Traitement numérique du signal : Théorie et pratique 8e édition

~ =

t)

0; dans ce cas il suffit

1.8 ~chantillonnage de signaux

29

Sl l'on ajoute aux trois signaux sinusoldaux de 1a figure 1.8, Ie signal eontinu de v!i1eur 1 et Ie signal 'it 1a frequenee 112 d'amplitude 1 qui s'eeri! : cos (m). FechantlllQnnage de cette somrne donne des valeurs hulles sauf aux instants- multiple~de 8, ou 1a valeur 8 esl"btenue, conune 1e moalre 1a figure 1.9.a·. Le .spe~tre de eette somme est obtenu direetement en appliquant 1" relation : 1

11 est forme de raies d'amp1itude 1 aux frequenees multiples de 118 (fig. 1.9.b). Ou ce spectre a ete etudle au paragraphe 1.2, et l'on peut constater que 1a relation (1,27') se trouve verifiee. La possibilite d'engendrer une gamme de sighaux s-inuso'L'daux a partir dlun ensemblt; limite de nombres, stockes par exemple dans une me-moire, est utilisee dans les synthetiseurs de frequence numeriques. A

8

------------------------------

2

o

2

5

3

6

7

B

t

.1

:t-rr-r-T-T-T-T-] , o

1

1

8

bl FIG. 1.9.. a)

,o

.'••"•

tchantillonnage du signal s(t)

=

1 +2

f.

/1-=

h)

1

cos (27r

~~ t) + cos (m),

Spectre correspondani

•

],

•o o o

•

1,8.2 Signaux ah~atoires discrets

'
S

] Si 1e signal a1eatoire set) est eehantillonne avec 1a periode supposee Unitaire :; T = l,.il en resu1te un signal a1eatoire disc ret s(n.), qui a par definition I. meme 10i de probabilite de l'amplitude. Les resultats obtenus dans 1e cas. continu se transpo~

sent au cas discret, en particulier pour les signaux aleatoires stationnaires du

second ordre ergocliques [5].

1 • La nUmeration du signal. tchantiJlonnage et codage

30

Ainsi la fonctioJl d'auto-correlation du signai discret s (n ) est la suite r(n) telle que :

r(n) ~ E [sri ) .s(i - n)J

(1.58)

C'est un echantillonnage de la fonction d'auto-correlation r:u (~) du signal aleatoire continu definie par l'expression (1.34) . Sa transfortnee de Fourier donne la densite spectrale energetique if>,(t) du signal discret, qui est liee a la densite spectrale if>u(f) du signal continu par une relation analogue a (1.55), c'est-a-dire :

(1.59) Si la frequence d'6chantillonnage n'a pa~. une vale:l!lr suffisante, au::si Ie spectre

if>" U) s'etend sur un do maine non borne, il y arepliernent. L' hypothese d'ergodicite. pour Ie signal discret s (n) conduit a la relation: .

1

r(n ) ~ hm 2N N---t'D

:N

+

1

L i=- :N

(1.6Q)

sri) s(i- n).

Cette relation pertne.t.d'llppliquer la notion de ionction d'auto-correlation allX signaux deterministes. Ainsi, pour un signal periodique et de perfode. No, la fonction d1auto-correlation est la 'Suite .r (n) definie par: 1

No-1

r (n)~ -N

o

L

(1.61)

s(i)s (i-n)

i =O

C'est une suite periodique et de meme perioqe, E:remp.le .:

sen)

~ Asin (2" ~J

ren) ~

(i) N1o "hi .2... A2 sin 2" N 1=0 0

r(n) ~

A2cos (2" No71 ) ""2

(

sin 2"

i-n)

N' 0

On ,etrouve bien la puissance du sig)1al pour r (0) et la perioclicite No. Un signal aleatoire discret peut allssi eire defini en tant que tel. Par exemple si la suite r(n) s'annule pour n 0, Ie signal s (n) est un bruit blanc discret dont la

*

densite spectrale est constante sur l'intervalle de frequence [-

~, ~

1

Ce signal a

une realite physique, c'est une suite de variables aJeatoires non correlees; pour l'ob"tenir 11 suffit de faire appel a un algorithme qUi fournit des nombres statistique.ment independants. .

1.8 ~chantillonnage de signaux

31

1.8.3 Generation d'un bruit discret La generation de nombres aleatoires figure generalement au catalo.gue des fonc.tions des l.::a1cuJateurs scientifiques. 11 est ainsi possible en 10giciel de former une suite de nombres, utilisable comme signal de test en traitement nume-ri que. Au paragraphe 1.S.1 on a montre qu'il est particulierement simple de produire. nurnerlquement des signaux sinusoi'daux; de tels signaux peuvent aussi servif a sfmuler un bruit, par exemple par addition d~ un grand TIo rnbre de slnusoi'des de frequences differentes, d' amplitude constante et de phase aleatoire au pseudo-aleatorre. Ce.tte approche peut conduire a des realisatio~ particulierernent simples,. comme la m6'thode qui a eli; normalisee pour l'appareillage de mesure utilise dans les transmissions telephoniques numeTiques. Cette methode consiste a engendrer une sequence pseudo-aleatoire, qui est une suite periodique de 2N - 1 bits cornprenant a une unite pres autant de «Zeros» que de ~~ uns>? et qui simule line suite ale-atoire dans. laquelle les bits seraienl .i ndependants el auraien! la probabiJite 1/2 de valolr «zero» ou« un», ou pour centrer les variables, de valoir - 1/2 ou + 1/2. Sf une operation de filtrage, qui en fait consiste. en une sornmation ponderee, est effectuee sur une telle suite, les nornhres obtenus apres filtrage suivent une loi de probabilite qui s'approche de la loi nannale. Les sequences pseudo-alealoires sont eludiees dans la reference [6], elles sont facilernent obtenues a l'aide d' un registre a decal age. a N bits, c.onvenablernent bouch'. La figure 1.10 donne un exemple, utilise en appareillage de mesure, au N ~ 17. Le polyn6me generateur s'ecrit ,

g(x) ~ 1 +x' +X17

(1.62) pIx") 0,5

~---

I I

I

-----

04 ...-r-_

..

0,3

O.Z 0,1

-1

."•••• ],

•c

1

2

1 x

5 FiG. 1.10.

Generateur de sequence pseudo-aliatoire et loi de pro.babilite apresjiltrflge

o c

.~

§ "0

-a.

i •

o ©

la suite comprend 2N - 1 ~ 131071 bits, elle est periodique et de periode 1 T ~ (2'1 - 1). >, si "): ~ T designe la periode de l'horloge du circuit. Le spectre est JH

forme de raies distantes de

i·

Pour fH =.370 kHz, l'espacement entre deux rales

est de 2,8 Hz et l'on !rouve 36 raies dans 100 Hz.

1 • La numeration du signal. tchantillonnage et (adage

32

En 'operant sur cette suite un filtrage a bancle etroite ql,li ne conserve que la bande 450-550 Hz art obtient un ~ignal appro chant les caracteristiques gaussiennes, dont Ie facteur de crete est de 10,5 dB et qui constftue tin excellent signal de lesl

pour les equip,ernents de transmission nurnerique. Si Ie filtrage est fait numeriqtle-

ment la 'suite de nombres obtenue peut elte lltilisee pour tester les equipeinents de trait~ment

1.9

numerique.

L'OPERATION DE QUANTIFICATION

La quantification est l'appro'ximation d" chague valeur duosignal s/t) par un multiple entler d' une qllantite elementaire q, appelee echelon de quantification. Si q est. constant quelle que soit l'arnplitllde du signal, la quantification est dite uniforme. Cette operation revient a faire passer Ie signal dans un organe qui passede une caracteristique en marche dlescalier, co mme ]e montre ]a figure 1..11 pour q ~ 1, et fournit Ie signal sq (t) .

~

---'1

' I- ( , 1. -

~

sIt)

FIG. 1.11.

U operation de qZlantijication

La maniere dont Fapproximalion e-st faite d6finit Ie centTage de cette caracteristique. Par exemple la figure represente Ie cas, appele arrondi, ou toute

valeur du signal comp6se entre en -1/2)q et (n + 1/2)q est ~rrondie a nq. C'est l'approximation par defaut, qui est designee, quand elle porte .sur des. nombres, paT troncation et qui consiste a approcher par nq toute la valeur comprise entre nq et (n + l)q ; la caracteristiquese deplace ~lors de ql2 veLs·la c\roite sur l'axe de s.,a bsclsses.

1.9 L'operation de quantification

33

L'ef{et de cette approximation e$t de superposer au signal d'origine un signai d'erreur e(t) designe par di$toIsion de quantification ou plus communement par bruit de quantification; il vien!:

set)

~s.ct)

+ e(t)

(1.63)

Vne illustration est donnee par la figure 1.12 dans Ie cas de l'arrondi. Les amp litudes multiples impairs de q/2 sont appelees amplitudes de decision. L'amplitude du signal d'erreur est comprise entre - q/2 et q/2. Sa puissance mesure la degradation que subi! Ie signal. Quand les variations du signal sont grandes par rapport a l'echelon de quantification, c'est-a-dire que la quantification est faite avec suffisamment de finesse, Ie signa'! d!erreur est equivalent a'Un ensemble de signaux elementaires, constitues. chacun par un segment de droite (fig. 1.13). La puissance d'Un tel signal e lementaire dy duree 't s'ecrit : .

1["Z

B~ -

"t

1(q)2[" 'I

e'2(1) dl~ -

_:

"t"t

2

--'=

q2

t ? dt ~ -

12

(1.64 )

2

- - - - - - - - - - - - - - - - - ......="""'-

sltl .,(tl

."••••

- - - - - - - - --

FIG, 1.12.

Erreurde quantification

],

• (t)

•c

~

o c

•

2

'D-

S o

"0

~

~

• -g ~

,.

o

@

------

FIG. 1.13. Signal d'erreur etementaiIe

o

t

1 • La numeration du signal. tchantillonnag'e et cadage

34

2

La '{aleur ainsi oblenue, B ~ i2' est une eslimatiom de la puissaruoe du bruit de quantification suffisante dans la plupart des Gas reels. La distribution spectrale du signal d'erreuFest plus difficile a cemer. Le spectre du signal d'erreur e1ementaire de 1'a figure 1.13, E,(f), peut etre caleule a partir de celui de sa derivee. Ains! en utilisant les relations (1.22) puis (1.12), oh abtient : . .

1

E,(f) ~ j2rrf· q ·

[Sinrrf" (rrf~) ] - cos (rrf")

(1.65)

11 apparall que 1a plus gnmde partie de l'energie se trouve au voisinage de la 1 frequence Dans ces condilions la repartilion spectrale du signal d 'erreur depend

:r.

ci'une part de la pente dl1 signal elementaire, e'est-a-dire en fait de la distribution statistique de la derivee du signal .'(t), et d' autre part de la grandeur de l'echelon de quantification q par TappDTt au signaL La reference [7] donne Ie calcul de ce spectre pour un signal de bruit et fait 'appaYaltre un etalement en fonction de la frequence, quand Ie pas de quantification est suffisamment petit, sur un domaine qui couvre plusieurs centaines de fois la largeur de bande du signal. Si Ie signal it quantiner n'est pas un signal aleatoire, Ie spectre du signal d'erreur peut se concentter sur certaines frequences par exemple les harilloniques d'un signal sinusdidal. Dans la conversion d'un signal analogique SOllS forme numerique, la quantification jntervient conjointement avec l'echantillbnnag.e, ces deu.x operations etartt realisees successiverrient. Bien que l'echantillonnage soit en general fait en premier, il est equivalent de faire la quantification d1abord et l'echantillpnnage ensuite, a une frequence Ie habituellement un peu superieure au double de 1a largeur de bande du sjgnal. Dans ces conditions Ie signal d 1eTreur a sQuvenl un spectre qui s'etend biem au-dela de la frequence d'echantillonnage, et comme c1est en realite la somme du signal et du signal d'erreur qui est echantillonnee, Ie phenpmime de repliement du spectre intervient et 13 totalite de l'energie du signal d'erreur se relrouve dans la bande de frequences [- [,12. f,/2]. La plupart du temps les condltions' sont remplie& pour que la densite spectrale 6nergetique du brl1it de quantification soit constante et Fon refiendra Ie re-sultat suivant : Le bruit produit da:ns I'operation de quantification onifonne avec un echelon q~i s'exprime en general par B = q 2/U et presente one repartilion spectrale constante dans la ban de de frequ.ences [-/,12,/,12].

q a one puissance

n faut remarquer que .1a quantification des petits signaux, ceux dont I'amplitude est de I'ordre de grandeur de i'echelon q, depend beaucoup du centrage de 1\1 caracteristique. Par exemple avec. Ie centrage de la figure 1.11 un signal sinusoldal d'amplitude inferieure a '112 est totalement supprime. II est possible cependant de coder convenablement Ges petit& signaux en leur superposartt un signal auxiliaire de grande amplitude qui est elimine par la suite. Le cod age d'un signal introduit ainsi une limitation pour les faibles amplitudes mais il impose egalement une borne aux fortes amplitudes.

1.10 La dynamique de codage

35

1.10 LA DYNAMIQUE DE (ODAGE Le signal echantillonne et quantifie eN amplitude est fepre-senie par une suite de nombres presque toujours so us forme binaire. -8i chaque nombre compte N bits, Ie nombre maximum d' amplitudes quantifiees qu·it est possible de distinguer s' eliwe a 2N. Alars la gamme des amplitudes qu'i1 est possible de coder est soumise a une double limitation: veTS les faibles valeurs eile se trouve limit6e par I'echelon de quantificaHon q et vers les fottes valeurs par 2 N. q. Toute amplitude qui depasse celte valeur ne peut etre 'representee et it y a ecretage du ·signal. 11 s~en suit une ciegradatjon, par exemple par distorsion harmonique 8i Ie signal est sinusoi'dal . Si.la gammet des amplitudes a coder couvre Ie do maine [-Am' + AmJ , iI vient : Am~2Nq/2

(1.66)

et a'autre part, 'avec l'arrondi, Ie signal d~erreur e(t) est tel que:

On appelle puissance de crete d'un codeur la puissance du signal sinusoidal ayant I'amplitude maximale admissible sans ecretage, Am' Elle s:exprime par ~

p, ~~. [2N2·qr~22N- 3 .q2 La figure 1.14 represente ce signal avec Ie pas de quantification et les amplitudes de decision. z

- - - - - - - +Am

-r--------~------_+--O

.'•••"• ],

•c o c

•

___ _ Am

'1C

8o

'0

~

~

• 1i ~

8 "

FIG. 1.14.

Puissance. de crete 'du. .codeur

On definit la dynamique du cod age comme Ie rapport de cette puissance de crete a la puissance du bruit de quantification; c'est en fait Ie rapport signal a bruit

1 • La numeration du signal. tchantillonnage et codage

36

maximal pour un signal sinusoIdal avec codage unl£orme.• Cette dynamique s'exprime par la formule suivante ;,

ou plus commode-ment en decibeLs : (1.67) Cetle formule, d'une grande utilite pratique, relie Ie nombre de bits du codage

a la plage des amplitudes qui peuvent etre codees. Tn3s souvent cependant Ie signal a coder n'est pas un signal sinusoIdal. 11 est possible toutefo.is qe se ramener a ce cas si, pour Ie signal a coder, est d6finie une

puissance equivalente de crete, qui est alors prise comme puissance de crete du codeur. Le cas des signaux ah~atoires gaussiens, est particulierement important car ils repre~entent Gonvenablement beaucoup de signaux rencontres en pratique. II faut alors positionner cortectement Famplitude maximale du codeur par rapport a l' amplitude du signal, de [a,on ii ce que I. disforsion introduite par ecretage reste dans 'les limites imposees. En examinant Ie tableau donne en ann eKe 2, on peut remarquer que 1a probabilite pour que l'amplitude d'un signal de moyenne nulie et de puissance 0 2 de-passe 3,4 0 est inferieure a 10- 3 La fi~ur" 1.15 donne un exemple de codage avec 0 ~ q . II appaTal! que la prQbabilite d' ~cretage est inferieure a 5.10- 4 avec les vaieurs de parametres choisie.s.

x 4. ./.

3 0.004 2

o -1 -2 -3

-4 'F.!4, 1.,15,

Cbdage d'un signpl gaussien

1.11 Codage non linealre suivant une loi segmentee

37

Finalement, pour obtenir Ie rapport signal abruit maximai associe donne, il faut consiqerer Ie rapport signal a bruit ae crete ;

(SIB), ~

a un signal

A2 q2

12

= 3 , 2N

et soustraire Ie facteur de crete Fc' L'expression generale du -rapport ·s~gnal maximal pour un signal 'l.uelconque est done la suivante : (S/B)m~ ~ 6,02 N t 4,77 -F, dB

abruit

(1.670is)

Ce resultat est utilise hon seulenient dans la specification des codeurs de signaux analogiques mais aussi dans ie traitement numerique pour la determination des memoires de donnees et'le ca,drage des hombres. La dynamique de codage, pour un nombre de bits donne, peut etre considerablement augmentee si Ie codage est fait avec un echelon de quantification qui varie avec 1'amplitude du -signal; c'est Ie codage non linea,ire. De nombreuses 'lois de variation peuvent etre envisagees. Cependant il en est une qui est particulierement importante puisqu'elle a ete' normalisee P1IT l'Union Internationale des Telecommunications (UIT) pour Ie cod age de signaux telephonique dans les [eSeaUX de telecommunications, c'est 1a loi segmentee a13 segments [8].

1.11

(aDAGE NON LlNEAIRE SUIVANT UNE LOI SEGMENTEE

Dans l'operation de codage non lineaire suivant la Ipi segmentee a13 segments, les amplitudes positives et negatives coder sont divisees en 7 plages, chacune desqueUes est associe un echelon de quantific'ation dont 1a grandeur resuIte de la multiplication d'un echelon elementaire q par: une puissance de 2. Cette operation peut etre consideree comme resultant d 1un cod age lineaire precede d~une compression selon laquelle Ie signal x eSt transforme en signal y conformement aux relatipns suivantes :

a

a

, 1+ 1nAlxl y~slgne(x)" 1 +lnA

,o

"••

,

'.

Alxl

Y~Slgne(x), 1+1nA

],"

•5

pour

pour

-1 ,,;; Ixl ";; l A

(168)

O ~ lxl ~ ~ A

Le parametre A determine I'augmentation de la dynamique du eodeur; la valeur: retenue est A = 87,6. Finalement la caracteristique de compression suivant '1C 8 la loi A a 1~ segments est donnee par l(l.figure 1.16 et deerite camme suit: ~

o

"0

~

~

~

]. §

o

"

si

1

o~ Ixl - "' -64 ' 1

1

-64 "" Ix I'" 32 -

alors , y

~

16k

1 • La numeration du signal. tchantiJlonnage et codage

38

1 32

"'·Ix I '"

1 16

1 16

"'·Ix I '" 8"

)! ~ 4x

+ 1/4

1

1

8 '" Ix I '" 114 1

4 '" Ix I '" 1/2 1

2: '" Ix I '" 1 y

--- - ---- - ------ - - - -11 1 11

a

1 a1

100 ----1/2 01 1 010

-- - -1/' 001 000 1 64

o ~~~-4------~1~------------~.1~~. 111 1 • 32168 4" 2" FIG. 1.16. Caracteristique de compression a13 st gments

Celte caracteristique fait apparaitre 7 segments de droite dans Ie quadrant positif et dans Ie quadrant negatif ; les 2 segments qui entourent I'origin" etant colineaires, au totalla caracteristique compte bien 13 segments. La quantification des amplitudes y etant faile avec l'echelon q, celie .des amplitudes x voisines de Porigine est faite avec l~ echeion q/16, clest-a-dire que la dynamique du codeur se trouve augmentee de 24 dB. Les amplitudes voisines de l'unite sont mains bien quantifiees puisque l'echelon se trouve multiplie par 4. La

1.11 (adage nan linealre suivant une lai segmentee

39

puissance du bruit de quantification est fonction de I'amplitude du signal: pour chaq1)e valeur il faut c"lculer un ec'helon moyen faisant intervenir la statistique du signal. La figure 1.17 donne Ie rapport signal a bruit en fonction du niveau du signal apn3s codage, pour Ie cod age a8 bits lineai"re et non lineaire d 1un signal gaussien. Le niveau de reference pour Ie signal (0 dB) est la puissance de crete du codeur. On remarque Pextension de la dynamique due au codage non lineaire. Pour les amplitudes faibles Ia quantification correspond en fait 12 bits. En realite Ie signal code suivant la loi non lineaire peut 'etre obtenu a partir d~une quantification a 12- bits, suivie d'un tra"itement numerique qui est tres proche de la conversion d 1urr nombre entier en un no.mbre avirgule fiottante :

a

Par exemple au nombre a 12 bits : +00010110110 +100 0110 correspond Ie nombre a 8.bits : par application de la loi de compression.

~

(dB)

40

30

10 -80 FIG , 1.17.

-70 -60

- 50 -40 -30 -20 -1 0

o

5 l dB)

Co dage ii 8 bits iineaire et non lineajre d'un signal.gaussien

Les trois bits qui suivent Ie siBne donnent Ie code du segment, ou exposant; les quatre bits suivants indiquent la pDsition sur Ie segment, ou nlantisse. La dif."!:::i ference avec la conversion entier-virgule t10ttante apparait au voisinage de Porigme. , 1ii Ce traitement necessite pour sa mise en ceuvre"soit un reseau de portes c'est la • .31 realisation parallele, sDit un registre adecalage associe a un compteur a$ bits dan~ ~ la realisation serie. 'On peut egalement utiliser line memoire OU est stockee la table i de conversion. g Une autre 10i de c-odage non lineaire est egaiement utilis6e en telecommunica.~ tions, dite loi 11 a 15 segments. Elle correspond a la relation de compression s-ui§ vante:

" ~

I::

"0

~

~

•

~

-g.

.

In (1 + J.1lx I)

y ~ slgne(x) . In(l+J.1)

pour

- 1 '" x ,,; 1

§

o

"

La vaieur retenue pour Ie parametre de c9mpr~ssion e~t J.1 ~ 255.

(1.69)

1 • La numeration du signal. tchantiJlonnage et codage

40

1.12 OPTIMISATION DU (ODAGE En poursuivant dans la voie du perfectionnement du cod age, si la densite de pro-

babilite p (x) de l"amplitude du signal est connue, on peut determiuer la caracteristique de quantification qui, poUr un rrombre de bits N donne, m1nimise la pUlssance

de la distorsion totale. Dans I'operation de quantification, 1a plage des amplitudes du signal est divisee en M ~ 2'1 pi ages elementaires (x; -1' x;) avec -

M M '2 + 1 ,0; i ,0; '2' e.\ chaque plage

elementaire est representee par une valeur Yi' comme Ie montre la figure I.iS. L'optimisation 'consj;.;te a determiner l~ensemble des valeurs Xj et Yi qui minimi~e la puiss'a nce du signal d'en'eur E2 donnee par: M 2

L M i=-y+l

J"

(x - y;)2p (x) dx

-J Hl

y YMn~------------------~----~

- - - - - - - ---- -,------1

!,,

j

Y2

----r---i

y,W:

x

XM/2-' FIG. 1.18.

Caracteristique-de- quantification optimale

En prenont la derlvee par rapport aux variables x ; et y;, on montre que j;optimum 'est obtenu si 'les relations suivantes sont verifi6es : x; ~

r

Xi_l

1

2:

(Yi + y; + ,)

pour

(x- Yi)p(x)dx ~ O

-

M

2 +1 ~ i ~

pour -

M '2 +1

M -1

2

~'i,o;

M '2

(1.70)

1.12 Optimisation du codage

41

Ces relations permettent de determiner la caracteristique de quantification. Si p

(:x:) est \!ne fonction paire, On prend .1'0 ~ 0 et l'on procede par iterations en choiM

sissant a priori une valeur de h Si la relation (1.70) n 'est pas satisfaite pour 2 ' o n re prend les ealeuls pour une autre valeur de Y, et ainsi de suite [9]. Le table'au ~ .l donne la puissance du signal d1erreur E 2 obtenue avec un signa,l ga:ussien de puissance unite, pour qifferentes valeurs du nombre de bits N, d1une part avec Ie codage optimal t d'autre part avec un codage a e.-chelan constant pour Ie meilleur cadrage de la earacteristique de quantification [9]. Le tablea\! t 2., tire de la reference [10], donne, dans les memes conilitions, les valeurs correspond ant a un s-ignal 'a denslte d'e probabiHte exponentiel1e selan la relation (1.48). Tablequ. 1.1 . -

~ Codage optimal

CODAGE D'lJN SIGNAL GAUSSIEN uNITAlRE.

1

2

3

4

5

0,3634

0 ,1175

0,03454

0,0095

0,0025

0,3634

0,1188

0,03744

Q,01 15.4

0,00349

1

1,911

2,825

,,765

4,730

Codage

a echelon constant

Elltropie H

Tableau 1.2. -

.~

',"

CoDAGED'UN SIGNALLAPLAC.mNUNrrAllHi-

~

I

2

3

4

5

CodageDptimal

0,5

0;1765

0·,0548

0,0154

0,00414

0,5

0,1963

0,0717

0,0254

0,0087

~

o

.•• "••

Codage

aechelon constant

],

•

g

.~

8

ii

~

•

~.§

o

"

Lloptimisation du codage peut aussi e tre abo rdee sous Faspect du contenu informationnel en introduisant la fonction entropie H definie par [2, Tom" 3] :

H~-

L

p; 10g;2 (P;)

(1.71)

i

avec - M + 1 -'S: i ~ M et Oll p; designe la probabilite pour que l'amplitude du 2 2 signal se trouye dans la plage repre sentee par la valeun /,;.

1 • La nUmeration du signal. tchantillonnage et codage

42

Compte tenll de la relation :

Fentrapie est nulle lorsque l'amplitude du signal se concentre sur une seule pI age et elle est maximale lorsque cette amplitude est rep artie uniformement _i d'ans cecas elle prend la valeur Hm~ egale au nombre de bits N dll cadage : Hm~ ~

log 2.(M) ~ N

(1:72)

au log 2 (M) represente Ie logarithme en bas.e2, au binal, du nombre M. En fait I'entrapie mesure I'ecart d'une distribution de pwbabilite avec la distribution uniforme. La caracteristique de- quantification qui maximise Fentrop1e est donc' celle qui

conduit a des plages elementaires correspondant a une distribution de probabilite uniforme. La derhiere ligne du tableau 1.1 montre que pour un signal gaussien, Ie codage qui minimise 1a puissance du signal cl'erreuT conduit a des valeurs de Pentropie proohes Q.u maximum N .

1.1;3

QUANTITE O'INFORMATION ET CAPACITE O'UN CANAL

Les resultats obtenus sur l'echantillonnage et la quantification peuvent etre utili-

allinverse, pour evaluer 1a quantite d'informatioTI portee par uTI-signal ou pour determiner 1a capacite d~un canal dB transmissiop. Un canal reel de largeur de bande 1m peut trans pOTter 21m 6dhantillons ind€pendants par sec.a nde, ca mme Ie montre la figure 1.3, en rempla,ant ,; paT 21m' Quant i\ la quantite d'infmmation par echantillon, elle depend des puissances respectives du signal utile et du bruit, et de lellrs distributions d'~mplitude. U n cas particulier important est celui du canal gaussien [11 J. Soit a transmettre un ensemble de M symboles de N bits chacul.l dans un canal ses,

en presence d~un bruit blanc gaussien de puissance db = B . Dans un hyperespace a M dimensions 1 les M symboles occupent Ie volume. d' une hypersphere V M' defini par

(173) En supposant une repartition uniforn'le des symboles dans l'hypersphere de rayon R ~ Ie signal correspondant a pour energie:

1J~r 2 rM- 1 dr J

E,~V M

0

i :d

...

f

M-I

1(8;)d8;~R2MM:

+

2

(1.74)

1.13 Quantite d;information et capacite d'un canal

43

La quantite d'information transmise eSt de MN bits. A chaque ensemble de bits possible, on peut associer dans I'hypersphere 'un volume· V, egal il :

V I (R) M

V,~ 2MN ~ M F(S) 2N

(1.75)

M

A. chl,ique ensemble de bits est associe un bruit aM composantes dont fenergie s'ecrit : Eb ~ Mal. Quand M tend veTS l'infihi, Ie point representatif du bruit dans I'hypersphere 'se rapproche .d'une sphere de rayon b et centree sur Ie point representatif de l'ensemble des bits. En effet, pour M variables aleatoires gaussiennes,

\!Ma

b (n), la variable r ~ et sa variance pour volu)lle :

~

-

M

L

n~l

.

b 2 (n) a pour moment d'ordre 1 : m, ~

mi tend veTS zero quand M

tend veTS

a~infinJ.

1M2

ab \j ~-­ M+I

Cette sphere a

(1.76) Pour que 1a transmission se fasse sans, erreur, il faut que cette sphere so it ineluse dans Ie volume V, attribue a chaque ensemble de bits, c'est-a-dire :

\,/Mab <

R 2N

(1:75)

Or, qunndM tend vers I'infini, d'apr"s la relation (1.74), R~ represente I'cenef" gie de I'ensemble du signal, de puissance S et du bruit, soit

R2 ~ M(S + a;;)

(1.76)

La condition de transmision sans errel,lr s'ecrit alors

.2

2N

Star < --2ab

(1.77)

d'ou :

12 (. aS)

N <. -log 2 1 + 2

(1.78)

b

."•••• ],

•c

Si Ie canal est reel et a une laTgeur de bande W et s'i1. est sans distorsion, les symboles peuvent iHre emis a la cadence 2W et la capacite asymptongue du canal s'ecrit, en bits par seoonde:

o c

• '''-

(1.79)

8o

"0

~

~

• -g ~

,.

o

@

I1 (aut bien noter gu'une telle capacite suppose : -'"'- un canal sans distorsion, - un bruit blanc. gaussien, - un retard a1a transmission infilli.

1 • La numeration du signal. tchantillonnag'e et (adage

44

En pratique, l'egalisation des canaux et 1e codage correcteur d'erreurs permettent de-se rapprooher de c~tte limite avec un retard de transmission fini.

1.1 4

LES REPRE SENTATIONS BI NA IRES

II existe diverses [a,ons d'etablir la correspondance entre l'ensemble des amplitudes quantifiees et 1.'ensemble des nOlllores "binaires qui doivent les repre-senter. Les signaux it cOQer ayant des amplitudes en general positives et negatives, les representations pre-fe-rees sont celles qUi cohser'Vent l'information de signe. Les plus courantes pour les codages a echelon constant sont les suivantes : - signe et valeur absolue - hina.ire de-centre - complement a i - complement a 2. Les definitions et particularites de ces. representations 5.0nt donnees dans la rMerence [12], Ie. tableau 1.3 les definit pour 3 bits. Les representations en signe et valeur absolue et en binaire ciecent:re !?cmt les plus commodes pour la conversion Analogique/Numeriql.le ; les deux 3utres sont surtout utilisees dans les circuits de calcul nume-rique; elles spnt presentees en detail par la suite. Comme indique au paragraphe 1.11, qui (leorit une representation particuliere importante du domaine des telecommunications, Ie. codage non lineaire perinet d'augmenter considerablem~nt 1a clynamique. Les machines de traiternent, et en particulier celles qui s.ont )1sage gen.eral, ut,illsent s.ouyent ,Jes. repr~s.'mtations dites a virgule ftottante au chaque nombre corhporte trois parties: Ie bit de signe, b;l.lTIantisse et rexposant. La mantisse repre~ente une partie fractionnaire et l'exposant la puissance d'un nombre de base; par exemple, en base 10 : + 0,719 X 10 5

a

Tableau 1.3. -

REPREsENTATIONS BJNAIRES POUR CQDAGE LINEA-mE.

Nombre

Signe et valeur 'a bsolue

Binaire decentre

Complement ill

Complement il2

+3

0'11

111

all

+1

OiO

1io

oto

+1 +0'

101 100

-1

0'01 000 1 00 lC11 110

- 3'

11 1

001 000 111 11D 1 0.1 10.0

all 010 001 000

-0 -1

-

all 0'1 0 001 (0 a 0)

-

111 110 101 (100)

Annexe 1

45

L'extension de la dynamique provient de I'effet multiplicatif introcluit par I'exposant. Ainsi en base 2, pour un Iiombre a 6 bits d'exposant et 16 bits de mantisse, la dynamique correspond a 2 64 x 2 '6 ~ 2"" = 10 24 , soit 24 chiffres decimaux. Un graIn supplementaire est obtenu en prenant une base -qui est elle' meme une puissance de de~, comme 8 au 16, Gorrespondant au~ numerations octale au hexadec.imale respectivement. La presentation a virgule fiottante ent;ra'ine cepenclant une complication des operations arithmetiques et des circuits, Les nombres issus du codage se presentent, swvant la technique utilise-e, soit S!Jus forme parallele, c'est-a-dire que les N bits sont disponibles sur N point:>; de connexion en meme temps, soit sous. forme. serie, c'est-a-dire que les. N bits apparaissent successivement sur Ie me-me point de connexion, le signe d'·"abord et ensuite les bits de poids decroissants. La reference C13] decrit les principales techniques de. conversion AnalogiquelN umeriql)e.

ANNEXE 1 : La fonction I (x) . ( n\ sm "20)

Suite des valeurs : I (n)

~

n

pOUT 0 '" n '" 159 avec n ~ k + 20 N .

" 20 k 0 1

.:ijj ~

,o

." "••

],

•o o

c

•

lo

"0

~

~

• 1i ~

"

o

@

N~1

N~2,

N~3

N~4

N= ~

1'1 ~ 6

0 - 0,04742 - 0,08942 - 0,12566 - 0,15591 - 0,18006 - 0,19809 - 0,21009 -0,21624 - 0,21682

0 0,02429 0,04684 0,06721 0,08504 0,10004 0,11196 0,12069 0,12614 0,12832 0,12732 0,12329 0,11643 0,10702 0,09538 0,08185 0,06682 0,05071 0,03392 0,01688

0 -0,01633 -0,03173 -0,04588 -0,05847 -0,06926 - 0,07804 -0,08466 -0,08904 -0,09113 - 0,09095' -0,08856 -0,08409 -0,07770 - 0,06960 -0,06002 -0,04924 -0,03753 -0,02522 -0,01261

0 0,01229 0,02399 0,03482 0,04455 0,05296 0,05989 0,06520 0,06880 0,07065 0,07074 0,06910 0,06581 0,06099

0 - 0,00986 -0,01929 - 0,02806 - 0,03598 -0,04287 - 0,04850 -0,05301 - 0,05606 - 0,05769 - 0,05787 - 0,05965 - 0,05406 -0,05020 - 0,04518 - 0,03914 -0,03298 - 0,02470 - 0,01667 -0,00837

0 0,00823

N~O

1 0,99589 Z 0,98363 3 0,96340 4 0,93549 5 0,90032 6 0,85839 7 0,81033 8 0,75683 9 0,69865 10 0,63662 11 0,57162 12 0,50455 13 0,43633 14 0;36788 15 0,30011 16 0,23387 17 0,17001 18 0,10929 19 0,05242

-0,21241 -

0,20283 0,18921 0,17189 0,15148 0,12862 0,10394 0,07811 0,05177 0,02554

0,0547~

0,04739 0,03898 0,02980 0,02007 0,01006

O,OHi13 0,02350 0,03018 0,03601 0,04088 0,04466

0,04730 0,04874 0,04897 0,04800 0,04587 0,04265 0,03844 0,03335 0,02751 0,02110 0,01426 0,00716

N~'7

0 -0,00706 -0,01385 - 0,02021 - 0,02599 -0,03105 - 0,03528 - 0,03859 -0,04091 -0,04220 - 0,04244 -0,04164 -0,03983 - 0,037.07 - 0,03344 - 0,02904 -0,02399 - 0,01841 - 0,01245 -0,00626

46

1 • La numeration du signal. .tchantillonnage et codage

ANNEXE

i : La 1

~l

/(x) ~-e

v'2rr

x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1i 8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3 ,8 4 4,2 4,4

4,6

loi Normale. Reduite

-

7:

10' .f(x) 39894 39104 36827

33322 28969 24197 19419 14973 11 092 7895 5399 3547 2239 1358 792 443 238 123 61

29 13 5,9 2,5

1

P '=

v'2rr r-:'.' 2

~ e'

lOOP 100 95 90 85 80 75 70 65 (i)()

55 50 45 40 35 3.0 25 20 15 10 5 1

0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

2

2

dx

3 4

1

~ v'2rr

L

Xl

e --,; dx

A.

