Zabawna matematyka

Zabawna matematyka Autor poczytnej rubryki „Gry matematyczne”, która ukazywa∏a si´ w Scientific American w latach 1956–1981, podsumowuje to çwierçwiecze odkryç zabawnych i ca∏kiem powa˝nych Martin Gardner

„Zabawa jest jednà z dziedzin matematyki stosowanej” William F. White, A Scrapbook of Elementary Mathematics

M

i – od czasu do czasu – zaskakujàcymi rozwiàzaniami. Obejmuje ona paradoksy logiczne, pomys∏owe gry, wprowadzajàce w konsternacj´ magiczne sztuczki, a tak˝e dziwaczne obiekty topologiczne, jak wst´gi Möbiusa i butelki Kleina. Tak naprawd´ niemal ka˝da dziedzina matematyki prostsza od rachunku ró˝niczkowego zawiera tematyk´, którà mo˝na uznaç za rekreacyjnà. (Kilka zabawnych przyk∏adów przedstawiam na stronie obok.)

DONNA BISE Gamma Liaison

oje „Gry matematyczne” zainaugurowa∏em w grudniowym numerze Scientific American z 1956 roku artyku∏em o heksafleksagonach. Te zadziwiajàce struktury, utworzone ze zwyk∏ej papierowej taÊmy poprzez odpowiednie jej z∏o˝enie w szeÊciokàt, Kó∏ko i krzy˝yk w klasie a nast´pnie sklejenie koƒców, mo˝Mathematics Teacher, miesi´cznik na wielokrotnie wywracaç na druwydawany przez National Council gà stron´, ods∏aniajàc jednà lub wi´cej ukrytych powierzchni. Heksa- MARTIN GARDNER w swoim domu w Henderson- of Teachers of Mathematics (Krajofleksagony zosta∏y wymyÊlone w ville (Karolina Pó∏nocna) ciàgle zajmuje si´ matema- wà Rad´ Nauczycieli Matematyki), 1939 roku przez grup´ doktorantów tycznymi zagadkami. 83-letni pisarz pozuje do zdj´cia cz´sto publikuje artyku∏y o charakz Princeton University; wÊród nich z butelkà Kleina, przedmiotem o jednej powierzchni: ze- terze rozrywkowym. Niemniej jedby∏ Richard Feynman – jeden z naj- wn´trzna powierzchnia butelki p∏ynnie przechodzi nak wi´kszoÊç nauczycieli regularnie ignoruje te materia∏y. Moim s∏ynniejszych fizyków teoretyków w wewn´trznà. najwi´kszym osiàgni´ciem w ciàgu XX wieku. Manipulowanie heksa40 lat dzia∏alnoÊci by∏o przekonanie dyfleksgonami daje du˝o radoÊci, ale – co matematyków. Jest wÊród nich Ian Stedaktyków, ˝e matematyka rekreacyjna wa˝niejsze – ukazuje zwiàzek pomi´wart, obecny autor REKREACJI MATEMATYCZNYCH w Scientific American; powinna zostaç w∏àczona do standardodzy zabawnymi ∏amig∏ówkami a „poJohn H. Conway z Princeton University; wego programu nauczania. Nale˝y jà wa˝nà” matematykà. Richard K. Guy z University of Calgary systematycznie wprowadzaç jako spoGdy w 1956 roku rozpoczyna∏em oraz Elwyn R. Berlekamp z University sób na zainteresowanie m∏odych ludzi wspó∏prac´ z Scientific American, niewieof California w Berkeley. Artyku∏y na cudami matematyki. Jak dotàd jednak le by∏o ksià˝ek poÊwi´conych matematemat matematyki rozrywkowej coraz dzia∏ania w tym kierunku przypominatyce rekreacyjnej. Klasyczne dzie∏o w tej cz´Êciej pojawiajà si´ równie˝ w czasojà ruch lodowca. dziedzinie – Mathematical Recreations and pismach matematycznych. Od 1968 roCz´sto opowiada∏em historyjk´, któEssays napisane w 1892 roku przez wyku zaczà∏ si´ nawet ukazywaç kwartalra znakomicie ilustruje ten problem. bitnego matematyka angielskiego W. nik Journal of Recreational Mathematics. Pewnego razu na zaj´ciach z matemaW. Rouse’a Balla – dost´pne by∏o w werGranica pomi´dzy matematykà roztyki w szkole Êredniej, po rozwiàzaniu sji uwspó∏czeÊnionej przez innà legenrywkowà a powa˝nà jest bardzo nieprzydzielonych zadaƒ, wyjà∏em czystà darnà postaç – kanadyjskiego geometr´ ostra. Wielu profesjonalnych matemakartk´ papieru i próbowa∏em rozwiàH. S. M. Coxetera. W Dover Publications tyków traktuje swojà prac´ jako form´ zaç intrygujàcy mnie problem: czy istdokonano przek∏adu z francuskiego La zabawy, podobnie post´pujà zawodonieje prosta strategia pozwalajàca zaMathématique des Jeux (Rozrywki matewi gracze w golfa i gwiazdy koszykówwsze wygrywaç temu, kto rozpoczyna matyczne) pióra belgijskiego specjalisty ki. Ogólnie rzecz bioràc, matematyka gr´ w kó∏ko i krzy˝yk. Gdy nauczycielw dziedzinie teorii liczb Maurice’a Kraitmo˝e byç uznana za rozrywk´, gdy ma ka zobaczy∏a, ˝e coÊ skrobi´, wyrwa∏a chika. Oprócz tego by∏o jeszcze kilka w sobie pierwiastek zabawy, zrozumiami kartk´ i rzek∏a: „Panie Gardner, skozbiorów ∏amig∏ówek i tyle. ∏y i doceniany przez niematematyków. ro jest Pan na mojej lekcji, spodziewam Od tamtego czasu pojawi∏a si´ lawiMatematyka rekreacyjna dotyczy elesi´, ˝e zajmuje si´ Pan matematykà i nina ksià˝ek z tej dziedziny, a wiele z nich mentarnych problemów z eleganckimi czym innym.” zosta∏o napisanych przez wybitnych

