Vibrations des structures. Interactions avec les fluides, sources d'excitation aléatoires

COLLECTION DE LA DIRECTION DES ÉTUDES ET RECHERCHES D'ÉLECTRICITÉ DE FRANCE

Interactions d

flu·ides al ib

Professeur à l'Institut National des Sciences et Techniques Nucléaires

Préface de

ÉDITIONS EYROLLES 61. Bd Saint-Germain Paris sc.

NOTE AU LECTEUR Les cours de l'Ecole d'Eté d'Analyse Numérique CEA-EDF-INRIA sur la dynamique des structures, qui s'est tenue en Juillet 1986, ont été édités en deux volumes dans la Collection de la Direction des Etudes et Recherches: • un premier volume contient le cours de M. R. J. Gibert et s'intitule: Vibrations des structures - Interactions avec les fluides, sources d'excitation aléatoires » ; «

• un deuxième volume contient les cours et conférences de MM. J. Donéa, H. Laval, R. P. Shaw et Y. Bamberger et J. Planchard respectivement; ce volume s'intitule: « Aspects théoriques et numériques de la dynamique des structures ».

ISSN 0399-4198

© 1988 DIRECnON DES ÉTUDES ET RECHERCHES D'ÉLECTRlClTÉ DE FRANCE Ln loi du 11 mars 1957 n'autorisant, aux termcs des alinéas 2 ct 3 de l'Article 41, d'une part que les "copies ou reproductions strictement réservées il l'usage privé du copiste ct non destinées il une utilisation collective,. ct, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'cxemple el d'illustration, il toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » (alinéa 1er de l'Article 40). Cette représentation ou reproduction. pnr quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaGon sanctionnée par les Articles 425 et suivants du Code Pénal.

PRÉFACE Ce livre est consacré à Pun des cours de l'Ecole d'Eté d'Analyse Numérique CEA-EDF-INRIA qui s'est tenue au BREAU-SANS-NAPPE (Yvelines) du 10 juin au 4 juillet 1986. Le sujet était « Dynamique des Structures n. Le présent ouvrage porte sur les vibrations et est J'œuvre de R. J. Gibert. Monsieur R. J. Gibert, du Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay, est Chef de Service à la Division d'Etudes et de Développement des l'Réucteurs de l'Institut de Recherche Technologique et de Développement Industriel du Commissariat il l'Energie Atomique et Professeur à l'INSTN (J nstitut National des Sciences et Techniques Nucléaires). Il a bien voulu consacrer une partie de son temps très chargé d'ingénieur réalisateur à un cours qui fait le point le plus récent de cette discipline. Cet ouvrage comprend trois volets: 1) Vibrations des structures mécaniques. 2) Interactions fluide-structure. 3) Sources d'excitation aléatoires. L'ouvrage s'appuie sur l'expérience considérable ilccumulée par R. J. Gibert et ses collègues dans l'étude des réacteurs nucléaires. Cette expérience a été concrétisée par l'élaborution du programme français électronucléaire réalisé par EDF et les industriels concernés, en liuison pour les études avec l'équipe de R. J. Gibert. Un niveau d'excellence internationale, en pointe parmi les meil1eurs du monde, caractérise R. J. Gibert. Le lecteur y trouvera le point de vue concret, toujours adapté aux problèmes il traiter et les outils mathématiques el numériques pour résoudre complètement les problèmes réels de la technique. Le succès a couronné jusqu'à maintenu nt cet effort technologique et scientifique exceptionnel dans J'histoire technologique de la France, mené conjoîntement par le CEA, EDF et les industriels. Robert DAUTRA y Membre de l'Académie des Sciences

AVANT-PROPOS

1. JUSTIFICATION DES ÉTUDES DE VIDRATION On désigne couramment par « vibration» les petits mouvements d'un système mécanique, autour d'une position d'équilibre ou d'un mbuvement permanenL Ces petits mouvements induisent généralement: - de pelites variations des contraintes au sein du matériau qui peuvent occasionner des ruptures en fatigue, - des frottements qui peuvent occasionner des usures du matériau, - des chocs qui peuvent détériorer localement le matériau, des bruits qui sont émis à l'extérieur et qui posent parfois des problèmes importants d'environnement. Mais dans certains cas très particuliers, des mouvements de forte amplitude peuvent apparaître, entraînant la ruine rapide des structures. Ces mouvements ont pour origine des mécanismes d'instabilité. Les vibrations touchent toutes les branches de l'industrie: aéronautiquechemin de fer - automobile - industrie pétrolière etc. L'industrie nucléaire n'échappe pas à cette règle du fait de la grande taille des installations et des vitesses élevées des écoulements de fluide qui les parcourent. Un aspect particulier de l'industrie nucléaire réside dans les impératifs très stricts des règles de sécurité. La prévision des risques vibratoires en fonctionnement doit donc être effectuée avec un soin particulier. De plus ces règles imposent d'envisager un certain nombre de situations accidentelles qui consistent généralement en transitoires dynamiques (séismesruptures brutales - impact de projectiles, etc.). Bien que ces transitoires aient un caractère non linéaire marqué, les méthodes développées dans cet ouvrage fourniront une base très utile pour estimer les marges de sûreté qu'ont les installations dans chacune de ces situations. Signalons enfin que les vibrations sont un domaine de recherche largement ouvert et les méthodes de prévision actuelles demandent encore de nombreux perfectionnements.

X

2.

VIBRATIONS DES STRUcrURES

ANALYSE PHÉNOMÉNOLOGIQUE DES DIFFÉRENTS MÉCANISMES INTERVENANT DANS LE DOMAINE DES VIBRATIONS

L'étude des vibrations fait intervenir de nombreux aspects de la mécanique: mécanique des structures complexes, mécanique des fluides, acoustique. Ces différents aspects sont dans la plupart des problèmes très liés les uns aux autres. Nous allons lenter d'analyser les différents mécanismes qui interviennent: 1) Sources d'excitation. Réponse des struclltres

Les structures mécaniques sont sollicitées par les fluctuations locales de pression induites par les écoulements perturbés, par les ondes sismiques, par les machines tournantes, etc. Il faut donc tout d'abord connaître les caractéristiques de ces différentes sollicitations qui sont complexes (instationnarités liées aux écoulements perturbés - ondes sismiques de surface, etc.). II faut ensuite caractériser les structures, du point de vue de leur réponse à ces sollicitations. Comme, en général, les mouvements vibratoires sont petits, les équations de la mécanique linéarisées autour de la position d'équilibre du système, suffisent dans la plupart des cas. La structure considérée comme un système répondeur linéaire peut alors être caractérisée indépendamment des sollicitations qui s'exercent sur elle. 2) Existellce de couplages entre fluide et structures

Le schéma précédent serait parfaitement clair si l'on avait affaire par exemple à une structure dans le vide excitée par des forces extérieures. En fait dans la plupart des cas, les structures contiennent ou baÎgnent dans un f1uidc dont la masse volumique peut être non négligeable par rapport à celle des matériaux. Fluide et structure sont alors très couplés entre eux et le système répondeur à considérer est un système acoustique-mécanique (car les petits mouvements du fluide peuvent être décrits généralement par les équations linéaires de l'acoustique). Ce système est souvent compliqué par le faÎl que le fluide est en écoulement permanent. La linéarisation des équations du fluide autour de cet écoulement permanent, suffit en général pour représenter correctement les phénomènes. Elle met en évidence par rapport au système structure-fluide au repos, des termes supplémentaires qui dans certains cas, peuvent modifier d'une façon importante, les caractéristiques du système, parfois conduire à des instabilités. 3) Limites du schéma linéaire

Dans certains cas, touLefois assez rares, le schéma linéaire rend mal compte des phénomènes: Les non-linéarités les plus courantes sont les chocs et les frottements. Un

AV ANT-l'ROPOS

XI

modèle linéaire équivalent est souvent suffisant, mais cela n'est pas toujours vrai en particulier en ce qui concerne les chocs dus à des mouvements sismiques, dont l'amplitude peut être importante. En ce qui concerne les écoulements perturbés, la linéarisation autour d'un régime permanent est parfois difficile. On peut en particulier observer des mécanismes complexes de couplage cntre le mouvement vibratoire de la structure et l'écoulement perturbé qui J'excite ou également des couplages de même type entre les ondes acoustiques se propageant dans le circuit et l'écoulement perturbé. Ces mécanismes nécessitent une approche non linéaire.

3. PLAN DE L'OUVRAGE L'ouvrage est organisé de la façon suivante: a) La première partie concerne la théorie générale des vibrations des systèmes mécaniques:

Les premiers chapitres sont l'exposé assez synthétique des méthodes générales d'analyse des systèmes dynamiques linéaires (modes propres, ondes) et de leur application à des structures courantes simples (poutres droites, plaques, coques cylindriques). - Viennent ensuite des chapitres plus spécialisés concernant les méthodes de synthèse modale et les mécanismes non conservatifs (amortissements, instabilités). b) Dans une deuxième partie un développement assez important est effectué à propos de l'interaction fluide-structure.

e) Dans une troisième partie, on examine les caractéristiques de certaines sources d'excitation aléatoire (dues aux écoulements perturbés et aux ondes sismiques). Les exemples concernent généralement les structures de l'industrie nucléaire. II faut d'ailleurs noter il ce propos que cel ouvrage n'a pas la prétention d'être exhaustif et que l'éclairage qu'il donne sur l'analyse vibratoire est bien sûr sensiblement marqué par les problèmes que pose ce type de structure.

SOMMAIRE Avnnt-propos ........................................................................................... 1. Justificalioll des élI/des dc vibratiol/ 2. A1Ialyse pllél1011Iénologique

IX

IX X

XI

3. Plan de l'mll'mge

PREMIÈRE PARTIE VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES A. MÉTHODES GÉNÉRALES DE L'ANALYSE VIBRATOIRE

Chnpitre 1

Oscillateur à un degré de liberté ..... ".........................................

1.1. Déjini/iolls

3

........................ ............................................................

3

1.2. Etude du IUOlIl'el1lClIt ............................... ,......................................

5

1.2.1. Réponse à un transitoire .. .................. ... ................................... 1.2.1.1. Rappels sur la transformée de Laplace ................................ 1.2.1.2. Notion de fonction de transfert du système ......................... 1.2.1.3 Réponse de l'oscillateur .... ...... ..................... ............ ..........

5 5 10 11

1.2.2. Réponse harmonique établie . .................. ......... ... ...................... 1.2.2.1. Réponse à une sollicitation harmonique ..................... ,......... 1.2.2.2. Analyse de l'amplitude complexe ...... ......... ...... ......... .........

]4 ]4 ]5

1.3. Considéra/ions énergétiqlles ..................................................... , ....... '

16

1.3.1. Oscillation libre ..................................... , ........ ,....................... 1.3.2. Oscillation de régime harmonique ....... .......................................

16 17

1.4. DélermimuÎol1 expérimct1fnle des gra"deurs caractérisliques ....................

18

1.4.1. Analyse d'un transitoire ........................................................... 1.4.2. Analyse par excitation harmonique ............................................

19 19

Conlplé,ucll/s el exercices ....................................... , .. , .............................

]9

Systèmes conservaHrs il plusieurs degrés de liberté. Théorie des modes propres ..................................................................................

31

2.1. Introductio1l.' Exemple de 2 oscillateurs couplés ..................................

31

2.1.1. Couplage pur raideur et par inertie ........................................... 2.1.2. Le couplage dépend du choix des variables .................................

31 32

Chapitre 2

........ .... .................. ............. ........ ............

33

Variables de déplacement - hypothèse des petits mouvements ........ Notion de liaisons .,................................................................. Conditions aux limites .................... ...... ................................... Notion de degré de liberté .. .............................................. ....... Espace vectoriel des degrés de liberté ........... ................... ..........

33 34 35 35 35

2.3. Energie pote1lfielle de déJormarioll. Opêratcllr de midcur ."...................

36

2.2. Notion de degré de liberté

2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. 2.2.5.

XIV

vmHATIONS DES STRUcrURES

2.4. Energie cinétiqlle. Opérateur de masse ................. ............. .......... ....... 2.5. Equations dynan'llq/lcs

41

............. ......... ...... ........................................

43

2.6. Modes propres (/'l/1I système il plusiellrs degrés de liberté ........... ...........

46

2.6.1. Introduction ...... ...................... ............... ...... ...................... ..... 2.6.2. Modes propres d'un système à N degrés de liberté ....................... 2.6.3. Extension aux systèmes continus ......... ................... .................... 2.6.3.]. Poutre discritisée ............................................... ............... 2.6.3.2. Passage du système discret au système continu ........ .............

46 46 48 48 50

2.6.4. Notions de masse et de raideur généralisées .. ........................ ......

52 53

2.6.5. Projection sur la base des modes propres ............... ............ ........

2.7. Réponse fi

transÎtoire ..... ......... ...... ......... ............................ .........

54

2.7.1. Fonction de transfert du système ............................................... 2.7.1.1. Notion d'impulsion unÎté localisée ...................................... 2.7.1.2. Projection de l'impulsion sur le mode propre .......................

54 54 55

2.7.2 .. Réponse i'l un transitoire quelconque ......................................... 2.7.2.1. Systèmes il N degrés de liberté .......................................... 2.7.2.2. Systèmes continus .............................................................

57 57 57

2.8. Réponse forcée ci une sollicitatioll harmonique .....................................

58

2.9. Propriétés des modes propres des structl/res symétriques par rapport il 1111 plnn (P) ...............................................................................................

59

Chapitre 3

1.(11

l'cUts mOllvements d'un solide déformable tridimensionnel massif homogène et isotrope. Notions de propagation des ondes .. '" ......... .

3.1. Equations dyltal11ÎlJUcs

61

................................................................ _...

61

3.2. Notions de propagation d'olldes ...................................................... ..

63

3.2.1. Ondes de compression el de cisaillement .................................. .. 3.2.2. Ondes planes .............................................

63 64

3.3. Réflexi01I des çmdes planes entretenues sur /ln demi-plan infini ............. ..

65

3.3.1. Cos d'une onde P incidente ..................................................... . 3.3.2. Cas d'une onde SV incidente ................................................... . 3.3.3. Cas d'une onde SB incidente .................................................. ..

67 68

3.4" Ondes de !iurface .......................................................................... ..

68

3.5. Ondes dans wU! plaque pinne 3.6. Equation de dispersion. Vitesse de phase et vitesse de groupe .............. ..

70 73

3.7. Allalyse du diagramme de dispersion 011 l'oisillage de l'origine: ol/des de flexioll ........................................................................................ ..

74

3.8. Analyse pllrticulière des ondes de flexion: cas de la polltre rectiligne

76

H

.......................... .

65

B. ANALYSE VIBRATOIRE DE DJVERS SYSTÈMES MÉCANJ(2UES EXERCICES ET PROBLÈMES Chapitre 4

Petits mouvements des corps solides indéformables sur appuis souples

4.1. Equations dynanlÏq/{es 4.1.1. 4.1.2. 4.1.3. 4.1.4.

89

....................................................................

89

Energie potentielle. matrice de raideur ............................... ,....... Energie cinétique, matrice de masse ...... ...... ......... ..................... Travail des forces extérieures ........................ ...... ........ .............. Equations d'équilibre ...............................................................

90 90 91 92

SOMMAIRE

XV

4.2. Exeolplcs ......................................................................................

92

4.2.1. Premier exemple (solide sur appuis souples) ............................... 4.2.2. Deuxième exemple (pendule) ...................................................

92 97

Cbapitre 5

~

compression des poutres droites .. ...

101

5.1. Rappel des équalÎo1ls ct des conditio1lS aux limites ...............................

101

5.2. Anolyse d'lIl1e pOl/tre libre il ses extrémités .........................................

102

5.3. Impact d'unc polltre slIr Illle paroi rigide ...........................................

106

5.4. Utilisation t1'lIl1e base modale troflquéc pOlir le calcul de l'impact. Notion de raideur de choc ........................ ... ..................................................

109

Chnpîtrc 6

Petits mouvements de traction

Petits mouvements de flexion des poutres droites ... ... ....................

6.1. Equations et cmulitions mL'\: limites

. . ... ... .. ......................... ...... ... .......

115 115

6.2. Exemples de calclll des modes propres ................... ............................

119

6.2.1. Poutre rotulée-rotulëe ....................................?........................ 6.2.2. Poutre avec masse localisée ......................................................

119 121

6.3. Impact latéral d'Ilne pOWre sur /lire b7l1ée. ......................... '" ...... .........

124

6.3.1. rmpact d'une poutre de longueur infinie .................................... 6.3.2. Nature physique du choc en flexion ............ ............ .... ..... ......... 6.3.3. Filtrage basse fréquence, raideur de choc ........................ ...........

124 126 126

6.4. Exercices

problè,ne.ç . ....................................................................

131

6.4.1. Fréquences et modes propres d'une poutre multî-appuyée ...... ... .... 6.4.2. Faisceau de poutres encastrées sur un disque ..............................

131 133

6.5. FOr/nlllaire ................................................................. ...................

136

Chapitre 7

e/

Petits mouvements de Ilexion des ploques planes .. ...... ..................

7.1. Equatiot/s et condi/iOlls aux limÎtes

141

............ ..................... ......... .........

141

7.2. Cas des plaques rectallgulaires ..........................................................

145

7.3. Cas des plaques circulaires ...... ................................. .......... ... ...........

146

7.4. FOr1llulaire .. , ... ... ... ........................................................................

150

Chnpitre 8

Petits mouvements des coques minces cylindriques ........................

153

8.1. Energies potentielle et CÊnétique .... .............................. ............... ........

153

8.1.1. Energie potentielle de déformation ............................................ 8.1.2. Energie cinétique ............................................................. .......

154 155

8.2. Théorie simplifiée pour l'étude des modes propres ........ .......................

155

C. ANALYSE PAR SOUS-STRUCTURATION

Chapitre 9

Principe des méthodes d'analyse par synthèse modale. Exemples

9. 1. II/troduction

.................... , .................. , .. , ... ... . .. . .. . .. . .. . .. ... ... ... ... ... . ..

9.2. Défil/ition d'lIt/e sOUS-strllcmre

el

de ses liaisons .... .......... ...... ......... .....

165 165 165

9.3. Projectiol! sur une base de modes propres ct de solutions statiques

167

9.4. Raccordelneut des SOlls-structure .............................. , .. ,.......................

170

9.5. Exan/e11 des cas extrèl1les .................................................................

171

XVI

VIBRATIONS DES STRUCTURES

9.5.1. Procédure des '1 sous-structures bloquées» .................................. 9.5.2. Procédure des" sous-structures libres}) ....................................... 9.5.3. Procédure classique des sous-structures libres .... ..........................

171 172

174

9.6. Discussion ................... ........................... ................... ....................

175

9.7. E:rel11ples ......................................................................................

176

9.7.1. Raccordement de poutres en traction-compression ........................ 9.7.1.1. Méthode par liaisons bloquées ........................................... 9.7.1.2. Méthode par liaisons libres ................................................

176 176 179

9.7.2. Problcmc ...............................................................................

183

D. SYSTÈMES NON CONSERVATIFS Chapitre 10

Amortissement des systèmes mécnniques .................. ........... .......

191

10.1. Les différents types d'amortissement .................................................

191

10.1.1. Amortissement visqueux ......................................................... 10.1.2. Amortissement hyslérétique ................................... ........... ....... 10.1.3. Etudes de certains modèles non linéaires d'amortissement ..... ....... 10.1.3.1. Frottement sec ................................................................ 10.1.3.2. Amortissement dû à la plasticité ........................ ............... 10.1.3.3. Amortissement dû il de petits chocs ......... .........................

191 192 193 193 196 198

JO.2. Systemes il plusiellrs degrés dl' liberté amortis ....................... .............

198

10.3. Exelnplcs .. ...................... ......................... ............ ........................

201

10.3.1. Systëmes discrets ................................................................... 10.3.2. Effet d'un amortissement localisé sur un système continu ..... ....... 10.3.3. Caracterisation par une combinaison des opérateurs de raideur et de masse .................................................................................. 10.3.4. Amortissement équivalent d'une barre en flexion avec chocs .... ....

201

10.4. Exercices et problèllles .......... ......... .................................. ..............

208

Chapitre 11

203 204 205

Etude des systèmes vibrant autour d'une posiUon d'équilibre statique avec chump d'eITorts permanents ou autour d'un mouvement perma~ nent ....................................................................................

223

11.1., Système l'ibrant outour d'ufle position d'équilibre avec champ d'efforts pCnnallèllts ........................ ,.................. .................. ............ .........

223

11.1.1. Formulation générale ............................................................. II.1.2. Exemples d'application ........................................................... 11.1.2.1. Flexion d'une poutre droite avec traction-compression ....... ... 11.1.2.2. Coque cylindrique mince avec pression permanente ...... .......

223 225 225 229

11.2. Syslème vibrant autour d'ull mouvement permanent ........ ....................

232

11.2.1. Petits mouvements d'un corps solide tournant autour de son axe.. 11.2.2. Application il une poutre droite en flexion ....... .........................

232 235

Chapitre 12

Notions sur les systèmes linéaires instables .................................

12.1. Alodé!isQtÊoll des systèmcs illstables

239

....................................... ...........

239

12.1.1. Système à 1 degré de liberté .................................................. 12.1.2. Système il plusieurs degrés de liberté . ............................ ..........

240 241

12.2. Critères de stabilité ........................................................................

242

Il.3. EXC11lples ...... ............... ............. ..................... ......... .....................

245

XVII

SOMMAIRE

12.4. Instabilités paralnétriques

.............. ... ..............................................

249

12.4.1. Equations du problème .................... ... ... ................................ 12.4.2. Recherche des domaines de stabilité ....................... .................. 12.4.3. Discussion .................... 00.......................................................

249 250 255

DEUXIÈME PARTIE INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE Chapitre 13

Petits mouvements d'un nuide non visqueux sans écoulement

261

13.1. Equations de l'acoustique et fonctionnelles associées ............................

261

Energie potentielle de déformation ..................................... 0. .... Energie cinétique ....................... Travail des forces extérieures ............................. H..... ............... Equation des petits mouvements du nuide .. ............ ......... ......... Equations de l'acoustique ct conditions aux limite;? ............. ........ Fonctionnelle associée fI l'équation de l'acoustique .......... ........... Equation des ondes entretenues Fonctionnelle associée ...........

261 262 262 262 263 263 265

13.2. Exemple Împortallf: déterminatioll des modes propres acollstique d'ulle call1Ié fluide cylindrique ..................................................................

266

13.3. Vile application importa1l1e : le comportement acoustiqu.e il basse fréquence des lignes de tIIyameries. Théorie des ondes planes ............................

168

13.1.1. 13.1.2. 13.1.3. 13.1.4. 13.1.5. 13.1.6. 13.1.7.

13.3.1. 13.3.2. 13.3.3. 13.3.4. 13.3.5.

0 ........... 0

.............................. 0

Justification de la théorie des ondes planes ........ ...... .... ......... ..... Résolution de l'équation des ondes planes ............ ...... .............. Conditions aux limites, notion d'impédance . .............................. Nature des sources ...................................... ,......................... Assemblage de tubes ..................... ............... .......... ........ .......

13.4. Formulation i11tégrale associée à l'éqllation de l'acoustique ..... .......... .... 13.4.1. 13.4.2. 13.4.3. 13.4.4.

Solution singulière tridimensionnelle ....... ...... ............... ....... ...... Formulation intégrale en milieu infini ............ ......... .................. Variantes ............................ ..... ........................... .................. Exemple d'utilisation de la formation intégrale ............ ..............

13.5. Ondes de surface libre d'un fluide illcompressible soumis à la pesanteur

268 269 270 271 273 278 278 279 280 281

284

13.5.1. 13.5.2. 13.5.3. 13.5.4.

Condition aux IimiLes linéarisée au niveau d'une surface libre ...... Equation d'un réservoir à parois fixes Fonclionnelle associée Cas particulier d'un réservoir à fond horizontal....... ................... Exemple: ballottement d'un réservoir cylindrique .... ....... ............

284 285 286 288

Chapitre 14

Petits mouvements d'une structure en présence d'un nuidc non visqueux sans écoulement .......................................................

291

14.1. Eq/lations du système fluide-structure. Formulations CIl variables de déplaccUlent et en variables de pression .... ...... ............... .............................

291

14.1.1. Formulation en variables de déplacement .................................. 14.1.2. Formulation en variables de pression .. ...................................... 14.1.3. Fonctionnelle associée .................. ,.. ........ .... ... ... ......... ..... ... ....

291 293 293

14.2. Les deux m..pects de l'effet d'lI11 fluide dense sur tille structllre l'ibmnte..

296

14.2.1. Piston mobile couplé il un résonateur d'Helmholtz ........ ...... ........ 14,2.2. Piston mobile couplé à un tube ouvert ...................................... 14.2.3. Cavité nuide fermée par deux pistons ................... ...................

296 299 301

XVIII

VIBRATIONS DES STRUcrURES

14.2.4. Règles générales .......... ...................... .................................... 14.2.5. Exemples pratiques ..... ... ....... ..... ....... ...... ...... ...... .... ..... ..........

303 303

14.3. Emde particulière de l'effet d'jllenie ............................... ............. .....

305

14.3.1. Mise en évidence d'une matrice de masse ajoutée ...................... 14.3.2. Exemple d'illustration ...................................................... _......

305 307

14.4. Quelques exemples de caic/ii de masses ajoutées .................................

309

14.4.1. Cas particulier usuel: poutre rectiligne ........... .......................... 14.4.1.1. Justification de l'hypothèse
309 309 311

14.4.2. 14.4.3. ]4.4.4. 14.4.5.

Calcul de l'effet d'inertie d'une lame nuide cylindrique .......... ..... Estimation de la masse ajoutée pour un problème 3D ................ Remarques concernant les programmes de calcul.... ....... ...... ...... Formulaire succinct ...................... ..........................................

313 316 320 322

14.5. Effet sur une struclllre d'ul! fluide incompressible avec surface libre dam lOI chanlP de pesanteur .......................................................................

330

14.5.1. Fonctionnelle du problème ...... .................................. ............. 14.5.2. Exemples ..............................................................................

330 332

14.6. Couplage fluide-strucllIre dans les tllynllferies 14.6.1. 14.6.2. 14.6.3. 14.6.4. 14.6.5. Chapitre lS

....................................

337

Fonctionnelle et équation du système couplé ......... ....... ..... ........ Cas particulier des singularités brusques ..................... ............... Prise en considération du gonflement de la tuyauterie ................. Application aux effets de masse ajoutée dons les tuyauteries ....... Exercices ................................. ............ .................................

338 340 342 343 345

Systèmes fluide-structure non conserva tifs (fluide sans écoulement).

349

15.1. Amortissemel/t dû

la dissipation des ondes à l'infini .........................

349

15.1.1. Dissipation des ondes acoustiques ............................................. 15.1.2. Dissipation des ondes de surface libre ........ ............ ..................

350 358

lÎ

15.2. Amortissement dû à /a viscosité 15.2.1. 15.2.2. 15.2.3. 15.2.4.

368

Loi du comportement d'un nuide visqueux ............................... Equations des petits mouvements d'un fluide visqueux ................ Vibrations d'une structure en présence de fluide visqueux Exemple: Plaques vibrantes séparées par une lame fluide ...........

368 368 369 369

15.3. Al1lortlsse,nent par turbulence ......................................................... .

376

Généralités Exemple 1 : Plaque plane vibrante au voisinage d'une paroi ...... .. Exemple 2: Choc d'un projectile rigide ................................... . Exemple 2bis: Choc d'un projectile très déformable .................. .

376 378 383 386

Chapitre 16 Systèmes fluide-structure non conscrvaUfs couplage structure vibranteécoulement ... .... .. . ..... .... ...... ... .... ..... . .. .... ..... ... ............. ... .. ... ...

395

16.1. Introductioll ...................... .............................................. ......... ... .

395

16.2. Petits mouvements incompres.'iibles et 110/1 visqueux d'un fluide autour d'un écoulement à potentiel, ellgendrés pnr une l'ibratÎolI des porois .............

398

15.3.1. 15.3.2. 15.3.3. 15.3.4.

16.2.1. 16.2.2. 16.2.3. 16.2.4.

Equations des petits mouvements du nuide ............................... Condition fI la paroi vibrante .................................................. Effort exercé sur la paroi par le fluide . ...... ............ ...... ............ Effets du fluide en écoulement ................... .............................

398 399 400 401

X1X

SOMMAIRE

16.3. Exemple 1 : Tuyauterie droite IIniforme

écoulement parallèle interne..

403

16.3.1. Illustration de l'effet du terme de composition des vitesses .......... 16.3.2. Illustration de l'cffct du terme quasi-statique ....... ...................... 16.3.3. Autre exemple ......................................................................

405 408 409

16.4. Exemple 2: Coque cyUtldriqlle

Cil

efl

écoulement parallèle ÎTllertle

16.5. Exemple 3 : Ecoulemems tournants autour des a;bres de pompe ...........

411

415

16.6. Exemple DÎt la viscosité jolte lm rôle prépondérant: les jilms fluides

I1lÎllces

..................... ......... ................................. ..... .... ................

418

16.7. Cas d'une structllre l'ibral1le dans w! écoulement avec décollement. Exemple

de l'obstacle cylindrique cn écoulement transversal..... ......................... 16.7.1. 16.7.2. 16.7.3. 16.7.4.

Analyse des fluctuations de pression ......................................... Efforts fluctuants de portance ct de traînée locaux ..................... Analyse de l'effet d'un petit mouvement harmonique imposé ....... Effet d'un mouvement plus intense du cylindre, accrochage .........

425 425 428 428 434

16.8. Ull exemple d'Îmérêt industriel importmu : instabilités des faisceaux de tllbes

ell écoule/nellt trallsl'er.çal ......................................1:.... ....................

436

16.8.1. Efforts exercés pnr l'écoulement fluctuant sur les tubes ............... 16.8.2. Accrochage ct instabilité de flottement ............ ......................... 16.8.3. Tendances nctuelles de la modéli~ation des instabilités dans un faisceau ................................ ................................................ 16.8.4. Mesure des efforts nuide-élastique .. .......... ................................

437 440 446 451

16.9. Cas d'ull fluide compressible. Effet de l'écoulement permanent sur les ondes

acoustiques ........ ...... ........................... .........................................

454

16.9.1. Equations des petits mouvements du fluide compressible ............. 16.9.2. Ondes planes dans un circuit rectiligne avec écoulement Înterne

454 455

TROISJÈME PARTIE SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES Chapitre 17

Notions générales sur les processus Illéutoircs et la réponse des systèmes Iinénire.s ... ... .. . ... ... ... ... ... ... .. ... ... . ... ... ... ... ... ... .. . ....... ... ... .. . ... ...

465

17.1. Processus aléatoires . ... ... ... .................. ...........................................

465

17.1.1. 17.1.2. ]7.1.3. ]7.1.4.

Définition ............................................................................. Stationnarité .......................................................................... Ergodicité ............................................................................. Dérivation d'un processus aléatoire ....... ............... .....................

465 466 468 468

17.2. Exe111ples .....................................................................................

469

17.2.1. Rappels sucdncts sur la transformation de Fourier ...................... 17.2.2. Processus pOÎssonnÎens ............................................................ 17.2.3. Processus gaussiens ................................................................

469 471 477

17.3. Processus discrétisés. NotiotlS de traÎtement du signal .. ............. ...........

480

17.3.1. 17.3.2. 17.3.3. 17.3.4.

Problème de l'échantillonnage ................................................. Transformée de Fourier tronquée ............................................. Application au calcul pratique de la densité spectrale ................. Exemple: Bruit blanc ............................................................

480 483 485 487

xx

VIBRATIONS DES STRUCTURES

17.4. Réponse d'un oscillateur harmonique li

lill

degré de liberté peu amorti ..

17.4.1. Réponse d'un système linéaire â une sollicitation aléatoire stationnaire s'exerçant à partir d'un instant donné ............ ........................... 17 .4.2. Caractéristiques du régime de réponse établie ........................... 17.4.3. Expression approchée des caractéristiques du régime de réponse transitoire ...................... ....................................................... 17.4.4. Réponse de l'oscillateur harmonique il une excitation de DSP lentement variable en fréquence ..................................... .........

490 490 492 493 494

17.5. Quelques considérations .vllr les processus statiomwires li bal/de étroite ...

495

17.6. Réponse d'un système il plusieurs degrés de liberté .............................

498

17.6.1. 17.6.2. 17.6.3. 17.6.4.

Caractéristiques d'un champ aléatoire stationnaire ............ .......... Calcul de la réponse d'un système linéaire ................................ Utilisation des modes propres du système ................................. Cas d'un milieu excité par un champ aléatoire uniforme .............

498 500 501 506

Instntionnnrité des écoulements. Caractéristiques des sources vibr3toi~ res associées .. .......... ......... ... ... .. ...... . ..... . ... ... ... ....... ...... ..... . .. .

509

18.1. 11'lsIationllarité des fluides cn écoulement. Notions sur la turbulence .......

509

18.1.1. Equations linéarisées des petits mouvements autour d'un écoulement établi ................................................................................... 18.1.2. Recherche des solutions propres et des limites de stabilité 18.1.3. Mécanisme de l'instlltionnanté ....... .......................................... 18.1.4. Densité spectrale de puissance des fluctuations .......................... 18.1.5. Théorie du Kolmogorov......................................................... 18.1.6. Mise en évidence des zones d'écoulement très perturbées ............

509 511 512 514 515 518

Chapitre 18

.... ............................

518

18.3. Projection sur /Ille déformée modale du système couplé acoustico-mécanique ............................................................................................

522

Application 3U cas particulier des vibrations il basse fréquence des lignes de tuyauterie sous écoulement ................ ...... .... .. .. .... ... ....

527

19.1. ProjeetfOlr moc/ale du champ flucwant associé il Hile singularité ............

528

19.1.1. Hypothèses particulières aux ondes planes ................................. 19.1.2. Discontinuité de la pression et du débit acoustique .................... 19.1.3. Généralisation à une singularité fI plusÎeurs sorties ......................

528 530 531

19.2. Densités spectrales des discominuités associées à une singularité ............

532

19.2.1. Analyse dimensionnelle el grandeurs physiques caractedstiques .... 19.2.2. DensÎtés spectrales adimensionnclles .........................................

533 533

19.3. Analyse cxpérimclllale: exemple de l'élargissement bntsque ..................

535

18.2. Source \'ibratoire associée il une zone l/lrbulclIle

Chapitre 19

19.3.1. 19.3.2. 19.3.3. 19.3.4.

Evolution de la pression statique .. .................................. ......... Analyse des fluctuations . ..... ............. .......... ...... ...... ........... ..... Annlyse particulière des fluctuations locales ............................... Analyse acoustique ................................ ................................

535 537 538 545

19.4. Formulaire ... .......... ...... .... ..... ... ...... ...... .... ...... ...... ............. ..... ......

559

19.5. Exemple de calcClI des vibrations d'llIle tuyauterie sous écoulement. Comparaison expérinlentale ............... ...... .................................................

596

SOMMAIRE

XXI

Chapitre 20 Excitation sismique des structures .................. .. . .. ....... ..... .........

603

20.1. IntroducTion .................................................................................

603

20.2. Nations de Sisluilogie . ........... .......................... ...... ....... ... ...............

604

20.2.1. 20.2.2. 20.2.3. 20.2.4.

Analyse au voisinage du front de rupture .................................. Rayonnement sismique à basse fréquence ................ .................. Rayonnement sismique il haute fréquence ................................. Mouvements du sol en surface ................................................

604 604 609 610

20.3. Définition du mouvement à la surface du sol Cil vue du calcul de la lel/ue des strucTures ..................... ........ .................. .................. ........... .........

614

20.3.1. Position du problème .. ............ ..................... .......... ................ 20.3.2. Définition de l'intensité à associer à un site .............................. 20.3.3. Définition quantitative du mouvement du sol ............................

614 614 615

20.4. Méthode classique d'analyse de la réponse d'une stmcture (méthode nlodale) ................ .................................................... ............ ......

624

20.5. Allalyse sismique probabiliste ........................................... ...............

628

Inconvénients de la méthode modale classique ... ~....................... Processus aléatoires non stationnaires .. ...... ................................ Considérations sur lcs maxima d'un -processus ........................... Amélioration de la prédiction des maxima il l'aide de la méthode modale ................................................................................ 20.5.5. Calcul dircct des spectres de plancher ................................ ...... 20.5.6. Création de signaux sismiques synthétiques ....................... .........

628 629 632 643 648 653

20.6. Description des différentes étapes de l'allalyse sismique d'une illstallation indllstrielle ........................ ... ........ ............. ... ... .............................

655

20.5.1. 20.5.2. 20.5.3. 20.5.4.

20.6.1. 20.6.2. 20.6.3. 20.6.4.

Interaction sol-fondation ..... ...... ....................... ....................... Interaction « système-sous-système» ................................ ......... Structures fixées en plusieurs points ......................................... Résumé des différentes phases d'un calcul sismique ....................

655 661 665 666

Bibliographie ............................................................................................

669

PRINCIPALES NOTATIONS Grandeurs géométriques (V) du (I)

dI (C) ds r ou M

x, y, z i, j, k ou ix' i y ' r, 8 U, Il

l, t n

domaine de définition d'un système mécanique (3 D) élément de volume domaine (2 D) ou limite de (V) élément de surface domaine (1 D) ou limite de CI) élément de longueur point du domaine coordonnées cartésiennes i z vecteurs unitaires correspondants coordonnés semi-polaires vecteurs unitaires correspondants vecteurs unitaires respectivement tangent à (t) et normal au plan osculateur de (C) normale extérieure unitaire à une surface limitant un domaine. >

Grandeurs caractérisant les mouvements x(t) vecteur des DDL fonction du temps (x; = composante i) x(r, t) champ des déplacements

x et .i

champ des vitesses et des accélérations x(r,t) champ des vecteurs déplacement (de composantes x, y, _ ou v, IV en semi-polaire).

Il,

Grandeurs caractérisant les efforts fer)

f (r, t)

ou f (r,

F(/) ou F(t) ,AL (t) ou .At (t ) F(t) et ..At(t)

1)

vecteur des forces extérieures (fi = composante i) champ des densités de forces extérieures forces localisées aux limites moments localisés aux limites résultante générale et moment résultant.

Grandeurs mécanÎques k et

111

K et M E

raideur et masse opérateurs de raideur et d'inertie (matrice ou opérateur différentiel) énergie totale

XXIV

VlBRATrONS DES STRUcrURES

U :H C W,. Wi , W e Ë,i'f

p, E,

IJ

c

fonctionnelle énergie interne fonctionnelle de raideur fonctÎonnelle énergie cinétique travail des forces de raideur, d'inertie et extérieures tenseurs des déformations et des contraintes masse volumique, module d'Young et coefficient de Poisson du matériau célérité des ondes.

Transformées de Laplace

el

de FourÎer

x (P),

F (p ) X (w ). F Cw ) w et f

transformées de Laplace transformés de Fourier ou amplitudes complexes pulsation et fréquence il pulsation adîmensionnelle f.L (t) et Y (t) ( fonctions» impulsion et échelon 5 (r) distribution de Dirac H(P) ou B(r, r{),p) fonctions de transfert G(w) ou G(r, ro, w) fonctions de transfert (exprimés en w) (A(w) amplitude; ip (w) = phase) G(l) ou G(r, rOI t) fonctions de Green.

Gra1ldeurs modales vecteur propre

w,. et fil kil et 111 '1 KG et MG E,.

an(1) et Fn(l)

a(t) et F(t)

matrice des vecteurs propres pulsation et fréquence de résonance raideur et masse généralisées matrices diagonales des raideurs et masses généralisées amortissement modal (par rnpport à l'amortissement critique) composantes modales du déplacement et force généralisée vecteurs des composantes modales et des forces généra1isées.

Grandeurs spécifiques aux fluides

V (r) (composantes Vi)

PCl" ) ver, t) (composantes per, t) P f et p (r, t) IL

et

S

g (.rd 9

JJ

Vi)

champ des vitesses de l'écoulement permanent champ des pressions permanentes champ des vitesses fluctuantes champ des pressions fJuctuantes. masses volumiques moyennes et fluctuantes viscosité dynamique et cinématique notion de passage d'une tuyauterie impédance acoustique surface libre d'un fluide pesant accélération de la pesanteur

PRINCIPALES

NOTATION~

xxv

nombre de Reynolds nombre de Strouhal nombre de ~( Froude vibratoire» (L = longueur caractéristique).

Grandeurs associées aux processus aléatoires variable aléatoire, x réalisation de cette variable processus aléatoire temporel, x(t) réalisation de ce processus fonction de répartition et densité de probabilité de X F(x) et p(x) E( ) espérance mathématique (E(X) = J.L = moyenne) cr écart type (ou valeur quadratique moyenne) fonction d'autocorrélation P (t 1, 1:!) ou P (T) densité spectrale de puissance (DS}» S(/) S;ry(/) ou S(x, y, f) densité spectrale de puissance d'interaction (DSPI) Xo(s)ets DSP adimensionnelle et fréquence adimensionnelle (nombre de Strouhal). ' X

X(t)

PREMIÈRE PARTIE

VIBRATION DES SYSTÈMES lVIÉCANIQUES

- A -

MÉTHODES GÉNÉRALES DE L'ANALYSE VIBRATOIRE

CHAPITRE 1

ÉTUDE DE L'OSCILLATEUR HARMONIQUE À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

1.1. DÉFINITIONS Le système mécanique vibrant le plus simple est constitué par une masse ponctuelle M, assujettie il se déplacer sans frottement sUl un axe Ox. L'unique force exercée sur cette masse est celle d'un ressort de raideur K el de masse négligeable, qui la relie au point fixe O.

K

M

o ~ooooo~oou1m

... X

Figure 1.1.

Ce système est dit ci 1 degré de liberté car la position de la masse M est repérée au cours du temps par une unique variable x (t), qui est la variation de l'abscisse de M par rapport à sa position d'équilibre. L'équation du mouvement de la masse est: Mf + Kx

=0

(1.1)

Cette équation comporte 2 termes: -

Iln terme d'inertie Mf où intervient la m
accélération de M). lIll terme de raideur I<x correspondant il la force de rappel exercée par le ressort sur la masse Kx), où intervient la raideur K du système.

M et K sont évidemment positifs. -

Au terme d'inertie est associée la forme quadratique énergie cinétique:

. de M) . (x.= dtdt = vltesse

4

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIOUES

- Au terme de raideur est associée la forme quadratique énergie potentielle de déformation:

U = 1/2 K.x 2 Au cours du mouvement de l'oscillateur, la somme U + C garde une valeur constante, le système est dÎt conservatif. Remarque: Ecrire que U + C effet

Cte équivaut à écrire l'équation (1.1). En

=

U + C = Cte => =>

M.t.i

+ Kxx

dU

dC = 0 dt

+-

0 => M.r + Kx = 0

Dans la réalité, les systèmes conservatifs n'existent pas. II y a toujours des causes de dissipation d'énergie au cours du mouvement. Ceci nous amène à ajouter dans l'équation (1.1) un renne lion conservaliJ. Le terme le plus simple est appelé force d'amortissement visqueux. Cette force s'exerce sur la masse M, elle est proportionnelle à sa vitesse.r et de signe opposé. Le schéma de l'oscillateur est alors le suivant:

ID

X

Figure 1.2.

L'équation de ce nouveau système, appelé oscillateur harmonique dissipatif est alors:

Mf+Ar +Kr =0 (avec A

= coefficient

(1.2)

d'amortissement:> 0)

dU +-=x de . (M x+ .. 1(;) x = - A x-.~ dl

dt <0

L'énergie du système diminue donc dans le temps ail cours du mOlivemellC.

5

OSCILLATEUR HARMONIQUE À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

Remarque importante: Nous supposerons que la force d'amortissement AX est petite par rapport aux forces de raideur et d'inertie. Ceci est vrai en mécanique vibratoire sauf dans des cas très particuliers. Pour que Je système soit mis en mouvement, il faut exercer sur lui une force extérieure f(t). L'équation devient alors:

Mf +Ai + Kx = f(t)

(1.3)

C'est cette équation que nous allons étudier à présent.

1.2.

ÉTUDE DU MOUVEMENT DE L'OSCILLATEUR HARMONIQUE

La réponse de J'oscillateur ainsi que la méthode pour l'obtenir dépendent de l'allure temporelle des efforts que l'on exerce sur lui. Dans la pratique, on envisage deux types de force:

- Des sollicitatiolls trallsitoires, qui s'exercent sur le système initialement au repos pendant une durée plus ou moins longue. Dans ce cas on s'intéresse généralement à l'allure de la réponse en fonction du temps. - Des sollicitatiolls harmoniques elltretellues. Dans ce cas, comme nous le verrons par la suite, la réponse de )'osciJ]ateur est également harmonique ct l'on s'intéressera à l'amplification et au déphasage de cette réponse par rapport à la sollicitation, fonctions de la pulsation du mouvement. 1.2.1.

Réponse de l'oscillateur il un transitoire

Le système ayant d'une part certaines conditions initiales (vitesse et déplace~ ment) soit nulles (système au repos) soit non nulles, et connaissant d'autre part la force f (1), on peut calculer sa réponse en intégrant directement l'équation (1.3). Nous allons utiliser ici une autre méthode qui a l'intérêt de faire apparaître plus clairement les éléments de base de la solution et qui pourra être appliquée aussi facilement au cas général du système à plusieurs degrés de liberté. Cette méthode utilise la transformation de Laplace dont nous allons rappeler les définitions et les propriétés principales:

1.2.1.1. Rappels sur ln transformée de Laplace et sur le calcul symbolique a) Définition La transformation de Laplace est particulièrement bien adaptée à l'étude des systèmes initialement au repos et excités à un instant t O. En effet soit X{I) une fonction telle que:

x (t)

=0

po urt

<:

0

n'admettant qu'un nombre fini de discontinuités et étant bornée dans l'intervalle t ~o.

6

VlBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Nous pouvons définir la fonction de la variable complexe p : X(P) =

ra:! e-fll x(t) dt Jo

dans le demi-plan complexe l' :> 0 avec p = 'Y + Îw. XCp) est la transformée de Laplace de x(t) (on nole généralement t(x(t»). Remarque: X(P) s'appelle aussi image de xU).

b) Principales propriétés -

Linéarité: nous avons

t (x (t) + y (1 » = X (P) + y (p ) {L(kX(I» = kX(P) (le Cte) -

Dérivation: nous avons (si .t(t) existe Vt:> 0) C(.i(t» = pX(P) -x(O+)

x (0+ ) est la limite de x(t) quand -

(-Jo

0 par valeurs positives.

Image d'llll produit de cOllvollllioll

c(, JorXU-T)Y(T)dT)

XCp).Y(P)

c) Fonction échelon et impulsion

-

La fonction échelon unité Y (t) est définie par:

y (t) = 0 si t <:: 0 y (t) = 1 si t:> 0 (Y (0) est par exemple pris égale à 1/2). Sa transformée de Laplace est: 1

C(Y(c» = p

- L'impulsion unité fL (t) peut être définie de la façon suivante: Soit une fonction fAr{t) telle que: f!J.r (t) = 0 si t ~ 0 ou 1 ~ â T { fAT(t) = liâT si 0 <: 1 <:: âT fL(t) est la limite de fAt(t) lorsque âT

-Jo O. Si O(t) est une fonction continue pour [:> 0 et t = 0 (par valeur positive) nous avons:

Hm f'fAT(T)O(t-T)dT=g(t) Ar_O

0

7

OSCILLATEUR HARMONIQUE Â UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

On peut alors écrire que:

r Jo t

f.L(T) g(/- T) d. = g(t)

ce qui est l'une des formes définissant f.L (/). Nous avons également:

f i

J.l. (1 -

T )

g ( • ) dT

=

g (1 )

()

La transformée de Laplace de f.L (1) est: L(J.l.(I» = 1

(en utilisant la formule précédente). J.l. (1) peut s'interpréter comme étant la la fonction échelon Y (1), pUÎsque :

«

}' dérivée au sens des distributions

»

de

ct) Généralisation au sens des dislribltliollS de la formllle de dérivatiol1 de Laplace Soit une fonction x (r) avec une discontinuité x (0+ ) à l'origine. Nous avons vu que:

L(.i (l » = pX (p ) - x (0+ )

.r (t)

étant la dérivée de x (1) au sens classique, pour t
t:>

0 et

.r (1)

0 pour

x(t)

t

o Figure 1.3.

Si l'on considère maintenant la dérivée de x (1) cn incluant la discontÎnuité

x (0+), nous pouvons écrire que:

let)

= .tU) +x(o+) f.L (1)

1(1) étant la dérivée de x (1) au sens des distributions

c(.i(t»

[(.i(t» +x(O+)

pX(P)

8

VIBRATION DES SYSTÈMES MËCANIQUES

Nous voyons donc que la formule de dérivation de Laplace prend une forme beaucoup plus simple puisque l'opérateur dérivatio1l correspond ell transformée de Laplace à ulle sirnple multiplication par p.

e) Interprétatioll Cil mécanique Soit un oscillateur harmonique conscrvatif dont le mouvement est défini par X(/). Au temps t = 0 nous considérons que x (t) = 0 et que l'oscillateur est animé d'une vitesse initiale i(O) = vI)' L'oscillateur n'est soumis à aucune force extérieure. Nous pouvons résoudre directement le problème: Mf + Kr = 0

Cc qui donne en posant

"'0

avec

=

X =

.

0

{ x = lif)

1=0

en

~:

x(r) = .

Vu.

-sm wol WI)

x(t)

t

t

Figure 1.4.

Ce problème à conditions initiales non nulles est équivalent au problème suivant : Considérons l'oscillateur ;nitia!emclIl au repos et exerçons sur lui à l'instant t = 0 une force extérieure très intense f pendant un temps très court. Dans l'intervalle de temps T la force f est grande par rapport à la force de raideur Kx ; on peut donc écrire:

f

Mt en particulier .t (ï )

:=

~

T.

d'où

(0

<::

t

<::

ï)

OSCILLATEUR HARMONIQUE À LIN DEGRÉ DE LIBERTÉ

9

f(t)

F

t

o

T Figure 1.5.

Si nous choisissons f tel que {;

et si nous faisons tendre

= Vo

T

vers zéro, nous

nous ramenons au problème à condition initiale .i(0) = vo' La force que nous avons introduite est d'après les paragraphes précédents, une impulsion d'intensité Mv u' (Mv n est la qualllité de mouvement injectée à l'oscillateur à l'instant t 0). NOliS avons dOliC remplacé le problème' ·,à condition illitiale de vitesse

vo, par le problème de réponse impulsionnelle d'un système initilllemelll au repos: Nt\: +

I{;r =

Mvo

IL

(t)

o

t~

avec

o

en

f

o

Pour résoudre ce système nous utiliserons la règle généralisée de Laplace définie au d

C(x(t))

= pX(P)

1.: (x(1)) =p 2 X(p)

'* Mp 2 X(P) + KX(p) MVn

=:>X(p)-

Mv()

Vo ---

- Mp 2 + K - p2 + w(~

=>x(t) =

Vo

.

-sm Wu

will

Remarque: Pratiquement l'impulsion est réalisée par une force très intense s'exerçant pendant un temps très court 7'. T doit être comparé au temps caractéristique de l'oscillateur harmonique

~.

Nous devrons avoir;

W()

D'une façon générale tout problème dynamique linéaire transitoire pourra être résolu par transformation de Laplace en remplaçant .t par pX (p) ct .f par p2 X (P) avec les seconds membres impulsionnels appropriés. On obtient alors par résolution d'un système linéaire la fonction X(p) dont on cherche l'original X(/), en utilisant des méthodes illustrées par les exercices de la fin du chapitre.

10

1.2.1.2.

VIBRATION DES SYSTEMES MÉCANIQUES

Notion de fonction de trllnsfert du sJ'stème

a) Définition La fonction de transfert H (P) de l'oscillateur est la transformée de Laplace de sa réponse à Lille impulsion unité. Selon les règles de dérivation de la transformée de Laplace étudiées au paragraphe précédent, nous avons, pour l'oscillateur amorti: H (P) = _...,,--_1_ _ +Ap+K

Il est intéressant de faire une analyse dimensionnelle des termes du dénominateur. p a la dimension de l'inverse d'un temps donc celle d'une fréquence ou d'une pulsation. On peut donc poser K = Mw~, Wo étant une pulsation et A = 2 ewo M, E étant un nombre sans dimension, petit devallf 1 puisque les forces d'amortissement sont petites devant les autres. H (P) peut s'écrire ainsi: (lA)

b) Pôles de la fonction de transfert

Quand on a affaire à une fonction d'une variable complexe telle que H (P), iJ faut connaître ses points singuliers dans le plan complexe. En fait H (P) a 2 pôles à distance finie: ces pôles sont les racines du trinôme en p du dénominateur, Hs sont complexes conjugués et, comme e <:iS 1, on a au 1er ordre en F.:

Pz {PI}

= -

.

EWo ±IW()

(1.5)

c) Interprétatioll physique des pôles de H(P) SoiL G (t) la réponse impulsiolllwlle de l'oscillateur ou fonctiolJ de Gree". G (t) a, par définition, H (P) comme transformée de Laplace. G (t) est donc de la forme:

avec 1 AI =--2 iMw()

ct

1 A, = - -,,-.-.;..,IMw()

On se reportera aux exercices de la fin du chapitre pour comprendre comment on utilise les pôles de H(p) pour expliciter la fonction G (/). D'où finalement:

( GI)

. = - 1- e - ''''01 sm Wol

Mwo

OSCILLATEUR HARMONIQUE À UN DEGRÉ DE LlBERTÉ

11

G(t)

t

o

Figure 1.6.

Nous voyons que G (1) est une fonction sinusoïdale de pulsation Wo (partie 1 imaginaire des pôles), amortie exponentiellement selon la loi c - EWU ( - EWo = partie réelle des pôles). lIJo s'appelle la pulsation de résollance du système.

E

l'amortissemem réduit.

Remarque: Si l'on trace le niveau maximal de vibration de l'oscillateur à chaque période en fonction du nombre N de périodes d'oscillation, nous avons: Xmnx(N)

= e-

C"'OIN

avec

:::;. Log [Xmnx(N)]

lIJ Il IN

= 2 'lTN

- 2 'lTêN

Nous obtenons une loi linéaire en coordonnées semi-Iogarithmiques. Le module de la pente de la droitc : 2 'lT E s'appelle décrément logarithmique de la réponse de l'oscillateur.

1.2.1.3.

Réponse de J'oscillateur à une sollicitation transitoire quelconque f(t)

Cettc réponse est donnée par l'équation:

Mi + Ai + Kx

f(l)

En transformant par Laplace nous avons:

(Mp 2 + Ap + K ) X (P) = F (p ) =:>X(p) = H(P)F(P)

12

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

La connaissance de la fonction de transfert H (P) permet donc de calculer la transformée de Laplace de la réponse à une oscil1ation quelconque. La relation précédente est la transformée de Laplace du produit de convolution

xU)

=:

I

G(t - lo} I(to} dr o

(1.6)

(G (1) étant la fonction de Green définie précédemment). On peut donner de cette dernière expression l'interprétation physique suivante: Nous savons que:

Ceci veut dire physiquement que la force I(t) se décompose en une somme d'impulsions infiniment petites. En effet, si l'on reprend les fonctions 1llT(l) définies en 1.2.1.l.c), et en posant dT :::= dl n, nous pouvons discrétiser en petits intervalles de temps dt o l'intégrale précédente: N

Lf

1(t) = i

Âl(l

(t - i dt 0)

f ( i dl ()) dl ()

0

Ce qui veut dire que 1(t) peut être approchée par une suite de fonctions créneaux de durée Mn et d'intensité f(i Mo).

Figure 1.7.

La réponse à l'une de ces fonctions est approximativement:

13

OSCILLATEUR HARMONIQUE À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

La réponse à

!

(1) est donc: N

L G (1 -

i Llt ll ) f(i Ll1u) Llt(J

j~()

c'est-à-dire : rrG(t-to)!(to)dt o quand

Jo

Ll1o-+0

Exemples de réponses à des transitoires: - Réponse à lUI échelon unité La transformée de Laplace de la réponse est donnée par:

Si

E~l=>X(P)=~[.!. MWÎJ p =:>X(I)

1 [ = --") 1-

[

e

-

p

(Wo 1

+

1

iwo

eWIJ

cos Wu t]

-

p

+

1

ewo

+ iW(J

JJ

(pour 1> 0)

Mwo

-

Réponse à

lUI

lâcher

On exerce sur le système une force permanente ! = K..x o, à l'instant t = 0 on lâche le système en le laissant osciller librement.

--o

-- -- -Figure 1.8.

- --

14

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Si l'on se place dans le système lié à l'état d'équilibre pour t <: 0 (élongation xo), ceci revient à exercer une force sous la forme d'un échelon d'intensité - Kx o à l'instant 1 = O. D'où:

Kxo

x (t) - Xo = - --") [1 - e MWfÏ

1.2.2.

1.2.2.1.

- ''''0 cos W0 t] '

Réponse établie de l'oscillateur à une sollicitation harmonique entretenue

Réponse iJ une sollicitation IIDrmonique - mise en évidence d'un régime établi

Soit une force extérieure f(t) = cos wt exercée à partir de l'instant t = O. La transformée de Laplace de la réponse de l'oscillateur à f(t) est:

X(P) = _P_ l/M p2+ W 2p2+ 21OW oP l/M

+ w~

' ) 'W-) sm . wot ]} - e -'''''°1[('' wij- W-'J) cos wot + E(Wô+ " La réponse x (t) se décompose donc en deux termes: -

t -+

un terme oscillant à la pulsation w de l'excitation un terme oscillant à la pulsation de résonance W o qui tend vers zéro quand 00.

Le régime à la pulsation west donc appelé réponse établie de l'oscillateur à une sollicitation harmonique de pulsation w. (, x (t) se caractérise alors par une amplification À' et un déphasage cp par rapport à f(t), donc par un nombre complexe (~eil/> que nous appelons amplitude complexe de la réponse établie à une sollicitatÎon harmonique unité:

G (w) =

l/M

~ , (wi)- w-)

.

+ 218W o W

(1.7)

OSCILLATEUR HARMONIQUE À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

15

On obtient directement G (w ) en cherchant une solution G (w ) ei"'l en réponse

à une force excitatrice égale à é lll . On voit que ceci revient à remplacer les dérivées en temps 0

al

par l'opérateur multiplicatif Îw.

G (w ) se déduit donc de la fonctÎon de transfert H (P) ell remplaçallt p par

iw: G(w)= H(îc!) Remarque: On appelle parfois G(w) «împédance» du système.

~(

admittance» du système et l/G(w)

1.2.2.2. Analyse de l'amplitude complexe G (w )

Alwl

tp(w}

w

Ol-oo:::--..:..------r-------

-n/2

lIMw~

1----.--\----

-n

o

w Figure 1.9.

L'allure du module et de la phase de G (w) est tracée à la figure 1.9, pour s <€ 1.

L'amplitude A(w) de G (w) part, pour w = 0, de la réponse statique

~ =..!..

Mw{j

K

et présente ensuite un pic pour w

Wo,

Anmx

est alors égal à

_1__ A{w) tend vers zéro quand w -1> 00. 2K8 La phase 4> (w) de G (w) part, pour w 0, de zéro avec une pente égale à 2e . 1T d d w -1> 00. - - , passe a - - pour w Wo et ten vers 1T quan Wo 2 Nous voyons donc que la pulsation de résonance Wo s'interprète comme étant la valeur de w donnant le maximum d'amplification, ou comme étant la valeur de w telle que le déplacemelll de l'oscilla/eur soit en quadrature avec la force d'excita/Îon. L'amortÎssemelll réduit e s'interprète comme étant la demi-largeur relative du

16

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANrQUES

pic de résonance

«

à mi-hauteur» .'

(1.8)

étant tel que si

,,(ÀW

A;I~X

A 1

L.l.W

= 1W 2: -

L'amortissement Am ...

W

E

W

1

ct w: sont les racines de l'équation A( W

f

=

Q

=

JI)· est lié égatement au «facteur de surtension

j)

A(O) Q =

1.3. 1.3.1.

1

1

(1.9)

CONSIDÉRATIONS ÉNERGÉTIQUES Oscillation libre

Considérons la réponse imputsionnelle G(t) de l'oscillateur. A l'instant l'énergie du système est donnée par: E(t) :::: 1/2 Mx:! + 1/2 Kx 2

Au premier ordre en E:

E(t) = 2 ~ (1 -

E

sin 2 will)

CWllf

'~u départ (f = 0), E(O) = 2 ~ : c'est l'énergie communiquée au système par la force impulsionnelle. On peut calculer directement cette énergie en considérant une force en forme de créneau:

F=1/T

o

T Figure 1.]0.

t

OSCILLATEUR HARMONIQUE À UN DEGRJ':: DE, LIBERTE

Si

7'

(T ~ ~ ) , f

est très petit

17

est grand devant les forces internes de

w[)

l'oscillateur, donc pour 0

-<

t -<

T

f(t) = M.r Le travail de

f

E(O) =

est donné par:

fT

f(t).r(t) dt

avec

1 f(t)=-;

=~.:.

.r(t)

et

MT

o

=

~ fT .!..:. dt = Mo';

T

_l_ 2M

E décroît avec le temps. Si dE est l'énergie perdue pendant une période d'oscillation ct si

E est

l'énergie moyenne durant cette période, nous avons: dE -=47TE

Ë Cette formule donne une interprétation énergétique de l'amortissement réduit F..

1.3.2.

Oscillation de régime harmonique établie (ou forcée)

La réponse établie fI une force harmonique f(t)

= cos wt

est:

.l(t) = A(w) cos (wt + (/) Le travail que la force J(t) fournît au système pendant une période d'oscillation T

dE =

fT

=2

7T ,

w

est:

f(t).i(t) dt = - wA(w)

= - wA(w) [eos cJ) => dE

=-

7TA

fT cos wl sin

fT cos wl sin

ï fr

== 2w7T

(1/2

wt dl -1- sin cJ)

+ (p) dt

1. cos~ 1 wt dt

(w) sin cJ)

Calculons maintenant l'énergie moyenne

E=

(wt

E du

système pendant une période:

M.{~ + 1/2 KX2) dt

[12" Mw '~ A-'( w )f sm"( wt + cP) dl + 1 , A-(w) 2" Mw!) 1

T

x

fT cos 2(wt +

cP) dt

1

18

VIBRATTON DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

On a: AE

- 4

sin cf>

7T

Ë sin cf) = partie imaginaire de G (w ) A(w) A(w)2 AE 8 -=

')

=_1TEW O W

7TEWO W

E

AE est maximal à la résonance :

Ë (

= 4 1rE

AE )

E

w

Wu

(On retrouve évidemment la valeur trouvée précédemment pour une oscillation libre.)

8E/Ë

4n e:

t - - - - - . . . ! ' I '__

Figure 1.11.

Exercice: Vérifier que l'énergie dissipée par cycle par l'amortisseur est opposée à l'énergie fournie par f (1).

1.4. DÉTERMINATION EXPÉRIMENTALE DES GRANDEURS CARACTÉRISTIQUES DE VOSCn.LATEUR: M, K, lt)Ot E On utilise deux types de méthode expérimentale correspondant aux deux types de sollicitation étudiés précédemment:

19

OSCILLATEUR HARMONIQUE À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

1.4.1.

Analyse d'un transitoire

Si l'on considère par exemple J'essai par lâcher, la pulsation des oscillations libres donne WO, la force f nécessaire il écarter le système de XI) par rapport à sa

~,d'où M = K') .

position d'équilibre donne K

•\()

Le décrément logarithmique

fj

wii

des oscillations donne e:

(j E.

= 7T

1.4.2.

Analyse pnr excitation harmonique

A l'aide d'un excitateur fournissant une force harmonique de fréquence réglable, d'amplitude F, on excite le système ct "on mesure pour la pulsation w l'amplification A( w ) et le déphasage cP (w ) de la réponse établie par rapport à la force. La pulsation correspondant au maximum de A (w··) ou au passage en quadrature de cP (w) donne wo. Le niveau ft basse fréquence de A (w ) dOflne I/K. La largeur à mi-hauteur du pic ou son coefficiem de surtension permettent d'obtenir ê.

Remarque: Pour obtenir un régime établi correctement, on doit attendre entre deux points de mesure (correspondant à 2 fréquences différentes) un certain 1 temps de l'ordre de eW(l

COMPLÉMENTS ET EXERCICES SUR LE CHAPITRE 1 I.C.l.

Démonstrntilln des propriétés de la transformation de LuplllCC

a) Loi de (JérÎ\'(/liotl C(.r(r» =

lco ~x c- Pl dl Il

t

lx c-PI]O' -1- p

rco x c-

Jo

P1

dt

(en intégrant pur partie)

- x (0+ ) + pX (p ) b) Couvo/wiol/ L(

l

fctJ

.t(t - T) y( T) dT )

Jo

e-Jll

dt

On effectue le changement de variables (;) -

c(Ix(r-ï)Y(T)dT) ==

1: i:

rI x(t _ ï) y(.) dT

Jo

(,:) avec

ri = f -

e-plx(u)Y(T)dTd/l

ra:.> c-PU.t(lt)dul
Jo

= X(p). Y(p)

n

ï

20

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

t-T

t

D'

o

T

0

T

Figure 1.12.

I.e.2.

Autres propriétés de ln transformation de Laplnce

a) Il1tégralÎoll

En effet:

avec le changement de variables

(10) t

-> (

LI

lo )

=t

b) Trnnslatioll -

Dans le domaine des 1:

Dans le domaine des p : X(p +a) = C(c-al X(I» (a = nombre complexe il partie réelle"", 0).

t()

21

OSCILLATEUR HARMONIQUE À UN DEGRÉ DE LJBERTI:,

I.C.3.

Table de correspondance pour des fonctions usuelles

fit) pour bD

Flp) = l:f{t)

1/p

1

1

1/ p2

t

/

1/ pn

t"-'/(n-1) !

/ ~

1/lp+al

te-al

1/lp+a)2

/'-;'

p/lp2+( 2)

cos wt

~

w/(p2+ wl)

sin wt

1\ f\

(p+almp+a)2+ w21 w/[(p+a)2 +w

\TV

[j.~------

cos wt

--

1

--

(Ilp+nl I[ (p~allHil

Ae- at

(OS

s:r..:s:o-

J"\---,....._-

sin wt

1

1\ 1

VV

_~s;:a::::

À--~ÇZ s::z:

(wt+ilJl

.--

avec:: A:(1/wIJ ex 2w2+ln_aex)2

-

iIJ=-arc tg [(n-all)/lXwl Figure 1.13.

(Tirée de III ré fé re nec [11].)

1.C.4. Exercices Transformée de Laplace d'lI1le fonction périodiqlle Soit une fonction Y(l) nulle pour t ~ ]0, Tl. SOil Y (p) sa transformée de Laplace. On construit la fonction périodique x (t) pa r translations successives de T du motif de base y(t). Exprimer la transformée de Laplace X(p) de x (1) en fonction de Y (P).

y(t)

T Figure 1.14.

t

22

VIBRATION DES SYSTÈMES MÊCANIQUES

t 2T Figu re 1.15.

Réponse: X (p )

1

Y(p) e-/IT

Application nu calcul de la T.L. de la fonction x (1) suivante:

1

t

o

T/2 T

3T/2 2T

-1 Figure 1.16. Réponse; X (P) = p ! th P4.T

- Retrouver il l'aide de ln formule de translation en t, les T.L. des fonctions suivnntes:

escalier

x(t)

3 2

t

o

T

2T

Figure 1. 17a.

Réponse: X (p )

l

P1

l C-I'T

23

OSCILLATEUR HARMONIQUE À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

crénentL\:

o

-

2T

T

t

Figure 1. 171J. Réponse: X (p)

= ! __1 _ .. pl Pl

+ c-

demi·sinusoïde

t

o

T/2 Figure 1. 17c.

siml.lOïde

fi'

redressée

11

t

o

T/2

T

Figure 1. 17d. Réponse: X(p)

T ), 2 (cothP 4

P'

1T

+ (2

/T

.,

1T /T)-

- Retrouver il l'aide de la formule de translation en p, les T. L. des fonctions de la figure 1.13.

24

VIBRATiON DES SYSTEMES MÉCANIQUES

I.C.5.

Trnnsformlltion inverse de LapInee

On montre que la correspondance entre x(t) ct X(P) est biunivoque et que:

1 x(t)=;;-:- 11T

f
X(p)eJl1dp

avec

(l>O

jet)

a-

(l'intégration se fait sur une droite D parallèle à J'axe imaginaire d'abscisse a). Cette transformation inverse peut être utile dnns certains cas, bien que le recours aux tables de correspondance est souvent suffisnnt. Cettc utilisation s'effectue il l'aide d'un certain noinbre de théorèmes sur lcs fonctions d'une variable complexe, dont nous rappelons l'essentiel ici : Une fonction d'une variable complexe F(p) possède en général un certain nombre de singularités. c'est-ù-dire de points du plan complexe où la fonction n'cst pas définie. Ces singularités peuvent être : -

des pôles d'ordre

Il

du type __1__ (à distance finie) ou pn (il l'infini)

(p

-at

- des points singuliers essentiels: nous rencontrerons surtout des points essentiels il l'infini du type ePT - des points de branchement, dont nous ne parlerons pas ici.

La tmnsformée de Laplace X (p) d'ulle fOllction x (t) telle que "ous l'al'ol/s définie ail déblll du chapitre possède par définition toutes ces singlliarités dam le demi-plan des réels négatifs ou mils. Pour calculer J'intégrale dans le plan complexe de la formule de la transformation inverse de Laplace, nous pouvons souvent utiliser le théorème des résidus. Cc théorème dit que l'intégrale 1 sur un contour fermé (F) d'une fonction F (P) comportant à l'intérieur de (r) un certain nombre de points singuliers isolés, est égale il la somme des résidus de ces points singuliers 1 =:

J

F (p ) dp = 2 i 1T

L Ri î

(r)

Pour une singularité de type pôle d'ordre ", nous avons:

.

[F(P)(P -

aj y]ln-11 (II _ 1) !

Ri = hm l'-ni

1] signifie dérivée 1/ -l-ième). On utilise ce théorème de la façon suivante: on forme un contour fermé (r) il l'aide de la droite D ct d'un demi-cercle de rayon R du demi-plan des réels négatifs ct l'on faÎt tendre R vers l'infini. L'intégrale de X(p)elll sur (F) est égale ft la somme des résidus des singularités de X(P) que l'on sait généralement calculer. Il suffit donc pour résoudre le problème de connaître la limite de l'intégrale de X (p) e lll le long du demi-cercle de rayon R, quand R -+ 00. On utilise pour cela, le lemme de Jorda1l qui dit que si IpF(p) 1 -+ 0 quand

([11

Ipl-+oo

J

F(P) dp

-+ 0

Cc)

(c) étant un cercle de rayon R avec R

-+ 00.

OSCILLATEUR HARMONIQUE Â UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

25

Figure 1.18. Ce lemme s'applique généralement au demi-cercle du plan des réc1s négatifs pour la fonction X(P) ePI du fait du terme ePI • La jonctioll x (t) est alors dOl/liée par la somme des résidus des singulariTés de X(p). Si X(P) a uniquement des pôles Pn que nous supposerons d'ordre 1 pour simplifier: x (t) sera de la forme:

avec À

n = Iim [X (P) (p - P n) J P-PII

Exercice: Inverser les transformées de Laplace de la table du paragraphe lC3. 1.C.6.

Analyse du cas pnrticulier des signaux tronqués

a) Montrer qu'une fonction du temps j(t) telle que f(i) = 0 pour tE ]0, T[ a une transformée de Laplace ne comportant aucun pôle il distance finie: F(p) =

fŒl j(t) e- pr dt

Si

fmax

f

T

j(t) e- pr dt

o

o

est le maximum de If(t)1 on a:

1F(P) 1

~ =-

fRlax

Il~ e-

1F (P)l

ui

~f

dt mlll

1

avec

a

partie rédie dep

1

Exercice: Vérifier cette propriété pour le demi-sinus (cf. ~ lC4).

26

VIDRATION DES SYSTEMES MÉCANIOUES

b) La seule singularité de F(p) est donc le point à l'infini. On vérifie que si T, eP1 F(P) tend uniformément vers zéro quûnd p ..... 00 dnns le demi-plan des réels négatifs, puisque:

1~

f max

1CPI F (p ) 1 :.;,;;:

e + pl

-

C (1" - liT)

a

l

1

pour t ~ T la méthode décrite au paragraphe le5 s'applique et l'on retrouve que f(t) = O.

c) Réponse d'un oscillateur harmonique li la sollicitation précédemment: La transformée de Laplace de celte réponse est: X(p)

=

f (t)

définie

~ pep) .. m(p- + 2 EWOP + w o)

Par transformée de LapJace inverse: 1 X(l )

fa +iex:>

:;-;- 11T

tI-iro

e P1 F(P) m(p

2,

+2

EWoP

2

+ w()

dp

Pour t ~ T: La méthode du paragraphe 5 s'applique également et x (t) est donné par le résidu des 2 pôles P = wo( - e ± i) (E ~ 1). Nous ûvons :

x(t)

e (-tWo+iWO)I F• ( -

EW O

') +IWo

el-cIIJO-illJll)1

2m

2m Wo

.

F(-

F(- ew o +IW o)

fT

e(''''o-lal O)l

lJJ

EW U

-iw

o

)

o

f(t) dt

{)

F( - EW O + w o) est un nombre complexe: si Ar( e, wo) et cPF( E, w o) sont son module et sa phase. On a

d'où

Cas particuliers:

- Si l'excitation est courte pûr rapport à la période de l'oscillateur, c'cst-àdire si:

- rWOI =:>.'1:(1) = _c__ 11IW o

[I

T

0

f(r)dl ] sin wot

27

OSCILLATEUR HARMONIQUE À UN DEGRÈ DE LIBERTÉ

C'est uniquement l'intégrale de la force qui intervient et on obtient un résultat 'r

f

équivalent à la réponse à une impulsion d'intensité

f(r) dt.

Il

-

Si l'excitatÎon est une sinusoïde tronquée comportant N périodes ct dont la

plllsation est celle de l'oscillatellr.: C"'JIII

f\ [\ f\ f\

2Nn/w.

OV .\J'\J\J t 2n/ w

Figure 1.19.

=- Si

E

~

1

AF

t

= _e~_rN_rr_ _ l

(/Jr;=

EW()

'Ir

/2

D'où C-e(ùlOl-2N'It)

C- lWIJI

x(t) = - --------.,.--- cos wnl 2

Le débattement maximal de l'oscillateur est obtenu pour (

=

2 N

71' :

Wo

2

Si "on rapporte 1x mn % 1 à la réponse statique de l'oscillateur, on peut définir un coefficient de surtension équivalent ou un amortissement équivalent E':

l_e- c1N ' I t , 2 E =- E

ê

1 _ e- <2 N1T

Si N -+ 00 on retrouve E' = E, cc qui correspond au résultat classique du régime établi uvee excitation ù lu fréquence de résonance. Si N est de l'ordre de grandeur de 1/13, l'effet de troncature de l'cxcitntion limite l'amplîtude de la réponse et l'on obtient un amortissement équivalent 13'::> 8.

28

VIBRATION DES SYSTl3MES MÉCANIOUES

Si

N~!

el =_1_

2NTr

E

E~----------------==~~~

N

~----------------------------------Figure 1.20.

Cette notion d'amortissement équivalent pour des excitatÎons tronquées est intéressante pour des signaux transitoires de durée relativement longue tels que les signaux sismiques:

Exemple: Jo

= 4 Hz

durée du signal 2 s.

=> N == 8

1.C.7.

et

El

1

=

Autre exercice sur les systèmes à 1 degré de liberté

Soit un oscillateur harmonique amorti constitué d'une masse Irl fixée au sol par l'intermédiaire d'un ressort ct d'un amortisseur.

F m

Figure 1.21.

On exerce une force harmonique d'amplitude F ct de pulsation w. La réponse établie de l'oscillateur est donnée (en amplitude complexe) par:

29

OSCILLATEUR HARMONIQUE À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

en ln rapportant à ln déflexion statique: X(cû)

q = X(O)

r on il:

ct en posant l

q(r, E)

+2ier a) Trouver l'équation du lieu des maxima de l'amplitude 1q 1 quand (on fie fait pas l'hypothèse e
E

varie

Répol/se:

. ( 1'1 n ' y a un piC

ct e rcsonance que SI.

e

<:

1 ,r cst cga . 1 a Jors , /1 -.. - -L.

C ...) •

Remarque: Les pôles de la fonction de transfen r de l'oscillateur sont:

i ,/ 1 - 10 2 ; si E> 1 les pôles sont réels négatifs ct le système n'cst donc plus oscillant. E 1 est appelé amortisseTuent crif;qlLC.

-

e:!:

b) Si FI est l'amplitude complexe de la force exercée sur le sol par le ressort ct

F

l'amortisseur, trouver la fonction de transfert ~ . F Répomc: FI

F

1 + 2i

1-

r:!

Er

+ 2i

Er

Trouver ['équation du lieu des maxima du coefficient de transmissibilité T

--I 1 FI

quand e varie,

(le r pour lequel T est maximal est donné par

Réponse:

2 e! r

4

=1

r

2 ).

c) Montrer que, quel que soit E, [cs courbes T(r, E) passent toutes par 2 points communs ro ct ri avec rI) <: rI' ct T o = T" Montrer que si r <: rI' on a intérêt, pour que le coefficient de transmissibilité soit petit, à avoir e grand et qu'au contraire si r::> rI on il intérêt à avoir E petit. Réponse: Nous avons

pour r <: ri T est toujours> l donc pour que le système joue Je rôle d'un isolateur de vibrations il vaut mieux avoir r ~ rI ; T est alors
30

VIBRATION DES SYSTËMES MÉCANIQUES

o

r Figure 1.22.

Remarque: On utilise ce système pour l'isolation des machines. Si la machine vibre il la pulsation w, on la place sur une grosse masse connectée au sol par des ressorts très peu raides, de telle façon que le mode propre de J'ensemble masscressort Wo soit ~ IJ.) (r ~ 1), les vibrations transmises au sol sont alors d'un niveau très faible, et inversement les vibrations venant du sol se répercutent très faiblement au niveau de la machine.

CHAPITRE 2

SYSTÈMES CONSERV ATIFS À PLUSIEURS DEGRÉS DE LIBERTÉ THÉORIE DES MODES PROPRES

2.1.

2.1.1.

INTRODUCTION: EXEMPLE DE 2 OSCILLATEURS HARMONIQUES COUPLÉS Couplage par raideur et coup]agc par inertie

Soient deux systèmes conservatifs à 1 degré de liberté que l'on peut représenter comme au chapitre 1 respectivement par une masse III 1 et 111 2 et un ressort k l et k 2• Nous pouvons relier ces deux systèmes de plusieurs façons:

Couplage par raideur: Nous pouvons par exempJc relier les deux masses par un troisième ressort de raideur k).

k1

k3

m1

k2

m2

~ '1leee+eeee~e&&611' ~

o1 o1

1

)(1

1

1)(2 Figure 1.1.

Si Xl est la vanatlOn de l'abscisse de ml' Xz la variation de l'abscisse de m2. l'écriture de l'équilibre de 1111 et m2 conduit à deux équations qui caractérisent le système ln l .\: { 1112'\:2

+ (k l

+

+ k-Jx J + kJ)x:.

(k 2

kJX2

= fi

k 3 x 1 = f-!.

(2.1)

(fI ct f2 étant les forces extérieures appliquées aux masses ml et ml)' Le système (2.1) se compose de termes diagonaux (termes en Xl de la 1TC équation, termes en x:: de la 21: équation), et d'un terme croisé symétrique qui caractérise le couplage et qui est ici un terme de raideur.

32

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Couplage par inertie: Si nous relions Je ressort k! à la masse ml' nous réalisons un couplage par inertie. En effet soit x, la variation de l'abscisse de m, par rapport au point fixe, x 2 la variation de l'abscisse de 111 2 par rapport à

m,.

o11---------11 X,

o11--------11 X2 Figure 2.2.

Les équations des systèmes sont: -(ml... +m~).~, +kl.~:l +1112'\:2

l

m2 x 2

+ k"lX2 + m'lX1

=

JI + J2

(2.2)

= 12

Le système (2.2) comporte également un terme de couplage symétrique qui est

ici un terme d'inertie. 2.1.2.

La nature et J'existence même du couplage dépendent du choix des variables du problème

Considérons par exemple le deuxième cas, gardons la variable

x. et appelons

x;; la variation de l'abscÎsse de m2 par rapport au point fixe, nous obtenons alors le

système d'équations:

Jm l -:: + ~kl.~k2:X~ -k2X~ = J,

l

71/ 2 X 2

+ k 1 .1 2 - 1.. 2 .1 1 =

(l.2')

J2

Le système (2.2') comporte un terme de couplage symétrique par raideur. Considérons maintenant le premier système où pour simplifier nous poserons k l = ,,] = k et 111 1 = ln;! = m. Si nous opérons le changement de variables:

Le système (2.1) devient :

-mo, + ka, ~ ~ (J, +. JI)

j

ma2 + (k + 2 k 3) a2

~

(2.1 ') (J1

fi)

33

SYSTÈMES CONSERVATIFS À PLUSIEURS DEGRÉS DE LIBERTÉ

Le système (2.1') ne comporte pas de terme de coup,lage. Ces nouvelles variables pour lesquelles les deux équations du système sc découplent s'appellent variables propres, les fréquences de résonances 1

k:2 kJ et -1- Jk-

TT

III

m

2rr

sont

les fréquences propres du système (*). Cet ensemble de considératÎons montre que la nature du couplage de plusieurs oscillateurs conservatifs est quelque chose de secondaire et que ks véritables caractéristiques d'un système couplé sont les fréquences propres et modes propres dont nous avons parlé ci-dessus. Nous définissons donc, dans les paragraphes suivants, ces caractéristiques avec plus de précision et dans le cas général des systèmes à plusieurs degrés de liberté. Mais tout d'abord nous allons étendre fi de tels systèmes les notions de base introduites lors de l'étude de l'oscillateur harmonique.

Remarque: La notion d'amortissement sera introduite dans un chapitre spécial. "

2.2. 2.2.1.

NOTION DE DEGnÉ DE LIDERTÉ Variables de déplacement - hypothèse des petits mouvements autour de l'état d'éLluilibrc

Un système vibratoire est constitué par un ensemble de masses réparties dans l'espace. Le mouvement de ces masses est repéré par un ensemble de fonctions du temps, que l'ail appelle variables de dép la ccm cm. D'une façon générale, les masses sont réparties d'une façon continue dans l'espace. Les variables de déplacement caractérisant le mouvement du syslème sont de la forme:

x(r, t)

x étant la vanatlon par rapport à une pOSition de référence (par exemple la position du ~ystème à l'instant ( = 0), des coordonnées (dans un repère lié à la position de référence) du petit élément de masse dm situé en r il l'instant 1=

O.

Dans la théorie linéaire qui nous intéresse ici, nous supposons que les déplacements x sonl petits deva1lf les (limellsio/ls géométriques du sysrènœ considéré. La position de référence que nOlis considérons es/la poSitÎOll d'éqltilibre statique du systèmc autour de laquelle nous analysons donc les petits mouvements

(*) Remarqlle: Sans couplage, ces fréquences propres étaicnt confondues le couplage

Il

tendance il écarter les fréqucnces de résonnnce.

f!{, üVm

1

34

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIOUES

engendrés par une petite perturbation. On néglige de plus ici les efforts permanents s'exerçant dans Je système dans J'établissement des équations des petits mouvements. 2.2.2.

Notion de liaisons. Réduction des variables de déplacement

Les x (r, t) définissent le mouvement d'un système mécanique tridimensionnel général. Cependant il est souvent possible de simplifier les déplacements x (r, t) en imposant a priori certaines relations auxquelles ils doivent obéir. Ces rclations sont de nature très variée, selon le type de structure que l'on étudie: a) Ainsi dans ccrtains problèmes on peut négliger la déformation du corps et s'intéresser seulement à ses petits mouvements dans l'espace. On dit que l'on a affaire à lm problème de corps solide. On sait que le mouvement d'un tcl corps est caractérisé par 3 variables de translation et 3 variables de rotation. Le champ des x(r, t) se réduÎt donc à 6 variables, fonctions du temps. b) On peut également être amené à découper le système en morceaux et supposer que chaque morceau est indéformable et connecté aux autres par des « raideurs)} (ressorts) ; on définit alors le système par 6 variables de déplacement pour chaque morceau. Les problèmes à masse localisée (par exemple ccux étudiés en 2-1) sont de ee type.

c) D'une façon plus générale pour résoudre numériquement les problèmes de mécanique, on divise les structures en petits éléments à l'intérieur desquels on impose l'évolution spatiale des déformations (fonctions de forme). On peut alors réduire les variables de déplacement du système à un ensemble de variables de déplacement aux nœuds de jonction des éléments: c'est la méthode des éléments finis.

d) Les exemples a) b) c) conduisent à un nombre fini de variables caractérisant le mouvement de la structure. Dans certains cas la réduction des variables de déplacement sc fait en gardant un caractère continu dans la description du mouvement. Ainsi si l'on étudie la déformation de corps longîlignes de type poutre, on peut faire l'hypothèse de la flexion pure qui impose aux sections droites de la poutre de ne pas se déformer mais sÎmplement de pivoter autour d'un axe neutre. Les déplacements x sc réduisent alors à des fonctions monodimensionneUes x (s, 1) s étant l'abscisse curviligne le long de la fibre neutre de la poutre. L'exemple des poutres sera abondamment traité par la suite.

SYSTÈMES CONSERVATIFS À PLUSIEURS DEGRÉS DE LlBERTÊ

2.2.3.

35

Conditions aux limites

Toutes ces opérations de réduction des variables de déplacement ayant été il faut se poser le problème des conditions aux limites du système mécanique. Ceci revient, dans la pratique, à savoir {( où arrêter le système » et à préciser les connections avec les parties que l'on ne considère pas. Cette opération souvent délicate est évidemment très dépendante de la nature du problème à traiter. Un cas particulier de condition aux limites est obtenu en tenant compte des symétries d'un problème. On peut en effet ne traiter que la moitié du système en imposant sur le plan de symétrie des conditions aux limites adéquates. De nombreux exemples de réduction par utilisation de propriétés de symétrie seront donnés par la suite. effectuées~

2.2.4.

Notion de degré de liberté

Finalement le mouvement du système mécanique est défini par un ensemble de varîables de déplacement illdépelle/allles, ces variables sont appelées degrés de

liberté du système. 1Is sont: - soit sous la forme d'un nombre fini de fonctions du temps (problèmes de corps solides, de masses localisées, discrétisés en éléments finis) - soit sous la forme de fOllctions de l'espace et du temps (problèmes continus mono-, bi- ou tridimensionnels), satisfaisant à des conditions aw: limÎtes à la frolllière dIl domaine de définition dit système. Une bonne part de l',( art du méeanicien» consiste il poser correctement son problème, c'est-à-dire fi bien choisir les degrés de liberté de SOli système.

2.2.5.

Espace vectoriel des degrés de liberté

Remarque préliminaire: Notre but n'est pas de développer ici des considérations mathématiques rigoureuses, mais plutôt d'exposer quelques notions élémentaires utiles pour la suite. Les degrés de liberté d'un système mécanique peuvent être considérés comme IUl élémell1 d'un espace vectoriel. Ainsi pour un système il N degrés de liberté, on peut associer il un état du système à l'instant t un vecteur dont les N composants sont les degrés de liberté à l'instant 1 considéré. Pour les systèmes continus on considère de la même façon l'espace fonctionnel des x (r, t) (espace de Hilbert). On peut définir dans ces espaces Wl produit scalaire qui a en mécanique le sens d'une énergie. Soit un syslème défini dans un domaine (V) de R J • Soient à un instant t un champ d'effort fer, t) et un champ de déplacements x(r, 1):

36

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIOUES

L'intégrale (x, [)

=

f

x(r, () fer, t) dv aura le sens du travail des forces

(V)

[(r,t) lors d'un déplacement x(r,t) des points du système. Si l'on considère un système discret l'intégrale précédente se présente sous la forme d'une combinaison linéaire homogène des degrés de liberté qui est un produit scalaire du vecteur des degrés de liberté et du vecteur des efforts fi' (x, f) = 2::Xi(l) [j(r). i

Dans certains cas on peut ètre amené ft travailler sur des fonctions complexes. C'est par exemple le cas quand on utilise les transformées de Laplace des fonctions du temps. On définit alors le produit scalaire sur le corps des complexes par: (X, F) =

J

X*(r)F(r)dv

(V)

et pour le système discret par: (X, F)

'\' X.* F'-1 r

(* = conjugué). Remarquons enfin que pour les systèmes continus les degrés de liberté x (r, r) doivent satisfaire à des conditions aux limites sur la frontière (.!) de (V) : Nous considérons ici la parlie homogène des conditions aux limites; la partie 1.( non homogène») correspondant à des sources excitatrices, sera traitée en tant que telle. De plus nous n'envisagerons par la suite, pour simplifier les exposés, que des conditions aux limites dont les coefficients sont indépendants du temps (et bien sûr linéaires puisque nous restons dans le cadre de la théorie linéaire des petits mouvements). Nous dirons que les fonctions x(r, t) appartiennent à une variété ('D) de l'espace de Hilbert défini dans (V) (les fonction~ fer, 1) n'appartiennent pas forc~mcnt à (CU »).

2.3.

ÉNERGIE POTENTIELLE DE DÉFORMATION. OPÉRATEUR DE RAIDEUR

Soit un système à N degrés de libcrté comportant P ressorts. Comme nous l'avons vu dans l'étude de l'oscillateur harmonique l'expression de l'énergie potentielle, caractérisant la déformation, est:

Yli et Y:u sont les déplacements des extrémités du ressort

k:.

de raideur

37

SYSTÈMES CONSERVATIFS À PLUSIEURS DEGRÉS DE LlI3ERTÉ

Les J'Ii et Y:!i sont des fonctions linéaires homogènes des degrés de liberté du système. U se met donc sous forme quadratique homogène: i

u

j

N N

1

L : ;-

i J

kij XjX!

11

qui peut s'écrire, pour tout système il un nombre fini de degrés de liberté:

:21 (x,

U

(2.3)

Kt)

K étant une matrice symétrique dont les coefficients sont

~ (kii + kir)'

C'est la matrice ou l'opérateur matriciel de raideur du système. Exemple: Considérons un ensemble de N masses ponctuelles identiques m reliées entre elles par des ressorts identiques de raideur k. Les masses peuvent se déplacer sur un axe Oz. Les degrés de liberté du système sont les petits déplacements Xi de chaque masse.

m

m

m

m

m

m

~--~--~ Figure 2.3.

L'énergie potentielle du système pour l'état déformé x = (Xl' ... , X N ) est:

u ou

1

0 0 0

1

2 -1

-1 1

K ~-----------~-----------

Xl

.\"N

DI

z

38

VIBRATION DES SYSTÈMES MÊCANIQUES

Le système que nous venons de définir peut être considéré comme une discrétisation du problème d'une poutre droÎre vibrant el! traction-compression. En effet soit une poutre de section S constante, de longueur L faîte d'un matériau de module d'Young E constant, supposée libre à ses deux extrémités. Nous ne considérons ici que les mouvements de traction-compression, c'est-àdire les mouvements dans l'axe Oz. Découpons cette poutre en N - 1 petits éléments de longueur Il.z

X1

)(2

)(3

~t

6z

I~

)(1

xN

,

Xi.1

1

0

1

JI;r

L

Z

Figure 2.4.

Nous allons réduire le système continu de la poutre décrit par la fonction déplacement x (z, t), à un problème discret où les degrés de liberté sont les déplacements aux nœuds de jonction des éléments. Soit Xi (i variant de 1 à N) ces déplacements. Dans un élément le déplacement sera supposé linéaire:

X(Z,t)=X i +

X i + 1 -Xi

Il.z

(z-(i-1)ll.z]

Remarque: Cette loi correspond à la solution exacte du problème statique de la traction-compression en J'absence de force extérieure répartie sur l'élément.

La déformation dans un élément est constante et donnée par:

ax X i + 1 -Xi E=-=---az

Il.z

La contrainte est donc: X +

cr

-Xi

1 = EE = E i- Il.z ---

et l'effort interne de traction-compression est donné par: Xi

+1

-Xi

:F = aS = ES - - - Il.z

Chaque élément est donc équivalent il un ressort de raideur k=

.7Xi+l -Xi

ES

=;.k=-

Il.z

39

SYSTÈMES CONSERVATIFS À PLUSIEURS DEGRÉS DE LIBERTÉ

L'énergie interne de la poutre discrétisée est donc: i =N-I

U =

'\'

2 àZ

1~ 1

Si l'on fait tendre

ÂZ

1 ES -

L..

1

(X 1+]

-XiY

vers zéro, on obtient:

Remarque: Cette expression est valable dans le cas général où la poutre n'est pas uniforme (ES variant avec z). Ceci correspond à l'expression de l'énergie interne du système continu de la poutre ell traction-compression

U = -1 2

--..:., )"- dz IL ES (ax

qui peut s'écrire en remarquant que

u=~ -

f

(V)

(JE

dv

az

0

E

=

8x

az et

=

(j

EE

(dv = S dz) (V = domaine mécanique de la poutre)

Cette expression de l'énergie interne de déformation se généralise pour tout système tridimensionnel continu:

u

=

1. J 2

li ® ifdv

(2.4)

(V)

li et if étant alors les tenseurs des contraintes et des déformations; ® est le symbole du produit tensoriel (li ® if =

2:: (T îj Ei j )

•

IJ

L'énergie potentielle correspond au travail des forces Înternes de déformation lors du passage de l'état d'équilibre (dans lequel on supposera la déformation nulle) à l'état déformé. Ce travai/ne dépend pas du chemin SIÛl ' ; pour passer d'un état à l'autre. Les (Tij sont, en élasticité linéaire, des fonctions linéaires de E ij , U est donc une forme quadratique homogène de Eij' Reprenons l'exemple de la poutre en traction-compression. U peut se mettre sous la forme :

--1 2

IL x -a 0

az

( ESax ) dz+-1 az

2

[ xESax

az

JL Il

40

VIBRATION DES SYSTEMES MÉCANIQUES

on fait apparaître ainsi dans l'expression de U un terme intégral du type

~

(x, Kt) et un terme mettant en jeu les conditions aux limites.

Ceci est vrai pour tout système continu, K s'appelle l'opérateur de raideur, qui est d'une certaine façon, la généralisation de la matrice de raideur des systèmes discrets. Remarque: Pour un système discret, on tient compte des conditions aux limites puisque l'on utilise les différentes liaisons (en particulier aux limites) dans l'élimination des variables qui conduit il la définition des degrés de liberté. La matrice K sllffit donc pour définir complètemellf le problème du poi1lt de VIle de la raideur. Pour le système continu, une difficulté supplémentaire apparaît: l'opérateur K n'est pas suffisant pOLir définir complètement le problème, il faut en effet pour cela préciser les conditions aux limites auxquelles doivent satisfaire les fonctions x (r, t), car l'opérateur K décrit ce qui se passe à l'intérieur du domaine (V) mais pas sur sa frontière (..r). 011 dira dOliC que la raideur dLi système est définie par l'opérateur K muni de ses conditions aux limites. En particulier la symétrie de l'opérateur ne pourra être définie que sur la variété (tlJ) des fonctions satisfaisant atlX conditions allx limites: Par exemple pour la poutre en traction-compression, la relation de symétrie s'explicite ainsi: (x, Ky) - (Ky, x) = -

IL ()

x - a ( ES -éJy ) dz

az

az

+

iL y - a ()

az

( ES --.:... dX az

) dz

oX av ] L [ yES -az - .l'ES -'élz 0 Ce terme sera nul si l'on considère les fonctions x et y satisfaisant aux conditions aux limites linéaires homogènes: dX [ aES --.:... az

+ f3x ]

L

()

=

0

Cette remarque générale se retrouve au niveau du potentiel. L'énergie potentielle U ne représente pas toujours complètement la raideur du système car elle ne tient compte que de son aspect interne. Pour tenir compte de certains types de condition aux limites (par exemple un déplacement imposé nul) il faudra lui adjoindre un terme défini sur la frontière (.4) (intégrales de surface pour les systèmes tridimensionnels) dont nous donnerons un exemple plus loin. Notons que ceci est peu utilisé dans la pratique (*). (*) Dans la plupart des programmes de calcul par éléments finis, on utilise la foncLÎonnelle U, que l'on discrétise pour obtenir une matrice de raideur correspondant au système libre. Cette matrice est ensuite modifiée pour tcnir compte des vraies conditions aux limites du problème.

SYSTÈMES CONSERVATlFS À PLUSIEUHS DEGRÊS DE LmERTI~

41

Dans le cas simple des systèmes libres ce terme supplémentaire est mil. L'ensemble U + terme allx limites s'appelle fonctio1lllelle de raideur du système. Autre remarque: Nous avons étudié ici le potentiel de déformation d'une structure parce qu'il joue lIll rôle prépondérant dans les problèn1es l'ibratoires. Il existe évidemment d'autres types de potentiel: par exemple dans les problèmes d'oscilhnion de pendule on ne considère que Je potentiel dû à la pesanteur: pgz (p étant la masse volumique du matériau, 9 J'accélération de la pesanteur et z « l'altitude» du point considéré).

2.4.

ÉNERGIE CINÉTIQUE. OPÉRATEUR DE MASSE

Soit un système à N degrés de liberté comportant donc N masses cinétique est donnée par: i = N

C= •

(les

Xi

l

4(.r, M.r)

avec

L'énergie

1

?" 1J1i#

1-

étant les déplacements des masses

c =

mi'

111 i )

ou :

M

Dans le cas général, les degrés de liberté choisis ne correspondent pas forcément aux variables de déplacement de chaque élément de masse du système. Le déplacement de tous les points matériels s'exprime alors par une fonction linéaire homogène des degrés de liberté, dont les coefficients sont constants (dépendant uniquement de l'état d'équilibre). C se met donc toujours sous la forme:

; C

=~

(.t, M.tl

(2.5)

M est une matrice symétrique qui n'est pas forcément diagonale. M s'appelle /a matrice de masse du système. Pour les systèmes tridimensionnels cOIllÎmls, l'énergie cinétique est donnée par:

(2.6)

(p étant la masse volumique du matériau).

42

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

On peut également écrire

c=~

(2.7)

(.i, Mi)

M ayant alors la signification d'un opérateur de masse qui est symétrique. Nous avons également: C;;. œ 1i

1

2

avec

Cl'::>

0 (quelque soit i)

Nous disons donc que 111 est un opérateur défini-positif. c;.IHVIt;;: Si nous reprenons l'exemple de la poutre (supposée uniforme) discrétisée avec les mêmes hypothèses que dans le paragraphe précédent, nous avons: .L.I ...

l

C

;;-

fL pSrdz .'" =

-

0

1

1 -rypS

N + 1- Xi L-1 fil? [Xi. +x --

-

1=1

j

0

N-l

=> C = (; p S tlz

L (Xi + l + .i, ' Ci + 1 + if)

i =l

ou C

~ (i, Mi)

M

avec

2 1

1 (5 pS tlz

(

1 4

~ ! ~~).

~~

Remarque: Pour la discrétisation de l'énergie cinétique, on n'est pas obligé de choisir la mème forme du déplacement dans l'élément que celle utilisée pour l'énergie potentielle. Dans de nombreux programmes de calcul on se contente généralement d'une forme plus simple: x (z, 1)

On a alors C =

~

Ci + 112) tlZ + 1/2) tlz <. Z <. (i + 1 ) tlz

Xi

si

i tlz <: Z <:

= XI + 1

si

(i

(i, M' i) avec

on obtient une matrice diagonale.

SYSTÈMES CONSERVATIFS À PLUSIEURS DEGRÉS DE LlBERTr~

2.5.

43

ÉQUATIONS DYNAMIQUES DES SYSTÈMES À PLUSIEURS DEGRÉS DE LIBERTÉ

Considérons un déplacement virtuel du système il partir d'un état il l'instant t. Soient ôx les variations des degrés de liberté correpondantes. Le travail des forces d'inertie dans ce déplacement est donné par l'expression de Lagrange. Comme, dans notre cas C ne dépend que des .i, nous avons: 8W i = -

L -dld ae oX i o:(j

avec

C

=

1

3.

(.i, Mi)

-

i

c'est-à-dire

-

Le travail des forces de raideur est: ôW r = -

au 8x L -. i

u

avec

0'\1

i

=

~.:-

(x, Kx)

c'est-à-dire 8W r =

-

(8x, Kx)

Le travail des forces extérieures peut être mis sous la forme

Le théorème des travaux virtuels permet d'écrire:

quel que soit 8x, ce qui entraîne l'équation matricielle: l

M.t

+ Kx

=

l

1

(2.8)

Cette expression se transpose aux systèmes continus: 8W s'exprime de la même façon par somme de la variation de la fonctionnelle de raideur (travail des forces de raideur), de la fonctionnelle énergie cinétique (travail des forces d'inertie) et de la fonctionnelle liée aux forces extérieures. Cependant chacune de ces fonctionnelles comporte une partie de ({ volume» et une partie de « surface». L'application du principe des travaux virtuels conduit fi annuler il la fois la somme des parties volumiques et la somme des parties surfacîques de 8W.

44

VIBRATION DES SYSTf::MES MÉCANIQUES

Ce qui conduit: pour la partie volumique à l'équation dynamique:

1

IvU'

+ K.r

f

=

(f étant une densité volumique de forces extérieures). (~)

pour la partie surfacique aux conditions aux limites sur la surface qui sont du type: 0:

Rr + f3x = F

(2.9)

(B étant l'opérateur faisant passer du déplacement x aux efforts internes, F étant une densité su rfacique de force extérieure). Exemple: Soit une poutre droite cn traction-compression soumise il un effort réparti de densité f ct à des efforts d'extrémités Fil el F L • Nous avons 8W

1

oW r

= = _

iL lix pS.t dz Jo li { ~ [LL ES ( ~:

=

2

dz ] }

rL ES a ~x _ dz Jo aL aL

_ [liX ES 8W,

)

IL

8x

J Jor lix.!!..az (ES a.~) dz L

Bx

L

az {)

f dz +

tIc.

[Sx F]o

+

[li.t

Fk

D'où L

8W

=

r Jil

ox [_.!!.. (ES cÎz

f ] dz

+ pS.t

c1x ) (ÎZ

- -ax + F ) ] + [ 8x ( ES (lZ 0

[ lix ( ES

:.~ -

F)

J

L

Si J'on applique le principe des travaux virtuels on obtient: pour les termes '( volumiques

_.!!.. az

n

(ES az ax ) + p S.r

=

f

qui est l'équation de la poutre en traction compression avec un effort réparti. pour les termes" surfaciques " ) 0

= - Fil

et

(

ES cl\' )

qui sont les conditions aux limites du problème.

az

L

FL

SYSTÈMES CONSERVATIFS À PLUSIEURS DEGRÉS DE LmERTI~

45

Remarque: EX<1minons le cas le plus général de la condition aux limites: Q'

ES ilx + f3 Kx "" 0 ilz

K étant un paramètre de raideur lié il la liaison, adirnensionncls normalisés (a 2 + f3 2 = ] ).

Q'

ct f3 des coefficients

Le terme aux limites de la fonctionnelle de raideur est plus compliqué, comme nous l'avons dit au paragraphe 2.3. 1\ est relativement aisé de l'expliciter, car l'opérateur de traction-compression des poutres est très simple. Pour cela, on peut partir de l'expression de la variation 8:H de la fonctÎonnelle de raideur pour un déplacement virtuel 8 ... Cette varÎation doit être de la forme;

f()

L

ôx

~ az

(ES

éJx ) dz ilZ

(h ) '(" ES iJ 8x Il: lix - f3 - - .+ [ ( aES a'z + f3Kr J( âZ

) ]

L

0

~

variation vin uclle de la variable dunle de aES ilx f3K\' il;;

~:H

=

~ iL ES ( a.~ ) 2dZ +

- Jn

a~

~

'( Energie interne )}

..

'-----------

(

ES ilx )

2

J _2 f3

iJZ

----~~

" Energie aux limites '.

2 X ES

âx ] L (12

Il

------

(2.10)

46

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIOUES

2.6.

MODES PROPRES D'UN SYSTÈME À PLUSIEURS DEGRÉS DE LIBERTÉ

2.6.1.

Introduction

Le problème est de résoudre un système d'équations du type: Mf + Kr

f(t)

muni, dans le cas des systèmes continus de conditions aux limites que nous supposerons homogènes (ccci ne réduit pas la généralité car tout problème à conditions aux limites inhomogènes peut être remplacé par un problème à conditions aux limites homogènes avec des termes sources adéquats dans le 2c membre des équations) .. Comme pour l'oscillateur harmonique nous transformons par Laplace:

d'où formellement:

Kr 1 est Pinverse d'une matrice ou d'un opérateur. Nous savons que les caractéristiques de la réponse x (1) sont conditionnées par les singularités (pôles) de {Mpz + Kr l, c'est~à-dire par les valeurs de p qui rendent singulier Popérateur M p 2 + K. Il est donc fondamental de rechercher ces singularités, c'est-à~dire de trouver les conditions dans lesquelles le problème homogène pureme11l spatial: (Mp 2 +

(MpL+ I<)X

0

(2.11)

a une solution non triviale. 2.6.2.

Mise cn évidence des modes propres dans le cas d'un système à N degrés de liberté

La matrice M étant régulière, notre problème se ramène au problème aux valeurs propres de la matrice M-! K :

Nous savons qu'il existe N valeurs propres Ali et N vecteurs propres XII associés:

Les valeurs propres sont les racines de l'équation en A:

ou

det (M- 1 K - AI) det (I< - AM) 0

0

SYSTÈMES CONSERVATIFS À PLUSIEURS DEGRÉS DE LIBERTÉ

47

Démontrons que les À Il som des nombres réels er que les XII forment ll1re base orthogonale. Les matrices K et M étant hermîtiques ou auto-adjointes (ici symétriques et il coefficients réels), nous avons: (Y, KX) = (KY, X) (Y, MX) = (MY, X)

ct

Considérons deux vecteurs propres XII et X m Or donc d'où

KX n À '1 (X,,!,

= ÀII MX II

ct

KX m

ÀIIIMX m

MX n ) = À,~'(MXm' XII) (* : conjugué) (À" - À,;; )(X np MX /.) o

(À II À!;')(X n , MX!,) = 0 M étant définie positive (X n , MX n ) ne peut s'annuler que si 1 XIII = O. On a donc: .=.;;..""""----'-;...;;.:

(les X n sont donc également réels). Si ÀII:;é: Àm: (À'l -

À I1I )(XI/I'

MX,J

=> (XI/J' MX,J

0

0

Si toutes les valeurs propres sont distinctes les X" forment une base orthogonale. Si deux valeurs propres sont confondues, il existe un ( plan» de vecteurs propres ct l'on peut montrer que l'on peut également construire une base orthogonale. On aura donc toujours: (X"" MX,.) = 0 pour Il =f: m On a également, d'après KX'I { (X , KX ) = 0 pour Il =f: ni m II

=

À'I

MX II :

(2.12)

En conclusion, nous avons donc trouvé N solutions au problème: 2

(Mp + K) X

=0

ce sont les XII qui forment une base orthogonale. Les Pli associés sont donnés par:

P/~ =

À'I

S'il existe un À Il négatif, il existe donc un Pn réel positif. Ceci correspond pour la réponse en temps du système à une solution du type e lll (a >- 0) (cf. Chap. 1).

48

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIOUES

Le système est dit statiquement instable (autrement dit l'équilibre autour duquel on a linéarisé est instable). Pour les systèmes stables tous les À sont positifs (K est alors une matrice définie positive) ct les Pli sont imaginaires purs. Nous posons: /1

(2.13)

P'I = ± iW'1

Par analogie avec l'oscillateur il 1 degré de liberté les W II sont appelés pulsations propres du système, que nous classons par valeurs croissantes. Les pulsations propres sont donc les racines de l'équation en w:

1

2.6.3.

det (I< - '" ' M)

=0

(2.14)

Extension aux systèmes continus

On peut montrer que pour des systèmes continus stables il existe iUle suite infinie de pulsaliolls propres avec des fonctions propres XII (r) vérifiant les relations d'orthogonalités (X mt MX,,) = 0 avec Il:l= l'ti, et formant une base complète pour les fonctions X(r) de la variété (9.). Nous n'en ferons pas la démonstration ici. Mais nous allons illustrer cc fail par l'exemple de la poutre en traction-compression. 2.6.3.1.

Soit la poutre discritisée décrite dans les paragraphes précédents.

tH X2

Xl 1 1

X3

Cd

Xi

Xi+1

1

L

0 Figure 2.5.

L'équation matricielle du problème (sans source) est: Kt + M.r

0

le problème aux valeurs propres à résoudre est:

avec

K=

ES (

1 sym

z

SYSTÈMES CONSERVATlfS À PLUSIEURS DEGRJ::S DE LIBERTÉ

et

M

1(2 ~O)

= pS ilz

1

sym

nous posons

49

l

0 1/2

01.

Le système dont il faut trouver les du vecteur X) (2 -

..

1(2 Si l'on pose 2 - a

singuliers est (les Xi étant les composantes

Xl - 2 Xl = 0

01. )

(2 - a) Xi - Xi _ 1 ",.

llJ

01.)

XN

-

2 XN

Î~N-l

2

0

1

= 2 cos cp (0 ~ cp X1

o

Xi + 1

-

.

""."""

~ 1T) (ou

01.

= 4- sin 2 cp /2) on a :

= Xl cos 01.

X J = 2 X 1 cos cp - X 1

XI cos 2 cp

etc ... :=>

Xi

= Xl cos Ci

1) cp

l~i ~N

Pour obtenir ce résultat toutes les équations du système ont été utilisées sauf la dernière qui donne: XI cos (N -1) tp cos cp

Xl cos (N -2) cp

Pour que le système ait une solution non triviale il faut que: cos (N - 1 ) cp cos cp - cos (N

2) cp = 0

sin (N - 1 ) cp sin cp d'où N valenrs de

tp

0

satisfaisant à cette condition: (Il - 1)

tp Il

= N=-1 7T

(1

Il

Les pulsations de résonance sont données par:

_ = " \jlE 1 pilz

lI) /1

.!.

. Sin

N)

50

VIORATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

A chaque Il correspond une déformée modale définie par le vecteur de composantes: cos ( t. - 1) (n

1) N -1

11"

Remarque: Poser 2 - il: = 2 cos cp est valable pour Il: ~ 4. Pour Il: :> 4 on vérifie aisément qu'il n'y a pas de solution. Ce qui est normal puisque l'on a trouvé les N résonances du système pour 0 ~ il: ~ 4.

2.6.3.2.

Passage du système discret :m système continu

Si l'on fait tendre .6.z vers zéro, N

1 = 1 tend vers l'infini. Pour un mode

11

donné:

L'abscisse du i-ième nœud sur la poutre est: z

d'où la déformée modale:

(i - l).6.z

X Il ( Z )

(n 1) N -1

_ -

Z

11"

COS ----:::-::----::--

.6.z

On remarque également que quand N -> CIJ le nombre des modes tend vers l'infini et les Ct) Il forment une suite dénombrable. L'erreur commise du fail de la discrétisation du problème, sur la pulsation propre dépend de l'ordre du mode considéré:

W,l -

. (n 1)11" sm 2(N 1) - (11 - 1)

2

WJI

(Il - 1)

11"

~

11"

1

--

p L

Pour que cette précision SOil convenable il faut que 11 soit petit devant N. Dans ce cas un développement au premier ordre de l'expression précédente donne:

Aw 1

Il

w II

1

= 1

[(Il

N

~)

11" ]

2

1

Par exemple la première pulsation propre non nulle (Il = 2) d'une poutre librelibre en traction-compression est estimée à 1,6 % près par une discrétisation en 5 éléments (N - 1 = 5). Mais l'erreur faite sur la pulsation propre suivante sera 4 fois supérieure.

SYSTÈMES CONSERVATIFS À PLUSIEURS DEGRÉS DE LIBERTÉ

5]

Les caractéristiques modales de la poutre continue libre-libre peuvent être trouvées directement en résolvant le problème homogène différentiel en espace:

a (ESax) ., -w-pSX=O 8z

--

az

avec

1

aX ] [ -az

0

= [ -aX ]

az

0

L

La solution générale de l'équation différentielle est de la forme:

x = A cos \jE fi w z + B sin

Je..E w z

Les conditions aux limites conduisent à un système de 2 équations homogènes à 2 inconnues A et B :

B

j

=

0

-Asin

dont Ic déterminant doit être triviale.

J~WL+BCàS ~L=O 11111

pour que le problème ait une solution non

sin~WL=O

d'où:

J~p

Ceci est vérifié pour w"

est: X,(z) = cos

J~ w" z

(n LI)

'Il"

n entier ~ 1 le XI! correspondant

d'où: X!l(z) = cos (n

Remarques

a) La première pulsation propre est nulle. La déformée XI (z) est constante sur l'ensemble de la poutre. On dît qu'il s'agit d'un mode de corps solide (dans notre eas: translation uniforme de la poutre). Ce type de mode à fréquence nulle est systématiquement obtenu pour tout système libre dans l'espace.

b) On voit que les Xn(z) vérifient la relation d'orthogonalité: (X m , MX n ) =

JL XI!(z) Xm(z) pS dz Cl

0

pour n =F m

52

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIOUES

En effet:

f

cos (Il

1) 7r

Lz cos

;;1 pS -

(m - 1) 7T

JL cos (Il +

ni

1)

ll+m-2::>0} l1-m=l=O

=>(X"" MX,J =

Lz

si

pS dz

Z

2)7r-dz+ 1 pS L 2

Il =-1=

JL cos (n-m)7T-dz z L

0

m puisque n ~ 1 et m

~

1

~

pS sin (n +m - 2) 7T + ~~sin (11- 111) 7r 21l+m-2 2n-m

o 1)

On sait également que la base des cos (n fonctions dont la dérivée est nulle en z

2.6.4.