A.

lOOP

0 0,0627 0,1257 0,,891 -0,2533 0,3186 0,3853 0,4538 0,5244 0,5978 0,6745 0,7554 0,8416 0,9346 1,0364 1,1503 1,2816 1,4395 1,6449 1,9600 2,5758 3 ,:1,905 3,8901j ,4;4172 4,8916 5,3267

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6

100 84,148 68,916 54,851 42,371 31,] 31 23,014 16,151 10,960 7,186 4,550 2,781 1,640 0,932 0,511 0,270 0,137 0,067 0,032 0,014 0,006 0,00068 0,000057 0,000004

Agproximation pour les grandes valeurs du paral)1etre A.:

p= -

P

a>

).

-'A. e- ·

3,8 4 4,5 5 5,5

Bibliographie

47

20 log ,\

p

·-5 1

o

5

"'10-1

10

15

'\. \

1O~2

10- 3

10.-4~

\

10-5 FIG. 1.19.

Loi Nor!fl(ll~ R,iduite. Courbe donna.nt P enfonctioiI d,c 20 log}.

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•c

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],

o c

•

'<e

8o

"0

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~

• 1ic , ~

o

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1 •

48

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[1,,] P. DEBRAlNB- Mar:;hine$ de tra/tement de rin/Ol:mation. Tome I, Ed. Masson, 1972.

[13) R.

VAN DE PLASSCHE <
EXERCICES 1 Soit Ie developpement

en

.erie de Fourier de la Fonction i (t) periodique et tie T

periode T, nulle sur toute la petiode, sauf dans l'intervalle - -

2

la valeur 1. Donner la valeur qes coefficients pour t =

T

'2

et 'f =

~ t

'[ $; :-

2

011 elle prend la

T 3"-'

Verifier que Ie. developpement conduit bien it : i (0) ti6veloppement est limite a 5 tennes.

=

1 et tracer la fonction quand Ie

2 Analyse! l'echantillonnage ilIa frequence I e du signal set)

~sin (nl,t +

'1') quand 'I'

° 2' 1t

vane de Ii

Exaniiner la reconstitution de ce signal apartir' des echantillbns. 3 Calculer 1a distorsioo d'amplitude apportee it un signal restitue par des impulsions dont la largeurest egale la moiti6 de la periode d'echantillonnage.

a

4 EChantillonnage passe-bande d'un signal occupant la bande de frequence [/1 - IJ. QueUes soot les conditions aim poser ala frequence fJpour que ce signal puisse etre echantillonne directement a une frequence comprise entre Aet 2/2" 5 Analyser l'e.chantillonnage du signal suivant :

±

Sl (t) ~ n=l sin(zn"8 T'-) et Ie comparer acelu! du signal :

s, (t) ~

f

n =1

cos(2n".T ~) 8

Montrer parune ,etude des spectres que l!ensemble des deux suites d"ec'hantillons oon'stitue. l'echantillonnage d'un ~ignal complexe.

6 Soit s (t) Ie signal defini par Fegalite c s (I) ~ i

+2

(kt

3 Leos 2n hi

8

+ (jlk

)+ cos (nt +

(jl4)

Exercices

49

Ce signal est eehantillonne avec 1a penode T = 1. Quelle est la valeuL maximale que peut prendre s (n) avec n entier? Motilter qu'il exisle 'Un ensemble de valeul:s 'l'k (k ~ 1, 2,3,4) qui minimisent la valeur maximale des s (n) . Peut-on generaliser cette propriete ?

a

7 -Un synth6tiseur de frequence numerique est oonstruit partir a~une memoire morte de 16kbits ayant un temps d'acces de 500 ns. Sach~nt que les nombtes qui representent les 6chantillons de signaux sinusoi'daux comptent 8 bits, quelles sont les caracteristiques du synthetiseur~ gamme et pas de frequence, qui peuvent etre obtenues 7 8 QueUe est la loi de probabilite. des amplitudes du signal sinusoi'dal suivant : set) ~ A cos (2IT~) Calc:ulerla fonction d'autoc:orrelation correspondante. Donner la fonction d'autocorrelation d'un signal aleatoire .gaussien stationnaiFe dont Ie. spectre a une repartition uhifonne dans la ban,de de ftequence [f 1, Al.

9 Calculer Ie spectre d'une suite d'impulsions de largel1r TI2, separees de. T, chaque. impulSion ayant lil probabilite p d'apparaitre. Examiner en particulier- Ie CilS ou p ::::: 112. Que devient ce spectre si ces impulsions constituent IDle sequence pseudo-aleatoire de. longueur 24 -1 = 15 engendrk par un registre a4 bits, sulvantle polynome g(x) = X4 -t. X + i ?

a

a

.a

10 Un $ignal sinllsoidal la frequence 1050 H:z est echantillonne 8 kHz et t:ode 10 bits. QueUe. est la valeur du rapport sigmil a bruit maximal 'J Quel est Ie nlveau par rapport au signal du bruit de quantification mes'ure dans 1a: bande de frequence 300-500 Hz ? Meme question si la frequence d'echantillonnage est portee a 16 kHz. 11 Le signal sin

(2n ~ ~ 'l') avec. 0 '" 'l' ,,; ~ est echanlillonne "vee la periode T ~ 1 el

a

code:: 5'bits. Dans le cas ou q:> = 0 calculeF la puissance eJl le.:spectre. du bruit de quantificati'an. C.olilment evolue ce spectre en fonction de la phase ~?

,o

"••

'., •

]

•5 ~

l

.§

12 So~t une echelle de Godage ou Peehelon a La valeur q. Etudier la quantification du sign,aLsI (t) = (X • q. sin (cor' t) pour - 1 ~ (t ~ 1 ~ en .foncticn du centrage de.la caract6ristique. de quantification. Donner Fenveloppe gu signal restitue apres decodage et filtrage etroit aut~ur ae la frequence cu1 . Au signal '1 (t) on superpose Ie signal s,(O ~ 10,q.sin ill 2t. Eludier l"enveioppe du signal restitue dans ces conditions. 13 Soit a coder un signal gaussien. Combien de. bits faut-il pour que Ie rapport signal a btuit de quantification soit meilleur que 50 dB? Peut-on nfduire ce nombre si l'on admet un ectetage pertd~t 1 % du temps.

(2IT

14 Le signal set) ~ A sin ,S10.t) est code. il 8 bits, L"echelon de quantification ayant la ·v aleur q, tracer la co:urbe donnant Ie rapport signal i bruit de quantification en forrctiorl del'amplitude A Lorsque cette amplitude varie de q a 27 _q. Meme question 10rque Ie codage est du type non lineaire suivant la loi it 13 segments.

~

~

•

~

1io , o

©

15 CalcuJer les limit'es' des' plages dramplitude. elementaires pOUT Ie. codage Gptimal 2bits d'un signal gaussien de puissance unite ~

a

Chapltre 2

La tra ..sformation de Fourier discrete La transformation de Fourier Discrete s'introduit quand ,j1 s'agit de calculer la transformee de Fourier d'une fanction a l'aide d'un. calculateur numerique. En effet un tel operateur ne peut traiter <)ue des nombres et de plus en quantite limitee par la taille de sa mernoire.. II s:eh suit que 1a transformee de Fottrier ~ S (I) ~

r:

(t) e-i 2"fl dt

doit etre adaptee, d'une part en remplac,;ant 1e signal set) par des nombres senT) qui representent un echantillonnage de ce signal et tfautre part en limitant fensemble des nombres sur lesquels portent les calculs a tme valeur lime N . Le caleul faurnit alors des nombres S* (I) delinis par: N-1

S· (I)

~

~

s (nT) e ~j2"fnT

n=O

Corume le calculateur est limite dans sa puissance de caleul, i·l n" peut ["urnir ces resultats que pour unnombre limite de valeurs· de la frequencej, qu'l1 est naturel de choisir mUltiples d' un certain pas de fre'luence At Alars : N-1

S* (kl1f)

~

~ S (liT) e-i2mJkAfT n=Q

Les conditions dans lesqu,eiies les valeurs c_leul"es constituent une bonne approximatton des va leurs recherchees SO)1t etudiees par la suite. Un chaix simplificateur interessant consiste

a prendre' : At :S. ~.

On peut alors verifier qu'il existe seuleNT ment N v~1eurs differentes dans 1_ suite des S* (kINTj, qui est une suite periodique et de peri ode N pl!isque

S' [(k + N)/NT]

~ S* (kINT)

2.1

51

Definition et proprl"t"s de la TFD

D "l)ut;re part 1a transformee ainsi caiculee S8 presente sous 1a forme de valeurs discriotes et d' apr"s Ie paragraphe 1.6 sur l'e
2.,1 DEFINITION ET PROPRIETES DE LA TFD Soit deux suites de nombr.es complexes x(n) et X (k), periodiques et de periode N . La tninsformee de Fourier Discrete et la transformee inverse 6tablis:$ent entre ces deux su
1

N-l

.

nlv

X(k) ~ N n~o x (n)e -12'N" x(n) ~

N-'1

(2.1)

kn

L X(k)e i2'N"

(2.2)

k~O

La position du facteur d'echelle lIN est choisie pour que les X(k) soient les coefficients du developpement en serie de Fourier de la suite x (n). Cette transformation poss_e de les proprietes suivantes : - Linearit';: si.x(n ) et y (n) sont deux suites de meme periode, dont les transfor" mees sont X(k) et Y(k) respectivement, la suite de meme perioc!e v(n) ~ ,,(n) + AY (n) ou A est un scalaire a pour transforme"e : V(k)~X (k) +),. . Y(k)

~

••

'., •

]

•

g

- Une translation des x(n) entraine nne rotation de phase des X (k) ; En effet calculous la transformee Xno(kl de la suite x(n - no)'

XnoCk) ~

N -1

nk

L ..t(n - no) e -i2n N" = X (k)e-i2nnok!N

n =0.

Une translation de x(n) de no entplme sur X(k) une rotation de 1a phase d'un angle

.~ , '1 a: ' 2IT N n"k . § ega "0

~

~

j

1i

o5' @

- s.ymetrie: si la suite x(n) est reelle les nombres X(k) et X(N - k ) sont complexes conjugues : X (N-k) ~

N

L n=Q

. . n(N-k)

x (n) eI2n-N-~X(k)

2 • La transformation de Fourier discre.te

52

Si la suite x (n) est noelle et paire il en est de meme de la suite X (k). En effet, si x(N - n) ~ x(n), il vient par exemple pour N ~ 2P + 1 : P x(n) cos (nk) X(N-k)~x(O)+2n~' 21tN ~X(k)

Si la suite x (n) est [
X(k)~-2j n=l i

x(n h in(21t nk)=_X(N_k) N

On peut remarquer que X (0) ~ X (N) ~ o. Tout signal reel pouvant toujours se decomposer en une paTtie paire et une partie impalre, ces deux clernieres proprietes de symetrie sont importantes.

- CODyolution circulaire : la transformee d'un produit de convolution est egale au produit des transformees.

Si x(n) et hen) sont deux suites de periode N, la convolution circulaire yen) peut etre definie par I'equation : N-l

y(n)=

L

(2.3)

x(l)h (n-l)

1=0

C'est une suite qui possede la meme petiode N. Sa t'ransforrtlee s'ecrit: N-l[N-l

]

nk

N-l

J

[N-l

Ik

Y (k)~ n~o I~O x(l)h(n - l ) e-;2nN~ I~ox(l) n~o h(n_l) e-12n(n -lj kIN .e-;2nN N-l

Y(k)~n~o h (n _lje (

. (n-l)k)(N-l Ik) i2n - NI~O x(z)e-i2nN ~H(k) . X(k)

(2.4)

C'est 'line propriete majeure de la transformation de Fourier Discrete. Une application directe en sera donnee ulterieurement. - Egalile de Parseval : elle exprime que la puissance du signal est egale sornme des puissances de ses harmoniques. En effet : .

1 N

N- l

n~o x (n)x(n) =

1 N

N-l

N-l

.

kn

n~O x(nJ. k~O X(k) , -!2n N

(2:5)

a la

2.2

53

La transformation de Fourier rapide

~ Relation avec la serie de Fourier: avec la position du facteur d'echelle liN choisie dans la definition (2.1) de la TFD, les valeurs X(k) representent, aUX repliements de spectre pres, les coefficients du developpement en serle de "Fourier du signal periodique, quand ce sign'al ne 'presente pas de disctmtinuite. Si ce n'est pas. '1e cas, des differences importantes 'apparaissent. En effet, on montre qU'a Un point de discontinuite to de la fonction periDdique x (t), Ie develQPpeinent en serie de Fourier de x (t) prend une valeur egale it la moyenne des limites a gauche et a droite de xCt) quand t tend velS to. Par contre, la TFD inverse restitue exactement les echantiHons du signal d' origine et par suite les valeurs X (k) comptennent la TFD de la distribution des discontinuites avec Ie signe inverse et Ie facteur 1/2.

E>:;emple : soit Ie signal triangulaire :

x (t)

~t;O$t < l

x(td)~x(t) Coeffic.ien~

du developpement enserie de Fourier:

Co ~ 1/2 Cn ~ j/2rrn; n entier; n '" 0 La discontinuite a I'origine a une amplitude egale Fourier discrete d'ordre N donne les valeurs suiv,antes : X(k)~ ~

1 2N +X'(k)

a r ella transformee de ,

avecX'(k)~Ck

Celte particularite de la TFD par rapport a .1a serie de Fourier est un effet indesirable quand on cherche. un developpement avec des coefficients ayant les valeurs les plus faibles possibles, cnmme dans-Ia compression des signaux, Cependant la propriete la plus importante de la Transformation de Fourier Discrete reside probablement dans Ie fait qu'elle se prete a des techniques de calcuI efficaces, qui lui ont donne une place preponderante en traitement numerique du signal.

.."•••

2.2

LA TRANSFORMATION DE FOURIER RAPIDE

],

Les equations de definition de la TFD fournissent une relation entre deux ensenlbles de N nombr.es complexes, qui s'ecrit d'une maniere commode SOliS une .~ forme mat;ricieile, en posant ~

•

g 8o

"0

~

~

•

(2.6)

~

1i

8' @

Les affixes des nombres Wn, appeles coeffic'ients de la T.F.D. se trouvent sur I" eerGle 'Unite comme Ie monire la figure 2.1. Ce sont les racines de l'equation ZN -1 = 0 ou racihes Niemes.de l'unite,

2 • La transformation de Fourier discrete

54

FlO, 2.1.

A fjUes des coefficienrs de]a TFD

L!equation matricielle est la suivante pour la transformee direc W.

Xu X,

Xz

1 N

X N- 1

1 1 1

1

1

W

W2

W2

W "

W ' W 6

1

W (N-l)

W 2(N-i)

1

1 WN ~l

W Z(N-l )

W (N _l )(N: -l)

Xo Xl

-'2

'¥N-l

Pour la transforrn,,,e inverse, ilsuffit de retirer Ie scalaire 11:N et de· changer Wn W-n. La matrice carn~e d'ordre N designee par TN presente des particularites evidentes, les !ignes et les colonnes de meme indice ont les memes elements et ces 61ements sont des puissances d'un nombre de base W tel que WN ~ 1, Des simplificaen

tions importantes peuvent etre envisagees dans ces conditions, co.nduisant

a des

algorithmes de calcul rapide. Quand la TFD est caleul"e a ['aide de tels algorithmes on dit que l'on effectue une Transformation de Fourier Raplc\e (TFR). Un cas tres interessant est celui

a des

au Nest une puissance de deux car il conduit

algorithmes peu complexes qui sont particuJierement efficaces. Ces algo-

a

rithmes sont bases Sllf une decomposition de la suite transformer en -solis-suites entrelacees. Le cas de l'entrelacement dans Ie temps va etre considere d1abord.

2.2.1 TFR avec entrelacement temporel La suite d'elements x(n) peut etre decomposee en de-uX suites- entrelacees, celle des elements d'indice pair et celle des elements d'tndice impair. Calculons, en faisant apparaitre cette deco.mposition, 'les NI2 premiers elements de Fensemble des

X (k ) : 1

1

W Z

W 2(NI2-1)

Xz

1 1 i

W'

W4(Nlr ~l)

X N1Z - 1

1

W Z(NI2-1 )

W 2(NI2-1)(NI2 " )

Xo

X,

Xo

x, x.

·">\N12 - i )

2.2

55

La transformation de Fourier rapide

i

1

W W2

W' W6

W Nfl-l )

W3(NIl -l)

+

x,

1 WN- I)

x,

W'(N-l)

-'5

W(NIl -I)(N -1)

~N -l

-,-

E,n designant par TNfl la matrice qui vient en facteur du veeteur eolonne des elements d' indice pair et en decomposant la lnatrice [acleur du vecteur des elements d'jl'ldict; impair en un produit d'une matriee diagonale par la matrice T N!4' on obtient :

Xo

X, X2

a o

X2

~TNIl

XN",-_i

X.

a

1

'>:0

+

Q

W Q 0 W'

O. 0

X2(NIl' _I)

o o a W N/lr1

XN_I

Et pour les N I2 derniers elements de l'ensemb le desX (k), compte tenu du fait que WN~l : X N fl

Xo

1

0

0

0

Xl

XN12+ 1

X2

Q

W

0

Q

X,

0

0

W2

X3

X2(NIl- l )

0

0

0

X N!2 +2

~TNIl

XN - I

0 .. . WNIl- I

T Nt2

-'5 'XN_l

n appaIait que Ie calcul de X ( k ) et X (k + N /2) pour- 0 '" k '" N /2-

1 met en ceuvre les memes ealculs avee seulement un changement de signe dans. la somme finale'. D 'oa Ie diagramine suivant : ligne k

Xi

o ,;;

k ~ Ni l

~

X 2(NIl -I j

1 Jigne fr.

"••

'.

W'

],"

•c

g

l•

ii -a.

• 1ic , ~

o

©

Ce diagramme montte que le caieul d'une Transformee de Fourier d'ordr:e N revient au caicui de deux transformees d'ordre NI2 auquei s' ajoutent N/2 multiplications complexes, Par iteration en un nombre d' 6tapes egal a log 2 (N) - 1 ~ log 2 (N/2), on aboutit aux transformees d'ordre 2, dont lit matriee s'eerit :

T~ [1 1J

1 - 1 et qui ne demandent pas de multiplications, 2

2 • La transformation de Fourier discrete

S6

Comme chaque etape comporte N /2 multiplications complexes, l'ensemble de la transformation del1'1ande un nombre de mqltiplications: complexes: Me qUI sleerit:

M, ~ N /210g 2 (N /2)

(2.7)

et un nombre d' additio ns complexes A c tel que:

(2.8)

A t ~ N log 2 (N)

En re-alit6- Ie nombre de multiplications complexes peut encore etre fe-duit paree que certaines puissances de W presentent des particularites ; WO= 1 et W N /4 = - j ne demandent p.as de muLtiplicati,OnS c,Omp!eX<4i ; et TIe demandent qu'une dt(mi-multiplication complexe chacune. Dans la

premiere

etape on peut ainsi economiser 3 multiplications, dans Pavant clerniere etape 3. N /8 et dans 1a derniere 2 . N /4. Le gain dans I'ensemble des etapeS' ,'"Ieve Ii 5N /4 - 3 et Ie nombre minimum de multiplications complexes est donne par :-

n fa ut

toutefois noter que toute.s ces reductions de cal'cu! J;le so1),1 pas toujours faciles a exploiter, aussl bien en logioiel qu'en materie l. La transformee d' ordre 4 a pour matrice :

+~ 1

11 1 1 - j -1 T4 ~ 1-1 1 -1 [ 1 +f - 1 - j

(2.10)

.son diagramme est donne par la figure 2 .2.

= Xo + " > + x, +x, = Xo - x, -ilXl- l1 ,i Xo

X,

X'j

=XO-+:':2 -

X, = X,a

Xl

- x,

-X2+j{ Xl - x 3)

(xo +x,) :><,:xo . (xo -x,) x, w·o

w'

ix,+x,i -x.,)

(X,

::x-:x, X,

FIG . 2.2. Transformee d' ordre 4 avec entrelacement temporel

Par convention 1es fleches representent les multiplications, les points it gauche des croisi11o~ 6Iementaires representent, Ie point superieur une addition, Ie point inferieur une soustraction. La transformee d'ordre 8 est representee sur Ia figure 2.3.

2.2

La transformation de Fourier rapide

57

Xo

·X.

X' I

x.

X,

w·

X,

X, X,

x.

XI

Xs

:1:(.5

X,

Xl

)(,

w'

FIG. 2.3.

w'

"

Transfonnee-d' ordre 8 avec entreiacement temporei

On peut remarquer que dam; ce traitement les X (k) apparaissent dans Yardre naturel des indices alars que les x en) se presen\ent dans un ordre permute. Gett", permutation est due aux entrelacements successifs et se traduit par un retournement ou inversion de 1a repres~ntation binaire des indices. Par exemple pour N = 8 .:

it . :

(0 00) correspond' : Xo (0 0 0) (00 1) x 4 (1 00) x 2 (0' 1 0) x 2 (0 10) .<3 (011) X 6 (11 0) Xo

xi

x4

(100)

Xs (1 0 1) .1'6(110) x7(111)

(0'01) x, (1 01) x3(Oil) Xl

x7 (111)

La quantite de memoires de donnees necessaire pour calculer une transformee d'ordre N est de N positions complexes. En effet les calcuIs sont faits sur des couples de variables qui subisseht Foperation representee paL' un crolsillon et cOTI,servent leur position dans l'ensemble des variables a la fin de cette operation, ~ comme l~intliq.uent clairement les djagranunes. D ~ autre part, 1a transformee ~, inverse est obtenue en change ant simplement Ie. signe- des exposants de- W. On ]I introduit Ie factem l iN , par exemple en l11ultipliant pat 112 les resuItats des addi• tions et soustractions effectuees dans ies croisillons ce qui permet de Conserver' ie ]," oadrage des rrornbres dans les memolres. On peut aussi faire les c.alculs sans inversion binaire, il faut alors 2N memoir.es •c g de donm\es, car les couples de nombres chaugent de position a chaque etage, • "6... Le- type d'entrelacement qui vient d'etre etudie peut aussi etre opere sur les ii8 X(k) ·; un algorithme simiJaire est alars obtenu .

.. ~

~

• 2,2,2 TFR avec entrelacement frequentiel 1i 8 La suite des elements X (k) peut etre decomposee en 2 suites ~

@

elements

d~indice

entrelacee·~, celie des pair et ceUe des elements d'indice impair. Pour les elements

2 • La transformation .de Fourier discrete

58

d'indice pair, en tenant compte eu fait que WN teur e1ernentaire :

= 1~

il vient apres ujle 'm ise en fac-

1

1

1

r

i

W2

W2(NI2-I)

X4

1

W4

W' W8

Xc,(NI2-1)

1

WU,NI2-1l

Xo ~

Xo + xN I2 Xl

W4(N"'_1)

WUNI2-I )(NI2- I)

+ X.NJ2. + 1

X 2 + X NI2 + 2

XNl2 - 1 +XN_l

Et pour leselements d'indice impair, apres mise en facteur: X,

1

W

X3

1 1

W3 W'

X,

W2

WNI2 - 1

Xo -= XN/2

we

W3(NI2-1)

Xl -X,N12+1

W'O

W'(NI2 -I)

X:2 -XNi'2 + 2

W(N-I)(NI2.-1j

Dans ce cas la matrice carn~e abtenue est egale au produit de la matriee carn~e TN!2 abtenue pour les elements d' indic.e pair par la matriee diagonale dont les elements sont les puissances Wk avec 0 oS k '" N /2 - 1. D' oil :

X, X3

X,

= TN'"

1 0 0 a 0 WOO 0 '0 W2 0

o

0

XO-XNI2

X, -~NIZ+1

X 2 -XNl2+ 2

0

Le ",llcul des elements X (k) d' indicepair et d 'indice impair se fait avec la matrice oarree T NI,2 de 1a transformee d !ordreN/2 et Ie diagramme suivant est abtenu :

Xo X2 X 4

TNI2

ligne k

"'.

X Z(N!2 -1)

.0':;; k .:;; N /2 - 1 X, X3 X,

ligne k TNI2

X N/ 2 +k

W· X N -1

En adoptant la meme notation pour les croisillons qu'au paragraphe precedent on etablit des diagrammessemblables. La figure 2.4 montre Ie diagramme obtenu pour N ~ 8. Dans l'entre1acement frequentiel, Ie nombre de calculs est Ie meme que daNS l~entrelacement tempore! ; les hombres- a transformer x (n) apparafssent dans I'ordre nature! alors que !es nombres transformes X (k) sont permutes.

2.2

59

La transformation de Fourier rapide

Les algorithmes qui ont ete obtenus jusqu'a maintenant sont bases sur une pecompbsition de la transform6e p"ordre N en transformees elementaires d'ordre 2 qui ne necessitent pas de mullipncatians. Ces algorithmes sont dits en base 2. Cep'e ndant d1autres transformees 6lementaires peuvent e-ire utilisees; la plus in,teressante est 1a transformee en. bas'e 4 quJ s'appuie sur la matrice e16mentaire. T 4 et conduit aux algorithmes en base 4. x , ~~--~----~~----~----~----~

x,

~~--~~--~~~~~--~~~-f~

"

x,

",

)(,

., x,

",

x. ~----~~----~~~-?~~~~-*~~

.,

X,

X,

wO

)(7

"7

w3 FIG. 2.4. Transformie d'ordre Saveo entrelacement jrequentiel

2.2.3 Algorithme de TFR en base 4 eet algorithme peut etre utilise lotsque Nest upe puissance de 4. La sHite des nambres x(n) est decomposee en 4 suites entrelacees . Calculons Ie. ; premiers

X(k) en mettant en evidence cette decemposition ; l'expression matricielle est alors la suivante, si T N/4 designe la matrice carree cle la transformee d"ordre N /4 et DI(i ~ 1,2,3) la matrice diagonale dont les elements sont les puissancesWI.k avec. 0 ", k '" N/4 -1 :

Xo

X, X, XN14~1

x, x,

Xo x4

:::::TN /4

Xs

x 4 (N/4 _.1)

+ D,TN/4

Xg

XN_3

X3

X2

+ D2TN14

x6

x,

xlO

xll

+ J!)STN/4

60

2 • La transformation de Fo urier discretE;

Les N/4 termes X(k) suivants sont donnis par:

XNI4]

~N;4+1

[X

N/2 - J

Cette equation fait intervenir les me"m es calculs matriciels que la precedente avec en plus des multiplications par les elements de la seconde ligne d", la matrice 1'4. On peut alors mantrer que Ie ~alcul de la transformee aboutit au diagramme 4e la figure 2.5.

Une telIe transformee s'effeclue en 10g4 (1'1) -1

~ log" (~) et.apes.

2.2

61

La transformation de Fourier rapide

Chaque etape demande 3

~

mUltiplications complexes ce qui conduit au total au

nombre de multiplications Mc4 donne par :

M"

~ ~ Nlo& (~)

Le nombre d'additions complexes Ac4 s ~eleve

(2.11)

a:

A'4 ~ 2N lo&(N)

(2.12)

II apparait que Ie nombre d'additions est Ie meme en base 2 et en base 4, pai; contre PQur les multiplications iComplexes, Ie caleul en base 4 apporte un· gain superieur a25 %. La figure 2.6. donne Ie diagramme complet pour N ~ <6. Xq ~--------~~~--1X4

~----------~~~-w.e

"

'" )(1

~

X,

w2

)(9

'11 3

Xl)

WO

X2

'-------W"'2O""--.2l--.::--- '" '-------w·,;-+--~}---I~-

w6

)(14

WO

XJ

'-~--~W~"~--~-{~-.

FIG. 2.6.

."••" ],

x 10

"

w6

X"

w9

X15

TFansfomlie d'ordre 16 en base 4

D 'autres. bases peUvent encore etre envisagees, par exemple la base 8; dans ce ca's, il y a' des multiplications dans la matrice 6lementaire et' les' gains pat rapport a la base 4 sont minime§. Des bases differentes peuvent 6galement eire combinees [5].

•c o c

.~

8o

'0

~

~

2.2.4 Algorithme de TFR en base double Dans une transformee d'ordre N , la -suite des va'leurs iransformees d'indices

• impairs peut etre decomposee en deux suites, exprimees par Tes relations :

~

,.

-g o

"

1

N-l

N

.~O

X ( 4k+l ) ~-

L

x(n)wnW4kn

2 • La transformation de Fourier discrete

62

at: 1

N~ l

N

n=O

Lx

X (4k + 3)~ -

(n)W"'W4kn

Compte tenu de la definition (2-6) de W les sommations.peuvent aussi ~'ecrire :

1L

X (4k+1 ) ~-

N

( N )] 2

N/4 - 1 [ [

n~O

x (n) -xil+-

et:

1 X(4k+3)~ N

.'fo

N)]

x(n)-Ji n + 2"

NI4 -1 [[

.

(

t

j

[x(n+ ~) -x(n

t

3~)]] w'nW4kn

(2,14)

La suite des valeurs:trapsformees d'll1dices Ra irs. s'eorit :

(2.15) Ces equations montrent que la premiere etape d1une transformee d'ordre N avec entrelacement tempore! peut etre remplacee par Ie calcui d'une transformee d'ordre NI2 et de deux transformees d'ordreN/4. L' algorithme en base double est obtenu par applications successives de cette decomposition. Pour l'entrelacement frequentieJ l'algorithme en base double est obtenu par la de.composition suivante : N(2- 1

X(k)~

L

n=O

N/4-1

x (2n)W2nk+Wk

L

x(4n+l ) W4nk

n =O

Nr4 - 1

+ W 31e

L

x (4n + 3) W4nk

(2.16)

11=0

Rour une transformee d'ordre N, Ie nombre de multiplications complexes M,2J4(N) est fouIni' par une fe.currence d6duite des relattons ci-dessus :

(2.17) ave.c. comme valeurs initiales M (2) ~ M (4) ~ O. La valeur ainsi 0 btenue est legerement inferieure acelle donne-e' par la base 4. A titre de reference, il est interes:$ant de noter que Ie nombre minimal de multiplicatIons complexes non tr1viales pour une transformee d'ordre N , avec.N = 2m,. est ega!" : 2 m + 1 - 2m 2 + 4m - 8 [5].

2.3

63

Degradations dues aux limitations dans Ie cafcul

Les algorithmes qui ont ete presentes, entre\acement temporel et frequentiel, en base dell)< e\ quatre, sont des elements' d 'un ensemble d'algorithmes, Vne presentation unifiee des algorithmes de TFR est donnee dans Ie chapitre sUivant, elle 'permet de determiner l'algorithme Ie plus approprie dans chaque application, Dans les calculs, les operatiofis sont faites avec une preGision limitee, ce qlli amene certaines degradations du signal.

2.3

DEGRADATIONS DUES AUX LIMITATIONS DANS LE CALCUL

Les machines reelles apportent des limitations dans Ie calcul, qui sont dues aux operateurs arithme-tiques et aux me-moires. D1abord les coefficients sont souvent stockes dans- une mem6ire morte, avec 'un nombre de- chiffres limite ; e-n fait Ie contenu de la memoire represente une approximation des coefficients, en general obtenue par arrondi. Ensuite tout au long du calcul des arrondis sont operes pour limiter Ie no mbre de chiffres des nombres traites a 1a capacite des positions de memoire ou des operateurs arithmetiques . .Ces deux types de limitations entralnent des degradations qu' il est important d'analyser pour pouvoir determiner avec precision Ie materiel strictement necessaire a 1a mise en ceuvre d'une Transformee ayant des performances .specifiees.

2.3.1

Effets de I'arrondi des coefficients

Les coefficients reellement utilises par la machine re presentent une approximation des c,oefficients tMorigues, dont Ja valeur des parties reelle et imaginaire est comprise dans l'intervalle [- 1, + 1J. ' n Une quantification 'abe bits, sigrre compris, entrame sur ie coefficient e-J·271"'~i une erIe\jr d'arrondi I)(n) ~ odn ) + j o] (n) telle que l'on ait:

IIlr«n) i "' 2- b ,

.:ijj ~

,o

'.,

1

:5o

•

S o

"0

L

N

]

a partir

n ~O

des donnees

nk

N -1

X (k ) +t'1 (k) o= -

•

'
10](n)I <; 2- b ,

Le caleul de chaque nombre transforme X(k) avec une erreur t'1 (k) telle q\le :

"•• •

et

x (n) [,,-i"" 'iJ +o (nk)]

so it :

i

N-1

t'1(k) ~ N n~O x(n) 8(nk)

~

~

• -g ~

"

o

@

Comme il existe entre les x(n) e\ X(k) la relation (2,2) : N- l

x (n)=

L

n~O

X (k )e

i 2n

nk

N

x (n) est fait

2 • La transformation de Fourier discrete

64

i1 vient; N-l

/1(k) ~L

j =O

X(i) e (i, k)

(2,18)

(2.18) Par suite l'arrondi des coefficients de la transformee entralne pour Ie nombre transform" X(k) une perturbation /1(k) obtenue en faisant une somme· de perturbations- 61ementaires doht chacune est egale au prQduit d' un nombre- transforme par 'Un facteur representant sa contribution. Les nombres transfoJ1mes reagiss:ent les uns sur les autres et ne sont plus strictement inciependants. Pour toute transformee il est possible de calculer les eli, k). Il est en general interessant de connaltre la valeur maximale Em que peuvent prendre les 1,E(i, k)1 pour un ordre de transfoT!nee et un nombre de bits de quan,tification be donnes., D'apr"s l'inegalite : lo(n)1 oS y'2. 2- b , un maximum pour em est fourni par:

em """ y'2.2- b , En fait les valeurs trollvees en pratique pour Em §dnt nettement infe.rieures a ce maximum. Par exemple pour N = 64, on trouve Em ::::::: 0;6 .2 -b,, ; eette valeur se conserve e nsuite pour les valeurs de N sup6rieures [6].

