ε
MY
CK
MY
CK
MY
MY
CK
Περιοδικ κδοση
CK
κπαιδευτικο
POBΛHMATIΣMOI Nο 1 MAΪOΣ 1996
CK
MY
CK
MY
Συµβολ ...
5 downloads
515 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ε
MY
CK
MY
CK
MY
MY
CK
Περιοδικ κδοση
CK
κπαιδευτικο
POBΛHMATIΣMOI Nο 1 MAΪOΣ 1996
CK
MY
CK
MY
Συµβολ στην προσπ θεια του µαχµενου εκπαιδευτικο για αποτελεσµατικ διδακτικ προσφορ
CK
MY
CK
MY
CK
MY
YM
KC
YM
ε
YM
κπαιδευτικο
POBΛHMATIΣMOI
KC
Περιοδικ κδοση
Nο 1 MAΪOΣ 1996
Συµβολ στην προσπ θεια του µαχµενου εκπαιδευτικο για αποτελεσµατικ διδακτικ προσφορ
KC
YM
KC
Eκπαιδευτικο Προβληµατισµο Nο1 - M ϊος 1996 EK∆OTHΣ EK∆OΣEIΣ ZHTH
EK¢O™EI™ ñ EKTY¶ø™EI™
Γ E
¶. ZHTH & ™È· O.E.
ENIKH EΠOΠTEIA
Γεργιος Παντελδης Kαθηγητς E.M.Π.
YM KC
E
°PAºEIA - EP°A™THPIA: ™O§øNO™ 79-81 TËÏ.- F·¯: 031/825.453, 849.178 £ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË 542 48
I∆IKOI ΣYNEPΓATEΣ Kυρικος ∆ηµτρης, Φυσικς, Aναπλ. Kαθηγητς A.Π.Θ. Ξνος Θανσης, Mαθηµατικς, Kαθηγητς M.E. Πασχαλδης ∆ηµτρης, Φιλλογος, Kαθηγητς M.E. Tσπης Kωνσταντνος, Xηµικς, Kαθηγητς A.Π.Θ. Ψωϊν ς ∆ηµτριος, Mηχ. Mηχανικς, Kαθηγητς A.Π.Θ.
BIB§IO¶ø§EIO £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢: APMENO¶OY§OY 27 TËÏ.: 031/203.720 ñ Fax: 031/211.305 £ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË 546 35
BIB§IO¶ø§EIO AıËÓÒÓ: «ŒÓˆÛË EΉÔÙÒÓ BÈ‚Ï›Ô˘ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢» ™ÙÔ¿ ÙÔ˘ BÈ‚Ï›Ô˘ (¶ÂÛÌ·Ù˙fiÁÏÔ˘ 5) Aı‹Ó· 105 64 TËÏ.-Fax: 01/32 11 097
ΠIΣTHMONIKOI ΣYNEPΓATEΣ Γιαννακουδκης Aνδρας, Aν. Kαθ. Φυσ/Xηµε ας A.Π.Θ. Γιαννακουδκης Παναγιτης, Eπ. Kαθ. Φυσ/Xηµε ας A.Π.Θ. Γιουβανο"δης Γιργος, Φυσικς Γιο"ρη-Tσοχατζ Kατερνα, Eπικ. Kαθ. Xηµε ας A.Π.Θ. Iακβου Πτρος, Φυσικς-Xηµικς Kολυβ-Mαχαρα Φωτειν, Eπ. Kαθ. Mαθηµατικ ν A.Π.Θ. Mανουσκης Γιργος, Kαθ. Xηµε ας A.Π.Θ. Mπ ρα - Σντα Eυθυµα, Λ κτωρ Mαθηµατικ ν A.Π.Θ. Mωυσιδης Xρ νης, Aν. Kαθ. Mαθηµατικ ν A.Π.Θ. Παπακωσταντνου ∆ηµτρης, Σχολικς Σ!µβουλος Mαθ/κ ν Παπαστεφνου Kστας, Aν. Kαθ. Φυσικς A.Π.Θ. Σταµατκης Στλιος, Eπ. Kαθ. Mαθηµατικ ν A.Π.Θ. Tσιρπανλς Zαχαρας, Kαθ. Iστορ ας Παν. Iωανν νων Tσουκαλς Γιννης, Kαθ. Φυσικς A.Π.Θ.
™TOIXEIO£E™IA - EKTY¶ø™H EK¢O™EI™ ZHTH ISSN 1106-9252 COPYRIGHT: EK¢O™EI™ ZHTH A·ÁÔÚ‡ÂÙ·È Ë ÌÂÚÈ΋ Î·È ÔÏÈ΋ ·Ó·‰ËÌÔÛ›Â˘ÛË ‹ ·Ó··Ú·ÁˆÁ‹ ¯ˆÚ›˜ ÙËÓ ¤ÁÎÚÈÛË ÙÔ˘ ÂΉfiÙË. TIMH TEYXOY™: 1.200 ‰Ú¯.
YM
¶§HPOºOPIE™ - A¶O™TO§E™ ANNH ZHTH ™O§øNO™ 79-81, 542 48 £E™/NIKH TH§. 031. 864 961 - FAX: 031. 825 453
KC YM
KC
YM
KC
YM
KC
E π™A°ø°π∫∞ Xαιρετισµς
Aγαπητο συνδελφοι,
εκδοτικς µας ο κος, στην προσπθει του να συµβλει στην εκπαιδευτικ διαδικασ α, αποφσισε, εκτς απ τις εκδσεις των βοηθηµτων Γυµνασ ου και Λυκε ου και των Πανεπιστηµιακν Συγγραµµτων, να εκδ δει σε τακτ χρονικ διαστµατα το περιοδικ «Eκπαιδευτικο ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ», που θα απευθ(νεται στον εκπαιδευτικ αλλ και στο µαθητ και σπουδαστ. H συµβολ αυτ θα επιδικεται µε «συζτηση» µ*σα απ τις σελ δες του περιοδικο(. Θ*λουµε να ελπ ζουµε τι θα αναπτυχθε *νας εποικοδοµητικς διλογος, ο οπο ος θα συµβλει στην προσπθει µας αυτ. Για το σκοπ αυτ θα θ*λαµε να σας παρακαλ*σουµε να συµπληρσετε και να µας επιστρ*ψετε το προσαρτηµ*νο ερωτηµατολγιο, που θα βρε τε στην τελευτα α σελ δα του περιοδικο(. O εκδοτικς µας ο κος, για να κνει πιο ενδιαφ*ρουσα τη «συζτηση» µ*σα απ τους «Eκπαιδευτικο(ς ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ», θα σας δωρ ζει βιβλ α των εκδσεν του (τα οπο α θα επιλ*ξετε εσε ς) αξ ας 10.000 δρχ. για κθε πρτασ σας που θα δηµοσιε(εται.
*κδοση των «Eκπαιδευτικν ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΩΝ», ε ναι µια σηµαντικ πρωτοβουλ α του Eκδοτικο( O κου ZHTH στην προσπθει του να συµβλει στην επιτυχ α της εκπαιδευτικς διαδικασ ας µ*σα στο Γυµνσιο και στο Λ(κειο. Eµε ς, οι επιστηµονικο υπε(θυνοι των «Eκπαιδευτικν ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΩΝ», κατανοο(µε τις δυσκολ ες που *χει *να τ*τοιο εγχε ρηµα αλλ πιστε(ουµε τι µε τη δικ σας συµβολ θα µπορ*σουµε να προσφ*ρουµε πολ(τιµη βοθεια στο µαχµενο εκπαιδευτικ µας. Θα επιδιξουµε: ◆ Oι «Eκπαιδευτικο ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ» να αποτελ*σουν στα χ*ρια σας *να σηµαντικ βοθηµα στην εκπαιδευτικ πρξη και ◆ να ε ναι *νας πρακτικς, χρσιµος και σ(ντοµος οδηγς, ο οπο ος θα εξυπηρετε καθαρ διδακτικο(ς σκοπο(ς, εν θα µπορε επ σης να χρησιµοποιηθε και απ τους µαθητ*ς. Για το λγο αυτ θα επιδικουµε τα παρουσιαζµενα θ*µατα να προ*ρχονται, κατ προτεραιτητα, απ ερεθ σµατα και προτσεις σας. Θεωρο(µε αυτονητο τι οι προτσεις σας, τις οπο ες η Συντακτικ Eπιτροπ θεωρε κατλληλες, θα δηµοσιε(ονται επνυµα. Για να γ νει πιο ευχριστη η ενασχλησ σας µε τους «Eκπαιδευτικο(ς ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ», θα τους εµπλουτ σουµε µε σ(ντοµες αναφορ*ς σε εντυπωσιακ*ς επιστηµονικ*ς πληροφορ ες, πως π.χ. η απντηση στην εικασ α του Fermat, το πρβληµα του ζοντος, τα CD στην εκπαιδευτικ διαδικασ α, το πρβληµα της αυτµατης µετφρασης κ. .
O
Πελαγ α Zτη
TÔ ÂÚÈÔ‰ÈÎfi ÌÔÚ›Ù ӷ ÙÔ ˙ËÙ‹ÛÂÙ ·fi Ù· ‚È‚ÏÈԈϛ·: ● EΉfiÛÂȘ ZHTH AÚÌÂÓÔÔ‡ÏÔ˘ 27, 546 35 £ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË TËÏ. (031) 203.720, Fax: (031) 211.305
H
● «ŒÓˆÛË EΉÔÙÒÓ BÈ‚Ï›Ô˘ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢» ™ÙÔ¿ ÙÔ˘ BÈ‚Ï›Ô˘ (¶ÂÛÌ·Ù˙fiÁÏÔ˘ 5) 105 64 Aı‹Ó· TËÏ.-Fax: (01) 32 11 097
Περιµ*νοντας την ανταπκρισ σας Mε εκτ µηση Γεργιος Παντελ δης Kαθηγητς EMΠ
Oδηγ ες προς τους συγγραφε ς των προτσεων ➧ ➧ ➧
H κταση της παρουσ ασης ενς θµατος δε θα πρπει να υπερβα νει τις 4 σελ δες του εντπου, τουλχιστον στις θετικς επιστµες. H χρησιµοπο ηση της διατπωσης, της ορολογ ας και των συµβολισµ ν των εγκεκριµνων διδακτικ ν βιβλ ων της ∆ευτεροβθµιας Eκπα δευσης ε ναι υποχρεωτικ. H προσφυγ στη βοθεια εννοι ν και µεθδων, που ε ναι εκτς της διδακτας λης, οπωσδποτε µως απ το "µεσο περιβλλον" της, θα πρπει να ε ναι περιορισµνη και να επισηµα νεται τι ε ναι εκτς διδακτας λης. Στην περ πτωση αυτ µια βιβλιογραφικ αναφορ θα ε ναι πολ χρσιµη.
Eιδικτερα, κατ την παρουσ αση θα πρπει, εφσον ε ναι εφικτ και απαρα τητο, ➧ να επισηµα νονται οι επιδιωκµενοι στχοι, ➧ να δ νεται το απαρα τητο πληροφοριακ υλικ µε αναφορ στα διδακτικ βιβλ α, ➧ να γ νονται οι κατλληλες διδακτικς υποδε ξεις, ➧ να γ νονται εκε νες οι αποδε ξεις που υποδεικνουν µεθδους επεξεργασ ας θεµτων επ λυσης προβληµτων και ➧ να υποδεικνονται εκε να τα σηµε α, που ε ναι δυνατν να ξεφγουν λθη.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
3
YM
KC
YM
KC
YM
KC
YM KC YM KC YM KC
5
°. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë˜
ŸÚÈÔ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ÛÙÔ x0 ŒR
7
£. •¤ÓÔ˜
°ˆÓ›· ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ
8
¢. KÚ·‚‚·Ú›Ù˘
EÈηۛ· Fermat
9
E. MfiÚ·-™¤ÓÙ·
OÌ·‰ÔÔ›ËÛË - IÛÙfiÁÚ·ÌÌ· - ¶ÔχÁˆÓÔ ™˘¯ÓÔًوÓ
11
XÚ. KÔ˘ÎÔ˘‚›ÓÔ˜
™˘Ó‰˘·ÛÙÈ΋ (MÂÙ·ı¤ÛÂȘ - ¢È·Ù¿ÍÂȘ - ™˘Ó‰˘·ÛÌÔ›)
13
£. •¤ÓÔ˜
MÂϤÙË ‡·Ú͢ ÚÈ˙ÒÓ Ì ÙË ‚ÔËı›· Ù˘ ·Ó¿Ï˘Û˘
16
°. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë˜
T‡ÔÈ Cardano
17
¢. ¶··ÎˆÓÛÙ·ÓÙ›ÓÔ˘
EÏ΢ÛÙÈÎfiÙËÙ· (MÈ· ÂÏ΢ÛÙÈ΋ ·ÚÔ˘Û›·ÛË ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ)
19
°. °ÈÔ˘‚·ÓÔ‡‰Ë˜
H ÌÂıÔ‰ÔÏÔÁ›· ÛÙȘ AÛ΋ÛÂȘ º˘ÛÈ΋˜
21
¶. °È·ÓÓ·ÎÔ˘‰¿Î˘
AÁˆÁÔ› Û ÁÂÈÙÔÓ›· Î·È Ë ‰Ú¿ÛË ÙÔ˘˜ Û·Ó ˘ÎÓˆÙ¤˜
23
K. ¶··ÛÙÂÊ¿ÓÔ˘
P·‰fiÓÈÔ: MÈ· ·ÎfiÌË ˘ÚËÓÈ΋ ·ÂÈÏ‹ ̤۷ ÛÙ· Û›ÙÈ· Ì·˜
25
°. AÙÚ›‰Ë˜
MÈ· ·Ï‹ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÛÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ¢‡Ó·Ì˘ EÏ·ÙËÚ›Ô˘
28
¢. K˘ÚÈ¿ÎÔ˜
MÂÏ·Ó¤˜ O¤˜
29
A. °È·ÓÓ·ÎÔ˘‰¿Î˘
EÏ¿ÙÙˆÛË T¿Û˘ AÙÌÒÓ Î·È AÓ‡„ˆÛË ÛËÌ›Ԣ Z¤Û˘
31
°. M·ÓÔ˘Û¿Î˘
™ÙȘ EÍÒıÂÚ̘ AÓÙȉڿÛÂȘ ϤÌ «NAI» ÛÙȘ EÓ‰fiıÂÚ̘ ÙÈ Ï¤ÌÂ;
33
K. Tۛ˘
TÔ °Ú·ÌÌÔÌfiÚÈÔ (mole) - M›· ıÂÌÂÏÂÈ҉˘ ¯ËÌÈ΋ MÔÓ¿‰· M¤ÙÚËÛ˘
37
AÈÎ. °ÈÔ‡ÚË-TÛÔ¯·Ù˙‹
º˘ÛÈο Î·È XËÌÈο º·ÈÓfiÌÂÓ·
41
¢. º·ÚÌ¿Î˘
£¤Ì· ŒÎıÂÛ˘
43
Z. TÛÈÚ·ÓÏ‹˜
H ÂÈηÈÚfiÙËÙ· ÙÔ˘ MÂÛ·›ˆÓ·
45
K. K·ÙÛÈÌ¿Ó˘
H ÎÚ›ÛË
36
¢. æˆ˚Ófi˜
¢ÔÌ‹ Î·È ¢È¿ÚıÚˆÛË ÙÔ˘ EÏÏËÓÈÎÔ‡ EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ‡ ™˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ¶ËÁ‹: ™. ™Ù·‡ÚÔ˘, H ·ÁÁÂÏÌ·ÙÈ΋ Âη›‰Â˘ÛË ÛÙËÓ EÏÏ¿‰·, CEDEFOP, 1994 (¶›Ó·Î·˜ °ÂÓÈÎÔ‡ EӉȷʤÚÔÓÙÔ˜)
YM
KC
YM
KC
YM
KC
M ∞£∏ª∞∆π∫∞
√ƒπ√ ™À¡∞ƒ∆∏™∏™ ™∆√ x 0 Œ R TÔ˘ °. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë, K·ıËÁËÙ‹ E.M. ¶ÔÏ˘Ù¯Ó›Ԣ
Θ
· Û¯ÔÏÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ÔÚ›Ô˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ Û’ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô x0 Œ R ηıÒ˜ Î·È ÙËÓ ¿ÚÓËÛ‹ ÙÔ˘. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ı· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ¤Ó· ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ fiÚÈÔ ÛÙÔ x0 = 0. OÚÈÛÌfi˜ ŒÛÙˆ ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ÔÚÈṲ̂ÓË Û’ ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ U(x0, ·). £· ϤÌ fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ¤¯ÂÈ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô x0 fiÚÈÔ ÏŒ R Î·È ı· ÁÚ¿ÊÔ˘Ì lim f(x) = Ï,
xÆ x0
fiÙ·Ó ÁÈ· οı Â>0 ˘¿Ú¯ÂÈ ‰>0 Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÁÈ· οı x, Ì 0 < |x – x0| < ‰, Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ |f(x) – Ï| < Â
™¯ÔÏÈ·ÛÌfi˜ ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡: ➧ H ··›ÙËÛË «Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ó· Â›Ó·È ÔÚÈṲ̂ÓË Û’ ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ U(x0, ·) = (x0 – ·, x0) (x0, x0 +·) (ÙÔ ÔÔ›Ô ˆ˜ ÂÎ ÙÔ‡ÙÔ˘ Â›Ó·È ˘Ô¯ÚˆÙÈο ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ f) Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙË, ÁÈ· Ó· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛËÌ›· x ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÔÚÈÛÌÔ‡, ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÙÔ˘ x0, ÔÛÔ‰‹ÔÙ ÎÔÓÙ¿ ÛÙÔ x0. ¶.¯. ÁÈ· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË –x f(x) = 1 ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÓfiËÌ· Ó· ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔ fiÚÈÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô x0 = 2. ¢ÂÓ Ú¤ÂÈ ‚¤‚·È· Ó· ͯӿÌ fiÙÈ ÙÔ x0 ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙ· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ f. TÔ ËÏ›ÎÔ ‰È·ÊÔÚÒÓ (‚Ï. KÂÊ¿Ï·ÈÔ ¢È·ÊÔÚÈÎfi˜ §ÔÁÈÛÌfi˜), ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ‰ÂÓ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô x0, fiÔ˘ ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ÙËÓ ‡·ÚÍË Ù˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘. ™ËÌ›ˆÛË: ™ÙË ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË, Ô˘ ÛÙ· Ï·›ÛÈ· ÙÔ˘ §˘Î›Ԣ ‰ÂÓ ÂÍÂÙ¿˙Ô˘ÌÂ, ·ÚΛ Ó· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛËÌ›· ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ f ÔÛÔ‰‹ÔÙ ÎÔÓÙ¿ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô x0. ŒÓ· Ù¤ÙÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÛËÌÂ›Ô Û˘ÛÛˆÚ‡Ûˆ˜ ÙÔ˘ ‰›Ô˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ f.
➧ O ÔÚÈÛÌfi˜ ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È ÛÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ô˘ ÂϤÁ¯Ô˘Ì ·Ó ¤Ó·˜ ‰ÔṲ̂ÓÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ï Â›Ó·È fiÚÈÔ Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ f ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô x0. °È· ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ô˘ ‰Â ‰›ÓÂÙ·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ï ı· Ú¤ÂÈ Ó· ηٷʇÁÔ˘Ì Û ¿ÏϘ ÌÂıfi‰Ô˘˜, .¯. ÛÙË ÌÂϤÙË ÂÚÈ-
ÙÒÛÂˆÓ (fiˆ˜ ÛÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›), ÛÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ ÔÚ›ˆÓ Î.Ï. ➧ H ÊÚ¿ÛË: «ÁÈ· οı Â>0 ˘¿Ú¯ÂÈ ‰>0 Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÁÈ· οı x, Ì 0 < |x–x0| < ‰, Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ |f(x)–Ï|<» ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ: Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ï Â›Ó·È Ù¤ÙÔÈÔ˜, ÒÛÙ ÔÛÔ‰‹ÔÙ ÎÔÓÙ¿ ÙÔ˘ (Ô˘ ηıÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ¤ÎÊÚ·ÛË «ÁÈ· οı Â>0) ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÔÈ ÙÈ̤˜ f(x) Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ ÁÈ· fiÏ· Ù· xŒ U(x0, ‰) (Ô˘ ηıÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ 0 < |x–x0| < ‰). ™ËÌ›ˆÛË: EÂȉ‹ ÛÙfi¯Ô˜ Ì·˜ Â›Ó·È Ë ·Ó·˙‹ÙËÛË Ù˘ ‡·Ú͢ ÙÈÌÒÓ Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ f ÔÛÔ‰‹ÔÙ ÎÔÓÙ¿ ÛÙÔ Ï, ÁÈ· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ÙÔ Â ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÔÛÔ‰‹ÔÙ ÌÈÎÚfi.
➧ EÈÛËÌ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë Û˘Óı‹ÎË ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Ú¤ÂÈ Ó· ÈηÓÔÔÈÂ›Ù·È ÁÈ· οı Â>0. EÓÒ ÁÈ· ‰ÔṲ̂ÓÔ Â ·ÚΛ Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· ‰, ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔ ·fi ÙÔ Â. °È’ ·˘Ùfi ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ ·ÓÙ› ‰ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ‰(Â). E›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ, ·Ó Ë Û˘Óı‹ÎË ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ ÈηÓÔÔÈÂ›Ù·È ÁÈ· ÙÔ ‰(Â), ÙfiÙ ı· ÈηÓÔÔÈÂ›Ù·È Î·È ÁÈ· οı ‰¢ (Â) < ‰(Â). ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ·ÊÔ‡ οı x Ô˘ ÈηÓÔÔÈ› ÙËÓ 0 < |x – x0| < ‰¢ (Â) ÈηÓÔÔÈ› Î·È ÙËÓ 0 < |x – x0| < ‰(Â). ➧ H ÏÔÁÈ΋ ¿ÚÓËÛË ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Â›Ó·È Ë ÂÍ‹˜: H Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô x0 fiÚÈÔ ÏŒ R, fiÙ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· Â>0 Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÁÈ· οı ‰>0 Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ (ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ) ¤Ó· x, Ì 0 <| x–x0| < ‰, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ |f(x) – Ï| ≥  . ™ËÌ›ˆÛË: YÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ, Ë ¿ÚÓËÛË ÌÈ·˜ ÚÔÙ¿Ûˆ˜ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ «ÁÈ· οı x ÈÛ¯‡ÂÈ p(x)» Â›Ó·È «˘¿Ú¯ÂÈ (ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ) ¤Ó· x ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ p(x)». EÓÒ Ë ¿ÚÓËÛË ÌÈ·˜ ÚÔÙ¿Ûˆ˜ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ «˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó· x ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ p(x)» Â›Ó·È «ÁÈ· fiÏ· Ù· x ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ p(x)».
TÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı› ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Ì¤Û· ÛÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô Î·È Ë ÌÂϤÙË ÙÔ˘ Á›ÓÂÙ·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ·ÎÔÏÔ˘ıÈÒÓ (·Ú¿ÁÚ. 5.2). EÂȉ‹ fï˜ ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ÙˆÓ ·ÎÔÏÔ˘ıÈÒÓ ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÛÙËÓ ÂÍÂÙ·ÛÙ¤· ‡ÏË ÙˆÓ °ÂÓÈÎÒÓ EÍÂÙ¿ÛÂˆÓ ÁÈ· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ı· ÙÔ ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ·ÚÓ‹Ûˆ˜ ÙÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
5
O ƒπ√ ™ À¡∞ƒ∆∏™∏™
™∆√ à √ Œ
R
˘¿Ú¯ÂÈ ¿ÓÙÔÙÂ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Î Ù¤ÙÔÈÔ˜, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ 1 1 < Ή ‹ < ‰, Î ÔfiÙÂ Î·È ÁÈ· οı ӌ N, Ì Ó≥Î).
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË 1 f(x) = ËÌ x ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ fiÚÈÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô x0=0. Afi‰ÂÈÍË: TÔ x0=0 ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ f, Ë ÔÔ›· ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ R*, ‰ËÏ. Û οı ۇÓÔÏÔ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ U(0, ·), Ì ·>0. EÂȉ‹ ‰Â ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ fiÚÈÔ Î·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È ÊÚ·Á̤ÓË ı· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÂÚÈÙÒÛÂȘ: ·) AÓ ÌÔÚ› ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ïπ0 Ó· Â›Ó·È fiÚÈÔ Ù˘ f Î·È ‚) ·Ó ÌÔÚ› Ô Ï=0 Ó· Â›Ó·È fiÚÈfi Ù˘. (MÔÚÔ‡ÌÂ, ·Ó ·˘Ùfi Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ, Ó· ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ï>0 Î·È Ï<0).
‚) A˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë f ¤¯ÂÈ ÛÙÔ 0 fiÚÈÔ Ï = 0. Tfi1 Ù ÁÈ·  = > 0 Î·È ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ‰ > 0 ˘¿Ú2 1 ¯ÂÈ x = , fiÔ˘ Î Â›Ó·È Î·Ù¿ÏÏËÏÔ˜ Ê˘(2Î+1) 2 ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, Ì 1 |x – 0| = |x| = < ‰, (2Î+1) 2 Ù¤ÙÔÈÔ˜, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ
ËÌ x – 0 = ËÌ (2Î+1) 2 = 1 ≥ 2 = Â . 1
·) A˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë f ¤¯ÂÈ ÛÙÔ 0 fiÚÈÔ Ïπ0. Tfi|Ï| Ù ÁÈ· 0 <  < Î·È ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ‰>0 ˘¿Ú¯ÂÈ 2 1 x = , fiÔ˘ Î Â›Ó·È Î·Ù¿ÏÏËÏÔ˜ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÎ Ìfi˜, Ì 1 |x–0| = |x| = < ‰, Î
1
y –‰
‰ +1
y=ËÌ 1 x
Ù¤ÙÔÈÔ˜, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ |Ï|
ËÌ x – Ï = |ËÌ(Î) – Ï| = |Ï| > 2 > Â. 1
+Â
1 2 –1
–2
–1
0
1
2
1
x
y –‰
‰ –Â
Ï+Â +1 Ï y=ËÌ 1 x
–1 Ï–Â
EÔ̤ӈ˜ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ‰ÂÓ ÌÔÚ› ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô 0 Ó· ¤¯ÂÈ fiÚÈÔ ÙÔ 0.
1 2 –1
–2
–1
0
1
2
1
x
EÊ·ÚÌÔÁ‹ H Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) =
–1
EÔ̤ӈ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Ó· ¤¯ÂÈ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô 0 fiÚÈÔ Ïπ0
6
™ËÌ›ˆÛË: ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ AÚ¯ÈÌ‹‰ÂÈ· ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ Ú·ÁÌ·1 ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ÁÈ· ‰‡Ô ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, Â‰Ò Ô Î·È Ô ‰,
1 x ËÌ , ·Ó x π 0 x 0,
·Ó x = 0
‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ 0, ·ÊÔ‡ ÙÔ ËÏ›ÎÔ ‰È·ÊÔÚÒÓ f(x) – f(0) 1 = ËÌ x–0 x ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ fiÚÈÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
◆
M ∞£∏ª∞∆π∫∞
°øNIA ‰‡Ô EY£EIøN ÕÏÁ‚ڷ - AÓ·Ï˘ÙÈ΋ °ÂˆÌÂÙÚ›· - ¶Èı·ÓfiÙËÙ˜ TÔ˘ £. •¤ÓÔ˘, K·ıËÁËÙ‹ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ M.E.
OÚÈÛÌfi˜: OÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÁˆÓ›· ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â1 Î·È Â2, Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ô˘ ‰›ÓÔÓÙ·È, Î·È ÙË Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì (Â1, Â2) ÙË ÁˆÓ›· Ô˘ ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ Ë Â1 ·Ó ÛÙÚ·Ê› Á‡Úˆ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘˜ A ηٿ ÙË ıÂÙÈ΋ ÊÔÚ¿ ̤¯ÚÈ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ Â˘ı›· Â2 (Û¯. 1·, 1‚). AÓ ÔÈ Â˘ı›˜ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ, ˆ˜ ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ (Â1, Â2) = 0 (Û¯. 1Á). ε2
ε1
ε1
ε2
α
ε1 ε2
β
γ
ı· ‰ÒÛÔ˘Ì ÌÈ· ·Ó¿ÏÔÁË Ì ÙËÓ (1) ÈÛfiÙËÙ· ÁÈ· ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·˘Ù¤˜. ZËÙԇ̠ÏÔÈfiÓ ÙË ÁˆÓ›· ˆ= (Â, Ë) ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â Î·È Ë, ÂÎ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë Ë Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y¢ y, ‰ËÏ.  // y¢ y Î·È Ë // y¢ y. AÓ Ï Â›Ó·È Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ‰È‡ı˘ÓÛ˘ Ù˘ ¢ı›·˜ Â Î·È Ê Ë ÁˆÓ›· Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ Ë Â˘ı›·  Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x¢ x, ÙfiÙÂ Â›Ó·È Ï = ÂÊÊ (Û¯. 2). AÓ Ï>0 (Û¯. 2·), Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ê < , ÙfiÙÂ Ë 2 ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ÁˆÓ›· ˆ Â›Ó·È ˆ = – Ê. 2 y
Ë
ˆ
Â
Ë
y
™¯‹Ì· 1
ˆ
EÔ̤ӈ˜ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ
Ê Ê
0 ≤ (Â1, Â1) <
x
O
x
O Â
ηÈ
(Â1, Â2) + (Â2, Â1) = ,
·
‚
fiÙ·Ó Â1 // Â2.
™¯‹Ì· 2
™ÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ: AÓ Â1, Â2 Â›Ó·È ‰‡Ô ¢ı›˜ ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ‰È‡ı˘ÓÛ˘ Ï1 Î·È Ï2, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Î·ÌÈ¿ ÙÔ˘˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y¢ y *, ÙfiÙÂ Ë ÁˆÓ›·
™˘Ó‹ıˆ˜ ÂΛÓÔ Ô˘ Ì·˜ ÂӉȷʤÚÂÈ ‰ÂÓ Â›Ó·È Ë ÁˆÓ›· ˆ, ·ÏÏ¿ Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ·˘Ù‹˜, ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· (Û ·Ó·ÏÔÁ›· Ì ÙÔÓ Ù‡Ô (1)) ÈÛ¯‡ÂÈ: (2)
ˆ = (Â1, Â2) ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ·. (1)
Ï2 – Ï1 Âʈ = . 1 + Ï1Ï2
¢ÂÓ ÌÔÚԇ̠ÏÔÈfiÓ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÈÛfiÙËÙ· ÁÈ· Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙË ÁˆÓ›· ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ, ·fi ÙȘ Ôԛ˜ Ë ÌÈ· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y¢ y. £· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘ÌÂ Â‰Ò ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Ì›· ·fi ÙȘ ¢ı›˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y¢ y ηÈ
1 1 Âʈ = ÂÊ – Ê = ÛÊÊ = = . 2 ÂÊÊ Ï
AÓ Ï < 0 (Û¯. 2‚), Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ < Ê < , Ùfi2 ÙÂ Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ÁˆÓ›· ˆ Â›Ó·È ˆ = + ( – Ê). 2 EÔ̤ӈ˜ Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ· (3) Âʈ = ÂÊ + ( – Ê) = ÂÊ – Ê = 2 2 1 1 = ÛÊÊ = = . ÂÊÊ Ï
™˘Ì¤Ú·ÛÌ·: 14243
 // y¢ y Î·È Ë // y¢ y fi
ÁÈ· Ï > 0
›ӷÈ
1 ˆ = – Ê Î·È Âʈ = 2 Ï
ÁÈ· Ï < 0
›ӷÈ
1 ˆ = + ( – Ê) Î·È Âʈ = 2 Ï
* EÂȉ‹ Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ‰È‡ı˘ÓÛ˘ ÔÚ›ÛÙËΠÌfiÓÔ ÁÈ· ¢ı›˜ Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y¢ y.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
7
E π∫∞™π∞ F ERMAT t–2 Ï2 = = –1. 3t – 2
EÊ·ÚÌÔÁ‹ N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÔÈ Â˘ı›˜ Â1: tx + 2(t – 1)y – 1 = 0, Â2: (t – 2)x – (3t – 2)y + 3 = 0 Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÛÙ·ıÂÚ‹ ÁˆÓ›· ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ t. Afi‰ÂÈÍË: 2 AÓ t π 1 Î·È t π , ÙfiÙ ÔÈ Â˘ı›˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·3 Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y¢ y Î·È ¤¯Ô˘Ó Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ‰È‡ı˘ÓÛ˘ ●
t Ï1 = – 2(t – 1)
t–2 Ï 2 = . 3t – 2
ηÈ
EÔ̤ӈ˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ Ù‡Ô (1), ÁÈ· ÙË ÁˆÓ›·
ˆ = (Â1, Â2) ÈÛ¯‡ÂÈ Ï2 – Ï1 Âʈ = = (ÌÂÙ¿ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ) =1, 1 + Ï1Ï2
EÔ̤ӈ˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (3), Â›Ó·È 1 Âʈ = – =1, Ï2 Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ˆ = . 4 2 ● AÓ t = , ÙfiÙÂ Ë Â˘ı›· Â2 Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ 3 ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y¢ y Î·È Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ‰È‡ı˘ÓÛ˘ Ù˘ Â1 Â›Ó·È t Ï1 = – =1. 2(t – 1) EÔ̤ӈ˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (2), Â›Ó·È 1 Âʈ = =1, Ï1 Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ˆ = . 4 ™Â οı ÂÚ›ÙˆÛË ÏÔÈfiÓ Ë ÁˆÓ›·
Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ˆ = . 4
ˆ = (Â1, Â2) = . 4
AÓ t = 1, ÙfiÙÂ Ë Â˘ı›· Â1 Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y¢ y Î·È Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ Ù˘ Â2 Â›Ó·È ●
◆
EIKA™IA FERMAT TÔ˘ ¢. KÚ·‚‚·Ú›ÙË, K·ıËÁËÙ‹ E.M.¶ÔÏ˘Ù¯Ó›Ԣ
E›Ó·È ÁÓˆÛÙfi ·fi ÙËÓ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ· fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË x2 + y2 = z2 ¤¯ÂÈ ¿ÂÈÚ˜ χÛÂȘ (x, y, z) ·fi Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ‰ËÏ. ·fi ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ƒ3. ÔÈ Ôԛ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ¶˘ı·ÁfiÚÂȘ ÙÚÈ¿‰Â˜. O Á¿ÏÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Pierre de Fermat (1601-1665) ‰ÈÂÙ‡ˆÛ ÙÔ 1637 ÙËÓ ÂÈηۛ· fiÙÈ Ë ·Ó¿ÏÔÁË Â͛ۈÛË xn + yn = zn ÁÈ· n ≥ 3 ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛÂȘ ÛÙÔ ƒ3. H ÂÈηۛ·, ÁÓˆÛÙ‹ ˆ˜ "ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ıÂÒÚËÌ· Fermat" ÚÔÛ¤Ï΢Û ÙÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ÔÏÏÒÓ ÌÂÁ¿ÏˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, ÔÈ ÂÚÁ·Û›Â˜ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ‰ÂÓ ¤‰ˆÛ·Ó ·¿ÓÙËÛË
1659 1753
Fermat Euler Dirichler
1825
Legendre
ÁÈ· ÁÈ·
n=3
ÁÈ·
n=5
Lamé
ÁÈ·
n=7
1847
Kummer
ÁÈ·
n < 37
1857
Kummer
ÁÈ·
n ≤ 100
Vandiver
ÁÈ·
D. Lehmer
n=4
1839
1930-7
ÛÙËÓ ÂÈηۛ·, ¿ÓÔÈÍ·Ó fï˜ ÙÔ ‰ÚfiÌÔ ÁÈ· ÙËÓ ·Ó¿Ù˘ÍË Ó¤ˆÓ ıˆÚÈÒÓ. H ÙÂÏÈ΋ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÂÈηۛ·˜ ‰fiıËΠÚfiÛÊ·Ù· ·fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ A. Wiles Î·È R. Taylor (1995) Û ÌÈ· ÂÚÁ·Û›· 128 ÛÂÏ›‰ˆÓ. H ÚÒÙË ·fi‰ÂÈÍË ÙÔ˘ A. Wiles, Ù˘ ÔÔ›·˜ Ë ·Ó·ÁÁÂÏ›· ¤ÁÈÓ ·Î·ÚÈ·›· ·’fiÏ· Ù· ‰ÈÂıÓ‹ Ú·ÎÙÔÚ›· Âȉ‹ÛˆÓ, ‹Ù·Ó Ï¿ıÔ˜, ÂÓÈÛ¯‡ÔÓÙ·˜ ¤ÙÛÈ ÙËÓ ÂÔ›ıËÛË fiÙÈ Ë ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ÂÈηۛ·˜ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË. EȉÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ù˘ ÂÈηۛ·˜ ¤¯Ô˘Ó ·Ô‰Âȯı› ηٿ ηÈÚÔ‡˜ ·fi ÌÂÁ¿ÏÔ˘˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜, fiˆ˜ ‰Â›¯ÓÂÈ Ô ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·˜:
n < 617
1954
E. Lehmer
ÁÈ·
n ≤ 2500
ÁÈ·
n ≤ 125000
ÁÈ·
n ≤ 150000
ÁÈ·
n ≤ 1000000
Vandiver 1976 1987
Wagstaff Tanner Wagstaff Buhler
1991
Crandall Sompolski
8 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
M ∞£∏ª∞∆π∫∞
OMA¢O¶OIH™H I™TO°PAMMA ¶O§Y°øNO ™YXNOTHTøN T˘ E. MfiÚ·-™¤ÓÙ·, K·ıËÁ‹ÙÚÈ·˜ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÛÙÔ A.¶.£.
K
1) 2)
‰Âη‰Èο „ËÊ›· ÌÈ·˜ ٿ͈˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˘ ·’ ·˘Ù‹˜ ÙˆÓ ‰Â‰Ô̤ӈÓ. ŒÙÛÈ ·Ó Ù· ‰Â‰Ô̤ӷ Â›Ó·È ‰Âη‰ÈÎÔ› Ì ¤Ó· ‰Âη‰ÈÎfi, Ù· ¿ÎÚ· ÙˆÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ ı· Â›Ó·È ·ÚÈıÌÔ› Ì ‰‡Ô ‰Âη‰Èο „ËÊ›·. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ Ù· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· ‰Â ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙ¿-·ÓÔÈÎÙ¿, ·ÊÔ‡ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ·Ú·Ù‹ÚËÛË Ô˘ Ó· Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ٷ ¿ÎÚ· ÙˆÓ ‰È·ÛÙËÌ¿ÙˆÓ. ŸÏ· Ù· ·Ú·¿Óˆ ‰È¢ÎÚÈÓ›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· H ÂÚÈÂÎÙÈÎfiÙËÙ· Û ·Ï¿ÙÈ gr/lt Û 24 ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ̤ÚË ÙÔ˘ £ÂÚÌ·˚ÎÔ‡ ‹Ù·Ó: 46 46
53 58 60 60 49 59 48 46 52 37 58 46 47 48 42 50 64 48 62 49 47 36 2) EÈϤÁÂÙ·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 6 Û·Ó Ï‹ıÔ˜ ÎÏ¿ÛˆÓ. TÔ Â‡ÚÔ˜ ÙˆÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: 64–36 = 4,66 ª 5. 6 OÈ 6 ÎÏ¿ÛÂȘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÔÚÈÛıÔ‡Ó Ì ÔÏÏÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜: EÓ‰ÂÈÎÙÈÎÔ› Â›Ó·È ÔÈ ·Ú·Î¿Ùˆ: KÏ¿ÛË [36, 41) [41, 46) [46, 51) [51, 56) [56, 61) [61, 66)
·)
13 12 11 100 9 8 7 6 5 4 3 2 1
™˘¯ÓfiÙËÙ· ÎÏ¿Û˘ 2 1 12 2 5 2
™¯. Û˘¯Ó. KÏ¿Û˘ 0,083 0,042 0,500 0,083 0,209 0,083
™˘¯ÓfiÙËÙ·
·Ù¿ ÙËÓ ÔÌ·‰ÔÔ›ËÛË ÙˆÓ ·Ú·ÙËÚ‹ÛˆÓ, Ë ÔÔ›· ÂÈÙ˘Á¯¿ÓÂÙ·È ¯ˆÚ›˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ·fi ÙË ÌÈÎÚfiÙÂÚË Ì¤¯ÚÈ ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·Ú·Ù‹ÚËÛË Û ÌÈÎÚfiÙÂÚ· ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· Ô˘ ϤÁÔÓÙ·È ÎÏ¿ÛÂȘ, ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·È Î¿ÔÈÔÈ ·ÏÔ› ηÓfiÓ˜ ÁÈ· ÂÍ·ÁˆÁ‹ ηχÙÂÚˆÓ Û˘ÌÂÚ·ÛÌ¿ÙˆÓ. K·Ù’ ·Ú¯‹Ó ÂÎϤÁÂÙ·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÎÏ¿ÛˆÓØ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Ùfi˜ Û˘Ó‹ıˆ˜ ÂÎϤÁÂÙ·È ·˘ı·›ÚÂÙ·, fï˜ ÔÌ·‰ÔÔ›ËÛË ÙˆÓ ›‰ÈˆÓ ‰Â‰ÔÌ¤ÓˆÓ Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi ÎÏ¿ÛÂˆÓ ÌÔÚ› Ó· Ô‰ËÁ‹ÛÂÈ Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈο Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· 1. AÊÔ‡ ÔÚÈÛı› Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÎÏ¿ÛˆÓ, ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ú¤ÂÈ Ó· ‚ÚÂı› ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙˆÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ Î·È Ó· ÔÚÈÛıÔ‡Ó ÔÈ ÎÏ¿ÛÂȘ, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ οı ·Ú·Ù‹ÚËÛË Ó· ·Ó‹ÎÂÈ Û ̛· Î·È ÌfiÓÔ Ì›· ÎÏ¿ÛË. ŸÙ·Ó ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÁÈ· fiϘ ÙȘ ÎÏ¿ÛÂȘ, Ô˘ Â›Ó·È Î·È Ë Û˘ÓËı¤ÛÙÂÚË ÂÚ›ÙˆÛË, ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È ‰È·ÈÚÒÓÙ·˜ ÙÔ Â‡ÚÔ˜ ÙÔ˘ ‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜ Ô˘ Â›Ó·È Ë ‰È·ÊÔÚ¿ Ù˘ ÌÈÎÚfiÙÂÚ˘ ·fi ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·Ú·Ù‹ÚËÛË ‰È· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÙˆÓ ÎÏ¿ÛˆÓ. O ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Û˘Ó‹ıˆ˜ ÛÙÚÔÁÁ˘Ï‡ÂÙ·È ÚÔ˜ Ù· ¿ӈ Û’ ¤Ó·Ó ¢ÎÔÏfi¯ÚËÛÙÔ ·ÚÈıÌfi, Ô ÔÔ›Ô˜ ı· Â›Ó·È ÙÔ ÎÔÈÓfi Ï¿ÙÔ˜ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÎÏ¿ÛˆÓ. TÔ ÂfiÌÂÓÔ ‚‹Ì·, fiˆ˜ ·Ó·Ê¤ÚıËÎÂ, Â›Ó·È Ô ÔÚÈÛÌfi˜ ÙˆÓ ¿ÎÚˆÓ ÙˆÓ ÎÏ¿ÛˆÓ. EÈϤÁÂÙ·È ˆ˜ ·Ú¯‹ Ù˘ ÚÒÙ˘ ÎÏ¿Û˘ Ë ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·Ú·Ù‹ÚËÛË ÙÔ˘ ‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜ Î·È ÔÚ›˙ÂÙ·È Ë ÚÒÙË ÎÏ¿ÛË ¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ Ë ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·Ú·Ù‹ÚËÛË Ó· ·Ó‹ÎÂÈ Û’ ·˘Ù‹Ó ‹ Û·Ó ·ÚÈÛÙÂÚfi ¿ÎÚÔ Ù˘ ÚÒÙ˘ ÎÏ¿Û˘ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÌÈ· ÙÈÌ‹ Ï›ÁÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚË Ù˘ ÌÈÎÚfiÙÂÚ˘ ̤ÙÚËÛ˘. ¶ÚÔÛı¤ÙÔÓÙ·˜ ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ οı ÊÔÚ¿, ÔÚ›˙ÔÓÙ·È Î·È ÔÈ ˘fiÏÔȘ ÎÏ¿ÛÂȘ ̤¯ÚȘ fiÙÔ˘ Û˘ÌÏËÚˆı› Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ Ô˘ ÂÈϤ¯ıËÎÂ. ™˘Ó‹ıˆ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· ·fi ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ÎÏÂÈÛÙ¿ Î·È ·fi ‰ÂÍÈ¿ ·ÓÔÈÎÙ¿. TÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ‰È¿ÛÙËÌ· ÂÂȉ‹ ¤¯ÂÈ Á›ÓÂÈ ÌÈ· ÛÙÚÔÁÁ‡Ï¢ÛË ÙÔ˘ Ï¿ÙÔ˘˜ ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ, ·Ó Î·È ·ÓÔÈÎÙfi ·fi ‰ÂÍÈ¿, ÂÚȤ¯ÂÈ ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·Ú·Ù‹ÚËÛË. ŒÓ·˜ ¿ÏÏÔ˜ ÙÚfiÔ˜ ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ Â›Ó·È Ë ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛË ÁÈ· ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙˆÓ ¿ÎÚˆÓ, ·ÚÈıÌÒÓ ÌÂ
0 31
36
41
46
51
56
61
66
ŒÓ·˜ Ù‡Ô˜ Ô˘ ‰›ÓÂÈ ¤Ó·Ó ÂÓ‰ÂÈÎÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi ÎÏ¿ÛˆÓ, Â›Ó·È Ô: k = 1 + 3,3 logn, fiÔ˘ n Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ ÙÔ˘ ‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜. O Ù‡Ô˜ k = 1+3,3 log24, ‰›ÓÂÈ Ï‹ıÔ˜ ÎÏ¿ÛÂˆÓ 5,55.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
71
9
O ª∞¢√¶√π∏™∏ - I ™∆√°ƒ∞ªª∞ - ¶ √§À°ø¡√ KÏ¿ÛË 35,5 - 40,5 40,5 - 45,5 45,5 - 50,5 50,5 - 55,5 55,5 - 60,5 60,5 - 65,5
13 12 11 100 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
™˘¯ÓfiÙËÙ· KÏ¿Û˘ 2 1 12 2 5 2
™˘¯ÓfiÙËÙ·
‚)
30,5
35,5
40,5
45,5
50,5
55,5
60,5
65,5
70,5
13 12 11 100 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
™˘¯ÓfiÙËÙ·
E¿Ó ˆ˜ ‡ÚÔ˜ ÎÏ¿ÛÂˆÓ ÔÚÈ˙fiÙ·Ó Ô ·ÚÈıÌfi˜ .¯. 4,7, ÙfiÙ ÔÈ ÎÏ¿ÛÂȘ ÛÙȘ Ôԛ˜ ı· ÔÌ·‰ÔÔÈÔ‡ÓÙ·Ó Ù· ‰Â‰Ô̤ӷ ı· ‹Ù·Ó ÔÈ ·Ú·Î¿Ùˆ: KÏ¿ÛË ™˘¯ÓfiÙËÙ· KÏ¿Û˘ [36,0, 40,7) 2 [40,7 , 45,4) 1 [45,4 , 50,1) 12 [50,1 , 54,8) 3 [54,8 , 59,5) 4 [59,5 , 64,2) 4
31,3 36
οÓÂÈ ÙË ÛÙ·ÙÈÛÙÈ΋ ·Ó¿Ï˘ÛË ÙˆÓ ‰Â‰Ô̤ӈÓ, fï˜ Ú¤ÂÈ Ó· ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ·ÏÔ› ηÓfiÓ˜ Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚıËÎ·Ó ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜. OÈ ÙÚÂȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÔÌ·‰ÔÔÈ‹ÛÂȘ, ·Ó Î·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜, Ô‰ËÁÔ‡Ó Û ÈÛÙÔÁÚ¿ÌÌ·Ù·, ·fi Ù· ÔÔ›· ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷϋÍÔ˘Ì ÛÙ· ›‰È· Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù·. T· Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· Ô˘ ÂÍ¿ÁÔÓÙ·È ·fi ¤Ó· ÈÛÙfiÁÚ·ÌÌ· ‰ÂÓ Â›Ó·È ·˘ÛÙËÚ¿ ÛÙ·ÙÈÛÙÈο, ·ÏÏ¿ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ÂÚÈÁÚ·ÊÈο. ŒÙÛÈ Û’ fiϘ ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ, ·Ì¤Ûˆ˜ Á›ÓÂÙ·È ·ÓÙÈÏËÙfi fiÙÈ ÛÙȘ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÂÚÈÔ¯¤˜ ÙÔ˘ £ÂÚÌ·˚ÎÔ‡ Ë ÂÚÈÂÎÙÈÎfiÙËÙ· Û ·Ï¿ÙÈ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ 46 Î·È 50 gr/lt ÂÚ›Ô˘, ÂÓÒ Ë ÂÚÈÂÎÙÈÎfiÙËÙ· ÌÂٷ͇ 40 Î·È 45 gr/lt ÂÚ›Ô˘, Â›Ó·È Ë ÈÔ Û¿ÓÈ·. Afi ÙÔ ÈÛÙfiÁÚ·ÌÌ· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÏËÊıÔ‡Ó Î·È Î¿ÔȘ ¿ÏϘ ÏËÚÔÊÔڛ˜ fiˆ˜ ÔÈ ·Ú·Î¿Ùˆ. ŸÙ·Ó ¤¯ÂÈ Î·Ù·Û΢·ÛÙ› ¤Ó· ÈÛÙfiÁÚ·ÌÌ· Û¯ÂÙÈÎÒÓ Û˘¯ÓÔًوÓ, Ì ‰Â‰Ô̤ӷ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÔÌ·‰ÔÔÈËı› Û ÎÏ¿ÛÂȘ ›ÛÔ˘ ‡ÚÔ˘˜ Î·È ıˆÚÒÓÙ·˜ fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ Ì·˙› Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 1, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Î¿ı ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙË Û¯ÂÙÈ΋ Û˘¯ÓfiÙËÙ· Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ ÎÏ¿Û˘ Î·È Ë Î¿ı ·Ú·Ù‹ÚËÛË, ¤¯ÂÈ Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ ÂÈ̤ÚÔ˘˜ ÎÏ¿ÛË, ›ÛË Ì ÙË Û¯ÂÙÈ΋ Û˘¯ÓfiÙËÙ· Ù˘ ÎÏ¿Û˘. AÎfiÌË, Ë Î¿ı ·Ú·Ù‹ÚËÛË ¤¯ÂÈ Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ·Ó‹ÎÂÈ Û ̛·, ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÎÏ¿ÛÂȘ, ›ÛË Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Û¯ÂÙÈÎÒÓ Û˘¯ÓÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ ÎÏ¿ÛÂˆÓ ·˘ÙÒÓ. ¶.¯. ÁÈ· ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚıËÎÂ Î·È ÁÈ· ÙËÓ ÚÒÙË ÔÌ·‰ÔÔ›ËÛË, Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ë ÂÚÈÂÎÙÈÎfiÙËÙ· Û ·Ï¿ÙÈ ÌÈ·˜ ÂÚÈÔ¯‹˜ ÙÔ˘ £ÂÚÌ·˚ÎÔ‡ Ó· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ 41 Î·È 46 gr/lt Â›Ó·È 0,042 fiÛË Ë Û¯ÂÙÈ΋ Û˘¯ÓfiÙËÙ· Ù˘ ÎÏ¿Û˘, ÂÓÒ Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ë ÂÚÈÂÎÙÈÎfiÙËÙ· Û ·Ï¿ÙÈ Ó· Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÙˆÓ 61 gr/lt Â›Ó·È 0,083 + 0,042 + 0,500 + 0,083 + 0,209 = 0,917Ø ·ÎfiÌË Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ë ÂÚÈÂÎÙÈÎfiÙËÙ· Û ·Ï¿ÙÈ Ó· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ 41 Î·È 61 gr/lt Â›Ó·È 0,042 + 0,500 + 0,083 + 0,209 = 0,834 Î.Ï.