56 ÂWIAT NAUKI Paêdziernik 1998

Cztery zagadki Martina Gardnera 1

IAN WOORPOLE

(Rozwiàzanie na stronie 63)

2

1 3

1

?

1

3

3

?

P

an Jones, znany szuler, k∏adzie na stole trzy zakryte karty. Sà to as i dwie figury. Wskazujesz jednà z kart, idàc o zak∏ad, ˝e to w∏aÊnie as. Prawdopodobieƒstwo, ˝e wska˝esz w∏aÊciwie, wynosi oczywiÊcie 1/3. Jones ukradkiem podglàda wszystkie trzy karty. Poniewa˝ wÊród nich jest tylko jeden as, przynajmniej jedna z kart niewskazanych jest damà lub królem. Jones jà odwraca. Jakie jest teraz prawdopodobieƒstwo, ˝e twój palec wskazuje asa?

to osobliwy przyk∏ad kwadratu magicznego. Weê w kó∏eczko jednà z liczb, a nast´pnie wykreÊl wszystkie w wierszu i kolumnie, w których si´ ona znajduje. SpoÊród nieskreÊlonych wybierz kolejnà liczb´, obwiedê jà kó∏eczkiem i znów wykreÊl odpowiedni rzàd i kolumn´. Post´puj tak dopóty, dopóki w kó∏eczkach nie znajdzie si´ szeÊç liczb. OczywiÊcie ka˝da z liczb zosta∏a wybrana losowo. Niezale˝nie jednak, które wybra∏eÊ, zawsze dadzà ten sam wynik. Co to za suma? I na czym ten trik polega?

3

4 1

2

7

3

8

11

17

24

25

33

48

36

42

16

21

28

35

49

15

20

27

41

6

TASOWANIE DOK¸ADNE 14

19

26

5

10

13

34

40

47

9

12

18

4

29

37

43

22

30

38

23

31

32 TASOWANIE NIEJEDNORODNE

39

44

45

46

50

owy˝ej wydrukowane sà trzy wersety z Ksi´gi Rodzaju z Biblii Króla Jakuba. Wybierz dowolne 10 s∏ów pierwszego wersetu: „In the beginning God created the haven and the earth”. Policz litery w wybranym s∏owie i oznacz ich liczb´ jako x. Nast´pnie przejdê do s∏owa, które jest o x s∏ów dalej od wybranego (JeÊli na przyk∏ad wybra∏eÊ „in”, to idê do s∏owa „beginning”). Teraz policz litery w nowym s∏owie – liczb´ nazwij n – i przeskocz n s∏ów. Kontynuuj to post´powanie a˝ do momentu, gdy ∏aƒcuch s∏ów wejdzie w trzeci werset Ksi´gi Rodzaju. Na jakim s∏owie koƒczy si´ twoja wyliczanka? Czy odpowiedê jest przypadkowa, czy te˝ jest cz´Êcià Boskiego planu?

P

O

ewien magik przygotowuje tali´ kart w taki sposób, ˝e czarne i czerwone wyst´pujà na przemian. Nast´pnie dzieli tali´ na dwie mniej wi´cej równe cz´Êci, tak aby na spodzie obydwu pakietów by∏y karty ró˝nego koloru. Teraz pozwala ci przetasowaç karty z obu kupek w sposób pokazany na rysunku – tak dok∏adnie lub tak niedbale, jak sobie ˝yczysz. Gdy to zrobisz, zdejmuje dwie pierwsze karty z wierzchu talii. B´dà to karta czerwona i czarna (porzàdek niewa˝ny). Nast´pne dwie sà znów ró˝nych kolorów. W rzeczywistoÊci ka˝da kolejna para b´dzie zawiera∏a karty ró˝nych kolorów. Jak magik to robi? Dlaczego nie mo˝na tak potasowaç talii, aby u∏o˝enie kart by∏o przypadkowe?