2.3.:2 Bruit de calcul dans la lFR Les donnees se presentent a Fentree d~un cakulateur de TFD avec un nombre de bits limite. A chaque operation, addition et multiplication, ce nombre de bits augmen1e. En ge'neralle nombre de bits affeate chaque donnee reste fixe dans tout Ie calculateur i iI en resu'lte Ia necessite d.l.operer des limitations du nombre de bits des nombres au cours du ca1cul. Ces limitations ·sont presque toujours faites par une elimination des bits de plus faible paids avec arrondi. En effet, un depassement vers les forts poids n'esl pas acceptable en general et Ie cadrage des nornbres dans les memoires doit etre etudie en con~equence. Deux cas importants et simples vont etre exanlines pour une transformee en

a

base 2. D'abord la transformee directe : avec Ie facteur d'echeiie

J~

il suffit de divi-

ser par 2 les resultats des additions et soustraction~, dans chaque crbisillQn pour maintenlr un cadrage convenable. EnsuIte sera etudie Ie cas ou Ie cadrage au debut de la transformee est tel qu'il permet la totalite des calculs sans risque de depassement. Ce cas pellt etre celui de la transformee inverse. Pour e,valuer la puissance du bruit de calcul, on considere que la machine stocke les nombres dans des memoires ayant la capacite de hi bits pour chaque nombre [Joel et l'an prend comn'le unite la plus grande amplitude representable ;

2.3

65

Degradations dues aux limitations dans Ie cafcul

c~est-a-dire ql,le les nombres internes prennent des valeurs comprises dans t~inter­ valle-[-l , + 1] et ql!e l'echelon de qualification q a pow valeur ;

q

~ 2.2-b.~

2 1- b,

La figure. 2.7 donne Ie schema d' un craisillon avec multiplication.

Crbisillon de TFR en base 2

FIG. 2.7.

A l'entree du croisillon 'les donnees comp.lexes sont representees par une partie reelle et une partie. imaginaire comprenant b j bits- chacune. Apres multiplication les nombres subissent une'lirnitation a b j bits avec arrondi. Cette operation sur un nombre reel apparte

~me

puissance de bruit estimee

a

i2' '2

La multiplication

complexe Se realisant generalement par 4 multiplications reelles, 11 d'une puissance de bruit egale

a

4i2 '

y a introducti0n

2

Le coefficient Wk ayant un module qui ne

depasse pas Punite, aucun recadrage des donnees dans ies memoires n'est necessaire. Bruit de calcul avec recadrage Le. recadr.age. des donnees. est suppose. e tre realise avant le.s operations. d:additiQn et soustraction du croisillon, ce qui est un cas defavorable mais 'facilite la realisatio n. Les parties reelle et iml;lgjnaire sont divisees par deuX' par un decal age au couts duquel un bit est elimine; ce bit 'ayant la valeur 0

QU

1 avec la probabilite

~,

on adrnet que sur chaque nombre reel il en resulte. une puissance de bruit egale 2

,o

."••• ],

•

~ et sur Ie nombre complexe nne puissance de bruit egale

2

a q4

a

. Par contre les

bruits presents anterieurement sont divises par 4. A I'entree de chaque croisillon Ie signal est affecte du bruit Be, it I. sortie du bruit Es. Avec Ie recadrage il existe entre Bs et Be la relation suivante :

o o c

•

'0..

8o

]

~

~

Le premieretage de la transformee ne comprenant pas de multiplication ; si Ie bruit a l'entree du calculateur de TFR n'est pas pris en consideration, il vient en sortie du premier croisillpn : BS,~

q2

"2

2 • La transformation de Fourier discrete

66

Le seco nd etage, dans l'entrelacement temporel par exemple, a des multiplications par j qui n'entrainent pas d'arrondi, Le bruit en sortie

s\~crit dans

ces conditions: q1 1 ) q2 q2 BS;, = 2 ( 4 + 4 Bs, = 2 + 4

dememe : 1

q2

BS3 = 2 (

)

.q 2

q'2

q2 .q2 q2 <4 + 8. + 12

4 + 4 g", + 12 = 2 +

Au demier 6tage de rang IQg 2 (N) : q2

ib(~) 2

L

B ST = - + 2

[ =0

1

~

21

lb(~)

q2

S

L

+ -

12

f =O

1

2i

Finalement en sortie de transformee on peut ecrire :

Bs-r "" q 2 D 'ou le resu lt-at : dans- une transformee avec recadrage par division par '2 etage, 1a pu.issance de bruit sur chaque sortie peut etre estimee a: BST ~

2 2 (1-b. 1)

achaque-

(2.19)

Bruit de calcul sans· recadrage Les puissances de bruit relation :

a l~entree et ala sortie d'un cJ'oisillon sont ijees par la 2

Bs = 2Be+4~ 12

En considerant qu'il n'y a pas production de bruit dans les 2 premiers etages, Ie bruit to tal sUr chaque sortie est dtmne par: q2 N

B sr =4 12

Ib(~)

8 {~O

1

2'

d'ou :

Dans !.me tr-a:hsformee sans recadrage, la puissance de bruit 'sur chaque ·sortie peut etre estimee a: 22('~b,)

BST

"'"

N . ----:1'"'2;--

(2.20)

Ce :resultat peut s~nterpreter en disant que la precision des donnees se trouve

redulle de ~ bils apres Ie calcul d'une transformee d' ordre N =2M Le meme raisonnement peut etre applique au Galcul suivant d'autres bases, en par-

ticulier la base 4. Les resultats obtenus sont comptlIab1es_

2.4

67

Calcul de spectre par TFD

En pratique les puissances de bruit dOlvent eire associees aux puiss-ances du signal et Ie parametIe Ie plus interessant est Ie rapport signal it bruit. Pour determiner comment evolu,e ce parametre dans line Transformee, la relation qui lie la puissance du signal a·la puis$ance de $on spectre est: utilisee :

~ :~; fx(n)12 ~ :~; IX (k) 1

2

Le rapport ~ignal a bruit en sortie de la Transforme.e depend de la repartition de la puissance entre les X(k). Far exemple dans Ie calcul avec recadrage de la Transformee directe, avec t'hypothese d'une repartition uniforme de la puissance entre les X (k), la puissance de chaque sortie se trouve divisee par N. Dans

c.es conditions si S designe la puissance du signal. en entree, si Ie bruit a a bruit en sortie de traru;formee (S/B)s-r. s'ecrit:

I'entree est neglige, Ie rapport signal

S (SIB)ST ~ N2"(Lb'1

(2.21)

Dans les memes conditions, mais- sans recadrage la puissance du signal est multipliee par N et Ie rapport (SIB)ST devient :

(SIB lST ~ Les calculs qui ont

ete'

S 22(1

"'J/12

(2.22)

faits dans ce paragraphe qoivent eire consideres comme

approximatifs. lis ont "Ie menes dans I'hypothese d'une absence de correlation entre les erreurs. Vne telle hypothese n'est pas toujours verifiee, en particulier pow les transformees d'ordre N faible. L'analyse simplifiee qui a ete presentee est suffisante dans la plupaTt des applications; \Ine analyse approfondie est donnee dans la reference [7]. L'application la plUS directe ae la TFD est I'analyse spectrale.

2.4 .:ijj

CALCUL DE SPECTRE PAR TFD

~

Le calcul d'un spectre par la Transformation de Fourier Discrete oblige it faire cer-

~

taines apprQximations et necessite un choix convenable des pa'rametres pour atteindre les perlormances imposees. Avant de considerer les applications. il est utile cependant de bien voir la fanction remplie par la Transformation de Fowrier Discrete.

.~ ~

,

•c o

~

2.4.1

Fonction de filtrage remplie par la TFD

'1C

8o

Examinons la relation qu'etablit la Transformation de Fourier Discrete entre les sorties X (k) et les entrees x (n) considerees comme Ie resultat de reohantillonnage • (I'un signal x (t) avec la periode T , Pour k ~ 0 celte relation s'ecrit: -g 1 N-l o5' X(O) ~ - L x (n) @ N n=O '0

~

~

~

2 • La transformation de Fourier discrete

68

Le signal X (0) ainsi ciMini resuite de ia convolution du signal x (t) avec la distribution <poet) lelleque : 1 N-l
.

L

-

N

n=O

o(t~nT)

La Transformee .de Fourier de cette ,distribution est d'onnee p"ar :-

1>0 (f)

~

1 N

N-l

L

e- i2
n=O

1 N

1~e-i2M[NT

~

1 ----.. e '-- j21tnfT

Ou encore:

avec

1 sin (It.tNT)

(2.23)

<1> ([)= N sin (lttr)

Or une operation de convolution dans llespace des temps correspond a un produit dans l'espace des' frequenees, c'est-il-dire que X (0) est un signal obtenu par filtrage du signal d'entree par la fanction <1>0 (fl. La figure 2.8 represente la fanction <1> (I) et ia fonction

(1) s'annule

aux points de l'axe des frequences multiples entiers de Elle est periodique et de periode

~

~ sauf 'aux multiples de ~ .

conformeinent aux lois de l'echanttllonnage;

il s'agit simplement du spectre d'une impulsion de largeur NT echantillonnee. v\ la sortie X(k ) correspond la fanction
1 N


N-l

""

L e-i'" " ll (t-nT)

n~O

'f' (\)

I rIf"r·1··] u

1

NT 0

T

.1

2T

t BIG.2.8. Fonction de filtrage

--,,

ddaTFD

\ \

0

1 NT

2 NT

~-

1,-

,

-'

f·

1.1

(./cul du spectre pour TDF

69

SallS forme concise, apres simplification, 11 vient:


(2.23bis)

La sortie X (k) fmlrnit 1e signal fi1tre suivant 1a fonction
!

sur l'axe des frequences.

Finaiement la transformee de Fourier Discrete constitue un ensemble de N tiltres identiques~ ou han(l: d~ filtres~ repattis ufliformement dans Ie domaine des frequences avec Ie pas :T'

Si Ie signal d'entree est une suite periodique. suivant l'hypothese. de definition de la TFD , ce bane de filtres se trouve echantillonne en frequenee avec Ie pas

~,

et l'on peut remarquer qu'il n 'y. pas d'interferences entre les>sorties X (k) . Celte propriete cependant est perdue, en toute rigueur, si les coefficients sont arrondis, cQmrne un paragraphe precedent montre., La mise en evidence de la fonction remplie par la TFD illustre aussi Ie probleme du cadrage des nomhres dans les memoires d'un calculateur de TFR. En effet supposons que les nombres it transformer x (n) resu1tent de !' echantillonnage d'un signal aleatoire dont 1. Ioi de probabilite des amplitudes 'a la variance 0 2. Si ce signal a une distribution spectrale energ6tique uniforme~ sa puissance se repartit

ra

unifonnement entre les X (k) . et chacun a une variance egale

2

a ~ . 'Par contre

si Ie sigmil a une distribution spectn!le qui (,eut se concentrer sur ul1 X(k), cet X(k) ala meme loi de probabilite que les x(n), en paTticulier la variance 0 2 Le r«ca.;irage des nombr~s pac division Par .2 it cl)aque etag!" crun caleul de TFR ~st adapte au traitement de tels signallx. On peu! approfondir l'etude du processus de filtrage en observant que les sorties X (k) de la TFD sont les sommes des entrees x (n) apres dephasage. En effe! la sortie X (O) est la SOmIDe des ",(n) avec Mph as ages nuls, 1a sortie X (k) est la .'!:::i

ow

~,

"~

.•••

somme des x (n) avec dephasages multiples de 2rr

~ , comme 1e montre la figure 2.9 .

A chaque

sortie les composantes des signaux Tesultants qui sont en phase s'ajo utent, Ies autres s'annulent. Par exemple si les X (n) sont des 110mbres complexes ayan! la meme phase et 1e meme module, tous les X(k) s'annulent saufX(O).

],

•

c o c

•

'D-

S o

"0

~

~

•

~

,.

1i o

@

X,

Xo FIG. 2.9.

Filtrage par dephasage dans fa TFD

2 • La transformation de Fourier discrete

70

Cette observation est utile dans I'etude des banes de filtres qui comprennent un calculate·ur de TFD.

2.4.2. Resolution spectrale L'analyse spectrale est utilisee dans de nombreux domaines. Elle ~e fait a partir d'un enregistrement foumi par 'un capteur. Or, par definition la TFD etablit une relation entre deux suites periodiques, les x (n) et X (k) qui comprennent ehacune N elements qifferents. Pow I'utiliser il faut dOfie i)ltroduire cette double periodicite. La periodicite en frequence est introduite par l'operation d'ec hantillpnnage du signa1. Llenregistrement a traiter se pre-sente soit sous forme numerique, alors l'echantillonnage et1e cod age ont He effecttJes par Ie capteur, soit

SOllS

forme "ana-

logique et alors il faut Ie nunreriser. Le choix de I. frequence d'echantillonnage

f, ~ ~ doit .()tre tel q\le les composantes du signal de frequence superieure a fj2 soient negIigeables et eil tout cas inferieures en amplitude a l"erreur tole-ree sur l'amplitude des c.omposantes utiles. On peut s'assurer que cette cpndition est hien remplie en procedant a un prefiltrage du signal. La perioclicite temporelle est introduite artificiellement en supposant que Ie signal se reproduit en dehors de l'intervalle de temps 8 ~ NT qui correspond a renregistrement atraiter. Dans ces conditions la TID fournit un echantillonnage du spectre avec une periode frequerttielle I'1f egale a l' inverse de la dUree d« l'enregistrement et qui constitue 13 resQlution frequentielle de l'analyse. La relation

1'1/ = ~

exprime pour l'analyse spectrale la relation d'incertitude de Heisenberg.

Uno. analyse plus fine peut etre obtenue en augmentant la duree de ['enregistrement, par exemple en la portant aN'T (avec N' > N) avec des echantillons complementaires nuls ; les echantillons frequentiels supplementaires obtenus constituent simplement une interpolation des precedents; ceUe operation se pratique couramment pour avoir un nombre de donnees N' qui soit une puissance de. 2 et pour pou-

vQir utiliser les algOTithmes de calcul rapides. D' autre part Ie fait que Ie signal ne

soit pas compose uniql)ern;ent de raies aux frequences multipies de

~

entraine

une interference entre les' composantes' s,pectrales obtenues; en effet la fanction de-

filtr.age (f! de la TFD, qui a ete don nee au paragraphe 2.4.1, presente des ondulations dans toute la bande de frequenees et sf Ie signal possede Ulle composante speetnile S (fo) ala fr€quence fo, c'est-a-dire si x(t) ~ S (to) ei2~fot, on obtient :

X(k) '"' S(fO) (:T - fo) pour .O ~ k

~

(224)

k < )0 • < kNT + 1 11'1 en resu ' 1te une contn. butlon . non seu1eN -1. S· 1· NT

ment sur les sorties X (k) et X (k + 1) de la TFD, maissur toutes les sorties, comme Ie montre 'la fi.gure 2.10 ~ ainsi appaTaissent les limitations du pouvoir -separateur

2.4

71

Calwl de spectre par TFD

de l' analyseur. eet effet peut etre a!tenue en modifiant la fonction de filtrage de la

TFD par pond6ration des.6chantillons du signal avant transformation. X(k)

,, , ""-...

,

--

2

0

-

~

3

4

5

k

1 FIG. 2.10, Analyse d'un signal de frequem;e "/Jon multiple de NT

Cette operation revient a remplacer 1a fenetre temporelle rectangulaire. i.p(t), par une fanction dont la transformee de Fourier presente des ondula:tiolls plus faib les. De nombreuses fanotions sont utilisees, les plus- simples sont 1a cosinus~ol'de

surele.vee : 1 (.1 + cos ,,11: NT t )

(2.25)

etla fenetre dite de Hamming :


~)

(2.26)

Cette derniere fonction a 99,96 % de son energie dans Ie lobe principal et Ie lobe secondaire Ie plus important se trouve a environ 40 dB au-dessous du lobe principal. La reference [8] presente un ensemble de fonctions ayant des l'roprietes.

pour applioation aFanalyse, spectrale. Si cP (j) designe Ie spectre de la fonction fenetre

varfe~-es

,o

."••••

n)]if> (k -. - -u )du NT

11; m X (k) = Tlc [ S ( u-a T n~-m T

],

J

•o

(2,21)

o o

a l'echan-

]

Pou; mieux ma'itriser les interferences entre les compos antes spectrales calcuil fa1,lt faire appel a un bane de filtres plus ·stHectifs, camme celui Cl,1,li est presente au ch api tre 10. La"TFD peut etre utilisee d' une maniere indirecte ,dans la procednre de Galcul des cOllvolutions.

• .<e

Cette expression fait apparal\re Ie repliement de bande du sigmil dfi 8 tillonnage avec la periode T. ~

j

lees ~

72

2.5

2 • La transformation de Fourier discrete

LA CONVOLUTION RAPIDE

La pui~sance de caleul des _algorithmes de- Transformation de- Fourier Rapide conduit a utiliser la TFD dans des cas autres que I' analyse spectrale et en partieulier pour la realisation d'operatiQns de convolution. Bien que cette approche ne sait pas en generalla plus efficace, elle peut presenter de rinteret dans les applications au un calculaleur de TFR est dispanible, Parmi les proprietes de la TFD figure la propriete slilvante : la transformee d' un, produit de convolution est egale au produit des transforinees. Elant donne deux suites x (n ) et h (n) de. periode N et dont les transformees sont X (k) et H (k), la convo1ution circulaire : N-l

k

y(n ) ~

h(tn) x (n -m )

m=O

est une suite de meme periode dont la transformee ·s'ecrit: ~

Y(k)

H(k). X (k).

La convolution rapiqe consiste a calculer 1'a suite y (n) en effectuant:une tran'sformee de Fourier Discrete inverse ·sur la ·suite Y (k) . Comme en general un des terrnes de 1a convolution est constant l'operation demande une TFD. un produit et une TFD inverse. Celte technique ~: applique aux suites de duree finie; si x(n) et .h(n) sanldeux suites deNl el N2 termes non nuls, lasuite yen) definie par : .n

L

yen) '"'

rn= 0

h(m)x(n-m)

est une suite de duree finie, ayant N 1 + N2 - 1 termes ~. la convolution rap ide s'applique en considerant que les trois suites y (n), x (n) e1 h (n) ant la peri ode N tel que N '" N, + N z - 1 ; iJ suffit de completer par un nombre convenable de termes nuls. nest alors interessant de choisir pour N une puissance de deux. Cependant en pratique Poperation de convolution est une operation de filtrage, au les x (n) :representenl Ie signal et les hen) les coefficients. La suite des x (n) est beaueoup plus longue que la suite des h (n) et il faut [raelia nner Ie caleul. Dans ce but la suite des x(n) est consideree comme une superposition de suites 61emenlaires xk (n) de N, termes. C'est-a-dire que I'on a :

x (n) ~

Lk

xk(n ).

·aveoxk (n) ~ x (n) pour kN3 '" n ,;;; (k + l)N, -1 elx" en) ~ 0 ailleurs. Alors on peut ecrire : n

yen) ~

L m=O

y(n)~L k

h em)

L ok

xk(n -m)

.• h(m)xk(n-m) ~ L Yk(n)

L

m =0

k

2.6

73

Calcul d'une TFD par convolution

Chaque suite Yk(n) compte N, + N z -1 termes non nuls. Les convQlutions arealiser pOTtent sur N, T N z -1 termes. Le <\iagramme de 10 figure 2.11 montre l'enchalnement des operations; Ie. suites Yk(n) el Yk +i (n) ant N z - i termes qui se supeT·posen!. h(n] ... , --,-,N.!..2~ I

I

INJ

Xk (n) ... , --""1I=----f , I

Yk(n) ~k+1{n)

f

Nz+ N3-'

"'I--~~'~~~--r-----<

I

I

I

I

t

I

N,

1

l I

Yk1'1 (n)

,

,~

I

I

: N2 -1 y(·n)

I

I

~HH$$$$1

I

N2-11

~\H<$\\~

N 2 -1 ~$$$$\S\SI

FIG.2.11. Encj1afnement des opb:ations dans fa convolution rapide avec frac tionne!1l'ent

Dans ce processus Ie nombre de caleuls

a effectuer

par element de la suite

y (n) croit comme Logz (Nz + N3 - 1) e( il ne faut pas choisir N, (rop grand; si N3 < N z aucun terme de la suite y (n) nlest obtenu directement. Par suite il existe une valeur optimale pour N 3 . Le nombre de positions de memoires necessaire croft comme N3 + N2 + 1. Un bon compromis consiste a prendre pour N3. 1a premiere valeur superieure aN2 telle que N3 + N2 - l ·soit une puissance de deux.

2.6

CALCUL D'UNE TFD PAR CONVOLUTION

Dans cer.taines applications on ne dispose que d'operateurs cap abIes de faire des convollltions pour caleuler une TFD , C'est Ie cas des ,ircllits utilisant les dispositifs a transfert de charges qui permettent defair e des calculs, sallS forme analogique et sur des signaux echantillonnes, a des vitesses compatibles avec les frequences rencon trees dans. Ie dOlhaine des radars par exernple, La relation de definition de la TFD s' ~crit: 1 N-l nk X(k)~- L x(n)e-i""N N n=O En posant

2 • La transformation de Fourier discrete

74

il "ient : kl N-1

X(k)=W 'i convolution

cITculaire

IT'·

_(n_k) l

L x (n)w T w -zn='O

(2,28)

CeUe expression exprime Ie prpduit <;\~ des suites x(n)WT

n'

et W- T . rI g'en suit que Ie caleu! des X(k) peut etre effectue en trois etapes cornprenant les operations sllivantes : n1 ~

multiplication des donnees x (n) par les coefficients W 1:

- produit de convolution par la suite de coefficients W- 2 k'

- multiplication des resultats par les coefficients W T Le processus est represente sur la figure 2J2. Convoluti on par W- n212

Ca[clJ,l d'une TFD par convolution

FIG. 2.12.

Cette methode s'etend au cas au West un nombre c0IDplexe dont Ie module est different de l'unite [9]. Apres la presentation et l'application des' algprithrries' de TFR, cNtaiRs aspects de la realisation vant etre abordes.

2.7

REALISATION

Pour mettre en reuvre les algorithmes de calcul de la TID il faut disposer d' equipements comprenant les elements suivants : - unite de memoire pour stocker les donnees d'entree-sortie et les resultats intermediaires ; - unite de memoire. pour stocker les coeffi,cients de la transformee ; - unite arithmetique capable d' effectuer des additions· et multiplications portant sur des nombres.c.omplexes; - unite de commande pour enchainer le.s operations. Ces- elements de base se- retrouvent dans tQute machine destlnee au traitement nUl.l.lerique du signal, que ce soit en logique cab lee ou en logique programmee. Les particularites liees a. la mise en <;euvre de la TFR tiennent a deux caracteristiques principales : - 'Un volume- de calculs arithm6tiques important; - les permutations a effectuer sur les donnees qui conduisent d' indiGes Gompliques.

a des

calculs

2.7

Re'alisation

75

Les contraintes sont d'autanl plus grandes que l'ordre de la Transformee est 61eve, Le probleme de realisation qui se pose est celui d'une mise en ceuvre efficacedes a1gorithmes decrits dans 1es paragraphes precedents. V ne mise en reuvre efficace est celle qui conduit ·il un taux eleve d'uti1isatiofi des differentes unites de 1a machine et pattiouJierement l'unit6 arlthmetique, On peut itnaglner differents ageneements de circuits et modes d'organisation des caleu1s [10J et [11]. A titre d'exemp1e, un circuit simple pour realiser l'a1gorithme de 1a figure 2.4 est donne par la figure 2.13. Les donnees- x (n) se presentent en serle, la Transformee est d'orclre N = 8.

E

e,~

, , " " '"

- I X:3

' x, '

~,

, x,

I

'x 7

,

L

r-

.---J

e, eJ

."•• ],"

S,

I Xo

, x, , x, , x, > - -

5,

I ·x,

, x,

Fru."2.13.

' X, I X, > - - -

Realisation serie d'une TFR en base. 2

Le circuit comporte un registre M, de 4 donnees, deux registres M~ de 2 donnees et 2 registres M3 d'une donnee. Les dispositifs de commutation, commandes g p~r les signaux C1, C2 et C3 respectivement ,permettent un enehainement conve• nab1e des calcu1s. Les coefficients WP doivent etre appliques aux mu1tiplieurs ·au .<e 8 .§ moment approprie. La figm:e donne les signaux de commande et les signaux d'en-a tree et sertie. Le mu1tiplieur comp1exe est realise il l'aide d'un ensernb1e de mu1tipliems et additionneurs reels qui pour faire l"operation :

•c

1 o

"

2 • La transformation de Fourier discrete

76

effectuent les caleuls suiyants :

c;, ~ aRb R - aib, Cj

=

aR,.bi + aib R

II faut noter qu1il existe une autre possibilite qui c.onduit pour chaque multiplication complexe a:3 multiplications reelles au lieu de 4 et 5 additions au lieu de 2 :

taR + jai) (b R+ jbJ ~ [taR + aJ bR -

a;(b R + b;)] +j[(aR+ai)bR + aR (bi-bRl]

(2.29)

Et meme, si Ie nombre comple.xe bR + jb i est fixe , Ie nombre d'additions a faire se reduit a 3 pour dhaque multiplication. Si Ie debit de donnees est continu et que les calouls de TFR sont a faire sur des biocs de donnees adjacents, Ie rytbme de base des calculs est celui des donnees et l'on peut remarquer que les n'lulliplieuts sont ihactifs pendant la moilie du temps. 11 est possible de perfectlonner Ie circuit pour que les multiplieurs soient utilises a leur capacite maximale, en traitant des blocs de donnees conse-cutifs avec un rythme c\e base egal a la moitie de la cadence des donnees. L'exemple de realisation deerit cl-dessus appelle deux remarques : - Le circuit comprend trois etages de structure diffe-rente, avec des signaux de commande di'fferents; c'est un inconvenient car on 'recherche plutat le$ circuits modulaires, en particulier pour Fintegration agrande echelle. - Les resultats se presentent dans un orllie permute; it faut un traitement complemen'taire pOllr retrouver l'orel-re naturel des indice$. Quand un certain degre d'optimisation est recherche, plutot qu'adapter les circuits aux algorithmes, il est preferable de rechercher des algorithmes compatibles avec le$ contraintes qu'impose la technologie'aUX" circuits. D'autre paTt, en vue de reduire encore Ie volume des calculs arithmetiques, des algorithmes plus sophistiques que la TFR peuvent etre envisages, De plus si les donnees pre·sentent des:particularites, par exemple si ce sont des nombres reels, si des symetries apparaissent, des simplifications import antes peu:vent intervenir. Ces sujets sont abordes dans Ie chapitre suivant, a partir d~une representation unifiee des ·algorithmes de TFR.

77

Exercices

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[10]

H . L. GROGINSKY and G . A. WOR'£5! - A Pipeline Past Fourier Tmnsform, IEEE Trans, On Computers, C 19, Nov. 1970,

[11] E, GO LD and T. BIALh Y - Parallelism in Fast Fourier Transform Hardware, IEEE Trans, AU-21,:W 1, Feb, 1973,

EXERCICES ~ u

1 CalcuLer la Transfohliee de Fourier Discrete. de la suit e c'omportant N = 16 termes

5 tels que:

"••

x (0) ~xCI) ~x (2) ~ 'i("4) ~x(15) ~ 1

'. • ],

•c o c

et de Ia suite:

.<e

•

xeD)

8o

x(n)~6

"0

~

~

x (1) ~x(2) ~ x(~) ~ X(4) ~ 1

pour 5 "' n"'15

:;

Comparer les resu1tats obtenus. Bifectuer 1a Ttans.fonne~ inverse -Sl\I ces resultats:

-g 8"

2 E.tablirle diagramme de 'f'algorithme de TFR d'ordre 16 avec entrelacement temporel et entrelacement frequentie1. Quel est Ie nombre minimum de multiplications et additions hecessai'res?

~

@

2 • La transformation .de FoLirier discrete

78

4 Calculer1 ,en 'utilisant Ie programme donne err annex-e, 1a Transfonnee de Fourier Discrete de 1a suite eOrripottant N = 118 teffiles tels que .: x(Q) = ;,;(1) ~ x (2) = x (126) = x (117) = 1

x(n)=O pour 3 "" n ", 125 Comparer les resultats a ceux donnes par }'exerdce 1. 'La suite X (k) obtenue constitue une approximation du d6veioppement en .serie de Fourier d'-une suite d'impulsions. Rapprocher les re-suItats' obtenus avec les chiffres du tableau de l'annexe I du chapitre 1. Expliquer les differences. Comment evolue l'approximalion si N = 514 ?

4 Soit 4.re41iser llne TFD d'OTdTe 64 aVec l~ minimum d'operatiol1Smitlun6tiques. Evaluer le nornbre de multiplications et d'addltions necessaires avec les algorithmes en bas" 2, 4 et 8. 5 Soit a amilyser la puis-sanc;e du bruit de caleul produite dans une Transformee. d' ordre 32. Montrer, en utilisant les resuitats duoparagraphe 2.3, comment varient les n~sul­ tats sur les diffe-rentes sorties. Calculer la djstornon introduite par une limitation a 8 bits des coefficients.

a

6 Montter qlle chaqu~ sortie d'une 1FD ~ X(k), peut &tre obtenlle partir des entrees x (n) par uhe relation de r€currence. Evaluer Ie nombre de multiplication.s necessaire. 7 Soit arealiser une 1FD d'ordre 64 sur des donnees qui sont des nombres de 16 bits. Evahler la degradation du rapport signal abruit q~and on fait en cascade- une Transformee airecte et inverse, avec une maGhine.a 16bits.

a

a

8 La bande supposee occupee par un signal analyser s'etend de 0 10 kHz. La resolution specttaIe recherchee est de 1 Hz. Quelle longueur d'enregi..strement doit-on p telever pour faire 'line te11e analyse? Quelle capacit6 de memoire. faut-il pour stocker'les donnees supposees (3odees a,.-& bits? l)etenniner les earacteristiqhes d'un calculateur capable de realiser une te11e analy.se spectrale : capacite de memoire, cycle memoire, temps· d'addition et multiplication.

9

Cakuler la TFD de la suite x (n) definie par:

X(l1) = sin 2n

n

~5 +

3,

n 0,2 sin 2 n -5 6,

Pour ameIiorer l'an·a1yse on :p.tilise Il;s' fenetres

g (n)=V+-cos

2:J

avec

suivattt~s

0 ", n ""J5.

:

2.rrn

'g(n)=O,54 -0,46cDs 16 'g'(n)

=O,4~ -

(Hamming)

2M 41'1t 0,5 t os 16 + 0,08 CDS 16

(Blaknfim)

Comparerles resultats de cette analyse.

10 Det;lIirl; ge maniere getaillee Ie fonctionnement du circuit de la figure 2.13. Donner en p'arliculier la sUite des nombres qUi se presentent en sortie de chaque additiort.i1eur et

Exerdces

79

soustracte'ur. Montl'er que pour faire f0nctionner les multiplieurs a ieur pleine capacite, il fautinttoduire, Une memoi:(e d'enttee .slippJemei1taire ~ donner le,s .sig:Q:aux de comh1,ande dans ce cas.

11 Generaliser a la base 4 la r6:::ilisation serie donn6e au paragraphe 2.7. Donner It;!diagramme des temps detaille. Si la Transformee est d'ordre N = 64, si les donnees ont 16 bits et se pre's entent ala cadence de 8 kHz ~ si les coeffidents out 16 bits, e~..pr.imer la puissance de calr;::ul necyssaire I;t Ie volUn1e de memoire pour les donnees et 'les coefficients. Rapprocher ces resultats des caracteristiques d'un microprocesseur courant.

chapitre 3

Autres .a lgor,i thmes de ,c alcul rap ide de la TFR

Lesalgorithmes de calcul rapide de la Transformee de Fourier Discrete (TFD) sont bases sur une factorisation de la matrice- de ceUe Transformee. Cette factorisation est deja apparue dans les aigorithmes a entrelacement tempore! et frequentiel introduits dans Ie chapitre prec€dent et qui sortt des elements d'ljn en~emble d'algorithmes tres varies. Pour apprehender l'ensembie des algorithmes de caleul rapide et pouvojr ainsi exploiter au n'lleux les partiGqlarites· des signaux a traiter et les possibilites technologiques, il est neelossaire. de faire appe1 a un olitil mathematique bien adapte, Ie produit de Kronecker des matrices. En combinant ce produit avec le produit au 'sens habituel il est possible de decomposer simplement to ute matriee de TFD .

3.1

LE PRODUIT DE KRONECKER. DES MATRICES

Le produit de Kronecker est une operation du caleul tensariel ql!i constitue une generalisation de la multiplic.ation d'une ma!rice par un scalaire T1]. Etan! donne deux matrices A lot BRyant respeetivement metp lignes etn et q colbnnes, Ie produi! de Kronecker de A par B, note A ® S, est une nouvelle matrice amp lignes etnq eolannes, que lIon obtient en rempla~ant chaque 61ement b;j de 1a matriee B par Ie tabieau b;j A suivant : bjj a ll

bij a12.

···

bija1n

Ce produi! n 'es! generalement pas commutatif :

3.1

Le produit de Kronecker des matrices

'81

Par exemple, si la matrice Best telle que

Le produit de Kronecker de la matrice A par la mattice Best defin'i par :.

(3.1)

A

Ort peut remarquer en particuIier que Ie produit de Kronecker de Ia matrice unite de dimel]Si.on N, IN' paJ; la matrice uni\~ de dimemion M., 1M ~st egal ~)a .IDa tric;~ unite de dimensionMN:

(3.2) De meme Ie produit de Kronecker d'une matrice diagonale par une- autre matrice diagonaIe est encore une matriee diagonale.. Le produit de Kronecker se combine avec Ie praduit de matrices au sens- habituel, avec les proprietes suivantes, qui vont etre uti.lisees dans les prochains para.., graphes, pourvu que les dimensions soie nt compati\Jles : - Le produit de Kronecker d'un produit de, matrices par Ia matrice unite- est egal au produit des produits de Kronecker de chaquematrice par la matrice unite:

(ABC) ® I ~ (A ® I)(B ® [)(C ® I)

(3.3)

Un produit de produits Be Kronecker est egal aU produit de Kronecker des produits :

(A

B

® C)(D ® E

F)

~

(AD) ® (BE) ® (CF)

(3.4)

- L'inverse d 'un produit de Kronecker est eMI au pJ;oduit de Kronecker des lnverses :

(A @ B ® C)-'= A-' ® B-1

C-1

(3.5)

.'!:::i

§" L ~0peration de transposition a Ia meme propriete que Pinversion:

."••"

Br@ C'

(A @ B

(3 .6)

],

La matrice trans po see d'un pr.oduit de Kronecker esl le produit de Kronecker des matrices transposees . .~ Ces proprietes sont aisement mises en evidence sur des exemples simples; § e11es sont lltilisees pour Ia factorisation des matrices a elements redondants. et en particu!ier les matrices de la TFD [2]. L'entrelacement frequentiel est considere en premier lieu.

•

g

i

l

II faut noter que Ie [acle ur d'echelle n'est pas pris en compte dans' I. sui!.e de ce chapitre. N

3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR

82

3.2

FACTORISATION DE LA MATRICE DE L'ALGORITHME D'ENTRELACEMENT FREQUENTIEL

Dans les algorithmes ex amines au chapitre precedent, l'une des suites, en entree ou en sortie, se trouve permutee; ia matrice qui fepresente eet ·algorithme est une matrice qui se deduit de 'la matrice TN par permutation des lignes:Oll des Golonnes

suivant que l'on considere l'entrelacement frequentiel au temporel [3]. Designons par T~ la matrice qui correspcmd a l'entrelacement frequentie1 et est obtenue par permutation des !ignes de la matrice TN definie par la regie suivante : chaque ligne est nurnerotee en binaire; on inverse }'ordre des- chiffres de ce nonlbre binaire; la valeur du nombre binaire ainsi abtenu indique Ie numero de la ligne dans la nouvelle matrice.. Par exemple pour N ~ 8 il v.ient :

Ts: ~

1

1 1 1 1

W wz W' -1 -W _Wz -W'

1

1 1

1

T~=

-1

1 1 1 1 1 1 1 1

-1

wz -W ~

W -W

W' -W'

1 w~

-1 -W~

1 wz -1 _W2

1 W3 _wz

W -1

-W' W2 -W

1 1 -1

1 -1 _wz W2 -1 wz W' W2 -W' _W2 W _W2 -W

1

-1 1 -1 1 -1 1

-1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1

1 -w wz -W'

1 1 -Wl -W' _wz -1 2 -W W

1 -1 wz. -wz -W W -W' W'

o· ~

0

OiO~2

o 11~3

1

lOO~4 -1 W' 101~5 W2 11 O~ 6 111~7 W

1 1 -1

O .oO~O.

