Физика. Часть 1. Раздел 1. Физические основы механики: Текст лекций

В.М.Цаплев, И.Г.Орехова, Е.А.Лиходаева, С.В. Михайлова

КУРС ФИЗИКИ ЧАСТЬ 1 Физические основы механики ТЕКСТ ЛЕКЦИЙ Z' Z

M

r' r

v

O'

X'

r0

X

O

Y

Y'

Санкт-Петербург 2002

1

Министерство образования Российской Федерации Северо-Западный государственный заочный технический университет

В.М.Цаплев, И.Г.Орехова, Е.А.Лиходаева, С.В. Михайлова

КУРС ФИЗИКИ ЧАСТЬ 1 Физические основы механики Утверждено редакционно-издательским советом института в качестве текста лекций

Санкт-Петербург 2002

2

УДК 53(07) Цаплев В.М., Орехова И.Г., Лиходаева Е.А., Михайлова С.В. Физика. Часть 1. Раздел 1. Физические основы механики. Текст лекций. - СПб.: СЗГТУ, 2002, -72 с. Данное пособие содержит теоретический материал по разделу 1 курса физики: физические основы механики и элементы релятивистской механики. Материал изложен в соответствии с программой по физике для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений.

Рецензенты: кафедра физики СЗПИ ( и.о.зав.каф. физики В.А.Подхалюзин, канд. техн. наук, доц.); А.П.Корольков,канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры физики Санкт- Петербургского Горного института

© Северо-Западный государственный заочный технический университет

3

ВВЕДЕНИЕ Физика изучает наиболее общие формы движения материи (механические, тепловые, электромагнитные и т.д.) и их взаимные превращения. Эти формы движения имеют место во всех высших и более сложных формах движения (химических, биологических процессах и т.п.) и неотделимы от них. За последние десятилетия физика разрослась и разветвилась. Этот процесс нашел отражение в появлении таких областей, как астрофизика, биофизика, геофизика, радиофизика, кристаллофизика и т.д. Эта дифференциация тем не менее не привела к потере физикой единства фундамента, общности методов исследования. В настоящее время физика развивается не в направлении измерений, вычислений, технических разработок, а ставит вопросы о возможности создания новых материалов, раскрытия неизвестных явлений. Возникли физические направления, которые в корне изменяют технику. Это получение энергии за счет термоядерных реакций, развитие лазерной техники, создание магнито-гидродинамических (МГД) генераторов, Таким образом, физика и техника оказывают взаимное влияние друг на друга. Механика - учение о простейшей форме движения материи. Движение представляет собой форму существования материи и, в философском смысле, движение - это всякое изменение материи. Механика изучает простейшую форму движения - перемещение материальных тел, т.е. изменение их взаимного расположения с течением времени. Простое механическое перемещение всегда сопровождает все более сложные и высшие формы движения. Движение тел происходит как в пространстве, так и во времени (пространство и время - неотъемлемые формы существования материи). Классическая механика, созданная в XVII - XVIII вв., описывает закономерности движения тел со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме v<
4

которого рассматривается движение, а связанная с ним система координат называется системой отсчета. Движущиеся тела обладают размерами, однако, изучение основных закономерностей движения в механике проводится на простейшей модели - материальной точке. Под материальной точкой понимается объект, имеющий конечную массу и бесконечно малые размеры. Понятно, что это - абстракция: реальные физические тела имеют конечные размеры. Однако, если размерами тела можно пренебречь в условиях данной задачи, то его массу можно считать сосредоточенной в геометрической точке и само тело принять за материальную точку. При изучении вращательного движения применяется другая модель “абсолютно твердое тело”, т.е. тело, не подверженное деформации. Это, конечно, тоже абстракция. Реальные тела всегда более или менее подвержены деформации. Однако, если этой деформацией можно пренебречь в условиях данной задачи, то тело можно считать абсолютно твердым. Использование простейших моделей позволяет рассмотреть основные закономерности движения. 1.ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ 1.1. Кинематика и динамика материальной точки. Кинематика поступательного движения Кинематика изучает движение тел без учета причин, вызывающих это движение. Динамика рассматривает движение тел в зависимости от причин, вызывающих это движение. Рассмотрим произвольное криволинейное движение материальной точки, положение которой в пространстве определяется тремя координатами, которые в свою очередь являются функциями времени. Существует множество систем координат, однако мы будем пользоваться простейшей - трехмерной декартовой системой координат, представляющей собой три взаимно-ортогональные координатные оси x, y и z (рис. 1-1).

5

Рис. 1-1

Принято определять положение точки при помощи радиуса-вектора. Радиусом-вектором r (t) называется вектор, проведенный из начала координат в точку пространства, где в момент времени t находится материальная точка. Радиус-вектор выражается через координаты x, y и z следующим образом: r(t) = ix + jy + kz, где i, j и k - соответствующие орты, т.е. единичные векторы, направленные вдоль соответствующих осей. Характеристиками движения являются траектория, путь и перемещение. Траекторией называется пространственная кривая, которую описывает материальная точка, перемещаясь в пространстве. Путь ∆S - это расстояние, пройденное по криволинейной траектории из начальной точки 1, в которой материальная точка находилась в момент времени t , в положение 2. Этот путь она проходит за время ∆t. (∆S скалярная величина). Перемещением называется вектор ∆r, проведенный из точки 1 в точку 2. Основные кинематические характеристики движения: скорость и ускорение. Скорость

6

Скорость характеризует быстроту перемещения материальной точки по траектории. Введем понятие средней и мгновенной скоростей. Средняя скорость: ∆r . (1.1) vср = ∆t При ∆t → 0 этот вектор стремится к пределу, который называется мгновенной скоростью: ∆r dr v = lim (1.2) = . ∆t →0 ∆t dt

Через проекции скорость выражается так: v=i

dx dy dz + j +k = i vx + j v y + k vz . dt dt dt

Средняя скорость направлена по секущей, а мгновенная - по касательной к траектории в данной точке. Ускорение Ускорение характеризует быстроту изменения скорости. В общем случае скорость может изменяться как по абсолютной величине, так и по направлению. Изменение скорости по направлению характеризуется нормальным ускорением a n . Изменение скорости по абсолютной величине характеризуется тангенциальным или касательным ускорением aτ . Рассмотрим обе этих величины. Мгновенное ускорение, т.е. ускорение в данный момент времени определяется как предел отношения приращения скорости ∆v к интервалу времени ∆t , за который произошло это приращение:

∆v dv = . ∆t → 0 ∆t dt

a = lim

(1.3)

Пусть в точке 1 траектории скорость равна v1, а в точке 2 - v2 (рис. 1-2).

7

Рис. 1-2 Векторы v1 и v2 различны как по модулю, так и по направлению. Проведем из точки А отрезок АС, равный и параллельный отрезку ВD, изображающему вектор скорости v2. Тогда отрезок ЕС, равный разности v2 и v1, представит собой изменение скорости ∆ v. Отложим на АС отрезок AF= v1 и разобьем ∆v на две составляющие:

∆v = ∆v n + ∆vτ .

Тогда

(1.4)

∆v ∆v ∆v = lim n + lim τ = a n + aτ . ∆t →0 ∆t ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t

a = lim

(1.5)

где an =

dv n , dt

aτ =

а

dvτ . dt

(1.6)

Можно показать, что нормальная составляющая ускорения равна 2

v (1.7) an = R и направлена по радиусу к центру кривизны в данной точке, а касательная составляющая ускорения равна

aτ =

dv dt

и характеризует изменение скорости по модулю.

8

Динамика материальной точки Динамика изучает механическое движение тел и связь основных кинематических параметров движения с причинами, вызывающими это движение, т.е. с силами.

1.2. Законы Ньютона Основные принципы механики сформулированы Ньютоном в виде трех законов. Первый закон Ньютона называется законом инерции. Он устанавливает существование инерциальных систем отсчета, в которых выполняются второй и третий законы. Первый закон Ньютона формулируется так: Существуют такие системы отсчета, относительно которых все тела, не взаимодействующие с другими телами, движутся равномерно и прямолинейно. Такие системы отсчета называются инерциальными. Инерциальных систем отсчета может быть бесчисленное множество. Любая система отсчета, движущаяся относительно инерциальной с постоянной скоростью, также является инерциальной системой. Основой динамики является второй закон Ньютона. Во втором законе Ньютона вводятся две новые физические величины: действующая сила (F) и масса тела (m). Второй закон Ньютона формулируется следующим образом: Если на тело действует сила, то тело приобретает ускорение, прямо пропорциональное этой силе и обратно пропорциональное массе этого тела: F (1.8) a= . m Cила характеризует количественное воздействие на тело со стороны других тел и направление этого воздействия. Масса определяет инерционные свойства тела, т.е. реакцию тела на это воздействие. Второму закону Ньютона можно придать иной, более общий вид, введя понятие импульса тела (или материальной точки): p = mv . (1.9)

9

Это векторная величина, совпадающая по направлению с направлением вектора скорости. Она имеет еще одно название количество движения. Запишем второй закон Ньютона, используя понятие импульса (количества движения): F = ma = m

dv . dt

(1.10)

В классической механике считается, что масса тела не зависит от его скорости. Поэтому можно массу внести под знак производной. Выражение (1.10) приобретает вид: F =m

dv dp = . dt dt

(1.11)

В таком виде этот закон выражает зависимость скорости изменения импульса тела от силы, приложенной к этому телу. Этот закон можно назвать законом изменения импульса. Его формулировка: скорость изменения импульса тела равна равнодействующей всех сил, приложенных к телу: dp =F. (1.12) dt Закон изменения импульса может быть записан иначе: dp = Fdt .

(1.13)

Слева в этом выражении стоит изменение импульса за бесконечно малое время dt. Выражение Fdt в правой части (1.13) называется импульсом силы, действующей на тело за это же время. Поэтому закон изменения импульса может быть сформулирован еще так: изменение импульса тела за время dt равно импульсу силы, действующей на тело за это время. Наконец, третий закон Ньютона является основой раздела механики, изучающего равновесие тел. Этот закон формулируется следующим образом:

статики, т.е.

10

Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия. Силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, находящиеся в равновесии, равны по величине и противоположны по направлению ( рис. 1-3).

Рис. 1-3 Силы направлены вдоль прямой, соединяющей центры тяжести тел. f 12 = − f 21

1.3. Закон сохранения импульса В природе существует ряд фундаментальных законов сохранения, которые носят универсальный характер, т.е. справедливы в любых явлениях природы. К этому ряду законов относятся закон сохранения импульса, закон сохранения энергии и закон сохранения момента импульса. Они справедливы как в классической механике макротел, так и в квантовой механике микрочастиц. Огромная практическая значимость этих законов обусловлена тем, что: 1) законы сохранения не зависят от вида траектории и от характера действующих в системе сил. Поэтому они позволяют получить общие и существенные выводы из уравнений движения. Законы сохранения проявляются как принцип запрета, т.е. всякое явление, при котором нарушается хотя бы один из законов сохранения, в природе просто не может происходить; 2) законы сохранения могут быть использованы даже в тех случаях, когда силы неизвестны, что особенно важно в физике элементарных частиц;

11

3) даже в тех случаях, когда силы точно известны, закон сохранения импульса существенно упрощает решение задач о движении системы тел, особенно если нужно оценить конечный результат взаимодействия тел (например, их скорости, кинетические энергии); 4)законы сохранения вытекают из общих принципов, справедливых для всех явлений природы, - принципов симметрии пространства - времени. Доказано, что из однородности пространства вытекает закон сохранения импульса, из изотропности пространства - закон сохранения момента импульса и из однородности времени - закон сохранения энергии. Тот факт, что законы сохранения являются следствиями столь общих представлений, является сильнейшим подтверждением универсальной значимости этих законов. При изучении законов сохранения мы впервые сталкиваемся с понятием системы тел, в которой действуют внешние и внутренние силы. Частным случаем является замкнутая или изолированная система, т.е. такая система, на которую не действуют внешние силы. При решении конкретных задач нужно выяснить, можно ли данную систему считать замкнутой или нет, и если можно, то с каким приближением. Применим закон сохранения импульса к системе тел. Под системой тел понимается совокупность взаимодействующих тел, движение которых рассматривается совместно и одновременно. Импульсом системы pс называется векторная сумма импульсов N тел или N материальных точек, составляющих механическую систему: N

N

i=1

i=1

p c = ∑ pi = ∑ mi v i .

(1.14)

Силы взаимодействия между телами, составляющими систему, называются внутренними силами. Силы, действующие со стороны тел, не входящих в данную систему, называются внешними силами. Система называется замкнутой или изолированной, если действием на нее внешних сил можно пренебречь по сравнению с внутренними силами. Для получения закона изменения импульса системы тел возьмем производную по времени от импульса системы pс: N dp N dp c d N = ∑ pi = ∑ i = ∑ F i i =1 dt i=1 dt dt i=1

(1.15)

Предпоследний член в (1.15) в силу уже рассмотренного закона изменения импульса для одной материальной точки равен суммарной

12

силе, действующей на эту точку. Суммарная сила состоит из суммы внутренних и внешних сил. Однако, внутренние силы, действующие между телами системы, попарно компенсируются и их равнодействующая равна нулю. Поэтому последний член в этом выражении содержит только сумму внешних сил, приложенных к телам системы. На изолированную систему внешние силы не действуют и поэтому: N dp i = 0, и ∑ Fi = 0 i=1 dt что, в свою очередь означает, что импульс замкнутой системы тел сохраняется постоянным во времени при любых процессах, происходящих в этой системе: pc = const

или:

N

∑ pi = const .

(1.16)

i=1

Это и есть закон сохранения импульса замкнутой системы материальных точек. Иногда удобно движение системы из N тел рассматривать как движение одной точки - центра инерции (или центра масс, центра тяжести), положение которой задается радиусом-вектором: N

rc =

∑ mi r i

i=1

m

,

(1.17)

где m - cуммарная масса системы. Скорость центра инерции получим, дифференцируя (1.17) по времени: N

∑ mi v i

N

∑ pi

p vc = dr c = i =1 (1.18) = i =1 = c . dt m m m Если система замкнута, то pc = mvc = const , тогда и скорость центра инерции системы является постоянной величиной: vc = const .

