TRAITÉ DE
GÉOPHYSIQUE I N T E R N E
CHEZ
TRAITÉ
LE MÊME
D ' I N F O R M A T I Q U E GÉOLOGIQUE,
ÉDITEUR
SOUS la direction
de P . L A F I T T E .
1 9 7 2 , 6 2 4 pages,
1 5 6 figures, 1 3 tableaux, 3 planches, 9 abaques. T R A I T É DE TECTONIQUE, par J . G O G U E L . 2<' édition, 1 9 6 5 , 4 5 7 pages, 2 1 5 figures. APPLICATIONS
D E L A GÉOLOGIE A U X T R A V A U X
DE L'INGÉNIEUR,
par J . G O G U E L . 2'- édition,
1967, 3 7 4 pages, 1 1 8 figures. PÉTROGRAPHIE
DES ROCHES PLUTONIQUES
D A N S L E U R CADRE GÉOLOGIQUE,
par E . R A G U I N .
1 9 7 0 , 2 4 0 pages, 7 1 figures et cartes. LE
SONDAGE SISMIQUE C O N T I N U . Technique,
{Collection
méthodes et interprétations, par O . L E E N H A R D T .
Géologie des aires océattiques, volume 2). 1 9 7 2 , 1 6 4 pages, 9 6 figures.
ELÉMENTS DE GÉOPHYSIQUE M A R I N E , sous la direction de P . M U R A O U R . (Collection des aires océaniques, volume / ) . 1 9 7 0 , 1 9 6 pages, 9 2 figures. TRAITÉ
Géologie
D E G L A C I O L O G I E , par L . L L I B O U T R Y ,
T o m e 1. — Glace, neige, hydrologie hors-texte.
nivale.
1 9 6 4 , 4 2 8 pages, 1 8 0 figures, 3 6 planches
Tome I I . — Glaciers, variations du climat, sols gelés. 1 9 6 5 , 6 1 6 pages, 2 2 4 figures, 4 0 planches hors-texte, nombreux tableaux.
TRAITÉ DE
GÉOPHYSIQUE INTERNE publié sous la direction
Jean C O U L O M B
et
de
Georges JOBERT
TOME I
SISMOLOGIE ET PESANTEUR
MASSON 120,
& Cie, É D I T E U R S
Boulevard Saint-Germain, P A R I S
=
1973
(VI
Tous droits de t r a d u c t i o n , d'adaptation et de reproduction par tous procédés réservés p o u r tous pays. La loi d u 11 mars 1957 n'autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l'article 4 1 , d'une part, que les « copies o u reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans u n but d'exemple et d ' i l l u s t r a t i o n . « toute représentation ou reproduction intégrale, o u partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants d r o i t o u ayants cause, est illicite» (alinéa Ι'"·" de l'ar ticle 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, consti tuerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants d u Code pénal. 'Q 1972, Masson et O",
Paris
LiBRARY OF CONGRESS CATALOG CARD NUMBER : 72-96448 I S B N : 2-225 36300-6
Imprimé en France
LISTE DES A U T E U R S
J . L . CHEMINÉE. — Laboratoire de Géologie dynamique, Université Paris V I , 4 , place Jussicu. 7 5 2 3 0 Paris-CEDEX 0 5 . M . C H O U D H U R Y . — Institut de Pliysique d u Globe, Université Paris V I , 4 , place Jussieu. 7 5 2 3 0 Paris-CEDEX 0 5 . J . COULOMB. — Chaire de Physique d u Globe, Université Paris V I , 4 , place Jussieu. 7 5 2 3 0 Paris-CEDEX 0 5 . A. CouzY. — Institut Géographique N a t i o n a l , 1 3 6 bis, rue de l'Université. 7 5 0 0 7 Paris. J. FouRMANN. — Compagnie Générale de Géophysique, 6 , rue G a l v a n i . 9 1 3 0 0 Massy. J. FRANCHETEAU. — Centre Océanologique de Bretagne, B P 3 3 7 . 2 9 2 7 3 B r e s t - C E D E X . J. GOGUEL. —
1 0 0 , rue
du
Bac.
7 5 0 0 7 Paris.
B. G U I N O T . — Bureau International de l'Heure, Observatoire de Paris, 6 1 , boulevard de l'Observatoire. 7 5 0 1 4 Paris. G , JOBERT. — Institut de Physique d u Globe, Université Paris V I , 4 , place Jussieu. 7 5 2 3 0 Paris-CEDEX 0 5 . N . JoBERT (M™"). — Institut de Physique d u Globe, Université Paris V I , 4 , place Jussieu. 7 5 2 3 0 Paris-CEDEX 0 5 . J. KOVALEVSKY. — Groupe de Recherches de Géodésie spatiale, Observatoire de M e u d o n . 92190 Meudon. G. K U N E T Z . — Compagnie Générale de Géophysique, 6 , rue G a l v a n i . 9 1 3 0 0 Massy. J. L . L E M O U Ë L . — Institut de Physique d u Globe, Université Paris V I , 4 , place Jussieu. 7 5 2 3 0 Paris-CEDEX 0 5 . X. L E PICHON. — Centre Océanologique de Bretagne, BP 3 3 7 . 2 9 2 7 3 B r e s t - C E D E X . R. LÉTOLLE. — Laboratoire de Géologie dynamique. Université Paris V I , 4 , place Jussieu. 7 5 2 3 0 Paris-CEDEX 0 5 . L. LLIBOUTRY. — Laboratoire de Glaciologie d u C. N . R. S., 2 , rue Très-Cloîtres. 3 8 0 0 0 Grenoble. G. M A R I N E L L I . — Universita degli studi d i Pisa, Instituto d i mineralogia e petrografia, 5 3 , via Santa-Maria, Pisa, Italie. R. N E U M A N N . — Ecole Nationale Supérieure des Mines, 6 0 , boulevard Saint-Michel. 7 5 2 7 2 Paris-CEDEX 0 6 . G. PERRIER. — Institut de Physique d u Globe, Université Paris V I , 4 , place Jussieu. 7 5 2 3 0 Paris-CEDEX 0 5 . A. POUPON. — Société Schlumberger, 4 2 , rue Saint-Dominique. 7 5 3 4 0 Paris-CEDEX 0 7 . E. R A G U I N . — Ecole Nationale Supérieure des Mines, 6 0 , boulevard Saint-Michel. 7 5 2 7 2 Paris-CEDEX 0 6 . A. ROCHE. — Institut de Physique d u Globe, 5, rue René-Descartes. 6 7 Strasbourg. M . SouRiAU. — Institut de Physique d u Globe, Université Paris V I , 4 . place Jussieu. 7 5 2 3 0 Paris-CEDEX 0 5 . E. THELLIER. — Observatoire d u Parc Saint-Maur, 4 , avenue de Neptune, 9 4 1 0 0 SaintMaur-des-Fossés. L. THOMSEN. — Laboratoire des Hautes Pressionsdu C N R S , 1, place A . - B r i a n d . 9 2 Bellevue ; puis : Seismological Laboratory, Caiifornia Institute o f Technology, P. O. Bin 2 Arroyo annex, Pasadena, Calif. 9 1 1 0 9 . U S A .
PRÉSENTATION D E L ' O U V R A G E par Jean
V
OICI
le premier
DONC
très louable
suivre sans tarder.
Le choix
des auteurs
de rédaction
dans le domaine
qu'il
ne leur est plus permis
trop théoriques, parfois de niveau
traits
verticaux
leurs.
De leur côté les géophysiciens
dans la marge,
d'initiation espoir
de son propre
nos efforts,
en finir, sans espérons
et n'incriminera seurs Beno comparables. kl gageure
des
physi mais
étcniser
que le lecteur
d'écrire
ment son immense
ail des
auteurs,
ou à en sacrifier
une malgré
Nous
quelque
Un jour
pensons
les compromis
normaux
et sans
des Français. Nos grands
Bartels
ont fait
naguère des
a tenu, avec les éditions successives Traité
partie.
venu, il a
cependant
jugera
personnel.
par volume
discussions
les divers
complète
seul un important apport
de franches
raisonnablement
puis Julius
Seul Jeffreys
recherche
reproduites le second
donc pas produit.
pas trop l'individualisme
Gutenberg,
éviter à ces la
nul n'est prêt de gaieté de cœur à
les discussions.
du sujet
Pour
outils pour
références
intention.
par
d'intérêt,
ne s'est
en quête de
dans
écrits par Mais
moi-même.
les besoins
conclusions
d'obtenir
centre
le miracle
assuré une couverture Nous
était
ont été Lliboutry,
d'ignorer.
trouveront
des chapitres
des manuscrits
élevé sont signalées par des
écrits à leur
très variée de ceux-ci.
trop s'éloigner fallu
proclamé
homogénéité
l'orientation Malgré
géologique
et leurs
devrait
de la géophysique,
simples
mathématique
Interne,
volume
Le Pichon, et
pas de vue les désirs des géologues
les sections
Notre
Goguel, satisferait
des recherches
des lectures
complète
et l'examen
où MM.
dès le départ que l'ouvrage
précises sur des sujets
chapitres
L'autre
M. Jobert
qu'il ne perdrait
en cours,
de Géophysique
Masson.
aux deux rédacteurs,
ciens entreprenant
derniers
de ce Traité
de la maison
se joignaient
Il fut convenu
volume
initiative
faits par un Comité Thellier
COULOMB
avoir redites.
acceptés, prédéces expériences
de T h e E a r t h ,
; mais il y exposait
essentielle
νπι
PRÉSENTATION
Montrons sique,
maintenant,
le panorama
rant
les domaines
et Géophysique
non encore
La météorologie
de la géophysique
externe
en reconnaissant
du Globe)
si Γ on réduit le magnétisme
aussi l'effet induisent
la plus grande,
des courants
Cette
description
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dont
l'étude
refiète
et celui des courants
qu'ils
par exemple).
des isotopes),
magnétisme
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nous
solide
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La tectonophysique,
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( à Γ Ame la
géochimie
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ou les océans. Nous
n'en
unité dans son
objet
des Sciences
Physiques).
des phénomènes
liés aux séismes et au
aucun
limité
au
rester
sévèrement
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où elle
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Les titres
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: JGR pour
Geophysical
longtemps,
les chercheurs
chapitres
alors
;
qu'une
récentes
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géophysiciens
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sur des articles ancienne.
et a l . (1970 h) » pour
et ses co-auteurs.
des
paraît.
Les références
surtout
la bibliographie
assez
et aux acquisitions
Traité ne dispensera
originaux.
l'étendue
les méthodes aux dépens des résultats
aux appareils
au moment
aux articles retrouver
De aux
Le tome I I sera consacré essentiellement
et favorisé
conçu devrait
entendu,
seulement
géodynamique.
délibérées
général périmée
il était
appli
très peu de place
de la géophysique,
le tome I traite
de la Terre.
ses
de leurs données.
consacrerons
et l'atmosphère
à l'unité profonde
consacrés aux instruments
bien
bien
leur rôle et de se servir
et dans ses méthodes (celles notre
recourir
apparemment
ont une individualité
le gigantisme,
de pesanteur
le Traité
fait
comprendre
pas moins
Dans
publié
interne.
observé
indépendants. Dans un Traité en deux volumes, de faire
(la Terre)
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magnétique
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spatiale
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interne
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mais le champ
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Union
même, pour
Bien
Γ
la physique
loppements
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hydrologie
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Des
météorologie, 6)
est contestable.
la géophysique
dans la haute atmosphère
classique
nouvelles
Geophysical
champ
3)
physique,
énumé-
Géodésique
dans le sol.)
branches rican
alors
géophy
en
et Vaéronomie
que Vattribution
constituent
à la
Γ Union
; on peut leur adjoindre
énumérées
de beaucoup
qui composent
5) océanographie
et aéronomie,
disciplines ( Cest
initiés
On la définit classiquement
: 1) géodésie, 2) sismologie,
Internationale
et r/iydrologie,
les lecteurs
science.
7) volcanologie.
scientifique,
L'OUVRAGE
des sept associations
4 ) géomagnétisme demment
pour
de notre
DE
récents,
Ces références le second
des périodiques
article
dans
lesquels
sont données
de très loin
on sous
écrit en 1970 par
sont cités en clair
le J o u r n a l o f G e o p h y s i c a l Union,
de
nombreu
le plus
sauf
Research, important
PRÉSENTATION
périodique intéressant
toutes
de la sismologie,
; BSSA au
pour domaine
le G e o p h y s i c a l J o u r n a l o f t h e R o y a l
G J pour
dans le domaine
de la Géophysique
S o c i e t y o f A m e r i c a , restreint
A s t r o n o m i c a l Society (London) mentaux
IX
L'OUVRAGE
les branches
le B u l l e t i n o f t h e S e i s m o l o g i c a l particulier
DE
qui publie
théorique,
notamment
CRAS
des articles
fonda
les C o m p t e s R e n d u s des
pour
séances de l'Académie des Sciences de P a r i s . L'orientation bien au titre
des autres du Traité
Géophysique, publié Externe)
périodiques
(par
exemple
le périodique
par
le CNRS,
ou sont d'envergure
moindre
: ils seront
d'unités
(S.
Le Système international été adopté en principe
pour
aux auteurs d'utiliser
d'autres
condition
de géophysique contient
Le texte
est divisé en chapitres,
à la suite dans chaque
section.
de
Géophysique
M.
K. S. A.)
a cependant
étaient d'usage
a
été laissée universel,
à
en unités S. L
sections
et paragraphes
1 0 . i . 2 par exemple.
la forme
de
cités i n extenso.
