Механика и молекулярная физика.Часть 1: Практическое пособие к лабораторным работам

1

М И Н И СТ Е РСТ В О

О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И

В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

М Е Х АН И К А И М О Л Е К У Л Я Р Н АЯ Ф И ЗИ К А Ч АС Т Ь 1 П

к лаборат орны м работ ам по специа льностям: химия– 011000 геология– 011100 экологическаягеология– 013300 гидрогеологияи инж енерна ягеология– 014400 геоф изика – 011200 биология– 011600 почв ов едение– 013000

Р А КТИ Ч Е С КО Е П О С О Б И Е

В оронеж – 2005

2

У тв ерж дено на учно-методическим сов етом ф изического ф а культета 15 декабря2004 г., протокол№ 10

Соста в ители: С .Д . М ил о видо ва А .С . С идо ркин О .В. Ро га зинска я А .П . Ла за рев А .М . Ко сцо в

П ра ктическое пособие подготов лено на каф едре экспериментальной ф изики ф изического ф а культета В оронеж ского госуда рств енного унив ерситета . Рекомендуется для студентов 2 курса биолого-почв енного, химического, геогра ф ического, геологического ф а культетов . Ра бота в ы полнена при поддерж ке гра нта VZ-010 А мериканского ф онда гра ж да нских исследов а ний и ра зв ития (CRDF) и по програ мме «Ф унда мента льны е исследов а нияи в ы сш ее обра зов а ние»

3

С О Д Е Р Ж АН И Е I.1. П ра в ила ра боты в ла бора тории. О ф ормление результа тов ра боты … ...4 I.2. О бра ботка результа тов ф изическогоэксперимента … … … … … … … .....6 I.3. И зучение измерительны хприборов … … … … … … … … … … … … … … .15 I.4. О пределение плотности тв ерды хтел… … … … … … … … … … … … … ...19 II. Га рмонические колеба ния… … … … … … … … … … … … … … … … … .....22 Ра бота 2-1. И сследов а ние за конов колеба тельного дв иж ения ма тема тическогои оборотногома ятника на уста нов ке сэлектронны м секундомером … … … … … … … ................28 Ра бота 2-2. П ров ерка за конов колебанияма тема тического ма ятника и определение ускорениясв ободного па дения..… … ...31 III. За туха ю щие колеба ния… … … … … … … … … … … … … … … .… … … … 33 Ра бота 3-1. О пределение лога риф мическогодекремента за туха нияи коэф ф ициента за туха ниякрутильны х колеба ний … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...36 Ра бота 3-2. О пределение лога риф мического декремента за туха нияи коэф ф ициента за туха ний колеба ний ма тема тического ма ятника … … … … … … … … … … … … … … … … ...38 IV. Ра бота 4. И зучение за конов дина мики поступа тельного дв иж енияс помощью ма ш ины А тв уда … … … … … … … … … .… … … ...… 41 V. В ра ща тельное дв иж ение тв ерды х тел … … … … … … … … … … … .… … .43 Ра бота 5-1. О пределение моментов инерции тв ерды х тел при помощи крутильны х колеба ний … … … … … … … … … … ..… … … .49 Ра бота 5-2. О пределение моментов инерции тв ерды хтел спомощью ма ятника М а ксв елла … … … … … … … … … … … … … … 53 Ра бота 5-3. О пределение моментов инерции тв ерды х тел спомощью триф илярного подв еса .… .. … … … … … … … … ...56 Ра бота 5-4. И сследов а ние в ра ща тельногодв иж ения тв ерды х тел с помощью ма ятника О бербека … … … … … … … .59 VI. Ра бота 6. О пределение скорости полета «пули» спомощью ба ллистическогома ятника … … … … … … ... … ...63

4

1.1. П Р А В И ЛА Р А Б О ТЫ В ЛА Б О Р А ТО Р И И , О Ф О Р М ЛЕ НИ Е Р Е ЗУ ЛЬ ТА ТО В Р А Б О ТЫ П ередна ча лом в ы полненияла бора торногопра ктикума каж ды й студентобяза нпрой ти инструкта ж по технике безопа сности!!! П равила работ ы в лаборат ории В на ча ле семестра соста в ляется гра ф икв ы полнения ра бот на в есь семестр. Студент долж ен за ра нее зна ть тему св оей ла бора торной ра боты и подготов иться кней по методическому руков одств у и другой указа нной в нем литера туре. П еред в ы полнением каж дой ла бора торной ра боты необходимо прой ти кра ткое собеседов а ние спрепода в а телем и получить ра зреш ение на ее в ы полнение. О но да ется в том случа е, если студент четко зна ет цель ра боты , методику пров едения эксперимента , умеет пользов а ться прибора ми. П ри в ы полнении ла бора торной ра боты использую тся только те приборы и прина длеж ности, которы е указа ны в методическом руков одств е кней . П Р И С ТУ П А ТЬ К В Ы П О ЛН Е Н И Ю ЛА Б О Р А ТО Р Н Ы Х Р А Б О Т БЕЗ Р А ЗР Е Ш Е Н И Я П Р Е П О ДА В А ТЕ ЛЯ КА ТЕ ГО Р И Ч Е С КИ В О С П Р Е Щ А Е ТС Я! В конце за нятия студент обяза н предъяв ить препода в а телю результа ты св оей работы . Ра бота счита ется в ы полненной , если результа ты утв ерж дены и подписа ны препода в а телем. П осле этого необходимо в ы клю чить уста нов ку, прив ести в порядокра бочее место. И обяза тельно узна ть, какую ра боту студентбудетв ы полнять на следую щем за нятии. О формлениеот че т ов П о результа та м каж дой ла бора торной ра боты соста в ляетсяотчет. О н долж енв клю ча ть: 1. К ра ткую теорию , описа ние метода исследов а ния, в се необходимы е ф ормулы , в том числе и ра счетную с пояснением ф изического смы сла в ходящих в нее симв олов (0,5-1 стр.). 2. У слов ияопы та – темпера туру, да в ление и т.д. (если это в а ж но). 3. Д а лее следует ра здел «В ы полнение ра боты » с обяза тельны м на зв а нием каж догоупра ж нения. 4. Т а блицы с результа та ми измерений и ра счетов . Т а блицы соста в ляю тся та к, чтобы из них бы ло ясно, какие ф изические

5

в еличины и в каких единица х измерялись, сколько ра з пов торялись измерениякаж дой ф изической в еличины . 5. Ста тистическую обра ботку результа тов измерений . 6. В ы в оды . О ни долж ны бы ть а ргументиров а ны ссы лками на соотв етств ую щие та блицы и гра ф ики, которы е долж ны бы ть пронумеров а ны О тчет долж ен бы ть на писа н в хорош ем стиле, а ккура тны м ра зборчив ы м почерком. П ри его оф ормлении не следует та кж е пренебрега ть и эстетической стороной в опроса . За голов ки, в ы в оды и ф ормулы целесообра зно в ы делять па стой другого цв ета , подчеркнуть и т.п. Э то облегчаетчтение отчета . Графики Гра ф ики использую тся для на глядного предста в ления результа тов . П ри ихпостроении необходимо соблю да ть рядпра в ил: 1. Граф ики нуж но строить толькона миллиметров ой бума ге. 2. Н а осях необходимо на нести ма сш та бную сетку, указа ть единицы измеренияи симв олы изобра ж а емы х в еличин. 3. М а сш та б долж ен бы ть просты м, удобны м для отсчета его долей . Н а пример, 1 см = 0,1; 1; 2 или 10 единиц. К роме того, ма сш та б в ы бира ю т та к, чтобы в се экспериментальны е точки в ош ли в гра ф ики доста точнода леко отстояли друг отдруга . И ногда для этой цели бы в а ет удобно сместить на ча ло отсчета в доль осей . М асш та б поосям Х и У мож етбы ть ра зличен. Э ксперимента льны е точки следует на носить с ма ксимальной точностью та к, чтобы они четко в ы делялись на ф оне гра ф ика, не слив а ясь сним. 4. Гра ф ик долж ен предста в лять собой пла в ную крив ую без изломов и перегибов . Н уж но стремиться пров ести крив ую та к, чтобы эксперимента льны е точки ра в номерно ра спределялись по обе стороны отнее (рис. 11). Гра ф ики, в ы полненны е на миллиметров ой бума ге, а ккура тно в клеив а ю тся в отчет, где для них необходимо предусмотреть соотв етств ую щее место. Рис. 11

6

2. О Б Р А Б О ТКА Р Е ЗУ ЛЬ ТА ТО В Ф И ЗИ Ч Е С КО ГО ЭКС П Е Р И М Е Н ТА Ф изика – на ука опы тна я, это озна ча ет, что на чалом и концом каж дого ф изического исследов а ния яв ляется опы т. О пы т яв ляется одним из средств на учного позна ния мира . П ров еденны й в ла бора торны х услов иях опы т носит на зв а ние эксперимента . Э ксперимента тор, ста в я тот или иной опы т, измеряет ряд ф изических в еличин, зна ние которы х позв оляетему судить оха ра ктере да нного ф изического яв ления. В а ж но не только умение произв одить эксперимента льны е измерения, но и умение ма тема тически обра бота ть результа ты измерений . Без этого ценность лю бы хизмерений ра в на нулю . Ч то ж е зна читв ообще – измерить какую -либо в еличину? И змерить какую -либо в еличину – зна чит узна ть, сколько ра з содерж итсяв ней однородна ясней в еличина , принята яза единицу меры . И змеренияподра зделяю тсяна прямы еи косвенны е . П рямы м на зы в а ется измерение, при котором искомое зна чение в еличины на ходится непосредств енно из опы та путем отсчета по ш кале измерительного прибора . Т а к, на пример, измерение длины некоторого тела мы произв одим путем последов а тельного прикла ды в а ния кнему другого тела , длина которогопринята за единицу длины . Э то та к на зы в а емое непосредств енное или прямое измерение. П рямы м измерением мы пользуемся дов ольно редко: та ков о измерение ма ссы тела с помощью в есов , определение темпера туры тела термометром и т. д. Н а пра ктике ча ще в сего мы ста лкив а емся с косвенны м измерением, т.е. мы измеряем не са м у требуемую в еличину, а ряд других в еличин, св яза нны х с искомой определенны ми соотнош ениями. И скома я в еличина на ходится по ф ормуле, в которую в ходят ф изические в еличины , на й денны е при прямы х измерениях. Н а пример: определение плотности тела по его геометрическим ра змера м и ма ссе, определение силы тока по на пряж ению и сопротив лению и т. д. Ф изика яв ляется не только о пыт но й, но и т о чно й на укой , поэтому для подтв ерж дения той или иной теории необходимо в есьма тща тельное измерение ф изических в еличин. М еж ду тем а бсолю тно точно измерить какую – либо в еличину нельзя, что яв ляется следств ием неточности измерительны х инструментов и приборов , трудности учета некоторы хф а кторов , в лияю щих на измеренияи т. д. К а ж дое измерение, как бы тща тельно оно не бы ло пров едено, отлича ется от истинного зна чения измеряемой в еличины , т. е. имеет погреш ность.

7

Точност ь изм е ре ния опре де ляе т ся т ой наим е ньш е й част ью е диниц ы м е ры , до кот орой с у ве ре нност ью в правильност и ре зу льт ат а м ож но прове ст и изм е ре ние . Степень точности за в исит и от методики измерений и от точности приборов . П реж де чем приступа ть кизмерениям, необходимо определить пределы точности, которы е могут бы ть получены с да нны ми прибора ми. Т а к, на пример, при определении плотности тв ердого тела необходимо определить ма ссу тела и его геометрические ра змеры с помощью ш та нгенциркуля. Е сли последнее измерение мож ет бы ть пров едено с точностью ≈ 1%, то нет никакого смы сла в зв еш ив а ть тело с точностью до соты хи ты сячны х долей %. Т.е ., е сли прих одит ся изм е рят ь различны е ве личины и пре де лы возм ож ной т очност и у них оказы ваю т ся различны м и, т о не т оснований при от де льны х изм е ре ниях вы х одит ь за пре де лы т очност и наим е не е т очно изм е ряе м ой ве личины . П о ха ра ктеру в лияния на результа ты измерений погреш ности делятся на 3 типа : система тические, случа й ны е, прома хи. С ист е м ат иче ским и на зы в а ю тся погреш ности, в еличина которы х не меняется при пов торении измерений да нной в еличины в тех ж е услов иях (тем ж е методом, теми ж е прибора ми и т. д.). Система тические погреш ности в озникаю т в тех случа ях, когда не учиты в а ется в лияние на результа ты эксперимента ра зличны х постоянно дей ств ую щих ф а кторов : темпера туры , да в ления, в ла ж ности в оздуха , в ы та лкив а ю щей силы А рхимеда , сопротив ления подв одящих пров одов , конта ктны х Э Д С и т. п. И сточниками система тических погреш ностей могут бы ть та кж е измерительны е приборы в следств ие неточности их гра дуиров ки или неиспра в ности. И склю чение система тических погреш ностей требует принятия специа льны х мер предосторож ности. К ним относятся: 1. Св оев ременны й ремонти система тическаяпров ерка приборов . 2. И спользов а ние специа льны х способов измерения (например, дв ой ное в зв еш ив а ние для исклю чения нера в ноплечности в есов , использов а ние охра нны х колец при измерении объемного сопротив ления плохих пров одников , позв оляю щее исклю чить в лияние их пов ерхности) 3. В несение соотв етств ую щих попра в окна в лияние в неш нихф а кторов . П ром ах – это очень груба я погреш ность, в ы зв а нна я нев нима тельностью эксперимента тора (нев ерны й отсчет показа ний прибора , описка при за писи показа ний и т. д.). П рома хи могут сильно исказить результа ты измерений , особенно в тех случа ях, когда их число нев елико. В ы в од: при в ы полнении ра боты нуж нобы ть очень в нима тельны м, не спеш ить, не отв лекаться.

8

С лу чайны м и на зы в а ю тся погреш ности, в еличина и зна к которы х меняется непредсказуемы м обра зом при пов торны х измерениях да нной в еличины в тех ж е услов иях. Случа й ны е погреш ности могутбы ть в ы зв а ны неточностью отсчетов , которую непроизв ольно в носит в измерение эксперимента тор, и которы е яв ляю тся следств ием несов ерш енств а на ш ихорга нов чув ств и некоторы хдругих обстоятельств , которы е не могутбы ть за ра нее учтены (измененияда в ленияв оздуха , темпера туры , толчки зда ния, в лияю щие на показа ния точного зеркального га льв а нометра и т. д.). М ногокра тное пов торение отсчетов измерения сниж а ет уров ень случа й ны хош ибок. С ре дне е ариф м е т иче ское из больш ого числа изм е ре ний, коне чно, ближ е все го к ист инном у значе нию изм е ряе м ой ве личины . В отпочему в ла бора торной пра ктике в сегда пров одят неоднокра тное измерение какой либо в еличины . Случа й ны е погреш ности подчиняю тся за кона м теории в ероятности. В да льней ш ем мы будем гов орить только о случа й ны х погреш ностях, опускаяслов о «случа й ны е» . В основ е теории погреш ностей леж а ттри а ксиомы : 1. Случа й ны е погреш ности, ра в ны е по а бсолю тной в еличине, но против ополож ны е по зна ку, ра в нов ероятны . Э то озна чает, что мы мож ем с одина ков ой в ероятностью ош иба ться какв одну, та ки в другую сторону (какв меньш ую , та ки в больш ую ). 2. Среднее а риф метическое из случа й ны х погреш ностей измерений одной и той ж е в еличины при ув еличении числа измерений стремитсякнулю . 3. Ч ем больш е по а бсолю тной в еличине погреш ность измерения, тем меньш е ее в ероятность, т.е. тем реж е она в стреча ется. Т еперь в ы ясним, как в ы числяю тся погреш ности при прямы х измерениях, а за тем при косв енны х. В ы числе ние погре ш ност е й прям ы х изм е ре ний П редста в им, что мы на опы те измерили какую -либо в еличину и получили в сего «m» результа тов отдельны х измерений : N1, N2, N3… Nn –в сего «n» измерений . П о сказа нному в ы ш е – среднее а риф метическое будет на иболее близким кистинному зна чению измеряемой в еличины :

N=

N1 + N 2 + N 3 + ... + N n n

Будем на зы в а ть в еличину N средним а риф метическим или, с некоторы м приближ ением, истинны м зна чением искомой в еличины . Н а й дем ра зницу меж ду отдельны м каж ды м измерением и истинны м зна чением измеряемой в еличины , т.е.

9

N - N1 = ±∆N1 N - N2 = ±∆N2 … … … … … N - Nn = ±∆ Nn. Берем зна ки ±, т.к.Ni могутбы ть какбольш е, та ки меньш е N. Р азност ь м е ж ду ист инны м значе ние м изм е ряе м ой ве личины и от де льны м изм е ре ние м дае т нам абсолю т ну ю погре ш ност ь от де льного изм е ре ния. С ре дне е ариф м е т иче ское из числе нны х значе ний от де льны х ош ибок назы вае т ся сре дне й абсолю т ной ош ибкой изм е ре ний: (абсолю т ны е ош ибки бе рут ся по абсолю т ной ве личине )

∆N =

∆N1 + ∆N 2 + ... + ∆N n . n

Зна я а бсолю тны е погреш ности отдельны х измерений , мож но на й ти относительны е ош ибки отдельны х измерений , которы е предста в ляю т собой отнош ение следую щих в еличин:

∆N1 = Ε1; N1

∆N n ∆N 2 = Ε 2 ;... = Εn. N2 Nn

О тносительны е погреш ности в ы ра ж а ю тся обы чно в %, в то в ремя кака бсолю тны е – в единица х измеренияискомой в еличины . О т нош е ние сре дне й абсолю т ной ош ибки ∆N к сре дне м у ариф м е т иче ском у N назы вае т ся сре дне й от носит е льной ош ибкой изм е ре ния:

∆N = Ε. N

Н а пример: 1. И змерение в ремени: t1 = 20,0 с t2 = 19,7 с t3 = 20,1 с t4 = 19,8 с t=79,6:4=19,9 с Е =

∆ t1 = -0,1 с ∆t2 = +0,2 с ∆ t3 = -0,2 с ∆t4 = +0,1 с ∆ t =0,6:4=0,15 с≈ 0,2 с

0,15 с ≈ 0,007 ≈ 0,01; или в процента х Е =1 %. 19,9 с

И скомы й результа тза писы в а ется: t = (19,9±0,2) с.

