Математика: Курс лекций для технических университетов. Части 1 и 2

Федеральное агентство по образованию ГОУВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»

А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко

МАТЕМАТИКА Курс лекций для технических университетов Части 1 и 2

Екатеринбург 2005

УДК ББК

51/075.8 22.1я73 С54

Рецензенты: зав. кафедрой физики УГЛУ, доктор физ-мат. наук, проф. М.П. Кащенко, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН, доктор физ-мат. наук, проф. А.П. Танкеев

С 54

А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко Математика: Курс лекций для технических вузов / А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2005. 359 с. ISBN 5-321-00532-Х

Курс лекций по дисциплине ЕН.Ф.01 «Математика» предназначен для студентов, изучающих данную дисциплину в объеме 540 – 800 часов в течение 4 семестров. Содержание лекций соответствует ГОС и рабочим программам технических специальностей. Первая часть включает 16 лекций и содержит материал, обычно изучаемый в первом семестре, – линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, основы математического анализа (функции, пределы, производная). Вторая часть включает 16 лекций и содержит материал, обычно изучаемый во втором семестре, – исследование функций, неопределенный и определенный интегралы, дифференциальные уравнения, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Электронная версия книги, используемая в аудиториях, сопровождается дополнительным иллюстративным материалом. Наряду с курсом лекций существуют пособия, рассматривающие решение типичных задач и способствующие усвоению понятий и методов. ББК 51 (075.8) УДК 22.1я 73 ISBN

5-321-00532-Х

© ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университете – УПИ», 2005 © А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко, 2005

ПРЕДИСЛОВИЕ

Курс лекций предназначен для студентов технических университетов и состоит из четырех частей, в которых излагается теоретический материал курса математики для инженеров. В первой части излагаются следующие разделы: линейная алгебра, аналитическая геометрия, начала математического анализа (теория пределов и дифференцирование). Во второй части излагаются следующие разделы: исследование функций, неопределенный и определенный интегралы, дифференциальные уравнения, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных В начале каждой лекции приведены заголовки разделов. В совокупности эти заголовки образуют программу дисциплины и являются базой вопросов для тестовых и экзаменационных заданий. Звездочкой помечены разделы, предназначенные для более глубокого изучения. В конце каждой лекции приведен список ключевых понятий. В лекциях студент найдет основные определения, формулировки теорем, примеры, демонстрирующие методы решения типичных задач. Если отсутствуют доказательства каких–либо утверждений, то формулировки результатов сопровождаются примерами, разъясняющими их смысл. В тексте приняты следующие условные обозначения: О

определение

Т

теорема

С

следствие

!

замечание

Лекции 1-2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ В лекциях 1 – 2 излагаются элементы линейной алгебры, в них приведены первоначальные сведения о матрицах и определителях и их применении. Матричное исчисление широко применяется в различных областях математики (решение систем линейных уравнений, векторная алгебра, дифференциальные уравнения, теория вероятности), механики, электротехники, теоретической физики и т.д. Матричное исчисление позволяет в компактной форме получить решение реальных задач, содержащих большое количество переменных. 1.1. 1.2.* 1.3.* 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Понятие матрицы. Частные виды матриц Перестановки и подстановки Понятие определителя любого порядка Определители второго и третьего порядка Свойства определителей Теорема о разложении определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителя n-го порядка 1.7.1. Метод понижения порядка 1.7.2. Метод сведения к треугольному виду Операции над матрицами Обратная матрица. Теорема о существовании левой и правой обратной матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы Решение матричных уравнений Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров. Элементарные преобразования матриц

Ниже будут использоваться сокращенные способы записи сумм и произведений большого количества элементов: n

∑a j =1

j

= a1 + a2 + … + an ,

n

∏a

j

= a1 ⋅ a2 ⋅… ⋅ an .

j =1

1.1. Понятие матрицы. Частные виды матриц О

Матрицей размерности m × n называется прямоугольная таблица чисел aij

A = aij

m ,n

= (aij ) m ,n

⎛ a11 a12 ⎜a a22 = ⎜ 21 ⎜ ... ... ⎜⎜ ⎝ am1 am 2

... a1n ⎞ ... a2 n ⎟⎟ , ... ... ⎟ ⎟ ... amn ⎟⎠

6

Лекции 1-2

где i = 1,..., m; j = 1,..., n , расположенных в m строках и n столбцах. Числа aij называют элементами матрицы. Числа i, j - индексы элемента матрицы, указывающие его местоположение: i - номер строки, j - номер столбца. Число элементов матрицы m × n определяется как произведение числа строк m на число столбцов n .

Частные виды матриц О

Нулевой матрицей ∅ размерности m × n называется матрица, все эле⎛0 0 0⎞ менты которой равны нулю, например: ∅ = ⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎟ . ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠

О

Матрица размерности 1 × n называется матрицей-строкой или просто строкой, например: B = ( 2 1 7,3 )1,3 .

О

Матрица размерности m × 1 называется матрицей-столбцом или просто ⎛ 7 ⎞ столбцом, например: C = ⎜⎜ 3,5 ⎟⎟ . ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠3,1

О

Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу столбцов, m = n . Число n называется порядком матрицы, например при n=3: ⎛ 3 1 2⎞ D = ⎜⎜ 0 7 0 ⎟⎟ . ⎜4 5 1⎟ ⎝ ⎠3,3

О

Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, составленная из чисел a11 , a22 ,..., ann , идущая из левого верхнего угла в правый нижний; побочной называется диагональ, идущая из правого верхнего угла в левый нижний:

.

7

Определители и матрицы

О

Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие выше и ниже главной диагонали, равны нулю:

⎛6 0 0 ⎞ A = ⎜⎜ 0 2 0 ⎟⎟ . ⎜ 0 0 −11⎟ ⎝ ⎠ О

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю:

⎛ 4 1 2⎞ D = ⎜⎜ 0 7 5 ⎟⎟ - верхняя треугольная матрица; ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠

⎛ 3 0 0⎞ D = ⎜⎜ 6 −2 0 ⎟⎟ - нижняя треугольная матрица. ⎜ 4 −8 1 ⎟ ⎝ ⎠ О

Квадратная диагональная матрица с единичными элементами называется единичной и обозначается буквой Е. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид:

⎛1 0 0⎞ E = ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ . ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ О

Транспонированием матрицы называется преобразование, состоящее в замене строк столбцами с сохранением их номеров. Таким образом, строки данной матрицы будут в той же последовательности столбцами транспонированной матрицы, и наоборот. ⎛ 1 2 3⎞ A=⎜ ⎟, 4 5 6 ⎝ ⎠

⎛1 4⎞ AT = ⎜⎜ 2 5 ⎟⎟ . ⎜ 3 6⎟ ⎝ ⎠

В случае квадратной матрицы транспонирование сводится к повороту матрицы на 180˚ вокруг главной диагонали.

8

Лекции 1-2

1.2. * Перестановки и подстановки О

Перестановкой n символов a1 , a2 ,..., an называется любое расположение этих символов в определенном порядке. Так как данные n символов можно занумеровать числами 1,2,...,n , то изучение перестановок любых n символов сводится к изучению перестановок этих чисел. Число всех перестановок из n чисел равно n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n (читается: « n -факториал»). Пример: Все перестановки чисел 1, 2, 3 имеют вид: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Число их 3! = 6.

О

Два числа в перестановке образуют инверсию, если большее число стоит впереди меньшего, и образуют порядок, если меньшее число стоит впереди большего. Способ подсчета числа инверсий: читаем числа перестановки в порядке их записи (слева направо), для каждого из чисел считаем, сколько чисел, меньших данного, стоит правее него, и все полученные числа складываем. Пример: В перестановке 528371964 число инверсий равно 4 + 1 + 5 + 1 + 3 + 2 + 1 = 17.

О

Перестановка называется четной или нечетной, смотря по тому, будет число инверсий в ней четно или нечетно.

О

Транспозицией называется перемена местами двух чисел перестановки. Транспозиция чисел i и j обозначается через ( i, j ) . От любой перестановки n чисел к любой другой перестановке тех же чисел можно перейти путем ряда транспозиций, причем можно обойтись не более чем n − 1 транспозициями. Пример: От перестановки 25134 к перестановке 42513 можно перейти путем четырех транспозиций: ( 2,4 ) , ( 2,5) , (1,5) , (1,3) .

О

Подстановкой n чисел 1, 2, … n, или подстановкой n-й степени, называется взаимно однозначное отображение совокупности этих чисел на себя, т.е. такое отображение, при котором каждому числу от 1 до n соответствует одно из этих чисел и двум различным числам всегда соответствуют два различных числа. Подстановка записывается двумя строками в общих скобках, причем каждому числу верхней строки соответствует стоящее под ним число нижней строки. ⎛2 1 3 4⎞ Например, ⎜ ⎟ обозначает подстановку, в которой 1 → 1 , 2 → 3 , 3 → 4 , ⎝3 1 4 2⎠ 4 → 2 . Иначе можно сказать, что подстановка n-й степени – это соответствие между двумя перестановками n чисел.

9

Определители и матрицы

В зависимости от расположения чисел в верхней строке одну и ту же подстановку можно записывать многими способами. ⎛ 1 2 3⎞ ⎛2 3 1⎞ ⎛3 2 1⎞ Например, записи ⎜ ⎟, ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ обозначают одну и ту же ⎝ 2 3 1⎠ ⎝ 3 1 2⎠ ⎝1 3 2⎠ подстановку, в которой 1 переходит в 2, 2 в 3, 3 в 1. Каждая подстановка n чисел допускает n! различных записей. Число различных подстановок n элементов также равно n!.

О

Подстановка называется четной, если общее число инверсий в обеих ее строках четно, и нечетной, если нечетно. Иначе говоря, подстановка четна, если ее строки имеют одинаковую четность, и нечетна, если – противоположную четность.

1.3. * Понятие определителя любого порядка Пусть дана квадратная матрица порядка n:

A = (aij ) n ,n

О

⎛ a11 ⎜ a = ⎜ 21 ⎜ ... ⎜⎜ a ⎝ n1

a12 a22 ... an 2

... a1n ⎞ ⎟ ... a2 n ⎟ . ... ... ⎟ ⎟ ... ann ⎟⎠

Определителем n -го порядка, или определителем матрицы A , при n > 1 называется число, полученное из элементов этой матрицы по формулам:

A = aij

n,n

=

a11 a21

a12 a22

... a1n ... a2 n

... an1

... ... ... an 2 ... ann

= ∑ ( −1) ai1 j1 ai2 j2 ...ain jn , s +t

где сумма берется по всем различным между собой подстановкам ⎛ i1 ⎜j ⎝ 1

i2 j2

... ...

in ⎞ , jn ⎟⎠

причем s - число инверсий в верхней, а t - в нижней строке. Слагаемые суммы называются членами определителя; каждый член определителя равен произведению n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем это произведение берется со своим знаком, если подстановка индексов четна, и с противоположным, если нечетна. Определитель первого порядка равен единственному своему элементу. Число всех членов определителя n -го порядка равно n !. Элементы, строки, столбцы и т. д. матрицы A называются соответственно элементами, строками, столбцами и т. д. определителя A .

10

Лекции 1-2

1.4. Определители второго и третьего порядка О

Определителем квадратной матрицы A второго порядка называется a a12 = a11a22 − a21a12 . число, равное det A = 11 a21 22 Например,

О

1 2 = 1 ⋅ 4 − 2 ⋅ 3 = −2 . 3 4

Определителем квадратной матрицы А третьего порядка называется число, равное

a11 a12 det A = A = a21 a22 a31

a32

a13 a23 = a33

= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a21a32 a13 − a13a22 a31 − a21a12 a33 − a32 a23a11 . Это выражение получается по правилу треугольников (правилу Саррюса), которое можно пояснить следующей схемой:

,

+

-

где элементы определителя изображаются кружками, а соответствующие произведения - отрезками или треугольниками. Знаки «+» и «-» соответствуют знакам слагаемых, входящих в определитель, например,

1 0 0 ∆ = 1 2 1 = 1 ⋅ 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 3 ⋅ 0 − 0 ⋅ 2 ⋅ 0 − 1 ⋅ 3 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 ⋅ 0 = −1 . 0 3 1

1.5. Свойства определителей Сформулированные ниже свойства легко проверяются непосредственным вычислением определителей 2-го или 3-го порядков и остаются справедливыми для определителей порядка n . Введем необходимые определения.

11

Определители и матрицы

О

Суммой нескольких строк одинаковой длины называется строка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных строк.

О

Произведением строки на число называется строка, каждый элемент которой получен из соответствующего элемента данной строки умножением его на данное число.

О

Линейной комбинацией нескольких строк одинаковой длины называется строка, равная сумме произведений данных строк на некоторые числа, называемые коэффициентами этой линейной комбинации. Если одна строка является линейной комбинацией других, то говорят, что она линейно выражается через эти строки. Например, равенство (1, −1, −3, −5) = 3 (1,1,1,1) − 2 (1, 2, 3, 4 ) означает, что первая строка является линейной комбинацией двух других.

1˚. При транспонировании определителя его значение не меняется. Свойство 1˚ устанавливает полное равноправие строк и столбцов определителя |A|. Иначе говоря, свойства определителей, доказанные для строк, верны и для столбцов, и наоборот. 2˚. При перестановке местами двух любых строк (столбцов) определитель меняет знак. 3˚. Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен 0. Из 2˚: при перестановке строк ∆ = −∆ , ∆ + ∆ = 0 , 2∆ = 0 ⇒ ∆ = 0 . 4˚. Общий множитель любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя. Это свойство можно сформулировать иначе: умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на число k равносильно умножению определителя на это число, например,

2 1 2 1 1 2 4 3 4 = 2⋅ 2 3 4 . 6 5 6 3 5 6 5˚. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Это свойство вытекает из предыдущего при k = 0 . 6˚. Если все элементы одной строки (столбца) определителя пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца), то он равен нулю. 7˚. Если всякий элемент любой строки (столбца) представляет собой сумму двух слагаемых, определитель равен сумме двух определителей, в пер-

12

Лекции 1-2

вом из которых в соответствующей строке (столбце) оставлены первые слагаемые, а во втором – вторые, например,

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 = 1+ 3 3+ 2 5 +1 = 1 3 5 + 3 2 1 . 7 8 9 7 8 9 7 8 9 7 8 9 8˚. Если к элементам любой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число, то он не изменится. Пользуясь свойством 8˚, можно все элементы некоторой строки (столбца) определителя, кроме одного, сделать равными нулю, не меняя при этом величину определителя.

1.6. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу) Рассмотрим определитель n -го порядка A =

О

a11

a12

... a1n

a21 ...

a22 ...

... a2 n . ... ...

a n1

an 2

... ann

Минором Мij элемента аij определителя n-го порядка называется определитель (n-1) порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-строки и j–столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.

.

1 2 3 4 5 1 3 , M 32 = . Например, ∆ = 4 5 6 , M 13 = 7 8 4 6 7 8 9 О

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется его минор со знаком (-1)i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij, Aij = (−1)i + j M ij , например,

13

Определители и матрицы

A13 = ( −1)1+3 M 13 = (−1) 4 M 13 = M 13 , A32 = (−1)3+ 2 M 32 = (−1)5 M 32 = − M 32 . Т

Определитель n-го порядка |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения: n

det A = ∑ aij Aij = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain , i = 1,..., n , i =1 n

det A = ∑ aij Aij = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj , j = 1,..., n . i =1

Эти формулы представляют собой разложение определителя по i-й строке и по j-му столбцу. Например, для определителей третьего порядка разложение по первому столбцу имеет вид:

a11

a12

a13

a 21

a 22

a 31

a 32

a 23 = a11 A11 + a 21 A21 + a 31 A31 = a 33

= a11

a22 a32

a23 a − a21 12 a33 a32

a13 a + a31 12 a33 a22

a13 = a23

= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a21a32 a13 − a13a22 a31 − a21a12 a33 − a32 a23a11 . С

Алгебраическая сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя |A| на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю:

n

∑A a j =1

ij kj

= 0, k ≠ i .

Непосредственным вычислением показывают, что этой сумме соответствует определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами).

1.7. Методы вычисления определителя n-го порядка Определители высшего порядка вычисляются с использованием их свойств двумя способами.

14

Лекции 1-2

1.7.1. Метод понижения порядка Так как в формуле разложения определителя n-го порядка по строке (столбцу) n

detA= ∑ aij Aij = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ...+ ain Ain , j=1

все алгебраические дополнения являются определителями (n-1)-го порядка, то задача свелась к вычислению n определителей меньшего, (n-1)-го порядка. Если в некоторой строке исходного определителя много нулей, то именно по ней удобно проводить разложение. Более того, используя свойство 8˚, можно добиться того, что все элементы некоторой строки (столбца), кроме одного, станут равны нулю.

1.7.2. Метод сведения к треугольному виду Используя свойства 1˚– 8˚, добиваются такой структуры определителя, при которой все его элементы, стоящие выше (ниже) главной диагонали, равны нулю, т.е. определитель имеет треугольную форму и численно равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

a11

a12

... a1n

0 A= ...

a22 ...

n ... a2 n = ∏ aii =a11 ⋅ a22 ⋅ ... ⋅ ann . ... ... i =1

0

... ann

0

Пример: 1 0 0 Вычислить определитель ∆ = 1 2 1 двумя способами.

0 3 1 1). Разложим определитель по первой строке: ∆ = 1 ⋅ (−1)1+1

2 1 3 1

+ 0 ⋅ (−1)1+ 2

1 1 0 1

+ 0 ⋅ (−1)1+3

1 2 0 3

= 2 − 3 = −1 .

2). Приведем определитель к треугольному виду: 1 0 0

1 0 0

1 0

0

1 2 1 =0 2 1=0 2

1

0 3 1

0 3 1

0 0 − 0,5

⎛ 1⎞ = 1 ⋅ 2 ⋅ ⎜ − ⎟ = −1 . ⎝ 2⎠

15

Определители и матрицы

2.1. Операции над матрицами О

Две матрицы A = ( aij )m, n и B = ( bij )m, n равны, A = B , если равны их размерaij = bij ,

ности и все их соответствующие элементы совпадают,

i = 1,..., m; j = 1,..., n . О

Суммой двух матриц A = ( aij )m, n и B = ( bij )m, n одинаковой размерности m × n

называется матрица C = ( cij )m, n , C = A + B , все элементы которой равны cij = aij + bij , i = 1,..., m;

j = 1,..., n .

Свойства операции сложения: 1˚. 2˚. 3˚. 4˚. О

A + B = B + A.

A + B + C = ( A + B) + C . A+∅ = A. A + (− A) = ∅ .

Произведением матрицы A = ( aij )m ,n на число α называется матрица

B = ( bij ) m ,n ,

B = α ⋅ A,

все

элементы

которой

равны

bij = α aij ,

i = 1,..., m; j = 1,..., n . Свойства операции умножения на число: 5˚. (α ⋅ β ) A = α ( β A) . 6˚. α ( A + B ) = α A + α B . 7˚. (α + β ) A = α A + β A . 8˚. 0 ⋅ A = ∅; 1 ⋅ A = A . Для доказательства свойств 1˚-8˚ достаточно воспользоваться соответствующими определениями. Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. О

Произведением матрицы A = (ail ) m ,n размерности ( m × n ) на матрицу B = (blj ) n ,k размерности

(n × k )

называется матрица C = ( cij )m,k = A ⋅ B

размерности ( m × k ) , элементы которой вычисляются по формуле: k

cij = ∑ ail ⋅ blj = ai1 ⋅ b1 j + ai 2 ⋅ b2 j + ... + ail ⋅ blj i = 1,..., m , j = 1,..., k . l =1

16

Лекции 1-2

Иначе: элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы произведения cij , равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Пример: ⎛1 3⎞ ⎛ 1 9 10 ⎞ Дано: A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ . Найти C = A ⋅ B . ⎝ 2 4⎠ ⎝0 2 1 ⎠ c11 = 1 ⋅1 + 3 ⋅ 0 = 1 , c12 = 1 ⋅ 9 + 3 ⋅ 2 = 15 , c13 = 1 ⋅10 + 3 ⋅1 = 13 ,

c21 = 2 ⋅1 + 4 ⋅ 0 = 2 , ⎛ 1 15 13 ⎞ C =⎜ ⎟. ⎝ 2 26 24 ⎠

c22 = 2 ⋅ 9 + 4 ⋅ 2 = 26 ,

c23 = 2 ⋅10 + 4 ⋅1 = 24 .

Свойства операции умножения матриц: 9˚. (A× B)×C= A×( B× C) (A× B)× C= A×( B× C). 10˚. (A+ B)× C = A× C+ B× C. 11˚. A×( B + C)= A× B+ A× C. 12˚. A×E=E× A= A. 13˚. A×∅=∅× A =∅. 14˚. (A×B)T = B T× AT. 15˚. det( A × B) = det A × det B . Для доказательства свойств 9˚-14˚ достаточно воспользоваться определениями операций над матрицами. О

Матрицы A и B называются перестановочными (коммутирующими), если A×B=B×A. В общем случае произведение матриц не коммутативно, A×B≠B×A.

17

Определители и матрицы

2.2. Обратная матрица. Теорема о существовании левой и правой обратной матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы О

Квадратная матрица A n–го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, A = 0 , и невырожденной, если A ≠ 0.

О

Матрица А-1 называется обратной матрицей для некоторой квадратной матрицы А, если выполняется соотношение: A × A−1 = A−1 × A = E .

Т

Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Если матрица A не вырождена, то существует, и притом единст1 ( A∨ )T , где A∨ = ( Aij ) венная, обратная матрица A−1 , равная A−1 = det A присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы). Доказательство: Пусть дана квадратная матрица порядка n :

A = (aij )n ,n

⎛ a11 ⎜a = ⎜ 21 ⎜ ... ⎜ ⎝ a n1

a12 a22 ... an 2

... a1n ⎞ ... a2 n ⎟ ⎟. ... ... ⎟ ⎟ ... ann ⎠

1. Доказательство существования (необходимость). Пусть существует A−1 . По определению A−1 A = E . По свойству 15˚ операции умножения матриц det( A−1 A) = det E , det A−1 ⋅ det A = det E = 1 ⇒ det A ≠ 0 , то есть матрица A не вырождена. 2. Доказательство существования (достаточность). Пусть матрица A не вырождена. Найдем вид элементов A−1 , для чего вычислим произведение

C = A ⋅ ( A∨ )T = ( aij ) ⋅ ( Aij ) , T

n n ⎧det A, i = j cij = ∑ aik ( AT ) kj = ∑ aik A jk = ⎨ k =1 k =1 ⎩0, i ≠ j

по теореме о разложении определителя по строке (столбцу),

18

Лекции 1-2

0 ⎛ det A ⎜ 0 det A откуда C = ⎜ ⎜ ... ... ⎜ 0 ⎝ 0

0 ⎞ ⎛1 ⎜0 ... 0 ⎟⎟ = det A ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ... ... ... ⎟ ⎜ ... det A ⎠ ⎝0 ...

0 ... 0 ⎞ 1 ... 0 ⎟⎟ = det A ⋅ E , ... ... ... ⎟ ⎟ 0 ... 1 ⎠

т.е. A ⋅ ( A∨ )T = det A ⋅ E .

1 ( A∨ ) T ( A∨ )T . Так как det A ≠ 0 , A ⋅ = E и A −1 = det A det A 3. Доказательство единственности (от противного). Предположим, что кроме матрицы A−1 , для которой A−1 ⋅ A = E , существует матрица B , для которой также B ⋅ A = E , причем B ≠ A−1 . Вычтем из одного равенства другое:

A−1 ⋅ A − B ⋅ A = E − E = ∅ , ( A−1 − B ) ⋅ A = ∅ . Умножив последнее равенство на A−1 справа, получим: ( A−1 − B ) ⋅ AA−1 = ∅ ⋅ A−1 = ∅ .

Так как A ⋅ A−1 = E , ( A−1 − B ) E = ∅ , A−1 − B = ∅ , A−1 = B , что противоречит B ≠ A−1 . Предположение неверно, обратная матрица единственна. !

1˚. ( A−1 ) = A . −1

2˚. (α ⋅ A ) = −1

1

α

⋅ A −1 .

3˚. ( A × B ) = B −1 × A−1 . −1

4˚. ( A−1 ) = ( AT ) . T

−1

Алгоритм нахождения обратной матрицы: 1.

Находим det A , проверяем det A ≠ 0 .

2.

Находим M ij - все миноры матрицы A .

3.

Определяем Aij = (−1)i + j M ij .

4.

Строим матрицу алгебраических дополнений A∨ = ( Aij ) и транспонируем: ( A∨ )T = ( Aji ) .

5.

Делим каждый элемент матрицы на det A : A−1 =

1 ( A∨ )T . det A

Определители и матрицы

19

Пример: ⎛1 2⎞ ⎟⎟ . Найти матрицу, обратную для матрицы A = ⎜⎜ ⎝3 4⎠ 1. det A = 4 − 6 = −2 ≠ 0 . 2. M 11 = 4, M 12 = 3, M 21 = 2, M 22 = 1 . 3. A11 = 4, A12 = −3, A21 = −2, A22 = 1 . ⎛ 4 −3 ⎞ ⎛ 4 −2 ⎞ ∨ T 4. A∨ = ⎜ ⎟ , (A ) = ⎜ ⎟. ⎝ −2 1 ⎠ ⎝ −3 1 ⎠ 1 ⎞ 1 ⎛ 4 −2 ⎞ ⎛ −2 5. A−1 = − ⋅ ⎜ ⎟=⎜ ⎟. 2 ⎝ −3 1 ⎠ ⎝ 3 / 2 −0, 5 ⎠ 1 ⎞ ⎛ −2 + 3 1 − 1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ −2 Проверка: A ⋅ A−1 = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎟=E. ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 1,5 −0,5 ⎠ ⎝ −6 + 6 3 − 2 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠

2.3. Решение матричных уравнений О

Если A , B - известные матрицы, а X – неизвестная, то равенство вида A ⋅ X = B называется матричным уравнением.

Основные типы матричных уравнений: 1. A ⋅ X = B . Матрица A должна быть квадратной, A ≠ 0 . Умножим уравне-

ние на A−1 слева: A−1 ⋅ A ⋅ X = A−1B , E ⋅ X = A−1B , X = A−1B . 2. X ⋅ A = B . Матрица A должна быть квадратной, A ≠ 0 . Умножим уравне-

ние на A−1 справа: X ⋅ AA−1 = B ⋅ A−1 ⇒ X = B ⋅ A−1 . 3. A ⋅ X ⋅ B = C . Матрицы A и B должны быть квадратными, A ≠ 0 , B ≠ 0 .

Умножим на A−1 слева: A−1 ⋅ A ⋅ X ⋅ B = A−1C ⇒ X ⋅ B = A−1C . Умножим на B −1 справа: X ⋅ B ⋅ B −1 = A−1C ⋅ B −1 ⇒ X = A−1 ⋅ C ⋅ B −1 . Пример: Решить матричное уравнение: A ⋅ X = B , ⎛1 2⎞ ⎛3 5⎞ где A = ⎜ ⎟; B = ⎜ ⎟. ⎝3 4⎠ ⎝5 9⎠

20

Лекции 1-2

X = A −1 B , A−1 =

1 ⎞ ⎛ −2 1 ( A∨ )T = ⎜ ⎟, det A ⎝1, 5 −0, 5 ⎠

1 ⎞ ⎛ 3 5 ⎞ ⎛ − 1 − 1⎞ ⎛− 2 ⎛ − 1 − 1⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ , X = ⎜⎜ ⎟. A −1 B = ⎜⎜ 3 ⎟⎠ 3⎠ ⎝ 1,5 − 0,5 ⎠ ⎝ 5 9 ⎠ ⎝ 2 ⎝2

2.4. Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров. Элементарные преобразования матриц Пусть в матрице A размерности ( m × n ) выбраны k строк и k столбцов, причем k ≤ min ( m, n ) . Тогда элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k -го порядка. Определитель M k этой матрицы называется минором k -го порядка матрицы A .

Рангом матрицы A называется число, равное максимальному порядку r отличных от нуля миноров M k этой матрицы: r = r ( A ) = rang A . О Матрицы называются эквивалентными, что обозначается A ∼ B , если r ( A) = r ( B ) . Ранг матрицы A вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований. О

Метод окаймляющих миноров Пусть в матрице A элемент aij ≠ 0 , тогда M 1 ≠ 0 и r ( A ) ≥ 1 . Окаймляем этот элемент элементами нор 2-го порядка:

( j + 1) -го столбца и ( i + 1) -й строки, получаем миM2 =

ai , j

ai , j +1

ai +1, j

ai +1, j +1

.

Если M 2 = 0 , то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то r ( A ) = 1; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, то r ( A ) ≥ 2 . Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M 2 и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: M r ≠ 0 , но все M r +1 = 0 .

21

Определители и матрицы

Пример: ⎛1 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ Найти ранг матрицы A = ⎜ 2 − 2 2 ⎟ . ⎜ 1 1 − 1⎟ ⎝ ⎠

M1 = 1 ; M 12 = M = 3 2

2 −2 1

1

1 −1 2 −2

= −2 + 2 = 0 , M 22 = 1

−1

= 2+ 2 = 4 ≠ 0; M3 = 2 − 2 1

−1 1 −2 2

= −2 + 2 = 0 ,

1 2 = 0 ⇒ r ( A) = 2 .

−1 −1

Метод элементарных преобразований К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие: ƒ транспонирование; ƒ перестановка строк (столбцов); ƒ умножение строки (столбца) на число α ≠ 0 ; ƒ прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки, умноженных на некоторое число; ƒ отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы. Т

1. 2.

Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Для определения ранга матрицы A методом элементарных преобразований следует: Переставить строки так, чтобы в верхнем левом углу матрицы был ненулевой элемент. Все элементы первого столбца, кроме a11 , обратить в ноль:

⎛ a11 ... a1n ⎞ ⎛ a11 ⎟∼⎜ 0 A = ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎜a ⎟ ⎜ ⎝ m1 ... amn ⎠ ⎝ 0 3.

a1n ⎞ ⎟. ⎟ amn ⎟⎠

Повторить операцию со второй строкой: во втором столбце должен быть ненулевой элемент, после чего все элементы второго столбца, кроме a12 и a22 , обратить в ноль. Окончательно после многократного применения указанной процедуры и отбрасывания нулевых строк преобразованная матрица будет иметь вид:

22

Лекции 1-2

⎛ a11 a12 ⎜ 0 a 22 ⎜ A = ⎜ ... ... ⎜ 0 ⎜ 0 ⎜ 0 0 ⎝

...

a1,r −1

a1r

...

... ...

a2,r −1 ...

a2 r ...

... ...

... ar −1,r −1 ar −1,r

...

...

...

0

arr

a1n ⎞ a2 n ⎟⎟ ... ⎟ . ⎟ ar −1,n ⎟ arn ⎟⎠

Тогда ранг матрицы A = r ( A ) = rang A = rang A .

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, у студентов должны сформироваться следующие понятия: ƒ матрица - таблица, ƒ определитель - число, ƒ ранг матрицы - число, ƒ минор, ƒ алгебраическое дополнение. Студент должен уметь: ƒ вычислять определители 2-го, 3-го и n -го порядков, ƒ перемножать матрицы, ƒ находить обратную матрицу, ƒ определять ранг матрицы, ƒ решать матричные уравнения.

Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В лекции 3 излагаются элементы теории систем линейных уравнений. Системы линейных уравнений возникают при решении многих задач механики, электротехники, теоретической физики и т.д. Матричное исчисление позволяет в компактной форме получить решение таких систем. Реальные задачи, содержащие большое количество переменных (десятки и сотни), требуют владения этими методами.

3.1. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Основные определения 3.2. Системы n линейных уравнений с n неизвестными. Матричный метод решения. Правило Крамера. Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных) 3.2.1. Системы n-линейных уравнений с n неизвестными 3.2.2. Правило Крамера 3.2.3. Метод Гаусса 3.3. Теорема Кронекера - Капелли 3.4. Однородные системы линейных уравнений 3.5. Схема отыскания общего решения системы m уравнений с n неизвестными 3.6.* Фундаментальная система решений

3.1. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Основные определения Рассмотрим систему линейных уравнений (СЛУ), содержащую m уравнений и n неизвестных:

⎧a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 , ⎪a x + a x + … + a x = b , ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 , ⎨ ………………………………… ⎪ ⎪⎩am1 x1 + am 2 x2 + … + amn xn = bm .

(1)

где aij , i = 1,..., m; j = 1,..., n - коэффициенты системы, bi , i = 1,..., m - свободные члены, x j ,

j = 1,..., n - неизвестные.

Система может быть записана в матричном виде: A ⋅ X = B ,

24

где

Лекция 3

A = ( aik )m ,n

⎛ a11 a12 ⎜a a22 = ⎜ 21 ⎜ ... ... ⎜ ⎝ am1 am 2

... a1n ⎞ ... a2 n ⎟⎟ - основная матрица системы, ... ... ⎟ ⎟ ... amn ⎠m ,n

⎛ b1 ⎞ ⎜b ⎟ B = ( bi )m ,1 = ⎜ 2 ⎟ - матрица-столбец свободных членов, ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ bm ⎠ m ,1 ⎛ x1 ⎞ ⎜x ⎟ X = ( xk )n ,1 = ⎜ 2 ⎟ - матрица-столбец неизвестных. ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠ n,1 Например, первое уравнение системы получено умножением первой строки матрицы A на столбец неизвестных: a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 . О Матрица, полученная из матрицы A добавлением столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы: ⎛ a11 a12 ⎜ a a22 A = ( A B ) = ⎜ 21 ⎜ ... ... ⎜⎜ ⎝ am1 am 2 О

... a1n b1 ⎞ ⎟ ... a2 n b2 ⎟ . ... ... ... ⎟ ⎟ ... amn bm ⎟⎠ m ,n+1

Упорядоченное множество из n величин x1 = c1 , x2 = c2 , … xn = cn называется решением СЛУ, если при подстановке этих чисел в систему уравнения превращаются в тождества. Решение может быть записано в виде матрицы

⎛ c1 ⎞ X = ( ck )n ,1 = ⎜⎜ ... ⎟⎟ . ⎜c ⎟ ⎝ n ⎠ n ,1 О

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

О

Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

Системы линейных уравнений

25

О

Система линейных уравнений (1) называется неоднородной, если матрица B не является нуль−матрицей ∅ , и называется однородной, если B =∅.

!

Однородная система всегда имеет нулевое (так называемое тривиальное) решение: x1 = x2 = ... = xn = 0 . Например,

⎧x + x = 1 несовместна, решений нет; 1). Система ⎨ 1 2 x + x = 2 ⎩ 1 2 ⎧x + x = 1 2). Система ⎨ 1 2 совместна, но не определена, так как имеет беско⎩ x1 + x2 = 1 нечное множество решений: x1 = 1 − c, x2 = c или (в матричной форме) ⎛1 − c ⎞ X =⎜ ⎟ , где c - произвольная постоянная; ⎝ c ⎠ ⎧x + x = 1 3). Система ⎨ 1 2 , совместна и определена, так как имеет единственx x 1 − = ⎩ 1 2 ⎛1⎞ ное решение: x1 = 1, x2 = 0 (или X = ⎜ ⎟ ). ⎝0⎠

3.2. Системы n линейных уравнений с n неизвестными. Матричный метод решения. Правило Крамера. Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных) 3.2.1. Системы n линейных уравнений с n неизвестными Т

Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, если определитель основной матрицы A отличен от нуля. Доказательство: Запишем систему уравнений в матричном виде: A ⋅ X = B , где

⎛ a11 ... a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ A = ⎜⎜ ... ... ... ⎟⎟ , X = ( xi )n ,1 = ⎜⎜ ... ⎟⎟ , B = ( bk )n ,1 = ⎜⎜ ... ⎟⎟ . ⎜ a ... a ⎟ ⎜x ⎟ ⎜b ⎟ nn ⎠ n ,n ⎝ n1 ⎝ n ⎠n ,1 ⎝ n ⎠ n ,1 Пусть det A ≠ 0, тогда существует обратная матрица A−1 , A−1 ⋅ A = E . Умножим уравнение слева на A−1 : A−1 ⋅ A ⋅ X = A−1B , X = A−1 ⋅ B .

(2)

26

Лекция 3

С

1. Если система n уравнений с n неизвестными имеет отличный от нуля определитель, она может быть решена матричным методом. ⎧x + x = 1 в матричном виде выглядит как Например, система ⎨ 1 2 ⎩ x1 − x2 = 1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 1 −1 ⎟ ⋅ ⎜ x ⎟ = ⎜ 1 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −1 − 1 ⎞ , det A = −2 ≠ 0 , A−1 = ⎜ − ⎟⎜ A=⎜ ⎟, ⎟ 1 1 1 1 − − 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ x ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −1 −1⎞⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ X = ⎜ 1 ⎟ = ⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜1⎟ = ⎜ 0 ⎟ . x − 1 1 2 ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝

2. Если однородная система n уравнений с n неизвестными имеет отличный от нуля определитель основной матрицы системы, то у нее существует только нулевое (тривиальное) решение. Для однородной системы B = ∅ ; A ⋅ X = ∅ . Так как существует A−1 , то X = A−1 ⋅∅=∅.

3.2.2. Правило Крамера Обозначим через ∆ - определитель основной матрицы системы (2) (главный определитель системы)

a11 ... a1n ∆ = det A = A = ... ... ... , an1 ... ann ∆ i - i-й вспомогательный определитель системы (2), получается из ∆ заме-

ной i -го столбца на столбец свободных членов,

a11 ... a1,i −1 ∆i = Ai =

b1

a1,i +1 ... a1n

a21 ... a2,i −1 b2 a2,i +1 ... a2 n . ... ... ... ... ... ... ... an1 ... an ,i −1 bn

an ,i +1 ... ann

27

Системы линейных уравнений Т

Если главный определитель системы линейных уравнений не равен нулю, то система совместна и определена, причём единственное решение ( x1 , x2 ,…, xn ) вычисляется по формулам Крамера:

x1 =

∆ ∆ ∆1 , x2 = 2 , … , xn = n . ∆ ∆ ∆

Доказательство: Матрица, обратная к матрице коэффициентов: A−1 =

1 ⋅ ( A(V ) )T , ее det A

(−1)i + j M ji 1 i+ j −1 (−1) M ij , A = (qij ) , qij = . элементы A ij = det A det A Запишем элемент произведения X = A−1 ⋅ B : V

(−1)i + k M ki 1 ⎛ n ⎞ i+k ( 1) b M ⋅ bk = − ∑ k ki ⎜ ⎟. det A det A k =1 ⎝ k =1 ⎠

n

n

xi = ∑ qik bk = ∑ k =1

По теореме о разложении определителя по столбцу сумма в круглых скобках – это определитель матрицы Ai , которая отличается от матрицы A тем, что i-й столбец заменен на столбец свободных членов. ∆ Таким образом, xi = i . ∆ Пример:

⎧ 2 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 9, ⎪ Решить систему: ⎨ x1 + 2 x2 + 3x3 = 14, ⎪3x + 4 x + x = 16. 2 3 ⎩ 1 По формулам Крамера:

2 3

2

9

3

2

2

9

2

∆ = 1 2 −3 = −6 ≠ 0, ∆1 = 14 2 −3 = −12, ∆ 2 = 1 14 −3 = −18, 3 4 1 16 4 1 3 16 1 2 3

9

∆ 3 = 1 2 14 = 12. 3 4 16 Вычислим значения неизвестных:

x1 =

∆ ∆ ∆1 = 2 , x2 = 2 = 3 , x3 = 3 = −2 . ∆ ∆ ∆

28

Лекция 3

3.2.3. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) Рассмотрим систему n уравнений с n неизвестными (2). Данная система с помощью элементарных преобразований приводится к эквивалентной системе, решение которой находится проще. Элементарными преобразованиями системы являются следующие: ƒ

перемена местами двух любых уравнений системы;

ƒ

умножение любого уравнения системы на произвольное число k ≠ 0 ;

ƒ

прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на произвольное число k ≠ 0 . !

1). Элементарным преобразованиям уравнений соответствуют элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы A = ( A B ) . 2). Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. 3). Метод Гаусса справедлив и для произвольных систем ( m × n ).

Метод Гаусса предполагает следующий алгоритм:

⎧a11 x1 + ... + a1n xn = b1 ⎪ 1. Для системы уравнений ⎨.............................. ⎪a x + ... + a x = b nn n n ⎩ n1 1 записывают расширенную матрицу системы:

⎛ a11 a12 ⎜ a a22 A = ( A B ) = ⎜ 21 ⎜ ... ... ⎜⎜ ⎝ an1 an 2

... a1n b1 ⎞ ⎟ ... a2 n b2 ⎟ . ... ... ... ⎟ ⎟ ... ann bn ⎟⎠n ,n+1

2. Элементарными преобразованиями строк приводят ее к трапециевидной форме, при этом основная матрица системы приводится к верхнему треугольному виду. 3. Возвращаясь к системе уравнений, определяют все неизвестные. Пример:

⎧ x1 + x2 + x3 = 6 ⎪ Решить систему ⎨ 2 x1 − x2 + x3 = 3 . ⎪x + x − x = 0 3 ⎩ 1 2 Для удобства будем обозначать строки матрицы α i , а столбцы – β j .

29

Системы линейных уравнений ⎛1 1 1 ⎜ ⎜ 2 −1 1 ⎜ 1 1 −1 ⎝ нений: ⎧ x1 + x 2 ⎪ − 3 x2 ⎨ ⎪ ⎩ ⎧ x1 + 5 = 6 ⎪ ⇒ ⎨ x2 = 2 ⎪x = 3 ⎩ 3

!

6⎞ ⎛1 1 1 ⎟ α 2 − 2α1 ⎜ ∼ ⎜ 0 −3 − 1 3⎟ ∼ − α α 3 1 ⎜ 0 0 −2 0 ⎟⎠ ⎝ + −

x3 x3

= =

−

2 x3

=

6 ⎧ x1 ⎪ −9 ⇒ ⎨ ⎪ −6 ⎩

6⎞ ⎟ −9 ⎟ , вернемся к системе урав−6 ⎟⎠ + −

x2 3 x2

+ −

3 3

= =

x3

=

6 −9 ⇒ 3

⎧ x1 = 1 ⎪ ⎨ x2 = 2 . ⎪x = 3 ⎩ 3

Употребляется также расширенный метод Гаусса, или метод Гаусса – Ньютона. В нем основная матрица системы элементарными преобразованиями строк преобразуется к диагональному виду, пункт 2 предыдущей схемы (так называемый прямой ход) дополняется обратным ходом – преобразованием верхней треугольной матрицы к диагональной. Для предыдущего примера это будет выглядеть так:

⎛1 1 1 ⎜ ⎜ 0 −3 −1 ⎜ 0 0 −2 ⎝

6 ⎞ ⎛1 1 1 ⎟ ⎜ −9 ⎟ ∼ ⎜ 0 −3 −1 −6 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1

⎛1 1 0 ⎜ ∼ ⎜0 1 0 ⎜0 0 1 ⎝

6 ⎞ ⎛1 1 0 ⎟ ⎜ −9 ⎟ ∼ ⎜ 0 −3 0 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1

3⎞ ⎛1 0 0 ⎟ ⎜ 2⎟ ∼ ⎜0 1 0 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1

3⎞ ⎟ −6 ⎟ ∼ 3 ⎟⎠

1⎞ ⎟ 2⎟, 3 ⎟⎠

откуда ответ очевиден.

3.3. Теорема Кронекера - Капелли Рассмотрим систему m -линейных уравнений с n -неизвестными (1). В начале лекции было показано, что ее можно представить в матричном виде. Будем рассматривать матрицу A размерности m × n как набор строк α i (столбцов β j ):

30

Лекция 3

⎛ α1 ⎞ ⎜ ⎟ α A=⎜ 2 ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜⎜ α ⎟⎟ ⎝ m⎠

или

A = ( β1 , β 2 , ..., β n ) ,

⎛ a1 j ⎞ ⎜a ⎟ 2j где α i = (ai1 , ai 2 ,..., ain ) – матрица - строка; β j = ⎜ ⎟ - матрица-столбец. ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ amj ⎠ Введем понятие линейной зависимости строк (столбцов) матрицы. О

Линейной комбинацией строк называется выражение вида: k

λ1α1 + λ2α 2 + ... + λkα k = ∑ λα i i = i =1

= λ1 ( a11 a12 ... a1n ) + λ2 ( a21 a22 ... a2 n ) + ... + λk ( ak 1 ak 2 ... akn ). О

Строки матрицы α1 , α 2 , ..., α k называют линейно зависимыми, если существует такой набор чисел λ1 , λ2 , ..., λk , не равных одновременно нулю, при которых линейная комбинация строк обращается в ноль:

λ1α1 + λ2α 2 + ... + λkα k = 0 . Т

Строки матрицы являются линейно зависимыми, если одна из них является линейной комбинацией остальных:

α k = λ1α1 + λ2α 2 + ... + λk −1α k −1 + λk +1α k +1 + ... + λnα n . !

Действиям над строками матрицы соответствуют действия над уравнениями системы.

О

Пусть матрица A размерности (m × n) имеет ранг r . Отличный от нуля минор порядка r , составленный из элементов матрицы A , называется базисным минором матрицы A .

О

Неизвестные, коэффициенты перед которыми входят в базисный минор, называются базисными неизвестными. Неизвестные, не являющиеся базисными, называются свободными.

Т

Теорема о базисном миноре. Если матрица (m × n) имеет ранг r , то существуют r таких строк (столбцов), что все остальные строки (столбцы) являются линейными комбинациями данных. Из элементов, входящих в эти строки (столбцы), можно построить базисный минор матрицы. !

Базисных миноров может быть много, но ранг определяется одно-

31

Системы линейных уравнений

значно. С

1). Строки (столбцы), входящие в базисный минор, линейно независимы. 2). Все строки (столбцы) матрицы, не входящие в базисный минор, линейно зависимы с базисными. 3). Число линейно независимых строк матрицы равно числу линейно независимых столбцов и равно рангу r . 4). rang ( A ) ≤ min ( m, n ) .

Т

Теорема Кронекера - Капелли. Для того чтобы система m уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы: r ( Α) = r ( Α Β ) .

Доказательство*:

Достаточность. Пусть r ( Α) = r (Α Β ) . Рассмотрим столбцы матрицы A и A : ⎛ a11 ⎞ ⎛ a1n ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎜ ⎟ 21 ⎟ 2n ⎟ ⎜ ⎜ , … , βn = , B = ⎜ ⎟. β1 = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a m1 ⎠ ⎝ amn ⎠ ⎝ bm ⎠

Так как добавление столбца B в множество {β1 ,..., β n } не увеличивает количество линейно независимых столбцов, столбец B есть линейная комбинация столбцов основной матрицы, т.е. существуют такие x1, x2 ,…, xn ≠ 0 , что

B = x1β1 + x2 β 2 + … + xn β n , или

⎛ b1 ⎞ ⎛ a11 ⎞ ⎛ a12 ⎞ ⎛ a1n ⎞ ⎜ ⎟ = x ⎜ ⎟+ x ⎜ ⎟ + ... + x ⎜ ⎟. n⎜ 1⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 2⎜ ⎟ ⎟ ⎜b ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ m⎠ ⎝ m1 ⎠ ⎝ m2 ⎠ ⎝ mn ⎠ ⎧b1 = a11 x1 + ... + a1n xn ⎪ , Записывая последнее в виде ⎨ ⎪b = a x + ... + a x m1 1 mn n ⎩ m убеждаемся в том, что x1 , x2 ,…, xn - решение системы, система совместна. Необходимость. Пусть система совместна, x1 , x2 ,…, xn - решение системы. Записывая систему в виде ⎛ a11 ⎞ ⎛ a12 ⎞ ⎛ a1n ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟x +⎜ ⎟ x + ... + ⎜ ⎟x = ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ n ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ m1 ⎠ ⎝ m2 ⎠ ⎝ mn ⎠ ⎝ m⎠ x1β1 + x2 β 2 + … + xn β n = B ,

32

Лекция 3

видим, что B является линейной комбинацией β1 ,..., βn , добавление столбца свободных членов не увеличивает ранга матрицы, r ( A) = r ( A) .

Итак, если r ( Α ) ≠ r ( Α Β ) , то система заведомо не имеет решений; если же

r ( Α ) = r ( Α Β ) , то возможны два случая:

1) если r = n , тогда решение единственно; 2) если r < n , тогда решений бесконечно много.

3.4. Однородные системы линейных уравнений Однородная система имеет вид:

⎧a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0, ⎪a x + a x + ... + a x = 0, ⎪ 21 1 22 2 2n n ⎨ ⎪............................................ ⎪⎩am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0, ей соответствует матричное уравнение Α ⋅ Χ = ∅ . Однородная система всегда совместна, так как r ( A) = r ( A) , поскольку нулевой столбец не меняет ранг матрицы, всегда существует нулевое решение (0, 0, ..., 0) .

Т

Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r ( A) < n . Доказательство: 1) r не может быть больше n (ранг матрицы не превышает числа столбцов или строк); 2) r ≠ n , т.к. если r = n , то главный определитель системы ∆ ≠ 0 , и, по формулам Крамера, существует единственное тривиальное решение x1 = x2 = ... = xn = 0 , что противоречит условию. Значит, r ( A) < n .

С

Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ∆ = 0.

33

Системы линейных уравнений

3.5. Схема отыскания общего решения системы m уравнений с n неизвестными 1. Находим ранги матриц A и ( A B ) .

Если r ( Α ) ≠ r ( Α Β ) , то система не имеет решений.

Если r ( Α ) = r ( Α Β ) = r , то у системы есть решения. У матриц A и

( A B)

есть общий базисный минор. Выбираем его. 2. Оставляем в системе только те уравнения, коэффициенты которых входят в общий базисный минор. Остальные уравнения являются линейными комбинациями этих уравнений и не несут дополнительной информации. 3. Сравниваем ранг и количество неизвестных. Если r = n , то есть порядок базисного минора совпадает с количеством неизвестных, решаем систему n уравнений с n неизвестными (ее определитель ∆ ≠ 0 ) и получаем единственное решение. Если r < n , то в системе имеются (n − r) свободных неизвестных. Тогда x1 , x2 , ..., xr – базисные неизвестные, а xr +1 , ..., xn – свободные неизвестные. Переносим свободные неизвестные в правую часть уравнений системы: ⎧a11 x1 + a12 x2 + ... + a1r xr = b1 − a1,r +1 xr +1 − ... − a1n xn , ⎪ ⎪a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 r xr = b2 − a2,r +1 xr +1 − ... − a2 n xn , ⎨ ⎪........................................................................... ⎪ar1 x1 + ar 2 x2 + ... + arr xr = bn − ar ,r +1 xr +1 − ... − arn xn . ⎩

(3)

или, в матричной форме, AX r = B0 + xr +1B1 + xr + 2 B2 + ... + xn Bn−r , где

⎛ a11 a12 ⎜a a A = ⎜ 21 22 ⎜ ... ... ⎜ ⎝ ar1 ar 2

... a1r ⎞ ... a2 r ⎟⎟ , det A ≠ 0 , ... ... ⎟ ⎟ ... arr ⎠

⎛ a1,r +1 ⎞ ⎛ a1,n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎜x ⎟ ⎜b ⎟ + r 2, 1 2 2 ⎟ , ..., B = − ⎜ 2,n ⎟ . X r = ⎜ ⎟ , B0 = ⎜ ⎟ , B1 = − ⎜ n −r ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ a x b , + r r r n , 1 ⎝ r⎠ ⎝ r⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4)

34

Лекция 3

Система (3) является следствием исходной системы (1) и ее решение может быть найдено любым ранее рассмотренным способом. Пусть свободные неизвестные принимают значения

xr +1 = c1 , xr + 2 = c2 , ..., xn = cn − r . Тогда система (4) принимает вид: AX r = B0 + c1B1 + c2 B2 + ... + cn−r Bn−r

(5)

и базисные неизвестные x1 , x2 , ..., xr выражаются определенным образом через эти значения: xi = xi ( c1 , c2 , ..., cn − r ) , i = 1, 2,..., r . Решение неоднородной системы A ⋅ X = B можно записать в виде матрицы-столбца:

⎛ x1 (c1 , c2 , ..., cn−r ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 (c1 , c2 , ..., cn−r ) ⎟ ⎜ ........................... ⎟ ⎜ ⎟ xr (c1 , c2 , ..., cn−r ) ⎟ ⎜ X= . ⎜ ⎟ c1 ⎜ ⎟ c ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ ... ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c n−r ⎝ ⎠

(6)

Поскольку свободные неизвестные могут принимать произвольные числовые значения, то исходная система имеет бесконечно много решений. Выражение (6) называется общим решением системы (1). Если константам c1 , c2 , ..., cn−r придать конкретные значения, то получим частное решение системы (1). Пример:

⎧2 x1 + 3 x2 − x3 = 2, ⎪ Решить систему: ⎨7 x1 + 4 x2 + 2 x3 = 8, ⎪3 x − 2 x + 4 x = 5. 2 3 ⎩ 1 Рассмотрим расширенную матрицу: ⎛ 2 3 −1 2 ⎞ ⎛ −1 3 2 2 ⎞ ⎜ ⎟ ( Α Β ) = ⎜ 7 4 2 8 ⎟ ~ β3 ↔ β1 ~ ⎜⎜ 2 4 7 8 ⎟⎟ ~ ⎜ 3 −2 4 5 ⎟ ⎜ 4 −2 3 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1

α + 2α1 ⎜ ~ 2 ~ 0 α 3 + 4α1 ⎜⎜ ⎝0

3 2 2⎞ ⎟ 10 1112 ⎟ . 0 0 1 ⎟⎠

35

Системы линейных уравнений

Следовательно, r ( Α) = 2 и r ( Α Β) = 3 . Поскольку r ( Α) ≠ r ( Α Β) , система несовместна. Очевидно, что третье уравнение преобразованной системы: 0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 + 0 ⋅ x3 = 1 не имеет решений.

Пример: x1 − x 2 + x3 = 12, ⎧ ⎪ 2 x + 3 x − x = 13, ⎪ 1 2 3 Решить систему ⎨ 3 x2 + 4 x3 = 5, ⎪ ⎪⎩− 3 x1 + x2 + 4 x3 = −20.

Рассмотрим расширенную матрицу: ⎛ 1 −1 1 12 ⎞ ⎛ 1 −1 ⎜ ⎟ ⎜ 2 3 −1 13 ⎟ α 2 − 2α1 ⎜ 0 5 ⎜ ( Α Β) = ~ ~ ⎜ 0 3 4 5 ⎟ α 4 + 3α1 ⎜ 0 3 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ −3 1 4 −20 ⎠ ⎝ 0 −2

⎛ 1 −1 ⎜ 0 3 ~ α2 + α4 ~ ⎜ ⎜0 3 ⎜⎜ ⎝ 0 −2

1 12 ⎞ ⎟ 3 −11⎟ ~ 4 5 ⎟ ⎟ 7 16 ⎟⎠

1 12 ⎞ ⎛ 1 −1 1 12 ⎞ ⎟ 4 5 ⎟ α 2 − α3 ⎜ ⎟ ~ ~ ⎜ 0 −2 7 16 ⎟ ~ 4 5 ⎟ α4 ↔ α2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎝0 3 4 5 ⎠ 7 16 ⎟⎠

⎛ 1 −1 1 12 ⎞ ⎛ 1 −1 1 12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ~ 2α 3 + 3α 2 ~ ⎜ 0 −2 7 16 ⎟ ~ ⎜ 0 −2 7 16 ⎟ ⎜ 0 0 29 58 ⎟ ⎜ 0 0 1 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Следовательно, r ( Α) = r ( Α Β) = 3 , поэтому система совместна и имеет единственное решение.

⎧ x1 − x2 + x3 = 12, ⎪ Преобразованная система имеет вид: ⎨ − 2 x2 + 7 x3 = 16, ⎪ x3 = 2, ⎩ ее решение: x1 = 9, x2 = −1, x3 = 2 .

36

Лекция 3

Пример:

⎧ x1 − 4 x2 + 2 x3 = −1, ⎪ Решить систему ⎨2 x1 − 3x2 − x3 − 5 x4 = −7, ⎪3x − 7 x + x − 5 x = −8. 2 3 4 ⎩ 1 Рассмотрим расширенную матрицу: ⎛ 1 −4 2 0 −1 ⎞ ⎛ 1 − 4 2 0 −1 ⎞ ⎜ ⎟ α 2 − 2α1 ⎜ ⎟ ( Α Β ) = ⎜ 2 − 3 − 1 −5 − 7 ⎟ ~ ~ ⎜ 0 5 −5 −5 − 5 ⎟ ~ ⎜ 3 −7 1 −5 −8 ⎟ α 3 − 3α1 ⎜ 0 5 −5 −5 −5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 −4 2 0 −1 ⎞ ⎛ 1 0 −2 − 4 − 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ~ α 3 − α 2 ~ ⎜ 0 1 −1 −1 −1⎟ ~ α1 + 4α 2 ~ ⎜ 0 1 −1 −1 −1 ⎟ . ⎜0 0 0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Следовательно, r ( Α) = r ( Α Β) = 2 , поэтому система совместна и не определена. Выберем x1 и x 2 в качестве базисных неизвестных и запишем преобразованную систему: ⎧ x1 = −5 + 2 x3 + 4 x4 , ⎨ ⎩ x2 = −1 + x3 + x4 .

Полагая x3 = c1 , x4 = c2 , где c1 и c2 − произвольные числа, получаем общее решение системы ⎛ x1 ⎞ ⎛ −5 + 2c1 + 4c2 ⎞ ⎛ −5 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x2 ⎟ ⎜ −1 + c1 + c2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ 1⎟ 1 ⎜ ⎜ = = + c1 + c2 ⎜ ⎟ . X= ⎜ x3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ c1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c2 ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝ x4 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝0⎠ Решение соответствующей однородной системы

⎧ x1 − 4 x2 + 2 x3 = 0, ⎪ ⎨2 x1 − 3x2 − x3 − 5 x4 = 0, ⎪3x − 7 x + x − 5 x = 0 2 3 4 ⎩ 1 можно записать в виде: ⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 X = c1 ⎜ ⎟ + c2 ⎜ ⎟ . ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎝1⎠

37

Системы линейных уравнений

3.6*. Фундаментальная система решений Т

Если СЛУ имеет вид A ⋅ X = c1B1 + c2 B2 , то ее решение может быть записано в виде

X = c1 X1 + c2 X 2 , где X1 и X 2 - решения систем A ⋅ X = B1 и A ⋅ X = B2 соответственно. Доказательство:

X1 = A−1 ⋅ B1 , X 2 = A−1 ⋅ B2 , X = A−1 ⋅ ( c1 B1 + c2 B2 ) = A−1 ⋅ ( c1 B1 ) + A−1 ⋅ ( c2 B2 ) =

= c1 A−1 ⋅ B1 + c2 A−1 ⋅ B2 = c1 X1 + c2 X 2 . В предыдущем параграфе возникла система (5)

AX r = B0 + c1 B1 + c2 B2 + ... + cn − r Bn − r . Из только что доказанной теоремы следует, что

X r = X r ,0 + c1 ⋅ X r ,1 + c2 ⋅ X r ,2 + ... + cn − r ⋅ X r ,n − r ,

(7)

где X r ,0 , X r ,1 , X r ,2 , ..., X r ,n − r - решения системы (5) при подстановке в нее (5) вместо правой части столбцов B0 , B1 , B2 , ..., Bn− r .

⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ x2 Поскольку X r = ⎜ ⎟ , это означает, что базисные неизвестные линейно зависят от ⎜ ... ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ xr ⎠ свободных неизвестных и в выражении ⎛ x1 (c1 , c2 , ..., cn − r ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 (c1 , c2 , ..., cn − r ) ⎟ ⎜ ........................... ⎟ ⎜ ⎟ xr (c1 , c2 , ..., cn − r ) ⎟ ⎜ X =⎜ ⎟ c1 ⎜ ⎟ c2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ... ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ cn − r ⎝ ⎠ для общего решения системы

xi = xi (c1 , c2 , ..., cn−r )

(8)

- линейные функции

c1 , c2 , ..., cn−r . Это позволяет записать матрицу–столбец (6) - общее решение системы (1) в виде:

X = X 0 + c1 ⋅ X 1 + c2 ⋅ X 2 + ... + cn−r ⋅ X n−r ,

(9)

38

Лекция 3 где частные решения X i (i = 0, 1, 2, ..., n − r ) , образующие фундаментальную систему решений, получены при следующих значениях постоянных в выражении (5):

⎛ x1 (0, 0, ..., 1) ⎞ ⎛ x1 (0, 0, ..., 0) ⎞ ⎛ x1 (1, 0, ..., 0) ⎞ ⎛ x1 (0, 1, ..., 0) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 (0, 0, ..., 1) ⎟ ⎜ x2 (0, 0, ..., 0) ⎟ ⎜ x2 (1, 0, ..., 0) ⎟ ⎜ x2 (0, 1, ..., 0) ⎟ ⎜ ................... ⎟ ⎜ .................... ⎟ ⎜ .................... ⎟ ⎜ .................... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ xr (0, 0, ..., 0) ⎟ xr (1, 0, ..., 0) ⎟ xr (0, 1, ..., 0) ⎟ xr (0, 0, ..., 1) ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ X0 = , X1 = ,X = , ..., X n − r = . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 0 1 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 1 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ... ... ... ... ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 0 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Выражение (8) называется разложением по фундаментальной системе решений.

В результате изучения материала, изложенного в этой лекции, студент должен знать: ƒ основные понятия теории СЛУ (основная и расширенная матрицы системы, совместные / несовместные, определенные/неопределенные однородные/неоднородные системы, базисные и свободные неизвестные, общее и частное решение СЛУ); ƒ способ выяснения, имеет ли система решения (теорема Кронекера – Капелли); ƒ методы решения СЛУ – матричный, правило Крамера, метод Гаусса; ƒ схему отыскания общего решения СЛУ. Студент должен понимать, что преобразования строк матриц системы соответствуют преобразованиям уравнений системы.

Лекция 4 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В лекции 4 излагаются элементы векторной алгебры. Необходимость применения векторного исчисления при изложении технических дисциплин вызвана не столько удобством и наглядностью математических формулировок законов, сколько объективными свойствами изучаемых явлений. Направленные величины используются при описании широкого круга явлений, относящихся к теоретической механике, механике жидкости и газа, теории электромагнетизма. Курс математики для инженерных специальностей включает также элементы векторного анализа, который будет излагаться после изучения дифференциального и интегрального исчислений одного и нескольких переменных. 4.1. Основные определения 4.2. Линейные операции над векторами 4.3.* Линейная зависимость векторов. Геометрические критерии линейной зависимости. 4.4. Базис и координаты 4.5. Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат 4.6. Скалярное произведение векторов. Определение. Алгебраические свойства. Геометрические приложения. Выражение через декартовы координаты сомножителей 4.7. Векторное произведение векторов. Определение. Алгебраические и геометрические свойства. Выражение через декартовы координаты сомножителей 4.8. Смешанное произведение векторов. Определение. Алгебраические и геометрические свойства. Выражение через декартовы координаты сомножителей

4.1. Основные определения Величины, для определения которых достаточно знать одно число, называются скалярами (температура, масса, работа силы, плотность). Величины другого рода характеризуются не только численным значением, но и направлением в пространстве. Таковы перемещение, скорость, ускорение, сила, напряженность электрического поля и т.д. Рассмотрение такого рода величин приводит к понятию вектора. О

Геометрическим вектором (вектором) называется направленный отрезок (отрезок, у которого одна граничная точка считается начальной, другая – конечной).

40

Лекция 4

На чертеже вектор обозначается стреJJJ лкGойG; над буквенным обозначением вектора также ставится стрелка AB , a . О Длиной вектора (модулем) называется расстояние между началом и конJJJG G цом вектора. Обозначение: AB или a . О

Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совG G падают: 0 , 0 = 0 .

Векторы называются коллинеарными, если лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. О Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если тройка векторов содержит нулевой вектор или пару коллинеарных векторов, то эти векторы компланарны. О

!

Вектор, фигурирующий в определении, носит название связанного, или закрепленного вектора. JJJG Если же точка приложения вектора (точка A для вектора AB ) может быть выбрана произвольно, вектор называется свободным. Если точка приложения может двигаться по линии действия вектора, говорят о G скользящем векторе. Иначе говоря, свободный вектор a является представителем бесконечного множества связанных или скользящих векторов. В дальнейшем мы будем рассматривать только свободные векторы. Для них, в частности, справедливо следующее определение.

О

Два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинаковую G Gдлину и направление. Например, a = b .

4.2. Линейные операции над векторами G G О

G G Суммой a + b двух векторов a и b называется G вектор, идущий из начала вектора a в конец векG G тора b при условии, что начало вектора b приG ложено к концу вектора a (правило треугольника).

41

Векторная алгебра

Свойства операции сложения векторов: G G G G 1˚. a + b = b + a (переместительное свойство). G G G G G G 2˚. a + b + c = a + b + c (сочетательное свойст-

(

)

(

)

во). G 3˚. Существует нулевой вектор 0 , такой, что G G G G a + 0 = a для любого вектора a (особая роль нулевого вектора). G 4˚. Для каждого вектора a существует противоG G положный ему вектор a′ = − a , такой, что G G G a + (− a ) = 0 . Свойства доказываются геометрически. Докажем, например, свойствоJJJ 1G˚. G , РаG ссмотрим произвольный JJJG параллелограмм JJJG JJJG JJJG ABCD JJJG .JJJGПусть JJJG aG= AB G JJJ G G JJJG G b = BC . Тогда a + b G= AC BC = AD , DC = AB ⇒ AC = AD + DC = b + a . G . Но G G Таким образом, a + b = b + a . При доказательстве свойства 1˚ обосновано еще одно правило сложения векторов, называемое правилом параллелограмма: если G G векторы a и b приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма G G a + b этих векторов представляет собой диагональ параллелограмма, идущую из общего G G начала векторов a и b . G G G G Вычитание векторов определяется через сложение: a − b = a + ( − b ). ! G G Иначе: если векторы a и b приложены к общему началу, то разностью G G G G G векторов a и b будет вектор a − b , идущий из конца вектора b к концу G вектора a . G G α a вектора a на вещественное число α называется О Произведением G G G вектор b , коллинеарный вектору a , имеющий длину α ⋅ a и наG правление, совпадающее с направлением вектора a в случае α > 0 и G противоположное направлению вектора a в случае α < 0 . Геометрический смысл операции умножения вектора на число: G G при умножении вектора a на число α вектор a «растягивается» в α раз 1 при α > 1 , при 0 < α < 1 вектор «сжимается» в раз. Если α < 0 , век!

α

тор, кроме этого, меняет направление на противоположное.

42

Лекция 4

Свойства операции умножения вектора на число: G G G G 5˚. α a + b = α a + α b (распределительное свойство относительно суммы

(

)

векторов). G G G 6˚. (α + β ) a = α a + β a (распределительное свойство относительно суммы чисел). G G 7˚. α ( β a ) = (αβ ) a (сочетательное свойство числовых сомножителей). G G 8˚. 1 ⋅ a = a (существование единицы). Докажем,G например, свойство 5˚. Отложим G векторы a и b от общего начала и построим на них параллелограмм, диагональ которого будет G G представлять собой сумму a + b . При «растяжении» ( α > 1 ) сторон этого параллелограмма в α раз его Gдиагональ также «растягивается» в α раз, но это и G G G означает, что сумма α a + α b равна α (a + b ) . !

Свойства 1˚ ÷ 7˚ для векторов позволяют производить выкладки в векторной алгебре по тем же правилам, по которым производятся аналогичные выкладки в алгебре вещественных чисел.

4.3.* Линейная зависимость векторов. Геометрические критерии линейной зависимости О

G G G Линейной комбинацией векторов a1 , a2 , ..., an называют выражение:

G

G

G

n

G

α1a1 + α 2 a2 + ... + α n an = ∑ α i ai , i =1

О

!

где α1 , α 2 , ..., α n - произвольные действительные числа. G G G Система векторов a1 , a2 , ..., an называется линейно зависимой, если существуют действительные числа α1 , α 2 , ..., α n , такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля, и выполняется равенство: G G G G α1a1 + α 2a2 + ... + α n an = 0 . (*) В противном случае, т.е. если линейная комбинация (*) обращается в ноль только при всех α i = 0, i = 1, ..., n , то система векторов называется линейно независимой. Если векторы линейно зависимы, то любой вектор может быть выражен в виде линейной комбинации остальных. Например, если α n ≠ 0 , то из (*) следует, что n −1 α α G G G G G an = β1a1 + β 2 a2 + ... + β n −1an −1 = ∑ β i ai , где β1 = − 1 , ..., β n −1 = − n −1 . i =1

αn

αn

43

Векторная алгебра

Т

Т Т

Геометрические критерии линейной зависимости G G Система двух ненулевых векторов a1 , a2 линейно зависима тогда, и только тогда, когда векторы коллинеарны. Доказательство: G G G α G G G G Необходимость. Пусть α1a1 + α 2 a2 = 0 и α1 ≠ 0 . Тогда α1a1 = − α 2 a2 , a1 = − 2 a2 ; или α1 G G α a1 = λ a2 , где λ = − 2 . α1 G G G G G Достаточность. Пусть a1 = λ a2 . Запишем это равенство в виде a1 − λ a2 = 0 или G G G α1a1 + α 2 a2 = 0 , где α1 = 1 , α 2 = −λ ≠ 0 . Итак, существует нулевая линейная комбинация с ненулевыми коэффициентами, а это и означает, что система векторов линейно зависима. G G G Система трех векторов a1 , a2 , a3 линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны. G G G G Система четырех векторов всегда линейно зависима, т.е. для любых a1 , a2 , a3 , a4 найдутся такие числа α1 , α 2 , α 3 , α 4 , не равные одновременно нулю, что G G G G G α1a1 + α 2 a2 + α 3 a3 + α 4 a4 = 0 .

4.4. Базис и координаты О

Базисом в пространстве будем называть три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

Базисом на плоскости будем называть два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке. О Базисом на прямой будем называть любой ненулевой вектор этой прямой. О

Т

Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве и это разложение единственно. G G G Иначе, если a , b , c – три некомпланарных вектора в пространстве, то любой вектор G d может быть записан в виде: G G G G d = αa + βb + γ c . Доказательство возможности: G G G Пусть a , b , c - некоторый базис в пространG G G G G α a + β b + γ c = 0 только при стве, d - произвольный вектор. Тогда G G G G G α = β = γ = 0 . α1a + α 2b + α 3c + α 4 d = 0 , при этом α 4 ≠ 0 , так как если

{

}

44

Лекция 4

G G G α 4 = 0 , то α1aG + α 2b + α 3cG = 0 , а этого быть не может, т.к. { aG, b , cG } - базис. Тогда

G

G

G

G G

α 4 d = −α1a − α 2b − α 3c , d = −

G G G α1 G α 2 G α 3 G G a − b − c , d = αa + βb + γ c . α4 α4 α4

Доказательство единственности: G Предположим, что существуют два разложения вектора d по базису G G G G G G G G G G G a , b , c , то есть d = α1a + β1b + γ 1c ; d = α 2 a + β 2b + γ 2c . Вычтем из одG G G G ного равенства другое: (α1 − α 2 ) a + ( β1 − β 2 ) b + (γ 1 − γ 2 ) c = 0 . Так как G G G G G G a , b , c - базис, ни один из векторов a , b , c не может быть выражен

{

}

{

}

через другие β1 = β 2 , γ 1 = γ 2 .

{

при

ненулевых

}

коэффициентах,

поэтому

α1 = α 2 ,

G диагоГеометрически вектор d представляет собой пространственную G G G наль параллелепипеда, построенного на векторах a , b и с . О Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в данном базисе и в каждом базисе определяются однозначно: !

G G G G d = α a + β b + γ c ={ α , β ,γ } .

G G При сложении двух векторов d1 и d 2 их координаты (относительно люG бого базиса) складываются. При умножении вектора d1 на любое число α все его координаты умножаются на это число. Доказательство: G G G G G G G G Пусть d1 = α1a + β1b + γ 1c , d 2 = α 2 a + β 2b + γ 2c . Тогда в силу свойств 1˚-7˚ линейных операций G Gнад векторами G G G d1 + d 2 = (α1 + α 2 )a + ( β1 + β 2 )b + (γ 1 + γ 2 )c , G G G G λ d1 = (λα1 )a + (λβ1 )b + (λγ 1 )c . В силу единственности разложения вектора по базису теорема доказана. О Системой координат в пространстве называют совокупность базиса G G G a , b , c и некоторой точки, называемой началом координат. JJJJG О Вектор OM , идущий из начала координат в точку M , называется радиус-вектором точки M . JJJJG О Координатами точки M (α , β , γ ) называются координаты вектора OM . JJJJG Таким образом, координаты радиус-вектора OM и координаты точки M совпадают. Т

{

}

45

Векторная алгебра

4.5. Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат Пусть в качестве базиса выбраны три взаимно перпендикулярных вектора с длинами, равными единице. GG G G G G Обозначения: i, j,k , i = j = k = 1

{

О

О

}

Такой базис называетсGя ортонормированным G G (ОНБ). Векторы i , j , k называются базисныкоми ортами. Зафиксируем точку О – начало G G G ординат и отложим от нее векторы i , j , k . Полученная система координат называется прямоугольной декартовой. Координаты любого вектора в этом базисе называются декартовыми координатами вектора: G G G G a = { x, y , z} = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k

Z

z G k

G 0 x i

M G j

Y y

X

Прямые линии, проведенные через начало координат по направлениям G базисных векторов, называются координатными осями : i – порождает G G Ox ; j – порождает Oy ; k – порождает Oz . Координаты точки М (вектора JJJJG OM ) в декартовой системе координат по осям Ox , Oy , Oz называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой. G Декартовы прямоугольные координаты x, y , z вектора a равны проекциям этого вектора на оси Ox , Oy , Oz соответственно; другими словами, G G G G G G x = npOX a = a cos α , y = npOY a = a cos β , z = npOZ a = a cos γ . G Здесь α , β , γ – углы, которые составляет вектор a с координатными осями Ox , Oy , Oz соответственно, при этом cosα , cos β , cos γ называG ются направляющими косинусами вектора a . G a G Вектор a0 = G = {cosα , cos β , cos γ } представляет собой вектор единичa ной длины данного направления, или орт данного направления. Для направляющих косинусов справедливо соотношение: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 .

46

Лекция 4

4.6. Скалярное произведение векторов. Определение. Алгебраические свойства. Геометрические приложения. Выражение через декартовы координаты сомножителей

( )

G G G G n Углом между векторами a и b (обозначается a , b ) называется наиG меньший угол, на который надо повернуть вектор a до совмещения с G вектором b . G G О Проекцией вектора a на ось l, прl a , называется величина А`В` направленного отрезка JJJJJG A`B` оси l. G G G G G G n прl a = a cos ϕ = a cos a , l0 , где l0 - орт О

( )

О

оси l. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: G G G G G G G G G G n a ⋅ b = a , b = a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos a , b . G G G G Если один из векторов a , b нулевой, то a ⋅ b = 0 .

(

!

) ( )

(

)

( )

Алгебраические свойства скалярного произведения: G G G G 1˚. Переместительное свойство: a ⋅ b = b ⋅ a . G G G G G G λ a ⋅ b = λ a ⋅ b = a ⋅ λb 2˚. Сочетательное свойство: G G G G G G G a + b ⋅ c = (a ⋅ c ) + b ⋅ c , 3˚. Распределительное свойство: G G G G G G G a ⋅ b + c = a ⋅ b + (a ⋅ c ) . G G G G G G G G 4˚. ( a , a ) > 0 , если a ≠ 0 , и ( a , a ) = 0 , если a = 0 .

( (

) ( ) ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ( )) ( )

!

Доказательства свойств следуют из определения.

Геометрические приложения скалярного произведения: 1.

2. 3.

Связь с понятием модуля: G G G G G2 G G G ⎛ G∧ G⎞ G 2 o = a , a | a | | a | cos ( ) ⎜ a , a ⎟ = a cos0 = a ; a = ( a , a ) . ⎝ ⎠ G G a ,b G G n Косинус угла между векторами: cos a , b = G G . a ⋅ b

( )

Связь с понятием проекции.

(

)

47

Векторная алгебра

G G G Проекция прbG a вектора a на вектор b : G G G G G G a , b a , b a ,b G G G G G G n прbG a = a cos a , b = a ⋅ G G = G , т.е. прbG a = G . a ⋅ b b b G G G a, b Аналогично: пр aG b = G . a Необходимым и достаточным условием ортогональности (перпендикулярности) двух ненулевых векторов является равенство нулю их скалярG n G G G π G G ного произведения: a ⊥ b : a , b = ⇔ ( a , b ) = 0 . 2

(

( )

(

4.

)

(

)

(

)

)

( )

Выражение скалярного произведения векторов через декартовы координаты сомножителей G G Т Если два вектора a и b заданы своими декартовыми прямоугольными G G координатами a = { x1 , y1 , z1} , b = { x2 , y2 , z2 } , то скалярное произведение этих векторов равно сумме парных произведений их соответствуюG G щих координат, т.е. a , b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . G G G G G G G G Доказательство: a = x1i + y1 j + z1k , b = x2i + y2 j + z2 k . В силу свойств 2 и 3 имеем: G G G G G G G G a , b = x1i + y1 j + z1k , x2i + y2 j + z2 k = GG G G G G = x1 x2 ( i , i ) + x1 y2 ( i , j ) + x1 z2 i , k + GG G G G G + y1 x2 ( j , i ) + y1 y2 ( j , j ) + y1 z2 j , k + GG G G G G + z1 x2 k , i + z1 y2 k , j + z1 z2 k , k . G G G G G G Так как i ⊥ j , i ⊥ k , j ⊥ k , GG G G G G G G GG G G то (i , j ) = (i , k ) = ( j , i ) = ( j , k ) = ( k , i ) = ( k , j ) = 1 ⋅ 1 ⋅ cos90o = 0 . G G GG G GG G G G Но (i , i ) =| i |2 cos(i , i ) =| i |2 = 1, аналогично ( j , j ) = 1 , (k , k ) = 1. G G Таким образом, a , b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .

(

(

)

) ((

( )

(

С

))

)(

( )

( ) ( ) ( )

)

G G 1. Длина вектора: a = { x, y, z} , a =

G G

( a, a ) =

2. Расстояние между двумя точками: Если A = ( x1, y1, z1 ) , B = ( x2 , y2 , z2 ) – точки,

x2 + y2 + z 2 .

48

Лекция 4

JJJG то ρ( AB) = AB = (x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2 . 3. Угол между векторами: G G Если a = ( x1 , y1 , z1 ) , b = ( x2 , y2 , z2 ) , то G G a ,b G G x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 n . cos a , b = G G = a ⋅ b x12 + y12 + z12 ⋅ x22 + y22 + z22 G G G 4. Проекция прbG a вектора a на вектор b G G a ,b G x x + y1 y2 + z1 z2 G . прb a = G = 1 2 b x22 + y22 + z22

( )

(

)

(

)

5. Направляющие косинусы вектора: x ⎛ G ∧G⎞ cosα = cos ⎜ a , i ⎟ = , 2 2 2 ⎝ ⎠ x +y +z ∧ y ⎛ G G⎞ cos β = cos ⎜ a , j ⎟ = , ⎝ ⎠ x2 + y2 + z 2 z ⎛ G ∧ G⎞ cos γ = cos ⎜ a , k ⎟ = ; ⎝ ⎠ x2 + y2 + z 2 cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

4.7. Векторное произведение векторов. Определение. Алгебраические свойства. Геометрические приложения. Выражение через декартовы координаты сомножителей О

G G G Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a1 , a2 , a3 , приведенных к одному началу, называется правой, если из конца третьего вектоG G G ра a3 кратчайший поворот первого вектора a1 ко второму a2 виден совершаемым против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой . JJG JJG a3 a3 JJG a2 JJG a2 JG JG a1 a1 правая

левая

49

Векторная алгебра О

О

Система координат называется правой, если ее базисные векторы образуют правую тройку. В дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат. При перестановке местамиG двух соседних векторов ориентация тройки G G GG G G G G GG G G G G меняется. Если тройки a b c , b c a , c a b - правые, то a c b , c b a , G GG b a c - левые. При круговой (циклической) перестановке векторов ориентация тройки не меняется.

G G Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор G G G G G G G c = ⎡⎣ a , b ⎤⎦ = ⎡⎣ a × b ⎤⎦ = a × b , удовлетворяющий следующим трем требованиям: G G G 1). Длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус G JG G G G G G угла между ними, т.е. c = ⎡⎣ a , b ⎤⎦ = a ⋅ b ⋅ sin a,b . G G G G 2). Вектор c ортогонален к каждому из векторов aG и b , т.е. c перпендиG кулярен плоскости, в которой лежат векторы и b. a G G GG 3). Вектор c направлен так, что тройка a b c является правой.

( )

Алгебраические свойства векторного произведения: G G G G ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = − a , b b 1˚. Антиперестановочность сомножителей: ⎣ ⎦ ⎣ , a⎦ . G G G G ⎡α a , b ⎤ = α ⎡ a , b ⎤ . 2˚. Сочетательное свойство: ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ G G G G G G ⎡ a + b , c ⎤ = [ a , c ] + ⎡b , 3˚. Распределительное свойство: ⎣ ⎦ ⎣ G G G G 4˚. [ a , a ] = 0 для любого вектора a .