(1.19)

Выражение (1.19) является другой формой записи закона сохранения импульса: “Центр инерции замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно, независимо от того, как движутся отдельные тела, составляющие систему”. Существенно, что под действием внутренних сил изменяются импульсы отдельных тел, входящих в систему, но это не сказывается на движении центра инерции.

13

2. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ 2.1. Работа переменной силы В школьном курсе физики работа определялась как произведение силы на пройденный путь и на косинус угла между ними: A=FScosα.

(2.1)

Однако такое определение очень ограничено. Оно справедливо лишь в тех случаях, когда движение прямолинейное, а сила на всем пути остается постоянной по величине и направлению. Гораздо чаще встречаются случаю, когда материальная точка перемещается по криволинейной траектории, а сила на всем пути перемещения меняет свое направление и/или величину.

Рис.2-1 Пусть, например, материальная точка перемещается по криволинейной траектории от исходного положения 1 до положения 2. Выражение (2.1) здесь уже неприменимо, поэтому определим элементарную работу на бесконечно малом участке траектории dS. Для этого вначале выделим этот участок, на котором в момент времени t находится точка. Радиусвектор ее положения равен r(t). Введем вектор перемещения dS, который

14

определим как вектор, по абсолютному значению равный элементу dS, и направленный по касательной к траектории в направлении перемещения. На бесконечно малом участке траектории силу F можно считать постоянной, и работу определить как скалярное произведение вектора силы F на вектор перемещения dS: dA=(FdS)=FdScosα. Работа имеет знак, который зависит от угла

α: если α <

π

(2.2)

, то 2 cos α > 0 , и работа силы F положительная: dA>0 (т.е. сила совершает

α>

π

, то cosα<0 и работа силы F отрицательная: 2 dA<0 работа совершается против действия силы). Для того, чтобы найти полную работу по перемещению материальной точки из положения 1 в положение 2, нужно взять интеграл от dA по всему пути S: A12 = dA .

работу). Если же

∫ s

(2.3) Конкретный вид выражения (2.3) зависит от подынтегрального выражения. 2.2. Работа сил и кинетическая энергия В качестве примера определим работу, совершаемую переменной силой при изменении скорости тела от v1 до v2. Так как работа совершается только касательной составляющей силы Fτ, то:

F τ = maτ = m

dv . dt

(2.4)

Тогда работа силы с учетом (2.4) будет: r2

A=

∫

r1

где:

r2

r2

r1

r1

2 2 dv mv2 mv1 dr = m vdv = − = E k 2 − E k 1 , (2.5) F rdr = m dt 2 2

∫

∫

15 2

mv . Ek = 2

(2.6)

Кинетическая энергия тела Кинетическая энергия характеризует движение тела и зависит от его массы и скорости. А работа - это процесс взаимодействия тел, приводящий к изменению энергии системы, которая определяет состояние, т.е. совокупность свойств системы. Важно, что работа характеризует только изменение энергии, поэтому кинетическая энергия задается с точностью до произвольной постоянной С: 2

mv + C. Eк = 2

(2.7)

При v=0 по отношению к данной системе отсчета следует считать Ek=0 и, таким образом, положить C=0. Тогда: 2

mv . Ek = 2

(2.8)

2.3. Потенциальная энергия Под механической энергией понимают сумму кинетической и потенциальной энергий. Потенциальная энергия характеризует взаимодействие тел, зависит от их взаимного расположения и действующих в системе сил, но не зависит от скорости тел. Установлено, что потенциальную энергию можно задать не для любого силового поля, а только в случае консервативных сил, работа которых не зависит от формы пути, а определяется только разностью потенциальных энергий в начальной и конечной точках пути. Примером такой силы является гравитационная сила, т.е. сила тяжести, действующая в гравитационном поле. Рассмотрим пример: тело массы m находится в поле тяготения Земли. Определим работу, которую совершает сила тяжести при свободном падении (перемещение тела изменяется от r1 до r2). Покажем, что работа силы тяжести совершается за счет убыли потенциальной энергии тела. Сила тяготения - переменная сила:

16

mM з . (2.9) 2 r Здесь r - расстояние от центра Земли до тела; Mз - масса Земли. Тогда элементарная работа определится следующим образом: mM з dA = Fdr = γ . (2.10) 2 r А полная работа при перемещении тела на всем пути от r1 до r2 будет равна: Fτ = γ

r2

( )

r2 γmM з γmM з mM з 1 A = γ 2 dr = γmM з − = − = E п1 − E п 2 , (2.11) r r1 r2 r r1 r1

∫

где: Еп = γ

mM r

з

+ const

(2.12)

есть потенциальная энергия тела в гравитационном поле Земли. Как видно из (2.11), работа сил тяжести совершается за счет убыли потенциальной энергии. Потенциальная энергия, как и кинетическая, задается с точностью до произвольной постоянной. За нуль отсчета потенциальной энергии Еп=0 принимается значение потенциальной энергии в бесконечности (т.е. при r = ∞), когда прекращается взаимодействие тел. 2.4. Закон сохранения механической энергии Закон сохранения механической энергии формулируется следующим образом: Полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют консервативные силы, сохраняется постоянной во времени. Проиллюстрируем этот закон на примере свободного падения тела. Если тело падает, т.е. перемещается в гравитационном поле, то сила тяжести совершает работу за счет убыли потенциальной энергии. На малом отрезке dr элементарная работа равна: dA = − dE п .

(2.13)

Однако при этом кинетическая энергия тела увеличивается, т.е. совершаемая работа идет на увеличение кинетической энергии тела: (2.14) dA = dE к .

17

Поскольку левые части выражений (2.13) и (2.14) равны, то равны и правые, т.е.: − dE п = dE к

(2.15)

d ( E к + Е п ) = 0,

(2.16)

Следовательно,

или: Е = E к + Е п = const .

(2.17) Это и есть закон сохранения механической энергии. Из данного примера видно, что это не только закон сохранения энергии, но также и закон превращения одного вида энергии в другой в равных количествах. В данном случае убыль потенциальной энергии при падении тела сопровождается равным возрастанием кинетической энергии. Если же в системе действуют также и неконсервативные силы, например силы трения, то механическая энергия системы уменьшается и переходит в немеханические виды энергии (тепловую энергию и др.). При этом работа сил трения равна убыли механической энергии тела: dAтр = − dE .

(2.18)

В таких системах выполняется общий закон сохранения: в изолированной системе сумма всех видов энергии остается постоянной. Особое значение этого закона состоит в том, что он выражает качественную и количественную связь между различными формами движения материи. В природе возможны лишь переходы движения (энергии) из одной формы в другую. 2.5. Упругий и неупругий удар шаров Прекрасной иллюстрацией действия законов сохранения энергии и импульса является задача об ударе шаров. Эта задача моделирует столкновение тел, т.е. кратковременное взаимодействие, как макротел, так и микрочастиц. Мы будем рассматривать прямой центральный удар шаров, т.е. такой удар, при котором вектор скорости одного из шаров в момент

18

столкновения проходит через центр тяжести другого. Следует различать абсолютно упругий, частично упругий и неупругий удары. Мы рассмотрим два крайних случая - абсолютно упругий и неупругий удары. Абсолютно упругий удар

При абсолютно упругом ударе кинетическая энергия движения шаров полностью, без потерь переходит в потенциальную энергию деформации шаров. Шары деформируются, а затем восстанавливают свою первоначальную форму. При этом они отталкиваются друг от друга и приобретают новые скорости. Потенциальная энергия деформации полностью переходит в кинетическую энергию движения шаров. Если шары движутся без трения, то систему из двух шаров можно считать замкнутой и для такой системы закон сохранения импульса запишется в следующем виде: m1 v10 + m2 v 20 = m1 v1 + m2 v 2 ,

(2.19)

где: m1 и m2-массы первого и второго шаров соответственно; v10 и v20 - векторы скоростей первого и второго шаров до столкновения; v1 и v2 - векторы скоростей обоих шаров после удара. Одного этого уравнения недостаточно для того, чтобы найти скорости шаров после удара. Поэтому воспользуемся еще законом сохранения энергии для замкнутой системы из двух шаров, который будет иметь следующий вид: 2 2 2 2 m1 v10 m2 v 20 m1 v1 m2 v 2 + = + . (2.20) 2 2 2 2

Совместное решение этих уравнений позволяет определить скорости шаров после удара: ± 2m2 v 20 + ( m1 − m2 ) v10 (2.21) v1 = m1 + m2 2m1 v10 ± ( m2 − m1 ) v 20 (2.22) v2 = m1 + m2 В этих выражениях знак "-" соответствует случаю шаров, движущихся навстречу друг другу, а знак "+" соответствует случаю, когда первый шар догоняет второй.

19

Абсолютно неупругий удар

В этом случае при ударе шары деформируются необратимо. Кинетическая энергия движущихся шаров частично переходит в немеханические виды энергии (тепло, энергию остаточных деформаций и др.). Поэтому после столкновения шары не восстанавливают свою форму и движутся дальше (или покоятся) вместе, с одной и той же скоростью, образуя как бы единое целое. Примером такого удара является удар шаров из свинца, мягкой глины или пластилина. Для того, чтобы найти скорость шаров после удара, достаточно только одного уравнения - закона сохранения импульса: m1 v10 + m2 v 20 = ( m1 + m2 )v .

(2.23)

Откуда можно найти общую скорость шаров после удара:

v=

m1 v10 ± m2 v 20 . + m1 m 2

(2.24)

3. МЕХАНИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 3.1. Угловая скорость и угловое ускорение При описании вращательного движения обратимся к идеализации абсолютно твердому, т.е. недеформируемому телу. При вращении такого тела все его точки описывают окружности, а центры этих окружностей лежат на одной прямой - оси вращения. Для простоты рассмотрим вращение вокруг неподвижной оси z. Радиус-вектор каждой точки за время ∆t поворачивается на угол ∆ϕ. Направление ∆ϕ (по часовой стрелке или против нее) совпадает с направлением поворота твердого тела вокруг оси z. По аналогии с поступательным движением введем понятие вектора угловой скорости ω и вектора углового ускорения β. Угловая скорость определяет быстроту изменения угла поворота во времени:

20

∆ϕ dϕ = . ∆t → 0 ∆t dt

ω = lim

(3.1)

При заданном направлении оси вращения тела направление вектора его угловой скорости ω определяется правилом правого винта: вектор ω направлен так же, как направлен винт с правой резьбой при завинчивании, причем направление вращения винта совпадает с направлением вращения тела. Изменение угловой скорости во времени характеризуется угловым ускорением: ∆ω dω β = lim = . (3.2) ∆t → 0 ∆t dt Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то направления векторов ω и β совпадают с направлением оси вращения. Установим связь между линейными и угловыми характеристиками движения. При вращении твердого тела все угловые величины - ∆ϕ, ω и β остаются неизменными для различных точек твердого тела, а линейные величины - скорость v и ускорение a - существенно зависят от расстояния R точек до оси вращения. Покажем это. Действительно, при малых значениях интервала времени ∆t можно принять:

∆S = ∆r . Как видно из рис.1-3, длина секущей ∆r равна:

∆ r ≈ R∆ϕ.

(3.3)

21 z

ω R

∆ϕ 1

2 ∆S

Рис. 3-1 По определению: v = lim

∆t → 0

∆r ∆ϕ = R lim = Rω , ∆ t → 0 ∆t ∆t

(3.4)

или в векторной форме: v = [ω, R],

Так как:

(3.5)

a = aτ + a n ,

где:

aτ =

dv dω =R = Rβ , dt dt

(3.6)

22

то с учетом (3.4) получаем:

dω dv =R = Rβ dt dt 2 v ω2 = Rn an = R aτ =

(3.7)

Тогда модуль полного ускорения:

a = a n2 + aτ2 =

2

( ω R ) + ( βR ) 2

2

.

(3.8)

Таким образом, и нормальное и тангенциальное ускорения увеличиваются линейно с увеличением расстояния от точки до оси вращения. 3.2. Динамика вращательного движения Выше мы видели, что основным законом динамики при поступательном движении является второй закон Ньютона. Вращательное движение также описывается своим основным законом, который по аналогии иногда называют вторым законом Ньютона для вращательного движения. Правильнее будет, однако, называть его основным законом динамики вращательного движения. Будем рассматривать вращение тела относительно неподвижной оси z, проходящей через центр масс. Введем несколько основных понятий: момент силы относительно оси вращения Mz, момент инерции J, момент импульса (момент количества движения) твердого тела Lz. Момент силы Вначале введем понятие момента силы относительно некоторой точки (относительно начала отсчета).

23

l=rsinα A

α

o

r F

Рис.3-2 Рисунок.3-2 поясняет это определение. Сила F приложена в точке А, точка О - начало отсчета, т.е. точка, относительно которой определяется момент силы F, а r - радиус-вектор точки приложения силы. Этот радиус-вектор представляет собой вектор, проведенный из точки начала отсчета в точку приложения силы (т.е. из точки О в точку А). Момент силы определяется как векторное произведение радиусавектора r на саму силу F: M = [r, F ].

(3.9)

Вектор М перпендикулярен плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы r и F, причем, если смотреть вдоль вектора М, то поворот от r к F по кратчайшему пути должен происходить по часовой стрелке (т.е. здесь также можно пользоваться правилом буравчика). Однако правило буравчика (штопора, правого винта), известное из школьного курса, - это всего лишь мнемоническое правило, позволяющее наглядно представить себе направление вектора-произведения относительно плоскости, на которой лежат векторы-сомножители. Математически же векторное произведение можно представить в виде определителя:

i

j

k

М = rx r y rz , Fx F y Fz

(3.10)

раскрывая который по элементам первой строки, можно получить выражение для момента. Модуль вектора М равен:

24

M = rF sinα = Fl ,

(3.11)

где α - угол между направлением векторов r и F, а l - плечо силы, т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы.