10

2. И змерение толщины пла стинки: D1 = 2,24 мм d2 = 2,28 мм d3 = 2,20 мм d = 6,78:3 = 2,24 мм

Ε=

0,026 мм ≈1%, 2,24 мм

∆ d1 = 0,00 мм ∆ d2 = -0,04 мм ∆ d3 = +0,04 мм ∆ d = 0,08:3 мм ≈ 0,026 ≈ 0,03 мм d = (2,24±0,03) мм.

О тсю да в идно, что а бсо л ют на я по греш но ст ь по ка зыва ет , в ка ких предел а х на хо дит ся измеряема я вел ичина . П о а бсо л ют но й по греш но ст и мо ж но судит ь и о т о чно ст и измерения о дно ро дных вел ичин о дно го по рядка . Н а пример, l 1 = 25 см; ∆l 1 = 0,1 см и l 2 = 50 см; ∆l 2 = 0,01 см, в торое измерение сделанос точностью в 10 ра з больш ей , чем перв ое. О т но сит ел ьна я ж е по греш но ст ь по зво л яет судит ь о ст епени т о чно ст и измерения вел ичин ра зных по рядко в ка к о дно ро дных, т а к и ра зно ро дных. П оясним это примером: Бы ли измерены дв е ф изические в еличины – толщина пла стинки d и скорость св ета c. С учетом а бсолю тны х ош ибокизмерения эти в еличины за пиш утся: d ± ∆d = (2,25 ± 0,01) мм, с ± ∆ с= (300000 ± 100) км/с. Н а перв ы й в згляд (по а бсолю тны м ош ибкам измерения) каж ется, что толщина пла стинки измерена точнее скорости св ета . Н о! Зна чение ∆ d и ∆ с не позв оляет судить о степени точности этих измерений . Н а й дем относительны е погреш ности: 0,01 мм Εd = ≈ 0,4 %, 2,25 мм

100 км/ с ≈ 0,03 %, 300000 км/ с откуда следует, что в торое измерение бы ло произв едено с точностью , примерно в 10 ра з больш ей , чем перв ое, что с перв ого в згляда бы ло неочев идно. В том случа е, когда да нна яф изическаяв еличина определяла сь много ра з – теоретически число измерений ра в но ∞ - степень точности результа та измерений мож но оценить более строго, в оспользов а в ш ись ф ормулой , Εc =

11

которую да ет теория в ероятностей . Э то та к квадрат ичная абсолю т ная погре ш ност ь:

∆N ква др = ±

на зы в а ема я

сре дняя

n 2 ∑ ∆N i i =1 .

(

)

n(n − 1)

Здесь n – число измерений , а ∑ (∆ Ni)2 есть сумма ква дра тов а бсолю тны х ош ибокотдельны хизмерений . Д о сих пор мы гов орили о погреш ностях прямы х измерений , которы е в ла бора торной пра ктике в стреча ю тсяне столь ча сто. П огре ш ност и косве нны х изм е ре ний В больш инств е случа ев для получения результа та на до произв ести ряд прямы х измерений других в еличин, св яза нны х меж ду собой определенны ми ф ормула ми. Зна я погреш ности, допущенны е при измерениях этих в еличин, в ходящих в ф ормулу для определенияискомого результа та , необходимо определить и погреш ность са мого результа та . Ра ссмотрим какв ы числяю тсяпогреш ности косв енны хизмерений . I. И змеряема я искома я в еличина на ходится каксумма дв ух в еличин А и В , на й денны хиз опы та . Зна чит, тогда изв естны ∆ А и ∆В . Н а й дем ∆ N. N=A+B (1) N = ∆ N = (A ± ∆ A) + (B ± ∆ B) = A + B ± ∆A ± ∆ B (2) C учетом (1) из (2) получим: ± ∆ N = ± ∆ A ± ∆B. В ы бира ем са мы й небла гоприятны й случа й , когда ош ибка ∆ N яв ляется ма ксима льной , тогда , суммируяош ибки, получа ем: ∆N = ±(∆ A + ∆B) – а бсолю тна я погреш ность суммы ра в на сумме а бсолю тны х погреш ностей сла га емы х. О тносительна япогреш ность на й детсяпо ф ормуле:

Ε=

∆N ∆Α + ∆Β = N Α+Β

В ообще гов оря, здесь перед дробью долж енстоять зна к± , но мы для кра ткости письма в да льней ш ем будем егоопускать, не за бы в а яо нем. II.

О чев идно, сов ерш енно а налогично мы получим ∆ N для случа я ра зности ∆ N = ∆А + ∆ B

12

–а бсолю тна я погреш ность ра зности ра в на сумме а бсолю тны х погреш ностей уменьш а емого и в ы чита емого, и

Ε=

∆Α + ∆Β Α−Β

III. А бсолю тна я и относительна я погреш ность произв едения дв ух сомнож ителей : N=A·B; ∆A; ∆B; ∆ N=?; Е =? N± ∆ N=(A± ∆A)(B± ∆ B)=AB± A∆B± ∆ BA± ∆A ·∆ B, откуда ∆ N = A∆ B + B∆ A , т.е. а бсолю тна я ош ибка произв едения ра в на сумме произв едений перв ого сомнож ителя на а бсолю тную погреш ность в торого и в торого сомнож ителяна а бсолю тную погреш ность перв огосомнож ителя.

Ε=

Α∆Β + Β∆Α ∆Β ∆Α = + , ΑΒ Β Α

т.е. относительная погреш ность произв едения ра в на относительной погреш ности сомнож ителей . IV. А бсолю тна яи относительна япогреш ность дроби:

сумме

Α N = ; И зв естны ∆ А и ∆ B; Н еобходимо на й ти ∆N=? Β Α ± ∆Α Β ± ∆Β ΑΒ ± Α∆Β ± Β∆Α ± ∆Α ⋅ ∆Β N± ∆N = ⋅ = . 2 2 Β ± ∆Β Β ± ∆Β Β − ∆Β

Зна к± берем потому, что ош ибка дроби будет ма ксима льной , если зна мена тель будетминима льны м.

∆Ν =

Α∆Β + Β∆Α

.

Β2 Α∆Β + Β∆Α Β ∆Β ∆Α Ε= ⋅ = + Α Α Β Β2

–

результа ттотж е, чтои дляслуча япроизв едения. V. А бсолю тна яи относительна япогреш ность степенной ф ункции: N = An; ∆ A; ∆ N=? N = A·A·A·… ·A – n сомнож ителей . Н а й дем сна ча ла Е .

∆Α ∆Ν , т.к. Ε = , то Α Ν ∆Α n ∆Ν = Ε ⋅ Ν = n Α = n ⋅ Α n −1∆Α = ∆Ν . Α Ε=n

VI.

А бсолю тна яи относительна япогреш ность корня: Ν = n Α . Н а й дем ∆ N и Е какдлястепенной ф ункции

13

Ε=

N = A1/n

1 ∆Α n Α

1

1 ∆Α 1 / n 1 n −1 1 Αn ∆Ν = Α = Α ⋅ ∆Α = ∆Α . n Α n n Α VII. Н а й дем ∆ N и Е , если искома я в еличина есть тригонометрическая ф ункцияизмеряемой в еличины . а ) N=sinα; ∆α; ∆ N -? N± ∆ N=sin(α± ∆ α)=sinαcos∆ α±cosαsin∆α =sinα±cosα∆α. Считаяcos∆ α=1; sin∆ α≈ ∆ α, ∆ N= cosα · ∆α

Ε= А на логичнобез в ы в ода

cos α ∆α = ctgα∆α . sin α

∆α

b) N=cosα;

Δ N=

c) N=tgα;

Δ N=

d) N=ctgα;

Δ N=

cos 2 α ∆α cos 2 α ∆α sin 2 α

sinαΔ α;

E=tgαΔ α..

;

E=

;

2∆α . sin 2α 2∆α E= . sin 2α

И з в ы ш еприв еденны х примеров на хож дения а бсолю тны х и относительны х ош ибок мож но сдела ть следую щий в ы в од, которы й позв олитупростить на хож дение Δ N и Е : 1) средние а бсо л ют ные о ш ибки мо ж но на хо дит ь по пра вил а м дифференциро ва ния, за менив зна чо к дифференциро ва ния (d) зна чко м о ш ибки(Δ). Зна ки(+ ил и-) приэт о м на до выбира т ь т а к, чт о бы а бсо л ют на я о ш ибка был а max. 2) О т но сит ел ьную по греш но ст ь резул ьт а т а мо ж но на йт и сл едующ им о бра зо м: л о га рифмируем исхо дно е выра ж ение, а за т ем его дифференцируем, за меняя в ко нечно м ит о ге зна чкиd на зна чо к Δ. Зна ки + и – о пят ь – т а ки выбира ем т а ким о бра зо м, чт о бы а бсо л ют на я вел ичина о т но сит ел ьно й о ш ибки был а бы ма ксима л ьно й.

14

П роиллю стрируем на хож дение Δ N и Е косв енны х измерений . 1.

И змеряема я в еличина

на ходится по ф ормуле

N=

2ab 2 c3

.

В еличины а , b и c на ходятся прямы ми измерениями и для них ра ссчиты в а ю тся Δ а , Δ b, Δ c. Н еобходимо на й ти а бсолю тную и относительную ош ибки в еличины N: Δ N-? EN-? Н а й дем Δ N: дляэтого в на ча ле продиф ф еренцируем в се в ы ра ж ение дляN:

dN =

2ab 2 d (c 3 ) + c 3d ( 2ab 2 ) (c 3 ) 2

ab 2

=

2ab 3 3c 2 dc + c 3 (2da ⋅ b 2 + 2a ⋅ 2bdb c6

=

b2

ab = 6 4 dc + 2 3 da + 4 3 db; c c c

за тем зна чки диф ф еренциров а ния за меняем на а бсолю тную ош ибку Δ N:

Δ

и получа ем

b2

ab ab ∆Ν = 2 3 ∆a + 4 3 ∆b + 6 4 ∆c. c c c

Т еперь на й дем Е , исходяиз зна ченияΔ N .

∆Ν 2b 2 ∆ac 3 ab∆bc 3 ab 2 ∆c 3 ∆a ∆b ∆c Ε= = 3 + 4 + 6 c = + 2 + 3 . Ν c ⋅ 2ab 2 a b c c 3 2ab 2 c 4 2ab 2 И з этого примера в идно, что здесь проще бы ло бы на й ти относительную ош ибку, а за тем а бсолю тную . Скаж ем сра зу, что в о в сех тех случа ях, когда искома я в еличина есть произв едение и дробь в еличин, измеренны х непосредств енно на опы те, удобнее и легче на ходить в перв ую очередь относительную погреш ность, а за тем а бсолю тную . В са мом деле:

N=

2ab 2 c3

, lnN=ln2+lna+2lnb-3lnc, после диф ф еренциров а ния,

за мены зна чков диф ф еренциров а ния на Δ и изменения зна ков та к, чтобы ош ибка бы ла ма ксима льна яполуча ем

E=

∆Ν ∆a ∆b ∆c = +2 +3 . Ν a b c

А теперь, если нуж но, мож но на й ти и Δ N, зна я, чтоΔ N=Е ·N.

15

3.И ЗУ Ч Е НИ Е И ЗМ Е Р И ТЕ ЛЬ Н Ы Х П Р И Б О Р О В И зучениенониусов Ч а сто при измерении длины какого-либо тела длина его не укла ды в а ется в целое число делений ма сш та ба . Д ля того чтобы мож но бы ло поручитьсяпри линей ны х измерениях и за десяты е доли ма сш та ба (а иногда и за соты е), пользую тсянониусом. Н ониус – это дополнительна я ш кала к основ ному ма сш та бу (линей ному или кругов ому), позв оляю ща я пов ы сит точность измерения с да нны м ма сш та бом в 10, 20 и более числора з. Н ониусы бы в а ю т линей ны е и кругов ы е, прямы е и обра тны е, нера стянуты е и ра стянуты е. Л иней ны й нониус предста в ляет собой небольш ую линей ку (ш калу), скользящую в доль больш ей ма сш та бной линей ки (рис.2). К а к в идно из рис.1, 10 делений нониуса соотв етств ую т9 делениям основ ного ма сш та ба . В случа е прямого нера стянутого нониуса , которы й мы ра ссма трив а ем, одно деление нониуса короче одного деления ма сш та ба на в еличину Δ , котора я на зы в а ется точностью нониуса . 0 10 20 Т очность нониуса Δ яв ляется ра зностью Рис. 2 длинделений основ ного ма сш та ба и нониуса и легко мож етбы ть определена , если мы зна ем число делений нониуса n и длину на именьш его деленияма сш та ба α m

1 ∆ = αm . n

Д лина отрезка, измеряема я при помощи нониуса , будет ра в на числу целы х делений ма сш та ба до нуля нониуса плю с точность нониуса , умнож енна я на 0 5 10 номер его деления, сов па да ю щего с некоторы м делением ма сш та ба . Н а рис.3 длина тела ра в на 13 – ти целы м 0 10 20 30 и 3-м десяты х, та к Рис. 3 как сов па да ет с делениями ма сш та ба 3 – е деление нониуса . П огреш ность, котора я мож ет в озникнуть при та ком методе отсчета , будет обусла в лив а ться неточны м сов па дение деления нониуса с одним из

16

делений ма сш та ба , и в еличина ее не будетпрев ы ш а ть, очев идно,

1 ∆. 2

Т а ким обра зом, мож но сказа ть, что погреш ность нониуса ра в на полов ине еготочности. В обра тном нониусе длина одного деления нониуса больш е длины одного деления ма сш та ба на в еличину точности нониуса . Т ехника измерения с обра тны м нониусом та кая ж е, что и с прямы м, с той лиш ь ра зницей , что обра тны й нониус прикла ды в а ется к концу измеряемого отрезка та ким образом, чтобы числа делений нониуса убы в а ли в сторону в озра ста нияделений основ ного ма сш та ба . Ч тобы легче бы ло за метить, какое деление нониуса сов па да ет с каким- либо делением основ ной ш калы , на пра ктике дела ю т нониусы ра стянуты ми. П рямой ра стянуты й нониус получится, если длина одного деления нониуса будет короче не одного на именьш его деления ма сш та ба (какмы пола га ли до сихпор), а дв ух, трех и т.д. на именьш ихделений его. Т очность нониуса в этом случа е определяетсяпо той ж е ф ормуле. К ругов ой нониус в принципе ничем не отлича ется отлиней ного. О н предста в ляетсобой небольш ую дугов ую линей ку, скользящую в доль круга лимба , ра зделенного на гра дусы или на доли гра дуса (рис. 4). Т очность кругов ого нониуса обы чнов ы ра ж а етсяв минута х. Ч а сто кругов ы е нониусы в прибора х, в которы х необходимо отсчита ть углы в обоих на пра в лениях (по ча сов ой 0 стрелке или против нее), состоят из дв ух сов ерш енно 10 20 30 одина ков ы х ш кал, 170 170 ра сполож енны х по обе стороны от нуля. Л егко 175 185 предста в ить, что при отсчете 180 следует в сегда пользов а ться Рис.4 той ш калой , котора я идет в перед по на пра в лению отсчетов . О чень ча сто в кругов ы х нониуса х α м =0,5о=30 минут , а n ра в но 15 или 30, в та ком случа е точность нониуса , соотв етств енно ра в на дв ум минута м или одной минуте. В ла бора торной пра ктике для измерения длин, площа дей и объемов на иболее ра спростра ненны ми прибора ми яв ляю тся ш та нгенциркуль и микрометр. Ш т анге нц ирку ль Ш та нгенциркуль (рис.5) служ ит для линей ны х измерений , не требую щих в ы сокой точности. О тсчетны м приспособлением у в сех конструкций ш та нгенциркулей служ итоснов на яма сш та бна яш кала ш та нги 1, цена деления которой 1 мм,

17

и линей ны й нониус на подв иж ной ра мке 2. О н предста в ляет собой небольш ую линей ку, скользящую в доль основ ного ма сш та ба . Н а этой линей ке на несена ма ленькаяш кала , состояща яиз m делений . Сумма рна я длина в сех ее m делений ра в на m-1 на именьш им делениям основ ного ма сш та ба , т.е. mx=(m-1)y, где х – длина деления нониуса , а у – длина на именьш его деления

x= y−

ма сш та ба . О тсю да

y , m

а ра зность в длине делений ш калы и нониуса , котора я на зы в а ется

4

1

0 1 2  0.1 мм

15



5

2 3 точностью нониуса , будетра в на

Рис.5

∆x = y − x =

y . m

Э та ра зница и определяетсобой ма ксима льную погреш ность нониуса . П ри нулев ом показа нии инструмента нуль нониуса сов па дает с нулев ы м ш трихом основ ной ш калы . П ри измерении подв иж на я ра мка с нониусом смеща етсяи предметза ж има ется губками 3 ш та нгенциркуля. Т а ккакцена делениянониуса не ра в на цене деленияма сш та ба , то обяза тельно на й дется на нем та кое деление, которое будет ближ е в сего подходить ккакому-то делению ма сш та ба . П ра в ило отсчета мож но сф ормулиров а ть следую щим обра зом: длина предмета , измеряемого при помощи нониуса , ра в на числу целы х делений ма сш та ба плю с точность нониуса , умнож енна я на номер деления нониуса , сов па да ю щего с некоторы м делением ма сш та ба . В ла бора торной пра ктике обы чно использую тся ш та нгенциркули с точностью 0,1 и 0,05 мм, котора яуказы в а етсяна приборе. Д ля измерения в нутренних ра змеров тел служ а т обы чно в ерхние за остренны е нож ки 4. Е сли ж е ш та нгенциркуль не имеет в ерхних нож ек, то измерение в нутренних ра змеров произв одится теми ж е нож ками, которы е служ а т для обмера на руж ны х ра змеров тела ; в этом случа е необходимо учиты в а ть толщину нож ек ш та нгенциркуля, котора я