La latitude
unités lorsqu'elles
moins
Annales
français
beaucoup
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tout l'ouvrage.
d'en préciser au départ la valeur
renvoi prenne
correspond
Les vecteurs
Les formules
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qu'un
numérotées
sont représentés par des
carac
tères gras. La science
se diversifie.
toutes tes branches Géophysique restreindre
Interne
encore
Nos maîtres
de la géophysique, apparaît
notre
terriblement
entreprise
direz si nous avons bien fait
nous
de tenir
semblaient
et pourtant, vaste.
ont été nombreux. bon.
compétents
aujourd'hui, Les
conseils Lecteurs,
la d'avoir vous
dans seule à nous
T A B L E DES MATIÈRES
CHAPITRE 1 .
— Mécanique
des solides : bases physiques, par Louis
I
LLIBOUTRY. . . .
Introduction
1
1. Contraintes et déformations
I
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.
Contraintes Diagramme de M o h r Invariants Cas particuliers et leur réalisation expérimentale Déformations infinitésimales et vitesses de déformation
1 2 4 5 7
2. Viscosité newtonienne et plasticité idéale 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.
10
Solides, fluides, anélasticité, fluage Equations générales d u fluage d ' u n corps incompressible et isotrope Corps visqueux newtonien à viscosité uniforme Le corps plastique idéal Autres modèles de déformation anélastique
3. Corps élastiques et visco-élastiques 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.
4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.
19
Le corps élastique Viscoélasticité linéaire Cas où la dissipation d'énergie est faible ; définition de β Autres comportements rhéologiques linéaires Rhéologie n o n linéaire
4. Mécanisme élémentaire du
19 21 24 26 27 28
fluage
Fluage cassant Glissements sur les joints de grain Fluage par migration de lacunes de H e r r i n g - N a b a r r o Fluage par glissements intracristallins et seuil de plasticité Quelques mots sur les dislocations Fluage par diffusion dans les sous-grains et fluage de N a b a r r o Théories d u fluage par glissements intracristallins
5. Anélasticité et fluage des matériaux polycristallins, roches
10 Il 13 15 18
et plus
28 29 29 31 32 35 35
spécialement des
5 . 1 . Influence de la pression « hydrostatique » (pression moyenne) sur le seuil de plasticité 5.2. Cas des métaux 5.3. Cas de la glace
36
36 37 38
XII
TABLE
DES
MATIÈRES
5 . 4 . Comportement des roches à la température ambiante. Subdivisions de la Terre avec la profondeur 5 . 5 . Fluage des roches de la croûte terrestre en présence d'eau 5 . 6 . Fluage des roches d u manteau supérieur 5 . 7 . Propriétés rhéologiques d u manteau au-delà de 1 0 0 k m 5 . 8 . Processus d'amortissement des ondes sismiques BIBLIOGRAPHIE
CHAPITRE 2 .
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
47
— Les tremblements de terre, par Jean C O U L O M B
49
49 49 51 53 54 58 60
Introdiiclion Cause des séismes Les diverses espèces de failles Intensité sismique, isoséistes Déformation du sol avant et pendant le séisme Répliques et précurseurs Les séismes artificiels 7 . 1 . Explosions 7 . 2 . Barrages 7 . 3 . Injections
60 61 62
8 . Prévision et prévention des séismes
63
BIBLIOGRAPHIE
CHAPITRE 3 .
65
— Frottement,
rupture et origine des séismes, par Louis
LLIBOUTRY . .
1. Lois de frottement 1 . 1 . L o i de C o u l o m b d u frottement solide 1 . 2 . Glissement saccadé (stick-slip) 2.
Mécanismes de rupture 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.
Stabilité des corps pulvérulents et rupture des corps granuleux Différents mécanismes de r u p t u r e I n i t i a t i o n de la r u p t u r e cassante Développement de la r u p t u r e cassante, à la pression atmosphérique . . . Rupture ductile par striction Rupture ductile par échauflfement local
3. Application
39 40 41 42 46
aux séismes
3 . 1 . Les contraintes 3 . 2 . Foyers superficiels 3 . 3 . Foyers profonds BIBLIOGRAPHIE
67
67 67 68 69 69 71 72 73 75 76 77 78 78 79 81
— Mécanique des milieux continus : équations tensorîelles. Thermo élasticité, par Georges JOBERT
CHAPITRE 4 .
1. Déformations 1.1. Tenseur des déformations
83
83 83
TABLE
DES
XIII
MATIÈRES
1.2. Expression d u tenseur des déformations en fonction d u déplacement . . . 1.3. Expression d u tenseur dans les systèmes de coordonnées usuels 1.4. Invariants de la déformation 2. Analyse des contraintes.
89
Equations du mouvement
2 . 1 . Tenseur des contraintes 2 . 2 . Equations d u mouvement 2.3. Expression de la force élastique dans les systèmes usuels
89 89 90
3. Elasticité et thermoélasticité
92
3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7.
Puissance élastique liée à la déformation Entropie M i l i e u élastique parfait isotrope Relations entre contraintes et déformations Equations de la thermoélasticité Coefficients adiabatiques Expression des contraintes en fonction d u déplacement dans les systèmes usuels 3.8. M i l i e u élastique anisotrope
BIBLIOGRAPHIE
CHAPITRE 5 . —
1. Imroduction
2.1. 2.2. 2.3. 2.4.
d'ondes dans un milieu élastique homogène
3. Solutions élémentaires de l'équation des ondes 3 . 1 . Ondes planes 3.2. Ondes sphériques
4.1. 4.2. 4.3. 4.4.
de discontinuités dans un milieu élastique homogène
Discontinuités à travers une surface Solutions discontinues de l'équation des ondes Solutions discontinues de l'équation de l'élasticité A c t i o n d'une force de volume concentrée en un p o i n t
5. Ondes planes dans des demi-espaces élastiques 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.
Ondes planes rencontrant une discontinuité plane Réflexion et réfraction d'une onde S H Réflexion et réfraction des ondes P e t SV M i l i e u stratifié. Méthode de Thomson-Haskell
6. Source à distance finie d'une discontinuité plane 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.
Ligne Ligne Ligne Ligne
96 97
JOBERT
99
99
Potentiels Ondes longitudinales Ondes transversales Cas des coordonnées sphériques
4. Propagation
92 93 93 93 94 95
98
Propagation des ondes en milieux homogènes, par Georges
2. Propagation
85 86 87
de sources S H sur la surface libre d ' u n demi-espace de sources S H à la frontière de deux demi-espaces soudés de sources S H à l'intérieur d ' u n demi-espace de sources SH dans u n demi-espace soudé à un autre
100 100 101 101 102 103 104 105 107 107 108 110 111 113 113 114 115 117 123 124 129 131 132
XIV
TABLE
DES
MATIÈRES
6.5. Ligne de pressions normales à la surface libre d ' u n demi-espace 6 . 6 . Source linéaire à l'intérieur d ' u n demi-espace soudé à u n autre demiespace 6 . 7 . Source S H ponctuelle à la surface d ' u n demi-espace
135 136 136
7. Source dans une sphère homogène
140
8. Sismogrammes
144
synthétiques. Méthodes numériques
BIBLIOGRAPHIE
CHAPITRE 6 . —
148
Ondes en milieu élastique isotrope hétérogène, par Georges
149
JOBERT.
1. Equation de l'élasticité
149
2. Théorie des fronts d'onde et des rais
149
3. Géométrie des rais
151
3 . 1 . Courbure des rais. Rais rectilignes 3 . 2 . Recherche des rais plans 4. Stratification 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.
6. Milieu
153
plane
Hodochrones Propriétés générales des hodochrones Points singuliers des hodochrones Inversion des hodochrones. F o r m u l e de Herglotz-Wiechert F o r m u l e de Gerver et Markushevitch Densité d'énergie sur u n front d'onde
5. Stratification 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.
151 153
165
sphérique
Hodochrones Lois particulières Singularités des hodochrones F o r m u l e de Herglotz-Wiechert
165 166 167 167
hétérogène à variation continue quelconque de l'indice
167
6 . 1 . Hodochrones 6 . 2 . Densité d'énergie sur u n front d'onde
167 169
BIBLIOGRAPHIE
CHAPFTRE 7 .
153 156 157 160 162 164
169
— Déformation d'une sphère élastique gravitante, par Georges JOBERT .
1. Introduction
171
2. Calcul des forces agissant sur une molécule
171
3. Déplacements forcés dus à un potentiel perturbateur
harmonique (surface libre)...
173
4. Vibrations propres
177
5. Déformations dues à des actions superficielles
178
BIBLIOGRAPHIE
180
171
TABLE CHAPITRE 8 .
— Ondes guidées.
DES
XV
MATIÈRES
Vibrations propres de la Terre : Théorie, par N e l l y
JOBERT
181
1. Introduction
181
2. Ondes guidées 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.
184
Généralités Ondes superficielles planes Méthode de Thomson-Haskell. Ondes de Love Méthode de Thomson-Haskell. Ondes de Rayleigh Intégration numérique des équations différentielles Ondes guidées Modes à perte
3. Dispersion et méthode d'analyse
195
3 . 1 . Propagation d'une onde superficielle dispersée 3.2. Représentation approchée d u groupe prédominant : formule de L o r d Kelvin 3.3. Cas d ' u n extremum de la vitesse de groupe 3.4. Méthodes d'analyse. Mesure des vitesses 3.5. Estimation des différences régionales de vitesse 3.6. Mesure de l'amortissement 3.7. Interprétation 3.8. Calcul des coeflîcients d'influence 4. Vibrations propres de la Terre
195 197 198 199 201 201 202 202 205
4.1. Introduction 4.2. Effet de la rotation de la Terre et des écarts à la sphéricité (hétérogé néités latérales) BIBLIOGRAPHIE
CHAPITRE
184 185 186 188 190 191 193
205 207 210
9. — Sismographes, par Jean
COULOMB
et M a r c
SOURIAU
213
1. Introduction
213
2. Capteurs à inertie ou pendules
214
2.1. 2.2. 2.3. 2.4.
Généralités Pendules pour la composante horizontale Pendules pour la composante verticale Mesure inertielle des déformations statiques
214 215 217 218
3. Capteurs de déformation
218
4. Sismographes électromagnétiques
219
5. Amplificateurs
220
6. Fonction de transfert et déconvolution
220
7. Nappes de sismographes
222
8. Situation actuelle
225
9. L'agitation
225
BIBLIOGRAPHIE
microsismique
226
XVI
TABLE
CHAPITRE
10.
— La
DES
MATIÈRES
croûte terrestre, par G u y
PERRIER
1. Introduction
229
2. Front d'onde.
Principe
230
de Huyghens
3. Réflexion et réfraction des ondes sismiques. Ondes coniques 4. Rais sismiques dans une structure plane stratifiée 4 . 1 . Propriétés des rais sismiques 4 . 2 . Recherche de la loi de vitesse en profondeur 5. Anomalies
229
6. Les séismes proches
235 236 238
6 . 1 . Croûte plane homogène 6.2. Méthode de Choudhury
238 240 242
expérimentale
7 . 1 . Principe de la méthode 7.2. Le dépouillement
243 246
8. L'interprétation par des modèles à couches de vitesses constantes 8 . 1 . Formules générales 8.2. Ondes réfractées 8.3. Ondes réfléchies
247 247 249 251
9. Détermination de la loi de vitesse V
V(z)
9 . 1 . Variation linéaire de la vitesse avec la profondeur 9 . 2 . Problème inverse 9 . 3 . Méthode de Giese 10. Focalisation
233 233 235 235
des courbes de propagation
5 . 1 . Cas où la vitesse K(z) se met à croître rapidement avec la p r o f o n d e u r . . . . 5.2. Cas où K(z) passe par un m i n i m u m
7. La sismologie
230
des ondes sismiques
253 253 254 255 259
W. La sismique marine
260
12. Sismogrammes
261
synthétiques. Réflexions crustales profondes
1 2 . 1 . Sismogrammes synthétiques 12.2. Réflexions crustales profondes 12.3. Réflexions crustales profondes et atténuation sismique 13. Interprétations sismologique
et gravimétrique conjointes
14. Traits généraux de la croûte. Les différents types de structure 1 4 . 1 . L a croûte continentale 14.2. L a croûte océanique 14.3. Les différents types de structure 15. Composition
de la croûte
15.1. Croûte continentale 15.2. Croûte océanique 15.3. Nature de la discontinuité de M o h o r o v i c i c BIBLIOGRAPHIE
261 265 268 269 272 272 274 277 280 280 280 281 281
TABLE
DES
MATIÈRES
XVII
— Observations des ondes de volume ayant traversé le manteau et le noyau par M a n s u r A h m e d C H O U D H U R Y 283
CHAPITRE 1 1 .
1. Introduction
283
2. Paramètre et forme
284
d'un rai sismique
3. Formes particulières d'hodochrones
285
3 . 1 . Cas d'une augmentation brusque de vitesse 3.2. Cas d'une d i m i n u t i o n brusque de vitesse 3.3. Cas d'une d i m i n u t i o n brusque suivie d'une augmentation brusque de vitesse 4. Phases sismiques 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.