Момент пары сил Парой сил называются две равные по величине и противоположно направленные силы, действующие не вдоль одной и той же прямой. F1

R12

F2

Рис. 3-3

Плечо пары - кратчайшее расстояние между линиями действия сил. Момент пары представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат силы, образующие пару (рис. 3-3): M = [R12 , F ],

где:

(3.12)

F = F1 = −F2

Численно момент пары сил равен произведению модуля одной из сил на плечо пары.

25

Момент силы относительно неподвижной оси вращения Вращение твердого тела может быть вызвано только касательными силами F , т.е. силами, лежащими в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и направленными по касательной к окружности в точках приложения сил (рис.3-4). Z

R

F r

Rz

O

Рис. 3-4 Момент силы относительно точки О определяется выражением (3.9). Проекция этого момента на ось Z представляет собой момент силы относительно оси Z: (3.13) M z = [ r , F ]z . Разложим вектор r на две составляющие - направленную вдоль оси Z (Rz) и перпендикулярно оси (R):

r = R + Rz . C учетом этого выражения (3.13) примет вид:

26

Mz =[ r,F] =[ R,F] +[ Rz ,F] . z z z

(3.14)

Последний член этого выражения обращается в нуль, так как векторы Rz и F коллинеарны ( т.е. направлены вдоль одной оси ). Поэтому: M z = [ R, F ] z ,

(3.15)

т.е. проекция момента также направлена вдоль оси вращения.

Момент импульса Разобьем вращающееся твердое тело на множество N элементарных (малых) объемов. Понятие малый объем означает, что он настолько мал по сравнению с размерами тела, что его можно считать материальной точкой. Один из таких элементарных объемов массой mi показан на рис. 3-5. Расстояние от этого элементарного объема до оси вращения равно Ri. Если тело вращается вокруг оси с угловой скоростью ω, то i-й элементарный объем обладает линейной скоростью vi и импульсом pi=mipi. Введем понятие момента импульса материальной точки. Эта величина определяется формально аналогично понятию момента силы. Момент импульса также можно определить как относительно точки (начала отсчета), так и относительно оси вращения. Момент импульса i-го элементарного объема относительно оси Z будет: (3.16) L zi = [ R i , pi] z

Так как твердое тело недеформируемо, то при вращении все элементарные объемы описывают окружности с центрами, лежащими на оси вращения.

27 Z

vi

Ri

pi mi

ri

Rz

O

Рис. 3-5 Векторы Ri и pi взаимно перпендикулярны и поэтому (3.16) можно переписать так: L zi = [ Ri , pi] z = R i mi vi .

(3.17)

Подставим в (3.17) выражение для линейной скорости: тогда:

vi = ω R i , 2 L zi = Ri mi vi = mi Ri ω = J i ω ,

(3.18)

где величина: 2 J i = mi R i

(3.19)

называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения. Момент инерции определяет инерционные свойства

28

материальной точки при вращательном движении и равен произведению ее массы на квадрат ее расстояния до оси вращения. Если теперь просуммировать (3.18) по всем элементарным объемам, на которые мы разбили тело, то получим:

Lz =

N

∑L

zi

=ω

i =1

N

∑J

i

= Jω

,

(3.20)

i =1

где величина:

J =

N

N

∑ J = ∑m R i

i =1

i

(3.21)

2 i

i =1

называется моментом инерции твердого тела относительно оси Z. Эта величина определяет инерционные свойства тела при вращательном движении и зависит от геометрии тела и от распределения масс по его объему. Момент инерции тела тем точнее определяется выражением (3.12), чем на большее число элементарных объемов разбито это тело. Поэтому, строго говоря, момент инерции определяется не суммой, а интегралом, который представляет собой предел суммы при увеличении N до бесконечности: J = lim

N

∑ρR

N →∞ i =1 mi → 0

2 i

∆V i =

∫

2

ρR dV ,

(3.22)

V

где ρ - плотность материала, из которого состоит тело, а ∆Vi элементарный объем. Таким образом, масса этого элементарного объема равна: mi=ρ∆Vi. Плотность ρ может быть различной по всему объему и поэтому не выносится из-под интеграла. Знак V под интегралом означает, что интегрирование ведется по всему объему тела. 3.3. Примеры вычисления моментов инерции Рассмотрим несколько примеров, показывающих, как практически вычислить моменты инерции некоторых тел.

Момент инерции круглого прямого цилиндра Вычислим момент инерции круглого прямого цилиндра (рис. 3-6,а) относительно оси вращения, совпадающей с осью цилиндра.

29

O

O R

r

dr h

h

a)

b)

O

O Рис. 3-6

В выражении (3.22) интеграл по всему объему тела представляет собой по существу тройной интеграл, т.к. дифференциал dV является трехмерным, т.е., например, в декартовой системе координат dV=dxdydx. Однако, путем правильного выбора элемента dV можно свести интеграл к однократному. Выберем элемент объема в виде бесконечно тонкого цилиндра радиусом r , толщиной dr и высотой h. Тогда объем этого цилиндра будет равен: dV=2πrhdr. Подставив это выражение в (3.22), получим: R

J =

∫ 0

R

4

R . ρr 2πrhdr = 2πρh r dr = 2πρh 4 0 2

∫

3

(3.23)

По существу мы выполнили замену переменной интегрирования, которая теперь равна r. Эта переменная лежит в пределах от 0 до R, поэтому и пределы интеграла будут соответственно 0 и R. Цилиндр предполагается однородным, поэтому плотность ρ вынесена за знак интеграла. Учитывая теперь, что масса цилиндра равна: 2

m = ρπR h , получим окончательно: 2

mR J= . 2

Момент инерции круглого прямого кольцевого цилиндра

(3.24)

30

Попробуем вычислить момент инерции тела, изображенного на рис. 3-7.

O R1

R2 h

O Рис.3-7 Теперь тело представляет собой также цилиндр, но цилиндр, выполненный в виде толстостенного кольца (или трубы). Наружный радиус цилиндра - R2, внутренний - R1. Задача решается так же, как и предыдущая. Элементарный объем также выбирается в виде бесконечно тонкого кольца и его и этот объем равен: dV=2πrhdr. Момент инерции определяется таким же интегралом, как и в (3.23), однако пределы интегрирования теперь будут соответствовенно равны R1 и R2: R2

J =

∫

R1

R2

R − R1 . ρr 2πrhdr = 2πρh r dr = 2πρh 2 4 2

∫

4

4

3

(3.25)

R1

Учитывая, что масса цилиндра теперь равна:

получим окончательно:

m = ρπ (R 22 − R12 )h ,

(3.26)

m(R 22 + R12 ) J = 2

(3.27)

Момент инерции стержня, вращающегося относительно оси,

31

проходящей через его середину Рассмотрим стержень длиной относительно оси ОО (рис. 3-8).

L

и

O

сечением r

S,

вращающийся

dr

S L O

Рис. 3-8 Выберем элементарный объем dV в виде бесконечно короткого отрезка стержня dr, находящегося на расстоянии r от оси вращения. Этот элементарный объем будет равен: dV=Sdr. Воспользовавшись (3.22), получим: +

J =

L 2

L 2

∫ ρr Sdr = ρS 2∫ r dr = 2 ρS 2

−

L 2

2

0

r3

L 2

3

ρSL = 12

3

.

(3.28)

0

Учитывая, что масса стержня равна: m=ρSL, получим: 2

mL J = . 12

(3.29)

Момент инерции стержня, вращающегося относительно оси, проходящей через один из его концов Вычислим теперь момент инерции стержня, вращающегося относительно оси, проходящей через один из его концов (рис.3-9).

32

O

r

dr

S L O

Рис. 3-9 Момент инерции в этом случае вычисляется так же, как и в предыдущем, но пределы интегрирования будут другими: L L

J =

∫ 0

r

3

3

ρSL = . ρr Sdr = ρS 3 3 2

(3.30)

0

Учитывая, как и в предыдущем случае, что масса стержня равна: m=ρSL, получим: mL J= 3

2

(3.31)

Теорема Штейнера Последние два примера иллюстрируют также более общий случай. Мы видели, что при смещении оси вращения момент инерции меняется: тело обладает минимальным моментом инерции относительно оси, проходящей через центр масс этого тела. При смещении оси вращения момент инерции увеличивается. Это увеличение выражается теоремой Штейнера, которую мы приведем здесь без доказательства, но поясним ее. Пусть, например, некоторое тело, изображенное на рис.3-10, обладает моментом инерции J0 относительно некоторой оси О.

33

O

O

1

a

Рис. 3-10 Момент инерции того же тела, но относительно другой оси О1, смещенной относительно первой оси на расстояние а, будет выражаться формулой: 2 J o1 = J 0 + ma , (3.32) где m - масса тела, а а - расстояние между осями. Эту формулу легко проверить на примере двух последних случаев. Стержень, изображенный на рис.3-8, имеет, согласно формуле (3.26), момент инерции, равный: 2 mL J = 12 Рисунок 3-9 изображает тот же стержень, но теперь ось вращения смещена относительно прежней на расстояние: a=

L 2

В соответствии с (3.28) получим для нового момента инерции:

()

L J0 = J + m 2

в полном соответствии с (3.27).

2

2

2

mL mL = +mL = 12 4 3

2

34

3.4. Основное уравнение динамики вращательного движения. Вернемся к рис.3-5. Для i-го элемента, принадлежащего вращающемуся телу (напомним, что всего тело разбито на N элементов), второй закон Ньютона выражается формулой: F i = m i a τi (3.33) Здесь: Fi - касательная сила, действующая на элемент; mi - масса элемента; aτi - тангенциальное ( касательное ) ускорение:

aτi = [β , R i ], где:

(3.34)

β - вектор углового ускорения тела;

Ri - расстояние i -го элемента до оси вращения. Таким образом: F i = mi [β , Ri ]

(3.35)

Момент этой силы равен векторному произведению Ri на саму эту силу: 2 M zi = [ Ri , F i] z = mi [Ri ,[β , R i ]] = mi Ri β = J i β , т.е.: (3.36) M zi = Ji β .

Просуммировав теперь выражение (3.36) по всем элементарным объемам, получим основное уравнение (основной закон) динамики вращательного движения: Mz =

N

∑M i =1

т.е.:

zi

=β

N

∑J

i

= Jβ ,

i =1

M z = Jβ ,

(3.37)

где J - момент инерции вращающегося тела, который определяется выражением (3.22).

35

Выражение (3.37) и представляет собой запись основного уравнения динамики вращательного движения. По существу, это выражение является обобщением второго закона Ньютона на случай вращения тела. Мы и получили его, воспользовавшись вторым законом Ньютона. Поэтому это соотношение называют иногда еще вторым законом Ньютона для вращательного движения, поскольку этот закон выражает основную причинно-следственную связь между причиной, вызывающей вращение (моментом внешних сил, действующих на тело) и следствием (т.е. угловым ускорением, с которым начинает вращаться тело). Важно подчеркнуть, что Мz - это суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело, так как моменты внутренних сил, действующих между отдельными элементами твердого тела, в соответствии с III законом Ньютона попарно компенсируют друг друга. Угловое ускорение тела представляет собой первую производную угловой скорости по времени. Поэтому (3.37) запишется так: M z = Jβ = J

dω . dt

Момент инерции от времени не зависит, поэтому его можно внести под знак производной. Получим: Mz =

т.е.:

(3.38)

d ( Jω) dL z = , dt dt dL z = Mz . dt

Выражение (3.38) представляет собой закон сохранения момента импульса твердого тела и является обобщением закона сохранения импульса (1.15) на случай вращательного движения. Моментом импульса твердого тела в выражении (3.38) называется величина: L z = Jω .

(3.39)

Если вращающееся тело изолировано, т.е. на него не действуют внешние силы, то и суммарный момент всех внешних сил также равен нулю. В этом случае мы получаем закон сохранения момента импульса для изолированного тела:

36

L z = const ,

т.е.

G Jω = const

(3.40)

3.5. Таблица аналогий Поступательное движение 1.Векторперемещения dr 2. Линейная скорость: dr v= dt 3. Линейное ускорение: dv a= dt 4. Внешняя сила: F 5. Масса тела: m 6. Импульс: p = mv

7. Второй закон Ньютона: a=

F m

8.Закон изменения импульса: dp =F dt 9. Элементарная работа: dA = (Fdr )

10. Кинетическая энергия поступательного движения: 2 mv Ек = 2

Вращательное движение 1. Угол поворота: dϕ 2. Угловая скорость: dϕ ω= dt 3. Угловое ускорение: dω β= dt 4. Вращающий момент: Mz 5. Момент инерции: 2 J = ρr dV

∫ V

6. Момент импульса: L=Jω

7. Основное уравнение вращательного движения: M β= J 8. Закон изменения момента импульса: dL =M dt 9. Элементарная работа: dA = ( Mdϕ )

10. Кинетическая энергия вращательного движения: 2 Jω Ек = 2

37

Эта таблица может служить для удобства запоминания основных соотношений, характеризующих поступательное и вращательное движение, а также для более глубокого понимания связей между этими видами движений. Следует подчеркнуть, что эта таблица описывает формальные аналогии, однако связь между соотношениями не только формальная, а более глубокая - соотношения для вращательного движения являются обобщениями соотношений для поступательного движения. 4. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Принцип относительности движения был сформулирован в механике для инерциальных систем еще Галилеем. Однако считалось, что по классической механике время во всех таких системах течет одинаково, т. е. выступает как абсолютная величина. В результате инвариантными ( т.е. неизменными ) относительно преобразований Галилея были лишь законы механики, а законы оптики и электродинамики уже оказывались неинвариантными. При дальнейшем развитии физики были сделаны неоднократные, но неудачные попытки найти какую-то абсолютную или привилегированную систему отсчета, например, систему, связанную с мировым эфиром (опыты Физо и Майкельсона). В 1905 году Эйнштейном была сформулирована специальная теория относительности, по новому трактующая понятия о пространстве и времени и были выведены новые формулы для преобразования координат и времени, а также новые (релятивистские) законы движения быстрых частиц.. Специальная теории относительности предполагает инвариантность в инерциальных системах отсчета не только законов механики, но всех законов физики вообще, в том числе законов электромагнетизма. Все эти вопросы и излагаются в настоящей главе. 4.1.