18

указы в а ется на са мом инструмента . Н екоторы е ш та нгенциркули сна бж а ю тсялиней кой 5, служ а щей дляизмеренияглубин. В ла бора торной пра ктике ш ироко использую тся та кж е кругов ы е нониусы в ра зличны хприбора х дляизмеренияуглов . М икром е т р М икрометр (рис.6) служ ит для измерений диа метров пров олок, небольш их толщинпла стиноки т.п. О нимеетв ид тисков и при измерении предметза ж има етсямеж ду неподв иж ны м стерж нем 1 и подв иж ны м

0

1

2

4

3

5 0.01 мм 0 – 25мм

Рис.6

торцом микрометрического в инта 2. М икров инт в ра ща ю т, держ а сь за трещетку 3. Н а стерж не микров инта укрепленба ра ба н4, с на несенной на нем ш калой , имею щей 50 делений . О тсчет в едется по горизонтальной ш кале 5 и по ш кале ба ра ба на . Х од в инта ( поступа тельное перемещение ба ра ба на и стерж ня2 при сов ерш ении одного оборота в инта ) ра в ен0,5 мм. Э то озна ча ет, что цена деления ба ра ба на 0,01 мм. Следует обра тить в нима ние, что в ы ш е основ ной миллиметров ой ш калы имеется дополнительна ялиней на яш кала , смещенна яотносительно основ ной на 0,5 мм. П реж де чем пользов а ться микрометром, необходимо убедиться, что микрометр испра в лен – нули его ш кал сов па да ю т. И змеряемы й предмет помеща ю тмеж ду стерж нем 1 и в интом 2. За тем, в ра ща яв интза голов ку 3, дов одят его до соприкоснов ения с предметом. М омент за ж а тия ф иксируется треском. П осле этого треска да льней ш ее в ра щение голов ки 3 бесполезно, а ба ра ба на 4 недопустимо. О тсчет произв одят по ш кала м: миллиметры по основ ной линей ной ш кале, доли миллиметра по ш кале на ба ра ба не. П ри отсчете необходимо учиты в а ть, появ ила сь ли полов инка деления в ерхней 20 20 ш калы после последнего перед 15 15 кра ем ба ра ба на деления ниж ней 0 5 0 5 10 10 основ ной ш калы или нет. Н а рис.7 Рис. 27 крупны м планом показа ны ш калы микрометра . К а к в идно из рис.7 (слев а ), когда кра й

19

ба ра ба на переш ел ниж ню ю риску, соотв етств ую щую 6,00 мм, а риска в ерхней ш калы не в идна , то длина измеряемого предмета ра в на 6,15 мм. К огда ж е кра й ба раба на переш ел в ерхню ю риску (рис.7, спра в а ), соотв етств ую щую 6,50 мм, то длина измеряемого предмета ра в на 6,65 мм. Н етрудно понять, что цена деления бара ба на , ра в на я 0,01 мм, и яв ляется точностью прибора , котора яуказы в а етсяна микрометре.

1.4. О П Р Е ДЕ ЛЕ Н И Е П ЛО ТН О С ТИ ТВ Е Р ДЫ Х ТЕ Л, И М Е Ю Щ И Х П Р А В И ЛЬ Н У Ю ГЕ О М Е ТР И Ч Е С КУ Ю Ф О Р М У П риборы и прина длеж ности: исследуемы е тела , ш та нгенциркуль или микрометр, технические в есы сра знов еса ми. П лотностью в еществ а ρ на зы в а ется ф изическая в еличина , измеряема яотнош ением ма ссы в еществ а кегообъему, т.е.

ρ=

m , V

где m – ма сса в еществ а , V – его объем. Д ля определения ρ на до зна ть эти дв е в еличины . М а сса тв ердого тела на ходится при помощи ры ча ж ны х в есов . О бъем тела пра в ильной геометрической ф ормы в ы числяется по ф ормула м геометрии. И змерение линей ны х ра змеров тела произв одится при помощи ш та нгенциркуля или микрометра . Ра ссмотрим дв а примера . У праж нение1. Т ело имеет ф орму прямоугольного па ра ллелепипеда . П усть a, b, c – длины его ребер. Т огда объем па ра ллелепипеда будет ра в ен V=a·d·c. И змерение линей ны х ра змеров тела произв одится с помощью ш та нгенциркуля, точность которого0,05 мм. М а сса тела на ходится на технических в еса х, точность которы х определяется на именьш им ра знов есом, которы й используется при в зв еш ив а нии (обы чноΔ m=10 мг=0,01 г). П усть линей ны е ра змеры тела определяю тся по три ра за в ра зны х места х, а ма сса – один ра з. К а к следует из теории погреш ностей , при небольш ом числе измерений мож но огра ничиться нахож дением средней а риф метической а бсолю тной ош ибки измерений и соотв етств ую щей ей относительной ош ибки. Д а нны е измерений рекомендуетсяза писа ть в та блицу:

20

№ а, п/п мм 1 2 3 Ср

|Δ a|, мм

b, мм

|Δ b|, мм

с, мм

|Δ с|, мм

m, г

Δ m, г

Ра счет ρ ср произв одится по средним зна чениям измеряемы х в еличин, т.е.

ρ ср =

по ф ормуле

m . abc

В се в ы числения необходимо пров одить в одной системе единиц: в ед.СИ (кг, м) или в системе СГС (г, см). О ценим теперь погреш ности измерений . В на ш ем случа е проще сна ча ла в ы числить относительную ош ибку измерений , а за тем уж е а бсолю тную . Т огда , пользуясь пра в илом нахож дения относительной ош ибки косв енногоизмерения, на ходим

Ε=± О ткуда

∆ρ  ∆m ∆a ∆b ∆c  100 % = ± + + + 100 %. ρ ср a b c   m Ε ∆ρ = ρ ср . 100

П осле в ы числения ош ибокнеобходимо сопоста в ить приборны е ош ибки и ра счетную средню ю а бсолю тную ош ибку результа та . Результа т эксперимента следуетза писа ть в в иде ρ = ( ρ ср ± ∆ρ ) г/см 3. У праж нение2. Т ело имеет ф орму цилиндра , диа метр которого ра в енd, а в ы сота Н . Т огда объем тела ра в енV =

1 2 πd H . 4

И змерение линей ны х ра змеров цилиндра произв одится с помощью микрометра , точность которого0,01 мм. М а сса цилиндра определяется на технических в еса х с точностью 0,01 г. П усть ма сса тела определяется одинра з, а ра змеры не менее пяти ра з. Д ля та кого количеств а измерений , как следует из теории погреш ностей , целесообра знее в ы числить средние ква дра тичны е ош ибки измерений σ. Д а нны е измерений за писы в а ю тсяв та блицу:

21

№ d, п/п мм 1 2 3 4 5 Ср

|Δ d|, мм

2

(Δ d) , мм

Н, мм

|Δ Н |, мм

(Δ Н )2, мм

m, г

Δ m, г

Ра счетρ ср произв одится по средним зна чениям измеряемы х в еличин по ф ормуле

ρ ср =

4m πd 2 H

.

Средние ква дра тичны е ош ибки σd и σН на ходятсяпо ф ормуле (18). В да нном примере, как и в преды дущем, удобнее сна ча ла в ы числить относительную ош ибку результа та . П ользуясь та бл.2, на ходим

σρ

2

2

2

 ∆m   σ d   σ H  Ε=± 100 % = ±   +  + 2  100 %. ρ ср  m   d   H  О тсю да средняяква дра тична япогреш ность измеренияплотности

σρ = О конча тельны й за писы в а етсяв в иде

Ε ρ ср . 100

результа т в ы числения плотности

ρ=( ρ ср±σρ ) г/см 3.

тела

22

II.

ГА Р М О Н И Ч Е С КИ Е КО ЛЕ Б А Н И Я

К олеба тельны м дв иж ением (колеба нием) на зы в а ется процесс, при котором система , многокра тно отклоняясь отсв оего состоянияра в нов есия, каж ды й ра з в нов ь в озв ра ща ется кнему. Е сли этот процесс сов ерш а ется через ра в ны е промеж утки в ремени, то колеба ние на зы в а ется перио дическим. Н есмотря на больш ое ра знообра зие колеба тельны х процессов какпо ф изической природе, та ки по степени слож ности, в се они сов ерш а ю тсяпо некоторы м общим за кономерностям и могутбы ть св едены ксов окупности простей ш их периодических колеба ний , на зы в аемы х га рмо ническими, которы е сов ерш а ю тсяпо за кону синуса (или косинуса ). П редполож им, что они описы в а ю тсяза коном x = Α cos ϕ = Α cos(ωt + ϕ 0 ), (1) Здесь x - смещение (отклонение) колеблю щей сясистемы отполож ения ра в нов есия; А - а мплитуда , т.е. ма ксима льное смещение от полож ения ра в нов есия, (ωt + ϕ 0 ) - ф а за колеба ний . Ф изический смы сл ф а зы в том, чтоона определяет смещение х в да нны й моментв ремени, φ о - на ча льна яф а за колеба ния(при t=0); t - в ремяколеба ний ; ω - кругов а яча стота (или углов а яскорость) колеба ний . ω св яза на с 2π ча стотой колеба нияν и периодом колеба нияТ : ω = 2πν = , (2) Τ Т - период - в ремяодногополного колеба ния. Е сли в ура в нении (1) полож ить на ча льную ф а зу φ о =0, то гра ф ик за в исимости смещения х от в ремени или гра ф ик га рмонического колеба ниябудетиметь в ид, предста в ленны й на рис.1. Систему, за кон дв иж ения которой имеет в ид (1), на зы в а ю т x T о дно мерным кл а ссическим га рмо ническим о сцил л ят о ро м. Х орош о изв естны м примером га рмонического осциллятора A t яв ляется тело (ш а рик), подв еш енное на упругой пруж ине. П о за кону Гука при ра стяж ении или сж а тии пруж ины Рис.1 в озникает против одей ств ую ща я сила , пропорциона льна я ра стяж ению или сж а тию х, т.е. тело будет сов ерш а ть га рмонические колеба ния под дей ств ием силы упругости пруж ины F = – kx. О дна ко га рмонические колеба ния в озникаю т под дей ств ием не только упругих, но и других сил,

23

по природе не упругих, но для которы х оста ется спра в едлив ы м за конF = – kx. Т а кие силы получили на зв а ние ква зиупругих. К а кизв естно, дв иж ение системы под дей ств ием силы описы в а ется II-м за коном Н ью тона : ma =F, где a - ускорение колеблю щей ся системы Д ля га рмонических колеба ний F = – kx. Т огда в торой за кон Н ью тона будет иметь в ид неполного диф ф еренциа льного ура в нения в торого порядка

d 2x m 2 + kx = 0 , dt

(3)

d 2x или ура в нение дв иж ениякла ссическогоосциллятора , где a = . dt 2 Реш ением да нного ура в нения (3) яв ляется в ы ра ж ение (1), что нетрудно пров ерить, диф ф еренцируя дв а ж ды (1) по в ремени и подста в ляя в ура в нение (3). П ри этом получим, что

ω2 =

k . m

(4)

Д ля упрощения за писи в да льней ш ем мож но полож ить на ча льную ф а зу нулю (φ о=0), тогда ура в нение (1) будетиметь в ид x = Α cos ω t (1΄) С корост ь га рмонически колеблю щегося тела мож но на й ти, диф ф еренцируяпов ремени ура в нение (1΄):

υ=

x,v,a

dx = − Αω sin ωt dt

или

x

π  υ = Αω cos ωt +  . 2 

(5) В идно, что скорость при га рмонических колеба ниях t тож е изменяется по v га рмоническому за кону, но опереж а ет смещение по ф а зе a Рис.2 π на (или по в ремени на Т /4). 15 2 У скорение тела при га рмонических колеба ниях ра в но:

dυ d 2 x d a= = = (Αω sin ωt ) , или dt dt 2 dt

a = − Αω 2 cosωt = + Αω 2 cos(ωt + π )

(6) Сра в нение этого в ы ра ж ения (6) с (1) показы в а ет, что ускорение и смещение на ходятсяв против оф а зе (рис.2). Э то озна ча ет, что в тотмомент, когда смещение достига ет на ибольш его полож ительного зна чения,

24

ускорение достига ет на ибольш его по в еличине отрица тельного зна чения, и на оборот. К ине т ическая э не ргия осциллятора при га рмоническом колеба нии с учетом (4) и (5) определяетсяследую щим обра зом:

mυ 2 1 Εk = = mA2ω 2 sin 2 ωt. 2 2

П от енц иаль ная э нергия:

1 1 Ε n = kx 2 = kA2 cos 2 ωt , 2 2

а та ккак"k" св яза но с собств енной ча стотой колеба нияосциллятора k ( ω 2 = ), то m

1 Ε n = ω 2 mA 2 cos 2 ωt. 2

П олна я энергия га рмонического осциллятора в процессе колеба ний не меняется. Д ей ств ительно:

1 1 Ε = Ε k + Ε n = mA 2ω 2 (sin 2 ωt + cos 2 ωt ) = mA2ω 2 = const. 2 2

И з последнего в ы ра ж ения в идно, что полна я меха ническая энергия осциллятора пропорциона льна ква дра ту а мплитуды и не за в исит от в ремени. К инетическая и потенциа льна я энергии изменяю тся по га рмоническому за кону, как sin 2 (ωt ) и cos 2 (ωt ), но когда одна из них ув еличив а ется, друга я уменьш а ется. Э то озна ча ет, что процесс колеба ний св яза н с периодическим переходом энергии из потенциа льной в кинетическую и обра тно. Ра ссмотрим некоторы е из кла ссических га рмонических осцилляторов . М ат е м ат иче ский м аят ник

α r N

r P

l

r N

r r Pt α Pn r P Рис.3

М а тема тическим ма ятником на зы в а ю т систему, состоящую из нев есомой и нера стяж имой нити, на которой подв еш ен ш а рик, ма сса ш а рика сосредоточена в одной точке (рис.3). В полож ении ра в нов есия на ш а рик дей ств ую т дв е силы : сила тяж ести P=mg и сила на тяж ения нити N - ра в ны е по в еличине и на пра в ленны е в против ополож ны е стороны . Е сли ма ятникотклонить от полож ения ра в нов есия на небольш ой угол α, то он на чнет сов ерш а ть колеба ния в в ертикальной плоскости под дей ств ием соста в ляю щей силы тяж ести Pt, которую на зы в а ю т та нгенциа льной соста в ляю щей

25

(норма льна я соста в ляю ща я силы тяж ести Pn будет ура в нов еш ив а ться силой на тяж ениянити N). И з рис.3 в идно, что та нгенциа льна я соста в ляю ща я силы тяж ести Ρt = −Ρ sin α . Зна кминус показы в а ет, что сила, в ы зы в а ю ща я колеба тельное дв иж ение, на пра в лена в сторону уменьш енияугла α. Е сли угол α ма л, то синус мож но за менить са мим углом, тогда Ρt = −Ρα = − mgα , С другой стороны , из рис.3 в идно, что угол α мож но за писа ть через длину дуги x и ра диус ℓ: α = x/ℓ, т.е. сила , в озв ра ща ю ща яма ятникв полож ение ра в нов есия, яв ляетсяква зиупругой :

Рt = − где k =

mg x, l

mg - коэф ф ициентква зиупругой силы . l В торой за конН ью тона в этом случа е будетиметь следую щий в ид: d 2 x mg m 2 + x=0 (7). l dt

С учетом (4), мож но за писа ть, что ω

Τ = 2π

2

=

g , откуда l

l . g

(8)

П ериод колеба ний ма тема тического ма ятника при ма лы х угла хотклонения не за в иситота мплитуды колеба нияи отего ма ссы , а определяетсядлиной ма ятника и ускорением св ободного па денияg. П оследняя ф ормула мож ет яв иться исходной для на хож дения ускорения св ободного па дения, если для да нного ма ятника длиной l измерить его период. Ф изиче ский маят ник

0

а

rС P1 ϕ

r r P2

P Рис.4

Ф изическим ма ятником на зы в а ется а бсолю тно тв ердое тело, которое мож ет сов ерш а ть колеба ния под дей ств ием силы тяж ести в округ горизонта льной оси О , перпендикулярной плоскости рисунка и не проходящей через егоцентр тяж ести. Н а рис.4 изобра ж ено сечение ф изического ма ятника плоскостью , перпендикулярной кего оси в ра щенияО и проходящей через его центр тяж ести С. За пиш ем в общем в иде ура в нение дв иж ения ма ятника, т.е. основ ное ура в нение дина мики в ра ща тельногодв иж ения