-1

W -wz W'

on

001~1

_W2 -1 Wl

1 -1 _wz wz -1 _ w z -W' _W2 W' Wl -W Wl W

100~4

01n~2

11 O~ 6 o 0 1~ 1 101~5 Oll~3 111~7

On peut remarquer que pour N ~ 2, la matrice T~ est egale a Tz,. matrice de la TransfoTmee d'ordre 2. La matrice T~ se factorise en faisant appaT31tte la matrice TN et 1a matrice

diagonale

2:

D N

dont les elements sont les nombres Wk avec 0. .;,; k

2 N

TN=

[T 2

TifDli 2 2

T i1 -LD' 2·

2.

oS

N -1. En effet: 2

3.1

83

Ualgorithme d'entrelacement fnEquentiel

Cette decomposition apparait cl(limmtml pour T~ par exempJe. Si IN designe la matrice uni te d'ordre

~

2

11 vient :

T'

Tf.r=. [

o

~

au enc.ore :

T' 0

TN=

~

[

En utilisant les produits de Kro.necker des matrices, on obtient pour T.~:

(3.7)

TN= (T;" 2

ou

~N est une matrice carn~e d'ordre N

diagonale, dont 1es. N premiers elements 2

valent 1 et Ies suivants:sontles puissances de W, W k avec 0

~ k~

N -1 . 2

Par iteration on obtient la factorisation complete- :

("'·N 0 I:,)(IN ® T; to 12) 2

..

"'N(IN ®T~)

,-

ou encore ; L%N

."••••

T,,=

I j=l

],

("'2 ' ® IN )(12,., 2'

T z ® IN)

(3.8)

2'

Celte expression montre que Ia transformee se caleule en Logz(N) etapes qui cha· •c cune comprennent: o c - line partie d'arra-ngetnent des donnees' cQrrespondant au facteU'r • .0S o (10,·, ® T z ® IN ) et qui ne comprend que des additions et soustractions, '0

~

~

1 o

@

2< - une partie comprenant les multiplications par les coefficients representes dans Ia matrice (4 2' ® IN )· 2'

3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR

84

L 'etape cmrespondant a i ~ 1 ne comprend pas de mUltiplications. On peut vexifier que totttes 1es matrices ont bien la dimension N. Pour voir comment 1a factorisation se generalise a 1a base 4, il est interessant d~ examiner 1a matrice T~6' obtenue a partir de la-matrice T16 par-Ia permutation suivante des lignes : les !ignes_sont nurnerotees en base 4 ; on inverse l'brqre des chiffres dans les numeros de ligne; la valeur obtenue indique Ie numero de la ligne dans 1a nouvelle matrice. Suivant cette permutation on a ~ T4 = T 4Avec les notationSsuivantes :

Dj= I

1 a a W' Q a 0 a

a

a

(I

0

a

W"

a

W 3i

la rn:atrice de la transformee d'ordre 16 ainsi obtenue s\~crit :

T{6=

T{6=

T4-

a

a

0. 0.

T4

0.

0

0. 0.

T. T tDJ

T4 Tt(-j)Dl

T4D~

T4D~

T, 0

0.

a 0

T,

T4 T4 (-l) Dl

T4 Tt (+ j) Dl

T4(-1 ) D ~

T4l)~

T4 (-1)D ~

T4(+J ) D ~

T4 (-l )Dl

T4 (- J )Dl

14 0.

0. 0.

0.

a

a

D~

0.

0

Q

D 24

a

0.

0.

D'4 14-

SOllS

r.

T4

- J I4

It 14-

+ }14-

-T4

14 - 14 ,]4 - 14

14

+i I4 -14 - ) 14

forme de produits de Kronecker cette expression s'ecrit : T;6 ~ (T4. I8l 14)"',6(14

0 T 4)

(3.9)

est une matrice diagollale dont les 4 premiers termes ont pour valeur L les 4 su\vants W k avec 0 os; k os; 3, ies suivants (W 2) k et (W ')k avec 9 '" k os; 3. La factorisation en produits de Kronecker est a la h ase d' algorithmes ayant des propriHes variees, notamment sur l'ordre de presentation et d'extraction des donnees etrenehainement des o perations. E lle s'app lique aussi !tux transformees partielles qui ont une grande importance pratique.

Alp

3.3

LES TRANSFORMEES PARTIELLES

Les transformees qui ont " e te etudiees dans les paragraphes precedents portent sur des ensembles de N nombres q ui peuvent etre complexes. Dans une an alyse

3.3

Les

tran~formees

85

partielles

spectrale fine it se peut que I'ordre de la transformee N devienne tres grand alars que seuls ~ont interessants a connaitre un nombre reduit de points 911 spectre.. La limitation du calcul aux seuls points utiles peut alors permettre- une. ecorromi"e imp,ortante. Soit a calculer la transform€e partielle d6finie par l'equation suivante Ott rest un diviseur de N : WP

W1J>

W(N-l)P

Xp+l

1 1

WP'+i

W 2(P+l)

W (N-l)(P+l)

Xp+ 3

1

W

W2(P+ 2)

W (N ~ I)(P+ 2J

1

W (E +·r - l )

........

W (N-l )

Xp

Xp H

-1

P -f2

A partin de l' ensemble des dO)1nees, on forme

N

~P H -l)

Xo X, ,t 2

(3.10)

X'N -1

sous ensembles de r terrrles

r

chacun: (Xo, xN ,x 2N,

,

X C,-I)NJ

,

x(r _l)N

)

--+1

(XN

,

--1

'X 3N

,

-1

Sbi~ Dj la matrice diagoh·ale de dimension .. et dont les elemenfs de la diagonale sent les puissances de Wi, soit Wik, avec 0 ~ k ::-:; r -1.

La matrice de la transformee partielle peut etre s'eparee en N salis-matrices r qui s'appliquent chacune a l' une des suites definies precedemment et I'equation matricielle de la transformee s'ecrit : ~-1

,o

,

." "••

N

[xlpfLo DiT,(WP) ; D~7 [x] ;, r

(3.11)

,~

]

~

.i 8 o

au [xlp,,, designe l'ensemble de r nambres X k avecc p l'ensemble des donnees

Xk

avec k

=

<s k '" P +

r - 1 et [x1,,,

n. .. N + i et fl = 0, 1, . __ . r - 1. D ' autre part Tr r .

:;

est la transformee d' ordre r. Par suite si r est un diviseur de N une transf.ormee partielle pOI.tant sur ,r

~.

points se caicule

"0

~

5

o

,@"

des,matric~s

a l'ai,de de

N transforrnees tfordre r auxquelles sont associees r diagonales convenables.

3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR

86

si N el r $cmt des puissances de 2, ie nombre de multiplications complexes effectuerMp s'exprime par:

a

(3.12) Par Tapport i\ 1a transformee glob ale, i1 apparait ainsi que 1a transformee partielle est avantageuse pour N > 16r, done pour 1es faib1es nombres de points a ca1culer. Ce resu1tat est egalement val able lorsque c'es! Ie nombre de points a transformer qui est limite, ce qui est aussi un cas frequent en analyse de spectre. Un exemple courant de transformee partielle est celle qui porte sur des donnees reelles.

3.3 ..1 Transformee de nombres reels et TFD impaire

atransformer sont n~e1s, les prQprletes enoncees au ehapitre 2 indiquent que les nomb res transformes X(k) et X(N ~ k) sont complexes conjugues, c'est-a-dire que X (k) ~ X(N ~ k); alors il suffit de ca!culer I'ensemble des X k

Si le;5 nombres

avec 0 ·"" k ""

~ ~ 1 e( Ie resultat precedent s'applique :

[X1o I'l ~ T I'l [x10 I'l + J) I'lT I'l [x1, I'l ~2

2

' 2

2

2

(3.13)

'2

Dans ce cas precis il est ppssible de n'effecluer qul·une seule fois Ie calc.ul de la transformee TN ' en tenant compte de la propriBi6 suivante de la Transformee de 2

Fourier D1screte; si la suite tTanSformee est telle qU,e :

a transformer

xi< est purement i maginaire, la suite

X(k)~~X(N~k)

Dans ces conditions 1a procedure- po ur Ie calcul de· la tran:?formee dlune ~uite reelle est la s-uivante :

~

Former a partir desx(k) unesuite comp.1exe de

Y (k) ~x (2k)

termes

N 2 ~ 1.

~

Calcu1er la transformee Y (k) de la suite y (k) 'avec 0 "" k ""

~

Calculer les nombres cherches Par l't;xpression:

X(k)~

avec

* jx(2k + 1) avec 0 "" " ""

~

1 )] + 21je 2, [Y(k)+ - (N Y . 2'~k

Nee Y (N) a "" k os 2' Z ~ Y (0).

-jz,o "l" [Y

(N)

2 ~k ~ Y(k)

J

~ ~ 1. (3:.14)

3.3

87

Les transformees partielles

En regroupant les facteurs on peut ecrire so us' une autre forme:

X(k) avec A (k) ~

1

2

~ A(k) Y (k) + B (k) Y ( ~ -

(1 - JWk) el B (k) ~

La !ransformeeinverse s:obtien! en calculant:

1

2

(1 + JWk).

a partir des N" 1 termes X(k) <'lVeC 0 '" k '" ~ ,

Y(k)~ A (k) X(k) + B(k)X(~ pour 0 "'- k "'-

~

-k)

-1, puis en ca!culanl la TFD inverse d'o:rdre

enfin en prenant les parties

n~elles

(315)

k)

(3.16)

~

deces valeurs et

de l'ensemble Dbtenu comme donnees d'indices

impairs et les parties imaginaires c,o mmes donnees d? indices~ pa,irs. Si Nest une puissance de 2, Ie nombre de multiplications complexes M e effectuer s!eh~-ve a :

a

(3 .17) Le nomhre de memoires necessaire est de N positions reelles. La reference [4] decrit en detail un algorithme de ca!cul pour donnees reelles. Une autre methQde pour calculer le~ transformees de nombres reels con-siste a faire appel aux transformees impaires [5]. La Transformee de Fourier Discrete impairet6tablit par definition les relations suivantes entre deux ensembles de N nombres complexes x (n) et X (k) : 1

X(k)~-

N

x(n) ~

N-l

L

~ '21T £2k+ l)n 2N

N-l

~

n ~O

x(n )e " .

(3 .18)

(2x+l)n

X(k)eI2~~

k~O

.;ijj

§ ]I

.~

],

•c

Les coefficients de cette transformee ont pour -affixe les points M du cerole unite tels que Ie vecteur C5M fas's e avec Paxe des abscisses un angle multiple impair de

2"

'2N comme Ie montre la figure 3.11m

o c

• '''8o

"0

~

~

• -g ~

,.

o

@

FIG, 3.1.

Coefficients, de fa TFD impaire

3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR

88

IT

En posant W ~ e-i N la matrice de cette transformee s'ecrit :

Tk ~

1 1 1

W

W2

W'

W 6

W3 (N-I)

W5

WIO

W 5 (N-1)

1

W(2N- 1)

.... .. ...

W (2N-Ij (N-1)

Si les x (n) so nt des nombres recis, on peut ecrire : 1 N'- 1 2 (N -

X(N-l-k)~N ~

1 N

I.

n~O

x (n) e-i '"

N-l

'<'

~

-

x (n) e

WN - J

1 - k) +1 2N

(},19)

2k+l

i'he - - n 2N

n""O

D 'ou Ie Tesultat suivanl : X(N-l-k)~X(k)

(3,20)

Pm; suite les X (k) d'indice pair et d' indice impair sont complexes conjugues; il suffit donc de calcUle r les X (k) d' ihdice pair pour faire une transfor mee sur des n,els, Une telle transformee correspond ala matrice,T R t elle que: N

1

W

W2

1

W5

W-:;

1

W2N - 3

WN - l

5N

"' , ',"'"

(2N -3)N W - 2-

W5(N-1)

W(2N -3) (N-I)

Soh D N la matrice diagonale dont les e lements de la diagonale sont les W k avec 2

o ,,;; k oS

~

-1 et T ~ la matrice de la transformee d' ordr.e

~ , Compte tenu du fall

N

que W

2N ~

1, et W:1

~

- j , il vient :

(3,2l) AlDIS la i ransformee impaire sur des nombres reels se calcule en effectuant une tTansformee d'ordre

~

slir la suite des nomb res'complexes

y (n) ~ [x(n) -jx(~ +n)] Wn

avec noSh""

~ -1,

(3,22)

3.3

Les tran~formees partielles

89

Le rlombre de caleuls est Ie meme que dans la methode indiquee au debut du paragraphe, mais la structure est pl!!s simple. Il faut noter cepenc\ant q!!e les nombres transformes donnent nn echantil10nnage du spectre du signal que represente les -"(n), dec ale d'nn demi-pas d'echantillonnage en frequence. Un cas important oil des simplifications notables interviennent est cel!!i des. suites reelles symetriques. Les reductions de ealcul sont mises en e.vidence par utilisation de 1a transformee doublement impaire [6].

3.3.2

La Tr.ansformee doublement impaire

La. Tran,sformee de Fourier Discrete doublement"Imp'a ire etab lit par definition les relations suivantes entre deux ensembles de N nombres complexes .• (n) et X (k) , , -L

N-I. ~

)

X(k ) ~ N nL: x(n e o

L

k
(2k+ 1)(2n +1)


(3 .23)

' 2 (2k+ J)(2n +1)

N -I

x(n )~

-,2Jr

X (k) e' n

4N

(3.24 )

Les coefficients de cette transformee ont pour affixe les points M du cerele unite tels que Ie vecteur OM fasse "£lvec l' axe des abscisses un angle multiple impair de 2/t - comme Ie montre 1a figure 3.2.

4N

FIG. 3.2.

Coefficients de' fa: TFD doublement impain!'

."•••• ~

•c o c

•

Si les X (n) s'o nt des nombres reels o n veri fie la relation , X (N-l -k)~-X(k)

'1C

g

'0

~

~

•

De meme si les X (k) sont reels alors :

x(N -l-n) ~-x (n)

~

]

§

o

@

n

En posant comme preeeciemment W = e -i N la matriee de Ja transformee slecrit:

3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR

9()

1

5

Wz

W I,

3

Wz Tl!

~

W3("-~)

15

9

We

5

Wz

N- ~

W 2

We 25

15

We

W5 (N-})

We

(3.25)

WN-~ W3(N-~) Vne·rene transforme e se factorise comme suit :

1 W eb

1 W'

W'

W8

W2(N-l)

::t:~:; 1 W2(N-1; (N - 1)

Ll C'~st-a.-dire que

: 1

Tl!~W 3 DNTNDN

(3 .26)

Considerons Ie cas ou la suite des donnees ,y-(n) est une suite n~elle et antisym,e trique, c'est-a-dire quex(n) ~ - x(N -1 - n) ; alars il en est de meme de la suite X (k ). La suite des x(n ) pour n pair est egale a la suite des x (n) pour n impair au signe pres ; de meme POljf la suite des X (k ). Pour calculer la transformee il suffit dans ce cas de mener les calcu ls sur les x (2n ) avec 0 "" n ""

i-

1 puisque les X (k) sont des n,ombres reels ; d 'autr.e

suffit de faire ces calculs sur les X (2k) avec Q '" k "" La matrice correspond ante T RR s' ecrit ~

1

TRR ~ Wz

[' 0. 0

0 W2 0

0 0

i-

1.

p ~rt il

Les tran~formees partielles

3.3

91

1

1

1

1

1 1

W2 W'6

1

W8(~-1) W8(~ -1) (~-1)

'0

0

W8(~ -1 )

a o

0

Compte tenu du fait que W2N = 1, il went '

T '"4

1 TRR =

W 2: DN

T"-] 4

DN

(3,27)

[ TN T~2'

2

4 N

Et cOIiulle W 2,.- = - jee c,aleul peut etre conduit en ll'effectuant qu' une seule fois les operations· representees par 1a matrice TN sur Fensemble de nombres 4

(

x(2n) - jx 2n

N)

+:2

avec 0 '" n '"

4N-1,

Les

4Nnombres

obtenus sont des

nombres complexes dont les parties reeHes constituent l'ensemble des X (2k) avec

o ""

k '"

~

- 1 recherch€es', En effectuant l' operation definie par T RR pour

nombres transformes de rang 2k +

~

avec

0 "" k

'"

~

le~

- 1, on peut verifier que

Pon obtient les nonibres precedents multiplies par - j; c1est-a-dire que 1a partie ima-

ginaire des nombres obtenus precedemment, fournit l'ensemble des X(2k +

~ ~

,o

"••

'.

,'en suit que la transformee doublement impaire app'liquee a une suite de N termes, teelle antisymetrique, au a une suite symetrique rendue antisymetrique par un changement de signe convenable, se roouit al'equation :

[X

(2k)

+ jX( 2k + ~)] = W~D" T"D,,:[X(2n) 4

],"

•

o o c

•

S o

N

elements spnt les W·2j avec ,b ~ l ~ -

4

~

~

4

jX( 2n + ~)]

4

(3,28)

'

avec 0 '" k ,'" N - i 0 '" n "" N - 1 et ou D est line mat rice diagonale dontles , 4' 4 ~

'D-

]

~), 11

- L.

Ly nombre tie multipliGations complexes necessa'ire Me Me =

s~eleve

Nlog 2 (N) 8 * 2 4N 8Nlog 2 (2N)

8

=

a: (3,29)

3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR

92

Les comparaisons de volume de calculs entre les differentes transfo rmees conduisent au tableau 3.1 :

Tableau 3.1- Q >JANrrrEs DE ·CAr;CULS DANS-DNERsES TFR. mllltipliq~tions ~6mpl~~ ~s

Md\tiOus

qe..m~mo.ira

N log, 0N)

2N

TID complexe

~ log, (~)

TED impaire.-donnees reelles

Tlog, (N)

N 2 log,

TID doublement impairedonnees d:elles paires

N s log2(2N)

N . (N) T log, 4

N

Pos\ti'6ns

cQrnplex e.!]

C~ 2)

N N 2

-

L'interel des transformees imp aires apparai t olairement. Jl faul c,,;pendant noter que d'autres algorithmes pe rmettent d'obtenir avec les donnees reelles et reelles symetriques des reductions encalcul un peu superieures ['7], mais sans aVoir la facilite de mise en ceuvre, en particulier pOlir les realisations rrrarerlelles·, qu~of­ frent les transformees impaires. Une particularite Be la transform6e do\!blement impaire appliqlJee Ii line sllite reelle antisymetrfque est qu~ elle est identique a la transformee inverse; il n1y a pasde distinction, mis

a part

l'e facteur d'echelle

~,

entre transfo rmees directe et

inverse dans ce cas. La transformee de Fourier d'une s1.:lite reelle symetrique intervient par exemple dans Ie cakul de la deLlsite spectrale i\nerg6tique d'un signal a partir de la fonetion d'autocorrelation.

3.3.3

les Transformees discretes en cosinus et sinus

Les transformees considerees jusqu'a present a nt des coeffidents complexes. Des transformeeS' discretes de la meme famille peuvent etre obtenues partir des parties n~,.e lles et imaginaires des coefficients comp lexes. On peut ainsi d6finir :

a

• Uue transformee de Fourier Discrete en cosinus (TFD-cos) : 1 N

XFd k)~-

) L x (n) cos (2rt!lk --

N-! . ~o

N

(~.30 )

,. Une transformee de Fourier Discrete en sinus (TFD-sin) :

1

X.FS (k) ~ N

n;o x (n) sin (2rt!lk) -N

N-!

(3.'3 1)

3.3

93

Les transformees partielles

• Une transformee en cosinus discrete (TeD) :

XCD(O) ~

Vi

N-I

N 'n~O x (n)

()

(21t(2n+l)k) X CD (k) -- N2 N~' /::'0 x n cos 4N

(3.32)

alaquelle correspond 1a transformee inverse: 1

.

x(n)= ,rXCD(O)+ y2

N-1

L

k~l

XCD(k)cos

(21t(2n + l )k) 4N

• U ne transformee en sinus.discrete (TSD) :

(k) =

X SD

~

i,'

2 N x (n) sin ( 21t (n + 1) (k + 1) ) N + 1 n~O 2N + 2

(3.33)

A l' aide de manipUlations comparables ~ celles des donnees dans les paragraphes precedents, on peut etablir des relations entre la TFD et ces diverses transformees ainsi qu'entre ces transformees elles-memes. Par yxemple, d'apres les definitions, il vient : TFD (N) ~ TFD-cos (N) - j TFD-sin eN) Considerant la transformee en cosinus, il vient : N/2-1

XFd k) ~ n~o x (2n)cos

(21tnk) N/4-1 N/2 + n~o [x (2n+l ) +x (N -2n-l )J cos (

21t(2n +'l)k) 4.N/4

c'est-a-dire que la transformee en c.osinus d'ordre N peut 's e calculer a l'aide d?urte transformee en cosinus d'ordre ;~

TFD-cos (N) ~ TFD-cos (~) + T CD

• XCD(k)~ ~ •

N

Nt' [x (2n ) cos 21t(4n+l)k 4N n=O

'<e

?

8o

+x ('~n.+

"0

~

~

~

(~)

De memela transformee en cosinus discrete (TeD) -~'eGrit :

],

g

et d'une transfonnee discrete d'ordre N /4, soit

sous.forme concise :

]

• ·m

~

c'est-a-dire

qu~ e.n

posant, pour 0 ~ fl.~N/2 -1 :

yen ) ~x(2n) yeN -n-l) ~x(2n + 1)

1)

cos

21t[4(N-n-l)+1]k 4N

3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR

94

il vlent;

·X . (k) _ 2 L CD - N

N~l ( ) 2rr(4n + i )k ~ y n Gas 4" n=O 1,

et en develappant Ie cosinus :

TCD (N) ~ GaS

!~ TFD-GOS (N) - sin ~~ TFD-sin (N)

ce'qui s'ecrit egalement, en fauction des donnees et sous une forme concise :

TCD(x) ~ 2e(k) Re {e- i ,(O)~

-aveC-

;~ ·TFD (y)}

(:>.34 )

1

V2 el9(k)~1pourk~1, ... , N-1.

Atnsi, 1a transformee en COSlnUS discrete d'ordre N peut se calculer a l'aide d'Ll:ne transformee de Fourier discrete de meme Drdre. Compte tenu du fait que seule la: partie n~elle est utilisee dans Fexpression ci-dessus', on peut meme calculer 2TOD, en utilisant egalement la partie imaginaire. La meme methode s'applique a la transformeeinverse et on peut calculer 2TCD inverses avec une TFD inverse, en effeGtuant les operations indiquees it laiigtlre 3.3. Les relations enlre les varia bles :

FIG. 3.3

Calcul de 2 TeD inverses avec u.ne TFD inverse de m({me dimension

it I' entree de la TFD inverse sonl les suiv.nles [8J :

.

So~

Co(xr) + 100 (X2 )

v'2

2 Sk

; SNfl ~

~/2 (Xl ) + j CNfl (X2)

~ {[Ck(X , ) + ~ _ k(x2 lJ GOS ( ;~ ) + [~~ k(Xl) ~ ~~ k(X2)l sin ( ;~ )} + j {[Ck(X1) +

·avee k

~

V2

~-k(Xo)l sin (;~ }r [Ck(x2l - ~-k(Xl)J cos (:)

1, .. " N -1 ; k;., N/2.

De meme en sortie de la TFD inverse,:

-t, (2p) = Re (s(P )) ; X, (2p + 1) = Re [seN - p - 1)); x2(2p) ~ 1m [s(P)); x 2 (2p + 1) = 1m [s(N - p -1 ))

3.3

95

Les transformees partlelles

La methode permet de reduire la quantite de caleuls en compression d'images, par exemple, Parmi les transformees a coefficients reels, on peut aussj mentionner la transformee, dite de Hartley discrete (TOO), definie jOar' : 1

XHD(k) ~ N

n~O x(n)

N-1

[

cos 21t

k

k]

~ + sin 21t ~

(335)

et pour 1a transformee inverse :

x(n )=

N-1

L

k~O

[ nk nk] XHD(k) cos21t-tsin21t-

N

N

La liaison avec la TFD est donnee par [9] : 1 . X (k) = 2: [XHD(k) +XHD (N ~ l-k)~}(XHD(k)-XHD (N -l-k))]

(3.36)

La transformee en cosinltS cliscrete est utilisee en compression de l'informatique, notamment en tr.aitement d1images. En effet, elle fournit pour les ·signaux d'images une approximation de la transformation propre, qui permet de representer un.signal par Ie minimum de cornposantes. Ce pouvoir de compression provient du fait qu'elle elimine les discontinuites de bord de la TFD mentionnees au paragraphe 2.1, car elle correspond a I. TFD d'une suite symetrisee. Pour pouvoir effectuer cette symetrisation avant d'.appliquer la TFD, 'il faut eviter d1avoir une valeur a l'indice zero, c.e qui est obtenu en prenont la suite u (n) telle gue: u(2p)~O

; O<>p<>2N-l

"(2pt1) =u (4N-2p ~ 1 ) =x(P)

; O<>p<>N-l

La TFD d' ordre 4N de la suite u;(n ) conduit, apres simplifications, a'l'expressibn (3.32) .

3.3.4 La transformee en cosinus discrete a 2 dimensions .:ijj ~

,

La tr.ansformee en cosinus discrete a deux dimensions (TCD-2D ) est definie, pour un ensemble de N X N donnees reelles, par les equations:

."••••

2 4e(k~: C~) :~: ~t>(n"n2)

X('s,k )=

],

•c

21t(2n1 + l )k,

o

cos

c

•

4N

cos

21t(m, + 1) k2 4N

(3.37)

'1C

8 -§ ~

~

3

et: N -1

x (n1, n,) = L

kl =0

N -1

~ E('s) e(k,) X (k ~)

k;~O

"

cos

.(21t ('Zn1 +1)k1 ) 4N

cos

(21t(2fl;;+ 1)k,) 4N

3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR'

96 aveC :

1

e(k)~;fi

pour

k~O

e (k) ~ 1

pour

k,* Q,

Cette trans-formee est separable et peut erre calculee de la maruere suivante :

L-)~"I (k) N~' X (' k:l"/}2 N e" 2 kJ

n,~O

COS

21t(2n2+1)1<:, 4N

Ainsi la lransformee a deux dimensions 5e caleule en utilisant 2N fois l'algorithme corresponciant it 1a trahsformee TeD it Une dimenSion et Ie nombre de multiplications [eelles it effectuer est de lCordrede N"log 2 (N) , En 'fait, celte valeur peut etre aheinte, notammen! en faisant appcl a un algorithme base sur la reduction d1llne TCD d'ordre N it deux TCD d'ordre la valeur

!

~

[10]. Il est meme possible d'atteindre

N2 log 2 (N) en h'utilisant pas la propriete. de separatibilite de la TCD-2D

mais. en etendant

a. deux dimensions le p.rincipe d'entr.elacement par

tion de, l'ensemble des N x N donnees en ensembles de Appliguee

a uhe

~x~

decomposi-

donnees [11].

image, la TCD-2D fait apparaitre les frequences spatiales.

Par exemp1e, pour une ligne vertic ale d6finie par: x(n"n,)~

1

N;

n,~Q

x (n"n2) ~ 0; n, '" 0 les valeurs transformees X(k" 1<:,) s'annulent pour k2 ,. O. On verifie egalement qu)une diagonale constante est transformee en une diagonale constante 1 la' matrice unite est un element propre de 1a tran$formation.

3.4 TRANSFORMEE AVEC RECOUVREMENT La fonction de filhage de la TFD peut etre al)1elioree en considerant des tmnsformees effectuees sur des blocs de donnees qui se reoouvrent [12]. Soit un bloc de donnees de longueur 2M, double de l'ordre M de la transformee. Au temps n, Ie bloc de donnees traitees est represente par un ensemble de 2 ve<;teurs a M elements designes par Xln) et X2(n) comme Ie montre la figure 3.4.

3.4

Transformee avec recouvrement

97

temps n + 1

•X

X,(n + I)

Xj(n) ,

2(n

•

+ I)

X 2(n)

.

,

temps n fig. 3.4.

Recouvrentent des blocs d£. donnees

Au temps (n + 1), Ie bloc de donnees com porte la moitie des donnees du bloc precedent, c'est-a-dire que X,(n + 1) ~ X,(n). La ttartsformee avec recouvrement permet de restituer les vedteurs. Xln) et X 2(n). Sa matrice comporte 2M !ignes et M colonnes et elle correspond aux operations suivantes, sur deux blocs consecutifs ~

(3.38)

el

0\1. A 'et B sont deux matrices carrees:de cote M. S'j ron considere main tenant

les operations:

[N]U". [ Yl(n+l) ]~[A' l u (n 1) B'

Yl (n) ] ~ [ Y2(n) B'

Y2

+

(3.39)

2

on obttent: 1

Z:[Y2(n) + Y , (n+ 1)]

~ [B'AX,(n) +B'BX2(n) + A'AX., (n + 1) + NBX2(n + 1)]~ 5

l c

"0

'li

•

Pour retwuver les ,"onnees d'origine

X 2(n)

a la

fin du temps (n

(3.40)

+ I),

G'est~a"dire

~ ~ [Y2 (n) + Ylen + 1)], U faut que les conditions suivantes soient veTifiees: B'A~

NB ~ 0

~

,.

1i o

@

~2 [B'B' + NA] ~ I M

(3.4n

3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR

98

Par exemple, ce-s conditIons sont verifiees si les elements de la matrice' LA, BJ de la transform6e sont tels que:

iT

ani( =h(n)\j 1).1 c6.

[(n + M 1) M1t ] , - 2+ - 1)('k + '2

o ,; n ,; 2M -1 ;

avec

h{n)

0 ,; Ie,; M - 1 et

~- sin (n + ~)--"2 2M

E n fait, on a obtenu un bane de M filtres orthQgonaux et les termes h(n ), sont les coefficients du filtre prototype qui, dans l'exemple est un fillre passe-bas en sinus dont la re-ponse en frequence donnee a,u paragraphe 5.8, est plus selective que celie du filtre de 1a TFD, En compression d'image, les transformees avec reCQuvtement prodl1isent un lissage et permettent de reduire les effets dits de hlocage, l

3.5

AUTRES ALGORITHMES DE CALCUL RAPIDE

Les algorithmes de TFR constituent une technique pour calculer une TFD d'ordre N avec un nombre de multiplications de l'ordre de N log 2(N), Dans les paragraphes precedents, il 'a ete montre que ce.s algorithmes ont une structure relativement simple et offrent suffisamment de souplesse pour qu'une bonne adaptation aux contraintes d'exploitation et aUx caracteTistiques technologiques puisse etre ,a'isement atteinte, \i'pu leur grand interet pratique, Cependant ils ne constituent pas la seule methode de calcul rapide de la TFD et l'o n peut elaborer des algorithmes qui necessitent, tout au moins tialls certains cas, un temps de 'calcul tnoindre ou Un no.mbre de rnultip1ications plus f~ible, au qui sont applicables quel que so it Fordre Net pas obligatoirement une, puissance de deux, ' Une premiere approche cons~te a remplacer les multipIications cotnplexe$', coCiteuses en circuits ou en temps de machine, par un ens,emble d'Qperations plus faciles a mettre en' ceuvre. La reference [13J decrit une technique qui utilise une caracteristique de la TFD mentionnee au paragraphe 2.4.1, Ie fait gue Ies operations de multiplication par les coefficients W k, correspondent a des rotations de phase, La technique dlte CORDIC (caleu! numerique a rotation des coordonnees) permet de realiser ces rotations par un enchalnement d'op6ratiorts simple$ : pour faire tourner un vecteur (x,

y)

d'un angle 8 avec la precision 28n ' on opere une

suite de n rotations 61ementaires d1angles d8 j et -

t~ls

que tg d8 i -= 2- i avec 0 ~ i ~.n

-1

~ ~ 8 ::-:-; ~. Les coo.rdonnees Xi et Yi du vecteur a l iteration i cong.uisent aux

coordonnees

1

a1'iteration i + 1 par les relations :

3.5

99

Autres algorithmes de ca/Cul rapide

Xi + 1

= Xi + signe [8J .yj 2,-i

y, + 1 ~ y, - signe [e,].x,2-'·

(3.42)

fl, + 1 ~ fl, - signe [9,l. de, La fonction signe [8;] est Ie signe de 8, et on prend 80 ~ - 8. Ces operations ne comportent que des additions avec decalages, elles peuvent etre plus avantageuses que la multiplication complexe de meme precision. Le ealeul d'une TFD d'ordre N avee un volume de multiplications qui soit de l'ordre de N, au lieu de N log 2(N), peut etre obtenu par une factorisation de la matrice TN d'un type particulier. En effet la malrice TN peut se decomposer en un pmduit de trois f"cteurs :

au AN est une matrice de dimension J x N, avec J entier, CN est une matri'ce diagonale de dimension J et BN une matrice de dimension N x J. L a paJ'ticularite de cette factorisation reside dans Ie fait que les ele" ments des matrices AN et BN sont 0, 1 au - 1. Dans ces conditions Ie calcul demande J multiplications. Far exemple la multiplication complexe. se. met'sous cette forme :

[~

Q a+b

-1 0.

o

c.e qui permeJ .de Fdfectuer avec- :3 multiplic.ations reelles seulement Com me indique au paragraph" 2:7. Celte decomposition est evidente pour J ~ N '\ par, exemple pour N = 3, il vieJ;lt : 1 1

." T3~ l ~ ,o

"••

],

•o o o

•

1 1 a 0 0 0. 0. 0. 1 r 1 .0 0 0. 0 0. 0 0. 1 1

.Q

n

0 1 1 W

W2

a

1

W2 W

1 0. a1 a 0. 1 0 0. 1 0. 0. 1 0 a1 0. O.