Преобразования Галилея и механический принцип относительности

Преобразования координат и времени в классической механике

38

Давно было замечено, что положение тела (материальной точки) всегда определяется относительно какой-то выбранной системы отсчета, выбранной системы координат. Такую систему отсчета в принципе можно связать с любым телом и в том числе с Землей. Однако, при этом, очевидно, следует учитывать, движется ли сама выбранная система отсчета относительно других систем. Необходимо условиться о том, какие движения систем друг относительно друга возможны. Так вошли в рассмотрение инерциальные системы координат, инерциальные системы отсчета. Под инерциальной системой отсчета в физике понимается такая система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, или закон инерции. Это означает, что в инерциальной системе отсчета любое тело, на которое не действуют внешние силы, или покоится или движется с постоянной по величине и направлению скоростью. Другими словами, в инерциальной системе отсчета любая изолированная материальная точка (на нее не действуют силы) имеет ускорение, равное нулю. Очевидно, что всякая система отсчета, которая движется прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы отсчета, также будет инерциальной системой. Последнее утверждение, как увидим дальше, можно доказать. Следует заметить, что часто определяют еще инерциальные системы отсчета, как такие системы, которые движутся друг относительно друга с постоянной скоростью. При таком определении все основные выводы и, в частности, инвариантность второго закона Ньютона в них сохраняются. Для установления связи между координатами двух инерциальных систем рассмотрим (рис. 4-1) две системы координат с началами в точках О и О', причем для сокращения записи в дальнейшем эти системы просто будем называть: система О и система О'. Будем считать, что система О неподвижна, а система О' движется относительно нее с постоянной скоростью v в направлении оси х. Другими словами, предполагаем, что начало координат системы О' движется относительно начала координат системы О с постоянной скоростью v. Считаем также, что координаты (y, z) и (y', z') в этих системах не изменяются, т. е. возможные повороты систем отсутствуют и у'=у, z'=z.

(4.1)

39 Z

Z' M X X' v

O

Y

X

O'

X'

Y'

Рис. 4-1 При сделанных предположениях очевидно, что координаты вдоль осей х и х' произвольной точки М в этих системах будут связаны друг с другом простым соотношением: x=x'+vt.

(4.2)

Следовательно, координата данной точки в неподвижной инерциальной системе отсчета равна координате в подвижной инерциальной системе отсчета плюс расстояние ( vt ), на которое за время t перемещается начало О' подвижной системы отсчета относительно начала О неподвижной системы отсчета. Легко видеть, что на основании (4.2) можно записать и обратный переход от координаты в системе О к координате в системе О': х'=х-vt.

(4.3)

По классической механике считалось, что время в обеих системах О и О' течет одинаково, т. е.: (4.4)

t'=t.

Итак, для выбранного случая движения вдоль оси x и с учетом соотношений (4.1) — (4.4), преобразования координат и времени в классической механике при переходе от подвижной системы отсчета к неподвижной будут следующими: x=x'+vt;

у=y';

z=z';

t=t'.

(4.5)

40

Обратные преобразования координат и времени при переходе от неподвижной системы к подвижной имеют вид: х'=х - vt;

y'=у;

z' = z;

(4.6)

t'=t.

Из рассмотрения выражений (4.5) и (4.6) видно, что координаты и время точки в одной инерциальной системе отсчета связаны с координатами и временем этой же точки в другой инерциальной системе отсчета простой линейной зависимостью. А это означает, в частности, что интервал длины в классической механике не будет изменяться при переходе от системы О к системе О'. В самом деле, если в системе О координаты концов твердого стержня были равны х1 и х2, а длина стержня или интервал длины: l = ∆x=x2 – x1,

то, согласно (4.6), длина стержня или интервал длины в системе О' будет равен: l' = ∆х' = х'2 - х'1 = (x2 - vt) - (x1 - vt)= х2 - х1= l,

т. е. действительно, l' = l. Следовательно, в классической механике интервал длины остается одинаковым (инвариантным, т.е. неизменным) при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Если же в общем случае начало О' подвижной системы отсчета движется со скоростью v относительно начала О неподвижной системы в произвольном Z' Z

M

r' r

v

O'

X'

r0 X

O

Y

Y'

Рис. 4-2

41 направлении (рис. 4-2),то для точки М получим:

r

r0

=

r',

+

(4.7)

где r — радиус-вектор точки М в системе О; r' — радиус-вектор точки M в системе О', a r0 = vt. Равенство (4.7) можно переписать и в другом виде: r' = r – vt

(4.1.7')

Закон сложения скоростей

Зная связь между координатами точки в двух инерциальных системах О и О', легко определить и зависимость между скоростями этой точки. Для этого, дифференцируя по времени выражения (4.5), получим: y = y' ,

а:

z = z' , x = x' + v ,

или, обозначая скорости точки М в системах О и О' через u и u', запишем проекции этих скоростей в виде:

u y = u ′y ,

u z = u ′z ,

а проекции скоростей на ось x связаны следующим соотношением: u x = u x' +v

Следовательно, в случае движения вдоль оси х закон сложения скоростей имеет вид (4.8). Из выражения ( 4.8 ) следует, что скорость тела (точки) в неподвижной системе отсчета равна скорости тела в подвижной системе отсчета плюс скорость движения начала подвижной системы отсчета относительно начала неподвижной системы отсчета. Можно также записать и закон сложения скоростей в случае произвольного направления движения инерциальных систем отсчета друг относительно друга. Очевидно, что для этого следует продифференцировать по времени выражение (4.1.7):

42

или:

r = r' +v u =u'+v.

(4.9)

Выражение (4.9) также определяет закон сложения скоростей, но уже в векторном виде. Как видно из (4.8) и (4.9), закон сложения скоростей в классической механике также представляет собой линейную зависимость или линейное преобразование. Последнее говорит о том, что величина относительной скорости при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не будет изменяться. В самом деле, если, например, скорости каких-то двух материальных точек в системе О равны u1 и u2, а их относительная скорость равна u12 = u2 - u1 , то согласно (4.9), для относительной скорости этих же точек в системе О' получим выражение: u' 12 = u' 2 − u' 1 = (u2 − v ) − (u1 − v ) = u2 − u1 = u12 ,

т.е.:

u' 12 = u12

(4.10)

Отсюда следует, что в классической механике относительная скорость остается инвариантной при переходе от одной инерциальной системы к другой. Инвариантность уравнений динамики

Установив связь между координатами и скоростями в двух любых инерциальных системах отсчета, можно определить для этих систем и соотношения между ускорениями и силами. Для этого продифференцируем по времени выражение (4.9) и учтем, что скорость u есть величина постоянная. В результате получим: u' = u

или: du' du = , dt dt

т. e. переходя к ускорениям, будем иметь: a' = a .

(4.11)

43

Выражение (4.11) показывает, что в инерциальных системах ускорение движения тела остается одинаковым или инвариантным. Последнее позволяет подтвердить высказанное выше утверждение о том, что система, движущаяся с постоянной скоростью относительно инерциальной системы, также будет инерциальной. В самом деле, если в первой системе скорость была постоянна, а ускорение равным нулю, то по (4.11), и во второй системе ускорение также будет равно нулю и, значит, она также будет инерциальной. Отсюда и следует, что системы, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью, будут инерциальными системами. Если теперь учесть также, что по классической механике постулируется независимость массы тела от скорости его движения, то в рассматриваемых инерциальных системах отсчета О и О' масса должна быть одинаковой (инвариантной), т. е. m' = m.

(4.12)

Отсюда от равенства ускорений [см. выражение (4.11)] можно перейти к равенству сил, т. е. перейти к записи для систем О и О' второго закона Ньютона в виде : (4.13)

ma' = ma,

т. е. будут равны силы:

F' = F.

(4.14)

44

Из выражений (4.13) и (4.14) следует, что согласно классической механике второй закон Ньютона (т.е. основной закон динамики) будет инвариантным в инерциальных системах отсчета (инвариантным относительно преобразований Галилея). Это означает, что силы, действующие на тело в инерциальных системах О и О', будут одинаковыми. Поэтому, никакими механическими опытами, выполненными в данной системе отсчета, нельзя установить, покоится ли эта система или она движется равномерно, т. е. с постоянной скоростью. С этим положением на опыте столкнулся еще Галилей, изучавший механические движения тел (свободное падение, колебание маятника и др.) в закрытой каюте покоящегося и равномерно движущегося корабля. Он пришел к выводу, что механические движения тел в инерциальных системах не изменяются, что и подтверждается по теории выражением (4.14 ). То же самое можно наблюдать, например, в равномерно и прямолинейно движущемся закрытом вагоне поезда. Все эти различные формулировки инвариантности второго закона механики для инерциальных систем считают обычно формулировками принципа относительности в классической механике или принципа относительности Галилея. 4.2.

Специальная теория относительности

Как мы видели выше, принцип относительности в классической механике, основанный на преобразованиях Галилея, устанавливал инвариантность законов механики в инерциальных системах отсчета, и это соответствовало опыту. Однако законы электромагнетизма и оптики уже оказались неинвариантными относительно преобразований Галилея. В 1905 году Эйнштейн при создании специальной теории относительности высказал предположение о том, что в инерциальных системах отсчета должны быть инвариантными все законы физики, а не только механические законы. В частности, инвариантными должны быть законы электромагнетизма. Это также подтверждалось опытами. Рассмотрим эти вопросы более подробно. Об инвариантности законов физики в инерциальных системах отсчета.

В предыдущем параграфе было показано, что согласно преобразованиям Галилея, основной закон динамики поступательного

45

движения (второй закон Ньютона) инвариантен в инерциальных системах отсчета. Однако использование преобразований Галилея для законов электромагнетизма (законов электродинамики и оптики) показывает, что эти законы не являются инвариантными в инерциальных системах. Рассмотрим уравнение сферической волновой поверхности для электромагнитной волны в двух различных инерциальных системах отсчета: в неподвижной системе О и в подвижной системе О'. В системе О общее уравнение такой сферической поверхности радиуса R запишется в виде: 2 2 2 2 2 x +y +z =R =c t , 2

(4.15)

где с = 3.108 м/с есть скорость света в вакууме, a t - текущее время. В другой записи выражение (4.15) принимает вид: 2 2 2 2 x + y + z −c t = 0 . 2

(4.16)

По аналогии с (4.16) в подвижной системе О' имеем: 2 2 2 2 x' + y' + z' − c t' = 0 2

(4.17)

или, используя преобразования Галилея (см. формулы 4.6), получим: 2

( x − vt ) + y + z 2 − c2 t 2 = o , т.е.:

(x

2

2

)

+ y + z 2 − c 2 t 2 − 2 vxt + v2 t 2 = О . 2

(4.18)

Из сравнения (4.18) и (4.16) видно, что уравнение сферической волновой поверхности не инвариантно по отношению к преобразованию Галилея, т.е. к преобразованию координат в классической механике. Исторически, волновая теория света вначале рассматривала световые волны как волны, распространяющиеся в некоей гипотетической идеально упругой среде, называемой эфиром. После появления теории Максвелла и электромагнитной теории света мировой эфир стал рассматриваться как носитель электромагнитных полей, т.е. как особая среда, заполняющая все мировое пространство. Но если бы такая среда существовала, то, очевидно, можно было бы как-то обнаружить движение источников и

46

приемников света по отношению к ней. Например, при движении Земли по орбите вокруг Солнца должен был бы возникать “эфирный ветер ”. Если бы удалось с помощью оптических явлений обнаружить движение тел по отношению к эфиру, то такой эфир можно было бы принять за особую привилегированную (абсолютную) систему отсчета. Поэтому, в физике с середины XIX в. и были предприняты попытки выявления наличия такого эфира. Так, например, в 1851 г. Физо поставил опыт с целью исследования возможности увлечения эфира движущимися телами, в частности водой. В 1881 г. Майкельсоном оптическими средствами был осуществлен весьма точный опыт с попыткой обнаружения движения Земли относительно эфира, т. е. опыт по установлению наличия эфирного ветра. Однако эфир он не смог обнаружить, т. е. результат опыта был отрицательным. Правильный вывод из всех этих затруднений был сделан в 1905 году Эйнштейном, предложившим специальную теорию относительности, как новое учение о пространстве и времени. Постулаты специальной теории относительности и преобразования Лоренца

Анализируя попытки установить наличие эфира опытным путем, Эйнштейн пришел к заключению о том, что никакими физическими наблюдениями и опытами (механическими, оптическими и др.), проведенными в данной инерциальной системе отсчета, нельзя обнаружить ее равномерное и прямолинейное движение. Другими словами, Эйнштейн предположил, что все законы физики, в том числе и законы электродинамики и оптики, должны быть инвариантными по отношению к инерциальным системам отсчета. Это предположение (постулат) считается основным в теории относительности Эйнштейна и называется принципом относительности. Вторым постулатом специальной теории относительности является принцип постоянства скорости света в вакууме. Согласно этому принципу скорость света в вакууме не зависит от движения наблюдателей и источников и является величиной постоянной, равной: с=3.108 м/с. Этот второй постулат основан на опыте Майкельсона, которому не удалось обнаружить зависимость скорости света в вакууме от скорости движения источника или наблюдателя. Кроме того, легко показать, что закон сложения скоростей в классической механике противоречит второму постулату специальной

47

теории относительности. На основе формулы (4.8) можно заключить, что, если в системе О' световой сигнал распространяется со скоростью с, то в системе О его скорость будет равна (с + v), что противоречит принципу постоянства скорости света в вакууме. Получим теперь формулы преобразования координат и времени для инерциальных систем отсчета, удовлетворяющие обоим постулатам теории относительности при условии, что время в этих системах течет неодинаково, т. е. что t' = t. Здесь, как и в 4.1 (см. рис. 4-1), рассмотрим случай движения вдоль оси х в двух инерциальных системах отсчета: в неподвижной системе О и в подвижной системе О'. При этом, с учетом необходимой инвариантности законов физики в этих системах, сохраним между координатами и временем линейную зависимость, как и в преобразованиях Галилея (см. формулу 4.3), но введем дополнительно коэффициенты пропорциональности α и α':

48

α'x' = x - vt αx = x' + vt'.