26

M = Jβ , (9) где J - момент инерции ма ятника относительно горизонта льной оси О , βуглов ое ускорение, М - момент в неш них сил. В на ш ем случа е момент в неш них сил обуслов лен дей ств ием силы тяж ести. О чев идно, что на каж ды й элемент ма ссы Δ mi ма ятника дей ств ует сила тяж ести Δ mig, созда ю ща яопределенны й момент относительно оси О . Сумма моментов этих сил ра в на моменту ра в нодей ств ую щей сил тяж ести, котора я прилож ена к центру тяж ести ма ятника (точка С). Д окаж ем, что ма ятник, в ы в еденны й из полож ения ра в нов есия на ма лы й угол φ , будет сов ерш а ть га рмонические колеба ния. Д ля этого ра в нодей ств ую щую сил тяж ести P=mg ра злож им на дв е соста в ляю щие, одна из которы х P2 ура в нов еш ив а ется реа кцией опоры , а под дей ств ием другой соста в ляю щей P1=Psinφ ма ятникприходитв дв иж ение. О бозна чим ра сстояние от точки подв еса О до центра тяж ести С через a. Т огда ура в нение дв иж енияма ятника (9) за пиш етсяв в иде Jβ =-P1·a=-P·a·sinφ . (10) Зна кминус показы в а ет, что сила P1 на пра в лена кполож ению ра в нов есияи 2 прив одиткуменьш ению угла отклоненияφ . Т а ккакβ = d ϕ , а дляма лы х 2

dt

углов φ мож но принять sinφ ≈φ , то ура в нение (10) будетиметь в ид:

d 2ϕ J 2 + mgaϕ = 0 , dt

d 2ϕ mga + ϕ = 0. или dt 2 J

(11)

Ч а стны м реш ением этогодиф ф еренциа льного ура в ненияяв ляется ура в нение

ϕ = Α cosωt ,

где ω =

mga . J

И сходяиз полученного в ы ра ж ениядляω , на ходим в ы ра ж ение дляпериода колеба ний ф изического ма ятника Τ = 2π

В еличина

l np =

l пр J = 2π . mga g

J на зы в а ется прив еденной ma

(12) длиной

ф изического

ма ятника, это есть длина эквив а лентного ма тема тического ма ятника, имею щегототж е период колеба ний , что и да нны й ф изический ма ятник. Ф изическим ма ятником та кж е мож но в оспользов а ться для определенияускорениясв ободногопа дения. Л ю бой ф изический ма ятник обла да ет св ой ств ом сопряж енности, которое за клю ча ется в том, что в нем мож но на й ти та кие дв е точки, что при последов а тельном подв еш ив а нии ма ятника за ту или иную из них,

27

период колеба ний его оста ется одним и тем ж е. Ра сстояние меж ду этими точками определяет собой прив еденную длину ф изического ма ятника. Ра знов идностью ф изического ма ятника яв ляется оборотны й ма ятник, которы й обла да ет св ой ств ом сопряж енности центра кача ния и точки подв еса . Ц ентром кача ния на зы в а ется точка, на ходяща яся на ра сстоянии прив еденной длины

l np

от оси в ра щения. П рив еденна я

длина в сегда больш е в еличины a (см.рис.4), т.е. центр кача ния в сегда леж итниж е центра тяж ести. Д ей ств ительно, по теореме Ш тей нера момент инерции ма ятника относительнооси в ра щенияра в ен

J=Jo+ma2,

где Jo - момент инерции ма ятника относительно оси, проходящей через центр тяж ести. Т огда прив еденна ядлина ℓпр ра в на J 0 + ma 2 J J l np = = = a + o т.е. l np >a. (13)

ma

ma

ma

28

Р АБ О Т А N 2-1 И С С ЛЕ ДО В А НИ Е ЗА КО Н О В КО ЛЕ Б А ТЕ ЛЬ Н О ГО ДВ И Ж Е Н И Я М А ТЕ М А ТИ Ч Е С КО ГО И О Б О Р О ТН О ГО Н А У С ТА Н О В КЕ С ЭЛЕ КТР О Н НЫ М С Е КУ Н ДО М Е Р О М П риборы и прина длеж ности: уста нов ка, состояща я из дв ух ма ятников –ма тема тического и оборотного, ма сш та бна ялиней ка. О писание экспе рим е нт альной у ст ановки О бщий в ид уста нов ки предста в ленна рис. 5 О снов а ние 1 осна щено регулируемы ми нож ками 2, которы е позв оляю т пров ести в ы ра в нив а ние прибора . В основ а нии за креплена колонка 3, на которой за ф иксиров а н в ерхний кронш тей н 4 и ниж ний кронш тей н5 с ф отоэлектрическим да тчиком 6. П осле отв инчив а нияв инта 11 в ерхний кронш тей нмож но пов ора чив а ть в округ колонки. За тягив а ние в инта 11 ф иксирует кронш тей н в лю бом, произв ольно избра нном полож ении. С одной стороны кронш тей на 4 на ходится ма тема тический ма ятник 7, с другой оборотны й маятник 8. Д лину ма тема тического ма ятника мож но регулиров а ть при помощи в инта 9, ее в еличину определять при помощи ш калы на колонке 3. О боротны й ма ятник в ы полнен в в иде ста льного стерж ня 8, на котором могут перемеща ться и за крепляться в ра зличны х полож ения дв е опорны е призмы П 1 и П 2 и тяж елы е чечев ицы А 1 и А 2. И спользуемы й в ра боте ма ятникпозв оляет перемеща ть опорную призму только через 10 мм. Н а та ком ра сстоянии друг от друга на стерж не на несены кольцев ы е кана в ки. С их помощью полож ение чечев иц и опорны х призм ф иксируется на стерж не за ж имны ми в инта ми. Т .к. ра сстояние меж ду призма ми изменяется не непреры в но, а через 10 мм, то при определении прив еденной длины ма ятника добиться сов па дения периодов ма ятника Т 1 и Т 2 (см. ниж е) нев озмож но. Н иж ний кронш тей н5 в месте с 9 4 П ф отоэлектрическим да тчиком 6 мож но перемеща ть в доль колонки 1 и ф иксиров а ть в произв ольно в ы бра нном полож ении. А К огда колеблю щий ся ма ятник 3 (ма тема тический или оборотны й ) 8 пересекаю т св етов ой луч, П п а д а ю щий н а ф о т о т ра н зис т о р, то в 7 6 цепи ф ототра нзистора генерирую тся электрические импульсы . Специа льна я 10 электронна я схема счита ет число 2 1 Рис. 5 5 импульсов и в ы да ет на св етов ой

29

индикатор инф орма цию о числе полны х колеба ний ма ятника. О днов ременно электронны й секундомер 10 в едет отсчет в ремени и результа т ф иксируется на св етов ом индикаторе. Схема упра в ления осуществ ляетсинхронное в клю чение и в ы клю чение счетчика колеба ний и секундомера . Зна я число колеба ний ма ятника и в ремя, за которое они сов ерш а ю тся, мож но определить период колеба нияма ятника. В ы полнениеработ ы П ров ерьте, за землен ли прибор. В клю чите сетев ой ш нур в сеть 220 В . Н а ж мите в ы клю ча тель «СЕ Т Ь» , при этом индикаторы измерителя показы в а ю т нуль и горит ла мпочка ф отоэлектрического да тчика. П рибор готов кра боте. У праж не ние 1. И зучениезаконов колебат е ль ногодвиж е ния мат е мат ическогомаят ника и опре де лениеускорения свободного падения. Н иж ний кронш тей н в месте с ф отоэлектрическим да тчиком уста нов ите на отметке 50 см. За тяните в инт, ф иксируя ф отоэлектрический да тчик в избра нном полож ении. С помощью в ерхнего кронш тей на поместите на д да тчиком ма тема тический ма ятник. В ра ща я в инт на в ерхнем кронш тей не, опустите ш а рик ма тема тического ма ятника до ниж него кронш тей на , обра щая в нима ние, чтобы черта на ш а рике бы ла продолж ением черты на корпусе ф отоэлектрического да тчика. Т а ким обра зом уста на в лив а ется длина ма тема тического ма ятника.П ри изучении за конов колеба тельного дв иж ения ма тема тического ма ятника в за да нии да нного упра ж нения в ходит пров ерка за в исимости периода колеба ний от егодлины и а мплитуды . Д ля этого прив едите ма ятникв колеба тельное дв иж ение, отклонив ш а рик от полож ения ра в нов есия на 4–50. Н а ж мите кнопку «СБРО С» . П осле отсчета измерителем 15-20 полны х колеба ний на ж мите кнопку «СТ О П » . О пределите период колеба ний ма ятника по ф ормуле T=t/n, где n – число колебаний , t – показа ние электронного секундомера . И змерения периода пров одятсяне менее трех ра з. И зменяядлину ма ятника на 2-3 см в одну и другую сторону, пров едите а на логичны е измерениядлядругих № п/п n

l1 = .... t, c T1, c

∆T1, c

n

l2 = .... t,c T1,c ∆T1, c

n

l3 = .... tc T1,c ∆T1, c

1 2 3 Cp длинма ятника. Д а нны е измерений за несите в та блицу . Н е меняя длину ма ятника, определите периоды колеба ния ма ятника при ра зны х а мплитуда х колеба ния А . И змерения та кж е пров одятся не менее трех ра з для каж дой а мплитуды . В еличину а мплитуды мож но

30

оценить с помощью ма сш та бной линей ки. Соста в ьте та блицу, а на логичную преды дущей , и в се да нны е занесите в эту та блицу. Сдела й те в ы в од, какза в иситпериод колеба ний ма тема тического ма ятника отего длины и а мплитуды . И спользуя имею щиеся усредненны е да нны е для периода колеба ний , по ф ормуле (8) определите ускорение св ободного па дения g. С целью оценки погреш ности в ы числения ускорения св ободного па дения в ы в едите ф ормулу для ра счета а бсолю тной и относительной ош ибки измерения и определите их (∆l=2мм, а ∆Т берется из эксперимента ). У праж не ние 2. О пре делениеускорения свободногопаде ния при помощ и оборот ногомаят ника. П олож ение на стерж не ф изического ма ятника чечев иц и одной из опорны х приз П 2 указы в а ется препода в а телем. К репление в сех дета лей на стерж не следует произв одить очень тща тельно, добив а ясь, чтобы за ж имны е в инты в ходили в кана в ки на стерж не. П ри изменении полож ения чечев ицы или опорны х призм ма ятник на до снять с кронш тей на , полож ить на стол и пров ести перемещения чечев иц или призмы . У ста нов ите ма ятник на призму П 1. Н иж ний кронш тей н в месте с ф отоэлектрическим да тчиком переместите та ким обра зом, чтобы стерж ень ма ятника пересекал оптическую ось да тчика. О тклоните ма ятникна 4-50 отполож ения ра в нов есия и да й те в озмож ность ему сов ерш а ть колеба ния. Н а ж мите кнопку “ СБРО С” и после подсчета измерителем 15-20 полны х колеба ний на ж мите кнопку “ СТ О П ” . О пределите период колеба ний оборотного ма ятника по ф ормуле T1=t1/n1, где n1 – число колеба ний , t1 – показа ние электронного секундомера . Результа ты за носятсяв та блицу n1 t1, c T1, c l, cм n2 t2., с T2, с Lпр g, см/с2 За тем ма ятник снима ется с кронш тей на , перев ора чив а ется и уста на в лив а ется на призму П 2. Снов а определяю тся зна чения n2, t2 и в ы числяю тся зна чения T2. И змеряется и в носится в та блицу ра сстояние l меж ду опорны ми призма ми ма ятника. П ереместите призму П 2 на соседнее деление в та ком на пра в лении, чтобы Т 2 по св оему зна чению приближ а лся кзна чению Т 1. О пределяю ти за носят в та блицу нов ы е зна чения l, n2, t2, T2. Э ти измерения пов торяю тся до 4-5 ра з пока зна чение периода Т 1 не попа дет в «в илку» полученны х зна чений Т 2 (зна ченияТ 1 и Т 2 не долж ны отлича тьсяболее чем 0,5%). П ри ра в енств е Т 1 и Т 2 определите прив еденную длину ма ятника, как ра сстояние меж ду ребра ми опорны х призм и в ы числите ускорение св ободного па денияпо ф ормуле (12).

31

И спользуя соотнош ение (13), мож но, зна я lпр, ма ссу ма ятника (m=2,6 кг), определить момент инерции ма ятника J и в еличину а , т.е. полож ение центра тяж ести мятника (см. Рис. 4). Р АБ О Т А N 2-2 П Р О В Е Р КА ЗА КО Н О В КО ЛЕ Б А Н И Я М А ТЕ М А ТИ Ч Е С КО ГО М А ЯТН И КА И О П Р Е ДЕ ЛЕ Н И Е У С КО Р Е Н И Я С В О Б О ДН О ГО П А ДЕ Н И Я П риборы и прина длеж ности: ма тема тический ма ятник, секундомер, ш та нгенциркуль. О писание у ст ановки В качеств е ма тема тического ма ятника в ра боте используется тяж елы й мета ллический ш а рик 1, подв еш енны й на длинной тонкой нити (рис.1). Д лина нити мож ет меняться путем перемещения крепящего кронш тей на 2 в доль нити и измеряется по ш кале 3, а мплитуда колеба ний ма ятника измеряется по 3 ш кале 4. П ри в ы полнении да нной ра боты необходимо 2 определение длины ма тема тического ма ятника и его периода колеба ний . 4 Д лина ма тема тического ма ятника ℓ на ходится как сумма длины нити ℓ1 отполож ениякронш тей на до ш а рика (измерения пров одятся по миллиметров ой ш кале) и радиуса ш а рика r = d/ℓ (измеренияпров одятсяс помощью 1 ш та нгенциркуля). Т а ким обра зом, длина ма тема тического Рис.5 ма ятника будетра в на : ℓ=ℓ1+d/2 (1) П ериод колеба ний определяется при помощи секундомера и его в ремяра ссчиты в а етсяиз 20-30 полны х колеба ний ма ятника по ф ормуле T = t/n (2), где t – в ремяn полны х колеба ний ма тема тического ма ятника. Ц елью ра боты яв ляется изучение за в исимости периода колеба ний ма тема тического ма ятника отдлины и а мплитуды колеба ний . К а кследует из теории ма тема тического ма ятника, период его колеба ний определяется по ф ормуле

Τ = 2π

Т огда , очев идно, для ра зны х длин ма ятника соотнош ение:

Τ1 = Τ2

l1 . l2

l . g

(3)

l 1 и l 2 будет спра в едлив о (4)

Д ля пров ерки этого соотнош ения кронш тей ном 2 уста нов ите длину ма ятника 140-150 см и определите его период колеба ний . За тем, передв ига я кронш тей н, уменьш ите длину ма ятника в дв ое и опять определите период колеба ний . И змерения пров одятся не менее трех ра з и да нны е за носятсяв та блицу1.

№ п/п n 1 2 3 Ср.

l 1 =… t1, c

T1, c

l 2 =… Δ T1, c

n

t2, c

T2, c

Δ T2, c

Τ1 Τ2

l1 l2

Не за полняется Не за полняется

32

Сдела й те в ы в од о ха ра ктере за в исимости периода колеба ний ма тема тического ма ятника отегодлины . Д ля пров ерки за в исимости периода колеба ний от а мплитуды колеба ний уста нов ите ф иксиров а нную длину ма ятника, отклоните ш а рик примерно на 5 см и определите период его колеба ний . У дв ой те а мплитуду колеба ний и снов а определите период колеба ний . Д ля каж дой а мплитуды А период колеба ний Т рекомендуетсяопределять не менее трех ра з, а за тем в ы числить среднее зна чение. М а ксима льное зна чение а мплитуды не долж но прев ы ш а ть 20-25 см. Соста в ьте таблицу, а на логичную преды дущей , в се да нны е за несите в эту та блицу и на основ а нии полученны х результа тов сдела й те в ы в од о ха ра ктере за в исимости периода колеба ний ма тема тического ма ятника ота мплитуды егоколеба ний . П ри определении ускорения св ободного па дения необходимо учиты в а ть следую щее. Т а ккакдлиной ма тема тического ма ятника яв ляется ра сстояние от точки подв еса до его центра тяж ести, а центр тяж ести ла бора торного ма тема тического ма ятника не сов па да ет точно с геометрическим центром ш а рика, то непосредств енное точное измерение длины не предста в ляется в озмож ны м. П оэтому при определении ускорениясв ободного па денияна блю да ю тколеба нияма ятника дляра зны х длинℓ1 и ℓ2, определяяТ 1 и Т 2 , и на ходятg по ф ормуле, полученной из (3): g = 4π 2 (l 2 − l1 ) (T22 − T12 ) (5). Ра сстояния ℓ 1 и ℓ 2 и соотв етств ую щие им зна чения Т 1 и Т 2 мож но в зять из продела нны х в ы ш е опы тов . С целью оценки погреш ности в ы числения ускорения св ободного па дения в ы в едите ф ормулу для ра счета а бсолю тной и относительной ош ибок измерения и определите их ( ∆l =2 мм, а Δ Τ берется из эксперимента ). К онт роль ны евопросы 1. К а кой колеба тельны й процесс на зы в а ется га рмоническим и каков о егоа на литическое и гра ф ическое предста в ление? 2. П еречислите ха ра ктеристики га рмонического колеба ния, определите их ф изический смы сл. 3. П о какому за кону изменяю тся при га рмонических колеба ниях смещение, скорость и ускорение? 4. К а ким обра зом изменяю тся в о в ремени кинетическая и потенциа льна яэнергии га рмонического осциллятора ? 5. Сф ормулируй те за конколеба нияма тема тического ма ятника.