G c ⎤⎦ .

Геометрические свойства векторного произведения векторов: G G Т Модуль вектора ⎡ a , b ⎤ равен площади Sпар параллелограмма, построен⎣ ⎦ G G ного на векторах a и b . G G Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , равна

JJJG JJJG G G G G∧ G S пар =| AD | ⋅ | BE |=| b | ⋅h =| b || a | sin(a , b ) .

50

Лекция 4

Т

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения. Доказательство: G G Необходимость. Пусть a и b коллинеарны. G G G G G G G G G n Тогда [a , b ] =| a | ⋅ | b | ⋅ sin a , b = 0 ⇒ [a , b ] = 0 .

( )

Достаточность. G G G G G G G G G n Пусть [a , b ] = 0 ⇒ [a , b ] = 0 ⇒ | a | ⋅ | b | ⋅ sin a , b = 0 . G G n Тогда существуют три возможности: 1) либо sin a , b = 0 , G G 2) либо aG = 0 , G 3) либо b = 0 . G G G G G G G G n n 1) sin a , b = 0 ⇒ a , b = 0 , a коллинеарен b ; 2) и 3) a коллинеарен b

( ) ( )

( )

( )

по определению. Т

Выражение векторного произведения через координаты сомножитеG G лей. Если два вектора a и b заданы своими декартовыми координатами G G a = { x1 , y1 , z1} , b = { x2 , y2 , z2 } , то их векторное произведение имеет вид: G G G c = ⎡⎣ a , b ⎤⎦ = { y1 z2 − z1 y2 , z1 x2 − x1 z2 , x1 y2 − y1 x2 } , или в виде символического определителя ния): G G i j G G G c = ⎡⎣ a , b ⎤⎦ = x1 y1 x2 y2

(более удобном для запомина-

G k z1 . z2

Доказательство: G G G Тройка i , j , k - правая. Преобразуем: G G G G G G G G G c = ⎡⎣ a × b ⎤⎦ = ⎡ x1i + y1 j + z1k × x2i + y2 j + z2 k ⎤ = ⎣ ⎦ G G G G G G = x1 x2 ⎡⎣ i × i ⎤⎦ + x1 y2 ⎡⎣ i × j ⎤⎦ + x1 z2 ⎡⎣ i × k ⎤⎦ + G G G G G G + y1 x2 ⎣⎡ j × i ⎦⎤ + y1 y2 ⎣⎡ j × j ⎦⎤ + y1 z2 ⎡⎣ j × k ⎤⎦ + G G G G G G + z1 x2 ⎡⎣ k × i ⎤⎦ + z1 y2 ⎡⎣ k × j ⎤⎦ + z1 z2 ⎡⎣ k × k ⎤⎦ .

{

}

(

) (

)

51

Векторная алгебра

Заметим, что

G G G G G G G G G G G G ⎡⎣i × i ⎦⎤ = ⎣⎡ j × j ⎦⎤ = ⎣⎡k × k ⎦⎤ = 0, ⎣⎡i × j ⎦⎤ = − ⎣⎡ j × i ⎦⎤ = k , G G G G G G G G G G ⎡i × k ⎤ = − ⎡ k × i ⎤ = − j , ⎡ j × k ⎤ = − ⎡ k × j ⎤ = i . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ G

С учетом этих равенств выражение для c можно представить в виде: G G G G G ⎡ a , b ⎤ = ( y1 z2 − z1 y2 ) ⋅ i − ( x1 z2 − z1 x2 ) ⋅ j + ( x1 y2 − y1 x2 ) ⋅ k , ⎣ ⎦ что можно выразить через определители:

G ⎡a, ⎣

С

G y b ⎤⎦ = 1 y2

z1 G x1 ⋅i − z2 x2

z1 G x1 ⋅j+ z2 x2

G i

y1 G ⋅ k = x1 y2 x2

G j

G k

y1

z1 .

y2 z 2 G G Если два вектора a = ( x1 , y1 , z1 ) и b = ( x2 , y2 , z2 ) коллинеарны, то их коx y z ординаты пропорциональны, то есть 1 = 1 = 1 . x2 y2 z2

4.8. Смешанное произведение векторов. Определение. Алгебраические и геометрические свойства. Выражение через декартовы координаты сомножителей О

G G G G Если вектор a умножить векторно на вектор b , а результат ⎡⎣ a , b ⎤⎦ скаG лярно умножить на вектор c , то полученное число называется смешанG G G GGG G G G ным произведением векторов a , b , c : ⎡⎣ a , b ⎤⎦ , c = a b c . G G G Смешанное произведение некомпланарных векторов a , b , c по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, приведенных к одному началу. Оно положительно, если тройк а G G G G G G если она левая. Если же векторы a , b , c a , b , c правая и отрицательно, G GG компланарны, то a b c равно нулю. Доказательство: Объем параллелепипеда равен произведеG a нию площади основания на высоту. G G G Sосн. = ⎡⎣b , c ⎤⎦ ; h = a ⋅ cosθ ; G θ G G G c V = Sосн. ⋅ h = ⎡⎣b , c ⎤⎦ ⋅ a ⋅ cosθ = 0 G G G G G G G b = a , ⎡⎣b , c ⎤⎦ = a b c .

(

Т

(

)

)

52 !

Лекция 4

GGG Знак смешанного произведения зависит от знака cosθ : a b c > 0 , если G вектор a направлен в ту же сторону, от плоскости, определяемой вектоG G G G рами b и c , что и вектор ⎡⎣b , c ⎤⎦ , т.е. когда тройка векторов правая; анаGGG логично доказывается, что a b c < 0 для левой тройки. G G G G Если же векторы a , b и c компланарны, то вектор c лежит в плоскости, G G G G G G определенной векторами a и b , следовательно, пр eG c = 0 ⇒ [a , b ], c = 0 .

(

С

)

GG G G GG G G G G G G G G G GGG 1. [a , b ], c = [b , c ], a = [c , a ], b , поскольку тройки a b c и b c a , c a b

(

) (

) (

)

имеют одинаковую ориентацию (циклическая перестановка векторов в смешанном произведении не меняет его знака). Нециклическая перестановка векторов в смешанном произведении приводит к изменению ориентации векторов и смене знака смеG G G G G Gтройки GGG GGG шанного произведения: b a c = a c b = c b a = − a b c . Это означает, что GGG смешанное произведение можно записывать просто в виде a b c , так как G G G G G G G G G [a , b ], c = [b , c ], a = a , [b , c ] (смешанное произведение зависит от

(

) (

) (

)

порядка сомножителей, но не зависит от того, какие сомножители связаны первичным знаком векторного произведения). 2. Критерий компланарности трех векторов. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Доказательство: GGG G G G Если a b c = a ⋅ ⎡⎣b , c ⎤⎦ ⋅ cosθ = 0 , то должно выполняться хотя бы одно из условий: G 1) a = 0 => векторы компланарны; G G G G G G G 2) ⎡⎣b , c ⎤⎦ = 0 , если b и c коллинеарны, => a , b , c - компланарны; G G G G G G 3) cosθ = 0 , тогда a ⊥ ⎡⎣b , c ⎤⎦ , т.е. a компланарен b и c . G G G Обратно, если a , b , c - компланарны и не имеют место случаи 1) и 2), то имеет место случай 3).

53

Векторная алгебра

Выражение смешанного произведения через декартовы координаты сомножителей G G G Т Если три вектора a , b и c заданы своими декартовыми координатами G G G G G G G G G G G G a = x1i + y1 j + z1k , b = x2i + y2 j + z2 k , c = x3i + y3 j + z3k , то смешанное GGG произведение a b c равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов:

Доказательство:

G i G G ⎡b , c ⎤ = x2 ⎣ ⎦ x3

( С

G j y2 y3

G G G y a , ⎡⎣b , c ⎤⎦ = x1 2 y3

)

x1 GGG a b c = x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 . z3

G k Gy z2 = i 2 y3 z3

z2 G x2 −j z3 x3

z2 G x2 +k z3 x3

z2 x − y1 2 z3 x3

z2 x + z1 2 z3 x3

x1 y2 = x2 y3 x3

y2 , y3 y1 y2 y3

z1 z2 . z3

Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов, заданных в декартовом базисе, является равенство нулю определителя третьего порядка, в первой строке которого записаны координаты первого вектора, во второй - второго, в третьей - третьего.

В результате изучения материала, изложенного в этой лекции, студент должен знать: ƒ различия между скалярными и векторными величинами; ƒ определения и свойства линейных операций над векторами (сложение и умножение на число); ƒ понятие базиса и координат вектора в данном базисе; ƒ определения скалярного, векторного и смешанного произведений; ƒ алгебраические и геометрические свойства произведений векторов; ƒ выражение произведений векторов через координаты сомножителей; ƒ что вычисляется с помощью произведений векторов: скалярного (число) – длины векторов, углы, проекции, векторного (вектор) – площади треугольников и параллелограммов, смешанного (число) – объемы.

Лекция 5 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Предметом изучения аналитической геометрии является описание геометрических объектов на плоскости и в пространстве с помощью уравнений. Методы аналитической геометрии широко используются в современном естествознании и прикладных технических дисциплинах при построении математических моделей объектов и процессов. В лекции 5 рассматриваются наиболее простые объекты, описываемые уравнениями первой степени – плоскости и прямые. Приводятся различные виды уравнений плоскостей и прямых в пространстве, показывается, для какого типа задач тот или иной тип более уместен. Примеры иллюстрируют методы решения типичных задач. 5.1. Основы аналитической геометрии 5.1.1. Уравнение поверхности 5.1.2. Уравнения линии 5.2. Плоскость в пространстве 5.2.1. Плоскость как поверхность первого порядка. Общее уравнение плоскости. 5.2.2. Неполные уравнения плоскостей 5.2.3. Уравнения плоскости «в отрезках» 5.2.4. Нормальное уравнение плоскости 5.2.5. Расстояние от точки до плоскости 5.2.6. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки 5.2.7. Угол между двумя плоскостями 5.2.8. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей 5.3. Прямая линия в пространстве 5.3.1. Векторное уравнение прямой 5.3.2. Параметрические уравнения прямой 5.3.3. Канонические уравнения прямой 5.3.4. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки 5.3.5. Общие уравнения прямой 5.3.6. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую 5.3.7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 5.4. Прямая и плоскость 5.4.1. Точка пересечения прямой и плоскости 5.4.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве

55

5.1. Основы аналитической геометрии 5.1.1. Уравнение поверхности Аналитическая геометрия ставит своей задачей изучение геометрических объектов с помощью аналитического метода. Геометрические объекты: точка, линия, поверхность. Точка. Задается аналитически совокупностью чисел: одного - для точки на прямой; двух - для точки на плоскости; трех - для точки в пространстве. Эти числа называются координатами. Введем в пространстве декартову прямоугольную систему коордGинатG, т.е. зададим наG чало координат 0, базис i j k , оси Ox, Oy, Oz. О

Декартовыми координатами JJJJG точки М называются декартовы координаты ее радиус–вектора OM = { x, y , z } . Более сложные геометрические объекты задаются уравнениями, связывающими координаты точек, принадлежащих данному объекту. Эти уравнения реализуют условия принадлежности точки данному геометрическому объекту. Пусть задано уравнение: F (x, y, z) = 0 (*) и поверхность S. Поверхность S - есть геометрическое место точек, определяемое уравнением (*), если координаты точек поверхности S удовлетворяют уравнению (*), а координаты любой точки, не лежащей на ней, - не удовлетворяют.

О

Поверхность, определяемая в декартовой системе координат алгебраическим уравнением n–й степени, называется алгебраической поверхностью n–го порядка.

5.1.2. Уравнения линии В аналитической геометрии каждая линия в пространстве рассматривается как пересечение двух поверхностей и определяется заданием двух уравнений. Если F(x, y, z)=0 и Ф(x, y, z)=0 являются уравнениями двух поверхностей S1 и S2, пересекающихся по линии L , то линия L есть геометрическое место общих точек этих поверхностей, координаты которых удовлетворяют систе⎧ F ( x, y, z ) = 0, ме уравнений: L : ⎨ ⎩Φ ( x, y, z ) = 0.

56

Лекция 5

5.2. Плоскость в пространстве 5.2.1. Плоскость как поверхность первого порядка. Общее уравнение плоскости Т

В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость. Возьмем на плоскости P произвольную точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) . ВыбеG рем вектор n = { A, B , C } , перпендикулярный плоскости (нормальный вектор). Пусть M ( x, y, z ) – произвольная точка плоскости P . Точка M принадлежит плоскости P (записывается: M ( x, y, z ) ∈ P ) тогда и только JJJJJJG G JJJJJJG G тогда, если M 0 M ⊥ n => ( M 0 M ⋅ n ) = 0 . JJJJJJG G Так как n = { A, B, C}, M 0 M = {x − x0 , y − y0 , z − z0 }, то скалярное произведение G JJJJJG ( n ⋅ M 0 M ) = A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) . Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) с нормальG ным вектором n = { A, B, C} , имеет вид:

A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 . Раскрывая скобки и обозначая через D = − Ax0 − By0 − Cz0 , получим уравнение первой степени (так называемое общее уравнение плоскости):

Ax + By + Cz + D = 0 . Составим, например, уравнение плоскости, проходящей через точку M (1,1,1) перпендикулярно G к вектору n = {2,2,3} . Искомое уравнение примет вид: 2 ( x − 1) + 2 ( y − 1) + 3 ( z − 1) = 0 ,

2 x + 2 y + 3z − 7 = 0 . С

Если два уравнения A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 определяют одну и ту же плоскость, то коэффициенты их пропорциональны:

A1 B1 C1 D1 = = = . A2 B2 C2 D2

Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве

57

5.2.2. Неполные уравнения плоскостей Если в общем уравнении плоскости отсутствуют какие-то слагаемые, то оно называется неполным. Рассмотрим частные случаи уравнения первой степени

Ax + By + Cz + D = 0 . D = 0: Ax + By + Cz = 0

- плоскость, проходящая через начало координат.

Эти уравнения определяют плоскости, параллельные соответственно координатным осям OX, OY, OZ, так как соответствующие компоненты нормального вектора плоскости равны нулю: G А = 0: By + Cz + D = 0 - n ║YOZ → P ║ OX; G B = 0: Ax + Cz + D = 0 - n ║XOZ → P ║ OY; G C = 0: Ax + By + D = 0 - n ║XOY → P ║ OZ. Эти уравнения определяют плоскости, параллельные соответственно координатным плоскостям OXY, OXZ, OYZ: G A = 0, B = 0: Cz + D = 0 - n ║OZ → P ║ XOY; G A = 0, C = 0: By + D = 0 - n ║OY → P ║ XOZ; G B = 0, C = 0: Ax + D = 0 - n ║OX → P ║ YOZ. Эти уравнения определяют координатные плоскости XOY, XOZ,YOZ: A = 0, B = 0, D = 0: Cz = 0 - плоскость XOY; A = 0, C = 0, D = 0: By = 0 - плоскость XOZ; B = 0, C = 0, D = 0: Ax = 0 - плоскость YOZ.

5.2.3. Уравнение плоскости «в отрезках» Пусть плоскость не проходит через начало координат. Преобразуем общее уравнение плоскости:

Ax By Cz + + = 1, −D −D −D x y z + + = 1. D D D − − − A B C

Ax + By + Cz = − D ,

58

Лекция 5

x y z + + = 1 называется уравнением плоскости «в отрезках». a b c −D −D −D Параметры a = , b= , c= представляют собой координаты точек A B C пересечения плоскости с координатными осями и равны (с точностью до знака) отрезкам, отсекаемым плоскостью на координатных осях. Пусть, например, точка лежит на оси Оx и плоскости Р, т.е. y0 = z0 = 0 . x Тогда 0 = 1 , откуда x0 = a . a

Уравнение

Пример: Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость 2x – 4y + 6z –12 = 0? Приведем общее уравнение плоскости к виду уравнения «в отрезках»: 2x 4 y 6z x y z − + =1⇒ + + = 1. 12 12 12 6 −3 2 Отрезки, отсекаемые на осях, равны a = 6 , b = −3 , c = 2 . Отрицательный знак перед b показывает, что плоскость пересекает отрицательную полуось Oy .

5.2.4. Нормальное уравнение плоскости Пусть Р – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, а M ( x, y, z ) JJJJG – произвольная точка плоскости ( OM = {x, y , z} ), JJJG G длина вектора OP = p , n0 – единичный вектор норJJG G мали к плоскости, n0 = 1 , no = {cosα ,cos β ,cos γ } . Проекция радиус-вектора любой точки плоскоG сти на направление, задаваемое вектором n0 – велиJJJJG чина постоянная, равная p: пр nG0 OM = p , JJJJG JJJJG JJG пр nG0 OM = OM ⋅ n0 = x cosα + y cos β + z cos γ . Уравнение x cosα + y cos β + z cos γ = p задает нормальное уравнение плоскости в виде

x cosα + y cos β + z cos γ − p = 0 , где cosα ,cos β ,cos γ - направляющие косинусы нормали к плоскости, а p – расстояние от плоскости до начала координат (длина нормали, опущенной на плоскость из начала координат).

59

Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве

Приведение уравнения плоскости к нормальному виду (нормализация) Приведем общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 к нормальному виду: x cosα + y cos β + z cos γ − p = 0 . Так как эти уравнения определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны: cosα = µ A,cos β = µ B,cos γ = µC , − p = µ D . Из условия cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 , которому удовлетворяют направляющие косинусы вектора, следует, что µ 2 ( A2 + B 2 + C 2 ) = 1 . Введем так называемый нормирующий множитель µ = ±

1

,

A + B +C знак которого определяется из условия µ D < 0 , т.е. должен быть противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения. Умножением на нормирующий множитель µ общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду: µ Ax + µ By + µCz + µ D = 0. !

2

2

2

1. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду позволяет узнать ее расположение относительно системы координат. 2. Введение нормирующего множителя соответствует замене произвольG ного вектора нормали n = { A, B , C } в уравнении плоскости единичным G JJG n вектором нормали no = {cosα ,cos β ,cos γ } = G . |n|

5.2.5. Расстояние от точки до плоскости О

Отклонением δ точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) от плоскости называется число, равное длине перпендикуляра, опущенного из точки M 1 на плоскость, взятое со знаком «-», если точка M 1 и начало координат находятся по одну сторону от плоскости, и со знаком «+», если по разные стороны. Пусть дана точка M 1 ( x1 , y1 , z1 ) . Спроектируем точку M 1 на нормаль к G плоскости n. Отклонение δ = PQ = OQ − OP. JJJJJG JJJG OQ = пр nG OM 1 , OP = p, JJJJJG δ = пр nG OM 1 − p, JJJJJG G пр n OM 1 = x1 cosα + y1 cos β + z1 cos γ ,

δ = x1 cosα + y1 cos β + z1 cos γ − p .

60

Лекция 5

Таким образом, чтобы найти отклонение какой-либо точки от плоскости, нужно в левую часть нормального уравнения этой плоскости подставить координаты точки. Если плоскость задана общим уравнением, то отклонение точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) от плоскости Ax + By + Cz + D = 0 вычисляется по формуле

δ=

Ax1 + By1 + Cz1 + D ± A + B +C 2

2

2

.

Расстояние от точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) до плоскости: d = δ =

Ax1 + By1 + Cz1 + D A +B +C 2

2

2

.

Пример: Найти расстояние от точки M ( 4,3,1) до плоскости 3 x − 4 y + 12 z + 14 = 0 .

µ= −

−1 3 + 4 + 12 2

2

2

=−

1 ; 13

1 (3 x − 4 y + 12 z + 14) = 0, 13

δ =−

1 (3 ⋅ 4 − 4 ⋅ 3 + 12 ⋅1 + 14) = −2 → d = 2. 13

5.2.6. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки Пусть даны три точки M1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , M 3 ( x3 , y3 , z 3 ). M ( x, y,z ) - текущая точка плоскости. Рассмотрим три вектора: JJJJJG M 1M = {x − x1 , y − y1 , z − z1} , JJJJJJJG M 1M 2 = {x2 − x1 , y2 − y1 ,z2 − z1} , JJJJJJJG M 1M 3 = {x3 − x1 , y3 − y1 ,z3 − z1} . Точка M ( x, y, z ) лежит в плоскости M1M 2 M 3 в том и только в том случае, есJJJJJJG ли эти векторы компланарны. Условие компланарности трех векторов M 1M , JJJJJJJG JJJJJJJG M 1M 2 и M 1M 3 определяет плоскость, проходящую через три данные точки:

61

Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве

JJJJJJG JJJJJJJG JJJJJJJG M 1M ⋅ M 1M 2 ⋅ M 1M 3 = 0 .

x − x1

y − y1

z − z1

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1 = 0.

x3 − x1

y3 − y1

z3 − z1

5.2.7. Угол между двумя плоскостями Пусть плоскости P1 и P2 заданы уравнениями:

A1x + B1 y + C1z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. Угол между плоскостями определяется как угол между их нормальными векG G торами n1 = { A1 , B1 , C1}, n2 = { A2 , B2 , C2 } . JG JJG n1 , n2 cos ϕ = JG JJG = | n1 || n2 |

(

)

A1 A2 + B1 B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 ⋅ A22 + B22 + C22

.

Пример: Найти угол между плоскостями x − y − 2 z − 6 = 0, y = 0. G G Нормальные векторы плоскостей n1 = {1,−1,− 2} , n 2 = {0,1,0} .

cos ϕ =

1 ⋅ 0 − 1 ⋅1 − 2 ⋅ 0 2

12 + 12 + 2 ⋅ 02 + 12 + 02

= −

1 → ϕ = 60° . 2

5.2.8. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей Плоскости P1 и P2 параллельны, если их нормальные векторы G G n1 = { A1 , B1 , C1} и n2 = { A2 , B2 , C2 } коллинеарны, то есть их координаты проA B C порциональны: 1 = 1 = 1 . A2 B2 C2 Плоскости P1 и P2 перпендикулярны, если их нормальные векторы G G перпендикулярны, (n1 ⋅ n2 ) = 0, следовательно, A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 .

62

Лекция 5

5.3. Прямая линия в пространстве 5.3.1. Векторное уравнение прямой Рассмотрим некоторую прямую L в пространстве. Пусть M 0 – фиксированная точка L ( M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ L ). M – произвольная точка L G ( M ( x, y, z ) ∈ L ), a = {l , m, n} – направляющий вектор прямой (любой вектор, лежащий на прямой либо параллельный ей). Точка M принадлежит JJJJJJG G прямой L тогда и только тогда, когда M 0 M & a и эти JJJJJJG G векторы пропорциональны: M 0 M = t ⋅ a . JJJJJJG G G G G Так как M 0 M = rM − rM 0 , где rM , rM 0 - радиус–векторы точек M и M 0 , то для G G G произвольной точки на прямой имеем: rM = rM 0 + t ⋅ a – векторное уравнение

прямой. 5.3.2. Параметрические уравнения прямой В координатном виде векторное уравнение прямой распадается на три: ⎧ x = x0 + l ⋅ t , ⎪ ⎨ y = y0 + m ⋅ t , ⎪ z = z + n⋅t 0 ⎩ - параметрические уравнения прямой.

5.3.3. Канонические уравнения прямой x − x0 y − y0 z − z0 = = Исключая параметр t, получим - канонические l m n уравнения прямой, проходящей через фиксированную точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и G имеющей направляющий вектор a = {l , m, n}. 5.3.4. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки Пусть даны две точки M1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y2 , z2 ) . В направляющего вектора прямой выберем JJJJJJGкачестве M 1M 2 = {x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1} , и уравнение прямой примет вид:

x − x1 y − y1 z − z1 . = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

вектор

63

Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве

5.3.5. Общие уравнения прямой Рассмотрим две плоскости: ⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

A1 B1 C1 = = , то плоскости параллельны. В противном случае плоскоA2 B2 C2 сти пересекаются и соответствующие уравнения определяют прямую линию пересечения плоскостей. Если

5.3.6. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую Пусть прямая L задана линией пересечения двух плоскостей: ⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

Возьмем любые отличные от нуля числа α и β и составим равенство

α ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + β ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 . Это равенство определяет плоскость, которая проходит через прямую L. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей. Если положить λ = β

α , то уравнение A1 x + B1 y + C1 z + D1 + λ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0

определяет все плоскости пучка, кроме второй из задающих прямую.

5.3.7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых Пусть заданы направляющие векторы прямых G G L1 : a1 = {l1 , m1 , n1} , L2 : a2 = {l2 , m2 , n2 } .

ϕ

Угол между прямыми принимается равным углу между направляющими векторами:

cos ϕ =

l1l2 + m1m2 + n1n2 l +m +n ⋅ l +m +n 2 1

2 1

2 1

2 2

2 2

2 2

.

L1

L2

64

Лекция 5

G G Прямые будут параллельны, если их направляющие векторы a1 и a2 паралl m n лельны, т.е. 1 = 1 = 1 . l2 m2 n2 Прямые будут перпендикулярны, если их направляющие векторы перпендикулярны, то есть, l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 .

5.4. Прямая и плоскость 5.4.1. Точка пересечения прямой и плоскости Пусть даны уравнения прямой L и плоскости P :

x − x0 y − y0 z − z0 = = , l m n P : Ax + By + Cz + D = 0.

L:

Координаты точки пересечения прямой L и плоскости P должны одновременно удовлетворять этим уравнениям. Перейдем к параметрическим уравнениям прямой: x = x0 + lt , y = y0 + mt , z = z0 + nt . Подставляя их в уравнение плоскости P , получим значение параметра t, равAx + By0 + Cz0 + D , подстановка которого в параметрические уравное t = − 0 Al + Bm + Cn нения прямой даст координаты точки пересечения прямой и плоскости.

5.4.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости Из рисунка видно, что если ϕ – угол между прямой и плоскостью, то

G G ⎛π ⎞ cos nm , a = cosψ = cos ⎜ − ϕ ⎟ = sin ϕ ⎝2 ⎠

( )

Al + Bm + Cn

π

sin ϕ = cos( − ϕ ) = 2

A + B +C ⋅ l +m +n 2

2

2

2

2

2

.

Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость в пространстве

65

Прямая L перпендикулярна плоскости P, если направляющий вектор пряA B C мой коллинеарен нормальному вектору плоскости, т.е. = = . l m n Прямая L параллельна плоскости P, если направляющий вектор прямой G G перпендикулярен нормальному вектору плоскости, (a ⋅ n ) = 0, т.е. Al + Bm + Cn = 0.

В результате изучения материала, изложенного в этой лекции, студент должен знать: ƒ виды уравнений плоскости, назначение каждого вида, способ преобразования одного вида в другой; ƒ виды уравнений прямой, назначение каждого вида, способ преобразования одного вида в другой; ƒ способы решения стандартных задач, связанных с прямой и плоскостью: (угол между плоскостями, между прямыми, между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности этих объектов, расстояние от точки до плоскости, координаты точки пересечения прямой и плоскости).

Лекция 6 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция 6 посвящена аналитической геометрии на плоскости. Рассмотрены задачи, связанные с простейшими объектами на плоскости – точками и прямыми. Подробно анализируются кривые второго порядка: выводятся канонические уравнения кривых, исследуется их форма, обсуждаются элементы кривых. Показано, что преобразованиями координат, т.е. параллельным переносом и поворотом координатных осей общее уравнение второго порядка можно привести к каноническому виду. Заканчивается лекция рассмотрением линий в полярной системе координат и линий, заданных параметрически. 6.1. Простейшие задачи на плоскости 6.1.1. Расстояние между двумя точками 6.1.2. Деление отрезка в данном отношении 6.2. Прямая линия на плоскости 6.2.1. Общее уравнение прямой 6.2.2. Каноническое уравнение прямой 6.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки 6.2.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении 6.2.5. Уравнение прямой в отрезках 6.2.6. Нормальное уравнение прямой 6.2.7. Расстояние от точки до прямой 6.2.8. Координаты точки пересечения двух прямых 6.2.9. Угол между двумя прямыми 6.2.10. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых 6.3. Кривые второго порядка 6.3.1. Эллипс 6.3.2. Окружность 6.3.3. Гипербола 6.3.4. Парабола 6.4. Преобразования координат 6.4.1. Параллельный перенос 6.4.2. Поворот координатных осей 6.4.3. Изменение начала координат и поворот осей 6.4.4.* Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду 6.5.* Линии в полярной системе координат 6.5.1.* Полярные координаты на плоскости 6.5.2.* Связь полярных координат с декартовыми 6.5.3.* Уравнения линий в полярной системе координат 6.6.* Параметрическое задание линий 6.6.1.* Окружность 6.6.2.* Циклоида 6.6.3.* Астроида

67

Аналитическая геометрия на плоскости

6.1. Простейшие задачи на плоскости 6.1.1. Расстояние между двумя точками Пусть даны две точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2). РассJJJJJJ тоянGие между ними равно длине вектора M 1M 2 = { x2 − x1 , y2 − y1} и может быть вычислено по JJJJJJG формуле: d = M1M 2 = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 .

6.1.2. Деление отрезка в данном отношении Точка M(x,y) делит отрезок M1M2 в отношении JJJJJJG JJJJJG JJJJJG M 1M λ , если JJJJJJG = λ . Тогда M 1M = λ MM 2 , а отсюда MM 2

x − x1 y − y1 = = λ , и координаты точки М находятx2 − x y2 − y x1 + λ x2 ⎧ ⎪⎪ x = 1 + λ . ся по формулам: ⎨ y y λ + 2 ⎪y = 1 ⎪⎩ 1+ λ Координаты середины отрезка С получаются при М1М=ММ2, то есть λ = 1 :

xc =

x1 + x2 y + y2 , yc = 1 . 2 2

Отметим, что число λ не зависит от того, как выбрано положительное направление на отрезке М1М2, так как при изменении направления на противоположное λ не меняется.

6.2. Прямая линия на плоскости 6.2.1. Общее уравнение прямой Общее уравнение прямой на плоскости XOY получается из общего уравнения плоскости в пространстве при z = 0. Прямая на плоскости в декартовых координатах задается уравнением Ax+By+C=0. Если А = 0 (В = 0), то прямая параллельна оси OX (оси OY). Если С=0, то прямая проходит через начало координат. Если прямая проходит через точку G (x0,y0) перпендикулярно вектору n = { A, B} , ее уравнение принимает вид: A( x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0 .

68

Лекция 6

6.2.2. Каноническое уравнение прямой Если прямая проходит через точку (x0,y0) параллельно направляющему G вектору a = {l,m} , то из канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве при z = 0 получаем каноническое и параметрические уравнения прямой на плоскости в виде x − x0 y − y0 ⎧ x = x0 + lt , = и⎨ l m ⎩ y = y0 + mt , где t – параметр, t ∈ ( −∞, ∞ ) . 6.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки Y M2

M1 O

X

Пусть на плоскости заданы две точки M1(x1,y1), M2(x2,y2). Для того чтобы написать уравнение прямой, проходящей через эти точки, полагаем в соответствующем уравнении прямой в пространстве z = z1 = z2 = z3 = 0. Тогда получаем искомое уравнение в виде x − x1 y − y1 = . x2 − x1 y2 − y1

6.2.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении Пусть прямая составляет угол α с осью OX. Угловым коэффициентом прямой k называется число k = tgα . Прямая может быть задана точкой М1(x1,y1) и угловым коэффициентом k или двумя точками М1(x1,y1) и М2(x2,y2). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k может быть получено из общего уравнения прямой Ax+By+C=0, если B ≠ 0 , тогда y = k x + b , где C А k = − и b = − . Пусть прямая пересекает ось OY B B в точке P(0,b). Из уравнения прямой, проходящей через две точки, имеем y −y y − y1 = 2 1 ( x − x1 ). x2 − x1

69

Аналитическая геометрия на плоскости

y2 − y1 = tgα = k . Таким образом, y − y1 = k ( x − x1 ). Уравнение x2 − x1 полученной прямой принимает вид уравнения прямой с угловым коэффициентом k, если b = y1 - k x1. Отсюда

6.2.5. Уравнение прямой в отрезках Общее уравнение прямой Ax+By+C=0 может быть преобразовано к виду x y уравнения прямой «в отрезках»: + = 1 . Прямая в отрезках пересекает ось a b OX в точке А(а,0) и ось OY в точке В(0,b). 6.2.6. Нормальное уравнение прямой Пусть известно расстояние от прямой до начала JJJG координат OP = p и угол α между перпендикуляром к прямой и осью OX. Из нормального уравнения плоскости в пространстве, полагая z = 0 и учитывая, что

π

cos( − α ) = sin α , 2 получаем нормальное уравнение прямой на плоскости в виде: x cosα + y sin α − p = 0 . Нормальное уравнение прямой можно получить из общего уравнения прямой 1 . Знак Ax+By+C=0, умножив его на нормирующий множитель µ = ± A2 + B 2 числа µ должен быть противоположен знаку числа С. Косинусы углов, образуемых прямой с осями координат, называются направляющими косинусами прямой. Если угол между прямой и осью OX равен α и угол между прямой и осью OY равен β, то cos 2 α + cos 2 β = 1 . 6.2.7. Расстояние от точки до прямой Расстояние d от точки M0(x0,y0) до прямой, задаваемой нормальным уравнением, равно модулю отклонения точки от прямой δ, d = |δ|, где

δ = x0 cos α + y0 sin α − p = ±

Ax0 + By0 + C A2 + B 2

.

70

Лекция 6

По этой формуле δ положительно, если точка М0 и начало координат лежат по разные стороны от прямой, в противном случае δ отрицательно. 6.2.8. Координаты точки пересечения двух прямых Если прямые заданы уравнениями A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, то координаты точки их пересечения (x0, y0) получаются как решение системы уравнений:

⎧ A1 x + B1 y + C1 = 0, ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C2 = 0 по формулам Крамера в виде:

B1 C1 C1 B C2 C , y0 = 2 x0 = 2 A1 B1 A1 А2

B2

A2

A1 A A2 , при 1 B1 A2 B2

B1 ≠ 0. B2

6.2.9. Угол между двумя прямыми Пусть две прямые заданы уравнениями: y1 = k1 x + b1 , y2 = k2 x + b2 .

Острый угол ϕ пересечения этих прямых (отсчитываемый против часовой стрелки) находится из следующих соотношений:

tgϕ = tg(α 2 − α1 ) = Отсюда tgϕ =

tgα 2 − tgα1 . 1 + tgα1 tgα 2

k2 − k1 . 1 + k2 k1

Если прямые заданы общими уравнениями А1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, то A A угловые коэффициенты прямых равны: tgα1 = − 1 , tgα 2 = − 2 и угол ϕ меB1 B2 жду прямыми определяется формулой:

tgϕ =

A1 B2 − A2 B1 . A1 A2 + B1 B2

71

Аналитическая геометрия на плоскости

6.2.10. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых Прямые y1=k1x+b1 и y2=k2x+b2 параллельны друг другу, если ϕ = 0 . Следовательно, tgϕ = 0 , то есть k1=k2. Прямые y1=k1x+b1 и y2=k2x+b2 перпендикулярны друг другу, если ϕ = довательно, tgϕ → ∞ , то есть k1k2 = -1. Отсюда k1 = −

1 . k2

π

2

. Сле-

Если прямые заданы общими уравнениями, то: A A А1В1 – А2В1=0, 1 = 2 – условие параллельности, B1 B2 А1А2+В1В2=0 – условие перпендикулярности прямых.

6.3. Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости описываются алгебраическими уравнениями второго порядка.

6.3.1. Эллипс О Эллипсом называется геометрическое место всех точек M ( x, y ) , для которых сумма расстояний до двух заданных точек F1 ( + c,0 ) и F2 ( −c,0 ) (называемых фокусами эллипса) постоянна и равна 2a .

Каноническое уравнение эллипса может быть получено непосредственно из определения эллипса. JJJJG JJJJJG F1M + F2 M = 2a По определению и JJJJG F1F2 = 2c, где a > c . Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками: JJJJG JJJJJG F1M = ( x − c) 2 + y 2 = r1 , F2 M = ( x + c) 2 + y 2 = r2 . По определению r1 + r2 = 2a . Подставим в это равенство найденные r1 и r2 : ( x + c ) 2 + y 2 + ( x − c) 2 + y 2 = 2a .

72

Лекция 6

Проделаем очевидные преобразования:

( x + c ) 2 + y 2 = 2a − ( x − c ) 2 + y 2 , ( x + c ) 2 + y 2 = 4 a 2 − 4a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 , a ( x − c ) 2 + y 2 = a 2 − cx, (a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 ). Так как a > c , то положим a 2 − c 2 = b2 , тогда b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2

или

x2 y 2 + = 1 . Полученное уравнение называется каноническим уравнением a 2 b2 эллипса. Элементами эллипса являются: ƒ ƒ ƒ ƒ

точка О - центр эллипса; точки A, B, C , D - вершины эллипса; точки F1 ( + c,0 ) , F2 ( −c,0 ) - фокусы эллипса; 2c - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле:

c = a 2 − b2 ; ƒ ƒ ƒ

AB = 2a и CD = 2b - большая и малая оси эллипса; a и b - большая и малая полуоси эллипса; c e = , ( e < 1 ) - эксцентриситет эллипса, который вычисляется по форa муле: e = 1 −

b2 . a2

Эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и характеризует его форму: чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси. Прямые, параллельные малой оси и отстоящие от неё на расстояние a / e, называются директрисами эллипса. Уравнения правой и левой директрис a эллипса имеют вид: x = ± . e a Отметим, что > a , так как для эллипса e < 1 . e b2 Фокальный параметр p = - это половина хорды, проведённой через фоa кус параллельно малой оси.

Аналитическая геометрия на плоскости

73

6.3.2. Окружность О

Окружность представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от точки О, называемой центром окружности. Уравнение окружности можно получить из уравнения эллипса при a = b = R: x2 + y2 = R2.

6.3.3. Гипербола О

Гиперболой называется геометрическое место всех точек M ( x, y ) , для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек F1 ( +c,0 ) и F2 ( −c,0 ) (называемых фокусами гиперболы) постоянна и равна 2a ( a < c ) .

Каноническое уравнение гиперболы может быть получено непосредственно из определения гипербоJJJJG JJJJJG лы. По определению F1M − F2 M = 2a JJJJG и F1F2 = 2c, где а<с. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками: JJJJG JJJJJG F1M = ( x − c) 2 + y 2 = r1 , F2 M = ( x + c) 2 + y 2 = r2 . По определению r1 − r2 = ±2a . Подставим в это равенство найденные r1 и r2: ( x + c ) 2 + y 2 − ( x − c ) 2 + y 2 = ±2 a .

Проделаем очевидные преобразования: ( x + c ) 2 + y 2 = ±2 a + ( x − c ) 2 + y 2 ,

( x + c ) 2 + y 2 = 4a 2 ± 4a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 , cx − a 2 = ± a ( x − c ) 2 + y 2 ,

( c 2 − a 2 ) x 2 − a 2 y 2 = a 2 ( c 2 − a 2 ).

74

Лекция 6

x2 y2 Так как c>a, то положим c -a =b , тогда b x -a y =a b или 2 − 2 = 1 . a b Полученное уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. Элементами гиперболы являются: точка О - центр гиперболы; точки А и В вершины гиперболы; точки F1(+C,O) и F2(-C,O) - фокусы гиперболы; 2с 2

2

2

2 2

2 2

2 2

фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле c = b 2 + a 2 ; AB=2a - действительная ось гиперболы; CD=2b - мнимая ось гиперболы; c b = c 2 − a 2 ; e = - эксцентриситет гиперболы, который вычисляется по a

b2 формуле: e = 1 + 2 , e > 1 . a Эксцентриситет определяется отношением осей гиперболы и характеризует еe форму: чем больше e, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоугольник гиперболы. Уравнения директрис гиперболы имеют вид: a x=± . e a Отметим, что < a , так как e > 1 . e Асимптоты гиперболы - это прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность. b С учётом того, что k = ± tgα = ± , уравнения асимптот гиперболы принимаa ⎛b⎞ ют вид y = ± ⎜ ⎟ ⋅ x . ⎝a⎠ b2 Фокальный параметр гиперболы p = . a 6.3.4. Парабола О

Параболой

называется геометрическое место точек M ( x, y ) , равноудалённых от заданной точки F(p/2,0) (называемой фокусом параболы) и от данной прямой (называемой директрисой параболы).

Аналитическая геометрия на плоскости

75

Каноническое уравнение параболы может быть получено непосредственно из определения параболы. JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG p p По определению FM = MK . MK = + x , FM = ( x − ) 2 + y 2 . Таким об2 2

p p p p ( x − ) 2 + y 2 = + x или ( x − )2 + y 2 = ( + x)2 , 2 2 2 2 2 откуда y = 2px. Полученное уравнение называется каноническим уравнением параболы. Элементами параболы являются: точка О - вершина параболы; OX - ось p параболы; точка F(р/2,0) - фокус параболы; x = − - уравнение директри2 сы параболы; e = 1 - эксцентриситет параболы; p - фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половины хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси OX). разом, получено равенство

6.4. Преобразования координат 6.4.1. Параллельный перенос Перенесём начало координат из точки О в точку О1 параллельным переносом осей. Пусть в системе координат xOy точка М имеет координаты x и y. Система координат x′O1y′ получена из системы координат xOy параллельным переносом осей, при котором начало координат О1 имеет координаты x0 и y0 в системе координат xOy. Точка М в системе координат x′O1y′ имеет координаты x′ и y′. Связь между координатами точки M(x,y) и точки M(x′,y′) в старой и новой системах координат задается формулами:

⎧ x = x′ + x0 , ⎨ ⎩ y = y′ + y0 ,

(1)

⎧ x′ = x − x0 , ⎨ ⎩ y′ = y − y0 .

(2)

76

Лекция 6

Уравнения кривых второго порядка, когда их центры симметрии находятся в точке с координатами O1(x0,y0), получаются с помощью преобразования координат при параллельном переносе осей (2). ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = R 2 - уравнение окружности с центром в точке O1(x0,y0) и радиусом R. Аналогично получаются уравнения других кривых второго порядка: ( x − x0 ) 2 ( y − y0 ) 2 ± = 1 - уравнения эллипса и гиперa2 b2 болы с центром симметрии в точке O1(x0,y0); ( y − y0 ) 2 = 2 p ( x − x0 ) - уравнение параболы с вершиной в точке O1(x0,y0). a При этом, например, уравнения директрис эллипса и гиперболы: x − x0 = ± , e p а параболы: x − x0 = − . Аналогично преобразуются и уравнения асимптот 2 b гиперболы: y − y0 = ± ( x − x0 ) . a

6.4.2. Поворот координатных осей Выведем формулу преобразования координат при повороте координатных осей. Повернём оси координат на угол α относительно исходной системы координат. Координаты точки М в системе координат x′Oy′ равны x′ и y′. Найдём её координаты в системе координат xOy. В треугольнике CMD ∠CMD = α , OD = x′, MD = y′. Следовательно,

x = OA = OB – AB = OB - CD, Поскольку

то

y = MA = AC + CM = DB + CM.

OB = x′ cosα , CD = y′ sin α , CM = y′ cosα , DB = x′ sin α , ⎧ x = x′ cosα − y′ sin α , ⎨ ⎩ y = x′ sin α + y′ cosα .

(3)

Эти формулы выражают старые координаты (x,y) произвольной точки М через новые координаты (x′,y′) этой же точки при повороте осей на угол α. Формулы, выражающие новые координаты (x′,y′) точки М через её старые координаты (x,y), получим из следующих соображений: если новая система

Аналитическая геометрия на плоскости

77

получена поворотом старой на угол α, то старая система получается поворотом новой на угол (-α), поэтому в равенствах (3) можно поменять местами старые и новые координаты, заменяя одновременно α на (-α). Выполнив это преобразование, получим

⎧ x′ = x cosα + y sin α , ⎨ ⎩ y′ = − x sin α + y cosα . При этом, например, уравнения директрис эллипса (гиперболы) и параболы принимают вид: a x′ cosα − y′ sin α = ± ; e p x′ cosα − y′ sin α = − . 2

6.4.3. Изменение начала координат и поворот осей Если оси декартовой прямоугольной системы переносятся параллельно на величины x0 по оси OX и на y0 по оси OY и, кроме того, поворачиваются на угол α, то этому изменению системы соответствуют формулы преобразования координат, выражающие старые координаты через новые:

⎧ x = x′ cosα − y′ sin α + x0 , ⎨ ⎩ y = x′ sin α + y′ cosα + y0 ,

(4)

и новые координаты через старые:

⎧ x′ = ( x − x0 ) cosα + ( y − y0 ) sin α , ⎨ ⎩ y′ = −( x − x0 )sin α + ( y − y0 )cosα .

(5)

6.4.4*. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду Пусть кривая второго порядка задана в общем виде: Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 . Приведение этого уравнения к каноническому виду заключается в нахождении системы координат, в которой кривая имеет канонический вид, геометрически это может быть достигнуто переносом начала координат в центр кривой (x0,y0) и поворотом координатных осей на угол, совмещающий оси симметрии кривой с координатными осями. Алгебраически это приводит к исчезновению членов с произведением текущих координат и членов, содержащих их в первой степени, после применения формул (1) и (3).

78

Лекция 6

Уравнения, определяющие центр кривой, если он существует, записываются как

⎧ Ax0 + By 0 + D = 0, ⎨ ⎩ Bx0 + Cy 0 + E = 0.

(6)

Кривые второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными. После переноса начала координат в центр (x0,y0) уравнение кривой примет вид

Ax ′ 2 + 2 Bx ′y ′ + Cy ′ 2 + F1 = 0 ,

(7)

где F1 = Dx 0 + Ey 0 + F . Чтобы получить каноническое уравнение кривой A1 ( x ′′) 2 + C1 ( y ′′) 2 + F2 = 0 ,

подвергнем уравнение (7) преобразованию поворота осей координат на угол α . После преобразования получим: x′ = x′′ cos α − y′′ sin α , y′ = x′′ sin α + y′′ cos α , где x ′′, y ′′ - новые координаты. Выпишем из преобразованного уравнения слагаемые второго порядка:

A( x′′ cos α − y′′ sin α ) 2 + 2 B( x′′ cos α − y′′ sin α ) ⋅ ⋅( x′′ sin α + y′′ cos α ) + C ( x′′ sin α + y′′ cos α ) 2 . Из этих слагаемых нас интересует слагаемое, содержащее произведение x ′′ ⋅ y ′′ , коэффициент перед которым равен

B1 = −2 Asinα cosα + 2 B( cos 2α − sin 2α ) + +2Csinα cosα = 2 Bcos2α + ( C − A )sin2α . Найдём угол поворота из условия В1=0: 2 B cos 2α = ( A − C ) sin 2α . Если А = С, то

cos 2α = 0 и в качестве угла поворота можно выбрать α = π ; если

1 2B A ≠ C , то выбираем α = arctg . 2 A−C

6.5*. Линии в полярной системе координат 6.5.1*. Полярные координаты на плоскости Полярные координаты определяются заданием на плоскости полюса О и полярной оси ρ. Координаты точки М в полярных координатах задаются длиной радиус-вектора OM = ρ этой точки и углом его наклона к полярной оси. При этом 0 ≤ ρ ≤ ∞, 0 ≤ ϕ ≤ ∞ .

4

79

Аналитическая геометрия на плоскости 6.5.2*. Связь полярных координат с декартовыми Совместим начало декартовой системы с полюсом полярной системы координат, а ось OX с полярной осью ρ. Найдём связь координат точки M(x,y) и M(ρ,ϕ). Она выражается следующей системой уравнений:

⎧ x = ρ cos ϕ , ⎨ ⎩ y = ρ sin ϕ ,

ρ = x2 + y2 , tgϕ = y . x

Если известны координаты точек A(x1,y1) и B(x2,y2), то проекции отрезка AB = {x 2 − x1 , y 2 − y1 } = {ρ cos ϕ , ρ sin ϕ } , а полярный угол отрезка по координатам его начала и конца находится по формулам: x − x1 y − y1 cos ϕ = 2 , sinϕ = 2 ,

ρ

tgϕ =

ρ

y 2 − y1 , ρ = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 . x 2 − x1

6.5.3*. Уравнения линий в полярной системе координат Построим линию ρ = a cos ϕ , а = const>0. Координата ρ принимает только положительные значения. При ϕ = 0 cos ϕ = 1, ρ = a получаем точку А(а,0). Рассмотрим точку М(ρ,ϕ). Из уравнения линии - cos ϕ =

ρ

, a значит угол ОМА - прямой. С возрастанием угла ϕ от 0 до π/2 косинус этого угла убывает от 1 до 0, таким образом, ρ убывает от а до 0 в точке О(0, π/2) и радиус-вектор точки М описывает верхнюю половину окружности. Нижняя её половина получается при изменении ϕ от 3π/2 до 2π. Этим значениям угла соответствуют положительные значения cosϕ, возрастающие от 0 до 1, что приводит к возрастанию ρ от 0 до а и геометрическому замыканию окружности. Итак, уравнение ρ = a cos ϕ задаёт окружность с центром в точке (a/2,0) и радиусом a/2. Такой же результат получается, если в уравнении линии ρ = a cos ϕ перейти к декартовым координатам. x a a2 , x 2 + y 2 − ax = 0, ( x − ) 2 + y 2 = Тогда x 2 + y 2 = a - каноническое уравнение 2 4 x2 + y 2 окружности с центром в точке (a/2,0) и радиусом a/2. p , если 1 − e cos ϕ полюс находится в фокусе, полярная ось направлена из фокуса к ближайшей вершине (для гиперболы этим уравнением определяется только одна ветвь); р - фокальный параметр, е эксцентриситет кривой. В полярных координатах кривые второго порядка имеют уравнения ρ =

80

Лекция 6

6.6*. Параметрическое задание линий Параметрические уравнения линий задаются в виде зависимости текущих координат x и y от некоторого параметра t. Каждому значению t соответствуют два значения: - x и y. При изменении параметра t текущая точка M(x,y) описывает некоторую кривую на плоскости. Методом исключения параметра уравнение линии приводится к уравнению в декартовых координатах, и, наоборот, линия, заданная в декартовых координатах, может быть приведена к виду кривой, заданной параметрически.

6.6.1*. Окружность Пусть M(x,y) - текущая точка окружности с центром в начале координат и радиусом R. В качестве параметра t выберем угол, который составляет радиус-вектор точки М с осью OX. Из треугольника ОМА: ⎧ x = R cos t , ⎨ ⎩ y = R sin t , - параметрические уравнения окружности. Исключим из параметрических уравнений параметр t. Для этого возведём эти уравнения в 2 2 2 2 2 2 квадрат и сложим их: x + y = R (cos t + sin t ) = R . Таким образом, получено уравнение окружности в декартовых координатах.

6.6.2*. Циклоида Обыкновенной циклоидой называется кривая, описываемая точкой круга, катящегося без скольжения по прямой линии. Пусть OX - прямая, по которой катится круг радиуса а. Тогда МС = СК = а, где К точка касания. За параметр t примем угол поворота МС относительно СК: t = ∠MCK угол качения (в радианах). Так как качение окружности происходит без скольжения, то ∪

ОК= MK =at.

Из рисунка видно, что x = OP = OK − PK = OK − MQ = at − a sin t = a(t − sin t ),

y = PM = KC − QC = a − a cos t = a(1 − cos t ). ⎧ x = a (t − sin t ), где ⎨ ⎩ y = a (1 − cos t ), − ∞ < t < ∞ . При 0 ≤ t < 2π получаем первую арку циклоиды. Укажем, что длина дуги ОА1О1=8а, а площадь одной арки S=3πa2.

Таким

образом,

параметрические

уравнения

циклоиды

Аналитическая геометрия на плоскости

6.6.3*. Астроида Астроидой называется кривая, которую описывает точка окружности радиуса R/4, когда окружность катится без скольжения внутри окружности радиуса R. ⎧⎪ x = R cos3 t , Параметрические уравнения астроиды ⎨ 3 ⎪⎩ y = R sin t , где 0 ≤ t < 2π . В декартовых координатах уравнение астроиды x2/3+y2/3=R2/3. Длина астроиды L=6R, а площадь, ограниченная астроидой, S=3πR2/8.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: ƒ виды уравнений прямой на плоскости, преобразования от одного вида к другому; ƒ канонические уравнения кривых второго порядка; ƒ полярные координаты на плоскости, их связь с декартовыми; ƒ параметрический способ задания линии. Студент должен уметь: ƒ решать простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости; ƒ находить элементы кривой второго порядка по ее каноническому уравнению; ƒ преобразовывать уравнения кривых от декартовых координат к полярным и обратно; ƒ преобразовывать параметрические уравнения кривой в декартовы и обратно.

81

Лекция 7 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В лекции 7 излагаются элементы общей теории поверхностей и подробно рассматриваются поверхности второго порядка, для исследования формы которых применяется метод сечений. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5.

Поверхности Линейчатые поверхности Поверхности вращения Поверхности второго порядка Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям 7.5.1. Эллипсоид 7.5.2. Однополостный гиперболоид 7.5.3. Двуполостный гиперболоид 7.5.4. Эллиптический параболоид 7.5.5. Гиперболический параболоид 7.5.6. Конус 7.5.7. Эллиптический цилиндр 7.5.8. Гиперболический цилиндр 7.5.9. Параболический цилиндр

7.1. Поверхности О

Поверхность в трехмерном пространстве можно определить следующим образом: в явной форме: (1) z = z ( x, y ) ; ( x, y ) ∈ G ; в неявной форме: F ( x, y, z ) = 0; ( x, y, z ) ∈U ;

(2)

в параметрической форме: x = x ( u, v ) , y = y ( u, v ) , z = z ( u, v ) ; ( u, v ) ∈ G

в векторной форме:

(3)

G G (4) r = r ( u,v ) ; ( u,v ) ∈ G , где G - плоскаяGобласть, GU - пространственная G G область. В формуле (4) r = x ( u,v ) i + y ( u,v ) j + z ( u,v ) k - радиус-вектор точки по-

верхности M ( x, y, z ) .

Аналитическая геометрия. Поверхности второго порядка

83

7.2. Линейчатые поверхности О

Поверхность называется линейчатой, если она получается при движении в пространстве прямой, называемой образующей.

О

Коническая поверхность возникает, когда образующая движется по некоторой плоской кривой, называемой направляющей, и имеет неподвижную точку, называемую вершиной.

О

Цилиндрическая поверхность возникает, когда фиксированная точка образующей движется по некоторой плоской кривой, называемой направляющей; в процессе перемещения образующая остается параллельной заданному направлению.

Кроме конических и цилиндрических поверхностей к линейчатым относятся однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид, но закон движения образующей в этих случаях более сложен; ниже, при исследовании формы конкретных поверхностей, этот вопрос будет рассмотрен детально.

7.3. Поверхности вращения Если поверхность получается вращением плоской кривой, лежащей в одной из координатных плоскостей вокруг одной из координатных осей, то уравнение поверхности может быть получено из уравнения линии: 1)

кривая L ( x, y ) = 0 , лежащая в плоскости Oxy ; вращение вокруг оси Ox : вращение вокруг оси Oy :

2)

) x + z , y) = 0;

( F ( x, y , z ) = L ( ±

) x + y , z) = 0;

( F ( x, y , z ) = L ( ±

) x + y , z) = 0;

2

2

кривая L ( x, z ) = 0 , лежащая в плоскости Oxz ; вращение вокруг оси Ox : вращение вокруг оси O z :

3)

( F ( x, y , z ) = L ( ±

F ( x, y , z ) = L x, ± y 2 + z 2 = 0 ,

F ( x, y , z ) = L x, ± y 2 + z 2 = 0 , 2

2

кривая L ( y, z ) = 0 , лежащая в плоскости Oyz ; вращение вокруг оси Oy : вращение вокруг оси O z :

F ( x, y , z ) = L y , ± x 2 + z 2 = 0 , 2

2

Лекция 7

84

7.4. Поверхности второго порядка О

Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверхность S , уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид: a11 x 2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + +2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0,

(5)

где не все коэффициенты при членах второго порядка равны одновременно нулю (в противном случае (5) – алгебраическая поверхность первого порядка, т.е. плоскость). В зависимости от значений коэффициентов возможны случаи, когда уравнение (5) определяет вырожденную поверхность (пустое множество, точку, прямую, плоскость, пару плоскостей). Например, уравнение x 2 + y 2 + z 2 + 1 = 0 не имеет решений и задает пус-

тое множество, уравнение x 2 + y 2 + z 2 = 0 задает точку с координатами (0,0,0), уравнение x 2 + y 2 = 0 определяет прямую – координатную ось Oz ,

x 2 = 0 задает координатную плоскость x = 0 , уравнение x 2 = 1 задает пару плоскостей x = −1 и x = 1 . Далее будем рассматривать только невырожденные поверхности. Поверхности второго порядка обладают определенными элементами симметрии. Некоторые имеют центр симметрии; все имеют хотя бы одну плоскость симметрии; многие имеют ось симметрии. Всякое уравнение вида (5) посредством преобразования координат, т.е. сдвигов и поворотов (так называемое приведение к главным осям), можно привести к каноническому виду. В уравнении канонического вида каждая переменная содержится только в одной степени: либо только в нулевой, либо только в первой, либо только во второй. Канонический вид уравнение принимает, когда оси системы координат совпадают с осями симметрии поверхности, а начало системы координат выбрано специальным образом (для центрально-симметричных поверхностей совпадает с центром симметрии).

7.5. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям Основным методом исследования формы поверхности по ее уравнению является метод сечений, когда о форме поверхности судят по форме кривых, которые получаются при пересечении данной поверхности плоскостями:

x = const ; y = const ; z = const. Последовательно рассмотрим канонические уравнения поверхностей второго порядка.

Аналитическая геометрия. Поверхности второго порядка

85

7.5.1. Эллипсоид О Эллипсоидом называется поверхность второго порядка с каноническим уравнением x2 y 2 z 2 + + = 1. a2 b2 c2

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью z = 0 . Линия пересечения эллипсоида и плоскости задается системой уравнений:

⎧ x2 y2 z 2 ⎧ x2 y 2 = 1, ⎪ + ⎪ 2 + 2 + 2 =1 или ⎨ a 2 b 2 b c ⎨a ⎪ z = 0. ⎪z = 0 ⎩ ⎩ Очевидно, что линия пересечения – эллипс с полуосями а и b. Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью z = h . Линия пересечения задается системой уравнений:

⎧ x2 y 2 ⎧ x2 y2 z 2 ⎪ 2 + 2 = 1, ⎪ 2 + 2 + 2 =1 или a b c ⎨ a1 b1 ⎨ ⎪ z = h. ⎪z = h ⎩ ⎩ h2 h2 где a1 = a ⋅ 1 − 2 ; b1 = b ⋅ 1 − 2 . Таким образом, если 0 < h < c , то сечение – c c эллипс с полуосями a1 < a; b1 < b . Если h = c , сечение – точка с координатами (0,0, c). Если h > c , система решений не имеет, т.е. исследуемая поверхность не имеет общих точек с рассматриваемой плоскостью. Аналогично рассматриваются сечения поверхности S плоскостями x = const , y = const . Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, эллипсоид называется трехосным. При равенстве двух полуосей получаются эллипсоиды вращения: при a = b < c - вытянутый, при a = b > c сплющенный. Эти поверхности получаются при вращении эллипса, соответственно, вокруг большой и малой оси. Если a = b = c = R , каноническое уравнение принимает вид: x2 + y 2 + z 2 = R2 и задает сферу с центром в начале координат и радиусом R.

Лекция 7

86

Гиперболоиды 7.5.2. Однополостный гиперболоид О

Однополостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка с каноническим уравнением x2 y 2 z 2 + − = 1. a 2 b2 c2

Линия пересечения гиперболоида и плоскости z = 0 ⎧ x2 y2 z 2 − = 1, ⎪ + задается системой уравнений: ⎨ a 2 b 2 c 2 опре⎪ z = 0, ⎩ деляющей эллипс с полуосями а и b. ⎧ x2 y 2 = 1, ⎪ + с полуосями В сечении плоскостью z = h имеем эллипс ⎨ a12 b12 ⎪ z = h, ⎩ h2 h2 a1 = a ⋅ 1 + 2 и b1 = b ⋅ 1 + 2 . Сечение поверхности S плоскостью c c ⎧ y2 z2 ⎪ − = 1, x = 0 : ⎨ b2 c 2 является гиперболой с действительной осью Oy и мнимой ⎪x = 0 ⎩ осью Oz . Сечение S плоскостью y = 0 - гипербола с действительной осью Ox и мнимой осью Oz . При a = b получается однополостный гиперболоид вращения. Покажем, что однополостный гиперболоид также является линейчатой поверхностью, для чего перепишем уравнение в виде

x2 z 2 y2 y ⎞⎛ y ⎛ x z ⎞⎛ x z ⎞ ⎛ − 2 = 1 − 2 ⇒ ⎜ − ⎟⎜ + ⎟ = ⎜1 − ⎟⎜1 + 2 a c b ⎝ a c ⎠⎝ a c ⎠ ⎝ b ⎠⎝ b

⎞ ⎟. ⎠

Рассмотрим две системы линейных уравнений

⎧ ⎛x z⎞ y⎞ ⎛ ⎪v ⎜ a + c ⎟ = u ⎜ 1 + b ⎟ , ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪u ⎛ x − z ⎞ = v ⎛ 1 − y ⎞ , ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎜⎝ a c ⎟⎠ ⎝ b⎠

⎧ ⎛x z⎞ y⎞ ⎛ ⎪v ⎜ a + c ⎟ = u ⎜ 1 − b ⎟ , ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪u ⎛ x − z ⎞ = v ⎛ 1 + y ⎞ , ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎜⎝ a c ⎟⎠ ⎝ b⎠

где u и v - параметры, не равные нулю. Каждая из этих систем определяет прямую (линию пересечения двух плоскостей). Если перемножить уравнения каждой системы, получится уравнение однополостного гиперболоида, откуда следует, что каждая из этих прямых целиком лежит на однополостном гипер-

Аналитическая геометрия. Поверхности второго порядка

87

болоиде. Таким образом, через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две прямые, называемые прямолинейными образующими однополостного гиперболоида, он имеет два семейства прямолинейных образующих. Русский инженер В.Г. Шухов предложил использовать линейчатый характер однополостного гиперболоида в строительной технике. Он предложил конструкции из металлических балок, расположенных так, как расположены прямолинейные образующие однополостного гиперболоида вращения. Такие конструкции оказались легкими и прочными, они используются для устройства водонапорных башен и радиомачт.

7.5.3. Двуполостный гиперболоид О

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка с каноническим уравнением x2 y 2 z 2 + − = −1 . a2 b2 c2

Линия пересечения гиперболоида и плоскости z = 0 ⎧ x2 y2 = −1, ⎪ + задается системой уравнений: ⎨ a 2 b 2 ⎪ z = 0, ⎩ которой соответствует пустое множество. В сечении плоскостью

z=h

имеем кривую

⎧ x2 y2 z 2 ⎪ 2 + 2 = 2 − 1, c b ⎨a ⎪z = h ⎩

или

⎧ x2 y 2 h2 h2 ⎪ 2 + 2 = 1, где и a = a ⋅ − 1 b = b ⋅ − 1. ⎨ a1 b1 1 1 2 2 c c ⎪ z = h, ⎩ Очевидно, что решения есть при h ≥ c . Если h = ± с , сечение – точка

( 0,0, ±c ) . При

h > c сечение – эллипс с полуосями a1 , b1.

⎧ y2 z2 ⎪ − = −1, является гипербоСечение поверхности S плоскостью x = 0 ⎨ b 2 c 2 ⎪x = 0 ⎩ лой с действительной осью Oz и мнимой осью Oy . Сечение S плоскостью y = 0 - гипербола с действительной осью Oz и мнимой осью Ox .

Лекция 7

88

Параболоиды 7.5.4. Эллиптический параболоид О

Эллиптическим параболоидом называется поверхность с каноническим уравнением x2 y 2 + = pz , p > 0. a 2 b2

Поверхность расположена в верхнем полупространстве z ≥ 0 ; поперечные сечения плоскостями z = h, h > 0 представляют собой эллипсы с полуосями a1 = a ph и b1 = b ph , размеры которых увеличиваются по мере возрастания h , продольные сечения плоскостями x = 0 и y = 0 - параболы.

7.5.5. Гиперболический параболоид О

Гиперболическим параболоидом называется поверхность с каноническим уравнением x2 y 2 − = pz , p > 0. a 2 b2

Сечение плоскостью z = 0 дает скрещивающиеся b прямые y = ± x , сечения z = h - гиперболы. a При h > 0 действительная ось гиперболы параллельна оси Ox , мнимая ось параллельна оси Oy , при h < 0 оси меняются местами. Сечения плоскостями x = const и y = const - параболы. Как и однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью и имеет два семейства прямолинейных образующих – прямых, полностью лежащих внутри поверхности. Уравнения образующих получаются аналогично случаю однополостного гиперболоида и имеют вид: ⎧ ⎛x y⎞ ⎧ ⎛x y⎞ + = v upz , ⎜ ⎟ ⎪ a b ⎪v ⎜ a − b ⎟ = upz , ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎨ ⎪u ⎛ x − y ⎞ = v, ⎪u ⎛ x + y ⎞ = v, ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎝ a b ⎠ ⎪⎩ ⎜⎝ a b ⎟⎠ т.е. через каждую точку поверхности проходит две прямолинейных образующих.

Аналитическая геометрия. Поверхности второго порядка

89

Это свойство гиперболического параболоида также используется в строительных конструкциях: из прямолинейных металлических элементов создается каркас кровли в форме гиперболического параболоида. Такая поверхность, благодаря своей кривизне, обладает собственной жесткостью, тогда как жесткость кровли традиционной формы - в виде совокупности плоских участков – обеспечивается поддерживающими конструкциями (стропилами) и требует дополнительного расхода материалов.

7.5.6. Конус О

Эллиптическим конусом называется поверхность с каноническим уравнением x2 y 2 z 2 + − = 0. a 2 b2 c2

Сечения плоскостями z = const - эллипсы, размеры которых возрастают по мере удаления от начала координат; сечения плоскостями, проходящими через ось Oz , скрещивающиеся прямые.

Цилиндры В выбранной системе координат образующие цилиндров параллельны оси Oz и уравнения не содержат координаты z. Это свойство сохраняется и для уравнения общего вида (5): если уравнение не содержит какой-либо переменной, то определяемая им поверхность – цилиндр, образующие которого параллельны соответствующей оси.

7.5.7. Эллиптический цилиндр Эллиптический цилиндр задается каноническим x2 y 2 уравнением: 2 + 2 = 1 . a b Осью цилиндра является координатная ось Oz , поперечные сечения – эллипсы. Плоскости Oxz и Oyz являются плоскостями зеркальной симметрии поверхности. О

Лекция 7

90

7.5.8. Гиперболический цилиндр Гиперболический цилиндр задается каноническим x2 y2 уравнением: 2 − 2 = 1 . a b Осью цилиндра является координатная ось Oz , поперечные сечения – гиперболы. Плоскости Oxz и Oyz являются плоскостями зеркальной симметрии поверхности. О

7.5.9. Параболический цилиндр Параболический цилиндр задается каноническим уравнением: y 2 = 2 px, p > 0 . Плоскость Oxz является плоскостью зеркальной симметрии поверхности. О

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: ƒ различные виды поверхностей, их свойства; ƒ канонические уравнения поверхностей второго порядка, уметь исследовать их методом сечений.

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекции 8 - 9 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В лекциях 8 – 9 излагаются необходимые элементы теории множеств, рассматриваются наиболее часто встречающиеся числовые множества и их свойства. Вводится понятие числовой последовательности и ее предела, рассмотрены специальные виды последовательностей (бесконечно малые, бесконечно большие, монотонные) и их свойства. 8.1. Элементы теории множеств и математической логики 8.2. Числовые множества 8.3. Числовые промежутки 8.4. Ограниченные множества 8.5. Числовые последовательности 8.6. Свойства ограниченных последовательностей 9.1. Предел числовой последовательности 9.2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности 9.3. Свойства бесконечно малых последовательностей 9.4. Свойства сходящихся последовательностей 9.5. Монотонные последовательности 9.6. Число е как предел монотонной последовательности 9.7. Предельные точки. Верхний и нижний пределы

8.1. Элементы теории множеств и математической логики В дальнейшем для сокращения записей будут использоваться некоторые понятия и операции теории множеств и математической логики. Понятие множества относится к основным понятиям математики и в силу этого его нельзя определить через какое-то более общее понятие. О

Объекты, имеющие какой-либо общий признак и рассматриваемые как единое целое, составляют множество; сами объекты по отношению к множеству являются элементами множества.

Элементы множества, в свою очередь, также могут быть множествами. Например, учащиеся школы № N образуют множество, каждый ученик (уче-

92

Лекции 8 – 9

ница) – элемент этого множества. Это же множество можно организовать иначе: множество учащихся школы № N состоит из классов школы № N, а класс школы № N состоит из учеников (учениц) данного класса. Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами, элементы множеств – малыми латинскими буквами. Множества могут быть заданы: ƒ простым перечислением элементов (элементы заключаются в фигурные скобки): A = { 1, 2, 3 } ; ƒ указанием общего признака всех элементов: X = { x : 1 < x < 2} . В первом примере множество состоит из 3 чисел 1, 2 и 3; во втором примере множество состоит из бесконечного количества действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих условию 1 < x < 2 . О

Множество, не содержащее элементов, называется пустым.

О

Если все элементы множества B являются также элементами множества A , то B называется подмножеством множества A . Пустое множество является подмножеством любого множества, Любое непустое множество является подмножеством самого себя (это так называемые несобственные подмножества).

О

Множества A и B равны, если одновременно A - подмножество B и B - подмножество A . Равные множества состоят из одних и тех же элементов.

Рассмотрим способы сокращенной записи некоторых утверждений относительно множеств и операций над множествами: ∅

пустое множество;

a∈ A

« a принадлежит множеству A » (« a содержится в множестве A », «множество A содержит a », «множество A включает элемент a »);

a∉ A

«элемент а не принадлежит множеству A »;

A⊃ B

« B - подмножество множества A » (« A содержит B », « B содержится в A », « A включает B », « B включается в A »);

A⊂ B

« A - подмножество множества B »;

A=B A∪ B

«A равно B», «А совпадает с В»;

A∩ B

пересечение (произведение) множеств А и В; в пересечение входят элементы, каждый из которых принадлежит и множеству А, и множеству B.

объединение (сумма) множеств А и В; вобъединение входят элементы, принадлежащие хотя бы одному из этих множеств;

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

93

Рассмотрим способы сокращенной записи некоторых логических операций и стандартных словосочетаний (ниже малыми греческими буквами будут обозначаться некоторые высказывания (утверждения)): α⇒β импликация, логическое следствие; читается «из высказывания α следует высказывание β », «высказывание β является следствием высказывания α »; α⇔β эквивалентность, равносильность; читается «высказывание α равносильно высказыванию β », « α эквивалентно β », « α и β равносильны»; означает, что α ⇒ β и β ⇒ α , т.е. высказывания α и β либо оба верны, либо оба неверны;

α

отрицание высказывания α ;

∨

дизъюнкция, логическое «или»; α ∨ β означает « α или β »;

∧

конъюнкция, логическое «и»; α ∧ β означает « α и β »;

∃

квантор существования, ∃α ∈ A – читается «существует элемент a , принадлежащий множеству A »;

∀

квантор всеобщности, ∀α ∈ A – читается «для каждого элемента α , принадлежащего множеству A ».

:

читается «такой, что», «удовлетворяющий условию», «имеет место».

Кроме того, далее будут использоваться сокращенные способы записи сумм и произведений большого количества элементов: n

∑a j =1

1) 2) 3)

j

= a1 + a2 + … + an ,

n

∏a

j

= a1 ⋅ a2 ⋅ … ⋅ an .

j =1

Покажем на нескольких примерах применение символической записи: ( x ∈ A ∪ B ) ⇔ ( ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B ) ) - определение объединения;

( A = B ) ⇔ ( ( A ⊃ B ) ∧ ( A ⊂ B ) ) - определение равенства множеств; ( A ⊃ B ) ⇔ ( ∀x ∈ B : ( ( x ∈ B ) ⇒ ( x ∈ A) ) ) - определение подмножества.

8.2. Числовые множества О О

Числа 1, 2, 3,... называются натуральными и обозначаются = {n} = {1,2,3,..., n,...} . Числа = { 0, 1, −1, 2, −2, ... , ± n, ...} , n ∈ , образуют множество целых чисел.

94 О

Лекции 8 – 9

Числа вида

m ⎧ ⎫ = ⎨q = : m ∈ , n ∈ ⎬ образуют множество рациональn ⎩ ⎭

ных чисел. m < n , то рациональная дробь называется правильной, если m ≥ n – неправильной.

О

Если

!

Рациональные дроби представляются в виде конечных или бесконечных периодических десятичных дробей после деления числителя на знаменатель.

Пример:

1 2 = 0,333... = 0,(3) , = 0, 4 = 0,3999... = 0,3(9) , 3 5 7 = 0,0707... = 0,(07) . 99 О

Числа, выражающиеся бесконечной непериодической десятичной дробью, составляют множество иррациональных чисел I . Например, 2 = 1, 41... , π = 3,14159265359... , e = 2,71828 18284 59045... .

О

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел = ∪ I .

!

Между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой существует взаимно-однозначное соответствие.

8.3. Числовые промежутки Примеры числовых множеств: Множество элементов x:

{ x}

Элемент множества: x ∈ { x} Отрезок (сегмент): Интервал: Полуинтервал (полусегмент):

{ x} = [ a, b] : a ≤ x ≤ b, где a ∈ { x} , b ∈ { x} { x} = ( a, b ) : a < x < b ⎧ {x} = ( a, b ] : a < x ≤ b, ⎨ ⎩ {x} = [ a, b ) : a ≤ x < b,

⎧ {x} = [ a, ∞ ) : ( x ≥ a ) Луч: ⎨ ⎩ {x} = ( −∞, b ] : ( x ≤ b )

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

Окрестность точки c - это произвольный интервал (a,b), содержащий точку с. Эпсилон – окрестность точки с. {x : x − c < ε } или c − ε < x < c + ε .

95

b c

8.4. Ограниченные множества О

Множество { x} называется ограниченным сверху, если существует такое число М, что ∀x ∈ { x} : x ≤ M , где М называется верхней гранью множества { x} (ВГ { x} ).

Пример:

{−1, 2,3, 4,5} ,

M 1 = 5, M 2 = 6, M 3 = 10,... .

Т

Ограниченное сверху множество имеет бесконечное число верхних граней.

О

Наименьшая из всех верхних граней называется точной верхней гранью x = Sup { x} (от латинского supremum - наивысшее) (ТВГ { x} ).

Пример:

{−1, 2,3, 4,5} ,

x = 5.

О

Множество { x} называется ограниченным снизу, если существует такое число m, что ∀x ∈ { x} : x ≥ m , где m – нижняя грань { x} (НГ { x} ).

Т

Ограниченное снизу множество имеет бесконечное число нижних граней.

О

Наибольшая из всех нижних граней называется точной нижней гранью x = Inf { x} (от латинского infimum - наинизшее) (ТНГ { x} ).

О

О

Множество { x} называется ограниченным, если существует число М > 0 такое, что ∀x ∈ { x} : x ≤ M . Ограниченное множество является одновременно ограниченным и снизу, и сверху. Множество { x} называется неограниченным, если для любого сколь угодно большого числа М > 0 найдется элемент x ∈ { x} , удовлетворяющий неравенству: x ≥ M .

96

Лекции 8 – 9

Пример: Неограниченные множества: (-∞,∞) – неограниченное множество, (-∞,2] – неограниченное снизу множество, [-5,∞) - неограниченное сверху множество.

!

Для того чтобы множество было неограниченным, достаточно, чтобы оно было неограниченным либо сверху, либо снизу.

О

Число М называется наибольшим элементом множества M = max{ x} , если 1) M ∈{ x} ; 2) ∀x ∈{ x} : x ≤ M .

О

Число

m называется

наименьшим элементом множества

m = min { x} , если 1) m ∈ { x} ; 2) ∀x ∈{ x} : x ≥ m . !

{ x} , { x} ,

Ограниченное сверху (снизу) множество может иметь наибольший (наименьший) элемент, а может и не иметь его: { x} = [ a; b] , max{ x} = b , min { x} = a ;

{ x} = ( a; b ) , max{ x} , min { x} не существуют.

8.5. Числовые последовательности Если каждому натуральному числу n по определенному закону поставxn , то множество лено в соответствие некоторое число { xn } = { x1 , x2 , x3 ,....xn ,...} нумерованных чисел x1, x2 , x3 ,.... называется числовой последовательностью. Элементы этого множества называются членами или элементами последовательности. О

!

Числовая последовательность может быть задана: 1) перечислением элементов; 2) заданием общего члена последовательности как функции номера xn = f ( n ) ; 3) в виде рекуррентных (возвратных) соотношений; в этом случае задается несколько первых членов последовательности и закон, по которому вычисляются последующие члены: xn+1 = f ( xn ) , x1 = const - одночленная рекуррентная формула, xn+ 2 = f ( xn+1 , xn ) , x1 = c1 , x2 = c2 - двучленная рекуррентная формула, и т.д.

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

97

Пример: 1)

{−1,1, −1,1,...} = {( −1)

n

};

⎧ 1 2 ⎫ ⎧ n − 1⎫ 2) ⎨0, , ,...⎬ = ⎨ ⎬; ⎩ 2 3 ⎭ ⎩ n ⎭

3)

{1, 2,3,...} = {n} ;

4) xn +1 =

xn 1 , x1 = 1 ⇒ xn = n −1 , n = 1, 2, 3,... ; 2 2

5) xn + 2 = xn +1 + xn , x1 = 1, x2 = 1 ⇒ x3 = 2, x4 = 3,...

О

Если рассмотреть произвольную возрастающую последовательность натуральных чисел: k1 , k2 , k3 ,....kn ,... и выбрать из последовательности { xn } ее члены с соответствующими номерами xk1 , xk2 ,..., xkn ,... то полученная последовательность называется подпоследовательностью последовательности { xn } . Например, для произвольной последовательности подпоследовательностями являются последовательности четных или нечетных членов.

!

Числовые последовательности являются упорядоченными числовыми множествами, для них справедливы теоремы об ограниченных множествах.

Пример: Последовательность

{ xn } = {−n} = {−1, −2, −3,... − n,...}

ограничена сверху,

поскольку все члены этой последовательности удовлетворяют неравенству xn ≤ −1 . Последовательность { xn } = {n 2 } ограничена снизу, т.к. x n = n 2 ≥ 1 .

1 ⎧1 ⎫ Последовательность ⎨ ⎬ ограничена. Для любого n∈N 0 < ≤ 1 , т.е. n ⎩n⎭ M = 1, m = 0 . Пример: Неограниченные последовательности: 1) 2)

{ xn } = {n 2 } . При любом

M > 0 достаточно взять n > M .

{(1 − (− 1) )n}. Среди нечетных всегда найдется член, удовлетворяющий n

условию x n ≥ M для любого M > 0 .

98

Лекции 8 – 9

8.6. Свойства ограниченных последовательностей 1. Сумма двух ограниченных последовательностей есть последовательность ограниченная. 2. Разность двух ограниченных последовательностей есть последовательность ограниченная. 3. Произведение двух ограниченных последовательностей есть последовательность ограниченная.

!

Неограниченные последовательности таких свойств не имеют.

9.1. Предел числовой последовательности О

Конечное число a называется пределом числовой последовательности { xn } (обозначается lim xn = a или xn → a ), если для любого положиn →∞

n→∞

тельного числа ε найдется такое натуральное число N (зависящее от ε ), что при всех n > N выполняется неравенство xn − a < ε . Это может быть описано также в следующих терминах: ƒ последовательность {xn } сходится к a ; ƒ последовательность {xn } имеет предел, равный a ; ƒ xn (общий член последовательности) стремится к a . Сокращенная запись:

( lim x = a ) ⇔ (∀ε > 0 ∃N = N (ε ) : ∀n > N (ε ) ⇒ n→∞

О

!

n

xn − a < ε ) .

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. То же утверждение может быть сформулировано короче. Число a есть предел последовательности { xn } , если ее члены отличаются от a сколь угодно мало, начиная с некоторого места. Исходное определение уточняет, как следует понимать «сколь угодно мало» и «начиная с некоторого места». ∀ε > 0 xn − a < ε - точная формулировка первого утверждения, а ∀n > N ( ε ) - второго.

Пример: n −1 ⎧ n − 1⎫ ⎛ 1⎞ Дано: { xn } = ⎨ = lim ⎜ 1 − ⎟ = 1 . xn = lim ⎬ , lim n n n →∞ →∞ →∞ n n⎠ ⎩ n ⎭ ⎝ ⎛ 1⎞ Докажем, что lim ⎜ 1 − ⎟ = 1 . n →∞ ⎝ n⎠

Доказательство:

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

∀ε > 0,

99

n −1 1 1 1 −1 < ε ⇒ 1 − − 1 < ε ; < ε , n > ⇒ ε n n n

Если взять N ( ε ) – любое целое, большее, чем

1

ε

, то неравенство

n −1 − 1 < ε будет выполнено ∀n > N ( ε ) , ч.т.д. n

Геометрическая интерпретация примера: 1 2

0

x1

2 3

3 4

4 5

5 6

1

x3 x4 x5 x6

x2

− ε < x n − 1 < ε ,1 − ε < x n < ε + 1 . 1 ⎛1⎞ ⎝ ⎠ 1 ⎛1⎞ 1 ε = , N ⎜ ⎟ = 5; n > 5 ⇒ xn − 1 < . 5 ⎝5⎠ 5 1

ε = , N ⎜ ⎟ = 2; n > 2 ⇒ xn − 1 < . 2 2 2

!