5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.
dans le manteau de Ρ et S issues d ' u n foyer profond . . . . de et la graine des phases/'A'/'et 5 A : 5
287 288 288 290 291 292
des sismogrammes
Sismogrammes Sismogrammes Sismogrammes Sismogrammes Sismogrammes
286 287
Phases réfléchies. Propagation Particularités des hodochrones Particularités des hodochrones Phases relatives au noyau et à Particularités des hodochrones
5. Classification
285 286
aux courtes distances (8° < A < 30") aux distances 30" < zf < 70° aux distances 70° < A < 105" aux distances 105° < J < 143° aux grandes distances > 143")
294 301 305 305 308
6. Séismes profonds
309
7. Spectre des ondes de volume
314
8. Détermination des paramètres du foyer. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4.
Tables de durée de propagation
Méthode des couples de stations Méthode de Jeffreys Tables de durée de propagation Correction pour l'ellipticité de la Terre
314 315 316 316 318
9. Déformation des ondes par la croûte et les couches superficielles
319
BIBLIOGRAPHIE
319
CHAPITRE 1 2 .
— Ondes guidées.
Vibrations propres : résultats expérimentaux, par
Nelly JOBERT
321
1. Observation des vibrations propres
321
2. Observation des ondes superficielles
327
2 . 1 . Ondes dites d u manteau 2 . 2 . Ondes de la croûte 2.3. Effets d'une couche d'eau. Cause et propagation de l'agitation microsis mique générale 2.4. Ondes Τ BIBLIOGRAPHIE
327 330 336 337 337
XVUI
TABLE
DES
MATIÈRES
Modèles mathématiques de failles sismiques, par Georges
CHAPITRE 1 3 . —
JOBERT
341
1. Introduction
341
2. Formule de Betti
343
3. Application
345
au jeu d'une faille
4. Radiation à grande distance d'un foyer étendu
348
5. Problème inverse
351
6. Champ du déplacement au voisinage d'une faille mobile
352
7. Déformations statiques
353
7 . 1 . Dislocation dans un milieu indéfini 7.2. Faille dans une sphère
353 354
8. Autres types de sources
355
BIBLIOGRAPHIE
CHAPITRE
355
Paramètres des sources sismiques. Sismicité, par Jean
14. —
1. Introduction 2. Direction
d'un séisme
2 . 1 . L a répartition en quadrants 2 . 2 . Cas des séismes lointains
3.1. 3.2. 3.3. 3.4.
357 357
du premier mouvement
3. Estimation
COULOMB
classique de l'énergie émise au cours d'un séisme
Généralités Energie d'une onde plane Corrections de trajet en théorie des rais Utilisation des ondes de surface
4. Magnitudes 4 . 1 . Définition des magnitudes 4 . 2 . Relation entre la magnitude et l'énergie émise 4 . 3 . Statistique des séismes par magnitude 5. Sismicité
357 357 360 361 361 361 363 364 364 364 366 366 368
5 . 1 . Cartes de sismicité 5.2. Répartition géographique des séismes normaux et profonds
368 368
6. Energie libérée, rendement sismique, modèles statiques de sources sismiques
373
6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.
Généralités Energie libérée, rendement sismique Modèles à fissures aérées Modèles à glissements prescrits Modèles à frottement (quasi statiques)
7. Modèles dynamiques de sources sismiques 7 . 1 . Généralités 7.2. Modèle ponctuel. M o m e n t sismique
373 373 373 375 376 383 383 383
TABLE
DES
XIX
MATIÈRES
7.3. Source à propagation uniforme 7.4. Directivité des ondes de surface. Réduction au cas ponctuel 7.5. Le moment sismique d'après les ondes d u manteau. Exemple d u séisme de Niigata 7.6. La coda des séismes faibles 7.7. Observations près d'une faille 7.8. Conclusions 8. Energie et moment sismique d'après les ondes de volume 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5.
388 391 391 392 392
Généralités Source à propagation uniforme. Calcul des déplacements Calcul d u moment sismique et de l'énergie Modèles statistiques de sources sismiques Résultats : Corrélation entre magnitude et moment sismique; chutes de contrainte, dimensions de la source
8.6. Evolution d'une région faillée
392 394 397 398 400 402
BIBLIOGRAPHIE
CHAPITRE 1 5 . —
384 384
403
Les instruments de géodésie, de topographie et de gravimétrie,
par A l a i n CouzY
407
1. Géodésie classique
407
1.1. Mesures angulaires 1.2. Mesures de longueurs 1.3. Nivellements
407 409 410
2. Géodésie spatiale
411
2 . 1 . Mesures angulaires (méthodes optiques) 2.2. Mesures de distances 3. Topographie
411 412 413
et radiolocalisation
3 . 1 . Cartographie 3.2. Topographie 3.3. Radiolocalisation
413 413 415
4. Gravimétrie 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.
416
Mesures absolues Les gravimètres Dérive et étalonnage de l'appareil Mesures e n mer
416 417 419 419
BIBLIOGRAPHIE
CHAPITRE 1 6 . —
Champ de pesanteur et forme de la Terre, par Jean
420
KOVALEVSKY
421
1. Introduction
421
2. Le champ de la pesanteur
422
2.1. 2.2. 2.3. 2.4.
Le potentiel de gravitation newtonien Le potentiel axifuge Verticales et surfaces équipotentielles ; le géoïde A l t i t u d e d ' u n lieu
423 424 425 425
XX
TABLE
DES
MATIÈRES
3. Modèles simplifiés 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.
427
Théorème de Stokes Les ellipsoïdes de M a c l a u r l n L a formule de Somigliana Ellipsoïde international de référence
4 . Forme de la Terre par des mesures au sol
427 428 430 431 432
4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.
L a triangulation et le nivellement 433 Les déviations de la verticale 434 Nivellement astro-géodésique 436 Réduction des mesures gravimétriques 437 Le champ de pesanteur déduit des anomalies à l'air libre 442 Relations entre les anomalies de la pesanteur et les déviations de la ver ticale 446 4 . 7 . Détermination globale d u géoïde 446
5. Mouvement 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.
d'un satellite artificiel
Expression d u potentiel extérieur Le problème des deux corps ; éléments de l'orbite Théorie des perturbations Mouvement d ' u n satellite soumis à la perturbation en Effet des autres perturbations
6 . Méthodes spatiales 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6.
7.1. 7.2. 7.3. 7.4.
456
Les observations de satellites Méthodes géométriques Méthodes dynamiques Méthode semi-dynamique Méthodes mixtes Résultats obtenus
7. Conclusions
et méthodes d'avenir
Méthodes géométriques Méthodes semi-dynamiques Méthodes dynamiques Satellite altimétrique
BIBLIOGRAPHIE
CHAPITRE 1 7 . —
448 448 450 452 453 455
456 457 459 461 461 463 467 467 468 468 469 470
Isostasie, propriétés rhéologiques du manteau supérieur, par
Louis L L I B O U T R Y 1. Concepts d'isostasie,
473 de régionalité, et anciens modèles
1 . 1 . Equilibre isostatique et anomalie isostatique 1 . 2 . Modèle d ' A i r y - V e n i n g Meinesz 1 . 3 . Conceptions actuelles 2 . Le problème inverse : origine des anomalies gravimétriques 3. Mouvements
verticaux
3 . 1 . V a r i a t i o n d u niveau des océans 3 . 2 . Mouvements tectoniques 3 . 3 . Soulèvement post-glaciaire
473 473 475 476 477 481 481 483 484
TABLE 4. Théories du relèvement isostatique 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.
DES
XXI
MATIÈRES
489
post-glaciaire
Equations pour une viscosité linéaire uniforme 489 Asthénosphère extrêmement épaisse (A:// J> 1) 490 Asthénosphère très mince ( A : / / 1 ) 491 Modèles plus complexes 492 Exploitation des données d u soulèvement post-glaciaire de la Fennoscandie 496
5. Propriétés mécaniques de la lithosphère
499
5 . 1 . Rigidité en flexion de la lithosphère : problème bidimensionnel (chaîne de volcans) 5.2. Rigidité en flexion de la lithosphère : cas général 5.3. Evolution au cours d u temps BIBLIOGRAPHIE
CHAPITRE 1 8 . —
499 502 503 505
Marées terrestres, par Georges
507
JOBERT
1. Introduction
507
2. Forces et potentiels
507
de marée
3. Ondes de marée
510
4. Déformations de la Terre dues aux marées
513
5. Phénomènes observables 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.
514
Surface d'équilibre d ' u n corps fluide Déviation de la verticale par rapport au sol Variation de l'intensité de la pesanteur Variation de la direction de la verticale par rapport à l'axe des pôles Détermination des nombres Λ et / par des mesures d'extension Détermination d u nombre A: : r o t a t i o n de la Terre, orbites de s a t e l l i t e s . . . .
6. Résultats d'observation
concernant
les fadeurs
514 515 516 517 518 519 519
γ et δ
6 . 1 . Méthodes d'analyse
519
6.2. Marée gravimétrique
520
7. Résultats théoriques
521
8. Phénomènes perturbateurs 9. Effets dynamiques
dus au noyau
523 524
fluide
BIBLIOGRAPHIE
CHAPITRE 1 9 . —
Variation du pôle et de la vitesse de la Terre, par Bernard
1. Généralités 2. Rotation de la Terre indéformable 2 . 1 . Précession et n u t a t i o n 2.2. Polhodie et vitesse de rotation
527
GUINOT
529 529 530 530 531
XXII
TABLE
DES
MATIÈRES
3. Méthodes de Vastrométrie classique 3 . 1 . Principes généraux 3 . 2 . C h o i x des paramètres décrivant la r o t a t i o n terrestre 3 . 3 . Réduction des observations astronomiques 4. Méthodes nouvelles
terrestre dans les temps géologiques
5 . 1 . Déplacement des pôles 5.2. Vitesse de r o t a t i o n 6. Principaux
résultats expérimentaux
6 . 1 . Polhodie 6.2. Vitesse de rotation 7. Rotation 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6.
532 532 534 536
4 . 1 . Interférométrie 4 . 2 . Méthodes dynamiques 4 . 3 . Remarque 5. La rotation
532
536 536 537 537 537 537 538 538 540
de la Terre déformahie, base théorique
Equations de Liouville N u t a t i o n libre de la Terre déformable Polhodie annuelle Effet des marées zonales sur la vitesse instantanée de r o t a t i o n Effets de mouvements cycliques sans changement des moments d'inertie Cas général
541 541 543 546 547 549 549
8. Interprétation détaillée des résultats expérimentaux. Termes annuels
550
9. L'oscillation
chandiérienne
551
9 . 1 . Période de l'oscillation 9 . 2 . Amortissement de l'oscillation
551 551
10. Excitation 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6.
de l'oscillation
cliandiérienne
Mouvements atmosphériques et océaniques Impulsions Séismes Couples-impulsions o u séismes ? Battements Autres excitations
556
\\. La dérive du pôle 11.1. 11.2. 11.3. 11.4.
552 552 552 553 554 555 555
L'aplatissement fossile et la dérive d u pôle Mouvements relatifs lents au sein de la Terre Fonte des glaces Irrégularités de la dérive
12. Petits mouvements périodiques du pôle
556 557 557 558 558
1 2 . 1 . N u t a t i o n diurne
558
12.2. N u t a t i o n presque diurne
559
13. Ralentissement
progressif
de la rotation
559
14. Irrégularités périodiques de la vitesse de rotation
560
15. Fluctuations irrégulières de la vitesse de rotation 1 5 . 1 . Existence d ' u n couple interplanétaire ( ^ 3 )
560 560
TABLE
DES
XXIH
MATIÈRES
1 5 . 2 . Vaiiatioa d u coefficient d'inertie (•33
560
1 5 . 3 . Mouvements relatifs de matière (action sur/13)
561
16. Conclusions
562
BIBLIOGRAPHIE
562
CHAPITRE 2 0 . —
Problèmes inverses en géophysique, par Georges
JOBERT
565
1. Introduction
565
2. Modèles. Fonctionnelles.
566
Non-unicité de la solution
3. Modèle moyen et pouvoir séparateur pour une collection
de fonctionnelles
linéaires.
568
4 . Cas de mesures entachées d'erreurs
571
5. Cas des fonctionnelles
571
non linéaires
BIBLIOGRAPHIE
573
Modèles de l'intérieur de la Terre (densité, élasticité), par
CHAPITRE 2 1 . —
Jean C O U L O M B
575
1. L'hypothèse hydrostatique 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.
575
Conditions d'équilibre Conditions supplémentaires classiques L'équation différentielle de Clairaut L'aplatissement hydrostatique
2. La densité déduite des ondes de volume 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.
Critère de Bullen. C o n d i t i o n d ' A d a m s et W i l l i a m s o n Equation de B i r c h - M u r n a g h a n Relations empiriques Hétérogénéité d u manteau supérieur
3. Modèles récents 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.
BIBLIOGRAPHIE
590 591 591 591 592
Généralités sur la prospection géophysique, par Robert
1. Les objectifs
582 582 583 584 588 590 590
L'aplatissement interne Les nombres de Love L a température dans la Terre L'anélasticité de la Terre
CHAPITRE 2 2 . —
578 578 579 580 581 582
E m p l o i des ondes longues et des oscillations propres Modèles de Bullen et H a d d o n Modèle de D e r r Modèles de Press Modèles régionaux Modèles de Dziewonski et G i l b e r t
4 . Autres paramètres 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.
575 576 576 577
de la prospection
2. Les méthodes
géophysique
NEUMANN
593
593 593
XXIV
TABLE
3 . Champ d'application
DES
596
géophysique
597
des résultats
Les méthodes de prospection sismique, par Jean
CHAPITRE 2 3 . —
FOURMANN
et
Robert N E U M A N N
599
1. Remarque
599
préliminaire
2 . Les différents types de trajets sismiques
599
3. Principe
601
de la méthode sismique-réfraction ; les dromochroniques
4 . Exploitation
602
des résultats en sismique-réfraction
5. Quelques variantes de la méthode sismique-réfraction
603
6 . Principe de la méthode sismique-réflexion
604
7. Composition
605
; couverture multiple
8 . Les corrections
605
9 . Les réflexions multiples
606
10. Représentation des résultats : la section
606
1 1 . Déconvolution ; anti-résonance
608
12. Interprétation
609
BIBLIOGRAPHIE
609
CHAPITRE 2 4 . —
'i.