33

III. ЗА ТУ ХА Ю Щ И Е КО ЛЕ Б А Н И Я П ростей ш им в идом колеба тельного дв иж ения яв ляется га рмоническое, которое сов ерш а ется по за кону синуса или косинуса . О но в озникает в том случа е, если на тело, в ы в еденное из полож ения ра в нов есия, непреры в но дей ств уетсила , на пра в ленна яв сегда кполож ению ра в нов есия, а по в еличине пропорциона льна я смещению этого тела от полож енияра в нов есия. К олеба тельны е дв иж ениясистемы имею тособенно простой ха ра ктер в случа е ма лы х колеба ний , когда ма ло смещение системы от полож ения ра в нов есия. П римером простей ш их колеба тельны х систем мож ет служ ить небольш ое тело (ш а рик), подв еш енное на пруж ине или нити (ма тема тический ма ятник). Е сли колеба тельное дв иж ение происходитв какой -либо в неш ней среде, то эта среда оказы в а ет сопротив ление дв иж ению , стремясь за медлить его. Т а кой -x процесс дв иж ения мож но описа ть, если в в ести дополнительную силу, 0 появ ляю щую ся в результа те са мого дв иж ения и на пра в ленную +x против ополож но ему. Т а кой силой яв ляется сила трения. Рис.1 Ра ссмотрим та кое колеба тельное дв иж ение ш а рика, подв еш енного на упругой пруж ине (рис.1). П осле отклонения ш а рика от полож ения ра в нов есия он будет сов ерш а ть га рмонические колеба ния. Е сли деф орма ция пруж ины нев елика, то мож но счита ть спра в едлив ы м за кон Гука и за писа ть в ы ра ж ение дляв озв ра ща ю щей в ра в нов есие ш а риксилы F в в иде: F = − kx , (1) где k – коэф ф ициент пропорциона льности, за в исящий от упругих св ой ств пруж ины , x – смещение относительного полож ения ра в нов есия. Зна к минус показы в а ет, что сила на пра в лена к полож ению ра в нов есия, т.е. имеет зна к, обра тны й зна ку x. П од в лиянием этой силы предоста в ленны й са мому себе ш а рикна чнетдв ига ться, приобрета я скорость V = dx . П ри его dt

дв иж ении в озникает сила трения Fт р, на пра в ленна я против ополож но скорости. В перв ом приближ ении ее мож но счита ть пропорциональной скорости ш а рика:

Fт р = − r

dx , dt

(2)

где r – коэф ф ициент пропорциона льности, на зы в а емы й коэф ф ициентом сопротив ления(коэф ф ициенттрения). Е сли предполож ить, что ма сса ш а рика нев елика (это да ет в озмож ность пренебречь силой тяж ести по сра в нению с в озникаю щими

34

упругими сила ми), то в торой за кон Н ью тона для этого случа я мож ет бы ть записа нследую щим обра зом d 2x dх (3) m = − kx − r . dt 2 dt За пиш ем ура в нение (3) в другой ф орме

d 2 x r dx k + + x = 0. dt 2 m dt m d 2x dx + 2δ + ω 02 x = 0 . 2 dt dt

И ли Здесь

ω

2 0

=

(4)

k - ква дра т собств енной ча стоты колеба ний ш а рика, т.е. m

колеба ний при отсутств ии сил тренияи других в неш нихсил;

2δ =

r , где δ - коэф ф ициентза туха ния. m

У ра в нение (4) есть диф ф еренциа льное ура в нение за туха ю щих колеба ний , и реш ение этого ура в ненияимеетв ид x = A0 ⋅ e −δt cos ω t . (5) Здесь А 0 – а мплитуда колеба ний в на ча льны й моментв ремени;

ω = ω 02 − δ 2 - циклическая ча стота за туха ю щих колеба ний , котора я меньш е циклической ча стоты неза туха ю щих колеба ний ω0, е – основ а ние на тура льноголога риф ма (е= 2,17). П ериод колеба ний Т будетбольш е периода неза туха ю щихколеба ний 2π 2π 2π . (6) T= = = ω

ω

2 0

−δ 2

k  r  −  m  2m 

2

В ф ормулу (5) в ходятдв а множ ителя, за в исящие отв ремени. О динcosωt – периодическая ф ункция в ремени, другой е-δt - убы в а ет с течением

x Т An

A0 ⋅ e −δ t An+1

t

Рис. 2

35

в ремени, Т огда , если коэф ф ициент сопротив ленияма л, тов еличину А =А 0е– δt мож нора ссма трив а ть кака мплитуду, котора ястечением в ремени уменьш а етсяпо показа тельному (экспоненциа льному) за кону. О конча тельно реш ение ура в нения за туха ю щих колеба ний мож но за писа ть в общем в иде: (7) x = A ⋅ cos ω t . За туха ю щие колеба ния предста в ляю т собой непериодические колеба ния, та ккакв них никогда не пов торяю тся, на пример, ма ксима льны е зна чения смещения, скорости и ускорения. П оэтому в еличины ω и Т на зы в а ть ча стотой и периодом мож но только услов но. Гра ф ически за туха ю щие колеба нияпредста в лены на рис.2. И з ф ормулы A = A0 ⋅ e −δ t , в ы ра ж а ю щей за конубы в а нияа мплитуды колеба ний , мож но показа ть, что отнош ение а мплитуд, отделенны х друг относительно друга интерв а лом в одинпериод Т , оста ется постоянны м в течение в сего процесса за туха ния. И та к, в озьмем отнош ение дв ух а мплитуд А n и An+1 (см. рис.2) An A0 ⋅ e − δ t 1 (8) D= = = = e δT − δ (t + T) − δ T An + 1 A0 ⋅ e e

В еличина D на зы в а ется декремент о м за т уха ния. Ч ем больш е декремент за туха ния, тем скорее уменьш а ется а мплитуда . Ч а ще за туха ю щие колеба ния ха ра ктеризую тся на тура льны м лога риф мом декремента за туха нияθ, т.е. в еличиной

θ = ln D = ln

An = ln e δT = δT , A n +1

или θ = δ Т

(9)

В еличина θ на зы в а ется л о га рифмическим декремент о м за т уха ния. Т а ким обра зом, для ха ра ктеристики за туха ю щих колеба ний в в одятся дв е в еличины : коэф ф ициент за туха ния δ и лога риф мический декремент за туха нияθ . П оясним ихф изический смы сл. О бозна чим через τ промеж уток в ремени, за которы й а мплитуда колеба ний уменьш итсяв е ра з. Т огда

A0 = e δτ = e , откуда δτ=1 или Aτ 1 δ = . τ

Следов а тельно, коэф ф ициент за туха ния δ есть ф изическая в еличина обра тна япромеж утку в ремени τ, в течение которого а мплитуда убы в а етв е ра з. В еличина τ на зы в а етсяв ременем рела кса ции. Е сли, на пример, δ= 10 2 с. , то это значит, что а мплитуда колеба ний убы в а етв е ра з за в ремя10 2 с. П усть n – число колеба ний , после которы х а мплитуда уменьш а ется в е ра з. Т огда τ = nT и θ = δТ = 1/τ = 1/n.

36

Следов а тельно, лога риф мический декремент за туха ния θ есть ф изическая в еличина , обра тна я числу колеба ний n, по истечении которогоа мплитуда убы в а етв е ра з. Е сли, на пример, θ = 0,01, то это зна чит, что а мплитуда колеба ний убы в а етв е ра з поистечении 100 колеба ний .

Р АБ О Т А № 3-1 О П Р Е ДЕ ЛЕ Н И Е ЛО ГА Р И Ф М И Ч Е С КО ГО ДЕ КР Е М Е Н ТА ЗА ТУ ХА Н И Я И КО ЭФ Ф И Ц И Е Н ТА ЗА ТУ ХА Н И Я КР У ТИ ЛЬ Н Ы Х КО ЛЕ Б А Н И Й П риборы и прина длеж ности: прибор для на блю дения упругих (крутильны х) колеба ний , секундомер. О писаниеприбора П рибор для на блю дения за туха ю щих колеба ний (рис. 3) состоит из мета ллической пров олоки 1, в ерхний конец которой за креплен. Н а ее ниж нем конце подв еш ен груз 2, центр 6 4 5 тяж ести которого ра сполож ен на продолж ении оси пров олоки; в ы ш е груза на его оси в ра щения за креплено зеркальце 3. Е сли груз пов ернуть на 7 некоторы й угол около в ертикальной оси, 1 9 8 то пров олока за кручив а ется и в ней появ ляю тся упругие силы . В следств ие 3 этого система , предоста в ленна я са ма 2 себе, на чина ет сов ерш а ть упругие (крутильны е) колеба ния около в ертикальной оси. Т а ким обра зом, для на ш его случа я ура в нение дв иж ения d 2ϕ , Рис. 3 следуетза писа ть в в иде: M =J dt 2

где J – момент инерции груза относительно оси в ра щения; ϕ - угол пов орота , d 2ϕ - углов ое ускорение груза и M – результирую щий момент dt 2

дей ств ия сил. В ы ра зив результирую щий момент сил через дей ств ую щие силы , а угол пов орота ϕ через смещение х – указа теля (ϕ = x/ℓ , где ℓ – длина указа теля, т.е. ра сстояние от нити до ш калы ), мы получим диф ф еренциа льное ура в нение, а на логичное 4. П оэтому в се да льней ш ие ра ссуж дения, прив еденны е в ра зделе «кра ткая теория» , спра в едлив ы для да нного случа я. Д ля того, чтобы мож но бы ло груз прив одить в крутильны е колеба ния, не сообща я ему однов ременно ма ятникообра зны х колеба ний ,

37

в ерхний конец нити прикреплен к горизонта льной ш а й бе 4, котора я мож ет в ра ща ться меж у упора ми 5. Ш а й ба 5 мож ет пов ора чив а ться в о в тулке кронш тей на 6 и ф иксиров а ться в интом 7, на против груза 2 ра змещены осв етитель 8 и горизонта льна яш кала 9. В ы полнениеработ ы В клю чить осв етитель. Л учи, в ы ходящие из осв етителя, попа да ю т на зеркальце и, отра ж а ясь от него, попа да ю т на ш калу. Н емного отв ернув в инт7 и медленно в ра ща яш а й бу 5, уста нов ить за й чикна нулев ую отметку ш калы и за в интить в инт 7. П ри этом необходимо следить, чтобы ш а й ба 4 св оим в ы ступом бы ла приж а та кодному из упоров ш ай бы 5. Ч тобы прида ть грузу крутильны е колеба ния, необходимо пов ернуть ш а й бу 4 на некоторы й угол и в ернуть ее в перв она ча льное полож ение. И змеряя с помощью секундомера не менее трех ра з продолж ительность t 10 - 15 полны х колеба ний n, определить период колеба ний Т поф ормуле Т = t/n. Д анны е за нести в та бл. 1 N п/п 1 2 3 С р

n

t, с

T, с

∆Т , с

П римеча ние. Е сли после прекра щения колеба ний окаж ется, что за й чик несколько отош ел от нулев ой отметки, его нов ое полож ение принима етсяза нулев ое и отсчеты в едутсяссоотв етств ую щей попра в кой . 1. Сообщить системе крутильны е колеба ния и измерить ряд ( не менее 10) последов а тельны х а мплитуд по ту и другую сторону от нулев ой отметки прибора . П о ф ормуле (8) в ы числить ряд зна чений декремента за туха нияD и да нны е за нести в таблицу. № п|п 1 … .

О тсчетв лев о A,см D ∆D

О тсчетв пра в о A,см D ∆D

10 Ср Среднее зна чение декремента за туха нияDср, в ы числяю тсяпо D + Dср.в пра в о ф ормуле Dср = ср.в лев о . 2

38

П о полученному зна чению Dср определить среднее зна чение декремента за туха ниясистемы θср=lnDср. П о ф ормуле (9) определить среднее зна чение коэф ф ициента δср. Зна чение в еличины Т ср берется из преды дущего упра ж нения. П о имею щимся эксперимента льны м да нны м оценить относительную погреш ность определения лога риф мического декремента за туха ния θ. и коэф ф ициента за туха нияδ. Р АБ О Т А № 3-2 О П Р Е ДЕ ЛЕ Н И Е ЛО ГА Р И Ф М И Ч Е С КО ГО ДЕ КР Е М Е НТА ЗА ТУ ХА Н И Я И КО ЭФ Ф И Ц И Е Н ТА ЗА ТУ ХА Н И Я КО ЛЕ Б А Н И Й М А ТЕ М А ТИ Ч Е С КО ГО М А ЯТН И КА П риборы и прина длеж ности: ма тема тический ма ятникс электронны м блоком упра в ления. О писаниеуст ановки О бщий в ид уста нов ки предста в лен на рисунке. О снов а ние прибора 1 осна щено регулируемы ми нож ками 2, которы е позв оляю т пров ести в ы ра в нив а ние прибора . В основ а нии за креплена колонка 3, на которой за ф иксиров а н в ерхний кронш тей н 4 и ниж ний кронш тей н5 с ф отоэлектрическим да тчиком и ш калой 6 . Н а этом ж е кронш тей не уста нов лена в а нночка с ж идкостью 7, в которой происходят за туха ю щие колеба ния ма тема тического ма ятника 8. Д лину ма тема тического ма ятника мож но регулиров а ть при помощи в оротка 9 и ф иксиров а ть в интом 10. К огда колеблю щий ся ма ятник пересекает 8 св етов ой луч, па да ю щий на ф оторезистор , 11 то в цепи ф ототранзистора генерирую тся электрические импульсы . Специа льна я электронна я схема счита ет число имп ул ьс о в и в ы д а ет н а с в ет ов ой индикатор 1 11 инф орма цию о числе полны х колеба ний ма ятника. О днов ременно электронны й секундомер в едет отсчет в ремени и

39

результа т ф иксируется на св етов ом индикаторе 12. Зна я число колеба ний ма ятника и в ремя, за которое они сов ерш а ю тся, мож но определить период колеба ний ма ятника. В ы полнениеработ ы П ров ерьте, за землен ли прибор. О сла бив в инт 10, в оротком 9 уста нов ите необходимую длину ма ятника та к, чтобы при колеба ниях ма ятника его пов одокв се в ремя на ходился в ж идкости. За тяните в инт 10. Н ож ками 2 в ы ров няй те прибор, следя за тем, чтобы в о в ремя колеба ний ш а рикне каса лсястенокв а нночки. В клю чите сетев ой ш нур в сеть 220В . Н а ж мите кнопку «СЕ Т Ь» . П ри этом долж на за гореться ла мпочка ф отоэлектрического да тчика, а в се индикаторы показы в а ть циф ру нуль. П рибор готов кра боте. О тклонив ма ятникна 7-8º, определите период Т его колеба ний . Д ля этого, когда ма ятникна чнетсов ерш а ть га рмонические колеба ния, на ж мите на кнопку «СБРО С» и после 10-15 полны х колеба ний наж мите на кнопку «СТ О П » . Н а св етов ы х индикатора х будут за ф иксиров а ны число полны х колеба ний n и их продолж ительность t . П о ф ормуле T=t/n определите период колеба ний ма тема тического ма ятника. Э то упра ж нение продела й те не менее трехра з и да нны е за несите в та бл.1. N n t,c T,c Δ T,c n/n 1 2 3 Cp Х Х Х Х Х Х Х Х О тклонив ма ятник примерно на тот ж е угол, что и в преды дущем упра ж нении, измерьте ряд (не менее десяти) последов а тельны х а мплитуд по ту и другую сторону от нулев ой отметки ш калы прибора . П о ф ормуле (8) в ы числите ряд зна чений декремента за туха ния D и да нны е за несите в та блицу 2. N О тсчетв лев о О тсчетв пра в о n/n А , град D Δ D А , град D Δ D 1 2 3 .. Cp ХХХХ ХХХХ Среднее зна чение декремента за туха ния Dср по отсчета м а мплитуд в лев о и в пра в о в ы числяетсяпо ф ормуле Dcp = (Dcp в лев о + Dcp в пра в о )/ 2

40

П о полученному зна чению Dср определите среднее зна чение лога риф мического декремента за туха ниясистемы Qср = lnDср П о ф ормуле (9) определите среднее зна чение коэф ф ициента за туха ния βср. Зна чение в еличины Т ср берется из преды дущего упра ж нения. П о имею щимсяэксперимента льны м да нны м оцените относительную погреш ность определения лога риф мического декремента за туха ния и коэф ф ициента за туха ния. К онт роль ны евопросы . 1. К а кое колеба ние на зы в а етсяга рмоническим? 2. За пиш ите ура в нение дв иж ениянеза туха ю щих га рмонических колеба ний и его реш ение. 3. За пиш ите и объясните ура в нение дв иж енияза туха ю щих колеба ний . 4. Я в ляю тсяли за туха ю щие колеба нияпериодической ф ункцией ? 5. К а ков ф изический смы сл коэф ф ициента за туха нияи лога риф мического декремента за туха ния? 6. О тчего за в иситкоэф ф ициентза туха ния, декрементза туха ния? 7. И зменяетсяли период колеба ний при на личии силсопротив ления?