40,7
45,4
50,1
54,8
59,5
64,2
68,9
K¿Ùˆ ·fi οı ÔÌ·‰ÔÔ›ËÛË, ·Ú·Ù›ıÂÙ·È Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÈÛÙfiÁÚ·ÌÌ· Û˘¯ÓÔÙ‹ÙˆÓ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ë Î·Ù·Û΢‹ ¤¯ÂÈ Á›ÓÂÈ fiˆ˜ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô Ù˘ °¢ Á˘ÌÓ·Û›Ô˘.
10
™Àá√∆∏∆ø¡
Afi fiÛ· ·Ó·Ê¤ÚıËηÓ, Á›ÓÂÙ·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ Ë ÔÌ·‰ÔÔ›ËÛË ÙˆÓ ‰Â‰ÔÌ¤ÓˆÓ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ·˘ÙfiÓ Ô˘
Ÿˆ˜ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô Ù˘ °¢ °˘ÌÓ·Û›Ô˘ Û οı ÈÛÙfiÁÚ·ÌÌ·, ÂÓÒÓÔÓÙ·˜ Ù· ̤۷ ÙˆÓ ¿Óˆ ‚¿ÛÂˆÓ ÙˆÓ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó, Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ÌÈ· ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ Ô˘ ϤÁÂÙ·È ÔχÁˆÓÔ Û˘¯ÓÔًوÓ. °È· Ó· ÎÏ›ÛÂÈ fï˜ ÙÔ ÔχÁˆÓÔ Û˘¯ÓÔÙ‹ÙˆÓ ÛÙÔÓ ÔÚÈ˙fiÓÙÈÔ ¿ÍÔÓ·, ÚÔÛÙ›ıÂÓÙ·È ‰‡Ô ·ÎfiÌË ˘ÔıÂÙÈΤ˜ ÎÏ¿ÛÂȘ, ‰ÂÍÈ¿ Î·È ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ, ÌÂ Û˘¯ÓfiÙËÙ· Ìˉ¤Ó. ŒÙÛÈ Ù· ΤÓÙÚ· ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ˘ÔıÂÙÈÎÒÓ ÎÏ¿ÛˆÓ, Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›· Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ ÔχÁˆÓÔ Û˘¯ÓÔÙ‹ÙˆÓ ÙÔÓ ÔÚÈ˙fiÓÙÈÔ ¿ÍÔÓ·, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È Î·È ÛÙ· ·Ú·¿Óˆ Û¯‹Ì·Ù·. ◆
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
M ∞£∏ª∞∆π∫∞
™YN¢YA™TIKH M ÂÙ·ı¤ÛÂȘ - ¢ È·Ù¿ÍÂȘ - ™ ˘Ó‰˘·ÛÌÔ› TÔ˘ XÚ. KÔ˘ÎÔ˘‚›ÓÔ˘, E. K·ıËÁËÙ‹ ÛÙÔ E.M. ¶ÔÏ˘Ù¯Ó›Ô
¢›ÓÂÙ·È ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ A ÌÂ Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛÙÔȯ›·, ¤ÛÙˆ A = {·1, ·2, …, ·Ó}. TfiÙ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È: MÂÙ¿ıÂÛË ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ A, οı ηٿٷ͋ ÙÔ˘˜ Û ÌÈ· ÛÂÈÚ¿. TÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÌÂÙ·ı¤ÛÂˆÓ Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Â›Ó·È (1)
PÓ = Ó!
¢È¿Ù·ÍË ÙˆÓ Ó ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ A ·Ó¿ Î, fiÔ˘ Î≤Ó, οı ηٿٷÍË Û ÌÈ· ÛÂÈÚ¿ Î ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ô˘ ‹Ú·Ì ·fi Ù· Ó. TÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ‰È·Ù¿ÍÂˆÓ Ó ÛÙÔȯ›ˆÓ ·Ó¿ Î Â›Ó·È Ó! (2) ¢ÓÎ = Ó(Ó – 1) … (Ó – Î + 1) = (Ó–Î)! ¢È¿Ù·ÍË Ì ·ӿÏË„Ë ÙˆÓ Ó ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ A ·Ó¿ Î, οı ηٿٷÍË Î ÛÙÔȯ›ˆÓ Ô˘ ‹Ú·Ì ·fi Ù· Ó, fiÙ·Ó Î¿ı ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÌÔÚ› Ó· ·ӷϷ̂¿ÓÂÙ·È Ì¤¯ÚÈ Î ÊÔÚ¤˜ (Â‰Ò ÙÔ Î ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ ‹ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ‹ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÙÔ˘ Ó). TÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ‰È·Ù¿ÍÂˆÓ ·˘ÙÒÓ Â›Ó·È
Ó!
( ÓÎ ) = Î!(Ó–Î)!
Ó(Ó–1) … (Ó–Î+1) = Î!
£· Û¯ÔÏÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·Ú·¿Óˆ Ù‡Ô˘˜ Ì ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1 ŒÛÙˆ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ÌÈ· ÔÌ¿‰· Ó ·ÙfïÓ. ¶ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘Ì ÂÈÙÚÔ‹ Ì Π·fi Ù· ¿ÙÔÌ· ·˘Ù¿, ¤Ó· ·fi Ù· ÔÔ›· ı· Â›Ó·È Úfi‰ÚÔ˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ·ÎÔÏÔ˘ı‹ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÙÚfiÔ˘˜: 1Ô˜ ÙÚfiÔ˜: EÈϤÁÔ˘Ì ÚÒÙ· ÙËÓ ÂÈÙÚÔ‹ ÌÂ Ó Î
( )
(
ÙÚfiÔ˘˜ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÂÈϤÁÔ˘Ì ÙÔÓ ÚfiÂ-
‰Úfi Ù˘ Ì ΠÙÚfiÔ˘˜, ÔÈ ‰˘Ó·ÙÔ› ÙÚfiÔÈ Â›Ó·È ÓÎ ØÎ.
( )
2Ô˜ ÙÚfiÔ˜: EÈϤÁÔ˘Ì ÚÒÙ· ÙÔÓ Úfi‰ÚÔ Ù˘ ÂÈÙÚÔ‹˜ ÌÂ Ó ÙÚfiÔ˘˜ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÂÈϤÁÔ˘Ì ·fi Ù· Ó–1 ¿ÙÔÌ· Ù· ÂÓ·ÔÌ›ӷÓÙ· Ζ1 ̤ÏË Ù˘ ÂÈÙÚÔ‹˜ Ì Ӗ1 ) ÙÚfiÔ˘˜, ÔÈ ‰˘Ó·ÙÔ› ÙÚfiÔÈ Â›Ó·È Î–1 ÏÔÈfiÓ Ó Ø Ó–1 ). Ζ1
Ó
Ó
(
Ó–1
Ó–2 = Ø ( Ζ2 ) = … = ( ÓÎ ) = Î Ø ( Ó–1 Ζ1 ) Î Ø Î–1 Ó Ó–1 Ó–Î+1 = Ø … , ΠΖ1 1 ·fi ÙËÓ ÔÔ›· ·›ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (4). ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2 M fiÛÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜ 9 ¿ÙÔÌ· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¯ˆÚÈÛÙÔ‡Ó Û ÙÚÂȘ ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ·ÙfïÓ;
H ÚÒÙË ÔÌ¿‰· ÌÔÚ› Ó· ÂÈÏÂÁ› Ì 9 ÙÚfi3 Ô˘˜ (Û˘Ó‰˘·ÛÌÔ› 9 ÛÙÔȯ›ˆÓ ·Ó¿ 3), Ë ‰Â‡ÙÂÚË Ì 6 Î·È Ë ÙÚ›ÙË Ì 3 = 1 ÙÚfiÔ. 3 3 EÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙË ıÂÌÂÏÈÒ‰Ë ·Ú¯‹ Ù˘ ··Ú›ıÌËÛ˘, Ú¤ÂÈ Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ٷ ÂÈ̤ÚÔ˘˜ ·˘Ù¿ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·. EÂȉ‹ fï˜ ‰Â Ì·˜ ÂӉȷʤÚÂÈ Ë ÛÂÈÚ¿ Ì ÙËÓ ÔÔ›· ı· ÂÈÏÂÁ› Ë ÔÌ¿‰· Ú¤ÂÈ Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Ì 3! EÔ̤ӈ˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó 9 6 3 Ø 3 Ø1 = 280 ÙÚfiÔÈ. 3!
( )
( )
( )( )
MÔÚԇ̠Ӓ ·ÓÙÈÌÂÙˆ›ÛÔ˘Ì ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ·˘Ùfi Î·È Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÙÚfiÔ ÛΤ„˘. ¶·›ÚÓÔ˘ÌÂ Ù˘¯·›· ¤Ó· ¿ÙÔÌÔ ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÈϤÁÂÈ Ù· ¿ÏÏ· ‰‡Ô ¿ÙÔÌ· Ù˘ ÔÌ¿‰·˜ ÙÔ˘ Ì 82 ÙÚfiÔ˘˜. Afi Ù· ˘fiÏÔÈ· 6 ·›ÚÓÔ˘Ì ¿ÏÈ Ù˘¯·›· ¤Ó· ¿ÙÔÌÔ Ô˘ ÂÈϤÁÂÈ Ù· ¿ÏÏ· ‰‡Ô Ù˘ ÔÌ¿‰·˜ ÙÔ˘ Ì 5 2 ÙÚfiÔ˘˜. T¤ÏÔ˜ Â›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ Ù· ˘fiÏÔÈ· 3 ¿ÙÔÌ· Ô˘ ·Ô̤ÓÔ˘Ó ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÔÌ¿‰·. EÔ̤ӈ˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó
( )
( )
( 82 )Ø( 52 )Ø1= 280
(
(
( )
( )
™˘Ó‰˘·ÛÌfi˜ ÙˆÓ Ó ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ A ·Ó¿ Î, οı ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ A Ì ΠÛÙÔȯ›·. TÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Û˘Ó‰˘·ÛÌÒÓ Ó ÛÙÔȯ›ˆÓ ·Ó¿ Î Â›Ó·È (4)
( )
§‡ÛË:
EÓÎ = ÓÎ.
(3)
EÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ οı ÊÔÚ¿ ÙË ‚·ÛÈ΋ ·Ú¯‹ ··Ú›ıÌËÛ˘, Î·È ÂÂȉ‹ ÔÈ ‰‡Ô ÙÚfiÔÈ Ú¤ÂÈ Ó· ‰›ÓÔ˘Ó ·Ó·ÁηÛÙÈο ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi ÂÈÙÚÔÒÓ ·›ÚÓÔ˘ÌÂ Ó Î = Ó Ó–1 Ó = Ó Ó–1 . Ø Î–1 ) Ø Î–1 ) ‹ Î Ø Î Î H ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÈÛfiÙËÙ· Â›Ó·È ·Ó·ÁˆÁÈÎfi˜ Ù‡Ô˜, Ô˘ Û Π‚‹Ì·Ù· ‰›ÓÂÈ:
ÙÚfiÔÈ. ŒÓ·˜ ÙÚ›ÙÔ˜ ÙÚfiÔ˜ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÚ-
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
11
™YN¢YA™TIKH -M ∂∆∞£∂™∂π™ , ¢ π∞∆∞•∂π™ , ™ À¡¢À∞™ª√π Á·ÛÙÔ‡ÌÂ Â›Ó·È Ô ÂÍ‹˜: ŒÛÙˆ (·1, ·2, ·3), (·4, ·5, ·6), (·7, ·8, ·9) ¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ x ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜ ¯ˆÚÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ 9 ·ÙfiÌˆÓ Û ÙÚÈ¿‰Â˜. MÂÙ·ı¤ÙÔÓÙ·˜ ÙȘ ÙÚÈ¿‰Â˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜, ·›ÚÓÔ˘Ì ÁÈ· ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi 3! ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÌÂÙ·ı¤ÛÂȘ ÙˆÓ 9 ·ÙfïÓ. MÂÙ·ı¤ÙÔÓÙ·˜ Ù· ¿ÙÔÌ· Û οı ÙÚÈ¿‰·, ·›ÚÓÔ˘Ì ÁÈ· ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ 3! ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÌÂÙ·ı¤ÛÂȘ ÁÈ· οı ÙÚÈ¿‰·, ‰ËÏ. Û˘ÓÔÏÈο ÁÈ· ÙȘ ÙÚÂȘ ÙÚÈ¿‰Â˜ 3!Ø3!Ø3! . ŒÙÛÈ ·fi ÙÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ÙÚfiÔ ·›ÚÓÔ˘Ì 3!Ø3!Ø3!Ø3! ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÌÂÙ·ı¤ÛÂȘ ÙˆÓ 9 ·ÙfïÓ. EÔ̤ӈ˜ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ xØ3!Ø3!Ø3!Ø3! = 9! , ·fi fiÔ˘ ·›ÚÓÔ˘Ì 9! x = = 280 ÙÚfiÔ˘˜. 3!Ø3!Ø3!Ø3! ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 3 TÚÂȘ ÂÈÛÙÔϤ˜ ÙÔÔıÂÙÔ‡ÓÙ·È Ù˘¯·›· Û ÙÚ›˜ ʷΤÏÔ˘˜. K·Ù·ÁÚ¿„Ù ٷ ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘. ¶ÔÈ¿ Â›Ó·È Ë Èı·ÓfiÙËÙ· ηÌÈ¿ ÂÈÛÙÔÏ‹ Ó· ÌËÓ ÙÔÔıÂÙËı› ÛÙÔ ÛˆÛÙfi Ê¿ÎÂÏÔ; §‡ÛË: AÓ Ë ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ Ê·Î¤ÏˆÓ Â›Ó·È 123, ÙfiÙÂ Ë ÛÂÈÚ¿ ÙˆÓ ÂÈÛÙÔÏÒÓ Â›Ó·È ÌÈ· ÌÂÙ¿ıÂÛË ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ 1, 2, 3 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Ô ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ı· ›ӷÈ: ø = {123, 132, 213, 231, 312, 321}, Ï‹ıÔ˜ ÛÙÔȯ›ˆÓ 3! =6. AÓ Û˘Ì‚ÔÏ›ÛÔ˘Ì Ai = {Ë ÂÈÛÙÔÏ‹ i ÙÔÔıÂÙÂ›Ù·È ÛÙÔÓ i Ê¿ÎÂÏÔ}, i=1, 2, 3, Î·È A = {ηÌÈ¿ ÂÈÛÙÔÏ‹ ‰ÂÓ ÙÔÔıÂÙÂ›Ù·È ÛÙÔ ÛˆÛÙfi Ê¿ÎÂÏÔ}, ÙfiÙ A¢ = {ÌÈ· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÂÈÛÙÔÏ‹ ÙÔÔıÂÙÂ›Ù·È ÛÙÔ ÛˆÛÙfi Ê¿ÎÂÏÔ} Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ P(A) = 1 – P(A¢ ) E›Ó·È fï˜ ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ (‚Ï. ‚È‚Ï›Ô ÛÂÏ. 226, ·ÛÎ. 1, ÔÌ¿‰·˜ B). P(A¢ ) = P(A1» A2» A3) = = P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1« A2) – P(A1« A3) – – P(A2« A3) + P(A1« A2« A3). EÍ¿ÏÏÔ˘ Â›Ó·È 2 P(A1) = P(A2) = P(A3) = , 6
12
1 P(A1« A2) = P(A1« A3) = P(A2« A3) = 6 Î·È 1 P(A1« A2« A3) = . 6 EÔ̤ӈ˜
2 1 1 4 P(A¢ ) = 3Ø – 3Ø + = , 6 6 6 6 Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Èı·ÓfiÙËÙ· Â›Ó·È 4 2 P(A) = 1 – P(A¢ ) = 1– = = 0,333. 6 6 ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ·fi ÙÔ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ A = {231, 312}, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ‰‡Ô Â›Ó·È ÔÈ Â˘ÓÔ˚Τ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ. ™ËÌ›ˆÛË: ™ÙË ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË fiÔ˘ Ó ÂÈÛÙÔϤ˜ ÚfiÎÂÈÙ·È Ó· ÙÔÔıÂÙËıÔ‡Ó ÛÂ Ó Ê·Î¤ÏÔ˘˜, Ë Èı·ÓfiÙËÙ· ηÌÈ¿ ÂÈÛÙÔÏ‹ Ó· ÌËÓ ÙÔÔıÂÙËı› ÛÙÔ ÛˆÛÙfi Ê¿ÎÂÏÔ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Ó 1 (–1)Î Î! . Î=2 °È· Ó=3 ·›ÚÓÔ˘Ì ڿÁÌ·ÙÈ ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ·.
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 4 ŒÛÙˆ fiÙÈ ·ÓÂÏ΢ÛÙ‹Ú·˜ (·Û·ÓÛ¤Ú) Ó-fiÚÔÊÔ˘ ÎÙÈÚ›Ô˘ ÍÂÎÈÓ¿ ·fi ÙÔ ÈÛfiÁÂÈÔ Ì Π¿ÙÔÌ· (Î≤Ó). N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë Èı·ÓfiÙËÙ· ·Ô‚›‚·Û˘ Î·È ÙˆÓ Î ·ÙfiÌˆÓ Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÔÚfiÊÔ˘˜. §‡ÛË: ™Â οı ·Ô‚›‚·ÛË ÙˆÓ Î ·ÙfiÌˆÓ {·1, ·2, …, ·Î} ÛÙÔ˘˜ Ó ÔÚfiÊÔ˘˜ {Ô1, Ô2, …, ÔÓ} ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÌÈ· ‰È¿Ù·ÍË Ì ·ӿÏË„Ë ÙˆÓ Ó ÔÚfiÊˆÓ ·Ó¿ Î {Ôj , Ôj , …, Ôj }, 1
3
Î
fiÔ˘ Ôj Â›Ó·È Ô fiÚÔÊÔ˜ ÛÙÔÓ ÔÔ›Ô ·Ô‚È‚¿˙ÂÙ·È ÙÔ Ù ¿ÙÔÌÔ ·Ù, Ù=1, 2, …, Î. O ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ ø, Ô˘ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ÙȘ ·Ô‚È‚¿ÛÂȘ ÙˆÓ Î ·ÙfiÌˆÓ ÛÙÔ˘˜ Ó ÔÚfiÊÔ˘˜ Â›Ó·È N(ø) = EÓÎ = ÓÎ, ‰ËÏ. ›ÛÔ˜ Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ‰È·Ù¿ÍÂˆÓ Ì ·ӿÏË„Ë ÙˆÓ Ó ·Ó¿ Î. AÓ ÙÒÚ· Û˘Ì‚ÔÏ›ÛÔ˘Ì A = {Ù· Î ¿ÙÔÌ· ·Ô‚È‚¿˙ÔÓÙ·È Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÔÚfiÊÔ˘˜ }, ÙfiÙÂ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ˘ A Â›Ó·È Ó! N(A) = ¢ÓÎ = , (Ó–Î)! ‰ËÏ. ›ÛÔ˜ Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ‰È·Ù¿ÍÂˆÓ ÙˆÓ Ó ·Ó¿ Î (¯ˆÚ›˜ ·ӿÏË„Ë). ™˘ÓÂÒ˜ Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË Èı·ÓfiÙËÙ· Â›Ó·È N(A) 1 Ó! P(A) = = Î Ø . N(ø) Ó (Ó–Î)! EȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË: °È· Ó=7 Î·È Î=5 ·›ÚÓÔ˘Ì 7! P(A) = 5 ª 15% 7 Ø2! (‚Ï. ‚È‚Ï›Ô, ¿ÛÎ. 6 ÔÌ¿‰·˜ B, ÛÂÏ 233).
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
◆
M ∞£∏ª∞∆π∫∞
M E§ETH Y ¶AP•H™ P IZøN Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ANA§Y™H™ TÔ˘ £. •¤ÓÔ˘, K·ıËÁËÙ‹ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ M.E.
Ù· M·ıËÌ·ÙÈο Ù˘ °¢ §˘Î›Ԣ ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ‰È‰¿ÛÎÔÓÙ·È ÔÏϤ˜ Ӥ˜ Î·È "ÏÂÙ¤˜" ¤ÓÓÔȘ. °È· ÙË ‚·ı‡ÙÂÚË Î·Ù·ÓfiËÛË ÙˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ ·˘ÙÒÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÔÌ¿‰Â˜ ·fi ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÎÂÊ¿Ï·È· Î·È ¤¯Ô˘Ó οÔÈ· "Û˘ÁÁ¤ÓÂÈ·" ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ™ÙÔ ÛËÌÂÚÈÓfi Ì·˜ ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌfi ı· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ ‡·ÚÍË Î·È ÙËÓ Â‡ÚÂÛË ÚÈ˙ÒÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ AÓ¿Ï˘Û˘. º˘ÛÈο ÌÈÏ¿Ì ÁÈ· ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë Ï‡ÛË ‰ÂÓ ÂÈÙ˘¯¿ÓÂÙ·È Ì ÙȘ ÁÓˆÛÙ¤˜ ÌÂıfi‰Ô˘˜ ·fi ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ Ù¿ÍÂȘ. £· ÛÙËÚȯıԇ̠΢ڛˆ˜ ÛÙ· £ÂˆÚ‹Ì·Ù· Bolzano, Rolle Î·È Ì¤Û˘ ÙÈÌ‹˜ ÙÔ˘ ¢È·ÊÔÚÈÎÔ‡ ÏÔÁÈÛÌÔ‡, Ù· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÌÔÓÔÙÔÓ›·˜ Î·È ·ÎÚÔÙ¿ÙˆÓ Î·ıÒ˜ Î·È ÙËÓ Î˘ÚÙfiÙËÙ· Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘.
™
● ⁄·ÚÍË Ú›˙·˜
™ËÌ›ˆÛË 2: °È· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË Ù˘ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ eÏ – Ï + 1 > 0 Ú¤ÂÈ Ó· ηٷʇÁÔ˘Ì ÛÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ ·ÎÚÔÙ¿ÙˆÓ Ù˘ Û˘Ó·ÚÙ‹Ûˆ˜ g(Ï) = eÏ – Ï + 1, ·’ fiÔ˘ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·˘Ù‹ ¤¯ÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÙÔ g(0) = 2. EÔ̤ӈ˜. ÁÈ· οı ό ó ÈÛ¯‡ÂÈ g(Ï) ≥ 2 > 0.
➧ M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Bolzano ÌÔÚԇ̠ӷ ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘ÌÂ Î·È ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ fiÔ˘ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ Û ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (·, ‚] ÂȉÈÎfiÙÂÚ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (–• , ‚], [·, ‚) ÂȉÈÎfiÙÂÚ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ [·, +• ) Î·È (·, ‚) ÂȉÈÎfiÙÂÚ· Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ (–• , +• ). ™ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ۇÌʈӷ Ì ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜: EÊ·ÚÌÔÁ‹ 1: AÓ ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (·, ‚), ˘¿Ú¯Ô˘Ó Ù·
£ÂÒÚËÌ· Bolzano
lim f(x),
xÆ ·+
AÓ ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [·, ‚] Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ f(·)Ø f(‚)<0, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË f(x) = 0 ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÌÈ· Ú›˙· ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (·, ‚). EÈÛ‹Ì·ÓÛË: TÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [·, ‚] ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ Ó· Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ Â‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ f, ·ÚΛ Ó· Â›Ó·È ˘ÔÛ‡ÓÔÏfi ÙÔ˘. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1 N’ ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ ÍŒ (0, 1) Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ (eÏ + 1)Í15 = (Ï – 3)Í + 3 ÁÈ· οı ڷÁÌ·ÙÈ΋ ·Ú¿ÌÂÙÚÔ Ï.
Afi‰ÂÈÍË
xÆ ·+
xÆ ‚
–
ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË f(x)=0 ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÌÈ· Ú›˙· ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (·, ‚). ™ËÌ›ˆÛË: ŸÙ·Ó ÁÈ· ÙÔ fiÚÈÔ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì >0 (·ÓÙ. <0), ÙfiÙ ÂÓÓÔÔ‡ÌÂ Î·È ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ô˘ ·˘Ù¿ Â›Ó·È +• (·ÓÙ. –• ).
Afi‰ÂÈÍË: £ÂˆÚԇ̠ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË lim f(x) < 0
xÆ ·+
ηÈ
lim –f(x) > 0.
xÆ ‚
xÆ ·
(eÏ + 1)x15 – (Ï – 3)x –3 = 0
ÔÚ›ˆÓ, ˘¿Ú¯ÂÈ ÁŒ (·, ‚) Ì f(Á) < 0. AÓÙ›ÛÙÔȯ·, ÂÂÈ-
Ó· ¤¯ÂÈ ÌÈ· Ú›˙· (fi¯È ··Ú·›ÙËÙ· ÌÔÓ·‰È΋) Í Œ (0, 1). H Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) = (eÏ + 1)x15 – (Ï – 3)x – 3 Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [0, 1] Î·È Î·È
lim f(x) Ø lim f(x) < 0,
EÂȉ‹ lim+f(x) < 0, Û‡Ìʈӷ Ì ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ
AÚΛ ÏÔÈfiÓ Ë Â͛ۈÛË
f(0) = –3 < 0
ηÈ
lim f(x)
xÆ ‚–
f(1) = eÏ – Ï + 1 > 0,
Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ f(0) Ø f(1)<0. EÔ̤ӈ˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Bolzano, ˘¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ú›˙· Ù˘ ÂÍÈÛÒÛˆ˜ f(x) = 0 ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (0, 1).
‰‹ lim –f(x)>0, ˘¿Ú¯ÂÈ ‰ Œ (·, ‚) Ì f(‰) > 0. xÆ ‚
EÔ̤ӈ˜, ·ÊÔ‡ Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [Á, ‰] Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ f(Á) Ø f(‰) < 0, ˘¿Ú¯ÂÈ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ f(x) = 0 ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (Á, ‰)à (·, ‚). ŸÌÔÈ· ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙÂ Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË lim+f(x) > 0 Î·È lim –f(x) < 0. xÆ ·
™ËÌ›ˆÛË 1: H ‡·ÚÍË Ï‡Û˘ Â›Ó·È ‰Â‰Ô̤ÓË ·fi ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË "K¿ı ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÂÚÈÙÙÔ‡ ‚·ıÌÔ‡ ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Ú›˙·" Î·È ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ 3Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÈ Ù‡ÔÈ G. Cardano (‚Ϥ Û ¿ÏÏË ı¤ÛË ÙÔ˘ ·ÚfiÓÙÔ˜ Ù‡¯Ô˘˜).
xÆ ‚
™ËÌ›ˆÛË: K·Ù¿ ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ·Ó·ÊÂÚı› fiÙÈ Á<‰. A˘Ùfi fï˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ (·Ó Î·È ¿ÓÙÔÙÂ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ), ÁÈ·Ù› Î·È ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Â›Ó·È ‰ < Á Ë Ú›˙· ı· ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (‰, Á)à (·, ‚).
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
13
M ∂§∂∆∏ Y ¶∞ƒ•∏™ P π∑ø¡
ª∂ ∆∏
N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË 1 x = ·x + ‚, (· > 0, ‚ Œ ó), ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÌÈ· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Ú›˙·.
Afi‰ÂÈÍË H Û˘Ó¿ÚÙËÛË 1 x f(x) = – ·x – ‚ Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ó = (–• , +• ) Î·È ÂÂȉ‹ > 1, Â›Ó·È 1 x 1 x lim = +• Î·È lim = 0. xÆ –• xÆ +• A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ
● ●
lim f(x) = +• , ÔfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ x1 < 0 Ì f(x1) > 0,
xÆ –•
lim f(x) = –• , ÔfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ x2 >0 Ì f(x2) < 0.
xÆ +•
EÔ̤ӈ˜ ÈÛ¯‡ÂÈ f(x1)f(x2) < 0, ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙ÂÈ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Bolzano, ÙËÓ ‡·ÚÍË Ú›˙·˜ Ù˘ ÂÍÈÛÒÛˆ˜ f(x) = 0 ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (x1, x2) à ó.
EÊ·ÚÌÔÁ‹ 2: AÓ ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [·, ‚), ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÔ lim – f(x) Î·È xÆ ‚
f(·)Ø lim – f(x) < 0, xÆ ‚
ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË f(x) = 0 ¤¯ÂÈ ÌÈ· Ú›˙· ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (·, ‚). Afi‰ÂÈÍË: H ·fi‰ÂÈÍË Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁË Ì ÂΛÓË Ù˘ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜ 1, fiÔ˘ ÙÔ lim+ f(x) Â›Ó·È ›ÛÔ Ì f(·) Î·È ·˘Ùfi ÁÈ·xÆ ·
Ù› Ë f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ·. AÓ¿ÏÔÁË Â›Ó·È Î·È Ë ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (·, ‚]. ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 3 N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË 1 =0 (eÏ + 1)x15 – (x – 2)2 ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÌÈ· Ú›˙· ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [1, 2). Afi‰ÂÈÍË: H Û˘Ó¿ÚÙËÛË
∆∏™
A ¡∞§À™∏™
ıÂÈ· ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Rolle ÁÈ· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [·, ‚], ÂÊfiÛÔÓ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ Î·Ù¿ÏÏËϘ ÚÔ¸Ôı¤ÛÂȘ.
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2
B √∏£∂π∞
1 f(x) = (eÏ + 1)x15 – (x – 2)2
£ÂÒÚËÌ· Rolle: AÓ ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [·, ‚], ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ (·, ‚) ÈÛ¯‡ÂÈ f(·) = f(‚), ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË f¢ (x) = 0 ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÌÈ· Ú›˙· ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (·, ‚). ™ËÌ›ˆÛË: H Ú›˙· ·˘Ù‹ ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ ¿ÓÙÔÙ ӷ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ›.
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 4 N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË F(x) = (x – 1)ex – (3 – e)x2 + (2 – e)x ¤¯ÂÈ ÙÔÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (0, 1). Afi‰ÂÈÍË: °È· ÙÔÓ ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi ÙˆÓ ÛÙ¿ÛÈÌˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ F(x), ı· ·Ó·˙ËÙ‹ÛÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· ÌˉÂÓÈÛÌÔ‡ Ù˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘: F¢ (x) = xex + 2(e – 3)x + 2 – e. ¢ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Â›Ï˘Û˘ Ù˘ ÂÍÈÛÒÛˆ˜ F¢ (x) = 0 Î·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË F¢ (x) ‰ÂÓ ÈηÓÔÔÈ› ÙȘ ÚÔ¸Ôı¤ÛÂȘ ÙÔ˘ ıˆڋ̷ÙÔ˜ Bolzano ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [0, 1], ÒÛÙ ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì ÙËÓ ‡·ÚÍË Ú›˙·˜ Ù˘ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ·˘Ùfi. IÛ¯‡ÂÈ fï˜ F(0) = F(1) = –1 Î·È ÂÔ̤ӈ˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ Rolle, ˘¿Ú¯ÂÈ ÍŒ (0, 1) ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ F¢ (Í) = ÍeÍ – 2(e – 3)Í + 2 – e = 0. H ‰Â‡ÙÂÚË ·Ú¿ÁˆÁÔ˜ Ù˘ F(x), Ë F¢¢ (x) = ex(1+x)+2e–6, Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ ÁÈ· οı xŒ [0, 1], ·ÊÔ‡ ex(1 + x) + 2e – 6 > 1 + 2e – 6 = 2e – 5 > 0. ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘Ì F¢ (Í) = 0 Î·È F¢¢ (Í) > 0, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÍŒ (0,1) Ë F(x) ¤¯ÂÈ ÙÔÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ.
➧ M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ÁÚ·ÊÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÓÙÔ›ÛÔ˘Ì ‰È·ÛÙ‹Ì·Ù· ÛÙ· ÔÔ›· Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ˘¿Ú¯ÂÈ Ú›˙· ÂÍÈÛÒÛˆ˜ Î·È Ó· ÂȂ‚·ÈÒÛÔ˘Ì ÙËÓ ‡·ÚÍ‹ Ù˘ Ì ÌÈ· ·fi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÌÂıfi‰Ô˘˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ y = ÂÊx (˘¿Ú¯Ô˘Ó ÚfiÙ˘· ÁÈ· ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË 3 ·˘Ù‹ ÛÙÔ ÂÌfiÚÈÔ) Î·È ÙËÓ Â˘ı›· y = x, ÂÓÙÔ›˙Ô˘Ì ÛÙÔ ‰È¿2 3 ÛÙËÌ· , ÌÈ· Ú›˙· Ù˘ ÂÍÈÛÒÛˆ˜ ÂÊx = x. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ÁÈ· ÙË 4 2 2 Û˘Ó¿ÚÙËÛË 3 f(x)=ÂÊx – x 2 ¤¯Ô˘Ì 3 3 f = 1 – Ø = 1 – < 0 4 2 4 8
Â›Ó·È Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [1,2) Î·È ÈÛ¯‡ÂÈ f(1) = eÏ + 1 – 1 = eÏ > 0. E›Û˘ Â›Ó·È lim f(x) = –• , ÔfiÙ ˘¿Ú¯ÂÈ x1Œ (1, 2) Ì f(x1) < 0. xÆ 2–
EÂȉ‹ f(1)Øf(x1) < 0, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Bolzano, Ë Â͛ۈÛË f(x) = 0 ¤¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÌÈ· Ú›˙· ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (1, x1) à [1, 2).
ηÈ
3 lim –f(x) = +• – = +• , 2 xÆ 2
14
➧ MÔÚԇ̠ӷ ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ ‡·ÚÍË Ú›˙·˜ Ù˘ ÂÍÈÛÒÛˆ˜ f¢ (x) = 0 ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (·, ‚) Ì ÙË ‚Ô‹-
Ô˘ Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 2 Î·È ÙÔ ·Ú·‰. 3, ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë 3 Â͛ۈÛË ÂÊx = x ¤¯ÂÈ ÌÈ· Ú›˙· ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· , . 2 4 2
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
M ∞£∏ª∞∆π∫∞
y
y=
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 6
3 x 2
x
N· χÛÂÙ ÙËÓ Â͛ۈÛË ee = x. §‡ÛË:
x
H Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) = e e – x ¤¯ÂÈ, ηٿ Ù· ÁÓˆÛÙ¿, ÛÙÔ ÛËÌ›Ô
x=e ÔÏÈÎfi ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ f(e) = 0. O e ›ӷÈ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ·Ú·‰. 5, 1 x Ë ÌÔÓ·‰È΋ Ú›˙· Ù˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘ f ¢ (x) = ee – 1, ‰ËÏ. Ù˘ Â͛ۈe x 1 x Û˘ e e –1=0 ¤ e e = e (ÁÈ·Ù› Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ex Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡e ÍÔ˘Û·). EÔ̤ӈ˜, Ô e Â›Ó·È Ë ÌÔÓ·‰È΋ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x e e = x.
0≤Ï≤1 O Í
2
x
➧ AÓ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹ ‹ ÎÔ›ÏË ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [·, ‚] Î·È x0Œ (·, ‚), ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË TÈ ı· Û˘Ó¤‚·ÈÓÂ, ·Ó Ë Â˘ı›· ‹Ù·Ó Ë y = Ïx Ì 0 ≤ Ï ≤ 1; H ¢ı›· y = Ïx Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Ù˘ y=ÂÊx ÌfiÓÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (0, 0) Î·È ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘˜ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· 0, 2 (‚Ï. Û¯.). ¢ÂÓ ÌÔÚԇ̠¿ÏψÛÙ ӷ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 2.
f(x) = f¢ (x0)(x – x0) + f(x0) ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ Ú›˙· ÙÔ x0 ÛÙÔ [·, ‚]. y
y=f(x)
● MÔÓ·‰ÈÎfiÙËÙ· Ú›˙·˜ AÓ Ë Â͛ۈÛË f(x) = 0 ¤¯ÂÈ Ú›˙· Î·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ÌÔÓfiÙÔÓË, ÙfiÙÂ Ë Ú›˙· Â›Ó·È ÌÔÓ·‰È΋. A˘Ùfi ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ÌÈ· ÁÓËÛ›ˆ˜ ÌÔÓfiÙÔÓË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Â›Ó·È "¤Ó· ÚÔ˜ ¤Ó·" Î·È Î¿ı ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x¢ x, Â‰Ò Ô ¿ÍÔÓ·˜ x¢ x, Ù¤ÌÓÂÈ ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ Ôχ Û’ ¤Ó· ÛËÌ›Ô.
y=f¢ (x0)(x–x0)+f(x0)
x0
O y
x
y=f¢ (x0)(x–x0)+f(x0)
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 5 N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË
y=f(x)
2x + ln(x2 + 1) = 0 ¤¯ÂÈ ÌfiÓÔ ÌÈ· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Ú›˙·. Afi‰ÂÈÍË: H Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÙËÓ ÚÔÊ·Ó‹ Ú›˙· x = 0. H Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) = 2x + ln(x2 + 1)
x0
O
x
Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ ó, Ì ·Ú¿ÁˆÁÔ 2(x2 + x + 1) f¢ (x) = >0 x2 + 1 ÁÈ· οı xŒ ó, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë f Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· ÛÙÔ ó Î·È ÁÈ’ ·˘Ùfi ¤¯ÂÈ ÙË ÌÔÓ·‰È΋ Ú›˙· x = 0.
➧ AÓ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f ¤¯ÂÈ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· I ÔÏÈÎfi ·ÎÚfiÙ·ÙÔ ÌfiÓÔ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô x0Œ I, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË f(x) = f(x0) ¤¯ÂÈ ÛÙÔ I ÌÔÓ·‰È΋ Ú›˙· ÙÔ x0, ·ÊÔ‡ ÁÈ· οı ¿ÏÏÔ xŒ I ı· ÈÛ¯‡ÂÈ f(x) > f(x0) (·ÓÙ. f(x) < f(x0)) ·Ó ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ (·ÓÙ. ÁÈ· ̤ÁÈÛÙÔ). ™ËÌ›ˆÛË: ŸÙ·Ó ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· I ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÓÔȯÙfi, Ô ¤ÏÂÁ¯Ô˜ ÁÈ· ÔÏÈÎfi ·ÎÚfiÙ·ÙÔ, ÂÊfiÛÔÓ ·˘Ùfi˜ Á›ÓÂÈ Ì ÙËÓ ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ·Ú·ÁÒÁˆÓ, Ú¤ÂÈ Ó· Ï¿‚ÂÈ ˘fi„Ë ÙȘ ÙÈ̤˜ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ÛÙ· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜.
TÔ x0 Â›Ó·È ÚÔÊ·Ó‹˜ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘, ·ÊÔ‡ Ë Â˘ı›· y = f¢ (x0)(x – x0)+ f(x0) Â›Ó·È Ë ÂÊ·ÙÔ̤ÓË Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú·ÛÙ¿Ûˆ˜ Ù˘ f ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô M(x0, f(x0)). H Û˘Ó¿ÚÙËÛË F(x) = f(x) – f¢ (x0)(x–x0) – f(x0) ¤¯ÂÈ ÛÙÔ x0 ÙÔ ÌÔÓ·‰ÈÎfi ÔÏÈÎfi ·ÎÚfiÙ·ÙÔ ÛÙÔ [·, ‚], ·ÊÔ‡ ÁÈ· ÙËÓ ·Ú¿ÁˆÁfi Ù˘ F¢ (x) = f¢ (x)–f¢ (x0) ÈÛ¯‡ÂÈ ➦ F¢ (x) > 0 fiÙ·Ó Ë f ➦ F¢ (x) < 0 fiÙ·Ó Ë f
ÁÈ· xŒ (·, x0) Î·È F¢ (x) < 0 ÁÈ· xŒ (x0, ‚), Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹ Î·È ÁÈ· xŒ (·, x0) Î·È F¢ (x) > 0 ÁÈ· xŒ (x0, ‚), Â›Ó·È ÎÔ›ÏË. (KÚÈÙ‹ÚÈÔ 1˘ ·Ú·ÁÒÁÔ˘).
EÔ̤ӈ˜, Û‡Ìʈӷ Ì ٷ ·Ú·¿Óˆ, Ë Ú›˙· x0 Â›Ó·È ÌÔÓ·‰È΋.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
15
T À¶√π C ARDANO ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 7 N· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) = x + 3 Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· [–1, +• ). ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· ‚Ú›Ù ÙȘ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ χÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ 17 3 = (x – 1) + 2. x2 x+ 4 Afi‰ÂÈÍË: H Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Â›Ó·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· (–3, +• ) Ì ·Ú·ÁÒÁÔ˘˜ x 5x + 12 3 5x2 + 24x + 24 f¢ (x) = Î·È f¢¢ (x) = . 2 x+ 3 4 x+ 33 x2
–12 ± 1 2 OÈ Ú›˙˜ Ù˘ f¢¢ Â›Ó·È Ú1, 2 = < –1, ÔfiÙ f¢¢ (x)>0 5 ÁÈ· οı xŒ [–1, +• ) (ÁÈ·Ù› Ù· x ·˘Ù¿ Â›Ó·È ÂÎÙfi˜ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ ÙÔ˘ ÙÚȈӇÌÔ˘). EÔ̤ӈ˜ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) = x2 x+ 3
Â›Ó·È Î˘ÚÙ‹ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ·˘Ùfi. H ÂÊ·ÙÔ̤Ó˘ Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Ù˘ f ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô 17 M(1, f(1)) ¤¯ÂÈ Â͛ۈÛË y = f¢ (1)(x – 1) + f(1) = (x – 1) + 2. EÔ4 ̤ӈ˜, Û‡Ìʈӷ Ì ٷ ·Ú·¿Óˆ Û¯fiÏÈ·, Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÌÔÓ·‰È΋ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Ú›˙· ÙËÓ x0=1.
™ËÌ›ˆÛË: H ÌÂϤÙË Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿Û·ÌÂ Â‰Ò ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙËÓ Î˘ÚÙfiÙËÙ·, fiˆ˜ ·˘Ù‹ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÛÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô Ù˘ AӷχÛˆ˜. ™Â ÔÚÈṲ̂ӷ Û˘ÁÁÚ¿ÌÌ·Ù· AӷχÛˆ˜ Ë Î˘ÚÙfiÙËÙ· ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: MÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË f Û˘Ó¯‹˜ ÛÙÔ [·, ‚] Î·È ·Ú·ÁˆÁ›ÛÈÌË ÛÙÔ (·, ‚) ϤÌ fiÙÈ Â›Ó·È ·˘ÛÙËÚÒ˜ ΢ÚÙ‹ (·ÓÙ. ΢ÚÙ‹) ÛÙÔ [·, ‚], ·Ó Ë f¢ Â›Ó·È ÁÓËÛ›ˆ˜ ·‡ÍÔ˘Û· (·ÓÙ. ·‡ÍÔ˘Û·) ÛÙÔ (·, ‚). ™ÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ‚È‚Ï›Ô (¯¿ÚÈÓ ·ÏfiÙËÙ·˜) ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ΢ÚÙ‹ ÂΛÓË Ô˘ Â‰Ò ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·˘ÛÙËÚÒ˜ ΢ÚÙ‹. ¶ÚÔÛÔ¯‹ ÛÙË ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ fiÚÔ˘ ·˘ÙÔ‡. ◆
TY¶OI CARDANO TÔ˘ °. ¶·ÓÙÂÏ›‰Ë, K·ıËÁËÙ‹ ÛÙÔ E.M. ¶ÔÏ˘Ù¯ÓÂ›Ô (TÔ ÂÚȯfiÌÂÓÔ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ¿ÚıÚÔ˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙË ‰È‰·ÎÙ¤· Ô‡ÙÂ Î·È ÛÙËÓ ÂÍÂÙ·ÛÙ¤· ‡ÏË ÙÔ˘ §˘Î›Ԣ)
TÔ ıÂÌÂÏÈ҉˜ ıÂÒÚËÌ· Ù˘ ÕÏÁ‚ڷ˜ ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙ÂÈ ÙËÓ ‡·ÚÍË ÙˆÓ Ï‡ÛÂˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·nxn + ·n–1xn–1 + … + ·1x + ·0 = 0, ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ nŒ N. °È· ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ n = 1, 2, 3, 4 ÌÔÚԇ̠ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙȘ χÛÂȘ Ù˘ ÂÍÈÛÒÛˆ˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· οÔÈÔ˘ Ù‡Ô˘. E›Ó·È, fiˆ˜ ϤÌ ÂÈχÛÈÌÔÈ Ì ÚÈ˙Èο. ŒÙÛÈ ÁÈ· n = 3 Ô Ù‡Ô˜ ¤¯ÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹ 3 A + B, ÂÓÒ ÁÈ· n = 4 ¤¯ÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹
A + B + ° + ¢ 3
H ˘fiıÂÛË fiÙÈ Ì ¤Ó·Ó ηٿÏÏËÏÔ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ÚÈ˙ÈÎÒÓ ı· ÌÔÚÔ‡Û·Ì ӷ ¿ÚÔ˘Ì ÙȘ χÛÂȘ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‚·ıÌÔ‡ p D: = –– 3
( ( + ( ––q2 ( 3
p D: = –– 3
3
( ( + ( ––q2 (
>0
( ( + ( ––q2 (
¶ÂÚ›ÙˆÛË ÌË ·Ó·ÁˆÁ‹˜
3
· Ì ÙÔ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi x = y – ·›ÚÓÂÈ ÙËÓ ·ÓËÁ̤ÓË ÌÔÚÊ‹ 3 y3+py+q = 0, Ù˘ ÔÔ›·˜ ÔÈ Ï‡ÛÂȘ ‰›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·:
y1 = u + v u+v u–v y2,3 = – –––––– ± i –––––– 2 2
(
( (
(
3
q *) fiÔ˘ u Â›Ó·È Ë Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ΢‚È΋ Ú›˙· Ù˘ – –– + D 2 q Î·È v Â›Ó·È Ë Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ΢‚È΋ Ú›˙· Ù˘ – –– – D *) 2
2
y1 = 2u
=0
ÙÚÂȘ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ χÛÂȘ, ÔÈ ‰‡Ô ›Û˜. p D: = –– 3
x3 + ·x2 + ‚x + Á = 0, ·, ‚, ÁŒ ó
2
ÌÈ· Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ χÛË Î·È ‰‡Ô ÌÈÁ·‰ÈΤ˜ Û˘˙˘Á›˜.