595
des différentes méthodes ; aspect traditionnel
4 . Quelques aspects actuels de la prospection 5. L'interprétation
MATIÈRES
Prospection gravimétrique par Robert
NEUMANN
613
1. Introduction
613
2 . Mesures et corrections
613 613
Interprétation des résultats 4 . Traitement
614
des résultats
5. Interprétation quantitative 6 . Développements modernes de la prospection
619 619
gravimétrique
BIBLIOGRAPHIE
CHAPETRE 2 5 . —
1. Fonctions 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10.
Fonctions de Legendre et de Bessel, par Georges de Legendre
Polynômes orthogonaux sur (— 1 , + 1 ) Formule de Rodrigues Normalisation Equation diffcrentielie Fonctions harmoniques sphériques de révolution Potentiel d'une source Relations de récurrence Fonctions harmoniques sphériques dans le cas général Fonctions de Legendre associées Orthogonalité des fonctions associées
620
JOBERT
623
623 623 624 624 625 625 626 627 627 628 628
TABLE i . 11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15.
DES
MATIÈRES
Relations de récurrence Normalisation des fonctions associées Fonctions harmoniques de surface Formules d ' a d d i t i o n Expressions asymptotiques
2. Fonctions de Bessel et de Hankel 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10.
Equation des ondes en coordonnées cylindriques Equation des ondes en coordonnées sphériques Représentation intégrale. Fonctions de H a n k e l Fonctions de Bessel et de N e u m a n n Relations de récurrence des fonctions de Bessel Fonctions d'ordre demi-entier Intégrale de Fourier-Bessel Zéros des fonctions de Bessel Méthode d u col A p p l i c a t i o n a u calcul d ' u n développement asymptotique des fonc tions de Hankel
BIBLIOGRAPHIE
Index alphabétique
XXV 629 629 630 631 631 632 632 633 633 634 634 635 635 635 635 636 637
639
CHAPITRE
PREMIER
MÉCANIQUE DES SOLIDES
: BASES PHYSIQUES
par Louis
LLIBOUTRY
Introduction Ce long chapitre renferme des n o t i o n s de mécanique physique des m i l i e u x continus, indispensables a u géophysicien mais q u i o n t à peu près disparu de l'enseignement donné aux physiciens dans l'Université française, au p r o f i t de la mécanique statistique et quantique. A partir des expériences c o u r a m m e n t réalisées dans les laboratoires d'essais de matériaux se sont dégagés des modèles mathématiques simples, constituant des cas limites : u n corps peut être élastique, visqueux « newtonien », plastique « idéal ». I l peut devenir plastique o u casser à u n seuil bien défini de c o n t r a i n t e . Ces modèles seront exposés en premier lieu, ainsi q u ' u n aperçu de solutions mathématiques auxquelles ils conduisent. Mais la réalité est i n f i n i m e n t plus complexe que ne le laissent entrevoir ces modèles avec lesquels t r a v a i l l e n t les mathématiciens s'occupant de mécanique. Pour en rendre compte i l faut s'intéresser aux processus se p r o d u i s a n t à l'échelle atomique, aux défauts d u réseau cristallin, et à l'agencement des cristaux. Cette connaissance est d ' a u t a n t plus nécessaire que les pressions, températures et durées intervenant en géophysique interne ne sont presque jamais reproductibles en laboratoire. O r o n ne peut extrapoler les lois physiques expérimentales que si l'on a de bonnes raisons de penser que les processus mis en j e u ne changent pas de nature. 1. — C O N T R A I N T E S ET
DÉFORMATIONS
/./. — Contraintes. — Considérons u n m i l i e u macroscopiquement c o n t i n u et localement homogène. L a n o t i o n q u ' i l y existe des forces internes à courte distance, assurant sa cohésion (s'il s'agit d ' u n solide) o u permettant le transfert de la quantité de mouvement d'une couche à la couche voisine (s'il s'agit d ' u n liquide visqueux) c o n d u i t à étudier les deux forces directement opposées
2
MÉCANIQUE
DES
SOLIDES
: BASES
PHYSIQUES
d F entre les deux côtés d ' u n élément de surface d'aire dS, de normale u n i t a i r e n. ûF/dS est la contrainte (en anglais : stress). Si o n isole par la pensée u n volume i n f i n i m e n t petit, les forces massiques q u ' i l subit sont négligeables devant les forces de surface. E n écrivant l'équilibre de ces dernières o n démontre que les composantes X, Y, Ζ de la c o n t r a i n t e sur n dS sont des fonctions linéaires des composantes « , /?, y de n : X = τ^,,α + T^yP + τ^,γ y = ry,^(x + τ„β + Xy.y Ζ = τ^.^ α + β + τ,, y .
(1)
N o u s supposons q u ' i l n'existe pas dans le m i l i e u de forces internes assimi lables à des couples (tel serait le cas, par exemple, dans un m i l i e u ferromagné tique). A l o r s la matrice (TJJ), où / et/désignent x, y o u z, est symétrique. Sur la surface l i m i t a n t u n parallélépipède élémentaire dx, dy, dz s'exercent des contraintes de cisaillement o u cissions (en anglais : shear stresses) T^J, avec / # J, et des contraintes normales τ,·;, p o u r lesquelles o n adopte souvent la n o t a t i o n de V o n K a r m a n σ, (c'est-à-dire σ^, σ^, σ^. D ' u n e façon générale les σ désigneront t o u j o u r s des contraintes normales.) N o u s compterons positivement les contraintes normales q u i tendent à étirer le corps {tractions) ; négativement celles q u i tendent à le c o m p r i m e r {compressions). Les opposés des contraintes normales (— σ;) seront appelées des pressions. ( E n Mécanique des Sols, o n fait la c o n v e n t i o n de signe c o n t r a i r e ; contrainte n o r m a l e et pression sont alors synonymes). Tenons compte maintenant d u fait que les contraintes sont f o n c t i o n de X, y, z, et que le m i l i e u est soumis aux forces massiques de la pesanteur et de l'inertie. I l en résulte sur un volume élémentaire des forces i n f i n i m e n t petites comme dx dy dz q u i doivent également s'équilibrer. O n en déduit, en appe lant gj = —dVjdXi les composantes de la pesanteur, celles de l'accélération, et avec la c o n v e n t i o n de s o m m a t i o n d'Einstein :
^
+ Pg. = P7..
(2)
7 . 2 . — Diagramme de Mohr. — Dans le cas général, la c o n t r a i n t e relative à une surface n dS peut être décomposée en une c o n t r a i n t e normale Λ'^ et une cission Τ : N
=aX
+ βΥ + yZ
= {βΖ En u n p o i n t les directions T e s t nulle. A l o r s
yYf
\
+ (yX -
principales
Xja
=
aZf
+ ( α 7 - βΧΫ
| "
de n sont celles p o u r lesquelles la cission
ΥΙβ = Z/y = σ
(4)
CONTRAINTES
ET
DÉFORMATIONS
3
σ est donné par l'équation aux valeurs propres de la matrice (xij) :
Ξ
-
+
/,
-
/2 σ + /3
= 0 .
(5)
σ. — σ Dans le cas général elle a 3 solutions distinctes : σι > ffj > σ^. Ce sont les contraintes principales. O n démontre que les t r o i s directions principales corres pondantes Πι, Tii, sont orthogonales entre elles. Si o n les prend c o m m e réfé rentiel, les équations (1) se réduisent à X = ασι
Ζ = 7^3
Y =
(6)
et donc : Ν
=
σ2
+
+
(7)
Si l ' o n porte Λ' en abscisse et Γ en ordonnée (diagramme de Mohr), toutes les valeurs possibles de (Λ^, Τ) p o u r u n p o i n t donné d u m i l i e u c o u v r i r o n t u n certain domaine. Repérons η en coordonnées sphériques : α = sin φ cos Q β = s'm ψ sm 0
(8)
y = cos φ et portons ces valeurs dans (7). E n éliminant 0, o n parvient à : (iV -
\
t
^
(σ3 -
^
' cos^
+ ( ^ )
' sm^ cp .
(9)
Lorsque η décrit u n parallèle φ = Cte, le p o i n t (Λ^, Τ) décrit u n arc d ' u n cercle centré au p o i n t (σ, + σ2)/2, 0. En éliminant au contraire φ o n obtient après d'assez longs calculs :
•1' =
ίσ^-Ν]
Ν
-
(aj
- σ , ) σ, cos^ θ + (σ^ -
02) σ2 sin^
— σ, cos^ θ — σ2 sin^ θ
(10)
Lorsque η décrit u n parallèle θ = Cte, le p o i n t (yV, T ) décrit u n arc d ' u n cercle ayant son centre sur l'axe des Ν et passant p a r (03,0). Finalement (Λ'^, Τ) peut se t r o u v e r dans t o u t le domaine limité p a r 3 d e m i cercles centrés sur l'axe des IV ( F i g . 1). Les angles φ et (ί se retrouvent sur ce diagramme de M o h r . O n v o i t que la cission est toujours maximale sur les plans bissecteurs de ( H J , n3), et v a u t (σ^ - σ,)/2.
MÉCANIQUE
4
DES SOLIDES
z
: BASES
PHYSIQUES
Τ n
çLiN θ
FiG. 1 . — Représentation Je Mohr
de l'état des contraintes
en un point.
a) Repérage d ' u n plan par sa normale « ; h) Pression (— Λ0 et cission (T) sur ce plan.
1.3. — Invariants. — Revenons aux coordonnées cartésiennes quelconques, σ ] , ff2, ne dépendant pas d u référentiel constituent trois invariants de ( τ y ) , mais la d o u b l e inégalité obligerait souvent à changer les numérotations d ' u n domaine à l'autre d u m i l i e u . P o u r que les problèmes restent analytiques o n d o i t prendre comme invariants des expressions symétriques en σ^, Oj, σ-^ : /,
=
ffi
+
(T2 +
ffa
Ij = σι σ2 + ffj σ^, +
1^ =
σ^.
(11)
En fait a u l i e u de / i o n utilise la pression moyenne ( o u octaédrale) : -
σο = - /,/3 =
- (σι + σ2 + σ3)/3 = -
(σ^ + σ,, + σ,)/3
(12)
q u i , dans le cas d ' u n état hydrostatique (σι = σ2 = σ^), se réduit à la pression hydrostatique ( o u « lithostatique » , s'il s'agit de roches). A /2 et /3 o n préfère les invariants analogues définis à p a r t i r d u déviateur. O n appelle déviateur des contraintes o u contrainte anisotrope le tenseur (τ,-^· — ô,j), c'est-à-dire :
(13)
O n écrit souvent σ,' au l i e u de τ » . Le déviateur des contraintes a mêmes directions principales que le tenseur des contraintes et c o m m e valeurs propres σι —σο, σ2-σο, σ 3 - σ ο . Son premier i n v a r i a n t est n u l . Le deuxième s'écrira, c o m p t e tenu que τ^^ = τ^^, etc. : / 2 = σ; σ; + σ; σ; - f σ > ; - τ% - τ% -
τΐ
(14)
CONTRAINTES
Soit, compte tenu de (σ'^ +
ET
DÉFORMATIONS
5
+ σ'^Ϋ = Ο
\2
= i[(<^. - <^2Ϋ + (^2 -
^ 3 ) ' + (σ3 -
σι)^ =
. (15)
Nous appellerons τ = V — / 2 , t o u j o u r s positif, la cission efficace. Les auteurs anglais q u i l ' o n t i n t r o d u i t e l'appellent effective shear stress, mais le terme de contrainte effective était déjà utilisé dans u n sens différent ( c f chap. 3, § 2 . 1 ) .
1.4. — Cas particuliers et leur réalisation expérimentale. — Lorsque deux contraintes principales sont égales, o n a une compression ( o u une t r a c t i o n ) uniaxiale, - σ^, accompagnée d'une étreinte — ffj = — ffj. C'est le cas dans les essais de carottes effectués avec l'appareil appelé ( i m p r o p r e m e n t ) appareil triaxial (Fig. 2a) : outre la compression axiale de la carotte obtenue avec une presse (dont les plateaux devraient être parfaitement glissants p o u r que la compression soit homogène) celle-ci est entourée d'une jaquette de fluide à la pression - ffj = — a j . U n e gaine, de caoutchouc p a r exemple, empêche le fluide de pénétrer dans les pores o u microfissures de l'échantillon.
FrCi. 2. — Compression
uniaxiale.
a) Appareil triaxial permettant de la réaliser b) Diagramme de M o h r .
6
MÉCANIQUE
DES
SOLIDES
: BASES
PHYSIQUES
Dans ce cas les contraintes o n t une symétrie de révolution a u t o u r de n j . L e triangle curviligne de M o h r se réduit à u n demi-cercle ( F i g . 2b), la cission est maximale dans toutes les directions d ' u n cône d'axe «3. Déviateurs et invariants valent alors :
= 2(σ3 - σι)/3
σ'ι = σ'2 = (σ, - ¢3)/3 τ = \σ,-σ,
|/V3
Ι', = 2(σ3 -
σ,ΫβΙ
) | "
^ >
U n autre cas p a r t i c u l i e r i m p o r t a n t , car c'est celui d u fluage p l a n des corps isotropes incompressibles, est le cas où ffj = (ffj + σ3)/2 ( F i g . 3). O n d i t
F i o . 3. — Cisaillement
pur.
a, b) Appareils permettant de le réaliser ; c) Diagramme de M o l i r .
