO f ESTX O-BOLXOE OT ' PRI x ! x0 . hOTQ W \TOJ FORMULE ISPOLXZOWANA ZAPISX x ! x0 , NO NIKAKOGO PREDELXNOGO PEREHODA ZDESX NET. |TO OZNA^AET TOLXKO, ^TO RE^X IDET O DOSTATO^NO MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . eSLI NA D ILI PRI x ! x0 ODNOWREMENNO IME@T MESTO SOOTNOENIQ f (x) = O('(x)) I '(x) = O(f (x)), TO GOWORQT, ^TO FUNKCII 57
f (x) I '(x) IME@T ODINAKOWYJ PORQDOK, SOOTWETSTWENNO, NA D ILI PRI x ! x0 . oBOZNA^ATX \TO BUDEM TAK: f (x) '(x) (3.7.2) DOBAWLQQ, ^TO \TO SOOTNOENIE IMEET MESTO NA D ILI PRI x ! x0 . eSLI FUNKCII f (x) I '(x) NE OBRA]A@TSQ W NULX (SOOTWETSTWENNO, NA D ILI W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 ), TO OPREDELENIE ODINAKOWOGO PORQDKA \TIH FUNKCIJ MOVNO SFORMULIROWATX TAK: SU]ESTWU@T POLOVITELXNYE ^ISLA C1 I C2 TAKIE, ^TO C1 6 'f ((xx)) 6 C2 NA D ILI W DOSTATO^NO MALOJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . rASSMOTRIM FUNKCII f (x) I '(x), ZADANNYE W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , DLQ KOTORYH lim f (x) = 0: x!x0 '(x) w \TOM SLU^AE PIUT f (x) = o('(x)) x ! x0 (3.7.3) I GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f (x) ESTX o-MALOE OT '(x) PRI x ! x0 . eSLI f (x) = o(1), x ! x0 , TO FUNKCI@ f NAZYWA@T BESKONE^NO MALOJ (IS^EZA@]EJ) PRI x ! x0 . qSNO, ^TO ESLI f (x) = o('(x)), x ! x0 , TO f (x) = O('(x)), x ! x0 , A OBRATNOE UTWERVDENIE NE WERNO. pONQTNO TAKVE, ^TO ESLI f (x) = O('(x)), x ! x0 , I '(x) = O((x)), x ! x0 , TO f (x) = O((x)), x ! x0 , PRI^EM ESLI HOTQ BY W ODNOM IZ ISHODNYH SOOTNOENIJ ZAMENITX O NA o, TO POLU^IM f (x) = o((x)), x ! x0 . eSLI FUNKCII f (x) I '(x) TAKOWY, ^TO f (x) = 1 lim x!x0 '(x) TO GOWORQT, ^TO FUNKCII f (x) I '(x) PRI x ! x0 ASIMPTOTI^ESKI RAWNY ILI \KWIWALENTNY. w TAKOM SLU^AE BUDEM PISATX f (x) '(x) x ! x0 : (3.7.4) 58
k SOVALENI@, NET USTANOWIWIHSQ OB]EPRINQYH OBOZNA^ENIJ DLQ PORQDKOWOGO I ASIMPTOTI^ESKOGO RAWENSTW I NARQDU S (3.7.2) I (3.7.4) ISPOLXZU@TSQ I DRUGIE WARIANTY ZAPISI. oTMETIM, ^TO OPREDELENIQ SIMWOLOW O, o, , MOVNO OTNOSITX NE KO WSEJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , A K ODNOSTORONNIM OKRESTNOSTQM. pOD^ERKNEM, ^TO HOTQ W FORMULAH (3.7.1) I (3.7.3) UPOTREBLQETSQ ZNAK RAWENSTWA, W OBOIH \TIH SLU^AQH MY IMEEM DELO NE S RAWENSTWAMI, A S OCENKAMI, SRAWNIWA@]IMI POWEDENIE FUNKCII f (x) S POWEDENIEM FUNKCII '(x) PRI x ! x0 .
gLAWA
4
neprerywnye funkcii nEPRERYWNOSTX FUNKCII W TO^KE
x 4.1.
oPREDELENIE fUNKCIQ f NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ W TO^KE x0 , .
ESLI ONA OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI I DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET = (") > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH x, UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ jx ; x0 j < , SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO jf (x) ; f (x0)j < ": iSPOLXZUQ PREDEL FUNKCII W TO^KE, MOVNO DATX \KWIWALENTNU@ FORMULIROWKU: FUNKCIQ f NEPRERYWNA W TO^KE x0 , ESLI lim f (x) = f (x0 ): x!x0 gRAFI^ESKI NEPRERYWNOSTX f W TO^KE x0 OZNA^AET, ^TO PO " > 0 STROITSQ POLOSA, PARALLELXNAQ OSI OX , ZAKL@^ENNAQ MEVDU PRQMYMI y = f (x0 ) + " I y = f (x0 ) ; ", I TREBUETSQ, ^TOBY SU]ESTWOWALA TAKAQ -OKRESTNOSTX TO^KI x0 , ^TO DLQ WSEH x IZ \TOJ OKRESTNOSTI TO^KI GRAFIKA FUNKCII f (x) POPADALI W UKAZANNU@ POLOSU. mOVNO DATX OPREDELENIE I W TERMINAH POSLEDOWATELXNOSTEJ: FUNKCIQ f NEPRERYWNA W TO^KE x0 , ESLI ONA OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI I DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI TO^EK fxn g IZ OBLASTI OPREDELENIQ f TAKOJ, ^TO nlim !1 xn = x0 , SPRAWELIWO RAWENSTWO nlim !1 f (xn ) = f (x0 ). |TO MOVNO ZAPISATX TAK: lim f (xn ) = f (nlim !1 xn ):
n!1
59
y f (x0)+ε y =f (x) f (x0) f (x0)–ε x0–δ
x0
x0+δ
x
pRI OBSUVDENII WOPROSOW, SWQZANNYH S NEPRERYWNOSTX@ FUNKCIJ, UDOBNO POLXZOWATXSQ PONQTIEM PRIRA]ENIQ FUNKCII. dADIM ARGUMENTU x0 FUNKCII y = f (x) PRIRA]ENIE x TAK, ^TOBY ^ISLO x0 + x TAKVE PRINADLEVALO OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII. pRIRA]ENIE x MOVET BYTX KAK POLOVITELXNYM, TAK I OTRICATELXNYM. rAZNOSTX ZNA^ENIJ FUNKCII y := f (x0 + x) ; f (x0 ) NAZYWAETSQ PRIRA]ENIEM FUNKCII f W TO^KE x0 , SOOTWETSTWU@]IM PRIRA]ENI@ ARGUMENTA x. nEPRERYWNOSTX FUNKCII f W TO^KE x0 \KWIWALENTNA TOMU, ^TO y ! 0 PRI x ! 0. pERE^ISLIM SWOJSTWA NEPRERYWNYH FUNKCIJ, KOTORYE WYTEKA@T IZ SWOJSTW PREDELA FUNKCII W TO^KE. eSLI FUNKCIQ NEPRERYWNA W TO^KE, TO ONA OGRANI^ENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI. eSLI FUNKCIQ f NEPRERYWNA W TO^KE x0 I f (x0 ) 6= 0, TO SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX TO^KI x0 , ^TO jf (x)j > jf (x0 )j=2 DLQ WSEH x IZ \TOJ OKRESTNOSTI. pRI \TOM f (x) > f (x0 )=2, ESLI f (x0 ) > 0, I f (x) < f (x0 )=2, ESLI f (x0 ) < 0. oTS@DA SLEDUET, ^TO ESLI FUNKCIQ f NEPRERYWNA W TO^KE x0 I f (x0 ) 6= 0, TO f SOHRANQET ZNAK W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . eSLI FUNKCII f (x) I g(x) NEPRERYWNY W TO^KE x0 , TO W \TOJ TO^KE NEPRERYWNY FUNKCII f (x) + g(x), f (x) ; g(x), f (x) g(x), A ESLI, KROME TOGO, g(x0 ) 6= 0, TO NEPRERYWNA I FUNKCIQ f (x)=g(x). nEPRERYWNOSTX FUNKCIJ, POLU^ENNYH PRI ARIFMETI^ESKIH DEJSTWIQH NAD NEPRERYWNYMI FUNKCIQMI, POZWOLQET SDELATX WYWOD O NEPRERYWNOSTI MNOGO^LENOW. w SAMOM DELE, NEPRERYWNOSTX FUNKCIJ f (x) = C (\TA FUNKCIQ PRINIMAET ZNA^ENIE C DLQ WSEH ZNA^ENIJ ARGUMENTA) I f (x) = x O^EWIDNA. zNA^IT, DLQ KAVDOGO NATURALXNOGO 60
n FUNKCIQ f (x) = xn QWLQETSQ NEPRERYWNOJ, W ^EM LEGKO UBEDITXSQ, RASSUVDAQ PO INDUKCII . a OTS@DA SLEDUET NEPRERYWNOSTX L@BOGO MNOGO^LENA an xn + an;1 xn;1 + : : : a1 x + a0 . rACIONALXNYE DROBI, T.E. OTNOENIQ DWUH MNOGO^LENOW, NEPRERYWNY WO WSEH TO^KAH, W KOTORYH ZNAMENATELX NE OBRA]AETSQ W NULX. nAKONEC, TEOREMA 3.5.2 POKAZYWAET, ^TO ESLI FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA W TO^KE x0 , A FUNKCIQ '(y) NEPRERYWNA W TO^KE y0 := f (x0 ), TO SLOVNAQ FUNKCIQ '(f (x)) NEPRERYWNA W TO^KE x0 . nARQDU S NEPRERYWNOSTX@ FUNKCII W TO^KE RASSMATRIWA@T ODNOSTORONN@@ NEPRERYWNOSTX. oPREDELENIE. fUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ SPRAWA W TO^KE x0 , ESLI f (x0 + 0) = f (x0 ). fUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ SLEWA W TO^KE x0 , ESLI f (x0 ; 0) = f (x0 ). nEPRERYWNOSTI FUNKCII f W TO^KE RAWNOSILXNA NEPRERYWNOSTI f W \TOJ TO^KE I SPRAWA I SLEWA. pONQTNO, KAK PRIWEDENNYE WYE SWOJSTWA FUNKCIJ, NEPRERYWNYH W TO^KE, PERENOSQTSQ NA FUNKCII, NEPRERYWNYE SPRAWA ILI SLEWA. x 4.2.
kLASSIFIKACIQ TO^EK RAZRYWA
rASSMOTRIM, KAKIMI MOGUT BYTX TO^KI, W KOTORYH FUNKCIQ NE QWLQETSQ NEPRERYWNOJ. tAKIE TO^KI NAZYWA@T TO^KAMI RAZRYWA FUNKCII. bUDEM S^ITATX, ^TO FUNKCIQ f OPREDELENA W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , ^TOBY MOVNO BYLO GOWORITX O PREDELE f W TO^KE x0 . |TO USLOWIE W DALXNEJEM OTME^ATX NE BUDEM. eSLI FUNKCIQ f IMEET RAZRYW W TO^KE x0 I SU]ESTWU@T KONE^NYE PREDELY f (x0 + 0) I f (x0 ; 0), TO GOWORQT, ^TO \TO RAZRYW PERWOGO RODA. eSLI FUNKCIQ f IMEET W TO^KE x0 RAZRYW PERWOGO RODA I f (x0 + 0) = f (x0 ; 0), TO LIBO f NE OPREDELENA W \TOJ TO^KE, LIBO f OPREDELENA W TO^KE x0 , NO f (x0 ) 6= f (x0 + 0). pOLOVIIW f (x0 ) := f (x0 + 0), T.E. DOOPREDELIW ILI PEREOPREDELIW f W TO^KE x0 , POLU^IM NEPRERYWNU@ FUNKCI@. tAKIM OBRAZOM, MY \USTRANILI" RAZRYW. tAKIE RAZRYWY NAZYWA@T USTRANIMYMI. rAZRYW PERWOGO RODA NAZYWA@T NEUSTRANIMYM, ESLI f (x0 + 0) 6= f (x0 ; 0). w \TOM SLU^AE DOOPREDELENIEM ILI PEREOPREDELENIEM FUNKCII W TO^KE x0 NELXZQ POLU^ITX NEPRERYWNU@ FUNKCI@. nA RISUNKE IZOBRAVENY NEUSTRANIMYE RAZRYWY PERWOGO RODA. 61
x0
x0
x0
x0
pUSTX FUNKCIQ f ZADANA W ODNOSTORONNEJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , DLQ OPREDELENNOSTI | W PRAWOJ OKRESTNOSTI. eSLI SU]ESTWUET PREDEL f (x0 + 0) I f (x0 + 0) 6= f (x0 ), TO x0 TAKVE NAZYWA@T TO^KOJ RAZRYWA PERWOGO RODA. eSLI RAZRYW FUNKCII NE QWLQETSQ RAZRYWOM PERWOGO RODA, TO EGO NAZYWA@T RAZRYWOM WTOROGO RODA. nA RISUNKE IZOBRAVENY NEKOTORYE HARAKTERNYE PRIMERY RAZRYWOW WTOROGO RODA. y
O
1 f (x)= – x
x
y
O
1 f (x)= – x2
x
y
O
1
f (x)=sin– x
x
sOGLASNO TEOREIE 3.6.2, ESLI FUNKCIQ f (x) MONOTONNA NA NEKOTOROM PROMEVUTKE, TO W KAVDOJ WNUTRENNEJ TO^KE x0 \TOGO PROMEVUTKA SU]ESTWU@T PREDELY f (x0 ; 0) I f (x0 +0). sOOTWETSTWU@]IJ ODNOSTORONNIJ PREDEL SU]ESTWUET I W KONCEWYH TO^KAH PROMEVUTKA MONOTONNOSTI, ESLI \TI TO^KI EMU PRINADLEVAT. zNA^IT, WSE TO^KI RAZRYWA MONOTONNOJ FUNKCII QWLQ@TSQ TO^KAMI RAZRYWA PERWOGO RODA. zAMETIM, ^TO ESLI MNOVESTWO TO^EK RAZRYWA MONOTONNOJ FUNKCII BESKONE^NO, TO ONO OBQZATELXNO S^ETNO. w SAMOM DELE, POSTAWIM KAVDOJ TO^KE RAZRYWA x0 KAKOE-LIBO RACIONALXNOE ^ISLO, ZAKL@^ENNOE MEVDU f (x0 ; 0) I f (x0 + 0). pOLU^IM WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MNOVESTWA TO^EK RAZRYWA I NEKOTOROGO PODMNOVESTWA MNOVESTWA RACIONALXNYH ^ISEL, A KAVDOE TAKOE BESKONE^NOE MNOVESTWO S^ETNO. iTAK, MONOTONNAQ FUNKCIQ MOVET IMETX TO^KI RAZRYWA TOLXKO PERWOGO RODA I MNOVESTWO TO^EK RAZRYWA NE BOLEE ^EM S^ETNO. 62
sWOJSTWA FUNKCIJ NEPRERYWNYH NA OTREZKE
x 4.3.
,
oPREDELENIE fUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ NA OTREZ.
KE a b], ESLI ONA NEPRERYWNA WO WSEH WNUTRENNIH TO^KAH OTREZKA, T.E. WO WSEH TO^KAH INTERWALA (a b), NEPRERYWNA SPRAWA W TO^KE a I NEPRERYWNA SLEWA W TO^KE b. mNOVESTWO WSEH NEPRERYWNYH NA OTREZKE a b] FUNKCIJ OBOZNA^A@T C a b] I TOT FAKT, ^TO f NEPRERYWNA NA a b], ZAPISYWA@T TAK: f 2 C a b]. nARQDU S NEPRERYWNOSTX@ NA OTREZKE RASSMATRIWA@T NEPRERYWNOSTX NA INTERWALE, NA POLUOTREZKE, POLUOSI I WSEJ OSI. mNOVESTWO FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA INTERWALE (a b), OBOZNA^A@T C (a b). kOGDA QSNO, O NEPRERYWNOSTI NA KAKOM PROMEVUTKE IDET RE^X, PIUT f 2 C . pONQTNO, ^TO ESLI FUNKCII f (x) I g(x) NEPRERYWNY NA OTREZKE a b], TO NA \TOM OTREZKE NEPRERYWNY FUNKCII f (x) g(x), f (x) g(x), A ESLI g(x) 6= 0 DLQ WSEH x 2 a b], TO NEPRERYWNA I FUNKCIQ f (x)=g(x). tEOREMA 4.3.1. fUNKCIQ, NEPRERYWNAQ NA OTREZKE, OGRANI^ENA NA \TOM OTREZKE. dOKAZATELXSTWO. oGRANI^ENNOSTX FUNKCII f NA OTREZKE a b] OZNA^AET SU]ESTWOWANIE TAKOGO ^ISLA L, ^TO jf (x)j 6 L DLQ WSEH x 2 a b]. dOKAVEM TEOREMU OT PROTIWNOGO. pREDPOLOVIM, ^TO FUNKCIQ f 2 C a b] I NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ NA a b]. tOGDA DLQ KAVDOGO n 2 N SU]ESTWUET TO^KA xn 2 a b], DLQ KOTOROJ jf (xn )j > n. tAKIM OBRAZOM, limn!1 f (xn ) = 1. pOSLEDOWATELXNOSTX TO^EK fxn g OGRANI^ENA, TAK KAK WSE \TI TO^KI PRINADLEVAT OTREZKU a b]. zNA^IT, PO TEOREME bOLXCANO{wEJERTRASSA SU]ESTWUET SHODQ]AQSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX fxnk g. pUSTX t := limk xnk . tOGDA t 2 a b]. w SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII f W TO^KE t (ESLI TO^KA t OKAZALASX ODNIM IZ KONCOW OTREZKA, TO IMEETSQ W WIDU ODNOSTORONNQQ NEPRERYWNOSTX) DLQ L@BOJ SHODQ]EJSQ K \TOJ TO^KE POSLEDOWATELXNOSTI TO^EK fzk g IZ a b] IMEEM lim f (zk ) = f (t). zNA^IT, k lim f (x ) = f (t). nO TAK KAK nlim !1 f (xn ) = 1, TO DOLVNO WYPOLk!1 nk NQTXSQ RAWENSTWO nlim f (xnk ) = 1. mY PRILI K PROTIWORE^I@, KOTOROE ZAKAN^IWAET!1DOKAZATELXSTWO TEOREMY. oTMETIM, ^TO DLQ FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA INTERWALE, UTWERVDENIE, ANALOGI^NOE TEOREME 4.3.1, NE WERNO. w \TOM MOVNO UBEDITXSQ 63
NA PRIMERE FUNKCII f (x) := 1=x. |TA FUNKCIQ NEPRERYWNA, NO NE OGRANI^ENA NA (0 1). tEOREMA 4.3.2 (tEOREMA wEJERTRASSA). eSLI FUNKCIQ NEPRERYWNA NA OTREZKE a b], TO W NEKOTORYH TO^KAH \TOGO OTREZKA ONA DOSTIGAET TO^NU@ WERHN@@ I TO^NU@ NIVN@@ GRANI SWOIH ZNA^ENIJ NA a b]. dOKAZATELXSTWO. dOKAVEM UTWERVDENIE O TO^NOJ WERHNEJ GRANI. tO^NAQ WERHNQQ GRANX ZNA^ENIJ FUNKCII f (x), NEPRERYWNOJ NA OTREZKE a b], SU]ESTWUET, TAK KAK SOGLASNO TEOREME 4.3.1 FUNKCIQ OGRANI^ENA. pUSTX M := sup f (x). dLQ KAVDOGO NATURALXNOGO n NAJDEM x2 ab] TO^KU xn 2 a b] TAKU@, ^TO f (xn ) > M ; 1=n. nO f (xn ) 6 M DLQ WSEH n, PO\TOMU (4.3.1) nlim !1 f (xn ) = M: pOLXZUQSX TEOREMOJ bOLXCANO{wEJERTRASSA, NAHODIM SHODQ]U@SQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX fxnk g POSLEDOWATELXNOSTI fxn g. pUSTX t := lim x , TOGDA t 2 a b]. k nk tAK KAK f NEPRERYWNA W TO^KE t, TO klim f (x ) = f (t). s DRUGOJ !1 nk STORONY, SOGLASNO (4.3.1) klim f (x ) = M , ZNA^IT, M = f (t). !1 nk dLQ TO^NOJ NIVNEJ GRANI DOKAZATELXSTWO ANALOGI^NO. tAKIM OBRAZOM, MOVNO GOWORITX O MAKSIMALXNOM ZNA^ENII FUNKCII, NEPRERYWNOJ NA OTREZKE, I PISATX W \TOM SLU^AE NE sup f (x), x2 ab] A xmax f (x). 2 ab] dLQ FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA INTERWALE, TEOREMA 4.3.2 NE IMEET MESTA, DAVE ESLI DOPOLNITELXNO PREDPOLAGATX OGRANI^ENNOSTX FUNKCII.
tEOREMA
(tEOREMA kOI O PROMEVUTO^NYH ZNA^ENIQH). pUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE a b] I f (a) 6= 4.3.3
f (b). tOGDA DLQ L@BOGO ^ISLA d, ZAKL@^ENNOGO MEVDU f (a) I f (b), SU]ESTWUET TO^KA t 2 a b] TAKAQ, ^TO d = f (t). dOKAZATELXSTWO. dOKAVEM SNA^ALA ^ASTNYJ SLU^AJ \TOGO UTWERVDENIQ, KOGDA ^ISLA f (a) I f (b) IME@T RAZNYE ZNAKI I d = 0. rAZDELIM OTREZOK a b] POPOLAM. eSLI W TO^KE DELENIQ ZNA^ENIE FUNKCII RAWNO NUL@, TO W KA^ESTWE t MOVNO WZQTX TO^KU DELENIQ. a ESLI W TO^KE DELENIQ ZNA^ENIE FUNKCII f OTLI^NO OT NULQ, TO W KONCAH ODNOGO IZ POLU^ENNYH OTREZKOW ZNA^ENIQ f (x) IME@T 64
RAZNYE ZNAKI. oBOZNA^IM \TOT OTREZOK a1 b1 ]. zAMETIM, ^TO b1 ; a1 = (b ; a)=2. dELIM TEPERX OTREZOK a1 b1 ] POPOLAM I POWTORQEM PREDYDU]EE RASSUVDENIE. t.E., ESLI W TO^KE DELENIQ FUNKCIQ OBRA]AETSQ W NULX, TO NUVNAQ TO^KA UVE NAJDENA. w PROTIWNOM SLU^AE WYBEREM TOT IZ POLU^IWIHSQ OTREZKOW, W KONCAH KOTOROGO FUNKCIQ PRINIMAET ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW. oBOZNA^IM \TOT OTREZOK a2 b2] I ZAMETIM, ^TO EGO DLINA W DWA RAZA MENXE DLINY OTREZKA a1 b1]. pRODOLVIM \TOT PROCESS. eSLI MY NE WSTRETIM NULX FUNKCII NA KAKOM-TO AGE, TO POLU^IM POSLEDOWATELXNOSTX WLOVENNYH OTREZKOW fan bn ]g, DLINY KOTORYH bn ; an = (b ; a)=2n STREMQTSQ K NUL@. zNA^IT, SOGLASNO TEOREME 1.7.1 SU]ESTWUET TO^KA t, PRINADLEVA]AQ WSEM \TIM OTREZKAM. pOKAVEM, ^TO f (t) = 0. eSLI \TO NE TAK, TO FUNKCIQ f SOHRANQET ZNAK W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI t. dLQ DOSTATO^NO BOLXIH n OTREZKI an bn] CELIKOM SODERVATSQ W \TOJ OKRESTNOSTI, TAK KAK ONA SODERVIT TO^KU t I DLINY OTREZKOW STREMQTSQ K NUL@. pOSKOLXKU W KONCAH OTREZKOW an bn] FUNKCIQ f PRINIMAET ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW, MY PRILI K PROTIWORE^I@ S TEM, ^TO FUNKCIQ SOHRANQET ZNAK W UKAZANNOJ OKRESTNOSTI TO^KI t. pEREHODIM K OB]EMU SLU^A@ W TEOREME kOI. wWEDEM FUNKCI@ g(x) := f (x) ; d. fUNKCIQ g NEPRERYWNA I W KONCAH OTREZKA a b] PRINIMAET ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW. zNA^IT, PO UVE DOKAZANNOMU SU]ESTWUET TO^KA t 2 a b], W KOTOROJ g(t) = 0. oTS@DA f (t) ; d = 0 I f (t) = d. tEOREMA DOKAZANA. s L E D S T W I E 4.3.4. pUSTX a b] | PROMEVUTOK, T.E. OTREZOK, INTERWAL ILI POLUOTREZOK. pUSTX, DALEE, FUNKCIQ f NEPRERYWNA NA \TOM PROMEVUTKE I M := sup f (x) x2 ab]
ESLI ZNA^ENIQ f NA a b] OGRANI^ENY SWERHU, I M := +1 W PROTIWNOM SLU^AE. aNALOGI^NO POLAGAEM f (x) m := x2inf ab]
ILI m := ;1. tOGDA DLQ L@BOGO ^ISLA d 2 (m M ) SU]ESTWET TO^KA t 2 a b] TAKAQ, ^TO d = f (t). dOKAZATELXSTWO. tAK KAK m < d < M , TO, POLXZUQSX OPREDELENIEM TO^NYH GRANEJ, WIDIM, ^TO SU]ESTWU@T TAKIE ^ISLA m0 I M 0 , ^TO 65
m < m0 < d < M 0 < M I ^ISLA m0 I M 0 QWLQ@TSQ ZNA^ENIQMI FUNKCII f , T.E. m0 = f (x1 ) I M 0 = f (x2 ) DLQ NEKOTORYH TO^EK x1 I x2 IZ PROMEVUTKA a b]. rASSMOTRIM SLED FUNKCII f NA OTREZKE S KONCAMI W TO^KAH x1 I x2 . tAK KAK f NEPRERYWNA NA \TOM OTZEZKE, A W KONCAH EGO IMEET ZNA^ENIQ m0 I M 0 , TO W SILU TEOREMY kOI 4.3.3 FUNKCIQ f PRINIMAET ZNA^ENIE d W NEKOTOROJ TO^KE, ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX. eSLI W SLEDSTWII 4.3.4 PROMEVUTOK a b] QWLQETSQ OTREZKOM, TO SOGLASNO TEOREME wEJERTRASSA 4.3.2 ^ISLA m I M TAKVE QWLQ@TSQ ZNA^ENIQMI FUNKCII f . zNA^IT, W \TOM SLU^AE ZNA^ENIQ f CELIKOM ZAPOLNQ@T OTREZOK m M ], T.E. OTREZOK m M ] QWLQETSQ OBRAZOM OTREZKA a b] PRI OTOBRAVENII, OSU]ESTWLQEMOM FUNKCIEJ f (x). x 4.4.
rAWNOMERNAQ NEPRERYWNOSTX FUNKCIJ
eSLI FUNKCIQ f NEPRERYWNA NA PROMEVUTKE a b], TO DLQ L@BOJ TO^KI x0 2 a b] I L@BOGO ^ISLA " > 0 SU]ESTWUET ^ISLO = (x0 ") TAKOE, ^TO 8x IZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII f , DLQ KOTORYH jx ; x0 j < , IMEEM jf (x) ; f (x0 )j < ". pOD^ERKNEM, ^TO ZAWISIT NE TOLXKO OT ", NO I OT x0 I, PEREHODQ OT ODNOJ TO^KI K DRUGOJ, PRI ODNOM I TOM VE " BUDEM POLU^ATX RAZNYE . a W TOM SLU^AE, KOGDA MOVNO WYBRATX ZAWISQ]IM TOLXKO OT ", GOWORQT O RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI FUNKCII. oPREDELENIE. fUNKCIQ, ZADANNAQ NA PROMEVUTKE a b], NAZYWAETSQ RAWNOMERNO NEPRERYWNOJ NA \TOM PROMEVUTKE, ESLI DLQ0 KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET = (") TAKOE, ^TO DLQ L@BYH TO^EK x I x00 IZ a b], UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ jx0 ; x00 j < , WYPOLNQETSQ OCENKA jf (x0 ) ; f (x00)j < ": pROMEVUTOK, O KOTOROM ZDESX GOWORITSQ, NE OBQZATELXNO QWLQETSQ OTREZKOM. oN MOVET BYTX INTERWALOM ILI POLUOTREZKOM, W TOM ^ISLE I BESKONE^NYM. tEOREMA 4.4.1 (tEOREMA kANTORA). eSLI FUNKCIQ NEPRERYWNA NA OTREZKE, TO ONA RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA \TOM OTREZKE. dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVIM PROTIWNOE: PUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA, NO NE QWLQETSQ RAWNOMERNO NEPRERYWNOJ NA OTREZKE a b]. |TO OZNA^AET, ^TO 9"0 > 0 TAKOE, ^TO 8 > 0 NAJDUTSQ TO^KI x0 I x00 IZ a b], DLQ KOTORYH jx0 ; x00 j < , NO jf (x0 ) ; f (x00 )j > "0 . wYBIRAQ W KA^ESTWE ^ISLA WIDA 1=n n 2 N , DLQ KAVDOGO n NAHODIM PARU TO^EK x0n I x00n IZ a b] TAKU@, ^TO jx0n ; x00n j < 1=n I jf (x0n) ; f (x00n )j > "0. 66
rASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX fx0n g. oNA OGRANI^ENA , ZNA^IT, SODERVIT SHODQ]U@SQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX f x0nk g. pUSTX x0 := limk x0nk , TOGDA x0 2 a b]. iZ NERAWENSTWA jx00nk ; x0 j 6 jx00nk ; x0nk j + jx0nk ; x0 j SLEDUET, ^TO I lim x00 = x0 . k nk tAK 00KAK f NEPRERYWNA W TO^KE x0 , TO limk f (x0nk ) = f (x0 ) I limk f (xnk ) = f (x0 ), A \TO WSTUPAET W PROTIWORE^IE S NERAWENSTWOM jf (x0nk ) ; f (x00nk )j > "0. tEOREMA DOKAZANA. dLQ FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA INTERWALE, PODOBNAQ TEOREMA NE IMEET MESTA. sWOJSTWO RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI FUNKCII UDOBNO WYRAVATX W TERMINAH EE MODULQ NEPRERYWNOSTI. oPREDELENIE. pUSTX FUNKCIQ f OPREDELENA NA NEKOTOROM PROOMEVUTKE. mODULEM NEPRERYWNOSTI FUNKCII f NAZYWAETSQ FUNKCIQ !(f ) := sup jf (x0 ) ; f (x00 )j > 0 GDE WERHNQQ GRANX BERETSQ0 PO 00WSEM TO^KAM x0 I x00 IZ UKAZANNOGO PROMEVUTKA TAKIM, ^TO jx ; x j 6 . mODULX NEPRERYWNOSTI !(f ) OPREDELQ@T DLQ , NE PREWOSHODQIH DLINY PROMEVUTKA, NA KOTOROM RASSMATRIWAETSQ FUNKCIQ f . w OBOZNA^ENII !(f ) SIMWOL f OPUSKA@T, ESLI QSNO, O MODULE NEPRERYWNOSTI KAKOJ FUNKCII IDET RE^X. lEGKO WIDETX, ^TO MODULX NEPRERYWNOSTI OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI : 1 . !() > 0 I !(0) = 0 2 . !() UBYWAET PRI UBYWANII . oTS@DA, W ^ASTNOSTI, SLEDUET, ^TO PREDEL !(+0) SU]ESTWUET I WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO !(+0) > 0. tEOREMA 4.4.2. eSLI FUNKCIQ !() QWLQETSQ MODULEM NEPRERYWNOSTI NEKOTOROJ FUNKCII f , TO DLQ L@BYH POLOVITELXNYH ^ISEL 1 I 2 SPRAWEDLIWA OCENKA !(1 + 2 ) 6 !(1 ) + !(2 ): (4.4.1) w ^ASTNOSTI, !(2) 6 2!(). dOKAZATELXSTWO. pUSTX x0 I x00 | PROIZWOLXNYE TO^KI IZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII f TAKIE, ^TO jx0 ; x00 j 6 1 + 2. wOZXMEM MEVDU x0 I x00 TO^KU z , DLQ KOTOROJ jx0 ; z j 6 1 I jz ; x00 j 6 2 . tOGDA jf (x0 ) ; f (x00)j 6 jf (x0 ) ; f (z)j + jf (z) ; f (x00 )j 6 !(1) + !(2 ): 67
w00 POLU^ENNOM NERAWENSTWE PRAWAQ ^ASTX NE ZAWISIT OT TO^EK x0 I x . pO\TOMU WYRAVENIE W LEWOJ ^ASTI MOVNO ZAMENITX NA WERHN@@ GRANX EGO ZNA^ENIJ, WZQTU@ PO WSEM RASSMATRIWAEMYM x0 I x00 , A \TO DAET OCENKU (4.4.1). tEOREMA DOKAZANA. sWOJSTWO, WYRAVENNOE NERAWENSTWOM (4.4.1), NAZYWA@T POLUADDITIWNOSTX@ FUNKCII !(). tEOREMA 4.4.3. uSLOWIE !(f +0) = 0 NEOBHODIMO I DOSTATO^NO DLQ RAWNOMERNOJ NEPRERYWNOSTI FUNKCII f . dOKAZATELXSTWO. eSLI !(f +0) = 0, TO DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET = (") > 0 TAKOE, ^TO !(f ) < ". zNA^IT, DLQ L@BYH TO^EK x0 x00 IZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII 0 00 f , DLQ KOTORYH jx ; x j < , IMEEM jf (x0 ) ; f (x00 )j < ". a \TO OZNA^AET RAWNOMERNU@ NEPRERYWNOSTX FUNKCII f , T.E. DOSTATO^NOSTX DOKAZANA. dOKAVEM NEOBHODIMOSTX. pUSTX FUNKCIQ f RAWNOMERGO NEPRERYWNA. tOGDA DLQ KAVDOGO " > 0 SU]ESTWUET > 0 TAKOE, ^TO DLQ L@BYH TO^EK x0 , x00 IZ OBLASTI OPREDELENIQ f , DLQ KOTORYH jx0 ; x00j < , IMEEM jf (x0 ) ; f (x00 )j < "=2: tAK KAK WYRAVENIE W PRAWOJ ^ASTI \TOGO NERAWENSTWA NE ZAWISIT OT x0 I x00 , WYRAVENIE IZ LEWOJ ^ASTI MOVNO ZAMENITX NA WERHN@@ GRANX PO WSEM x0 I x00 , DLQ KOTORYH jx0 ; x00 j < . tOGDA POLU^IM !() 6 "=2 < ", ^TO PRIWODIT K RAWENSTWU !(f +0) = 0. tEOREMA DOKAZANA. x 4.5.