(4.19) (4.20)

Необходимо заметить, что линейная зависимость в выражениях (4.19) и (4.20) может быть обоснована, исходя из общего определения инерциальных систем. Если опять рассматривать инерциальные системы О и О' (см. рис. 4-1), то начало координат О в неподвижной системе имеет координату х = 0, а в подвижной системе координату х'=-vt', т. е. х' + vt' = 0. Отсюда выходит. что если х = 0, то и х' + vt' должно обращаться в нуль. Однако последнее возможно лишь в том случае, когда эти координаты связаны прямой пропорциональной зависимостью, так как показано в (4.20). Аналогично этому, если в подвижной системе начало координат О' имеет координату х'=0, то это же начало в неподвижной системе будет иметь координату х=vt, т. е. x=vt, т.е. x-vt=0. Отсюда, по аналогии с рассмотренными выше соотношениями, вводя коэффициент пропорциональности α', можно записать:

α'x'=x-vt, что также подтверждает выражение (4.19). Учитывая, что все инерциальные системы координат равноправны, необходимо предположить, что коэффициенты α и α' в выражениях (4.19) и (4.20) одинаковы, т. е. что:

α'=α

(4.21)

С учетом этого выражения (4.19) и (4.20) перепишутся в виде:

αх'=х-vt

(4.22)

αx=x'+vt'.

(4.23)

Следовательно, задача ставится так, что необходимо найти коэффициент α, который по смыслу должен обеспечить такое преобразование координат и времени в теории относительности, чтобы выполнялась инвариантность законов физики в инерциальных системах отсчета. С другой стороны, если рассмотреть в обеих системах координат О и О', например, вспышку света в определенной точке координат в заданное

49

время, то распространение светового сигнала в вакууме должно происходить в этих системах с одинаковой скоростью c=108м/с. Поэтому дополнительно к уравнениям (4.22) и (4.23), на основании второго постулата теории относительности, можно записать еще два уравнения: v' v = =c . t' t

(4.24)

Итак, имеется система четырех уравнений (4.22 - 4.24), из которой вначале определим коэффициент пропорциональности α, а затем и связь между координатами и временем в подвижной и неподвижной системах отсчета. С этой целью, подставляя в уравнение (4.22) значения х и х' из (4.24), получаем:

αct'=(c-v)t.

(4.25)

Точно так же, определяя значения х и х' из (4.24) и подставляя их в (4.23), будем иметь: αct = ct' + vt' или: αct = (c+v)t' (4.26) Если теперь поделить (4.25) на (4.26), то получим:

αс с+v

=

c−v αc

или в другой записи: 2 2 2 2 α c =c −v .

(4.27)

Итак, формула (4.28) определяет по специальной теории относительности коэффициент α, обеспечивающий инвариантность законов физики и, в частности, законов электромагнетизма относительно преобразования координат и времени (4.22) и (4.23) для инерциальных систем отсчета.

Равенство (4.27) позволяет определить коэффициент α: 2

α = 1 − v2 c

(4.28)

50

Подставляя теперь (4.28) в (4.22), запишем формулу для преобразования координат х и х' при переходе от неподвижной системы отсчета к подвижной: x' =

x − vt 2

v 2 c

1−

(4.29)

; .

Если же учесть, что при движении вдоль оси х координаты у и z не изменяются, то, в целом, преобразования координат будут:

x' =

x − vt 2

y' = y ;

;

z' = z .

v 2 c Для получения формулы, определяющей преобразование времени при переходе от системы О к системе О', подставим значение х' из (4.29) в (4.23). В результате получим: 1−

t− t' =

v c

1−

2

x 2

v 2 c

(4.30)

.

Следовательно, преобразования координат и времени при переходе от неподвижной системы О к подвижной системе О' определяются формулами (4.29) и (4.30). Если же имеет место обратный переход от системы О' к системе О, то вместо (4.2.15) и (4.2.16) получим: x=

x' + vt'

1−

v 2 c

y = y' ;

;

t' + t=

v c

1−

2

z = z'

(4.31)

x' 2

v 2 c

.

(4.32)

51

Выражения (4.29 - 4.30), определяющие преобразования координат и времени в специальной теории относительности, называются преобразованиями Лоренца. Такое название объясняется тем, что еще до появления теории относительности Эйнштейна Лоренц из рассмотрения движения электрона получил формулу, определяющую сокращения его линейных размеров в направлении движения, совпадающую с (4.29). Легко показать, что в случае медленного движения тел или частиц, когда v<
x' =

1−

t− t' =

a:

v

2

v 2 c

≈ x − vt ,

(4.33)

x

v⎞ ⎛ ≈ − t ⎜ ⎟x ≈ t , 2 2 c ⎝ ⎠ v 1− 2 c c

2

(4.34)

так как при v<
Тогда:

v << 1 2 c

и

v c

2

<< 1

2

v 1 − 2 ≈ 1. c

Поэтому говорят, что преобразования Лоренца в теории относительности справедливы для быстродвижущихся частиц или для частиц, движущихся со скоростью, близкой к скорости света. В случае же медленных или обычных механических движений они переходят в преобразования Галилея. Преобразования интервалов длин и времени по специальной теории относительности

52

Рассмотрим, какие следствия вытекают из преобразований координат и времени по теории относительности из преобразований Лоренца. Вначале остановимся на понятии об одновременности событий. Одновременность событий

Предположим, что в различных точках с координатами х1 и х2 неподвижной системы О (см. рис. 4-1) происходят одновременно (t2=t1) два события (например, вспышки света). Посмотрим, будут ли эти события одновременными, если рассматривать их в подвижной системе О'. Для этого используем (4.30) и составим выражение для длительности интервала времени (t2' - t1' ) в подвижной системе О:

t 2 ' − t 1' =

t2 −

v c

1−

2 x2 2

v 2 c

−

t1 −

v c

1−

2

x1 2

v 2 c

=

t 2 − t1

1−

2

v 2 c

−

v c

2

⋅

x 2 − x1

1−

2

v 2 c

.

(4.35)

Так как по условию рассматриваемые события в системе О происходят одновременно (т.е. t2 - t1=0) и в различных точках пространства т.е. x2 - x1 = 0 ), то с учетом этого выражение (4.35) запишется в виде: t 2 ' − t 1' = −

v( x 2 − x1 ) c

2

1−

2

v 2 c

≠0

(4.36)

Следовательно, два события, которые в системе О' были одновременными, в системе О оказываются неодновременными. Иначе говоря, одновременность событий не сохраняется при переходе от одной системы отсчета к другой. При этом различие во времени или (т.е. разность t2' - t1') в основном будет зависеть от величины скорости v относительного движения систем О и О' и от разности координат в той системе, в которой события происходят одновременно. Интервал времени между двумя событиями На основании рассмотренного выше, и исходя из преобразований Лоренца, можно установить количественную связь между интервалами

53

времени, описывающими одни и те же события в системах О и О'. Предположим, что в системе О в данной точке (x2 -x1) происходят последовательно два события, интервал времени между которыми равен:

∆t = t2 -t1. Тогда интервал времени ∆t'=t2' - t1' между теми же событиями в системе О' с использованием (4.30) также можно записать в виде (4.35), но уже при условии x2 - x1 = 0. Следовательно, на основании (4.35) имеем:

∆ t' = t' 2 − t' 1 =

t 2 − t1 1−

т.е.:

∆ t' =

=

2

v 2 c

∆t 2

∆t 1−

.

2

v 2 c

,

(4.37)

v 2 c Из формулы (4.37), определяющей связь между интервалами времени в подвижной и в неподвижной системах отсчета, видно, что: 1−

∆t'>∆t, так как: 2

v < 1. 2 c Следовательно, в движущейся системе координат интервал времени между событиями удлиняется, становится больше по сравнению с интервалом времени между теми же событиями в неподвижной системе координат. Поэтому принято говорить, что в движущейся системе отсчета часы идут медленнее, чем в неподвижной системе отсчета, т. e. как бы имеет место «удлинение времени» для часов движущихся, по сравнению с часами, покоящимися или неподвижными. Следует заметить, что указанный здесь эффект удлинения интервалов времени в движущейся системе отсчета имеет место лишь в том случае, когда величина: 1−

2

v 1− 2 c

54

отлична от 1, т. е. когда скорость движения тела (системы отсчета) сравнима по порядку величины со скоростью света в вакууме. Изменение интервала длины при переходе к движущейся системе отсчета Предположим теперь, что в неподвижной системе отсчета О длина стержня, координаты концов которого x1 и x2, равна l = x2 -x1 =∆x. При этом, как обычно, считается, что измерение координат происходит одновременно как в одной, так и в другой системах отсчета. Следовательно, задача заключается в том, что задан интервал длины в неподвижной системе О ( l=x2 - x1=∆l ), и требуется определить значение интервала длины ∆x'=x2' - x1' = l' в подвижной системе О'. Для решения этой задачи воспользуемся преобразованиями Лоренца (4.29) и составим разность соответствующих координат в подвижной системе отсчета: v( t 2 − t1 ) − x 2 ' − x1' = ∆x' = l' = x 2 x12 − , (4.38) 2 v v 1− 2 1− 2 c c причем интервал времени ∆t=t2 - t1 определим, считая, что координаты x2' и x1' в системе О' измерены одновременно (т.е. t2' - t1' ), т.е. определим (t2 - t1) из (4.35) при условии t2' - t1' =0. При этом условии из (4.35) имеем: t 2 − t1 =

v c

2

(x2 − x1).

(4.39)

Подставляя теперь (4.39) в (4.38), получим: 2 2 x 2 − x1 ⎛ v ⎞ v l' = x 2 ' − x1' = ∆x' = ⋅ ⎜1 − 2 ⎟ = ∆x 1 − 2 , 2 c v ⎝ c ⎠ 1− 2 c

(4.40)

или: 2

v l' = l 1 − 2 c

.

(4.41)

55

Итак, формулы (4.40) или (4.41) определяют интервал длины в движущейся системе отсчета через интервал длины в неподвижной системе отсчета. Из этих формул видно, что: ∆x' < ∆x или l'
v 1 − 2 < 1. c

Следовательно, в движущейся системе координат имеет место сокращение линейных размеров тела в направлении движения, причем это сокращение будет тем больше, чем больше скорость движения системы.

Рис. 4-3 Если, например, тело в неподвижной системе координат имело форму шара (рис. 4-3), то в движущейся в направлении оси х системе координат это будет сплющенный в направлении х эллипсоид. Таким образом, на основании преобразований координат и времени в специальной теории относительности можно заключить, что понятие одновременности событий, интервала длины и интервала времени есть понятия относительные, которыми можно воспользоваться только для данной системы отсчета. Между тем, как было показано (4.1), по преобразованиям Галилея в классической механике интервал длины был инвариантен (l' = l) в инерциальных системах отсчета, а время вообще считалось одинаковым (t' = t). Необходимо заметить, что, установив изменчивость интервала времени и относительности событий, специальная теория относительности не нарушила причинноследственную связь явлений. На основании (4.3 ) можно заключить, что если t2 > t1 и, следовательно, t2 - t1 > 0, то и t2' - t1' > 0. Это означает, если в неподвижной системе отсчета О первое событие (в момент времени t1) предшествовало второму событию (которое происходило в момент времени t2), то и в

движущейся системе отсчета О' эта последовательность событий сохраняется. Однако не следует забывать, что все выводы специальной теории относительности справедливы лишь для инерциальных систем, а неинерциальные или ускоренно движущиеся системы описываются уже общей теорией относительности или теорией тяготения.

4.3

Понятие о четырехмерном пространстве в теории относительности Выше было установлено, что в теории относительности время выступает почти на равных правах с координатами и как координаты преобразуется при переходе от одной инерциальной системы к другой. Поэтому в специальной теории относительности формально можно рассматривать четырехмерное пространство с координатами (ξ1, ξ2, ξ3, ξ4 ), равными: x1 = x; x2 = y; x3 = z ; x 4 = ict , (4.43) где с — скорость света в вакууме. Здесь мнимая координата ict выступает как четвертая координата, пропорциональная времени t. В таком гипотетическом (воображаемом) четырехмерном пространстве (реальным является обычное трехмерное пространство) событие, которое происходит в данный момент времени в данной точке, соответствует точке, называемой мировой точкой. Совокупность таких точек определяет мировую линию. Можно показать, что квадрат интервала длины ∆S2 в этом пространстве инвариантен в отношении преобразований Лоренца, т. е. для инерциальных систем отсчета. С учетом (4.43) в неподвижной системе О имеем: 2 2 2 2 2 ∆S = x1 + x 2 + x3 + x 4 или: 2 2 2 2 2 (4.44) ∆S = x + y + z 2 − c t . По аналогии с этим в движущейся системе отсчета О' квадрат интервала длины будет равен: 2 2 2 2 2 ∆S' = x' + y' + z' 2 − c t' .

(4.45) Можно утверждать, что квадраты интервалов длины будут одинако 2 2 ∆S' = ∆S ,

так как легко проверить простой подстановкой, что на основании преобразований Лоренца (4.29) и (4.30) выражения (x2 -c2t2) из (4.44) и (x'2 -c2t'2) из (4.45) будут одинаковыми. Если сравнить выражение (4.44) для квадрата интервала длины с уравнением (4.16) сферической волновой поверхности в случае электромагнитной волны, то легко видеть, что они совпадают. Это доказывает, что такое уравнение для сферической волновой поверхности

58

(допустим световой волны) также будет инвариантно относительно преобразований Лоренца. 4.4. Механика элементарных частиц. Релятивистская механика Поскольку закономерности специальной теории относительности, рассмотренные в 4.2, сказываются лишь в случае движения тел (частиц) с большой скоростью v, сравнимой со скоростью с, а такими частицами, в основном, являются элементарные частицы, подобные электрону, то и механику теории относительности (релятивистскую1 механику) можно считать механикой элементарных частиц. Закон сложения скоростей в релятивистской механике Как и раньше, предполагаем здесь, что движение начала системы О' относительно начала неподвижной системы О происходит вдоль оси х со скоростью v. Предположим, что скорость какого-то тела (материальной точки) в системе О задается вектором u с составляющими ux, uy, uz, а в системе О вектором u с составляющими ux', uy', uz'. Отдельно рассмотрим сложение продольных (относительно направления движения систем О и О') и поперечных составляющих скоростей. Сложение продольных составляющих скоростей Предположим, что в системе О связь между координатой и скоростью будет: x = ux t,

(4.46) а в системе О': x' = u x ' t

(4.47)

Воспользуемся преобразованиями Лоренца и подставим в (4.47) х' из (4.29), a t' из (4.30). Тогда получим:

1

Лат. relativus - относительный, англ. relativity - теория относительности.