Последовательность

{( −1) } n

не имеет предела, так как нельзя указать

номер, после которого все члены последовательности окажутся в сколь угодно малой окрестности какого-либо числа. О

Последовательности, не имеющие предела, называются расходящимися.

9.2. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности О

Последовательность { xn } называется бесконечно большой, если для любого положительного числа M можно указать такое натуральное число N (зависящее от M ), что при всех n > N выполняется неравенство xn > M . ∀M > 0 ∃N = N ( M ) : ∀n > N ( M ) ⇒ xn > M .

О

Если числовая последовательность { xn } бесконечно большая и ее члены (по крайней мере, начиная с какого-то номера) сохраняют определенный знак ( + или − ), говорят, что последовательность { xn } имеет предел +∞ (или −∞ ): lim xn = +∞ , xn → +∞ или lim xn = −∞ , xn → −∞ . n→∞

n →∞

n →∞

n→∞

100

Лекции 8 – 9

Пример: Последовательности {nα } , α > 0 , являются бесконечно большими, т.к. для любого M > 0 из nα > M следует, что если n > α M , то условие определения выполнено.

О

Последовательность { xn } называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N (зависящее от ε ), что при всех n > N ( ε ) выполняется неравенство xn < ε . ( ∀ε > 0 ∃N ( ε ) : ∀n > N (ε ) : xn < ε ).

!

Из определения предела последовательности следует, что последовательность { xn } бесконечно мала, если lim xn = 0 . n →∞

Пример: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия xn = q n , q < 1 , является бесконечно малой последовательностью, т.к. для любого ε > 0 из неравенства q n < ε следует, что при n > log q ε это неравенство выпол-

[

]

нено, т.о. N ( ε ) = log q ε .

9.3. Свойства бесконечно малых последовательностей Т

Бесконечно малая последовательность ограничена. Доказательство: Пусть { xn } – бесконечно малая последовательность. Тогда для данного

ε , начиная с некоторого номера, имеет место неравенство xn < ε . Выбирая в качестве M максимальное из чисел ε , x1 , x2 ,..., xn −1 , получим xn < M для всех n , что и требовалось доказать. Т

Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Т

Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Т

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть последовательность бесконечно малая.

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

101

Доказательство: Пусть { xn } – бесконечно малая, а { yn } – ограниченная последовательности, т.е. для любого ε > 0 существует N ( ε ) такое, что для n > N ( ε )

xn < ε , и существует такое число M , что для всех n yn < M . Тогда для последовательности { xn ⋅ yn } при n > N ( ε ) имеем xn ⋅ yn < ε ⋅ M . Так как M – фиксированное число, а ε – сколь угодно малое, то ε ⋅ M также сколь угодно малое. Теорема доказана. С

Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая. Справедливость этого утверждения следует из того, что бесконечно малая последовательность всегда ограничена.

Т

Если элементы бесконечно малой последовательности

Т

⎧1⎫ нулю, то последовательность ⎨ ⎬ будет бесконечно большой. ⎩ xn ⎭ Если { xn } бесконечно большая последовательность и xn ≠ 0 , то после-

{ xn }

не равны

⎧1⎫ довательность ⎨ ⎬ – бесконечно малая. ⎩ xn ⎭ Пример: ⎧ sin n ⎫ 1). Последовательность ⎨ ⎬ – бесконечно малая, т.к. ее элементы яв⎩ n ⎭ ляются произведением элементов ограниченной последовательности {sin n} и бесконечно малой последовательности ⎧⎨ 1 ⎫⎬ . ⎩n⎭ ⎧ n + 1⎫ 2). Последовательность ⎨ 3 ⎬ – бесконечно малая, т.к. является суммой ⎩ n ⎭ 1 1 бесконечно малых последовательностей ⎧⎨ 2 ⎫⎬ и ⎧⎨ 3 ⎫⎬ . ⎩n ⎭

⎩n ⎭

⎧e ⎫ 3). Последовательность ⎨ ⎬ – бесконечно малая, т.к. является произве⎩ n ⎭ дением бесконечно малой последовательности e − n на бесконечно малую ⎧1 ⎫ последовательность ⎨ ⎬ . ⎩n⎭ −n

{ }

О

Последовательность

{ xn }

называется фундаментальной, если для лю-

бого положительного ε > 0 найдется номер N ( ε ) такой, что для всех n , удовлетворяющих условию n > N ( ε ) , и для всех натуральных чисел m ( m = 1,2,3,... ) справедливо неравенство xn+ m − xn < ε . ∀ε > 0 ∃N (ε ) : ∀n > N (ε ) ∀m ∈ N : xn+ m − xn < ε .

102 Т

Лекции 8 – 9

Критерий Коши. Для того чтобы последовательность { xn } была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

9.4. Свойства сходящихся последовательностей 1º. Элементы сходящейся последовательности имеют вид: xn = a + α n , где {α n } – бесконечно малая последовательность. Доказательство: По определению предела ∀ε > 0∃N ( ε ) : n > N ( ε ) , xn − a < ε . Рассмотрим α n = xn − a ⇒ xn = a + α n , подставим a + α n − a < ε ⇒ ∀ε > 0∃N (ε ) : ∀n > N (ε ) ⇒ α n < ε , т.е. limα n = 0 ⇒ α n - бесконечно малая последовательность. n→∞

2º. Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Доказательство: Пусть a = lim xn и b = lim xn , a ≠ b , a < r < b – два предела сходящейся n→∞

n→∞

последовательности {x n } . ∀ε > 0 ∃ N1 : ∀n > N1 xn − a < r − a ⇒ ∀n > N1 xn < r ; ∀ε > 0 ∃ N 2 : ∀n > N 2 xn − b < b − r ⇒ ∀n > N 2 xn > r . Выберем N = N ( ε ) = max { N1 ,N 2 } и n ≥ N : тогда должно одновременно выполняться xn < r и xn > r , что невозможно, значит, a = b . 3º. Сходящаяся последовательность ограничена. Обратное утверждение неверно, например, последовательность ⎧ πn⎫ {xn } = ⎨sin ⎬ является ограниченной, но предела не имеет. 2 ⎭ ⎩ 4º. Сумма, разность, произведение и также частное (при условии, что ∀n ∈ yn ≠ 0 и lim yn ≠ 0 ) двух сходящихся последовательностей { xn } и !

{ yn }

n→∞

есть сходящаяся последовательность, и ее предел равен соответственно сумме, разности, произведению и частному пределов исходных последовательностей. Доказательство (сумма): Пусть { xn } и { yn } – сходящиеся последовательности и lim xn = a , n →∞

lim yn = b . Тогда xn = a + α n , yn = b + β n где {α n } и { β n } – бесконечно

n →∞

малые последовательности, и xn + yn = a + b + α n + β n , т.е. последовательность { xn + yn − a − b} – бесконечно малая, и поэтому { xn + yn } сходится и имеет своим пределом a + b .

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

С

103

Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же операциям над их пределами. 5º. Если элементы сходящейся последовательности { xn } , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≤ b ( xn ≥ b ), то и предел этой последовательности lim xn ≤ a удовлетворяет неравенству a ≤ b n →∞

( a ≥ b ). С

1. Если элементы xn и yn сходящихся последовательностей { xn } и { yn } , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≤ yn , то их пределы удовлетворяют такому же неравенству: lim xn ≤ lim yn . n →∞

n →∞

2. Если все элементы сходящейся последовательности { xn } находятся на

отрезке [ a; b ] , то и ее предел также находится на этом отрезке. 6º. Пусть { xn } и { zn } – сходящиеся последовательности и lim xn = lim zn = a . n →∞

n →∞

Пусть, начиная с некоторого номера, элементы последовательности { yn } удовлетворяют неравенствам xn ≤ yn ≤ zn .Тогда последовательность { yn } сходится и lim yn = a . n →∞

7º. Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.

9.5. Монотонные последовательности О

Последовательность { xn } называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательности не меньше (не больше) предыдущего, т.е. если для всех номеров n справедливо неравенство xn ≤ xn+1 ( xn ≥ xn+1 ).

О

Неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными последовательностями.

О

Если вместо нестрогих неравенств xn ≥ xn+1 и xn ≤ xn+1 имеют место строгие неравенства xn < xn+1 или xn > xn+1 , то последовательности называются возрастающей и убывающей соответственно.

104

Лекции 8 – 9

Пример: 1). Последовательность {1,1, 2, 2,3,3, 4, 4,..., n, n,...} - неубывающая.

⎧ n2 ⎫ 2). Последовательность ⎨ 2 ⎬ – возрастающая, так как xn +1 > xn . ⎩ n + 1⎭ 2 2 2 ( n + 1) − n2 = ( n + 1) ( n + 1) − n ( ( n + 1) 2 ( n + 1) + 1 n2 + 1 (( n + 1)2 + 1) ( n2 + 1) 2

Действительно,

=

2n + 1

(( n + 1) + 1) ( n + 1) 2

2

2

)=

+1

> 0.

⎧1 ⎫ 3). Последовательность ⎨ ⎬ – убывающая, так как ⎩n⎭ xn +1 − xn =

Т

1 1 1 − =− < 0. n +1 n n ( n + 1)

Признак сходимости монотонной последовательности. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность { xn } ограничена сверху (снизу), то она сходится. Докажем, что если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она сходится (имеет предел). Доказательство: { xn } - ограничена сверху ⇒ { xn } имеет x = Sup { x} ⇒ покажем, что ∃ lim xn = x . x n →∞

1) ∀n, xn ≤ x ; 2) ∀ε > 0 найдется элемент xN > x − ε , ∀n > N , xN ≤ xn (по условию { xn } - неубывающая), т.е. запишем последовательно:

x − ε < xN ≤ xn ≤ x

⇒

x − ε < xn ≤ x ⇒

− x ≤ − xn < − x + ε ⇒ 0 ≤ x − xn < ε ⇒ xn − x < ε , то есть по определению предела x = lim xn . n →∞

!

1. Любая неубывающая последовательность всегда ограничена снизу первым элементом. Любая невозрастающая последовательность всегда ограничена сверху первым элементом. 2. Не всякая сходящаяся последовательность является монотонной.

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

105

Пример:

{ xn } , Т

xn

( −1) = 1+ n2

k

, lim xn = 1 , однако { xn } - немонотонная. n →∞

Неограниченная монотонная последовательность является бесконечно большой.

9.6. Число е как предел монотонной последовательности n

⎛ 1⎞ Рассмотрим последовательность { xn } , xn = ⎜ 1 + ⎟ . ⎝ n⎠ Исходя из признака сходимости монотонной последовательности, достаточно доказать, что: 1) { xn } - является возрастающей; 2) { xn } - ограничена сверху.

⎧⎪⎛ 1 ⎞n ⎫⎪ Из 1) и 2) делаем вывод о существовании предела ⎨⎜1+ ⎟ ⎬ . ⎪⎩⎝ n ⎠ ⎭⎪ Доказательство: Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

( a + b) +

n

= a nb0 + na n−1b1 +

n ( n − 1) n−2 2 a b + 2!

n ( n − 1)( n − 2 ) ...( n − ( n − 1) ) 0 n n ( n − 1)( n − 2 ) n−3 3 a b + ...... + ab , 3! n!

где n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n . Тогда n n ( n − 1) ...( n − ( n − 1) ) 1 1 n(n − 1) 1 ⎛ 1⎞ xn = ⎜1 + ⎟ = 1 + n + ... + + = n 2! n 2 n! nn ⎝ n⎠

=2+

1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ n −1⎞ ⎜1 − ⎟ + ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟ + ... + ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟ ⋅ ... ⋅ ⎜1 − ⎟. 2! ⎝ n ⎠ 3! ⎝ n ⎠⎝ n ⎠ n!⎝ n ⎠⎝ n ⎠ n ⎠ ⎝

Аналогично для xn+1

xn+1 = 2 +

1⎛ 1 ⎞ 1⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎜1 − ⎟ + ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟ + ... + 2! ⎝ n + 1 ⎠ 3! ⎝ n + 1 ⎠⎝ n + 1 ⎠

106

Лекции 8 – 9

+

1 ⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ n ⎞ ⎛ , ⎜1 − ⎟⎜ 1 − ⎟ ⋅ ... ⋅ ⎜ 1 − ( n + 1)! ⎝ n + 1 ⎠⎝ n + 1 ⎠ ⎝ n + 1 ⎟⎠

1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎜1 − ⎟ < ⎜1 − ⎟ . Заметим, что xn+1 содержит на одно положитель⎝ n ⎠ ⎝ n +1⎠ ное слагаемое больше, чем xn , следовательно ∀n xn < xn+1 .

1)

Таким образом, { xn } – последовательность возрастающая

⎛ 1⎞ При n ≥ 2 0 < ⎜1 − ⎟ < 1 => xn > 2 . ⎝ n⎠ 1 1 1 3) xn < 2 + + + ... + ; если заменить каждое слагаемое еще боль2! 3! n! 1 1 1 1 1 1 1 1 < = 2 ,... , < n−1 , шим: = , = 2! 2 3! 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 2 n! 2 1 ⎫ ⎧1 1 1 получаем: xn < 2 + ⎨ + 2 + 3 + ... + n−1 ⎬ . 2 ⎭ ⎩2 2 2 {...} - сумма убывающей геометрической прогрессии, для которой 2)

1 b1 (1 − q n ) 1 1 1 S = , ⇒ S = 1− n ; b1 = , q = , bn = n−1 2 2 2 2 1− q ∀n S < 1 ⇒ ∀n xn < 3 .

Вывод: возрастающая последовательность { xn } ограничена сверху, следовательно, последовательность сходится. n

!

⎛ 1⎞ 1. Обозначение lim ⎜ 1 + ⎟ = e , 2 < e < 3 (Эйлер); n →∞ ⎝ n⎠ e ≈ 2,7 1828 1828 459045... 2. Число e имеет большое значение в математическом анализе. y = e x - показательная функция с основанием e ; y = ln x - натуральный логарифм (логарифм по основанию e ). 3. Справедливо утверждение: если {α n } – произвольная бесконечно малая последовательность и α n ≠ 0 , то lim n→∞

( ) 1+ α

n

1 α

n

= e.

107

Элементы теории множеств и математической логики. Числовые последовательности

9.7. Предельные точки. Верхний и нижний пределы О

!

Точка x бесконечной прямой называется предельной точкой числовой последовательности { xn } , если в любой ε -окрестности этой точки име-

ется бесконечно много элементов последовательности { xn } . Иногда предельная точка именуется точкой сгущения (что связано с геометрической интерпретацией действительных чисел как точек на числовой оси). Точки, представляющие собой члены последовательности, как бы «сгущаются» вблизи предельной точки.

Подобный «геометрический» подход позволяет высказать два утверждения, строгое доказательство которых опустим: 1) всякая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку; 2) последовательность, имеющая несколько предельных точек, расходится. Пример: 1). Последовательность

{ 1 − (−1) } имеет две предельные точки n

x=0 и

x = 2 , но не имеет предела.

{ }

2). Последовательность e − n имеет одну предельную точку x = 0, которая является одновременно пределом этой последовательности.

Т

Принцип Больцано – Вейерштрасса. У всякой ограниченной последовательности существует хотя бы одна предельная точка.

О

Наибольшая предельная точка последовательности

{ xn }

называется

верхним пределом последовательности и обозначается a = lim xn . n→∞

О

Наименьшая предельная точка последовательности { xn } называется нижним пределом последовательности и обозначается a = lim xn . n→∞

Пример: 1). Последовательность 1,

1 1 1 , 1, , ..., 1, 2 3 n

имеет верхний предел a = 1 и нижний предел a = 0 . 2). Последовательность 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 5, ..., 1, 2, n, .... имеет нижний предел a = 1 , тогда как обычного предела у нее нет, поскольку она неограниченная.

108

Лекции 8 – 9

Сформулируем без доказательства теорему, показывающую важность этих понятий (значения пределов в ней могут быть и несобственными числами, т.е. +∞ или − ∞ ). Т

!

Для любой числовой последовательности верхний и нижний пределы всегда существуют. Их равенство есть условие, необходимое и достаточное для существования предела (в обычном смысле). Предел в обычном смысле также может оказаться несобственным числом.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен владеть следующими понятиями: ƒ множество, элемент множества; ƒ целые, натуральные, рациональные, действительные числа; ƒ виды числовых множеств (интервал, сегмент, луч и т.п.); ƒ ограниченные и неограниченные множества; ƒ числовая последовательность, способы ее задания; ƒ предел числовой последовательности; ƒ бесконечно большие и бесконечно малые последовательности, их свойства; ƒ свойства сходящихся последовательностей; ƒ монотонные последовательности, признак сходимости монотонной последовательности; ƒ предельная точка (точка сгущения) последовательности.

Лекции 10 - 11 ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В лекциях 10 – 11 рассматривается одно из основных понятий математики – понятие функции. Обсуждаются способы задания функции, различные свойства функций, приводится классификация функций и, для справки, таблица основных элементарных функций с их графиками. Далее рассмотрено опорное для всего математического анализа понятие предела функции, приведены разновидности определений (определение по Коши и определение по Гейне, предел в точке и предел в бесконечности, односторонние пределы и т.п.). Заканчивается лекция описанием бесконечно малых и бесконечно больших функций - весьма удобного математического инструмента, широко использующегося в различных доказательствах. 10.1. Понятие функции. График функции. Способы задания функции 10.2. Основные характеристики функции 10.3. Обратная функция. Сложная функция 10.4. Основные элементарные функции 10.5. Элементарные и неэлементарные функции 11.1. Предел функции в точке 11.2. Предел функции в бесконечности 11.3. Односторонние пределы 11.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства 11.5. Таблица определений предела

10.1. Понятие функции. График функции. Способы задания функции Понятие функции – одно из основных математических понятий, оно относится к установлению соответствия между элементами двух множеств. Если задано правило f , по которому каждому элементу x из множества X поставлен в соответствие единственный элемент y из множества Y , то говорят, что на множестве X задана функция y = f ( x ) , x ∈ X , y ∈ Y . Множество X называется областью определения функции (ООФ) и обозначается D ( f ) . Множество изменения функции Y называется областью значений функции (ОЗФ) и обозначается E ( f ) . В дальнейшем будем рассматривать (в основном) числовые функции, т.е. функции, у которых ООФ и ОЗФ Y являются числовыми множествами, X ⊂ , Y ⊂ . В этом случае переменная величина x называется независимой переменной или аргументом, величина y - зависимой переменной или функцией (от x). Число y , соответствующее данному значению x, называется частным значением функции в точке x. О

110 О

Лекции 10 – 11

Множество точек ( x, f ( x ) ) плоскости Oxy называется графиком функ-

ции y = f ( x ) . Функция может быть задана: 1) аналитически; 2) графически; 3) с помощью таблицы. При аналитическом задании функция может быть определена: ⎧⎪ f1 ( x ) , x ∈ D1 ⊂ D ( f ) 1) явно - уравнением вида y = f ( x ) или y = ⎨ ; , f x x ∈ D ⊂ D f ( ) ( ) ⎪⎩ 2 2 2) неявно - уравнением вида F ( x, y ) = 0 ; 3) параметрически – с помощью вспомогательной переменной – ⎧ x = x (t ), параметра – ⎨ t ∈T ⊂ . y y t , = ( ) ⎩ Пример: Явное задание: 1). y = 1 − x 2 ,

{ x} = { x :

x ≤ 1} , { y} = { y : 0 ≤ y ≤ 1} ;

⎧ x, x ≥ 0, y= x =⎨ 2). ⎩ − x, x < 0, { x} = { x : −∞ ≤ x ≤ ∞} ,{ y} = { y : 0 ≤ y ≤ ∞}

⎧1, x > 0, ⎪ 3). y = sgn x - знак x , sgn x = ⎨0, x = 0, ⎪−1, x < 0, ⎩ { x} = { x : −∞ ≤ x ≤ ∞} , { y} = {−1,0,1}

⎧0, x − иррац., 4). Функция Дирихле y = ⎨ ⎩1, x − рац.,

{ x} = { x : −∞ ≤ x ≤ ∞} , { y} = {0,1} . 5). y = [ x ] - целая часть

x (наибольшее целое,

не превосходящее x ) D ( f ) = { x} = { x : −∞ ≤ x ≤ ∞} , E ( f ) = { y} = { y :целые числа} ; эта функция может быть задана в виде ⎧... ⎪1, x ∈ 1; 2 , [ ) ⎪⎪ [ x ] = ⎨0, x ∈ [0;1) , . ⎪−1 x ∈ [ −1; 0 ) , ⎪ ⎪⎩...

111

Функции. Предел функции

Неявное задание: уравнение F ( x, y ) = 0 может определять не одну, а несколько функций вида y = f ( x ) . Так, уравнение

x2 + y 2 − 1 = 0

определяет

две

функции:

y = f1 ( x ) = + 1 − x 2 и y = f 2 ( x ) = − 1 − x 2 .

Аналитический способ задания функции является наиболее точным и предпочтительным для дальнейшего исследования функции методами математического анализа. Графическое и табличное описание возникает, например, при исследовании экспериментально наблюдаемых функциональных зависимостей, но и в этом случае обычно подбирают подходящую аналитическую формулу, с достаточной степенью точности воспроизводящую экспериментальные данные (так называемая аппроксимация).

10.2. Основные характеристики функции Функция f ( x ) с симметричной относительно нуля областью определения X называется четной, если для любого x ∈ X выполняется равенство f ( x ) = f ( − x ) . Из определения четной функции следует, что ее график симметричен относительно оси ординат. Например, функции y = x 2 , y = x являются четными, их графики имеют вид: О

y

y

y=x

2

y= x

y0 –x0 О

0

x0

x

0

x

Функция f ( x ) с областью определения X называется нечетной, если

для любого x ∈ X выполняется равенство f ( − x ) = − f ( x ) . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, функции y = x 3 и y = 2 x являются нечетными, их графики имеют вид:

112

Лекции 10 – 11 y

y

y = x3 –x0

x

0

y = 2x

y0 0 x0

x

–y0

Функция

(−x) О

2

y = x2 + x

не является ни четной, ни нечетной, так как

+ ( − x ) = x2 − x ≠ ± y .

Функция y = f ( x ) называется периодической, если существует такое число T ≠ 0 , что для любого x ∈ X выполнены условия: 1) x + T ∈ X ; 2) f ( x + T ) = f ( x ) . Число T называется периодом функции y = f ( x ) .

Множество значений числовой функции может быть ограниченным, ограниченным сверху (снизу) и неограниченным. В соответствии с этим подразделяются и сами функции. О

Функция f называется ограниченной на множестве E ⊂ D ( f ) , если ∃A : ∀x ∈ E f ( x ) ≤ A .

Например, функция y = sin ( x ) ограничена на всей числовой оси; y = x 3 ограничена на любом промежутке конечной длины, но не ограничена на всей области определения x ∈ . О

Функция f называется ограниченной сверху (снизу) на множестве E ⊂ D ( f ) , если ∃A : ∀x ∈ E f ( x ) ≤ A ; ( ∃A : ∀x ∈ E f ( x ) ≥ A ).

Например, y = x 2 ограничена снизу на всей области определения x ∈ . О Точная верхняя (нижняя) грань множества M значений функции f на E называется точной верхней (нижней) гранью функции f на E и обозначается su p f ( x ) ( inf f ( x ) ). x∈E

x∈E

1 2 = 0 , inf x = 0 . x ∈ x∈( −∞ ;0 ) x Если число sup f ( x) ( inf f ( x ) ) принадлежит множеству M значений

Например, sup О

x∈E

x∈E

функции f на E , то оно называется наибольшим (наименьшим) значением f на E и обозначается max f ( x ) ( min f ( x ) ). x∈E

x∈E

1 не существует. x∈ x∈( −∞ ;0 ) x Пусть y = f ( x ) определена на множестве D ( f ) и множество E ⊂ D ( f ) . Например, min x 2 = 0 , max

113

Функции. Предел функции

О

Если ∀ x1 , x2 ∈ E : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) - f ( x ) возрастающая на E ; x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) - f ( x ) неубывающая на E ; x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) - f ( x ) убывающая на E ; x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) - f ( x ) невозрастающая на E . Все четыре типа в совокупности называются монотонными на E , а возрастающие и убывающие - строго монотонными на E .

10.3. Обратная функция. Сложная функция О

О

Функция y = f ( x ) , x ∈ X , y ∈ Y обратима, если каждое свое значение она принимает один раз, то есть для каждого y ∈ Y существует только одно значение x ∈ X такое, что y = f ( x ) .

Тогда функции y = f ( x ) , осуществляющей отображение множества X в множество Y, может быть сопоставлена функция x = g ( y ) , осуществляющая отображение Y в X, такое, что g ( f ( x ) ) = x . Эта функция называется

y

y = f ( x)

y

x = f −1( y) x

x

обратной к f ( x ) и обозначается f −1 ( y ) .

С другой стороны, для функции x = f −1 ( y ) обратной является функция y = f ( x ) , поэто-

му функции y = f ( x ) и x = f ся взаимно обратными.

−1

( y)

x x = f −1 ( y )

называют-

Графики функций y = f ( x ) и x = f −1 ( y ) совпадают, но если мы хотим описать функцию f −1 ( y ) обычным образом, то есть ее аргумент обозначить через x , а зависимую переменную через y , то графическая иллюстрация изменится. Вначале изменим направления осей; затем изменим названия осей; в результате получаем, что графики взаимно обратных функций симмет-

y y

y = f −1 ( x )

x

114

Лекции 10 – 11

ричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, то есть линии y = x. Множество значений обратной функции y = f −1 ( x ) совпадает с областью определения

функции y = f ( x ) , а область определения обрат-

y y= f (x) y = f −1(x)

x

ной функции y = f −1 ( x ) совпадает с множеством значений функции y = f ( x ) . Пример: 1 x

1) y = = f (x ) , x ∈ (− ∞, 0 ) ∪ (0, ∞ ) , y ∈ (− ∞, 0 ) ∪ (0, ∞ ) ;

g ( x ) = f −1 ( x ) =

1 (обратная функция совпадает x

с исходной). ⎧ x x ∈ (− ∞, 0) ∪ (0, ∞ ), 2) y = f (x ) = ⎪⎨ e ,x x > 0, ⎪⎩− e ,

x < 0, y ∈ (− 1,0) ∪ (1, ∞ );

x ∈ (− 1, 0) ∪ (1, ∞ ), ⎧ ln x, x > 1, y = f −1 (x ) = ⎨ ⎩ln (− x ), x ∈ (− 1, 0), y ∈ (− ∞,0) ∪ (0, ∞ ).

О

Если f и g определенная

- функции одного переменного, то функция h , соотношением на области h ( x ) = g ⎡⎣ f ( x )⎤⎦

D ( h ) = { x ∈ D ( f ) : f ( x ) ∈ D ( g )} , называется сложной функцией или

суперпозицией (композицией) функций f и g и обозначается g f . Операции производятся справа налево – вначале вычисляется частное значение функции f и в точке x , а затем для данного числа, рассматриваемого как аргумент, вычисляется значение функции g . Операция суперпозиции может применяться повторно, например,

(

)

F ( x ) = lg sin tg ( x 2 ) представляет собой суперпозицию пяти операций: воз-

ведение в квадрат, вычисление тангенса, синуса, модуля и логарифма.

115

Функции. Предел функции

10.4. Основные элементарные функции 1. Степенные функции 1.1. y = x n , n ∈ N .

1.2. y =

1 , x ≠ 0. xn

1.3. y = n x .

1.4. y = xα , α ∈

.

116

Лекции 10 – 11

2. Трансцендентные функции 2.1. Показательная y = a x , a > 0, a ≠ 1.

2.2. Логарифмическая y = log a x, a > 0, a ≠ 1, x ∈ (0, ∞) .

3. Тригонометрические функции 3.1.

3.3.

.

y = sinx

y = tg x, x ≠

π 2

3.2. y = cosx

+ nπ

3.4. y = ctgx, x ≠ kπ .

117

Функции. Предел функции

4. Обратные тригонометрические функции 4.1. y = arcsin x, | x |≤ 1 . arcsin(− x) = − arcsin x .

4.2. y = arccos x, | x |≤ 1 . arccos(− x) = π − arccos x .

4.3. y = arctg x ,

4.4. y = arcctg x .

arcctg(− x) = π − arcctg x .

arctg(− x) = − arctg x .

arcsin x + arccos x =

π 2

, arctg x + arcctg x =

π 2

, arctg x =

π

1 − arctg . x 2

5. Гиперболические функции 5.1. Гиперболический синус e x − e− x y = sh x = . 2

5.2. Гиперболический косинус e x + e− x y = ch x = . 2

118

Лекции 10 – 11

5.3. Гиперболический тангенс

e x − e− x sh x y = th x = x − x = . e +e ch x

5.4. Гиперболический котангенс e x + e− x ch x y = cth x = x − x = . e −e sh x

ch 2 x − sh 2 x = 1, th x ⋅ cth x = 1 , sh( x + y ) = sh x ch y + sh y ch x , ch( x + y ) = ch x ch y + sh x sh y .

10.5. Элементарные и неэлементарные функции Функции, получающиеся из основных элементарных функций и констант с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций суперпозиции, называются элементарными функциями. (Список основных элементарных функций, изучаемых в рамках школьного курса математики, пополнен гиперболическими функциями – они широко встречаются в различных приложениях и тесно связаны с обычными тригонометрическими функциями.) Рассмотренные выше функции y = sgn x , y = x , y = [ x ] , функция Дирихле относятся к неэлементарным. О

11.1. Предел функции в точке О

11.1.1. Число A называется пределом функции y = f ( x ) в точке a , если

для

любой

последовательности

{ xn }

такой,

что

xn ∈ D ( f ) , xn ≠ a, lim xn = a , выполняется равенство lim f ( xn ) = A , коn →∞

торое обозначают: lim f ( x ) = A .

n →∞

x →a

Определение 11.1.1 сформулировано «на языке последовательностей» (иначе определение предела по Гейне).

119

Функции. Предел функции

Пример: 1) y = x; ∀ xn → a y ( xn ) = xn → a ⇒ lim x = a. x →a

n →∞

2) y = y ( x ) − функция Дирихле, x → a, y → ? рациональные − { xn } → a ⇒ { y ( xn )} → 1,

иррациональные − { xn } → a ⇒ { y ( xn )} → 0.

Функция Дирихле не имеет предела при x → a , где a - любое.

О

11.1.2. Число A называется пределом функции y = f ( x ) в точке a , если ∀ε > 0 ∃δ (ε ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ (ε ) ⇒ f ( x ) − A < ε . A+e A A- e

2ε

δ δ

0

a −δ

a +δ

Таким образом, для любой ε - окрестности точки А можно найти δ окрестность точки a , такую, что все значения функции для x из δ - окрестности точки a попадут в ε - окрестность точки А. Смысл этого утверждения заключается в том, что чем ближе точка x расположена к точке a , тем ближе значение f ( x ) к числу A . Определение 11.1.2 сформулировано «на языке эпсилон-дельта» (иначе определение предела по Коши).

11.2. Предел функции в бесконечности Если ООФ не ограничена сверху (снизу), то можно поставить вопрос о поведении функции при x → + ∞ ( x → − ∞ ). О 11.2.1. Число A называется пределом f ( x ) при x → + ∞ ( x → − ∞ ), ес-

⎛ ⎞ ли ∀{ xn } : xn → +∞ ⇒ f { xn } → A ⎜ ∀{ xn } : xn → −∞ ⇒ f { xn } → A ⎟ . n →∞ n →∞ ⎝ ⎠ n →∞ n →∞ Определение 11.2.1 сформулировано «на языке последовательностей». О

11.2.2. Число A называется пределом f ( x ) при x → + ∞ ( x → − ∞ ), если ∀ε > 0 ∃M ( ε ) : ∀x : x ≥ M ⇒ f ( x ) − A < ε

( ∀ε > 0 ∃ M ( ε ) : ∀ x : x ≤ M ⇒ f ( x ) − A < ε ) .

120

Лекции 10 – 11

Определение 11.2.2 сформулировано «на языке эпсилон-дельта». Т

Определение 11.1.1 ⇔ определение 11.1.2, определение 11.2.1 ⇔ определение 11.2.2, т.е. определения Гейне и Коши эквивалентны.

Покажем, как пользоваться обеими разновидностями определений для доказательства существования и отсутствия предела. Для доказательства существования предела обычно удобнее определение Коши, для доказательства отсутствия предела – определение Гейне. Пример: 1) y = x 2 , x →1 . Доказать, что lim x 2 = 1 . x →1

Доказательство: ∀ε > 0 x 2 − 1 < ε ,

( x − 1)( x + 1) < ε

⇒ x −1 <

ε

. x +1 Так как в предельном переходе рассматриваемая область значений x находится вблизи точки a = 1 , можно считать, что 0 < x < 2 , x + 1 = x + 1 ,

1 1 < < 1 , тогда x − 1 < ε , т.е. можно взять δ ( ε ) = ε . Что3 x +1 бы доказать существование предела f ( x ) при x → a , следует для любо1< x +1< 3 ,

го ε найти формулу для построения δ ( ε ) .

x +1 x +1 Доказать, что lim =1. ,x → ∞. x →∞ x x Доказательство: 1 x +1 1 1 ∀ε > 0 −1 < ε ⇒ < ε ⇒ x > , т.е. M ( ε ) = . x x ε ε 2) y =

1 1 3) y = sin , x → 0 . Доказать, что lim sin не существует. x →0 x x Доказательство: Рассмотрим две последовательности 1 xn = , lim x = 0 , f ( xn ) = sin ( nπ ) = 0 , lim f ( xn ) = 0 ; n →∞ π n n →∞ n 2 ⎛π ⎞ x′n = , lim xn′ = 0 , f ( xn′ ) = sin ⎜ + 2nπ ⎟ = 1 , lim f ( x′n ) = 1 . n →∞ π + 4π n n →∞ ⎝2 ⎠ Поскольку для различных последовательностей значений аргумента, сходящихся к нулю, соответствующие последовательности значений 1 функции сходятся к различным пределам, lim sin не существует. x →0 x

121

Функции. Предел функции

11.3. Односторонние пределы О

11.3.1. Число A называется правым пределом функции y = f ( x ) в

точке a , если ∀{ xn } → a , ( xn > a ) ⇒ { f ( xn )} → A . Эквивалентное опре-

деление: число A называется правым пределом функции y = f ( x ) в

точке a , если ∀ε > 0 ∃δ ( ε ) > 0 : 0 < x − a < δ ( ε ) ⇒ f ( x ) − A < ε . Обозначение правого предела: lim f x→ a+0

О

(x) =

A.

11.3.2. Число A называется левым пределом функции y = f ( x ) в точке

a , если ∀ {xn } → a : ( xn < a ) ⇒ { f ( xn )} → A , или если ∀ε > 0 , то

∃δ ( ε ) > 0 : 0 < a − x < δ ( ε ) ⇒ f ( x ) − A < ε .

Обозначение левого предела: lim

x→ a−0

f

(x ) =

A.

Пример:

y = Sgn x , lim Sgn x = 1, lim Sgn x = −1 . x →+0

Т

x →−0

Функция y = f ( x ) имеет предел в точке a , если правый и левый пределы в точке a существуют и равны: lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) = A . x→a +0

x→a −0

x→a

Доказательство: Из определения 11.3.1 ⇒ ∀ε > 0 ∃δ 1 ( ε ) : 0 < x − a < δ 1 ( ε ) ⇒ f ( x ) − A < ε . Из определения 11.3.2 для того же ε ⇒ ∃δ 2 ( ε ) : 0 < a − x < δ 2 ( ε ) ⇒ f ( x ) − A < ε . тогда можно δ ( ε ) = min {δ 1 , δ 2 } , ∀ε > 0∃δ ( ε ) : x − a < δ ( ε ) , то есть lim f ( x ) = A .

Возьмем

сказать,

что

x→a

11.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства О

!

Функция α ( x )

называется бесконечно малой в точке

a,

если

lim α ( x ) = 0 . x→a

Аналогично определяется функция, бесконечно малая при x → + ∞

122 ( x → − ∞ ).

Лекции 10 – 11

123

Функции. Предел функции

Свойства бесконечно малых функций: Т

Если lim α ( x ) = lim β ( x ) = 0 , то lim (α ( x ) + β ( x ) ) = 0 . x →a

x →a

x→a

Доказательство: Из условия следует, что для любой последовательности xn → a соответствующие последовательности α ( xn ) → 0 и β ( xn ) → 0 . Покажем, что α ( xn ) + β ( xn ) → 0 . Для этого фиксируем произвольное ε : ∃N1 ( ε ) : n > N1 ⇒ α ( xn ) <

ε

2 Возьмем N = max { N1 , N 2 } ,

и ∃N 2 ( ε ) : n > N 2 ⇒ β ( xn ) <

ε 2

.

тогда для n > N ⇒ α ( xn ) + β ( xn ) ≤ α ( xn ) + β ( xn ) < ε .

! Т

Свойство может быть расширено: сумма конечного количества бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая. 1⎞ ⎛ Например, lim ⎜ x 2 ⋅ sin ⎟ = 0 . x2 - бесконечно малая функция в точке x →0 x⎠ ⎝

1 - ограниченная функция. x С Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. α ( x) Т Если lim f ( x ) = A ≠ 0, lim α ( x ) = 0 , то lim = 0. x→a x→a x→a f ( x ) О Функция f ( x ) называется бесконечно большой в точке a , если x = 0 ; sin

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) > M . Записывается это как lim f ( x ) = ∞ . Если же функция при x → a не только возрастает по абсоx→a

лютной величине, но и сохраняет определенный знак, это обозначают: lim f ( x ) = + ∞ ⇔ ∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) > M ; x→a

lim f ( x ) = − ∞ ⇔ ∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) < M . x→a

!

1). Аналогично определяются функции, бесконечно большие при x → +∞ ( x → − ∞ ). 2). Функция, бесконечно большая при x → a , является неограниченной в окрестности точки a , но обратное утверждение неверно: не всякая не1 ограниченная функция является бесконечно большой. Так, f1 ( x ) = x

124

Лекции 10 – 11

⎛1⎞ sin ⎜ ⎟ ⎝ x ⎠ - является неогранибесконечно большая при x → 0 , а f 2 ( x ) = x ченной при x → 0 , но бесконечно большой не является. В первом случае для любого числа M можно указать окрестность точки x = 0 , в каждой точке которой f ( x ) > M ; во втором случае для любого числа M в каждой окрестности точки x = 0 можно указать точку, в которой f ( x ) > M , но в этой же окрестности найдутся точки, не удовлетворяющие этому условию, для которых, например, f ( x ) = 0 .

Связь между функциями бесконечно большими и бесконечно малыми при x → a подтверждается следующей теоремой. Т

Если α ( x ) - бесконечно малая функция при x → a и α ( x ) ≠ 0 при x ≠ a , 1 то - бесконечно большая функция при x → a . Если α ( x ) - бескоα ( x) 1 нечно большая, то - бесконечно малая. α ( x)

Свойства бесконечно больших функций 1˚. Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию, не равную нулю, есть функция бесконечно большая. 2˚. Произведение бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая. 3˚. Сумма бесконечно больших функций может не быть бесконечно большой функцией: f ( x ) = x , g ( x ) = 1 − x , f ( x ) + g ( x ) = 1 . f ( x ) и g ( x ) - бесконечно большие при x → ∞ функции, но f ( x ) + g ( x ) таковой не является; f ( x ) = x , g ( x ) = 1 − x2 , f ( x ) + g ( x ) = 1 + x − x2 .

Все функции, f ( x ) , g ( x ) и f ( x ) + g ( x ) - бесконечно большие при x → ∞.

11.5. Таблица определений предела В таблице приведены все встречавшиеся в лекции определения пределов. Для краткости приведены только определения Коши.

125

Функции. Предел функции

Понятие Предел функции f в точке x = a «Обращение функции f в бесконечность» в точке

x=a

Предел функции f при x → +∞ , соответственно

x → −∞

«Обращение функции f в бесконечность» при x → +∞ , соответственно

x → −∞

Пределы справа и слева «Обращение функции f в бесконечность» справа и слева в точке x = a

Обозначение

lim f ( x ) = A x→a

Определение ∀ε > 0 ∃δ ( ε ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) − A < ε

lim f ( x ) = +∞ x→a

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) > M

lim f ( x ) = −∞

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) < M

lim f ( x ) = ∞ x→a

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) > M

x →+∞

lim f ( x ) = A

∀ε > 0 ∃M ( ε ) : ∀x : x ≥ M ⇒ f ( x ) − A < ε

x →−∞

lim f ( x ) = A

∀ε > 0 ∃M ( ε ) : ∀x : x ≤ M ⇒ f ( x ) − A < ε

lim f ( x ) = +∞

∀M ∃x0 ( M ) : ∀x : x ≥ x0 ⇒ f ( x ) > M

lim f ( x ) = −∞

∀M ∃x0 ( M ) : ∀x : x ≥ x0 ⇒ f ( x ) < M

lim f ( x ) = +∞

∀M ∃x0 ( M ) : ∀x : x ≤ x0 ⇒ f ( x ) > M

lim f ( x ) = −∞

∀M ∃x0 ( M ) : ∀x : x ≤ x0 ⇒ f ( x ) < M

x →+∞

lim f ( x ) = ∞

∀M ∃x0 ( M ) : ∀x : x ≥ x0 ⇒ f ( x ) > M

x →−∞

lim f ( x ) = ∞

∀M ∃x0 ( M ) : ∀x : x ≤ x0 ⇒ f ( x ) > M

x→a +0

lim f ( x ) = A

∀ε > 0 ∃δ ( ε ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) − A < ε

x→a −0

lim f ( x ) = A

∀ε > 0 ∃δ ( ε ) > 0 : ∀x : 0 < a − x < δ ⇒ f ( x ) − A < ε

lim f ( x ) = +∞

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) > M

lim f ( x ) = +∞

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < a − x < δ ⇒ f ( x ) > M

lim f ( x ) = −∞

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) < M

lim f ( x ) = −∞

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < a − x < δ ⇒ f ( x ) < M

x→a + 0

lim f ( x ) = ∞

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) > M

x→a −0

lim f ( x ) = ∞

∀M ∃δ ( M ) > 0 : ∀x : 0 < a − x < δ ⇒ f ( x ) > M

x→a

x →+∞ x →+∞ x →−∞ x →−∞

x→a + 0 x→a −0

x→a + 0 x→a −0

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен владеть следующими понятиями: ƒ функция, график функции, способы задания функции; ƒ предел функции в точке и в бесконечности, односторонние пределы; ƒ бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства.

Лекции 12-13 ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ В лекциях 12–13 доказаны основные теоремы, на которые опираются конкретные приемы вычисления пределов функций. Рассмотрены первый и второй замечательные пределы, позволяющие вычислять пределы неопределенных выражений, приведена классификация бесконечно малых величин, показана важность эквивалентных бесконечно малых для вычисления пределов функций. Рассмотрено понятие непрерывности, излагаются определения и теоремы, разъясняющие это понятие.

12.1. Свойства функций, имеющих предел 12.2. Замечательные пределы 12.2.1. Первый замечательный предел 12.2.2. Второй замечательный предел 12.3. Сравнение бесконечно малых функций 13.1. Непрерывность функции 13.1.1. Непрерывность функции в точке 13.1.2. Непрерывность функции на множестве 13.1.3. Непрерывность основных элементарных функций 13.1.4. Свойства непрерывных функций 13.1.5. Непрерывность обратной функции 13.1.6. Непрерывность сложной функции 13.1.7. Свойства функций, непрерывных на отрезке 13.2. Точки разрыва и их классификация

12.1. Свойства функций, имеющих предел Для рассмотрения свойств функций, имеющих предел, будет полезна следующая теорема о связи бесконечно малой функции и функции, имеющей предел. Теоремы этого параграфа сформулированы для пределов в точке x0 , но все они справедливы и для пределов при x → ± ∞ . Т

Если lim f ( x) = A и A < ∞ , то f ( x ) = A + α ( x ) , где lim α ( x) = 0. x → x0

x → x0

Доказательство: Если lim f ( x) = A, то, по определению Коши, при произвольном ε > 0 x → x0

выполняется неравенство

f ( x ) − A < ε . Обозначим

f ( x) − A = α ( x).

Тогда для любого ε > 0 выполняется α ( x ) < ε . Но это и означает, что

α ( x ) – бесконечно малая при x → x0 .

126 !

Лекции 12 – 13

Справедливо и обратное утверждение: если функция f ( x ) представима

в виде f ( x ) = A + α ( x ) , где lim α ( x ) = 0 , то существует lim f ( x) = A . x → x0

x → x0

Пусть функции y = f ( x) и y = ϕ ( x) имеют одну область определения D . Т

Если lim f ( x ) = A и lim ϕ ( x) = B , то x → x0

x → x0

1) lim ( f ( x ) + ϕ ( x ) ) = lim f ( x ) + lim ϕ ( x ); x → x0

x → x0

x → x0

2) lim ( f ( x ) ⋅ ϕ ( x ) ) = lim f ( x ) ⋅ lim ϕ ( x ); x → x0

x → x0

x → x0

3) lim ( k ⋅ f ( x ) ) = k ⋅ lim f ( x ); x → x0

x→ x0

f ( x) f ( x) xlim → x0 4) lim , где ϕ (x) ≠ α (x) . = x → x0 ϕ ( x ) lim ϕ ( x) x → x0

Из теоремы о связи функции, предела и бесконечно малой: lim f ( x) = A ⇔ f ( x) = A + α ( x), где lim α ( x) = 0;

x → x0

x → x0

lim ϕ ( x) = B ⇔ ϕ ( x) = B + β ( x),

где lim β ( x) = 0

x → x0

x → x0

Докажем свойство 1: f ( x ) + ϕ ( x ) = ( A + α ( x )) + ( B + β ( x )) = = ( A + B ) + (α ( x ) + β ( x ) ) = ( A + B ) + γ ( x ) ,

где γ ( x ) = α ( x ) + β ( x ) . Применяя теорему о связи вновь и учитывая, что

lim γ ( x) = lim (α ( x) + β ( x) ) = 0,

x → x0

получаем

lim ( f ( x) + ϕ ( x) ) = A + B = lim f ( x) + lim ϕ ( x).

x → x0

!

x → x0

x → x0

x→ x0

Свойства 1, 2, 4, в которых фигурируют три различных предела, можно читать в двух направлениях: если два любых предела существуют, то существует и третий и соотношение выполняется.

127

Замечательные пределы. Непрерывность функции

Пример: x2 + 5 Вычислить предел lim 2 . x →2 x − 3

Значение

f ( x) =

функции

x2 + 5 x2 − 3

определено

в

точке

x0 = 2 ,

22 + 5 9 x2 + 5 = 9. f (2) = 2 = = 9 , поэтому lim 2 x→2 x − 3 2 −3 1

Если функция f ( x) определена в точке x0 , то

( )

lim f ( x) = f lim x = f ( x0 ).

x → x0

x → x0

Пример: Вычислить предел lim

x →∞

x3 + x . x3 − 3x 2 + 1

Как и для последовательностей, применим метод деления числителя и знаменателя на наивысшую степень x , т.е. на x3 : x3 + x 1 + 1 x2 1+ 0 ⎡∞⎤ lim 3 = = lim = 2 3 ⎢⎣ ∞ ⎥⎦ x→∞ 1 − 3 x + 1 x 1 − 0 + 0 = 1. x →∞ x − 3 x + 1 Пример: 9 + 5x + 4x2 − 3 . x→0 x Непосредственно подставляя число x0 = 0 в функцию, получаем неопре-

Вычислить предел lim

деленность (0/0). Учтем формулу ( a − b )( a + b ) = a 2 − b 2 и умножим числитель и знаменатель на выражение

9 + 5x + 4x lim x →0 x = lim x →0

=

2

( − 3 ⎡0⎤ = = lim ⎢⎣ 0 ⎥⎦

9 + 5x + 4x2 − 9

x⋅

(

9 + 5x + 4 x2 + 3

5 5 = . 3+3 6

)

x →0

= lim x →0

(

)

9 + 5x + 4 x2 + 3 :

) − ( 3) = x ⋅ ( 9 + 5 x + 4 x + 3) 9 + 5x + 4x2

2

2

2

5 + 4x 9 + 5x + 4 x2 + 3

=

5+0 = 9+0+0 +3

128

Лекции 12 – 13

Пример: Вычислить предел: lim

x →+∞

(

)

x2 + 1 − x .

В данном примере имеет место неопределенность типа (∞ - ∞); наличие иррациональности не допускает прямого сокращения, поэтому применяется следующий прием: f ( x ) − g ( x )) ( f ( x ) + g ( x )) f 2 ( x ) − g 2 ( x ) ( = f ( x) − g ( x) = : f ( x) + g ( x) f ( x) + g ( x)

lim ( x 2 + 1 − x) = (∞ − ∞) = lim

x →+∞

= lim

x →+∞

x2 + 1 − x2

x →+∞

Т

(

x2 + 1 + x

= lim

x →+∞

1 x2 + 1 + x

)

2

x 2 + 1 − ( x) 2 x2 + 1 + x

=

=0

Если функции y = f ( x) и y = ϕ ( x) имеют одну область определения D и ∀x ∈ D f ( x ) ≤ ϕ ( x ) , то lim f ( x) ≤ lim ϕ ( x). Иначе говоря, знак нераx → x0

x→ x0

венства сохраняется при предельном переходе. Заметим, что из строгого неравенства f ( x ) < ϕ ( x ) по-прежнему следует lim f ( x) ≤ lim ϕ ( x) : пусть x → x0

x→ x0

f ( x ) = x 4 , ϕ ( x ) = x 2 , при x < 1 f ( x ) < ϕ ( x ) , но lim f ( x ) = lim ϕ ( x ) = 0 . x →0

Т

x →0

Теорема о пределе промежуточной функции. Если 1) ∀x ∈ D f ( x ) ≤ ϕ ( x ) ≤ g ( x ) , 2) lim f ( x) = lim g ( x) = A , то ∃ lim ϕ ( x) = A .

x → x0

x→ x0

x → x0

12.2. Замечательные пределы. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел В теории пределов большую роль играют два предела, которые, в силу их важности, получили названия замечательных пределов.

12.2.1. Первый замечательный предел Т

Функция y =

sin x sin x = 1. при x → 0 имеет предел, равный 1: lim x →0 x x

129

Замечательные пределы. Непрерывность функции

Доказательство: Рассмотрим единичную окружность. Пусть ∠COB = x , 0 < x <

π

, OC = OB = r = 1 , 2 AC = sin x , OA = cos x , BD = tg x . Сравнивая площади треугольника OAC , сектора OBC и треугольника OBD , получаем

S

OAC

< SOBC < S

OBD

,

1 1 1 sin x sin x ⋅ cos x < x < ⋅ . 2 2 2 cos x Разделим двойное неравенство на венство

x 1 sin x < . Нера( > 0 ) : cos x < sin x cos x 2 для так как x < 0,

справедливо и sin(− x) sin( x) = cos(− x) = cos x, . Перейдем к пределу при x → 0 : cos( x) −x x - функция непрерывная, cos x → cos(0) = 1. Применяя теорему о пределе промежуточной функции, получаем:

sin x sin x ≤ 1 , то есть lim = 1. x →0 x →0 x x

1 ≤ lim !

0 В первом замечательном пределе имеет место неопределенность ⎡⎢ ⎤⎥ . ⎣0⎦

Пример:

sin 2 x . x→0 x

Вычислить предел: lim

Если x → 0, то и 2x → 0 и тогда lim x →0

sin 2 x ⎡ 0 ⎤ 2 ⋅ sin 2 x sin 2 x = ⎢ ⎥ = lim = 2 ⋅ lim = 2 ⋅ 1 = 2. x → 0 x → 0 2⋅ x 2x x ⎣0⎦

Пример:

tgx . x →0 x

Вычислить предел: lim

tg x ⎡ 0 ⎤ sin x 1 1 ⎛ sin x 1 ⎞ = ⎢ ⎥ = lim ⎜ ⋅ = lim ⋅ lim = 1⋅ = 1. ⎟ x →0 x cos 0 ⎣ 0 ⎦ x→0 ⎝ x cos x ⎠ x→0 x x→0 cos x

lim

130

Лекции 12 – 13

12.2.2. Второй замечательный предел x ⎛ 1⎞ Т Функция y ( x ) = ⎜ 1 + ⎟ при x → ∞ имеет предел, равный числу e : x⎠ ⎝ x

⎛ 1⎞ lim ⎜ 1 + ⎟ = e . x →∞ x⎠ ⎝ Доказательство: При рассмотрении предела монотонной последовательности было полуn ⎛ 1⎞ чено соотношение: lim ⎜ 1 + ⎟ = e . n →∞ ⎝ n⎠ Пусть x → +∞ . Любое x удовлетворяет двойному неравенству 1 1 1 < ≤ , n ≤ x < n + 1 , где n = [ x ] - целая часть x . Тогда n +1 x n n x n +1 1 1 1 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1+ <1+ ≤1+ и ⎜1 + ⎟ < ⎜ 1 + ⎟ ≤ ⎜ 1 + ⎟ . При x → +∞ n +1 x n x⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n +1⎠ ⎝ n → +∞ . Рассмотрим раздельно пределы левой и правой части двойного неравенства: n +1

1 ⎞ ⎛ lim ⎜1 + n e 1 ⎞ n→∞ ⎝ n + 1 ⎟⎠ ⎛ = = =e, lim ⎜1 + ⎟ n →∞ 1 ⎞ 1 ⎛ ⎝ n +1⎠ lim ⎜1 + ⎟ n→∞ ⎝ n +1⎠ ⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ n →∞ ⎝ n⎠

n +1

n

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ = lim ⎜ 1 + ⎟ ⋅ lim ⎜ 1 + ⎟ = e ⋅ 1 = e . n→∞ ⎝ n ⎠ n→∞ ⎝ n ⎠

Применяя теорему о пределе промежуточной функции, получаем, что x

x

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ e ≤ lim ⎜1 + ⎟ ≤ e , откуда lim ⎜1 + ⎟ = e . x →+∞ x →+∞ x⎠ x⎠ ⎝ ⎝ Пусть x → − ∞ . Сделаем замену переменной: t = − ( x + 1) , x = − ( t + 1) ; из x → − ∞ следует t → + ∞ . x

1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ lim ⎜1 + ⎟ = lim ⎜1 − ⎟ x →−∞ ⎝ x ⎠ t →+∞ ⎝ t + 1 ⎠

⎛ 1⎞ = lim ⎜1 + ⎟ t →+∞ ⎝ t⎠

t +1

⎛ 1⎞ = lim ⎜1 + ⎟ t →+∞ ⎝ t⎠

t

− t −1

⎛ t ⎞ = lim ⎜ ⎟ t →+∞ t + 1 ⎝ ⎠

− t −1

t

⎛ t +1⎞ = lim ⎜ ⎟ t →+∞ ⎝ t ⎠

t +1

=

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⋅ ⎜ 1 + ⎟ = lim ⎜ 1 + ⎟ ⋅ lim ⎜ 1 + ⎟ = e ⋅ 1 = e ⎝ t ⎠ t →+∞ ⎝ t ⎠ t →+∞ ⎝ t ⎠

131

Замечательные пределы. Непрерывность функции

С

lim (1 + t )

1/ t

t →0

=e

(заменим переменную: t =

1 1/ t x ; lim (1 + t ) = lim (1 + 1 x ) = e ). x →∞ x t →0

Пример: Вычислить предел: lim (1 + 1 x ) . 7x

x→∞

7

7

7x x x lim (1 + 1 x ) = ⎡⎣1∞ ⎤⎦ = lim ⎡(1 + 1 x ) ⎤ = ⎡ lim (1 + 1 x ) ⎤ = e7 . ⎦ ⎣ x →∞ x →∞ x →∞ ⎣ ⎦

О

ϕ( x)

Функция y = ( f ( x ) )

( f ( x ) > 0 ) называется степенно-показательной

функцией или сложно-показательной функцией. Т

ϕ( x)

Предел степенно-показательной функции y = ( f ( x ) )

при x → x0 вы-

числяется по формуле:

lim ( f ( x) )

ϕ ( x)

x → x0

lim ϕ ( x )

x → x0 = ⎡ lim f ( x) ⎤ ⎢⎣ x→ x0 ⎥⎦

.

Применим основное логарифмическое тождество, считая

lim f ( x ) = A, lim ϕ ( x ) = B.

x → x0

lim ( f ( x) )

ϕ ( x)

x → x0

= lim e

!

ϕ (x)

ln ( f ( x ) )

x → x0

lim ϕ ( x )⋅ lim ln f ( x )

= e x→ x0

x → x0

x → x0

lim ϕ ( x )⋅ln f ( x )

= lim eϕ ( x )⋅ln f ( x ) = e x → x0 x → x0

=

lim ϕ ( x )

B x → x0 = e B ⋅ln A = eln A = AB = ⎡ lim f ( x ) ⎤ ⎢⎣ x → x0 ⎥⎦

.

Во втором замечательном пределе имеет место неопределенность ⎡⎣1∞ ⎤⎦ . Пример:

⎛ x +1 ⎞ Вычислить предел lim ⎜ ⎟ x →∞ x − 2 ⎝ ⎠ Вычислим

предел

2 x −1

.

x +1 1+1 x 1+ 0 = lim = =1 x →∞ x − 2 x →∞ 1 − 2 x 1− 0

lim

⎛ x +1 ⎞ lim ( 2 x − 1) = ∞. Таким образом, функция y = ⎜ ⎟ x→∞ ⎝ x − 2⎠ определенность [1∞].

и

предел

2 x −1

порождает не-

3 1 x +1 x +1− x + 2 ⎛ x +1 ⎞ = 1+ ⎜ − 1⎟ = 1 + = 1+ = 1+ . x−2 x−2 x−2 ( ( x − 2) 3) ⎝ x−2 ⎠

132

Лекции 12 – 13

⎛ x +1⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ x − 2 ⎝ ⎠

2 x −1

⎛ ⎞ 1 = (1 ) = lim ⎜1 + ⎟⎟ x →∞ ⎜ ⎝ ( ( x − 2) 3) ⎠

2 x −1

∞

⎡ ⎛ ⎞ 1 = lim ⎢ ⎜ 1 + ⎟ x →∞ ⎢ ( ( x − 2) 3) ⎠ ⎝ ⎢⎣

x −2 3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

( 2 x −1)⋅

3 x −2

=e

lim

x →∞

3( 2 x −1) x −2

=

= e6 ,

6x − 3 = 6. x →∞ x − 2

поскольку lim

12.3. Сравнение бесконечно малых функций Пусть функции α1(x) и α2(x) являются бесконечно малыми при x → x0. α ( x) = A, то возможно несколько ситуаций: Если lim 1 x → x0 α ( x ) 2 1) если A < ∞, то α1(x) и α2(x) называются бесконечно малыми одного порядка; 2) если A = 1, то α1(x) и α2(x) называются эквивалентными. Обозначение: α ( x) = 1; α1(x) ∼ α2(x) ⇔ lim 1 x → x0 α ( x ) 2 3) если A = 0, то функция α1(x) называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с α2(x). α ( x) = 0. Введем символ α1(x) = о (α2(x)) ⇔ lim 1 x → x0 α ( x ) 2 Т Если α1(x), α2(x), α3(x) являются бесконечно малыми при x → x0 и при α ( x) α ( x) = lim 1 . этом α1(x) ∼ α2(x), α2(x) ∼ α3(x), то lim 1 x → x0 α ( x ) x → x0 α ( x ) 2 3 α ( x) = 1. В самом деле, α3(x) ∼ α2(x) ⇔ lim 3 x → x0 α ( x ) 2 Тогда α ( x) α ( x) ⋅ α 3 ( x) α ( x) α ( x) α ( x) lim 1 = lim 1 = lim 1 ⋅ lim 3 = lim 1 ⋅1 = x → x0 α ( x ) x → x0 α ( x ) ⋅ α ( x ) x → x0 α ( x ) x → x0 α ( x ) x → x0 α ( x ) 2 3 2 3 2 3 α ( x) = lim 1 . x → x0 α ( x ) 3

133

Замечательные пределы. Непрерывность функции

Аналогично: если α1(x) ∼ α2(x) при x → x0, то

1) lim ( f ( x) ⋅ α1 ( x) ) = lim ( f ( x) ⋅ α 2 ( x) ) ; x → x0

2) lim

x → x0

α1 ( x)

x → x0

f ( x)

α 2 ( x)

= lim

x → x0

f ( x)

;

3) lim f (α1 ( x) ) = lim f (α 2 ( x) ) . x → x0

Т

!

x → x0

Если x → 0, то выполняются следующие эквивалентности:

x2 2

1) sin x ∼ x

5) arcsin x ∼ x

9) 1 − cos x ∼

2) tg x ∼ x

6) arctg x ∼ x

10) sh x ∼ x

3) ex – 1 ∼ x

7) ln(1 + x) ∼ x

11) 1 ± x − 1 ∼ ±

4) a x − 1 ∼ x ⋅ ln a

8) log a (1 + x ) ∼

x ln a

x 2

12) (1 + x ) − 1 ∼ α x α

Указанные эквивалентности являются следствиями соответствующих предельных соотношений:

sin x ⎯⎯⎯ →1 , x →0 x

ax −1 = ⎯⎯⎯ → ln a , x →0 x

tg x ⎯⎯⎯ →1, x →0 x

(1 + x ) x

log a (1 + x) 1 = ⎯⎯⎯ → , x →0 ln a x

a

−1

= ⎯⎯⎯ →a, x →0

1+ x −1 1 = ⎯⎯⎯ → . x →0 x 2

Пример: Вычислить предел lim (1 + sin x ) . 1x

x→0

При x → 0 применим sinx ∼ x. lim (1 + sin x )

1x

x→0

= lim (1 + x )

1x

x→0

= e.

Пример:

ln(1 + sin x) . x →0 sin 4 x При x → 0 применим эквивалентность sinx ∼ x, sin4x ∼ 4x. Вычислить lim

134

Лекции 12 – 13

ln(1 + sin x) ln(1 + x) 1 ln(1 + x) 1 1 = lim = lim = ⋅1 = . x →0 x→0 x sin 4 x 4x 4 x →0 4 4

lim Пример:

1 + cos π x . x →1 tg 2π x Заменим t = x - 1. Получаем t → 0 и x = t + 1, тогда cos πx = cosπ(t + 1) = = cos (πt + π) = -cosπt, tg2πx = tg2π(t + 1) = tg2(πt + π) = tg2πt.

Вычислить lim

2

⎛πt ⎞ 2 sin ⎜ ⎟ 1 + cos π x ⎛ 0 ⎞ 1 − cos π t 2 2 lim = ⎜ ⎟ = lim = lim = 2 ⋅ lim ⎝ ⎠2 = 2 2 2 0 0 0 x →1 t → t → t → tg π x tg π t tg π t ⎝0⎠ (π t ) 2

πt

1 1 π 2t 2 4 = 2 ⋅ lim 2 2 = 2 ⋅ lim = . t →0 π t t →0 4 2

13.1. Непрерывность функции 13.1.1. Непрерывность функции в точке О

Пусть функция y = f ( x) определена на множестве D и пусть точка x0 ∈ D . Функция y = f ( x) называется непрерывной в точке x0 , если функция определена в точке x0 , существует предел lim f ( x) и при этом x → x0

lim f ( x) = f ( x0 ). (Иначе: 1) ∃f ( x0 ) , 2) ∃ lim f ( x) , 3) lim f ( x) = f ( x0 ) ).

x → x0

!

x → x0

x → x0

1). При нарушении любого из трех условий функция называется разрывной в точке x0 . 2). Поскольку lim x = x0 , поэтому первое определение непрерывности x → x0

(

)

может быть записано в виде lim f ( x ) = f lim( x) , то есть операция выx → x0

x → x0

числения непрерывной в точке x0 функции y = f ( x) и операция вычисления предела перестановочны. Пример: 1) f ( x) = x , ∀x0 lim f ( x) = lim x = x0 = f ( x0 ) . x → x0

x → x0

f ( x) = x - непрерывна в любой точке x0 по определению. ⎧ x 2 , x < 0, 2) f ( x) = ⎨ ⎩1, x ≥ 0. f ( x) непрерывна в любой точке x0 ≠ 0 ,

1 0

135

Замечательные пределы. Непрерывность функции

f ( x) разрывна в точке 0 (нарушено второе условие определения).

Рассмотрим точку x0 ∈ D функции y = f ( x) и точку x ≠ x0 . Величина ∆ x = x − x0 называется приращением аргумента, x = x0 + ∆x . Величина ∆ y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) называется приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента ∆x . О

Функция y = f ( x) называется непрерывной в точке x0 , если функция определена в точке x0 и при этом lim ∆y = 0. ∆x →0

Вариант формулировки: функция непрерывна в точке, если бесконечно малым приращениям аргумента соответствуют бесконечно малые приращения функции. Пример: Показать, что первое и второе определения непрерывности равносильны. Используя арифметические свойства предела, получаем lim ∆y = 0, lim [ f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )] = 0, ∆x → 0

∆x → 0

lim f ( x0 + ∆x) − lim f ( x0 ) = 0, lim f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = 0.

∆x → 0

∆x → 0

∆x → 0

По определению приращения ∆x = x − x0 , поэтому lim f ( x0 + ∆x) = lim f ( x), ∆x → 0

x → х0

и тем самым lim f ( x) − f ( x0 ) = 0 или lim f ( x) = f ( x0 ). x → x0

О

Функция y = f ( x) называется непрерывной в точке x0 , если функция определена в точке x0 , существуют односторонние пределы lim f ( x), lim f ( x) и при этом lim f ( x) = lim f ( x) = f ( x0 ) . x → x0 −0

! О

x → x0 + 0

x → x0 −0

x → x0 + 0

Все три определения непрерывности равносильны. Используется также понятие односторонней непрерывности. Функция y = f ( x) называется непрерывной в точке x0 слева, если функция определена в точке x0 и существует односторонний предел lim f ( x) и при этом lim f ( x) = f ( x0 ) . x → x0 −0

О

x → x0

x → x0 −0

Функция y = f ( x) называется непрерывной в точке x0 справа, если функция определена в точке x0 и существует односторонний предел lim f ( x) и при этом lim f ( x) = f ( x0 ) . x → x0 + 0

x → x0 + 0

136

Лекции 12 – 13

Используя понятие односторонней непрерывности, можно сказать, что функция непрерывна в точке x0 , если она непрерывна в ней справа и слева.

!

13.1.2. Непрерывность функций на множестве О

О

Функция, непрерывная в любой точке множества D , называется непрерывной на множестве D . Для некоторых точек множества двусторонние пределы могут не существовать, например, если в качестве множества D рассматривается отрезок [ a, b ] . В этом случае в крайних точках отрезка двусторонние пределы заменяются на односторонние. Функция непрерывна на отрезке [ a, b ] , если она непрерывна на интервале ( a, b ) , непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b .

13.1.3. Непрерывность основных элементарных функций Основными элементарными функциями обычно называют следующие: y = xα , a x , log a x , sin x , cos x , tg x , ctg x , arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x . Т

Основные элементарные функции непрерывны в каждой точке x0 их области определения. Пример: Показать, что функция y = x2 непрерывна в произвольной точке x0 вещественной оси. ∆y = (x0 + ∆x)2 – x02 = x02 + 2x0 ⋅ ∆x + ∆x2 – x02 = 2x0 ⋅ ∆x + ∆x2. lim ∆y = lim ( 2 x0 ⋅ ∆x + ∆x 2 ) = 2 x0 ⋅ lim ∆x + lim ∆x ⋅ lim ∆x = 2 x0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 = 0.

∆x → 0

!

∆x → 0

∆x → 0

∆x → 0

∆x → 0

Непрерывность функции y = xn в произвольной точке x0 вещественной оси доказывается с использованием формулы бинома Ньютона. Пример: Показать, что функция f ( x) = sin x непрерывна в произвольной точке x0 вещественной оси. Докажем, что: 1) lim sin x = 0 . ∀ { xn } → + 0 ( x > 0) . x →+0

По лемме 0 < sin xn < xn при n → ∞ , по теореме о переходе к пределу в

неравенствах lim sin xn = 0 . lim sin x = 0 = sin(0) - непрерывность в n →∞

x →0 +

137

Замечательные пределы. Непрерывность функции

x = 0 справа. Пусть { xn } → − 0 . Заменим x на ( − x ) , ( − x ) > 0 . Тогда выполняется условие: 0 < sin(− x) < (− x) , 0 < − sin x < (− x) . точке

Умножим неравенство на (-1). Тогда 0 > sin x > x . Рассмотрим ( xn < 0) , xn < sin xn < 0 ⇒ lim sin x = 0 = sin(0) - непрерывность в x→0 −

точке x = 0 слева. 2) ∀ точки x = x0 ≠ 0 . Покажем, что

lim sin x = sin x0 , то есть lim (sin x − sin x0 ) = 0 .

x → x0

x → x0

x + x0 x − x0 . sin 2 2 x + x0 x + x0 x − x0 lim (sin x − sin x0 ) = 2 lim (cos sin ) = 0 (так как cos x → x0 x → x0 2 2 2 x − x0 - бесконечно малая и → 0 ) ⇒ и все величина ограниченная, sin 2 произведение → 0 . sin x − sin x0 = 2 cos

Пример: Вычислить предел: lim sin x. x→

π

4

Функция y = sinx непрерывна в любой точке, поэтому ⎛ ⎞ 2 ⎛π ⎞ . lim sin x = sin ⎜ lim x ⎟ = sin ⎜ ⎟ = π ⎜ x→π ⎟ 4⎠ 2 x→ ⎝ 4 ⎝ 4 ⎠

13.1.4. Свойства непрерывных функций Т

Если функции y = f ( x ) и y = ϕ ( x ) определены на множестве D и непрерывны в точке x0 ∈ D , то функции f ( x) f ( x) + ϕ ( x) , k ⋅ f ( x) , f ( x) ⋅ϕ ( x) , ϕ ( x)

непрерывны в точке x0 , причем частное требует условия ϕ ( x0 ) ≠ 0 . Поскольку функции непрерывны в точке x0 , выполняется условие: lim f ( x) = f ( x0 ), lim ϕ ( x) = ϕ ( x0 ). x → x0

x → x0

Используя арифметические свойства предела, получаем: lim ( f ( x) + ϕ ( x) ) = lim f ( x) + lim ϕ ( x) = f ( x0 ) + ϕ ( x0 ), x → x0

x → x0

x → x0

но это и означает, что функция f ( x ) + ϕ ( x ) непрерывна в точке x0 .

138 С

Т Т

Лекции 12 – 13

1). Многочлен Pn(x) = anxn + … +a1x + a0 непрерывен в любой точке x0 вещественной оси. Pn ( x) an x n + ... + a1 x + a0 = 2). Дробно-рациональная функция R ( x) = неQm ( x) bm x m + ... + b1 x + b0 прерывна в любой точке x0 вещественной оси, где Qm(x0) ≠ 0. Если функция y = f ( x ) непрерывна в точке x0 , то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Об устойчивости знака непрерывных функций. Если f ( x) - непрерывна в точке x0 и f ( x0 ) ≠ 0 , то ∃ такая δ окрестность точки x0 , что для всех значений x из этой окрестности f ( x) ≠ 0 и имеет знак, совпадающий со знаком f ( x0 ) . Доказательство: По условию, lim f ( x) = f ( x0 ) . x → x0

Таким образом, ∀ε > 0 ∃δ : x − x0 < δ ⇒ f ( x) − f ( x0 ) < ε , то есть, f ( x0 ) − ε < f ( x) < f ( x0 ) + ε . Если взять ε : ε < f ( x0 ) , то числа f ( x0 ) − ε , f ( x0 ) + ε и f ( x0 ) должны иметь одинаковый знак. Таким образом, для ε < f ( x0 ) , f ( x) из ε - окрестности имеет один знак с f ( x0 ) .

13.1.5. Непрерывность обратной функции Т

Если: 1) y = f ( x) - строго монотонная, непрерывная на [ a, b ] , 2) α = f (a), β = f (b) , то ∃x = f −1 ( y ) - строго монотонная, непрерывная на [α , β ] . Пример: ⎡ π π⎤ y = sin x , на ⎢ − , ⎥ - строго монотонна и непре⎣ 2 2⎦ рывна ⇒ имеет строго монотонную и непрерывную обратную функцию x = arcsin y на [ −1,1] .

После переобозначения y = arcsin x .

13.1.6. Непрерывность сложной функции О

Функции, полученные в результате суперпозиции двух или большего числа функций, называются сложными:

Замечательные пределы. Непрерывность функции

139

Пусть: 1) x = ϕ (t ) задана на {t} и имеет множество значений { x} ; 2) y = f ( x ) задана на { x} . Тогда на {t} задана сложная функция y = f ( x ) , где x = ϕ (t ) или y = F (t ) = f [ϕ (t ) ] , x - промежуточный аргумент, t - независимая переменная.

О

Пример:

y = sin x , x = t 2 , y = sin t 2 - сложная функция. Т

Непрерывность сложной функции. Если: 1) x = ϕ (t ) непрерывна в точке t = a , 2) y = f ( x) непрерывна в точке x = b = ϕ (a) , то y = f [ϕ (t ) ] непрерывна в точке t = a . Доказательство: Используя определение предела по Гейне, докажем, что lim f [ϕ (t ) ] = f [ϕ ( a ) ] = f (b) . t →a

∀{tn } → a {ϕ (tn )} → ϕ ( a ) = b (доказано условие 1)), xn = ϕ (tn ) , то есть { xn } → b , { f ( xn )} → f (b) (доказано условие 2)),

но f ( xn ) = f [ϕ (tn )] , то есть ∀{tn } → a , { f [ϕ (tn ) ]} → f [ϕ (a ) ] ⇒ f [ϕ (t ) ] непрерывна в точке t = a , что и требовалось доказать. 1). Если исходные функции непрерывны, то в результате их сложения, вычитания, умножения, деления (если знаменатель ≠ 0 ), взятия обратной и сложной функций получаются непрерывные функции. 2). Для непрерывной в точке x0 функции f ( x) справедливо: lim f ( x) = f ( x0 ) = f (lim x) .

!

x → x0

x → x0

Для непрерывных функций переходить к пределу можно под знаком функций: x2

а) lim e = e x →5

lim x 2

x →5

= e 25 ,

б) lim ln(1 + sin x ) = ln(lim(1 + sin x )) = ln(1 + 0) = 0 . x →0

x →0

140

Лекции 12 – 13

13.1.7. Свойства функций, непрерывных на отрезке Т

Если f ( x) непрерывна на [ a, b ] , то она ограничена на этом отрезке ( ∃M и m : m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [ a, b ] ). Пример: ⎡ π⎤ f ( x) = sin x, ⎢0, ⎥ , ⎣ 2⎦

1

m = −1, m = −5, m = 0, π 2

0

!

M = 2, M = 3, M = 1, m = inf { f ( x )} = 0, M = sup { f ( x)} = 1,

Требование непрерывности на отрезке является обязательным, так как функция, непрерывная на интервале, может и не быть ограниченной. Пример:

1 непрерывна на интервале (0, 1), то есть x ∀x , 0 < x < 1 . f ( x) - не ограничена. f ( x) =

0

Т

1

Если f ( x) непрерывна на [ a, b ] , то она достигает на нем своих точной верхней и точной нижней граней ( ∃x1 ∈ [ a , b] : f ( x1 ) = M , ∃x2 ∈ [ a , b] : f ( x2 ) = m ). Доказательство: От противного: если нет точки x1 ⇒ f ( x) < M ∀x ⇒ f ( x) − M < 0 или M − f ( x) > 0 . 1 Рассмотрим F ( x) = , F ( x) - непрерывна на [ a, b ] (по теореме о M − f ( x) непрерывности сложной функции). Из непрерывности F ( x) следует ее ограниченность на [ a, b ] , 1 1 ≤ B ⇒ f ( x) ≤ M − , F ( x) = M − f ( x) B 1 M − - верхняя грань, тогда M - неточная верхняя грань. Полученное B противоречие доказывает теорему.

Замечательные пределы. Непрерывность функции

141

Пример:

π ⎡ π⎤ 1) f ( x) = sin x , x ∈ ⎢0, ⎥ m = f (0) = 0, M = f ( ) = 1 . 2 ⎣ 2⎦ 2) f ( x) = x , x ∈ [ −1,1] . m = 0, M = 1 .

!

1). Для интервалов ( a, b ) и полуинтервалов [ a, b) или (a, b ] теорема не справедлива. Пример:

y = x, (0,1) . Значения m = 0 и M = 1 - не достигаются на x ∈ (0,1) .

2). Для f ( x) , непрерывной на [ a, b ] , m и M можно назвать наименьшим и наибольшим значениями функции:

max f ( x) = M ,min f ( x) = m. Т

Т

Если функция y = f ( x) непрерывна на [ a, b ] и имеет на концах отрезка значения f (a) и f (b) разных знаков, то найдется точка ξ ∈ (a, b) такая, что f (ξ ) = 0 . Доказательство: Пусть f (a) < 0, f (b) > 0 . Рассмотрим { x} : f ( x) < 0 , { x} - ограничено сверху, например, числом b ⇒ ∃sup { x} = ξ . Покажем, что f (ξ ) = 0 . Если бы f (ξ ) = C > 0 , тогда по теореме о сохранении знака непрерывной точки функции существовала бы δ -окрестность ξ : ∀x ∈ (ξ − δ ,ξ + δ ) ⇒ f ( x) > 0 , но тогда бы ξ не являлась бы точной верхней гранью sup { x} , где f ( x) < 0 . Аналогично для f (ξ ) = C < 0 остается f (ξ ) = 0 , что и требовалось доказать. Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение. Если функция y= f ( x) - непрерывна на [ a, b ] , имеет на концах отрезка значения f (a) = A, f (b) = B и число С расположено между числами А и В : A < C < B , то найдется точка ξ ∈ (a, b) такая, что f (ξ ) = C .

142

Лекции 12 – 13

Доказательство: Рассмотрим: ∀C : A < C < B, F ( x) = f ( x) − C ⇒ F (a) < 0, F (b) > 0 . F ( x) непрерывна на [ a, b ] . По предыдущей теореме ∃ξ ∈ (a, b) , F (ξ ) = 0 ⇒ f (ξ ) − C = 0 ⇒ f (ξ ) = C , что и требовалось доказать.

!

Теорема применяется для отыскания корней уравнения вида F ( x) = 0 методом половинного деления отрезка. Пример: Имеет ли корень уравнение sinx – x + 1 = 0? Рассмотрим функцию f(x) = sinx – x + 1, которая непрерывна на всей числовой оси, поскольку является суммой непрерывных функций. f(0) =1>0, f(2π) = -2π + 1 < 0. Следовательно, внутри отрезка [0, 2π] имеется, по крайней мере, один корень исходного уравнения.

Пример: Принимает ли функция f ( x) =

x3 1 − sin π x + 3 значение 2 внутри отрез3 4

ка [-2, 2]? Функция является непрерывной на [-2, 2]. На концах отрезка функция принимает числовые значения f(-2) = 1, f(2) = 5.

1 1 Так как 1 < 2 < 5, то ∃ξ ∈ (-2, 2) такая, что f (ξ ) = 2 . 3 3

13.2. Точки разрыва и их классификация Точка x0, в которой функция y = f(x) обладает свойством непрерывности, называется точкой непрерывности функции, в противоположном случае точка x0 называется точкой разрыва функции. Для классификации точек разрыва удобно использовать третье определение непрерывности. О

Если односторонние пределы существуют, причем lim f ( x) = lim f ( x), а функция y = f(x) не определена в точке x0, или x → x0 −0

x → x0 + 0

lim f ( x ) ≠ f ( x0 ), то точка x0 называется точкой устранимого разрыва.

x → x0

!

Устранимый разрыв можно устранить, вводя функцию

x ≠ x0 , ⎧⎪ f ( x ), f1 ( x ) = ⎨ lim f ( x ), x = x0 . ⎪⎩ x → x0

143

Замечательные пределы. Непрерывность функции

Пример: ⎧ x2 − 4 , x ≠ 2, ⎪ f ( x) = ⎨ x − 2 ⎪5, x = 2. ⎩

5 4

Точка x = 2 - точка устранимого разрыва, поскольку lim f ( x ) = lim f ( x ) = 4 , f (2) = 5 ≠ 4 .

2

x→2+0

0

x → 2− 0

⎧ x2 − 4 , x ≠ 2, ⎪ Устраним разрыв: f1 ( x) = ⎨ x − 2 ⎪4 x = 2. ⎩

2

Функция f1 ( x) непрерывна всюду.

О

Если: 1) x0 – точка разрыва f ( x ) , 2) существуют конечные пределы справа и слева: ∃ lim f ( x ), ∃ lim f ( x ) , x → x0 + 0

3) lim f ( x ) ≠

x → x0 − 0

lim f ( x ),

x → x0 + 0

x → x0 − 0

то точка x0 называется точкой разрыва 1-го рода (неустранимый конечный скачок). Пример:

1

y = f ( x) =

1+ 2

1 x

, x = 0 - точка разрыва f ( x ) .

x → +0, lim

x →0+0

1 1+ 2

1 x

=

1 → +∞, x 1 x

x → −0, 1

= 0 . lim

x→0−0

1+ 2

2 → +∞.