nEPRERYWNOSTX OBRATNOJ FUNKCII
pUSTX NA D ZADANA FUNKCIQ f I E { MNOVESTWO EE ZNA^ENIJ, T.E. \TO MNOVESTWO TEH ^ISEL y = f (x), KOTORYE POLU^A@TSQ, KOGDA x PROBEGAET WSE MNOVESTWO D. gOWORQT, ^TO E | OBRAZ MNOVESTWA D PRI OTOBRAVENII, OSU]ESTWLQEMOM FUNKCIEJ f . wOSSTANOWITX x PO ZNA^ENI@ y 2 E NE WSEGDA MOVNO, TAK KAK DLQ ODNOGO y 2 E MOVET BYTX MNOGO TO^EK x 2 D TAKIH, ^TO y = f (x). eSLI FUNKCIQ f OSU]ESTWLQET WZAIMNO ODNOZNA^NOE OTOBRAVENIE MNOVESTWA D NA E , TO NA E MOVNO ZADATX FUNKCI@, POSTAWIW W SOOTWETSTWIE KAVDOMU y 2 E TO ^ISLO x 2 D, DLQ KOTOROGO y = f (x). w SILU WZAIMNOJ ODNOZNA^NOSTI TAKOE ^ISLO x TOLXKO ODNO. |TU FUNKCI@ x = '(y) NAZYWA@T FUNKCIEJ , OBRATNOJ K f . oBRATNU@ FUNKCI@ ^ASTO OBOZNA^A@T x = f ;1 (y). 68
eSLI FUNKCIQ f STROGO MONOTONNA NA D, T.E. f STROGO WOZRASTAET ILI STROGO UBYWAET, TO OTOBRAVENIE f : D ! E OBRATIMO. w \TOM SLU^AE OBRATNAQ FUNKCIQ TAKVE STROGO MONOTONNA, PRI^EM ONA QWLQETSQ STROGO WOZRASTA@]EJ, ESLI FUNKCIQ f WOZRASTALA, I QWLQETSQ STROGO UBYWA@]EJ, ESLI FUNKCIQ f UBYWALA. tEOREMA 4.5.1. pUSTX FUNKCIQ f NA OTREZKE a b] STROGO WOZRASTAET I NEPRERYWNA, c := f (a) I d := f (b). tOGDA OBRATNAQ FUNKCIQ x = f ;1(y) STROGO WOZRASTAET I NEPRERYWNA NA OTREZKE c d]. dOKAZATELXSTWO. o STROGOM WOZRASTANII OBRATNOJ FUNKCII UVE GOWORILOSX. kROME TOGO, MNOVESTWO ZNA^ENIJ FUNKCII f (x) W SILU EE NEPRERYWNOSTI CELIKOM ZAPOLNQET OTREZOK c d]. nOWYM QWLQETSQ UTWERVDENIE O NEPRERYWNOSTI FUNKCII f ;1 (y) NA OTREZKE c d]. rASSMOTRIM PROIZWOLXNU@ TO^KU y0 2 (c d) I NAJDEM TO^KU x0 2 (a b), DLQ KOTOROJ f (x0 ) = y0 . wOZXMEM POLOVITELXNOE ^ISLO " TAKOE, ^TO "-OKRESTNOSTX TO^KI x0 PRINADLEVIT INTERWALU (a b). tOGDA TO^KI y1 := f (x0 ; ") I y2 := f (x0 + ") POPADA@T W INTERWAL (c d). y d y2
( (
y0+δ y0 y0–δ y1 c
y =f (x) a
x0–ε
x0
x0+ε
b
x
w SILU STROGOGO WOZRASTANIQ FUNKCII f (x) ONA USTANAWLIWAET WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE OTREZKA x0 ; " x0 + "] NA OSI OX I OTREZKA y1 y2] NA OSI OY . wOZXMEM POLOVITELXNOE ^ISLO TAKOE, ^TO -OKRESTNOSTX TO^KI y0 PRINADLEVIT (y1 y2 ). tOGDA WSQ -OKRESTNOSTX TO^KI y0 PRI OTOBRAVENII, OSU]ESTWLQEMOM FUNKCIEJ f ;1 (y), POPADAET W "-OKREST NOSTX TO^KI x0 . a \TO I OZNA^AET NEPRERYWNOSTX FUNKCII f ;1 W TO^KE y0 . pRI DOKAZATELXSTWE NEPRERYWNOSTI f ;1 W KONCEWYH TO^KAH c I d RASSUVDENIQ ANALOGI^NY, NUVNO TOLXKO BRATX SOOTWETSTWU@]IE ODNOSTORONNIE OKRESTNOSTI. tEOREMA DOKAZANA. 69
pRIWEDEM WARIANT TEOREMY O NEPRERYWNOSTI OBRATOJ FUNKCII, KOGDA ISHODNAQ FUNKCIQ ZADANA NE NA OTREZKE, A NA INTERWALE. tEOREMA 4.5.2. pUSTX FUNKCIQ f STROGO WOZRASTAET I NEPRERYWNA NA INTERWALE (a b). oBOZNA^IM c := x2inf f (x) I d := (ab) sup f (x). tOGDA OBRAZOM INTERWALA (a b) PRI OTOBRAVENII y = x2(ab) f (x) QWLQETSQ INTERWAL (c d) I FUNKCIQ x = f ;1 (y) NEPRERYWNA NA (c d). dOKAZATELXSTWO. zDESX INTERWAL (a b) MOVET BYTX KAK KONE^NYM, TAK I BESKONE^NYM. eSLI FUNKCIQ f NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ SWERHU NA (a b), TO POD TO^NOJ WERHNEJ GRANX@ ZNA^ENIJ f (x) PONIMAEM +1. aNALOGI^NO POLAGAEM c = ;1, ESLI f NE QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ SNIZU. tAKIM OBRAZOM, INTERWAL (c d) TAKVE MOVET BYTX BESKONE^NYM. eSLI d < +1, TO NIKAKOE ^ISLO y > d NE MOVET BYTX ZNA^ENIEM FUNKCII f (x). dLQ y > d \TO SLEDUET IZ OPREDELENIQ TO^NOJ WERHNEJ GRANI. a ESLI BY ^ISLO d BYLO ZNA^ENIEM FUNKCII f PRI NEKOTOROM x0 2 (a b), TO DLQ x > x0 W SILU STROGOGO WOZRASTANIQ f MY POLU^ILI BY ZNA^ENIQ, PREWYA@]IE d. aNALOGI^NOE UTWERVDENIE SPRAWEDLIWO I DLQ LEWOGO KONCA INTERWALA (c d). tAKIM OBRAZOM, DLQ WSEH x 2 (a b) IMEEM f (x) 2 (c d). l@BOE ^ISLO y0 2 (c d) QWLQETSQ ZNA^ENIEM FUNKCII f W NEKOTOROJ TO^KE IZ (a b). w SAMOM DELE, SOGLASNO OPREDELENI@ WELI^IN c I d W (a b) SU]ESTWU@T ^ISLA x1 I x2 TAKIE, ^TO f (x1 ) < y0 < f (x2 ). pRI \TOM x1 < x2 W SILU STROGOGO WOZRASTANIQ f . rASSMOTRIM SLED FUNKCII f NA OTREZKE x1 x2 ]. tAK KAK f STROGO WOZRASTAET NA x1 x2 ], TO ZNA^ENIQ FUNKCII f CELIKOM ZAPOLNQ@T OTREZOK f (x1 ) f (x2 )], T.E. TO^KA y0 QWLQETSQ ODNIM IZ ZNA^ENIJ FUNKCII I, KROME TOGO, SOGLASNO TEOREME 4.5.1 OBRATNAQ FUNKCIQ f ;1 (y) NEPRERYWNA W TO^KE y0 . tEOREMA DOKAZANA. pONQTNO, KAK DOLVNY WYGLQDETX ANALOGI TEOREM 4.5.1 I 4.5.2 DLQ STROGO UBYWA@]IH FUNKCIJ. rASSMOTRIM WOPROS O GRAFIKE OBRATNOJ FUNKCII. pUSTX FUNKCIQ y = f (x) STROGO MONOTONNA. bUDEM OBOZNA^ATX ARGUMENT OBRATNOJ FUNKCII f ;1 ^EREZ x, KAK MY OBY^NO OBOZNA^AEM NEZAWISIMU@ PEREMENNU@, A ZAWISIMU@ PEREMENNU@ BUDEM OBOZNA^ATX y. tOGDA GRAFIK FUNKCII y = f ;1 (x) MOVNO POLU^ITX S POMO]X@ ZERKALXNOGO OTRAVENIQ GRAFIKA FUNKCII y = f (x) OTNOSITELXNO PRQMOJ y = x. dELO W TOM, ^TO TO^KI, PRINADLEVA]IE GRAFIKU FUNKCII y = f (x) IME@T KOORDINATY (x f (x)), A KOORDINATY TO^EK, POLU^ENNYH PRI IH ZERKALXNOM OTRAVENII, RAWNY (f (x) x). 70
y
y =f –1(x)
y =x
( f (x),x)
y =f (x)
(x, f (x))
f (x)
x 4.6.
x
pOKAZATELXNAQ FUNKCIQ
x
nA^NEM S OPREDELENIQ STEPENI ax PRI IRRACIONALXNYH ZNA^ENIQH POKAZATELQ x. bUDEM S^ITATX, ^TO ^ISLO a UDOWLETWORQET ESTESTWENNYM USLOWIQM a > 0 I a 6= 1, NE OTME^AQ \TOx. rASSMOTRIM SNA^ALA STEPENX a DLQ RACIONALXNYH ZNA^ENIJ POKAZATELQ x. pRI \TOM MNOGOE BUDET POWTORQTX RASSUVDENIQ, PROWODIWIESQ W KOLXNOM KURSE. pO OPREDELENI@ STEPENNOJ FUNKCII a1 := a I PRI NATURALXNYH n>2 an := a| a {z a} : n
pUSTX TEPERX ^ISLO x IMEET WID 1=n, GDE n 2 N . pRI FIKSIROWANNOM NATURALXNOM n RASSMOTRIM FUNKCI@ u = vn v 2 0 1). |TA FUNKCIQ STROGO WOZRASTAET I NEPRERYWNA, OBLASTX EE ZNA^ENIJ 0 1). zNA^IT, pSOGLASNO TEOREMAM PREDYDU]EGO PARAGRAFA OBRATNAQ FUNKCIQ v = n u = u1=n OPREDELENA NA POLUOSI 0 1) I NEPRERYWNA NA NEJ. w KOLXNOM KURSE SU]ESTWOWANIE ARIFMETI^ESKOGO KORNQ n-OJ STEPENI IZ POLOVITELXNOGO ^ISLA S^ITALOSX SAMO SOBOJ RAZUME@]IMSQ. tEPERX \TOTx FAKT POLU^IL OBOSNOWANIE. iTAK, STEPENX a OPREDELENA DLQ ^ISEL x WIDA 1=n. eSLI x = p=q, GDE p I q { NATURALXNYE ^ISLA, TO PO OPREDELENI@ POLAGA@T ap=q := (ap )1=q : zDESX MOVNO BYLO BY BRATX I (a1=q )p , NO RAWENSTWO (ap )1=q = (a1=q )p NUVDAETSQ W DOKAZATELXSTWE . eSLI x = 0, TO a0 := 1, A ESLI x = ;p=q, GDE p I q | NATURALXNYE ^ISLA, TO PO OPREDELENI@ a;p=q := 1=ap=q . 71
tAKIM OBRAZOM, STEPENX ax OPREDELENA DLQ WSEH RACIONALXNYH x. pRI \TOM WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE SWOJSTWA (BUKWY r OBOZNA^A@T PROIZWOLXNYE RACIONALXNYE ^ISLA): ar > 0 ar1 +r2 = ar1 ar2 (ar1 )r2 = ar1 r2 (ab)r = ar br a > 0 b > 0 ESLI a > 1, TO ar STROGO WOZRASTAET NA MNOVESTWE RACIONALXNYH ar = +1, ^ISEL (W ^ASTNOSTI, ESLI a > 1 I r > 0, TO ar > 1) I r!lim +1 lim ar = 0 r!;1 ESLI a < 1, TO ar STROGO UBYWAET NA MNOVESTWE RACIONALXNYH ^ISEL. mY NE PRIWODIM OBOSNOWANIE \TIH SWOJSTW, TAK KAK ONO AKKURATNO PROWEDENO W KOLXNOM KURSE, GDE NE BYLO DOKAZANO TOLXKO SU]ESTWOWANIE ARIFMETI^ESKOGO KORNQ n-OJ STEPENI. w DALXNEJIM PONADOBITSQ SLEDU@]EE UTWERVDENIE O STEPENQH S RACIONALXNYMI POKAZATELQMI. lEMMA 4.6.1 (nERAWENSTWO bERNULLI). eSLI a > 1 I h 2 (0 1] | RACIONALXNOE ^ISLO, TO 0 < ah ; 1 6 2(a ; 1)h:
(4.6.1)
dOKAZATELXSTWO. pUSTX SNA^ALA h = 1=n, GDE n | NATURALXNOE ^ISLO. tOGDA a1=n = 1 + , GDE W SILU STROGOGO WOZRASTANIQ ax NA MNOVESTWE RACIONALXNYH ^ISEL > 0. pO\TOMU IZ NERAWENSTWA bERNULLI (2.6.1) WYTEKAET, ^TO a = (1 + )n > 1 + n: zNA^IT, = ah ; 1 6 a ;n 1 = (a ; 1)h T.E. 0 < ah ; 1 6 (a ; 1)h I MY POLU^ILI NERAWENSTWO (4.6.1) DLQ RASSMATRIWAEMYH ZNA^ENIJ h DAVE BEZ MNOVITELQ 2 W PRAWOJ ^ASTI. pUSTX TEPERX h | PROIZWOLXNOE RACIONALXNOE ^ISLO IZ (0 1). nAHODIM NATURALXNOE n TAKOE, ^TO 1=(n + 1) < h 6 1=n. tOGDA, 72
POLXZUQSX DOKAZANNYM UVE DLQ POKAZATELQ 1=n NERAWENSTWOM (4.6.1), POLU^AEM 1 a ; 1 < n + 1 (a ; 1)h 6 2(a ; 1)h: ah ; 1 6 a1=n ; 1 6 a ;n 1 = n + n n+1 n lEMMA DOKAZANA. bUDEM PO-PREVNEMU S^ITATX a > 1. dLQ RACIONALXNYH x IMEEM ax = sup ar : (4.6.2) r6x r2Q
pRIMEM FORMULU (4.6.2) W KA^ESTWE OPREDELENIQ ax PRI a > 1 DLQ IRRACIONALXNYH x. tEPERX STEPENX ax PRI a > 1 OPREDELENA DLQ WSEH DEJSTWITELXNYH x. nAA CELX | WYQSNITX SWOJSTWA POKAZATELXNOJ FUNKCII y = ax , W ^ASTNOSTI, DOKAZATX EE NEPRERYWNOSTX . pERE^ISLIM SWOJSTWA FUNKCII ax PRI a > 1. 1 . ax > 0. |TO | PROSTOE SLEDSTWIE IZ (4.6.2). 2 . fUNKCIQ ax STROGO WOZRASTAET, T.E. ESLI x1 < x2 , TO ax1 < ax2 . sNA^ALA ZAMETIM, ^TO NESTROGOE NERAWENSTWO ax1 6 ax2 WYTEx 2 KAET IZ TOGO, ^TO DLQ a W (4.6.2) WERHNQQ GRANX BERETSQ PO BOLEE IROKOMU MNOVESTWU RACIONALXNYH ^ISEL, ^EM DLQ ax1 . wOZXMEM RACIONALXNYE ^ISLA I TAKIE, ^TO x1 < < < x2 . tOGDA W SILU STROGOJ MONOTONNOSTI ax DLQ RACIONALXNYH POKAZATELEJ IMEEM ax1 6 a < a 6 ax2 I MY POLU^ILI NUVNOE NERAWENSTWO. 3 . ax ! +1 PRI x ! +1 ax ! 0 PRI x ! ;1. |TO WYTEKAET IZ SWOJSTW STEPENI S CELYM POKAZATELEM I STROGOGO WOZRASTANIQ xFUNKCII ax . 4 . fUNKCIQ a NEPRERYWNA. zAFIKSIRUEM PROIZWOLXNU@ TO^KU x0 I DOKAVEM NEPRERYWNOSTX FUNKCII ax W \TOJ TO^KE. sNA^ALA USTANOWIM NEPRERYWNOSTX SPRAWA. pUSTX x > x0 I x ; x0 < 1=2. wOZXMEM RACIONALXNYE ^ISLA I TAKIE, ^TO < x0 < x < I ; < 2(x ; x0 ). tOGDA ; < 1 I POLXZUQSX SNA^ALA STROGIM WOZRASTANIEM FUNKCII ax , A ZATEM OCENKOJ (4.6.1), NAHODIM ax ; ax0 < a ; a = a (a; ; 1) < x < a 0 2(a ; 1)( ; ) < 4ax0 (a ; 1)(x ; x0 ): tAK KAK MNOVITELX 4ax0 (a ; 1) OT x NE ZAWISIT , TO POLU^ENNAQ OCENKA DOKAZYWAET NEPRERYWNOSTX FUNKCII ax W TO^KE x0 SPRAWA. 73
pRI DOKAZATELXSTWE NEPRERYWNOSTI SLEWA RASSUVDENIQ ANALOGI^NY. eSLI x < x0 I x0 ; x < 1=2, TO WYBIRAEM RACIONALXNYE ^ISLA I TAKIE, ^TO < x < x0 < I ; < 2(x0 ; x). tOGDA SPRAWEDLIWY OCENKI ax0 ; ax < a ; a = a (a; ; 1) < < ax0 2(a ; 1)( ; ) < 4ax0 (a ; 1)(x ; x0 ) POKAZYWA@]IE NEPRERYWNOSTX SLEWA. 5 . oSNOWNOE SWOJSTWO STEPENI: ax+y = ax + ay DLQ L@BYH x I y. wYBEREM TAKIE POSLEDOWATELXNOSTI RACIONALXNYH ^ISEL f g I f ng, ^TO n ! x I n ! y PRI n ! 1. tOGDA n + n ! x + ynI W SILU OSNOWNOGO SWOJSTWA STEPENI DLQ RACIONALXNYH POKAZATELEJ an +n = an an : pEREHODIM W \TOM RAWENSTWE K PREDELU PRI n ! 1 I, POLXZUQSX NEPRERYWNOSTX@ POKAZATELXNOJ FUNKCII, POLU^AEM NUVNOE RAWENSTWO. pREVDE ^EM GOWORITX O DRUGIH SWOJSTWAH POKAZATELXNOJ FUNKCII PRI a > 1, RASPROSTRANIM EE OPREDELENIE NA a < 1. eSLI 0 < a < 1, TO 1=a > 1 I POLOVIM 1 : ax := (1=a )x
tOGDA WSE SWOJSTWA 1 {5 POKAZATELXNOJ FUNKCII PERENOSQTSQ NA SLU^AJ 0 < a < 1, NO TOLXKO TEPERX FUNKCIQ ax STROGO UBYWAET . pRODOLVAEM WYQSNENIE SWOJSTW POKAZATELXNOJ FUNKCII ax . tEPERX OSNOWANIE STEPENI a | L@BOE POLOVITELXNOE ^ISLO, NE RAWNOE 1. 6 . dLQ PROIZWOLXNYH ^ISEL x I y (ax )y = axy : eSLI y | NATURALXNOE ^ISLO, TO IZ OSNOWNOGO SWOJSTWA STEPENI POLU^AEM (ax )y = a| x ax{z ax} = axy : y
oTS@DA NAHODIM, ^TO ESLI q | NATURALXNOE ^ISLO, TO (ax=q )q = a(x=q)q = ax I, IZWLEKAQ KORENX STEPENI q, WIDIM, ^TO ax=q = (ax )1=q , T.E. SWOJ STWO 6 DOKAZANO DLQ ^ISEL y WIDA 1=q. 74
pUSTX TEPERX y = p=q, GDE p I q | NATURALXNYE ^ISLA. tOGDA W SILU UVE DOKAZANNOGO IMEEM (ax )p=q = (ax )p(1=q) = (axp )1=q = ax(p=q) A ESLI y = ;p=q, GDE p I q | NATURALXNYE ^ISLA, TO
(ax );p=q = x1p=q = x(1p=q) = a;x(p=q) (a ) a I, ZNA^IT, SWOJSTWO 6 DOKAZANO DLQ RACIONALXNYH y. tEPERX, ESLI y IRRACIONALXNO, WYBIRAEM POSLEDOWATELXNOSTX RACIONALXNYH ^ISEL n , SHODQ]U@SQ K y. tOGDA PO UVE DOKAZAN-
NOMU
(ax )n = axn
I, POLXZUQSX NEPRERYWNOSTX@ POKAZATELXNOJ FUNKCII, PEREHODIM0 W \TOM RAWENSTWE K PREDELU PRI n ! 1. tAK POLU^AEM SWOJSTWO 6 : W POLNOM OB_EME. 70 : (ab)x = ax bx DLQ L@BYH POLOVITELXNYH a I b I L@BOGO x. dLQ DOKAZATELXSTWA DOSTATO^NO WZQTX POSLEDOWATELXNOSTX RACIONALXNYH ^ISEL fng, SHODQ]U@SQ K x, I PEREJTI K PREDELU W RAWENSTWE (ab)n = an bn . x pODWEDEM ITOG. sTEPENX a , a > 0, OPREDELENA DLQ WSEH x 2 R I POKAZATELXNAQ FUNKCIQ ax OBLADAET WSEMI SWOJSTWAMI, KOTORYE BYLI IZWESTNY IZ KOLXNOGO KURSA DLQ RACIONALXNYH x. kROME TOGO, POKAZATELXNAQ FUNKCIQ NEPRERYWNA NA WSEJ OSI. nA RISUNKE IZOBRAVENY GRAFIKI FUNKCII ax PRI a > 1, a < 1, A TAKVE PRI a = 1, KOTORYJ PRIWEDEN DLQ POLNOTY KARTINY. y
a>1 1
a=1 a<1 O
x 4.7.
x
|LEMENTARNYE FUNKCII
lOGARIFMI^ESKAQ FUNKCIQ. tAK KAK FUNKCIQ y = ax, GDE a > 0 I a 6= 1, STROGO MONOTONNA I NEPRERYWNA NA WSEJ OSI, A OBLASTX 75
EE ZNA^ENIJ | POLUOSX (0 +1), TO NA (0 +1) MOVNO OPREDELITX OBRATNU@ FUNKCI@, KOTORU@ NAZYWA@T LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCIEJ PO OSNOWANI@ a I OBOZNA^A@T x = loga y. wYQSNIM SWOJSTWA LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII, PRI^EM NEZAWISIMU@ PEREMENNU@, BUDEM, KAK OBY^NO, OBOZNA^ATX x, A ZAWISIMU@ y, T.E. BUDEM GOWORITX O FUNKCII y = loga x. u^ITYWAQ HARAKTER MONOTONNOSTI FUNKCII ax , WIDIM, ^TO FUNKCIQ loga x PRI a > 1 STROGO WOZRASTAET OT ;1 DO +1, A PRI 0 < a < 1 STROGO UBYWAET OT +1 DO ;1. gRAFIK LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII IMEET WID: y a>1
O
x
1 0
iZ TOGO, ^TO POKAZATELXNAQ I LOGARIFMI^ESKAQ FUNKCII QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI, WYTEKA@T TOVDESTWA aloga x = x loga ax = x: dOKAVEM SWOJSTWA LOGARIFMOW. 1 . loga (xy) = loga x + loga y DLQ L@BYH POLOVITELXNYH x I y. iMEEM aloga (xy) = xy = aloga x aloga y = aloga x+loga y : tAK KAK POKAZATELXNAQ FUNKCIQ PRINIMAET KAVDOE SWOE ZNA^ENIE TOLXKO ODIN RAZ, TO W POLU^ENNOM RAWENSTWE MOVNO PRIRAWNQTX POKAZATELI STEPENI, ^TO PRIWODIT K TREBUEMOMU REZULXTATU. 2 . eSLI W FORMULE IZ 1 WMESTO x ZAPISATX x=y, TO POLU^IM loga xy y = loga x = loga xy + loga y OTKUDA SLEDUET, ^TO DLQ PROIZWOLXNYH POLOVITELXNYH x I y loga xy = loga x ; loga y: 3 . eSLI x > 0, TO DLQ PROIZWOLXNOGO y SPRAWEDLIWO RAWENSTWO loga xy = y loga x:
76
w SAMOM DELE, y
aloga xy = xy = aloga x = ay loga x I NUVNOE RAWENSTWO POLU^AEM, PRIRAWNIWAQ POKAZATELI STEPENI. 4 . eSLI ^ISLA a I b POLOVITELXNY I NE RAWNY 1, TO loga b logb a = 1: dEJSTWITELXNO,
log
a
aloga b logb a = aloga b b = blogb a = a I OPQTX PRIRAWNIWAEM POKAZATELI. eSLI W KA^ESTWE OSNOWANIQ LOGARIFMA WZQTO ^ISLO e, TO TAKIE LOGARIFMY NAZYWA@T NATURALXNYMI. w SWQZI S \TIM ^ISLO e NAZYWA@T OSNOWANIEM NATURALXNYH LOGARIFMOW. dLQ NATURALXNOGO LOGARIFMA ^ISLA x ISPOLXZU@TSQ OBOZNA^ENIQ ln x I log x. sTEPENNAQ FUNKCIQ. fUNKCI@ y = xa , GDE x > 0 I a | PROIZWOLXNOE ^ISLO, NAZYWA@T STEPENNOJ FUNKCIEJ. sTEPENNU@ FUNKCI@ MOVNO PREDSTAWITX KAK SLOVNU@ FUNKCI@
a
xa = eln x = ea ln x :
oTS@DA W SILU TEOREMY O NEPRERYWNOSTI SLOVNOJ FUNKCII WYTEKAET NEPRERYWNOSTX STEPENNOJ FUNKCII, TAK KAK NEPRERYWNOSTX LOGARIFMI^ESKOJ I POKAZATELXNOJ FUNKCIJ IZWESTNY. pRI a > 0 STEPENNU@ FUNKCI@ DOOPREDELQ@T W NULE, POLAGAQ 0a := 0. tOGDA FUNKCIQ y = xa STANOWITSQ NEPRERYWNOJ NA 0 +1). nA RISUNKE IZOBRAVENY GRAFIKI STEPENNOJ FUNKCII PRI RAZLI^NYH ZNA^ENIQH POKAZATELQ a. eSLI a | CELOE ^ISLO, TO FUNKCI@ xa MOVNO RASSMATRIWATX I DLQ OTRICATELXNYH ZNA^ENIJ x. pRI \TOM POLAGA@T x0 1 PRI WSEH x, W TOM ^ISLE I PRI x = 0. dLQ CELYH ZNA^ENIJ POKAZATELQ a STEPENNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ ^ETNOJ ILI NE^ETNOJ W ZAWISIMOSTI OT ^ETNOSTI ILI NE^ETNOSTI a. eSLI a | NE^ETNOE ^ISLO, TO FUNKCIQ xa OBRATIMA DLQ WSEH x PRI POLOVITELXNYH a I OBRATIMA DLQ WSEH x 6= 0 PRI OTRICATELXNYH a. tRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII. oPREDELENIE TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ IZWESTNO IZ KOLXNOGO KURSA. dOKAVEM IH NEPRERYWNOSTX. 77
y
a>1 a=1
0
tEOREMA
1
O 4.7.1.
x
dLQ L@BOGO ZNA^ENIQ x SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO
j sin xj 6 jxj:
(4.7.1)
dOKAZATELXSTWO. pRI x = 0 I LEWAQ I PRAWAQ ^ASTI NERAWENSTWA (4.7.1) RAWNY NUL@. pOKAVEM, ^TO DLQ OSTALXNYH ZNA^ENIJ x W (4.7.1) IMEET MESTO STROGOE NERAWENSTWO. bUDEM S^ITATX, ^TO 0 < x < =2. rASSMOTRIM OKRUVNOSTX RADIUSA 1. y B
x O
C
A
x
wOZXMEM UGOL \AOB , RADIANNAQ MERA KOTOROGO RAWNA x. tOGDA DLINA DUGI ^ AB RAWNA x, A sin x = BC . nO DLINA DUGI ^ AB BOLXE, ^EM DLINA HORDY AB , A DLINA OTREZKA AB KAK GIPOTENUZY PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA 4ABC BOLXE, ^EM DLINA KATETA BC . |TIM NERAWENSTWO (4.7.1) DOKAZANO DLQ 0 < x < =2. tAK KAK FUNKCII I W LEWOJ I W PRAWOJ ^ASTQH NERAWENSTWA (4.7.1) ^ETNYE, TO NERAWENSTWO (4.7.1) SPRAWEDLIWO I DLQ ;=2 < x < 0. a ESLI jxj > =2, TO (4.7.1) SLEDUET IZ TOGO, ^TO j sin xj 6 1. tEOREMA DOKAZANA. 78
tEOREMA
4.7.2. kAVDAQ IZ FUNKCIJ y = sin x, y = cos x, y = tg x I y = ctg x NEPRERYWNA W SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ. dOKAZATELXSTWO. nA^NEM S DOKAZATELXSTWA NEPRERYWNOSTI FUNKCII y = sin x. dADIM ARGUMENTU PRIRA]ENIE x I RASSMOTRIM PRIRA]ENIE FUNKCII: y = sin(x + x) ; sin x = 2 cos x + x sin x :
2
zNA^IT, W SILU (4.7.1)
2
j yj 6 2 sin 2x 6 j xj: oTS@DA SLEDUET, ^TO y ! 0 PRI x ! 0, ^TO I DOKAZYWAET NEPRE-
RYWNOSTX SINUSA. nEPRERYWNOSTX KOSINUSA MOVNO DOKAZATX ANALOGI^NO, A MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ RAWENSTWOM cos x = sin(x + =2) I TEOREMOJ O NEPRERYWNOSTI SLOVNOJ FUNKCII. nEPRERYWNOSTX TANGENSA I KOTANGENSA POLU^AEM, SSYLAQSX NA TEOREMU O NEPRERYWNOSTI ^ASTNOGO. iZ NEPRERYWNOSTI FUNKCII TANGENS NA INTERWALE (;=2 =2) W SILU TEOREMY 4.5.2 SLEDUET, ^TO ZNA^ENIQMI \TOJ FUNKCII QWLQ@TSQ WSE DEJSTWITELXNYE ^ISLA. tAK KAK FUNKCIQ TANGENS STROGO WOZRASTAET NA (;=2 =2), TO ONA OSU]ESTWLQET WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE INTERWALOW (;=2 =2) I (;1 +1). w x 1.8 BYLO USTANOWLENO, ^TO L@BOJ KONE^NYJ INTERWAL IMEET MO]NOSTX KONTINUUM. pO\TOMU TEPERX MY MOVEM SKAZATX, ^TO I MNOVESTWO WSEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL IMEET MO]NOSTX KONTINUUM (BEZ DOKAZATELXSTWA \TOT FAKT BYL PRIWEDEN W x 1.8). y
y
y= sh x
y= cth x
y= ch x 1
1
y= th x x
x
–1 y= cth x 79
gIPERBOLI^ESKIE FUNKCII. fUNKCII x ;x x ;x sh x cth x := ch x sh x := e ;2 e ch x := e +2e th x := ch x sh x NAZYWA@TSQ SOOTWETSTWENNO GIPERBOLI^ESKIM SINUSOM, GIPERBOLI^ESKIM KOSINUSOM, GIPERBOLI^ESKIM TANGENSOM I GIPERBOLI^ESKIM KOTANGENSOM. oNI OPREDELENY DLQ WSEH x. iSKL@^ENIE SOSTAWLQET TOLXKO GIPERBOLI^ESKIJ KOTANGENS, KOTORYJ NE OPREDELEN W TO^KE x = 0. wSE GIPERBOLI^ESKIE FUNKCII NEPRERYWNY W OBLASTI SWOEGO OPREDELENIQ. |TO WYTEKAET IZ TEOREMY O NEPRERYWNOSTI SLOVNOJ FUNKCII. oPREDELENIE. |LEMENTARNYMI FUNKCIQMI NAZYWA@TSQ POKAZATELXNAQ, LOGARIFMI^ESKAQ, STEPENNAQ, OSNOWNYE I OBRATNYE TRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII I WSE FUNKCII, KOTORYE MOGUT BYTX POLU^ENY IZ PERE^ISLENNYH FUNKCIJ S POMO]X@ ARIFMETI^ESKIH DEJSTWIJ, WZQTIQ OBRATNYH FUNKCIJ I POSTROENIQ SLOVNYH FUNKCIJ. w SILU DOKAZANNYH TEOREM KAVDAQ \LEMENTARNAQ FUNKCIQ NEPRERYWNA W SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ. x 4.8.
wY^ISLENIE NEKOTORYH PREDELOW
w \TOM PARAGRAFE BUDUT NAJDENY PREDELY NEKOTORYH WYRAVENIJ WIDA f (x) lim (4.8.1) x!0 g (x) KOGDA PREDEL FUNKCII g(x) PRI x ! 0 RAWEN NUL@ I PO\TOMU NELXZQ PEREHODITX K PREDELU OTDELXNO W ^ISLITELE I W ZNAMENATELE DROBI. 1 . nAJDEM PREDEL lim sin x : x!0 x bUDEM OPIRATXSQ NA GEOMETRI^ESKIE SOOBRAVENIQ. pUSTX SNA^ALA 0 < x < =2. rASSMOTRIM ^ASTX OKRUVNOSTI RADIUSA R S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT, RASPOLOVENNU@ W PERWOM KWADRANTE. iZ PODOBIQ PRQMOUGOLXNYH TREUGOLXNIKOW OAD I OCB NAHODIM R AD R sin x = R cos x T.E. AD = R tg x. zNA^IT, PLO]ADX TREUGOLXNIKA OAD RAWNA 1 R2 tg x: 2
80
y
D B
x O
C
A
x
pLOADX KRUGOWOGO SEKTORA OAB RAWNA R2 x=2. pO\TOMU R2 x < 1 R2 tg x 2
2
OTKUDA SLEDUET, ^TO x < tg x, I, ZNA^IT, cos x < sinx x : w SILU (4.7.1) sin x < x. tAKIM OBRAZOM, cos x < sinx x < 1: tAK KAK WSE FUNKCII W \TOM NERAWENSTWE ^ETNYE, TO ONO IMEET MESTO I PRI x 2 (;=2 0). w SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII KOSINUS, ESLI x ! 0, TO cos x ! 1. pO\TOMU SOGLASNO TEOREME 3.3.4 lim sin x = 1: (4.8.2) x!0 x dALEE BUDET NUVNA NOWAQ FUNKCIQ | CELAQ ^ASTX ^ISLA. oBY^NO \TU FUNKCI@ OBOZNA^A@T x], INOGDA E (x). pO OPREDELENI@ x] := n6max n: x n2Z gRAFIK FUNKCII x] IZOBRAVEN NA RISUNKE. 2 . pOKAVEM, ^TO lim (1 + x)1=x = e: (4.8.3) x!0
dLQ x = 1=n, n ! 1, W x 2.6 BYLO DOKAZANO, ^TO TAKOJ PREDEL SU]ESTWUET. oN BYL WZQT W KA^ESTWE OPREDELENIQ ^ISLA e.