CONTRAINTES
ET
DÉFORMATIONS
alors que l'état de contraintes est u n cisaillement
7
pur. E n prenant l'axe des z
selon ff2. la contrainte sur u n plan (cos 0, sin 0, 0) est : X = a^cosO
sin 0 \
+
Y = T.yCosO
+ a^sinO
(17)
.
Z = 0 Les contraintes normale et tangentielle sur ce p l a n sont respectivement : ./V = X cos 0 + y sin 0 = ^±^1
cos 2 0 +
+
sin 2 0 i (Ib)
Τ = - X sinO + Y cosO
= -
σο =
σ,=
~
— s i n
-σ^
=
2 0 + τ^, cos 2 θ
^-^
σ, = Ο
/:, = 0 .
τ ' = ( ^ ^ ) \ τ Ι ,
) (19)
(20)
Les directions principales s'obtiennent p o u r t g 2 0 = 2τ^^Ι{σ^ — σ^). Les contraintes principales σ, et valent ± τ. L'équation d u g r a n d cercle de M o h r est : {N - σοΫ +
T'
= τ'.
(21)
La cission est maximale, et vaut + τ p o u r N =CTQ,soit p o u r tg 2 0 = - {σ, -
σ,)/2 τ , , ,
ce qui donne deux directions perpendiculaires entre elles et à 4 5 " des directions principales. Les courbes p a r t o u t tangentes à l'une de ces deux directions sont appelées lignes de glissement. 1.5.—Déformations infinitésimales et vitesses de déformation. — Si u n point M {x, y, z) d ' u n m i l i e u c o n t i n u homogène se déplace de (w, v, w), u n point voisin M' (x + dx, y + dy, z + dz) se déplace de du , du , du , = u + -7- dx + ^ dy + ~- dz \
u
dx
v' = υ + ,
dv dx
dy
,
dz
du ,
dv
dy
dz
dx + ~
dv + ^
'
,
dz
dw ,
dw ,
dw ,
dx
oV
dz
w = w + —- d x + — d y +
dz
, '
.
(22)
MÉCANIQUE
8
DES SOLIDES
: BASES
PHYSIQUES
O n passe d u vecteur MM' au vecteur du (u' — u, v' — v, w' — w) par une matrice q u ' o n peut décomposer en u n e partie antisymétrique ( r o t a t i o n ) et une partie symétrique (déformation) :
et six autres définitions obtenues p a r p e r m u t a t i o n circulaire. L a matrice (ε;^) représente le tenseur des déformations infinitésimales. Lorsque / # / o n écrit souvent = γ^β, et lorsque / = J, o n écrit simple ment Les Si représentent des taux d'extension dans la d i r e c t i o n ε,·, les y,j les modifications des angles entre arêtes dans u n parallélépipède élémentaire (dx, dy, dz), o u glissements ( F i g . 4).
F I G . 4 . — Déformation d'un parallélépipède élémentaire. Pour plus de clarté seule la projection sur le plan (x, y) a été représentée.
A l'aide de cette interprétation concrète o n v o i t facilement que le t r a v a i l des contraintes appliquées à ce parallélépipède élémentaire est Wdx
dy dz
avec :
ij
+
T,,.dv,..
(26)
CONTRAINTES
ET
DÉFORMATIONS
9
Le tenseur (ε;,) s'analyse c o m m e le tenseur des contraintes. I l y a t r o i s déformations principales ε^ ε2, fij, p o u r t r o i s directions Πι, n j , n3 f o r m a n t un trièdre trirectangle. U n parallélépipède élémentaire ayant ses arêtes parallèles à ces trois directions reste rectangle après la déformation infinitésimale ( a u 2« ordre près). Sinon i l subit dans chaque dimension u n taux d'extension et un cisaillement (en anglais : shear strain). P o u r les t r o u v e r o n peut utiliser la construction de M o h r . On peut décomposer (ε;;) en une partie isotrope (
+
83)/3
(27)
qui est nulle si le m i l i e u est incompressible, et une partie anisotrope ε,·;. Les invariants seront définis et désignés de façon analogue, / remplaçant /. E n particulier o n définit u n glissement efficace : = 2V -
Â
(28)
à pardr d u deuxième i n v a r i a n t J2 d u déviateur des déformations infinitési males {e'ij). Cette analyse reste valable lors d'une déformation continue a u cours d u temps. M, V, w désignant cette fois les composantes de la vitesse, car pendant u n intervalle de temps dt les déplacements u dt, υ dt, w dt et les déformations ε,^ d i sont infinitésimaux. O n peut donc définir un tenseur des vitesses de déforma tion (instantanées) ε;^· et l'analyser t o u j o u r s de la même façon. O n notera que ce sont les vitesses mesurées en des points de coordonnées fixes q u i inter viennent, alors que p o u r définir les contraintes o n supposait que l a surface élémentaire η dS se déplaçait avec le m i l i e u . Par contre l'extension de cette analyse à des déformations finies c o n d u i r a i t à de graves erreurs. A i n s i , si l a r o t a t i o n ω n'est plus infinitésimale, la résultante de deux rotations dépend de leur ordre. Autre exemple considérons le cas d ' u n écoulement à vitesses parallèles à ox{v = w = 0) d ' u n m i l i e u incompressible. Prenons l'axe des y dans la direc tion de grad u ( F i g . 5). Le tenseur des déformations se réduit à :
/ (έ,ν) =
0
0 2 δν
ι du ^ ~ 2 h
0
0
0
(29)
0/
Les trois vitesses de déformation principales sont : 1 du ε, = - ;r ^ 2 dy
ε, = 0
1 du
'-^-^2Ty
(30)
10
MÉCANIQUE
DES
SOLIDES
: BASES
PHYSIQUES
F l u . 5. — Ecoulement à vitesses parallèles. Erreur commise en admettant q u ' u n « écrasement » important témoigne d'une compression principale perpendicu laire à l'objet écrasé.
A u n instant donné la d i r e c t i o n de compression maximale et celle d'exten sion maximaie sont les bissectrices de .xoy. Elles sont à 4 5 " des plans de cisaille ment m a x i m u m .xoz et yoz. Mais si nous envisageons la déformation /rn/e d ' u n cube {dx, dy, dz), i l deviendra à la longue u n parallélépipède extrêmement oblique, pratiquement couché sur le plan de cisaillement permanent .xoz. Si le milieu est une couche fossilifère, les fossiles apparaîtront écrasés, comme ils l'auraient été sans réaction d u milieu environnant par une force perpendi culaire au plan de cisaillement permanent. L'analyse des déformations infinitésimales et des vitesses de déformation masque également le rôle dissymétrique joué dans cet exemple par les deux plans de cisaillement xoz et yoz. Pour faire apparaître ce rôle (essentiel dans les processus de recristallisation, de f o l i a t i o n ) , i l f a u d r a i t faire appel a u x déformations finies. Pour l'analyse des déformations finies et son a p p l i c a t i o n à la tectonique, le lecteur se reportera à l'ouvrage de Ramsay (1967).
2. — VISCOSITÉ N E W T O N I E N N E
E T PLASTICITÉ
IDÉALE
2.1.—Solides, fluides, anélasticïté, fluage. — Précisons un peu le voca bulaire, en utilisant des modèles usuels et grossiers, que nous devrons nuancer par la suite. T o u t e déformation (instantanée o u à retardement) sous l'efTet d'une contrainte, q u i disparaît (immédiatement o u à retardement) lorsque cesse la contrainte, est dite déformation élastique. Sinon c'est une déformation anélastique o u permanente. U n corps q u i se déforme anélastiquement si faible soit la c o n t r a i n t e n o n isotrope appliquée est un fluide (liquide o u gaz). S'il faut p o u r cela q u ' u n certain seuil de plasticité (anglais : yield strength) soit dépassé, c'est un solide, plus o u moins malléable (anglais : ductile, m o t également français). Si la r u p t u r e se p r o d u i t avant que le seuil de plasticité soit dépassé le matériau est
VISCOSITÉ
NEWTONIENNE
ET
PLASTICITÉ
IDÉALE
11
dit cassant (anglais : brittle). Cassant n'est pas synonyme de fragile (anglais : weak) qui signifie ayant une charge de r u p t u r e peu élevée. Toute déformation d ' u n solide q u i se p o u r s u i t au cours d u temps sans que la cause en soit une augmentation progressive des contraintes est appelée un fluage (anglais : creep). La vitesse de fluage peut d i m i n u e r au cours d u temps (fluage transitoire, par exemple celui d u béton), être constante (fluage perma nent, par exemple celui des glaciers) o u s'accélérer au cours d u temps. Dans de nombreux cas, à charge constante les trois cas se produisent successivement (exemple : Fig. 6), d'où les noms de fluage p r i m a i r e , secondaire, tertiaire donnés par les métallurgistes. Le terme d'écoulement (anglais : flow) se rap porte plutôt à la cinématique d u mouvement : l'écoulement peut être l a m i n a i r e , turbulent, compressif, etc.
1,5
0
10
20
30
40 50 Durée en
eO 70 Jours
80
90
100
F I G . 6. — Déformation en fonction du temps de calcite saturée d'eau. (Expériences de Griggs).
2.2. — Equations générales du fluage d'un corps incompressible et isotrope. — Lorsqu'il y a fluage, très rapidement les déformations élastiques deviennent négligeables vis-à-vis des déformations permanentes, si bien que dans l'analyse des vitesses de déformation, lorsque celle-ci ne se fait pas par à-coups, o n peut négliger la composante élastique. Le corps peut alors en général être considéré comme incompressible (e = 0), et le tenseur des vitesses des déformations en un point se réduit à son déviateur. ( L a seule exception ayant été abordée par les mécaniciens semble être le matériau neige : Haefeli, v o i r L l i b o u t r y , 1964, pp. 253-262.) Nous admettrons de plus que le corps est macroscopiquement isotrope en l'absence de contraintes, et le redevient l o r s q u ' o n supprime les contraintes. Autrement d i t la déformation peut provoquer une texture anisotrope, mais
12
MÉCANIQUE
DES
SOLIDES
: BASES
PHYSIQUES
cette texture est une f o n c t i o n bien définie des contraintes au même instant. O n admet alors à la suite des travaux de Barré de Saint-Venant et de Lévy qu'à un instant donné, et en un point donné, le déviateur des contraintes et celui des vitesses de déformation sont proportionnels (1)
T\j = 2nÎ[j.
A un moment donné et en u n lieu donné, η est le même p o u r tous les (/,./). O n l'appelle la viscosité. Compte tenu de la définition des variables efficaces :
il
s'ensuit /? = τ/7 .
(2)
Explicitons les 6 équations (1), en remplaçant les ε,'^ par leurs expressions en fonction des dérivées spatiales de (M, O, Μ·) : σ.ν
- _ σ ο ^ S - gp ^ „ du ^ dv 2— 2— d.x dy
^ cw 2— dz
^
^ du dy
1
dv dx
^y^ dw 1 dz dy du
^
Î--x
dw du ^ — I dx dz
^
^'
Les deux premières égalités i m p l i q u e n t la c o n d i t i o n d'incompressibilité, div u = 0. Dans le cas d'un fluage très lent, et comme nous avons exclu le cas où i l se ferait par à-coups, les forces d'inertie sont négligeables, les équations ( 1 . 2 ) se réduisent aux équations suivantes, dites équations d'équilibre quasi statique : δσ^
dx^y
dx
dy
dx^.
οτ^„ dx
5σ„ dy
5τ„
(5τ„
do.
dx
dy
dz
d δτ,,. νζ
f-ftJ
,
ν '
A u x 6 équations (3) et aux 3 équations (4) i l faut ajouter une loi de fluage d o n n a n t η, et comme est f o n c t i o n , entre autres choses, de la température, une équation de la cimleur gouvernant les températures. Pour résoudre les problèmes d'une façon exacte i l faudrait intégrer simultanément ces 11 équa tions aux dérivées partielles liant les 6 composantes des contraintes, les 3 composantes de la vitesse, la viscosité et la température. Même numérique ment le problème est inabordable, aussi n'a-t-on étudié en fait que le problème
VISCOSITÉ
NEWTONIENNE
ET
PLASTICITÉ
IDÉALE
13
plan ; on admet par exemple que toutes les vitesses sont parallèles a u plan .\oz, que les contraintes, les températures, et les conditions aux limites sont indé pendantes de y, et que la composante selon oy de la pesanteur, g^, est nulle. Pour ce problème plan le système se réduit alors à : σο = σ,, = ( σ , + σ_,)/2
(5)
t . , = τ,,, = Ο
(6)
vuldx -
+ dw/δζ = Ο
(7) (8)
= 4η ôu/ôx
τ^^ = η(δυ/δζ + dw/δχ) δσ,Ιδχ CTJOX
(9)
+ pg, = Ο
(10)
+ οσ._Ιδζ + pg. = Ο .