P

ÂWIAT NAUKI Paêdziernik 1998 57

a

b

e 2 1

c

IAN WORPOLE

√ 3

d REP-TILES NISKIEGO RZ¢DU po∏àczone razem tworzà wi´ksze kopie samych siebie. Równoramienny trójkàt prostokàtny (a) jest figurà samopowtarzalnà rz´du 2: dwa takie trójkàty tworzà wi´kszy trójkàt tego samego kszta∏tu. Trójkàt rz´du 3 (b) ma kàty 30, 60 i 90 stopni. WÊród figur samopowtarzalnych znajdujà si´ trapez (c) i szeÊciokàt (d) – oba rz´du 4. Jedynym znanym samopowtarzalnym pi´ciokàtem jest sfinks rz´du 4 (e).

Problem strategii gry w kó∏ko i krzy˝yk by∏by dla uczniów znakomitym çwiczeniem. To doskona∏y sposób wprowadzenia m∏odych ludzi w kombinatoryk´, teori´ gier, rachunek prawdopodobieƒstwa i zagadnienia dotyczàce symetrii. Ponadto stanowi element uczniowskiego doÊwiadczenia; któ˝, b´dàc dzieckiem, nie gra∏ w kó∏ko i krzy˝yk? Mimo to znam niewielu nauczycieli matematyki, którzy tego typu zabawy w∏àczyli do programu swoich zaj´ç. Wed∏ug poradnika dla nauczycieli matematyki z 1997 roku ostatnie trendy w nauczaniu matematyki nazywa si´ „nowà nowà matematykà” (new new math) w odró˝nieniu od „nowej matematyki” (new math), która zrobi∏a kompletnà klap´ kilkadziesiàt lat wczeÊniej. W najnowszym systemie nauczania dzieli si´ klas´ na niewielkie grupy i uczy wspólnego rozwiàzywania problemów. Nauczanie interaktywne – bo tak si´ ta metoda nazywa – ma zastàpiç wyk∏ady. Aczkolwiek nowa nowa matematyka ma pewne zalety, zbulwersowa∏ mnie fakt, ˝e rzeczony poradnik s∏owem nie wspomina o znaczeniu matematyki rekreacyjnej, która sama jest doskona∏ym wprowadzeniem do kolektywnego poszukiwania rozwiàzaƒ. Pozwol´ sobie zaproponowaç nauczycielom nast´pujàcy eksperyment. Niech ka˝da z grup uczniów wybierze sobie trzycyfrowà liczb´ – nazwijmy jà ABC. Nast´pnie poproÊmy ich, by na swoich kalkulatorach dopisali do niej jeszcze raz t´ samà liczb´. Dostanà ABCABC. JeÊli uczniowie wybiorà na przyk∏ad liczb´ 237, to po tej operacji otrzymajà liczb´ 237237. Teraz, udajàc jasnowidza, powiedzcie uczniom, ˝e ich liczba ABCABC po podzieleniu przez 13 nie pozostawi reszty. Oka˝e si´ to prawdà. Nast´pnie poproÊcie ich o podzielenie

58 ÂWIAT NAUKI Paêdziernik 1998

otrzymanego wyniku przez 11. I znów nie b´dzie reszty. Wreszcie ka˝cie im podzieliç rezultat przez 7. Czary-mary – i na kalkulatorze znów pojawi si´ wyjÊciowa liczba ABC. Tajemnica tej sztuczki jest bardzo prosta: ABCABC = ABC 3 1001= ABC 3 73 11 3 13. (Ka˝da z liczb ca∏kowitych, a wi´c i 1001, rozk∏ada si´ jednoznacznie na iloczyn liczb pierwszych.) Nie znam lepszego wprowadzenia do teorii liczb i w∏asnoÊci liczb pierwszych ni˝ zadanie uczniom wyjaÊnienia tej sztuczki. Polimina i mozaiki Penrose’a Jednà z wielkich radoÊci redagowania przez ponad 25 lat rubryki w Scientific American by∏a dla mnie mo˝liwoÊç poznania wielu prawdziwych matematyków. Sam jestem tylko ciut wi´cej ni˝ dziennikarzem, który kocha matematyk´, i potrafi´ pisaç o niej bez potkni´ç. Matematyki nie studiowa∏em. Mój dzia∏ zyska∏ niezmiernie na finezji, gdy si´ nieco podszkoli∏em, ale tajemnicà jego popularnoÊci by∏ fantastyczny materia∏, który udawa∏o mi si´ wyciàgaç od najlepszych matematyków Êwiata. Solomon W. Golomb z University of Southern California by∏ jednym z pierwszych, z którymi wspó∏pracowa∏em. W majowym numerze z 1957 roku przedstawi∏em jego badania nad poliminami, kszta∏tami powsta∏ymi z jednakowych kwadratów po∏àczonych bokami. Domino – utworzone z dwóch takich kwadratów – ma tylko jeden kszta∏t, ale ju˝ tromino, tetromino i pentomino dopuszczajà ró˝norodnoÊç: mamy litery L i T, kwadrat itp. Jeden z pierwszych problemów Golomba polega∏ na wyjaÊnieniu, czy wyró˝niony zbiór kamieni polimina dok∏adnie dopasowywanych do siebie pokryje plansz´ do gry w war-