=

"Z

est complète pour les

0 et z = L (série de Fourier).

Notions de masse ct de raideur généralisées

Les modes propres X,. sont définis à un facteur multiplicatif près. On a coutume, en mécanique, de les normer en imposant que le maximum de 1X" 1 qnand r décrit (V) ,mit égal à 1. On peut alors définÎr la quantité: (2.15) que l'on appelle masse généralisée du mode

11,

ainsi que la quantité: (2.16)

que l'on appelle raideur gé/léralisée du mode

Il

mil ct k'i sont reliés par la relation

(2.17) L'ensemble des relations (2.12), (2.15) et (2.16) peut s'écrire sous la forme synthétique:

XTMX= MG

XT KX

= KG

(2.18)

X représente la matrice des vecteurs propres, MG ct KG les matrices diagonales des masses et raideurs généralisées, qui sont les nouvelJes matrices de masse et de raideur dans le système des modes propres.

SYSTÈMES CONSERVATIFS À PLUSIEURS DEGRÉS DE LIBERTÉ

2.6.5.

53

Projection sur la base des modes propres

La base des X'I étant complète 1 tout vecteur x (1) ou toute fonction x{r, 1) de la variété (CU) peut être représentée sur cette base: Pour les systèmes à N degrés de liberté nous aurons: N

L

X(/)

Il

a/l(t) X n

1

Pour les systèmes continus nous aurons; x(r, t) =

L 11

an(/) X/1 er)

(x

E

(CU»

1

Les an caractérisent J'état du système à l'instant t. Ce sont les IIOtll'emiX degrés de liberté, au nombre de N pour les systèmes à N degrés d,e liberté, en nombre infini pour les systèmes continus. L'utilisation de ces nouvelles variables est très intéressante comme nous allons le voir: Remplaçons x (f) dans l'équation générale du système: Mf + Kt

=

f

qui devient:

L (ii m MX

m

+ am

KXIIJ) =

f

nt

Formons le produit scalaire:

(X'I' L (am MX

m

+ am KXI/I»)

=

(XII' f)

III

(quel que soit Il). Les relations d'orthogonalités conduisent à :

(quel que soit Il)

(2.19)

Nous obtenons donc un système découplé d'équations sur les an' Le vecteur de composantes (XII' f) s'appelle vecteur des forces gélléralisées (dans le cas des systèmes continus il contient la partie inhomogène des conditions aux limites qui sont les efforts exercés aux limites). L'énergie cinétique devient: C

(2.20)

54

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

L'énergie potentielle devient: U =

1

~

1

2 ~~, K:r) = 2: 2 k

Remarque: En fait l'expression U

~ (x,

TI

a;,

(2.21)

Kx) ne représente l'énergie poten-

tielle interne telle qu'on l'a définÎe, que pour les systèmes discrets ou les systèmes continus libres à limites libres. Dans le cas général, comme les modes propres tiennent compte des conditions aux limites du système

2: i k a; représentera n

/1

l'énergie potentielle globale du système (énergie potentielle interne + effet des conditions aux limites) ou fonctiollnelle de raideur. Exemple: Si l'on reprend l'exemple de la poutre

1'1111 =

IL pS cos

2

libre~libre,

nous avons:

(Il

()

=

r~: ~ pSL

e

l

U =

2.7.

Il>1

pSL ( ..,

2

1

tl:)

., )

aï+2T1~2 a~

LES~( t.... Il l, !OI2

-

1 )'., ~ a,~

RÉPONSE D'UN SYSTÈME À PLUSIEURS DEGRÉS DE LmERTÉ À UN TRANSITOIRE

2.7.1. 2.7.1.1.

Fonction de transfert du système Notion d'impulsion unité localisée

Pour un système à N degrés de liberté, nous appelons impulsion unité localisée au nivcau du degré de liberté i un vecteur force de composantes nulles sauf la

SYSTÈMES CONSERVATIFS À PLUSIEURS DEGRÉS DE LIBERTÉ

55

composante i qui est une impulsion unité:

Pour un système continu par exemple tridimensionnel nous considérons la distribution ô (r - r() f.L (1). 0 (r - ro) est une distribution de Dirac dans l'espace à 3 dimensions. ô (r ro) peut être considérée comme étant la limite quand Ar -+ a des fonctions f fAr) telles que:

Elle vérifie la relation fondamentale:

f

j)

(r - ro) g(r)dv

= g(ro}

(2.22)

(V)

f(r, t) 2.7.1.2.

ô (r - ro) J.L (1) est une impulsion unité localisée en r(J'

Projection de l'impulsion localisée sur Je mode propre X n

Dans le eas des systèmes à N degrés de liberté:

«XII); = iième composante du vecteur X n)

Dans le cas des systèmes continus:

(X IJ ,

1) =

f.L

(1)

J

Xn(r)

j)

(r - r(J) dv

=

XII (rI)

f.L

(t)

(V)

2.7.1.3.

Fonction de transfert

La fOllctioll de trall.~fert du système est la transjormée de Laplace de .'la répol1se en un poim à une impulsioll ullité localisée ell lm allIre point. En utilisant le système d'équations projeté sur les modes propres:

56

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Nous avons en transformant par Laplace : ( mllp 2+ k!!) AI/CP) = (X'.)i = XjJ(ro)

(N degré de liberté) (continu)

(pour tous les Il). On peut donc expliciter les Ali (P) et obtenir X (P) par recombinaison modale:

Pour les systèmes à N degré de liberté, si "on appelle Hij(P) la réponse du jième degré de liberté à l'impulsion unité exercée au i~ième degré de liberté, nous avons:

i 11=

(X/Ji (Xrr)j 1

m,,(p2 + w/;)

(2.23)

Pour les systèmes continus, si l'on appelle H (r, r o, p) la réponse du système en r à l'impulsion unité exercée en r ll , nous avons:

(2.24)

Les fonctions Hi/(p) et H (r, r o, p) sont les fonctions de transfert cherchées. La fonction dc transfert du système se présente donc sous la forme d'une combinaison de fonctions de transfert d'oscillateurs harmoniques conserva tifs. Nous retrouvons ainsi comme pôle de cette fonction les Pli = ± Îw Il correspon~ dant à l'ensemble des pulsations propres du système. La jOllctioll de Green du système ou réponse temporelle à une impulsion unité localisée est l'original de Laplace de la fonction H :

(2.25)

Cette fonction caractérisant la réponse libre du système se présente sous la forme d'une somme de sinusoïdes de pulsation WII' d'où l'appellation de plllsm;ons de résonance pour les w /1"

SYSTÈMES CONSERVATJFS À l'LUSIEURS DEGRl~S DE LInERTÊ

2.7.2.

2.7.2.1.

57

Réponse à un transitoire quelcollCluc

Systèmes

Jj

N deb'Tés de liberté

D'après ce qui a été dit dans le chapitre sur l'oscillateur harmonique, la réponse en j à une force fi (t) en i est:

fI

Xj(t)

Gij(l

10)

fj(/o) dt o

()

Le vecteur x (t) caractérisant la réponse du système à un vecteur force quelconque J(t) est donc:

x (t) =

f'

Il G (1 -

10 )

Il

J(t o) d/ o

(2.26)

()

(II G(t) 1/ désignant la matrÎce des Gij(I) nous remarquons que cette matrice est symétrique. 2.7.2.2.

Systèmes continus

Soit fer, t) une densité de forces quelconque s'exerçant sur le système. Si l'on transforme par Laplace les équations du système dans la base des modes propres:

nous avons:

(F(r,p) étant la transformée de Laplace de J(r,!». La réponse X(r, p) du système est donc:

or

f If

(X n , F)

Xn(ro) F(r(},p) duo

=:

(V)

X(r,p)

n",-I

(V)

Xn(ro)Xn(r)F(ro,p)dvo m n (p2+ w;)

58

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIOUES

L'original de Laplace de ce produit de fonction de p est donc:

(2.27)

Physiquement la force répartie peut être décomposée en un ensemble de petites forces localisées f(r i , 10 ) Av j , en découpant le domaine (V) en petits éléments de volumes Av; centrées sur ri' L'intégrale sur (V) de la formule précédente exprime la somme des réponses du système à cet ensemble de forces. On a approximativement: x(rj' t)

=:

rI L G(r

Jn

j,

ri' t - to) f(rj. (0 ) Av:,

Î

on retrouve ainsi la forme matricielle des systèmes à N degrés de liberté.

Remarque générale: Nous venons de montrer comment à partir de la connaissance des modes propres, on pouvait obtenir la réponse en temps du système à une sollicitation transitoire quelconque. Dans la pratique on a toujours le choix entre cette méthode et la méthode consistant à intégrer directement ell temps les équations de la dynamique à J'aide d'algorithmes numériques appropriés. Les critères de ce choix sont liés aux caractéristiques temporelles du problème à traiter: Si on s'intéresse à l'évolution détaillée d'un système à une sollicitation transitoire rapide, c'est-à-dire si le pas de temps d'analyse AT est tel que 1 Ilim = AT est largement supérieure aux premières fréquences propres du système, il faudra pour représenter correctement cette évolution utiliser un grand nombre de modes propres, alors que le nombre de pas de temps peut ne pas être très "élevé. Dans ce cas on aura donc intérêt à choisir l'intégration directe des équations. Dans le cas contraire (sollicitatîon lente, évolution analysée avec un pas de temps tel que llirn soit de l'ordre de grandeur des premières fréquences propres), on choisira la méthode modale nécessitant uniquement le calcul des premiers modes.

2.8.

RÉPONSE FORCÉE À UNE SOLLICITATION HARMONIQUE

Le système considéré dans ce chapitre étant conservatif, il n'existe pas de régime établi à une sollicitation harmonique. On peut cependant analyser la réponse forcée: c'est-à-dire la solution harmonique de pulsation w à une sollicitation harmonique unité de pulsation w. Nous avons vu dans le chapitre sur l'oscillateur harmonique, que cette solution

SYSTÈMES CONSERVATIFS À PLUSIEURS DEGRÉS DE LIBERTÉ

59

peut être représentée par une amplification A et un déphasage 'P par rapport à la sollicitation, c'est-à-dire par l'amplitude complexe G (w ) A é'o. Nous avons vu également que G(w)=H(iw) Pour les systèmes à plusieurs degrés de liberté, nous pouvons définir des fonctions G ii (w ) ou G (r, fo, w ) correspondant à la réponse en j ou r du système à une sollicitation harmonique exercée en i ou fo' Nous avons:

(2.28)

Nous étudierons en détail l'allure de ces fonctions dans le chapitre consacré aux amortissements.

2.9.

PROPRIÉTÉS DES MODES PROPRES DES STIlUCTURES SYMÉTRIQUES PAR RAPPORT À UN PLAN CP)

Soît X,,(r) un mode propre d'une structure tridimenSÎonnelie symétrique par rapport à un plan (P). Xn vérifie l'équation (1< M) XII = 0 dans le domaine (V) et les conditions

w;

aux limites eXil 0 sur la frontière (X). On considère le champ de déplacement symétrique X~ de Xn par rapport il (P). Du fait de la symétrie de (V), de (..l') ct des carm::téristiques des opérateurs K, M ct e, X~ est également solution du problème:

{

(K-W;M)X~=O

!.:X~

0

dans (V)

sur (X)

XIl et X~ sont deux modes propres correspondant il la même valeur propre, ils sont donc colinéaires:

x~ de même 1 : X~ = X n , Le mode X n est sym~triqul: par rapport Li (P).

Cas

À =

Cas

À = -

1 : X~

- X n , Le modl: Xn

l.:!tl

antisymétrique pnr mpport il (P).

Une structure symétrique par rapport il un plan (P) 11 donc 2 familIes de modes: les modes symétriques ct antisymétriques pur rapport il (P). Pour calculer ces modes il suffira de ne considérer qu'une moitié de la

60

VIBRATION DES SYSTI~MES MÉCANIOUES

structure, en introdUÎsant sur la nouvelle frontière délimitée por le plan de symétrie: -

* >1<

soit les conditions d'un chomp de déplacement symétrique, c'cst-à-dire : pour les composantes de X n parallèle à (P) : dérivées normales il (P) d'ordre impair nulles pour la composante normale iI (P) : dérîvées normales à (P) d'or&é pair nulles (y compris l'ordre 0).

soit les conditions d'un champ de déplacement antisymétrique (conditions inversées par rapport au cas précédent). On verra de nombreuses applicatîons de ces propriétés dans la suite du cours. Par exemple, en se référant au chapitre 6, une poutre droite en flexion symétrique par rapport il un point 0 pris comme orÎgine a :2 familles de modes propres:

Cd lim. sym.

t

Cd Hm.

o

t ... z

01 Figure 2.6.

a) modes symétriques: k 2Jl 1 Z X 2p _ 1 = A 2p -1 cos --L-- -+

El!'

1 ch

k~p _ 1 Z --L-

b) modes antisymétriques:

z

Lcs A, B, k étant déterminés en appliquant la condition aux limites en L.

CHAPTTRE 3

PETITS MOUVEMENTS D'UN SOLIDE DÉFORMABLE TRIDIMENSIONNEL MASSIF HOMOGÈNE ET ISOTROPE. NOTIONS DE PROPAG,ATION DES ONDES

3.1.

ÉQUATIONS DYNAMIQUES

L'état du système est défini par le vecteur déplacement x(r. (), r étant un point du solide dans l'espace 3D. Energie potentielle de déformation: La déformation est caractérisée au premier ordre par un tenseur symétrique: 1 2

=

xl

é=-

(3.1)

(Dans un système de coordonnées cartésiennes, les coefficients de e sont donnés par:

La loi du comportement élastique linéaire du matériau (homogène et isotrope) est la loi de Lamé; le tenseur des contraintes est donné par:

(3.2)

Ï étant le tenseur unité, Lamé. Remarque: ..\ et Poisson l' par : ..\ IL

IL

(J

étant la trace de

e, . \

et

IL

étant les coefficients de

se déduisent du module d'Young E et du coefficient de

(1 - 2 v)(l + l')

et

E

IL = - - 2(1 -1- l')

s'appelle aussi module de cisaîllement (G). L'énergie potentielle de déformation est donnée par: U

=?1 ~

J if- ® E- dv (V)

(3.3)

62

VIIJRATION DES SYSTÈMES MÊCANIQUES

On peut expliciter U en fonction de x U = -A 2

f -

01 ®

(V)

(V)

f (} 1 if

[grad x + grad' x f

?

grad x ® grad x dv

®

edv =

(V)

f

E ® E dv =

(V)

f (}

If -

=

-

2 dv

f

=

(V)

(V)

=>

e dv + J.L f e ® edv

-

If -

+ .,

(V)

Af

U = ? -

-

(div x

-

grad x ® grad' x du

(V)

r') dv + 2"J.LI = grad x ® = grad x dv

(V)

(V)

+

*f -

Energie cinétique:

c= ~ -

I

f

(3.4) grad x ® grad' x dv

(V)

p (xi dv

(V)

Trm'ail des forces extérieures: We =

(div x y- dv

(V)

f

f· x dv +

ae•x

d.!

(.!)

(V)

f étant une densité volumique de force a c étant une densité surfacique de force s'exerçant à la surface (.!) du solide (V). L'application du principe des travaux virtuels donne pour un déplacement 8x arbitraire: ôW r + ôW j + ôW e = 0

* -8W r =DU=A + J.L A

I

f

div x div ôxdv+ J.L

(V)

f

x®gradôxdv

(V)

grad'x ® grad ôx dv

(V)

(div x) DX n d!

A

(.!)

+ J.L

f

J

grad (div x). DX dv

(V)

J

[(grad x + grad' x) nI- DX dl:

f

div

(.!)

J.L

â~rad x)· ôx du -

(V)

J

(V)

J~

div grad ' x· Eix dv

(V)

=>8W r = (A +J.L)J

+J.L

JI.

grad (divx).8xdv

(V)

A 2 (x).8xdv-

f Cl')

rrn·8xdl:

63

PETITS MOUVEMENTS D'UN SOUDE DÉFORMABLE

* 8W >1<

j

=

8W~ =

f

f

px· 8x dv

(V)

(V}

f· ôx dv

+

f

(Te'

8x dI

(1)

D'où en identifiant à zéro les termes de volume et de surface dans l'équation 8W r + 8W j + 8W c = 0, on obtient l'équation d'équilibre dynamique: (À + J.L ) grad div x + J.L â;:!(x) -

px + f =

0

(3.5)

et les conditions aux limites sur (I) :

(3.6)

Remarque: D'une façon générale les conditions aux limites se présentent sous la forme d'une relation linéaire du type:

3.2. 3.2.1.

cp

NOTIONS DE PROPAGATION D'ONDES Ondes de compression et ondes de cisaillement

On peut toujours exprimer le champ vectoriel x à partir d'un potentiel scalaire et d'un potentiel vecteur ~I :

x

= grad

cp

+ rot l~

(3.7)

En remplaçant dans l'équation du mouvement sans second membre on obtient: (A + 2 J.L) grad (Atp) + J.L â 2 (rot ll') - P grad

cp -

{J

rot ~i,

=0

d'où en identifiant les termes en gradient et en rotationnel : (A + 2 fL ) ~cp - p cP = 0 { fL Â ~J -p$ = 0

(3.8)

2

Ces deux équations sont des équations de propagation d'ondes: La première correspond à un effet de variation de volume (ondes de compression ou ondes P) irrotationnel. La vitesse de propagation associée est:

(3.9)

64

VI8RATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

- La seconde correspond à un effet de cisaillement (ondes de cisaillement ou ondes S) sans variation de volume. La vitesse de propagation associée est:

(3.10) 2

+2

Il

=

Il

Cp

varie de

Jz à l'infini pour

2(1 - 11) 1 - 2 Il

•

v variant de 0 à 112.

Cr

~ Ij; = 0 sera ceffectuée dans la 2 partie du cours à propos de l'analyse des fluctuations acoustiques dans un fluide. Remarque: Une analyse plus détaillée de l'équation dtp c

3.2.2.

Ondes planes

Dans un milieu homogène infini, il existe des solutions simples aux équations précédentes. Ces solutions sont appelées ondes planes car eUes ne dépendent spatialement que d'une direction que l'on notera x. Ainsi nous avons : - les ondes planes de compression, correspondant à des petits mouvements uniquement dans le sens x de la propagation. Elles sont solutions de : 2

ax

1.. x

0

- ?

cp

avec y = 0

et

z

= 0

(3.11)

- les ondes planes de cisaillement correspondant à des petits mouvements dans le sens transversal au sens x de la propagation. Elles sont solutions de : jj

~y - 2- Ji =

ax~

c;

0

avec x = 0 et

z= 0

ou avec x

o

et y

o

Ces équations sont Il rapprocher de l'équation des poutres en tractioncompression que nous avons étudiées dans un paragraphe précédent. On montre qu'eHes ont comme solution générale:

f

(x

ct) + g (x + ct)

(3.12)

ce qui correspond ù la superposition d'ondes se déplaçant dans la direction des x::> 0 et dans la direction des x -< O.

PETITS MOUVEMENTS D'UN SOLIDE DÉFORMABLE

65

Si l'on considère un problème d'ondes entretenues en régime harmonique (pulsation w), on pourra par. transformation de Fourier représenter les solu tians sous la forme : iw

et

3.3.

e

+- (X+CI)

(3.13)

C

RÉFLEXION DES ONDES PLANES ENTRETENUES SUR UN DEMIPLAN INFINI

Soit un demi-espace limité par le plan z O. Considérons une onde plane incidente (direction a). Pour assurer la condition de contrainte nulle à ]a frontière z 0, on est amené à considérer une onde réfléchie qui se compose d'une onde P de direction f3 et d'une onde SV (onde de cisaillement dans le plan vertical xOz) de direction y (a, (3 et y compris entre 0 et 7T /2).

z

x

Figure 3.1.

La condition de contrainte nulle s'écrit: ;:; . n = 0

z=

pour

0

c'est-à-dire:

l

A (

a~

ax + az ) ax az +2J.L-=az

o pour

i1x + az = 0 az i1x

3.3.1.

Cas d'une onde P incidente

L'onde incidente est donnée par:

-

--

i",

A sin a e

, (XSIll

Îw

,

- ; - (XSIII

J= A cos Cf

e

il

+ z cm

Il -

C III)

Cp

P

a + ."CDS a - Cp t)

z=o

66

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

z

x

Figure 3.2.

Les ondes réfléchies sont données par:

X

= C cos 'Y e

~ ( uÎn y

-~(dny

ondes S; C sin l' e

Z =

"co, y -

Cl

t)

Cl

!Cosy-cst)

Cs

Les conditions de réflexion donnent alors: A À

- [

.~

B

- -Îw X i > ,," 11'

sinl

Œ

e

Cp

_

-

~

sin 2 f3 e

C

iw , --X~lnfJ Cp

-

-

~

'''' , ] --Xsllly

sin 'Y cos l' e

C

+ _ sin

Cf

-iw Hm , y]

o

'Y cos l' e C,

C5

A - - sin

iw --,<sin Œ

cos

Œ

e

CI

C"

Cp

A __ sin cp

B

+ - sin f3 cos f3 e

iw . -xsm fJ Cp

+ - cos:!

Cp iLl.

IX

cos

Œ

e

,

--xsma Cp

B

+ - sin f3 cos f3 e cp

iw . -Hm y

C

'Y e

Cl

Cs iw

.

--xsln{j Cp _

C -

Cs

iw

sin 2 l' e

.

--xsmy Cs

= 0

67

PETITS MOUVEMENTS D'UN SOLIDE DÉFORMABLE

La vérification de ces conditions quel que soit x impose:

f3

et

a

Cs

sin 'Y

,

sm a

-

cp

B et C sont donnés par les relations:

(A + B)(À + /-L + /-L cos 2 a ) - 2 /-LC sin a

·...t. (A - B) sm

1

C

ct. -

À

+

J~

-

2

/-L sin a = 0 1..+ 2/-L

cos 2 a -- 0

+

(3.14) 3.3.2.

Cas d'une onde SV incidente

L'onde incidente est donnée par: -

j

- A cos a e

~ (xsÎn a .;. zco~ a Cs

c JI)

,

_!!! (xsÎn" + :C05a -csr)

,_X,=,,'

= A sin a e

ex

z

)(

Figure 3.3.

De la même façon :

'Y = a et sin f3

CI' -sin a Cf

B et C sont donnés par les relations: (A - C) sin 2 œ + B

(A + C) cos 2

a -

JA

+1'2 l' cos 2 a

. J

2 B sm

a

"J -

~0

1..+2 /-L

," a = 0 sm-

(3.15)

68

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

3.3.3.

Cas d'une onde SH incidente

(Onde de cisaillement dont le mouvement est orthogonal au plan xOz) : L'onde incidente est donnée par; -!!!(xsina +ZCOSa

y= Ae i)

-l:l

1)

(x

J

C

2 =

0)

existe une seule onde réfléchîe (SH) : iw

- -

Y= Be

,

(nm

fJ +

;? C05

fJ -

f J

t)

(x

Ci

=

z = 0)

La condîtion de contrainte nulle sur z = 0 s'écrit: 8y = 0 8z

a

{3 {

(3.16)

B=A

z

x

Figure 3.4.

3.4.

ONDES DE SURF ACE

Soit comme précédemment un milieu semÎ-Înfini homogène (z <: 0).

z

n

x

Figure 3.5.

69

PETITS MOUVEMENTS D'UN SOUDE DÊFORMAHLE

On recherche des ondes entretenues de la forme: X (x, Z,

w:

Ae

t)

- - (X-cl)

e

--(X-ct)

u-

j

z(x. Z, t)

= Bee

i:

lu)

wl

rr-

e

C

y(x, z, () = 0

(avec

Cl' ::>

0), c étant une vitesse de propagation à déterminer.

On écrit qu'elles vérifient les équations du mouvement:

d'où:

Pour qu'il y ait une solution non triviale au problème le déterminant de ce système en A et B doit être nul :

o d'où deux solutions réelles positives pour ex si c avec

Bp

<: Cf <: Cp :

=

icx p Ap (3.17)

La solution générale du problème est donc:

Cette solution doit satisfaire aux conditions aux limites fi . n À (

(IX

ax

+

iJz )

az

j -éJxaz+ -az= 0 iix

o

0 en z

= () : soit

70

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

d'où:

=0

ou:

+ 2}L )

i[(À

l

2 a

a; -. ~ Ap + 2 p.a Bs = 0 -le a -; + 1 ) Bl' = 0 À

l

p Ap

Le problème n'a de solution non triviale que si le déterminant de ce système est nul:

soit:

(3.18)

Cette équation a une racine unique en c. c

(C)2

est fonction de.J:.

~

~

À+?

-

donc du coefficient de Poisson

p.

,J. C

On peut montrer que -

croît de 0,87 à 0,96 quand v croît de

Cs

°à 1/2.

Les ondes que nous venons de définir s'appellent ondes de Rayleigh. Elles jouent un rôle important par exemple dans la structure des ondes sismiques au niveau du soL

3.5.

ONDES DANS UNE PLAQUE PLANE

Considérons maintenant un milieu limité par deux plans et recherchons comme précédemment des solutions pour les équations du mouvement du type:

Figure 3.6.

PETITS MOUVEMENTS D'UN SOLIDE Dl~FORMABLE

wz

it.d

-~

If -

x(x,z,t) =Ae

cC.

a.!!!:.

/

Z(X,Z./)

Be

y(x,z,t)

0

r

71

(X-cl)

-!.!:!.(X-CI)

cee

Nous trouvons de la même façon les deux valeurs possibles de a: Œp et a" données par (3.17). La nature géométrique du problème nous conduit à distinguer deux familles: - des modes symétriques:

-

des modes antisymétriques:

x= [~pSh (Πp WeZ)

I z

-iasBssh

~~)

[iapApch (al'

+Bsch

Pour chaque famille on écrit les conditions de contrainte nulle en z= h/2 (donc également en z = - h/2). À

{

éJx

êJx +

iJx

(À

ilz

-+-= az ax

.,

+-

IL

)

ilz

az =

0

0

ce qui donne un système linéaire homogène en Ap et Bs dont on annule le déterminant. (ùh

tha"7 _c th a S

(3.19)

wh -

2c

(+ pour les modes symétriques,

pour les modes antisymétriques).

Remarque: Selon que c <: Cs ou :;:.. Cs et que c <: C,I ou :;:.. CI" al et a p ont des valeurs réelles ou imaginaires. (3.19) s'appelle équation fréquentielle de Rayleigh-Lmnb. Elle donne c en fonction de w. C'est-à-dire que, contrairement au cas précédent, e n'est pas constant: la vitesse que l'on pelll associer aux ondes entretenues est fonction de leur pliisation. La relation c = C (w) est appelée également une relation de dispersiol/ car si l'on se place dans le domaine temporel. une

72

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

perturbation x(x, t) se propageant le long de la plaque, ne gardera pas la même forme spatia1e au cours de sa propagation: en effet, chacune de ses composantes fréquentielles est affectée d'une vitesse de propagation différente. En variable adimensionnelle, on a coutume de représenter la relation de RayleÎgh~Lamb sous la forme:

n

(3.20)

=F(Ç)

avec

1 wh

n

10

9

8

7

6

5

f.

et

g=

! 'TT'

3

GI~I

Figure 3.7. -

2

wh c

3

6

4 FI~I

(Tirée de la référence [5J.)

8

73

PETITS MOUVEMENTS D'UN SOLIDE DÉFORMABLE

n

La figure 3.7 présente le réseau de courbes

F(~).

Remarque: On y a également joint le réseau des courbes lIJZ

(II

,,-

n

= G (~)

•

--X+I",t

correspondant à des solutions de type e c e e qui correspond à des ondes non propagatives (ou évanescentes) le long de l'axe des x. On note que les courbes coupent J'axe

n

2p

et

jn ~ 2 P _ 1

n et

~

e

0 pour:

.-!.. (2 P - 1 ) (p entier ~ 0)

ne,

pour les modes symétriques

pour les modes antisymétriques

Chaque branche correspond en gros à une déformée modale en z caractéristique. Le point de l'axe g = 0 correspond à une vitesse c infini$'!. c décroît quand on parcourt la branche. On s'aperçoit également que pour une pulsation n donnée il existe plusieurs modes propagatifs et que leur nombre ainsi què la complexité de leur déformée en z sont d'autant plus grands que n est grand. Nous donnons ici le diagramme de RayJeigh~Lamb à titre indicatif. En fait sa description détaillée ainsi que la compréhension de la structure des ondes associées est complexe. Le lecteur pourra se référer pour plus d'informations il J. Miklowitz (réf. [5]).

3.6.

ÉQUATION DE DISPERSION. VITESSE DE PHASE ET VITESSE DE GROUPE

Il est apparemment paradoxal de constater que, dans un milieu où la plus grande vitesse de propagation est cp' on puisse mettre en évidence des vitesses de propagation c supérieures. En fait c est une vitesse de phase qui ne représente que Je déphasage d'une onde établie de pulsation w observée en deux points différents de l'axe des x, En réalité lors d'un transitoire propagatîf, on observe un train d'ondes de fréquences et donc également de vitesses de propagation infiniment variées, du fait de l'équation de dispersion. Schématisons ce train d'ondes par deux sinusoïdes de fréquences très voisines w et w + dw. L'équation de dispersion nous donne une variation correspondante de c: de. Souvent on utilise le nombre d'onde:

dk = d (

~

) est donné par :

dw de ~: -w - -C.

74

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Nous avons donc: cosk(x-ct)+cos (k+dk)(x- (c+dc)t)]

x(x,t)

= 2 cos

~.:

(x - Co t ) cos k ( x - Cl )

L'onde est modulée et à cette modulation correspond une vitesse de groupe telle que:

Co

dite vitesse

dc cIl =c+kdlc ou (3.21)

On peut montrer que Co correspond à la vitesse de propagation de la densité d'énergie (énergie dans la bande de fréquence w, w + dw). Dans le cas des courbes du paragraphe précédent Cg est donné par: (3.22)

3.7.

ANALYSE DU DIAGRAMl\1E DE DISPERSION AU VOISINAGE DE L'ORIGINE. ONDES DE FLEXION

On recherche des solutions de (3.19) telles que: et

wh c

<:g

1.

- Si c / Cs reste de l'ordre de 1, on peut trouver une solution symétrique. (3.19) devient au 1cr ordre: al'

(1+a;f-

as

al' as

[2 - (~ )2r =~=2}- (2)'=jl; ~ 4[1- (~ )2]

1- v

cp

Cs

ou

n

jl;~ 1Jl

ou

C

-2

cp

-l'

-=

J)

75

PETITS MOUVEMENTS D'UN SOLIDE DÉFORMABLE

La déformée en z est il peu près :

j

e

x

-!!:(X-CI) C

z=o

Cette solution correspond à un mouvement de trac(iOl1~compressioll dans l'épaisseur de la plaque (c est souvent voisin de cp: si l' = 0,3 c/cf! = 0,8, si l' = 0 C / cp = 1). -

Si c/cx ~ l, on peut trouver une solution antisymétrique: l'équation de 10, f3 = (cs/cp f et

dispersion devient au 21: ordre, en posant (C/CJ2 a.t

.J(1

f3e)(l- e)

li -

a pli

(al

li)3 /3

(a p

Il)3

wh : 2c

11

+ .. .

/3 + .. .

=J11

;.[1+'(1-I3)""+ ... J

d'où en identifiant:

[

-31 [1

(wh)

ou

, 3e lr=4(1_f3)

~ (c/cs )2 ~ 41-(c./ cp t

=

2

c

. , ] 114

wh ) G

(

(cs/c p)-]

112

[

=

1

6(1 - v)

]

114 (

wh )

112

C

x

ou

n

7T

2

(

2"

)

111

3(1 - 1')

e

(3.23)

La déformée en z est (au 1cr ordre) : X

1z

=

+

= e

~wZ/c

_.!!!

e

-~

lx - ct)

r

lx -ct}

C

Il s'agît d'un mouvement de flexion de la plaque puisque: x

(/:

-2-. i1X

On retrouve facilement l'équation de dispersion (3.23) en utilisant l'équation _!!:!<_ct) dynamique de la flexion. Si l'on fait x = A e ' dans (7.3) : Eh]

( Wc )

-1 _

ph W "1 = 0

12(1 - r' C ) -1

:::::>

=>

(

~

!:. = [ Cs

1 = 12 (1 -

1 6(1 - /1)

E ( wh ) II

J

J/4 (

J-L

Cr

Wc~' •

)

1/2

2

76

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Le graphique 3.8 montre l'allure des branches l'origine:

n :; : f (g)

au voisinage de

Q=(n/21{ 2/3(1-v) x

S2

o Figure 3.8.

Remarque: La vitesse de phase des ondes de flexion est donc petite devant les vitesses de propagation C et cp' La vitesse de groupe associée est double de la vitesse de phase: j

Pour cet ensemb1e de raisons, les ondes de flexion jouent un rôle singulier par rapport il l'ensemble des ondes. Elles ont une grande importance dans les problèmes à basse et moyenne fréquence. 3.8.

ANALYSE PARTICULIÈRE DES ONDES DE FLEXION: CAS DE LA POUTRE RECTILIGNE

Dans ce paragraphe on analyse la structure des ondes de flexion dans les poutres; ondes que nous supposerons régies par l'équation dynamique de Bemollm~ElIler

:

éI~r P S': 0 El -4+ .t = élX

qui est introduite au chapitre 6 auquel on pourra se reporter.

r

Figure 3.9.

..

z

77

PETITS MOUVEMENTS D'UN SOLIDE DËFORMABLE

x est le mouvement de la poutre transverse à son axe. 1 et S sont le moment d'inertie et la section de la poutre (supposés ici indépendants de x). Nous allons plus précisément résoudre le problème de la détermination de la fonction de Green d'une poutre infinie, c'est~à-dire de la réponse à une impulsion localisée:

a4G .. El - 4 + pSG = 8 (x) lL(t) ax

Pour simplifier l'écriture nous introduisons les variables adimensionneHes : ')

E

cii = -

avec

p

et

.,

1

Ri = S

et la fonction de Green adimensionnelle : G(x, ()

= pScn G(x,

t)

L'équation devient:

a"G + -ab

-

ax"

ao 2

(3.24)

8 (x) IL (0 )

que l'on transforme par Laplace par rapport à 0:

(s représente ici une varîable de Laplace adÎmcnsÎonnelle.' s =

R

-1.. p), dont on Co

peut écrire directement la solution sous la forme:

(Js/2Ix 1) + B sin h l s/ 2lx I)J + e - fs721 x 1 [C cos (J s /21 xl) + D sin (J s/21 X 1) J

H(X, s) = efs72lx 1 [A cos

La condition de non-réflexion à l'infini conduit à éliminer les termes en e fs721 x 1 (on considère pour la détermination à parties réelle et imaginaire positi ves). En X = 0 on écrit la continuité de la dérivée première:

0

et la discontinuité unité de la dérivée troisième: 1 => A = 8(s/2)3fl

=>H(X,s)=

1 Jf2 e- fs72I .\'1 (cos 8(s/2) -

(Js/2Ixl)+sin (Js/2Ixl»

(3.25)

78

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

L'original de Laplace de sH (X, s) est:

2

1 J1271" J0

(

X2 . X2) cos-+sm40 40

d'où

~ ~ cos ( x:1 _ '!!.. )

aG (X, 0 ) =

ao

G(X, 0)

2

J Jo

4 ()

1T

4

= Jl_J'COS(X2/~O - .. /4) dO 2

71"

0

0

)

(3.26)

)

On peut calculer G (X, 0) d'une autre façon en transformant (3.24) par Fourier:

+co

if(~! s) =

R(X, s) cos gx dX

J

-ct)

(puisque H (X, s) est symétrique en X). On

Cl :

(g4 + s2) if == 1

=;>H= L'original de Laplace de

if (g, s)

1

est:

D'où G (X, 0) par transformée de Fourier inverse: G(X, 0)

1 I+CIJ -::;sin 1 = -2 ~2 () cos gx dg -co

1T

g-

ou:

G (X, () )

1

= ::;- ~f

f+co -::; 1 sin -co

L. 1T

({J'

g-

(g 2 0 - g 1xl) d~

= partie principale)

(3.27)

Cette écriture montre que G (X; 0) est constituée d'une somme d'ondes .J' .. ___ ~; •. ~~

rI.,.

+t"."" '"

-î, ( I.v 1 _!..' I l . en Dosant: 0 )

79

PETITS MOUVEMENTS D'UN SOLIDE DÉFORMABLE

!:.... = ~

(c étant une vitesse de phase)

Co

ç

a aussi le sens d'un nombre d'onde adimensionnel. On peut poser:

On retrouve ainsi des formules analogues à celles du paragraphe précédent: C

~=

2ç

et

Co

(relation de dispersion)

(vitesse de groupe)

~

La formule (3.27) montre que pour 0 G(x,

Si ()

~

OC)

J

e)~ 27T 8 ~ G(O, e)

0 on peut faire un développement limité: G(X, 0)

?

(} 312

= J---~ cos 7TX-

(X- 2 + -7T) 4(}

4

X Remarque: cos ( 4 ; ) peut être écrit cos ( 2X() )

sens d'une pulsation instantanée en

ç-, =

il =>

(J.

+ eO J12

2 (}.

il

= (

2XO )

1

a le

D'après l'équation de dispersion on a :

ç = -X 2

(J

~

X

Co

(J

=> - = -

On retrouve ainsi le fait que la vitesse de parcours

Co

K de l'énergie vibratoire est ()

bien la vitesse de groupe co' Les figures 3.10 monttent bien la progression plus rapide des ondes à plus haute fréquence. Les allures asymptotiques en sont dues en revanche aux ondes basse fréquence dont la vitesse de propagation tend vers zéro. On remarque, d'autre part, qu'il n'y a pas de temps de retard pour l'arrivé'e de l'onde en X. Ceci est dû au fait que la vitesse des ondes tend vers l'infini quand la fréquence augmente. En réalité pour les hautes fréquences, l'équation de flexion n'est plus valable et comme nous l'avons vu au paragraphe précédent, la propagation s'effectue avec une vitesse inférieure ou égale à cp' Dans la pratique l'analyse des mouvements de flexion sera faite en filtrant les hautes fréquences, ce qui entraîne une petite oscillation à la fréquence de coupure haute. Pour certaines applications on peut être également amené à filtrer les basses fréquences, on fait alors apparaître également une oscillation parasite à la fréquence de coupure basse.

Jo

80

VIBRATION DES SYSTÈMES MÊCANTQUES

uaaJ~

Figure 3.lOa.

PETITS MOUVEMENTS D'UN SOUDE DÉFORMABLE

uaaJ~ Figure 3.l0b.

81

82

VIB RATION DES SYSTEMES MÉCANIQUES

<::)

N

l'

\

(1

\

~

\

Il

\

"

'-0 ~

(1

\

,1l'

\ \

"

1 \ 1 \

~

N ~

\

1:::, ~I

\ \

NI

00\ Il

-:t'

\ \

1:

~I

CD 00

><

<::)

\

~

\

\

\

\

1 / /

\

',\

/

----

)

-"

\

" ~~----~----~----~------~<::)

o

8P/9P Figure 3.1Oc.

1

<::)

1

PETITS MOUVEMENTS D'UN SOLIDE DÉFOl~MABLE

83

La figure 3.11 montre sur un cas d'application un train d'ondes issu d'une impulsion localisée filtrée entre 100 et 1 000 Hz.

12

-

~

~

)(

8

Ci)

><

t5

1

iLg{1000Hz)

1

0

4

Il

1

1

1

ILg(100Hz) ~

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1 1

-4 -8 -12 0

20

40

60 Figure 3.11.

80

100

8

- B -

ANALYSE VIBRATOIRE DE DIVERS SYSTÈIVIES IVIÉCANIQUES EXERCICES ET PROBLÈMES

INTRODUCTION Dans ce chapitre nous étudions la mise en équation et les caractéristiques dynamiques de certaines structures mécaniques simples usuelles: -

corps solides indéformables sur appuis souples poutres droites en traction~compression poutres droites en flexion plaques planes en flexion coques cylindriques de révolution.

Il ne s'agit pas ici de faire une revue exhaus~ive de toutes les structures usuelles et des méthodes qui leur sont adaptées, mais d'illustrer la théorie générale des chapitres précédents sur des exemples simples permettant des solutions analytiques aisées et démonstratives. On remarquera en particulier que, pour chaque type de structures, seules sont spécifiques les hypothèses physiques conduisant à la définition des degrés de libertés (variables de déplacement) et des champs des déformations qui s'en déduisent directement. Les différentes étapes de la théorie générale s'appliquent ensuite de la même façon.

CHAPITRE 4

PETITS MOUVEMENTS DES CORPS SOLIDES INDÉFORMABLES SUR APPUIS SOUPLES

4.1.

ÉQUATIONS DYNAMIQUES

L'hypothèse d'indéformabilîté permet d'exprimer les petits mouvements d'un point M quelconque du corps solide en fonction de 6 paramètres indépendants qui sont les degrés de liberté de notre problème:

Figure 4.1.

x{r, t)

= x (ro, t) + 6 (r{), t) j\(r

ru)

(4.1)

nous posons x(ro, t) = xo{t) {

o(r{), t)

=

translation du point 0 de référence

0o(t) = rotation autour de 0

x{r, t) s'exprime donc à l'aide d'une forme linéaire homogène des 6 degrés de liberté Xo et 00 , Les coefficients de cette forme sont constants dans le temps et dépendent de la géométrie du corps à l'état d'équilibre (r r().

Nous allons expliciter les principales grandeurs définies précédemment, pour aboutÎr finalement aux équations générales du système.

90

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

4.1.1.

Energie potentielle, matrice de raideur

Le potentiel dépend du type de problème envisagé: - gravité pour les problèmes de pendule - déformation de parties souples (simulées généralement par des ressorts) qui ne sont pas spécifiques du problème que nous nous posons ici. Nous donnerons des exemples de potentiels à la fin du chapitre. On notera

k12) =

"11 = ( k~2

cette matrice K =

en distinguant les variables de translation et de

/en

rotation. 4.1.2.

Energie cinétique, matrice de masse

c

=

~

f

p

(x i

dv

(V)

=~(xoY!f

pdv

(V)

(p = densité du matériau)

+f

p[OoA(r-ro)],xodV

(V)

+~f(V) p[Ooll(r

f f

p dv

I1Z

ro)fdv

masse du corps

(V)

pr dv = mr G rG repérant le centre de gravité du corps

(V)

10 est un tenseur symétrique dont les composantes dans un repère cartésien lié à 0 sont données par la matrice:

(x, y, z étant les composantes de r

ro).

Nous avons donc:

C est une forme quadratique homogène des 6 degrés de liberté

Ou'

*0

et

PETITS MOUVEMENTS DES CORPS SOLIDES INDÉFORMABLES

La matrice de masse peut donc être écrite: o 0 ~l o m o III M= 0

(

91

translations

rotations

La matrice t 0 G vient du 2c terme de C. Si l'on se place dans le système du centre de gravité t 00 == 0 : L'inertie ell translation et l'inertie en rotation se découplent dalls le système du centre de grtll'ité. Nous choisirons ce système par la suite: M devient alors :

o

111

M=

0

f

pi0 dv

o

o o

o (

10 =

o

III

m

est le tenseur des moments d'inertie dans le système du

(V)

centre de gravité. Si l'on choisit comme les axes prinCÎpaux d'inertie du solide ce tenseur se diagonalise. La matrice de masse est alors complètement diagonale. m 111

m

M=

0

0

1.r Iy 1:

4.1.3.

Travail des forces extérieures

Soit fer ~ t) le champ des forces extérieures agissant sur le corps solide. Le travail de ces forces pour un déplacement x(r) est:

(x~f)=

J

x·fdv=

(V)

= Xo .

f

f dv

f

(r

F

[xo+Oo_A(r-ro)]·fdv

(V)

f dv

(V)

J

f

+ 00

•

f

(r - ro) jU dv

(V)

= résultante générale des forces extérieures

(V)

ro)

Ar dv = .AL = moment résultant par rapport

(V)

extérieures. => (x, f)

= Ko • F + 00 • .At •

à G des forces

92

ViBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

4.1.4.

Equations d'équilibre

Elles sont données par Mi + Kx = f ; x représentant maintenant le vecteur des 6 degrés de liberté et f le vecteur des 6 composantes de F et .At. d'où en séparant la partie translation de la partie rotation:

(4.2)

4.2.

EXEMI'LES 4.2.1.

Premier exemple (solide sur appuis souples)

Soit une coque cylindrique de révolution de hauteur H, de diamètre D, et d'épaisseur e (petite devant 0 et Ii). Elle est constituée par un matérÎau de masse volumique p. Elle est supposée indéformable. La coque repose sur le sol par l'intermédiaire de 4 patins souples disposés à 90· et fixés sur sa base inférieure (voir figure 4.2).

e

z

H

.....__--=--i-P atins

o Figure 4.2.

PETITS MOUVEMENTS DES CORPS SOLIDES INDÊFORMABLES

93

Chaque patin engendre une force de rappel F z= - le, xl" pour un déplacement au niveau du patin parallèle à l'axe Oz de la coque, et une force de rappel F,1 = - k;!. x,1' pour un déplacement x.! au niveau du patin de direction Ll quelconque du plan perpendiculaire à Oz. Xz

Calculer les fréquences propres et les modes propres du système.

Application tlwllérÎqllc:

H =2m

p

D = 1m

\ k]

e

= 0,02 m

1 k~

=

7,8 kg/m) x 10 3

=

4

=

X

5

10 N/m

5

10 N/m

Solutioll :

z

Figure 4.3.

On sc place dans le repère du centre de gravité Go de la coque et des axes principaux d'inertie: Go z, Go X et Go Y tels que par exemple les plans xG o z et }Go z passent par les patins.

Matrice masse: SoÎl -

111 = 1TpDHe ln masse de la coque. Le moment d'inertie par rapport ù Goz est:

D2

1=111z 4

-

Le moment d'inertie par rapport ù Go x ct Go y est:

94

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

La matrice de masse est donc:

1

M=m

o

-1 (I+:! -+ D2)

4

3

1(H- +D 2

o

Z

-

)

432

D~

MatrÎce raideur: Energie potentielle: Si déplacement

Xi

Xj,

YI' Zj sont les composantes du

du paLin Ai' nous avons:

On exprime U en fonction des degrés de liberté: z : coordonnées du déplacement x G de G

Oz: coordonnées de la rotation 0

l ot'

XI

x~

G

autour de G

X-O Y H / 2

Oy H/2

Y + (} H 12 + Oz D 12

xJ Y+ (Ix 1-1/2- Oz D/2 { :: + Oy D/2

J(

D/2

Z

{Ir

x

Oy H/2 - Oz D/2

X -

y + O-f H/2 z+OJ(D/2

+

x.j y

l

{

z

(ly

H/2

+

Oz D

12

O~, H/2

0" D/2

D'où:

D'où la matrice de raideur:

4 k2

0 4 k~

K=

0 0 4k 1

0 2k2 H

0

0 0

0

O

0

0

kl

sym

-2k z H

D2

~

+ k';1 H0

0

2

k1 2 + kz H

2

0 k2 0 2

95

PETITS MOUVEMENTS DES CORPS SOLIDES INDÉFORMABLES

Modes propres du système; On a à trouver les solutions singulières du problème (1( - w 1 M) X = 0 c'cst~à-dire ;

Les équations du système forment 4 groupes découplés cntre eux:

CD

Mouvements de tnms{atioll en z:,~

= 1 (x

() x = (} Ji = (};:

)'

=0)

r

2

pulsation propre:

~ 2

m

Q) MOIll'e,mmts de rotation eu z: Oz = l (x = )'

pulsation propre;

cr>

w rz -" - -

z

0x

Oy

= 0)

$. ~

...: III

MOlll'emems couplés de translation en x et de rotafia" en y x ~

O.

Oy#O

Les pulsations propres w ~ 1 ct déterminant cn w de système cr> :

w

xy:! sont données par l'annulation du

Nous remarquons que:

D'après la 1 fc équation du système: 4 le 1Cf mode propre (w xy ) : 4 le:!

mw x-y 1 >

0

"2 X -

2 k 2 HO y- w 2 mx

=- x et 0 y sont

du même signe

0 on a pour

96

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

pour le 2e mode propre (w xY2) 4 le:.

ln W;y:! <:

:

0 => x et Oy sont de signe contraire

L'allure des 2 modes propres cst :

x

z

x

PETITS MOUVEMENTS DES CORPS SOLIDES INDÉFORMABLES

@ MOlll'cmellls couplés de trallslation cn y et de rotation en

97

X

Les pulsations de résonance et l'allure des 2 modes propres sont identiques il celles des 2 modes précédents.

Remarque: Si ..1 est un axe du plan >.:Go y, tout mouvement couplé de translation-rotation (dans le plan EG o ..1) satisfaisant li des équations du type @) ou @) est un mouvement propre, avec les pulsations propres w xy! ct w xy2' Ceci découle directement des propriétés de symétrie du système. Applicarion numérique:

H= 2m D = 1m { e 0,02 m

~ k l = 4 x lOs N/m

lk'!. = 10

5

N/m

p

Cl

=

-J ff -

/cl

111

=-

4.2.2.

flz

6,4 Hz

frz

3,2 Hz

= (H/Di

1+

Cl

+ f3 /2 -+

1/2 +

Cl

/3

!xyt "'" 1,65 Hz

J(

1+

ct

!KY:'!

Cl + (3/2 1/2 + a /3

)! ---'---,-2 {3 112 + a /3

== 6,4 Hz

Deuxième exemple (Pendule)

Soit un demi-cylindre plein. indéformable. de densité uniforme dans un champ de pesanteur (accélération g) qui peut rouler sans glisser sur un plan fixe (Po). Soit R son rayon. Calculer la pulsation propre de ses petits mouvements autour de la position d'équilibre.

x Figure 4.5.

98

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Solution: On considère ici les mouvements dans le plan d'une scction droite du cylindre. Ils sont repérés par 3 variables (2 translations "G dans le plnn xO[]z ct une rotation OG j portée par l'axe perpendiculaire au plan).

x Figure 4.6.

Cependant la condition de roulement sans glissement impose deux relations. Ainsi le mouvement du centre de gravÎté peut s'c:xprimer en fonction de (JG' On a:

(4.3)

~R) 3rT

avc:c

Le système est donc fi

lm

degré de liberté ((}G)

EI/ergie potemielle: La variation d'énergie potentielle par rapport à l'ctat d'équilibre, dans [e champ de pesanteur est donnée par la variation de la position . verticale du centre de gravité, donc par la projection "G • k de KG sur l'axe des z: U ::; mg (l'lG • k)

(Si

lU

est la masse du solide) .

Comme nous l'avons vu précédemment, cette variation est: KG •

!,

= (] -

cos (} G ) a

Puisque l'on considère des petits mouvements on peut développer au 1" ordre en (JG' On obtient pour U la forme quadratique recherchée:

u EI/ergie cil/étique :

C

1

.1

1

.~

1" mxû + 1" I G °G

PETITS MOUVEMENTS DES CORPS SOLIDES INDÉFORMABLES

99

la est le moment d'inertÎe de rotation par rapport il Go:

Pour obtenir 00

.tG

= xa . Î il suffit de développer (4.3) au premier ordre en

<

d'où: =>

Equation dit système: On a : 3

mR ( 2"R

2

a)

0G + moa (1 G

= 0

La pulsation de résonance du système est donc:

(Il

=

J

o

Ji 3/2

a R 2 a =>

(li

=

Ja

413rr 8/31T

li 3/2 -

VarÎame: Circonférence pesante de rayon RI roulant sans glissement sur un moyeu fixe de rayon R2•

Cas '2

Cas 1 Figure 4.7.

Trouver la rréquence de résonance des petits mouvements.

CHAPITRES

PETITS MOUVEMENTS DE TRACTION-COMPRESSION DES POUTRES DROITES

5.1.

RAPPEL DES ÉQUATIONS ET DES CONDITIONS AUX LIMITES

La traction-compression des poutres a servi d'exemple pour la théorie générale du chapitre 2. L'état du système à l'instant t est défini. par le déplacement x(z, t) d'une section droite S(z) de la poutre parallèlement à son axe.

o

L

z

Figure 5.1.

Energie potentielle de déformation: La déformation en z d'un petit élément de

longueur dz est e CT

8x

az' la contrainte de traction-compression associée est

= Ee. Le potentiel est :

dv = -1

fL E (ax) -~ Sdz az

2 ()

Energie ci"étique :

c ~ -

f

px1 dv

(V)

Travail des forces extérieures:

r xf dz+ [xF lo + [xF1L Jo L

Wc

(f = force linéique répartie le long de la poutre, F efforts aux extrémités de la poutre).

102

VIBRATrON DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

L'application du principe des travaux. virtuels donne l'équation différentielle de J'équilibre dynamique et les conditions aux limites du problème: -

( ES La quantité :F

~ (ES

az

ÔX ) 0 = -

= ES ax az

+ pSi

àx )

az

Fo

et

(

=

ES

f

(5.1)

ÔX )

az

L

représente l'effort exercé par la partie droite de la

poutre sur la partie gauche (en orientant les z de la gauche vers la droite). Remarque: On peut définir pour le problème des conditions aux limites plus générales que celles correspondant à un effort extérieur imposé en bout de poutre. Ces conditions sont du type: a ES

or. + f3 X az

F

en

z=

I?

Dans la pratique on utilise souvent les conditions aux limites homogènes simples:

j -

5.2.

d'extrémité libre dX

az

=0

d'extrémité fixée x = 0

EXEMPLE 1 : ANALYSE DES PETITS MOUVEMENTS DE TRACTIONw COMPRESSION D'UNE POUTRE DROITE LIBRE À SES DEUX EXTRÉMITÉS

No~s avons déterminé au chapitre 2 les fréquences de résonance et modes propres d'une poutre uniforme libre-libre, en illustration de la théorie générale. Nous allons reprendre cet exemple en poussant la résolution plus loin. Nous mettrons ainsi en évidence les mécanismes physiques des mouvements de traction-compression dans une poutre droite.

Rappel des nwdes propres:

x,. (z)

l W

Il

cos (Il

= (II -1 )

7T

f

en posunt

c=,ff

(5.3)

Calcul des fonctions de transfert du système: La réponse (transformée par Laplace) ü une impulsion unité localîsée en Zo peut être obtenue par projection

103

PETITS MOUVEMENTS DE TRACTION-COMPRESSlON

sur les modes propres selon les formules générales du chapitre 2 :

__ 1_ [ 1 !Xl cos n1TzjL cos ll1Tz ojL H(Z,lü,p)- SL +2" ( 1rIlC)") /.....I 1 P p-+

On peut également obtenir H (l,

aH

pour 0 ~

o

az z~

en Z

Z~

B(z-zl)

=0

et

l

=L

zn : H = Ach

pour z{)::s

(5.4)

p) en résolvant directement le problème:

a2H +p2 p SH

-ES

avec

Zl)'

J

c

L :

H = B ch

eC (L - Z )

On détermine les coefficients A et B en écrivant la continuité de H en

2fl et une discontinuité

1

aH

ES de az en zn : Zn

p

C

C

A ch p - - B ch - (L - zn) = 0

P[ A sh p -ZU + B sh P - (L -

-

Zo)

1c c c d'où:

A=

chE (L C

]

zu)

__ c_--:::-__

c Zo

c

B

chpC

c C

pES

chp ~ ch e (L - Zn) c c shpc

104

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Explicitons l'allure de la fonction de Green G (z, ZQ, t) (original de H), pour

o ~ Z:<S. 41: H (z, 2{j, p) peut s'écrire sous la forme: H (z,

7. "1)'

p)

C

=

2 ES

lIp Tl

P1 _ e - Tp [e-

+e

"t:!p

+e

TJP

e- ~4 JI]

avec: T

2L ZI) -z =c' Tl =-c-'

-,7 2

Zn + " 2 L - (zu +z ) 2 L - (zn - z) = - c - ' T] = C ,T.j = - - - c - ' - -

Les temps Tl + IlT, T1 + /lT, T3 + nT, T" + Il, (11 entier ~ 0) sont les temps mis par dent ondes de vÎtesse c émises cn Zil dans la direction des z positifs et des z négatifs et se réfléchissant (sans changer de signe) aux deux extrémités de la poutre, pOlir arriver cn z.

Remarque: la vitesse de propagation dans une plaque mise en ëvidence au paragrapbe 3.7 était J E , du fait de l'cffet de striction caractérisé par Je p (1 - lr) coefficient de Poisson 11. Cet effet n'a pas été considéré ici. La fonction de Green est alors : G (z, zo, 1)

= 2 ~S

'{

fy

[1

(') + IlT)] + y [1 - (T2 + Il'i)]

tlAO

(T-t+lI'r)])

+Yl/- (T)+lIT)]+Y[t

(Y (f) étant la fonction échelon unité).

G(t)

/'

4e/ES

/

2e/ES

e/2ES t Figure 5.2.

105

PETITS MOUVEMENTS DE TRACflON-COMPRESSION

Remarque importante: Si ail s'intéresse à des temps t grands par rapport ml temps T caractéristique de la durée de parcours des ondes, on peut assimiler la fonction G (z, Z.,' t) à une droite G Ct) passant par l'origine et de pente 2c 1 ES, (courbe en tirets sur la figure 5.2) : G(t)

2c ( ES T

c2 ESL

--=--t

Ceci correspond à la réponse de la poutre considérée comme lm corps solide (indéformable) de masse pSL à l'impulsion unité. Nous dirons donc, d'une façon générale, que, dans l'étude de la réponse dynamique d'une structure, l'hypothèse de corps solide n'est l'alable que si l'on s'intéresse à des gammes de temps grandes devant Je temps mis par les ondes élastiques pour parcourir la struclltre. On peut d'ailleurs retrouver ceci en examinant la fonne de la fonction de transfert projetée sur les modes propres: En effet le premier terme de la somme correspond au mode de corps solide (de fréquence propre nulle). Si la gamme de fréqttence à laquelle on s'intéresse est située largement en dessous de la 1rc fréquence de résonance non nulle

( fI

~),

/L

on pourra négliger les autres termes de la somme:

H (z, 2ft, p) =

P

1 1 SL -;; =!'> G (z, Z.II t) p-

=

Au contraire si l'on considère des temps très courts ou des fréquences élevées, la somme de la contribution des N premiers modes propres constitue une

G(t}

3c/2ES

à fréquence nulle c/ES -

Solution exacte

o

T/2 Figure 5.3.

T

t

106

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

approximation du problème de la propagation des ondes: t

G (z, zo, t)

= PSL +

Par exemple (pour z= Zo G ( L/2 ,

LI") -, t =

t

P

2e ES 71"

=

N

L

n",J

COSIl7l"z/LCOS1!7Tzo/L. sm 2 Il Il

'Tr.t -T

L 12) :

SL +

2 c ~ 1 " 2 'Tr. t ES '-' - sm 1 1 - -

TT

2/l

(11 pair) (figure 5.3)

T

Remarque: Le premier maximum de la courbe approchée a une absCÎsse qui

tend vers 0 quand N -

00,

mais son ordonnée ne tend pas vers 2 ~S mais vers

c

1,17 2 ES (phénomène de Gibbs). Varia lite de l'exemple: Poutre fixée à ses deux extrémités. On trouve dans ce cas:

- Y[/- (1']

+ 111')] + Y[I

(1'., + nT)]}

Gltl [/2ES --

-cI2ES --

Figure 5.4. li Y a rénexion de l'onde llvec changement de signe aux extrémités fixées. D'autre part le rnit que III poutre soit fixée entraîne l'absence de mode de corps solide, la réponse oscille donc autour de l'axe des temps.

5.3.

EXEMPLE 2: ÉTUDE DE L'IMPACT D'UNE POUTRE SUR UNE PAROI RIGIDE

Soit une poutre uniforme, comme dans l'exemple précédent. Cette poutre est animée d'un mouvement uniforme parallèle à son axe de vitesse Vo lorsque son extrémité A entre en contact avec la paroi rigide, au temps t = O. La paroi rigide exerce alors une force f(t) sur la poutre. Ca1culons, dans un premier temps, la réponse de la poutre immobile à une force f (t) exercée à une extrémité à partir de l'instant t = O.

PETITS MOUVEMENTS DE TRACTION-COMPRESSlON

107

.,----8

L

L

A

o

x

Figure 5.5

Soit F (P) la transformée de Laplace de f (tJ. La transformée de Laplace de la réponse est donnée par les formules générales de l'exemple précédent en faisant Zn = 0:

ch X(z,p)=F(P)

C

ec (L' - z )

En particulier la vitesse du point A est donnée en tmns[ormée de Laplace par: [(i(O, t)) = P(P) en posant

=

T

~S cothP(~

F(P) ~ _1_-1_-e_--_T_{!

ES 1 _ e- 7j!

2L

C

i(O, 1) = ;S [J(t) + 2 f(t - T) + 2 f(1

d'où

2 'f)

+ ... ]

Si J'on considère maintenant le problème de la réponse il f(t) d'une poutre en mouvement uniforme - vlJ à l'instant initial, on a :

.\- (0, 1)

c

+ 2 f (t -

- Vn + ES lI(r)

T)

+ ... 1

Ecrire le choc en A sur la paroi rigide, revient à imposer .\'(0,1) 0 aussi longtemps que la poutre reste en contact avec la paroi. c'est-à-dire que la force f(t) reste positive. Pour 0

<:::

t

<::: T :

i (0, t) donne:

= - Vn

f(t)

c

+ ES f (t)

ES~>O. c

= 0

VIBRATION DES SYSTÈMES MI~CANIQUES

108

La poutre reste donc en contact avec la paroi dans cet intervalle de temps. Pour T <: ( <: 2 T : .r(O, t) donne:

J(t) =

=-

c ( /(1) v() + ES

vn + 2 ES C"

)

=0

ES - vn <: 0 il ne peut donc y avoir contact. e

Dans cet intervalle de temps on a donc 1 (t) 0 et x (0, t) VII' L'extrémité A de la poutre repart avec une vitesse positive vu- T représellfe dOllc la durée du choc. La vitesse en un point d'abscisse z de la poutre est donnée par: C

.r(z, t) =

Vil

+ ES [f (t -

1 J)

+ f (t -

T

+ Tl) + 1 (1

-

TI

'i )

+f(t-21'+ïd+,,·j Dans l'intervalle (0, 2 T) on a, puisque

1(t) = -ES

Vn [Y (t)

- y (t ~ T)]

C

.i(z, t)

vol- 1 + Y (t - Td + Y (1

(5.6)

Dans l'intervâIle (T, 2 T) .\-(z, 1) Vu ce qui veut dire que la poutre après le choc est animée d'un mouvement uniforme de translation + Vn. Il ne peut donc pas y avoir de second choc et ln formule précédente est valable pour 1~2r.

L'allure de .\~(:, 1), de .\'(z, t) repéré à partir de la position à l'instant o et de ICI), est donnée par la figure 5.6 :

xlz, tl

xlz,tl

1

fit)

IES/ c)vo 1 - - - - - - - ,

o

T

Figure 5.6.

On retrouve ainsi le résultat classique de la réflexion due il un choc élastique. Si l'on s'intéresse il des temps grands par rapport à T, on écrira simplement le 0, pour la poutre changement de signe brutal de la quantité de mouvement en t considérée comme un corps solide.

109

PETITS MOUVEMENTS DE TRACnON-COMPRESSION

Remarque: En intégrant f (t) on retrouve l'intensité de lïmpulsion nécessaire à ce changement de signe de la quantité de mouvement:

i r

()

JO) dt

EST

= - - Do C

=

2 ESL

2

2 pSLv o

Vo =

/lIV O

(m étant la masse de la poutre).

5.4.

IMPACT D'UNE POUTRE: UTLLISATION D'UNE BASE MODALE TRONQUÉE - NOTION DE RAIDEUR DE CHOC

On peut utiliser, pour résoudre le problème précédent, une base modale représentant les mouvements de la poutre. Choisissons par exemple la base des modes libres en A et B déterminée en 5.2. Pratiquement on utilisera les N + 1 premiers modes. Dans le système en translation vo, la transformée de Laplace du petit déplacement du point d'abscisse z de la poutre, sous l'effet de la [oree d'impact J(t) qui s'exerce en A est donnée par:

X(z, p)

Par ailleurs la condition de choc sur le plan rigide en pour X(O, p) :

0 au point A, donne

l

X(O,p)

mv()

:::;. F(P) = - - - - - - - - - , ( /l-

N

l +2N

,., -

~

7TC )

L _-.:---:..Il '"

1 n2

(

~c ) ~

+ p'2

n:!.( 'TTC)2

2 nwo l11v(J

i: T )-., + + i:

Il

1 + 2 N + (1 + 2 N) [1

1 li:!. (

2

p:' .,

II

=

mv" +-

-1 Î N + JUv o

N

À/I

I--::----:1

p"1

2

111 (

~

) -

]

+

p2

110

Les

VlI3RATION DES SYSTÈMES MÉCANIOUES

À Il

et w ~ sont des constantes.

:::::- f (t)

mV n = --1." 1 N Ù (f) _

+ mvo

N

À/I.

1

W

l --; sm

J

W

JI

t

11

(avec la condition f (J) :> 0). La force /(1) se compose donc d'une impulsion à l'instant 1 0, et d'une fonction du temps dont les caractéristiques d'évolution sont de l'ordre de grandeur du temps de choc T déterminé en 5.3. Remarque:

Les w/; sont une approximation des résonances de la poutre fixée en A et libre en B, d'autant plus correcte que N est grand. - L'intensité du ô (t) est d'aulant plus faible que N est grand. Supposons maintenant que l'on représente les modes négligés (N + 2 à l'infini) en omettant dans chaque contribution modale la partie inertielle (terme en p2) :

2 m

1

tXj

l

,( T ):1

N~1 Ir

7TC

On aura donc:

X(O,p)

= -1 [

111

( -1

p:'

l -"

+"

N

1 )+] !.io -----:-~---;- ] F(p) =-:;

111~(

7TC ) - +p:1

l'-N

p-

Ceci revient à interposer entre J'extrémité A. de la poutre et le point Ail d~ plan fixe, un ressort de raideur KN appelée raideur de clloc.

A KN ----

Figure 5.7.

111

PETITS MOUVEMEt-.'TS DE TRACTION-COMPRESSION

On a: F(P)

À:'

et

w: étant des constantes. N+l À/

,,11.'sm

=> I( t ) = mv() L.. ;-;;

"= 1

(avec la condition

/1

w 11 t

1 (t) >

0)

/1

Nous voyons donc que 1 (t) ne présente plus la singularité â (1). De plus l'approximation de la force de choc est meilleure que dans le cas du calcul précédent comme nous J'illustrons CÎHaprès : Considérons une description il l'aide des deux premiers modes (N 1) : Sans raideur de c/ioc : 2 nwo

!IWo

F (P) = 3 mV{j

=>

f (t) = 3

li (t)

+ -3-

mv o c

'r

-(-7T-"..:.....C-)-2"':"--~

T

+3p-

"1T . (21rt) sm J3-:;:-

= -).

r{JT/:'

Jo -

2

+ -C- 3-

2L c En dehors de cet intervalle I(t) De plus:

(avec

(.,1re)

I(t) dt =

5

'3 mv() =

O.

quantité de mouvement associée à 1 (t)

Avec raideur de cltoc :

( -L)2 L aJ

2

1rC

]

.2

=> F(P)

-...::.--- + 2 - - - ' - - - p2+

., (7Te) .2

:c -

p-+ T ) --.2------~.,~-'----'--------~

11H10

(

~

( =

=> J(t)

mvo

[

--r-

T1Wo C [

_ 2 ) p'!

0,2] ., ) ( pL 1rC

+ (0,50?

1rt

+ ( ~- + 1 ) ( ~c

+ ----'----- ] ( 7Tt

1 ,3 sin -:;- + sin 3,5 -;:

1re

J

) + (1,75)2 O~t

0,97

) .2

pl +

(

:c ) 4

J 12

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIOUES

De plus: 0.'J

1

T

f(t) dl "'" 1 ,96

IllV()

quantité de mouvement associée à

o

f

(t)

Rappelons que la solution exacte de f (1) est un créneau de niveau mv c o et de durée T et que la quantité de mouvement associée est 2 17lV o• Le graphique 5.8 montre la comparnison des différentes solutions:

2 : ~ Sans raideur

r

de choc

1

1 1 1 1

1 1 11~4-----~~-----4~------~----~

\

Solution exacte

\ \ \

\

\

\

o

\

\

t/T

0,5 Figure 5.8.

Remarques: 1) Si )'on choisit une raideur de choc Kc trop grande (par rapport à KN). la force de choc l (t) se compose essentiellement d'une oscillation à haute fréquence

(W K=

~)

:

PETITS MOUVEMENTS DE TRACTION-COMPRESSION

113

En effet pour les [ très petits: F(p)

pour

t:>

'1(

7T Wl{

l(t) <0: la poutre décolle avec une vitesse vn (au point A).

Pour les temps suivants il peut y avoir une succession de chocs brefs (T I.J. L'histoire de la force de choc est donc complètement perturbée. D'une façon pratique c'est ce qu'il se passe si dans une allalyse lwmériquc du problème on ne prend pas de précautions particulières pour traiter le choc (le cas sans raideur de choc étant un cas théorique). - Si l'on choisit une raideur de choc Kc trop petite, on diminue l'amplitude de l'oscillation parasite mais on allonge la constante de temps du choc. Le choix de Kc KN constitue donc une sorte d'optimu~ en ce qui concerne l'estimation de la durée et de l'intensité du choc, compte tenu de la base modale choisie. 2) D'une façon générale il faut également tenir compte des modes propres de la structure impactée. Si par exemple le plan d'impact considéré précédemme nt a tous ses modes cn dehors de la gamme de fréquence étudiée, on considère simplement une certaine souplesse locale et on modifie la raideur de choc en conséquence :

Dans ce cas, on n'a pas besoin, pour représenter à peu près correctement les constantes de temps et l'intensité du phénomène, d'une base modale trop rÎche. Il suffît en effet de choisir N caractérisant la troncature modale telle que KN soit de l'ordre de grandeur de Kp,an.

CHAPITRE 6

PETITS MOUVEMENTS DE FLEXION DES POUTRES DROITES

6.1.

ÉQUATIONS ET CONDITIONS AUX LIMITES

On considère ici les petits mouvements d'une poutre droite perpendiculairement à son axe. On suppose pour simplifier que ces mouvements se [ont dans un plan xOz et sont caractérisés par le déplacement x(z, t).

Energie potentielle de déformation: On utilise généralement l'hypothèse de flexion pure pour caractériser le champ de déformation dans la poutre: on suppose que les sections droites S (z) restent planes et se contentent de tourner en étant orthogonales à une ( ligne moyenne» caractérisée par le déplacement x(z, t). Au premier ordre (puisqu'il s'agît de petits mouvements), la déformation se fait alors uniquement suivant l'axe Oz. Mais contrairement à lu tractioncompression, elle n'est pas constante dans une section droite mais varie linéairement en fonction de la distance yau plan perpendiculaire au plan xOz et tangent à la ligne moyenne (voir figure 6.1). On a, si (J (z) est l'angle de rotation de S (z) : E:;

Y

aB iJZ

v l(

Ligne moyenne

z

dz S(2)

-t-+-_....L.:...---I~_

Axe de

flexion

Figure 6.1.

u

VIBRATION DES SYSTËMES MJ~CANJQUES

116

Comme 0 = oX on obtient :

oZ

(6.1)

On peut alors exprimer l'énergie potentielle: U ?1

f-(j'

-

en utilisant l'expressÎon de U

E

] --

- 2

®

Tf dv

(V)

et la relation de traction-compression a = E F:

f

L

dZ

Il

f

S(z)

Ey 2 a-x -

- ds (')" àZ 2

Si l'on suppose le matériau homogène dans la section droite et si l'on pose:

l (z) = moment d'inertie de flexion =

f

y2 dol'

S(z)

On il:

(6.2)

Remarque: L'hypothèse de flexion pure est valable pour des poutres longues (L ~ D) (D = dimension transversale caractéristique). Le fait de négliger les effets de cisaillement (qui existent toujours dans les problèrpes de dynamique), entraîne sur la raideur des erreurs de l'ordre de (

~

) 2,

Energie cinétique: Pour exprimer l'énergie cinétique

~ -

f

p (if dv on a

(V)

coutume de négliger l'inertie en rotation des sections droites et à ne considérer que l'inertîe en translation associée au mouvement x(z, t). Ceci entraîne des erreurs sur la masse de l'ordre de (D IL fOn a alors:

C

~

fL pS (.i)1 dz

- Jo

(6.3)

A partir des expressions de U et de C on peut appliquer le principe des travaux virtuels pour obtenir l'équation d'équilibre du problème.

117

PETITS MOUVEMENTS DE rLEXlON DES POUTRES

Si t'lx est un déplacement virtuel on a :

r Jo

L

8U

8W,.=

iJ2ry clZ-

(El iJ\) az-

_[El a~~

a8x

rÎZ-

az

8x dz

_.i!... az

(El a~~ ) àZ-

ÔX]L Il

L

r pS.i.' 8x dz

8W;

Jo

Si on applique aux extrémités de la poutre un effort tranchant F (force transversale à "axe de la poutre) et un moment de tlexion M (moment d'axe normal au plan du mouvement de flexion) et d'autre part un effort tranchant réparti J, le travail de ces efforts extérieurs dans le déplacement virtuel 8x est: 8W r =

1F 8x]0 +

J,~ [a:

22

. + [M a8t] . + IL f [M (.18\:]

[F 8xlL +

iJz

f]

2

(El

ax )

+ pSf -

8x

Il

L

~( El a:r ) J ox]o

[[F

[[ F+ ;: (El :;~ ) ] Ox] [ ( M - El

ôx dz

0

:;~ ) a8x ] L

1. -

[

(M + El a~t )

a8x

J o

0

D'où l'équation d'équilibre dynamique (Bernoulli-Ellier) :

(6.4)

~~ raideur

'--v----'

Opêratcur d'inertie

et les conditions aux limites:

--f!i)z

(EJ a~~ ) =±F (lZ-

El a:r àZ?

=+M

en en

représente le moment de flexion exercé par la droite sur la gauche à l'abscisse z

118

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

(El a

2

_ ' - -a :rrc. 1 -

- x )

àz 2

oZ

représente l'effort tranchant exercé par la droite sur la gauche à l'abscisse z. D'une façon générale les conditions aux limites peuvent se présenter sous la forme de 2 relations linéaires à chaque extrémité de la poutre, liant x, () -_ OX Bz '

1.1 ,JIlJ

rrc

et :J'.

Les conditions aux limites les plus courantes sont:

-

l'extrémité libre

a2x {,AL=O ou .7- = O'

-

oz::!

[ ai! a\:

=0 =0

"extrémité rowlée (ou appuyée)

=0 { .AL = 0 =;. x

-

(si El est constant)

x = 0 .,

a~ l az-

= 0

l'extrémité encastrée

Remarques: L'opérateur de flexion des poutres est plus complexe que celui de traction-compression puisqu'il est du 4 c ordre. Dans les exemples analytiques que nous étudierons plus loin nous supposerons que E, l, pet S sont indépendants de z. D'où l'opérateur de raideur:

L'équation d'équilibre peut se mettre sous la forme:

119

PETITS MOUVEMENTS DE FLEXION DES POUTRES

6.2.

EXEMPLES DE CALCUL DE MODES PROPRES 6.2.1.

Etude des modes propres de flexion d'une poutre droite uniforme rotuléerotulée

1\ s'agit de trouver les solutions singulières du système homogène:

x=o {"IX ( -4-

az

- WR Co

)

2

.t =

f

0

avec

!

a~\: -= 0 2

cn

az

Une méthode générale consiste ft expliciter la solution générale de l'équation différentielle: Si À p À 2' "') et À 4 sont les racines de l'équation caractéristique:

-w( Cf) Rf

)! -0 -

x est de la forme:

ou, si l'on choisît une racine de l'équation caractérîstique sous la forme:

(6.5)

kz

. kz

x = A cos L + B sm

kz

kz

L + C ch L + D sh L

Les quatre conditions aux limites homogènes donnent alors un système homogène d'inconnues A, B, C, D:

-

en

Z

0

-

en

Z

L A cos k + B sin k + C ch k + D sh k = 0 A cos k - B sin k. + C ch k + D sh k 0

On écrit que cc système est singulier (cn annulant son déterminant), ce qui conduit il une équation cn k, donnant les pulsations de résonance du problème. Ici nous obtenons: sin k :::::>

"11

=

1l1T

0 (n enlier> 0)

]20

VIBRATION DES SYSTÈMES Ml~CANIQUES

Les modes propres sont donnés par les solutions du système singulier (définis ù un facteur près). Ici:

B

=

1

d'où: X Il

. = SIO

k

'n

LZ

ou

.

Xn =

SIO

I17TZ

L

La masse généralisée est:

fL pSX~

nf/l

dz=

fJ~L

Il

-

Renwrqrtes: Les fréquences de résonance ne sont plus, comme pour la traction-compression, des multiples d'un fondamental mais sont proportionnelles ml carré d'un nombre entier. La fonction de transfert peUL être exprimée également de deux façons: par projection sllr les mode propres:

011

directement:

On écrit pour cela [a solution pour 0::..; z< .2ô qui est de la forme:

. kz B slOT

D sh kz L

compte tcnu des conditions de rotule cn

k = L

J

pou r <';1

= O.

Z

cn posant cette fois:

ip

Co Rf

<:

z.:;.; L :

On écrit ensuite [e '( raccord}) des 2 solutions en

Z

==

~l :

continuité de

x:

B sm k

rZ() + D sh k Znr

0:

B cos li.

L~ +

•

,)lL: - B sin k

D ch k

, B'slOk

(

]-r

r~ = - B' cos le

~ + D sil k ~

Zn )

(

1

- B' sin k ( 1 -

( +D'shk]

Z(l )

L

~

-D'chic

(Zl) ]-r )

) + D' sh k ( ] -

~

)

121

PETITS MOUVEMENTS DE FLEXION DES POUTRES

discontinuité de :F : El (

k ) L

J

B cos k

Zn

Zu

L + D sh k L - I3' cos le

(

l -

Zo L

)

+ D' sh k ( 1 -

~)

J+ l

o

Dc cc système on tÎre B, D. B' cl D': L

B=

D

3

zl) )

L

sin k ( l -

( k)

sin k

sh k (1 zn) 1 (L)3 L 2 El k sh k

o ::E Z::E Zo

H (z, zo, p)

= _1_ ( Co Rf

2 El

sin

):ll:!

ip

[

sh

sin _1_ (

2 El

Co

Rf )

JD

ip

[

Cette forme de H (z, ~,p) est plus compliquée que celle obtenue pour la traction-compression Cl la fonction de Green G (z, 20, f) n'a pas d'expression analytique simple. Ccci esl dû, comme nous l'avons vu en 3.8, au caractère dispersif des ondes de nexion. 6.2.2.

Etude des modes propres en flexion d'une poutre droite unUormc encastrée il une extrémité ct munÎe d'une musse m localisée il l'autre extrémité libre Comme dans l'exemple précédent le déplacement est de la forme: .\'(z)

A cos

kz

. kz

T + I3 sm T + C ch

kz

-1-

D 511

kz

T

122

VIBRATrON DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

o

m

~----------------------·I

Le

l

po

Figure 6.2. Les conditions aux IimÎtes cn z = 0 sont: X==O

=0

1 az (IX

=>

{A+C =0 B+D o

Les conditions aux limÎtes en z = L s'expriment d'une part en écrivant que le moment de flexion est nu1, d'autre part cn écrivant l'équilibre de la masse III dans son mouvement de translation en x :

en

il:" - 0

z~ L

•, -mw-x

1 d'où: A(cosk+chk)+C(sinlc+shk)

0

et - mw 2[A(cos k - ch k)

+ C(sin k - sh k}] = El ( -[)

Soit

À

J

[A(sînk-shk)-C(cosk+chk)1

le paramètre adimensionncl, tel que:

., kÀ

mw-

El (

=> À

k )

À

EIL

3

L

=

mw 2

L)4 111 ( k = pSL

masse nt masse de ta poutre

Les deux dernières conditions aux IimÎtes deviennent: \ A (cos k + eh k) + C(sin k + sh k) fA[sînk-shk+kÀ(cosk

=0

chk)] +C[- (cosk+chk)+kA(sink-shk)] =0

Les fréquences propres sont données par l'annulation du déterminant de ce système: - (cosk+chk)2- (sin 2 k shIk) + kA [(cos k + ch k) (sin k - sh k) - (cos k - ch k) (sin k

+ sh k)]

0

123

PETITS MOUVEMENTS DE FLEXION DES POlITRES

ou:

(1

+ cos le ch k) + kÀ (cos li. sil k -

sin k ch k) = 0

dont les racines sont une suite de valeurs k n (11 propres:

~

1), d'où les fréquences

1k~ JEI

f= n

-pS

1T

Les déformées modales sont données par: Xn(Z)

(sin kil

+ sh kil) (cos k n

l

ch k n

t)

- (cos kIl + ch kil)' ( sin k n

t-

sh k n

Î)

Examinons deux cas parlÎculicrs : À <:€ 1: Dans ce cas les kil sont données approximativement par l'équation 1 + cos k ch k = O. Ce sont les fréquences propres de la poutre encastrée-libre. La masse m est négligeable. À ~ 1: Dans ce cas on remarque que la première racine k! est petite del'ol/t 1. Un développement limité au voisinage de 0 de l'équation en le donne:

2 À

1 2rr

/3 El/L)

V--n-I-

On retrouverait cettc même expression de fI en négligeant la musse de la poutre ct en ne considérant que sa raideur: un calcul statique montre en effet que la force de rappel exercée par la poutre, du fait d'un mouvement imposé x de son extrémité libre est: F 3 El lU x. Le système peut alors être considéré comme un système masse (m)-ressort (3 El IL)) dont la fréquence de résonance est fI' Les autres fréquences propres (II :> 1 ) sont obtenues approximativement par l'annulation du coefficient de À dans J'équation en k: cos k sh k - sin k ch k = 0 Ccci correspond aux fréquences propres de la poutre encastrée-rotutée : pour ces modes la masse TIl est quasiment immobile (on vérifie que cc résultat est cohérent du point de vue de l'orthogonalité avec le mode 1 qui, lui, comporte un mouvement de la masse 111).

124

6.3.

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

IMPACT LATÉRAL D'UNE POUTRE DROITE SUR UNE BUTÉE RIGIDE

Du fait de la complexité de la fonction de Green en flexion, il est à prévoir que le problème du choc latéral d'une poutre droite sera beaucoup plus complexe à résoudre que celui de l'impact longitudinal (traction-compression).

6.3.1.

-

Impact d'une poutre de longueur infinie

Considérons tout d'abord le problème suivant: Soit une poutre de longueur infinie en translation latérale de vitesse VO' Elle heurte en z 0 et à t 0 une butée 0 rigide. En 0 s'exerce une (orce I(I):> O.

r t l

-vo

t î

~

0

t f ... Z

Figure 6.3.

La vitesse d'un point d'abscisse x de la poutre est donnée par: .f(z, 1) = - Vo + -a

II

al ()

G(z, t - T) /(T) dT

G (z, t) étant la fonction de Green de la poutre infinie. Soit en transformée de Laplace, d'après (3.25) : C~i(z, t)

+ vol

= pH(z,p) F(P)

x e

- V /~.E.L 2 Co Rf [ cos

J@fi . J@fi] R [p -.,- J:J - Co

'[

+ sm

R [p -.,- R - Co

f

On écrit qu'en z = 0, la vitesse est nu1le du fait de la butée, c'est-à-dire que i(s, t) + VII est un échelon d'amplitude vo: Vo

P

2pS(co R[)W

p

125

PETITS MOUVEMENTS DE FLEXION DES POUTRES

o

t Figure 6.4.

F(P)

d'où

S(C R )1f.!

P - _ '\,/75_ ..j0 p f

-'J

f(t) = pSco v()

==> C(.f(z,

~ () J ~.E.l

n

V 1) + vo) = -e

~

p

d'où

.1'(z,

1)

~-

Vu

It

c

(en posant comme en 3.8

l

cos

__ f 7r

Co

(6.6)

t

J-

Rf P 1Z 1 __ ..l......l + sin 2 Co Rf

Jrn "!

..LU sin

1

7T Co t

J-

Rf P 1 zz 1 ] -1-..!......l.. .... c n Rf

R x~) dX ] (-4 t f Co

2 Rf

Y (0 ) Co 1

f)

[

'SR

J

+ VU Y(I) -

~ - "" + v" [

f

J

Vo

= -R f

iff;~ 'Jf,' dU] et X

z

= - ).

o

Rf

(3

-1 Figure 6.5.

126 6.3.2.

VIBRATION DES SYSTÉMES MÉCANIQUES

Discussion: Nature physique du choc cn flexion

La solution précédente montre la génération au moment du choc d'une onde dispersive qui part de 0 et se propage le long de la poutre. On remarque que la poutre reste indéfiniment en contact avec la butée; ce qui est normal puisqu'il n'y a pas d'onde réfléchie. En fait cette solution n'est pas physique, du moins dans sa partie haute fréquence. En effet l'équation de flexion des poutres n'est valable que dans la gamme des wd basses fréquences telles que - ~ 1, d = dimension transversale de la poutre Cs

(comme nous l'avons vu au Chap. 3). Ceci veut dire en particulier, qu'au bout d'un temps "de l'ordre de grandeur de d, une onde réfléchie tridimensionnelle viendra modifier les conditions de Cs

contact au point de choc (cf. figure 6.6).

d

--

t Point de choc Figure 6.6.

La force de choc sera ainsi constituée d'un ensemble d'impulsions de durée T. Si la poutre est de dimensions longitudinales finies, les ondes de flexion vont se réfléchir aux extrémités et compliquer encore les conditions de contact en O. Ainsi la structure d'un choc en flexion du fait de son caractère tridimensionnel est très complexe, contrairement à la traction-compression. 6.3.3.

Filtrage basse fréquence, raideur de choc

Souvent on n'est pas intéressé par l'évolution à haute fréquence de la force de choc. On ne veut connaître son histoire temporelle qu'avec une fréquence d'échantillonnage

Je

telle que

Je d ~ ]

; dans ce cas l'hypothèse des poutres en

Cs

flexion est tout à fait valable. Pour effectuer un calcul correct de la force de choc dans la gamme (O. J,J il suffira donc de caractériser la poutre par ses N premiers modes de flexion. Mais, comme nous ravons vu pour la traction-compression cela ne suffit pas: il faut tenir compte des « modes négligés », à l'aide d'une raideur de choc K N•

PETITS MOUVEMENTS DE FLEXION DES POUTRES

127

KN doit inclure la souplesse de modes de flexion négligés mais également de l'ensemble des modes IransversalL1: de la poutre (impliquant une déformation de la section droite). D'une façon pratique KN est obtenue à partir d'un calcul statique tridirnellSÎonnel :

F

Figure 6.7.

Si ô est la déflexion statique en 0 due ft la force F appliquée en 0 (on pose K smt = F / ô), on a : l

1

N'

X~(O)

-=--L. Kch[)c K m n w I~ -1

1

5111t

Les graphiques des pages suivantes, obtenues numériquement, montrent K chDC l'évolution de la [orce de choc en fonction du rapport K dans le cas d'une SIal

poutre encastrée-encastrée:

~~:-====m:-=====~ o Figure 6.8.

La poutre est animée d'un mouvement forcé par une excitation harmonique et subit un impact sur la butée centrale 0 à chaque période. Le tableau ciMuprès et J'observation des courbes montrent que plus Kchoc/K~tat est grand, plus l'histoire du choc sur la butée est complexe. Cette complexité étant caractérisée par la fréquence de coupure due à la raideur Kchoc : (m

masse de la poutre)

VIBRATION DES SYSTI3MES Mf~CANIOUES

128

que l'on peut rapporter à la fréquence du premier mode encastré-encastré:

(KI et m, étant la raideur et la masse généralisée du 1er mode propre).

D'autre part on observe que chaque impulsion élémentaire a une durée caractéristique T sensiblement égale à la demi-période associée à Je: T=

rapportée à la période du premier mode encastré-encastré:

.f.:/J~

Kch",jK'lal

N (*)

1 (unité arbitmÎre)

./1 T

-

-

40

6,.2

3

O,OSO

1,6

200

13,8

5

0,036

1,3

80n

27,6

7

0.018

1

S 000

87,5

13

0.006

1

(*) Ici N est délïnie comme éwnll'ordrc du mode d0l1l1a fréquence de résonance est immédiatement inférieure il .1;..

D'un point de vue global, on vérifie que la durée totale du groupe d'impacts tend vers la demi-période T associée ml premier mode encastré au niveau de la blllée (donc ici le premier mode encastré-encastré sur une demi-longueur de poutre). On vérifie également que i'illfégrale l de la force d'impact suria durée T (el/d vers tille consta/lte (l'intensité de chaque pic de force élémentaire croît, mais sa largeur diminue). Ceci correspond à J'énergie cinétique globale mis en œuvre dans le choc. On se rend compte que la détermination des grandeurs globales T et I qui sont souvent l'essentiel de ce qu'il faut respecter dans le calcul, est à peu près correcte

K chnc

pour des rapports ~ relativement bas (- 500), donc pour un faibJe nombre N stat

de modes propres de description de la structure.

0.04

Ë .§

Ë .§

....

....

C aJ

0

C 111

E

~ -0.04

~

~ -0.04 -aJ o

nl

ï5.

-aJ

0

..,

-O.OB

m

-0.06

:j

v1 !:: a

-0.12 -0.12

c < m

-0.16

-0.16 0.2

'Tj

0.4

ci:j'

0.6

Kehoc /Kstat =40

E::

f3

a:

m

-0.20

O.B

1.2

0

D.2

0.4

0.6

0.8

f,t

f,t

1.2

m ~ m x

0\

~

0.12 .....

u D

o z

0

-fi

-fi 0.06 ::::"1

:::1 "'CI

"'CI

Cl

r.1

111

ê

..,

~ O.OB

o

C --! ;;; m (J';

0.04

0.02

o

CI'l

0 IL.

.!: 0.04

~ V

KehDc/Kstat=200

0.2

0.4

0.6

O.B

ftt

1.2

D.2

0.4

0.6

D.a

f,t

1.2

........ 1-.;1

\.0

Ë

.§

.§

..... c:

i:: aJ E ~ ro

...... w o

Ë

CIl

E ~

-0.04

n:J

ëi.

-0.04

ëi.

'11/

'aJ

Cl

CJ

-O.OB

-O.DB

<:

-0.12

a

-0.12 -0.16 L.-_~---.JLl_ _-'-_ _..L-_---:__-:, 0.4 o 0.2 0.6 0.8 f,t 1.2

-0.16 ~.--;;'L;:--7:----:-L---L--L---.J 0.6 o O.B 0.4 0.2 1.2

f,t

"':'l

'"

> -j

~.

r.:::

Kchor/Kstat=BOO

;::; ?"

~

ô z

C

!Tl VI

VI

-
KchDc/Kstat=BOOO

-j LI

0.2f.

u

.s

0.20

0.36

rn,

0.16

~ 0.30

>

0.42

rn

VI

:s:

~

1!l

.f

t'Tl.

:s:

-5 .s

e

.c u

(")

z

êrn

0.24

0.12

j

O.OB

1

0.04

CIl

0.18

0.12 D.06

0.2

0.4

0.6

0.8

f,t

1.Z

()

0.2

0.4

0.6

O.a

f,t

1.2

131

PETITS MOUVEMENTS DE FLEXION DES l'OUTRES

6.4.

EXERCICES ET PROBLÈMES 6.4.1.

Trouver les fréquences ct les modes propres d'unc poutre muUiappuyée

i

2

h

/j

z

N

h

h

lX

h

I...-"-~- . --I

h

---Il1o-

Figure 6.11. On considère une poutre droite uniforme vibrant en flexion. Elle est appuyée sur N + 1 rotules régulièrement espacées. On appelle L la distunce entre 2 rotules. Efémenfs de la 50/lIIioll : Dans le Hème intervalle entre 2 rotules ta déformée

est de la forme:

Xj(Z)

=

Ai ( sh "sin

kl

sin

ksh kt),

+ Bj [ sh k sin k

( l

t)

sin k sh le ( 1 -

t )J

expression obtenue en utilisant la même méthode que dans les exemples précédents ct en écrivant l'annulation du déplacement au niveau de chaque rotule (l'origine des z est prise il la rotule gauche). On écrit ensuite le raccordement cntre les tronçons i et i + 1 (continuité des rotations et des moments, les efforts tranchants n'étant pas continus puisqu'il y il une réaction d'appui) : Pour i =F 1 (Bj + 1 + Ai) (sh k cos k - sin k ch le ) = (Ai { (Bj + 1 - Aj) sil le sin k = 0

+1

Aux extrémités de ln poutre on a: BI sh k s~n k = 0 { AN sh k Sin le = 0

L'ensemble de ces équations forment un système de 2 N équations ii :2 N inconnues dont on recherche les solutions singulières. -

On remarque une première solution: sin k.

0

Ceci correspond aux modes rotulés-rotulés d'un tronçon. La déformée de la poutre Il l'allure suivante (pour le premier de ces modes).

Figure 6.12.

132

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Si sin k "p 0 on peuL sÎmplifier le système des équations en posant: cos'P =-

sil k cos li: - sin li: ch li: sh k sÎn k

(on montre que sh k "p sÎn k et sin ip #- 0). On peut en particulier l'écrire sous la [orme d'une relation de récurrence:

Aj -f ~ {

Bj'Il

2 cos IP Ai -;

1-

Aj

=A;

On peuL alors expliciter les Ai ct Bi (cf. exemple sur la poutre en tractioncompression du Chap. 2)

l

Ai

=

sin (i ip)

-

!p

AJ . . sm I P '

B.

De plus on

Al

BI

1) IP ..

-.-sm (1

1)!p

-.-sm (!

1

~sin (i sm IP sm

!p

2) IP

LI :

B)

0

AN

ct

0

Le système est donc singulier si : sÎn N'P D'où IP

ÀiT

N

0

avec A CI/tier tel que 0 < A <: N (on a donc N

1 valeurs de

cos !p solutions). Les fréquences de résonance sont données pour les solutions de l'équation en k: sh k. cos k

sin k ch le

=

cos

A;

(sh Il

sin le)

En ajoutant à ces solutions les modes correspondant à sin le == 0 on a donc trouvé N groupes d'une infinité de fréquences propres. cc qui est cohérent avec

les N tronçons qui composent la poutre (on peut montrer qu'il n'y il pas d'autres solutions au problème). POUf étudier la répartlllon des fréquences de résonance, traçons a (1.) sh li: cos k - sin k ch li: en fonction de k: sh k - sin k Zù.. mode rotu\é-rotul~ du tronçon élémentaire

, ... mode enca~trlÎ-encastri du tronçon éllÎmentaire

k

-1

t

-2

1" mode rotulé-rotulê du trenton élémentaire

21"* mode encastré-encastré du tronçon élémentaire

Figure 6.13.

133

PETITS MOUVEMENTS DE FLEXION DES POUTRES

Les fréquences correspondant il sin k. = 0 se trouvent en k = 1T, :2 rr, ctc .. c'est-il-dire tantôt il l'intersection de a (k) et de la droite a = - l, tantôt il lïnterscction de a (k) ct de la droite fi' = 1. Les autres rréquences sc trouvent il . . d fOlles . Àrr . cr cos N l'mtersectlon de a ( k) uvec les N La figure 6.13 montre (pour N 8) que les fréquences de résonance s'échelonnent SUÎVilnt des groupes de N fréquences situées entre la fréquence d'un mode rotulê-rotulé de tronçon élémcntaire (qui est solution) et la fréquence d'un mode encastré-encastré du tronçon élémentaire (gui n'est pas solution). Quand N devient grand. III fréqucnce de la dernière résonance d'un groupe tend vers la fréquence encastrée-encastrée. Ce qui correspond (pour le 1er groupe) il une déformée modale d'allure:

Figure 6.14. D'une façon générale la déformée des modes est donnée pour le i-icmc tronçon par: (X'J>lJJz)

.

Sin

+sin (i

Î AIl 7r (

l)À

•

z.

sh km sm km l

I1

1T

-

z )

sm km sh kilt l

+

[shkmsinkm(l-t) -Sink.mShk m

(k/Pl étant la 11l·ièmc solution de l'équation en k pour A

6.4.2.

(]

-t) J

A,,).

Cnlcul des fré(IUenCes et modes propres d'un faisceau de pelUes pontres parallèfes encastrées il une extrémité ct fixées sur un dis
Euollcé dll problème a) Soit une poutre rectiligne de longueur L ct de section S encastrée il son

extrémité gauche. On en considère il la fois les petits mouvements de traction-compression el les petits mouvements de flexion dans le plan yOx. On suppose que la poutre est de

L

z~ Figure 6.15.

134

VIBRATION DES SYSTEMES MÉCANIQUES

section circulaire (diamètre d) et homogène (moment d'inertie en flexion ' 14 1 = :!!!.:-; E Module d'Young du matériau).

64

Calculer (cn statique) l'effort F de composantes Fx et Fy sur Ox ct Oy ct le moment de flexion de composante M sur Oz qu'il faut appliquer fi l'extrémité libre de la poutre pour imposer à cette extrémité un déplacement x de composantes .t ct y sur Ox ct Oy et une rotation O. En déduÎre la matrice de raideur K telle que:

b) Soit un système formé de ft poutres parallèles identiques à la précédente. encastrées en x 0 sur un plan fixe et encastrées en x L sur un disque mobile indéformable homogène de diamètre D, d'épaisseur H et de masse volumique p.

y

z ::>'t====::;;:;::;;:;=====~L - -

_____ _

Figure 6.16.

On suppose que d «i. D el l'on appelle Yi cl 4 les distances (algébriques) du point d'encastrement sur le disque de la poutre i, au plan xGz (G centre de gravité du disque) et au plan xGy. On impose au disque un petit déplacement KG (de composantes Xü et J'G) de son centre de gravité et une petite rotation 0G (d'axe Gz). Donner les relations que doivent vérifier les Yi ct 4 pour que le moment résultant - .A{, des efforts exercés par les poutres sur le disque soit porté par l'axe Gz. Dans ce cas, calculer en utilisant la matrice K précédente, la résultante .iU" des générale -:F (composantes - ŒJI et -:Ji r) et le moment résultant efforts exercés par les poutres sur Je disque. En déduire ILl matrice de raideur.J[ du système:

135

PETITS MOUVEMENTS DE FLEXION DES POUTRES

è) On effectue il présent l'analyse dynamique du système en négligeant l'inertie des poutres devant celle du disque. Ecrire la matrice de masse associée
L Yi = 0

il y

découplage entre le mouvement

li

.l'Ci

et les

mouvements Ü'G' 0G)' Dans cc cas, déterminer les fréquences propres Cl modes propres du système. Montrer que le premier mode propre a une fréquence nettement plus basse que les ,autres el cn donner une expression approchée simple. Application Ilumérique 10 pOllIres : d 20 mm; L 1 m ; E 2 x 10 11 Pu disque : D = 0,5 m ; H 0,1 m ; p S X 10 3 kg/m 3,

Réponses aux questiorls :

K=

a)

(ES/L

0

_6°L!El )

12 El

4EI L

sym

b) RelatÎon à vérifier par les Yi ct Zi:

o

uES/L J\:,

- ES/L LYi FI L-

") El 1_11

=

611~(1+H/L)

~

"\'

/lEI

,L;Yi- + L

sym

/

~

[4 + 6 H/L + 3(H L)-J

1

On remarque que le terme de raideur en rolation

E~

L y? est nettement plus J

grand que les termes de flexion correspondants en effet:

41l

El

1 L:-.-yfS (?1) ..

41/

1

L

c) Matrice musse:

a M

2

(M =

masse du disque

p '1TD H)

1

136

VIBRATION DES SYSTÈMES MÊCANIQUES

Fréquences et modes propres -

(L Yi =

0) :

Mode de traction-compression (translation en x: x G

,

pulsation propre: -

=

W f

l,

>'G

= 0,

()G

= 0)

0, YG

1.

J"ES ML

1er mode de flexion (quasi-translation en Y du disque: xG

0G = 0)

pulsntion propre:

ct!

Il

2C mode de flexion (quasi-rotation du disque:

ES

xCi

=

0, YG ::::: 0, 0G

1)

,

TL)'; puls
W

h

1 :=

Applicatioll mlmérique:

Jh

J, =320 Hz

La grande différence de fréquence vient de la grande différence des raideurs cn translation ct en rotution mentionnée plus haut.

Remarque: En fail les fréquences propres des poutres élémentaires apparaissent bien avant les fréquences f h et Jf' Par exemple si les poutres sont constituées par le mème matériau que le disque, la l le fréquence propre de la poutre encastrée-encastrée est J 87 Hz. Ceci veut dire que l'hypothèse consistant il négliger la masse des poutres n'est pas valable au-delà d'une certaine fréquence (ici de l'ordre de 50 Hz). La formule donnant Jh ne s'applique donc pas dans ce cas.

6.5.

FORMULAIRE

Le formulaire qui suit présente d'une façon condensée les principaux résultats numériques utiles pour déterminer les fréquences de résonance ct tes déformées modales des poutres en flexÎon.

FLEXION SIMPLE DES POUTRES GRANDEURS MECANIQUES ET GEOMETRIQUES

Conditions aux limites

Conditions aUx limites

x

E: module d'Young du matériau 1 : moment d'inertie de la section par rapport à l'axe de flel(ion du matériau Il: masse S: aire de la droite longueur U-Nl-TE-S-M-KS""I

X: déplacement normal en z lhd/dx: angle de rotation de la section droite en z J( =Eld 2X/dz 2 : moment de !le)(Îon exercé en z sur la partie gauche de la poutre l' =~Eld3/dz): effort tranchant exercé en z sur la partie gauche de la poutre

x

r-I

MOMENTS D'INERTIE DE SECTIONS SIMPLES (axe a-a)

DETERMINA TlON DES FREQUENCES PROPRES ET DES MODES CORRESPONDANTS POUR UNE POUTRE UNIFORME NCJ

c:

IlECTAIlIiLE 1 [ERClE 1 COURONNE

..,

0;'

c

r:l ?'

l=bll /1Z

:-J

~

'ê; '(~T'I'~

a

,

, 151

11

t3j

aux limites

z " !!.

~

,

~

aux limites!!:

.ff

d iS"

Rotulerotulé

Conditions

Allure modale Q,_

'.~

LI

,0 W

A

III

.§ ~

~

jE

,g....:

x-o

x=o { x-a - -~

El " {}.c:

i

dl

dIX

dz l (El

(F:

1 • \1 5

x;i

forte extérieure répartie par unité

f;~

2n

J

{

~ CdJ:!l u u

(.Il

!::

o c

< m !::

rn

~

!"ferm:. modale 1

CIl

o

3,11.16 6)63

10000 ,:0000

m

6=0 CID=l

6,1.25 12.566

1,0000 l,DODO 1,0000

m

-0,9825

ë5

A-O -

-1 0003

C"O D/B-R

-1'0 . 000

-

-1,0000 -1,0000

~

X

z o

r.1 fZl

"0

dl! longueur 1

Fréll~p..!:Bpre:

x-()

. R colonne

\lOir

r.1

=i

A=O

Q

-

l

EQUATION DYNAMIQUE

tt

-

~ 1~1Lj.J.---..,....~ =t> x-l - {X;O.~ fl.= 0

a-==::'.œ."

t'J

c:

"0

-i

o C

El

pS

~

m

"

Remarque: pour un tube de faible épaisseur, f ne dépend - - - pas de l'épaisseur (Ex.: tube circulaire. f=ltt 2/2n 1J IEI!lçlld/11t

CI'l

tré-1 32

Entas librl!

4

x=l

Forme modale:

121

, - - - - - - - : c - - - : c - - - - : : : - - - = - - -__- - ,

• O(sin,tt f'Shtl

T'

Librelibre

l, =1

..... t.JJ

-...J

FLEXION DE POUTRE AVEC MASSE LOCALISEE

UJ 00

FREQUENCES PROPRES D'UNE POUTRE DE MASSE NEGLIGEABLE AVEC UNE MASSE LOCALISEE Encastré-libre ~VE!C masse à l'extrémité

Ratulé-rotulê a'l!!C masse au miiieu

Rotulé-rllfulé avec massl! décent r êe

Em:ilstré-encastré avec masse au milieu

EnCiistré-enl:astré ~vec masse dl!CI!ntrée

RDtulé-rotulé avec masse à l'e)(tr~mité

~

Co, 1/1

f"

l Zn

V

f".1-

:HI mil

n

T :j 1/2

V

<:

a

3EI

ml 3

:.;3

>-

-l

FREQUENCES PROPRES D'UNE POUTRE AVEC MASSE LOCALISEE Encaslré-librl! a'lec masse il l'extrémité

1•

COS,1l

E:hll"t'

"'Il

1C05,Q ShŒ

"'Il

r 11- ces . ~ ch ~ Il 1 1

'Tj ~.

c::

;:s

, - COS,11

Enc:!stré-encastrê ave.c masse décentrée

I:hŒ

ail ehT ~Il ( 1. 1l - cos. T 1

.

5111.

ba h ba TeT

II =0

~

;..... ?O

2

o Z

sin a chal" 0

'0 r.1 en en

-< ~

t'Tl'

3:

Rlltulê-rotulé ave!: masse décentrée

,

h

r.l

en

"a lsm.1l ' hall h ba h - ail . ba 1 li T S T- Sil sln'T SinT

SIn.1l S ll. ~T

r-- ---j L,,_3 J.-bJ I

Rotulê-rotulé av~c masse 11 \'edrêmÎté

t-----u-1 m

1111 • ail ail h bll ' 2sh TSIn'T" shTI c TSIn.1l

sho: sÎn.

sh

'T- Clls,1l1 .. sin. T1cos. 'T- shll

3: . bll Cil.. h 1 2" Il l' SIn'T sm.1l Sh ila T 5 h Tbll

T sÎn.

1ere FREQUENCE PROPRE APPROCHEE D'UNE POUTRE

ac

Rotulê-rolulé ilVec masse au milieu

t'Tl

Fré!i~p...!:.!!i!re:

AVEC MASSE LOCALISEE DANS DES CAS SIMPLES Eilcastté-libre avec mss!! li l'extrÉmité

f=

Encastré-encastré alleE masse au milieu

~ Zn

en

V

El 9S

>(.l.2 1

étant ta solutiol1 des équotions soit h=m/llSI

Il

HI 13 Il .. 0,375 1 hl m

rr,li

>Z

= rapport entre la

fflil.'i51!

et celle de la pDutre

localisé!!

FREUUENCES PROPRES O'UNE POUTRE AVEC MASSE LOCALISEE (ABAUUESI 4 er

:L

(1

a/l=O.OS

mode)

IX 1

41-\\\\ \

-l

'"

3~,

________

~ ... /I_n ne:

....j

=l ~

s:0

c: < rn

s:

"l'j

'ri,i' ~

(3

?" ...... ~

m ~ CIl v m

~O2

+

,

-:'j

r

a/l=O.25

rn

X

ëz

Cl

['l1 ~

k> 10, a.=[(a/lll1-a/llr1l2 (k13I-114

"1

2 1-- hO, a.=[(a/1ll1-a/llr'3/r.!>..13rlll,

f=[cx 2I2nIJ IEII ~S)\1I121

À=m/{lSI

f=fa.2 /2nl/IEllpSIl1l121 ~=m/\'lSL

Enrastré-enras ~ré avec masse décentrée

1 5~""'--1:I' 0 5

À

"1 (f-F b...l 1....

I-~..

10

0

m

l

":i

0

c:;

"'1

;;;:l

rn ~

Rotulé-ratulé ave:t masse décentrée:

5

À

10

1-'

UJ

\0

1-' ~

4ïi-----------------------.----------------------~--------~

o

FREQUENCES PROPRES D'UNE POUTRE AVEC MASSE LOCALISEE [ABAQUES) [X

(1er mode)

3 Il'• \(

. . . . . <:

a/l=t

<:

iil ;;::l

;pj

oz t:1

a/l=D.9

rn

"'1"1

üQ' c:

ëi

!;I:I

~

2

-l

[i1.

0'1

i"J ?

~

rn s:m·

a/l=D.8 a/l=O.7 Ja/l=O.6 - -_ _ _ _ _ _ _ -' /a/l=O.5

-======-___

_ ~

b10.

1I={t-a/U-1I2 !A.13r1l 1,

f=lo: 2l2nlJ lEI! QSHtlI2)

r-

ts-=

l

;p-

z 5 c

-=-==:/;a/l=O.4 ~all=O.3

!:a/l=O.1. =~a/l=D.1 " " Encastré 1 libre

m !;I:I

~

a..-t

'""1 m _____ Rotulé-rotulé avec

I---!-...~...b... 1

o

~=ml QSI

(')

masse à l'extrémité

5

10

>..

CHAPITRE 7

PETITS MOUVEMENTS DE FLEXION DES PLAQUES PLANES

7.1.

ÉQUATION ET CONDITIONS AUX LIMITES

On considère une plaque plane mince, ses mouve~ents x (r, t) se faisant perpendiculairement au plan de la plaque (axe z) h est l'épaisseur de la plaque; Il ainsi que les caractéristiques du matériau sont supposées constantes quand r décrit (2:).

z

ht= Figure 7.1.

Energie potentielle de déformatiol1 : On utilise l'hypothèse de flexion (Love~ KircJlOff), qui, comme pour les poutres, consiste à-supposer que la déformation varie linéairement dans l'épaisseur et à négliger les déformations et cisaillements hors du plan ('!:). Cette déformation est nulle sur un plan neutre que l'on suppose généralement être le plan médian de la plaque (ceci est vrai quand le matériau est homogène dans l'épaisseur). Le tenseur des déformations est alors:

Soit 0 est le vecteur rotation d'un petit segment de longueur It perpendiculaire à la plaque. 0 est dans le plan (2:).

142

VTBRATION DES SYSTtMES MÉCANIQUES

vecteur unitaire de Oz). Et le tenseur ii

Nous avons: 9::: grnd xAk (k 2 dimensions ~ est donné par:

ëp = (grad (OAkz) = - (grad grad x) z

Figure 7.2.

On posera:

T=

(7.1 )

grad grad x

Le tenseur des contraintes est de la forme:

~) En utilisant la loi de Lamé on en déduit une relation entre

if ll

et

Ep :

E = Module d'Young, Il = Coefficient de Poisson). L'énergÎe potentielle de déformation est alors donnée par:

(0 p étant la trace de

1 U = ;:; -

f u- p

®

Ëp

dV = ?1 ~

(V)

f[ (.!)

E lJ 1 - l'

)~ +

( 0T -

E

+v

-J

- ®ï T

d..!

f/l/2- rdz -h/2

(01' = trace de T)

u= !

Eh 2 12(1 -

. on posera par la sUIte D

=

3

(7.2) Il

Eh 3

., .

12(1 - 1'-)

PETITS MOUVEMENTS DE FLEXION DES PLAQUES PLANES

143

Energie cinétique:

c ~ -

J

plI (.t f-

d.s

(.!)

avec les mêmes hypothèses que pour les poutres en flexion.

Appliquons ft! principe des travallX virtuels: oW,+5W;+oW c =O (pour une variation arbitraire OX du déplacement x)

5W r

= oU =

f

J,YI ® grad

D[lJ(Ax)(Aox) + (1 -

(grad 8x)] d.!

(!)

fCE) (Ax)(ADX)d2:= f

Ax(grad5x)nds (t)

grad (A.;r)

0

Sx ds

+

,

J

Li (Al') ôx d.!

(i)

Figure 7.3.

o étant la oormale extérieure au contour (C) on appelle également t le vecteur unitaire tangent à (C) tel que le trièdre (n, t, k) soit direct

f

T ® grad

(grad (8x» dl: ==

(Y)

f

(1'0) . grad 5.1' ds

(t)

-f

{div T) . (grad Sx) dl: (!")

f f

(Tn). grad 5x ds -

~)

J

grad (Li;\") . grad 8x

d~

+

f

(SI

('To). grad 8x ds -

(t)

f

gr ad (Li.\:')

0

8x ds

(C)

au = D [f

Li (Lix) 5x d.! -

Li (Lix) 8x d.!