81
y
y
2 1 –1
0
1
2
–1
3 x
0
1
2
3 x
–1 y=[x]
y={x}:=x–[x]
eSLI x > 0, TO
1 1=x 6 1 + 1 1=x]+1 = (1 + x) = 1 + 1=x 1=x] 1=x] 1 1 = 1 + 1=x] 1 + 1=x] A PREDEL POSLEDNEGO WYRAVENIQ PRI x ! +0 RAWEN e. s DRUGOJ STORONY, 1=x]+1 ;1 1 1=x] > 1+ 1 1 (1+x)1=x > 1+ 1=x 1+ 1=x] + 1 1=x] + 1 : pRI x ! +0 PREDEL POLU^ENNOGO WYRAVENIQ TAKVE RAWEN e I, TAKIM OBRAZOM, W SILU TEOREMY 3.3.4 RAWENSTWO (4.8.3) DOKAZANO DLQ x ! +0. pUSTX TEPERX x < 0. tOGDA 1=jxj 1=jxj (1 + x)1=x = (1 ; jxj);1=jxj = 1 ;1 jxj = 1 + 1 ;jxjjxj =
1=x
=
1 + 1 ;jxjjxj
nO ESLI x ! 0, TO
;jxj jxj
1
1 + 1 ;jxjjxj :
jxj
1 ; jxj ! 0:
pO\TOMU W SILU DOKAZANNOGO UVE RAWENSTWA (4.8.3) DLQ x > 0 POLU^AEM, ^TO ONO IMEET MESTO I DLQ x < 0. 3 . pUSTX a > 0 I a 6= 1. nAJDEM PREDEL lim loga (1x + x) : x!0 82
pOLXZUQSX NEPRERYWNOSTX@ LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII I RAWENSTWOM (4.8.3), POLU^AEM 1=x lim loga (1x + x) = xlim !0 loga (1 + x) = x!0 ; = loga xlim (1 + x)1=x = loga e = ln1a : !0 tAKIM OBRAZOM, (4.8.4) lim loga (1x + x) = ln1a x!0 W ^ASTNOSTI, lim ln(1x+ x) = 1: (4.8.5) x!0 4 . wY^ISLIM PREDEL ax ; 1 lim x!0 x DLQ a > 0 I a 6=x 1. pOLOVIM a ; 1 = t. tOGDA ax = 1 + t I x = loga (1 + t). zNA^IT, t ax ; 1 = x loga (1 + t) : w SILU NEPRERYWNOSTI POKAZATELXNOJ FUNKCII t ! 0 PRI x ! 0. pO\TOMU, POLXZUQSX RAWENSTWOM (4.8.4), NAHODIM ax ; 1 = ln a: lim (4.8.6) x!0 x w ^ASTNOSTI, ex ; 1 = 1: lim (4.8.7) x!0 x
gLAWA
5
proizwodnye i differencialy x pROIZWODNAQ 5.1.
pUSTX FUNKCIQ y = f (x) OPREDELENA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . pRIDADIM ARGUMENTU x0 DOSTATO^NO MALOE PRIRA]ENIE 83
x, ^TOBY NE WYJTI IZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII, I RASSMOTRIM PRIRA]ENIE FUNKCII f , SOOTWETSTWU@]EE \TOMU PRIRA]ENI@ ARGUMENTA: y = f := f (x0 + x) ; f (x0 ): sOSTAWIM OTNOENIE PRIRA]ENIQ FUNKCII K PRIRA]ENI@ ARGU-
MENTA I POSTAWIM WOPROS O SU]ESTWOWANII PREDELA \TOGO OTNOENIQ PRI x ! 0. oPREDELENIE. eSLI SU]ESTWUET PREDEL lim y (5.1.1)
x!0 x TO ZNA^ENIE \TOGO PREDELA NAZYWA@T PROIZWODNOJ FUNKCII f W TO^KE x0 , OBOZNA^A@T f 0(x0 ) I GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f IMEET W TO^KE x0 PROIZWODNU@. tEOREMA 5.1.1. eSLI FUNKCIQ f W NEKOTOROJ TO^KE IMEET PROIZWODNU@, TO f NEPRERYWNA W \TOJ TO^KE. dOKAZATELXSTWO. iZ SU]ESTWOWANIQ PREDELA (5.1.1) SLEDUET, ^TO W DOSTATO^NO MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 SPRAWEDLIWO RAWENSTWO y 0 (5.1.2) x = f (x0 ) + "( x) GDE "( x) | NEKOTORAQ FUNKCIQ OT x TAKAQ, ^TO lim "( x) = 0: (5.1.3)
x!0 w SILU (5.1.2)
y = f 0 (x0 ) x + "( x) x:
pRI x ! 0 WYRAVENIE IZ PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA STREMITSQ K NUL@, T.E. y ! 0, A \TO OZNA^AET NEPRERYWNOSTX FUNKCII f W TO^KE x0 . tEOREMA DOKAZANA. tAKIM OBRAZOM, NEOBHODIMYM USLOWIEM SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ FUNKCII W TO^KE QWLQETSQ NEPRERYWNOSTX FUNKCII W \TOJ TO^KE. nO \TO USLOWIE NE QWLQETSQ DOSTATO^NYM. w SAMOM DELE, PUSTX y := jxj. tOGDA DLQ PRIRA]ENIQ FUNKCII W NULE SPRAWEDLIWO RAWENSTWO y = j xj I, SLEDOWATELXNO, ( y = 1 ESLI x > 0 (5.1.4) x ;1 ESLI x < 0: 84
zNA^IT, FUNKCIQ jxj NE IMEET PROIZWODNOJ W NULE, HOTQ ONA I NEPRERYWNA WS@DU. zAMETIM, ^TO W DANNOM PRIMERE SU]ESTWU@T ODNOSTORONNIE PREDELY OTNOENIQ PRIRA]ENIQ FUNKCII K PRIRA]ENI@ ARGUMENTA (5.1.4). w TAKIH SLU^AQH GOWORQT OB ODNOSTORONNIH PROIZWODNYH. oPREDELENIE. pUSTX FUNKCIQ f OPREDELENA W NEKOTOROJ PRAWOJ OKRESTNOSTI TO^KI x. eSLI SU]ESTWUET ODNOSTORONNIJ PREDEL y lim (5.1.5)
x!+0 x TO GOWORQT, ^TO0 FUNKCIQ f IMEET W TO^KE x PRAWU@ ODNOSTORONN@@ PROIZWODNU@ f+ (x), RAWNU@ ZNA^ENI@ PREDELA (5.1.5). eSLI FUNKCIQ f OREDELENA W NEKOTOROJ LEWOJ OKRESTNOSTI TO^KI x I SU]ESTWUET ODNOSTORONNIJ PREDEL (5.1.6) lim y
x!;0 x TO GOWORQT, ^TO0 FUNKCIQ f IMEET W TO^KE x LEWU@ ODNOSTORONN@@ PROIZWODNU@ f; (x), RAWNU@ ZNA^ENI@ \TOGO PREDELA. sLOWO \ODNOSTORONN@@" ZDESX ^ASTO OPUSKA@T I GOWORQT O PRAWOJ PROIZWODNOJ ILI PROIZWODNOJ SPRAWA, SOOTWETSTWENNO, LEWOJ PROIZWODNOJ I PROIZWODNOJ SLEWA. tAKIM OBRAZOM, DLQ FUNKCII f (x) = jxj IMEEM f+0 (0) = 1 I f;0 (0) = ;1. pRIWEDEM PRIMER FUNKCII, NEPRERYWNOJ WS@DU, NO NE IME@]EJ W NEKOTOROJ TO^KE ODNOSTORONNIH PROIZWODNYH. pUSTX ( 1 x 6= 0 f (x) := 0x sin x PRI PRI x = 0: tAK KAK jf (x)j 6 jxj, TO FUNKCIQ f NEPRERYWNA W NULE, A EE NEPRERYWNOSTX W OSTALXNYH TO^KAH O^EWIDNA. dLQ PRIRA]ENIQ f W NULE IMEEM f = x sin 1x : zNA^IT, f = sin 1 x x I U FUNKCII f W NULE NE SU]ESTWU@T NE TOLXKO PROIZWODNAQ, NO I ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE. 85
wYWEDEM PRAWILA WY^ISLENIQ PROIZWODNYH. pUSTX FUNKCII u(x) I v(x) IME@T PROIZWODNYE W TO^KE x. tAK KAK \TI FUNKCII OPREDELENY W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x, TO PRAWOMEREN WOPROS O SU]ESTWOWANII PROIZWODNYH FUNKCIJ, POLU^ENNYH W REZULXTATE ARIFMETI^ESKIH DEJSTWIJ NAD FUNKCIQMI u(x) I v(x). tEOREMA 5.1.2. pUSTX W NEKOTOROJ TO^KE x FUNKCII u I v IME@T PROIZWODNYE. tOGDA W \TOJ TO^KE SU]ESTWU@T SLEDU@]IE PROIZWODNYE I WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA: 1 . (u(x) + v(x))0 = u0 (x) + v0 (x). 2 . (u(x) ; v(x))0 = u0 (x) ; v0 (x). 3 . (u(x) v(x))0 = u0 (x) v(x) + u(x) v0 (x). 4 . eSLI v(x) 6= 0, TO u(x) 0 = u0 (x) v(x) ; u(x) v0 (x) : v(x) v2 (x) dOKAZATELXSTWO. 1 . iMEEM (u + v) = u(x + x) + v(x + x) ; (u(x) + v(x)) = u + v: pO\TOMU (u + v) = u + v : x x x dROBI W PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA IME@T PREDELY PRI x ! 0, PO\TOMU u + lim v = u0 (x) + v0 (x): v) lim (u + x!0 x x!0 x
x!0 x = lim dOKAZATELXSTWO SWOJSTWA 2 ANALOGI^NO. 3 . iMEEM (uv) = u(x + x)v(x + x) ; u(x)v(x): tAK KAK u = u(x + x) ; u(x), TO u(x + x) = u(x) + u. pO\TOMU (u v) = (u(x) + u)(v(x) + v) ; u(x) v(x) = = u v(x) + u(x) v + u v I, TAKIM OBRAZOM, (uv) = u v(x) + u(x) v + u v: x x x x 86
kAVDOE SLAGAEMOE, STOQ]EE W \TOM RAWENSTWE SPRAWA, PRI x ! 0 IMEET PREDEL, PRI^EM v ! 0 W SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII v. zNA^IT, (u v) = u0 (x) v(x) + u(x) v0 (x): lim
x!0 x
4 . sNA^ALA RASSMOTRIM ^ASTNYJ SLU^AJ, KOGDA u(x) 1, T.E. POLU^IM FORMULU DLQ PROIZWODNOJ DROBI 1=v(x). tAK KAK FUNKCIQ v W TO^KE x NEPRERYWNA I v(x) 6= 0, TO v NE OBRA]AETSQ W NULX W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x. pO\TOMU DLQ DOSTATO^NO MALYH PRIRA]ENIJ x IMEEM v1 = v(x +1 x) ; v(1x) = v(vx(x) ;+ v (xx)+v( xx) ) = v(x +; xv) v(x) : oTS@DA v : 1v : x = ; v(x + 1x) v(x) x wYRAVENIE IZ PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA IMEET PREDEL PRI x ! 0. zNA^IT, SU]ESTWUET PREDEL WYRAVENIQ IZ LEWOJ ^ASTI I, TAKIM OBRAZOM, 0 1 = ; v0 : v v2
tEPERX S POMO]X@ FORMULY DLQ PROIZWODNOJ PROIZWEDENIQ POLU^IM FORMULU DLQ PROIZWODNOJ ^ASTNOGO W OB]EM SLU^AE: u(x) 0 = u(x) 1 0 = u0(x) 1 ; u(x) v0 (x) v(x) v(x) v(x) v2 (x) I OSTALOSX TOLXKO PRIWESTI POLU^ENNYE DROBI K OB]EMU ZNAMENATEL@. tEOREMA DOKAZANA. wYWEDEM FORMULY DLQ PROIZWODNYH NEKOTORYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ. 1 . eSLI FUNKCIQ f RAWNA KONSTANTE, T.E. DLQ WSEH x PRINIMAET ODNO I TO VE ZNA^ENIE C , TO f = 0 I, TAKIM OBRAZOM, C 0 = 0. pO\TOMU DLQ PROIZWOLXNOJ FUNKCII u, IME@]EJ W TO^KE x PROIZWODNU@, S POMO]X@ FORMULY PROIZWODNOJ PROIZWEDENIQ POLU^AEM (Cu(x))0 = Cu0 (x): 87
kONE^NO, \TO LEGKO BYLO POLU^ITX I NEPOSREDSTWENNO, RASSMATRIWAQ PRIRA]ENIE FUNKCII Cu(x). 2 . rASSMOTRIM STEPENNU@ FUNKCI@ S CELYM POKAZATELEM, T.E. FUNKCI@ f (x) = xn , GDE n | CELOE ^ISLO. pOKAVEM, ^TO (xn )0 = nxn;1 (5.1.7) GDE x | L@BOE, ESLI n > 1, I x | L@BOE NERAWNOE NUL@ ^ISLO, ESLI n < 0. sNA^ALA USTANOWIM FORMULU DLQ NATURALXNYH n, PROWEDQ INDUKCI@ PO n. pRI n = 1 IMEEM f = x, OTKUDA SLEDUET, ^TO x0 = 1. bUDEM TEPERX S^ITATX FORMULU (5.1.7) DOKAZANNOJ DLQ POKAZATELQ n I DOKAVEM EE DLQ POKAZATELQ n + 1. pO FORMULE PROIZWODNOJ PROIZWEDENIQ IMEEM (xn+1 )0 = (x xn )0 = xn + x nxn;1 = (n + 1)xn : tAKIM OBRAZOM, RAWENSTWO (5.1.7) USTANOWLENO DLQ WSEH NATURALXNYH n. rASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA n | CELOE OTRICATELXNOE ^ISLO. pOLOVIM m := ;n. tOGDA m > 0 I DLQ x 6= 0 xn = x1m :
pO FORMULE PROIZWODNOJ ^ASTNOGO IMEEM 0 m0 m;1 ;m;1 = nxn;1 (xn )0 = x1m = ; (xx2m) = ; mx x2m = ;mx
I RAWENSTWO (5.1.7) DLQ CELYH OTRICATELXNYH POKAZATELEJ DOKAZANO. tAK KAK PO OPREDELENI@ STEPENNOJ FUNKCII S NULEWYM POKAZATELEM x0 1, TO (x0 )0 = 0. pO\TOMU MOVNO S^ITATX, ^TO FORMULA (5.1.7) IMEET MESTO I PRI n = 0, ESLI USLOWITXSQ, ^TO W \TOM SLU^AE PRAWAQ ^ASTX W (5.1.7) RAWNA NUL@. w DALXNEJEM BUDET POKAZANO, ^TO RAWENSTWO (5.1.7) IMEET MESTO DLQ L@BYH, A NE TOLXKO CELYH POKAZATELEJ n. 3 . nAJDEM PROIZWODNU@ POKAZATELXNOJ FUNKCII y = ax . tAK KAK y = ax+ x ; ax = ax a x ; 1 x x x 88
TO W SILU (4.8.6) IMEEM y = ax lim a x ; 1 = ax ln a: lim
x!0
x!0 x x tAKIM OBRAZOM, (ax )0 = ax ln a ;1 < x < 1: (5.1.8) w ^ASTNOSTI, ESLI a = e, TO (ex )0 = ex: (5.1.9) 4 . nAJDEM PROIZWODNU@ LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII y = loga x. pREOBRAZUEM PRIRA]ENIE FUNKCII, ^TOBY BYLO UDOBNO WOSPOLXZOWATXSQ PREDELOM (4.8.4). iMEEM x y = loga (x + x) ; loga x = loga 1 + x : pO\TOMU y = 1 log 1 + x = 1 log 1 + x 1 x x a x ( x)=x a x x OTKUDA W SILU (4.8.4) POLU^AEM w ^ASTNOSTI,
(loga x)0 = loga e x1 = x ln1 a :
(5.1.10)
(ln x)0 = x1 :
(5.1.11)
rAWENSTWA (5.1.10) I (5.1.11) IME@T MESTO DLQ WSEH x > 0. 5 . nAJDEM PROIZWODNYE TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ. pUSTX y = sin x. tOGDA x x y = sin(x + x) ; sin x = 2 sin cos x + : 2
2
oTS@DA, POLXZUQSX FORMULOJ (4.8.2) I NEPRERYWNOSTX@ FUNKCII cos x, NAHODIM y 2 x x lim = lim sin 2 cos x + 2 = cos x:
x!0 x x!0 x 89
tAKIM OBRAZOM, (sin x)0 = cos x:
(5.1.12)
aNALOGI^NO WY^ISLQETSQ PROIZWODNAQ FUNKCII y = cos x: y = cos(x + x) ; cos x = 2 sin ; 2x ZNA^IT,
y = lim 2 sin lim
x!0 x
x!0 x
iTAK,
; 2x sin
(cos x)0 = ; sin x:
sin x + 2x
x + 2x = ; sin x:
(5.1.13)
rAWENSTWA (5.1.12) I (5.1.13) IME@T MESTO DLQ WSEH x. pROIZWODNYE TANGENSA I KOTANGENSA NAHODIM, POLXZUQSX FORMULOJ PROIZWODNOJ ^ASTNOGO I PROIZWODNYMI SINUSA I KOSINUSA: sin x 0 = cos x cos x ; sin x (; sin x) = 1 (tg x)0 = cos x cos2 x cos2 x (5.1.14) 0 x ; sin x sin x ; cos x cos x = ; 1 : (ctg x)0 = cos sin x = sin2 x sin2 x (5.1.15)
kAVDAQ IZ FORMUL (5.1.14) I (5.1.15) SPRAWEDLIWA DLQ WSEH x, PRI KOTORYH OPREDELENY TANGENS I, SOOTWETSTWENNO, KOTANGENS. wY^ISLENIE PROIZWODNYH DRUGIH \LEMENTARNYH FUNKCIJ TREBUET ZNANIQ SWOJSTW PROIZWODNYH, KOTORYE BUDUT USTANOWLENY POZDNEE. w OPREDELENII PROIZWODNOJ PREDEL (5.1.1) S^ITA@T KONE^NYM. nO INOGDA NUVNO RASSMATRIWATX I SLU^AI, KOGDA \TOT PREDEL RAWEN +1 ILI ;1. tOGDA GOWORQT O SOOTWETSTWU@]EJ BESKONE^NOJ PROIZWODNOJ. kAK I DLQ PREDELOW FUNKCII, ESLI NE SKAZANO, ^TO PROIZWODNAQ MOVET BYTX BESKONE^NOJ, TO S^ITA@T, ^TO \TA PROIZWODNAQ KONE^NA. 90
x 5.2.
dIFFERENCIAL FUNKCII
oPREDELENIE pUSTX FUNKCIQ y = f (x) OPREDELENA W NEKOTOROJ .
OKRESTNOSTI TO^KI x. eSLI PRIRA]ENIE FUNKCII f W \TOJ TO^KE MOVET BYTX PREDSTAWLENO W WIDE y = A x + o( x) x ! 0 (5.2.1) GDE A | NEKOTOROE ^ISLO, TO GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x. iNOGDA NUVNO RASSMATRIWATX PRIRA]ENIE y I PRI x = 0. w \TOM SLU^AE S^ITA@T, ^TO PRI x = 0 OSTATO^NYJ ^LEN W FORMULE (5.2.1) RAWEN NUL@. tEOREMA 5.2.1. dLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ y = f (x) BYLA DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x0 , NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY f IMELA W \TOJ TO^KE PROIZWODNU@. eSLI \TO USLOWIE WYPOLNENO, TO y = f 0 (x0 ) x + o( x) x ! 0: (5.2.2)
dOKAZATELXSTWO. pRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY 5.1.1 MY WIDELI, ^TO IZ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ FUNKCII f W TO^KE x SLEDUET OCENKA (5.1.2), KOTORU@ W SILU (5.1.3) MOVNO ZAPISATX KAK (5.2.2). oTS@DA SLEDUET DOSTATO^NOSTX W TEOREME 5.2.1. ~TOBY DOKAZATX NEOBHODIMOSTX, RAZDELIM OBE ^ASTI (5.2.1) NA x: y x = A + o(1) x ! 0: |TO SOOTNOENIE OZNA^AET, ^TO FUNKCIQ f IMEET W TO^KE x PROIZWODNU@, RAWNU@ A, T.E. IZ (5.2.1) SLEDUET (5.2.2). tEOREMA DOKAZANA. tAKIM OBRAZOM, RAWNOSILXNY UTWERVDENIQ, ^TO FUNKCIQ IMEET W NEKOTOROJ TO^KE PROIZWODNU@ I ^TO FUNKCIQ DIFFERENCIRUEMA W \TOJ TO^KE. eSLI DLQ PRIRA]ENIQ FUNKCII f IMEET MESTO PREDSTAWLENIE (5.2.1), TO SLAGAEMOE A x NAZYWA@T LINEJNOJ ^ASTX@ PRIRA]ENIQ FUNKCII f . oPREDELENIE. eSLI FUNKCIQ f (x) DIFFERENCIRUEMA W TO^KE, TO LINEJNU@ ^ASTX PRIRA]ENIQ FUNKCII NAZYWA@T DIFFERENCIALOM FUNKCII W \TOJ TO^KE I OBOZNA^A@T df ILI df (x). tAKIM OBRAZOM, df (x) := f 0 (x) x: (5.2.3) 91
pOD^ERKNEM, ^TO ZDESX RE^X IDET O DIFFERENCIALE FUNKCII f KAK FUNKCII ARGUMENTA x. w OB]EM SLU^AE dy 6= y, TAK KAK W SILU (5.2.2) PRIRA]ENIE y IMEET E]E SLAGAEMOE o( x). dLQ EDINOOBRAZIQ OBOZNA^ENIJ NARQDU S DIFFERENCIALOM FUNKCII WWODQT DIFFERENCIAL NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ, POLAGAQ PO OPREDELENI@ dx := x. eSLI ISPOLXZOWATX DIFFERENCIAL NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ, TO DIFFERENCIAL FUNKCII dy MOVNO ZAPISATX TAK: dy = f 0 (x) dx, OTKUDA dy : (5.2.4) f 0 (x) = dx sLEDOWATELXNO, PROIZWODNAQ RAWNA OTNOENI@ DIFFERENCIALA FUNKCII K DIFFERENCIALU NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ. iNOGDA RAWENSTWO (5.2.4) RASSMATRIWA@T PROSTO KAK DRUGOE OBOZNA^ENIE PROIZWODNOJ. dLQ DIFFERENCIALOW SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE FORMULY: d(u v) = du dv (5.2.5) d(u v) = u dv + v du (5.2.6) I, ESLI v(x) 6= 0, TO d uv = v du v;2 u dv : (5.2.7) wO WSEH \TIH RAWENSTWAH PREDPOLAGAETSQ, ^TO FUNKCII u I v DIFFERENCIRUEMY W NEKOTOROJ TO^KE, I UTWERVDAETSQ SU]ESTWOWANIE W \TOJ TO^KE DIFFERENCIALOW FUNKCIJ, POLU^ENNYH IZ u I v S POMO]X@ ARIFMETI^ESKIH DEJSTWIJ, I DA@TSQ WYRAVENIQ DLQ \TIH DIFFERENCIALOW. dOKAZATELXSTWO RAWENSTW (5.2.5){(5.2.7) PROWODITSQ ODNOTIPNO. nAPRIMER, W SILU (5.2.3) I FORMULY DLQ PROIZWODNOJ PROIZWEDENIQ IMEEM d(u v) = (u v)0 dx = u0 vdx + u v0 dx = du v + u dv: wYQSNIM GEOMETRI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ I DIFFERENCIALA. sNA^ALA RASSMOTRIM, KAKOMU SWOJSTWU GRAFIKA FUNKCII SOOTWETSTWUET SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ. pUSTX FUNKCIQ f NEPRERYWNA W TO^KE x0 . bUDEM PRIDAWATX ARGUMENTU x0 TAKIE PRIRA]ENIQ x, ^TOBY TO^KI x0 + x NE WYHODILI ZA OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII f . 92
oTMETIM NA GRAFIKE FUNKCII f TO^KI A(x0 f (x0 )) I B (x0 + x f (x0 + x)) I PROWEDEM ^EREZ \TI TO^KI PRQMU@. pUSTX | UGOL, KOTORYJ OBRAZUET PRQMAQ AB S OSX@ ABSCISS OX . uGOL S^ITAEM POLOVITELXNNYM, ESLI PRQMAQ AB PRAWEE TO^KI PERESE^ENIQ S OSX@ OX LEVIT WYE OSI, A W PROTIWNOM SLU^AE S^ITAEM OTRICATELXNYM. eSLI PRQMAQ AB PARALLELXNA OSI ABSCISS OX , TO POLAGAEM = 0. y
y =f (x) B Δy
A
α Δx
α x0
x0+Δx
x
tAK KAK y = f (x0 + x)) ; f (x0 ), TO IZ RISUNKA WIDNO, ^TO y (5.2.8) x = tg : w SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII f W TO^KE x0 TO^KA B GRAFIKA FUNKCII PRI x ! 0 NEOGRANI^ENNO PRIBLIVAETSQ K TO^KE A. pRI \TOM ZNA^ENIE UGLA ZAWISIT OT x. rAWENSTWO (5.2.8) POKAZYWAET, ^TO SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ FUNKCII f W TO^KE x0 RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ PREDELA tg PRI x ! 0. tAK KAK TANGENS QWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ, TO SU]ESTWOWANIE PREDELA tg RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ PREDELXNOGO ZNA^ENIQ UGLA , KOTOROE OBOZNA^IM 0 . a \TO W SWO@ O^EREDX OZNA^AET, ^TO PRI x ! 0 SEKU]AQ AB ZANIMAET PREDELXNOE POLOVENIE, SOOTWETSTWU@]EE UGLU NAKLONA 0 . pRQMU@, POLU^ENNU@ KAK PREDELXNOE POLOVENIE SEKU]EJ, NAZYWA@T KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII f (x) W TO^KE x0 . pRI \TOM f 0(x0 ) = tg 0 : iTAK, SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII, KAK PREDELXNOGO POLOVENIQ SEKU]EJ, A ZNA^ENIE PROIZWODNOJ RAWNO TANGENSU UGLA NAKLONA KASATELXNOJ. zAMETIM, ^TO W \TIH RASSUVDENIQH MOVNO BYLO IMETX W WIDU ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE. 93
fIZI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ | \TO SKOROSTX IZMENENIQ ZAWISIMOJ PEREMENNOJ y KAK FUNKCII NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ x. eSLI y | PUTX, PROJDENNYJ TO^KOJ PRI DWIVENII PO PRQMOJ, A x | WREMQ, TO PROIZWODNAQ | \TO SKOROSTX DWIVENIQ. w FIZIKE PROIZWODNU@ NAZYWA@T MGNOWENNOJ SKOROSTX@ W OTLI^IE OT SREDNEJ SKOROSTI ZA OPREDELENNYJ PROMEVUTOK WREMENI, KOTORAQ RAWNA OTNOENI@ PRIRA]ENIQ FUNKCII K PRIRA]ENI@ ARGUMETNA. wOOB]E, ESLI FUNKCIQ OPISYWAET NEKOTORYJ PROCESS, TO PROIZWODNAQ HARAKTERIZUET MGNOWENNU@ SKOROSTX PROTEKANIQ \TOGO PROCESSA. dIFFERENCIAL FUNKCII RAWEN PRIRA]ENI@ ORDINATY KASATELXNOJ PRI ZADANNOM x. tAKIM OBRAZOM, DIFFERENCIAL | \TO LINEJNAQ FUNKCIQ, GRAFIKOM KOTOROJ QWLQETSQ KASATELXNAQ. dIFFERENIAL POKAZYWAET, KAK MENQLASX BY FUNKCIQ, ESLI W TE^ENIE WSEGO WREMENI IZMENENIE FUNKCII PROHODILO BY S TOJ VE SKOROSTX@, ^TO I DANNYJ MOMENT. pRIMENENIE DIFFERENCIALOW OPIRAETSQ NA TO, ^TO \W MALOM", T.E. PRI DOSTATO^NO MALYH x, PRIRA]ENIE FUNKCII NEZNA^ITELXNO OTLI^AETSQ OT PRIRA]ENIQ LINEJNOJ FUNKCII, T.E. OT DIFFERENCIALA I, ZNA^IT, DIFFERENCIAL DAET HOROEE PRIBLIVENIE DLQ PRIRA]ENIQ FUNKCII. x 5.3.
pROIZWODNAQ OBRATNOJ FUNKCII
pUSTX NA INTERWALE (a b) ZADANA NEPRERYWNAQ STROGO MONOTONNAQ FUNKCIQ y = f (x). oBOZNA^IM ^EREZ (A B ) OBRAZ INTERWALA (a b) PRI OTOBRAVENII, OSU]ESTWLQEMOM FUNKCIEJ f . tOGDA SOGLASNO TEOREME 4.5.2 NA (A B ) OPREDELENA NEPRERYWNAQ STROGO MONOTONNAQ OBRATNAQ FUNKCIQ x = '(y). wYQSNIM, KAK SWQZANY DIFFERENCIRUEMOSTX ISHODNOJ FUNKCII f W TO^KE x0 I DIFFERENCIRUEMOSTX OBRATNOJ FUNKCII ' W TO^KE y0 := f (x0 ). bUDEM RASSMATRIWATX TAKIE PRIRA]ENIQ ARGUMENTA x, PRI KOTORYH TO^KI x0 + x PRINADLEVAT INTERWALU (a b). tOGDA W SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII f W TO^KE x0 IZ x ! 0 SLEDUET y = f (x0 + x) ; f (x0 ) ! 0. eSLI ARGUMENTU y OBRATNOJ FUNKCII '(y) DAWATX TAKIE PRIRA]ENIQ, PRI KOTORYH TO^KI y0 + y NE WYHODQT ZA PREDELY INTERWALA (A B ), TO DLQ PRIRA]ENIJ x, KOTORYE BUDET POLU^ATX FUNKCIQ ', W SILU NEPRERYWNOSTI OBRATNOJ FUNKCII POLU^IM, ^TO IZ y ! 0 SLEDUET x ! 0. 94
tAKIM OBRAZOM, W NAEM SLU^AE USLOWIQ x ! 0 I y ! 0 RAWNOSILXNY. pREDPOLOVIM, ^TO SU]ESTWUET PROIZWODNAQ f 0 (x0 ), I RASSMOTRIM WOPROS O SU]ESTWOWANII PROIZWODNOJ '0 (y0 ). pRI DOSTATO^NO MALYH PRIRA]ENIQH ARGUMENTA y FUNKCIQ ' POLU^AET PRIRA]ENIE x = '(y0 + y) ; '(y0 ) I SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ '0 (y0 ) RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ PREDELA lim x :
y !0 y tAK KAK FUNKCIQ ' STROGO MONOTONNA, TO IZ y 6= 0 SLEDUET x 6= 0. pO\TOMU x = 1 : y : (5.3.1) y x eSLI f 0 (x0 ) 6= 0, TO POLXZUQSX RAWNOSILXNOSTX@ USLOWIJ y ! 0 I x ! 0, IZ (5.3.1) NAHODIM 1 x = lim 1 : y = lim = 1 :
x!0
y !0 y x lim x!0
xy f 0 (x0 ) tAKIM OBRAZOM, DOKAZANO SLEDU@]EE UTWERVDENIE. tEOREMA 5.3.1. eSLI NEPRERYWNAQ FUNKCIQ f (x) STROGO MONOTONNA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , IMEET W \TOJ TO^KE PROIZWODNU@ I f 0(x0 ) 6= 0, TO OBRATNAQ FUNKCIQ '(y) IMEET W TO^KE y0 = f (x0 ) PROIZWODNU@ I SPRAWEDLIWO RAWENSTWO '0 (y0 ) = f 0 (1x ) : 0
(5.3.2)
eSLI f 0 (x0 ) = 0, TO FORMULA (5.3.2) NE IMEET SMYSLA. wYQSNIM, ^TO MOVNO SKAZATX O PROIZWODNRJ OBRATNOJ FUNKCII W \TOM SLU^AE. eSLI FUNKCIQ f STROGO WOZRASTAET, TO PRIRA]ENIQ y I x IME@T ODINAKOWYE ZNAKI. pO\TOMU IH OTNOENIE POLOVITELXNO I, PEREHODQ W (5.3.1) K PREDELU PRI y ! 0 (ILI, ^TO TO VE SAMOE, PRI x ! 0), WIDIM, ^TO 1 = + 1: lim x = lim
y !0 y x!0 y= x a ESLI FUNKCIQ f STROGO UBYWAET, TO OTNOENIE PRIRA]ENIJ y I x OTRICATELXNO. zNA^IT, W \TOM SLU^AE x = ;1: lim
y !0 y 95
tAKIM OBRAZOM, MOVNO S^ITATX, ^TO FORMULA (5.3.2) IMEET MESTO I PRI f 0(x0 ) = 0, ESLI DOGOWORITXSQ, ^TO W 0\TOM SLU^AE ONA OZNA^AET SU]ESTWOWANIE BESKONE^NOJ PROIZWODNOJ ' (y0 ), RAWNOJ +1 ILI ;1 W ZAWISIMOSTI OT TOGO, WOZRASTAET ILI UBYWAET FUNKCIQ f . w SOOTWETSTWII S \TIM S^ITA@T, ^TO ESLI SU]ESTWUET ODNA IZ PROIZWODNYH f 0 (x0 ) ILI '0 (y0 ), KONE^NAQ ILI BESKONE^NAQ, TO SU]ESTWUET I WTORAQ I IH ZNA^ENIQ SWQZANY SOOTNOENIEM (5.3.2). wOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ PROIZWODNOJ OBRATNOJ FUNKCII DLQ WY^ISLENIQ PROIZWODNYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ. zAMETIM, ^TO TAK KAK POKAZATELXNAQ FUNKCIQ y = ax I LOGARIFMI^ESKAQ FUNKCIQ y = loga x QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI, TO FORMULU DLQ PROIZWODNOJ ODNOJ IH \TIH FUNKCIJ MOVNO POLU^ITX IZ FORMULY DLQ DRUGOJ FUNKCII. pOLU^IM, NAPRIMER, IZ RAWENSTWA (ax )0 = ax ln a FORMULU DLQ PROIZWODNOJ LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII. eSLI y = loga x, TO x = ay . pO\TOMU SOGLASNO (5.3.2) IMEEM (loga x)0 = (a1y )0 = ay 1ln a = x ln1 a : nAJDEM PROIZWODNYE OBRATNYH TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ. 1 . eSLI y = arcsin x, TO x = sin y. pO\TOMU (arcsin x)0 = (sin1y)0 = cos1 y = p 1 2 = p 1 2 : (5.3.3) 1;x 1 ; sin y 2 . aNALOGI^NO WY^ISLQETSQ PROIZWODNAQ FUNKCII y = arccos x. iMEEM x = cos y I (arccos x)0 = (cos1 y)0 = ; sin1 y = ; p 1 2 = ; p 1 2 : (5.3.4) 1;x 1; cos y fORMULY (5.3.3) I (5.3.4) SPRAWEDLIWY DLQ WSEH x 2 ;1 1]. oNI POKAZYWA@T, ^TO PRI x = 1 SU]ESTWU@T BESKONE^NYE ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE . 3 . eSLI y = arctg x, TO x = tg y I SOGLASNO (5.3.2) 2 (arctg x)0 = (tg1y)0 = cos2 y = 2cos y 2 = 1 2 = 1+1x2 : cos y+ sin y 1+ tg y 4 . aNALOGI^NO DLQ y = arcctg x NAHODIM
(arcctg x)0 = (ctg1 y)0 = ; sin2 y =
2 = ; 2 sin y 2 = ; 1 2 = ; 1 +1 x2 : 1 + ctg y sin y + cos y
96
(5.3.5)
(5.3.6)
fORMULY (5.3.5) I (5.3.6) IME@T MESTO DLQ WSEH x. x 5.4.