T‡ÔÈ Cardano
n > 4 ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÏËı‹˜: E›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔÓ Ó· ÂÈχÛÔ˘Ì ÌÈ· ÁÂÓÈ΋ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ Â͛ۈÛË ‚·ıÌÔ‡ n > 4 Ì ÚÈ˙Èο . A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ, ÂÓÒ ÔÈ Ï‡ÛÂȘ ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ì¤¯ÚÈ Î·È 4Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ¤¯Ô˘Ó, ÁÂÓÈο, ÂÚ›ÏÔÎË ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ¤ÎÊÚ·ÛË, ÔÈ Ï‡ÛÂȘ ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ·ÓˆÙ¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ·Ó‹ÎÔ˘Ó Û ԢÛȈ‰Ò˜ ÂÚÈÏÔÎfiÙÂÚ˜ ηÙËÁÔڛ˜ ·ÚÈıÌÒÓ. £· ·Ú·ı¤ÛÔ˘Ì ÙË Ï‡ÛË Ù˘ ÙÚÈÙÔ‚¿ıÌÈ·˜ ·ÏÁ‚ÚÈ΋˜ ÂÍÈÛÒÛˆ˜: H ηÓÔÓÈ΋ ÌÔÚÊ‹ Ù˘ ÙÚÈÙÔ‚¿ıÌÈ·˜ ÂÍÈÛÒÛˆ˜
y2 = y3 = –u
q fiÔ˘ u Â›Ó·È Ë Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ΢‚È΋ Ú›˙· Ù˘ – –– 2
2
<0
y1 = 2
ÙÚÂȘ, ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜, Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ χÛÂȘ.
p Ê – –– Û˘Ó –– , 3 3
y2 = 2
p Ê 2 – –– Û˘Ó –– + ––– 3 3 3
(
(
p Ê 4 – –– Û˘Ó –– + ––– , 3 3 3 q –1 fiÔ˘ Û˘ÓÊ = –– Ø 2 p 3 – –– 3 y3 = 2
(
(
( (
3 *)
16
¢Â ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ
q – –– + D ÂÂȉ‹ ÂÈÎÚ¿ÙËÛ ÛÙÔ §‡ÎÂÈÔ ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ Ù˘ Ú›˙·˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È fiÙ·Ó ÙÔ ˘fiÚÈ˙Ô Â›Ó·È ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. 2
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
M ∞£∏ª∞∆π∫∞
E§KY™TIKOTHTA MÈ· ÂÏ΢ÛÙÈ΋ ·ÚÔ˘Û›·ÛË ÙˆÓ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ TÔ˘ ¢. ¶··ÎˆÓÛÙ·ÓÙ›ÓÔ˘, ™¯ÔÏÈÎÔ‡ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˘ M·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ
‰È‰·Ûηϛ· Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ÚˆÙ·Ú¯ÈÎfi ÛÎÔfi ÙËÓ ·Ó¿Ù˘ÍË ÙÔ˘ ÂӉȷʤÚÔÓÙÔ˜ ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ ÁÈ· ÙÔ (‰È‰·ÛÎfiÌÂÓÔ) ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ. "¢È‰¿ÛΈ" ÛËÌ·›ÓÂÈ "‰ËÌÈÔ˘ÚÁÒ ÂӉȷʤÚÔÓ". ŒÙÛÈ Â›Ó·È ·Ó¿ÁÎË, ÏÔÁÈο, Ë ·ÚÔ˘Û›·ÛË Î·È Ë ÂÂÍÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ ÁÓˆÛÙÈÎÔ‡ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· Á›ÓÂÙ·È Ì ÂȉÈΤ˜ Ù¯ÓÈΤ˜ ÒÛÙ ӷ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁËı› ÙÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ. MÈ· Ôχ ÁfiÓÈÌË Ù¯ÓÈ΋ Î·È Ì¿ÏÈÛÙ· ÚfiÛÊÔÚË Û fiϘ ÙȘ Ù¿ÍÂȘ Î·È Û fiϘ ÙȘ ‚·ıÌ›‰Â˜ Â›Ó·È Ë ÂÏ΢ÛÙÈ΋ ·ÚÔ˘Û›·ÛË ÙÔ˘ ÁÓˆÛÙÈÎÔ‡ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ÓÔ˘, Ì ÙÚfiÔ Ô˘ Ó· ÚÔηÏ› ÙËÓ ÂÚȤÚÁÂÈ·, ÙÔ ı·˘Ì·ÛÌfi Î·È ÙÔ ÊÈÏÔÛÔÊÈÎfi ÛÙÔ¯·ÛÌfi. M ٷ M·ıËÌ·ÙÈο ÌÔÚԇ̠fi¯È ÌfiÓÔ ·ÏÒ˜ Ó· ÌÂٷʤÚÔ˘Ì ÁÓÒÛÂȘ, ·ÏÏ¿ Ó· ÂÓÙ˘ˆÛÈ¿ÛÔ˘ÌÂ, Ó· ÊÈÏÔÛÔÊ‹ÛÔ˘ÌÂ, Ó· ˙ˆÓÙ·Ó¤„Ô˘ÌÂ Î·È Ôχ Û˘¯Ó¿ Ó· „˘¯·ÁˆÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ Ì·˜.
H
● E͛ۈÛË ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ A˜ ¿ÚÔ˘Ì ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ¤Ó· ·Ïfi ı¤Ì· (·ÓÙÈΛÌÂÓÔ) "§‡ÛË Â͛ۈÛ˘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡" Î·È ·˜ ‰Ô‡Ì ÙÔ˘˜ ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜ ·ÚÔ˘Û›·Û‹˜ Ù˘, ‰ËÏ. ÙÔ˘˜ ‰È‰·ÎÙÈÎÔ‡˜ ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌÔ‡˜. ™ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ı· ÌÈÏ¿Ì ÁÈ’ ·˘Ùfi ¯ˆÚ›˜ ·˘Ùfi. N· Ï˘ı› Ë Â͛ۈÛË: x2 – 32x + 256 = 0 AÛÊ·ÏÒ˜ Ô ÙÚfiÔ˜ ·˘Ùfi˜ ‰Â ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ηӤӷ ÂӉȷʤÚÔÓ. °ÓˆÚ›˙Ô˘Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜ Ù˘ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û·˜ Î·È ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ Î·È ·Á·Ó·ÎÙÔ‡Ó fiÙ·Ó ÛÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘˜ ¤¯Ô˘Ó ÌÂÁ¿Ï· ÓÔ‡ÌÂÚ· 32 Î·È 256. N· Ï˘ı› Ë Â͛ۈÛË: x2 – 32x + 256 = 0 ¯ˆÚ›˜ Ó· Á›ÓÂÈ ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ Û¯ÂÙÈÎÒÓ Ù‡ˆÓ. E‰Ò ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È ÂӉȷʤÚÔÓ Î·È ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌfi˜. °È·Ù› «¯ˆÚ›˜ ÙÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜»; ÙÈ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ; O ηıËÁËÙ‹˜ ÚÔ¯ˆÚ› Ì ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ, fiˆ˜ .¯. ÙÔ 256 ÁÚ¿ÊÂÙ·È 162, ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ٤ÏÂÈÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ (x–16)2 = 0 ¤ x=16. N· Ï˘ı› Ì ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ë Â͛ۈÛË: x2 – 32x + 256 = 0.
y y=x2–32x+256
O
16
x
E›Ó·È ¤Ó·˜ ·Û˘Ó‹ıÈÛÙÔ˜ ÙÚfiÔ˜ ·ÏÏ¿ ÛÙȘ ÔıfiÓ˜ ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎÒÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙÒÓ ¤ÙÛÈ ÂÓÙÔ›˙Ô˘Ì ÙȘ Ú›˙˜. °ÓˆÚ›˙Ô˘Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Ó· οÓÔ˘Ó ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = x2 – 32x + 256. ŒÙÛÈ ÛÙ· ÙÂÙÚ¿‰È¿ ÙÔ˘˜ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ó fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì y = 0 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x¢ x. BÚ›ÛÎÔ˘Ó ÙËÓ ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ·˘ÙÔ‡ x = 16 Î·È ¤¯Ô˘Ó ÙË Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘. °Ú·ÊÈο ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì ÙËÓ ‡·ÚÍË ÚÈ˙ÒÓ ‰‡ÛÎÔÏˆÓ ÂÍÈÛÒÛˆÓ, fiˆ˜ .¯. ex = x – 1, Û˘Ó = x2 – 1, ex + 1 = lnx, Î.Ï. O Ô‰ËÁfi˜ ÂÓfi˜ ·˘ÙÔÎÈÓ‹ÙÔ˘ ÁÈ· Ó’ ·ÔʇÁÂÈ ÙË Û‡ÁÎÚÔ˘ÛË Ì ÌÈ· ÌÔÙÔÛ˘ÎϤٷ ¿ÙËÛ ÊÚ¤ÓÔ ÙË ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ ¤ÙÚ¯ Ì ٷ¯‡ÙËÙ· 32 m/sec. TÔ ·˘ÙÔΛÓËÙÔ Û‡ÚıËΠ۠·fiÛÙ·ÛË 256 m Ì ÂÈ‚Ú¿‰˘ÓÛË 2 m/sec2. N· ‚ÚÂı› › fiÛÔ ¯ÚfiÓÔ Ô Ô‰ËÁfi˜ ·ÙÔ‡Û ÙÔ ÊÚ¤ÓÔ ÙÔ˘ ·˘ÙÔÎÈÓ‹ÙÔ˘. AÓÙÈÏ·Ì‚¿ÓÂÙ·È Î·Ó›˜ fiÙÈ ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ‚Ȉ̷ÙÈ΋ ·ÚÔ˘Û›·ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜. H Ù·¯‡ÙËÙ·, Ë ÌÔÙÔÛ˘ÎϤٷ, Ë Û‡ÁÎÚÔ˘ÛË Î·È Ô Ú·ÏÈÛÌfi˜ ·Ó·ÌÊ›‚ÔÏ· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÔ‡Ó ÂӉȷʤÚÔÓ. OÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ù˘ ΛÓËÛ˘ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¤˜: 1 1 S = ˘0t + Át2: 256 = 32t – 2t2 2 2 ¤ t2–32t+256 = 0 ¤
t=16.
™ÙÔ Í¤ÊˆÙÔ ÌÈ· ˙Ô‡ÁÎÏ·˜ ¤Ó· ÎÔ¿‰È Èı‹ÎˆÓ ‰È·ÛΤ‰·˙ ÙËÓ ÔÌÔÚÊÈ¿ Ù˘ ʇÛ˘. TÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÔÁ‰fiÔ˘ ·˘ÙÒÓ Ë‰Ô‡Û ·fi ‰¤ÓÙÚÔ Û ‰¤ÓÙÚÔ, ÔÈ ÌÈÛÔ› ·’ ·˘ÙÔ‡˜ ÙÛ·Ï·‚Ô˘ÙÔ‡Û·Ó ˙ˆËÚ¿ ÛÙ· ÓÂÚ¿ ÌÈ·˜ Ï›ÌÓ˘ Î·È Ù¤ÛÛÂÚȘ ÁÎÚÈÓÈ¿Úˉ˜ ÁÚ‡ÏÈ˙·Ó ·fiÌ·ÎÚ· ÛÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÂÓfi˜ ¯ÏÔÂÚÔ‡ ÏfiÊÔ˘. N· ‚ÚÂı› fiÛÔ ÌÂÁ¿ÏË ‹Ù·Ó ·˘Ù‹ Ë ÙÚÂÏÔ·Ú¤·. 17
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
Ù M π∞ E §∫À™∆π∫∏ ¶ ∞ƒ√À™π∞™∏
∆ø¡
M ∞£∏ª∞∆π∫ø¡
H ·ÚÔ˘Û›·ÛË Â›Ó·È ÂÏ΢ÛÙÈ΋, ÔÈËÙÈ΋ ¢¯¿ÚÈÛÙË, „˘¯·ÁˆÁÈ΋ Î·È ·ÛÊ·ÏÒ˜ ÙÔ ÂӉȷʤÚÔÓ fiÏ˘ Ù˘ Ù¿Í˘ ‰Â‰Ô̤ÓÔ. ™ÙÔ ÙÂÙÚ¿‰Èfi ÙÔ˘˜ ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ı· Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔÔÈ‹ÛÔ˘Ó fiÏË ·˘Ù‹ ÙË ‚Ȉ̷ÙÈ΋ ηٿÛÙ·ÛË Ù˘ ·Ú¤·˜ ÙˆÓ Èı‹ÎˆÓ Î·È ı· ÁÚ¿„Ô˘Ó: 2
+ 2 + 4 = x ¤ x 8
x
¤
x2 – 32x + 256 = 0 x = 16
°›ÓÂÙ·È ·ÓÙÈÏËÙfi fiÙÈ ÙÔ x = 16 ‰ÂÓ Â›Ó·È Â‰Ò Ô ÎÂÓÙÚÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜. A˘Ùfi Ô˘ ηÙÔÚıÒÛ·Ì Ì ÙËÓ ·ÚÔ˘Û›·ÛË Â›Ó·È fiÙÈ ÂÓÂÚÁÔÔÈ‹Û·Ì ÙË Û˘Ó·ÈÛıËÌ·ÙÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ ·È‰ÈÔ‡, ÙËÓ ÂÚȤÚÁÂÈ·, ÙË Ê·ÓÙ·Û›·, ÙÔ ÂӉȷʤÚÔÓ Î·È ÙÂÏÈο ÂÙ‡¯·Ì ·˘Ùfi Ô˘ ϤÌ «ÙÔ ÙÂÚÓfiÓ ÌÂÙ¿ ÙÔ˘ ˆÊÂÏ›ÌÔ˘».
● MÂÛÔοıÂÙÔ˜ TÔ Ó· ‰È‰¿ÍÂȘ ÁÈ· ÙË ÌÂÛÔοıÂÙÔ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ·Ïfi. EÓ‰¤¯ÂÙ·È fï˜ Ó· ÎÔÈÌËı› fiÏË Ë Ù¿ÍË ÛÙ· ıÚ·Ó›·. TÈ ÂӉȷʤÚÔÓ ÌÔÚ› Ó· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ÛÂÈ ÌÈ· ¢ı›·; N· fï˜ ‰‡Ô ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÂȘ Ôχ ÂӉȷʤÚÔ˘Û˜: MÂٷ͇ ‰‡Ô ¯ˆÚÈÒÓ ÂÚÓ¿ ÌÈ· ÛȉËÚÔ‰ÚÔÌÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹. ™Â ÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ù‹˜ Ú¤ÂÈ Ó· Á›ÓÂÈ Ô ÛÙ·ıÌfi˜ ÒÛÙ ÔÈ Î¿ÙÔÈÎÔÈ Î·È ÙˆÓ ‰‡Ô ¯ˆÚÈÒÓ Ó· ¤¯Ô˘Ó Ó· ‰È·Ó‡ÛÔ˘Ó ÙËÓ ›‰È· ·fiÛÙ·ÛË ÁÈ· Ó· Êı¿ÛÔ˘Ó ÛÙÔ ÛÙ·ıÌfi;
MË Í¯ӿÙ fiÙÈ ÍÂÎÈÓ‹Û·Ì ÁÈ· ÁˆÌÂÙÚ›· Î·È ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÙËÓ ¤ÎÏÂ„Â Ë AıËÓ¿ Î·È Ô AfiÏψӷ˜. ¶ÔÈÔ˜ Ì·ıËÙ‹˜ ‰Â ı· ÙÔ ı˘Ì¿Ù·È ‹ ‰Â ı· ÙÔ ·Ó·Ê¤ÚÂÈ Û οÔÈ· ¢ηÈÚ›·…
● ¶Úfi‚ÏËÌ· ÂÏ·¯›ÛÙÔ˘: TÔ Ó· ‚ÚÂı› ÙÔ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ 2 f(x) = 2x2 + x Â›Ó·È ¤Ó· ÎÔÈÓfi Úfi‚ÏËÌ· ÁÈ· ‰È‰¿ÛÎÔÓÙ· Î·È ‰È‰·ÛÎfiÌÂÓÔ. AÓ fï˜ ÙÔ ›‰ÈÔ ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ ÙÔ ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ì Ì ÙÔÓ ÂÍ‹˜ ÂÏ΢ÛÙÈÎfi ÙÚfiÔ: N· ‚ÚÂı› ÙÈ Û¯¤ÛË Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ Ë ·ÎÙ›Ó· Î·È ÙÔ ‡„Ô˜ ÂÓfi˜ ΢ÏÈÓ‰ÚÈÎÔ‡ ÎÔ˘ÙÈÔ‡ ÎÔÓÛ¤Ú‚·˜ ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ·˜ ÂÓfi˜ ÎÈÏÔ‡, ÒÛÙ ӷ ÎÔÛÙ›ÛÂÈ ÏÈÁfiÙÂÚÔ. ÙfiÙ ԉËÁԇ̷ÛÙ ÛÙË ÌÂϤÙË Ù˘ ›‰È·˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘, ·ÏÏ¿ ÙÔ ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ ·ÔÎÙ¿ ÂӉȷʤÚÔ˘Û˜ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ. O Ì·ıËÙ‹˜ ÂӉȷʤÚÂÙ·È, ÁÈ·Ù› ‚ϤÂÈ fiÙÈ ÙÔ Ì¿ıËÌ· Ô˘ ‰È‰¿ÛÎÂÙ·È ¤¯ÂÈ ¿ÌÂÛ˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ Û ÔÏϤ˜ ·Ó¿ÁΘ Ù˘ ˙ˆ‹˜.
AÓ ¿ÚÔ˘Ì ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ·Á¿ÏÌ·ÙÔ˜ Ù˘ ı¿˜ AıËÓ¿˜ ÛÙËÓ AÎÚfiÔÏË (Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙË ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ Ó‡̷ÙÔ˜ Î·È Ù˘ ÛÔÊ›·˜) Î·È ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ·Á¿ÏÌ·ÙÔ˜ ÙÔ˘ AfiÏψӷ ÛÙËÓ OÏ˘Ì›· (Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ÛˆÌ·ÙÈÎfi οÏÏÔ˜ Î·È ÙËÓ ·Ó‰Ú›·) ÛÙÔ Ì¤ÛÔÓ ·˘Ù‹˜ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÔ ÈÂÚfiÓ Ù˘ NÂ̤·˜. AÓ Ê¤ÚÔ˘Ì ÙË ÌÂÛÔοıÂÙË ÙfiÙ ·˘Ù‹ ı· ÂÚ¿ÛÂÈ ·fi ÙÔÓ ÙÚ›Ô‰· Ù˘ ¶˘ı›·˜ ÙÔ˘ Ì·ÓÙ›Ԣ ÙˆÓ ¢ÂÏÊÒÓ (Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ Ó‡̷ Ù˘ ÂÈÚ‹Ó˘ Î·È Ù˘ Û˘Ó·‰¤ÏʈÛ˘ ÙˆÓ Ï·ÒÓ). 18
➧ H ÂÏ΢ÛÙÈ΋ ·ÚÔ˘Û›·ÛË ÙÔ˘ ÁÓˆÛÙÈÎÔ‡ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ÓÔ˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ¿ÌÂÛÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ÛÙÔ Ì·ıËÙ‹, ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· ·Á·¿ ÙÔ Ì¿ıËÌ·, ÙÔ ‚È‚Ï›Ô, ÙÔÓ Î·ıËÁËÙ‹ Î·È ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ· ÙÔ Û¯ÔÏ›Ô. AÓ ·˘Ùfi ÙÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ·Ó·Ù˘¯ı› Û ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· Ì·ı‹Ì·Ù· ·ÓÙÈÏ·Ì‚¿ÓÂÙ·È Î·Ó›˜ fiÙÈ Ë ÌfiÚʈۋ ÙÔ˘ ·ÔÎÙ¿ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÂӉȷʤÚÔÓ. H ÛΤ„Ë Î·È Ë ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ Ì·ıËÙ‹ Ô‰ËÁÂ›Ù·È Û ÂӉȷʤÚÔÓÙ· Ô˘, ̤۷ ÛÙ· Û¯ÔÏÈο Ï·›ÛÈ·, Â›Ó·È Ù· ÁÚ¿ÌÌ·Ù·, ÔÈ Ù¤¯Ó˜ Î·È Ì ·ÒÙÂÚÔ ÛÎÔfi Ë ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ÂͤÏÈÍË. M ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi ı· ·ÔʇÁÂÈ Ô Ì·ıËÙ‹˜ ÙȘ ¿Î·ÈÚ˜ Î·È ÂÈΛӉ˘Ó˜ ÁÈ· ÙÔ Ì¤ÏÏÔÓ ÙÔ˘ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜. ◆
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
º À™π∫∏
H ME£O¢O§O°IA ÛÙȘ A™KH™EI™ ºY™IKH™ TÔ˘ °. °ÈÔ˘‚·ÓÔ‡‰Ë, º˘ÛÈÎÔ‡
Ó· ·fi Ù· ÛÔ˘‰·ÈfiÙÂÚ· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ ·ÓÙÈÌÂÙˆ›˙ÂÈ Î¿ı ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ Î·È Î˘Ú›ˆ˜ ÔÈ ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ÂÈÛÙËÌÒÓ, Ô˘ ‰È‰¿ÛÎÔ˘Ó Ì·ı‹Ì·Ù· ‰¤ÛÌ˘, Â›Ó·È Ë ÌÂıÔ‰ÔÏÔÁ›· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ı· χÓÔ˘Ó ÙȘ ·Û΋ÛÂȘ. H ̤ıÔ‰Ô˜ Â›Ï˘Û˘ ·Û΋ÛÂˆÓ º˘ÛÈ΋˜ –Î·È fi¯È ÌfiÓÔ– Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ Ù· ÂÍ‹˜ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο.
E
·) N· Â›Ó·È ÂÏ΢ÛÙÈ΋ ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜, ‰ËÏ·‰‹ ·Ï‹ Î·È Â‡ÎÔÏ· ηٷÓÔËÙ‹. ‚) N· Â›Ó·È «ÏÔÁÈ΋». Á) N· ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È fiÛÔ ÙÔ ‰˘Ó·ÙfiÓ Û ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ηÙËÁÔڛ˜ ·Û΋ÛˆÓ, Û ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ· ÎÂÊ¿Ï·È·, ÒÛÙ ӷ ÌËÓ ·ÏÏ¿˙ÂÈ Î¿ı ÙfiÛÔ Ô ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ ÌÂıÔ‰ÔÏÔÁ›· Î·È ÌÂډ‡ÂÈ ÙÔ ·ÎÚÔ·Ù‹ÚÈÔ.
ıËÙ¤˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È Î·ıfiÏÔ˘ ¤ÌÂÈÚÔÈ, Ì¿ÏÏÔÓ ¿ÂÈÚÔÈ Â›Ó·È. EÔ̤ӈ˜ Ì›· Â›Ó·È Ë ÏÔÁÈ΋ ·¿ÓÙËÛË ÛÙÔ ·Ú·¿Óˆ ÂÚÒÙËÌ·. «M ÙË ÛÂÈÚ¿ Ô˘ Û˘Ì‚·›ÓÔ˘Ó, ‰ËÏ·‰‹ ¯ÚÔÓÔÏÔÁÈο». TÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ÂÚÒÙËÌ· Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Â›Ó·È: «M ÔÈÔ ÙÚfiÔ ı· ÌÂÏÂÙ¿Ì ٷ Ê·ÈÓfiÌÂÓ·, ÙÈ ı· οÓÔ˘Ì»; H ·¿ÓÙËÛË ÎÈ Â‰Ò Â›Ó·È ÔÌÔ›ˆ˜ ·Ï‹ Î·È ÏÔÁÈ΋. «XÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ˘˜ ÓfiÌÔ˘˜ Î·È ÙȘ ·Ú¯¤˜ Ù˘ º˘ÛÈ΋˜». OÈ ÓfiÌÔÈ Î·È ÔÈ ·Ú¯¤˜ Ù˘ º˘ÛÈ΋˜ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó «Ù· ÂÚÁ·Ï›·» Ì·˜ ÁÈ· ÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ Ê·ÈÓÔ̤ӈÓ. ŒÙÛÈ, Ë fiÏË ÌÂıÔ‰ÔÏÔÁ›· Û˘ÓÔ„›˙ÂÙ·È Û ÙÚÂȘ ÚÔÙ¿ÛÂȘ. 1. MÂϤÙË ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ Ê·ÈÓÔ̤ӈÓ.
‰) N· Â›Ó·È ÚÔ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ıˆڛ·˜, ÒÛÙ ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Ó· «‰¤ÓÔ˘Ó» ıˆڛ· Î·È ¿ÛÎËÛË.
2. M ÙÈ ÛÂÈÚ¿; M ÙË ÛÂÈÚ¿ Ô˘ Û˘Ì‚·›ÓÔ˘Ó, ¯ÚÔÓÔÏÔÁÈο.
Â) N· ÂÚÈÔÚ›˙ÂÈ fiÛÔ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ ÙËÓ ·ÔÌÓËÌfiÓ¢ÛË Ù‡ˆÓ.
3. M ÙÈ ÙÚfiÔ; XÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ «Ù· ÂÚÁ·Ï›·» Ù˘ º˘ÛÈ΋˜, ‰ËÏ·‰‹ ÓfiÌÔ˘˜, ıˆڋ̷ٷ Î·È ·Ú¯¤˜.
ÛÙ) N· ‰›ÓÂÈ ¤ÌÊ·ÛË ÛÙ· Ê˘ÛÈο Ê·ÈÓfiÌÂÓ·.
°È· Ó· ÌË ÓÔÌ›ÛÂÈ Î·Ó›˜, fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ¿Ú· ÔÏÏ¿ «ÂÚÁ·Ï›·» Î·È ÂÔ̤ӈ˜ Â›Ó·È ‰‡ÛÎÔÏÔ Ó· ‰È·Ï¤ÍÂÈ Î·Ó›˜ ÙÔ ÂӉ‰ÂÈÁ̤ÓÔ –ηٿÏÏËÏÔ– ÁÈ· οı ʷÈÓfiÌÂÓÔ, ·Ó·Ê¤Úˆ ·Ú·Î¿Ùˆ, fiÏ· Ù· «ÂÚÁ·Ï›·» Ô˘ ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È ÁÈ· Ó· χÛÂÈ Î·Ó›˜ ·Û΋ÛÂȘ Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙ· ÎÂÊ¿Ï·È· 1, 2, 3, 4 Î·È 11 Ù˘ ‡Ï˘ Ù˘ ¢¤ÛÌ˘.
H º˘ÛÈ΋ Â›Ó·È ¤Ó· ȉȷ›ÙÂÚ· ‰‡ÛÎÔÏÔ Ì¿ıËÌ· ÁÈ·Ù› ı¤ÏÂÈ Ôχ ηϋ ıˆÚËÙÈ΋ ηٿÚÙÈÛË, ¤¯ÂÈ ‰‡ÛÎÔϘ ¤ÓÓÔȘ Î·È ÂÈϤÔÓ ¤¯ÂÈ ÌÈ· Ôχ ÌÂÁ¿ÏË ÔÈÎÈÏ›· ·Û΋ÛˆÓ. £· ’ıÂÏ· ÏÔÈfiÓ, Ó· ÚÔÙ›ӈ Î·È ÛÙÔ˘˜ Û˘Ó·‰¤ÏÊÔ˘˜ º˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÏÏ¿ Î·È ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ –΢ڛˆ˜ ˘Ô„ËÊ›Ô˘˜ A.E.I– ÌÈ· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË Ì¤ıÔ‰Ô Â›Ï˘Û˘ ·Û΋ÛÂˆÓ º˘ÛÈ΋˜. H ̤ıÔ‰Ô˜ ·˘Ù‹ ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È Î˘Ú›ˆ˜ ÛÙ· ÎÂÊ¿Ï·È· Ù˘ M˯·ÓÈ΋˜, ‰ËÏ·‰‹ ÛÙ· ÎÂÊ¿Ï·È· 1, 2, 3, 4 Î·È 11 Ù˘ ¢¤ÛÌ˘.
● ºI§O™OºIA TH™ ME£O¢OY K¿ı ¿ÛÎËÛË º˘ÛÈ΋˜, ÛÙË M˯·ÓÈ΋, Â›Ó·È ÌÈ· ÌÈÎÚ‹ «ÈÛÙÔÚ›·», ¤Ó· «ÛÂÓ¿ÚÈÔ» ‰È·ÊfiÚˆÓ Û˘Ì‚¿ÓÙˆÓ, ‰ËÏ·‰‹ ‰È·ÊfiÚˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ Ê·ÈÓÔ̤ӈÓ. AÓ ÏÔÈfiÓ Î¿ÔÈÔ˜ ÌÂÏÂÙ‹ÛÂÈ ¤Ó· ÚÔ˜ ¤Ó· fiÏ· Ù· Ê˘ÛÈο Ê·ÈÓfiÌÂÓ· Ô˘ Û˘Ì‚·›ÓÔ˘Ó Û ÌÈ· ¿ÛÎËÛË ÙfiÙ ÏÔÁÈο ı· Ú¤ÂÈ Ó· ‚ÚÂÈ ÔÙȉ‹ÔÙ ÙÔ˘ ˙ËÙ¿ÓÂ. ŒÓ· ÚÒÙÔ ÂÚÒÙËÌ· Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ Â›Ó·È: «M ÔÈ· ÛÂÈÚ¿ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÌÂÏÂÙËıÔ‡Ó Ù· Ê·ÈÓfiÌÂÓ·»; K¿ÔÈÔ˜ ¤ÌÂÈÚÔ˜ ‚ϤÔÓÙ·˜ Ù· ‰Â‰Ô̤ӷ Î·È Ù· ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ· Ù˘ ¿ÛÎËÛ˘, Èı·ÓfiÓ ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ÔÚ›˙ÂÈ Û οı ¿ÛÎËÛË ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÛÂÈÚ¿ ÌÂϤÙ˘ ÙˆÓ Ê·ÈÓÔ̤ӈÓ. ŸÌˆ˜ ·˘Ùfi ‰ÂÓ Â›Ó·È Î·ıfiÏÔ˘ ‡ÎÔÏÔ Î·È ÂÈϤÔÓ Ú¤ÂÈ Ó· ¿ÚÔ˘Ì ˘’ fi„ÈÓ Ì·˜ fiÙÈ ÔÈ Ì·-
1. T‡ÔÈ ÎÈÓËÙÈ΋˜ Î·È ÓfiÌÔÈ ÙÔ˘ N‡وӷ. 2. £ÂÒÚËÌ· ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ ÎÈÓËÙÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ (£.M.K.E.). 3. AÚ¯‹ ‰È·Ù‹ÚËÛ˘ Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ (A.¢.E.). 4. AÚ¯‹ ‰È·Ù‹ÚËÛ˘ Ì˯·ÓÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ (A.¢.M.E.). 5. ¢Â‡ÙÂÚÔ˜ ÓfiÌÔ˜ ÙÔ˘ N‡وӷ ÁÈ· ÙËÓ Î·Ì˘ÏfiÁÚ·ÌÌË Î›ÓËÛË ‹ fiˆ˜ Û˘ÓËı›˙ˆ Ó· ÙÔÓ Ï¤ˆ «™˘Óı‹ÎË Î·Ì˘ÏfiÁÚ·ÌÌ˘ ΛÓËÛ˘» (™.K.K.). 6. AÚ¯‹ ‰È·Ù‹ÚËÛ˘ Ù˘ ÔÚÌ‹˜ (A.¢.O.). 7. £ÂÒÚËÌ· ÒıËÛ˘ - ÔÚÌ‹˜ (£.ø.O.). ™·Ó ¤Ó· ÚÒÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜ Ù˘ ÌÂıfi‰Ô˘, ·˜ ‰Ô‡Ì ̷˙› ÙËÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÏ·ÛÈ΋ ¿ÛÎËÛË, Ï˘Ì¤ÓË Û˘ÓÔÙÈο ÏfiÁˆ ÂÚÈÔÚÈÛÌÒÓ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
19
H
ª∂£√¢√§√°π∞ ™∆π™
¢›ÛÎÔ˜ Ì¿˙·˜ m¢ = 200 gr ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙÔ ¿ÎÚÔ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ Î·È ÈÛÔÚÚÔ› ÂÈÌË·ÓÔÓÙ·˜ ÙÔ ÂÏ·Ù‹ÚÈÔ Î·Ù¿ x1 = 10 cm. KÔÌÌ¿ÙÈ Ï·ÛÙÂÏ›Ó˘ Ì¿˙·˜ m = 200 gr ·Ê‹ÓÂÙ·È Ó· ¤ÛÂÈ ÛÙÔ ‰›ÛÎÔ ·fi ‡„Ô˜ h. AÓ Ë Ì¤ÁÈÛÙË ·ÔÌ¿ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘ ‰›ÛÎÔ˘ ·fi ÙË ı¤ÛË ÈÛÔÚÚÔ›·˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È x2 = 30 cm, Ó· ‚ÚÂı› ÙÔ h. ¢›ÓÂÙ·È g = 10 m/sec2. §‡ÛË: ŸÙ·Ó ¤¯Ô˘Ì ÎÚÔ‡ÛË, Ù· Ê·ÈÓfiÌÂÓ· ¯ˆÚ›˙ÔÓÙ·È ¯ÚÔÓÔÏÔÁÈο Û ÙÚ›· ÛÙ¿‰È·: A. ¶PIN THN KPOY™H, B. KATA THN KPOY™H, °. META THN KPOY™H.
A ™∫∏™∂π™ º À™π∫∏™ A. ¶ÚÈÓ ÙËÓ ÎÚÔ‡ÛË 1. MÂϤÙË Ù˘ ı¤Û˘ ÈÛÔÚÚÔ›·˜ ÙÔ˘ ‰›ÛÎÔ˘, ı¤ÛË 2. EÊ·ÚÌfi˙ˆ 1Ô NfiÌÔ N‡وӷ  F = 0 fi
B = FÂÏ fi
m¢ Ø g = kx1 fi
k = 20N/m.
2. MÂϤÙË Ù˘ ΛÓËÛ˘ ÙÔ˘ m, ı¤ÛÂȘ 1 Î·È 2. EÊ·ÚÌfi˙ˆ A.¢.M.E. 1 ˘2 mgh = m˘2 fi h = 2 2g B. K·Ù¿ ÙËÓ ÎÚÔ‡ÛË EÊ·ÚÌfi˙ˆ A.¢.O. m˘ = (m¢ + m)˘Î (2)
(1)
°. MÂÙ¿ ÙËÓ ÎÚÔ‡ÛË EÊ·ÚÌfi˙ˆ A.¢.M.E. ÁÈ· ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· (m + m¢) – ÂÏ·Ù‹ÚÈÔ, ı¤ÛÂȘ 2 Î·È 3 1 1 2 (m + m¢)˘2Î + (m + m¢)gx2 + kx 1 = 2 2 1 3 k(x1 + x2)2 fi … fi ˘Î = m/sec. 2 2 ÕÚ· (2) fi
˘ = 6 m/sec Î·È (1) fi
h = 0,3 m.
Y.°. £· ‹Ù·Ó ¿Ú· Ôχ ÂӉȷʤÚÔÓ ÔÈ Û˘Ó¿‰ÂÏÊÔÈ º˘ÛÈÎÔ› Ó· ÛÙ›ÏÔ˘Ó ÙȘ ·fi„ÂȘ ÙÔ˘˜ ÁÈ· ÙËÓ ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓË Ì¤ıÔ‰Ô ‹ ·ÎfiÌË Ó· ÚÔÙ›ÓÔ˘Ó ‰ÈΤ˜ ÙÔ˘˜ Ù¯ÓÈΤ˜ Î·È ÌÂıfi‰Ô˘˜ ÔÈ Ôԛ˜ ¤¯Ô˘Ó ÂÊ·ÚÌÔÛÙ› Î·È ÏÂÈÙÔ‡ÚÁËÛ·Ó ·Ô‰ÔÙÈο. ™ÙÔ ÂfiÌÂÓÔ Ù‡¯Ô˜ ı· ·Ó·Ù˘¯ı› Ë ÛˆÛÙ‹ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ Î·È ¯Ú‹ÛË Î¿ı «ÂÚÁ·Ï›Ԣ». ◆
20 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
º À™π∫∏
A°ø°OI ™E °EITONIA Î·È Ë ‰Ú¿ÛË ÙÔ˘˜ Û·Ó ¶YKNøTE™ TÔ˘ ¶. °È·ÓÓ·ÎÔ˘‰¿ÎË, AÓ·Ï. K·ıËÁËÙ‹ º˘ÛÈ΋˜ - XËÌ›·˜ ÛÙÔ A.¶.£.
·Ù¿ ÙË ‰È‰·Ûηϛ· ÙÔ˘ ËÏÂÎÙÚÈÛÌÔ‡ Û ̷ıËÙ¤˜ Ù˘ A ‹ Ù˘ B Ï˘Î›Ԣ ÙÂÏÂÈÒÓÔÓÙ·˜ Ì ÙË ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· ·ÁˆÁÔ‡ ¤¯ÂÈ Ì¿ıÂÈ Ô Ì·ıËÙ‹˜ fiÙÈ Ë ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÛÊ·ÈÚÈÎÔ‡ ·ÁˆÁÔ‡ ÛÙÔ ÎÂÓfi ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË C = R/k Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÌfiÓÔ ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ Î·È fiÙÈ ÁÂÓÈο Ë ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· οı ·ÁˆÁÔ‡ ı· ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi Ù· ÁˆÌÂÙÚÈο ÙÔ˘ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔÓ Ô˘ ÙÔÓ ÂÚÈ‚¿ÏÏÂÈ (‰ÈËÏÂÎÙÚÈÎfi). º·ÓÙ¿˙ÔÌ·È fiÙÈ fiÏÔÈ ÔÈ ‰È‰¿ÛÎÔÓÙ˜ ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ó ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi (·ÚfiÏÔ Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô Ù˘ A¢ §˘Î›Ԣ) fiÙÈ Ù· ·Ú·¿Óˆ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ Ô ·ÁˆÁfi˜ Â›Ó·È ÌÂÌÔӈ̤ÓÔ˜, ‰ËÏ·‰‹ Ì·ÎÚÈ¿ ·fi ¿ÏÏÔ˘˜ ·ÁˆÁÔ‡˜. ŸÙ·Ó, fï˜, ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È ¿ÏÏÔÈ ·ÁˆÁÔ› Û ÁÂÈÙÔÓ›·, ÙfiÙÂ Ë ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· ı· ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi Ù· ÊÔÚÙ›· Î·È ÙȘ Û¯ÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ÙˆÓ ¿ÏÏˆÓ ·ÁˆÁÒÓ. ¢ËÌÈÔ˘ÚÁ›ٷÈ, ¤ÙÛÈ, (Û fiÔÈÔ Ì·ıËÙ‹ ÂӉȷʤÚÂÙ·È Î·È ı¤ÏÂÈ Ó· ηٷϿ‚ÂÈ ÙÈ Á›ÓÂÙ·È) Ë ·ÔÚ›·: “ÁÈ·Ù› Î·È Ò˜ ÔÈ ·ÁˆÁÔ› ÂËÚ¿˙Ô˘Ó Ô ¤Ó·˜ ÙË ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘”; H ÂÍ‹ÁËÛË ÛÙÔÓ ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌfi ·˘Ùfi (Â¿Ó Î·È ÂÊfiÛÔÓ ‰›ÓÂÙ·È) Â›Ó·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ÔÈÔÙÈ΋ Î·È ‰‡ÛÎÔÏ· ÂÈÛÙÈ΋. MÂÙ¿ ÙË ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· ‰È‰¿ÛÎÂÙ·È Ô ˘ÎÓˆÙ‹˜ Î·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ÙÔ Ì¿ıËÌ· ·Ú¯›˙ÂÈ Ì ÙËÓ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÙÔ˘ ›‰Ԣ ˘ÎÓˆÙ‹, Û˘Ó¯›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ Ô˘ ηıÔÚ›˙Ô˘Ó ÙËÓ ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ¿ ÙÔ˘ Î·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ÙÂÏÂÈÒÓÂÈ Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ˘ÎÓˆÙ‹ Û·Ó ·Ôı‹ÎË ÊÔÚÙ›Ô˘ ÛÙ· ËÏÂÎÙÚÈο ΢ÎÏÒÌ·Ù·. ™˘Ó‹ıˆ˜ Ë ÌÂÙ¿‚·ÛË ·˘Ù‹ ·fi ÛÊ·ÈÚÈÎÔ‡˜ ÊÔÚÙÈṲ̂ÓÔ˘˜ ·ÁˆÁÔ‡˜ Û ›‰Ԣ˜ ˘ÎÓˆÙ¤˜ Á›ÓÂÙ·È ÛÙ· ‚È‚Ï›· (·ÏÏ¿ Î·È ÛÙÔ Ì˘·Ïfi ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ) Û·Ó ·ÏÏ·Á‹ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ ‹ ·Ú·ÁÚ¿ÊÔ˘. M ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi Ë ÚÔÛ¿ıÂÈ· ÙˆÓ Î·ıËÁËÙÒÓ Ó· ÂÍËÁ‹ÛÔ˘Ó (·ÏÏ¿ Î·È ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ Ó· ηٷÓÔ‹ÛÔ˘Ó) ÙȘ ÔÌÔÏÔÁÔ˘Ì¤Óˆ˜ ‰‡ÛÎÔϘ ¤ÓÓÔȘ ‰˘Ó·ÌÈÎfi, ‰È·ÊÔÚ¿ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ Î·È ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· ÂÌÊ·Ó›˙ÂÈ ·Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÙË ÛÙÈÁÌ‹ ·ÎÚÈ‚Ò˜ Ô˘ Ì ÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘˜ ÛÙËÓ Ú¿ÍË Ù· Ú¿ÁÌ·Ù· Á›ÓÔÓÙ·È Èfi ·Ù¿. (TÔ “·È¯Ó›‰È” ÛÙÔ Û¯ÔÏÈÎfi ÂÚÁ·ÛÙ‹ÚÈÔ Ì ˘ÎÓˆÙ¤˜ ·ÓÙ› ÁÈ· ÛÊ·ÈÚÈÎÔ‡˜ ·ÁˆÁÔ‡˜ Â›Ó·È Î·È ÈÔ Â‡ÎÔÏÔ Î·È ÈÔ ·Ó¤ÍÔ‰Ô). M ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ı· ÚÔÛ·ı‹ÛÔ˘Ì ӷ ‰ÒÛÔ˘Ì ¤Ó· ÙÚfiÔ, Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô Ó· Ê·›ÓÂÙ·È ·ÊÂÓfi˜ Ë Â›‰Ú·ÛË ÙˆÓ ÁÂÈÙÔÓÈÎÒÓ ·ÁˆÁÒÓ ÛÙËÓ ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· οÔÈÔ˘ ·ÁˆÁÔ‡ Î·È ·ÊÂÙ¤ÚÔ˘ Ë ÔÌ·Ï‹ ÌÂÙ¿‚·ÛË ·fi ÙÔ˘˜ ÛÊ·ÈÚÈÎÔ‡˜ ·ÁˆÁÔ‡˜ ÛÙÔ˘˜ ˘ÎÓˆÙ¤˜. ¢È·ı¤ÙÔ˘Ì ‰‡Ô ›‰ÈÔ˘˜ ÛÊ·ÈÚÈÎÔ‡˜ ·ÁˆÁÔ‡˜ A Î·È B Ì ·ÎÙ›Ó· R = 9 cm ( ÂÚ›Ô˘ Û·Ó Ì¿ÏϘ ÙÔ˘ Ì¿ÛÎÂÙ) Î·È ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ÙÔ˘˜ ÊÔÚÙ›ÛÔ˘Ì Ì ·ÓÙ›ıÂÙ· ÊÔÚÙ›·, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ οÔÈ· ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙÂ
K
ËÏÂÎÙÚÈÎfi ÊÔÚÙ›Ô ÁÈ· Ó· ÊÔÚÙ›ÛÔ˘Ì οÔÈÔÓ ¿ÏÏÔ ·ÁˆÁfi ° Ó· ÙÔ ¿ÚÔ˘Ì ·ÎÔ˘ÌÒÓÙ·˜ ÙÔ ° ÛÙÔÓ A ‹ ÛÙÔ B. £· ÌÔÚԇ̠›Û˘ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·˜ ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÁˆÁÔ‡˜ Ì ¤Ó· Û‡ÚÌ· Ó· ¿ÚÔ˘Ì (¤ÛÙˆ Î·È ÁÈ· ÌÈÎÚfi ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ·) ËÏÂÎÙÚÈÎfi Ú‡̷. ™˘Ó‰¤Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÁˆÁÔ‡˜ A Î·È B Ì ۇÚÌ·Ù· Ì ÙÔ˘˜ ‰‡Ô fiÏÔ˘˜ ÌÈ¿˜ Ì·Ù·Ú›·˜ Ì ‰È·ÊÔÚ¿ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ VËÁ=12 V (Ì·Ù·Ú›· ·˘ÙÔÎÈÓ‹ÙÔ˘) fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·, Î·È ÊÚÔÓÙ›˙Ô˘Ì ӷ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È fiÛÔ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ì·ÎÚ‡ÙÂÚ· Ô ¤Ó·˜ ·fi ÙÔÓ ¿ÏÏÔ. (£ÂˆÚԇ̠fiÙÈ Ë ËÁ‹ ·˘Ù‹ ¤¯ÂÈ ÌˉÂÓÈ΋ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË). H Ì·Ù·Ú›· MÂÁ¿ÏË ·fiÛÙ·ÛË ÊÔÚÙ›˙ÂÈ ÙÔÓ A (Ú·ÎÙÈο ¿ÂÈÚË) Ì ıÂÙÈÎfi ÊÔÚÙ›Ô ‰ A B 12 V QA = +Q Î·È ÙÔÓ B Ì ·ÚÓËÙÈÎfi ÊÔÚÙ›Ô QB = –Q. (T· ‰‡Ô ÊÔÚÙ›· Â›Ó·È ›Û· Î·È ·ÓÙ›ıÂÙ· ÁÈ·Ù› Ë ËÁ‹ ·›ÚÓÂÈ ËÏÂÎÙÚfiÓÈ· ·fi ÙÔÓ A Î·È Ù· ÌÂٷʤÚÂÈ ÛÙÔ B) . EÂȉ‹ ÔÈ ‰‡Ô ·ÁˆÁÔ› ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ÌÂÁ¿ÏË ·fiÛÙ·ÛË ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ‰ÂÓ ·ÏÏËÏÂȉÚÔ‡Ó Î·È ¤ÙÛÈ ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi ÙÔ˘ ηı¤Ó· ı· ηıÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÊÔÚÙ›Ô ÙÔ˘ Î·È ÙËÓ ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ¿ ÙÔ˘. EÂȉ‹ fï˜ ¤¯Ô˘Ó ›Û· Î·È ·ÓÙ›ıÂÙ· ÊÔÚÙ›· Î·È ›‰È˜ ·ÎÙ›Ó˜, ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È ›Û· Î·È ·ÓÙ›ıÂÙ· ‰˘Ó·ÌÈο. ŒÙÛÈ ·Ó ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi ÙÔ˘ A, VA, Â›Ó·È V, ÙfiÙ ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi ÙÔ˘ B, VB, ı· Â›Ó·È –V. EÂȉ‹ VA – VB = 12V, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì VA = 6V Î·È VB = – 6V. H ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÁˆÁÒÓ (fiˆ˜ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô C= R/k) Â›Ó·È 10-11 F ‹ 10 pF. °È· Ù· ÊÔÚÙ›· QA Î·È QB ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙȘ ÙÈ̤˜ 6Ø10–11 C Î·È –6Ø10–11 C, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ¢ËÏ·‰‹ ÂÊ·ÚÌfiÛ·Ì ‰È·ÊÔÚ¿ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ 12V Î·È ÙÔ ÊÔÚÙ›Ô ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È 6Ø10-11 C. H ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÙˆÓ ·ÁˆÁÒÓ Â›Ó·È ÂÔ̤ӈ˜ 5 pF. AÓÔ›ÁÔ˘Ì ÙÔ ‰È·ÎfiÙË ‰, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ٷ ÊÔÚÙ›· ÙˆÓ ·ÁˆÁÒÓ Ó· ÌË ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔÓÙ·È, Î·È ÏËÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÁˆÁÔ‡˜, ÒÛÙÂ Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ Î¤ÓÙÚˆÓ ÙÔ˘˜ Ó· Á›ÓÂÈ r. TÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi οı ·fiÛÙ·ÛË r ·ÁˆÁÔ‡, ÙÒÚ·, ı· Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙÔ˘ ‰˘Ó·A B ÌÈÎÔ‡ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÏfiÁˆ ÙÔ˘ ÊÔÚÙ›Ô˘ ÙÔ˘, Î·È ÙÔ˘ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÂÂȉ‹ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Ì¤Û· ÛÙÔ Â‰›Ô ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ·ÁˆÁÔ‡. T· ‰˘Ó·ÌÈο ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÁˆÁÒÓ ı· ‰›ÓÔÓÙ·È ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ: QA QB VA = k + k R r
ηÈ
QB QA VB = k + k . R r
[QA = +Q Î·È QB = –Q (Q = 6 Ø10–11 C)]
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
21
A °ø°√π
™∂
° ∂π∆√¡π∞
∫∞π ∏ ¢ƒ∞™∏ ∆√À™ ™∞¡ ¶À∫¡ø∆∂™
Afi ÙÔÓ Ù‡Ô ÙÔ˘ VA ÚÔ·ÙÔ˘Ó Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù·: i) TÔ VA, fiÙ·Ó o A ‹Ù·Ó Û ÌÂÁ¿ÏË (Ú·ÎÙÈο ¿ÂÈÚË) ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÙÔÓ B, ¤¯ÂÈ Î¿ÔÈ· ıÂÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ÂÂȉ‹ ¤¯ÂÈ ıÂÙÈÎfi ÊÔÚÙ›Ô. ii) ŸÙ·Ó ÔÈ ‰‡Ô ·ÁˆÁÔ› ÏËÛÈ¿ÛÔ˘Ó Û οÔÈ· ·fiÛÙ·ÛË r Ë Â›‰Ú·ÛË ÙÔ˘ B ¤¯ÂÈ Û·Ó ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙËÓ ÂÌÊ¿ÓÈÛË ÂÓfi˜ ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ fiÚÔ˘ ÛÙÔÓ Ù‡Ô ÙÔ˘ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡, Ô ÔÔ›Ô˜, ÂÂȉ‹ ÙÔ ÊÔÚÙ›Ô ÙÔ˘ B Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi, ¤¯ÂÈ ·ÚÓËÙÈ΋ ÙÈÌ‹. AÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ù˘ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ˘ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÁˆÁÒÓ Â›Ó·È, ÂÔ̤ӈ˜, Ë ÂÏ¿ÙÙˆÛË Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÙÔ˘ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ ÙÔ˘ A. °È· ÙÔÓ B ÚÔ·ÙÂÈ, Ì ›‰ÈÔ˘˜ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÔ‡˜, fiÙÈ ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi ÙÔ˘ ·˘Í¿ÓÂÙ·È. EÂȉ‹ fï˜ ÙÔ VB ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ¿ÓÙ· ·ÚÓËÙÈÎfi, ‹ ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙÙÒÓÂÙ·È. H ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· fï˜ ÂÓfi˜ ·ÁˆÁÔ‡, ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ·fi ÙÔ ÚfiÛËÌÔ ÙÔ˘ ÊÔÚÙ›Ô˘ Î·È ÙÔ˘ ‰˘Ó·ÌÈÎo‡ ÙÔ˘, ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: ΩQΩ C= ΩVΩ Î·È ·ÊÔ‡ ÙÔ ÊÔÚÙ›Ô Î¿ı ·ÁˆÁÔ‡ ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ÛÙ·ıÂÚfi (ÂÓÒ Ë ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ ÙÔ˘ ÌÂÈÒÓÂÙ·È) ¤ÂÙ·È fiÙÈ Ì ÙËÓ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛ‹ ÙÔ˘˜, ·ÊÂÓfi˜ ·˘Í¿ÓÂÙ·È Ë ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ οı ·ÁˆÁÔ‡ Î·È ·ÊÂÙ¤ÚÔ˘ ÌÂÈÒÓÂÙ·È Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ ÙÔ˘˜. AÓ ‰È·ÌÔÚÊÒÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ›Ó·Î· Ì ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡, Ù˘ ‰È·ÊÔÚ¿˜ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ Î·È Ù˘ ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ·˜ ÁÈ· ÂÓ‰ÂÈÎÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÁˆÁÒÓ ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: r ¿ÂÈÚÔ 3.6 m 1.8 m 36 cm 18.01 cm
VA [V] VB [V] 6 5.85 5.7 4.5 3
VA–VB [V] CA,CB [pF]
-6 -5.85 -5.7 -4.5 -3
12 11.7 11.4 9 6
10 10.25 10.53 13.3 20
(™ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ÁÚ·ÌÌ‹ ÙÔ˘ ›Ó·Î· Ë ·fiÛÙ·ÛË ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ÌÂÈ 18 cm, ·ÏÏ¿ 18.01cm ÁÈ· Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ “·Ú¿ ÙÚ›¯·” ·ÎÔ˘ÌÔ‡Ó). Afi ÙÔÓ ›Ó·Î· ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡-·fiÛÙ·Û˘: VA 6
–4 VB –6
22
18 cm
36 cm
–2
1.8 m
0
3.6 m
2
ÕÂÈÚÔ
¢˘Ó·ÌÈÎfi
4
AfiÛÙ·ÛË
AÓ Í·Ó·Û˘Ó‰¤ÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÁˆÁÔ‡˜ A Î·È B , fiÙ·Ó ·˘ÙÔ› ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‰˘Ó·Ù‹ ·fiÛÙ·ÛË ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ( ÂÏ¿¯ÈÛÙ· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi 18 cm), ÌÂ
ÙË Ì·Ù·Ú›· Ì ‰È·ÊÔÚ¿ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ VËÁ=12 V, Ô ·ÁˆÁfi˜ A ı· ¤¯ÂÈ ‰˘Ó·ÌÈÎfi 6V Î·È Ô B –6V . EÂȉ‹ fï˜ Ë ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ¿ ÙÔ˘˜ ÙÒÚ· (ÏfiÁˆ Ù˘ ·ÏÏËÏ›‰Ú·Û‹˜ ÙÔ˘˜) Â›Ó·È 20 pF Ù· ÊÔÚÙ›· ÙÔ˘˜ ı· Â›Ó·È +12 Ø10–11 C Î·È –12 Ø10–11 C , ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ¢ËÏ·‰‹ ÂÊ·ÚÌfiÛ·Ì ‰È·ÊÔÚ¿ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ 12V Î·È ÙÔ ÊÔÚÙ›Ô ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·12 V ÙÔ˜ Â›Ó·È 12 Ø10–11 C. H ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÂÔ̤ӈ˜10 pF (‰ÈÏ·ÛÈ¿ÛÙËΠ۠ۯ¤ÛË Ì ·˘Ù‹Ó Ô˘ ›¯·Ó ÔÈ ·ÁˆÁÔ› fiÙ·Ó ‹Ù·Ó Û ¿ÂÈÚË ·fiÛÙ·ÛË ). M ÙËÓ ›‰È· ‰È·ÊÔÚ¿ ‰˘Ó·ÌÈÎÔ‡ Ù˘ Ì·Ù·Ú›·˜, ‰ËÏ·‰‹, ¤¯Ô˘Ì ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÊÔÚÙ›Ô. Œ¯Ô˘Ì fï˜ ÊÙ¿ÛÂÈ Î·È ÛÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ‰˘Ó·Ù‹ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÁˆÁÒÓ. ¶Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ÌÂÈÒÛÔ˘Ì ·Ú·¤Ú· ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ·ÁˆÁÒÓ,ÁÈ· Ó· ·˘Í‹ÛÔ˘Ì ÙË ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· Î·È ¿ÏÏÔ; MÂ Û˘Ì·Á›˜ ·ÁˆÁÔ‡˜ ‰ÂÓ Á›ÓÂÙ·È. °›ÓÂÙ·È fï˜ ·Ó οÓÔ˘Ì ÙÔÓ ¤Ó· ‹ Î·È ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÁˆÁÔ‡˜ ÎÔ›ÏÔ˘˜, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· Ôχ ÌÈÎÚ‹ ‰È·ÊÔÚ¿ ÛÙȘ ·ÎÙ›Ó˜ ÙÔ˘˜ Î·È ‚¿ÏÔ˘Ì ÙÔ ÌÈÎÚfi ̤۷ ÛÙÔ ÌÂÁ¿ÏÔ. T· ‰˘Ó·ÌÈο ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÁˆÁÒÓ ı· ‰›ÓÔÓÙ·È ·fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ: A
QA QB VA = k + k R1 R1
B
R1
R2
ηÈ
QA QB VB = k + k . R1 R2
EÂȉ‹ fï˜ QA = +Q Î·È QB= –Q ·›ÚÓÔ˘ÌÂ
Q 1 R1 Ø R2 = Ø . VA – V B k R1 – R2 H ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ (˘ÎÓˆÙ‹) ‰›ÓÂÙ·È ÂÔ̤ӈ˜ ·fi ÙË Û¯¤ÛË
1 R1 Ø R2 C = Ø . k R1 – R2 ŸÛÔ ÈÔ ÌÂÁ¿Ï˜ ÔÈ ·ÎÙ›Ó˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÁˆÁÒÓ Î·È fiÛÔ ÈÔ ÌÈÎÚ‹ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ·ÎÙ›ÓˆÓ ÙÔ˘˜ , ÙfiÛÔ ÈÔ ÌÂÁ¿ÏË ı· Â›Ó·È Ë ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· ÙÔ˘ ˘ÎÓˆÙ‹. TÂÏÈο ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·: ·ÊÔ‡ ÁÈ· Ó· οÓÔ˘Ì ¤Ó·Ó ˘ÎÓˆÙ‹ Ì ÌÂÁ¿ÏË ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· Ú¤ÂÈ Ó· ÏËÛÈ¿ÛÔ˘Ì fiÛÔ ÙÔ ‰˘Ó·ÙfiÓ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ‰‡Ô ·ÁˆÁÔ‡˜, ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ó¿ÁÎË Ó· Â›Ó·È ·˘ÙÔ› ÛÊ·ÈÚÈÎÔ› Î·È ÌÂÁ¿ÏÔÈ. (£· ·ÁÔÚ¿˙·Ì ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ¤Ó· walkman Ì ˘ÎÓˆÙ¤˜ Û ̤ÁÂıÔ˜ Ì¿ÏÏ·˜ ÙÔ˘ Ì¿ÛÎÂÙ;). MÔÚԇ̠·ÓÙ› ÁÈ· ÛÊ·ÈÚÈÎÔ‡˜ ·ÁˆÁÔ‡˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ›‰Ԣ˜ ·ÁˆÁÔ‡˜ ·fi ÏÂÙ¿ ÌÂÙ·ÏÏÈο ʇÏÏ· Ô˘ Î·È ÎÔÓÙ¿ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÏËÛÈ¿ÛÔ˘Ó, Î·È Ó· Â›Ó·È ÌÂÁ¿Ï· , ·ÏÏ¿, Î·È Ó· Ù˘ÏȯıÔ‡Ó ÌÔÚÔ‡Ó, ÁÈ· Ó· ηٷϷ̂¿ÓÔ˘Ó ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ fiÁÎÔ. ¢H§A¢H: E›Â‰Ô˜ ˘ÎÓˆÙ‹˜. ◆
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
º À™π∫∏
PA¢ONIO: ÌÈ· ·ÎfiÌË ˘ÚËÓÈ΋ ·ÂÈÏ‹ ÛÙ· Û›ÙÈ· Ì·˜ TÔ˘ K. ¶··ÛÙÂÊ¿ÓÔ˘, K·ıËÁËÙ‹ ¶˘ÚËÓÈ΋˜ º˘ÛÈ΋˜ ÛÙÔ A.¶.£.