1 x

=

1 → −∞, = 1 . x 1

2 x → 0.

x = 0 - точка разрыва первого рода.

О

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка х0 называется точкой разрыва 2-го рода.

144

Лекции 12 – 13

Пример:

1 , x = 0 - точка разрыва 2-го рода; так x как lim f ( x) = +∞ , lim f ( x) = −∞ . f ( x) =

x →0 +

0

x →0 −

.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: ƒ методы практического вычисления пределов; ƒ замечательные пределы; ƒ эквивалентные бесконечно малые; ƒ различные определения непрерывности; ƒ свойства непрерывных функций; ƒ классификацию точек разрыва.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Целью этого раздела является исследование поведения функции y = y ( x ) в окрестности точки x по ее числовым характеристикам в самой этой точке.

Лекции 14 - 15 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ В лекциях 14 – 15 излагаются основные понятия дифференциального исчисления – понятия производной и дифференциала, рассматривается их геометрический и механический смысл. Выведены правила и формулы дифференцирования, указаны методы вычисления производных для различных способов задания функций. Показано практическое применение дифференциала в приближенных вычислениях.

14.1. Производная функции. 14.1.1. Определение производной функции 14.1.2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции 14.1.3. Механический смысл производной 14.2. Правила и формулы дифференцирования 14.2.1. Производная суммы, разности, произведения и частного функций 14.2.2. Производная обратной функции 14.2.3. Таблица производных 14.2.4. Производная сложной функции 14.2.5. Логарифмическая производная 14.2.6. Производная неявной функции 14.2.7. Производная функции, заданной параметрически 15.1. Производные высших порядков 15.1.1. Определение производной n-го порядка 15.1.2. Правила вычисления производной n-го порядка 15.1.3. Вторая производная от неявной функции 15.1.4. Вторая производная от параметрически заданной функции 15.1.5. Механический смысл второй производной 15.2. Дифференциал функции 15.2.1. Дифференциал независимой переменной 15.2.2. Свойства дифференциалов 15.2.3. Геометрический смысл дифференциала 15.2.4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 15.2.5. Дифференциал сложной функции 15.2.6. Дифференциалы высших порядков

146

Лекции 14 – 15

14.1. Производная функции 14.1.1. Определение производной функции Пусть y = f ( x ) определена на (a, b) и x ∈ ( a, b ) - некоторая фиксированная точка, ∆x - приращение аргумента в точке x , ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) - со∆y ответствующее приращение функции, - отношение приращений (зависит ∆x от ∆x , x - фиксировано).

∆y при условии, ∆x →0 ∆x dy ∆y f ( x + ∆x) − f ( x) = lim = lim что он существует. Обозначение: y′ = . dx ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x

О

Производной функции f ( x) в точке x называется lim

О

Функция f ( x) называется дифференцируемой в точке x , если производная y′( x) существует; операция нахождения производной называется дифференцированием.

О

Функция f ( x) называется дифференцируемой на интервале ( a, b ) , если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Найдем, исходя из определения, производные некоторых элементарных функций. Пример:

y = sin x, y′ = ? ∆x ⎞ ∆x ⎛ ⋅ sin 2 cos ⎜ x + ⎟ sin( x + ∆x) − sin x ⎡ 0 ⎤ 2 ⎠ 2 ⎝ y′( x) = lim = ⎢ ⎥ = lim = ∆x → 0 ∆x ∆x ⎣ 0 ⎦ ∆x →0 ∆x ⎞ ∆x ⎛ ∆x cos ⎜ x + sin ⎟ ⋅ sin 2 2 ⎝ ⎠ 2 =1. = lim = cos x, т.к. lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x 2 2

(sin x)′ = cos x . Пример:

y ( x) = log a x, 0 < a ≠ 1 , y′( x) = ? ∆y = log a ( x + ∆x ) − log a x = log a

x + ∆x ⎛ ∆x ⎞ = log a ⎜ 1 + ⎟. x x ⎠ ⎝

⎛ ∆x ⎞ 1 log a ⎜1 + ⎟ ∆x ⎞ ∆x x ⎠ ⎛ ⎝ = lim log a ⎜ 1 + y′ = lim ⎟ = ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x x ⎠ ⎝

147

Производная и дифференциал 1 ⎡ ⎤ 1 1 ⋅x ⎤ x ⎡ ⎤ ⎡ 1 ⎢ 1 ⎛ ∆x ⎞ ∆ x ⎥ ⎛ ∆x ⎞ ∆ x ⎥ ⎥ x ⎢ log lim 1 = log a ⎢ lim ⎜ 1 + = + = log e = log a e . ⎢ ⎥ a a ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ∆x →0 ⎝ x ⎠ ⎥ x ⎠ ⎥ ⎥ x ⎢ ∆x →0 ⎢⎣⎝ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣⎢ ⎦⎥

(log a x)′ =

1 1 log a e , (ln x)′ = . x x

Пример:

y = xα ; y′ = ( x

α

′

)

( x + ∆x )

α

= lim

− xα

. ∆x Без ограничения общности можем считать α натуральным показателем и раскрыть скобку, как бином Ньютона: ∆x → 0

( x + ∆x )

α

− xα

xα + α ⋅ xα −1 ∆x + α ⋅ (α − 1) xα − 2 ∆x 2 + ... − xα lim = lim = ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x ⎧ α ⋅ xα −1 ∆x α ⋅ (α − 1) xα − 2 ∆x 2 ⎫ = lim ⎨ + + ... ⎬ = lim {α ⋅ xα −1 + o( ∆x )} = α ⋅ xα −1 . ∆x → 0 ∆x ∆x ⎩ ⎭ ∆x →0

14.1.2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции Рассмотрим две точки графика функции f ( x) : M ( x, f ( x)) и P( x + ∆x, f ( x + ∆x)) . MP секущая. При стремлении ∆x к нулю (т.е. при стремлении точки P к точке M ) эта секущая будет поворачиваться относительно точки M . О

Касательной к графику функции y = f ( x) в точке M ( x, f ( x)) называется предельное положение секущей при ∆x → 0 ( P → M ).

О

Нормалью к графику функции y = f ( x) в точке M ( x, f ( x)) называется перпендикуляр к касательной, проведенный через точку касания. Если функция y = f ( x) имеет в точке x производную f ′( x ) , то график функции в точке M ( x, f ( x)) имеет касательную с угловым коэффициентом f ′( x) .

Т

148

Лекции 14 – 15

Доказательство: Пусть

tg ϕ (∆x) =

∆y ∆x

и

∆x → 0 .

Так

как

существует

∆y = f ′( x) = lim tg ϕ (∆x) , то: 1) существует предельное положение ∆x →0 ∆x ∆x→0 секущей, то есть касательная; 2) угловой коэффициент касательной равен f ′( x) . lim

С

1). Значение y′ ( x0 ) позволяет записать уравнение касательной к кривой y = y ( x ) в точке x0 : y − y 0 = y ′( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) . 2). Поскольку условие перпендикулярности прямых: k1 ⋅ k2 = −1 , то уравнение нормали имеет вид:

y = f ( x0 ) +

−1 ( x − x0 ) . f ′( x0 )

3). При y′ ( x ) > 0 в точке x функция является возрастающей, а при y′ ( x ) < 0 – убывающей.

14.1.3. Механический смысл производной Рассмотрим движение точки по прямой. S = f (t ) - перемещение точки в f (t + ∆t ) − f ( t ) момент времени t , V = f ′(t ) = lim - мгновенная скорость в ∆t → 0 ∆t момент времени t . Пример: S (t ) =

gt 2 , V (t ) = S ' ( t ) = gt . 2

14.2. Правила и формулы дифференцирования 14.2.1. Производная суммы, разности, произведения и частного функций 1) ( c ) ′ = 0 , c = const ; 2)

( f ( x) ± g ( x))′ = f ′( x) ± g ′( x) ;

3) 4)

(c ⋅ f ( x))′ = c ⋅ f ′( x) ; ( f ( x) ⋅ g ( x))′ = f ′( x) ⋅ g ( x) + g ′( x) ⋅ f ( x) ;

5)

⎛ f ( x) ⎞′ f ′( x) g ( x) − g ′( x) f ( x) . ⎜ g ( x) ⎟ = 2 g ( x ) ⎝ ⎠

149

Производная и дифференциал

Доказательство правила 2:

lim

(f

+ ∆f ) + ( g + ∆g ) − ( f + g ) = ∆x

∆x →0

= lim

∆x →0

f + ∆f − f g + ∆g − g + lim = ∆x→0 ∆x ∆x

∆f ∆g + lim = f +g ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x .

= lim Пример:

1 y = 3sin x + 5log 2 x − 10 , y′ = 3cos x + 5 log 2 e . x

14.2.2. Производная обратной функции Т

Пусть f ( x ) 1) строго монотонна и непрерывна в окрестности точки x0 , 2) функция дифференцируема в точке x0 и f ′( x0 ) ≠ 0 , тогда:

′ 1) существует производная обратной функции в точке x0 : ( f −1 ( y ) ) ;

′ 2) ( f −1 ( y ) ) y = y0 =

1 . f ′( x0 )

Доказательство: Из условия 1 следует существование непрерывной строго монотонной −1 обратной функции x = f ( y ) . Рассмотрим x = f −1 ( y ) в окрестности точки y0 = f ( x0 ) . Зададим приращение аргументу ∆ y ; ему соответствует ∆x 1 приращение функции ∆x и (*). = ∆y ∆y ∆x −1 Из строгой монотонности f ( y ) при ∆y ≠ 0 следует, что ∆x ≠ 0 . Устре−1 мим ∆y → 0 , из непрерывности x = f ( y ) ⇒ ∆x → 0 . Но при ∆x → 0 , ∆y ∆x 1 → f ′( x0 ) , следовательно, → . ∆y ∆x f ′( x0 ) 1 ′ Таким образом, ( f −1 ( y ) ) y = y0 = . f ′( x0 )

150

Лекции 14 – 15

Пользуясь этой формулой, найдем производные некоторых элементарных функций. ′ 1) y = a x , ( a x ) = ? a > 0, a ≠ 0 . x = log a y ;

y ax = = = = a x ln a ; (a ) = 1 ( log a y )′ log a e log a e log a e y ( a x )′ = a x ln a , ( e x )′ = e x . x

′

1

1

2) y = arcsin x , ( arcsin x )′ = ? x = sin y , 1 1 1 1 ; = = = ( arcsin x )′ = 2 2 ′ cos y − − 1 sin 1 y x ( sin y )

1

( arcsin x )′ =

1 − x2 1

3) ( arccos x )′ = −

.

. 1 − x2 4) y = arctg x, ( arctg x )′ = ? x = tg y , ( tg y )′ =

1 ; cos 2 y 1 1 1 ; = cos 2 y = = ( arctg x )′ = 2 2 ′ 1 tg y 1 x + + ( tg y ) 1 . ( arctg x )′ = 1 + x2 1 5) ( arcctg x )′ = − . 1 + x2 14.2.3. Таблица производных Таблица получена, исходя из определения производной и правил дифференцирования. ′ 1. ( xα ) = α ⋅ xα −1 . ′ ′ 2. ( a x ) = a x ln a ( a > 0, a ≠ 1) ⇒ ( e x ) = e x . 3. 4. 5.

′

( log a x ) ′

= log a e ⋅

( sin x ) = cos x . ′ ( cos x ) = − sin x .

1 ′ 1 ( a > 0, a ≠ 1) ⇒ ( ln x ) = . x x

151

Производная и дифференциал

6. 7. 8. 9. 10. 11.

′

1 . cos 2 x 1 ′ ( ctgx ) = − 2 . sin x 1 ′ . ( arcsin x ) = 1 − x2 1 ′ . ( arccos x ) = − 1 − x2 1 ′ . ( arctgx ) = 1 + x2 (arcctgx )′ = − 1 2 . 1+ x

( tgx )

′

12.

(shx )

13.

( chx )

14.

( thx )

15.

′

′

=

= chx . = shx .

1 ch 2 x 1 ′ ( cthx ) = 2 sh x =

e x − e− x . Гиперболический синус shx = 2 e x + e− x Гиперболический косинус chx = . 2 shx Гиперболический тангенс thx = . chx chx Гиперболический котангенс cthx = . shx

14.2.4. Производная сложной функции Т

Если: 1) y = f [ϕ (t ) ] - сложная функция, t- независимая переменная, ϕ - промежуточный аргумент; 2) существуют f ′( x0 ) и ϕ ′(t0 ) , где

x0 = ϕ (t0 ) , то { f [ϕ (t )]}′ = f ′( x0 ) ⋅ ϕ ′(t0 ) . Доказательство: Рассмотрим: t0 + ∆t ⇒ ∆x = ϕ (t0 + ∆t ) − ϕ (t0 ) , ∆x ⇒ ∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ). ∆x Пусть ∆t → 0 , тогда ∃ lim (см. условие f ′( x0 ) = y′( x0 ) ). ∆t → 0 ∆ t Вычислим: ∆y ∆y ∆x ∆y ∆x = lim ⋅ = lim ⋅ lim = f ′( x0 ) ⋅ ϕ ′(t0 ) , что и требовалось lim ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆x ∆t ∆t →0 ∆x ∆t →0 ∆t доказать. !

Независимой переменной была t , промежуточным аргументом - x . На практике чаще имеем дело с функциями вида: y = f (u ), u = ϕ ( x) , тогда

152

Лекции 14 – 15

y x′ = yu′u x′ . Например, y = earctg x ; y = eu , u = arctg x, y x′ = ? Решение:

yu′ = eu , u x′ =

1 1 , y x′ = earctg x ⋅ . 2 1+ x 1 + x2

14.2.5. Логарифмическая производная При вычислении производной некоторого выражения полезно предварительное логарифмирование этого выражения. Рассмотрим функцию y = f ( x), y′ = ? 1 y′ ln y = ln f ( x), [ ln y ]x′ = y′ ; - называется логарифмической производной. y y ′ Отсюда y′ = y ⋅ [ ln y ] . Пример: 1) y = xα , α ≠ 0, y′ = ? y′ 1 ln y = α ln x, =α . y x 1 xα ′ y′ = y ⋅ α ⋅ , y′ = α ⋅ , xα = α ⋅ xα −1 . x x

( )

2) y = ( sin x ) , y ′ = ? ln y = x 2 ln(sin x) , y′ 1 = 2 x ln(sin x) + x 2 ⋅ cos x . sin x y x2

y ′ = {2 x ln(sin x) + x 2 ctg x} ( sin ) . x2

Пример:

В общем случае для степенно-показательных выражений. ϕ ( x) y = f ( x) ⇒ ln y = ϕ ( x ) ln f ( x ) . y′ = f ( x )

ϕ ( x)

f ′( x) ⎞ ⎛ ⋅ ⎜ ϕ ′ ( x ) ⋅ ln f ( x ) + ϕ ( x ) ⎟. f ( x) ⎠ ⎝

Пример: Логарифмическая производная применяется для вычисления производной произведения большого числа сомножителей. 1). y = sin x ⋅ cos x ⋅ x, y ′ = ? ln y = ln sin x + ln cos x + ln x . y′ cos x − sin x 1 1⎤ ⎡ = + + ⇒ y′ = sin x ⋅ cos x ⋅ x ⎢ctg x − tg x + ⎥ y sin x cos x x x⎦ ⎣

153

Производная и дифференциал

x 3 ( x − 1) , y′ = ? x+6 7

2). y =

ln y = ′

( ln y )

5

1 ⎡3ln x + 7ln ( x − 1) − ln ( x + 6 ) ⎤⎦ ; 5⎣ =

1⎡3 7 1 ⎤ ; + − ⎢ 5 ⎣ x x − 1 x + 6 ⎥⎦

3 1 ⎡3 7 1 ⎤ 5 x ( x − 1) − ⋅ y′ = ⎢ + . 5 ⎣ 6 x − 1 x + 6 ⎥⎦ x+6 7

14.2.6. Производная неявной функции Пусть уравнение F ( x, y ( x ) ) = 0 задает неявно функцию y = y ( x ) . Для

вычисления

y′ ( x )

нужно

продифференцировать

тождество

ную функцию аргумента x , а затем полученное F1 ( x, y ( x ) , y′ ( x ) ) = 0 разрешить относительно y′ ( x ) .

уравнение

F ( x, y ) = 0 по переменной x , рассматривая функцию F ( x , y ( x ) ) как слож-

Пример: x2 y2 + = 1, y′ = ? ( y > 0) . a 2 b2

Решение: Первый способ. Выразим явно y из уравнения: b 2 b 2 y=± a − x 2 . Так как y > 0 , y = a − x2 , a a 1 − b1 2 b x b2 x y′ = a − x 2 2 ( −2 x ) = − = − 2 . a2 a a2 − x2 a y

(

)

Второй способ. Продифференцируем выражение менной x :

!

x2 y2 + = 1 по переa 2 b2

b2 x 2x 2 y ′ ′ y = − + = , откуда . y 0 a2 y a2 b2

Выражение для производной y′ ( x ) может зависеть как от x , так и от y .

14.2.7. Производная функции, заданной параметрически

154

Т

Лекции 14 – 15

⎧ x = x(t ) Пусть функция y = y ( x ) задана параметрически: ⎨ . y = y ( t ) ⎩ Если: 1) x(t ), y (t ) - дифференцируемы, 2) x = x(t ) имеет обратную функ-

yt′ ′ . цию t = t ( x), ∃t ′( x) , 3) x′(t ) ≠ 0 , то y x = xt′ Доказательство: Рассмотрим функции: y = y (t ), t = t ( x) . Рассматривая t как промежуточный аргумент, можно считать, что y - сложная функция x . Тогда 1 y′ ⇒ y x′ = t . y x′ = yt′ ⋅ t x′ , t x′ = x′ x′ t

t

Пример: x = t 2 , y = t 3 , y x′ = ?

Решение: xt′ = 2t , yt′ = 3t 2 , y x′ =

3t 2 3 = t. 2t 2

15.1. Производные высших порядков 15.1.1. Определение производной n-го порядка О

Производной второго порядка от функции y = f ( x) называется производная от ее первой производной. Обозначение: f ′′( x) = ( f ′( x) )′ . Производной n -го порядка (или n–й производной) называется производная первого порядка от производной ( n − 1) -го порядка.:

f

(n)

( x) = ( f

( n −1)

dny ( x) ) .Также используют обозначение y ( x) = n . dx ′

(n)

Пример: 1) y = sin x, y′ = cos x, y′′ = − sin x, y′′′ = − cos x . 2) y = x n , y′ = nx n −1 , y′′ = n(n − 1) x n − 2 ,… , y ( n ) = n !, y ( n +1) = 0 .

15.1.2. Правила вычисления производной n-го порядка 1.

[ f ( x) + g ( x) ]

(n)

= f ( n ) ( x) + g ( n ) ( x) .

2. Формула Лейбница (производная произведения):

155

Производная и дифференциал n

n! - число сочетаний k !(n − k )! k =0 из n по k , k ! (читается k - факториал) определен для целых неотрицательных k , причем ( k + 1)! = ( k + 1) ⋅ k ! , 0! = 1! = 1 .

[ f ( x) ⋅ g ( x) ]

(n)

= ∑ Cnk f ( n−k ) ( x) ⋅ g ( k ) ( x) , где Cnk =

Пример: Найти n–ю производную от функции y = e ax ⋅ x 2 . Решение: y = f ( x) ⋅ g ( x); где f ( x) = e ax ; g ( x) = x 2 f ( x) = e ax ;

g ( x) = x 2 ;

f ′( x) = a ⋅ e ax ;

g ′( x) = 2 ⋅ x;

f ′′( x) = a 2 ⋅ e ax ; ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

g ′′( x) = 2; g ′′′( x) = 0;

f ( n ) ( x) = a n ⋅ e ax ;

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

g ( n ) ( x ) = 0. Таким образом, в формуле Лейбница всего 3 ненулевых члена. Вычисляем коэффициенты:

n! = 1; n! n! k = 1 → C n1 = = n; 1!⋅(n − 1)! n! n(n − 1) ; k = 2 → C n2 = = 2!⋅(n − 2)! 2 k = 0 → C n0 =

y ( n ) ( x) = a n e ax ⋅ x 2 + na n −1e ax ⋅ 2 x +

n(n − 1) n − 2 ax a e ⋅ 2. 2

15.1.3. Вторая производная от неявной функции Рассмотрим неявную функцию y = y ( x ) , определяемую уравнением F ( x, y ) = 0 . Для отыскания второй производной соотношение F ( x, y ) = 0 дифференцируем два раза по переменной x , считая y функцией x , и выражаем y′′ как функцию y и x . Пример:

x 2 + y 2 = 1, y′′ = ? 2 x + 2 y ⋅ y′ = 0, y′ = −

y ′′ = −

1 + ( y ′) y

2

=−

2x x = − , 2 + 2 y′ ⋅ y′ + 2 y ⋅ y′′ = 0 , 2y y

y 2 + x2 . y3

156

Лекции 14 – 15

15.1.4. Вторая производная от параметрически заданной функции ⎧ x = x(t ) Рассмотрим ⎨ ⎩ y = y (t ) ′

⎛ y′ ⎞ ( y′x )t′ или y xx′′ = ⎜ t ⎟ y ′′xx = ( y ′x )′x = xt′ ⎝ xt′ ⎠ Таким образом, y xx′′ =

x

ytt ′′ xt ′ − xtt ′′ yt ′ 1 1 ′ = tx = = ⋅ . 2 ′ ′ xt xt ′ x

ytt′′ xt′ − xtt′′ yt′

( ) x′

3

( ) t

.

t

15.1.5. Механический смысл второй производной Пусть S = f (t ) - закон движения тела, движущегося поступательно. Скорость тела V ( t ) в данный момент времени: V ( t ) = f ′(t ) . Если движение неравномерно, то для приращения времени ∆ t приращение скорости составляет ∆V . ∆V Тогда - среднее ускорение тела за промежуток времени ∆ t . При ∆t → 0 ∆t получим ускорение в данный момент времени t : ∆V = V ′(t ) . a = lim ∆t →0 ∆t Таким образом, a ( t ) = f ′′(t ) - ускорение прямолинейного движения равно второй производной от перемещения по времени.

15.2. Дифференциал функции 15.2.1. Правила вычисления производной n-го порядка Если функция y = f ( x) - дифференцируема на ( a, b ) , то ∀x ∈ ( a, b ) ∆y ∆y ∃ lim = f ′( x) . Отношение при ∆x → 0 стремится к числу f ′( x) , следо∆x →0 ∆x ∆x ∆y вательно, отличается от f ′( x) на бесконечно малую α ( x ) : ∆x ∆y = f ′( x) + α ( x ) , причем lim α ( x ) = 0 , или ∆y = f ′( x) ⋅ ∆x + α ( x ) ⋅ ∆x . ∆x → 0 ∆x Рассмотрим f ′( x)∆x . В общем случае f ′( x) ≠ 0 , f ′( x)∆x - бесконечно малая величина первого порядка относительно ∆x при ∆x → 0 .

Производная и дифференциал

157

α ( x ) ⋅ ∆x

= lim α ( x ) = 0 , то α ( x ) ⋅ ∆x - бесконечно малая вели∆x →0 ∆x чина более высокого порядка, чем ∆x .

Поскольку lim

∆x →0

О

!

Главная, линейная по ∆x часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке x и обозначается dy = f ′( x) ⋅ ∆x .

Главная часть, потому что α ( x ) ⋅ ∆x - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем ∆x . Линейная, потому что дифференциал зависит от ∆x в первой степени.

15.2.2. Дифференциал независимой переменной Пусть y = x . Тогда ∆y = ∆x, y ′ = ( x )′ = 1, dy = dx = ∆x . Вывод: дифференциал независимой переменной равен ее приращению, dx = ∆x . В общем случае: dy = f ′( x )∆x = f ′( x)dx . dy = f ′( x)dx . С Производная может быть записана как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного (так называемые обоdy значения Лейбница): f ′( x) = dx

15.2.3. Свойства дифференциалов Поскольку дифференциалы функций вычисляются по основной формуле dy = y′ ( x ) ⋅ dx , то справедливы обычные правила дифференцирования. 1. d ( c ) = 0 ; 2. d ( u ± v ) = du ± dv; d ( u ± c ) = du ; 3. d ( uv ) = udv + vdu; d ( uc ) = cdu ;

⎛ u ⎞ vdu − udv 4. d ⎜ ⎟ = . v2 ⎝v⎠ 15.2.4. Геометрический смысл дифференциала Рассмотрим функцию y = f ( x ) . Обозначения, приведенные на рисунке, соответствуют: M ( x, y ), M ′( x + ∆x, y + ∆y ) , ∆y = NM ′ , MT - касательная в точке M . Рассмотрим ∆MNT : MN = ∆x, NT = ∆x ⋅ tg ϕ , NT = ∆x ⋅ f ′( x) , dy = NT .

158

Лекции 14 – 15

Дифференциал функции y = f ( x) в точке x есть приращение ординаты касательной к графику функции в точке x .

15.2.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям Метод основан на замене приращения функции ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) приближенно дифференциалом этой функции: ∆y ≅ dy = f ′ ( x ) dx . Это возможно, так как ∆y и dy отличаются на бесконечно малую вели∆y α∆x α = 1 + lim = 1 + lim = 1. чину o ( ∆x ) . lim ∆x →0 dy ∆x →0 f ′( x ) ∆x ∆x →0 f ′( x ) Основные рабочие формулы: x = x0 + ∆x ,

f ( x) = f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + dy , f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )∆x . Геометрический смысл: истинная функция на отрезке [ x0 , x0 + ∆x ] заменяется линейной функцией, график которой – касательная в точке ( x0 , f ( x0 ) ) . Пример: Вычислить приближенно Решение: Пусть y = 4 x , x0 = 16 .

4

15,8 .

Тогда y (16) = 4 16 = 2 ; y = (15,8) = y(16) + ∆y ; заменим ∆y ≈ dy = y ′( x )∆x ; ∆x = 16 − 15,8 = −0,2 ; ′ 1 1 −1 1 −3 1 y ′( x ) = ⎛⎜ x 4 ⎞⎟ = x 4 = x 4 ; ⎝ ⎠ 4 4 − 3 1 1 1 . y ′(16 ) = ⋅ 16 4 = = 4 4 ⋅ 8 32

Тогда y (15,8) = 2 +

1 ⋅ (− 0,2) = 2 − 0,0062 = 1,9938 . 32

Пример: Вычислить приближенно значение объема V шара радиусом r = 1,02 м. Решение: 4 Так как V (r ) = π ⋅ r 3 , то, полагая r0 = 1 , ∆r = 0,02 , V ′ ( r ) = 4π r 2 и ис3 пользуя формулу для ∆V , получаем:

4 V (1,02 ) = V (1) + ∆V ≈ V (1) + V ′ (1) ⋅ 0,02 = π + 4π ⋅ 0,02 ≅ 4, 44 м3 . 3

159

Производная и дифференциал

15.2.6. Дифференциал сложной функции Рассмотрим сложную функцию y = f [ϕ ( x ) ] , Пусть u – промежуточный аргумент: y = f ( u ) , u = ϕ ( x) . y x′ = f u′ ⋅ u x′ умножим это равенство на dx : y x′dx = f u′ ⋅ u x′ ⋅ dx , dy = f ′du . u

Сравнение с dy = f x′dx показывает, что дифференциал функции сохраняет свою форму независимо от того, является ли ее аргумент x независимой переменной или функцией независимой переменной (промежуточным аргументом). Это свойство называется свойством инвариантности (неизменности) формы первого дифференциала.

15.2.7. Дифференциалы высших порядков Пусть y = f ( x ) - дифференцируемая функция, а ее аргумент x - независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = f ′( x)∆x = f ′( x)dx также является функцией x , от которой в свою очередь можно найти дифференциал. О

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции f ( x) называется дифференциал ее дифференциала при фиксированном dx . 2 d 2 f ( x ) = d ( df ( x)) = d ( f ′( x) dx ) = dx ⋅ d ( f ′( x )) = dx ⋅ f ′′( x )dx = f ′′( x ) ⋅ ( dx ) = = f ′′( x)dx 2 ; d 2 f ( x) = f ′′( x)dx 2 . Аналогично определяется дифференциал порядка n: n (n) n n n −1 d f ( x ) = d ( d f ( x ) ) . Можно показать, что d f ( x ) = f ( x ) dx . Здесь dx n = (dx) n .

!

1. Для независимой переменной d 2 x = 0, d 3 x = 0,… 2. В приведенных формулах предполагалось, что x - независимая переменная. Если x - промежуточный аргумент, то форма для второго дифференциала будет другой, отличной от выражения d 2 f = f ′′( x)dx 2 .

Покажем это на примере второго дифференциала. Пусть y = f ( x ) , x = g ( t ) , t - независимая переменная. Тогда d 2 f = d ( df ) = d ( f ′ ( x ) ⋅ dx ) = d ( f ′ ( x ) ) ⋅ dx + f ′ ( x ) ⋅ d ( dx ) =

160

Лекции 14 – 15

= f ′′ ( x ) ⋅ dx 2 + f ′ ( x ) ⋅ d 2 x = f ′′ ( x ) ⋅ ( g ′ ( t ) ) ⋅ dt 2 + f ′ ( x ) ⋅ g ′′ ( t ) ⋅ dt 2 . 2

Таким образом, в случае сложной функции в выражении для второго дифференциала появляется дополнительное слагаемое; форма второго дифференциала не инвариантна.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: ƒ понятия производной и дифференциала, их геометрический и механический смысл; ƒ правила и формулы дифференцирования; ƒ таблицу производных; ƒ способы вычисления производных от сложных функций; функций, заданных неявно и параметрически; ƒ таблицу производных; ƒ производные высших порядков и правила их вычисления; ƒ применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Лекция 16 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ – БЕРНУЛЛИ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА В лекции 16 рассмотрены основные теоремы анализа (Ролля, Лагранжа и Коши), широко использующиеся практически во всех разделах анализа. Излагается правило раскрытия неопределенностей Лопиталя – Бернулли, позволяющее вычислять пределы с помощью дифференцирования. Выводится формула Тейлора, которая при достаточно широких предположениях относительно вида функции дает возможность представить ее приближенно в виде многочлена и оценить допускаемую при этом погрешность.

16.1. Основные теоремы анализа. 16.1.1 Теорема Ролля (о нуле производной) 16.1.2. Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях) 16.1.3. Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных разностях) 16.1.4. Правило Лопиталя – Бернулли. Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей 16.1.5. Формула Тейлора. Частные случаи формулы Тейлора. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций Оценка остаточного члена. Приложения формул Тейлора и Маклорена

16.1. Основные теоремы анализа 16.1.1. Теорема Ролля (о нуле производной) Т

Если: 1) функция f ( x) - непрерывна на отрезке [ a, b ] , 2) на интервале ( a, b ) существует производная f ′( x) , 3) значения функции на концах отрезка совпадают, f (a) = f (b) , то существует точка ξ ∈ ( a, b ) такая, что f ′(ξ ) = 0 . Доказательство: Так как функция f ( x) непрерывна на [ a, b ] , то на отрезке существуют наибольшее M и наименьшее m значения функции. Возможны два случая: 1) M = m и 2) M > m . Рассмотрим: 1) M = m , f ( x) - постоянная, следовательно, f ′( x) = 0 ∀ x ∈ ( a, b ) ;

162

Лекция 16

2) M > m , следовательно, хотя бы одно из этих значений достигается внутри [ a, b ] , так как f (a) = f (b) . Пусть f (ξ ) = M , ξ ∈ ( a, b ) . Так как f (ξ ) - наибольшее значение функции, то f (ξ + x ) − f (ξ ) ≤ 0 при любом знаке x . f (ξ + x ) − f (ξ ) ≤ 0, x > 0 , x f (ξ + x ) − f (ξ ) ≥ 0, x < 0, x переходя к пределу x → 0 и рассматривая отдельно правый и левый пределы, получаем f (ξ + x ) − f (ξ ) lim = f ′ (ξ ) ≤ 0 , x > 0 , x →+0 x f (ξ + x ) − f (ξ ) lim = f ′ (ξ ) ≥ 0 , x < 0 . x →−0 x Эти соотношения совместимы, если f ′(ξ ) = 0 . Доказательство для случая, когда во внутренней точке отрезка достигается минимум, проводится аналогично. Геометрический смысл теоремы Ролля Если функция удовлетворяет условию теоремы Ролля, то в некоторой точке отрезка касательная к графику параллельна оси 0x . С

!

Теорема Ролля позволяет узнать об обращении производной в ноль без ее вычислений. Если f ( x) такова, что производная существует не во всех точках внутри отрезка [ a, b ] , то может не оказаться такой точки ξ , в которой f ′(ξ ) обращается в ноль. Пример: y= x ,

( y )′ = 1 , ( y )′ = −1 . прав 0 лев 0

y′(0) не существует (по определению).

Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора

163

16.1.2. Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях) Т

Если: 1) f ( x ) - непрерывна на отрезке [ a, b] , 2) на интервале ( a, b ) существует производная f ′( x) , то существует, по крайней мере, одна точка ξ ∈ ( a, b ) такая, что f ( b ) − f ( a ) = f ′(ξ ) ( b − a ) . Доказательство: f (b) − f ( a ) = Q . Построим F ( x ) = f ( x ) − f ( a ) − Q ⋅ ( x − a ) . Обозначим b−a F ( x ) обладает следующими свойствами: 1) непрерывна на [ a, b] , 2) ∃ F ′ ( x ) на ( a, b ) , 3) F ( a ) = F ( b ) = 0 .

Из теоремы Ролля следует, что существует точка ξ ∈ ( a, b ) такая, что

F ′(ξ ) = 0 , F ′ ( x ) = ( f ( x ) − f ( a ) − Q ( x − a ) )′ , F ′ ( x ) = f ′ ( x ) − Q = 0 , уравнение f ′ ( x ) − Q = 0 имеет решение x = ξ , т.е. f ′ (ξ ) = Q , или f ′ (ξ ) =

f (b) − f (a ) b−a

.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

CB f ( b ) − f ( a ) = - угловой коэффициент сеAC b−a кущей AB . f ′ (ξ ) - угловой коэффициент касательной к

кривой y = f ( x ) в точке x = ξ . На кривой AB найдется, по крайней мере, одна точка M , в которой касательная параллельна хорде AB . !

1). Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Так как a < ξ < b , то ξ − a < b − a , ξ − a = θ (b − a) , ξ = a + θ (b − a) , 0 < θ < 1, где откуда

f ( b ) − f ( a ) = f ′ ⎡⎣ a + θ ( b − a ) ⎤⎦ ( b − a ) . 2). Точек ξ может быть несколько. 3). Если f ( a ) = f ( b ) , то f ′ (ξ ) = 0 , получаем утверждение теоремы Ролля. 4). Теорему Лагранжа можно использовать для приближенных вычисле1 ний: f ( b ) − f ( a ) = f ′ ⎡⎣ a + θ ( b − a ) ⎤⎦ ( b − a ) , где 0 < θ < 1. Положим θ = , 2

164

Лекция 16

⎡a + b⎤ f (b) − f ( a ) ≈ f ′ ⎢ ( b − a ) . Погрешность тем меньше, чем ⎣ 2 ⎥⎦ ближе b к a . тогда

Пример:

arctg1,1 = ?

b = 1,1 ; a = 1, 0 ; b − a = 0,1 ; arctg1,1 ≈ arctg1 + 0,1 ⋅ ( arctg x )′ ,

x=

1,1 + 1, 0 2,1 = . 2 2

( arctg x )′ =

1 1 = ; 2 1 + x 1 + x2

2,1 x= 2

=

1 π ≈ 0,5 , arctg1,1 ≈ + 0, 05 . 2,1 4

16.1.3. Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных разностях) Т

Если: 1) f ( x ) ,ϕ ( x ) непрерывны на [ a, b] , 2) на ( a, b ) существуют производные f ′ ( x ) ,ϕ ′ ( x ) , 3) ϕ ′ ( x ) ≠ 0 ∀x ∈ ( a, b ) , то существует, по крайf ( b ) − f ( a ) f ′ (ξ ) = ней мере, одна точка ξ ∈ ( a, b ) такая, что . ϕ ( b ) − ϕ ( a ) ϕ ′ (ξ ) Доказательство: ϕ ( b ) ≠ ϕ ( a ) , так как иначе, по теореме Ролля, ϕ ′ ( x ) обратилась бы в ноль, по крайней мере, в одной точке ξ ∈ ( a, b ) . Рассмотрим вспомогательную функцию:

F ( x) = f ( x) − f (a) −

f (b) − f ( a ) ⎡ϕ ( x ) − ϕ ( a ) ⎤⎦ . ϕ (b) − ϕ ( a ) ⎣

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, следовательно, существует точка ξ ∈ ( a, b ) такая, что F ′ (ξ ) = 0 ,

F ′ (ξ ) = f ′ ( ξ ) −

f (b) − f ( a ) f (b) − f ( a ) ϕ ′ (ξ ) = 0 , f ′ (ξ ) = ϕ ′ (ξ ) . ϕ (b) − ϕ ( a ) ϕ (b) − ϕ ( a )

Разделим на ϕ ′ (ξ ) , ϕ ′ (ξ ) ≠ 0 , получим

f ( b ) − f ( a ) f ′ (ξ ) = . ϕ ( b ) − ϕ ( a ) ϕ ′ (ξ ) !

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.

Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора

165

16.1.4. Правило Лопиталя – Бернулли

⎡0⎤ ⎡∞ ⎤ Это правило описывает раскрытие неопределенностей типа ⎢ ⎥ и ⎢ ⎥ ⎣0⎦ ⎣∞ ⎦ методами дифференциального исчисления. f ( x) , где f ( x ) и ϕ ( x ) дифференцируемы в некоРассмотрим F ( x ) = ϕ ( x) торой окрестности точки a , исключая, быть может, саму точку a . Если при x → a f ( x ) и ϕ ( x ) → 0 ( ∞ ) , функция F ( x ) имеет в точке a неопределен-

⎡∞⎤ ⎡0⎤ ность ⎢ ⎥ или ⎢ ⎥ . ⎣0⎦ ⎣∞⎦ Вычислить lim F ( x ) поможет следующая теорема (правило Лопиталя). x →a

Т

Правило Лопиталя. Если: 1) f ( x ) , ϕ ( x ) - непрерывны на [ a, b] ; 2) на ( a, b ) существуют f ′ ( x ) , ϕ ′ ( x ) , причем ϕ ′ ( x ) ≠ 0 ; f ′( x) 3) f ( a ) = ϕ ( a ) = 0 ; 4) существует предел lim , то существует и x→a ϕ ′ ( x ) предел lim x→a

f ( x)

ϕ ( x)

, причем lim x→a

f ( x)

ϕ ( x)

f ′( x) . x→a ϕ ′ ( x )

= lim

Доказательство: Возьмем на отрезке [ a, b] точку x ≠ a . На отрезке [ a, x ] по теореме Коши промежуточная точка отрезка [ a, x ] .

f ( x ) − f ( a ) f ′ (ξ ) a <ξ < x, ξ = ϕ ( x ) − ϕ ( a ) ϕ ′ (ξ )

f ( x ) f ′ (ξ ) = . Если x → a ,то и ξ → a , слеϕ ( x ) ϕ ′ (ξ ) f ( x) f ′ (ξ ) f ′( x ) = lim = lim довательно, lim . x →a ϕ ( x ) ξ →a ϕ ′ (ξ ) x →a ϕ ′ ( x ) Более коротко это утверждение формулируют так: предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения их производных, если последний существует. Но f ( a ) = ϕ ( a ) = 0 , значит,

!

1). Если рассматривается предел при x → ∞ , ϕ ( x ) → 0 , f ( x ) → 0 , то верждение утверждение остается остается справедливым: справедливым:

⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ 1 f⎜ ⎟ f ′ ⎜ ⎟⎜ − 2 ⎟ f ′⎜ ⎟ f ′( x ) f ( x) x= z z ⎠ z z lim = lim ⎝ ⎠ = = lim ⎝ ⎠⎝ = lim ⎝ ⎠ = lim . z x →∞ ϕ ( x ) z →0 z →0 1 ⎞⎛ 1 ⎞ z →0 ⎛ 1 ⎞ x→∞ ϕ ′ ( x ) ⎛1⎞ ⎛ ϕ ′ ⎜ ⎟⎜ − 2 ⎟ ϕ⎜ ⎟ z →0 ϕ ′⎜ ⎟ ⎝z⎠ ⎝ z ⎠⎝ z ⎠ ⎝z⎠

166

Лекция 16

2). Если f ′ ( a ) = ϕ ′ ( a ) = 0 и f ′ ( x ) , ϕ ′ ( x ) удовлетворяют условиям теоремы, то можно применять правило Лопиталя к f ′( x ) f ′( x ) f ′′ ( x ) ⇒ lim = lim . Правило Лопиталя можно применять неx →a ϕ ′ ( x ) x →a ϕ ′′ ( x ) ϕ ′( x ) сколько раз. 3). Без доказательства приведем следующее утверждение:

f ( x) ⎡ ∞ ⎤ f ′( x ) = ⎢ ⎥ = lim . x →a ϕ ( x ) x →a ϕ ′ ( x ) ∞ ⎣ ⎦

lim

Предел отношения двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует. Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей Пример:

⎡0⎤ ⎢⎣ 0 ⎦⎥ . sin 2 x cos 2 x ⋅ 2 = lim = 2. x →0 x →0 x 1

a) lim

x2 2x 2 ⎡0⎤ ⎡0⎤ = ⎢ ⎥ = lim = ⎢ ⎥ = lim =∞. б ) lim 0 0 x →0 x − sin x x → x → 1 − cos x ⎣ 0 ⎦ sin x ⎣0⎦ Пример:

⎡∞⎤ ⎢⎣ ∞ ⎥⎦ . ax a x ⋅ ln a = lim =∞. x →∞ x x →∞ 1

a ) lim

1 1 − 1 x + ( )2 1 x +1 2 б ) lim = lim = lim =0. x →∞ x →∞ x →∞ 2 x + 1 1 x

Пример: ⎡⎡ 0 ⎤ ⎢⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ a) [0 ⋅ ∞ ] = ⎢ . f ( x) → 0 , ϕ ( x) → ∞ . ⎢⎡ ∞ ⎤ x→a x→a ⎢⎢ ⎥ ⎣⎣ ∞ ⎦ f ( x) ⎡ 0 ⎤ ϕ ( x) ⎡ ∞ ⎤ = ⎢ ⎥ = lim =⎢ ⎥. x→a 1 ⎣ 0 ⎦ x→a 1 ⎣∞⎦ f ( x) ϕ ( x)

lim f ( x ) ⋅ ϕ ( x ) = lim x →a

Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора

167

Пример: 1 ⎛ 1 x3 ⎞ ln x ∞ ⎡ ⎤ lim x 2 ⋅ ln x = [ 0 ⋅ ∞ ] = lim = ⎢ ⎥ = lim x = = lim ⎜ − ⋅ ⎟ = 0 x →0 x →0 1 x →0 ⎣ ∞ ⎦ x→0 −2 ⋅ 1 ⎝ 2 x⎠ 2 3 x x Пример:

⎡⎣00 ⎤⎦ , ⎡⎣∞ 0 ⎤⎦ , ⎡⎣1∞ ⎤⎦ . Применяется предварительное логарифмирование, откуда следует неопределенность [ 0 ⋅ ∞ ] . Пример:

y = x x , x → 0 . lim x x = ? x →0

Логарифмируем: ln y = x ⋅ ln x . Вычислим:

1 ln x ⎡ ∞ ⎤ lim ln y = lim x ⋅ ln x = [ 0 ⋅ ∞ ] = lim = ⎢ ⎥ = lim x = 0 . x →0 x →0 x →0 1 ⎣ ∞ ⎦ x →0 − 12 x x

lim ln y = 0 , ln lim y = 0 , lim y = 1 , lim x x = 1 . x →0

x →0

x →0

x →0

16.1.5. Формула Тейлора Т Если f ( x) дифференцируема (n + 1) раз в окрестности точки x0 , то для любого x из указанной окрестности справедлива формула Тейлора порядка n: f ′( x0 ) f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 + 1! 2! (n) f ′′′( x0 ) f ( x0 ) + ( x − x0 )3 + ... + ( x − x0 )n + Rn+1 ( x), n! 3! ( n +1) f ( x0 + θ ( x − x0 )) где Rn+1 ( x) = ⋅ ( x − x0 ) n+1; 0 < θ < 1 . (n + 1)! Rn+1 ( x) называется остаточным членом в форме Лагранжа. Доказательство: Обозначим

f ′ ( x0 ) f ( ) ( x0 ) n ϕ ( x, x0 ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ... + ( x − x0 ) , 1! n! n

ϕ ( x, x0 ) - многочлен n-го порядка (так называемый многочлен Тейлора), Rn+1 ( x ) = f ( x ) − ϕ ( x, x0 ) .

168

Лекция 16

Покажем, что данная формула справедлива. Зафиксируем x из указанной окрестности, пусть x > x0 . На отрезке [ x0 , x ] рассмотрим вспомогательную функцию:

(x − t) Ф ( t ) = f ( x ) − ϕ ( x, t ) − ⋅ Rn +1 ( x ) , где t ∈ [ x0 , x ] . n +1 ( x − x0 ) Поскольку Ф ( x0 ) = Ф ( x ) , Ф ( t ) удовлетворяет условиям теоремы Ролля и существует точка ξ ∈ ( x0 , x ) , в которой Ф ′ (ξ ) = 0 . Для вычисления Ф ′ ( t ) запишем ϕ ( x, t ) : n +1

f ′(t ) f ′′(t ) f ( n ) (t ) 2 n ϕ ( x, t ) = f (t ) + (x − t) + ( x − t) +…+ (x − t) . n! 1! 2!

(x − t) Ф ′ ( t ) = −ϕ t′ ( x, t ) + ( n + 1) ⋅ Rn +1 ( x ) . n +1 ( x − x0 ) n

ϕ t′ ( x, t ) = f ′ ( t ) + f ′′ ( t ) ⋅ ( x − t ) − f ′ ( t ) + −

f ′′ ( t ) 2!

2 ⋅ ( x − t ) + ... +

f ( n +1) ( t ) n! =

(x − t)

f(

n +1)

n

(t )

n!

−

f (n) (t ) n!

(x − t)

n

f ′′′ ( t ) 2!

(x − t)

n ⋅(x − t)

n −1

2

−

=

.

Следовательно,

−Ф ′ ( t ) =

f(

n +1)

(t )

n!

(x − t) ⋅ Rn +1 ( x ) , ( x − t ) − ( n + 1) n +1 ( x − x0 ) n

n

при t = ξ

f ( ) (ξ ) n +1 Rn+1 ( x ) = ( x − x0 ) . ( n + 1)! n +1

!

1). Формула Тейлора порядка n позволяет представить функцию y = f ( x) в виде суммы многочлена n–й степени и остаточного члена. 2). Полученная формула для Rn +1 ( x ) дает остаточный член в форме Лагранжа, но есть и другие формы остаточного члена, например, в форме

(

Пеано: Rn +1 ( x ) = o ( x − x0 )

n

) - бесконечно малая более высокого порядка

малости по сравнению с ( x − x0 ) . n

Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора

169

Частные случаи формулы Тейлора 1). При x0 = 0 формула Тейлора называется формулой Маклорена: f ( x ) = f (0) +

f ′ (0) 1!

x+

Rn+1 ( x ) =

f ′′ ( 0 ) 2!

x + ... + 2

(θ x ) x n+1 ; ( n + 1)!

f(

n +1)

f(

n)

(0)

n!

x n + Rn +1 ( x ) ,

0 < θ < 1.

2). Рассмотрим f ( x ) = c0 + c1 x1 + c2 x 2 + ... + cn x n - многочлен порядка n .

( x ) = 0 , то ∀ x Rn+1 ( x ) = 0 и f ′ ( x0 ) f ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ... +

Поскольку ∀x f (

n +1)

f( ) n ( x − x0 ) . 1! n! Вывод: по формуле Тейлора любой многочлен порядка n можно представить в виде многочлена по степеням ( x − x0 ) . n

Пример: Многочлен 2 x 3 − 3x 2 + 5 x + 1 разложить по степеням ( x + 1) . Решение: f ( x) = 2 x 3 − 3x 2 + 5 x + 1 ; x0 = −1 ; f (−1) = −9 . Ищем коэффициенты формулы Тейлора: f ′( x) = 6 x 2 − 6 x + 5 → f ′(−1) = 17; f ′′( x) = 12 x − 6 → f ′′(−1) = −18;

f ′′′( x) = 12

→ f ′′′(−1) = 12;

f ( x) = 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ IV

f ( n ) ( x) = 0;

17 18 12 ( x + 1) − ( x + 1) 2 + ( x + 1) 3 . 1! 2! 3! Учитывая, что 1! = 1 ; 2! = 1 ⋅ 2 ; 3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 , получим ответ: f ( x) = −9 +

2 x 3 − 3x 2 + 5 x + 1 = −9 + 17( x + 1) − 9( x + 1) 2 + 2( x + 1) 3 .

170

Лекция 16

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций 1.

f ( x ) = ex ,

f ( 0 ) = 1,

f ′′ ( x ) = e x ,

f ′′ ( 0 ) = 1 ,

f ′( 0) = 1,

f ′( x ) = ex , f(

n)

( x ) = ex ,

ex = 1 + 2.

f(

n)

( 0 ) = 1.

x x2 xn eθ x + + ... + + Rn+1 ( x ) , Rn+1 ( x ) = x n+1 . 1! 2! n! ( n + 1)!

f ( x ) = sin x ;

f (0) = 0 ,

)

(

f ′ ( x ) = cos x = sin x + π ; f ′ ( 0 ) = 1, 2

( ) f ′′′ ( x ) = − cos x = sin ( x + 3 π ) ; 2

f ′′ ( x ) = − sin x = sin x + 2 π ; f ′′ ( 0 ) = 0, 2 f ′′′ ( 0 ) = −1,

……………………………………………..,

f(

n)

f(

n)

( x + n π2 ) , ⎧⎪0, π ( 0 ) = sin ( n 2 ) = ⎨ ⎪( −1)

( x ) = sin

⎩

n – нечетное, n −1 2

,

n - четное

3 5 2 n +1 n sin x = x − x + x + ... + ( −1) x + R ( x) . 3! 5! (2n + 1)! 2 n+ 2

! 3.

Нечетная функция sin x разложена по нечетным степеням x . f ( x ) = cos x , f ( 0 ) = 1, f(

n)

( x ) = cos ( x + n π2 ) ,

⎧⎪0, n – четное, π 0 cos n = = n ( ) ⎨ 2 ⎪⎩( −1) 2 , n - нечетное 2 4 2n n cos x = 1 − x + x − ... + ( −1) x + R2 n +1 ( x ) 2! 4! (2n)! . f(

!

n)

( )

Четная функция cos x разложена по четным степеням x .

Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора

f ( x ) = ln (1 + x ) 1 , f ′( x ) = 1+ x 1 f ′′ ( x ) = − 2 , (1 + x ) 2 f ′′′ ( x ) = 3 , (1 + x )

4.

f

(n)

171

f (0) = 0 , f ′ ( 0 ) = 1, f ′′ ( 0 ) = −1 , f ′′′ ( 0 ) = 1 ⋅ 2 ,

( −1) ( n − 1)! , ( x) = n (1 + x ) n −1

f(

n)

( 0 ) = ( −1) ( n − 1)!. n −1

2 3 n −1 n ln (1 + x ) = x − x + x − ... + ( −1) x + Rn+1 ( x ) . 2 3 n

f ( x ) = (1 + x ) , где α -любое вещественное число. α

5.

(1 + x )

α

=1+α ⋅ x +

α (α − 1)

x 2 + ... +

α (α − 1) ...(α − n + 1)

x n + Rn+1 ( x ) .

2! n! Частный случай α = n : n ( n − 1) 2 n! x n n x + ... + - формула бинома Ньютона. (1 + x ) = 1 + nx + 2! n!

Формулы Маклорена для элементарных функций:

x 2 x3 xn x n+1 θ x 1. e = 1 + x + + + ... + + e ; 0 < θ < 1. 2! 3! n! (n + 1)! x

x3 x5 x 2 n+1 x 2 n+2 2n + 2 n π ); 0 < θ < 1. 2. sin x = x − + − ... + (−1) ⋅ + ⋅ sin(θ x + 3! 5! 2 ( 2n + 1)! (2n + 2)! x2 x4 x2n x 2 n+1 2n + 1 n π ); 0 < θ < 1. 3. cos x = 1 − + − ... + (−1) ⋅ + ⋅ cos(θ x + 2! 4! 2 ( 2n )! (2n + 1)! n x 2 x3 x 4 (−1) n ⋅ x n+1 n −1 x 4. ln(1 + x) = x − + − + ... + (−1) + ; 0 < θ < 1. 2 3 4 n (n + 1)!⋅ (1 + θ x) n

172

Лекция 16

Оценка остаточного члена Пусть f ( x ) такова, что ∀ n и ∀ x из окрестности точки x0 f (

n)

( x) ≤ M .

f ( ) (ξ ) n +1 Рассмотрим остаток: Rn+1 ( x ) = ( x − x0 ) . ( n + 1)! n +1

n +1

x − x0 1 n +1 Rn+1 ( x) = ⋅ f ( n+1) (ξ ) ⋅ x − x0 ≤ M , (n + 1)! (n + 1)!

∀ x − x0

при

n→∞

n +1

x − x0 → 0 и остаточный член может быть сделан сколь угодно малым пу( n + 1)! тем увеличения n . Итак, если f ( x ) обладает указанным выше свойством, то формулу Тейлора можно использовать для приближенных вычислений с любой наперед заданной точностью.

Приложения формул Тейлора и Маклорена 1). Для вычисления приближенных значений функций:

f ′ ( x0 ) f ( ) ( x0 ) n f ( x ) ≈ f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ... + ( x − x0 ) . 1! n! n

Погрешность (ошибка) вычисления находится по оценке остаточного члена. Rn+1 ( x ) ≤ ε , где ε - погрешность. Пример: Вычислить e с точностью ε = 10−3 . Рассмотрим e x , x = 1, x0 = 0 . eθ e = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + Rn +1 (1) , Rn +1 (1) = , 0 <θ <1. 1! 2! n! ( n + 1)!

Rn +1 (1) <

e 3 ≤ε . , e < 3 ⇒ Rn +1 (1) < ( n + 1)! ( n + 1)!

Найдем наименьшее n , удовлетворяющее условию n = 6.

e = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 1957 = 2, 714 . 1! 2! 6! 720

3 ≤ 0,001 : ( n + 1)!

Основные теоремы анализа. Правило Лопиталя – Бернулли. Формула Тейлора

2). Для вычисления пределов функций: Пример:

{

}

3 5 x 3 + ... x − x + x + ... − x − sin x − x 1 3! 5! = lim = lim 3! 3 =− . lim 3 3 x →0 x →0 x →0 x x x 3!

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: ƒ теорему Ролля (о нуле производной) и теорему Лагранжа (о конечных приращениях); ƒ правило Лопиталя – Бернулли раскрытия неопределенностей и способы его применения к неопределенностям вида ⎡0⎤ ⎡∞ ⎤ 0 0 ∞ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ , ⎢⎣ ∞ ⎥⎦ , [ 0 ⋅ ∞ ] , ⎡⎣0 ⎤⎦ , ⎡⎣∞ ⎤⎦ , ⎡⎣1 ⎤⎦ ; ƒ вид многочленов Тейлора для основных элементарных функций.

173

Часть 2

Лекции 1 - 2 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ Графическое описание поведения функции очень полезно, так как наглядность графика делает его незаменимым вспомогательным средством исследования свойств функции. Графики функций, получающиеся из графиков основных элементарных функций с помощью геометрических преобразований, очевидны. Графики сложных функций не могут быть построены без использования дифференциального исчисления. В данных лекциях приводится общая схема исследования функций и ее теоретическое обоснование. Последовательное применение этой схемы позволяет построить график любой сколь угодно сложной функции, возникающей в технических приложениях.

1.1. Исследование функций без привлечения производных 1.1.1. Точки разрыва 1.1.2. Асимптоты графика функции 1.1.3. Вертикальные асимптоты 1.1.4. Горизонтальные асимптоты 1.1.5. Наклонные асимптоты 1.2. Исследование функций с помощью первой производной 1.2.1. Монотонность функции 1.2.2. Локальный экстремум функции 1.2.3. Необходимые условия экстремума 1.2.4. Достаточные условия экстремума 1.2.5. Правило отыскания экстремумов функции 2.1. Исследование функций с помощью второй производной 2.1.1. Исследование функций на максимум и минимум с помощью второй производной 2.1.2. Направление выпуклости и точки перегиба кривой 2.2. Общая схема исследования функции и построения графика 2.3. Примеры исследования функций

1.1. Исследование функций без привлечения производных

Построение графика функции y = f ( x ) применяется, как правило, для возможно более точной характеристики хода изменения функции, точность расположения отдельных точек графика обычно представляет меньший интерес.

176

Лекции 1 - 2

1.1.1. Точки разрыва О

Функция y = f ( x ) называется непрерывной в точке x0 , если функция определена в точке x0 и существуют пределы lim f ( x ) = x → x0 − 0

= lim f ( x ) = lim f ( x), и при этом lim f ( x ) = f ( x0 ). x → x0 + 0

x → x0

x → x0

Точка x0 , в которой функция y = f ( x ) обладает свойством непрерывности, называется точкой непрерывности функции, в противоположном случае точка x0 называется точкой разрыва функции. lim f ( x) = О Если односторонние пределы существуют, причем x → x0 − 0

= lim f ( x) и функция y = f ( x ) не определена в точке x0 или нарушено x → x0 + 0

условие lim f ( x ) = f ( x0 ) , то точка x0 называется точкой устранимого x → x0

разрыва. Пример:

sinx в точке x0 = 0 . x В точке x0 = 0 функция не определена, т.е. x0 = 0 - точка разрыва. sinx = 1, В теории пределов был доказан 1-й замечательный предел lim x →0 x sinx sinx = lim = 1 и x0 = 0 является точкой устраниследовательно, lim x →+0 x x →−0 x мого разрыва. Чтобы функция стала непрерывной в точке x0 = 0 , доопределим ее, поИсследовать поведение функции f ( x ) =

ложив f ( 0 ) = lim f ( x ) = 1 (так называемое доопределение по непрерывx →0

⎧ sinx , x ≠ 0, ⎪ ности). Новая, доопределенная функция f ( x ) = ⎨ x будет не⎪⎩1, x = 0 прерывна на новой области определения – всей числовой оси. О

Если односторонние пределы существуют, причем lim f ( x ) ≠ lim f ( x ), то точка х0 называется точкой разрыва 1-го роx → x0 − 0

x → x0 + 0

да. Пример: Исследовать поведение функции y =

x

в точке x0 = 0 . x В точке x0 = 0 функция не определена, так как знаменатель равен нулю, т.е. x0 = 0 - точка разрыва.

177

Исследование функций и построение графиков

⎧ x, если x ≥ 0; По определению модуля x = ⎨ ⎩− x, если x < 0. x −x = lim ( −1) = −1 . Левый предел: lim = = lim x →−0 x →− 0 x x x→−0 x x Правый предел: lim = = lim = lim 1 = 1 . x →+0 x x →+0 x x →+0 Односторонние пределы конечны, но не равны друг другу, следовательно, точка x0 = 0 является точкой разрыва 1-го рода. О

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка x0 называется точкой разрыва 2-го рода. Пример: 1

Определить точки разрыва функции f ( x ) = e x и исследовать характер разрыва. Решение: Функция разрывна в точке x0 = 0 . Вычислим левый предел, учитывая, 1 1 = −∞ , lim e x = 0 . x →−0 x x →−0

что lim e x = 0 . Так как lim x →−∞

1 = +∞ , x →+0 x

Вычислим правый предел, учитывая, что lim e x = ∞ . Так как lim x →+∞

1 x

lim e = ∞ . Правый предел бесконечен, точка x0 = 0 является точкой

x →−0

разрыва 2-го рода.

1.1.2. Асимптоты графика функции О

Если расстояние от точки, лежащей на кривой, до некоторой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат, то эта прямая называется асимптотой кривой. Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными и наклонными.

1.1.3. Вертикальные асимптоты О

Прямая x = x0 является вертикальной асимптотой графика функции y = f ( x ) , если хотя бы одно из предельных значений lim f ( x ) или

lim f ( x ) равно + ∞ или −∞ .

x→ x0 + 0

x→ x0 −0

178

Лекции 1 - 2

1 имеет верx тикальную асимптоту x = 0 , поскольку 1 1 lim = −∞ , lim = + ∞ . x →0 − 0 x x →0 + 0 x Для разыскания вертикальных асимптот кривой y = f ( x ) 1) находим на оси Ox точки разрыва функции f ( x ) ; 2) выделяем те из них, в которых хотя бы один из пределов функции f ( x ) (слева или справа) равен + ∞ или −∞ . Пусть это будут точки x1 , x2 ,..., xm , тогда прямые x = x1 , x = x2 ,…, x = xm будут вертикальными асимптотами графика функции y = f ( x) . 1 Например, для кривой y = 2 верx −1 тикальными асимптотами будут прямые x = −1 и x = 1 . Вертикальная прямая x = x0 может оказаться асимптотой графика функции y = f ( x ) и в том случае, когда точка x0 является концом интервала, в котором определена функция f ( x ) . Это будет тогда, когда x0 - левый конец интервала lim f ( x ) = +∞ или - ∞ , либо когда x0 - правый конец интерваТак, график функции y =

x→ x0 +0

ла lim f ( x ) = +∞ или - ∞ . Например, функция y = ln x определена в инx→ x0 −0

тервале 0 < x < +∞ , и для нее lim ln x = − ∞ , так что прямая x = 0 (ось Oy ) x →0 + 0

является вертикальной асимптотой графика функции y = ln x .

1.1.4. Горизонтальные асимптоты Прямая y = b называется правой горизонтальной асимптотой графика функции y = f ( x ) , если lim f ( x ) = b . x →+∞

Прямая y = b называется левой горизонтальной асимптотой графика функции y = f ( x ) , если lim f ( x ) = b . x →−∞

Функция f ( x ) в этом случае представима в виде f ( x ) = b + α ( x ) , где lim α ( x ) = 0 .

x →±∞

179

Исследование функций и построение графиков

Возможны следующие ситуации: 1) не существует ни левой, ни правой горизонтальной асимптоты ( f ( x ) = x 2 );

2) существует левая горизонтальная асимптота и не существует правой ( f ( x ) = e x , lim f ( x ) = 0 , y = 0 - леx →−∞

вая горизонтальная асимптота);

3) существует правая горизонтальная асимптота и не существует левой ( f ( x ) = e − x , lim f ( x ) = 0 , y = 0 x →+∞

правая горизонтальная асимптота); 4) обе горизонтальные асимптоты существуют, но не

π

π

совпадают ( f ( x ) = arctgx , lim f ( x ) = − , y = − - леx→−∞ 2 2

π

π

вая горизонтальная асимптота; lim f ( x ) = , y = x →+∞ 2 2 правая горизонтальная асимптота; 5) обе горизонтальные асимптоты существуют и сов1 падают ( f ( x ) = , lim f ( x ) = lim f ( x ) = 0 , y = 0 - уравx→+∞ x x→−∞ нение обеих горизонтальных асимптот).

1.1.5. Наклонные асимптоты Прямая y = kx + b называется правой наклонной асимптотой графика функции y = f ( x ) , если lim ( f ( x ) − kx − b ) = 0 . x →+∞

В этом случае функция f ( x ) представима в виде f ( x ) = kx + b + α ( x ) , где lim α ( x ) = 0. x →+∞

Существование асимптоты y = kx + b у кривой y = f ( x ) при x → + ∞ означает, что при x → + ∞ функция y = f ( x ) ведет себя «почти как линейная

180

Лекции 1 - 2

функция», т.е. отличается от линейной функции y = kx + b на бесконечно малую функцию при x → + ∞ . Т

Для того чтобы график функции y = f ( x ) имел при x → + ∞ наклонную асимптоту y = kx + b , необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела: f ( x) 1) lim = k ; 2) lim ⎡⎣ f ( x ) − kx ⎤⎦ = b . x →+∞ x →+∞ x Доказательство: Необходимость. Пусть график функции y = f ( x ) при x → + ∞ имеет асимптоту y = kx + b , т.е. для f ( x ) справедливо f ( x ) = kx + b + α ( x ) , α ( x ) → 0 при x → + ∞ .

⎡ b α ( x)⎤ = lim ⎢ k + + ⎥ =k, x →+∞ x →+∞ x x x ⎦ ⎣ lim ⎡⎣ f ( x ) − kx ⎤⎦ = lim ⎡⎣b + α ( x ) ⎤⎦ = b.

Тогда lim

f ( x)

x →+∞

x →+∞

Достаточность. Пусть существуют оба предела k и b . Существование предела для b позволяет утверждать, что разность f ( x ) − kx − b является бесконечно малой функцией при x → + ∞ . Обозначив эту разность через α ( x ) , получим f ( x ) = kx + b + α ( x ) , где α ( x ) → 0 при x → + ∞ . Это означает, что график функции y = f ( x ) имеет наклонную асимптоту y = kx + b . Аналогично исследуется случай x → −∞ . Пример: Найти асимптоты графика функции y = x + arctgx . x + arctg x x + arctg x lim = k+ = lim = k− = 1 , x →+∞ x →−∞ x x

b+ = lim ( arctg x ) = x →+∞

π

2

b− = lim ( arctg x ) = −

,

π

, график имеет две 2 несовпадающие наклонные асимптоты: леx →−∞

вую y = x −

π

2

и правую y = x +

π

2

.

Исследование функций и построение графиков

181

Пример:

x2 + 2x − 3 Построить график функции y = 2 x +x−2 без использования производной. Решение: Преобразуем выражение: x2 + 2x − 3 x + 3 x 2 + 2 x − 3 ( x − 1)( x + 3) = = , , x 2 + x − 2 ( x − 1)( x + 2) x2 + x − 2 x + 2 1 x + 3 1+ ( x + 2 ) = = +1, ( x ≠ 1 ), x+2 x+2 x+2 1 + 1 , ( x ≠ 1 ). График этой функт.е. y = x+2 1 ции получается смещением графика y = на две единицы влево, на одx ну единицу вверх и выкалыванием точки графика с абсциссой x = 1 .

1.2. Исследование функций с помощью первой производной. 1.2.1. Монотонность функции О

Т

Пусть функция f ( x ) определена на отрезке [ a, b ] . Если для любых x1 , x2 ∈ [ a, b ] из условия x1 < x2 следует неравенство: 1) f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) , то функция f ( x ) неубывающая на [ a, b ] ; 2) f ( x1 ) < f ( x2 ) , то функция f ( x ) возрастающая на [ a, b ] ; 3) f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) , то функция f ( x ) невозрастающая на [ a, b ] ; 4) f ( x1 ) > f ( x2 ) , то функция f ( x ) убывающая на [ a, b ] . Функции всех этих типов носят общее название монотонных; возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными. Пусть функция f ( x ) : 1) непрерывна на отрезке [ a, b ] ; 2) имеет производную f ' ( x ) по крайней мере на интервале ( a, b ) . Для того чтобы функция f ( x ) на отрезке [ a, b ] была неубывающей (невозрастающей), необходимо и достаточно выполнение условия f ' ( x ) ≥ 0

182

Лекции 1 - 2

( f ' ( x ) ≤ 0 ) для всех точек x из интервала ( a, b ) . Доказательство: Необходимость. Пусть функция f ( x ) является неубывающей на отрезке [ a, b ] . Докажем, что на интервале ( a, b ) производная f ' ( x ) ≥ 0 . Возьмем точки x и x + ∆x в интервале ( a, b ) . Так как по условию f ( x ) неубывающая, то при любом ∆x (положительном или отрицательном) знак ∆x и f ( x + ∆x ) − f ( x ) один и тот же, и поэтому f ( x + ∆x ) − f ( x ) ≥ 0. ∆x

Учитывая, что по условию в каждой точке x интервала ( a, b ) существует производная f ' ( x ) , из последнего равенства получим f ' ( x ) = lim

∆x →0

f ( x + ∆x ) − f ( x ) ≥0. ∆x

Итак, в любой точке интервала ( a, b ) имеем f ' ( x ) ≥ 0 . Достаточность. Пусть f ' ( x ) ≥ 0 на интервале ( a, b ) . Докажем, что функция f ( x ) - неубывающая на отрезке [ a, b ] . Действительно, пусть x1 < x2 - любые две точки отрезка [ a, b ] . По теореме Лагранжа f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ' (ξ )( x2 − x1 ) , где x1 < ξ < x2 . Так как f ' ( x ) ≥ 0 в каждой точке x интервала ( a, b ) , то и f ' (ξ ) ≥ 0 . Кроме того x2 > x1 . Поэтому f ( x2 ) ≥ f ( x1 ) . Итак, из неравенства x1 < x2 следует неравенство f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) , а это и означает, что на отрезке [ a, b ] функция f ( x ) неубывающая. Таким образом, интервалы знакопостоянства производной f ' ( x ) являются интервалами монотонности функции f ( x ) . Справедливо следующее утверждение (достаточное условие возрастания функции): если f ' ( x ) > 0 на интервале ( a, b ) , то f ( x ) на отрезке [ a, b ] возрастает. Однако если f ( x ) возрастает на [ a, b ] , то отсюда не следует, что f ' ( x ) > 0 всюду на интервале ( a, b ) . Пример: Функция f ( x ) = x 3 возрастает на отрезке [ −1,1] , однако ее производная f ' ( x ) = 3x 2 обращается в нуль в точке x = 0 .

Рассмотрим возрастание или убывание функции в точке.

Исследование функций и построение графиков

О

183

Функция f ( x ) называется возрастающей в точке x = x0 , если существует такая окрестность ( x0 − δ , x0 + δ ) точки x0 , в которой для всех x < x0 имеем f ( x ) < f ( x0 ) , а для всех x > x0 верно f ( x ) > f ( x0 ) . Функция f ( x ) называется убывающей в точке x = x0 , если существует такая окрестность ( x0 − δ , x0 + δ ) точки x0 , в которой для всех x < x0 имеем f ( x ) > f ( x0 ) , а для всех x > x0 верно f ( x ) < f ( x0 ) .

Следующая теорема выражает достаточные условия возрастания и убывания функции в точке. Т

Пусть функция f ( x ) в точке x = x0 имеет производную f ' ( x ) . Если f ' ( x0 ) > 0 , то функция f ( x ) в точке x0 возрастает; если f ' ( x0 ) < 0 , то f ( x ) в точке x0 убывает. Доказательство: Пусть f ' ( x0 ) > 0 . Это означает, что f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) > 0. ∆x →0 ∆x Но тогда существует такое δ > 0 , что для всех ∆x , удовлетворяющих условию 0 < ∆x < δ , верно неравенство lim

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) >0. ∆x

Отсюда следует, что при 0 < ∆x < δ величины f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) и ∆x имеют один и тот же знак: если ∆x <0, то и f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) <0, т.е. f ( x0 + ∆x ) < f ( x0 ) ; если же ∆x >0, то и f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) >0, т.е. f ( x0 + ∆x ) > f ( x0 ) . Согласно определению, это и означает, что функция f ( x ) в точке x0 возрастает. Аналогично можно доказать, что если f ' ( x0 ) < 0 , то функция f ( x ) в точке x0 убывает.

184 !

Лекции 1 - 2

Теорема дает достаточные, но не необходимые условия возрастания и убывания функции в точке. Так, функция, график которой приведен на рисунке, возрастает в точке x = 0 , но в этой точке производная функции не существует. Функция f ( x ) = x 3 возрастает в точке x = 0 , но ее производная f ' ( x ) в точке x = 0 обращается в нуль.

1.2.2. Локальный экстремум функции Пусть функция f ( x ) определена в некоторой окрестности точки x0 , включая и саму точку x0 . Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f ( x ) , если существует такое δ > 0 , что для всех x из интервала ( x0 − δ , x0 + δ ) верно неравенство: ∆f = f ( x ) − f ( x0 ) ≤ 0 ( ∆f = f ( x ) − f ( x0 ) ≥ 0 ). О Значение функции f ( x ) в точке максимума называется локальным максимумом, а значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум называются локальными экстремумами.

О

Эти определения означают, что f ( x0 ) - локальный максимум функции f ( x ) , если существует такой интервал ( x0 − δ , x0 + δ ) , в котором f ( x0 ) является наибольшим значением функции f ( x ) , и f ( x0 ) - локальный минимум функции если существует интервал f ( x) , ( x0 − δ , x0 + δ ) , в котором f ( x0 ) является наименьшим значением функции на этом интервале. Термин локальный (местный) обусловлен тем, что введенное понятие экстремума связано с окрестностью данной точки в области определения функции, а не со всей этой областью. В дальнейшем слово «локальный» бу-

Исследование функций и построение графиков

185

дем для краткости опускать. Мы будем рассматривать лишь точки строгого максимума и минимума. О

Точка x0 называется точкой строгого максимума (минимума) функции f ( x ) , если существует δ > 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих условию 0 < x − x0 < δ , верно строгое неравенство f ( x ) − f ( x0 ) < 0 (соответственно f ( x ) − f ( x0 ) > 0 ). В приведенном определении не предполагается непрерывности функции f ( x ) в точке x0 . Пример: ⎧ x 2 , x ≠ 0, y=⎨ ⎩1, x = 0, В точке 0 - максимум, хотя в ней нет непрерывности функции.

1.2.3. Необходимые условия экстремума Т

Функция f ( x ) может иметь экстремум только в тех точках, в которых ее производная f ' ( x ) либо равна нулю, либо не существует. Доказательство: Пусть в точке x0 функция f ( x ) имеет производную и f ' ( x0 ) ≠ 0 . Пусть для определенности f ' ( x0 ) > 0 . Тогда функция f ( x ) в точке x0 будет возрастающей. Поэтому найдется такое δ > 0 , что для всех x из интервала ( x0 − δ , x0 ) верно неравенство f ( x ) < f ( x0 ) , а для всех x из интервала ( x0 , x0 + δ ) верно неравенство f ( x ) > f ( x0 ) . Из этого следует, что не существует окрестности точки x0 , в которой величина f ( x0 ) была бы наибольшим или наименьшим значением функции f ( x ) , и поэтому точка x0 не будет ни точкой максимума, ни точкой минимума функции f ( x ) . Аналогичными рассуждениями придем к тому же выводу при f ' ( x0 ) < 0 .

186

Лекции 1 - 2

Итак, если в точке x0 существует производная f ' ( x0 ) ≠ 0 , то в точке x0 не может быть ни максимума, ни минимума функции f ( x ) . Следовательно, экстремум функции f ( x ) может быть только в такой точке, в которой производная f ' ( x ) либо равна нулю, либо не существует, что показано на рисунке. Функция y = f ( x ) имеет экстремумы в точках x1 , x2 , x3 , x4 ; при этом в точках x1 и x4 производная f ' ( x ) не существует, а в точках x2 и x3 она равна нулю. О

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для функции f ( x ) , называются критическими точками этой функции. Они определяются как корни уравнения f ' ( x ) = 0 и как точки, где f ' ( x ) не существует (в частности, где f ' ( x ) - бесконечно большая функция). Корни уравнения f ' ( x ) = 0 называют стационарными точками функции f ( x ) : скорость изменения f ( x ) в такой точке равна нулю.

Утверждение, обратное к теореме, неверно: не в каждой своей критической точке функция f ( x ) обязательно имеет максимум или минимум.

Например, для функции f ( x ) = x 3 f ' ( 0 ) = 0 , поэтому точка x = 0 явля-

ется критической для данной функции. Но функция f ( x ) = x 3 в точке x = 0 экстремума не имеет: f ( 0 ) = 0 , для x < 0 f ( x ) < 0 , для x > 0 f ( x ) > 0 , так что в точке x = 0 данная функция возрастает. Для функции ⎧ ⎫ ⎛1⎞ ⎪ x sin ⎜ ⎟ , x ≠ 0, ⎪ f ( x) = ⎨ ⎝ x⎠ ⎬ в точке x = 0 производная не существует, однако ⎪0, x = 0 ⎪ ⎩ ⎭ экстремум отсутствует.

1.2.4. Достаточные условия экстремума Т

Пусть x = x0 – критическая точка для функции f ( x ) и функция f ( x ) непрерывна в точке x0 . Пусть существует такое δ > 0 , что для всех x из интервала ( x0 − δ , x0 ) производная f ' ( x ) > 0 , а для всех x из интервала ( x0 , x0 + δ ) f ' ( x ) < 0 , то есть при переходе x через точку x0 производная f ' ( x ) меняет знак с плюса на минус. Тогда в точке x0 функция f ( x ) имеет максимум.

Исследование функций и построение графиков

187

Доказательство: Так как по условию f ' ( x ) > 0 в интервале ( x0 − δ , x0 ) , то на отрезке [ x0 − δ , x0 ] функция f ( x ) возрастает; так как f ' ( x ) < 0 в интервале ( x0 , x0 + δ ) , то на отрезке [ x0 , x0 + δ ] функция f ( x ) убывает. Следовательно, f ( x0 ) есть наибольшее значение функции f ( x ) в окрестности ( x0 − δ , x0 + δ ) точки x0 , а это означает, что f ( x0 ) есть локальный максимум функции f ( x ) .

Т

Пусть x = x0 – критическая точка для функции f ( x ) и функция f ( x ) непрерывна в точке x0 . Пусть существует такое δ > 0 , что для всех x из интервала ( x0 − δ , x0 ) производная f ' ( x ) < 0 , а для всех x из интервала ( x0 , x0 + δ ) имеем f ' ( x ) > 0 , то есть при переходе x через точку x0 производная f ' ( x ) меняет знак с минуса на плюс. Тогда в точке x0 функция f ( x ) имеет минимум.

1.2.5. Правило отыскания экстремумов функции Чтобы найти точки максимума и минимума функции f ( x ) , надо: 1). Найти производную f ' ( x ) , приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение f ' ( x ) = 0 . 2). Найти точки, в которых производная f ' ( x ) не существует. Эти точки и корни уравнения f ' ( x ) = 0 будут критическими точками для функции f ( x) . 3). Исследовать знак производной f ' ( x ) слева и справа от каждой критической точки. Если при переходе x через критическую точку x0 производная f ' ( x ) меняет знак с плюса на минус, то в точке x0 функция f ( x ) имеет максимум; если знак f ' ( x ) меняется с минуса на плюс, то в точке x0 функция f ( x ) имеет минимум. Если при переходе x через критическую точку x0 знак f ' ( x ) не меняется, в точке x0 функция f ( x ) не имеет ни максимума, ни минимума.

188

Лекции 1 - 2

f ′ ( x0 − ∆x )

f ′ ( x0 )

f ′ ( x0 + ∆x )

>0

0, ± ∞ , ∃

>0

>0

0, ± ∞ , ∃

<0

<0

0, ± ∞ , ∃

>0

<0

0, ± ∞ , ∃

<0

Экстремум нет max min нет

2.1. Исследование функций с помощью второй производной 2.1.1. Исследование функций на максимум и минимум с помощью второй производной Т

Пусть в точке x0 функция f ( x ) имеет первую и вторую производные, причем f ' ( x0 ) = 0 , а f '' ( x0 ) ≠ 0 . Тогда в точке x0 данная функция f ( x ) имеет максимум, если f '' ( x0 ) < 0 , и минимум, если f '' ( x0 ) > 0 . Доказательство: Точка x0 является критической точкой для данной функции f ( x ) , так как f ' ( x0 ) = 0 . Пусть f '' ( x0 ) < 0 . Из этого следует, что в точке x0 первая производная f ' ( x ) убывает, то есть существует такая окрестность ( x0 − δ , x0 + δ ) точки x0 , что для всех x из интервала ( x0 − δ , x0 ) верно неравенство f ' ( x ) > f ' ( x0 ) = 0 , а для всех x из интервала ( x0 , x0 + δ ) верно f ' ( x ) < f ' ( x0 ) = 0 . Таким образом, при переходе x через критическую точку x0 производная f ' ( x ) меняет свой знак с плюса на минус. Следовательно, функция f ( x ) в точке x0 имеет максимум. Подобными же рассуждениями доказывается, что если в критической точке x0 вторая производная f '' ( x0 ) > 0 , то функция f ( x ) в точке x0 имеет минимум. f ′ ( x0 ) 0 0 0

f ′′ ( x0 )

Экстремум

<0 >0

max min

0

Исследование функций и построение графиков

189

2.1.2. Направление выпуклости и точки перегиба кривой Пусть кривая задана уравнением y = f ( x ) и пусть функция f ( x ) в точке x0 имеет конечную производную f ' ( x0 ) , то есть в точке M 0 ( x0 , f ( x0 ) ) существует касательная к дан-

ной кривой, не параллельная оси Oy . О

О

Т

О

Если существует такая окрестность ( x0 − δ , x0 + δ ) точки x0 , что все точки данной кривой, абсциссы которых содержатся в этой окрестности, расположены выше касательной к кривой в точке M 0 , то говорят, что выпуклость данной кривой в точке M 0 направлена вниз. Если все точки кривой с абсциссами из некоторой окрестности точки x0 находятся ниже касательной к этой кривой в точке M 0 , то говорят, что выпуклость данной кривой в данной точке направлена вверх. Будем говорить, что график функции y = f ( x ) , дифференцируемой на интервале ( a, b ) , имеет на этом интервале выпуклость, направленную вверх (вниз), если график этой функции в пределах интервала ( a, b ) лежит не выше ( не ниже) любой своей касательной. О графике, выпуклом вверх, часто говорят как о просто выпуклом, график, выпуклый вниз, называется вогнутым. Если во всех точках интервала ( a;b ) функция f ( x ) имеет отрицательную вторую производную ( ∀x ∈ ( a; b ) f '' ( x ) < 0 ), то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если ∀x ∈ ( a; b ) f '' ( x ) > 0 - график выпуклый вниз. Точка М 0 ( x0 , f ( x0 ) ) называется точкой

перегиба кривой y = f ( x ) , если: 1) в точке x0 существует касательная; 2) существует такая окрестность ( x0 − δ , x0 + δ ) точки x0 , что для x < x0 из

190

Лекции 1 - 2

этой окрестности выпуклость кривой направлена в одну сторону, а при x > x0 - в противоположную. Т

Точка М 0 ( x0 , f ( x0 ) ) может быть точкой перегиба кривой y = f ( x ) , только если f '' ( x0 ) = 0 (или f '' ( x0 ) не существует). Это условие не является достаточным. Так, например, для функции f ( x ) = x 4 имеем f '' ( x ) = 12 x 2 и f '' ( 0 ) = 0 , но точка O ( 0,0 ) не является

точкой перегиба кривой y = x 4 : в этой точке выпуклость кривой направлена вниз. Т

Пусть функция f ( x ) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x0 , непрерывную в точке x0 . Если f '' ( x0 ) = 0 и при переходе x через точку x0 вторая производная f '' ( x ) меняет знак, то точка М 0 ( x0 , f ( x0 ) ) есть точка перегиба кривой y = f ( x ) .