caby, nie pomijajàc ˝adnego z pól. Badania nad poliminem wkrótce doprowadzi∏y do rozkwitu ca∏ej dziedziny matematyki rozrywkowej. Arthur C. Clarke, autor powieÊci science fiction, wyzna∏, ˝e sta∏ si´ „na∏ogowcem pentomino”, gdy tylko zaczà∏ si´ bawiç tymi zwodniczo prostymi figurami. Golomb zwróci∏ mojà uwag´ na rodzin´ figur, które sam nazwa∏ „rep-tiles” (gra s∏ów; pisane oddzielnie znaczy „powtarzalne kawa∏ki”, a razem „gady” – przyp. red.). Sà to identyczne wielokàty wype∏niajàce formy b´dàce wi´kszymi kopiami tych˝e wielokàtów. Jednym z nich jest sfinks, nieregularny pi´ciokàt, którego kszta∏t przypomina nieco ten staro˝ytny egipski monument. Gdy w odpowiedni sposób po∏àczymy cztery identyczne sfinksy, otrzymamy wi´kszy o takim samym kszta∏cie jak jego elementy sk∏adowe. Wzory uk∏adane z „powtarzalnych kawa∏ków” mogà rozrastaç si´ w nieskoƒczonoÊç, pokrywajàc p∏aszczyzn´ coraz wi´kszymi i wi´kszymi kopiami. Ze zmar∏ym niedawno Pietem Heinem, znakomitym duƒskim wynalazcà i poetà, który publikowa∏ du˝o w „Grach matematycznych”, szczerze si´ zaprzyjaêni∏em. W lipcowym numerze z 1957 roku pisa∏em o pewnej wymyÊlonej przez niego grze topologicznej, którà nazwa∏ „Hex”. Rozgrywa si´ jà na planszy w kszta∏cie diamentu zbudowanej z szeÊciokàtów. Gracze umieszczajà swoje piony na szeÊciokàtach i próbujà jak najszybciej po∏àczyç nieprzerwanym ∏aƒcuchem jeden z brzegów planszy z drugim. Gr´ t´ cz´sto nazywa si´ John (eufemiczne i dziÊ ju˝ staroÊwieckie okreÊlenie toalety – przyp. red.), gdy˝ mo˝na jà toczyç na szeÊciokàtnej posadzce w ∏azience.

PIES

3

1 2

4

PIRAMIDA

SCHODY

6

KRZES¸O

7

IAN WORPOLE

5

PAROWIEC

CZ¢ÂCI SOMASZEÂCIANU sà nieregularnymi kszta∏tami powsta∏ymi przez po∏àczenie Êcianami szeÊcianów jednostkowych (powy˝ej). Siedem cz´Êci mo˝na u∏o˝yç na 240 sposobów, tworzàc somaszeÊcian o wymiarach 3 x 3 x 3. Mo˝na je równie˝ tak u∏o˝yç, aby utworzy∏y jednà z bry∏ prezentowanych obok. Czy potrafisz okreÊliç, której z nich nie da si´ zbudowaç? Odpowiedê na stronie 63.

Hein wymyÊli∏ tzw. somaszeÊcian, który sta∏ si´ tematem kilku odcinków mojej rubryki [wrzesieƒ 1958, lipiec 1969, wrzesieƒ 1972]. SomaszeÊcian sk∏ada si´ z siedmiu ró˝nych poliszeÊcianów – jest to trójwymiarowy odpowiednik polimina. Cz´Êci sk∏adowe powstajà przez sklejenie identycznych szeÊcianów Êcianami. Te poliszeÊciany mogà byç u∏o˝one w somaszeÊcian na, ni mniej, ni wi´cej, tylko 240 sposobów – podobnie jak w ca∏à panopli´ somakszta∏tów: piramid´, wann´, psa itd. W 1970 roku matematyk John Conway – jeden z niekwestionowanych Êwiatowych geniuszy – spyta∏ mnie, czy nie mam planszy do staro˝ytnej orientalnej gry w Go. Mia∏em. Conway zademonstrowa∏ wtedy swojà s∏ynnà dziÊ gr´ symulacyjnà Life (˚ycie). UmieÊci∏ kilka ˝etonów na planszy, a nast´pnie usuwa∏ lub dodawa∏ nowe zgodnie z trzema prostymi regu∏ami: ka˝dy ˝eton z dwoma lub trzema sàsiednimi mo˝e pozostaç na planszy; ka˝dy ˝eton bez sàsiadów albo z jednym, czterema lub wi´cej sàsiadami jest usuwany; nowy zaÊ ˝eton dok∏ada si´ na ka˝de puste miejsce przyleg∏e do trzech ˝etonów. Stosujàc te zasady wielokrotnie, mo˝emy uzyskaç zadziwiajàcà ró˝norodnoÊç form, w tym niektóre poruszajàce si´ po planszy niczym owady. Opisa∏em Life w paêdzierniku 1970 roku i natychmiast sta∏a si´ ona hitem wÊród mi∏oÊników komputerów. Póêniej przez wiele tygodni sporo firm i laboratoriów naukowych niemal zawiesi∏o dzia∏alnoÊç, bo entuzjaÊci tej gry eksperymentowali z ró˝nymi tworami powstajàcymi na ekranach ich komputerów.