tEOREMA
pROIZWODNAQ SLOVNOJ FUNKCII
5.4.1. pUSTX FUNKCIQ y = f (x) IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE x0 , y0 := f (x0 ) I FUNKCIQ z = '(y) IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE y0 . tOGDA SLOVNAQ FUNKCIQ z = (x) := '(f (x)) IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE x0 I SPRAWEDLIWO RAWENSTWO (5.4.1) 0 (x0 ) = '0 (y0 ) f 0 (x0 ):
dOKAZATELXSTWO. sU]ESTWOWANIE SLOVNOJ FUNKCII (x) SOGLASNO SKAZANNOMU W x 4.1 WYTEKAET IZ NEPRERYWNOSTI FUNKCIJ f (x) I '(y). iZ USLOWIJ TEOREMY SLEDUET, ^TO DLQ PRIRA]ENIJ FUNKCIJ f I ' W TO^KAH x0 I y0 SOOTWETSTWENNO SPRAWEDLIWY RAWENSTWA y = f 0 (x0 ) x + x "( x) (5.4.2) I z = '0 (y0 ) y + y "1 ( y) (5.4.3) GDE "( x) ! 0 PRI x ! 0 I "1 ( y) ! 0 PRI y ! 0. ~TOBY WYRAZITX PRIRA]ENIE z ^EREZ x, PODSTAWIM W PERWOE SLAGAEMOE IZ PRAWOJ ^ASTI FORMULY (5.4.3) WMESTO y EGO PREDSTAWLENIE IZ (5.4.2). zNA^ENIE y, NAJDENNOE PO FORMULE (5.4.2), MOVET OKAZATXSQ RAWNYM NUL@. kAK GOWORILOSX W x 5.2, S^ITAEM "1 (0) = 0. tOGDA POLU^IM ; z = '0 (y0 ) f 0 (x0 ) x + x "( x) + y "1( y) = = '0 (y0 ) f 0 (x0 ) x + '0 (y0 ) x "( x) + y "1 ( y): rAZDELIM LEWU@ I PRAWU@ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA NA x: y z 0 0 0 (5.4.4) x = ' (y0 ) f (x0 ) + ' (y0 ) "( x) + x "1 ( y): eSLI x ! 0, TO y ! 0. pO\TOMU PEREHOD W (5.4.4) K PREDELU PRI x ! 0 PRIWODIT K RAWENSTWU lim z = '0 (y0 ) f 0 (x0 ):
x!0 x tAKIM OBRAZOM, DOKAZANY I SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ 0 (x0 ) I RAWENSTWO (5.4.1). 97
dLQ OBOZNA^ENIQ ZNA^ENIQ PROIZWODNOJ FUNKCII y = f (x) W TO^KE x0 UPOTREBLQETSQ TAKVE ZAPISX yx0 (x0 ). w \TIH OBOZNA^ENIQH FORMULA DLQ PROIZWODNOJ SLOVNOJ FUNKCII IMEET WID zx0 (x0 ) = zy0 (y0 ) yx0 (x0 ): (5.4.5) pRIWEDEM PRIMERY PRIMENENIQ FORMULY PROIZWODNOJ SLOVNOJ FUNKCII. 1 . nAJDEM PROIZWODNU@ STEPENNOJ FUNKCII y = xa , x > 0, GDE a | PROIZWOLXNOE ^ISLO. w x 5.1 PROIZWODNAQ STEPENNOJ FUNKCII BYLA WY^ISLENA W SLU^AE, KOGDA a | CELOE ^ISLO. tOGDA PRI a > 0 ARGUMENT x MOG BYTX L@BYM, A PRI a < 0 | L@BYM NE RAWNYM NUL@ ^ISLOM. iMEEM y = eln xa = ea ln x : pOLOVIM u = a ln x. tOGDA y = eu I, ZNA^IT, SOGLASNO (5.4.5) yx0 = yu0 u0x = eu xa = ea ln x xa = xa xa = axa;1 : (5.4.6) fORMULA (5.4.6) DLQ PROIZWOLXNYH a IMEET MESTO PRI x > 0, A ESLI a > 1, TO ONA SPRAWEDLIWAaI PRI x = 0. zAMETIM, ^TO DLQ 0 < a < 1 STEPENNAQ FUNKCIQ y = x IMEET W NULE PRAWU@ BESKONE^NU@ PROIZWODNU@. pRIWEDENNOE DOKAZATELXSTWO FORMULY (5.4.6) NE ZAWISIT OT TOGO, QWLQETSQ ^ISLO a CELYM ILI NET. nO DLQ SLU^AQ, KOGDA a | NATURALXNOE ^ISLO, \TO DOKAZATELXSTWO NE POZWOLQET NAJTI PROIZWODNU@ DLQ OTRICATELXNYH x W OTLI^IE OT FORMULY (5.1.7), KOTORAQ W \TOM SLU^AE IMEET MESTO DLQ WSEH x. 2 . nAJDEM PROIZWODNU@ FUNKCII y = loga jxj, x 6= 0. ~TOBY WOSPOLXZOWATXSQ FORMULOJ PROIZWODNOJ SLOVNOJ FUNKCII, POLOVIM u = jxj. tOGDA y = loga u. wWEDEM FUNKCI@, NAZYWAEMU@ sign x (OT LATINSKOGO signum) ILI ZNAK x: 8 > <+1 ESLI x > 0 sign x := >0 ESLI x = 0 : ;1 ESLI x < 0: tOGDA u = jxj = x sign x I jxj0 = sign x PRI x 6= 0. pO\TOMU SOGLASNO (5.4.5) x 1 = 1 : yx0 = yu0 u0x = u ln1 a sign x = sign jxj ln a x ln a 98
tAKIM OBRAZOM, w ^ASTNOSTI,
(loga jxj)0 = x ln1 a x 6= 0:
(5.4.7)
(ln jxj)0 = x1 x 6= 0:
(5.4.8)
rAZUMEETSQ, PROIZWODNU@ FUNKCII loga jxj MOVNO BYLO NAJTI, NE PRIBEGAQ K FORMULE PROIZWODNOJ SLOVNOJ FUNKCII. 3 . wY^ISLIM PROIZWODNYE GIPERBOLI^ESKIH SINUSA I KOSINUSA: x ; e;x 0 ex ; (e;x )0 ex + e;x e 0 (sh x) = = = = ch x (5.4.9) 2
(ch x)0 =
ex + e;x 0
2
2
=
ex
; e;x 2
2
= sh x:
(5.4.10)
tAKIM OBRAZOM, NAJDENY PROIZWODNYE WSEH OSNOWNYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ. x 5.5.
pROIZWODNYE I DIFFERENCIALY WYSIH PORQDKOW
eSLI FUNKCIQ f (x) IMEET PROIZWODNU@ f 0 (x) WO WSEH TO^KAH IZ NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , TO MOVNO POSTAWITX WOPROS O SU]ESTWOWANII W \TOJ TO^KE PROIZWODNOJ FUNKCII f 0 (x). eSLI f 0 (x) IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE x0 , TO \TU PROIZWODNU@ NAZYWA@T WTOROJ PROIZWODNOJ FUNKCII f (x) W TO^KE x0 I OBOZNA^@T f 00 (x0 ). aNALOGI^NO OPREDELQ@TSQ TRETXQ PROIZWODNAQ I WOOB]E PROIZWODNYE L@BOGO PORQDKA . pROIZWODNAQ f (n) PORQDKA n FUNKCII f (x) SU]ESTWUET W TO^KE x0 , ESLI W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI SU]ESTWUET PROIZWODNAQ PORQDKA n ; 1 FUNKCII f (x), T.E. SU]ESTWUET f (n;1) (x), I FUNKCIQ f (n;1) (x) IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE x0 . |TU PROIZWODNU@ OBOZNA^A@T f (n)(x0 ) I NAZYWA@T PROIZWODNOJ PORQDKA n FUNKCII f (x) W TO^KE x0 . oSNOWNYE \LEMENTARNYE FUNKCII IME@T PROIZWODNYE L@BOGO PORQDKA W SWOEJ ESTESTWENNOJ OBLASTI OPREDELENIQ. nAPRIMER, (ax )(n) = ax (ln a)n n (n) (sin x) = sin x + 2 99
(xa )(n) = a(a ; 1) : : : (a ; n + 1)xa;n :
w SWQZI S FORMULOJ DLQ PROIZWODNOJ STEPENNOJ FUNKCII OTMETIM, ^TO ESLI ^ISLO a > 0 NE CELOE, TO FUNKCIQ xa W NULE IMEET PROIZWODNYE DO PORQDKA a] WKL@^ITELXNO, NO NE IMEET PROIZWODNYH BOLEE WYSOKOGO PORQDKA. eSLI FUNKCIQ IMEET W TO^KE ILI NA NEKOTOROM PROMEVUTKE PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW, TO \TU FUNKCI@ NAZYWA@T BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMOJ SOOTWETSTWENNO W TO^KE ILI NA PROMEVUTKE. fUNKCIQ MOVET IMETX PROIZWODNU@ PERWOGO PORQDKA, NO NE IMETX PROIZWODNOJ WTOROGO PORQDKA. nAPRIMER, ESLI y = xjxj, TO y0 = 2jxj I, ZNA^IT, \TA FUNKCIQ NE IMEET W NULE PROIZWODNOJ WTOROGO PORQDKA. tO^NO TAKVE MOVNO UKAZATX FUNKCII, IME@]IE PROIZWODNU@ PORQDKA n > 1, NO NE IME@]IE PROIZWODNOJ PORQDKA n + 1. eSLI FUNKCII u(x) I v(x) IME@T W NEKOTOROJ TO^KE PROIZWODNYE PORQDKA n, TO QSNO, ^TO SUMMA I RAZNOSTX \TIH FUNKCIJ TAKVE IME@T W \TOJ TO^KE PROIZWODNYE PORQDKA n I WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA (u(x) v(x))(n) = u(n) (x) v(n) (x): w \TOM LEGKO UBEDITXSQ PO INDUKCII. rASSUVDENIQ PO INDUKCII POKAZYWA@T TAKVE, ^TO PRI \TIH USLOWIQH SU]ESTWUET PROIZWODNAQ PORQDKA n PROIZWEDENIQ u(x)v(x). sEJ^AS NAS BUDET INTERESOWATX WYRAVENIE PROIZWODNYH WYSIH PORQDKOW OT PROIZWEDENIQ FUNKCIJ ^EREZ PROIZWODNYE SAMIH \TIH FUNKCIJ. zDESX POTREBU@TSQ WELI^INY Cnk := k! (nn;! k)! 0 6 k 6 n 0! := 1 (5.5.1) KOTORYE NAZYWA@T BINOMIALXNYMI KO\FFICIENTAMI, TAK KAK \TI ^ISLA U^ASTWU@T W FORMULE BINOMA nX@TONA, NO OB \TOM BUDET GOWORITXSQ POZDNEE . ~ISLO Cnk NAZYWA@T ^ISLOM SO^ETANIJ IZ n PO k, TAK KAK ONO POKAZYWAET, SKOLXKO RAZLI^NYH PODMNOVESTW, SOSTOQ]IH IZ k \LEMENTOW, IMEET MNOVESTWO IZ n \LEMENTOW. nO \TO SWOJSTWO SEJ^AS NE BUDET NUVNO. tEOREMA 5.5.1 (fORMULA lEJBNICA). eSLI FUNKCII u(x) I v(x) IME@T W TO^KE x0 PROIZWODNYE PORQDKA n, TO W \TOJ TO^KE SU]ESTWUET PROIZWODNAQ PORQDKA n PROIZWEDENIQ u(x) v(x) I SPRAWEDLIWO RAWENSTWO (u(x0 ) v(x0 ))(n) = 100
n
X
k=0
Cnk u(k) (x0 ) v(n;k) (x0 ) n = 1 2 : : : (5.5.2)
GDE PO OPREDELENI@ S^ITA@T, ^TO PROIZWODNAQ NULEWOGO PORQDKA RAWNA SAMOJ FUNKCII. dOKAZATELXSTWO. dLQ SOKRA]ENIQ ZAPISI NE BUDEM PISATX ARGUMENTY U PROIZWODNYH. dOKAVEM FORMULU lEJBNICA PO INDUKCII. pRI n = 1 FORMULA (5.5.2) IMEET WID 1
X (u v)0 = C k u(k) v(1;k) = u v0 + u0 v
k=0
1
T.E. \TO FORMULA DLQ PERWOJ PROIZWODNOJ PROIZWEDENIQ DWUH FUNKCIJ. pREDPOLOVIM TEPERX, ^TO RAWENSTWO (5.5.2) DOKAZANO DLQ POKAZATELQ n = m I USTANOWIM EGO SPRAWEDLIWOSTX PRI n = m + 1. iMEEM (u v)(m+1) = ((u v)(m) )0 = =
m
X
k=0
; Cmk u(k) v(m;k) 0 =
=
=
m
mX +1 i=1
m
X
k=0
m
X
0
Cmk u(k) v(m;k) =
k=0 ; Cmk u(k+1) v(m;k) + u(k) v(m+1;k) =
Cmi;1 u(i) v(m;(i;1)) +
m
X
Cmi u(i) v(m+1;i) =
i=0 (Cmi;1 + Cmi )u(i) v(m+1;i) + Cmm u(m+1) v(0) + Cm0 u(0) v(m+1) :
X
i=1
nO SOGLASNO (5.5.1)
Cmi;1 + Cmi = (i ; 1)! (mm;! (i ; 1))! + i! (mm;! i)! = (m + 1)! = C i : = i! (m ;mi! + 1)! (i + m ; i + 1) = i!(m ; i + 1)! m+1 kROME TOGO, +1 Cmm = 1 = Cmm+1 Cm0 = 1 = Cm0 +1 : pO\TOMU (u v)(m+1) = Cm0 +1 u(0) v(m+1) +
m
X
i=1
Cmi +1 u(i) v(m+1;i) + 101
+1 (m+1) (0) +Cmm+1 u v =
mX +1 i=0
Cmi +1 u(i) v(m+1;i)
I MY POLU^ILI FORMULU (5.5.2) DLQ n = m + 1. tEOREMA DOKAZANA. rASSMOTRIM TEPERX DIFFERENCIALY WYSIH PORQDKOW. pUSTX x | NEZAWISIMAQ PEREMENNAQ I FUNKCIQ y = f (x) DIFFERENCIRUEMA. tOGDA dy = f 0 (x)dx I, ZNA^IT, DIFFERENCIAL dy ZAWISIT OT x I OT dx. pOSTAWIM WOPROS, QWLQETSQ LI DIFFERENCIAL dy KAK FUNKCIQ OT x DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCIEJ. ~TOBY WYQSNITX \TO, WNOWX PRIDADIM ARGUMENTU x PRIRA]ENIE dx I RASSMOTRIM PRIRA]ENIE DIFFERENCIALA dy ; f 0 (x + dx)dx ; f 0 (x) dx = f 0 (x + dx) ; f 0 (x) dx: (5.5.3) eSLI SU]ESTWUET WTORAQ PROIZWODNAQ f 00 (x), TO RAZNOSTX (5.5.3) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE ; ; f 0(x + dx) ; f 0 (x) dx = f 00 (x)dx + o(dx) dx = ; = f 00 (x)(dx)2 + o (dx)2 dx ! 0: kWADRAT DIFFERENCIALA NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ (dx)2 PRINQTO 2 OBOZNA^ATX dx . w TAKOJ ZAPISI dx S^ITAETSQ EDINYM SIMWOLOM, KOTORYJ WOZWODITSQ W KWADRAT. tAKIM OBRAZOM, POLAGAQ PO OPREDELENI@ d2 y := d(dy), POLU^AEM d2 y = f 00 (x)dx2 : (5.5.4) tAK KAK DIFFERENCIRUEMOSTX FUNKCII RAWNOSILXNA SU]ESTWO2 WANI@ PROIZWODNOJ, TO SU]ESTWOWANIE WTOROGO DIFFERENCIALA dy RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ WTOROJ PROIZWODNOJ f 00 (x). pOSKOLXKU DIFFERENCIAL NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ dx OT x NE ZAWISIT, TO d2 x = d(dx) = 0. dLQ n > 2 ANALOGI^NO POLAGAEM dn y := d(dn;1 y) I NAHODIM dn y = f (n) (x)dxn (5.5.5) GDE dxn OBOZNA^AET n-U@ STEPENX DIFFERENCIALA dx. 102
oTS@DA SLEDUET, ^TO
dn y n = 1 2 : : :: f (n) (x) = dx n
(5.5.6)
nAPOMNIM, ^TO FORMULY (5.5.4) I (5.5.5) WYWEDENY W PREDPOLOVENII, ^TO x QWLQETSQ NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ. rASSMOTRIM DIFFERENCIALY SLOVNOJ FUNKCII. sNA^ALA NAJDEM WYRAVENIE DLQ DIFFERENCIALA PERWOGO PORQDKA SLOVNOJ FUNKCII. pUSTX ZADANA SLOVNAQ FUNKCIQ y = (x) = '(f (x)), GDE FUNKCII y = '(u) I u = f (x) IME@T PROIZWODNYE PERWOGO PORQDKA. tOGDA dy = 0 (x) dx I W SILU RAWENSTWA (5.4.1) 0 (x) = '0 (u)f 0 (x). pO\TOMU dy = '0 (u)f 0 (x) dx: s DRUGOJ STORONY, du = f 0 (x) dx I, ZNA^IT, dy = '0 (u) du. tAKIM OBRAZOM, DLQ DIFFERENCIALA dy SPRAWEDLIWY FORMULY dy = 0 (x) dx (5.5.7) I dy = '0 (u) du: (5.5.8) |TI FORMULY WYGLQDQT ODINAKOWO, NO IH PRINCIPIALXNAQ RAZNICA SOSTOIT W TOM, ^TO W (5.5.7) dx QWLQETSQ DIFFERENCIALOM NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ, A W (5.5.8) du QWLQETSQ DIFFERENCIALOM ZAWISIMOJ PEREMENNOJ. sWOJSTWO PERWOGO DIFFERENCIALA IMETX ODINAKOWOE WYRAVENNIE ^EREZ DIFFERENCIALY NEZAWISIMOJ I ZAWISIMOJ PEREMENOJ NAZYWA@T INWARIANTNOSTX@ FORMY PERWOGO DIFFERENCIALA. dIFFERENCIALY WYSIH PORQDKOW PODOBNOJ INWARIANTNOSTX@ NE OBLADA@T. pUSTX PO-PREVNEMU y = '(u), u = f (x), GDE x | NEZAWISIMAQ PEREMENNAQ. sOGLASNO (5.5.8) I (5.2.6) d2 y = d('0 (u) du) = d('0 (u)) du + '0 (u) d(du) = = '00 (u) du du + '0 (u) d2 u = '00 (u) du2 + '0 (u) d2 u: iTAK, d2 y = '00 (u) du2 + '0 (u) d2 u: (5.5.9) 103
zDESX d2 u MOVET NE RAWNQTXSQ NUL@, TAK KAK u | ZAWISIMAQ PEREMENNAQ I d2 u = f 00 (x) dx2 . sRAWNENIE FORMUL (5.5.9) I (5.5.4) POKAZYWAET, ^TO WTOROJ DIFFERENCIAL NE OBLADAET SWOJSTWOM INWARIANTNOSTI | EGO WYRAVENIE ZAWISIT OT TOGO, ZAPISYWAETSQ LI ON ^EREZ DIFFERENCIALY NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ ILI ^EREZ DIFFERENCIALY ZAWISIMOJ PEREMENNOJ. nAJDEM E]E WYRAVENIE TRETXEGO DIFFERENCIALA FUNKCII ^EREZ DIFFERENCIALY ZAWISIMOJ PEREMENNOJ. iMEEM d3 y = d(d2 y) = d('00 (u) du2 + '0 (u) d2 u) = = '000 (u) du3 + '00 (u) d(du2 ) + '00 (u) du d2 u + '0 (u) d(d2 u) = = '000 (u) du3 + 3'00 (u) d2 u du + '0 (u) d3 u:
(5.5.10) fORMULY (5.5.9) I (5.5.10) ZAPOMINATX NE NUVNO. kAVDYJ RAZ, KOGDA ONI NUVNY, REKOMENDUETSQ WYWODITX IH ZANOWO. rASSMOTRIM, NAKONEC, WOPROS O PROIZWODNYH FUNKCIJ, ZADANNYH PARAMETRI^ESKI. sNA^ALA POQSNIM, KAK PONIMAETSQ PARAMETRI^ESKOE ZADANIE FUNKCIJ. pUSTX W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI t0 ZADANY FUNKCII x = x(t) I y = y(t), PRI^EM FUNKCIQ x(t) STROGO MONOTONNA I NEPRERYWNA W \TOJ OKRESTNOSTI. tOGDA W OKRESTNOSTI TO^KI x0 := x(t0 ) SU]ESTWUET OBRATNAQ STROGO MONOTONNAQ NEPRERYWNAQ FUNKCIQ t = t(x). |TO POZWOLQET WWESTI SLOVNU@ FUNKCI@ y = y(t(x)), KOTORU@ I IME@T W WIDU, KOGDA GOWORQT O FUNKCII y = y(x), ZADANNOJ PARAMETRI^ESKI FORMULAMI x = x(t), y = y(t). bUDEM TEPERX DOPOLNITELXNO S^ITATX, ^TO W TO^KE t0 SU]ESTWU@T PROIZWODNYE x0t , yt0 I x0t (t0 ) 6=0 0. pOKAVEM, ^TO W \TOM SLU^AE MOVNO WY^ISLITX PROIZWODNU@ yx W TO^KE x0 , NE NAHODQ QWNO FUNKCI@ t = t(x).
iMEEM
0 yx0 = yt0 t0x = xyt0 : t eSLI FUNKCIQ yt0 =x0t IMEET PROIZWODNU@ (TAK 00BUDET WO00 WSQKOM SLU^AE, KOGDA SU]ESTWU@T WTORYE PROIZWODNYE x (t) I yt t (t)), TO 00 MOVNO NAJTI PO FORMULEt t WTORU@ PROIZWODNU@ yxx 0 0 0 00 = (y0 )0 = yt0 = yt0 t0 = yt0 1 : yxx xx x0t x x0t t x x0t t x0t pODOBNYM OBRAZOM MOVNO NAHODITX PROIZWODNYE FUNKCII y(x) BOLEE WYSOKOGO PORQDKA, ESLI ONI SU]ESTWU@T. 104
gLAWA
6
swojstwa differenciruemyh funkcij wOZRASTANIE I UBYWANIE FUNKCII W TO^KE
x 6.1.
nARQDU S WOZRASTANIEM I UBYWANIEM FUNKCIJ NA PROMEVUTKE RASSMATRIWAETSQ WOZRASTANIE I UBYWANIE FUNKCII W TO^KE. oPREDELENIE. pUSTX FUNKCIQ f (x) ZADANA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . gOWORQT, ^TO f STROGO WOZRASTAET W TO^KE x0 , ESLI SU]ESTWUET TAKAQ OKRESTNOSTX TO^KI x0 , ^TO DLQ x IZ \TOJ OKRESTNOSTI, LEVA]IH SLEWA OT x0 , SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO f (x) < f (x0 ), A DLQ x, LEVA]IH SPRAWA OT x0 , | NERAWENSTWO f (x) > f (x0 ). eSLI W \TIH NERAWENSTWAH ZNAKI < I > ZAMENENY SOOTWETSTWENNO NA 6 I >, TO GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f WOZRASTAET (TO^NEE, NE UBYWAET ) W TO^KE x0 . aNALOGI^NO OPREDELQ@TSQ STROGOE UBYWANIE I UBYWANIE FUNKCII W TO^KE. mOVNO GOWORITX TAKVE OB ODNOSTORONNEM WOZRASTANII I UBYWANII W TO^KE. oSNOWNYMI QWLQ@TSQ SLU^AI STROGOGO WOZRASTANIQ I UBYWANIQ FUNKCII W TO^KE, A NESTROGOE WOZRASTANIE I UBYWANIE RASSMATRIWA@T REVE. tEOREMA 6.1.1. pUSTX FUNKCIQ y = f (x) IMEET W TO^KE x0 PROIZWODNU@. tOGDA W TO^KE x0 FUNKCIQ f STROGO WOZRASTAET, ESLI f 0 (x0 ) > 0, I STROGO UBYWAET, ESLI f 0(x0 ) < 0. dOKAZATELXSTWO. pUSTX f 0 (x0 ) > 0. tAK KAK y f 0 (x0 ) = lim x!0 x TO DLQ DOSTATO^NO MALYH x y x > 0: zNA^IT, ESLI x > 0, TO y = f (x0 + x) ; f (x) > 0, A ESLI x < 0, TO y < 0. a \TO OZNA^AET STROGOE WOZRASTANIE FUNKCII f W TO^KE x0 . aNALOGI^NO RASSMATRIWAETSQ SLU^AJ, KOGDA f 0 (x0 ) < 0. w TEOREME 6.1.1 MOVNO IMETX W WIDU ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE, NO TOGDA W UTWERVDENII NUVNO GOWORITX OB ODNOSTORONNEM STROGOM WOZRASTANII ILI STROGOM UBYWANII FUNKCII. 105
oPREDELENIE gOWORQT, ^TO FUNKCIQ f (x) IMEET W TO^KE x0 LO.
KALXNYJ MAKSIMUM, ESLI DLQ WSEH x IZ NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO f (x) 6 f (x0 ). a ESLI DLQ WSEH x IZ NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO f (x) < f (x0 ), TO GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f (x) IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ MAKSIMUM. gOWORQT, ^TO FUNKCIQ f (x) IMEET W TO^KE x0 LOKALXNYJ MINIMUM, ESLI DLQ WSEH x IZ NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO f (x) > f (x0 ). a ESLI DLQ WSEH x IZ NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO f (x) > f (x0 ), TO GOWORQT, ^TO FUNKCIQ f (x) IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ MINIMUM. tO^KI LOKALXNOGO MAKSIMUMA I MINIMUMA FUNKCII NAZYWA@T TO^KAMI EE LOKALXNOGO \KSTREMUMA, A TO^KI STROGOGO LOKALXNOGO MAKSIMUMA I MINIMUMA | TO^KAMI STROGOGO LOKALXNOGO \KSTREMUMA. w \TIH OPREDELENIQH SLOWO \LOKALXNYJ" DOBAWLQ@T POTOMU, ^TO ^ISLO f (x0 ) SRAWNIWAETSQ SO ZNA^ENIQMI FUNKCII TOLXKO W DOSTATO^NO MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 W OTLI^IE OT \GLOBALXNOGO" MAKSIMUMA I MINIMUMA, KOTORYE OTNOSQTSQ KO WSEJ OBLASTI ZADANIQ FUNKCII. tEOREMA 6.1.2 (tEOREMA fERMA). eSLI FUNKCIQ f (x) IMEET W TO^KE x0 PROIZWODNU@, TO DLQ TOGO ^TOBY W TO^KE x0 FUNKCIQ f IMELA LOKALXNYJ \KSTREMUM, NEOBHODIMO WYPOLNENIE RAWENSTWA f 0 (x0 ) = 0. dOKAZATELXSTWO. iZ NERAWENSTWA f 0 (x0 ) > 0 SLEDUET STROGOE WOZRASTANIE FUNKCII f W TO^KE x0 , A IZ NERAWENSTWA f 0 (x0 ) < 0 | STROGOE UBYWANIE f W TO^KE x0 0 . zNA^IT, LOKALXNYJ \KSTREMUM WOZMOVEN TOLXKO PRI USLOWII f (x0 ) = 0. uSLOWIE f 0 (x0 ) = 0, BUDU^I NEOBHODIMYM DLQ LOKALXNOGO \KS3TEMUMA, NE QWLQETSQ DOSTATO^NYM. dEJSTWITELXNO, FUNKCIQ y = x STROGO WOZRASTAET NA WSEJ OSI. wMESTE S TEM, EE PROIZWODNAQ y0 = 3x2 OBRA]AETSQ W NULX PRI x = 0.
tEOREMA
(tEOREMA dARBU O PROMEVUTO^NYH ZNA^ENIQH). pUSTX FUNKCIQ f (x) ZADANA NA OTREZKE a b], f (a) 6= f (b) 0 6.1.3
I SU]ESTWUET FUNKCIQ F (x) TAKAQ, ^TO F (x) = f (x) DLQ WSEH x 2 a b]. tOGDA DLQ L@BOGO ^ISLA , ZAKL@^ENNOGO STROGO MEVDU f (a) I f (b), NAJDETSQ TO^KA 2 (a b) TAKAQ, ^TO f ( ) = . dOKAZATELXSTWO. sNA^ALA RASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA ^ISLA f (a) I f (b) IME@T RAZNYE ZNAKI I RAWNO NUL@. pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI f (a) > 0 I f (b) < 0. 106
fUNKCIQ F (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE a b] I, ZNA^IT, PRINIMAET0 W NEKOTOROJ TO^KE 2 a b] SWOE MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE. tAK KAK F (a) = f (a) > 0, TO W TO^KE a FUNKCIQ F STORGO WOZRASTAET, PO\TOMU NE MOVET BYTX TO^KOJ a. tO^NO TAKVE NE MOVET RAWNQTXSQ b, TAK KAK IZ USLOWIQ F 0 (b) = f (b) < 0 SLEDUET, ^TO F STROGO UBYWAET W TO^KE b. sLEDOWATELXNO, | WNUTRENNQQ TO^KA OTREZKA a b] I TOGDA PO TEOREME fERMA F 0 ( ) = 0. nO F 0 ( ) = f ( ) I, TAKIM OBRAZOM, f ( ) = 0. eSLI WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ f (a) < 0 I f (b) > 0, TO W KA^ESTWE MOVNO WZQTX TO^KU, W KOTOROJ F (x) PRINIMAET MINIMALXNOE ZNA^ENIE NA OTREZKE a b], I ANALOGI^NYM OBRAZOM DOKAZATX, ^TO f ( ) = 0. tAKIM OBRAZOM, W RASSMATRIWAEMOM ^ASTNOM SLU^AE TEOREMA DOKAZANA. pEREHOD K OB]EMU SLU^A@ OSU]ESTWLQETSQ TAK VE, KAK PRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY kOI 4.3.3 O PROMEVUTO^NYH ZNA^ENIQH. wWODIM FUNKCI@ '(x) := f (x) ; . tAK KAK ^ISLO ZAKL@^ENO STROGO MEVDU f (a) I f (b), TO FUNKCIQ '(x) PRINIMAET W TO^KAH a I b ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW. kROME TOGO, ESLI POLOVITX (x) := F (x) ; x, TO 0 (x) = (F (x) ; x)0 = '(x). pO\TOMU W SILU UVE DOKAZANNOGO ^ASTNOGO SLU^AQ TEOREMY SU]ESTWUET TAKAQ TO^KA 2 (a b), ^TO '( ) = 0. oTS@DA f ( ) ; = 0 I, ZNA^IT, f ( ) = . tEOREMA DOKAZANA. sRAWNIM TEOREMY dARBU I kOI O PROMEVUTO^NYH ZNA^ENIQH. zAKL@^ENIE W OBEIH TEOREMAH ODINAKOWY, RAZNYMI QWLQ@TSQ USLOWIQ NA FUNKCI@ f . w TEOREME kOI TREBOWALASX NEPRERYWNOSTX FUNKCII f (x), A W TEOREME0 dARBU PREDPOLAGAETSQ SU]ESTWOWANIE FUNKCII F (x) TAKOJ, ^TO F (x) = f (x) DLQ WSEH x 2 a b]. nO PROIZWODNAQ MOVET SU]ESTWOWATX W KAVDOJ TO^KE I NE BYTX NEPRERYWNOJ. |TO WIDNO NA PRIMERE FUNKCII ( 2 x 6= 0, F (x) := x0 sin(1=x) PRI PRI x = 0, DLQ KOTOROJ ( x 6= 0, 0 F (x) = 20x sin(1=x) ; cos(1=x) PRI PRI x = 0 I F 0 (x) IMEET RAZRYW W TO^KE 0. pO\TOMU TEOREMA dARBU NE SLEDUET IZ TEOREMY kOI. nA SAMOM DELE TEOREMA kOI QWLQETSQ SLEDSTWIEM TEOREMY dARBU, TAK KAK DLQ KAVDOJ NEPRERYWNOJ FUNKCII f SU]ESTWUET FUNKCIQ F TAKAQ, ^TO F 0 (x) = f (x) DLQ WSEH x 2 a b]. |TO BUDET DOKAZANO W GLAWE 9. 107
x 6.2.