41

IV. Р АБО Т А № 4 И ЗУ Ч Е Н И Е ЗА КО Н О В ДИ Н А М И КИ П О С ТУ П А ТЕ ЛЬ НО ГО ДВ И Ж Е Н И Я С П О М О Щ Ь Ю М А Ш И Н Ы А ТВ У ДА П риборы и прина длеж ности: ма ш ина А тв уда , на бор дополнительны х грузиков . К рат кая т е ория М еха ническое дв иж ение – это перемещение тела и его ча стей относительно других тел, принима емы х за неподв иж ны е. Д ля описания указа нного дв иж ения полож ение тела в простра нств е принято за да в а ть ра диус-в ектором r(t), соединяю щим на ча ло системы координа т т.о. с местополож ением тела (полож ением его центра тяж ести) и на пра в лением в сторону тела (рис.1). С течением в ремени в месте с дв иж ением тела меняется в общем случа е длина и ориента ция в простра нств е. Сов окупность точек, соотв етств ую щих полож ениям конца в екторов r(t) в ра зличны е моменты в ремени, на зы в а ется тра екторией дв иж ения тела. Скоростью дв иж ения тела на зы в а етсяв екторна яв еличина r r r r r (t + ∆t ) − r (t ) dr V = lim = ∆t dt ∆t → 0

Э тот в ектор в сегда на пра в ленпо каса тельной ктра ектории дв иж ениятела . Ч исленно скорость тела ра в на та кж е произв одной пути S, т.е. длины уча стка тра ектории , проходимого телом, по в ремени t :

r dS V = dt

(2)

У скорением тела на зы в а rетсяв еличин а r

r r V (t + ∆ t) − V (t) d 2r a = lim = ∆t dt 2

(3)

П ри поступа тельном дв иж ении путь, прой денны й телом за в ремя t и егоскорость в тотмоментв ремени, на ходятсяпо ф ормула м: at 2 ; V = V0 + at , S = S 0 + V0 t + (4) 2 где в еличины S и S0 относятсякна ча льному моменту в ремени t=0. И склю ча яв ремяt из соотнош ений (4) при S0, V0 , мы получим следую щее V2 в ы ра ж ение дляускорения: a= (5) 2S r r Со г л а с н о в т о ро му за к о н у Н ью т о н а , ус к о рен ие т ел а a = F / m , (6) r где F – ра в нодей ств ую ща яв сех сил, дей ств ую щих на тело, m – ма сса тела .

42

И зучение за конов кинема тики и дина мики поступа тельного дв иж енияв на стоящей ра боте произв одитсяна примере ма ш ины А тв уда , в основ е которой леж ит дв иж ение грузов , соединенны хнитью , перекинутой через блок. Ра ссмотрим ситуа цию , когда к против ополож ны м конца м нити прив яза ны грузы ра в ной ма ссы m и на один из них полож ен дополнительны й груз ма ссой m1 . У ра в нения T T дв иж ения для груза , дв иж ущегося в в ерх, и дв ух m1g грузов , дв иж ущихсяв низ, за пиш утсяв в иде (7) ma = T − mg mg mg (m + m1 )a = (m + m1 ) g − T , где T - сила на тяж ениянити. Сов местное реш ение системы ура в нений (7) да ет: m1g (8) a= 2m + m1 О писаниеуст ановки и ме т ода измере ний М а ш ина А тв уда предста в ляет собой стой ку 1, в в ерхней ча сти которой на ось 2 на са ж ен легкий блок 3. И сследуема я меха ническая система – это дв а тела 4 одина ков ой ма ссы m , подв еш енны е кконца м нити, переброш енной через блок. Н а пра в ое тело уста на в лив а ется небольш ой дополнительны й грузик 5 ма ссы m1, под дей ств ием которого система на чина ет дв ига ться ра в ноускоренно с ускорением а . У скорение св яза но со скоростью , приобрета емой на пути S (ра сстояние меж ду в ерхним 6 и средним 7 кронш тей на ми) , соотнош ение (5). Д ля измерения пути на стой ке имеетсямиллиметров а яш кала 8. О пределение скорости произв одится следую щим обра зом. Н а среднем 7 и ниж нем 9 кронш тей на х уста нов ки ра сполож ены ф отоэлектрические да тчики. П ри пересечении св етов ого луча дв иж ущимся телом сигна л перв ого да тчика в клю ча ет электронны й секундомер, а сигна л в торого да тчика в ы клю ча ет его. На индикаторе секундомера 10 в ы св ечив а ется в ремя t прохож дения системой пути S1 ра сстояния меж ду средним и ниж ним кронш тей на ми. Средний кронш тей нимеет кольцо 11, которое снима ет дополнительны й грузик . П оэтому на уча стке пути S1 система дв иж ется ра в номерно с той скоростью v , которую она приобрела при ускоренном дв иж ении:

43

S V = 1 t

(9)

И з ф ормул(5) и (9) мож но в ы ра зить ускорение системы на перв ом уча стке пути S через в еличины , которы е непосредств енно измеряю тсяв ра боте: S2 (10) a= 1 2St 2

Согла сно соотнош ению (8), полученному на основ а нии в торого за кона Н ью тона , ускорение a пропорциона льно дей ств ую щей на систему силе F=m1g, т.е. силе тяж ести дополнительного грузика. П оэтому, измерив ускорение а при ра зличны х зна чениях m1, мож но пров ерить спра в едлив ость в торого за кона Н ью тона F=(2m+m1)а и сра в нить ускорение, на й денное в ра боте с помощью соотнош ения (10), с теоретическим зна чением, ра ссчита нны м по ф ормуле (8). Т рением в блоке, его инертностью и сопротив лением в оздуха при этом пренебрега ю т. В ы полнениеработ ы 1. И мею щимися в низу регулируемы ми нож ками в ы ров няй те прибор та к, чтобы пра в ое тело св ободно проходило через кры льцо. В клю чите сетев ой ш нур в сеть 220В . Н а ж мите кнопку «СЕ Т Ь» . П ри этом за гора ю тся ла мпочки ф отоэлектрических да тчиков и индикатор измерителяв ремени показы в а етциф ры нуль. П рибор готов кра боте. 2. П ри утопленной кнопке «П У СК » переместите пра в ое тело в в ерхнее полож ение та к, чтобы ниж няя гра нь этого тела сов местила сь с чертой на в ерхнем кронш тей не. О тож мите кнопку «П У СК » и система будетудерж ив а тьсяв исходном полож ении электрома гнитны м тормозом. 3. П оместите на пра в ое тело один из дополнительны х грузиков . Н а ж мите кнопку «П У СК » , при этом система приходит в дв иж ение. П осле прекра щения дв иж ения с индикатора считы в а ется в ремя t. Н а ж мите кнопку «СБРО С» и продела й те да нное упра ж нение с другим дополнительны м грузиком. Зна чения S и m1, при которы х пров одятся измерения, указы в а ю тся препода в а телем. И змерения с каж ды м из дополнительны х грузиков пров одятся не менее пяти ра з, на основ а нии чего определяется среднее зна чение tср для каж дого грузика (ма сса m1 указа на на грузиках). Результа ты измерений оф ормляю тся в в иде та бл.1. Т а блица 1 S S m t v, а ,с а теор 2 ,см/c2 ,см t,с см/с м/c 1,с 1,г ср, м c 4. П острой те гра ф ическую за в исимость ускоренияа системы от дей ств ую щей на нее силы m1g. 5. Н а основ а нии най денного в эксперименте зна чения а и изв естны х ма сс m и m1 определите из соотнош ения (8) ускорение св ободного па денияg.

44

6. П ри да нной в еличине ма ссы дополнительного груза m1 построй те за в исимость V2 отS. М а сса каж доготела m = 60,6 г.

1. 2. 3. 4.

5.

К онт роль ны евопросы В ы в едите ф ормулы (5) и (8) из за конов кинема тики и дина мики ра в ноускоренногодв иж ения. П ри каких упроща ю щих предполож ениях пров одится пров ерка за конов кинема тики и дина мики на ма ш ине А тв уда ? О бъяснить , как при дв иж ении системы тел на ма ш ине А тв уда прояв ляетсядей ств ие в сех трех за конов Н ью тона . П од дей ств ием какой силы тела на ма ш ине А тв уда дв иж утся ускоренно? П очему их ускорение меньш е ускорения св ободного па дения? К а кна ма ш ине А тв уда измеряется мгнов енна я скорость ускоренно дв иж ущегосятела ?

45

V. КИ Н Е М А ТИ КА И ДИ Н А М И КА В Р А Щ А ТЕ ЛЬ Н О ГО ДВ И Ж Е Н И Я 1. У гловая скорост ь и у гловое у скоре ние . Л ю бое тв ердое теломож но ра ссма трив а ть каксистему ма териа льны х точек, причем ма сса m тела ра в на сумме ма сс этих точек: n (1). m= ∑ m i i =1 К а ж да я из этих ма териа льны х точек при в ра щении тела имеет тра екторию дв иж ения в в иде окруж ности, центр которой леж ит на оси в ра щения. О чев идно, что линей на я скорость

r

vi каж дой i -той

точки

за в иситотра сстояния ri до оси в ра щенияи поэтому она не мож етслуж ить кинема тической ха ра ктеристикой в ра ща тельного дв иж ения тв ердого тела . Ра в номерное дв иж ение ма териа льной точки по окруж ности мож но ха ра ктеризов а ть углов ой скоростью . П од углов ой скоростью понима ется в екторна я в еличина ω , численное зна чение ω которой ра в но отнош ению угла пов орота ϕ кпромеж утку в ремени ∆t , за которы й этот

ω=

пов оротпроизош ел:

∆ϕ ∆t

(2).

Д ля нера в номерного в ра ща тельного дв иж ения в в одится понятие мгнов енной углов ой скорости: ∆ϕ dϕ = dt t →0 ∆t

ω = lim

(3).

Е диницей измерения углов ой скорости яв ляется ра диа нв секунду (ра д/с) или с-1. В ектор углов ой скорости на пра в лен в доль оси в ра щения тела та ким обра зом, чтобы его на пра в ление сов па да ло с О r поступа тельного дв иж ения ω r на пра в лением υi пра в ов интов ого бура в чика, ось которого ра сполож ена r ri в доль оси в ра щения тела OO′ , а голов ка в ра ща ется в месте с телом (рис. 1). И з этого рисунка в идно, что mi

ri , vi и ω в се три в ектора в за имно перпендикулярны , поэтому за в исимость меж ду линей ной и углов ой скоростями мож но за писа ть в в иде в екторного произв едения: vi = ω , ri (4) Д ляхара ктеристики нера в номерного в ра щениятела в в одитсяпонятие в ектора углов ого ускорения β . В ектор углов ого ускоренияв каж ды й О

‫י‬

Рис.1

[ ]

46

моментв ремени ра в енскорости скорости:

r ω

β =

r ω

измененияв ектора углов ой

dω dt

(5)

Е диницей измерения углов ого ускорения яв ляется ра диа н на r r r υ секунду в ква дра те ·β ·β 2 -2 (ра д/с ) или с . Н а рис. dω dω показа ны дв а <0 2 >0 О ‫י‬ О в о змо ж н ых dt dt ‫ י‬б а на пра в ления в ектора Рис.2 углов ого ускорения. Е сли в ра щение тела в округ неподв иж ной оси происходит ускоренно, то О

О

в ектор углов ого ускорения β сов па да ет по на пра в лению

с в ектором

углов ой скорости ω (рис. 2а ). В случа е за медленного в ра щения в ектора

β и ω на пра в лены против ополож нодруг другу (рис. 2б). 2. М ом е нт силы и м ом е нт ине рц ии В озьмем некоторое тело, которое мож етв ра ща тьсяв округ неподв иж ной оси OO′ (рис. 3). Д ля того чтобы прив ести тело в о в ра ща тельное дв иж ение, пригодна не в сякая в неш няя сила . Э та сила долж на обла да ть 0` r в ра ща ю щим моментом относительно да нной оси, F а на пра в ление силы не долж но бы ть r M r па ра ллельны м да нной оси или пересекаться с r α h ней . П одей ств уем на тело силой F . В ра щение 0 Рис.3

тела будет определяться моментом силы относительно оси в ра щения:

[ ]

M = r, F

M

(6),

где r - ра диус- в ектор, пров еденны й из центра окруж ности в ра щения в точку прилож ения силы F . И з в екторного произв едения (6) следует, что в ектор момента силы M на пра в лен перпендикулярно плоскости, в которой леж а т в екторы r и F , т.е. в соотв етств ии с пра в илом бура в чика. Ч исленное зна чение момента силы определяетсяв ы ра ж ением: M = F r sin α (7), где α - угол меж ду в ектора ми r и F . К а кв идно из рис. 3, в еличина h = r sin α , ра в на яра сстоянию отоси в ра щениядо на пра в лениядей ств ия

47

силы F , на зы в а ется плечом силы относительно этой оси. Следов а тельно, момент силы численно ра в ен произв едению силы на плечо: M = F·h (8). Т а ким обра зом, ф изический смы сл момента силы состоитв том, что при в ра ща тельном дв иж ении в оздей ств ие силы определяется не только в еличиной силы , нои тем, какона прилож ена . В дина мике в ра ща тельного дв иж ения в в одится понятие момента инерции. П редста в им тв ердое тело, которое мож ет в ра ща ться в округ неподв иж ной оси OO′ , каксистему ма териа льны х O` точекmi (рис. 4). О чев идно, что каж да я точка mi будет m3 r1 m1 на ходитьсяна определенном ра сстоянии ri до оси в ра щения. r3 r2 m2 численно ра в на я В еличина J i = mi ri2 , O произв едению ма ссы точки mi на ква дра т ее Рис.4 ра сстояния до оси в ра щения, на зы в а ется моментом инерции точки относительно оси в ра щения. М оментом инерции тела на зы в а ется сумма моментов инерции в сех ма териа льны х точек, соста в ляю щих тело, т.е.:

n J = ∑ mi ri2 i

(9).

Ф изический смысл мо мент а инерции J состоит в том, что при в ра ща тельном дв иж ении инерциятела определяетсяне только в еличиной ма ссы , но и ра спределением этой ма ссы относительно неподв иж ной оси в ра щения. Т онкое кольцо

r

J = mr 2

Сплош ной цилиндр (диск)

Ш ар

r

J=

Т онкий длинны й стерж ень

l

r

1 2 mr 2

J=

Рис. 5

2 2 mr 5

J=

1 ml 2 12

Н а рис. 5 прив едены ф ормулы моментов инерции некоторы х тел пра в ильной геометрической ф ормы относительно оси, проходящей через центр тяж ести (ось симметрии).

48

3. Закон динам ики и кине т иче ская эне ргия вращ ат е льного движ е ния. О снов ной за кондина мики в ра ща тельного дв иж енияимеетв ид: β=

M I

(10),

т.е. углов ое ускорение прямо пропорциона льно моменту силы , дей ств ую щей на тело и обра тно пропорциона льно моменту инерции тела . Э тот за кон а на логичен основ ному за кону дина мики для поступа тельного Н ью тона ):

F .П ри m

дв иж ения (в торому

за кону

а на логично понятию

импульса тела для поступа тельного дв иж ения

a=

в ра щении тела

( p = mv ) в в одятпонятие момента импульса тела L , которы й ра в ен

L = Jω

(11). А на логично за кону сохра ненияимпульса дляпоступа тельного дв иж ения n

∑m v i =1

i

i

= const при в ра ща тельном дв иж ении дей ств уетза консохра нения n ∑ J i ωi i =1

момента импульса :

= const ,

(12)

где J i и ω i - моменты инерции и углов ы е скорости тел, соста в ляю щих изолиров а нную систему. О нгла сит: в изолиров а нной системе (т.е. момент в неш них сил M = 0 ) сумма моментов импульса в сех телесть в еличина постоянна я. Д ля изолиров а нной системы , состоящей из одного в ра ща ю щегося

I ω = const тела , за консохра нения(12) за пиш етсяв в иде: (13). К а кизв естно, кинетическая энергия поступа тельно дв иж ущегося тела определяется ура в нением W K =

1 2 mv . А на логично этому в ы ра ж ению 2

кинетическая энергия тела , в ра ща ю щегося в округ неподв иж ной оси, определяетсяура в нением: 1 WK = Jω 2 2

(14).

49

Р АБ О Т А № 5-1 О П Р Е ДЕ ЛЕ Н И Е М О М Е Н ТО В И Н Е Р Ц И И ТВ Е Р ДЫ Х ТЕ Л П Р И П О М О Щ И КР У ТИ ЛЬ Н Ы Х КО ЛЕ Б А Н И Й П риборы и прина длеж ности: крутильны й ма ятник, на бор тел. О писаниеуст ановки О бщий в ид крутильного ма ятника показа н на рис. 1.К рутильны й ма ятниксостоитиз ра мки 1, подв еш енной с помощью ста льной пров олоки 2 к кронш тей на м 3 и 4. Н а кронш тей не 5 за креплена ста льна я плита , котора я служ ит основ а нием ф отоэлектрическому да тчику 7 и углов ой ш кале 8. Э лектрома гнит 7 мож ет изменять полож ение на плите, а его полож ение относительно ф отоэлектрического да тчика указы в а ет по 3 2

3 121

6

1

7

10

9

10

5

8

4

4 11

Рис. 1 углов ой ш кале стрелка 9, притягив а ема я к электрома гниту. Ф отоэлектрический да тчик и электрома гнит соединены электронны м секундомером 11. К онструкция ра мки позв оляет за креплять исследуемы е тела 10, зна чительно отлича ю щиеся друг от друга по в неш ним ра змера м. Т ела крепятся при помощи подв иж ной ба лки 12, котора я перемеща ется по на пра в ляю щим меж ду неподв иж ны ми ба лками. П одв иж на я ба лка за крепляетсяпутем за тягив а нияга екна за ж имны хв тулках. О писа ние метода определениямоментов инерции тв ерды хтел. П ри отклонении ра мки от полож ения ра в нов есия в озникает момент сил упругости (кручения) пров олоки, пропорциона льной по за кону Гука углу за кручив а ния α и на пра в ленны й в против ополож ную сторону: M=− kα, (1) где k – коэф ф ициент упругости пров олоки. К роме того, на ра мку будет дей ств ов а ть тормозящий момент сил трения, которы й будет в на ш ем случа е ма лпо сра в нению смоментом упругости и им мож но пренебречь.