(11)
+ oxjaz
Les 5 équations (7) à (11), avec la l o i de fluage et l'équation de la chaleur déterminent les 7 inconnues σ^, σ., τ „ , u, w, η et Τ (température). On peut remplacer ces équations (7) à (11) par le système équivalent suivant, q u i fait intervenir la fonction de courant q et la f o n c t i o n de contrainte d'Airy y. V désigne le potentiel d'où dérive la pesanteur : u = ôq/δΣ
w= -
δς/δχ
(12) 3\
cz
δχ dz
(13)
1 2 Ιδζ'
δχ\
1 2 .cz'
οχ οζ
(14)
1 δχ'\
2 η δχ δζ
2.3. — Corps visqueux newtonien à viscosité uniforme. — O n d i t q u ' u n corps est visqueux newtonien lorsque la proportionnalité des déviateurs exprimée par (1) est valable, et que de plus la viscosité η ne dépend que de la température et de la pression moyenne ρ = — (TQ. En particulier elle ne dépend pas d u temps : i l s'agit d ' u n type de fluage permanent. Si le milieu c o n d u i t bien l a chaleur i l peut être à température u n i f o r m e malgré la chaleur dégagée par la déformation. Si de plus l'influence de ρ est négligeable, on pourra avoir une viscosité u n i f o r m e dans t o u t le milieu. Ce modèle a été développé p o u r étudier l'écoulement des liquides, a u sens usuel du terme. I l est i n d u b i t a b l e m e n t très éloigné d u c o m p o r t e m e n t des roches à haute température et très haute pression. Néanmoins i l est très souvent
MÉCANIQUE
14
DES
SOUDES
: BASES
PHYSIQUES
utilisé, faute de mieux, en tectonophysique. N o u s discuterons cette question à la fin d u chapitre. Si o n suppose la viscosité uniforme dans t o u t le m i l i e u , o n peut éliminer les 6 contraintes (mais n o n σο) entre les équations (3) et (4). O n obtient d'une parj les équations de Navier-Stokes : η Au + dajdx
+ pg^ = 0
η Av + δσο/By + pg^, = 0
(15)
η Aw + ôooldz + p g . = 0 j et d'autre part la c o n d i t i o n d'incompressibilité du/ôx + dv/dy + dw/dz .
(16)
N o u s écrirons plutôt en n o t a t i o n vectorielle, en faisant intervenir le poten tiel Κ d'où dérive la pesanteur : A u + grad (ffo - p|/) = 0
div u = 0 .
(17)
O n peut éliminer σο en prenant le r o t a t i o n n e l , o u u en prenant la divergence. D"où le système : A(rotu) = 0
(18)
Δ ( σ ο - ρ η = 0.
(19)
Mais i l faut prendre garde au fait que ces dérivations successives d o n n e n t des équations plus générales, d o n t les solutions ne sont pas forcément s o l u t i o n d u problème i n i t i a l .
i
N o u s préciserons cela dans le cas d u problème plan. Lorsque η est une constante, le système (14) c o n d u i t de même, moyennant deux déri vations, aux deux équations biharmoniques suivantes, q u i sont les équi valents de (18) et (19) AAq = 0
;
Αλχ
= 0
(20)
A A désignant l'opérateur V^, soit :
I
Une i
s o l u t i o n générale de l'équation F(x, z) = (x'
+ z')J\
b i h a r m o n i q u e est
- f xj\ + z/3 + Λ
(22)
I où les fi sont quatre fonctions harmoniques (c'est-à-dire solutions de A/; = 0) arbitraires. O r l'intégration directe d u système (14) est possible
VISCOSITÉ
NEWTONIENNE
ET
PLASTICITÉ
IDÉALE
15
en prenant p o u r nouvelles variables ζ = x + i>' et ζ = .v — iy. Avec ces nouvelles variables :
(23)
et le système ( 14) s'écrit :
dont la solution est, Φ(ζ) traires :
et G(C) étant deux fonctions analytiques a r b i
1 [ I I j I j I
q + \~- = ζΦ(ζ) 2η Revenons aux anciennes
(25)
+ G(0 .
variables :
Φ{ζ) = ψ(χ, ζ) + i(p* (χ, ζ )
C(C) = g(x, ζ ) + i g * ( x , ζ )
(26)
φ et φ*, g et g * sont des fonctions harmoniques conjuguées, c'est-à-dire telles que θφ/δχ = δψ·*Ιδζ
δψίδζ = ~ δφ^/δχ .
(27)
Comme χ/2 η et q sont réels, o n en déduit la s o l u t i o n la plus générale : q = χφ + zç)* + g
;
= -
χΙ2η
ζφ + x
(28)
laquelle est beaucoup plus restrictive que la s o l u t i o n (22). O n trouve aussi les solutions valables des équations (18) et (19) : = I
-
g
.
σο - p K = ^ Δχ = - 2
4 ¾
^
.
(30)
2.4. — Le corps plastique idéal. — Les corps considérés dans le langage courant c o m m e des solides ne se déforment d'une façon appréciable, p o u r u n type de contraintes donné, que lorsque la c o n t r a i n t e atteint un certain seuil (seuil de plasticité, en anglais yield strength). N o u s verrons au paragraphe 5 . 1 que la f o n c t i o n des contraintes principales pertinente, p o u r les métaux comme
ivitcANlQUt
DES SOLIDES
: BASES
PHYSIQUES
p o u r les roches, est la cission efficace τ = \l - Î2 (critère de Von irises, et n o n pas, comme o n l'admettait auparavant, la cission maximale T,„ = I
1913)
- σ, 1/2
(critère de Tresca, 1864). Dans le cas d ' u n problème plan = τ, les deux critères coïncident. Lorsque le seuil de plasticité est dépassé, la vitesse de déformation croît extrêmement vite avec la contrainte. O n est donc c o n d u i t au modèle schéma tique suivant, appelé corps plastique idéal : — Là où la cission efficace τ n'atteint pas une certaine valeur, le corps ne se déforme pas (noyaux rigides). — Là où i l y a déformation, τ = τ^, quelle que soit la vitesse de déforma t i o n . O n ne peut pas élever τ au-dessus de τ^. p o u r a u t a n t q u ' o n augmente les vitesses de déplacement des limites de l'échantillon. Le seuil devrait être considéré comme une f o n c t i o n de la température. En fait, la théorie a été développée p o u r les métaux q u i , étant très bons conducteurs de la chaleur, peuvent être considérés c o m m e isothermes. Pour son exposé complet, o n peut se reporter à H i l l (1956). Dans un plastique idéal, les équations générales d u paragraphe 2 . 2 sont toujours valables, mais la l o i de fluage ne fait intervenir que les contraintes. Dans le cas du problème plan, cette l o i de fluage s'écrira ( c f 1.20) :
f"^i^)%-Ti
= r^
(31)
ce q u i , avec les deux équations d'équilibre quasi statique, permet de déterminer θχ> ^:, Χχ:, lorsque leurs valeurs aux limites sont connues, sans faire intervenir les vitesses. A i n s i par exemple soit un terrain, considéré c o m m e u n plastique idéal, d o n t la surface est plane et a une pente a. Prenons ox selon la ligne de plus grande pente de la surface et oz vers le bas. A d m e t t o n s que les vitesses sont parallèles à xoz (problème plan), et que les contraintes ne dépendent pas de x. O n t r o u v e , en appelant H la pression atmosphérique : Τχζ = - Pgz sin oi = =
-
H +
(32)
pgz cos α
N/T^ -
(pgz sin a)^ •
(33) (34)
Le signe -I- correspond à u n écoulement extensif, le signe — à u n écoulement compressif Que l ' u n o u l'autre s'établisse dépend des c o n d i t i o n s très en a m o n t et très en aval. I l faut z < Xcipg sin oc : la déformation ne peut s'étendre indéfmiment vers le bas. U d o i t s'agir d'une couche de terrain glissant sur u n socle
VISCOSITÉ
NEWTONIENNE
ET PLASTICITÉ
IDÉALE
17
rigide. Encore faut-il que la l o i de f r o t t e m e n t sur ce socle soit adéquate. U n frottement u n i f o r m e
et une couche d'épaisseur τ Jpg
sin α peuvent être une
solution. Revenons au problème plan général. L'équation (31) peut s'écrire = σο -
σ.χ
sin 2 θ,„ ; σ. = σο + τ<. sin 2 0„, ; τ^^ = τ, cos 2 0„,.
(35)
D'après (1.18), 0,„ est l'angle que fait l'une des deux directions de cission maximale avec l'axe des x. En p o r t a n t les expressions (35) dans les équations d'équilibre (10), ( I I ) , puis en supposant q u ' a u p o i n t considéré 0^ — 0, o n trouve i
(<Xo -pV
-2x,0J
= O
OX
~ (σο 6ζ
pV +2τ,
0„) = 0 .
(36)
En 1.4 nous avons défini les lignes de glissement, q u i f o r m e n t deux familles de courbes orthogonales. N o u s les appellerons
respectivement
lignes cz et
lignes β. En revenant à des axes cartésiens fixes et quelconques, o n v o i t donc que la quantité (σο — pV — 2
0)
est constante le l o n g d'une ligne de glissement a, tandis que la q u a n tité (σο -
py + 2 τ,, 0) est cons
tante le long d'une ligne de glisse ment β (relations de Hencky).
O n en
déduit qu'entre deux lignes/i toutes les lignes α t o u r n e n t d'une même
i.i
,u——-V?-
quantité, et qu'entre deux lignes α toutes les lignes β t o u r n e n t d'une
F i e . 7. — Relations
de Hencky.
même quantité ( F i g . 7). On démontre, t o u j o u r s dans le cas d u problème p l a n , que les lignes de glis sement j o u e n t un rôle analogue à celui des courbes caractéristiques d'une équation aux dérivées partielles de type hyperbolique. En les traversant, les dérivées premières des contraintes (les dérivées troisièmes de y} peuvent subir des discontinuités. Aussi, p a r t a n t des valeurs connues sur u n segment à la limite d u domaine, le problème devient indéterminé l o r s q u ' o n franchit des lignes de glissement issues de la l i m i t e d u domaine à l'extérieur de ce segment. Ainsi dans l'exemple cité d'une couche plastique d'épaisseur /; = xjpg
sin α
s'écoulant par gravité, la d r o i t e ζ = h est une ligne de glissement singulière issue de l ' i n f i n i , et nous ne pouvons pas étendre au-delà notre s o l u t i o n trouvée à partir des c o n d i t i o n s à la surface. Les autres lignes de glissement sont des cycloïdes q u i partent de la surface sous des angles à 4 5 " ( F i g . 8). Une autre conséquence, q u ' o n ne se fait pas faute d'utiliser, est q u ' i l est possible de juxtaposer des solutions d u problème plastique plan relatives à différents domaines p o u r v u que : a) la l i m i t e entre deux domaines soit une ligne de glissement p o u r chacun d'eux ( o u qu'elle le soit p o u r l ' u n , l'autre se
MÉCANIQUE
18
Fluage extensif
DES
SOLIDES
: BASES
PHYSIQUES
F i G . 8. — Ecoulement gravitationnel d'une couche plastique idéale : lignes de glissement et failles observables en surface possibles.
F l u a g e comprG.'isîf
c o m p o r t a n t comme u n noyau rigide) ; b) les contraintes (mais n o n leurs dérivées) et le flux de matière à travers la ligne de glissement soient continus. 2.5. — Autres modèles de déformation anélastique. — Si le modèle d u plas tique parfait permet dans certains cas des solutions simples, i l offre l'inconvé nient, lorsque les vitesses aux limites sont inconnues, de ne pas permettre la détermination des vitesses. ( A i n s i dans le problème de la couche plane plastique, la vitesse de glissement sur le socle est indéterminée). Aussi a-t-on i n t r o d u i t des modèles plus complexes tels que : 1" Le corps visco-plastique, o u corps de Binglwm
( F i g . 9c).
Pour τ ^ Te : 7 = 0 et donc η = ao (noyau rigide). Pour τ 5î τ,. : 7 = (τ -
τ^)/η', et donc ;
η = η' +
7
(37)
= η ----τ -
t\' étant une constante indépendante d u temps.
F i G . 9. — Différentes lois rhéologiques. a) b) c) d) i^)
Corps visqueux newtonien ; Corps plastique idéal ; Corps de Bingham ; Corps plastique n o n idéal (loi puissance) ; Corps visqueux non linéaire o u pseudo visqueux.
Κ
τ:
2» Le corps plastique n o n idéal, obéissant à une l o i de fluage 7 = Βτ" (B et /; > 1 étant deux constantes) ( F i g , 9d). Cette l o i a été i n t r o d u i t e en rhéo logie par Ostwald, et en glaciologie p a r G l e n . P o u r ce corps :
l
= B T " - ' = B""
γ'-''\
(38)
CORPS
ÉLASTIQUES
ET
VISCO-ÉLASTIQUES
19
Lorsque la cission efficace devient très faible, la viscosité croît indéfiniment et toute déformation devient inappréciable, même si, en théorie, i l n'existe pas de seuil de plasticité. 3" Nous dirons par contre q u ' u n corps est visqueux non linéaire ( o u n o n newtonien) lorsque sa viscosité, sans être constante, reste finie p o u r de très faibles cissions efficaces (Fig. 9e). O n a alors proposé des lois telles que : y = C sh τ/το
o u bien
y = ατ +
3. — C O R P S É L A S T I Q U E S E T
bx^ + cx^.