tEOREMY O SREDNEM
w \TOM PARAGRAFE RASSMATRIWA@TSQ FUNKCII, NEPRERYWNYE NA OTREZKE a b] I DIFFERENCIRUEMYE, T.E. IME@]IE PROIZWODNU@, NA INTERWALE (a b). tEOREMA 6.2.1 (tEOREMA rOLLQ). pUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE a b] I DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (a b). eSLI f (a) = f (b), TO SU]ESTWUET TO^KA 2 (a b) TAKAQ, ^TO f 0 ( ) = 0. dOKAZATELXSTWO. tAK KAK FUNKCIQ f NEPRERYWNA NA OTREZKE a b], TO W NEKOTORYH TO^KAH ONA PRINIMAET SWOI MAKSIMALXNOE M I MINIMALXNOE m ZNA^ENIQ NA \TOM OTREZKE. eSLI M = m0 , TO f | IMEET \TO ZNA^ENIE WO WSEH TO^KAH IZ a b] I PROIZWODNAQ f (x) RAWNA NUL@ WS@DU NA (a b). eSLI VE M 6= m, TO PO KRAJNEJ MERE ODNO IZ \TIH ZNA^ENIJ FUNKCIQ f PRINIMAET WO WNUTRENNEJ TO^KE0 OTREZKA a b]. tOGDA PO TEOREME fERMA W \TOJ TO^KE PROIZWODNAQ f RAWNA NUL@ I TEOREMA DOKAZANA. tEOREMA rOLLQ POKAZYWAET, ^TO W NEKOTOROJ TO^KE INTERWALA (a b) KASATELXNAQ K GRAFIKU FUNKCII PARALLELXNA OSI OX . tEOREMA 6.2.2 (tEOREMA lAGRANVA O SREDNEM). pUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE a b] I DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (a b). tOGDA SU]ESTWUET TO^KA 2 (a b) TAKAQ, ^TO f (b) ; f (a) = f 0 ( )(b ; a): (6.2.1) dOKAZATELXSTWO. sWEDEM ZADA^U K TEOREME rOLLQ. dLQ \TOGO WYBEREM ^ISLO TAK, ^TOBY DLQ FUNKCII '(x) := f (x) ; x WYPOLNQLOSX RAWENSTWO '(a) = '(b). rEIW URAWNENIE f (a) ; a = f (b) ; b, WIDIM, ^TO \TO USLOWIE WYPOLNQETSQ PRI f (a) = f (bb) ; ;a : fUNKCIQ '(x) NEPRERYWNA NA a b] I DIFFERENCIRUEMA NA (a b). pO TEOREME rOLLQ SU]ESTWUET TO^KA 2 (a b) TAKAQ, ^TO '0 ( ) = 0: |TO RAWENSTWO OZNA^AET, ^TO f 0 ( ) ; = 0 I, TAKIM OBRAZOM, ; f (a) = 0: f 0 ( ) ; f (bb) ; a tEOREMA DOKAZANA. 108
fORMULU (6.2.1) NAZYWA@T FORMULOJ KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA. oNA QWLQETSQ ODNIM IZ OSNOWNYH REZULXTATOW DIFFERENCIALXNOGO IS^ISLENIQ. ~TOBY WYQSNITX GEOMETRI^ESKIJ SMYSL FORMULY KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA, ZAPIEM EE W WIDE ; f (a) : (6.2.2) f 0 ( ) = f (bb) ; a lEWAQ ^ASTX RAWENSTWA (6.2.2) RAWNA TANGENSU UGLA NAKLONA KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII f (x) W TO^KE , A PRAWAQ ^ASTX | TANGENSU UGLA NAKLONA PRQMOJ, SOEDINQ@]EJ TO^KI (a f (a)) I (b f (b)) GRAFIKA FUNKCII. tAKIM OBRAZOM, TEOREMA lAGRANVA POKAZYWAET, ^TO SU]ESTWUET TO^KA 2 (a b), KASATELXNAQ W KOTOROJ PARALLELXNA PRQMOJ, SOEDINQ@]EJ TO^KI (a f (a)) I (b f (b)) GRAFIKA FUNKCII. y
a
ξ
b
x
dRUGAQ FORMA ZAPISI FORMULY KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA TAKOWA: f (b) ; f (a) = f 0 (a + (b ; a))(b ; a) (6.2.3) GDE | NEKOTOROE ^ISLO, UDOWLETWORQ@]EE USLOWI@ 0 < < 1. w FORMULIROWKE TEOREMY 6.2.2 PREDPOLAGAETSQ, ^TO a < b. nO LEGKO WIDETX, ^TO FORMULA (6.2.1) IMEET MESTO I W TOM SLU^AE, KOGDA a > b. tEOREMA 6.2.3 (tEOREMA kOI O SREDNEM). pUSTX NA OTREZKE a b] ZADANY NEPRERYWNYE FUNKCII f (x) I g(x), PRI^EM g(a) 6= g(b). pREDPOLOVIM, ^TO f I g DIFFERENCIRUEMY NA INTERWALE (a b) I PROIZWODNYE f 0 (x) I g0 (x) NE OBRA]A@TSQ NA (a b) W NULX ODNOWREMENNO. tOGDA SU]ESTWUET TO^KA 2 (a b) TAKAQ, ^TO f (b) ; f (a) = f 0 ( ) : (6.2.4) g(b) ; g(a) g0( ) 109
dOKAZATELXSTWO. dLQ g(x) = x TEOREMA 6.2.3 SOWPADAET S TEOREMOJ 6.2.2. dOKAZATELXSTWO TEOREMY 6.2.3 BUDET IDTI PO TOJ VE SHEME. wWEDEM FUNKCI@ '(x) := f (x) ; g(x). oNA NEPRERYWNA NA a b] I DIFFERENCIRUEMA NA (a b). ~TOBY K FUNKCII '(x) MOVNO BYLO PRIMENITX TEOREMU rOLLQ, SOSTAWIM URAWNENIE f (b) ; g(b) = f (a) ; g(a), REIW KOTOROE, POLU^IM f (a ) = fg((bb)) ; ; g(a) : dLQ \TOGO IMEEM '(a) = '(b). pO\TOMU SU]ESTWUET TO^KA 2 (a b), DLQ KOTOROJ '0 ( ) = 0. oTS@DA ; f (a) g0( ) = 0: f 0 ( ) ; fg((bb)) ; (6.2.5) g(a) pRI \TOM g0 ( ) 6= 0, TAK KAK INA^E IZ (6.2.5) SLEDOWALO BY, ^TO I f 0 ( ) = 0, A PROIZWODNYE FUNKCIJ f I g NE MOGUT OBRA]ATXSQ W NULX ODNOWREMENNO. tAKIM OBRAZOM, LEWU@ I PRAWU@ ^ASTI RAWENSTWA (6.2.5) MOVNO RAZDELITX NA g0( ), ^TO PRIWODIT K (6.2.4). tEOREMA DOKAZANA. pOLU^IM NEKOTORYE SLEDSTWIQ IZ TEOREMY lAGRANVA O SREDNEM. tEOREMA 6.2.4. pUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE a b] I f 0 (x) = 0 WO WSEH TO^KAH INTERWALA (a b). tOGDA FUNKCIQ f POSTOQNNA NA OTREZKE a b]. dOKAZATELXSTWO. dLQ L@BOJ PARY TO^EK x I x IZ OTREZKA a b] PO FORMULE KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA SU]ESTWUET TAKAQ TO^KA 2 (x x ), RASPOLOVENNAQ MEVDU x I x , ^TO f (x ) ; f (x ) = f 0 ( )(x ; x ): nO TAK KAK PRINADLEVIT INTERWALU (a b), TO f 0 ( ) = 0 I, ZNA^IT, f (x ) = f (x ). tEOREMA DOKAZANA, TAK KAK TO^KI x I x BYLI PROIZWOLXNYMI TO^KAMI OTREZKA a b]. pOKAVEM, ^TO USLOWIQ \TOJ TEOREMY MOVNO NESKOLXKO OSLABITX. tEOREMA 6.2.5. pUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE a b] I f 0 (x) = 0 WO WSEH TO^KAH INTERWALA (a b) ZA ISKL@^ENIEM KONE^NOGO ^ISLA TO^EK, W KOTORYH SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ NE PREDPOLAGAETSQ. tOGDA FUNKCIQ f POSTOQNNA NA OTREZKE a b]. dOKAZATELXSTWO. pUSTX a = x0 < x1 < < xn = b | TE TO^KI, IZ OTREZKA a b], W KOTORYH PROIZWODNAQ f 0 (x) MOVET NE SU]ESTWOWATX. 110
pRIMENIW TEOREMU 6.2.4 K OTREZKAM xk;1 xk ], k = 1 : : : n, WIDIM, ^TO FUNKCIQ f (x) POSTOQNNA NA KAVDOM TAKOM OTREZKE. tAK KAK WSE TO^KI xk k = 1 : : : n ; 1, PRINADLEVAT INTERWALU (a b) I QWLQ@TSQ KONCEWYMI TO^KAMI DWUH OTREZKOW POSTOQNSTWA NEPRERYWNOJ FUNKCII f (x), TO f POSTOQNNA NA WSEM OTREZKE a b]. s POMO]X@ SHODNYH RASSUVDENIJ USTANAWLIWAETSQ SLEDU@]EE UTWERVDENIE. tEOREMA 6.2.6. pUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE a b] I W KAVDOJ TO^KE \TOGO OTREZKA, ZA ISKL@^ENIEM NE BOLEE ^EM KONE^NOGO MNOVESTWA TO^EK, IMEET PROIZWODNU@, UDOWLETWORQ@]U@ USLOWI@ jf 0(x)j 6 M: (6.2.6) tOGDA DLQ L@BYH TO^EK x x , PRINADLEVA]IH OTREZKU a b], SPRAWEDLIWA OCENKA jf (x ) ; f (x)j 6 M jx ; x j: (6.2.7) dOKAZATELXSTWO. pUSTX a = x0 < x1 < < xn = b | TE TO^KI IZ a b], W KOTORYH SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ NE PREDPOLAGAETSQ. dLQ L@BYH TO^EK x x , PRINADLEVA]IH OTREZKU xk;1 xk ], k = 1 : : : n, POLXZUQSX FORMULOJ KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA, NAHODIM, ^TO PRI NEKOTOROM 2 (x x )
jf (x) ; f (x )j = jf 0( )jjx ; x j 6 M jx ; x j: pUSTX TEPERX x 2 xi; xi ] I x 2 xj; xj ], GDE i < j . tOGDA jf (x ) ; f (x )j 6 jf (x) ; f (xi )j + j; + jf (xk; ) ; f (xk )j + jf (xj; ) ; f (x )j 1
1
1
X
PO\TOMU +M
1
k=i+1
j ;1
X
k=i+1
1
jf (x ) ; f (x)j 6 M jx ; xi j + jxk; ; xk j + M jxj; ; x j = M jx ; x j: 1
1
tEOREMA DOKAZANA. 111
fUNKCII, UDOWLETWORQ@]IE USLOWI@ WIDA (6.2.7), ^ASTO WSTRE^A@TSQ W RAZNYH WOPROSAH, ^TO DAET POWOD DLQ WWEDENIQ SLEDU@]EGO PONQTIQ. oPREDELENIE. fUNKCIQ f (x) UDOWLETWORQET NA PROMEVUTKE USLOWI@ lIPICA PORQDKA > 0, ESLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO M , ^TO DLQ L@BOJ PARY TO^EK x x IZ \TOGO PROMEVUTKA, SPRAWEDLIWA OCENKA (6.2.8) jf (x ) ; f (x )j 6 M jx ; xj : w TERMINAH MODULQ NEPRERYWNOSTI USLOWIE lIPICA ZAPISYWAETSQ TAK: !(f ) 6 M : pOKAVEM, ^TO FUNKCII, UDOWLETWORQ@]IE USLOWI@ lIPICA PORQDKA > 1, QWLQ@TSQ KONSTANTAMI. w SAMOM DELE, IZ (6.2.8) SLEDUET, ^TO f (x ) ; f (x ) 6 M jx ; x j = M jx ; x j;1 (6.2.9) x ; x jx ; x j A TAK KAK ; 1 > 0, TO IZ (6.2.9) PRI x ! x POLU^AEM f 0 (x ) = 0, ^TO W SILU TEOREMY 6.2.4 DOKAZYWAET NAE UTWERVDENIE. pO\TOMU USLOWIE lIPICA RASSMATRIWA@T TOLXKO PRI 0 < 6 1. pOKAVEM, ^TO DLQ DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ WOPROS OB IH MONOTONNOSTI NA PROMEVUTKE REAETSQ W TERMINAH ZNAKA PROIZWODNOJ. tEOREMA 6.2.7. pUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE a b] I DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (a b). tOGDA 1). USLOWIE f 0(x) > 0 NA (a b) NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, DLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f WOZRASTALA NA a b] 2). USLOWIE f 0 (x) > 0 NA (a b) DOSTATO^NO DLQ STROGOGO WOZRASTANIQ f NA a b]. dOKAZATELXSTWO. 1). eSLI FUNKCIQ y = f (x) WOZRASTAET NA a b], TO DAWAQ W PROIZWOLXNOJ TO^KE x 2 (a b) PRIRA]ENIE x, WIDIM, ^TO IZ x > 0 SLEDUET y > 0, A IZ x < 0 SLEDUET y 6 0. pO\TOMU WSEGDA y x > 0: 112
zNA^IT, PREDEL
y lim
x!0 x KOTORYJ PO USLOWI@0 SU]ESTWUET, NE MOVET BYTX OTRICATELXNYM. nAOBOROT, ESLI f (x) > 0 NA INTERWALE (a b), TO DLQ L@BOJ PARY TO^EK x1 I x2 , PRINADLEVA]IH OTREZKU a b], IZ x1 < x2 S POMO]X@
FORMULY KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA POLU^AEM f (x2 ) ; f (x1 ) = f 0 ( )(x2 ; x1 ) > 0 T.E. f (x2 ) > f (0 x1 ). 2). eSLI f (x) > 0 NA (a b), TO DLQ PROIWOLXNYH TO^EK x1 I x2 IZ a b] TAKIH, ^TO x1 < x2 , IMEEM f (x2 ) ; f (x1 ) = f 0 ( )(x2 ; x1 ) > 0 OTKUDA f (x2 ) > f (x1 ). tEOREMA DOKAZANA. zAMETIM, ^TO USLOWIE f 0 (x) > 0, BUDU^I DOSTATO^NYM DLQ STROGOGO WOZRASTANIQ FUNKCII f , NE QWLQETSQ NEOBHODIMYM. |TO WIDNO0 NA PRIMERE FUNKCII f (x) = x3 , KOTORAQ STROGO WOZRASTAET, NO f (0) = 0. iZ TEOREMY 6.2.7 WYTEKA@T SLEDU@]IE UTWERVDENIQ O FUNKCIQH, MONOTONNYH NA INTERWALE, KOTORYJ MOVET BYTX KONE^NYM ILI BESKONE^NYM. s L E D S T W I E 6.2.8.pUSTX FUNKCIQ f (x) DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (a b). tOGDA 1). USLOWIE f 0 (x) > 0 NA (a b) NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, DLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f WOZRASTALA NA (a b) 2). USLOWIE f 0 (x) > 0 NA (a b) DOSTATO^NO DLQ STROGOGO WOZRASTANIQ f NA (a b). dOKAZATELXSTWO. dLQ L@BOJ PARY TO^EK x1 , x2 TAKIH, ^TO a < x1 < x2 < b, SLED FUNKCII f NA OTREZKE x1 x2 ] UDOWLETWORQET USLOWIQM TEOREMY 6.2.7. zNA^IT, IZ0 NERAWENSTWA f 0 (x) > 0 NA x1 x2 ] SLEDUET, ^TO f (x1 ) 6 f (x2 ), A IZ f (x) > 0 NA x1 x2 ] SLEDUET f (x1 ) < f (x2 ). kAVDU@ TO^KU x 2 (a b) MOVNO POMESTITX W OTREZOK x1 x2 ] (a b), DLQ KOTOROGO TO^KA x QWLQETSQ WNUTRENNEJ, I, SOSLAWISX NA TEOREMU 6.2.7, IZ WOZRASTANIQ f NA x1 x2 ] WYWESTI, ^TO f 0 (x) > 0. pONQTNO, ^TO UTWERVDENIQ, ANALOGI^NYE TEOREME 6.2.7 I SLEDSTWI@ 6.2.8, IME@T MESTO I DLQ UBYWA@]IH FUNKCIJ. tEOREMA 6.2.9. pUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA0 NA OTREZKE a b] I DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (a b). eSLI f (x) 6= 0 DLQ WSEH x 2 (a b), TO f STROGO MONOTONNA NA a b]. 113
dOKAZATELXSTWO. w SILU TEOREMY dARBU 6.1.3 O PROMEVUTO^NYH ZNA^ENIQH, ESLI BY PROIZWODNAQ f 0 (x) PRINIMALA W NEKOTORYH TO^KAH INTERWALA (a b) ZNA^ENIQ RAZNYH ZNAKOW, TO ONA OBRA]ALASX BY W NULX W NEKOTOROJ TO^KE IZ (a b),0 ^TO PO USLOWI@0 NEWOZMOVNO. zNA^IT, WS@DU NA (a b) LIBO f (x) > 0, LIBO f (x) < 0. a TOGDA SOGLASNO TEOREME 6.2.7 FUNKCIQ f (x) NA OTREZKE a b] ILI STROGO WOZRASTAET, ILI STROGO UBYWAET. tEOREMA DOKAZANA. tEOREMA 6.2.10. pUSTX FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA NA OTREZKE x0 x0 + ], > 0, I DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (x0 x0 + ). eSLI SU]ESTWUET KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ PREDEL f 0 (x0 + 0), TO FUNKCIQ f IMEET W TO^KE x0 PRAWU@ PROIZWODNU@, SOOTWETSTWENNO KONE^NU@ ILI BESKONE^NU@, I f+0 (x0 ) = f 0 (x0 + 0): dOKAZATELXSTWO. sOGLASNO FORMULE KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA DLQ DOSTATO^NO MALYH POLOVITELXNYH h IMEEM f (x0 + h) ; f (x0 ) = f 0 (x + h) 0 < < 1: (6.2.10) 0 h pO USLOWI@ PRI h ! +0 W PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA (6.2.10) POLU^AEM PREDEL f 0 (x0 + 0). zNA^IT, SU]ESTWUET RAWNYJ EMU PREDEL WYRAVENIQ IZ LEWOJ ^ASTI (6.2.10). tEOREMA DOKAZANA. tO^NO TAKVE, ESLI f NEPRERYWNA W TO^KE x0 SLEWA I SU]ESTWUET KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ PREDEL f 0 (x0 ; 0), TO SU]ESTWET RAWNAQ \TOMU PREDELU LEWAQ PROIZWODNAQ FUNKCII f W TO^KE x0 . iZ TEOREMY 6.2.10 SLEDUET, ^TO ESLI PROIZWODNAQ FUNKCII SU]ESTWUET W KAVDOJ TO^KE NEKOTOROGO INTERWALA, TO \TA PROIZWODNAQ NE MOVET IMETX TO^EK RAZRYWA PERWOGO RODA. kROME TOGO, ESLI FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA W TO^KE x0 , DIFFERENCIRUEMA0 W PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 I SU]ESTWUET PREDEL xlim !x0 f (x), TO f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x0 I 0 f 0 (x0 ) = xlim !x0 f (x):
x 6.3.
rASKRYTIE NEOPREDELENNOSTEJ
mY UVE WSTRE^ALISX S ZADA^EJ O PREDELAH WIDA f (x) xlim !a g(x) 114
(6.3.1)
KOGDA xlim !a g(x) = 0. w \TOM SLU^AE NELXZQ PEREHODITX K PREDELU OTDELXNO W ^ISLITELE I W ZNAMENATELE. tAK BYLO, NAPRIMER, KOGDA ISKALI PREDEL lim sin x : x!0 x eSLI xlim !a f (x) 6= 0, TO PREDEL DROBI (6.3.1) BESKONE^EN. pO\TOMU INTERESEN SLU^AJ, KOGDA xlim !a f (x) = 0. gOWORQT, ^TO PREDEL (6.3.1) QWLQETSQ NEOPREDELENNOSTX@ WIDA 0=0, ESLI PREDELY ^ISLITELQ I ZNAMENATELQ \TOJ DROBI RAWNY NUL@, A NAHOVDENIE PREDELOW PODOBNOGO TIPA NAZYWA@T RASKRYTIEM NEOPREDELENNOSTEJ. tEOREMA 6.3.1. pUSTX DLQ FUNKCIJ f (x) I g(x) SPRAWEDLIWY RAWENSTWA f (a) = g(a) = 0 I SU]ESTWU@T PROIZWODNYE f 0(a) I g0 (a), PRI^EM g0 (a) 6= 0. tOGDA PREDEL (6.3.1) SU]ESTWUET I f (x) = f 0 (a) : lim (6.3.2) x!a g (x) g 0 (a) dOKAZATELXSTWO. zAMETIM, ^TO W SILU USLOWIQ g0 (a) 6= 0 FUNKCIQ g(x) STROGO MONOTONNA W TO^KE a I, TAK KAK g(a) = 0, TO W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI a FUNKCIQ g(x) NE OBRA]AETSQ W NULX. zNA^IT, W \TOJ OKRESTNOSTI DROBX f (x)=g(x) IMEET SMYSL. dLQ x 6= a f (x) = f (x) ; f (a) = f (x) ; f (a) : g(x) ; g(a) : (6.3.3) g(x) g(x) ; g(a) x;a x;a w POSLEDNEM WYRAVENII OBE DROBI IME@T PREDELY PRI x ! a, PRI^EM PREDEL DELITELQ, RAWNYJ g0 (a), OTLI^EN OT NULQ. pO\TOMU, PEREHODQ K PREDELU PRI x ! a W DROBI IZ PRAWOJ ^ASTI (6.3.3) OTDELXNO W ^ISLITELE I W ZNAMENATELE, POLU^AEM RAWENSTWO (6.3.2). tEOREMA DOKAZANA. zDESX MOVNO BYLO IMETX W WIDU ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE FUNKCIJ f I g I SOOTWETSTWU@]IJ ODNOSTORONNIJ PREDEL W (6.3.2).
tEOREMA
6.3.2 (pRAWILO lOPITALQ DLQ NEOPREDELENNOSTI 0=0). pUSTX FUNKCII f (x) I g(x) IME@T PROIZWODNYE W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI a, PRI^EM g0 (x) NE OBRA]AETSQ W \TOJ OKRESTNOSTI W NULX, xlim !a f (x) = 0 I xlim !a g(x) = 0. eSLI
SU]ESTWUET KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ PREDEL f 0 (x) lim x!a g 0 (x)
(6.3.4) 115
TO SU]ESTWUET PREDEL lim f (x)
(6.3.5)
x!a g (x)
I ZNA^ENIQ \TIH PREDELOW RAWNY, T.E. SPRAWEDLIWO RAWENSTWO f (x) = lim f 0 (x) : lim x!a g (x) x!a g 0 (x) dOKAZATELXSTWO. w ROLI \TO^KI a" ZDESX MOGUT WYSTUPATX KAK ^ISLA, TAK I BESKONE^NYE SIMWOLY +1 I ;1. bUDEM SNA^ALA S^ITATX a KONE^NYM. dOOPREDELIM (ILI PEREOPREDELIM) FUNKCII f I g W TO^KE a, POLOVIW f (a) = g(a) = 0. tOGDA \TI FUNKCII BUDUT NEPRERYWNYMI W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI a. iMEEM f (x) = f (x) ; f (a) : g(x) g(x) ; g(a) dLQ DROBI W PRAWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ TEOREMY kOI O SREDNEM. zNA^IT, PRI NEKOTOROM 2 (0 1) f (x) = f 0 (a + (x ; a)) : (6.3.6) g(x) g0 (a + (x ; a)) tAK KAK W SILU USLOWIJ TEOREMY PREDEL DROBI, STOQ]EJ W (6.3.6) SPRAWA, SU]ESTWUET, TO IZ (6.3.6) SLEDUET UTWERVDENIE TEOREMY DLQ KONE^NYH a. zAMETIM, ^TO W \TOM SLU^AE MOVNO IMETX W WIDU ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE I ODNOSTORONNIE PREDELY. rASSMOTRIM TEPERX SLU^AJ, KOGDA a | BESKONE^NYJ SIMWOL. pUSTX, NAPRIMER, a = +1. sDELAEM ZAMENU x = 1=t I WWEDEM FUNKCII '(t) := f (1=t) I (t) := g(1=t). dLQ DOSTATO^NO MALYH POLOVITELXNYH t FUNKCII '(t) I (t) DIFFERENCIRUEMY, PRI^EM 0 (t) = g0 (1=t)
; t1 6= 0:
2
dALEE, '(t) ! 0 (t) ! 0 PRI t ! +0 I '0 (t) = f 0 (1=t) ; 1 . g0 (1=t) ; 1 = f 0 (1=t). g0 (1=t): 0 (t) t2 t2 116
pO\TOMU SU]ESTWUET PREDEL '0 (t) = lim f 0 (x) : lim t!+0 0 (t) x!+1 g 0 (x) zNA^IT, PO UVE DOKAZANNOMU IMEEM '(t) = lim '0 (t) lim t!+0 (t) t!+0 0 (t) I OSTALOSX TOLXKO ZAMETITX, ^TO lim '(t) = lim f (x) : t!+0 (t) x!+1 g (x) tEOREMA DOKAZANA. pOKAVEM, ^TO SU]ESTWOWANIE PREDELA (6.3.4), BUDU^I DOSTATO^NYM DLQ SU]ESTWOWANIQ PREDELA2 (6.3.5), NE QWLQETSQ NEOBHODIMYM. dEJSTWITELXNO, PUSTX f (x) = x sin 1=x I g(x) = x. tOGDA f (x) = lim x sin 1 = 0: lim x!0 g (x) x!0 x nO PRI x ! 0 PREDEL DROBI f 0 (x) = 2x sin 1 + x2 cos 1 ; 1 = 2x sin 1 ; cos 1 g0 (x) x x x2 x x NE SU]ESTWUET.
tEOREMA
1=1).
6.3.3
(pRAWILO lOPITALQ DLQ NEOPREDELENNOSTI
pUSTX FUNKCII f (x) I g(x) IME@T PROIZWODNYE W NEKOTOROJ ODNOSTORONNEJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI a, PRI^EM g0 (x) NE OBRA]AETSQ W \TOJ OKRESTNOSTI W NULX, xlim !a f (x) = 1 I lim g ( x ) = 1 . eSLI SU]ESTWUET KONE^NYJ ILI RAWNYJ BESKONE^x!a NOSTI OPREDELENNOGO ZNAKA PREDEL f 0 (x) lim (6.3.7) x!a g 0 (x) TO SU]ESTWUET PREDEL f (x) xlim !a g(x) 117
I ZNA^ENIQ \TIH PREDELOW RAWNY, T.E. SPRAWEDLIWO RAWENSTWO f (x) = lim f 0 (x) : lim x!a g (x) x!a g 0 (x) dOKAZATELXSTWO. w \TOJ TEOREME a MOVET BYTX KAK KONE^NYM, TAK I BESKONE^NYM SIMWOLOM +1 ILI ;1. pREDELY PONIMA@TSQ KAK SOOTWETSTWU@]IE ODNOSTORONNIE PREDELY. dLQ OPREDELENNOSTI PROWEDEM RASSUVDENIQ W SLU^AE, KOGDA a | ^ISLO I x ! a +0. iZMENENIQ, KOTORYE NUVNO PROIZWESTI, ESLI a | BESKONE^NYJ SIMWOL, O^EWIDNY. bUDEM S^ITATX, ^TO MY NAHODIMSQ W STOLX MALOJ PROKOLOTOJ PRAWOJ OKRESTNOSTI TO^KI a, W KOTOROJ g I g0 NE OBRA]A@TSQ W NULX I PROIZWODNAQ f 0 SU]ESTWUET. w \TOJ OKRESTNOSTI FUNKCIQ g STROGO MONOTONNA. wWEDEM OBOZNA^ENIE f 0 (x) = K lim x!a+0 g 0 (x) I RASSMOTRIM SNA^ALA SLU^AJ, KOGDA PREDEL K KONE^EN. bEREM PROIZWOLXNOE " > 0 I NAHODIM ^ISLO x0 > a TAKOE, ^TO DLQ WSEH x 2 (a x0 ) WYPOLNQETSQ OCENKA f 0 (x) ; K < " : (6.3.8) g0 (x) 2 dLQ KAVDOGO x 2 (a x0 ) PO TEOREME kOI O SREDNEM SU]ESTWUET TO^KA 2 (x x0 ) TAKAQ, ^TO f (x) ; f (x0 ) = f 0 ( ) : g(x) ; g(x0 ) g0 ( ) tAK KAK W TO^KE SPRAWEDLIWA OCENKA (6.3.8), TO f (x ) ; f (x 0 ) ; K < " : (6.3.9) g(x) ; g(x0 ) 2 w SILU STROGOJ MONOTONNOSTI FUNKCII g IMEEM 0 < gg((xx0)) < 1 OTKUDA (6.3.10) 0 < g(x)g;(xg)(x0 ) < 1: 118
uMNOVIM OBE ^ASTI NERAWENSTWA (6.3.9) NA DROBX g(x) ; g(x0 ) : g(x) tOGDA, POLXZUQSX OCENKAMI (6.3.10), POLU^IM f (x) ; f (x0 ) ; K 1 ; g(x0 ) < " : g(x) g(x) 2 pO\TOMU SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO f (x) ; K = f (x);f (x0 ) ; K 1 ; g(x0 ) + f (x0 ) ; K g(x0 ) < g(x) g(x) g(x) g(x) g(x) " f ( x ) g ( x ) < 2 + g(x0) + K g(x0) :
pOLXZUQSX TEPERX TEM, ^TO x!lim g(x) = 1, NAHODIM > 0 TAKOE, a+0 ^TO a + < x0 I DLQ WSEH x 2 (a a + ) WYPOLNQETSQ OCENKA f (x0 ) + K g(x0 ) < " : g(x) g(x) 2 tOGDA DLQ WSEH x 2 (a a + ) IMEEM f (x) ; K < " g(x) A \TO POKAZYWAET, ^TO lim f (x) = K: x!a+0 g (x) tAKIM OBRAZOM, DLQ SLU^AQ KONE^NOGO PREDELA K TEOREMA DOKAZANA. pUSTX TEPERX K BESKONE^NO, DLQ OPREDELENNOSTI K = +1. tOGDA0 W DOSTATO^NO MALOJ PRAWOJ OKRESTNOSTI TO^KI a PROIZWODNAQ f (x) SOHRANQET ZNAK. zNA^IT, W \TOJ OKRESTNOSTI FUNKCIQ f STROGO MONOTONNA. iTAK, SU]ESTWUET TAKAQ PRAWAQ OKRESTNOSTX TO^KI a, ^TO W NEJ OBE FUNKCII f I g DIFFERENCIRUEMY, NE IME@T NULEJ I STROGO MONOTONNY. w DALXNEJEM BUDEM IMETX W WIDU TOLXKO \TU OKRESTNOSTX. iZ USLOWIQ f 0 (x) = +1 lim x!a+0 g 0 (x) 119
SLEDUET, ^TO DLQ KAVDOGO ^ISLA L SU]ESTWUET TO^KA x0 TAKAQ, ^TO DLQ WSEH x IZ (a x0 ) WYPOLNQETSQ OCENKA f 0 (x) > L: g0(x) zAPIEM DLQ x 2 (a x0 ) TOVDESTWO
f (x) = f (x) ; f (x0 ) 1 ; g(x0 ) 1 ; f (x0 ) ;1 : (6.3.11) g(x) g(x) ; g(x0 ) g(x) f (x) pO TEOREME kOI O SREDNEM SU]ESTWUET TO^KA 2 (x x0 ) TAKAQ, ^TO f (x) ; f (x0 ) = f 0 ( ) : g(x) ; g(x0 ) g0 ( ) zNA^IT, DLQ WSEH x 2 (a x0 ) IMEEM f (x) ; f (x0 ) > L: (6.3.12) g(x) ; g(x0 ) pOSKOLXKU FUNKCII f I g STROGO MONOTONNY I IH PREDELY BESKONE^NY, TO SU]ESTWUET TAKAQ PRAWAQ OKRESTNOSTX TO^KI a, ^TO DLQ WSEH x 2 (a x0 ) IZ \TOJ OKRESTNOSTI SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO ;1 1 ; gg((xx0)) 1 ; ff((xx0)) > 12 : (6.3.13) iZ (6.3.11){(6.3.13) WYTEKAET, ^TO DLQ WSEH x IZ UKAZANNOJ OKRESTNOSTI f (x) > 1 L: g(x) 2 oTS@DA lim f (x) = +1: x!a+0 g (x)
tEPERX TEOREMA POLNOSTX@ DOKAZANA. zAMETIM, ^TO ESLI W TEOREME 6.3.3 PREDEL (6.3.7) BESKONE^EN, TO ON OBQZATELXNO RAWEN ILI +1 ILI ;1. w SAMOM DELE, ESLI PREDEL (6.3.7) BESKONE^EN, TO f 0(x) NE MOVET IMETX NULEJ W SOOTWETSTWU@]EJ MALOJ OKRESTNOSTI TO^KI a. oTS@DA W SILU TEOREMY 6.2.9 0WIDIM, ^TO f STROGO MONOTONNA W UKAZANNOJ OKRESTNOSTI. zNA^IT, f (x) IMEET W NEJ OPREDELENNYJ ZNAK. tAKIM 120
OBRAZOM, I f 0 I g0 IME@T KAVDAQ SWOJ ZNAK I BESKONE^NYJ PREDEL RAWEN +1 ILI ;1. |TO ZAME^ANIE OTNOSITSQ I K ODNOSTORONNIM BESKONE^NYM PREDELAM W TEOREME 6.3.2. rASSMOTRIM NEOPREDELENNOSTI DRUGIH TIPOW. oNI WOZNIKA@T, KOGDA PRI FORMALXNOM PEREHODE K PREDELU POLU^A@TSQ WYRAVENIQ WIDA 0 1 +1 ; (+1) (+0)0 (+1)0 11 : pOKAVEM, KAK KAVDYJ IZ \TIH SLU^AEW MOVNO SWESTI, NAPRIMER, K NEOPREDELENNOSTI WIDA 0=0. pUSTX lim f (x) = 0 I lim g(x) = 1. tOGDA WMESTO PREDELA lim f (x)g(x) MOVNO RASSMATRIWATX PREDEL lim 1f=g(x(x) ) KOTORYJ QWLQETSQ NEOPREDELENNOSTX@ WIDA 0=0. eSLI lim f (x) = +1 I lim g(x) = +1, TO PREDSTAWIM RAZNOSTX \TIH FUNKCIJ W WIDE PROIZWEDENIQ f (x) ; g(x) = g(1x) ; f (1x) f (x)g(x) A PREDEL POSLEDNEGO WYRAVENIQ QWLQETSQ NEOPREDELENNOSTX@ WIDA
0 1.