ÂÏÂ˘Ù·›· Á›ÓÂÙ·È Ôχ˜ ÏfiÁÔ˜ ÁÈ· ÙÔ Ú·‰fiÓÈÔ ÛÙȘ ηÙÔÈ˘, ÙË Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÙ·È Ì ·˘Ùfi, ÌÈ· ·ÎfiÌ· ˘ÚËÓÈ΋(;) ·ÂÈÏ‹ ÎÔÓÙ¿ ÛÙȘ ¿ÏϘ: ÙË ‚fiÌ‚· Ù˘ XÈÚÔ̷ۛ, ÙȘ ˘ÚËÓÈΤ˜ ÎÂʷϤ˜ (¶¤ÚÛÈÓÁÎ, KÚÔ‡˙, EÌ EÍ, E˜ E˜ 20 Î·È fiÏË Ë ÛÂÈÚ¿ E˜ E˜), ÙÔ˘ TÛÂÚÓfiÌÈÏ ÙÂÏÂ˘Ù·›·. ™ÙȘ ·Ú¯¤˜ A˘ÁÔ‡ÛÙÔ˘, Á‡Úˆ ÛÙȘ 6 (Ë ÁÓˆÛÙ‹ ıÏÈ‚ÂÚ‹ ¤ÙÂÈÔ˜ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ˘ÚËÓÈÎÔ‡ ÔÏÔη˘ÙÒÌ·ÙÔ˜), fiÏ· Ù· Ú·‰ÈÔÙËÏÂÔÙÈο ̤۷ ÛÙȘ H¶A ›¯·Ó ÚÒÙÔ ı¤Ì· ÙȘ ·˘ÍË̤Ó˜ ÛÙ¿ı̘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘ Û ηÙÔÈ˘ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÔÏÈÙÂÈÒÓ fiˆ˜ .¯. ÛÙÔ M·›ËÓ Î·È Á›ÓÔÓÙ·Ó ·Ó·ÊÔÚ¿ ÛÙȘ ÂÈÙÒÛÂȘ ÛÙËÓ ˘Á›· ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘. AÓ¤ÊÂÚ·Ó ‰Â ·ÎfiÌ· fiÙÈ ÔÏÏÔ› ·Ó·˙ËÙÔ‡Û·Ó ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ó ÙÔ Ú·‰fiÓÈÔ ÛÙÔ Û›ÙÈ ÙÔ˘˜ ·ÁÔÚ¿˙ÔÓÙ·˜ οÔÈ· Û˘Û΢‹ ̤ÙÚËÛ˘ ‹ ηÏÒÓÙ·˜ οÔÈÔÓ ˘Â‡ı˘ÓÔ Ô˘ ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈ‹ÛÂÈ Ù¤ÙÔȘ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Î·È Ê˘ÛÈο Ó· ÙÔ˘˜ ‰ÒÛÂÈ ÙȘ ηٿÏÏËϘ Û˘Ì‚Ô˘Ï¤˜ (Ô‰ËÁ›Â˜). TÈ Â›Ó·È fï˜ ÙÔ Ú·‰fiÓÈÔ Î·È ˆ˜ ·ÚÂÈÛÊÚ‡ÂÈ ÛÙȘ ηÙÔÈ˘ Ì·˜; TÔ Ú·‰fiÓÈÔ Â›Ó·È ·¤ÚÈÔ ·‰Ú·Ó¤˜ Î·È Ú·‰ÈÂÓÂÚÁfi. ¶·Ú¿ÁÂÙ·È Î·Ù¿ ÙË Ú·‰ÈÂÓÂÚÁfi ‰È¿Û·ÛË ÙÔ˘ Ú·‰›Ô˘ (™¯. 1) Û˘ÛÙ·ÙÈÎfi Ù˘ Á˘ Û Ôχ ÌÈÎÚ‹ ·Ó·ÏÔÁ›· ȯÓÔÛÙÔÈ¯Â›Ô Î·È Û˘ÓÂ-
T
· 4.5 ¥ 109y · 222 86 Rn 3.824d ‚– 214 82 Pb 26.8m · 214 84 Po 163.7Ìs ‚– 210 83 Bi 5.01d 238 92 U
206 82 Pb
.....
226 88 Ra
·ÈÚ-ÎÔÓÙ›ÛÈÔÓÈÓÁΠηٿ ÙËÓ ıÂÚÈÓ‹ ÂÚ›Ô‰Ô, fiÔ˘ ‰Â Á›ÓÂÙ·È Ô ··ÈÙÔ‡ÌÂÓÔ˜ ÂÍ·ÂÚÈÛÌfi˜ ÙˆÓ Î·ÙÔÈÎÈÒÓ Ô˘ ı· ¤¯ÂÈ Û·Ó ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙË Ì›ˆÛË Ù˘ Û˘ÁΤÓÙÚˆÛ˘ ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘. ¶›Ó·Î·˜ I P˘·ÓÙ¤˜ ÙÔ˘ ·¤Ú· ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ K·ÙËÁÔÚ›· A¢ P·‰fiÓÈÔ ·Ì›·ÓÙÔ˜ ÊÔÚÌ·Ï‰Â˛‰Ë ÂÓÙÔÌÔÎÙfiÓ· ηÓfi˜ ÙÛÈÁ¿ÚÔ˘ ÌfiÏ˘‚‰Ô˜ ÛÙÔ fiÛÈÌÔ ÓÂÚfi K·ÙËÁÔÚ›· B¢ (‹ÛÛÔÓÔ˜ ÛËÌ·Û›·˜) ›Ó˜ ˘ÏÈÎÒÓ Î·Ù·Û΢‹˜ Ù·‹ÙˆÓ ¯ÚˆÛÙÈΤ˜ Ô˘Û›Â˜ ÔÈÎÔ‰ÔÌÈο ˘ÏÈο ÙËÙÈΤ˜ Ô˘Û›Â˜ Û ˘ÁÚ¿ ηı·ÚÈÛÌÔ‡ ÌÈÎÚfi‚È· ·fi Ù· ÎÏÈÌ·ÙÈÛÙÈο Ì˯·Ó‹Ì·Ù· ¯ËÌÈο ÙˆÓ ÊˆÙÔ·ÓÙÈÁÚ·ÊÈÎÒÓ Ì˯·ÓËÌ¿ÙˆÓ
· 1600y
· 3.05m ‚– 214 83 Bi 19.8m ‚– 210 82 Pb 22.3y · 210 84 Po 138.38d 218 84 Po
Ú·‰fiÓÈÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ
;;; ;; ;; ; ; ; ; ;;;;;;; ;;; ; ; ;;;; ÂÍ·ÂÚÈÛÌfi˜ Ú·‰fiÓÈÔ ÙÔ˘ ·¤Ú·
™¯.1. TÔ Ú·‰fiÓÈÔ ·Ú¿ÁÂÙ·È ·fi ÙË Ú·‰ÈÂÓÂÚÁfi ‰È¿Û·ÛË ÙÔ˘ Ú·‰›Ô˘.
Ê˘ÛÈÎfi ·¤ÚÈÔ
‰È¿¯˘ÛË
ÚˆÁ̤˜
ÂÍ·ÂÚÈÛÌfi˜
Rn
ÛÙÔ ¯ÒÌ· : R·-Rn ·Ô¯¤Ù¢ÛË ÊÚ¿ÙÈÔ
·ÚÌÔ› ÙÔ›¯ˆÓ-‰·¤‰Ô˘
Ò˜ Î·È ÙˆÓ ÔÈÎÔ‰ÔÌÈÎÒÓ ˘ÏÈÎÒÓ. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ‰È·¯¤ÂÙ·È Ì¤Û· ÛÙËÓ ‡ÏË ‰È· ̤ÛÔ˘ ÙˆÓ fiÚˆÓ Î·È ÙÂÏÈο ÂÎχÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÛÙÔÓ ÂχıÂÚÔ ·¤Ú·. ŒÙÛÈ, ÛÙÔ˘˜ ÎÏÂÈÛÙÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜ (ηÙÔÈ˘, ÁÚ·Ê›·, Û¯ÔÏ›·, ÂÎÎÏËۛ˜) Û˘ÛÛˆÚ‡ÂÙ·È ÌÂÙ¿ ÙËÓ ·ÔÚÚÔ‹ ÙÔ˘ ·fi ÙÔ˘˜ ÙÔ›¯Ô˘˜, ÙËÓ ÔÚÔÊ‹ Î·È ÙÔ ‰¿Â‰Ô (ȉȷ›ÙÂÚ·, fiÙ·Ó ·˘Ùfi ¤Ú¯ÂÙ·È Û ¿ÌÂÛË Â·Ê‹ Ì ÙË ÁË ‹ Â›Ó·È ·fi ÌÂÙfiÓ ·ÚÎÂÙ¿ ÔÚ҉˜) ηٿ ΢ÚÈfiÙËÙ·. O ·ÙÌÔÛÊ·ÈÚÈÎfi˜ ·¤Ú·˜ ÂÚȤ¯ÂÈ Ú·‰fiÓÈÔ Ô˘ ÂÎχÂÙ·È ·fi ÙÔ ¤‰·ÊÔ˜, fï˜ Û Ôχ ÌÈÎÚ‹ Û˘ÁΤÓÙÚˆÛË. ŒÙÛÈ, Ô ·¤Ú·˜ Ô˘ ÂÈÛ¤Ú¯ÂÙ·È ÛÙȘ ηÙÔÈ˘ Ì ÙÔ ¿ÓÔÈÁÌ· ÙˆÓ ·Ú·ı‡ÚˆÓ (ÂÍ·ÂÚÈÛÌfi˜) ÂÏ¿¯ÈÛÙ· ÂÈ‚·Ú‡ÓÂÈ Û ڷ‰fiÓÈÔ ÙÔÓ ·¤Ú· ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ. TÔ Ú·‰fiÓÈÔ ÌÔÚ› ·ÎfiÌ· Ó· ·ÚÂÈÛÊÚ‡ÛÂÈ ÛÙȘ ηÙÔÈ˘ Ì ÙÔ ÓÂÚfi Ù˘ ‚Ú‡Û˘, Ì ÙÔ˘˜ ·ÁˆÁÔ‡˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÂÚ›Ô˘ (Áο˙È), ÙÔ˘˜ ·ÚÌÔ‡˜ Î·È ÙȘ ‰È¿ÊÔÚ˜ ÚˆÁ̤˜ ·fi ÛÂÈÛÌo‡˜ ‹ ¿ÏϘ ·Èٛ˜, Ù· ÊÚ¿ÙÈ· (.¯. ·ÓÂÏ΢ÛÙ‹ÚˆÓ) Î·È ÙȘ ·Ô¯ÂÙ‡ÛÂȘ, ÙȘ ¯·Ï·Ú¤˜ Û˘Ó‰¤ÛÂȘ ÙˆÓ ¿Û˘ ʇÛˆ˜ ÛˆÏËÓÒÛÂˆÓ (™¯. 2). H Û˘ÛÛÒÚ¢ÛË ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘ Á›ÓÂÙ·È ·ÎfiÌË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË fiÙ·Ó ÔÈ Î·ÙÔÈ˘ ¤¯Ô˘Ó ˘„ËÏÔ‡ ‚·ıÌÔ‡ ÌfiÓˆÛË Ô˘ ÂÈ˙ËÙÂ›Ù·È ÁÈ· ÏfiÁÔ˘˜ ÂÍÔÈÎÔÓfiÌËÛ˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÙËÓ ¯ÂÈÌÂÚÈÓ‹ ÂÚ›Ô‰Ô ‹
·ÚÌÔ› ‰·¤‰Ô˘ Rn
¯·Ï·Ú‹ Û‡Ó‰ÂÛË ÛˆÏËÓÒÛˆÓ
(ÛÙ·ı.)
ÓÂÚfi ‚Ú‡Û˘
ÛÙ· ÔÈÎÔ‰ÔÌÈο ˘ÏÈο : R·-Rn
ÊÚ¿ÙÈÔ ·ÓÂÏ΢ÛÙ‹Ú·
˘fiÁÂÈÔ
·ÚÌÔ› Û˘ÛÙÔÏ‹˜-‰È·ÛÙÔÏ‹˜
™¯.2. ™¯ËÌ·ÙÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÈ ÙȘ ‰Èfi‰Ô˘˜ ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘ ÛÂ Ù˘È΋ ηٷÛ΢‹ ηÙÔÈΛ·˜
™‹ÌÂÚ· ÙÔ Ú·‰fiÓÈÔ ıˆÚÂ›Ù·È Ô ˘’ ·ÚÈıÌfiÓ 1 Ú˘·ÓÙ‹˜ ÙÔ˘ ·¤Ú· ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ (¶›Ó·Î·˜ 1). Œ¯Ô˘Ó Á›ÓÂÈ ¿Ú· ÔÏϤ˜ (ÂηÙÔÓÙ¿‰Â˜, ¯ÈÏÈ¿‰Â˜ ›Ûˆ˜) ÌÂϤÙ˜ ¿Óˆ ÛÙÔ Ú·‰fiÓÈÔ ÛÙȘ ηÙÔÈ˘ Î·È ÙȘ ÂÈÙÒÛÂȘ ÙÔ˘ ÛÙËÓ ˘Á›· ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘ Û’ fiϘ ÙȘ ¯ÒÚ˜ ÙÔ˘ ÎfiÛÌÔ˘, ȉȷ›ÙÂÚ· ÛÙȘ H¶A, ÙË ™Ô˘Ë‰›·, ÙË NÔÚ‚ËÁ›·, ÙË MÂÁ¿ÏË BÚÂÙ·Ó›· Î·È ÙËÓ IÓ‰›·. ™ÙË ¯ÒÚ· Ì·˜ οˆ˜ ÂÚÈÔÚÈṲ̂ӷ. TÔ ÂÚÁ·ÛÙ‹ÚÈÔ ¶˘ÚËÓÈ΋˜ º˘ÛÈ΋˜ ÙÔ˘ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ £ÂÛ/ӛ΢ οÓÂÈ Û˘ÛÙËÌ·ÙÈΤ˜ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘ ÛÙȘ ηÙÔÈ˘ ·fi ÙÔ 1983 ÛÙ· Ï·›ÛÈ· Û¯ÂÙÈ΋˜ ¤Ú¢ӷ˜. B¤‚·È·, ·Ú¯Èο ÙÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ÂÚÈÔÚ›ÛÙËΠÛÙË £ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Û ¿ÏϘ fiÏÂȘ. .¯. ¶ÙÔÏÂÌ·˝‰·. Œ¯Ô˘Ó Á›ÓÂÈ ‹‰Ë ÂÈÛÙËÌÔÓÈΤ˜ ÂÚÁ·Û›Â˜ Ô˘ ‰ËÌÔÛȇıËÎ·Ó Û ‰ÈÂıÓ‹
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
23
P ∞¢√¡π√ : M π∞ ¶ Àƒ∏¡π∫∏ A ¶∂π§∏ ÂÈÛÙËÌÔÓÈο ÂÚÈÔ‰Èο ‹ ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÙËÎ·Ó Û ‰ÈÂıÓ‹ Û˘Ó¤‰ÚÈ·. ¶·Ú¿ÏÏËÏ· ¤ÁÈÓ ÌÂϤÙË ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘ Î·È Û ¿ÏÏÔ˘˜ ÎÏÂÈÛÙÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜ fiˆ˜ Â›Ó·È Ù· Û‹Ï·È· (™‹Ï·ÈÔ ¶ÂÙÚ·ÏÒÓˆÓ X·ÏÎȉÈ΋˜) ‹ ‰È¿ÊÔÚ· ÎÙ›ÛÌ·Ù· ·fi ÁÚ·ÓÈÙÈÎÔ‡˜ Ï›ıÔ˘˜ Ô˘ ÂÚÈ›¯·Ó Ô˘Ú¿ÓÈÔ-Ú¿‰ÈÔ Û ˘„ËÏfiÙÂÚ˜ Û˘ÁÎÂÓÙÚÒÛÂȘ ·fi ÙȘ Û˘Ó‹ıÂȘ (ÙȘ Ê˘ÛÈΤ˜) ÛÙ¿ı̘. To Úfi‚ÏËÌ· ÙÔ˘ P·‰ÔÓ›Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÁÓˆÛÙÔ ÛÙÔ EÏÏËÓÈÎfi ÎÔÈÓfi. K·Ù¿ ηÈÚÔ‡˜, Î·È ÁÈ· ‰¤Î· ÂÚ›Ô˘ ¯ÚfiÓÈ· ˘‹ÚÍ·Ó ·ÚÎÂÙ¿ ‰ËÌÔÛȇ̷ٷ. ¶ÔȘ fï˜ Â›Ó·È ÔÈ ÂÈÙÒÛÂȘ ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘ ÛÙËÓ ˘Á›· Ì·˜; Y¿Ú¯ÂÈ Úfi‚ÏËÌ· Ú·‰ÔÓ›Ô˘ ÛÙË ¯ÒÚ· Ì·˜; ™Ù· ÂÚˆÙ‹Ì·Ù· ·˘Ù¿ ı· ·Ó·ÊÂÚıԇ̠ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Î·È ı· ‰ÔıÔ‡Ó, Ê·ÓÙ¿˙ÔÌ·È, ÔÈ ··ÓÙ‹ÛÂȘ. OÈ Â› ‰¤Î· Î·È Ï¤ÔÓ ¯ÚfiÓÈ· ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ, Ì·˜ ¤‰ÂÈÍ·Ó fiÙÈ Ë Û˘ÁΤÓÙÚˆÛË ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘ ÛÙȘ ηÙÔÈ˘ - ÎÏÂÈÛÙÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜ ÛÙË £ÂÛÛ·ÏÔÓ›ÎË Î˘Ì·›ÓÂÙ·È ·fi 0.4 ¤ˆ˜ 6.7 ÈÎÔÎÈÔ˘Ú› ·Ó¿ Ï›ÙÚÔ ·¤Ú·. H Û˘ÁΤÓÙÚˆÛË ·˘Ù‹ ıˆÚÂ›Ù·È Û¯ÂÙÈο ¯·ÌËÏ‹, Ù˘ ›‰È·˜ Ù¿Í˘ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ Ì ÙË Û˘ÁΤÓÙÚˆÛË ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘ ÛÙÔÓ ÂχıÂÚÔ ·¤Ú·, ¤Íˆ ÛÙËÓ ·ÙÌfiÛÊ·ÈÚ· - ·ÓÔȯÙfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Ô˘ Î˘Ì·›ÓÂÙ·È ·fi 0.1 ¤ˆ˜ 0.5 ÈÎÔÎÈÔ˘Ú› ·Ó¿ Ï›ÙÚÔ ·¤Ú·. ™ÙȘ H¶A ÚfiÛÊ·Ù· ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ·Ó·ÎÔ›ÓˆÛË Ô˘ ‰ËÌÔÛȇÙËΠÙÔ M¿ÚÙÈÔ 1987 Û ‰ÈÂıÓ¤˜ ÂÚÈÔ‰ÈÎfi Î·È Ô˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÈ Î·Ù¿ οÔÈÔ ÙÚfiÔ ÙÔÓ ¯¿ÚÙË ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘ Ù˘ ¯ÒÚ·˜ ·˘Ù‹˜, Ë Û˘ÁΤÓÙÚˆÛË ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘ ÛÙȘ ηÙÔÈ˘ Î˘Ì·›ÓÂÙ·È ·fi 0,36 (ÛÙËÓ ¶ÔÏÈÙ›· Ù˘ X·‚¿Ë˜) ¤ˆ˜ 4354.47 (ÛÙËÓ ¶ÔÏÈÙ›· ÙÔ˘ M·›ËÓ) ÈÎÔÎÈÔ˘Ú› ·Ó¿ Ï›ÙÚÔ ·¤Ú·. H ¯·ÌËÏfiÙÂÚË, ÂΛÓË Ù˘ X·‚¿Ë˜, Û˘ÁΤÓÙÚˆÛË ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙË ‰È΋ Ì·˜ ¯·ÌËÏfiÙÂÚË. ™ÙË ™Ô˘Ë‰›·, Û ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ·Ó·ÎÔ›ÓˆÛË (1984) › 32000 ηÙÔÈÎÈÒÓ, Û 3348 ηÙÔÈ˘ ÙÔ Ú·‰fiÓÈÔ ‹Ù·Ó ¿Óˆ ·fi 10.8 ÈÎÔÎÈÔ˘Ú› ·Ó¿ Ï›ÙÚÔ ·¤Ú·, ÂÓÒ Û 78 ηÙÔÈ˘ ÍÂÂÚÓÔ‡Û ٷ 54 ÈÎÔÎÈÔ˘Ú› ·Ó¿ Ï›ÙÚÔ ·¤Ú·. TÈ ÛËÌ·›ÓÂÈ fï˜ ÁÈ· fiÏÔ˘˜ ÂÌ¿˜, ÙÔÓ Ï·Ù‡ ÏËı˘ÛÌfi, Ë Û˘ÁΤÓÙÚˆÛË ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘ ÛÙ· ›‰· ·˘Ù¿; EΛÓÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚË ÛËÌ·Û›· ÁÈ· ÙËÓ ˘Á›· Ì·˜ Î·È ·ÊÔÚ¿ ÂȉÈÎfiÙÂÚ· ÙÔ˘˜ Ó‡ÌÔÓ˜ Î·È fiÏÔ ÙÔ ·Ó·Ó¢ÛÙÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ‰ÂÓ Â›Ó·È ·˘Ùfi ηı·˘Ùfi ÙÔ Ú·‰fiÓÈÔ, ·ÏÏ¿ Ù· ı˘Á·ÙÚÈο ÙÔ˘ ÈÛfiÙÔ·: ¶ÔÏÒÓÈÔ-218 Î·È 214, ÌfiÏ˘‚‰Ô˜-214 Î·È ‚ÈÛÌÔ‡ıÈÔ-214. ŒÙÛÈ, Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·˜ ˘’ fi„ÈÓ ÙÔ ‚·ıÌfi ÈÛÔÚÚÔ›·˜ ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙÔ Ú·‰fiÓÈÔ Î·È Ù· ı˘Á·ÙÚÈο ÙÔ˘ (0,5 ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÎÏÂÈÛÙÒÓ ¯ÒÚˆÓηÙÔÈ˘) Î·È ÙÔÓ ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÂÈÎÈÓ‰˘ÓfiÙËÙ·˜ (risk factor) fiˆ˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È ‰ÈÂıÓÒ˜ (200 - 400¥ 10–6 ·Ó¿ WLM*) ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÎÙÈÌ‹ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ·Ó·ÌÂÓfiÌÂÓÔ ·ÚÈıÌfi ÂÚÈÙÒÛÂˆÓ Î·ÚΛÓÔ˘ ÙˆÓ Ó¢ÌfiÓˆÓ (Ë ÂÚ›ÙˆÛË ·fi ÙÔ Ú·‰fiÓÈÔ) ·Ó¿ ¤ÙÔ˜. ¶.¯. ÁÈ· ÙËÓ EÏÏ¿‰·, ÏËı˘ÛÌfi˜ 10 ÂηÙÔÌ̇ÚÈ· ÂÚ›Ô˘ Î·È ÁÈ· ÙË ÌÂÙÚËı›۷ ˆ˜ ÙÒÚ· Û˘ÁΤÓÙÚˆÛË ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘, ‰Â¯fiÌÂÓÔÈ ÙÔ ›‰ÈÔ Â‡ÚÔ˜ ‰È·Î‡Ì·ÓÛ˘ ÁÈ· fiÏË ÙË ¯ÒÚ·, ηıfiÛÔÓ ‰ÂÓ ÈÛÙ‡ÂÙ·È Î·È ‰ÂÓ ·Ó·Ì¤ÓÂÙ·È Ó· ‰È·ÊÔÚÔÔÈËı› ÚÈ˙Èο fiÙ·Ó ı· ¤¯Ô˘Ó ÔÏÔÎÏËÚˆı› ÔÈ ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Û fiÏË ÙËÓ ¤ÎÙ·ÛË Ù˘ ¯ÒÚ·˜, Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ·Ó·ÌÂÓfiÌÂÓˆÓ ÂÚÈÙÒÛÂˆÓ Î·ÚÎ›ÓˆÓ ·fi ÙÔ Ú·‰fiÓÈÔ ı· Î˘Ì·›ÓÂÙ·È ·fi ÂÚ›Ô˘ 160 ¤ˆ˜ 6200 ÙÔ ¯ÚfiÓÔ. ™ÙȘ H¶A Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÓÔ‡ÌÂÚ· fiˆ˜ ‹‰Ë ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È Û ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ·Ó·ÎÔ›ÓˆÛË ÙÔ˘ 1980, Î˘Ì·›ÓÔÓÙ·Ó ·fi 9700 ¤ˆ˜ 21800 ÙÔÓ ¯ÚfiÓÔ. M ‚¿ÛË Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ 1987 ÔÈ ·ÓˆÙ¤Úˆ ·ÚÈıÌÔ› ·˘Í¿ÓÔÓÙ·È Ôχ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ. ™Â ÚfiÛÊ·ÙÔ ‰ËÌÔÛ›Â˘Ì· ÛÙÔ Indoor Pollution News (H¶A) ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ Ú·‰fiÓÈÔ Â›Ó·È Ë ·ÈÙ›· 5.000 ¤ˆ˜ 30.000 ı·Ó¿ÙˆÓ ·fi ηÚΛÓÔ ÙÔ˘ Ó‡ÌÔÓ· οı ¯ÚfiÓÔ ÛÙȘ Hӈ̤Ó˜ ¶ÔÏÈÙ›˜ AÌÂÚÈ΋˜. ™‡Ìʈӷ Ì ٷ ÛÙÔȯ›· Ù˘ EıÓÈ΋˜ ™Ù·ÙÈÛÙÈ΋˜ YËÚÂÛ›·˜
24
™∆∞
™ ¶π∆π∞
ª∞™
Ù˘ EÏÏ¿‰Ô˜ (E™YE) ÙÔ˘ ¤ÙÔ˘˜ 1983, ÓÂÔÏ¿ÛÌ·Ù· (ηÚΛÓÔÈ) Ù˘ ÙÚ·¯Â›·˜, ÙˆÓ ‚ÚfiÁ¯ˆÓ, ÙÔ˘ Ó‡ÌÔÓÔ˜ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È 7235 › Û˘ÓfiÏÔ˘ 52250 ηÚΛӈÓ, ÂÓ Á¤ÓÂÈ. B¤‚·È·, ‰ÂÓ Ú¤ÂÈ Ó· ·ÁÓÔËı› fiÙÈ, ¤Ó·˜ ÌÂÁ¿ÏÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ Î·ÚÎ›ÓˆÓ ÙÔ˘ ·Ó·Ó¢ÛÙÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜, ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ›Ûˆ˜ ÔÛÔÛÙfi, ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔ Î¿ÓÈÛÌ·, fiˆ˜ ϤÁÔ˘Ó ÔÈ ÂȉÈÎÔ› (ÂȉËÌÈÔÏfiÁÔÈ). ¶·Ú¿ Ù·‡Ù·, ÙÔ Ú·‰fiÓÈÔ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Ë ·ÈÙ›· Á¤ÓÂÛ˘ ηÚÎ›ÓˆÓ ÙˆÓ Ó¢ÌfiÓˆÓ Î·È ÛÙË ¯ÒÚ· Ì·˜ (οو ·fi ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÚÔ¸Ôı¤ÛÂȘ), ¤ÛÙˆ Î·È Û ÌÈÎÚfi ÔÛÔÛÙfi, ηٿ Ôχ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÛÙȘ ¯ÒÚ˜ H¶A ‹ ™Ô˘Ë‰›· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¤ÓÙÔÓÔ ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘, fiˆ˜ ‹‰Ë Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi. H Ì›ˆÛË ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘ ÛÙȘ ηÙÔÈ˘ Î·È Ô ÂÚÈÔÚÈÛÌfi˜ ÙˆÓ Û˘ÓÂÂÈÒÓ ÙÔ˘ ÛÙËÓ ·ÓıÚÒÈÓË ˘Á›· ÂÈÙ˘Á¯¿ÓÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: 1) K·Ïfi˜ ÂÍ·ÂÚÈÛÌfi˜ ÙˆÓ Î·ÙÔÈÎÈÒÓ Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ ÔÏϤ˜ ·ÏÏ·Á¤˜ ·¤Ú· ÙËÓ Ë̤ڷ. 2) K·Ù¿ÏÏËÏÔ˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi˜, ÙfiÛÔ Ù˘ ıÂÚÌÔÌfiÓˆÛ˘, fiÛÔ Î·È ÙÔ˘ ·ÈÚ-ÎÔÓÙ›ÛÈÔÓÈÁÎ (ÎÏÈÌ·ÙÈÛÌfi˜) ÙˆÓ Î·ÙÔÈÎÈÒÓ Ì ÙÔÓ Â·Ú΋ ÂÍ·ÂÚÈÛÌfi. 3) EÈÏÔÁ‹ ÙˆÓ ÔÈÎÔ‰ÔÌÈÎÒÓ ˘ÏÈÎÒÓ ‡ÛÙÂÚ· ·fi ÂͤٷÛË Ù˘ Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ¿˜ ÙÔ˘˜, ηıfiÛÔÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ë ÚÒÙË ‡ÏË ·fi ÙËÓ ÔÔ›· ·Ú·Û΢¿˙ÔÓÙ·È Ó· ÂÚȤ¯ÂÈ Ú·‰ÈÂÓÂÚÁ¿ Ù˘ ÛÂÈÚ¿˜ Ô˘Ú·Ó›Ô˘-Ú·‰›Ô˘ Ô˘ ·Ú¿ÁÔ˘Ó ÙÔ Ú·‰fiÓÈÔ. ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi ·Ó·Ê¤ÚÂÙ·È fiÙÈ ¤¯ÂÈ Á›ÓÂÈ ‹‰Ë ÂÈÛÙËÌÔÓÈ΋ ·Ó·ÎÔ›ÓˆÛË Û ‰ÈÂıÓ‹ ÂÚÈÔ‰Èο ‹ Û˘Ó¤‰ÚÈ· ÙfiÛÔ ·fi ÙÔ EÚÁ·ÛÙ‹ÚÈÔ ¶˘ÚËÓÈ΋˜ º˘ÛÈ΋˜ ÙÔ˘ ¶·Ó/Ì›Ô˘ £ÂÛ/ӛ΢ (1984, 1991,1994), fiÛÔ Î·È ·fi ¿ÏÏÔ˘˜ ÂÈÛÙ‹ÌÔÓ˜, ÁÈ· ÙË Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÙˆÓ ÔÈÎÔ‰ÔÌÈÎÒÓ ˘ÏÈÎÒÓ ÛÙË ¯ÒÚ· Ì·˜. ŸÌˆ˜, ÂÂȉ‹ Ë Ù¯ÓÔÏÔÁ›· ÙˆÓ ÔÈÎÔ‰ÔÌÈÎÒÓ ˘ÏÈÎÒÓ ÚÔ¯ˆÚ› ·ÏÌ·Ùˆ‰Ò˜ Î·È Ó¤· οı ÊÔÚ¿ ÔÈÎÔ‰ÔÌÈο ˘ÏÈο ·Ú¿ÁÔÓÙ·È, ·ÊÔ‡ Ӥ˜ ËÁ¤˜ ÚÒÙˆÓ ˘ÏÒÓ ¤Ú¯ÔÓÙ·È ÛÙÔ Êˆ˜ Ù˘ Ë̤ڷ˜, ÂÈ‚¿ÏÏÂÙ·È Ó· Á›ÓÂÙ·È ¤ÏÂÁ¯Ô˜ Ù˘ Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÙˆÓ ÚÔ˚fiÓÙˆÓ Ù˘ Ù¯ÓÔÏÔÁ›·˜ Ì·˜, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙȘ ‰ÈÂıÓ›˜ ÚԉȷÁڷʤ˜, fiˆ˜ ·˘Ù¤˜ ηıÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙË ¢ÈÂıÓ‹ EÈÙÚÔ‹ P·‰ÈÔ-ÚÔÛÙ·Û›·˜ (ICRP). ™ÙȘ H¶A ‹‰Ë ÔÈ ·ÁÔÚ·ÛÙ¤˜ ηÙÔÈÎÈÒÓ ˙ËÙÔ‡Ó Ó· ÚÔÌËı¢ÙÔ‡Ó ÙÔ ÈÛÙÔÔÈËÙÈÎfi ÂϤÁ¯Ô˘ ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘ ÚÈÓ ·fi ÙËÓ ˘ÔÁÚ·Ê‹ ÙÔ˘ Û˘Ì‚ÔÏ·›Ô˘ ·ÁÔÚ¿˜ ηÙÔÈΛ·˜. H ·ÌÂÚÈηÓÈ΋ YËÚÂÛ›· ¶ÚÔÛÙ·Û›·˜ ¶ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓÙÔ˜ - Environmental Protection Agency (EPA) ¤¯ÂÈ Ù˘ÒÛÂÈ ÂȉÈο Ê˘ÏÏ¿‰È· Î·È ÙÚÈÎ ÁÈ· ÙÔ Â˘Ú‡ ÎÔÈÓfi Ì ٷ ÔÔ›· ÂÓËÌÂÚÒÓÂÈ ÁÈ· ÙÔ Ú·‰fiÓÈÔ, Ù· ÚÔÛٷ٢ÙÈο ̤ÙÚ· Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ·›ÚÓÔ˘Ó ÔÈ Î·Ù·Û΢·ÛÙ¤˜ ÔÈÎÔ‰ÔÌÒÓ ÁÈ· ÙË Ì›ˆÛË ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘ ÛÙÔÓ ·¤Ú· ÂÛˆÙÂÚÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ, ÙÔÓ ÂÍ·ÂÚÈÛÌfi, Î.Ù.Ï. AÓ·ÎÂÊ·Ï·ÈÒÓÔÓÙ·˜, ı· ‹ıÂÏ· Ó· ÂÈÛËÌ¿Óˆ ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· Ô˘ ÂÍ¿ÁÂÙ·È ÁÈ· ÙË ¯ÒÚ· Ì·˜ fiÙÈ ‰Â ı· Ú¤ÂÈ Ó· ıˆÚÂ›Ù·È Û‹ÌÂÚ· fiÙÈ ˘¿Ú¯ÂÈ Úfi‚ÏËÌ· Ú·‰ÔÓ›Ô˘ ÛÙȘ ηÙÔÈ˘ Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ô˘ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È ·˘Ùfi ÛÙȘ H¶A ‹ ÙËÓ ™Ô˘Ë‰›·. AÓ ÏËÊı› ‰Â ˘’ fi„ÈÓ fiÙÈ ÁÈ· ÔÏÏÔ‡˜ Ì‹Ó˜ ÛÙËÓ EÏÏ¿‰· ¤¯Ô˘Ì fi¯È ÌfiÓÔ Ù· ·Ú¿ı˘Ú·, ·ÏÏ¿ Î·È ÙȘ fiÚÙ˜ ·ÓÔȯ٤˜ [fi¯È ÌfiÓÔ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ η‡ÛˆÓ· (1987)] Î·È fiÙÈ Â›Ó·È ÂÏ¿¯ÈÛÙ˜ ÔÈ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ˘„ËÏÔ‡ ‚·ıÌÔ‡ ıÂÚÌÔÌfiÓˆÛ˘ ‹ ·ÈÚ ÎÔÓÙ›ÛÈÔÓÈÁÎ ÛÙË ¯ÒÚ· Ì·˜, ÙfiÙÂ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÂÚÈÙÒÛÂˆÓ Î·ÚÎ›ÓˆÓ ÙÔ˘ ·Ó·Ó¢ÛÙÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ ˘ÔÏÔÁ›ÛÙËΠ̠‚¿ÛË ÙËÓ ÈÛ¯‡Ô˘Û· ıˆڛ·, Á›ÓÂÙ·È ·ÎfiÌË ÈÔ ÌÈÎÚfi˜, fi¯È fï˜ Ìˉ¤Ó, fiˆ˜ ı· ÂÈı˘ÌÔ‡Û·ÌÂ. °È·Ù›, ÁÈ· ÙË Ú·‰ÈÂÓ¤ÚÁÂÈ· Î·È ÙË Ú·‰ÈÂÓÂÚÁfi ‰fiÛË ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ‰fiÛË Î·Ï‹ ‹ η΋, fiÛÔ ÌÈÎÚ‹ Î·È ·Ó ›ӷÈ.
◆
* 1 WL (Working Level) Â›Ó·È Ë Û˘ÁΤÓÙÚˆÛË ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘ Û ÈÛÔÚÚÔ›· Ì ٷ ı˘Á·ÙÚÈο ÙÔ˘ ›ÛË ÚÔ˜ 100 ÈÎÔÎÈÔ˘Ú› ·Ó¿ Ï›ÙÚÔ ·¤Ú· Î·È ÈÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ Ë Û˘ÓÔÏÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ô˘ ÌÂٷʤÚÂÙ·È ·fi ÙËÓ ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›· ¿ÏÊ· ÙˆÓ ı˘Á·ÙÚÈÎÒÓ ÙÔ˘ Ú·‰ÔÓ›Ô˘ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË Û˘ÁΤÓÙÚˆÛË ·˘Ù‹, ÂÓÒ 1 WLM (Working Level Month) Â›Ó·È Ë Â›‰Ú·ÛË ÛÙÔÓ ·ÓıÚÒÈÓÔ ÔÚÁ·ÓÈÛÌfi ·fi ÙËÓ ¤ÎıÂÛË ÛÙËÓ ·ÓˆÙ¤Úˆ ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›·.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
º À™π∫∏
MIA A¶§H ¶PO™E°°I™H ÛÙÔ EP°O Ù˘ ¢YNAMH™ E§ATHPIOY TÔ˘ °. AÙÚ›‰Ë, K·ıËÁËÙ‹ º˘ÛÈ΋˜
˘ÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ Â›Ó·È ·fi Ù· ÛËÌ›· Ô˘ ‰˘ÛÎÔÏÂ‡Ô˘Ó ·ÚÎÂÙ¿ ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ Ù˘ ÙÚ›Ù˘ Ï˘Î›Ԣ. ™ÙÔ ÙÌ‹Ì· ·˘Ùfi ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠‰ÈÂÍÔ‰Èο Ì ÙÔ ·Ú·¿Óˆ ı¤Ì· ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ ÌÔÚ¤ÛÔ˘Ì ӷ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÔ˘Ì ·fiÏ˘Ù· Ù· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó Î·Ù¿ ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘. M ‚¿ÛË ÙÔ ÓfiÌÔ ÙÔ˘ Hooke, ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÂÓfi˜ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ ÙÔ ÔÔ›Ô ¤¯ÂÈ Î¿ÔÈ· ·Ú·ÌfiÚʈÛË (Û ۯ¤ÛË Ì ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˜) ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË F = KØ¢. ŸÔ˘ ¢ Â›Ó·È Ë ÂÈε2 Ì‹Î˘ÓÛË ‹ Ë Û˘Û›ڈÛË ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘. BÏ¤Ô˘Ì fiÙÈ Ë ‰‡Ó·ÌË ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›ε1 Ô˘ Â›Ó·È ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹. ÕÚ· α β ı· ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ fiˆ˜ ·˘Ùfi ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ‰˘Ó¿ÌˆÓ. ™¯‹Ì· 1 •¤ÚÔ˘Ì ·fi ÙË ıˆڛ· fiÙÈ fiÙ·Ó ÂÈÌË·ÓÔ˘Ì ¤Ó· ÂÏ·Ù‹ÚÈÔ Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ Ù·¯‡ÙËÙ· ηٿ ¢, ÒÛÙ F = FÂÏ Û˘Ó¯Ҙ, ÙÔ ¤ÚÁÔ Ô˘ ‰··Ó¿Ì ·ÔıË·ÂÙ·È Û’ ·˘Ùfi Ì ÙË ÌÔÚÊ‹ ‰˘Ó·ÌÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜. Afi ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·y Ë ˆ  ڿÛÙ·ÛË ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ 2 ·›ÚÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ FÂÏ (ÙÔ Ê ÔÔ›Ô Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ¤Úx O ÁÔ Ù˘ Â͈ÙÂÚÈ΋˜ ‰‡Ó·Ì˘) Ô˘ ·ÔıË·ÂÙ·È · Û’ ·˘Ùfi Û· ‰˘Ó·ÌÈ΋ ™¯‹Ì· 2 ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ›ӷÈ:
O
1 1 W = ¢ Ø K¢ = K¢2 = E¢ 2 2 ➬ H ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ fiÙ·Ó ·˘Ùfi ¤¯ÂÈ ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˜ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó. ●
MÔÚԇ̠ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ Ì ‰‡Ô ÙÚfiÔ˘˜
A. ™· ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ ‰‡Ô ÂÓÂÚÁÂÈ·ÎÒÓ ı¤ÛˆÓ. (MÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ ‰˘Ó·ÌÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘).