(.!)

grad (A\")

(!\

+

J

(C)

(J'

0

8x ds

Ar

0

+ (1 -

JJ )

Tn) grad 8x

dS]

144

VIBRATTON DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

En projetant To sur

0

et t :

(n . To) 0 + (t· 1'0) t

To on a:

DU

D

[f

À(Àx) DX dI (.r)

f

[grad (À.x)·

(C)

+ (1

0

f

,!)grad (tTo).t] DXds+

[I!ÀX+ (l_,!)OTn]aDX dS ]

oll

(I:)

8W;

= -

f

J

DW e

ph.i: 8x d.! (.r)

fox d.! +

(1')

f

F 8x ds +

J~

M· 00 ds (t)

(C)

si l'on exerce sur la plaque un effort tranchant réparti de densité surfacîque J, un effort tranchant à la frontière (t:) de densité linéique F et un moment de flexion exercé à la frontière (t:) de densité linéique M (on posera M = MN 0 + MT t) M· 80 ds

J

MN t . grad 8x ds -

(C)

=

-f

f

(1:)

-

(MAk). grad t5x ds

(r)

f

MT 0

•

grad OX ds

(C)

f

gradMN·tôxds-

J

a 8x

MT--ds

ail

(t)

cc)

On déduit l'équation d'équilibre zéro les différents termes de la l: surf ace portant sur uX, termes de

et les conditions aux limites en îdentifiant à somme oW, + DW i + ôW c = 0: termes de frontIere ., >1 a DX portant sur uX et -:

an

Equation d'équilibre: DÀ (ax) + ph.Y =

f

(7.3)

Conditions al/X limites sur (l:) :

j

-

D [grad (Ax)· n +_(1 - >.) grad (11'0).11

F - grad MN' t

(7.4)

D [I! Àx + (l - v) nTo] = - MT

Remarque: Comme pour les poutres en flexion, la forme la plus générale des conditions aux limites sera une combinaison linéaire des efforts tranchants, moments de flexion, déplacements et rotations.

PETITS MOUVEMENTS DE FLEXION DES PLAQUES PLANES

7.2.

CAS DES PLAQUES RECTANGULAIRES

On utilise le système des coordonnées cartésiennes Ox et Oy: L'équation d'équilibre devient: D

0

ù2

(

2

-~+-"l

ax-

) ::!

ay-

••

f

x+phx

y bl----

o

a

x

Figure 7.4.

Les conditions aux limites deviennent:

_D +

a [a2x - .. +

iJx

a2x (2 - lI) -.,

a2x

]

ay-

àx-

ô2x ]

/ax1+ D [ -,+1

1

ély-

aM N

= F '+ - -

ay

MT

en

x=

{Z

en

x

{~

en

y

{~

en

y=

{~

Types de conditions aux limites simples (pour un bord parallèle à 0 y) : encastré: x = 0

or = ax

a:r

appuyé : x = 0 - 2+ ax Il'bre

..

0 a~\: JI -

ay2

=

0

a:r') + v a x, -_ 0 a:r + (?_ 2

ax-

ay-

~

ax-

JI

)

a:r = 0

145

146

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Exemple: Calcul des fréquences et modes propres d'une plaque rectangulaire appuyée sur ses bords: Ce cas se résout facilement car la solution factorisée sin k 1 ~ sin /c 2 ~ peut satisfaire aux conditions aux limites d'appui si : et

sin le:! = 0 (Il et m entier:> 0)

L'équation d'équilibre dynamique (transformée par Fourier) :

a~ a D ( -.,+-" ax- iJy2

) :!

"

X-phw-X=O

est vérifiée pour des w tels que:

a

D [ ( kl )

2

(k-l) li ~]

+

2

-

1

phw - = 0

D'où les fréquences de résonance: 1T

(7.5)

4

et les déformées modales associées •

Il1TX

•

m7Ty

(7.6)

X J11II = sin -a- sm -b-

On remarque en particulier que les fréquences de résonance som proportiollnelles à l'épaisseur de la plaque.

7.3.

CAS DES PLAQUES CIRCULAIRES

On utilise le système des coordonnées polaires r, O. L'équation d'équilibre devient: D

Le tenseur

2 a:! ] a -;-., 1 a ( -ar-, + -r r+ a 0-

T s'exprime

)1

x

.

+ plix

=

f

dans le repère local (u, v) par:

a\ ar-

( sym

a=:t

iJX)

ra~.aO-r2ao

iJ-x lJx + ao r

147

PETITS MOUVEMENTS DE FLEXION DES PLAQUES PLANES

..... V

Figure 7.5.

Pour une frontière définie par la circonférence r

!

tTn=~=

a\:

D'où les conditions aux lîmites (r D [ -a ar

ax ao

l' al' ao

nT n =

R:

2 (a:'\:" - + -1 -ax+ -1 a x) + or:! rar ,.2ao

R): (1

)

a (

-ll--

r{Jf)

a:r

raraH

ilx

ao

) ]

=F-D

[

à:r +--+ aX

aMI'! riJ(J

JI

r al'

IJ

Modes propres d'une plaque circulaire: La plaque circulaire est une structure de révolution par rapport à l'axe Oz perpendiculaire à son plan. Comme pour toutes les structures de rél'o/lliion les modes propres se factorisent par rapport à lu coordonnée () et aux autres coordonnées (l', z), c'est-à-dire que les modes propres se mettent sous la forme du produit d'une fonction de e seul qui IlC peUT être que du type cos nO ou sin nO, Il étant UI1 entier positifolll1UI, et d'une fonction de r et

z. Dans notre cas particulier de la plaque circulaire les modes propres sont donc du type: cos nO Xllm(r) ou sin 11 f)

" 1

On se ramène donc à un problème â une dimension (r). Exemple: Calcul des modes Il = 0 d'ullc plaque circulaire encastrée li son bord: L'équation d'équi1ibre (transformée de Fourier) devient: d:! 1 d ) D ( ----;+-dr r dr

2

~

X-p/tw-X

o

148

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Figure 7.6.

les conditions aux limites sont en r = R

x

dX

0,

o

La solution générale (finie en r = 0) de l'équation différentielle est:

X(r) = AJ o ( kr R ) R ) + BIo ( kr

en posant

( -Rk )

-l __

PID'w 2

(Jo' 10 étant les fonctions de Bessel d'ordre 0 de 1re espèce normale et modifiée), les conditions aux limites donnent: AJo(l') + BIo (k) = 0 { AJ~(k)+BIMk) 0

ou

-AJ](k)+BI)(k)

0

les k om propres sont données par les solutions de l'équation

les pulsations propres sont données par:

(7.7)

Les modes propres sont donnés par:

les premières valeurs de k om sont: k OI = 3,2 ; kO'1.

=:

6,3 ; k03

=

9,45 etc ...

Exercice: Trouver la fréquence de résonance d'une plaque circulaire encastrée à son bord et comportant en son centre une masse M grande par rapport à la masse de ta plaque.

PETITS MOUVEMENTS DE FLEXION DES PLAQUES PLANES

149

Réponse: La raideur de la plaque (rapport entre la force exercée au centre et le déplacement correspondant au centre) est

La fréquence de résonance est donc: 1

!= 27T

Eh J 47T 3 M R:: (1 - t J ::)

Même exercice avec une plaque rotulée à son bord 1

! =27T -

2 7T Eh] 3 M R 2 (l - 1,)(3 + Il)

~

FLEXION DES PLAQ.UES

f..

'. GRANDEURS MECANIQ.UES ET GEOMETRIQUES ~l Encastrement

Equation d'équilibre: D61/lXI+phX=f lavet D=Eh31t211-\l2n

~ Appui

lJ"t 0

~

0

Conditions aux limites X: déplacement normal

1-'

~

a: e

masse volumique du matériau E: module d'Young du matériau \1: [Oefficient de Poisson h: épaisseur de la plaque ÇI:

1 Libre

~ ~ ~

~

~

1UNITES MKS 1

a< ;:l

FREQUENCES PROPRES D'UNE PLAQUE [ARREE UNIFORME ([d LlM. VARIEES) N° mode

1 1,01

Il

"Ti

rr.i· 1::

~

U!)ne5 modales

10,40

;~~~res

~tt

Il

2,01

6,96

ta

T] 5,94

Lignes modales

D

4,07

0 : 'Cl 0 .,'

)-

,

! 6,20 \

~B

ct

'-...l

~

fD

2 2,47

DJ

31,29

21,21

4 7,94

5 9,01

,[]

~EI

~~; - - ' ",'

38,01,

38,22

Ne mode

b 1, 7,73 ~'" 1<", ~ J

~~'~./f

13,89

16,25

~w

,~ldJ

:: '[J

6,91

10,39

17,00

~/

'>.I,/'>'~

18,85

1

2

'1,S4

24,61

40,41

6,Il3

14,94

1&,95

24,09

28,99

32,71

9,37

lS,nz

20,03

27,34

29,51,

37,31

5,70

14,Z6

22.62

28,52

37,06

48,49

pl~que

f=

IX

Eh!

Zn

9a4 11-v2)

5

1..6 ..14

0 Z am

(~ litt

Il

5

à

103.12

la péripllt~rÎe

CIl C/)

~

C/)

-l

0 0 {)

6,09 1,.,35

10,53

11.,1!I

21,,26

70,39

5,9

a: diamètre du cercle

f- a

<"

a: ciitê de la

VALEUR DE :3 4

!i

'EJ ~u~,,·; ~$ ~ ~en:j fEB; 7,7t.

>-l

FREQUENCES PROPRES D'UNE PLAQUE [IR[ULAIRE UNIFORME ([d L1M. VARIEESl

2n

40,68

23,BO

41.,6D

Libre Encastré au centre

BIl,flS

En appui il la pérjph~rie

V

2

En appui aux bords

~

'

/

~

2n

f- 4,09

-Zn

~

m~

(')

>-

~ 0 r.I

VI

~

V;

VI

c:

Eh Çla4!1-v2 )

FREQUENCES PROPRES D'UNE PLAQUE CIRCULAIRE DE MASSE NEGLIGEABLE AVEC MASSE LOCALISEE AU CENTRE Entastré aux bords

m 3:

r.I

mill_v2,

Eh) mtlZll-v1l3+v1 ---

FLEXION DES PLAQUES ISUITE) FREUUENCES PROPRES' DE PLAQUES RECTANGULAIRES UNIFORMES IC d LlM. VARIEES) VALEUR DE

No~b

liQJ '_a ;

.J

/[J i[::TI

Il

112

1

2

Il

1,013

1,009

1,002

0,996

3

~;

~

--

r

~:

\ (~ ! ','T1

~.

~

(')

;-J

rn

;

-~-

::

4,310

10,0)

5,189/

5,236

6,212

1..

~ ~

,-,,-- /

l

<::",

2,962

7,927

27,28

16,28

_r-

5 ;; __ ;-

2,467 , v,··.....,.

5,340

\

Cd /8

4 ~

1,551

7,174

0,990

14,06

30,57

\

g

Il

~ I~

~;

2

.......

VALEUR DE

:::T '"

9

'0

1,5

2,0

2,5

),0

Cl)

Il

5,696

4,117

3,562

3,305

3,167

2,049

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

00

Il

6,027

5,456

5,003

4,001

4,694

4,454


1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

00

Il

6,827

4.495

3.730

3,392

3.216

2.B49

b/a

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

rn

Il

8,357

7,231

6,876

6,717

6,637

6,450

a/b

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

Cl)

N°~

"~

1 ~. af_k / _ a _.

2~t> 3~~

~~

3,502

3,279

2,849

2,0

2,5

3,0

ID

ë5

CI.

10,39

7,794

7,093

6,062

6,694

6,458

1::1

-a-

t'Tl

4~~ "

VALEUR DE

~

>-

Il

k

2

1;

7

2,077

2,056

2,041.

2,040

1

r~

1,699

1,910

1,991

7,332

8,314

B,741

.~

~

afk,

~'~-j]

45,35

74,80

Il.2,4

76,78

246,4

o C

m [J)

r

>~

[J)

-

f;:~ 42,95

z

[J)

N° mode

26,01

m X

3,952

14

17,65

t'Tl

"':'l

l

1,5

"-""""'-";':-}

Z

1::1

5,014

Il

B,644

Z

....J (.fÎ

.1,0

0

B,049

s:t'Tl

B,357

4

a,B6B

1

c < t'Tl

a.

2

B,692

~

s: a

bla

FREUUENCES PROPRES DE PLAQUES TRIANGULAIRES VALEUR DE

t'Tl

:j

1

'g-I !

'"'0

b/a

i~=rl Li ,- . a. . J e

(1" model

1,0

b

; -a-J

Il

b/a

Zn

Eh l 9i (1-V Z)

.... U1 >-'

CHAPITRE 8

PETITS MOUVEMENTS DES COQUES MINCES CYLINDRIQUES

8.1.

ÉNERGIES POTENTIELLE ET CINÉTIQUE

La coque est définie par son rayon moyen R, sa hauteur H et son épaisseur h. h est supposée constante et petite par rapport à R. Le mouvement d'un point M de la coque de coordonnées semî-polaires (R, 0, z) est noté x de coordonnées IV, v, li dans le repère local (M, r, 0, z) (voir figure 8.1) : 1I', v, li sont fonctions de z et O.

h

Z

H

'"'----1

f~ == ==::: ~

f

"":::=:::::==::::::::: Figure 8.1.

On suppose pour simplifier que les caractéristiques du matériau sont constantes.

154 8.1.1.

VlBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Energie potentielle de déformation

Comme pour les plaques on fait l'hypothèse que la déformation varie linéairement dans l'épaisseur et l'on néglige les déformations de cisaillement hors du plan tangent (P) (MO z) à la coque. L'expression du tenseur des déformations dans le repère local est un peu plus compliquée que celle des plaques planes. En effet on a toujours:

Mais on ne peut plus séparer les effets des mouvements dans le plan (P) de ceux dans la direction normale. Ainsi dans l'expression de ep interviennent des termes de « membrane)l et des termes de « flexion ». Les déformations de membrane sont constantes dans l'épaisseur:

~2 ( az av +~)) R ae au az Comme pour les plaques, les déformations de flexion sont linéaires dans l'épaisseur (on les suppose nulles au milieu de l'épaisseur). Leur expressÎon compliquée par des termes dus à la courbure est du même type que celle des plaques,

-

(

(

sym

..!.~+~ RaO

OU

+

R

-au

sym

oZ

av ) _!.- a,v ) iiz

r

Ra

az

a'11 (8.1 )

Cette expression correspond à la théorie simplifiée dite parfois de Domlell. Comme pour les plaques le tenseur des contraintes est de la forme: = (1":::::::

(0 o

o

)

PETITS MOUVEMENTS DES COQUES MINCES CYLINDRIQUES

155

On en déduit de même la relation entre EIJ = =---..,0pI

1-

E 1+

=

+--Ep

l' -

l'

(8.2) (J';:o

=

E

(j

Oz

--E02 1 l'

+

L'énergie potentielle de déformation est donnée par:

Nous n'écrirons pas ici son expression assez compliquée. Remarquons que U se met sous la forme d'une somme de deux termes: U U I + U:.!. U J correspond à l'intégration dans l'épaisseur de la coque des termes indépendants de r dans l'expression de U :

U 2 correspond à l'intégration dans l'épaisseur de la coque des termes en r 2 de U :

Eh] ., U 2 = ?1 -12(1-J'-)

f

F2 (v, w) d_'Ç

(o!)

(Les termes en r s'éliminant dans l'intégration) U 1 correspond il l'énergie de déformatÎon de membrane { U 2 correspond à l'énergie de déformation de flexion.

8.1.2.

Energie cinétique

c= ~ -

8.2.

f

(.!)

ph

(xf d.I

?1 -

f

.'" + v. .., + 11'. ') d ..!, ..... p 11 ( Lr

(.!)

FORMULATION SIMPLIFIÉE POUR L'ÉTUDE DES MODES PROPRES D'UNE COQUE CYLINDRIQUE MINCE

La remarque faite pour les plaques circulaires, concerne les modes propres des structures de révolution en généraL Les modes propres des coques cylindriques

156

VJBRATrON DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

sont donc de la forme: Wnm (z)

X nm (z, 0) =

V /lm ( Z ) { unm(z)

cos nO sin Il 0 cos nO

H'nm( z) sin nO - vnm (z) cos IlO II nm (z) sin nO

j

ou

Comme nous le verrons par la suite les fréquences de résonance les plus basses correspondent généralement, pour les coques très minces, à des modes m = 1 et Il relativement élevés. On peut alors estimer ces fréquences de résonance à l'aide d'une méthode approchée. L'hypothèse de base que nous faisons est que pour le mode considéré, la distance entre deux nœuds de la déformée modale en z est grande par rapport il la distance entre deux nœuds de la déformée modale en O. Ceci est donc en particulier vrai pour des coques de rapport H/R de l'ordre de grandeur de t'unité et pour des modes m = 1, n grand. a) On peut alors pour estimer la partie U l de l'énergie potentielle de déformation, appliquer une théorie de type ({ poutre ») : c'est-à-dire que l'on peut écrire que l'énergie de défonnation vient essentiellement des contraintes et

déformations

U zz

et Ezz. avec la relation

U zz

En écrivant que les termes indépendants de en déduit:

EEzz

---'l'

1-

r

de

JJ-

Eno

et

EzlJ

sont quasi nuls, on

on a alors: R a=)v

E Il

=--

Il ~

d'où: Eh U l = -1 ---~ 2 1 J' -

! 7T 2

f"10;' d.! = -1 Eh f2""" cos- nO R d e fH., Ez~( z) d z 2

(1")

EIz~3

(1- v-)n 4

0

IH ( a'''(,2) ) 0

0 2

dz

ôZ-

En ce qui concerne la partie U z de l'énergie potentielle de déformation, le terme le plus important est :

157

PETITS MOUVEMENTS DES COQUES MINCES CYLINDRIQUES

On néglige les autres termes. =:::>

U, """ ! Eh - 2 12(1

3 JI

f

(Il '2 -; 1 w)

1

2

_ 1 (n _1)2 Eh 3 _, - 2 R ]2(1

=!

3

1

7T

2 12(1 -

Eh

'2d.r

R

(l')

2

fil

J'

()

11'2

r.

cos 2 1I8R dO

lB w (z) 2

()

dz

(z) dz

()

(8.3)

Dans l'expression de l'énergie cinétique on néglige les termes en

12 cos nOR dO fil plui./!. ) fIl dz = ?11TphR (1 1+

1 C ==? -

'Ir

2

0

1 dz +?

0

li,2

2

-

Il

-

]'2

11'

siil~ nOR dO

0

li :

1 B

plliP dz

0

,

()

En appliquant le principe des travaux virtuels, on obtient l'équation d'équilibre:

transformée par Fourier pour la résolution d'un problème aux modes propres, elle peut être mise sous la forme adimensionnelle :

a4

_ _w _...,. - 1(1, HI

a

=0

(8.4)

avec WO IJ

Les conditions aux limites sont du même type que celles de la théorie des poutres, et l'on utilise la même méthode pour déterminer les km valeurs de k rendant le problème singulier. Les km dépendent uniquement des conditions aux limites en z = 0 et z = H (par exemple km = T1l7T pour des conditions de rotule), m est l'ordre du mode « axial ». Les pulsations de résonance sont données par:

.,

~

..,

w;, = W iin + w;lIn l'II

.!.(!)2

E

avec p

1) (1 +

(1 -

., R 1'-)

H

(8.5)

158

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

La déformée modale correspondante est de la forme: (8.6) (la forme de W m ne dépendant que des conditions aux limites et de l'indice 111). Considérons par exemple la première famille de modes m = 1, pour une coque non libre à ses extrémités (k, =F 0) et analysons l'évolution de Cl) 111 en fonction de 11:

Evolution

en n2

n Figure 8.2.

Si la coque est suffisamment mince (lz/R ~ 1 ) et pas trop haute par rapport à son diamètre (R/H 1), nous avons les propriétés suivantes: Pour des Il pas trop grands, Wnl == W: I1I , l'évolution se fait en ] /n2 et W nI dépend des conditions aux limites et est proportionnel au carré du rapport R/H. "mais est indépendant de l'épaisseur (h/R): les modes correspondants seront dits de « type poutre »). Pour des /1 très grands, Cl),11 (ù On' l'évolution se fait en Il:! et W II , ne dépend pas des conditions aux limites, ni du rapport R/H mais est proportionnel au rapport h/R: les modes correspondants seront dits de «type coque ». Dans la zone des n intermédiaires, on obtient les modes de plus basses fréquences de résonance et les raideurs de « type poutre )} et de « type coque» interviennent. On peut estimer le Il correspondant à la plus basse fréquence (Il min ) et la pulsation propre correspondante par:

[, J 11 01in

== k~

(~)2.~

l

wlllin

k114

3

p (1

E

1 ( 1,2) H

~) la

159

PETITS MOUVEMENTS DES COQUES MINCES CYLINDRIQUES

Exemple: Coque rotuléc-rotulée avec: B/R = 1 It/R n!in W

.

mm

3

10

=

=.!.

R

J§

si R = 10m E =:2 On a:

p

X

10- 3

JJ

= 0,3

=- ll min = 13 71'

1 10- 31:.'. (1-0,09) l n

lJJ mill

1-

10 11 Pa cl p

1 =0, 077 -R

JE -p

10) kg/m 3 ,

lJJmil\

Imi!!

= :2

71'

17,3 Hz

Les abaques des figures 8.3 à 5 montrent l'évolution des fréquences de résonance Jn\ en fonction des paramètres Il, Il/R, H/R et de différents types de conditions aux limites. Elles ont été obtenues à partir des rèsultats d'un programme de calcul aux éléments finis. On pourra vérifier que les .formules approchées précédentes donnent des résultats satisfaisants pourvu que 11 ne soit pas trop petit. En effet pour les premières valeurs de Il non nulles, les effets de cisaillement sur les modes de « type poutre »), négligés dans notre calcul, sont importants.

i-1

0\

H/O=O,S

o

(O=2R) IX

e/O=O.OOS

e/O=O,005

<:

a ;::1 >'-l

6 z

Cl

[11

V)

'Tl

tê'

V)

-< V)

~

'-l

[11.

00

s:[11

~

en

s:m, ()

10

fn.,=a.10-3(1I2nRI/D'9 Iv:O ,3)

10

11 1

l

,,1 10

n

>z i5 ~ V)

H/D=1,5 IX

104 1:=

/e/D=O,05

.«

10 4 1-

/

~

-l

~

1-

e/D=O,005

/e/O=O,005

/

CIl

~

0

c: 103

/

<:

/

rr1 ~ rr1

Z

-l

CIl

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Z

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1

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1

n )Dt

..... 01 r-'

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t-J

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10 4 ... IX

10 4

e/D=0,05

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103

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b-

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/ " ' u=u,uuu,

CIl

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Il

'\. - /

10 !::-

rd

10

hl

~

c

AA/

t'Tl

{Il

n

~

10

-c ANALYSE PAR SOUS-STRUCTURATION

CHAPITRE 9

PRINCIPE DES MÉTHODES D'ANALYSE PAR SYNTHÈSE MODALE EXEMPLES

9.1.

INTRODUCTION

La plupart des structures industrielles sont formées d'un assemblage de composants aux formes géométriques simples. Cependant cet assemblage est souvent complexe: tridimensionnel, sans symétrie, etc. Lors d'une analyse mécanique (statique ou dynamique) de l'assemblage, il est intéressant de tirer parti au mieux de la simplicité des composants. C'est le but des méthodes d'analyse par sous-structuration. L'idée est de partitionner l'assemblage en composants simples (sous-structu· res) rendus indépendants les uns des autres selon un certain critère. On caractérise ensuite à l'aide d'un nombre réduit de paramètres chaque sousstructure en utilisant ainsi au mieux leurs propriétés géométriques. Enfin, à partir de ces caractéristiques on bâtit un système correspondant à l'assemblage que l'on résout dl! façon classique, la taille de ce système étant beaucoup plus réduite que celle d'un système obtenu à l'aide d'une modélisation tridimensionnelle. Dans les paragraphes qui suivent, nous examinons l'application des méthodes de sous-structuration à l'analyse vibratoire linéaire.

9.2.

DÉFINITION D'UNE SOUS-STRUCTURE ET DE SES LIAISONS

Figure 9.1.

166

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Soit une sous~structure (S) appartenant à un assemblage (.!), définie par un ensemble de degrés de liberté. Pour simplifier l'écriture, et pour des raisons pratiques, liées à l'application de la méthode à des structures discrétisées par éléments finis, nous supposons que l'ensemble des degrés de liberté est représenté par le vecteur x à nombre fini de composantes. (S) est reliée au reste de (ï) au niveau d'un sous-ensemble de degrés de liberté que nous notons Px ; P étant une matrice rectangulaire de restriction des degrés de liberté x aux degrés de liberté intervenant dans la liaison. Il est intéressant d'introduire également dans chaque liaison une « raideur de liaison ») dont on discutera la nature physique par la suite.

c: o .!!!

l'D

p=

ClJ;:à

"0_ QJ

'-

...c

z

Nombre de DDL (NI Figure 9.2.

L'ensemble de ces raideurs de liaison forme une matrice diagonale que "on note KL et qui fait passer des DDL Px au l'ecteur XL des déplacements de liaison proprement dUs, de telle sorte que le vecteur IL des efforts exercés par la sousstructure (S) sur les liaisons est donné par: (9.1 )

Remarque: Le rôle principal de la raideur de liaison est donc d'introduire simplement la force IL de liaison en fonction du vecteur déplacement Xl aux liaisons. 11 faut noter également que Px peut représenter généralement un ensemble de combinaisons linéaires des degrés de liberté de (S) impliqués dans les liaisons. Ecrivons maintenant les équations d'équilibre de (S) sous l'effet des forces de liaison IL et des forces extérieures le s'exerçant sur les DDL. Si K et M sont les matrices de raideur et de masse de (S) el en supposant (S) conservative, nous avons: (9.2)

Les équations (9.1) et (9.2) caractérisent donc la sous-structure (S). Elles

PRINCIPE DES MÉTHODES D'ANALYSE PAR SYNTHESE MODALE

167

comportent cependant plus de variables que d'équations. Four pouvoir résoudre, il faut imposer [ relations entre les composantes de XL et de f l ' Puisque nous sommes dans le cadre d'une théorie linéaire et que l'on suppose qu'il ne s'exerce pas de force extérieure au niveau des liaisons, ces relations sont homogènes et linéaires. Elles représentent une impédance aux limites pour la SOWi-stmcture. Pour établir les caractéristiques de la sous-struclure (S) indépendammelll du reste du système, il est donc nécessaire de définÎr cette impédance. Pour cela nous allons réécrire le système (9.1), (9.2) en utilisant de nouvelles variables de liaisons: rL

= A~L

IL

= BKLXL + AIL

1

BK L fL

(9.3)

IL est la variable

« duale ») de r L . A et B sont deux matrices diagonales telles que A 2 -f' B 2 (9.1) et (9.2) deviennent alors:

[K + pT A (A + B )- 1 K L P] X + M.-r -

pT (A

1.

+ B r I K L rt

=

fe

ou

KI X + M.Y - pT(A + Bt' KLrL = le Kt Px = (A + B ) IL + (A - B) K L r L

(9.4)

La nouvelle matrice de raideur du système est notée :

K' est symétrique puisque A, B et K L sont diagonales. Elle correspond à la raideur de (S) munie de l'impédance de liaison:

On notera (S J) ce nouveau système.

9.3.

PROJECTION SUR UNE BASE DE MODES PROPRES ET DE SOLUTIONS ST ATIQUES

La façon la plus intéressante de représenter (S') du point de vue de ses caractéristiques vibratoires consiste~ comme nous l'avons vu dans les premiers chapitres, à utiliser une base de modes propres. Théoriquement il faut considérer l'ensemble complet des modes. Cependant, dans la plupart des cus pratiques il suffit d'une base tronquée définie par une fréquence de coupure fr liée à la limite de l'analyse vibratoire que l'on veut effectuer.

168

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

On a étudié également à propos des chocs de poutre sur butée fixe (§§ 5.4 et 6.3), l'effet de troncature de la base modale sur la solution obtenue. On a montré en particulier qu'il était nécessaire de tenir compte de la raideur des modes négligés et que la façon la plus simple pour cela était d'effectuer un calcul statique de la réponse de la structure à une force exercée au niveau de la butée. Appliquons ces conclusions à notre problème: Considérons tow d'abord l'ensemble des sollitions statiques représenté par la matrice U et défini par: (9.5)

Les colonnes de U sont en fait les solutions des équations d'équilibre statique de (S) avec les relations d'impédance de liaison înhomogènes:

CI

matrice identité)

X des N premiers modes propres normalisés de

COllsidérons ensuite la matrice (S') définie par: K'

X-MXn =0

(9.6)

(n étant la matrice diagonale des carrés des pulsations propres). Les colonnes des X sont en fait les modes propres de (S) avec les relations d'impédance de liaison: ' l ::::

Ax L - BKi: 1 fl = 0

Globalement sur l'ensemble des modes ces relations peuvent être écrites:

Rl = AX L - BKI: 1 FL

0

XL

et FL étant les matrices des déplacements et efforts modaux au niveau des liaisons (dimensions r. x N). Représentons la solution de (9.4) sur la base des X et des U par:

x = Xa(t) + UbU) a (t) est le vecteur des contributions modales IJ (t) est le vecteur des contributions statiques.

a ct b sont les nouveaux DDL du problème. A cette solution est associée la variable de liaison r L (t) qui se décompose aussi sur la base: avec

XLV et FLU étant les matrices des déplacements et efforts statiques aux liaisons associées aux solutions U de (9.5). On a donc:

rdt)

=

bel)

PRINCIPE DES MÉTHODES D'ANALYSE PAR SYNTHÈSE MODALE

169

d'où:

Xa(t) + Urdt)

x

(9.7)

Les équations que doivent vérifier a (t) et rL (t) sont les projections de l'équation d'équilibre (Jre équation de (9.4» sur les modes propres, ainsi que les équations de liaison (2C équation de (9.4». 11 est intéressant pour présenter le système final sous une forme symétrique, de projeter également l'équation d'équilibre sur les solutions statiques U. On obtient ainsi:

l xl' I(l Xa + X MX:ii + XTMUrL l UT Xa + UT MXli + UT MUr T

= XT fe

L = uT

KI

(9.8)

ft:

Les différents termes peuvent se simplifier: a) :5(:1' K' X et XT MX sont les matrices diagonales KG et MG des raideurs et des masses généralisées modales. b)

Ul· MX peut aussi s'écrire (puisque Ü r MX

UT Kxn -1) :

où F représente, à des coefficients de normalisation près, la matrice des réactions modales aux liaisons (p = BA -1 (A + Br 1 FL ). c) UTK'Xa

(A + Br l KLP(x - Urd =t L

1

+ (A+Br [CA

= tL-

B)KL-KLPU]rL

GrL

Avec:

r (A (A + B r 1 (A

G = - (A + B = -

1

B) K L + (A + Br 1 K L PU

B) K L + UT

KI

U

G est symétrique puisque K' l'est et que Ku A et B sont diagonales. (9.8) se met donc sous la forme symétrique:

(9.9) est donc le système d'équations caractérisant la sous-structure (S) dans le nouveau système de DDL (a(t) et rdt».

170

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

9.4.

RACCORDEMENT DES SOUS-STRUCTURES

Le raccordement des sous~structures (S) consiste fI compléter J'ensemble des systèmes (9.9) écrits pour chaque sous-structure par les relations de continuité des variables de liaison écrites pour chaque liaison. Ces relations s'écrivent par exemple: (xdl - (xd::: = 0 { (t,JI + (tLh 0

continuité des déplacements

(9.10)

équilibre des forces

pour 2 sous-structures SI et S2 se connectant sur un ensemble L de liaisons. Ces relations peuvent s'exprimer à l'aide des variables (rL)" (l'Lb (rd1 et (td~ : 1

A 1(r d 1 + B,(KL)]l(tdl - A 2 (rL)2 - Bl(Kdî (td2

0 ( - B!(KL)I(rL)\ + A1(tdl - B 2 (Kd2(rLh + Adtd2 = 0

(9.11)

qui peuvent se mettre sous la forme suivante: AI B:!(Kd;-1

si (iL)l = [AI B:!(Kdî

1

+ Al B1(KL),I::f: 0

+ A:! B1(KdI1r l x [(rL )l + [BI B2 (Kdl (Kd2"

1

(Id:: = [AI B 1 (Kdi" + Al BI (KL)ï 1

1

-

Al A:!](rL)l]

-

Al A 2 ](rd2]

r1

x [(rL)1 + [BI B 2 (K L h(K L)ï

1

soit: (/L)l = CH. (rdl + C 12 (rd::: { (tLh = C!:,(rL)1 + C 21 (rL )l

(9.12)

En éliminant (Idl et (Id:! dans (9.9) écrit pour SI' (9.9) écrit pour S2' et (9.12), on obtient le système symétrique caractéristique des deux sous· structures assemblées représentées par les variables modales al et 02 et les variables de liaison (rL)1 et (rd:!.

0

(I +

Km 0 0

0 0 Cil - G I

Cl:!

(rd,

Cil

Cn - O2

(rd:!

Mm

0

0

Mm

FI D ï 0

l

Dl

oo

1

FT

0

a2 0,

) (

0 Dl

1

FI

0

UTM1U 1

0

F:!{}i:]

0

uI Ml U 2

)

((::), ) (~~ t,') Xl

(fd2

Je:!

u1" Ici uI j~:.

(9.13)

PRINCIPE DES MÉTHODES D'ANALYSE PAR SYNTHÈSE MODALE

171

Le système (9.13) est constitué d'une sous-matrice diagonale correspondant aux équations modales, d'une sous-matrice pleine correspondant aux liaisons et de 2 matrices de couplages CI et Cr

Figure 9.3.

Il est possible d'éliminer certaines variab~es de liaison mais cela s'effectue au prix de la perte du caractère diagonal de la première sous-matrice. On remarque également que la technique de sous-structuration est d'autant plus intéressante que le nombre de liaisons est restreint: -

moins de variables caractère « plus diagonal)\ de la matrice du système. Dans le cas où Al B:,>:(Kdî 1 + Az B. (Kdï 1

=

0

(9.11) peut se mettre sous la forme:

l

Al (rdl

=

A2(rdl

lA1Cldl + A:,>:(tLh On peut donc éliminer sans changer la structure de (9.13) la moitié des variables de liaison (par exemple (rLh). On dit qu'il y a une adaptation d'impédance entre les deux sous-structures reliées.

9.5. 9.5.1.

EXAMEN DES CAS EXTRÊMES Procédure des «sous-structures bloquées»)

Considérons une sous-structure (S) et supposons qu'on l'isole du reste du système en bloquant les points de liaison. On est donc dans le cas : A

1,

B=O

172

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

d'où d'après (9,3) :

- Les modes propres de (S) sont calculés avec une condition de blocage au niveau des liaisons (XL = 0). La nouvelle matrice de raideur de (S) est: (9.14) Les réaCliollS modales aux liaisons sont données par:

(9.15) - Les solutions statiques U sont obtenues en imposant des déplacements unité aux liaisons: (9.16) La matrice (9.17) représente l'ensemble des réactions SlatiqlWS aux liaÎsollS ; (G;j = réaction à la liaison i due à un mouvement imposé à la liaison Le système (9.9) devient:

KG (l + Mo il + n Fn

!

li

l

FI'

XT J~

=

+ UT MU,f L - GXL

= -

fL + UT

Je

D.

(9.1B)

La l'ariabie de liaison est dOIlC le déplacemelll XL' L'ensemble des équations (9.14) à (9.18) montre que la procédure de SOllSslrucwre bloquée consiste à illc/lIre les raideurs de liaisons K L dans ta SOllSstrucûtre. Physiquement la raideur de liaison caractérise le comportement local de la sous-structure el des pièces de raccordement au voisinage de la liaison. Elle est en fait implicitement déterminée quand on calcule les U. On vérifie d'ailleurs que la détermination des grandeurs K', F et G intervenant dans (9.1B) n'impose pas une explicitation de Kv

9.5.2. Procédure des

«

sous-structures libres

>~

Considérons une sous-structure (S) et supposons qu'on l'isole du reste du système en libérant ses points de liaison. On est donc dans le cas A

O.

B=1

PRINCIPE DES MÉTHODES D'ANALYSE PAR SYNTI-Il:SE MODALE

173

d'où d'après (9.3) :

- Les modes propres de (S) sont calculés avec une condition de force nulle au niveau des liaisons. La matrice de raideur K n'est pas modifiée. Les

«

réactions

liaison XL

= PX

II

modales

F sont en fait maintenant liées au déplacement de

:

- Les solutions statiques U sont obtenues en imposant des forces aux liaisons:

La matrice G est donnée par:

Le

(9.9) devient:

que l'on peut simplifier en :

KG a

+ MG li

-

n -J(PX)T 11.

pxn- 1 1i+u,'I'MU' lL

5(T fe (Ki: 1

(9.19)

PU')fL=xL+u,T!c

en utilisant )a solution statique U de : 1

KU'

+ pT = 0

U

U' correspond à la réponse statique li des forces unité exercées aux différentes liaisons.

La variable de liaiso1l est donc l'effort f L' La raideur de liaison n'intervient dans le c'U<::tp'1m ... (9.19) que dans le terme de raideur des équations de liaison (terme Ki: PU '). Ceci veut dire que la raideur de liaison est prise exrùicuremem il la SOliSstructure. Comme dans la procédure bloquée, Ki: 1 apparaît physiquement comme une locale s'ajoutant li la souplesse due li la déformation locale de (S) ; - PU', déterminée li l'aide du calcul statique KU + pT = O. 1

174

VIORATION DES SYSTEMES MÉCANIQUES

9.5.3.

Procédure classique des sous-structures libres

Dans le cas où l'on choisit de libérer les lÎaisons de (S), on utilise souvent une méthode légèrement différente de celle du 2) et qui est en fait exactement la même que celle qui a servi à l'étude des chocs (cf. §§ 5.4 et 6.3). On représente la solution du problème uniquement sur la base tronquée des modes propres :

x

Xb(t)

L'équation d'équilibre (9.2) projetée sur les modes propres conduit à :

D'autre part on tient compte, dans l'équation des liaisons (9.1), de la troncature modale en utilisant les solutions statiques U' définies précédemment:

X SI
est la solution du problème:

Kx SIIII + pT Il => PX stl1l

ft

= pU' fl

U,T

le

bSlnl est donné par;

D'où

Px = PXb + [pU' + PXKG1 (Pxf] fL

- (U,T + PXK G1 XT) fe On remplace Px par son expression dans (9.1) et on obtient finalement le système:

jKGb+MGb+(PX)TfL

lPXb -

KL~n

1

(Kt: +

(avec KL:s1 = - PU' - PXK

fL

xTfc XL

+U

,T

(9.20) 1

fe + PXK G Xl' ft

a XT pT). !

Le système (9.20) est à comparer au (9.19). Si l'on effectue le changement de variable:

a'

=

b + KG! XT pT fL

(9.20) devient:

j KG a' + MG li'

l PXa' -

fi

l XT pT ÏL = )ëT fe

(K1: 1 - PU') IL

= XL

+ u ,T Il! + PXK(1)fr fe

175

PRINCIPE DES MÉTHODES D'ANALYSE PAR SYNTHÈSE MODALE

Ce système peut, en utilisant les équations modales et la relation Ka se mettre sous la forme :

n

1 Ma,

Les systèmes (9.19) et (9.21) sont identiques en ce qui concerne les équations modales et quasiment équivalents en ce qui concerne les équations des liaisons (*): en effet, si l'on utilise la base modale X pour représenter approximativement les solutions statiques U ' on a :

d'où:

- U tT MU' = + PXKC;l X:r MXK G1 XT pl'

1n-I(px? 9.6.

DISCUSSION

La présentation que nous venons de faire, montre qu'étant donnée une sousstructure (S) connectée à un certain nombre de points de liaison l par J'intermédiaire d'une raideur de liaison KL' il existe une « infinité )) de façons de la décrire: On peut en effet choisir une impédance arbitraire au niveau des points de liaison et construire la base de modes propres correspondante pour (S), en allant du cas ( libre}) où l'on considère aucune raideur en C, au cas « bloqué 1>, où l'on considère l'intégralité de la raideur K L • Ceci revient en d'autres termes, à insérer partiellement dans (S) la raideur de liaison KL' le « complément de raideur n intelVenant extérieurement dans les équations de liaison entre sous-structures. Rappelons qu'en fait la raideur de liaison comprend la raideur locale de (S) au niveau des liaisons, ainsi que d'éventuelles connexions extérieures (ressorts, poutres~ etc.) qui peuvent être des données que l'on veut paramétrer. D'un point de vue pratique, on a intérêt à choisir pour (8) la base modale qui représentera le mieux son mouvement au sein de la structure assemblée. Comme on ne connaît pas a priori ce mouvement, il est difficile « d'ajuster une impédance », on peut cependant dans de nombreux cas se rendre compte s'il vaut mieux utiliser des conditions libres ou des conditions bloquées. Un programme de calcul ayant uniquement la possibilité de liaisons libres ou bloquées semble donc, de ce point de vue, suffisant. On pourra toujours à l'aide d'une sous-structure annexe ne comportant que des termes de raideur réaliser les (II<) (9.19) est cn fait un peu plus exact.

176

vrnRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

impédances que l'on veut; ceci ayant cependant l'inconvénient d'augmenter le nombre de variables de liaison. Une autre exigence pratique est d'avoir dans une analyse paramétrique, le moins de calculs à reprendre il chaque variation des paramètres. li est donc intéressant de définir des sous-structures inchangées et des sous-structures évolutives. Souvent on est amené à modifier des raideurs de liaison; il faut alors utiliser soit la procédure ~( libre H, soit la sous-structure de type ( raideur» dont nous parlions précédemment, dans une procédure bloquée. Remarquons que, par ailleurs, seule la procédure « libre » permet de conserver au niveau des sous-structures certains caractères de symétrie perturbés par les liaisons: par exemple la géométrie de révolution. En conclusion, on peut dire qu'un programme d'analyse par sous-structuration est suffisamment général: - s'il comporte pour les degrés de liberté de liaison l'option «libre» et l'option (' bloquée » conjointement au sein du même assemblage; - s'il est tel que les raideurs de liaison puissent être introduites:

• soit intérieurement dans les sous-structures • soît extérieurement sous forme de sous-structures particulières (<< raideur ») définies par un ensemble mixte de variables de déplacements et d'efforts aux liaisons. Ces sous-structures sont caractérisées par une matrice de raideur qui est généralement lion diagonale.

9.7.

EXEMI'LES 9.7.1.

Rnccordement de poutres cn traction· compression

Soient deux poutres identiques d'extrémité A, B et C, D, bloquées en A ct D et que l'on raccorde en B ct C.

CD

A

B

CD

[

0

~

li

.. z

Figure 9.4.

Utilisons successivement pour décrire les modes propres de la poutre assemblée AD cn traction-compression scion la direction z, ln méthode de sousstructuration par " liaison bloquée» et la méthode de sous-structuration par « liaisons libres n. 9.7.1. L

MétllOde par liaisons bloquées

Les modes des deux sous-structures sont: (

X Il z)

• = smn

-rrZ L

PRINCIPE DES Mr:THODES D'ANALYSE PAR SYNTHESE MODALE

A

CD

177

B

li o

[

!

}

1 1 1 1

o

L

z

Figure 9.5.

Les pulsations de résonance ct les masses générnlisl:es correspondantes sont :

avec les notations classiques. Pour la SSI. (9.18) s'écrit après transformation par Fourier;

["

(k~)" (9.22)

avec

Pour la SS2 on obtient un système analogue au systeme (9.22) en substituant fL à f L car l'orientation des z de chaque demi-poutre est opposée quand on les assemble. nn~ li lin!' - XL à XL'

178

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

En éliminant

IL

D(w)

on obtient le système:

o _(:n!

o

D(w)

tl,,~

j

(9.23)

[ XI..

sym D(w) étant la matrice diagonale:

correspond à

ll1rC

'" w

une

solution

nOIl

triviale (le (9.23) : On a alors:

Il s'agit des modes symétriques (*) de la structure assemblée qui ont donc un nœud au point de connection Be. Il est donc normal que chacun de ces modes soit représenté exacfemellf par le mode ,< bloqué " de la demi-poutre. Si l'on choisit N modes pour chaque sous-structure on représentera ainsi exactement les N premiers modes symétriques de la structure assemblée.

z Figure 9.6. * Si

w

=F!.!.!!:.E on déduit de (9.23) : L

(en posant r::=

Le système

H

7T:/L) la dernière équation du système est:

donc une solution non triviale si ; (9.24)

C') Le déplacement X sc fait dans la direction z.

179

PRINCIPE DES MÊTHODES D'ANALYSE PAR SYNTHÈSE MODALE

(9.24) est une équation en r:' donc Cil w:! d'ordre N + 1 donnant tes pulsations propres du système assemblé, pour les modes .( antisymétriques ,) par rapport au point de raccord Be. On sait par ailleurs que ces modes ont comme pulsations propres: w' = 1p - 1

..,

(avec p entier:> 0) ou

rp

=p

1re

2L

- 1/1.

.

Z

Figure' 9.7. Les solutions de (9.14) sont en . fait des approximations des premiers qui tendent vers les rI' quand N .... 00. On peut analyser l'erreur relative E(P, N) effectuée sur la p-ième pulsation de résonance en considérant N modes de sous-structure (on remarque que p doit être tel que P!$ N + 1). Le graphique (9.11) ci-après, montre l'évolution de f, en fonction du paramètre caractéristique À, qui représente le rapport des rréquences propres du mode N des sous-structures et du mode de la structure assemblée. Ici: rp

N

À

(p, N) = p _ 1/2

Le graphique montre que E ne dépend quasiment de p et N que par le paramètre À • À peut également être considéré comme le rapport de deux longueurs d'onde. Il est caractéristique de la finesse de description de la base modale. de

Remarqlle: Un développement limité au premier ordre de (9.24) au voisinage rp = p 112 donne: •

1-

E(P, N)

9.7.1.2.

1 2

(p_~)!1T2_2

(p

1 )

2- ( p-5.1 ) - 1r! +2 ( P-"21 1

4

2. )

0

N

n~IIl:'[ll:!- (p L .... N

1I=llI-[n-

Méthode pur «liaisons libres»

Les modes des deux sous-structures sont: . X() n Z =sm

(211-1 ----- )

1

~ )~]

(p - ~ ) 2f

180

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

B

A

A 2

D

}

(

* 1

lit

1

0

l

Z

Fîgure 9.8. Les pulsations de résonance ct les musses généralisées correspondantes sont:

Pour la sous-structure l, (9.19) s'écrit après transformation par Fourier:

l'"

o

(kO}n

PU 1

0

H'] [' a",

2

J.L -

w

••.

w;':-l)"

(mG)" wn

l)rI •..

-U,TMU'

l.rJ

avec

>

1

[jJ (9.25)

Pour la SS2 on obtient un système analogue ÎI (9.25) en substituant an:: il. (ln" XL' à XL' iL il f L' En éliminant '\"L on obtient:

D(w)

o

an1j

o

an:.

[---IL

sym

D (w ) étant la matrice diagonale:

D(w)

2pSL

['"

°

( 11- 1) 2

2

., 0J

- w-

"'.

= 0

(9.26)

PRINCIPE DES MÉTHODES D'ANALYSE PAR SYNTHi~SE MODALE

*

w =

(Il - ~ ) ~c

181

correspond à une solution non triviale de (9.26). On a

alors:

Il s'agît des modes antisymétriques de la structure assemblée. qui ont un ventre au point de connection Be. Il est donc normal gue chacun de ces modes soit représenté exactement par le mode ~( libre» de la demi-poutre. Si l'on choisit N mode pour chaque sous-structure on représentera ainsi exactement les N premiers modes antisymétriques de la structure assemblée .

... Z

Figure 9.9.

(fi - ~ )

'" Si w =F

fL

r2

.,

ï):! 2 (en posant r

on déduit de (9.26) :

7TC •

,(-lr-(-~-)-2-,ES

7T~

ft.!..

r

_w_ )

'iTcjL .

La dernière équation du système est:

Le système a donc une solution non triviale si :

1

N

N

~1 (Il - ~ ) (II ~) ~ - r~]

(9.27)

4 [

(9.27) a N + 1 racines en r2 (ou w:!) donnant les pulsations propres du système assemblé, pour les modes symétriques par rapport au pOÎnt de raccord Be. On sail par ailleurs que ces modes ont comme pulsations propres: ,

wp

ou

rJJ

= p.

1re

= PL

(p

enlier::> 0)

182

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Figure 9.10.

Les solutions de (9.27) sont des approximations des premiers Tp qui tendent vers les TJI quand N -+ co. L'erreur relative e(p, N) effectuée sur la p-ième pulsation de résonance est donnée par le graphique (9.11) :

E

Assemblage de poutres en traction-compression

el

Evolution de l'erreur relative commise sur la fréquence de résonance des modes de la structure assemblée en fonction du rapport h entre la fréquence du dernier mode de sous-structure pris en compte et la fréquence du mode de la structure assemblée

Qj

\\ !II!..

~ 80

Liaison bloquée: + 1er mode 0 2Î!me mode 0 }Î!ml! mode ô 4Î!me mode

Liaison libre: x 1er mode • 2ème mode Il 3ème mode Il 4 ème mode

À

10 Figure 9.11.

On remarque que l'évolution de E est, comme en 9.7.1.1, conditionnée par le . N --1/2 " 1e rapport d cs frcqucnces ' - qUI. representc propres d li parametrc A=p

mode N des sous-structures ct du mode de la structure assemblée.

PRINCIPE DES MÉTHODES D'ANALYSE PAR SYNTHÈSE MODALE

183

Remarqlle: Comme en 9.7.1.1 on peut effectuer un dêvcloppcment [imité nu premier ordre de (9.27) au voisinage de rI' = p, qui permet d'obtenir:

1

E(p,N)=ï

9.7.2.

Problème

Elloneé : Soit un disque plot homogène indéformable de masse M el de moment

d'inertie J pDr rapport à un diamètre. En son centre ct de chaque côté sont encastrées perpendiculairement fI son plan, deux demi-poutres de longueur L grande devant l'épaisseur du disque. Le système disque-poutre est appuyé à ses extrémités comme le montre la figure 9.12.

L

L

Poutre Disque--~' Figure 9.12. Soit E, l, p, S le module d'Young, le moment d'inertie, la masse volumique ct la section de ln poutre. Ces grandeurs sont constantes le long de la poutre. Le système vibre en flexion. 1) Trouver les équations en k donnant les pulsations propres w n du système. On pose:

pS

El

et

M 2 pSL J

1

2 pSL' ExamÎner le cas (A

il>

1, J.L

il>

1).

2) En utilisant la base des modes propres de [n poutre de longueur 2 L appuyée-appuyée (système étudié moins le disque), écrire d'autres équations en k donnant les pulsations propres W n du système complet. Montrer que dans le cas (A il> 1, J.L il> 1 ), on obtient une bonne approximation des deux premiers modes du système assemblé en n'utilisant que le premier mode de la poutre.

]84

VIBRATION DES SYSTÈMES Mt, ~NIQUES

Solution l rc qllestion: Le système admet une symétrie géométrique par rapport au milieu du disque que l'on choisira comme point d'abscisse z = O. Ses modes propres sc divÎsent donc en deux familles: Ics modes symétriques et les modes antisymétriques par rapport ft z = O. 11 suffit de traiter, par exemple, la partie droite de la poutre pour les deux familles de modes avec des conditions aux limites adéquates à l'extrémité

z=O. La déformée de la demi-poutre droite est de la forme: x(z)

A cos Icz/L + B sin kz/L + C ch kZ/L + D sh kz/L

avec:

o

z

Figure 9.13. - Conditions aux limites en La condition d'appui donne: x(~)

a-r

2

= L:

= 0 :::;;. A cos k + B sin k + C ch k + D sh k

. (L)

0 :::;;. - A cos k

= 0

B sin k + C ch k + D sh k = 0

\ -

Conditions aux limites en z

0:

a) Modes symétriques:

La deuxième conditÎon est obtenue en écrivant l'équilibre dynamique en translation du disque: L'effort exercé par la demi-poutre droite est par symétrie égal à l'effort exercé par la demi-poutre gauche sur le disque et est donné par:

PRINCIPE DES METHODES D'ANALYSE PAR SYNTHÈSE MODALE

185

d'où;

Nous obtenons donc un système de 4 équations à 4 inconnues qui peut se mettre sous la forme:

l

B +D 0 -B+D=Àk(A+C) C ch k + D sh k = 0 A cos k + B sin k == 0

L'annulation du déterminant de ce système conduir ù une équation en k donnant les pulsations propres des modes symétriques:

2 cos k ch k + À k (cos k sh k

sin k fh k) = 0

(9.28)

b) Modes antisymétriques: x(O)=O::>A+C=O

La deuxième condition est obtenue en écrivant l'équilibre dynamique en rotatÎon du disque: Le moment exercé par la demi-poutre droite est par antisymétrie égal au moment exercé par la demi-poutre gauche sur le disque ct est donné par:

d'où: _w 2 J a:

at:.

(O)=2EJ

a~(O) dZ-

Nous obtenons 2 nouvelles équations qui, jointes aux 2 équations correspondant aux conditions aux limites en z= L, donnent le syslème : A +C = 0 A -C J-Lk 3 (B + D) Ceh k+ D sh k 0 A cos k + B sin k = 0

t

L'annulation du déterminant de ce système conduit il une équation en Ir donnant les pulsations propres des modes anti-symétriques : 2 sin le sh k

+ J-LkJ(cos k sh Ir - sin k ch k)

0

(9.29)

Cas particulier À ~ 1 et J.L ~ 1: I1 existe alors pour chaque équation en k, une solution k ~ 1. Ces deux solutions sont obtenues en développant au premier

186

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

ordre en k, liA ct 111-'-:

L'inertie est alors uniquement le fait du disque et la raideur le fait de la poutre (correspondant il un calcul statique). Les autres modes sont donnés approximativement par l'équation: th k = tg k qui correspond à une poutre de longueur L appuyée-encastrée. 2 e question: La méthode choisie est une méthode de « liaisons libres », Les modes propres de la poutre appuyée-appuyée de longueur 2 L sc divisent en: modes symétriques:

X;!p - 1(z)

1

modes antisymétriques: X 2p (z)

cos (2 p l ) ;

= sinp7T

~

f

Les pulsations propres correspondantes sont:

Les masses généralisées sont toutes égales il pSL.

Equation Cil Je des modes symétriques du système: On utilise pour représenter la solution, la base des modes symétriques de la poutre ct la solution statique correspondant lIU champ de déplacements créé par une force ( - 1) localisée au centre de la poutre. Pour la sous-structure poutre, on écrit d'après (9.19) :

(9.30) avec:

U'(z) ==

_~ [( 12 El

E)3 -3 (~ )2 +2] L L

L3

PU'

- 6 El

U,T MU

2

fI.() pSU ,2(Z) dz = 136 L 7 pS (

+- ) LEI

2

D'autre part l'équation en translation du disque est:

(9.31)

PRINCIPE DES MÉTHODES D'ANALYSE PAR SYNTHÈSE MODALE

187

L'annulation du déterminant du système (9.30) ct (9.31) conduit il une équation en w donnant les pulsations de résonance de l'ensemble poutre-disque. Cette équation peut être écrite cn utilîsant la variable k. On obtÎent tout calcul fait:

o

lÀ

(9.32)

(N étant le nombre des modes symétriques choisis).

Equntioll en k des modes wltisymétriques du sy. . tème : On utilise maintenant la base des modes antisymétriques de la poutre cl la solution stntique correspondanl nu champ de déplacements créé par un moment (- 1) exercé au centre de la poutre. 1Pour la sous-structure poutre. on écrit d'après (9.19)

[kaJ ( sym.

U,TMU (9.33)

ici

PX

ml

ct IJ L sont les moments ct rotation il la liaison).

Avec:

D'autre part J'équation cn rotation du disque est: (9.34) De la même façon l'annulation du déterminant du syslème (9.33) et (9.34) conduit à l'équntion en le: N

1

P~lp6[p4_ ( ~ )4J

+

'7T HI

6

(

1

"J

+ 3-15 k 4

) -

'7T III -12

2 p..k

= 0

(9.35)

188

VIBRATION DES SYSTÈMES MECANIQUES

Cas particulier

À ~

1 ou

IL ~

1:

- Modes symétriques: On sait que le 1cr mode est tel que k développement limité de (9.32) donne: 7T 12 _ _1_

6

2

À

:::::;>

( ~ )

12

~

1. Un

0

le

k4 = 3

A

ce qui correspond exactement à la solution trouvée à la I"! question. Ccci s'explique du fait que ce 1cr mode est caractérisé par la raideur statique rapport entre une force exercée au milieu de la poutre et la déflexion correspondante: cette solution statique Il été utilisée comme base de projection dans l'approche par sous-structure. La pulsation de résonance associée au 2c mode est, pour À ~ 1, donnée par k 5 7T /4 (lef mode de la demi-poutre rotuléc-encastréc). En utilisant un seul mode de la poutre l'équation (9.32) devient, en négligeant le tcrme en 1/ À :

:::::;>

k = 1,30

7T

(erreur par rapport ft la valeur exacte de l'ordre de 4 %). Modes flmisymérriqucs; Le lor mode est également tel que k développement limité de (9.35) donne:

~

1. Un

'1I'1Il

6

--= 0 12

2 ILk

:::::;>e=~ IL

ce qui correspond exactement à la solution trouvée il la 1ft! question. (Mêmcs raisons que pour les modes symétriques). Le deuxième mode, pour IL ~ 1, correspond également au 1er mode de la demi-poutre rotuléc-encastrée (k 5 7T /4). En utilisant un seul mode de la poutre (9.35) devient en négligeant le terme en 1/IL :

o

+1 =>

k = 1,2527T

(erreur par rapport ft la valeur exacte de l'ordre de 2 %0).

o

- D SYSTÈMES NON CONSERVATIFS

CHAPITRE X

AMORTISSEMENT DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

10.1.

LES DIFFÉRENTS TYPES D'AMORTISSEMENT

Comme nous l'avons déjà noté dans le chapitre consacré à l'oscillateur harmonique, l'amortissement est l'image des phénomènes de dissipation d'énergie se produisant au sein d'une structure en mouvement vibratoire. Ces phénomènes sont nombreux (viscosité et plasticité des matériaux, chocs et frottements au niveau des liaisons entre structures, etc.) et souvent mal connus. Dans les calculs vibratoires on se contente de modèles simples généralement linéaires dont nous allons étudier les deux principaux, sur l'exemple du système à un degré de liberté. 10.1.1.

Amortissement visqueux (rappels)

La force de viscosité s'exerçant sur la masse en mouvement est proportionnelle à la vitesse de cette masse et de signe opposé. L'équation de l'oscillateur à un

degré de liberté est alors :

mx + a.Y + lex

f (t )

(10.1 )

Nous avons étudié cette équation au chapitre 1. Cette étude a montré que du point de vue de la réponse en transitoire comme de la réponse harmonique de l'oscillateur, l'amortissement pouvait être caractérisé par le paramètre E' (amortissement réduit). Dans le cas où les forces d'amortissement sonl petites devant les forces d'inertie et de raideur (e ~ 1), le paramètre ê possède les significations mathématîques et physiques suivantes: - Si Wo est la pulsation de résonance, - EW() représente la partie réelle des pôles de la fonction de transfert H(P) de l'oscillateur (EW(J est aussi la partie imaginaire de la pulsation propre complexe il) ; 2 7r e est le décrément logarithmique d'une vibration libre de l'oscillateur; - 2 E est la largeur relative à mi-hauteur du pic de résonance de l'oscillateur lors d'un balayage en pulsation (le facteur de surtension de ce pic est l

Q

=

E

);

- 4 7Të est la dissipation relative d'énergie lors d'une période d'oscillation à la fréquence de résonance.

192

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

10.1.2.

Amortissement hystérétiquc

Lorsqu'on applique à l'oscillateur une force j(t) harmonique de très basse fréquence (telle que l'on puisse négliger les effets d'inertie), on suppose, dans le modèle hystérétique. qu'il en résulte un déplacement x(t) tel que dans le diagramme j(t), x(t). le cycle soit représenté par une ellipse: X = {

a cos

wl

f = ka cos wt

-

lta sin wt

f

x

Figure 10.1.

Ce cycle ne dépend pas de la vitesse avec laquelle il est parcouru (k et h indépendants de w, positifs). L'équation en régime harmonique établi de l'oscillateur hystérétique est donc: - mw 2 X

+ (k + 1h) X

F

(10.2)

(X et F étant les amplitudes complexes du déplacement et de la force extérieure appliquée). La fonction G(w) de J'oscillateur (amplitude complexe de la réponse établie à une force harmonique unité) est: G(w) = - - , - - -mw-+ k + ih

L'al1ure du module et de la phase de G (w ) en fonction de west légèrement différente de celle obtenue dans le cas de l'amortissement visqueux. Cependant si Il 1k ~ 1, on peut caractériser G ( w ) par les mêmes paramètres: 1G

(w ) 1 comporte essentiellement un pic de pulsation Wo =

1~:

\jm

(k repré-

sente donc la raideur de l'oscillateur) et de largeur à mi-hauteur: hile (le coefficient de surtension est Q = hl le). On peut donc associer à l'oscillateur un

193

AMORTISSEMENT DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

coefficient

E

caractéristique de l'amortissement

Il

E:=

L'énergie dissipée lors du cycle est égale à raire de l'ellipse: 2IT

dY f-dt = o dt

f

T

a "1.

f

(Ii: cos 0 - h sin 0 ) sin 0 dO

Il

L'énergie totale du système moyennée sur un cycle est: E =

, fT

a? -

T

,

'

, . ,

a-

,

(k cos- wt + mw - SID- wt) dt = - (k + mw-)

4

0

A la pulsation de résonance a'1 k

E=

AE

=>E

En conclusion, pour les faibles amortissements, le modèle visqueux et le modèle hystéritique donnent le même comportement. On peut le vérifier d'ailleurs directement en écrivant l'équation de l'oscillateur hystéritique sous la forme: 1

- mw - X +

•

lW -

Il

Wo

,

X + ,eX = F

forme valable au premier ordre au voisinage de la résonance, unique zone où l'amortissement joue un rôle. 10.1.3. 10.1.3.1.

Etudes de certains modèles non linéaires d'amortissement FrottemelJt sec

Le frottement sec introduit une force indépendante de l'amplitude de la vibration et de signe opposé il la vitesse. D'où pour l'oscillateur harmonique une équation du type:

.i + A W I~ sign (.q + w ~ X

=

f / nt

(À::>

0)

- Réponse à lin lâcher: Si l'on écarte Je système de sa position d'équilibre d'une distance xo. sa réponse est: si

1I1T

-~l~ W()

X(I)=XO[l-

(1l+])7f( J1~ 0) Wo

(2n+])~J '\0

coswot+ (-ltA

194

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

xo -4À À

t

a

-À

Figure 10.2.

Le mouvement s'arrête au bout d'un temps fini, quand l'amplitude devient inférieure à À. S 1·

0:

Il

' ) 'Itu d e pour 1 = 2 1l1r est 1 amp - , nous avons: Wo

Xo

(1 - 4 ~ Il

Xo

)

La courbe Log 0: If = f (n) qui était une droite, dans le cas de l'amortissement visqueux (de pente - 2 1rE), est une courbe à concavité vers le bas.

Log

Xo

n Figure 10.3.

AMORTISSEMENT DES SYSTEMES Ml~CAN1QUES

À

Si l'on suppose que -

<É

195

1 et si l'on s'intéresse aux premières oscil1ations

XI)

d'amplitude voisines de xI) : log · L e taux d 'amortIssement est

ct

/1

= log .l(} - 4 Il 2

À -::.\f)

À

= --

Ex

/1

7T -"0

Si les amplitudes de vibration ont un niveau .l1Jl le frottement sec peut donc être remplacé par un amortissement visqueux équivalent avec l'amortissement réduit sxo'

Rernarque: Si le système possède en plus un amortissement visqueux (E) nous avons pour des oscillations d'amplitude XI) le tDUX d'amortissement;

D'où une méthode pour distinguer les ,deux types d'amortissement: en mesurant la pente de la courbe pour diverses amplitudes de vibration.

Réponse li une sollicitation sinusoïdale: Si l'on excite le système à sa fréquence de résonance, on peut montrer qu'il ne pas (*) si l'amplitude F de la sollicitation est inférieure à 4 7T

mwJ À. Si Fest

supérieure à cette valeur le système ne tend vers une solution établie que s'il existe un amortissement visqueux (E).

x Courbe expérimentale

F/mw~

o

4À/n Figure 10.4.

(.r-) Le système n'étant pas linéaire, il s'agit ici d'un raisonnement fait en ne considérant que le fondamental de la réponse périodjquc X(/) (pulsation (Ô 0)'

196

VIBRATION DES SYSTÈMES MÊCANIOUES

Dans ce cas l'amplitude X des oscillations résultantes varie avec F comme J'indique la figure JOA. D'où également une méthode pour séparer les deux types d'amortissement. D'autre part, on peut tracer lors d'un cycle d'oscillation libre à basse fréquence (en négligeant les effets d'inertie) le diagramme déplacement-force exercée sur la masse (À lU (~sign (x) + lU (i x). On peut se ramener alors à un modèle de type hystérîtique. L'aire du cycle rapporté à l'énergie moyenne du système durant le cycle est donnée par;

x

Figure 10.5.

On retrouve ainsi l'expression de l'amortissement réduit équivalent !lE -=47TE E

10.1.3.2.

=::>E .rO.t'il

2

E,I():

À

=-7T .\i)

Amortissement dû il la plasticité

Comme précédemment on peut tracer, pour un comportement élasto-plastique de la structure, un cycle force·déplacement d'allure représentée à la figure 10.6 et dont raire correspond à l'énergie !lE dissipée par cycle. On peut à partir de là définir, si l'effet d'amortissement est faible ( !l:

~ 1)

, un modèle hystéritique

PCllliv;\1f>:nt {lVf>:~ lln ::lmorti~"ement réduit éouivalent L .

197

AMORTISSEMENT DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

)(

Figure 10.6.

1 LlE

47r Ona: a (xo) =--

l'ô

Xo

.II)

a (xo) étant en général une fonction croissante de xo'

Par exemple dans le cas d'un comportement plastique parfait, on AE = 4 Jo LlE

4

(.\:0 ~J)

Jo ( Xo _ :0

(Jo indépendant enx o)

)

:::;.-

1/2xJk

E

2 Jo ::::::>E:l'()=--k_ 11"

.:\0

(1

Jo )

kxo

(pour Xo voisin de

Figure 10.7.

Jolie)

Il :

198

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

10.1.3.3.

Amortissement dii à de petits chocs

Les structures vibrantes ont souvent aux points de jonction des petits jeux qui occasionnent des petits chocs qui ne modifient en général pas les caractéristiques vibratoires mais qui dissipent de l'énergie el donc créent un amortissement. Considérons par exemple un oscillateur harmonique subissant un choc pour un débattement 1x 1 a. Pour x a la vitesse de la masse oscillante est V avant le choc, et - V (1 - ê) après le choc (e ~ 1 ). L'énergie cinétique de J'oscillateur a donc diminué de AE mV'l e. La diminution relative de l'énergie totale du système est donc:

AE V max étant la vitesse maximum de la masse (c'est-à-dire pour x 0). Si l'on admet que les chocs ne modifient pas beaucoup la fréquence de l'oscillateur, il se produit deux chocs par période et l'amortissement réduit équivalent est: ê 7T

Soit

XII

(

V ) V mux

2

l'amplitude atteinte par l'oscillateur s'il n'y avait pas de choc:

D'une façori générale, quand l'amortissement est faible, on pourra, il partir des différents modèles non Iintaires, définir un amortissement linéaire (visqueux ou hystéritique) équivalent caractérisé par un paramètre réduit ê fonction de l'amplitude du mouvement vibratoire. Expérimentalement on peut souvent définir des gammes de niveau vibratoire pour lesquelles ê est à peu près constant.

10.2.

SYSTÈMES

A PLUSIEURS DEGRÉS DE LIBERTÉ MtlORTIS

Nous considérons, dans ce chapitre, le cas des systèmes à amortissement visqueux, sachant que si les effets d'amortissement sont petits, la théorie développée s'applique à tout type d'amortissement. D'une façon générale, l'équation du système est de la forme: Mf + Ai + K\ =

f

(10.3)

AMORTISSEMENT DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

199

M et K sont les opérateurs de masse et de raideur (matriciels ou différentiels). Les forces d'amortissement sont caractérisées par un opérateur A. Comme pour les systèmes conservatifs on peut faire l'analyse de cette équation en utilisant la transfonnation de Laplace et mettre ainsi en évidence les caractéristiques intrinsèques du système. Nous avons:

x (r, p)

= (Mp:1

+ Ap + K

rI F (r, p )

Les fonctions X(r,p) admettent, en dehors de singularités de F(r,p), des pôles Pn et Pr;!: correspondant aux valeurs de p rendant singulier l'opérateur Mpl+ Ap + K. Du fait de la présence de A, ces pôles ne sont plus imaginaires, mais possèdent une partie réelle négative. A chaque pôle Pn est associé un « mode propre complexe ) X~C)(r) tel que: (Mp;, + APn + K) X~C)(r)

0

La solution x(r, t) peut se mettre donc sous la forme d'une somme de contributions de modes qui ont une allure en temps de sinusoïde amortie e-cntl1nl sin Will sî l'on pose

Les opérateurs ne sont plus ici forcément autoadjoints contrairement au cas conservatif. On ne peut donc plus utiliser telle quelle la méthode de projection modale du chapitre 2. Nous n'examinons pas ici les généralisations possibles de cette méthode aux systèmes non conservatîfs mais nous remarquerons que dans le cas courant d'effets amortisseurs petits (En ~ 1 ) il est intéressant de garder la base des modes propres X" (r) du système /lon amorti.

En utilisant les propriétés d'orthogonalité des X n (r), l'équation du système se ramène il un ensemble d'équations d'oscîllateur harmonique couplées uniquement par des termes d'amortissement: T/n

n1 n

an + mil w; an L (XII' AXm ) dm _1..

:::;;: (XlI' f)

Les coefficients des termes de couplage peuvent se mettre sous la forme: avec Résolvons ce système d'équations dans le cas d'un système 2 degrés de liberté dont les résonances sont bjen séparées: 1 W:! w 1 1 / (w 2 + W 1 ) ~ F. (on peu t généraliser aisément).

200

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

En tnmsformée de Laplace. nous avons: m,(p:'+ 2 ( m~(p~ + 2

E"

+ wi) Al

w1P

E l2 W1

+ 2 m, En WIPA l = (Xl' F)

P + wî) A~ + 2111 2

t2'

w2PA, = (X2 , F)

L'annulation du déterminant du système conduit à une équation en p dont les racines sont les pôles Pn :

En négligeant les termes du 2e ordre en

E,

on a :

Les pôles sont donc :

IPI lP2 = La partie système non La partie exprimé dans

BIlWI±~WI t22 W 1 ± HU2

imaginaire des pôles correspond aux pulsations de résonance du amorti. réelle est liée au terme diagollal de l'opérateur (/'amortÎsseme1lt la base des X'I :

La résolution du système donne:

(P+EIWI A~

(Xl' f)

= - - - - - - , - -__

[CP +

El

w,)2

+ W~][(P + e 2 Wl)2 + wi]

(XI' f) 2

11/2 t'lI

w2P

[es seconds termes des expressions de Al et Al sont petits devant les premiers termes. Nous pourrons donc dire que pour l'étude des systèmes amortis dont les pics de résonance sont bien séparés (distance entre deux pics suffisante par rapport à la largeur des pics). on pell1 négliger la partie lion diagonale de ['opérateur d'amortissement dans la base des modes ptopres du système 1101l amorti. Ceci constitue ce que l'on appelle souvent l'hypothèse de Basile. Le système est alors représenté par un ensemble d'oscillateurs découplés dans la base des XII :

(WA)

Les formules établies dans le cas des systèmes conservatifs se transposent alors aisément.

201

AMORTrSSEMENT DES SYSTÈMES MÉCANiQUES

Les fonctions de Green S01ll dOl1nées par: (10.5)

G(r, rll' t)

représente l'amortissement réduit du mode 11. (2 7T ê Il est le décrément logarithmique). Il existe une réponse établie à une sollicitatÎD1l sinllsoÏdale Imité d'amplitude complexe: En

G(r, r(),

(10.6)

(1)

Ger, r o• w) est la transformée de Fourier de G(r, ro, t). Le module de G est constitué par un ensemble ~de pics de pulsation W n et de largeur à mi-hauteur 2 êll' L'amplification maximale au niveau des pics est

Xf1(r)X n (rn )

7r

') • la phase est alors - 2E 1I 11l n W; 2

+ k7T' (suivant le signe de

Xn(r) Xn(r(J»'

10.3. EXEMPLES 10.3.1. Systèmes discrets Oscillateurs harmoniques dissipatif\' couplés par une raideur:

Figure 10.8.

Le système est schématisé à la figure lü.8. Les deux équations sont: 17d\ + 2 mw() F.i} { m.i'].

+ 211HO O

+ m(w(~ + n(f)xl - mn{~X2 + m(w{~ + n(~).1:::: - /1l.Q{~Xl

fl = /:::

en posant: w~ = k/m et n(î "3/m. Le système se diagonalise dans le système des modes propres dont la matrice est

(~

-

i)

(cf. exemple du paragraphe 2.]) :

...,

.

:

1 (f 2+ f) 1Ual+_mw(jFaj+mw()a{=, t mii:::

1

+ 2111llJ()

elÎ::: + m

(11J(~ + 2 n(~) a2 = ~ (f::: -

(l'hypothèse de Basile est donc vérifiée exactement).

fI)

202

VIBRA nON DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Les pulsations propres sont:

Les amortissements réduits sont:

La réponse à une sollicitation sinusoïdale unité localisée (fonction G) est:

w

w

o w 4'11

-n/2

-

-]1 - -

-3n/2 -TI

-----------

-2n

Figure 10.9.

- - - - -

- - - - -

AMORTISSEMENT DES SYSTI~MES MÉCANIQUES

203

Remarque: Les allures des courbes de la figure 10.9 sont correctes si 1. En particulier les deux pics peuvent se confondre si E est supérieur à une certaine valeur fonction de l'écartement (.0 1 - W l des pics. On note également que G ll possède un minimum très marqué accompagné d'un brusque changement de phase par pente positive. C'est ce que l'on appelle parfois une « antirésonance » correspondant à une quasi-annulation du numérateur de la fonction de transfert. Le déplacement est alors en quadrature de phase avec la force. G I2 ne possède pas ce caractère. E ~

10.3.2.

Effet d'un amortissement localisé sur un système continu

Soit un dispositif exerçant en r(l une force amortissante (proportionnelle à la vitesse du système au point ru et de signe contraire). L'opérateur d'amortissement associé est de la forme:

L'amortissement réduit du mode

Il

est

a~ors

:

Exemple 1 : Poutre en flexion rotulée aux 2 extrémités avec force d'amortissement au centre :

1 2

= -pSL

(''Z )' J:~

w"

L,___

L_ _

~j

01

JaoaZ Figure 10.10.

-modes i mpai rs : 1modes pairs:

En

=

AL

----::==

(1l7T f

204

VlDRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Exemple 2: Poutre en flexion rotulée et avec moment amortisseur aux 2 extrémités:

t

o1

.... z Figure lO.l1.

mêmes caractéristiques modales. A chaque extrémité un moment .AL == (

(j

= 8x

az

= angle

J..L ()

est exercé sur la poutre

de rotation), que l'on peut représenter par 2 forces de signe

contraire 1 de points d'application distincts de a

très petit et d'intensité

fLa

=:>

On remarque que les E sont constants dans ce cas, d'un mode à J'autre, contrairement au cas précédent (évolution en l/n 2). 10.3.3.

Amortissement réparti caractérisé par un opérateur A combinaison des opérateurs de masse et de raideur: A = (aM

4- bK)e

Les amortissements réduits modaux sont donnés par: 2 mil

W" En

=

(XII'

AXIl ) ea

=:> E"

L'évolution des

EII

= ?_

en fonction de

Wn

= m n E(a + bw~)

+ bw,; wn est donnée par la figure 10.12.

AMORTISSEMENT DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

205

Figure 10.12.

En particulier, on peut définir une gamme de fréquence (w 1 ' w2) autour du minimum de la courbe dans laquelle les en seront à peu près constants ~ ou inversement étant donnée une gamme ,de fréquence, ajuster un couple (a, b) tel que les en soient à peu près constants pour les modes de la gamme de fréquence considérée. Cette méthode est souvent utilisée dans les programmes de calcul de la réponse des structures en fonction du temps, pour respecter une norme imposée sur les taux d'amortissement. Amortissement équivalent d'une barre en flexion avec de petits chocs à ses extrémités

10.3.4.

Soit une barre vibrant en flexion. A ses extrémités elle peut s'appuyer soit sur une butée inférieure, soit sur une butée supérieure séparées par un jeu e que l'ail suppose petit devant l'amplitude vibratoire de la barre.

1 __

\1

L

"'1'" 0

Ô

L

--1

!~Jeu e

Figure 10.13.

Les petits chocs résultant de ces conditions aux limites imparfaites, engendrent, pour un mouvement vibratoire se faisant essentiellement sur le 1cr mode rotulérotulé, une distribution de l'énergie sur l'ensemble des modes plus élevés. Cet effet est conserva tif, puisque l'on ne suppose pas ici de déperdition d'énergie lors des chocs. Mais sÎ l'on suppose que la part de l'énergie distribuée sur les modes élevés est dissipée d'une façon ou d'une autre, on pourra caractériser le phénomène par un amortissement équivalent sur le premier mode.

206

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Considérons aux instants 1 légèrement <: 0 la poutre animée d'un mouvement de type premier mode rotulé-rotulé (pulsation wo) :

( )= A cos 27TZ. L sm

X Z, t

W

o1

1i(Z,l) = Aw()cos ;~ cos wol

(A::>O)

)((z,o)

Figure 10.14.

La réaction aux appuis est alors: RA(t)=Rn(t)=-EI

(

7T )3 smw"t .

2L

pour t légèrement inférieur à 0 la poutre était en appui sur ses butées inférieures (t <: 0, RA et Rn::> 0). A l'instant t = 0 elle décolle de ses butées; pour déterminer son mouvement, on utilise alors la base Xn(z) des modes libre-libre symétriques (m n et w n = masse généralisée et pulsation propre et normée tel que Xn(L) = 1).

On a alors;

avec:

2 lÎll(O)

= Aw()

fL pSXn(z) cos 71"z/2 L dz

~o

mn

=

A

III Wo--:---=:-:::-

mll/pSL

Cette expression est correcte s'il n'y a pas contact sur la butée supérieure:

Si J'on suppose que le contact intervient au bout d'un temps

Tt

on a : (10.7)

quand W I1 -+ 00, Il! se comporte en (w o/w n )2, On voit donc que pour des pas trop petits, il suffira de prendre un nombre limité N de termes de la série -~rl"lr.o n .... n .. l"Ihtf"nir correctement T.

el A

AMORTISSEMENT DES SYSTÈMES MÊCANIQUES

207

Remarques:

a) Si el A était très petit, on seraÎt amené à considérer des W n tels que l'hypothèse de Bemoul/i-Euler pour les poutres en flexion ne soit plus valable. Physiquement cela voudrait dire que pour des jeux extrêmement petits les chocs dans les butées sont conditionnés par des mouvements très hautes fréquences pour lesquels il faut tenir compte des effets d'ondes trîdimensionnelles. b) Une raideur non infinie des butées conduit également il réduire la tailIe de la base modale (cf. paragraphe 6.3).

La variation du champ de vitesse à rinstant 2 (cos

T

(par rapport à l'instant 0) est:

W n T -

1 SL mil p

fli(z, T) = AWn " ~

1)

III

Xn(z)

La projection de ce champ sur le 1cr mode de la poutre rotulée-rotulée est: - aAwo =

~ L

fL

l i cos

dz

7T

-l

(1 cos w Il T ) l~ = Aw Il ~ --n-l-l"""'p-S-::':L=--'l1

flA représente une atténuation de l'amplitude du mouvement sur le mode rotulérotulé de la poutre, pendant la durée d'un demi-cycle. On peut donc lui donner la signification d'un amortissement équivalent:

7TE= _ 1 e = -:;

~

L

flA

(1 - cos 1Tl

Il

W

Il

T )

I~

(10.8)

lpSL n

Application numérique En posant

=

lX,.

Wn

et

Il = W{) T

(10.7) devient:

Wo

e

2u

A Il

'::1."

[

2,27

2

Il

Ct/!( Cil~

pSL/mn

-

1)

2

9.4

12,3

2

1,8 x 103

(211 _ 1

2

--

( 2ly 211-

208

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Par exemple pour: déduit:

el A

= 0,1 le 1er mode de pulsation non nulle suffit. On

en

u = 0,58

pour

el A = 0,01

16 pSL ] - cos

CI! 1

1r3~

1

0,06

:

°

li

,

]5 :;:;::.;.

_ E

=

::;. Ë ==

10.4.

(0'1

LI

32 (0,06 0,72 - - -1+ ... ) 17 2,25 X 10 4 0,004

EXERCICES ET PROBLÈMES

Exercice: Reprenons l'exercice de la pOlllrc Cil j1exion rotlllée el at'cc momelll amor/isscltr aux 2 extrémités Le 'calcul de l'amortissement modal effectué précédemment est valable si l'effet amortisseur des moments est petit. Analysons l'évolution des fréquences de résonance W n ct des amortissements modaux En quand le coefficient IL va de a à 1'00. Pour cela nous résolvons le problème aux modes propres complexes de la poutre en procédant comme dans les exercÎces du chapitre 6. La solution générale de l'équatÎon des poutres en flexion est du type;

x(z) = A cos kz/L + B sin kz/L + C ch kz/L + D sh kz/L avec:

n

n Il

il ici le sens d'une pulsation complexe dont on recherche les valeurs qui rendent le problème singulier:

Pour cela on annule le déterminant du système homogène cn A. B, C, D fourni par l'écriture des conditions aux limites:

x(O)

A+C

a

x(L) = A cos le + B sin k + C ch le + D sh k El (

(Î2.~

IL 1'n

)

ilZ-

(

0

éi::\: . )

)

liz

+ IL in ( L

-OX

"

+ 0 sh le) + IL in

Lk ) -> El (- A +C)

= ( -k )

iJx )

az

= (

L

~

o

L

1

El (- A cos le - B sin k + C ch k.

(- A sin k + B cos k + C sh k + D ch k ) = 0

209

AMORTISSEMENT DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

En posant a =

k;s

le système devient:

L ElpS

+ B sin k + C ch k +

A cos li.

J) sh

k = 0

A + ÎakB - C + iakD = 0 A (cos li.

+ ia k sÎn k) +

B (sin k - ia k cos k ) - C (ch k + i a k sh k) - D{sh k + iakeh k)

0

Les k correspondant aux valeurs propres sont les racines de réquatÎon :

iak (cos k sh k - sin le ch k) -

sin k sh k

(akYZ

~ (1 -

cos li: ch k)

= ()

Si a
On retrouve, en annulant le terme d'ordre zéro, les solutions propres de la poutre rotulée-rotulée non amortie données par sin ko ::= () =:> k On =: 1Ir. les Akll associés sont obtenus en annulant Je (erme du 1er ordre;

En développant au 1cr ordre la relation

2

Ak n

Ail n

= --

(~) 4

=

~~

il '!. on a :

avec

(u'l

=:>

an

ri

=

2 ia w 11

Cl

L'amortissement modal pour le mode

Il

est donc:

On retrouve ainsi le résultat du parugraphc précédent.

Si a ll:> 1 on peut également effectuer un développement limité au premier ordre par rapport fi 1/ cr : cos

"0 ch kil + (cos ko sh kil - sin ko eh kn) (

Ak

.,. +...:...:.. ak

)=

0

n

En annulant les termes d'ordre zéro, on trouve les solutions propres de la poutre encastrée-encastrée (les k On sont solutions de 1 cos ko ch ko 0).

210

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Les Akn associés sont obtenus en annulant le terme d'ordre l :

Ak = 2î Il akoll

En ::=

4 ak 2 on

(En décroît avec

Il )

Pour lcs valeur.ç Î1Itermédiaires de a, J'obtention des racines de l'équatîon en " est difficile. L'allure de la variation de w n ct en cn fonction de 0:: est donnée par ln figure 10.15 :

Encastré -encastré Rotulé -rotulé Cl

a

Figure 10.15.

Cet exercice montre donc que, quand on a des amortissements importants dans un système, les fréquences de résonance peuvent être modifiées par rapport au systêmc non amortÎ : ici ln présence d'un moment amortisseur très important n tendance à fixer la rotation aux extrémités de la poutre et donc à créer une condition d'encnstrement ; la dissipation d'énergie (çaraçtérisée par les En) est alors faible puisque la rotation est petite (le produit ,J'LO aux limites tend vers zéro dès que a __ 00).

Problème: E1101lcé: Soit une poutre rectiligne, de masse volumique p uniforme, de section S uniforme ct de longueur 2 L. Cette poutre est suspendue à ses extrémités pnr deux ensembles identiques ressort-amortisseur visqueux. Si m 2 pSL désigne la masse de la poutre, si K désîgne la raideur d'un ressort et sÎ A désigne le coefficient d'un amortisseur visqueux, nous poserons 2 K = mw;; ct 2 A = 2 mw o E. On suppose que E ~

1.

A l'équilibre la poutre est horizontale. Soit alors Go z l'axe de la poutre (l'origine des abscisses z est prise au milieu Go de ln poutre). Nous allons nous intéresser ici aux petits mouvements de ln poutre dans le plan vertical xGo zpar rapport à l'étal d'équilibre. Les effets de la pesanteur sont 1lpoliopc:.

211

AMORTISSEMENT DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

x

Figure 10.16.

1te partie: La porure est supposée parfaiteme1/t rigidc. On désigne pur x A (/). xn(t), .foU) respectivement les dép];.lccments de l'extrémité A. de l'extrémité B, du centre de gravité G cl par (J (1) l'angle de la poutre avec Oz.

x

XB X(j

XA

z

Ao

Bo

Go Figure 10.17.

1 rc question: Quel est le nombre de degrés de liberté du système ainsi défini? Ecrire ses équations du mouvement. Déterminer ses modes propres. Pour c\u:que mode calculer la pulsation propre W n , la masse généralisée 11l n , l'nmortissement généralisé En' Le système vérifie-t-i1 l'hypothcse de Basile? 2c qucstioll: On exerce sur la poutre

il

l'abscisse

~l

une force harmonique

unité de pulsiltion w. Déterminer l'amplitude complexe G (z. zn' W ) du déplacement étubli d'un point d'abscisse z de lu poutre. Vérifier que G(z.z{). w) = G(zu.z. w). On exerce sur la poutre à l'abscisse zn une impulsion unité. DétermÎner le déplacement G (z. zn. 1) d'un point d'abscisse z de la poutre. Vérifier que G (z , ZOo 1) = G (zo, Z. t).

VIBRATION DES SYST'~MES MÉCANIQUES

212

ze partie: La pOllfre est supposée flexible. Soit E le module d'Young du matériau el soit 1 te moment d'Înertie en nexion d'une section droite de la poutre, E ct 1 sont uniformes 1c long dc la poutre. On désigne par X(2, t) le déplacement d'un point M d'abscisse z de la poutre.

Figure 10.18.

3" qllestion: Ouelle est If! nature du nouveau système uînsi définÎ ? Ruppcler brièvement comment s'établit l'équation aux dérivées partielles 1

El

r

4

x +

il l

pS --.:;;

() ft laquelle satisfait x(z, 1), en cxpliqmmt le sens physique

ilr ilx

des dérivées partielles -

(ÎZ

,

iJ:'x

a\

. J' ilZ-

Ecrire les conditions aux extrémités de la poutre. 4 è question: Transformer le système par Laplace, en posant la variable de Laplace p i n . (12 = « pulsation complexe»). Montrer que la solution générule de l'équation différentielle obtenue est du type; x(Z, n)

A cos k !;. + B sin k .!... + C ch le ~ + D sh k ~ L L L L

avec:

En utilisant les conditions aux limites, écrire l'équation transcendante en k donnanl les pulsalions propres complexes du système. On posera pour simplifier l'écriture: ct

JL

SC qlli:.\'ti 0/1 : On considère le système non amorti (ë = 0). Mettre en évidence des modes symétriques et antisymétriques par rapport il Go- Montrer graphiquement que l'équation transcendante ri une infinité dénombrable de racines réelles ± kfl (k n :> 0) donc que le système a une infinité dénombmblc de pulsations propres w n• Donner l'expression des modes propres X n ( z) cn fonction de

k n• si

6" question: Montrer, en utilisant l'équation transcendante (avec E .,p 0), que DI ct IL sont petits devant 1, les deux premiers modes du système

213

AMORTISSEMENT DES SYSTÈMES MECANIQUES

correspondent à ceux du système de la 1 te partie ct retrouver au premier ordre les pulsations propres et les amortissements généralisés correspondants. Donner la signification physique de l'hypothèse Il: ct J.! petÎts devant 1. 7e question: On s'intéresse maintenant aux modes 1/ ~ 3, toujours cn utilisant l'équation tnmsccndantc ct en supposant Il: et J.! petits devant 1, donner Aw

J'expression de l'écart rclatif --" de la pulsation propre

ClIn

du système avec la

wOn

pulsation correspondante WOil de la poutre en " libre-libre «(l = J.! = 0) ainsi que l'expression de l'amortissement géncralîsé en' introduit par la suspension. 1)

Solll1iOI1 :

1re question: Le système est à 2 degrés de liberté. En utilisant les variables .ta ct fJ les équations du système sc découplent. Les modes propres sont:

rG~l

ou

avec

X\(z) = 1

0=0

ml

{'d'

XG

t =:

r

ou

Xz(z) = z/L

avec

W/)

E

El

E,

111 2

0=[

lU

w,fiJ:3 E

== ml3

2C qllestioll : G(Z, Zn' (ù) =

!

,

G(z.Zo.t)

1

=--e mw o

., + 3ZZ,u

,1

m(wo + 2 If'WO -

CuJO 1

W

-

mf-

W -)

!3 ZZ smwj)t+---; •

0

I1lW

o

c-

+ 6 iEW O W

3

-

w

r::; SIn..;3w o t

CUJO 1 .

3 e questioll: Conditions aux limites du système: 2

El (

ax

az:!

) 2=-1.

o

Remarqlle: Le système étant symétrique par rapport il Go on peut également en distinguant dès maintemmt les solutions symétriques ct antisymétriques. écrire uniquement des conditions sur la demi-poutre (cf. pamgraphc 2.9). 4 C question: Par la même méthode que pour l'exercice précédent, on obtient :

--

sin k ch k + cos li: sh k

[

«(l

--

+ if! ) cos k ch k

~

]

solutions symétriques sin le ch k - cos k sh k

x

[

__

((l

+ ÎJ.! ) sin k sh k]

-...."r

solutions antisymétriques

----

o

214

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

SC question: Modes symétriques:

X,,(Z)

= ch k n cos kil z/L + cos k n ch kil

Z/L

Les kil élant solution de l'équation: tg k + th k

(les

W

Il

0:

sont donnés par:

Le graphique 10.19 montre la position relative des différentes racines kil'

Figure 10.19.

Modes antisymétriques:

Les kJl étant solution de J'équation: cotg k - coth k

Figure 10.20.

- ex

215

AMORTISSEMENT DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Le graphique 10.20 montre la position des différentes racines k n • Les racines s'intercalent entre les précédentes. En classant les modes par ordre de fréquences croissantes, les modes symétrÎques sont de rang impair, les modes antisymétriques de rang pair. 6e qllestion: Le développement, au voisinage de k 0, des 2 équations en k permet de montrer qu'il existe pour chacune une racine k 4! 1 et de retrouver les 2 équations de la poutre traitée en corps solide écrÎte dans la 1 le panic (équation de translation pour le mode pair, équation de rotation pour le mode impair). L'hypothèse Cl petit devant 1 veut dire physiquement que la raideur de la poutre est grande par rapport à celle de sa suspension. '. L'hypothèse iL petit devant 1 découle du fait que l'amortissement /'; est petit devant L 7 c question: Par une méthode analogue fi celle de l'exercice précédent, on trouve pour les modes symétriques comme pour les modes antisymétriques;

Ces expressions permettent d'apprécier l'erreur introduite par une suspension dans la recherche expérimentale des caractérÎstiques modales d'une structure libre. On remarque que si la suspension est suffisamment souple,

(~)

4!

l,

WOn

l'erreur sur la fréquence de résonance est faible. Mais l'amortissement parasite introduit pnr la suspension peut être non négligeable par rapport il l'amortissement intrinsèque de la structure.

Problème: Enoncé: Soit deux oscillateurs harmoniques identiques, caractérisés chacun par une masse m, un resson de raideur K = mw~et un dispositif amortisseur de type visqueux de coefficient A = 2 mwo E, avec E ~ 1. Ces deux oscillateurs sont couplés entre eux par l'intermédiaire d'une structure (C), comme le montre la figure 10.21. On considère les petits mouvements dans la direction Ox autour de l'état d'équilibre. Soit XI et X2 les déplacements de chacune des masses, XI cl X~ les déplacements des points de fixation AI et A 2 de chaque système ressortamortisseur sur la structure (C), FI et F 2 les forces exercées en AI ct A 2 par ces derniers sur (C). La structure (C) est caractérisée. pour des fluctuations harmoniques de pulsation w, par une matrice de couplage reliant les forces FI et F~ aux déplacements XI et X 2 :

Les coefficients de celle matrice sont rapportés à la raideur mWI~ d'un

216

VJBRATrON DES SYSTÈMES MÈCANIOUES

x

CD

CD a

o (C)

Figure 10,21. oscillateur, A ct 'B sont alors des terme~' adimcllsiollllcis que deI'Cmr J, ct éventuellement fonctions de w.

l'Oll

suppose petiTs

Prcmière question:

0) Calculer les pulsations propres et les modes propres du système formé par les deux oscillateurs couplés, au voisinage de WI)' (On suppose que A ct fi sont lentement variables cn w, ce qui veut dire que (C) n'a pas de résonance dans cette zone). b) Calculer l'amplitude complexe de la réponse établie des masses m à une sollicitation harmonique unité exercée sur l'une d'elles (fonctÎons de transfert GIl(w) cl G I2 (w». Tracer l'allure de / G II (lJJ) / et de / G 12 ( w >1 pour ItJ vOÎsin de w() ct discuter en fonction du paramètre caractéristique BlE; tracer l'évolution du rapport des maxima des modules de Gll(w) et G1:!(w) en fonction de Ble: r(B 1 E)

/0

12 / ma~

1G Ill.1Iax

c) Calculer la réponse en fonction du temps des masses 111 à une impulsion unité exercée sur l'une d'elles (fonctions de Grecn GIl(t) ct G 12 (/». Tracer l'allure de Gu(t) cl G 12 (1) (A et B constants).

Deuxième qllcstion (Application): La structure (C) est constituée par un massif quasi indéformable (pour w voisin de wo) posé sur des ressorts fixés euxmêmes au sol, de telle sorte que les modes de cet ensemb1c aient une pulsation propre petite devant wo' On ne considérera que les mouvements de translation parallèles à Ox et de rotation d'axe perpendiculaire au plan xOz de la figure 10,22. Soit L lu longueur du massif et M sa masse. Le massif est de section rectangulaire ('fi) ct constitué d'un matériau uniforme.

217

AMORTISSEMENT DES SYSTÈMES MÊCANIQUES

L

z

Figure 1.0.22. Les oscillateurs sont fixés sur le massif aux absciss~s f ct L (f <: L/2), comptées à partir de l'une de ses extrémités. Calculer les coefficients caractéristiques de couplage A et B en régime harmonique de pulsation voisine de Wu.

e

Application

Ilumérique:

Pour

une

masse

111

= l kg,

une

fréquence

50 Hz, el un amortissement réduit e = 10- J, calculer le rapport

Jo

Ble dans le cas d'un massif d'une tonne (on prendra fiL = 1/3). SOllllio1l : Première question: EcrÎvons les équations du mouvement des deux masses sous l'action d'une force harmonique f exercée sur rune d'clics: mOllvement de la IN! masse: -11IW !.\', = f - FI mouveme1lt de la 2e mas!J'C : - mw :! Xl - F 2 Force engendrée par le 1"' système ressort-amortisseur:

Force e1lgendrée par le 2e système ressort-amortisseur:

éqUatÎ01l

du cOI/plage:

(XI) Xl

(A B) (F mwJ B A F

2-

I )

2

Posons:

n

f:F + n lX, l n

ct

:F =

f Imw~

+ 2 iE'n )[x) - 2 AUf + n 1 Xl) - 2 Bn 2 X 2 ] (1 + 2 i En )[x2 - 2 B (:f + n 2 XI) - 2 A Il :; x!]

= (1 =

w

218

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANJOUES

ou: (Xl +X:)[- n 2 + (1 + 2 Îen )[1- 2(A + B) n 2]] = .'F [1 + 2(1 + 2 ien )(A + B)] 2 (Xl - -'2)[- n + (1 + 2 i e n)[l - 2(A B) n 2 ]] = .'F [1 + 2(1 + 2 Îen)(A - B)]

(1)

1

a) Détermination des modes propres et fréquences propres Dans le système (1) nous faisons ;r = 0 ct e = O. D'où les modes propres

{:

et

t:

Les pulsations propres correspondantes sont:

Comme A cl B sont petits devant 1, nous avons: nI

10 2

= 1 - (A

+ B) el

n 2 == 1 -

(A - B )

Remarque: Les amortissements réduits pour chaque mode sont: E. L'hypothèse de Basile est vérifiée.

b) Calcul des fOllctions de transfert Compte tenu de J'hypothèse A, B, e ~ 1 Je système (1) s'écrit:

l l d'où

2

(x. +x2)(n~+2 iEnn. - n ) =.'F

(x 1 - x2)(ni + 2 iEnn 2 - n"!) =.'F

El

= e et

219

AMORTISSEMENT DES SYSTÈMES MÉCANIOUES

lUI

11/4 mw!l (1/E) 1

Figure 10.23.

1G 12 (iLl) 1!!lU

1G Il ( Id ) 1max

-Si

J (J

(B 1 F

IBIE 1,..; 1

IGI

Figure 10.24.

f

+4

- 1 ) 1B 1 2 e 1

220

VIBRATION DES SYSTI~MES MÉCANIQUES

lUI

- -11/2 ml.û~) 111E:) [J(1+!B1E:)211

~ I -(1I2ml.û~I(1/E}[IB/EI/(1+(B/d)) ~ ,

1[i1t1

1

___

IGul

1 1

1

1

1-A Figure 10.25.

r(Ble)

1

~

1

L'évolution de r(B/ E) est donnée par la figure 10.26 :

- - - - - - - - ...::-.., . . - - =-:::.:::.==-=:=-=---------;;1""IB/e:1

Figure 10.26.

c) Répo1lse li

Hile

G H (1) = G:!1(t) =

impulsion unité

_l_~c - Folol[sin ni W o t + sÎn al w!) t] .

2mw

o

c- ""0 '

=--~ ntwij

cosBwotsinw()(1

A)t

sinBwotcoswu(l

A)t

- '''0' ==

C

221

AMORTISSEMENT DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

L'allure de G 1I (t) ct Gdf) est donnée par la figure 10.27 :

Figure 10.27.

COllclusion: Le rapport B / E caractérise le couplage entre les deux oscillateurs. Si B / e ~ l le couplage est faible: en excitation harmonique l'oscillnteur non excité répond beaucoup mOÎns que l'oscillateur excité. En excitation împulsionnelle on n'observe quasiment pas de phénomènes de battement. Si B / e ~ 1 le couplage est fort: en excitation harmonique les 2 oscillateurs ont des amplitudes comparables. En excitation impulsionnelle d'importants battements sc manifestent. Dans la pratique on cherche il minimiser cc couplage qui peuL fausser le résultat de certaines mesures. DClLrième question: Calcul de la réponse du massif à une force FI exercée en Al:

x

z

Figure 10.28. Les fréquences propres du massif sur ses ressorts étant très basses devant ln fréquence des oscillateurs, on peut négliger les effets de raideur devant les effets d'inertie du massif. Le mouvement du massif en solide indéformnblc est défini par le mouvement du centre de gravité X a Cl l'angle de rotalion (J. Nous avons (pour 11l voisin de wn) :

e)

FI

avec

ML2 12

J = --

222

VIBRATION DES SYSTÈMES MÊCANIQUES

Le mouvement de AI ct Az est alors:

D'où:

e ) 2J

FI J [ 1 + 3 ( 1 - -L .., Xl = - Mil)

Les coefficients A ct B sont donc: (le problème étant symétrique)

Applicatioll II/1mérique:

1 BlE 1

= -1 10-

2

3[1 - 3 ( 1 - 3"') = 2J -10-1 3 :::;.

IBIE 1 =

0,33

CHAPITRE 11

ÉTUDE DES SYSTÈMES VIBRANT AUTOUR D'UNE POSITION D'ÉQUILIBRE STATIQUE AVEC CHAMP D'EFFORTS PERMANENTS OU AUTOUR D'UN MOUVEMENT PERMANENT

Nous avons étudié jusqu'à présent les petits mouvements de structure autour d'une position d'équilibre statique et négligé l'effet du champ d'efforts permanents s'exerçant dans la structure il cet équilibre. Nous allons montrer maintenant que dans le cas d'une structure soumise à un champ d'efforts importants à son équilibr~ ou d'une structure animée d'un mouvement permanent rapide, les caractéristiques vibratoires sont modifiées: la linéarisation autour de grandeurs permanentes non nulles, introduit dans les équations des petits mouvements, des termes supplémentaires fonction de ces grandeurs.

11.1.

11.1.1.

SYSTÈME VIBRANT AUTOUR D'UNE POSITION D'ÉQUILIBRE AVEC CHAMP D'EFFORTS PERMANENTS Formulation générale

Soil un système à l'équilibre soumis à un champ d'efforts extérieurs (efforts de direction et d'intensité imposée ~)' ou efforts dus à une pression Po) et à un champ d'efforts internes caractérisé par le tenseur des contraintes Considérons un état déformé de ce système par rapport à cette position d'équilibre, caractérisé par le champ de petits déplacements x et cherchons comme nous l'avons fait au chapitre 2, à exprimer l'énergie potentielle U associée à ce champ de déplacement sous la forme d'une forme quadratique homogène des x: U=-Wi-We W i et Wc étant le travail des forces internes et externes pour passer de l'état d'équilibre à l'état déformé x. On peut effectuer ce passage en imposant un champ de déplacement Ax, A étant un scalaire variant de 0 à L On a alors: U =

ri

Jo

dU dA dA

224

VIBRATJON DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Trllllail des efforts internes: On sait que: dWi

f

= -

:rr ®

dEr dv

(V)

dE étant Ja variation élémentaire du tenseur des déformations, à l'état

Ax;

7r est un tenseur. qui à la configuration par:

ÀX,

peut s'exprimer au premier ordre

U 1 étant le tenseur des petites variations de contrainte associées aux petites déformations liées aux petits déplacements imposés x. dW· dA' =>

l

= -

W1 =

dv

CV)

f f II If tdW. - - ' dA = dA

Il

- ? -

fil

(V)

® -ct Et V -

(V)

-

2

{V)

(en négligeant les termes d'ordre 3). ,

Travail des efforts externes:

n (À ) ct.! A. est le vecteur normal à la surface limitant la structure dans la configumtion ÀX. Au premier ordre:

n) étant la petite variation du vecteur normal dans les configurations déformées x par rapport à celle à l'état d'équilibre (no). d.! est l'élément d'aire à l'état d'équilibre

=;>

We =

l

(V)

fo . x dv

+

l

(S)

Po no . x d.!

+~ -

f

(S)

Po nI . x ct.!

ÉTUDE DES SYSTÈMES VIBRANT AUTOUR D'UNE POSITION D'I~OUILTBRE

225

Finalement l'énergie potentielle est: U

Wc

- Wi

+~ -

f

(Jo

®

(V)

a=\ ® e\

dv

(V)

-}J -

f

=

+~ -

~\ dv - f

J

Cn ·

x

du -

f

Pli no' x dI

(!")

(Vl

li() ® E2 dv

(V)

Pli nI . x d.!

(r)

Cette expression comporte un terme du premier ordre :

œ El dv

f

~)' x dv -

{V)

J

Po no x d.Y

(1')

qui est nul puisque la position de référence pour notre linéarisation est une position d'équilibre. L'expression du 2c ordre homogène cherchée pour l'énergie potentielle est donc:

(11.1)

Le premier terme de cette dernière expression est le terme considéré au chapitre 2. A ce terme est associée l'opérateur de raideur K classique de la structure. Les deux autres termes sont des termes supplémentaires fonctions du champ d'efforts permanents s'exerçant sur la structure à l'équilibre. Il leur est associé également un opérateur de raideur: Ku KI" En utilisant les méthodes générales du chapitre 2 l'équation caractéristique des petits mouvements du système est alors du type: 1

(K +

KIT -

Ki!)

X

+ Mx

= ()

1

(1l.2)

Remarqlle: on peut vérifier le caractère symétrique des opérateurs KIT et

Kp. Dans le cas de Kp ceci est fait dans la deuxième partie (Chap. 14) à propos de l'interaction structure-fluide.

11.1.2.

Il.1.2.1.

Exemples d'application

Petits mmn'ements de flexion d'une poutre droite 80umÎse ;i un effort perm:went F{) de traction ou de compressÎon

Soient E, l, p, S le module d'Young, le moment d'inertie de flexion, la masse volumique el la section droite de la poutre.

226

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIOUES

r

-Eo lIIIIiI

o

z

L Figure 11.1.

Le champ de contrainte résultant de l'effort Fil est

U

o=

F()

S

(contrainte de

traction-compression uniforme dans la poutre). Nous avons:

u

=

~ -

f

(fI

®

(V)

~l dv 21

f

®

(V)

E~ dv

en faisant l'hypothèse de la flexion pure et si x(z) est le mouvement de flexion (déplacement transverse de la fibre neutre) nous avons:

J

~ -

Ey 2 (

(V)

r El (

~

L

- Jo

,l

~

f tf-o ® -e2 dv = .,1 (V)

'J'Igeant y ( en neg

::::>

-

a2

U

f (ax )

d evant - il

az

-21

u0

-

az

(V)

2

a~ ) 2 dv

az

a~ ) 2 dz

az

dv = .,1

-

IL Fu (()x) az

0

dz

) ce qUI. est . vrai pour une poutre 1 ongue

rI. El ( a\ ) dz + ~- Jo Fo ( axaz ) dz az

Jo

2

2

fL

2

(11.3)

Appliquons le principe des travaux virtuels pour obtenir l'équation dynamique de la poutre, ainsi que les conditions aux limites. Nous supposons que l'on exerce un moment de flexion M et un effort tranchant F extérieur aux extrémités de la poutre, ainsi qu'un effort tranchant réparti de densité f

ÉTUDE DES SYSTÈMES VIBRAl'IT AUTOUR D'UNE POSITION D'ÉQUILIBRE

BU+BW i +i5W c

r

L

_ BU = _

Jo

al,

_ [El ôW i

-

a2.~)

(El

lIZ-

Bxdz

+

oZ-

227

0

r Fu a:r Bxdz L

Jo

a\)

a~ a(ôx)]L + [~ (El ar az 0 az az-

Bx _

Fil

axaz ôxJL 0

fL pS.i ôx dt

Jo

8W c = [F ôx lo + [F ôx lL +

[M a ÔX] + [M aoZÔX] àz

0

+ L

JofL f

8x dz

D'où l'équation d'équilibre:

-

F(j a;' + p S"x

=. f

(11.4)

et les conditions aux limites: moment eXerCé) par la droite sur la gauche effort tranchant} exercé par la droite sur la gauche

=

éJ~ EI -= + M az:!. -

en

{OL

a (El a~) + F0 éJx - az az

= ±

F en {L 0

Remarque: Si la poutre est très peu raide (El négligeable) (11.4) devient:

a='x S" - Fo-~+p x= f f)Z-

C'est l'équation des cordes vibrantes: la raideur ne provient que de la tension de corde Fo. Elle est du 2c ordre et a la même forme mathématique que l'équation de traction-compression des poutres. Toutes les considérations que nous avons développées à ce propos concernant les propagations d'onde sont donc applicables ici. Les conditions aux limites sont du type: œFo

ax +f3x az

F

( ax = 0: condition libre, x = 0: condition fixée).

az

Exemple d'une poutre uniforme rotulée à ses extrémités: calcul des fréquences propres el modes propres.

Nous avons:

228

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIOUES

avec:

en

=

Z

{~

Les solutions non triviales sont encore de la forme: •

sm ce qui impose pour les

Si

( l w 0 Il =

Fc

W n

El (

Il'TrZ

Il

entier:> 0

propres de vérifier l'équation:

/l11' ) ~ + Fo (

1l1T

).2

.F 11';J/Et ps = pu)' satton propre SI 0

1l1T ) 2

El (

pS

~= 0

W

=

0

L )

Nous avons:

Par exemple pour la première pulsation suivante:

-1

propre~

nous avons J'évolution

o Figure 11.2.

Lorsque Fo - Fc (compression) le système est à la limite de l'instabilité (w 1 = 0). Fc est la charge de flambage d'Euler. D'une façon générale on peut dire que si les charges appliquées à une structure sont petÎtes devallf les charges de flambage, leurs effets sur les caractéristiques l'ibralOires SOI11 négligeables.

ÉTUDE DES SYSTI~MES VIBRANT AUTOUR D'UNE POSITION D'ÉQUILIBRE

11.].2.2.

229

Coque cylilldrique mince infinie soumise il une pressîon permnnente

On suppose ici que les déplacements axiaux sont nuls et que les autres grandeurs ne dépendent pas de la variation nxiale z. On se ramène donc à un problème bidimensionnel dans une tranche (nous appellerons H la hauteur arbitraire de cette tranche). En reprenant les notations du chnpitre 8, la déformation qui nous intéresse ici est la composante EllO du tenseur E. El1e comprend une partie constante dans l'épaisseur de la coque (membrane) donnée au 1er ordre par:

et une pnrtÎe linéaire (nulle sur la fibre neutre) dans l'épaisseur (flexion) donnée au premier ordre par:

aa

r Ci

étant l'angle de rotation d'une section droite de la tranche Ci=

On a dOlle:

av

ao Pour des modes de flexion (n ceci impose : li' (

0) =

li'

=1=

0), rallongement de la fibre moyenne est nul

cos Il 0

et

v ( () )

Il'

.

--SInIlO Il

rl\'

~

--:;- (Ir - 1 ) cos nO R~

Le terme du 2e ordre du

F 00

est à peu près, pour une coque mince:

Ca/cul de l'énergie potentielle associée à lin mode u

~ -

f

(V)

al

® El dv + ~ -

J

(V)

alJ

® E2 dv -

Il :

kf -

(~)

]JO"I' x d.!

230

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

U" =

~J -

fio ®

(V)

~:! dv = ~ -

~ (o-oa)()

(

112/~ 1

)

f

'1 (

(UfI(/)O (E III,):!

dv

(V)

~ ):2 7TRhH

(a oo)() est la contrainte de membrane due à la pression:

~Po

étalll la différence entre la pression inteme et la pression externe à la coque =>

U

tT

(11-1--1 ):! AFII Hw-.,

1 7T

= ?_

n

les composantes dans le système polaire de la variation de la normale extérieure sont:

n,

Figure 11.3.

n,

=

iJv IV ) Dn+ -+( R ae R

av ) -+ IV ( -+w ao R 1

(

(V-

R

dW)

-R ae

aH' ) -v = ao R

1)--

1l

2

-1 w

t(J 11

2

-

] ",2 . .,

-sm-nO R

..,

- 7T • --,- ~Po Hw2

Finalement: U

=!

7TEH 2 12(J - l'

(11.5)

ÉTUDE DES SYSTÈMES VIBRANT AUTOUR D'UNE POSITION D'ÉQUTLIBRE

231

Appliquons le principe des travaux virtuels pour obtenir l'équation dynamique de la structure: -8U+8W i

0

C = Energie cinétique

=~

8U

f:

1T

phH

(Ji,2 cos::! nO +

:~~ sin 2nO )

__ 1T_E_H_::- (112 _ 1? (

~)

R dO

1 n 2 +1 .-' - phH'lTR - -2u r ·.2 11

8H' + 1T (n:!

3 li'

] ) f),.po Hw 8w

D'où l'équation d'équilibre.

En appelant

12 (1

Il

n:!

E

WOn

1,2) P

J

1 R 1 +---:j

2

(pulsation propre associée

n-

au mode n de coque en l'absence de pression permanente) et : E Apc = 4(1 _ ,,2)

(")3 R

La pulsation propre avec pression permanente est alors:

par exempte pour n = 2 :

-1

o Figure 11.4.

232

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIOUES

Apc est la pression critique de flambage de la coque sous pression externe. Les remarques de l'exemple précédent s'appliquent à ce cas de la même façon.

11.2.

SYSTÈME VIBRANT AUTOUR D'UN MOUVEMENT PERMANENT

Nous examinons ici le cas d'un corps animé d'un mouvement permanent que nous restreignons au cas d'un mouvement de corps solide. Par rapport à ce mouvement, le corps peut avoir des petits mouvements impliquant ou non des déformations. Il est facile de voir qu'un mouvement de translation uniforme n'a pas d'incidence sur les caractéristiques des petits mouvements du système. En revanche un mouvement de rotation permanent peut modifier ces caractéristiques. Nous allons .étudier ces modifications à titre d'exemple dans le cas où les petits mouvements, du système sont également du type ~< corps solide») selon les définitions données au chapitre 4. Nous étendrons ensuite les résultats obtenus aux petits mouvements de flexion d'une poutre rectiligne tournant autour de son axe. 11.2.1.

Petits mouvements d'un corps solide de révolution tournant uniformément autour de son axe

Le problème est de trouver les nouvelles expressions des termes d'inertie dans les équations d'équilibre des petits mouvements du corps solide. L'énergie cinétique est donnée par (cf. Chap. 4) :

Yo

Figure 11.5.