nEOPREDELENNOSTI 00 , PREDSTAWLENIEM
1 , 11 OBY^NO RASKRYWA@T, POLXZUQSX 0
f (x)g(x) = eln f (x)g(x) = eg(x) ln f (x) (PRI ESTESTWENNOM USLOWII f (x) > 0). tOGDA DLQ NEOPREDELENNOSTEJ WIDA (+0)0 (+1)0 WYRAVENIE W POKAZATELE STEPENI PREOBRAZU@TSQ W 0 1, A DLQ NEOPREDELENNOSTI 11 | W 1 0. w KA^ESTWE PRIMERA NA PRIMENENIE PRAWILA lOPITALQ POSTROIM BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMU@ FUNKCI@, KOTORAQ IMEET NULX TOLXKO W ODNOJ TO^KE, A WSE EE PROIZWODNYE W \TOJ TO^KE RAWNY NUL@. pOKAVEM, ^TO \TIM SWOJSTWOM OBLADAET FUNKCIQ ;1=x2 PRI x 6= 0 '(x) := e0 PRI x = 0: (
121
pRI \TOM BUDET ISPOLXZOWATXSQ RAWENSTWO e;1=x2 = 0 (6.3.14) lim x!0 xk GDE k | PROIZWOLXNOE NATURALXNOE ^ISLO. ~TOBY USTANOWITX (6.3.14), SDELAEM ZAMENU 1=x2 = t I BUDEM IZU^ATX POLU^IWEESQ WYRAVENIE e;1=x2 = tk=2 xk et PRI t ! +1. s POMO]X@ PRAWILA lOPITALQ LEGKO UBEDITXSQ, ^TO tk=2 = 0: (6.3.15) lim t!+1 et dEJSTWITELXNO, PRI KAVDOM DIFFERENCIROWANII ZNAMENATELX OSTAETSQ BEZ IZMENENIJ, A POKAZATELX STEPENI W ^ISLITELE UMENXAETSQ NA EDINICU. pO\TOMU POSLE DOSTATO^NOGO ^ISLA DIFFERENCIROWANIJ ^ISLITELX STANET OGRANI^ENNYM I MY POLU^IM (6.3.15). pRI x 6= 0 IMEEM '0 (x) = x23 e;1=x2 A KAVDAQ 2SLEDU@]AQ PROIZWODNAQ FUNKCII '(x) RAWNA PROIZWEDENI@ e;1=x NA NEKOTORU@ LINEJNU@ KOMBINACI@ DROBEJ WIDA 1=xk . pO\TOMU W SILU (6.3.14) RAWENSTWA '(m) (0) = 0 WYPOLNQ@TSQ DLQ WSEH m = 1 2 : : : I NAE UTWERVDENIE DOKAZANO. x 6.4.
fORMULA tEJLORA
rASSMOTRIM WSPOMOGATELXNU@ ZADA^U. pUSTX FUNKCIQ f (x) IMEET W TO^KE a PROIZWODNYE DO PORQDKA m WKL@^ITELXNO. tREBUETSQ NAJTI MNOGO^LEN Q(x) STEPENI NE WYE m TAKOJ, ^TO DLQ WSEH p = 0 1 : : : m WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA f (p) (a) = Q(p) (a): bUDEM ISKATX MNOGO^LEN, Q(x) W WIDE Q(x) =
m
X
k=0
k (x ; a)k
GDE KO\FFICIENTY k NUVNO OPREDELITX. 122
nAJDEM PROIZWODNU@ MNOGO^LENA Q(x) PORQDKA p p = 0 1 : : : m: Q(p) (x) = p!p +(p +1)p : : : 2 (x ; a)+(p +2)(p +1) : : : 3 (x ; a)2 + : : : : oTS@DA Q(p) (a) = p!p : zNA^IT, DOLVNY WYPOLNQTXSQ RAWENSTWA (p) (p) p = Q p!(a) = f p!(a) p = 0 1 : : : m: tAKIM OBRAZOM, POSTAWLENNU@ ZADA^U REAET MNOGO^LEN m (k ) X Q(x) = f k!(a) (x ; a)k : (6.4.1) k=0
mNOGO^LEN Q(x), ZADANNYJ FORMULOJ (6.4.1), NAZYWA@T MNOGO^LENOM tEJLORA PORQDKA m FUNKCII f W TO^KE a. pUSTX FUNKCIQ f IMEET W TO^KE a PROIZWODNU@ PORQDKA n ; 1. sOSTAWIM RAZNOSTX FUNKCII f I EE MNOGO^LENA tEJLORA PORQDKA n ; 1: nX ;1 (k) f (x) ; f k!(a) (x ; a)k = Rn (x): k=0
rAWENSTWO
f (x) =
nX ;1 f (k) (a) k=0
k k! (x ; a) + Rn (x)
(6.4.2)
NAZYWA@T FORMULOJ tEJLORA PORQDKA n ; 1 FUNKCII f W TO^KE a, FUNKCI@ Rn (x) | OSTATO^NYM ^LENOM FORMULY tEJLORA. pO POSTROENI@ MNOGO^LENA tEJLORA W TO^KE a WSE PROIZWODNYE FUNKCII Rn (x) DO PORQDKA n ; 1 RAWNY NUL@. lEMMA 6.4.1. pUSTX FUNKCIQ f NEPRERYWNA NA OTREZKE S KONCAMI W TO^KAH a I x, IMEET WO WSEH TO^KAH \TOGO OTREZKA, ZA ISKL@^ENIEM, BYTX MOVET, TO^KI x, PROIZWODNU@ PORQDKA n ; 1 n > 1, I Rn (x) | OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY tEJLORA PORQDKA n ; 1 FUNKCII f W TO^KE a. eSLI g(x) := (x ; a)n , TO SU]ESTWUET TAKAQ TO^KA x , RASPOLOVENNAQ MEVDU a I x, ^TO Rn (x) = Rn(n;1) (x ) ; Rn(n;1)(a) : (6.4.3) g(x) n!(x ; a) 123
dOKAZATELXSTWO. tAK KAK Rn (a) = 0 I g(a) = 0, TO Rn (x) = Rn (x) ; Rn (a) : g (x ) g(x) ; g(a) k POLU^ENNOJ DROBI PRIMENIM TEOREMU kOI O SREDNEM, SOGLASNO KOTOROJ SU]ESTWUET TO^KA x1 , LEVA]AQ MEVDU TO^KAMI a I x, TAKAQ, ^TO Rn (x) = Rn0 (x1 ) : g(x) g0 (x ) 1
pOLXZUQSX TEM, ^TO Rn0 (a) = 0 I g0 (a) = 0, ZAPISYWAEM Rn0 (x1 ) = Rn0 (x1 ) ; Rn0 (a) g0 (x1 ) g0 (x1 ) ; g0 (a) I, WNOWX PRIMENIW TEOREMU kOI O SREDNEM, NAHODIM TO^KU x2 , LEVA]U@ MEVDU a I x1 , A, ZNA^IT, MEVDU TO^KAMI a I x, TAKU@, ^TO Rn0 (x1 ) = Rn00 (x2 ) : g0 (x1 ) g00 (x2 ) pRODOLVAEM \TOT PROCESS I NAHODIM TO^KU xn;1 MEVDU TO^KAMI a I x, DLQ KOTOROJ Rn (x) = Rn(n;1) (xn;1 ) : g(x) g(n;1) (xn;1 ) tEPERX, ^TOBY POLU^ITX FORMULU (6.4.3), NUVNO U^ESTX, ^TO ( n ; g 1) (x) = n!(x ; a) I Rn(n;1) (a) = 0, I POLOVITX x = xn;1 . lEMMA DOKAZANA.
tEOREMA
(fORMULA tEJLORA S OSTATO^NYM ^LENOM W FORME lAGRANVA). pUSTX FUNKCIQ f NEPRERYWNA NA OTREZKE S KONCAMI W TO^KAH a I x, IMEET NA INTERWALE S KONCAMI W \TIH TO^KAH PROIZWODNU@ PORQDKA n, n > 1, I NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ 6.4.2
PORQDKA n ; 1 W TO^KE a (ODNOSTORONN@@ SO STORONY TO^KI x). tOGDA SU]ESTWUET ^ISLO , 0 < < 1, TAKOE, ^TO SPRAWEDLIWO RAWENSTWO f (x) =
(n) k + f (a + (x ; a)) (x ; a)n ( x ; a ) k! n!
nX ;1 f (k) (a) k=0
(6.4.4)
NAZYWAEMOE FORMULOJ tEJLORA PORQDKA n ; 1 W TO^KE a S OSTATO^NYM ^LENOM W FORME lAGRANVA. 124
dOKAZATELXSTWO. pUSTX Rn (x) | OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY tEJLORA (6.4.2) FUNKCII f , RAWNYJ RAZNOSTI FUNKCII f I EE MNOGO^LENA tEJLORA PORQDKA n ; 1. zAPIEM FORMULU (6.4.3) I PRIMENIM TEOREMU kOI O SREDNEM K DROBI W PRAWOJ ^ASTI \TOJ FORMULY. tOGDA POLU^IM, ^TO MEVDU a I x SU]ESTWUET TO^KA TAKAQ, ^TO Rn (x) = Rn(n) ( ) : g(x) n! tAK KAK PROIZWODNAQ PORQDKA n OT MNOGO^LENA PORQDKA NE WYE n ; 1 RAWNA NUL@, TO Rn(n)( ) = f (n)( ). pO\TOMU, ZAPISAW W WIDE a + (x ; a), GDE 0 < < 1, POLU^IM Rn (x) = f (n)(a + (x ; a)) n1! (x ; a)n
A \TO RAWNOSILXNO (6.4.4). tEOREMA DOKAZANA. pRI n = 1 FORMULA (6.4.4) IMEET WID f (x) = f (a) + f 0 (a + (x ; a)) (x ; a) T.E. \TO | FORMULA KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA. iZ TEOREMY 6.4.2 SLEDUET, ^TO ESLI DLQ NEKOTOROGO n SPRAWEDLIWO TOVDESTWO f (n) (x) 0, TO FUNKCIQ f QWLQETSQ MNOGO^LENOM STEPENI NE WYE n ; 1. pRI n = 1 \TO UTWERVDENIE SOSTAWLQLO TEOREMU 6.2.4.
tEOREMA
(fORMULA tEJLORA S OSTATO^NYM ^LENOM W FORME pEANO). pUSTX FUNKCIQ f (x) IMEET W TO^KE a PROIZWODNU@ PORQDKA n, GDE n > 1. tOGDA SPRAWEDLIWA OCENKA 6.4.3
f (x) =
n
f (k) (a) (x ; a)k + o ((x ; a)n ) x ! a k=0 k ! X
(6.4.5)
NAZYWAEMAQ FORMULOJ tEJLORA PORQDKA n W TO^KE a S OSTATO^NYM ^LENOM W FORME pEANO. dOKAZATELXSTWO. iZ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ f (n)(a) ZAKL@^AEM, ^TO OSTATO^NYJ ^LEN Rn FORMULY tEJLORA (6.4.2) IMEET W TO^KE a PROIZWODNU@ PORQDKA n I SPRAWEDLIWO RAWENSTWO Rn(n) (a) = f (n) (a). 125
tAK KAK PROIZWODNAQ f (n;1) SU]ESTWUET W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI a, TO WYPOLNENY USLOWIQ LEMMY 6.4.1. pO\TOMU MOVNO WOSPOLXZOWATXSQ RAWENSTWOM (6.4.3) I ZAPISATX EGO PRAWU@ ^ASTX W WIDE 1 (n) 1 (n) n! Rn (a) + o (1) = n! f (a) + o (1) x ! a: tAKIM OBRAZOM, Rn (x) = f (n) (a) 1 + o (1) x ! a: g(x) n! uMNOVIW LEWU@ I PRAWU@ ^ASTI \TOJ OCENKI NA g(x), PRIHODIM K (6.4.5). tEOREMA DOKAZANA. w TEOREME 6.4.3 PROIZWODNAQ MOVET PONIMATXSQ KAK ODNOSTORONNQQ. tOGDA OCENKA (6.4.5) IMEET MESTO DLQ x IZ SOOTWETSTWU@]EJ ODNOSTORONNEJ OKRESTNOSTI TO^KI a. pRI n = 1 FORMULA (6.4.5) PRINIMAET WID f (x) = f (a) + f 0 (a)(x ; a) + o(x ; a) x ! a RAWNOSILXNYJ PREDSTAWLENI@ PRIRA]ENIQ FUNKCII ^EREZ DIFFERENCIAL. oSTATO^NYJ ^LEN W FORMULE tEJLORA ZAWISIT OT n I OT x ; a. ~ASTO FORMULOJ tEJLORA POLXZU@TSQ, KOGDA n FIKSIROWANO I x ; a ! 0 ILI KOGDA x FIKSIROWANO, A n ! 1. x fORMULA tEJLORA DLQ \LEMENTARNYH FUNKCIJ 6.5.
zAPIEM DLQ \LEMENTARNYH FUNKCIJ IH MNOGO^LENY tEJLORA I BUDEM SLEDITX ZA POWEDENIEM OSTOTO^NOGO ^LENA FORMULY tEJLORA PRI FIKSIROWANNOM x I n ! 1. pRI \TOM BUDEM POLXZOWATXSQ PREDSTAWLENIEM OSTATO^NOGO ^LENA W FORME lAGRANVA. dLQ PROSTOTY ZAPISI I PO TRADICII BUDEM RASSMATRIWATX FORMULU tEJLORA W NULE. pOKAZATELXNAQ FUNKCIQ f (x) = ex tAK KAK f (k) (x) = ex , TO f (k) (0) = 1 DLQ WSEH k. zNA^IT, 1 .
ex = 126
n 1 xk +
X
k=0 k !
e x xn+1 (n + 1)!
(6.5.1)
GDE 0 < < 1. nO DLQ KAVDOGO x IMEEM e x 6 ejxj. pO\TOMU DLQ OSTATO^NOGO ^LENA FORMULY tEJLORA (6.5.1) SPRAWEDLIWA OCENKA e x xn+1 6 jxjn+1 ejxj (n + 1)! (n + 1)!
KOTORAQ W SILU (2.5.1) POKAZYWAET, ^TO DLQ KAVDOGO x OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY tEJLORA STREMITSQ K NUL@ PRI n ! 1. pRI x = 1 IZ FORMULY (6.5.1) POLU^AEM e=
n 1
X
k=0
e k! + (n + 1)! :
(6.5.2)
pRI n = 2 IMEEM e=
1 + e < 1 + 1 + 1 + e 2 6 k=0 k ! 3! 2 X
I, ZNA^IT, e < 3. tAKIM OBRAZOM, SOGLASNO (6.5.2) SPRAWEDLIWA OCENKA 0<e;
n 1
X
3
< : k=0 k ! (n + 1)!
(6.5.3)
dROBX W PRAWOJ ^ASTI FORMULY (6.5.3) PRI n ! 1 STREMITSQ K NUL@ DOSTATO^NO BYSTRO. pO\TOMU FORMULA (6.5.2), W OTLI^IE OT OPREDELENIQ ^ISLA e, MOVET BYTX ISPOLXZOWANA DLQ NAHOVDENIQ PRIBLIVENNOGO ZNA^ENIQ e. s POMO]X@ (6.5.3) LEGKO DOKAZATX IRRACIONALXNOSTX ^ISLA e. bUDEM RASSUVDATX OT PROTIWNOGO. pREDPOLOVIM, ^TO e RACIONALXNO I (6.5.4) e= m n
GDE n > 2, TAK KAK e ZAWEDOMO NE QWLQETSQ NATURALXNYM ^ISLOM. uMNOVIW DWOJNOE NERAWENSTWO (6.5.3) NA n!, POLU^IM 0 < n! e ;
n
n! < 3 6 1: k=0 k ! n + 1 X
127
tAKIM OBRAZOM, ^ISLO n! e ;
n n! n! = (n ; 1)! m ; X k=0 k ! k=0 k ! n
X
DOLVNO PRINADLEVATX INTERWALU (0 1), wMESTE S TEM, \TO ^ISLO CELOE. pOLU^ENNOE PROTIWORE^IE DOKAZYWAET IRRACIONALXNOSTX e. 2 .
iMEEM OTKUDA
fUNKCIQ
sin
x
sin(k) x = sin x + k 2
sin(k) 0 = sin k 2:
tAKIM OBRAZOM, ZNA^ENIE PROIZWODNOJ PORQDKA k W NULE DLQ ^ETNYH k RAWNO NUL@, A DLQ NE^ETNYH k ONO RAWNO (;1)k;1 . zNA^IT, FORMULA tEJLORA PORQDKA 2n ; 1 DLQ FUNKCII sin x IMEET WID n 2k ;1 X sin x = (;1)k;1 (2xk ; 1)! + R2n;1 (x) (6.5.5) k=1 GDE DLQ OSTATO^NOGO ^LENA SPRAWEDLIWO PREDSTAWLENIE (2n+1) R2n;1 (x) = sin(2n + 1)!x x2n+1 : oTS@DA SLEDUET OCENKA 2n+1 jR2n;1 (x)j 6 (2jxnj + 1)! KOTORAQ POKAZYWAET, ^TO DLQ WSEH x OSTATO^NYJ ^LEN STREMITSQ K NUL@ PRI n ! 1. 3 .
fUNKCIQ
cos
x
w \TOM SLU^AE RASSUVDENIQ ANALOGI^NY PREDYDU]IM. tAK KAK k (k) cos x = cos x + 2
128
TO
cos(k) 0 = cos k 2:
pO\TOMU cos x =
n
X
k=0
2k
(;1)k (2xk)! + R2n (x)
(6.5.6)
GDE DLQ OSTATO^NOGO ^LENA SPRAWEDLIWA OCENKA 2n+2 jR2n (x)j 6 (2xn + 2)! : zNA^IT, OSTATO^NYJ ^LEN DLQ KAVDOGO x STREMITSQ K NUL@ PRI n ! 1. 4 .
fUNKCII
sh
xI
ch
x
tAK KAK sh(k) x = sh x DLQ ^ETNYH k I sh(k) x = ch x DLQ NE^ETNYH k, TO sh(k) 0 = 0 DLQ ^ETNYH k I sh(k) 0 = 1 DLQ NE^ETNYH k. pO\TOMU sh x =
n
x2k;1 + R (x) 2n;1 k=1 (2k ; 1)! X
(6.5.7)
GDE DLQ R2n+1 (x) SPRAWEDLIWA OCENKA
jR n; (x)j 6 ejxj (2jxnj + 1)! : 2n+1
2
1
aNALOGI^NO, ch x =
GDE
n
x2k + R (x) 2n k=0 (2k )! X
(6.5.8)
2n+2
jR n(x)j 6 ejxj (2xn + 2)! : 2
w OBOIH \TIH SLU^AQH DLQ KAVDOGO FIKSIROWANNOGO x OSTATO^NYJ ^LEN STREMITSQ K NUL@ PRI n ! 1. zAMETIM, ^TO FORMULY (6.5.7) I (6.5.8) MOVNO WYWESTI I IZ (6.5.1).
129
5 .
lOGARIFMI^ESKAQ FUNKCIQ f (x) = ln(1 + x)
zDESX W OTLI^IE OT PREDYDU]IH PRIMEROW FUNKCIQ OPREDELENA NE DLQ WSEH x, A TOLXKO PRI x > ;1. nAJDEM PROIZWODNYE FUNKCII ln(1 + x). iMEEM I PRI k > 2
f 0 (x) = 1 +1 x = (1 + x);1
: : : (;(k ; 1)) = (;1)k;1 (k ; 1)! : f (k) (x) = (;1) (;2) (1 + x)k (1 + x)k
pO\TOMU ln(1 + x) =
GDE
n
X
k=1
k
(;1)k;1 xk + Rn (x)
xn+1 Rn (x) = (;1)n (n + 1)(1 + x)n+1 0 < < 1:
(6.5.9)
(6.5.10)
oCENIM OSTATO^NYJ ^LEN (6.5.10). eSLI x 2 0 1], TO
jRn(x)j 6 n +1 1 :
(6.5.11)
pO\TOMU DLQ \TIH x OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY (6.5.9) STREMITSQ K NUL@ PRI n ! 1. eSLI x 2 ;1=2 0), TO
n+1 jxj n+1 x xn+1 < 1 ; jxj 6 1: (1 + x)n+1 = 1 + x zNA^IT, DLQ \TIH x TAKVE SPRAWEDLIWA OCENKA (6.5.11). tAKIM OBRAZOM, MY USTANOWILI, ^TO DLQ x 2 ;1=2 1] OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY (6.5.9) STREMITSQ K NUL@ PRI n ! 1. w GLAWE 16 BUDET USTANOWLENO, ^TO OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY (6.5.9) PRI n ! 1 STREMITSQ K NUL@ DLQ x 2 (;1 1], A DLQ OSTALXNYH x \TO NE TAK. pREDSTAWLENIE OSTATO^NOGO ^LENA W FORME lAGRANVA (6.5.10) NE POZWOLQET SDELATX \TOT WYWOD. 130
6 .
sTEPENNAQ FUNKCIQ f (x) = (1 + x)m
sNA^ALA RASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA m | NATURALXNOE ^ISLO. eSLI k 6 m, TO f (k) (x) = m(m ; 1) : : : (m ; k + 1)(1 + x)m;k I, ZNA^IT, f (k) (0) = m(m ; 1) : : : (m ; k + 1) = (mm;! k)! : a ESLI k > m, TO f (k) (x) 0. pO\TOMU OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY tEJLORA PORQDKA n DLQ n > m RAWEN NUL@ I m k X m (1 + x) = (mm;! k)! xk! : k=0 tAKIM OBRAZOM, DLQ WSEH x SPRAWEDLIWO RAWENSTWO m m X X (1 + x)m = (m ;mk! )!k! xk = Cmk xk (6.5.12) k=0 k=0
GDE Cmk | BINOMIALXNYE KO\FFICIENTY (5.5.1), KOTORYE U^ASTWOWALI W FORMULE lEJBNICA DLQ PROIZWODNOJ PROIZWEDENIQ DWUH FUNKCIJ. iZ RAWENSTWA (6.5.12) LEGKO WYWESTI FORMULU BINOMA nX@TONA (a + b)m =
m
X
k=0
Cmk ak bm;k
(6.5.13)
DLQ PROIZWOLXNYH ^ISEL a I b. w SAMOM DELE, DOSTATO^NO RASSMOTRETX b 6= 0, A W \TOM SLU^AE m m m k X X a m m (a + b) = b 1 + b = bm Cmk abk = Cmk ak bm;k : k=0 k=0
tOT FAKT, ^TO ^ISLA Cmk QWLQ@TSQ KO\FFICIENTAMI W PREDSTAWLENII (6.5.13), SLUVIT OSNOWANIEM DLQ NAZWANIQ IH BINOMIALXNYMI KO\FFICIENTAMI. eSLI m NE QWLQETSQ NATURALXNYM ^ISLOM, TO DLQ WSEH k f (k) (x) = m(m ; 1) : : : (m ; k + 1)(1 + x)m;k 131
I, ZNA^IT,
f (k) (0) = m(m ; 1) : : : (m ; k + 1): pO\TOMU FORMULA tEJLORA PORQDKA n IMEET WID (1 + x)m = 1 + m x + 1!
(6.5.14) + m(m2!; 1) x2 + + m(m ; 1) : :n: !(m ; n + 1) xn + Rn (x): w 16 GLAWE BUDET POKAZANO, ^TO PRI n ! 1 OSTATO^NYJ ^LEN FORMULY tEJLORA (6.5.14) DLQ jxj < 1 STREMITSQ K NUL@, DLQ jxj > 1 \TO NE TAK, A DLQ x, RAWNYH +1 I ;1, WOPROS REAETSQ W ZAWISIMOSTI OT ZNA^ENIQ m. pROSTOE WYRAVENIE MNOGO^LENA tEJLORA IMEET E]E FUNKCIQ arctg x, OB \TOM BUDET GOWORITSQ W 16 GLAWE. wYRAVENIQ MNOGO^LENOW tEJLORA DRUGIH \LEMENTARNYH FUNKCIJ SLOVNY I MY NE BUDEM NA \TOM OSTANAWLIWATXSQ. x 6.6.
iSSLEDOWANIE FUNKCIJ S POMO]X@ STARIH PROIZWODNYH
dO SIH POR SWOJSTWA FUNKCIJ HARAKTERIZOWALSX S POMO]X@ PROIZWODNYH PERWOGO PORQDKA. sEJ^AS BUDEM ISSLEDOWATX SWOJSTWA FUNKCIJ, ISPOLXZUQ STARIE PROIZWODNYE. sNA^ALA RASSMOTRIM WOPROS O LOKALXNYH \KSTREMUMAH. tEOREMA 6.6.1. pUSTX FUNKCIQ f IMEET W TO^KE x0 PROIZWODNU@ PORQDKA n n > 1, PRI^EM f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = = f (n;1)(x0 ) = 0, A f (n) (x0 ) 6= 0. tOGDA 1. eSLI n ^ETNO, TO f IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ \KSTREMUM, PRI^EM \TO MAKSIMUM, ESLI f (n) (x0 ) < 0, I MINIMUM, ESLI f (n) (x0 ) > 0. 2. eSLI n NE^ETNO, TO f STROGO MONOTONNA W TO^KE x0 . pRI \TOM f W TO^KE x0 STROGO WOZRASTAET, ESLI f (n) (x0 ) > 0, I STROGO UBYWAET, ESLI f (n)(x0 ) < 0. dOKAZATELXSTWO. zAMETIM, ^TO PRI n = 1 USLOWIE TEOREMY OZNA^AET f 0 (x0 ) 6= 0. w SILU USLOWIJ NA FUNKCI@ f (x) IZ FORMULY tEJLORA S OSTATO^NYM ^LENOM W FORME pEANO SLEDUET, ^TO (n) f (x) ; f (x0 ) = f n(!x0 ) (x ; x0 )n + o ((x ; x0 )n ) x ! x0 : (6.6.1) 132
tAK KAK f (n) (x0 ) 6= 0, TO W DOSTATO^NO MALOJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 ZNAK WYRAVENIQ W PRAWOJ ^ASTI OCENKI (6.6.1) OPREDELQETSQ PERWYM SLAGAEMYM. sEJ^AS NAS INTERESUET TOLXKO ZNAK \TOGO WYRAVENIQ PRI x, BLIZKIH K x0 , PO\TOMU SLAGAEMOE o((x;x0 )n ) MOVNO NE U^ITYWATX. pUSTX SNA^ALA n | ^ETNO. tOGDA (x ; x0 )n > 0 DLQ WSEH x 6= x0 . pO\TOMU, ESLI f (n) (x0 ) > 0, TO f (x) ; f (x0 ) > 0, T.E. f (x) > f (x0 ), DLQ x IZ DOSTATO^NO MALOJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 . a \TO OZNA^AET , ^TO f IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ MINIMUM. eSLI VE f (n) (x0 ) < 0, TO f (x) ; f (x0 ) < 0 DLQ x IZ DOSTATO^NO MALOJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , I, ZNA^IT, f IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ MAKSIMUM. pUSTX TEPERX n NE^ETNO. tOGDA (x ; x0 )n > 0 DLQ x > x0 I (x ; x0 )n < 0 DLQ x < x0 . pO\TOMU, ESLI f (n) (x0 ) > 0 I x PRINADLEVIT DOSTATO^NO MALOJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 , TO f (x) > f (x0 ), ESLI x > x0 , I f (x) < f (x0 ), ESLI x < x0 . tAKIM OBRAZOM, FUNKCIQ f (x) STROGO WOZRASTAET W TO^KE x0 . aNALOGI^NO RASSMATRIWAETSQ SLU^AJ, KOGDA f (n) (x0 ) < 0. tEOREMA DOKAZANA. tAKIM OBRAZOM, ESLI U FUNKCII W NEKOTOROJ TO^KE ESTX NERAWNAQ NUL@ PROIZWODNAQ KAKOGO-LIBO PORQDKA, TO W \TOJ TO^KE FUNKCIQ ILI IMEET STROGIJ LOKALXNYJ \KSTREMUM ILI QWLQETSQ STROGO MONOTONNOJ. tEOREMA 6.6.1 NEPRIMENIMA, ESLI FUNKCIQ NE IMEET W TO^KE OTLI^NYH OT NULQ PROIZWODNYH, T.E. ESLI WSE PROIZWODNYE DO NEKOTOROGO PORQDKA RAWNY NUL@, A PROIZWODNYE BOLEE WYSOKOGO PORQDKA NE SU]ESTWU@T, ILI ESLI PROIZWODNYE L@BOGO PORQDKA SU]ESTWU@T, NO WSE ONI RAWNY NUL@. tEOREMA 6.6.1 SFORMULIROWANA KAK DOSTATO^NOE USLOWIE SU]ESTWOWANIQ LOKALXNOGO \KSTREMUMA. nO IZ \TOJ TEOREMY MOVNO POLU^ITX I NEOBHODIMYE USLOWIQ LOKALXNOGO \KSTREMUMA, KOTORYE W ^ASTNOM SLU^AE DA@T TEOREMU fERMA 6.1.2. tEOREMA 6.6.2. pUSTX W TO^KE x0 FUNKCIQ f IMEET PROIZWODNU@ PORQDKA n n > 1, PRI^EM WSE PROIZWODNYE MENXEGO PORQDKA RAWNY NUL@, T.E. f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = = f (n;1) (x0 ) = 0. tOGDA 1 . eSLI n ^ETNO, TO USLOWIE f (n) (x0 ) 6 0 NEOBHODIMO, DLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f IMELA W TO^KE x0 LOKALXNYJ MAKSIMUM, A USLOWIE f (n) (x0 ) > 0 NEOBHODIMO, DLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f IMELA W TO^KE x0 LOKALXNYJ MINIMUM. 2 . eSLI n NE^ETNO, TO USLOWIE f (n) (x0 ) = 0 NEOBHODIMO, DLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f IMELA W TO^KE x0 LOKALXNYJ \KSTEMUM. dOKAZATELXSTWO. eSLI n ^ETNO I f (n) (x0 ) > 0, TO SOGLASNO TEOREME 6.6.1 f IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ MINIMUM. zNA^IT, 133
LOKALXNYJ MAKSIMUM WOZMOVEN TOLXKO PRI USLOWII f (n) (x0 ) 6 0. aNALOGI^NO POLU^AEM NEOBHODIMOE USLOWIE DLQ LOKALXNOGO MINIMUMA. eSLI n NE^ETNO I f (n) (x0 ) 6= 0, TO SOGLASNO TEOREME 6.6.1 f STROGO MONOTONNA W TO^KE x0 . zNA^IT, LOKALXNYJ \KSTREMUM(n)W TO^KE x0 FUNKCIQ f MOVET IMETX TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA f (x0 ) = 0. rASSMOTRIM SWOJSTWA GRAFIKOW FUNKCIJ, IME@]IH PROIZWODNYE. w x 5.2, BYLO DOKAZANO, ^TO SU]ESTWOWANIE PERWOJ PROIZWODNOJ FUNKCII f (x) W TO^KE x0 \KWIWALENTNO SU]ESTWOWANI@ U GRAFIKA FUNKCII f KASATELXNOJ W TO^KE (x0 f (x0 )). sEJ^AS NAS BUDUT INTERESOWATX HARAKTERISTIKI GRAFIKA FUNKCII, SWQZANNYE S POLOVENIEM GRAFIKA OTNOSITELXNO KASATELXNOJ. oPREDELENIE. pUSTX FUNKCIQ f IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE x0 . gOWORQT, ^TO f WYPUKLA W TO^KE x0 , ESLI DLQ x IZ NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII LEVAT NA KASATELXNOJ W TO^KE x0 ILI WYE KASATELXNOJ (T.E. NET TO^EK GRAFIKA, LEVA]IH NIVE KASATELXNOJ). eSLI VE DLQ x IZ NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII LEVAT WYE KASATELXNOJ, TO FUNKCI@ NAZYWA@T STROGO WYPUKLOJ W TO^KE x0 . oPREDELENIE. pUSTX FUNKCIQ f IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE x0 . gOWORQT, ^TO f WOGNUTA W TO^KE x0 , ESLI DLQ x IZ NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII LEVAT NA KASATELXNOJ W TO^KE x0 ILI NIVE KASATELXNOJ. eSLI VE DLQ x IZ NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII LEVAT NIVE KASATELXNOJ, TO FUNKCI@ NAZYWA@T STROGO WOGNUTOJ W TO^KE x0 . oPREDELENIE. pUSTX FUNKCIQ f IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE x0 . gOWORQT, ^TO x0 QWLQETSQ TO^KOJ PEREGIBA FUNKCII f , ESLI DLQ x IZ NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI x0 WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII DLQ x < x0 LEVAT STROGO PO ODNU STORONU OT KASATELXNOJ W TO^KE x0 , A DLQ x > x0 | STROGO PO DRUGU@ STORONU OT \TOJ KASATELXNOJ. eSLI FUNKCIQ IMEET W TO^KE BESKONE^NU@ PROIZWODNU@ OPREDELENNOGO ZNAKA, TO TAKU@ TO^KU TAKVE NAZYWA@T TO^KOJ PEREGIBA. tEOREMA 6.6.3. pUSTX W TO^KE x0 FUNKCIQ f IMEET OTLI^NU@ OT NULQ PROIZWODNU@ PORQDKA n n > 2, A WSE PROIZWODNYE, NA^INAQ SO WTOROJ DO PORQDKA n ; 1, RAWNY NUL@, T.E. f 00 (x0 ) = = f (n;1) (x0 ) = 0, A f (n) (x0 ) 6= 0. tOGDA 1 . eSLI n ^ETNO, TO f W TO^KE x0 STROGO WYPUKLA, ESLI ( n ) f (x0 ) > 0, I STROGO WOGNUTA W TO^KE x0 , ESLI f (n) (x0 ) < 0. 134
2 . eSLI n NE^ETNO, TO x0 QWLQETSQ TO^KOJ PEREGIBA FUNKCII f . dOKAZATELXSTWO. pRI n = 2 USLOWIE NA PROIZWODNYE OZN^AET, ^TO f 00 (x0 ) 6= 0.
uRAWNENIE KASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII W TO^KE x0 IMEET WID y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x ; x0 ). rASSMOTRIM FUNKCI@ '(x) := f (x) ; f (x0 ) ; f 0 (x0 )(x ; x0 ): dLQ FUNKCII '(x) WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ
'(x0 ) = '0 (x0 ) = '00 (x0 ) = = '(n;1) (x0 ) = 0: pROIZWODNYE PORQDKA n W TO^KE x0 FUNKCIJ '(x) I f (x) RAWNY MEVDU SOBOJ. pO\TOMU W SLU^AE, KOGDA n ^ETNO, SOGLASNO TEOREME 6.6.1 '(x) IMEET W TO^KE x0 STROGIJ LOKALXNYJ MINIMUM, ESLI f (n) (x0 ) > 0, I STROGIJ LOKALXNYJ MAKSIMUM, ESLI f (n)(x0 ) < 0. a TAK KAK f (x) = '(x) + f (x0 ) + f 0(x0 )(x ; x0 ) TO W TO^KE x0 FUNKCIQ f (x) STROGO WYPUKLA, ESLI f (n)(x0 ) > 0, I STROGO WOGNUTA, ESLI f (n) (x0 ) < 0. eSLI VE n NE^ETNO, TO FUNKCIQ '(x) STROGO MONOTONNA W TO^KE x0 . zNA^IT, x0 QWLQETSQ TO^KOJ PEREGIBA FUNKCII f (x). tEOREMA DOKAZANA. tAKIM OBRAZOM, W KAVDOJ TO^KE, W KOTOROJ FUNKCIQ IMEET OTLI^NU@ OT NUL@ WTORU@ PROIZWODNU@, \TA FUNKCIQ QWLQETSQ ILI STROGO WYPUKLOJ ILI STROGO WOGNUTOJ, PRI^EM PO ZNAKU WTOROJ PROIZWODNOJ MOVNO UZNATX, KAKOJ IMENNO SLU^AJ IMEET MESTO. eSLI VE WTORAQ PROIZWODNAQ RAWNA NUL@, A TRETXQ PROIZWODNAQ OTLI^NA OT NULQ, TO TAKAQ TO^KA QWLQETSQ TO^KOJ PEREGIBA. rAZUMEETSQ, FUNKCIQ MOVET IMETX TO^KI, KOTORYE NE QWLQ@TSQ EE TO^KAMI WYPUKLOSTI, WOGNUTOSTI ILI TO^KAMI PEREGIBA. nO W \TIH TO^KAH FUNKCIQ NE IMEET OTLI^NOJ OT NULQ PROIZWODNOJ PORQDKA n > 2. x 6.7.
fUNKCII WYPUKLYE NA PROMEVUTKE ,
oPREDELENIE fUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ WYPUKLOJ NA PROMEVUT-
KE a b], ESLI DLQ L@BOGO OTREZKA x1 x2 ] a b] WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII f (x), SOOTWETSTWU@]IE x 2 (x1 x2 ), LEVAT NA HORDE, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI (x1 f (x1 )) I (x2 f (x2 )), ILI NIVE \TOJ HORDY. .