59

t−

x − vt 2

v 1− 2 c

= u x'⋅

v c

2

x 2

v 1− 2 c

или: v ⎞ ⎛ x − vt = u x ' ⎜ t − 2 x ⎟. ⎝ c ⎠ Определяя из последнего выражения х как функцию от t, запишем: v + ux' ⋅ t. v u x' 1+ 2 c Если сравним теперь (4.46) и (4.48 ), то получим: x=

ux =

v + u x' . vu x ' 1+ 2 c

Выражение (4.49) и определяет закон сложения составляющих скоростей в релятивистской механике.

(4.48)

(4.49)

продольных

60

Сложение поперечных составляющих скоростей По аналогии с (4.46) и (4.47), для поперечных составляющих скоростей можно записать очевидные равенства: y = uyt ; y' (4.51)

=

z = uzt ; uy't'

;

(4.50) z'

=

uz't'.

Так как составляющие скоростей по осям у и z входят в (4.50) и (4.51) в одинаковой зависимости, то, очевидно, достаточно определить лишь связь для у-х составляющих uy' и uy а для z-x составляющих записать выражения по аналогии. Если по условию y'=y, то, подставляя в первое равенство (4.51) значение t' из (4.30) и х из (4.48), получим: v t− 2x c , y = u y' 2 v 1− 2 c откуда: 2

v u y' 1 − 2 c ⋅t . y= (4.52) vu x ' 1+ 2 c Сравнивая теперь (4.52) с первым равенством из (4.50), получим соотношение, определяющее связь между скоростями: 2

v u y' 1 − 2 c uy = vu ' 1 + 2x c И аналогично для z- х составляющих:

(4.53)

2

v uz' 1 − 2 c uz = vu ' 1 + 2x c

(4.54)

61

Следовательно, выражения (4.53) и (4.54) в теории относительности определяют закон сложения скоростей в направлении, поперечном к направлению относительного движения инерциальных систем. Из (4.49), (4.53) и (4.54) видно, что в релятивистской механике, в противоположность классической механике, связь между скоростями в инерциальных системах отсчета не будет линейной. В частном случае, когда рассматривается только продольное движение, тогда можно обозначить ux' = u' и ux = u, а вместо (4.49) записать: v + u' u= (4.55) vu' 1+ 2 c Предположим теперь, что в движущейся системе О' скорость движения частицы равна скорости света, т. е. что u' = c. Казалось бы, что в неподвижной системе О скорость этой частицы должна быть большей с. Однако в теории относительности, согласно второму постулату (см. 4.2), скорость света в вакууме считается предельной. В результате закон сложения скоростей (4.55) должен предусматривать это ограничение. Действительно, легко проверить, что (4.55) удовлетворяет этому условию, так как если положить, что u' = c, то из (4.55) получаем: u=

v+c , v⋅c 1+ 2 c

т.е. и u = c. Импульс и энергия в релятивистской механике В 4.1 было показано, что в классической механике Галилея — Ньютона второй закон Ньютона инвариантен в инерциальных системах отсчета. В соответствии с первым постулатом специальной теории относительности этот закон остается инвариантным и в релятивистской механике, если правильно определить импульс. Импульс тела (частицы) в релятивистской механике определяется по формуле:

p=

m0 v

1−

2

v 2 c

,

(4.56)

где mo - масса частицы, которая остается инвариантной во всех инерциальных системах отсчета (иногда ее называют массой покоя частицы). Легко видеть, что для малых скоростей движения ( v<
62

импульс (4.56) принимает обычное выражение, известное из классической механики:

p =m0v .

(4.57)

Используя 4.57), можно записать второй закон Ньютона для релятивистской механики:

F= или:

dp dt

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ d ⎜ m0 v ⎟ F = ⎜ . (4.58) 2 ⎟ dt ⎜⎜ 1 − v ⎟ 2 ⎟ c ⎠ ⎝ Теперь, зная силу, можно определить энергию W частицы. Энергия частицы равна работе, затраченной на приобретение этой энергии. Поэтому: ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ v ⎜ m0 ⎟ dW = (Fv )dt = vd ⎜ (4.59) 2 ⎟ ⎜⎜ 1 − v ⎟ 2 ⎟ c ⎠ ⎝ Дифференцируя правую часть выражения (4.59) по скорости, получим: dW =

m0 vdv

( ) 1−

которое можно переписать в виде: ⎛ v2 ⎞ m0 c d ⎜ 2 ⎟ ⎝c ⎠ 2

dW =

( ) 2

2 1 − v2 c

3

2

2

v 2 c

3

, 2

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎜ m c ⎟ = d⎜ 0 2 ⎟. ⎜⎜ 1 − v ⎟ 2 ⎟ c ⎠ ⎝

(4.60)

Выражения для самой энергии W тела (частицы) получается путем интегрирования (4.60) и записывается в виде:

63

W =

m0 c

2 2

v 1− 2 c

+ const .

(4.61)

Если константу в (4.61), следуя Эйнштейну, положить равной нулю, то формула для энергии быстро движущейся частицы (тела) запишется так: W =

m0 c

2 2

v 2 c Из (4.62) следует, что при v=0 энергия частицы будет равна: 1−

2 W 0 = m0 c ,

(4.62)

(4.63)

т.е. покоящаяся частица также, оказывается, обладает энергией. Энергию W0 можно, очевидно, трактовать как некоторую внутреннюю энергию частицы (энергию покоя). Если же (4.62) определяет энергию движущейся частицы, а (4.63) ее энергию покоя, то кинетическая энергия Wk частицы по смыслу должна быть равна разности этих энергий: W k = W −W0,

(4.64)

т.е.: ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎟ 2⎜ − 1 W k = m0 c ⎜ ⎟. 2 ⎜⎜ 1 − v ⎟⎟ 2 c ⎝ ⎠

(4.65)

Легко показать, что при малых скоростях движения формула (4.65) переходит в обычную формулу для кинетической энергии, известную из классической механики. В самом деле, при v<
64

( ) 2

v 1− c2

а

−1

1 v2 ≈ 1+ ⋅ 2 . 2 c

С учетом этого (4.65) запишется в виде: ⎛ 1 v2 ⎞ W k ≈ m0 c ⎜1 + ⋅ 2 − 1⎟ , ⎝ 2 c ⎠ 2

т.е. 2

m0 v . Wk ≈ 2

Кроме того, часто используется в релятивистской механике формула, непосредственно связывающая энергию и импульс частицы. Используя (4.57) и (4.62), простой подстановкой легко проверить, что такая формула будет иметь вид: 2

откуда:

W 2 = p + m02 c 2 , 2 c

W = c p + m02 c 2 . 2

(4.66)

(4.67)

Если, например, предположить, что рассматриваемая частица фотон, для которого масса покоя равна нулю (m0 = 0), то на основании (4.67) получаем: W=cp, a p=

W hv = , λ c

т.е. приходим к известной формуле, определяющей импульс фотона.

Формула взаимосвязи массы и энергии Используя формулы предыдущего пункта, можно установить связь между изменениями энергии покоя и массы тела. Из формулы (4.63)

65

видно, что энергия покоя тела всегда пропорциональна его массе, а величина с2 является постоянной. Отсюда следует, что изменения энергии покоя системы взаимодействующих тел (∆W) и суммарной массы системы ( ∆m ) также будут пропорциональны друг другу, т. е. вместо (4.63) можно писать:

∆W=∆mc2

(4.68)

Формула (4.68) следует из теории относительности и называется формулой взаимосвязи энергии и массы. Выходит, что, используя (4.68), всегда можно пересчитать изменение массы на изменение энергии и наоборот. Эта формула, как известно, имеет большое значение для атомной и ядерной физики, и она подтверждается на опыте. В заключение рассмотрим два примера на использование формулы взаимосвязи энергии и массы. Известно, что ядро атома гелия 42 He или (α-частица) состоит из двух протонов и двух нейтронов, однако их суммарная масса, больше, чем масса α-частицы. Это явление, при котором масса ядра меньше суммы масс составляющих его нуклонов, называется дефектом массы. Оказалось, что если этот известный из опыта «дефект массы» для ядра гелия пересчитать по формуле (4.68) на изменение энергии, то это изменение энергии будет соответствовать энергии связи нуклонов в таком ядре. Точно так же известно, что при реакции деления ядра урана ( 23592U ) под воздействием медленных нейтронов суммарная масса продуктов деления оказывается меньше суммарной массы исходных продуктов на определенную величину ∆m. Если это изменение массы пересчитать по формуле (4.68) на изменение энергии ∆W, то получается энергия, которая и соответствует энергии связи (атомной энергии), выделяющейся при данной реакции.

66

5. ГИДРОМЕХАНИКА Кроме изученных ранее разделов механики материальной точки и механики твердого тела существует еще один важнейший раздел механики – механика сплошных сред, в которой вещество рассматривается как сплошная непрерывная среда, распределенная в определенной части пространства. Изучаемые в данном разделе гидромеханика и аэромеханика является частью механики сплошных сред. Физические свойства жидкостей и газов могут значительно отличаться, однако при изучении некоторых явлений их свойства можно описать одинаковыми параметрами и сходными уравнениями, что предоставляет возможность единого подхода к их изучению. Гидро- и аэромеханика – раздел механики, изучающий равновесие и движение жидкостей и газов, их взаимодействие между собой и обтекаемыми или твердыми телами. 5.1. Гидро- и аэростатика Предметом изучения в гидростатике являются равновесие жидкости и воздействие покоящейся жидкости на погруженные в нее тела. При изучении поведения жидкости и газа часто с большой степенью достоверности в условиях данной задачи можно пренебречь сжимаемостью жидкости и газа и пользоваться моделями несжимаемой жидкости и газа. В этом случае в любом месте объема, занимаемого газом или жидкостью, плотность одинакова, то есть несжимаемые газы и жидкости – это среды, однородные по плотности во всех своих точках. При относительном перемещении слоев жидкости или газа на их границе возникают силы вязкого трения. Когда этими силами можно пренебречь, говорят о невязких газах или жидкостях. Простейшими моделями, которые используются в механике жидкостей или газов, являются несжимаемые и невязкие жидкости и газы. Медленное изменение формы жидкости без изменения объема может происходить под действием сколь угодно малой силы. В поле сил тяжести жидкость не обладает собственной формой, а принимает форму сосуда. Поверхность покоящейся жидкости перпендикулярна направлению силы тяжести (горизонтальна) независимо от формы сосуда, иначе не было бы равновесия. Давление при равновесии жидкостей или газов подчиняется закону Паскаля: давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью.

67

Давление p в неподвижной жидкости определяется отношением модуля силы F , действующей перпендикулярно выделенной площадке, к ее площади S

p=

F . S

(5.1)

Определенное соотношением (5сил .1) давление – скалярная величина. Опыт показывает, что давление в данном месте жидкости не зависит от пространственной ориентации выделенной площадки, согласно закону Паскаля. В жидкости, находящейся в поле тяжести, давление увеличивается с ростом глубины погружения. Для несжимаемой жидкости, где плотность ρ постоянна, справедливо следующее соотношение (рис. 5-1)

p2 = p1 + ρ gh .

(5.2)

Рис.5-1

p1 h p1

Для сжимаемой жидкости или газа зависимость давления от глубины погружения дается выражением h2

p 2 = p1 + g ρ (h )dh.

∫

(5.3)

h1

Суммарное давление p в жидкости складывается из давления p0 , производимого внешними силами на поверхность жидкости, и давления h

ρ gh (или g ∫ ρ (h′)dh′ ), обусловленного весом столба жидкости. Это 0

полное давление называется гидростатическим.

68

В поле тяжести сила “весового” давления жидкости на дно сосуда, равная ρ ghS , может не совпадать с весом налитой жидкости. В расширяющихся кверху сосудах сила давления меньше веса жидкости, а в сужающихся – больше. В этом заключается так называемый гидростатический парадокс, который объясняется тем, что сила давления жидкости на наклонные стенки сосуда имеет вертикальную составляющую, направленную вниз в расширяющемся сосуде и вверх – в сужающемся. Наличие обусловленного полем тяжести гидростатического давления приводит к существованию статической подъемной силы, действующей на погруженное в жидкость тело. Значение выталкивающей силы устанавливается законом Архимеда: эта сила направлена противоположно вектору g, ее модуль равен весу жидкости, объем которой совпадает с объемом погруженной в жидкость части тела, а точка приложения этой силы совпадает с центром масс жидкости, форма которой совпадает с формой погруженной части тела. Сила Архимеда определяется по формуле: Fa = ρ ⋅ ⋅ g ⋅ V ,

(5.4)

где ρ – плотность жидкости, V – объем погруженной части тела. Исходя из закона Архимеда, сравнивая выталкивающую силу с весом тела, определяют условие плавания тел. Это можно проделать самостоятельно. Большой интерес представляет вопрос и об устойчивости плавания тела в том случае, когда оно целиком погружено в жидкость и находится при этом в состоянии равновесия. Если бы тело, как и жидкость, было абсолютно несжимаемым, или сжимаемости тела и жидкости были одинаковыми, то это равновесие было бы безразличным, и тело находилось бы в равновесии при любой глубине погружения. Однако у реальных твердых тел сжимаемость, как правило, меньше сжимаемости жидкостей. Сплошные тела из таких материалов при равенстве их плотности жидкости должны были бы устойчиво плавать в погруженном состоянии на некоторой глубине. Случайное отклонение от положения равновесия вверх или вниз сопровождалось бы появлением силы, возвращающей тело к положению равновесия. Практически, однако, так никогда не бывает, поскольку совпадение плотности жидкости и плотности материала твердого тела почти исключено, что необходимо учитывать, например, при конструировании подводных лодок.