ÉTUDE DES SYSTÈMES VIBRANT AUTOUR D'UNE POSITION D'ÉQUILIBRE

233

Cette expression montre que seuls les termes associés aux rotations peuvent subir une modification.

z y

v ~~~---------yo

} - - - - - - - - I.....

Yo

u Figure 11.6.

La position du solide au cours du temps (définie par les axes principaux d'inertieG xyz) peut être repérée par rapport aux axes principaux d'inertie Gz{) Yo Z() à la position d'équilibre à l'aide des angles d'Euler (cf. figure 11.6). Les composantes de la vitesse de rotation dans le repère Gxyz sont données par:

nx=

!

iJ cos if' + ~I sin () sin if'

fl y = - fj c~s cp

!J.z =

cp + '" cos

+ ej, sin () cos

cp

(J

L'énergie cinétique (partie correspondant à la rotation) est:

Ix = Iy et Il" étant les moments principaux d'inertie du solide. 1

.~

. .,.,

1

'2 lA 0- + ~r sin- (J) + 2: Ii cP

+

.

~I

., cos (})-

Considérons maintenant des petits mouvements de l'axe Gz par rapport à Gzo repérés par les angles 0 x et 0 y rotations respectivement dans le plan Gyo Zn et G..\() Z(): 0r~ 1, Oj'~ 1. Considérons d'autre part une rotation uniforme n du solide autour de Gz().

234

VrBRATJON DES SYSTÈMES MÊCANIQUES

Les angles d'Euler sont tels que: ~1

1)

et

tP + rfo

=

il

D'autre part, au premier ordre, on a : 0 cos

{}x

tp

(11.6)

lh= {} sin !JI

{

Développons CH au deuxième ordre:

(11.7) D'autre part en dérivant (11.6) par rapport au temps on a:

~x = ~ cos ~/

1Oy

= ()

0 ~~ sin II' sin Ip + o!JI cos I/J

d'où:

(1] .7) devient donc: (11.8)

Ln partie quadratique homogène Cl correspond à l'énergie cinétique associée aux petits mouvements. On peut en déduire les termes d'inertie dans les équations d'équilibre associés il .{) x et (j Y' en appliquant le théorème de Lagrange: d (

-

dl

ae l ) --=Ix Je l .. . O x+ 1zilO y aé x J8 x

-

~ ( Je l dt aéy

)

_

Je,

ao y

(11.9)

Iyëy

Izilé x

Remarque: (11.9) s'obtient également à partir du théorème du moment cinétique en remarquant que la projection de ce dernier dans le plan Xo G Yo se compose au premier ordre des termes dus aux vitesses de rotation iJ x et Oy et des termes dus aux projections du moment cinétique CG associé à la rotation uniforme il: Ca = 1x Ôx il)

+ 1y il y j{) + 1z il ( 0 y in

0 x jo)

ÉTUDE DES SYSTÈMES VIBRANT AUTOUR D'UNE POSITION O'ÉQUlLIllRE

235

d'où: dC G dt

Nous mettons ainsi en évidence deux termes supplémentaires proportionnels à la vitesse de rotation n, couplant les deux 'équations des rotations d'axe perpendiculaire à celui de la rotation n. Ces termes sont proportionnels aux vitesses angulaires des petits mouvements. On les appelle termes gyroscopiques. 11.2.2.

Application à une poutre droite vibrant en flexion et tournant autour de son axe

Pratiquement cet exemple correspond au cas courant des arbres ùes machines tournantes.

)(

Q

z

o

L

Figure 11.7.

Les notations sont celles du chapitre 6. Iz est le moment d'inertie par unité de longueur de la poutre par rapport à l'axe Oz. En appelant x et y les petits mouvements de flexion dans les plans xOz ct yOz, nous avons:

~

u

=

C

= -21

IL

El [ (

iL ." {}

a~ ) 2 + (

)~]

pS(.r + li-) dz +?1 •

_

dz

Il ( Il

lzn

av iJi - ox a)', ) dz -"-éJz jJz iiZ az

L'expression de C est obtenue à partir de l'expression de Cl du paragraphe précédent en négligeant les termes d'inertie en rotation des sections droites (Ix li; et Iy é~) et en explicitant les rotations des sections droites Ox et Oy fonction de x et y : j)x

az

iJz

236

vmnATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Pour un déplacement virtuel ôx, ô y nous avons:

_ ôW, = ôu =

Jor

L [

.d1~

i1z-

2

(El a;' ) ôx +

8 ,

oZ-

(El a1: ) ôyJ dz az-

+ (termes aux limites

IL [ as'az

- -il_81" .-

ai -_-" a ôv ]

En appliquant le théorème des travaux virtuels: 8W e deux équations de flexion de la poutre:

+ 8W j = 0

- 8W î

=

L

I

()

pS(.f OX

+ Ji

8y) dz

+

lzn

az

Il

a (1 Z n éJv + p S" x - az a~ +P

(1.:..

dz

on obtient les

) =0

SJJ. + -:::-a (1 n azai ) -_ 0 (J,:

:z

{ LO)

(11.10)

-

Exemple: Modes propres et fréquences propres de flexion d'un arbre tournant (n ) zmifol'me, mllllé à ses extrémités.

Le système dont on doit trouver les solutions singulières est:

El

a,IX

pSw""X

.

a:Y = 0

•

i)

twlll z - . ,

az-

,

pSw - y +

Iw 111z

2

X

=0

avec:

Le système peut se mettre sous la forme: 8 +iY - w nI! al(X +, iY) - P S w 2(X EI --'---:----'-

az-

EI (1'!(X , iY) +w nl l al"

a2 (X

1

az-

iY) -p s W 2(X

+ 1'Y) = 0 'Y)-O -

-}

ËTUDE DES SYSTÈMES VIBRANT AUTOUR D'UNE POSITION D'ÉQUILIBRE 237

avec: X + iY = X - iY = 0 a 2(X - iY) = 0 a:!(X + iY) 1 az (Iz 2

1

en

{~

On obtient donc deux familles de modes propres: a) Xl

iY J = sin ll7TZ

(~)

avec

W()J'

b)

x~

-

+ iY,

=

-

= sin 117TZ

avec

L

(W

n

=

J

À '2.

+] -

À

1

)

Won

~ =

en posant: Won

= pulsation propre sans rotation

c"r r $f

1 À

=

nI;

2: ,,/ElpS

1

o Figure Il,8.

Le mode a de fréquence propre hl plus basse correspond à un mouvement de flexion de la poutre s'effectuant sous la forme d'une rotation dans le sens opposé à la rotation imposée n, C'est le mode rétrograde, Le mode b de fréquence propre la plus élevée correspond à un mouvement de flexion dans le même sens que la rotation imposée. C'est le mode direct (qui est le seul excité par la force due à un balourd de l'arbre). Renwrqlle: On appelle l'ifeSSe critique d'un arbre, la vitesse de rotation correspondant à la coïncidence entre la première fréquence de résonance du mode direct et la fréquence d'excitation du balourd: Cùl =

n

238

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Il existe des arbres sous-critiques pour lesquels on fonctionne toujours en dessous de fl c et des arbres hypercritiques pour lesquels le passage des vitesses critiques doit se faire suffisamment rapidement pour ne pas atteindre des niveaux vibratoires dangereux.

1

1 1

1 1

1

..........................

o Figure 11.9.

1

...., .......

--

CHAPITRE 12

NOTIONS SUR LES SYSTÈMES LINÉAIRES INSTABLES

Les systèmes que nous avons analysés précédemment sont différents de ceux des chapitres 2 à 8 (systèmes conservatifs) et du chapitre 10 (systèmes dissipatifs). En effet, les termes supplémentaires que nous avons mis en évidence dans les équations ne se ramènent pas toujours à une raideur positive ou un amortissement. Dans le cas des systèmes du paragraphe 11.1, la raideur peut devenir nulle, voire négative, dans le cas des systèm~s du paragraphe 11.2, les termes proportionnels aux vitesses ne se ramènent pas à des termes d'amortissement classiques. D'une façon générale ces systèmes appartiennent à la classe des systèmes vibrants pouvant tirer de l'énergie d'un « réservoir d'énergie») extérieur et pouvant ainsi devenir « instables ».

12.1.

MODÉLISATION DES SYSTÈMES INSTABLES

On distingue deux types d'instabilité: - L'i11stabilité statique: un système est statiquement instable si sa fonction de transfert possède au moins un pôle réel positif (les autres pôles étant à partie réelle négative). Le système excité par un transitoire quelconque a une évolution temporelle du type e UI (a. > 0) divergente. L'instabilité statique est caractéristique des systèmes dont on étudie les petits mouvements autour d'un équilibre instable. C'est le cas des systèmes étudiés au paragraphe 11.1 quand 011 dépasse la charge de j7ambage. - L'instabilité dynamique.' un système est dynamiquement instable s'il possède au moins un pôle à partie réelle positive et à partie imaginaire non nulle. Le système excité par un transitoire, a une évolution temporelle du type e cwl cos wt, oscîllante divergente. Modélisation de l'i1lstabilité dynamique pour les systèmes à 1 et plusieurs degrés de liberté: Comme nous l'avons déjà dit un système dynamiquement instable prend à chaque oscillation un peu d'énergie au réservoir d'énergie auquel il est couplé. Ce couplage s'exprime dans les équations des systèmes par des termes non conservatifs dont nous allons étudier les caractéristiques.

240

12.1.1.

VIBRATION DES SYSTI~MES MÉCANIOUES

Système il 1 degré de liberté

Un système àl degré de liberté ne peut présenter d'instabilité dynamique que s'il existe un phénomène produisant un effet d'amortÎsse11lellf négatif. L'équation du système est alors: m(.i'-2EW O·Y+wrfX)=O

avec

8:::>0

La réponse fi une impulsion d'un tel système est: G (1 )

1 rr~()I. =-e sm ln/ut)

will

A chaque cycle la force d'amortissement négatif fournît au système: ~E

=4

7fE

Figure 12.1.

(E étant l'énergie moyenne du système au cours du cycle). La réponse forcée du système à une sollîcitation sinusoïdale

é"' est donnée

par: G(W)=--~--~-----­

- 2

iFW()

w)

Par rapport à un système stable la courbe des amplitudes n'est pas modifiée, la courbe des phases est inversée au niveau de la résonance. Remarque: Le pôle du système est: PH

=

EW(I

± iW(J'

NOTIONS SUR LES SYSTÈMES UNÊAIRES INSTABLES

12.1.2.

241

Systèmes il plusieurs degrés de liberté

Pour un système à 2 degrés de liberté et plus, l'existence d'un amortissement négatif n'est plus une condition nécessaire d'instabilité. Soit par exemple un système à 2 degrés de liberté défini par:

l '~l + 1 +

W

f Xl + n l~ x::: =

x::!

Xz

+ fl:!1 XI

0 0

(12.2)

Les fréquences propres complexes sont données par:

si l'on pose fl 12

n 21

= li. w {~

avec li. =

:!:: ],

il yient :

(12.3)

Traçons le graphique

f1

f (li. wo) :

o

-J Iw? -wll/2

Figure 12.2.

Si

1

1W

,fi

f

W

i 1 ~ li.

W Il

~

J

W 1 W2

l'expression de fl::! est réelle posi~

tive, fl est donc réel: Je système est stable. Si li. W 0 >W 1 W 2 l'une des racines devient négatÎve, Je système est statiquement instable.

J

J

Si lI.w{) <: 1w - wil /2 c'est~à-dire À = -1 et w() >- 1w~ - wil /2 l'expressÎon de n est complexe avec une partie réelle non nulle. Le système est dynamiquement instable.

242

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Le graphique 12.2 nous montre que quand: wo-

J

Iwf wil 2

les fréquences propres du système se rapprochent jusqu'à se confondrent. L'instabilité nait donc de la confusion des fréquences propres du système, rendue possîble par la dissymétrie du terme de couplage (A = - 1). Remarque: D'une façon plus générale, les instabilités des systèmes à N degrés de libertés sont soit du type « amortissement négatif », soit du type « par confusion de 2 fréquences». 12.2.

CRITÈRES DE ST AllILITÉ

Pour les systèmes mécaniques complexes les conditions d'instabilité peuvent être analysées à l'aide de programmes de calcul: en général on fait évoluer un paramètre caractéristique et on recherche dans le plan complexe les courbes d'évolution des premiers pôles de la fonction de transfert du système. Quand l'une de ces courbes coupe l'axe imaginaire pour pénétrer dans le plan des réels positifs le système est instable. Cette démarche implique évidemment que les phénomènes mis en jeu soit clairement identifiés et donc que l'on sache expliciter les équations du système. Souvent ce n'est pas le cas et l'on se contente, pour représenter le comportement global du système, de modèles simples utilisant un nombre limité d'équations. Dans ce cas, il est intéressant de disposer d'une méthode analytique permettant de connaître les limites de stabilité. Le critère de Routh, d'usage courant en technique des asservissements, répond à cet objectif: Soit un système défini par une équation matricielle du type: (K + Ap + Mp 2) X (P) =. 0, nous savons que la recherche des pôles de sa fonction de transfert se ramène â la recherche des zéros d'un déterminant: Det (K + Ap + Mp 2) = 0 Ce déterminant est un polynôme en p à coefficients réels, que nous écrirons: (12.4) Le critère de Rowh consiste à former Je tableau: Pn Pn-l

an an _ 1 al1 _1 an -2

Pn-2

ail QI1-3

-

an -

1

an _

an -4 al1 _ 5

2

an -3 an-l an _ 4

-

a _1 n

an al1 -5

...

•••

243

NOTIONS SUR LES SYSTÈMES LINÉAIRES INSTABLES

Si tous les termes de la 1rc colonne sont positifs, le système est stable, s'il y a c changements de signes, le polynôme étudié à c racines instables (c'est-à-dire à partie réelle positive). Exemple: pfi + 5 p5 + 9 p~ + 10 p3 + 11 p2 + 10 P + 3

p6 p5 p4 pl

1

1 1 -1 1 1

p2 p 1

11 2

9 2 9/7 2,2 15/32

3/7 0 0

0 0

0 0

3 0 0 0

0 0 0

(La I fC colonne peut être normée à 1 en module). ;. Le système à deux racines instables. Remarques: Si un terme de la 1re :.colonne est nul, on peut multiplier le polynôme par p + a. Si toute une ligne est nulle, le polynôme précédant la ligne nulle est du type: am p2m + am _ 1 p2m - '2 + . .. Ses racines sont racines du polynôme de départ.

Pour les étudier, on applique le critère en formant le tableau: am _ 1••• ....

°m_1

(2 ni -1) 0m_1 Application du critère de Rout" à l'étude de l'effet d'lItl terme amortÎssant dans un couplage instable (tiré de Mazet. réf. 4) : Soient deux oscillateurs nmortis couplés:

{ avec

I?::>

O. On pose

.~! + 2 X2 + 2

I?W\':I

o

I?W l

o

n'2 il 2! =

+ W~XI + nnxz X 2 + wixi + n 2! XI

- w(~

Le polynôme en p du système est:

Appliquons-lui le critère de Rowh. Nous formons le tableau:

p4

w 1 w2

W;+W~+4f:2WIW2

wrwi+w~ 0

w1+wi-w'W2+4e2wlw~

wfwi+wci

0

p

A

1

B

o o

0 0

pl

p2

244

VJBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

avec:

A::: w\w2(w~+wi-wlw2+4f.2WIW1)

l B

(wrwi+w~)

wf+ w~ w} w::'. +4 ê 2 W\ w::! w) w,(wf + w;- w, w, +4 eZw 1 w..,) - (wfw;+ w;;> ,-, ,(w wj+ wi- w, w::! +4 cw, w::!

wî -

Nous remarquons que fJJ~ + w) w::! Le système sera donc instable si :

iwi + wri)

+ 41'2 w 1 w;.::> 0

donc si :

Rappelons que précédemment. ln condition d'instabilité trouvée pour le système sans amortissement était:

Si e

(w l' - w:f <:

4

w 1 w::!

la prése1lce d'un amonissemellf est désfabilisatlte pour le

système. La figure 12.3 représente J'évolution dans le plan complexe des racines quand W o croit (si E ~ 1).

Jw1w2+(w2-w112 iW1W2

Figure 12.3.

NOTIONS SUR LES SYSTÈMES LlNÊAIRES INSTABLES

12.3.

245

EXEMPLES DE SYSTÈMES INSTABLES DYNAMIQUEMENT

Comme nous l'avons dît dans le chapitre introductif, un certain nombre de problèmes d'instabilité dynamique se sont posés et se posent encore dans l'industrie. Ils peuvent être classés en deux grandes catégories: - les problèmes de stabilité de route des véhicules roulant à grandes vitesses; - les problèmes liés à l'interaction entre une structure vibrante et un fluide en écoulement. L'exemple le plus connu est celui du flottement des ailes d'avion: l'écoulement autour du profil de l'aile induit des forces aérodynamiques dissymétriques qui couplent les équations des petits mouvements de flexion et de torsion de l'aile. Au-delà d'une certaine vitesse de l'écoulement, le système devient instable par confusion de fréquence. Dans la deuxième partie traitant de l'interaction entre les fluides et les structures, nous donnerons plusieurs exemples de systèmes instables. Nous nous contenterons ici, à titre d'illustration, de traiter un modèle très simple d'instabilité de roulement tiré de Y.· Rocard (Dynamique générale des vibrations, réf. [7]).

Remarque: Nous analysons dans ce chapitre uniquement des systèmes linéaires. De nombreuses instabilîtés peuvent en effet être représentées par un modèle linéaire; dans certains cas cependant de tels modèles sont incapables de représenter les phénomènes observés. L'analyse des systèmes non linéaires instables est un chapitre des vibrations en plein développement et sort du cadre de cet ouvrage. Nous n'en donnerons que quelques exemples très ponctuels dans la deuxième partie.

Problème Soil un véhicule que l'on schématise pur deux tiges liées par une rotule il l'une de leurs extrémités commune 0, dans un plan horizontal (x, z). Chacune des deux autres extrémités est munie d'une roue. Les points de contact de ces roues avec le sol sont désignés par A el B. Nous posons OA II ct OB = 12, Les masses des roues ct des tiges sont supposées négligeables. Toute la masse du système est supposée concentrée au point O. Soit 111 cctte masse. De plus un jeu de ressorts réunit les deux tiges de sorte qu'une variation de l'angle (J des deux tiges par rapport il l'état d'équilibre ({) 0) entraîne un moment de rappel au niveau de la rotule 0,
246

VIBRATION DES SYSTÈMES MÈCANIQUES

B

Eh

..z

Figure 12.4.

l' Le véhicule est au repos: c'est-à·dire que nous supposons que les poÎnts A et B sont fixes (XI x 2 = 0) et que les deux tiges peuvent tourner librement autour d'eux, Ca1culer la pulsation propre W o du système: c'est-à-dire la pulsation des petites oscillations libres quand on écarte la masse m de sa position d'équilibre et qu'on la lâche.

Z' Le véhicule roule OI'CC tille \'itesse V le long de l'axe z (dans le sens de A vers B). Les points A et B sont susceptibles alors de petits mouvements transversaux XI et x 2• Les deux tiges peuvent toujours tourner librement autour de A et B. Cependant les points A et B ne peuvent avoir de mouvement que parallèlement à la direction de chacune des tiges (condition de roulement sans dérapage). a) Montrer que les conditÎons de roulement en A et B donnent pour les petits mouvements orthogonaux â l'axe Oz, les conditions:

(1 )

b) Ecrire comme au 1" l'équation des petits mouvements orthogonaux il l'axe Oz de la masse m et l'associer aux conditions (1).

Déterminer l'équation en p du système. A quoi correspond la racine double p =O?

Montrer que si 12 <: Il le système est toujours instable. Quelle est la nature de cette instabilité? Montrer qu'il existe une vitesse critique au-dessus de laquelle existe une autre instabilité. Quelle est sa nature?

Solution: 1rc question: Au premier ordre l'angle

(J

des deux liges est donné par:

247

NOTIONS SUR LES SYSTÈMES LINÉAlRES INST ADLES

z Figure 12.5.

Soient RA ct Rn les réactions en A et B projetées sur l'axe Ox perpendiculaire fi Oz. L'équilibre en translatÎon de chaque tige dans cette direction implique que la masse ni exerce une force - RA sur la tige 1 ct - Rn sur la tige 2. La force exercée par les tiges sur la masse est donc F = RA + Rn. De plus l'équilibre cn rotation des tiges 1 et 2 donne:

L'équilibre dynamique de la musse m donne;

La pulsation de résonance du système est donc:

Wo =

J

I<

~

(1 +ï;1) ~

v

r

z

Figure 12.6.

a) Si, ci un instant donné la tige l, faÎt un angle /JI avec l'axe Oz parallèlement auquel se déplace le véhicule, la vÎtesse du point A est V en module ct fait l'angle

248

VIBRATION DES SYSTEMES MÉCANIOUES

01 avec Oz, sa projection il sur Ox est:

Un raisonncment analogue pour la Lige 2 donne:

b) Un raisonnement analogue il celui du 11

01 - Oz

F=

x

r

donne:

(1I;+ï;1) -ï; XI

KI1 (

x2

T;

! +! ) Il

d'où l'équation d'équilibre de la masse

'2

TIl :

On obtient ainsi un système de 3 équations à 3 inconnues (x, .rl' x 2 ) qui tmnsformé par Laplace donne:

v

o

-1; V

o

ï;

x =0

K(11)] 1;+'1; 1;

~ K r+-

m

ln

L'annulation du déterminant de cc système fournit l'équation donnant les pôles de la fonction de trnnsfcrt du véhicule:

=0 Les deux pôles p 0 correspondent aux mouvements d'cnsemble (translation en x ct rotation) qui n'impliquent pas de déformation du système. Les racines de l'équation du 2e degré sont: p

= -v2

(1-Iz - -Il1) . ) ± ho o

1

my2 4K

NOTIONS SUR LES SYSTÈMES LINÉAIRES INSTABLES

249

Si 12 <:: II' il Y a toujours un pôle à partie réelle positive. Le système est donc instable. Cette instabilité est dynamique si V Si

Il:>

=>

12.4.

<::

2

J~. 111

l! le système est statiquement instable si:

V:> Wu JI! 11

INSTABILITÉS PARAMÉTRIQUES

Nous avons étudié jusqu'à présent des systèmes linéaires caractérisés par des équations différentielles à coefficients constants, donc à caractéristiques physiques constantes dans le temps. En mécanique vibratoire, il existe une classe de systèmes dont les caractéristiques varient périodiquement dans le temps: C'est par exemple le cas des systèmes qui subissent un chargement périodique ou qui vibrent autour d'un mouvement périodique principal: les machines tournantes déséquilibrées (<< instabilité de balourd »), - les machines soumises à un chargement alterné (<< flambage dynamique })), - les réservoirs contenant un fluide dense sous l'effet d'une excitation sismique «< flambage dynamique H également), etc ... Tous ces systèmes sont susceptibles d'instabilités particulières qui ne peuvent pas se décrire à l'aide des modèles précédents. On les appelle « instabilités paramétriques ». Nous allons étudier ici l'exemple le plus simple et le plus typique d'une telle instabilité: La poutre droite rolulée-rollllée e1l jle;r:;olt SOli mise li Ill! chargemelll de Iractiol/compression harmonique. 12.4.1.

Equation du problème

Nous avons analysé au paragraphe 11.1.2.1 un tel problème mais dans le cas d'un chargement statique. Nous avons vu en particulier que le l cr mode propre de la poutre était le plus sensible au chargement statique, et qu'une instabilité de flambage apparaissait sur ce mode à partir d'un chargement critique, quand la raideur généralisée équivalente devenait nulle. De la même façon on peut représenter le système sous chargement harmonique au voisinage de ce premier mode par l'équation:

Ji + 2

EW{)

y+

w~(1 - 2 1J. cos wl) y = 0

(12.5)

250

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

est la pulsation propre du mode en l'absence du chargement; est l'amortissement réduit; west la pulsation du chargement.

Wo E

Le paramètre fL est proportionnel à son amplitude (2 fL cos wJ représente en fait le rapport entre la raideur additionnelle due au chargement et la raideur généralisée en l'absence de chargement). Remarques:

= 0)

1) Pour un chargement statique (w pour fL = 0,5.

le système est instable (flambage)

2) Si E = 0 (12.5) se ramène à une équation de Mathieu dont la théorie est bien connue (par exemple, voir réf. [J J) et à laquelle on fera appel tout au long de ce paragraphe. 12.4.2.

Recherche des domaines de stabilité

Trois paramètres caractérisent (12.5) :

n

= .!!!.. Wo

,Ë

et

fL.

La théorie de l'équation de Mathieu nous montre que les limites de stabilité dans le diagramme (fL, n) sont données par les courbes t:!xprimant les relations f(fL, n) pour lesquelles (12.5) (avec f: = 0) a une solution périodique de période 4

'1T

Iw.

Nous nous placerons dans le cas où f: ~ ] , et nous chercherons de la même façon les courbes f(fL. n, E) pour lesquelles (12.5) a une solution périodique de période 4 '1T 1w, soit du type:

y

+

= ao

L cc

(

an cos

nwl

. IlWI) + bn sm

(Il entier)

na 1

a) En identifiant les termes ell cos, après avoir remplacé y par sa valeur dans (12.5) on a: [1-

et :

(fI~

)2]Un-fL(Un_2+Un+2)+f:llnbn=0

,[ l 1-

fL -

ao - fLa 2

(

fl )

2J

al - fLa)

(1li:ô=3)

+ eflb 1 = 0

=0

(1-n 2 )a2-fL(2ao +a 4 )+2f:flb 2

0

b) En idcmifialll les fermes cn sin, on a : (n

i:ô=

3)

251

NOTIONS SUR LES SYSTÈMES LINÉAIRES INSTABLES

et :

[1 + /L,- ( n ) '] b, /Lb, - ,na, ~ a j(1 - n -) bz - p.,b.j - 2 f:naz 0 On obtient ainsi deux systèmes indépendants pour les n impairs et pour les n pairs, chacun d'eux couplant les {lll et les b n : Il

impaÎrs:

I-p.-(%f

fn

o

o

(12.6) Il

pairs: (en éliminant an)

-p.

2dl

-2

en

o

-4

en

1- (2D)1 ' -

-p.

o

b~

1 1 1

:

o

(12.7)

L'annulation des déterminants de (12.6) et (12.7) donne 2 relations e) qui sont les limites de stabilité recherchées. Si E = O. ces limites sont données par les familles Fn et rpn aSSOClees à

f (ft, n,

l'équation de Mathieu, souvent tracées dans le diagramme a = (

~

)

2)

(figure 12.7).

(q

= ft (

~

)

2,

252

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

Figure 12.7. -

(Tirée de la référence [1)).

Le graphique 12.8 représente les limites de stabilité dans le diagramme (J-L, il).

Si E .:g 1 ces familles de courbes sont peu modifiées. Il est cependant intéressant d'llnalyser leur comportement pour J-L .:g 1 (ou q ~ 1), et en particulier de mettre en évidence un ensemble de valeurs J-Lml n (ou qmin) en deçà desquelles, pour chaque zone correspondant à il = 2/11, le système est stable. Pour cela on fait une analyse au premier ordre en J-L et E du déterminant Li, de (12.6) et .1 2 de (12.7). On a, en posant r -

(

1l2il )

2

~

1

1:

pour la première zone (n = 1) : Li} (*)

~

1

=; ~ J-L

2

E

-r+ J-L

! = 0 =>

,2 _

J-L 2 + 4

ê 1.

= 0

(*) La prise en compte des autres termes de la matrice conduit à des termes d'ordre supérieur.

253

NOTIONS SUR LES SYSTÈMES LINÉAIRES INSTABLES

n 4

3

Instable

2

"'-

~

1

2/3

1frrrrrrmmnrr,

1/3

0

-

~

1/2 2/5

--

~

~

rLimite de flambage d'Euler (w=O)

0,5

1

1

1

1

1,5

2

~

254

VIBRATION DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

a

q

=2

ILmin

(q min = 2 e)

e

Figure 12.9.

-

pour la deuxième zone (n=2): -r-2IL2

.1 2 (*)

===

-2e

2E

-J,L

0

0

-J,L

~ (3 r

+ 5 J,L 2) (3 r -

0

-3 -2E J,L

oût

=0

E

-3

+ 36 e 2 = 0

r,\/

----""" ffe ""G'" 1 ..........

1

--~--

~,~;.

'..t (0

\

a: ,t(t. /

/:

r;;:-~

. \\e. ç 1. \)~ \t~'Y /'

-4E/3

2)

2

a

r

0

0 -IL

-IL

-r

/.

4+E/3 ~

4

./

,,/ --~---

,.,'"

{fi

---_

1

12

1

\

::r;:.or'..oo. \ ~~ ~

IL min =

q

::::1,. ... q2/- .........

Instable

~ \

,~

.j"2";

(qmin

Figure 12.10.

/

/'1

Iv. tt<) -;lo

/

=

,J2;)

......... ,

NOTIONS SUR LES SYSTÈMES LINÉAIRES INSTABLES

255

12.4.3. DiscussÎon

Pratiquement le système est instable quand la pulsation de résonance du mode sans chargement est un multiple de la demÎ~pulsatîon w /2 du chargement (n = W Iwo = 2/n, Tl entier;> 0). Cependant plus Il est grand, plus les zones d'instabilité sont étroites. Pour un système amorti, la valeur critique de l'amplitude du chargement (J.L min) est d'autant plus grande que n est grand. L'Înstabilité se produira donc préférellliellement pour n';'" W / w () = 2 (chargement au double de la fréquence de résonance) ou éventuellement pour n = 1 (chargement à la fréquence de résonance), le mouvement s'effectuant avec une période de respectivement 2 7r / Wo et 4 7T / Wu' On remarque qu'alors l'amplitude du chargement entraînant l'instabilité est petite (J.L ;> 2 e pour n = 2), beaucoup plus petite que l'amplitude critique du chargement statique (J.L = 0,5). Wo

Exemple: Pour

E

=

10- 2

chargement critique dyn. (n = 2) chargement critique stat./25 chargement critique dyn. (n 1) = chargement critique stat./3,5

DEUXIÈME PARTIE

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

INTRODUCTION La première partie a introduit les méthodes générales de l'analyse vibratoire et a illustré ces méthodes par des exemples de structures vibrant théoriquement dans le vide. Or, dans la pratique, les structures sont plongées ou contiennent des milieux fluides. Si les résultats obtenus sont généralement applicables dans le cas de fluides très peu denses tels que J'air atmosphérique, il en va tout autrement dans le cas de fluides denses tels que les liquides. On doit alors considérer globalement le système couplé fluide·structure et lui appliquer les méthodes générales de l'analyse, vibratoire. Compte tenu du caractère particulier du milieu fluide et de l'importance pratique du problème, des méthodes spécifiques ont été développées. L'objet de cette deuxième partie est de décrire ces méthodes. Les deux premiers chapitres seront consacrés à l'étude du problème conservatif des petits mouvements d'un système fluide-structure par rapport à l'état d'équilibre (système au repos, efforts pennanents s'exerçant sur lui négligés). Ceci implique en particulier que le fluide soit sans écoulement permanent et qu'il soit non visqueux. Le premier chapitre sera consacré aux petits mouvements dans Je fluide régis par les équations de l'acoustique (un développement particulier sera fait concernant l'acoustique des tuyauteries et Ja théorie des ondes planes), le deuxième chapitre traitera de l'interaction fluide-structure proprement dite. Les troisième et quatrième chapitres seront consacrés aux effets non conservatifs dus aux fluides: rayonnement dans les milieux fluides infinis, viscosité et enfin effet de couplage avec un écoulement permanent.

CHAPITRE 13

PETITS MOUVEMENTS D'UN FLUIDE NON VISQUEUX SANS ÉCOULEMENT

13.1.

EQUATIONS DE V ACOUSTIQUE ET FONCTIONNELLES ASSOCIÉES

Un tel milieu fluide est un cas particulier des structures tridimensionnelles élastiques massives étudiées au paragraphe 3.1. L'état du système est définÎ par le vecteur --déplacement xf{r, 1). 13.1.1.

Energie potentielle de dérormation (compressibilité)

Le fluide n'étant pas visqueux, le tenseur des contri.lintes est scalaire:

cr = -pl p est la pression fluctuante au sein du fluide au point r. Le produit généralisé cr ® est alors:

e

rr ®

E= - P

L En

- pO

- P div xI

La déformation du fluide est caractérisée par la trace 0 qui représente la variation relatÎve de volume. Le comportement élastique du fluide est caractérisé par une relation contrninte-déformation de type Lamé sans terme de cisaillement: p =

À

div XI

On utilise la loi adiabatique linéarisée liant les fluctuations de pression et de volume, car les constantes de temps associées aux fluctuations sont toujours faibles par rapport à celles liées aux échanges de chaleur: (13.1) c est la célérité du son, PIla masse volumique du fluide au repos.

Cette loi caractérise la compressibilité du fluide.

262

INTERACfrON FLUIDE-STRUCfURE

L'énergie potentielle de déformation est alors:

ou: 1 = '7 -

13.1.2.

Energie cinétique

13.1.3.

Travail des forces extérieures

fI " --~p-dv (VI)

Pf c-

Supposons que l'on exerce uniquement une pression (1') limitant le volume fluide:

W~ = 13.1.4.

-

J p"xf" n d:!

P~

sur la surface

(n = normale extérieure)

(Il

Equation des petits mouvements du fluide

L'application du principe des travaux virtuels donne pour un déplacement SXf arbitraire:

9 vec :

-ôW r =8U f =

l

2

Pfc (divxf)(div8Xf)dv

(Vr)

=

f

(~)

2

Pfc divx f 8x f -nd.!-

f

2

grad (pfc divxf)' 8x f dv

(Vr)

8W j =

f l

Pfxr Sxfdv

(Vr)

8W e =

c.r)

PIn.ùxfd:!

D'où en identifiant à zéro le terme de volume et de surface dans l'équation 8W r + 8W j + 8W e = 0, on obtient l'équation d'équilibre dynamique:

PETITS MOUVEMENTS D'UN FLUIDE NON VISQUEUX

263

ou: grad p + P f Xf = 0

(13.2)

et les conditions aux limites sur (2:) : p:! =

13.1.5.

PIC:' div x f

Equations de l'acoustique et conditions aux limites

L'ensemble des équations (1) et (2) montre qu'il est plus simple de caractériser l'état du fluide par la variable scalaire p (variable duale). En éliminant \ 1 entre (13.1) et (13.2) on obtient:

d) 1.. 0 " d· (1-gra p ---:.p PI Pfc IV

Si P f est constant en espace, on obtient l'éqüation classique de l'acoustique (ou équation de propagation des ondes) : 1.. 0 /).p - --;p =

(13.3)

c-

avec la condition aux limites p = pJ'. sur (I). Comme nous l'avons déjà remarqué dans la première partie, cette forme de condition aux limites n'est pas générale. Par exemple, dans le cas qui nous interessera par la suite, d'un fluide limité par une paroi vibrante, on imposera sur (2:') une accélération normale XI n (puisque le fluide est non visqueux). On aura donc plus généralement une relation linéaire du type:

ou : 1 cr -

•

(grad p ) . n + {3 P

l'

(13.4)

Pr

13.1.6.

Fonctionnelle associée à l'équation de l'acoustique

Dans les paragraphes précédents, nous avons utilisé en application des notions générales développées dans la première partie, les variables de déplacement pour caractériser l'état du système. Rappelons que la fonctionnelle associée est alors constituée (dans le cas de conditions aux limites de type ( forces imposées ») par les termes U f' Cf' Wc et sa minimisation correspond à l'application du principe des travaux virtuels.

264

INTERACTION FLUIDE·STRUCrU RE

Quand on utilise la variable de pression p, une autre fonctÎonneHe peut être associée il l'équation des ondes (13.3) et aux conditions aux limites (13.4) : Cette fonctionnelle est rendue minimum quand la variable p est solution du problème (13.3) + (13.4). Il est intéressant d'expliciter cette fonctionnelle car elle sert de base à la discrétisation par la méthode des éléments finis utilisée dans les programmes de calcul quand le fluide est défini par une variable de pression, Nous considérerons, pour établir son expression, des conditions aux limites de type" accélération normale des parois imposée » (ceci nous servira par la suite pour l'interaction fluide-structure) : -

l

(gradp)·n

(sur (I»

-XI"n

PI

que l'on peut écrire également:

1 iJp --=-1'" P r éJn

(sur

(~»

(13.5)

Le problème ainsi posé n'est autre que l'extrapolation au cas tridimensionnel, du problème monodimensÎonnel des ondes planes traité dans la première partie lors de l'étude de la traction-compression des poutres rectilignes. On retrouvera donc une forme analogue pour la fonctionnelle:

[ =

~ -

J

(V f)

J.Pf

(grad p yz dv +

~ -

f

~ p::! dv + Pf

(V f)

C

J

1'11 P d1.'

(13.6)

(1')

On peut vérifier que la valeur de p rendant minimale [ correspond à lu solution du problème:

DL =

J(v/IPr J.- gradp. grad DP dv +

r .' (V f)

[-div...!.-gradP+~p] Pf

Pf

f

~P 5p dv +

(Vf)Pfc

f

1'" 5p dl:

(I)

5pdv

C

+

f

(.!)

[..!.. (gradp)· n + YII] Pf

pour une variation 5p arbitraire. d'où: ]., = 0 , -gra 1 d p - --,p d IV Pr

l rlp

--+1',,=0 P f iJll

dans (V f)

PIC

sur (1.')

ôp d1.'

265

PETITS MOUVEMENTS D'UN FLUIDE NON VISQUEUX

13.1.7.

Equation des ondes en"trctcnues -

Fonctionnelle associée

Comme nous l'avons vu dans la première partie, dans la plupart des problèmes vibratoires (recherche de modes propres, réponse établie il une sollicitation harmonique) on utilise les équations «transformées par Fourier» en temps, c'est-à-dire, où l'opérateur de dérivation en temps est remplacé par l'opérateur multiplicatif iw (pour les problèmes de transitoires on utilise la transformation de Laplace ce qui revient au même). En acoustique on obtient ainsi l'équation des ondes entretenues:

div

Cf

gradp )

1 op

avec

- = P f 0/1

(t)

+ p~>

0 (13,7)

., . -X,. . n = - l' ~

sur (.!)

Il

La fonctionnelle associée est alors:

-

1 --~ 2

f

- 1 ( grad p )'- d v + :::j1 ~

cv fI P f

Iù -

f

1 --~

(V fI (J f

p 'd - v+

C

f

X .! ,np d'\;' -

(.rI

( 13.8)

Physiquement la signification des différents termes est la suivante, quand les variables p ct X f vérifient les équations de la mécallique : 1 --.,

2

w -

f (V 1)

1 (grad p )-., dv = Pf

Ce terme représente donc l'énergie cinétique du fluide Crdv

représente l'énergie potentielle de compressibilité du fluide U f'

f

X,r' np

d~

(.!)

représente le travail des forces il la frontière

(~).

266

13.2.

INTERACTlON FLUJDE-STRUcnJRE

EXEMPLE IMPORTANT: DÉTERMINATION DES MODES PROPRES ACOUSTIQUES D'UNE CAVITÉ FLUIDE CYLINDRIQUE

Considérons une cavité cylindrique contenant un fluide homogène. Les parois de la cavité sont fixes. Il s'agit donc de trouver les solutions singulières du problème homogène spatial: dans (13.9)

L'équation (13.9) en coordonnées semi-polaires devient: (13.10)

les conditions aux limites sont: sur les bases du cylindre (13.11) sur sa surface latérale

z

H

Figure 13.1.

PETITS MOUVEMENTS D'UN FLUIDE NON VISQUEUX

267

Les fonctions propres de J'opérateur - L1 muni des conditions aux limites cidessus sont du type: p(r, 0, z)

A(r)B(O)C(z)

avec:

d'où: C = cos ( 7T1 d:!B

-

d0

2

~

+ n- B

= 0

f.)

avec 1 entier positif ou nul

et B périodique de période 2

7T

d'où: èos nO

B= { sin nO

avec n entier positif ou nul

d'où:

(0' Il.m étant la m-îème zéro de la dérivée première de la fonction de Bessel Jn )· De plus la relation: (

:

) 2 _

(

;: ) 2

=

( 0'

~m

) 2

doit être vérifiée

Les fonctions propres de l'opérateur - L1 sont donc du type:

Pl.m.n(r, O.z) = J n (

O'nRm

r )

{~~: ; : }

cos 7Tl

~

la pulsation propre correspondante est:

"",.,m

c

J("~m

)' + (

7: )'

avec m entier positif. 1 et Il entiers positifs ou nuls.

(13.12)

268

13.3.

INTERACfION FLUIDE-STRUCTURE

UNE APPLICATION IMPORTANTE: LE COMPORTEMENT ACOUSTIQUE À BASSE FRÉQUENCE DES LIGNES DE TUYAUTERIES. THÉORIE DES ONDES PLANES

Le fluide contenu dans les tuyauteries est l'un des « milieux acoustiques}) les plus couramment rencontrés dans l'industrie. La grande longueur de ces réseaux de tuyauterie y privilégie les phénomènes de résonance acoustique. D'autre part, la géométrie de ce milieu est particulière puisque les dimensions transverses sont très petites par rapport aux dimensions longitudinales (D ~ L ). Dans la plupart des applications (vibrations induites par les écoulements, problèmes de propagation d'ondes transitoires: .. ), la gamme de fréquence d'excitation des sources (irrégularité d'écoulement - bruit d'une machine tournante - transitoire d'un organe de réglage) est telle que les longueurs d'onde acoustiques associées sont grandes par rapport aux dimensions transversales: wD c

--~]

(13.13)

Le mode de propagation des ondes acoustiques se simplifie comme nous allons l'examiner maintenant. Nous supposerons dans cette étude que les parois solll immobiles, l'interaction avec les parois étant abordée au chapitre suivant. Les résultats obtenus sont donc directement applicables à des tuyauteries véhiculant un fluide peu dense (gaz). 13.3.1.

Justification de la théorie des ondes planes

Résolvons le problème de la réponse acoustique d'un tube droit excité par une sollicitation harmonique localisée en espace.

Source

i o

z Figure 13.2.

Pour cela projetons J'équation de l'acoustique tridimensionnelle sur les modes propres transverses, mis en évidence au paragraphe précédent: _"

P (r, 0, L) =

t...

n.m

À n, 111 (z)

J 11

(

(!i Il, tri r ) -R--

{COS Il 0 } sin Il 0

PETITS MOUVEMENTS D'UN FLUIDE NON VISQUEUX

269

An.rn(z) vérifie l'équation: d'A n, m + [ ( : )'

(a '.

k '. m B (z)

m ) ' ] À '", m

(û (z) = distribution de Dirac)

Le facteur le n , 1/1 résulte de la projection de la source sur les modes transversaux. Si l'on suppose que le tube est suffisamment long de part et d'autre de la source, À Il. III est de la [orme (indépendamment des conditions aux limites en z) : An lez) .

(puisque a 0,1

ltJZ

.

wZ

= A OI cos - c + BOl smc

0)

et : (puisque wcR

~ 1 <: all,m)' (Il

=F ()

DL

111

=i= 1).

Nous voyons donc qu'à une certaine distance ÀZ (de l'ordre de grandeur du diamètre du tube) seule subsistera la composante sur le 1er mode: An,l (z). La pression p sera donc identique sur une section droite du tube. Nous dirons que J'onde acoustique est plane. El! général les olldes acoustiques clalls les circuits Salit planes sauf dans de

grandes cavités où l'hypothèse wR c

~ 1 Il 'est pas

vérifiée et où

/'01/

considérera le

ou les premiers modes trmZs\'erses. Localement, au niveau des sources, mais aussi au niveau de changements de section, coudes, raccordements de tube ... , des effets tridimensionnels apparaissent. Ceux-ci ont une influence généralement faible sur la réponse globale du circuit, ils peuvent cependant faire J'objet de corrections dont nous donnons un exemple il la fin du chapitre.

13.3.2.

Résolution de l'équation des ondes planes dans un tube droit à section constante. Notion de matrice de transfert

L'équation de base est donc:

C (ù

(

)

2-

P = ()

(13. ]4)

On a coutume d'associer il cette équation une deuxième équation faisant intervenir le débit masse acoustique q dans une section droite S : (13.15)

270

INTERACTrON FLUIDE-STRUCTURE

(obtenue à partir de l'équation de continuité) ou : iS dp

(13.16)

q=-w dz

(obtenue à partir de l'équation de conservation des quantités de mouvement). Nous pouvons alors calculer le débit et la pression à la sortie du tube (q"J. et Pl) en fonction du débit et de la pression à l'entrée (ql et PI)' Nous avons: COS

q2) (

P2

=

(

_

wL c

~sin wL S

:L

S sm . wL )

k

(ql )

cos-

c

Pl

C

(L étant la longueur du tube). La matrice :

.At =

wL cosc ic. wL

( --sm-

S

c

S . wL ) :-smIC

C

wL cose

(13.17)

s'appelle matrice de transfert du tube et caractérise ce dernier du point de vue acoustique. Remarque: Si l'on considère un élément de tube de longueur petite devant la longueur d'onde acoustique ( wcL

~

1) .At devient en développant au premier

wL ordre e n - : c

-1-, . WV)

l

.Al = (

c-

iwL

S

(13.18)

l

(V = volume de l'élément de tuyau). En fait les coefficients de cette matrice se déduisent directement des équations (13.15) et (13.16). Le terme îwV

est caractéristique de la compressibilité

(êq. 13.15), le terme - iwL est caractéristique de l'inertie (éq. 1.3.16).

13.3.3.

Conditions aux limites, notion dtimpédancc

La condition aux limites la plus générale à l'extrémité d'un tube est une homol!ène entre le débit et la pression.

..",I"tÎnn lin?:lirp.

271

PETITS MOUVEMENTS D'UN FLUIDE NON VISQUEUX

Nous pouvons l'écrire sous la forme adimensionnelle: (13.19)

ç s'appelle

impédance adimensionnelle. C'est un nombre complexe dont la partie imaginaire correspond à un effet d'amortissement. Nous ne considérerons pour l'instant que des impédances réelles. Les deux impédances les plus courantes sont:

- le Ilœud de pressÏon : ç = 0: on impose une fluctuation de pression nulle à l'extrémité du tube. Dans la pratique ceci correspond en première approximation à une sortie en atmosphère libre. - le nœud de débit: ç = 00: on impose une fluctuation de débit nul à l'extrémité du tube. Dans la pratique ceci correspond à 'Un fond ou en première approximation à un col sonique (cf. paragraphe 16.9). 13.3.4.

Nature des sources utilisées dans le calcul de la réponse d'un circuit

Dans les tuyauteries on a souvent à considérer des sources localisées en espace,

~L ~ 1 si ~L est la longueur de la zone correspondant à c cette source (c'est le cas par exemple des zones d'écoulement perturbé associées aux singularités des tuyauteries génératrices d'effets acoustiques: élargissement brusque, coudes, jonctions, vannes, etc. cf. chapitre 19). On peut alors représenter ces sources (du point de vue des ondes planes) soit par une discontinuité ~p de la pression acoustique dans le tube, soit par une discontinuité ~q du débit acoustique. Ce sont ces deux types de sources que nous utiliserons dans Je calcul de la réponse acoustique d'un circuit.

c'est-à-dire telles que w

Exemple: Calcul de la réponse d'un tube droit limité à ses extrémités par les impédances réelles ç 1 et Ç2 à une discontinuité ~p ou ~q localisée.

L

L1 Impédance S1

L2 Source 8p " 8q

1

0

Impédance Ç2 JlIti

Figure 13.3.

Z

272

JNTERACfJON FLUIDE-STRUCTURE

Posons: (p / q ) ~= Il

îe

ie

ic

ie

= - S g1 = - S tg a 1 + S g2 = + stg

(P/q)z",L:=

0'2

En utilisant les matrices de transfert des deux parties de tube de part et d'autre de la source 1 nous pouvons calculer la pression p( z) :

(O~z

ic

.

S ll.q sm sin

p(z)

Les fréquences de résonance du tube correspondent à l'annulation du .. . ( d enommateur sm

a, +

0'2

wL ) : + -;;-

e

- (1l7T fn =2 7TL - Si a J + 0'2 harmoniques:

=

-

a

1-

a ~) -

{'~ + k 7T le tube résonne en demi-onde (fondamental) et

C'est par exemple le cas d'un tube ouvert ou fermé aux deux extrémités.

-

Si

0' 1

+

0'2

= ~ + k7T

le tube résonne en quart d'onde (fondamental) et

harmoniques impairs:

fil

=

(2 Il

-

e

1)4L

C'est par exemple le cas d'un tube ouvert à un bout et fermé à l'autre. L'onde stationnaire au niveau des résonances (déformée modale) est de la forme:

273

PETITS MOUVEMENTS D'UN FLUIDE NON VISQUEUX

-

pour une résonance en demi-onde: Pn(Z) - sin

(Il rr~)

ou

_ cos

(Tl ï~

- cos

[(n + 1/2) 7T~ J

)

suivant la nature des conditions aux limites ; pour une résonance en quart d'onde: Pn(Z) - sin [ (Il + 1/2)

rrZ ]

ou

A très basse fréquence la réponse forcée du tuyau dépend de la nature et de la position de la source. Pour une discomillllité de pression 8p. nous avons les allures suivantes; p/Ap

p/Ap

1

L,

p=O 1 - - - - - - ' - - - - - ' - - - 4 Z

LI

l2

~q=O

q=O I----..:..---Ir::-s---='----'~

-L2 /LI--------'

Z

Figure 13.4.

Pour une discontinuité de débit 8q, nous avons les allures suivantes: iSp/cAq

iSp/cAq

iSp/cAq

q=o p=o

p=o

c/wL

-lwllc)(L,lz/c2l

q=D

l,

Figure 13.5.

Les formules précédentes montrent que l'efficacité des sources dépend de leur position: au voisinage d'un nœud de pression de J'onde stationnaire, une source 8p a une efficacité maximum et une source 8q une efficacité nulle;

-

au voisinage d'un nœud de débit (ou ventre de pression) c'est l'inverse.

13.3.5.

Assemblage de tubes

Si l'on néglige les effets tridimensionnels liés aux jonctions, on peut assembler N tubes en écrivant N relations entre les débits tfj et les pressions Pi dans les tubes

z

274

INTERAcrroN FLUIDE-STRUcrt1RE

Figure 13.6.

au niveau de la jonction. Nous écrivons la continuité des pressions: Pî = Pl (i variant de 2 à N) et que la somme algébrique des débits est nulle:

L'utilisation de ces relations et des relations de transfert pour chacun des tubes permet de calculer des réseaux de tubes quelconques par inversion d'un système linéaire dont les inconnues sont les Pi et les qj' Cette méthode est utilisée par des codes de calcul acoustique sur ordinateur. Exemple 1 : Calcul à basse fréquence de l'effet d'une cavité en série dans un circuit :

Impéd ante ~=O J ~ ~I SI

Source Ap "If

-...

-

lmpédan ce ~=O J

(S)

V L1

-

......

L

L2

-

Figure 13.7.

SOil un circuit tubulaire de section S que l'on considère par exemple ouvert à ses deux extrémités. Cc circuit est excité par une source Ap â l'une de ses deux extrémités. On intercale dans ce circuit une cavité de volume V, comme le montre la figure 13.7 (on néglige sa longueur par rapport il celle du circuit). Soient L la longueur du circuit, LI et Lz la longueur des deux parties de chaque côté de la cavité. On suppose en outre que les longueurs d'onde des fluctuations acoustiques sont grandes devant les dimensions de la cavité.

On écrira donc que la cavité joue uniquement par "effet de compressibilité associé à son volume V en introduisant une discontinuité de débit acoustique

275

PETITS MOUVEMENTS D'UN FLUIDE NON VlSQUEUX

dans le cÎrcuit. La matrice de transfert de la cavÎté sera donc:

En utilisant la méthode décrite au début de ce paragraphe, nous pouvons calculer la pression acoustique dans les deux parties du circuit; pour la partie (l) :

z)

pour la partie (2) : . w

SIO-'---":"

p~(z)/ tJ.p = •

C L L . wL. . W '1 • w ! sm--Asm - - 5 1 0 - ccc

Avee:

A= Vw

Le paramètre adimensionnel A est caractéristique dc l'cffet de la cavité:

-

Si A est petit devant 1, la cavité n'a pas d'influence sur le circuit: sin w(L- z)

(p(z) = tJ.p

c, sin wL

cc qui correspond au tube unique de longueur L).

c

-

Si A est grand devant 1. les résonances du système teUes que : ou

wL,

-_. =

1171'

C

c·cst·à-dirc que la cavité impose un nœud de pression ct chaque partie du circuit résonne indépendamment. D'autre part, le rapport

PI -mal' - est grand devant 1 snuf si sin P~ma.

wL~• = c

O.

La cavité isole donc la partie (2) du circuit de la source (partie (1». Si la longueur d'onde des fluctuations cst de l'ordre de grandeur des dimensions transverses de la' cavÎté, cet effet est perturbé par l'intervention des modes propres transverses. En général il se trouve très réduit. La cavité est donc efficace dans une gamme de fréquence Il <: 1 <: 11 avec:

fI

tel que

1>

2

fl=-A

>Al

1T

fi V

= --S-c-

276

INTERACTrON FLUIDE-STRUCTURE

f;, = 1 re fréquence de résonance de la cLlvÎté .

ct :

La cavité peut être utilisée: d'une part, pour éliminer un mode gênant du circuit, si elle est placée HU niveau d'un ventre de pression de cc mode; - d'autre part, isoler une veinc d'expérience, du bruit émis par une machine tournante, par exemple. Exemple 2: Résottatl.!lll' d'HeimllOll: Un résonateur est constitué d'une cavité V communiquant avec l'atmosphère par un petÎt tube de longueur 1 ct de section s. Montrons que la première fréquence propre acoustique de ce système est telle wL que C ~ 1 (L étant une dimension caractéristique du résonateur). Plaçons-nous dans le domaine des basses fréquences ct schémntisons la cavité V par un tube de section Sr ct dc longueur L (V LS,). Sî l'on néglige les effets tridimensionnels dus au raccordement cntre les deux tubes, on peut alors appliquer la méthode des matrices de transfert. Les conditions aux limites du système sont un nœud de dëbit (fond) et un nœud de pression (atmosphère).

s

(V)

.....- _ .__L...__

l .....

._~-

Figure 13.8.

NOLIS

(~' )

c :

. ord re en wL avons, en d'CVC1oppant au premIer

(

:ù~ ) (

iw/ s

1

)

~~ (~c )

1

IC-

IC

ÎwL

l

Sr

~ ( . (1 1-

Iw

w 2 vL

-

S

w(V

Sr

L) +Sr

J_

+ v)

2

w'~(

Îc

)

0

CJ

avec

v "'" 1.1'

277

PETITS MOUVEMENTS D'UN FLUIDE NON VISQUEUX

La résonance du systèmc est donnée par:

1- (

r:~) ~I

\jgS;T ~ j

on vérifie que lûL c

0

=

=:>

fI) =

/rr

' liIongueur lL' n est pas trop grande: par

SI

roL

exemple si L - D Cl [ - il on a -;- -

JrID

~ 1 (D Cl

_. ,

li elanl le dmmclrc du

grund et du petit tube). On vérifie également que:

Ccci revient à dire que la cavité peut être représentée par la matrice

1 (0

rùV

l

) ' la pression est donc constante dans la cavité, le débit il la sortie est : la cavité joue donc par sa compressibilité.

Le pClil lubc au conlraire pcul ëlre rcprëscnlé par la ,"a"iec ( s

~)

son effct de compressibilité est négligeable mnis il crée un effet d'inertie

~ l}l s

engcndrunt une différence de pression 6.p =

il ses extrémités.

Nous voyons donc que le résonateur d'Helmholtz pour les très basses fréquences représente l'analogie acoustique de l'oscillateur hurmonique.

Effet d'llIl résonatellr II/omé en paraJJèJc dalls

1111

circuit:

On a:

CJ (_ qI

WV)

1

iwl

-

1_

(~) ic~

,~

Figure 13.9.

(d!l

1

(

0 Pr )

278

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

Le résonateur crée donc dans le circuit une discontinuité de débit wV 1 "1' dl' " 1 ", 1" .. = -. -~ ~PJ 1 Joue one e mcrne ro e que a caVite p ncce en sene lc-l-(w/wlJ)avec un paramètrc A caractéristique: t:Js

wV

l

A=-

,

Sc 1- (W/lùot

La plage d'efficacité d'un résonateur est centrée autour de sa fréquence de résonance 10' Cette plage est d'autant plus large que le rapport s /S est grand ct que V est grand. L'intérêt du résonateur. pnr rapport au volume cn série, est Ic fait qu'il soit en parallèle sur le circuit (faibles pertes de charge, pose plus facile, ... ) et qu'à volume V égal, il puisse atténuer de très basses fréquences (en contrepartie sa plage d'efficacité est alors assez réduite). Le dispositif atténuateur idéal est donc constitué par une batterÎe de résonateurs couvrant une large plage en fréquence.

13.4.

FORMULATION L'ACOUSTIQUE

INTÉGRALE

ASSOCIÉE

À

L'ÉQUATION

DE

Pour résoudre numériquement un problème d'acoustique, on peut discrétiser (par la méthode des éléments finis par exemple) l'équation des ondes entretenues: Ap +

(~ ) 2 P = S c

(ou l'équation de propagation Ap

-';p = S). c-

Cette méthode est difficile à utiliser pour les problèmes de milieu infini (on crée en effet artificieUement à la limite du maillage des réflexions parasites que l'on peut atténuer par l'utilisation d'éléments « absorbants ») . • L'uti1isation de la formulation intégrale permet de s'affranchir d'un maillage volumique du fluide et de ses conditions aux limites.

13.4.1.

Solution singulière tridimensionnelle ~

Soit la fonction h (r) =

~,r r

étant la distance positive entre un point M de

l'espace et l'origine Mo (r = 0). On vérifie que Il (r) et sa conjuguée Ir;l: (r) satisfont à l'équation des ondes entretenues dans tout l'espace en excluant le point Mo où la fonction est singulière. Physiquement Ir (r) représente la pression induite dans J'espace fluide par une source rnonopolaire localisée en Mo engendrant des ondes sphériques divergentes (h*(r) correspond à des ondes sphériques convergentes).

279

PETITS MOUVEMENTS D'UN FLUIDE NON VISQUEUX

13.4.2.

Formulation intégrale pour lin problème en milieu infini

Considérons un milieu fluide (V f) comportant l'infini et limité par une frontière (..r). C'est par exemple un corps immergé dans un fluide infini;

Figure 13.10.

Supposons qu'il n'y ait pas de source intérieure à (V f ). Soit p (M) la pression en un point M de (V f)' Choisissons de plus la fonction h (r) vérifiant la condition de non réflexion des ondes à l'infini. Appliquons la formule de Green au domaine (V f) en excluant une petite boule (b) de rayon ê autour d'un point quelconque Mo interne à (V f) et en utilisant les fonctions de l'espace p(M) et h(r) avec r = Mo M :

f

(p âh - " âp ) dv

J

(V/)-(h)

(p grad h - Il grad p ) n d-S

(X) + (.Yb)

». pet h vérifiant l'équation des ondes le premier

(n = normale extérieure à (Vf membre de la formule est nul.

Explicitons le second membre:

(P(M) étant continu en Mo)

-41Tp(M() e ... O

f

h(grad p)

ft

d-S

(Xh)

(grad p (M) étant continu en Mo)

grad p (Mo)

J

(.rh)

Jz (r) n d2:

-0 /: .....{J

280

TNTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

iwr(PM()

f -f

471'p(Mo)=

e

(.!)

c

r(PM u}

gradp(P)·n(P)dS p (13.20)

iwr(I' Mo)

p(P)grad

(e--

r -

)n(p)d1:

r(PM o)

(!)

r

(P étant un point courant de la frontière (X».

Remarque: Si Mo appartient à (.!) et n'est pas un point singulier de (.!), on applique la méthode en excluant une demi-boucle autour de .Mo- On obtient un résultat analogue en remplaçant 4 TI' par 2 TI' dans la formule (13.20) : formule (13.20'). La formule (13.20) permet donc d'exprimer la solution du problème acoustique dans le volume (V f) en fonction de la pression p et du flux àp â la frontière

ail

(.:!) du domaine. Par exemple, si l'on se donne un mouvement de la paroi (2:), ce qui revient il. imposer àp par la relation àp = + P J ct,):! X,!· n la relation (13.20') constitue une 011

iJn

équation intégrale avec second membre sur la pression à la paroi p (P) que l'on peut résoudre numériquement en utilisant un maillage uniquement de la paroi ( .!). L'obtention de pep) permet de calculer les efforts s'exerçant sur (.!) et donc comme nous le verrons plus loin, de résoudre le problème de l'interaction f1uidestructure. De plus (13.20) fournit à partir des données sur (.!) la pression dans tout le volume fluide. 13.4.3. Variantes

• Lorsque J'on a affaire il. un problème intérieur fini, il faut adjoindre à (13.20) uné formule analogue bâtie il. partir de Il:1: (r). (13.20) se met alors sous la forme:

4 TI'p(M() =

rur cosC_gradp. n d.! -

f __ (.!)

III

r

f

wr cosp grad _ _c_ n dS

(.!)

r

Lorsqu'on s'intéresse il une gamme de fréquence telle que ruL

c

~

l si L est la

dimension caractéristique de (V f)' on peut utiJiser le développement fi l'ordre 0 de (13.20) ou (13.20') en ~ c'est-à-dire la formulation intégrale associée fi c l'équation de Laplace ilp = O. P (Mo) ::::: J ~ grad p . {; 7r} TI' ( ~

(Si Mo

E

(2:) S/

.!) 1

fi

d.!' -

f

(!' )

p grad ! . n d.! r

.!' - vois. (Mo), si Mo ~ (S) SI = 2:.)

(13.21) } { (13.21')

PETITS MOUVEMENTS D'UN FLUIDE NON VISQUEUX

281

ID L'équation intégrale (13.20) est la transfonnée de Fourier de l'équation de Kirchhoff correspondant à la formulation intégrale de l'équation de propagation des ondes:

f {!

r

(.!)

[Pl grad! +! [

[gradp] -

r

cr

iJp éJf

Jgrad r}

n d.! (13.22)

Les quantités entre crochets sont des fonctions du temps prises à l'instant ro - rie (valeurs retardées) .

t =

• Si les équations comportent un second membre correspondant à une densité de source répartie f (M, w ) ou f (M, t) on a un terme supplémentaire au second membre des formules précédentes:

-f

(Vr)

13.4.4.

jllir

f

(M) e

C

,.

dv

ou

-f

(V,)

[~] r

dv

Un exemple d'utilisation de )a formulation intégrnle : estimation d'une correction pour tenir compte des effets tridimensionnels nu niveau d'un changement. de section de tuyauterie

Comme nous l'avons dit précédemment, localement au niveau d'un accident de la tuyauterie les ondes ne peuvcnt plus être considérées comme plLlnes, ceci dans une zone dont les dimensions sont de l'ordre de grandeur du diamètre des tuyauteries. Cecî occasionne, quand on applique le schéma des ondes planes sans précautions une erreur, généralement faible quand on il de grandes longueurs de tuyau:

-~/î (Sl} (S2) Figure 13.11.

Ainsi au niveau du raccordement de deux tubes de sectÎon différente (voir figure 13.11) écrire l'égalité dcs pressions acoustiques moyennées sur la sectÎon droitc en (SI) ct (S2) n'cst pas tout fi fail correct. Celte erreur peut être considérable dans certains cas particuliers: ainsi si l'on considère un résonateur d'Helmoltz constitué par un volume fermé percé d'un petit trou, J'estimation des effets d'inertie au niveau de ce trou dépend fortement

282

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

des phénomènes tridimensionnels locaux (en particulier si l'épaisseur de la paroi percée est petite devant le dÎamètre du trou).

Figure 13.12. Nous allons utiliser la formulation intégrale incompressible (13.21) (puisque l'hypothèse wD c

~1

est vérifiée) pour estimer les effets tridimensionnels:

(SL'

(SLJ

1

11

1

1

:(Sl')

(V f )

1

1

Mot (52)

~

1

i

1 1

1 1

M; f(S,)

1(51')

1 1

1 1

l2)

(1) Figure 13.13.

Du point de vue du raccordement des deux tubes, les effcl!\ Inertiels tridimensionnels doivent s'exprimer sous la forme d'une différence entre la pressÎon moyenne P2 dans la section rétrécie (52) au nÎveau du changement de section et la pression moyenne PI que l'on auraÎt à l'abscisse du changement de section si on négligeait l'effet de celui-ci (calcul en onde plane). D'où l'idée d'estimer ceUe différence en appliquant (13.21) dans la zone (V 1) des effets tridimensionnels (on suppose que l'onde est plane cn Si) dans les domaines définis respectivement par les schémas (1) et (2) de la figure 13.13. Nous avons ainsi:

283

PETITS MOUVEMENTS D'UN FLUIDE NON VISQUEUX

Bien qu'au vOlsmage immédiat du changement de section sur (SL) les pressions diffèrent selon les cas (1) et (2) on peuL négliger ceUe différence car le 1 terme grod - . n -lt O. r

On peut donc supposer quc les seconds membres de (1) et (2) sont identiques, En moyennant (1) ct (2) sur 5:! on obtient:

On peuL également supposer qu'à l'cntrée du tube de section 52

.

~~

est à

. l ' dp1

peu pres constant cl cga a

cn posanl :

' que S 2 dP:! et S 1 dZ dPI sont re l"les a. 1a fi uctuatlon . d c d e'b'Il

D e p lus, on

Salt

ql au niveau du changement de seclion par:

(q ne subit pas de discontinuité puisque l'on néglige les effets de compressibilité dans la zone des effets tridimensionnels).

::::;.. p! - PI = - iwql [ ( ~

!r )

~

( !) ] r n

(13.23)

Application il la caviré percée d'un petit troll: Soit d le diamètre du trou de communication avec l'atmosphère. En appliquant (13.23) 2 fois ct cn négligeant

( ~) r

devant 12

(~) r

: :!2

Pa!m -

P(:ill/

iw = - -:;;q

(ï) -;.

q élant le débit fluctuant dans le trou:

( lr ) =! S

ff (l)

(l)

l d.! d.!' r

(s élant la section du trou)

284

TNTERACT10N FLUJDE-STRUcruRE

Cavité d Atmosphère

Figure 13.14.

On peut noter que pour un trou circulaire (

~

)

= 3 3~d ; le trou peut ètre

représenté par un petit tube de section s et de longueur équivalente iwÎ i telle que PDlm - Pcav --s-q:

i

=

8 d 'TT

La fréquence de résonance du résonateur est donnée alors par (en négligeant l'épaisseur de la paroi devant i) :

Jo

13.5.

ONDES DE SURFACE LIBRE D'UN FLUIDE INCOMPRESSIBLE SOUMIS A LA PESANTEUR

Bien qu'il s'agisse ici d'un cas où l'on considère les efforts permanents s'çxerçant sur le système, nous choisissons de traiter dans ce chapitre le problème des ondes de surface libre d'un fluide pesant car il s'agit d'un problème conservatif (analogue aux problèmes de pendules) et, dans de nombreux cas, intervenant d'une façon assez indépendante de l'interaction fluide-structure (cf. Chap. 14). 13.5.1.

Condition aux limites linéarisée au niveau d'une surface libre

Surface libre

1 Fluide Figure 13.15.

PETITS MOUVEMENTS D'UN FLUIDE NON VISQUEUX

285

Nous considérons une surface (.rI) horizontale limitant un fluide dense et un fluide peu dense. Si on considère des petits mouvements verticaux, XI' n de la surface libre, on peut, en première approximation, écrire qu'il leur correspond des petites fluctuations de pression

(13.24)

(si g est l'accélération de la pesanteur prise

:>

0).

Pour obtenir une condition aux limites homogène sur la pression p, il faut adjoindre à (13.24) la condition sur (.!/): .. -iJp + P [x!" n iJz

=

0

d'où: iJp

..

g az + p

0

(13.25)

Si l'on néglige la pesanteur on écrira plus simplement: p = O. 13.5.2.

Equation d'un réservoir à parois fixes avec surface libre. Fonctionnelle associée

Le fluide étant incompressible on a dans (V [) :

sur les parois (1):

ou

iJp .. 0 g-+p= iJz

Pour exprimer la fonctionnelle associée on a coutume d'adjoindre à )a variable de pression, le déplacement vertical z ::::: Xj' n sur (.rI)' Ce qui donne pour un problème harmonique:

(13.26)

286

-

INTERAcrION FLUIDE-STRUcrURE

_1_~ J 2w-

~ (gradp f

dv, comme nous l'avons vu, est l'énergie cinétique du

(Vf)Pf

fluide

l (

pZ -

~ Pf

gZ2) d.! l'énergie potentielle de gravité

(!,)

La forme LI w 2 L2 de L montre que l'on a affaire à un problème ( résonnant H, et que le système possède un ensemble de modes propres (analogues aux modes propres acoustiques). 13.5.3.

Cas particulier d'un réservoir à fond horizontal

z

__t_..&..-...-+IrH Figure 13.16.

Soit H la profondeur du réservoir. Le problème peut alors se factoriser:

y) fez) a2p a2p ) ô.p = 0 =:> ( - . , + -., ax- ay-

p

= p(x,

d"f dr

f (z) + p -., = 0

avec les conditions aux limites:

t df

w 2

dz

f + 9 :~ = 0

= 0

en

Z

=H

en z = 0

et ap = 0 sur les parois latérales du réservoir.

an

On recherchera donc une solution pour

ce qui donne:

f = A ch li. z + B sh li. z.

f tel que:

PETITS MOUVEMENTS D'UN FLUIDE NON VISQUEUX

287

Les conditions aux limites en z= 0 et z= H imposant:

B

=0

et

-

w 1 ch

ÀH + Àg sh ÀH=::O

Hw:!

:::;:.ÀH = --coth ÀH g

la solution

À;t

de cette équation sera fonction de :F =

Hw

qui a la

signification de J'inverse du carré d'un nombre de Froude.

Figure 13.]7.

Le problème se ramène donc au problème bidimensionnel:

a2p

!

éJ2p ay-

2

-~+-~+À.1P=O

ax-

avec op

an

(13.27) 0 sur la surface latérale.

Si l'on suppose en outre que l'on s'intéresse à une gamme de fréquence suffisamment basse telle que :F ~ l, on a : 1 :F

-

c:g

1

(À H c:g 1 veut dire également que les longueurs d'onde du phénomène sont grandes par rapport à H). L'équation du problème devient donc:

C'est une équation d'ondes entretenues; la vitesse de propagation associée est donnée par:

ë

JgH

288

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

Remarque: On utilise cette analogie avec les ondes acoustiques pour représen~ ter expérimentalement des écoulements hypersoniques. En effet pour un réservoir d'eau peu profond (pour H = 5 cm) on a ë = 0,7 mIs, un écoulement de l'ordre de quelques mIs est donc suffisant. 13.5.4.

Exemple: fréquences et modes propres de ballottement d'un réservoir cylindrique

Les fonctions:

obtenues en 13.2 vérifient (13.27) avec: À;I

=

a. n,TIl

H

Figure 13.18.

Le problème homogène (13.27) a donc une solution sÎ w vérifie l'équation: O'/II I1

Hw 2 --cath 9

H

R

Œnm

H

d'où les pulsations propres: 9

a/J/n

H

Rannrth~

W",m =

Les modes propres associés sont:

p

( /1.1'11

r,

0

)

,Z =

J ( a 11111 r ) n

{C?S Il 0 } ch a Z sm 110 R IIIIl

PETITS MOUVEMENTS D'UN FLUIDE NON VISQUEUX

289

Remarque: Plus l'ordre du mode .est élevé, plus œ nm est grand, donc plus la hauteur de fluide au voisinage de la surface libre affectée par le phénomène de ballottement est faible. Ainsi la gamme des premières fréquences de résonance acoustique d'un réservoir pas trop plat (R H) correspond à une zone de modes de ballottement d'ordre très élevé puisque CP c. De même le nombre :F associé est très petit devant 1 dans cette gamme de fréquence. Ceci veut donc dire que l'effet de la pesanteur est négligeable dans les calculs acoustiques du réservoir et que la condition aux limites sur la surface libre est quasiment p = o. Inversement la compressibilité du fluide est tout à fait négligeable pour le calcul des premiers modes de ballottement.

CHAPITRE 14

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE NON VISQUEUX SANS ÉCOULEMENT '.

14.1.

ÉQUATIONS DU SYSTÈME FLUIDE-STRUCTURE. FORMULATIONS EN VARIABLES DE DÉPLACEMENT ET EN VARIABLES DE PRESSION

Soit une structure définie dans un domaine (Vs) et un fluide défini dans un domaine (V J)' soit (.!) la surface commune à CV,.) et (VI) où se fait l'interaction fluide-structure. Les petits mouvements de la structure sont définis par les degrés de liberté de déplacement Xl (r,I). Comme nous l'avons vu au chapitre 13, le fluide peut être défini soit par des variables de déplacements xI' soit par des variables de pression p. 14.1.1.

Formulation cn variables de déplacement

Le système couplé d'équations se compose;

a) De l'équation des petits mouvements de la structure, sous l'effet d'un champ de pression p s'exerçant sur (2:):

Mx.! + KX avec:

un =

- pn

=

j

0

(14.1 )

sur (.!)

».

(n : normale unitaire extérieure à (V J M et K sont les opérateurs de masse et de raideur de la structure, e; est le tenseur des contraintes dans la structure.

Remarque: Le 21! membre nul indique simplement que l'on n'a pas considéré de force volumique extérieure s'exerçant sur la structure. b) De l'équation des petits mouvements du fluide sous l'effet d'un mouvement Xr

de la paroi CS)

fp =

Pf

Cl

div XI

l grad p + P 1 xf

=

0

(14.2)

292

INTERACTION FLUIDE-STRUcrURE

Le raccordement s'effectuant en écrivant sur (I); (14.3) (p est ici une variable auxiliaire que l'on peut éliminer à l'aide de p = - Pl Cl div x f)' La fonctionnelle associée au système (14.1) et (14.2) est formée de la somme des énergies potentielles et cinétiques de la structure et du fluide, à laquelle il faut ajouter un terme supplémentaire pour tenÎr compte de la relation (14.3). Ce terme est:

p, multiplicateur de Lagrange associé à la relation (14.3) est en faÎt la pression sur (1').

D'où la fonctionnelle: L

Us+cJ+uf+c/+J P(xf-xJ.nd1.' (1:)

La formulation en variables de déplacement pour le fluide présente l'inconvénient de contenir les solutions singulières:

et :

X.f = 0, P xI' fi = 0 sur

o , xl = (~)

0,

div x f

=

0

.

Xf est donc indépendant du temps, le problème spatial div Xl = 0 avec n = 0 sur (1'), est celui des écoulements permanents incompressibles autour de structures fixes. Ces solutions singulières sans intérêt du point de vue de l'interaction lluidestructure, peuvent engendrer un « bruit numérique» très gênant dans les prôgrammes de résolution par ordinateur au bout d'un certain temps de calcul. On les atténue parfois à l'aide d'une viscosité artificielle. En revanche. le formalisme en variables de déplacement crée une homogénéité entre les variahles du lluide et celles de la structure. L'utilisation de ces variables rend aisé l'emploi des algorithmes de calcul ( explicites» (sans Înversion matricielle du fait du caractère diagonal de l'opérateur d'inertie) en fonction du temps, bien adaptés au traitement des transitoires en linéaire et surtout en non linéaire. Ainsi cette formulation est très utilisée dans des programmes de calcul de l'interaction fluide-structure lors d'explosions, dépressurisations brutales et tout autre phénomène à caractère non linéaire très marqué. En ce qui concerne J'interaction fluide-structure linéaire «< acoustico-mécanique») et en particulier le calcul des résonances, des régimes établis, etc., on préfère la formulation en varîables de pression pour le fluide que nous allons étudier maintenant. *f'

293

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCfURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

En effet, cette dernière ne comporte pas l'inconvénient mentionné précédemment, mais possède celui de « compliquer » l'opérateur d'inertie, ceci n'est pas gênant dans ce cas car on est de toute façon obligé d'inverser un système. Dans l'exposé des différents aspects physiques de J'interaction fluide-structure nous conserverons par la suite la formulation en variables de pression.

]4.1.2.

Formulation en variables de pression

Les petits mouvements du fluide sont ainsi définis par la variable p (r, 1 ). A l'équation (14.1) de la structure (inchangée) :

Mxs + Kxs

a

avec

crn

=-

pn sur (.!')

on adjoint l'équation du fluide (14.4) :

ft = a

avec

.. -op ail + P f x S . n =

a

sur (,) ....

Remarque: En dehors de la surface de contact (X) nous pouvons avoir aux limites de (VJ et (V f) des conditions variées. L'ensemble (14.1 )-(14.4) + les conditions aux limites constitue un système homogène (si les conditions aux limites sont elle-mêmes homogènes). On peut lui adjoindre un second membre sous forme de forces exercées sur la structure ou de sources au sein du fluide. Comme pour tous les systèmes vibratoires on utilisera pour les problèmes de reèherche des modes propres le système homogène transformé par Fourier:

(K ifn

Mw 2) X = 0 pn sur (.1') j

partie

«

structure )' (14.5)

partie

14.1.3.

«

fluide

»)

Fonctionnelle associée nu système (14.5)

Il est intéressant d'expliciter la fonctionnelle aSSOClee à la formulation en variables de pression. D'abord, comme nous l'avons déjà dit, elle sert de base à la discrétisation par la méthode des éléments finis utilisés dans les programmes de calcul. D'autre part, d'un point de vue physique, elle nous montre d'une façon très claire, les différentes grandeurs énergétiques du problème et en particulier les termes caractéristiques du couplage fluide-structure.

294

INTERACTION FLUlDE-STRUcrURE

a) Rappel de la fonctionnelle associée à l'équation de la structure (cf. chap.2).

Ls=~f -

u®

EdV-~w2J

(Vs)

Ps(X:rfdv-

~ énergie potentielle de déformation

f

--------------- ---------(V.. )

pXs·ndI

(1')

énergie cinétique de la structure

travail des pressions externes imposées à ta structure

On suppose qu'il n'y a pas de conditions aux limites de type « déplacement imposé »). Ecrire la stationnarité de Ls par rapport à une variation arbitraire de X:r (application du principe des travaux virtuels) conduit à la partie ({ structure » du système (14.5). b) Rappel de la fonctionnelle associée à l'équation du fluide (cf. Chap. 13)

1 1 - --;1:, = - --') 2w-

w-

J

(VI)

- 1 (gradp)-') dv Pr

11

1 ., --"p-dv +

+-

2

(V f)

P, c

J

pXs ' n dI

(1')

~~~

énergie c.inétique du riuide

énergie potenlicHe de compressibilité

travail de pressÎon sur (l:)

Ecrire la stationnarité de L, par rapport à une variation arbitraire de p conduit à la partie « fluide» du système (14.5). c) Fonctionnelle du. système couplé La fonctionnelle t du ::;y,stème couplé doit être telle que l'écriture de la stationnarité de C par rapport il une variation arbitraire de X s et de p conduise au système (14.5). Ceci est réalisé si l'on considère l: formée en associant t s et l: r de façon à faire

~oïncider

le terme de couplage:

f

pX!· n dl; :

(I)

L

=!

2

J

(Vs)

u®

ï' dv

_! w 2 2

J p.I(x~f J dv -

(V,)

1f

+ --.,

pXs' n d);

(l')

] ( ') If 1 ")

-

2 w ~ CV f) P,

grad p)~ dv - -

2

CV 1)

--"p- dv P, c-

Pour obtenir la forme classique L/ = CI w 2 C2 on est amené à associer à la variable de pression une nouvelle variable supplémentaire :

! 7r=-P/W'!

(14.6)

Remarque: 7T a la signification (à un facteur près) du potentiel des déplacements du fluide.

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUcrURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

295

en effet W 2 XI + grad p = O} ~ 'P XI = grad 'P

- Pf

=~= P1 w

_ !!... P1

La fonctionnelle L'associée au système: (K - Mw 2) Xs

/Tn =

div (

w

2

sur (2:)

7Tn

J..... grad PI

W

l

=0

7T) - ~

P= 0

(14.7)

Pfc

7T+P=O

a7T -+PIX an

j

sur (I)

.n=O

issu de (14.5) et (14.6) est alors:

(14.8)

Les deux premÎers termes représentent l'énergie potentielle de déformation de la structure et du fluide (compressibilité). Le 3c terme l'énergÎe cinétique de la structure. On peut vérifier que si les variables vérifient (14.7), les 3 derniers termes représentent l'énergie cinétique du fluide (la complexité du terme inertiel associé au fluide vient du fait que "on utilise pour le définir les variables «( duales » p et 7T).

Remarque: Dans le cas d'un fluide incompressible, les termes en..!, disparaisc-

sent:

1 r.:'=~ -

f -

-d v ii®E

(V,)

-w2[~J -

(Vs)

pj(XJ2 dv-.!.f J....(grad7T 2 (VIl P f

La variable 7T suffit alors à décrire le fluide. On remarque que si les variables vérifient: ( (K - Mw 2) XI

=

) /Tn =

sur (.Y)

w:1

7Tn

0

diV ( ; r grad 7T ) = 0 ft

( -...!!.. + P 1 X s • n = 0

an

sur (X)

Ydv-J 7Tx (!")

j

.nd.Y]

296

INTERACTION FLUIDE-STRUITURE.

Je terme:

~ w~ -

f

~

?TXs ' n d2:' = -

(.!)

W 2

-?1

=

~ (grad ?T r du

J"

(Vf)P,

-

~

ùJ -

-

f

P t(X,)-~ dv

(Vf)

représente J'énergie cinétique du fluide. Ce terme, qui s'écrit également?1

f

-

X n d"" . Pt' _, represente aussI. }" energlc

(.!)

communiquée au fluide sur sa paroi (2:').

14.2.

LES DEUX ASPECTS DE L'EFFET D!UN FLUIDE DENSE SUR UNE STRUCTURE VIBRANTE

Revenons maintenant à l'aspect ( physique )' de l'interaction fluide-structure: nous nous intéressons ici à la façon dont les caractéristiques vibratoires de la structure sont modifiées par la présence du fluide, donc essentiellement au champ de pression induit à la paroi par le fluide vibrant du fait du mouvement de cette paroi. Nous avons déjà mis en évidence dans les équations et les fonctionnelles associées des termes d'inertie et des termes de compressibilité pour le fluide. Examinons sur des exemples simples, l'importance relative de ces deux aspects du fluide quant à l'effet sur la structure vibrante: 14.2.1.

Le cas le plus simple: piston mobile couplé à un résonateur d'Helmholtz

Soit un piston de section S vibrant harmoniquement à l'extrémité gauche d'un tube rempli d'un fluide (volume V, longueur L). L'extrémité droite du tube communique avec l'espace libre par un petit tube "(longueur 1, section s): l'

~/

/

S- +",~

Fluide ___ {:_)_ _ _..

~:: s 1 Espace libre (p=O)

Figure 14,1.

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

297

Soit X l'amplitude du déplacement du piston, qui impose donc un débit masse; Îwp 1 SX. Le système fluide est un résonateur d'Helmholtz dont le fond est constitué par le piston. Ce système, nous ,'avons vu, peut être assimilé à un système à 1 degré de liberté (pourvu que les longueurs d'onde acoustique des mouvements envisagés soient grandes par rapport aux dimensions de la cavité). En utilisant la matrice de transfert du résonateur, déterminée au chapitre précédent, on a :

qe

( _

i~1 s

wV 1-

t:,r

)

~ 1. c (w Il étant la pulsation propre du résonateur.) d'où: dans l'hypothèse où

wL

Pc

La force exercée par le fluide sur le piston est donc:

a) Si w

<;g w 0 :

F est donc une force d'inertie et l'effet du fluide est caractérisé par une masse additionnelle ml

S2 Pli -

.

s On remarque d'ailleurs que du fait du confinement du fluide, cette masse peut être largement supérieure à la masse du fluide réelle; S2 Pli

li

S1 --;pl sL

(cf. paragraphe 13.3.5). S2 , b) Si w ;p w 0: F = - P f 1 - w il X = - P f s

~

S X L

C -

F est donc une force de rappel et l'effet du fluide est caractérisé par une raideur Pf

S: c'est la raideur en compression de la cavité V.

298

INTERAcrJON FLUIDE-STRUcrURE

Cet exemple d'un système acoustique à ({ un degré de liberté)} montre donc que l'effet du fluide diffère selon la position de la gamme de fréquence étudiée par rapport fi la résonance. acoustique du système (en parois fixes). On remarque également que des fluides peu denses et compressibles tels que les gaz ont un effet négligeable sur une structure vibrante car les forces d'inertie ou de raideur qu'ils engendrent sont faibles devant celles associées à la structure. En fait, dans ce cas, les systèmes mécaniques et fluides sont découplés. En particulier le système fluide se comporte comme si les parois constituées par la structure étaient fixes. L'interaction fluide-structure n'exÎste Iléritablemelll que dans le cas des fluides denses (gélléralement les liquides qui SOllt d'ailleurs très peu compressibles). C'est ce CliS que nous considérerons dorénavant. Supposons maintenant que le piston ait une masse m et soit attaché à un point fixe par l'intermédiaire d'un ressort de raideur k.

Le système masse-ressort sans fluide a une résonance:

w}

= [k.

'-lm

Considérons le piston en contact avec le fluide. Nous avons IL

=~-

1 ou

mf

<1.

m

Figure 14.2.

/cL S

la

à Cl!

=

w

= rapport

compressibilité

f J.Lm!

L Pf

= IL (

S

., entre lIl rat'd eur d u ressort et la rat'd eur assoclee

du

~

volume )

tluide.

On

a

également:

2,

Wo

En présence de fluide, l'équilibre du piston en régime harmonique donne:

Les pulsations propres du système couplé sont données par:

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

Si

Cl!

.c:g ]: il

299

existe une première résonance telle que:

w

-.c:gl:

( w)2 =

Wo

ex.

ou

+ IL

Wo

w

1

le

\j III + m,

Le fluide n'interl'iellt que par son effet d'inertie caractérisée par La deuxième résonance est donnée par :

nt,.

1

1 +J.L

Cette résonance dépend de la compressibmté du volume fluide. Si

0: -

1 ou

::>

1; il n'existe pas de résonance telle que : ~.c:g 1, les deux W(J

résonances dépendent de la compressibilité du volume 14.2.2.

~uide.

Un exemple un peu plus compliqué: piston mobile couplé il un tube ouvert il son autre extrémité

m

......- Espace libre p=O L Figure 14.3.

Le système fluide est maintenant un système continu monodimensionnel (ondes planes). Le système mécanique est toujours un système masse-ressort de résonance:

W 1

=

/k quand il n'est pas couplé au fluide.

~m

Ecrivons l'équation dynamique du piston (en régime harmonique, sans sol1icitation extérieure): 2

mw +k)X

-Pc S

(Pe étant la pression du fluide sur le piston). Ecrivons ensuite l'équation du fluide contenu dans le tube en utilisant les matrices de transfert définies au chapitre précédent: wL

(

cose ie . wL

- sStn c

WL) kSlnw~ (!:) S .

cose

300

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

Le piston impose un débit qr = iwp f SX, d'où:

Pe

wp f eX tg

=

wL c

et l'équation homogène en X : (

Sp f

mw:'

Cw

tg wcL + le ) X

=0

L'analyse de ses solutions singulières conduit aux modes propres du système couplé fluide-structure. Comme dans l'exemple précédent, définissons les paramètres adimensionnels du problème : J.L =

. rapport entre la masse du p1ston et la masse du fluide

11l ----sL =

pf

kL

=

rapport entre 1a ra!"d eur d u ressort et la raideur associée à la compressibilité de volume Ouide

=

rapport entre la dimension caractéristique du volume fluide et la longueur d'onde acoustique associée à la pulsation w considérée.

S

wL c

Les

À

associés aux fréquences de résonance du système sont donnés par:

avec: J.L - 1 ou

<:

1.

Si a <€ 1: JI existe une première fréquence de résonance telle que:

À ~

1:

k m + P fSL

Le fluide système:

li

uniqucment

1lI1

effet i/lcrtiel, il modifie la masse équivalente du

111

devient m

Les autres résonances sont telles que donnés approximativement par: J.L

L

À

+ -tg À

+ P f SL

soit de l'ordre de grandeur de l'unité et

À =

0

11 s'agit de résonances acoustiques du tube, le piston imposant une impédance d'entrée fonction de son inertie (J.L). Remarquons que pour les modes élevés cette impédance tend vers un nœud de débit (résonances en quart d'onde).

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÊSENCE D'UN FLUIDE

301

o

Fîgurc 14.4.

Si 0' - 1 ou "> 1, J'ensemble des modes propres du système dépend à la fois de l'inertie et de la compressibilité du fluide, Les conclusions sont donc les mêmes que dans l'exemple]. Avant de tirer une règle générale, on peut se demander si le comportement inertiel du fluide à basse fréquence est bien conservé, si l'on a affaire il des volumes fluides complètemem fermés. Pour cela nous allons considérer l'exemple suivant: 14.2.3.

Cavité fluide fermée limitée par deux pistons à ses extrémités

Les deux pistons et leurs ressorts sont identiques. Les notations sont les mêmes que dans l'exemple précédent. Soient XI et X;! les déplacements des 2 pistons.

m

m

____

L

---------------------------P~

Figure 14.5.

L'équilibre dynamique de chaque piston conduit aux équations. (-mw:!+k)X 1 = 2

p,S

(-mw +k)X1 =pJS

302

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

L'écriture des équations du fluide donne: wL

cos(

C

w~

IC

wL

•

WL)

S .

:--SIn -

C

(

cos-

- S SIn-;;-

)

::

C

avec: ==>

{Pl! =

W

Pf

C (

Xl cotg

wcL - X~isin wcL )

ps = wp je (Xl/sin wL - X"l cotg wL ) C

'1 - mw-+

. , l

Sp fCW

[

::;:.

- mw -

-

C

1) 1)

(WL cotg- - - - e . wL

+ k ] (X, + X,)

= 0

(WL cotg -;;- + ~

+ k ] (X, - X,)

= 0

sme

+ Sp f

Cw

SInC

Les fréquences propres sont données par: À

2[,u -

±(

cotg

Si: À

À -

) ]

=

0'

pour les modes Xl = Xl

soit par: À

2[,u -

-Al (cotg A + _._1_ ) ] =

sm

Recherchons les solutions telles que -

0'

À

À ~

pour les modes Xl = - X"l -

1, dans le cas où

ex. ~

1:

les modes XJ = - Xl correspondant à une variation du volume fluide ne

+ 2 3J:' 1. ,u Ceci veut dire que Je fuide se comporte à basse fréquence comme une raideur.

donnent pas de solution puisque l'on aurait alors A:1 =

lX

En revanche les modes Xl = Xl donnent: À2=

0'

,u + 1/2

~1::;:.w2= __2_k__

m+mj

Ces modes correspondent à une conservation du volume fluide, qui se comporte à basse fréquence comme une inertie additionnelle comme dans les deux exemples précédents.

Remarque: Si l'on avait supposé que le fluide était complètement incompressible, les modes Xl = - Xl auraient disparus puisque l'hypothèse d'incompressibilité impose mre liaisoll entre les degrés de liberté XI et X 2 (XI = Xl)'

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

14.2.4.

303

Règles générales concernant l'effet d'un fluide dense sur une structure vibrante

Les conclusions générales que l'on peut tirer des différents exemples simples qui viennent d'être analysés sont les suivantes: Si la raideur associée à la compressibilité des espaces fluides est grande del'anr celle associée aux structures, les premiers modes du système jlllide-strllclllre peuve1ll être calculés en supposant le fluide incompressible. L'effet du fluide est alors purement inertiel.

Les systèmes à cavité fermée n'offrent de particularité que par Je fait que leurs premiers modes ont une déformée qui doit conserver le volume de la cavité fermée (remarque: ceci peut entraîner certaines difficultés numériques dans les programmes de calcul traitant les fluides en incompressible). Le critère pour négliger les effets de compressibilité sera le suivant: l'

Un calcul des premières fréquences de résonance du. système couplé jluidestructure est effec/ll.é dans l'hypothèse d'll1l fluide incompressible. Si les fréquences sonl petites devant les fréquences de résonallée acoustique des volumes fluides (avec parois immobiles), la compressibilité du fluide peut être négligée.

Dans le cas contraire un calcul couplé fluide-compressible-structure est nécessaire. 14.2.5.

Exemples pratiques ExamÎnons sur deux exemples de structures courantes, l'importance de la compressibilité du fluide pour leurs premiers modes propres:

Exemple 1 :

TlIym~terie

contenant lm fluide

La forme particulière du volume fluide (grande dimension longitudinale par rapport aux petites dimensions transversales) fait que le problème de l'interaction fluide-structure peut se séparer cn deux: -

transversalement le rapport wD est toujours très petit: la compressibilité c n'intervÎent pas et le fluide suit les mOll\lemellts de flexioll (les tllbes, - longitudinalement un couplage existe entre les mouvements des tubes et les ondes acoustiques planes du circuit au niveau des coudes et élargissements. Le rapport wL (L = longueur du circuit) peul devenir voisin de ]. pour des

c circuits assez longs. Dans cc cas, lu compressibilité doit être prise en considératÎon. Une analyse plus détaillée de ce type de problème sem faîte en 14.6. Exemple 2: Cuve mince cylindrique de révolution remplie (épaisseur h. diamètre D ct hauteur H telle que

~~ 1

el H

d'etUI

D).

Contrairement il l'exemple précédent les premiers modes rencontrés sont des modes de « coque» dont la forme azimutale est cn cos nO (cf. Chap. 8). Les modes acoustiques de la cavitê fluide ont la même forme azÎmutale. Le couplage ne peut donc se faire que sur les modes de même 1/.

304

INTERAcrroN FLUIDE-STRUCrURE

Soient I(t/) la fréquence de résonance rondnmentaJc, pour un Il donné, de la cuve comple tenu de ['Înertie du fluide et la(n) la fréquence de résonance fondamentale pour le même /1 du volume fluide. Approximativement nous avons par un calcul bidimensÎonnel d'une tranche de cuve (donc en négligeant les effets des condiLions aux limites axiales du problème) : 1/2 [ P 111 D Tl ] -l/~ 21ll" [ E 1 + - -2- -rrDD (12(1 P TIl) {J 1 2 II 11 + 1 ex (Il ) er - - ' C ct (1/) '= 1 zéro de J :. (Jn fonction de Bessel

[(II )

J

!)Il )

11"0

l,e espèce d'ordre TI) .

avec: E

module d'Young de la coque masse volumique de la coque. Pour une cuve en acier. nous avons:

P /il

!,,( ".> = 0.46 (}' (II) ~ (1 + 0,064 ~

1(Il )

Pour de

11.

Il

= l,

ct

,

11 2

Il

1,8, pour des Il plus grands

'I

0'

+1

(Tl) est de l'ordre de grandeur

Nous voyons donc que si DI est grand devant 1, 1/ 1

11

!,J! est également grand

devant 1. Ce qui est le cas pour la plupart des structures industrielles usuelles. Si l'on prend par exemple 0 = 1 m et Il 2 mm. Ics Tl correspondant aux fréquences les plus basses restent en général inférieurs à 20.

~,

ll max f

est alors égal

:"5 (Il) est d'e l' ord rc d e 10 . a - eL fa ! (Il) L'cffel de compressibilité est donc négligeable dans le calcul des premiers modes propres de ce type de slruclure. Les deux exemples donnés ici sont assez typiques: en effet, pour résoudre les problèmes dynamiques à relativement basses fréquences (réponse sismiquevibrations sous écoulement, etc.) des structures de type réservoirs, cuves, etc. d'une façon générale on pourra négliger les effets de compressibilité du fluide. En revanche pour traiter Ics problèmes liés aux lignes de tuyauteries, il faudra tenir compte souvent des modes d'ondes planes dans le fluide interne et de leur couplage avec les mouvements des structures. Ainsi nous allons consacrer un paragraphe particulier à l'effet d'inertie (fluide incompressible) et également un autre paragraphe à l'interactÎon ondes planesstructures dans les tuyauteries.

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRucrURE EN PRÉSENCE D'UN FLUTDE

14.3.

305

ÉTUDE PARTICULIÈRE DE L'EFFET D'INERTIE

Dans le cas où le fluide est incompressible les équations du système fluidestructure deviennent: Mxs + Kx s = 0

if"

= - pn

8.p

= 0 (si P f constant)

SUT

ilp _ail + P f x.. n • n

=

(:!)

0

( 14.9)

('\~) sur_

Les conditions aux limites du système considérées ici sont des relations homogènes entre effort et déplacement pour les structures et entre la pression et sa dérivée normale pour le fluide. Nous avons vu sur les exemples du paragraphe précédent que les caractéristiques vibratoires de la structure étaient modifiées par une inertie additionnelle due au fluide. Examinons plus précisément ce point dans le cas général en utilisant la base modale de la structure dans le vide. 14.3.1.

Mise en évidence d'une matrice de masse ajoutée dans le système des modes propres de la structure dans le vide

Dans le vide la structure possède un ensemble de modes propres Xi (r) orthonormés. Soient Wi et mi les pulsations propres et les masses généralisées correspondantes. Dans le système des Xi' la partie de (14.9) correspondant à la structure se diagonalise. Si a (t) est le vecteur des composantes ai (/) de Xs dans le système des Xi:

~lli(t)Xj(r»)

,

1

nous avons: (14.10) fi (1) est la force généralisée pour le mode i, associée au champ de pression p s'exerçant sur (.r). En utilisant la 2c relation de (14.9) nous avons: p(r,/)Xi(r).nd:!

fî(l)=f {!)

Résolvons dans le fluide l'équation de Laplace 8.p limites sur la paroi (X) de la structure: ) ( op ail :r

P f Xi' n

=0

avec la condition aux

306

INTERACfION FLUJDE-STRUcruRE

ainsi que les autres conditions aux limites du fluide. Soit Pi(r) la solution obtenue. La pression induite par le" déplacement x.s(r, t) est donnée par:

La force généralisée fi (t) correspondant au champ de pression P (r, t) sera : fj(t)

-2:/ij (t)J PI(r)Xi(r).nd~ i

= -

l

(I)

ai (t ) m Ii

(14.11)

1

Le système (14.10) devient alors, en J'absence de sollicitation extérieure exercée sur l'ensemble fluide~structure : (14.12) L'effet du fluide sur la structure est donc caractérisé par l'adjonction à la matrice masse de la structure d'une matrice dite matrice de masse ajoutée. Cette matrice définie positive (m;j m;;) est en général non diagonale. La diagonalisation du système (14.12) conduit à un ensemble de nouveaux modes propres X i* (r) avec de nouvelles fréquences propres w;* et masses généralisées caractérisant le système fluide-structure.

mt,

Remarques: a) Dans la pratique, il n'est intéressant d'utiliser la base des modes propres de

la structure dans le vide que si ces derniers ne sont pas ou peu modifiés par la présence du fluide (m;j = 0, i =F j). Dans ce cas, les mli sont appelés masses modales ajoutées. Les nouvelles fréquences de résonance sont données par:

b) Il faut insister sur le caractère « directionnel» de la masse ajoutée, les efforts s'exerçant normalement aux parois: sauf cas très particuliers, j'effet du fluide ne pourra pas être représenté par une simple modification de la masse volumique de la structure.

e) Le cas particulier du corps solide ne présente aucun élément de simplification par rapport au cas général, excepté le fait que l'on a affaire à un système à un nombre fini de degrés de liberté: 3 déplacements et 3 rotations. Dans ce système, la matrice masse ajoutée est une matrice 6 x 6 symétrique (21 coefficients). Ces coefficients peuvent être en nombre plus réduit compte tenu d'éventuelles symétries du solide, comme nous le verrons plus Join sur des exemples.

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUcrURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

14.3.2.

307

Exemple d'illustration: coques cylindriques, circulaires, coaxiales, séparées par un fluide

Nous supposons que les mouvements des deux coques et du fluide se font essentÎellement dans le plan P de section droite des cylindres et donc que les gradients des déplacements dans le sens longitudinal sont négligeables par rapport à ceux dans le sens transversal.

x

Figure 14.6.

Le problème peut alors être approché par un problème bidimensionnel dans le plnn p, que nous allons résoudre complètement. Si a est l'angle azimutal, les mouvements propres des coques sont de la forme cos na ou sin na en l'absence de fluide (n entier). De plus, ils sont découplés d'une coque à l'autre. Les modes propres sont donc:

Xln(r){~OS

ou sin 110

nO

X~n(r){~os nO

et

ou sin 0

(la 1'" composante correspondant au déplacement normal de la coque intérieure, la 2" à celui de la coque extérieure). Dans le volume fluide, nous avons donc à résoudre les deux problèmes: llPI

(1 )

( (

n

= 0

aPln)

-a;;

apI n éJn

(.!l) = )

-

-0 (I:!)-

Pf

lia}

{COS sin 110

308

INTERACTrON FLUIDE-STRUcrURE

et: !J.P;'n

(

(2)

(

=0

°P1n )

an

_ 0 (II)-

iJP1n )

a;-

(I2)

= - PI

{COS no} sin nO

Considérons par exemple le problème (1). La solution (en coordonnées polaires) est telle que: Pln(r, 0) =

{

Ar fi + B

(

Il} {COS /10 } sin 110

1 ) -;

pour

Il

+0

Remarque: Le cas n = 0 correspond Ù un changement de volume de l'espace fluide ct n'a pas de solution en incompressible. En fait dans ce CllS, les R 2 QU2 qui mouvements DOl ct am des deux coques sont liés par la relation RI DOl conserve le volume de l'espace fluide (cf. paragraphe 14.2.3). A ct B sont calculés il partir des conditions aux limites:

Finalement nous avons:

La résolution du problème (2) donne:

Les coefficients de la matrice masse ajoutée sont donnés par la formule générale (14.11). Nous remarquons d'une part que le fluide ne couple pas les modes de n différents du fait de la nullité des termes du type

f

cos 110 cos

ni 0

dI (11

+ m) d'autre

pari que les modes cos n6 ct sin 110 ne

(I)

sont également pas couplés par le fluide

(li)

cos nll sin nO d.!

0).

En résumé, les modes du système avec fluide ct du système sans fluide sont de même nature (cos na ct sin nO). Le seul couplage existant est un couplage entre les deux coques pour les modes de même nature. A chaque mode n est donc associée une matrice mllsse ajoutée 4 x 4 symétrique;

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÈSENCE D'UN FLUIDE

309

avec:

dO

(L

= longueur

des coques cylindriques).

Remarqlle: Les coefficients m' deviennent importants quand les deux coques sont séparées par une lame fluide d'épaisseur c petite devant le rayon moyen R

des coques. PratÎquement, si le fluide est par exemple de l'cau, les masses ajoutées peuvent dcvenir beaucoup plus importantes q!.lc les masses des coques clIcs-mêmes. Nous avons dans ce cas: ,

In~1

- n"

14.4.

TT

= -

,,2

., R P f R- L-

e

QUELQUES EXEMPLES DE CALCUL DE MASSES AJOUTÉES 14.4.1.

Un cas particulier usuel: poutre rectiligne vibrant cn flexion dnns lin fluide

14.4.1.1. Justification sur un exemple simple de l'llypothèse bidimensionnelle pur trancllC Nous allons vérifier sur un exemple que, lorsque la poutre est suffisamment longue, on peut négliger les effets longitudinaux et considérer que les vitesses du fluide sont dans le plan de la section de la poutre. On peut donc estimer, par un calcul bidimensionnel plan, une masse ajoutée linéique. En fait nous verrons que la condition d'application de cette hypothèse est que la distance entre nœuds de ln déformée longitudinale de la poutre soit grande devant ses dimensions transverses. Soit une poutre de section circulaire (rayon R) rotu/cc à SeS extrémités. Elle est placée dans un cannl fluidc de rayon R + c (e ~ R) débouchant aux extrémités dans une grande cavité, telle que l'on puisse considérer la condition aux limites p 0 pour le fluide cn z = 0 et Z = L.

310

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

p=O

Ip=O

r

6

6

r/§#~0X~7~,$/§1 o

z Figure 14.7.

On a en outre sur la surrace de la poutre la condition: (

;; )

= P f W 2 X (z) T=

cos 0

R

Si l'on s'intéresse au premier mode de la poutre qui est de la forme: X(z)

Xo sin

7rZ •

Compte tenu des conditions aux limites du fluide la pression est de la forme: ' 7rZ ' . 7rZ . n, z ) = p (r) sm L cos 0 (pUIsque sm L ct cos () sont d es fonCl1ons

P ( T,

propres du problème fluide). Ceci veut dire que dans ce cas paniculier le mode propre de la poutre n'est pas modifié par la présence du fluide. En outre comme la lame fluide est mince on peut, en intégrant dans l'épaisseur c l'équation Ap = 0, obtenir une équation sur la pression moyenne p dans la lame d'épaisseur c: lj2p iJ1p 1 ( ap ) R 2 a0 2 + az2 = -;; àr

en remplaçant p( (J, z) par p sin -rrl cos 0 on

r .. l(

Il :

La force généralisée exen::ée par le fluide sur la poutre est: F=-

I J2'" I..

(1

0

7rZ p(n,z)sin-cosORdOdz

L

e

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

311

Ce qui correspond il la masse modale ajoutée: '1T

m

=

"2 P f

R1L

1

e

-l-+-(-7T-"::R-)--::! L

Si l'on avaÎt effectué un calcul par tranche on aurait Irouvé (cr. exemple 14.3.2) la masse linéique ajoulée :

La masse modale ajoutée pour la poutre rowlée serait donc:

La correction due il l'effet d'extrémité est donc:

On vérifie donc que sÎ la poutre est longue:

Ï ~ 1 l'hypothèse bidimension-

nelle pur tranche s'applique bien. Ce dernier résultat est général. seule la loi de correction de l'effet de bout varie d'un problème à l'autre.

14.4.1.2.

Méthode de calcul de la musse linéillue ajoutée associée ù une tranclJe de poutre baignant dans un fluide infini

Le problème est donc de résoudre l'équation de Laplace ilp = 0 dans un espace plan infini avec une condition de translation X de la seclion (S) de ln poutre:

Figure 14.8.

On peut utiliser la méthode des singularités développée en aérodynamique pour calculer l'écoulement li potentiel autour de corps rigides.

312

INTERACTION FLUmE-STRUCTURE

Cette méthode consiste à remplacer le corps par un ensemble de singularités généralement de lype doublet. Pour les corps de forme simple, un nombre limité de singularités suffit. Par exemple. pOlir lIIl profil circlilaire en translarioll X parallèlc li 0 . . . , un doublet situé au centre représente le champ de déplacement. Le potentiel complexe associé est alors:

.,

R~

P(z)=-PJw-XT

(rappelons que la pression est ln partie réelle de P(z) et que Z est la variable complexe x -1- i y, X et y étant les coordonnées cartésiennes de l'espace bidimensionnel). On en déduit la pression sur le cercle:

p ( lJ )

= -

P f w 1 X R cos (J

d'où la forcc exercée par le fluide: 2

F

r ttp(iJ)COsORdO

1Tp/w 2 XR 2

Jo

x Figure 14.9. D'où la musse ajoutée classique m = 1Tp f R2• Dans le cas d'une plaquc milice cn translation parallèle li Oy, on utilisera la transformation de Joukol'sky, faisant passer d'un segment de droite il un cercle:

z

~(z+~) y

Plan des z

\

... x y

Plan des Z

Figure 14.10.

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÉSENCE D'UN FLUlDE

313

Dans le plan des Z. le potentiel est: P(Z) p {w~

p(O)

X

(l

sin fJ

La force exercée sur la plaque est alors: F

f

p(O)dx

avec: dx:= Réel dz = Réel

= -asin

(J

{~

1

( 1

a

)

dZ} sur le cercle de rayon a

do

Pour plus de détails sur la méthode des singularités on pourra consulter la référence 12. 14.4.2.

Cnlcul de l'effet d'inertie d'une lame fluide cylindrique

Soit une coque cylindrique en contact avec une lame fluide d'épaisseur e petite devant le rayon R de la coque, comme l'indique la figure 14.11.

tz 1

H

1

Paroi

1

fixe

1

1

Fluide Figure 14.11.

Calculons le champ de pressÎon résultant d'un mouvement normal X(z) cos nO de la coque. Comme on l'a vu au paragraphe 14.4.1.1 en moyennant sur l'épaisseur de la Jarne et en considérant une solution du type cos IlO, on montre que la pression

314

JNTERAGrJON FLUIDE-STRUGrURE

p(z) vérifie l'équation:

que l'on peut résoudre facilement en utilisant les conditions aux limites pour le fluide cn z= 0 et z = H. L'intégration de la pression pondérée par un déplacement Y (z) sur la surface (2') de la coque, permet ensuite de déterminer la masse ajoutée couplant les deux déformées X (z) et Y (z). Exemple 1: Balancement d'une coque cylindrique en présence d'une lame fluide avec nÎveau libre (on néglige la pesanteur).

z

o Figure 14.12.

On suppose un mouvement normal de ln coque: X(z. 0)

= Y(z,

0) =Z/H cos 0

les conditions aux limites pour le fluide sont:

op

az

{

On

a

0

p =0

en z= 0 (fond) en z= H (surface libre)

alors: 1 e

. , ,[

p(z)=--p/w-R- z/H+

(R/H)shH/R-l R ] h / chz/R--shz/R c H R H

La force généralisée exercée sur la coque est: F

-

l::!fI'jtl H Z

()

0

p(z) cos:! OR dO dz

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

315

d'où la masse ajoutée:

th a

+!a

= H/R). J . . 0 btenue par un ca1cu1par tranch ' mil = -1 1Tp f -R H. La masse 3Joutce c seraIt: 3 e

(en posant

IX

1.00 0.75 0.50 0.25 O~-=~

__----~________--~________~ 10

5

(J(

Figure 14.13.

Cct exemple montre l'importance du nivcau libre sur la masse ajoutée même pour dcs valeurs relatÎvement grandes de H/R (25% d'erreur pour H/R = 10). Ccci est dû au fait que les déplacements maximum de la structure sc trouvent dans la zone de la surface libre.

Exemple 2 : Masses ajoutées (*) associées aux modes de flexion ni 1 d'une coque libre-libre en présence d'une Jarne fluide (avec les mêmes conditions aux limites pour le fluide). On suppose ici un déplacement normal de la forme cos nO ct conslanl

l'n ?

On obtient:

p

p(z)

.. R! f

l1l--

e (

nz)

ch R

1---

ch uH

R

La force généralisée est alors: F=

r:2

1T

rIl p (z) cos::! Ir 0 R d () d z

Jo Jo

(oto) En fait, dans cet exemple, comme dans Je précédent, les modes sont couplés par le fluide, on ne considère que les termes diagonaux de ta matrice de masse ajoutée.

316

INTERACTTON FLUIDE-STRUCTURE

D'ou la masse ajoutée: J

R H [ 1 -R 111-1 III = 1TPf--th -

e

llH

R

J

On voÎt donc que par rapport à l'hypothèse par tranche, l'effet de la surface libre est d'autant plus faible que l'ordre 11 du mode est élevé.

14.4.3.

Estimation de III masse ajoutée pour un problème tridimensionnel

Pour les problèmes complètement tridimensionnels, les expressions analytiquesexactes sont quasiment inexistantes. Dans des cas assez fréquents il est possible cependant de définir deux problèmes bidirectionnels, dans deux plans perpendiculaires entre eux et à la surface de lu paroi vibrante ct de déterminer pour chacun d'eux une masse ajoutée (ml et 1112)' La masse ajoutée pour le problcme tridimensionnel est alors estimée par:

l

1

1

111

ml

m'1

-=-+

(14.13)

Considérons pnr exemple une plaque plane vibrant en flexion avec déplacement X f(x) O(Y), dans un fluide dont on ne précisera pas conditions aux limites: il suffit de supposer que [cs conditions aux limites problème plan dons les tranches parallèles à XOz ne dépendent pas de y ct mème pour les tranches yOz par rapport à x.

le les du de

z

y

Figure 14.14.

Le problème dans la tranche XOz est:

avec

(;; )

f(x)

(14.14)

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

317

La masse généralisée ajoutée (projection sur le déplacemcnt f(x) g(y) est: m>:

=:

Pif

Px (x, 0) [(x) dx f

f/(Y) dy (y)

(x)

De même pour le problème dans la tranche yOz; o

+

(a:zY )

avec

(1

= 9 ( y) :

(14.15)

~ (J

el: Chacun des deux problèmes pCl;lt être approché par une solution factorisée:

Px

et Py=B(Y)C(Z)

A(x)C(z)

" On obtient en remplaçant dans (14.14) el (14.15) et en intégrant sur z:

r

1

1~

dz

l'~'

et:

d 2A d>!

a'p, dz f

=;.-

d!B

g

f

=

A

P,CCO)

g2(y)dy

A(X)f(Y)dXf ~)

111 Y

l~ C(Z)dZ)

=J!..

=- di

PIC(O)

=1 (À À

f

~)

B(y)g(y)dy

f

(14.16)

{!{x)dx

(.ri

(y}

Considérons maÎntenant le problème tridimensionnel à résoudre;

+

= 0

-1-

En intégrant sur Z on

(a~)

avec

aL.

_

.. ~O

= f(x) g(y)

Il:

1 ft)

ô],

-,dZ

o ax-

+

fm -,dZ a?p = {J

ay-

fg

Utilisons maintenant la solution approchée constituée à partir des fonctions A, B, C précédentes:

fi

aA(x) B(y) C(z)

En remplaçant p par

Ji

(a étant une constante)

on obtient:

d'où la relation:

a(BI + Ag)

= 10

318

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE ~(en

Ecrivons que cette relatÎon est vérifiée

moyenne )) sur la plaque:

d'où:

J

ex =

Af dx

l

J

f/ dy +

BO dy

(Yl

(y)

(x)

f

f2 dx

(x)

La masse généralisée associée au problème tridimensionnel est approchée par: Ill,

exp f C(O)

fJ (.\')

=exP/C(O)f

ABfg dx dy

(y)

AfdXJ

(x)

= P f C(O)

(J f

Bgdy

(y)

Af dx

(x)

f

(J

g2 d Y)

(y)

Afdxf

(x)

g2 dY

lU

f

= -

1

f2 dy )

(y)

Bgdyf

f'1dY

(x)

(y)

1

+-

(d'après 14-16)

'-nx lny

ni,

Une valeur approchée de

+f

(y)

=- -1

Bg dy

(y)

est donc:

iil

1

1

ml(

Illy

-+-

Il est bien évîdent que l'assimilation de la solution du problème tridimensionnelle il une solution factorisée utilisant les éléments des solutions elles-mêmes factorÎsées des deux problèmes bidimensionnels, est très approchée et que la formule proposée qui en découle, ne peut donner qu'une approximation grossière de la masse ajoutée. Nous allons juger de cette approximation sur deux exemples: a) Coque de rél'olu/Îon « libre-libre .. e" présence d'une lame fluide (exemple 2 du paragraphe précédent). 3

pour Il = 1 m exact Calcul de

1T P f

li] R

R H [ 1 - -R lh -

e

H

nlopproct,,! :

ml( pour une tranche perpendiculaire à J'axe du cylindre; nl x=

R3 H 1Tp f - e

(d'après 14.16)

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

nLy

319

pour une tranche méridienne:

d p _ pw X 1 pw X (~ dz~ - -e-=>P = Z-e- Z 2

F

2

=

I

f!

o

P dz

12.". cos

'Tf

I·e R

=-111)' =

= ,.,

2

~

()

2

(J

H2) 'Tf

R dO

= -

3

Pf

W 2

X

---

e

3

H R

3"Pf-e-

"p /

~

H [ 1+3 (

~

) , ]

p=O

x

dp/dz=O Figure 14.15.

----m/mo

0,5

o

2

3

4 Figure 14.16.

5

6

320

JNTERACfION FLUIDE-STRUCfURE

b) Plaque rectal/gulaire sc trmlslalalll perpclldicullliremCIll il La solution approchée est:

.'iOIt

plan:

l

---+---

,71

X. exact (Blevins)

b/a

O.5~~--~--~~--~~~~--~~--~--~

3

2

1

Figure 14.17.

14.4.4.

Remarl(UeS concernant les programmes de calcul numérique des effets d'inertie

Souvent les structures réelles ont une forme compliquée, de plus elles sont déformables et l'on ne connaît pas a priori les déformées modales. Une estimation grossière des effets d'inertie peut être faite à l'aide des considérations analytiques précédentes ou en utilisant des formulaires et en recherchant des formes simples ~< équivalentes» pour les parois. Dès que l'on veut un résultat plus précis, on est obligé de recourir à des programmes de calcul par ordinateur. Ces programmes s'appuient:

-

soit sur des méthodes intégrales utiHsant : 2 7rp(Mo) =

f

(!)

! grad p. n d2:' r

f

(.! _

p grad vois (Mo»

~ n d2:' r

(14.17)

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÈSENCE D'UN FLUIDE

321

Ces méthodes sont bien adaptées à des problèmes en fluide infini ou comportant de grands volumes fluides tridimensionnels; elles évitent les maillages de fluide tridimensionnels conduisant à un trop grand nombre de degré de liberté.

p - FLuide Figure 14.18.

Si l'on connaît à priori le mouvement x(r, t) des parois (c'est le cas des problèmes de corps solide)

f

le terme;

(!)

est le terme ({ source» = -

f

C!)

~ grnd pn dI r

~ px(r, t) . n dI r

La résolution de (14.17) donne le champ de pression sur la paroi que l'on intègre pour obtenir les coefficients de masse ajoutée. Si l'on a affaire à un problème de structure déformable, certains programmes couplent la résolution de (14.17) avec la résolution des équations de la structure par éléments finis. On peut alors obtenir directement les fréquences et modes propres du système fluide-structure. - soit sur une discrétisation par élémcnts finis des espaces fluidcs, utilisant les fonctionnelles décrites au 1cr paragraphe de ce chapitre. Généralement, les programmes utilisant cette méthode calculent également les effets de la compressibilité. Cette méthode est bien adaptée fi des problèmes à espaces tluides finis et en particulier quand ces espaces sont des lames fluides séparées par des coques ou dans le cas des tuyauteries contenant un fluide. En effet, dans ces cas les méthodes intégrales conduiraient à des matrices ({ pleines ) sans gain appréciable sur le nombre de degré de liberté. Citons également les méthodes de condensation s'appuyant sur les éléments finis mais comportant l'élimination des degrés de liberté liés au fluide et les méthodes de sous-structuration (cf. Chap. 9) où l'on découpe le problème en

322

INTERACflON FLUIDE-STRUCTURE

sous-structures définies par leurs modes propres ; certaines zones fluides peuvent alors être caractérisées par des matrices de masse ajoutées connectant les différents modes des différentes sous-structures. Le calcul de ces matrices est effectué à part. Ces dernières méthodes sont indispensables pour traiter des problèmes tridimensionnels extrêmement complexes car elles permettent une grande économie de temps de calcul et d'encombrement par rapport à une méthode utilisant une discrétisation tridimensionnelle sans précautions particulières. On pourra pour plus de détails sur les méthodes de calcul consulter les références ]4, 15 et 16.

14.4.5.

Formulaire succinct

Nous présentons ici quelques résultats utiles en ce qui concerne: - les sections droites de poutres simples et les corps solides simples (plaques et massifs) vibrant en fluide infini (tiré de l'ouvrage de B/evins, référence [13], qui donne d'ailleurs un formulaire très complet), - des exemples d'effet de confinement sont présentés pour des cylindres (bidimensionnel) vibrant à côté ou à l'intérieur d'un autre cylindre d'axe parallèle (tiré de la référence [12]).

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUcrURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

Cercle

8

prrrf

a

(l1r;

ri (a'!-'b f

t

"HG 1: ! J..

Moment d'inerlio aioulé/unil~ de longueur (centre de rolation 0)

M!lsse ûjouhi-elunité de longu!ltlr (direction du mouveml!nt ....l

Goomélrie

2

Il

O
a .. 1.. a .. 1

G~ t

Carré

0,234 p lTIl 2

l,5lprrl/

~

ap1Ta 2

Rectill\gle

! G3 UJ Plaque mince

a

-2.23

0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10.0

pfITTa 4

alb 0.1 0.2 0.5 1.0

1.98 1.70 1.51

1.36 1.21 1.14

Ip 1l'1f

fi!!.. 8 4 8

a

t«a

Polygone

1ou .... 1

l

-R

"

0

~Œb

--Ir tôtés)

Figure 14.19. -

ap1TR

2

n

a

-

-

3

0.654 O.7D7 0.823 0.867 1.00

.,

5 6 00

0.147 0.15 0.15 0.234

-

L J. J a

fJ

-

-

1.0

00

.... 0

0

•

alb

Masses ajoutées de sections droites de poutre.

323

I.JJ hl ~

Masse ajoutée

Géométrie

Géométrie

8 f3pR 3

Disque circulaire x

Masse ajoutée 4 aa TrPib

disque elliptique

2IT

Rotation % (~ Moment d'inertie: 0,37 pa 5

)

l(

t«a

~

1.

t«a

Plaque rectangulaire

if 2 a-p-rra b

4

~

,/

~

t«a

bla

a

1.0 1.25 1.59 2.0 2.5 3.17

0.5790 0.6419 0.7038 0.7568 0.8008 0.8404

bla

a

4.0 5.0 6.25 8.0 10.0

0.8718 0.8965 0.9167 0.9344 0.9469

00

lOO

.1

2b

Plaque Iriangulaire

ICI

00

1.0 0.991 0.984 0.972 0.964

14.3 10.0 7.00 6.00 3

3Tr

a

5.00 4.00 3.00 2.00 1.50 loO

0.952 0.933 0.900 0.826 0.758 0.637

Z -1

en

;::1

:>

Cl i5

z

t!l

c:

a

t11

!Î:l -1 ;::1

c:

2 ~ m

1

a

a

~ (tg o'j3!2

~

11

bla

bla

.1 t«a

l'ETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUcrURE EN PRÉSENCE D'UN FLU1DE

Masse njout&!

Géom~trie

apa2 1J

Parallélépipède

b~

bla

-

0.5 0.6

0.8 1.0

1.2 1.6 2,0 2A 2.11

36 aprrFf L

Cylindre circulaire

(]! ~ Sp/u'!rc

0 Figure 14.21. -

(ml.L axe du

cylindre

L/2R

-

1.2

2Ji 5.0 90 lX]

a

-

1.32 1.15 0.!J6 0.70 0.57 0.45 0.35 0.30 0.2ii 0.22

...

- "

0.62 0.71) 0.90 0.96 1.00

~ rrpf?l

t

Masse ajoutée de solides tridimensionnels.

325

W N

CYLINDRE' VIBRANT A L'INTERIEUR D'UN AUTRE CYLINDRE NON CENTRE m'/m~

r 2.5

=masse

ajoutée/masse ajoutée pour cylindres concentriques

r=5 ························· ······ ............. .

ï .-.-.=-.-,.......,'"""-_.

- - - - - - - - - - 10

--

".

""-..-:::::.:::. __ .

15 -- ... ~"" ~ ..~-

""'---

. "'=---

2

~ ~

.............

"11

~.

. •....

.......... ................ .............. . .•. ".

... ---.

100 ---........................

;t;: l-.J ~v

~

..~'>,.,., .... .",.'<: .. . - ....

'.

,. . . . ... ""-.' .......:::"" ""-. ~~" "'-," "'- . ,,,,,~,~, "" "'-. ..•~"

~...... '-. "~'-'."'. ", ~>

...

~ ...

Masse ajoutée pour des cylindres concentriques:

r=Rz/R, e=d/R1

"-"

.....................

1,5

0'1

.

...

..........

m~ =1l9tRfLHr2+ 1)/(r2_1lJ

Pour r<1.1:

m' /m~ =2{r-1)(r-1-1 e(2r-2-eH/ tr-1-e)2

"'-" "'-. ' "

"'- '1'-...1 1 I::N- ..

11

10-4

~):>

10-3

10-2

10-1

e= jeu relatif

~ ~

o

Z

"l'I

t

8 ~

m

ê

~

@

PETlTS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

327

m'/ma

CYLINDRE/CYLINDRE

1,4

exact ~~~

~~r.

2

1,2 1 2

QR

3

4

X 6

5

m'/ma

CYLINDRE/PLAN

1.8

exact ~2P.E.J

1,6

~~~r.