D 0 1 0

0. 1 0. 0 1

'1C

8o

]

~

Avec certaines valeurs de N faibles, il existe des factorisa tions tellts que 1 soit de l'ordre de N, alors il en est de meme du nombre de multiplic.ations. Pour generalio ser cette propriete et rnettre en evidence une f;:tctorisation de TN convenable il £aut operer une permutation des donnee~ avant et apres transformation. Par exemple, pour N ~ 12, en posant :

3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR'

10Q

Xo Xg

Xa X,

X4 X ' ·~

et x'=

Xi XJ O

X 7. Xs

X,

X2

Xu

et en faisant appe1 aux produits de Kronecker de matrices, on verifie que:

., T) 4 ,x De, meme. 81 N s_e

de.compose~ en

L facteurs pre-hliers entre. eux :

On peut monTIer que : (H~)

En utilisant la factorisation definie precedemment pO\lf les matrices prietes a\gebriques des produits de Kronecker, it v ient :

T", et 1es pro-

Ce resultat definit un type d'algorithme, appele algorithme de Winograd, Il apparall c1airement que l' algorithme d'ordre N se deduit des algorithmes d'ordre N; avec 1 '" i '" L; d'ou l'importance des algorithmes a faible nombre de multiplications P,Qur les petites valeurs de N, La reference [14] donne des algorithmes pour N ~ 2,3, 4,5,7,8,9,16, au Ie nombre de multiplications est de l'mQre de N, comme Ie montre 1e tableau 3.2, Dans la colonne des inultiplications, les chiffres entre parentheses dannent 1e nombre de multiplicatio ns par des coefficients differents de 1, De plus ces multiplications sont des multiplications complexes qui correspondent a deux multiplication" noelles, Le nombre d'additions est comparable a celui des algorithmes de TFR Les algorithmes pour les faibles valeurs de N sont obtenus en calcu1ant la Transfo.rmee de Fourier Camme un ensemble de' correlations : N ~l

Xk

~

L

n =1

(xn -x,o)Wnk;

k~ 1, "" N-1

3 .5

Autres algorithmes de calcul rapide

Tableau 3.2. -

101

NOMBRE D~ 0PERATIONS DANS LES ALGORITIIM;ES

DE WINOGRAD D'ORDRE

O.rdre

N SAIELE.,

Multiplicatiens

dl< la TIm 2 3 4 5 7 13·

2 3 4 6

9

16

Additions

(0) (2) (0)

2 6 8

(5)

17

g

(8) (2) (10) 18 (10)

36

8 11

26

44 74

et en utilisant'les propri"les algebriques de l'ensemble des exposantsde W, definis moduloN. Par exemple, pour N ~ 4, l'enchalnement des operations est Ie suivar\t: t1 =Xo + x2!

t2= .\1. +x 3

mo~1.(~

m l = 1. (11 -12)

+,,),

me =1. (XO--"2)' m3= j(X,-X3) X o= ·mo Xl = 1112 + m 3 X2 ~ml X3~~-m3

PourN =1\ : ~=~+~

t4 = X1 -X5'

t1 + t')"

t7 ~

~~~+4

~~~+~.

+ x7 , + tS t

t6=X3-X7'

t5 =X3

t8 = t3

~ 1. (1,

"••

mo ~ 1.(1, + '8),

ml

m2 =1.(11-12).

'/J13 ~

•c

m 4 = cos

"].," o c

cn·

(14

- 18), 1. exo - x 4 ),

-16),

•

.<e

8o

"0

~

:; s1=m3+ m 4' s2= m 3·-m 4, s3=m6+~ Xo=tno ,· Xl = Sl + S3) Xl =m2 + m s ,

~

~=mv

Xj

=S2+ S4_'

X 6 = in 2 = m:s,

s4=m 6 -11'lrX3 = Sz -S4

X7=Sl-S3'

3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR

102

Finalement les algorithmes de Winograd apportent une reduction du volume <,Ie aaleul, qui peut etre importan!e, par rapport aljX algorithmes de TFR. Il en est de meme pour d'autres algorithmes, CDmme ce.ux qUI consistent autiliser les transfOTmees polynomiales [15]. Ces techfiiques peuvent apparaltre interessantes dans certaifle$ applications, mais il fllut bien Doter qu'elles peuvent conduire a une plus grande capacite de memoire et aun enchainement plus complique des operations, se traduisant par un accroissement dl! voll.!me de materiel de I'unite de cbmmande du systeme au de 'la taille des memoires de programme. Vne autre voie· sed\lisante dans la recherche de I'optimisation uu traitement et des,machines, est celle qui fa,it appel aux transformations ·algebriques.

3.6

TRANSFORMEE DE FOURIER BINAIRE - HADAMARD

La transforrnee de Fourier discrele et ~es variantes necessitent une quantite de caiculs qui pelit etre jugee excessive pour certaines applications 1 certains traitements d' images en temp. reel pur exemple. Alors, on peut faire appel a des' transformee. ayaJ,lt des proprietes comparables, mais sam; mult'ipikatlon..s, cQrnme la translormee dite de Fourier binaire ou Hadamard [16]. La transfonnee de Hadamard d'ordre N ~2M est definle lJar la matrice H", qui se deduit de la TFD d' ordre 2, T 2 , par produits de Kr,me-cker:

H, oT' ~l:

"1,n,ot,0T'0[l

1

1

-1

l

1

-1

-1

-1

11 ;

-1 -1 1

HN~T2

(3 .44 )

C'est une transformee reelle, sym€trique et ortliogonale:

I.es algorithmes rapides sont les memes que pour la TFR, avec les croislllons mais sans les multiplications. Sur Ie plan du filtrage, Ie bane de filtres: obtenu est beaucoup moins selectif que celui de la TFD ~ car les fonctions elementaires comportent une frequence et des harmoniques. Par exemple, 1a figure 3.5 represente Ie module de 1a transformee de Fourier de la ligne 31 <,Ie la matrice H 64 .

103

Les transformees a/ge'b riques

3.7

Amplitude

.0,5 0,45

0,4 0,35 o, ~

0,25 0,2

0,15 0,1 0,05

J

°°

I 10

20

30

40

50

60 Indice (0 - 63)

Fig, 3.5.

Sp ectre du wde 31/64 de Hadamard

Les matrices de Hadamard trouvent un domaine d'application inlportant en radiocommunications. mobiles) car les elements sont utilises comme code:$. a'etalement dans les systemes bases sur l'etalement de spectre.

3.7

LES TRANSFORMATIONS ALGEBRIQUES

La transformation de Fourier conduit a faire des operations arithmetiques dans Ie corps des nombres complexes; les machines qui realisent ces operations utilisent generalement des repre§entations bin aires qui sont des approximations des donnees et des coefficients. La precision des ealculs est fonction du nombre de bits disponible dans la machine, • En fait une machine a B bits effectue des operations sur I'ensemble a 2B elements des entlers : 0, 1, ... , 2B - 1. Dans cet enSemble les lois d'addition et multiplication habituelles ne peuvent etre respectees, il faut introduire Ie decalage et la troncation qui g entra1nent des appTO.ldrnatians dans les caleuls, camme inclique au paragraphe 2.3 . .~ La premiere condition a remplir pour que les caleuls soient exacts dans un S ensemble E est que Ie produit ou· la somme de deux elements de l'ensemble E -@ -a appartiennent a cet ensembie.. Cette condition est verifiee dans l!ensemble des c"l entiers 0, 1, ... , M - l .. i les ca1culs sont faits modulo M. En choisissant convenab1e'ri ment Ie module Mil est possible de definir des transformations ayant des proprieo ," les comparables a celies de la TFD et permettant 1e calcu! de convolutions sans "@ erreur avec des algosithmes de oaleul rapide.

"

3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR

104

La definitio n de telles transformations repose sur les propri6tesalgebriques des entiers modulo M, pour certains chaix de M ; on peut les designer par transfo r-

mations algebriques. Le choix du module M est regi par les considerations s uivantes :

a) SimpliGite des caleuls dans une arithmetique modulo . Dans son principe, uno. arithmetique modulo implique une division par Ie module M . Cette division est triviale pour M = 2m; elle est Ires simple pour M = 2 m ± 1, car il suffit pour obtenir Ie resultat d 1aj buter une retenue (arithm6tique en co:mplement a un ) OU de la sOliStraire.

b) Le module doit eire suffisamment grand. Le resultat de 'la convolution doit pouvoir etre represente 'sam. ambigui.16 dans llarithmetique modulo M. Par exemple, une convolution a32 termes avec des don-

nee$ a 12 bits et des coefficients a 8 bits impose M > 2 '5 c) Proprie!es algebriques Gonvenables. L'ensemble des entiers modulo M doH presenter des proprieles algebriques perIPettant de dMinir de~ transformations comparables a la TFD. D'abord il doit exister dans Get ensemble des elements periodiques, pour que ['on puisse elaborer des algorithmes de calcul rapide ; it faut disposer d'un element oo tel que .: On peut alors definir une transformation par l'expression ; N-l

X(k)=

L

n=O

(3. 45)

.v (n)a. nk

Pour que la Transformation inverse, d6finie par l'expre:;;sion ; N-l

x (n ) = N-l

L

X (k)a.- nk

(3.46)

k= O

existe, il faut d'abord que N et les puissances de a possedent des. inverses. On demontre que N a un inverse modulo M si N et M sont premie rs entre eux. Ltelement a doit etre premier avec M et d'ordre N, c'est-a-dire ql)e aN = L L'existence de la transformation inverse implique de plus une condition sur les ai, c.' est-a-dire que: N-l

L

k ~O

a.;k=Ni5 (i ) avec

Il (i ) = 1 si ll(i)=O .si

t' = 0 modulo N i omodulo N

'*

Cette condition se traduit par 1e fait que les elements

n- aI ) deivent posseder

un inverse. On qemontre que l'ensemble des conditions pour l'existence d'une tnl,nsformatiqn et de son inverse se ramene ala condition sulvante: pour tout facteur pre-

mierP deM, il faut que N divise P -1. Ainsi , ~iM est premier, N doit diviser M-l. Des algorithmes de caleul rapide peuvent etre elabores si N est un nombre composjte, en particulier si Nest une puissance de 2 ; ces algorith:mes sont semblables a Geux de la TFR. .

3.7

Les tran~formees a/ge'b riques

105

D'autre part les calculs a faire dans la transformation se trouvent considerablement simplifies dams Ie cas particulier ou ()( ~ 2. Fjnalement un choix du module M tres interessant est Ie suivant:

quand M est premier. Ce. nombres sont les.nombres de Fermat. Une transformation algebrique basee sur les nombres de Fermat est detinie comme ·suit ~ - M odule M ~ 22m + 1 .Ordre de la Transformee : N = 2 In + 1 - Transform~e directe :

~

1>1 . 1 X (k)~

L,. x(n)2nk n ~O

- Transformee inverse: N-l

x(n)~(2()

L

X(k)2' nk

ave,c

t~2nH l-m-l

k=O

CeUe transformation permet de calculer des convolutions de nombLes reels" comme la Transformation de fourier Discrete, mais aVec les avantages suivanls_~ - Le resultat est obtenu sans approximation. - Les operations portent sur desnombres reels. - Le calGul de la transfQrm6e et de son inverse ne neGessite allcune mtiltiplication. Seules restent les multiplications dans l'espace trans forme.

,o

."••"

Cependant cette technique presente des limitations importantes. Les calculs etant eXacts, Ie moduie M doit eire suffisammenl grand, ce qUI cangult ii des nombres de grande longueur. Les·Telations entre les parametres M et N donnees ci-dessus, i-rpposent que les

calcul~ soient faits

avec un nombre de bits B de i'9rdre de

~ ; c'est-ii-dire que ie

~ nOlilbre cle termes de la convolution est approximativement Ie double du hombre

§

de bits des donnees dans- Ie calcuL L'applfcation S,e. trouve par suite- restreinte aux convoiutions (:;omportant peu de termes. '1C 8 Le domaine d'application des transformations algebriques peut etre elaTgi en .§ faisant appel a d'autres nombres que les nombres de Fermat, ou encore en traitant :; les conv.olutions a grands nombres de termes comme des convolutions a deux 1i dimensions [17]. La reference [18] d6Qrit un exemple de realisation. §Les· transformations algebriques sont utilisees en cod age correcteur d'erreur, o
~

~

3 • Autres algorithmes de (alcul rapide de la TFR

106

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J, H . MAe CLElLAN - Hardware Realization of a Fennat Number T ransform. IEEE Trans. Vol. ASSP-24, June 1976.

,Exercices

107

EXERCICES 1 EifectlleF 1" pTgduit de Kronecker A <8l Ig, de 1a matrice A telle que: A~

par la matrice uniteI3 de dimensi~n 3. Effectuer Ie produit I3 ® A et Ie comparer au precedent . .2 En prenant des matrices carrees- de dimension 2, vecifier Ies proprietes dys proguits de ,Kronecker des matrices donnles au patagraphe3.1. 3 Bcrire Ia factorisation de Ia matrice sela TFD d'ordre 64 en base 2, en base 4 et en base 8, st}lon la procedury donnee au paragraphe J .2. 4 En utilisant l'entrelacement temporel t factoriser Ia matrice. de Ia TFD d'ordre 12. Quel est Ie nomBre minimum de multiplications et ad'ditions necessaire.? :Berire. Ie pro~ grainme de calcul. 5 Fa~toriser Ia matrice de.'la TFD d'ordre 16 en base 2, dans les deux <>as suivants : - Ie.s donneys se presentent en entree et s ortie. dans l~ordre naturel, - les-etages de calcul soilt identiques. Donner, dans Ie demier cas, un schema de realisation en utilisant comme memrnres, des registres a decal.age. 6 Soit a _cakuler une Trnnsfonne:e de Fourier Discrete d'ordre 16 port ant sur des donnees reeiles. EciiTe l'algorithme qui utilise une TFD d'ordre 8, pour ce calcu1. Ecrire.I'algoritbme base sur Ia TFD impaire. Comparer ces algorithmes et Ies nombres d'operation s-. 7 Soit a calculer uhe TFD d'ordre 12, en utilisant une factorisation du type donne au paragraphe 3.6 et avec les permutations indiquees pour les donnees. Ev_alller Ie nombre d'operations et Ie compurer aux yaleurs trQuvet}s dans L'eXeItice 4. ·8 Pour effectuer la convolution circulaire des deux suites : x

h = (1, 2, 0, 0), on utilise. une transfonnee algebrique de module M

',. •

]

•c o c

•

'1C

8o

"0

~

~

• -g ~

§

o

"

(2, - 2~ 1, 0) et 17 et de coefficient

=

4, C0ll1111e N ~ 4, verifier que aN = 1. Ecrire la matrice de la transformation et de Ia transfonnation'inverse . V6ifi.er qlle Ie re.sultat chen::h~ e1itla s\.lite ,Y= (2, 2, -J. 2). C<~

"••

=

Chapitre 4

Les systemes lineaires discrets invariants dans Ie temps

Les systemes lineaires discrets invariants dans Ie temps (UT) constituent un domFl-lne tres important du traitement nume-rique du signal~ qui est celui des filtres nl,lmeriques a coeffir;iynts frx~s. Ce.s 1?ystemes se caracterisent par Ie fait que leur fonctionnement est regi par une equation de convolution. L'analyse de leurs-proprietes se fait a l'aide de la Transformation en Z , qui joue pour .les systemes discrets Ie meme r61e que la transformee de Laplace au de Fourier pour les systemes conlin us. Dans Ie present chapitre les elements les plus utiles pour l'i\tude de tels systemes sont introduits brievement. En complement on peut se reporter am references [1 ,2,3,4,5].

4,1

DEFINITION ET PROPRIETES

Un systeme discret est un systeme' qui convertit 'TIne ·suite de donnees d'entree'x en) en une suite de sortie y (n). II est lineaire si la suite xl(n) + ax, (n) est convertie en la suite y,(n) + aY2(n) . II est invariant dans Ie temps si la suite x (n - no) est convertie en la ·suite y (n. -no) quel que soit no entier. SOil uo(n) 1a suite unitaire representee sur la figure 4.1. et definie par:

uo(n) = 1 pour n = 0 uo(n)=O pour n*O

(4,1)

Toute suite x (n) peut se decomposer en llne sDmme de suites uniraires convenabJement decalees : rn

x (n)=

1:

m=-
x (m)uo(n-m)

(4.2)

4.1

Deflnition et proprleies

.,

109

'0

•

..

I

I

o

•

n

n

FIG. 4,1,

Suites unitaires

D ~ autre part soit hen) la suite qui constitue 1a repons~ du systeme a la suite unitaire uo(n). A lasuite Uo(n - m) correspond la reponse h (n - m) en raison de rin-

variance temporelle: La linearite entralne alors la relation suivante :

yen) ~

Lm

Lm hem) x(n -m) ~ h(n) • .t(n) (4.3)

.t ern) hen -m) ~

C'est l'equation de- convolution qui caract€rise Ie systeme lineaire invariant dans Ie

temps (LIT). Un tel systeme est done completement dMini par la dOllllee de la suiteh(n). qui est appelee repanse lmpulsionnelle du systeme. Ce systeme possede 1a propriete de causalit6 5i la sortie a l'indice n = no ne depend que des entrees aux indices n ,;; no' CeUe propriete linplique que h (n) = 0 pour n <. O. et la sOTtie est donnee par : y(n)=

L

h(m)x(n-m)

(4.4)

m=O

Un systeine LIT est stable si

a. toute

entree d'amplltude borhee correspond une

sortie borne-e. Une cONdition necessaire et suffisante de stabilite est donnee par l'in6galit~ :

Ln

Ih(n)1

<00

( 4.5)

o

~

•

.~

Pour memtrer 'que la condition est necessaire il suffit d'appliquer au syste,me la suited'entreex(n) telleque:

],"

x..(n)=+l

SI

o

- 1

51

•o o

•

lo

h'(n) C3 Q h(n) < 0

II vient alors ptmr .n = 0 :

'0

~

~

• 1i ~

8 ©

y (0) =

Lm 1/1 (m)1

Si l'inegalite (4.5) n'e&t pas veriftee, y(O) n'est pas borne et lesysteme n'est pas stable,

,4 • Les systemes linea ires discrets invariants dans Ie temps

110

SI 1a suite d~entree est bornee, c~est-a-dire : fx(n)1 s M

poqr loulli

alors 11 vien! :

ly(n)l,;;

Lm

Ih (m)1 fx(n-m )1~ M

Lm

Ih(mJI

5i I'egalite (4.5) est veTifiee, alors y enJ est borne; la condition est suffisante. En particulier Ie systeme LIT dMini par la reponse suivante :

hem) ~am avec m ",, 0 est stable pour lal < 1. Les camctl~ristiques des systernes LIT sout eturuees tion en Z.

4.2

a Paige de la transforma-

LA TRANSFORMATION EN Z

La transformee en Z, X(Z) de I. suite x (n) est definie par la relation SUlvante : m

X(Z)~

L x(n) Z-n n=-($J

(4.6)

Zest une variable complexe et la fonction X(Z) ppssede un domaine de convergence qui en geneTal est un anneau centre sur l'origine, de rayons Rl et R2. C!esta-dire qqe X(Z) est defini pour Rl < IZI < R2. Les valeurs Rl et R2 dependent de la suite x(n). Si la suite x(n) represente la suite des echantillons d'un signal preleyeS avec 1a periocle T , 1a transforrnee de Fourier de cette suite s'ecJit: w

L

S(t) ~

J; (n )e-i2nJnT

A1nsi, pour Z = e J2J>[f 1a transformee en Z de la suite x (/1) cOl'noide avec sa transformee de Fourier. C'est-a-dire que l'analyse d'un systeme discret peut se (aire. ay~q' 1& transfQ)1l1ee en Z el, pO\lr connall,e 1& repon~e en freq\!eJ)q~ , suffit de remplacer Z paT e i""fr Cette transformee possede une transformee inverse. Snit r 'Un contour ferme eontenant lous les points singuliers, bu poles, de X(Z) ainsi que I'origine; on peut e-.crire:

a

zm-1X(Z)~

L'"

x(n)Zm-l-n~x .(m)Z· '+

L

Zm- ' -nx(n)

ni'm

n=-q;.

et .d'~pres Ie theoreme des

re~id'Us

:

x(m)~~f 2TC} p

zm-1X(Z)dZ

(4.7)

4.2

La transformation en Z

Par exemple si X(Z)

~

111

1

1- pZ

on obtient par applioation directe de l'equation

l '

ci-dessus : ~ pn

:>;(n)

pour

x(n)~O

n

~

0

pour li < O

De me me ii X(Z) definie par:

l-p,Z' correspond la suitex(n) teUe que: N

x(n)~

L a.p" i= 1 I

x(n)~O

I

pour

n""O

pour

n< O

U'ne condition de stabilit6 apparalt tres sirnplement en observant que la suite

x (n) est bornee si, et seulement si Ipil < 1 pour 1 "" i "" N, c'est-a-dire que les poles de X(Z) sont ii ]'interieur du cerele unite.

Dans ces exemples, les termes de [a su1te x(n ) peuvent aussi etre obtenus directement par developpement en serie. Quand X(Z) est une fraction rationneUe une methode tres simp'le pour obtenir 'les pren1ier~~ valeurs de 'la suite x (n) consiste afaire une division de polyn6mes. Par exemple pour:

1+2Z-1+Z-2+Z-3

X(Z) ~ l-Z '-SZ 2+12Z

3

la division directe donne :

X(Z) ~ 1 + 3Z- 1 + 12Z~ 2 + 25 Z.- 3 + . . . d'ou ~

x(0) = 1 ;

x(1)~3 ; x(2)~12; x (3)~25

,o

" La transformation en Z 'possede la propriete de linearite·. D'autre I'art ]'a transfor• .31mee en Z de la suite :retardee x(n -~) s'e.crit:

• ~

•o

g

l•

ii -a. • -g~

8 @

Xno(Z) ~ z~n0X(Z)

(4 .8)

Ces deux proprietes .gont utiliseys pour calculer la transformee en Z, Y (Z), de 1a suite y(n) obtenue en sor~ie d'un systeme iineaire discret, par convolution des suites x (n) et h (n) qui ont pour transformees X(Z) et H(Z). En calculant la transformee en Z des deux membres de l'equation de convolution(4.3) :

Y0)~Lb(m) x(li-m) ~

4 • Les systemes linea ires discrets invariants dans Ie temps

112

il vient ; Y(Z) ~

l: m

h(m)Z-mX(Z)~H (Z) . X(Z)

('4,9)

Par suite la transform6e en Z ~ruIi produit de convo.lution est Ie produit des transformees. La fonction H (Z) est appelee fonction de transfert en Z du systeme LIT c'onsidere. La transformee en Z du produit de deux suites -,,(n) ~ "" (n) .x,,(n) estla fonetion X, (Z) definie par :

L

X3(:Z;)~ 2~j Xl(V)~(~)V-ldV Le contour dlinregration est

( 4.10)

al'int6rleur du domaine de conveI;gence des fon,ctions

~ (V) etX2 (~). L~ application

aux suites causales arne-ne

a introduire

1a transformation en Z

monolaterale.

La transformation en Z monolaterale de la suite x (n) s'ecri! : ~

X(Z)

~

l:

X (n.)

z-n

n=O

(4.11)

Les proprietes sont res memes que celles de la transformation d6finie par 1a relation (4.6), sauf pour les suites retardees. En effet la transformee de la suite x (n = no) s~ ecrit : .no

ro

Xno(Z) ~

l:x(n - no) z-n~z-no.x ( Z)+ n =0

l:x (-n ) Z-("9- h )

(4.12)

n=1

L ~interet de cette transformation est de prendre en compte- les conditions initiales et de fai're apparaltre les regimes transito'ires dans l'etude de la reponse d'un

systeme. D'autre part elle permet de determiner a partir de X(Z) extremes de la suite x (n). La valeur initialex (0) s'ecrit: x (0) ~ Urn X(Z) :z: ~w

le~

valeur.

\4.13)

eLla valeur finale, obtenue encaleulaht la transformee de la suite x(n + 1) - ,~(n) : x (00) ~ lim (Z-l) X(Z) ~ lim (1- Z-l)X(Z-) Z--d

l---+l

(4.14)

Pour .des developpements plus importants sur la transformation en Z et ses applicatlons, on peut se reporter a la reference [6.], Les resultats ei'-dessus s'appllquent au caleu! de la puissance. des signaux discrets,

4.3

4.3

tnergie et puissance des :s;gnaux-discrets

113

ENERGIE ET PUISSANCE DES SIGNAUX DISCRETS

Soit a calculer l'energie E du signal represente pa, la suite- .t(n), dont la Transformee en Z s' ecrit X(Z) . Par definition : 00

lh

L lx (ll )12 n=-w

La sultex3(n) deDnie par:

peut etre consideree comme Ie praduit de deux suites, xl (n) et -'2 (n) telles <;lue :

a

a

La transformee X3 (Z) se "alcule partir des fonctions x., (Z) et X 2 (Z) l' aide de la formule (4.10) donnee au paragraphe precedent pour la transformee en Z du pradui! de deux suites. Vevaluation au point Z ~ 1 conduit a la relatiQn :

X3( 1 )~

Si r est Ie ceIGle unite,

1 v

=

Lw

n=-"D

=

1 JXl (V) X2 (1) - -

~(n)12~ 21<' )

dv

T

V

V

vet par ~l!ite :

et comrne alors v = e j2 rr{, 11 vjent :

(4.15 )

".~•• ~

~ ~

o

lo

"0

~

~

•

~

,.

1i o

@

C'est la relation de Bessel-Parseval donnee au paragraphe 1.1.1 qui exprime la conservation de l'energie pour les signaux discrets : l'ener:gie du si$nal est egale a l'energi~ cemtenue dans son spectre. Les calculs ci-dessus font apparahre une expression utile pour la norme IIX liz de la fo.nction X(t); en effet, par definition: 1

IIXII~ ~ J~1 1

IX(t)1 2 df

4 • Les systemes Iine fjires discrets invariants dans Ie temps

114

n vient :

I X I ~~

21 . Ttl

J

121 =i

X(Z) X(Z-l) dZZ

(4.16)

8i X(Z) esl une fonctian holomorphe de la variable c.o mplexe dans un dQrnai"ne contenant Ie cercle unite, l'integrale se calcule par la methode des residus et fournil directement la valeur de IIX liz qui est aussi la norme l:, tiu signal discret

.t(n).

Soit maintenan! a calculer I'energie Ey du signal yen) en sortle du systeme LIT de reponse impu1sionnelle h (n) auque1 est applique Ie signal x (n). Le signal,>: (n) est d'abordsllppose deterministe. D'aprb la relation (4.15), on pent ecrire, en posant (0 ='2rcf:

La ,elation (4.9) fournit directement Ie resultat smvant:

(4.17) Ces tesultats s'etendent aux -signaux aleatoires.

4.4

FlLTRAGE DES SIGNAUX ALEATOIRES

Si 1e signal x(nJ est .aleatoire et possede un moment d' ordre t, E [x (Ji)], on peut caleuler I'esperance de la sortie y (n) du systeme LIT n vient:

E [y. (n) ] = L h (m)E [x (n-ml] m

(4.18)

Si i' esperance de x (n 1est stationnaire, i1 en est de meme de ceile de y (n), pourvu que Ie systeme soit stable, G'est-a-dire qu'il verifie 1a relation (4.5). Pour un signal x(n) stationnaire d'ordre deux, de fonGtion d'autocorrelation r=(n), on peut calculer la fonction d'autocorrelation fyy (n) de la sortie du systeme LIT D'apres I'expression de definition (1.58), on a :

fyy(n) = E[y(i)y(t-n)] ~ ~ h(m).E [x (i -m) y(i-n )] En faisan! appara!!re]a fonction de correlation f;y (n) entre x(n 1et yen 1:

f;y(n)=E[x(i)Y(i-n)J

(4. 19)

il vi~nt :

fyy(n) .

=

Lm hem) f",(n -m)=h(n) * f;y(n) .

(4.20)

4.5

Systemes de finis par

un~

115

equation aux differences

Puis :

rxy(n )=

Lm

h (m)E [x (i)x(i -n-m) l ~ h(-n) 'ruen)

Ftnalement, on obtlent Ie resultat s-uivant :

ryy(n) ~ hen)' h(-n) "f,An)

(4.21 )

Alars, entre les transformees en Z ,
(4.22)

Cette expression peut constituer une approche plus commode que (4.'21) pour caleuler par transformation inverse la fonction d'autQcorrelation du signal de sortie. Avec la transformee de Fourier, il vient:

(4.23 ) En pariiculieT, J'energie du signal de sortie s'ecrit:

(4.24 ) C'est l'equivalent de la relation (4.17) pour les signaux aleatoires. n arrive que Ie sighal xCn) puisse 8tre assimile aUn bruit blanc de variance a} Alors la variance du signa l de sortie yen) , est doJi.nee-par :

0;

o~ J" 0; ~ 2~ _)H(e i "') 12 dO)

(4.25)

au encore en utilisant l'egalite (4.15) :

(4.26) .:ijj ~

,o

Ces resultats, d'un grand interet pratique, sont souvent utilises par la suite, par exemple pour l'evaluation des puissances de bruit de calcul dans les filtres.

."••" ],

•

5o

•

'1C

8o

4.5

SYSTEMES DEFINIS PAR UNE EQUATION AUX DIFFERENCES

'0

~

~

Les systemes LIT, les plus interessants sont les systemes ou les suites d'ent'ree et sortie sont liees par 'TIne equat ion aux differences' lineaire a coefficients constants. 3 En effet d'une part ils correspondent it des realisations simples et d'autre part ilg o @ constituent line excellent~ modelisation de nombreux systemes naturels.

~

4 • Les systemes linea ires discrets invariants dans Ie temps

116

Un systeme de ee type d'mdre Nest defini par larelalion suivante : N y(n)~

N

L ai" (fl -i)- L biy(n,-i)

i =O

1= 1

(4.27)

En appliquant la transformation en Z aux deux membres de eetle equation, et en designant par Y(Z) et X(Z) les tTansformes des suites y (n) elx (n), on obtient: N

Y(Z) ~

N

L

aiZ-iX(Z) -

i=O

L

biZ-iy(Z)

1=0

(4.28)

sait- :

Y(Z) ~ H(Z) X(Z) avec,:

(4.29) La fonction de transfert du systeme H(Z) est une fraction ralionnelle. Les qi et

bj sa.-nt les coefficients du systeme; certains coefficients peuvent etre nuts, ce qui est Ie cas par exemple quand les deux sommationS de l'expTession (4.27) portent Sl1r des nombres de termes differents. Pour faire apparaltre 1a reponse en frequence, il suffit de remplacer dans B(Z), la variable Z par e i2nl.

La fonetion H(Z) s'ecrit so us forme d'un quotient de deux polynomes N (Z) et D(Z) de degre N et qui possedent N racines Zi et Pi respectivement avec

1~ i

~ .N.

En meitant en evidence ces racines, une autre expression de H(Z) apparail :' N

IDt

1 N eZ) (1- Zi Z - ) H(Z) ~ D(Z) ~ ao ~N:'---IT (1-P i Z-1)

,

(4.30)

~1

ou aoest un fcic!eur d'echelle; on peut eerire: N

IT (Z-Zil

H(Z) ~ "0 -,-'cc'~''-----Y<

IT

(4.31)

(Z-P,)

1=1

Dans Ie plan complexe, Zest l' affixe d'un point courant M, Pi et Zi '(1 ~ i ~ 1'1 ) sont.les affixes des poles "t des zeros de la fonction H(Z). On peut eerire :

Z-Zi ~ M2,. ei8 , et Z- Pi~ MPi·e i . ,

4.5

117

Systemes deflnis par une equation aux differences

ettpar suite la fonction de transfert s'exprime aussi pa r :

nN

N

MZ; j.1: (8 !- .,) H(Z) -ao . " '" e ,~1 1=1 lY..l.Lj

(4.32)

II en resulte une interpretation graphique dans Ie plan complexe, La repanse en frequence du systeme est obtenue quand Ie point courant M parcourt Ie cerole unite. La figure 4.2 represente Ie cas d'un systeme d'ordre N ~ 2, J

interpretation graphique d'une jomtion de transfert.

FIG, 4,2,

R

z, Le module de la reponse en frequence est ainsi egal au quotient du pr0duit deS' distances du point courant M 'aux ~eros Z; par Ie produi! des distances. de M aux p61es P;; la phase est egale a la difference entre la somme des angles que font les vecteurs P)J avec l'axe reel et la ·somme des angles que font les vecteurs ~ avec l'axe reel, pour suivre la convention prise au chapitre 1. Celte interpretation graphique est tres' utilisee en pratique car elk offre une visualisation tres simple de la forme de la reponse en frequence d' un systeme. En fait, l'analyse d'un systeme par sa reponse en frequence correspond a un fonctionnement en regime permanent; elle est suffisante dans la mesure ou les phenom~nes tram;itoires peuvent etre negJiges. Si ce n:est pas Ie ca!? il f©-ut intro"' duire Ies conditioIiS initiales, traduisant par exemple j',Otat d'lm equipement et Ie contenu de ses memo ires a la mise s,ous' tension. Soit a eludier po ur les va leurs de l'indice n '" 0, Ie comportement du systeme "•• defini par Fequation (4,27) auquel est applique la suitex(n), n\llle pour n < 0, La .~ suite y(n) est completement determlnee si les valeurs y(- i) avec. 1 ~ i' ~ N sont ~ connues. Ces valeurs correspondent aux con,ditions initiales, et pour les introduire ~ il faut faire appel a'la transformation en Z monolater·ale. o ~ La transformation en Z monolaterale est appliquee aux deux membres de l l'equation (4.27), en supposant que l'entreex(n) est un signal causal, c'est-a-dire ii que x(n) ~ 0 pour n < 0. Compte tenu de 1. relation (4.12) ql!i donne la transfor:; me", Y;(Z) de la suite re.lardee y (n - i) : ~

~

;

Y;(Z)~Zc '.Y(Z)+

L n =- 1

y( _ n)Z-U-n)

4 • Les systemes linea ires discrets invariants dans Ie temps

111f

it vient ': N

y (Z)~

L

N

N

L

GiZ-iX(Z) - L, biZ-i y (Z)i=l

j= O

j= 1

bi .L y (_n ) Z- (i -n) np l

ol1<e;hcore

N

L

I

L

y(-.n) Z-(i-n) Y(Z) ~ H (Z) X(Z) _ '.·_~-,-1-n"--~-,,1.N CC---bi

1 +L

i =1

(4.33)

bZ- i !

La reponse du systeme a l'indice n, y (n), est obtenue par developpement en serie ou transformation inverse. I! faut noter que les valeurs y(-i) representent l'eta\ d'un systeme a la mise en fonctionnement seulement si ce systetne n'a en me-moire que des' nombres de'la suite de sortie. En fait it utilise sauvent d~ autres variables internes qui peuvent eire introcluites dans t analyse en vue d1une generalisation et pour faire apparaitre d"autre~ aspects touchant en particulier a la realisation des materiels.

4.6

ANALYSE PAR LES VARIABLES D'ETAT

a llinstant n e:;;t dMini par un ensemble dlau moins N variables internes represent6es par un. vecteur U(n ) aP1'e16 vecteur d'etat. Son fonctionnement est regi par les relations entre ce vecteur d'etatet les signaux d' entree et sortie, Le fonctionnement d'un systeme lineaire auquel est appliquee la suite d'entree ",en) et qui foqrnit1a suite de sortie yen) est oaracte.rise en tMarie des systemes par Ie couple de relations suivantes, appelees equations d'etat [7] : I

L 6tat d1un systeme d10rdre N

U en + i ) ~A.U(n) + B.x(n) )len) ~ C!.U(n)td .•t(n)

(4.34)

A est appelee matrice du systeme, B la commande, C Ie vecteur d'observatiQn et d Ie coefficient de transition. La suite x(n) est l' innovation et y (n ) l'observation. La justificatiofi de ces denominations, qui ont leur origine en automatique, appara'it dans la suite, en particulier aux chapitres 7 et 13. La matrice A est une matrice carn~e de dimension N l B et C des vecteurs de dimension N . L'€tat du systeme a l'instant nest obtenu a partir de Fetal initial a l'inslant zero par Pequation -: n

U (n) =A".U(O) +

L

i= l

An-iB .x(i -l )

(4.35)

4.6

Analyse par les va.rlables d'etat

119

Par suite-Ie comportement d'un tel systeme depend des puissances successive$ de la matrice A La [onction de transfert en Z du systeme est obtenue en prenant 13 trimsforme" en Z des equations d'etat (4.34).11 vient:

(ZI - A) U(Z) ~ BX(Z) Y(Z) ~ C' U(Z) + dX(Z) avec I, matrice unite de dimension N; par suite:

H (Z)

~

C'(ZI _ A)-1 B + d

(4.36)

Les poles de la fonctirlll de transfert ainsi ootenue sont les· vakurs de Z qui annulent Ie determinant de la matrice (ZI - A) , c:est-a-dire les racines du polynome caracteristique de A .. Par consequent, ies poles de la fonction de transfert du 'systerpe :$ont IGs- valeurs prop res de la rnatrice A, qui doivent rester en module inferfeures a Funite pour que la stabilit6- soit assure-e. Ce re-suitat est en concordance avec I'equation de fonctionnement du systeme (4.35) ; en effet, en diago-nalisant la matrice A, on voit que c,' est la condition pour que Ie vecteur Uen) ~ An.u(o) tende vers zero quand n tend vers rinfini, situation qui correspond a l'evolution libre du systeme Ii partir d'un etat initial U(O). L'examen de la fonetion de transfert du systeme (4.36) montre par ailleurs que, quand un systeme est spGcifie par la relation d'entree-sortie, il existe une certaine latitude dans 1e choix des parametres d'etat ; en effet, seu1es les valeurs propres. de la matrice A sont impos6es, et la :tn~trice dt! systeme pelJ-t etre reIhpl~­ cee par une matrice semblable A' = M -1 AM, OU M est 'une matrice inversible, qui a les memes valeurs propres. Alors pour conserver la me-me suite de sortie, tl.'apres (4.35 ) il faut ~

La ruatrice A peut aussi @tre remp1acee par sa transposee At i aloIs Ie systeme est· deerit par Ull sysreme d'equations dllal de (4.34), ebrrespondantau vecteur d 'etat V(n ) tel que:

V(n +1) ~ N. yen) + C.x (n) yen) ~ B' .V(n) + d.x(n)

•

.~

~

•:5 ~

.0..