Conway wspó∏pracowa∏ póêniej tak˝e z matematykami Richardem Guyem i Elwynem Berlekampem nad zagadnieniem, które w moim przekonaniu mo˝na uznaç za najwi´kszy wk∏ad do matematyki rozrywkowej w tym stuleciu. Chodzi o dwutomowà prac´ z 1982 roku – Winning Ways (Drogi zwyci´stwa). Jednym z setek klejnotów tej pracy jest gra dla dwóch osób nazywana Phutball (Philosopher’s Football), którà mo˝na rozgrywaç tak˝e na planszy do Go. Pionek nazywany Phuthballem ustawia si´ na Êrodku planszy. Gracze przesuwajà ˝etony mi´dzy przeci´ciami siatki. Mogà przemieszczaç Puthball, przeskakujàc nim ˝etony, które sà nast´pnie usuwane z planszy. Celem gry jest przekroczenie Phutballem przeciwleg∏ej linii bramkowej przez u∏o˝enie ∏aƒcucha ˝etonów w poprzek planszy. Cechà odró˝niajàcà opisanà gr´ od szachów, warcabów, Hexa czy Go jest to, ˝e w Phutballu nie przypisuje si´ ka˝demu z graczy innych ˝etonów – do budowania swoich ∏aƒcuchów korzystajà z tych samych. W rezultacie ka˝dy ruch jednego z graczy mo˝e byç zrobiony równie˝ przez przeciwnika. WÊród matematyków, którzy wnieÊli nowe pomys∏y do mojego dzia∏u, jest Frank Harary, obecnie pracujàcy w New Mexico State University. Uogólni∏ on gr´ w kó∏ko i krzy˝yk. W wersji zaprezentowanej w kwietniowym numerze z 1979 roku celem nie jest utworzenie prostej linii sk∏adajàcej si´ z kó∏ek lub krzy˝yków. Ka˝dy z graczy próbuje wyprzedziç przeciwnika, uk∏adajàc ze swoich znaków specjalny kszta∏t, na przyk∏ad

ZAMEK

DRAPACZ CHMUR WANNA

TUNEL

KANAPA

STUDNIA

MUR

ÂWIAT NAUKI Paêdziernik 1998 59

L lub kwadrat. Ronald L. Rivest z Massachusetts Institute of Technology pozwoli∏ mi pierwszemu ujawniç w numerze sierpniowym z 1977 roku system szyfrowania z kluczem publicznym, którego by∏ wspó∏wynalazcà. To pierwszy z szyfrów, które zrewolucjonizowa∏y ca∏à kryptografi´. Mia∏em te˝ przyjemnoÊç zaprezentowania matematycznej sztuki Mauritsa C. Eschera, którego dzie∏o znalaz∏o si´ na ok∏adce kwietniowego wydania Scientific American z 1961 roku, jak równie˝ nieperiodyczne mozaiki odkryte przez Rogera Penrose’a, brytyjskiego fizyka, znanego ze swych prac na temat teorii wzgl´dnoÊci i czarnych dziur. Mozaiki Penrose’a sà wspania∏ym przyk∏adem, jak odkrycie dokonane wy-

a

BLOK

∏àcznie dla zabawy niespodziewanie znajduje praktyczne zastosowanie. Penrose wymyÊli∏ dwa typy kszta∏tów: „latawce” i „strza∏ki”, które wype∏niajà p∏aszczyzn´ tylko w nieperiodyczny sposób: ˝adna z podstawowych cz´Êci wzoru si´ nie powtarza. WyjaÊni∏em donios∏oÊç tego odkrycia w styczniowym wydaniu pisma z 1997 roku. Na ok∏adce tego numeru znajdowa∏ si´ wzór u∏o˝ony z p∏ytek Penrose’a. Kilka lat póêniej trójwymiarowa forma mozaiki Penrose’a sta∏a si´ podstawà konstrukcji wczeÊniej nieznanych struktur molekularnych nazywanych kwasikryszta∏ami. Od tego czasu fizycy napisali setki prac naukowych o kwasikryszta∏ach i ich unikatowych w∏asnoÊciach termicznych i wibracyjnych. Chocia˝ idea

W GRZE LIFE formy ewoluujà wed∏ug regu∏ ustalonych przez matematyka Johna H. Conwaya. JeÊli cztery „organizmy” sà pierwotnie u∏o˝one w kwadratowy blok (a), to taka forma nie ulega zmianie. Trzy inne konfiguracje poczàtkowe (b, c oraz d) ewoluujà do stabilnej formy zwanej ulem. Piàta (e) rozwinie si´ w koƒcu w oscylujàcà figur´ „Êwiat∏o uliczne”, której komórki b´dà na przemian uk∏adaç si´ w pionowych i poziomych rz´dach.