2

',4 1,2 1 2

3

4

5 X::2/H

m'/m~

1,B

SPHERE/PLAN normal Qarall.

1,6

1,4

,

',2

2

3

Figure 14.23.

4

5 X=2/H

v,) tv

00

m;1/m~ =masse

ajoutée du cylindre 1/masse ajoutée du cylindre 1 isolé

2,5

z rrl ~

2

q

f):;

C ""1

r.

~ 1,.) f-

oz

r=R 2 /R 1 e=d/R1

::::1

":')

t-

e

am

2 1,5

en

-l ft!

C

q C

;;;l

m

m~=masse ajoutée

1 seul m~=T(9f RfL 1~____~~__~~~~~____~__~~~~~~____~__~~~~~~~

10-1

1 e

329

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCrURE EN PRÉSENCE D'UN FLUlDE

QJ

OJ

.....e.r... OJ

OJ CI

ra

ï5.

::::l C uN OJ .....

-cOJ QJ"""" 'QJ .....

::::l

C

1/)

ru r...

'--, "'t:J

ra.!:

ru:;::' 1/)

u

1/)

II)

ra OJ E_ Il N

é

N

1

o..-

jT\

1

o 0"-

N

Figure 14.2..').

330

14.5.

14.5.1.

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

EFFET SUR UNE STRUCTURE D'UN FLUIDE INCOMPRESSmLE AVEC SURFACE LIDRE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR Fonctionnelle du problème

Comme nous l'avons vu au paragraphe 13.5, la présence d'un champ de pesanteur modifie la condition au niveau des surfaces libres ~, du fluide. On a vu également que la façon la plus simple de tenir compte de cette nouvelle condition dans la fonctionnelle du problème, était d'introduire la variable z de déplacement vertical du fluide de la surface libre et d'écrire les terme~ supplémentaires: dans la partie « raideur» dans la partie

et:

~(

masse

»

Cependant ce n'est pas là l'unique effet de ]a pesanteur, pour notre problème couplé fluide-structure. Sur l'ensemble des parois (I) des structures en contact avec le fluide s'exerce du fait de la pesanteur une pression permanente P f gz, z étant l'abscisse du point de (1:) dans la direction verticale (on suppose z = 0 sur la surface libre (X,) à l'équilibre).

--r-+z - - - - - - - { ri) 1

Fluide

---n Figure 14.26.

Le point M de (X) est animé d'un petit mouvement x" Du fait de ce petit mouvement, l'élément infinitésimal de surface dl: = n dX varie et donc l'effort dû à la pression permanente varie. Cet effet a été analysé au paragraphe 11.1. Il est responsable d'un terme supplémentaire dit de « flambage ») dans la fonctionneUe de raideur de la structure. En 11.1, on s'était placé dans l'optique d'une pression constante dans le fluide.

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUcrURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

331

Dans notre cas présent, s'ajoute un effet de variation de la pression dû à la composante verticale du mouvement de (..S) XS • k. En ajoutant l'ensemble de ces effets, la variation .Ilf de la force s'exerçant sur d~ est:

En posant: .1x.! ( dI.) et :

= dI.

L1x.!(Z) =

Xs '

dI.

1 -

II.

on a synthétiquement:

Le travail des forces - .Ilf, dans le passage de l'état de référence (.,l:) à l'état déformé (.l') est:

(14.18)

W correspond au terme de la fonctionnelle de la structure (partie raideur) décrivant l'ensemble de ces effets. Il convient de vérifier la symétrie de ce terme. Explicitons L1x.! (z dI. ) : Soient:

Soient li et v les composantes de Xl! sur les directions principales CI et de courbure de (2:) (rayons de courbure RI et R:!, positifs si n est dirigée à l'opposé du centre de courbure). Le trièdre CI' c:!. n est direct

C2

L1x.!(d:I) = [(diV,! xs;) n - grad,!xsll + ;,

Cl

+ ~2 C2 + ( ] + ~2

)

X SII

n] d.!

div! et grnd! étant la div et le grad pris ( sur la surface (.I») (*) où

.

(*)

au

dIV"X." = + -.cJx)

Figure 14.27.

332 Xs

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

est défini (et non sur l'espace à 3 dimensions) : .1:r.S
~W ~ J -

ZX • .!·

Pf 9 {ZXjff div,! Xl,!

grad,!

(xs·Jt)dI.

X sn

(I)

+

Z [

~~ + ~22 + ( ~I + ~2 X;nJ )

+ xsn(x

j

•

k)} d~

ou:

avec:

(14.19)

Or:

J

(VII div,! x,! - Y.r grad.rx,J d..! -

(.!)

=

f

f

Yn

xI

ds

(C)

(XII div.! y!

(!')

quel que soit (x.!' x,J el (Ys, YII)' La partie « surfacique J) de West donc symétrique. La minimisation de W donnée par (14.19) conduira donc aux bons efforts par unité de surface exercés sur la structure. Elle introduira également des efforts linéiques aux limites

~t)

de la structure S correspondant au terme -

f

2rn x,!.

ds qui s'ajouteront

(C)

aux différents efforts et autres conditions aux limites et dont on n'en discutera pas ici. Rappelons toutefois que dans la pratique des éléments finis, les conditions aux limites réelles du problème sont introduites a posteriori (après discrétisation et minimisation) et que l'explicication de la partie aux limites des fonctionnelles est ainsi assez secondaire. 14.5.2.

Exemples

Exemple 1 .. Soit un réservoir cylindrique indéformable de hauteur de fluide H. On lui impose un mouvement vertical harmonique d'amplitude X. Calculons l'effort exercé par le fluide sur le fond, c'est-à-dire au signe près, l'effort nécessaire pour imprimer le mouvement X :

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUcrURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

333

, Z J~

-1 1-

---- -

H

-

1

-- 1--

-

--

l'

1--1

o . Figure 14.28.

Résolvons les équations du fluide: ét::!nt incompressible, le fluide a un mouvement de translatÎon X et la pression fluctuante est de )a forme: p(z) = nz + b. On a de plus:

{

:~=PfW:1X 9 8p

=>p(Z)

ct:

w

az

2P

o

enz 0

en z = H

-Pfw:!X(H-Z)+PfgX

p (0) =

Pf

w:!

HX + P f gX

D'où l'effort exercé: F = mw 2 X - P f gSX

(m

masse du fluide)

Il faut ajouter à F, l'effort F' exercé par le fluide du faiL du mouvement vertical du fond dans le champ de pesanteur, analysé en 14.5.1. Ici: F'

f

P f gX.f' k d.! =

{J /

gSX

(l:)

Finalement, l'effort exercé par le fluide sur le fond est F + F' mw :1 X cc qui correspond bîen au signe près à l'effort nécessaire pour donner au fluide l'accélération - w:1 X. L'importance relative des termes F et F' est donnée par:

{f

est l'inverse du carré du nombre de Frmu}e associé au réservoir.

Exemple 2: Reprenons l'exemple l du paragraphe 14.4.2, en supposant pour simplifier un mouvement harmonique de translation horizontale de la coque interne X. mais en tenant compte de ln pesanteur.

334

TNTERAcnON FLUIDE-STRUcrURE

z

Surface libre

Virole mobile

• 1

IH

•

1 1

- r---...

y-Virole fixe

1

I 1 1

1 1

./

0

Fond fixe

Figure 14.29. lei le terme de mouvement de la coque dans le champ de pesanteur est nul, puisque la composante vertical de X s est nulle.

Il suffît donc pour obtenir les efforts s'exerçant sur la coque de résoudre l'équation du fluide, nous avons:

avec p(z, 0) = p(z) cos O. On a donc: 2

p(z) =

2

w XR p,-e

[

Z A ch -Z + B sh --1 R R

J

A cl B étant déterminés il l'aide des conditions aux limites: en Z

cnZ

=0 H

d'où:

La force exercée sur la coque mobile est:

1 2fT

F

=-

1}

rH

Jo

P cos OR dO dz = w ,~ R 3 X [ H 1TPf---

e

+R

w -~ ,R /0 h H/R ] S sh H/R - (w-R/O)ch H/R

335

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

d'où le rapport:

•

w::!R

La figure 14.30 montre l'évolution de m en fonctlOn - - pour différents g rapports HjR. On

· VOlt

que SI.

W 2R il> (J

ln

1 ( - 10) m est .ln dépen dunt d e w ctl éga'a:

=

., R[ 1 - -Rth -H] e H R

-rrp f R- H -

Dans cc cas la pesanteur est négligeable ct cc dernier r5sultat peut être obtenu avec une condition de surface libre p = O. On il alors (a signification d'une véritable masse ajoutée. Pour

w:!

g

R
~e

résultat qui peut être obtenu avec

une condition de surface libre &p = 0 (condition de débit nul).

az

Pour les valeurs intermédiaires de

liJ:>

g

R

TIl (w

) est perturbé par la présence

de la

résonance de ballottement Il = 1 du volume fluide donnée par w 2R H -g- = th R' On voit cependant que cette zone perturbée est d'autant plus petite que HjR est grand. Ceci veut dire que dans tous les cas, l'effet de surface libre sera négligeable pour un réservoir profond (H:<> R). Remarqlle: Pour des modes du type cos nil la condition sera H

~~. 11

D'une façon générale, l'ensemble des termes dus à la pesanteur sera négligeable si le nombre [F est lei que:

(l4.20)

L étant la dimension caractéristique du volume fluide, w la gamme de fréquence des modes propres du système fluide-structure (*) que l'ail analyse (on aboutit il la même conclusion qu'au chapitre précédent pour le calcul des modes acoustiques) . •1' représente également le rapport entre la première fréquence de ballottement du réservoir et les fréquences du système fluide-structure. Si la 1te fréquence de ballotlemetll est très inférieure à la gamme de fréquclIce étudiée 011 négligera la pesanteur. (>II) Nous pouvons distinguer duns ce cas les modes de ballottement qui nc font pas ÎntervenÎr le mouvement des structures et les modes fluide-structure proprement dits.

w

W 0\

5

m(wl=9fnR2H RI ef1-IR/HHw 2RI gl/lw2R/g cath H/R-1IJ

4 H/R=3

3 ~ m~9fnR2 HRI el1-{R/Hlth H/RJ H/R=10

t'Tl

1

">q

o z

""lj

ri.i" t::

;!J

r3

.... .;.. ;...J

?

Z

-l

2

0

1

c::

a tT!

H/R=O

~

-l

"q c:

-1

c::;::l

Fig. 1 - Effet d'un fluide incompressible avec surface libre et pesanteur, sur l'une des parois d'une cavité annulaire

-2 -3

-4

10-1

10

102 w2R/g

tT1

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

337

Exemple: Réservoir cylindrique encastré-libre. Hauteur 15 m. Diamètre 10 m. Epaisscur 1 cm ; rempli d'cau. - La pulsation du l or mode fluide-structure du chapitre 8 : 0,36

J

pE,.,

1 est donnée par les abaques

Il

avec ici

E = module d'Young du matériau. (On considère pour simplifier un calcul de masse ajoutée par tranche qui minore la fréquence w.) Lc nombre :J caractéristique est: 1 Pf(}D 2 x(O,36)" Be ------:-~

2

-x 10- 3

_'J

Ln pesanteur est donc négligeable. -

La pulsation pour n = 3 (mode de fréquence minimum) est donnée pnr: W

:F

=0,09

JpE",

_0_ = 0,3 w2R 2 x (0,09)~

Même conclusion. Cet exemple montre que dans la majorité des cas, la pesallteur sera tout à fait négligeable dans les calculs des fréquences de résonance des systèmes fluidestructure de type résen'oir. Réciproquemellt les calculs des fréquences propres de ballottemellt pourront s'effeelller en sllpposam les parois fixes (cf. Chap.13). Ceci Ile l'ellf évidemment pas dire que le ballottement ne conduira pas à des efforts importants sur les structures, en particulier le 1er mode, si la gamme de fréquences des excitations est favorable.

Remarque: Les mouvements d'ensemble des corps flottants (coques de bateau, elc.) constituent un cas particulier où III pesanteur joue un rôle important, du fait des très basses fréquences considérées.

14.6.

COUPLAGE FLUIDE-STRUCTURE DANS LES TUYAUTERIES

Comme nous l'avons déjà dit (§ 14.2.5) les premiers modes des systèmes de wD tuyauteries se situent dans une gamme de fréquence telle que - - ~ 1. c

De plus ils correspondent à des mouvements de type ({ poutre transversales ne se déformant donc pas (*).

»),

les sections

(*) Ceci n'cst pas tout à fait vrai: nous verrons par la suite que l'on tÎcnt compte d'une raideur de gonflement de la tuyauterie (mode 0).

338

INTERACTION FLUIDE-STRUcrURE

Ceci a pour conséquence que, transversalement le mOllvement du fluide est identique à celui de la stmcture. Longitudinalement se développe dans le fluide un système d'ondes planes qui, comme nous allons le voir, se couple aux mouvements de poutre de la tuyauterie au niveau des « accidents» (coudes, changements de section ... ). 14.6.1.

Fonctionnelle et équation du système couplé

Pour analyser ce système couplé on peut par exemple reprendre la fonctionnelle générale des systèmes fluide~structure et l'appliquer à notre cas particulier:

Nous n'insisterons pas sur la simplification au cas des poutres des termes liés à la structure (cf. l TC partie). Pour simplifier les termes liés au fluide, nous considérons la pression p sous la forme de la somme de deux termes : p = Ji + p' . p est la pression moyennée sur une section droite (composante sur les modes d'onde plane), p' correspond à la contribution des modes transverses (comme nous l'avons dit, cette contribution se ramène ici à une simple translation d'ensemble pour une tranche du fluide. L'ensemble des termes de la fonctionnelle où intervient p' se ramène au terme d'inertie:

x~

étant la composante transverse du déplacement de la structure.

Les termes correspondant à p deviennent (en abandonnant le symbole -)

If 1 If 1 2

(Vf)Pf

-

2

(V f)

.,

(grad 1T y dv

--p7T dv 2 Pf c

If

-+ -

2

-

If S ~-

-+ -

2

(1:)

S(ihr)2 ru -

(c)Pf

Pf c

2

p1T

as

ru

(S étant la section de passage du fluide à l'abscisse curviligne s).

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUcrURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

339

s

moyenne [:Xl Figure 14.31.

La transfonnation du dernier terme est un peu plus délicate:

f

7TX s ' n d.!

(I)

f

7TX s ' t S ru

(C)

-

f

dS 7TX s ·1ds

(C)

ds

1 étant le vecteur unitaire tangent à la fibre moyenne de la poutre, t le vecteur unitaire transversal situé dans son plan osculateur orienté de l'intérieur vers l'extérieur, R son rayon de courbure (posÎtif). La fonctionnelle devient donc :

(14.21 )

(Ss est la section de la paroi de la tuyauterie).

340

INTERACfION FLUIDE-STRUCfURE

Ce qui correspond au système:

KXs -

(LI 2

[p s Ss X s + P f SX~. -

7r

~ t+ R

7r

dS 1] =0 ds

S S dS -a ( S -a7T ) +--"p+-Xr,t--Xs,1 P J c-

P J iJs

as

R

ds

o

P+W:!7T=O (K est l'opérateur de raideur des poutres). Soit en éliminant

'TT

et en revenant au système fonction du temps:

P

R St + p

Kxs + P s SJ Xs + P J Sx:

a ( S (Js

(ip)

dS

ds 1 = 0

_S_ft _ ~ x . t + dS x .1

c 2 Pf

P f as

R

ds

S

( 14.22)

= 0

S

La première équation de ce système correspond à l'équilibre dynamique de la structure; la deuxième à l'équation des ondes planes dans le fJuide, Ces équations sont çOllplées ml niveau des parties coudées ou des par/les à

. , (i1e sectIOn . dIl Clrcwl . "( -:::1=lOd l'anatlOll ou S -

ru

R

:::l=-

0)

Dans l'équation d'équilibre de la structure, les termes

E. St R

et

dS 1

P ds

représentent des efforts par unité de longueur. Inversement dans l'équation des ondes planes les termes -

~ xs ' t

et

dS"Xs • 1 sont l'les • .a un « d e'b"It source ») par uTIlte " • d e 1ongueur. Dans les par/les droites du cîrcuit, il n'y a pas de couplage entre les mouvements de poutre de la structure et les ondes planes. Le fluide est uniquement caractérisé par une masse ajoutée liée aux déplacements transverses (Qexion).

14.6.2.

Cas particulier des singularités brusques

On désigne par là les coudes ou changements de section dont la longueur caractéristique est petite par rapport aux longueurs d'onde acoustiques et mécaniques; on peut alors supposer que p et X.r sont peu variables le long de la singularité. Les termes de couplage ont alors une forme simplifiée qui met peut-être mieux en évidence leur signification « physique ») que la forme générale (14.22). a) Coude bmsquc (à section constante) Si 11 et 12 sont les vecteurs unitaires longitudinaux des tubes amont et aval et pla pression dans le coude, les ondes planes exercent sur le coude une force; F

pS

f

coude

~ds R

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUcrURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

ou

F

f

pS

dl =>

F = - pS (12 - l] )

341

(14.23)

wlIllc

Figure 14.32.

Inversement un mouvement Xs de la partie coudée, crée pour les ondes planes ' tITIUlte ' " d e -S -ap ega , 1e a. : une d Iscon P f as

:f [(~~ )

2-

(

~~

J

)

ce qui correspond à une discontinuité du

débit~masse

acoustique:

(14.24)

b) Changement de section brusque: Force exercée par le fluide sur la structure :

F= =>

F

pl

f~

- P (S2

Figure 14.33.

ds SI) 1

( 14.25)

342

INTERACTION FLUIDE-STRUcrURE

Discontinuité du débit masse acoustique: (14.26)

14.6.3. Prise en considération du gonflement de la tuyauterie La fluctuation de la pression moyenne dans une section droite excite les mouvements en mode 0 (gonflement) de la tuyauterie. Pour les gammes de fréquence qui nous intéressent ici, nous nous situons largement en deçà des fréquences de résonance associées à ces modes, on peut donc considérer que la tuyauterie engendre une souplesse supplémentaire lors du passage des ondes planes qui vient s'ajouter à la compressibiHté du fluide. Cet effet peut être représenté par l'introduction d'une vitesse du son modifiée. Soit une variation de pression p s'exerçant dans un tronçon de longueur dz de tuyauterie d'épaisseur e, de diamètre D et de module d'Young E. La variation dv de volume associée est due d'une part au déplacement x f du fluide le long du tube et au déplacement de la paroi:

1I"D 2

ax f

du = S -

dz + - 2

az

é

dz

e étant la déformation en membrane du tube:

pD 2eE

E=--

=>

~ Sdz

=

(

ax f +!!.. D ) az E e

Figure 14.34.

qui représente la variation relative de volume du fluide et qui est liée à la variation de pression par la relation d'état: ') du p = - P fC- Sdz

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUCTURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

343

d'où:

Cette dernière relation est la relation d'élasticité pour les ondes planes dans la tuyauterie souple. on peut l'écrire:

avec': c

è

(14.27)

è est une vitesse du son équivalente.

Exemple: Tuyauterie d'acier (c = 1 500 mIs, P f = 103 kglm 3). ë

14.6.4.

de

e = 2 mm

1 500

et

D = 20 cm

en

eau

1030 mIs

Application aux effets de masse ajoutée dons les tuyauteries

Dans certains cas les premiers modes de la tuyauterie sont tels que wL ~ 1 (L étant sa longueur), le fluide peut être alors considéré comme c incompressible el son effet est purement inertiel. Souvent dans les calculs courants on se contente de supposer le fluide solidaire de la tuyauterie ct donc de considérer une masse linéique ajoutée, P f S.

TL i

Figure 14.35.

p=O

344

TNTERAcnON FLUIDE-STRUCTURE

Le fait qu'il puisse y avoir des mouvements relatifs longitudinaux du Ouide et de la paroi des tubes peuL entraîner des erreurs grossières dans l'estimation des effets de masse ajoutée avec l'hypothèse précédente. L'exemple suivant permet de s'en convaincre: Soit une tuyauterie remplie de fluide constituée de 2 parties droites identiques et d'un coude brusque d'angle cr. (figure 14.35). Cette tuyauterie est connectée souplement à deux cavités imposant à ses extrémités une condition p = O. Calculons la masse ajoutée du fluide pour des mouvements de translation de la tuyauterie suivant Ox et Dy. TranslatÎo1l suil'Gll1

Ox

Effort f, dû il la composante transversale du mouvement des parties droites de

la tuyauterie:

+ (Î . (2 )

f, = - P f S Li [ (i . t 1) t 1 = -PfSLi[ = -

t2]

-sin~tl +sin~t1J

- . , cr. •

2. P f SL X

Sln-

"2 1

Effort fc dû il la pression dans le coude: D'après (14.24) le mouvement induit au niveau du coude une discontinuité fluctuante de débit flq = P f Sii . (12 - Il) = O. La pression d'onde plane p est nulle puisqu'il n'y 11 pas d'autre source, ct l'effort ft" est également nul. La masse ajoutée due au Ouide est donc:

Translation suivant Oy Effort f, dû à la composante transversale du mouvement des parties droites: f, = - P fSLY[(j .ll) l, = -

-

+ (j. tJ lz]

,0'.

2 P f SLJI cos- "2 J

Effort dû il la pression dans le coude: La discontinuité du débit dans le coude est, d'après (14.24) : flq = P f Syj . (12 - Il) = - 2. P f S.(J sin

~

La pression moyenne dans une section droite est, le long de la tuyauterie, en résolvant l'équation des ondes planes: p(s) = - P f Ly sin

cr. S

"2 L

2"

= - P f Ly sin cr. (

(0

1-

~

s :s L)

s) L

au niveau du coude on a :

- . cr. p = - P f L Y Sin "2

(L:ss~2L)

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUcrURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

345

p -9 f LYsimx./2

t Coude Figure 14.36. La force exercée sur le coude eSl d'après (14.23) : fe

= -pS(I~-II)

= -2PfSLysin2}j

f/+fr=-2PfSLyj

La masse ajoutée duc au fluide esL done : m y =2p f

SL

Pour les mouvements suivant Ox il y fi un déplacement relatif longitudinal du fluide de la tuyauterie: le fluide ne " suit}} pas complètement la tuyauterie, la masse njoutée est inférieure ii celle du fluide. Pour les mouvements suivant 'Oy, il n'y .Il pas de déplacement relatif: le fluide " suit ;; la tuyauterie; la masse ajoutée est égale il celle du fluide. On voit donc sur cet exemple que la seule façon d'estimer correctement l'effet inertiel du fluide dans une tuyauterie cn déplacement est de considérer le couplé, décrit par (14.22), en éliminant Je terme de compressibilîté:

14.6.5.

Exercices

E.tercice J. Culmler les fréquences de rêSOlUl1Ice d'un système il 2 degrés de liberté constitué par deux tubes fermés indéformables de masse négligeable, liés par des ressorts et contenant un fluide incompressible tel que l'indique lu figure:

..z Figure 14.37.

346

INTERAcrroN FLUiDE-STRUcrURE

(on négligera les effets tridimensionnels au niveau des changements de section dans le fluide}. Soit Xl le mouvement du cylindre externe ct x 2 celui du cylindre interne; PI et Pl la pression aux extrémités du cylindre extérieur, P3 et Pol la pression aux extrémités du cylindre Înterne. Equations du mouvement des cylindres, compte tenu de l'inertie du fluide interne au petit cylindre: (Pl - Pl) S - k. XI + k 2 (X 2 - Xl) 0 { (P3 - Pol) s - k 1 (X2 - XI) = 2 p ,sIX;. Equations pour le fluide intermédiaire divisé en 3 tronçons: • tronçon de section S :

(P;l-PI)+P,(L-l).t 1

0

• tronçon de section S - s :

• tronçon de section S :

(P2 - P4) + p ,(L - 1) XI

0

En éliminant les pressions on trouve:

1

2PIS~::;:XJ

0

2p/sll_sjs+k2(x2

xI)=O

On trouve un premier mode d'ensemble (XI = x 2 ) où seul le ressort k l travnîlle et de masse généralisée, la masse totale du fluide. Ceci est un résultat général dû au fait que la structure interne noyée dans le fluide n'a pas de masse. La pulsntion de ,';sonnnee est: "',

=

Ji P:'SL .

Le deuxième mode est un mouvement du cylindre interne La pulsation de résonance est:

W

2

(Xl

0).

k2 2pf'dj(1-sjS) .

La masse ajoutée du fluide est d'autant plus grande que les sections S et s sont voisines (effet de confinement).

Exercice 2: Soit un tube très long, de longueur 2 L ct de section S contenant un fluide incompressible de masse volumique PI' Il communique en son milieu avec une grande cavité par l'intermédiaire d'un petit tube de longueur 1 et de section s, également rempli de fluide. Le cylindre est limité à chacune de ses clitrémités par un piston mobile sans

("') Le terme d'inertÎc est calculé en déduisant la vitesse v du fluide dans le 2c tronçon de la conservation des débits entre les 1er et 2c tronçons: (S - s) v SiJ - si;!_

PETITS MOUVEMENTS D'UNE STRUcrURE EN PRÉSENCE D'UN FLUIDE

347

frottement et sans masse. Un ressort de raideur k exerce sur chaque piston une force de rappel proportionnelle ù son déplacement (voir figure 14.38).

Grande cavité

__-_ --_-_ - ___

~""'W"'lI'l"\t"",IIS=--_--

L

L Figure 14.38.

En négligeant les effets tridimensionnels de fluide au voisinage des extrémités du pelit tube et en considérant une condition de fluctuation de pression nulle au niveau de la grande cavité, déterminer les' fréquences et modes propres des petits mouvements du système autour de sa position d'équilibre.

Réponse: -

mode

«

pistons en opposition de phase)} :

-

mode

«

pistons en phase )) :

Exercice 3: Soit un tube de section S et de longueur 2 L contenant un fluide compressible (vitesse du son c) de masse volumique P f'

z

l

s

p.:::O

1.

.1.

\s

L

._-.....1:

1

Figure 14.39. Ce tube est ouvert aux deux extrémités (condi!ion de fluctuation de pression nulle). En son milieu, on adapte un tube très court de sectÎon s dans lequel se déplace un piston snns masse fixé par l'intermédiaire d'un ressort de raideur k. - Effectuer Je calcul des modes propres acoustiques de ce dispositif (fréquences de résonance et déformées modales) de deux façons différentes (cn

348

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

supposant uniquement un régime d'ondes planes dans le tube) : 1) Directement, en utilisant Ics matrices de transfcrt acoustique ,des tubes. 2) En utilisant la base des modes propres du tube seul ouvert llUX deux extrémités; PrIez)

= sin ~~ z; on écrira en particulier les équations liant les

composantes an sur les Pn de III pression dllns le tube cngendrée par une discontinuité q du débit acoustique localisée llU milieu du tube.

Remarque: Par la prcmière méthode, les fréquences propres seront données par une équlltion transcendante. Par la deuxième méthode, on obtiendra une équation llyant la forme d'une série infinie. On étudiera le premier mode propre en particulier dans le cas où l'on peuL considérer que le fluide est très peu compressible. Répollse: Le système étant symétrique on a deux familles de modes. - Les modes pairs (ou antisymétriques en pression). Ces modes sont tels que la pression au nivellu du piston est nulle, ainsi que son mouvement. Ce sont donc les modes du tuyau ouvert aux deux extrémités:

p7T L

- Les modes impairs (ou symétriques cn pression). Ces modcs sont tels que ln pression au nivcllu du piston n'cst pas nulle. 1) Leur pulsation propre est donnée par la relation: wL wL 2kSL -tg-=-c c p fC'!. s~

Si w L c

.:g

1 la 1re pulsatÎon propre cst :

ùJ

1

=

J~ m

avec

p fsL s m=~S

qui représente la mûsse ajoutée due au nuide. 2) Cette question se rapproche des exercices du chapitre 9. Equation donnant les pulsations propres des modes impairs:

~ (2p Si fi

.:g

avec

1 la l'c pulsation propre est donnée par: Fl

kSL

_

L 1/(2p -1 f

Pf

p

J~m

. . 1a O n retrouve amsi

2 wL 'fT

HI-

d'où:

fi

Vil

~)vec

m

--:r-

l eur prece ' 'd ente: P f sL S s.

C

CHAPITRE 15

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERV ATIFS (FLUIDE SANS ÉCOULEMENT)

Comme tous les systèmes vibratoires, les systèmes couplés fluide-structure réels ne sont pas conservatifs. Dans la plupart des cas, ces effets non conservatifs sont faibles. Comme nous l'avons vu dans la première partie, on peut alors utiliser la base des modes propres du système conservatif associé pour projeter les efforts non conservatifs el déduire ainsi des amortissements modaux. Dans ce chapitre, nous étudierons les effets 11011 cOflsenJatijs dlls au fiuide, et ceci dans le cas où le fluide est sans écou/emelll. La dissipation d'énergie peut alors venir: - soit d'une dissipation des ondes à l'infini pour les systèmes en milieu fluide «ouvert» ; - soit des effets de viscosité ; - soit, enfin, si l'amplitude des mouvements est suffisamment grande, d'une dissipation par génération de turbulence. Le cas où le fluide est ell éCOilleme1ll sera traité au chapitre suivant: La formulation est alors plus complexe et traduit les échanges d'énergie entre le système vibrant et l'écoulement qui joue le rôle d'un réservoir d'énergie. Le système peut alors être soit dissipatif, soil instable.

15.1.

AMORTISSEMENT DÛ À LA DISSIPATION DES ONDES

A L'INFINI

Le système fluide-structure est caractérisé par les mêmes équations qu'au chapitre précédent. L'aspect non conservatif du système se traduit par une condition de « non retour des ondes )1 à l'infini. Nous examinons ici deux types d'onde: - les ondes acoustiques liées à la cornpressibilité du milieu fluide; - les ondes associées à une surface libre en présence de pesanteur (on considère alors que le fluide est incompressible, cf. paragraphe 13.5).

350

15.1.1.

INTERACTION FLUIDE-STRUCTU RE

Dissipation des ondes acoustiques

Comme nous l'avons vu au chapitre 13, la solution élémentaire singulière dans l'espace à trois dimensions est du type: .... iwr

e-

C

p(r) = r

pour un milieu acoustique homogène en

«

ondes entretenues» (pulsation w).

Mo (singularité) Figure 15.1. iwr

La solution

e

C

r

correspond à des ondes divergentes et réalise donc la

condition de non-retour à l'infini. D'une façon générale, pour un problème mono-bi ou tridimensionnel, la solution à l'infini, c'est-à-dire loin de la structure vibrante (distance r grande) devra être de la forme (en coordonnées sphériques) : illlr

p(r,B,cp)

f(r)e

g(B,cp)

C

(Les fonctions f (r) et g (B, cp) dépendant de la nature mono-bi-tridimensionnelle du problème et du mode vibration de la structure). Nous allons illustrer ceci par un exemple bidimensionnel: a) Dissipation à [,inJlll; pour une coque cylindrique vibrante

Considérons, comme au chapitre précédent, une coque cylindrique circulaire de rayon R couplée à un fluide dont nous négligerons les mouvements longitudinaux. Ses mouvements propres normaux à sa surface sont de la forme cos nO ou sin nO. Ici, nous considérons un milieu fluide compressible infini baignant la face externe de la coque. La solution de l'équation des ondes entretenues: Âp + ( ; ) 2 P = 0 en coordonnées polaires bidimensionnelles est de la forme: p(r, B)

[ AJ" ( :r ) + BYn

(

:r )

J cos n8

(ln et Y/J étant les fonctions de Bessel d'ordre n de première et deuxième espèce).

351

SYSTÈMES FLUlDE-STRUcrURE NON CONSERV ATIFS

M x

Fluide Figure 15,1.

Asymptotiquement p(r, 0) est de la forme:

~

-? -wr

[A 'B e -

1

-i{ll+ 1/2)17/1

~ _lUIT] A + lB -i(n ... ll:!)17/~ c 0 +-- e e cos Il 2 (

i"'r.

e

c

1r-

e

Pour respecter la condition de non·retour fi l'infini, on doit avoir: A =iB ==> p

(r, 8) = A

[J

n (

:r )

-iY

n (

:r ) ] cos nO

Pour résoudre complètement le problème, écrivons la condition aux limites à la parai de la coque: ) ( -ap an

Wc r

A

R

[J

n' (

wcR)

-1'Y'n

( -c wR ) ] cos 118

= Pf

w ")- cos n8

qui nous donne A, d'où la solution:

Jn ( p (r, 8 ) = P f c w

J~ (

:r )_ :r ) :r )_ ~ :r ) iV /1

(

cos Il 0

(15.1)

iY (

La force généralisée exercée par le fluide sur la coque pour le made cos 110 est (pour une longueur arbitraire L de la coque) : Fn =

J211" p(r, 8) cos nORL dO ()

J,,(~)-iYII(~) ==> Fn = - -rrp fcwRL J' ( wR ) _'V' ( wR ) /1

C

1

/1

C

352

INTERACfION FLUIDE-STRUCfURE

Fn a une partie réelle qui correspond à un terme conselVatif et une partie imaginaire qui correspond à un terme dissipatif. • wR . ord re 1es D ans 1e cas f'requent ou. : - ~ 1 ,on peut d'eve 1opper au premter

c

deux termes:

Fnr est alors une force inertielle~ la masse associée correspond à la masse ajoutée due au tluide (cf. 14.3.2) : m

= 7rII Pf R"- L

1

De l'expression de Flli' on peut déduire un amortissement. S;, par exemple, la masse de la coque peut être négligée devant m'et si l'on considère un mode du système coque-fluide de pulsation wo. l'amortissement modal associé sera:

- Fni(w(}) 2 m' Wo w

1J7r ') (

(Il!)-

nR ) 2c

W

2n

(15.2)

L'amortissement d'une structure par rayonnement acoustique croît avec la fréquence et devient réel1ement important quand les longueurs d'onde des fluctuations approchent l'ordre de grandeur des dimensions de la structure. Il décroît rapidement avec l'ordre Il du mode.

Exemple: Pour une structure immergée dans l'eau de 10 m de diamètre, on aura un amortissement par rayonnement de 10- 2 pour une fréquence de 4 Hz en mode Il = 1. b) Cas particulier des ondes planes Dans une tuyauterie parcourue par des ondes planes, la condition de nonréOexion à gauche impose qu'il n'y a pas d'onde venant de la gauche; d'où (en ondes entretenues) la solution: iwz

p(z)=e

C

z

I5

----tIII>-

Figure 15.3.

SYSTÈMES FLUIDE-STRUcrURE NON CONSERVATJFS

353

Cette solution correspond à une impédance adimensionnelle : p(z)

(q étant le débit masse acoustique)

ie ( ) --qz

s

_ ~ p(z) => - c àp (z)

g= _ i

iJZ

(De même, la non-réflexion à droite conduit à g = i). Cette impédance est dite « impédance itérative }). Dans la pratique, il n'existe pas de tuyauterie de longueur infinie et il y a généralement une réflexion partielle à une extrémité. L'impédance associée est alors un nombre complexe dont Ja partie imaginaire correspond à un phénomène non conselVatif engendrant u~n amortissement des résonances du système acoustique ou du système couplé fluide-structure.

t

t

Ç"

~2 Figure 15.4.

Considérons ainsi le fluide interne à un tuyau droit de longueur L, comportant deux impédances g1 et Ç-:. à ses extrémités, que l'on suppose imaginaires, puis on pose:

F' l

=

Ç2 =

~'k,

= - tg" 1

lk).

= tg

Les fréquences complexes de résonance données par: sin

k l et k 2 réels> 0 .

ex '1

(ilcL _

ll' 1 -

n

Il

de ce système acoustique sont

ex.,) = 0 -

Il

ex 1 +

Ci

2

entier

est un nombre complexe. al

Etudions l'évolution de : a

ou en fonction de k =

Jll'2

354

TNTERACfION FLUIDE-STRUCTURE

Si nous posons: a = À

À

(À et ft réels) .

+ift

et ft varient en fonction de k de la façon suivante;

~=11/2)Logl(1+k)/('-kll

n/2

o

o

k

1

J Impedance

Nœud de débit

Nœud de

k

itéri:ltive

Figure 15.5.

- Si le <: 1, la condition aux limites est un nœud de pression (À 0 ). - Si le:::> 1 ~ la condition aux limites est un nœud de débit (À 'fT /2). Ceci correspond à la partie « conservative »). Du point de vue des termes d'amortissement proprement dits, on observe un maximum pour k 1 (ft = co) qui correspond à l'impédance itérative. Les fréquences complexes n n sont données par:

Les amortissements modaux sont donnés par:

c'est-il-dire : Si À 1 Àl

0 ou

À1

= À 2 = 7T /2 (système en demi-onde) :

en =

avec Si

Il

entier

~

= 0,

À1

À 1

7T

/2 ou l'inverse (système en quart d'onde) :

= Il

Il

entier

1

l.

E

avec

1 1 (1 + k})(l + k l ) --Log 2 !l'fT (1 - k l )(1 - k l )

1.

1 (2 Il

-

1)

Log 7T

1

(1 + ",)(1 + k.;.) (1 - k, -

1

355

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERV ATIFS

En particulier pour k l et k z ~ 1, on aura:

7l1T

Exemple: Atténllation d'une onde plane, due à la dispersioll au IIh'ealt dit débouché dans U1le gra/lde capacité. Soit une tuyauterie de section S débouchant dans une grande cavité simulée par un espace fluide semi-infini.

~##/#ffffu/Î

Grande cavité

M~ 1 1

Tuyau. terie

-+

n

Figure 15.6.

On suppose que la propagation sc fait en ondes planes dans la tuyauterie:

(si d est le diamètre de la tuyauterie). Au paragraphe 13.4.4, nous avons décrit une méthode (s'appuyant sur l'utilisation de la formulation intégmle en incompressible) qui, appliquée au présent problème, permet de déterminer une impédance d'entrée pour les ondes planes entretenues, au niveau du débouché dans la cavité;

iwq p~ = - 211" t

(ï) r -

avec

=

(

~

)

= 3

3~d

(P. ct q~ étant la pression moyenne ct le débit masse Il l'entrée du tuyau). Cc qui correspond à une impédance adimensionnelle :

4 wd

Cette impédance réelle correspond à un effet conservatif (inertie) faible par rapport à l'effet du reste du circuit (ç <-% 1). En réalité, € est complexe et sa partie imaginaire correspond à la dissipation des ondes dans le milieu semi-infini. Nous allons estÎmer cette partie imaginaire dans l'hypothèse wd

c


1 ct en

utilisant la formulation intégrale compressible, appliquée au demi-espace (correspondant à la grande cavité).

356

iNTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

La pression en un point M de la section (S) de contact entre la tuyauterie ct ln cavité s'exprime par: irur

2 1Tp(M) =

C-

f

c

grad p. n d.!p

-(5) r

Figure 15.7.

grad p . n est relié au déplacement X f du fluide par: grad p . n = P f

W !

Xf • n

que l'on peut supposer constant dans la sectÎon (S), on grad p . n

Îw

=-

li

alors:

qe

ct:

f ::;--5 qe

-~

iw

p(M)

- 1T

c

c

r

(S)

En moyennant sur (S), on obtÎent :

iw

q c

Jf (5)

lwr

_e c ........... d.!p r

(5)

d'où l'împédance :

En développant au deuxième ordre cn

g = -w21TSC

[f f (S)

(5)

!!!!., c

on a :

-1 dT' -M d'" -J'- -Îw r

'e

f f ($)

d'" '" p ] - M d .... (S)

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

357

a) Si l'on considère les modes acoustiques d'une tuyauterie, de longueur L, ouverte aux deux extrémités sur une grande cavité, les amortissements modaux associés du rail du rayonnemenl sont:

ên

1

( w; d )

1

wnL

avec

1l7!"

liTt C

En

==>

";

Par exemple, pour le premier mode

(

~

)

1)

(11

(15.3)

!

El

=

10- 2 si d/L

0.11. Ceci

illustre le fait que, pour les systèmes où les modes purement acoustiques sont importants (en général, les systèmes en gaz) une" sortÎe atmosphérique» a un rôle non négligeable sur les amortissements. b) Si J'on considère un système couplé cau-structure constitué par un tube coudé, connecté il deux cavités par l'intermédiaire de soufflets dc nlideur faible devant celle de la tuyauterie, on peut déterminer l'amortissement introduit par le rayonnement acouslique aux extrémités sur le premier mode du système. Comme nous l'avons vu au paragraphe 14.5.3 on peut considérer que la tuyauterie est indérormable ct se translate par exemple scion son axe de symétrie Oy (cr. figure 15.8). De plus, on supposera pour le calcul des termes c:onservatifs

que l'effet inertiel du fluide est prédominant ( wcL

~ 1)

.

On utilise la même démarche qu'en 14.5.3.

Figure 15.8. L'effort F, dû fi la composante transversale aux parties droites du tuyau est:

La discontinuité du débit dans le coude est: Aq =

'j

-

p ~S sin J

'::iwY 1.

Un calcul acoustique de la tuyauterie avec: -

une impédance d'entrée:

4

3

Tf

W(J

c

358

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

à;

g, conduit à une pression dans le coude égale

ct une impédance de sortie -

( avec

L

La force Fe exercée sur le coude cst :

Fe = 2 Sp(L) sin ~ j . ~ cr [ =2pfSwcsm-2

WL i -c--g

( wcd )

2J

Yj

La (oree exercée par le fluide sur ln structure est donc:

----

~

.............

Inertie

Amortissement

Si l'on suppose que l'inertie due au fluide est grande devant celle duc à la structure, l'amortissement modal du premier mode du système (dont la pulsation propre est:

avec k = raideur des soufflets) est alors: cS [ . ,cr ] ( Wo d ) 2

Pf4

e=

Si: L

sm-

-c-

2

----:---=:;---'----'--

4 P fSLwn

1 m, d = 0,2 m.

Jo =

Wo

d 16 L

= 10 Hz,

'1f'

w(J

(

d) . , cr

--

C

SIO--

2

c = 1 000 mis ct cr

1T

2

on

obtient: E

= 1,5

X

10- 4

•

Ceci illustre le rail que cette cause d'amortissement est très faible pour les systèmes fluide dense-structure à basse fréquence.

15.1.2.

Dissipation des ondes de surface libre

Une structure vibrante en présence d'un milieu fluide semi-infini incompressible et pesant subit une dissipation de son énergie si elle est située au voisinage de la surface libre. La non-réflexion à l'infinÎ des ondes de surface libre que nous avons mis en évidence au paragraphe 13.5 est responsable de ce phénomène.

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERV ATIFS

359

Nous allons illustrer cela par deux exemples simples: a) Réservoir semî-in.fini à paroi latérale vibrante Considérons un réservoir se mi-infini de profondeur H (z 0 fond fixe, z = H surface libre). En x = 0, la paroi latérale est animée d'un mouvement harmonique de translation d'amplitude X et de pulsation w. Le mouvement du fluide est supposé se faire dans le plan xOz.

Surface Ubre

z

l

--~-X - ---~---- -- ---- --- Fond o - ~/»77iij;;;;;;);ij;/ .. H

1-

)(

Figure 15.9.

Nous avons:

avec les conditions aux limites: -

en x= 0

-

en z= 0

-

en z= H

(g

ap Bx

ap

az

2

= Pf w X

=0 ")

ap

w·

-p

az

g

= accélération de la pesanteur). II faut écrire de plus la condition de non-réflexion des ondes pour

x -+

00.

Nous allons considérer la famille des fonctions propres PJ1(z) du problème en

z:

avec:

1apaz BP Bz

en

= 0

=

z=o

2

w P

g

en z=H

360

INTERAcrION FLUIDE-STRUcrURE

Si k est réel, on trouve:

avec:

"n H tg k

l,

1 H = -

Jo

(15.4)

Il Y a une infinité de valeurs de k satisfaisant à cette équation, nous les notons k n par ordre de module croissant (Il = 1 à 1'(0), sachant que si /cn est solution est également solution. Si k est imaginaire, on trouve pour solution iko (avec ko réel) :

- "n

et :

1 k{)H th koH = Jo

(15.4bis)

On peut alors utiliser la base orthogonale des PI/(Z) (Il = 0 à 1'(0) pour résoudre le problème bidimensionnel. On posera : p(X. z) =

L PlI (x) PI/(z) n~O

Les PrI(x) vérifiant alors;

avec:

Ce qui donne: - pour 11 = 0, la condition de non-réflexion à l'infini oblige à ne conserver que la solution e - ikoX :

361

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERV ATJFS

-

pour

Il

::p 0, on ne conserve que la solution bornée à l'infini e - k n x Pfw

2

Xa n

----e kil

:

_k x Il

cos k z + 1. -ail e "~)

ik x Il

ch k z

1

0

En particulier, la force exercée par le fluide sur la paroi est: II

I

F= -

p(O, Z)dz

()

(15.5)

La figure 15.10 montre l'évolution de la partie réelle a et imaginaire

J3 du coefficient : F

en fonction de !F .

a correspond à la partie conservative de l'effet de fluide sur la structure,

f3 à la partie dissipative. On remarque en particulier que: -

Si !F

~

1:

kn H =

7T

(2

Il

1)

1 knH=!F 16

a = =>

Len

7l'3/1., 1

1J3 = 2 :P-

l

(2n-l

= 0,53

la partie conservative de F correspond à un effet de masse ajoutée, caractérisée par le coefficient lX qui peut être calculé en imposant p = 0 sur la surface libre. La partie dissipative est petite: J3 ~ 1.

362

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

Figure 15.10.

363

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERV ATIFS

-

Si

[F ;po 1 : ]

n7r - - [F1I7r

koH

=:

l

Dans ce cas, le comportement est singulier car la condition de surface libre pour [f;po 1 est voisine de celle d'un nœud de débit, le fluide se trouve donc confiné entre deux surfaces horizontales quasi fixes. b) Cylindre de rayon R en translation dans un réservoir infini de profondeur H

,

2

Surface libre

HI---...,.-----J~----

o R Figure 15.11.

On utilise la même méthode qu'en a). On trouve pour expression de exercée par le fluide sur le cylindre: F

" ) , [a:> - 2 1Tp f H- Rw - X

I:

fi

= 1

)a

force

2

sin (k n H) KI (k n R) (Sin (2 k H) ) (k H)3 1 + Il KI (k R) li 2k"H 1 /1 sh:! (ko H) HI (ko R)

.

+l----------~~~~~-------

(ieoH)

3 (

]

(15.6)

sh (2ko H») 1+ 2k"H Hj(k(}R)

KI étant la fonction de Bessel modifiée de deuxième espèce (d'ordre 1), Hl la fonction de Hankel de deuxième espèce (d'ordre 1). Si :F ;po 1 ; F a -i{3 = (1 -i7r /:F) H R

364

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

~----~---.-----.----.-----.-----.-----.----.,----.-----.-----.----,

N ~

-

Cl

: r: N 3

:c

L -__

~

~

____- L_ _ _ _

W

~

____

~

ro

____

~

____

~

__

~L-

__

~

~

____

~

0 0 0

"w

-= Figure 15.12.

~

____

~

N 0

____

~

____

~

'1

~

365

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATTFS

r1=

C'l

3

......

......

"-

" ,, \

\

\

~----~------~------~----~------~------~----~----~

o

rigurc 15.]3.

ï~

..-

366 Si

JNTERACfION FLUlDE-STRUCfURE [f ~

1:

Les figures 15.12 et 15.13 montrent l'évolution de a et (3 en fonction de

:F pour différentes valeurs du rapport RIB. c) Awre exemple Cylindre horizontal en translation perpendicuJaîre à son axe plongé dans un fluide pesant avec surface libre. Les abaques 15.15 montrent J'évolution de la force exercée par le fluide sur le cylindre en fonction de:

(d

diamètre du cylindre)

Surface libre

1

Figure 15.14.

Pour différentes valeurs du rapport

Lld ct "Id

(L = longueur du cylindre,

Ir = hauteur d'immersion moyenne). Les résultats sont obtenus il l'aide d'un programme de calcul par ordinateur (cf. réf. [12]).

367

SYSTÈMES FLUJDE-STRUcrURE NON CONSERV ATIFS

Sur f ace libre

Partie réelle

de À 1,4

h/d --3/4 ---1

.. ·······2 Partie imaginaire

L Id:2,5

de À

0,6

0,6

",.."".""""""-------. ....... /

0,2 L Id=5

~

."

./

...........

~"

,. ....

11

...

4

."JJJ .... " """"."

0,8 0,6

0,4 L Id=10

".

0,6

0,2

.~

0,2

,/

./

/----- --

........ .

........

0,6

Fig. 15.15. Excitation harmonique (pulsation w) d'un cylindre horizontal indéformable plongé dans un fluide pesant uvee surface libre. - Evolution du rnpport entre la force F exercée par le nuîdc sur le cylindre et de la force d'inertie associée au mouvement vertical Z du cylindre: A = _----,F:-·_ _

Lw 2 Z

en fonction du nombre :F =

+. w-d

368

1NTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

15.2. AMORTISSEMENT DÛ A LA VISCOSITÉ 15.2.1.

Loi de comportement d'un fluide visqueux

La relation s'écrit:

«

contrainte-déformation» d'un fluide visqueux et compressible,

tf = P 1 c~ (} l '] + 2 IL (

-

~ Û1 1)

tJ f étant la trace du tenseur des déformations El (() 1 = div xI) ;

(15.7)

Tle tenseur unité,

xI le champ des déplacements dans le fluide.

Le terme P f c 2 0 f

T est

le terme de compressibilité (cf. Chap. 13). Par

définition, on appelle pression {( hydrostatique 2

(

iff

- l il 1

(15.8)

- PI c 0 1

p

Le terme 2 IL

» :

1) est le terme de viscosité obtenu en écrivant

qu'il n'y a pas d'effet de viscosité pour les mouvements de dilatation. Ce terme est bien entendu proportionnel aux vitesses de déformation. J.L s'appelle le coefficient de viscosité dynamique. 15.2.2. Equations des petits mouvements d'un fluide visqueux L'équation des petits mouvements tridimensionnels est, comme nous l'avons vu dans la première partie du cours: PI

xf -

::;>

PI xI + grad p

2 J.L ( div

2 div

.::1 2 XI

div Π= 0

(en l'absence de force extérieure) -

j grad div xI )

0

or :

+ grad div xI

d'où l'équation d'équilibre:

Plx/+gradp

IL (

x/+lgraddiv

XI)

o (15.9)

2

P :::: - P 1 c div x f

Cas particulier d'un fluide incompressible (c = P 1 xI + grad P div xI 0

IL .1 2

00 ) :

xI = 0

(15.10)

369

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

15.2.3.

Vibrations d'une structure en présence de Ouide visqueux

n) On écrit les équations d'équilibre dynamique de la structure compte tenu des efforts à la paroi exercés sur elle par le fluide:

F /unité de surface (n

-

an

= normal extérieure au domaine fluide) = pn

2 Ji [

n-

~

(div xf ) n ]

Par exemple, pour des mouvements plans d'un fluide incompressible, les composantes normales et tangentielles de la force par unité de surface exercée par le fluide sur la paroi sont:

('~f ]

f,

(15.11)

-FlWde-

Figure 15.16.

(x,JI et (.i t ) , étant les composantes normale et tangentielle de la vitesse à la paroi, R est le rayon de courbure de la paroi (R :> 0 avec ta même convention que dans les chapitres précédents). b) On écrit les équations du fluide (15.10) en imposant à la paroi le déplacement de la structure:

15.2.4.

Exemple: amortissement de deux plaques vibrantes séparées p11r une lame fluide visqueuse

Soient deux plaques planes indéfinies vibrant harmoniquement (pulsation w) en flexÎon, en opposition de phase l'une par rapport à l'autre, selon une déformée du type XI! cos Àz/e.

370

INTERAcrroN FLUIDE-STRUcrURE

~y - - 0- - - -e -

-

-

Fluide

-

-

- -

-e

-

--

z

-

Figure 15.17.

Les deux plaques sont séparées par une lame de fluide visqueux incompressible d'épaisseur 2 e. a) Résolvons l'équation du mouvement du fluide:

-. p 1 w XI + grad p - ip. w ..1 1 XI = o. 2

2

XI

=

°

(15.12)

dIV

En posant, pour les composantes parallèle et perpendiculaire aux plaques de XI: X {li(Y) sin (Azle) 1 vey) cos (Azle)

et pour la pression p = P Iq(y)cos (Azle).

Figure 15.18.

Le système (15.12) devient:

A dv -ll+-=O e

dy

~ )'J ::~ ~ q ~ 0 A) 2J V - ddlv ] + dq iw [ [iw + v ( ~ dy = 0 iw [ [iw

H

(

U -

l'

]

-

2

II

avec les conditions aux limites:

li: 0, { li - 0,

v:

V -

Xu - Xo

en y= e en y = - e

(15.13)

371

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

En éliminant u et q dans le système (15.13), on obtient:

iw [d2~ JI

dy-

( ~e ):1. v]

= O.

(15.14)

Compte tenu de la structure des conditions aux limites. on recherche les solutions antisymétriques pour v(y) de la forme:

v(y)=Ash

il!

À

y+Bsh-y e

e

avec: (15.15)

Les conditions en y = e, s'écrivent:

v

Xo

0

dv

1 dy => {A sh À

À A ch

+ B sh œ - X o = 0 À + il! B ch il! = 0

dont on déduit A et B. Finalement, on

il :

_ X il! ch œ sh (À y / e) - À ch À sh (œ y / e) v ( y) o-----il!--sh~À~c~h-il!~--À-c-h--À-s~h-œ~~-

D'après la deuxième équation du système (15.13) : 2

q(e) = q(- e)

À -

œ JI X o (

.

:!

œ -

= -lw 2 w Xo e =---

À

3

. -., ve ( d 3v =lw

)

dy

À 2)

y

=l!

ch il! ch À il! sh À ch œ À ch À sh œ

œ œ th À - À th il!

b) Calculons la force généralisée (par ullité de surface), exercée par le fluide sur les plaques dans leur mouvement de flexion

Le déplacement tangentiel des plaques étant nul nous avons: F~

À

-2-

Tfe

J.2 0

'!'Il!/À

[f" (e, z ) + f n ( - e, z ) Jcos

À Z/

e dZ

372

INTERACfrON FLUIDE-STRUCfURE

D'après 15.11 : F.!

A = -27re

1

A

27ft /

P f[q(e) + q(- e)] cos'!. Azje dz

0

iWAI2T1e/A[(dV) -

- 2 J.L - 2 7re

dy

0

=Pfq(e)-2iwJ.L

e

+

(dV) ] cos-'} À zj e d z dy_(

(~~)e =Pfq(e) ajÀ

'J

F.! = Pfew-Xo----=------Ci th A - À th Ci

(15.16)

Du fait du paramètre complexe a, F! comporte une partie réelle et une partie imaginaire, correspondant à une force en phase et une force en quadrature de phase avec le mouvement. Leur expression en fonction de west compliquée. c) Examinons le cas où la lame n'est pas trop mince

C'est-à-dire:

On suppose cependant que la longueur d'onde du mouvement vibratoire des plaques est grande par rapport à l'épaisseur de la lame: À c:::g

1

On a alors:

et :

d'où: Partie réelle Partie imaginaire

1 (F.!),

e

-- - Pf w2X À o

2

représente la masse ajoutée par unité de surface caractérisant

J'effet inertiel du fluide.

373

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

(F!)i est caractéristique de l'effet dissipntif lié à la viscosité du fluide. Ce tenue est petit devant le terme précédent:

~ «Ë l représente un nombre de Stokes associé à la lame visqueuse.

weRemarquons que l'expression de (F;!;)i n'est pas proportionnelle à la pulsation w, donc que l'effet du fluide visqueux sur la plaque n'est pas proportionnel à la vitesse du mouvement de la plaque. Considérons maintenant un mode de résonance du système couplé fluideplaques dont la déformée correspond à celle considérée précédemment. Supposons en outre que l'effet d'inertie du fluide est prépondérant dans le calcul de la masse généralisée de ce mode. Soit Wo la pulsation de résonance, l'effet de viscosité du fluide conduit à un amortissement caractérisé par le facleur réduit:

(13.17)

Application Ilumenque: Lame d'eau (l' fréquence de résonance: 10 Hz. => EO =

1,8

X

=

10- 6 m:/s) d'épaisseur 5 mm,

10- 2

Remarque générale: Les résultats précédents obtenus dans le cas particulier d'une lame mince plane d'épaisseur uniforme se généralisent au cas d'une lame de forme quelconque et d'épaisseur variable. ;

Les hypothèses we- ~ 1 et

À «Ë

1 permettent en effet de considérer, au premier

)1

ordre, que les déplacements se font essentiellement dans le plan de la lame el sont de la forme :

avec:

Figure 15.19.

374

INTERACfION FLUIDE-STRUCfURE

Xf étant un vecteur du plan de la lame, fonction des coordonnées curvilignes et S2 d'un point M(s}. $2' y) ; 0: et e étant fonction de sJ et S2' Le déplacement moyen de la lame est alors:

SI

Xr(Sl' 52) = X r (5}, S2) ( 1 -.; th

0: )

= X(5 1 • S2) ( 1 -.; )

En intégrant les êquatîons (15.12) transformées par Fourier sur un petit élément de lame incluant une surface 88 de paroi, il vient:

Parois ~"'V/J~ AS Figure 15.20.

d'où l'on tire: - Pr

w

2

2 e 8S ir(Sl' S2)

+ 2 e 8S grad fi

-ilJ)JL [ ( aXf(Sl' S2' y) )

ay

_ ( aXr(SI' 52'

éJy

y =e

_~]

y»)

8S

=

0

y.

div [2 e Xf(sp S2)] 88 + li 88 = 0 en négligeant les effets de viscosité dus aux gradients de vitesse dans les directions et S2 devant ceux de la direction normale et en supposant que p est quasi constante (P) dans l'épaisseur de la lame (hypothèse À ~ 1). li représente la petite variation d'épaisseur de la lame due aux mouvements normaux des parois. Le système devient :

S1

j

P f w:2 X f ( 1 -

2 div [ e ( 1 -

~

! )+

grad p +iw JL

~ XI o

) X f ] + li = 0 .

ou en éliminant X,: div [ ( 1

-J +

1) e grad p ;-

2

P, w li = 0 -2-

(15.18)

375

SYSTÈMES FLUrDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

L'effort exercé sur une paroi par unité de surface se déduit des équations (15.11) :

fn= P -

li.

2 ôe P - p[ w --1 = P

IL -Iw =

e

0:

':"grndp = 0 a

avec les mêmes hypothèses simplificatrices. Si J'on considère, par exemple. le cas particulier où e est constant (donc a)t l'équation en fi devient:

L'effet d'inertie dû à la lame est calculé à partîr de : t:.j5 + l'

P, w

1

li = O. Soit

ma la masse ajoutée généralisée caractérisant cet effet pour un mode propre donné du système structure-lame fluide. La force généralisée pour le fluide non visqueux sur la structure est alors: Fn~ ma X, pour un déplacement modal d'amplitude X. De même la force généralisée exercée par le fluide supposé visqueux est :

w5

La partie imaginaire de FI1 changée de signe correspond à un effet d'amortissement. L'amortissement modal associé est donné par: 2t(m

avec m

+ma)w~= -maw~Jm( ~

)

masse généralisée de la structure

(15.19)

d) Cas d'une lame très mince ..,

~<Si 1 JI

2 ew )(O =>l a l<Sil=>F.r=p,--..,À-

.

F.r

ew :! XI) 3

JI

3 '!

3 IL .

- IP f - - , - - , = - -.,À-

we-

..,

a--À-

À -

e

lWX o

(d'après (15.16»

376

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

La force exercée par le fluide, proportionnelle à la vitesse des plaques, est due essentiellement à la viscosité. Remarque: On peut retrouver directement ce résultat à partir de l'équation de Reynold,s utilisée pour les calculs des paliers fluides de machines tournantes (cL § 16.6).

Les hypothèses utilisées pour tirer cette équation des équations de Na"éer~ Stokes sont que les forces d'inertie sont négligeables devant les forces de viscosité et que l'écoulement est laminaire dans le film fluide (profil parabolique). Cette équation s'écrit, pour un fluide au repos à l'état d'équilibre:

e3 grad jï ) div ( -;

3 .

-l)

2

dans le plan développé du film fluide. jj représente la vitesse de variation de l'épaisseur du film, p la pression moyenne fluctuante dans le film. Dans notre cas, l'équation devient: ~e- = 3'lW X 0 - À --p

IL

(15.20)

15.3. 15.3.1.

AMORTISSEMENT PAR TURBULENCE Généralités

Les équations écrites précédemment ne sont valables que pour les petits mouvements d'un fluide par rapport au repos. Lorsque l'amplitude de la vibration des parois devient importante, l'hypothèse des petits mouvements n'est plus applicable, l'écoulement fluide qui en résulte est régi par les équations de Navier-Stokes où interviennent des termes d'entraînement non linéaires proportionnels au carré de la vitesse d'écoulement. On sait que les efforts exercés par de tels écoulements sur les parois peuvent être caractérisés, en régime permanent par des coefficients de traînée C f{)nction d'un nombre de Reynolds. Ainsi, pour un obstacle dans un écoulement' parallèle de vitesse V (ou pour un corps indéformable en translation uniforme), on a:

Pour les ReYllolds suffisamment grands, l'écoulement est turbulent et C x dépend assez peu de R(.

377

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

Ecoulement --0--

Dl Figure 15.21.

L'application de cette notion de coefficient de traînée à un corps déformable ou non, animé d'un mouvement vibratoire de forte amplitude n'est pas évidente, puisque J'écoulement engendré par la vibration n'est pas permanent. Tout ce que l'on peut dire, a priori, est que les forces exercées par le fluide sont une fonction compliquée de la vÎtesse de l'écoulement et donc de celle des parois et que seule une résolution (très complexe) des équations de Navier~Stokes couplées aux mouvements des structures peut donner une réponse. D'autre part, les données expérimentales sont dans ce domaine assez rares. Cependant, on peut penser que dans certaines conditions, l'hypothèse ~< quasipermanente » pourra être appliquée (par exemple, dans le cas d'un corps animé d'un mouvement d'amplitude plus grande ou de l'ordre de grandeur de ses propres dimensions). Le coefficient de traînée sera alors considéré comme une constante (déterminée par un calcul d'écoulement permanent ou expérimentalement) dans une large plage du nombre de Reynolds associé à l'écoulement. Ainsi, pour un système représenté par un seul degré de liberté x, la traînée sera de la forme:

-

_<:.:.'" C 2'l p J~x-

avec

(avec Cl

et

si

X >0

si

X<::O

C 1 > 0)

et l'équation de l'oscillateur harmonique associé sera :

f (t) Remarque: En fait, l'hypothèse quasi-permanente n'est appliquée que pour estimer la partie non inertielle de l'effet du fluide. Il convient donc d'ajouter une force de type ma i. Un tel oscillateur est non linéaire. Si, le terme de force quasi permanente:

est relativement petit devant les termes d'inertie et de raideur, on peut lui associer un coefficient d'amortissement E équivalent (cf. Chap. 10). e peut être déterminé par une analyse harmonique.

378

INTERACI'ION FLUIDE-STRUCTURE

Si l'on considère le régime périodique établi résultant d'une excitation harmonique à la pulsation de résonance Wu et si l'on ne considère que la composante fondamentale de Fourier du déplacement x(t) (X cos iLlo t), les composantes fondamentales de Fourier de i(/) et fo(t) sont du type Ai sin iLlo t et Fa sin iLI 0 t avec : Ai = Fa

iLlOX

Wo f2'lT/"'0

=-

7T

fa(t) sin Wo t dt

0

Fa peut être interprété en terme de taux d'amortissement par:

(15. 2]) avec:

(L, étant une longueur caractéristique liée au système).

15.3.2.

Exemple 1: «Plaque plane vibrante dans un fluide incompressible au voisinage d'une paroÎ fixe»

On suppose que la plaque est indéformable et se déplace en translation (Ox) par l'intermédiaire d'un ressort (figure 15.22). Soit x(t) l'épaisseur de la lame fonction du temps du fait du mouvement de la

plaque. Nous ferons l'hypothèse que le profilllormalisé de la composante suivant Oz des l'itesses de l'écoulement dans la lame est invariant et de la forme

tp (

suppose de plus que les mouvements se font dans le plan xOz) avec:

s: cp (x) symétrique par rapport à X

cp

(X) dX

=1

= 1/2 et cp (0)

= tp

(1)

= O.

~) (on

379

SYSTÈMES FLUlDE-STRUcrURE NON CONSERVATIFS

2L

OJ

"'t:I

"5 LL

x Figure 15.22.

La composante w de la vitesse suivant z s'écrit donc: = 'P (

11'

~

) V (z, t)

L'équation de continuité intégrée dans l'épaisseur de la lame donne:

~ f.t 'P ( ~

Jo

oZ

aV

::::;> -

az

x

) V dx

=- x -::::;> V(z, x

+.i == 0 t)

puisque le problème est symétrique par rapport au centre de la lame. L'équation des quantités de mouvement projetée sur Oz s'écrit:

(en négligeant les effets de viscosité liés aux gradients de vitesse w suivant la direction Oz). En intégrant sur l'épaisseur de la lame: PI

::::;> -

Pf

"X

aw

IX

0

at az Jo -dx+PfX[ - X Xl cp (X)

f

1

o

+ 2 Pf

-

x

.,

lV-dx+Pf[uw]~+

0

J% -dx-IL ap [ -aU' JX =0 0

+ X cp x

(X) x

- il 2 cp X

az

ax ()

(X,] - 1 z dx Xi

] il z + fI -iJp dx + IL x z( cp (1) [J cp (X ) dx' az x

Il

2

X

1

0

'P 1 (0» = 0

380

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

En posant:

a

rI cp 2(U) du

et p(z, t)

Jo

pression moyenne dans la lame

=

on obtient:

=x

az

A ce stade, nous effectuons une deuxième hypothèse concernant les conditions aux limites sur la pression en z= ± L :

Cette hypothèse' est une façon globale de tenir compte de l'expansion de l'écoulement issu de la lame dans le grand volume (ou de l'inverse si l'écoulement rentre dans la lame) ; elle néglige en particulier les effets d'inertie associés par rapport à ceux internes à la Jarne (ceci est valable si ~ ~ 1). L

Si b e Si b

e

0 on a l'hypothèse de jet turbulent. 1 on considère un écoulement sans décollement (Bernoulli).

La pression s'écrit alors:

La force

f (t) exercée par le fluide sur la lame est donc: f

(1)

2

fL p(z, t) dz= - ~ KI L:1 -

~O

3

bp f V 2(L) L

(15,22) D'une façon générale, les coefficients a, b, cp (0) sont fonction du nombre de Reynolds associé à l'écoulement dans la lame (x.il Jf) : 1

f(t)

- -2 P f L 3

J

[x + ,/1 ( ~xx ) -ix X

l'

2

2

]

(15.23)

Examinons maintenant les différentes phases d'un mouvement harmonique de la plaque à sa pulsation de résonance Wo, autour d'une épaisseur moyenne XI) de la lame fluide et d'amplitude

X (avec: X Xr

relativement petit devant 1).

Nous allons associer à chacun des termes non conservatifs liés à l'effet fluide un

SYSTEMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

38]

coefficient d'amortissement équivalent selon la méthode du paragraphe précédent. En ce qui concerne la viscosité, nous supposons que l'épaisseur de la lame au cours du mouvement reste suffisante pour que: w()x

2

--~1 li

Comme nous l'avons vu au paragraphe 15.2.4.c, l'effet de la viscosité est petit et peut être caractérisé au premier ordre par le profil: cp

(x) = 1 _ ch a (x - 1/2 ) ch a/2

avec

a

2 Il

Ce profil conduit à une force harmonique fI (t) exercée par le fluide sur la plaque dont l'amplitude complexe FI est d'après l'expression 15.22:

2)

? ) wrX FI ='::PfL --

3

( L+-

Xo

a

Fl inclut les effets d'inertie et de viscosité, exprimés au premier ordre en

X Xo '

La force associée aux effets non linéaires:

s'exprime différemment selon que l'on considère la phase de rapprochement de la Jarne ou sa phase d'éloignement.

- Phase de rapprochement (i <: 0) : a =: 1 On fait l'hypothèse d'un jet turbulent sortant de la lame: b = O. 2

Au premier ordre: fz(t)

=

avec:

4 P fL 3 2' i =? 1 C 1 ( 2 L) x''l -3 Xo ~ Cl

4 ( L ) 3 Xo

'1

- Phase d'éloignement (i > 0): a =: l On faît, par exemple, l'hypothèse de Bernoulli pour J'aspiration dans la lame: b=l. Au premier ordre: fz(t) 1 ( L ) 3

:::::;- CI

2

Xfl

+ C2 = (

L

X

o

)2

382

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

Remarque: L'interprétation physique de ces tennes dus aux effets non linéaires est assez compliquée. A un mouvement de la plaque à la vitesse x correspond en effet une variation du travail de la force exercée par la plaque sur le fluide, du fait de : - l'énergie cinétique dépensée du fait de la turbulence engendrée par le jet libre dans la phase de rapprochement, des variations de l'énergie cinétique dues aux changements de volume de la lame fluide, pour les deux phases. Le terme Cl + C z est caractéristique exclusivement de la perte d'énergie singulièr:e due à l'effet de jet dans la phase de rapprochement. D'après (15.19) et (15.21) on déduit l'amortissement modal équivalent associé aux forces fi et f2 :

1 ma 2111 + ma

E=E + E . , = - - - 1

-

(15.24)

avec:

m ma

masse linéique de la plaque masse linéique ajoutée associée à l'effet d'inertie

L'évolution de

;0

10

en fonction de l'amplitude relative de la vibration

est illustrée sur le graphique 15.23.

O~ note qu'à partir d'un certain niveau vibratoire, l'effet d'amortissement dû à la perte de charge de jet devient important. Si l'on considère le rapport E2/ El' nous avons:

(15.25)

E 2/ El

= 1 pour

\j~ 7 =

1T /

.J2. L'importance relative de l'amortissement

par perte de charge singulière est donc caractérisée par un nombre de Stokes associé à l'amplitude de la vibration.

SYSTÈMES FLUIDE-STRUcrURE NON CONSERVATIFS

383

1,5

• Points expérimentaux (réf. 18)

0,5 et

o

.e

X/X o

0,1

0,2

0,3

,,0.4

Figure 15.23.

Remarque: Si la masse ajoutée due au fluide est grande devant la masse de la plaque, l'expression de E se simplifie :

La figure 15.23 montre une comparaison de la présente théorie avec une expérience, dans le cas d'une lame d'eau d'épaisseur telle que: W

X2

_0_0 =

5600.

l'

Le calcul comme l'expérience montrent une importance des effets de perte de charge singulière à partir d'un déplacement de la plaque de l'ordre de 5 % de l'épaisseur de la lame. 15.3.3.

Exemple 2: Choc d'un projectile rigide à fond plat sur un plon indéformable en présence du fluide

On fait ici l'hypothèse d'un projectile indéformable. Comme nous le verrons plus précisément dans le paragraphe suivant, ceci revient à se placer dans le cas où le temps d'aller et retour des ondes dans le projectile du fait de l'impact est petit devant le temps d'application des efforts dus au fluide. Le projectile est animé d'une vitesse initiale - vo.

384

TNTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

2L

x(t) Figure 15.24. 3

Si l'on pose -:

L H P = 3'2 P f IV1'

M étant la masse du corps solide, l'équilibre

dynamique de ce dernier s'écrit, d'après (15.23) :

Mettons cette équation sous forme adimensionnelle en posant:

lI(e) 8

Vu

t-

e

on obtient:

Re est un nombre de ReY1lolds associé à la dimension caractéristique vitesse

l'

et à la

Vo :

l'Vu

R e = J}a) Si Re- - 1 Les effets de viscosité seront dominants dans la phase de ralentissement du projectile (u(8)-1 et u'(8)-1). La fonction ~1 peut être alors estimée dans l'hypothèse laminaire (écoulement à profil parabolique dans la lame, on néglige la perte de charge singulière à

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

385

l'extrémité de la lame) : .1. ( 1 'fi llU

=>

R e ) =----;-R 12 llU

I!

( 1) + -Re12 -u'u

u" 1 + -" ..

o

3

Cette équation s'intègre facilement. On suppose que la vitesse initiale anime le projectile alors que celui-CÎ est éloigné de ]a paroi fixe (par rapport

- Vo

à la distance caractéristique

l) : +00

8=_00{tI

pour

u'

1.

d'où: Il ,

1

= -12 [ - Re

(1) 1+ - 1]

Log

li

~

li

Cette expression montre que le projectile tepd indéfiniment vers une distance il la paroi donnée par:

lliim

Log

(1 +~)

1.

lIUn!

Dans ]a pratique, le cas Re - 1 se rencontre pour des fluides très visqueux. b) Si Re;?> 1 Ce qui est le cas courant des chocs de structure en présence d'eau par exemple, les effets de la viscosité sont négligeables et le mouvement du projectile est commandé par les forces dues aux effets d'inertie et de perte de charge singulière. (Remarque: plus précisément, la viscosité ne jouera de rôle que dans la phase où li et li' ~ 1, c'est-à-dire alors que le projectile a perdu toute son énergie). La fonction '" peut être calculée à l'aide de l'hypothèse du jet libre et d'un profil plat, ce qui conduit à :

=>U"

(1 +ïï1) -2 u''!

o

Cette équation s'intègre facilement: u' = _ ( =>

8

LI

) 2

ll+

1

2 Log u

= - - li li

La force exercée par le fluide sur le projectile est donnée par: /(t) =

Mv 2

1

J

Î

- Li

_0

(u

+1

386

INTERAcrJON FLUlDE-STRUcrURE

Le projectile se ralentit progressivement en s'approchant indéfiniment de la paroi rigide. La force f (1) est maximum pour li = 3/2 et vaut alors: fm!!~

MV5

= 0,07--

l

Les graphiques 15.26 à 29, tirés de la référence [19] que l'on pourra consulter pour plus de détails, montre l'allure du déplacement, de la vitesse et de l'accélération du projectile ainsi que celle de la force exercée par le fluide pour les deux cas extrêmes a et b. 15.3.4. Exemple 2bis : Choc d'un projectile très dérormable sur un phm fixe, en présence du fluide

Figure 15.25. On examine ici le cas inverse du cas précédent: le temps T d'aller ct retour des ondes (que l'on supposera planes scion la direction Ox) est grand par rapport au temps d'application des efforts dus 6U fluide. On considère îci uniqucment le cas Re}:> L L'cxercice du paragrnphe 3.4.3 nous donne l'cxpression de la vitesse du fond du projectile cn fonction de la force exercée par Ic fluide (id: force par unité de longueur) : - Va +..E... [[ (t) + 2 [(t - T) + ... ]

EL

c étant la vitesse de propagation des ondes dans le projectile, E le module d'Young du matériau qui le constitue. D'autre part : f(t) = a) 0"", t

:E T

2c x. + va + 3E - - Pf L

2(.fx

On mel cette équation sous forme adimensionnclle, en posant:

JU(O: 3',~

l

tr

[as al

a) Déplacement du projectile 46

rf" CI

-Masse du pro jer::tile

38

M=25kg 9=103kg/m3 2L=200mm v=10-6m2 /s e=50mm Vo=10- 3m/s

-Hasse volumique du fluide

"X - 30

-Largeur de la surface portante

§

-Viscosité r::inématique. - Je.u initial -Vitesse initiale

~22 111

~ 14

CIl

~

-1

m·

~ r:1 en

u

l'D

ï5..

~111

0

1=3.33mm

Re:3,33

E

6 0

20

40

60

."

BO 100 120 Temps (51

140

160

sr:1

180

~

:= c

!i5' c

q

@

......

i-.J ?"

_

10

O. •

Z

en

r:1

'III

..... -12 .§. •

4

.~

E :;: 2

"E '-S

.§.

~

. -2

~

r::: -16

III III

'111

u

oC(

0

Z

o z (j o

-0,8

6

QI

• ......

~ -04

...!5. N

~

.....

:::0 r:1

on

.:;-- 8 ~ Ü;

C

cl Accélération du projectile

hl Vitesse du pro jedile

VI

20

40

60

60 100 Temps Is)

120

140

160

180

-2,4 -2,8

~

1

0

1

20

40

1

60

1

80 100 Temps (5)

1

120

140 160

180 UJ

00

....,J

w

0 -1

of" x

- -2 Z :; -3

~

-f' CI

x

0

.g 18 ~

-8 -4 III

III

"'CI

-s

III

:.-:: r...

u

III

Éi -6

u..

-7

":1

30

- 24

0 III "'CI

co co

e) Force d'inertie du fluide

d) Force total,e du fluide

.S

u..: 0

Q:i"

20

40

60

60

100

120

140

160

180

12

4L!, 0

20

40

,

1

60

80

1

1

,

1

.

1

140 160

120

100

180

~

m

::0

)-

B 0 z

Temps (5)

Temps Is)

1:

~,

j

(3

':l'1

rC

P-

u.

1..

f)