Обобщение. Пусть кривая y = f ( x ) имеет в точке М 0 ( x0 , f ( x0 ) ) касательную, параллельную оси Oy . Пусть функция f ( x ) в некоторой окрестности точки x0 , кроме, быть может, самой точки x0 , имеет непрерывную вторую производную. Если f '' ( x ) в точке x0 равна нулю или не существует и при переходе x через точку x0 производная f '' ( x ) меняет свой знак, то точка М 0 ( x0 , f ( x0 ) ) - точка перегиба кривой y = f ( x ) . f ′′ ( x0 − ∆x ) >0 >0 <0 <0

f ( x) вып. вниз вып. вниз вып. вверх вып. вверх

f ′′ ( x0 )

0, ∃ 0, ∃ 0, ∃ 0, ∃

f ′′ ( x0 + ∆x ) >0 <0 >0 <0

f ( x) вып. вниз вып. вверх вып. вниз вып. вверх

Перегиб нет есть есть нет

191

Исследование функций и построение графиков

2.2. Общая схема исследования функции и построения графика 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Найти область определения функции; найти область значений функции; найти точки пересечения графика с осями координат, указать интервалы знакопостоянства функции. Проверить функцию на периодичность; проверить функцию на четность и нечетность. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках; определить наличие горизонтальных, вертикальных и наклонных асимптот. Вычислив первую производную, найти критические точки и интервалы монотонности функции, выделить точки локальных экстремумов. Вычислив вторую производную, найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции. Построить график.

2.3. Примеры исследования функций Пример: Найти экстремумы функции f ( x ) = 3 x

2

3

− x2 .

Решение:

1 2 f ′ ( x ) = 2 3 − 2 x , 3 − 2 x = 0 ⇒ x1 = −1, x2 = 1 , x x f ′ ( x ) не существует в точке х 3 = 0 . х

( −∞; −1)

-1

( −1;0 )

0

( 0;1)

1

(1;∞ )

f ( x)

/

2

2

0

/

2

2

f ′( x)

+

0 max

–

∃ min

+

0 max

–

Вид графика функции f ( x ) = 3 x

2

3

− x2 :

2

1.5

1

0.5

-2

-1

1

2

192

Лекции 1 - 2

Пример: Построить график функции y = xe −4 x . Решение: 1). x ∈ ( -∞,∞ ) , х0 = 0; y0 = 0 - точка пересечения с осями. 2). Функция общего вида. 3). f(x) – непрерывна всюду ⇒ вертикальных асимптот нет. x x k1 = lim 4 x = 0 b1 = lim 4 x = 0 , x →∞ e x x →∞ e y1 = 0 - наклонная (горизонтальная) асимптота при х → ∞ ; x k 2 = lim 4 x = ∞ ⇒ наклонных асимптот при х → -∞ нет. x →−∞ e x 4). y ′ = e -4x − 4 xe −4 x = e −4 x (1 − 4 x ) ,

y ′ = 0 ⇒ x1 =

1 . 4

5). y′′ = -4e -4x − 4e −4 x + 16 xe −4 x = e −4 x (16 x − 8) , y ′′ = 0 ⇒ x 2 = 1 . 2

х

1⎞ ⎛ ⎜ −∞; ⎟ 4⎠ ⎝

у

/

1 4 1 4e 0 – max

y′ y ′′

+ – ∩ −4 x Вид графика функции y = xe :

⎛1 1⎞ ⎜ ; ⎟ ⎝4 2⎠

2 – – ∩

1 2 1 2e2 – 0 перегиб

⎛1 ⎞ ⎜ ;∞⎟ ⎝2 ⎠

2 – + ∪

Пример: Исследовать функцию y =

x3 и построить ее график. 2 ⋅ ( x + 1) 2

Решение: 1). Функция определена всюду, кроме точки x = −1 . Найдём точки пересечения графика с координатными осями. Для этого решим уравнения

x3 2 ( x + 1)

2

= 0 и y = 0 . х0 = 0; y0 = 0 - точка пересече-

ния с осями. 2). Функция общего вида. 3). Точка x = −1 является точкой разрыва 2-го рода. Отсюда следует, что график функции имеет вертикальную асимптоту x = −1 . Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы: f ( x) x2 1 k = lim = lim = ; 2 x →∞ x →∞ 2( x + 1) x 2

193

Исследование функций и построение графиков

b = lim ( x →∞

x3 1 1 − 2x 2 − x x ) − = lim = −1. 2 x→∞ ( x + 1) 2 2( x + 1) 2 2

1 x − 1 является наклонной асимптотой. 2 x 2 ( x + 3) . 4). Находим производную: y ′ = 2( x + 1) 3 y=

x+3 . Легко получить, что x +1 при x < −3 и x > −1 y ′ > 0 , а при − 3 < x < −1 y ′ < 0 . Интервалы возрастания есть (−∞;−1) и (−1; ∞) ; интервал убывания (−3;−1) . В области определения функции производная существует всюду и обращается в нуль при x = −3 и x = 0 . При x < −3 y ′ > 0 , а при x > −3 y ′ < 0 . Следовательно, точка x = −3 является точкой максимума. 27 ( −3 )3 = − = −3,375. Находим значение функции при x = −3 : y( −3 ) = 8 8 При переходе через другую критическую точку x = 0 производная знак не меняет, т.е. x = 0 не является точкой экстремума. 3x 5). Находим вторую производную y ′′ = . Видим, что y ′′ < 0 при ( x + 1 )4 x < −1 , интервал ( −∞; −1 ) является областью выпуклости. y′′ < 0 , также при −1 < x < 0 - это тоже область выпуклости; y ′′ > 0 при x > 0 - это область вогнутости. В области определения функции y ′′ существует всюду; y ′′ = 0 при x = 0 . Так как при переходе через эту точку y ′′ меняет знак, то x = 0 есть абсцисса точки перегиба. Находим y (0) = 0. Знак производной определяется знаком дроби

х

( −∞; −3)

−3

у

/

y′ y′′

+ –

27 8 0 –

∩

max

−

( 0; ∞ )

( −3; −1)

−1

( −1; 0 )

0

2

∃

/

0

/

– –

∃ ∃

+ -

0 0

+ +

∩

перегиб

∪

∩

194

Лекции 1 - 2

График y =

x3 2 ⋅ ( x + 1) 2

имеет вид:

Пример: Исследовать функцию y =

x3 и построить её график. x2 − 1

Решение: 1). Функция определена всюду, кроме точек x = ±1 . Точки пересечения графика с координатными осями:

x3 =0 ⇒ x =0; x2 − 1

y = 0 - точка пересечения с осями. 2). Функция нечетная, f ( − x ) = − f ( x ) , график симметричен относительно начала координат, достаточно исследовать функцию при x ≥ 0 . 3). Точка x = 1 является точкой разрыва 2-го рода, график функции имеет вертикальную асимптоту x = 1 , lim f ( x ) = −∞ , lim f ( x ) = +∞ . x →1− 0

x →1+ 0

Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы: k = lim

x →+∞

f ( x) ⎛ x3 ⎞ x2 x = lim 2 = 1 ; b = lim ⎜ 2 − x ⎟ = lim 2 = 0 , т.е. y = x явx →+∞ x − 1 x →+∞ x − 1 x →+∞ x − 1 x ⎝ ⎠

ляется правой наклонной асимптотой (и левой, так как при операции симметрии прямая переходит сама в себя). 4). Находим производную: y′ =

x 2 ( x 2 − 3)

(x

2

− 1)

2

. Знак производной определя-

ется знаком x 2 − 3 . При x > 3 y ′ > 0 , а при 0 < x < 1 и 1 < x < 3 y ′ < 0 . Интервал возрастания -

(

)

(

)

3;∞ ; интервалы убывания - ( 0;1) и 1; 3 .

В области определения функции производная обращается в нуль при

x =0 и x= 3. При x < 3 y ′ < 0 , а при x > 3 y ′ > 0 . Следовательно, точка x = 3 яв-

195

Исследование функций и построение графиков

ляется точкой минимума.

( 3) =

3

( 3)

3 3 . 2 2 При переходе через критическую точку x = 0 производная знак не меня-

Находим значение функции при x = 3 : y

=

ет, т.е. x = 0 не является точкой экстремума. 5). Находим вторую производную y′′ =

0 < x < 1 , на интервале

( 0;1)

2 x ( x 2 + 3)

( x2 − 1)

3

. Видим, что y ′′ < 0 при

график функции выпуклый вверх. При

x > 3 y′′ > 0 - график функции выпуклый вниз. В области определения функции y ′′ существует всюду; y ′′ = 0 при x = 0 . Так как при переходе через эту точку y ′′ меняет знак, то x = 0 есть абсцисса точки перегиба. Находим y (0) = 0.

х

0

( 0;1)

1

(1; 3 )

у

0

2

∃

2

y′

0

–

∃

y′′

0

–

∃

перегиб

∩

График y =

Пример:

x3 имеет вид: x2 − 1

3

(

3; ∞

3 3 2

/

–

0

–

+

+

+

∪

min

∪

−

)

196

Лекции 1 - 2

Исследовать функцию y = 3 2 x 2 − x 3 и построить её график. Решение: 1). Функция определена при всех x . Для нахождения точек пересечения с осями записываем уравнения y = 0 и

3

2 x 2 − x 3 = 0 ; получаем, что ось

Oy пересекается в точке с y = 0 , а ось Ox - в точках x = 0 и x = 2 . 2). Функция общего вида. 3). Точек разрыва нет. Так как нет точек разрыва 2-го рода, вертикальные асимптоты отсутствуют. Ищем параметры наклонных асимптот. k = lim

x →∞

3 2 x 2 − x3 2 f ( x) = lim = lim 3 − 1 = −1 , x →∞ x →∞ x x x

b = lim( 3 2 x 2 − x3 + x ) = lim x( 1 + 3 x →∞

x →∞

2 −1 ) = x

1 ⎛ −2 ⎞ ⎜ 2⎟ 2 2 ⎝x ⎠ 3 3 1+ 3 −1 −1 2 ⎛0⎞ x x = lim = ⎜ ⎟ = lim = . x →∞ 1 1 3 ⎝ 0 ⎠ x →∞ − 2 x x При вычислении второго предела использовано правило Лопиталя для

⎛0⎞ раскрытия неопределённости типа ⎜ ⎟ . ⎝0⎠

2 Итак, у графика есть наклонная асимптота; еe уравнение y = − x + . 3 4). Находим производную: y ′ = ляется знаком выражения

0< x<

4 − 3x 3 3 x(2 − x) 2

. Знак производной опреде-

4 − 3x . Видим, что в области x < 0 y ′ < 0 , при 3 x

4 4 y ′ > 0 и при x > y′ < 0 . 3 3

Получаем, что в области x < 0 функция убывает, при 0 < x < тает и при x >

4 - возрас3

4 - убывает. 3

Находим критические точки. y ′ = 0 при x =

4 , y ′ не существует при 3

x = 0, x = 2 . При переходе через x = 0 знак производной меняется с (-) на (+), т.е. это точка минимума. При x = 0 производная не существует, значит, минимум острый.

197

Исследование функций и построение графиков

y (0) = 0.

4 производная ме3

При переходе через вторую критическую точку x = няет знак с (+) на (-) , т.е. при x =

4 ⎛4⎞ 2 - максимум: y ⎜ ⎟ = 3 4 . 3 ⎝3⎠ 3

При переходе через x = 2 знак производной не меняется, значит экстремума нет. 5). Находим вторую производную: y ′′ = −

8 3

9 x 4 (2 − x)

5

. 3

Видим, что y ′′ < 0 при x < 0 ; в этой области график выпуклый; y ′′ < 0 при

0 < x < 2 , т.е. интервал (0;2) также является областью выпуклости. При x > 2 y ′′ > 0 , следовательно, при x > 2 график вогнут. Найдём точки перегиба. Вторая производная не существует при

x = 0 и при x = 2 . При переходе через первую точку знак y ′′ не меняется, а при переходе через вторую – меняется. Итак, точкой перегиба является точка с координатами

x = 2,

y( 2 ) = 0 . График y = 3 2 x 2 − x 3 имеет вид:

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, у студентов должны сформироваться следующие понятия: ƒ точки разрыва, ƒ асимптоты графика, ƒ экстремумы функции, ƒ точки перегиба. Студент должен уметь: ƒ применять общую схему исследования функции, ƒ строить графики сложных функций.

Лекции 3 - 4 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ Комплексные числа – расширение множества действительных чисел, широко применяющееся в естественных и прикладных дисциплинах. Использование комплексных чисел позволяет наиболее естественным образом описать многие процессы, в частности, колебательные. Изучение функций комплексного переменного привело к углублению и расширению знаний о функциях действительных переменных и породило множество мощных вычислительных методов.

3.1. Комплексные числа. Основные определения. Алгебраическая форма комплексного числа 3.2. Изображение комплексного числа на плоскости. Тригонометрическая форма комплексного числа 3.3. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа 3.4. Действия над комплексными числами 3.4.1. Сравнение, сложение и вычитание 3.4.2. Умножение, деление, возведение в целую степень 3.4.3. Комплексное сопряжение 3.4.4. Извлечение корня 3.5. Комплекснозначная функция действительного аргумента 4.1. Многочлены в комплексной области. Корни многочлена 4.2. Основная теорема алгебры 4.3. Примеры решения задач 4.4. Разложение рациональных дробей 4.5. Примеры решения задач

3.1. Комплексные числа. Основные определения. Алгебраическая форма комплексного числа О

Комплексным числом называют упорядоченную пару действительных чисел z = ( x, y ) со следующими свойствами: 1) два комплексных числа z1 = ( x1 , y1 ) и z2 = ( x2 , y2 ) равны тогда и только тогда, когда x1 = x2 и y1 = y2 ; 2) сумма двух комплексных чисел z1 = ( x1 , y1 ) и z2 = ( x2 , y2 ) определяется следующим образом: z1 + z2 = ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) .

Комплексные числа. Многочлены в комплексной области

199

3) произведение двух комплексных чисел z1 = ( x1 , y1 ) и z2 = ( x2 , y2 ) определяется следующим образом: z1 ⋅ z2 = ( x1 , y1 ) ⋅ ( x2 , y2 ) = ( x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) .

Действительные числа содержатся в множестве комплексных чисел, все они являются парами вида ( x ,0 ) . В дальнейшем будем обозначать ( x, 0 ) = x . О Пары вида ( 0, y ) называются чисто мнимыми числами. !

О С

Пара i = ( 0,1) носит специальное название - мнимая единица. Согласно свойству 3) i ⋅ i = ( −1,0 ) = −1 . Каждое комплексное число z = ( x , y ) можно записать в виде суммы действительного числа x = ( x ,0 ) и чисто мнимого числа iy = ( 0, y ) : z = ( x , y ) = ( x ,0 ) + ( 0, y ) = x + iy .

Действительное число x = Re z называется действительной частью комплексного числа z , действительное число y = Im z называется мнимой частью z . О Комплексное число z = 0 , если x = Re z = 0 и y = Im z = 0 . О

О

Запись z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа.

3.2. Изображение комплексного числа на плоскости. Тригонометрическая форма комплексного числа Так как z = (x, y) определяется как пара действительных чисел, то естественной геометрической интерпретацией является изображение комплексного числа точкой М некоторой плоскости с координатами (x, y). Такую плоскость называют комплексной, ось абсцисс - действительной осью, ось ординат – мнимой осью. При этом устанавливается взаимно-однозначное соответствие между множеством всех комплексных чисел z = (x, y) и множеством точек М(x, y) или множеством радиус-векторов OM .

200

Лекции 3 - 4

Введем на плоскости XOY полярные координаты (r, ϕ). Длина вектора OM называется модулем комплексного числа z и обозначается z или r :

z = r = OM = x 2 + y 2 . Угол ϕ между радиус-вектором OM и положительным направлением оси OX называют аргументом комплексного числа z: ϕ = Arg ( z ) . Угол ϕ определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого 2π k . Удобно работать с приведенным аргументом ϕ = arg ( z ) , 0 ≤ ϕ < 2π (либо −π ≤ ϕ < π ). Для числа z = 0 + i0 аргумент не определён. При этом аргумент комплексного числа определяется следующим образом: y ⎧ ⎪arctg x , если x > 0, ⎪ y ⎪ (для 0 ≤ ϕ < 2π ). ϕ = ⎨arctg + π , если x < 0, y > 0, x ⎪ y ⎪ arctg − π , если x < 0, y < 0. ⎪⎩ x Практически, для определения ϕ = arg( z ) решают систему уравнений x y cosϕ = , sin ϕ = и изображают z вектором, чтобы определить, в каком r r квадранте лежит точка. Так как x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , то комплексное число z = x + iy можно записать в следующем виде: z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) , которое называют тригонометрической формой записи комплексного числа.

3.3. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа Используя формулу, полученную Эйлером: eiϕ = cos ϕ + isinϕ (которая будет доказана позже, при изучении теории рядов), можно получить еще одну, показательную, форму комплексного числа: z = r eiϕ . Комбинируя

eiϕ = cosϕ + isinϕ

и

можно получить выражения cosϕ =

e − iϕ = cos ( −ϕ ) + isin ( −ϕ ) = cosϕ − isinϕ ,

eiϕ + e − iϕ eiϕ − e − iϕ , sinϕ = . 2i 2

201

Комплексные числа. Многочлены в комплексной области

Пример: Записать число z = 2 − i 2 в различных формах. Дать геометрическую интерпретацию. Решение: Алгебраическая форма: z = 2 − i 2 ; тригонометрическая форма: r = z = 2+2 = 2;

2 7π 2 7π , − = cos = sin , 2 4 2 4 7π откуда ϕ = arg( z ) = , 4 ⎛ 2 2⎞ 7π 7π ⎛ z = 2 ⎜⎜ −i + isin ⎟⎟ = 2 ⎜ cos 2 ⎠ 4 4 ⎝ ⎝ 2 показательная форма: z =

7π 2e 4

π ϕ=−

4

r =2

⎞ ⎟; ⎠

.

3.4. Действия над комплексными числами Операции в арифметической форме производятся в соответствии с условием i ⋅ i = ( −1,0 ) = −1 и с обычными правилами алгебры. Обозначим z1 = ( x1 , y1 ) = x1 + iy1 , z2 = ( x2 , y2 ) = x2 + iy2 .

3.4.1. Сравнение, сложение и вычитание Сравнение чисел в алгебраической форме: z1 = z2 , если x1 = x2 и y1 = y2 . Если числа заданы в тригонометрической или показательной форме: z1 = r1 (cos ϕ1 + i sinϕ1 ) , z2 = r2 (cos ϕ 2 + i sinϕ 2 ) или z1 = r1 eiϕ1 , z2 = r2 eiϕ2 , ⎧r = r , то z1 = z2 , если ⎨ 1 2 ⎩ϕ1 = ϕ 2 + 2π k ; k ∈ Z . Сложение в алгебраической форме: z1 + z2 = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = ( x1 + x2 ) + i ( y1 + y2 ) . Вычитание определяется как действие, обратное сложению: пусть z = z1 − z2 , тогда z1 = z + z2 , z1 = x1 + iy1 = x + x2 + i ( y + y2 ) ,

202 откуда

Лекции 3 - 4

z1 − z2 = ( x1 − x2 ) + i ( y1 − y2 ) .

С геометрической точки зрения сложение (вычитание) комплексных чисел равносильно сложению (вычитанию) изображающих их векторов.

3.4.2. Умножение, деление, возведение в целую степень Умножение в алгебраической форме: z1 z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix2 y1 + ix1 y2 + i 2 y1 y2 = = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 ) . В тригонометрической форме: z1 ⋅ z2 = r1 ⋅ r2 (cos ϕ1 + i sinϕ1 ) ⋅ (cos ϕ 2 + i sinϕ2 ) = = r1r2 (cos ϕ1 cos ϕ 2 - sinϕ1sinϕ2 + i( sinϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sinϕ 2 ) = = r1r2 (cos( ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ 2 )) , т.е. z1 ⋅ z2 = r1 ⋅ r2 (cos( ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ 2 )) . В показательной форме: i ϕ +ϕ z1 = r1 eiϕ1 , z2 = r2 eiϕ2 , z1 ⋅ z2 = r1 ⋅ r2 ⋅ eiϕ1 ⋅ eiϕ2 = r1 ⋅ r2 ⋅ e ( 1 2 ) , т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей. Деление определяется как действие, обратное умножению: (x ,y ) z z = 1 = 1 1 = ( x, y ) , z2 ( x2 , y2 ) откуда z1 = z ⋅ z2 . Запишем соответствующую формулу для алгебраической формы комплексного числа: z1 = z ⋅ z2 = ( x1 , y1 ) = ( xx2 − yy2 , xy2 + x2 y ) , откуда получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: ⎧ xx2 − yy2 = x1 ⎨ ⎩ xy2 + x2 y = y1 Решаем, используя формулы Крамера: x1 ∆ = x 22 + y22 ≠ 0; x =

-y 2

x2

x1

y1 x 2 y2 y1 , ; y = x 22 + y22 x 22 + y22

z1 x1 x2 + y1 y2 x y −x y = + i 2 21 12 2 . 2 2 z2 x2 + y2 x2 + y2

Комплексные числа. Многочлены в комплексной области

203

В тригонометрической форме: z1 r1 = [cos( ϕ1 − ϕ2 ) + i sin (ϕ1 − ϕ2 )] , z2 r2 в показательной форме: z1 r1 i( ϕ1 −ϕ2 ) , = е z2 r2

т.е. модуль частного комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент – разности аргументов делимого и делителя. Возведение в целую степень выводится на основе обобщения операции умножения: z = r(cos ϕ + i sinϕ ) , z 2 = z × z = r 2 (cos 2ϕ + i sin2ϕ ) ;

z n = z × z... × z = r 2 (cos2ϕ + i sin2ϕ ) z × z... × z = r n (cos nϕ + i sin nϕ ) ; n

n-2

z = r (cos nϕ + i sin nϕ ) ; n

n

z = reiϕ , z n = r neinϕ . Сравним последние две формулы: еinϕ = cos nϕ + i sin nϕ , с другой стороны: еinϕ = (еiϕ ) n = (cos ϕ + i sin ϕ ) n ⇒ (cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos nϕ + i sin nϕ . Последнее соотношение называется формулой Муавра. Пример: Найти z 11 , если z = 1 − i . Решение:

z = 2 ; arg z = − Тогда z = 2 ⋅ e

−i

π

4

( z расположено в IV квадранте).

π 4

.

⎛ 11π ⎛ 11π ⎞ ⎞ = 2 ⎜ cos + i sin ⎜ − ⎟⎟ = 4 ⎝ 4 ⎠⎠ ⎝ 11 11 ⎛ 3π 3π ⎞ 2 2⎞ ⎛ 5 2 2 = 2 2 ⎜ cos − i sin = −i ⎜⎜ − ⎟⎟ = −2 (1 + i ). ⎟ 4 4 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 z = ( 2) ⋅ e 11

11

−i

11 π 4

11 2

3.4.3. Комплексное сопряжение О Комплексным числом, сопряженным к z = x + iy , называется комплексное число z , отличающееся от z только знаком мнимой части: z = x − iy . Свойства операции сопряжения: 1°. 2°.

z = z; z = z тогда и только тогда, когда z - действительное число;

204

Лекции 3 - 4

3°.

z1 ± z2 = z1 ± z2 ,

4°.

z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2 ,

⎛ z ⎞ (z ) 5°. ⎜ 1 ⎟ = 1 , ⎝ z2 ⎠ ( z2 ) 6°. z ⋅ z = x 2 + y 2 . Докажем некоторые соотношения. В алгебраической форме: z = x + iy, z = x - iy . Вычислим: а) z + z = ( x + iy ) + ( x − iy ) = 2 x , следовательно, z + z = 2 x ; z − z = 2iy ; б) zz = ( x + iy )( x − iy ) = x 2 + y 2 , следовательно: z ⋅ z = x 2 + y 2 . Тогда z1 z1 ⋅ z2 ( x1 x2 + y1 y2 ) + i ( x2 y1 − x1 y2 ) = = = z 2 z2 ⋅ z2 x22 + y22 =

x1 x2 + y1 y2 x y −x y + i 2 21 12 2 2 2 x2 + y2 x2 + y2

В тригонометрической форме: z = z (cosϕ + i sin ϕ ) ;

z

z = z (cos ϕ − i sin ϕ ) = z (cos( −ϕ ) + i sin( −ϕ )) .

В показательной форме: z = z eiϕ , z = z e − iϕ .

z

Геометрически - комплексное сопряжение есть операция симметричного отражения вектора, соответствующего числу z относительно действительной оси. Вывод: пользуясь алгебраической формой комплексного числа, можно производить операции сложения, умножения, вычитания по обычным правилам умножения многочленов. При делении комплексных чисел эффективно использовать прием умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Свойства операций сложения и умножения: 1°. z1 + z2 = z2 + z1 , 2°. ( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 ) , 3° z1 z2 = z2 z1 , 4°. ( z1 z2 ) z3 = z1 ( z2 z3 ) , 5°. ( z1 + z2 ) z3 = z1 z3 + z2 z3 .

205

Комплексные числа. Многочлены в комплексной области

Пример: Найти z и arg z для числа: z = 1 + i . Решение:

y x

z = 1 + i , z = 1 + 1 = 2 , α = arctg = arctg1 =

π 4

z =1+i

1 . α

1

0

3.4.4. Извлечение корня Определяется как действие обратное возведению в степень. Число b называется корнем n-ой степени из числа z и обозначается b = n z , если bn = z . Пусть z = reiϕ , а b = ρ eiϕ и r , θ известны. Найдем ρ , θ . Два комплексных числа равны bn = z , если равны их модули ρ n = r ⇒ ρ = n r и аргументы отличаются на 2kπ . nθ = ϕ + 2kπ ⇒ θ = окончательно

n

iϕ

re = r e n

ϕ 2π i ( +k ) n n

ϕ + 2 kπ n

,

n

iϕ

re = r e n

i

ϕ + 2кπ n

или

.

Здесь k может принимать все возможные целые значения. Различных (неодинаковых) значений корней будет ровно n, и они будут соответствовать значениям k = 0, 1, 2, …, n-1. i

ϕ

b0 = r e n , k = 0 , n

b1 = r e n

ϕ 2π i( + ) n n

b2 = r e n

, k = 1,

ϕ 2π i ( +2 ) n n

bn −1 = r e n

, k = 2,

ϕ

2π i ( + ( n −1) ) n n

Если же, например, k = n , то

bn = r e n

i(

ϕ 2π n n

+

=

n

n

)

ϕ

= i

n

r e

, k = n −1.

i ( + 2π ) n

i

ϕ

= re n ⋅ ei 2π = n

ϕ

re n ⋅ 1 = b0 → bn = b0 ,

аналогично bn+1 = b1 и т.д. Вывод: корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений.

206 !

Лекции 3 - 4

Числа b0 ,b1 ,...,bn−1 имеют одинаковый модуль, и так как аргументы отличаются, следовательно, значения корня будут изображаться точками на окружности. Пример: Вычислить и изобразить на комплексной плоскости Решение: Запишем число i в показательной форме: i

π

i

4

i ⎛π ⎞ ⎜ + 2π k ⎟ 4⎝ 2 ⎠

π

4

i

⎛π πk ⎞ i⎜ + ⎟ ⎝8 2 ⎠

=e . w=i =e ; z= w = e =e Возможно четыре различных значений корня, соответ4

2

π π

i( + ) 8 2

i

, (k = 1) , z2 = e

из корня z0 поворотом на том на π и т.д.

π

i ( +π ) 8

π

z0 = e 8 , (k = 0) ,

k = 0,1, 2, 3 :

ствующих z1 = e

2

, (k = 2) , z3 = e

π

π

i ( +3 ) 8 2

, (k = 3) . z1 получен

π против часовой стрелки, z2 из z0 поворо2

Пример: Вычислить 6 1 + i 3 ; изобразить схематично значения корня на комплексной плоскости. Решение: i

π

w = 1 + i 3 = 2e 3 ;

π

1 6

z = 2=2 ; θ = 3 6

+ 2π k 6

; k = 0,1, 2,3, 4,5 .

Начальный аргумент при k = 0 равен θ =

π 18

.

Значения корня: i

π

i

7π

z1 = 6 2 e 18 , z2 = 6 2 e 18 , z3 = 6 2 e z4 = 6 2 e

i

19π 18

, z5 = 6 2 e

i

25π 18

i

13π 18

, z6 = 6 2 e

i

,

31π 18

.

Соответствующие 6 точек располагаются в вершинах правильного шестиугольника на окружности радиусом 6 2 .

Пример: Решить уравнение z 2 + z + 1 = 0 . Используя формулу для решения квадратного уравнения и полагая −1+ i 3 −1− i 3 , z2 = . −1 = i , имеем: z1 = 2 2 Рассмотренное уравнение имело вещественные коэффициенты. Пусть коэффициенты комплексные.

Комплексные числа. Многочлены в комплексной области

207

Пример: Решить уравнение z 2 + (−3 + i 2) z + 5 − i = 0 . По формуле квадратного уравнения

−( −3 + 2i ) + ( 2i − 3 )2 − 4( 5 − i ) 3 − 2i + −15 − 8i z= . = 2 2 Число, стоящее под знаком квадратного корня, можно было бы записать в показательной форме, а затем по известному правилу извлечь из него корень. Однако можно поступить иначе. Положим − 15 − 8i = x + iy. Возводим обе части в квадрат и находим − 15 − 8i = x 2 − y 2 + 2ixy , откуда x 2 − y 2 = −15 ; 2 xy = −8 . Эта система имеет решения: x1 = 1, y1 = −4, x 2 = −1, y 2 = 4; поэтому

z1 =

3 − 2i + (1 − 4i) 3 − 2i + (−1 + 4i ) = 2 − 3i, z 2 = = 1 + i. 2 2

3.5. Комплекснозначная функция действительного аргумента Если каждому действительному t ставится в соответствие комплексное z, то z = z (t ) называют комплекснозначной функцией действительного аргумента. z = eiϕ - комплекснозначная функция действительного аргумента ϕ . В алгебраической форме: z (t ) = x(t ) + i y (t ) . Так как z (t ) соответствует вектору с координатами х(t ) и y (t ) , то задание функции z (t ) эквивалентно заданию вектора функции скалярного аргумента. Теория комплекснозначных функций скалярного аргумента совпадает с теорией векторной функции скалярного аргумента. z' (t ) = x′(t ) + iy′(t ) - формула дифференцирования комплекснозначной функции. О

4.1. Многочлены в комплексной области. Корни многочлена О

Многочленом называется функция вида: Pn ( z ) = a0 z n + ... + an−2 z 2 + an−1 z + an ; a0 ≠ 0 ,

где n – степень многочлена (n – натуральное), а коэффициенты a0 ,..., an могут быть как действительными, так и комплексными, z – комплексная переменная. При a0 = 1 многочлен называется приведённым. О Рациональной дробью называется отношение двух многочленов

208

Лекции 3 - 4

Pm ( z ) b0 z m + b1 z m −1 + ... + bm−1 z + bm . = Pn ( z ) a0 z n + a1 z n −1 + ... + an −1 z + an

При m < n дробь называется правильной, при m ≥ n дробь называется неправильной. Неправильную дробь всегда можно разложить на сумму многочлена и правильной дроби; вид многочлена находится при делении «уголком» или по схеме Горнера. Свойство деления можно записать следующим образом: R (z) Pm ( z ) . = Ql ( z ) + p Pn ( z ) Pn ( z )

Здесь Ql ( z ) , R p ( z ) - многочлены степени l и p соответственно; Ql ( z ) - частное (целая часть дроби); l ≤ m l + n = m , R p ( z ) - остаток ( p < n ). Пример:

2 z 3 + 3z 2 + 6 z − 3 3z − 4 = 2z +1+ 2 . 2 z + z +1 z + z +1

!

О

Pm( z ) = Ql ( z ) ; Pm( z ) = Pn ( z ) ⋅ Ql ( z ) . В этом случае Pn ( z ) говорят о делении нацело.

Если R p ( z ) = 0 ⇒

Корнем многочлена Pn ( z ) называют число z0 , удовлетворяющее уравнению Pn ( z ) = 0 или в развёрнутом виде. a0 z n + ... + an−2 z 2 + an−1 z + an = 0; a0 ≠ 0 .

Данное уравнение является алгебраическим уравнением n-й степени. Т

Теорема Безу. Остаток, получаемый при делении Pm( z ) на (z-a), равен Pm ( a ) Доказательство: По условию Pn (z) = P1 (z) = z-a . По основному свойству: Q l (z) = Q m-1 (z) , Rp ( z ) = R0 ( z ) = R0 . Тогда Pm ( z ) = Qm−1( z ) ⋅ ( z − a ) + R0

Положим z = a , тогда получим равенство Pm (a) = R0 , что и требовалось доказать. С Для того чтобы многочлен Pn ( z ) делился на выражение (z-a) без остатка, необходимо и достаточно, чтобы число z = a было корнем этого многочлена. Таким образом, если z = z0 - корень Pn ( z ) , то Pn ( z ) = ( z − z0 ) ⋅ Qn−1( z ) . Другие корни Pn ( z ) следует искать из уравнения: Qn-1 ( z ) = 0 и т.д.

Комплексные числа. Многочлены в комплексной области

209

Пример: Проверить, что z = 1 является корнем многочлена P3 ( z ) = z 3 + z 2 + 3 z − 5 и найти другие корни многочлена. Решение: Так как P3 (1) = 1 + 1 + 3 − 5 = 0 , то z = 1 является корнем многочлена P3 ( z ) и многочлен P3 ( z ) делится на z − 1 без остатка. −

z 3 + z 2 + 3z − 5 | z − 1 z3 − z2 −

z 2 + 2z + 5

2 z 2 + 3z

⇒ P3 ( z ) = ( z − 1)( z 2 + 2 z + 5).

2z − 2z 2

−

5z − 5 5z − 5 0

Для отыскания других корней многочлена решим уравнение z 2 + 2z + 5 = 0 : z = −1 ± 1 − 5 = −1 ± 2i. Итак, многочлен 3 2 P3 ( z ) = z + z + 3 z − 5 имеет один действительный корень z1 = 1 и два комплексно-сопряженных корня z 2 = −1 + 2i , z 3 = −1 − 2i.

О

Если Pn ( z ) = ( z − z0 )k ⋅ Qn−k ( z ) , где Qn-k ( z0 ) ≠ 0, то z 0 называют корнем кратности к многочлена P n ( z ) . Пример: P 3 ( z ) = z 3 + 3 z 2 + 3 z + 1 = ( z + 1)( z + 1)( z + 1) = ( z + 1)3 ; z 0 = −1 - корень кратности 3.

4.2. Основная теорема алгебры Т С

Любой многочлен P n ( z ) при n ≥ 1 имеет хотя бы один корень (действительный или комплексный). 1). Каждый многочлен Pn ( z ) имеет ровно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. 2). (с учетом теоремы Безу) Всякий многочлен n-й степени разлагается на n линейных множителей вида z − zk и множитель, равный коэффициенту при zn . Pn ( z ) = a0 ( z − z1 )( z − z2 )...( z − zn ) . Для случая кратных (повторяющихся) корней формула группируется следующим образом:

210

Лекции 3 - 4

Pn ( z ) = an ⋅ ( z − z1 )k1 ⋅ ( z − z2 )k2 ...( z − zm )km здесь zi – корни кратности ki , i = 1,2,… ,m , k1 + k2 + ...+ km = n Рассмотрим случай многочленов с действительными коэффициентами. Т

(*)

Если многочлен Pn ( z ) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень z0 = α + i β кратности к, то он имеет и комплексно-

сопряженный корень z0 = α − i β той же кратности.

Вывод: комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами появляются сопряженными парами. Многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами. Рассмотрим линейные множители вида ( z − zi ) , где zi - действительное число, и объединим множители вида ( z − zl )( z − zl ) , где zl - комплексное Т

число. Тогда ( z − zl ) ⋅ ( z − zl ) = z 2 − z( zl + zl ) + zl ⋅ zl . Но zl + zl = (α + i β ) + (α − i β ) = 2α , zl ⋅ zl = ( α + iβ ) ⋅ ( α − iβ ) = α 2 + β 2 являются действительными числами, обозначим их p и q соответственно. Тогда ( z − zl )( z − zl ) = z 2 + pz + q, где p, q – действительные числа, а квадратный трехчлен имеет только комплексные корни и не разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами. Таким образом, многочлен Pn ( z ) с действительными коэффициентами имеет следующее разложение: k s s s k Pn ( z ) = a0 ( z − z1 ) 1 ( z − z2 ) 2 … ( z − zi ) i ( z 2 + p1 z + q1 ) 1 … ( z2 + p j z + q j ) j , где s1 + s2 + … + si + 2k1 + … + 2k j = n .

!

Данное выражение представляет собой произведение множителей двух типов: 1). Линейные множители ( z − zi )si , где zi - действительный корень кратности Si . 2).

Квадратичные

(z

множители

2

+ pz + q ) с kj

действительными

коэффициентами p, q и отрицательным дискриминантом D = p 2 -4q < 0 .

+ pz + q ) = ⎡⎣( z − z j ) ⋅ ( z − z j ) ⎤⎦ соответствуют паре комплексно-сопряженных корней z j , z j кратности k j . Данные множители

(z

2

kj

kj

211

Комплексные числа. Многочлены в комплексной области

Пример: Разложить на множители P ( x) = х 3 + 1 . Линейные множители (действительные корни): x1 = −1 ; х 3 + 1 делится на

х + 1 без остатка, P ( х ) = х 3 + 1 = ( х + 1)( х − х + 1) , у трехчлена действительных корней нет. 2

Найдем пару комплексно-сопряженных корней:

1 ± 1-4 1 ± −3 1 ± 3 ⋅ −1 1 ± i 3 = = = , 2 2 2 2 ⎛ 1+ i 3 ⎞⎛ 1− i 3 ⎞ P ( x ) = ( x + 1) ⎜ x − ⎟⎜ x − ⎟. 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ x2,3 =

4.3. Примеры решения задач

Пример: Разложить на множители многочлен P4 ( z ) = z 4 + 1 . Решение: Очевидно, действительных корней многочлен не имеет, находим комплексные корни: iπ

z = −1 + 0i = e ; −1 + 0i = e 4

4

i

i( π + 2 kπ ) 4

π

Корни многочлена: z1 = e 4 ; z 2 = e

i

3π 4

; где k = 0;1;2;3.

; z3 = e

i

5π 4

; z4 = e

i

7π 4

.

Пары z1 , z 4 ; z 2 , z 3 - сопряженные: z 4 + 1 = ( z − z1 )( z − z 4 )( z − z 2 )( z − z 3 ); объединим попарно сомножители:

z 4 + 1 = ( z 2 − z ( z1 + z4 ) + z1 z4 )( z 2 − z ( z2 + z3 ) + z 2 z3 ) ,

z1 + z4 = cos z1 ⋅ z4 = 1 .

π 4

+ i sin

π 4

+ cos

7π 7π + i sin = 4 4

=

2 2 2 2 +i + −i = 2, 2 2 2 2

Аналогично, z2 + z3 = − 2, z2 ⋅ z3 = 1 . Тогда Pn ( z ) = z 4 + 1 = ( z 2 + 2 z + 1 )( z 2 − 2 z + 1 ).

212

Лекции 3 - 4

Пример: Дать геометрическое описание множества всех точек плоскости, удовлетворяющих условиям: ⎧1 ≤ z ≤ 5 ⎨ ⎩ Im z ≤ 0 Решение: Запишем z в алгебраической форме z = x + yi , тогда из условия : 2 2 2 2 ⎪⎧1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 5 ⎧1 ≤ x + y ≤ 5 ⇒⎨ . ⎨ y≤0 y≤0 ⎪⎩ ⎩

комплексной

y

−5

−1 0 1

5

x

Геометрически: нижняя половина кольца с внутренним радиусом R1 = 1 и внешним R2 = 5 .

Пример: Представить в тригонометрической и показательной формах числа 2 2 z1 = i; z2 = 5 − 12i; z3 = −i. + 2 2 Решение: z1 = x1 + iy1 = z1 eiϕ1 ; π π π 1 1 i y π ϕ1 = arctg = , z1 = + = 1 ; z1 = e 4 = cos + i sin ; 4 4 2 2 x 4 z2 = 25 + 144 = 169 = 13 ;

⎛ 12 ⎞ ⎟; ⎝ 5⎠

ϕ2 = arctg ⎜ −

⎛ 12 ⎞ i arctg ⎜ − ⎟ ⎝ 5⎠

z2 = 13e

z3 = 1 + 0 = 1 ;

ϕ 2 − угол, лежащий в IV четверти.

⎛ ⎛ 12 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎞ = 13 ⎜ cos arctg ⎜ − ⎟ + i sin arctg ⎜ − ⎟ ⎟ ; ⎝ 5⎠ ⎝ 5 ⎠⎠ ⎝ π π π π −i ϕ3 = − ; z3 = e 2 = cos − i sin .

2

2

2

Пример: Выполнить действие:

i i i2 + 2 + + . i i 9 + 2i 8 + i 7 + 11 i 2 + 2

Решение: Поскольку i 2 = −1; i 4 = 1,... i 9 = i, i 8 = +1, i 7 = −i.

i i i2 + 2 i i −1 + 2 + 2 + = + + = 9 8 7 i + 2i + i + 11 i + 2 i i + 2 − i + 11 −1 + 2 i =

i i +i −i = . 13 13

213

Комплексные числа. Многочлены в комплексной области

Пример: Вычислить Решение: 4

z=

z ⋅e

4

2 + 2i .

4

i

ϕ + 2π k 4

; где k = 0; 1; 2; 3 .

z = 2 + 2 = 2; ϕ = arctg i

π

i

2 π = ; 2 4

ϕ

i

17π 16

9π

z1 = 4 2e 16 ; z2 = 4 2e 16 ; z3 = 4 2e

- угол, лежащий в I четверти.

; z4 = 4 2e

i

25π 16

.

Пример: Разложить многочлен x 4 + 6 x 3 + 25 x 2 + 68 x на множители с действительными коэффициентами. Решение: x1 = 0 . Подбором находим x 2 = −4 , с помощью деления “уголком” получаем:

x 4 + 6 x 3 + 25 x 2 + 68 x = x 2 + 2 x + 17; D = 4 − 4 ⋅ 17 < 0 . x( x + 4 ) Тогда разложение имеет вид : x 4 + 6 x 3 + 25 x 2 + 68 x = x( x + 4 )( x 2 + 2 x + 17 ) .

Пример: Решить биквадратное уравнение z 4 + 4 z 2 + 3 = 0 . Решение : z4 + 4z2 + 3 = z2 + 1 z2 + 3 = 0 .

(

)(

)

z1,2 = − 1 = 0 ± i ; z 3,4 = − 3 = 0 ± i 3 .

Пример: Разложить многочлен на квадратные множители при условии, что задан один из корней. x 4 + 8 x 3 + 21x 2 + 8 x + 20; x1 = −4 + 2i . Решение: Поскольку для многочлена с действительными коэффициентами корни появляются только сопряженными парами, то x 2 = −4 − 2i . Соответствующий квадратный трехчлен: ( x − x1 )( x − x2 ) = ( x + 4 − 2i )( x + 4 + 2i ) = (( x + 4 )2 − 4i 2 ) =

= x 2 + 8 x + 20. Делением начального многочлена получаем :

x 4 + 8 x 3 + 21x 2 + 8 x + 20 = ( x 2 + 8 x + 20 )( x 2 + 1 ) .

214

Лекции 3 - 4

Пример: Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию z − i = 1.

y

Решение:

1

z − 1 = x + iy − i = x + i ( y − 1) =

x + ( y − 1) = 1 , 2

2

0

x

⇒ x 2 + ( y − 1) 2 = 1 . Следовательно, искомое множество со-

стоит из точек окружности единичного радиуса, центр которой имеет координаты (0;1) .

4.4. Разложение рациональных дробей Т

Всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей четырех типов:

A A Bx + C Bx + C , p2 − 4q < 0 . ; ; 2 ; 2 k k x - a ( x - a) x + px + q ( x + px + q ) При этом каждому действительному корню а кратности m в разложении знаменателя Pn (x) соответствует сумма A1 A2 Am + + ...+ . 2 x - a ( x - a) ( x - a)m Каждой комплексно сопряженной паре корней zi ,zi кратности m соответствует сумма M 1 x + N1 M 2 x + N2 M m x + Nm + + ...+ . x 2 + px + q ( x 2 + px + q ) 2 ( x 2 + px + q ) m Коэффициенты Ai ,M i ,N i находятся методом неопределённых коэффициентов при одинаковых степенях x в числителях после приведения к общему знаменателю правой части разложения. Пример: Разложить на суммы простейших дробей правильную дробь x . 2 ( x − 1) ( x − 2 )

Преобразуем знаменатель, пользуясь формулой разности квадратов: ( x 2 − 1) ( x − 2 ) = ( x − 1)( x + 1)( x − 2 ) ;

A A A1 , ( x + 1) ⇒ 2 , ( x − 2 ) ⇒ 3 ; x −1 x +1 x−2 A x A A = 1 + 2 + 3 . 2 ( x − 1) ( x − 2 ) x − 1 x + 1 x − 2

( x − 1) ⇒

Комплексные числа. Многочлены в комплексной области

x = A1 ( x + 1) ( x − 2) + A2 ( x − 1)( x − 2) + A3 ( x − 1)( x + 1) .

Первый способ нахождения коэффициентов. Равенство справедливо для любого x , в том числе и для x = − 1: − 1 = A2 (−2)(−3) x = 2: 2 = A3 ⋅ (1) ⋅ 3

x = 1: 1 = A1 ⋅ 2 ⋅ (−1) 1 1 2 ⇒ A1 = − , A2 = − , A3 = 2 6 3 Второй способ нахождения коэффициентов. Многочлены равны, когда равны коэффициенты перед одинаковыми степенями x. x 2 : A1 + A2 + A3 = 0; x1 : − A1 − 3 A2 = 1; x 0 : −2 A1 + 2 A2 − A3 = 0 ⇒ 1 1 2 ⇒ A1 = − , A2 = − , A3 = . 2 6 3 Третий способ: Комбинация первого и второго способов. x 1 1 2 =− − + . Ответ: 2 ( x − 1) ( x − 2 ) 2( x − 1) 6( x + 1) 3( x − 2)

Пример:

x2 − 1 =? x( x 2 + 1) 2 Порядок многочлена x ( x 2 + 1) в знаменателе равен 5. 2

x⇒

A ; x

B1 x + D1 B2 x + D2 + ; ( x 2 + 1) ( x 2 + 1) 2 x2 −1 A B x + D1 B2 x + D2 ; = + 12 + 2 2 x( x + 1) x ( x + 1) ( x 2 + 1) 2

(x

2

+ 1) ⇒ 2

x 2 − 1 = A( x 2 + 1 )2 + ( B1 x + D1 ) x( x 2 + 1 ) + ( B2 x + D2 ) x ;

x = 0 : A = −1 ; x 4 : A + B1 = 0 ; x 3 :D1 = 0 ; x 2 : 2 A + B1 + B2 = 1 ; x : D1 + D2 = 0 ;

⇒ A = −1, B1 = 1, D1 = 0, D2 = 0, B2 = 2 . x2 −1

x ( x 2 + 1)

2

1 x 2x . =− + 2 + x x + 1 ( x 2 + 1)2

215

216

Лекции 3 - 4

Пример: Разложить рациональную дробь на сумму простейших, предварительно

x3 − x + 8 выделив целую часть: 3 . x − 2 x2 + x + 4 Решение:

x3 − x + 8 2x2 − 2 x + 4 =1+ 3 Разделив «уголком», получим: 3 . x − 2x2 + x + 4 x − 2 x2 + x + 4 Разложим

на

множители

знаменатель:

x1 = −1;

x − 2x + x + 4 = x 2 − 3x + 4; x +1 3 x − 2 x 2 + x + 4 = ( x + 1)( x 2 − 3x + 4). 3

2

2x2 − 2x + 4 A Bx + C = + 2 = Ax 2 − 3 Ax + 4 A + Bx 2 + Bx + Cx + C . 2 ( x + 1)( x − 3x + 4) x + 1 x − 3x + 4 A = 1; ⎫ ⎪ x : −3 A + B + C = −2 ⎬ ⇒ B = 1; x 0 : 4 A + C = 4 ⎪⎭ C = 0. x 3 − x + 16 1 x . =1+ + 2 Искомый результат: 3 2 x − 2x + x + 4 x + 1 x − 3x + 4 x2 :

A+ B = 2

1

4.5. Примеры решения задач Пример: Разложить на суммы простейших дробей дробь

10 . x +x 3

Решение: Знаменатель P3 ( x) = x 3 + x , корни x1 = 0; x 2 ,3 = 0 ± i . P3 ( x) = x( x 2 + 1).

10 A Bx + C Ax 2 + A + Bx 2 + Cx = + 2 = . x3 + x x x +1 x( x 2 + 1 ) Приравниваем числители и коэффициенты при одинаковых степенях x : 10 = Ax 2 + A + Bx 2 + Cx; x 2 : A + B = 0⎫ A = 10; ⎪ 1 x : C = 0 ⎬ ⇒ B = −10; . x 0 : A = 10 ⎪⎭ C = 0, 10 10 10 x = − тогда искомое разложение имеет вид: 3 . x + x x x2 +1

Комплексные числа. Многочлены в комплексной области

217

Пример: Разложить неправильную дробь на сумму многочлена и простейших дробей. x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 9 9 − 9x = x+ . 3 2 x + 3x + 3x + 9 ( x + 3)( x 2 + 3) 9 − 9x A Bx + C = + 2 . 2 ( x + 3)( x + 3) x + 3 x + 3

9 − 9 x = Ax 2 + 3 A + Bx 2 + Cx + 3Bx + 3C. x2 : A + B = 0 ⎫ A = 3; ⎪ 1 x : C + 3B = −9 ⎬ ⇒ B = −3; x 0 : 3 A + 3C = 9 ⎪⎭ C = 0, Ответ:

3 3x x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 9 = x+ − 2 . 3 2 x+3 x +3 x + 3x + 3x + 9

Пример: Разложить правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей 3x 2 . ( x − 1) 2 ( x 2 + x + 1) 3x 2 A B Cx + D = + = 2 2 2 + ( x − 1) ( x + x + 1) x − 1 ( x − 1) x2 + x + 1

Ax 3 − A + Bx 2 + Bx + B + Cx 3 − 2 x 2 + Cx + Dx 2 − 2 Dx + D . ( x − 1) 2 ( x 2 + x + 1) Приравниваем коэффициенты : A = 1; x3 A + C = 0 ⎫ ⎪ 2 B = 1; x A − 2C + D = 3 ⎪ . ⎬⇒ 1 x B + C − 2 D = 0 ⎪ C = −1; D = 0. x 0 − A + B + D = 0 ⎭⎪ Тогда искомое разложение 3x 2 1 1 x = + . 2 2 2 − 2 ( x − 1) ( x + x + 1) x − 1 ( x − 1) x + x +1 =

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, у студентов должны сформироваться следующие понятия: ƒ комплексные числа и формы их записи, ƒ действия над комплексными числами, ƒ многочлены в комплексной области. Студент должен уметь: ƒ преобразовывать комплексные числа из одной формы в другую, ƒ сравнивать, складывать, вычитать, умножать, делить комплексные числа, возводить в целую степень, извлекать корни целых степеней в удобной для каждого действия форме; ƒ разлагать рациональные дроби на сумму элементарных.

Лекции 5 - 6 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод разыскания площадей, объемов и центров тяжести. В зародышевой форме такой метод применялся еще Архимедом. Систематическое развитие он получил в 17-м веке, в тесной связи с возникшим тогда же дифференциальным исчислением. В данных лекциях рассматривается первая часть задачи – вычисление первообразной как операция, обратная дифференцированию.

5.1. Основные определения 5.2. Свойства неопределенного интеграла 5.3. Таблица основных интегралов 5.4. Методы интегрирования 5.4.1. Непосредственное интегрирование 5.4.2. Замена переменной в неопределенном интеграле 5.4.3. Интегрирование по частям 5.4.4. Возвратное интегрирование 6.1. Интегрирование рациональных дробей 6.1.1. Интегрирование простейших дробей 6.1.2. Общая схема интегрирования рациональной дроби 6.2. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции 6.2.1. Интегралы, содержащие произведение тригонометрических функций вида ∫ sin m xcosn xdx . 6.2.2. Интегралы вида ∫ cosαx cosβxdx ;

∫ cosαx sinβxdx ; ∫ sinαx sinβxdx . 6.3. Интегрирование иррациональных выражений 6.3.1. Линейные иррациональности 6.3.2. Дробно-линейные иррациональности 6.3.3. Квадратичные иррациональности тригонометрические подстановки 6.3.4. Интегрирование дифференциальных биномов 6.3.5. Метод неопределенных коэффициентов для интегрирования иррациональностей 6.3.6. Подстановки Эйлера

219

Неопределенный интеграл

5.1. Основные определения О

Функция F ( x ) называется первообразной для функции f ( x ) на интервале ( a, b ) , если F ( x ) дифференцируема на ( a, b ) и F ′ ( x ) = f ( x) . Пример:

F ( x ) = x 2 f ( x ) =2x, (-∞,∞) , F ( x ) = sin x f (x)=cos(x), (-∞,∞) ,

F ( x) = x Т

f (x)= =

1 2 x

, (0, ∞)

Если F1 ( x ) и F2 ( x ) – две первообразные для функции f ( x ) на интервале ( a, b ) , то они могут отличаться лишь на постоянную, т.е. F1 ( x ) = F2 ( x ) + C , где C – постоянная. Доказательство: Положим Φ ( x ) = F1 ( x ) − F2 ( x ) . Φ ′ ( x ) = F1′( x ) − F2′ ( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 , следовательно, по теореме Лагранжа Φ ( x ) = C .

( F ( x ) + C )′ = F ′ ( x ) + C′ = f ( x ) + 0 = f ( x ) . C

О

Если F ( x ) – одна из первообразных для функции f ( x ) , то любая ее первообразная имеет вид: Φ ( x) = F ( x) + C , где C – постоянная. Совокупность всех первообразных для функции f ( x ) на интервале ( a, b ) называется неопределенным интегралом от функции f ( x ) и обозначается символом

∫ f ( x ) dx , где ∫ – знак интеграла, f ( x ) – подын-

тегральная функция, f ( x ) dx – подынтегральное выражение. Т

Теорема об интегрируемости непрерывных и монотонных функций Если f ( x ) - непрерывна или кусочно-монотонна на [ a,b ] , то она интегрируема на [ a,b ] .

220

Лекции 5 - 6

5.2. Свойства неопределенного интеграла Из определения следует, что неопределенный интеграл обладает следующими свойствами: 1) dF ( x ) = f ( x ) dx ;

∫ dF ( x ) = F ( x ) + C ; ∫ ⎡⎣Cf ( x )⎤⎦ dx = C ∫ f ( x ) dx , где C – постоянная; ∫ ⎡⎣ f ( x ) ± g ( x )⎤⎦ dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx ; 1 Если ∫ f (x )dx = F (x ) + C , то ∫ f (ax + b)dx = F (ax + b) a

2) 3) 4) 5)

+C.

(Доказательство свойства 5 проведем позднее).

5.3. Таблица основных интегралов

∫ 0dx = С, ∫ dx

= x+C

xα +1 ∫ x dx = α + 1 + C (∀α ≠ -1) α

-1 ∫ x dx = ∫

dx = ln x + C x

ax ∫ a dx = ln a + C , a > 0, a ≠ 1 x

∫ e dx = e x

x

+C

∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + C dx

∫ cos

2

x

= tg x + C

dx ∫ sin 2 x = − ctg x + C

∫a

2

dx x+a 1 ln = +C 2 2a x − a −x

∫ ∫

∫

dx a2 − x2 dx x2 − a2

dx x +a 2

2

= arcsin

x + C, x < a a

= ln x + x 2 − a 2 + C

(

)

= ln x + x 2 + a 2 + C

dx 1 x arctg = + C ( a ≠ 0) ∫ a2 + x2 a a

∫ shx dx = chx + C ∫ chx dx = shx + C dx ∫ ch2 x = thx + C dx

∫ sh x = −cthx + C 2

221

Неопределенный интеграл

!

Производная любой элементарной функции сама является элементарной функцией. Интегралы от некоторых элементарных функций не выражаются через элементарные функции, они называются неберущимися. Пример: 2

−x ∫ e dx – неберущийся интеграл.

5.4. Методы интегрирования 5.4.1. Непосредственное интегрирование Отыскание неопределенных интегралов с помощью свойств интегралов, таблицы интегралов и алгебраических преобразований подынтегральной функции называется непосредственным интегрированием. Пример:

1) 2 x ⋅ 32 x ⋅ 53 x dx = 2 ⋅ 32 ⋅ 53 x dx = 2250 x dx = ( 2250 ) + C . ) ∫ ∫( ∫( ) x

2)

∫(

)

x5 + x 7 + 8 x dx =

ln 2250

6

8

3/ 2

x x 8x x 6 x8 16 x3/ 2 + + +C = + + + C. 6 8 3/ 2 6 8 3

5.4.2. Замена переменной в неопределенном интеграле Т

Пусть функция x = ϕ ( t ) определена и дифференцируема на некотором множестве {t} и пусть { x} – множество всех значений этой функции. Пусть для функции f ( x ) существует на множестве { x} первообразная функция F ( x ) , т.е.

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C . Тогда всюду на множестве {t}

для функции f ⎡⎣ ϕ ( t ) ⎤⎦ ϕ′ ( t ) существует первообразная функция, равная F (ϕ ( t ) ) , т.е. ∫ f ⎡⎣ϕ ( t ) ⎤⎦ ϕ ′ ( t ) dt = F (ϕ ( t ) ) + C . Доказательство: Пусть F ′ ( x ) = f ( x ) , ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C . По правилу дифференцироваdF ( x ) dx d F ⎡⎣ϕ ( t ) ⎤⎦ = = f ⎡⎣ϕ ( t ) ⎤⎦ ϕ ′ ( t ) , значит, dt dx dt ∫ f ⎡⎣ϕ ( t ) ⎤⎦ ϕ ′ ( t ) dt = F (ϕ ( t ) ) + C , что и требовалось доказать.

ния сложной функции

222

Лекции 5 - 6

Пример: Пусть

∫ f ( t ) dt = F ( t ) + C . ⎧

t

1

⎫

1

∫ f ( ax ) dx = ⎨⎩t = ax, x = a , dx = a dt ⎬⎭ = a ∫ f ( t ) dt = 1 1 F ( t ) + C = F ( ax ) + C , a a ⎧t = x + b, ⎫ ⎪ ⎪ ∫ f ( x + b ) dx = ⎨ x = t − b, ⎬ =∫ f ( t ) dt = F ( t ) + C = F ( x + b ) + C , ⎪ dx = dt ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎪t = ax + b, ⎪ ⎪ ⎪ 1 t b ⎪ dt 1 ⎪ ∫ f ( ax + b ) dx = ⎨ x = a − a ,⎬ = ∫ f ( t ) a = a F ( t ) + C = a F ( ax + b ) + C . ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪⎩dx = a dt ⎪⎭

=

Пример:

1 1). ∫ sin (8x − 2 ) dx = − cos (8x − 2 ) + C ; 8 ⎧ t = x − 1,⎫ 2) ⎪ ⎪ 2 2 ∫ x x − 1dx = ⎨ x = t + 1, ⎬ = ∫ ( t + 1) ⋅ t ⋅ 2t dt = ⎪ dx = 2t dt ⎪ ⎩ ⎭ = 2 ∫ ( t 4 + t 2 ) dt =

2 5 2 3 2 t + t +C = 5 3 5

( x − 1)

5

+

2 3

( x − 1)

3

+C.

⎧ x = 2t , ⎫ ⎪⎪ 1 dx dx dt x x ⎪⎪ 3) ∫ = ∫ = ⎨t = , ⎬ = ∫ = tg t + C = tg + C . 2 x ⎪ 1 + cos x 2 2 cos t 2 ⎪ cos2 2 ⎪⎩ dx = 2dt ⎪⎭

!

Частным случаем замены является преобразование подынтегральной функции, связанное с подведением под знак дифференциала части подынтегральной функции. В этом случае замена носит характер переобозначения. Пример:

1 d ( x 2 + 1) xdx =∫2 2 = {t = x 2 + 1} = 1) ∫ 2 x +1 x +1 1 dt 1 1 = ln t + C = ln (1 + x 2 ) + C . = ∫ 2 t 2 2

223

Неопределенный интеграл

2)

∫

1 dx = ∫ (5x − 2)−1 / 2 dx = ∫ (5x − 2)−1 / 2 d (5x − 2) = 5 5x − 2

1 −1 / 2 1 t1 / 2 2 5x − 2 + C . = {t = 5 x − 2} = ∫ t dt = +C = 5 5 1/ 2 5 3) =

∫

1

sin x cos xdx = ∫ sin xd sin x = {t = sin x} = ∫ t 2 dt =

2 23 t +C = 3

3 2 ( sin x ) 2 + C . 3

Дополнительные примеры: Пример: ⎧u = cos x

sin x

⎫

∫ tg x dx = ∫ cos x dx = ⎨⎩du = − sin x dx ⎬⎭ = −∫

du = −ln u + C = −ln cosx + C . u

Пример: ⎧t = 1 − x, x = 1 − t,⎫ 2 8 ⎪ ⎪ ∫ ( 2 x + 3 ) (1 − x ) dx = ⎨ dx = −dt, ⎬ = − ∫ ( 5 − 2t ) t dt = ⎪ 2 x + 3 = −2 t + 5 ⎪ ⎩ ⎭ 2

8

= −∫ ( 25t 8 − 20t 9 + 4t 10 ) dt = −

=−

25 9 20 10 4 11 t + t − t = 9 10 11

25 4 9 10 11 (1 − x ) + 2 (1 − x ) − (1 − x ) + C . 9 11

Пример:

π ⎫ ⎧ dx dx 1 ⎪t = x + , ⎪ 4 ⎬= ∫ sin x + cos x = 2 ∫ ⎛ π ⎞ = ⎨ ⎪ sin ⎜ x + ⎟ ⎩ dt = dx ⎭⎪ 4⎠ ⎝ 1 1 t ⎛x π⎞ = ln tg + C = ln tg ⎜ + ⎟ + C . 2 2 2 ⎝2 8⎠ Пример:

∫

1 − sin x x

1 sin x =∫ dx − ∫ dx . x x   

  

1)

2)

x1 / 2 1 −1 / 2 dx = x dx = +C ; ∫ x ∫ 1/ 2 ⎧ x = t, ⎫ sin x ⎪ ⎪ 2) ∫ dx = ⎨ dx ⎬ = ∫ sin t ⋅ 2dt = 2cos t + C = 2 cos x ⎪ dt = ⎪ 2 x⎭ ⎩ 1)

∫

1 − sin x dx = 2 x + 2 cos x + C . x

x +C.

224

Лекции 5 - 6

Пример:

∫

e x + e2x

⎧⎪ t = e x , ( 1 + e x )e x dx = ∫ dx = ⎨

⎫⎪ ⎬= ⎪⎩dt = e x dx ⎪⎭

1− ex 1− e x 2 ⎞ 1+ t ⎛ dt = − ∫ ⎜1 + =∫ ⎟ dt = −{t + 2 ln t − 1 }+ C = = −e x − 2 ln e x − 1 + C . 1− t ⎝ t −1 ⎠

Пример:

⎧ ⎪ t = ln ( tg x ) , ⎪ ln ( tg x ) 1 1 1⋅ dx ⎪ ∫ sin 2 x dx = ⎨dt = tg x ⋅ cos2 x dx = sin x cos x ⎪ ⎪ dx 2dx 1 = ⇒ = dt ⎪ sin 2 x sin 2 x 2 ⎩ 2 1 t 1 t dt = + C = ln 2 tg x + C . ∫ 2 4 4

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ =⎬ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Пример: ⎧ t = sin x, ⎫ dt = = ⎨ ⎬=∫ ∫ sin x − 1 ⎩dt = cos x dx ⎭ e et − 1 ⎧домножим и разделим числитель ⎫ e t dt = =⎨ 2 ⎬ t ∫ t t = ⎩ и знаменатель на e и на 2 ⎭ 2e e − 1 cos x dx

⎫ ⎧ ⎪ ⎪ t ⎪⎪ u = e − 1 ⇒ ⎪⎪ 1 et du = 2arctg u + C = dt = 2 ∫ = ⎨ ⇒ e t = u 2 + 1, ⎬ = 2 ∫ ⋅ 2 t t t e u + 1 ⎪ ⎪ 2 e −1 e dt ⎪ ⎪du = 2 e t − 1 ⎭⎪ ⎩⎪ = 2arctg e sin x − 1 + C .

Пример:

t = ln (arccos x ) ⎧ ⎪ ⎛ 1 1 =⎨ ∫ ⋅⎜− dt = 2 1 − x arccos x ⎪ ⎜ 2 arccos x ⎝ 1− x ⎩ t2 1 = − ∫ t dt = − + C = − ln 2 ( arccos x ) + C . 2 2 ln (arccos x )dx

⎫ ⎞ ⎪= ⎟dx ⎬ ⎟ ⎪ ⎠ ⎭

5.4.3. Интегрирование по частям ′ d ( u ⋅ v ) = ( u ⋅ v ) dx = ( u ' v + v ' u ) dx = u ' vdx + v ' udx = vdu + udv ; d ( uv ) = udv + vdu ; udv = d ( uv ) − vdu ; ∫ udv = ∫ d ( uv ) − ∫ vdu ;

∫ udv = uv − ∫ vdu

- формула интегрирования по частям.

225

Неопределенный интеграл

Эта формула используется в тех случаях, когда новый интеграл проще исходного. 1. В интегралах вида ∫ Pk ( x )e x dx ; ∫ Pk ( x)sin x dx ; ∫ Pk ( x)cos x dx за u обозначается многочлен порядка k Pk ( x) ; Пример: ⎧ u = x dv = sin xdx ⎫ x sin xdx = ⎨ ⎬ ∫ ⎩ du = dx v = − cos x ⎭ = -x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + sin x + C .

Формулу интегрирования по частям можно применять повторно.

!

Пример: ⎧ u = x2 dv = cos x dx ⎫ ∫ x cos x dx = ⎨⎩du = 2 xdx v = sin x ⎬⎭ = 2

= x 2 sin x − 2 ∫ x sin x dx =

⎧ u = x dv = sin x dx ⎫ 2 =⎨ ⎬ = x sin x − 2 − x cos x − ∫ ( − cos x ) dx = cos du = dx v = − x ⎩ ⎭

(

)

= x 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x + C .

Пример: ⎧ u = x dv = dx ⋅ 2 x ⎫ ⎪ ⎪ x ⋅ 2x 2x x ⋅ 2x 2x x x x 2 dx ⋅ = = dx − = − +C . ⎨ ⎬ 2 ∫ ln2 ∫ ln2 ln2 ( ln2 )2 v= ⎪du = dx ⎪ ln2 ⎭ ⎩

Пример: ⎧ u = x dv = sh x dx ⎫ x sh x dx = ⎨ ⎬ = x ch x − ∫ ch x dx = x ch x − sh x + C . ∫ v = ch x ⎭ ⎩du = dx

2. В интегралах вида

∫ P ( x) ln x dx , ∫ P ( x)arcsin x dx , ∫ P ( x)arccos x dx , k

∫ P ( x )arctg x dx , ∫ Pk ( x )arcctg x dx k

k

k

за u обозначается логарифм или обратная

тригонометрическая функция. Пример:

⎧u = arctg x, dv = dx ⎫ ⎪ ⎪ ∫ arctg x dx = ⎨ du = dx , v = x ⎬ = ⎪⎩ ⎪⎭ 1 + x2 xdx 1 xarctgx − ∫ = xarctgx − ln (1 + x 2 ) + C 2 1+ x 2

226

Лекции 5 - 6

Пример:

dv = sin x dx ⎫ ⎧ u = ln (tg x ) ⎪ ⎪ = ∫ sin x ln(tg x )dx = ⎨du = 1 ⋅ dx v = − cos x ⎬ 2 ⎪⎩ ⎪ tg x cos x ⎭ 1 dx dx = − cos x ln(tg x ) − ∫ (− cos x ) ⋅ = − cos x ln(tg x ) + ∫ = tg x cos2 x sin x

x 2

= −cos x ln ( tg x) + ln tg + C .

5.4.4. Возвратное интегрирование Так называемое возвратное интегрирование применяется при вычислении интегралов вида: ∫ e ax cos bx dx , ∫ e ax sin bx dx , ∫ cos ( ln x ) dx , ∫ sin ( ln x ) dx и подобных. Пример:

∫e

ax

sin bx dx .

Обозначим I = ∫ e ax sin bx dx . Тогда

⎧ u = e ax dv = sin bx dx ⎫ ⎪ ⎪ ax ∫ e sin bx dx = ⎨du = ae ax dx v = − cos bx ⎬ = ⎪⎩ b ⎪⎭ 1 a 1 a = − eax cos bx + ∫ e ax cos bx dx = − e ax cos bx + I1 . b b b b Полученный интеграл I1 возьмем по частям: ⎧ u = e ax dv = cos bx dx ⎫ 1 ax ⎪ ⎪ I1 = ∫ e cos bx dx = ⎨ sin bx ⎬ = − e cos bx + ax b v= ⎪du = ae dx ⎪ b ⎩ ⎭ 1 a ⎧ sin bx a ax a ⎧ sin bx a ⎫ ⎫ + ⎨e ax − ∫ e sin bx dx ⎬ = − e ax cos bx + ⎨e ax − I ⎬. b⎩ b b b b⎩ b b ⎭ ⎭ ax

1 ax a ax a2 e sin bx − I . Выразим отсюда искомый То есть I = − e cos bx + b b2 b2 интеграл I : ∫ e ax sin bx dx =

e ax (a sin bx − b cos bx ) a2 + b2

+C.

6.1. Интегрирование рациональных дробей О

Рациональной дробью называется отношение двух алгебраических многочленов

227

Неопределенный интеграл

Pm ( x ) b0 x m + b1 x m−1 + ... + bm−1 x + bm . = Rn ( x ) a0 x n + a1 x n −1 + ... + an −1 x + an

6.1.1. Интегрирование простейших дробей О

Правильные дроби четырех типов: A 1) ; x−a A , где k – целое положительное число, k > 1 , 2) k ( x − a) Ax + B 3) 2 ; x + px + q Ax + B , где x 2 + px + q – квадратный трехчлен 4) k x 2 + px + q

(

)

с отрицательным дискриминантом называют простейшими дробями.

p2 − q < 0, 4

Методы интегрирования простейших дробей d ( x − a) Adx dx 1. ∫ = A∫ = A∫ = A ln x − a + C ; x−a x−a x−a Adx ∫ x − a =A ln x − a + C . − n +1 x − a) ( Adx −n A 1 = A∫ ( x − a ) d ( x − a ) = A +C = 2. ∫ ⋅ +C; n −n + 1 (1 − n ) ( x − a )n−1 ( x − a) Adx

∫ ( x − a) 3.

n

=

A 1 ⋅ +C. 1 − n ( x − a )n−1

Ax + B dx разобьем его на два интегра+ px + q ла, первый из которых I a в числителе содержит дифференциал знаменателя, а второй I b не содержит x в числителе. Обозначим u = x 2 + px + q ⇒ du = ( 2 x + p ) dx .

Для вычисления интеграла

∫x

2

∫x

2

Ax + B A 2x + p B − Ap / 2 dx = ∫ 2 dx + ∫ 2 dx ; 2 x + px + q + px + q x + px + q   

 

Ia

Ib

228

Лекции 5 - 6

A A ln u + C = ln x 2 + px + q + C , 2 2 Ap ⎞ dx ⎛ . Ib = ⎜ B − ⎟∫ 2 2 ⎠ 2 ⎝ p2 ⎞ ⎛ p⎞ ⎛ x + px + ⎜ ⎟ + ⎜ q − 4 ⎟⎠ ⎝2⎠ ⎝ Ia =

p2 Здесь мы выделили полный квадрат в знаменателе и учли, что q − >0. 4 ⎧ t = x + p / 2, ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ Сделаем замену переменной ⎨ dt = dx , ⎬, ⎪ ⎪ 2 ⎩⎪a = q − p / 4 .⎭⎪ тогда Ap ⎞ dt B − Ap / 2 x + p/2 ⎛ = +C. Ib = ⎜ B − arctg ⎟∫ 2 2 2 2 2 ⎠ t +a ⎝ q − p /4 q − p /4

4.

Рассмотрим интеграл

∫

Ax + B

(x

2

+ px + q )

k

dx .

Аналогично тому, как это было сделано для интеграла 3, заменим u = x 2 + px + q ⇒ du = ( 2 x + p ) dx .

Разобьем интеграл на два интеграла:

∫

(x

Ax + B

2

+ px + q )

k

dx =

A 2x + p ( B − Ap / 2 ) dx . dx + k ∫ x2 + px + q k 2 ∫ ( x 2 + px + q ) (   )

   Ia

Ib

A du A u − k +1 A 1 Ia = ∫ k = ⋅ +C =− ⋅ +C. 2 u 2 (1 − k ) 2 ( k − 1) ( x 2 + px + q )k −1 ⎧⎪ t = x + p / 2, ⎫⎪ Ap ⎞ dx ⎛ = Ib = ⎜ B − ⎨ ⎬= ⎟ 2 ⎠ ∫ ( x 2 + px + q )k ⎪⎩ a = q − p 2 / 4 ⎭⎪ ⎝

Ap ⎞ dt Ap ⎞ dt ⎛ ⎛ =⎜B− =⎜B− I k , где I k = ∫ . ⎟∫ 2 ⎟ k 2 2 2 k 2 2 ⎝ ⎠ (t + a ) ⎝ ⎠ (t + a )

229

Неопределенный интеграл

Вычислим

Ik = ∫

dt

(t

2

+ a2 )

k

1 ⎧ ⎫ u dv = dt = 2 2 k ⎪⎪ ⎪⎪ (t + a ) t (t 2 + a 2 ) − a 2 =⎨ = + 2 k ⎬ 2 2 k ∫ (t 2 + a 2 )k +1 dt = k tdt 2 + ( t a ) ⎪ du = v=t ⎪ 2 2 k +1 ⎪⎩ ⎪⎭ (t + a ) =

t dt dt 2 k ka + 2 − 2 ∫ (t 2 + a 2 )k ∫ (t 2 + a 2 )k +1 . (t 2 + a 2 ) k

Имеем Ik =

t + 2kI k − 2ka 2 I k+1 ; 2 2 k (t + a )

I k +1 =

t 2ka 2 (t 2 + a 2 ) k

+

2k − 1 Ik . 2ka 2

Получена рекуррентная (возвратная) формула, выражающая значение интеграла от k + 1 - й степени через значение интеграла от k - й степени. Зная dt 1 t arctg I1 = ∫ 2 = + C , по формуле можно найти I 2 , затем, используя I 2 , t + a2 a a найти I 3 и т.д. Пример:

x −1

∫ x 2 + x + 1 dx . Правильная дробь типа 3. ⎧⎪ t = x 2 + x + 1 ⎫⎪ 1 x −1 2x +1 − 1 − 1/ 2 = dx ∫ x 2 + x + 1 ⎨⎪dt = (2 x + 1)dx ⎬⎪ = 2 ∫ x 2 + x + 1 dx + ∫ x 2 + x + 1 dx = ⎭ ⎩ 1 dt 3 dx = ∫ − ∫ 2 . 2 t 2 x + x + 1    

Ia

Ib

1 1 I a = ln t + C = ln x 2 + x + 1 + C , 2 2 ⎧v = x + 1 / 2,⎫ dx 3 3 dv =⎨ Ib = − ∫ =− ∫ = ⎬ 2 v2 + 3 / 2 2 2 ( x + 1 / 2 )2 + 3 / 4 ⎩ dv = dx ⎭ ( x + 1/ 2 ) ⋅ 2 + C . 3 2 =− ⋅ arctg 2 3 3 1 2x +1 +C . Ответ: ln x 2 + x + 1 − 3arctg 2 3

(

)

230

Лекции 5 - 6

6.1.2. Общая схема интегрирования рациональной дроби

Pm ( z )

∫ P ( z ) dz n

Pm ( z ) неправильная ( m ≥ n ), то путем деления числителя на Pn ( z ) знаменатель получают многочлен и правильную рациональную дробь. R (z) Pm ( z ) , где Ql ( z ) , R p ( z ) - многочлены степени l и p со= Ql ( z ) + p Pn ( z ) Pn ( z ) ответственно; Ql ( z ) - частное (целая часть дроби); l ≤ m, l + n = m R p ( z ) - остаток ( p
Если дробь

Пример: Вычислить ∫

(x

xdx

2

− 1) ( x − 2 )

Решение: Разлагаем правильную дробь

(x

x

2

− 1) ( x − 2 )

=

(x

x

2

− 1) ( x − 2 )

на сумму простейших:

A B C + + ; ( x-1) ( x + 1) ( x − 2 )

x = A( x + 1)( x − 2) + B( x − 1)( x − 2) + C ( x − 1)( x + 1) ; 1 x = 1:1 = −2 A, A = − ; 2 1 x = −1: −1 = B(−2)(−3), B = − ; 6 2 x = 2 : 2 = C (1)(3), C = . 3 x 1 1 2 =− − + . 2 ( x − 1)( x − 2) 2 ( x − 1) 6( x + 1) 3( x − 2) По свойству линейности: x 1 dx 1 dx 2 dx ∫ ( x 2 − 1)( x − 2) dx = − 2 ∫ x − 1 − 6 ∫ x + 1 + 3 ∫ x − 2 = 1 1 2 = − ln x − 1 − ln x + 1 + ln x − 2 + C . 2 6 3 Пример:

231

Неопределенный интеграл

x6 + 2 x4 + 2 x2 − 1 Вычислить ∫ dx . 2 x ( x 2 + 1) x6 + 2 x4 + 2 x2 − 1 x ( x 2 + 1)

2

- неправильная дробь.

Выделим целую часть: x6 + 2 x4 + 2 x2 − 1 x2 − 1 = + x . x( x 2 + 1) 2 x( x 2 + 1) 2 Разложим правильную дробь на сумму простейших x 2 -1 A B x + D1 B2 x + D2 . = + 12 + 2 2 x(x + 1) x ( x + 1) ( x 2 + 1)2 x 2 -1 = A(x 2 + 1) 2 + x (x 2 + 1) ⋅ ( B1 x + D1 ) + x ( B2 x + D2 ) ; x = 0 : −1 = A; x 4 : Ax 4 + B1 x 4 = 0, A + B1 = 0, B1 = 1; x3 : D1 = 0; x 2 : 2 A + B1 + B2 = 1, B2 = 2; x : D1 + D2 = 0, D2 = 0; x 2 -1 1 x 2x ; =− + 2 + 2 2 2 x(x + 1) x ( x + 1) (x + 1) 2

∫

x6 + 2 x4 + 2 x2 − 1 x ( x 2 + 1)

= ∫ xdx − ∫

2

dx =

dx x x +∫ 2 dx + 2∫ dx = 2 2 x ( x + 1) x + 1 ( )

2 d ( x 2 + 1) x2 1 d ( x + 1) = − ln x + ∫ + = 2 2 ( x 2 + 1) ∫ ( x 2 + 1) 2

=

x2 1 1 − ln x + ln ( x 2 + 1) − 2 +C. 2 2 ( x + 1)

232

Лекции 5 - 6

6.2. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции 6.2.1. Интегралы, содержащие произведение тригонометрических функций вида ∫ sin m xcos n xdx .