50

Т а ким обра зом, основ ной за кон дина мики для в озникш их крутильны х колеба ний M=Jβ за пиш етсяследую щим обра зом: d 2α d 2α J = −kα или J + kα = 0 , (2) dt 2 dt 2 d 2α где = β - углов ое ускорение, а J – моментинерции ра мки. dt 2 У ра в нение (2) предста в ляет собой диф ф еренциа льное ура в нение га рмоническихколеба ний . Реш ение его, какизв естно, яв ляетсяф ункция α = α 0 cos(ωt + ϕ ) , (3) где α0 – а мплитуда , ω - собств енна я циклическая ча стота , ϕ - на ча льна я ф а за колеба ний . Ч а стота ω мож етбы ть на й дена подста нов кой реш ения(3) в ура в нение (2): k ω= . (4) J 2π J T= = 2π . (5) Т огда период колеба ний Т будетра в ен: ω k Т а ким обра зом, на хож дение моментов инерции тел мож но св ести к определению периода крутильны х колеба ний при изв естном коэф ф ициенте упругости пров олоки k. О бозна чим через Jk момент инерции исследуемого тела . Е сли коэф ф ициент упругости k неизв естен, то на й ти Jk , определив период колеба ний Т эт, некоторого эта лонного тела , имею щего изв естны й момент инерции Jэт. В качеств е эта лонного тела мож но в зять лю бое тело, имею щее пра в ильны е геометрические ра змеры , момент инерции которого легкора ссчиты в а етсяпо изв естны м ф ормула м. (см. рис5, стр. 6). И та к, обозна чим через J0 момент инерции нена груж енной ра мки. Т огда период ее колебаний будетра в ен J0 T0 = 2π , (6) k а период колеба ний ра мки сэта лонны м телом J 0 + J эт Tэт = 2π . (7) k О чев идно, чтопериод колеба нияра мки сисследуемы м телом Tх = 2π

J0 + Jх . k

И склю ча я из (6-8) коэф ф ициент k, получим определениямомента инерции исследуемого тела :

(8) ф ормулу

для

51

J x = J эт

T x2 − T02 Tэ2т − T02

.

(9)

В ы полнениеработ ы 1. П одклю чить прибор ксети. П оочереди на ж а ть кнопки «сеть» и «сброс» . Н а циф ров ом та блодолж ны в ы св ечив а тьсянули. 2. О тклонить ра мку прибора та ким обра зом, чтобы стрелка 9 приблизила сь к сердечнику электрома гнита 7, которы й за ф иксирует ра мку в за да нном полож ении. П олож ение электрома гнита за да ется препода в а телем. 3.Н а ж а ть кнопку «пуск». П ри этом осв обож денна яра мка на чнетсов ерш а ть крутильны е колебания. Н а циф ров ом та бло будет в ы св ечив а ться число полны х колеба ний n и соотв етств ую щее им в ремя колеба ний . П осле за в ерш ения 10-20 колеба ний на ж а ть кнопку «стоп» . За писа ть соотв етств ую щие показа ния n и t. П о ф ормуле T0 = t/n определить период колеба ний нена груж енной ра мки. И змерения продела ть не менее трех ра з и на й ти среднее зна чение T0. 4. П оместить эта лонное тело меж ду неподв иж ной и подв иж ной ба лками ра мки. За тягив а я га й ки 12 на за ж имны х в тулках, пров ерить на деж ность крепления эта лонного тела . В на ш ей ра боте в качеств е эта лонны х тел использую тся сплош ны е мета ллические цилиндры , момент инерции которы х относительно оси цилиндра ра в енJ эт =

1 2 mr , где m – ма сса цилиндра . М а сса эта лонны х тел 2

указа на с точностью ∆m=0.1 г, а геометрические ра змеры цилиндра измеряю тся ш та нгенциркулем. Т огда оконча тельна я ра счетна я ф ормула для определения момента инерции будетиметь следую щий в ид:

Jx =

1 2 T x2 − T02 . mr 2 Tэт2 − T02

(10)

5. П ов торяяпоследов а тельно пункты 1, 2, 3, определить период колеба ний Т эт ра мки сэта лонны м телом. 6. За менить в ра мке эта лонное тело на тело с неизв естны м моментом инерции (по указа нию препода в а теля) и в соотв етств ии с п. 5 определить период колеба ний Т х ра мки с телом, момент инерции которого необходимо определить.

52

7. П о ф ормуле (10) определить неизв естны й момент инерции, подста в ив в нее зна ченияТ 0, Т эт, Т х и ра ссчита нное зна чение Jэт . 8. О пределить моменты инерции того ж е тела относительно других осей в ра щения, для чего поменять полож ение тела в ра мке и пов торить пункты 6 и 7. 9. Д ля одного из полученны х неизв естны х моментов инерции необходимо оценить а бсолю тную и относительную погреш ности измерений

1. 2. 3. 4.

К онт роль ны евопросы Ч то на зы в а етсямоментом инерции тела относительно оси в ра щения? В каких единицах измеряетсямоментинерции? М ож етли тв ердое телоиметь несколько моментов инерции? К а ксв яза ны меж ду собой моментсилы и моментинерции тела ? К а ким обра зом объясняетсяв ра щение ф игуристов в пируэте?

53

Р АБ О Т А № 5-2 О П Р Е ДЕ ЛЕ Н И Е М О М Е Н ТО В И Н Е Р Ц И И ТВ Е Р ДЫ Х ТЕ Л С П О М О Щ Ь Ю М А ЯТН И КА М А КС В Е ЛЛА П риборы и принадлеж ности: уста нов ка с ма ятником М а ксв елла и электронны м блоком упра в ления, на бор сменны х колец. О писаниеуст ановки и ме т ода измере ний М а ятникМ а ксв елла предста в ляет собой ма ссив ны й диск(ма хов ик), на саж енны й на в а л (рис. 1.). Д иск подв еш ен на дв ух тонких нера стяж имы х нитях, на ма ты в а емы х на в а л, а на этот диск на дев а ю тся толстостенны е мета ллические кольца . П ри ра скручив а нии нитей ма ятник опускается под дей ств ием силы тяж ести с постоянны м ускорением a, сов ерш а я однов ременно в ра ща тельное Рис.1 и поступа тельное дв иж ения. К а к изв естно, за кон сохра нения меха нической энергии для тела ма ссы m, однов ременно в ра ща ю щегося с углов ой скоростью ω и дв иж ущегося поступа тельно со скоростью ϑ, (1) в ид: Wвр + Wпо ст + П = const , где П =mgh – потенциа льна я энергия тела ма ссы m, поднятого на в ы соту h Jω 2 в поле силы тяж ести; Wвр = – кинетическая энергия в ра ща ю щегося 2 2 тела , где J – момент инерции этого тела ;Wпо ст = mϑ – кинетическая

2

энергиятела , дв иж ущегосяпоступа тельно. О бозна ча я на тяж ение каж дой нити через Т /2, мож но за писа ть ура в ненияоснов ного за кона дина мики дляэтих дв ух дв иж ений :

mg − T = ma и

T

d = Jβ , 2

(2)

где m – ма сса ма ятника, g – ускорение св ободного па дения, β – углов ое ускорение ма ятника,

d – диа метр в а ла . В ы ра ж ение T

d предста в ляет 2

собой моментсилы относительно в а ла . И з кинема тики в ра ща тельного дв иж ения изв естно, что углов ое ускорение β св яза но с линей ны м ускорением a соотнош ением a=βr (для на ш его случа я r =

d - ра диус в а ла ). О чев идно, что при ра скручив а нии 2

нитей ма ятник будет опускаться с некоторой в ы соты h по за кону кинема тики ра в ноускоренногодв иж ения 1 (3) h = at 2 2

54

И склю ча я из системы (2) T, учиты в а я св язь меж ду в еличина ми a и β, а та кж е ура в нение (3), получим ф ормулу для определения момента ма ятника J =

md 4

2

 gt 2  а св ы соты h.   ,где t – в ремяпа денияма ятник − 1  2h   

gt 2 md 2 gt 2 >>1, то (4) J ≈ 2h 8h Т а ким обра зом, для на хож дения момента инерции ма ятника нуж но измерить в ремяегопа денияt сопределенной в ы соты h. Схема эксперимента льной уста нов ки изобра ж ена на рис. 2. П одв ес ма ятника смонтиров ан на в ертикальной стой ке 1, на которой за креплены дв а кронш тей на – в ерхний 2 и ниж ний 3 с ф отоэлектрическими да тчиками. В в ерхнем полож ении ма ятник удерж ив а ется электрома гнитом 4. У каза тель на ниж нем кронш тей не позв оляет измерить в ы соту, с которой па да ет ма ятник, по миллиметров ой ш кале на стой ке прибора . В ремя па дения ма ятника измеряется электронны м секундомером, находящимся в блоке упра в ления 5. И змерения моментов инерции пров одятся с тремя кольца ми, на дев а емы ми на дискма ятника. В ы полнениеработ ы 1. Н а деть на дискодно из колец. В ниж нем полож ении ма ятникс кольцом долж ен бы ть примерно на 2 мм ниж е оси ф отоэлектрического да тчика(перекры в а ть его). В ы сота па дения h указы в а етсяпрепода в а телем. 2. П осле в клю чения уста нов ки в сеть на ж а ть на кла в иш у “ СЕ Т Ь” , при этом на та бло электронного секундомера долж ны в ы св ечив а ться нули. П ри отж а той кла в иш е “ П У СК ” на мота ть ра в номерно на в а л ма ятника нить, в иток к в итку. В в ерхнем полож ении ма ятник долж ен удерж ив а тьсяэлектрома гнитом. 3. Н а ж а в на кла в иш у “ П У СК ” , ма ятник на чнет дв ига ться в низ. П осле оконча ния па дения секундомер в ы клю ча ется а в тома тически. П оказа ния секундомера Рис.2 следуетза нести в та бл. 1. 4. Д ля пров едения измерений с другим кольцом нуж но отж а ть кла в иш у “ П У СК ” и на ж а ть на кла в иш у “ СБРО С” , при этом секундомер обнуляется. С каж ды м кольцом необходимо пров ести не менее пяти измерений и на й ти среднее зна чение в ремени па денияма ятника.

П оскольку

55

П о ф ормуле (4) ра ссчита ть момент инерции J системы с каж ды м кольцом. В на ш ем случа е ма сса ма ятника ра в на сумме ма сс в а ла, диска и кольца , т.е. m=mв +mд+mк. И х в еличины указа ны на них с точностью ± 0,01 г. Д иа метр в а ла d=(10 ± 0,1) мм. 6. И змеренны е зна чения моментов инерции ма ятника сра в нить с теоретическими, ра ссчита нны ми исходя из того, что элементы ма ятника – в а л, диски кольца счита ю тся тела ми простой геометрической ф ормы (см. рис. 5, стр. 6). В нутренний и в неш ний диа метры колец соотв етств енно ра в ны (86 ± 0,1) мм и (105 ± 0,1) мм. О чев идно, что диа метр диска ра в енв нутреннему диа метру колец. 7. Д ля одного из измеренны х моментов инерции необходимо оценить а бсолю тную и относительную погреш ность измерений .

5.

№ h, п/п м 1 … 5 Ср.

1. 2. 3. 4.

5.

1-е кольцо mк= … кг t, ∆ t, J, c c кг.м 2

h, м

2-е кольцо mк= … кг t, ∆ t, J, c c кг.м 2

h, м

3-е кольцо mк= … кг t, ∆ t, J, c c кг.м 2

К онт роль ны евопросы Ч то на зы в а ется моментом инерции тела , относительно неподв иж ной оси в ра щения? М ож етли тв ердое телоиметь несколько моментов инерции? За пиш ите и сф ормулируй те основ ной за кон дина мики в ра ща тельного дв иж ения. О бъясните, как при дв иж ении ма ятника М а ксв елла прояв ляется дей ств ие основ ны х за конов дина мики поступа тельного и в ра ща тельного дв иж ений . П очему ма ятник, достигнув ниж него полож ения, на чина ет поднима тьсяв в ерх?

56

Р АБ О Т А № 5-3 О П Р Е ДЕ ЛЕ Н И Е М О М Е Н ТА И Н Е Р Ц И И ТЕ Л С П О М О Щ Ь Ю ТР И Ф И ЛЯР Н О ГО П О ДВ Е С А П риборы и прина длеж ности: триф илярны й подв ес, секундомер, на бор тел. О писаниеуст ановки и ме т ода опре де ления О ` момент аинерц ии тел Т риф илярны й подв ес (рис.) состоит из круглой r пла тф ормы с ра диусом R , подв еш енной на трех симметрично ра сполож енны х нера стяж имы х нитях длинной l . Н а в ерху эти нити та кж е симметрично прикреплены кдиску с несколько меньш им ра диусом r . l Ш нур позв оляет сообща ть пла тф орме крутильны е колеба ния в округ в ертикальной оси OO ′ , перпендикулярной кее плоскости и проходящей через середину. П ри пов ороте в одном на пра в лении на некоторы й угол пла тф орма поднима ется на в ы соту h и О R изменение ее потенциа льной энергии будет ра в но Рис. 1

Wп = mgh , где m - ма сса пла тф ормы , g - ускорение

св ободного па дения.

П ри в озв ра щении пла тф ормы

в

полож ение

1

ра в нов есия ее кинетическая энергия будет ра в на W = Jω 2 , где J K 2 момент инерции пла тф ормы относительно оси OO′ , ω - углов а я скорость пла тф ормы в момент достиж ения ею полож ения ра в нов есия. Т огда на основ а нии за кона сохра нениямеха нической энергии имеем: 1 (1). Jω 2 = mgh 2

В ы ра зив h через ра диусы пла тф ормы R , диска r , длину нитей l , а ω через период колеба ний T , получим ф ормулу для определения момента инерции: mgRr 2 (2). J= T 2 4π l Н еобходимо отметить, что в общем случа е в ф ормуле (2) ма сса m мож ет бы ть сумма рной ма ссой пла тф ормы и некоторого тела , на ходящегося на этой пла тф орме. В ы полнениеработ ы 1.О пре де лениемоме нт а инерц ии J не нагруж енной плат формы П ла в но потянув за ш нур и резкоего отпустив , сообщить пла тф орме в ра ща тельное дв иж ение. К олеба нияпла тф ормы долж ны бы ть ма лы ми, не более 3 4 оборота . И змеряяв ремяt 10-20 полны х колеба ний n пла тф ормы , определить период колеба ний T поф ормуле T = t/n. Д а нны е измерения

57

пров ести не менее трех ра з (мож нос ра зны м числом n ) и на й ти среднее T . М оментинерции Jпл определяетсяпоф ормуле (2).

J пл =

gRr 4π l 2

mпл T 2 = kmпл T 2 ,

где k = gRr = const дляда нной уста нов ки. 4π 2l

В еличины R , r, l и mпл указа ны на уста нов ке, а множ итель определяетсяодинра з дляв сех измерений . Результа ты за нести в та блицу. № п/ п

n

t ,с T , с

∆T , J пл с

, кг*м 2

Δ J, кг*м 2

k

∆J пл 100% J пл

1 2 3 Ср И змеренное зна чение момента инерции пла тф ормы сра в нить с теоретическим, исходя из того, что пла тф орма счита ется телом простой геометрической ф ормы (см. рис. 5). П о результа та м опы та необходимо оценить а бсолю тную и относительную ош ибки измерений . О чев идно, что примерно та кие ж е погреш ности измерений будутпри в ы полнении последую щих упра ж нений на да нной уста нов ке. 2.О пре де лениемомент аинерц ии т вердогот е ла Д ля в ы полнения этого упра ж нения необходимо на центр пла тф ормы поместить тело с произв ольной ма ссой mт . У ста нов ка тела пров еряется по ра сполож ению его относительно концентрических окруж ностей , на несенны х на пла тф орме. Д а лее, как в п.1, определяется период колеба ний системы – пла тф орма плю с тело и ра ссчиты в а ется момент инерции Jс системы по ф ормуле:

Jc= k(mпл + mт ел а )Т 2,

М оментинерции тела определяетсяпоф ормуле: Jт ел а = Jc – Jпл . П о данны м измерений соста в ить та блицу, а на логичную та бл. 1.

58

3.И зучениезависимост и момент а инерц ии сист е мы (плат форма плю ст е ло) от располож ения т еланаплат форме П о диа метру пла тф ормы поместить дв а тела одина ков ой ф ормы и ма ссы та к, чтобы они соприкаса лись в центре пла тф ормы . О пределить момент инерции системы поф ормуле:

Jc= k(mпл + m2т ел )Т 2,

где m2т ел ма сса дв ух тел. Т огда момент инерции J2Т дв ух тел J 2T = J c − J пл . относительно оси в ра щенияпла тф ормы будетра в ен: У в еличив ра сстояние меж ду тела ми, пов торить опы т и сдела ть в ы в од о том, какизменяетсямоментинерции отполож ениятел на пла тф орме. Э то упра ж нение мож но в ы полнить, изменяя полож ение одного тела на пла тф орме (на пример, па ра ллелепипеда ) из в ертикального в горизонта льное и на оборот. К онт роль ны евопросы 1. Ч то на зы в а етсямоментом инерции тела относительнооси в ра щения? В каких единицах измеряетсямоментинерции? 2. М ож етли телоиметь несколько моментов инерции? 3. К а кза в иситмоментинерции отра спределенияма ссы ? 4. К а ксв яза ны меж ду собой моментсилы и моментинерции тела ? 5. К а кза в иситмоментсилы отна пра в ления прилож енной кнему силы и отра сстоянияотоси в ра щениядо точки прилож ениясилы ?