;.J

~~~r\

0 ~

8

16

'III

==

-3

~

-4

al

-5

'S;

al

32

"'CI

T'

i

1

Ù'l

1

'~

J: -7 0

20

40

60

60

100

Temps ts)

120

140

160

180

0

20

40

60

60

100

Temps (s)

-l

ë ~ C ::0

en

:::r... -6

40

u.:

III

1

0

24 "'CI

a l:l1

g) Force de viscosité

Force de perte de charge

120

140

160

180

[as bl

al Déplacement du projectile 50

-Masse du projectile -Masse volumique du fluide -largeur de la surface portante -Viscosité cinématique -Jeu initial - Vitesse Înîtiale

,;;-

~ 40 ~

§ 30 ...... c::

~ 20 aJ

u

l'II

1=3,33mm

~ 10

M=2Skg 9=10 3kg/m3 2L=200mm v=10- 6m2 /s e=50mm Vo=1m/s

tIl

-<

r.n

'""'1

['!!.

s:rn tIl

Re =3.33 1C 101

~

c

Cl

6 0

'TI

2

4

6

Iiii"

....c

14 8 12 10 Temps (s) Ixl0-2}

16

l71 tIl

18

-l

ê

q

rl

c:

p; 00

:;a

cl Accélération du projectile

bl Vitesse du projectile

1",)

t::1

z

-4

za (j a

-8

rn

0

o,a

~

'iii

g 0,6 III

j

~ 0,4 :;:

.....

0,2

c:

~

l'II 1-

~

'III

ztIl

:;a

<

~ ~

-12 -16

U

u

< -20

-24 0

2

4

6

14 12 Temps (5) ()(10- 21

8

10

16

1B

0

2

4

6

12 14 8 10 Temps (s) ()(10-21

16

18 w

~

\0

w

d} Force totale du fluide

\C

el Force d'inertie du fluide

0

0

N

~

~

-1

~

~ -2

111 "'C

u

~ u

-3

~

{i

-4

"'C

QI

!'-

QI

u

:; -5

QI

u..

oS

2

~

4

0:;'

c

8 10 12 6 Temps (s) (x10-11

14

16

16

u.:

4 3 Z

'LJ 0

2

4

1

Il

1

~ j

8 10 12 Temps (s) (xl0-l ,

6

14

16

18

z....; t":'I

~

90 :z

i!l

r.l ~

g) Force de viscosité

f) Force de perte de charge

i-> ~

N ~

1(1 ~ -,:~

0

= )(

~

-2

0 u

II)

l'D 111 "'C

os: -20

-6

QI

"'C QI

t u..

Ilol

1: -8 Ilol a.

u.:

-30

-10 0

2

4

6

8 10 12 Temps (s) (x10-l )

14

16

18

0

2

4

10 12 6 6 Temps Isl {x10-21

q c:

Gl

II)

~ -4 'fi

1)1

c: S ~ ....; := c:

14

t6

18

391

SYSTÈMES FLUlDE-STRUcnJRE NON CONSERVATIFS Ir étant un temps caractéristique des cffets du fluide:

_

tr -

(~

2

L C 3 Pf E- Uo

)

1/2

L'équation devient alors: Il''

fi'

U

,2

+ 1 + - - 2 -:;U

=

Ir

0

Remarqlle: Le temps de référcnce 1, est petit devant "hypothèse faite initialement:

T.

Ceci correspond à

r,/T avec: ~

E

c-=-

Pm

et

T

2r.: == -;;-

(1:

= longueur du projectile)

"0

Dans sn phase initiale, le projectile est animé d'une vitesse alors qu'il est très éloigné de ln paroi pûr rapport il ln distance caractéristique v() Ir : [

V r () r

=

2 P f Vo -( 3 Pm C

) 1/2

L]

Les conditions initiales du problème sont donc:

o=-oo{ il

/1 li'

+00 -1

se rapproche indéfinÎment de la paroi.

B

B Figure 15.30.

392

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

f (t)

Ln force

est : ELv"

fU) = - - (1 + /l'CO»~ c

'----".--' F(O)

ELvn

Elle tend vers -c- quand

(J -+ 00.

Remarquons que celle valeur limite est celle trouvée dans ln première partîc (paragraphe 3.4.3) pour le calcul d'un choc sans fluide. Le travail \V, de f(r) est donné pur: ELu" ") = - - - - - - - . , Vn/r C Pm LLVii

\VI

---~

1/2 MVii

(M

= Pm CL

'T

Ia:l (1 + u') du n

b)

T <:

1/'=

r <: 2

ou 0 = .!.. ;p 1,

l = T.

I/'~ - Ir., -,,1/u )

")-

(

'

Remarque; En fait pour f:,

Il

masse du projectile). 1 = - 4..!

nuls (II

la:> (1 + Il'(O))du

Il

1r

du

ct u' ne sont pas tout à fait

e).

'f

Dans cette phase, le mouvement est régi par l'équation: 2

. 2 L C x + vo + 3 P f T

(

:t

x

À

~ ) x-

-

2

C

f(t - T)

=0

avec:

0

si

:é

si

:i: >0

<::

En utilisant les variables adîmcnsionnelles de a), l'équation du mOuvement devient:

u"

u· 2

Il'+l+--AIl Il:!.

2F(O)=O

F(O) étant ln fonctÎon trouvée en a).

Les conditions initiales sont les conditions finales de la phase a): u = e, u' 1:; la valeur initiale F(On) de F(O) eSltelle que F(Ou)~l, cc qui correspond après n~nexion, aux effets du fluide lors du démarrage du projectile. On peut ainsi de lu même façon qu'en a) prendre 00 - 00. Du fait de F (0). la vitesse devient nulle puis positÎve. l>our r fJ =

=-1 i'> l, on ') 'T r

II Il ~

1 ct u' voisÎn de L

=

2

T

ou

SYSTÈMES FLUIDE-STRUcrURE NON CONSERVATlfS

393

Le travail de la force exercée par le fluide sur le projectile est approximDtivement:

"lct:l 4T

()

(

-III'! 2

-u" ) du Il

(On néglige en particulier la partie de la trajectoire correspondant 1/'

r.

<:0)

En résumé, la trDjectoire du fond du projcctile cn coordonnées adimensionnelles et dimensionnelles, ainsi que la force d'impact sont représentées à la figure 15.31 :

~

I\V 1 +W 2 1

1/2 Mvij

Figure 15.31.

Nous voyons donc que, conlrairement au cas du solide quasi indéformable, l'énergie cinétique du projectile n'est pas complètement absorbée par le choc. Dans le cus d'un projectile très déformable (friT ~ 1), l'énergie dissipée n'est qu'une faible part de l'énergie cinétique initiale. Ceci est rarement vérifié, si la souplesse vient d'un effet de trnctÎoncompression, cc qui correspond à notre exemple. En effet supposons une poutre d'!lcÎer dix fois plus longue que large, impactant â la vÎtesse de 10 mIs dans de "cau:

(riT =

J61

(

1 ) 7,8

1/2 (

10 ) 5000

Ce qui correspond il un choc assez dissipatif.

1/2

1 10 = 1/3

394

INTERACI10N FLUIDE-STRUCTURE

1DL

... 1

L

1..

Figure 15.32.

En revanche, si la souplesse vient d'un effet de flexion, les '( vitesses de propagation équivalentes» sont beaucoup plus petites ct donc l'absorption d'énergie nettement plus faible.

CHAPITRE 16

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS COUPLAGE STRUCTURE VIBRANTE .. ÉCOULEMENT

16.1.

INTRODUCTION

Une structure vibrante plongée dans un nuide en écoulemem permanellf, engendre au sein de ce fluide des fluctuations de pression, qui eUes-mêmes réagissent sur la structure. Pour mettre en évidence les termes spécifiques liés il l'écoulement permanent dans les équations de l'équilibre dynamique de ce système, on songe tout naturellement à linéariser les équations du fluide autour de son mouvement permanent, reprenant ainsi la méthode utilisée dans la première partÎe (Chap. 10). Cependant, la complexité des écoulements du fluide rend cette démarche illusoire dans le cas général. En effet, un écoulement de type industriel est très souvent turbulent et même instationnaire (*), c'est-à~dire qu'aux composantes permanentes de la vitesse, viennent, en l'absence de mouvement des parois, s'ajouter des fluctuations dont la description est très complexe et que l'on représente souvent par des fonctions aléatoires de l'espace et du temps (cf. Chap. 18). On conçoit bien qu'une vibration des parois va engendrer des fluctuations de vitesse dans le fluide qui pourront se coupler avec ces fluctuations turbulentes, éventuellement les modifier d'une façon importante. Le calcul de ces phénomènes est donc tout aussi compliqué que Je calcul des écoulements turbulents ou instationnaires, à grand nombre de Reynolds, en particulier quand on cherche à déterminer les caractéristiques des fluctuations elles-mêmes. Actuellement, des méthodes de calcul par ordinateur commencent à être appliquées. Ceci est très coûteux et concerne les nombres de Reynolds relativement faibles. En tout état de cause, la méthode de linéarisation ne s'applique pas dans le cas général.

("') On appelle Înstationnarités, les grosses nucLuations engendrées par les singult1riLés de J'écoulement.

396

INTERACTION FLUJDE-STRUcrURE

Cependant, le pessimisme de ces propos doit être nuancé, L'expérience montre en effet plusieurs types de comportements de structure en présence d'écoulement, qui peuvent être modélisés de façon plus ou moins compliquée. Par ordre de complexité croissante, nous observons les cas suivants; 1) L'inslatÎ01l1lOrité de l'écoulement n'est pas modifiée par la vibration des parois. Ce sont les cas les plus courants. On peut alors continuer à distinguer comme nous J'avons fait jusqu'à présent, une source d'exciflllioll : les fluctuations i1JStatio1llwires de la pression à la paroi et un système répondeur « stl1lcture~flllide en écoulement» qu'il suffit très souvent de modéliser linéairement. Dans cette modélisation, ce sont les petits mouvements du fluide autour de la composante moyenne de l'écoulement, dus aux vibrations des parois que l'on considère, en les décorrélant complètemellt des fluctuations turbulemes. Pour expliciter les term'es dus à l'écoulement dans les équations de ces petits mouvements, on peut linéariser les équations de Nal'ier~Stokes autour de l'écolilemenf permanent, sauf au voisinage des parois (couches limites). Le problème se pose alors du degré de finesse nécessaire dans la description de cet écoulement. lei encore, on pourra distinguer deux cas: a) Une représentation globale assez grossière suffit (en particulier s'il n'y a pas d'effet particulier des couches limites). Dans ce cas, une linéarisation autour d'un écoulement à pOlentiel permet d'estimer correctement les effets des termes d'entraînement. Il se peut également qu'il faille se préoccuper des effets des frottements, bien que la viscosité joue un rôle faible dans les problèmes que nous considérons généralement. Au chapitre 15 (fluide sans écoulement) nous avons vu que cela se traduisait par un effet d'amortissement des fluctuations caractérisé par un nombre de SlOkcs. Dans le cas d'un fluide en écoulement permanent, on peut se demander s'il n'apparaît pas un effet supplémentaire du fait de la fluctuation des forces de frottement lié à cet écoulement. Pour estimer cet effet, on peut se contenter souvent d'une modélisation simple de l'aspect non conservatif de l'écoulement permanent turbulent (pertes de charges, coefficients de traînée, etc.. qui sont estimés généralement par l'expérience et fonctions d'un nombre de Reynolds). On peut par exemple appliquer assez correctement ce genre de considération dans le cas des tuyauteries en écoulement interne, des profils sans décol1ement, etc ... b) Certaines zones de l'écoulement doivent être représentées d'une façon très précise (exemple: point de décollement de la couche limite sur un corps non profilé). Dans ce cas, il faudra certainement modéliser la turbulence au moins pour avoir une bonne idée des déconements et de leur stabiHté par rapport à un mouvement vibratoire de parois. Ceci bien sûr est déjà beaucoup plus compliqué que a), bien que souvent le comportement du système demeure sensiblement linéaire.

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCllJRE NON CONSERVAT1FS

397

2) L'Înstati01marité est modifiée par la vibration des parois. Ceci se produit dans certaines configurations bien particulières. (Exemple; accrochage des tourbillons de Karman à l'aval d'un cylindre en écoulement transverse traité à la fin de ce chapitre.) Un schéma que l'on rencontre assez souvent est le suivant: Un phénomène de type ]-b conduit à une configuration instable. Le niveau vibratoire augmente et l'on se stabilise sur un régime où le corps vibrant et l'écoulement instationnaire sont très couplés entre eux. Un tel régime ne peut évidemment pas être prédit par un modèle linéaire. On tombe en faÎt dans le cas général que l'on évoquait précédemment. où aucune hypothèse simplificatrice n'est possible. Actuellement, de tels phénomènes s'analysent expérimentalement. Des modélisations simplifiées sont tirées des résultats.

Remarque: L'étude des systèmes « structure-fluide en écoulement » est d'une grande importance pratique. En effet, l'écoulement étant ~n réservoir d'énergie, des instabilités sont possibles, conduisant SOlivent à des niveaux vibratoires dangereux. Actuellement, un certain nombre de « configurations sensibles») ont été recensées et étudiées. Mais lors du dessin d'un composant industriel de conception complètement nouvelle, la possibilité d'apparition de certains méca nismes fluide-élastiques non déjà recensés, passe facilement inaperçue. Il faut même se méfier d'une transposition hâtive de résultats d'essais sur maquette à échelle réduite, les règles de similitude utîJisées n'étant pas forcément représentatives du mécanisme dangereux. M

Plan du chapitre Le premier paragraphe est consacré à la modélisation de type l.a : l'analyse des petits mouvements incompressibles autour d'un écoulement à potentiel. nous permettra de mettre en évidence les ~{ termes de base ») de l'effet des écoulements sur les vibrations des structures. Les paragraphes suivants illustrent ces résultats à l'aide d'exemples courants. Ces exemples sont pris panni les structures de l'industrie nucléaire, le lecteur ne s'étonnera donc pas de ne pas voir figurer l'exemple classique du flottement des ailes d'avions, auquel de nombreuses publications ont déjà été consacrées. On traite ensuite sur l'exemple de l'obstacle cylindrique en écoulement transverse, des mécanismes de type l.b et 2. L'exemple industriel important des faisceaux de tubes permet de se rendre compte comment les considérations théoriques s'appliquent à un problème complexe. Enfin, nous avons fait figurer au dernier paragraphe quelques considérations sur le cas où l'on a affaire à un fluide compressible, pour lequel peuvent apparaître des couplages ondes acoustiques-écoulement.

398

INTERACTrON FLUIDE-STRUCTURE

16.2.

PETITS MOUVEMENTS INCOMPRESSIBLES ET NON VISQUEUX D'UN FLUIDE AUTOUR D'UN ÉCOULEMENT À POTENTIEL, ENGENDRÉS PAR UNE VIBRATION DES PAROIS

Les effets de compressibilité et de viscosité dans l'interaction fluide-structure ont été traités aux chapitres précédents. Nous avons choisi de ne pas les réintroduire ici. Cela ne ferait en effet que de compliquer l'écriture et n'apporterait aucun éclairage particulier sur le couplage écoulement-vibration de paroi. D'autre part, dans la majorité des applications industrielles (fluides denses peu visqueux et peu compressibles), une règle de superposition des différents effets pourra être utilisée. 16.2.1.

Equations des petits mouvements du fluide

Nous partons des équations de Navier-Stokes, pour un fluide incompressible non visqueux: (16.1)

en utilisant les notations indicielles. Par rapport aux équations du chapitre 13, seul le terme non linéaire d'entraînement a été ajouté. Linéarisons autour de l'écoulement permanent défini par le champ Vi = Vi 1Jr, en remarquant que:

on pose: CUi = Vier) + ifj(r, t) { ;J' = P (r) + p (r, f)

(i fi ~ Vi) (p ~ P)

= fluctuations de moyenne temporelle nulle). Les équations des petits mouvements sont:

(x fi et P

JV;pfifi=O

lP f .xfi + V

J Pf

ifJ(Vj 1[;)]

+

(V i Xfi

+ Vj

i fi)

+ V iF

= 0

ou:

I

VIP fifi = 0

P f Xli

+ V; [p f

(V j 1JI" )[Vj(p 1 i fi ) - Vi (p f XJj)J

La solution de ce système est telle que:

+ ViP

0

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

17

399

(r, t) étant une fonction potentielle à moyenne temporelle nulle.

IV; V

= 0

j 17

::;. 1- if -

(Vi'" )(VjTr) + p

0

Le calcul des petits mouvements dans le fluide revient donc à trouver une fonction potentielle vérifiant l'équation de Laplace:

~1T = 0

(16.2)

1

La pression fluctuante dans le fluide étant alors donnée par:

p

16.2.2.

=

7T + V • grad Tr

(16.3)

Condition il la paroi vibrante

Comme dans les chapitres précédents, nous normale du fluide et de la paroi: (V + xI) . ni

n' { (l')

= =

= xs' ni

é~rivons

sur

la continuité de la vitesse

(i')

vecteur normal à (i') unitaire extérieur au fluide position courante de la paroi.

([1)

Figure 16.1.

A l'ordre 0, (16.4) donne: V·n=O

sur

(I)

qui est la condition aux limites de l'écoulement permanent. n = vecteur normal unitaire à (i). { (i) : position moyenne de la paroi.

(16.4)

400

INTERACTION FLUIDE-STRUCfURE

En considérant les termes d'ordre 1 de (16.4), on obtient la condition aux Iimîtes associées aux fluctuations. Ramenons cette dernière à une condition sur la position moyenne (.!). Au premier ordre: [(V + xf)' n'h,

V(M), n + V(M). (n' - n)

=

+ [V(M') - V(M)]. n + (xf.nh: on pose comme au paragraphe 14.5.] :

Il

CI

et v sont les composants de X,!n sur les directions principales de courbure et C2 de (I) (rayons de courbure RI et R 2). Le trièdre cI' Cz, n est direct. grad,! désigne ici le gradient dans le plan tangent à (.!).

n - V (M).grad,! (x.

V(M)· (n'

m)

[grad (V· n)]. xJ

[V(M') - V(M)].n

= [grod (V - nl]-lLT" - V0 sur (.!) et V(M')·n'

(du fait que V(M).n

;1 el + ;2 e2) C/OR'l:R,)

+ V(M)· (

x,!

0 sur (l')),

d'où:

Du fait que div V

0 on peut également écrire:

grad (V . n ) . n = - div.r V (div,! étant la divergence « prise sur la surface (.Y»». (16.4) devient alors au premier ordre:

ou:

an - - P

sur ( -'Ç) .. a7T _

16.2.3.

f

"

'\SII -

P f (d'IV,! V)· .x sn

-

P f V . grad ,! (.x SII )

Effort exercé sur ln paroi pnr le fluidc

L'effort exercé par le fluide sur un élément de surface (dI) est:

(]6.S)

401

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVAT[FS

t['}

Figure 16.1.

En utilisant les valeurs définies sur (I), on a au premier ordre:

(Si le fluide n'est pas pesant, (grad Ph:' n = 0 du fait que On a donc, comme au paragraphe 14.5.1 sur (}.;)

CV),r· n

= O.)

(16.6) 16.2.4.

Effets du fluide en écoulement sur les mouvements de la structure

Etant donné un déplacement Xs de la structure (paroi pour le fluide), on calcule à l'aide de (16.2) et de la condition aux limites (16.5) Je champ 7T. On obtient ensuite p à l'aide de (16.3) puis f fi l'aide de (16.6). On adopte ici une démarche analogue il celle du paragraphe 14.3.1. Soit une base Xj (r) de modes propres définissant le mouvement de la structure (on peut choisir par exempte les modes propres de la structure dans le vide) : x" =

L a;(t) Xj(r) i

Soient

7T

PJ(r) la solution du problème: il7T

j

a7T an

0

=-PjX .. n J

sur

CI)

402

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

7rF1) la

et

solution du problème: Ll7r=O

j o;ran

= _ Pf(div .. œ) X·. n - Pf œ grad X·

-

J

1/1

(sur 1:)

(œ (r) = champ de vitesse normalisé: V (r) = œ (r) Vu), Le champ 'Tr (r, t) engendré par Xs est:

*(r, t)

l

(lÎ i

'Tri!) + a

j

V o 'Trf:'l)

j

d'où:

p(r, 1) =

l

[ii j 'Tr

JI) + di V o( 7TP) + œ· grad 'Tr p»

+ ai V~ œ· grad 71')2)]

i

En projetant les efforts locaux exercés par le fluide sur (I) sur le mode Xî , nous obtenons la force généralisée:

(13 (r) étant un champ de pression normalisé P (r) = Po {3 (r»). Finalement, on passe du vecteur A des ai au vecteur F des fi à l'aide d'une matrice dont la structure est la suivante:

• les matrices [m], [m]', [m] ", [m] tt! ont la dimension d'une masse ([n.z] est la matrice de masse ajoutée due au fluide), • L est une longueur de référence. La forme (16.7) montre que l'écoulement engendre deux types de terme supplémentaire dans les équations de la structure: -

des termes de composition de vitesse: Vu  engendrant un effet d'amortis-

sement (positif ou négatif) ; des termes quasi-statiques

V~ A

et ...!... Po A modifiant la raideur de la Pr

structure (l'augmentant ou la diminuant). D'une façon générale, les [ml, [ml], [ml/], [mm] sont du même ordre de grandeur. Au voisinage d'une pulsation de résonance toI) du système sans écoulement, l'ordre de grandeur de ces termes rapportés au terme d'inertie fluide est:

403

SYSTÈMES FLUJDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

composition de vitesse inertie

qua~i-sta.tique _ ( V o ) mertle Wo

Vo C

WI)

2

Vu

Dans la plupart des cas industriels (tuyauterie, etc.) - - ~ 1, l'effet de WOL

l'écoulement est donc uniquement une contribution supplémentaire à l'amortissement des résonances; en notant que dans certaines configurations dangereuses, cette contribution peut être négative. Nous en donnons des exemples au paragraphe suivant. Cas particulier

d'lIll

écoulement [llliforme V o le long de la paroi (I).

Ceci implique que (I) est une surface cylindrique ( le vecteur unité On a alors:

Cl

~I

=

?),a coïncide avec

de (1:): 7Tp)(r)

el' grad .; p)

La pression est donc donnée par: p(r, t)

=

L

{a;

1ïP) + 2 di Vo grad 11' /1) + ai vo ' grad

(Vo ' grad 7TP»}

i

~

p(r, t) =

2: ( .i. + v(J' grad) iJt

2

aj

11"/1)

(16.8)

i

Ce qui illustre bien l'effet de

16.3.

«

transport

»)

dû à la vitesse Vu sur les vibrations.

EXEMPLE 1 : TUYAUTERIE DROITE UNIFORME EN ÉCOULEMENT PARALLÈLE INTERNE

Soit une tuyauterie de section (S) constante (rayon R) parcourue par un écoulement de vitesse uniforme V o. Les différentes caractéristiques de cette surface cylindrique sont définies à la figure 16.3.

..... Î

"1'-.......- - -

Fibre/--

neutre

~ -~V

o

--------~----------------Figure 16.3.

404

JNTERACnON FLUIDE-STRUcnJRE

Considérons des petits mouvements de flexion caractérisés par le déplacement de la fibre neutre X.r(z) selon ln direction x. On suppose que la tuyauterie satisfait l'hypothèse des poutres longues. Le déplacement de tous les points d'une section droite est égale à :

La fonction

7T (1)

(r) associée est: 7T(I)(O,

z) = - P fX/z) cos 0 + C(z) (*)

D'après (16.8) la pression fluctuante dans le fluide est:

pee,

z, t)

=

(

-a

élt

+ V o -a

éJz

)~-

7T(1)

On utilise (16.6) pour déterminer ln force exercée sur la structure par le fluide. On a: Xs

R cos

il

( RI1+ R::!1) (puisque RJ

•

=>

= 00

et R 2

=

x X R sm Oe). + R cos j

Xsn

n

=

S

•

0n

R)

df [ a:!x 1 axJ . ] d (AP o) ax s d ..... = pn - AP u R cos On + -sm Oc, --d--R-cos On ..!.

az

Z

(JZ

En intégrant sur une tranche dz de tube, il vient:

(16.9) APu représente la différence de pression permanente entre l'intérieur et l'extérÎeur de la tuyauterie qui est constante si l'on néglige les frottements aux parois.

('~)

En négligeant Ics gradients scion z par rapport il ceux scion x.

SYSTËMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERV Al1fS

405

Les mouvements de la tuyauterie vérifient l'équation de flexion:

SI E, p s

section de la paroi de la tuyauterie module d'Young et masse volumique de la paroi

d'où, d'après (16.9) :

(16.10)

Remarque: On peut se poser ici le problème de la prise en considération des frottements aux parois: Pour un écoulement turbulent de vitesse moyenne Vu, ils sont représentés par un coefficient de perte de charge linéique, fonction du nombre de Reynolds VoD R.=--: e 1)

La pression LlPo varie alors linéairement en fonction de l'abscisse z:

Le mouvement transversal des parois engendre dans le premier membre de l'équation (16.10), le terme supplémentaire :

D'autre part, le terme lié Il LlP() dans (16.9) devient:

L'équation du système reste donc valable dans sa forme (16.]0) à condition de considérer que LlP 0 est une fonction linéaire de z. 16.3.1.

Illustration de Perret du terme de composition des vitesses: tube rigide ouvert aux extrémités, monté sur ressorts

Dans le plan xOz, on décrit le système par les deux degrés de liberté x et respectivement translation du centre de gravité 0 et rotation autour de O.

e,

406

INTERACfION FLUIDE-STRUcru RE

L

t..

L

"l~ Va

!

-'1

--IJIo-

K(1+1X)

K(1-o!l

l !ID

(-1
0

Z

Figure 16.4.

Le fluide intervient par son inertie qui s'ajoute à celle du tube (soit M iJx J

totale) et par le terme 2 P f SV 0 -

)a

masse

qui donne ici une résultante selon

az

Ox proportionnelle à la rotation:

D'où les équations d'équilibre dynamique du système sans sollicitation extérieure :

M(~ S3)

(:ë) +4PfSVO(~

(:0) +2K(~

~)

~) (~8) 0 (16.11)

L'analyse des solutions singulières de (16.11) transformée par Fourier conduit à l'équation en w:

- Mcû 2 +2 K d et

4 P f SV o iw + 2 Ka M

~ 2 K) ( avec w(j:""M

En posant:

,

-T w -+ 2K

2Ka

et

À

o

P J SV o

= --Mw()

on obtient l'équation: (1 -

n 2) ( 1 - ~:!

)

-

a (a + 4

in À )

= 0

dont les racines complexes donnent les fréquences de résonance et les amortissements associés du système. Le graphique 16.5 montre leur évolution en fonction de a, pour 1 À 1 ~ 1. On remarque qu'il existe toujours une racine à partie imaginaire négative même pour 1 À 1 ~ 1. Le système est donc instable, en l'absence d'une dissipation d'énergie.

407

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

4

(lÀ

o

-1

Figure 16.5.

Si a A ~ 1, un développement limité au vOlsmage des racines nI et du système conserva tif permet d'obtenir les amortissements El et 8 2 associés aux deux résonances:

n

2

n-_{nI} n .{n 2

{::}

-3

El}

t

+Ifl 2

avec

é]

Àa

avec

D!'} (2-D'!'}) O~I

1::} ~ ] ri} ni 2+ =

QI

1+ 1

(~I

À= .... Jmlo) À= ....

111<0)

(..,..... Sens des À croissantsl

Figure 16.6.

408

INTERACTION FLUIDE-STRUCrU RE

Pour un a donné, Je graphique 16.6 donne, dans le plan complexe, l'évolution des n en fonction de A. On remarque en particulier qu'à partir d'une certaine valeur de 1A l, l'une des racines correspond à une solution non oscillante stable ou instable, suivant le signe de a. 16.3.2.

Illustration de l'effet du terme quasi-statique: tube rotulé-rotulé, ouvert à ses deux extrémités

Comme au paragraphe précédent, on recherche les solutions singulières de l'équation d'équilibre du système transformé par Fourier. Ici, on utilise (16.10) :

avec les conditions aux limites:

o

t

en

Z= {

-L

L

L

o

z

Figure 16.7.

On considère la pulsation adimensionnelle :

le système est caractérisé par les paramètres : p! S

f3 et l'

(16.12bis)

z= +L

+ PI Ss El 2 LV o

= _-=-p...;...!_S----:p! S + P s Ss

AP o

SYSTi:'MES FLUlDE-STRUcruRE NON CONSERVATIfS

409

On peut montrer que les solutions il de (16.12) et (16.12bis) forment une suite de nombres réels pour les V R inférieurs à une certaine valeur Vite pour laquelle Je premier il est nul. V R, doit vérifier :

en Z = ± 1/2

On a alors:

.Ys -

cos

7TZ :

7T

=>

V Re = - r = = = = +î')/3

J(Q)

Figure 16.8.

A la vitesse d'écoulement (Vo)c correspondante apparaît une instabilité de type statique (flambage). 16.3.3.

Autre exemple: cas d'un tube encastré libre, ouvert il ses extrémités

On considère pour simplifier: âPo

0 (1'

0).

~22222ZZ22222222222222??Z2222?222?22a

Figure 16.9.

410

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

La résolution de l'équation (16.10) avec les conditions aux limites:

x

=O}"

az

0

éJX:

-

=0 en z = 2 L

en z= 0

o

conduit il une suite de pulsations propres complexes n. On peuL, comme précédemment, représenter l'évolution des n dans le plan complexe en fonctÎon des deux autres paramètres adimensionncls V fi. ct {3. Les graphiques 16.10 montrent l'évolution des trois premiers n en fonction de la vitesse réduite V fI.:> 0 pour f3 = 0,2. On remarque que pour V n <:: 0 (l'écoulement se fait alors du bout libre vers le bout encastré) le système est immédiatement instable. Pour Vit:> O. l'instabilité peut être, soit de type sUltique (premier mode), soit de type dynamique (second mode) j cette dernière apparaît en premier dans le cas considéré. Les phénomènes d'instabilité des tuyauteries en écoulement parallèle interne ou externe ont été particulièrement étudiés par M. P. Paidoussis. Le lecteur pourra se reporter il ses travaux pour plus de détails (cf. réf. [20] il [25]).

5

5

Jmlnl 4

2

3

0

:Jmln!

30

-5 20

-10 10

10

Re lnl

0 10

20

30

40 Figure 16.10.

50

60

411

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIr-S

16.4.

EXEMPLE 2: COQUE CYLINDRIQUE EN ÉCOULEMENT PARALLÈLE INTERNE

On considère maintenant des mouvements de type tube:

o

«coque)~

v

__ 0

de la paroi du

Z

JIiIIIa

Figure 16.11.

COS XII (z ) {

no-}

sin Il H

L'écoulement étant uniforme, on peut donc appliquer (16.8). La pression est donnée par:

.

p(r, (J, Z,

avec:

'Ir

(J)

) (a

(=

-

(Jt

(rt(J,Z)=-Pf

R ( R r ) n

+ VII Il

a)1

az

'if

(1)

{COS 1l0}

wez) sinnO

+C(z)

w étant la composante normale à la coque du déplacement x", R étant le rayon de la coque. Cette expression est valable si l'on peut négliger les gradients selon

z par

rapport à ceux selon (J.

On utilise (16.6) pour déterminer la force exercée sur la structure par le fluide. E n mtegrant . , 11 (J} 1il foree genera . . r' . .d l ' sur {COS sin nO lsee par umte e ongueur exercee par le fluide sur la coque est: • pour le terme pn:

S( -+V a o - a)2

-PfIl

al

(1z

HI

• pour le terme associé à la différence de pression permanente ilPn entre l'intérieur et l'extérieur de la coque, le calcul est identique à celui effectué dans la première partie du (§ 11.1.2). On obtient toujours en négligeant les gradients longitudinaux:

412

INTERACT10N FLUIDE-STRUCTURE

Considérons par exemple une coque mince assez longue dont on suppose pouvoir représenter l'opérateur de raideur par les expressions simplifiées de la première partie (§ 8.2). L'opérateur de raideur se met alors sous la forme d'une somme de deux opérateurs: -

un opérateur de

(~

type poutre}) :

a~w ElrR 3 (1 - J' 2) 11.1 a?

un opérateur de

«

E = module d'Young de la coque 11 coefficient de Poisson { Il = épaisseur

avec

type coque}) : 7T (11 2 _

1 y.l Eh J

-'---~-..."..II'

12(1

11::!)R 3

Supposons pour simplifier que API) soit nul. L'équation que vérifie west alors: 7T EhR

(1

v

a4\\,

3

2 ) 11 4

+

7T

1 i Eh J

(n::! -

12(1

1,2)

2

'1T R a a )"-w IV+ P f - - ( -+V o -az at R n

3

cette équation a la même forme que celle des poutres (16.12) avec un terme de raideur multiplicatif supplémentaire dû à la déformation en coque. Recherchons des solutions du type: e i... r sin ~

À :

Comme pour le cas de la poutre, les vitesses critiques Ve; de stabilité sont telles que w = 0 est une solution propre (instabilité statique), Ve; vérifie donc: À 7T ).\ (

EhR

3

(n:!]

---+ (1 - 1/2) Il,1 12(1 _

i Eh] -PlV.2 -R

J/:''-) R 3

C

2

(

Il

À 7r ) 2

--

R

o

Considérons avec Weaver (réf. [26]) la vitesse réduite: U

V fi

J 12 (1 -

II

2) P f /

'1T .2

E

Nous avons en variables adimensionnelles : (16.14) Considérons maintenant les conditions aux limites aux extrémités de la coque. Supposons pour simplifier que la solution: sin À

À

'Tf'

z, les vérifie pourvu que

R

soit tel que: À

m

~ (avec 111 entier:::> 0)

(conditions aux limites de type rotuIé-rotulé au sens des poutres).

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

413

La relation (16.14) nous donne alors les vitesses critiques d'écoulement pour chaque mode (n, m) de la coque: a) Pour !ln n donné (::;= 1) le mode longitudinal correspondant à un U e minimum est tel que:

=>171

=

nJ~~'H -121/4

7r

R R

Ce qui veut dire que si la coque est longue (H/R;p 1 ), l'ipstabilité est atteinte en premier pour un mode rn élevé dont la longueur d'onde longitudinale (rapportée au rayon de la coque) est en fait indépendante de )a longueur H mais ., Il, . est f onctIon umquement d e Il et du rapport R Pour une coque plus courte, la vitesse critique minimum est plus grande que cette valeur limite. U c limite est donnée par:

=>

2(11 2 -1)11 Il R

U elim

(16.15)

(Remarque: U clim est également indépendant des conditions aux limites choisies.)

b) Si Il = 1, on retrouve bien sûr les résultats de la poutre (paragraphe précédent), c'est-à-dire que la vitesse critique minimum est obtenue pour le premier mode longitudinal (m = 1) et est d'autant plus faible que H/R est grand: U = C

-RJh

J 12-H

-

R

La figure 16.12 illustre l'application de la formule (16.14). Les résultats sont comparés à une étude théorique plus exacte (réf. [26] et [27]). Remarque: Etant donné une coque

(16.14) détenniner le dUc

on

Il

(~

et

~

donnés), on peut, il partir de

donnant la plus basse vitesse critique:

414

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

H/R=O,02

- - - Calcul Weaver (réf.26) - - - Formules simplifiées D,OS \ \\

\\

\., "

,- _

_

n=3

_ _ _ _ _ -.f"'" L

'----~..::a.....----

n=2

.....................

---

n=1

H/R

o

10

30

20

40

Figure 16.12.

Si la coque n'est pas très longue ( pas sur un mode élevé (n

~

Il

= 1.

~-

1 ) , la première instabilité n'apparaît

Si la coque est très mince

~ ~ 1,

le mode est d'ordre

Il

1 ) donné par:

U Il est donc minimal pour => U emin

1,5 (

111

= 1 => À =

~ ) 1I~ ( ~

) 7/8

et

~. "min

= 0,9 (

~

)

112 (

~

r/'I

Cette expression dépend bien entendu fortement des conditions aux limites choisies pour la coque puisque l'instabilité se fait sur le mode 111 = 1. Dans les cas pratiques, les conditions sont plus complexes (coque encastrée, libre, appuyée. articulée, etc ... ) elle peut cependant donner un ordre de grandeur: Exemple:

*

= 1

~=

0,02

Il min

=3

ou 4 U emill

0,03

Autres remarques: Des instabilités dynamiques (à w =F 0) sont également possibles pour les coques en écoulement.

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

415

De nombreuses études théoriques et expérimentales ont été consacrées à ce sujet pour M. P. Paidoussis et D. S. Weaver, pour plus d'informations on se reportera aux références [26] à [28]. 16.5.

EXEMPLE 3: ÉCOULEMENTS TOURNANTS AUTOUR DES ARBRES DE POMPE

Considérons une poutre droite longue pouvant vibrer en flexion et plongeant dans un fluide. Si la poutre est animée d'un mouvement de rotation autour de son axe (de vitesse angulaire il), il se produit du fait de la viscosité (même si cette dernière est faible) un mouvement de rotation du fluide caractérisé par un champ VII (r).

Soit RI le rayon de la paroi cylindrique limitant extérieurement le fluide, supposée fixe. L'allure du champ Vu(r) dépend de J'importance de la viscosité. Deux cas extrêmes sont à considérer:

Vo(r)

Figure 16.13.

ilR(R I R) • R C = - - -p - -

<;g

L la viscosité conditionne l'écoulement dans l'espace

annulaire: on a un régime laminaire de COllette:

• Re ~ 1, la viscosité est négligeable, on il un régime turbulent et Vu(r) est quasi-constante dans la lame fluide et égale à :

416

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

Nous nous plaçons dans ce paragraphe dans le domaine d'application que nous nous sommes fixé dans ce chapitre, à savoir, la viscosité joue un rôle négligeable, à la fois en ce qui concerne l'écoulement permanent (Re;p. 1) et l'écoulement fluctuant: lù (R 1 - R)2 ) (

-----;p.1 11

Appliquons les relations (16.2) et (16.5) pour déterminer les petites fluctuations dans le milieu fluide du fait du mouvement vibratoire Xs de la poutre: .17r = 0 dans le domaine fluide

a*.

= P f X s cos e -

ar

af,-

ar

=0

Pf

~

.

Vu R sm 0 (en r

R)

(en r = R 1 )

La résolution de ce système conduit à la solution (en négligeant les effets axiaux) :

La relation (16.3) permet d'obtenir la pression fluctuante dans le fluide: p = 7i

+ V . grad

*

En particulier, la pression à la paroi de la poutre est: 2

Ri + R [ ., .fs cos Ri - R-

p(R, e) = P f R.,

0

_iJ . ., X s ] 2 V" -R sm 0 - V ô R1- cos 0

Si i et j sont les vecteurs unitaires de la direction du mouvement x J de la poutre et de la direction orthogonale directe, la force exercée par le fluide sur la poutre est, d'après (16.6) :

(les termes dus fi une éventueJle pression permanente constante dans le volume fluide ayant une contribution nulle). En faÎt nous considérons la force par unité de longueur: fJ =

f21T p(icos 0 +jsin 0 )RdO Il

(16.16)

Dans la pratique, la poutre peut vibrer dans les directions xs(t) et Yr(t) ces mouvements.

et j. Soit

417

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

La force par unité de longueur exercée par le fluide sur ln poutre du fait du mouvement Ys est (d'après 16.16) :

Si l'on considère que l'on peut décrire la poutre par son premier mode propre de flexion identique dans les deux directions (soient Wo sa pulsation de résonance, m sa masse généralisée), les équations du mouvement en présence du fluide s'écrivent:

.

"'-~' +

1

III Ys

"'1

IIlW: x, =

+ mwoY, =

[

-

Ill,

il)2 x1+ilys,] ~'- ( 2 ••

(16.17)

.] - ma[YI- ( il):! )'" - nxs

" Remarque: Cette écriture suppose qu'il n'y a pas d'autre effet dissipateur, et que l'on peut négliger l'effet gyroscopique de la poutre. ma est la masse ajoutée généralisée due au fluide:

Xo(z) = déformée modale L'analyse harmonique de (16.17) a été effectuée dans le détail à la référence

[29]. Elle fait apparaître (comme pour l'effet gyroscopique cL 11-2) un mode direct et un mode rétrograde dont les pulsations propres réelles sont tracées à la figure 16.14 en fonction du paramètre réduit n / Wn' Pulsation réduite w/w o

Q

ma 2!m+ma l

-----1'··-'-;. - . _ -

..*'

.l...,a

••". ! •• ' 1 1

1

• • • a·

•••• -

.".... ••• " ~

______________

1

1

1 1

1

1

1 1

1 1

""

•• a ______________________

~~

Wo

Vitesse

réduite Q/w ll

~-L__~

2

2~ (m+mallma

418

INTERAcrroN FLUIDE-STRUcruRE

$n

On remarque que la pulsation du mode direct croît et celle du mode rétrograde , . ,Jusqu ,.a s>annu 1er pour: d ecrOlt

ri;"" W o = .!.

H

-,

ma

l ' , e systeme est alors statlque-

ment instable. On peut cependant, pour le mode direct, continuer à représenter l'évolution en fonction de fl; w 0' On note en particulier la présence de deux modes directs qui se confondent pour: ti;wo

2

m +

111 a

- - - . Le système est alors dynamiquement instable. 111a

La vitesse critique de fonctionnement est telle que la pulsation W cr correspondante soit égale à la pulsation propre du mode direct, On montre qu'elle est toujours inférieure à la pulsation critique d'instabilité: w cr < 2w o

16.6.

ft; -

n

ma

UN EXEMPLE OÙ LA VISCOSITÉ JOUE UN RÔLE PRÉPONDÉRANT : LES FILMS FLUIDES MINCES

Au début du paragraphe précédent, nous avons parlé du cas: eflR Re = -J!-~ 1 (e étant la demi-épaisseur du film). C'est le cas des fluides très visqueux ou des films très minces. wc:!

Le nombre de Stokes -

II

est lui aussi souvent petit devant 1 : weZ

enR e w

-,-, =-v-"R12 L'ensemble des mouvements dans le film fluide est donc contrôlé par le terme de viscosité. Les expressions développées jusqu'à présent dans ce chapitre ne s'appliquent donc pas. Mais on peut en revanche utiliser les hypothèses classiques des écoulements visqueux: Dans l'équation des quantités de mouvement projetée dans le plan tangent (I) au film (Ul et li! étant les composantes de la vitesse) : - on néglige les termes d'inertie, - on néglige les gradients de III et li! dans les directions autres que celle de normale n au film (abscisse y), on suppose la pression constante dans le film (indépendante de y). On obtient alors:

(16.18)

SYSTÈMES FLUIDE-STRUcrURE NON CONSERVATIFS

419

On suppose que la demi-épaisseur du film peut fluctuer dans le temps et dans l'espace, du faît du mouvement vibratoire Xl' de la paroi de la poutre:

Figure J6.15.

La paroi de la poutre, repérée par y= - e est animée d'une vitesse tangentielle permanente DR, la paroi externe y= e est fixe. En résolvant (16.18), on trouve pour les composants lI 1 et li:. de la vitesse du fluide dans le film : DR y- e 2e

(en négligeant la fluctuation de vitesse tangentielle de la poutre devant .oR). De plus (16.18) impose: 1 flp 2 J.L as] 1 dp

ll,=-il,=--

-

2/-t

aS 2

L'équation de continuité (fluide incompressible) s'écrit:

En intégrant sur l'épaisseur du film on a (puisque e/R

~

1) ;

420

INTERACfJON FLUIDE-STRUCfURE J

ou:

. (e grad p dIv J.L

)

=

+ -3

2

éJe + 3 -éJc n R -as! al

(16.19)

C'est l'éqllation de Reynolds des films minces. Si l'on considère les petites fluctuations de pression autour de l'état d'équiJibre (16.19) devient: div

C3

(

-; gradp

)

3 nR -oX·s n - -3x. n

--

4

as!

.2.r

Rcmarquc: Au paragraphe 15.2.4.d, le problème avait été résolu d'une autre façon dans le cas d'une poutre sans mouvement pennanent (n = 0). On vérifie facilement Ja cohérence des résultats obtenus alors avec l'équation (16.19). Application: calcul des paliers hydrodynamiqucs des machÎnes tournantes

Les arbres des machines tournantes doivent être solidaires de butées suffisamment raides pour assurer un centrage correct et permettant, sans trop de dissipation, le mouvement de rotation. Le palier hydrodynamique est un type de butée qui utilise le laminage d'un film liquide entre le stator et le rotor. Calculer un palier hydrodynamique consiste il déterminer les efforts exercés par le f1uide sur le rotor en fonction du mouvement de ce dernier. Pour cela, on utilise l'équation de Reynolds (du moins quand on peut faire l'hypothèse que l'écoulement reste laminaire). Les deux termes du second membre de cette équation montrent que les efforts dus au fluide sont de deux types: -

des efforts de raideur (proportionnels au déplacement du rotor), des efforts d'amortissement (proportionnels il la vitesse du rotor),

En fait, comme le rotor peut se déplacer dans les deux directions (Ox et 0 y) normales à l'axe de l'arbre, il faudra calculer quatre coefficients de raideur et quatre coefficients d'amortbsement. Exemple: calcu! de l'équilibre el des coefficients de raidellr d'un palier cylilldrique court horÎzo1l1al

On suppose que la hauteur H du palier est petite devant le rayon moyen R. On peut alors négliger les gradients de pression selon 0 par rapport à ceux selon z. L'équation de Reynolds peut donc être écrite (sans le terme associé à la vitesse

ae at

,puisque l'on ne s'intéresse ici qu'aux termes de raideur) de la façon suivante:

(16.20)

On écrit en z= ±

H 2'

que la pression est constante et égale à la pression

extérieure que l'on prendra comme référence, on écrira donc p =

o.

421

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

ot H/ 2 tH/2

Figure 16.16.

Remarque: Dans ce cas particulier, on n'a pas besoin de condition en (J. Généralement, il faudra écrire une condition au niveau des rainures d'alimentation du palier de type P = Pa' a) Position d'équilibre du rotor A l'équilibre, la force hydrodynamique f est opposée à la pesanteur mg s'exerçant dans la direction Oy. Le rotor se trouve alors dans une position excentrée repérée par J'axe Olt. L'angle (OYOu) = tp s'appelle angle de calage. La demi-épaisseur du film en fonction de l'angle repéré par rapport à Ou est donnée par:

e (0) = eo(1 +

Cl!

cos 0 )

2 eo est la différence entre le rayon du stator et celuj du rotor 2 Co l'excentrement du rotor par rapport au stator.

x

Figure 16.17.

Cl:

est

422

INTERAGnON FLUTDE-STRUCT1JRE

On peut alors résoudre l'équation (16.20). On a : 3 a sin 0 p(lJ,Z) =-,p.fl - - - - 4 elÎ (1 + a cos 0

Si 0 <: 0 <: TT, p::> O. Si 7T <: 0 <: 2, p <: O. En fait, .la pression dans le palier ne peut pas descendre en-dessous de la pression de vapeur saturante. Si l'on admet que 1es fluctuations dans 1e palier sont grandes par rapport à la pression atmosphérique externe (p = 0), la condition cidessus s'écrit approximativement: p ::> O. Le champ de pression sera donc donné par: 3 fl a sin (J p (0 ,z ) =-.,p. 4 eô (1 + a cos

1

si

0 <:

si

7T <:

(J <: TT"

(J

=0

0

<:

2

TT"

La force f exercée par le fluide sur le rotor est alors donnée, par: -

projection sur Ou : fil

3

= --,p.flR 4 eô

= p. -

H 3 Rfl --,-

fll/2

_ H/2 (

HZ _

Z2)

dz f1T a sin f) cos (J d f) Il (1 + œ cos f)

al

4 c(i

(1 - a

projection sur Ov :

Le modu1e

f de f

f est donc: 3

=

JLH Rfl

a

16 e~ (1 _ a

zy! {2+(16

TT"2)a 2]1f2

7T

(16.21 )

L'angle de calage cp est (en écrivant que f est dirigé selon Oy) :

(16.22)

423

SYSTÈMES FLUIDE-STRUcrURE NON CONSERV ATIFS

Pratiquement, on calcule Je nombre de Sommerfeld du paJier:

S _ IL HRn ( R ) -

écrire:

f =

7T

(mg)

2

Co

mg en utilisant la relation (16.21), revient à écrire:

4 R S = :; (

H)

(1 - CI' 2)2 [1T 2 + (16 _

2

1T~) a

a

2]112

Cette relation permet d'obtenir CI' et donc de déterminer cp il l'aide des relations (16.22). b) Calcul des coefficiellts de raideur Une petite variation dx du rotor de composantes dl' et d}' engendre une variation de ! et cp. Les composantes de la variation df de f sont:

On a, par ailleurs:

I

1

dCP =

Co

CI'

+ dy sin

(dl,:' cos cp

cp )

+

dcp (- d\: sin cp + d)' cos cp eo d CI'

d! = _1_ d! (d\: sin cp - dy cos cp ) 2 cuda

+ d(cos cp) ] dx - L 2 Co CI' dCl' 2 eo 1 d! . 1 d! d!y = sm cp d"t' - cos cp d)' 2 eo da eo da dix = -

~

L [ cos

[ sin cp

+ d(sin

cp) ] dy

da

a

1

Définissons les coefficients de raideur adimensionnels par:

On a, d'après (16.21) et (16.22): d (cos cp ) cos cp K)(x = - - + d a

K

a

_ sin cp xy -

--

a

+

d(sin cp) _ d a

d! sin cp YA

K

K yy

-

CI'

4[7T

Cl 1

~., 312

(16 - 1T-) a-] -

1T[1T 2(1 a 2 f! -16 a 4 ] ~ 1""') .,., - a -) [7T - + (16 - 7T -) CI' le.

(1 - a 2)(1 + 2 a:!) +32 0: 1(1 a (1 _ a 2)111 [1T 1 + (16 _ iT 1) a

7T[1T

da - [ - = -

_ d!coscp _ - da ! -

4 [2 1T:! + (16 - 1T 2) 0'2]

=., [1T-+

1

r

'/' ~

+ a 2)j 2]31:!

(I-CI'l)(1+2a 1)+32a 2(1+a 1 )] (1 _ a 2)[ 1T 1 + (16 _ 1T 2) a 2r /2

(16.23)

424

TNTERACfION FLUIDE-STRUCTURE

œ ayant été déterminé, on obtient donc Kxx' montre l'évolution des coefficients avec a.

SIH/2R)2

Kxy.

K yx et

Kyy.

La figure (16.18)

K

10-1

10

10- 2

10-3 I---.l--L--_L--'I'-"---..I.-I---LI---,-I--L~",rt .....

o

0,2

0,4

0,6 .

o,a

10-1 '----'---'---"----'---'-___J--L.I'----'--'-----l_1X o 0,2 0,4 0,6 0,8

Figure 16.18.

De nombreuses études sur les paliers hydrodynamiques ont été effectuées par H, Bire11lballt que l'on pourra consulter pour plus de détails aux références [301 et [31 ].

16.7.

CAS D'UNE STRUCTURE VIBRANTE DANS UN ÉCOULKMENT AVEC DÉCOLLEMENT. EXEMPLE DE L'OBSTACLE CYLINDRIQUE EN ÉCOULEMENT TRA..NSVERSAL

Les exemples que nous venons d'étudier ne nécessitent pDS, pour une description correcte des phénomènes d'interaction fluide-structure, une représentation très compliquée de l'écoulement permanent. Il existe en revanche des cas pour lesquels il faut modéliser plus finement ce qu'il se passe au voisinage des parois. C'est le cas des obstacles vibrant dans un écoulement avec décollement. Nous allons montrer sur l'exemple du cylindre isolé en écoulement transversal, que les phénomènes d'interaction fluide-structure sont plus complexes. Ce sont d'(]il1eurs des observatÎons expérimentales qui nous serviront de base pour cela, car une prévision par le calcul se révèle fort difficile puisqu'il faudrait en fait déterminer la structure de l'écoulement décollé et sa sensÎbilité >, aux mouvements des parois, comme nous l'avons dit dans l'introduction du présent chapitre. l(

425

SYSTÈMES FLUlDE-STRUcrURE NON CONSERV ATIFS

16.7.1.

Analyse des fluctuations de pression li la paroi d'un tube immobile en écoulemcnt transversc

Les éléments quantitatifs de ce chapitre sont tirés de la référence [20]. Selon le nombre de Reynolds de J'écoulement:

R

=

VD

C

V D

J'

vitesse amont du fluide diamètre du tube viscosité cinématique du fluide.

l'

les caractéristiques de l'écoulement li J'aval du cylindre différent:

Ra

Rfigiml:! d'écoulemenl

.::5

type Stokes pas de décollement

1-

~ -----

de 5 il 40

lourbillorl5 • attachés· au tube

de 40 il 15Q

sillage périodique trils (llable

do 150 il

détactlom!!nt tourbillonnaire irrégulier

3)( 10 5

(régime • sous critique·)

:1)( 10 5

sillage non périOdique régime • trans-critique·

à3 x 106

>

3 x 10 6

le Sillage retrouve une cerlüine p€ltodicilé régime • super-crilique •

~

~'--"~ ~"--/~ . ' ) y-~l)

~ -

.-

-

426

INTERACTION FLl:JIDE-STRUCTURE

Dans la pratique, le régime « sous-critique}) est celui que l'on rencontre le plus fréquemment dans les circuits industriels (obstacles divers, faisceaux des tubes d'échangeurs, etc ... ). Les régimes transcritiques et supercritiques sont rencontrés pour les obstacles de grandes tailles (cheminées dans le vent, etc ... ) ou pour les écoulements de très grande vitesse. Nous nOlis limiterons ici au régime « sOlls-critique » qui est également le mieux connu. Nous anticipons un peu ici sur la 3e partie consacrée aux sources vibratoires induites par les écoulements: Rappelons brièvement que les fluctuations de pression sont caractérisées par une « densité-spectrale de puissance )) Sp(f) qui définit leur contenu fréquentieL Spatialement, on introduit une ou plusieurs longueurs de corrélation A qui caractérisent le degré de « cohérence statistique » entre deux mesures effectuées en deux points différents: très schématiquement, si les deux points sont distants de moins de A, les deux signaux sont bien corrélés, s'Hs sont distants de plus de A, ils sont statistiquement indépendants. Les densités spectrales de puissance des fluctuations de la pression à la paroi d'un cylindre en écoulement transverse présentent trois zones particulières: - la zone à large bande à basse fréquence, - un pic étroit à une fréquence f K correspondant à la période moyenne du détachement tourbillonnaire, - un pic étroit à la fréquence 2 fI{. L'importance relative de ces zones varie en fonction de l'azimut 8 (8 point d'arrêt) (voir figure 16.20).

o

30

60

90

120

150

0 au

180

e (degrés) 0,3

0,2 0,1

0,03

Ecart type de la pression et de ses 3 composants en fonction de l'azimut e Figure 16.20.

427

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

c '-"

o

30

60

90

120

150

180

210

El (degrés)

Longueur de corrélation longitudinale de la pression pour différents niveaux de turbulence amont (SURRY 1972) Figure 16.11.

428

INTERACTION FLUlDE-STRUCrURE

On peut définir une fréquence adimensionnelle par s =

~

= nombre de

Strolllwl. Le détachement tourbilJonnaire est alors caractérisé par un nombre de StrOldwl SK = 0,2 environ en régime sous-critique. Du point de vue des corrélations: - azimutalement, les fluctuations sont très bien corrélées au niveau du pic de Karman (on remarque une opposition de phase de part el d'autre du point d'nrrét), - longitudinalement, la figure ]6.21 montre l'évolution de la longueur de corrélation en fonction de l'azimut, cette longueur est d'environ 4 D dans la zone du maximum des fluctuations de pression.

Remarque: La turbulence amont a tendance à atténuer les phénomènes de détachement tourbillonnaire et à diminuer la corrélation des fluctuations. 16.7.2.

Efforts fluctuants de portance et de traînée locaux

La grandeur la plus intéressante du point de vue de l'hydro-aéro-élûsticité est l'effort fluctuant exercé par le fluide sur une tranche de tube. Cet effort est caractérisé par une composante perpendiculaire à l'écoulement amont (portance) et une composante parallèle ft l'écoulement amont (traînée). Ces deux composantes rapportées à 1/2 P f V'!. D conduisent à deux fonctions du temps caractérisées chacune par une densité spectrale adimensionnelle dont l'allure est donnée par la figure 16.22. Les valeurs quadratiques moyennes de ces fonctions s'appellent respectivement coefficient de portance (TL et coefficient de traînée {T D' On remarque que la portance est plus importante que la traînée et qu'ene possède un pic fi la fréquence de Karman plus détaché encore que pour les fluctuations de pression (du fait des effets de corrélation). Lu figure 16.23 donne l'évolution de u L en fonction du nombre de Reynolds, qui est d'environ 0,5 dans une large plage. 16.7.3.

Analyse de J'effet d'un petit mouvement harmonique imposé du cylindre. Mise en évidence d'un effet destabilisant

Si l'on impose maintenant au tube un mouvement harmonique. de fréquence

Ir et d'amplitude X dans la direction

transversale à l'écoulement amont, une raie il la fréquence fe vient se superposer à la densité spectrale des efforts de portance dus à l'écoulement, pourvu que X ne soit pas trop grand (X/D <: 10- 2 environ) (cf. figure 16.24). Dans ce cas, on peUL donc dire que la structure de l'écoulement fluctuant à l'aval du tube n'est pas modifiée et que simplement un effet fluide-élastique s'y superpose. C'est cet effet que nous étudions ici, en particulier, la partie en phase et en auadrature de phase de l'effort à la fréquence ft! par rapport au mouvement:

429

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERV ATIFS

t-

e

> "Cl loi-

Il

lI'I ...0

e

QJ

'QJ

.S: ru t...

...1-

OJ

-c CI CI

Ln 0

0

Ln

...lQJ

OJ

w

C

-.:t

ru

Il OJ

...1-

t...

0

0::

Cl..

...:t'

e

OJ

-c 1/) 0I-

e

QJ

w loiloi-

lT'l.. 0

ru

0 L.J

II)

OJ

-c OJ

N 0

ru t... ...1W

ru

Cl.. II)

'ru ...lII)

..0

Figure 16.22.

e ru

0

~

w

o

0,9

Di. O,B 0,7

~

0,6

m

~

0,5

9 o

0,4

r-

"Tl

Z

If-i"

!:; r.

.....

"':1

e:

a

0\

1'-'

[Tl

~

en

03

;d

0)

~::0

e:

1

tri

0,1 0 104

105

Nbre de REYNOLDS

Coefficient de portance en fonction du nombre de REYNOLDS - !Ecart typel

SYSTÈMES FLU1DE-STRUCI'URE NON CONSERVATrFS

431

Densité spectrale IN/m)2/Hz

10-5 ~_...I..-_.....I-_-L-_---'-_--L-_---J.._----L_ _IH_z) o 10 20 30 40 50 60 70 Figure: 16.24.

Nous considérons la portance fluctuante locale sous forme adimensionnelle :

2

1/2 P f V X

(F L et CL sont ici des nombres complexes fonctions de

f~).

On peut penser estimer cette portance fluctuante à partir de la traînée permanente liée au cylindre: En effet, si l'on se place dans le repère lié au cylindre, la vitesse amont de J'écoulement est: Vi +.ij

Figure 16.25.

432

INTERACfION FLUJDE-STRUCfURE

Si l'on extrapole à cet écoulement variable les observations effectuées pour le régime permanent on peut écrire qu'il s'exerce sur le cylindre la force:

CD~PfIVi +ijl (Vi +.tj)D (CD étant le coefficient de traînée permanente).

La partie fluctuante transversale de cette force est au premier ordre: FL

CD~ P f V.i:

d'où le coefficient de portance fluctuante, en régime harmonique:

En fait cette express}on est valable pour les mouvements « lents )~ du cylindre ~ l ), mais est complètement fausse quand JI:! Jk est vOÎsin de 1, c'est-à dire quand la fréquence d'excitation se rapproche de la gamme de sensibilité de l'écoulement instationnaire. Nous -avons représenté sur les deux graphiques 16.26, l'évolution de la partie en phase et en quadrature de CL à la fréquence du mouvement, en fonction du rapport Ici fk . Les courbes sont valables quel que soit X dans la gamme étudiée 10- J <: X ID <: 10- ~. II semble donc que le phénomène soit sensiblement linéaire.

(Jcl h

M

Coef. de portance (partie en phase 25 avec le mt )

Coef. de portance lpartie en quadrature 25 avec: le mt }

x x

xo;~

20

0

20

o~

15

/

X

0

\ Â

x

t~ 0\

10

10

1

00

0

/0

x

Jo O:o~

XX

5

0

oxl\ '"

15

o

0 Qj

($)Â

5 ;;

0'

x

0

o 0,9

o 0,9 -5

.

0

Â

-s Figure 16.26.

fe/fI(

1,1

SYSTÈMES FLUIDE-STRUctURE NON CONSERVATIFS

433

On remarque bien que l'évolution avec la fréquence de la force exercée par le fluide ne peut pas s'expliquer à l'aide des trois termes: ({ inertie» (- f;), composition de vitesse (- fe)' et quasi-statique (constant), mis en évidence dans la théorie {( potentielle ») du paragraphe 16.2, ainsi que par le modèle précédent. D'autre part, nous remarquons une partie en quadrature de phase posÎtive avec le mouvement au voisinage de fel h = 1. Cette force en quadrature de phase positive correspond, pour le mouvement d'un tube l'ibrant libremellt à l'une de ses fréquences de résonance fo (par ex:emple le fondamental), à Wl terme d'amortissement négatif qui conduit il une instabilité sî ce terme est supérieur à l'amortissement du tube, Si X()(z) est la déformée modale longitudinale correspondante du barreau, la force généralisée destabilisante, due au Ouide, est (pour un barreau soumis à un écoulement à profil plat) :

~ Pf V 2 X

(Cdl. «CL).L =

-

L

r X~(z) dz Jo

partie en quadrature de phase de Iii portance)

la force généralisée due aux termes d'amortissement est: L

2 s(2

'li

fof X

r m(z) XUz) dz Jo

(m (z) étant la masse linéique du barreau, compte tenu des effets d'inertie du fluide). Si l'on pose:

r m(z) X~(z) dz Jo L

111=---=-:;------

J X~(z) L

dl'

n

La condition d'instabilité s'écrit:

Soit en utilisant la relation

h D . y-'

Sk

1 V2 7T

R

[c (

en posant:

_ mô An---.., P f DV f(lD

L

Sk

1 ) ] VR .L

(16.24)

INTERAcrION FLUIDE-STRUCTURE

434

La courbe de limite de stabilité définie par 16.24, est obtenue il partir des courbes de (Cd.!. en fonction de Je/ Jk et de la valeur du nombre de Strouhal de détachement tourbillonnaire (SI': = 0,2). Sur le graphique 16.27, on compare cette courbe aux plages d'instabilité relevées directement lors d'essais sur tube vibrant librement.

6

Vitesse réduite VR

5,5

5

Amortissement réduit AR

4,5~------~--------~--------~--------~~~

o

5

10

15

20

Figure 16.27.

16.7.4. .Efi'ct d'un mouvement plus intense du cylindre, phénomène d'accrochage La représentation linéaire du mécanisme d'interaction structure-écoulement est donc suffisante pour prévoir les conditions d'amorçage de l'instabilité. Mais elle ne peut rendre compte de ce qui se passe pendant la phase d'instabilité. En effet, dans cette phase, les niveaux vibratoires transversaux à J'écoulement amont du tube deviennent suffisamment grands pour modifier l'écoulement instationnaire dans son ensemble et l'on aboutit il un régime d'équilibre que seul un modèle non linéaire peut prévoir. Expérimentalement, on met en évidence ce phénomène connu sous le nom d'« accrochage mécanique» en soumettant un barreau cylindrique souple de fréquence de résonance 10 il un écoulement transverse dont on augmente progressivement la vitesse V. Pour les basses vitesses, la vibration du barreau il la fréquence 11), induite par les fluctuations de l'écoulement, est faible et croît régulièrement avec V.

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

435

Soit Vo la vitesse de l'écoulement telle que:

!oD

(fol fIC

= ])

Si la condition d'instabilité (16.24) est remplie, le niveau vibratoire croît brutalement pour une vitesse VI (légèrement inférieure à V o). Cette vibration peut alors modifier le détachement tourbillonnaire donc la source d'excitation, cette source régularisée et corrélée crée une vibration beaucoup plus intense et le détachement tourbillonnaire se fait à la fréquence fo. Quand on continue à augmenter la vitesse V, le phénomène reste stable jusqu'à une vitesse V~ (supérieure à VII)' Au-delà, de V!, le niveau des vibrations retombe et la fréquence du détachement tourbillonnaire redevient proportionnelle à V.

t1

.....

/

o

··. II· ··

/1-1 1 Il

1

1

1

1

1 1 1

1

1

1

1

1

v

......

v

o v; v, Figure 16.28.

Remarque: En fait, la vitesse V:2 est supérieure à V2 prévue par la formule (16.24) (l'état accroché se prolonge donc au-delà des conditions prévues par le modèle linéaire). En revanche, si l'on part d'un régime non accroché à haute vitesse d'écoulement et si l'on pénètre dans le domaine critique en diminuant V, l'instabilité apparaît pour V = V 2, et disparaît pour Vi <:: VI' AlIIl'C remarque: Nous ne parlerons pas ici des modèles mathématiques proposés par certains auteurs pour reproduire le mécanisme décrit ci-dessous. Les modèles n'apportent en effet que peu d'éclairage sur le mécanisme physique qui est à l'origine de l'accrochage et qui est vraisemblablement en relation avec le point de décollement de l'écoulement le long du cylindre et de la sensibilité de sa position à un mouvement transversal de la paroi.

436

INTERAcnON FLUIDE-STRUCrURE

Récemment, des tentatives prometteuses de calcul numérique de J'écoulement autour d'un cylindre avec mouvement des parois ont été effectuées, ceci pour des Reynolds suffisants pour que l'on observe Je phénomène de détachement tourbillonnaire. Pour plus d'informations, on pourra consulter les références [32] à [34].

16.8.

UN EXEMPLE D'INTÉRÊT INDUSTRIEL IMPORTANT: INSTABILITÉS DES FAISCEAUX DE TUBES EN ÉCOULEMENT TRANSVERSAL

L'exemple précédent nous a permÎs d'illustrer dans un cas simple et démonstratif, rinteraction structure vibrante-écoulement avec décoHement. Il a d'ailleurs également un intérêt pratique puisqu'on rencontre dans l'industrie certains problèmes se rapportant aux cylindres isolés (cheminées d'usines dans le vent, réfrigérants atmosphériques des centrales nucléaires, etc... ). Examinons maintenant un cas beaucoup plus courant et également beaucoup plus complexe: celui des instabilités des faisceaux de tubes en écoulement transversal. Les faisceaux de tubes en écoulement sont très courants dans J'industrie: faisceaux d'échangeurs de chaleur et de générateurs de vapeur, chaudières, cœurs des réacteurs nucléaires, etc ... Les risques d'instabilité sont importants dans les échangeurs et dans les chaudières car pour de nombreux types d'appareils, les gammes de fonctionnement et les gammes d'instabilités coïncident. Il faut donc disposer de données précises concernant l'instabilité et dimensionner les appareils en conséquence. Ainsj, de nombreuses études ont été menées en particulier en ce qui concerne les échangeurs des centrales nucléaires. Elles sont essentiellement de nature expérimentale, soit sur des faisceaux de géométrie régulière attaqués par un écoulement transversal uniforme et où des mesures assez fines sont effectuées; soit sur des maquettes de faisceaux réels (tubes en U, hélicoïdaux, etc ... avec des écoulem~nts complexes) où l'on se contente de mesures plus globales (vitesse critique d'instabilité, etc ... ). Certains phénomènes rencontrés pour le tube isolé sont également observés dans les faisceaux de tubes: détachement tourbillonnaire de Karman, possibilité accrochage») avec le mouvement vibratoire des tubes. Cependant, d'un l'existence d'un écoulement beaucoup plus complexe rend la caractérisation de ces phénomènes moins claire surtout dans le cas des faisceaux à pas serrés. De plus des phénomènes spécifiques aux faisceaux, viennent se superposer: ainsi des forces de couplage fluide-élastique entre tubes voisins conduisent à un type d'instabilité particulier. Des phénomènes d'accrochage entre le détachement tourbillonnaire et des ondes acoustiques transversales se développant à l'intérieur de l'enveloppe de faisceau, peuvent également se produire dans les installations en gaz (échangeurs, chaudières). (t

SYSTÈMES FLUIDE-STRUcrURE NON CONSERVATIFS

437

Notons enfin que, par rapport au tube isolé, plusieurs paramètres géométriques supplémentaires interviennent: l'arrangement du faisceau (tubes alignés, en quinconces réguliers ou irréguliers, etc ... ), les pas longitudinaux et transversaux des tubes. Tout ceci explique que les données expérimentales disponibles sont encore fragmentaires et que certains comportements restent encore assez mal expliqués. Nous ne cherchons pas dans ce paragraphe il faire un point exhaustif sur J'état des connaissances dans ce domaine, mais plutôt d'en illustrer certains aspects, en particulier de voir comment les théories développées au cours de ce chapitre peuvent être utilisées pour interpréter les données complexes de l'expérience. Les résultats qui sont donnés ci-après correspondent il une gamme de nombre de Reynolds Rf' = 104 , 105 , donc sous-crîtique qui recouvre les conditions de fonctionnement de la plupart des faisceaux d'échangeur (le nombre de Reynolds est défini ici il partir du diamètre des tubes et de la vitesse moyenne intertube dans une rangée).

16.8.1.

Efforts exercés pnr l'écoulement fluctunnt sur les tubes

a) Principales caractéristiques des fluctuations de pression Le spectre des fluctuations de pression s'exerçant sur les tubes se compose d'un fond turbulent et d'un « pic» correspondant au détachement tourbillonnaire. Le niveau du fond augmente quand on pénètre à l'intérieur du faisceau, le pic tend ù s'élargir. Ceci est d'autant plus marqué que le pas du faisceau est plus serré. Ainsi, pour des pas réduits (rapport pas sur diamètre des tubes) inférieurs il 1,5 environ, la bosse de Strouhal est quasi indétectable. Ceci explique la très grande dispersion des résultats expérimentaux sur le nombre de Strouhal caractéristique du détachement tourbi11onnaire SK à partir d'un pas réduit inférieur à 2. Pour les pas supérieurs à 2, les sI{ expérimentaux sont assez voisins de 0,2 qui est la valeur pour le tube isolé. Nous présentons ci-après (fig. 16.29) quelques abaques pour les faisceaux en lignes et en quinconces: sI{ est tracé en fonction du pas réduit transversal Xr. Plusieurs plages correspondant à diverses gammes du pas réduit longitudinal XL englobent un grand nombre de résultats expérimentaux.

Remarque: Pour certains faisceaux quinconcés, on observe deux pics de Stroulwl. Pour plus de détails, on pourra consulter les références l37] , [38] et [39]. b) Portancc et traînée locales fluctuantes L'effort s'exerçant par unité de longueur sur une tranche de tube a une partie fluctuante qui se projette dans le sens transversal par rapport à l'écoulement moyen (portance) et dans le sens longitudinal (traînée). La densité spectrale de puissance de la portance a les mêmes caractéristiques fréquentielles que celui des fluctuations de pression. Le spectre de la traînée ne comporte en général pas de pic.

438

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

1-

X

c::J

x:

tJ)

QJ

u

>n®~ ® ® -®

c:: 0 u

c::

"3

...:t

>

®

®

~

N

>

"

Cl

~

~

Il

~

tJ)

co

'-0

...:t

N

c:;:J

c:;:J

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c:;:J

c:;:J

..-

l-

X Cl

...:t

....t

x

---1

le

®

~

>-

~I

Cl

~I

® >-

'e

® N

>

"

Cl

~

\4-

Il

~

li)

...:t

(1""1.

0

0

N 0

Figure 16.29.

..0

c:;:J

-

439

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERV ATIFS

La valeur quadratique moyenne de la portance et de la traînée s'exprime en adîmensionnel à l'aide des coefficients aL et aD définis par:

avec: V = vitesse intertube moyenne dans une rangée, D diamètre des tubes. aL et aD dépendent du pas du faisceau. On note également une influence du nombre de Reynolds. Dans la gamme 104 , 105 , un majorant de 0,5 peut être pris pour aL (valeur trouvée pour le tube isolé) bien que certains auteurs mettent en évidence des valeurs plus grandes pour les faisceaux quinconcés. Quand le pas devient plus serré (TL décroît comme le montrent les abaques ] 6.30 tirées de la référence [36]. ;

Faisceau en ligne

0,5

0,4

XT=3

0,3

XT=2,4 XT=2

0,2

XT=1,S Xl

0,1 0

1

2

3

4

Figure 16.30.

Le coefficient

lT D

peut être pris de J'ordre de 0,2 il 0,4 (voir réf. l36]).

c) Corrélatioll longitudinale De rares mesures de la corrélation le long de l'axe Oz des tubes ont été effectuées dans les faisceaux. L'étude des corrélations des fluctuations de la vitesse à J'aval d'un tube (réf. [38]), montre que, pour les pas larges, la longueur de corrélation longitudinale AD est telle que À = 3 à 4 (comme pour le tube isolé). Pour les pas serrés A devient nettement plus grand. Pour les efforts fluctuants, on peut prendre en première approximation le coefficient À et considérer qu'ils sont en phase le long des tubes.

440

16.8.2.

INTERAO"lON FLUJDE-STRUO"URE

Accrochage et instabilité de flottement

Comme pour le tube isolé, un mouvement vibratoire des tubes d'un faisceau modifie les forçes fluctuantes exercées sur eux par l'écoulement. Ceci conduit à des phénomènes d'i{lstabilités que les auteurs ont traditionnellement l'habitude de classer en phénomène d'accrochage et instabilité de flollement. a) Le phéllomèlle d'accrochage, par analogie avec le tube isolé, est caractérisé par une ou plusieurs plages, lors d'un balayage en vitesse d'écoulement, où les niveaux vibratoires des tubes sont intenses. Ces plages correspondent plus ou moins à une coïncidence entre la fréquence des résonances Jo des tubes et une fréquence de détachement tourbillonnaire. La modélisation du phénomène est calquée sur celle du tube isolé. Cependant, ce phénomène est beaucoup moins net pour les faisceaux il pas serré que pour les rangées uniques et qu'à fortiori pour le tube isolé. On peut cependant déterminer une zone instable dans le diagramme des V ma . paramètres adimensionnels: V R = -r D et An = - - , (avec les memes notaJO P J Dtions que pour le tube isolé). A titre indicatif, pour un faisceau à pas triangulaire réduit de ] ,5, en écoulement d'air, on observe des accrochages pour 1 <: V R <: 5 et pour AR <: 1. Signalons, sans entrer dans les détails, que dans les faisceaux d'échangeurs à gaz, on peut rencontrer des accrochages acoustiques, les tourbillons étant cette fois synchronisés par les ondes acoustiques transverses se propageant dans le faisceau. Le phénomène se produit alors au voisinage de la coïncidence entre la fréquence de détachement tourbillonnaire et une fréquence de résonance acoustique transverse de la cavité contenant le faisceau. b) L'instabilité de j10lfement a été mise en évidence par Co 111 lOrs sur une rangée de tubes vibrants en écoulement d'air (réf. [42]).

y

v

Figure 16.31.

)(

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATJFS

441

D'autre part, cet auteur a montré expérimentalement, en considérant deux tubes voisins de la rangée, qu'un mouvement de translation imposé x à très basse fréquence dans la direction Ox du tube 1 crée une force quasi-statique

f l'

=

kl

~ Pf

y2 Lr dans la direction Oy sur le tube 2 (L

=

longueur des tubes).

Inversement, un mouvement y dans la direction Oy du tube 1 crée une force fx

Je'].

~ P f y~ Ly

dans la direction Ox sur le tube 2.

Ces forces quasi statiques entraînent un couplage fluide-élastique linéaire entre les deux tubes. Ce couplage est dissymétrique. A partir des expressions des forces fx et fy, on peut expliquer l'instabilité observée sur les tubes vibrant librement: Soit un tube vibrant en flexion avec certaines conditions aux limites ù ses extrémités. Son premièr mode propre est caractérisé par une pulsation propre W X • une masse généralisée m(J et un amortissement généralisé Ex, pour les mouvements de direction Ox; W Y' m{} et E Y pour les mouvements de direction 0 y. (Nous supposons que les directions principales de vibration sont Ox et 0 y, c'est-à-dire que l'une d'elles correspond à la direction moyenne de l'écoulement. Nous supposons également que la masse généralisée est identique suivant les deux directions et que les pulsations W x et w y sont voisines de la pulsation centrale w()). Si Oz désigne la direction de l'axe du tube, nous appelons X(I(z) la déformée modale normalisée que nous supposerons pour simplifier, identique suivant les deux directions. Le tube peut alors être représenté au voisinage de Wo pur deux oscillateurs harmoniques d'équations: '!

')

m!J ( .~. {

+~ mu(Y + ...

Ex W x

E}, Wy

'.

~ y

w;:2")

(x et y sont les déplacement généralisés; fx et Nous avons: tng =

.(

+ X = Jx + Wyy) = fy

f yles forces généralisées).

IL m(z) X~(z) dz ()

(avec m(z)

masse linéique du tube), et:

=

IL

Iy =

r Jo

fx

fx (z) X()(z) dz

L

1 (avec fx(z) et ~,(z) Ox et Oy).

fy(z) X(J(Z) dz

= forces exercées par unité de longueur suivant les directions

Considérons maintenant deux tubes voisins de caractéristiques modales peu

442

INTERAcnON FLUIDE-STRUCrURE

différentes: même mo et même X o( z), pulsations propres voisines wyl' W xZ ' w y ;!' amortissements EXI' Ey " Ex]., l'y'!' Les forces généralisées de couplage entre les deux tubes sont:

lx)

fI.. X~(Z) dz

k 2 P f y2 Y2

=

W

xl'

K 2 P f y2 Lyz

= -

Il

JLo X~(Z) dz

IYI = - lei P f y2 X2

f~). f yl KI

IL X~(z)

le"). P f yl YI = Ic) P f

= kI/L

dz = Kz P f y2 LYI

rLX~(Z) dz

yl XI

Kt P f y2

Jo

rI.. X~(z) dz

Jo

- Kj P f y2 Lx::!

Lt'(

L

et

K 2 = k 1 /L

r X~(z) dz

Jo

Les équations du système des deux tubes sont donc: mg(.x)

+2

WX ]

EX]

mo(jit + 2 En

+2 m n(Y2 + 2

11l 0 (X 2

L'équation en

W

x) + w11 XI) +

Wyt Jil

EJl:2 W X !

x'J, + W;2 X2) + Wi2 Y2)

EY1 wY:!"h

K 2 P f y:!. LY2

-

wi) YI)

- K) P f y2 LY2 = K 2 P f y2 LYI =

KI P f y2 Lx)

caractéristique du système est: "

W X1 W )( wi"

-

-

" + 21Ey, .

W -

-

wY'l

-

w)

Pf y2L ) 2] + KI K"- ( mg

(16.25) Supposons par exemple que: WXl = wYI = Wl {

WX2 = WY1 = W2

ou ce qui conduit à des résultats identiques: W X1 { WYI

avec a

~

1.

Supposons en outre que :

=

W x2

= w1

= wY2 =

w).

=

loo(1 -

w()(l

C't )

+ a)

SYSTEMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

443

ou ce qui revient au même:

Posons alors w /

W

ü

=

1 + il (avec il

~ 1)

et :

J'équation (16.25) devient au premier ordre:

n

Le système est insTable s'il existe pOlir négative.

des solutio11s" ri partie imaginaire

'" Dans le cas le plus simple où :

n

on a:

=

ie ± iK

le système est donc instable pour K:> E. En considérant les paramètres réduits An et V R précédemment définis, l'inégalité K:> E peut s'écrire:

v n :>cAI(2

*

Dans le cas où ex

=1=

0

avec:

] 111

Tf

(16.27)

K::.

~ (EJ = El = E),

n

4

C= [

.

(16.26) devient:

. IK'--ex-.,

=lE±l,\

le système est donc instable pour K 2 :> E::' + a condition de remplacer le décrément l} par:

2.

(16.27) est donc applicable à

(16.28)

Remarque: Avant d'atteindre l'instabilité, les pulsations propres du système couplé évoluent en fonction de la vitesse de l'écoulement. Enes sont données par la partie réelle du n de la formule (16.26) :

444

INTERAcrION FLUI DE-STRUCrURE

d'où:

L'instabilité se produit quasiment à la coïncidence de ces deux fréquences (si E~lX):

w

v Figure 16.32.

Autre remarque: Si la vitesse d'écoulement transversale varie le long du tube, on prendra pour m une masse Iinéique équivalente donnée par:

Il n1=

111 (2)

X~(2) dz

r v (z) X~(z) dz Jo L

2

v (z) étant un profil de vitesse normalisée. Théoriquement, quand on atteint la vitesse critique, l'amplitude de vibration devrait tendre vers l'infini. Pratiquement l'amortissement des tubes n'étant pas linéaire, l'amplitude de vibration se stabilise à un niveau élevé après une croissance brutale. CecÎ fait qu'il est parfois difficile au seul vu des résultats d'un balayage en vitesse, de distinguer l'instabilité de flottement du phénomène d'accrochage. Dans les faisceaux, le même phénomène est observé. La constante C dépend alors de l'arrangement des tubes et des pas réduits. Un ensemble d'études a été déjà publié sur le sujet, utilisant comme fluide de l'air (voir réf. [40], par exemple).

445

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

l-

,....J

X

X

rD

III L-

aJ

>

1/1

c: ra

1=

--

'5 "5

-c -c

IIoQJ '4QJ

L-

r...

III

III

rD rD Cl.. Cl..

Il

II

I-....J

XX

-'

X

LJ

N

LJ

Figure 16.33,

446

INTERAcrlON FLUIDE-$TRUcrURE

Nous présentons à la figure 16.33 des abaques donnant la constante C en fonction des pas réduits transversaux Xl' et longitudinaux XL pour des faisceaux en lignes et en quinconces. 16.8.3.

Tendances actuelles de la modélisation des instabilités dans un faisceau

Depuis un certain nombre d'années, différentes observations faites sur des faisceaux à pas serrés en écoulement d'eau ou plus récemment de mélange diphasique, a montré une incohérence avec la modélisation quasi-statique. Ce même phénomène est observé également sur des essais effectués en air avec des tubes très peu amortis. Comme le montre la figure 16.34, l'évolution de la limite de stabilité ne semble pas évoluer en V n - A:f mais selon une loi plus complexe notamment pour les basses valeurs de An (<:: quelques unités). Remarquons que les faisceaux en eau usuels sont tels que An <:: 1, alors qu'en diphasique eau-vapeur on a plutôt 1 <:: AR <:: 10. On observe aussi dans cette gamme des bas AR' une certaine insensibilité des conditions critiques aux différences de fréquence entre tubes et également aux valeurs des pas du faisceau. Tout ceci est en contradiction avec la théorie quasi-statique. Diverses tentatives empiriques ont été effectuées pour synthétiser ces différents résultats. Les figures 16.35 montrent l'utilisation d'un groupement paramétrique différent de An (cf. réf. [45J) visant à proposer un meilleur critère que celui de COllnors.

(Les symboles représentent des points expérimentaux pour lesquels l'amorce d'une instabilité a été observée). Chen (réf. [46]) décrit une modélisation incluant deux mécanismes d'instabilité: -

un mécanisme quasi-statique (avec des forces fluideMélastique du type

COll1lOrs) , impliquant un couplage entre les tubes,

- un mécanisme de type « vitesse )~ (forces fluide-élastique de type visqueux), n'impliquant pas forcément de couplage entre tubes et se rapprochant des modèles d'accrochage. Il peut ainsi distinguer deux zones en AR : - pour les bas An (faisceaux en eau), le mécanisme de type vitesse est prédominant. Ce qui explique l'insensibilité aux effets de pas et de différence de fréquence entre tubes dans cette zone, - pour les plus grands An (faisceaux en air), les effets quasi-statiques sont prédominants et l'influence des pas et des différences de fréquence entre tubes plus marquée. Les figures 16.36 montrent, dans des diagrammes AIt Vu' les limites de stabilité correspondantes dans les deux zones de An pour des faisceaux à pas carré et à pas triangulaire.

447

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

..... C t1I

E

.....

aJ

C

1/) 1/)

"C

~

aJ

c: o Cl.. 1/)

cu

II-

0

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0: <:(

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r....r:'"C r.... 0 0 . _ ...a-

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r.... aJ t1I :::J u Cl r: o i.6:: rD .cc:c: 1.1)

E

0

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1! 1!. aJ. c:r:"C

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N

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II-

1

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'1

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0

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Figure 16.34.

~

448

lNTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

103~------~------~--------~------~------~

(oit et al ((=15,4) . / "~Peake et al ([=9,1) L""""'~'~ Thorngren

..

~ 8~·

/'/~' ~t. . ·,~ /'

10

" ......8

, ......... .t ..........r. e\;'~

.... /' Ji'''''''''00...

........ à8

./M / ' .An.......

• 0":"

9/ ~

/

'

~"1 10=0,1 XT=l,51

Pettigrew et al ((=3,3)

Ultra-conservatif ((=0,8)

/"

I::\@ 1;1

/

/____--~~____~~--____~____--~~______ AR ~

1~

10~1

10

102

103

AR Fig.ure 16.35.

104

10 2

VR

~

:TI

(J':)

:; (')

...... 0-

Gross 11975) x Yeung & Weaver {19B1) v Gorman (19761 v Hartlen (1974) .t. (hen & Jendrzejczyk (1981) 1> Saper 11980)
10 [

~

0-

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v X

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1> "Tl

05" c:

a

.......

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10

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t:r

CI

1

".

o • Tanaka & Takahara 11981) x (hen & Jendrzejr:zyk (19811

n

Gross (1975l (onnors (1978) Hartlen (1974) Saper (19801 Blevins (1981) * Gorman (1976) ,. Heilker & Vincent 11980) - Zukauskas & Katinas (1979) • Pettigrew et al (19781

• _ _ et

1 10-2

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10-1

Z

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x

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x.

~ c

~.....

;;l

r:1

1

10

102

AR

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

16.8.4.

451

Mesure des efforts fluide-élastique s'exerçant sur les tubes d'un faisceau

Les considératÎons développées au paragraphe précédent montrent bien la complexité des efforts fluide-élastiques de couplage entre tubes, même la schématisation de Chen semble un peu trop simpliste. Récemment, pour avoir une connaissance plus claire de ces efforts, certains auteurs en ont effectué la mesure direct. Ces expériences consistent à imposer au tube en écoulement, un mouvement harmonique et il mesurer l'effort fluctuant exercé par le fluide sur le tube luimême ou sur un de ses voisins. Cette mesure est effectuée à l'aide d'une section dynamométrique ou par intégration spatiale de signaux issus de capteurs de pression. Comme nous l'avons vu dans le paragraphe consacré à l'obstacle isolé, le signal mesuré se compose d'un bruit aléatoire dû à l'effet de l'écoulement perturbé (avec un effet de détachement tourbi11onnaire plus ou moins marqué) et d'une sinusoïde à la fréquence fe du mouvement imposé au. tube. C'est la partie en phase et en quadrature de phase de cet effort (par rapport au mouvement) que nous analysons. Les expériences sont faites en balayant en' fréquence, ceci pour plusieurs niveaux d'excitation. Nous présentons à la figure 16.37 l'évolution des efforts de couplage entre deux tubes voisins d'lIne ra1lgée en fonction de la fréquence d'excitation rapportée il la fréquence de détachement tourbillonnaire J K' Ces résultats sont tirés de la référence [47]. Les efforts sont rapportés à 1/2 P f V 2 X, X étant l'amplitude du mouvement imposé:

On remarque d'abord la linéarité de phénomène: Cp ne dépend pas de X dans la gamme étudiée: (10- 3 <:: X/D <:: 10- 2 ). Les résultats obtenus sont cohérents avec les mesures à fréquence nulle (quasistatique) de Co III 10 rs. Il faut toutefois remarquer qu'à partir d'une valeur de Jcl Jk de l'ordre de 0,5, les forces évoluent assez rapidement avec lei Jk et en particulier apparaît une partie en quadrature de phase non négligeable. Pour les faisceaux en eau, les instabilités se produisent pour des vitesses réduites V R = fV e

Je/ Jk

D

maximum de l'ordre de 10. Cette valeur limite correspond il

minimum de l'ordre de 0,5 (en prenant

Jk D ------v= 0,2).

Dans le cas des faisceaux en aÏr, l'instabilité apparaît pour des vitesses réduites plus élevées (de l'ordre de 50) d'où un Je/ Jk de l'ordre de 0,1. On comprend donc que le modèle de C01l1lOrS (quasi-statique) s'applique bien à l'instabilité observée dan:; les faisceaux en air, alors qu'il s'applique mal aux instabilités observées dans les faisceaux en eau, puisque les forces d'interaction

452

INTERACTION FLUlDE-STRUCrURE

Rangée pas =1,5 CF

1

~

a

t

+ )( x t:s

0///J. . . ".".'

0,5

En quadrature ../~.....

o

................... o,··· .... .....

+

••••

........ \'. .4-_-'

••••••••

.

Force d'inertie due au fluide (calcul en fluide

sans écoulementl

f e IfK

+......... En quadrature

o

En

Points exp.;

+ _--:::;;::r-"':::'::::::::~x

~::---,-_ _ _----::D"'I'-"i\1-'lr,;..-------:::---.......

Phase~o

\1:;X~ ~fe/fK 0

)( X/D=O,3B~10~2 o..uasi statique

oX/D=10~2

0

+

'x

ICONNORSI

0 ..........

-0,5

aJ

u

c

Or-----------n---~--------------~---------------

~~

21e

'~

Quasi statique

~

(CONNORSI

En phase

~En

quadrature

- OIS

CF ""-

c

aJ

E aJ > :::1 e

l:

aJ 'aJ

0

C

~

0,5

-0-0

ïii

+

l-

J-

+--....

,

-1!" -0,5

-1!

'En

quadra~ure

Figu rc 16.37.

entre tubes dans les gammes d'apparition des instabilités sont dans ce dernier cas assez différentes des forces quasi-statiques mesurées par COlmors. D'autre part, pour les faisceaux de faible AR' donc pour les instabilités apparaissant â faible V R, la distÎnctÎon entre accrochage et instabilité de flottement (Jel fI; = ]) perd sa signification. Ces considérations rejoignent ce qui a été dit à propos du modèle de Chen. Plus récemment Tanaka (réf. [48]) a effectué des mesures directes d'effort entre tubes voisins dans un faisceau qui montrent le même type de comportement. A partir des coefficients mesurés, l'auteur a pu déterminer une courbe de limite d'instabilité dans le diagramme AR V R (fig. 16.38).

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERV ATIFS

10

453

- -- - -AR

1 10-1

1

10

102

Figure 16.38.

COllclusion: En ce qui concerne la compréhension des phénomènes fluideélastiques mis en jeu dans les faisceaux de tubes en écoulement transversal, des progrès doivent être encore réalisés. Cependant, d'un point de vue pratique, pour une estimation des vitesses critiques d'instabilité, des diagrammes tels que ceux que nous présentons ici, suffisent. Toutefois, ces résultats proviennent généralement d'essais sur faisceaux de tubes droits soumis à des écoulements monophasiques relativement simples. Ce n'est pas souvent le cas pour les faisceaux réels: on peut rencontrer des tubes en U, des spires etc ... des écoulements complexes, des régimes diphasiques (cf. réf. [49], exposé n° 12). Ainsi, les profils de vitesse sont souvent mal connus. Il y a souvent une combinaison d'une composante transverse et d'une composante longitudinale évoluant parfois de façon importante le long des tubes. Les amortissements modaux ne sont pas très bien connus non plus, surtout en régime diphasique eau-vapeur (des essais montrent une nette augmentation de ces coefficients d'amortissement pour certains taux de vide). D'autre part, des dispersions existent sur les caractéristiques vibratoires des tubes dues aux jeux au niveau des supportages. De ce point de vue, une amélioration des connaissances sur le comportement des faisceaux réels est donc tout à fait souhaitable. Une approche probabiliste du problème peut d'ailleurs être très fructueuse.

454

16.9.

INTERACTION FLU1DE-STRUCrURE

CAS D'UN FLUIDE COMPRESSIBLE. EFFET DE L'ÉCOULEMENT PERMANENT SUR LES ONDES ACOUSTIQUES

16.9.1.

Equations des petits mouvements du fluide compressible

Comme au paragraphe 16.2.1, nous partons des équations de Navier~Slokes d'un fluide non visqueux, mais maintenant supposé compressible: éJP+V"lJ'=O at 1 1

(16.29)

àPCU '

/

- - ' -1- VPCU· '1).

at

J'

}

a

+ V.:J' ,

Comme au paragraphe 16.13, on linéarise (16.29) par rapport aux grandeurs permanentes:

= Vier) + Xfi(r, t) =P(r)+p(r,t) P =pf+p(r,t)

CUi ~

avec: p = Cl P . (16.29) devient: op at

+ V'Pfx~, + V· V·p = 0 r JIll

1V a:, + j

p,

xfi + VÎ (V j V j P ) + V

j

P f (VJ Xfi

+ Vi .ili) + ViP = 0

En prenant la divergence de l'équation vectorielle et en utilisant l'équation de continuité, on a : Vi Vi P -

al,: + Vi Vj(V V ati

j

p) + Vi VjP ,(Vj Xli + Vi Xli)

0

ou: é)1p

Vi ViP -

at 2 -

éJp

2 Vi Vi Tt

-

Vi Vj Vi VjP

+ (VjVj)(ViV j ) P + 2 (VjVj)(ViP 'Xli) ou, en utilisant l'équation d'état p

a

= Cl P :

+ Vi V j

Vi ViP

(VjVi)(VjVj)p

+ 2(Vj V i )(V j P ,xn)

J (16.30) 0

Les conditions aux parois sont du même type que celles du paragraphe 16.2 (éq. (16.5»: (16.31 )

455

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

De même en ce qui concerne les efforts exercés par le i1uide sur la paroi (éq. (16.6» :

(16.32) Par rapport au cas du fluide non compressible, le système d'équations est plus complexe car nous n'arrivons pas à éliminer complètement la variable de vitesse fluide (.\\). Nous nous contenterons ici de noter que l'équation (16.30) met en évidence un effet de « transport des ondes acoustiques» du fait du champ permanent

:t + ViVi)'

V î (opérateur du type

Le terme 2(V j V j )(V;p fXfj) correspond â un effet non conserva tif pour les ondes dans les zones de gradient de l'écoulement permanent. Analysons plus précisément ces effets dans le cas simple des ondes planes dans un circuit fi parois fixes.

16.9.2.

Ondes planes dans un circuit rectiligne avcc écoulement internc

Pour établir l'équation des ondes planes, il est plus facile de répartir de (16.29) et d'intégrer dans une tranche dz du circuit (voir figure ]6.39). Nous avons:

!!.. fJt

!!.. at

J

P dv +

f

P'lJ du

IV!)

f

PCU· n

d~

(!)

-1-

(V,)

fp:) PCU (CU . n) d~ + •f(~) :1'n d.! =

0

•

Figure 16.39.

(n = normale extérieure au volume fluide). En projetant la relation vectorielle sur z et en faisant tendre dz vers zéro~ on obtient:

fr P + aaz [S(z)

!

0--

S(z) -

al

P'1)~

..

a

z] = 0

+ - [S(z) peu ilz

(16.33)

[)·f + S(z) -.-:... = 0 oZ

(Les barres représentent une moyenne sur la section S(z) du tube).

456

INTERACflON fLU 1DE-STRUCTURE

On linéarise alors (16.33), autour des grandeurs permanentes moyennes sur une section droite P(z), p I(z) et Y(z). En appelant p, p, Cf les fluctuations de la pression moyenne, de la masse volumique sur une section droite et du débit masse, nous avons:

s

I

af

+

0

Bq ()z

aq+ S ap+ a? ,t1t az az [-

s

P f Yz

(16.34)

.,+ S

o

.11

Si l'on suppose que la vitesse permanente Y;: est constante dans la section droite (ce qui est 11 peu près vérifié pour les profils turbulents), on peut écrire:

s Pf

V-,

SY p )

= V (q 2

S

= Sy P

(16.34) devient donc, en utilisant la relation d'état p ~. êJp c1t

c2

al)

+ aq

= pc 2 :

0

é)z

rJp

(16.35) il

[

- + s - + - 2Yq al élz az Examinons deux cas particuliers: a) Tllbe de seclion constante On suppose PI' S et Y indépendants de z, (16.35) devient alors:

( -Y) 2] -opaz= 0 C

En éliminant q, on a : 1 ( -a+ V il-;

c

az

iJI

)2 p=o

(16.36)

Les sOlUtions de cette équation sont:

I(z- c"" t) et g(z+ c- l) avec:

c+ V

= c- Y ce qui correspond à l'entraînement des ondes acoustiques à la vitesse V

457

SYSTÊMES FLUTDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

b) V nriation « brusque» de section Soit un tube de longueur L, petite devant la longueur d'onde des fluctuations acoustiques considérées et la section variable. Soit SI et S2' les sections amont et aval de ce tube:

Figure 16.40.

On peut négliger dans (16.35), les termes liés à la compressibilité du fluide (cf. Chap. 13) on a alors:

d'où, en intégrant la deuxième équation entre 0 et L, l'expression de la différence de pression de part et d'autre du tube: P2 -

Pl = -

r _1_ dz _ 2 q (t) Q fL .!.SdLd_ ( _1_ ) Jo S(z) L

(j(l)

(J

dz

PtS

(Q étant le débit permanent dans le tube). Le premier terme représente l'effet d'inertie du fluide dans le tube; le deuxième terme est un effet non conservatif caractérisé par l'impédance adimensionnelle : - 2i

i .e ~ Q

d

(p; S )

dz

si P f est constant dans le tube, on a : (16.37) (V:! étant la vitesse moyenne aval).

458

TNTERAcnON FLUIDE-STRUCfURE

En particulier, à une aspiration atmosphérique, correspond l'impédance d'entrée:

s=

-

iM

,-------v ... Figure 16.41.

Cette impédance imaginaire correspond à un effet d'amortissement des ondes 15.1.1). Si M = l, on a S = - i (impédance itérative) ; on vérifie ainsi qu'aucune onde ne peut se propager vers l'entrée. (cf.

*

Remarque: 11 faut ajouter à cet effet, la dissipation par rayonnement acoustique (cf. § 15.1.1), qui donne un effet souvent bien inférieur au précédent. Dans le cas d'un circuit se terminant par un col sonique, on définira l'impédance :

e = p,- -Pl -S q 1

Figure 16.-1-2.

Pour des vitesses amont V ~ C, on il SI ~ S2 donc 1 sr 1 ~ 1. Le col sonique se comporte donc comme un quasi-nœud de débit acoustique, avec un léger effet d'amortissement (cf. 15.1.1). Dans le cas d'un élargissement, la formulation précédente n'est pas l'alable s'il y il décollement de l'écoulement. On peut, dans ce cas, essayer d'estimer l'effet non conservatif en extrapolant ft J'écoulement fluctuant l'hypothèse ( du jet» qui conduit à une estimation convenable de la perte de charge singulière permanente d'un élargissement brusque.

459

SYSTÈMES FLUIDE-STRUCTURE NON CONSERVATIFS

Cette hypothèse consiste à supposer que la pression est constante dans la section droite à l'aval immédiat de l'élargissement. On applique alors le théorème des quantités de mouvement à un volume fluide (V f ) situé entre cette section et une section aval situé après le recollement du

Figure 16.43.

(:1\,

;J'2!

9.1) et 9.J:! étant les pressions et vitesses du fluide amont et aval).

En linéarisant cette expression, on

il :

en utilisant:

et : q

P f SI

VI

P f S:1,

v2 , nous obtenons:

d'où l'impédance : (16.38)

(Remarque: çpeut correspondre à un apport d'énergie à la vibration acoustique). En particulier, pour un jet de sortie:

460

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

-------------~~ V -----11I11III'_

Figure 16.44.

Ce qui voudrait dire que, dans ce cas, la dissipation acoustique ne se fait que par rayonnement dans l'atmosphère. Dans la troisième partie (§ ]9.3.4), nous montrons des données expérimentales qui tendent à confirmer les modélisations développées ici.

16.9.3.

Conclusion

Les considérations assez sommaires que nous venons de faire concernant les systèmes d'ondes acoustiques dans un milieu fluide en écoulement, montrent une grande similitude avec les systèmes mécaniques vibrant en présence d'un écoulement (effets de transport dans un schéma d'écoulement à potentiel possibilité d'accrochages dans un schéma d'écoulement décollé autour d'un obstacle). D'une façon générale on pourra parler d'effets fluide élastiques, l'élasticité étant liée soit à la déformabilité des structures, soit à la compressibilité du fluide, soit aux deux.

TROISIÈME PARTIE

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

INTRODUCTION Dans les deux premières parties nous avons décrit le comportement vibratoire des systèmes mécaniques. Cette description a été effectuée indépendamment des sources d'excitation; ce qui était possible car nous nous sommes toujours intéressés à des systèmes pouvant être assez bien représentés à J'aide de modèles linéaires. L'objet de cette 3e partie est de caractériser les sources d'excitation ellesmêmes et ainsi de permettre la détermination complète, à partir des considérations des deux premières parties, de la réponse vibratoire. S'il existe des sources vibratoires faciles à décrire telles 'que, par exemple, les excitations périodiques dues à la rotation d'une pompe, on a affaire souvent à des sollicitations beaucoup plus complexes, si complexes que l'on renonce à les décrire exactement temporellement et spatialement. Ce sont par exemple: Les fluctuations engendrées dans un fluide par les écoulements turbulents, le système d'ondes se propageant à la suriace du sol lors d'un séisme, etc ... On a alors recours à une description probabiliste: c'est-à-dire que l'on essaie de caractériser la source d'excitation par un processus aléatoire défini par certaines grandeurs moyennes dont le choix dépend de la nature de la source maÎs aussi des aspects de la répo1lse UlLl:quels on s'Întéresse. Remarque: Dans le cas d'un système très non linéaire, on effectue une analyse de l'ensemble « source-système )), puisque le système ne peut pas être caractérisé indépendamment de la source. Cependant il est souvent possible de définir un système linéaire équivalent associé à une certaine modélisation probabiliste de la source. Cet aspect ne sera toutefois pas abordé Îci.

La 3e partie est constituée de quatre chapitres: - Le premier est consacré à l'introduction des notions de base utiles à l'étude des processus aléatoires et de la réponse des systèmes linéaires. - Les 3 suivants sont plus iIIustratifs: ils concernent deux problèmes rencontrés couramment et en particulier dans l'industrie nucléaire: • l'excitation par les écoulements turbulents (Chap. 18 et 19). Il s'agit ici de processus slatiollllaires dans le temps dont J'aspect aléatoire est il la fois temporel et spatial. • l'excitation sismique (Chap. 20). Il s'agit de processus transitoires dans le temps, donc plus complexes mais dont on néglige, pour la plupart des applications, l'aspect spatial. Pour chacune de ces deux applications, nous décrirons les méthodes spécifiques

CHAPITRE 17

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES ET LA RÉPONSE DES SYSTÈMES LINÉAIRES

Nous supposons connues, dans ce chapitre, les notions de base du calcul des probabilités. Certains rappels sont cependant faits essent~ellement dans le but de préciser les définitions et les notations.

17.1.

PROCESSUS ALÉATOffiES

17.1.1.

Définition

Soit un paramètre t pouvant prendre des valeurs discrètes ou continues, par exemple « le temps» (mais aussi les coordonnées de l'espace). Notons (tll) l'ensemble de ces valeurs. A chaque tn on associe une variable aléatoire X n ; les X n étant, d'une façon générale, statistiquement dépelldalIfs les lins des autres. Si l'on effectue une réalisation XII des XII' on obtient alors une fonction X (t) (XI! = X (t Il)) qui, par définition est une réalisation du processus aléatoire X(t). Chaque variable X n est caractérisée par sa fonctioll de répartitio/l Fil (x,

ln)

= Prob (X n ~ x) ou par sa densité de probabilité p (x, t Il)

élF

=

_1'1

élx

(x,

ln).

Mais pour que le processus X soit complètement défini, il faut caractériser la dépendance des X n entre eux: Si par exemple on ordonne les t n: t 1 <: t:! <: . . . <: 1n <: .. " il faudra donc connaître les fonctions de répartition conjointes:

ou les densités de probabilités associées: (17.2)

466

SOURCES D'EXCITATiON ALÉATOIRES

On peut également utiliser les de1lsités de probabilité condition1lelles :

Remarque: Les densités d'ordre inférieure se déduisent de la densité d'ordre Il.

Le processus peut aussi être caractérisé par ses fonctions moments: E t, (t l'

... ,

t Il)

=

J". f

J

x 1 X 2 ... X n PIl (Xl' t 1

; • • • ; X tl'

t tr) dt, dY2 dt"3 ••• dt' n

VIl

Les deux premiers moments ont une importance pratique particulière: Pour chaque instant 1 on considère l'espérance mathématique ou moyenne IL (t) notée également E (X(I» et pour tout couple (11' ( 2 ) la fonction d'awocorrélation p (/ 1. /2 ) notée également Pxx(tt, 12 ) ou E[X(tt) X(1 2 )] teUes que:

p.. (t);:::

P (l"

t2 )

=

f

xp (x, 1) dY

ff

(17.4) Xl X 2 P2(XI' Il;

x 1 ' '.2) dl t dt'2

Remarque: On définit également une fonction d'intercorrélatÎon pour deux processus X (t) et Y (1) PXy(tI,1 2 )=E[X(tdY(t,2)]=

.H

X1

Y2P(x 1 , / t ;Y2,( 2 )dt"l,dY2

L'analyse vibratoire considère la plupart du temps des processus à moyenne nulle: p.. (t ) O. L'« intensité» du phénomène à l'instant , est caractérisée par la variance lT\t) (lT(t) = écart type ou l'aleur quadratique moyenne):

lT 2(1)

17.1.2.

= P (t, t) =

J

X2 P (x, t) dt

(17.5)

Stationnarité

Un processus est dit stationnaire si l'ensemble de ses caractéristiques est invariant lors d'une translation ln de la variable t. En particulier ceci implique que: IL (t)

= IL = ete

P (/ 1,/ 2 )

=

P (12 - 1 d

= p (,..)

p (- ,..)

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES

467

Pour un processus à moyenne nulle, la variance est constante et donnée par: P (0)

(J":!

Une grandeur très utilisée dans la pratique est la dellsité speclrale de puissallce S{f) définie par:

co

p{T)

S Cf) = 2

e-:!irrfTdT

{17.6)

(cette intégrale a bien sûr un sens pour les processus utilisés dans la pratique). On peut montrer que S Cf) qui est le double de la transformée de Fourier de P (T) est réelle, positive. De plus S Cf) S (- f). S Cf) peut être estimée d'une autre façon. Soit le processus aléatoire, stationnaire défini par: XT(f, Ill)

fl""'T X{t) e-'J.irrfl dt 1,,-'1'

où X (t) est le processus aléatoire initial. L'intégrale est il prendre au sens classique d'une somme de variables aléatoires. Soit ET{f) = E li XT{f. In) 12] l'espérance mathématique du module carré de XT(f,I,,). On peut montrer que:

Cette propriété est utilisée dans le calcul pratique des densités spectrales de5 signaux aléatoires (cf. § 17.3).

Remarque:

0'2

P CO)

=

fCD S{f) df

Jo

puisque d'après la formule de la transformée de Fourier inverse:

(17.7)

SOURCES J)'EXCITATTON ALI~ATOIRES

468

17.1.3.

Ergodicité

Soit un processus stationnaire X (t). Construisons à partir de là les processus stationnaires :

f1/J+ T

1

MT(t() =

'u -T X(t) dt

1 Rr(t(), j) = 2 T

f/O+T.. X(t II} -

T) X (1) dt

1

Soit (T~fI' et (TilT leurs variances respectives. X(t) est dit ergodiqlle (*) si (TMT 2 -+ 0 et aRT1 -+ 0 quand T -1> 00. MT et RI' convergent alors au « sens des carrés moyens). vers les valeurs certaines J-L et p (.). On peut donc dire que, pour un processlis ergodique, les moyennes statistiques et des moyennes temporelles effectuées sur une réalisatioll du processlls som équivalentes:

lim T .....

p(T) = lim

?

T-CXJ~

17.1.4.

'1

f~T x(t) dt

1T

fT

CI;)

(17.8)

x(t - T)X(l} dt

-T

Dérivation d'un processus aléatoire

On peut définir un processus X(t) dérivé d'un processus X (1) au sens des ( carrés moyens» par:

E{[X(t+e~-X«()

X(t)]

1}

-+

0

(17.9)

c_f)

Dans les applications que nous ferons par la suite: essentiellement les processus réponse d'oscillateur harmonique, la dérivabilité sera toujours assurée. On montre facilement que (17.9) est équivalent à : existe pour

TI

(17.10)

d:! Pour un processus statiollnaire ; (17.10) devient ~ existe pour T = O. dT-

(*) En toute rigueur ln propriété décrite sur les moments d'ordre 1 et 2. doit être vérifiée par les moments d'ordre supérieur.

469

NOTIONS GÉNÉRALES SUn. LES PROCESSUS ALÉATOIRES

On a également les relations:

pXX(T)

Pxx (T)

=

E[X(t)

XCI + T)]

E[X(t)X(t + T)]

=

Comme P (T) est symétrique Px,dO) = 0: X(t) est «orthogonal» il X(t). Les densités spectrales correspondantes sont:

2Î1rfS(/) (2rrf)2 8 (f)

Sxx(f)

8 x;:;. (/)

=

Remarque: On appelle moments spectraux les quantîtés : (17.11)

On

il

en particulier:

mo

=

(}"2

(17.12)

La fréquence centrale d'un processus se définit par la formule de Riec :

J nI,

fo

=

(17.13)

m~

On peut montrer que pour un processus gaussien de moyenne nulle, cette fréquence est la fréquence moyenne de franchissement du seuil x 0 avec une vitesse positive.

17.2. ]7.2.1.

EXEMPLES Rappels suedots sur la transformation de Fourier

a) La trallsjormée de Fourier d'une fonction réelle x(t) eSI définie par:

x (w )

f

+CD

X

«( ) e

-iUl/

dl

-CIl

Les conditions d'existence de la transformée de Fourier sont plus restrictives que celles de la transformée de Laplace. Nous supposerons que x (t) est absolument intégrale de - OC! il + 00 et il variation bornée dans tout intervalle fini. (On peut supposer également que

470

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

x(t) est continue ainsi que sa dérivée, sauf en un nombre fini de points de discontinuité de 1 re espèce pour x et i). X(w) Si une fonction X(I) a une transformée de Fourièr/et de Laplace (X(p):

X(iw)

x(w)

Transformée iltl'erse de Fourier: On démontre que:

'12 rX(1 + 0) +x(t

fÀ

1

lim 2 ..

0)]

À_0

,

X(w) el"" dw

-À

Si '\"(t) est continu en t:

fÀ

1

x(t)

Tr

Dans la plupart des cas l'intégrale:

X(w) e iwt dw

_.\

f::

X (w )

ei~"

dw a un sens, alors:

<Xl

é"t dt

X (w)

Remarque: On peut rendre la formule inverse de Fourier symétrique de la formule directe en écrivant:

x (/)

f~: x(t) e-:!Îrrft dl

=

f::

x (t )

(17.14) X (1) e + 2 i" fI

dl

b) Dél'cloppcment de Fourier d'ullc fonctioll périodique Une fonction périodique (de période T) à variation bornée xU) possède un développement en série de Fourier:

X

(t) =

at)

T

+

2 T ~ ct)

(

(1/1

2 Tr 11 cos ~ t

+b

•

/1

sm

2

7T Il

t

)

avec: T/2

(ln

T/2

(10=

f

_T/2x(t)dt

=

., TrH

f

xU)cos-

Idl

-'1'/2

et

f

1'/2

bl ! =

(17.15)

., 7T11

x(t) sin -

t dt

-T/2

(Si x(t) est continue en 1).

Ncmarquc: On peut utiliser la notation complexe: avec

Àn

= -1 T

fT/2 -T/2

X (1

)e

dt

(17.16)

471

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES

Ces formules sont à rapprocher de celles de la transformée de Fourier. Remarque: La transformation de Fourier peut être étendue à des fonctions non absolument intégrables, si l'on utilise la notion de distribution. Ainsi (17.16) esl un cas particulier de (17.14) si l'on considère que:

(ô étant la distribution de Dirac). 17.2.2.

Processus poissonniens

Un processus de comptage poissonnien est constitué par une séquence d'évènements intervenant à des instants distribués aléatoirement tels que la probabilité pour que l'un d'entre eux se produise entre, l'instant t et l'instant t + dt soit égale Il À dl (on néglige nncidence de plusieurs évènements dans l'intervalle dt). D'une façon générale À dépend de t mals ne dépend pas de l'histoire du processus. Nous considérons par la suite des évènements tels que À = Cte, ce qui nous conduit à un processus stationnaire. Loi de PoÎ!.',sOIl: Calculons la probabilité Pt (Il) pour que n évènements se produisent dans l'intervalle [0, t].

Divisons l'intervalle en N intervalles infinitésimaux At Nous avons; N!

n!(N =

Il)!

(À

Atr(1-

À At)N-11

(AtrN(N-l) ... (N-Il+1)c(N-Il)LOs Il! Nil

(1-*) (17.17)

pt(n) ex)

JL

L

IIPr(n)=AI

Il ; ( )
L

a1= JI

n Figure 17.1.

,",0

Il:?. pt(n)

(Àt f = AI

472

SOURCES D'EXCITATION ALÈATOIRES

On peut construire à partir du processus de comptage poissonnien divers processus aléatoires X(t), Par exemple: a) Soit un signal aléatoire X (t) pouvant prendre les valeurs - "1 et + 1 et qui passe brutalement de l'une à l'autre à des instants distribués selon une loi de Poisson. X (t) est stationnaire et à moyenne nulle.

, xlt}

-t

1

t1

-1

tj

2

ts

t4

t6

--Figure 17.2.

La fonction de corrélation de X (t) est:

ff X1X~P:!(XI,t

peT)

;xz,t + T)dXj dx:;

L Pr(ll) - L " p,ir

11

~ P

00

L

PT(I1) = e- ÀT

impAir

11

T:>O)

(À )'1

(-1)1I-~Il.

/1

(pour -

(r) =

(avec

OC) <: T <::

+ 00

)

La densité spectrale de puissance associée est: 8(f) - ?

c.

-

-

f+OO e- 2 A. 17'1

e-'1ir. f r

_ co

dT

=?

'H

- . 'c

À

1

+ i 'TT 1

({( Spectre de Dryden»)

Soit 10 la fréquence moyenne du signal (

nombre de passage par zéro 2 par fo

P (T)

=

rOT

et

8 (f)

't' d t ) e e emps :

Unt

À

"2 = ~ Jo 1T-

--(-\--)-2 (,+ ; Jn

t

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES

473

&(0

1/2fo

I------~

T

(2/n)f 0 Figure 17.3.

Comme nous le verrons dans Je chapitre] 9, 8 (f) représente assez bien les densités spectrales des fluctuations de pression à l'aval d'une singularité d'écoulement dans la zone des basses fréquences. b) On peut reprendre J'exemple précédent, mais en imposant pour X(t) des créneaux de niveau aléatoire Y répartis selon une loi de probabilité p (y) de moyenne nulle et de variance 1, chaque niveau étant tiré de façon indépendante. On a alors:

+

L P (J'I) P(Y2) P1'(II)]

dy!, dY2

Il,,.0

et:

c) Système ~( d'impulsions aléatoires». D'une façon analogue à celle du paragraphe b), le processus X(t) est défini par une suite aléatoire de fonctions d'allure temporelle déterministe 1( T) et d'amplitude aléatoire Y. Si 1(T) s'annule pour 1TI::> 1TO l, le processus ainsi défini est stationnaire. Comme précédemment l'indépendance des tirages Yk fait que, pour le calcul de la corrélation p (T), seul intervient la contribution de la même impulsion aux témps , et t + T.

474

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

On a ainsi:

: y2 p(yd dYI

J::

peT)

À

let) l(t + T)

À

dt

f::I(t)I(t+T)dt

(17.18)

(C'est Je théorème de Campbelf). La densité spectrale de puissance est :

Si .J (f) est la transformée de Fourier de l (t), on a :

Exemple: Si l Ct) est un créneau unité de durée T" on a : S(f)

t

f

Figure 17.4.

d) Processus «N-Poissonnien »). Comme en a) considérons un signal X (t) pouvant prendre les valeurs 1 et 1. la transition s'effectuant il des inslants llléatoires t k tels que N événements poissonniens doivent se produire entre t"_1 et II;' Déterminons la probabilité PN. y(n) qu'il y ait" changements de signe dans l'intervalle de temps (0, T). Soit À = 2 fo N le paramètre de la loi de Poisson. fo représente la fréquence maye n nc du processus X (t ).

475

NOTIONS GÊNÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES

La probabilité pour qu'il y ait eu

e événements

pOÎssonniens (0"", eN)

entre la derniëre transition du processus ct l'instant / La probabilité si

e, qu'il y ait

Il

=

trnnsÎtÎons jusqu'au temps

" f NT)"N,~m-f foNT ( - 1)

N-I

L m

~

0 est

si

+ m - r)!

(uN

~()

si

11

ï

11

. est:

or!: 0

=0

d'où:

N -1

L

(N-l)

1 le 1

(1 ! ) N

(2 f" N ï )nN + k

J..:.::..L) N

(!lN + k)!

(2 fo NT )k' si k!

si

/1

~O

Il = 0

La fonction de corrélation de X (t) s'écrit:

en posant

1') :=

nN + k on a : li

(avec 0 "'" k

<:::

N)

{

= entier (

k =

1')

~

)

modulo N

En utilisant les relations:

on lI: PN(ï)

L

'f N 1 = NC-Il r

N

,

2 N-

PN (ï ) =-;-c

,

f

e-J(J

NT .î(~ I I }

TT /N

C

1

L

N- 1 (

') k ) ( 1- ""N C- i (2 -I)bt/N

k-O

~

-:'fONT

f

L.. =

1

La densité spectrale de puissance est:

i1l'f+fo N(l-

}

476

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

ou

r

r

__ 4_ ~ __________________~--------------

8(f)

3

N 10 f

1 [

fi f / fo

sin (2 f I )

fi

+ [1 - cos (2 f - 1) ~

Allure de SU) pOlir N ~ 1 :

o

(N/n) sin (2l-1) (n/NI Figure 17.5.

SU) sc compose d'un ensemble de pics, dont les premiers sont quasiment en harmoniques du fondamental 10' dont le niveau décroît avec l'ordre et dont la largeur à mi-hauteur croîL Au voisinage du f-ième pic (f ~ N) : SU)

La largeur à mi-hauteur est: !J.f f!)(2

e-

1)

~ (2 f -1)

L'·( intensité n du pic peut être définie par:

Ir

On vérifie que "intégrale de la densité spectrale est:

l

a?

o

CCl

S(f)dl

2:: Ir =

(à la IÎllIlIe} 1

8

(Xl

1

2::1 (2 r

:!=1 1)

477

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOlRES

Le conditionnemenl de la transition du signal Ù l'apparition de N événements poissonniens régularise le phénomène, puisque l'on tend fi réduire la variance du processus aléatoire. A la limite (N -> 00) on trouve une DSP de raies en harmoniques caractéristique d'un signal périodique (fréquence io) en créneaux.

!

0

TI/fa

2n/fD

-t

Figure 17.6. Des phénomènes physiques tels que le délachement tourbillonnaire de Karman ù l'aval d'un obstacle cylindrique (2 e partie, Chap. 16.7) peuvent être interprétés de celte façon.

17.2.3.

Processus Gaussiens

a) Variable gaussiellne C'est une variable aléatoire dont la densité de probabilité est donnée par:

p (x) =

On montre que 11- et

(J'

,,/2

e

sont respectivement la moyenne et l'écart type.

0,5

o

(17.20)

7TU

Figure 17.7.

478

SOURCES D'EXCITATION ALÈATOIRES

Théorème de la IOÎ limite: La distribution de la somme de N variables aléatoires indépendantes tend vers une distribution gaussienne quand N _ 00. Cette propriété explique l'importance des processus gaussiens, car souvent, les phénomènes physiques que l'on représente par des processus aléatoires peuvent être considérés comme composés d'un grand' nombre de petits événements indépendants (Ex. : turbulence des fluides en écoulement, etc ... ). On peut alors vérifier expérimentalement que leur loi de distribution est à peu près gaussienne. Une autre propriété importante est que toute transformation linéaire d'une variable gaussienne conduit à une autre variable gaussienne. Exemple 1: Sail une variable aléatoire Xl uniformément distribuêe dans l'intervalle (0, ] ) ct soit XII la variable constituée par la somme de Il variables indépendantes du type de Xl' La moyenne ct la variance de X I1 sont :

1": - ~, (TII-

La densité de probabilité de X" sc déduit de celle de X"_I pnr:

PI1(X)

=

fr

PJI_I(tt)du

x-l

ainsi pour:

,,= 1 : O~x~l

PI = 1 { PI =0 Il

x If. [0,1]

2: O~X

x

0~.r~2

x II :;;

J:

PJ

etc.

if: [0.2]

x2

O~x~l

="2

P3

~-

(x

P~

(

3; x )

PJ

()

~) z

x~2

1

.r f$ /0,31

479

NOTIONS GI~NÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES

Pllxl

P2 1>:)

J07Ji

- - - (j;ussÎenne

de mime a I!t d~ même l'

1

rfTii

1

\

1 ."

\

/

,

" Figure 17.8.

Exemple 2 : Limite de la loi de Poisson quand le nombre moyen d'événemenls devient grand. Soit un processus poissonnien, tel que le nombre moyen d'événements dans rintervalle [0,1] ln = Àl soit l» 1. La loi de probabilité de 1/ événements dans l'intervalle [0, l] est:

p (Il)

=,C

-m

t l(mi !

Sa variance est:

Considérons la variable aléatoire " normée)} : x=:

II-ru ,;;;;

Sa densité de probabilité est:

x+1II+1)

pour

lU

l»

1

r

est approximé par la formule de Stirling:

r (J-;;; x + 111 + 1 ) = .f2; (J;;; x + 111 i";;.r +

11!

Log [P(x)]

=-

-~ Log 2

'TT"

+

1

. . . - "1 Log 2

r;;; X - (r;;; x + 1

'TT -

/II -j

ln

if.!

e - ~rn x -

m (1

+

+ 112) Log (1 +

F.

(m »

~ r;;;

)

"1 x1

, =:>

P (x) ......

1

,j2; e

-~ -

b) V nriables conjointement gallssie1lnes X et Y sont conjointement gaussienne si leur densité de probabilité conjointe est: p(x, y)

=

] "-

1T0' x (J'y "

/1 -

exp { - ] 2 (l -

r:! .

2

x [(X-/-L --

r )

2 r(x - /-L.r)(Y - /-Lv)

--------------~.~

)2

O',t

+

(17.21)

480

SOURCES D'EXCITATrON ALÉATOIRES

J.L;r, J.L y '

,. =

CT;, CT; sont respectivement les moyennes et variances de X et Y.

E [(X - CT x)(Y -------~-

représente le coefficient de corrélation de X et Y (toujours inférieur à 1). c) Processus aléatoire gaussien Un processus aléatoire X(t) est gaussien si les variables aléatoires associées aux différentes valeurs du paramètre 1 sont conjointement gaussiennes. On montre alors que le processus est complètement définÎ par sa moye1lne J.L (t) el sa fonctÎon d'autocorrélation p (t l ' t 2 ). Une propriété importante de ces processus est que toute transformation linéaire d'un tel processus conduit à un autre processus gaussien. En particulier la réponse d'ull système linéaire à une source gaussienne sera gaussienne.

17 .3.

PROCESSUS SIGNAL

DISCRÉTISÉS.

NOTIONS

DE

TRAITEMENT

DU

On est souvent amené à effectuer des opérations numériques sur les processus aléatoires: - A partir d'enregistrements analogiques de signaux expérimentaux, on veut appliquer des algorithmes numériques pour en obtenir les caractéristiques. - On peut vouloir également fabriquer des processus à l'aide d'autres algorithmes. On a ~ecours alors à la discrétisation qui consiste à remplacer le processus temporel continu x(t) par l'ensemble des valeurs discrètes XII qu'il prend aux instants tll" Cette opération ne doit pas être effectuée sans précaution comme nous allons le voir.

17.3.1.

Problème de l'échantillonnage

Soit un signal x(t) de transformée de Fourier X(f). Formons:

X(f)

l

m=-ct)

'i

étant un intervalle de temps donné.

X(f+:;)

(17.22)

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS AU~AT01RES

481

XC!) est une fonction périodique de période! (si elle existe). Elle se met donc T

sous la forme : ct)

L

X(f)

avec:

ÀI1

=T

À" e-2i1TIIT{

-!Xl

Il

Jorl/~ XC!) e:!irrll~/ df

(d'après (17.16»

En remplaçant X(f) par son expression (17.22) on À" =

T

I

m~a:J

IIT

X

l-T-

(f + 7 )

e'2i7rWT{

m+1

= T

:; 171

"-' -00

+a:>

=T

f

-00

X(!)

e2i7t1ITf

fi :

df

df

~

JI!

-

T

X(f)e 2i1t1l"r/ af=TX(IlT)

d'où: + a:!

X(f)

=

L

T

n

(17.23)

X(IlT) e-'2i7rIlT/

-<Xl

X(!) pellt dOlic être considéré comme la transformée de Fourier de.:r(t) discrétÎsée avec la période T.

t

Figure 17.9.

On peut distinguer deux cas : a) Si X(f)

=0

pour

Dans J'intervalle (-

1

JI:> 1 .

2\' '2

T

1 T

)

X (f)

coïncide avec X (f)·

Dans l'intervalle de fréquence choisi du fait de la discrétisation, le contenu fréquentiel du signal est bien restitué.

482

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

.' 1/21'

-1/21'

f

3/21'

Figure 17.10.

b) Si X(f) =F 0 pour

IJI ~ _1 , 2,-

D ans l"ln terva Ile (

] ,_1 2,2,- )

XT(f) ne coine1'd e pas avec X (f) ,11 Y a

repliement de ,spectre.

X(f)

f

-3/21'

-1/21' 0 1/21'

3/2T

Figure l7.11.

Pour éviter ce phénomène qui modifie le contenu fréquentiel du signal discrétisé par rapport au signal réel, il est nécessaire de filtrer préalablement ce dernier à la fréquence 1 ,c'est-li-dire à la moitié de la fréquence de Ilumérisatioll ,choisie. C'est le théorème de Shanl1oll. Dans la pratique on utilise un filtrage analogique de fréquence de coupure nettement inférieure à 1 , la pente d'atténuation des filtres n'étant pas infinie.

,-

Remarque: Le phénomène de repliement du spectre est facilement mis en évidence sur un sinusoïdal de fréquence Jo:

483

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES

• • • êchl1ntillonnage à une fréquence [supérieure il 2 In. { o 0 0 échantillonnage à une fréquence [inférieure il 2 In. Figure 17.12.

Dans ce dernier cas le signal discrétisé a l'allure d'une sinusoïde de fréquence (si Jo <: f):

f - J()

X(f)

f

-fo -f /2 -f.a.f 0

o Figure 17.13.

17.3.2.

Transformée de Fourier tronquée

Dans la pratique on utilise un nombre fini 2 N + 1 de valeurs discrètes du signal x(t) pour déterminer sa transformée de Fourier.

x(t)

t -T/2

o Figure 17.14.

T/2

484

SOURCES D'EXCITA.TION ALÉATOIRES

En fait on calcule alors une transformée de Fourier tronquée: T/2

XT(f) =

f

x(t)e- 1i 1'T f l dl

avec T = 2Nr

-'1'/2

Xr(f) est la transformée de Fourier du produit de x(/) et d'une fonction créneau dont la transformée de Fourier est: : f sin 1TTf

f

Figure 17.15.

X'f'(f) est donc donnée par le produit de convolution: 1 1T

J+OO

. sin [7TT(f - fn)] f f dfo

X(fo)

0

-00

Ce qui montre que XT(f) est un lissage de X(f) avec un pas en fréquence .,. d Af 1 caractenstlque e Ll. = T' En d'autres termes on ne pourra observer sur XT(f) de phénomène correspondant à un écart de fréquence inférieur à

4.

Au lieu de considérer Je signal x(t) tronqué, on peut considérer un signal périodique de période (T) .t(l) formé à partir de ce dernier comme J'indique la figure 17-16:

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS ALI~ATOIRES

- T12

ST 12

3T/2

T/2

485

Fig.ure 17.16.

La transformée de Fourier

X(f)

de .t(1) est une distribution qui peut être

considérée comme l'échantillonnage de XT(f) avec le pas

~.

Ceci apparaît d'une façon évidente en écrivant .t(t) sous la forme de la série de Fourier:

Finalement, partant du signal x (t) préalablement filtré, échantillonné à la fréquence de numérisation

~ , on obtient les valeurs échantillonnées

(fl..[ = ~ )

de sa transformée de Fourier tronquée XT(f) à l'aide de la formule: n~N

L

7'

x(Il7')e-i1tIlIll/N

N+ 1

avec:

N

T 7'

17.3.3.

(l7.24) - N

et

<:

m =s N

Il

et m

= entiers

Application au calcul pratique de la densité spectrale de puissance d'un processus aléatoire stationnaire et ergodique

Au paragraphe 17.2 nous avons donné la définition de la DSP d'un processus stationnaÎre X(t) et indiqué qu'elle pouvait être obtenue il l'aide de la formule:

S(f)

= 2 lim ~ EIXT C[)1 2 T_co

(17.25)

1/!

avec X,r(f)

=

f

-T/2

X(I) e-

2i

1l'!1

dt

Pratiquement on part d'un signal à moyenne nulle x(r) issu d'une expérience. On désire obtenir la DSP dans la plage de fréquence (0, [max) avec le pas [ma~ N 1 d ,ana1yse Ll.Ai. = N .

486

sour~CES D'EXCITATION ALEATOIRES

D'après ce qui a été montré précédemment, on filtre le signal fi la fréquence

tilla. et on le numérise il la fréquence 2 Jma,

(T = ~fl ) . -

tlHL\

On considère ensuite un bloc.de 2 N l'nlcurs discrétisées de x(t) et l'on calcule à

~ lX.dm~f)12 (O<m~N)

l'aide de (17.24) les N valeurs

(*).

Celte opémtion est effectuée gn1ce à un algorithme spécîal dit de Tratlsfonnée

de FourÎer Rnpide. Ces N valeurs sout une réalisation de la variable aléatoire

J

~

XTcn

1

1

~

pour

m~f·

Le signal étant ergodique, on obtient une estima/ion de l'espérance 17lathémntique en recommençant l'opération sur .N' blocs du signal et en moyennant sur les blocs. (On effectue ainsi ..\" réalisations que l'on peut considérer comme indépendantes). L'erreur de celte estimation de la densité spectrale est de deux types; l - Une erreur statÎstique (proportionnelle il ) du fait du nombre fînÎ de réalisations. - Une erreur dite de biais du fait de la nature de l'estimateur statistique associé il la formule (17.25), quand on utilise une valeur finie de T.

Remarqlle importante Considérons l'intégrale de la DSP discrétisée obtenue par la méthode précédente. Pour un bloc, on pose (intégration par trapèzes) ; N

a2 =

~f

L

8(m

~f)

m~-N"'I

l

)

2

2N 1 ( 2N )

m

l-N N

2

l, L:

'=1'

N

N

(

1

N

x" e

N+1

N