8o

"0

~

~

•

~

-g §

o

"

(4.37)

Cette representation d'etat fournit UI1autre mode de realisation du systeme. Les·resultats obtenus dans ce paragraphe so.nt utilises par la suite pour etudier certaines proprietes et pour faire apparaitre des structures de realisation de systemesLIT . Une etude approfondie va etre faite dans les chapitres suivants pour deux types de systemes LIT d 6fini~ par une 6quatlon aux differences, les filtres numeriql!es a reponse impulsionnelle finie et infinie.

4 • Les systemes linea ires discrets invariants dans,le temps

120

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-

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[7] l E. CAnzow -Discrete Time Systems, Prentice"Hall,1973,

EXERCICES 1 Solt un systeme LIT dont la reponse irnpulsionnelle h (n) est telle que. : hen) ~ 1, 0 '" n ~ '3 h (n)

~ Q,

n < 0 e! n > 3,

Calcu\erla r~ponse y (n) iila.suite x (n) teile que : 0~n~5

x(n) = all, avec a=0,7 pour x (n) ~ 0

aiiJeurs.

Rep6nse a la suite :

X(II)~COS (2;n)

pOUT

0~n~7

x (11) ~ 0 ailleurs. 2 Montrer que.la Transfonnee en Z de la suite' causaie x(n) definie par :

x (n) = nTe-'cV1T pour n;;. 0 x (n) ~O

n< O

pou r

a pOl1r expression ;

Te- aT Z-l X(Z) - ;C;--~~ - (1- e

,T

Cal euler les transform,ees inverses de In (Z -

tlons sur a et b pour que la suite obtenue converge.

Z

'l'

a),

Z et etablir les condi(Z-a) (Z-b)

=-,,;c;---;cc

121

Exerc:ices

3 Calculer la Transformeeen Z de 1a ·n fponse impulsionnelle hen) =r"

sin [(n+ 1)8] sin

.c el

hen) ~ 0

n73-0

n
Quel est Ie dOb:1ain,e de convergence de la fonct ion obte:Que? Placer I?es pole§ et zeros dans Ie, plan des Z,

4 Sqit un systeme LIT dont la fonction de transfert a(Z) s'eerit :

1 H(Z)~ 1---1~6~Z=' , ~)-+~0~ ,92~Z=~~2

a

et auquel est applique un signal spectre unifbtme et de puissapce unite. Calculer la puissanc.e du signal en sortie du systeme et donner 1a repartition spectrale.

5 Utiliser la Transfol1ilatiop. en Z monolaterale pour c·a1culer la repons~ d6tini par l'equatibn aux djffetences:

pll systeme

y (n) ~x (n) + y (n - 1) - 0,8:), (n - 2) avec, les conditions initiale, y (- 1)

~

x (Ii) =

a 'e t y (-2) ~ billa ,uitex (n) definie par : e jn lJJ

x(n)~O

pour

n ~ O·

pOUT

n< O

Mettre en evidence la reponse-due. aux conditions initialeset 1a reponse en regim~ permanent.

"••

'., •

]

•c o c

•

'<e

8o

"0

~

~

•

~

1i §

o

"

Chapit~e

5

Les filtres ill reponse ilnpulsionnelle finie (RIF) Les filtres numerlques. i\ reponse impulsionnelle finie (RIF) sont des systemes lineaires discrets invariants dans Ie temps d6finis par une equation selon laqueJle un nombre de sortie, mpresentant un echantil10n du signal filtre , est obtenu par sommation ponde-ree d'u.n ensemble fini de pombres d'entree, representant les echantillons du signal a filtrer. Les coefficients de la sommation ponderee constituent la reponse impulsionnelle du filtre et un ensemble fini d'entre eux seulemtmt prennent des valeurs non nulles. Ce filtre est du type « a memoire £inie», 'c 'est-adire qu'il determine sa sortie en fanction d'informations d'entree d'anciennet6limite-e. nest frequemment designe par filtre non recursif, en raison de sa structqre, car il ne n6cessite pas de bouc1e de reaction dans. sa re.a'lisation , camme c'est Ie cas poUr une autre categorie de filtres, ceUe des filtres a reponse impulsionnelle tnfinie~

Les proprietes des filtres. RIP vont etre mises en evidence sur deux exemples simples.

5.1

PRESENTATION DES FlLTRES RIF

Soit un signal x (t) represent';; paT ses echantillons x (nT ), pri'leves quence Ie =

+,

et sait

ration qui consiste

tion:

a la

fre-

a.deter.miner 1'incidence sur Ie spectre de ce signal de l' opb-

aTemplacer ia. suite x (nT) par la suite y (nT) definie par la rela.

y.(nT) ~ 1/2 [x (nT)

+ x((n -1 ) T)]

(5.1 )

Cette suite est aussi celie qui estobtenue pap echantillonnagedu signal y (t) tel gu,,:

y (t)

~

1/2 [x ('0 +x(t - T)]

5.'1

123

Presentation des filtres RtF

Si YU) et XU) designent les transformees de< Fourier des sig!1atIX y (t) el x(t). il vienr :

L'operation etudiee correspond

ala fonction de transfert H(f) ~ Y (f)/X(f)

telle que :

HU) ~ e ~Mr cos ("tT)

(5,2)

C'est une ,operation de filtrage appelee filtrage en cosintlso'ide, qui conserve la compos ante continue et elimihe la composante ~ la frequence fel2, camme il est aise de Ie verifier directement. Dans l"expression de H(f) Ie tenne complexe e-infI CaTacterise Ull retard

"'~ ~

qui est Ie temps de prop'a gation du signal

a travers Ie fillre,

La r"eponse impulsionnelle h (t) qui correspond ,au lillre de fanction de transfert

IHU).l s'ecrit :

La flgure 5.1 represellte les caracteristigues du fillre,

IH If iI

,, ,,

,

"

o

fe

.f

"••

'., •

]

T

•c

1.

0

2

o

2

c

•

F-IG.5.,1.

'1C

8o

Lefiltrage en c'osinusoide

"0

~

~

Une autre operation simp1e est celle qui associe

'a la suite des x(nT) la suite

1i des y (nT) definie par:

"

o

@

y (nT ) ~ 1/4 [x (nT) + 2x [(n -1)'1' ]- +x [(n - 2)Tl] ,

(5.3)

5 • Les filtres

124

a neponse imputsionnelle finie

(RtF)

Comme 1a prec6dente, elle conserve la compos ante ala frequence zero et elirnine ce11e a/,12. Elle correspond ~ 1a fonction de transfert :

H(f)

~

1/4 (1 + 2e-i 2rrfIf + e-i2rrJ2T)

~ e-i 2rrJT

1/2 (1 + cos 2n:/T)

(5.4)

Le filtre obtenu est dit en cosinuso'ide surelevee j son temps de propagation est ~ T ; a IH(f) I correspond la reponse impulsionnelle h (t) telle que:

"t

h(t) ~ 1/4 o(t + T ) + 112 oCt) + 1/40 (t - T) .

-T

\I

FIG, "5.2.

T

•l

Filtre en cosinusoide sure!evee

Ce fi1tre est un passe-bas plus se1ectif que 'Ie precedent et i1 appara1! clairement que pour obtenir une fonction de filtrage plus selective encore il suffit d'augmerrter Ie nombre de terme§ de la suite x (nT) sur lesquels porte la sornmation ponde-ree. Ces deux exemples ont permis de faire apparaitre les caracteristiques suivantes des filtres RIF : - Va suite d'entree x (n) et 1a suite de sortie y (n) sont reMes par une equation du type suivant qui constitue la relation de definition : N -1

y(n)~ ~

[",0

aix(n-i)

(5.5)

I.e filtre ainsi clefini comp9rte un nombre N fini de coefficients a j ; consiciere comme ull systeme discret, i1 a pour r6ponse a 1a suite unitaire 1a suite h (i) leUe que : h (i) = ai sl 0 ~ i ,,;; N -1 h (i ) ~ 0 ailleurs. C'est-a-dire que 1a reponse impu1sionnelle est simplement 1a suite des coefficients.

125

5.2, Eonctio"ns de transferl realisables

- La fonction de transfett du liltre s'ecril : N -1

~

H(f)

.1:

a;e-j2nf H

1=0

(5.6)

au encore, exprimee en fonction de la variable Z ; N-1

H(Z)

~1:

a;Z-i

1=0

(5:7)

- La fonolion H (f) , reponse en frequence da filtre, est une fOl1otion peri 0dique, de periode f,

~

i.

Les coefficienls atCG '" i '" N - 1) constituent Ie deve-

loppement en serie de Fourier de cette fonction. La relation de Bessel-Parseval enoncee au paragraph" 1.1.1 permel d'ecrir,,:

(5.8)

- Si les coefficients sont symetriques, la fanction de transfert peut se mettre sous la rorme d~un produit de deux terrn,es dont l'un est une fonction reelle et l'autre un nombre complexe de module 1 representant un temps de propagation 't cOnstanl el egal a un multiple entier de la demi-periode d'echantillonnage. Un tel filtre est dil a phase lineaire.

5.2

FONCTIONS DE TRANSFERT REALISABLES ET FlLTRES A PHASE LlNEAIRE

Un filtre numerique traitant des nombres qui repr€sentenl leg echantino:n~ du signal pt€leves avec 1a periode T, a une repons,e en frequence periodique et de

!, ."••••

periode j,

~ ~. Par suile celte fonction H(f) est developpable en serie de fourier: H(f)

],

1:

~

•c

an e +j 2nfd T

n =-m

(5.9)

o c

.~

avec:

8o

"0

~

~

•

~

a

~

-1

n Ie

ff< H(f) e - j2nfpT df 0

.

(5.10)

-g.

8 "

Les coefficients an du dlve!oppetnent sont " une constante pres les echantmons preleves aveC la periode T dl' la transformee de Fourier de la fonclion HCf),

5 • Les filtres

126

a neponse imputsionnelle finie

(RtF)

prise sur un interval1e de frequence de largeur:fe ~ Comme ils constituent la r6ponse impulsionnelle, la condition qe stabilite du filtre donnee par Ii! relation (4.5) iinplique que les an tenden! Vers zero quand n tend vers l'infini. Par suite la fonction H(f) , 'Peut eue approchee par· un developpern,ent limite a un nombre fini de term~s

: L

H(f) =

L an ei 2nfnT ~ Hdf) n '>' -K

au K et L sont des entiers finis; l'approximation est d'autant meilleure que ces nombres sont pius grands. La proptiete de causalite, qui Iraquit Ie fait que dans un filtre reella sortie ne peut preceder l'entree dans Ie temps, implique que 1a :reponse impulsimmelle hen) soit nulle pour n < O. D'a1?res les relations (5.5) et (5.6), si Ie filtre est 'causal, alors L ~ 0 et il vient ; K

HL (f) ~

L

an

e-i""fnT

n =0

Il en resulte que toute fonction de filtrage numerique stab.!e et causale peut etre approchee par la fonclion de transfert d ' un filtre RIF.

a

Le filtrage phase lineaire Gorrespond, pbl.!r la fe-ponse 'en freq\.lence , pression suivante :

H(f)

~

R(f) e-io(f)

al'ex-

(5Jl)

au R (f) est une fonction reelle au la phase 'Jl (f) est une fonation lineaiTe ql (f ) ~ 'Jlo + 2rcf~; 'C est une constante donnant Ie temps de propagation a travers Ie filtre. . 11 fa1,J..t bien noter que cette condition he correspond pas, en toute rigueur, ~ une linearite de la phase. En effet, les changements de signe de R (f) amiment de. discontinuites de -n; sur la phase; celle-ci peut se decomposer en une compos ante discrete et une compos ante continue, a laqueJle la condition ci-dessus impose 'la linearite . Cependant, par extension, les filtres etudies sont difs aphase l1neaire. La reponse impulsionnelle d'un tel filtre s'"crit:

h(t)

~ e-ioo

fmR(f) e

i2.[(H)

df

(5..12)

En supposant d'abord 'Jlo nul et en d6composant la fonction reelle R (I) en une partie paire P (f) et une partie impaire I (f), il heM:

h(tH)~2

f

P(f) cos (2rcft) df+2}

J: I (f) sin (2ITft)df

Si l'on impose ala fonction h (I) d 'eue noelle, il vient :

h (t + "0)

~ 2 J: P (I) cos (2ITft) df

5.2

Fonctio'ns de transferl realisable.s

127

Cette relation montce que la reponse impulsionnelle est symetrique par rapport all point t ~ ~ de l'axe des temps, c'est-a-dire que 1es coefficients du filtre doivent etre symetriques. Deux configurations se presentent alors, suivant que Ie nombre de coefficients N est pair ou impair. • N ~ 2]'> + 1 : 1e filtre a un temps de prop.agation 't ~ PT. La fonction de transfert s'ecrit:

(5.13)

• N

~ 2P : 1e filtre a comme temps de propagation ~ ~ ~ - ~)r" La fonction

de transfert s'ecrit :

(5.14) Les h;, coefficients du filtre, constituent la reponse du filtre numerique a la suite. unitaire. En negligeant les rep]iements de spectre, ils peuvent aussi etre consideres comme les eohantillons, preleves avec la periQde T, de la reponse impulsionnelie continue h (t) du filtre qui ala meme reponse en frequenee que Ie filtre numerique dans l'intervalle (-

2~' 2~)'

mais sans' 1a periodicite sur l'axe
quenc.es. L'iUustration est fournie par 1es figures 5.3 el 5.4 pour 1es cas au Nest impair etpair, respectivement. hI,I

,

a

I•

~ ~

lo

~

•

I

- t

II

Ces filtres font intervenir dans leur reponse en frequence la fonction paire P (f). Avec des coefficients reels on peut aussi obtenir une reponse en frequence qui corresponde a1a partie impaire de R (f), la fonction I (f). Comme la fonction h (t) dolt erre reelle, cette categorie de filtres a pOur fonction de transfert :

"0

~

2E:I

FIG. 5.4 . Filtre symetrique avec N pair

Fro ..5.3 . Filtre symetrique avec.N impair

~

a

I

.~--_ . .... { 2'-Pto+,-Ju)-,I~_ _ _..

i : -

".~••

hl'l

,

H (I)

~-

je-i 'mI'

HI) =

.< :;

e- I

e-;2<1' I (fl,

~

g,

Au dephasage proportionnel

a 1a

frequence s'ajoute· un dephasage fixe

~ 'Po = ~ qui fait correspondre ft un signal, Ie signal en quadrature. Cette possibilite

5 • Les filtres

128

a neponse imputsionnelle finie

(RtF)

est interessante dans certains types de modulation et est examinee ulterieurement. La reponse impulsionnelle est nulle au point! = ~ et antisymetrique par rapport ace pqint de I'axe des temps. Les configurations, suivant que Ie nombre de coefficients N est impair ou pair, sont repre§entees ~ur les flgure~ 5.5 et 5.6 respectivement .

• N

= 2P + 1 : Ie filtre a un temps de propagation ~ = PT p

H(f)

= -

je-i'bif' 2 L hi sin (2rrfiT )

($.15)

J=l

• N

=

2P : Ie filtre a un temps de propagation ~ = (p -~) T

(5.16) Comme ho ::::' 0, la fanction de transfert ala meme expression dans les .deux cas. ~

, ,, I

-

r

I ,

II

_

. I

(t)

.,

I

,I I

1:4:

FIG. 5,6, Filtre antisymetrique N pair

nest aise de concevoir que des Mphasages fixes, autres que
,t

I I ,,1

.,

F1G.5.5. FlltTe antisymetrique N impair

•I

=

0 et

~ peuvent etreobtenus avec des filtres a coefficients complexes.

Le calcui des coefficients des filtres RIF va d 'abard etre etudi6 avec i'hypothese de la phase line,aire, qui correspond a l' essentiel des 'appliGations et lorsque les specifications SQnt donnees sur la fe-ponse en frequence .

5.3

CALCUL DES COEFFICIENTS PAR DEVELOPPEMENT EN SERlE DE FOURIER POUR DES SPECIFICATIONS EN FREQUENCE

Les specifications en frequence correspondent aia donnee d'un gabarit. Ppur un filtre passf}-Qas on impose p.ar exemple iUa valeur absolue de 1a fonction de transfert d' approc her la valeur l1'lvec' la predsion 8 dans l-a bande de fre" quence (0,1,) olite bande passante et la valeur 0 avec la prec.ision 0" dan§ la bande

5.3

129

Calcul des coefficients

(/2' ~ ),dite bande affaiblie. Le gabarit correspondant est represente sur la figure 5.7. L'intervalle f..1 ~ 12 - 1, est appele bande de transition ella raideur de coupure designe Ie parametre R, tel que :

R, ~

II + f~

(5.17)

2(12 - 11)

FTG, 5.7 . Gabarit de filtre passe~bas

U ne methode tres simple pour abtenir les coefficients hi consiste a developper en serie de Fourier la fonction periodique H(I) it approcher; il vient alors :

h; ~

1

I,

ff, H(I) 0

e

-;2,; L f. dl

Dans Ie cas du filtre passe-bas. correspondant a)l gabarit de la figt)Te 5.7, la relation (1.5) conduit

a:

h~/l+ /'

.'••••" '0

B ,

•§ ~

l ]

(5.18)

.t~'

I

Le tableau donne en anneXe I du chavitre I peut ainsi etre utilise pour fournir une premiere estimation des valeurs des coefficients d'un filtre RrF dont, en fait, les valeurs optimise-es calculees par la suite, s'ecartent generalement assez peu. Pour que Ie filtre soit realisable il faut limiter a N Ie nombre de coefficients. Cette operation revient a multiplier 1a re-ponse impulsionnelle h (t) par une fenetre temporelle g (t) telle que :

~

get) ~ 1 pour g(t)

~

0

-NT

NT

2

2

-- ~ t~ --

ailieurs.

5 • Les filtres

130

a neponse imputstonnelle fin ie (RtF)

La transformee de Fourier de celte fonction s'ecrit en appliquant (1.10) :

G(f) =Nr

sin (rcjNT) rcjNT

(5.19)

La figure 5.8 montre ces fonctions. Le filtre reel, a nombre limite N de coefficients, a pour fonction de trimsfert HR (f), Ie produit de cO)lvolution suivant:

HR(f) =

[

H(f') G(f- f ) df'

La limitation du nombre de coefficients introduit des ondulations et limite la raide-ur de coupure du filtre comme Ie montre la figure 5.9, qui correspond au cas ou Ie filtre a realiser est un passe-bas ideal de frequence de coupure fe'

.I.

""'1'

.I. ..t

_ NT

2

NT 2

· M II \T

-I,

GI'

ih ~.. -

··~"""'~"""':'J --""01""""-'f

-

- -'

.-

•I

"

.... _,........v~".... ....... r l - fc:

FIG. 5.8.

Ie

0

Fenitre rectangulaire

0

f,-

f

PIG. 5.9.

b rcidence de 'fa limitation dit nombre de coefficients

Les ondulations dependent de celles de la fonction G(f) et, pour .les [eduire, n'Suffit de choisir camme fehetre temporelle une fonction dont Ie spectre presente mOlns d'o ndulations que celui de la fenetre rectangulaire ci-dessus. C'est la situation exl'osee au paragraphe 2.4.2 pour I' ana.l)'se spectrale et on peut utiliseI' les memes fonctions, par exemple la fene-tre de Hamming de-finie camme suit :

get) = 0,54 + 0,46 co. (ZrctINT)

pour

g(t)

pour

=

0

It I'" NT/2. It I > Nr/2

La cantrepartie de ia reduction des ondulations en bandes passante et affaiblie est un elargissement de 1a bande de transition.

5.,3

131

Calcul des coefficients

La fonction qui presente les ondulatiollS les plus faibles pour une largeur donnee du lobe principal, est la fonctibn dite de Dolf-Ttihebycheff: G(x)

G(x)

~

cas [K cos- 1 ('La cos ru;).] ch [K ch 1 ('Lall

~

ch [K ch- 1 ('La cos ru;)l ch [K ch- 1 ('La)l

pOUT

(5.20) pOUT

et

avec

Xo ::::

1t1

xo~x ~ l-xo

l~xo .:o::; x ~ l

1 ) ; K est un nombre entier et Zo 'Un parametre. Cette fanccos- 1 ( Zo

tion, que mantre la fi£ure 5.10, presente un lobe principal de largeur B, tel que :

B~2.xo~ ~ cos- ~) 1

(

et des lobes,secondaires d'amplitude constante egale a: 1 A ~ ch [K ch

"

~ o ~

lo

('La) .

J'IG ,-S.l.o ., Pp nction de Dplf-Tchebycheff

.."•• ~

1

Elle 'est periodique et sa transformee de Fourier inverse est constituee d'ul1 ensemble de· K + 1 valeurs discretes non nunes, utilisees pour ponderer les coefficients du d6yeloppement en serie de Fourier de )a fonction de filtrage a approchef.

"0

-a Exemple 1i Soit 11 calculer les coefficients d'un filt;re passe-bas de frequence d'e<;hantillon8 nage I, = 1, frequence de coupure I, ~ 0,25, 'b ande de transition 61 ~ 0,115 et com@

portant N '" 17 coefficients.

5 • Les fillres

132

a neponse impulsionnelle finie

La fonclion de D olf-Tchebycheff correspond anle a pour parametres K et Zo tel que :

(RIF)

~

16

1

Cette valeur correspond

a des ondulations d'arnplitude A ~c~h.--c[1'-:6cc-ch'--;1-;(CCZo"')l

a

dont la valeur a ete prise A ~ 0,1 , La transformee de Fourier inverse g(t) de cette fonction se compose de 17 valeurs discretes non nulles qui sont donnees sur la figure 5.11, a un facteur d'echelle pres,

go 91

gB

9,

I FIG. 5.11.

1 0,987 g, = 0,948 g3 = 0,887 g4 = 0,806 g, = 0,710 g, = 0,604 g7 =,0,49.4 88 = 0,904 go g,

gil}

1

o

I

= =

Coefficients de- ponderation d'une fenetre de Dolf- Tchebycheff

Ces va leurs constituent les coefficients de ponderation de la fe-ponse impu lsionnelle h(t) du filtre passe-bas ideal, donne a la figure 5.12. ko = 0,5

he. = 0,318 h, = 0 hs

= -

0,106

h4,;=: O

h,

=

0,064

h6= 0

h; = - 0,045 h, = 9 FIG. 5.12.

Reponse impulsionnelle du filtre ideal

Le filtre obtenu a pour coefficients les vale.urs aj = gj hi so it :

0,5 0,3141

o

a4 ~ 0 a5 ~ 0,0451 a6 ~ 0 a7 ~ - 0,0224 a8~0

La fonction de transfert est donnee par la figure 5,13.

5.4

CalGul des coefficients par fa methode de,~ moindres carres

133

H(fl 1,025 1

0,975

I

05r--- _____ '

L_\ ., I

, I

O,o~s

-0,025

I

I

I I

,

i

~---+~--L-~,H~-7~--

0,5

q,125

f

Pm. 5.1S. Fonction de trans/en dufiltre reeL

II c.onvient de remarquer que si les ondulations de la fonction G(x) s0nt d~am­ plitud", constant", il n'en est plus de meme des' ondulations du filtre obtenu qui decroissent en amplitude quC\.nd on s'eloigne de la bande de transition. D 1autre part les ondulations en bandes' passante et affaiblie, sont les mel1fes. Ainsi, la technique du developpement en ~erie de Fourier de la fonction a approcher conduit a une determination simple des coefficients du filtre mais elle implique deux limitations importantes : - les ondulations' du filtre sont 6g a les en bandes passante et 'affaiblie , - l'amplitude des ondulations n'est pas constante. La premiere des limitations peut etre levee par une methode qui garde la 'simplicite du calcul direct, la metho,le des moindres carres. De plus, elle correspond precisement aux objectifs a atteindre dans un certain nombre d' appJications.

5.4

CALCUL DES COEFFICIENTS PAR LA METHODE DES MOINDRES CARRES

Soit a ca!euler les N coefficients h; d'un filtre RIF de maniere a ce que la fonction de transfert approche une fonction donnee suivant un critere des moindres carres. Le ca1cuI peut se faire directement apartir de. la relation entre les coefficients et • ·m la reponse en frequence, comme expose au paragraphe 5.16 pour un filtre a. deux: B , dimensions. Cependant,.il peut etre avantageux, notamrnent pour la precision des cal~ culs dans Ie cas d' un rrombre importaht de coefficients, de prQceder dans Ie domaine o ~ des frequences el en partant d'une solution approchee. De plus, cetle methode est generale et s'applique -aux fonctions-cout non quatiratiques, par iteration ; une telle ii approche peut s'utiliser pour Ie calcul des,coeffioients des filtres RJI par exemple. ~ La Transformeede Fourier Discrete appliquee ~ la suite h;,avec (0 ~ i ~ N -1), ...J fournit une suite Hk telle que:

"

l

1i 3 ~

Hk

=

, {k 1 N-1 L h·e -j"N N i= O

I

(5.21 )

5 • Les filtres

134

L'ensemble des H k , 0

~

k

~

en frequence du filtre avec Ie pas

a neponse impulsionnelle finie

(RIF)

N - 1, conslilue un echanlillonnage de la reponse

~.

Reciproquement les coefficients h; sont lies

ik

N-l

h~ 1

aI' ensemble des Hk par la relation :

'<'

... Hke

k=O

;2n-

N

(5.22)

Par suite Ie probleme du calcul des N coefficients est equivalent au probleme de la delermination de la reponse en frequence du fillre en N poinls de l'inlervalle (0, Ie)' La fonction H(f) est ensuite obtenue par la formule d'interpolation qui ex prime Ie praduit de convolution de la suite d'echantillons Hk 8

(t- ~ I,)

par la

transformee de Fourier de la fenetre rectangulaire echantillonnee, calculee au paragraphe 2.4 .

N -1

H(/) ~

L Hk

k=O

smLnN(i-~)J N sin

[rr(f - ~)J

(5 .23)

On peut remarquer que cette expression constitue un autre type de d6velpppement en serie de la fonclion H(f) , a nombre limite de termes. La fonction a approcher D(f) etant donnee. une premiere possibilite consiste a ehbisir les Hk leIs que:

C 'est la methode dlte de I'echantillonnage en frequence. La fonction de transfert du fill):e H(f) , obtenue par interpolation, presente des ondulalions en bandes passanle et affaiblie, comme Ie monlre la figure 5.14.

FIG. 5.14. Fonction de transfert interpotee

5.4

135

CafGul des coeffIcients par fa methode de$ moindres carres

L'ecart entre cette fanction et cel1e qui est donnee represente ~me erreur ~ H(f) - D(f) qu'il est possible de minimiser au sens des moindres 'carrees, La procedure commence par une evaluation de l'erreur quadratique E qui est la norme ~ de la fanctian d'ecarL A cet effet la reponse H(f) est echantillonnee

e (f)

avec un pa,s de freqlJenCe A inferieur

a ~ _,de fa~on h apparaltre les valeurs inter-

polees, par exemplI" : /1 ~

~~

avec L entier superieur a1,

La fanction e (f) est caleulee aux fr"quences multiples de /1, En general dans 1~evaluation de l'erreur quadratique E une partie seulement de la bande

(D, ~ ) est a prendre en compte: poUr un filtre passe-bas ce peut etre

I. bande passante, la bande affaiblie au l' ensemble des deux, Pour exposer Ie principe du calcul on suppose que la minimisation porte sur la bande passante (0, [,) d' un passe-bas; it vient dans cette hypothese: No-I

(

!,)

E~ n~O e 2 n N~

avec

De plus il est souvent utile d'affecter un coefficient de ponderation Po(n) it l'element d'erreur d'indice n,afin de pOhlvoir modeler la reponse en frequence; on obtient alors.: E~

No-l

L

flo =

0

P~(n)

(!,)

e2 n

--'- , ~

NL

N~-l

L P1i(n) e2 (n)

(5,24)

n=O

La fanction erreur etant obtenue a partir de la formule d'interpolation (5.23), l'errew ql1adratiql!e E est fanclion de l'ensemble des Hk avec 0,,;, k ,,; N -1 et est exprimee par: E (H) , Si Fan donne" ces echantillons de la repanse en frequence des accroissernents .n.Hk , on 0btient une nouvel1e v;;tleur de l~erreur quadratiquequi s'exprime par l'eg.lite: .'!:::i

::w

~ ~

••

'. ],"

•c g

l• o

"0

~

~

•

~

-g

o5' @

N-l

E(H+/1H ) ~E(H)+

L

k=O

1

N-I

N-I

:2 k~O ~o

(5,25)

Compte tenu de 1a relatiQ_n de definition de E, et de 1a relation g'interpolation (5.23) il vient:

a neponse Imputsionnelle finle

(RtF)

Ces equations s~ecr1v.ent se us un,e forme matr1cielle ~ so it A Ia matrice, ligNe$ 'et No colonnes telles que ~

aN

5 • Les fi/tres

136

A~

[

1

qOO

1 a(Na- )()

a,a

a(No-l) !

~O(N-l)'

~(N-!)(No-i)

avec

oe(j) aHi

a·· · = - 11

Soit Po 1a matrice diagonale· d'ordre No clontles elements sont les coefficients de ponderalion Po en); it vi,mt :

[aa~J ~2AP~ [e(n)]

(5.26)

constitue une lllatrice carree d'ordre N

L'ensemble des termes

telte que:

(5,27) La condition pour que E (H + AHl soil Ie minimum de la .fonctibn e$t que tbu!es ses derivees par rapport aux Hk(O ,;; k ~ N -1) s' anmilent en co. point. Or :

La condition des moindres carres s'ecrit alors: AP~

[e(nl] + AP~ Ai [AH]

~

0

(5.28)

Dans ces conditions les accroissements tlHk (0 ~ k :s;; N -1) qui permettenl depasser des valeurs initiales des echantillons de la repons.e en frequence, aux valeurs optimaJes_forment un vecteur co'lonne qui -s 'ecrit :

[AH] ~ -

[AP~ A']~ l AP~

[e(n)]

(5,29)

Finalement Ie caleul des coefficients du filtre par I'approche proposee pour la methode des moindres carres demande le.s operations ~uivantes : 1. Echantillonner la fonclion it approcher en N point·s pour ablenir N nombres Hk(O ,;; k ,;; N -1) , 2. Dans la bande de frequences ou l~yrreur doit etre minimise-e, interpoler la rep" nse entre les Hk pow obtenir No nombres e (n) (0 ,;; n ,;; No -1.) qui represen· tent I'ecart entre la repanse du filtre et la fanctian a approcher. 3. En fonction des contraintes de· Papproximatlon determiner No coefficients de ponderation Po (n).

5.5

131

Caloul des coefficients par TFD

4. Calculer a l'aide de I'equation d'interpolation les elements'de la matrioe A. 5, Resoudre'l'equation matriciel1e qui donne les ,II,Hk , 6, Operer sm l'ensemble des nombres (Bk + II,H,J aVeC 0 '" k ,;;. N ~ 1 une transforrn'a tion de Fourier inverse pour obtenir les coefficients du filtre.

Les coefficients de ponc\eration Po Cn) permeltent, par exemple, d'obtenir des ondulations en bandes passantes et affaibl1es qui soient dans un rapport donne ou enCOI:e d'imposer a la re-pDDse en frequence de passer par un point p artie ulier ; cette dernierecondition peut aussi eire prise en compte par la .reduction d?une unite du nombre de degres de liberte, ce qui est plus elegant mais plus complique a programmer.

La mise en ceuvre de la procedure de calcuJ ne presente

pa~.

de diffkultes par-

ticulieres; elle perlnet de calculer un filtte d'une maniere directe, Cependanl Ie filtre obtenu a des ondulations qui n'ont pas une amplitude constante; or c'est un objectif qui se rencontre frequemment. Pour 1'a!teindre il faut faire appel a une technique iterative.

Si I'inversion ae matric.e de la relation 5,29 est delicate au impossible, il est possible d'alteinc\re l'optimum en :rempla,ant celte matrice par une constante faible et en iterant Ie processus, c'est l'algQrithme du gradient,

5.5

CALCUL DES COEFFICIENTS PAR TFD

Une premiere approche iterative consiste

a utiliser la Transf0rmation de Fourier

Discr'e te\ qui se calc.ule efficacement par un algorithme rapide. Soit it caleuler un filtre a phase iineaire a N coefficients <:t satisfaisant au gaba-

ri t de la figure ) ,7, On va utiliser une transformee de Fourier Discrete d'orc\re No avec No '" 10 N, La procedure consiste

,o

"••

'.,

a prendre des valeurs initiaies pour les coefficients, par

exemple les termes h donnes par (5,18), pour - P '" i "" P, sl N ~ 2P + 1, Cet ensemble de N valeurs est complete symetriquement par des zeros pour obtenir 'Un ensemble de No valeurs reelles, symetriques par rapport a I'origine. Ensuite, un calcul de TFD donne la reponse H(t) en No points de I'axe des frequences. On peut ecrire :

•

]

~

o

~

lo

"0

~

~

•

~

au H;.(f) est la reponse ic\e.ale et E(f) I' ecart par rapport a celte reponse, On effecrue alors un ecretage de l'ecartE(f), c'esl-a-dire que l'on remplace H(I) par la fanction G(I) telle que:

G(I) ~ H;d (I) + EL(f,) si H(f) > H;d(f) + EL(f) G(f) ~ Hut (I) - EL(I) Sl H(f) < Hut(f) ~ EL(f)

1io , o a u EL(t) represente la limite de l'ec.art donnee par-Ie gabarit, par exemple 0, au 0;, ©

pour Ie filtre passe-bas de la figure 5,7,

5 • Les filtres

138

a neponse imputstonnelle finie

(RtF)

Un caleul de TFD inverse donne No termes dont on Conserve ies N valeurs qui encadrent l'ori.gine, en annula,nt le:$ a\ltres. Pllis, la procedure recommence, en pre-

nant la TFD des No valeurs ainsi obtenues. En design ant par I(k) la somme des carres des No ~ N termes annules dans Ie domaine tempoTd a l'iterahon k, on obtient une fanction dectoissa,nte si les specifications du filtre sont compatibles avec. Ie nombre. N de coefficients. On arrete la procedure quand I(k) tombe au-dessous d'un seui! fixe. En ..ppliquant la m6thode pow differents nombres de coefficients N, on peu! approcher la solution optimale et me-me l'atteindre dans des cas particuliers. Tous

les types de filtres a phase.lineaire peuvent se caleuler ainsi. Pour obtenir Ie filtre optimal, une methode basee sur l' approximation de Tchebycheff est utilisee.