b

UL

c

UL

d

UL

IAN WORPOLE

e

60 ÂWIAT NAUKI Paêdziernik 1998

Penrose’a wzi´∏a si´ z potrzeby rozrywki, to zapoczàtkowa∏a ca∏kowicie nowà dziedzin´ fizyki cia∏a sta∏ego. Sp∏uczka Leonarda Dwa odcinki mojej rubryki wywo∏a∏y szczególnie wielkà lawin´ listów: primaaprilisowy i poÊwi´cony paradoksowi Newcomba. Pierwszy ukaza∏ si´ w 1975 roku, oczywiÊcie w kwietniu, i obwieÊci∏ dokonanie wielkiego prze∏omu w nauce, a w matematyce w szczególnoÊci. Owe elektryzujàce odkrycia to obalenie teorii wzgl´dnoÊci i ujawnienie, ˝e Leonardo da Vinci odkry∏ sp∏uczk´ klozetowà. Sygnalizowa∏em równie˝, ˝e w szachach otwierajàcy ruch pionka o dwa pola w kierunku wie˝y królewskiej dawa∏ pewnà wygranà oraz ˝e e podniesione do pot´gi ¾ jest równe liczbie ca∏kowitej p 3 Ö163 262 537 412 640 768 744. Ku mojemu zdziwieniu tysiàce czytelników nie zorientowa∏o si´, ˝e to ˝art. Tekst ilustrowa∏a skomplikowana mapa, o której napisa∏em, ˝e wymaga pi´ciu kolorów do pomalowania w taki sposób, by dwa obszary o tym samym kolorze si´ nie styka∏y. Setki czytelników przys∏a∏o mi kopie tej mapy pomalowanej tylko czterema kolorami, potwierdzajàc s∏usznoÊç twierdzenia o czterech barwach. Wielu z nich przyzna∏o, ˝e poÊwi´ci∏o na rozwiàzanie zadaƒ sporo dni. Paradoks Newcomba wymyÊli∏ fizyk William A. Newcomb, ale sam problem po raz pierwszy zosta∏ opublikowany w pracy naukowej filozofa Roberta Nozicka z Harvard University. Mamy dwa zamkni´te pude∏ka A i B. W pude∏ku A znajduje si´ 1000 dolarów, natomiast w pude∏ku B jest albo milion dolarów, albo nic. Sà dwie mo˝liwoÊci: wybierasz albo pude∏ko B, albo oba. Wzi´cie dwóch wydaje si´ oczywiÊcie lepszym rozwiàzaniem. Jest jednak pewien haczyk. Nadistota – Pan Bóg, jeÊli sobie ˝yczycie – która potrafi przewidzieç, jak b´dziesz wybiera∏. JeÊli Nadistota uzna, ˝e powodowany chciwoÊcià wybierzesz oba pude∏ka, to pozostawi B puste, i b´dziesz musia∏ si´ zadowoliç tylko tysiàcem dolarów. JeÊli natomiast zgadnie, ˝e wybierzesz tylko pude∏ko B, to umieÊci w nim milion. Mo˝esz wielokrotnie ob-

φ 72°

36°

36°

36°

1 1

φ 1

φ 36°

36° 36°

φ

72°

f = 1 + √ 5 2

MOZAIKI PENROSE’A mogà byç konstruowane przez dzielenie rombu na „latawiec” i „strza∏´” w taki sposób, ˝e stosunek d∏ugoÊci ich przekàtnych wynosi f – jest to tzw. z∏oty podzia∏ (powy˝ej). Pi´ç strza∏ek u∏o˝onych wokó∏ wierzcho∏ka tworzy gwiazd´. Rozmieszczajàc 10 latawców wokó∏ gwiazdy i symetrycznie rozszerzajàc mozaik´, otrzymujemy nieskoƒczony wzór gwiaêdzisty (z prawej). Inne mozaiki zbudowane wokó∏ jednego wierzcho∏ka to na przyk∏ad dwójka, walet i królowa. Te figury równie˝ mogà stanowiç zaczàtek nieskoƒczonej mozaiki z∏o˝onej latawców i strza∏ek.