69

5.2. Движение идеальной жидкости Опыты и расчеты показывают, что при скоростях, значительно меньших скорости звука (эта скорость при нормальных условиях равна 340 м/с), можно не учитывать сжимаемость воздуха и других газов, так как она достаточно мала. Следовательно, к ним можно применять те же законы, что и к мало сжимаемым жидкостям. Поэтому в дальнейшем надо иметь в виду, что все, что будет относиться к жидкостям, можно применять и к газам. Здесь же следует отметить, что при скоростях, близких к скорости звука и превосходящих ее, сжимаемость газов становится существенной, газы разогреваются, и в этом случае необходимо учитывать и тепловые процессы. Как и в случае абсолютно твердого тела, применимость представления об абсолютно несжимаемой жидкости определяется условиями задачи. Например, при рассмотрении распространения звуковых волн в жидкости для гидравлического удара необходимо учитывать сжимаемость жидкости. В общем случае движения жидкости нужно также учитывать наличие сил внутреннего трения или вязкости, возникающей при относительном перемещении слоев. Явления, связанное с вязкостью и сжимаемостью усложняют исследование движения жидкости. Поэтому вначале рассмотрим движение идеальной жидкости. Идеальная жидкость – это жидкость, вязкостью и сжимаемостью которой можно пренебречь. Существуют два режима течения такой жидкости. Течение называется ламинарным (слоистым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних слоев, не перемешиваясь с ними. Течение называется турбулентным (вихревым), если вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости (газа).

Ламинарное течение При установившемся течении жидкости ее скорость в определенной точке пространства остается неизменной. Скорость жидкости может быть различной в разных точках, но любой элемент жидкости, приходящий в заданную фиксированную точку пространства, имеет в ней одну и ту же скорость. Сопоставив каждой точке характерное для нее значение скорости, мы получим картину распределения скоростей в движущейся жидкости – так называемое поле скоростей. Линии, касательные к

70

которым во всех точках совпадают с направлениями скорости жидкости в этих точках, называются линиями тока. При установившемся стационарном течении жидкости поля скоростей и линий тока не меняются со временем. Линии тока не пересекаются между собой. В этом случае линии тока совпадают с траекториями отдельных элементов жидкости, так как каждая частица жидкости приходит в определенную точку с одной и той же скоростью. Такое движение жидкости называется ламинарным течением. Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока (рис. 5-2). Выделенная таким образом часть жидкости движется, нигде не пересекая боковой поверхности трубки. При стационарном течении количество жидкости, пересекающей в единицу времени сечение S 1 , равно количеству жидкости, проходящей за то же время через сечение S2 .

S2

S1 Рис. 5-2

Если выбрать трубку с поперечным сечением S настолько малым, чтобы скорости v жидкости во всех точках сечения были одинаковыми, причем это сечение ориентировано перпендикулярно линиям тока, то масса жидкости M , протекающей через это сечение за время t :

M = ρvS . В стационарном потоке масса M одна и та же для любого поперечного сечения выбранной трубки тока

ρ 1 v1 S 1 = ρ 2 v 2 S 2 . Так как рассматриваемая жидкость несжимаема, то ρ 1 = ρ 2 . Уравнение неразрывности имеет вид: v1 S1 = v 2 S 2

71

При движении идеальной жидкости механическая энергия не превращается во внутреннюю. Это означает, что механическая энергия жидкости сохраняется.

Уравнение Бернулли Впервые уравнение движения для идеальной жидкости было сформулировано Даниилом Бернулли в 1734 г. Хотя это уравнение было написано задолго до появления концепции сохранения энергии, в действительности оказалось эквивалентным закону сохранения энергии для движущейся жидкости. Рассмотрим часть жидкости заключенной между сечениями S1 и S 2 выделенной трубки тока, расположенными на высотах h1 и h2 (рис. 5-3).

P1

S1

’

S1

S2 h1

h2

S2’

P2

Рис.5-3

За промежуток времени t эта жидкость смещается вдоль трубки тока и занимает новое положение между сечениями S1′ и S 2′ . Для малого промежутка времени t можно пренебречь различием между площадями S и S ′ обоих сечений и различием в их высотах. Работа, совершаемая внешними силами, действующими на выделенную жидкость в трубке тока, определяется выражением A= p1 S1 v1t − p 2 S 2 v 2 t ,

(5.5)

поскольку силы давления, действующие на боковую поверхность трубки тока, перпендикулярные перемещению жидкости, работы не совершают, а работы сил давления в сечениях S1 и S 2 отличаются знаком. С учетом соотношения (5.1) выражение для работы A можно записать в виде

72

A=

p1 − p 2

ρ

m,

(5.6)

где m – масса жидкости между сечениями S1 и S1′ (или S 2 и S 2′ ). В силу стационарности движения жидкости ее энергия для части, заключенной между сечениями S1′ и S 2 , не меняется. Поэтому изменение энергии рассматриваемой жидкости равно энергии части жидкости между сечениями S 2 и S 2′ минус энергия части жидкости между сечениями S1 и S1′ . Кинетическая энергия части жидкости между S1 и S1′ определяется формулой 1 E Κ 1 = v12 m, (5.7) 2 а потенциальная – формулой E Π 1 = gh1 m.

(5.8)

Аналогично записывается энергия жидкости между сечениями S 2 и S 2′ . В результате, для изменения энергии всей выделенной части жидкости за время t имеем

⎞ ⎛ v 22 v12 E =⎜⎜ + gh2 − − gh1 ⎟⎟m. 2 ⎠ ⎝ 2

(5.9)

На основании закона сохранения механической энергии работа внешних сил (5.6) равна изменению энергии системы (5.9). В результате приходим к равенству

p1 + ρ gh1 +

ρ v12 2

= p 2 + ρ gh2 +

ρ v 22 2

,

(5.10)

которое называется уравнением Бернулли. Оно выведено для достаточно узкой трубки тока и, строго говоря, справедливо лишь тогда, когда эта трубка тока сжимается в линию тока. Это означает, что сумма p + ρ gh + ρ v 2 2 остается неизменной вдоль одной и той же линии тока. Каждое слагаемое в приведенном выражении имеет размерность объемной плотности энергии: слагаемое ρ v 2 2 соответствует объемной

73

плотности кинетической энергии движения жидкости как целого, ρ gh соответствует плотности потенциальной энергии в поле тяжести, а слагаемое p – плотности потенциальной энергии, связанной с давлением в жидкости. Уравнение неразрывности (5.10) означает, что полная плотность энергии идеальной жидкости остается постоянной вдоль любой линии тока.

Давление в потоке жидкости Как мы видели, давление в неподвижной жидкости не зависит от ориентации площадки. В движущейся жидкости это уже не так. Измеряемое неподвижным манометром давление зависит от ориентации площадки в потоке. Для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости вопрос может быть проанализирован с помощью уравнения Бернулли. Представим себе манометр в виде изогнутой трубки, передняя часть которой, обращенная навстречу потоку, запаяна, а в боковой стенке имеется отверстие, параллельное скорости обтекающей трубку жидкости (рис. 5-4). Такая трубка искажает течение жидкости только вблизи ее переднего конца, а вблизи отверстия поток практически не меняется. Соединенный с такой трубкой манометр измеряет давление жидкости p , входящее в уравнение Бернулли. Такое же давление покажет произвольно ориентированный в потоке жидкости манометр, движущийся вместе с жидкостью.

Рис. 5-4 Если же взять трубку с открытым передним концом, обращенным навстречу потоку (рис. 5-5), то показание соединенного с ней манометра будет больше. Действительно, линии тока вблизи такой трубки имеют вид, показанный на рис. 5-5, так как жидкость внутри трубки неподвижна. Обозначим давление в точке A через p1 , а давление и скорость вдали от

74

трубки – через p и v . Применяя к выделенной линии тока уравнение Бернулли, имеем ρv2 p1 = p + . (5.11) 2 Именно это давление и показывает соединенный с трубкой манометр. Такая трубка, обращенная открытым концом навстречу потоку, называется трубкой Пито. На рис. 5-6 показана так называемая трубка Прандтля.

∆p Рис.5-6

Разность давлений ∆ p , которую показывает эта трубка, связана со скоростью потока соотношением

∆ p=

ρv2 2

.

(5.12)

Трубка Вентури, показанная на рис.5-7, измеряет разность давлений ∆ p в разных сечениях трубы, которая связана со скоростью v1 в одном из сечений соотношением 2 ρ v12 ⎡⎛ S1 ⎞

⎤ p1 − p 2 = ⎢⎜ ⎟ −1⎥ . 2 ⎢⎣⎜⎝ S 2 ⎟⎠ ⎥⎦

(5.13)

Увеличение скорости жидкости в сечении S 2 связано с ее несжимаемостью и c с тем, что должно выполняться уравнение неразрывности (5.7). Увеличение плотности кинетической энергии жидкости происходит за счет уменьшения плотности потенциальной энергии, связанной с давлением – давление должно уменьшаться, что и наблюдается на опыте.

75

p2 p1 ∆p

Рис.5-7 Эффект Вентури проявляется при параллельном движении двух кораблей на небольшом расстоянии друг от друга – появляется сила, толкающая их друг к другу. Его можно ощутить даже сидя за рулем легкового автомобиля, проносящегося на большой скорости мимо тяжелого грузовика или автобуса, и легко наблюдать, продувая воздух между двумя свободно вертикально висящими листами бумаги.

Вытекающая из отверстия струя Скорость истечения идеальной несжимаемой жидкости из небольшого отверстия в стенке сосуда определяется с помощью уравнения Бернулли. Рассматривая любую линию тока, начинающуюся вблизи свободной поверхности жидкости в сосуде и проходящую через отверстие, и учитывая, что скорость жидкости вблизи поверхности в широком сосуде пренебрежимо мала, получаем для изображенного на рис.5-8 случая 1 ρ gh= ρ v 2 , (5.14) 2 откуда v= 2 gh .

(5.15)

76

v Рис. 8 h

Рис.5-8 Скорость истечения идеальной жидкости из отверстия в сосуде такая же, как и при свободном падении с высоты h . Соотношение (5.15) называется формулой Торичелли. Более интересным и сложным является вопрос о скорости и форме струи вытекающей жидкости при учете особенностей устройства отверстия в стенке сосуда. Скорость и форма струи оказываются зависящими от устройства отверстия. Последовательное строгое рассмотрения влияния устройства отверстия на скорость истечения жидкости дает результаты, которые выражаются формулой v= µ 2 gh ,

(5.16)

где µ – коэффициент, зависящий от формы отверстия (рис.5-9).

µ=0.62

µ=0.85

µ=0.90

µ=0.97

Рис. 5-9

5.3. Движение вязкой жидкости Установившееся ламинарное течение жидкости возможно только при не слишком больших скоростях потока жидкости в трубах малого поперечного сечения. С увеличением скорости или с увеличением площади сечения трубы характер течения изменяется. Вместо слоистого

77

ламинарного течения возникает носящее нерегулярный характер завихренное, или турбулентное, течение. Изменение характера течения можно наблюдать в опыте со стеклянными трубками различного сечения при разных перепадах давления, т.е. при различных скоростях жидкости. Линии тока можно сделать видимыми, впуская в трубку окрашенную струйку жидкости. При небольшой скорости потока в узкой трубке подкрашенная струйка движется без завихрений параллельно оси трубки. При постепенном увеличении скорости потока внезапно возникает нерегулярное движение, которое затем захватывает всю трубку – ровная у входа в трубку струйка разбивается на множество извилистых струек. Эти нерегулярные изменения потока жидкости происходят не из-за изменений условий движения, а благодаря неустойчивости ламинарного течения при больших скоростях. Природа этой неустойчивости заключается в наличии у жидкости вязкости.