5.6

CALCUL DES COEFFICIENTS PAR APPROXIMATION DE TCHEBYCHEFF

Le but

a alteindre est d't"btenir Un filtre dont la reponse en frequenee presente des a approcher au illieux I,m gabarit,

dpdulations d~amplitude constante, de maniere

comme celui qui est donne sur la figure 5.7 pour un passe-bas dont les ondulations ne doivent pas depasser l' amplitude 01 en bande passante et liz en bande affaiblie. C'est un probleme qui rde-ve· de Papproximation dlune fonction par un polynome

au sens de Tchebycheff, la horme

a considerer

pour la fonotion d' ecaT! est la

norIile L",.

D'apres I'expression de la fonclion de transfert d' un filtre RIF a phase lineaire. Ie ca1cul des coefficients se ram"ene a la determi'nation tie 1a fonction HR(f) qui s'ecrit: r-.1

HR (tl =

L h; cos (2ntiT)

(5.30)

i=O

quand 1e nombre de coefficients s'eleve a : N = 2r ~ 1. La technique qui va etre pr€sentee est valable dans tous les cas, que N soit pair ou impair, que les coefficients soient symetriques ou antisymetriques. Elle est basee sur Ie thepreme d'3palyse

numeriqlle suivant [1] : Theorem e : Une condition necessaire et sliffisante pour que HR (f) soit l'unique et meilleure approximation au sens de Tchebycheff d'une fonction donnee D (f) sur \In sous-efiseIilble compact A de l'intervalle [0, 112], est que la fonction erreur e (f) = HR (f) ~ D(f) presente au mains (r + 1) frequences extremales sur ACto,f" ... ,t,.), tellesquee(f,)= -eeL,) avec 1 ~ i ~ ret ~ e(.ti)1 = max le(f) 1 fe A

Ce reSqltat reste valable si ·une fonction de ponderation Po (I) de l'erreur est ihtroduite.

5.6

Calcul des coefficients par approximation de J"chebycheff

Le probleme se tr:ouve ainsi ramene

a ia

139

resoll1tjon tiu systeme de

(r + 1)

equations :

Le"s 'inconnues sont les coefficients du flltre hi (0 ~ i ::;;;: r -1) et Ie maximum de 1a fonction erreur : o. SOllS. forme matricielle. en faisant apparaitre les tnconnues dans- un vecteur colonne et en normalisant les frequences de maniere que fe..=

D (/0)

1

cos (2lt/o) ...

cos [2lt/o(r -1)]

D (1,)

1

cos (2ItI,) .. .

cos [21t!; (r -1)]

=

1) (t)

1

cos (21t!,) ...

cos [2lttlr -1)]

~ ~ 1 i1 vient : 1

P';-(fo) -1

PO(f,)

(-1)'

PoCt)

ho

h,

hr _ 1 6

Cette equation Inatricielle conduit a la determination des coefficients du filtre, ala conditiofi cependant que soient connues le& (r f 1) frequences extre"males h. e'est dans la recherche des frequences extremales qu'intervient Line procedure iterative realisee suivant un algorithme dit de Remez et dont chaque etape comprend les phases: suivantes : - Des valeUl's initiales sont affect€es, ou sont disponibles pour les parametres

f,(O""'i""'r). ~e

..11•" ],

•c o

c

• '''-

g

]

~

-g

8' @

- La valeur 0 correspondante e'st calcuJee en r,~solvant 'Ie systeme d'equations, qui ,eonduit a la formule suivante:

avec:

ak ~

1

,U cos (2lt/,,) - cos (21t!,) j =/-/{

Les valeurs de la fanction HR (f) sont interpolees entre les /; (0 ";; "i "'" r) pour oalculer e(f). - Les frequences extremales obtenues sont prises comme aleurs initiales POllr I' etape suivante, La figure 5,15 montre l'evolution de la fonctiGn erreur dans une etape du calcuL La procedure est arretee quand la difference entre la valeur 0 calculee au moyen

5 • Les filtres

140

a neponse imputsionnelle finie

(RtF)

des nouvelles frequences extremales et la vaieur preeedente tombe au-dessous d'un seuil fixe a ravance. Ce reSultat eSt obtenu en quelques iterations dans 1a grande maJorite des cas. La convergence de cette procedure est liee au choix- des va'leu'rs initiales des frequences h; pour la pr'emiere iteration, on peut prendre les frequences, extre-males obtenues avec une autre methode de calcul pour les coefficients du filtre, au m&ne simpiement, une repartition uniforme des frequences extremales sur Pintervalle de frequence conSidere . • (1)

i+ 1

s~------~~-----+~~--

FIG. 5.15.

Evolution de fa fonction erreur dans une efape de l'algo rithme de Remez

Comme dans la methode des moindres carres du paragraphe precedent, on trouve une etape d'interpolation des va.leurs de Hd/) qui, du fait de la repartition non uniforme des freql,lences extremales, est plus commode a realiser en faisant appel aux formules d'interpolation de Lagrange :

(5.31 )

avec : r-l

Pk~ IT .

r

.

f ~ ~ xJ -x~

ef

X~

cos (2rc/)

A la fin de Ja procedure d'iteration, les frequences extremales obtenues son! utilise'e s pour produire Un echantillonnage a pas constant de la reponse en fre-

5.7

141

Relations entre nambre de coefficientset gabarit de filtre

quence, qui, par transformation de Fourier discrete inveTse, feurnit les coefficients du filtre . Des filtres ayant plusieurs ce-ntaines de coefficients peuvent etre cakules suivant cetle te~hnique, qui s'applique aux filtres passe-bas, pas$e-haut et passebande, avec OU sans Mphasage fixe [2]. Un exemple de c,alctil est donne en annexe.

5.7

RELATIONS ENTRE NOMBRE DE COEFFICIENTS ET GABARIT DE FILTRE

Dans les techniques de caleul qui ant .ote expo sees Ie nombre de coefficients N du fillIe a ete suppose donne a priori. Or dans la pratique N est un parametre impor" tant, par exemple dafls les projets ou il fauJ evaluer la capacite de ca'lcu'l necessaire ala mise en ceuvre d'un filtre numel'ique satisfaisant aun gabarit donne. Pour un filtre passe-bas, comme indique sur la figure 5,7, Ie. gabarit est donne par l'ondulation en bandes passantes et affaiblie 0, et "", la frequence marquant la fin de la bande passantef etla bande de transition !1f = f, - f" En analysan! les " nombre de fillIes avec des specifications tres variees, resultals du caleul d'un grand on constate qll'en premiere approximation Ie nombre de coeffiGients est proportion1 1 nel au logarithme de If et de If ainsi qu'au rapport de la frequence d'echantillon1

2

nage fe a la bande de transition !1f Par ajustage des parametres on obtient alors l' estimation N e suivante pour Ie hombre de coefficients:

(5.32)

~

Celte estimation particulierement simple est sufiisante dans la plupart des cas rencontres en pratique. EIle met bien en evidence l'importance relative des parametres, La bande de transition !1f est Ie parametre Ie plus' sensible; Ies ondlllations' en bandes passante et affaiblie ont une contribution secondaire: par eX'emple quand 0, = "" = 0,01, une division par deux de i'une de ces valeurs entraine seulement une augmentation de 10 % de l'ordre du filtre, De plus, il est remarquable de constateT que, selan celte evaluation, la complexite du filtre ne depend pas' de la largeur de la bande passante,

g

E;remples

"~ '~

•c •

lo

"0

~

~

• 1i ~

§

1, Le calcul d'un filtre vantes:

a 39 coe·fficienls

81 ~ 0 , 017'•

f2

~

"~ 'O'~ 034 ', ~

0,14375;

(N

=

f·1 -=

39) a conduit aux valeurs sui0 ' 10375 ',

N~O,04

o

@

Avec ces valeurs de parametres 1'estirnaj:ion donne: N e

=

40.

5 • Les filtres

142

2. Un filtre

a i60t;oefficients (N = 0,

°=

a neponse imputs;onnel/e finie

(RtF)

160) a c.o=e parametres:

1,12 . 10- 4 ; 1, = 0,053125 ; 12 = 0,071875; 11.f= 0,01875

= 2,24.10- 2 ;

2

L' estimation donne Ne = 164. 3. Un filtre

a 15 coefficients (N = 15) a comme parametres: 0, = 0,0411 ; 1i:J = 0,0137; .f, = 0,1725 ;

A = 0,2875; !1f =

0,115

L 'estimation donne: N e =13 . Les coefficients' du filtre correspondant it l'equation : 15

y(n)=L a;x(n-i) 1=1

onf pour valeur :

0,00047 = a15 a2 = 0,02799 = a'4 a3 = 0,02812 = <7'13 a4 =- 0,03572 = au a5 = - 0,07927 = an a6 = 0,04720= alO a, = 0,30848 = a9 as = 0,44847 a,

=-

Les ondulations du filtre sont donnees sur la figure 5.16.

FIG. S.16.

Exempli! de flltre optimal it 15 coefficients

n fa ut cependant noter que de&ecarts non negligeables peuvent apparaltre entre la valeur N reellement necessair.e et la valeur estimee Ne , quand les limites

5 ..7

143

Relations entre nambre de coefficientset gabarit de filtre

de la bande de transition approchent les valeurs 0 et 0,5 ou encore quan,d N prend des. valeurs ae quelques unites. Un ensemble de formules plus elaborees est donne dans la reference [3]. Comme indique aux chapitres 7 et 10 un tiltre passe-haul peut lOire obtenu a partir d'un passe-bas en inversantle signe d'un coefficient sllr deux. II s'en suit que l'estimation (5:32) .'applique aussi aux filtres passe-haul. Quand Ie gabarl! presente pour les bandes passante et affaiblie des plages de frequenees ou les ondula" hons doivent eire differentes, un majbrant du nombre de coefficients peut etre obtenu en prenant pour 01 et ~ les contraintes les plus seve-res en bandes passantes et affaiblies respectivement. Dans Ie cas des filtres passe-bande, il faut faire intervenir plusieurs bandes de transition. La figure 5.17 donne Ie gabarit d'un tel filtre ayant deux bandes de transition 1'./, et I'.fz. L'experienee monlre que Ie nombre de coefficients N depend essentiellement de 1a bande de transition la plus faible. i'.fm ~ min (/I./~, i'.f2)' On peut alars appliquer I'estimation (5.32) avec 1'.1 ~ I'.lm' Un majorant pour Ie nombre de coefficients est obtenu en conslgerant le £lltre passe-bande comme la mise en casoade d'un filtre passe-bas et d'un passe-hallt et en faisant la somme des estimations. Ampl .

1 + $,

1

1- ~,

I,

FIG. 5.17.

."••" ]

~

g

• '''8o

"0

~

~

• 1i ~

§

o

©

f

Gabant d'un filtre passe-bande

Exemple Un filtre passe-bande

'a 32

coefficients (N ~ 32) presente les caracteristiques

suivantes ~

OJ ~ O,Q1S ; liz ~ 0;001$; 1, ~ .0,1 ; 12~ 0;2 ; I, ~ 0,35; 14 ~ 0,425 i i'.f;" ~ 0,075 ,

L'estimation par la relation (S.12) avec 1'.1= i'.fm donne Ne' ~ 32. Un ensemble de forfiules pourl'estima.tion de I'brclre aes filtres passe--bande est donne dans la rMerence [3].

144

5 • Les filtres

a n"ponse impulsionnelle fin ie (RIF)

Les fbrmu1es d~e.stimation peuvent etre ut1lisees pour completer Ie. programme de caleul de&: coefficients du 'filtre, en faisant determiner 1e nombre N en debut de programme. La relation (5.32) est t res utile dans les projets, pour les evaluatlonsde complexite. Quand on observe les reponses en frequence des filtres calcules
5.8

FILTRE A TRANSITION EN COSINUS SURELEVE ET COSINUS FILTRE DE NYQUIST - FILTRE DEMI-BANDE

La reponse en frequence )ClU) d'1m filtre dont la bande de transition est en cosinus surdeve est representee a1a figure S.18.a.

.

H(r) .

'

0.5 --------- - - -- ----- .,-----

a

f

IN)

1+----------------,

a

f

lJI

lJI

2

2

F]G.5.18. a) reponse avec transition en CQSinllS surele.ve, b) impulsion enfrequence de largeur2f~ J c) impulsion en frequence p.our fa trans.ition.

5.8

Fi/tre

a transition en cosinus sure/eve et cosinus

On verifie

ql,l~elle

145

s'exprime comme Ie produit de convolution suivant ;

H(!)

=

I, (I) • [I2 (t).

2:/

cos (

~j) ]

(5.33)

ouJ,(t) est une impulsibn cle largeur 2/, e\12(1) Une impulsion de largeur 1'1/" nans ces conditions, la reponse impulsionnelle h(t) s'ecrit comme Ie produit de 2 reponses impulsionnelles i,(t) et io(t) donnees par :

i,(I) = 2/,

sin 1t 2/,t 1t

2/,t

er

A,pres simplifications, il vient:

(5.34 ) Le nombre total de coefficients du flltre est determine prihcipalement par la (onction io(t) et la largeur de son lobe principal, egale a 3/1'1J. Ainsi dans un filtJe a bancle de transition en cosinus sureleve, 1e l10mbre de coefficients peut e tre estime par:

(5.35) Cette estimation peut etre consideree comme une premiere approche, quand 3 on 1a compare a It' relation (5.32). ~ Les coefficients du filtre numerique sont obtenus paT echantillonnage de h (t), .~ pour il '" P et N =2P + 1, soit: ],

"

1

•c o c

•

cos-n:

1'1/ Ie

l

.<e

8o

1~4(1'1///,)2,2

(5.36)

"0

~

~

•

~

1i §

o

@

A noter que celte expression peut erre appliquee a un filtre quelconque et donne une estlrnation directe·des coefficients plus precise·que la relation (5.18).

5 • Les filtres

146

a neponse impulstonnelle finie

(RIF)

Les resultat!? ci-dessus se generalisent atoule bande de transition posse-dant la propriete de symeirie, c' est-a-dire qtte:

H (f, T 1) ~ I - H (I, - 1); II I '"

!J.f 2

Ces filtres sout a la base de la transmission numerique et on les designe par filtres «de Nyquist ». Leur reponse irnpulsionnelle s'annule a taus les instants multiples de 112/, et, en traitement numerique, les coefficients d'indice multiple de f,J2/, sont nuls. Un cas p.articulier important est celui du fillre demi-bande, dans leqllei I, ~ 1,14. Alars, 'les coefficients pairs s'annulent et, pour N ~ 4M + 1 coefficients , la relation dlehtree-sortie s'ecrit:

y(n) ~+[x(n-2M)+ ;~,

h,;_1[x(n-2Mt2i-l) +X (n - 2M- 2itl l]

Pour la Ie-panse en frequence , il vient:

H (j) =

.

1 [1 t 2

e-I·2rr2Mf ~

2

M L

i=- l

Ce filtre necessite une quantite de cza lculs requite et c'est un 61erp..ent de base du filtrage multicad'mce. En 'transmission, ia fonction de filtrage se partage entre femetteur et Ie recepleur et on litilise frequemment Ie filtre demi-Nyquist, par exemple avec une bande de transition en cosinus:

HIIl(!) ~ 1;

VI '" 1, -

Hlf.'(!)=COSlolfHlf.'(f) ~ Q;

"'{

(/<- "'!)}2N;

ttl ~ I, t

"'{

La reponse impulsionnelle slecrit :: hlI2 ('t)-

-4"'1 cos 2m 1<

I, - (I, + "'AI . 2n:t("'A c- t c- sJh

.

2 1tt 1- (4"'lt)2

2

(5.37)

Comme precedemment, un filtre numerique « demi-Nyquist » peut eIre oblenu en.echantillonnant celt" fonction, c'est-~-clire en rempla,ant t par if I ,dans la relation (5.37).

5. 9

STRUCTURES POUR LA REALISATION DES FlLTRES RIF

La mise en reuvre des filtres RIF se fait par des·circuits qui realisent le& trois operations fondamentales- que sont la mise en memo ire, la multiplication et l'addition et qui sont agences pour fournir, a partir de la suite des donnees x(n), une suite de

5.9

141

Structures pour la realisation des filtres RIF

sortie y (n) conformement a I'equation de definition du filtre. Aucune " peratio\l reelle n'etant instantanee., I'equation qui est realisee t 1a place c\e la relation (55) du paragraphe 5.1 est la sulvante : N -1

y(n)~

L

i=O

aj x(n-i-1 )

(5.38)

Il faut N memoires de donnees et pour chaque nombre de sortie il faut faire N multiplications et N - 1 additions. Differents arrangements de circuits'peuvent etre envisages pour rnettre en ceuvre ces operations [4,5,6] .

La figure S.19.a donne Ie schema du filtre dans la structure dite directe.'La trans" position dtt graphe de ce schema concluit

ala structure dite transposee et representee

sur la figure 5.19.b ou les memes Dperateurs sont agences differemmenl. Cette structure amime a r€aliser 1a multiplication de chacune des donnees x (n) par taus les coefficients s\lccessiven'lent; d'autre part 'les me-moires stoGkent des sommes partielIes; en effet au temps n la premiere me-moire stocke Ie nombre aN _lx(n), la sui-

vante : aN _1X (n - 1) + aN _2x(n) et la dermere stocke ia sorume y (n). La difference entre ces deux structures tient a la position des memoire$. Ort peut aussi envisager

une· structure intermediaire adeux memoires par coefficient, au les donnees internes

sont stockees pendant (~ c;l\lre~ T /2 darn; chac\jn<;; la stru<;twe en chaine amsi obtenue nepresente que des·interconnexions locales.

y(n)

x(n)

,o

"••

'. ],"

FIG. 5.iQ.

•o

Realisation des filtres RIP

a) siru,cture di'[ecte, b) strncture transposee.

o o

•

'1C

8o

] ;

Dans les fillres

a phase llneaire, la symetrie des. coefficients peut etre exploitee a faire par nombre de sortie, ce

pour div1ser par deux le nombre de multiplications

1i qui est tres important pour la complexite d\J filtre et justifie l'utilisation q\lasi generale

8' @

de filtres a phase lineaire. La structure corresPQndimte est presentee sur la figure 5.20 pour 1a forme directe· quand Ie nombre de coefficients est impair: N ~ 2P + L

5 • Les filtres

148

a [feponse imputsionnelle finie

(RtF)

La complexite des circuits depend du nOI1).bre d1operations a faire , mais aussi de l'ampleur de ces operations .; c'est ainsi que 'les termes de la mUltip]ication doivent avoir tin nombre de bits aussi re-duil que possible Ce qui tend a diminuer la capacite de me-moire necessaire, tant pour les coefficients que pour Les donnees. Ces limit:atiofls qIodifient les caracteristiques' de traitement.

1---.- - - - - - - - -.----I

Pm. 5.20. 'structure directe pour flltre .a phase fineaire

5,.10 LIMITATIONS DU NOMBRE DE BITS DES COEFFICIENTS La limitation du nombre de bits des coefficients d' un filtre entraine une a.1teration de ia re-ponse en freq uence qui se traduit par la superposition dlune fonction paracSite. Leg: consequences vont etre analysees dans' le cas des filires a phase 'lineaire. L'extensian des resultats aux filtres RIF quelcanques ne presente pas de difficultes. Soit un filtre it phase lineaire it N ~ 2P + 1 coefficients, dont la fanction de transfer! s'ecrit d'apres Ie paragraphe 5:2, relation (5.13 ) :

H(!) = e-i 2rrtpT [ho+ 2

;~, h; cos (2It/iT )]

La lih11tation du nornbre de bits des nombres qUi representent les coefficientsse traduit par une erreur oh; (0 ,;; i <; P) sur Ie coefficient h; qui, dans I'hypothese d'u!1 arrandi ayec Un e¢helan de ql!antification q, est telle que:

5.10

149

Limitations du nombre de bits des coefficients

I1 en r",sulte la superposition a la fanction H(t) d'une fonction parasite e.(f) telle que :

(5.39)· L'amplitude de. cette fonction .doit etre limitee, pour que la TePOnse du filtre reel reste dans Ie gabarit impose.. One borne est obtenue camme suit : p

Ielf)l ,;; lahol + 2L1 lah;] leas (2ltfiT)] ~=

(5.40) Cette borne est en general bea ucoup trap grande ; pour avoir une estimation plus realiste il faut faire 'appel a une estimation statistique [7]. Quand l'etude porte sur un grand nombre de filtres ayant des specifications variees et que l'on recherche des re-suItats gene-raux, on peut considerer les vctriables OItj(G ~ i ~ P) comme aleatoires, independantes et a repartition l!niZ

forme sur Finlervalle [-

~, ~]; dans ces conditions elles ont comIDe variance- : i2 .

La fonction 'e (f) peutetre .consiaeree.comme'llleatoire egalement. Soit eo sa valeur efficace sur I'intervalle de· !'requenee [0'/,], c'est-a-dire telle que:

1

e6=

f,

~ J fe 0

le(f)1 2 df

(541)

En fait la fonction e(t) est une fanction periodique definie par s.o n develbppement en serie de Fourier et l'€galite de Bessel-Parseval permet d'ecrire, conforme~ ment a la relation (5.8) :

,o

Par suife-Ia variance (}'2 de la variable aleatoire eo s'ecrit:

.."••" ],

~

En faisant l'hypothese d'independance de la frequence pour. le moment db second otdre et compte tenu (1e la rtilation (5.41), Ta variable e(f) peut etre cansi"§- deree-camme une variable aleatoire de variance (}'2 telle que ~ o

~

o

I-g ,.

o

©

cr=~ti

(5.42)

Celte reiation fournit une estimation de le(f)1 beau coup plus faible que la borne (5:40). En fait a(J) , resultant d'apres (5.39) d'une somme poncteJee de

5 • Les filtres

150

a neponse imputsionnelle finie

(RtF)

variables supposee.s independantes, peut etre assimilee a une variable gaussienne, de moyenne nulle si la quantification est faite par anondi, et d'ecart type cr, Pour determiner Fe-chelan de quantification q, on peut alors raisonner aveC' les inte-Tva'lles de confiante; par exemple la probabilite pour que IeU)1depasse la v"leur 2p est inferieure a 5 % d'apres Ie table.au dofme en annexe 2 au chapitre 1. Les resultats ci-dessus vont inaintemmt etre utiltses pout' estimer Ie nombre de bits

be necessaire dans 1a representation des coefficients ~run filtrespecifi6 par un gabarit.

Etant donn6 un gabarit de filtre, soit om la valeur imposee par Ie gabarit pour I'amplitude des ondulations ; salt q, l'amplitude des ondulations du filtre avant limitation du nombre de bits des coefficients. La fonction parasite i{(f) doit.atre telle que:

Ie (f) I <: 0", -00 Le degre de confiance dans [,estimation est superieur ~ 95 % si q est choisi tel que :

'1 (N < om -00 2 'V 3 2 Dans ces conditions:

(5A3) Le nombre de bits be necess,\ire pnur repre-senter les coefficients- depend de '1a plus grande des valeurs hi{O ~ i ~ P) et, compte tenu du signe, l'echelon de quantification q est donne par: (5.44) Si Ie filtre est un passe-bas don! la reponse en frequence approche. l'unite en bande passante et correspondant au gabarit de la figure 5.7, les valeurs des coefficients peuvent en premi~re approximation etre ""loulees par la relation (5,18)' Dans ces conditions Ie maximum est obtenupour ho avec:

1, t 12

ho~--

[,

(5.45)

AloI S (5.4~) el (5,44) conduisent a l'estimation suivante:

. . [/l + h

b,=ltlog2

{N ---Y;- -'V3' om-1 oo]

(5A6)

aVec:

b, : nombre de bits des coefficients (signe compris) . N : nombre de coefficients du mtre. 1, : limite de bande passante, 12 : debut de bande affaiblk I, : frequenc", d'eehantillonnage. om : limite imp osee par Ie gabatit pour l' amplitude des ondulations, q, : amplitude des ondulations du filtre avant limitation du nombmde bits des coefficients.

5.10

Limitatio'ns du nombre de bits des coeffic:ients

151

Ex~mple

Soit Ie filtre pa_sse-ba$ ~ 15 coefficients du paragraphe 5.7 dont les: parametres sont les suivants : ' N

='

I< ~

15

1 f,

~

0,1725

12 ~ 0,2875

Le-gabarit impose:

0, ~ 0,05 Il:, ~ 0,G2 Les ondulations dli filtre en bandes passante et affaiblie, avant limitation du nombre de bits <,Ies coefficients, ant pour valeurs :

0,0= 0,0411 Ow ~ 0,0137 Dans ces condi tions :

Il vient;

On choisit b, ~ 8, c'est-a-dire des coefficients a 8 bits. La fonction eCt) correspondante est representee sur la figure 5,21. • (11 0,011-----------------------,

0,1

0,2

0,1.

.:ijj ~

§

."••"

,qs

,,,

-0,01 L _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _- '

Fw.5.2l

Erreur due

al'arrondi .des- coefficients.

],

~

Dans la pratique Ia relation (5.46) peut etre simplifiee. D ' abard la tolerance fournie par Ie Kabarit du filtre est generalement rep artie equitablement entre les ondulations ~lVant iimitation du nombre de bits de~ coefficients et feTfeur supple.§ mentaire que acette limitation, c'est-a-dire que 80 = Qm 12. D e plus, les fiJtres a r"ea"5. liser sont generalement tels que : o

~

l

•

~

,.

-g o

@

(5.47)

5 • Les filtres

152

a neponse imputsionnelle finie

(RtF)

ce qui, d'apres la relation (5.32) correspond a une gamme importante des valeurs des ·parametre$ ~ et o.z,. Dans ,c es conditio.ns on peut se baser sur l'estimati"on .(5.35) e! remplace.r

~

par

;1

.e.t une estimation convenable. du nombre de bits

des coefficients est donnee par :

/1+/2

rJ:2] om .

b, = 1 +log 2 [ ---y:- ' \j 'I;l'

En faisant appata!tre la raideur de coUpure du filtre (5.17) et 1a bande de transition normalisee, on obtient fihalement : 1 .(/1+/2 2Af - 2

b, = 3 + log 2

log 2

(IeAf )+ log 2 (1 ') min {O" Ii,)

(548)

A.insi Ie nombre de bits des coefficients est directement lie aill!: specifications du filtre . .II est remarquable de constater que les filtres Ii bande passante 6troite demanden! moins de bits que les filtres a bande large. Les relations (5.46) et (5,48) s'appliquent aux filtres p asse-h aut et eiies s'etendent aux filtres passe-bande" L'analyse ci-dessus a ete menee ave'c Fhypothese d'une separation des operations de caleul des coefficients et de limitation de leur nombre de bits. II e,s t 6galement possible de considerer globalement l'ensemble de ces deux op6r.ations, mais les techniques de calcul correspondantes sont plus compliquees [8].

5.11

LIMITATION DU NOMBRE DE BITS DES MEMOIRES INTERNES

La limitation du nombre de bits des me-moires dans un filtre constitue une source de <;Iegradation,s du signal ala traver",e de ce filtre. Dans un filtre RIF il est possible d'6viter cette degradation. En effet si b d , designe Ie nombre de bits des donnees d1entree, be- etant celui des coefficients, iI suffit de pouvoir faire l'accumulation des produitsa (b d + be) bits pour realise.r exactement les calculs definis par (5.38). De nombreux circuits multiplieurs et prec.esseurs pennettent cette operation. Si les produits sont arrondis a bm bits pour simplifier les circuits de multiplication et accumulation ~ il apparalt un bruit appele bruit de calcuL Dans les structures cQnsiderees au paragraphe precedent ce bruit slajoute en sortie de tiltre. La figure 5.22 montre Ie cadrage des nombres dans Ie filtre . Compte tenu des valeurs des coefficients hi' les produits sont .decale~s d'un nombre de bits Do qui, pour un passe-bas, s'ecrit d'apres (5.45) :

~

bo log 2 (

1, ~-h )

5:11

Limitations du nombre de bits des memoires internes

153

I

L Donnees' d'entree

, II,,

,

:.

I

I

: ! • bQ

1-1------------1 Produ;!. •

L.

bm

•

~------:-------~ Registre d'i!.ccurT:Iuli!.tion b.

,.

FIG. 5.22., Cadrage desnombres dans un [titre. RIF.

La sortie du filtre est obtenue dan$ un accumulateur ayant au moms b a ~ (b o T b m ) bits, En tait Ie nombre de bits b i a l' interieur de la machine doit etre -superieur a cetie valeur ha pour e-viter les ciebordements, bien qU'avec une-represeptation en complement a deux des debordements temporaires soient acceptable$. Ce nombre de bits brva maintenant etre relie. aux specifications du filtre . Au signal qui se presente it l'entree du filtre est superpose un bruit dont la puissance est designee par BlI Cette pl.!issance de bruit est generalemeht liee :au nombre de bits b d utilises pour representer Ie signal ; en fait elle est egale a ko 'fois j avec leo ~ 1, la puissance de bruit engendree par la quantification 1 b d bits. Si Ie bruit de calcul a pOllf puissance B" si Ie sigmil d'entree S et Ie bruit superpose B, ont'tine distribution spectrale 'uniforme, le 'rapport signal a bruit SB en sortie du filtre s'e"prime en decibels (dB) par:

(5.1.9)

5 Alors, la reduction ASB du rap'po r.t sign,al a bruit a la traversee du filtre slecrit :

.•• "••

(5.50)

],

•c o c

•

'5.

Si celte degradation doit rester faible, 'il vient :

8o

"0

~

~

•

(5.51)

~

1i

8' @

11 faut maintenant determiner la relation entr~ la pliissance du bpuit de calcul Bc.e:t Ie nombre de bits des memo ires internes bi'

a n"ponse imputstonnelle finie

5 • Les filtres

154

(RtF)

En prenant comme unite I. valeur maximaie des nomhres <,!'enlreex(n), c' esta-dire ;

fx(n)l ,;; 1 on a en sortie, d'apres la relation de definition (538) : N-l

'ly(n)1 ",.

L

lalI

i=O

Pour un filtre passe-bas de reponse unitaire

ala frequence zero ~ on a:

N-l

L

i=Q

a~l

(5.52)

I

Dans ces conditions la somme des valeurs absolues des coefficients reste generalement inferieure a ql,lelques unites et on peut considerer que les inegalites SU1-

vantes:sont verifiees : N-l

1 ",

L lail

i =0

(5.53)

<2

L'arrondi a bi bits dans Ie processus d'accumulation amene alors un bruit de caleul Be tel gue :

alors que Ie bruit aFe-ntree Bl a pour valeur: 22(2 -b,) B J ~ ko ' 12 avec

kQ;'< 1

Avec la meme approximation de N gu'au paragraphe precedent, la <,!egradation du rapport signal a bruit a la traversee du filtre s'ecrit ;

ilSB = 4,3.

3/,

4

(5.54)

N . ko 2 2(b ,

En generalles specifications du filtre imposent une limite a la valeur ilSB. En supposant ko ~ 1 une estimation du !t1ombre de bits des memo ires dans la machine est donnee par:

bi = bd +3 + ~. [lOg 2 (il~B)+ log 2

Uf)

+ log 2 (11

~ IJ]

(5.55)

Il faut bien noter gue la validite de celte estimation est limitee aux faibles valeurs du terme ilSB , exprirne en declbels. n appararr que les fillres a bande passante etroite demandent plus de bits ; en fait il est possible de proceder a un recadrage interne des nombres, en tenant compte de la reduction de puissance du signal apres filtrage, qui correspond au nombre de bits b R avec:

(t)

b.R ~ 2:1 log2. 1, + 12

5:12

155

Fonetion de transfert en Z d'un filtre RIF

Avec. recadrage, Ie nombre de bits des memoires dans la machine est donne par b iR = bi - b s . c'est-a-dire :.

(5.56) Les· estimations donnees dans ce paragraphe et les pre.c edents fournissent une evaluation de la complexite des machines necessaire pour realiser les fonctions de filtrage RIF.

5.12

FONCTION DE TRANSFERT EN Z D'UN FILTRE RIF

La fonction de transfert en Z

d'un filtre RIF

a N coefficients est Un polyn6me de

degre N -1 qui s'ecrit (5 .7) : iN ~ 1

H(Z) ~ ;~o

a,Z-i

Ce polyn6me passede N - 1 racines Z, (1 <;;; i

%,

N - 1) dans' Ie plan complexe

et s'e.crit SOllS la fonne d' un produit de facteurs : N-l

H CZ)~ao

n

1=

1

(l_Z,Z-l )

Ces ra'Clles pnssedent des particularites en

r~ison

(5.57) des proprietes des filtres

RIP.

~

~

,

.••" 1ii

D ' abord si les coefficients sont reels, a toute racine complexe Zi correspond une racine cornplexe con.fuguee Zj> ge sOTte que B(Z) s'ecrit sous forme d'un produit de termes du premier degre et de termes du :$econd degre ~ coefficients reels. Un terme du second degre s'ecrit ainsi :

H:,(Z) ~ 1- 2Re(Z;) Z-l + IZ;12 Z-2

],

•c

g

•

D'autre part, la symetrie des co-efficients d'un filtre

(5.58)

a phase lineaire dbit appa-

.§

-a.

raitre dans la decomposition en produits de facte.urs". Pour un terme du second degre a coefficients reels il faut, 8i les racines sont complexes, que IZil =. 1, c'est-adire que le zere seit sur Ie cerc1e unite. Pour I,ln tyrme du 4e degre a coefficients

-g

reels, il faut que 1es 4 racines complexes soient les s.uivantes !

@

a-dire :

"6...

8

8"

~

1

1

'4, '4., z ' == ,; ctesti

Zi

5 • Les filtres

156

H.(Z) ~ 1- 2Re (Zi +

a neponse imputsionnelle finie

(RtF)

~J Z~l + [IZ,12 + 1~12 + 4Re (Zi) Re (~J] Z~2 - 2Re (Zi +

~J z,' + Z~4

(5.59)

Dans ces conditions un filtre RIF a phase lineaire pellt se decomposer en un ensemble de filtres elementaires du deuxieme ou quatrieme· de.gre ayant la proprie\e de symetrie des coefficients. Les racines du filtre passe-bas a 15 coefficients donne comme exemple dans Ie p"'agraph<; 5.7 out ete calculees. Les affixes des 14 zeros s011t I<;s s\livan~ :

z, ~ -0,976 ± j 6,217 - 0,797 ± j 0,603 Z3 ~ - 0;512 ± j.D,859 Z4 ~ - 0,271 ± j 0,962 ~~

Zs ~ 0,492 ± j 0,266; Z6 ~ 1,573 ± j .0,851 ; Z, ~ 0,165 Z8~ 6,052

Leur position dans Ie plan cQmplexe est donne sur la figure 5.23. J

6,052 - R

\

•, \

'., ' .

..... .

-

FIG . 5.23 . Configuration .des zeros d 'uf? filtre RIF

Cette figure illustre Ies caracteristiques de Ia r.oponse en freql\ence du filtre et est a rapprocher de la figure 5.16. Les couples de racines caracteristiques de la llnearite en phase apparaissent egalement. Si cette contrainte n'est plus imposee]a configuration des racines est modifiee. ' II est intenssant d'observer que, camme Ie montre I'expression (5.14), la reponse en frequence d!un filtre aphase lineaire anombre de coefficients pair s!annule· a I. demi-freql\ence d'echantillonnage [,/ 2. Un tel filtre poss~de done un zero a1/ 2. De meme, si un filtre a nombre de coefficients impair possede un zero a hi 2, ce zero est double, ce qui assure la syme-trie de la reponse en frequenceau yoisinage de [,(2.