1. Пусть n и m - четные, неотрицательные числа. m = 2k , n = 2l , k , l ∈ Ν . В подынтегральной функции степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу: 1 + cos 2 x 1 − cos 2 x , sin 2 x = ; cos 2 x = 2 2 1 sin x cos x = sin 2 x . 2 Пример: 2

1 1 1 ⎛ 1 + cos 2 x ⎞ 2 4 ∫ cos xdx = ∫ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ dx = 4 ∫ dx + 2 ∫ cos 2 xdx + 4 ∫ cos 2 xdx = x 1 1 x 1 x 1 = + sin 2 x + ∫ (1 + cos 4 x ) dx = + sin 2 x + + sin 4 x + C . 4 4 8 4 4 8 32

Пример:

∫ sin

2

x cos 4 xdx = ∫ (sin x cos x ) 2 cos 2 xdx =

sin 2 2 x (1 + cos 2 x) 1 1 dx = ∫ sin 2 2 xdx + ∫ sin 2 2 x cos 2 xdx = 4 2 8  8     

 

I2 I1 x sin 4 x 1 1 − cos 4 x I1 = ∫ dx = − +C. 8 2 16 64 1 1 I 2 = ∫ sin 2 2 xd (sin 2 x) = sin 3 2 x + C . 16 48 x sin 4 x 1 = − + sin 3 2 x + C . 16 64 48

=∫

Пусть хотя бы одно из чисел n и m - нечетное положительное. От нечетной степени отщепляется один сомножитель и заносится под знак дифференциала d, а оставшаяся подынтегральная функция выражается через функцию, стоящую под знаком дифференциала по формуле sin 2 x + cos 2 x = 1 .

2.

233

Неопределенный интеграл

Пример:

∫ sin x cos xdx = ∫ sin x cos x cos xdx = = ∫ sin x cos xd sin x = ∫ sin x (1 − sin x ) 3

5

3

3

4

4

3

2

2

d sin x =

1 4 1 1 sin x − sin6 x + sin8 x + C ; 4 3 8 2 3 2 (1 − cos x ) d cos x = 1 ⋅ 1 − 1 + C . sin x sin x ⋅ sin xdx dx = = − 5 5 ∫ cos x ∫ cos x ∫ 4 cos 4 x 2 cos 2 x cos5 x

= ∫ (sin 3 x − 2 sin 5 x + sin 7 x ) d sin x =

3. Пусть n и m - таковы, что m + n = −2k , где k ∈ Ν , то есть сумма m + n является четным отрицательным целым. Используется подстановка tgx = t , с 1 использованием формулы: 1 + tg 2 x = . cos 2 x sin 3 xdx ⎧3 − 5 = −2 ⎫ sin 3 x dx tg 4 x 3 ∫ cos5 x = ⎨⎩ tgx = t ⎬⎭ = ∫ cos3 x cos2 x = ∫ tg x ⋅ d ( tg x ) = 4 + C

6.2.2. Интегралы вида ∫ cosαx cosβxdx ; ∫ cosαx sinβxdx ; ∫ sinαx sinβxdx .

Для вычисления следует перейти к сумме функций и сумме интегралов:

cosα x cos β x =

1 ⎡cos (α − β ) x + cos (α + β ) x ⎤⎦ , 2⎣

cos α x sin β x =

1 ⎡ sin (α − β ) x + sin (α + β ) x ⎤⎦ , 2⎣

1 sin α x sin β x = [cos (α − β ) x − cos (α + β ) x ] . 2

6.2.3. Универсальная тригонометрическая подстановка Интегралы вида ∫ R(sin x , cos x )dx , где R ( sin x ,cos x ) = R ( u ,v ) – рацио-

нальная функция двух переменных, u = sin x ,v = cos x , вычисляются с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки x x t = tg . Подстановка t = tg сводит указанный интеграл к интегралу от 2 2 дробно-рациональной функции от одной переменной t .

234

Лекции 5 - 6

Рассмотрим:

x x x x x 2 sin cos 2 sin cos 2tg 2 2 = 2 2 = 2 = 2t ; sin x = x x x⎛ x⎞ 1 + t2 2 x cos 2 + sin 2 cos 2 ⎜ 1 + tg 2 ⎟ 1 + tg 2 2 2 2⎝ 2⎠ x x cos 2 x ⎛1 − tg 2 x ⎞ − sin 2 2 ⎜ ⎟ 2⎝ 2 ⎠ 1− t 2 2 ; = = cos x = 2 + 1 t 2 x 2 x 2 x⎛ 2 x⎞ cos + sin cos ⎜1 + tg ⎟ 2 2 2⎝ 2⎠ cos 2

x = 2arctgt, dx =

2dt . 1+ t2

Формулы универсальной тригонометрической подстановки имеют вид:

2t 2 dt 2t 1 − t2 ; tgx = ; dx = ; sin x = ; cos x = 2 2 2 1 − t2 1+ t 1+ t 1+ t ⎛ 2 t 1 − t 2 ⎞ 2 dt ∫ R (sin x,cos x ) dx = ∫ R ⎝⎜ 1 + t 2 ; 1 + t 2 ⎠⎟ 1 + t 2 . Пример: dx

⎧

x

∫ sin x = ⎨⎩t = tg 2 , =∫

2dt (1 + t 2 )

(1 + t ) 2t 2

=∫

dx =

2dt 2t ⎫ , sin x = ⎬= 2 1+ t 1+ t2 ⎭

dt x = ln tg + C. t 2

Пример: x ⎧ ⎫ ⎪t = tg 2 ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪cos x = 1 − t ⎪ dx ⎪⎪ 1 + t 2 ⎪⎪ = = ⎬ ∫ 4 cos x + 3 sin x + 5 ⎨ ⎪sin x = 2t ⎪ ⎪ 1+ t2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪dx = 2dt2 ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ 1+ t

235

Неопределенный интеграл

2dt 2dt 2dt 1+ t2 =∫ =∫ = = 2 2 1− t 2t 1+ t 4 − 4t 2 + 6t + 5 + 5t 2 ∫ t 2 + 6t + 9 +3 +5 4 1+ t2 1+ t2 1+ t2 dt 2 2 = 2∫ =− +C = − + C. 2 x (t + 3) t+3 tg + 3 2

!

Если подынтегральная функция R ( sin x , cos x ) является четной функциx ей sin x , cos x , то более эффективной, чем подстановка t = tg , является 2 подстановка t = tgx .

Пример:

∫a

2

1 dx dx =∫ = 2 2 2 2 2 2 2 sin x + b cos x cos x ( a tg x + b ) a 2

= {t = tgx} =

1 a2

∫

∫

dtgx = b2 2 tg x + 2 a

dt at 1 = arctg + C = 2 b ab b t2 + 2 a

1 a ⋅ tgx arctg +C ab b Вообще говоря, перечисленные методы не исчерпывают всех способов вычисления интегралов от тригонометрических функций. =

Пример: ⎧ sin x = t ⎫ dx cos x cos x = = dx = dx ⎨ ⎬= 2 2 ∫ cos x ∫ cos x ∫ 1 − sin x ⎩ dt = cos xdx ⎭ 1 1 dt 1 dt dt 1 1 + t + (1 − t ) ∫ 1 − t 2 = 2 ∫ (1 + t )(1 − t ) dt = 2 ∫ 1 − t + 2 ∫ 1 + t = − 2 ln t − 1 +

1 1 1+ t 1 1 + sin x + ln 1 + t + C = ln + C = ln +C = 2 2 t −1 2 sin x − 1 2

x x⎞ ⎛ ⎜ sin + cos ⎟ 1 2 2⎠ ⎛x π⎞ = ln ⎝ + C = ln tg⎜ + ⎟ + C. 2 2 ⎛ ⎝2 4⎠ x x⎞ ⎜ sin − cos ⎟ 2 2⎠ ⎝ ⇒∫

dx ⎛x π⎞ = ln tg⎜ + ⎟ + C. cos x ⎝2 4⎠

236

Лекции 5 - 6

6.3. Интегрирование иррациональных выражений 6.3.1. Линейные иррациональности Рассмотрим интегралы вида mk m1 m2 ⎧⎪ ⎫ nk ⎪ n1 n2 R x , ( ax + b ) , ( ax + b ) ,..., ( ax + b ) ⎬ dx , ∫ ⎨⎪ ⎪⎭ ⎩

mi ni

где (ax + b) - линейные иррациональности-корни порядка ni, а R (x, y,z,...) дробно-рациональная функция своих аргументов. m1 m2 m Пусть S – общий знаменатель дробей , , ..., k , тогда подстановка n1 n2 nk

t s = ax + b сводит указанный интеграл к интегралу от дробно-рациональной функции одного аргумента. Пример:

∫

⎧1 3 ⎫ t4 +1 4 , S = 4, t = 2 x − 1 ; x = ; dx = 2t 3 dt ⎬ = dx = ⎨ , 3 4 2 (2 x -1) + 1 ⎩2 4 ⎭ (2 x -1)

t 2 2t 3dt t 2 (t 3 + 1 − 1) t 2 dt 2 dt t dt = 2 = 2 2 ∫ t3 + 1 ∫ ∫ t3 + 1 = t3 + 1 3 3 2 2 dt 3 2 2 2 2 = t3 − ∫ 3 = t 3 - ln t 3 + 1 + c = = (2 x -1) 4 − ln (2 x -1) 4 + 1 + c . 3 3 t +1 3 3 3 3

=∫

6.3.2. Дробно-линейные иррациональности mk m1 ⎛ ⎞ n nk 1 + + ax b ax b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ Интегралы вида ∫ R ⎜ x ,⎜ , ... ,⎜ ⎟ ⎟ dx , где R( x , y ,...) – ⎜ ⎝ cx + d ⎠⎟ + cx d ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ дробно-рациональная функция, вычисляются при помощи подстановки ax + b S m m = t , где S – общий знаменатель дробей 1 ,..., k . cx + d n1 nk

Пример: 1

∫ (1 + x)

2

1+ x dx = 1-x

237

Неопределенный интеграл

⎧1 + x 2 ⎫ 2 2 2 2 2 2 ⎪⎪ 1-x = t , 1 + x = t − xt , x + xt = t − 1, x (1 + t ) = t − 1, ⎪⎪ =⎨ ⎬= 2 2 ⎪ x = t − 1 , x = t + 1 − 2 = 1 + −2 , dx = 4t dt ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ 1 + t2 1 + t2 1 + t2 (1 + t 2 ) 2 1 4tdt 4t 2 dt =∫ ⋅ t ⋅ = = 2 (1 + t 2 ) 2 ∫ (t 2 + 1 + t 2 − 1) 2 ⎛ t 2 −1 ⎞ ⎜1 + 2 ⎟ ⎝ t +1⎠ 4t 2 dt dt 1 1-x = ∫ 2 2 = ∫ 2 = − +c =+c. (2t ) t t 1+ x

6.3.3. Квадратичные иррациональности - тригонометрические подстановки Интегралы вида

)

∫ R ( x,

ax 2 + bx + c dx , где

ax 2 + bx + c - квадратичная

иррациональность, а R( u ,v ) - дробно-рациональная функция своих аргументов, выделением полного квадрата в квадратном трехчлене и заменой b u= x+ приводятся к интегралу одного из следующих трех типов: 2a 1) R u , l 2 − u 2 du ;

∫

2) 3)

(

∫ R ( u, ∫ R ( u,

)

) ) du ,

l 2 + u 2 du ; u2 − l2

к которым применяют тригонометрические подстановки соответственно: 1) u = l sin t или u = l th t , 2) u = l tg t или u = l sh t , l 3) u = или u = l ch t , cos t после чего подынтегральная функция сводится к тригонометрической. Пример:

∫

5 + 2 x - x 2 dx = ∫ 5 − ( x 2 − 2 x )dx =

∫

5 - ( x -1) 2 + 1 dx = ∫ 6 - ( x -1) 2 dx =

⎧ x -1 = u ⎫ 2 =⎨ ⎬ = ∫ 6 - u du = ⎩ dx = du ⎭ u ⎫ ⎧ = ⎨u = 6 sin t , du = 6 cos t dt ; t = arcsin ⎬= 6⎭ ⎩

= ∫ 6 - 6 sin 2 t

6 cos t dt = 6∫ cos2 t dt =

6 (1 + cos 2t )dt = 2∫

238

Лекции 5 - 6

3 x -1 3 x -1 + sin 2 arcsin +c = sin 2t + c = 3 arcsin 2 6 2 6 x -1 3 = 3arcsin + sin 2α + c = {sin 2α = 2 sin α cos α } = 6 2

= 3t +

x -1 3 x -1 ( x -1) 2 = 3arcsin + 2 1− +c. 6 6 2 6

Частные случаи квадратичных иррациональностей dx 1. Интегралы вида ∫ выделением полного квадрата в знамеax 2 + bx + c нателе сводятся к табличным. Пример:

dx

∫ =∫

2.

x + 2x + 5 d ( x + 1) 2

=∫

( x + 1) + 2 2

Для интегралов вида

dx x + 2x + 1+ 4 2

=

= ln x + 1 + x 2 + 2 x + 5 + c

2

∫

Ax + B

dx в числителе выделяется произ-

ax + bx + c водная квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, и интеграл сводится к табличному, либо рассмотренному ранее. 2

Пример:

∫

5x - 3

dx = 2 x2 + 8x + 1 5 (4 x + 8) -13 =∫4 dx = 2 x2 + 8x + 1 5 d (2 x 2 + 8 x + 1) = ∫ − 4 2 x2 + 8x + 1

dx 5 (4 x + 8)dx = -13∫ ∫ 4 2 x2 + 8x + 1 2 x2 + 8x + 1 13 dx = ∫ 2 1 x2 + 4 x + + 4 − 4 2 5 13 d ( x + 2) = 2 2 x2 + 8x + 1 − = ∫ 4 2 7 2 ( x + 2) − 2 =

5 13 1 2 2 x2 + 8x + 1 − ln x + 2 + x 2 + 4 x + + c . 4 2 2

239

Неопределенный интеграл

Пример:

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ dt x = atg t , ⎪ ⎪ a ⎪ ⎪ dx dt cos 2 t = ∫ 2 2 3 / 2 = ⎨ dx = a cos 2 t , ⎬ = ∫ 3 ⎪ ⎪ x +a ⎛ a2 ⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎪ 2 a ⎪ 2 ⎜ cos 2 t ⎟ ⎪x + a = ⎪ ⎝ ⎠ cos 2 t ⎭ ⎩ 1 1 = 2 ∫ cos t dt = 2 sint + C = = {возвращаемся к старой переменной} = a a 1 tg t x = 2 +c = +c. a 1 + tg 2t a2 a2 + x2

!

(

)

Интегралы

вида

∫ ( x − a)

dx k

ax + bx + c 2

,

где

k ≤ 2 , подстановкой

1 1 x − a = ; dx = − 2 dt приводятся к предыдущему случаю. t t Пример:

∫x

1 -1 ⎧ = ⎨ x = ; dx = 2 dt; t = t t x2 + 1 ⎩

dx

1⎫ ⎬= x⎭

1 dt 2 dt dt t = ∫ = −∫ 2 = −∫ = − ln t + 1 + t 2 + c = 2 t 1 1 1+ t 1+ t2 +1 2 2 t t t -

− ln

1 1 + 1+ 2 + c . x x

6.3.4. Интегрирование дифференциальных биномов

(

Выражение вида x m a + bx n

)

p

dx , где m,n , p - рациональные дроби,

a ,b − const , называется дифференциальным биномом.

Т

Интеграл от дифференциального бинома приводится к интегралу от рациональной функции в трех случаях подстановками Чебышева. В остальных случаях интеграл не вычисляется через элементарные функции. Случай 1: p - целое число.

240

Лекции 5 - 6

Используется подстановка x = t s , где s – НОК знаменателей дробей m и n (НОК - наименьшее общее кратное). m+1 - целое число. Случай 2: n Используется подстановка a + bx n = t s , где s – знаменатель дроби p . m+1 + p - целое число. Случай 3: n Используется подстановка ax − n + b = t s , где s – знаменатель дроби p . Пример: dx

∫x

1

= ∫ x −1 (1 + x 2 ) 2 dx , −

1 m = −1, n = 2, p = − . 2

x2 + 1 m+1 = 0 - целое - случай 2, используется замена n ⎧ 2tdt ⎫ 2 2 2 2 2 ⎨1 + x = t , x = t − 1, x = t − 1, dx = ⎬. 2 − 2 1 t ⎩ ⎭ 1 t +1 t ⋅ dt dt dt ∫ t 2 − 1 t 2 − 1 ⋅ t = ∫ t 2 − 1 = −∫ 1 − t 2 = − 2 ln t − 1 + c =

t −1 + c = ln t +1

= ln

x2 + 1 − 1 x2 + 1 + 1

+ c.

6.3.5. Метод неопределенных коэффициентов для интегрирования иррациональностей Pn ( x ) В общем случае интегралы вида ∫ можно вычислить, исax 2 + bx + c пользуя следующую формулу: Pn ( x ) dx 2 ∫ ax 2 + bx + c dx = Qn−1 ( x ) ax + bx + c + λ ∫ ax 2 + bx + c , где Qn−1 ( x ) - многочлен степени n-1 с коэффициентами, подлежащими определению. Число λ и неопределенные коэффициенты многочлена Qn−1 ( x ) находятся дифференцированием вышеприведенной формулы. Пример:

∫

x2 x + x +1 2

dx = ( Ax + B) x 2 + x + 1 + λ ∫

Дифференцируем по х

dx x + x +1 2

.

241

Неопределенный интеграл

x2

= A x2 + x + 1 +

( Ax + B ) ( 2 x + 1)

x + x +1 2 x + x +1 Находим неопределенные коэффициенты. 2

2

+λ

1 x + x +1 2

.

1⎞ ⎛ x 2 = A ( x 2 + x + 1) + ( Ax + B ) ⎜ x + ⎟ + λ . 2⎠ ⎝ x 2 : 2 A = 1; x : A + B +

A B = 0; x 0 : A + + λ = 0, 2 2

1 3A 3 1 A= , B =− =− , λ=− . 8 2 2 4

∫

x2dx

dx 3⎞ 1 ⎛1 = ⎜ x − ⎟ x2 + x + 1 − ∫ = 2 4⎠ 8 x + x +1 x + x +1 ⎝ 2 2

3⎞ 2 1 1 ⎛1 2 ⎜ x − ⎟ x + x + 1 − ln x + + x + x + 1 + C . 2 4 8 2 ⎝ ⎠

!

Интегралы виды

∫ ( x − a)

dx k

ax 2 + bx + c

, где k – любое, подстановкой

1 1 x − a = , dx = − 2 dt приводятся к предыдущему случаю. t t Пример:

∫ ( x − 1)

1 1 ⎫ ⎧ = ⎨ x − 1 = ; dx = − 2 dt ⎬ = t t ⎭ x + 3x + 1 ⎩

dx 3

2

t 3dt

= −∫

2

t

2

⎛1+ t ⎞ ⎛1+ t ⎞ ⎜ ⎟ + 3⎜ ⎟ +1 ⎝ t ⎠ ⎝ t ⎠

=−∫

t 2 dt 5t 2 + 5t + 1

=

3 ⎞ A dt ⎛ t . = − ⎜ − ⎟ 5t 2 + 5t + 1 + ∫ 10 ⎝ 10 20 ⎠ 5t 2 + 5t + 1

6.3.6. Подстановки Эйлера В общем случае интегралы вида

∫ R(x,

ax 2 + bx + c )dx можно вычис-

лить, используя подстановки Эйлера. Указанные подстановки классифицируются по виду коэффициентов a, b, c. Предполагается, что квадратный трехчлен не имеет равных действительных корней, так что корень из него не может быть заменен рациональным выражением.

242

Лекции 5 - 6

Первая подстановка Эйлера: a > 0 Используется замена ax 2 + bx + c = t ± a x . Выберем для определенности знак +. Возведем в квадрат и выразим t2 − c . Поскольку x - рациональная функция от t, то dx и t + a x есть x= b − 2t a также рациональные функции от t. Пример:

dx

∫

x +1 2

x=

; x 2 + 1 = x + t; x 2 + 1 = x 2 + 2 xt + t 2 ,

1 − t2 1 t 1 + t2 ⎛ 1 1⎞ = − ; dx = ⎜ − 2 − ⎟ dt = − 2 dt , 2t 2t 2 2⎠ 2t ⎝ 2t

x2 + 1 =

1− t2 1 − t 2 + 2t 2 1 + t 2 +t = = . 2t 2t 2t

1+ t2 dt 2 dt 1 − ∫ 2t 2 = − ∫ = − ln t + c = ln +c. 2 1+ t t x +1 − x 2t Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби под знаком лога-

x 2 + 1 + x , то-

рифма, умножив числитель и знаменатель на выражение

1

гда: ln

x +1 − x 2

= ln

(

x2 + 1 + x

)

2

= ln

x2 + 1 − x2

(

)

x2 + 1 + x .

Вторая подстановка Эйлера: c>0 Используется замена ax 2 + bx + c = xt ± c . Выберем для определенности знак «+». Пример:

∫

dx 1+ x

2

; 1 + x 2 = xt + 1 , 1 + x 2 = x 2t 2 + 2 xt + 1; x 2 = x 2t 2 + 2 xt ; x = xt 2 + 2t ,

2 (1 − t ) + 2t ⋅ 2t 2 (1 + t ) 2t 2 − 2t 2 + 4t 2 = = = ; x= dx dt dt dt , 2 2 2 1− t 2 (1 − t 2 ) (1 − t 2 ) (1 − t 2 ) 2

1 + x2 =

∫

dx 1+ x

2

2

t ⋅ 2t 2t 2 + 1 − t 2 1 + t 2 + 1 = = , 1− t2 1− t2 1− t2 =∫

2 (1 + t 2 ) dt

(1 − t 2 ) 2

(1 + t ) (1 − t 2 ) 2

= 2∫

dt t +1 = ln = 2 1− t t −1

243

Неопределенный интеграл

x2 + 1 − 1 +1 x = ln x2 + 1 − 1 −1 x

= ln

x2 + 1 − 1 + x x2 + 1 − 1 − x

.

Третья подстановка Эйлера В этом случае квадратный трехчлен имеет действительные корни α и β . Используется замена

ax 2 + bx + c = ( x − α ) t .

Пример:

∫

dx x −1 2

; x 2 − 1 = ( x − 1)( x + 1) ,

( x − 1)( x + 1) = ( x − 1) t2 =

x +1 ;t = x −1

2

x 2 − 1 = ( x − 1) t ,

t 2 , ( x + 1) = ( x − 1) t 2 ,

x +1 ; x + 1 = xt 2 − t 2 , x −1

2t ( t 2 − 1) − 2 ( t 2 + 1) t2 +1 4t x = 2 ; dx = dt = − dt , 2 2 2 2 t −1 − − 1 1 t t ( ) ( ) ⎛ t 2 +1 ⎞ 2t x2 − 1 = ( x −1) t = ⎜ 2 − 1⎟ t = 2 , ⎝ t −1 ⎠ t −1 −4t dt 2 t 2 − 1) ( dx dt dt ∫ x2 −1 = ∫ 2t = −2∫ t2 −1 = 2∫ 1 − t2 = ( t2 −1)

2 t +1 = ln = ln 2 t −1

x +1 +1 x −1 = ln x +1 −1 x −1

x +1 + x −1 x +1 − x −1

(

=

)

2 x + x2 − 1 x − 1 + 2 x2 − 1 + x + 1 = ln = ln = ln x + x 2 − 1 + c . x +1− x +1 2

!

На самом деле во всех возможных случаях достаточны первая и третья подстановки. Действительно, если квадратный трехчлен имеет действительные корни, то применима третья подстановка. Если действительных корней

нет,

т.е.

дискриминант

b 2 − 4 ac < 0 ,

то

трехчлен

244

Лекции 5 - 6

1 ( ax + b )2 − ( b 2 − 4 ac )) при всех значениях x имеет знак a. ( 4a Случай a<0 нас не интересует, так как радикал в этом случае вовсе не имеет вещественных значений, значит проходит первая подстановка для a>0. ax 2 + bx + c =

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студенты должны знать: ƒ таблицу основных интегралов; ƒ основные методы интегрирования (непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям). Студент должен уметь: ƒ вычислять интегралы от основных типов функций (рациональные дроби, выражения, содержащие тригонометрические функции, иррациональные выражения).

Лекции 7 - 8 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Развитая в прошлой лекции техника вычисления первообразных находит конкретные геометрические и механические приложения в виде определенного интеграла, вычисление которого через основную формулу интегрального исчисления (формулу Ньютона – Лейбница) сводится к вычислению первообразных.

7.1. Определенный интеграл и его свойства/ Основные определения 7.2. Геометрический смысл определенного интеграла 7.3. Теоремы существования 7.4. Свойства определенного интеграла 7.5. Формула Ньютона-Лейбница 7.6. Замена переменной в определенном интеграле 7.6.1. Интегралы от четных и нечетных функций 7.7. Интегрирование по частям 8.1. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур 8.1.1. Вычисление площади в прямоугольных координатах 8.1.2. Параметрическое задание линий 8.1.3. Вычисление площадей, фигур, граница которых задана кривыми в параметрической форме 8.1.4. Полярные координаты на плоскости 8.1.5. Связь полярных координат с декартовыми 8.1.6. Примеры уравнений линий в полярной системе координат 8.1.7. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат 8.2. Вычисление длины дуги кривой 8.2.1. Вычисление длины плоской кривой в прямоугольных координатах 8.2.2. Вычисление длины плоской кривой в параметрической форме 8.2.3. Вычисление длины дуги пространственной кривой в параметрической форме 8.2.4. Дифференциал длины дуги кривой 8.2.5. Длина кривой, заданной в полярных координатах 8.2.6. Площадь поверхности вращения 8.3. Вычисление объемов тел 8.3.1. Вычисление объемов по заданным площадям поперечных сечений 8.3.2. Вычисление объемов тел вращения

246

Лекции 7 - 8

7.1. Определенный интеграл и его свойства. Основные определения О

Пусть на [ a , b ] задана непрерывная функция f ( x ) . Разобьем [ a , b ] на n частей точками деления: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b . Обозначим: + x1 = x1 − x0 , + x2 = x2 − x1 ,… + xi = xi − xi −1 …. В каждом из отрезков [ xi −1 , xi ] возьмем по точке ξi ∈ [ xi −1 , xi ] .

y + +

x 0ξ1 x1

...

x

x n −1x n

–

Рис. 1.1

n

Составим сумму: Sn = f (ξ1 )+ x1 + f (ξ 2 )+ x2 + ... + f (ξ n )+ xn = ∑ f (ξi )+ xi . i =1

Геометрически S n есть алгебраическая сумма площадей прямоугольников, имеющих основания ∆хi и высоты f (ξi). S n называют интегральной суммой для f ( x ) на [ a , b ] . S n зависит от способа разбиения [ a , b ] на отрезки [ xi −1 , xi ] и от выбора точек ξi внутри [ xi −1 , xi ] . Каждому разбиению соответствует своя S n . Таким образом, получается последовательность {S n } . Обозначим max+ xi - наибольшую из длин отрезков разбиения и устремим max+ xi → 0 . О

Если при любых разбиениях [ a , b ] таких, что max+ xi → 0 , и при любом n

выборе точек ξi Sn = ∑ f (ξi )+ xi стремится к одному пределу S, то этот i =1

предел называется определенным интегралом от f ( x ) на [ a , b ] и обоb

значается

∫ f ( x ) dx . Таким образом, по определению a

b

∫ a

f ( x ) dx = lim

max + xi → 0

n

∑ f ( ξ )+ x ; i =1

i

i

а называется нижним пределом интеграла, b – верхним пределом. О

Если ∃

b

∫ f ( x ) dx , то f ( x ) называется интегрируемой на [ a , b] . a

247

Определенный интеграл

7.2. Геометрический смысл определенного интеграла b

Геометрически определённый интеграл

∫ f ( x ) dx представляет собой алa

гебраическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции у =f(х), осью Ох и прямыми х = а и х = b, причем площади, расположенные выше оси Ох, входят со знаком плюс, а площади, расположенные ниже оси Ох, - со знаком минус.

7.3. Теоремы существования Т Т Т

Если f ( x ) непрерывна на [ a , b ] , то она интегрируема на [ a , b ] . Если f ( x ) кусочно-непрерывна на [ a , b ] (имеется конечное число точек разрыва первого рода), то она интегрируема на [ a , b ] . Если f ( x ) монотонна на [ a , b ] , то она интегрируема на [ a , b ] . b

!

В определении

∫ f ( x ) dx

пределы удовлетворяют ограничению a < b .

a

Снимем это ограничение. Если a < b , то

b

∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx . a

a

также

∫ f ( x ) dx = 0 . a

Пример: b

Вычислить ∫ kxdx как предел интегральных сумм. a

Решение: b−a + xi = =+ x ; n x0 = a; x1 = x0 ++ x; x2 = x1 ++ x = x0 + 2+ x. Пусть ξi = xi −1 (левые концы каждого отрезка)

ξ1 = x0 ; ξ 2 = x1 и так далее. n

n

i =1

i =1

Sn = ∑ f (ξi )+ xi = ∑ kxi −1 ⋅ =

b − a k (b − a ) n = xi −1 = ∑ n n i =1

k (b − a ) ⎛ (b − a ) ⎞ = ∑ ⎜ a + ( i − 1) ⎟ n n ⎠ i ⎝

a

b

Пусть

248

Лекции 7 - 8

k (b − a ) ⎡ ⎤ k (b − a ) ⎡ (b − a ) ( b − a ) n ( n − 1) ⎤ ( i − 1)⎥ = ∑ ⎢∑ a + ⎢ na + ⎥= n n n n 2 ⎦ i ⎣ i ⎦ ⎣ 2 2 k ( b − a ) {an + bn − ( b − a ) n} = . n 2n b k k Пусть n → ∞ ( + x → 0 ) , lim Sn = ( b 2 − a 2 ) , ∫ kxdx = ( b 2 − a 2 ) n →∞ 2 2 a =

7.4. Свойства определенного интеграла 1.

Независимость величины интеграла от обозначения переменной интегрирования:

2.

b

b

a

a

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt .

Линейность определенного интеграла. Если f1 и f 2 интегрируемы на [ a ,b ] и А, В – произвольные числа, то b

b

b

a

a

a

∫ [ Af1 + Bf 2 ] dx = A∫ f1dx + B ∫ f2 dx . Доказательство: Для интеграла в левой части n

Sn = ∑ ⎡⎣ Af1 (ξi ) + Bf 2 (ξi )⎤⎦+ xi = i =1

n

n

= ∑ Af1 (ξi )+ xi + ∑ Bf 2 (ξi )+ xi = i =1

i =1

n

n

= A∑ f1 (ξi )+ xi + B ∑ f 2 (ξi )+xi . i =1

По

условию

i =1

b

n

∑ f (ξ )+ x i =1

1

i

→ ∫ f1 ( x ) dx ,

i

a

n

∑ f (ξ )+ x i =1

b

Таким образом, ∃ lim

max + xi → 0

b

вой части

∫ [ Af a

3.

1

2

i

i

b

→ ∫ f 2 ( x ) dx . a

b

правой части A∫ f1dx + B ∫ f 2 dx ⇒ ∃ lim a

b

b

a

a

a

max + xi → 0

ле-

+ Bf 2 ] dx = A∫ f1dx + B ∫ f 2 dx , что и требовалось доказать.

Аддитивность (разбиение промежутка интегрирования на части). Для любых трех чисел a , b , c справедливо равенство: b

c

b

a

a

c

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx при условии, что все три интеграла существуют.

249

Определенный интеграл

Доказательство: Пусть a < c < b . Составим

b

∑

b

для

a

c

∑

c

b

∫ ∑

соответствует

;

a

где c - точка деления [ a , b ] .

∫ a

b

,

c

a

дем к пределу при max+ xi → 0 :

∫

Если a < b < c , то

a

b

c

a

b

=∫ +∫ ;

b

∫ a

c

b

a

c

=∑ +∑

a

c c

b

⇒ перей-

b

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . a

c

b

∫ ∑

соответствует

a

c

c

c

c

b

a

b

a

c

=∫ −∫ =∫ +∫ .

Теоремы об оценке определенного интеграла Т

Сохранение интегралом знака функции. Пусть 1) f ( x ) интегрируема на [ a , b ] ; 2) f ( x ) ≥ 0 для любых x ∈ [ a ,b ] , тогда

b

∫ f ( x ) dx ≥ 0 . a

Доказательство: n

Sn = ∑ f (ξi )+ xi ≥ 0 ⇒ lim Sn ≥ 0 , то есть n →∞

i =1

b

∫ f ( x ) dx ≥ 0 , что и требовалось a

доказать. Т

Интегрирование неравенств. Пусть 1) f ( x ) , g ( x ) интегрируемы на [ a , b ] ; 2) f ( x ) ≥ g ( x ) для любых x ∈ [ a ,b ] , тогда:

b

b

a

a

∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx .

Доказательство: b

f ( x ) − g ( x ) ≥ 0 ⇒ ∫ ⎡⎣ f ( x ) − g ( x ) ⎤⎦ dx ≥ 0 . a

b

b

b

b

a

a

a

a

∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx ≥ 0 ⇒ ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx Т

Теорема об оценке. Пусть 1) f ( x ) интегрируема на [ a , b ] ; 2) m и M -наименьшее и наибольшее значения функции f ( x ) , тогда b

m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) . a

250

Лекции 7 - 8

Доказательство: Из условия теоремы m ≤ f ( x ) ≤ M . Интегрируем неравенство 1: b

b

b

∫ mdx ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ Mdx . a

a

a

b

b

a

a

Из линейности ∫ mdx = m ∫ dx = m ( b − a ) . Т

Теорема о среднем. Если f ( x ) непрерывна на [ a ,b ] , то ∃c ∈ [ a ,b ] такая, b

что

∫ f ( x ) dx = ( b − a ) f ( c ) . a

Доказательство: b

Из

теоремы

об

1 m≤ f ( x ) dx ≤ M , ( b − a ) ∫a

оценке

то

есть

b

1 f ( x ) dx = µ , где m ≤ µ ≤ M . ( b − a ) ∫a

Так как f ( x ) непрерывна, то она принимает все промежуточные значе-

ния между m и M. Следовательно, при некотором значении с ( c ∈ [ a ,b ]) b

f ( c ) = µ , то есть

∫ f ( x ) dx = ( b − a ) f ( c ) . a

b

!

1 Число f ( c ) = f ( x ) dx называется средним значением функции ( b - a ) ∫a f ( x ) на отрезке [ a , b ] .

Пример: 1

Оценить интеграл ∫ 0

dx 1+ x 4

.

Решение: Имеем 1 ≤ 1 + х4 ≤ 2 при 0 ≤ х ≤ 1, 1 2

≤

1 1+ x 4 1

т.е. m =

2

≤ 1,

, М = 1, b − а = 1.

Следовательно,

1 2

1

≤ ∫ 0

dx 1+ x 4

≤ 1.

251

Определенный интеграл

Пример: 1

Определить знак интеграла

∫ x e dx , не вычисляя его. 3 x

−1

Решение: 1

0

1

−1

−1

0

Разобьём интеграл на два ∫ x 3 exdx = ∫ x 3 exdx + ∫ x 3 exdx = ={поменяем в первом интеграле пределы}= −1

1

0

0

= − ∫ x 3 ехdx + ∫ x 3 ехdx = ={заменим в первом интеграле х → (−х), тогда:}= 1

1

1

1

0

0

0

0

= − ∫ (− x )3 е−х d(−x) + ∫ x 3 ехdx = − ∫ x 3 e−xdx + ∫ x 3 ехdx = 1

= ∫ x 3 (ex − e−x) dx, на отрезке х∈[0, 1], х3 ≥ 0, ех − е−х ≥ 0, 0

1

следовательно, ∫ x 3 (ex − e−x) dx ≥ 0, т.е. знак интеграла - плюс. 0

Производная интеграла по верхнему пределу (теорема Барроу) Рассмотрим некоторый промежуток [ a , b ] , f ( x ) - функция, интегрируемая на [ a , b ] , d – фиксированная точка из [ a ,b ] , х – любая точка из [ a , b ] . Из интегрируемости f ( x ) на [ a , b ] следует интегрируемость f ( x ) на [ d , x ] . Есx

ли верхний предел меняется, то меняется и значение интеграла

∫ f ( t ) dt , т.е. d

x

можно сказать, что на [ a , b ] задана функция F ( x ) : F ( x ) = ∫ f ( t ) dt . d

О

Т

Функция F ( x ) называется интегралом с переменным верхним пределом. ⎧x ⎫′ Если f ( x ) непрерывна на [ a , b ] , то F ′ ( x ) = ⎨ ∫ f ( t ) dt ⎬ = f ( x ) - произ⎩d ⎭ водная от интеграла по переменному верхнему пределу равна результату подстановки значения верхнего предела в подынтегральную функцию f ( x ) . Доказательство: F ( x ++ x ) − F ( x ) По определению производной F ′ ( x ) = lim + x →0 +x

252

Лекции 7 - 8

F ( x ++ x ) − F ( x ) =

x ++ x

x

∫ f ( t ) dt − ∫ f ( t ) dt d

d

x

x ++ x

x

x ++ x

d

x

d

x

= ∫ f ( t ) dt +

= {из свойства аддитивности}=

∫ f ( t ) dt − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = f ( µ )+ x , x < µ < x ++ x ,

F ( x ++ x ) − F ( x )

= lim f ( µ ) , так как + x →0 +x lim f ( µ ) = lim f ( µ ) = f ( x ) ⇒ F ′ ( x ) = f ( x ) . lim

+ x→0

при

+x → 0 ,

то

µ→x

+ x →0

Т

µ→x

Теорема Коши. Всякая непрерывная на [ a , b ] функция f ( x ) имеет в x

этой области первообразную F ( x ) = ∫ f ( t ) dt или, так как первообразная a

x

определяется с точностью до константы, F ( x ) = ∫ f ( t ) dt + C , C − const . a

!

(Обобщение теоремы Барроу). Если функции ϕ ( x ) и ψ ( x ) дифферен-

цируемы в точке х ∈ [ a , b ] и f ( t ) непрерывна при ϕ ( a ) ≤ t ≤ ψ ( b ) , то

⎛ψ ( x) ⎞′ ⎜ ∫ f ( t ) dt ⎟ = f (ψ ( x ) )ψ ′ ( x ) − f (ϕ ( x ) ) ϕ ′ ( x ) . ⎜ ϕ ( x) ⎟ ⎝ ⎠x Пример: x2

2

I(х) = ∫ e −t dt, найти I′(х). 0

Решение: Учтём ϕ(х) = 0, т.е. ϕ′(х) = 0, ψ(х) = х2.

4 2 2 I′(х) = e − (x ) (х2)′ = 2х e − x .

7.5. Формула Ньютона-Лейбница Т

Пусть f ( x ) непрерывна на [ a , b ] , тогда b

∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) = F ( x )

b a

.

a

Доказательство: По теореме Коши из условия непрерывности f ( x ) следует существоваx

ние F ( x ) = ∫ f ( t ) dt + C . a

253

Определенный интеграл a

Положим, x = a ⇒ F ( a ) = ∫ f ( t ) dt + C , то есть C = F ( a ) . Положим, a

b

x = b ⇒ F ( b ) = ∫ f ( t ) dt + F ( a ) ⇒ a

b

b

a

a

∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) , что и

требовалось. Таким образом, для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции f ( x ) нужно: 1) не обращая внимания на пределы интегрирования найти первообразную F ( x ) для подынтегральной функции (по правилам вычисления неопределенного интеграла); 2) вычислить F ( b ) − F ( a ) . Пример: b

b

1) ∫ kxdx = k ∫ xdx = k a

a

π

2) ∫ sin xdx = − cos x

π 0

x2 2

b a

=

k 2 (b − a2 ) . 2

= − cos π + cos 0 = 2 .

0

Пример: e2

dx

Вычислить ∫ . x ln x e Решение: e2

∫ e

dx = x ln x

e2

∫ e

d (ln x ) = ln ln x ln x

e2 e

= ln(ln e2) − ln(ln e) = ln 2 ≈ 0,69.

Пример: π

4

dx

Вычислить ∫ 2 . π cos x 6

Решение: π

4

6

π

dx

∫ π cos

2

x

= tgx π 4 = tg 6

π 4

− tg

π 6

=1−

3 . 3

7.6. Замена переменной в определенном интеграле Т

Пусть 1) f ( x ) непрерывна на [ a , b ] ; 2) x = g ( t ) - непрерывно дифференцируема на [α , β ] ( [ a, b ] - область значений g ( t ) при изменении

254

Лекции 7 - 8

t ∈ [α , β ] ); 3) a = g (α ) , b = g ( β ) , тогда

β

b

∫ f ( x ) dx = α∫ f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) dt

- форму-

a

ла замены переменной под знаком определенного интеграла. Доказательство: b

∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) . Здесь F ( x ) = F ( g ( t ) ) . F ′ = F ′ ⋅ x ′ = F ′ ( g (t )) ⋅ g ′ (t ) ; F ′( g (t )) = F ′( x ) = f ( x ) = f ( g (t )) . Левая часть

a

t

x

t

Таким образом, Ft ' = f ( g ( t ) ) ⋅ g ' ( t ) , следовательно, F ( g ( t ) ) является перво-

образной для функции f ( g ( t ) ) ⋅ g ' ( t ) на [α , β ] . β

Правая часть

∫α f ( g ( t ) ) ⋅ g '( t )dt = F ( g ( β ) ) − F ( g (α ) ) , то есть

β

∫α f ( g ( t ) ) ⋅ g '( t )dt = F ( b ) − F ( a ) . Левая часть равна правой части, что и требовалось доказать. Пример:

∫

2

0

π /2

=

∫ 0

=

0=r sin α , α = 0 ⎫ ⎪ π⎬= r =r sin β , β = ⎪ 2⎭ π /2 2 π /2 r r 2 − r 2 sin 2 tr cos tdt = ∫ r 2 cos 2 tdt = (1 + cos 2t ) dt = ∫ 2 0 0

⎧ x = r sin t , ⎪ r − x dx = ⎨ ⎪⎩dx = r cos tdt ,

r

2

r2 ⎛ 1 ⎞ ⎜ t + sin 2t ⎟ 2⎝ 2 ⎠

π 2 0

=

π r2 4

.

Пример: 2

⎧ 1 dt 1 1 , dx=- 2 ,1= , α = 1, 2 = , = ⎨x = t t α β x +1 ⎩

1⎫ 2⎭

dx

∫x

β= ⎬ =

2

1

1 2

= −∫ 1

tdt t2

1+ t2 t2

1

=∫ 1 2

dt 1+ t2

(

=ln t+ t 2 + 1

)

1 1 2

(

)

= ln 1+ 2 -ln

1+ 5 . 2

255

Определенный интеграл

7.6.1. Интегралы от четных и нечетных функций на [ − a ,a ] 1) f ( x ) - четная ( f ( − x ) = f ( x ) ) . a

0

a

−a

−a

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . ⎧ x = −t , dx = −dt ⎫ ⎪ ⎪ f ( x ) dx = ⎨ −a = −α , a = α ⎬ = ⎪ 0 = −β , β = 0 ⎪ ⎩ ⎭

0

∫

−a

0

a

a

= − ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx , a

2)

0

0

a

a

−a

0

∫ f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx . f ( x ) - нечетная функция ( f ( − x ) = − f ( x ) ) .

a

0

a

−a

−a

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . 0

∫

−a

⎧ x = −t , dx = −dt ⎫ ⎪ ⎪ f ( x ) dx = ⎨ −a = −α , a = α ⎬ = ⎪ 0 = −β , β = 0 ⎪ ⎩ ⎭ 0

0

a

a

a

a

0

0

= − ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( t ) dt = − ∫ f ( t ) dt = − ∫ f ( x ) dx , a

∫ f ( x ) dx = 0 .

−a

7.7. Интегрирование по частям Т

Пусть u ( x ) и v ( x ) имеют на [ a , b ] непрерывные производные, тогда b

b

a

a

b ∫ u ( x ) v′ ( x ) dx = ⎡⎣u ( x ) v ( x )⎤⎦ a − ∫ u′ ( x ) v ( x ) dx . b

b

Или: так как v ' ( x ) dx = dv , u ' ( x ) dx = du , то ∫ udv = uv − ∫ vdu . b a

a

a

256

Лекции 7 - 8

Доказательство: b

b

b

b

a

a

a

a

( uv ) ' = uv '+ vu ' , ∫ [uv '+ vu '] dx = ∫ ( uv ) ' dx , ∫ uv ' dx + ∫ vu ' dx = uv ba , b

∫ udv = uv

b

b a

a

− ∫ vdu , что и требовалось доказать. a

Пример:

⎧ u = arcctgx, dv = dx ⎫ ⎪ ⎪ ∫0 arcctgxdx = ⎨du = − dx , v = x ⎬ = ⎪⎩ ⎪⎭ 1 + x2 1 π 1 = xarcctgx 10 + ln ( x 2 + 1) 10 = + ln2. 2 4 2 1

Пример: 1

Вычислить ∫ xe − x dx . 0

1

∫ xe

−x

dx

= { u = x, dv = e-xdx, du = dx, v = -e-x} =

0

1

1

= − xe − x + ∫ e − x dx = -е-1 − e − x 0 0

1 0

=

e−2 . e

8.1. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур 8.1.1. Вычисление площади в прямоугольных координатах

b

1) f ( x ) ≥ 0 , S = ∫ f ( x ) dx . a

b

2) f ( x ) ≤ 0 , S = − ∫ f ( x ) dx . a

257

Определенный интеграл

b

3) f1 ( x ) ≥ f 2 ( x ) , S = ∫ ⎡⎣ f1 ( x ) − f 2 ( x )⎤⎦ dx . a

d

1)* f ( y ) ≥ 0 , S = ∫ f ( y ) dy . c

2)* и 3)* аналогичны 2) и 3).

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2, прямыми х = -1 и х = 2 и осью абсцисс . Решение: y = x2 . 2

x3 Используем формулу 3.1 S = ∫ x dx = 3 −1

2

2

= 3. −1

Пример: Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой у = -х от параболы у = 2х − х2. Решение: y = −x . Преобразуем уравнение параболы у = 2х − х2 = − (х2 − 2х + 1) + 1, (у − 1) = = − (х − 1) 2. Находим абсциссы точек пересечения (А и В), имеем: ⎧ y = 2 x − x 2 , x1 = 0, ⎨ ⎩ y = − x, x2 = 3. 3

S=

2 ∫ ⎡⎣( 2 x − x ) − ( − x )⎤⎦ dx = 0

3

9 ⎛3 2 1 3⎞ ⎜ x − x ⎟ = . 3 ⎠0 2 ⎝2

3

∫ ( 3x-x ) dx = 2

0

258

Лекции 7 - 8

Пример: Вычислить площадь эллипса y = ±b 1 −

x2 y 2 + = 1. a2 b2

x2 , a2

a

S эл = 4 ∫ b 1 − 0

x2 π⎫ ⎧ dx = ⎨ x = a sin t , α = 0, β = ⎬ = 2 2⎭ a ⎩

π 2

= 4ab ∫ cos tdt = [ 2abt + ab sin 2t ] 2

π 2 0

= π ab , Sэл = πab .

0

8.1.2. Параметрическое задание линий Параметрические уравнения линий задаются в виде зависимости координат x и y от некоторого параметра t: x = x(t ), y = y(t ) . При изменении параметра t текущая точка M(x, y) описывает некоторую кривую на плоскости. Исключением параметра уравнение линии приводится к уравнению в декартовых координатах и, наоборот, линия, заданная в декартовых координатах, может быть приведена к виду кривой, заданной параметрическими уравнениями. 8.1.3. Вычисление площадей фигур, граница которых задана кривыми в параметрической форме Пусть кривая задана параметрическими уравнениями:

⎧⎪ x = x ( t ) , α ≤ t ≤ β , a = x (α ) , b = x ( β ) . ⎨ y = y t , ( ) ⎪⎩ b

b

β

a

a

α

S = ∫ f ( x ) dx = ∫ ydx = {x = x ( t ) , dx =x ′ ( t ) dt} = ∫ y ( t ) x ' ( t ) dt ; β

S = ∫ y ( t ) x ' ( t ) dt . α

Пример: Вычислить площадь эллипса. Уравнения эллипса в параметрической форме имеют вид: ⎧ x = a cos t , 0 ≤ t ≤ 2π . ⎨ ⎩ y = b sin t

259

Определенный интеграл

Решение: π 2

S = 4 S = 4 ∫ ab sin 2 tdt = 0

π 2

⎛ sin 2t ⎞ = 2ab ∫ (1 − cos 2t ) dt = 2ab ⎜ t − ⎟ 2 ⎠ ⎝ 0

π 2 0

= π ab.

Пример: Найти площадь фигуры, ограниченную первой аркой циклоиды х = а (t − sin t); у = а (1 − cos t) и отрезком оси абсцисс Решение: Точкам О и А соответствуют значения параметра tО = 0 и tА = 2π, поэтому искомая площадь равна 2π

2π

0

0

2a y

πa

S= ∫ a (1 − cost ) ⎡⎣ a (1 − cost ) ⎤⎦ dt = ∫ a 2 (1 − cos t ) dt = 2

2π

2π

1 + cos 2t ⎞ 1 ⎛ ⎞ 2 ⎛3 2 = ∫ a ⎜ 1 − 2 cos t + ⎟ dt = а ⎜ t − 2sin t + sin 2t ⎟ = 3πa . 4 2 ⎝2 ⎠0 ⎝ ⎠ 0 2

8.1.4. Полярные координаты на плоскости Полярные координаты определяются заданием на плоскости полюса О и полярной оси ρ . Координаты точки М в полярных координатах заJJJJG даются длиной радиус-вектора OM = ρ этой точки и углом его наклона к полярной оси. При этом 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ ϕ ≤ ∞ .

8.1.5. Связь полярных координат с декартовыми Совместим начало декартовой системы с полюсом полярной системы координат, а ось Оx с полярной осью ρ . Найдём связь координат точки M(x,y) и M( ρ ,ϕ). Она выражается следующей системой уравнений: 2 2 ⎧ x = ρ cos ϕ , ρ = x + y , ⎨ y tgϕ = . ⎩ y = ρ sin ϕ , x

x 2πa

260

Лекции 7 - 8

8.1.6. Примеры уравнений линий в полярной системе координат Уравнение вида ρ = ρ (ϕ ) , задающее ρ как функцию ϕ , определяет на плоскости некоторую кривую. Пример:

!

Архимедова спираль: ρ =аϕ, 0 < ϕ < ∞ , Решение:

ϕ

0

ρ

0

π

2 a⋅

π 2

π

2π

a ⋅π

2aπ

ρ ≥ 0. 5π 2 5aπ 2

Кривая представляет собой путь, описываемый точкой, движущейся с постоянной скоростью по лучу, вращающемуся около полюса О, с поv стоянной скоростью ω : a = .

ω

Пример:

Окружность со смещенным центром: ρ = a cos ϕ . Решение: π π 3π 7π ϕ π 0 4 2 2 4 2 2 cos ϕ 1 0 -1 0 2 2 2 2 ρ a 0 0 0 a a 2 2

2π 1

a

Координата ρ принимает только положительные значения. Поскольку cos ϕ =

ρ a

значит, угол ОМА - прямой.

Вывод: уравнение ρ = a cos ϕ задает окружность с центром в точке (a/2,0) и радиусом a/2. Преобразуем: ρ = a cos ϕ , ρ ⋅ ρ = a ⋅ ρ cos ϕ ;

ρ 2 = a ρ cos ϕ ;

 x2 + y 2

x 2 + y 2 = ax ; x 2 + y 2 − ax + a 2 − a 2 = 0 . 2

a⎞ ⎛ ⎛a⎞ 2 ⎜x− ⎟ + y =⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ ⎝2⎠

2

- каноническое уравне-

ние окружности с центром в точке (

a a ,0) радиусом . 2 2

261

Определенный интеграл

8.1.7. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат Пусть ρ = ρ (ϕ ) - непрерывная функция. Определим площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой ρ = ρ (ϕ ) и лучами ϕ = α , ϕ = β . Разобьем указанный сектор лучами на сектора вели→

чины +ϕi . Пусть ρ i = ρ i - величина радиус-вектора для произвольного ϕi ∈ [ϕi ,ϕi +1 ] .

r2 Лемма: Площадь кругового сектора равна Sα = α . 2 Доказательство следует из пропорции: Sкруга = π r 2 → 2π ;

Sα → α ;

απ r 2 α r 2 . Sα = = 2π 2 Тогда площадь кругового сектора Si равна n 1 2 1 Si = ρi +ϕ i ; сумма Q = ∑ ρ i2 +ϕ i - площадь ступен2 i =1 2 чатого сектора, спрямляющего криволинейный сектор. При n → ∞ Q → S , Q - интегральная сумма, тоβ

1 гда S = ∫ ρ 2 dϕ - площадь криволинейного сектора. 2α Пример:

Вычислить площадь круга ρ = 2a cos ϕ . В силу симметрии достаточно вычислить 1/2 искомой площади. π /2 π /2 π /2 2 1 + cos 2ϕ 2 S = ∫ ρ 2 dϕ = ∫ ( 2a ) cos 2 ϕ dϕ = ∫ 4a 2 dϕ = 2 0 2 0 0 ⎡π / 2 dϕ π / 2 cos 2ϕ ⎤ 1 ⎡ϕ dϕ ⎥ = 4a 2 ⎢ π0 / 2 + sin 2ϕ = 4a ⎢ ∫ + ∫ 2 4 ⎣2 0 ⎣0 2 ⎦ 1 1 π ⎡π ⎤ = 4a 2 ⎢ − 0 + sin π − sin 0 ⎥ = 4a 2 = π a 2 . 4 4 4 ⎣4 ⎦ 2

Пример:

π /2 0

⎤ ⎥⎦ =

262

Лекции 7 - 8

Найти площадь, заключённую внутри лемнискаты Бернулли ρ2 = а2 сos2ϕ . Решение: y В силу симметрии достаточно вычислить одну четверть искомой площади: π

1 1 S= 2 4

4

∫ 0

a2 a cos 2ϕdϕ = 2 2

π

a

2a x

a2 ⎛ sin 2ϕ ⎞ 4 , ⎜ ⎟ = 4 ⎝ 2 ⎠0

откуда S = а2.

8.2. Вычисление длины дуги кривой 8.2.1. Вычисление длины плоской кривой в прямоугольных координатах Разобьем L : y = f ( x) . [ a, b ] на части a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b . На кривой обозначим точки A, M 1 ,..., M n−1 , B . Соединим их хордами. Получим ломаную, состоящую из n хорд. 2

⎛ +y ⎞ li = + x ++ y = 1 + ⎜ i ⎟ ⋅+ xi - длина i - хорды, ⎝ + xi ⎠ 2 i

2 i

n

ln = ∑ li - длина ломаной. По теореме Лагранжа i =1

( f ( b ) − f ( a ) = f ' ( c )( b − a ) )

n 2 + yi имеем: = f ' (ξ i ) , ξ i ∈ [ xi −1 , xi ] , ln = ∑ 1 + ⎡⎣ f ' (ξ i ) ⎤⎦ + xi . + xi i =1 b

Пусть max+ xi → 0 , ln → l , следовательно, l = ∫ 1 + ⎡⎣ f ' ( x ) ⎤⎦ dx . 2

a

8.2.2. Вычисление длины плоской кривой в параметрической форме ⎧⎪ x = x ( t ) α ≤t ≤ β L:⎨ = y y t ( ) ⎪⎩ b

( a = x (α ) ; b = x ( β ) ) ; b

l = ∫ 1 + ⎡⎣ f ' ( x ) ⎤⎦ dx = ∫ 1 + [ y x '] dx = {x = x ( t ) , dx = x ' dt} = 2

a

β

=∫ α

2

a

β ⎧ 2 2 dy yt ' ⎫ = 1 + [ y x '] x ' ( t ) dt = ⎨ y x ' = ⎬ = ∫ ⎡⎣ x ' ( t ) ⎤⎦ + ⎡⎣ y ' ( t ) ⎤⎦ dt , dx xt ' ⎭ α ⎩ 2

263

Определенный интеграл β

l = ∫ ⎡⎣ x ' ( t ) ⎤⎦ + ⎡⎣ y ' ( t ) ⎤⎦ dt . 2

2

α

β

Если кривая задана в полярных координатах, то l = ∫ ρ 2 + ρ ′2 dϕ . α

8.2.3. Вычисление длины дуги пространственной кривой в параметрической форме

⎧ x = x (t ) β ⎪ 2 2 2 L : ⎨ y = y ( t ) α ≤ t ≤ β , l = ∫ ⎡⎣ x ' ( t ) ⎤⎦ + ⎡⎣ y ' ( t ) ⎤⎦ + ⎡⎣ z ' ( t ) ⎤⎦ dt α ⎪ ⎩ z = z (t ) Пример:

1 L : y = ln (1 − x 2 ) ; a = 0, b = ; l − ? 2 1 2

l = ∫ 1+ 0

4 x2

(1 − x ) 2

1 2

1+ x ⎤ x2 + 1 ⎡ dx = ⎢ − x + ln 2 1− x x − 1 ⎥⎦ ⎣ 0

dx = ∫ 2

1 2 0

= ln 3 −

Пример:

⎧ ⎪ x = a cos t ⎪ ⎨ y = a sin t - винтовая линия. lвитка =? ⎪ c ⎪z = t 2π ⎩ 2π

l=

∫

2

a2 +

0

c c dt = 2π a 2 + 4π 4π

2

8.2.4. Дифференциал длины дуги кривой x

l ( x ) = ∫ 1 + ⎡⎣ f ' ( x ) ⎤⎦ dx ; l ' ( x ) = 1 + ⎡⎣ f ' ( x ) ⎤⎦ ; 2

2

α

dl = 1 + ⎡⎣ f ' ( x ) ⎤⎦ dx . 2

В параметрической форме: dl = ⎡⎣ x ' ( t ) ⎤⎦ + ⎡⎣ y ' ( t ) ⎤⎦ dt . 2

2

1 2.

264

Лекции 7 - 8

8.2.5. Длина кривой, заданной в полярных координатах Пусть уравнение кривой в полярных координатах ρ = ρ (ϕ ) . Можно рас⎧ x = ρ cos ϕ как параметрические уравнения линии L, сматривать уравнения ⎨ ⎩ y = ρ sin ϕ β

β

имеющей длину l = ∫ x ' + y ' dt , l = ∫ ⎡⎣ x ' (ϕ )⎤⎦ + ⎡⎣ y ' (ϕ )⎤⎦ dϕ . 2 t

2

2 t

α

2

α

x 'ϕ = ρ 'cos ϕ − ρ sin ϕ , y 'ϕ = ρ 'sin ϕ + ρ cos ϕ .

x 'ϕ + y 'ϕ = ( ρ 'cos ϕ − ρ sin ϕ ) + ( ρ 'sin ϕ + ρ cos ϕ ) = ρ '2 + ρ 2 , 2

β

l=∫ α

2

2

β

( x ' ) + ( y ' ) dϕ = ∫ 2

ϕ

Пример:

2

2

ρ '2 + ρ 2 d ϕ .

ϕ

α

Вычислить длину окружности ρ = 2a cos ϕ . π /2

L=2∫

( −2a sin ϕ )

2

+ 4a 2 cos 2 ϕ dϕ = 4a

π /2

0

= 4a

∫

cos 2 ϕ + sin 2 ϕ dϕ =

0

π /2

∫ dϕ = 4a ⋅ ϕ 0

π /2 0

= 4a

π 2

= 2π a.

8.2.6. Площадь поверхности вращения Вычислим Qx – площадь поверхности, образованной вращением кривой y = f ( x ) вокруг оси Ох). Разделим отрезок [ a , b ] точками деления xi . Точке xi соответствует точка на кривой M i . Соединим точки на кривой хордами ( li ) . При вращении каждая хорда описывает усеченный конус. Площадь его поверхности: y + yi Qi = 2π i −1 li ; 2 2 y + yi Qi = 2π i −1 1 + ⎡⎣ f ' (ξ i ) ⎤⎦ + xi ; 2 n

Qn = ∑ Qi ; i =1

max+ xi → 0 ; Qn → Qx . b

Qn → 2π ∫ f ( x ) 1 + ⎡⎣ f ' ( x ) ⎤⎦ dx a

2

265

Определенный интеграл b

Qx = 2π ∫ f ( x ) 1 + ⎡⎣ f ' ( x ) ⎤⎦ dx - площадь поверхности, образованной враще2

a

нием кривой, заданной функцией у = f ( x ) , а ≤ х ≤ b . Если дуга задана параметрическими уравнениями х = х (t), у = у (t), t1 ≤ t ≤ t2 , то Qх = 2π

t2

∫ y ( t ) ⎡⎣ x′ ( t )⎤⎦ + ⎡⎣ y′ ( t )⎤⎦ dt . 2

2

t1

Если дуга задана в полярных координатах ρ β

= ρ (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β,

то Qх = 2π ∫ ρ (ϕ ) sin ϕ ρ 2 + ⎡⎣ ρ ′ (ϕ ) ⎤⎦ dϕ . 2

α

Пример:

Найти площадь поверхности, образованной вращением астроиды х2/3 + у2/3 = а2/3 вокруг оси Ох. Решение: 2/3

−х )

у = (а 1+

(

a 3 2 , у′ = (а2/3 − х2/3)½( − х−1/3) = − 3 2

2/3 3/2

a2 3 − x2 3 x2 3

=

a1 3 x

13

a

∫ (a

23

−x

23

)

32

0

a

= 4π a

∫ (a

23

−x

23

)

− x2 3 )

12

x1 3

,

.

Следовательно Qх = 2⋅2π 13

23

32

x

−1 3

dx = − 4πа

0

1/3

a1 3 dx = x1 3

(

3 a2 3 − x2 3 2 52

)

52

a

= 0

12 πа2. 5

Пример: Найти площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды х = а (t − sin t), у = а (1− cos t) вокруг оси Ох. Решение: Дифференцируем х′ = а (1 − cos t), у′ = а (sin t),

( x′ ) + ( y ′ ) 2

2

=

t 2

a 2 (1 − cos t ) + a 2 sin 2 t = а 2(1 − cos t ) = 2а sin . 2

2π

2π

t t⎞ t ⎛ Qх = 2π ∫ a (1 − cos t ) 2a sin dt = 8πа2 ∫ ⎜1 − cos 2 ⎟ sin dt = 2 2⎠ 2 0 0 ⎝ 2π

t⎤ ⎡ cos3 ⎥ ⎢ t⎞ ⎛ 64 2 2 = − 16πа2 ⎢⎜ cos ⎟ − ⎥ = 3 πа . 2⎠ 3 ⎥ ⎢⎝ ⎣ ⎦0

266

Лекции 7 - 8

Пример: Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды ρ = 2а (1+ cosϕ) вокруг полярной оси. Решение: Имеем ρ′ = −2а sin ϕ,

(( ρ ′)

2

)

4a 2 (1 + cos ϕ ) + 4a 2 sin 2 ϕ = 4а сos 2

+ ρ2 =

π

Qх =2π ∫ 2a (1 + cos ϕ ) sin ϕ ⋅ 4a ⋅ cos 0

π

= 64 πа2 ∫ cos 4 0

ϕ 2

sin

ϕ 2

dϕ =

ϕ 2

ϕ . 2

dϕ =

128 2 πa . 5

8.3. Вычисление объемов тел 8.3.1. Вычисление объемов по заданным площадям поперечных сечений Пусть имеем некоторое тело Т. Предположим, что известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох. Эта площадь зависит от положения секущей плоскости, то есть является функцией х: S = S ( x) . Пусть S ( x ) непрерывна на [ a , b ] . Разобьем [ a , b ] точками деления a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b ; через точки xi проведем сечения, перпендикулярные оси Ох. Площади соответствующих поперечных сечений - S ( xi ) . n

Составим сумму: Vn = ∑ S (ξ i )+ xi , ξ i ∈ [ xi −1 , xi ] , S (ξ i )+ xi - объем цилиндi =1

ра с площадью основания S (ξ i ) и высотой + xi . Пусть max+ xi → 0 , тогда Vn → V (объем тела). С другой стороны, b

Vn → ∫ S ( x ) dx ( Vn - интегральная сумма для непрерывной функции S ( x ) ). a

b

Таким образом, V = ∫ S ( x ) dx . a

Пример: Найти объём тела, основание которого - круг радиусом а, а сечение плоскостью, перпендикулярной фиксированному диаметру круга, есть равнобедренный треугольник высотой h. Решение:

267

Определенный интеграл

Выберем систему координат, начало которой совпадает с центром круга. Тогда сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, есть равнобедренный треугольник с основанием 2у = 2 a 2 − x 2 и высотой h; 1 имеем S(х) = ⋅ 2 a 2 − x 2 h = h a 2 − x 2 , 2 a

a

V = h ∫ a 2 − x 2 dx = 2h ∫ a 2 − x 2 dx = −a

0

a

⎛x 2 π a2h a x⎞ 2 = 2h ⎜ . a − x + arcsin ⎟ = 2 2 a⎠0 ⎝2 2

8.3.2. Вычисление объемов тел вращения Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у = f ( x ) , а ≤ х ≤ b, вращается вокруг оси Ох, то объём тела вращения вычисляется по формуле: b

Vx = ∫ S ( x ) dx = {S ( x ) = π f a

b

2

( x )} = π ∫ f 2 ( x ) dx . a

Если криволинейная трапеция, ограниченная d

кривой x = f ( y ) , c ≤ y ≤ d, вращается вокруг оси Оу, то Vy = π ∫ f 2 ( y ) dy . c

Если криволинейный сектор, ограниченный кривой ρ = ρ (ϕ ) и лучами β

2 ϕ = α и ϕ = β , вращается вокруг полярной оси, то V = π ∫ ρ 3 sin ϕ dϕ . 3 α

!

Величина Vу может быть также вычислена интегрированием по х: Vу = b

2π ∫ x f ( x ) dx , a

Пример: Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой у2 = (х − 1)3 и прямой х = 2 Решение: 2 2 1 3 Vх = π ∫ y 2 dx = π ∫ ( x − 1) dx = π . 4 1 1

268

Лекции 7 - 8

Пример: Найти объем тела эллипсоида x2 y 2 z 2 + + = 1. a 2 b2 c2 Решение: a

z

y

x

a

V = 2 ∫ S ( x ) dx = 0

⎧для фиксированного x имеем эллипс ⎫ ⎪ 2 ⎪ 2 2 2 2 ⎪ y + z = 1 − x или y + z = 1, ⎪ 2 2 ⎪ b2 c2 ⎪ a2 b1 c1 ⎪⎪ ⎪⎪ =⎨ ⎬= x2 x2 ⎪где b1 = b 1 − 2 , c1 = c 1 − 2 , ⎪ a a ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎛ x ⎞ ⎪ S ( x ) = π b1c1 = π bc ⎜1 − 2 ⎟ ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎝ a ⎠ a ⎛ x2 ⎞ ⎡ x3 ⎤ 4 = 2π bc ∫ ⎜ 1 − 2 ⎟ dx = 2π bc ⎢ x − 2 ⎥ 0a = π abc , a ⎠ 3a ⎦ 3 ⎣ 0⎝

4 4 ⎛ ⎞ Vэл = π abc , ⎜ Vсф = π R 3 ⎟ . 3 3 ⎝ ⎠ Пример: Найти объем конуса с высотой Н и радиусом основания R. Решение: R y= x H H R2 π R 2 x3 H 1 2 Vx = π ∫ 2 x 2 dx = 2 ⋅ πR H 0 = 3 3 H H 0

1 Vкон = π R 2 H . 3

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студенты должны знать: ƒ формулу Ньютона-Лейбница; ƒ особенности применения основных методов интегрирования при вычислении определенных интегралов; ƒ геометрические приложения определенного интеграла.

Лекция 9 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ При введении понятия определенного интеграла предполагалось, что отрезок [a,b] – конечный, а функция f(x) ограничена на этом отрезке. При нарушении хотя бы одного из этих условий вводят обобщение определенного интеграла – несобственные интегралы. 9.1. Несобственные интегралы первого рода (по бесконечному промежутку). 9.1.1. Основные определения 9.1.2. Обобщенная формула Ньютона-Лейбница 9.1.3. Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами 9.1.4. Абсолютная и условная сходимость 9.2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций) 9.2.1. Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций 9.2.2. Примеры решения задач

9.1. Несобственные интегралы первого рода (по бесконечному промежутку) 9.1.1. Основные определения О Пусть функция f(x) непрерывна на интервале [a, ∞ ). Тогда она непрерывна на любом промежутке [ a, b ] , где b>a, и существует интеграл b

∫ f ( x)dx . Несобственным интегралом первого рода называется предел a

∞

b

lim ∫ f ( x)dx b→∞

и

обозначается

∞

∫ f ( x)dx .

Таким

образом,

a

a

b

∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx . b→∞

a

О

a

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Аналогично определяется несобственный интеграл и для промежутка b

b

( − ∞ ,b]: ∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx , если этот предел существует и коне−∞

a →−∞

a

270

Лекция 9

чен. Для функции f ( x ) , непрерывной на промежутке ( − ∞ , +∞ ), несобствен+∞

ный интеграл

∫

f ( x)dx определяется равенством:

−∞ +∞

∫

+∞

c

f ( x )dx =

−∞

∫

f ( x )dx +

−∞

∫

f ( x )dx ,

c

где с – любое число. Несобственный интеграл в левой части называется сходящимся, если сходится каждый несобственный интеграл в правой части.

9.1.2. Обобщенная формула Ньютона-Лейбница Пусть F(x) – первообразная для функции f(x) на промежутке [a, ∞ ). Восb

пользуемся формулой Ньютона-Лейбница для интеграла

∫ f ( x )dx . a

Тогда ∞

b

∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx = lim [ F(b) − F( a )] = lim F(b) − F( a ). a

b→+∞

b→+∞

a

b→+∞

Если обозначить lim F( b ) через F(+ ∞ ), то можно записать: b →+∞

∞

∫ f ( x )dx = F( +∞ ) − F( a ) = F( x )|

+∞ a

.

a

Аналогично b

∫

−∞

+∞

f ( x )dx = F( x )| , ∫ f ( x )dx = F( x )|+∞ −∞ , где F(- ∞ ) = lim F( x ) . b −∞

x →−∞

−∞

Пример: +∞

Исследовать сходимость интеграла

dx

∫x

p

a

Решение: ∞

b

dx При p ≠ 1 ∫ p = lim ∫ x − p dx = b →+∞ x a a b

⎛ 1 ⎞ x − p +1 ⎟ = = lim ⎜ b →+∞ − p + 1 ⎝ ⎠a

1 1 −p+1 lim b−p+1 − a . −p+1 b→∞ −p+1 +∞

Пусть р > 1, тогда − p + 1 < 0 и lim b b →+∞

− p +1

= 0,

dx

∫x a

p

=−

1 −p+1 a , значит, −p+1

при р > 1 интеграл сходится. +∞

Пусть р < 1, тогда − p + 1 > 0 и lim b − p +1 = ∞, т.е. интеграл b →+∞

dx

∫x a

p

при р < 1

271

Несобственные интегралы

расходится. При p = 1 :

∞

dx

∫x

p

a

= lim ( lnx ) a = lim ( lnb − lna ) = ∞ . Интеграл расходится. b

b →∞

b →∞

Пример: Вычислить несобственные интегралы или доказать, что они расходятся: +∞ +∞ +∞ 0 +∞ dx dx dx 1) ∫ 2 ; 2) ∫ ; 3) ∫ cos xdx ; 4) ∫ e x dx ; 5) ∫ . 2 x x 1 + x −∞ 1 0 −∞ 1 Решение: Воспользуемся обобщенной формулой Ньютона-Лейбница: +∞ dx 1 1) ∫ 2 = − |1∞ = −( 0 − 1 ) = 1 (интеграл сходится). x x 1 +∞

2)

∫

dx = ln x |1∞ = lim ln x = ∞ (интеграл расходится). x →∞ x

1 +∞

∫ cosxdx = sinx |

3)

+∞ 0

= lim sinx . Этот предел не существует, поэтому x →+∞

0 +∞

∫ cosxdx - расходится. 0

0

4)

∫ e dx = e x

−∞ +∞

5)

dx

∫ 1+ x

2

| = e0 − lim e x = 1 − 0 = 1 (интеграл сходится).

x 0 −∞

x →−∞

+∞ = arctgx |−∞ =

−∞

π 2

−( −

π 2

) = π (интеграл сходится).

Выясним геометрический смысл несобственного интеграла 1-го рода. Пусть f ( x ) ≥ 0 на промежутке [a,+ ∞ ). b

Тогда

∫ f ( x )dx

численно равен площади фи-

a

гуры, ограниченной снизу отрезком [a,b] оси Ox, сверху – линией y = f ( x ) , слева и справа – прямыми x = a и x = b. При возрастании b прямая x = b, ограничивающая эту фигуру, b

двигается вправо, а интеграл

∫ f ( x )dx a

стре-

272

Лекция 9 ∞

мится к интегралу

∫ f ( x )dx . Поэтому величиa

∞

ну интеграла

∫ f ( x )dx

естественно принять за

a

площадь бесконечной фигуры, ограниченной снизу осью Ох, сверху графиком функции y = f ( x ) , слева – прямой x = a. b

Аналогично

∫

f ( x )dx для случая f(x) ≥ 0 чис-

−∞

ленно равен площади бесконечной фигуры, ограниченной снизу осью Oх, сверху кривой y = f ( x ) , справа прямой x=b. Пример: Вычислить площади бесконечных фигур, ограниченных осью Ох, линией y = f(x), прямой x = a, если 1 а) f ( x ) = 2 , a = 1, x ≥ 1 ; x 1 б) f ( x ) = , a=1, x ≥ 1 ; x в) f ( x ) = e x , a=0, x ≤ 0 ; г) f ( x ) =

1 , x ∈ (−∞, +∞) . 1 + x2

Решение: Построим фигуры, ограниченные данными линиями

А

Б Воспользуемся результатами примера 1.

В

Г

273

Несобственные интегралы +∞

+∞

dx dx =∞; а) S = ∫ 2 = 1 ; б) S = ∫ x x 1 1 Фигура, изображенная на рис.б), имеет бесконечную площадь. +∞

0

в) S =

dx

∫ e dx = 1 ; г) S = ∫ 1 + x x

−∞

2

=π .

−∞

9.1.3. Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами Признаки сравнения +∞

1.

Пусть при а ≤ х < +∞, 0 ≤ f(х) ≥ g(х). Если

∫ g ( x)dx сходится, то сходитa

+∞

ся и

∫

f ( x)dx , причем

a

+∞

∞

+∞

a

a

a

∫ f ( x )dx ≤ ∫ g ( x ) dx . Если расходится ∫ f ( x ) dx ,

+∞

то расходится и

∫ g ( x ) dx . a

2.

Если при а ≤ х < +∞, f(х) > 0, g(х) > 0 и существует конечный предел +∞ +∞ f ( x) lim ≠ 0 , то интегралы ∫ f ( x ) dx , ∫ g ( x ) dx сходятся или расходятx →+∞ g ( x ) a a ся одновременно.

9.1.4. Абсолютная и условная сходимость +∞

О

Если сходится

∫ f ( x ) dx , a

∞

то сходится и ∫ f ( x ) dx . В этом случае a

∞

∫ f ( x )dx называется абсолютно сходящимся. a

О

Если

∞

+∞

∞

a

a

a

∫ f ( x ) dx сходится, а ∫ f ( x ) dx расходится, то ∫ f ( x )dx называется

условно сходящимся. Из первого признака сравнения можно получить следующее утверждение.

274

Лекция 9

Если при х → + ∞ функция f(х) > 0 является бесконечно малой порядка +∞ 1 α по сравнению , то интеграл ∫ f ( x ) dx сходится при α > 1 и расхоx a

Т

дится при α ≤ 1.

Признак сходимости Абеля Пусть f(х) >0 и g(х) определены и ограничены при а ≤ х < +∞, причем ∞

1)

∫ f ( x ) dx сходится; a

2) g(х) монотонна и ограничена, g( x ) ≤ k = const . ∞

∫ f ( x ) g ( x ) dx .

Тогда сходится и интеграл

a

Пример: +∞

Вычислить

∫e

−3 x

dx .

0

Решение: +∞

b

b

1 1 ⎛ 1 ⎞ Имеем ∫ e dx = lim ∫ e dx = lim ⎜ − e −3 x ⎟ = lim (1 − e−3b ) = . b →+∞ b →+∞ 3 ⎝ 3 ⎠ 0 3 b →+∞ 0 0 Несобственный интеграл сходится. −3 x

−3 x

Пример: −1

Вычислить

dx

∫x

2

.

−∞

Решение: −1 −1 −1 dx dx ⎡ 1⎤ ⎛ 1⎞ = lim ⎢ − ⎥ = lim ⎜ 1 + ⎟ = 1, т.е. предел существу2 ∫−∞ x2 = alim ∫ →−∞ a →−∞ a →−∞ x ⎣ x⎦ a ⎝ a⎠ a ет. Следовательно, искомый несобственный интеграл сходится. Пример: +∞

Исследовать на сходимость интеграл

dx

∫ x ln 2

2

x

Решение: ∞

b

b

dx dx 1 ⎛ 1 ⎞ = lim ⎜ − = , ⎟ 2 ∫2 x ln 2 x = blim ∫ →∞ x ln x b →∞ ln 2 x ln ⎝ ⎠ 2 2 т.е. несобственный интеграл сходится. Пример:

.

275

Несобственные интегралы +∞

Исследовать на сходимость интеграл

∫

( x + 1)dx

1

x3

.

Решение:

( x + 1) ≥

∞

x

∞

1 dx dx 1 , ∫ = ∫ 1 расходится (здесь р = < 1). 2 x a x ax 2 x3 x3 Следовательно, по признаку сравнения расходится и исходный интеграл. Имеем:

=

9.2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций) О

Пусть функция f ( x ) непрерывна на интервале [a,b) и неограниченна вблизи b. Тогда функция непрерывна на любом отрезке [a,b1], где а ≤ b1
∫ f ( x)dx .

существует интеграл

a

b1

Рассмотрим lim

b1 →b − 0

∫ f ( x)dx . Этот предел называется несобственным инa

тегралом второго рода и обозначается b

∫ f ( x)dx . Таким образом, a

b1

b

∫ f ( x)dx = a

lim

b1 →b − 0

∫ f ( x)dx . a

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае несобственный интеграл называется расходящимся. Аналогично для функции f(x), непрерывной на промежутке (a,b] и неогb

раниченной вблизи а, несобственный интеграл

∫ f ( x)dx

определяется

a

следующим образом: b

∫ f ( x )dx = a

b

lim

a1 → a + 0

∫ f ( x )dx .

a1

Если этот правосторонний предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

276

Лекция 9

Пусть теперь функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a,b] всюду, кроме некоторой точки c (a
Несобственный интеграл

∫ f ( x)dx

определя-

a

ется равенством: b

c

b

a

a

c

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx . Если каждый из интегралов в правой части равенства сходится, то неb

собственный интеграл

∫ f ( x)dx

называется сходящимся, в противном

a

случае – расходящимся. Пусть F ( x ) – первообразная для функции f ( x ) на промежутке [a,b) и f ( x ) не ограничена вблизи b. b1

b

Тогда

∫ f ( x)dx = a

lim

b1 →b − 0

∫ f ( x)dx = a

lim [ F (b1 ) − F (a )] = lim F (b1 ) − F (a ) .

b1 →b − 0

b1 →b − 0

Если обозначить lim F (b1 ) через F(b), то получим следующий аналог b1 →b −0

формулы Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла второго рода: b

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) = F ( x) |

b a

a

Аналогично

для

функции

, где F(b)= lim F ( x ) . x →b − 0

f ( x) ,

не

ограниченной

вблизи

а,

b

∫ f ( x)dx = F ( x) |

b a

a

, где F ( a ) = lim F ( x ) . x →a + 0

Пример: Вычислить несобственные интегралы или доказать, что они расходятся: 2

1)

∫ 0

dx ; 2) 2− x

1

dx . x −1

∫

Решение: В первом интеграле подынтегральная функция f ( x ) = 2

1 не ограни2− x

dx является несобственным. При2− x 0 меним обобщенную формулу Ньютона-Лейбница: чена при x=2, поэтому интеграл

∫

277

Несобственные интегралы 2

∫ 0

2

dx d (2 − x) = −∫ = −2 2 − x |02 = −(0 − 2 2) = 2 2 . 2− x 2− x 0

1 не ограничена x 1 0 1 dx dx dx = ∫ +∫ . вблизи x=0. Поэтому, по определению, ∫ x −1 x 0 x −1

Во втором интеграле подынтегральная функция f(x)=

0

Рассмотрим интеграл

dx 0 = ln x −1 = ∞ . Этот интеграл расходится, поx −1

∫

1

dx - расходится. x −1 Отметим, что если бы мы стали вычислять данный интеграл, не обращая внимания на разрыв подынтегральной функции в точке x = 0, то получи1 dx 1 = ln x −1 = 0 , что неверно. ли бы неверный результат ∫ x −1

этому и интеграл

∫

Рассмотрим геометрический смысл несобственного интеграла 2-го рода. Пусть f ( x ) ≥ 0 и f ( x ) – непрерывна на [a,b) и не ограничена вблизи b. Тоb1

гда

∫ f ( x)dx

(b1 < b) равен площади фигуры, ограниченной снизу отрезком

a

[a,b1] оси Ох, сверху – линией y = f ( x ) , слева и справа – прямыми x=a, x=b1. При стремлении b1 к b, прямая x=b1 cтремится к прямой x=b. Поэтому b1

lim

b1 →b − 0

b

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx a

естественно принять за площадь бесконечной фигу-

a

ры, ограниченной снизу отрезком [a,b] оси Ох, сверху линией y = f ( x ) , слева и справа – прямыми x = a и x = b.