(39)
VISCO-ÉLASTIQUES
5.1.—Le corps élastique. — U n corps est d i t élastique parfait satisfait aux trois conditions suivantes :
lorsqu'il
a) L'application de contraintes extérieures provoque instantanément (à la vitesse de propagation des ondes élastiques) une déformation complète. Il n'y a pas de traînage élastique (ou élasticité retardée ; anglais : elastic after effect), tel qu'on peut l'observer dans un milieu poreux d o n t les pores renfer ment un liquide visqueux. h) En supprimant la contrainte on revient à l'état i n i t i a l . Ce n'est pas le cas pour le cuivre, le p l o m b et autres métaux « mous ». Citons aussi le cas des roches dures q u i subissent d ' a b o r d u n tassement irréversible par suite de la fermeture des nombreuses microfissures qu'elles renferment. c) La déformation reste très faible et de ce fait en première et suffisante approximation les relations entre contraintes et déformations sont linéaires. Le cas des élastomères est donc exclu. La courbe de déformation est alors la même à la charge et à la décharge : on ne décrit pas de cycle d'hystérésis et il n'y a pas d'énergie mécanique absorbée au cours d ' u n cycle. Si de plus, le corps est macroscopiquement isotrope, i l satisfait alors à la l o i de Hooke généralisée : e^ajili
ε'υ = σ'υΙ2μ
(1)
k étant l'incompressibilité (en anglais : hulk modulas) et μ la rigidité, o u 2^ coeffi cient de Lamé (en anglais : shear modulas). Ces deux paramètres sont les paramètres élastiques fondamentaux. A i n s i , dans un mélange homogène de substances, ce sont eux q u i s'ajoutent a u p r o r a t a des concentrations en volume respectives. Dans le tableau ci-après, k et μ sont donnés en mégabars (1 M b a r = 1 0 ' ' u n i tés S. L ) , ρ en g/cm' (1 g/cm' = 1 0 ' unités S. L ) .
20
MÉCANIQUE
DES
SOLIDES
: BASES
PHYSIQUES
Calcaire compact :
ρ = I afm »
1 bar ρ = 4 000 bars
0,38 0,47
0,23 0.25
2,62
0,21 0,56
0,17 0,34
3,06
0,86
3,29
1,21
Granité (toujours microfissuré) :
ρ = 1 atm «
1 bar = 4 000 bars
Gabbro : ρ = 4 000 bars Duniîe : 4 000 bars
Les essais de matériaux sont eflfectués le plus souvent en compression uniaxiale (toutes les contraintes nulles sauf σ^.). I l s donnent directement le module d'Young E et le coefficient de Poisson v définis dans ce cas par : = Εε^ Comme
dans
ce
cas
(2) e = (\ — 2 v) eJ3,
σο = oJ3,
σ.ν = 2
aJ3
et
= 2(1 + v) ε^/3, o n en déduit les expressions suivantes de μ et k en f o n c t i o n de £• et V : 2μ On
notera
=
3k
1 + V
=
1 -
(3)
2v'
que 2 μ < E < 3 k.
Revenons au cas général. Les équations de l'élasticité peuvent en posant : λ = k
2
_
£v
3 ^ ~ (l + v)(l -
2v)
( 1 " ' ' coefficient de Lamé)
= (A + 2 μ) ε, + λε^ + λε, \
s'écrire,
(4)
(5)
Τχν = 2 με^^ = /Ι7^„
et 4 autres équations obtenues par p e r m u t a t i o n circulaire des indices. A i n s i par exemple lors de la p r o p a g a t i o n d'ondes Ρ le l o n g de l'axe des x, ε^ = ε. = 0 et -, ^
,
4
£(1 -
= ^-^^^ = ^ + 3 ^ = ( l + v ) ( l
ν) -Τν)·
(6)
CORPS
ÉLASTIQUES
ET
Inversement o n peut exprimer les 1
21
VISCO-ÉLASTIQUES
linéairement en f o n c t i o n des V
V
:
i (7)
1 + V
\
et 4 autres équations obtenues par p e r m u t a t i o n circulaire. L'énergie élastique par unité de volume se déduit facilement de 1.26. E n prenant les directions principales p o u r axes de coordonnées : àW = ( σ ' + σο) d(e,' + e) + (oj
+ σ^) d(62 + e) + ( σ / + σο) d ( £ 3 ' +
e)
= σ\ dfi'i + σ'2 dfii + σ 3 dej + 3 σο de
C'est donc la somme d'une énergie de distorsion f o n c t i o n de μ et d'une énergie de compression f o n c t i o n de λ'. On verra au chapitre 5 que dans un m i l i e u élastique se propagent des ondes de compression ou ondes longitudinales (ondes Ρ des sismologues) d o n t la vitesse est :
V = ((A- + f P)IPY^
(9)
où ρ est la masse spécifique, et des ondes de distorsion o u ondes transversales (ondes S des sismologues) d o n t la vitesse est : W = {μΐρψ'
(10)
Pour un exposé général de l'élasticité, le lecteur p o u r r a se reporter à M a n d e l (1966) ; pour le cas de l'élasticité anisotrope à N y e (1961). 3.2.— Visco-élasticité linéaire. — Les corps élastiques sont souvent aussi légèrement visqueux, et i l faut en tenir compte p o u r aborder certains p r o blèmes. A i n s i l'état des contraintes dans u n m i l i e u élastique i m m o b i l e , soumis à des forces extérieures données, est indéterminé ( q u ' o n songe p a r exemple à un globe d o n t la surface vient de se r e f r o i d i r , o u à une p o u t r e de béton pré contraint). M a i s l o r s q u ' u n e légère viscosité a eu le temps de j o u e r , o n peut admettre que, en l'absence de forces extérieures autres que la pesanteur, i l règne p a r t o u t en son sein u n état de contraintes hydrostatique. Dans le modèle physique le plus simple, les contraintes produisent à la fois une déformation élastique (avec compressibilité) et une déformation visqueuse newtonienne (sans compressibilité), et ces déformations s'ajoutent.
22
MÉCANIQUE
DES
SOLIDES
: BASES
PHYSIQUES
Soient ε,·'· les déformations élastiques, efj les déformations visqueuses : •
1
1 _
ljh_v
V
V
_
E
2μ
d 2 _ 1 d i '^'^^' 2 ^•^-" et 8 équations analogues. O n en déduit, en appelant A et B deux opérateurs linéaires :
£
2 η ~ 2/< d f
dt
2// ~ 2 / i ' d i
T,l
(12)
„ V d 1 B = E dt + 6 η -'^^
= (/1 -
β)
-
βσ,, -
βσ,
~ β . . = ^ τ . , = 2·ί-(|^ + ^ ) τ . ,
(13)
(14)
et 4 équations analogues. Γ, = η/μ est le temps de relaxation des cissions z^y l o r s q u ' o n Impose à p a r t i r d ' u n certain instant u n cisaillement e^y fixe. (Par exemple le temps de relaxation d u couple de t o r s i o n selon l'axe d'une éprouvette c y l i n d r i q u e à torsion fixe). Mais i l i m p o r t e de noter que la l o i de relaxation d ' u n même matériau dépend de la géométrie d u problème. A i n s i dans une éprouvette libre sur ses bords (σ^, = = 0), à allongement ε^^ fixe, la c o n t r a i n t e se relâche selon l'équation (A — Β)σ^ = 0, ce q u i donne une constante de temps 3 η/Ε = 3 TJ2 (1 + v). O n peut même avoir deux temps de relaxation. Tel est le cas lorsqu'on envisage des pro blèmes plans, la flexion d'une plaque par exemple. En faisant Cyy = 0 dans les équations ( 13) et éliminant «τ» : \Edt
3i7d//
CORPS
ÉLASTIQUES
ET
23
VISCO-ÉLASTIQUES
C et O désignant les deux, opérateurs 1
— v 2 d2 £^d,a
C-.A^-2AB^
2 —V d ' T , E d , +
1
Î2^3 (16)
.
U - A I S -
-^,
- -,^2 +
1 ^ 4 v d g
1_
+
j2
·
Toutefois dans le cas particulier d'une compression parallèle à ox dans un milieu infini (Zy^ = ε^^ - 0), o n obtient en m u l t i p l i a n t les équations (13) respectivement par A — 2 B, B et B, puis a j o u t a n t (A -2B)j^e^^
= A(A -
3 B)
(17)
.
Une intégration par r a p p o r t au temps est alors possible. O n obtient ment, en introduisant u n temps de retard : 6 /7(1
1? _
H(l -
£
—
TT.
V) _
3(1
-
V)
— —1 -t- V
finale
(18)
•J 1
y)
(1 + v ) ( l -
2v)
On trouve encore dans les manuels un exposé soi-disant i n t u i t i f mais falla cieux de la visco-élasticité d o n t nous devons bien dire u n m o t . 11 est basé sur des « modèles rhéologiques » où l ' o n représente une déformation élastique par celle d ' u n ressort, une déformation visqueuse par celle d ' u n p i s t o n se déplaçant dans un cylindre fermé entièrement plein d ' h u i l e . U n e équation d u type (12) s'obtiendra en disposant u n ressort et u n cylindre en série ( F i g . 10a). Les rhéologues disent alors q u ' o n a affaire à un corps de Maxwell. E n disposant ressort et piston en parallèle ( F i g . \0b) o n aura u n corps de Voigt ( o u de L o r d
(°)
(c)
(b)
•^1
ίμζ
-",3
T F I G . 10. — Schémas rhéologiques
unidimensionnels.
a) Corps de Maxwell ; h) Corps de Voigt ; c) Modèle mixte.
MÉCANIQUE
24
DES
SOLIDES
: BASES
PHYSIQUES
Kelvin) présentant de l'élasticité retardée, et obéissant à une équation d u type d =
l2j^
1 +
- ^ - «..X
·
(20)
Enfin une équation d u type (19) s'obtiendra avec le système représenté figure 10c, envisagé par Zener et autres et appelé corps linéaire standard, ou corps visco-élastique linéaire. En réalité, ces définitions ne concernent que le problème unidimensionnel, seul abordé dans les exposés élémentaires. L o r s q u ' o n aborde le problème tridimensionnel i l y a u n couplage entre les déformations dans les trois d i m e n sions si bien que, comme o n l'a v u , u n même matériau peut p a r exemple se c o m p o r t e r comme u n corps de M a x w e l l p o u r les ondes transversales et c o m m e un corps linéaire standard p o u r les ondes longitudinales. 3.3. — Cas où la dissipation d'énergie est faible; définition de Q. — Les sismo logues o n t pris l'habitude de définir le degré de perfection élastique d ' u n m i l i e u par un « facteur de qualité » Q, ou plutôt par des facteurs de qualité, chacun d'eux étant ot>tenu par l'observation, dans ce milieu, d'un phénomène sinusoïdal faiblement amorti. Si dans un tel phénomène, une petite f r a c t i o n (5(^ de l'énergie mise en j e u est convertie en chaleur pendant une pseudo-période, o n posera : (21)
ÔW/W=2nlQ d'où Q ρ
2π.
Considérons A exp(— nt) sin varie comme le par exp(4 πη/ω) t i o n propre est
d'abord une oscillation propre faiblement amortie ùjt d ' u n corps isolé (la Terre). Si o n suppose que l'énergie carré de l ' a m p l i t u d e , elle est multipUée au b o u t d'une période ^ 1 — (4 πη/ω) d'où Q = ω/2 n. E n particulier, si l'oscilla p r o d u i t e par u n système résonnant : d" '
d
di^
di
on aura : ω = ωο( 1 - tn^y^\
n = nm^,
d'où
Q x \m .
(22)
Le lecteur pourra traiter le cas d'une oscillation forcée z ^ exp(ifu/), y = R exp(if(ji -) Ίψ). La courbe de résonance donnant R- en fonction de (Oo a u n m a x i m u m pour M « COO ; ou 2 m correspond à Δω/ωο, Δ ο étant la largeur de la courbe à hauteur de demi-puissance. Q I correspond aussi à la pente initiale (fu petit) de la courbe de phase. Cela montre l'ana logie entre le facteur de qualité et le « coefficient de surtension » Q d ' u n circuit électrique. Mais cette analogie peut être trompeuse, car le coefficient de surtension dépend exclusivement du circuit, alors que la définition par les oscillations propres permet d'envisager que Q dépende de la pulsation correspondante.
CORPS
ÉLASTIQUES
ET
VISCO-ÉLASTIQUES
25
Considérons maintenant, dans u n milieu illimité une onde plane exp(—αχ) exp i ( / x — d o n t l ' a m p l i t u d e d i m i n u e lentement lorsqu'elle avance. A u bout d'une période 2 π/ω, .\: a augmenté d'une longueur d'onde λ = 2π/f. D ' u n cycle au suivant, l'énergie contenue dans u n v o l u m e mobile avec les ondes, supposée toujours p r o p o r t i o n n e l l e au carré de l ' a m p l i t u d e , est multipliée par exp(— 2 aÂ) » 1 — 2αλ, d'où Q
π/αλ
=fl2oc.
(23)
Cette expression ne doit pas être employée sans précautions (Chap. 12) pour les ondes présentant une dispersion p r o p r e (en dehors de la dispersion qui accompagne toujours une propagation en m i l i e u absorbant, mais q u ' o n peut négliger si l'absorption est faible). A la suite d'expériences encore insuffisantes faites sur des roches à diverses fréquences, on admet souvent avec KnopofF que Q est indépendant de ω , aussi bien correspondant aux ondes longitudinales que Qg correspondant aux ondes transversales. C'est dire que α est p r o p o r t i o n n e l à / (ou à ω puis qu'on néglige la dispersion). Cette propriété est purement empirique ; o n démontre qu'elle ne peut être rigoureusement satisfaite par aucun m i l i e u linéaire (voir par exemple F u t t e r m a n , 1962). Pour apprécier la portée des hypothèses sur la faiblesse de la dissipation, le lecteur pourra chercher la réponse à une contrainte sinusoïdale σ — exp(iioO pour un milieu visco-élastique, dans lequel la déformation s est liée à τ par une équation analogue à (19) : (24) { et σ sont des valeurs en un point (σ peut provenir de forces extérieures imposées o u de l'inertie propre du milieu). E' (module œdométrique) est le module élastique pour des varia tions rapides. Pour des déformations lentes : σίε κ E' T\lTi. Le même milieu transmet a) des ondes transversales amorties. Le lecteur obtiendra l'équa tion dont dépend le déplacement x en partant de l'équation (14) où « = dXi'èx et de la l o i d'inertie 'àal'àx --= ρ d'^Xjdt-, b) des ondes longitudinales dans lesquelles l'équation (24) remplace l'équation (14). Les ondes obtenues par intégration sont douées de dispersion. Si l'absorption est faible, Qp peut être beaucoup plus faible que Qs, pour une même valeur de ω, sans qu'il soit nécessaire d'invoquer des films liquides q u i absorberaient les ondes transver sales. Disons tout de suite que l'atténuation des ondes sismiques est bien plus complexe que ne le laisse prévoir ce modèle, car elle met en j e u plusieurs mécanismes à l'échelle micro scopique (§ 5.8).