59

Р АБ О Т А № 5-4 И С С Л Е Д О В АН И Е В Р АЩ АТ Е Л Ь Н О ГО Д В И Ж Е Н И Я Т В Е Р Д Ы Х Т Е Л С П О М О Щ Ь Ю М АЯ Т Н И К А О Б Е РБ Е К А. П риборы и прина длеж ности: ма ятникО бербека сэлектронны м блоком упра в ления, на бор грузов . О писаниеуст ановки и ме т одаизмере ний. М а ятник О бербека (рис.1) предста в ляет собой крестов ину, состоящую из четы рех в за имно перпендикулярны х одина ков ы х стерж ней 1, которы е в в инчены в мета ллическую в тулку 2 ра диусом r. Э та крестов ина св ободно в ра ща ется в округ горизонта льной оси. Н а стерж ни на деты одина ков ы е грузы 3 ма ссой m' ,которы е могут бы ть за креплены на ра зличны х ра сстояниях l от оси в ра щения. Н а ось в ращения ма ятника поса ж ены дв а легких ш кив а 4 с ра зличны ми ра диуса ми R1 и R2. Н а одиниз ш кив ов на ма ты в а ется ш нур ксв ободному концу которого, перекинутого через блок, прикрепляетсяпла тф орма 5. Е сли на пла тф орму поместить груз ма ссой m, то они, па да я в низ и на тягив а я нить, будут прив одить крестов ину в ра в ноускоренное в ра ща тельное дв иж ение. П еремеща я грузы m' по стерж ням, мож но менять момент инерции ма ятника. Беря ра зны е грузы m, а та кж е ш кив ы ра зного ра диуса , мож но менять моментв ра ща ю щей силы : M = F⋅R , (1) где F-в ра ща ю ща ясила , R-плечо силы (в да нном случа е -ра диус ш кив а ). И мею ща яся на стой ке 6 уста нов ки миллиметров а я ш кала m позв оляет измерить путь h, проходимы й пла тф ормой с грузом m при их па дении. Н а 1 5 mg в ерхнем 6 и ниж нем 7 кронш тей на х ра сполож ены ф о т о э л ек т рич ес к ие д а тчики. П ри 4 2 пересечении св етов ого луча дв иж ущимся грузом сигна л 3 перв ого да тчика в клю ча ет электронны й секундомер, а сигна л в торого да тчика 7 в ы клю ча ет его. Н а индикаторе 8 секундомера 8 в ы св ечив а ется в ремя t прохож дения грузом пути h (ра сстояния меж ду кронш тей на ми). Рис.1 У скорение a груза мож ет бы ть на й денона основ е за кона кинема тики ра в ноускоренного

60

a =

дв иж ения:

2 h

(2) t 2 Зна яускорение груза , мож нопо в торому за кону Н ью тона определить силу Fн на тяж ениянити: ma = mg - Fн, где g- ускорение св ободногопа дения. Т огда Fн= m (g-a) (3) Т а кая ж е сила со стороны нити прилож ена по каса тельной кш кив у крестов ины . М оментэтой силы М относительно оси в ра щения, согла сно 2h (1), будетра в ен: (4) M = mR( g − 2 ) t Э тот момент силы в соотв етств ии с основ ны м за коном дина мики в ра ща тельного дв иж ения M = I⋅β (5) в ы зы в а ет ускоренное в ра щение крестов ины с углов ы м ускорением β, (I момент инерции крестов ины относительно оси в ра щения). В еличина β мож етбы ть определена из в заимосв язи линей ного и углов ого ускорения: a 2h β= = 2 (6) R Rt Н а основ а нии эксперимента льны х да нны х могутбы ть на й дены : момент силы M, дей ств ую щей на крестов ину, и углов ое ускорение β крестов ины . Э то позв оляет пров ерить спра в едлив ость основ ного за кона дина мики в ра ща тельного дв иж ения (5), линей ную за в исимость β от M, а та кж е определить момент инерции I системы . П ри этом счита ется, что силой трения в подш ипнике ма ятника и сила ми сопротив ления, дей ств ую щими на дв иж ущиесятела , мож но пренебречь. Ра сстояние l отцентра груза до оси в ра щенияопределяетсяпош кале, на несенной на стерж не, и определяетсяпо ф ормуле : l = r + na + l 0 2 (см. рис.2.) l0 r

n⋅a рис.2 где r = (20±0,1) мм - ра диус в тулки, а = (10±0,1) мм - цена одногоделенияш калы стерж ня, l0 = (20±0,1) мм - ра змер цилиндрического груза m′ по его в ы соте. О сно вные да нные уст а но вки: ра диусы ш кив ов R1 = (21±0,1) мм и R2 = (44±0,1) мм; ма сса одного груза m′ = (189±0,01) г; ма ссы грузов , помеща емы хна пла тф орму, m = (41±0,01) г; ма сса пла тф ормы ра в на (53±0,01) г.

61

В ы полнениеработ ы . В да нной ра боте пров еряется основ ной за кон дина мики в ра ща тельного дв иж ения(5) и в ы полняю тсядв а за да ния. У праж нение1. О пределение момента инерции ма ятника I для ра зличны х зна чений момента силы M. Д ляэтого случа я I=M1 /β1= M2 /β2 … = Mi /βi (7) 1. За крепить в се четы ре груза m′ на одина ков ом ра сстоянии l1, (примерно 60-70 мм) от оси в ра щения ма ятника, за крепить ш нур на одном из ш кив ов с ра диусом R1 или R2, меж ду кронш тей на ми 6 и 7 уста нов ить определенное ра сстояние h. 2. П осле в клю ченияуста нов ки в сеть на ж а ть кла в иш у "СЕ Т Ь" при этом на та бло электронного секундомера долж ны в ы св ечив а ться нули. П ри утопленной кла в иш е "П У СК " после на ж а тия кла в иш и "СБРО С" ш нур на ма ты в а ется на ш кив та к, чтобы ниж ний кра й пла тф ормы сов па л с чертой на в ерхнем кронш тей не. П осле отж а тия кла в иш и "П У СК " пла тф орма будетудерж ив а тьсяэлектрома гнитны м тормозом. 3. Н а пла тф орму полож ить груз m1. П осле на ж а тиякла в иш и "П У СК " токв цепи электрома гнита в ы клю ча ется, пла тф орма с грузом осв обож да етсяи приходитв дв иж ение. О днов ременно на чина ется отсчетв ремени. В ремя t прохож дения пла тф ормы с грузом ра сстояния h считы в а ется с индикатора секундомера . И змерения пов торить не менее трех ра з и результа ты за нести в та блицу. l1=... м, R=...м, h=...м № п/п m1=...кг m2=...кг t1,c

M1, н⋅М

β1,с-2

I1 , кг⋅M2

t2,c

M2, н⋅М

β2,с-2

I2, кг⋅M2

1 2 3 Cр. 4. Н а ж а ть на кла в иш у "СБРО С" и продела ть п.2 и п.3 длядругого груза m2 при том ж е ра сстоянии h. 5. Д ля каж дого измерения по ф ормуле (4) в ы числить моментсилы M, а по ф ормуле (6) - углов ое ускорение β. П ри в сех в ы числениях обяза тельно следуетучиты в а ть ма ссу пла тф ормы . В предела х погреш ностей измерений убедиться в спра в едлив ости соотнош ения(7).

62

У праж нение2. П ров ерка соотнош ения: I2 – I1=M2 /β2 – M1 /β1 (8) Д ля этого случа я момент инерции ма ятника ра зличен, а момент силы , ма ссы груза и ра диус ш кив а постоянны . М оментинерции ма ятника мож но изменить, за крепив груз m′ в нов ом полож ении l2 относительно оси в ра щенияма ятника. В ы в едем ура в нение, с помощью которого мож но эксперимента льно пров ерить соотнош ение (8). П усть I0 - моментинерции без грузов m′, а I0 моментинерции в сех четы рех грузов общей ма ссой 4m′ относительно оси, проходящей через их центр ма сс. П ри уда лении грузов m′ на ра сстояние l от этой оси их момент инерции I′ относительно нов ой оси, согла сно теореме о переносе осей в ра щения(теорема Ш тей нера ), будетра в ен I′ = I′0 + 4m′ l2 (9) П олны й моментинерции ма ятника сгруза ми най детсяпоф ормуле I = I0 + I′ или I = I0 + I0′ + 4 m′ l2 (10) длядв ух случа ев ра змещениягрузов m′ на стерж нях имеем: I1 = I0 + I0′ + 4m′ l2 I2 = I0 + I0′ + 4m′ l2 2 (11) если l2 > l1, то I2 - I1 = 4m′ (l22 - l12). (12) С другой стороны , из основ ного за кона дина мики дляв ра ща тельного дв иж ения(5) имеем: I2 – I1=M2 /β2 – M1 /β1 (13) Т а ким обра зом, ура в нения (12) и (13) оказы в а ю тся идентичны ми. Д ляпров ерки ура в нения(13) необходимо: 1. За крепить грузы m′ симметрично в полож ении l2 > l1. 2. П ров ести те ж е измерения, что и в преды дущем за да нии и результа ты за нести в соотв етств ую щую та блицу. П олож ение l1 грузов m′ и результа ты измерений дляэтого случа яберутсяиз та бл.1. 3. П о полученны м эксперимента льны м да нны м пров ерить спра в едлив ость (в предела х ош ибок измерений ) ф ормулы (12), а следов а тельно и ф ормулы (13). К онт роль ны евопросы . 1. Д а й те определение углов ого ускорения, момента силы и момента инерции. 2. Сф ормулируй те основ ной за кондина мики дляв ра ща тельногодв иж ения. 3. О бъясните смы сл пров ерки основ ного за кона дина мики для в ра ща тельного дв иж ения. 4. О бъясните, какза в исит инертность крестов ины ма ятники О бербека от ра сполож ениягрузов на стерж нях? 5. К а каяф изическаяв еличина ха ра ктеризуетэту инертность?

63

V. Р АБ О Т А № 6. О П Р Е ДЕ Н И Е С КО Р О С ТИ П О ЛЕ ТА П У ЛИ С П О М О Щ Ь Ю Б А ЛЛИ ТИ Ч Е С КО ГО М А ЯТН И КА . П риборы и прина длеж ности: крутильны й ба ллистический ма ятникс пруж инной "пуш кой ", блоком упра в ления и электронны м секундомером, на бор "пуль". О писаниеуст ановки и ме т одаизмере ний. В на стоящей ра боте роль ба ллистического ма ятника играет стерж ень 1, подв еш енны й на на тянутой ста льной пров олоке 2 (рис.1). Н а этом стерж не имею тся дв а груза 3, которы е могут О п еред в иг а т ьс я , и д в е ча ш ечки 4, 1 ′ за полненны е пла стилином. М а ятникмож ет 6 5 3 в ра ща ться в округ в ертикальной оси О О ', сов па да ю щей с пров олокой . "П уля", в ы лета ю ща я из пруж инной "пуш ки" 5, 4 попа да ет в ча ш ечку с пла стилином и 8 за стрев а ет в ней . В результа те указа нного 7 в оздей ств ия ма ятник приходит в 2 О колеба тельное дв иж ение. П ри отклонении ма ятника от полож ения ра в нов есия на угол ϕ в пров олоке подв еса в озникает упругий в озв ра ща ю щий момент силы Μ, которы й по за кону Гука пропорциона ленэтому углу: Рис.1 Μ = −κϕ, (1) где κ - коэф ф ициент упругости ста льной пров олоки. К а к изв естно, основ ной за кон дина мики в ра ща тельного дв иж ения имеетв ид Μ = Jβ, (2) где J- моментинерции ма ятника, β = d²ϕ ⁄ dt² - углов ое ускорение. Т огда ура в нение (2) приметв ид: d²ϕ ⁄ dt² + κϕ ⁄ J = 0 (3) Д иф ф еренциа льное ура в нение та кого в ида описы в а ет га рмонические колеба нияи его реш ением яв ляетсяф ункция ϕ = ϕ0.sin ωt = ϕ0.sin 2πt ⁄ Τ, (4) где ϕ0.- ма ксима льны й угол отклоненияма ятника (а мплитуда ), ω - циклическаяча стота колеба ний , Τ - период колеба ний ма ятника. J Д ляга рмонических колеба ний : Т = 2π (5) k Соотнош ения (3-5) за писа ны при услов ии пренебреж имо ма лого за туха нияколеба ний . Д ля на хож дения в ы ра ж ения, определяю щего скорость полета "пули" V, в оспользуемся за коном сохра нения момента импульса . П оскольку до соуда ренияма ятникпокоится, моментимпульса системы "пуля" - ма ятник

64

(относительно оси в ра щения ма ятника) ра в ен моменту импульса "пули" относительно этой оси L = mVr (6) Где m – ма сса "пули", r - ра сстояние от линии полета "пули" до оси в ра щенияма ятника. П осле неупругого уда ра моментимпульса системы : L2.= Jω0, (7) где ω0. - ма ксима льна я углов а я скорость, приобрета ема я ма ятником в результа те уда ра . Согла сно (4), углов а я скорость колеба ний ма ятника в произв ольны й моментв ремени ω = dϕ ⁄ dt =ϕ0 2π ⁄ T∗ cos 2πt ⁄ T = ω0 cos 2πt ⁄ T (8) Т а ким обра зом, а мплитудное зна чение углов ой скорости ω0 = ϕ0 2π ⁄ T определяется ма ксима льны м углом отклонения ма ятника ϕ0, периодом его колеба ний T. П о за кону сохра нениямомента импульса mVr= Ιω0 (9) О ткуда V=Jω0 ⁄ mr=2πJϕ0 ⁄ mr T (10) В ф ормулу (10) в ходитнеизв еcтны й моментинерции ма ятника. Е го мож но определить, пользуясь теоремой Ш тей нера для дв ух ра зны х полож ений грузов относительно оси в ра щения ма ятника и соотнош ением (5). П ри симметричном полож ении дв ух одина ков ы х грузов относительно оси в ра щениямоментинерции каж дого из них ра в ен J = J0+ 2m0.R², (11) где m0 - ма сса каж дого груза , R - ра сстояние каж дого груза от оси в ра щения, J0- момент инерции ма ятника при ра сполож ении грузов относительно оси в ра щения(R=0) П ри ра сполож ении грузов на другом ра сстоянии R1 от оси в ра щения моментинерции ма ятника ра в ен (12) J1=J0+2m0R12 Т огда J1 – J =2m0 (R1²- R²) (13) И з ф ормул(5) и (13) получим: J= 2m0 T²(R1²- R²) ⁄ (T1²- T²) (14) П одста в ляя (14) в (10), на ходим оконча тельное в ы ра ж ение для в ы численияскорости полета "пули": V=4πm0ϕ0T(R1²- R²) ⁄ mr (T1²- T²) (5) М а ксимальны й угол отклоненияϕ. определяетсяпо кругов ой ш кале 6. Д ля определенияпериода колеба нияT уста нов ка сна бж ена ф отоэлектрическим да тчиком 7 и электронны м секундомером. К огда указа тель 8 пересекает св етов ой луч да тчика, специа льна я электронна я схема считы в а ет число колеба ний n, однов ременнно в едется счетв ремени t. Зна ченияn, t в ы св ечив аю тсяна та бло счетчика колеба ний и секундомера . П о этим да нны м ра ссчиты в а етсяпериод колеба ний T= n / t

65

В ы полнениеработ ы . 1. Д ля "пули", используемой в ра боте, на технических в еса х определить ее ма ссу m (погреш ность в зв еш ив а ниясоста в ляет∆ m=+0.01г). 2. П осле в клю чения уста нов ки в сеть на ж а ть на кла в иш у "Сеть", при этом на дв ух та блоэлектронногоблока долж ны в ы св ечив а тьсянули. 3. Ра сполож ить перв она чально грузы 3 симметрично на ра сстоянии R=(1-3) см от оси в ра щения. Э то ра сстояние определяется по концентрическим линиям на стерж не, причем ∆ R=+0.01см. М а сса каж дого груза ра в на m.=(200+0.01)г. О тсчетна я черта на лев ой ча ш ке 4 ма ятника долж на сов па да ть с нулев ы м делением ш калы (если точного сов па дения добиться нельзя, то в последую щие отсчеты угла отклонения ма ятника долж на бы ть в несена соотв етств ую ща япопра в ка). 4. За рядить пруж инную "пуш ку" (перв ы й ра з с помощью препода в а теля или ла бора нта ). П осле в ы стрела отсчита ть ма ксима льны й угол ϕ.отклоненияма ятника. 5. О пределить период колеба ний ма ятника T дляра сстоянияR грузов отоси в ра щения. Д ляэтого на ж има етсякла в иш а "СБРО С" после того, как ма ятниксов ерш итпримерно10 колеба ний , на ж има етсякла в иш а "СТ О П " с индикаторов считы в а ю тсязна ченияn, t. 6. Ра сполож ить грузы на больш ем ра сстояния R*от оси в ра щения, на ж а ть на кла в иш у "СБРО С", чтобы на та блоопять в ы св ечив а лись лучи, и пров ести измерения, какуказа нно в пункте 5., для определения периода колеба ний T*. 7. П о ф ормуле (15) в ы числить скорость полета "пули" V. Ра сстояние от линии полета "пули" до оси в ра щения ма ятника r=(12+0.1)см В се измерениянеобходимо пров ести не менее трех ра з, и результа ты за нести в та блицу 1. 8. П о результа та м эксперимента следует оценить а бсолю тную и относительную погреш ности определения скорости полета "пули" V.,

∆ v/v*100%

∆ V, m/c

V, m/c

∆ T1,c

T1,c

n1 t1,c

R1,m

∆ T,c

n t T,c

0

∆φ

R, м ϕ0

№ . п . п 1 2 3 С р

m, кг

66

К онт роль ны евопросы . 1. К а кие столкнов енияна зы в а ю тсяупругими и неупругими? 2. Сф ормулируй те за коны сохра нения импульса и момента импульса системы . 3. За пиш ите ура в нение дв иж ениядляба ллистического ма ятника. 4. О бъясните, как при дв иж ении крутильного ма ятника прояв ляется дей ств ие основ ного за кона дина мики в ра ща тельного дв иж ения? 5. Сф ормулируй те и за пиш ите теорему Ш тей нера .

67

Соста в ители: М ил о видо ва С вет л а на Д мит риевна Н ест еренко Ло л ит а П а вл о вна Ла за рев А л екса ндр П ет ро вич Ко сцо в А л екса ндр М иха йл о вич Реда ктор Т ихо миро ва О .А .