(+) º.M. x1
FÂÏ x2
(A)
F1
F¢ ÂÏ F¢ =F1+F2 (¢)
(°)
™¯‹Ì· 3
TÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ı¤ÛÂˆÓ ı· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ Ù˘ ‰˘Ó·ÌÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ ÛÙȘ ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ ı¤ÛÂȘ.
ñ TÔ ¤ÚÁÔ ÁÈ· ÙË ÌÂٷΛÓËÛË AÆ ° ı· ›ӷÈ: WÂÏ.AÆ
°
= E¢(A)–E¢(°)
ŸÌˆ˜ E¢(A) = 0 fi
WÂÏ. AÆ
°
fi
1 = – E¢(°) = – Kx21 2
ñ TÔ ¤ÚÁÔ ÁÈ· ÙË ÌÂٷΛÓËÛË °Æ ¢ ›ӷÈ: = E¢(°) – E¢(¢) fi 1 1 WÂÏ.°Æ ¢ = Kx21 – K(x1 + x2)2 < 0. 2 2
WÂÏ.°Æ fi
¢
ñ TÔ ¤ÚÁÔ ÁÈ· ÙË ÌÂٷΛÓËÛË AÆ ¢ ›ӷÈ: WÂÏAÆ
¢
1 = E¢(A) – E¢(¢) = 0 – K(x1 + x2)2 = 2 1 2 = – K(x1+x2) 2
❖ ¶ÚÔÛÔ¯‹: ÁÈ· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙË ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ Û οı ı¤ÛË, ÌÂÙÚ¿Ì ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ¿ÓÙÔÙ ·fi ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi Ì‹ÎÔ˜. ❖ ™ÙȘ ·Ú·¿Óˆ ÌÂÙ·ÎÈÓ‹ÛÂȘ ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÁÈ· ÙȘ ·Ú·¿Óˆ ÌÂÙ·ÎÈÓ‹ÛÂȘ Ú¤ÂÈ Ó· ‰··Ó‹ÛÔ˘Ì ÂÓ¤ÚÁÂÈ·. B. YÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ ÁÚ·ÊÈο. H ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
25
M π∞ A ¶§∏ ¶ ƒ√™∂°°π™∏
™∆√
E ƒ°√
(F = Kx) Ì ‚¿ÛË ÙÔ Û¯‹Ì· 3 Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì· 4. TÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ F ÙÚÈÁÒÓÔ˘ AB° ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ¤ÚÁÔ H F¢ =F1+F2 Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÙÔ˘ B Z F1 ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ ÁÈ· ÌÂÙ·ÙfiÈÛË x1. ° ¢ E›Û˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ x1 x1+x2 x A ÙË ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤Ú™¯‹Ì· 4 ÁÂÈ· Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÔ ÂÏ·Ù‹ÚÈÔ fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ÂÈÌ‹Î˘ÓÛË. 1 (AB°) = E1 = Kx21 2
¶.¯. ŒÛÙˆ fiÙÈ ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ Û· ‰È·ÊÔÚ¿ ‰‡Ô ÂÓÂÚÁÂÈ·ÎÒÓ ı¤ÛÂˆÓ ÁÈ· ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ° ÛÙÔ ¢ Ì ÙËÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ÌÔÚÊ‹ (Û¯‹Ì· 3) 1 1 2 WÂÏ.°Æ ¢ = K(x1 + x2)2 – Kx1 . 2 2 EÂȉ‹ ÙÔ ·Ú·¿Óˆ ¤ÚÁÔ Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: WÂÏ.°Æ
ñ TÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ (BH¢°) ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ ÁÈ· ÙË ÌÂÙ·ÙfiÈÛË x2, ‰ËÏ·‰‹ ·fi ÙÔ ° ÛÙÔ ¢. E›Û˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙËÓ ÂÈϤÔÓ ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ô˘ ·fiÎÙËÛ ÙÔ ÂÏ·Ù‹ÚÈÔ ÂÍ·ÈÙ›·˜ Ù˘ ÂÈÌ‹Î˘ÓÛ˘ x2.
ñ TÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ (BZ¢°) ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ¤ÚÁÔ ÌfiÓÔ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ F1 ÁÈ· ÌÂÙ·ÙfiÈÛË x2 (BZ¢°) = E4 = Kx1Ø x2 .
ñ TÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ (BZH) ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ¤ÚÁÔ ÌfiÓÔ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ F2 ÁÈ· ÌÂÙ·ÙfiÈÛË x2 1 (BZH) = E5 = Kx22. 2
26
¶PO™OXH! ŸÙ·Ó ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ Ì ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ̤ıÔ‰Ô (ÁÚ·ÊÈο), Ú¤ÂÈ Ó· ÙÔÔıÂÙԇ̠ÙÔ ÛˆÛÙfi ÚfiÛËÌÔ ÌÚÔÛÙ¿ ·fi ÙË Û¯¤ÛË Ô˘ Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÙÔ ¤ÚÁÔ. ¢ËÏ·‰‹ ·Ó Ë ‰‡Ó·ÌË Â›Ó·È ·ÓÙ›ıÂÙË ÛÙËÓ Î›ÓËÛË, fiˆ˜ ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛ‹ Ì·˜ (·ÓıÈÛÙ¿ÌÂÓÔ ¤ÚÁÔ), Ú¤ÂÈ Ó· ‚¿ÏÔ˘Ì ÙÔ ÚfiÛËÌÔ (–) ÛÙȘ Û¯¤ÛÂȘ ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘. A˘Ùfi Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÁÈ·Ù› Ù· ÂÌ‚·‰¿ Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ıÂÙÈο Î·È ‰›ÓÔ˘Ó ÙËÓ ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ¤ÚÁÔ˘ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘.
¢
1 1 2 = – K(x1 + x2)2 – Kx1 , 2 2
AÓ fï˜ ·›ÚÓ·Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ·ÓÙ›ıÂÙ· ‰Â ı· ¤Ú ӷ ‚¿ÏÔ˘Ì ÙÔ Ì›ÔÓ. 1 2 1 WÂÏ.¢Æ ° = Kx1 – K(x1 + x2)2 . 2 2 AÓ ‰ÂÓ ÚÔÛ¤ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë ·Ú·¿Óˆ ‰È·ÊÔÚ¿ Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈ΋ Î·È ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ì ¤Ó· Ì›ÔÓ ÌÚÔÛÙ¿ ÛÙÔ ¤ÚÁÔ ÙfiÙ ÌÂÙ·ÙÚ¤Ô˘Ì Û ıÂÙÈÎfi ÙÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ οÓÔ˘Ì ϿıÔ˜.
ÓÔÏÈÎfi ¤ÚÁÔ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ ÁÈ· ÙË Û˘ÓÔÏÈ΋ ÂÈÌ‹Î˘ÓÛË x1+x2. E›Û˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙË ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÔ ÂÏ·Ù‹ÚÈÔ fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ÂÈÌ‹Î˘ÓÛË. 1 (AH¢) = E2 = K(x1+x2)2 2
H ·Ú·¿Óˆ Û¯¤ÛË Â›Ó·È ›‰È· Ì ÙË Û¯¤ÛË Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ·Ó ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ÂÓÂÚÁÂÈ·ÎÒÓ ı¤ÛˆÓ. TÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÌÔÚ› Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Î·È ˆ˜ ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ (AH¢) – (AB°).
¢ À¡∞ª∏™ E §∞∆∏ƒπ√À
¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ◗ TÔ ¤ÚÁÔ Ù˘ ‰‡Ó·Ì˘ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi fiÙ·Ó Ë ‰‡Ó·ÌË ¤¯ÂÈ ›‰È· ÊÔÚ¿ Ì ÙËÓ Î›ÓËÛË Î·È ·ÚÓËÙÈÎfi fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ ·ÓÙ›ıÂÙË ÊÔÚ¿. ¶Ú¤ÂÈ Ó· ›̷ÛÙ ÚÔÛÂÎÙÈÎÔ› fiÙ·Ó ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙÔ ·Ú·¿Óˆ ¤ÚÁÔ.
ñ TÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ (AH¢) ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ Û˘-
F1+F¢ Kx1+K(x1 + x2) (BH¢°) = E3 = Ø x2 = Ø x2 = 2 2 1 1 = Kx1x2 + K(x1 + x2)x2 = 2 2 1 1 1 = Kx1x2 + Kx1x2 + Kx22 = 2 2 2 1 2 = Kx1x2 + Kx 2 2
∆∏™
◗ ™ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· F-x (Û¯‹Ì· 5) Ë ÎÏ›ÛË Ù˘ ¢ı›·˜ Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÙË
F Kx1
ÛÙ·ıÂÚ¿ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ ı x1 x
Kx ÂÊı = 1 fi x1
ÂÊı = K.
™¯‹Ì· 5
◗
ŒÓ· ÛÒÌ· ÙÔ ÔÔ›Ô Â›Ó·È ÛÙÂÚˆ̤ÓÔ ÛÙÔ ¿ÎÚÔ ÂÓfi˜ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ Î·È ÎÈÓÂ›Ù·È Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ¿ ÙÔ˘ ·ÔÎÙ¿ ̤ÁÈÛÙË Ù·¯‡ÙËÙ· fiÙ·Ó Û˘ÓÈÛٷ̤ÓË ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Ô˘ ·ÛÎÔ‡ÓÙ·È ¿Óˆ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›ÛË Ì Ìˉ¤Ó ™F=0 (.¯. ·Ïfi˜ ·ÚÌÔÓÈÎfi˜ Ù·Ï·Óوً˜, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙË ı¤ÛË ÈÛÔÚÚÔ›·˜).
A˜ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ٷ ·Ú·¿Óˆ ÛÙÔ ÂfiÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ™ÒÌ· Ì¿˙·˜ m1=1 kgr ·Ê‹ÓÂÙ·È ÂχıÂÚÔ Ó· ¤ÛÂÈ ·fi ‡„Ô˜ h=1,8 m ¿Óˆ ·fi ÙÔ ÂχıÂÚÔ ¿ÎÚÔ Î·Ù·ÎfiÚ˘ÊÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘, ÛÙ·ıÂÚ¿˜ K = 100 N/m, ÙÔ ¿ÏÏÔ ¿ÎÚÔ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÂÚˆ̤ÓÔ Û ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌ›Ô. ™ÙÔ ÂχıÂÚÔ ¿ÎÚÔ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘, ÈÛÔÚÚÔ› ÛÒÌ· Ì¿˙·˜ m2 = 2kgr. AÓ Ë ÎÚÔ‡ÛË ÙˆÓ ‰˘Ô ÛˆÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È Ï·ÛÙÈ΋ Ó· ‚ÚÂıÔ‡Ó: ·) H Ù·¯‡ÙËÙ· ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ m1 Ï›ÁÔ ÚÈÓ ÙËÓ ÎÚÔ‡ÛË. ‚) H ̤ÁÈÛÙË Ù·¯‡ÙËÙ· Ô˘ ı· ·ÔÎÙ‹ÛÂÈ ÙÔ Û˘Ûۈ̿و̷ ÛÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· Ù˘ ΛÓËÛ‹˜ ÙÔ˘. Á) H ̤ÁÈÛÙË Û˘Û›ڈÛË ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘. ‰) TÔ ‡„Ô˜ ÛÙÔ ÔÔ›Ô ı· ·Ó¤‚ÂÈ ÙÔ Û˘Ûۈ̿و̷ ·fi ÙË ı¤ÛË Ù˘ ̤ÁÈÛÙ˘ Û˘Û›ڈÛ˘.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
º À™π∫∏ Â) TÔ ÔÛÔÛÙfi Ù˘ ·Ú¯È΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ m1 Ô˘ Á›ÓÂÙ·È ıÂÚÌfiÙËÙ· ηٿ ÙËÓ ÎÚÔ‡ÛË. ÛÙ) TÔ ÔÛÔÛÙfi Ù˘ ·Ú¯È΋˜ ÎÈÓËÙÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ (ÚÈÓ ÙËÓ ÎÚÔ‡ÛË) ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ m1 Ô˘ Á›ÓÂÙ·È ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ fiÙ·Ó ÙÔ Û˘Ûۈ̿و̷ ¤¯ÂÈ ÙË Ì¤ÁÈÛÙË Ù·¯‡ÙËÙ·. §‡ÛË (K) h
˘1
x1
(¢) V
x2
(Z) x3
‰) EϤÁ¯Ô˘Ì ·Ó ÙÔ Û˘Ûۈ̿و̷ ÂÚÓ¿ÂÈ ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ EÎ(H) + WB + WFÂÏ = EÎ(°) fi
h1
˘Max
1 (m1+m2)V2+WB+WFÂÏ = 0 fi 2 1 fi (m1+m2)V2 + (m1+m2)g(x2+x3) – 2 1 1 – K(x1+x2+x3)2 – Kx21 = 0 fi x3 = 0,36 m 2 2 K·È xmax = x1 + x2 + x3 = 0,66m. EK(¢)+Â W = EK(H) fi
(A)
(°)
1 = (m1+m2)˘2max fi ˘max = 2,08m/sec. 2 Á) EÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ÎÈÓËÙÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ·fi ÙË ı¤ÛË (¢) (ÌÂÙ¿ ÙËÓ ÎÚÔ‡ÛË) ̤¯ÚÈ ÙË ı¤ÛË (H).
(H)
1 0 – (m1+m2)Øg(x1+x2+x3) + K(x1+x2+x3)2 = EÎ(°) fi 2 fi
™¯‹Ì· 6
·) TÔ ÂÏ·Ù‹ÚÈÔ ·Ú¯Èο ı· Â›Ó·È Û˘ÛÂÈڈ̤ÓÔ ÂÍ·ÈÙ›·˜ ÙÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜ Ù˘ m2. Afi ÙË Û˘Óı‹ÎË ÈÛÔÚÚÔ›·˜ ÛÙË ı¤ÛË (¢) ¤¯Ô˘Ì  F¢ = 0 fi
FÂÏ – B2 = 0 fi
FÂÏ = B2 fi
mg x1 = 2 = 0,2m. K Afi ÙË ‰È·Ù‹ÚËÛË Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÁÈ· ÙÔ ÛÒÌ· m1 ÛÙȘ ı¤ÛÂȘ (A) Î·È (¢) ÚÈÓ ÙËÓ ÎÚÔ‡ÛË ¤¯Ô˘Ì 1 m1gh = m1˘21 fi 2 ˘1 = 2 g h = 6 m/sec.
EA = E¢ fi fi
‚) TÔ Û˘Ûۈ̿و̷ ı· ·ÔÎÙ‹ÛÂÈ Ù·¯‡ÙËÙ· V ÌÂÙ¿ ÙËÓ ÎÚÔ‡ÛË Ë ÔÔ›· ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ‰È·Ù‹ÚËÛ˘ Ù˘ ÔÚÌ‹˜. r r J·Ú¯ = JÙÂÏ fi m1˘1 = (m1+m2)V fi fi
m ˘1 V = 1 = 2m/sec. m1+m2
TÔ Û˘Ûۈ̿و̷ ı· ·ÔÎÙ‹ÛÂÈ Ì¤ÁÈÛÙË Ù·¯‡ÙËÙ· fiÙ·Ó Ë Û˘ÓÈÛٷ̤ÓË ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó (ı¤ÛË Z).  FZ = 0 fi BÔÏ = FÂÏ, 1 fi (m1+m2)g = K(x1+x2) fi x2 = 0,1m. EÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÌÂÙ·‚ÔÏ‹˜ Ù˘ ÎÈÓËÙÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ·fi ÙË ı¤ÛË (¢) (ÌÂÙ¿ ÙËÓ ÎÚÔ‡ÛË) ̤¯ÚÈ ÙË ı¤ÛË (Z). EK(¢) +  W = EK(Z) fi 1 1 2 (m1+m2)V2 + WB + WFÂÏ = (m1+m2)˘max fi 2 2 1 1 1 2 (m1+m2)V2 + (m1+m2)gx2 – K(x1+x2)2 – Kx1 2 2 2
ÕÚ· ÙÔ Û˘Ûۈ̿و̷ ı· ·Ô¯ˆÚÈÛÙ› ·fi ÙÔ ÂÏ·Ù‹ÚÈÔ Î·È ı· ÊÙ¿ÛÂÈ ÛÙË ı¤ÛË K. ¶·›ÚÓÔ˘Ì ·Ú¯‹ ‰È·Ù‹ÚËÛ˘ Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÁÈ· ÙȘ ı¤ÛÂȘ (H) Î·È (K). E(H) = E(K) fi
Kx1 = m2g fi
fi
EÎ(°) = 1,98 > 0.
1 K(x1+x2+x3)2 = (m1+m2)gh1 fi 2 h1 = 0,726m.
Â) TÔ ÔÛÔÛÙfi Ù˘ ·Ú¯È΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ m1 Ô˘ Á›ÓÂÙ·È ıÂÚÌfiÙËÙ· ηٿ ÙËÓ ÎÚÔ‡ÛË Â›Ó·È 1 1 (m1+m2)V2 – m1˘21 2 2 Eı ¢EÎ ·1 = = = = 1 E·Ú¯ E·Ú¯ m1˘21 2 = 0,66Æ 66%. ÛÙ) TÔ ÔÛÔÛÙfi Ù˘ ·Ú¯È΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ m1 Ô˘ Á›ÓÂÙ·È ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ fiÙ·Ó ÙÔ Û˘Ûۈ̿و̷ ¤¯ÂÈ ÙË Ì¤ÁÈÛÙË Ù·¯‡ÙËÙ· Â›Ó·È 1 K(x1+x2)2 2 E¢, ÂÏ = 0,25 Æ 25%. ·2 = = 1 2 E·Ú¯ m1˘1 2 ™ÙȘ ·Û΋ÛÂȘ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ ÂϤÁ¯Ô˘Ì ·Ó ÙÔ ÛÒÌ· ÍÂÂÚÓ¿ÂÈ ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ fiÙ·Ó ·Ó¤Ú¯ÂÙ·È. O ¤ÏÂÁ¯Ô˜ ·˘Ùfi˜ Á›ÓÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: EÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ £.M.K.E. ·fi ÙË ı¤ÛË Ù˘ ̤ÁÈÛÙ˘ Û˘Û›ڈÛ˘ ̤¯ÚÈ ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi Ì‹ÎÔ˜. AÓ Ë ÎÈÓËÙÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÔ ÛÒÌ· ÛÙÔ Ê˘ÛÈÎfi Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘ Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ ÙfiÙ ·˘Ùfi ·Ô¯ˆÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÂÏ·Ù‹ÚÈÔ. AÓ Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈ΋ ‰Â ÊÙ¿ÓÂÈ ÛÙÔ Ê˘ÛÈÎfi Ì‹ÎÔ˜. K·È ·Ó Â›Ó·È Ìˉ¤Ó ÙÔ ÛÒÌ· ÌfiÏȘ ÊÙ¿ÓÂÈ ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ Ê˘ÛÈÎÔ‡ Ì‹ÎÔ˘˜ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙËÚ›Ô˘. ¶PO™OXH: AÓ ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ·Ó·Ê¤ÚÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÛÒÌ· Â›Ó·È ÛÙÂÚˆ̤ÓÔ ÛÙÔ ÂÏ·Ù‹ÚÈÔ, ÙfiÙÂ Î·È Ó· ÂÚ¿ÛÂÈ ·˘Ùfi ·fi ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi Ì‹ÎÔ˜ ‰ÂÓ ·Ô¯ˆÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÂÏ·Ù‹ÚÈÔ. ◆
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
27
M ∂§∞¡∂™ O ¶∂™
ME§ANE™ O¶E™ To˘ ¢. ™. K˘ÚÈ¿ÎÔ˘, AÓ. K·ıËÁËÙ‹ ÛÙÔ TÌ‹Ì· º˘ÛÈ΋˜ ÙÔ˘ A.¶.£.
ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ ·Îԇ̠·fi Ú·‰ÈfiʈÓÔ ‹ ÙËÏÂfiÚ·ÛË ‹ ‰È·‚¿˙Ô˘Ì ÛÙȘ ÂÊËÌÂÚ›‰Â˜ ÁÈ· Ú¿ÁÌ·Ù· Î·È ¤ÓÓÔȘ Ô˘ ÙÔ ÏÈÁfiÙÂÚÔ Ì·˜ Ê·›ÓÔÓÙ·È ·Î·Ù·ÓfiËÙ˜. ÿÛˆ˜ Ë Î·Ù·ÓfiËÛ‹ ÙÔ˘˜ ··ÈÙ› ȉȷ›ÙÂÚ˜ ÂÍÂȉÈÎÂ˘Ì¤Ó˜ ÁÓÒÛÂȘ, Ë ·ÏÔ˘ÛÙÂ˘Ì¤ÓË ·ÚÔ˘Û›·Û‹ ÙÔ˘˜ ‰ÂÓ Ì·˜ Â›Ó·È ·ÚÎÂÙ‹ Î·È ¤ÙÛÈ Ë ·ÔÚ›· Ì·˜ ·ÏÏ¿ Î·È Ë ·‰˘Ó·Ì›· ηٷÓfiËÛ˘ Á›ÓÔÓÙ·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˜. E‰Ò ı· ·Û¯ÔÏËıԇ̠̠ÙȘ ÌÂÏ·Ó¤˜ Ô¤˜ (‹ Ì·‡Ú˜ Ùڇ˜) Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È fiÙÈ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔ ·ÛÙÚÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ·. OÈ ÌÂÏ·Ó¤˜ Ô¤˜ Â›Ó·È ÌÈ· ‰Ú·Ì·ÙÈ΋ Úfi‚ÏÂ„Ë Ù˘ ÁÂÓÈ΋˜ ıˆڛ·˜ Ù˘ Û¯ÂÙÈÎfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ Einstein, Ù˘ ÔÔ›·˜ ¤Ó· ·fi Ù· ΢ÚÈfiÙÂÚ· Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· Â›Ó·È Ë Î·Ì‡ÏˆÛË ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ ÂÍ·ÈÙ›·˜ Ù˘ ·ÚÔ˘Û›·˜ ‡Ï˘. EȂ‚·›ˆÛË ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ ÁÂÁÔÓfiÙÔ˜ Â›Ó·È Ë ·Ú·ÙËÚËı›۷ ÂÈÚ·Ì·ÙÈο ‚·Ú˘ÙÈ΋ Ê·ÛÌ·ÙÈ΋ (ÂÚ˘ıÚ‹) ÌÂÙ·ÙfiÈÛË Î·È Ë Î¿Ì„Ë (χÁÈÛÌ·) ÙˆÓ ÊˆÙÂÈÓÒÓ ·ÎÙ›ÓˆÓ Ô˘ ÂÚÓÔ‡Ó ÎÔÓÙ¿ ·fi ÙÔÓ ◊ÏÈÔ. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ Úfi‚ÏÂ„Ë Ù˘ ıˆڛ·˜, ·ÛÙ¤Ú˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Ì¿˙· ·fi ÙÔÓ ◊ÏÈÔ, ·ÊÔ‡ ÂÍ·ÓÙÏ‹ÛÔ˘Ó Ù· η‡ÛÈÌ¿ ÙÔ˘˜, ı· Û˘Ì˘ÎÓˆıÔ‡Ó Î·È ı· ·Ú·Ì›ÓÔ˘Ó ·ÈÒÓÈ· ÌÂÏ·Ó¤˜ Ô¤˜. TÔ ‚·Ú˘ÙÈÎfi ÙÔ˘˜ ‰›Ô Â›Ó·È ÙfiÛÔ ÈÛ¯˘Úfi, ÒÛÙ ·ÎfiÌË Î·È Ù· ʈÙfiÓÈ· ‰ÂÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ‰Ú·ÂÙ‡ÛÔ˘Ó ·fi ·˘Ùfi. ™Â fiÏ· ·˘Ù¿ Ù· Ê·ÈÓfiÌÂÓ·, ηıÔÚÈÛÙÈÎfi ÚfiÏÔ ¤¯ÂÈ Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú·Ì¤ÙÚÔ˘ 2GM , p = rc2 fiÔ˘ r Â›Ó·È Ë ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Ù˘ Ì¿˙·˜ M Î·È c Ë Ù·¯‡ÙËÙ· ÙÔ˘ ʈÙfi˜. IÛ¯˘Ú¿ Û¯ÂÙÈÎÈÛÙÈο Ê·ÈÓfiÌÂÓ· ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È fiÙ·Ó Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ p ÏËÛÈ¿˙ÂÈ ÙË ÌÔÓ¿‰·, ÂÓÒ Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ◊ÏÈÔ˘ Â›Ó·È ÌfiÓÔÓ 10–5. T¤ÙÔȘ ÂÚÈÔ¯¤˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙˆÓ Á·Ï·ÍÈÒÓ ‹ ÎÔÓÙ¿ Û ηٷÚÚ‡۷ÓÙ· ·ÛÙ¤ÚÈ·. EÂȉ‹ Ë ÈÛ¯˘Ú‹ η̇ψÛË ·ÔÌÔÓÒÓÂÈ ·˘Ù¤˜ ÙȘ ÂÚÈÔ¯¤˜ ·fi ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ÙÔ˘ ™‡Ì·ÓÙÔ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ÙȘ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ì ¿ÌÂÛ·. ¶ÚÒÙÔ˜ Ô J. Michell ÙÔ 1784 ÂÂÛ‹Ì·Ó ÙȘ ÂÈÙÒÛÂȘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÔ ‚·Ú˘ÙÈÎfi ‰˘Ó·ÌÈÎfi –GM/r fiÙ·Ó Á›ÓÂÈ ·ÚÈıÌËÙÈο ÌÂÁ¿ÏÔ. A˜ ¿ÚÔ˘Ì ÙË ÁÓˆÛÙ‹ Ì·˜ ÂÚ›ÙˆÛË, Ô˘ ¤Ó· ÛÒÌ· Ì¿˙·˜ m ·ÔÎÙ¿ ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ù˘ °Ë˜ ·Ú¯È΋ Ù·¯‡ÙËÙ· ˘ Ì ÛÎÔfi Ó· ‰È·Ê‡ÁÂÈ ÛÙÔ ·ÛÙÚÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· (ıˆÚËÙÈο ÛÙÔ ¿ÂÈÚÔ), fiÔ˘ Ë ‰˘Ó·ÌÈ΋ ÙÔ˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÌˉÂÓ›˙ÂÙ·È, ÂÓÒ Ë ÎÈÓËÙÈ΋ ÙÔ˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ı· Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ‹
¶
28
ÙÔ Ôχ ›ÛË Ì ÙÔ Ìˉ¤Ó. EÂȉ‹ Ë ÔÏÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ‰È·ÙËÚ›ٷÈ, Ú¤ÂÈ ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ù˘ °Ë˜ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Û˘Óı‹ÎË 1 Mm m˘2 – G Á ≥ 0, 2 rÁ ·fi ÙËÓ ÔÔ›· ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È Ë Ù·¯‡ÙËÙ· Ù˘ ‰È·Ê˘Á‹˜. °ÂÓÈÎÒ˜ ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ·ÛÙ¤Ú· Ë Ù·¯‡ÙËÙ· ‰È·Ê˘Á‹˜ Â›Ó·È 2GM ˘ ≥ . r K·ıÒ˜ Ë ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÛÙ¤Ú· ÌÂÈÒÓÂÙ·È ‚·ıÌˉfiÓ, Ë Ù·¯‡ÙËÙ· ‰È·Ê˘Á‹˜ ·˘Í¿ÓÂÙ·È Û˘Ó¯Ҙ Î·È ÚÔÛÂÁÁ›˙ÂÈ ÙËÓ Ù·¯‡ÙËÙ· ÙÔ˘ ʈÙfi˜. TfiÙÂ Ë ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÛÙ¤Ú· Â›Ó·È 2GM r0 ∫ c2 Î·È Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ Û·Ó ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ Schwarzschild. O Michell ˘ÔÛÙ‹ÚÈÍ fiÙÈ ·ÎfiÌË Î·È ÙÔ Êˆ˜ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ‰È·Ê‡ÁÂÈ ·fi ¤Ó·Ó ÙfiÛÔ Î·È ·ÎfiÌË ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ Û˘Ì·Á‹ ·ÛÙ¤Ú· Î·È Û˘ÓÂÒ˜ ¤Ó·˜ Ù¤ÙÔÈÔ˜ ·ÛÙ¤Ú·˜ ηı›ÛÙ·Ù·È ·fiÚ·ÙÔ˜. ™ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ r0 Ô ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ p Á›ÓÂÙ·È ›ÛÔ˜ Ì ÙË ÌÔÓ¿‰· Î·È fiˆ˜ ·¤‰ÂÈÍ ıˆÚËÙÈο Ô Schwarzschild (1916) ·Ó ¤Ó·˜ ·ÛÙ¤Ú·˜ Û˘ÚÚÈÎÓˆı› Û ·ÎÙ›Ó· ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi r0, Ô ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Êˆ˜ ÁÈ· Ó· ·Ó·‰˘ı› ·fi ÙË ÛÊ·ÈÚÈ΋ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ·ÎÙ›Ó·˜ r0 Á›ÓÂÙ·È ¿ÂÈÚÔ˜. ŒÙÛÈ ¤Ó·˜ ·Ú·ÙËÚËÙ‹˜ ¤Íˆ ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· r0 fiÛÔ Ì·ÎÚfi ¯ÚfiÓÔ Î·È Ó· ÂÚÈ̤ÓÂÈ ÔÙ¤ ‰ÂÓ ı· Ï¿‚ÂÈ ÙÔ Êˆ˜ Ô˘ ÂΤÌÂÙ·È ·fi ËÁ‹ ̤۷ ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· r0. O ·ÛÙ¤Ú·˜ Â›Ó·È ·fiÚ·ÙÔ˜ Î·È ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ˆ˜ Ì›· ÌÂÏ·Ó‹ Ô‹. H ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ·ÎÙ›Ó·˜ r0 Û˘ÓÈÛÙ¿ ·˘Ùfi Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÚ›˙ÔÓÙ·˜ ÁÂÁÔÓfiÙˆÓ. H ʇÛË ÙˆÓ ÌÂÏ·ÓÒÓ ÔÒÓ Î·ıÈÛÙ¿ ‰‡ÛÎÔÏË ÙËÓ ·Ó›¯ÓÂ˘Û‹ ÙÔ˘˜ Î·È fi,ÙÈ ¤¯Ô˘Ì ̤¯ÚÈ ÙÒÚ· Â›Ó·È ¤ÌÌÂÛ˜ ÂӉ›ÍÂȘ ÁÈ· ÙËÓ ‡·ÚÍ‹ ÙÔ˘˜. ¶¿ÓÙˆ˜ ‰‡Ô Â›Ó·È ÔÈ ÈÔ Èı·Ó¤˜ ÂÍÂÏÈÎÙÈΤ˜ ÔÚ›˜ ÁÈ· ÙÔ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi ÙˆÓ ÌÂÏ·ÓÒÓ ÔÒÓ. ¶ÚÒÙÔÓ, ·ÛÙ¤Ú˜ Ì ̿˙· 20-60 MH ÙÂÚÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Ù˘ ıÂÚÌÔ˘ÚËÓÈ΋˜ ÙÔ˘˜ η‡Û˘ Û ¤Ó· ˘Ú‹Ó· Ûȉ‹ÚÔ˘ Ô ÔÔ›Ô˜ Â›Ó·È ·ÚÎÂÙ¿ Û˘Ì·Á‹˜, ÒÛÙ ӷ ηٷÚÚ‡ÛÂÈ Î¿Ùˆ ·fi ÙËÓ ›‰È· ‚·Ú˘ÙÈ΋ ÙÔ˘ ·˘ÙÔ¤ÏÍË. ¢Â‡ÙÂÚÔÓ, ÔÈ ·ÛÙ¤Ú˜ ÛÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙˆÓ Á·Ï·ÍÈÒÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· Û˘ÓÂÓÒÓÔÓÙ·È Î·È Ó· Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Û˘Ì·Á›˜ ·ÛÙ¤Ú˜ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÙÔ ÙÂÏÈÎfi ÚÔ˚fiÓ ı· ‹Ù·Ó ÌÈ· ˘ÂÚÛ˘Ì·Á‹˜ ÌÂÏ·Ó‹ Ô‹ Ì ̿˙· 106 –109 MH. M ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi ÂÍËÁÂ›Ù·È Î·È Ë ÌÂÁ¿ÏË ÔÛfiÙËÙ· ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Ô˘ ÂΤÌÂÙ·È ·fi ÙÔ˘˜ ˘Ú‹Ó˜ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ÂÓÂÚÁÒÓ Á·Ï·ÍÈÒÓ. ◆
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
X ∏ª∂π∞
E§ATTø™H TA™H™ ATMøN & ANYæø™H ™HMEIOY ZE™H™ ·Ú·ÈÒÓ ‰È·Ï˘Ì¿ÙˆÓ ÌË ÙËÙÈÎÒÓ ˘ÁÚÒÓ Î·È ÛÙÂÚÂÒÓ Û ˘ÁÚ¿ TÔ˘ A. °È·ÓÓ·ÎÔ˘‰¿ÎË, AÓ. K·ıËÁËÙ‹ XËÌ›·˜ ÛÙÔ A.¶.£.
●
FAB F AA F BB (ȉ·ÓÈ΋ Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿)
●
FAB < F AA F BB
●
FAB > F AA F BB
PA = NAPA0 ,
I‰È·›ÙÂÚÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ¤¯ÂÈ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ù¤ÙÔÈ· ȉ·ÓÈ΋ Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÁÂÓÈο Î·È ÛÙ· ·Ú·È¿ ‰È·Ï‡Ì·Ù·. ŸÙ·Ó Ì¿ÏÈÛÙ· Ë ‰È·Ï˘Ì¤ÓË Ô˘Û›· (B) Û ¤Ó· ·Ú·Èfi ‰È¿Ï˘Ì· Â›Ó·È ˘ÁÚfi Ì Ôχ ÌÈÎÚ‹ (·ÌÂÏËÙ¤·) Ù¿ÛË ·ÙÌÒÓ (PB0 0) ‹ ÛÙÂÚÂfi (Ù· ÛÙÂÚ¿ ¤¯Ô˘Ó Ôχ ÌÈÎÚ‹ Ù¿ÛË ·ÙÌÒÓ), ÙfiÙÂ Ë Ù¿ÛË ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ ÙÔ˘ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜, Ô˘ ÔÊ›ÏÂÙ·È ÌfiÓÔ ÛÙÔ ‰È·Ï‡ÙË (A), Â›Ó·È P = NAPA0 ,
PB = NBPB0
P = NAPA0 + NBPB0 .
P = NAP0,
ñ °È· ¤Ó· ‰È¿Ï˘Ì· ÓÂÚÔ‡- ˙¿¯·Ú˘ 5% w/w Û ˙¿¯·ÚË ÛÙË ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ÙˆÓ 100 ÆC, ÛÙËÓ ÔÔ›· Ë Ù¿ÛË ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ ÙÔ˘ ηı·ÚÔ‡ ÓÂÚÔ‡ Â›Ó·È 760,0 mm Hg, Ë Ù¿ÛË ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ ÙÔ˘ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ ı· ›ӷÈ: 95 18 P = 760,0 = 757,9 mm Hg. 5 95 + 342 18 1000
760 mm Hg
750
500
P Ô- P 250
fi ˙¿ ÓÂ Ú Î · È fi ÓÂ Ú 0
ηÈ
‹
(ÓfiÌÔ˜ Raoult ÁÈ· Ù· ·Ú·È¿ ‰È·Ï‡Ì·Ù·).
P/
H ̤ÙÚËÛË Ù˘ Ù¿Û˘ ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ ÙÔ˘ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜, ηıÒ˜ Î·È ÔÈ ÌÂÚÈΤ˜ Ù¿ÛÂȘ ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ ÙˆÓ ‰˘Ô Û˘ÛÙ·ÙÈÎÒÓ, ‰›ÓÔ˘Ó ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ ÏËÚÔÊÔڛ˜ ÁÈ· ÙË ÌÂϤÙË ÙˆÓ ‰È·Ï˘Ì¿ÙˆÓ. °ÂÓÈο ÁÈ· Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· ‰˘Ô ˘ÁÚÒÓ (A Î·È B), Ô˘ ·Ó·ÌÈÁÓ‡ÔÓÙ·È Ï‹Úˆ˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜, ÈÛ¯‡ÂÈ Ô Î·ÏÔ‡ÌÂÓÔ˜ ÁÂÓÈÎfi˜ ÓfiÌÔ˜ Ù˘ ·ÌÔÈ‚·›·˜ ٷ›ӈÛ˘ Ù˘ Ù¿Û˘ ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ: H ÌÂÚÈ΋ Ù¿ÛË ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ Î¿ıÂ Û˘ÛÙ·ÙÈÎÔ‡ (PA Î·È PB) ÛÙËÓ ˘ÂÚΛÌÂÓË ÙÔ˘ ˘ÁÚÔ‡ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ ·¤ÚÈ· Ê¿ÛË Û ÔÚÈṲ̂ÓË ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ÌÈÎÚfiÙÂÚË Ù˘ Ù¿Û˘ ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ Û˘ÛÙ·ÙÈÎÔ‡ Û ηı·Ú‹ ηٿÛÙ·ÛË (P0A Î·È PB0 ) ÛÙËÓ ›‰È· ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·. ™Â ¤Ó· ȉ·ÓÈο Û˘ÌÂÚÈÊÂÚfiÌÂÓÔ ‰È¿Ï˘Ì· ‰‡Ô ˘ÁÚÒÓ Û˘ÛÙ·ÙÈÎÒÓ (FAB F AA F BB , Ë ·ÚÔ˘Û›· ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ‰ÂÓ ÂËÚ¿˙ÂÈ Î·ıfiÏÔ˘ ÙË Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘) Ë ÌÂÚÈ΋ Ù¿ÛË ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ Î¿ı ÂÓfi˜ Û˘ÛÙ·ÙÈÎÔ‡ (PA, PB) Â›Ó·È ·Â˘ı›·˜ ·Ó¿ÏÔÁË ÚÔ˜ ÙÔ ÁÚ·ÌÌÔÌÔÚÈ·Îfi ÎÏ¿ÛÌ· ·˘ÙÔ‡ ÛÙÔ ‰È¿Ï˘Ì· (ÓfiÌÔ˜ Raoult ÁÈ· ÙËÓ Ù¿ÛË ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ). ¢ËÏ·‰‹
20 92 36,7 = 103,9 mm Hg. 80 20 + 78 92
ÚË
H
80 78 P = 118,2 + 80 20 + 78 92
mm Hg
‰È¿Ï˘ÛË ÂÓfi˜ Û˘ÛÙ·ÙÈÎÔ‡ (A) ̤۷ Û ¤Ó· ˘ÁÚfi (B) ¤¯ÂÈ Û·Ó ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Û ÔÏϤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÙË ÛËÌ·ÓÙÈ΋ ·ÏÏÔ›ˆÛË ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Û˘ÓÔ¯‹˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÌÔÚ›ˆÓ ÙÔ˘ οıÂ Û˘ÛÙ·ÙÈÎÔ‡ (FAA, FBB) Î·È ÙË ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›· ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Û˘Ó¿ÊÂÈ·˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÂÙÂÚÔÂȉÒÓ ÌÔÚ›ˆÓ ÙˆÓ ‰˘Ô Û˘ÛÙ·ÙÈÎÒÓ (FAB). ¢È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È ÙÚÂȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:
0
25
ı / ∞C
50
¯·
75
100
125
¢T b
ñ
°È· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË .¯. ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ ‚ÂÓ˙ÔÏ›Ô˘-ÙÔÏÔ˘ÔÏ›Ô˘ 20% w/w Û ÙÔÏÔ˘fiÏÈÔ ÛÙË ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ÙˆÓ 30 ÆC, ÛÙËÓ ÔÔ›· ÔÈ Ù¿ÛÂȘ ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ ÙÔ˘ ηı·ÚÔ‡ ‚ÂÓ˙ÔÏ›Ô˘ Î·È ÙÔ˘ ηı·ÚÔ‡ ÙÔÏÔ˘ÔÏ›Ô˘ Â›Ó·È 118,2 mm Hg Î·È 36,7 mm Hg, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ë Ù¿ÛË ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ ÙÔ˘ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ ı· ›ӷÈ:
EÔ̤ӈ˜ Ë Ù¿ÛË ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ‰È·Ï˘Ì¿ÙˆÓ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fi ·˘Ù‹ ÙÔ˘ ηı·ÚÔ‡ ‰È·Ï‡ÙË (ÛÙËÓ ›‰È· ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·), fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È Î·È ÛÙÔ Û¯‹-
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
29
E §∞∆∆ø™∏ T ∞™∏™ A ∆ªø¡
∫∞π
Ì· ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡ Û· ‰È·Ï‡ÙË Î·È ÂÓfi˜ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ ·˘ÙÔ‡ Ì ˙¿¯·ÚË. H ÂÏ¿ÙÙˆÛË Ù˘ Ù¿Û˘ ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ (P0 – P) ·˘Í¿ÓÂÙ·È Ì ÙËÓ ·‡ÍËÛË Ù˘ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜. TÔ ËÏ›ÎÔ fï˜ ·˘Ù‹˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Ù¿ÛË ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ ÙÔ˘ ηı·ÚÔ‡ ‰È·Ï‡ÙË, (‰ËÏ. Ë Û¯ÂÙÈ΋ ÂÏ¿ÙÙˆÛË Ù˘ Ù¿Û˘ ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ) Â›Ó·È ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙÔ ·fi ÙË ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· Î·È ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: P0
n‰È·Ï˘Ì¤Ó˘ –P ¢PÛ¯. = = . n‰È·Ï˘Ì¤Ó˘ + n‰È·Ï‡ÙË P0 AÓ Ë ‰È·Ï˘Ì¤ÓË Ô˘Û›· ˘Ê›ÛÙ·Ù·È Î·Ù¿ ÙËÓ ‰È¿Ï˘Û‹ Ù˘ ËÏÂÎÙÚÔÏ˘ÙÈ΋ ‰È¿ÛÙ·ÛË ‹ ÔÏ˘ÌÂÚÈÛÌfi, ‰ËÏ·‰‹ ˘Ê›ÛÙ·Ù·È ÌÔÚȷ΋ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹, ÙfiÙ ڤÂÈ ÛÙÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜ ÛÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ÙˆÓ mol Ù˘ ‰È·Ï˘Ì¤Ó˘, Ô˘ ˘ÔÏÔÁ›ÛÙËÎ·Ó fiˆ˜ ‹Ù·Ó ·˘Ù‹ ÚÈÓ ‰È·Ï˘ı›, Ó· ÙÂı› Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ mol Ì ٷ ÔÔ›· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·˘Ù‹ ÛÙËÓ Î·Ù¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ‰È¿Ï˘Û‹˜ Ù˘ ÛÙȘ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˜ Û˘Óı‹Î˜ ÙÔ˘ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜. ŒÓ· ˘ÁÚfi Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Î¿Ùˆ ·fi ÔÚÈṲ̂ÓË Â͈ÙÂÚÈ΋ ›ÂÛË ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· ‚Ú¿˙ÂÈ, fiÙ·Ó Ë ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ÙÔ˘ ·Ó¤ÏıÂÈ ÙfiÛÔ, ÒÛÙÂ Ë Ù¿ÛË ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ ÙÔ˘ Ó· Á›ÓÂÈ ›ÛË ‹ ηٿ ÙÈ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Ù˘ ›ÂÛ˘ Ô˘ ÂÈÎÚ·Ù› ¿Óˆ ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ¿ ÙÔ˘. ñ ŸÙ·Ó ϤÌ .¯. fiÙÈ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ˙¤Ûˆ˜ ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡ Â›Ó·È 100 ÆC ÂÓÓÔÔ‡ÌÂ Î·È fiÙÈ ÛÙË ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ·˘Ù‹ Ë Ù¿ÛË ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡ Â›Ó·È 760 mm Hg. EÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ Î·Ì‡ÏË Ù¿Û˘ ·ÙÌÒÓ - ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜ ÙÔ˘ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ ÓÂÚÔ‡-˙¿¯·Ú˘ ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ë ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ÙÔ˘ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ Ú¤ÂÈ Ó· ·Ó¤‚ÂÈ ¿Óˆ ·fi ÙÔ˘˜ 100 ÆC ÁÈ· Ó· ÂÍÈÛˆı› Ë Ù¿ÛË ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ ÙÔ˘ Ì ÙËÓ Â͈ÙÂÚÈ΋ ›ÂÛË Î·È Ó· ·Ú¯›ÛÂÈ ¤ÙÛÈ Ô ‚Ú·ÛÌfi˜.
A ¡Àæø™∏ ™ ∏ª∂π√À Z ∂™∏™ ™Ù· ·Ú·È¿ ÏÔÈfiÓ ‰È·Ï‡Ì·Ù· Ë ·Ó‡„ˆÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ˙¤Û˘ (¢Tb) ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ¿ÌÂÛË Û¯¤ÛË Ì ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÂÏ¿ÙÙˆÛË Ù˘ Ù¿Û˘ ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ ÙÔ˘ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ Î·È Ì¿ÏÈÛÙ· Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁË Ù˘ Û¯ÂÙÈ΋˜ ÂÏ¿ÙÙˆÛ˘ Ù˘ Ù¿Û˘ ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ. EÔ̤ӈ˜ ·Ó m Â›Ó·È Ë ÌÔÚÈ·ÎfiÙËÙ· ηٿ ‚¿ÚÔ˜ Ù˘ ‰È·Ï˘Ì¤Ó˘ Ô˘Û›·˜ ı· ¤¯Ô˘Ì m m ¢Tb = Ï¢PÛ¯. = Ï Ï 1000 1000 m + MB‰È·Ï‡ÙË MB‰È·Ï‡ÙË Î·È ı¤ÙÔÓÙ·˜
ÚÔ·ÙÂÈ
ÏØ MB ȷχÙË = kb ‰ 1000 ¢Tb = kbm.
H ·Ó‡„ˆÛË ÙÔ˘ Û.˙. ÙˆÓ ·Ú·ÈÒÓ ‰È·Ï˘Ì¿ÙˆÓ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁË Ù˘ ÌÔÚÈ·ÎfiÙËÙ·˜ ηٿ ‚¿ÚÔ˜ Ù˘ ‰È·Ï˘Ì¤Ó˘ Ô˘Û›·˜ (ÓfiÌÔ˜ Raoult ÁÈ· ÙËÓ ·Ó‡„ˆÛË ÙÔ˘ Û.˙.). H ˙ÂÛÂÔÛÎÔÈ΋ ÛÙ·ıÂÚ¿ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙËÓ ·Ó‡„ˆÛË ÙÔ˘ Û.˙. fiÙ·Ó Ë Û˘ÓÔÏÈ΋ ÌÔÚÈ·ÎfiÙËÙ· ηٿ ‚¿ÚÔ˜ ÙˆÓ ‰È·Ï˘Ì¤ÓˆÓ Ô˘ÛÈÒÓ Â›Ó·È 1. A˘Ùfi fï˜ ‰ÂÓ ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È ÛÙËÓ Ú¿ÍË, ÁÈ·Ù› ÁÈ· Ù¤ÙÔÈ· Û˘ÁΤÓÙÚˆÛË ÔÈ ˘Ôı¤ÛÂȘ Î·È ÔÈ ÓfiÌÔÈ ÙˆÓ ·Ú·ÈÒÓ ‰È·Ï˘Ì¿ÙˆÓ ·‡Ô˘Ó Ó· ÈÛ¯‡Ô˘Ó. ™Ù· ‰È·Ï‡Ì·Ù· Ô˘ FAB > F F AA BB (.¯. ˘Úȉ›ÓË-Ì˘ÚÌËÎÈÎfi Ô͇) ‹ FAB < F F AA BB (.¯. ‚ÂÓ˙fiÏÈÔ·Èı˘ÏÈ΋ ·ÏÎÔfiÏË) ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ· ÙËÓ Ù¿ÛË ÙˆÓ ·ÙÌÒÓ ÙÔ˘˜ Ô ÓfiÌÔ˜ ÙÔ˘ Raoult (Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙ·Ó FAB F F AA). BB A˘Ù¿ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó ÂÈÚ·Ì·ÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜ Ù¿Û˘ ·ÙÌÒÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚ˜ Î·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˜ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ·fi ÙȘ ·Ó·ÌÂÓfiÌÂÓ˜ ·fi ÙÔ ÓfiÌÔ ÙÔ˘ Raoult.
30 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
◆
X ∏ª∂π∞
ÛÙȘ E•ø£EPME™ ANTI¢PA™EI™ ϤÌ «NAI» ÛÙȘ EN¢O£EPME™ ÙÈ ÏÂÌÂ; TÔ˘ °. M·ÓÔ˘Û¿ÎË, K·ıËÁËÙ‹ XËÌ›·˜ ÛÙÔ A.¶.£.