5.13

Fitlres

5.13

a dephasage minima.!

FlLTRES

157

A DEPHASAGE MINIMAL

Le temps de propagation a travers un filtre a phase lineaire peut etre trap imyortant pour certaines 'applications, D'au\re part, il n'est pas toujours possible ou interessant d'litiliser la symetrie des coefficients d'un filtre a phase l1neaire pour simplifier les calculs [9]. Alar< si la linearite en phase n'est pas une caracteristigue impose-e, on pelJ-t esperer reduire '1a Gomplexite dufiltre en abandonnant cette contrainte. En effet line fonction de trans-iert a phase l1neaire peut e-ire consideree comme Ie produit d'une fonction a dephasage minimal par une fonction de dephaseur pur. La condition pour gu'une fonction de transfert en Zsoit d€phasage minimal est que ses raeines soient a Finterieur ou sur Ie cercle unite. Ce point est developpe au chapitre 51, On peut o blenir les coefficients d'un fil\re it dephasage minimal ~ partir deS coefficients d'un filtre a phase lineaire optimal d'une maniere simple, En effet soit un filtre, it phase lineaire a N ~ 2P + 1 coefficients dont la reponse en frequence s'ecrit :-'

a

Les ondulations en bandes passante et affaiblie sont 8, et 0:, respectivement. Examinons Ie filtre obtenu en ajoutant ~ a la re-ponse precedente et en recadrant pour approcher l'unite en bande paSsante, Sa reponse H?(f) est telle gue : H 2 (f)

~ e-i"'iF'r 1 ~ 0:, [ho + O +2 i~' hi cos (2n:/iT )]

(5.60 )

2

En bande passanteil presente des orrdulations d'ampl1tude 0; telle que:

0,

Sa r.oponse en 15 ande affaiblie est representee sur la figure 5,24; les'Dndula-

"••

'.

lions son t limi tees

a0; ~

20

(1 + ~i) ,

],"

•c o c

•

'0..

8o

"0

~

~

•

•f

~

-g

"

o

@

FIG. 5.24.

Ondu/atil)llS en bande affaiblie du flltre surelevi

5 • Les filtres

158

a neponse imputsionnelle finie

(RtF)

Ce filtre est a phase iineaire cal-" ia symetrie des coefficients est conservee. Par on pe-qt observer que les zero$' de la fOllction de tra,nsfert en Z qui sont sur

c~ntre

Ie cerole Unite sont doubles car H 2 (t) ne d"vient pas negatif. Dans: c~es conditions la configuration des ZerQS esl ce!le de la figure 5.25.

FIG.

5.25.

Oonfiguration des ;-eros de H2 (f) et dufiltre d d-ep/ylsage minimal

Les zero~, qui ne sont pas sur Ie cercle unite ne sont pas doubles. Cependantle module de la fonotion H 2 (f) n'est pas modifi€, a une constante pres, si I'on rem1 place les zeros Zi exterieurs au cercle 'unite par les zeros Z ' qui sont interieurs au " cerde unite el deviennen talors doubles egalement. En effet celte operation revient simplement it une multiplication par G(Z) telle que:

G(Z) ~

Z~l) (

(l-z;-

Z-l)

1-~

(1- ZiZ-I) (1- ZiZ-1) Or, sUr Ie cerele I'egalite :

unit~

Z-l

~

Z, et la symetrie par rapport .a l'axe reel conduit it

(Z-l_ Ztl (Z" - Z;) I (Z-Z,) (Z-Zil 40,jro~ 1 I

(5.61)

Par suite:

Dans ces conditions on peut ecrire : H,(f)~H'in(f).K

(K: constante)

au Hm (tl est la reponse d'un liltre qui a une fonction de Iransfert en Z dont les P zeros sont simples et al'ipterieur Oil sur 'fe cercle unite. Ce fihre satisfait ala condi-

5.13

Fitlres

a dephasage minimal

159

tion de phase minimale, il possede P + 1 c<Jefficients .e t le$ amplitudes des ondulahans en bandes passante et affaiblie sont Om! "'10m2 telles que ; (5.62)

(5.63) Pour calculer ce filtre il suffit de partir du filtre

a phase lineaire dont les para-

metres 01 et ~ sont determines a partir de oml et 8m2 et de suivI1e 1~ proc&lure qui a et6 decrite. Un inconvenient de- cette. procedure est qU'elle exige rextraction des

racine$c\'un polynome de deg.re N - l, ~e qui limite. les valeurs de N envisageables. D ' autres procedures peuventetre utilisees [10], [11} En particulier une methode simple peut etre deduite de la prediction iineaire, camme indique au chapitre 1:). Une estimation N; c\e I'ordre du filtre RIP a dephasage minimal peut etre deduite de la relation (5.32). Selon la procedure decrite ci-dessus, pour des specifications

01

et

°,11 vient : 2

o u encore :

(5.64 ) La validite de cette formlll" est naturellement limitee au cas au ~ <; 0,1. Le gain obtenu sur I'ordre du filtre avec Ie dephasage minimal est fonction de l'ondulatfon en bande passante ; il reste relativement modeste en general.

Exemple .,; Soit Ie gabarit de filtre passe-bas suivant (exemple 3, paragraph" 5.6) :

" ~

·31 ],"

Alors il vient ; ~

•c

= 0,0822.

O2.= 0,0000938

o

~

'1C

et Ie nombre de coefficients necesscdre pour Ie filtre

aphase lineaire corresponda,nt

8 est estime a :N£,= 24, ce qui conduit aN~ = 12. En realite, on verifie que Ie filtre a o ] dephasage minimal satisfaisant au g~barit neeessite 11 coefficients au lieu de :; 1.5 pour Ie filtre pbase lineaire. -g. En conclusion, lorsque les symetries apportees par la linearite en phase ne ~

g @'

a

peuvent pas etre exploitees, il peut etre avantageux de recourir aux filtres sage minimal.

adepha-

160

5 • Les fillres

a reponse imputstonnelle ('nie (RtF)

5.14 CALCUL DES FlLTRES A TRES GRAND NOMBRE DE COEFFICIENTS Quand Ie llGmbre de .coefficients du filtre est tn3s 61eve, par exemple un millier au plus, ce qui correspond a des bandes de transition extremement faibles , de l'ordre de quelques milliemes, les techniques d'optimisation deviennent difficlles a utiliser au ne COrivergent pIllS. On peut alors utiliser des techniques sous-optimales mais

qui ne necessitent que Ie calcul de filtres a nombre de coefficients reduit. C'est Ie cas de la methode dite du masquage en frequence [12]. Soit a realiser un filtre H(Z) dont la bande de transition AI est centree sur la [requenee de caupure f,. On commence par calculer un filtre passe-llas HO(ZM) , avec Une frequeuce d'echantillonnage reduite 11 I,IM, avec M <

lii'

et tel que la

bande de transition d'une des Tepliques de c.e- [iltte sur l'axe de-s frequenc,e s co'in-

cide avec la bande de qansitian du filtre desire, ctJrnrne Ie montre la figure 5.26b. Emuite, on construit 11 partir de HO(ZM) deux fillres complementaires comme indique sur la figure S.26b, ce qui necessite pour Ho(ZM) un nombre impair de coefficients, 2P + 1. an obtient un diagramme a 2 branches~ auxquelles on applique leg filtres G, (Z) et G 2 (Z), dits interpolateurs et '
,mJ

.s)

" , >".c..

1 ~c

Ho(f)

o

f

b)

f

c)

G, (f) G,(f)

•

F======l:e::::--*"

o

f

FIG" 5.26.

Principe du mas.quage en frequence a) Filtre desire b) Filtre sous-echantillonne c) Filtres intetpolateurs

5.15

Filtres RIF a deux dimensions

161

-~• z-...

FIG. 5.27.

Schbna du flltre selon fa technique de masquage en frequence

La procedure necessite ainsi Ie calcul de 3 flltres ayant comme bandes de transition Mt.[, fc

~ k ~, (k + 1) ~ ~ fe'

ou k est I'entier qui permet d' encadrer la

frequence de coupure fe' La fonction de transfer! H(Z) du filtre desire prend la forme: (5.65) ce qui fournit les vaJeurs des coefficients. A noter que Ie scMma de la figure 5.27 fournit une realisation efficace du filtre global puisque Ie filtre HO(ZM) a M - 1 coefficients nuls entre deux coefficients non nuls. Ce scMma peut se simplifier comme indique sur la figure 5.28. On peut prendre comme filtres interpolateurs Fj(Z) ~ G, (Z) + G 2(Z) et F2(Z) ~ G, (Z) - G 2(Z), mais ces filtres peuvent aussi se calculer directement a partir de leurs specifications deduites de la figure 5.26.

-1 z- PM

HO(ZM) -

,c

'"

F, (Z)

2

x(n)

FIG , 5.2S.

±

~ z- PM

F,(Z)

Schema simplifie du flUre par masquage en f requence

w w

'w

•

'0

B ,

•c

o c w

'0.

8o

]

~

."l

1ic , o

@

5.15 FlLTRES RIF

A DEUX DIMENSIONS

Un filtre RIF a deux dimensions est dMini par une relation entre la sortie yen, m) etl'entreex(n, m) quis'ecrit : Nl-l N2-1

Y (n, m ) ~

L

j=O

L

j=O

a;jX (n - i, m -

1)

(5.66)

5 • Les filtres

162

a neponse imputsionnelle finie

(RtF)

L'ensemble des coefficients ajj con,stitue une matrice AN1N2 de dimension Nl x N 2 . La fonction de transfert it 2 variables correspondante, H ( Z,,~) s'exprime en fonction de cette matrice par: N; -l

LaIJ. Z-i1 'Lit

(5.67)

j= 0

o u ep-core, SOllS forme vectorielle:

(5.158)

La matric" des coefficients A N1NJ est aussi appeiee ie masque. A titre les filtres passe-haut suivants sont d'utilisation courante en traitement d'image : d~exemple,

A' >'

[

~ l

~

2

~1

01] o o

2,

A:' ~

;

1

[ 1 1 1] 1

~ L,

1

~1

~1

~1

Le filtre A' est dit de Sobel et A" de Prewitt. Dans les pweedures d'extraction des contours' dans une image" ils sont 'utilises deux: fois, camme Gi-dessus' et apres: rotation de 90°, Les coefficients des filtres a deux dimensIons peuvent etre calcules directement a partir des specifications dans Ie domaine des frequences a deux dimensions. Quand la re-ponse impulsionnelle est une Jonction paire par rapport aux deux variabl!3s, la reponse en frequence e-t les coefficients peuvent etre obtenus a partir d' un filtre it une dimension et a pha&e line~ire. En effet soit H(0») la reponse en frequence d'un'tel filtre, qui, d'apn,s (5.13) en negligeant Ie terme de phase, s'exprime par: p

L j= l Or 1 11 existe entre cos. i(J) et cps- ro une relation polynomiale : cos icil ~ T, (cos OJ)

(5.69)

au Ti Cx') est 1e polynome de 'Pchebycheff de degre i. Dans ces conditions H ( 0») s'ecl'jt alJssi ; p

H(OJ)~

L

g,(cosro),

(5.70)

i=O

Ensuite,

le changement de variables: K-1 L-l

cos.0) ~ H, (0)" "l2) ~

L 1=0 L

k=O

t (k, I) cos kill, cos lcilo

(5.71)

5.15

Fillres RIF a deux dimensions

conduit

163

ala fonetion adeux variables suivante : L-1

I~O 1 (k, I)

) COS

k"'1

COS ''''"

(5.72)

qui peut @tre reecrite sous la forme : N2-1

L

j =O

h ij cos

j"'1

(5.73 )

cos j "'"

avec :

N1

~

2KP + 1; N2 ~ 2LP + 1

La [onction t(k, l) peut etre choisie pour qu'a chaque valeur de '" corresponde un contour dans Ie plan ("'!, ","). PaT exemple pour: cos '" ~

1

'2 [cos "'I + cos"," + cos "'1 cos"," -

1]

(5:74)

on obtiellt approximativement une symetrie circulaire, comme Ie montre Ie cieveloppement limite de cos "'1 pour (01 petit. La figure 5.29 montre un exemple de reponse de filtre calcule par cette methode. La realisation d'un filtre a deux dimensions peut se faire par application directe de la definition (5.66) . Dans Ie cas des filtres deduits d'une [onction monodimensionnelle, la realisation peut etre simplifiee en utilisant la relation (5.72) et en proc6dant comme pour un filtre a une dimension et P + 1 coefficients gi (0 ~ j ~ P), mais dans lequelle retard est remplace par la cellule a deux dimensions correspondant ilIa [onction If1 ("'1 ' "'") [13].

a

FIG. 5.29 . Filtre RJF it deux dimensions calcule partir d'llnfiltre 1-D it phase lineaire

Un cas de realisation particulierement simple est celui des filtres dits separabIes, pour lesquels la matrice des coefficients est dyadique, c'est-a-dire:

A N1Nz =

V1V~

5 • Les fittres a n§ponse impulsjonnelle fin ie (RIF)

164

ou V, el V 2 sonl des vecleurs. Nors, confbrme)11enl a la relation (5.68) , 1a [pnotion de transfert$e faotOTiSe :

($.75) Les specifications de leis flltres sont soumises a deslimitafions. D'abmd, elles doi",ent corresp
K

BH

HH

BB

HB

FIG. 5,30, Domaine!f dejrequence pour un filtre i n separable

c

0

(Q1 c

•

"'1

Ensu:ite~, les specifications d~6ndu lation doivent etre defihies en consequence.. Par exemple, pour un 'filtre 2]) de type passe-bas, Ie domaine HH subit I'affaiblissement des 2 !flll,es, horizontal et vertical. Une illustration est don nee par la figure 5.31 qui montre la reponse. en frequence d '·u h filtre 2D separable, base sllr Ie filtre demi-bande de la figure 5.1'3 .

aXP.asse~bas/Pass~-bas

FIo. 5.31.

Filtre 2D demi-bande separable:-

b) Passe-haut!Rasse~baut

La realisation peut se faire suivant: 1a definition, c'est-a-clire qu~un tableau dedonnees '''presentant une image pent etre traite ligne par ligne ave.c Ie filtre .hori~ zontaI et colonRe p,ar colonne ·avec Ie filtre vertical.

165

CaJeul des weffielen!s de filtres RIF-2D

5.16

Quand Jlimage e~t soumL'ie .8. un balayage horizontal comme en te1evision~ le signal ap),arait en fait comme mono-dimensio nnel et peut gtre traite comme tel. Si chaque ligne comporte N points, la fanction de transfer! s'ecrit:

(5.76) Par exemple, pour Ie filtre de SobelA',

ort

a:

A'~ [~ ].[- 1

0 1]

et Ie circuIt correspondant est donne ala figure 5.32. La realisation est flarticulierement simple, les circuits ne comport ant pas de.multiplieurs.

44~

I< In) •

+ ~> +

-. +,

FIG. 5.32.

y

(n)

Realisation d'unjiltr'e dl extraction des contours

5.16 CALCUL DES COEFFICIENTS DE FlLTRES RIF-2D PAR LA METHODE DES MOINDRES CARRES La methode va etre developpee pour un cas particulier Important, celui des til tres a syrnetrie quadrantale. Deux types de filtres correspondent a'cette categorie, les fi ltres en rectangle et les filtres en losange, avec 'les domaines. de freCJuence d~ la figure 5.33 . .'!:::i

",

~,

to"

0

."••••

•

], 0

0 0

•

'5. 0

u 0

"0

~

~

•

-c0

"

/1 \ \I

•

~

."

•)

•

•

"'1

b)

5'

0

@

FIG.

5.33.

Filtre 2D en losange (<<) et en rectangle (b)

m,

5 • Les filtres

166

La rsponse en frequenee d'un filtre

a n"ponse imputsionnelle finie

a phase nulle

ayant (2M + 1)

X

(RtF)

(2N + 1)

coeffiGients avec symeirie quadrantale s?exprime par ; M

H(w,, m,) ~ hoo + 2

L

i= l

hiO cos iW, N

+2

M

L i=1

hOi eosjro;, + 4

M

L L 1=1 j= l

h;/cos ioi, cos j.m,

'(5.77)

Au total Ie filtre possede (1 + M + N + MN) coefficients h;; de valeurs differenies. La methode des moindres carne-s avec ponde-ration va e tre appliq!Jee. directement, pour approcher la reponse desiree, D(mll CO:2). Avec un facteur de surechantlllonnage egal a k, 1a fanction quadratique d'ecart, ou fanction cout, a minirniser s'eerh: "" L 1H

n

~o

2 (mn; mn;. nn;) - . -nn;) -D (mn; - , -n",)1 W ' ( -

KM KN '

KM KN

KM KN

(5.78)

avec KM ~ k(M + 0,5) et KN ~ keN + 0,5) afin de couvrir la lotalite du domaine des [reqllences lltiles.

La fonetion de ponderation W( w,, m,) permet d'ajuster l'approximation en fanction des specifications d'ondulation par exemple. Avec des notations simplifiees, il vient : KM

Kr..,

L L m=Q 1'1=0

J~

e2 (m, n) W(m, n)

(5 .79)

Le minimum de la fonction cout est obtenu pour : KM

iJe(m n)

KN

mL: o nL: e(m, n) W(m, n) o

ah'

0

(5.80)

'I

Ce qui donne un systeme de (1 + M + N + MN) equations. En designant par [h;j lIe vecteur des, Goefficients et p"r V{m, n) Ie vecteur frequentiel:

V ' (m, n) =

[1,.. ,2 cos (i ~:),., 2 cos (j ~:), ... , ' mn;.), (

(nIT 4 cos i KM cos \j K

N

] ) ...

1;;1 solution s~ecrlt:

x;., ] !::u!:o W (m, n) V(m, n) D(m, n) KM

[

(5.81)

5.16

(a/Cul des wefficients de fillres RIF-.2D

167

Si Ie nombre de coefficienls esl pair. i1 fa ul modifier les parametres. Par exemple, pour un fillre ~ (2M) X (2N + 1) coefficients, il fa1JI prendre:

V'(m,n) ~ [ .. , 2 cos [(i-D,S)

~: J.

..

4 cos

((t- 0,5) ~:) cos (j ~:) ...J

(5.&2)

avec KM ~ kM et KN ~ keN + 0,5). Le vecteur des coefficients obtenu dan~ ce Cas pos~ede (M + MN) elements. U ne caracteristique importante- des filtres utilises en traitement d'image est 1a re-ponse a l'echelon unite. En effet, les surosdllations a la transition peuvent produire des repetitions de contours et ainsi degrader }-'irnage. En moclifiant ia

reponse desiree D( w" ~) par une inclinaison a la fin de la bande passanle et au debut de la bande affaiblie', il est possible de reduire cessuroscillalions. La melhode esl illuslree par Ie calc1Jl d'un fillre reelangulaire avec (2M + 1) x (2N + 1) ~ 9 x 9 coefficients, avec 0.,125 el 0,25 comme fih de bande passante el debut de bande affaiblie sur l'axe des frequences horizonlal et 0,0625 el 0,125 sur l'axe verlical. Les 25 coefficients differenls oblenus sonl donnes par Ie la.leau : [

hi; ~

005~" 0,0491981

0,041534 0,0299102 . 0,0180912

0;0419028 0,0393'451 0,0332908 0,0240605 0,0146366

0,0184534 0,0173566 0,0147612 0,0107414 0,0065523

~0,OO02861

~

0,0002629

~O,000261 ~ 0,0002704 ~

0.,0003836

-

0,"",," 0.,0059292 0,005282 0,0041828 0,0031'209

1

ella rcponse- en frequenee correspondanle esl donnee- a la figure 5.34. Visiblemenl cetle reponse esl Ires proche qe celle d'lln fillre separable. Considerant mainlenanl un filtre en losange avec (2M + 1) x (2N) ~ 9 x 8.coefficients, une fin de bande passanle a 0,125 el un debul de bancle affaib!ie a 0,25 ~ur les axes horizontal et vertical, le tab leau des coefficients suivaflt est obtenu pour un q uadran :

h;; ~

g .~

8o

0,0763835 0,0642979 [ 0,0276109 0,0065124

0,0680674 0,03951 0,0195655 0,00nOO2

La reponse en frequence est donnee

0,0403862 0,0217936 0,0068997 0,0085984

0,0130039 0,0008111 - 0,0050102

.0,000071. - 0,002745 -0,0110481

~O,0099831

~0,0073724

a la iigure 5.35 . Le caJcul a He mene. en Gher-

chant areduire la reponsea [,~chelon unile g(i, j) clefinie par:

"0

~

~

• 1i

(5.83)

~

8' @

Cette reponse est donnee egalement sur la figure. OU e lle a ete repetee ~ur les 4 quadrans, pour fournir une vue cornp'1ete.

...

'"'"

co, 0,5

~-'

III =)')40 ~ ~JI ",

------:-~J/.

"',

-0,5

cJ

0,'5

'"•

r-

[!i

~

~ ..,. -fl' o ",

d)

a)

Fig. 534.

Filtre uCJimguJaire-a 9 x 9 caejfil!icllts

a) RepQ'flSe impuJsionnelte

b) Riponse' en frequenc£, c) Coupe horizpfltd/e·de-ld riponse en frequence il) f!.eponse -a ll'ichelon unite

"-

a '" ~' c

'0'"-

"" '" iii'

"iii'"" :il ~

© Du.nod . La photocopie non a,utorisee est: un delit . V1

:..

I H(ro roJ! "

'" ~ s.

0,5 ~ .""

~

~~,,~~\;:,

n

~ ...,

((~~};1J! ""''\.~? -~/

~

c:-

~ -

Q rD'

~~

0,5 c)

" '0,5~

~

~

:0

'ji

~~~, \~ . \:~ '

, \\

"

'"to

/

,'\

. " 'Z-- ;

,L Y ' " ",

>(1 '

a)

Fig. 5.35. Filtr"e en IOsilnge; a) b) c) d)

Reponse impulsionnelle Reponse wJrwuellCe Coupe horizotda.le. de la repouse Rep"ons."e ii. ·l'e-c.helon unite

flit

a5) x 8"cfJe/ficienrs

!requence ~

'"
170

5 • Les filtres

a reponse impulsionnelle finie (RIF)

Les deux filtres calcules ont 6t6 appliques a une mire d'evaluation. La figure 5.36 montre l'elimination des repliques obtenue par Ie filtre rectangulaire et Ie filtre en losange. Pour des developpements complementaires sur les techniques de calcul des filtres RIF-2D, y compris avec coefficients en precision limitee et contraintes sur la reponse it l'echelon unite, on peut se reporter aux references [14, 15].

c)

FIG. 5.36. a) Image d'origine b) Filtrage en losange de fa mire c) Filtrage rectangulaire de fa mire

Filtrage d'une mire d'evaluation

Annexe

171

ANNEXE EX!emple de calcul d 'un filtre RlF

FILTRE

A2 BANDES DE FREQUENCE

NOMBRE DE OOEFF.

=

32

'..*.. COEFFICIENTS .. *.. A A A

1 2

=

=

3"

A 4"" A 5 =

= 8 =

A 6

A 7 = A

A 9 = A10 =

.A 11

12 A 13 A 14 A 15 A 16 A

= =

= = = =

0.01064416 -0.00703074 -0.02489676 -0.04257757 -0.04550193 -0.02596906 0.00801637 0.03449482 0.03164973 -0.00394829 -0.04885845 -0.06340511 -0.01710309 0.08742009 0.20962396 0.29156661

= A 32 = A 31 = A 30 = A 29 = A 28 = A 27 = A 26 = A 25 = A 24 = A 23 = A 22 = A 21 = A 20 = A 19 =A 18 = A 17

BANDE NUMERO

2

LIMITE INF. LIMITE SUP. VAL. RECH. PONDERATION

0.0000 0. '1400 1.0000 1.00

0.1700 0.5000 0.0000 10.00

ECART ECART EN DB

0.21175 0.02118 1.668 -33.484

FREQUENCES EXTREMALES 0.0000 0.0410 0.0801 0 .1172 0.1400 0.1700 0.1798 0.2032 0.2305 0.2618 0.2930 0.3243 Q.3555 0.3888 0.4200 0.4513 0.4845

5 • Les filtres a neponse impulstonnelle finie (RIF)

172'

BIBLIOGRAPHIE [11 T. W . PARJ(S and J. H. MAC CLELlAN - Chebyshev Approximation for N gn Recursive 'Digital Filters with Iirtear Phase. IEEE Trltfts. Circuit Theo.ry, Vol. cr 19, March 1972.

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[1 5] V. OUVRARD et P. SIelHAN

EXERCICES 1 On considere les 17 premiers coefficients d'un filtre passe-bas de frequ ence de coupure egale a 0,25 Ie donnes· it la figure V .1). Combien: prennent des valeurs differentes ? Donner l' expression de la reponse. en trequence H(f) . Rechercher les points de 'Faxe des

173

Exerdces

frequences ou elle s'annule et donner l' ondulation maximale. Calculer les zeros de la fon ction de transferf en Z du filtre. 2 Soit un filtre db"nt la frequenced'echantillbnnage est prise comme reference: (te = 1) et dont la reponse en frequence HU) est telle que:

H (k,0 ,062S) ~ 1 pour k ~ 6, 1, 2, 3. H (0,2S) ~ 0,5 H(k .0;0625) ~o. pour k~ 5, 6, 7, 8. Cnlculer par transformation de Fourier Dis ~n~te les 17 coefficients de ce filtre . Tracer la reponse en freq~enge et donner les :z;eros de la fonction qe transfert en Z.

;? 1,Jtili§~t les fOJm\lles d\! paragrapbe 5.] pD\lt IlHe)'l1i.iner 108 ondulations 9\in ill!re passe-bas a 17 coefficients dont la fn€quence de fin de bande passante est donnee par 11 = .0,2, et la frequence de debut de bande affaiblie par A = 0,3. Comparer les result-ats obtenus a ceux des exercices precedents.

4 Solt un filt re dont la fonction de. transfert H(f) est donne.e1 aun dephasage pres._par l'equation: 4

HU) ~hQ + 2

L h,t -l cos [21< /(2i - tl T] £= 1

Don!let les structures directe et h:ansposee permettant de nhlise r ce filtte avec Ie minimum d'elements. QueUes simplifications inte1Viennent si la frequence d'echantillonnage de sortie peut etre divisee p&r deux? 5 Un filtre passe-bas etroit est defini parl'equatiott : N-l

yen) ~

L

i=O

a,.t(n-i)

Comment se ttDuve modifiee la reponse en frequence si les c;::oefficients 111 sont remplaces par:

.'!:::i

",

a, (-1)' et par a, cos (

i;) ?

Que deviennent les zeros du filtre dans cette operation.

6 S'oit un filtre pa~e-bas safisfaisant au gabarit de la figure 5.7 avec Les valeurs de pa rametres :

~.

o

."••" ],

•o o o

•

'1C

8o

"0

~

~

• 1io , ~

o

©

Combien de coefficients sont necessaires et combien de bits faut-il pour les H3presenter ? Si les QQnnees app1i.(n_H~ eS a ce filtre ont 12 qits,si la degradation tolerable. du rapport signal abruit est liniitee a dSB = 0,1 dB, combien de bits doivent avoir les donnees internes? 7 Donner l'expression de la reponse en frequence du filtrS!- de l'exempk du para.,.graphe 5.3. Verifier la reponse en frequence aUK points 0, 0,25 et 0,5. Les coefficients sont arronms a 6 bits (signe compris). Donner L'expression de la fon o. tion erreur e-(f) intro.duite et la calculer au voisinage du point f= 0,1925 de raxe del" fre~ quences. El"aborer une formule analogue a (5.46) pourFesthnation du nombre de bits neces~ saire pour repr6senter les coefficients dans ce type de fiitre, en suivant 1a demarche du paragraphe 5.10.

Chapitre 6

Cellules de filtres ill reponse impulsionnelle infinie (RII) Le's filtres numeriques are-ponse impulsionnelle infinie sont des systemes line-aires discrets invariants dans Ie temps dont Ie fonctionnement est regi par une equation de convolution portant sur une infinite d~ t<5rmes. En prillcipe~ ils conservent une trace des signaux ql.!i'leur ont 6te appliql.les penqant une duree innnie, ils sont h memofte infinie. Une telle memoire est realisee par une boucle de reaction de la sortie sur l~entree, d!ou ~a denomination courante de filtre fe-CurSU. Chaql,le element de la 'suite des nombres de sortie est ca1cule par sommation pond6ree d'un certain nombre d'61ements de la suite d'entree et d ~un certain nombre d'6lements de la suite de sortie precedents. Le fait d'avoir cette reponse impulsionneUe infinie permet d'obtenir en general des fonctions de filtrage beaucoup pliLs selectives que celles des filtces RIF a quantite de calculs equivalente. Cependant la boucle de reaction complique I'etude des proprietes et la conception de ces. filtres et amene des p·henomenes parasites. Pour aborder l'etude des filtres RU, il est plus simple de considerer d' abord les cellules de filtres elementaires du premier et du second ordre. En fait , I'interet de ces ·structures. simples va bien au-de1a d'une introduction aux proprietes des filtres RU, car elles constituent la forme de realisation la plus cour-ante. En effet, e'est en general sous 1\1 forme d'un ensemble de telles eellules element aires que se presentent en pratique les filtres RII, meme les·plus complexes,

6.1

LA CELlULE ElEMENTAIRE DU PREMIER ORDRE

Soit Ie systeme qui, ~ la suite de donnees ,«n), fait correspondre la suite y (n ) te11e que :. y (n)~x(n)+bY (fl-1)

ou b est une constante.

(6.1)

6.1

175

La cellule eJementaire du premier orfire

C~est

une cellule 6iementaire du premier ordre.,

La repon~e de ce systeme ~ 1a suite unitaire uo( Ii) telle que :

Uo (n)

~

1

uo (n)~O

pour pour

n~0 n 0

*

est la suite YoCn) telle que: Yo(/l)~O YoCn) ~ bn

pour n < 0 pour n :;;, 0

Cette suite constitue la r~ponse impulsiannelle du filtre , elle est defi nie et I. condition de s.tabjlite s'edrit :

d'ou : ibi < 1. La ropanse du systeme

a I. suite x en) telle que : x(n) ~ 0 pow /l < '0 x(n )= 1 pour 'll· :;;' 0

est la suite yen) telle que : y(n)~O

pour

n
l_b n + t y(/l) ~ l -b

PQur

n?'O

(6.2)

qui lend yers 1 ~ b quand /l tend vers I'infini, si Ie systeme est stable. eette reponse est representee sur la figure 6.1. YI n)

1

l-b ~------------------------------------

- ,1

,

I"

0

2

"t"

J

4·

f

5

(l

?

(I

9

10

. 1

I

FIG. 6: 1.

Reponse. de fa cellule du p remier· ordre at'e'chelon «nde·

11

n

176

6 • eel/ules de fillres

a r"ponse impulsif)nnel/e infinle

Par analogieavec Ie systeme continu Q.e constante de temps "t, echantillonne ·avec·')a periode T et dortt la reponse y,(11) s'ecrit ~

() [1

Ye n

- e

=

2(n + 't

1)]

on d6finit la constante de temps de la cellule numerique du premier ordre 't en egal(lJ1t les va1eurs YolO) ~ (1-h)y (0). D ' oll : T

y,(O)~(l-b)y (O) ~l - b

spit:

e -,~b

pour b ;> O. II vient aiors :

T 't~

( 6.3)

--

1nm

Pour des va1eurs.de b proches de i' unite: b~1-1l

a'lec

O< Il
c?est-a-dire les systemes de-fihis par la relatio.n:

yen ) ~x(n) + (1-8)y (n-1 ) il vient :

T

(6.4)

(6.5)

~=8

Cette situation se rencontre dans 1es systemes adaptatifs etudies au chapitre 14. Slla suite x (n) resulte, pour n ~ 0, de l'echantillonnage du signal x (I) ~ ei2~ft au x (t) = eiel , avec.la periode T ~ 1, II vient : .

e jnm Y (n) ~ 1- be iro

b n + 1 e+a 1- be iro

(6.6)

Cette expression fait apparaltre un regime transitoire et un regime permanent qui correspond a la reponse en frequence H (ro) du fi1tre:

1

H(ro) ~ ~1-~ be~-~ iro

(6.7)

En faisan! apparaltre 1e module et la phase de celte foncHon i1 vient :

IH(ro)1 2 ~

1 2b 1 -

. cos co +

b2

'

;

<jl (ro) ~Arctg 1 -b;inro . cos co

(6.8)

Pow le temps de propagation de groupe:

d<jJ

bcosro-b 2

~g(ro) ~ d'.' ~ ~~--~2 ~ 1- 2b cos ro + b

(6.9)

6.1

177

La cellule eJementaire du premier orfire

On peut remarquer que pour ro tres petit il est possible d'eeJire: 1

IH ero)12", (1 - b)2 [1 Cette expression est s'·e.crit:

t

(1 ~b? ro

(6.10) 2 ]

a rapprocher de la reponse HRcC ro) d'un circu'it R C qui (6 .1O-bis)

I1 apparait que pour les frequences nes faibles devant la frequence d'echantillonnage, le circuit numerique a une reponse qui peut etre assimi1ee a celle d1un reseau Re. La figure 6.2.a represente la forme de la reponse en frequence du circuit n umerique du premier ordre. La figure 6.2.b donne la reponse en phase et la figure 6.2.c Ie temps de groupe. b 1-b

'" (in)

CD

Ol

·-b 1+b

FIG.6.2.b.

FIG, 6,2,c.

Reponse enp/wse

Temp s ae groupe

La phase peut encore s'ecrire:

q>(ro)

.".,•• •

],

~Arctg

q>max =

rc

"2 -

sin CO GOS(J)-

Arc. cos b;

b

ro ; cos ill > b

(6..H)

cos co = b

sin co q> (ro)~ rc+Arctg cosro-b -ro;

cosro
•c

g BIle 'passe donc pa~ un maximum pour (J) tel que cos co = b, ce qui correspond. a • l'annulation du temps de groupe. Le coefficient b Gontr61e donc ainsi directement ii8 Ie maximum de la phase de la cellule. -E. La fonction de transfert de la cellule du 1" ordre s'obtient aussi a ['aide de la o ~ transformee en Z. Sot! Y (Z) et X (Z) les transform;;es des suites de sortie et d'en-g§ tree respectivementj il vieLlt : '6...

o

@

Y(Z)

~X(Z) +bZ~ lY(Z)

6 • Cellules de filtres a reponse impulsionnelle infinie

17!r

d'ou 1a fonchon de transfert en Z, H (Z) telle que:

1

H(Z)~l_bZ

Z Z-b

La reponse en frequence s'obtient simplement en rempla~ant Z par ej{J), dans de H (Z), avec ill ~ 2rr/ L 'interpretation graphique conduit a la figure 6.2.d. qui represente Ie' poie P de cefte fanclian dans Ie plan complexe; c'est un pOlnt de l'axe reel, d'abscisse b. I ~expression

-''-b M

-''+b

--~ ------ - --- - - .

a FIG. 6.2.a.

0 ,25

0,5

Reponse en Jrequence de fa cellule du premier- ordre

FiG. 6.2.d. Fale de fa cellule dll premier ordro

Conformement a cette figure:

IHI --~ M1'

et