135
fUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ STROGO WYPUKLOJ NA PROMEVUTKE a b], ESLI DLQ L@BOGO OTREZKA x1 x2 ] a b] WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII f (x), SOOTWETSTWU@]IE x 2 (x1 x2 ), LEVAT NIVE HORDY, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI (x1 f (x1 )) I (x2 f (x2 )). zDESX, KAK I W ANALOGI^NYH SLU^AQH NIVE, KONCEWYE TO^KI a I b MOGUT KAK PRINADLEVATX, TAK I NE PRINADLEVATX PROMEVUTKU a b]. oPREDELENIE. fUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ WOGNUTOJ NA PROMEVUTKE a b], ESLI DLQ L@BOGO OTREZKA x1 x2 ] a b] WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII f (x), SOOTWETSTWU@]IE x 2 (x1 x2 ), LEVAT NA HORDE, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI (x1 f (x1 )) I (x2 f (x2 )), ILI WYE \TOJ HORDY. fUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ STROGO WOGNUTOJ NA PROMEVUTKE a b], ESLI DLQ L@BOGO OTREZKA x1 x2 ] a b] WSE TO^KI GRAFIKA FUNKCII f (x), SOOTWETSTWU@]IE x 2 (x1 x2 ), LEVAT WYE HORDY, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI (x1 f (x1 )) I (x2 f (x2 )). y
y f выпукла
a
x1
f вогнута
x2
b
x
a
x1
x2
b
x
nARQDU S \TOJ TERMINOLOGIEJ ISPOLXZU@T I DRUGU@, KOGDA WYPUKLYE FUNKCII NAZYWA@T WYPUKLYMI WNIZ, A WOGNUTYE FUNKCII | WYPUKLYMI WWERH. oPREDELENIQ WYPUKLYH I WOGNUTYH FUNKCIJ S POMO]X@ SWOJSTW IH GRAFIKOW DA@T NAGLQDNOE PREDSTAWLENIE O TAKIH FUNKCIQH, NO \TIMI OPREDELENIQMI NEUDOBNO POLXZOWATXSQ. uKAVEM SWOJSTWA SAMIH FUNKCIJ, RAWNOSILXNYE IH WYPUKLOSTI I WOGNUTOSTI. zAMETIM, ^TO WOGNUTOSTX FUNKCII f (x) RAWNOSILXNA WYPUKLOSTI FUNKCII ;f (x). |TO POZWOLQET PRI IZU^ENII SWOJSTW WYPUKLYH I WOGNUTYH FUNKCIJ RASSMATRIWATX TOLXKO WYPUKLYE FUNKCII. fUNKCII, WYPUKLYE NA PROMEVUTKE, NE OBQZATELXNO IME@T PROIZWODNU@ WO WSEH TO^KAH \TOGO PROMEVUTKA. nAPRIMER, WYPUKLOJ QWLQETSQ FUNKCIQ jxj. pO\TOMU W NEOBHODIMYH USLOWIQH WYPUKLOSTI PROIZWODNYE NE MOGUT U^ASTWOWATX. 136
tEOREMA
6.7.1. dLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f BYLA WYPUKLOJ NA PROMEVUTKE a b], NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY DLQ L@BYH TO^EK x0 , x, t0 , t IZ \TOGO PROMEVUTKA, UDOWLETWORQ@]IH USLOWIQM x0 6 t0 < t x0 < x 6 t (6.7.1) WYPOLNQLOSX NERAWENSTWO f (x) ; f (x0 ) 6 f (t) ; f (t0 ) : (6.7.2) x ; x0 t ; t0 dLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f BYLA STROGO WYPUKLOJ NA PROMEVUTKE a b], NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY DLQ L@BYH TO^EK x0 , x, t0 , t IZ \TOGO PROMEVUTKA, UDOWLETWORQ@]IH USLOWIQM (6:7:1), WYPOLNQLOSX NERAWENSTWO f (x) ; f (x0 ) < f (t) ; f (t0 ) : (6.7.3) x ; x0 t ; t0
dOKAZATELXSTWO. pUSTX FUNKCIQ f WYPUKLA NA a b]. sNA^ALA DOKAVEM NERAWENSTWO (6.7.2) PRI t0 = x. uRAWNENIE HORDY, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI (x0 f (x0 )) I (t f (t)) GRAFIKA FUNKCII f , IMEET WID y = tt;;xx f (x0 ) + xt ;; xx0 f (t): 0 0 tAK KAK t0 = x, TO x0 < x < t I W SILU WYPUKLOSTI f IMEEM f (x) 6 tt;;xx f (x0 ) + xt ;; xx0 f (t): (6.7.4) 0 0 nO W NAEM SLU^AE MY MOVEM NAPISATX f (x) = tt;;xx f (x) + xt ;; xx0 f (t0 ): 0 0 pO\TOMU POSLE SOOTWETSTWU@]EJ GRUPPIROWKI SLAGAEMYH OCENKA (6.7.4) PREOBRAZUETSQ W RAWNOSILXNU@ EJ OCENKU f (x) ; f (x0 ) 6 f (t) ; f (x) x < x < t: (6.7.5) 0 x ; x0 t;x tAKIM OBRAZOM, PRI t0 = x NERAWENSTWO (6.7.2) DOKAZANO. 137
eSLI x < t0 , TO PRIMENIW OCENKU WIDA (6.7.5) SNA^ALA K TO^KAM x0 , x, t0 , A ZATEM K TO^KAM x, t0 , t, POLU^IM
f (x) ; f (x0 ) 6 f (t0 ) ; f (x) 6 f (t) ; f (t0 ) x ; x0 t0 ; x t ; t0 T.E. SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO (6.7.2). rASSMOTRIM OSTAWIJSQ SLU^AJ, KOGDA x0 6 t0 < x 6 t. pO ANALOGII S (6.7.4) OCENIM f (t0 ) ^EREZ f (x0 ) I f (x), A f (x) ^EREZ f (t0 ) I f (t): x0 f (t): f (t0 ) 6 xx ;; xt0 f (x0 )+ tx0 ;; xx0 f (x) f (x) 6 tt;;xx f (t0 )+ xt ; ; t0 0 0 0
sLOVIW \TI NERAWENSTWA, POSLE PRIWEDENIQ PODOBNYH SLAGAEMYH PRIHODIM K (6.7.2). iTAK, NEOBHODIMOSTX USLOWIQ (6.7.2) DLQ WYPUKLYH FUNKCIJ USTANOWLENA. dOSTATO^NOSTX \TOGO USLOWIQ WYTEKAET IZ RAWNOSILXNOSTI OCENOK (6.7.4) I (6.7.5). dOKAZATELXSTWO UTWERVDENIQ TEOREMY O STROGO WYPUKLYH FUNKCIQH PROWODITSQ ANALOGI^NO. nUVNO TOLXKO W NERAWENSTWE (6.7.4), EGO SLEDSTWIQH I ANALOGAH WMESTO 6 PISATX <. tEOREMA DOKAZANA. gEOMETRI^ESKI OCENKI (6.7.2) I (6.7.3) OZNA^A@T SRAWNENIE UGLOW NAKLONA HORDY, PROHODQEJ ^EREZ TO^KI (x0 f (x0 )) I (x f (x)), I HORDY, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI (t0 f (t0 )) I (t f (t)). y y =f (x)
x0
t0
x
t
x
tAK KAK W TEOREME 6.7.1 PRI DOKAZATELXSTWE DOSTATO^NOSTI USLOWIJ (6.7.2) I (6.7.3) ISPOLXZOWALASX TOLXKO OCENKA (6.7.4), TO IMEET MESTO SLEDU@]EE UTWERVDENIE. 138
sLEDSTWIE
6.7.2. dLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ f BYLA WYPUKLOJ NA PROMEVUTKE a b], NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY DLQ L@BYH TO^EK x0 < x < t IZ \TOGO PROMEVUTKA WYPOLNQLOSX NERAWENSTWO f (x) ; f (x0 ) 6 f (t) ; f (x) : (6.7.6) x ; x0 t;x a DLQ STROGOJ WYPUKLOSTI FUNKCII f NEOBHOLIMO I DOSTATO^NO USLOWIE f (x) ; f (x0 ) < f (t) ; f (x) x < x < t: (6.7.7) 0 x ; x0 t;x s POMO]X@ NERAWENSTWA (6.7.2) USTANAWLIWAETSQ ODNOSTORONNQQ DIFFERENCIRUEMOSTX WYPUKLYH FUNKCIJ. tEOREMA 6.7.3. eSLI FUNKCIQ f WYPUKLA NA PROMEVUTKE a b], TO W KAVDOJ WNUTRENNEJ TO^KE x0 \TOGO PROMEVUTKA SU]ESTWU@T ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE f;0 (x0 ) I f+0 (x0 ) I f;0 (x0 ) 6 f+0 (x0 ). pRI \TOM, ESLI a < x1 < x2 < b, TO f+0 (x1 ) 6 f;0 (x2 ), A DLQ STROGO WYPUKLYH FUNKCIJ f+0 (x1 ) < f;0 (x2 ). dOKAZATELXSTWO. tAK KAK x0 | WNUTRENNQQ TO^KA PROMEVUTKA a b], TO DLQ DOSTATO^NO MALYH POLOVITELXNYH h TO^KI x0 ; h I x0 + h PRINADLEVAT (a b). iZ NERAWENSTWA (6.7.6) SLEDUET, ^TO f (x0 ) ; f (x0 ; h) 6 f (x0 + h) ; f (x0 ) h > 0: (6.7.8) h h oCENKA (6.7.2) POKAZYWAET, ^TO PRI UBYWANII h DROBX IZ PRAWOJ ^ASTI NERAWENSTWA (6.7.8) UBYWAET, A DROBX IZ LEWOJ ^ASTI | WOZRASTAET. pO\TOMU, PEREHODQ W (6.7.8) K PREDELU PRI h ! +0, POLU^IM SU]ESTWOWANIE PROIZWODNYH f;0 (x0 ) I f+0 (x0 ) I NERAWENSTWO f;0 (x0 ) 6 f+0 (x0 ). oTMETIM, ^TO IZ SU]ESTWOWANIQ ODNOSTORONNIH PROIZWODNYH WYTEKAET NEPRERYWNOSTX FUNKCII f NA (a b). tO^KAMI RAZRYWA MOGUT BYTX TOLXKO KONCEWYE TO^KI PROMEVUTKA WYPUKLOSTI. pUSTX TEPERX a < x1 < x2 < b. dLQ PROIZWOLXNOJ TO^KI x 2 (x1 x2 ) IZ (6.7.6) NAHODIM f (x) ; f (x1 ) 6 f (x2 ) ; f (x) : (6.7.9) x ; x1 x2 ; x iZ (6.7.9) PRI x ! x1 + 0 POLU^AEM ; f (x1 ) f+0 (x1 ) 6 f (xx2 ) ; (6.7.10) x1 2 139
A PRI x ! x2 ; 0
f (x2 ) ; f (x1 ) 6 f 0 (x ): (6.7.11) ; 2 x2 ; x1 tAKIM OBRAZOM, f+0 (x1 ) 6 f;0 (x2 ). nAKONEC, ESLI FUNKCIQ f STROGO WYPUKLA, TO W (6.7.9) IMEEM STROGOE NERAWENSTWO. tAK KAK PRI UBYWANII x DROBX IZ LEWOJ ^ASTI (6.7.9) STROGO UBYWAET, TO WMESTO (6.7.10) POLU^IM f (x1 ) f+0 (x1 ) < f (xx2 ) ; ; x1 2 ^TO WMESTE S (6.7.11) DAET OCENKU f+0 (x1 ) < f;0 (x2 ). tEOREMA DOKAZANA. s L E D S T W I E 6.7.4. eSLI FUNKCIQ WYPUKLA NA PROMEVUTKE, TO ONA DIFFERENCIRUEMA WO WSEH WNUTRENNIH TO^KAH \TOGO PROMEVUTKA, ZA ISKL@^ENIEM NE BOLEE ^EM S^ETNOGO MNOVESTWA TO^EK. w SAMOM DELE, DLQ KAVDOJ WNUTRENNEJ TO^KI x0 PROMEVUTKA WYPUKLOSTI FUNKCII f , W KOTOROJ f;0 (x0 ) < f+0 (x0 ),0 MOVNO0 NAJTI RACIONALXNOE ^ISLO, PRINADLEVA]EE INTERWALU (f; (x0 ) f+ (x0 )). zNA^IT, MO]NOSTX MNOVESTWA TO^EK NEDIFFERENCIRUEMOSTI NE MOVET PREWYATX MO]NOSTI MNOVESTWA RACIONALXNYH ^ISEL. wYPUKLOSTX FUNKCIJ, IME@]IH PERWU@ PROIZWODNU@, HARAKTERIZUETSQ W TERMINAH MONOTONNOSTI PROIZWODNOJ. tEOREMA 6.7.5. pUSTX FUNKCIQ f (x) DIFFERENCIRUEMA NA INTERWALE (a b). tOGDA DLQ WYPUKLOSTI f (x) NA (a b) NEOBHODIMO I DOSTATO^NO WOZRASTANIE PROIZWODNOJ f 0 (x), A DLQ STROGOJ WYPUKLOSTI f (x) NEOBHODIMO I DOSTATO^NO STROGOE WOZRASTANIE PROIZWODNOJ f 0 (x). dOKAZATELXSTWO. sOGLASNO TEOREME 6.7.3, ESLI DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ WYPUKLA NA (a b), TO EE PROIZWODNAQ WOZRASTAET. a W SLU^AE STROGOJ WYPUKLOSTI FUNKCII PROIZWODNAQ STROGO WOZRASTAET. tAKIM OBRAZOM, USLOWIQ TEOREMY NEOBHODIMY. 0 dOKAVEM, ^TO IZ WOZRASTANIQ PROIZWODNOJ f (x) NA (a b) SLEDUET WYPUKLOSTX f (x). rASSMOTRIM PROIZWOLXNYE TRI TO^KI x1 x x2 , TAKIE, ^TO a < x1 < x < x2 < b. pOLXZUQSX FORMULOJ KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA, NAHODIM TO^KI 1 2 (x1 x) I 2 2 (x x2 ), DLQ KOTORYH WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA f (x) ; f (x1 ) = f 0 ( ) 1 x ; x1 140
I
f (x2 ) ; f (x) = f 0 ( ): 2 x2 ; x tOGDA IZ f 0 ( 1 ) 6 f 0 ( 2 ) SLEDUET, ^TO
f (x) ; f (x1 ) 6 f (x2 ) ; f (x) x ; x1 x2 ; x A IZ f 0 ( 1 ) < f 0 ( 2 ) SLEDUET
f (x) ; f (x1 ) < f (x2 ) ; f (x) : x ; x1 x2 ; x oTS@DA SOGLASNO SLEDSTWI@ 6.7.2 POLU^AEM WYPUKLOSTX I, SOOTWETSTWENNO, STROGU@ WYPUKLOSTX FUNKCII f (x) NA (a b). tEOREMA DOKAZANA. eSLI FUNKCIQ f IMEET WTORU@ PROIZWODNU@ f 00 , TO, ISPOLXZUQ E]E SLEDSTWIE 6.2.8, PRIHODIM K SLEDU@]EMU UTWERVDENI@ O SWQZI WYPUKLOSTI FUNKCII SO ZNAKOM EE WTOROJ PROIZWODNOJ. tEOREMA 6.7.6. pUSTX FUNKCIQ f (x) IMEET WTORU@ PROIZWODNU@ NA INTERWALE (a b). tOGDA 1 . uSLOWIE f 00 (x) > 0 NA (a b) NEOBHODIMO I DOSTATO^NO DLQ WYPUKLOSTI FUNKCII f (x) 2 . eSLI f 00 (x) > 0 NA (a b), TO FUNKCIQ f (x) STROGO WYPUKLA NA (a b). zAMETIM, ^TO W TEOREME 6.7.6 USLOWIE f 00 (x) > 0 NE QWLQETSQ NEOBHODIMYM DLQ STROGOJ WYPUKLOSTI FUNKCII f (x). |TO WIDNO NA PRIMERE FUNKCII x4 , U KOTOROJ WTORAQ PROIZWODNAQ 12x2 OBRA]AETSQ W NULX W TO^KE x = 0, HOTQ \TA FUNKCIQ STROGO WYPUKLA NA WSEJ OSI3, ^TO SLEDUET IZ STROGOGO WOZRASTANIQ EE PERWOJ PROIZWODNOJ 4x . rEZULXTATY \TOJ GLAWY, POZWOLQ@T WYSKAZATX SLEDU@]IE REKOMENDACII PO POSTROENI@ GRAFIKOW FUNKCIJ f , IME@]IH WTORU@ PROIZWODNU@. sNA^ALA NAHODIM PROMEVUTKI, GDE f 0 (x) > 0 I f 0 (x) < 0, I NULI PERWOJ PROIZWODNOJ. |TO POKAZYWAET PROMEVUTKI MONOTONNOSTI I TO^KI, W KOTORYH FUNKCIQ MOVET IMETX LOKALXNYE \KSTREMUMY. pO WTOROJ PROIZWODNOJ NAHODIM TO^KI, KOTORYE MOGUT BYTX TO^KAMI PEREGIBA, I PROMEVUTKI WYPUKLOSTI I WOGNUTOSTI. gLOBALXNYE \KSTREMUMY NAHODQT, SRAWNIWAQ ZNA^ENIQ LOKALXNYH \KSTREMUMOW MEVDU SOBOJ I SO ZNA^ENIQMI FUNKCII W KONCAH PROMEVUTKA. 141
x 6.8.
tEOREMA
nEKOTORYE KLASSI^ESKIE NERAWENSTWA
6.8.1 (nERAWENSTWO iENSENA). pUSTX FUNKCIQ f (x) WYPUKLA NA OTREZKE a b]. tOGDA DLQ L@BYH TO^EK x1 x2 : : : xn , n > 2P , IZ a b] I L@BYH POLOVITELXNYH ^ISEL 1 2 : : : n TAKIH, ^TO nk=1 k = 1, SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO
f
n
X
k=1
k xk 6
n
X
k=1
k f (x k )
(6.8.1)
NAZYWAEMOE NERAWENSTWOM iENSENA. dOKAZATELXSTWO. pROWEDEM INDUKCI@ PO n. dOKAVEM SNA^ALA NERAWENSTWO (6.8.1) PRI n = 2. pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI x1 < x2 . rASSMOTRIM TO^KU x = 1 x1 + 2 x2 , ONA LEVIT MEVDU x1 I x2 . hORDA, SOEDINQ@]AQ TO^KI GRAFIKA FUNKCII (x1 f (x1 )) I (x2 f (x2 )), IMEET URAWNENIE y = xx2 ;;xx f (x1 ) + xx ;;xx1 f (x2 ): 2 1 2 1
zNA^IT, W SILU WYPUKLOSTI FUNKCII f SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO f (x) = f (1 x1 + 2 x2 ) 6 xx2 ;;xx f (x1 ) + xx ;;xx1 f (x2 ): (6.8.2) 2 1 2 1 nAJDEM ZNA^ENIE DROBI x2 ; x = x2 ; 1 x1 ; 2 x2 = x2 (1 ; 2 ) ; x1 1 = : 1 x2 ; x1 x2 ; x1 x2 ; x1 aNALOGI^NO, x ; x1 = 1 x1 + 2 x2 ; x1 = : 2 x2 ; x1 x2 ; x1 tAKIM OBRAZOM, IZ (6.8.2) POLU^AEM f (1 x1 + 2 x2 ) 6 1 f (x1 ) + 2 f (x2 ) T.E. DLQ n = 2 TEOREMA DOKAZANA. pREDPOLOVIM TEPERX, ^TO PRI n = m NERAWENSTWO (6.8.1) UVE USTANOWLENO I DOKAVEM EGO DLQ n = m + 1. 142
wWEDEM OBOZNA^ENIQ :=
tAK KAK
m
X
k=1
k := k k = 1 2 : : : m:
k
m
X
k=1
k = 1
TO PO PREDPOLOVENI@ INDUKCII f
m
X
k=1
k xk 6
m
X
k=1
k f (xk ):
(6.8.3)
pOLXZUQSX TEM, ^TO + m+1 = 1, NERAWENSTWOM (6.8.1) PRI n = 2 I OCENKOJ (6.8.3), POLU^AEM f
mX +1 k=1
k xk = f
+m+1 f (xm+1 ) 6
m
X
k=1 m X k=1
k xk + m+1 xm+1 6 f
k f (xk ) + m+1 f (xm+1 ) =
m
X
k=1 mX +1 k=1
k xk + k f (xk )
I MY PRILI K NERAWENSTWU (6.8.1) PRI n = m + 1. tEOREMA DOKAZANA. eSLI FUNKCIQ f (x) WOGNUTA NA OTREZKE a b], TO PRI TEH VE USLOWIQH NA TO^KI xk I ^ISLA k NERAWENSTWO iENSENA IMEET WID f
n
X
k=1
k xk >
n
X
k=1
k f (xk ):
(6.8.4)
s POMO]X@ NERAWENSTWA iENSENA LEGKO DOKAZYWAETSQ SLEDU@]EE UTWERVDENIE. lEMMA 6.8.2. pUSTX p > 1 I q | SOPRQVENNOE S p ^ISLO, T.E. 1 + 1 = 1:
(6.8.5) p q tOGDA DLQ L@BYH POLOVITELXNYH ^ISEL c I d SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO
c d 6 1p cp + 1q dq :
(6.8.6) 143
dOKAZATELXSTWO. tAK KAK FUNKCIQ ln x WOGNUTA NA (0 +1), A ^ISLA p I q SWQZANY RAWENSTWOM (6.8.5), TO SOGLASNO NERAWENSTWU iENSENA (6.8.4)
ln 1p cp + 1q dq > p1 ln cp + 1q ln dq = ln c d:
oTS@DA W SILU STROGOJ MONOTONNOSTI LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII WYTEKAET OCENKA (6.8.6). tEOREMA 6.8.3 (nERAWENSTWO g ELXDERA). pUSTX p > 1 I q | SOPRQVENNOE S p ^ISLO. tOGDA DLQ L@BYH 2n NEOTRICATELXNYH ^ISEL a1 : : : an , b1 : : : bn SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO n
X
k=1
ak bk 6
n
X
k=1
apk
1
n =p X k=1
bqk
=q
1
(6.8.7)
NAZYWAEMOE NERAWENSTWOM gELXDERA. dOKAZATELXSTWO. eSLI WSE ^ISLA ak ILI WSE ^ISLA bk RAWNY NUL@, TO NERAWENSTWO (6.8.7) O^EWIDNO. pO\TOMU BUDEM S^ITATX, ^TO I SREDI ak I SREDI bk ESTX OTLI^NYE OT NULQ ^ISLA. dLQ KAVDOGO k WWEDEM ^ISLA ck := ak
n
X
i=1
api
=p
1
dk := bk
n
X
i=1
bqi
=q
1
I ZAPIEM DLQ NIH OCENKU (6.8.6): ck dk 6 p1 apk
n
X
i=1
api + 1q bqk
n
X
i=1
bqi :
sLOVIM POLU^ENNYE NERAWENSTWA: n
X
k=1
ck dk 6 p1 + 1q = 1:
pODSTAWIW S@DA WYRAVENIQ ^ISEL ck I dk , PRIHODIM K NERAWENSTWU (6.8.7).
tEOREMA DOKAZANA. oTMETIM WAVNYJ ^ASTNYJ SLU^AJ TEOREMY 6.8.3, SOOTWETSTWU@]IJ p = 2. w \TOM SLU^AE q = 2. 144
tEOREMA
6.8.4 (nERAWENSTWO kOI{bUNQKOWSKOGO). dLQ L@BYH 2n ^ISEL a1 : : : an , b1 : : : bn SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO
n
X
k=1
ak bk 6
n
X
k=1
a2k
n
=
1 2 X
k=1
b2k
=
1 2
(6.8.8)
NAZYWAEMOE NERAWENSTWOM kOI{bUNQKOWSKOGO. zDESX OPU]ENO TREBOWANIE NEOTRICATELXNOSTI ^ISEL ak bk . kONE^NO, OT \TOGO TREBOWANIQ MOVNO BYLO OTKAZATXSQ I pW NERAWENSTWE (6.8.7), ESLI ZAMENITX W PRAWOJ EGO ^ASTI ak NA jak jp I bqk g ELXDERA q NA jbk j . pRI n = 3 NERAWENSTWO kOI{bUNQKOWSKOGO MOVNO ISTOLKOWATX KAK OCENKU MODULQ SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ WEKTOROW (a1 a2 a3 ) I (b1 b2 b3 ) ^EREZ DLINY \TIH WEKTOROW (S^ITAEM, ^TO ak I bk | KOMPONENTY WEKTOROW W ORTONORMIROWANNOM BAZISE). tEOREMA 6.8.5 (nERAWENSTWO mINKOWSKOGO). pUSTX ^ISLA a1 : : : an , b1 : : : bn NEOTRICATELXNY I p > 1. tOGDA SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO
n
X
k=1
(ak + bk )p
=p
1
6
n
X
k=1
apk
1
=p
+
n
X
k=1
bpk
=p
1
(6.8.9)
NAZYWAEMOE NERAWENSTWOM mINKOWSKOGO. dOKAZATELXSTWO. zAPIEM TOVDESTWO n
X
k=1
(ak + bk )p =
n
X
k=1
ak (ak + bk )p;1 +
n
X
k=1
bk (ak + bk )p;1
I PRIMENIM K KAVDOJ IZ SUMM W EGO PRAWOJ ^ASTI NERAWENSTWO g ELXDERA: n
X
(ak + bk )p 6
k=1
+
n
X
1
n =p X
k=1 1=p n X
k=1
bpk
n
X
apk
(ak + bk )q(p;1)
(ak + bk )q(p;1)
=q
1
=q
1
+
=
k=1 k=1 n 1=p n 1=p n 1=q X X X = apk + bpk (ak + bk )p : k=1 k=1 k=1
rAZDELIW OBE ^ASTI POLU^ENNOGO NERAWENSTWA NA 145
n
X
k=1
(ak + bk )p
=q
1
PRIHODIM K (6.8.9). tEOREMA DOKAZANA. oTMETIM ^ASTNYJ SLU^AJ NERAWENSTWA (6.8.9), SOOTWETSTWU@]IJ p = 2:
n
X
k=1
(ak + bk )
2
=
1 2
6
n
X
k=1
ak 2
=
1 2
+
n
X
k=1
bk 2
=
1 2
:
(6.8.10)
pRI n = 3 NERAWENSTWO (6.8.10) MOVNO ISTOLKOWATX KAK OCENKU DLINY SUMMY WEKTOROW (a1 a2 a3 ) I (b1 b2 b3) ^EREZ DLINY SAMIH \TIH WEKTOROW. w SWQZI S \TIM NERAWENSTWO (6.8.10) I NERAWENSTWO mINKOWSKOGO (6.8.9) NAZYWA@T NERAWENSTWOM TREUGOLXNIKA. w DALXNEJEM MY UWIDIM, ^TO NERAWENSTWA (6.8.1), (6.8.7), (6.8.9) QWLQ@TSQ ^ASTNYMI SLU^AQMI BOLEE OB]IH NERAWENSTW, KOTORYE NOSQT TE VE NAZWANIQ.
gLAWA
7
kriwye w trehmernom prostranstwe x wEKTORNOZNA^NYE FUNKCII 7.1.