·
‚
Â͈ıÂÚÌÈÎfi
Û˘Ì‡ÎÓˆÛË
;;;;; ;;;;; ;;;;;;;;;; ;;;;; ;;;;; ;;;;; ;;;;; ;;;;; ÂÍ¿ÙÌÈÛË
E
·Ô‚ÔÏ‹ ıÂÚÌfiÙËÙ·˜, +q, ÚÔ˜ ÙÔ ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓ, ÂÔ̤ӈ˜ Ë ˘ÁÚ‹ ηٿÛÙ·ÛË ÂÚÈÎÏ›ÂÈ ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÂÓ¤ÚÁÂÈ·, Â›Ó·È ÈÔ ÛÙ·ıÂÚ‹. ¢ËÏ·‰‹, Ë ˘ÁÚÔÔ›ËÛË Â˘ÓÔÂ›Ù·È ÂÓÂÚÁÂÈ·ÎÒ˜.
ÂÓ‰ÔıÂÚÌÈÎfi
›Ó·È Ôχ ηϿ ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ Ù· ‰È¿ÊÔÚ· Ê˘ÛÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ Ù¿ÛË Ó· ·ÔÎÙ‹ÛÔ˘Ó ÙË ÏÈÁfiÙÂÚË ÂÓ¤ÚÁÂÈ·, ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙ÔÓÙ·˜ ¤ÙÛÈ ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ‰˘Ó·Ù‹ ÛÙ·ıÂÚfiÙËÙ· (·Ú¯‹ Ù˘ ÂÏ¿¯ÈÛÙ˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜). EÔ̤ӈ˜, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ·Ú¯‹ ·˘Ù‹ ‰ÈηÈÔÏÔÁÂ›Ù·È Ë ‡·ÚÍË ÙˆÓ ÂÍÒıÂÚÌˆÓ ·ÓÙȉڿÛˆÓ. TÈ Á›ÓÂÙ·È fï˜ Ì ÙȘ ÂÓ‰fiıÂÚ̘ ·ÓÙȉڿÛÂȘ, ÛÙȘ Ôԛ˜ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙÔ ·ÓÙ›ıÂÙÔ; ¶ÔÈÔÈ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ÂÂÌ‚·›ÓÔ˘Ó Î·È Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ÂÓ‰fiıÂÚ̘ ·ÓÙȉڿÛÂȘ; TÈ Ï¤Ì ÛÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜; °È· Ó· ηٷϿ‚Ô˘Ì ηχÙÂÚ· ÔÈÔÈ ¿ÏÏÔÈ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ÂÂÌ‚·›ÓÔ˘Ó ÒÛÙ ӷ οÓÔ˘Ó ‰˘Ó·Ù¤˜ (Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈ‹ÛÈ̘) Î·È ÙȘ ÂÓ‰fiıÂÚ̘ ·ÓÙȉڿÛÂȘ, ı· ÌÂÏÂÙ‹ÛÔ˘Ì ¤Ó· ·fi Ù· ÈÔ ·Ï¿ ÂÓ‰ÔıÂÚÌÈο Ê·ÈÓfiÌÂÓ·, ÙËÓ ÂÍ¿ÙÌÈÛË ÂÓfi˜ ˘ÁÚÔ‡. EÔ̤ӈ˜, ÙÔ ÂÚÒÙËÌ· ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ›ӷÈ: ÁÈ·Ù› Ù· ˘ÁÚ¿ ÂÍ·ÙÌ›˙ÔÓÙ·È, ·ÊÔ‡ ÙÔ Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ Â›Ó·È ÂÓ‰ÔıÂÚÌÈÎfi, ·ÊÔ‡ Û˘Óԉ‡ÂÙ·È ·fi ·ÔÚÚfiÊËÛË ıÂÚÌfiÙËÙ·˜ (–q), ·ÊÔ‡ Ë ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·˘Í¿ÓÂÈ; H ·¿ÓÙËÛË ÌÔÚ› Ó· ‰Ôı› Ì ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÛΤ„ÂȘ. A˜ ıˆڋÛÔ˘Ì fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ¤Ó· ‰Ô¯Â›Ô ÎÏÂÈÛÙfi 10 Ï›ÙÚˆÓ (10 l ), Û¯‹Ì· 1(·) ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÂÈÛ¿ÁÂÙ·È ÌÈ· ÔÛfiÙËÙ· ‡‰·ÙÔ˜ ˆ˜ ˘‰Ú·ÙÌfi˜. K¿ı ÌfiÚÈÔ ‡‰·ÙÔ˜, ÏfiÁˆ Ù˘ ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ·˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ Ó· ÎÈÓÂ›Ù·È ÚÔ˜ fiϘ ÙȘ ηÙ¢ı‡ÓÛÂȘ, ¤¯ÂÈ ÙËÓ ›‰È· Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ‰Ô¯Â›Ô˘. °È· Ó· ÂÎÊÚ·ÛÙ› ·˘Ùfi Ì ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÌÔÚԇ̠ӷ Ô‡ÌÂ, fiÙÈ Î¿ı ÌfiÚÈÔ ÙÔ˘ ‡‰·ÙÔ˜ ¤¯ÂÈ ÙËÓ ›‰È· Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û’ ¤Ó· ·fi Ù· 10.000 ml (¯ÈÏÈÔÛÙfiÌÂÙÚ·) ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ÙÔ˘ ‰Ô¯Â›Ô˘ ‹ fiÙÈ Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ‚ÚÂı› ¤Ó· ÔÚÈṲ̂ÓÔ ÌfiÚÈÔ ‡‰·ÙÔ˜ Û’ ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ml ÙÔ˘ ¯ÒÚÔ˘ ÙÔ˘ ‰Ô¯Â›Ô˘ Â›Ó·È 1 ÚÔ˜ 10.000. AÓ ÙÒÚ· ‚¿ÏÔ˘Ì ÛÙÔ ‰Ô¯Â›Ô ·ÚÎÂÙ‹ ÔÛfiÙËÙ· ˘‰Ú·ÙÌÒÓ, ÒÛÙ ÌÈ· ÔÛfiÙËÙ¿ ÙÔ˘˜ Ó· ˘ÁÚÔÔÈËı› Î·È Ó· ηٷϿ‚ÂÈ ¤ÛÙˆ fiÁÎÔ 100 ml ÛÙÔÓ ˘ı̤ӷ ÙÔ˘ ‰Ô¯Â›Ô˘, Û¯‹Ì· 1(‚) ÙfiÙÂ Ë Èı·ÓfiÙËÙ· οı ÌÔÚ›Ô˘ ‡‰·ÙÔ˜ ÙÔ˘ ˘‰Ú·ÙÌÔ‡ Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û’ ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ml ÙÔ˘ ‰Ô¯Â›Ô˘ ı· ÂÚÈÔÚÈÛÙ› ηٿ 100 ml. BÏ¤Ô˘Ì ‰ËÏ·‰‹ ÂÏ¿ÙÙˆÛ‹ Ù˘ Èı·ÓfiÙËÙ·˜ ÂÓ·ÏÏ·Á‹˜ ı¤Ûˆ˜. TÔ ·ÓÙ›ıÂÙÔ Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ Ù˘ ÂÍ¿ÙÌÈÛ˘, Ë Û˘Ì‡ÎÓˆÛË, Â›Ó·È Â͈ıÂÚÌÈÎfi Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ, Û˘Óԉ‡ÂÙ·È ÌÂ
Á
™¯‹Ì· 1. ·) ŸÏ· Ù· ÌfiÚÈ· ÙÔ˘ ‡‰·ÙÔ˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ·¤ÚÈ· Ê¿ÛË. ‚) ™˘Ó‡·ÚÍË ˘ÁÚ‹˜ Î·È ·¤ÚÈ·˜ Ê¿Û˘: ›ÛÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÌÔÚ›ˆÓ ‡‰·ÙÔ˜ «ÂÍ·ÂÚÒÓÂÙ·È» Î·È «Û˘Ì˘ÎÓÒÓÂÙ·È» Î·È Á) ÂÂȉ‹ ÂÏ·ÙÙÒıËÎÂ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ «ÌÔÚ›ˆÓ» ÙÔ˘ ‡‰·ÙÔ˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ·¤ÚÈ· Ê¿ÛË ÎÔÓÙ¿ ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ˘ÁÚÔ‡, ÂÈÎÚ·Ù› Ë ÂÍ¿ÙÌÈÛË.
°È· Ó· Á›ÓÂÈ fï˜ Ë ˘ÁÚÔÔ›ËÛË Ú¤ÂÈ Ù· ÌfiÚÈ· ÙÔ˘ ‡‰·ÙÔ˜, Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ·¤ÚÈ· Ê¿ÛË, Ó· ÚÔÛÎÚÔ‡ÛÔ˘Ó ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ˘ÁÚÔ‡, Ó· ¯¿ÛÔ˘Ó Ì¤ÚÔ˜ ·fi ÙËÓ ÎÈÓËÙÈ΋ ÙÔ˘˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Î·È Ó· ˘ÁÚÔÔÈËıÔ‡Ó. ™˘Ì‚·›ÓÂÈ fï˜, ·ÎfiÌË, ÔÚÈṲ̂ӷ ÌfiÚÈ· ÙÔ˘ ˘ÁÚÔ‡, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÎÈÓËÙÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ·fi ÙË Ì¤ÛË ÎÈÓËÙÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÙˆÓ ˘fiÏÔÈˆÓ ÌÔÚ›ˆÓ, Ó· ˘ÂÚÓÈÎÔ‡Ó ÙËÓ ÂÈÊ·ÓÂȷ΋ Ù¿ÛË ÙÔ˘ ˘ÁÚÔ‡ Î·È Ó· ÂÚÓÔ‡Ó ÛÙËÓ ·¤ÚÈ· Ê¿ÛË, ‰ËÏ·‰‹ Ó· ÂÍ·ÂÚÒÓÔÓÙ·È. ŸÙ·Ó Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÌÔÚ›ˆÓ Ô˘ ·Ê‹ÓÔ˘Ó ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ˘ÁÚÔ‡ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÌÔÚ›ˆÓ Ô˘ ˘ÁÚÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÛÙÔÓ ›‰ÈÔ ¯ÚfiÓÔ, ÙfiÙ ÙÔ ˘ÁÚfi ÂÍ·ÙÌ›˙ÂÙ·È. AÓ ‰È·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÒÚ· ÙÔÓ fiÁÎÔ ÙÔ˘ ‰Ô¯Â›Ô˘ Û¯‹Ì· 1(Á), ÙfiÙÂ, fiˆ˜ Â›Ó·È Ê˘ÛÈÎfi Ó· ˘Ôı¤ÛÔ˘ÌÂ, Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÌÔÚ›ˆÓ ÙÔ˘ ‡‰·ÙÔ˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ·¤ÚÈ· Ê¿ÛË Î·È ÚÔÛÎÚÔ‡Ô˘Ó ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ˘ÁÚÔ‡ ı· Â›Ó·È ·ÚÎÂÙ¿ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÌÔÚ›ˆÓ Ô˘ ʇÁÔ˘Ó ·fi ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÙÔ˘ ˘ÁÚÔ‡ Î·È ı· ¢ÓÔÂ›Ù·È Ë ÂÍ¿ÙÌÈÛË, ·Ú’ fiÏÔ Ô˘ fiˆ˜ ›‰·ÌÂ, Ë ˘ÁÚ‹ Ê¿ÛË Â›Ó·È ÂÓÂÚÁÂÈ·ÎÒ˜ ÛÙ·ıÂ-
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
31
™ ∆π™ E •ø£∂ƒª∂™ A ¡∆π¢ƒ∞™∂π™ § ∂ª∂ «NAI» -™ ∆π™ E ¡¢√£∂ƒª∂™ ÚfiÙÂÚË. ¢ËÏ·‰‹ ·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, fiÙÈ Ë Î·Ù‡ı˘ÓÛË ÚÔ˜ ÙËÓ ÔÔ›· ı· Û˘Ì‚Â› ÙÔ Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ ˘ÁÚÔÔ›ËÛËÂÍ¿ÙÌÈÛË Â›Ó·È ı¤Ì· ·ÓÙ·ÁˆÓÈÛÌÔ‡ ‰‡Ô ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ, ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰ËÏ·‰‹ ‰‡Ô Ô‰ËÁ‹ÙÚȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ. O ÚÒÙÔ˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ Â›Ó·È ÂÏ¿ÙÙˆÛË Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ (ıÂÚÌfiÙËÙ·˜) ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜, Ô˘ Ô‰ËÁ› ÛÙËÓ ˘ÁÚÔÔ›ËÛË. O ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ Â›Ó·È ·˘Ùfi˜, Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Èı·ÓfiÙËÙ· ÂÓ·ÏÏ·Á‹˜ ‹ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·Ù·Í›·, Ô˘ Ù›ÓÂÈ Ó· ÂÍ·ÂÚÒÛÂÈ ÙÔ ˘ÁÚfi, ‰ËÏ·‰‹ Ë Ù¿ÛË ÙˆÓ ÌÔÚ›ˆÓ Ó· ·ÔÎÙ‹ÛÔ˘Ó ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË «¿ÓÂÛË». ¢ËÏ·‰‹, ‰‡Ô Â›Ó·È ÔÈ Ô‰ËÁ‹ÙÚȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ô˘ ηıÔÚ›˙Ô˘Ó ·Ó ı· Á›ÓÂÈ ‹ fi¯È ÌÈ· ¯ËÌÈ΋ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË: Ë ÏÈÁfiÙÂÚË ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Î·È Ë ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Èı·ÓfiÙËÙ· ÂÓ·ÏÏ·Á‹˜, Ë ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·Ù·Í›·. Ÿˆ˜ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi, ̤ÙÚÔ Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜, ÙÔ˘ ıÂÚÌÈÎÔ‡ ÂÚȯÔ̤ÓÔ˘ ÂÓfi˜ ¯ËÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È Ë ÂÓı·Ï›·, Ô˘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ H. EÏ¿ÙÙˆÛË Ù˘ ÂÓı·Ï›·˜ (¢H<0) ·Ú·ÙËÚÂ›Ù·È ÛÙȘ ÂÍÒıÂÚ̘ ·ÓÙȉڿÛÂȘ. EÓÒ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ Èı·ÓfiÙËÙ·˜ ÂÓ·ÏÏ·Á‹˜ Ù˘ ·Ù·Í›·˜ Â›Ó·È Ë ÂÓÙÚÔ›· (S). ŸÛÔ ·˘Í¿ÓÂÈ Ë ·Ù·Í›·, Ë ¿ÓÂÛË, ÙfiÛÔ ·˘Í¿ÓÂÈ Ë ÂÓÙÚÔ›· ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜. ¢ËÏ·‰‹, Ë ·‡ÍËÛË Ù˘ ÂÓÙÚÔ›·˜ (¢S>0) ¢ÓÔ› ÙË ¯ËÌÈ΋ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË.
EN£A§¶IA: ŒÏ· ÛÔ˘ ˘fiÛ¯ÔÌ·È ÛÙ·ıÂÚfiÙËÙ·
∆π
§ ∂ª∂ ;
TÂÏÈο ÙÔ Ì‹Ó˘Ì· Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÂÚ¿ÛÂÈ ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ –Î·È Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÙÔ˘˜ Ì›ÓÂÈ– Â›Ó·È fiÙÈ Ù· ¯ËÌÈο Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ù¿ÛÂȘ: – Ó· ·ÔÎÙ‹ÛÔ˘Ó ÏÈÁfiÙÂÚË ÂÓ¤ÚÁÂÈ·, ÁÈ· Ó· Â›Ó·È ÈÔ ÛÙ·ıÂÚ¿, – Ó· ·ÔÎÙ‹ÛÔ˘Ó ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Èı·ÓfiÙËÙ· ÂÓ·ÏÏ·Á‹˜, ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÂÏ¢ıÂÚ›· ÎÈÓ‹ÛˆÓ. OÈ Ù¿ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ·Ô‰›‰ÔÓÙ·È Î·Ù¿ ·Ú·ÛÙ·ÙÈÎfi ÙÚfiÔ ÛÙÔ Û¯‹Ì· 2. ™˘ÁÎÂÚ·ÛÌfi˜ Ù˘ ÂÓı·Ï›·˜ Î·È ÂÓÙÚÔ›·˜ ·ÔÙÂÏ› Ë ÂχıÂÚË ÂÓ¤ÚÁÂÈ· (G). OÈ ÙÈ̤˜ Ù˘ ÂχıÂÚ˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ Â›Ó·È ÙÔ ·fiÏ˘ÙÔ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÙÔ˘ ·Ó ı· Á›ÓÂÈ ‹ fi¯È ÌÈ· ¯ËÌÈ΋ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË. ŒÙÛÈ fiÙ·Ó Ë ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ ÂχıÂÚ˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÓÙȉڷÛÙËÚ›ˆÓ Î·È ÙˆÓ ÚÔ˚fiÓÙˆÓ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó, (¢G=0) ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ÈÛÔÚÚÔ›·. ŸÙ·Ó Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜ (¢G<0, ÙÈÌ‹ ·ÚÓËÙÈ΋), Ë ·ÓÙ›‰Ú·ÛË Á›ÓÂÙ·È ·˘ÙÔÌ¿Ùˆ˜, ¯ˆÚ›˜ Ó· ¯ÚÂÈ·ÛÙ› Ó· ıÂÚÌ¿ÓÔ˘Ì ‹ Ó· ‰ÒÛÔ˘Ì ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Ì οÔÈ· ¿ÏÏË ÌÔÚÊ‹. EÓÒ fiÙ·Ó Ë ÙÈÌ‹ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜ (¢G>0, ıÂÙÈ΋), ÙfiÙÂ Ë ·ÓÙ›‰Ú·ÛË ‰ÂÓ Á›ÓÂÙ·È ÌfiÓË Ù˘, ·ÏÏ¿ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ‰ÒÛÔ˘Ì ÂÓ¤ÚÁÂÈ·.
HPAK§H™: ™‡ÛÙËÌ· XËÌÈÎÒÓ Ô˘ÛÈÒÓ
32 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
◆
ENTPO¶IA: ŒÏ· ÛÔ˘ ˘fiÛ¯ÔÌ·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚË ÂÏ¢ıÂÚ›· ÎÈÓ‹ÛˆÓ, ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·Ù·Í›·
X ∏ª∂π∞
TO °PAMMOMOPIO (mole) M›· £ÂÌÂÏÂÈ҉˘ ¯ËÌÈ΋ MÔÓ¿‰· M¤ÙÚËÛ˘ TÔ˘ KˆÓÛÙ·ÓÙ›ÓÔ˘ A. TÛ›Ë, K·ıËÁËÙ‹ K‚·ÓÙÈ΋˜ XËÌ›·˜ ÙÔ˘ A.¶.£.
ÂÈÛÙ‹ÌË Ù˘ XËÌ›·˜, ·Ú¿ ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ηÙÂÍÔ¯‹Ó ÂÈÚ·Ì·ÙÈ΋ ÂÈÛÙ‹ÌË, ÂÓÙÔ‡ÙÔȘ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ Î·È ¤Ó· ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi ˘ÔÏÔÁÈÛÙÈÎÒÓ ÌÂıfi‰ˆÓ, Ô˘ ‚ÔËıÔ‡Ó, Û˘ÌÏËÚÒÓÔ˘Ó ‹ ·ÎfiÌË Î·È ·ÓÙÈηıÈÛÙÔ‡Ó ÙÔ Â›Ú·Ì·. AÎfiÌË Î·È Î·Ù¿ ÙËÓ ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÌÈ·˜ ¯ËÌÈ΋˜ ·ÓÙ›‰Ú·Û˘, Ô XËÌÈÎfi˜, ¤Ú·Ó ·fi ÙËÓ ÂÈÚ·Ì·ÙÈ΋ ‰È·‰Èηۛ· Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó’ ·ÎÔÏÔ˘ı‹ÛÂÈ, Â›Ó·È ˘Ô¯Úˆ̤ÓÔ˜ Ó· οÓÂÈ Î·È ¤Ó· ›‰Ô˜ “¯ËÌÈ΋˜ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜”. M ÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋, ÏÔÈfiÓ, ·˘Ù‹ ÌÔÚ› Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ ÙËÓ ÔÛfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÚÔ˚fiÓÙÔ˜ Ô˘ ı· ÚÔ·„ÂÈ ·fi Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÔÛfiÙËÙ· ÂÓfi˜ ·ÓÙȉÚÒÓÙÔ˜ Û˘ÛÙ·ÙÈÎÔ‡, ‹ Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ıÂÙÔ, ‰ËÏ·‰‹ Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ ÙËÓ ÔÛfiÙËÙ· ÂÓfi˜ ·ÓÙȉÚÒÓÙÔ˜ Û˘ÛÙ·ÙÈÎÔ‡ Ô˘ ··ÈÙÂ›Ù·È ÁÈ· Ó· ÚÔ·„ÂÈ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÔÛfiÙËÙ· ÚÔ˚fiÓÙÔ˜. ŸÌˆ˜, ÁÈ· Ó· ÙÔ Î¿ÓÂÈ ·˘Ùfi Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ ÚÒÙ· Ó· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÚÈṲ̂ӷ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÔÈ ¯ËÌÈΤ˜ ·ÓÙȉڿÛÂȘ Á›ÓÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ Î·È ÌÔÚ›ˆÓ, ÙˆÓ ÙfiÛÔ ÌÈÎÚÒÓ ·˘ÙÒÓ ÛˆÌ·Ùȉ›ˆÓ, Ù· ÔÔ›· ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰Ô‡Ì ‹ Ó· ˙˘Á›ÛÔ˘ÌÂ. ŒÙÛÈ, ÛÙÔ ÂÚÁ·ÛÙ‹ÚÈÔ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÂÚ¿ÛÙÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÌÈÎÚÒÓ ·˘ÙÒÓ ÛˆÌ·Ùȉ›ˆÓ. £· Ú¤ÂÈ, Û˘ÓÂÒ˜, Ó· ‚Úԇ̠οÔÈÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ ı· Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ÌÂÙ·ÊÚ¿˙Ô˘Ì ‡ÎÔÏ· ÙȘ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ Ì·˜ ·fi ÙË Ì·ÎÚÔÛÎÔÈ΋ Îϛ̷η ÙÔ˘ ÂÚÁ·ÛÙËÚ›Ô˘ ÛÙË ÌÈÎÚÔÛÎÔÈ΋ Îϛ̷η ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ Î·È ÌÔÚ›ˆÓ. A˘Ùfi ÙÔ ÂÙ˘¯·›ÓÔ˘Ì Ì ÙËÓ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ ÙÔ˘ ÁÚ·ÌÌÔÌÔÚ›Ô˘(mole), Ô˘ ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ıÂÌÂÏÂÈÒ‰Ë ¯ËÌÈ΋ ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘. £· ÍÂÎÈÓ‹ÛÔ˘Ì ÙË Û˘˙‹ÙËÛ‹ Ì·˜ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ ·Ú·‰ÂÈÁÌ¿ÙˆÓ. ŒÛÙˆ fiÙÈ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ·Ú·Û΢¿ÛÔ˘Ì ÔÚÈṲ̂ӷ ÌfiÚÈ· ÌÔÓÔÍÂȉ›Ô˘ ÙÔ˘ ¿Óıڷη, CO. K·Ù·Ú¯‹Ó ÌÔÚԇ̠ӷ ¿ÚÔ˘Ì ¤Ó· ¿ÙÔÌÔ ¿Óıڷη Î·È ¤Ó· ¿ÙÔÌÔ Ô͢ÁfiÓÔ˘ ÁÈ· Ó· Û˘Óı¤ÛÔ˘Ì ¤Ó· ÌfiÚÈÔ CO. AÓ fï˜ ·›ÚÓ·Ì ‰‡Ô ¿ÙÔÌ· ¿Óıڷη Î·È ‰‡Ô ¿ÙÔÌ· Ô͢ÁfiÓÔ˘ ı· Û˘Óı¤Ù·Ì ‰‡Ô ÌfiÚÈ· CO. H ‰ÈÂÚÁ·Û›· ·˘Ù‹ ı· ÌÔÚÔ‡ÛÂ, Ê˘ÛÈο, Ó· Û˘Ó¯ÈÛÙ› Î·È Ó· Ì·˜ ‰ÒÛÂÈ ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌfi ÌÔÚ›ˆÓ CO ÂÈı˘ÌÔ‡ÌÂ. H ÌfiÓË ··›ÙËÛË Â›Ó·È fiÙÈ Ú¤ÂÈ ¿ÓÙÔÙ ӷ ›̷ÛÙ ‚¤‚·ÈÔÈ, fiÙÈ ‹Ú·Ì ›ÛÔ ·ÚÈıÌfi ·ÙfiÌˆÓ ¿Óıڷη Î·È Ô͢ÁfiÓÔ˘. ŸÌˆ˜ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔ Ú·ÎÙÈο Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ì ٷ ¿ÙÔÌ·, ÔfiÙ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È ÙÔ ÂÚÒÙËÌ·, Ò˜ ı· ‚‚·Èˆıԇ̠fiÙÈ ‹Ú·Ì ›ÛÔ ·ÚÈıÌfi ·ÙfiÌˆÓ ¿Óıڷη Î·È Ô͢ÁfiÓÔ˘; H ·¿ÓÙËÛË ÛÙÔ ÂÚÒÙËÌ· ·˘Ùfi ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙË ¯ÚËÛÈÌÔÔ›Ë-
H
ÛË Ù˘ ¤ÓÓÔÈ·˜ Ù˘ ·ÙÔÌÈ΋˜ Ì¿˙·˜. £˘ÌËı›ÙÂ, fiÙÈ Ë ·ÙÔÌÈ΋ Ì¿˙· Â›Ó·È Û¯ÂÙÈ΋ Ì¿˙·Ø Â›Ó·È Ë Ì¿˙· ÂÓfi˜ ·ÙfiÌÔ˘ ÙÔ˘ ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË Ì¿˙· ÂÓfi˜ ·ÙfiÌÔ˘ ¿Óıڷη-12 Ô˘ Â›Ó·È ·ÎÚÈ‚Ò˜ ›ÛË Ì 12 ·ÙÔÌÈΤ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ Ì¿˙·˜(amu). H ·ÙÔÌÈ΋ ÏÔÈfiÓ Ì¿˙· ÙÔ˘ ¿Óıڷη Â›Ó·È 12 amu, ÂÓÒ ÙÔ˘ Ô͢ÁfiÓÔ˘ Â›Ó·È 16 amu. ŸÙ·Ó ¿ÚÔ˘Ì ¤Ó· ¿ÙÔÌÔ ·fi οı ÛÙÔȯ›Ô, Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ ı· ›ӷÈ, ÏfiÁÔ˜ ·ÙfiÌˆÓ = 1 : 1 Î·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ Ì·˙ÒÓ ı· ›ӷÈ, ÏfiÁÔ˜ Ì·˙ÒÓ = 12 : 16 AÓ ¿ÚÔ˘Ì ‰‡Ô ¿ÙÔÌ· ·fi οı ÛÙÔȯ›Ô, Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ ı· Â›Ó·È Î·È ¿ÏÈ, ÏfiÁÔ˜ ·ÙfiÌˆÓ = 2 : 2 = 1 : 1 Î·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ Ì·˙ÒÓ ı· Â›Ó·È Ô ›‰ÈÔ˜, ‰ËÏ·‰‹: ÏfiÁÔ˜ Ì·˙ÒÓ = 2 ¥ 12 : 2 ¥ 16 = 12 : 16 BÏ¤Ô˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ ÂÊfiÛÔÓ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ ‰È·ÙËÚÂ›Ù·È 1:1, Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ Ì·˙ÒÓ ı· ‰È·ÙËÚÂ›Ù·È ¿ÓÙ· Ô ›‰ÈÔ˜, Ô˘ ÛÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÚ›ÙˆÛË Â›Ó·È 12:16. MÔÚԇ̠Ӓ ·ÓÙÈÛÙÚ¤„Ô˘Ì ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË ·˘Ù‹ Î·È Ó· Ô‡ÌÂ, fiÙÈ ÂÊfiÛÔÓ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ Ì·˙ÒÓ 12:16 ‰È·ÙËÚÂ›Ù·È ÛÙ·ıÂÚfi˜ Î·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ ı· ·Ú·Ì¤ÓÂÈ Ô ›‰ÈÔ˜, ‰ËÏ·‰‹ 1:1. °›ÓÂÙ·È Ê·ÓÂÚfi, fiÙÈ ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ÏfiÁÔ ·ÙfiÌˆÓ ÂÈı˘Ìԇ̠ÌÔÚԇ̠ӷ ÙÔÓ ¿ÚÔ˘Ì Ì ÙËÓ Î·Ù¿ÏÏËÏË ÂÎÏÔÁ‹ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ÙˆÓ Ì·˙ÒÓ. °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fï˜, fiÙÈ Ë Ì¿˙· ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È Û g. AÓ, ÏÔÈfiÓ, ˙˘Á›ÛÔ˘Ì 12 g ¿Óıڷη Î·È 16 g Ô͢ÁfiÓÔ˘, Ë ·Ó·ÏÔÁ›· ÙˆÓ Ì·˙ÒÓ ·˘ÙÒÓ 12:16 Ì·˜ ‚‚·ÈÒÓÂÈ fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ ÙÔ˘ ¿Óıڷη Î·È ÙÔ˘ Ô͢ÁfiÓÔ˘ ı· Â›Ó·È 1:1. A˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ, fiÙÈ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ·fi ÙÔÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ ÙÔ˘ ¿Óıڷη Î·È ÙÔ˘ Ô͢ÁfiÓÔ˘, ›̷ÛÙ ‚¤‚·ÈÔÈ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ›ÛÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·ÙfiÌˆÓ ¿Óıڷη Î·È Ô͢ÁfiÓÔ˘. ÕÚ·, Ù· 12 g ÙÔ˘ ¿Óıڷη ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi ·ÙfiÌˆÓ Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È ÛÙ· 16 g ÙÔ˘ Ô͢ÁfiÓÔ˘. K·Ù¿ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ÛÎÂÙfiÌÂÓÔÈ, ÌÔÚԇ̠‡ÎÔÏ· Ó· ԇ̠fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙ· 12 g ÙÔ˘ ¿Óıڷη Â›Ó·È ›‰ÈÔ˜ Ì’ ·˘ÙfiÓ Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙ· 23 g Ó·ÙÚ›Ô˘ (·ÙÔÌÈ΋ Ì¿˙· Na = 23), ‹ ÛÙ· 48 g ÙÈÙ·Ó›Ô˘ (·ÙÔÌÈ΋ Ì¿˙· Ti = 48), ‹ ÛÙ· 200,6 g ˘‰Ú·ÚÁ‡ÚÔ˘ (·ÙÔÌÈ΋ Ì¿˙· Hg = 200,6), Î.Ô.Î. ÕÓÂÙ· ÏÔÈfiÓ Î·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ: ÔÛfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÂÎÊÚ·Ṳ̂Ó˜ Û g, ›Û˜ ·ÚÈıÌËÙÈο Ì 33
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
T √ ° ƒ∞ªª√ª√ƒπ√ ( mole) mole) ÙȘ ·ÙÔÌÈΤ˜ ÙÔ˘˜ Ì¿˙˜, ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi ·ÙfïÓ.
°Ú·ÌÌÔÌÔÚȷΤ˜ ÔÛfiÙËÙ˜ ÔÚÈÛÌ¤ÓˆÓ Ô˘ÛÈÒÓ. •ÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ¿Óˆ ·ÚÈÛÙÂÚ¿ Î·È ÚÔ¯ˆÚÒÓÙ·˜ ‰ÂÍÈfiÛÙÚÔÊ· ¤¯Ô˘ÌÂ: 180 g ·ÛÈÚ›Ó˘, 342 g ˙¿¯·Ú˘, 18.0 g ÓÂÚÔ‡, 201 g ˘‰Ú·ÚÁ‡ÚÔ˘, 55.9 g Ûȉ‹ÚÔ˘, 58.5 g ¯ÏˆÚÈÔ‡¯Ô˘ Ó·ÙÚ›Ô˘ Î·È 254 g Ȉ‰›Ô˘. OÈ ·Ú·¿Óˆ ÔÛfiÙËÙ˜ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Û 1 mol οıÂ Ô˘Û›·˜.
34
AÓ¿ÏÔÁ· ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÁÈ· ÙȘ ÂÓÒÛÂȘ Ô˘ ‰ÔÌÔ‡ÓÙ·È ·fi ÌfiÚÈ·. ŒÛÙˆ, ÏÔÈfiÓ, ÙÔ ÌfiÚÈÔ ÙÔ˘ ÌÂı·Ó›Ô˘ CH4, (ÌÔÚȷ΋ Ì¿˙· = 16) Î·È ÙÔ ÌfiÚÈÔ ÙÔ˘ Ô͢ÁfiÓÔ˘ O2 (ÌÔÚȷ΋ Ì¿˙· = 32). £˘ÌËı›ÙÂ Î·È ¿ÏÈ fiÙÈ ÔÈ ÌÔÚȷΤ˜ Ì¿˙˜ Â›Ó·È Û¯ÂÙÈΤ˜ Ì¿˙˜. AÓ ÏÔÈfiÓ ¿ÚÔ˘Ì 16 g CH4 ı· ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û’ ·˘Ù¿ ÙfiÛ· ÌfiÚÈ·, fiÛ· ı· ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È ÛÙ· 32 g ÙÔ˘ Ô͢ÁfiÓÔ˘. E›Û˘ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÌÔÚ›ˆÓ Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙ· 32 g ÙÔ˘ Ô͢ÁfiÓÔ˘ ı· Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙ· 16 g ÙÔ˘ Ô͢ÁfiÓÔ˘ ‹ ÛÙ· 12 g ÙÔ˘ ¿Óıڷη, Î.Ï. ÕÓÂÙ· Î·È ¿ÏÈ Î·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ: ÔÛfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÂÓÒÛÂˆÓ ÂÎÊÚ·Ṳ̂Ó˜ Û g, ›Û˜ ·ÚÈıÌËÙÈο Ì ÙȘ ÌÔÚȷΤ˜ ÙÔ˘˜ Ì¿˙˜, ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi ÌÔÚ›ˆÓ. T· ‰‡Ô ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Û˘Ó‰˘·ÛÙÔ‡Ó Û ¤Ó· ÁÂÓÈÎfi Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·, ·ÚΛ Ó· ÂÈÛ¿ÁÔ˘Ì ÙȘ ¤ÓÓÔȘ ÙˆÓ ·ÙÔÌÈÎÒÓ Î·È ÌÔÚÈ·ÎÒÓ Ô˘ÛÈÒÓ Î·È ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ Ù˘È΋˜ Ì¿˙·˜. AÙÔÌÈΤ˜ Ô˘Û›Â˜ Â›Ó·È ÔÈ Ô˘Û›Â˜ ÂΛӘ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ù· ۈ̷ٛ‰È· Ô˘ ÙȘ Û˘ÓÈÛÙÔ‡Ó Â›Ó·È Ù· ¿ÙÔÌ·, ÂÓÒ ÌÔÚȷΤ˜ Ô˘Û›Â˜ Â›Ó·È ÂΛӘ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ù· ۈ̷ٛ‰È· Ô˘ ÙȘ Û˘ÓÈÛÙÔ‡Ó Â›Ó·È Ù· ÌfiÚÈ·. T· ۈ̷ٛ‰È· Ô˘ Û˘ÓÈÛÙÔ‡Ó ÙȘ ·ÙÔÌÈΤ˜ Î·È ÌÔÚȷΤ˜ Ô˘Û›Â˜ (¿ÙÔÌ·, ÌfiÚÈ·, ÔÌ¿‰Â˜ ·ÙfïÓ, ÈfiÓÙ· ÎÈ ¿ÏÏ· ۈ̷ٛ‰È·) ı· Ù· ·Ó·Ê¤ÚÔ˘Ì ÛÙÔ ÂÍ‹˜ Ì ÙÔ ÁÂÓÈÎfi fiÓÔÌ· Ù˘ÈΤ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜. OÈ Ù˘ÈΤ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ ‹ ÈfiÓÙˆÓ Ô˘ ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÛÙÔ ¯ËÌÈÎfi Ù‡Ô
Ù˘ Ô˘Û›·˜. E›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ Ë Û¯ÂÙÈ΋ Ì¿˙· ÌÈ·˜ Ù˘È΋˜ ÌÔÓ¿‰·˜ ı’ ·ÔÙÂÏ› ÙËÓ Î·ÏÔ‡ÌÂÓË Ù˘È΋ Ì¿˙·. H Ù˘È΋ Ì¿˙· ·ÔÙÂÏ› ¤Ó·Ó ÁÂÓÈÎfiÙÂÚÔ fiÚÔ Ô˘ ·›ÚÓÂÈ ÙË ı¤ÛË ÙfiÛÔ Ù˘ ·ÙÔÌÈ΋˜, fiÛÔ Î·È Ù˘ ÌÔÚȷ΋˜ Ì¿˙·˜. M ‚¿ÛË ÏÔÈfiÓ ÙȘ Ӥ˜ ·˘Ù¤˜ ¤ÓÓÔȘ, ÙÔ ÁÂÓÈÎfi Ì·˜ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· Â›Ó·È fiÙÈ: ÔÛfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Ô˘ÛÈÒÓ ÂÎÊÚ·Ṳ̂Ó˜ Û g ›Û˜ Ì ÙËÓ Ù˘È΋ ÙÔ˘˜ Ì¿˙· ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi Ù˘ÈÎÒÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ. ŒÙÛÈ, .¯. 12 g ÙÔ˘ ¿Óıڷη, 16 g ÙÔ˘ ÌÂı·Ó›Ô˘, 48 g ÙÔ˘ ÙÈÙ·Ó›Ô˘ Î·È 32 g ÙÔ˘ Ô͢ÁfiÓÔ˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi Ù˘ÈÎÒÓ ÌÔÓ¿‰ˆÓ, Ô˘ Â›Ó·È ¿ÙÔÌ· ÁÈ· ÙÔÓ ¿Óıڷη Î·È ÙÔ ÙÈÙ¿ÓÈÔ Î·È ÌfiÚÈ· ÁÈ· ÙÔ ÌÂı¿ÓÈÔ Î·È ÙÔ Ô͢ÁfiÓÔ. H ÔÛfiÙËÙ· ÌÈ·˜ Ô˘Û›·˜ ÂÎÊÚ·Ṳ̂ÓË Û g Ô˘ Â›Ó·È ›ÛË ·ÚÈıÌËÙÈο Ì ÙËÓ Ù˘È΋ Ù˘ Ì¿˙· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÁÚ·ÌÌÔÌfiÚÈÔ Ù˘ Ô˘Û›·˜ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ÁÂÓÈο ˆ˜ mol. H Ì¿˙· ÂÓfi˜ ÁÚ·ÌÌÔÌÔÚ›Ô˘ ÌÈ·˜ Ô˘Û›·˜ Â›Ó·È ·ÚÈıÌËÙÈο ›ÛË Ì ÙËÓ Ù˘È΋ Ù˘ Ì¿˙·, ¤¯ÂÈ fï˜ ÙȘ ÌÔÓ¿‰Â˜ g Ø mol–1. H Ì¿˙· ÙÔ˘ ÁÚ·ÌÌÔÌÔÚ›Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÁÚ·ÌÌÔÌÔÚȷ΋ Ì¿˙·. ŒÙÛÈ, .¯. Ô ¿Óıڷη˜ ¤¯ÂÈ Ù˘È΋ Ì¿˙· 12 Î·È ÁÚ·ÌÌÔÌÔÚȷ΋ Ì¿˙· 12 g Ø mol–1, ÙÔ ÌÂı¿ÓÈÔ ¤¯ÂÈ Ù˘È΋ Ì¿˙· 16 Î·È ÁÚ·ÌÌÔÌÔÚȷ΋ Ì¿˙· 16 g Ø mol–1. E›Û˘, ÙfiÛÔ Ù· 12 g ÙÔ˘ ¿Óıڷη, fiÛÔ Î·È Ù· 16 g ÙÔ˘ ÌÂı·Ó›Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó 1 mol Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˘ Ô˘Û›·˜. M ‚¿ÛË Ù· ·Ú·¿Óˆ, ‡ÎÔÏ· ÌÔÚ› Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ Î·Ó›˜ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ÙˆÓ mol, n, Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ Û ÔÚÈṲ̂ÓË ÔÛfiÙËÙ·, m (Û g), ÌÈ·˜ Ô˘Û›·˜ Î·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·. A·Ú·›ÙËÙË ÚÔ¸fiıÂÛË Â›Ó·È Ó· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ ¯ËÌÈÎfi Ù‡Ô Ù˘ Ô˘Û›·˜, ·ÊÔ‡ ÙÔ mol ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙÂ Ô˘Û›·˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÌfiÓÔ Ì ‚¿ÛË ÙÔ ¯ËÌÈÎfi Ù˘ Ù‡Ô. ŒÙÛÈ ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: m(Û g) n = T.M.(Û g) Î·È m = n ¥ T.M. fiÔ˘ T.M. Â›Ó·È Ë Ù˘È΋ Ì¿˙· Ù˘ Ô˘Û›·˜ ÂÎÊÚ·Ṳ̂ÓË Û g. A˜ ‰Ô‡Ì ÌÂÚÈο ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·: ¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1 N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ mol Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ Û ·) 25,5 g ·Ì̈ӛ·˜, NH3, ‚) 60 mg ‚ÈÙ·Ì›Ó˘ C, C6H8O6 Î·È Á) 200 mg ‰È·Ì·ÓÙÈÔ‡ (C) Ô˘ Â›Ó·È ¤Ó· ηڿÙÈ.
§‡ÛË: ·) H Ù˘È΋ Ì¿˙· Ù˘ ·Ì̈ӛ·˜, NH3, Â›Ó·È T.M. = 14,007 + 3(1,008) = 17,031. ™˘ÓÂÒ˜ ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: 25,5 g m = 1,5 mol n = = T.M. 17,031 g Ø mol-1 ‚) °È· ÙË ‚ÈÙ·Ì›ÓË C, C6H8O6, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ, T.M. = 6(12,01) + 8(1,008) + 6(15,999) =
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
X HMEIA = 72,06 + 8,064 + 95,994 = 176,12
¤¯Ô˘ÌÂ,
™˘ÓÂÒ˜,
m = n ¥ T.M. = (2,57 mol) ¥ (58,71 g Ø mol–1) = 150,88 g. 60 ¥ 10-3 g m = 0,34 ¥ 10–3 mol n = = 176,12 g Ø mol-1 T.M.
Á) °È· ÙÔ ‰È·Ì¿ÓÙÈ Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ¿ÙÔÌ· C, Ë Ù˘È΋ Ì¿˙· ›ӷÈ: T.M. = 12,01 Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: 200 ¥ 10-3 g m n = = = 16,65 ¥ 10–3 mol T.M. 12,01 g Ø mol-1 ™ËÌÂÈÒÛÙ fiÙÈ ÛÙÔ ‚) Î·È Á) Ù· mg Ú¤ÂÈ Ó· ÌÂÙ·ÙÚ·Ô‡Ó Û g.
¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 2 ¶ÔÈ· ı· Â›Ó·È Ë Ì¿˙· (Û g): ·) 2,16 mol NaCl, ‚) 0,0375 mol N2 Î·È Á) 2,57 mol Ni.
§‡ÛË: ·) H Ù˘È΋ Ì¿˙· Ùo˘ NaCl Â›Ó·È T.M. = 22,99 + 35,453 = 58,443. ÕÚ· ı· ¤¯Ô˘ÌÂ, m = n ¥ T.M. = (2,16 mol) ¥ (58,443 g Ø mol–1) = 126,24 g ‚) H Ù˘È΋ Ì¿˙· ÙÔ˘ ·˙ÒÙÔ˘, N2, Â›Ó·È T.M.= 2(14,007) = 28,014, ÔfiÙ ı· ¤¯Ô˘ÌÂ, m = n ¥ T.M. = (0,375 mol) ¥ (28,014 g Ø mol–1) = 10,505 g Á) H Ù˘È΋ Ì¿˙· ÙÔ˘ ÓÈÎÂÏ›Ô˘, Ni, Â›Ó·È T.M. = 58,71, ÔfiÙ ı·
™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi ·Í›˙ÂÈ Ó· ‰ÒÛÔ˘ÌÂ Î·È ÙÔÓ ÈÔ Â›ÛËÌÔ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ mol, Ô˘ Â›Ó·È ·˘Ùfi˜ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ SI. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi SI ÙÔ mol Â›Ó·È Ë ÔÛfiÙËÙ· Ù˘ Ô˘Û›·˜ ÂÓfi˜ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙfiÛ˜ ÛÙÔȯÂÈÒ‰ÂȘ ÔÓÙfiÙËÙ˜, fiÛÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û ·ÎÚÈ‚Ò˜ 0,012 kg ÙÔ˘ ¿Óıڷη -12. ŸÙ·Ó ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ mol ı· Ú¤ÂÈ Ó· ηıÔÚ›˙Ô˘ÌÂ Î·È ÙȘ ÛÙÔȯÂÈÒ‰ÂȘ ÔÓÙfiÙËÙ˜ Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ›ӷÈ, ¿ÙÔÌ·, ÌfiÚÈ·, ÈfiÓÙ·, ËÏÂÎÙÚfiÓÈ·, ¿ÏÏ· ۈ̷ٛ‰È· ‹ ηıÔÚÈṲ̂Ó˜ ÔÌ¿‰Â˜ Ù¤ÙÔÈˆÓ ÛˆÌ·Ùȉ›ˆÓ. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠ÏÔÈfiÓ fiÙÈ ÙÔ mol Â›Ó·È ÌÈ· ÁÂÓÈ΋ ¤ÓÓÔÈ· Î·È ‰ÂÓ ÂÚÈÔÚ›˙ÂÙ·È ÌfiÓÔ ÛÙȘ ·ÙÔÌÈΤ˜ Î·È ÌÔÚȷΤ˜ ÂÓÒÛÂȘ. ŒÙÛÈ, ÏÔÈfiÓ, ÌÔÚԇ̠ӷ ¤¯Ô˘Ì mol ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ, mol ÈfiÓÙˆÓ ‹ mol ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ¿ÏÏˆÓ ÛˆÌ·Ùȉ›ˆÓ. M ÙÔ ÁÂÓÈÎfi ·˘Ùfi fiÚÔ ·ÔʇÁÔ˘Ì ÙË ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛË ÂÈ̤ÚÔ˘˜ fiÚˆÓ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Û ·Ï·ÈfiÙÂÚ· ‚È‚Ï›·, fiˆ˜ Â›Ó·È Ô fiÚÔ˜ ÁÚ·ÌÌÔ¿ÙÔÌÔ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÁÈ· ·ÙÔÌÈΤ˜ Ô˘Û›Â˜, Ô fiÚÔ˜ ÁÚ·ÌÌÔ˚fiÓ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÁÈ· Ô˘Û›Â˜ ÌÂ Ù˘ÈΤ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜ Ù· ÈfiÓÙ·, Î.¿.
KΩNΣTANTINOΣ A. TΣIΠHΣ
◆
Xηµεα I. τοµα Mρια
I. τοµα και Mρια
Kωνσταντνος A. Tσπης
Tο βιβλο αυτ αποτελε τον πρτο τ µο µιας σειρς µαθηµτων που πραγµατεονται την επιστµη της Xηµεας κατ τρ πο σµφωνο µε τις σγχρονες τσεις παρουσασης στο κοιν , του πορτρατου της σηµαντικς αυτς επιστµης για τη ζω µας. H λη που περιλαµβνεται διαιρεται σε 12 κεφλαια που εκτενονται απ τη διεξοδικ περιγραφ των θεµελιωδν εννοιν της Xηµεας, την εκµθηση της χηµικς γλσσας και αριθµητικς, µ χρι τη σε βθος καταν ηση της δοµς και συµπεριφορς του µικρ κοσµου και του προτπου που αυτ ακολουθον.