N

L

l

-N

m=-N+! n

,j,

1

r

L

XII

Xe e- i;r('I- f)m/N

-N +!

puisque:

l'" N

a:'

L

2N Il

II-f

N

l

irrlU-

N

e

=0

si

lI*f

si

Il=f

N+ 1

x~ = moyenne de x

2N

2

sur 2 N points.

-1'1 ... 1

(*) Pour III négatif on obtient les conjugués. La valeur m = 0 correspond à la moyenne du signal dans l'intervalle de temps considéré.

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES

487

Pour LI'{' blocs on aura: iJ2::= moyenne de x 2 sur 2 N .W' points. On s'aperçoit que êf2 est une estimation de la variance du processus dont la précision est bien meilleure que celle obtenue sur chaque point de DSP et qu'en particulier il ne dépend pas de la discrétisation en fréquence effectuée. Cette remarque peut être généralisée à des intégrations partielles de la DSP : Par exemple, soit une DSP 8(f) présentant un pic très fin:

&'If)

f

f

Figure 17.17.

dont la largeur est bien inférieure au Âf choisi pour la discrétisation. Les points de la DSP discrète 8(f) seront assez erronés par rapport à la réalité dans cette zone. Cependant l'intégrale de 8(f) entre fI et f2 encadrant le pic sera assez bien estimée à l'aide de la somme des valeurs discrètes de 8(f) dans la même gamme de fréquence. 17.3.4.

Exemple: Bruît blanc

Un bruit blanc est un processus stationnaire dont la DSP est constante; la fonction de corrélation est donc une ïonction de Dirac ô (t). Ceci veut dire que les variables aléatoires associées il deux instants aussi proches soient-ils sont décorrélées: Le bruit blanc est un processus « sans mémoire ». Le fait que l'intégrale de la DSP ne converge pas montre que te bruit blanc idéal n'existe pas physiquement puisque cela conduirait il une vnriance infinie. Dans la pmtique on construÎt une réalisation d'un bruit blanc en effectuant une suite de tirages illllépemJmrts d'une variable aléatoire il moyenne nulle de variance (T2 et en attribuant chacune de ces valeurs aux instants 0, T, 2 T, •••• nT, elc ... Test un temps caractéristique du problème que l'on fi il traiter. On Il construit ainsi un processus discret dont on peul déterminer la DSP discrète il l'aide de la méthode du paragraphe précédem :

488

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

Si l'on choisit un tirage de 2 N points on a : 1 , T IXr(m âf)l-

E( i IXr (mâ!)1

2

=

)

(2:)2~~E{XnXt)e-j,T(n-flrn/N

=- S(m âf) =

T,

~

2 2 N (r = 2 TŒ'~

puisque: si

n:;!e

si

n=f

1 âf = 2 NT

f

o Af

NAf Figure 17.18.

On peut également à partir des tirages précédents, définir un processus continu stationnaire X(t), par exemple on donne la II-Îèmc valeur tÎrée il x(t) dans l'intervalle «11 - 1 ) T nT). 1

t

Figure 17.19.

489

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES

On définit ainsi une réalisation x(r) de X(r). Pour que X (t) soit stationnaire d'une réalisation il l'autre, on tire au hasard l'instant 1 = 0 de rCférencc, selon une loi d'équiprobabilité le long de l'axe des t. La fonction de corrélation d'un tel processus ~~t :

si si

La DSP est:

= 4 cr 2 1" 1

cos 2 (2 7r fT

fT

o

3/2

1/2 Figure 17.20.

On remarque que SU) n'est pas constant dans l'intervalle

(0, /r ) , alors

que c'était Je cas de la OSP discrète précédente. Ceci est l'illustration du phénomène de repliement de spectre. Le signal continu x(t) n'a pas une OSP nulle au delà de

fmn~

Le processus discret qui est un échantillonnage de x(t) avec le pas

= T,

....!... .

21" esi donc:

SOURCES D'EXCITATION ALI~ATOIRES

490

fT

-2

-1

o

1

2

1

o

1/2 Figure 17.21.

affecté par le repliement de spectre comme l'indiquent les figures 17.21. Le spectre S(n est la superposition d'une infinité de branches du spectre SU):

17.4.

17.4.1.

RÉPONSE D'UN OSCILLATEUR HARMONIQUE À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ PEU AMORTI

Réponse d'un système linéaire à une sollicitation aléatoire stationnaire s'exerçant à partir d'un instant donné

Soit un oscillateur harmonique initialement ail repos. caractérisé par sa fonction de Green (réponse impulsionnelle) G (T) (cf. Fe partie, Chap. 1).

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS AL1~ATOIRES

491

Soit un processus aléatoire stationnaire F (t) de fonction de corrélation P F( H) et de DSP 8 F(f)·

Considérons une réalisation f(t) de F(t) et supposons qu"à l'instant t on exerce f(l) sur l'oscillateur. La réponse de ce dernier au bout d'un temps If) après le démarrage est : x(t, (0 )

=

l

In

G(T) f(r +

'0-

T) dT

1)

x(t, (0 ) pour lo donné est donc une réalisation du processus stationnaire défini par: (17.26)

La fonction d'autocorrélation de X (t, ln) est:

La DSP de X(I, (0 ) est: B(f, (0 )

2

f+!XJ

P (B, lo)

e-2irrfO

dB

-Ilj

(17.27) avec

H(f,

l'll

fil)

G(T) e- 2irrf 'T dT

1)

Explicitons la fonction de Green G (t) D'après la 1re partie, chapitre] on a, si l'amortissement réduit E l : G(T)

mw{)

e

-

J' lJ1

uT

•

sm Wo T

(17.28)

492

SOURCES D'EXCfTATfON ALÉATOIRES

étant la pulsation de résonance de l'oscillateur (w() On en déduit (avec (tJ = 2 'TT f) :

W/)

= 2 'TT Jo)

et

111

sa masse.

(17.29)

La variance du processus réponse à l'instant 10 est donnée par:

Par exemple, si la source d'excitation est

lUI

bruit blanc unité: 8 F (J) = 2 on a :

on peut aussi écrire :

au 1èr ordre en

E

on a :

CT

17.4.2.

l( (0 ) -_

(1

1

~

4 m-

-

e -l~"'OIO)

(17.30)

EW5

Caractéristiques du régÎme de réponse établie

Lorsque t() -+ 00 (en fait si EW O to?:? 1) on a vu dans la première partie que l'oscillateur excité harmoniquement tendait vers un régime établi indépendant de ses conditions initiales au démarrage. Sous excitation aléatoire stationnaire il en va de même : La réponse établie X(/) est un processus aléatoire stationnaire dont les caractéristiques sont données par les formules du paragraphe précédent quand on fait tendre 10 _ 00.

~G(J)=

~

wiï+

.l/m 21EWW 0 -

, w-

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES

493

G(f) est la fonction de transfert définie à la 1re partie, chapitre 1. On a donc, pour la DSP du régime établi : (17.31)

Pour un bruit blanc unité: (I7.32)

17.4.3.

Expression approchée des caractéristiques du régime de réponse transitoire

Au paragraphe 17.4.1 nous avons caractérisé le régime transitoire de l'oscillateur initialement au repos attaqué par une excitation aléatoire stationnaire. Dans la pratique, on utilise pour ces caractéristiques des expressions approchées de même forme que celles du régime établi mais dans lesquelles on u modifié certains paramètres qui sont alors fonction de {(l' Ainsi on définit: Une ( umplitude équivalente») A (10) et un ~(amortissement équivalent), E (In) tels que:

et :

On ajuste ces fonctions de telle sorte que J'expression approchée de H([, ln) conduise à une valeur exacte de la variance de la réponse dans le cas d'une excitation pur un bruit blanc et par un signal sinusoidal de pulsation Wu'

Pour l'excitation par bruit blanc on impose ainsi, d'après (17.30) et (17.32) : ,:;:2 =

LJ

c~(to) --::-----,.

_

-

4 ~

CT

l

2(,) _ •0

-

,

)

4m-eltJô

(1

-

, ) 1 e - 2 rw() lU A-(t() = - - - - -

e -2 ""'OIU)

(17.33)

4

Pour l'excitation sinusoïdale. on doit égaler les expressions exactes el approchées de H (fOl tu) :

1 -...,--") ... l11w(Î

[ ]

e- ""ulo

iE

+

1- e 2

494

SOURCES D'EXCITATION ALl3ATOIRES

Au 1er ordre en

E

on a : c (to } I _ e - ".tIo /0 c-{tf)}

t::

d'où d'après (17.33) :

(17.34)

On remarque que ê (co) :.> E: le caractère transitoire se traduit donc sur le niveau de la réponse, par une augmentation fictive de l'amortissement.

17.4.4.

Réponse de l'oscillateur hnrmoni(IUe ù une excitation de DSP lentement variable en fréquence

Les processus que l'on associe aux phénomènes physiques d'excitation (turbulence, ondes sismiques, ... ) ont souvent des DSP à large bande (c'est-à-dire évoluant lentement avec la fréquence) en regard de la largeur des résonances des systèmes répondeurs.

Figure 17.2.2.

Ainsi la DSP de la réponse se compose de deux parties: a) Une partie à basse fréquence, où H (f, lo) est peu différent de :

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES

495

La variance de la réponse associée il cette zone est:

Si l'essentiel de fréquences on a :

l'"" .. ",,. .... ,,,

de l'excitation est située dans la zone des basses

8['(f) df

= [J"~

b) Une partie à la résonance fo, où l'on peut assimiler l'excitation ft un bruît blanc de niveau spectral 8['(fo) :

D'où finalement une estimation de la variance de la réponse à rinstant tu :

(17.35) En régime établi (17.35) devient: (17.36)

17.5.

QUELQUES CONSIDÉRATIONS SUR LES PROCESSUS STATIONNAIRES À BANDE ÉTROITE

Un processus est dit il bande étroite quand son énergie est concentrée autour d'une fréquence fo wo/2 'Tf" ; c'est-à-dire quand sa DSP présente essentiellement un pic à la fréquence fI)' C'est typiquement le cas de la réponse d'un oscillateur peu amorti ft une sollicitation aléatoire. La largeur de bande du processus peut être définÎe il l'aide des moments spectraux: (17.37)

mo,

111 1

et

111'2,

étant les 3 premiers moments spectraux (éq, (17.11».

496

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

Si le processus est la réponse d'un oscillateur d'amortissement blanc, on montre facilement que: 4 ) S= ( - e '1i

E ~

1 à un bruit

1/2

Notion de processus em'eloppe En fonction du temps, un processus à bande étroite se présente comme une sinusoïde de pulsation Wn modulée aléatoirement en fréquence et en amplitude, la constante de temps de cette modulation étant liée à

~ , donc grande par uWo

rapport il la période de la sinusoïde.

t

Figure 17 .23.

D'où l'idée de définir, pour le processus, une enveloppe, qui est eHe-même un processus aléatoire: (17.38) Si J'on a affaire il des processus Gaussiens, et que il un instant t donné, X(t) et X(t) sont décorrélés (cf. 17.1.4), la densité de probabilité conjointe de X(t) et X(t) peut se mettre sous la forme (cf. 17.2.3b):

p(x,l;

d'après (17.12) :

.r, t)

1

= ---e '1icr x cri

NOTTONS GÉN)~RALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES

497

Comme le processus est à faible largeur de bande: 111} =:>

En posant Y (t )

= /11n fJ = Œ; f{~ = cr 2 f{~

al = a2 w(~

X (t) , la fonction de répartition de A (t) s'écrit: Wo

f e -x:+ ~- dtdv =-"

'1

1

2

_(T

1Tcr 2

~

(0)

(D) étant un domaine du plan de phase intérieur à un .cercle de rayon En coordonnées polaires on a ; ~

(1.

y

x a

-a

Figure 17.24.

La densité de probabilité de A Ct) est:

(17.39) Il s'agit de la loi de Rayleigh. Sa moyenne est : .., oo a2

J-L Il =

f Il

2 e cr

-~ :2 rr-

da =

498

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

1/2

a/a

o

2

3

Figure 17.25,

Son carré moyen est:

Sa variance est donc:

17.6. "

17.6.1.

RÉPONSE D'UN SYSTÈME À PLUSIEURS DEGRÉS DE LIBERTÉ Caractéristiques d'un champ aléatoire stationnaire

Si l'on revient il la définition du processus aléatoire du paragraphe 17.1, on peut sans difficulté introduire un processus dépendant à la fois du temps et de J'espace X(r, 1). Le processus est caractérisé par ses fonctions moments: Emu(.··'

ri' ... ,

t i , ••. )

rn

=

~

X/jPllm(..· ; Xij' ri' f j ; ... )

il

n

dYjj

il

Dans la pratique on utilise les deux premiers moments: J.L (r, 1)

!

=

J

xp(x, r t)

p (ri' lI' f 2, '2)

f

=

JI

d"l:

Xl X2 P1(Xj, fI'

t 1 ; X2'

r2.

t1 )

d"l:l

dx;!

NOTIONS G1~NÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOmEs

499

Pour nos applications pratiques nous n'aurons à considérer que des processus stationnaires dans le domaine temporel, d'où:

f fI

J.L (r)

xp (x, r, t ) dï

p (ri' r;!. r)

(17.40) XI X 2 P2(X 1' rI.

t

;X2' r 2 •

t

+

T) d\"1

J.L (r) est l'espérance mathématique du processus au point r. Nos applications portant généralement sur des fluctuations à moyenne nulle on aura J.L (r) = O. P (r" r2' r) est la fonction d'intercorrélatioll (quelquefois appelée corrélation croisée) entre les fluctuations relevées en rI et celles relevées en r 2,

Remarque: p

(ri' r 2 , T) = P (r" r2' - r) (T2(r], r 2) = P (rI. r2' 0)

est la covariance entre les signaux en rI et en r2' On peut également introduire la densité spectrale de puissance d'interaction (DSPI) :

(17.41 )

Remarque: En particulier on aura: p (r, T) P (r, r, T ) = fonction de corrélation au point r S (r, f) -= 8 (r, r, f) = DSP au point r

On peut également définîr la fonction de cohérence:

c(rl' r 2 , f)

IS(r p r2' f)1

= ----;===-=== JS(rl' f) S(r;!, f)

Il va de soi que les propriétés énoncées au paragraphe ]7.1 s'appliquent aux fonctions d'intercorrélation et DSPI, en particulier la propriété d'ergodicité.

Remarque: La notion de stationnarité est de pratique courante dans le domaine temporel (caractérisation des régimes établis). On peut se demander à quoi elle correspond dans le domaine spatial: La condition que devrait remplir un tel processus est son invariance lors d'une translation dans l'espace; on aurait alors: p

(r}. r 2 • r)

-= p (ri - r2' T)

(en particulier p (r, T) indépendant de r). D'une façon générale. les problèmes de mécanique étant limités dans l'espace

SOURCES D'EXCITATION ALI~ATOIRES

500

et les champs aléatoires excitateurs n'étant pas forcément homogènes, une telle condition n'est jamais remplie. Cependant si la longueur caractéristique À associée à la corrélation spatiale p (r), r 2 • T) est petite del'a1ll1es dimensions du domaine mécanique considéré et si le champ aléatoire est à peu près homogène on pourra faire l'approximation de stationnarité spatiale. Ainsi, comme nous le verrons dans les applications du chapitre] 8, Ja DSPI du champ de fluctuations turbulentes peut souvent être approchée par:

(17042) ni est le vecteur unitaire de la direction i, Ài est une longueur caractéristique de la corrélation dans la direction i, Vi une vitesse de transport caractéristique de la direction i.

L'allure exponentielle de la corrélation spatiale est à rapprocher de J'allure exponentielle de la corrélation temporelle associée à des DSP du type ( Dryden )} (cf. § ]7.2.2), souvent observées pour les phénomènes turbulents. Cette relation entre Je temporel et le spatial s'explique du fait que les événements aléatoires de la turbulence (<< tourbil1ons »)) ont à la fois un caractère temporel et spatial (taille et vitesse de rotation). 17.6.2.

Calcul de la réponse d'un système linéaire

Soit un système linéaire caractérisé par sa fonction de Green G (r}, r 2 , T ) (cf. Ife partie, chapitre 2) qui représente~ rappelons-le, la réponse en 1"1 à une impulsion unité exercée en 1"2' Soit, comme au paragraphe 1704, un processus aléatoire stationnaire F (r, t) s'exerçant sur le système initialement au repos à partir de l'instant t. Le processus réponse de ce dernier à l'intervalle de temps tf) après le démarrage est: X(r,

f, 10 )

=

1'0 Il

f

G(r, rll' T) F(rn, 1 + tn - T) dv{) dT

(17,43)

(V)

«V) désignant le domaine spatial du système). La fonction d'intercorréJation de X(r, l, to) est: P (rl' r 2, 0, to) = E

rio Jo Jo

{(/O

f

J

(V)

x F(rm, t + 10

TI) G(r2r02'

G(r]! rOI'

(V)

-

Tl)

F(ro2 ,

t

+ 0 + to -

D'une façon analogue à celle du paragraphe 17 A :

T 2)

T2)

dVol dv 02 dT)

dT2}

501

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES

La DSPI de X(r, t, lo} est:

(17.44)

avec: (17.45)

En particulier la DSPI du processus stationnaire associé à la réponse établie du système est:

(17.46)

G(r, rl), f) est la fonction de transfert du système (cf. 1re partie, Chap.2).

17.6.3.

Utilisation des modes propres du système

Nous avons vu dans la Ife partie qu'un système linéaire faiblement amorti pouvait être représenté sur la base X" (r) des modes propres du système non amorti associé : G (r ~ r(h f) =

XIl(r) Xn(ro) l -----,,..---------,,-

n~j nln(w"

+ 2 iE" W'I

W -

(17.47)

(tJ

L'expression GG* est le produit de deux sommes. Si les résonances du système

.

.

sont relativement espacees entre elles

(lwjJ-W w n

II

+1

~ En nu n + l

)

,

on peut

négliger dans le produit GG'" la contribution des termes croisés (n, ln) avec (11 =? m) devant celles des termes diagonaux (n ln). (17.46) devient alors, en remplaçant G par son expression (17.47) :

(17.48)

502

SOURCES D'EXCITATlON ALÉATOIRES

La DSPI de la réponse est donc constituée d'une' somme de contributions modales:

G( f)

f

f

f Figure 17.26.

Si l'on suppose de plus que la DSPI de l'excitation est lentement variable, en regard de la largeur des résonances, on peut expliciter, comme en 17.4.4, la varîance de la réponse. Elle se compose;

a) d'une contribution à basse fréquence

G (r, r ll , 0) est la réponse statique en r à une force unité exercée en r()

si l'essentiel de l'énergie de l'excitation est située dans la zone des basses fréquences ;

NOTTONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES

503

b) d'une somme de colltribll.tiol1 des résonances :

avec: (17.49)

(J":!(r) =

a:>

L a~(r)

(J",;! + Il

(17.50)

1

1/111 est la DSP de la force généralisée sur le mode 11 associée au champ aléatoire.

Remarque: Si l'on veut tenir compte des termes ({ croisés », dans l'expression du spectre de la réponse, ce qui est indispensable dans le cas de résonances de fréquences propres voisines, on remplace (17,48) par:

(17.51) On vérifie que S (1', f) est réel, car en permutant Il et 111 dans l'expression des termes croisés on obtient l'expression conjuguée. Supposons que la DSPI de la sollicitation soit constante en fréquence: SF(rO' r0 2 )· On peut alors intégrer (17.51) en fréquence et obtenir une expression de la variance incluant les termes croisés entre modes. (17.52)

avec 1/11/1 = :R e

Jl'lm

= Jm

{f {f

(V)

(V)

f f

XI'l(fod X m (r02) SF(r01 ' fU!) dV 01 dVO::}

(V)

(V)

XII (roI) X m (fOl) Sr(rOI' fOl) dv Ol dV(2 )

504

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

Exercices sur le calcul des imégrales Inm a) Intégration en azÎmut d'un champ aléatoire s'exerçant ft la paroi d'une coque de révolution:

.

{COS nO sin nO

SOient les modes

de la coque de révolution.

x

Figure 17.27. La DSPI du champ aléatoire est camctérisée par l'angle de corrélation Oc: 1 11 1 - /)21

8(° .°'2) = e---O-c -

(pour 0 ~ 101 - 021 ~ 11')

1

101

:; 11' -

- 1121

=e ., au coup 1e d c mo d es . d C ,'-Integra . 1e 1nm assoclee L' expression {

{COS" sin 11 (} (J

ct

C~5 mO est: sm mV

Cette expression ne dépend pas de 0: les caractéristiques de la réponse sont de révolution» (les OSP directes sont constantes en 0, les OSPI ne dépendent qlie de 0 1 - (} 1)'

«

=2

I

~W

cos nO I cos mOl dOl

Il

'nm

l'In

== 0 si 2

IIlO = 4

Jn' cos

111U C

du

()

Il"#< m 1 _ (_ l)N e -

'fT /

Oc

11' (} c - - - " - - - " - - - -

1 + (II Oc)1

11' 0 c (1

(si n :F 0)

- e - ... / OC)

b) Intégration d'un champ aléatoire monodimensionnel compris entre 0 ct L: Soit un domaine mécanique monodimensionnel compris entre 0 ct L. Les modes associés sont par exemple les fonctions sin Il 11' z/L (poutre rotuléerotulée en nexion, tuyau ouvert aux deux bouts en ondes planes, ctc ... ).

Le champ aléatoire est défini par la OSPI :

e

'505

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES

Figure 17.28. 1TZ'

111

L

c

-

~ A

dzdz'

si

11

=F

III

506

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

111

1211[121 - - - - - - - - - - - - - - = = = - - - -

1/2nnr--.~-------"--~~-=~--------------~__

(2/nn)21-----I---.-7''''--,

Inn (n impairl

--'---

ln pair) nn)../L

-1 {n»11

12hdtllnm) 1----'---"---'---------"'--'------:::::;=---

------- ----- ___

Inm (n.m pairsl

nnÀ/L

(lnm=O si n et m sont de parité différentel

Figure 17.29.

17.6.4.

Cas d'un milieu excité par un champ aléatoire uniforme à houte fréquence

Nous avons utilisé la base des modes propres pour caractériser le système linéaire répondeur. Cependant certains problèmes concernent un milieu infini, ou d'une façon plus réaliste un milieu dont les dimensions sont grandes par rapport aux longueurs d'ondes associées aux gammes de fréquence étudiées. Dans ce cas le nombre de modes nécessaires est très grand et l'on préfère une représentation de type « propagation d'ondes)) (cf. 1re partie, Chap. 3). Le milieu est caractérisé par exemple par les fonctions de transfert : G(r, âr, f) (réponse en r + âr à une sollicitation harmonique unité exercée en r). On peut associer à G une transformée de Fourier, dont la variable k a la signification physique d'un vecteur nombre d'onde (cf. 1re partie, Chap. 3) :

G(r, k, f) =

J~ (V)

G(r, âr, f)

e-ik.,Ar

d(âv)

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES PROCESSUS ALÉATOIRES

507

Le milieu est excité par un champ aléatoire unifonne caractérisé par la DSPI :

On associe à Sr la transformée de Fourier spatiale: S{=(lt, f) =

f

Br(L\r, f) e- ik • âr d(âv)

(V)

Par une démonstration analogue à celle de la formule (17.27) on montre facilement que )a DSP. S (le, f) associé réponse du système est donné par: (17.53)

Si le milieu est lui-même uniforme et infini G ne dépend pas de r et 17.53) devient: (17.54)

Exemple: Soit un milieu fluide infini monodimensionnel dont les petits mouvements sont caractérisés par des ondes de célérité e (ondes acoustiques planes - ondes de gravité au voisinage d'une surface libre ... ). La fonction de transfert caractéristique est: ie -~(I-ie)l>:t G(x, f) = ~e c ~W

(x : distance entre la source et la réponse).

(B : désigne un coefficient d'amortissement des ondes).

Le champ aléatoire excitant le milieu est:

ru Br(x, f) == SF(f) e - .\

j,ox

e-Y-

À est une longueur de corrélation caractéristique V est une vitesse de transport des fluctuations excitatrices.

Les transformée de Fourier en x de G et Bp sont: G (Ic, f)

=

C

(

!:!... (1 c

w

2/ À

Br(fc, f) = (1/ À

f

+

1 + ie ) + k !:!... (1

e

.,

(le + ~ )-

La T. F. en x de la réponse du milieu est :

Bp(f)

) if: ) - k

508

SOUIKES D'EXC1T ATION ALÉATOIRES

d'où:

x

1

1

------ + -----~ (1 - iE) + le W (1 - ie) - k c

dk

c

En appliquant le théorème des résidus et au premier ordre en

E

on obtient:

en particulier la DSP de la réponse est: 8(0, f)

le niveau de la réponse est d'autant plus élevé que le taux d'amortissement du milieu est faible (une absorption de l'énergie est nécessaire pour avoir un niveau fini). Les paramètres caractéristiques sont

(rapport entre la longueur de

W À

c

corrélation et la longueur d'onde à la pulsation w) et

~

(rapport entre la vitesse c d'entraînement et la vitesse de propagation des ondes). Si par exemple 8(0, f)

~ q; 1 : c

=~ ( E

.E... ) W

Dans le cas particulier

8(0, f)

2

8F(f)

~= c

1:

wÀ/C

"l

1 + (wÀ/ct

est maximum pour

wÀ C

= 1

CHAPTTRE 18

INSTATIONNARITÉ DES ÉCOULEMENTS. CARACTÉRISTIQUES DES S9URCES VIBRATOIRES ASSOCIEES

18.1.

INSTATIONNARITÉ DES FLUIDES EN ÉCOULEMENT. NOTIONS SUR LA TURBULENCE

Dans la 2e partie (Chap. 16) nous avons analysé les petits mouvements d'un système fluide-structure, le fluide étant en écoulement défini par une fonction potentielle. On sait que cette représentation de l'écoulement n'est qu'une approximation de la réalité, et qu'en particulier, les champs de vitesse définis par le potentiel ne vérifient pas les équations de Navier-Stokes et surtout les conditions aux limites associées: Par exemple un écoulement de profil de vitesse constant dans une tuyauterie représente grossièrement la réalité, et peut être même utilisé pour traiter la plupart des problèmes d'interaction fluide-structure tels que nous les avons décrits dans la 2e partie. Cependant au voisinage des parois on sait bien que la vitesse diminue brutalement pour devenir nulle sur la paroi elle-même (supposée immobile). Il convient donc de se poser plus précisément le problème des petits mouvements autour d'un écoulement vérifiant les équations de Navier-Stokes. 18.1.1.

Equations linéarisées des petits mouvements autour d'un écoulement établi

Les équations de Nal'ier-Stokes s'écrivent: ap + ViP'\}i = 0

al

apcu at- + vJ.p cu -'\} J-+ V·5' j

1

1

1

(18.1) 1 ) - J.L ( V·J V.'\}. + 3- v·1 V.'\}. J 1 J J

=0

Soit un écoulement établi caractérisé par: Pf(r), Vier), P(r) vérifiant les équations de Navier-Stokes: (18.2)

510

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

Considérons de petites fluctuations fonctÎons du temps autour de cet écoulement: p(r,t)

pf(r)+p(r,t)

+ vier, t) 1) = P(r) + p(r, 1)

'1)j(r, t) = Vi(r) ~r(r,

Au premier ordre ces fluctuations vérifient le système linéaire homogène: (lp

-éJl + \l'Pf v·r 1 (lp

-1- \l.V.p = 1 r

0

éJV i

V·r -al + P fal- + \l.(V. V·J p) + \l'Pf(V, v· + V·1 v.) J 1 ) J 1 1

+ \liP

I.L (\lj \ljV j

+

l

0

\li \ljV i )

(18.3) auquel on joint l'équation d'état linéaire: p = c 2 p. Supposons pour simplifier que les parois soient immobiles: Vî(Vi)=O { vj(Vi),=o

sur (4):

( IS.2bü) (18.3bis)

Il est intéressant de se poser le problème des solutions propres de (18.3) et (18.3bis), en utilisant les méthodes générales décrites dans les parties 1 et 2.

Pour ne pas alourdîr l'exposé, nous nous plaçerons dans le cas particulier suivant: - On néglige les fluctuations dues à la compressibilité (ce qui est valable si les longueurs d'ondes acoustiques sont grandes par rapport aux dimensions du problème (cf. 2e partie). - En ce qui concerne l'écoulement permanent 'Jn considère qu'il est incompressible (ce qui est valable pour des nombres de Mach petits devant 1) et que la masse volumique est constante: P fer)

Pf

y

:E

V(y)

Figure l8.l.

Z

511

CARACTÉRISTIQUES DES SOURCES VIORATOlRES ASSOCIÉES

Et d'autre part, on envisage un écoulement de type bidimensionnel « entre plaques}) : Vx = Vy

Vz

0

Vey)

Les fluctuations sont également considérées en bi-dimensionnel. (18.3) devient alors:

=0

(avec

(18.4)

viscosité cinématique J.L / P f)'

li

18.1.2.

Recherche des solutions propres et des limites de stabilité

On recherche des solutions du type:

(18.4) devient: • À

]-1I+

c

dv = 0

[Îw + v ( -cÀ) 1

-

, À

1

e

Vu +

[,

lW

•

À] V

1-

e

+

l'

(

À )

-

e

2

li -

2J

d u dy2

l' -

+ -dV v dy

2

V -

d v + -dq dy- dy

JI - "

.À

1

e

q = 0

o

(Système analogue à (15.13) de la 2c partie complété par les termes de transport liés à V.) En éliminant li et q on obtient une forme de l'équation d'Orr-Sommerfeld: 2

( -À) e

2

:2

d v -,,+ dy-

(À) - .) v--i e

À) [ -d "v

( w--V

1)

e

2

dy-

( ~2) v] i À -JJ

e

d 2V

V

=0

que l'on mettra sous la forme adimensionnelle suivante: 2

d2 {(

da~

À 2

)

2-

iRe [ (s -

À U) (

d da 2

o

(18.5)

512

SOURCES D'EXCITATION ALÊATOIRES

avec les conditions aux limites :

v= 0

I

en

a

=±

1

(18.5bis)

dv::::: 0 da

en posant: V U (a) = y = profil de vitesse normé

(V {} = vitesse de référence)

()

a

= yle we

s=-

YI)

Yoe Re = - - = nombre de Re)'nol ds

et :

l'

Trouver les solutions propres de (18.5) et (18.5bfs) consiste à trouver, pour un profil U et un nombre de Reynolds Rf donnés, les couples de nombres complexes (A et s) tels que le problème ait une solution non triviale. Parmi ces solutions les couples à partie imaginaire négative correspondent il des régimes instables (cf. r c partie, Chap. 12). En particulier il existe une limite de stabilité, telle qu'un couple (A et s) réel corresponde à une solution non triviale de (J 8.5.5bis). Par analogie avec les modes propres des systèmes mécaniques, on peut montrer qu'il existe une suite de couples (A, s) de ce type. Si l'on s'intéresse par exemple au couple correspondant aux s de plus basse valeur absolue, on définit alors, pour un profil normalisé donné, une courbe de limite de stabilité dans chacun des diagrammes (Ro A) et (Re' s) ; ces courbes séparent une zone stable et une zone instable. Le nombre réel s est un lIombre de Stroultal (x 2 'TT) Le nombre réel A est un nombre d'onde adimensiolll1el

18.1.3.

Mécanisme de l'instationnarité

Revenons à l'équation (18.2) de J'écoulement permanent. Dans notre exemple

Vey) doit vérifier:

oP ay

o

avec: V(e)=V(-e)=O

CARACT(~RISTIQUES DES SOURCES VIBRATOIRES ASSOCIÉES

513

Si l'on impose une pression constante Pl et P 2 aux extrémités du système des deux plaques (de longueur L) on a : AP

=:>

U(a)

La figure 18.2 montre les courbes de limite de stabilité pour un profil parabolique (courbes 11 2) dans les diagrammes (s, Re) et (À, Re). Elles mcttcnt en évidence un R~ critique au-delà duquel le système est instable.

sl2n kl2n 0.1..------.---------,..------, O,5,------.---------r------,

r~" n=2

Il

.,

\ ., Il \

n\:!a

n;~

"\.

"

n=2

.",

. " . \.

.,nstable '\.

f-o--.

•

o Il

Inst.

0,3

.~

' ' '.

.~

\

'-.....

o~--~--

Il

___

Inst.

"

•

,

II~

0,1

10 4

-.

\

........,

.,

0,2

1

Il

............ ____

..... Instable

\11 Inst.

"ca

.....n=6 ,,-0 __•\ Inst. n=4

................

11---

~~

_____

~

1~

Fig. 18.2. Courbes de limite de stabilité du"s les diagrammes (Rf' s) el (Rf' ,\) pOlir des profils de lype U(a) = 1- (lN.

Dans la pratique, les nombres de Reynolds sont largement supeneurs L'écoulement lamÎnaire décrit précédemment ne peut dOllc pas être une solution dlt problème. En fait l'écoulement est tlIrbll!cnt : c'est-à-dire que le régime établi stable est atteint du fait d'un taux fini de fluctuations. En effet: d'une façon générale l'équation (18.2) de l'écoulement permanent est alors à remplacer par (en incompressible) :

( = 105 à 106), on est donc très instable.

(18.6) P f Vi Vi s'appelle tenseur de Reynolds. Il peut être interprété comme jouant le rôle d'une « viscosité» supplémentaire due à la turbulence. Par exemple dans le cas de l'écoulement entre plaques, ce terme, fonction de y,

514

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

contribue à modifier le profil U, en accentuant sa pente au voisinage de la paroi. On vérifie, sur les figures précédentes, qu'une augmentation de pente simulée par une loi du type 1 - an (Il croissant) correspond à une augmentation du Re critique. On peut donc prévoir que pour un Re donné correspondra un certain taux de turbulence et un certain profil de vitesse moyenne associé tels que le système soit stable. Remarque: La figure 18.2 montre également que l'instabilité se produit essentiellement pour des nombres d'ondes (À /2 7T de l'ordre de 0,3 et des nombres de Strouhal de l'ordre de 0,1).

18.1.4.

Densité spcctrnlc de puissance des fluctuations

Intéressons-nous ici à la distribution énergétique des fluctuations: Le mécanisme décrit précédemment conduit à un taux de fluctuations fini stationnaire, auxquelles on peut faire correspondre un schéma aléatoire. Les fluctuations sont ainsi caractérisées par une densité spectrale d'interaction 8(r, r'. f), comme nous l'avons vu au paragraphe 18.5.l. Certains auteurs ont essayé, à partir des équations de Navier-Stokes, d'écrire un autre système portant sur les fonctions S ct également les moments d'ordre supérieur. Cette démarche conduit il une formulation très lourde que nous n'aborderons pas ici. Cependant pour illustrer les relations qui existent entre les fluctuations turbulentes dans les différentes bandes de fréquence, on peut effectuer une analyse de Fourier des équations de Navier-Stokes. Comme les fluctuations sont stationnaires on considérera des transformées de Fourier tronquées en remarquant que d'après le paragraphe 18.1.2 ces dernières sont fi la base de l'obtention des densités spectrales. On distingue, comme précédemment, pour les variables de vitesse et de pression: -

des quantités permanentes vérifiant le système (.18.6) :

- des quantités fluctuantes dont on écrit les équations en incompressible, il partir de (18.1) :

j fai

\ljV;=O

av-

P

+ vjP! V j

(18.7)

______ Vi

+ VjP! V j

Vj

+ \ljP! Vi

Vj

+

'ViP - p.. \lj 'VjV i

~ désignant la partie fluctuante à moyenne nulle de

Vi Vj'

= 0

515

CARAŒÉRTSTIOUES DES SOURCES VIBRATOIRES ASSOCIÉES

Aux fonctions stationnaires du temps Vi et p on fait correspondre la transformée de Fourier tronquée; par exemple: 'I'/2

vJ(f)

=

J

v;(t)e- 2irr!ldt

-'1'/2

T est un temps suffisamment grand mais fini. Comme nous l'avons vu au chapitre l, il conditionne le pas de l'analyse en fréquence (Af

=

~

) .

A Af correspond une longueur d'onde À max de fluctuations qu'il faudra prendre au moins de l'ordre de grandeur de la dimension géométrique du problème à traiter. On peut montrer que la transformée de Fourier tronquée de ~ est donnée par le produit de convolution: +OO

Qu(f) =

T

T

_ 00 vj (fu) Vi (f - fo) dfo

f

(avec

f

=;!=

0)

(18.7) devient alors:

Si l'on discrétise (18.8) en J avec le pas Af on obtient une suite infinie d'équations liant les fluctuations associées il chaque bande de fréquence Af. En joignant à cela l'équation permanente (18.6) on arrive il un système d'équations couplées entre elles par les aij(f) (on peut poser v i = (ljj(O», qui sont un peu la repésentation mathématique de la cascade de Kolmogorov que nous analysons au paragraphe suivant. Cette suite infinie d'équations peut être limitée il Jma~ telle que la longueur d'onde associée soit de l'ordre de l'échelle des tourbillons dissipés par la viscosité. 18.] .5.

Théorie de Kolmogorov

Nous avons vu précé.demment d'après les courbes de stabilité d'Orr-Sommerfelci que la zone des fluctuations de nombre d'onde adimensionnel À - 1 était instable. En reprenant le schéma de Ko/mog01"01', il s'agit de la zone de « production ») de la turbulence, correspondant à des «tourbillons de grande échelle }). Ces tourbillons cèdent leur énergie il des fluctuations d'écheIle plus petite et ainsi de suite jusqu'à l'établissement d'une cascade allant des tourbillons de grande échelle produits par )'instationnarité aux tourbillons de très petite échelle qui se dissipent par l'effet de la viscosité; l'échelle de ces tourbillons étant d'autant plus petite que le nombre de Reynolds de l'écoulement est plus grand. L'énergie dans chaque gamme d'échelle (ou de fréquence) est donc équilibrée; ce qui correspond à une certaine densité spectrale caractéristique.

516

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

On comprend aussi la difficulté de résoudre les équations de Navier-Stokes numériquement aux grands nombres de Reynolds, puisqu'il s'agit de œprésenter en même temps des structures d'écoulement de dimensions extrêmement différentes. La zone des fluctuations de grande échelle est liée à la géométrie du problème, en particulier aux conditions aux parois. La zone @ des fluctuations de petite échelle est indépendante de cette géométrie mais liée à la dissipation visqueuse. Dans la zone @ et la zone CID (intermédiaire entre CD et @), on peut supposer que la turbulence est spatialement stationnaire et donc que S(r, rI, f) ne dépend que de r - ri. On peut donc transformer par Fourier en espace S (r' - r, f) et définir ainsi un nombre d'onde Ald (pour une dimension spatiale), d étant une dimension caractéristique du volume fluide. A est de même nature que celui défini pour établir les équations d'OrrSommerfeld, il caractérise l'échelle spatiale des fluctuations:

CD

-

CD

Dans la zone Dans les zones

on aura A :s 1. et G) Apl.

(1)

En intégrant dans le domaine des fréquences la transformée de Fourier de S (r rI, f), on obtient un spectre en nombre d'ondes cS (A) caractérisant la distribution des fluctuations selon l'échelle tourbillonnaire. Pour les fluctuations de vitesse on définit Sjj (A) tel que:

Montrons que dans la zone intermédiaire ® S (A) évolue en A - 5t:! : En effet, dans la zone le modèle de Kolmogorov veut que la densité spectrale S (A) ne dépende que du flux d'énergie E (énergie perdue par les

CD

tourbillons d'échelle

f

par unité de masse et par unité de temps) et de la

dimension géométrique caractéristique d du problème: S(A,E,d) Le flux d'énergie E correspond également 'au flux produit par la turbulence de grande échelle qui dimensionnellemenl est du type y3ld, Y étant une vitesse de référence de l'écoulement. Dimensionnellement S (A, E, d) est du type: S(A, E, d) = y2 dJ-(A) 2f3 => S(A, E, d) = E d sl}[F(A) Ce système caractéristique de la zone

(18.9)

CD, doit se raccorder à celui de la zone

@ qui ne dépend que de E, de la viscosité et de l' échelle dl A. Ceci impose en particulier que S ne dépendent pas explicitement de la dimension géométrique caractéristique d.

CARACTÉ.RISTIQUES DES SOURCES VIBRATOIRES ASSOCIÉES

517

La fonction :F (À) doit donc être, d'après (18.9) de la forme:

:F (À ) (de telle sorte que S

=

:!IJ E'

(

= À - 5/3

(18.10)

li ) 5/3 ). A

Remarque: Si l'on suppose qu'à une échelle de turbulence donnée dl À correspond une gamme de fréquence étroite centrée autour de 1 telle que: s

= 2

11'

Id . .

À

V

la densité spectrale adimensionnelle :F (r, s) sur un point r donné aUn:l également une évolution en s-513. Cette hypothèse correspond il l'image du tourbillon animée d'une vitesse V et de rayon dl À.

10- 5 ""0 tri

>

N-

O-

"

"'-

i7) 10-6

10- 9 L---_ _ _----IL--_ _ _ 10- 1 10

o_----I

---L_ _ _

102 fd/V

Figure 18.3.

518

SOURCES D'EXCITATfON ALÉATOIRES

A titre d'illustration fa figure 18.3 montre la densité spectrale des fluctuations de la pression à la paroi d'un tube de diamètre d parcouru par un écoulement de vitesse moyenne V pour des Reynolds de l'ordre de 106 (réf. [57]). La DSP est tracée en coordonnées adimensionnel1es ; les points expérimentaux associés ù plusieurs vitesses d'écoulement suivent la même courbe, ce qui montre que le phénomène turbulent dépend peu de Re' donc de la viscosité. La pente en 5/3 est assez bien vérifiée dans la partie intermédiaire du spectre. 18.1.6.

Mise en évidence des zones d'écoulement très perturbées

Au sein d'un écoulement turbulent, les fluctuations n'ont pas partout la même intensité. La figure 18.4 montre les densités spectrales des tluctuations de pression de paroi observées pour différentes configurations géométriques rencontrées dans les circuits. On remarquera tout de suite la grande différence entre les configurations singulières l, 2 et 3 caractérisées par un très fort niveau dans les basses fréquences (

t.::

<::

0,5 ), et la configuration 4 correspondant à la turbulence

établie dans un tuyau droit caractérisée par un étalement plus large en fréquence et un niveau général beaucoup plus faible. Il est évident que les sources d'excitation associées aux configurations 1, 2 et 3 seront bien plus importantes. Cette constatation justifie l'hypothèse que nous ferons par la suite des zones sources assez localisées correspondant aux singularités d'écoulement. Au chapitre 19 nous étudierons d'une façon assez détaillée les singularités géométriques des circuits (élargissements, coudes, jonctions, etc ... ). Rappelons également que dans la 2c partie (§§ 16.7 et 16.8), quelques éléments concernant les fluctuations à l'aval des obstacles cylindriques (isolés ou en faisceau'x) ont été présentés.

18.2.

SOURCE VIBRATOIRE ASSOCIÊE À UNE ZONE TURBULENTE

Supposons maintenant connu l'écoulement instationnuire avec parois fixes. Pour les problèmes il faible nombre de Mach qui nous intéressent, cet écoulement peut être considéré comme incompressible et l'on peut distinguer une partie permanente vérifiant le système (18.6) et une partie fluctuante vérifiant le système (18.7). Dans un système couplé fluide-structure, les fluctuations instationnaires ainsi définies sont une source d'excitation vibratoire, pour le système couplé acoustique-mécanique constitué par la structure et le fluide. Nous ferons l'hypothèse fondamentale que les fluctuatiolls d'origine acoustiqlle (compressibilité) el d'origine mécanique (mouvements des parois) Ile Illodificnt pliS le régime d'écoulement illstatio1l1wire el dOllc que la source vibratoire associée peut être caractérisée indépendamment de la réponse du système couplé fluide-structure.

CARACTI?RISTlOUES DES SOURCES VIBRATOIRES ASSOC1ÉES

1

10-2

-- --~ I~ 11=5 %

\----

V9.-f o=-l 0 0 ~. 000

d

11=2 %

® :Point

de mesure

~I V~

11=0.1%)

10-8 10-2

--L-_f_d_I....... V

1 . . - -_ _- L -_ _- - 1 -_ _---L-_ _

1

10

519

520

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

L'objet de ce paragraphe est d'expliciter cette source. Pour cela on peut introduire dans les équations de NllI'Îf!r-Srokcs une variable de vitesse supplémen-

taire

Vi

correspondant il la partie de la fluctuation de la vitesse due à la

compressibilité et au mouvement des parois. Ainsi la vitesse sc compose de 3 termes: (lli

+

=

+

panic

fluctuation

pl!rmanCnlC

" lurbulente "

f1uclUalion " acousliquc-mGcaniquc

Il faut de plus introduire lu condition à la paroi (S)

i\

llis

,j

(v i .1 = vitesse de la

paroi). Nous considérons que ces fluctuations sont petites devenant les grandeurs permanentes. On peut donc linéariser les équations de NllI'ier-Stokes par rapport aux fluctuations

Vi'

On introduira également pour cela une fluctuatÎon de masse

volumique p et de pression p liées par la relation de compressibilité:

p

" cp

On supposera, comme nous l'avons déjà fait dans la 2c partie, que la viscosité est un paramètre secondaire en ce qui concerne la description du sy.stème couplé nuide-structure. On négligera donc le terme de viscosité associé il la variable

Remarque: Cette simplification est une conséquence directe de notre hypothèse de base: le régime instationnaire n'est pas modifié par la vibration du syslème accoustico-mécanique. Elle suppose en particulier que la ~( couche limite» au voisinage de la paroi est simplement « translatée» sans être modifiée par le mouvement vibratoire de cette dernière. Ceci justifie également il posteriori l'utilisation de modèles simples pour représenter l'écoulement dans les systèmes couplés structure-écoulement comme nous avons pu les étudier dans la 2c partie. Il va de soi que cette hypothèse de base n'est pas toujours vérifiée, comme nous l'avons vu lors de l'étude des phénomènes d'accrochage dans les faisceaux de tubes (§§ 16.7 ct 16.8). En prenant la divergence de l'équation des quantités de mouvement et en ulilisant l'équation de continuité on obtient:

o

ilp

...-

(18.11)

Explicitons la partie fluctuante pel) i CD j' Si l'on néglige l'effet de la turbulence sur la propagation acoustique (termes en Vi Vi

et en

Vi

p) on a au premier ordre:

CARACfÊRISTIQUES DES SOURCES VIBRATOIRES ASSOCIÊES

521

on a:

ct:

On peut utiliser réquation de continuité linéarisée pour transformer ces termes:

al +o{V.v.+Y.V.p . 1

1

1

0

1

d'où finalement: ~

p'U i 'U j

~ Vi )(V i + V j )

P { Vi Vi(Y; +

- 2 Vi Vi

a:;

Y j Y j Vi VjP

+ 2 P f(VjV; )(VjV j ) +

(VjV, )(VjV j ) P

(18.11) conduit donc à l'équation de propagation:

------------

P f 'V j 'Vj(V i

+ vd(V j + Vj) + p..V j

"j 'Vl'i

(18.12)

On retrouve ainsi au premier membre l'opérateur des ondes acoustiques avec écoulement permanent déjà mis en évidence dans la 2e partie (éq. (16.26)). A cette équation il faut adjoindre les conditions à la paroi 06.27), ainsi que l'équation des petits mouvements de la structure sous l'effet des fluctuations de pression du fluide (éq. (16.28). Cet ensemble d'équations comporte un second membre:

qui représente la source d'excitation due à l'écoulement instationnaire. En général, pour les écoulements à grand nombre de ReYllolds que l'on a J'habitude de rencontrer, ce terme se limite essentiellement il :

------------+ +

P f Vi 'Vi(Yj

Vi

)(Vj

vj

(18.13)

11 va de soi que cc terme source ne sera important que dans les zones d'écoulement fortement Înstationnaircs.

522

18.3.

SOURCES D'EXCITATION ALÉ.ATOIRES

PROJECTION SUR UNE DÉFORMÉE MODALE DU SYSTÈME COUPLÉ ACOUSTICO-MÉCANIQUE

Si l'on reprend l'équation (18.12) dans laquelle on élimine les termes dus il la compressibilité, on obtient une expression de la fluctuation de pression due à l'instationnarité que l'on notera PI en fonction des vitesses fluctuantes Vi et permanente Vi' PI représente assez bien la fluctuation de pression. telle que l'on peut la mesurer, dans les zones d'écoulement fortement instationnaire, où les effets acoustiques-mécaniques sont toujours faibles devant les effets « turbulents ».

-------------

âPI = - P J Vi Vi(Y i

+ vz)(Y j +

Vi)

+

}.LVi Vi ViVi

âp, représente donc une expression de la source du paragraphe précédent. La réponse du système couplé fluide-structure à cette source peut être analysée en utiJisant la base des modes propres du système fluide-structure non amorti, (sans terme source ni- terme non conservatif). Ce système est celui caractérÎsé par la fonctionnelle (14.8) explicitée dans la 2~ partie.

Si 7r (r) est une forme modale correspondant il la variable de pression dans le fluide (p = if), la projection du terme source est:

On peut se conlenter de limiter l'intégration au volume du fluide correspondant aux fluctuations les plus intenses, c'est-à-dire les zones singulières très perturbées de l'écoulement.

Figure J8.5.

Soit ~ la surface limitant ce volume, elle se compose d'une partie (~[) correspondant il une paroi et une partîe (S) correspondant au raccord avec les zones moins perturbées du fluide.

CARAcrÉRISTlQUES DES SOURCES VIBRATOIRES ASSOCIÉES

523

En appliquant la formule de Green nous avons:

= normale

(0

extérieure à (V f ).

or : ~

w(i

Â7T

= -"""""1 'TT' c-

(w o = pulsation de la résonance)

et sur (.Il) : grad

1T

(X; étant la déformée modale de la paroi). grad P, . n peut être considéré nul si l'on néglige les effets dus au terme de viscosité. Sur (S) grnd P,O':: - P f aVen négligeant de la même façon les termes visqueux

al

et également le terme quadratique puisqu'en (S) les fluctuations turbulentes sont faibles. On a alors:

F=-

f

PI

'TT'

dv -

(Vi)

J (1. (5)

Pt grad

av ) . n d.! al

'Ir

'TT'

Pf

+

f

PI X s • n d.!

(18.14)

(~1)

L'écriture (18.14) permet de distinguer les 3 aspects de l'excitatioll vibratoire associée à une zone perturbée.

-

Terme 1 : Une source acoustique volumique liée à la compressibilité du

fluide (proportionnelle à

~). e

- Terme 2: Une source s'exprimant aux limites du volume perturbées qui représente également une source acoustique si le fluide est compressible, mais qui /l'est pas nulle si le puide est incompressible. - Terme 3 : Une source d'excitation directe de la structure par les fluctuations de pression locales. Ce terme ne dépend pas non plus de la compressibilité. Remarque: Bien que cela ne soit pas directement lié aux applications que nous visons dans cet ouvrage, il est intéressant de rapprocher la présentation que nous venons de faire, de celle de Liglllhill (réf. [59]) qui s'applique à la classe des problèmes de rayonnement acoustique en espace infini. Dans ce cas il est intéressant de projeter les équations sur les fonctions de

524

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

Green du problème infini homogène: _1

O(r,l)=

4 1Tr

p..(/_!:.) c

(p.. = fonction impulsion). Cette intégration nous conduit aux expressions de Kirclwff, déjà examinées au paragraphe 16.4.

Zone (1ff)

M..L.=-----1-~-Figure 18.6.

La fluctuation de pression acoustique en un point M situé en dehors de la zone perturbée (VI) s'exprime par: 41Tp(M,t) =

f

(~.,)

[! [gradp] r

[p]grad!+ r

[aalp ] !gradrJ ·ndI cr

P

(18.15)

~

En posant T jj ::::: P I(V i + vj )(V j + vj ). [ ] représente les valeurs retardées du temps de propagation du son du point courant de l'intégration P au point M (r MP ) . . Si l'on distingue sur la paroi (2:,) une zone (I,) où l'on note des fluctuations turbulentes intenses, (estimées par les fluctuations incompressibles» P, du paragraphe précédent), (18.17) se met sous la forme classique de Kirchoff à laquelle viennent s'ajouter deux termes sources: «(

a) Le terme volumique

J

~

[Vj VjT ij ] dv p

(VIl

Si l'on suppose que M est loin de la zone perturbée (VI)' on peut écrire au 1

1er ordre en

r

!~

c-

f (Vf>

ri r j 3 r

[

a1'jj ] ~

ar

d~

(ri étant la composante du vecteur MP sur l'axe de référence i).

CARACTÉRISTIQUES DES SOURCES VIBRATOIRES ASSOCIÉES

525

Lightlzill montre que ce terme a le comportement acoustique d'un champ quadripolaire. Il est à rapprocher du terme 1 du paragraphe précédent. b) Le terme de surface :

[PI] grad -1 + r

[aPI grad - ]-r J . ndI iJl

cr

P

Si nous supposons toujours que grad PI' n = 0 sur la paroi, son expression se . au premIer . ord re en -1 il: re'd Ult r

ce qui correspond à un rayo11nemelll dipolaire. Ce terme est à rapprocher du terme (2) du paragraphe précédent.

CONCLUSIONS L'expression (18.14) a une structure assez compliquée. Dans la pratique on a tendance à en appliquer des formes simplifiées qui correspondent en fait à des cas particuliers de modes propres de systèm'e fluide-structure. a) L'hypothèse la plus souvent utilisée consiste à négliger la compressibilité du fluide (donc le ] cr terme de (18.14) et également les effets à « longue distance » dus à l'interaction fluide-structure (donc le 2c terme de (18.14) puisque Pt et v seront supposés nuls en dehors de la zone excitée). On a alors:

F=

f

PI X s ' n d.!'

(18.16)

(.!I)

Cette hypothèse est vérifiée dans le cas de structures souples en présence d'un fluide très peu compressible, si l'on considère des modes de vibration « locaux », c'est-à-dire possédant quelques longueurs d'onde en déformation dans la zone excitée. C'est le cas par exemple de plaques ou coques minces soumises à un écoulement d'eau, de tubes d'échangeurs en écoulement parallèle ou transversal, etc ... On peut alors, si l'on connait les caractéristiques du champ des pressions à la paroi de la structure, calculer la DSP de F et donc de la réponse du système fluide-structure à l'aide des formules générales du paragraphe 17.4.3. En particulier la formule (17.49) appliquée à (18.16) nous donne, pour la DSP de F à la résonance considérée :

526

SOURCES D'EXCITATION ALf:ATOIRES

Dans les hypothèses effectuées, on obtient souvent une précision convenable sur l, à raide d'une modélisation relativement simple de la' densité spectrale d'interaction, Spl(rOj ' ro:!, l) tellc que celle de la formule (17.42). Les DSP, longueurs de corrélation et vitesses de transport peuvent être obtenues expérimentalement à l'aide de capteurs de pression de paroi situés dans la zone perturbée de l'écoulement (nous donnerons des exemples aù chapitre 19 en ce qui concerne les singularités des circuits). b) Dans le cas de problèmes d'acoustique, où l'on considère essentiellement des modes purement liés au fluide compressible, on fait l'hypothèse inverse de celle du a). En effet, l'excitation de la paroi est souvent ici un phénomène secondaire et l'on considère soit les formules de Liglzthill si l'on a affaire à un problème de rayonnement en espace infini. soit les deux premiers termes de (18.14) si l'on a affaire il un problème de résonance acoustique de circuit.

c) Il est enfin à remarquer, que pour le calcul de l'excitation des premiers modes de circuits parcourus par un fluide, même si celui-ci est très peu compressible "hypothèse a) ne peut être appliquée car on ne peut pas négliger les effets à longue distance qu'implique le couplage flexion de la tuyauteriemouvement en ,1 onde plane» du fluide. D'autre part, la dimension des zones perturbées est généralement petite devant les longueurs d'onde de ces modes. Ainsi il nous a paru intéressant de consacrer un chapitre spécial à ce cas particulier: -

il illustre d'une part les considérations générales précédentes, - il est d'autre part d'une application pratique courante et les données théoriques et expérimentales que nous allons présenter forment un ensemble suffisamment important pour servir de base à un formulaire pour estimer les niveaux vibratoires des circuits industriels sous écoulement.

CHAPITRE ]9

APPLICATION AU CAS PARTICULIER DES VIBRATIONS À BASSE FRÉQUENCE DES LIGNES DE TUYAUTERIE SOUS ÉCOULEMENT

L'écoulement des fluides dans une tuyauterie industrielle est généralement turbulent. Cependant, comme nous l'illustrerons par la suite, les fluctuations sont très nettement plus intenses en un certain nombre de zones que J'on appelle singularités. Ce sont par exemple les variations plus ou moins brutales de la section de passage ou de la direction de l'écoulement, des obstacles dans l'écoulement (ailettes, vannes il demi-fermées, etc.) ou les machines tournantes qui assurent la circulation du fluide. Ce sont ces fluctuations que nous retiendrons comme source d'excÎtation. Si nous considérons leur densité spectrale que ce soit à la lumière des considérations théoriques sur la turbulence du chapitre précédent, on à l'aide de données expérimentales, nous remarquons que c'est la gamme des basses fréquences qui est la plus énergétique. Cette gamme est celle des nombres de Strouhal s

~l

(si d est le diamètre de la tuyauterie et V la vitesse moyenne de

l'écoulement) dont l'ordre de grandeur est inférieur il l'unité. En ce qui concerne les phénomènes acoustiques qui peuvent se développer dans la tuyauterie du fait de ces fluctuations, on peut alors remarquer que les longueurs d'onde associées rapportées au diamètre de la tuyauterie sont telles que: c 2

'TT"

c

1

f d=2

'TT"S

1

V = 2 7TsM

Ce rapport bn'ersement proportionnel au nombre de Mach M de l'écoulement, est généralement grand del'flllt l'llIlité. La propagation dans les tuyauteries se fait donc par ondes planes. En ce qui concerne les vibrations de la tuyauterie elle-même, les mouvements de flexion d'ensemble sont les plus excités. Ce sont donc les premÎers modes propres couplés acoustique-mécanique tels que nous les avons caractérisés dans la 2c partie (§ 14.6), qui nous serviront de base de projection pour le champ instationnaîre associé aux singularités d'écoulement.

528

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

Ceci nous conduira à expliciter la source d'excitation sous une fonne plus simple, en particulier en ce qui concerne l'aspect spatial du champ instationnaire.

Remarques : a) Ce que nous venons de dire n'exclut pas l'excitation possible des modes de fréquence plus élevée ou de structures plus souples dans la zone des basses fréquences, dont le caractère est plus local. C'est par exemple le cas où la tuyauterie est très mince (modes de coque à basse fréquence) ou sÎ l'on a des obstacles souples (tubes, ailettes, clapets, etc.). Dans ce cas les développements qui suivent ne s'appliquent pas et il faudra donc pour calculer la réponse des structures, utiliser la formulation générale (18.14) qui implique une caractérisation complète du champ aléatoire instationnaire. b) A l'inverse, si l'on applique la formulation générale à la projection du champ instationnaire sur Jes modes « basse fréquence» des tuyauteries, que nous avons définis précédemment, il faut être prudent. En effet, le champ instationnaire, généralement très complexe, est caractérisé d'une façon approximative, par un nombre réduit de paramètres (par exemple on simplifie les lois de dépendance du spectre en fonction de l'espace, on caractérise les « interspectres» à l'aide d'une ou deux longueurs de corrélation, etc.). Cette méthode, tout il fait admissible pour calculer la réponse sur des modes élevés, peut se révéler très fausse en ce qui concerne les modes basses fréquences, car le champ aléatoire ainsi caractérisé n'a aucune raison de vérifier un certain nombre « d'intégrales» liées aux équations de Navier-Stokes et qui jouent un rôle particulièrement important dans la projection sur ce type de mode, comme nous allons le voir.

19.1.

19.1.1.

PROJECTION MODALE DU CHAMP FLUCTUANT ASSOCIÉ À UNE SINGULARITÉ Hypothèses particulières aux ondes planes

Rappelons tout d'abord certains résultats de la 2c partie (§ 14.6). Les longueurs d'onde associées à la déformation modale mécanique de la tuyauterie sont grandes devant le diamètre de cette tuyauterie. Comme les zones d'écoulement instationnaire occupent, quel que soit les singularités, une zone aval de l'ordre de quelques diamètres (avant de s'atténuer), on pourra considérer que le déplacement modal X s de la tuyauterie est constant dans le volume d'intégration de la formule (18.14). En appliquant Je même raisonnement à l'aspect acoustique de la déformée modale, la variable de pression acoustique 11' sera considérée également comme constante. Le gradient de 7T' subit quant à lui une discontinuité du fait du mouvement

529

VIBRATIONS À BASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

Zone perturbée

Figure 19.1.

X s de la tuyauterie. Entre l'amont (indice 1) et l'aval (indice 2) nous avons:

La force généralisée associée à un tel mode couplé donnée par la formule (18.16) :

[P,] 1 ct 2 et ( av ) (J[

acoustique~mécanique

est

représentent la moyenne de la pression turbulente et de 1 Cl 2

l'accélération turbulente sur les sections droites (Sd et (S2) amont et aval de la zone perturbée. On remarque que du fait de l'incompressibilité supposée pour le calcul du

av s'annule. al

champ v, l'ensemble des termes en -

«

De plus on peut définir une variable modale Q, caractérisant le mouvement acoustique») du fluide au niveau de la singularité par: Q

S.,

= ---=. PI

SI

(grad

11"

h- . 1.,- + S~- Xs • 1.,- = -P,

(grad

11")1 •

11

+ SI Xs • Il

on obtient alors: F = -

wJ 211"

P,c

f

(VIl

Pt dv - Q [CP,)2 -

CP,)d -

Xs •

f

(.1"(+S)

p, n d.r

(19.1)

530

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIIŒS

On remarque que, d'après l'équation des quantités de mouvements des fluctuations turbulentes incompressibles:

la contribution des termes quadratiques étant nulle aux 1imites (.If) et (S) de (V f)' FIL est la résultante générale des forces de viscosité s'exerçant dans le volume fluide (V f ). Du fait des grands nombres de Reynolds des écoulements considérés on peut négliger les effets de viscosité devant les effets ({ turbulents») (cf. éq. (18.15)). D'autre part le terme X s

J

Pf

(Vi)

av dv ol

est lié à un débit fluctuant dans

l'ensemble de la tuyauterie. Ce terme n'est pas forcément nul mais est toujours petit devant le terme Q (rJr ), car 1eur rapport est de l'ordre de grandeur du quotient de la masse du fluide de (V f ) et de ce1le contenue dans l'ensemble de la tuyauterie. (19.1) devient alors:

F=

19.1.2.

(19.2)

Mise en évidence d'une discontinuité de la pression ct du débit acoustique

L'expression (19.2) montre que la force généralisée F se réduit à deux termes: "u) le terme -

w~

1T

f

Pf

Pt du correspond à la projection sur la déformée

(Vfl

modale 1T d'une fonction J(t) localisée sur une section droite au niveau de la singularité. On peut montrer qu'il lui est associée une discontinuité de débit acoustique ilq dans le circuit. En effet, la projection sur la déformée modale 1T d'une telle discontinuité est:

1 d Âq dt

----1T

Pf

D'autre part, la fonction

7T:

JC/) peut s'écrire d'après la forme de sa projection sur

VIBRATIONS

A BASSES

FRI~QUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

531

En identifiant, on peut donc associer, à la singularité, la discollti1luité du déMt acollstiqlle : 1 d'

-:J p c2dt (\'fl

ilq =

(19.3)

dv 1

b) le terme - Q [(PI):\ - (P,)\ j correspond i't la projection sur la déformée modale 1T d'une dÎsconlimûlé de la pression acoustique dalls le circllit :

(19.4)

On peut donner d'autres expressions de ilp en utilisant l'équation des quantités de mouvements des fluctuations turbulentes incompressibles avec les mêmes hypothèses simplificatrices que précédemment. On obtient alors:

d'où par exemple:

f

[PI - (iJ/)d n d}; + Sl I1[(iJr)1 -

VJt)tl

= 0

(.rf)

==>

(19.5)

Ap =

Cette dernière expression montre que la discontinuité de pression acoustique locllies .\' de pression lllrbuJellte fi la paroi de fa singularité. Ap est fonction des flllclUatiolls

19.1.3.

(1'

Généralisation à une singularité il plusieurs sorties

Les expressions du paragraphe précédent se généralisent simplement. Si li est le vecteur unitaire sortant de la singularité associé il l'entrée i de section Sî' on pose: Qj

Si -Pf (grad 1T ) .• J. + S X . 1· ' l l.r J

On a alors: LQi =0 i

(19.6)

532

SOURCES D'EXCITATION ALI~ATÜIRES

Figure 19.2.

et l'expressîon de la force généralisée devient:

(19.7)

)j étant la moyenne sur la section (Si) de la fluctuation de pression turbulente. On pourra ainsi définir comme précédemment une discontinuité du débit acoustique: dq

=

telle que, si "on appelle CJî les débits acoustiques sortant de chaque communication, on ait: (19.8)

On peuL également généraliser (19.5) en écrivant:

(19.9)

19.2.

DENSITÉS SPECTRALES DES DISCONTINUITÉS ASSOCIÉES À UNE SING ULARITÉ

Nous analysons dans ce paragraphe l'allure des densités spectrales des fonctions Âp (t) et dq (t) définies précédemment. Pour cela il est intéressant

VIBRATIONS À BASSES FRI~OUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

533

d'effectuer une analyse dimensionnelle et de définir un certain nombre de grandeurs physiques caractérisant l'écoulement dans les singularités.

19.2.1.

Analyse dimensionnelle et grandeurs physiques caractéristiques

Si nous considérons pour l'écoulement dans la singularité, une vitesse de référence V o, une masse volumique de référence PI et une longueur de référence L, on peut réécrire les équations de Navier-Stokes en variables adimensionnelles. En particulier les fluctuations instationnaires sont caractérisées par des vitesses adimensionnelles v /V o et des pressions adimensionnelles ~, qui sont PI Vii fonctions d'une variable d'espace adimensionnelle -[ et d'une variable de temps adimensionnelle

Vol

L

.

Deux paramètres interviennent alors dans le problème: le nombre de VoL Vf) Reynolds; R = P f et le nombre de Mach M caractérisant lu C J.t C viscosité et la compressibilité du fluide. Comme nous l'avons montré dans les chapitres précédents, les fluctuations instationnaires locales de l'écoulement dans la singularité sont généralement peu dépendantes de Re et M, du moins en ce qui concerne la partie « basse fréquence» de ces fluctuations.

19.2.2.

Densités spectrales ndimensionnelles

Le champ des fluctuations locales dans la singularité peut être caractérisé par une densité spectrale d'interaction S{r l • r2' f) (cf. § 18.6). Si l'on considère par exemple les fluctunlions PI de la pression, on peut définÎr la densité spectrale d'interaction adimcnsiol1l1ellc.SI'l (rI'

Tl'

f) V()

(p f v~i!

avec s = nombre de Stroulral =

~L

(19.10)

.

()

:F sera peu dépendant des nombres de Reynolds et de Mach. La discontinuité de la fluctuation de la pression acoustique ilp (t) et du débit acoustique ilq (t) sont des fonctions linéaires du champ PI (r, 1 ) dans les formules du paragraphe précédent. Leurs densités spectrales SAI' (f) et Bâll (f) peuvent donc s'exprimer à l'aide de la densité spectrale d'interaction S"I:

534

SOURCES D'EXCITATJON ALI~ATOJRES

soit en adirncnsionnel :

Comme nous l'illustrerons plus loin, l'allure des spectres :J fil et :J p; est de type '( turbulent ), : c'est-a-dire décroissant en fréquence à large bande, Les intégrales

l

(.rf)

J

et

(.!(l

f f (\'I)

ont la même allure.

(Vf>

tF d/'(s) et :F .li} (s) ont donc l'allure indiquée à la figure 19.3 :

Log

':r'

Figure 19.3.

:FdP(S) et :J dl/(s)/M 2 sont peu dépendants des nombres de ReYllolds et de Mach. En particulier pour les écoulements de fluides peu compressibles tels que l'eau, seul :J Ap (s) sera à considérer. Pour des écoulements de fluides compressibles, tels que la plupart des gaz, et à partir d'un M >- 0,1 à 0,2 il faudra tenir compte de :F Aq surtout dans la gamme des moyennes fréquences, L'analyse que nous venons d'effectuer montre également que le niveau des sources associées aux instationnarités (écart~type de D.p(t) et D.q(i» évolue en V~ aux basses vitesses (M <:g 1 ) (effet de dp (l))! puis en V~ aux hautes vitesses (effet de D.q(t), Il faut cependant remarquer que l'analyse effectuée ici ne s'applique plus pour ]es écoulements à nombre de Mach voisin de 1, car J'écoulement permanent et les fluctuations locales peuvent alors dépendre de la compressibilité,

VIBRATIONS À BASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTER1E

19.3.

535

ANALYSE EXPÉRIMENTALE: EXEMPLE DE L'ÉLARGISSEMENT BRUSQUE

Nous illustrons dans ce paragraphe les considérations théoriques développées précédemment, en présentant des résultats expérimentaux obtenus pour une singularité simple: l'élargissement brusque à parois fixes, en écoulement d'air atmosphérique. Nous insistons en particulier sur la démarche utilisée pour l'interprétation des données des expériences. 19.3.1.

Evolution de la pression statique il l'aval de l'élargissement brusque

Section

Section IsI

(SI

o Figure 19.4.

Soit d ct D les diamètres des tuyauteries amont et aval (les deux tuyauteries étant coaxiales). On sait que cette singularité engendre un effet de perte de charge AP que l'on définit comme étant la différence de la pression totale entre l'aval et l'amont. Cette perte de charge peut être estimée théoriquement à l'aide de l'hypothèse suivante bien vérifiée expérimentalement. La pression est constante dans la section droite à l'aval immédiat de l'élargissement (x = 0) et la vitesse est constante dans le jet (V). En appliquant le

1 1

1

(sl

V-----

1

1

{'ll'f l

1

(S)

1 1

1

1

t

+

p,

P2 Figure 19.5.

SOUI~CES D'EXCITATION ALÉATOIRES

536

théorème des quantités de mouvement dans le volume nous avons: SPl

+ Pf V 2 S = Sp:. + Pf V 2 (

=> AP 11I

P2 - Pl

= PÎ

V

2

~

~

) 1

CVf)

de la figure 19.5,

S

~)

CI

La perte de charge est donnée par: A'P =

Pl

+:21 P f y!

[ P21 +:2 (

i )'-v ]

S)2 :21 P f Y-~( 1 - S

2

La figure 19.6 montre la recompression mesurée à l'aval de l'élargissement rapportée à la valeur théorique CD = 0,2 m ). Si l'on rapporte la distance à l'aval de l'élargissement à D - d on remarque que l'évolution de la pression est une loi indépendante du rapport d/D. La distance D - d caractérise la dimension transversale de la poche décollée. L'examen de la courbe d'évolution des pressîons statiques met également en évidence trois zones aval caractéristiques: a) une zone de faible décroissance (correspondant sans doute à une faible diminution de la section du jet).

Pression s tatique/ llP th

o{

o

d==O,1m

v= 180m/s

.{ d:::O,125m V= 164m/s x/(D-d)

o

2

4

6

8

10

Evolution de la pression statique à [Iaval de l'élargissement Figure 19.6.

VIBRATIONS À nASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

537

b) une zone de fort gradient de recompression (correspondant au i, recollement» de l'écoulement sur la paroi) (2(D cl) <:: X <:: 7 (D c) une zone aval où la pression tend vers une valeur constante (x> 7 (D cl». (régime de tuyauterie stabilisé). En fait sur une grande longueur aval, ln pression a de nouveau tendance à diminuer du fait des pertes de charge par frottement.

d».

19.3.2.

Analyse des fluctuations: distinction entre les fluctuations locales et les l1uctuations acoustiques

La figure 19.7 montre les densités spectrales des fluctuations de pression à la paroi dans différentes zones du circuit. On observe deux types de spectre caractéristiques:

-

dans les zones

Cl el

b des spectres large bande analogue aux DSP de

turbulence.

dans la zone c (loin cl l'm'al)

el

la zone d (amont) des DSP comportant des

résonances. Un calcul des résonances acoustiques de la veine d'essai, montre qu'il s'agit des pics de résonance longitudinale en onde plane. On peut également analyser les fonctions de cohérence de deux capteurs de pression: - si le couple est choisi dans les zones a et b, la fonction de cohérence diminue avec leur distance, comme pour la turbulence. - si le couple_ est choisi dans les zones c et d, la fonction de cohérence demeure égale à 1 dans de larges gammes de fréquence et ceci indépendamment de leur distance (voir figure 19.8). On remarque également que deux capteurs diamétralement opposés donnent des signaux identiques. L'ensemble de ces premières observations expérimentales confirme bien l'analyse théorique du paragraphe précédent:

- Dans les zones fi et b, on observe des fluctuations instationnaires dues à la singularité. Ces fluctuations ont le caractère de fluctuations turbulentes. Elles sont nettement plus intenses que ce que J'on peut observer dans le reste du circuit. - Dans les zOlles c et d, on observe des fluctuations de nature acoustique. II s'agit en fait de la réponse acoustique en ondes planes de la veine d'essai à la source d'excitation associée à la singularité. La singularité a un effet acoustique suffisamment intense pour que cette réponse acoustique soil nettement supérieure à la turbulence locale (amont et loin à l'aval) sauf dans les zones d'anli-résonance (ce qui explique les ( creux » de cohérence) .

538

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

-

-

d =12Smm O=200mm V=163m/s

N

::c

N

..CI

E

Spectre de cr

aJ

m
u

c:

ra

Vl Vl

10-1

(Zone bl

'5 Cl..

Spectre d'un c
QJ

-0 'QJ 04-

Vl

c: QJ

Cl

.\

10- 2

\;\~ '1\j

I

\8\

.~

Il

Spectre d'un capteur situé à l'amont de la ....-..!, ,. singularité (x::62Smml ~.\rI (Zone d} .... /

,.

1

Spectre d'un capteur situé à l'aval de la singularité Ix=19S0mml IZone cl

• .,.)

\

l

\ •

'J 1 , , 1

...! Il 1 ..,

111\ ~ \

,~.

.~~

J h,.1 \

~,I"

\

. \\ \

~

\

\

10-4~~__~~~~__~__~~~__~___~~~

1

102

10

103 Fréquence (Hz)

Spectres de puissance des fluctuations de la pressÎon à la paroi en divers points de rinstallation Figure 19.7.

19.3.3.

Analyse particulière des Ouctuations locales (zones a et b)

Les fluctuations de pression sont rapportées ft la recompression ap à l'aval de l'élargissement mise en évidence précédemment. La vitesse de référence Vil utilisée est la vitesse moyenne V dans la tuyauterie amont; la longueur de référence L est la différence des diamètres D - d,

VInRATIONS À BASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUY AUTERIE

Cohérence

539

al Capteurs à l'amont de la singularité (llx/d:2)

0,9 '"

b) Capteurs de part et d'autre de la singularité

..... '::'''~'''::''

&.' .'

:::.'

.....

...: ':' ,". ': ::., •••• *,

0,9

"

,' '.>

....

'.

','

0,8

'

.',

. ..

"

0.7

,

0,6

cl Capteurs à l'aval de la singularité (llx/O:::2)

1 ._.............. " .., ........

••••• ::' ~ •• : ••••••••: ••:~ •• ::~.: ...

•:a: • ",

..

~

.. .

...:.:.:: ..:.:.: .....1':..

..

':: ..

Fréquence (Hz)

o 50 300 100 150 200 250 Elargissement brusque ID=O,04m]: mise en évidence par intercorrélation du phénomène acoustique Figure 19.8.

Le choix de ces grandeurs de référence est en fait dicté par une représentation imagée que l'on peut se faire de l'instationarité. En effet la recompression ~p représente ( l'amplitude maximale moyenne)) que peuvent avoir les fluctuations: variation entre les conditions dans le jet et les conditions aval. Comme nous l'avons vu dans l'analyse du régime permanent, D - d semble être une bonne longueur caractéristique. Elle donne l'échelle de la poche

540

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

décollée. Il est également assez naturel de choisir la vitesse de jet comme référence en ce qui concerne l'aspect fréquentiel des tourbillons. On vérifie ainsi expérimentalement que les grandeurs adîmensionnelles caractéristiques des fluctuations de la pression locale de paroi sont: - indépendantes des nombres de Reynolds et de Mach (dans la plage étudiée qq 104 <: Re <: 10" et 0 <: M <:: 0,5), - peu dépendantes de la «géométrie). (rapport d/D) de l'élargissement. a) El'olution des écarts types La figure 19.9 montre l'évolution de l'écart type des fluctuations le long de la paroi aval, rapporté à âP, en fonction de la distance au changement de section.

~~d/D=O.5

10 0~

c:::

..'!!

R.~d/v

5

Vjl!t

Cl..


M~

tJ

10

~

Vje~/c

~"

0,51 0,37 0,26 0,14

• 960.000 o 760.000 Il 600.000 o 315.000

........

~

~d/D=O.625

J

Il

5

/

Re • 1.110.000 o 825.000 Il 490.000 o 250.000

'8

10

M 0,47 0,32 0,18 0,09

~~

""-

/~

I~

5

1

0

1

2

3 4 5 x/(O-d)

2

Figure 19.9.

3

4

5 (x-x max)

VIBRATIONS À BASSES FRÊQUENCES DES UGNES DE TUYAUTERIE

541

On remarque que dans tous les cas la fluctuation d'intensité maximale est obtenue pour une distance d'environ 4 (D - d) et représente environ 12 % de âP. Remarques: La valeur de 12 % correspond à une fluctuation {( crêteMcrête » de l'ordre de âP, ce qui est cohérent avec la représentation imagée décrite plus haut. La distance de 4 (D d) correspond au point de « recollement » moyen du jet. b) Densités spectrales de puissance (DSP)

La figure 19.10 montre l'allure de la DSP des fluctuations de pression de paroi dans les zones caractéristiques a) et b).

Spectres d'écart-type maximum

.. / o

A.

QJ

D

•

c: c:

o

lJ1

c::

QJ

E

o

"'C rD QJ

10- 2

u

If

.. ~

0

Spectre à l'aval cA immédiat de la .-----"" GIA." singularité DA

c: rD

li)

lJ1

'::;

o f::,. a

Cl..

~

QJ

-c

M

'QJ

... 10-3

'Vj

c::

d/O=0,5

o 315.000

0,51 0,14

{4.!1 1.111.000 250.000

0,47 0,09

III {

960.000

tif

a

.,

QJ

CJ

d/O-O 625 - ,

ct 1.000,000 0,34 d/O=0,71 { 0 430.000 0,14 f::,. 10-4~~__~~~~__~~~~~__~__~~~ 10- 2 10-1 10-3

s=[(D-d) f I/V Fîgurc 19.10.

542

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

Les DSP sont représentées en coordonnées adîmensionnelles : -s

j

= f (D -

:F(s)

d)

~ 8~f) ~ Ap2 D d

(19.13)

Dans la zone a), les fluctuations sont d'intensité plus faible, du fait d'un nombre de Strollhal de coupure plus faible (sc = 0,01 ). La DSP dans la zone de fluctuation maximum (zone b) est plus riche en ( haute fréquence») (sc = 0,2). c) Densités spectrales de puissance d'interaction (DSPI) : corrélation spatiale

c.1. Corrélation longiwdinale Les figures 19.11 et 19.12 montrent l'aJlure de la fonction de cohérence :

et de la phase de S(rl. r 2 • f) pour différents couples de capteurs de pression fluctuante situés dans les zones a) et b) le long d'une génératrice du tuyau aval. Les courbes sont également tracées en coordonnées adimensionnelles. En ce qui concerne la fonction de cohérence: -

dans la zone a), les courbes se composent d'une partie décroissante 0!03) correspondant à la partie très basse fréquence relativement énergétique du DSP, et d'un plateau (0,2 <: S <: 0,7) correspondant à une énergie faible. - dans la zone b), les courbes ont également une allure de plateau mais il se situe à des Stroulral plus bas (0,05 <: S <: 0,4 ) et correspond à ]a plage la plus énergétique de la DSP. ~ la figure montre également la cohérence d'un couple de capteurs situé dans la zone c). L'allure décroissante en Serou/rai correspond aux formes classiques de la turbulence établie. (s

<:

La figure 19.13 faît la synthèse des résultats obtenus dans la zone h) : elle représente, en fonction de la distance entre les deux points de mesure rapportée au diamètre li du tuyau amont, le niveau du plateau de cohérence. L'ensemble des points expérimentaux est bien représenté par une loi exponentie11e: e- I1 >/d ce qui correspond à une longueur de corrélation longitudinale l'oisi1le de d. En ce qui concerne la phase, les courbes ont l'allure de droite passant par J'origine, dans la zone du plateau de cohérence. Ceci est la signature d'un effet de transport des fluctuations. Les courbes représentant la phase en fonction de

Si =

f ~x font apparaître

VIBRATIONS À BASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

cu L.J

c

cu ''cu

' t ' {Ad/D:O,S AVil 1 Imm!!'doIii t dI! 1il smgu l~rI e t:. d/0=O,71 0

0,8 _

o--rr-0-o

..c.

8 0,7 as

"'[J

c

0,6

0

:.:: u 0

o

0._0_

1

", , . "

0

{ • d/0=O.5

0'

smgularlte {

0

0

d/O=O 71 , x/0;25

/O=~

• le

-

0

·.-.3.~ç· o·. . d'" '.

0,3

I~

'

m~lelmum

fiK /d:O,O fix/d=O,8 fix /d=O.7 fix/d=O,7 fix /d=O,5 fix/d=O,95

(Courbes ind6pendantes de la vitessel

00

"",

'-c y

"

Zone elolgnee de Id/D=O,711

\

\\ o

A

0

0

A

"-

,1:. t:. ., "", '.,, ", A,.

.

0,2

0,1

o

Zon!! d e l,'ecar t t ype

0

O~

,

• ",

c

u..

0

543

0,1

.

0,3

0,2

0,4

0,5

0,6 s= f(D-dl/V

Figure 19.11.

une vitesse de transport VI (pente des droites) telle que: 0,6

~

V/V

~

0,7 .

On note une perturbation de ce schéma dans la zone des très basses fréquences, en particulier pour les capteurs de la zone a). c.2. Corrélatioll circonférc1lcielle

Les fonctions de cohérence de deux capteurs situés sur une même section droite du tuyau aval ont à peu près les mêmes caractéristiques, On peut définir une longueur de corrélation circoniérencîelle de l'ordre de D /3 (angle = 40"). La phase est toujours nulle. d) Conclllsion sur la structure de la zone Îllstatiollllaire locale

A l'aval d'un élargissement brusque on peut donc distinguer trois zones caractéristiques: - à l'aval immédiat (zone a)), dans la poche d'écoulement décollé les fluctuations de pressions sont il très basse fréquence (sc = 0,01 ) et relativement peu intenses. - un peu plus à l'aval, on entre dans la zone de « recollement ») du jet, on observe alors les fluctuations les plus intenses (12 % ~P) dans une gamme de fréquence un peu supérieure (sc = 0,2). La cohérence dépend peu de s (plateau), - en s'éloignant encore plus les niveaux diminuent et l'on retrouve les caractéristiques de la turbulence établie dans une tuyauterie (x = la D).

544

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

o 'cP. "Cr

~

~

,~en ~

c.:

~

~. q ,,,

90

\

~

',~~

D~~

..

~~ ~~~ "J~

"OJ

~

~:-"III:b

~"l&~1~

~ 180--- -------~~~;~:D.6--OJ

r....

Vt/V=O,7"~ .,,~

~

w

ru

~

Cl. Vl

::J '"t:J

"'&.

270

ru Vl

l'tl

.r:. Cl.

. 360

,

'd

Aval Imme iat

d

.

l 't'

e la smgu arl e

0

Vt /V=O.,65 0

{~d/D=O,S IIX/d~ A. d/0=O,71 t.x/d=O,a

" . Zone de 1ecart type maximum

{ .. d/O=O,S t.x/d=O,7 0 d/0=O,71 t.x/d=O,7 110=25 t.x/d=O.5 Zone elolgnee de la smgularlte .IID=4 t.x/d=O,95 Id/0=O,71) __ ~ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

.. .

o

0,1

. . , {O

0,2

0,3

s':fflx/V Figure 19.12.

0,4

0,5

545

VIBRATIONS À BASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

al

u

c:

ru

L-

'al

.c 0

u

• d/D=O.5 • d/D:::O,625 A d/D=O,71

al

"t:I

III al .0

'-

::J

8 III

a..r

-c ru

0,5

w

c:

al ::J

c::r

'OJ

....

"'-

c: ru

•

::J l'tl

ru

•

01-

l'tl

c.. ::J

-c ::1 ttI

ru >

0,1

:z

0

0,4

0,8

1,2 llx/d

1,6

2

Figure 19.13.

19.3.4.

Analyse acoustique

a) Considérations sur les conditions expérimentales

Nous avons vu qu'en se plaçant à l'amont ou au loin à l'aval de la singularité on mesure des fluctuations de pression de nature acoustique (en ondes planes). Ces fluctuations sont en fait la réponse du circuit aux sources créées par les singularités d'écoulement. On peut penser utiliser ces mesures pour déterminer expérimentalement ces sources. Il faut cependant pour cela un certain nombre de conditions: • La singularité li étudier doit être runique source du système Dans l'absolu ceci est impossible, il y a en effet dans tout circuit un ensemble d'accidents qui sont autant de sources potentielles. On peut toutefois. s'arranger pour que la singularité à étudier soit largement la source la plus intense; ce qui est le cas quand les vitesses d'écoulement y sont les plus élevées. • La fOllction de transfert acoustique du système doit être bien connue Il vaut mieux qu'elle ne soit pas trop complexe (résonances trop denses, amortissements et conditions aux limites mal connues, etc.). A ce titre les circuits en air sont plus faciles à exploiter que les circuits en eau. En effet la densité de l'air étant faible, on peut facîlement s'affranchir du

546

SOURCES D'EXCITATION AU::ATOIRES

mouvement des parois. Il est plus facile de réaliser des conditions aux limites bien définies: Par exemple: aspiration atmosphérique par convergent, cols soniques. En eau on utilisera des bidons avec niveau libre d'air. D'une façon générale, il faudra disposer d'un programme de calcul pour déterminer cette fonction de transfert, les points délicats étant recalés sur l'expérience (par exemple les impédances aux limites); soit effectuer une expérience annexe d'excitation par haut-parleur ou pot vibrant. ce qui pose un problème car on doit procéder en écoulement, les amortissements acoustiques y étant généralement très sensibles. Le plus simple est d'utiliser certaines mesures de la réponse du circuit ù l'excitation due il la singularité ou à une singularité étalon, comme nous l'illustrerons plus loin . • Il faut vérifier que la source associée il la si1lgularité n'est pas l1/odifiée par le circuit lui-mêmc :

Il faut d'abord s'assurer qu'il y a une longueur droite suffisante de tuyauterie à l'aval (=10 à 20 D). Il faut analyser l'effet de la turbulence amont. Il faut vérifier qu'il n'y a pas de phénomène d'instabilité particulier (modification possible de l'écoulement instationnaire du fait des ondes acoustiques en général au voisinage d'une résonance du circuit).

Cet ensemble de conditions étant rempli on peut à partir des densités spectrales des fluctuations de pression acoustique à l'amont et loin à l'uval ainsi que des phases des intercorrélations, déterminer les densités spectrales 8!J.p(f) et 8t.q (f) des deux discontinuités Ap (t) et i1q (t) mises en évidence théoriquement en 19.1.2. Il faudra pour cela admettre que ces deux fonctions sont stlltistiquement indépendantes, ce qui est une hypothèse tout ù fait raisonnable compte tenu du fait que chacune d'elles résulte d'uf'.e intégration radicalement différente du champ perturbé à l'aval de la singularité. b) Exploitation des phases des dcnsités spectrales de puissance d'interaction (DSPl)

Considérons le montage expérimental de la figure 19.14 :

r--

L1

t ~

CV j

r

r'

J---

1©1

L2

{~)

t'

Zand

Aspiration atmosphérique

.....

!

Zone c

1

Singularité

Cot Figure 19.14.

1

~aniqUe

VIBRATIONS À BASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

547

Nous y avons représenté les positions de 4 capteurs de pression de paroi dans les zones c et d. On peut penser exploiter tout d'abord leurs densités spectrales de puissance d'interaction. En fait, intéressant est l'évolution de la phase avec la fréquence, puisque la cohérence est égale à 1 quasiment sur l'ensemble du domaine fréquentiel étudié.

• Si /'on considère deux captcurs situés du même côté de la SOl/rce : Leur déphasage !p est caractéristique de l'impédance il la limite du circuit opposé â la source, comme l'indique la figure 19.15 :

X2

1:r~

Xl

1 1

®

--.

Source

...

Condition aux limites (impédance ç) Figure 19.15.

Le graphique 19.16 montre l'évolution du déphasage de deux capteurs amont (1-2) et met ainsi en évidence l'effet du nombre de kIC/cll sur l'impédance d'entrée du circuit (aspiration atmosphérique). En trait plein figurent les résultats d'un calcul acoustique tenant compte de l'effet de l'écoulement permanent sur la propagation des ondes acoustiques (cf. le partie, § 16.9). Le graphique montre également le déphasage de deux capteurs aval (3-4). On remarque que la réflexion au niveau du col sonique se fait sans perte d'énergie (condition quasi-idéale de fluctuation de débit nulle), pour une large plage de fréquence . • Si

/'011

considère deux capteurs sitIlés de part ct d'alllre de la SOl/J'ce

L'évolution du déphasage en fonction de la fréquence se fait différemment selon que la source se comporte comme une discontinuité de pression acoustique ou de débit acoustique.

SOURCES D'EXCITATION ALI~ATOIRES

548

d/D=O,5

+180° Déphasage de deux capteurs situés à l'amont

~ \°0 \\

Déphasage de deux capteurs situés à l'aval

_~~~~~.~7 __ _ Courbe calculée Points expérimentaux

•

0

Â

(O=200mm)

o

50

100

150

200

Fréquence (Hz) Figure 11).16.

On peut donc utiliser cette particularité pour déterminer expérimentalement la nature de la source associée à une singularité d'écoulement. La figure 19.18 montre, pour deux configurations de circuit et pour différents nombres de Mach, l'évolution de la phase:

VIBRATIONS À BASSES PRÊQUENCES DES LIGNES DE TUY AUTERJE

549

®

,

f

Source Figure )1:1.17.

+

180 0 d/D=O,S

(D=200mm) - - Courbes calculées avec ['hypothèse d'un saut de débit

-180 0

o Figure 19.1811. -

50

100

150 200 Fréquence (Hz)

Configurution a) (veine d'essai courte L1 /D = 10).

550

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

-90 0 (ourbe calculée pour

Points expérimentaux .,

un saut de débit bq +180°r----4----~----~--~+_--~r_--~~

\

\

\

'.......

--

M=O,34

-,

\

\

-90 0 +180or----+-----r----+---~-----+-----r~

----,

____--L-. (D=40mm) \ \

-90

\

0

\

\

\

-180

0 '---~---'-_---'-_ _--'--_..Jo__"__ _"___

o

200

400

____L___l

600

Fréquence (Hz) Figure 19.181>. -

Configuration fJ) (veine d'essai longue L;!/D

30).

VIBRATrONS À BASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

551

On remarque nettement sur ces graphiques, que pour les très basses fréquences, la singularité se comporte comme une discontinuité de la pression acoustique (la phase suit les courbes calculées dans cette hypothèse), et qu'aux fréquences plus élevées, la singularité se comporte comme une discontinuité de débit acoustique (la phase rejoint alors les courbes calculées correspondantes). Ce résultat est tout à fait en accord avec les considérations théoriques des paragraphes précédents. c) Détermination des densités spectrales associées à la source acoustique

Connaissant la nature de la source pour chaque gamme de fréquence, on peut utiliser les densités spectrales de puissance des fluctuations de pression, mesurées à l'amont ou bien à l'aval pour obtenir les densités spectrales des discontinuités associées à la singularité (SAp(f)) et (St.q(f)). Pour cela il faut connaître les fonctions de transfert acoustiques correspondantes Gap(x, f) et Gaq(x, f).

Source (llp ou llql

! 0

....x

f

Mesure lx} Figure 19.19.

Selon la gamme de fréquences on aura:

On vérifiera en particulier que tous les capteurs de fluctuation acoustique conduisent bien aux mêmes spectres SAP(f) et Sall(f). Pour cela il est important de bien connaître les fonctions de transfert G. Il faut donc un programme de calcul des ondes planes stationnaires dans les circuits tenant compte de principaux effets; en particulier: -

l'effet d'entraînement 'des fluctuations du fait de l'écoulement permanent. l'effet des conditions aux limites fonction également de l'écoulement dans le circuit, que l'on peut ajuster sur les résultats des mesures comme nous l'avons vu précédemment.

Remarque: n convient aussi de considérer une éventuelle impédance acoustique associée à la zone singulière, Par exemple, dans le cas de l'élargissement brusque, les effets tridimensionnels associés au changement de section de tuyauteries font que l'on ne peut pas égaler les pressions acoustiques moyennes Pl et P2 à l'extrémité de chaque tuyau (Hg. 19.20).

552

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

(s)

(S1 1

1f

Pl P2

Figure 19.20.

On tient compte de cet effet en introduisant une impédance:

selon la formule (13.23) du chapitre 13 de la 2e partie. Il faut également tenir compte de l'effet d'écoulement (cf. 2e partie, § 16. 9). Les figures 19.21 et 19.22 illustrent l'ajustement du spectre SAlI(f) pour deux capteurs de pression acoustique et pour deux valeurs du nombre de Mach dans la configuration a), ainsi que l'ajustement des DSP SAP(f) et SAq(f) pour une valeur du nombre de Mach (0,55) (diD = 0,75) dans la configuration b) : Sur ces graphiques figurent: - les densités spectrales des sources SAp (f) et SArJ (f) ajustées. - les densités spectrales de deux capteurs (amont et aval) obtenues en effectuant l'opération:

- les points expérimentaux, qui doivent suivre les courbes précédentes si l'ajustement est correct. On remarque l'anure décroissante de SAP(f) et le plateau caractéristique de SAq(f). Il est intéressant d'uti1iser une représentation adimensionnelle du type (19.12) : r.; (,) J,lp S r.;

() ,j tJ.q S

I

SAP(f)_v_ ., D d âP-

= StJ.q(f) (

,",p-.,

E.S ) 2 ~ D- d

(19.]4)

VIBRATIONS À BASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

d/D=O,S M=O,51

553

(O=200mm)

o • Spectres expérimentaux - - Courbes calculées de la pression correspondant à une discontinuité du dêbit au niveau de la singularité de. spectre ~àq constant en frequence ~àq/ Ap2=O,6~10-14 IMKSAI

~

rI

N

:::c Q.J

u

c:

o

ru

tII tII ::l CJ..

~. [apleur situé à l'amont

\ 0 0

~

rf

'b Capteur situé loin

0° co

à

l'aval

o

ru '"'C

-~---------I--I-----il--I-------l

Plages où la cohérence entre tes deux capteurs est >0,9

10-8~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

o

50

100 Fréquence (Hz) Figure 19.210.

150

200

SOURCES D'EXCITATION ALl~ATOlRES

554

10- 4 (O=200mm)

d/O=O,S M=O.29

{ $JAq/ fip2=O,3Sl:C10- 14 1

N

c..

<::l

.dO

10- 5

QJ

.....

'QJ C-

o

0.. 0..

ru

'-

.... 1

N

::r:

.i\.

10-6

QJ

.t \ Capteur situé à

w

c:

rD

l'amont

1/) U)

'S 0.. QJ

-0

..... 10- 7

'QJ

•• • ee• • •

U)

C

__ .!.Jt. ___ •

QJ

Cl

e

10-B~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

o

50

100 Fréquence (Hz) Figure 19.21b.

150

200

Densité spectrale 10-6 '1' (rapportée à AP2)

Densité spectrale 10- 6 T (rapportée à AP 2 )

<

@

;;;l

»-

(D=40mm)

\

-1

Q

\Spe.c:tre de âp (UI âP

\Spedre de âpltll llP ~

Capteur situé à l'amont de la singularité

\ \

Ô Z en

Capteur situé à {'aval de la singularité

\

\

>' co

»-

rn

(.f.1

10-7 ::!1

O':i ~

~

\C

i'-.l

!'"

l

10- B

~ ",. - ,,~ ...1."------

m cn

10-7

'":j

;:;:;

om· C

(\

, • Cour.be calculee a partir des sources âp

et

10-8 Spectre de Ic/s2){âqlt)1 âPI

âq

• Points expérimentaux

10-9 1

o

0 . . 01/ 0000 00 00

300

~

ëi z m

'rrit

0

Ul

00

Ci

m

-1 C

-<

>~

o Points expérimentaux 1

200

\

m cn r

Courbe calculée à partir des sounes âp et âq

Fréquence (Hz)

Fréquence (Hz) 100

Ci

~,--J-\--

' •••

1 • 1 ISpectre de h::!s2 1111 qltl/llPI

m z n m CIl

1

400

1...

500

o

100

200

300

400

500

m ~

m lJl

t.ft t.ft

556

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

On montre alors que :Jo ûp (s) ne dépend pas des nombres de Reynolds et de Mach dans les gammes étudiées, conformément à la théorie. En ce qui concerne :Jo û'1(s), la figure 19.23 montre l'évolution du plateau caractéristique en fonction du nombre de Mach M. On observe une variation en M:!, également conforme à la théorie.

d/D=O,5 } o d/D:::O,625 Expérience L=10D /). d/D=O,71 At.

• d/D=O,5 !If

Expérience L=30D

d/D=O,75

Expérience petite

10-3

N

Cl.

<'J

""-x

ro

e

CT

<:l

9,

~ N

li)

""10- 4 u "t:l

1

0

>

Il

>< ro E cr

2

M{

<:l

f'i'> 10-5

M

VIBRATIONS À BASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

557

Les graphiques de 19.24 font la synthèse des résultats obtenus dans les diagrammes (s,

[F Ap)

et

(s, ~1

[F Aq ) ,

qui alors, ne dépendent plus des nombres

de Reynolds nÎ de Mach. Les courbes obtenues expérimentalement par la méthode qui vient d'être décrite sont représentées en tirets.

ru ::J

c-

VJ ::J

'O. . ~

t.Cl 01-

a.~

~~ ru

-

10- 2

U)

V!

Qj's, e: te: ru

'\.

o"ru .u):.... c ru ru E"'C

:.sa.. rtI<J ru '-'

c c 0 rtl-V! V! ._

ru

10-3

V! V! ru

E

0 '-'

'"ru .1.rtI U) --"

ru,rtI

Cl

ru

'ru -'t-

a

Cl..

\

\

\

Spectre des fluduations de pression sur la parai perpendir::ulaire au jet . (courbe expérimentale \~dépendante de d/Ol

\

\

\

\

\

\

Spectre expérimentale \ FâP de la source \ acoustique pour d/O=O,75 \

ru

c.::

"

\

::J '0.0. '"0

d/D=O,Sd/D=O,625 d/O=O.71_ d/D=O.7S-

10- 4

\

}

\ \ \ \

0.

\

ro

f-

s=f(D-d)/V Figure 19.24a.

Spectres de la source ar::oustique Fàp (saut de pression) calculés à partir de la r::ourbe en pointillés et de la courbe de r::ohérente azimutale expilll! lia cohérence radiale a été supposée égale à 1l

558

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

- - - Courbe.s calculées à partir} des données locales /lIM2}F

Aq

- - - Courbes expérimentales

10-1 ru

Spectre de fluctuation de pression à la pëlfOÎ (écart type maximuml pris comme. spectre local pour le calcul à haute fréquence "

ru

. .. ~

,.

..... " .. .,

~

".

c: c:

".

'iïl c ru

Spedre de fluctuation de pression à la paroi là l'aval de la singulëlritél pris comme spectre tocal pour le calcul à basse fréquence

0

E

:arD ru rD

".

'.

10-2

LoiLJ

ru

Cl.

l.Il

'ru 01-

ïii c:

ru c::::l

10-3

s=f(D-d}/V Figure 19.24b.

II est également possible à partir des données sur les fluctuations locales décrites au paragraphe précédent et qui sont rappelées sur les graphiques par des courbes en pointîllés, d'estimer Œt.p(s) et :FAq(s). On utilise pour cela l'expression (19.12). Il faut remarquer que les mesures de fluctuations locales ont été effectuées uniquement il la paroi et en nombre relativement limité. On a donc fait certaines interpolations et hypothèses pour appliquer (19.12) (cf. réf. [60]).

VIBRATIONS A BASSES FRf::OUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

559

Les courbes (en trait plein) ainsi obtenues sont donc approximatives, mais montrent cependant la bonne concordance entre les deux types d'analyse.

Remarque: Pour plus de détails sur l'ensemble des techniques de caractérisation acoustique des singularités, le lecteur pourra consulter la référence [60].

19.4.

FORMULAIRE

Ce formulaire permet, pour un ensemble de singularités simples rencontrées couramment dans les circuits, de déterminer les caractéristiques spectrales el interspcctralcs du champ de pressions nuctuantes locales ct les caractéristiques spectrales des sources acoustiques d'ondes planes associées aux singularités. Les données expérimentales sont tirées principalemem d'études effectuées au CEA et décrÎtes il la référence [61). Pour chaque singularité, on trouve: - des formules ou des abaques permettant de calculer les grandeurs permanentes de référence utilisées par la suite; - des courbes d'évolution spatiale de ln valeur quadratique moyenne adimcnsionnelle, des spectres adimensÎonnels dans des zones caractéristiques, des longueurs de corrélation et des vitesses de transport, permettant de déterminer les fluctuations de pression de paroi locale; - des DSP adimensionnels permettant de carnclériser les fonctions de source acoustique Ap (t) el Aq (t) associées fi la singularité. DIFFUSEURS CONIQUES 1) Principales grandeurs permanentes de référence

(sI

d V

<::G o

x Figure 19.25.

a) Grandeurs géométriques Si d et D sont les diamètres des tubes amont et aval, nous prenons comme pour l'élargissement brusque, D - d comme longueur de référence. Les paramètres sont d/D et Cl: (nngle d'ouverture du diffuseur). b) Grandeurs liées à l'éco/llemclIf

Comme pour l'élargissement brusque, nous utilisons la vitesse moyenne V du

560

SOURCES D'EXCITATION AL13ATOIRES

nuide dans le tube amont et la recompression AP entre l'amont et l'uval du diffuseur. Les abaques de la figure 19.26 tracées fi partir de résultats expérimentaux permettent d'obtenir AP rapporté fi la pression dynamique amont

~ Pf

y2 en

fonction de dlO et a. Une formule, tirée d'/derCik (réf. [62)) peut également être uppliquée bien qu'elle donne dans certaÎns cas des valeurs de AP assez différentes:

-1/-2-~-Pf--:- =

- 3,2 (tg

1)

5/1

[1 _ (

~

) 2J 2

+ avec

Àf

[1 - ~ 1 8 sin

] [

coefficient de perte de charge par frottement (valable si 0

<:

lX

<:

40").

2) Fluctuations locales de pression de paroi

a) llalcllr qlladratique moyenne

(T

Les figures 19.27a, c, e, g montrent l'évolution de CT lAI' en fonction xl (0 d) (x = abscisse du point de mesure; pOÎnt d'abscisse 0 = début du diffuseur. pour 4 valeurs de a (7", 15", 30·, 45"). Remarquons la faible valeur de (CT 1 AP )lIIn pour tl' = 7': (CT 1AP )l1lllX 1,5 %. Pour a' >- 15" les résultats se rapprochent de ceux de l'élargissement brusque: 10 % <: (CT 1 AP )l1laX <: 18 % bicn que l'évolution spatiale dépende fortement de dlO ct tl'. b) Densité spectrale de puissance

Les figures 19.27/J, d, f, ft montrent les spectres adimensionnels des nuctuations de pression dans la zone du maximum d'intensité. Ces spectres sont tracés cn coordonnées adimensionnellcs :

\' 1. :F (s)

f(D d) Y 8(/) Y Ap:! 0 - cl

Les DSP onl une allure de type '( turbulence» avec un nombre de Strollltal de coupure Sc de J'ordre de 0,2 il 0,4. c) Densité spectrale de

pllL~sance

d'interaction (dans la zone de ma...im/lm)

La Jonction de cohérence de deux capteurs présente un plateau cn fréquence (limité il sc), Le niveau de cc plateau peut être représenté par une fonction exponentielle de Ax (différence des abscisses des deux capteurs). L'effet de l'écart angulaire nzimutal n'a pas été mesuré (pour tl' >- 15" on peut vraisemblablement utiliser les lois de l'élargissement brusque) :

VIBRATIONS À BASSES FRr~OUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

561

(À étant la longueur de corrélation longitudinale). Nous observons une augmentation de À proportionnelle il l'abscisse moyenne du couple de capteurs. Pour a T: on peut utiliser une IOÎ du type: À

Pour 15"

:si

=!3 (0

d).JL Xma,

a :s; 45" : À

x

1,5dXma~

(Xrna~ étant la distance de la zone de maximum de fluctuation au début du diffuseur).

.

La fonction phase

!p

i.p

.

est fonctIon de

f ilx ) ( y-

2

f ilx : y7r

= - V/IV x

f ilx . --y (radmns)

V, étant une vitesse de transport des fluctuations fonction de cliO et de a. Pour a = T : V, est li peu près égale il la vitesse moyenne du fluide au niveau du couple de copteur:

Pour a

~

15' :

V/IV 0,80 V/IV 0,65 V/IV = 0.30

pour pour pour

cl ID == 0,31 d ID

0.52

d ID

0,71

3) Sources acoustiques a) Discontinuité de la pression acoustique ilp (t ) En utilisant les mêmes coordonnées adimcnsionnelles que pour les spectres des fluctuations locales. les figures 19.28fl, b. cl montrent les DSP des fonctions ilp(t) associées à la singularité (pour différents cliO ct n): :Fâ/S, diD. a). Le nombre de Sirollimi de coupure est de l'ordre de 1O-:!; la valeur quadratique moyenne est donnée par le tableau: (cr AI.! ilP en % ) :

~

7°

0.52

0,1

d,D

15"

30"

-t5°

3.5

().JI

4

2

~

1

-------n.71

n.1

1.5

1,2

~

1

562

SOURCES D'EXCITATJON ALÉAT01RES

On peut remarquer que CT !:.1'/ àP est très faible pour a = 7" 1 et qu'il croit très rapidement et passe par un maximum pour œ = 15" ; pour a 45" les mesures de lip (1) sont très pcrturbées par l'cxistence de la source liq (t). On vérifie cependant que )e niveau est sensiblement le même que pour l'élargissement brusque.

b) Discontinuité dit débit acoustique liq (t ) Les figures 19.28c, e montrent les fonctions a; Aq(S, cl/D, a)/M\ :F AI] étant la DSP r1dimcnsionnellc de la discontinuité de débit-masse liq(t) associée ii la sîngulllrité :

Les Jo Al' sc présentent comme pour "élargissement brusque, sous la forme d'un plateau lîmité inférieurement il 2 à 4 X 10-:2 et supérieurement il quelques lO-l.

i1P I{Çlf V212)

1 -----.-....... ..........

-

Recompression sans perte -- .........de charge (loi 1-(d/O]4) ..........

cr=7Q~\

0,8

:\ ,

~

0,6

lX=15°

"

\

,/

0,4

lX=30°

/ ,-,-

0,2

/

/

'" \ \\

\\

180 0 !élargissemenr brusque) !loi 2(d/O)2f1-(d/Dl 2))

/ lX:::

/ /' /

...- . /

0

/

/

/"

0,2

0,4

0,6

\\ \\ \\

\

\

d/D

0,8

Diffuseurs, calcul de la recompresslon Figure 19.26.

âP

"

-==

. '\..t:_~,-'1"'---_ _--4_ _

...........

~

)(s)

""'

10- 2

::; ~ ~ ë5z en

a/âP (0/0)

>-' ü:l

10-3

Spectre dans la (O.s~d/D~O. 71)

zone du maximum

;0 ["l'].

o:i' c

o C

a

m n ["l']

z

i-'

~

1-.)

CIl

-....1

:::

2-

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..,

"Tl

?'

»en

(1

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m

10- 4

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(1 W

~

-<

10-1 1

o

s=f(O-d)/V

x/(O-d) J

4

)Jo

S tri

...

10-2

10-1

B 12 14 Graphique a Graphique b Q Diffuseur 7 , fluctuations de pression locales

:;::J

m Ul

0'1 W

Vi

0'\

)1(5)

-

""'"

10-1

alliP (%)

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C

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n

10-2

t"l1 en

d/D=O.31

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Cl

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en

x n

d/D=O.52

10

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»

Lv

-l

a z

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-

(';)

I:l..

Spectres dans la zone

10-3

:> r-

du maximum

m·

» -l 0

11 0

x/(O-d)

2

1

1.,..

4

6

Graphique c

l

10-2

Graphique d Diffuseur 15°, fluctuations de pression locales

'\

'\

5=f(O-d)/V

;::i m Vl

)'(5) 10-1

< tri

;:0

~

oz CIl

)-,

0'/ AP (%1

tIl

d/D=O,31

10-2

)lJl CIl

m CIl

d/D=O.71

'"l1

~t e: trl z n[Tl

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Q':/

~

D

Q

10

...... \0

en

Spectres dans la zone

Î..,

-....1

C

du maximum

t":I

..;....

["Tl CIl

10-3

ï

ëi

z m en C

rn -1

t

c: -< >-

1

o

2

4

x/ID-dl , .... 6

5=f(O-dl/V

10-2

10-1

Graphique e Graphique f Diffuseur 30°, fluctuations de pression locales

e:

-1

rn

= en

V1

0\ V1

U1 0'\ 0'\

10-1

~ a/AP {a/a)

r.tl

o

~ :;0

n

tri

10-2

r.tl

."

d/D=O,S2

ù:j"

= a

o

m

x n

:j

..... !,,) \0

d/D=O.71

--.J

O':i

~

?"

10-3

~ oz >r' tri,

Spectres dans la zone

>-

du maximum

à ;;; t11

r.tl

0

s=f(O-d)/V

x/(O-dl

11

1

2

4 Graphique 9

1.,..

6

10-2

10-1 Graphique h

Diffuseur 45° , fluctuations de pression locales

1

VIBRATIONS À BASSES FRÉOUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

d/O=O,52 d/O=O.31

10-2

d/O=O,71

Graphique a Diffuseurs 7° et 15°, source acoustique Figure 19.28a.

567

V1 0\

):6p(S) 10-2 ~

00

)'6P(S)

10-1

c:n 0

c

"10- 2 1-

10-3~

'" '\

:n

~

ç::

rJ

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;:;:l (")

m

CIl

Cl

m

x

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~

6 z

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10- 4

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r 10-5 1 10-3

..

10-3

a m CIl

~

s=f(O-d)/V

Il!

10-2

:>

-i

s=f(O-d)/V 1 .. 10-1

m·

d/D=O,31

10-2

Graphique b

Graphique c Diffuseur 30°, source acoustique

~)i'6pISI

')'âplsl

10-1

10-2~

-<

ta »-

'"

:l

a z >c:I »-

l;I:I

10-3 ~

O.31
"':'l

~.

a

10-2

'\(j/ / lÀ VI/fA

t

l;I:I !;Il

m

'71

d/O=O.71

0

;:;:l

?

(11-

c:: tri

z n

d/O=O,31

~

\0

/

t-.J co

~

~ !1l

!;Il

d/D=O,525

10- 4

m CIl 0 CIl

10-3

CIl

r-

a

zCIl

CIl

0 rrJ -l

c:

10- 5 1 10-3

s=f(O-dl/V 1

1

r

10-2

'. 10-

1

s=f(O-d)/V 1

10-2

Graphique d

1

10- 1

1

Il ..

1

»--< c:

-l

rn

~

iT1

Graphique e Diffuseur 45°, source acoustique

Ul

0\ \Cl

570

SOURCES D'EXCITATION ALËATOIRES

Pour a = 7" et 15", les nÎveaux sont très bas et n'ont pas pu être déterminés. Pour a :::= 30· un tracé est possible pour d;D = 0,31 ; pour a = 45" les niveaux obtenus sont du même ordre de grandeur que pour l'élargissement brusque. L'effet acoustique de Ilq(t) ne devient important que lorsque le nombre de

Mac" M

=

~ c

devient supérieur il 0,2 environ.

4) Remarque généralc

f:

L'ensemble de ces résultats a été obtenu pour des nombres de Reynolds ( P

d ) variant que 0,5 x lOs à 1,5

X

10(', des nombres de Mael, variant de

0,05 à 0,5. Le Ouide utilisé est de l'air il la pression atmosphérique.

DIAPHRAGME CIRCULAIRE EN MINCE PAROI DANS UN TUBE

1) Principales grandcurs permanentes de référence

(5)

v ___

o

d

(s)

Figure 19.29. Le diaphragme se caractérise par une section contractée estimer par la formule:

Sc <: 5

que l'on peut

Sr

S Par nnalogic avec l'élargissement brusque, les paramètres caractéristiques utilisés sont ~

d, (de =

J~

-

la longueur D -

-

la vitesse Vc (VVe = .:... V étant la vitesse moyenne dans l'orifice du

Sc )

Sc

dÎHphragmc ). La recomprcssion IlP qui peut être estimée par une formule analogue à celle de l'élargissement brusque:

571

VIBRATIONS À BASSES FRÉOUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

2) Fluctuations Jocales de pression de paroi Nous ne disposons pas de mesures locales complètes; on peut en première approximation appliquer les lois adimcnsionnclles de l'élargissement brusque. 3)

Source acoustique a) Discontinuité de la pressiotl acoustique IIp(t)

En utilisant les coordonnées adimensionncllcs :

les DSP des fonctions IIp(t) pour plusieurs valeurs de d/D sont tracées il la figure 19.30.

d/D=O) d/D=O,4 d/D=O,5

{s}

10-5 10-3

L---_ _ _---1-_ _ _ _--l....-_ _........

Diaphragme mince paroi source acoustique l

Figure 19.30.

572

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

Le nombre de Strolihal de coupure est de l'ordre de 10- 1 , ln valeur quadratique moyenne est: 0" Apl LiP = 1,7 % O"AplLiP = 1,1 % 0" Apl LiP = 0,8 %

pour pour pour

d ID 0,3 dlD = 0,4 d ID = 0,5

b) Discominuiré du débit acoustique Liq (( )

Nous ne disposons pas de mesure des DSP de la discontinuité Liq (t) associée il la singularité. On peut cn première approximation utiliser les lois adimensionnellcs de l'élargissement brusque. Remarque gé/lérale: L'ensemble de ces résultats li 'été obtenu pour des nombres de Reynolds vûriant de 2 x 10 4 à 105 , des nombres de Mach variant de 0,02 il 0,1 et des rapports dlD variant de 0,3 à 0,6. Le fluide utilisé est de l'air fI la pression atmosphérique. Pour plus de détail, cf. référence [63].

VANNE À OPERCULE CIRCULAIRE

1) PrÎncipales grandeurs pcrmnnentes de référence

(S)

0 h

v -----

o Figure 1Y.31.

a) Gral/deurs géométriques SOÎt It la distance entre le bord de l'opercule et ln surface du tube. Par analogie avec l'élargissement brusque nous prendrons comme référence la longueur D - h. Le paramètre géométrique du problème est 1I/D. b) Grandeurs liées li l'écoulement

Le jet subit une contraction fi ('aval de l'opercule. La vÎtesse de référence utîlisée est la vitesse moyenne V, au niveau de cette sortie contractée que l'on peut estimer il l'aide de la figure 19.32a (Vc/V est tracé en fonctÎon de 11/0, V est la vitesse moyenne au niveau de l'opercule).

VIBRATIONS À BASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

573

La pression de référence est, comme pour l'élargissement brusque, la recompression aval AP : AP 1

~ P f V:! est donné

par la figure 19.32a ainsi que la

variation de la section de passage s au niveau de l'opercule (rapporté il la section S du tube) en fonction de IlID.

2) Fluctuations locales de pression de puroi a) Valeur quadmtique moyenne

fT

La figure 19.3:!b montre l'évolution de fT 1 AP en fonction de xl (D - h) (x = distance du point de mesure à la vanne). (Pour des capteurs placés sur la génératrice située dans le plan de symétrie de la singularité (côté vanne»). Le maximum (fT 1 AP = 5 %) est observé pour xl (D Il) 2. id. b) Densité spectrale de puissance Ln figure 19.32c montre la DSP adimensionnelle des nuctualÎons de pression dans la zone du maximum. Le nombre de Strou/lal de coupure Sc des spectres est de l'ordre de O,l. Les coordonnées adimensionnclles sont délïnies par:

c) Dellsité spcclrale de puissallce t!'imeractioll (dans la Will! du nwximttm) La fonction de cohérence de deux capteurs situés sur la même génératrice présente un plateau en fréquence dont le niveau est une fonction exponentielle de Ax (Ax étant la distance entre les deux capteurs) : Il e

La fonction phase

-opl !!I .-

Ip

Il

(longueur de corrélation

est donnée par:

varie sensiblement avec" ID

= 2,4/r)

f ~x )

:

V,/V = 0,60

pour

V/IV V,/V

pour pour

=:=:

Ip (

À

0,45 0,35

It ID "ID Il ID

0,64 = 0,43 = 0,22

3) Source acoustique a) DÎsco1l1ÎIIlIité

de la pression acoustique Ap(t)

En utilisant les mêmes coordonnées adimcnsionncllcs. la figure 19.32d montre les DSP des fonctions Ap(t) associées à la singularité :F ftP (s, It ID).

574

SOURCES D'EXCITATION ALÊATOIRES

......

'QJ

c:...

..-

QJ

-C QJ

C C QJ

>. 0

e QJ

CO 0

Vl

III

QJ .,J-

> rD QJ

ro

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O

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::::J -C ::::J

0

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u

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N

0

0

N

::::J

u c:... ru

c..

"-

0

N

>....

.. t'tl

"a..

c c

0-

ru

t'tl

<::J

Cl

0

Figure 19.32a.

>

Fluctuations maximum

~(s)

<:

10-1

63

;;::l

:»

-i

(5

h/D=Or22

Z

{,Il

>t::r

h/D=O,43 h/D=O,64

!! ~ ...,

)-

en en

m Vl

"t:

"':"J :;::1

10-2

cri âP (°/0)

['n,

o

cm z n

r-

i-"

\Cl

m cr.r

W

1-'>

~

!l

5~

Cl

~/D=O,64

m !Il

Spectres dans ta zone des fluctuations maximum

!'I

c:Cl z

10-3

rn Cj

m -i

c -<

S m x/ID-hl

11 0

1

2

s=f!D-h)/V

;:::;

Fi1

1 ..

10- 2 10- 3 10-1 4 6 8 10 Graphique b Graphique c Vanne à opercule, fluctuations locales de pression

VI

-..,J

VI

576

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

s=flD-hl/V c 10-6~__~__~__~~____~__~~~~__~____,__~1~1~1~_ 10- 3 10- 1 Graphique d Source acous tique Figure 19.32d.

VIBRATIONS À BASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

577

Le nombre de Stroulw[ de coupure est de l'ordre de 10-\ la valeur quudrntique moyenne évolue en fonction de "/0.

Ces résultats sont voisins de ceux du diaphragme noyé. b) Discontinuité du déMI acousliqllc Aq (1 ) A la singularité correspond également une discontinuité du débit acoustique Aq(t) il partir d'un nombre de Mael, suffisamment élevé. Cette fonction Aq(t) n'a pas été mesurée. On peut cependant, pour avoir une cstimation, sc référer il l'élargissement brusque.

4) Rcmur
Il

été obtenu pour des nombres de Reynolds

( P f /-LV/' ) variant de 2 x 105 à 106 ct des nombres de Mach inférieurs il D,Dl.

Le fluide utilisé est de l'cau. COUDE 1,5 D

(Coude torique il rayon de courbure moyenne égal il 1,5 fois son diamètre.) 1) Principales grandeurs pl!rmunentes de référence

o (section

S)

Figure 19.33.

a) La grandeur géométrique de référellce est le diamètre 0 coude

b) Gram/eurs liées () l'écoulement Nous utiliserons la vitesse moyenne V du fluide dans le Lube ct la recompression AP observée dans la partie aval du coude.

578

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

(Le graphique 19.34 montre l'évolùtion de la pression statique le long de rintrado du coude; l'origine étant prise au point 0 situé au milieu du coude).

P

Partie coudée ~ 1

1 1

l/D

-10

o

-5

5

10

Figure 19.34.

2) Fluctuations locales de pression de paroi

a) Valeur quadrmique moyenne

(T'

La figure] 9.35a montre l'évolution de [J" 1ÂP le long de l'intrado du coude (l étant l'abscisse curviligne). Sur l'extrado les fluctuations locales sont très faibles. La recompression étant très localisée, la zone perturbée est assez peu étalée. Le maximum ([J" IIlP "'" 9 %) est observé à la fin de la zone coudée (110"", 0,6). b) Densité spectrale de puissance

La figure 19.35b montre le spectre adimensionnel des fluctuations de pression nu niveau du maximum (nombre de Strou!ral de coupure Sc == 0,7) et au voisinage du point de décollement (l = 0) (présence d'une bosse il Sc = 0,6). Les coordonnées adîmensionncIles sont définies par:

VIBRATIONS À BASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

579

Le nombre de Slrou/ml, plus élevé que pour les autres singularités, permet de penser que la dimension caractéristique de la zone perturbée est nettement plus faible que D (de l'ordre de D 14). c) Densité spectrale de puissance d'imertlctioll (zone du maximum el aval) La fonction de cohérence de deux capteurs présente un plateau en fréquence. Son nÎveau est une fonction exponentielle de MID: C (lill D) = e - 1

~1

(longueur de corrélation

À :=

D)

L'analyse azimutale n'u pas été faite, car la zone perturbée est très localisée au niveau de l'intrado (la corrélation intrado-extrado est faible). - Ln fonction phase tp est du type: tp (

f ~l

(radians) .

) =

avec; V, y==O,65

3) Source Ilcousliquc

a) Discomilluitê de la pressÎ071 acoustique lip Ct)

En utilisant les mêmes coordonnées adimensionnelles que pour les DSP des fluctuations locales, la figure 19.35c montre la DSP de la discontinuité de pression acoustique Ap(t) associée à la singularité, :F 4p(s). Le nombre de Sirou/wi de coupure est l'ordre de 0,3.

b) DiscomÎl'luité d/l débit aco/lsfique Aq (t )

Le nombre de Mach maximum étudié est de 0,25 ; la discontinuité du débit acoustique n'a pas été mis en évidence. Il est vruisemblable que, compte tenu du faible volume de la zone perturbée, l'intensité de la discontinuité du débit acoustique soit nettement plus faible que pour l'élargissement brusque. 4) Remarque générale

L'ensemble de ces résultats a été obtenu pour des nombres de ReYllolds:

( P f ;D ) , variant de 5 x 105 il 106 cl des nombres de Macl! variant de 0,1 il 0,25 environ) (le fluide est de l'air à la pression atmosphérique). Ouelques mesures ont également été effectuées cn cau. D'autres études ont été faites sur des coudes et ont notamment montré que des coudes il rayon de courbures plus grands (3 D) engendrent des fluctuations nettement plus faibles (étude Slê Bertin). Des analyses de coudes en série proches les uns des autres ont été également effectuées (étude Sté Bertin) ct mcttent en évidence les effets d'interaction entre singularités.

)'(s) !..Il

co

o

10-2

Spectre au maximum des fluctuations

(:::abscisse te long de l'Întrado du coude (origine 01

r.n

o c

;:::l (j

m

tIl

10-3

al6P (O/o)

q Spectre en usinage des points de décollèment

[11

x

("J

~

....,

10

az

» t"" m· »

10- 4

d ~

!"Il r.n

llD

10-1 2 3 Graphique a Graphique b Coude 1.50. fluctuations locales de pression

fD/V

VIBRATIONS À BASSES FREQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

581

10-5

s=fD/V

Graphique c Source acous tique Figure 19.35c.

RÉUNIONS D'ÉCOULEMENTS (Ecoulement dans un tube latéral débouchant dans un tube principal de diamètre plus grand. perpendiculairement à la direction de l'écoulement dans le tube principal).

1) Principales grandeurs permanentes de référence a) Grotldellrs géométriques

Le diamètre d du tube latéral est pris comme longueur de référence. Le paramètre géométrique du problème est d/D. b) Grandeurs liées à l'écoulement Nous utiliserons la vitesse moyenne

v du fluide dans le tube latéral. Le

deuxième paramètre du problème est ~. (VI étant la vitesse moyenne du fluide à 1

l'amont du tube principal).

582

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

0

X

1

111=

1

;

, ,

Vi

(5)

----tID-

---V

tv d

(S) Figure ]9.36.

SUÎvant que viVI est de l'ordre de 1 ou grand devant l, l'écoulement dans la singularité est très différent (dans un cas le jet issu du tube latéral sollicite peu la paroi opposée du tube principal, dans l'autre cas le jet s'écrase contre cette paroi). a) Si le jet sollicite peu la paroi du tube principal nous observons une recomprcssion permanente sur la partie aval de la génératrice du tube principal passant par le centre de la jonction. Nous utiliserons cette recompression comme pression Al' de référence. AP est fonction de dlD ct vIV;. On peut la déterminer Il partir de la figure 19.37(1 ou en utilisant les formules approchées: j

AP ( (dID)-+(ï , V -1--.,=2

)

~

(

d -D )

Z (

(

-Dd )

2

+ 2 VvÎ )

:2 P f v.

SI: 0,8

<::

v V <: 1,5

.

envIron et:

1

. v SI : V.

~

3

. enVIron.

1

b) Si le jet s'écrase sur la paroi du tube principal (

~i :> 5 )

, nous prenons

pour AP de référence, la pression dynamique 1/2 p /0 1 du jet du tube latéral (les plus forts gradients de pression permanente sont observés au niveau de l'impact du jet).

VIBRATIONS À BASSES FRÉOUENCES DES UGNES DE TUYAUTERIE

583

2) Fluctuations locales de pression de paroi

a) Valcm qlladrntiq/lc moyellllc cr Les figures 19.37b, d. f donnent l'évolution de CT 1ur le long de dCLlX génératrices caractéristiques du tube principal (côté jonction et côté opposé) ; centre de [a jonction) est l'abscisse x du point de mesure (abscisse 0 rappOltée cn général à d. Nous observons que plus viVi croit plus les fluctuations sur la génératrice opposée prennent de Iïmporlance par rapport fi celles sur lu génératrice côté jonction. Dans tous les eus: (cri ap )/TIa\ = 20%. b) De1lS;té spectrale de pliÎs,mllCe Les figures 19.37c, e, g donnent la DSP adirncnsionnclle des nuctuations de pression dans la zone du maximum de nuctuutions (pour les deux génératrices). Les coordonnées adimensionnclles sont définies pnr:

e) DensÎté spectrale dc plli.\Sflllce d'illtemct;oll (dans III =olle du maximllm) La fonction de cohérence de deux capteurs situés sur une même génératrice présente un plateau en fréquence. Le niveau de cc plateau est une fonction exponentielle de leur distance ÂX. La fonction phase est de la forme: ") 1'!.'

-

f

ÂX

V,

(radians)

POlir la cOllfigurllfioll mi le j'Cf ru: sollicite pas la paroi du tl/be principal. Nous avons sur la génératrice du tube principal côté jonction:

c (~t)

c

_0.7

"~"' 1 ~ d

\

Cl :

0.7

<:

Vt!V

<:

0.9

(Xnli" étant l'abscisse du point de fluctuations maximales).

( X""", (

= 2 pour

~ Vi

1,5 ct pour ~ = 4; Vj

X

est ,"abscisse du couple de points

de mesure; V est la vitesse moyenne à l'aval du tube principal). POlir la cOlljigllrm;rJ/l où le jet sollicite la paroi opposée dlt wbe principal. nOlis nvons (sur cette paroi) :

c (~t)

c -n.5

\

d.\.,

\

584

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

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Figure 19.37a.

10-1 '1' )'(s)

Zone 2

Spectre dans la zone du maximum (zone 1) ~ w

(0, 125~d/D
cr 111P

10- 2

(%) Gé.nératrice du tube principal passant par Le centre de la

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jonction

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3 2 Graphique b

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"" Spectre dans la \ zone 2 Id/D=O.51 \

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10-2

10-1 Graphique [

Fluctuations de pression locales

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00

UI

Zone 2 VI

co

Ji'{s) - - Spedres dans la zone 1 - - - Spectres dans la zon e 2

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- - - - ' , d/D=O,5

\

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d/D=O,125 ....... ....... , ,

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......

le centre de jonction to,125~d/D~O,5) 1__ - GénÉratrice du tube principal opposée 1

1L...-......:..-----.JL...-_----I_ _- - L_ _ 2

1

1

0

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1 Graphique d

4 xl d 5 10- 2 1

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\

\

10- 2

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,

Vl

\ d/D=O.5

\

1 - - Génér. du tube principal passant par

Ech. ( - - )

Vl

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10-1 Graphique e Fluctuations de pression locales

-:P(s)

Zone 2