9.2.1. Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны признакам сходимости интегралов с бесконечными пределами. Эталоном сравнения служит интеграл b

dx

∫ (b − x)β ,

(β > 0),

a

который сходится при β < 1 и расходится при β ≥ 1.

278

Лекция 9

Пример: 2

Исследовать на сходимость интеграл

dx

∫ ln x . 1

Решение: При х → 1

1 1 ∼ - эквивалентные бесконечные большие, т.к. ln x ( x − 1)

⎛ 1 ⎞ ⎛ по ⎞ ⎜ ⎟ ( x − 1) ⎜ 1 ln x ⎠ ⎝ = lim = правилу ⎟ = lim = 1, интеграл lim ⎜ ⎟ x →1 1 x →1 ln x x →1 ⎛ 1 ⎞ ⎜ Лопиталя ⎟ x ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ x −1 ⎠

( )

2

dx ∫ ( x − 1) расходится при 1

β =1. Следовательно,

2

dx

∫ ln x

расходится.

1

9.2.2. Примеры решения задач Пример: 1

Исследовать сходимость интеграла

cos 2 x

∫

0 3

(1 − x ) 2

dx .

Решение: Подынтегральная функция неограниченно возрастает при х → 1, представим подынтегральную функцию в виде cos 2 x 1 cos 2 x 1 ⋅ f ( x) = 3 . = 3 ⋅ 3 1+ x 1− x 1 + x (1 − x ) 13

Первый сомножитель особенности при х → 1 не даёт, а следовательно, 1 1 при х → 1 даёт α = < 1. Следовательно, интеграл сравнение с 3 ( x − 1) сходится.

Пример: +∞

Вычислить (или установить расходимость)

∫ cos xdx .

π 2

Решение: По определению, +∞

∫ π

2

∫π cos xdx = lim ( sin x π B

cos xdx = lim

B →+∞

2

B

B →+∞

2

) = lim (sin B − 1) = −1 + lim sin B . B →+∞

B →+∞

Так как lim sin B не существует, то исследуемый несобственный интеB →+∞

грал расходится.

279

Несобственные интегралы

Пример: +∞

∫x

Исследовать на сходимость

3

3

dx . + 2x + 2

Решение:

1 . Наибольшая степень многочлена в знаx + 2x + 2

Рассмотрим f ( x ) =

3

менателе равна 3. Поэтому для сравнения возьмем функцию g (х) =

lim

тогда

x →∞

1 x3

,

f ( x) x3 = lim 3 = 1 ≠ 0 и по предельному признаку x →+∞ x + 2 x + 2 g ( x) +∞

сравнения исследуемый несобственный интеграл и интеграл

∫ g ( x ) dx = 3

+∞

∫

=

3

dx сходятся или расходятся одновременно. Последний интеграл схоx3

дится (р > 1), следовательно, исследуемый интеграл тоже сходится.

Пример: +∞

∫

Исследовать на абсолютную сходимость интеграл

1

cos 2 xdx . 1 + x2

Решение: cos 2 x cos 2 x cos 2 x ;⏐f (х)⏐ = = , так как для любых х 2 2 1+ x 1+ x 1 + x2 1 = g(х). ⏐сos 2х⏐ ≤ 1, то ⏐f (х)⏐ ≤ 1 + x2 Рассмотрим

Здесь f ( x ) =

+∞

∫

g ( x ) dx =

1

=

+∞

dx

∫ 1 + x2

b→+∞

1

π 2

−

π 4

=

π 4

(

b

)

= lim arctg x 1 = lim arctg b − lim arctg1 = b →+∞

b →+∞

+∞

, следовательно,

∫ g ( x ) dx

сходится.

1

+∞

Тогда по признаку сравнения сходится интеграл

∫ f ( x ) dx , а исследуе1

мый интеграл сходится абсолютно.

Пример: 1

Вычислить (или установить расходимость)

∫ 0

dx 1 − x2

.

Решение: Функция f ( x ) = 1

Тогда

∫ 0

dx 1 − x2

1 1 − x2 1−ε

ε →+0 ∫

= lim

0

непрерывна для х ∈ [0, 1) и lim f ( x ) = +∞ . x →1− 0

dx 1 − x2

(

1− ε

= lim arcsin x 0 ε →+0

)=

280

Лекция 9

= lim ⎡⎣ arcsin (1 − ε ) ⎤⎦ − arcsin 0 = ε →+0

π 2

−0=

π 2

, т.е. интеграл сходится.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать: ƒ понятие несобственного интеграла первого и второго рода, ƒ признаки сходимости несобственных интегралов. Студент должен уметь: ƒ исследовать несобственные интегралы на сходимость.

Лекции 10 - 11 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения, содержащие неизвестную функцию, ее производные и известные функции независимого аргумента, начали исследоваться одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчислений. Важность таких уравнений обусловлена тем, что в очень большом количестве случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме дифференциальных уравнений, а расчет течения этих процессов сводится к решению дифференциального уравнения. 10.1. Основные понятия 10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка (ДУ-I) 10.2.1. ДУ с разделяющимися переменными 10.2.2. Однородные ДУ первого порядка 10.2.3. Обобщенные однородные ДУ первого порядка 10.2.4. Линейные ДУ первого порядка 10.2.5. Уравнение Бернулли 10.2.6. Уравнение в полных дифференциалах 10.2.7. Таблица 1. Решения ДУ первого порядка 10.2.8. Особые решения ДУ первого порядка 11.1. ДУ высших порядков 11.2. ДУ второго порядка (ДУ-II) 11.3. Некоторые типы ДУ второго порядка, приводимые к ДУ первого порядка 11.3.1. ДУ y ′′ = f ( x ) 11.3.2. ДУ вида y ′′ = f ( x, y ′) 11.3.3. ДУ y ′′ = f ( y , y ′) 11.4. Таблица 2. Решения ДУ второго порядка, допускающих понижение порядка 11.5. ДУ n - го порядка, допускающие понижение порядка 11.5.1. ДУ вида y ( n ) = f ( x )

( ) 11.5.3. ДУ вида F ( x, y ( ) ,..., y ( ) ) = 0 . d G ( x, y , y ',..., y ( ) ( x ) ) = 0 . 11.5.4. ДУ вида dx

11.5.2. ДУ вида F y , y ', y ",..., y ( n ) = 0 k

n

n −1

10.1. Основные понятия О

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию (n) y = f ( x ) и ее производные y ′, y ′′,...y .

282

Лекции 10 - 11

Например, скорость тела v , движущегося под действием силы F, может быть dv найдена из второго закона Ньютона, т.е. из ДУ m = F , где m - масса тела, dt t - время. ДУ с одной независимой переменной называется обыкновенным. О

Порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, называется порядком ДУ. Общий вид ДУ n-го порядка: F( x, y, y ′, y ′′,...y ( n ) ) = 0 . 2 Например, 1. y′ + y = sinx , 2. y ′′′ + yy ′ = 0 . x Решением или интегралом ДУ называется всякая функция y = f ( x ) , которая, будучи подставлена в ДУ, превращает его в тождество. График решения называется интегральной кривой. Основная задача интегрального исчисления заключается в нахождении решения ДУ y ′ = f ( x ) , т.е. y = ∫ f ( x )dx + c . Пример:

Найдите решение ДУ y ′′ = 0 . Решение:

y ′′ = ( y ′ )′ = 0 → y ′ = c1 , y = ∫ c1dx + c2 = c1 x + c2 . О

Общим решением ДУ F ( x, y, y ′,..., y ( n ) ) = 0 называется такое решение y = f ( x,c1 ,c2 ,...,cn ) , которое содержит столько независимых произвольных постоянных ci , i = 1,2,...n , каков порядок этого ДУ.

О

Если общее решение задано в неявном виде Φ ( x, y,c1 ,c2 ,...,cn ) = 0 , оно называется общим интегралом ДУ.

О

Всякое решение ДУ, которое получается из общего при определенных значениях произвольных постоянных, называется частным решением этого ДУ. Пример:

Найдите решение ДУ y′′ + y = 0 . Решение: Так как (sinx)′′ = −sinx , (cosx)′′ = −cosx , функция вида y = c1sinx + c2cosx ; будет удовлетворять уравнению. Если c1 = 2 , c2 = 5 , то y1 = 2sinx + 5cosx ; если c1 = 0 , c2 = −4 , то y2 = −4cosx .

283

Дифференциальные уравнения

10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка Рассмотрим ДУ вида F( x, y, y ′ ) = 0 или y ′ = ϕ ( x, y ) . Общим решением является y = f ( x,c ) . Геометрически решение представляет собой однопараметрическое семейство кривых. Значение y ′ в точке M ( x, y ) : y ′ = tg α .

y

M ( x, y )

α 0

О

Т

Задача Коши для ДУ формулируется следующим образом: найти решение y = f ( x ) ДУ y ′ = ϕ ( x, y ) , удовлетворяющее начальному условию: y0 = f ( x0 ) . Геометрически задача Коши заключается в нахождении частного решения ДУ, проходящего через заданную точку с координатами ( x0 , y0 ) . Общее решение y = f ( x,c ) становится частным y = f ( x,c0 ) , если y0 = f ( x0 ,c ) , откуда можно найти c = c0 .

С3 С2 С1 С

x

x

y

M ( x0 , y0 ) y0 0

x0

x

Теорема Коши (теорема существования и единственности решения ДУ первого порядка, разрешенного относительно производной). Если функция ϕ ( x, y ) непрерывна в области, содержащей точку ( x0 , y0 ) , то существует функция y = f ( x ) , удовлетворяющая уравнению y ′ = ϕ ( x, y ) и обращающаяся в y0 при x = x0 . Если, кроме того, непрерывна и частная производная ϕ ′y ( x, y ) , то решение будет единственным.

10.2.1. ДУ с разделяющимися переменными ДУ y ′ = ϕ ( x, y ) удобно записать в виде: dy P( x, y ) или P( x, y )dx − Q( x, y )dy = 0 . = dx Q( x, y ) О ДУ X ( x )Y ( y )dx + X 1( x )Y1( y )dy = 0 называется ДУ с разделяющимися переменными. X( x ) Y( y) Разделим уравнение на Y ( y ) ⋅ X 1( x ) ≠ 0 , тогда dx + 1 dy = 0 . X 1( x ) Y( y ) Обозначим входящие в это уравнение функции через P( x ) и Q( y ) , тогда получим ДУ P( x )dx + Q( y )dy = 0 с разделенными переменными.

284

Лекции 10 - 11

Считая y функцией x , перепишем уравнение в виде P( x )dx = −Q ( y ) dy , т.е. в виде равенства дифференциалов двух функций одного аргумента. Известно, что если дифференциалы функций равны, то сами функции отличаются на константу, т.е., общий интеграл этого ДУ имеет вид: ∫ P( x )dx + ∫ Q( y )dy = c . Пример: Найдите решение ДУ y ′ =

y . x

Решение: y C=2 dy y ± y =| cx | = , xdy = ydx , умножая уравнение на C =1 dx x 1 dy dx = , , последовательно получаем x 0 xy y x dy dx ∫ y = ∫ x , ln y = ln x + ln c , где постоянная интегрирования представлена в логарифмической форме, значит, ln | y |= ln | cx | , | y |=| cx | , x ≠ 0 .

10.2.2. Однородные ДУ первого порядка О

Функция F( x, y ) называется однородной функцией n-го порядка, если для любого числа k имеет место тождество F( kx,ky ) ≡ k n F( x, y ) . Например, если F( x, y ) = 3 x 3 + y 3 , то F( kx,ky ) =

3

( kx )3 + ( ky )3 =

= k 3 x + y , значит, F( x, y ) является однородной функцией первого по3

3

рядка. Функция F( x, y ) = e x − y не является однородной. ДУ y ′ = f ( x, y ) называется однородным относительно х и у, если f ( x, y ) есть однородная функция нулевого порядка, то есть f ( kx,ky ) = f ( x, y ) . dy Решим однородное уравнение = f ( x, y ) . dx 1 ⎛ y⎞ Преобразуем функцию f ( x, y ) к виду f ( x, y ) = f ⎜ 1, ⎟ , считая k = . Решаем x ⎝ x⎠ y dy du dy ⎛ y⎞ ДУ =u+ ⋅x = f ⎜ 1, ⎟ . Сделаем подстановку u = , тогда y = u ⋅ x , dx dx x dx ⎝ x⎠ О

285

Дифференциальные уравнения

du = f ( 1,u ) - ДУ с разделяющимися переменdx du du dx du dx = f ( 1,u ) − u , ными. x = ,∫ = ∫ + c. dx f ( 1,u ) − u x f ( 1,u ) − u x

и уравнение примет вид: u + x

Пример: Найдите решение ДУ y′ =

y⎛ y ⎞ ⎜ ln + 1⎟ . x⎝ x ⎠

Решение: Это ДУ является однородным, т.к. правая часть есть функция только отy ношения . x y Положим = u , y = ux , тогда y′ = u′x + u и уравнение принимает вид: x du dx = , ln lnu = ln x + ln c , lnu = cx , u ′x + u = u ( lnu + 1) , u′x = ulnu , ulnu x cx cx откуда u = e , значит, y = xe .

10.2.3. Обобщенные однородные ДУ первого порядка ⎛ a x + b1 y + c1 ⎞ ДУ вида y ′ = f ⎜ 1 ⎟ называется обобщенным однородным a x + b y + c 2 2 ⎠ ⎝ 2 ДУ первого порядка и решается путем сведения к однородному ДУ преобразованием параллельного переноса координат с помощью замены переменных ⎧x = X + α , при условии, что ⎨ y Y , β = + ⎩

⎧ a1α + b1 β + c1 = 0 , ⎨ ⎩ a2α + b2 β + c2 = 0.

Проиллюстрируем решение обобщенных однородных ДУ первого порядка на примере. Найдем общий интеграл дифференциального уравнения y+2 . y′ = 2x + y − 4 Сведение к однородному достигается преобразованием параллельного переноса системы координат, x = X + α , y = Y + β . При этом вид:

dy d( Y + β ) dY , и в новых переменных уравнение принимает = = dx d( X + α ) dX dY Y +(β + 2) . = dX 2 X + Y + ( 2α + β − 4 )

286

Лекции 10 - 11

⎧ β + 2 = 0, Выбирая постоянные α и β из условия ⎨ ⎩ 2α + β − 4 = 0 , получаем α = 3 , β = −2 ; т.е. искомое преобразование переменных имеет вид:

x = X + 3, y = Y − 2 , а уравнение упрощается

dY Y = . dX 2 X + Y Поделив числитель и знаменатель в правой части на Х (при однородное уравнение

(1) X ≠ 0 ),

получаем

dY Y X , при X ≠ 0 . = dX 2 + Y X

(2)

Используя подстановку Y X = u( x ) , получаем du −u 2 − u . = X dX 2+u

(3)

Разделяя переменные, приходим к уравнению:

2+u dX du = − ; ( u ≠ 0 , u ≠ −1, X ≠ 0 ). 2 u +u X Интегрируя, находим общий интеграл в форме:

2+u ( 1 + u )2 − u du = ∫ du ⇒ 2ln | u | −ln | 1 + u | +ln | X |= C1 , 2 +u u2 + u ( u ≠ 0 ,u ≠ −1,X ≠ 0 ) .

∫u

Случай X = 0 следует проверить подстановкой в уравнение (1), а случаи u = 0 и u = −1 - подстановкой в уравнение (3), поскольку возможна потеря решений. Находим, что X = 0 не является, а u = 0 и u = −1 являются решениями уравнения (1). Таким образом, уравнение (3) имеет следующие решения: 2ln | u | −ln |1 + u | + ln | X |= C1 (общий интеграл),

(4а)

u = 0,

(4б)

287

Дифференциальные уравнения

u = −1 (частные решения).

(4в)

Возвращаясь к старым переменным, получаем: 2ln

y+2 y+2 − ln 1 + + ln | x − 3 |= C1 , x−3 x−3

(5а)

y + 2 = 0,

(5б)

y+2 = −1 . x−3

(5в)

После упрощения общий интеграл (5а) принимает вид:

2ln | y + 2 | −ln | x + y − 1|= C .

(6)

Ответ: общий интеграл имеет вид: 2ln | y + 2 | −ln | x + y − 1|= C . Замечание: общий интеграл (6) можно представить также в форме: ( y + 2 )2 ( y + 2 )2 = C2 , C2 = ± eC1 . ln = C1 или x + y −1 x + y −1

Тогда частные решения (5б) и (5в) получаются при C2 = 0 и C2 = ∞ соответственно.

10.2.4. Линейные ДУ первого порядка Линейным ДУ первого порядка называется уравнение, линейное отноy и ее производной сительно неизвестной функции y′ : y ′ + P( x )y = Q( x ) , где P( x ) , Q( x ) – непрерывные функции. Ищем решение в виде произведения двух функций y = u( x ) ⋅ υ ( x ) , одна из которых считается произвольной ( υ ) , а другая находится из уравнения. dy dυ du Если y = u ⋅υ , то y ′ = uυ ′ + υ u′ , то есть =u +υ и уравнение приниdx dx dx мает вид: dυ du du ⎛ dυ ⎞ u +υ + Puυ = Q , u ⎜ (*) + Pυ ⎟ + υ =Q. dx dx dx ⎝ dx ⎠ dυ dυ В силу произвольности выберем υ такой, что + Pυ =0, тогда = − Pdx , υ dx − Pdx ln υ = − Pdx + lnc , значит υ = c e ∫ . О

∫

1

1

288

Лекции 10 - 11

− Pdx Положим c1 = 1 , получим υ = e ∫ . Подставляя полученное для υ выражение в ДУ (*), найдем u :

υ( x )

du du Q( x ) Q( x) , u=∫ = Q( x ) , dx + c . = υ ( x) dx υ ( x ) dx

В итоге общее решение имеет вид: ⎡ Q ( x) ⎤ y = υ ( x) ⎢ ∫ dx + c ⎥ . ⎣ υ ( x) ⎦ Пример: Найдите решение ДУ

dy 2 − y = ( x + 1) 3 , x ≠ −1 . dx x + 1

Решение:

dy dυ du Полагая y = uυ , получим, что =u + ⋅υ ,

dx dx dx du 2 2 dυ du ⎛ dυ ⎞ 3 − = ( x + 1) 3 . υ ⎟ +υ u + ⋅υ − uυ = ( x + 1) , u⎜ dx x + dx 1 dx dx x +1 ⎝ ⎠ 2dx 2 dυ dυ Найдем υ из ДУ , ln υ = 2 ln x + 1 = − υ = 0, dx x + 1 υ x +1 откуда υ = ( x + 1) 2 .

,

( x + 1) 2 du +c. Найдем u из ДУ: ( x + 1) 2 du = ( x + 1) 3 , = ( x + 1) , u = dx

Общее решение примет вид: y =

dx

2

4

( x + 1) + c( x + 1) 2 . 2

10.2.5. Уравнение Бернулли dy О ДУ + P( x) y = Q( x) y n , где P ( x ) , Q ( x) – непрерывные функции или dx постоянные, называется уравнением Бернулли. При n = 0 оно линейное, при n = 1 с разделяющимися переменными. dy + Py − n+1 = Q . Считаем, что n ≠ 0, 1 . Разделим ДУ на y n , получим y − n dx dz dy Сделаем замену переменной z = y − n+1 , тогда получим = (− n + 1) y − n ⋅ , dx dx dz + (− n + 1) Pz = (− n + 1)Q - линейное уравнение. dx Пример: Найдите решение ДУ Решение:

dy + xy = x3 y 3 . dx

289

Дифференциальные уравнения

Здесь P ( x) = x , Q ( x) = x 3 , n = 3 . Умножив уравнение на

1 , получим y −3 y′ + xy −2 = x 3 . y3

dz dy dz = −2 y −3 − 2 xz = −2 x3 . , dx dx dx dz dυ du dυ du =u + υ, + υ − 2 xuυ = −2 x3 , u dx dx dx dx dx

Заменяя z = y − n +1 = y −2 , получаем Полагая

z = uυ ,

du ⎛ dυ ⎞ u⎜ − 2 xυ ⎟ + υ = −2x3 , приходим к линейному dx ⎝ dx ⎠ 2 dυ dυ υ: − 2 xυ = 0 , = 2 xdx , откуда ln υ = x 2 , υ = e x . υ dx Тогда уравнение для u принимает вид: 2 du 2 ex = −2 x3 , du = −2e − x x3 dx , dx 2 2 − x2 3 откуда u = −2 ∫ e x dx = (по частям)= = x 2 e − x + e − x + c , 2

2

z = uυ = x 2 + 1 + ce x , y −2 = x 2 + 1 + ce x , y =

1 x 2 + 1 + ce x

2

ДУ

для

.

Заметим, что уравнение Бернулли можно решить как линейное, сразу сделав замену y = uυ .

10.2.6. Уравнение в полных дифференциалах*) О

Т

Уравнение P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если P( x, y ) и Q( x, y ) – непрерывные дифференци∂Q ∂P ∂Q ∂P руемые функции, для которых , причем и непрерывны = ∂x ∂y ∂x ∂y в некоторой области. Для того чтобы выражение Pdx + Qdy было полным дифференциалом некоторой функции двух переменных u ( x, y ) , необходимо и достаточно, ∂P ∂Q чтобы . = ∂y ∂x Докажем необходимость этого условия. Пусть du = Pdx + Qdy , тогда по определению дифференциала функции

∂u ∂u ∂Q ∂ 2u ∂P ∂ 2u , Q= . Вычислим и . двух переменных P = = = ∂x ∂x ∂x∂y ∂y ∂y ∂y∂x Известно, что вторые смешанные производные функции двух переменных равны друг другу, если они непрерывны.

290

Лекции 10 - 11

∂Q ∂P ∂ 2u ∂ 2u и Так как непрерывны по условию: , следователь= ∂x ∂y ∂x∂y ∂y∂x ∂P ∂Q и Pdx + Qdy = 0 , du = 0 , откуда u ( x, y ) = c . но, = ∂y ∂x Основываясь на вышеизложенном, решим ДУ в полных дифференциалах. Пример: Решить ДУ

2x y 2 − 3x 2 dx + dy = 0 . y3 y4

Решение:

2x y 2 − 3x 2 Q = , . y3 y4 1). Проверим, является ли полным дифференциалом выражение, стоящее ∂P 6 x ∂Q 6x =− 4 , =− 4 . в левой части ДУ. Вычислим ∂y ∂x y y 2 2 ∂P ∂Q 2x y − 3x = dy = du . , значит, 3 dx + Видим, что ∂y ∂x y y4 2). Так как выражение, стоящее в левой части уравнения, является пол⎧ ∂u 2 x ⎪ ∂x = y 3 , ∂u ∂u ⎪ dx + dy , и ⎨ ным дифференциалом, значит, du = 2 2 ∂x ∂y ⎪ ∂u = y − 3 x . ⎪⎩ ∂y y4 3). Интегрируя первое из уравнений системы, получаем: 2x x2 u ( x, y ) = ∫ 3 dx + ϕ ( y ) = 3 + ϕ ( y ) , где постоянная интегрирования по x y y представляет собой функцию ϕ ( y ) . 4). Для нахождения ϕ ( y ) продифференцируем по y полученное для Здесь P =

u ( x, y ) выражение:

∂u 3x 2 = − 4 + ϕ ′( y ) . ∂y y

5). Второе уравнение системы дает:

y 2 − 3x 2 3x 2 = − + ϕ ′( y ) , y4 y4

1 1 x2 1 ϕ = − + ( y ) c = − + c1 и общим u ( x , y ) , , значит, 1 y3 y y2 y x2 1 интегралом ДУ является выражение 3 − = c . y y откуда ϕ ′( y ) =

291

Дифференциальные уравнения

10.2.7. Таблица 1. Решение ДУ первого порядка

Вид уравнения 1. P ( x )dx + Q ( y )dy = 0

⎛ y⎞ 2. y′ = f ⎜ ⎟ ⎝x⎠

Тип уравнения с разделяющимися переменными

однородное

Метод решения непосредственное интегрирование

y , y = u⋅ x, x y′ = u ′ ⋅ x + u

u=

⎛ a x + b1 y + c1 ⎞ 3. y′ = f ⎜ 1 ⎟ ⎝ a2 x + b2 y + c2 ⎠

обобщенное однородное

⎧x = X + α, ⎨ ⎩y = Y + β; ⎧a1α + b1β + c1 = 0, ⎨ ⎩a2α + b2 β + c2 = 0; dY y′ = Y ′ = dX

4. y′ = P ( x) y + Q ( x)

линейное по y ( x )

y = u ⋅υ y′ = uυ ′ + u′υ

5. x′ = P ( y ) x + Q ( y )

линейное по x ( y )

x = u ⋅υ x′ = u′υ + uυ ′

6. y′ + P ( x) y = Q ( x) ⋅ y n

Бернулли

y = u ⋅υ

уравнение в полных дифференциалах

интегрирование системы ⎧ ∂u ⎪⎪ ∂x = P ( x, y ), ⎨ ∂u ⎪ = Q ( x, y ) ⎪⎩ ∂y

7. P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0 ∂P ∂Q = ∂y ∂x du ( x, y ) = 0

292

Лекции 10 - 11

10.2.8. Особые решения ДУ первого порядка Если ДУ первого порядка не разрешено относительно производной, т.е. имеет вид F ( x, y, y ′) = 0 , то через некоторые точки плоскости ( x, y ) может проходить не одна интегральная кривая, т.е. для некоторых начальных значений может нарушиться единственность решения. О

y Линия L называется огибающей однопараметрического семейства линий Φ ( x, y, c) = 0 , если она в каждой точке каса0 ется той или иной линии семейства, причем в различных точках линии L ее касаются различные линии данного семейства. Для определения огибающей служат следующие два уравнения:

x

⎧Φ ( x, y, c) = 0, ⎨ ⎩Φc′( x, y, c) = 0.

Пусть ДУ F ( x, y, y′) = 0 (*) имеет общий интеграл Φ( x, y, c) = 0 (**). Если это семейство интегральных кривых имеет огибающую, то огибающая также является интегральной кривой ДУ. ⎧Φ ( x, y, c) = 0, Уравнения ⎨ после исключения параметра c , определяют ′ Φ ( x , y , c ) = 0, ⎩ c функцию y = ψ ( x) . Если эта функция удовлетворяет ДУ (*) и не принадлежит семейству (**), то она называется особым решением ДУ. В каждой точке особого решения нарушается единственность решения. Пример:

Решите ДУ y 2 (1 + y′2 ) = R 2 . Решение: R2 − y2 ydy ydy dy , = dx , ( x − c) = ± ∫ . =± 2 2 dx y R2 − y 2 ± R −y

Вычислим ⎛ R2 − y2 = t ⎞ 1 dt 1 2 ydy =− ∫ = = ⎜ ⎟ ∫ 2 2 t R 2 − y 2 ⎝ dt = −2 ydy ⎠ 1

1

1 − 1 t2 = − ∫ t 2 dt = − = − t = − R2 − y 2 . 2 2 1 2

293

Дифференциальные уравнения

Итак, x − c = ± R 2 − y 2 , ( x − c ) = R 2 − y 2 . 2

Значит, Φ( x, y,c ) = ( x − c ) + y 2 − R 2 = 0 , 2( x − c )( −1 ) = 0 , 2

⎧( x − c )2 + y 2 = R 2 ⇒ y 2 = R 2 , откуда y = ± R , y1 = R, y2 = − R . ⎨ ⎩x = c Итак, y = ±R – огибающие, которые удовлетворяют ДУ, являются особыми решениями.

11.1. ДУ высших порядков y ( n ) = f ( x, y, y ′,..., y ( n −1 ) ) Задача Коши заключается в нахождении решения ДУ n-го порядка, удовлетворяющего заданным начальным условиям: ⎧ y (x 0 ) = y 0 , ⎪ y ′(x ) = y ′ , 0 0 ⎪ ⎨ # ⎪ ⎪ y ( n −1) (x ) = y ( n −1) . 0 0 ⎩ Т

Теорема Коши (существования и единственности решения ДУ n-го порядка). Если в ДУ y ( n ) = f ( x, y, y ′,..., y ( n −1 ) ) функция f ( x, y, y ′,..., y ( n −1 ) ) и ее частные производные по аргументам y, y ′,..., y ( n −1 ) непрерывны в некоторой области, содержащей значения x = x0 , y = y0 , y ′ = y0′ , …., y ( n −1 ) = y0( n −1 ) , то существует и притом единственное решение y = y( x ) ДУ, удовлетворяющее начальным условиям: y( x0 ) = y0 , y ′( x0 ) = y0′ , …, y ( n −1 ) ( x0 ) = y0( n −1 ) .

О

Общим решением ДУ n-го порядка называется функция y = ϕ ( x,c1 ,c2 ,...,cn ) , которая удовлетворяет ДУ при любых значениях постоянных. Частное решение ДУ (решение задачи Коши) может быть найдено из общего решения ДУ по заданным начальным условиям y( x0 ) = y0 ,

294

Лекции 10 - 11

y ′( x0 ) = y0′ , …., y ( n −1 ) ( x0 ) = y0( n −1 ) , из которых получаем систему уравнений:

( (

) )

⎧ y x 0 , c10 ,...cn0 = y 0 , ⎪ ⎪ y ′ x 0 , c10 ,...cn0 = y 0′ , ⎨ . . . ⎪. ⎪ y ( n −1) x , c 0 ,...c 0 = y ( n −1) n 0 1 0 ⎩

(

)

для определения постоянных c10 ,c20 ,....cn0 . Решение задачи Коши для ДУ n-го порядка имеет вид: y = ϕ ( x,c10 ,c2 0 ,...,cn 0 ) .

11.2. ДУ второго порядка

Решением ДУ y ′′ = f ( x, y, y ′ ) является функция y = ϕ ( x,c1 ,c2 ) , представляющая совокупность интегральных кривых. Задача Коши заключается и нахождении решения ДУ, проходящего через точку M 0 ( x0 , y0 ) : y ( x0 ) = y0 в заданном направлении: tgα 0 = y ′ ( x0 ) = y0′ .

11.3. Некоторые типы ДУ второго порядка, приводимые к ДУ первого порядка 11.3.1. ДУ y ′′ = f ( x ) Двукратное интегрирование дает: y ′ = ∫ f ( x )dx + c1 , y = ∫

( ∫ f ( x )dx ) dx + c x + c . 1

2

11.3.2. ДУ вида y ′′ = f ( x, y ′ ) d2 y ⎛ dy ⎞ Уравнение = f ⎜ x, ⎟ явно не содержит y(x). Сделаем замену пере2 dx ⎝ dx ⎠ dy dp dp d 2 y менной: p( x ) = , тогда = f ( x, p ) , = 2 и уравнение принимает вид dx dx dx dx откуда p = p ( x,c1 ) , y = ∫ p ( x,c1 ) dx + c2 .

295

Дифференциальные уравнения

Пример: Решите уравнение xy′′ = 2 x − y′ , если при x = 1 y =

1 , y′ = 1 . 2

Решение:

dp dp = 2 x − p , dp = 2 − p – однородное уравне, то x x dx dx dx ние первого порядка. p p Тогда = u , p = ux , p′ = u′x + u , и уравнение p′ = 2 − принимает вид: x x Если y ′ = p , y′′ =

u′x + u = 2 − u . u′x = 2(1 − u ), c1 x =

du 2(1 − u ) du dx 1 = = , ln c1 x = − ln(1 − u ) , , dx x 2(1 − u ) x 2

1 p 1 p 1 1 p , c1 x 1 − = 1 , 1 − = 2 2 , = 1 − 2 2 , p = x − 2 = y′ , c1 x x c1 x x c1 x x 1− u

dx x2 1 y , откуда = − ln x + c2 . c12 x 2 c12 1 Тогда y′( x) = x − 2 . c1 x Из начальных условий: ⎧1 1 = + c2 , ⎧c2 = 0, 1 ⎧ ⎪ ⎪ y (1) = , ⎪ 2 2 ⎪ ⇒⎨1 2 ⇒⎨ ⎨ ⎪1 = 1 − 12 ⎪ c 2 = 0. ⎩⎪ y′(1) = 1 ⎩ 1 c1 ⎪⎩ dy = xdx −

Значит, y =

x2 . 2

11.3.3. ДУ y ′′ = f ( y, y ′) Уравнение явно не содержит независимую переменную x. Пусть dy y ′ = p( y ) , т.е. = p( y ) = p ( y ( x ) ) является сложной функцией y , следоваdx dp dp dy dp dp тельно: y ′′ = = ⋅ = ⋅ p . Уравнение принимает вид: p ⋅ = f ( y, p ) , dx dy dx dy dy откуда p = p( y,c1 ) . dy dy = p ( y,c1 ) , Для нахождения y получили уравнение = dx и общий dx p ( y,c1 ) интеграл имеет вид Φ ( x, y,c1 ,c2 ) = 0 . Пример:

( y ′)2 . Решите ДУ y ′′ = y

296

Лекции 10 - 11

Решение: ⎛ dp p ⎞ dp dp p 2 и p⋅ = , p⎜⎜ − ⎟⎟ = 0 . dy dy y ⎝ dy y ⎠ ⎡ p = 0, Это уравнение равносильно совокупности решений ⎢⎢ dp p = . ⎣⎢ dy y

Пусть y ′ = p( y ) , тогда y ′′ = p ⋅

Решением первого уравнения совокупности

dy = 0 является y = c1 . dx

dp p dp dy = , = , ln p = ln y + lnc2 ( c2 ≠ 0 ) , dy y p y dy dy p= = c2 y , dy = c2 ydx , = c2 dx , lny = c2 x + lnc3 ( c3 ≠ 0 ) , y = c3 e c2 x . dx y Ответ: y1 = c1 , y2 = c3 e c2 x .

Найдем решение второго:

11.4. Таблица 2. Решение ДУ второго порядка, допускающих понижение порядка Вид ДУ 1. y′′ = f ( x)

Последовательное интегрирование

2. y′′ = f ( x, y′ )

p ( x) = y′ , p′ = y′′

3. y′′ = f ( y, y′ )

p ( y ) = y′ , y′′ =

4. y′′ =

y − xy′ x2

5. yy′′ + y′2 = x

Метод решения

p=

dp ⋅p dy

y y − xy′ , p′ = x x2

p = yy′ , p′ = y′2 + yy′′

11.5. ДУ n-го порядка, допускающие понижение порядка 11.5.1. ДУ вида y ( n ) = f ( x ) . Общее решение получается путем n-кратного интегрирования. Принимая во внимание, что y ( n ) = ( y ( n−1) ) ' , y ( n −1) = ∫ f ( x ) dx + C1 ,

y ( n−2) = ∫

( ∫ f ( x)dx ) dx + C x + C , …, 1

2

C1 x n −1 C2 x n−2 y = ∫ ...∫ f ( x) dx...dx + + + ... + Cn . (n − 1)! (n − 2)!

297

Дифференциальные уравнения

Пример: Найдите частное решение ДУ y′′′ = e 2 x , удовлетворяющее начальным условиям: y0 = 1 , y0′ = −1 , y0′′ = 0 при x0 = 0 . Решение: Последовательное интегрирование дает: 1 1 1 x2 y′′ = e2 x + c1 , y′ = e2 x + c1 x + c2 , y = e2 x + c1 + c2 x + c3 . 8 2 2 4 Из начальных условий y (0) = 1 , y′(0) = −1 , y′′(0) = 0 , что приводит к системе для определения постоянных c1 , c2 , c3 : 1 ⎧ 1 ⎧ ⎪1 = 8 + c3 , ⎪c1 = − 2 , ⎪ ⎪ 1 2x 1 2 5 7 5 1 ⎪ ⎪ откуда ⎨c2 = − , и y = e − x − x + . ⎨ −1 = + c2 , 8 4 4 8 4 4 ⎪ ⎪ 7 1 ⎪ ⎪ ⎪c3 = 8 , ⎪0 = 2 + c1 , ⎩ ⎩

Пример:

Найдите общий интеграл уравнения y " = sin(kx ) и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y |x =0 = 0, y ' |x =0 = 1 . 1 y ' = ∫ sin kxdx + C1 = − cos kx + C1 , k ⎛ 1 ⎞ y = ∫ ⎜ − cos kx + C1 ⎟ dx + C2 = ⎝ k ⎠ 1 1 = − ∫ cos kxdx + ∫ C1dx + C2 = − 2 sin kx + C1 x + C2 - общее решение. Из k k условия y |x =0 = 0 находим 0 = С2 . 1 1 Из условия y ' |x =0 = 1 находим: 1 = − + C1 → C1 = 1 + . k k sin kx ⎛ 1⎞ Таким образом, частное решение имеет вид: y = − 2 + x ⎜ 1 + ⎟ . k ⎝ k⎠

(

11.5.2. ДУ вида F y, y ', y ",..., y (

n)

)=0

Уравнение не содержит в явном виде независимую переменную x . Порядок уравнения понижается на единицу подстановкой: y ' = P ( y ), y" =

dP dP dy dP d ⎛ dP ⎞ = = P, y '" = ⎜ P⎟ = dx dy dx dy dx ⎝ dy ⎠ 2

2 ⎛ dP ⎞ d 2 P dy dP dy dP 2 d P =P 2 + =P + ⎜ ⎟ P. dy dx dy dx dy dy 2 ⎝ dy ⎠

298

Лекции 10 - 11

Пр им ер: Найдите общий интеграл уравнения y '2 + 2 yy " = 0 . dP P в уравнение дает: Подстановка y ' = P ( y ) , y " = dy dy ⎡ P ( y) = = 0, y = const ; ⎢ dP ( y ) dx 2 P ( y) + 2y P ( y) = 0 ⇒ ⎢ dy ⎢ P + 2 y dP = 0; ⎢⎣ dy 1 − 1 dP dP dy C = − P, = − , ln P = − ln y + ln C1 , P = C1 y 2 = 1 , 2y 2y 2 dy P y

dy C1 ; = dx y

ydy = C1dx;

(

2 32 y = C1 x + C2 . 3

11.5.3. ДУ вида F x, y ( ) ,..., y ( k

n)

)=0

Уравнение не содержит в явном виде функцию y и ее производные до ( k − 1) порядка включительно. Порядок уравнения понижается на k единиц с

(

помощью замены y ( k ) = P ( x ) . Имеем F x, P, P ',..., P (

n−k )

) = 0 . Если для по-

следнего уравнения найдено решение P ( x ) = ϕ ( x, C1 , C2 ,..., Cn − k ) , то искомая функция y ( x ) получается путем k - кратного интегрирования функции P ( x ) = ϕ ( x, C1 , C2 ,..., Cn − k ) . Пример:

Найдите общий интеграл уравнения xy '"+ y "− x − 1 = 0 . В уравнении явно не содержатся функции y , y ' . dP Сделаем замену y " = P ( x ) → y '" = . Подстановка приводит к линейному dx P 1 уравнению: P '+ = + 1 . x x Решение ищем в виде: uυ 1 = + 1, P ( x ) = u ( x )υ ( x ) , P ' = u 'υ + υ ' u, u 'υ + υ ' u + x x υ⎞ 1+ x ⎛ u ⎜ υ ' + ⎟ + u 'υ = , x⎠ x ⎝ υ dυ υ dυ dx =− ; =− , υ '+ = 0, x dx x υ x 1 1+ x 1 1+ x ln υ = − ln x → υ = , u 'υ = , u' = , x x x x

299

Дифференциальные уравнения

⎛ x2 ⎞1 x2 + x + C1 , P = uυ , P = ⎜ + x + C1 ⎟ , u ' = 1 + x, du = (1 + x ) dx, u = 2 ⎝ 2 ⎠x

P=

x C x C C ⎞ ⎛x + 1 + 1 , y " = + 1 + 1 , y ' = ∫ ⎜ + 1 + 1 ⎟ dx + C2 = x x x ⎠ 2 2 ⎝2

⎛ x2 ⎞ x2 = + x + C1 ln x + C2 , y = ∫ ⎜ + x + C1 ln x + C2 ⎟dx + C3 . 4 ⎝ 4 ⎠ u = ln x 1 du = dx 1 = x ln x − ∫ x dx = x ln x − x = x ( ln x − 1) ; x ∫ ln xdx = x dυ = dx υ=x

y=

x3 x2 + + C1 x ( ln x − 1) + C2 x + C3 . 12 2

(

)

d n −1 G x, y , y ',..., y ( ) ( x ) = 0 dx Левая часть ДУ такого вида может быть представлена в виде полной производной по x от некоторой функции. Покажем, что интегрирование по x понижает порядок уравнения на единицу. 11.5.4. ДУ вида

Пример: ⎛ x2 ⎞ x2 xy '"+ y "− x − 1 = 0, ( xy ") ' = ⎜ + x ⎟ ', xy " = + x + C1 , 2 ⎝ 2 ⎠ x C y" = +1+ 1 . 2 x

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студенты должны различать и уметь решать: ƒ основные типы ДУ первого порядка, ƒ некоторые типы ДУ второго порядка, приводимые к ДУ первого порядка, ƒ ДУ n-го порядка, допускающие понижение порядка. ƒ .

Лекции 12 - 13 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В лекции рассмотрены линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) и методы их решения. Особое внимание уделено линейным ДУ с постоянными коэффициентами, возникающим как простейшая математическая модель явления при рассмотрении многих задач естественных и прикладных наук.

12.1. Общая теория линейных дифференциальных уравнений высшего порядка. Определения и общие свойства 12.2. Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 12.3. Таблица 3. Решение ОЛДУ второго порядка 12.4. ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами 12.5. Таблица 4. ОЛДУ n-го порядка 12.6. НЛДУ второго порядка 13.1. Решение НЛДУ второго порядка методом вариации произвольных постоянных 13.2. Решение НЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов 13.3. Таблица 5. Решение НЛДУ y′′ + py′ + qy = f ( x) 13.3.1. Метод неопределенных коэффициентов 13.3.2. Метод вариации произвольной постоянной 13.3.3. Принцип суперпозиции 13.4. НЛДУ высших порядков 13.4.1. Метод вариации произвольных постоянных 13.4.2. Метод неопределенных коэффициентов 13.5. Таблица 6. Решение НЛДУ n-го порядка 13.5.1. Метод неопределенных коэффициентов 13.5.2. Метод вариации произвольной постоянной

12.1. Общая теория линейных дифференциальных уравнений высшего порядка. Определения и общие свойства О

Линейным называется ДУ, содержащее функцию у и ее производные в первой степени.

О

Неоднородным линейным дифференциальным уравнением (НЛДУ) n-го порядка называется ДУ вида: y ( n ) + a1 y ( n −1) + ... + an y = f ( x) ,

301

Линейные дифференциальные уравнения

где ai ( i = 1,2,..., n ) и f ( x) - непрерывные функции от х или постоянные, причем правая часть f ( x) ≠ 0 . О Линейное ДУ называется однородным (ОЛДУ), если f ( x ) = 0 . Рассмотрим ОЛДУ второго порядка: y′′ + a1 y′ + a2 y = 0 . Пусть y1 = y1 ( x) и y2 = y2 ( x) - частные решения ДУ. О

Два решения ДУ y1 и y2 называются линейно независимыми, если их линейная комбинация c1 y1 + c2 y2 = 0 лишь в случае c1 = c2 = 0 . Решения y1 и y2 будут линейно зависимы тогда и только тогда, когда y2 = cy1 . Например, функции y1 = e x и y2 = 3e x - линейно зависимы, а функции y1 = e x и y2 = e − x - линейно независимы.

О

Если

Т

и y2 являются функциями x , то определитель y y2 W ( y1 , y2 ) = 1 = y1 y2′ − y1′ y2 называется определителем Вронского. y1′ y2′ y1

Если функции y1 и y2 линейно зависимы на [a, b] , то W ( y1 , y2 ) ≡ 0 , x ∈ [ a, b] . Доказательство: y y2 y1 λ y1 y y y2 = λ y1 → y2′ = λ y1′ и W ( y1 , y2 ) = 1 = = λ 1 1 = 0. y1′ y2′ y1′ λ y1′ y1′ y1′

Т

Если решения y1 и y2 ДУ линейно независимы на [a, b] , то W ( y1 , y2 ) ≠ 0, x ∈ [a, b] . Доказательство: Допустим противное: W ( y1 , y2 ) = 0 , тогда y1 y2′ − y1′ y2 = 0 . Для y1 ≠ 0 : ′ ⎛ y2 ⎞ y y1 y2′ − y1′ y2 = 0 , т.е. ⎜ ⎟ = 0 и 2 = const , что противоречит условию, 2 y1 y1 ⎝ y1 ⎠ значит, W ≠ 0 .

Т

Если y1 и y2 - линейно независимые частные решения ОЛДУ второго порядка y′′ + a1 y′ + a2 y = 0 , то общее решение ДУ равно линейной ком-

302

Лекции 12 - 13

бинации этих частных решений y = c1 y1 + c2 y2 , где c1 , c2 - произвольные постоянные. Доказательство: y1′′ + a1 y1′ + a2 y1 = 0, y2′′ + a1 y2′ + a2 y2 = 0 . Подставим решение в виде y = c1 y1 + c2 y2 в исходное уравнение: ″ ′ ( c1 y1 + c2 y2 ) + a1 ( c1 y1 + c2 y2 ) + a2 ( c1 y1 + c2 y2 ) = = c1 ( y1′′ + a1 y1′ + a2 y1 ) + c2 ( y2′′ + a1 y2′ + a2 y2 ) = c1 ⋅ 0 + c2 ⋅ 0 = 0 ,

значит, y = c1 y1 + c2 y2 - общее решение ОЛДУ при любом выборе постоянных. Пример:

Решите уравнение ( x − 1) y′′ − xy′ + y = 0 . Решение: Подстановкой в уравнение убеждаемся, что функции y1 = x, y2 = e x y удовлетворяют уравнению, причем 2 ≠ const , т.е. они линейно незавиy1 симы, значит y = c1 x + c2 e x .

Т

Если известно одно частное решение ОЛДУ 2-го порядка y1 , то второе частное решение, линейно независимое с первым, находится интегрированием линейного дифференциального уравнения (ЛДУ) первого порядка. Доказательство: Пусть y′′ + a1 y′ + a2 y = 0 ; y1 частное решение, значит, y1′′ + a1 y1′ + a2 y1 = 0 . Второе частное решение ищем в виде y2 = u ( x) y1 , где u ( x) - неизвестная функция. Подставим y2 в ДУ: ( y1′′ + a1 y1′ + a2 y1 ) ⋅ u + y1u′′ + ( 2 y1′ + a1 y1 ) u′ = 0 , y1u′′ + ( 2 y1′ + a1 y1 ) u′ = 0 . Заменой u′ = p , приходим к ДУ первого порядка для нахождения функции р: y1 p′ + ( 2 y1′ + a1 y1 ) p = 0 , интегрирование которого позволяет найти функцию u ( x) и y2 = u ( x ) y1 , т.е.

− a1dx e∫ y2 = y1 ∫ 2 dx . y1

12.2. Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим уравнение

303

Линейные дифференциальные уравнения

y′′ + py′ + qy = 0 . (*) Ищем его решение в виде y = e kx (подстановка Эйлера), найдем значения k . Продифференцируем y : y′ = ke kx , y′′ = k 2e kx . Подстановка такого вида решения в ДУ дает: k 2e kx + pke kx + qe kx = 0 , k 2 + pk + q = 0 . О

Уравнение k 2 + pk + q = 0

(**)

называется характеристическим уравнением ОЛДУ для определения k. Решения характеристического уравнения имеют вид: p k1,2 = − ± 2

p2 −q. 4

Возможны следующие виды решений: p2 1). Если D = − q > 0 , то характеристическое уравнение имеет два действи4 тельных различных корня k1 и k2 , k1 ≠ k2 . В этом случае ОЛДУ имеет два линейно независимых ( k1 ≠ k2 ) различных частных решения y1 = e k1x , y2 = e k2 x . Общее решение ДУ имеет вид: y = c1e

k1 x

+ c2e

k2 x

p , где k1,2 = − ± 2

p2 −q. 4

Пример: Найдите решение ОЛДУ y ′′ − 2 y ′ − 8 y = 0 . k 2 − 2k − 8 = 0, k1 = 4, k 2 = −2, y = c1e 4 x + c 2 e −2 x .

p2 2). Если D = − q = 0 , то k1 = k2 и характеристическое уравнение имеет ко4 p − x p 2 рень k = − кратности два. Одно частное решение имеет вид: y1 = e . Вто2 рое линейно независимое частное решение ищем в виде:

y2 = y1 ⋅ u ( x) = e

p − x 2

⋅u,

тогда y2′ = e

p − x 2

⋅ u′ + e

−

p x 2

p − x⎛ p ⎞ ⎛ p⎞ 2 ⎜ − ⎟ u = e ⎜ u′ − u ⎟ , 2 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝

304

Лекции 12 - 13

y2′′ = e

−

p x 2

p p p2 ⎞ ⎛ ′′ p ′ ⎞ p − 2 x ⎛ ′ p ⎞ − 2 x ⎛ ′′ ′ u u e u u e u pu u⎟. − − − = − + ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 2 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

p − x 2

подстановки в ОЛДУ и сокращения на e получим 2 2 p p u′′ − pu′ + u + pu′ − u + qu = 0 , и уравнение для u ( x ) принимает вид: 4 2

После

⎛ p2 ⎞ u′′ + ⎜ q − ⎟u = 0 . 4 ⎝ ⎠

В рассматриваемом случае равных корней характеристического уравнения p − x p2 2 D=q− = 0 , и тогда u′′ = 0, u′ = C1 , u = C1 x + C2 , y2 = ( C1 x + C2 ) e . По4 p − x 2

ложим, C1 = 1, C2 = 0 , тогда y2 = xe . Общее решение ОЛДУ в случае k1 = k2 = k имеет вид: p y = e kx ( c1 + c2 x ) , где k = − . 2 kx ! Убедиться в том, что выражение y2 = xe является вторым линейно независимым решением дифференциального уравнения при условии, что p k = − является решением характеристического уравнения, можно не2 посредственной подстановкой. Пример: y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 0 . k 2 − 6k + 9 = 0, k1 = k 2 = 3 ± 9 − 9 = 3, y = (c1 + c 2 x )e 3 x .

p2 3). Если D = − q < 0 , то характеристическое уравнение имеет два сопря4 p p2 женных комплексных корня k1,2 = − ± i q − , k1 = α + β i, k2 = α − β i , где 2 4 p p2 . α =− , β = q− 2 4 Частные решения имеют вид: y1 = e (α + β i ) x , y2 = e(α − β i ) x .

(

)

Общее решение y = c1e(α +β i ) x + c2 e(α −β i ) x = eα x c1eiβ x + c2 e− iβ x , где c1 и c2 - та-

кие комплексные постоянные, что у – действительная функция.

305

Линейные дифференциальные уравнения

По формуле Эйлера: eiβ x = cos β x + i sin β x , e − iβ x = cos β x − i sin β x , тогда y = eα x ⎡ c1 + c2 cos β x + i c1 − c2 sin β x ⎤ . Полагая c1 + c2 = c1 , i c1 − c2 = c2 , ⎣ ⎦ c1 , c2 - действительные постоянные, получим общее решение ОЛДУ в виде

(

)

(

(

)

)

p p2 =α ± i β . y = e ( c1 cos β x + c2 sin β x ) , где k1,2 = − ± i q − 2 4 αx

4). В частном случае y′′ + β 2 y = 0 , когда p = 0, q = β 2 , α = 0 , k1,2 = ± β i , общее решение имеет вид: y = c1 cos β x + c2 sin β x . Пример: y ′′ − 6 y ′ + 13 y = 0 . k 2 − 6k + 13 = 0, k = 3 ± 2i, α = 3, β = 2 , y = e 3 x (c1 cos 2 x + c 2 sin 2 x ) .

12.3. Таблица 3. Решение ОЛДУ второго порядка y ′′ + py′ + qy = 0 , k 2 + pk + q = 0 Корни характеристического уравнения

⎡k p p2 −q =⎢ 1 1. D > 0, k1,2 = − ± 2 4 ⎣ k2 действительные, разные. p 2 действительные, равные, кратность 2.

Вид общего решения y = c1e k1x + c2e k2 x

2. k1 = k2 = k = −

y = ( c1 + c2 x ) e kx

p p2 3. k1,2 = α ± i β , α = − , β = q − 2 4 комплексные.

y = eα x ( c1 cos β x + c2 sin β x )

4. k1,2 = ±i β , α = 0

y = c1 cos β x + c2 sin β x

306

Лекции 12 - 13

12.4. ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами y ( n ) + a1 y ( n-1 ) + ...+ an y = 0 , ai = const О

Функции ϕ1 ( x), ϕ 2 ( x),...,ϕ n ( x) называются линейно независимыми, если никакая из них линейно не выражается через другие для всех x ∈ [a, b] , т.е. c1ϕ1 + c2ϕ 2 + ... + cnϕ n ≠ 0 , если ci - постоянные, не все равные нулю.

Т

Если функции y1 , y2 ,..., yn являются линейно независимыми частными решениями ОЛДУ n-го порядка, то его общее решение есть y = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn , где ci - произвольные постоянные. Число линейно независимых частных решений ДУ равно степени характеристического уравнения или порядку ОЛДУ. Найдя n частных решений, можно записать общее решение ОЛДУ. Составим характеристическое уравнение ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами: k n + a1k n−1 + a2 k n−2 + ... + an = 0 . Найдем его корни k1 , k2 ,..., kn . В зависимости от корней характеристического уравнения частные линейно независимые решения ОЛДУ имеют разный вид.

1). Каждому действительному однократному корню k соответствует частное решение вида y = e kx . 2). Каждому действительному корню k кратности r соответствует r линейно независимых решений:

⎡ y1 = ekx , ⎢ kx ⎢ y2 = xe , ⎢ y = x 2ekx , ⎢ 3 ⎢................... ⎢ r −1 kx ⎢⎣ yr = x e 3). Каждой паре комплексных корней k1,2 = α ± i β соответствуют два частных решения: ⎡ y1 = eα x cos β x, ⎢ αx ⎣ y2 = e sin β x.

307

Линейные дифференциальные уравнения

4). Каждой паре комплексных корней k1,2 = α ± i β кратности µ соответствует 2µ частных решений: ⎡ y1 = eα x cos β x, ⎢ αx ⎢ y2 = xe cos β x, ⎢.......... ⎢ µ −1 α x ⎢ y µ = x e cos β x, ⎢ αx ⎢ y µ +1 = e sin β x, ⎢ αx ⎢ y µ +2 = xe sin β x, ⎢.......... ⎢ µ −1 α x ⎢⎣ y2 µ = x e sin β x.

12.5. Таблица 4. ОЛДУ n-го порядка y ( n ) + a1 y ( n-1 ) + a 2 y ( n-2 ) + ...+ an y = 0 , ai = const , k n + a1 k n-1 + a 2 k n-2 + ...+ an = 0 Корни характеристического уравнения

Вклад указанных корней в общее решение ДУ

1. Действительные, разные k1 ≠ k2 ≠ k3 ≠ ... ≠ kn

y = c1e k1x + c2e k2 x + ... + cn e kn x

2. Действительные, кратности r ≤ n k1 = k2 = k3 = ... = kr = k

y = ( c1 + c2 x + c3 x 2 + ... + cr x r −1 ) e kx

3. Комплексные, разные k1 = α1 ± i β1 , k2 = α 2 ± i β 2 ,...

y = eα1x ( c1 cos β1 x + c2 sin β1 x ) +

..., kn = α n ± i β n , α1 ≠ α 2 ≠ ... ≠ α n ,

β1 ≠ β 2 ≠ ... ≠ β n . 4. Комплексные, кратности r = 3 k1 = k2 = k3 = α + i β

+eα 2 x ( c3 cos β 2 x + c4 sin β 2 x ) + ... + +eα n x ( c2 n−1 cos β n x + c2 n sin β n x ) .

( c + c x + c x ) cos β x + + ( c + c x + c x ) sin β x ] y = eα x [

2

1

2

2

4

5

6

3

308

Лекции 12 - 13

Пример:

Решите уравнение y′′′ − y = 0 . Решение: Характеристическое уравнение: k 3 − 1 = 0,

( k − 1) ( k 2 + k + 1) = 0 ,

1 3 . откуда k1 = 1 , k2,3 = − ± i 2 2 x − 3 3 x , y3 = e 2 sin x. 2 2 x − ⎡ 3 3 ⎤ x 2 Общее решение имеет вид: y = c1e + e ⎢ c2 cos x + c3 sin x⎥ . 2 2 ⎦ ⎣ −

x

Частные решения имеют вид: y1 = e x , y2 = e 2 cos

12.6. НЛДУ второго порядка НЛДУ второго порядка имеет вид: y′′ + a1 y′ + a2 y = f ( x) , где ai и f ( x) известные функции. Т

Общее решение НЛДУ yO. H . = y равно сумме общего решения yO .O . = y соответствующего однородного уравнения y′′ + a1 y′ + a2 y = 0 и частного yЧ . Н . = y данного неоднородного уравнения решения y′′ + a1 y′ + a2 y = f ( x) , то есть y = y + y . Доказательство: Для y , y справедливо: y′′ + a1 y′ + a2 y = 0, y′′ + a1 y′ + a2 y = f ( x) . Сложим ″ ′ эти уравнения почленно: ( y + y ) + a1 ( y + y ) + a2 ( y + y ) = f ( x) , значит, y = y + y является общим решением НЛДУ.

13.1. Решение НЛДУ второго порядка методом вариации произвольных постоянных Пусть известно общее решение ОЛДУ y = c1 y1 + c2 y2 , где c1 , c2 − const . Найдем общее решение НЛДУ методом вариации произвольных постоянных. Будем искать общее решение НЛДУ в виде y ( x ) = c1 ( x ) y1 + c2 ( x ) y2 , считая c1 и c2 неизвестными функциями x . Найдем c1 ( x), c2 ( x) . Вычислим производную: y′ = c1 y1′ + c1′ y1 + c2 y2′ + c2′ y2 . Подберем c1 ( x) и c2 ( x) так, чтобы c1′ y1 + c2′ y2 = 0 , тогда y′ = c1 y1′ + c2 y2′ , а y′′ = c1 y1′′ + c1′ y1′ + c2 y2′′ + c2′ y2′ .

309

Линейные дифференциальные уравнения

Подстановка этих выражений в НЛДУ дает:

( c1 y1′′ + c1′ y1′ + c2 y2′′ + c2′ y2′ ) + a1 ( c1 y1′ + c2 y2′ ) + a2 ( c1 y1 + c2 y2 ) =

f ( x) ,

c1 ( y1′′ + a1 y1′ + a2 y1 ) + c2 ( y2′′ + a1 y2′ + a2 y2 ) + c1′ y1′ + c2′ y2′ = f ( x) .

Выражения в круглых скобках равны нулю, так как y1 и y2 - частные решения соответствующих ОЛДУ. Значит, c1′ y1′ + c2′ y2′ = f ( x) . Получаем, что yO. H . = c1 ( x) y1 + c2 ( x) y2 , если c1 ( x) и c2 ( x) удовлетворяют системе: ⎧c1′ y1 + c2′ y2 = 0, ⎨ ⎩c1′ y1′ + c2′ y2′ = f ( x).

Для линейно независимых функций y1 и y2 определитель системы ∆ = W ( y1 , y2 ) ≠ 0 , и можно найти решение системы: c1′ = ϕ1 ( x), c2′ = ϕ 2 ( x) и искомые функции c1 ( x ) = ∫ ϕ1 ( x ) dx + c1 , c2 ( x) = ∫ ϕ 2 ( x) dx + c2 . Пример:

y′ = x. x y′ y ′′ 1 = , ln y′ = ln x + ln c , Найдем решение ОЛДУ: y′′ − = 0 , y′ x x y′ = cx , yO.O. = c1 x 2 + c2 .

Найдите решение НЛДУ: y′′ −

Частные решения ОЛДУ: y1 = x 2 , y2 = 1 . Найдем yO. H . = c1 ( x) y1 + c2 ( x) y2 . ⎧c1′ ⋅ x 2 + c2′ ⋅1 = 0, ⎧c1′ y1 + c2′ y2 = 0, ⇔⎨ ⎨ ⎩c1′ y1′ + c2′ y2′ = f ( x), ⎩2c1′ ⋅ x + c2′ ⋅ 0 = x. 1 1 x x3 Отсюда c1′ = , c2′ = − x 2 , c1 = + c1 , c2 = − + c2 . 2 2 2 6 3 3 3 ⎛ x ⎞ x3 x x ⎛x ⎞ + c1 x 2 + c2 . yO. H . = ⎜ + c1 ⎟ x 2 + ⎜ − + c2 ⎟ ⋅1 = − + c1 x 2 + c2 = 3 2 6 ⎝2 ⎠ ⎝ 6 ⎠

13.2. Решение НЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов y′′ + py′ + qy = f ( x ) Ранее (п. 12.6) доказано, что общее решение НЛДУ имеет вид: yO. H . = yO.O. + yЧ . Н . = y + y , где y - общее решение соответствующего ОЛДУ,

310

Лекции 12 - 13

характеристическое уравнение которого k 2 + pk + q = 0 , а y - частное решение НЛДУ. Частное решение НЛДУ y может быть найдено методом неопределенных коэффициентов для некоторых видов функции f ( x) в правой части уравнения и корней характеристического уравнения его левой части. Рассмотрим следующие случаи: 1. Если f ( x ) = aeα x , a ≠ 0 , то y нужно искать в виде y = Aeα x , где А – произвольная постоянная, подлежащая определению. Последовательное дифференцирование дает: y′ = Aα eα x , y′′ = Aα 2eα x . Подставляя эти выражения в НЛДУ и сокращая на eα x , получим A (α 2 + pα + q ) = a .

(*)

1). Если α

не является корнем характеристического уравнения, т.е. a и y = Aeα x . α 2 + pα + q ≠ 0 , то уравнение (*) имеет решение A = 2 α + pα + q 2). Если α является корнем характеристического уравнения, то y нужно искать в другом виде. Так, если α - простой (однократный) корень характеристического уравнения, то y = Axeα x ; если α - двукратный корень характеристического уравнения, то y = Ax 2eα x . Пример: Найдите решение НЛДУ y ′′ − 5 y ′ + 6 y = e x . Решение: Для ОЛДУ y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 0 , k 2 − 5k + 6 = 0 , k1 = 3, k 2 = 2 и y = c1e 3 x + c2 e 2 x . Для f ( x ) = e x α = 1 , так как k1 , k 2 ≠ α , то ~ y = Ae x . Найдем А. ~ y ′ = Ae x , ~ y ′′ = Ae x . Подстановка в уравнение дает: Ae x − 5 Ae x + 6 Ae x = e x , откуда 2 A = 1, A =

1 2

1 ~ y = ex . 2 1 2

Окончательно, y = y + ~y = c1e 3 x + c 2 e 2 x + e x .

2. f ( x) = ax 2 + bx + c = P2 ( x) . Частное решение ищем в виде y = Q2 ( x) = Ax 2 + Bx + C ; найдем A, B, C. y′ = 2 Ax + B, y′′ = 2 A, 2 A + 2 Apx + pB + Aqx 2 + Bqx + Cq = ax 2 + bx + c , Aqx 2 + (2 Ap + Bq) x + (2 A + Bp + Cq ) = ax 2 + bx + c .

и

311

Линейные дифференциальные уравнения

Неопределенные коэффициенты находятся из системы:

⎧ Aq = a, ⎪ ⎨2 Ap + Bq = b, ⎪ ⎩2 A + Bp + Cq = c. 1). Если число «0» не является корнем характеристического уравнения, то y = Ax 2 + Bx + C ; 2). Если число «0» является простым корнем характеристического уравнения, тогда частное решение нужно искать в виде y = x ( Ax 2 + Bx + C ) . 3). Если число «0» является двукратным корнем характеристического уравнения, тогда y = x 2 ( Ax 2 + Bx + C ) . Пример: Решите ДУ Решение Для ОЛДУ

y′′ = x 2 + y , если y (0) = −2, y′(0) = 1 . y′′ − y = 0, k 2 − 1 = 0, k1 = 1, k2 = −1 и y = c1e x + c2 e − x .

Так как f ( x ) = x 2 , y = Ax 2 + Bx + C . Значит, 2 A − ( Ax 2 + Bx + C ) = x 2 .

⎧ − A = 1, ⎪ откуда A = −1, B = 0, C = −2 и y = − x 2 − 2 . ⎨ − B = 0, ⎪ 2 A − C = 0, ⎩ y = y + y = c1e x + c2 e − x − ( x 2 + 2) , y′ = c1e x − c2 e − x − 2 x . При x = 0 y (0) = −2, y′(0) = 1 , ⎧ −2 = c1 + c2 − 2; ⎨ ⎩1 = c1 − c2 ,

1 1 откуда c1 = , c2 = − . 2 2 Общее решение НЛДУ имеет вид: y =

1 x −x e − e ) − ( x2 + 2) . ( 2

3. Если f ( x) = Pn ( x) , α = 0 , то решение y нужно искать в следующем виде: 1) если число «0» не является корнем характеристического уравнения, то y = Qn ( x) ; 2) если число «0» является простым корнем характеристического уравнения, то y = xQn ( x) ; 3) если число «0» является двукратным корнем характеристического уравнения, то y = x 2Qn ( x ) , где Qn ( x) - многочлен n-го порядка с коэффициентами, подлежащими определению.

312

Лекции 12 - 13

4. Если f ( x ) = Pn ( x)eα x , где Pn ( x) - многочлен n-го порядка, то решение y нужно искать в следующем виде в зависимости от значений корней характеристического уравнения: 1) если α не является корнем характеристического уравнения, то y = Qn ( x)eα x , где Qn - многочлен n-ой степени с неопределенными коэффициентами, подлежащими определению подстановкой в НЛДУ; 2) если α - простой (однократный) корень характеристического уравнения, то y = xQn ( x )eα x ; 3) если α - двукратный корень характеристического уравнения, то y = x 2Qn ( x )eα x . 5. f ( x) = M cos β x + N sin β x . Будем искать частное решение в виде y = A cos β x + B sin β x , найдем А и В. y′ = − Aβ sin β x + B β cos β x , y′′ = − Aβ 2 cos β x − B β 2 sin β x . Подстановка в НЛДУ дает: ( − Aβ 2 + Bpβ + Aq ) cos β x + ( − Bβ 2 − Apβ + Bq ) sin β x = M cos β x + N sin β x . Из системы

⎧ A ( q − β 2 ) + Bp β = M ; ⎪ ⎨ 2 ⎪⎩− Ap β + B ( q − β ) = N

найдем А и В. 1). Если число i β не является корнем характеристического уравнения, то y = A cos β x + B sin β x ; 2). Если число i β является корнем характеристического уравнения, то y = x ( A cos β x + B sin β x ) . Пример:

Решите уравнение y′′ − 4 y′ + 4 y = cos x . Решение: y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 , k 2 − 4k + 4 = 0 , k1,2 = 2 ± 4 − 4 = 2 , y = ( c1 + c2 x ) e 2 x .

β = 1, k1,2 ≠ β : y = A cos x + B sin x . Найдем А и В. y′ = − A sin x + B cos x, y′′ = − A cos x − B sin x ;

( − A cos x − B sin x ) − 4 ( − A sin x + B cos x ) + 4 ( A cos x + B sin x ) = cos x ; ( − A − 4 B + 4 A ) cos x + ( − B + 4 A + 4 B ) sin x = cos x ; ⎧3 A − 4 B = 1, 3 4 3 4 → A = , B = − ⇒ y = cos x − sin x ; ⎨ 25 25 25 25 ⎩ 4 A + 3B = 0, 3 4 y = ( c1 + c2 x ) e 2 x + cos x − sin x . 25 25

313

Линейные дифференциальные уравнения

Пример:

Найдите решение НЛДУ y′′ + 4 y = cos 2 x . Решение: k 2 + 4 = 0 → k1,2 = ±2i . y = y + ~y .

y = c1 cos 2 x + c2 sin 2 x . Так как 2i является корнем характеристического уравнения: y = x ( A cos 2 x + B sin 2 x ) , y′ = 2 x ( − A sin 2 x + B cos 2 x ) + A cos 2 x + B sin 2 x , y′′ = 4 x ( − A cos 2 x − B sin 2 x ) + 4 ( − A sin 2 x + B cos 2 x ) .

Подстановка в уравнение дает: ( −4 Ax + 4 B + 4 Ax ) cos 2 x + ( −4 Bx − 4 A + 4 Bx ) sin 2 x = cos 2 x , откуда ⎧4 B = 1, x 1 → A = 0, B = , y = sin 2 x ⎨ 4 4 ⎩−4 A = 0,

и

x y = c1 cos 2 x + c2 sin 2 x + sin 2 x . 4

6. Если f ( x) = Pn ( x)eα x cos β x + Qm ( x)eα x sin β x , то y в зависимости от корней характеристического уравнения нужно искать в виде: 1) если число α + iβ не является корнем характеристического уравнения, то y = R p ( x)eα x cos β x + V p ( x)eα x sin β x , где R p ( x ) и V p ( x) - многочлены с неопределенными коэффициентами, степень которых равна наивысшей степени многочленов Pn ( x) и Qm ( x) , p = max(n, m) ; 2) если число α + i β является корнем характеристического уравнения, то y = x[ R p ( x)eα x cos β x + V p ( x )eα x sin β x ] .

!

Указанный вид частного решения сохраняется и в тех случаях, когда один из многочленов равен нулю, т.е. f ( x ) = Pn ( x)eα x cos β x или f ( x) = Qm ( x)eα x sin β x .

Т

Пусть НЛДУ таково, что его правая часть представляет собой сумму нескольких, например, двух функций y′′ + a1 y′ + a2 y = f1 ( x) + f 2 ( x) . Тогда если y1 - частное решение y′′ + a1 y′ + a2 y = f1 ( x) , а y2 - частное решение y′′ + a1 y′ + a2 y = f 2 ( x) , то частное решение исходного НЛДУ есть суперпозиция этих двух: y = y1 + y2 .

314

Лекции 12 - 13

13.3. Таблица 5. Решение НЛДУ y′′ + py′ + qy = f ( x ) y = yO.O. + yЧ.Н. = y + y 13.3.1. Метод неопределенных коэффициентов

f ( x)

Корни характеристического уравнения

Вид yЧ . Н . = y

а) 0 – не корень б) 0 – корень кратности r (r =1,2)

y = Qn ( x)

2. e Pn ( x )

а) α – не корень б) α – корень кратности r (r =1,2)

y = eα xQn ( x) y = x r eα xQn ( x)

3. A cos β x + B sin β x

а) i β – не корень б) i β – корень

y = A1 cos β x + B sin β x y = x r ( A1 cos β x + B1 sin β x )

4. Pn ( x)cos β x + + Rm ( x)sin β x

а) i β – не корень б) i β – корень

1. Pn ( x)

αx

y = x r Qn ( x)

y = Qk cos β x + M k sin β x , y = x r [Qk cos β x + M k sin β x] , k = max(n, m) .

а) α + iβ – не корень y = eα x [Qk cos β x + M k sin β x] , б) α + iβ – корень y = x r eα x [Qk cos β x + M k sin β x] кратности r (r =1,2) Здесь Q и M – многочлены с неизвестными коэффициентами. 5. eα x [ Pn ( x )cos β x + + Rm ( x)sin β x]

13.3.2. Метод вариаций произвольной постоянной yO. H . = c1 ( x) y1 + c2 ( x) y2 , если y1 и y2 - частные решения ОЛДУ и ⎧c1′ y1 + c2′ y2 = 0, ⎨ ⎩c1′ y1′ + c2′ y2′ = f ( x).

13.3.3. Принцип суперпозиции Если f ( x) = f1 ( x) + f 2 ( x) + ... + f n ( x) , то y = y1 + y2 + ... + yn .

Линейные дифференциальные уравнения

315

13.4. НЛДУ высших порядков y ( n ) + a1 y ( n−1) + ... + an y = f ( x), ai (i = 1,2,..., n) , f ( x) – непрерывные функции или постоянные. Пусть известно общее решение y = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn

соответствующего ОЛДУ: y ( n ) + a1 y ( n−1) + ... + an y = 0 . 13.4.1. Метод вариации произвольных постоянных Т

Общее решение НЛДУ имеет вид y = c1 ( x) y1 + c2 ( x) y2 + ... + cn ( x) yn , где yi (i =1,2,…, n) – частные решения ОЛДУ, а ci = ci ( x) (i =1,2,…, n) – функции, производные которых удовлетворяют системе уравнений:

⎧c1′ y1 + c2′ y2 + ... + cn′ yn = 0, ⎪ ⎪c1′ y1′ + c2′ y2′ + ... + cn′ yn′ = 0, ⎪ ⎨.............................................. ⎪c′ y ( n−2) + c′ y ( n−2) + ... + c′ y ( n−2) = 0, 2 2 n n ⎪1 1 ( n 1) ( n 1) − − ⎪⎩c1′ y1 + c2′ y2 + ... + cn′ yn ( n−1) = f ( x),

(*)

т.е. являются решением этой системы {c1′ ( x), c2′ ( x),..., cn′ ( x)} при ∆ = W ( y1 , y2 ,..., yn ) ≠ 0 для линейно независимых частных решений y1 , y2 ,..., yn и имеют вид:

⎡c1 ( x) = c1′dx + c1 , ∫ ⎢ ⎢c2 ( x) = c2′ dx + c2 , ∫ ⎢ ⎢............................... ⎢ ⎢⎣cn ( x) = ∫ cn′ dx + cn . Доказательство: Продифференцируем у n раз, учитывая (*): y = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn , y′ = c1 y1′ + c2 y2′ + ... + cn yn′ , (остальные члены равны нулю из первого уравнения системы для ci′ (*)). y ( n−1) = c1 y1( n−1) + c2 y2 ( n−1) + ... + cn yn ( n−1) , y ( n ) = c1 y1( n ) + c2 y2 ( n ) + ... + cn yn ( n ) + f ( x) .

316

Лекции 12 - 13

Умножим полученные выражения для производных на коэффициенты ai (i = 1,2,..., n) и сложим их почленно. Суммы по вертикальным столбцам равны нулю, так как y1 , y2 ,..., yn - частные решения ОЛДУ, ненулевыми остаются слагаемые y ( n ) + a1 y ( n−1) + ... + an y = f ( x) , значит y - решение НЛДУ. Пример: Найдите решение НЛДУ y′′′ + y′ =

1 . sin x

Решение: 1. Найдем частные решения ОЛДУ: y′′′ + y′ = 0 , k 3 + k = 0 , k1 = 0 , k2,3 = ±i . Значит, y1 = 1 , y2 = cos x, y3 = sin x . 2. Установим вид yO.O. = y : y = c1 + c2 cos x + c3 sin x . 3. Запишем вид yO. H . : y = c1 ( x) + c2 ( x) cos x + c3 ( x) sin x . 4. Составим систему уравнений для определения ci′ (x) :

⎧ ⎪c1′ ⋅1 + c2′ cos x + c3′ sin x = 0, ⎪ −c2′ sin x + c3′ cos x = 0, ⎨ ⎪ 1 ⎪ . −c2′ cos x − c3′ sin x = sin x ⎩ 1 cos x , c2′ = − , c3′ = −1 . Решением этой системы являются: c1′ = sin x sin x dx x = ln tg + c1 , 5. Найдем ci ( x ) : c1 ( x) = ∫ sin x 2 cos x c2 ( x) = ∫ − dx = − ln sin x + c2 , c3 ( x) = − x + c3 . sin x 6. Запишем решение: x y = ln tg + c1 + ( − ln | sin x | + c2 ) cos x + ( − x + c3 ) sin x = 2 = ln tg

x − cos x ln | sin x | − x sin x + c1 + c2 cos x + c3 sin x. 2

13. 4.2. Метод неопределенных коэффициентов Частное решение НЛДУ y может быть найдено методом неопределенных коэффициентов для некоторых видов функции f ( x) в правой части уравнения и корней характеристического уравнения его левой части. Рассмотрим следующие случаи: I. f ( x ) = P ( x ) eα x 1). Если α не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде y = R ( x ) eα x , где R ( x ) - многочлен с неизвестными коэффициентами, степень которого совпадает со степенью P ( x ) ;

317

Линейные дифференциальные уравнения

2). Если α корень кратности µ характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде y = x µ R ( x ) eα x . Пример:

y IV − y = x3 + 1 . Характеристическое уравнение k 4 − 1 = 0, k 4 = 1 , k1 = 1, k2 = −1, k3 = i, k4 = −i . Общее решение однородного уравнения: y = C1e x + C2e − x + C3 cos x + C4 sin x .

Правая часть уравнения f ( x ) = x 3 + 1 имеет вид: Pn ( x ) eα x , где n = 3, α = 0 ,

корни характеристического уравнения не совпадают с α . Частное решение ищем в виде: y = Rn ( x ) eα x = R3 ( x ) e 0 x = ( A0 x 3 + A1 x 2 + A2 x + A3 ) , y ' = 3 A0 x 2 + 2 A1 x + A2 ,

y " = 6 A0 x + 2 A1 , y '" = 6 A0 , y IV = 0, − A0 x 3 − A1 x 2 − A2 x − A3 = x 3 + 1 .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получим: − A0 = 1, A0 = −1 , A1 = 0, A2 = 0, A3 = −1, y = − x 3 − 1 .

Общее решение: y = C1e x + C2 e − x + C3 cos x + C4 sin x − x 3 − 1 .

II.

f ( x ) = P ( x ) eα x cos β x + R ( x ) eα x sin β x

1). Если α + i β не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде y = u ( x ) eα x cos β x + υ ( x ) eα x sin β x , где u ( x ) , υ ( x ) - многочлены, степень которых равна наивысшей степени P ( x ) и R ( x) . 2). Если α + i β является корнем характеристического уравнения кратности

µ , то частное решение: y = x µ ⎡⎣u ( x ) eα x cos β x + υ ( x ) eα x sin β x ⎤⎦ . Пример: y IV − y = 6sin x .

Характеристическое уравнение: k 4 − 1 = 0 , k1 = 1, k2 = −1, k3 = i, k4 = −i . Общее решение однородного уравнения y = C1e x + C2e − x + C3 cos x + C4 sin x , f ( x ) = 6sin x

имеет вид:

318

Лекции 12 - 13

f ( x ) = P ( x ) eα x cos β x + R ( x ) eα x sin β x, P ( x ) = 0, e0 x = 1, α = 0, β = 1 , R0 ( x ) = 6, α + i β = 0 + i ⋅ 1 = i совпадает с корнем k3 → решение ищем в

виде: y = x ( A0 cos x + B0 sin x ) , y ' = A0 cos x − A0 x sin x + B0 sin x + xB0 cos x ,

y " = −2 A0 sin x + 2 B0 cos x − A0 x cos x − B0 x sin x , y '" = −3 A0 cos x + A0 x sin x − 3B0 sin x − B0 x cos x , y

IV

= 4 A0 sin x + A0 x cos x − 4 B0 cos x + B0 x sin x .

Подстановка этих значений в исходное уравнение дает 4 A0 sin x − 4 B0 cos x = 6sin x, , откуда 4 A0 = 6, A0 =

6 3 = , B0 = 0 и 4 2

3 3 y = x cos x, y = C1e x + C2e − x + C3 cos x + C4 sin x + x cos x 2 2

13.5. Таблица 6. Решение НЛДУ n-го порядка y ( n) + a1 y ( n-1 ) + a 2 y ( n-2 ) + ...+ an y = f ( x ) , yO.H. = yO.O. + yЧ.Н. 13.5.1. Метод неопределенных коэффициентов

Вид правой части

1. f ( x) = Pn ( x) многочлен степени n

αx

2. f ( x) = e Pn ( x)

Корни характеристического уравнения

Вид частного решения

а) число 0 не является корнем б) число 0 является корнем кратности r

y = Qn ( x) y = x r Qn ( x)

а) число α не является корнем б) число α является корнем кратности r

y = eα xQn ( x) y = x r eα xQn ( x)

319

Линейные дифференциальные уравнения

3. f ( x) = A cos β x + + B sin β x

а) число i β не является корнем б) число i β является корнем кратности r

y = A1 cos β x + B1 sin β x y = x r ( A1 cos β x + + B1 sin β x)

4. f ( x) = Pn ( x)cos β x + + Rm ( x)sin β x

а) число i β не является корнем б) число i β является корнем кратности r

y = Qk cos β x + + M k sin β x, k = max(n, m) y = x r (Qk cos β x + + M k sin β x)

5. f ( x) = eα x [ Pn ( x ) ⋅ ⋅ cos β x + Rm ( x)sin β x]

αx а) число α + iβ не явля- y = e [Qk cos β x + + M k sin β x ] ется корнем б) число α + iβ является y = x r eα x [Qk cos β x + корнем кратности r + M k sin β x]

Здесь Q, R, M - многочлены с неопределенными коэффициентами. 13.5.2. Метод вариации произвольной постоянной

c1′ y1 + c2′ y2 + … + cn′ = 0, ⎧ ⎪ c1′ y1′ + c2′ y2′ + … + cn′ = 0, ⎪ ⎪ … yO. H . = c1 ( x ) y1 + c2 ( x) y2 + … + cn ( x ) yn , ⎨ ⎪ ′ ( n−2) ′ ( n−2) ′ y ( n−2) = 0, c y c y c … + + + 1 1 2 2 n n ⎪ ⎪ ′ ( n−1) ′ ( n−1) ′ ( n−1) ⎩c1 y1 + c2 y2 + … + cn yn = f ( x ) . c1 = ∫ c1′dx + c1 , c2 = ∫ c2′ dx + c2 ,… cn = ∫ cn′ dx + cn .