DWÓJKA

WALET

KRÓLOWA

zwanej teorià decyzji, pozostaje nierozstrzygni´ty. Moim zdaniem paradoks dowodzi przez sprowadzenie do sprzecznoÊci, ˝e niemo˝liwe jest istnienie nadprzyrodzonego daru przewidywania decyzji. Napisa∏em na ten temat w lipcu 1973 roku. Otrzyma∏em potem tak wiele listów, ˝e zrobi∏em z nich paczk´ i oso-

ÂWIAT¸O ULICZNE

biÊcie zanios∏em do Nozicka. A on dokona∏ analizy tych listów na ∏amach marcowego numeru z 1974 roku. Magiczne kwadraty od dawna sà bardzo popularnym dzia∏em matematyki rekreacyjnej. Magicznymi czyni je odpowiednie u∏o˝enie liczb: liczby w ka˝dej kolumnie, wierszu i na przekàtnych dajà takà samà sum´. Zazwyczaj wymaga si´, by liczby w kwadratach by∏y ró˝ne i kolejne, poczynajàc od jedynki. Istnieje tylko jeden kwadrat magiczny rz´du 3 utworzony z liczb od 1 do 9 rozmieszczonych w tablicy trzy na trzy. (Odmiany powsta∏e przez obrót lub lustrzane odbicie kwadratu si´ nie liczà.) Dla kontrastu istnieje a˝ 880 magicznych kwadratów rz´du 4, a ich liczba gwa∏townie

ÂWIAT NAUKI Paêdziernik 1998 61

IAN WORPOLE

serwowaç gr´ innych i przekonaç si´, ˝e zawsze, gdy gracz wybiera oba pude∏ka, B jest puste. Gdy wybiera tylko B, staje si´ milionerem. Na co powinieneÊ si´ zdecydowaç? Pragmatyzm, uwzgl´dniajàcy doÊwiadczenia z rozgrywek, których by∏eÊ Êwiadkiem, podpowiada, ˝e mo˝esz za∏o˝yç, i˝ Nadistota naprawd´ ma moc precyzyjnego przewidywania. PowinienieÊ wi´c zawsze wybieraç B, co gwarantuje wygranie miliona dolarów. Ale uwaga! Nadistota przewiduje przed rozpocz´ciem gry i nie ma mo˝liwoÊci dokonywania zmian w jej trakcie. W chwili, w której wybierasz, pude∏ko B jest albo puste, albo zawiera milion dolarów. JeÊli jest puste, nie otrzymasz nic, wybierajàc tylko B. Gdy wybierzesz oba, w najgorszym razie dostaniesz 1000 dolarów z A. JeÊli natomiast B zawiera milion, to zyskasz milion plus jeszcze tysiàc. Czy wi´c mo˝esz przegraç, wybierajàc dwa pude∏ka? Ka˝da argumentacja wydaje si´ przekonujàca i nienaganna. AliÊci nie mogà istnieç dwie najlepsze strategie jednoczeÊnie. Nozick konkluduje, ˝e paradoks, który nale˝y do ga∏´zi matematyki na-

Zadziwiajàcy dr Matrix

Paradoks znikajàcej powierzchni ozwa˝my figury przedstawione poni˝ej. Ka˝dy wzór u∏o˝ony jest z takich samych 16 kawa∏ków: czterech du˝ych trójkàtów prostokàtnych, czterech ma∏ych trójkàtów prostokàtnych, czterech oÊmiokàtów i czterech ma∏ych kwadratów. W uk∏adance po lewej stronie kawa∏ki pasujà do siebie jak ula∏, w uk∏adance po prawej natomiast poÊrodku jest dziura! Skàd wzià∏ si´ ten dodatkowy kawa∏ek powierzchni? Dlaczego nie ma go po lewej stronie?

IAN WORPOLE

R

Tajemnic´ tego paradoksu – który wyjaÊni∏em w „Grach matematycznych” w majowym wydaniu Scientific American z 1961 roku – ujawni´ w REKREACJACH MATEMATYCZNYCH za miesiàc. Niecierpliwi znajdà odpowiedê w Internecie na stronie www.sciam.com

roÊnie dla wy˝szych rz´dów. Zaskakujàce, ˝e sprawa ma si´ zupe∏nie inaczej w przypadku magicznych szeÊciokàtów. W 1963 roku przys∏ano mi magiczny szeÊciokàt rz´du 3 odkryty przez Clifforda W. Adamsa, emerytowanego urz´dnika z Reading Railroad. Przekaza∏em ten magiczny szeÊciokàt Charlesowi W. Triggowi, matematykowi z Los Angeles City College, który udowodni∏, ˝e ów elegancki wzór jest jedynym mo˝liwym magicznym szeÊciokàtem rz´du 3 i ˝e nie istniejà ˝adne szeÊciokàty magiczne tego ani jakichkolwiek innych rz´dów. A co si´ stanie, gdy przestaniemy wymagaç, by liczby w kwadracie magicznym by∏y kolejne? JeÊli za˝àdamy tylko, by by∏y ró˝ne, da si´ skonstruowaç ogromnie du˝o kwadratów rz´du 3. Na

przyk∏ad istnieje nieskoƒczenie wiele takich kwadratów zbudowanych z ró˝nych liczb pierwszych. Czy istniejà kwadraty rz´du 3 sk∏adajàce si´ z dziewi´ciu ró˝nych liczb b´dàcych kwadratami liczb ca∏kowitych? Dwa lata temu w artykule w Quantum wyznaczy∏em 100 dolarów nagrody za skonstruowanie takiego wzoru. Jak dotàd nikt nie przedstawi∏ „kwadratu z kwadratów”, ale nikt te˝ nie udowodni∏, ˝e nie jest to mo˝liwe. JeÊli kwadrat taki istnieje, to wyst´pujàce w nim liczby muszà byç ogromne, prawdopodobnie poza zasi´giem najszybszych wspó∏czesnych komputerów. Taki kwadrat magiczny nie mia∏by zapewne ˝adnego praktycznego zastosowania. Dlaczego wi´c matematycy próbujà go znaleêç? Poniewa˝ byç mo˝e istnieje.