~~~ f

'

d/D=O.5

"

1 Fluctuation=-=s m-ax-

-

(zone 11

tri i1P

((%)

10-1

1

"':"l

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\\

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\\

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1

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1

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Il /

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il \ \

~/"/I .,./

\

<:

0::

.......

Génératrice du tube principal passant 1 par le centre de la jonction 1 - - - Génératrice du tube principal opposée 1

- - Spectres dans la zone 1

, - - - Spectres dans la zane 2 VIVr::>·.. 1 '"d/D=O.25 "'...... "", , ' "'\.'\. , '..... "" d/D=O.5 ...... , , , ,,\ "

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~)c

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m

1

-1

o

~

x/d

1

2

3

4

5

m

10- 2

Graphique f

Fluctuations de pression locales

10-1 Graphique 9

'JI

~

588

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

et : V/IV == 0,9 pour d ID = 0,5 V/IV::: 0,7 pour d ID = 0,25 V/IV = 0,3 pour d ID = 0,125

Remarque.' Les courbes adimcnsionnellcs dépendent d'autant plus du rapport d ID que le jet issu du tube laléral sollicite le tube principal.

3) Source acoustique a) Discontinuité de la pression acoustique tlp(t) On peut montrer théoriquement et expérimentalement que la discontinuité associée se situe il la sortie du tube latéral (la pression acoustique est continue dans le tube principal). Les figures 19.380, b, d montrent, en utilisant les mêmes coordonnées adimcnsionnelles que pour les fluctuations locales, les DSP de tlp(t): {jAis, dlD, viVI)' Les valeurs quadratiques moyennes sont données par le tableau (en % de tlP) :

~

0,5

0,15

0,125

J

5

3,9

2,2

4

5,5

1,5

0,9

Y::

3.9

2,2

l',Vi

0,8

--b) DiscomÎllIûté du débit acoustique tlq (/) A la zone trcs perturbée il l'aval de la jonction correspond une discontinuité du débit acoustique tlq(r). tlq(t) est faible pour viVi == 1 car le volume de la zone perturbée est faible. Dans les deux autres cas les figures 19.38c, e montrenL la DSP :FA/l, d ID, v IV;) divisée par 1c carré du nombre de Mach M IJ 1c. Ces DSP se présentent comme pour l'élargissement brusque sous forme de plateaux dont les limites en Strou/wl sont il peu près les mêmes:

Nous remarquons lu grande influence du rapport li ID sur le niveau de ce plateau. 4) Remarque générale L'ensemble de ces résultats a été obtenu pour des nombres de Reynolds: ( P ';d ) variant de 10- 5 à 10- 6 environ, Ics nombres de Mach variant de 0.05

à 0,4. Le fluide utilisé est de l'air il la pression atmosphérique.

VIBRATIONS À BASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

10- 4

s=fd/v '-----'------'------'---'---'-----'----'------'---'--"'------'---JIIIOo-

10- 2

10-1 Graphique a Source acoustique, v/V .... 1 Figure 19.38a.

589

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10-1

10-1

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10- 2

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CIl

s=fd/v

10-3

10- 2

Graphique b

10-1

10- 2

Source acoustique, v IV j -4

10-1 Graphique c

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~ÂqlsllM2 d/D=O,5 ~

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10- 2

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s=fd/v

10- 4

10- 2

Graphique d

s=fd/v

»~ r:1 ;:::J

r;;

10- 1

Source acous tique, v/V j » 1

Graphique e

'JI

\Cl

592

SOURCES D'EXCiTATION ALÉATOIRES

GRILLES Il existe de multiple types de grille. Les résultats que nous donnons ici sont très fragmentaires. Ils concernent des grilles constituées par une plaque épaisse percée de trous circulaires avec un pas carré. 1) Principales grandeurs permanentes de réîêrencc a) Grandeurs géométriques

La grille est placée dans un tube de section circulaire de diamètre D, qui est pris comme longueur de référence. Les paramètres sont alors le rapport d/D (d étant le diamètre des trous) et le pas réduit p (distance entre deux centres = pd).

pd

0

0

0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

d

0

0

Figure 19.39. Nous n'avons pas effectué de variation systématique de ces paramètres. Nous donnons ft titre indicatif les résultats obtenus dans quatre configurations. b) Grandeurs liées li l'êcoulemellt

Nous utilisons la vitesse moyenne V du fluide dans les trous ct la perte de charge llP de la grille, qui peut se calculer par les formules données par Ide/'Cik (réf. [62]) ct dont nous avons vérifié la bonne concordance avec l'expérience. Si S est la section du tube ct Sc celle de la section contractée au niveau de la grille d'épaisseur e, nous avons:

1 llP

2

PfV

1

=

(0,5 +

T

JI -i )(1

est donné par l'abaque 19.40, À est le coefficient de frollement. La formule est valable pour les grilles épaisses: e / ci :> 0,015. T

2) Fluctuations locales de pression de paroi Lu figure 19.41a représente l'évolution de l'écart-type des fluctuations de pression de paroi à l'aval de la grille. La figure 19.41b donne l'allure des spectres observés pour deux valeurs de x/D (x distance à la grille).

VIBRATIONS À BASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

593

1,2

0,4 e Id

o

0,4

0,8

1,6

1,2

2

Figure 19.40.

Très près de la grille, les fluctuations ont un spectre fi nombre de Strollhal de coupure élevé qui caractérise un phénomène turbulent de dimension liée aux trous: (courbes en tirets) Dans l'ensemble de la zone perturbée existe un phénomène il nombre de Strollhal de coupure plus bas

(f~d

:::=

quelques 10- ~) donc à dimension

caractéristique plutôt liée au diamètre 0 du tube. Cc phénomène est responsable de l'essentiel de l'énergie. Son intensité semble évoluer rapidement avec les paramètres p et d/D (courbes en traÎt plcin). Pour des grilles finement percées le niveau reste faible (de l'ordre de 0,5 il l % de .ilP). La longueur de corrélation caractéristique des phénomènes il bas nombre de SlfOuhal est de l'ordre de D. 3) Source acoustique

La figure 19.41c donne la DSP des discontinuÎtés de pression acoustique associées, pour les quatre configurations étudiées, on observe une nette diminution d'intensité pour les grilles plus finement percées. (CT IJ.p/.::.\P est d'environ 0,4 il 0,7 % pour les grilles à gros trous, 0,1 % pour les grîlles à trous plus fins). En cc qui concerne la discontinuité t1q (/), les quelques mesures effectuées montre que le niv~au adimcnsÎonnel :F Aq(s)/M" est très faible par rnpport aux autres singularités (== 10- 4 ) :

'JI

\0 ~

'1{s)

- - Spectres pour x/O=O.8 - - - Spectres pour x/0=0,3

10-2

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r-

(O/o)

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10-

5

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- d/D=O,02 p=2,9

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4

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d/D::O,02 p=2,9

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\\\ 1

10-1 ',2 Graphique a Graphique b Grilles, fluctuations de pression locales

0,8

»-

.......

.........

1

l

roi >(

.........

d/O=O.05 ................ p=2,9 ,

1

s=fD/V ...

VlBRATIONS À BASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERJE

d/D=O.OS p=2.9

d/D=O,OS p=2

d/D=O.02 p=2.9

d/D=O,037 p:::2

s=fD/V

Graphique ( Grilles, source acous tique Figure 19.41c.

595

596

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES 4) Remllrque générale

L'ensemble de ces résultats a été obtenu pour des nombres de Reynolds ( P fJLVd ) variant de 2 x 10 4 à 105 ct des nombres de lIJach varin nt de 0,13 à

0,4. Le fluide utilisé est de l'nir à la pression atmosphérique.

19.5.

EXEMPLE DE CALCUL DES VIBRATIONS D'UNE TUY AUTERlE SOUS ÉCOULEMENT. COMI'ARAISON EXI'ÉRIMENTALE

Nous avons maintenant en notre possession tous les éléments néccssnires pour déterminer l'amplitude vibratoire d'une ligne de tuyauterie en écoulement, dans le domaine des basses fréquences. - Nous venons de caractériser les principales sources d'excitation ct au paragrnphe 14.6 de la 2e partie. nous avons précisé la fonctionnelle caracléristique ainsi que les équlltions différentiel1es associées du système conservatif couplé constitué d'une tuyauterie traitée selon l'hypothèse des poutres et d'un fluide interne traité selon l'hypothèse des ,( ondes planes ». qu'il est possible de résoudre numériquement pour obtenir les modes propres du système. Considérons, par exemple. un circuit parcouru par un fluide dense peu compressible ct comportant un ensemble de N singularités réparties en série tout le long du circuit et suffisamment éloignées les unes des autres (= 10 diamètres) pour pouvoir ètre considérées comme indépendantes. Au paragraphe 19.1, nous avons montré que pour les modes il basse fréquence d'un tel système tuyauterie-fluide, la source associée à la singularité i se réduisaît il une discontinuité localisée APi de la pression moyenne fluctuante dans une section. Les APi sont des fonctions aléatoires du temps indépendantes les unes des autres, de DSP Sl>.JI.(n. D'après le chapitre 17 (éq. (17.46» la DSP de la réponse du système en un point r est donnée par; N

8(r,f)

l:

= i

/G(r,rJ,nl:!Sl>.pi(f)

(19.15)

1

Les fonctions de trnnsfert G peuvent être estimées à l'aide des caractéristiques modales:

m",

W,p X n sont calculés numériquement; le seul problème reste l'estimation de l'amortissement modal En'

Comme nous l'avons vu aux chapitres 15 et 16 de ta 2e partie, les Causes d'amortissement sont multiples (viscosité du fluide, interaction avec l'écoulement, mais aussi assemblages mécaniques imparfaits. etc.).

LEGENDE

SI<1 et SK 1 S1 52 5 J

1

bidon amont

f//y L_

o de cooutchouc

sandows

bride de raccordement

~-.

accè.léromètre

(p

capteur de presf;ion

l

tranq uiUseur

= soufflets

)-",

h

bidon

c' c'

Ul

( Pz

x

l

cn~

aval

~

!AZ1~

__~5JHL(~ __

tranquiliseur

Sv

1- 750 -!__l~_~_Q-------l-

---lI>--

vanne

sens d'écoulement

à opercule

1m

Figure 19.42.

Ul \CI

-.l

598

SOURCES D'EXCITATION ALl2ATOIRES

Les méthodes décrites au chapitre 15 peuvent donner une estimation des gui reste cependant assez approximative; d'autre part on dispose également de données expérimentales concernant différents types de circuit. Pour illust rer ccci nous présentons un excmple de calcul complet des vibrations d'un circuit sous écoulement (cf. réL 164]). Prillcipe expérimelltal: On analyse \cs vibrntions d'un circuit tubulaire comportant des coudes. parcouru par de l'cau, sous l'effet d'une source créée par la fermeture partielle d'une vanne ù opercule (voir schéma 19.42). Celle dernière, située LI l'aval du circuit étudié. provoque une singularité importante qui engendre unc source acousLÎque localisée dont les caractéristiques sont connues (cf. formulaire précédent). On remarque que J'on il cherché il isoler le plus possible le tronçon étudié du reste du circuit: Fn

-

mécaniquement il l'aide de sournet en caoutchouc, acoustiquement à l'aide de bidons tmnquillisaLeurs.

Les mesures effectuées concernent l'accélération des parois et la pression fluctuante dans le circuit. On note également que la présence d'une survitcsse importante au niveau de la vanne, rend la source d'excitation associée à cette dernière largement prépondérante par rapport aux sources associées aux coudes ct autres accidents du circuit. Le problème est donc il source unique. Cette source excite les basses fréquences (notre étude il été crfectuée dans la bande 0-10 Hz). Dans cette bande on observe les 4- premiers modes du système tuyauteriefluide; le couplage fluide structure ayant lieu au niveau des coudes du circuit. La ligure 19.43 montre les caractéristiques de ces modes, calculées il l'aide d'un progmmme de calcul par éléments finis. On observera sur ks déformées de la structure que la souplesse de la tuyauterie vient essentiellement des coudes de la ligne ct sur les profils de pression que le fluide peut être considéré comme incompressible. En effet, les profils sont rectilignes dans les panies droites, cc qui est cnnlctéristique de l'effet d'inertie ct on observe des changements de pente au niveau des coudes 'lui correspondent Il J'interactÎon structure-fluide. Les figures 19.44 et 19.45 illustrent: - la comparaison calcul-expérience cn ce qui concerne les déformées modales de la tuyauterie. - la comparaison calcul-expérience en ce qui concerne l'estimation des niveaux vibratoires: l'estimation théorique est faiLe à partir des données modales calculées, des abaques du formulaire du pamgraphe précédent ct d'une estimation de l'amortissement modal basée sur des données expérimentales.

VIBRATIONS À BASSES FRÉQUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

MODE 1

3,82 Hz

m

= 112 Kg

soufflet

soufflet 1

~

bidon aval

le long de

MODE 2

= 5,B8 Hz m :: 460 Kg

soufflet

soufflet

1

Figure 19A3a.

599

600

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

f :6,9I.Hz m :J77Kg

MODE 3

~:; :;: : ; ; ; ; ; ;: ~- - -~=-

---------.-::-----:-lfl -----------_/ .'. . .

+1 ~--------------------------~~'I~------_r~------------------------------~

P

1

q

1:

P ma)!.

:1

Il

IlIl Il

Il Il

Il

O~-----------------L---------+-7.II-+------~_r------------------------------~ C1

l'CI

..

::

C2 Cj

-1L-------------~------~------------~

MODE 1.

f =9,JHz m:::332Kg

--------------------------~

+1r-----------------------~~~----~--------------------------~

p

P max

D~------------~~----~~~-----+~------------------------~

~~--------------~~------------------------------------------~

Figure 19.44b.

VlBRATIONS À BASSES FRI'::QUENCES DES LIGNES DE TUYAUTERIE

bl

cl

dl

Ellphl'''Ct

1:: J.681h

Cottul

f.

J,sm:

E,p.trltl'\u

r !: 5~l.lU:

Cokul

r ,S,71Hz

Expifltnet.

f;Ei,'SUz:

I:a!cu!

1=6,91Hl

E.~itf'.t'

1.1S,16Ib

C4"U\

1 ='fi,Ja Hl

Figure 19.44.

601

602

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

-r,.~.<.11' '>":II,,lT

.(.p:.lIT .... !::;!1I'

- ..... nf"'J(t.1" .. ~\.nl4'

{c!:I.IJ",

_ _ Otl!'Tlllii

j~f~trDb

__ ___ [).frulti

Ip.~trah

e'J'I'IÎ'tllTlt1\ld.

t!t--uth

Figure 19.45,

CHAPITRE 20

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTURES

20.1.

INTRODUCTION

L'excitation sismique peut être un chargement important à prendre en considération lors de la conception et du dimensionnement des structures. En effet, dans de nombreux pays, le risque sismique est grand, et toutes les constructions importantes doivent être réalisées selon des règles pamsismiques. En France, en ce qui concerne les bâtiments et les équipements nucléaÎres, les normes de sécurité conduisent à associer aux sites des niveaux sismiques élevés auxquels les principales structures doivent résister. En dehors de cet intérêt pratique, il est utile dans le cadre de cet ouvrage, d'analyser un processus dont les caractéristiques diffèrent sensiblement de celles qui ont été étudiées dans les chapitres précédents. En effet, comme nous le verrons plus loin, les mouvements sismiques du sol sont suffisamment complexes pour qu'on leur associe un moule aléatoire, mais il s'agit d'un phénomène essentiellement transitoire er lion stationnaire dans le temps. D'autre part les mouvements sont d'une amplitude nettement plus grande que la plupart des mouvements vibratoires étudiés précédemment. Il s'ensuit que les modes de ruine occasionnés par les séismes sont différents (ruptures il très faibles nombres de cycles). Les méthodes d'analyse associées seront donc plus axées sur la recherche des maxima atteÎms et sur le comportement nOIl linéaire des structures. Enfin d'un point de vue physique, le phénomène sismique est encore relntivement mal connu parce que difficile fi analyser expérimentalement. Les méthodes de définition des signaux au niveau du sol sont donc empruntes d'un caractère normatif, qui peut paraître souvent arbitraire, révélant la volonté d'« être conserva tif H. En fait ces méthodes ainsi que les techniques simples d'analyse de la réponse des structures qui leur sont associées ne font pas appel d'une façon explicite à la notion de processus aléatoire. ActueJ1ement le désir de faire des estimations plus précises, de traiter des problèmes de réponse non linéaire, etc., conduit à introduire cette notion, ce qui pose un certain nombre de problèmes, du fait de la fniblesse des connaissances

604

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

physiques et de la compatibilité qui doit être assurée avec les normes réglementaires. Ces méthodes d'« analyse sismique probabiliste)~ sont certainement, malgré ces difficultés, amenées à voir leur emploi généralisé. Le présent chapitre ne prétend pas donner un panorama exhaustif de l'analyse sismique (nous nous référerons souvent à l'ouvrage très complet sur le sujet de V. Da l'idovici , réf. [70]). Il comporte : - quelques notions simples de sismologie, - une description sommaire des principes pratiquement utilisés pour définir le mouvement du sol associé à un site, - l'exposé des méthodes classiques d'analyse de la réponse, - une discussion des approximations et des limitations de l'analyse classique conduisant à l'analyse sismique probabiliste, - enfin il titre d'illustration, la description des principales étapes de l'analyse sismique d'une installation industrielle.

20.2.

NOTIONS DE SISMOLOGIE

Les tremblements de terre sont dus à la brutale relaxation des contraintes accumulées dans les couches superficielles plus dures de la lithosphère dues aux mouvements continus des parties plus profondes. Le phénomène se localise au niveau des jonctions (failles actives) entre les plaques qui constituent la partie superficielle. Il peut être schématisé par la propagation rapide d'une fracture selon un mode de cisaillement, le comportement des matériaux restant linéaire sauf au voisinage immédiat du front de rupture. 20.2.1.

Analyse au voisinage du front de rupture

Des considérations théoriques de mécanique de la rupture permettent, dans le cas simple d'une faille plane indéfinie et d'un front rectiligne (cf. figure 20.1), de déterminer les champs des vitesses et les contraintes au voisinage du front de rupture. On montre en particulier que la vitesse de propagation du front tend vers la vitesse des ondes de Rayleigh (mode II) et vers celle des ondes S (mode III). 20.2.2.

Rnyonnement sismique à basse fréquence

Cependant ces considérations donnent assez peu de renseignements sur le rayonnement sismique proprement dit, qui dépend notablement des dimensions finies des failles. Pour illustrer ceci, considérons avec Cislemas et GGldon (réf. [70a]) une source sismique caractérisée par un moment M (t) s'exerçant tout d'abord ponctuellement au niveau de la faille.

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTURES

605

z

Figure 20.1.

On montre aisément que le rayonnement associé (quadripolaire) dans un milieu uniforme homogène conduit à un déplacement ou champ lointain de la forme:

x(r, t) =

M(r - r/~) (u. i) (u.j)

(20.1 )

27rprc

Figure 20.2.

r étant la distance entre la source et le point d'observation P, p la densité du milieu, c la vitesse de propagation des ondes considérées (P ou S). Considérons maintenant une densité linéique uniforme de telles sources situées sur la faille entre les points 01 et O 2 et émettant avec un déphasage:

606

ÀX (Àx

v

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

étant la distance entre 2 sources). Ce modèle représente un phénomène

propagatif à la vitesse v démarrant en 0J et s'arrêtant en 02' Le rayonnement associé conduit au déplacement en champ lointain: r - ~ + x (i . u c v c :2 r.prc J

LM [1 -

I

x(r,f)

Il

)J

( ' ) (U'J') dx Il'1

M (( - r ) - M [, - r - !: + !: (i . ccv c

(1-v

27Tprc :1 L

°

u)] (u.i)(u.j)

~) c

(avec L = 102 échelle de la faille). Ln transformée de Fourier de x(r, f) est: X(r, w)

d'où:

1

en posant: _1_ ü'L

X ( r,

W

)1

JLf1L (w )

1 (u. i) (u . j) 3 27Tprc-

-

-

WL

/.. w 1 Sln

(20.2)

WL

=!: ( ! _ ~ ) . 2

v

C

dépend de la direction d'observation par rapport à la faille; on peut définir un W L moyen tel que: Cd L

2v

T Considérons par exemple pour M (f) un passage de 0 à Mo selon une loi linéaire, Wn étant la pulsation caractéristique de ce passage. On a alors:

Mo Wo \. w --:; smw-

:::::>

IX(r, w)1 =

1

Wn

Mo (u . i) (u . j ) W L (r) () / . W • W --'}- sm - s m 2 W W L Wo

1

M(t)

t Figure 20.3.

(20.3)

607

EXCITATION SISt\'llQUE DES STRUCrLlRES

IXI

Xc

1------_

w

w

Figure 2004.

La formule (20.3) montre à très basse fréquence une évolution selon une constante du spectre de Fourier du déplacement, donc selon (d 2 de l'accélération. A plus haute fréquence, l'évolution se fait selon W ~ pour le déplacement (constante pour l'accélération). Les 2 zones sont séparées par une pulsation de coupure donnée par: WL

Wu

=l=-w c =

Wc

si :

Wo

= wL

=-

Cù

c

=

2v

L

(20.4)

Mo s'appelle le momellf sismique. On peul le relier il l'amplitude AX de la dislocation par: M()=J-LAAX J-L étant le module de cisaillement du matériau, A raire de la faille.

(20.5)

608

SOURCES D'EXCITATION ALEATOIRES

Le modèle simple que nous venons de décrire met en évidence un certain nombre de paramètres caractéristiques que l'on peut considérer comme à peu près constants d'un séisme à un autre:

Si l'on considère que v et J.L lîés aux matériaux sont constants, le moment sismique Mo sera proportionnel au cube de l'échel1e de la faille (L) et la fréquence de coupure W L inversement proportionnelle à cette échelle (voir figure 20.5).

-

Ms=8

Ms

r:: ro

~

.t-

e 0

Modèle

Cl..

W- 2

E

1029 10 27

ro

E

u

"'-aJ

..c:

u

1025

""-

e

e

>.

"'C

OJ

E

ru

QJ

u

:::::J

ro

10 23

Cl.. -01 -0

cE Vl li)

:::::J

-+-

-0

10 21

aJ

ro

e

ru E 0

t...

l:

-+u

ru

Cl.. III

10 19

~aJ

-+III

e

QJ

10 17

Cl

10-2

102

10 4

Période (sec.) Figure 20.5. -

(Tirée de la référence [70].)

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTURES

609

Définition de la magnitude: La magnitude Ms est une autre façon de mesurer l'intensité d'une source sismique. Elle est proportionnelle au logarithme de l'amplitude du déplacement X s dû au rayonnement pour une fréquence donnée (en général 1/20 Hz). Cette définition empirique qui présente un phénomène de saturation pour les forts séismes (Ms::> 7 cf. figure 20.5) est remplacée dans cette gamme de séismes par la relation:

log Mo

1,5 Ms + 16

(20.6)

La magnitude varie de 1 à 9 (échelle de Richter).

20.2.3.

Rayonnement sismique à haule fréquence

Si Je modèle qui vient d'être décrit représente assez bien le rayonnement à « basse fréquence» des fracturations, c'est~à-dire pour des fréquences inférieures

à quelques fractions d'Hz, il n'est pas acceptable dans le domaine des fi'équellces

de l'ordre du Hz à la dizaine d'Hz qui est la gamme importante en ce qui concerne la tenue des structures. La représentation des phénomènes dans cette gamme est en faÎt beaucoup plus difficile car ces derniers dépendent de ~< structures d'échelles plus petites)) des milieux concernés. En effet: - en ce qui concerne la source sismique proprement dite, le spectre de fréquence est conditionné par les diverses irrégularités du milieu qui influent sur la dynamique du front de rupture. Des tentatives prometteuses de modélisation sont actuellement faites (modèle des barrières, modèle des aspérités) s'appuyant sur une représentation plus précise de la dynamique locale de la rupture. Pour plus de détails nous renvoyons aux travaux de Madariaga (réf. [70b]). - en ce qui concerne la propagation des ondes, les différentes irrégularités des matériaux traversés modifient leur structure d'une façon complexe. - des effets d'amplification pour certaines fréquences peuvent se produire à la surface du sol (effets de site), du fait d'une configuration particulière des matériaux (par exemple: cuvette de sol mou entourée d'un matériau plus dur). Des approches par calcul numérique ont donné des résultats encourageants (cf. Bouchon réL [70d]). Finalement la structure des signaux sismiques que l'on relève a la surface du sol est complexe. Le spectre de Fourier de J'accélération du sol est )imité dans les basses fréquences par Wc défini précédemment et dans les hautes fréquences par w~, comme le montre la figure 20.6 (tirée de la référence [70d]).

610

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

N. U QJ

!.Il

"E -1250 u c:: 0

0

:;: ru

'-

'(1} >(1}

u u

1250 10s

«

20s

30s

405

3

5)

2

O"l

...S!

o -2

o

-1

2

log f Figure 20.6. -

(Tirée de la référence [70].)

Certains auteurs pensent actuellement décrire la complexité de la source sismique et des milieux traversés il l'aide de modèles probabilistes. Cette nouvelle approche serait d'autant plus intéressante qu'elle permettrait d'éclairer d'une façon plus physique l'élaboration des processus aléatoires (souvent assez arbitraire) que l'on utilise pour représenter en fonction du temps le mouvement à la surface du sol qui sert de donnée au calcul de la réponse des structures (cf. § 20.5.6). 20.2.4.

Mouvements du sol en surface

L'effet des séismes est observé à la surface du soL La zone la plus imense est l'épicclllre qui est la projection verticale à la surface de la source sismique (foyer). a) Intensité

Traditionnellement on définit l'intensité d'un séisme en un point donné de la surface, par l'effet qu'il a sur les constructions ou les populations.

EXCITATION SiSMIQUE DES STRUCrURES

611

Bâtiment

Epicentre c...

=:J aJ '"t:J

r:::

o

H

\1-

o

c... Cl.

Foyer Figure 20.7.

Nous donnons il titre d'exemple les définitions des degrés (de 1 il 12) de macl'OsÎsmiqlle inlemationnle.

r échelle Degré

SeCOUSSl! imperœplible il l'homme, inscrite seulement par les sé ismographes.

Degré II

Secousse ressentie par un petit nombre d'observateurs et surtoul par ceux situés aux étages supérieurs des maisons.

Degré III

Secousse ressentie par un certain nombre d'habitants, comme le serait l'ébranlement produit par une voiture lancée il grande vitesse; la directÎon ct ln duréc de la secousse peuvent parfois ëtre appréciées.

Degré IV

Ebnmlemenl constaté par quelques personnes en plcin aÎr. par beaucoup il l'intérÎeur des maisons; vibration de vaÎsselle, craquements des planchers et des plafonds.

Degré V

Ebranlement constaté par toute la populatÎon; réveil des dormeurs; ébranlement de meubles ct de lits.

Degré VI

Dcs personnes effrayées sortent des habitations; tintement générnl des sonnettes, arrêt des pendules; crépis fendillés. vaisselle brisée; cloches mises en branle, chute de plâtras.

Degré VII

Maisons légèrement endommagées. léznrdes dans les murs; chute de cheminées isolées en mauvais état, écroulement de minarets, de mosquées ou d'églises mal construites.

Degré VIII: Sérieux dommages, fentes béantes dans les murs, chute de la plupart des cheminées, chute de clochers d'église; renversement ou rotation des statues, des monuments funéraires; fissures dans les pentes raides ou dans les terrains humides; chule de rochers en montagne. Degré IX

De solides maisons de construction européenne sont sérieusement endommagées, un grand nombre rendues inhabitables; d'autres s'écroulenl plus ou moins complètement.

Degré X

La plupart des bâtiments en pierre ct en charpente sont détruits avec leurs fondations; fenles dans Ics murs en briques; rails de chemins de fer légèrement recourbés; dommages aux ponts ~

612

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

tuyaux de conduite brisés ou refoulés les uns dans les autres; fentes et plis ondulés dans les rues; éboulements; l'cau des rivières ct des lacs est projetée sur le rivage. Degré XI

Destruction totale des bâtiments de picrre, des ponts, des digues; larges déchirures ct crevasses dans le sol ; grands éboulements de terrain.

Degré XII ; Ricn ne demeure plus des œuvres humaines; changements dans la topographie; formation de grandes failles; dislocations horizontales ct cÎsaîllcments du sol; rivières détournées de leur cours,

b) Carle sismotectonique

Carte des intensités maxima probables en France Figure 20.8.

613

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCruRES

La notion d'intensité est importante bien qu'elle corresponde à des notions assez qualitatives, car c'est la seule information que l'on possède sur la sÎsmicité en France. Les effets des différents séismes ont été décrits dans les registres de sacristie ou de mairie depuis 1 000 ans, et ont permis d'établir des cartes sismotectoniques, Un exemple est la carte des intensités maximales observées établies par le professeur RatlIé (figure 20.8). Plus récemment, le BRGM a établi à la demande de EDF et du CEA une nouvelle carte. Pour cela il a étudié les documents anciens, recherché et analysé de nouveaux documents (cf. réf. 70e). Ces cartes et la connaissance plus récente de la sismologie (failles) permettent une estimation du risque sismique dans les différentes régions de France.

c) BUl/que de dOlll/ées On dispose également pour certains sites (Californie, Frioul, etc.) d'enregistrements du mouvement du soL On considère en général la partie forte de l'accélération du sol en fonction du temps et éventuellement les répliques qui lui sont associées qui doivent être prises en considération pour certaÎns caJculs (fatigue par exemple). Les enregistrements dont on dispose concernent des mouvements de l'ordre de quelques dizièmes de 9 (g = accélération de la pesanteur) au maximum, de quelques dizaines de cm/g pour les vitesses et de quelques cm pour les déplacements. L'examen de ces enregistrements permet d'établir certaines relations entre le mouvement à la surface et les caractéristiques des failles et de la nature des sols traversés. On peut également analyser la relation entre le mouvement du sol et les effets destructeurs observés et aÎnsi tenter d'établir une relation entre l'accélération maximum (par exemple) et l'intensité macrosismique. Pour les séismes californiens on adopte souvent les relations suivantes:

Intensité

VlI

Ace. max. (mis:!)

Vitesse max. (cm/s)

VIII

IX

1

2

4

10

20

40

Certains auteurs proposent également des formules plus complexes de calcul de l'intensité il partir de l'accélération en fonction du temps. Par exemple Arias définit une intensité qui a la dimension d'une vitesse:

r Jo

T

7r

2g

[.f(t)f dl

(cf. MolwmrnadioulI, réf. [70e])

Remarques: Il est bien évident que ces relations sont très approximatives et ne sont valables que pour un type de séisme donné. 11 faut également noter que les données enregistrées sont relativement rares et que les analyses statistiques sont bien difficiles en la matière.

614

20.3.

20.3.1.

SOURCES D'EXCITATION AÜ~ATOIRES

DÉFINITION DU MOUVEMENT À LA SURFACE DU SOL EN VUE DU CALCUL DE LA TENUE DES STRUCTURES Position du problème

Comme nous venons de le voir, la détermination de la sismicité d'un site s'appuie essentie11ement sur des données qualitatives. D'un autre côté, le problème de l'ingénieur est de construire sur ce site, une installation qui doit « résister)) (soit pouvoir redémarrer, soit rester sûre) à l'éventualité d'un séisme. Pour résoudre ce problème il y a deux philosophies d'esprit assez opposé: - soit on se fixe un séisme d'intensité dont on estime que la probabilité de dépassement est négligeable et l'on dimensionne les structures pour qu'elles résistent à cela (démarche « déterministe )~), - soit on considère une gamme d'événements sismiques de caractéristiques variées dont on estime d'une part la probabilité~ d'autre part les effets destructeurs. On utilise ensuite pour le dimensionnement des critères de sûreté faisant intervenir les différents effets destructeurs et leur probabilité associée (démarche « probabiliste )}). Cette dernière démarche ne revient pas forcément à la précédente car elle peut conduire à considérer des événements moins probables que le séisme de dimensionnement de la démarche déterministe, mais plus destructeurs. Actuellement, la pratique est d'utiliser la démarche déterministe: -

de définir une illfcnsité caractérisallf le site, puis d'associer fI cette intensité des caractéristiques quantitatives du mellf du sol nécessaires aux calculs de réponse.

nWlIl'e-

Les données historiques du sîte permettent d'effectuer assez bien la première opération. La deuxième est beaucoup plus délicate, si l'on veut définÎr des mouvements de sol relativement réalistes. 20.3.2.

Définition de l'intensité à associer à un site pour une construction nucléaire

A partir des informations disponibles pour le site (intensité des séismes historiques, activité des fames, configuration géologique locale ... ) on détermine en utilisant les méthodes décrites dans le paragraphe précédent deux intensités de référence : - Une iJ11cnsité Si dite ({ économique» (ou séisme « d'exploitation») ou normal admissible)} ou de ( base »). Il s'agit du niveau d'un séisme dont la probabilité d'occurrence n'est pas négligeable el après lequel l'instaHation doit pouvoir reprendre son fonctionnement normal. En France, on prend pour SI le niveau du plus fort séisme historique. «

EXCITATION SISMlQUE DES STRUCTURES

615

Une intensité S2 dite de « sûreté ) d'un séisme considéré comme maximum pour le site et après lequel l'installation doit rester sûre (en particulier par rapport aux populations environnantes). En France, on prend généralement Sl + 1.

20.3.3.

Définition quantitative du mouvement du sol

Le problème est maintenant d'associer il. une intensité l donnée, un mouvement en fonction du temps, par exemple un accélérogramme y (t). Comme nous l'avons vu, le signal sismique est très complexe et le problème ne peut se poser qu'en terme probabiliste: c'est-à-dire qu'il fam associer à une intensité l, un processus aléatoire. dont y (t) peut être considéré comme ulle réalisation particulière, Les caractéristiques du processus doivent être déduites des caractéristiques géologiques et sismologiques du site. Dans la pratique actuelle, les connaissances encore imprécises des mécanismes· de génération des séismes et surtout les incertitudes concernant les données géologiques font que les méthodes utilisées sont assez rudimentaires. Ce sont ces méthodes que nous allons décrire maintenant : a) Notion du spectre de réponse d'oscillateur (SRO) Un signal sismique peut être caractérisé par son accélérogramme ou la transformée de Fourier de cet accélérogramme (un exemple a été donné au paragraphe précédent, figure 20.6). Une notion intéressante en analyse sismique est celle de spectre de réponse d'oscillation (SRO) qui s'attache â la notion de maximum atteint par un système répondeur au cours de l'excitation sismique: Soit un oscillateur harmonique à un degré de liberté excité à sa base par un séisme d'uccélérogramme y (/). Le mouvement relatif x(t) de ]a masse M par rapport au sol est donné par: (20.7)

Figure 20.9.

w et E étant respectivement la pulsation de résonance et l'amortissement réduit de l'oscillateur. Soit S (w, e) le maximum de la valeur absolue de x (t) au COUTS du temps.

616

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

S (w, ë) tracé en fonction de w (ou

f

== w 1T

),

et paramétré en fonction de

représente les spectres de réponse associés au signal l' Ct). Les SRO peuvent être également tracés en ~< pseudo-vitesse »): wS (w, e) ou en « pseudo-accélération ») : if} 2 S (w, e). E

Propriétés des SRO

* Asymptotes Nous avons vu que le signal sismique possède de l'énergie dans une certaine gamme de fréquence (w c' W ~).

=Si w

1x 1max ~

=-

= S (w,

w:

E) = X() mil~ = maximum du déplacement du sol

w 2 X = - l' (t)

1x 1max = S (w, e) =

~ l' mn~ w-

=

maximum de l'accélération du sol /

W

2

* Amplification Dans la gamme (wc, w:) l'excitation du sol est susceptible d'être amplifiée par l'oscillateur harmonique. Cette amplification est fonction de E. On remarque que le signal étant limité dans le temps le taux d'amplification est fini pour e = O. 1 le

Jt: I",(JJ\ <:tu C Remarque: La pseudo-accélération w 2 S (w, 0) représent?rfla-écélération absolue ~i + l' ~nmK de l'oscillateur ~ ~ ~ \) . '" Allure des SRO

Ils sont en général représentés en pseudo-vitesse ou en pseudo-accélération:

Amplification en accé.lération

WS{W,E)

Amplification en vitesse '(max

w

W

W· c

W' c

Figure 20.10.

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTURES

* SRO

617

et transformée de Fourier

La réponse de l'oscillateur est donnée par (cf. Fe partie, Chap. 1) :

(avec

)1- 6 2 w).

û) 1

Si e

0:

,~ [ (t Y(T)COS WT dT )

xC,) = -

w

(en posant

r'(w) sin (wt +

r t (w)

tronquée de l' (t) :

et

rI Jo

tp t

sin wl-

(f~ Y(T)sin WT dT )

cos WI]

tp ')

le module et la phase de la transformée de Fourier

l' (T) e- ÎW'T dT).

Dans la partie résonnante du spectre rt(w) est généralement maximale pour ; t = T = durée totale de l'excitation. Le module de la transformée de Fourier de l'accélération du sol est donc lIoisÎn du SRO Cil pseudo-vitesse pour F.. = O. Les graphiques de la figure 20.11 illustrent les considérations précédentes par l'exemple du séisme d'El Centro (18 juin 1940). En résumé, le SRO permet d'obtenir directement le maximum atteint par un oscillateur harmonique sous excitation sismique. Comme nous le verrons plus loin on peut, moyennant certaines hypothèses, extrapoler cela à un système linéaire quelconque. Dans la mesure où la conllaissance des maxima (ell déplacemellls, cOlltraimes, etc.) est suffisante pour le dimensiollllcmelll, le SRO est la façollia plus pratique de définir le signal sismique. Il convient toutefois de se replacer dans l'optique probabiliste et de considérer que la donnée caractéristique du séisme est un SRO «moyen ~\. En effet S (w, e) tel que nous l'avons défini, représentant une réalisation d'une variable aléatoire, c'est en fait une quantité moyenne associée à cette variable que l'on doit considérer. Il y a plusieurs possibilités: on peut considérer les SRO comme étant les maxima moyens de la réponse, ou comme étant les valeurs telles que la probabiJité de dépasserpent du maximum soit inférieure à un certain pourcentage, etc.

b) SRO de référence pour

lUI ~'ite

Il existe deux méthodes pour déterminer le SRO à associer à un séisme d'întensité l pour le site considéré:

-

l'utilisation de spectres de forme standard est la méthode la plus courante.

618

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

3 Accélérogramme 2 -II)

"

§

c: c

:.;::

~

-QI

~

< -1 -2 -3 0

4

8

12

16 20 Temps [sec.)

Figure 20.11a.

Hz Figure 20.11b.

24

2B

32

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTURES

v;

...... .§.

~

':;

0 "t:l ;::l

III VI

0...

10.1

10-2L-__~__L-~~~~_ _ _ _L-~~~~~_ _ _ _~_ _~~~~~ 10-1 10

Hz '"'igurc 20.11c.

III

...... E

Spetlre de Fourier

10.2 L-_-L----'---'--'-..J-L..w...J _ _-L---I..........I......L.....l..J....1..I.L--L-.:..ILIl-L..-L-L-L-L..LLJ 10. 1 10 10'

Hz Figure 20.l1d.

619

620

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

Ces spectres ont été établis à partir d'enregistrements sismiques. Par exemple, la figure 20.12 montre les spectres du (, ReguIatory Guide 1-60» utilisés pour le dimensionne ment des centrales nucléaires aux Etats-Unis. Les spectres standards sont normalisés à une certaine valeur de l'accélération maximale du sol (pur exemple 0,15 g sur la figure). Pour s'adapter au site considéré, ils doivent être ajustés il la valeur 'de l'accélération maximale que l'on considère pour le site. Il faut donc établir une corrélation ÎllIcnsité-accélération-maximale, soit il partir

Spectre RG-1-60 (composante horizontale) normalisé à -0,15g

-

~

102~~------~~------~~~----~

E u

cu > :.;::

-ro

cu

'-

cu

VI VI

10

....cu > o

-0 :::1

cu

VI

a..

Fréquence (Hz) Figure 20.12.

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTURES

621

d'enregistrements effectués sur le site, soit à défaut, de formules empiriques faisant intervenir la magnitude, la distance focale et les conditions locales du site. La figure 20.13 montre une telle corrélation. - La COl1SlrtlcliOIl de spectres adaptés aux condilions du site commence il être possible grâce aux corrélations effectuées par certains auteurs sur un ensemble très large de données d'enregistrements (cf. MohammadiollJl, réf. [70c]). ,

Corrélations entre l'in tensité macrosismique et l'accélération horizontale

-

102

N

V1

"'E u

c: 0

-e-

10

rD

"-

-

"aJ

'OJ u u


1 Corrélations selon divers auteurs

Il III IV V VI VII VIII IX X XI Intensité MM équivalente Figure 20.13. -

(Tirée de la référence [70].)

622

SOURCES D' EXCITATION ALI~ATOIRES

Les formules proposées relient la magnitude M il J'intensité 1 et à la distance focale R :

M = BI + B' log R + B

H

(20.8)

Le SRO en pseudo-vitesse est ensuite calculé à partir de M et R par: log [w S (w E)] 1

(Les fonctions le,

0:

et

11

=

le (w, e) +

0:

(w, ê) M

+ Il (w, E) log R

(20.9)

étant tabulées).

Remarque; En fait les coefficients k, 0: et Il représentent des moyennes de variables aléatoires, on peut également en détermiuer les écarts-types qui donnent une idée de la dispersion des données expérimentales par rapport à la formule proposée. La figure 20.14 montre un exemple d'application. Cette formulation permet en particulier de rendre compte de la plus grande

aJ

>

:..;:: ro ~

10

1-*---'--'---1-'-?(---'-~

QJ

Vl Vl QJ 01-

> o

~

::J

1 I~~----~-*-------~+-------~

QJ

Vl

0..

Figure 20.14.

(Tirée de la référence [70].)

EXCITATION SISMIQUE DES STRUcrURES

623

richesse en hautes fréquences des spectres de séismes plus proches comme l'indique la figure 20.15. c) SRO de dimensiollllement Un constructeur désirant concevoir une installation standard pouvant être implantée sur des sites divers, doit utiliser un spectre de dimensionnement unique constitué par une enveloppe de spectres associés à différents sites.

d) Relarions elllre les différents mouvements sismiques Toutes les méthodes qui ont été décrites précédemment s'appliquent au mouvement sismique horizontal en un point donné de la surface du sol. Le mouvement vertical est généralement plus faible que Je mouvement horizontaL Dans les études courantes on applique les mêmes règles maÎs avec un coefficient de réduction de 2/3. D'autre part, les structures répondent aux sollicitations horizontales et verticales exercées simultanément, on doit donc se poser le problème de la corrélarion entre les deux sollicitations. Dans la pratique on admettra une décorrélatioll complète.

~102~~----_-+~~~-----+~-------~ E u

QJ

>

:.i:: rD QJ

t-

10

QJ

Vl Vl QJ

..... > o

"C

:::l Q)

Vl

a..

10 Fréquence (Hz) Figure 20.1511. -

(Tirée de la référence [70].)

624

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

-~102~T---. ----T-~----.---+-*-­ E

u

QI

> :;:: rD QI

c....

ru

10

Ul Ul

ru

"'-

> o

-c

::J QJ Vl

0-

Fréquence {Hz} Figure 20.15b. -

(Tirée de la référence [70].)

Enfin les fondations d'une installation occupent une certaine surface de sol; on doit donc se poser le problème de la corrélation entre les 1110UIJemellts du sol en delix poillts distincts de Cette surface. Le critère d'appréciation s'effectue en considérant le rapport entre une longueur d'onde caractéristique des ondes sismiques et la dimension de la fondation. Ce rapport est généralement grand devant 1, on pourra alors supposer un 11I011llemefll identique du sol sur lOute la swface de la fondation. Dans le cas contraire, pour des fondations de l'ordre d'une centaine de mètres ou plus, il faudra considérer un mouvement différentiel entre les différents points du sol et une longueur de corrélation caractéristique (cf. réf. [70f1). 20.4.

MÉTHODE CLASSIQUE D~ ANALYSE DE LA RÉPONSE D'UNE STRUCTURE (MÉTHODE MODALE)

Soit un système linéaire défini, comme dans la première partÎe par les trois opérateurs d'inertie M, de raideur K et d'amortissement A.

625

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCrURES

Ce système est solidaire du sol en un certain nombre de points {P}. Ce dernier impose son accélération l' (t) (nous verrons par la suite que cette hypothèse n'est pas toujours justifiée). Dans le système relatif au mouvement du sol, l'équation du mouvement du système s'écrit: M.i + A.t + Kx = - MU l' (t) { avec x 0 en {P}

(20.10)

U est le vecteur (ou la fonction) déplacement unité en tout point du système dans la direction de séisme considérée. Le problème (20.10) se résout li l'aide des méthodes générales de la r c partie. Soient XII (r) les solutions propres du problème conservatif associé:

w;

(K M) X n = 0 { avec X I1 0 en {P}

(20.11)

On peut utiliser les X n comme base de projection du champ des déplacements relatifs x : (20.12) En admettant que l'opérateur d'amortissement se diagonalise dans le système des X n (hypothèse de Basile), on obtient un systèrne découplé sur les nouveaux degrés de liberté an : (Tf Il )

(20.13)

avec: 111 11

= masse généralisée

wn

= pulsation de résonance

En

= amortissement réduit

qn = (X n , MU)

1 pour le mode

11

= facteur de participation

La donnée du séisme étant le SRO, en pseudo~accélération par exemple: Sy(w, 8), on obtient immédiatement le maximum atteint par la ,l (t)1 lors de l'excitation sismique: (20.14)

Le problème est maintenant d'estimer le maximum au cours du temps lie Ix(r, t)1 : xrnux(r).

La méthode classique fait pour cela l'hypothèse de l'indépendance statistique des fonctions an (t) et admet le fait que les lois statistiques régissant le maximum

626

SOURCES D'EXCITATION ALI~ATOIRES

diffèrent peu quand on passe d'lOl système à 1 DDL à un système à plusieurs DDL (le domaine de validité de ces hypothèses sera discuté ultérieurement). On montre alors que x max (r) est régi par la règle de la combinaison quadratique: (20.15)

La même règle peut bien sûr s'appliquer pour les autres grandeurs mécaniques (con traîntes-efforts-etc.). En ce qui concerne le calcul de l'accélération absolue YI/(r, t) (il! XII + yU, on utilise la relation approchée (au terme d'amortisse-

l

ment près) :

d'où en supposant l'indépendance statistîque de y (t) et des an(t) :

(20.16) Remarque: notion de «masse modale sismique

II

On pose:

Mn a la dimension d'une masse, elle caractérise l'importance de la contribution du mode Il à la réponse du système. En effet, la projection du champ des efforts d'inertie MyAr, J) sur la translation d'ensemble U se met sous la forme:

l

qn ail

WI~ + y [(Ut MU)

JI

(MI = (U, MU) est la masse totale du système).

On remarque que:

(20.17)

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCrURl::s

627

Notion de troncature modale Il est important de remarquer que les formules (20.15) et (20.16) ne sont pas valables si l'on considère l'ensemble des modes propres du système. En effet, nous avons vu que lorsqu'on se situe en dehors de la gamme fréquentielle d'excitation sismique, ]a réponse d'un oscillateur harmonique était approximativement: w 2 X = - y (t )

1.f

pour w

:> W

y(t)=>x=-xso!(t)

~ pOUr(I)<:w c

Nous notons donc que les oscillateurs modaux, intervenant dans la sommation des formules (20.15) et (20.16) et dont la pulsation de résonance n'appartient pas à l'intervalle l tH c' w;], ont une répollse parfaitement corrélée et donc que l'hypothèse de la sommation quadratique ne s'applique pas du tout. En pratique il ne s'agit que des modes tels que W ri :> w; car les premiers modes des structures sont toujours tels W Il ::> WC' Pour tenir compte de la corrélation des réponses des modes élevés W Il ::> (J):, on procède de la façon suivante: On somme quadratiquement la contribution des modes de la gamme sismique (W 'I <: w~) (en pratique jusque vers 30 Hz environ), et également la contribution d'un «( pseudo-mode)} qui regroupe l'ensemble des contributions des modes élevés, calculé en négligeant les termes d'inertie et d'amortissement. Ce dernier terme est obtenu à partir d'un calcul de la réponse statique du système au champ d'effort MU : KX s - MU {avec X s = 0 en {P} D'où la contribution du pseudo-mode:

En effectuant la combinaison quadratique des contributions des premiers modes et du pseudo-mode, on obtient finalement:

(20.18)

628

SOURCES D'EXCITATION ALËATOIRES

On obtient de même pour l'accélération absolue: [ -y tJ (r ) ]~a.\

(20.19)

Excitation sismique tridirectÎo1l1zelle Le mouvement du sol au niveau de la fondation de la structure a en fait 3 composantes que l'on a vues pouvoir être considérées comme indépendantes statistiquement. On peut donc calculer )a réponse à chaque composante de l'excitation sismique soient: (xmllx)x, (xmax)y et (xmilx)z et obtenir le maximum de la réponse au séisme en appliquant la règle de combinaison quadratique:

20.5. 20.5.1.

ANALYSE SISMIQUE PROBABILISTE Inconvénients de III méthode modale classique

Les inconvénients de la méthode modale telle que nous l'avons décrite sont de plusieurs types : a) En ce qui concerne la prédiction des maxima, les hypothèses requises par la règle de combinaison quadratique des contributions modales, ne sont pas toujours vérifiées. En particulier quand on a des modes de fréquences voisines, on observe des erreurs très importantes.

b) La connaissance des maxima de la réponse n'est pas toujours suffisante. En particulier l'analyse sismique d'une installation complexe ne s'effectue pas en un seul calcul: on calcule d'abord les bâtiments avec une représentation sommaire des composants qu'ils renferment. On peut ensuite à partir des résultats, calculer plus finement les composants. Pour cela il faut connaître les SRO associés au mouvement des points d'ancrage des composants sur les bâtiments (spectres de ( plancher »). La méthode modale appliquée au premier calcul ne donne pas cette information.

c) Enfin la méthode est inadaptée pour le calcul de la réponse de systèmes non linéaires ou de systèmes à très grand nombre de modes pour lesquels on préfèrerait une analyse temporelle directe. Pour l'ensemble de ces raisons, nous voyons donc que la méthode modale classique est très insuffisante. Dans la pratique, un certain nombre de corrections, d'adaptations ont été apportées à la méthode. Des méthodes de construction de signaux dits

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTURES

629

« synthétiques}) dont les SRO s'ajustent sur les SRO réglementaires ont été développées. Toutes ces techniques font référence plus ou moins explicitement à une conception probabiliste de l'excitation sismique. Comme nous l'avons signalé au premier paragraphe, la connaissance des processus physiques n'est peut-être pas encore tout à fait suffisante pour développer une véritable théorie probabiliste de l'excitation sismique. D'autre part, actuellement et encore pour un certain nombre d'années, les règlements imposent de définir le mouvement du sol il l'aide des SRO de référence. L'analyse probabiliste telle qu'elle peut se pratiquer aujourd'hui vise donc plus à apporter des solutions pratiques lorsque les méthodes classiques échouent. C'est donc dans cette optique que nous ferons notre présentation.

- Pour cela, quelques compléments aux notions générales sur les processus aléatoires au chapitre 17 nous sont utiles en ce qui concerne:

a) l'aspect lion statiollnaire b) l'analyse des maxima.

20.5.2.

Processus aléatoires non stationnaires

Nous avons essentiellement analysé au chapitre 17 les processus stationnaires, dont les caractéristiques sont invariantes lors d'une translation de )a variable temps. En particulier nous avons pu définir (et utiliser dans les chapitres 18 et 19) la fonction d'autocorrélation p (T) et la densité spectrale de puissance S (f) caractérisant la répartition fréquentielle de l'énergie du signal:

Dans le cas d'un processus instationnaire on définit la fonction d'autocorrélatian par (formule 1.4) : p (t l •

Cl)

=

ff

XI X 1 P(Xl'

tl

; X:!t (::)

dx1 dLl

Par analogie on peut effectuer une double transformée de Fourier de p et obtenir ainsi une densité spectrale génératrice S (fI' f2) dont la signification physique n'est malheureusement pas très claire et qu'il est impossible de mesurer à partir d'enregistrements de signaux. On peut également penser définir une densité spectrale instantanée, par la transformée de Fourier par rapport à la variable T de la fonction: PI(T,()SP

jS'(/,t) =2

(t-~,t+~)

f::

(20.20) p'(T,t)e- 2i :tf TdT

630

SOUHCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

Cette nouvelle densité spectra1e n'a pas également une interprétation très physique sauf dans certains cas particuHers (cf. réf. [54]). Cest par exemple le cas lorsqu'on a affaire à un processus séparable déiini par: Y(t)

(20.21)

a(t)X(t)

X(t) étant un processus stationnaire, a (l) une enveloppe déterministe il variation lente par rapport il X (t) (a::> 0). On Il:

p (T, t) { S'(f,t) 1

= a 2(/) p (T)

(20.22)

a 2 (t)8(f)

P (T) et 8 (f) étant la fonction d'autocorrélation et la DSP de X(t).

Nous utiliserons ce type de représentation pour les signaux sismiques dans leur partÎe forte. Remarques: La réponse transitoire d'un système linéaire initialement au repos à une sollicitation aléatoire stationnaire F(t) constitue également un cas particulier de processus instatîonnaire que l'on peut ramener à l'étude d'un

processus stationnaire selon la méthode décrite au paragraphe 17.4 : En effet si G ( T) est la fonction de Green associée au système linéaire, on ,définit (formule 17.26) le processus stationnaire dépendant du paramètre (0 :

X(t,t n )

=

f

lO

G(T)F(/+/o-T)dT

[)

Une réalisation x(t, III) de X représente la réponse du système il un interval1e de temps (0 après le démarrage qui s'effectue il l'instant t. La fonction de corrélation P (0, ln) et la DSP 8(!, lo) sont données par: Ilol'oG(T\)G(T:!)PF(O+T 1

p(lJ,lO)

J()

Ju

T1)dT 1 dT z

2

8(f, lu)

I.:I) G (T) e- 1 i1Tf"r dT 1

=

1

=

IH(f,lll)I~8F(f)

(20.23)

8 F (f)

Pour caractériser complètement le processus X(t, t()) on peut calculer les fonctions d'intercorrélation et les DSPI entre les processus X (t, 10 ) et X (1. ln: ln) dT.,

- (20.24)

631

EXClTATION SISMIQUE DES STRUCTURES

En particulier la valeur moyenne du produit X (t , (0 ) X (t,

t~)

est donnée par:

On remarque que (T2(lo, IfJ) représente également la fonction de corrélation du processus Înstationnaire X(t,t n) définÎ à l'aide de (17.4): P (tn, lô) = E

{{Il

rIo dTl

Jo

G(Tl) F(tn - 'Tl) d'Tl

ID G(T

2)

F(t,) -

rt" G(Tt> G('TJ E {F(tn- TI) F(l n

Jo

'T 2 )

dT;!

":t)} d,,:!

On remarque enfin que si l'excitation est instationnaire de type séparable (20.21), on peut associer à la réponse, le processus stationnaire dépendant du paramètre t °:

T) F(t + 10

De la même façon que précédemment, la fonction de corrélation et la DSP de X (t, 10 ) sont données par:

p (8, to)

j

= {" {" G(T:) .a(to -

S(f, '0) =

1 Ha(f,

TI) G(T,) a(lo- T,) PF(8

+ TI

T,) dT I dT,

(0) 1 Sr(f)

(20.25) Si l'on considère un système à 1 DDL de pulsation propre Wo et d'amortisse~ ment réduit E, on peut définir pour Ha(f, (0 ) des coefficients « équivalents ») selon la méthode du paragraphe 17.4.3.

(20.26)

632

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

On obtient alors:

f

/O

-?

..,

- - cwu' 2( c alo -

T

) dT

o

r'O e -

CwUT

a (t()

- T) dT

jo

f

/O

A2(t o) =

e

-2eW()T

..,

a-(to - T) dT

()

(20.26bis)

---------2--~2--------

Wo

La variance de la réponse est donnée par une expression analogue à (17.36) :

~ 1.., c (to) lT-(t o) =? A-(to) Sf(fo) + ~ 2

-

m Wo

lT

., F

(20.27)

En conclusion, la caractérisation des processus instationnaires est nettement plus compliquée que celle des processus stationnaires. Elle implique évidemment l'identification d'un nombre beaucoup plus grand de paramètres. En ce qui concerne les mouvements sismiques du sol, une telle identification est donc illusoire, dans l'état actuelle des connaissances des mécanismes qui sont à l'origine de ces mouvements. En revanche il est nécessaire dans les modèles stochastiques simplifiés de représenter le caractère transitoire de l'excitation (durée finie T de la phase forte), qui conditionne directement les niveaux des réponses. C'est pour ces raisons que l'on a coutume de représenter les signaux sismiques à l'aide du modèle séparable a(t) F(t) décrit précédemment et de se ramener ainsi' à l'aide des formules (20.26) à une allalyse statio1lnaire. 20.5.3.

Considérations sur les maxima d'un processus

Les grandeurs qui vont être définies ci-après ne concernent pas exclusivement les processus stationnaires. Cependant pour en obtenir des expressions simples nous nous placerons toujours dans ce cas et de plus nous considèrerons souvent des processus gaussiens. Les formules ainsi obtenues pourront constituer des estimations approchées pour les processus sismiques qui nous intéressent. a) Nombre moyen de franchissements d'Lill seuil par unité de temps La fréquence moyenne de franchissement d'un seuil x m par un processus est donnée simplement à partir de la densité de probabilité conjointe p (x, .i, t) du processus (cf. réf. [54]).

633

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTURES

x(t)

t

Figure 20.16.

En fait il s'agit des franchissements à pente positive et négative. Pour un processus stationnaire un franchissement à pente positive sera accompagné toujours d'un franchissement à pente négative. La fréquence de dépassement du seuil sera donc:

D'autre part on considère généralement les dépassements d'un seuil en module. La fréquence moyenne correspondante est donnée pour un processus à moyenne nulle par: f(x m ) = 2 f+ (xm) = =

l.: (xm)

}+oo Iii p(Xm,x) di -00

x(tl Xm ~-----------&-------K------~-----

t

Figure 20.17.

634

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

Pour un processus Gaussien : 1.

----e

p(x,x)

-~- (~+~) Ir; aJ

7TfT1: fT i

D'après (17.12), a x et mn et m 2 • En posant r

fTi

s'expriment en fonction des moments spectraux on a:

(20.28)

En particulier le nombre de passages par zéro (nombre moyen de demi-cycles par ullité de temps) est:

f(O) = 2

J

l1h

--= mu

On retrouve ainsi la formule de Ricc (17.13). Remarqu.e: Dans le cas des processus à bande étroite, il est intéressant de considérer l'enveloppe (cf. § 17.5), on peut montrer d'une façon analogue à ce qui précède que la fréquence moyenne de dépassement de l'enveloppe est donnée par:

f,(r)

(20.29)

!far f(r)

8 étant la largeur de bande définie en (17.5) ô

(1 _ mi

)

If.!

mom'}.

t

Figure 20.18.

635

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTURES

Nous avons vu qu'un processus en bande étroite ressemblait à une sinusoïde modulée à basse fréquence. Les dépassements du seuil qui sont directement liés aux maxima ont donc tendance à se grouper. Le rapport ff «r » = e

r

fi.~

\j-; 6r

représente approximativement le nombre moyen

de maxima par groupe situés au-dessus du seuil r. On peut remarquer cependant que pour les grandes valeurs de r, tous les franchissements de l'enveloppe ne sont pas accompagnés de franchissements du processus lui-même. On peut uti1îser pour 110 la formule plus correcte: IlO

lir

(20.30)

b) Maximum absolu atteilll par WI processus dans lUI i11lerl'alle de temps

C'est la grandeur statistique qui nous intéresse en analyse sismique. On peut introduire tout d'abord la probabilité de non-dépassement d'un seuil x m (en module) par le processus dans l'intervalle de temps T: Soit W(x,,1' T).

:~

représente la densité de probabilité de dépassement dans J'intervalle

(T, T + dT). aW

aXm

représente la densité de probabilité que le maximum absolu dans

l'intervalle T soit situé entre x m et x m + dx m• Nous nous intéresserons essentiellement ici au maximum moyen dans l'intervalle T qui est donné par:

Toutes ces définitions sont valables pour des processus instationnaires. Pour un processus stationnaire on définira le facteur de pic en rapportant xm à l'écart type u du processus :

-la;) r aW(r, T) dr

/-L (T) - - CT

0

dr

(20.31)

Différents auteurs ont proposé des formules approchées par W et /-L, obtenues il partir de modèles de processus stationnaires plus ou moins simples. Nous décrivons ici le plus simple qui a Je mérite de mettre en évidence les groupements paramétriques essentiels du problème.

Modèle pOiSSOllllÎCll On peut tout d'abord supposer que les différents dépassements d'un seuil par le processus sont des événements indépendaflls les uns des autres; ceci s'applique à peu près à des processus à bande large.

636

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

Le taux de dépassement peut alors être considéré comme un processus de Poisson. La probabilité de Il dépassements dans l'intervalle Test: P (Il)

=e

[f (xm ) n!

- !(Im)T

Tr

f(xm} est la fréquence moyenne de dépassement définie en a). La probabilité de non dépassement est donc: W(xm,T)

p(O)

e-!(Im}T

f

d'où en utilisant (4.27) et en posant N = cycles dans l'intervalle T:

(0) T

nombre moyen de demi-

=

W(r, N)

(20.32)

(Remarque: W _ e- N, si r _ 0, normalement on doit avoir W = 0 pour r

= 0:

en fait la formule (20.32) ne s'applique bien que pour N En posant À = (2 Log N )112 on obtient également:

~

1).

(20.33) On reconnaît la loi asymptotique de Gumbel. Le facteur de pic est donné par: IL

aw

r-dr

(À)

ar

On peut également calculer la variance u;(À) du maximum absolu (rapporté à u) :

u;"l( À) = On peut expliciter J.L et développement limité : IL (À)

Uni

=À

1 (en posant 2 u

ff+

+a:> d

-d (e-

CD

-00

= r2 -

À

aw dr ar

")

IL-

dans le cas asymptotique N

-co

u;') + IL -") =

fa:>") r o

C -u

( )

U + -:;

1

À-

li

d cl (e -

-II C

") )(

u

À-

~

1 donc

2 U ) -1

2À'

+ 2 u) du

~.

J.L

(À)

'Y = À +À

=>

u;=À 2 +2y

'YI 2À3 "1

J.L-

"Ir

- 6

2

À2

du

À ~

1, par un

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTU RES

637

avec: du = constante d'Euler

)

li

-co

et "YI =

u

u dd (e- C-

'}' = f+CO

+CO ., d

f-co I rd-Il (e-

C

-Il

)

du

Finalement au premier ordre:

j.t

(N) = (2 Log N )113

1 meN) 0"

=

;6

(2 Log

(20.34)

Nt 112

Si l'on considère maintenant un processus à bande étroite, on peut considérer comme des événements poissonniens indépendants les dépassements de l'enveloppe du processus. Ceci conduit à remplacer dans les expressions précédentes f(xm) par fe(xlIJ selon (20.29). d'où: -

W(r, N) = e

en posant

si

À ~

À

J

- ., 'ft'

-

')

ïNlirc-r / -

(20.35)

[2Log (ffNÔ) Jin on a:

l IL (À) = À au premier ordre d'où:

En fait, comme nous l'avons déjà mentionné, le dépassement de l'enveloppe n'implique pas forcément un dépassement du processus, d'où une sous-évaluation de W donné par la formule (20.35). Vanmarcke (réf. [71]) propose une formule plus élaborée et recalée sur des simulations numériques:

W(r,N)=

(1 -

_~LOg2)

e -

e

(20.36)

638

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

La figure 20.19 ci-dessous illustre la validité des différentes expressions présentées pour la fonction W (r, N).

Cl Cl

N

z

QJ

c.. c: c.. oVl ...... 0

.~o c: ~

N

Il

t...

a..QJ

co

N

Cl

Cl

Figure 20.19a.

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTURES

w 0,8

639

N=200 Vanmarcke

_Poisson enveloppe

0,6

0,4

0,2

o~__~-=~~~~~~~~__~__~__~__~__~ s 1 1,8 3,4 2,6 4,2 r Figure 20.19h.

L'analyse est effectuée sur un signal de réponse d'un oscillateur harmonique d'amortissement E :::::: 0.01 ((5 = 0,11 ) à un bruit blanc. La figure 20.20 montre les résultats de simulations numériques en ce qui concerne le facteur de pic IL et l'écart type du maximum erm en fonction du nombre de demi-cycles N et de la largeur de bande S, toujours dans le cas du signal réponse d'un oscîllateur harmonique. Les courbes suivent sensiblement une loi: IL 2 = ILr;( D) + 2 Log N pour Nô ~ 1. La figure 20.21 précise la loi IL (ô) : On remarque que, pour N = quelques cycles et 8 ~ l, IL est de l'ordre de h, ce qui correspond au facteur de pic d'un signal sinusoïdal. L'évolution de l'écart type u 111 du maximum est représentée à la figure 20.22. er nt décroît lorsque ND augmente.

640

SOURCES D'EXCITATION AU~ATOIRES

II

0=0,36 6=0,25 0=0,16

3

0=0,11

2,6

6=0,08

2,2 1.B

N

1.4

102

10 Figure 20.20.

N=200

3,4

N=100

3 N=40

2,6 N=10

2,2 1,8

1,4

L-.....1--L.--L-L-l...-_ _' - - -____--'----'--------L-..L---fIiIII'-

10- 1

1 Figure 20.21.

641

EXCITATION SISMIQUE DES STRUcrURES

am

0,7 0,6

0=0,08

0,5

0=0,11

0,4

0=0,25

N

0,3

2

10

20

100 200

0,7 0,6 0,5

~-N=4 ---N=20

N=200

fi 0,3 L - - - L - - - - - - ' - - - - - - - - I J I I I I I I o o 0,05 0,2 0,5 0,1 Figure 20.22.

642

SOURCES J)'EXCITATION ALÉATOIRES

Remarque: Réponse d'ull oscillateur à 2 DDL

Les formules précédentes ont été établies à partir de modèles de processus fi large bande (bruit blanc) ou il bande étroite (réponse d'un oscillateur il 1 DDL). On peut se demander si elles s'appliquent correctement à des processus dont l'allure spectrale est notablement différente. Un cas typique d'un tel processus correspond à la réponse à un bruit blanc d'un système à 2 DDL en particulier quand les amortissements associés sont petits et quand les résonances sont éloignées rune de J'autre. La DSP est alors constituée de deux résonances étroites bien séparées de fréquences fI et l2' La largeur de bande est donnée dans le cas de deux oscillateurs de même amortissement ê et de même coefficient de participation, par:

(20.37)

8

(avec

a =

f~ - fI -ff
E


1).

1

Pour un a donné relativement petit devant 1, la figure 20.24 montre l'évolution du facteur de pic IL en fonction de la largeur de bande 8 pour différents nombres de demi-cycles (ici le nombre de demi-cycles est associé à la fréquence moyenne fI + f1). Nous observons que les lois de l'oscillateur simple s'appliquent assez bien au double oscillateur sauf dans Je cas des grands nombres de cycles (N a :p. l ) et pour les faibles valeurs de l'amortissement (E <: a 2). Dans ce cas en effet ô est voisin de a (8 a quand E 0) et le signal est constitué d'une somme de deux sinusoïdes de phase relative quasi-constante pour le nombre de cycles considéré (cf. figure 20.23). Le facteur de pic d'un tel signal est voisin de 2. -)0

-)0

..t 1

1...

1

NIX battements Fîgurc 20.23.

... 1

643

EXCIT ATTON SISMIQUE DES STRUCTU RES

N=200 N=100

3

2,6 /

/

/

/

N=40

/

N=10

2,2

1,8

/

/

/

Oscil. 2DOL (0(=0,1)

---

............. (Q(=O,2l

Oscil. 100L

fi

1,4

0,5

0,1 Figure 20.24.

20.5.4.

Amélioration de la prédiction des maxima à l'aide de ln méthode modale

Revenons maintenant aux méthodes d'analyse sismique proprement dites. Nous avons signalé au début de ce paragraphe les défauts de la méthode classique d'estimation du maximum de la réponse il l'aide de la combinaison quadratique des maxima des réponses modales obtenus il l'aide des SRO du mouvement du sol. En fait il y a deux causes d'erreur différentes: a) la première est due à la non-vérificalion de l'hypothèse de l'indépendance statistique des réponses modales dans le cas de deux modes de fréquences voisines. Cet effet s'observe facilement sur la variance de la réponse qui n'est pas dans cc cas la somme des varÎances de chaque réponse modale. Par exemple dans le cas d'une répollse statiol/naire à un bruit blanc unité d'un

644

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

système à N DDL, nous avons:

avec:

Ei ct CI étant respectivement les fréquences de résonances, amortissements réduits et coefficients de participation des modes).

(f;,

df

En posant: -"..----,,....,,...::...-----,,.-_ = variance associée au mode i

on montre, si les amortissements modaux ne sont pas trop différents les uns des autres que: (20.38)

si les modes sont

«

séparés ,) :

la contribution des termes croisés ij dans (20.38) est négligeable, la combinaison quadratique est valable : ~ (1"-

=

L' , c~a:-

1

1

i

-

sÎ les modes sont proches:

on ne peut pas négliger les termes croÎsés, qui représentent l'effet de corrélation des réponses modales. Par analogie avec (20.38) ROSCllblueth fi. proposé une expressÎon du maximum, tenant compte de la corrélation ,\ l'aide de termes croisés:

(20.39)

EXCITATION SISMIQUE DES STRUcrURES

645

Cette formule constitue donc une amélioration de la règle de combinaison quadratique. Les .tmi sont directement lus sur les S. R.O. du mouvement sismique: .tmi

S (fi' Ej)

Pour tenir compte du caractère transitoire de l'excitation sismique, l'amortissement est remplacé par un amortÎssement équivalent Ë, donné par exemple par la formule (17.38) :

(T étant la durée de l'excitation sismique). b) la deuxième cause d'erreur réside dans 1'« effet de facteur de pic» :

Considérons le cas d'un système bi-modal il résonances bien séparées, les termes croisés ne jouent pas de rôle: (20.38) ct (20.39) sc ramènent à des combinaisons quadrntiques simples. Cependant, si (20.38) est exacte, (20.39) suppose que le facteur de pic associé il chaque réponse modale, que l'on considère ft peu près constant d'une résonance il l'autre, soit également le même pour le signal réponse du système bi-modal. Or nous avons'vu précédemment que ce n'est pas le cas. En effet, si l'on suppose que j'on se trouve dans les conditions de stationnarité pour lesquelles les lois J.L = /(N, 8) de l'oscillateur à 1 DDL du poragraphe précédent s'appliquent, on n : J.l1

=f

( J BI) NI'

4

--;-

"1 ~f(N2' l:') p,=/(N,5)

avec D donné par (20.37) ct N voisin de NI ct Nz. Dans le ~onsidéré de deux pics bien séparés, fi est notablement plus grand que:

J4

E ,

rr

J.l est donc plus grand que J.lI et J.l,. -

On pcut donc s'attendre à cc que ln formule de Rosenblllcrh s'applique bien pour les couples de modcs il fréquences de résonances très voisines car l'effet des termes croisés est bien estimé ct ('allure '( quasi-monopic ,) du spectre du signal réponse fait que ln largeur de bande est peu modifiée et donc que "hypothèse sur le facteur de pic est valable, alors que dans le cas de pics distincts, elle conduise à une sous-estimation systématique du maximum de la réponse, d'autant plus grande que les amortissements sont petits. C'est cc que met cn évidence la figure 20.25, qui représente le rapport cntre le maximum J:m de la réponse estimé à l'aide de simulations numériques et le maximum l'mit estimé il l'aide de la formule de ROsè"bllleth, tracé en fonction du paramètre:

_ al"

-

=

/2

f,

ê t ft+t''J.l2

(ici les deux modes ont le même amortissement réduiL ct même coefficient de participation).

646

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

1,2 f 1=10Hz T=65 Ll=C2=1

- - E=O,005 ........... E=O,01 - - - - (:=0,05

_ . - E=0,1

1 -10

-8

-6

-4

0

-2

2

4

6

&12 Figure 20.25.

On observe que l'erreur peut dépasser 10 %. Dc plus, dans notre cas de la réponse d'un système Înitialement au repos, le caractère transitoÎre du signal joue un rôle important, lorsque le nombre de cycles décrits par l'un des deux, ou les deux oscillateurs, est inférieur à celui qu'il faut pour obtenir un régime stationnaire (N E

,

.~ =

,," .t.... ci i

(20.40) Le terme correctif:

1Ci

J Hi} s'exerce quand

Ci 1 Xml Xmi [ 1 - 1 +1

!P

l

(résonances séparées) et il cst toujours positif. H ij est une fonction de Ei ct el' des nombres de demi-cycles NI et Ni effectués par les deux oscillateurs durant l'excitation sismique et du rapport:

À il

=

1Ci '~mi l,

qui représente

CjXmj

l'importance relative des deux résonances dans la réponse. Par exemple, dans le cas de deux résonances de même amortissement e ct si l'un des oscillateurs atteint largement son régime établi, H est essentiellement N 2/N 1 = f 2 / f!. une fonction de E, de À ct de {3 Si {3 n'cst pas trop petit (ou trop grand), on peut représenter H par:

HI ct H 2 sont donnés pnr les abaques 20-26 (ici NI = 2 f 1 T = 120). On remarque une très forte augmentation de H quand N est de l'ordre de

647

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTURES

quelques demi-cycles (13 ~ 1), due au fait que les contributions de deux oscillateurs dans la formule (20.40) ont tendance fi s'ajouter « en module») quand leurs fréquences deviennent très différentes (H jj -- 1 si 13 -- 0).

0,6

0,4

0,2

o

1....--_ _L..----1_..l...-..L..-L-J......l-l-l

5

1

À.

10

0,6

0,4 - - - - - - - - E=O,05 ~---- E=O,01

0,2

- - - - - - - - - E=O,05 O~

________

L..-_ _ _ _ _ _..l...-_ _ _ _ _ _~

0,5 Figure 20.26.

648

20.5.5.

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

Calcul direct des spectres de plancher

Quand on doit calculer la tenue sismique d'une structure légère (s) fixée sur une structure porteuse (S) plus massive (ex. : composant fixé sur un plancher de bâtiment), on a besoin de connaître le SRO associé au mouvement de (S) au niveau des ancrages de (s), mouvement que l'on considère alors comme « source sismique») pour (s). Ce SRO est appelé « spectre de plancher )~. Si l'on effectue le calcul sismique de (S) à l'aide de la méthode classique on n'accède qu'au maximum de la réponse. Pour accéder au spectre de plancher on peut effectuer des calculs temporels de (S), ce qui pose un certaÎn nombre de problèmes qui seront abordés au paragraphe 20.6. On peut éviter de tels calculs en utilisant les considérations des paragraphes 20.2 et 20.3. En effet si l'on reprend la représentation du signal sismique à raide d'utl processus ,séparable, la formule (20.24) nous permet d'obtenir directement les caractéristiques spectrales de la réponse de (S) au cours du temps. Pour passer de ces caractéristiques aux SRO de la réponse, ce qui correspond au passage d'une variance à un maximum moyen, on utilisera les considérations sur le facteur de pic du paragraphe 20.5.3, Il faut également noter que la donnée du mouvement du sol étant les SRO, la première étape consiste à en déduire les caractéristiques du processus séparable. Examinons d'une façon plus détaillée les différentes étapes de la méthode: a) Passage des SRO de l'accélération l' (t) du sol, allx caractéristiques du processus séparable associé

Le séisme est donné par les SRO : S(f, e). Le processus séparable associé est caractérisé par; FU)

a(t)F(t)

a(t) est une enveloppe déterministe de forme standard, elle conditionne en fait la

durée T de l'excitation sismique. F(/) est un processus stationnaire de DSP SF(f), Pour déduire SF(f) et T des S(f, E), on utilise la propriété (démontrée en 20.3.3a) que le module de la transformée de Fourier F(f) de r(t) est voisin du SRO en pseudo-vitesse pour E :::: 0, ceci étant en fait il prendre au sens d'une moyenne quadratique: S;v(f, 0) = E [F(f)l] T

E[F(f)2] =

T

r r a(t) aU') E[F(t) F(t')] e-

Jo Jo

T

=

11' Jor a(t) a(t + T) Il

PF( T)

2i

-:rf(t-t'}

e- 2i -:rf r dt dT

dt dl'

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTURES

649

Comme a (t) est lentement variable devant F (t) :

(20.41 ) (A (u) étant une enveloppe normalisée standard définie dans l'intervalle [0, ID. D'autre part, on peut établir une autre relation entre T et Sr(f) en utilisant ce que l'on sait sur les facteurs de pic, qui comme on l'a vu au paragraphe 20.5.3, sont directement liés à la durée T du signal. En effet, on connaît le maximum moyen de la réponse d'un oscillateur de fréquence de résonance fo et d'amortÎssement e: S (f!), e) et on peut calculer d'autre part la valeur quadratique moyenne cr (fo, ë) de cette même réponse (considérée à la fin de l'excitation) à l'aide de la formule (20.27) appliquée au = T. temps En supposant que l'oscillateur a atteint un régime quasi-stationnaire à la fin de l'excitation, on peut appliquer les abaques du paragraphe 20.5.3. On a alors:

'0

S(fo, E) - - - = J.L (No, E) cr (fn, E)

avec

No

2 fo T

(20.42)

(20.41) et (20.42) permettent de déterminer T et Sr(f). b) Calcul de la DSP de la répollse

Connaissant Tet SF on peut obtenir la DSP de la réponse du système à raide de la formule (20.25) : (20.43) avec:

La fonction de Green G (r, T) qui représente la réponse au excitation sismique impulsive unitaire, peut être représentée par contributions modales. Soient Xi (r), fi' Ci et Ci les déformées modales, fréquences amortissements réduits et coefficients de participation associés à Nous pouvons écrire:

point r à une une somme de de résonance, chaque mode.

(20.44) Les Haî (f, t () correspondent aux fonctions Ha des oscmateurs modaux définis par les expressions (20.26) et (20.26bis).

650

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

Remarque: (20.43) et (20.44) conduisent à exprimer SR sous la forme d'une combinaison quadratique de contributions modales, où interviennent des termes croisés (interaction entre modes). L'intégration de SR dans le domaine fréquentiel donne une expression de la variance a~ de la réponse dont la forme est analogue à celIe de Rosenblucrh (20.39). c) DéterminatÎon des SRO de plancher (réf. [72]) On effectue une démarche inverse de celle de a) en utilisant les expressions (20.41) et (20.42). Il faut donc associer au processus réponse défini par la DSP SJl(r, f, 10 ) un processus séparable. On peut procéder de la façon suivante: a

R (r,

t())

fournit une enveloppe de ce processus

Amortissement: 0,01 0,02 D,OS

0,10

0,20

____ Intégration directe (moyenne de 10 spectres) _____ Spectre synthétique

.L..J..-_---'-----L--'-~

10-2 10-1

L . - - _ - ' - - - - ' - - - L - J ' - - ' -.............-'--_-L...----'--'---'--'-.............

...............___'

10

Fréquence Spectre d'oscillateurs (spectre de sol) Figure 20.27.

102

651

EXCITATION SISMIQUE DES STRUcrURES

On choisit pour DSP Sn(r, J, (max), tmax étant le temps pour lequel ait est maximale. Pour illustrer la validité de cette méthode on part de 10 réalisations temporelles (signaux synthétiques) ajustées pour avoir un SRO voisin d'une forme standard (Regulatory Guide) (cf. § 20.5.6). La figure 20.27 illustre la précision de cet ajustement. Les courbes en traits pointillés représentent les SRO du Regulatory Guide ; les courbes en traits pleins sont obtenues par moyenne des SRO des 10 réalisations (les calculs étant effectués par intégration directe en temps). Sur la figure 20.28 on compare les SRO de plancher moyen obtenus à l'aide d'une intégration en temps effectuée à partir des 10 réalisations (courbes en traits

Amortissement: 0,01 0,02 0,05

10

0,10

0,20

_ _ _ Intégration directe (moyenne de 10 spectres) _____ Spectre synthétique Structure support Fréquente: O,67Hz Amortissement: 5%

10-1~__~~~~~~__~~~~~~__~~~~~~

10-1

10

Fréquence Figure 20.28a.

10 2

652

SOURCES D'EXCITATION ALÊATOIRES

AmDrtiss~m~nt

D,Dl

0,02

:

D,OS

0,10

0,20

Structure

Fniqm!hee; 3H2 Amortissement: 5%

_ _ _ InlugrlltirJl1 directe Imoyenne dl! 10 spectres) _____ Spectre synl hél ique

Cl.!

VI

III al

';: o

-0

Structure Fr~quenee:

15Hz Amortissement: 5%

:1

al III CI..

Amortissement:

0,01

0,02

0,05

0,10

0,20

_ _ _ Intégration directe Imoyerllil! dl" 10 spl!clresl _____ Spectre synthétique

Figure 20.28b ct c.

pleins) et ceux obtenus directement à partir du Regulatory Guide à l'aide de la méthode décrite précédemment (courbes en pointillés). Chaque graphe correspond à une structure support (S) à mode unique pour différentes valeurs de sa fréquence de résonance.

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTURES

20.5.6.

653

Création de signaux sismiques synthétiques

Pour certaines applications, l'ingénieur a besoin d'une représentation temporelle du mouvement du sol: - c'est obligatoire pour les analyses sismiques expérimentales (mouvement ü imposer à une table vibrante), c'est presque toujours indispensable quand le comportement de la structure à étudier est franchement non linéaire, - cela peut être moins coûteux dans le cas de structures linéaires à forte densité modale. Nous avons évoqué au début du chapitre les tentatives faites actuellement pour calculer le mouvement sismique du sol il l'aide d'une modélisation fine du mécanisme source au niveau de la faille et de la propagntion des ondes dans des milieux complexes. Cette façon de fabriquer des signaux sismiques est certainement la meilleure puisqu'eHe a le souci de donner une représentation fidèle des phénomènes physiques. Pratiquement, malgré les inconnues du problème (caractéristîques des failles. structures des sols ... ) elle peut être très utile pour orienter le choix des processus aléatoires associés au mouvement du sol en surface, selon des critères plus physiques. Cependant, dans la pratique actueHe, la donnée sismique est imposée il l'ingénieur sous la forme d'un ensemble de SRO réglementaires. Son problème est donc de définir un processus aléatoire lui permettant d'obtenir les réalisations temporelles cont il a besoin, qui s'ajllste sur ces SRO réglementaires. Il existe plusîeurs méthodes pour cela dans la littérature. Décrivons la plus couramment utilisée.

Méthode des sùwsol'des cl phase nlémoire (réf. P4]) La donnée est donc les SRO : S (f, 8). Généralement l'ajustement est effectué sur un SRO de f. donné, bien que rien n'empêche d'effectuer un ajustement simultané sur plusieurs spectres. Le modèle aléatoire utilisé est, comme précédemment, un modèle séparable:

ru)

= net) F(t)

(20.45)

F(t) est ici un processus stationnaire formé d'une somme de sinusoïdes d'amplitudes Ai déterministes et de phases aléatoires 'Pi équiréparties dans l'intervalle (- 7T, 7T ). N

F(t}= LA/sin (21Tfi1+'Pd

(20.46)

i= 1

Les fi sont un ensemble de fréquences discrètes décrivant la gamme qui intéresse l'ingénieur. Pratiquement on prend souvent fi

i

Âf

avec

Âf

~ . D'après

le théorème

654

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

de Shannon Je signal temporel sera représenté de 0 à T avec un pas en temps 1 T = 'J f (2 N pas de temps). -

N

Remarque .. On peut également utiliser pour les hautes fréquences un maillage logarithmiquement constant (tl.fi/ fi = Cte). Pratiquement, le problème est donc de déterminer T et les Ai à partir de la donnée des SRO. Il s'agit en fait du même problème qu'au paragraphe précédent (sous-§ Les expressions (20.41) et (20.42) nous permettent de déduire des SRO, une enveloppe a(t) et une DSP de F(l): BF(f). La connaissance de Br(f) nous permet de déterminer les Ai' En effet: la fonction de corrélation de F(I) est:

a».

P ( T)

1

= E { ~ Ai A j rcos [2 7T t (fi +

f j)

+2

7T f j T

+

({J i

+

({J i

]

IJ

+ cos [2 7Tt(fi - fi) - 2 7Tfj T + ({Ji - ({Jj]]) Comme les tirages des variables ({Ji sont indépendants et équirépartis sur l'intervalle ( - 7T, + 17'), les termes croisés i, j disparaissent et nous avons: 1 ") -? "t.... A-;j cos 2 7Tf·1

P (T)

-

T

i

La DSP correspondante est une fonction décrite en fréquence avec le pas

~

(cf. § 17.3) : (20.47)

Les réalisations temporelles utilisées dans l'exemple du paragraphe précédent sont effectuées à l'aide de cette méthode. La figure 20.27 illustre rajustement des SRO du processus numérique sur les SRO standard de départ (Regulatory Guide). La figure 20.29 donne l'allure temporelle d'une réalisation. III

1

1

1

1

1

1

81-

Signal synthétique

correspondant au spectre NRC (1g), Ajustement sur le spectre à 24%.

4

oI-H 1I-+lII--lI'IIIL+-lI+-llI-+

-

-4

-

-

-

-8 1

o

1

2

1

4

1

1

6

Temps (sec.) Figure 20.29.

1

1

8

10

EXCIT ATION SISMIQUE DES STRUCrURES

655

Remarque importante sur l'utilisation des méthodes d'analyse temporelle directe Le calcul de la réponse sismique d'un système mécanique par la méthode d'intégration temporelle pose le problème suivant: Un calcul temporel est en fait une réaHsation du processus ( réponse du système». Souvent on ne considère que le maximum absolu atteint. Un calcul temporel fournit donc une seule réalisation de la variable aléatoire: « maximum de la réponse )). En faÏt l'ingénieur a besoin du maximum moyen et éventuellement de l'écart type du maximum. Pour cela il faut effectuer plusieurs calculs, en assez grand nombre pour obtenir une précision statistique suffisante. Pour limiter le nombre de calculs, il peut être intéressant dans le cas des systèmes linéaires de s'aider des modèles et simulations du paragraphe 20.5.3. Certains auteurs proposent également une analyse statistique plus complète du signal réponse; c'est-il-dire d'utiliser en plus de l'information du maximum absolu, celle dés maxima partiels (2C , 3e , ... maximum), en excluant les maxima trop voisins appartenant à un même groupe et donc complètement corrélés les uns aux autres. Dans le cas de systèmes non linéaires, quasiment aucune étude n'a été faite sur le sujet.

20.6.

DESCRIPTION DES DIFFÉRENTES ÉTAPES DE V ANALYSE SISMIQUE D'UNE INSTALLATION INDUSTRIELLE

Bien que nous nous limitons volontairement dans le cadre de cet ouvrage, il l'aspect source d'excitation associée aux mouvements sismiques, il nous semble utile, en conclusion, de présenter les principales étapes de l'analyse sismique d'une installation industrielle en partant du sol et en arrivant jusqu'aux dernières super-structures. Cette présentation nous permettra de signaler au lecteur les problèmes spécifiques que pose l'analyse sismique et dont nous n'avons pas encore parlé; interaction sol-fondation, structures multi-supportées, etc ... L'exemple qui nous servîra d'illustration est une centrale nucléaire du type ({ à eau pressurisée ». 20.6.1.

Interaction

sol~fondation

Considérons une installation bâtie sur une fondation, elle-même connectée au sol. Jusqu'à présent nous avons implicitement supposé que lors du séisme cette fondation était animée d'un mouvement d'ensemble identique à celui de la surface du sol en l'absence de fondation. Cette hypothèse ne s'applique généralement pas. En effet:

656

SOURCES D'EXCITATION ALËATOIRES

- duns le cas des fondations dont les dimensions sont de l'ordre des longueurs d'onde sismique, on ne peut pus définir un mouvement d'ensemble du sol. Selon que le radier est rigide ou souple pur rapport au sol environnant, celui-ci modifie ou modifie peu le mouvement du sol en champ libre; - duns le cas plus simple et courant où les fondations ont des dimensions petites devant les longueurs d'onde sismique, on peut définir un mouvement de sol unique. Cependant la fondation n'a pas de raison de suivre ce mouvement du fait en particulier de la masse de la structure qu'elle supporte. Les théories de l'interaction sol-fondation visent donc il résoudre ces problèmes et en particulier permettent de préciser: - la façon d'introduire la source sismique dans une modélisation du problème, - la façon dont la présence du sol proche modifie les caractéristiques de la répDnse dynamique de la structure. il) Une méthode générale

En toute rigueur, si l'on voulait traiter correctement le problème, il faudrait calculer l'ensemble du sol et de la structure excité par la source sismique là où elle a pris naissance. Ce problème est trop compliqué, et de plus on connaît mal la source, comme nous J'nvons déjà dit.

Figure 20.30.

En fait comme le sol a un comportement linéaire (sauf au niveau de la source et éventuellement au voisinage de la fondation) on peut toujours considérer une surface (.l') englobant la zone proche de la fondation et résoudre le problème en deux temps.

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTURES

657

a)

V/ / . ~ ",-y ~-----'\I ~J t Wtr)(f)

S..

.

(X) Figure 20.31.

cr

1 temps: on résout le problème (a) de la réponse du sol auquel on a enlevé la zone proche, d'une part à un ensemble de forces exercées sur (!) pour obtenir un opérateur d'impédance A faisant passer du champ quelconque des forces exercées sur (..r) au champ correspondant des déplacements x sur (.!):

x

f

Af

(Les techniques de résolution par méthode intégrale sont bien adaptées il la détermination de A). - d'autre part à la source sismique pour obtenir le champ dc~ déplacements x sur (!):

x=c En fait si l'on résout le problème (al) du sol en champ libre et si l'on appelle '\'1 et fi les champs des déplacements et des efforts obtenus sur une surface fictive (.!), on a: XI

= Ail

+ C => C

=

Figure 20,32.

X1

AIl

658

SOURCES D'EXClTATION ALÉATOIRES

et f, constituent alors la donnée de la source sismique et peuvent se déduire de la connaissance du mouvement local du sol.

Xl

2<: temps: la solution recherchée est celle du problème (b) où l'on impose à la frontière (.~) du domaine la relation d'impédance avec source: X

= A(f - fi)

+X1

X=A(f-f 1)+X 1 Figure 20.33.

On peut par exemple utiliser la méthode des éléments finis, tenir compte d'éventuelles non linéarités du sol au voisinage du radier, etc ... b) Simplification de la source sismique: méthode de la

«

table vibrante»

Souvent on simplifie la source sismique en supposant que l'excitation est produite par le mouvement Xo d'un substratum rigide (ce substratum peut être physique si l'on a une couche très dure à une certaine profondeur ou arbitraire; dans ce cas il doit être placé suffisamment loin de la fondation). Cette hypothèse s'applique quand les dimensions des fondations sont petites devant les longueurs d'onde sismique et que les ondes sismiques sont essentiellement à propagation verticale. Le, problème (a,) est alors monodimensionnel et x, et fI sur (2:) ainsi que Xu peuvent être déduits facilement du mouvement du sol à la surface Xs qui est la donnée classique du séisme ((< déconvolution »).

Xs IL)

1 ([)

1

~S;~S;//~//~///S7~ Xo

Figure 20.34.

ExcrTATION SISMIQUE DES STRUcrURES

659

c) Méthode simplifiée des impédances Le problème précédent peut être, dans le cas où le sol a un comportement linéaire, considéré comme la superposition de deux problèmes:

+ Fixe (0)

111

(2)

Figure 20.35.

En effet on écrit formellement le problème sous la forme: Mf + Ci + Kx = - M.tf)

x étant le déplacement relatif du système sol-installation. On peut mettre x sous la forme d'une somme de deux tennes:

Xl

et x:! vérifiant respectivement les équations formelles: (20.48)

et (20.49) Xl est le mouvement relatif par rapport au substratum si l'on ne considère pas 1<1 masse de la structure. X10 est la valeur particulière de x, au niveau de la fondation. On l'appelle « interaction cinématique )). X2 est le mouvement additionnel dû à l'inertie de la structure (( interaction inertielle »). Finalement le problème est résolu dans la pratique et pour des radiers rigides en trois étapes :

- calcul de J'interaction cinématique (20.48). Dans le cas d'une fondation superficielle XIO + Xo est le mouvement du sol en surface Xs en champ libre qui est notre donnée. - calcul des impédances de fondation: dans le cas d'une fondation rigide, la partie « sol }) dans le l cr membre de l'équation (20.49) peut être représentée par une matrice d'Împédance faisant passer du torseur des efforts et moments exercés par le sol sur le radier, au torseur des mouvements de translation et rotation de ce dernier (remarque: il s'agit en fait d'une expression limitée aux mouvements de corps solide de l'opérateur A défini précédemment, la surface (2:) étant ici celle du radier).

660

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

Puisque les longueurs d'onde sismique sont grandes devant les dimensions du radier, la matrice d'impédance se compose d'une partie raideur Kr et d'une partie amortissement visqueux CI traduisant la dissipation il l'infini des ondes issues du mouvement de l'installation. La partie raideur quant il elle modifie les résonances de la structure (par rapport à une base parfaitement encastrée), en particulier dans le cas de sols pas trop durs et pour les bâtiments assez rigides que l'on rencontre dans l'industrie nucléaire. II existe des abaques pour les KI et les CI dans le cas de sols homogènes, à couches, et pour des fondations superficielles. - calcul de l'installation muni des raideurs et amortisseurs de sol sous l'effet de la force d'inertie - Mill~l. (.-r1O + .\'{), selon les méthodes classiques de l'analyse sismique.

Installation

Figure 20.36.

Exemple de calcul des coefficients d'impédance pour un sol homogène et une fondation circulaire de rayon R. On pose: À =

wR

(cs = vitesse des ondes de cisaillement dans le sol)

Cs

Les coefficients d'impédance sont mis sous la forme:

Les

Ks,aliquc

sont donnés par:

raidellr l'crticale : rai deur hod zontal e :

Kv = 4 GR j (l Jl ) Kil = 8 GRj(2 - Il)

raideurcll rotlllÎon: rai deur de couplage transl at; on 110 ri zontal e-rotati Oll

KI{ :

8 GR J j3(l - JJ)

661

EXCITATION SISMIQUE DES STRUcrURES

avec: G = module de cisaillement du sol { IJ = coefficient de Poisson du sol La figure 20.37 donne l'évolution de k et c pour les différents types de mouvements. en fonction de À (réf. POg]).

1

kh 0,8 Ch

0,6

kv kR

0,4

CR

0,2

° 20.6.2.

Interaction

1

2

3

4

Figure 20.37. ~{système-sous-système >~

Pour effectuer le calcul de l'installation munie de ses impédances de sol, on procède en fait en plusieurs étapes.

662

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

En effet, une installation industrielle est un ensemble complexe qui comprend: les bâtiments, les gros composants (par exemple: cuve, générateur de vapeur, etc ... pour les centrales nucléaires), les composants secondaires et les tuyauteries. On ne peut pas réaliser un modèle unique représentant les détails de toutes ces structures. On effectue donc tout d'abord un calcul d'ensemble des bâtiments el des gros composants représentés par leurs masses. Ce calcul fournit des spectres de plancher (cf. §§ précédents) qui sont ensuite utilisés comme source d'excitation dans un calcul plus fin des gros composants. De même, le calcul des gros composants fournit des spectres aux « piquages» utilisés comme source d'excitation dans un calcul des composants secondaires et des tuyauteries. U ne telle méthode suppose en fait que la réponse de la structure « portée )) (sous-système) n'ait pas d'interaction, c'est-à-dire ne modifie pas la réponse de la structure « porteuse}) (système), au niveau des points d'ancrage. Ceci n'est pas toujours vrai et si la réponse du système n'est pas globalement mal estimée par cette méthode, celle du sous-système en est notablement affectée. Précisons d'une façon plus quantitative ses conditions d'application. Représentons le système et le sous-système par deux oscillateurs à 1 DDL comme l'indique la figure 20.38.

'-1--"""",",

"Sous-système"

"Système"

f

D(t)

Figure 20.38

663

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTURES

Soit: et :

$~

{k = \lm

w

1

W

o la pulsation propre du système, ' son amortissement réduit,

la pulsation propre du sous-système et

E

son amortissement réduit

(supposé identique à celui du système). Nous supposons que le rapport des masses: 4 a 2 = m/M est petit devant 1. Dans ce cas l'interaction entre les 2 oscillateurs n'est importante que si w () et w 1 sont voisines. Nous poserons donc: w 1 = w()(1 + li) avec 11 <€ 1. Les équations du mouvement des 2 oscillateurs couplés sous l'effet d'une accélération sismique "Y sont (en transfonnée de Fourier) :

(- w

2

+ 2 iw WI) e + wJ) X

2

- a [(2 iwwo e(1 + u) + wMl + uf)] x = - l'

1

[- w 2 +

2 iwwo e(1 + l~) + w(î(l +

ll)2].X = -

y

+

2

w X

X étant le déplacement relatif de la structure

x étant le déplacement de la sous-structure relatif à la structure. En développant au premier ordre en : n = ~ - 1 on a : w/)

l

+iE)X-2o:2x=_~

(_n

-

2

~+

(-

n + ie +

Il) X

=-

W(î

2

l' 2 W II

Les carrés du module de X et x sont donnés par:

(20.50)

Si maintenant on adopte l'hypothèse de découplage système-sous-système, les déplacements X o et Xo des oscillateurs sont: "Y - 2 w~

n

+ ie -

X o - l' /wJ

2 (En solidarisant la masse d'où: 1 X{) 1 2

==

ni

x

I ol

2

=

1

-

n + ie + u

de la masse M pour le calcul du premier oscillateur.)

(_1'w,î_) ~ 2

a 2

(n

+

1 0:

(4:J)2 [(n+o:2f+e2~[(n-llf-+E2]

(20.51)

664

SOURCES D'EXCITATION ALÊATOIRES

Examinons les maxima de -

si

E

Ixl2

et

Ixo/2.

On peut distinguer deux cas:

est assez grand: >-

11

1

a-+

2

4

et

(20.52)

82

>- ( li

~a

2 ) 2

Les fonctions de transfert en il ont un seul pic pour: il Il -

=!!.. pour l'une et 2

a:!

il = ~ pour l'autre.

Le rapport des maxima est donné par:

R

=

1x 1

mil~

4 4

=

1x{) 1m"~

E

2

E2

+ (li + a 2 f + 4 a 2 + u2

Compte tenu des conditions (20.52) R reste toujours de l'ordre de 1. -

si

8

est petit: ~

<:

li:!

a-+"'4

(20.53)

et E2

<:

(

li

~a

2 ) 2

Les [onctions de transfert en il présentent deux pics pour: pour l'une et pour l'autre Le rapport des maxima est donné par: x

~

1

l R=~=

l •x0 1 max

u+a-

",I /

2

+4

a

2

Si a <:' Il, R est de J'ordre de 1, mais si a ~ /1, R ~ 1. Ceci veut dire J'hypothèse du découplage conduit à une importallle surest;mati01l du niveau de la rép01lse du sOlls-système si le rapport des masses

~ est relativement grand devant le carré de la différel1ce relative des fréquences de résonances du système et du sous-système, ainsi que devant le carré de l'amortissement. On a donc ainsi un crÎtère pour choisir soit d'inclure le sous-système dans le calcul du système porteur, soit d'effectuer un calcul de la réponse selon l'hypothèse du découplage.

EXCITATION SISMIQUE DES STRUcrURES

20.6.3.

665

Structures fixées en plusieurs points

Certaines structures comme les tuyauteries peuvent être ancrées sur des composants dont les mouvements sont différents. La donnée sismique est alors plus complexe car elle ne consiste plus en un seul mouvement auquel on associe une force inertielle répartie en se plaçant dans le repère relatif, mais plusieurs mouvements qui peuvent être plus ou moins corrélés entre eux. Un premier problème est de savoir expliciter J'excitation en terme d'efforts en distinguant maintenant des efforts d'inertie et des efforts dus aux mouvements différentiels. Pour cela, on peut reprendre l'idée exposée lors du chapitre 9 de lu première partie sur la sous-structuration, d'utiliser un ensemble de solutions statiques. Nous avons recours ici au formalisme des .;< déplacements bloqués ) avec les mêmes notations qu'au chapitre 9. Les points de liaison sont les points où l'on impose le mouvement sismique XL' Soient IL les efforts aux liaisons et K L les raideurs de liaisons. Les équations de la structure sont:

IL Px) + IL = 0

JKx + Mi = -

1Kdx

L -

pT

(P = matrice de restriction des DDL aux liaisons), d'où: KI X

+ M.i =

pT

Kt XL

(20.53)

avec:

KI = K + pl' KLP On définit la matrice des solutions statiques U teHe que:

Physiquement la colonne i de U représente le vecteur déplacement du fait d'un déplacement unité imposé à la liaison i. On écrit le déplacement x (1) de la structure sous la forme: X(1) = Uxdt) +xn(t)

(20.54)

En remplaçant dans (20.53) on obtient l'équation que doit vérifier le déplacement « relatif») x'R (1) : (20.55) Physiquement cela veut dire que xlt est la réponse de la structure bloquée aux points de liaisons, au chargement inertiel - MU_fL • (20.54) et (20.55) se résolvent classiquement si l'on a adopté Ja méthode d'intégration temporelle.

666

SOURCES D'EXCITATION ALÉATOIRES

Un deuxième problème se pose si l'on a choisi l'approche modale. En effet, au paragraphe 20.3.5, nous avons décrit une méthode pour obtenir les spectres de plancher (ou aux piquages). Dans le cas d'une structure fixée en plusieurs points, cette donnée n'est pas suffisante car elle n'inclut pas la corrélation des mouvements aux piquages entre eux. Théoriquement on pourrait obtenir cette information en calculant selon la méthode du paragraphe 20.3.5, les DSPI entre les différents piquages: SR (r;, ri' f, 11)' Dans la pratique courante, on utilise la méthode beaucoup plus fruste dite du « spectre enveloppe)} : - la partie inertielle XR (t) est calculée en imposant à l'ensemble des ancrages le même mouvement caractérisé par le spectre enveloppe des différents spectres de plancher. - la partie quasi-statique UXL (t) est estimée en imposant des déplacements différentiels statiques correspondant aux maxima des différences des XL au cours du temps. On peut noter que cette méthode n'est pas toujours conservative. 20.6.4.

Résumé des différentes phases d'un calcul sismique

Nous n'avons pas développé ici les aspects particuliers liés à l'analyse sismique non linéaires (chocs et frottements aux liaisons, ductilité des matériaux, dispositifs d'isolation par patins, décollement de radier, etc.). Notons simplement que deux approches sont possibles: - une approche complètement temporelle: le problème de la non-linéarité se réduit alors au fait d'établir une bonne « loi de comportement )l, avec la difficulté déjà mentionnée d'acquérir une « statistique» suffisante de la réponse à l'aide de plusieurs calculs; - une approche à l'aide de modèles linéaires équivalents, bâtis soit à partir de sirnul~tions numériques, soit à l'aide de techniques particulières de linéarisation stochastique. Nous n'avons pas parlé non plus de l'aspect règles de dimensionnement ». Dans la pratique, les chargements sismiques sont cumulés aux autres changements (poids, pressÎon, thermique, etc.) et le dimensionnement est effectué selon les règles classiques (ASME par exemple). En fait, ce sont les maxima temporels des charges exercées cn statique qui sont considérés, ce qui peut conduire dans certains cas à un conservatisme excessif. Actuellement, des méthodes de correction des effets dynamiques commencent à être utilisées. La figure 20.39 ci-après résume l'ensemble de la démarche d'une analyse sismique d'un bâtiment réacteur d'une centrale nucléaire « à eau sous pression n. «(

EXCITATION SISMIQUE DES STRUCTURES

~ " \ DEFINITIO~DU SEISME INTERACTION SOL-FONDATION - ressorts et amortisseurs de sol décallemen~ du

- non linéarité de sol -

radier

ij 1 MOUVEMENT

DU RADIER 1

CALCUL DES BATIMENTS

CALCUL DES COMPOSANTS PRINCIPAUX

- non linéarités (chocs - flambage - ductilitél

CALCUL DES COMPOSANTS SECONDAIRES ET DES TUYAUTERIES - structures fixées en plusieurs pDints - non linéarités de support - ductilité

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