!

Если f ( x) = f1 ( x) + f 2 ( x) + … + f k ( x) , то частное решение представляет сумму частных решений, соответствующих каждому слагаемому в правой части.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студенты должны знать: ƒ основные понятия и методы решения ОЛДУ и НЛДУ; ƒ специальные методы решения ОЛДУ и НЛДУ с постоянными коэффициентами.

Лекция 14 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В лекции рассмотрены системы дифференциальных уравнений (ДУ) и методы их решения. Особое внимание уделено линейным системам с постоянными коэффициентами, которые возникают при решении многих задач механики и электротехники.

14.1. Основные понятия 14.2. Метод исключения неизвестных 14.3. Линейные системы ДУ 14.4. Однородные системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами 14.5. Неоднородные системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами

14.1. Основные понятия О

Система n ДУ первого порядка с n неизвестными функциями x1, x2 ,..., xn от одной переменной t вида ⎧ x1′ = f1 (t , x1 ,..., xn ), ⎪ x′ = f (t , x ,..., x ), ⎪ 2 2 1 n ⎨ ⎪.............................. ⎪⎩ xn′ = f n (t , x1 ,..., xn ), называется нормальной системой обыкновенных ДУ.

О

Общим решением системы называется совокупность n функций от t и n произвольных постоянных: ⎧ x1 = x1 (t , c1 , c2 ,..., cn ), ⎪ x = x (t , c , c ,..., c ), ⎪ 2 2 1 2 n ⎨ ⎪.................................. ⎪⎩ xn = xn (t , c1 , c2 ,..., cn ), которые удовлетворяют всем уравнениям системы.

!

Любая система ДУ может быть приведена к нормальному виду. Пусть, например, система состоит из n уравнений порядка m :

321

Системы дифференциальных уравнений

( (

) )

(

)

⎧ x1( m ) = f1 t,x1 ,x1′ ,x1′′,...,x1( m−1) , x2 ,x2′ ,...,x2( m−1) , ..., xn ,xn′ ,...,xn( m−1) , ⎪ ⎪ (m) ( m −1) ( m −1) ( m −1) , ⎪ x2 = f 2 t,x1 ,x1′ ,x1′′,...,x1 , x2 ,x2′ ,...,x2 , ..., xn ,xn′ ,...,xn ⎨ ⎪.............................. ⎪ (m) ( m −1) ( m −1) ( m −1) . ⎪⎩ xn = f n t,x1 ,x1′ ,x1′′,...,x1 , x2 , x2′ ,...,x2 , ..., xn ,xn′ ,...,xn Переобозначим функции: x1,0 = x1 , x2 ,0 = x2 , ..., xn ,0 = xn и введем дополнительные: m −1 x1,1 = x1′ , x1,2 = x1′′, ..., x1,m−1 = x1( ) ,

x2 ,1 = x2′ , x2 ,2 = x2′′ , ..., x2 ,m−1 = x2(

m −1)

,

..................................................... m −1 xn ,1 = xn′ , xn ,2 = xn′′ , ..., xn ,m−1 = xn( ) .

В новых обозначениях уравнения системы принимают вид: ⎧ x1′,0 = x1,1 , ⎪ ′ ⎪ x1,1 = x1,2 , ⎪............... ⎪ ⎪ x1′,m−2 = x1,m−1 , ⎪ ′ ⎪ x1,m−1 = f1 ( t,x1,0 ,x1,1 ,x1,2 ,...,x1,m−1 ,x2 ,0 ,x2 ,1 ,...,x2 ,m−1 ,...,xn ,0 ,xn ,1 ,...xn ,m−1 ) , ⎪ x′ = x , 2 ,1 ⎪ 2 ,0 ⎪ x2′ ,1 = x2 ,2 , ⎪ ⎪............... ⎨ x′ ⎪ 2 ,m−2 = x2 ,m−1 , ⎪ x′ = f ( t,x ,x ,x ,...,x ,x ,x ,...,x 2 1,0 1,1 1,2 1,m −1 2 ,0 2 ,1 2 ,m −1 ,...,xn ,0 ,xn ,1 ,...xn ,m −1 ) , ⎪ 2 ,m−1 ⎪....................................................................................................................... ⎪ ′ ⎪ xn ,0 = xn ,1 , ⎪ xn′ ,1 = xn ,2 , ⎪ ⎪............... ⎪ x′ = xn ,m−1 , ⎪ n ,m−2 ⎪⎩⎪ xn′ ,m−1 = f 2 ( t,x1,0 ,x1,1 ,x1,2 ,...,x1,m−1 ,x2 ,0 ,x2 ,1 ,...,x2 ,m−1 ,...,xn ,0 ,xn ,1 ,...xn ,m−1 ) . Вместо системы n уравнений порядка m получена нормальная система из n × m уравнений.

322

Лекция 14

14.2. Метод исключения неизвестных Нормальная система n ДУ первого порядка сводится к одному ДУ n-го порядка методом исключения неизвестных. Проиллюстрируем этот метод решения на примерах. Пример:

⎧ dx 2 ⎪⎪ dt = y + sin t , Найдите решение системы ⎨ ⎪ dy = x . ⎪⎩ dt 2 y Решение: d 2x dy Продифференцируем первое уравнение: 2 = 2 y + cos t ; dt dt 2 dy d x из второго уравнения: 2 = x + cos t ; подставим dt dt d 2x получим НЛДУ второго порядка для x(t ) : 2 − x = cos t . dt Его решение 1 x = x + x , k 2 − 1 = 0 , k = ±1 , x = c1et + c2 e− t , x = − cos t , 2 1 dx 1 x = c1et + c2 e − t − cos t , = c1et − c2 e − t + sin t , dt 2 2 dx 1 y2 = − sin t = c1et − c2 e− t − sin t . dt 2 1 ⎧ t −t ⎪ x = c1e + c2 e − 2 cos t , ⎪ Ответ: ⎨ 12 ⎪ y = ⎛ c et − c e − t − 1 sin t ⎞ . 2 ⎜ 1 ⎟ ⎪⎩ 2 ⎝ ⎠

В качестве примера решим систему уравнений второго порядка. Пример:

⎧d 2x ⎪⎪ dt 2 = y, Решите систему ⎨ 2 ⎪ d y = x. ⎪⎩ dt 2 Решение: d 2 y d 4x Дважды продифференцируем первое уравнение 2 = 4 , dt dt 4 d x подставим во второе 4 = x , x (4) − x = 0 , k 4 − 1 = 0 , k1,2 = ±1 , k3,4 = ±i . dt t −t ⎡ x = c1e + c2 e + c3 cos t + c4 sin t , Ответ: ⎢ t −t ⎢⎣ y = x′′ = c1e + c2 e − c3 cos t − c4 sin t.

Системы дифференциальных уравнений

323

14.3. Линейные системы ДУ Нормальная линейная система ДУ с n неизвестными функциями x1 , x2 ,..., xn от одной переменной t имеет вид:

⎧ x1′ = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn + b1 , ⎪ x′ = a x + a x + ... + a x + b , ⎪ 2 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪........................................................... ⎪⎩ xn′ = an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn + bn , где коэффициенты aik и bi - известные функции t или постоянные, i, k = 1,2,..., n . О

Система называется неоднородной, если хотя бы одна из функций bi (t ) (i = 1,..., n) отлична от нуля для t ∈ (a, b) ; в противном случае система называется однородной.

14.4. Решение линейных однородных систем ДУ с постоянными коэффициентами ⎧ x1′ = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn , ⎪ x′ = a x + a x + ... + a x , ⎪ 2 21 1 22 2 2n n ⎨ ⎪.................................................. ⎪⎩ xn′ = an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn .

14.4.1. Метод исключения неизвестных Из уравнений системы, а также из уравнений, получающихся дифференцированием уравнений, входящих в систему, исключают все неизвестные (n1) функции, кроме одной xk , для которой получают одно ДУ более высокого (n)

( n −1)

( n − 2)

порядка: xk + a1 xk + a2 xk + ... + an xk = 0 . Интегрируя это уравнение, находят одну из неизвестных функций, а остальные (n-1) неизвестные функции определяются из исходных уравнений и уравнений, получившихся при дифференцировании, без интегрирования. Рассмотрим однородную систему двух уравнений: ⎧ x′ = a11 x + a12 y, ⎨ ⎩ y′ = a21 x + a22 y, где x(t ), y (t ) - искомые функции, а aij - постоянные.

324

Лекция 14

Покажем, что эта система может быть сведена к ДУ второго порядка для d 2x dx = a11 + a12 y′ , функции x(t ) . Продифференцируем первое уравнение 2 dt dt 2 d x dx подставим y′ из второго уравнения, тогда 2 = a11 + a12 (a21 x + a22 y ) , откуdt dt 2 d x dx да 2 − (a11 + a22 ) + (a11a22 − a12 a21 ) x = 0 . dt dt Это уравнение является ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, его характеристическое уравнение имеет вид:

k 2 − (a11 + a22 )k + (a11a22 − a12 a21 ) = 0 , а решение x = x(t ) зависит от корней характеристического уравнения. Пример:

⎧ dx ⎪⎪ dt = ax + y, Найдите решение системы: ⎨⎪ dy = − x + ay, ⎪⎩ dt a = const. Решение: Перепишем систему в других обозначениях: ⎧ x′ = ax + y, dx dy где x′ = , y′ = . ⎨ dt dt ⎩ y′ = − x + ay, Продифференцируем первое уравнение x′′ = ax′ + y′ , подставим значение y′ из второго уравнения, тогда x′′ − 2ax′ + (1 + a 2 ) x = 0 , k 2 + 2ak + (1 + a 2 ) = 0 , откуда k = a ± i и x(t ) = e at ( C1 cos t + C2 sin t ) . Из первого уравнения найдем y = x′ − ax = aet ( C1 cos t + C2 sin t ) +

+ eat ( −C1 sin t + C2 cos t ) − ae at ( C1 cos t + C2 sin t ) = eat ( −C1 sin t + C2 cos t ) . ⎡ x(t ) = e at ( C1 cos t + C2 sin t ) , Ответ: ⎢ at ⎢⎣ y (t ) = e ( C2 cos t − C1 sin t ) .

Пример:

⎧ x′ = 3 x − 2 y , Найдите решение системы ⎨ ⎩ y′ = 3x − 4 y. Решение: x′′ = 3x′ − 2 y′ = 3(3x − 2 y ) − 2(3x − 4 y) = 3x + 2 y = 3x + 3x − x′ = 6 x − x′ , x′′ + x′ − 6 x = 0 , k 2 + k − 6 = 0 , k1 = 2 , k2 = −3 . Корни действительные, разные. 3x − x′ C1 2t x = C1e2t + C2e−3t , y = = e + 3C2 e−3t . 2 2

325

Системы дифференциальных уравнений

14.4.2. Непосредственное решение Рассмотрим однородную систему трех ЛДУ с постоянными коэффициентами для трех неизвестных функций ⎧ x′ = a11 x + a12 y + a13 z , ⎪ ⎨ y′ = a21 x + a22 y + a23 z , ⎪ z ′ = a x + a y + a z. 31 32 33 ⎩

(*)

Сформулируем некоторые общие свойства таких систем: 1.

2.

3.

Если функции {x, y, z} являются решением системы, то функции {Cx, Cy, Cz} , где С – любое постоянное число, также являются решением системы. Если {x1 , y1 , z1} и {x2 , y2 , z2 } - решения системы, то {x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 } являются решением системы. Справедливость этих свойств устанавливается непосредственной подстановкой в систему. Из вышеприведенных свойств следует, что если {x1 , y1 , z1} , {x2 , y2 , z2 } и {x3 , y3 , z3} являются решениями системы, то их линейные комбинации {C1 x1 + C2 x2 + C3 x3 , C1 y1 + C2 y2 + C3 y3 , C1 z1 + C2 z2 + C3 z3} также являются решением системы. Будем искать ненулевые решения системы (*) в виде: x = α ekt , y = β e kt , z = γ e kt (**), где α , β , γ и k - некоторые числа, которые нужно подобрать так, чтобы функции (**) удовлетворяли системе (*). Подставляя функции (**) и их производные в систему, получим:

⎧α ke kt = a11α e kt + a12 β e kt + a13γ e kt , ⎪ kt kt kt kt ⎨ β ke = a21α e + a22 β e + a23γ e , ⎪ kt kt kt kt ⎩γ ke = a31α e + a32 β e + a33γ e

⎧(a11 − k )α + a12 β + a13γ = 0, ⎪ ↔ ⎨ a21α + ( a22 − k ) β + a23γ = 0, ⎪ ⎩a31α + a32 β + (a33 − k )γ = 0.

Получили однородную систему с тремя неизвестными α , β и γ . Для того, чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю. Таким образом, число k должно удовлетворять уравнению:

a11 − k a21

a12 a22 − k

a13 a23

a31

a32

a33 − k

=0.

326

Лекция 14

Это уравнение называется характеристическим уравнением системы. Оно является уравнением третьего порядка относительно k . Имеет три корня k1 , k2 и k3 . Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы α1 , β1 , γ 1 ; α 2 , β 2 , γ 2 ; α 3 , β 3 , γ 3 , а значит, и ненулевое решение исходной системы дифференциальных уравнений имеет вид:

⎡ x1 = α1e k1t , y1 = β1e k1t , z1 = γ 1e k1t , ⎢ k 2t k 2t k 2t ⎢ x2 = α 2e , y2 = β 2e , z2 = γ 2e , ⎢ x = α e k3t , y = β e k3t , z = γ e k3t . 3 3 3 3 3 ⎣ 3 Линейные комбинации этих функций с произвольными коэффициентами:

⎡ x = C1α1e k1t + C2α 2e k2t + C3α 3ek3t , ⎢ k3t k1t k2t ⎢ y = C1β1e + C2 β 2e + C3 β 3e , ⎢ z = C γ e k1t + C γ e k2t + C γ ek3t , ⎢⎣ 1 1 2 2 3 3 также будут решением системы. Пример:

⎧ x′ = x + 2 y , Решите систему ⎨ ⎩ y′ = 4 x + 3 y. Решение: Характеристическое уравнение имеет вид: 1− k 2 = 0 , k 2 − 4k − 5 = 0 → k1 = 5, k2 = −1 . 4 3− k Корни характеристического уравнения действительные, разные. Решение ищем в виде: x = α e5t , y = β e − t . При этом x′ = 5α e5t , y′ = − β e − t . Подстановка решения такого вида в исходную систему дает: ⎧(1 − 5)α + 2 β = 0, → −4α + 2 β = 0 , β = 2α , коэффициент α ос1) k = 5 : ⎨ ⎩4α + (3 − 5) β = 0 тается произвольным. Полагая α = C1 , получим x1 = C1e5t , y1 = 2C1e5t .

⎧(1 + 1)α + 2 β = 0, → 2α + 2 β = 0, β = −α , коэффициент α ос2) k = −1 : ⎨ ⎩4α + (3 + 1) β = 0 тается произвольным. При α = C2 : x2 = C2e −t , y2 = −C2 e− t .

327

Системы дифференциальных уравнений

⎡ x = C1e5t + C2 e− t , Общее решение имеет вид: ⎢ −t 5t ⎢⎣ y = 2C1e − C2 e . Пример: ⎧ x′ = y + z , ⎪ Решите систему ⎨ y′ = 3 x + z , ⎪ z ′ = 3 x + y. ⎩

Решение: Ищем решение в виде x = α ekt , y = β ekt , z = γ e kt . Система для нахождения неопределенных коэффициентов α , β и γ имеет вид: ⎧−α k + β + γ = 0, ⎪ ⎨3α − β k + γ = 0, ⎪3α + β − γ k = 0. ⎩ Характеристическое уравнение: −k 1 1 3 − k 1 = 0 , k 3 − 7k − 6 = 0 , k1 = −1 , k2 = −2 , k3 = 3 . 3

1

−k

Корни характеристического уравнения действительные, разные. Подставим в систему для нахождения α , β и γ полученные значения k : ⎧α + β + γ = 0, ⎪ 1) k1 = −1 : ⎨3α + β + γ = 0, откуда α = 0, β = −γ , γ - любое число; ⎪3α + β + γ = 0, ⎩ если γ = 1 , получим x1 = 0 , y1 = −e−t , z1 = e −t . ⎧2α + β + γ = 0, ⎧2α + β = −γ , ⎪ α = −γ , β = γ , γ - любое 2) k2 = −2 : ⎨3α + 2 β + γ = 0, ⎨ 3 2 , α + β = − γ ⎩ ⎪3α + β + 2γ = 0, ⎩ число; если γ = 1 , то x2 = −e −2t , y2 = e−2t , z2 = e −2t . ⎧−3α + β + γ = 0, ⎧−3α + β = −γ , 2 ⎪ откуда β = γ , α = γ , 3) k3 = 3 : ⎨3α − 3β + γ = 0, ⎨ 3 ⎪3α + β − 3γ = 0, ⎩3α − 3β = −γ , ⎩ где γ - любое число; если γ = 3 , то α = 2, β = 3 , γ = 3 и x3 = 2e3t , y3 = 3e3t , z3 = 3e3t . Общее решение системы принимает вид:

⎡ x = −C2 e −2t + 2C3e3t , ⎢ 3t −t −2 t ⎢ y = −C1e + C2 e + 3C3e , ⎢ z = C e − t + C e −2t + 3C e3t . 1 2 3 ⎣

328 Пример:

Лекция 14

⎧ x′ = x − y , Решите систему ⎨ ⎩ y′ = x + 3 y. Решение: Характеристическое уравнение: 1 − k −1 = 0 , k 2 − 4k + 4 = 0 , k1 = k2 = 2 . 1 3− k Корни характеристического уравнения действительные, равные. Решение ищем в виде: x = (α1 + β1t )e2t , y = (α 2 + β 2t )e2t . Для него x′ = e2t ( β1 + 2α1 + 2 β1t ), y′ = e2t (α 2 + β 2 + β 2t ) . Подстановка этих выражений в исходную систему дает два равносильных уравнения вида 2α1 + β1 + 2 β1t = α1 + β1t − α 2 − β 2t .

⎧ β 2 = − β1 , Приравнивая коэффициенты в этом уравнении, получаем: ⎨ ⎩α 2 = α1 − β1 , при этом коэффициенты α1 и β1 остаются произвольными. Положим, α1 = C1 , β1 = C2 , тогда общее решение имеет вид: ⎧⎪ x = ( C1 + C2t ) e 2t , ⎨ 2t ⎪⎩ y = − ( C1 + C2 + C2t ) e .

Пример:

⎧ x′ = −7 x + y, Решите систему ⎨ ⎩ y′ = − x − 5 y. Решение: Характеристическое уравнение: −7 − k 1 = 0, k 2 + 12k + 37 = 0 , k1,2 = −6 ± i . −2 −5 − k Корни характеристического уравнения комплексные. Ищем решение в виде x = α ekt , y = β e kt . Возьмем одно из комплексно-сопряженных значений k = −6 + i : ⎧(−7 + 6 − i )α + β = 0, ⎧−α − iα + β = 0, ⎨ ⎨ ⎩−2α + (−5 + 6 − i ) β = 0, ⎩−2α + β − i β = 0, уравнения равносильны, β = α (1 + i ) , α и β остаются произвольными, пусть, например, β = 1 + i , тогда x = e( −6+i )t , y = (1 + i)e( −6+i )t . По формуле Эйлера e(α + β i )t = eα (cos t + i sin t ) , поэтому

x = e−6t (cos t + i sin t ) , y = (1 + i)e−6t (cos t + i sin t ) =

329

Системы дифференциальных уравнений

= e −6t (cos t − sin t ) + ie−6t (cos t + sin t ) . За системы частных решений можно взять отдельно действительные и отдельно мнимые части: x1 = e−6t cos t , x2 = e−6t sin t ; y1 = e−6t (cos t − sin t ) , y2 = e−6t (cos t + sin t ) . Этих функций достаточно, чтобы составить общее решение системы в виде: −6 t ⎪⎧ x = e (C1 cos t + C2 sin t ), ⎨ −6 t ⎪⎩ y = e [C1 (cos t − sin t ) + C2 (cos t + sin t )].

Пример:

⎧ x′ = x − 5 y , Решите систему ⎨ ⎩ y′ = 2 x − y. Характеристическое уравнение

1− k 2

−5 = 0 , k 2 + 9 = 0, k1,2 = ±3i . −1 − k

Воспользуемся k = 3i . Ищем решение в виде x = α e3it , y = β e3it , подстановка такого решения в исходную систему приводит к системе:

⎧(1 − 3i)α − 5β = 0, ⎨ ⎩ β + 3i β − 2α = 0, двух равносильных уравнений, поэтому α и β остаются произвольны1 − 3i , положим, например, α = 5 , β = 1 − 3i . ми, так как β = α 5 Следовательно, x = 5e3it = 5(cos 3t + i sin 3t ) , y = (1 − 3i )e3it = (1 − 3i)(cos 3t + i sin 3t ) . Действительная и мнимая части этого решения также являются решениями исходной системы, а их линейная комбинация с произвольными коэффициентами является общим решением:

⎡ x = 5C1 cos 3t + 5C2 sin 3t , ⎢ y = C (cos 3t + 3sin 3t ) + C (sin 3t − 3cos 3t ). ⎣ 1 2

14.4.3. Метод интегрируемых комбинаций

⎧ x′ = f1 (t , x, y ), осуществляется Интегрирование некоторых систем вида ⎨ ⎩ y′ = f 2 (t , x, y ) путем подбора интегрируемой комбинации, т.е. дифференциального уравнения, являющегося следствием уравнений системы, но уже легко интегрирующегося.

330

Лекция 14

Пример: ⎧ dx ⎪⎪ dt = y, . Решите систему: ⎨ ⎪ dy = x. ⎪⎩ dt Решение: Складывая почленно данные уравнения, получаем d ( x + y) d ( x + y) = x + y, = dt , ln | x + y |= t + ln C1 , x + y = C1et . dt x+ y

Вычитая уравнения, получаем d ( x − y) d ( x − y) = −( x − y ) , = − dt , ln | x − y |= −t + ln C2 , x − y = C2e−t . dt x− y

⎧⎪ x + y = C1et , получаем решение в виде: Из системы ⎨ −t ⎪⎩ x − y = C2 e 1 ⎧ t −t ⎪⎪ x = 2 ( C1e + C2 e ) , ⎨ ⎪ y = 1 ( C et − C e − t ) . 1 2 ⎪⎩ 2 Пример: Решите систему:

dx dy dz . = = 2 z − 1 ( z − x) x −1

Решение:

dz ⎧ dx ⎪⎪ z − 1 = x − 1 , Составим интегрируемые комбинации: ⎨ ⎪ d ( z − x) = dy 2 , ( z − x) ⎪⎩ x − z ⎧ ( x − 1) 2 ( z − 1) 2 C1 = + , ⎧( x − 1)dx = ( z − 1)dz , ⎪⎪ 2 2 2 откуда ⎨ ⎨ 2 C ( z − x) ⎩( z − x)d ( z − x) = −dy, ⎪ −y + 2 = . ⎪⎩ 2 2 Решением системы является линия пересечения поверхностей, 2 2 ⎪⎧( x − 1) − ( z − 1) = C1 , задаваемая системой: ⎨ 2 ⎪⎩2 y + ( z − x) = C2 .

Системы дифференциальных уравнений

331

14.5. Неоднородные линейные системы ДУ с постоянными коэффициентами Рассмотрим неоднородную систему: ⎧ x′ + a11 x + a12 y = b1 (t ), ⎨ ⎩ y′ + a21 x + a22 y = b2 (t ), где bi (t ) - известные функции, aij - постоянные, x(t ), y (t ) - искомые функции. Продифференцируем по t первое уравнение: x′′ + a11 x′ + a12 y′ = b1′ , откуда b′ − a x′ − x′′ y′ = 1 11 ; a12 b − a x − x′ из первого уравнения y = 1 11 , подстановка во второе уравнение дает: a12 b1′ − a11 x′ − x′′ b − a x − x′ + a21 x + a22 1 11 = b2 , a12 a12

x′′ + (a11 + a22 ) x′ + (a22 a11 − a12 a21 ) x = b1′ + a22b1 − a12b2 - уравнение 2-го порядка с одной неизвестной функцией x(t ) . Интегрируя это уравнение, получаем x = f1 (t , C1 , C2 ) , подставляя это выражение и его производную в первое уравнение, найдем вторую искомую функцию y = f 2 (t , C1 , C2 ) . Пример:

⎧ x′ + 2 x + y = sin t , Найдите решение системы ⎨ ⎩ y′ = 4 x + 2 y + cos t , ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ если x ⎜ ⎟ = 2, y ⎜ ⎟ = 1 . ⎝2⎠ ⎝2⎠ Решение: Продифференцируем первое уравнение: x′′ + 2 x′ + y′ = cos t , подставляя в него x′ = sin t − y − 2 x из первого уравнения, получим x′′ = −2 sin t . Характеристическое уравнение k 2 = 0 имеет решение k1 = k2 = 0 . x = x + x , x = C1 + C2t , ~x ищем в виде x = A sin t + B cos t , тогда x ′ = A cos t − B sin t , и x ′′ = − A sin t − B cos t = −2 sin t , откуда A = 2 , B = 0 , x = 2 sin t . Решение имеет вид: x = C1 + C2t + 2sin t . При этом x′ = C2 + 2cos t и y = sin t − x′ − 2 x = sin t − (C2 + 2 cos t ) − 2(C1 + C2t + 2sin t ) =

332

Лекция 14

= (−2C1 − C2 ) − 2C2t − 3sin t − 2 cos t. Итак, общее решение системы ДУ имеет вид: x = C1 + C2t + 2sin t , y = −2C1 − C2 − 2C2t − 3sin t − 2 cos t . Найдем частное решение из начальных условий: ⎧ ⎛π ⎞ π ⎧ π ⎧ ⎪ x ⎜ 2 ⎟ = 2, ⎪C1 + C2 + 2 = 2, ⎪C1 + C2 = 0, ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ 2 2 ⎨ ⎨ ⎨ ⎪ y ⎛ π ⎞ = 1, ⎪ −2C − C − 2C π − 3 = 1, ⎪⎩ −2C1 − C2 (1 + π ) = 4, 1 2 2 ⎪⎩ ⎪⎩ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2

π ⎧ ⎪C1 + C2 = 0, C1 = −2π , C2 = −4 . 2 ⎨ ⎪⎩ 2C1 + C2 (π + 1) = −4, ⎡ x = 2π − 4t + 2sin t , Тогда ⎢ ⎣ y = −4π + 4 + 8t − 3sin t − 2 cos t.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студенты должны знать: ƒ основные понятия и методы решения произвольных систем ДУ; ƒ методы решения однородных и неоднородных систем линейных ДУ с постоянными коэффициентами.

Лекции 15 - 16 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Во многих случаях функциональная зависимость не может быть сведена к функции одной переменной и приходится рассматривать функции, зависящие от нескольких аргументов. Основные особенности анализа таких функций удобно рассмотреть на примере функций двух переменных: этот случай легко интерпретируется геометрически и содержит все основные отличия, возникающие при переходе от одной к нескольким переменным.

15.1. 15.2. 15.3. 15.4. 15.5. 15.6. 15.7. 15.8. 15.9. 15.10. 15.11. 15.12. 16.1. 16.2. 16.3. 16.4.

Основные понятия Предел функции двух переменных Непрерывность функции двух переменных Частное и полное приращения функции двух переменных Частные производные первого порядка функции двух переменных Полный дифференциал функции Частные производные высших порядков Дифференциалы высших порядков Формула Тейлора Производная сложной функции. Полная производная Инвариантность формы полного первого дифференциала Производная от функции, заданной неявно Локальные экстремумы функции двух переменных Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа Наибольшее и наименьшее значения функции в области Геометрические приложения функций двух переменных 16.4.1. Производная векторной функции скалярного аргумента 16.4.2. Уравнение касательной к пространственной кривой 16.4.3. Нормальная плоскость и ее уравнение 16.4.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

15.1. Основные понятия О

Если каждой точке на плоскости или паре значений двух независимых переменных величин M ( x, y ) ∈ D соответствует определенное число z , то говорят, что на множестве D определена функция двух переменных z = f ( x, y ) = f ( M ) .

О

Множество точек ( x, y ) ∈ D значений независимых переменных x и y , при которых функция z имеет определенное действительное значение, называется областью определения функции двух переменных.

334

Лекции 15 - 16

Например, 1) площадь прямоугольника S = xy , x, y > 0 ; 2) объем параллелепипеда V = xyz , x, y, z > 0 ; 3) дальность полета тела, брошенного под углом α к горизонту со скороυ 2 sin 2α ⎛ π⎞ стью υ : l = , α ∈ ⎜ 0, ⎟ , υ > 0 . g ⎝ 2⎠ y M2 Геометрически область определения функL ции двух переменных может быть изображена на M1 плоскости ( x, y ) областью D с границей L , точD x ка M 1 ∈ D , M 1 ∈ L – внутренняя, а M 2 ∈ L – гра0 ничная точка области. О

Область определения называется замкнутой, если ей принадлежат все точки границы. Пример:

y

Областью определения функции z = 4 − x − y является множество точек, определяемое неравенством 4 − x 2 − y 2 ≥ 0 , и представляет собой замкнутую область: x 2 + y 2 ≤ 4 - внутренность круга с радиусом 2 и центром в точке (0,0) , включающую границу области. 2

2

x

2

0

Пример: Областью определения функции z =

1 x + y2 − 4 2

явля-

ется незамкнутое множество x 2 + y 2 − 4 ≥ 0 , которое и представляет собой внешность круга без точек границы.

y

0

2

x

z

Геометрическое изображение функции двух переменных Функция z = f ( x, y ) определяет в пространстве поверхность S , проектирующуюся на плоскость Oxy в область определения D .

M ( x, y, z )

S

y

0

x

N ( x, y ,0)

D

335

Функции нескольких переменных

Пример:

Поверхность, задаваемая равенством z =

sin x 2 + y 2 x2 + y2

.

15.2. Предел функции двух переменных Пусть z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D , M 0 ( x0 , y 0 ) ∈ D . О Множество точек, удаленных от точки M 0 не больше, чем на r , называr − окрестностью точки M0, задается неравенством ется

(x − x )

+ ( y − y 0 ) < r 2 и геометрически представляет открытый круг радиусом r с центром в точке M 0 . 2

2

0

О

Число A называется пределом функции f ( x, y ) = f ( M ) в точке M 0 при стремлении точки M к точке M 0 , если для ∀ε > 0 найдется такое r , что f ( x, y ) − A < ε ( f ( М ) − A < ε ) при всех ( x, y ), принадлежащих r окрестности точки M 0 x − x0 < r , y − y0 < r . A = lim f ( x, y ) = lim f ( M ) . x → x0 y → y0

M →M 0

Пример: lim

x→ 0 y→ 2

3x + 4 0+4 4 = = . 2 x + y −1 4 −1 3 2

Пример: Выясните, имеет ли функция z =

2 xy предел при x → 0 , y → 0 . x + y2 2

Решение: Пусть точка M ( x, y ) стремится к точке M 0 (0,0) . Рассмотрим изменение x и y вдоль прямой y = kx . 2kx 2 2k . Получим, что lim z = lim 2 = 2 x →0 x →0 x + k 2 x 2 1 + k y →0

Результат имеет различные значения в зависимости от выбранного k , т.е. зависит от пути приближения к (0,0) , и поэтому функция не имеет предела в точке (0,0).

336

Лекции 15 - 16

15.3. Непрерывность функции двух переменных О

Функция f ( x, y ) называется непрерывной в точке ( x 0 , y 0 ) , если предельное значение этой функции в точке M 0 существует и равно частному значению f ( x0 , y 0 ) : lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) . x → x0 y → y0

Для непрерывности f (M ) в точке M 0 необходимо выполнение следующих условий: 1) f (M ) определена в точке M 0 и вблизи нее; 2) ∃ предел f (M ) при стремлении точки M к точке M 0 произвольным способом; 3) lim f ( M ) = f ( M 0 ) . M →M 0

О

Функция f (M ) , непрерывная в каждой точке области D , называется непрерывной в этой области.

О

Функция f (M ) разрывна в точке M 0 , если не выполняется какое-либо из условий непрерывности.

Например, функция z = x 2 + y 2 – непрерывна на всей плоскости xОy ; 2 xy не определена в точке (0, 0) , которая является точкой функция z = 2 x + y2 разрыва. Разрыв не устраним, так как предел функции z в точке (0, 0) не существует.

15.4. Частное и полное приращения функции двух переменных Пусть z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D . О Дадим переменной x приращение ∆x , оставляя переменную y неизменной, тогда разность ∆ x z = f ( x + ∆x, y ) − f ( x, y ) называется частным приращением f ( x, y ) по x , а разность ∆ y z = f ( x, y + ∆y ) − f ( x, y ) – частное приращение z по y . Полное приращение функции z = f ( x, y ) равно ∆z = ∆f ( x, y ) = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y ) . Пример:

Для функции z = x ⋅ y частные приращения равны: ∆ x z = ( x + ∆x) y − xy = ∆x ⋅ y ; ∆ y z = x ⋅ ∆y ; полное приращение равно: ∆z = ( x + ∆x )( y + ∆y ) − xy = ∆x ⋅ y + x ⋅ ∆y + ∆x ⋅ ∆y = ∆ x z + ∆ y z + ∆x ⋅ ∆y . Видим, что ∆z ≠ ∆ x z + ∆ y z .

337

Функции нескольких переменных

15.5. Частные производные первого порядка функции двух переменных О

Частной производной по x от функции z = f ( x, y ) называется предел ∆xz f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ∂f ( x, y ) ∂z ′x = ′( x, y ) = = . z = f lim = lim x ∆x → 0 ∆x ∂x ∂x ∆x ∆x→0 Аналогично: ∆z ∂z ∂f ( x, y ) f ( x, y + ∆ y ) − f ( x, y ) . z ′y = = f y′( x, y ) = = lim y = lim ∆ y →0 ∆ y ∆ y →0 ∆y ∂y ∂y Пример: z = x3 sin y + y 4 . ∂z ∂z = x 3 cos y + 4 y 3 . = 3 x 2 sin y ; ∂y ∂x

Геометрический смысл частных производных z

Пусть z = f ( x, y ) , M ∈ поверхности S . Положим y = const . Кривая Г x есть сечение поверхности S плоскостью, параллельной плоскости Oxz .

z

M

S 0

y

x

x

MK – касательная к кривой Г x в точке M ( x , y , z ) , а угол, который она составляет с осью Ox , равен α . ∂z ∂z ⎡ dz ⎤ = tgα . = ⎢ ⎥ y = const , ∂x ∂x ⎣ dx ⎦ ∂z численно ∂x равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности z = f ( x , y ) плоскостью ∂z y = const . Аналогично = tgβ . ∂y

y

z Γx M

S 0

x

α

y

K z

Итак, частная производная

S M

0

x x

β y K′

338

Лекции 15 - 16

15.6. Полный дифференциал функции Пусть z = f ( x , y ) , тогда полное приращение функции равно ∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y ) . Рассмотрим две точки: M ( x , y ) и M ′( x + ∆x , y + ∆y ) , отстоящие друг от друга на расстоянии ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y )2 . Устремим точку M ′ к точке M , при этом ρ → 0 . О

Если при ρ → 0 можно подобрать не зависящие от ∆x и ∆y величины A и B так, что выражение ( A ⋅ ∆x + B ⋅ ∆y ) будет отличаться от ∆z на величину более высокого порядка малости по сравнению с ρ , то оно называется главной линейной частью полного приращения функции ∆z = A ⋅ ∆x + B ⋅ ∆y + γρ , где γ → 0 при ρ → 0 ( ∆x → 0 , ∆y → 0 ) .

О

Дифференциалы независимых переменных равны их приращениям: dx = ∆x , dy = ∆y .

О

Полным дифференциалом z = f ( x , y ) называется главная линейная часть полного приращения функции: dz = A∆x + B∆y , где A, B − const .

∆y y

∆z dz

x

∆x

Например, для z = xy геометрически проиллюстрируем разницу между ∆z и dz . ∆z = ( x + ∆x )( y + ∆y ) − xy = y∆x + x∆y + ∆x ⋅ ∆y = dz + ∆x∆y , так как dz = ydx + xdy – главная (большая) линейная часть приращения функции. Т

Дифференциал функции равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных. Доказательство: Пусть z = f ( x, y ) . По определению dz = A∆x + B∆y , а ∆z = A∆x + B∆y + α∆x + β∆y , где α , β – бесконечно малые при ∆x → 0 и ∆y → 0 . ∆ z Положим ∆y = 0 , тогда ∆ x z = A∆x + α∆x , откуда x = A + α . ∆x ∆ x z ∂z = = A. Устремим ∆x → 0 , тогда lim ∆x → 0 ∆x ∂x ∂z ∂z ∂z Аналогично: B = , значит, dz = dx + dy . ∂y ∂x ∂y

339

Функции нескольких переменных

О

Если z = f ( x, y ) обладает непрерывными частными производными ∂z ∂z = f y′( x, y ) и = f y′( x, y ) в данной области, то она дифференцируема ∂x ∂y в этой области.

Геометрический смысл полного дифференциала функции z = f ( x, y ) : dz в точке ( x0 , y 0 ) изображается приращением аппликаты точки касательной плоскости, проведенной к поверхности z = f ( x, y ) в точке M 0 ( x0 , y 0 ) . Пример: Найдите дифференциал функции z = x y . ∂z ∂z ∂z ∂z dz = dx + dy , так как = yx y −1 , = x y ⋅ ln x , ∂x ∂y ∂x ∂y y −1 y то dz = yx dx + x ln xdy . С точностью до бесконечно малых более высокого порядка: ∆z ≈ dz . ∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) ∆y . ∆x + Значит, f ( x + ∆x, y + ∆y ) ≈ f ( x, y ) + ∂y ∂x Это равенство используется в приближенных вычислениях.

Пример: Вычислите приближенное значение ( 2,01) 2, 02 . Функция имеет вид: z = x y . Из приближенного равенства z ( x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) ≈ z ( x 0 , y 0 ) +

∂z ∂z ∆x + ∂y ∂x ( x0 , y0 )

∆y ( x0 , y0 )

при x0 = 2 , y 0 = 2 , ∆x = 0,01 , ∆y = 0,02 получаем z ( x0 , y0 ) = 2 2 = 4 ,

∂z ∂z = yx y −1 , = 2⋅2 = 4; ∂x ∂x ( 2, 2 ) ∂z ∂z = x y ln x , = 2 2 ⋅ ln 2 , ∂y ∂y ( 2, 2 ) получаем (2,01) 2,02 ≈ 4 + 4 ⋅ 0,01 + 4 ln 2 ⋅ 0,02 = 4(1,01 + 0,02 ln 2) = 4, 04 + 0, 08ln 2 .

340

Лекции 15 - 16

15.7. Частные производные высших порядков Частные производные первого порядка от функции двух переменных ∂z ∂z z = f ( x, y ) , равные = f x′( x, y ) и = f y′( x, y ) , в свою очередь являются ∂x ∂y функциями переменных x и y , и от них можно снова находить частные производные второго порядка: ∂ 2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ′ ′ ; = ⎜ ⎟ = f yy′′ ( x, y ) ; = f ( x , y ) = ⎜ ⎟ xx ∂y 2 ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ∂x 2 ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ = f yx′′ ( x, y ) ; = ⎜ ⎟ = f xy′′ ( x, y ) . ∂x∂y ∂x ⎝ ∂y ⎠ ∂y∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠ О

Две последние производные по разным переменным называются смешанными.

Если функция f ( x, y ) определена в области D , в которой существуют производные f x′ , f y′ , f xx′′ , f yy′′ , f xy′′ , f yx′′ и смешанные производные f xy′′ и f yx′′ непрерывны в точке ( x0 , y0 ) ∈ D , то смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, т.е. равны друг другу: f xy′′ ( x0 , y 0 ) = f yx′′ ( x0 , y 0 ) . Запомним эту теорему. Т

Пример:

z = xy, x > 0 . ∂z ∂2 z = y ⋅ x y −1 ; = yx y −1 ln x + x y −1 ; ∂y∂x ∂x ∂z ∂2 z ∂2z ∂2z = x y ⋅ ln x ; = yx y −1 ln x + x y −1 , значит, = . ∂y ∂x∂y ∂x∂y ∂y∂x Пример:

z = y ⋅ ln x .

∂z y ∂z y ∂2z ∂ ∂2z ∂ ⎛ y ⎞ = ln x = ; , 2 = ⎜ ⎟ = − 2 , 2 = (ln x ) = 0 , ∂y ∂x x ∂y x ∂y ∂x ∂x ⎝ x ⎠ ∂2 z ∂ ⎛ y⎞ 1 = ⎜ ⎟= . ∂y∂x ∂y ⎝ x ⎠ x

341

Функции нескольких переменных

Пример: Вычислите производную восьмого порядка

∂8 z функции ∂x 5∂y 3

z = x 2 + x + x 3 + 2 x 4 + x 7 y 9 + y10 . Последовательно вычисляем: ∂z ∂2z 7 8 9 = x ⋅ 9 y + 10 y ; 2 = 9 ⋅ 8 x 7 y 7 + 10 ⋅ 9 y 8 ; ∂y ∂y

∂3 z ∂4z 7 6 7 = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 x y + 10 ⋅ 9 ⋅ 8 y = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 7 x6 y6 ; ; 3 3 ∂y ∂x∂y ∂5 z ∂6 z 5 6 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 9 8 7 7 6 x y = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5x 4 y 6 ; ; ∂x 3∂y 3 ∂x 2 ∂y 3 ∂7 z = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4x3 y 6 ; 4 3 ∂x ∂y ∂8 z 7 ⋅ 9! 2 6 = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3x 2 y 6 = x y . 5 3 2 ∂x ∂y

15.8. Дифференциалы высших порядков Пусть z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D . В предположении о существовании непрерывных частных производных второго порядка вычислим дифференциал d 2 z второго порядка функции z как дифференциал первого порядка от дифференциала функции dz при условии, что dz является функцией только x и y . При вычислении дифференциала от dz dx и dy считаются постоянными, при вычислении ∂z ∂z дифференциала от и приращения x и y берутся равными dx и dy . ∂x ∂y ⎛ ∂z ⎛ ∂z ⎞ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ d 2 z = d ( dz ) = d ⎜⎜ dx + dy ⎟⎟ = d ⎜ ⎟dx + d ⎜⎜ ⎟⎟dy = ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎝ ∂y ⎠

∂2z 2 ∂2z ∂2z 2 ∂2z = 2 dx + dxdy + 2 dy + dydx = ∂x ∂x∂y ∂y ∂y∂x ∂2z 2 ∂2z ∂2z 2 = 2 dx + 2 dxdy + 2 dy , где dx 2 = (dx ) 2 , dy 2 = (dy ) 2 . ∂x ∂x∂y ∂y Итак, d 2 z =

∂2z 2 ∂2z ∂2z 2 dx 2 dxdy dy . + + ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2

342

Лекции 15 - 16

Использование символа d =

∂ ∂ dx + dy позволяет записать d 2 z как резуль∂x ∂y 2

⎞ ⎛∂ ∂ тат действия этого оператора на z в виде: d z = ⎜⎜ dx + dy ⎟⎟ z . ∂y ⎠ ⎝ ∂x Аналогично: 2

3

n

⎞ ⎞ ⎛∂ ⎛∂ ∂ ∂ d z = d (d z ) = d (d (dz )) = ⎜⎜ dx + dy ⎟⎟ z , d n z = d (d n −1 z ) = ⎜⎜ dx + dy ⎟⎟ z . ∂y ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎝ ∂x 3

2

Пример: Найдите d 2 z , если z = sin xy . Решение: d 2z = 2

∂ z ∂x 2

∂2z ∂x

2

(dx ) 2 + 2

= − sin xy ⋅ y 2 ,

∂2z ∂2z dxdy + 2 (dy ) 2 , ∂x∂y ∂y

∂z = cos xy ⋅ y , ∂x

∂2z = − sin xy ⋅ x 2 , 2 ∂y

∂z = cos xy ⋅ x , ∂y

∂2z = − sin xy ⋅ xy + cos xy , ∂x∂y

d 2 z = − y 2 sin xydx 2 + 2(cos xy − xy sin xy )dxdy − x 2 sin xydy 2 .

15.9. Формула Тейлора По аналогии с функцией одной переменной формула Тейлора для двух переменных имеет вид: 1 1 f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) + df ( x0 , y0 ) + d 2 f ( x0 , y0 ) + .... + 1! 2! 1 + d n f ( x0 , y0 ) + o ( ρ n ( x, y; x0 , y0 ) ) . n! Пример: Записать формулу Тейлора для функции z = e xy в окрестности точки P(1,1) до членов 1-го порядка включительно. Вычисляем частные производные f ( x, y ) = e xy в точке (1,1), получаем: 1 1 e xy = e + e[( x − 1 ) + ( y − 1 )] + e[( x − 1 )2 + ( y − 1 )2 + 2( x − 1 )( y − 1 )] ⋅ 1! 2! [ 1+θ ( x −1 )][ 1+θ ( y −1 )] ⋅e .

15.10. Производная сложной функции. Полная производная Рассмотрим сложную функцию z = F (u ,υ ) , где u = ϕ ( x, y ) , υ = ψ ( x, y ) , т.е. z = F [ϕ ( x, y ),ψ ( x, y )] . Пусть функции F (u,υ ) , ϕ ( x, y ) , ψ ( x, y ) имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.

343

Функции нескольких переменных

∂z ∂z и . Дадим x приращение ∆x при постоянном y , тогда ∂x ∂y u примет значение u + ∆ x u , а υ примет значение υ + ∆ xυ . Полное приращение функции z принимает вид: Вычислим

∆z =

∂F ∂F ∆ xu + ∆ xυ + α∆ x u + β∆ xυ , ∂υ ∂u

где α , β – бесконечно малые функции при ∆x → 0 .

∆ u ∆υ ∆z ∂F ∆ x u ∂F ∆ xυ = + +α x + β x . ∆x ∆x ∆x ∂u ∆x ∂υ ∆x Устремим ∆x к нулю, при этом ∆ x u → 0 и ∆ xυ → 0 в силу непрерывно∆ x u ∂u ∆ xυ ∂υ ∆z ∂z = , lim = , lim = , сти u и υ . Так как lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∂x ∆x ∂x ∆x ∂x ∂z ∂F ∂u ∂F ∂υ , то = ⋅ + ⋅ . lim α = lim β = 0 ∆x → 0 ∆x → 0 ∂x ∂u ∂x ∂υ ∂x Аналогично:

Пример:

∂z ∂F ∂u ∂F ∂υ . = ⋅ + ⋅ ∂y ∂u ∂y ∂υ ∂y

(

)

2

z = ln u 2 + υ , u = e x + y , υ = x 2 + y . ∂z ∂z и . Вычислим ∂x ∂y ∂z ∂z 2u 1 = 2 = 2 , ; ∂u u + υ ∂υ u + υ 2 2 ∂u ∂u = e x+ y , = 2 ye x + y ; ∂x ∂y ∂υ ∂υ = 2x , =1; ∂x ∂y 2 2 ∂z 2u 1 2 = 2 e x+ y + 2 ⋅ 2x = 2 u ⋅ e x+ y + x ; ∂x u + υ u +υ u +υ 2 2 ∂z 2u 1 1 = 2 2 ye x + y + 2 = 2 4uye x+ y + 1 . ∂y u + υ u +υ u +υ

(

(

)

)

Полная производная Пусть z = F ( x, y ) , где y = f (x) . dz ∂F ∂x ∂F ∂y dz ∂F ∂F dy , т.е. . = + = + dx ∂x ∂x ∂y ∂x dx ∂x ∂y dx

344

Лекции 15 - 16

Если z = F ( x, y ) , где x = x(t ) , y = y (t ) , то

dz ∂F dx ∂F dy . = + dt ∂x dt ∂y dt

15.11. Инвариантность формы полного первого дифференциала Пусть z = F (u ,υ ) , где u = u ( x, y ) , υ = υ ( x, y ) . Покажем, что форма первого дифференциала не меняется и dz = z u′ du + zυ′ dυ . Действительно, dz = z ′x dx + z ′y dy = ( z u′ u ′x + zυ′υ x′ )dx + (z u′ u ′y + zυ′υ ′y )dy = = z u′ (u ′x dx + u ′y dy ) + zυ′ (υ x′ dx + υ ′y dy ) = z u′ ⋅ du + zυ′ ⋅ dυ .

15.12. Производная от функции, заданной неявно Уравнение F ( x, y ) = 0 неявно задает функцию одной переменной y = y (x) . Т

Если F ( x, y ) и ее частные производные Fx′( x, y ) и Fy′ ( x, y ) определены и непрерывны в некоторой области, содержащей точку (x, y ) , F ( x, y ) = 0 F ′( x, y ) . и Fy′( x, y ) ≠ 0 , то y ′x = − x Fy′ ( x, y ) Доказательство: Пусть F ( x, y ) = 0 . Дадим x приращение ∆x , тогда y примет значение y + ∆y . По условию F ( x + ∆x, y + ∆y ) = 0 , следовательно, полное приращение ∆F = F ( x + ∆x, y + ∆y ) − F ( x, y ) = 0 , значит по определению ∂F ∂F ∆F : ∆x + ∆y + α∆x + β ∆y = 0 , где α , β – бесконечно малые функ∂x ∂y ции при ∆x, ∆y → 0 . Тогда ∂F ∂F ∆y ∆y + +α + β = 0. ∂x ∂y ∆x ∆x Отсюда ∂F + α ∆y ∂x . =− ∂F + β ∆x ∂y

345

Функции нескольких переменных

При ∆x → 0 : α , β → 0 ;

∂F ≠ 0 по условию, и ∂y

∂F F ′( x , y ) dy = − ∂x = − x ∂F dx Fy′ ( x, y ) ∂y

(∗)

Рассмотрим уравнение F ( x, y, z ) = 0 . Оно неявно определяет функцию двух ∂z ∂z и . переменных z ( x, y ) . Найдем ∂x ∂y ∂z считаем y постоянным, поэтому применима формула (∗) , При отыскании ∂x ∂F если зависимой переменной считать x , а функцией – z : z ′x = − ∂x . ∂F ∂z ∂F ∂y . Аналогично: z ′y = − ∂F ∂z Пример: Если x 2 + y 2 + z 2 − R 2 = 0 . ∂z 2x x ∂z 2y y =− =− ; =− =− . ∂x 2z z ∂y 2z z

16.1. Локальные экстремумы функции двух переменных

z

О

z max О

Функция z = f ( x, y ) имеет локальный максимум в точке M 0 ( x0 , y 0 ) , если для всех точек ( x, y ) , близких к M 0 , выполняется неравенство f ( x0 , y 0 ) > f ( x, y ) . = f ( x0 , y 0 )

y

M 0 ( x0 , y0 )

x

z

z = f ( x, y ) имеет локальный минимум в точке M 0 ( x0 , y 0 ) , если f ( x 0 , y 0 ) < f ( x, y ) для всех точек ( x, y ) , близких к M 0 . z min = f ( x0 , y 0 )

y

M0 ( x0 , y0 ) x

346 Т

Лекции 15 - 16

Необходимые условия экстремума. В точке экстремума функции двух переменных ее частные производные первого порядка либо равны нулю, либо не существуют. Доказательство: Пусть z = f ( x, y ) имеет максимальное значение f ( x0 , y 0 ) . Зафиксируем y = y 0 , получим функцию одной переменной z1 = f ( x, y 0 ) , которая имеет максимум при x = x 0 . Из теории экстремума функции одной переменной dz1 = f x′( x0 , y 0 ) = 0 или не существует. dx x = x Аналогично: f y′ = ( x0 , y 0 ) = 0 или ∃ . В случае минимума доказательство аналогично. В точке экстремума M 0 ( x0 , y 0 ) дифференцируемой функции f ( x, y ) производные не суще⎧ f x′( x0 , y0 ) = 0; ствуют или равны нулю: ⎨ ⎩ f y′( x0 , y0 ) = 0. 0

О

Точки, в которых частные производные первого порядка некоторой функции равны нулю или не существуют, называются критическими.

z

y Геометрический смысл заключается в M 0 ( x0 , y0 ) том, что в точке M 0 , лежащей выше x (ниже) всех соседних, поверхность z = f ( x, y ) либо имеет горизонтальную касательную плоскость, либо не имеет никакой касательной плоскости.

Т

Достаточные условия экстремума. Пусть в некоторой области, содержащей точку M 0 ( x0 , y 0 ) , функция z = f ( x, y ) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Пусть точка M 0 ( x0 , y 0 ) является критической точкой f ( x, y ) , т.е. ∂f ( x0 , y 0 ) ∂f ( x0 , y 0 ) = 0, = 0. ∂x ∂y ∂ 2 f ( x0 , y 0 ) ∂ 2 f ( x0 , y 0 ) ∂ 2 f ( x0 , y 0 ) Введем обозначения: = A, = B, =C. ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 A B Составим дискриминант ∆ = = AC − B 2 . B C Тогда:

Функции нескольких переменных

347

1) если ∆ > 0 , то функция имеет экстремум в точке ( x0 , y 0 ) , причем это максимум при A < 0 и минимум при A > 0 ; 2) если ∆ < 0 , то экстремума нет; 3) если ∆ = 0 , то требуется дополнительное исследование. Доказательство: По формуле Тейлора второго порядка 1 f ( M ) = f ( M 0 ) + df ( M 0 ) + d 2 f ( M 0 ) + R2 ( M ) . 2! В критической точке f ′( x 0 , y 0 ) = f y′( x 0 , y 0 ) = 0 , df ( x 0 , y 0 ) = f x′( x0 , y 0 ) dx + f y′( x 0 , y 0 ) dy = 0 ,

f ( x, y ) − f ( x 0 , y 0 ) = ∆f ( x 0 , y 0 ) и формула Тейлора принимает вид: 1 ∆f ( x0 , y0 ) = d 2 f ( x0 , y0 ) + R2 ( x, y ) . 2 Остаточный член R2 ( x, y ) является бесконечно малой более высокого порядка, чем d 2 f ( x0 , y 0 ) , поэтому знак ∆f ( x0 , y0 ) совпадает со знаком d 2 f ( x0 , y0 ) в окрестности точки ( x0 , y0 ) . Исследуем знак d 2 f ( x0 , y 0 ) : ∂ 2 f ( x0 , y 0 ) 2 ∂ 2 f ( x0 , y 0 ) d f ( x0 , y 0 ) = dx + 2 dxdy + ∂x 2 ∂x∂y 2

∂ 2 f ( x0 , y 0 ) 2 + dy = Adx 2 + 2 Bdxdy + Cdy 2 = 2 ∂y

⎡ ⎛ dx ⎞ 2 ⎤ dx = dy ⎢ A⎜⎜ ⎟⎟ + 2 B + C ⎥ . dy ⎢⎣ ⎝ dy ⎠ ⎥⎦ 2

Выражение в квадратных скобках является квадратным трехчленом с дискриминантом D = 4 B 2 − 4 AC = −4∆ . 1). Если ∆ > 0 , то D < 0 и знак квадратного трехчлена совпадает со знаком старшего коэффициента A , значит, знак d 2 f ( x0 , y 0 ) и, следовательно, знак ∆f ( x0 , y 0 ) совпадает со знаком A , то есть а) если A < 0 , ∆f ( x0 , y 0 ) < 0 и ( x0 , y 0 ) – точка максимума; б) если A > 0 , ∆f ( x0 , y 0 ) > 0 и ( x0 , y 0 ) – точка минимума. 2). Если ∆ < 0 , то D > 0 и знак квадратного трехчлена меняется в окрестности точки ( x0 , y 0 ) и функция f ( x0 , y0 ) не имеет экстремума в точке ( x0 , y 0 ) .

348

Лекции 15 - 16

3). Если ∆ = 0 , то D = 0 и достаточный признак не дает ответа, нужно выяснить сохраняется ли знак разности ∆f ( x0 , y 0 ) = f ( x, y ) − f ( x0 , y 0 ) непосредственно.

Схема исследования f ( x, y ) на экстремум: 1) 2) 3)

определите критические точки; проанализируйте выполнение достаточных условий; вычислите z экстр . . Пример: Исследуйте на экстремум функцию z = x 2 − xy + y 2 + 3 x − 2 y + 1 . ∂z ∂z = 2x − y + 3 , = −x + 2 y − 2 . 1) ∂y ∂x ⎧2 x − y + 3 = 0, ⎨ ⎩− x + 2 y − 2 = 0, 4 1 откуда x0 = − ; y0 = . 3 3 2 ∂ z ∂2z ∂2 z = 2, B = = −1 , C = 2 = 2, 2) A = 2 ∂x∂y ⎛⎜ − 4 ; 1 ⎞⎟ ∂x ⎛⎜ − 4 ; 1 ⎞⎟ ∂y ⎛⎜ − 4 ;1 ⎞⎟ ⎝ 3 3⎠ 2

⎝ 3 3⎠

⎝ 3 3⎠

∆ = AC − B = 2 ⋅ 2 − ( −1) = 3 . 2

4 ⎛ 4 1⎞ Итак, ∆ > 0 , A > 0 , значит, ⎜ − ; ⎟ – точка минимума, z min = − . 3 ⎝ 3 3⎠ Пример: Исследовать на экстремум функцию z = x 2 y 2 +

x2 y2 + + xy + 1 . 2 2

⎧ ∂z 2 ⎪⎪ ∂x = 2 xy + x + y = 0, ⇒ x0 = y0 = 0 ; z (0,0) = 1 . 1). ⎨ ⎪ ∂z = 2 yx 2 + y + x = 0 ⎪⎩ ∂x 2). A = C=

∂2 z ∂2z 2 ; = 2 + 1 = 1 y = B ( 0, 0 ) ∂x 2 (0,0) ∂x∂y

∂2z ∂y 2

= 2x2 + 1 ( 0, 0)

∆ = AC − B 2 =

( 0,0)

= 4 xy + 1 ( 0, 0 ) = 1 ; ( 0,0 )

= 1;

1 1

= 0. 1 1 Достаточный признак ответа не дает. Исследуем значения z ( x, y ) .

x2 y2 1 z ( x, y ) = x y + + + xy + 1 = ( xy) 2 + ( x + y ) 2 + 1 , значит z ( x, y ) > 1 , 2 2 2 если x ≠ 0 , y ≠ 0 . Получили, что z ( x, y ) > z (0,0) = 1 , значит, (0,0) – точка минимума. 2

2

349

Функции нескольких переменных

16.2. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа Найдем экстремум функции z = f ( x, y ) , если переменные x и y связаны условием ϕ ( x, y ) = 0 . Пример: Исследуйте на экстремум функцию z = x 2 + y 2 при условии x + y = 1 . Условие связи позволяет исключить из функции z ( x, y ) переменную y = 1 − x , что сводит задачу к исследованию функции одной переменной z = 2x2 − 2x +1 . dz 1 = 4 x − 2 = 0 в точке x0 = , при этом 2 dx

z

y 0

x

2

d z 1 . Так как = 4 > 0 , то эта точка является точкой минимума. 2 dx 2 Таким образом, z ( x, y ) достигает минимума на прямой x + y = 1 в точке ⎛1 1⎞ 1 ⎛1 1⎞ ⎜ , ⎟ , при этом zmin ⎜ , ⎟ = . ⎝2 2⎠ ⎝2 2⎠ 2 y0 =

Метод Лагранжа Если из уравнения связи трудно выразить y через x , то критические точки можно найти методом множителей Лагранжа. В предположении о его существовании найдем экстремум функции z ( x, y ) при условии ϕ ( x, y ) = 0 . При этом z ( x, y ) = z ( x, y ( x)) и необходимое условие экстремума принимает вид: dz ∂z ∂z dy = + = 0. dx ∂x ∂y dx Продифференцируем уравнение связи, тогда

d ϕ ∂ϕ ∂ϕ dy = + = 0. dx ∂x ∂y dx

Умножим второе уравнение на неопределенный множитель λ и сложим его с первым, получим, что ∂ϕ dy ⎛ ∂z ∂ϕ ⎞ ∂z +λ + +λ = 0. ⎜ ∂x ∂x dx ⎝ ∂y ∂y ⎟⎠

350

Лекции 15 - 16

∂z ∂ϕ +λ = 0 , тогда необходимыми ∂y ∂y ∂ϕ ⎧ ∂z + λ = 0, ⎪ ∂y ∂y ⎪ ∂ϕ ⎪ ∂z = 0, условиями экстремума являются ⎨ + λ ∂ ∂ x x ⎪ ⎪ϕ ( x, y ) = 0. ⎪ ⎩ Если ввести функцию Лагранжа: L( x, y ) = f ( x, y ) + λϕ ( x, y ) , то задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа и необходимые условия экстремума принимают вид: ⎧⎪ Lx′ ( x, y ) = 0, ⎪⎧ f x′( x, y ) + λϕx′ ( x, y ) = 0, ⎪⎪ ⎪ ⎪⎨ L′ ( x, y ) = 0, ⇒ ⎪⎪⎨ f ′( x, y ) + λϕ′ ( x, y ) = 0 , y ⎪⎪ y ⎪⎪ y ⎪⎪⎩ϕ( x, y ) = 0 ⎪⎪⎩ϕ( x, y ) = 0, откуда находятся критические точки ( x0 , y 0 ) . Пусть ( x0 , y0 ) - координаты критической точки, λ0 - любое из решений системы,

Выберем коэффициент λ таким, чтобы

0

ϕ'x ( x0 , y0 )

ϕ'y ( x0 , y0 )

∆ = − ϕ'x ( x0 , y0 ) L''xx ( x0 , y0 ,λ0 ) L''xy ( x0 , y0 ,λ0 ) . ϕ'y ( x0 , y0 ) L''xy ( x0 , y0 ,λ0 ) L''yy ( x0 , y0 ,λ0 ) Заметим, что d 2 L = L''xx dx 2 + 2L''xy dxdy + L''yy dy 2 .

Достаточные условия в методе Лагранжа формулируются следующим образом: если ∆ > 0 ( d 2 L > 0 ) , в точке условного экстремума – минимум, если ∆ < 0 ( d 2 L < 0 ) – максимум, если d 2 L не сохраняет знак, то в критической точке экстремума нет. Пример: Исследуйте на экстремум функцию x + y +1 = 0 . L( x, y ) = x 2 + y 2 − 3 xy + λ ( x + y + 1) . Lx′ = 2 x − 3 y + λ , L′y = 2 y − 3 x + λ .

z = x 2 + y 2 − 3 xy

при условии

Функции нескольких переменных

⎧ 2 x − 3 y + λ = 0, ⎧ 2λ = x + y , 1 1 1 ⎪ ⎪ ⎨ 2 y − 3 x + λ = 0, ⇒ ⎨ x − y = 0, ⇒ x0 = − ; y0 = − , λ0 = − . 2 2 2 ⎪x + y +1 = 0 ⎪ ⎩ ⎩x + y +1 = 0 0 1 1 1 −3 1 2 ∆ = − 1 2 −3 = − = 5 + 5 = 10. 1 2 1 −3 1 −3 2 В точке (− 12 ,− 12 ) ∆ > 0 , т.е. в этой точке – минимум z ( x, y ) .

Пример:

Исследуйте на экстремум функцию z = 6 − 4 x − 3 y при условии, что x 2 + y 2 − 1 = 0 . Решение: L( x, y ) = 6 − 4 x − 3 y + λ ( x 2 + y 2 − 1) ∂L ∂L = −4 + 2λx ; = −3 + 2λy . ∂y ∂x Необходимые условия экстремума: ⎧⎪ 2 ⎪⎪ x = , λ ⎧2λ x − 4 = 0, ⎪⎪ ⎪⎪ 5 ⎪ 3 ⎪ ⎨2λ y − 3 = 0, ⇒ ⎨⎪ y = , откуда λ = ± . 2λ 2 ⎪⎪ ⎪ 2 2 2 2 + = x y 1 ⎪ ⎩ ⎪⎪ x + y = 1, ⎪⎪⎩

Критические точки: 5 ⎛ 4 3⎞ λ1 = . M 1 ( x1 , y1 ) = M 1 ⎜ ; ⎟ ; 2 ⎝ 5 5⎠ 5 ⎛ 4 3⎞ λ 2 = − . M 2 ( x 2 , y 2 ) = M 2 ⎜ − ;− ⎟ . 2 ⎝ 5 5⎠ Проверим выполнение достаточных условий: ∂2L ∂2L ∂2L = 2 λ = 2 λ =0, ; ; ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2 d 2 L = 2λ ( dx 2 + dy 2 ) , d 2 L ( M 1 ) = 5( dx 2 + dy 2 ) > 0 , d 2 L ( M 2 ) = −5( dx 2 + dy 2 ) < 0 , значит, ⎛ 4 3⎞ M 1 ⎜ ; ⎟ – точка минимума, z ( M 1 ) = 1 , ⎝ 5 5⎠ ⎛ 4 3⎞ M 2 ⎜ − ;− ⎟ – точка максимума z ( M 2 ) = 11 . ⎝ 5 5⎠

351

352

Лекции 15 - 16

16.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в области Т

Наибольшее и наименьшее значение функции (глобальный экстремум) достигается либо в критических точках функции внутри области, либо на границах области определения функции. Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции z (x, y ) в области ( x, y ) ∈ D следует: 1) найти критические точки внутри D , вычислить в них z ( x0 , y0 ) ; 2) найти наибольшее и наименьшее значения функции z ( x, y ) на границе; 3) сравнить найденные значения и выбрать среди них наибольшее и наименьшее. Пример: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z = 2 x 3 − 6 xy + 3 y 2 в области, ограниченной осью Oy , прямой y = 2 и параболой y =

x2 . 2

Решение: ⎧ ∂z 2 ⎪⎪ ∂x = 6 x − 6 y = 0, 1). ⎨ ⎪ ∂z = −6 x + 6 y = 0 ⎪⎩ ∂y

⇒ M 1 (0,0) , M 2 (1,1) . Точка M 2 (1,1) – внутренняя точка области, z1 (1,1) = −1 . 2). Рассмотрим поведение функции на границе области. ⎧ y ∈ [0,2], ⎪ 2.1) ⎨ x = 0, ⎪ z = 3 y 2 - возрастающ ая функция, ⎩ z 2 (0,0) = 0 ; z 3 (0,2) = 12 . ⎧ x ∈ [0,2], ⎪ 2.2) ⎨ y = 2, ⎪ z = 2 x 3 − 12 x + 12, ⎩

dz = 6 x 2 − 12 = 0 ; x = 2 ∈ [0, 2] . dx Найдем значения z 4 ( 2 ,2) = 12 − 8 2 ; z5 (2,2) = 4 .

y 2 M1 0

M2 2

x

353

Функции нескольких переменных

⎧ x2 y = , ⎪ 2 ⎪ dz 3 1 1 ⎪ 2.3) ⎨ z = x 4 − x 3 , = 3 x 3 − 3 x 2 = 0 → x1 = 0 , x2 = 1 , z 6 = ⎛⎜1, ⎞⎟ = − . 4 4 ⎝ 2⎠ dx ⎪ ⎪ x ∈ [0,2], ⎪ ⎩ 3). Сравнивая полученные значения z , находим zнаим. = z (1,1) = −1 , zнаиб . = z (0, 2) = 12 .

16.4. Геометрические приложения функций двух переменных 16.4.1. Производная векторной функции скалярного аргумента G G G K JJJJG G r = OM , r = xi + yj + zk . K Пусть проекции вектора r являются функциями параметра t : ⎧ x = x(t ), ⎪ ⎨ y = y (t ), ⎪ z = z (t ), ⎩ G G G G G G тогда r = x(t )i + y (t ) j + z (t ) k , r = r (t ) .

z M ( x, y , z )

G r O

y

x

JJJJG При изменении t изменяются проекции и конец вектора OM описывает в пространстве линию, называемую годографом вектора. О

Указанные уравнения называются параметрическими уравнениями линии в пространG G стве. r = r (t ) является векторной функцией скалярного аргумента.

Найдем производную векторной функции скалярного аргумента. Возьмем фиксированное значение t , соответстG вующее точке M на кривой и значению r (t ) . G Дадим t приращение ∆t , получим вектор r (t + ∆t) , соответствующий точке M 1 . Тогда G G G G G G ∆r = r ( t + ∆ t ) − r ( t ) = [ x ( t + ∆ t ) − x ( t ) ] i + [ y ( t + ∆ t ) − y ( t ) ] j + [ z ( t + ∆ t ) − z ( t ) ] k , G G G ∆r = r (t + ∆t ) − r (t ) =

354

Лекции 15 - 16

G G G = [ x ( t + ∆t ) − x ( t ) ] i + [ y ( t + ∆ t ) − y ( t ) ] j + [ z ( t + ∆ t ) − z ( t ) ] k ,

K K ∆r dx K dy K dz K dr ⎧ dx dy dz ⎫ i + j+ k⇒ lim = = ⎨ ; ; ⎬, ∆t → 0 ∆ t dt dt dt dt ⎩ dt dt dt ⎭

G ∆r ( t ) x ( t + ∆t ) − x ( t ) G y ( t + ∆ t ) − y ( t ) G z ( t + ∆ t ) − z ( t ) G = i+ j+ k ∆t ∆t ∆t ∆t G – вектор производной вектора r (t ) по скалярному аргументу t . Выясним его направление. При ∆t → 0 точка M 1 стремится к точке M , а направление секущей MM 1 в пределе дает направление касательной, т.е. вектор G dr направлен по касательной к кривой в точке M . dt 16.4.2. Уравнение касательной к пространственной кривой G G 1. Если линия задается параметрическим уравнением r = r (t ) , то уравG нение касательной к кривой r (t ) в точке M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) записывается как G dr уравнение прямой, проходящей через точку M 0 параллельно вектору . dt M 0

Направляющий вектор касательной { x − x0 , y − y0 , z − z0 } и вектор G dr ⎧ dx dy dz ⎫ = ⎨ , , ⎬ параллельны. dt M 0 ⎩ dt dt dt ⎭ M 0 Условие параллельности заключается в том, что компоненты этих векторов пропорциональны, эти равенства и представляют уравнение касательной: x − x0 y − y 0 z − z 0 *) = = dz dy dx dt M dt M dt M 0

0

0

2. Пусть кривая в пространстве задана как линия пересечения двух по⎧Φ ( x, y,z ) = 0, где x = x(t ) , y = y (t ) , z = z (t ) . верхностей: L : ⎨ 1 ( x, y,z ) , Φ = 0 ⎩ 2 Итак, ⎧⎪Φ1 [ x( t ), y( t ),z( t )] = 0, ⎨ ⎪⎩Φ2 [ x( t ), y( t ),z( t )] = 0.

355

Функции нескольких переменных

Продифференцируем эти уравнения:

⎧ ∂Φ1 dx ∂Φ1 dy ∂Φ1 dz ⎪⎪ ∂x dt + ∂y dt + ∂z dt = 0, ⎨ ⎪ ∂Φ2 dx + ∂Φ2 dy + ∂Φ2 dz = 0. ∂y dt ∂z dt ⎩⎪ ∂x dt Получим систему двух уравнений с тремя неизвестными

dx dy dz , , . dt dt dt

Найдем решение системы:

∂Φ1 dz ⎧ ∂Φ1 dx ∂Φ1 dy + = − , ⎪ ∂x dt ∂y dt ∂z dt ⎪ ⎨ ⎪ ∂Φ 2 dx + ∂Φ 2 dy = − ∂Φ 2 dz . ⎪⎩ ∂x dt ∂y dt ∂z dt ⎧ dx ∆1 ⎪⎪ dt = ∆ , По формулам Крамера ⎨ где ∆ = ∆ dy 2 ⎪ = , ⎪⎩ dt ∆

∂Φ1 dz ∂z ∆1 = − dt ∂Φ2 ∂z

∂Φ1 ∂Φ1 ∂y dz ∂y = ∂Φ2 dt ∂Φ2 ∂y ∂y

∂Φ1 ∂x ∂Φ2 ∂x

∂Φ1 ∂y , ∂Φ2 ∂y

∂Φ1 ∂z dz , ∆2 = − ∂Φ2 dt ∂z

∂Φ1 ∂x ∂Φ2 ∂x

∂Φ1 ∂Φ1 dz ∂z ∂z = ∂Φ2 dt ∂Φ2 ∂z ∂z

Итак,

∂Φ1 ∂y ∂Φ2 ∂y dx = ∂Φ1 dt ∂x ∂Φ2 ∂x

∂Φ1 ∂Φ1 ∂z ∂z ∂Φ2 ∂Φ2 ∂z dz dy = ∂z ; ∂Φ1 ∂Φ1 dt dt ∂x ∂y ∂Φ2 ∂Φ2 ∂x ∂y

∂Φ1 ∂x ∂Φ2 ∂x dz . ∂Φ1 dt ∂y ∂Φ2 ∂y

∂Φ1 ∂x . ∂Φ2 ∂x

356

Лекции 15 - 16

Решение может быть записано в виде:

∂Φ1 ∂y ∂Φ2 ∂y

dx dt

∂Φ1 ∂z ∂Φ2 ∂z

Подставляя выражения для

=

∂Φ1 ∂z ∂Φ2 ∂z

dy dt

∂Φ1 ∂x ∂Φ2 ∂x

=

∂Φ1 ∂x ∂Φ2 ∂x

dz dt

∂Φ1 ∂y ∂Φ2 ∂y

dx dy dz , , в уравнение касательной *), получим dt dt dt

его в виде:

x − x0 Φ1′ y Φ1′z Φ 2′ y

Φ 2′ z

= M0

y − y0 Φ1′z Φ1′x Φ 2′ z Φ 2′ x

=

z − z0 Φ1′x Φ1′ y Φ 2′ x

M0

Φ 2′ y

, M0

если хотя бы один из определителей не равен нулю. Если все определители равны нулю, то точка называется особой точкой кривой.

16.4.3. Нормальная плоскость и ее уравнение О

Прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой в данной точке. Множество нормалей к кривой лежит в плоскости, перпендикулярной к касательной и образует нормальную плоскость.

Уравнение плоскости, которая перпендикулярна касательной к кривой имеет вид уравнения плоскости, проходящей через dr точку ( x0 , y0 , z0 ) с нормальным вектором : dt M а) в случае параметрического задания: 0

dx dt

⋅ ( x − x0 ) + M0

dy dt

⋅ ( y − y0 ) + M0

dz dt

⋅ (z − z0 ) = 0 ; M0

б) если кривая задана как линия пересечения двух поверхностей:

Φ1′y Φ1′z Φ 2′ y Φ 2′ z

( x − x0 ) + M0

Φ1′z Φ1′x Φ 2′ z Φ 2′ x

( y − y0 ) + M0

Φ1′x Φ1′y Φ 2′x Φ 2′y

( z − z0 ) = 0 . M0

357

Функции нескольких переменных

16.4.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть поверхность задана уравнением F ( x, y, z ) = 0 ∗) . О

G n

Точка M ( x, y, z ) называется обыкновенной, если все три частные производные ∂F ∂F ∂F , , существуют, непрерывны и ∂x ∂y ∂z хотя бы одна из них отлична от нуля.

G a

M L

О

Точка M ( x, y, z ) называется особой точкой поверхности, если все три частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует.

О

Прямая линия называется касательной к поверхности в точке M ( x, y, z ) , если она является касательной к какой-либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку M .

Т

Все касательные прямые к данной поверхности в ее обыкновенной точке M лежат в одной плоскости. Рассмотрим на поверхности линию:

⎧ x = x(t ), ⎪ L : ⎨ y = y (t ), ⎪ z = z (t ). ⎩

∗ ∗)

Касательная к этой кривой будет касательной и к поверхности. Уравнения касательной в точке M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) имеют вид: x − x0 y − y 0 z − z 0 . = = dx dy dz dt M dt M dt M 0

0

0

Подставим уравнения L ∗ ∗) в уравнение поверхности ∗) : F [x(t ), y (t ), z (t )] = 0 .

Продифференцируем полученное тождество по t , получим, что

Рассмотрим

вектор

G ⎧ ∂F ∂F ∂F ⎫ n=⎨ , , ⎬. ⎩ ∂x ∂y ∂z ⎭

∂F dx ∂F dy ∂F dz + + = 0. ∂x dt ∂y dt ∂z dt G G dr ⎧ dx dy dz ⎫ касательной a = =⎨ , , ⎬ dt ⎩ dt dt dt ⎭

и

вектор

358

Лекции 15 - 16

Скалярное произведение этих векторов равно: G G ∂F dx ∂F dy ∂F dz . + + (n ⋅ a ) = ∂x dt ∂y dt ∂z dt

Выше показано, что это выражение равно нулю, значит, действительно, G G вектор n перпендикулярен вектору a в точке M ( x, y, z ) . G ⎧ ∂F ∂F ∂F ⎫ Итак, n = ⎨ , , ⎬ – вектор нормали к поверхности F ( x, y, z ) = 0 . ∂ x ∂ y ∂ z ⎩ ⎭ О

Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку, называется касательной плоскостью к поверхности.

Уравнение касательной плоскости к поверхности F( x, y,z ) = 0 в точке M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) имеет вид: ∂F ∂x

( x − x0 ) + M0

∂F ∂y

( y − y0 ) + M0

∂F ∂z

( z − z0 ) = 0 . M0

Если поверхность задана явно: z = f ( x, y ) , то

z − f ( x, y ) = 0 ,

∂f ∂F ∂F ∂f ∂F =− , =1 =− , ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y

и уравнение касательной принимает вид: z − z0 = О

∂f ∂x

( x − x0 ) + M0

∂f ∂y

( y − y0 ) . M0

Прямая, проведенная через точку M ( x, y, z ) поверхности, перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью к поверхности. Уравнения нормали имеют вид: x − x 0 y − y 0 z − z 0 x − x0 y − y0 z − z0 , . = = = = ∂f ∂F ∂F 1 ∂f ∂F − − ∂x M ∂z M ∂x M ∂y M ∂y M 0

0

0

0

0

359

Функции нескольких переменных

Пример: Напишите уравнение касательной и нормальной плоскости к винтовой линии: ⎧ x = a cos t , dx dy dz ⎪ = − a sin t , = a cos t , = am . ⎨ y = a sin t , dt dt dt ⎪ z = amt. ⎩ x − a cos t y − a sin t z − amt = = Уравнения касательной: . − a sin t a cos t am Уравнение нормальной плоскости: − a sin t ( x − a cos t ) + a cos t ( y − a sin t ) + am( z − amt ) = 0 .

Пример:

z

Найдите уравнения касательной и нормальной плоскости к линии пересечения сферы x 2 + y 2 + z 2 = 4r 2 и цилиндра x 2 + y 2 = 2ry в точке M 0 (r , r , r 2 ) . Здесь Φ1( x, y,z ) = x + y + z − 4r , 2

2

2

Φ 2 ( x, y, z ) = x 2 + y 2 − 2ry . ∂Φ1 ∂Φ1 ∂Φ1 = 2x , = 2y , = 2z ; ∂x ∂y ∂z ∂Φ 2 ∂Φ 2 ∂Φ 2 = 2x , = 2 y − 2r , = 0. ∂y ∂x ∂z Значения производных в точке M : ∂Φ1 ∂Φ1 ∂Φ1 = 2r , = 2r , = 2r 2 ; ∂y ∂x ∂z ∂Φ 2 ∂Φ 2 ∂Φ 2 = 2r , = 0. = 0, ∂y ∂x ∂z

2

2r

y

O

x

x−r y−r z−r 2 . = = −1 0 2 Уравнение нормальной плоскости: 2 ( y − r ) − ( z − r 2 ) = 0 .

Уравнения касательной:

Пример: Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности шара x 2 + y 2 + z 2 = 14 в точке P(1,2,3) . ∂F ∂F ∂F = 2x ; = 2z . = 2y ; F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 14 = 0 . ∂y ∂x ∂z ∂F ∂F ∂F =2; =4; =6. В точке P(1,2,3) : ∂x ∂y ∂z Уравнение касательной плоскости:

360

Лекции 15 - 16

2( x − 1) + 4( y − 2) + 6( z − 3) = 0 ↔ x + 2 y + 3z − 14 = 0 . Уравнения нормали: x −1 y − 2 z − 3 x −1 y − 2 z − 3 = = ↔ = = . 2 4 6 1 2 3

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен уметь: ƒ вычислять частные производные функций, заданных явно, неявно, параметрически; ƒ находить точки экстремумов и условных экстремумов; ƒ владеть геометрическими приложениями (касательная плоскость и нормаль к поверхности и т.д.)