Podczas mojej wspó∏pracy z Scientific American mia∏em zwyczaj poÊwi´caç jeden odcinek w roku na wyimaginowany wywiad z numerologiem, którego nazwa∏em dr Irving Joshua Matrix (zwracam uwag´ na liczb´ 666 otrzymanà z liczby liter pierwszego i drugiego imienia oraz nazwiska). Ten znakomity specjalista wyjaÊnia∏ nietypowe w∏asnoÊci liczb lub zadziwiajàce gry s∏ów. Wielu czytelników uznawa∏o doktora Matrixa i jego pi´knà córk´ Iv´ Toshiyori, pó∏-Japonk´, za autentyczne postacie. Przypominam sobie list od japoƒskiego czytelnika, który zwróci∏ mi uwag´, ˝e nazwisko Toshiyori jest nadzwyczaj niezwyk∏e. Mój informator wyjaÊni∏ mi, ˝e w j´zyku japoƒskim s∏owo to znaczy „ulica starych ludzi”. Wzià∏em je z planu Tokio. Ubolewam nad tym, ˝e nigdy nie zapyta∏em doktora Matrixa o opini´ na temat nonsensownego bestsellera 1997 roku Kod Biblii, który roÊci sobie prawo do przewidywania przysz∏oÊci na podstawie uk∏adu liter hebrajskich w Starym Testamencie. W ksià˝ce wykorzystywany jest system liczbowy, z którego doktor Matrix by∏by dumny. Selektywne stosowanie tego systemu do wybranych fragmentów tekstu pozwala dociekliwym czytelnikom znaleêç ukryte przepowiednie nie tylko w Starym, ale równie˝ w Nowym Testamencie, Koranie, w Wall Street Journal, a nawet na stronach samego Kodu Biblii. Gdy ostatni raz mia∏em wiadomoÊci od doktora Matrixa, by∏ on w Hongkongu, badajàc przypadkowe wyst´powanie liczby π w znanych dzie∏ach literackich. Dla przyk∏adu zacytowa∏ nast´pujàcy fragment z dziewiàtego rozdzia∏u Wojny Âwiatów H. G. Wellsa „For a time I stood regarding...” Litery wyst´pujàce w tych s∏owach dajà liczb´ z dok∏adnoÊcià do szeÊciu cyfr po przecinku! T∏umaczy∏ Zdzis∏aw Pogoda

Informacje o autorze

Literatura uzupe∏niajàca

Martin Gardner od 1956 do 1981 roku prowadzi∏ w Scientific American „Gry matematyczne”. Póêniej przez kilka lat okazjonalnie pisywa∏ artyku∏y. Zosta∏y one zebrane 15 ksià˝kach, z których ostatnià sà The Last Recreations (Ostatnie rekreacje) wydane przez Springer Verlag w 1997 roku. Jest tak˝e autorem The Annotated Alice, The Whys of a Philosophical Scrivener, Zwierciadlanego WszechÊwiata (PWN, 1969), Relativity Simply Explained oraz The Flight of Peter Fromm (powieÊç). W swoich ponad 70 ksià˝kach pisze o nauce w ogóle, o matematyce, filozofii, literaturze i o swej g∏ównej pasji – bia∏ej magii (magicznych sztuczkach).

RECREATIONS IN THE THEORY OF NUMBERS. Albert H. Beiler; Dover Publications, 1964. MATHEMATICS: PROBLEM SOLVING THROUGH RECREATIONAL MATHEMATICS. Bonnie Averbach

62 ÂWIAT NAUKI Paêdziernik 1998

i Orin Chein; W. H. Freeman and Company, 1986. W. W. Rouse Ball i H. S. M. Coxeter. Wyd. 13; Dover Publications, 1987. PENGUIN EDITION OF CURIOUS AND INTERESTING GEOMETRY. David Wells; Penguin, 1991. MAZES OF THE MIND. Clifford Pickover; St. Martin’s Press, 1992. ZWIERCIADLANY WSZECHÂWIAT. Martin Gardner; PWN, 1969. PRZEZ ROZRYWK¢ DO WIEDZY. Stanis∏aw Kowal; WNT, 1991. OPOWIEÂCI MATEMATYCZNE. Micha∏ Szurek; WSiP, 1987. MOJE NAJLEPSZE ZAGADKI MATEMATYCZNE I LOGICZNE. Martin Gardner; Oficyna Wydawnicza Quadrivium, 1998. S¸YNNE ESEJE. Red. Martin Gardner; Prószyƒski i S-ka, 1998. MATHEMATICAL RECREATIONS AND ESSAYS.