dO SIH POR RASSMATRIWALISX FUNKCII, ZNA^ENIQMI KOTORYH BYLI DEJSTWITELXNYE ^ISLA, HOTQ WO MNOGIH SLU^AQH ZNA^ENIQMI MOGLI BYTX I KOMPLEKSNYE ^ISLA. nO PONQTIE FUNKCII IMEET O^ENX OB]IJ HARAKTER I IH ZNA^ENIQMI (KAK I ARGUMENTAMI) MOGUT BYTX OB_EKTY PROIZWOLXNOJ PRIRODY. w SWQZI S IZU^ENIEM KRIWYH BUDUT NUVNY WEKTORNOZNA^NYE FUNKCII ^ISLOWOGO ARGUMENTA, T.E. FUNKCII, ARGUMENTAMI KOTORYH QWLQ@TSQ ^ISLA, A ZNA^ENIQMI | WEKTORY TREHMERNOGO PROSTRANSTWA. tAKIE FUNKCII NAZYWA@T E]E WEKTOR-FUNKCIQMI. w TEH SLU^AQH, KOGDA RASSMATRIWA@TSQ I FUNKCII, ZNA^ENIQMI KOTORYH QWLQ@TSQ WEKTORY, I FUNKCII, ZNA^ENIQMI KOTORYH QWLQ@TSQ ^ISLA, PERWYE NAZYWA@T WEKTORNYMI, A WTORYE | SKALQRNYMI. bUDEM S^ITATX, ^TO TREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE ZAFIKSIROWANA NEKOTORAQ DEKARTOWA PRQMOUGOLXNAQ SISTEMA KOORDINAT. tOGDA MEVDU WEKTORAMI r I UPORQDO^ENNYMI TROJKAMI ^ISEL 146
(x y z ) | KOMPONENTAMI WEKTOROW | USTANAWLIWAETSQ WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE. zADANIE NA OTREZKE ^ISLOWOJ PRQMOJ a b] WEKTORNOZNA^NOJ FUNKCII r(t) RAWNOSILXNO ZADANI@ NA a b] TREH SKALQRNYH FUNKCIJ x(t) y(t) z (t). dLQ WEKTOR-FUNKCIJ WWODQTSQ PONQTIQ PREDELA, NEPRERYWNOSTI, PROIZWODNOJ. pRI \TOM BLIZOSTX ZNA^ENIJ FUNKCII r(t1 ) I r(t2 ) PONIMAETSQ KAK MALOSTX DLINY WEKTORA RAZNOSTI r(t1 ) ; r(t2 ). pRIWEDEM OPREDELENIE PREDELA WEKTOR-FUNKCII PO kOI. oPREDELENIE. wEKTOR r0 NAZYWAETSQ PREDELOM FUNKCII r(t) W TO^KE t0 , ESLI \TA FUNKCIQ OPREDELENA W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI t0 I DLQ KAVDOGO POLOVITELXNOGO " SU]ESTWUET > 0 TAKOE, ^TO DLQ WSEH ZNA^ENIJ t IZ PROKOLOTOJ -OKRESTNOSTI TO^KI
t0 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jr(t) ; r0j < ": oBOZNA^A@T PREDEL WEKTORNOZNA^NOJ FUNKCII KAK I PREDELY SKALQRNYH FUNKCIJ: r0 = tlim !t0 r(t):
eSLI r(t) = (x(t) y(t) z (t)) I r0 = (x0 y0 z0 ), TO
jr(t) ; r j = 0
(x(t) ; x0 )2 + (y(t) ; y0 )2 + (z (t) ; z0)2 :
p
|TA FORMULA POKAZYWAET, ^TO SU]ESTWOANIE PREDELA lim r(t) = r0 RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ TREH PREDELOW lim x(t) = x0 , lim y(t) = y0 , lim z (t) = z0 . pREDELY WEKTORNYH FUNKCIJ OBLADA@T MNOGIMI SWOJSTWAMI PREDELOW SKALQRNYH FUNKCIJ. nAPRIMER, ESLI FUNKCIQ r(t) IMEET PREDEL W TO^KE t0 , TO W NEKOTOROJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI t0 FUNKCIQ r(t) OGRANI^ENA, T.E. OGRANI^ENY DLINY WEKTOROW r(t). pERE^ISLIM SWOJSTWA PREDELOW, SWQZANNYE S DEJSTIQMI NAD WEKTOR-FUNKCIQMI. pUSTX WEKTORNYE FUNKCII r1 (t), r2 (t) I SKALQRNAQ FUNKCIQ (t) IME@T PREDELY PRI t ! t0 . tOGDA PRI t ! t0 SU]ESTWU@T SLEDU@]IE PREDELY I DLQ NIH WYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA: lim (r1 (t) r2 (t)) = lim r1 (t) lim r2 (t) lim (t) r(t) = lim (t) lim r(t) ; ; lim r1 (t) r2 (t) = lim r1 (t) lim r2 (t) lim r1 (t) r2 (t) = lim r1 (t) lim r2 (t) : 147
|TI SWOJSTWA MOVNO WYWESTI IZ SWOJSTW PREDELOW SKALQRNYH FUNKCIJ, PEREHODQ K SOOTWETSTWU@]IM RAWENSTWAM DLQ KOMPONENT WEKTOROW. nO MOVNO PROWESTI RASSUVDENIQ DLQ WEKTORNOZNA^NYH FUNKCIJ. pRIWEDEM DLQ PRIMERA DOKAZATELXSTWO UTWERVDENIQ O PEREHODE K PREDELU W SKALQRNOM PROIZWEDENII. pUSTX r1 := lim r1 (t) I r2 := lim r2 (t). tOGDA (r1 (t) r2 (t)) ; (r1 r2 ) = (r1 (t) r2 (t) ; r2 ) + (r1 (t) ; r1 r2 ): pO\TOMU ; ; r1 (t) r2 (t) ; r1 r2 6 r1 (t) r2 (t) ; r2 + r1 (t) ; r1 r2 : oTS@DA W SILU OGRANI^ENNOSTI FUNKCII r1 (t) W DOSTATO^NO MALOJ PROKOLOTOJ OKRESTNOSTI TO^KI, W KOTOROJ BERETSQ PREDEL, WYTEKAET TREBUEMAQ OCENKA. nEPRERYWNOSTX WEKTOR-FUNKCIJ WWODITSQ PO ANALOGII S NEPRERYWNOSTX@ SKALQRNYH FUNKCIJ. fUNKCIQ r(t) NAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ W TO^KE t0 , ESLI lim r(t) = r(t0 ): t!t0 iZ SWOJSTW PREDELOW SLEDUET, ^TO NEPRERYWNOSTX WEKTORNOZNA^NYH FUNKCIJ RAWNOSILXNA NEPRERYWNOSTI TREH SKALQRNYH FUNKCIJ | KOMPONENT WEKTOROW. a OPERACII SLOVENIQ I WY^ITANIQ WEKTOROW, UMNOVENIQ WEKTORA NA SKALQR, SKALQRNOGO I WEKTORNOGO UMNOVENIQ WEKTOROW, PROIZWEDENNYE NAD NEPRERYWNMI WEKTORFUNKCIQMI, DA@T NEPRERYWNYE WEKTOR-FUNKCII. pROIZWODNAQ WEKTORNOZNA^NOJ FUNKCII r(t) OPREDELQETSQ KAK PREDEL r(t + t) ; r(t) r0 (t) = lim t!0 t ESLI \TOT PREDEL SU]ESTWUET. pONQTNO, ^TO SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ r0 (t) RAWNOSILXNO SU]ESTWOWANI@ PROIZWODNYH x0 (t), y0 (t) I z 0(t). pRI \TOM r0 (t) = (x0 (t) y0 (t) z 0 (t)). eSLI FUNKCIQ r(t) IMEET PROIZWODNU@ W TO^KE ILI NA PROMEVUTKE, TO \TU FUNKCI@ NAZYWA@T DIFFERENCIRUEMOJ SOOTWETSTWENNO W TO^KE ILI NA PROMEVUTKE. oTMETIM FORMULU DLQ PROIZWODNOJ SLOVNOJ FUNKCII. pUSTX NA OTREZKE ] ZADANA DIFFERENCIRUEMAQ SKALQRNAQ FUNKCIQ t = ( ), ZNA^ENIQ KOTOROJ PRINADLEVAT OTREZKU a b], 148
I NA a b] ZADANA DIFFERENCIRUEMAQ WEKTORNAQ FUNKCIQ r(t). tOGDA SLOVNAQ FUNKCIQ R( ) := r(( )) DIFFERENCIRUEMA NA ] I SPRAWEDLIWA FORMULA R0 = r0t 0 : dOKAZATX \TO PRO]E WSEGO, RASSMATRIWAQ KOMPONENTY WEKTORNYH FUNKCIJ. zAMETIM, NAKONEC, ^TO ANALOGI^NO DA@TSQ OPREDELENIQ ODNOSTORONNIH PREDELOW, ODNOSTORONNEJ NEPRERYWNOSTI I ODNOSTORONNIH PROIZWODNYH. mNOGIE SWOJSTWA PROIZWODNYH SKALQRNYH FUNKCIJ LEGKO PERENOSQTSQ NA PROIZWODNYE WEKTORYH FUNKCIJ. nAPRIMER, IZ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ W TO^KE SLEDUET NEPRERYWNOSTX FUNKCII W \TOJ TO^KE. kROME TOGO, DLQ PROIZWODNYH IME@T MESTO SLEDU@]IE RAWENSTWA: (r1 (t) r2 (t))0 = r01 (t) r02 (t) ((t) r(t))0 = 0 (t) r(t) + (t) r0 (t) ; ; ; r1 (t) r2 (t) 0 = r01 (t) r2 (t) + r1 (t) r02 (t) r1 (t) r2 (t) 0 = r01 (t) r2 (t) + r1 (t) r02 (t) : zDESX, KAK I W SKALQRNOM SLU^AE, PREDPOLAGAETSQ, ^TO SU]ESTWU@T PROIZWODNYE, ZAPISANNYE SPRAWA, I UTWERVDAETSQ SU]ESTWOWANIE PROIZWODNYH, ZAPISANNYH SLEWA, I SPRAWEDLIWOSTX RAWENSTW. nO TAKOE WAVNOE SWOJSTWO KAK FORMULA KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA PRQMOGO ANALOGA W WEKTORNOM SLU^AE NE IMEET. w SAMOM DELE, RASSMOTRIM FUNKCI@ r(t) := (cos t sin t), ZNA^ENIQMI KOTOROJ QWLQ@TSQ DWUMERNYE WEKTORY. tOGDA r(2) ; r (0) = 0. nO jr0 (t)j = 1, TAK KAK r0 (t)=(; sin t cos t). zNA^IT, NI DLQ KAKOGO NE MOVET WYPOLNQTXSQ RAWENSTWO r(2) ; r(0) = r0 ( )(2 ; 0): tEM NE MENEE ODNO IZ OSNOWNYH SLEDSTWIJ FORMULY KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA IMEET MESTO I DLQ WEKTORNOZNA^NYH FUNKCIJ. tEOREMA 7.1.1. pUSTX FUNKCIQ r(t) NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA NA OTREZKE a b] I M := maxt2 ab] jr0 (t)j. tOGDA SPRAWEDLIWA OCENKA
jr(b) ; r(a)j 6 M (b ; a):
(7.1.1) 149
dOKAZATELXSTWO. eSLI r(b) = r(a), TO OCENKA (7.1.1) O^EWIDNA. pO\TOMU BUDEM S^ITATX r(b) ; r(a) 6= 0. pOLOVIM r(a) e := jrr((bb)) ; ; r(a)j : tOGDA jej = 1 I ; ; ; r(b) ; r(a) = r(b) ; r(a) e = r(b) e ; r(a) e : wWEDEM FUNKCI@ ; f (t) := r(t) e : |TA SKALQRNAQ FUNKCIQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA NA a b]. pO\TOMU SOGLASNO FORMULE KONE^NYH PRIRA]ENIJ lAGRANVA SU]ESTWUET TO^KA 2 (a b) TAKAQ, ^TO f (b) ; f (a) = f 0 ( )(b ; a): nO jf 0( )j = (r0( ) e) 6 jr0( )j 6 M: tAKIM OBRAZOM, jr(b) ; r(a)j 6 M (b ; a): tEOREMA DOKAZANA. x 7.2.
dLINA KRIWOJ
pUSTX NA OTREZKE a b] ZADANA NEPRERYWNAQ FUNKCIQ r(t), ZNA^ENIQMI KOTOROJ QWLQ@TSQ WEKTORY TREHMERNOGO EWKLIDOWA PROSTRANSTWA E 3 . bUDEM S^ITATX, ^TO W E 3 ZAFIKSIROWANA DEKARTOWA PRQMOUGOLXNAQ SISTEMA KOORDINAT I r(t) = (x(t) y(t) z (t)). rASSMOTRIM TO^KI M (t) := (x(t) y(t) z (t)), RADIUSAMI-WEKTORAMI KOTORYH QWLQ@TSQ WEKTORY r(t), t 2 a b]. pOLU^ENNOE MNOVESTWO TO^EK BUDEM NAZYWATX NEPRERYWNOJ KRIWOJ ; W E 3 I PISATX ; := fr(t) t 2 a b]g: (7.2.1) kAVDOMU ZNA^ENI@ PARAMETRA t SOOTWETSTWUET TO^KA M (t) NA KRIWOJ ;. kOGDA t PROBEGAET OTREZOK a b], WOZRASTAQ OT a K b, KRIWAQ ; SLUVIT TRAEKTORIEJ DWIVENIQ TO^KI M (t) I WOZRASTANIE t ZADAET NAPRAWLENIE DWIVENIQ PO KRIWOJ. gOWORQT, ^TO \TIM NA KRIWOJ ; ZADAETSQ ORIENTACIQ. 150
eSLI PARAMETR t BUDET IZMENQTXSQ OT b K a, TO POLU^IM TU VE KRIWU@ ;, NO S PROTIWOPOLOVNYM NAPRAWLENIEM DWIVENIQ (S PROTIWOPOLOVNOJ ORIENTACIEJ). qSNO, ^TO NEPRERYWNAQ KRIWAQ MOVET BYTX ZADANA RAZNYMI NEPRERYWNYMI WEKTOR-FUNKCIQMI. nAPRIMER, ESLI SDELATX ZAMENU ARGUMENTA t PO FORMULE t = ( ), GDE ( ) | NEPRERYWNAQ STROGO WOZRASTA@]AQ FUNKCIQ, OTOBRAVA@]AQ OTREZOK ] NA a b], TO POLU^IM TU VE KRIWU@ (7.2.1), ZADANNU@ TEPERX FORMULOJ ; := fr (( )) 2 ]g: pRI \TOM W SILU WOZRASTANIQ FUNKCII ORIENTACIQ NA KRIWOJ ; SOHRANITSQ. eSLI VE WZQTX FUNKCI@ NEPRERYWNOJ I STROGO UBYWA@]EJ, TO POLU^IM KRIWU@ ; S PROTIWOPOLOVNOJ ORIENTACIEJ. oPREDELIM DLINU KRIWOJ. zDESX PONADOBITSQ PONQTIE LOMANOJ. pUSTX ZADANY TO^KI M0 , M1 : : : Mn. sOEDINIW IH POSLEDOWATELXNO OTREZKAMI S KONCAMI W TO^KAH Mk;1 I Mk , k = 1 2 : : : n, POLU^IM LOMANU@, KOTORAQ QWLQETSQ NEPRERYWNOJ KRIWOJ. dLINU \TOJ LOMANOJ OPREDELIM KAK SUMMU DLIN SOSTAWLQ@]IH EE OTREZKOW Mk;1 Mk . pUSTX ZADANA NEPRERYWNAQ KRIWAQ ; := fr(t) t 2 a b]g. wWEDEM RAZBIENIE T OTREZKA a b] TO^KAMI tk : a = t0 < t1 < < tn = b: pOSTROIM LOMANU@ S WERINAMI W TO^KAH Mk = M (r(tk )), k = = 0 1 : : : n. tAKU@ LOMANU@ NAZYWA@T WPISANNOJ W KRIWU@ ;. dLINU POLU^ENNOJ LOMANOJ OBOZNA^IM T . oPREDELENIE. dLINOJ NEPRERYWNOJ KRIWOJ ; NAZYWAETSQ WERHNQQ GRANX DLIN WPISANNYH W NEE LOMANYH: S; := sup T : (7.2.2) T zDESX sup PONIMAETSQ KAK TO^NAQ WERHNQQ GRANX, ESLI ONA SU]ESTWUET, I KAK +1, ESLI WELI^INY T NE OGRANI^ENY. oPREDELENIE DLINY KRIWOJ NE ZAWISIT OT FUNKCII r(t), S POMO]X@ KOTOROJ KRIWAQ ZADANA, POSKOLXKU W OPREDELENII DLINY U^ASTWU@T TOLXKO LOMANYE, WPISANNYE W KRIWU@. qSNO, ^TO WSEGDA 0 6 S; 6 +1. eSLI S; < +1, TO KRIWAQ ; NAZYWAETSQ SPRQMLQEMOJ. eSLI S; = +1, KRIWU@ NAZYWA@T NESPRQMLQEMOJ. tEOREMA 7.2.1. pUSTX ZADANY NEPRERYWNAQ KRIWAQ ; := fr(t) t 2 a b]g I TO^KA c 2 (a b). pOLOVIM ;1 := fr(t) t 2 a c]g ;2 := fr(t) t 2 c b]g: 151
tOGDA S; = S;1 + S;2 :
(7.2.3)
dOKAZATELXSTWO. zAMETIM, ^TO SPRQMLQEMOSTX KRIWYH NE PREDPOLAGAETSQ I, KAK OBY^NO, SUMMA ^ISLA I +1 S^ITAETSQ RAWNOJ +1. dLQ PROIZWOLXNOGO RAZBIENIQ T OTREZKA a b] POSTROIM RAZBIENIE T , POLU^ENNOE PUTEM DOBAWLENIQ K T TO^KI c, ESLI EE TAM NE BYLO. qSNO, ^TO PRI \TOM DLINA WPISANNOJ W ; LOMANOJ NE MOVET UMENXITSQ, T.E. T 6 T . pUSTX T1 I T2 | TE RAZBIENIQ OTREZKOW a c] I c b], KOTORYE POROVDA@TSQ RAZBIENIEM T . tOGDA DLINY LOMANYH T , T1 I T2 , WPISANNYH SOOTWETSTWENNO W KRIWYE ;, ;1 I ;2 , SWQZANY RAWENSTWOM T = T1 + T2 . pO\TOMU T 6 T1 + T2 : zAMENIW W PRAWOJ ^ASTI \TOJ OCENKI DLINY LOMANYH NA DLINY SOOTWETSTWU@]IH KRIWYH, POLU^IM T 6 S;1 + S;2 : (7.2.4) tEPERX, WZQW W LEWOJ ^ASTI OCENKI (7.2.4) WERHN@@ GRANX PO RAZBIENIQM T OTREZKA a b], NAHODIM S; 6 S;1 + S;2 : (7.2.5) uSTANOWIM DLQ S; OCENKU SNIZU: S; > S;1 + S;2 : (7.2.6) eSLI S; = +1, TO OCENKA (7.2.6) O^EWIDNA. pO\TOMU NUVNO RASSMOTRETX SLU^AJ, KOGDA S; < +1. pUSTX T1 I T2 | PROIZWOLNYE RAZBIENIQ OTREZKOW a c] I c b] SOOTWETSTWENNO I T | POROVDENNOE IMI RAZBIENIE OTREZKA a b]. tOGDA T = T1 + T2 , OTKUDA T1 = T ; T2 I, ZNA^IT, T1 6 S; ; T2 : pOLXZUQSX TEM, ^TO PRAWAQ ^ASTX \TOGO NERAWENSTWA NE ZAWISIT OT RAZBIENIQ T1 , PEREHODIM W LEWOJ ^ASTI K WERHNEJ GRANI PO RAZBIENIQM T1 : S;1 6 S; ; T2 152
OTKUDA SLEDUET, ^TO
T2 6 S; ; S;1 : wYRAVENIE W PRAWOJ ^ASTI \TOGO NERAWENSTWA QWLQETSQ FIKSIROWANNYM ^ISLOM. pO\TOMU, ZAMENIW LEWU@ ^ASTX NERAWENSTWA NA WERHN@@ GRANX WELI^IN T2 PO RAZBIENIQM T2 , POLU^IM S;2 6 S; ; S;1 I MY PRILI K (7.2.6). iZ (7.2.5) I (7.2.6) WYTEKAET RAWENSTWO (7.2.3) I TEOREMA DOKAZANA. sWOJSTWO DLINY KRIWOJ, WYRAVENNOE RAWENSTWOM (7.2.3), NAZYWA@T ADDITIWNOSTX@: DLINA OB_EDINENIQ DWUH KRIWYH RAWNA SUMME DLIN \TIH KRIWYH. x 7.3.
gLADKE KRIWYE
mOVNO POKAZATX, NO NE BUDEM NA \TOM OSTANAWLIWATXSQ, ^TO ESLI W OPREDELENII KRIWOJ NA FUNKCI@ r(t) NE NAKLADYWATX NIKAKIH USLOWIJ, KROME NEPRERYWNOSTI, TO W KA^ESTWE NEPRERYWNYH KRIWYH MOVNO POLU^ITX MNOVESTWA TO^EK, NE SOOTWETSTWU@]IE INTUITIWNYM PREDSTAWLENIQM O KRIWOJ KAK O \TONKOJ NITI". pO\TOMU W DALXNEJEM BUDUT RASSMATRIWATXSQ BOLEE UZKIE KLASSY KRIWYH. oPREDELENIE. kRIWAQ ; := fr(t) t 2 a b]g (7.3.1) NAZYWAETSQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ, ESLI FUNKCIQ r(t) IMEET NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ NA OTREZKE a b]. eSLI FUNKCIQ r(t) NEPRERYWNA I IMEET KUSO^NO NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@, TO KRIWAQ (7.3.1) NAZYWAETSQ KUSO^NO NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ. tEOREMA 7.3.1. nEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMAQ KRIWAQ (7:3:1) SPRQMLQEMA I DLQ EE DLINY SPRAWEDLIWY OCENKI q
GDE
m2x + m2y + m2z (b ; a) 6 S; 6 Mx2 + My2 + Mz2 (b ; a) (7.3.2) q
mx := t2min jx0 (t)j Mx := tmax jx0 (t)j ab] 2 ab]
I ANALOGI^NO OPREDELQ@TSQ WELI^INY my My mz Mz . 153
dOKAZATELXSTWO. dLQ PROIZWOLXNOGO RAZBIENIQ T OTREZKA a b] a = t0 < t1 < < tn = b IMEEM T = = =
n
n
X
k=1
jr(tk ) ; r(tk; )j = 1
x(tk ) ; x(tk;1 )]2 + y(tk ) ; y(tk;1 )]2 + z (tk ) ; z (tk;1 )]2 =
Xp
k=1 n
(tk ;tk;1 ) x0 ( k )]2 + (tk ;tk;1 ) y0 ( k )]2 + (tk ;tk;1 ) z 0(k )]2
Xp
k=1
GDE k , k , k | NEKOTORYE TO^KI IZ (a b). oTS@DA T =
n
(tk ; tk;1 ) x0 ( k )]2 + y0 ( k )]2 + z 0 (k )]2 :
X
k=1
p
pEREHODQ ZDESX K MINIMALXNYM I MAKSIMALXNYM NA a b] ZNA^ENIQM MODULEJ PROIZWODNYH, POLU^AEM q q m2x + m2y + m2z (b ; a) 6 T 6 Mx2 + My2 + Mz2 (b ; a): iZ \TIH OCENOK WYTEKAET (7.3.2) I, W ^ASTNOSTI, SPRAMLQEMOSTX KRIWOJ ;. tEOREMA DOKAZANA. oCENKA (7.3.2) SPRAWEDLIWA I DLQ KUSO^NO NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYH KRIWYH. dOKAZATELXSTWO OSTAETSQ TEM VE, ESLI ZAMETITX, ^TO W OPREDELENII DLINY KRIWOJ (7.2.2) MOVNO RASSMATRIWATX TOLXKO TAKIE RAZBIENIQ T , SREDI TO^EK KOTORYH SODERVATSQ WSE TO^KI, GDE U FUNKCII r(t) NET PROIZWODNOJ. oPREDELENIE. pUSTX KRIWAQ ; := fr( ) 2 a b]g (7.3.3) SPRQMLQEMA I ;(t) := fr( ) 2 a t]g | ^ASTX KRIWOJ ;, SOOTWETSTWU@]AQ IZMENENI@ PARAMETRA OT a DO t 6 b. dLINOJ DUGI KRIWOJ ; NAZYWAETSQ FUNKCIQ s(t) := S;(t) t 2 a b]: 154
tEOREMA
7.3.2. eSLI KRIWAQ (7:3:3) NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA, TO DLINA DUGI s(t) MONOTONNO WOZRASTAET, IMEET NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ I SPRAWEDLIWO RAWENSTWO ds = px0 (t)]2 + y0 (t)]2 + z 0(t)]2 = dr(t) : (7.3.4) dt dt
dOKAZATELXSTWO. wOZRASTANIE FUNKCII s(t) SLEDUET IZ OPREDELENIQ DLINY DUGI. |TOT FAKT WEREN DLQ L@BOJ SPRQMLQEMOJ KRIWOJ. rASSMOTRIM OTNOENIE PRIRA]ENIQ FUNKCII s(t) K PRIRA]ENI@ ARGUMENTA s= t. w SILU WOZRASTANIQ FUNKCII s(t) DLQ WSEH t IMEEM s > 0: (7.3.5) t wYBEREM TO^KU t0 2 (a b) I PRI ZADANNOM PRIRA]ENII ARGUMENTA t RASSMOTRIM ^ASTX KRIWOJ, SOOTWETSTWU@]U@ IZMENENI@ ARGUMENTA t W PREDELAH t0 t0 + t], ESLI t > 0, I t0 + t t0 ], ESLI t < 0. zDESX S^ITAETSQ, ^TO t DOSTATO^NO MALO I MY NE WYHODIM ZA PREDELY OTREZKA a b]. w SILU TEOREMY 7.3.1 DLQ PRIRA]ENIQ FUNKCII s(t), SOOTWETSTWU@]EGO \TOMU PRIRA]ENI@ ARGUMENTA t, SPRAWEDLIWY OCENKI SWERHU I SNIZU m2x + m2y + m2z j tj 6 j sj 6 Mx2 + My2 + Mz2 j tj
q
q
(7.3.6)
GDE mx Mx I OSTALXNYE PODOBNYE WELI^INY | \TO MINIMUMY I MAKSIMUMY MODULEJ PROIZWODNYH KOMPONENT WEKTORA r(t) NA DANNOM OTREZKE IZMENENIQ ARGUMENTA t. iZ (7.3.6) I (7.3.5) NAHODIM q s 6 qM 2 + M 2 + M 2 m2x + m2y + m2z 6 x y z t I, PEREHODQ K PREDELU PRI t ! 0, W SILU NEPRERYWNOSTI PROIZWODNOJ r0 (t) POLU^AEM (7.3.4). |TI RASSUVDENIQ OHWATYWA@T I SLU^AJ, KOGDA t0 QWLQETSQ ODNOJ IZ KONCEWYH TO^EK OTREZKA a b]. tEOREMA DOKAZANA. oPREDELENIE. kRIWAQ ; := fr(t) t 2 a b]g 155
NAZYWAETSQ GLADKOJ, ESLI ONA NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA I r0 (t) 6= 0 DLQ WSEH t 2 a b]. kRIWAQ NAZYWAETSQ KUSO^NO GLADKOJ, ESLI ONA NEPRERYWNA I QWLQETSQ OB_EDINENIEM KONE^NOGO ^ISLA GLADKIH KRIWYH. eSLI KRIWAQ ; QWLQETSQ GLADKOJ, TO W KAVDOJ TO^KE0 t0 2 0a b] OTLI^NA OT NULQ PO KRAJNEJ MERE ODNA IZ PROIZWODNYH x (t0 ), y (t0 ), z 0(t0 ). pUSTX DLQ OPREDELENNOSTI x0 (t0 ) 6= 0. tOGDA W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI t0 PROIZWODNAQ x0 (t) SOHRANQET ZNAK I, SLEDOWATELXNO, FUNKCIQ x(t) STROGO MONOTONNA. zNA^IT, W \TOJ OKRESTNOSTI x(t) IMEET OBRATNU@ FUNKCI@ t = t(x), KOTORAQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMA. pO\TOMU W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI SOOTWETSTWU@]EJ TO^KI KRIWOJ SAMU KRIWU@ MOVNO ZADATX URAWNENIQMI y = y(t(x)), z = z (t(x)), T.E. URAWNENIQMI WIDA y = g(x), z = h(x). oSOBENNO PROSTO \TO WYGLQDIT DLQ PLOSKIH KRIWYH. tOGDA z 0 I URAWNENIE SOOTWETSTWU@]EGO KUSKA GLADKOJ KRIWOJ IMEET WID y = g(x). pRI \TOM FUNKCIQ g(x) IMEET NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@. tAKIM OBRAZOM, PLOSKAQ GLADKAQ KRIWAQ W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI KAVDOJ EE TO^KI PREDSTAWLQET SOBOJ GRAFIK NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII. rASSMOTRIM GLADKU@ KRIWU@ ; := fr(t) t 2 a b]g. wEKTOR r(t) = r(t0 + t) ; r(t0 ) t t LEVIT NA SEKU]EJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI KRIWOJ, SOOTWETSTWU@]IE ZNA^ENIQM t, RAWNYM t0 + t I t0 . dLQ KAVDOGO t \TOT WEKTOR NAPRAWLEN W STORONU WOZRASTANIQ PARAMETRA t. tAK KAK SU]ESTWUET NENULEWOJ PREDEL lim r(t)
t!0 t TO \TOT WEKTOR OPREDELQET PREDELXNOE POLOVENIE SEKU]EJ, KOTOROE NAZYWA@T KASATELXNYM NAPRAWLENIEM. pRQMU@, PARALLELXNU@ WEKTORU r0 (t0 ), PROHODQ]U@ ^EREZ TO^KU, RADIUSOM-WEKTOROM KOTOROJ QWLQETSQ r(t0 ), NAZYWA@T KASATELXNOJ K KRIWOJ ; W TO^KE r(t0 ). w PRIMENENII K GRAFIKU NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII TAKOE OPREDELENIE KASATELXNOJ SOWPADAET S TEM, KOTOROE BYLO DANO W x 5.2. eSLI KRIWAQ ; := r(t) t 2 a b]g QWLQETSQ GLADKOJ, TO jr0 (t)j > 0 I SOGLASNO TEOREME 7.3.2 DLQ FUNKCII DLINY DUGI s(t) IMEEM s0 (t) > 0. pO\TOMU FUNKCIQ s(t) QWLQETSQ STROGO MONOTONNOJ I EE MOVNO WZQTX W KA^ESTWE PARAMETRA W OPREDELENII KRIWOJ. 156
tOGDA ; MOVNO RASSMATRIWATX KAK KRIWU@, ZADANU@ WEKTORNOJ FUNKCIEJ r(t(s)). iZMENIW OBOZNA^ENIQ, POLU^IM ; := fr(s) s 2 0 S; ]g PRI^EM dr(s) = ds = 1: ds ds tAKIM OBRAZOM, PRI s ! 0
r s
! 1:
gEOMETRI^ESKI \TO OZNA^AET, ^TO DLINA HORDY, SOEDINQ@]EJ DWE TO^KI GLADKOJ KRIWOJ, BLIZKA DLINE ^ASTI KRIWOJ, OGRANI^ENNOJ \TIMI TO^KAMI.
157
sODERVANIE wWEDENIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gLAWA 1. dEJSTWITELXNYE ^ISLA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : x 1.1. bESKONE^NYE DESQTI^NYE DROBI . . . . . . . . . . . . . x 1.2. sRAWNENIE ^ISEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1.3. tO^NAQ WERHNQQ I TO^NAQ NIVNQQ GRANI ^ISLOWYH MNOVESTW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1.4. sLOVENIE ^ISEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1.5. uMNOVENIE ^ISEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 1.6. nEPRERYWNOSTX MNOVESTWA DEJSTWITELXNYH ^ISEL . . x 1.7. pOSLEDOWATELXNOSTI WLOVENNYH OTREZKOW . . . . . . . x 1.8. s^ETNYE I NES^ETNYE MNOVESTWA . . . . . . . . . . . . gLAWA 2. pREDEL POSLEDOWATELXNOSTI : : : : : : : : : : : : : : : : : : : x 2.1. oPREDELENIE PREDELA POSLEDOWATELXNOSTI . . . . . . . x 2.2. sWOJSTWA PREDELOW, SWQZANNYE S NERAWENSTWAMI . . . . x 2.3. aRIFMETI^ESKIE SWOJSTWA PREDELOW . . . . . . . . . . . x 2.4. bESKONE^NO MALYE I BESKONE^NO BOLXIE POSLEDOWATELXNOSTI . . . . . . . . . . . . . . . x 2.5. pREDEL MONOTONNOJ POSLEDOWATELXNOSTI . . . . . . . . x 2.6. ~ISLO e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 2.7. pODPOSLEDOWATELXNOSTI. tEOREMA bOLXCANO{wEJERTRASSA . . . . . . . . . . . . x 2.8. kRITERIJ kOI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gLAWA 3. pREDEL FUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : x 3.1. pONQTIE FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 3.2. oPREDELENIE PREDELA FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . x 3.3. sWOJSTWA PREDELA FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . x 3.4. kRITERIJ kOI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 3.5. pREDEL SLOVNOJ FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . . x 3.6. oDNOSTORONNIE PREDELY . . . . . . . . . . . . . . . . . x 3.7. sRAWNENIE FUNKCIJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gLAWA 4. nEPRERYWNYE FUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : x 4.1. nEPRERYWNOSTX FUNKCII W TO^KE . . . . . . . . . . . . x 4.2. kLASSIFIKACIQ TO^EK RAZRYWA . . . . . . . . . . . . . . x 4.3. sWOJSTWA FUNKCIJ, NEPRERYWNYH NA OTREZKE . . . . . x 4.4. rAWNOMERNAQ NEPRERYWNOSTX FUNKCIJ . . . . . . . . . x 4.5. nEPRERYWNOSTX OBRATNOJ FUNKCII . . . . . . . . . . . x 4.6. pOKAZATELXNAQ FUNKCIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3 4
4 7
12 16 19 20 21 24 28
28 30 32 34 35 37 38 43
44
44 46 50 53 54 55 57
59
59 61 63 66 68 71
x 4.7. |LEMENTARNYE FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 4.8. wY^ISLENIE NEKOTORYH PREDELOW . . . . . . . . . . . .
gLAWA
pROIZWODNYE I DIFFERENCIALY : : : : : : : : : : : : : :
75 80
x 5.1. pROIZWODNAQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 5.2. dIFFERENCIAL FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . . x 5.3. pROIZWODNAQ OBRATNOJ FUNKCII . . . . . . . . . . . . . x 5.4. pROIZWODNAQ SLOVNOJ FUNKCII . . . . . . . . . . . . . x 5.5. pROIZWODNYE I DIFFERENCIALY WYSIH PORQDKOW . .
83
x 6.1. wOZRASTANIE I UBYWANIE FUNKCII W TO^KE . . . . . . . x 6.2. tEOREMY O SREDNEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 6.3. rASKRYTIE NEOPREDELENNOSTEJ . . . . . . . . . . . . . . x 6.4. fORMULA tEJLORA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 6.5. fORMULA tEJLORA DLQ \LEMENTARNYH FUNKCIJ . . . . x 6.6. iSSLEDOWANIE FUNKCIJ S POMO]X@ STARIH PROIZWODNYH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 6.7. fUNKCII, WYPUKLYE NA PROMEVUTKE . . . . . . . . . . . x 6.8. nEKOTORYE KLASSI^ESKIE NERAWENSTWA . . . . . . . . . .
105
x 7.1. wEKTORNOZNA^NYE FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . x 7.2. dLINA KRIWOJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 7.3. gLADKE KRIWYE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
gLAWA
gLAWA
5.
6.
7.
sWOJSTWA DIFFERENCIRUEMYH FUNKCIJ : : : : :
kRIWYE W TREHMERNOM PROSTRANSTWE : : : : : : : :
83 91 94 97 99
105 108 114 122 126 132 135 142
146 150 153
159
s. a. tELQKOWSKIJ kURS LEKCIJ PO MATEMATI^ESKOMU ANALIZU. I SEMESTR M., iZDATELXSTWO cENTRA PRIKLADNYH ISSLEDOWANIJ PRI MEHANIKOMATEMATI^ESKOM FAKULXTETE mgu, 160 STR.
pODPISANO W PE^ATX 31.05.2002 G. fORMAT 60 90 1/16. oB_EM 10,0 P.L. zAKAZ 14 tIRAV 350 \KZ. iZDATELXSTWO cpi PRI MEHANIKO-MATEMATI^ESKOM FAKULXTETE mgu mOSKWA, lENINSKIE GORY. lICENZIQ NA IZDATELXSKU@ DEQTELXNOSTX id 04059, OT 20.02.2001 G. oTPE^ATANO NA TIPOGRAFSKOM OBORUDOWANII MEHANIKO-MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA I fRANKO-RUSSKOGO CENTRA IM. a. m. lQPUNOWA.