II. Kαταστσεις της λης (Yπ κδοση) III. Xηµικ ς αντιδρσεις (Yπ κδοση)
35 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
2
4
51/2 - 12 ÂÙÒÓ
3
5
6 2
EÈÏÔÁ‹ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÂÍÂȉ›Î¢Û˘ ÙÔ˘ ÙÔ̤· ·ÁÁÂÏÌ¿ÙˆÓ ‹ ÂÈÏÔÁ‹ ‰¤ÛÌ˘ (A, B, ¢)
EÈÏÔÁ‹ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ·ÁÁÂÏÌ¿ÙˆÓ
EÈÏÔÁ‹ ηÙ‡ı˘ÓÛ˘ ÂÍÂȉ›Î¢Û˘ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ·ÁÁÂÏÌ¿ÙˆÓ
EÈÏÔÁ‹ ·ÎÏÔ˘ ÛÔ˘‰ÒÓ
EÈÏÔÁ‹ ÎÏ¿‰Ô˘ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÔ˘‰ÒÓ ‹ ÂÈÏÔÁ‹ ‰¤ÛÌ˘ (A, B, °, ¢)
EÈÏÔÁ‹ ‰¤ÛÌ˘ (A, B, °, ¢)
™˘ÌÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÙ·È Î·È ¤Ó· ÂÍ¿ÌËÓÔ Ú·ÎÙÈ΋ ÂÍ¿ÛÎËÛË
‚
Á
‰
Â
ÛÙ
˙
Ë
2
3
2
Á
2
‰
3 ‚
2
Â
ÛÙ
4
3
2
3˙
1
1
2
2
4
Ë
3
5
6
¶ËÁ‹: ™. ™Ù·‡ÚÔ˘, H ·ÁÁÂÏÌ·ÙÈ΋ Âη›‰Â˘ÛË ÛÙËÓ EÏÏ¿‰·, CEDEFOP, 1994
4
AÓÒٷٷ EÎ·È‰Â˘ÙÈο I‰Ú‡Ì·Ù· (AEI)
3
T¯ÓÔÏÔÁÈο EÎ·È‰Â˘ÙÈο I‰Ú‡Ì·Ù· (TEI)
A ° O P A E P ° A ™ I A ™
15 - 18 ÂÙÒÓ
1
°ÂÓÈÎfi §‡ÎÂÈÔ (°E§)
TÌ‹Ì· Âȉ›Î¢Û˘
1
EÓÈ·›Ô ¶ÔÏ˘ÎÏ·‰ÈÎfi §‡ÎÂÈÔ (E¶§)
1
T¯ÓÈ΋ E·ÁÁÂÏÌ·ÙÈ΋ ™¯ÔÏ‹ (TE™)
1 ·
T¯ÓÈÎfi - E·ÁÁÂÏÌ·ÙÈÎfi §‡ÎÂÈÔ (TE§)
1
™Ù· ÂfiÌÂÓ· Ù‡¯Ë ı· ‰ËÌÔÛÈ¢ıÔ‡Ó ‰Ô̤˜ Î·È ‰È·ÚıÚÒÛÂȘ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎÒÓ Û˘ÛÙËÌ¿ÙˆÓ ¿ÏÏˆÓ ¯ˆÚÒÓ Ù˘ E˘Úˆ·˚΋˜ ŒÓˆÛ˘
EÈÏÔÁ‹ ÙÔ̤· ·ÁÁÂÏÌ¿ÙˆÓ
·
EÈÏÔÁ‹ ‚¿ÛÂÈ ‰È·ÁˆÓÈÛÌÒÓ
EÈÏÔÁ‹ ‚¿ÛÂÈ ‚·ıÌÔÏÔÁ›·˜
3
12 - 15 ÂÙÒÓ
1
°˘ÌÓ¿ÛÈÔ
EÓÓÈ¿¯ÚÔÓË YÔ¯ÚˆÙÈ΋ Eη›‰Â˘ÛË
1
¢ËÌÔÙÈÎfi Û¯ÔÏ›Ô
3 - 51/2 ÂÙÒÓ
NËÈ·ÁˆÁ›Ô
M·ıËÙ›· OAE¢
∆οµ και διρθρωση του ελληνικο εκπαιδευτικο συστµατος
X HMEIA
ºY™IKA & XHMIKA ºAINOMENA T˘ AÈÎ. °ÈÔ‡ÚË-TÛÔ¯·Ù˙‹, E. K·ıËÁ‹ÙÚÈ·˜ ÛÙÔ TÌ‹Ì· XËÌ›·˜ ÙÔ˘ A.¶.£.
ÎfiÛÌÔ˜ Ô˘ Ì·˜ ÂÚÈ‚¿ÏÏÂÈ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ÌÂÁ¿ÏË ÔÈÎÈÏ›· ˘ÏÈÎÒÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ÌÔÚԇ̠ӷ Ù· ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·fi ÙÔ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ÙÚfiÔ Ô˘ Ù· ·ÓÙÈÏ·Ì‚·ÓfiÌ·ÛÙ Ì ÙȘ ·ÈÛı‹ÛÂȘ Ì·˜, ÂÍ·ÈÙ›·˜ ÙˆÓ È‰È·›ÙÂÚˆÓ (ͯˆÚÈÛÙÒÓ) ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎÒÓ ÙÔ˘˜ ÁÓˆÚÈÛÌ¿ÙˆÓ .¯. ¯ÚÒÌ·, ̤ÁÂıÔ˜, Û¯‹Ì·, ˘Ê‹ Î.Ï. EÓÒ ÏÔÈfiÓ Ù· ˘ÏÈο ÛÒÌ·Ù· ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜, fiÏ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÎÔÈÓ¿ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο Ô˘ Â›Ó·È Ù· ÂÍ‹˜: 1) K·Ù·Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ó ÔÚÈṲ̂ÓÔ ¯ÒÚÔ, ¤¯Ô˘Ó ‰ËÏ·‰‹ fiÁÎÔ Î·È 2) ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· Ó· ·ÓÙÈÛÙ¤ÎÔÓÙ·È ÛÙ· ·›ÙÈ· Ô˘ Ù›ÓÔ˘Ó Ó· ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔ˘Ó ÙËÓ ÎÈÓËÙÈ΋ ÙÔ˘˜ ηٿÛÙ·ÛË, ¤¯Ô˘Ó ‰ËÏ·‰‹ ·‰Ú¿ÓÂÈ·. TÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ·‰Ú¿ÓÂÈ·˜ ÙˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ì¿˙·. O,Ùȉ‹ÔÙ ̷˜ ÂÚÈ‚¿ÏÏÂÈ, ·›ÚÓÂÈ Ì¤ÚÔ˜ ÛÙÔ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi Ù˘ °Ë˜ Î·È ÙÔ˘ ™‡Ì·ÓÙÔ˜ Î·È ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÂÙ·È ·fi fiÁÎÔ Î·È Ì¿˙·, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‡ÏË. ŸÏ˜ ÔÈ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ Ô‰ËÁÔ‡Ó ÛÙÔ ÁÂÓÈÎfi Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ Ù· ˘ÏÈο ÛÒÌ·Ù· ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔÓÙ·È Û˘Ó¯Ҙ, ¿ÏÏ· ÛÈÁ¿ Î·È ¿ÏÏ· ÁÚ‹ÁÔÚ·, ˘·ÎÔ‡ÔÓÙ·˜ ÛÙÔÓ ··Ú¿‚·ÙÔ ÓfiÌÔ Ù˘ ʇÛ˘ Ô˘ Â›Ó·È Ô ÓfiÌÔ˜ Ù˘ Û˘Ó¯ԇ˜ (·¤Ó·Ë˜) ·ÏÏ·Á‹˜ ÙˆÓ ¿ÓÙˆÓ. TÔ ÓfiÌÔ ·˘Ùfi ‰È·Ù‡ˆÛ ÚÒÙÔ˜ Ô HÚ¿ÎÏÂÈÙÔ˜ ϤÁÔÓÙ·˜ «Π ντα γγνεσθα τε κα ρεν, εναι δ παγως οδν», Ë ·ÎÈÓËÛ›· ‰ËÏ·‰‹ Ô˘ ·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ Â›Ó·È Ê·ÈÓÔÌÂÓÈ΋. Ÿˆ˜ Ë Ì¿˙· Â›Ó·È Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ·‰Ú¿ÓÂÈ·˜, ¤ÙÛÈ Î·È Ë Û˘Ó¯‹˜ ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ (ΛÓËÛË) Ô˘ Â›Ó·È È‰ÈfiÙËÙ· Ù˘ ‡Ï˘, ¤¯ÂÈ ˆ˜ ̤ÙÚÔ ÙËÓ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·. OÈ ÌÂÙ·‚ÔϤ˜ Ù˘ ‡Ï˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ê·ÈÓfiÌÂÓ· Î·È Ë
O
1. TH•H (ÏÈÒÛÈÌÔ) TOY ¶A°OY
(Ê˘ÛÈÎfi Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ)
AÓ ıÂÚÌ¿ÓÔ˘Ì ¤Ó· ÔÙ‹ÚÈ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ¿ÁÔ (ÛÙÂÚÂfi), Ô ¿ÁÔ˜ ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· Ù‹ÎÂÙ·È (ÏÈÒÓÂÈ) Î·È Ó· ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È Û ÓÂÚfi (˘ÁÚfi). AÓ Û˘Ó¯›ÛÔ˘Ì ÙË ı¤ÚÌ·ÓÛË ÙÔ ÓÂÚfi ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· ‚Ú¿˙ÂÈ Î·È ı· ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÂÍ·¤ÚˆÛ‹ ÙÔ˘ Î·È ÙÔ Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi ˘‰Ú·ÙÌÒÓ. ŸÙ·Ó ÔÈ ˘‰Ú·ÙÌÔ› (·)
·ÈÙ›· Ô˘ ÚÔηÏ› Ù· Ê·ÈÓfiÌÂÓ· Â›Ó·È Ë ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ Ù˘ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜. ™˘ÌÂÚ·ÛÌ·ÙÈο: ⁄ÏË Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ÌÂÙ·‚ÏËı›, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Ì¤ÛÔ ¿Óˆ ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ¯ÒÚ· (Á›ÓÂÙ·È) ¤Ó· Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ. EÓ¤ÚÁÂÈ· Â›Ó·È Ë ·ÈÙ›· ÂÓfi˜ Ê·ÈÓÔ̤ÓÔ˘ ‹ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ·˘ÙÔ‡. T· Ê·ÈÓfiÌÂÓ· ηٷٿÛÛÔÓÙ·È ÛÂ Ê˘ÛÈο, ¯ËÌÈο Î·È ˘ÚËÓÈο Ê·ÈÓfiÌÂÓ·. T· ˘ÚËÓÈο Ê·ÈÓfiÌÂÓ· ÂÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·È Û ȉȷ›ÙÂÚÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ. º˘ÛÈο Ê·ÈÓfiÌÂÓ· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ù· Ê·ÈÓfiÌÂÓ· fiÔ˘ Ù· ˘ÏÈο ÛÒÌ·Ù· ÂÌÊ·Ó›˙Ô˘Ó ·ÚÔ‰ÈΤ˜ ÌÂÙ·‚ÔϤ˜ ÂÂȉ‹ ‰Â ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È Ë Û‡ÛÙ·ÛË Ù˘ ‡Ï˘ ÙÔ˘˜. AÏÏÈÒ˜, ıˆÚÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ÂÓÂÚÁÂȷΤ˜ ÌÂÙ·‚ÔϤ˜ ÙˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ Î·Ù¿ ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ‰Â ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È Ë Û‡ÛÙ·ÛË Ù˘ ‡Ï˘ ÙÔ˘˜. º˘ÛÈο Ê·ÈÓfiÌÂÓ· Â›Ó·È Ô ‚Ú·ÛÌfi˜ ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡, ÙÔ ÏÈÒÛÈÌÔ ÙÔ˘ ¿ÁÔ˘, Ë ‰È¿Ï˘ÛË ·Ï¿ÙˆÓ Û ÓÂÚfi Î.Ï. XËÌÈο Ê·ÈÓfiÌÂÓ· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ù· Ê·ÈÓfiÌÂÓ· fiÔ˘ Ù· ˘ÏÈο ÛÒÌ·Ù· ÂÌÊ·Ó›˙Ô˘Ó ÚÈ˙ÈΤ˜ Î·È ÌfiÓÈ̘ ÌÂÙ·‚ÔϤ˜ ÂÂȉ‹ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È Ë Û‡ÛÙ·ÛË Ù˘ ‡Ï˘ ÙÔ˘˜. AÏÏÈÒ˜, ıˆÚÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ÂÓÂÚÁÂȷΤ˜ ÌÂÙ·‚ÔϤ˜ ÙˆÓ ÛˆÌ¿ÙˆÓ Î·Ù¿ ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È Ë Û‡ÛÙ·Û‹ ÙÔ˘˜, Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙË ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›· ۈ̿وÓ, Ì ȉÈfiÙËÙ˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÙˆÓ ·Ú¯ÈÎÒÓ. XËÌÈο Ê·ÈÓfiÌÂÓ· Â›Ó·È ÙÔ ÛÎÔ‡ÚÈ·ÛÌ· ÙÔ˘ Ûȉ‹ÚÔ˘, Ë Î·‡ÛË ÙÔ˘ ͇ÏÔ˘, ÙÔ˘ Ûȉ‹ÚÔ˘ Î.Ï. ¶·Ú·Î¿Ùˆ ‰›ÓÂÙ·È ÌÈ· ÛÂÈÚ¿ ÂÈÚ·Ì¿ÙˆÓ ÁÈ· ÙËÓ Î·Ï‡ÙÂÚË Î·Ù·ÓfiËÛË ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ Î·È ¯ËÌÈÎÒÓ Ê·ÈÓÔ̤ӈÓ.
¤ÚıÔ˘Ó Û’ ·ʋ Ì ٷ ÎÚ‡· ÙÔȯÒÌ·Ù· ÙÔ˘ ÔÙËÚÈÔ‡ ˘ÁÚÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Í·Ó¿ Î·È ıÔÏÒÓÔ˘Ó Ù· ÙÔȯÒÌ·Ù¿ ÙÔ˘. AÓ „‡ÍÔ˘Ì ÙÔ ÂÚȯfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ÔÙËÚÈÔ‡ Í·Ó·Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È Ô ¿ÁÔ˜. ™ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ›ڷ̷ Ê·›ÓÂÙ·È Ë ÌÂÙ·ÙÚÔ‹ ÙÔ˘ ¿ÁÔ˘ Û ÓÂÚfi.
(‚)
(Á)
EÈÎfiÓ· 1. T‹ÍË ÙÔ˘ ¿ÁÔ˘. ·) TÔÔıÂÙԇ̠ÎÔÌÌ¿ÙÈ· ¿ÁÔ˘ Û’ ¤Ó· ÔÙ‹ÚÈ. ‚) £ÂÚÌ·›ÓÔ˘ÌÂ. Á) O ¿ÁÔ˜ ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· ÏÈÒÓÂÈ Î·È ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È Û ÓÂÚfi.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
37
º À™π∫∞
∫∞π
2. ¢IA§Y™H A§ATøN ™E NEPO
X ∏ªπ∫∞ º ∞π¡√ª∂¡∞
(Ê˘ÛÈÎfi Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ)
TÔ ÓÂÚfi Â›Ó·È Ô ÈÔ Û˘ÓËıÈṲ̂ÓÔ˜ ‰È·Ï‡Ù˘ ÛÙË Ê‡ÛË Î·È ÛÙÔ ÂÚÁ·ÛÙ‹ÚÈÔ. ¢È·Ï‡ÂÈ Â‡ÎÔÏ· ÔÏϤ˜ ¯ËÌÈΤ˜ Ô˘Û›Â˜ Î·È Â›Ó·È Ô Î·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ‰È·Ï‡Ù˘ ÙˆÓ ÂÚÈÛÛÔÙ¤ÚˆÓ ·Ï¿ÙˆÓ (fi¯È fiψÓ). ŒÙÛÈ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·Ï‡ÛÔ˘Ì ‡ÎÔÏ· Û’ ¤Ó· ÔÙ‹ÚÈ ‹ Û’ ¤Ó· ‰ÔÎÈÌ·ÛÙÈÎfi ۈϋӷ Ì·ÁÂÈÚÈÎfi ·Ï¿ÙÈ, NaCl (¯ÏˆÚÈÔ‡¯Ô Ó¿ÙÚÈÔ) Î·È ÌÂÙ¿ ÙËÓ ÂÍ¿ÙÌÈÛË ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡ ‹ ÙËÓ ·fiÛÙ·Í‹ ÙÔ˘, Ó· (·)
(‚)
¿ÚÔ˘Ì ¿ÏÈ ÙÔ Ì·ÁÂÈÚÈÎfi ·Ï¿ÙÈ (NaCl). H ‰È¿Ï˘ÛË ÏÔÈfiÓ ÙˆÓ ·Ï¿ÙˆÓ Â›Ó·È ¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ. °È· Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì Ì ÈÔ ÂÓÙ˘ˆÛÈ·Îfi ÙÚfiÔ ÙË ‰È¿Ï˘ÛË ·Ï¿ÙˆÓ Û ÓÂÚfi, ‰È·Ï‡Ô˘Ì ˘ÂÚÌ·ÁÁ·ÓÈÎfi οÏÈÔ, KMnO4 Ô˘ Â›Ó·È ÎÚ˘ÛÙ·ÏÏÈÎfi ¿Ï·˜ Ì È҉˜ ¯ÚÒÌ·, ‰È·Ù›ıÂÙ·È Î·È ·fi Ù· Ê·Ú̷Λ· ˆ˜ ·ÓÙÈÛËÙÈÎfi, ÁÓˆÛÙfi ˆ˜ permanganate. EÈÎfiÓ· 2. ¢È¿Ï˘ÛË ÙÔ˘ ˘ÂÚÌ·ÁÁ·ÓÈÎÔ‡ Î·Ï›Ô˘ Û ÓÂÚfi
(Á)
·) P›¯ÓÔ˘Ì ÌÂÚÈÎÔ‡˜ ÈÒ‰ÂȘ ÎÚ˘ÛÙ¿ÏÏÔ˘˜ ˘ÂÚÌ·ÁÁ·ÓÈÎÔ‡ Î·Ï›Ô˘, KMnO4 Û’ ¤Ó· ÔÙ‹ÚÈ ÁÂÌ¿ÙÔ Ì ÓÂÚfi. ‚) OÈ ÎÚ‡ÛÙ·ÏÏÔÈ ÙÔ˘ ˘ÂÚÌ·ÁÁ·ÓÈÎÔ‡ Î·Ï›Ô˘ Êı¿ÓÔ˘Ó ÛÙÔÓ ˘ı̤ӷ Î·È ·Ú¯›˙Ô˘Ó Ó· ‰È·Ï‡ÔÓÙ·È. Á) MÂÙ¿ ÙËÓ Ï‹ÚË ‰È¿Ï˘ÛË ÙÔ˘ ¤Á¯ÚˆÌÔ˘ ¿Ï·ÙÔ˜ fiÏË Ë Ì¿˙· ÙÔ˘ ÓÂÚÔ‡ ¯ÚˆÌ·Ù›˙ÂÙ·È.
3. ¢IAXøPI™MO™ MEI°MATO™ ™I¢HPOY-£EIOY
(Ê˘ÛÈÎfi Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ)
O ‰È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ Ì›ÁÌ·ÙÔ˜ Ûȉ‹ÚÔ˘-ı›Ԣ Ì ̷ÁÓ‹ÙÈÛË, Â›Ó·È ¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ›ڷ̷ Ô˘ ‰›ÓÂÙ·È Ì ÂÈÎfiÓ˜.
(·) (Á)
(‰) (‚)
(Â)
38
EÈÎfiÓ· 3. ¢È·¯ˆÚÈÛÌfi˜ Ûȉ‹ÚÔ˘ - ı›Ԣ Ì ̷ÁÓ‹ÙÈÛË. ·) H ÛÎfiÓË ÙÔ˘ Ûȉ‹ÚÔ˘ ¤¯ÂÈ Ì·‡ÚÔ ¯ÚÒÌ·, ÂÓÒ ÙÔ˘ ı›Ԣ ΛÙÚÈÓÔ ¯ÚÒÌ·. ‚) ™Â Ì›· ‡·ÏÔ ˆÚÔÏÔÁ›Ô˘ ‚¿˙Ô˘Ì ›Û˜ ÔÛfiÙËÙ˜ Ûȉ‹ÚÔ˘ Î·È ı›Ԣ. Á) AÓ·ÌÂÈÁÓ‡Ô˘Ì ÙȘ ÛÎfiÓ˜ Ûȉ‹ÚÔ˘-ı›Ԣ. ‰) MÂÙ¿ ÙËÓ ·Ó¿ÌÂÈÍË ÚÔ·ÙÂÈ ¤Ó· ÎÈÙÚÈÓfiÌ·˘ÚÔ Ì›ÁÌ·. Â) M’ ¤Ó· Ì·ÁÓ‹ÙË ‰È·¯ˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ Ì›ÁÌ· Ûȉ‹ÚÔ˘-ı›Ԣ. ™ÙÔ Ì·ÁÓ‹ÙË «ÎÔÏÏ¿ÂÈ» Ô Ì·‡ÚÔ˜ Û›‰ËÚÔ˜. AÓ ¿Óˆ ·fi ¤Ó· ¿ÛÚÔ ¯·ÚÙ›, ¯Ù˘‹ÛÔ˘Ì ÂÏ·ÊÚ¿ ÙÔ Ì·ÁÓ‹ÙË, ı· ¤ÛÂÈ ÙÔ Î›ÙÚÈÓÔ ıÂ›Ô Ô˘ Û˘Ì·Ú·Û‡ÚıËΠ̠ÙÔ Û›‰ËÚÔ.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
X ∏ª∂π∞
4. ¢IA™¶A™H ¢IXPøMIKOY AMMøNIOY TÔ ‰È¯ÚˆÌÈÎfi ·ÌÌÒÓÈÔ (NH4)2Cr2O7 Â›Ó·È Ì›· ÌÈÎÚÔÎÚ˘ÛÙ·ÏÏÈ΋ Ô˘Û›·, ÔÚÙÔηϛ ¯ÚÒÌ·ÙÔ˜ (EÈÎfiÓ· 4·), Ô˘ fiÙ·Ó ·Ó·ÊÏÂÁ› ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ·ÏÎÔfiÏË ‹ ·ÎÂÙfiÓË (EÈÎfiÓ· 4‚) ‰È·Û¿Ù·È Ì ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ÙÚfiÔ, Û‡Ìʈӷ Ì ÙË ¯ËÌÈ΋ Â͛ۈÛË: (NH4)2Cr2O7 Æ
Cr2O3 + N2 + 4H2O
(4.1)
H ‰È¿Û·ÛË ÙÔ˘ ‰È¯ÚˆÌÈÎÔ‡ ·ÌÌˆÓ›Ô˘, (NH4)2Cr2O7 Á›ÓÂÙ·È Ì Ôχ ÂÓÙ˘ˆÛÈ·Îfi ÙÚfiÔ Ô˘ ı˘Ì›˙ÂÈ Û ÌÈÎÚÔÁÚ·Ê›· «ËÊ·›ÛÙÂÈÔ ÂÓ ÂÓÂÚÁ›·». TÔ «¯ËÌÈÎfi ËÊ·›ÛÙÂÈÔ» ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÛÙ· ÎÈÓËÌ·ÙÔÁÚ·ÊÈο ÂÊʤ fiÙ·Ó ı¤ÏÔ˘Ó Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ó ¤ÎÚËÍÂȘ ËÊ·ÈÛÙ›ˆÓ. ŸÙ·Ó Ì ÙË ı¤ÚÌ·ÓÛË ÙÔ ‰È¯ÚˆÌÈÎfi ·ÌÌÒÓÈÔ,
(¯ËÌÈÎfi Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ)
(NH4)2Cr2O7, ‰È·Û¿Ù·È, ·Ú¯›˙Ô˘Ó Ó· ÂÎÙÈÓ¿ÛÛÔÓÙ·È ÊÏfiÁ˜ Î·È ˘ÚˆÌ¤ÓË ÛÎfiÓË ÔÍÂȉ›Ô˘ ÙÔ˘ ¯ÚˆÌ›Ô˘. TÔ ÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ ¯ÚˆÌ›Ô˘, Cr2O3, ¤¯ÂÈ ÛÎÔ‡ÚÔ Ú¿ÛÈÓÔ ¯ÚÒÌ· (·ÓÙ›‰Ú·ÛË 4.1). TÔ Ú¿ÛÈÓÔ ÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ ¯ÚˆÌ›Ô˘ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È (EÈÎfiÓ˜ 4ı-È) ¤¯ÂÈ Ôχ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ fiÁÎÔ ·’ ·˘ÙfiÓ Ô˘ ›¯Â ·Ú¯Èο ÙÔ ÔÚÙÔηϛ ‰È¯ÚˆÌÈÎfi ·ÌÌÒÓÈÔ, ÂÂȉ‹ ̤۷ ÛÙË Ì¿˙· ÙÔ˘ ÂÁÎψ‚›˙ÔÓÙ·È Ù· ·¤ÚÈ· ÚÔ˚fiÓÙ· ¿˙ˆÙÔ, N2 Î·È ˘‰Ú·ÙÌÔ›, H2O, Ô˘ ·Ú¿ÁÔÓÙ·È Î·Ù¿ ÙËÓ ·ÓÙ›‰Ú·ÛË 4.1. TÔ Â›Ú·Ì· Ê·›ÓÂÙ·È ˆÚ·›· ÛÙȘ ÂÈÎfiÓ˜ Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó.
(·)
(‚)
(Á)
(‰)
(Â)
(ÛÙ)
(Ë)
(ı)
(È)
EÈÎfiÓ· 4. ¢È¿Û·ÛË ÙÔ˘ ‰È¯ÚˆÌÈÎÔ‡ ·ÌÌˆÓ›Ô˘ Ì ı¤ÚÌ·ÓÛË. ·) ¶¿Óˆ Û’ ¤Ó· ϷοÎÈ ‚¿˙Ô˘Ì 25-50 g ‰È¯ÚˆÌÈÎÔ‡ ·ÌÌˆÓ›Ô˘, (NH4)2Cr2O7, Ô˘Û›· ÔÚÙÔηϛ ¯ÚÒÌ·ÙÔ˜, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ Û¯ËÌ·ÙÈÛı› ¤Ó·˜ ÌÈÎÚfi˜ ÎÒÓÔ˜ Î·È Ú›¯ÓÔ˘Ì ÛÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÎÒÓÔ˘ 1-2 ml ·ÏÎÔfiÏ˘. ‚) AÓ·ÊϤÁÔ˘Ì ÙËÓ ·ÏÎÔfiÏË. Á) TÔ ‰È¯ÚˆÌÈÎfi ·ÌÌÒÓÈÔ ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· ‰È·Û¿Ù·È Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·˜ Ú¿ÛÈÓÔ ÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ ¯ÚˆÌ›Ô˘, Cr2O3. ‰-Ë) Afi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ÎÒÓÔ˘ ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· ÂÎÙÈÓ¿ÛÛÂÙ·È ˘ÚˆÌ¤ÓË ÛÎfiÓË ÔÍÂȉ›Ô˘ ÙÔ˘ ¯ÚˆÌ›Ô˘ Î·È ÊÏfiÁ˜. TÔ Â›Ú·Ì· ı˘Ì›˙ÂÈ «ËÊ·›ÛÙÂÈÔ ÂÓ ÂÓÂÚÁ›·». ı-È) TÔ Ú¿ÛÈÓÔ ÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ ¯ÚˆÌ›Ô˘ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ¤¯ÂÈ Ôχ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ fiÁÎÔ ·’ fiÙÈ Â›¯Â ·Ú¯Èο ÙÔ ‰È¯ÚˆÌÈÎfi ·ÌÌÒÓÈÔ. H ·‡ÍËÛË ÙÔ˘ fiÁÎÔ˘ ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔÓ ÂÁÎψ‚ÈÛÌfi ÙˆÓ ·¤ÚÈˆÓ ÚÔ˚fiÓÙˆÓ, ·˙ÒÙÔ˘ N2 Î·È ˘‰Ú·ÙÌÒÓ, H2O, Ô˘ ·Ú¿ÁÔÓÙ·È.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
39
º À™π∫∞
∫∞π
X ∏ªπ∫∞ º ∞π¡√ª∂¡∞
5. KAY™H TAINIA™ MA°NH™IOY
(¯ËÌÈÎfi Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ)
TÔ Ì·ÁÓ‹ÛÈÔ Î·›ÁÂÙ·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙË ¯ËÌÈ΋ Â͛ۈÛË: 2Mg + O2 Æ 2MgO (5.1) Î·È ·Ú¿ÁÂÈ ¤Ó· ÂÎÙ˘ÊψÙÈÎfi ¿ÛÚÔ Êˆ˜. H η‡ÛË Ù·ÈÓÈÒÓ ‹ ÛÎfiÓ˘ Ì·ÁÓËÛ›Ô˘ ‹Ù·Ó Ô Úfi‰ÚÔÌÔ˜ ÙˆÓ ÊˆÙÔÁÚ·ÊÈÎÒÓ flash. M ÌÈ· ÌÂÙ·ÏÏÈ΋ Ï·‚›‰· ÎÚ·Ùԇ̠¤Ó· ÎÔÌÌ¿ÙÈ Ù·ÈÓ›·˜ Ì·ÁÓËÛ›Ô˘ 10-20 cm ÂÚ›Ô˘ Î·È ÙËÓ ÏËÛÈ¿˙Ô˘Ì Û ÊÏfiÁ· χ¯ÓÔ˘ (EÈÎfiÓ· 5·). H Ù·ÈÓ›· ·Ú¯›˙ÂÈ (·)
(‚)
Ó· η›ÁÂÙ·È ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο (EÈÎfiÓ˜ 5‚-Á). MÂÙ¿ ÙËÓ Î·‡ÛË Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ÙÔ ¿ÛÚÔ ÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ Ì·ÁÓËÛ›Ô˘, MgO (EÈÎfiÓ· 5‰) ÙÔ ÔÔ›Ô ·Ì¤Ûˆ˜ ıÚ˘ÌÌ·Ù›˙ÂÙ·È (EÈÎfiÓ· 5Â). TÔ ÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ Ì·ÁÓËÛ›Ô˘ Â›Ó·È Ë ÁÓˆÛÙ‹ «Ì·ÁÓËÛ›·» Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·Ó ·ÏÈ¿ ˆ˜ ·ÓÙÈfiÍÈÓÔ Ê¿ÚÌ·ÎÔ ÁÈ· ÙÔ ÛÙÔÌ¿¯È Î·È ˆÏÂ›Ù·È ÛÙ· Ê·Ú̷Λ·. TÔ Â›Ú·Ì· η‡Û˘ Ù˘ Ù·ÈÓ›·˜ Ì·ÁÓËÛ›Ô˘ ‰›ÓÂÙ·È ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÈÎfiÓ˜.
(Á)
(‰)
(Â)
EÈÎfiÓ· 5. K·‡ÛË Ù·ÈÓ›·˜ Ì·ÁÓËÛ›Ô˘. ·) ¶ÏËÛÈ¿˙Ô˘Ì Û ÊÏfiÁ· χ¯ÓÔ˘ Ù·ÈÓ›· Ì·ÁÓËÛ›Ô˘ Ì‹ÎÔ˘˜ 10-20 cm. ‚-Á) H Ù·ÈÓ›· Ì·ÁÓËÛ›Ô˘ ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· η›ÁÂÙ·È Ì’ ¤Ó· ¿ÛÚÔ ÂÎÙ˘ÊψÙÈÎfi ʈ˜. ‰) MÂÙ¿ ÙËÓ Î·‡ÛË Ù˘ Ù·ÈÓ›·˜ ·Ô̤ÓÂÈ ÙÔ ¿ÛÚÔ ÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ Ì·ÁÓËÛ›Ô˘, MgO. Â) TÔ ÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ Ì·ÁÓËÛ›Ô˘, MgO, ·Ì¤Ûˆ˜ ıÚ˘ÌÌ·Ù›˙ÂÙ·È.
6. KAY™H ™I¢HPOY
(¯ËÌÈÎfi Ê·ÈÓfiÌÂÓÔ)
ŸÙ·Ó ÏËÛÈ¿ÛÔ˘Ì Û ÊÏfiÁ· χ¯ÓÔ˘ ¤Ó· Ì·Ï¿ÎÈ ·fi Û˘ÚÌ¿ÙÈÓÔ ÛÊÔ˘ÁÁ·Ú¿ÎÈ ÎÔ˘˙›Ó·˜, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Î·›ÁÂÙ·È ¤ÓÙÔÓ· ÂÓÒ ÂÎÙÈÓ¿ÛÛÔÓÙ·È Û›ı˜ ·fi ˘ÚˆÌ¤ÓÔ ÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ Ûȉ‹ÚÔ˘. H η‡ÛË ÙÔ˘ Ûȉ‹ÚÔ˘ Á›ÓÂÙ·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙË ¯ËÌÈ(·)
40
(‚)
΋ Â͛ۈÛË: (6.1) 3Fe + 2O2 Æ Fe3O4 H η‡ÛË Ûȉ‹ÚÔ˘ Ê·›ÓÂÙ·È Ì ÂÈÎfiÓ˜ ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ›ڷ̷.
◆ (Á)
(‰)
EÈÎfiÓ· 6. K·‡ÛË Ûȉ‹ÚÔ˘. ·) M ÌÈ· ÌÂÙ·ÏÏÈ΋ Ï·‚›‰· È¿ÓÔ˘Ì ¤Ó· ÎÔÌÌ¿ÙÈ ·fi Û˘ÚÌ¿ÙÈÓÔ ÛÊÔ˘ÁÁ·Ú¿ÎÈ ÎÔ˘˙›Ó·˜. ‚) TÔ ÏËÛÈ¿˙Ô˘Ì Û ÊÏfiÁ· χ¯ÓÔ˘. Á-‰) O Û›‰ËÚÔ˜ η›ÁÂÙ·È ¤ÓÙÔÓ· ÂÓÒ ÂÎÙÈÓ¿ÛÛÔÓÙ·È Û›ı˜ ·fi ˘ÚˆÌ¤ÓÔ ÔÍ›‰ÈÔ ÙÔ˘ Ûȉ‹ÚÔ˘.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
º π§√§√°π∫∞
£EMA EK£E™H™ ¶·ÚfiÏÔ Ô˘ ÙÔ ‚È‚Ï›Ô Â›Ó·È ·Ú¿ı˘ÚÔ ·ÓÔȯÙfi ÚÔ˜ ÙÔÓ ÎfiÛÌÔ Ù˘ ÁÓÒÛ˘ Î·È Ù˘ ηÏÏȤÚÁÂÈ·˜, ‰Â ‚Ú›ÛÎÂÈ ÙËÓ ·Ó¿ÏÔÁË ·ÓÙ·fiÎÚÈÛË ·fi ÙÔ ÎÔÈÓfi. TÔ˘ ¢. º·ÚÌ¿ÎË, ºÈÏfiÏÔÁÔ˘
·) ¶ÔȘ ›ӷÈ, ηٿ ÙË ÁÓÒÌË Û·˜, ÔÈ ·Èٛ˜ ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Ê·ÈÓÔ̤ÓÔ˘; ‚) ¶ÔÈÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜ ı· ÚÔÙ›ӷÙÂ, ÒÛÙ ӷ ·˘ÍËı› ÙÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ÁÈ· ÙÔ ‚È‚Ï›Ô;
°ÂÓÈ΋ ÂÎÙ›ÌËÛË: √ ∆À¶√™ ∆√À £∂ª∞∆√™ O ÚÔÛÊÂÚfiÌÂÓÔ˜ ÂÎıÂÛÈfiÙÈÙÏÔ˜ ÂÓÙ¿ÛÛÂÙ·È ÛÙËÓ Î·ÙËÁÔÚ›· ÙˆÓ ıÂÌ¿ÙˆÓ ·Ó·Ï˘ÙÈ΋˜ ‰È·Ù‡ˆÛ˘ Ì ÛΤÏÔ˜ ‰Â‰ÔÌ¤ÓˆÓ Î·È Â˘‰È¿ÎÚÈÙË ÂÚˆÙËÌ·ÙÔıÂÛ›·. ∏ ¶ƒ√µ§∏ª∞∆π∫∏ ∆√À TÔ ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓÔ ı¤Ì· Û˘Ó‰¤ÂÙ·È Ì ÙÔ Û‡Á¯ÚÔÓÔ ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌfi Î·È ·ÓÙ·ÔÎÚ›ÓÂÙ·È ÛÙȘ ÂÌÂÈڛ˜, ÛÙȘ ÁÓÒÛÂȘ Î·È ÛÙ· ÂӉȷʤÚÔÓÙ· ÙÔ˘ ˘Ô„ËÊ›Ô˘. EȉÈÎfiÙÂÚ·, Ë ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈ΋ ÙÔ˘ ÎÚ›ÓÂÙ·È ÂÈηÈÚÈ΋, ÁÈ·Ù› Ë Ù¯ÓÔÏÔÁÈ΋ ˘ÂÚ·Ó¿Ù˘ÍË Î·È Ë ÂÎÏËÎÙÈ΋ ÚfiÔ‰Ô˜ Ô˘ Û˘ÓÙÂÏÂ›Ù·È Â·Ó·ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÈ ÙÔ ÚfiÏÔ Î·È ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘Ø ı¤ÛË È‰È·›ÙÂÚ· ·Ú·ÁΈÓÈṲ̂ÓË, fiˆ˜ ÈÛÙÔÔÈ› ÙÔ ı¤Ì·. ¢È¢ÎÚÈÓÈÛÙÈ΋ ÛËÌ›ˆÛË: KÚ›ÓÔ˘Ì ··Ú·›ÙËÙÔ Ó· ‰È¢ÎÚÈÓ›ÛÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ Ï·›ÛÈÔ ‰ÈÂÚ‡ÓËÛ˘ Ô˘ ˘Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘ÌÂ Î·È Ë ·Ó¿Ï˘ÛË Ô˘ ÂȯÂÈÚÂ›Ù·È ‰ÂÓ Â›Ó·È ÌÔÓfi‰ÚÔÌÔ˜. K¿ı ¿ÏÏË ·Ó¿Ù˘ÍË Â›Ó·È ·Ô‰ÂÎÙ‹, ·ÚΛ Ó· Â›Ó·È ÁÓ‹ÛÈ· Î·È ÙÂÎÌËÚȈ̤ÓË.
∞¡∞§À∆π∫√ ¢π∞°ƒ∞ªª∞ ¢π∂ƒ∂À¡∏™∏™ ∆√À £∂ª∞∆√™ ¶ÚÔÏÔÁÈ΋ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ˜ TÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ÂÈÎÔÛÙÔ‡ ·ÈÒÓ· ÛËÌ·ÙÔ‰ÔÙÂ›Ù·È ·fi ÙËÓ Â›ÛÔ‰Ô Ù˘ Ù¯ÓÔÏÔÁ›·˜ ÛÙÔ ¯ÒÚÔ Ù˘ Ù˘ÔÁÚ·Ê›·˜, ÂͤÏÈÍË Ô˘ ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÛ ÙȘ ÚÔ¸Ôı¤ÛÂȘ ÁÈ· ÙË Ì·˙È΋ ·Ú·ÁˆÁ‹ ‚È‚Ï›ˆÓ, Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙÔ ‚È‚Ï›Ô Ó· ηٷÛÙ› ÚÔÛÈÙfi Û ÌÂÁ¿Ï· ÛÙÚÒÌ·Ù· ÙÔ˘ ÏËı˘ÛÌÔ‡. ŸÌˆ˜ ·Ú¿ ÙËÓ ÔÛÔÙÈ΋ Î·È ÔÈÔÙÈ΋ ·‡ÍËÛË ÙˆÓ ‚È‚Ï›ˆÓ, ·Ú·ÙËÚÂ›Ù·È ÙÒÛË Ù˘ ·Ó·ÁÓˆÛÙÈÎfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ηÏÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘ Î·È ÎÚ›ÛË ‚È‚ÏÈÔÊÈÏ›·˜.
∞π∆π∂™ ∆√À º∞π¡√ª∂¡√À 1) H ΢ÚÈ·Ú¯›· ÂÍÂÏÈÁÌ¤ÓˆÓ Ì¤ÛˆÓ ÏËÚÔÊfiÚËÛ˘
‰È·ÊÔÚÔÔÈ› ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÚfiÛ‚·Û˘ ÛÙË ÁÓÒÛË (Ù¯ÓÔÏÔÁÈ΋ ·ӿÛÙ·ÛË, ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎÔ› ˘ÔÏÔÁÈÛÙ¤˜). 2) H ÂÈÎÚ¿ÙËÛË Ù˘ ÙËÏÂfiÚ·Û˘ ·Ôı¤ˆÛ ÙËÓ ÂÈÎfiÓ· ˆ˜ ̤ÛÔ ÂÈÎÔÈÓˆÓ›·˜. (H ÚÔ‹ ÙˆÓ ÏËÚÔÊÔÚÈÒÓ ‰ÈÔ¯ÂÙ‡ÂÙ·È Ì¤Û· ·fi ÙËÓ ÎÈÓÔ‡ÌÂÓË ÂÈÎfiÓ· Ô˘ ˘ÂÚÙÂÚ› Û ·ÌÂÛfiÙËÙ· Î·È ·Ú·ÛÙ·ÙÈÎfiÙËÙ·). 3) H ¿ÎÚ·ÙË ÂÍÂȉ›Î¢ÛË Â˘ÓÔ› Û˘ÛÛÒÚ¢ÛË ÁÓÒÛÂˆÓ ÂȉÈÎÒÓ, ÂÓÒ ·Ôı·ÚÚ‡ÓÂÈ ÙÔ ÁÓ‹ÛÈÔ ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈÛÌfi, Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· Ô‰ËÁÂ›Ù·È Ô ¿ÓıÚˆÔ˜ ÙÔ˘ ηÈÚÔ‡ Ì·˜ ÛÙËÓ ÓÂ˘Ì·ÙÈ΋ ÌÔÓÔ̤ÚÂÈ· Î·È ÛÙË ‰È·ÌfiÚʈÛË ÌÔÓԉȿÛÙ·Ù˘ ÚÔÛˆÈÎfiÙËÙ·˜, ·Ó›Î·Ó˘ Ó· ‰È·Ï¯ı› Ì ÙÔÓ ÎfiÛÌÔ ÙÔ˘ ηÏÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘. 4) H ÂÍÔ˘ıÂÓˆÙÈ΋ ˘ÂÚÂÚÁ·Û›· ÛÂ Û˘Ó‰˘·ÛÌfi Ì ÙËÓ ¤ÏÏÂÈ„Ë ÙÔ˘ ÂχıÂÚÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ ·ÔÌ·ÎÚ‡ÓÂÈ ·fi ÙË ÁfiÓÈÌË Â·Ê‹ Ì ÙÔ ‚È‚Ï›Ô. 5) TÔ Û‡Á¯ÚÔÓÔ Û¯ÔÏÂ›Ô ‰ÂÓ ÂÓı·ÚÚ‡ÓÂÈ ÙËÓ ÂÓ·Û¯fiÏËÛË Ì ÙÔ ‚È‚Ï›Ô, ·ÊÔ‡ ÚÔÎÚ›ÓÂÈ ÙË ÛÙ›ڷ ·ÔÌÓËÌfiÓ¢ÛË ÁÓÒÛˆÓ, ÂÈ‚¿ÏÏÂÈ ¤Ó· ÌfiÓÔ Û¯ÔÏÈÎfi ÂÁ¯ÂÈÚ›‰ÈÔ, ÚÔÛʤÚÂÈ ÁÓÒÛÂȘ ·Ó›ηÈÚ˜, Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ηÏÏÈÂÚÁ› Û¯¤ÛË Â¯ıÚfiÙËÙ·˜ Ì ÙÔ ‚È‚Ï›Ô. 6) H ÚˆÙÔÊ·Ó‹˜ ÓÂ˘Ì·ÙÈ΋ ηı›˙ËÛË Î·È Ë ÂÏÏÈ‹˜ ÁψÛÛÈ΋ ηٿÚÙÈÛË ÛÙÂÚÔ‡Ó ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· ÚfiÛ‚·Û˘ ÛÙÔ ÔÈÔÙÈÎfi ‚È‚Ï›Ô. 7) ™ÙË Û‡Á¯ÚÔÓË «ÎÔÈÓˆÓ›· Ù˘ ·ÊıÔÓ›·˜» fiÔ˘ ΢Úȷگ› Ë ˘ÏÔÊÚÔÛ‡ÓË Î·È Ë Î·Ù·Ó·ÏˆÙÈ΋ ·ÓÙ›ÏË„Ë Î·È ÙÔ ¯Ú‹Ì· ·Ó·ÁÔÚ‡ÂÙ·È Û ˘¤ÚÙ·ÙË ·Í›·, Ô ¿ÓıÚˆÔ˜ ·È¯Ì·ÏˆÙ›˙ÂÙ·È Û ·ÓÙÈÓÂ˘Ì·ÙÈΤ˜ ÂÈÏÔÁ¤˜ Ô˘ ÙÔÓ ·ÔÌ·ÎÚ‡ÓÔ˘Ó ·fi ÙËÓ ·ÙÌfiÛÊ·ÈÚ· ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘.
MÂÙ·‚·ÙÈ΋ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ˜: H ·ÔÌ¿ÎÚ˘ÓÛË ·fi ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÛËÌ·›ÓÂÈ ·Ú·›ÙËÛË ·fi ÙÔ ÛÙÔ¯·ÛÌfi Î·È ÙÔÓ ÎÚÈÙÈÎfi ÏfiÁÔ. AÔ‰˘Ó·ÌÒÓÂÙ·È Ë ÁÏÒÛÛ· Î·È Ì·˙› Ù˘ ˘Ô‚·ıÌ›˙ÂÙ·È Î·È Ë ÛΤ„Ë. XÚ¤Ô˜, ÏÔÈfiÓ, Ù˘ Û‡Á¯ÚÔÓ˘ ÎÔÈÓˆÓ›·˜ Â›Ó·È Ó· ·Ó·Ï¿‚ÂÈ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤Ó˜ ÚˆÙÔ‚Ô˘Ï›Â˜, Ó· ı¤ÛÂÈ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Î·È Ù· fiÚÈ·, Ó· Ï¿‚ÂÈ ıÂÛÌÈο ̤ÙÚ· ÁÈ· ÙËÓ ÚÔÛÙ·Û›· ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
41
£ ∂ª∞ E ∫£∂™∏™
∆ƒ√¶√π °π∞ ¡∞ ∞À•∏£∂π ∆√ ∂¡¢π∞º∂ƒ√¡ ∆√À ∫√π¡√À °π∞ ∆√ µπµ§π√ OÈÎÔÁ¤ÓÂÈ·: EˆÌ›˙ÂÙ·È ÙËÓ Â˘ı‡ÓË Ó· ÂÌÊ˘Û‹ÛÂÈ ÙË ‚È‚ÏÈÔÊÈÏ›· ÛÙÔ Ó¤Ô ¿ÓıÚˆÔ. TÔ ·Ú·Ì‡ıÈ Î·È Ë ·Ê‹ÁËÛË ÛÙÔ ¯ÒÚÔ Ù˘ ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈ·˜ ·ÓÔ›ÁÔ˘Ó ÛÙÔ ·È‰› Ó¤Ô˘˜ ÎfiÛÌÔ˘˜ Î·È ÚÔÂÙÔÈÌ¿˙Ô˘Ó ÙÔ˘˜ Ó¤Ô˘˜ ·Ó·ÁÓÒÛÙ˜. Eη›‰Â˘ÛË: AÓ ·Ó·‚·ıÌÈÛÙ› Î·È ÂÎÛ˘Á¯ÚÔÓÈÛÙ› Ë Âη›‰Â˘ÛË: ¢È·ÚıÚˆÙÈΤ˜ ·ÏÏ·Á¤˜ ÛÙ· ·Ó·Ï˘ÙÈο ÚÔÁÚ¿ÌÌ·Ù·, ·Ó·ÚÔÛ·Ó·ÙÔÏÈÛÌfi˜ ÛÙË ÛÙÔ¯ÔıÂÛ›· Ù˘ ‰È‰·Ûηϛ·˜, ·Ó·ÌfiÚʈÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘, ·ÏÏ·Á‹ ÛÙË ‰È·‰Èηۛ· Ù˘ Ì¿ıËÛ˘. ¶ÔÏÈÙ›·: XˆÚ›˜ ÙË Û˘Ó‰ÚÔÌ‹ Ù˘ ÔÏÈÙ›·˜ οı ÚÔÛ¿ıÂÈ· ÚÔÒıËÛ˘ ÙÔ˘ ηÏÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘ ı· Â›Ó·È ·ÙÂϤÛÊÔÚË. E›Ó·È ·Ó¿ÁÎË, Û˘ÓÂÒ˜, Ë ÔÏÈÙ›· Ó· ÎÈÓËı› ÛÙË ¯¿Ú·ÍË ÌÈ·˜ ÔÏÈÙÈÛÙÈ΋˜ ÔÏÈÙÈ΋˜ ÁÈ· ÙÔ ‚È‚Ï›Ô, Ó· ÂÓı·ÚÚ‡ÓÂÈ ÙËÓ ›‰Ú˘ÛË Ó¤ˆÓ ‚È‚ÏÈÔıËÎÒÓ Î·È Ó· Û˘Ó‰Ú¿ÌÂÈ ÛÙÔÓ ÂÌÏÔ˘ÙÈÛÌfi ÙÔ˘˜, Ó· ÂÓÈÛ¯‡ÛÂÈ ÔÈÎÔÓÔÌÈο ÛÔ‚·Ú¤˜ ÂΉÔÙÈΤ˜ ÚÔÛ¿ıÂȘ Î·È Ó·
ÚˆÙÔÛٷًÛÂÈ ÛÙËÓ ÔÚÁ¿ÓˆÛË ÔÏÈÙÈÛÙÈÎÒÓ ÂΉËÏÒÛÂˆÓ Ô˘ ÚÔ‚¿ÏÏÔ˘Ó Î·È ‰È·‰›‰Ô˘Ó ÙÔ ÔÈÔÙÈÎfi ‚È‚Ï›Ô. ¶ÓÂ˘Ì·ÙÈÎÔ› ¿ÓıÚˆÔÈ: TÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ÁÈ· ÙÔ ‚È‚Ï›Ô Â˘ÓÔÂ›Ù·È Î·È ·fi ÙËÓ ˘Â‡ı˘ÓË ‰Ú·ÛÙËÚÈÔÔ›ËÛË ÙˆÓ ÓÂ˘Ì·ÙÈÎÒÓ ·ÓıÚÒˆÓ, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ Ú¤ÂÈ Ó· ÚˆÙÔÛÙ·ÙÔ‡Ó ÛÙË ‰È¿‰ÔÛË ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘, ‰Â›¯ÓÔÓÙ·˜ ÙÚfiÔ˘˜ ÌÂϤÙ˘ Î·È Î˘Ú›ˆ˜ ı¤ÏÁÔÓÙ·˜ Ì ÙÔ ¤ÚÁÔ ÙÔ˘˜ Î·È ÙË ‰È¿ıÂÛË ÂÈÎÔÈÓˆÓ›·˜. ÕÙÔÌÔ: AÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô Â›Ó·È ÙÔ ¯Ú¤Ô˜ Î·È Ë Â˘ı‡ÓË ÙÔ˘ ·ÙfiÌÔ˘: H ·Ê‡ÓÈÛ‹ ÙÔ˘ Î·È Ë ·ÓÙ›ÛÙ·Û‹ ÙÔ˘ ÛÙËÓ ÈÛÔ¤‰ˆÛË ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙË ‰ÈÂΉ›ÎËÛË Ù˘ ÁÓÒÛ˘ Î·È Ù˘ ÁÓ‹ÛÈ·˜ „˘¯·ÁˆÁ›·˜ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙÔ ÚÒÙÔ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ‚‹Ì· ̇ËÛ˘ ÛÙÔÓ ÎfiÛÌÔ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘. M.M.E.: K·ıÔÚÈÛÙÈÎfi ÚfiÏÔ Î·ÏÔ‡ÓÙ·È Ó· ‰È·‰Ú·Ì·Ù›ÛÔ˘Ó Ù· M.M.E. ÛÙËÓ ÂÎÛÙÚ·Ù›· ÂÓ›Û¯˘Û˘ ÙÔ˘ ηÏÔ‡ ‚È‚Ï›Ô˘: M ÙËÓ ÚÔ‚ÔÏ‹ Ù˘ ˆÊÂÏÈÌfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ Î·È ÙËÓ ÂÎÏ·˝Î¢ÛË ÂÈÛÙËÌÔÓÈÎÒÓ ÂΉfiÛÂˆÓ ı· Û˘ÓÙÂϤÛÔ˘Ó ·ÔÊ·ÛÈÛÙÈο ÛÙËÓ ÙfiÓˆÛË Ù˘ ‚È‚ÏÈÔÊÈÏ›·˜ Î·È Ù˘ ÊÈÏ·Ó·ÁÓˆÛ›·˜ ÙÔ˘ Û‡Á¯ÚÔÓÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘. ◆
42 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
º π§√§√°π∫∞
H E¶IKAIPOTHTA TOY ME™AIøNA Afi ÙË ‰È‰·Ûηϛ· Ù˘ E˘Úˆ·˚΋˜ IÛÙÔÚ›·˜ TÔ˘ Z. TÛÈÚ·ÓÏ‹, K·ıËÁËÙ‹ ÛÙÔ ¶·ÓÂÈÛÙ‹ÌÈÔ Iˆ·ÓÓ›ÓˆÓ
Π
ÔÈ· ÂÈηÈÚfiÙËÙ· ¤¯ÂÈ Ô MÂÛ·›ˆÓ·˜ Î·È Û ÙÈ ÌÔÚ› Ó· ‚ÔËı‹ÛÂÈ ÙËÓ ·ÓıÚÒÈÓË ÛΤ„Ë ÛÙ· ¯ÚfiÓÈ· Ì·˜; TÔ Úfi‚ÏËÌ·, ¤ÙÛÈ fiˆ˜ Ù›ıÂÙ·È, ÚÔ¸Ôı¤ÙÂÈ ÙÂÎÌËÚȈ̤ÓË ·ÍÈÔÏfiÁËÛË ÙˆÓ ÓÂ˘Ì·ÙÈÎÒÓ Î·È ÔÏÈÙÈÛÙÈÎÒÓ ÁÂÁÔÓfiÙˆÓ ÙÔ˘ MÂÛ·›ˆÓ·. º˘ÛÈο ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú¿‰ÔÍÔ, ·Ó ˘ÔÛÙËÚ›ÍÔÌ fiÙÈ Ë ÈÛÙÔÚ›· Î·È ÙˆÓ ·Ï·ÈfiÙÂÚˆÓ ·ÎfiÌË ÂÙÒÓ Â›Ó·È ·ÚÎÂÙ¿ ·ÔÎ·Ï˘ÙÈ΋ ÁÈ· ÙË ÛËÌÂÚÈÓ‹ ÂÔ¯‹, fiˆ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·Ú¿ÍÂÓÔ ·Ó ÙÔ ¯ıÂÛÈÓfi ·È‰› ÙÔ Í·Ó·‚Ú›ÛÎÂÈ Î·Ó›˜, ηٿ ÌÂÁ¿ÏÔ Ì¤ÚÔ˜, ̤۷ ÛÙÔÓ ÒÚÈÌÔ ¿Ó‰Ú· ·ÚÁfiÙÂÚ·.
O ÂÍÔÏÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ ÈfiÙË [MÈÓÈ·ÙÔ‡Ú· Û ¯ÂÈÚfiÁÚ·ÊÔ (‚¢ ÌÈÛfi ÙÔ˘ 14Ô˘ ·È.) Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ ÈÔÙÈÎfi Ì˘ıÈÛÙfiÚËÌ· "Lancelot du Lac". ¢È·ÙËÚÂ›Ù·È ÛÙËÓ EıÓÈ΋ BÈ‚ÏÈÔı‹ÎË ÙÔ˘ ¶·ÚÈÛÈÔ‡]
ŒÓ· ·Ïfi ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Â›Ó·È ›Ûˆ˜ ÂÈÛÙÈÎfi. AÓ ·ÓÔ›ÍÔÌ ¤Ó· ¯¿ÚÙË ÙÔ˘ ÛËÌÂÚÈÓÔ‡ ÎfiÛÌÔ˘ Î·È ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔÌ ٷ ‰È¿ÊÔÚ· ÎÚ¿ÙË, ÙfiÙ ԇÙÂ Ë ÁˆÁÚ·Ê›·, Ô‡ÙÂ Ë ÂıÓÔÁÚ·Ê›· ı· Â›Ó·È ÈηӤ˜ Ó· Ì·˜ ÂÍËÁ‹ÛÔ˘Ó ÙÔÓ ÙÚfiÔ Î·È ÙÔ˘˜ ¯ÒÚÔ˘˜ Ô˘ ·˘Ù¿ η٤¯Ô˘Ó. °È·Ù› ‰ËÏ. Ó· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û’ ·˘Ùfi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÔÈ ¶ÔψÓÔ›, ÛÙÔ ¿ÏÏÔ ÔÈ O‡ÁÁÚÔÈ, ÛÙÔ ¿ÏÏÔ ÔÈ TÛ¤¯ÔÈ ‹ ÔÈ BÔ‡ÏÁ·ÚÔÈ Î.Ï. °È·Ù› ÂΛ Ó· Â›Ó·È Û˘ÁÎÂÓÙڈ̤ÓÔ˜ Ô ÌÔ˘ÛÔ˘ÏÌ·ÓÈÎfi˜ ÎfiÛÌÔ˜ ‹ Â‰Ò ÔÈ ÔÚıfi‰ÔÍÔÈ ¯ÚÈÛÙÈ·ÓÔ› Î·È ÂΛ ÔÈ Î·ıÔÏÈÎÔ›. K·ÌÈ¿ ÂÚÌËÓ›· ‰ÂÓ ı· Â›Ó·È ÈηӋ Ó· Ì·˜ ›ÛÂÈ, ·Ó ‰ÂÓ ·Ó·ÙÚ¤ÍÔÌ ÛÙÔ MÂÛ·›ˆÓ·, ÛÙ· ¯ÚfiÓÈ· ‰ËÏ. ÂΛӷ, ηٿ Ù· ÔÔ›· ÔÈ ·Ú·¿Óˆ Ï·Ô› ‚Á·›ÓÔ˘Ó
·fi ÙËÓ ·ÛËÌfiÙËÙ¿ ÙÔ˘˜ Î·È ÌÂÙ·ÎÈÓÔ‡ÓÙ·È ·fi ÙȘ ÚˆÙÔÁÂÓ›˜ ηÙÔÈ˘ ÙÔ˘˜, ÁÈ· Ó· ηٷϿ‚Ô˘Ó Ù· ›‰È· ÂÚ›Ô˘ ̤ÚË fiÔ˘ Û‹ÌÂÚ· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È. K·ÌÈ¿ ÂÍ‹ÁËÛË ‰ÂÓ ı· Â›Ó·È ·ÚÎÂÙ‹ ·Ó ‰ÂÓ ÌÂÏÂÙ‹ÛÔÌ ٷ ¯ÚfiÓÈ· ÙÔ˘ MÂÛ·›ˆÓ·, ηٿ Ù· ÔÔ›· ÔÈ ıÚËÛ΢ÙÈΤ˜ ‰Ôͷۛ˜, Ô˘ ‰ÂÓ ·‡Ô˘Ó Ó· ÙȘ ÈÛÙÂ‡Ô˘Ó ÔÈ ›‰ÈÔÈ Ï·Ô›, ›¯·Ó ·ÏÒÛÂÈ ÙËÓ ÚÒÙË ÙÔ˘˜ Ú›˙·, Û˘Óԉ¢fiÌÂÓ˜ Ì fiϘ ÙȘ ÔÏÈÙÈÛÙÈΤ˜ ÌÔÚʤ˜ Ù˘ ÁÏÒÛÛ·˜, ÙˆÓ È‰ÈˆÌ¿ÙˆÓ Î·È ÙÔ˘ ·ÏÊ¿‚ËÙÔ˘ Ô˘ ·ÎfiÌË ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È. H ÂıÓÔÏÔÁÈ΋ ‰È·ÌfiÚʈÛË ÙˆÓ Ï·ÒÓ ÛÙÔ MÂÛ·›ˆÓ· ¶ÔÙ¤ ÛÙËÓ ÈÛÙÔÚ›· ‰Â Û˘Ó¤‚ËÛ·Ó ÙfiÛ˜ ·ÏÏ·Á¤˜ ÂıÓÔÏÔÁÈΤ˜ fiÛ˜ ηٿ ÙÔ MÂÛ·›ˆÓ·, ȉ›ˆ˜ ·fi ÙÔÓ 5Ô ˆ˜ ÙÔÓ 11Ô ·È. ÕÏϘ ÂÚ›Ô‰ÔÈ ÈÛÙÔÚÈΤ˜ ¤¯Ô˘Ó Ó· Âȉ›ÍÔ˘Ó ÙÂÚ¿ÛÙÈ· ·Ó¿Ù˘ÍË ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÈÓÔ˘ Ó‡̷ÙÔ˜. ¶ÔÙ¤ fï˜ Ë ÈÛÙÔÚ›· ‰ÂÓ Â›‰Â, Î·È ›Ûˆ˜ ‰Â ı· ‰ÂÈ, ÌÈ· Ù¤ÙÔÈ· ·Ó·ÛٿوÛË Î·È ·Ó¿ÌÈÍË Ï·ÒÓ Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ÛÙËÓ AÛ›·, ÛÙËÓ E˘ÚÒË Î·È ÛÙËÓ AÊÚÈ΋. °È’ ·˘Ùfi ‰ÂÓ Â›Ó·È ˘ÂÚ‚ÔÏ‹ ·Ó ԇ̠fiÙÈ ÔÈ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘ Û‡Á¯ÚÔÓÔ˘ ÎfiÛÌÔ˘ Ú›¯ÙËÎ·Ó ÙfiÙÂ, ÛÙÔ MÂÛ·›ˆÓ·. ŒÙÛÈ, ÌfiÓÔ Ì ÙË ÌÂϤÙË Ù˘ ÂÔ¯‹˜ ·˘Ù‹˜ Á›ÓÂÙ·È ·ÓÙÈÏËÙfi˜ Ô ÛËÌÂÚÈÓfi˜ ÂıÓÔÁÚ·ÊÈÎfi˜ ¯¿ÚÙ˘. TfiÛÔ ÛÙË ‰˘ÙÈ΋ fiÛÔ Î·È ÛÙËÓ ·Ó·ÙÔÏÈ΋ E˘ÚÒË ÔÈ ÛËÌÂÚÈÓÔ› οÙÔÈÎÔÈ Â›Ó·È Ï›ÁÔ Ôχ ÔÈ Î·Ù·ÎÙËÙ¤˜ ÙÔ˘ ÚÒÈÌÔ˘ MÂÛ·›ˆÓ·Ø Ë ‚fiÚÂÈ· AÊÚÈ΋ Î·È Ë ‰˘ÙÈ΋ AÛ›· ˆ˜ ÙË ÏÂοÓË ÙÔ˘ IÓ‰Ô‡ ÔÙ·ÌÔ‡ ··ÚÙ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ “·Ú·‚ÈÎfi” ‹ ÈÛÏ·ÌÈÎfi ÎfiÛÌÔ, ÙÔÓ ÔÔ›Ô ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÛ·Ó ÔÈ ÚÒÙÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘ Mˆ¿ÌÂı ηٿ ÙÔ˘˜ 7Ô Î·È 8Ô ·È. OÈ Î·Ù·ÎÙ‹ÛÂȘ ÙˆÓ ™ÂÏÙ˙Ô‡ÎˆÓ TÔ‡ÚΈÓ, ÙÔÓ 11Ô ·È., ¿ÓÔÈÍ·Ó ÙÔ ‰ÚfiÌÔ ÛÙÔ˘˜ OıˆÌ·ÓÔ‡˜ TÔ‡ÚÎÔ˘˜Ø ·ÎfiÌË, Ë ÌÔÁÁÔÏÈ΋ ¤ϷÛË ÙÔ˘ 13Ô˘ ·È. ÚÔοÏÂÛ ÌÂÚÈ΋ ·Ó·Î·Ù¿Ù·ÍË ÙˆÓ Ï·ÒÓ Ù˘ AÛ›·˜ Î·È Ù˘ ·Ó·ÙÔÏÈ΋˜ E˘ÚÒ˘. OÈ “‚¿Ú‚·ÚÔÈ” ÁÂÚÌ·ÓÈÎÔ› Ï·Ô› °fiÙıÔÈ, B¿Ó‰·ÏÔÈ, ºÚ¿ÁÎÔÈ, BÔ˘ÚÁÔ‡Ó‰ÈÔÈ, AÏ·Ì·ÓÔ›, ÕÁÁÏÔÈ, ™¿ÍÔÓ˜, IÔ‡ÙÔÈ, ·fi ÙÔÓ 5Ô ˆ˜ ÙÔÓ 7Ô ·È., È‰Ú‡Ô˘Ó, ‡ÛÙÂÚ· ·fi ÙȘ ·ÏÏ¿ÏÏËϘ ÂȉÚÔ̤˜ ÙÔ˘˜, ‚·Û›ÏÂÈ·, fiÔ˘ Î·È Û‹ÌÂÚ· ηÙÔÈÎÔ‡Ó ÔÈ ·fiÁÔÓÔ› ÙÔ˘˜ °ÂÚÌ·ÓÔ›, °¿ÏÏÔÈ, ÕÁÁÏÔÈ, OÏÏ·Ó‰Ô›, ™Î·Ó‰ÈÓ·‚Ô›. ¢ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÓÙ›ÚÚËÛË fiÙÈ ÔÈ “‚¿Ú‚·ÚÔÈ” ·˘ÙÔ› Ï·Ô›, fiˆ˜ ·ÔηÏÔ‡ÓÙ·È ·fi ÙÔ˘˜ ÈÛÙÔÚÈÎÔ‡˜, ÈÔ Ôχ ηٿÛÙÚ„·Ó Î·È ÁÎÚ¤ÌÈÛ·Ó ·Ú¿ ¤¯ÙÈÛ·Ó, fiÙÈ Ë ÚÔÛˆÈ΋ ÙÔ˘˜ Û˘Ì‚ÔÏ‹ ÛÙËÓ ÎÏËÚÔÓÔÌÈ¿ ÙÔ˘ ÔÏÈÙÈ-
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
43
H E ¶π∫∞πƒ√∆∏∆∞ ÛÌÔ‡ ˘‹ÚÍ ·ÚÎÂÙ¿ ·‰‡Ó·ÙË. E›Ó·È ·˘ÙÔÓfiËÙÔ, ÂÍ ¿ÏÏÔ˘, fiÙÈ Ì›· ÙfiÛÔ ÚÈ˙È΋ ÌÂÙ·ÌfiÚʈÛË ÙÔ˘ ¯¿ÚÙË ÙÔ˘ ÎfiÛÌÔ˘ ÚÔοÏÂÛ ٷ˘Ùfi¯ÚÔÓ· Î·È ‚·ıÈ¿ ·ÏÏ·Á‹ ÛÙË ‰È·ÌfiÚʈÛË Ù˘ ÔÈÎÔÓÔÌÈ΋˜, ÓÂ˘Ì·ÙÈ΋˜ ‹ ËıÈ΋˜ ˙ˆ‹˜ ÙˆÓ ·ÓıÚÒÈÓˆÓ ÎÔÈÓˆÓÈÒÓ. H ÁÓÒÛË ÂÔ̤ӈ˜ ÙˆÓ ÈÛÙÔÚÈÎÒÓ Ù˘¯ÒÓ Ô˘ ÛËÌ·‰Â‡Ô˘Ó ÙÔ˘˜ “‚·Ú‚¿ÚÔ˘˜” Â›Ó·È ÂȂ‚ÏË̤ÓË, ·Ó ı¤ÏÔÌ ӷ ηٷÓÔ‹ÛÔÌ ÙÔ ¯·Ú·ÎÙ‹Ú·, ÙË ÓÔÔÙÚÔ›·, ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ù˘ ÛΤ„˘ Î·È ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜, ÙȘ ·Ú·‰fiÛÂȘ, ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ÁÂÓÈο Î·È ÓÂ˘Ì·ÙÈÎfi ÂÚÈ‚¿ÏÏÔÓ ÙˆÓ ·ÔÁfiÓˆÓ ÙÔ˘˜ Â˘Úˆ·˚ÎÒÓ Ï·ÒÓ. M ·˘ÙÔ‡˜ ¿ÏψÛÙ ÛÙÂÓÔ› ‰ÂÛÌÔ› Ì·˜ ÂÓÒÓÔ˘Ó Î·È Î·ıËÌÂÚÈÓ¿ ÂÚ¯fiÌ·ÛÙ Û ÂÈÎÔÈÓˆÓ›· Î·È Û ·ÓÙ·ÏÏ·Á¤˜ ›Ù ÛÙÔÓ ÂÌÔÚÈÎÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎfi ÙÔ̤· ›Ù ÛÙÔ ÌÔÚʈÙÈÎfi. H ÁÓÒÛË ·ÎfiÌË Ù˘ ÔÏÈÙÈ΋˜ Î·È ÔÏÈÙÈÛÙÈ΋˜ ÙÔ˘˜ ÈÛÙÔÚ›·˜ ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙ÂÈ, fi¯È ÌfiÓÔ ÛÙÔÓ ÈÛÙÔÚÈÎfi, ·ÏÏ¿ Î·È ÛÙÔÓ ÔÏÈÙÈÎfi Î·È ÛÙÔ ‰Èψ̿ÙË, ¤Ó· ÛÔ‚·Úfi ·fiıÂÌ· ÓÂ˘Ì·ÙÈÎÔ‡ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘, Ô˘ ·Ó·ÌÊÈÛ‚‹ÙËÙ· ‚ÔËı¿ ÛÙËÓ ÂÚÌËÓ›· ÙˆÓ ıÂÙÈÎÒÓ ‹ ·ÚÓËÙÈÎÒÓ ·ÓÙȉڿÛÂˆÓ ÙˆÓ Ï·ÒÓ ·˘ÙÒÓ. AÓ·ÎÂÊ·Ï·ÈÒÓÔÓÙ·˜, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ô MÂÛ·›ˆÓ·˜ ·ÔÙÂÏ› Ì›· ÂÚ›Ô‰Ô Î·Ù’ ÂÍÔ¯‹Ó ÔÚÁ·ÓÈ΋, Ì ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο ·˘ÙÔÙÂÏ‹ Î·È ÛÙÔȯ›· ÁfiÓÈÌ· Ô˘ ‰È·ÌÔÚÊÒÓÔ˘Ó Î·Ù¿ ÙÚfiÔ ıÂÙÈÎfi ÙËÓ ÂfiÌÂÓË Ï·ÌÚ‹ ÂÚ›Ô‰Ô Ù˘ AÓ·Á¤ÓÓËÛ˘. ¢ÂÓ ÌÔÚ› fï˜ ÁÈ’ ·˘Ùfi
∆√À
M ∂™∞πø¡∞
Ó· ıˆÚËı› Î·È ˆ˜ ÂÚ›Ô‰Ô˜ ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋ ‹ Ì›· “·Ù¤ÏÂȈÙË ÛÎÔÙÂÈÓ‹ Ó‡¯Ù·”. OÈ ÌÂÁ¿Ï˜ “‚·Ú‚·ÚÈΤ˜” ÂȉÚÔ̤˜, ÔÈ ÂıÓÈΤ˜ ˙˘ÌÒÛÂȘ, ÔÈ ÂÓ·ÏÏ·ÛÛfiÌÂÓ˜ ÔÏÈÙÈΤ˜ Î·È ÔÈÎÔÓÔÌÈΤ˜ ·ʤ˜, Ù· ÎÚ·ÙÈο ÌÔÚÊÒÌ·Ù·, ÔÈ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÓÂ˘Ì·ÙÈΤ˜ Î·È ÎÔÈÓˆÓÈΤ˜ ηٷÛÙ¿ÛÂȘ, ÔÈ ÂÊ¢ڤÛÂȘ ˘„ËÏ‹˜ Ú¿ÁÌ·ÙÈ Ù¯ÓÔÏÔÁ›·˜, Ô ¤ÓÙÔÓÔ˜ ıÚËÛ΢ÙÈÎfi˜ Ê·Ó·ÙÈÛÌfi˜, ÙÔ Ì˘ÛÙÈÎÈÛÙÈÎfi Ó‡̷ Î·È Ô ·ÓÙȉڷÛÙÈÎfi˜ ÌÔÓ·¯ÈÛÌfi˜, Ë ÂÚÈÂÙÂÈ҉˘ ˙ˆ‹ ÙÔ˘ ÈfiÙË, Ë ·ÛÎËÙÈ΋ ˙ˆ‹ ÙÔ˘ ÌÔÓ·¯Ô‡ Î·È Ë Ù·ÂÈÓ‹ ˙ˆ‹ ÙÔ˘ ‰Ô˘ÏÔ¿ÚÔÈÎÔ˘, ÁÂÓÈο ηıÂÙ› Ô˘ ‰È·Û·ÊËÓ›˙ÂÈ ÔÔÈ·‰‹ÔÙÂ Ù˘¯‹ ÙÔ˘ ÔÏÈÙÈÎÔ‡, ÎÔÈÓˆÓÈÎÔ‡ Î·È ÓÂ˘Ì·ÙÈÎÔ‡ ‚›Ô˘ ηٿ ÙÔÓ MÂÛ·›ˆÓ·, ·Í›˙ÂÈ Ó· ÌÂÏÂÙËı› ·˘Ùfi ηı’ ·˘Ùfi Û·Ó ÂÓÂÚÁfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ù˘ ·ÁÎfiÛÌÈ·˜ ÈÛÙÔÚ›·˜. AÏÏ¿ Ë ÁÓÒÛË Î·È Ë ·Ó¿Ï˘ÛË ÙˆÓ ·Ú·¿Óˆ Ê·ÈÓÔÌ¤ÓˆÓ Ù˘ ˙ˆ‹˜ ηٿ ÙË ÌÂ۷ȈÓÈ΋ ÂÚ›Ô‰Ô ÂӉȷʤÚÔ˘Ó fi¯È ÌfiÓÔ ÙÔÓ ÈÛÙÔÚÈÎfi, Ì· Î·È ÙÔÓ ¤ÌÔÚÔ, ÙÔÓ ÔÈÎÔÓÔÌÔÏfiÁÔ, ÙÔ ‰Èψ̿ÙË, ÙÔÓ ÔÏÈÙÈÎfi, ÙÔ ÏÔÁÔÙ¤¯ÓË, ÙÔÓ Î·ÏÏÈÙ¤¯ÓË, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ Ì¿ÏÈÛÙ· ÂÌÓ¤ÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ÂÔ¯‹ Î·È ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÔ‡Ó ÚˆÙfiÙ˘· ¤ÚÁ·1. K·È ÙÔ‡ÙÔ, ÁÈ·Ù› Ù· ÚÔ·Ó·ÊÂÚı¤ÓÙ· ÛÙÔȯÂÈÔıÂÙÔ‡Ó ÙÔ˘˜ ıÂÌÂÏÈÒ‰ÂȘ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ÛÙË ‰È·ÌfiÚʈÛË ÙÔ˘ ¯·Ú·ÎÙ‹Ú· Î·È Ù˘ Û˘ÌÂÚÈÊÔÚ¿˜ ÙˆÓ E˘Úˆ·›ˆÓ ηٿ ÙÔ˘˜ ÓÂfiÙÂÚÔ˘˜ Î·È ÙÔ˘˜ Û‡Á¯ÚÔÓÔ˘˜ ·ÎfiÌË Î·ÈÚÔ‡˜.
◆
1. N· ı˘Ì›Ûˆ .¯. ÙË ‰ÈÂıÓ‹ ÂΉÔÙÈ΋ Î·È ÎÈÓËÌ·ÙÔÁÚ·ÊÈ΋ ÂÈÙ˘¯›· ÙÔ˘ ÌÂ۷ȈÓÈÎÔ‡ Ì˘ıÈÛÙÔÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ Umberto Eco “Il nome della rosa” (1980), Ô˘ ΢ÎÏÔÊfiÚËÛÂ Î·È ÛÙ· ÂÏÏËÓÈο (TÔ fiÓÔÌ· ÙÔ˘ Úfi‰Ô˘). ¶Ú‚Ï. ·ÎfiÌË ÙÔ ÚfiÛÊ·ÙÔ ÎÈÓËÌ·ÙÔÁÚ·ÊÈÎfi ¤ÚÁÔ §¿ÓÛÂÏÔÙ Ô ÚÒÙÔ˜ ÈfiÙ˘ (First Knight), ‚·ÛÈṲ̂ÓÔ ÛÙÔ ÔÌÒÓ˘ÌÔ ÈÔÙÈÎfi Ì˘ıÈÛÙfiÚËÌ· (ÙÔ “Livre de Messire Lancelot du Lac”, ÙÔ˘ ‚¢ ÌÈÛÔ‡ ÙÔ˘ 14Ô˘ ·È. - Ì ÂÍ·›ÚÂÙ˜ ÌÈÓÈ·ÙÔ‡Ú˜ ÙÔ ¯ÂÈÚfiÁÚ·Êfi ÙÔ˘ ÛÙË Bibliothèque Nationale ÙÔ˘ ¶·ÚÈÛÈÔ‡). ™‡Á¯ÚÔÓË ·fi‰ÔÛË ÙÔ˘ ̇ıÔ˘ ‚Ï. ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô: §¿ÓÛÂÏÔÙ Ô ÚÒÙÔ˜ ÈfiÙ˘, ¤Ó· Ì˘ıÈÛÙfiÚËÌ· Ù˘ EÏ›˙·ÌÂı TÛ¿ÓÙÁÔ˘ÈÎ, ·fi ÌÈ· ÈÛÙÔÚ›· ÙˆÓ §ÔÚÓ K¿ÌÂÚÔÓ, N٤ȂÈÓÙ Xfi˙ÂÏÙÔÓ Î·È O˘›ÏÈ·Ì N›ÎÔÏÛÔÓ, ÛÂÓ¿ÚÈÔ: O˘›ÏÈ·Ì N›ÎÔÏÛÔÓ, ÌÂÙ¿ÊÚ·ÛË: EÚÚ›ÎÔ˜ M·ÚÙ˙ÈÓfiÔ˘ÏÔ˜, Aı‹Ó· 1995.
ZAXAPIAΣ TΣIPΠANΛHΣ
Ευρωπαϊκ ιστορα χιλων χρ νων (5ος-15ος αι.) φιλοδοξε να καλψει το παρ ν εγχειρδιο. Η λη του καταν µεται σε δο µ ρη: α) στο Μεσαωνα και τα µεθοδολογικ προβλµατ του% β) στην αφγηση και ερµηνεα γεγον των και θεσµν της µεσαιωνικς Ευρπης. Παρουσιζονται τσι κεφλαια αναφερ µενα στον ρο ‘‘Μεσαωνας’’, στην αρχ και στο τ λος της περι δου, στην εξ λιξη των µεσαιωνολογικν ερευνν και σπουδν, στην τυπολογα των οικεων πηγν, στην επικαιρ τητα της γνσης των ιστορικν τυχν της Ευρπης. ∆ιερευννται επσης οι δο βασικο θεσµο της πολιτικς ιδεολογας του µεσαιωνικο ανθρπου, ο ππας δηλ. και ο γερµαν ς αυτοκρτορας, οι τσεις των δο αυτν µεγλων για την παγκ σµια κυριαρχα. Κθε κεφλαιο τεκµηρινεται µε τα πιο πρ σφατα επιτεγµατα της ιστορικς βιβλιογραφας. Το περιεχ µενο του βιβλου πλαισινεται µε χρτες, φωτογραφες, αναπαραγωγ ς χειρογρφων, µινιατορες και λλο εικαστικ υλικ .
44 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
º π§√§√°π∫∞
«H KPI™H» TÔ˘ K. K·ÙÛÈÌ¿ÓË, ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˘ - AÓÙÈÚfi‰ÚÔ˘ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ IÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘
ÎÚ›ÛË Â›Ó·È ¤Ó· ·fi Ù· ÏÈÁfiÙÂÚÔ ÂÏ΢ÛÙÈο ı¤Ì·Ù· Ô˘ Û˘Ó·ÓÙ¿ ηÓ›˜ ÛÙÔ ‰È‰·ÎÙÈÎfi ÂÁ¯ÂÈÚ›‰ÈÔ, ÁÈ·Ù› ÙÔ ÔÈÎÂ›Ô ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Â›Ó·È ÂÓÓÔÈoÏÔÁÈο ˘ÎÓfi Î·È ·Ú¿ÏÏËÏ· ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ÌÂÁ¿ÏÔ ·ÚÈıÌfi fiÚˆÓ Ô˘ ·Â˘ı‡ÓÔÓÙ·È Ê·ÈÓÔÌÂÓÈο ÛÙË ÌÓ‹ÌË. £· ·ÏÔ˘ÛÙ¢Ù› ηٿ Ôχ Ë ‰È‰·ÎÙÈ΋ ·ÚÔ˘Û›·Û‹ ÙÔ˘, ·Ó ¯ˆÚÈÛÙ› Û ‰‡Ô ÙÌ‹Ì·Ù·: TÔ ÚÒÙÔ, ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙȘ ˘ÔÂÓfiÙËÙ˜: «KÚ›ÛË Î·È ÚfiÙ·ÛË», «™˘Ì‚ÔÏÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ÎÚ›Û˘» Î·È «H Û¯¤ÛË Ù˘ ÎÚ›Û˘ Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ·» (ÛÂÏ. 94-96). TÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ, ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ ˘ÔÂÓfiÙËÙ·: «T· ›‰Ë ÙˆÓ ÎÚ›Ûˆӻ (ÛÂÏ. 96-97)*. O ¯ˆÚÈÛÌfi˜ ·˘Ùfi˜ ˘·ÁÔÚ‡ÂÙ·È ·fi ÙÔ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ¯·Ú·ÎÙ‹Ú· ÙÔ˘ οı ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜. TÔ ÚÒÙÔ Â›Ó·È ıˆÚËÙÈÎfiÙÂÚÔ Î·È ÚÔÛʤÚÂÙ·È ÁÈ· ÊÈÏÔÛÔÊÈ΋ ·Ó¿Ï˘ÛË Î·È ÂÌ‚¿ı˘ÓÛË, ÂÓÒ ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Â›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ «Ù¯ÓÈÎfi» Î·È ÂÈ‚¿ÏÏÂÈ ÌÈ· Û˘ÛÙËÌ·ÙÈ΋ ·ÚÔ˘Û›·ÛË, Û˘Óԉ¢fiÌÂÓË ·fi ÙËÓ Î·Ù·ÓfiËÛË ÌÈ·˜ ÛÂÈÚ¿˜ ÔÚÈÛÌÒÓ. ¶ÈÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ: I‰È·›ÙÂÚË ‚·Ú‡ÙËÙ· Ú¤ÂÈ Ó· ‰Ôı› ÛÙÔ ÚÒÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÁÈ· ÙÔ ÏfiÁÔ Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚıËΠ‹‰Ë. M›· ÚÒÙË ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ·ÔÙÂϤÛÂÈ Ë Û‡ÓÙÔÌË ÂÈÛÎfiËÛË ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎÒÓ ÛËÌ·ÛÈÒÓ Ù˘ Ϥ͢ «ÎÚ›ÛË». °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, «·˘Ùfi˜ Ô Ì·ıËÙ‹˜ ‰È·ı¤ÙÂÈ ÎÚ›ÛË»Ø «Ô ‰È¢ı˘ÓÙ‹˜ ·ÔÊ¿ÛÈÛ ηٿ ÙËÓ ÎÚ›ÛË ÙÔ˘»Ø «ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ ÙˆÓ ‰‡Ô ÎÚ·ÙÒÓ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ÎÚ›ÛË» ÎÙÏ. M ÙËÓ Â˘Î·ÈÚ›·, ÂÈÛËÌ·›ÓÂÙ·È fiÙÈ ÛÙË ÏÔÁÈ΋ Ô fiÚÔ˜ «ÎÚ›ÛË» ¤¯ÂÈ ÂȉÈÎfiÙÂÚË ÛËÌ·Û›· Î·È Û˘¯Ó¿ Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙÔÓ fiÚÔ «ÚfiÙ·ÛË». H Û¯¤ÛË Ù˘ ÚfiÙ·Û˘ Ì ÙËÓ ÎÚ›ÛË ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË Û¯¤ÛË ÁÏÒÛÛ·˜ Î·È ÛΤ„˘, Ô˘, ÂÓÒ Û˘Ó˘Ê·›ÓÔÓÙ·È Î·È «Û˘ÏÏÂÈÙÔ˘ÚÁÔ‡Ó», ÛÙËÓ Ô˘Û›· Â›Ó·È ¤ÓÓÔȘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜. A˘Ùfi ı· ηٷÓÔËı› ÏËÚ¤ÛÙÂÚ· Ì ÌÈ· Û‡ÓÙÔÌË ·Ó·ÊÔÚ¿ ÛÙȘ ˘ÔÂÓfiÙËÙ˜ «°ÏÒÛÛ· Î·È ÛΤ„Ë» (ÛÂÏ. 78-79) Î·È «H ÛΤ„Ë ˆ˜ ‰È¿ÏÔÁÔ˜ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ Ù˘ ÁÏÒÛÛ·˜» (ÛÂÏ. 79-80). Y¿Ú¯ÂÈ ÏÔÈfiÓ ‰È·ÊÔÚ¿ ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙËÓ ÚfiÙ·ÛË Î·È ÙËÓ ÎÚ›ÛË, Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ·Ó·Ï˘ı› Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ·Ú·‰ÂÈÁÌ¿ÙˆÓ. ™ÎfiÈÌË ı· ‹Ù·Ó Ë ·Ó¿ÁÓˆÛË ÙÔ˘ Û˘Óԉ¢ÙÈÎÔ‡ ÎÂÈ̤ÓÔ˘ «§ÔÁÈΤ˜ Î·È „¢‰ÔÏÔÁÈΤ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ» (ÛÂÏ. 98), ÁÈ· Ó· ‰ÂȯÙ› Ì ¤ÌÊ·ÛË fiÙÈ, ÂÓÒ Î¿ı ÎÚ›ÛË Â›Ó·È ÚfiÙ·ÛË, οı ÚfiÙ·ÛË ‰ÂÓ Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙÂ Î·È ˘Ô¯ÚˆÙÈο ÎÚ›ÛË. TÂÏÈο, ÙÈ Â›Ó·È Ë ÏÔÁÈ΋ ÎÚ›ÛË; A˘Ùfi ı· ‰ÂȯÙ› Î·È ¿ÏÈ Ì¤Ûˆ ·Ú·‰ÂÈÁÌ¿ÙˆÓ, ·fi Ù· ÔÔ›· ı· ÚÔ·„ÂÈ
H
Ë ·Ó¿Ï˘ÛË Î·È ˘ÔÁÚ¿ÌÌÈÛË ÙˆÓ ÁÓˆÚÈÛÌ¿ÙˆÓ Ù˘. EÈϤÔÓ, Ú¤ÂÈ Ó· ÙÔÓÈÛÙ› fiÙÈ Î¿ı ÏÔÁÈ΋ ÎÚ›ÛË Â›Ó·È ÌÈ· Û¯¤ÛË Î·ÙËÁfiÚËÛ˘ ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ÂÓÓÔÈÒÓ. ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ‰È·‰Èηۛ·, Ì ÙËÓ ÔÔ›· ÌÈ· ¤ÓÓÔÈ· Á¤ÓÔ˘˜ (.¯. Ë ¤ÓÓÔÈ· «ıËÏ·ÛÙÈÎfi») ·Ô‰›‰ÂÙ·È ˆ˜ ηÙËÁÔÚÔ‡ÌÂÓÔ Û ÌÈ· ¤ÓÓÔÈ· ›‰Ô˘˜ (.¯. ÛÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· «Ê¿Ï·ÈÓ·»). OfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ
ŒÓÓÔÈ· Á¤ÓÔ˘˜ (ıËÏ·ÛÙÈÎfi) K
ŒÓÓÔÈ· ›‰Ô˘˜ (Ê¿Ï·ÈÓ·) Y
H Ê¿Ï·ÈÓ· Â›Ó·È ıËÏ·ÛÙÈÎfi
Y-K
M ÙËÓ Â˘Î·ÈÚ›·, ÌÔÚ› Ó· ÂÚÌËÓ¢ı› Î·È ÙÔ Û˘Óԉ¢ÙÈÎfi ΛÌÂÓÔ ·ÚÈı. 3 ·fi ÙȘ ·ÚÈÛÙÔÙÂÏÈΤ˜ K·ÙËÁÔڛ˜ (ÛÂÏ. 92). Œ¯ÂÈ ‹‰Ë ÚÔÂÙÔÈÌ·ÛÙ› ÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ ÁÈ· ÙËÓ ·ÚÔ˘Û›·ÛË Ù˘ Û˘Ì‚ÔÏÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Ù˘ ÎÚ›Û˘ Ì ·Ú¿ÏÏËÏË ÂÈÛ‹Ì·ÓÛË Ù˘ ·Ó¿ÚÎÂÈ¿˜ Ù˘ (Y-K): ÙÔ ÎÏ·ÛÈÎfi Û¯‹Ì· Y-K ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÌfiÓÔ ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ ηÙËÁfiÚËÛ˘ ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ÂÓÓÔÈÒÓ, ¿Ú· ·‰˘Ó·Ù› Ó· ·Ô‰ÒÛÂÈ ÏËÚ¤ÛÙÂÚ˜ ÏÔÁÈΤ˜ Û¯¤ÛÂȘ. A˘Ùfi ÙÔ ÂȯÂÈÚ› Ë «ÏÔÁÈÛÙÈ΋» Ì ÙÔ˘˜ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌÔ‡˜ Ù˘ (ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ·Ú·¤ÌÔÓÙ·È ÁÈ· «Î·Ù’ Ô›ÎÔÓ» ÂÓË̤ڈÛË ÛÙÔ Î›ÌÂÓÔ ·ÚÈı. 3 ÙˆÓ ÛÂÏ. 133-135). TÔ ıˆÚËÙÈÎfi ̤ÚÔ˜ Û˘ÌÏËÚÒÓÂÙ·È Ì ·Ó¿Ï˘ÛË Ù˘ Û¯¤Û˘ ÌÂٷ͇ ÎÚ›Û˘ Î·È ¤ÓÓÔÈ·˜. E‰Ò Ú¤ÂÈ Ó· ‰ÂȯÙ› fiÙÈ: 1. H ¤ÓÓÔÈ· ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÏÔÁÈ΋ ‰È·‰Èηۛ· ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ Û‡ÓıÂÙË ·fi ÂΛÓË Ô˘ ·Ú¿ÁÂÈ ÙËÓ ÎÚ›ÛË Î·È 2. Y¿Ú¯ÂÈ ·ÌÊ›‰ÚÔÌË ÔÚ›· ÌÂٷ͇ ÎÚ›Û˘ Î·È ¤ÓÓÔÈ·˜.
* BÏ. ‚È‚Ï›Ô «ºI§O™OºIA °’ §YKEIOY» ÙˆÓ Î.Î. K. K·ÙÛÈÌ¿ÓË Î·È E. PÔ‡ÛÔ˘.
EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
45
H K ƒπ™∏ TÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ì¤ÚÔ˜ («T· ›‰Ë ÙˆÓ ÎÚ›Ûˆӻ) ÌÔÚ› Ó· ‰È‰·¯Ù› Ì ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ·ÓÔȯÙfi. O ηıËÁËÙ‹˜ Î·È ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ‰È·‚¿˙Ô˘Ó Î·È ·Ó·Ï‡Ô˘Ó Ù· Ù¤ÛÛÂÚ· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· (ÔÈfi, ÔÛfi, ·Ó·ÊÔÚ¿, ÙÚfiÔ), Ì ‚¿ÛË Ù· ÔÔ›· ‰È·ÈÚÔ‡ÓÙ·È ÔÈ ÎÚ›ÛÂȘ, Î·È ÂÈÛËÌ·›ÓÔ˘Ó Ù· ÂÈ̤ÚÔ˘˜ ›‰Ë ÙˆÓ ÎÚ›ÛÂˆÓ Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó Î·Ù¿ ÂÚ›ÙˆÛË. E‰Ò ÚÔ¤¯ÂÈ Ë Î·Ù·ÓfiËÛË, fi¯È Ë ·ÔÌÓËÌfiÓ¢ÛË. Afi ÙËÓ ·Ú¯‹ Ù˘ ·Ó¿ÁÓˆÛ˘, ¤Ó·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ÌÔÚ› Ó· ·Ó·ÁÚ¿ÊÂÈ ÛÙÔÓ ›Ó·Î· Ù· ›‰Ë ÙˆÓ ÎÚ›ÛÂˆÓ ·Ô‰›‰ÔÓÙ¿˜ Ù· Û¯ËÌ·ÙÈο. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·: KÚÈÙ‹ÚÈÔ
™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È Ù· ›‰Ë ÙˆÓ ÎÚ›ÛÂˆÓ Î·Ù¿ ÙÔ ÔÈÔ Î·È, Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ·, ÙÔ ÔÛfi Î·È ·Ó·Ï‡ÂÙ·È Î¿ı ›‰Ô˜ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ, Ì ȉȷ›ÙÂÚË ¤ÌÊ·ÛË ÛÙȘ ·ÓÙÈÊ·ÙÈΤ˜ ÎÚ›ÛÂȘ. Afi ÙË ÛÂÏ. 258 Ô Î·ıËÁËÙ‹˜ ÌÔÚ› Ó· ÂÈϤÍÂÈ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ Ô˘ ı· ÙÔ˘ ÂÈÙÚ¤„Ô˘Ó Ó· ·ÍÈÔÏÔÁ‹ÛÂÈ ÙÔ ‚·ıÌfi ·ÊÔÌÔ›ˆÛ˘ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ ·fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜.
◆
E›‰Ë KÚ›ÛˆÓ
¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·
K·Ù·Ê·ÙÈΤ˜ ¶OIO
AÔÊ·ÙÈΤ˜ °ÂÓÈΤ˜
¶O™O
MÂÚÈΤ˜ AÙÔÌÈΤ˜ K·ÙËÁÔÚÈΤ˜
ANAºOPA
YÔıÂÙÈΤ˜ ¢È·˙¢ÎÙÈΤ˜ B‚·ÈˆÙÈΤ˜
TPO¶O™
AÔ‰ÂÈÎÙÈΤ˜ ¶ÚÔ‚ÏËÌ·ÙÈΤ˜
A
β M
ρ
δ ξ
αφ
γθ ς ε
ζλ
X
46 EÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔÈ ¶ƒOµ§∏ª∞∆π™ª√π
1.
ε
κπαιδευτικο
Πιστεετε τι οι POBΛHMATI POB HMATIΣMOI MOI , πως περιγρφονται στις επιστολ ς του εκδ τη και του επ πτη εκδ σεως και πως διαφανεται απ τα ρθρα του τεχους αυτο, συµβλλουν στην εκπαιδευτικ διαδικασα; OXI
NAI 2.
EN MEPEI
Aν βλ πετε κποιες αδυναµες, πο βρσκονται κατ τη γνµη σας; Eναι απαρατητη
Eναι απαρατητες
K τι λλο (παρακαλο µε αναφρετε την ποψ! σας) :
Mπορετε να µας στελετε το θ µα σας στην παρακτω διεθυνση : EK∆OΣEIΣ ZHTH Σ λωνος 79-81, 54248 Θεσσαλονκη Tηλ. 3 Fax : 031.864 961 Yπψη κας "ννης Z!τη Παρακαλοµε συµπληρστε τα στοιχεα σας : ONOMATEΠΩNYMO
I∆IOTHTA
∆IEYΘYNΣH
ΠOΛH
TAX. KΩ∆.
THΛEΦΩNO
BIBΛIOΠΩΛEIO
APMENOΠOYΛOY 27 (πσω απ τη Pοτντα) THΛ. (031) 203.720, FAX: (031) 211.305 ● ΘEΣΣAΛONIKH 54635
ΓIA TO ΓYMNAΣIO ΓIA TO ΛYKEIO και τις ∆EΣMEΣ
˜ ¤ N
˜ È Â Û fi ‰ EÎ
BIBΛIA Xηµεα I. τοµα Mρια
Kωνσταντνος A. Tσπης
K.TΣIΠHΣ XHMEIA I ( τοµα και Mρια)
TEXNIKA EΠIΣTHMONIKA ΓIA TA AEI, TEI, IEK
Για το Γυµν σιο, το Λ κειο και τις ∆σµες
¶ANE¶I™THMIO I·ÙÚfi˜
T. E. I.
TEXNIKH ™XO§H
™¯ÔÏ‹ T¯ÓÔÏÔÁ›·˜ TÚÔʛ̈Ó
T¯ӛÙ˘ ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎfi˜
™¯ÔÏ‹ ¢ÈÔ›ÎËÛ˘ Î·È OÈÎÔÓÔÌ›·˜
T¯ӛÙ˘ ·˘ÙÔÎÈÓ‹ÙˆÓ
™¯ÔÏ‹ E·ÁÁÂÏÌ¿ÙˆÓ YÁ›·˜ Î·È ¶ÚfiÓÔÈ·˜
M˯·ÓÔÙ¯ӛÙ˘
M˯·ÓÔÏfiÁÔ˜ °ÂˆfiÓÔ˜
™¯ÔÏ‹ °ÂˆÔÓ›·˜
æ˘¯ÔÏfiÁÔ˜ KÔÈÓˆÓÈÔÏfiÁÔ˜ K·ıËÁËÙ‹˜ ¢ÈÎËÁfiÚÔ˜
¢ËÌÔÛÈÔÁÚ¿ÊÔ˜ OÈÎÔÓÔÌÔÏfiÁÔ˜
™¯ÔÏ‹ T¯ÓÔÏÔÁÈÎÒÓ EÊ·ÚÌÔÁÒÓ
HÏÂÎÙÚÔÙ¯ӛÙ˘ XÚ˘ÛÔ¯fiÔ˜ T˘ÔÁÚ¿ÊÔ˜
EP°A™IA ™ÙË BÈÔÌ˯·Ó›· ™ÙÔ EÌfiÚÈÔ ™ÙÔ ¢ËÌfiÛÈÔ ™ÙȘ TÚ¿Â˙˜
£E™™™A§ONIKH 1996
Π. IAKΩBOY ANOPΓANH XHMEIA
P. ΓKANTΣI∆OY N. MATAKI∆HΣ ANOPΓANH OPΓANIKH XHMEIA ΣYN∆YAΣTIKH BIOΛOΓIA
∆. ΦAPMAKHΣ EKΘEΣH MEΘO∆OΛOΓIA και TEXNIKH
M. ΛIANTAΣ EΠAΓΓEΛMATIKOΣ ΠPOΣANATOΛIΣMOΣ
N. ΛOYTPA∆HΣ OΛOKΛHPΩMATA 1ης ∆EΣMHΣ
B. BOΣKOΣ AΛΓEBPA B' ΛYKEIOY
EK¢O™EI™ £E™™A§ONIKH 1995
Θ. ΞENOΣ ΓENIKA ΘEMATA MAΘHMATIKΩN 4ης ∆EΣMHΣ
Θ. ΞENOΣ MAΘHMATIKA A' ΓYMNAΣIOY
N. ΛAMΠPOΠOYΛOΣ AΛΓEBPA 4ης ∆EΣMHΣ
Tα βιβλα µας θα τα βρετε και σε λα τα βιβλιοπωλεα της Eλλ δας. T/ρα µπορετε να δετε τις εκδσεις µας και στο βιβλιοπωλεο " ŒÓˆÛË EΉÔÙÒÓ
BÈ‚Ï›Ô˘ £ÂÛÛ·ÏÔӛ΢ " Στο του Bιβλου, Πανεπιστηµου Πεσµατζγλου, Aθ να.
Για την εξυπηρτησ! σας, το βιβλιοπωλεο µας αναλαµβ νει την ταχυδροµικ! αποστολ!
σ’ λη την Eλλ δα των βιβλων που σας χρει ζονται µε αντικαταβολ!.
Zητ!στε να σας στελουµε τον αναλυτικ τιµοκατ λογο των εκδσε/ν µας.