υ

F S

l

υ=0 Рис. 5-10 Для введения количественной характеристики вязкости жидкости рассмотрим опыт, схематически показанный на рис.5-10. Жидкость находится между двумя твердыми плоскими параллельными пластинами, причем нижняя пластина закреплена, а верхняя может перемещаться параллельно нижней с небольшой скоростью. Если к верхней пластине приложить силу в касательном направлении, то она начнет двигаться относительно неподвижной нижней пластины. При этом слои жидкости будут скользить друг относительно друга: вблизи нижней пластины

78

скорость жидкости будет мала, а вблизи верхней – почти равна скорости пластины. При движении слоев жидкости друг относительно друга в жидкости возникают силы внутреннего трения. Опыт показывает, что для поддержания равномерного движения верхней пластины к ней необходимо прикладывать сила F , направленную вдоль пластины, значение которой пропорционально скорости пластины v и ее площади S и обратно пропорционально расстоянию ∆l между пластинами:

F =η

Sv . ∆l

(5.17)

Коэффициент пропорциональности η называется вязкостью жидкости. Благодаря “прилипанию” жидкости к поверхности пластины, сила F характеризует внутреннее трение, т.е. трение между проскальзывающими друг относительно друга слоями жидкости, а не между жидкостью и твердым телом. Вязкость жидкости можно определить, используя метод Стокса, который основан на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы. Пусть в вязкой жидкости, например, в глицерине, медленно падает небольшой шарик. На него 4 действуют три силы: сила тяжести FT = mg = ρg πr 3 , где ρ – плотность 3 4 тела; сила Архимеда FT = ρ1 g πr 3 , где ρ1 – плотность жидкости и сила 3 сопротивления, определяемая по формуле Fc = 6πηrv ,

(5.18)

где r – радиус шарика, v – скорость шарика. При равномерном движении шарика FT = Fa + Fc

4 4 πρr 3 g = πρ 1 gr 3 + 6πηrv , 3 3 2( ρ − ρ 1 )gr 2 v= . 9η

(5.19) (5.20)

(5.21)

79

Вязкость жидкости можно определить, если измерить скорость равномерного движение шарика в этой жидкости. Однако и до возникновения турбулентности вязкость может оказывать существенное влияние на ламинарное течение жидкости. При наличии вязкости для поддержания стационарного течения жидкости в горизонтальной трубе неизменного сечения необходимо поддерживать постоянную разность давлений на концах трубы. Как мы знаем, в идеальной жидкости при таком движении давление одинаково вдоль всей трубы. Характер течения можно определить, пользуясь безразмерным параметром – числом Рейнольдса Re =

ρd , η

(5.22)

где ρ – плотность жидкости; – средняя по сечению трубы скорость жидкости; d – характерный линейный размер, например, диаметр трубы. При малых значениях числа Рейнольдса (Re<1000) наблюдается ламинарное течение. Переход от ламинарного к турбулентному происходит в области 1000
и

перпендикулярно потоку F⊥ . Обычно силу FΙΙ

80

называют лобовым сопротивлением, а силу F⊥ – подъемной силой. При стационарном обтекании тела произвольной формы потоком идеальной жидкости лобовое сопротивление должно отсутствовать. В этом заключается так называемый парадокс Даламбера. Для тела симметричной формы этот результат довольно очевиден. Как мы видели выше, лобовое сопротивление при обтекании цилиндра обусловлено образованием вихрей позади тела и является следствием уменьшения импульса жидкости. M

B

A

N Рис.5-11

При стационарном обтекании симметричного тела идеальной жидкостью, как ясно из картины линий тока на рис.5-11, изменения импульса жидкости не происходит, поэтому равна нулю и сила, действующая на тело. Это же можно увидеть и с помощью уравнения Бернулли, из которого следует, что давление в соответствующих точках впереди тела и за ним одинаково, поскольку скорости частиц жидкости в этих точках, лежащих на одной линии тока равны по модулю и отличаются только направлением. Лобовое сопротивление для данного тела отлично от нуля, когда картина линий тока имеет вид, показанный на рис.5-12. что соответствует завихрению вязкой жидкости позади тела (рис.5-13).

81

Рис.5-13 В случае, когда твердое тело, а, следовательно, и поток жидкости не обладают симметрией, рассуждения усложняются. В идеальной жидкости, где нет рассеяния энергии, сохраняется симметрия уравнений динамики относительно инверсии времени: t → − t . Это означает, что при изменении направления скоростей всех частиц жидкости на противоположное они будут двигаться по тем же линиям тока, но в обратном направлении. Но в уравнение Бернулли скорость входит в квадрате, поэтому при такой замене давление в каждой точке остается без изменения. Как следствие, не изменится и сила F , с которой жидкость действует на обтекаемое тело. В частности, не изменится и лобовое сопротивление. С другой стороны, лобовое сопротивление всегда направлено по течению, поэтому при обращении течения оно должно изменить направление на противоположное. Отсюда следует, что эта сила равна нулю. К подъемной силе такие рассуждения неприменимы, так как ее направление не совпадает с направлением потока жидкости. Возникновение подъемной силы также связано с явлением отрыва жидкости или газа от поверхности обтекаемого тела. Теория подъемной силы, действующей на крыло самолета, была развита Жуковским и Куттом, которые показали, что величина подъемной силы для крыла бесконечного размаха определяется циркуляцией воздуха вокруг него. Чтобы лучше понять причину возникновения подъемной силы, рассмотрим так называемый эффект Магнуса, наблюдаемый при обтекании вращающегося цилиндра равномерным потоком воздуха. Если бы цилиндр не вращался, то благодаря малой вязкости воздуха картина

82

обтекания набегающим потоком мало бы отличалась от картины, изображенной на рис.5-11. Однако “вязкий” воздух прилипает к поверхности цилиндра, поэтому при вращении цилиндр увлекает прилегающие слои воздуха, вызывая его циркуляцию.

Рис.5-14

Если бы не было набегающего потока, то вследствие вязкости картина линий тока вокруг вращающегося цилиндра имела бы вид, показанный на рис.5-14. Скорость увлекаемого цилиндром воздуха тем меньше, чем больше расстояние от цилиндра. При обтекании потоком воздуха вращающегося цилиндра происходит наложение картин, показанных на рис.5-11 и 5-14. В тех местах, где скорость поступательного движения воздуха в потоке совпадает по направлению со скоростью точек вращающегося цилиндра, цилиндр разгоняет воздух, и в результате скорость воздуха превосходит скорость потока, набегающего на цилиндр.

Рис.5-15

Там, где скорость точек вращающегося цилиндра направлена навстречу скорости воздуха в потоке, цилиндр тормозит воздух, и его

83

скорость становится меньше скорости потока. Таким образом, получается картина обтекания набегающим воздухом вращающегося цилиндра, показанная на рис.5-15. Скорость воздуха снизу цилиндра меньше, а давление больше, чем сверху. В результате возникает подъемная сила. Это явление называется эффектом Магнуса. Его легко наблюдать экспериментально при скатывании с наклонной плоскости легкого бумажного цилиндра. Направленная перпендикулярно скорости поступательного движения цилиндра подъемная сила приводит к резкому увеличению крутизны траектории – падая, цилиндр заворачивает под стол (рис.5-16).

Рис.5-16 Эффект Магнуса проявляется при полете закрученного теннисного или футбольного мяча при резаных ударах. Итак, возможная причина появления подъемной силы заключается в циркуляции воздуха вокруг твердого тела. Циркуляция может возникать не только за счет вращения тела, как в эффекте Магнуса, но и при обтекании вязкой жидкостью или газом неподвижного несимметричного относительно потока тела. В идеальной жидкости, где вообще не существует касательных напряжений между различными слоями, циркуляция возникнуть не может. Роль вязкости в образовании циркуляции можно наблюдать в следующем опыте. Если на дне русла, по которому движется поток жидкости, имеется углубление, то в отсутствие вязкости жидкость в углублении была бы неподвижной: скорость жидкости менялась бы скачком на параллельной дну русла поверхности. В вязкой жидкости при скольжении придонного слоя над неподвижной водой в яме возникает касательная сила внутреннего трения, которая приводит верхний слой воды в яме в движение в направлении потока. Но из-за того, что движение

84

воды в яме ограничено стенками, в яме образуется система вращающихся “сцепленных” шестерен. Рассмотрим обтекание воздухом крыла самолета, которое несимметрично и (или) несимметрично расположено относительно горизонтальной плоскости, в которой оно движется. Скорости частиц вязкого воздуха возрастают по мере удаления от поверхности крыла. Благодаря этому в пограничном слое движение воздуха вихревое: Сверху крыла вращение совершается по часовой стрелке, а снизу – против часовой стрелки, если поток воздуха (или жидкости) набегает слева направо. Предположим, что в результате отрыва от поверхности крыла какая-то масса воздуха, находившаяся в пограничном слое снизу от крыла уносится потоком в виде отдельных вихрей. Эта масса уносит определенный момент импульса. Если отрыва пограничного слоя воздуха от поверхности крыла под ним не происходит, то для сохранения полного момента импульса системы воздух во внешнем потоке должен начать циркулировать вокруг крыла по часовой стрелке. При этом скорость воздуха под крылом уменьшается, над крылом увеличивается, и возникает подъемная сила, направленная вверх. Картина линий тока при несимметричном расположении крыла в потоке имеет вид, показанный на рис. 5-17.

Рис. 5-17

Поток воздуха под крылом огибает заднюю кромку крыла и встречается вдоль линии АВ с потоком, огибающим крыло сверху. Здесь образуется поверхность раздела, свертывающаяся в вихрь, в котором вращение происходит против часовой стрелки. Вихри уносятся потоком вместе с моментом импульса, которым они обладают, а вокруг крыла возникает циркуляция воздуха по часовой стрелке. Возрастание скорости течения над крылом и уменьшение ее под крылом приводит к смещению точки A , пока она не достигнет задней кромки крыла, при этом картина линий тока показана на рис. 5-18. В отсутствие вязкости дальнейшее образование вихрей на этом прекратилось бы. Однако благодаря вязкости циркуляция воздуха вокруг крыла постепенно затухает. Точка A смещается от кромки крыла вверх, и

85

вновь появляются условия для возникновения вихрей. Все повторяется снова. При постоянной скорости самолета описанный процесс носит регулярный характер – вихри периодически отрываются от задней кромки крыла, поддерживая практически постоянной величину циркуляции воздуха, а с ней и действующую на крыло подъемную силу.

Рис. 5-18 Теперь становится более понятным физический механизм возникновения лобового сопротивления. Можно четко выделить две причины этого явления. Во-первых, вклад в лобовое сопротивление дают касательные силы внутреннего трения, действующие со стороны набегающего потока на “прилипший” к поверхности тела пограничный слой. Во-вторых, как мы видели, лобовое сопротивление возникает в результате различия сил давления на переднюю и заднюю поверхности тела вследствие несимметричности картины обтекания вязкой жидкостью даже симметричного тела. Отметим, что картина обтекания воздухом крыла самолета оказывается принципиально различной при дозвуковых и сверхзвуковых скоростях самолета, причем при равенстве скорости самолета и скорости звука в воздухе создается наиболее неблагоприятный режим полета. Мощные двигатели современных самолетов обеспечивают возможность очень быстрого по времени прохождения этого режима. 5.5. Неньютоновские жидкости Под неньютоновскими жидкостями понимается обширная группа самых разнообразных материалов, обладающих свойством текучести, характеристики течения которых отличаются от обычных, ньютоновских жидкостей, например, воды. Неньютоновские жидкости находят чрезвычайно широкое применение в промышленности и технике. Промышленная переработка полимерных материалов, существенное (в

86

несколько раз) снижение турбулентного трения жидкостей, в которых растворены при небольших концентрациях добавки высокомолекулярных полимеров, использование масляных красок, лаков, типографских красок – в основе всего этого лежит изучение неньютоновских жидкостей. Обычно вязкость рассматривают только при изучении движения жидкости, однако она влияет также и на свойства покоящейся жидкости. Вязкость таких “неньютоновских” жидкостей уже не является величиной, зависящей только от температуры и давления, а становится функцией скорости сдвига и других факторов: деформации, движения, времени. Особый интерес, благодаря своему широкому распространению, представляют “пластические” жидкости, в которых, наряду с вязкостью, проявляются также пластические свойства, заключающиеся в наличии некоторого предельного напряжения сдвига, после которого и возникает “текучесть” среды. Физическое объяснение особых свойств этих жидкостей основывается на представлении о наличии в них при покое некоторой пространственной жесткой структуры, которая в состоянии сопротивляться внешнему воздействию до тех пор, пока вызванное им напряжение сдвига не превзойдет соответствующее этой структуре предельное напряжение. После этого структура полностью разрушается, и жидкость начинает вести себя как обычная ньютоновская жидкость. При уменьшении напряжения пространственная жидкая структура восстанавливается. Одно из проявлений отличия свойств неньютоновских жидкостей от неньютоновских в гидростатике заключается в условии плавания тел. В ньютоновской жидкости плавание выступающего из нее тела устойчиво. Уровень погружения тела в жидкость определяется только соотношением плотностей и не зависит от вязкости жидкости. В неньютоновской жидкости ситуация иная. Поднесем к поверхности неньютоновской жидкости тело и опустим его. Если тело достаточно легкое, то возникающие в жидкости напряжения будут меньше предельного, т.е. порога текучести, и жидкость будет вести себя как твердое тело: предмет может стоять на поверхности жидкости, не погружаясь в нее. Пусть теперь тело достаточно тяжелое, и оно начнет погружаться. При погружении тела наступит такой момент, когда сила Архимеда будет только частично компенсировать силу тяжести, но напряжение в жидкости станет меньше предельного. При этом неньютоновская жидкость перестанет течь, и тело остановится раньше, чем архимедова сила достигнет значения, необходимого для плавания тела в ньютоновской жидкости. Такое состояние называется состоянием

недопогружения. По тем же самым причинам возможно и состояние перепогружения, в котором выталкивающая сила больше действующей на тело силы тяжести, но оно не всплывает, поскольку напряжение в жидкости меньше порога текучести. Указанные особенности неньютоновских жидкостей позволяют объяснить “засасывающее” действие болотной трясины. Механические свойства многих жидкостей существенно зависят не только от скорости деформирования и его продолжительности, но также и от предыстории потока. Такие жидкости именуют “тиксотропными”. Некоторые из них, “реопектические” жидкости, обладают способностью увеличивать жесткость своей структуры при наличии сдвигового напряжения, другие, наоборот, разрушать структуры. К первому типу относятся, например, цементные растворы в режиме “цепенение”. Тиксотропия может проявляться и в обратном, также связанном со временем эффекте: разрушение жесткой структуры под действием сдвигового деформационного движения, как это имеет место, например, в жидкостях типа кефира. Под влиянием встряхивания кефир, представляющий почти жесткое желеобразное тесто, свободно выливается из бутылки, а по прошествии некоторого времени покоя вновь восстанавливает свою структуру.

ЛИТЕРАТУРА 1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1987, т.1, т. 2. 2. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. –М.: Наука, 1974, т.2. 3. Детлаф А.А. и др. Курс физики. –М.: Высш. Школа, 1973, т.2. 4. Ландау Л.Д., Ахиезер А.М., Лившиц Е.И. Курс общей физики. Том 6. М.: Наука, 1967. 5. Трофимова Т.И. Курс физики. Изд-во «Высшая школа». М., 2001.

90

ЛР № 020308 от 14.02.97

Цаплев Валерий Михайлович Орехова Инна Георгиевна Лиходаева Елена Андреевна Михайлова Светлана Викторовна ФИЗИКА Часть 1 Физические основы механики Текст лекций

Редактор Т.В. Шабанова Подписано в печать 26. 07. 99. Б.кн.-журн. П.л. 4,5 Тираж 200 Заказ

Формат 60х84 1/16 Б.л. 2,25 РТП РИО СЗПИ.

Редакционно-издательский отдел Северо-Западный государственный заочный технический университет 191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5