Revenons au cas général des faibles dissipations. Sans avoir à préciser complètement la l o i rhéologique, o n peut, avec A n d e r s o n et A r c h a m b e a u (1964), admettre qu'elle corresponde au remplacement des constantes élas tiques k, μ et même de la masse spécifique ρ (bien que l'interprétation soit i c i difficile) par des quantités complexes voisines k - l - ïk', μ - f ίμ', ρ -I- i p ' ; k', μ', p' peuvent éventuellement être fonctions de la période, mais, comme ils sont petits, une méthode de p e r t u r b a t i o n f o u r n i r a la s o l u t i o n d ' u n problème
26
MÉCANIQUE
DES SOLIDES
: BASES
PHYSIQUES
avec dissipation l o r s q u ' o n connaîtra la s o l u t i o n d u problème élastique corres pondant. Prenons le cas le plus simple, en général suffisant, où n i la compressibilité ni l'inertie ne sont perturbées et b o r n o n s - n o u s aux ondes en m i l i e u homogène. Dans l'expression
fx — mt de la phase d'une onde 5 (§ 3 . 1 ) , / = ω(μ//;)~'/"
varie de
lorsque μ
varie de ομ = Ίμ'.
D e l'expression
Qs =
(23) où a = iôf o n t i r e
(25)
• μ
P o u r une onde Ρ :
2
3μ
3
k + 4/3 μ
_
_
2 μν'
3
d'où la r e l a t i o n : 2 ^ = 1 ^ ^ ^ Qs
4 M^^
3(1 2(1 -
A 2 v)
,
3 2
3.4. — Autres comportements rhéologiques linéaires. — 1 " On peut admettre au départ un modèle de Voigt, c'est-à-dire admettre que la contrainte totale, pour une déformation donnée variant au cours d u temps est la somme d'une contrainte élastique et d'une contrainte visqueuse. O n trouvera alors, même pour les cisaillements, une élasticité retardée. Jl est assez difficile d'imaginer le processus microscopique q u i donnerait u n tel compor tement à l'échelle macroscopique. O n pourrait songer à un corps élastique poreux imprégné d ' u n fluide visqueux, mais en réalité le déplacement d u fluide visqueux dépendrait alors des gradients des contraintes : o n n'aurait pas une loi rhéologique, l o i où ne doivent figurer que les contraintes et déplacements infinitésimaux en u n point donné. 2" I l peut exister une viscosité en volume, c'est-à-dire que la relation σο = 3 & peut être remplacée : a) Soit par une relation d u type Voigt σ„ - 3(Cê + Ke).
(27)
Il y aura alors absorption d'énergie lors des pulsations radiales d'une sphère, comme le veut le second principe de la thermodynamique. Une telle viscosité a été mesurée pour des liquides o u des gaz. h) Soit par une relation d u type Maxwell 3 è = (ffJK)
+ (σοΙζ) .
(28)
CORPS
ÉLASTIQUES
ET
27
VISCO-ÉLASTIQUES
Il y aura alors une variation progressive de densité au cours d u temps, à pression hydro statique constante. Une diminution progressive a été trouvée pour l'asphalte, une augmen tation progressive pour le béton. C'est aussi le cas lorsqu'il se produit dans le matériau un changement de phase réversible. Le lecteur peut se reporter à M . Reincr (dans Fliigge, 1958, pp. 481-484). .1" Visco-élasliciié généralisée (Corps Bollzmannien). O n d i t qu'on a affaire à un corps Boitzmannicn quand déformation et contrainte sont lices par une équation différentielle linéaire. Les quatre cas considérés dans 3.2, formulations unidimensionnelles d ' u n corps de Maxwell tridimensionnel pour différentes conditions aux limites, en sont des cas parti culiers. Mais on peut envisager un corps Boltzmannien tridimensionnel. Nous renvoyons le lecteur à Persoz (i960) pour cette étude. Disons seulement q u ' o n part de deux fonctions/(/) et /·(/) susceptibles d'être déterminées expérimentalement. Nous appel lerons γ la déformation et τ la contrainte, sans préciser les indices. Si à partir de l'instant ? — 0, o n applique une contrainte constante r, la déformation sera : 7(0 -
Tf(t).
f (t) est \a fonction de fluage. Si τ varie au cours du temps : -/{/) = τ ( 0 ) / ( / ) - ·
f(t^t)T(f)af
(29)
.
' 0
En intégrant par parties puis posant / — t' 7(t)
τ(1
at
u, o n aboutit à :
— u) f(u)
Si au contraire à partir de l'instant / -- 0 on maintient une déformation la contrainte diminuera selon une l o i r(0 rd) est \a fonclion
de relaxation.
Si
(30)
du .
constante
7r(t).
(31)
varie au cours d u temps o n trouve de même : d
^('^ - dr
;·(/ — u) r(u) du .
(32)
On démontre que les transtormées de Carson (*) des fonctions de fluage et de relaxation sont inverses l'une de l'autre. O n démontre aussi que pour un corps Boltzmannien, en appli quant la transformation de Carson aux contraintes, aux déformations et aux modules élas tiques (pd), et /.(/), KU) ou £•(/)) les relations entre les transformées sont analogues à celles existant entre contraintes, déformations et modules dans un corps élastique. 3.5. — Rhéologie non linéaire. — Les milieux cristallisés, o u amorphes mais très visqueux, sont assez rarement Boitzmanniens. O n peut évidemment dans tous les cas chercher à déter miner une fonction de fluage et une fonction de relaxation. Raisonnons sur la première.
(*) On dit que F(p) est la transformée de Carson de/(/) si : F(p)
^-p
\
e
"'f(t)dt.
MÉCANIQUE
28
DES SOLIDES
: BASES
PHYSIQUES
Si à partir de l'instant ί ^ 0 o n applique une contrainte constante τ, la déformation n'est pas de la forme τ/(/) ; sa valeur au bout d ' u n temps t n'est pas proportionnelle à τ (elle croît en général beaucoup plus vite que τ). Autrement d i t , la fonction de fluage trouvée dépend de τ. D e plus, alors que pour u n corps Boltzmannicn la fonction de fluage, solution d'une équation différentielle linéaire à second membre constant, est une somme de termes de la forme /" c~*' (n o u k pouvant être nuls), p o u r u n corps réel, i l peut en être autrement. A i n s i par exemple, nous verrons q u ' i l existe u n type de fluage, le fluage a, pour lequel f(t) = A(x) log ( 1 -I- ht). O n peut évidemment dire qu'il y a alors u n spectre infini de temps de retard T, défini par ,„ T. fit)
-
I
J{T)e
(33)
'η·άΤ
J 0
mais les temps de retard ainsi introduits ne correspondent à aucun mécanisme physique. Négligeons l'élasticité et bornons-nous au fluage d ' u n m i l i e u approximativement incompres sible. Nous avons déjà examiné le cas des corps plastiques de Bingham et de G l e n , où l ' o n peut définir une viscosité // = ry/yy, mais q u i , a u lieu d'être une constante est une fonction d u deuxième invariant d u déviateur des contraintes, c'est-à-dire d'une forme quadratique des contraintes. O n pourrait aussi supposer qu'elle est fonction d u troisième invariant d u déviateur des contraintes (ce q u i n'introduirait aucune modification dans les problèmes plans étudiés, ce troisième invariant étant alors n u l ) . Signalons aussi ici que la relation entre les tenseurs r i ; et £y peut ne pas être linéaire, mais d ' u n ordre plus élevé. Par exemple o n peut expliquer l'eiïet Weissenberg que présentent des fluides organiques (tel le lait condensé) en admettant : T'ij = 2 iiÎij 4- 4 //c ^ Bik Ekj. k
(34)
4. — MÉCANISMES ÉLÉMENTAIRES D U F L U A G E 4.1.
— Fluage cassant. — L a charge de r u p t u r e de n o m b r e u x corps cassants
(basalte, verres silicates, céramiques) dépend d u temps d ' a p p l i c a t i o n c o n t r a i n t e , /. Ce phénomène est appelé fatigue
statique.
de l a
De nombreux travaux,
rapportés dans C r u d e n (1970) o n t montré que la charge de r u p t u r e v a r i a i t à peu près c o m m e l'inverse d u temps d ' a p p l i c a t i o n de la c o n t r a i n t e ^-0,8 ^ ^-1,2
(comme
général).
Le phénomène d i m i n u e l o r s q u ' o n opère dans le vide. I l est plus prononcé dans une ambiance h u m i d e o u riche en C O 2 . Dans le cas d ' u n verre à vitres, l'étude de l'influence de la température c o n d u i t à l a même énergie d ' a c t i v a t i o n que p o u r l a d i f f u s i o n des atomes de s o d i u m dans le verre. Ces faits a p p u i e n t l'hypothèse que l a fatigue statique est due à l ' a u g m e n t a t i o n de l a l o n g u e u r des microlissures responsables de l a f r a c t u r e
(cf
Chap.
3) p a r c o r r o s i o n . Cette
c o r r o s i o n d o i t être très accélérée aux extrémités d ' u n e microfissure p a r suite de l a c o n c e n t r a t i o n des contraintes en ce p o i n t . A u f u r et à mesure que des microfissures
atteignent
une certaine
longueur
critique
(fonction
de
la
c o n t r a i n t e ) , elles se t r a n s f o r m e n t brusquement en fissures traversant t o u t un grain.
MÉCANISMES
ÉLÉMENTAIRES
DU
FLUAGE
29
Une théorie due à Charles permet de lier l'abaissement de la charge de r u p ture au cours d u temps à la croissance de la longueur L des microfissures. O n en déduit, σ étant la contrainte : d L / d i = Ca"
(1)
oi;i c est une constante et η = 16 à 19. La fissuration d ' u n grain s'accompagne d'une petite déformation finie de l'ensemble de l'échantillon. L a fatigue statique provoque donc une déforma tion anélastique £, d o n t la vitesse décroît avec le temps : c'est le fluage cassant. La théorie faite par Cruden c o n d u i t à ε « Pour un grès « *
α -h Ca" log t .
(2)
I et p o u r un marbre η % 2.
C'est ce fluage cassant que l ' o n observe dans les expériences de laboratoire sur des roches, lorsque la température et la pression moyenne sont t r o p basses. 4.2. — Glissements sur les joints de grain. — O n supposait autrefois que dans un polycristal il y avait entre deux cristaux voisins (au j o i n t des grains) une couche désordonnée pseudo-liquide. Les observations au microscope élec tronique ont montré q u ' i l n'en était rien : la couche perturbée a une épaisseur de deux ou trois dislances interatomiques seulement. Toutefois Kê et autres o n t montré que des glissements de faible a m p l i t u d e pouvaient avoir lieu sur les j o i n t s de g r a i n . Ils facihtent la déformation de l'échantillon lorsque les grains se déforment ( o u se brisent), les déformations des divers grains étant en général géométriquement incompatibles. Les glis sements sur les j o i n t s de grain par eux seuls peuvent expliquer en partie l ' a m o r tissement des ondes élastiques. Pour l'expliquer quantitativement, i l faut considérer les inclusions q u i s'accumulent aux j o i n t s de grains (la recristalli sation facilitant cette ségrégation). A u voisinage d u p o i n t de fusion d ' u n corps p u r , la présence d'impuretés abaissant le point de fusion, celui-ci est d ' a b o r d atteint sur l é s a n t s de grain. La couche perturbée devient p a r endroits u n vrai film liquide, et l'amortisse ment des ondes élastiques de cisaillement devient i m p o r t a n t . 4.3. — Fluage par migration de lacunes de Herring-Nabarro. — L ) n cristal renferme des défauts ponctuels tels qu'atomes en excédent (atomes intersti tiels) ou au contraire absence d'atomes en certains sites d u réseau (lacunes, en anglais : vacancies). Au-dessus de 0,5 Tj (Tj- étant la température de fusion) les quantums d'agitation t h e r m i q u e sufliisent à créer et déplacer au hasard les défauts q u i sont ainsi en équilibre thermique avec le cristal. Différents faits expérimentaux ( c f Friedel, 1964, p. 85 et suiv.) p r o u v e n t que la mobilité des atomes dans le cristal (leur self-dijj'usion) est effectivement due à la m i g r a t i o n des lacunes, celles-ci p o u v a n t atteindre une densité c de 10""*.
30
MÉCANIQUE
DES
SOLIDES
: BASES
PHYSIQUES
O n peut lier c à l'énergie d ' u n défaut U de la façon suivante. L'énergie libre par unité de volume due à la présence des défauts est cU — TS, en appelant 5 l'entropie qu'introduisent les défauts, soit selon une formule classique pour un mélange de deux phases : S = k[c log c ^ (\ ~ c) log (1 — (·)]
(3)
k étant la constante de Boltzmann (1,380 > 10 2-' J/deg). L'énergie libre doit être minimale, ce q u i se produit lorsque Î - _ ^ ^ c « e ' W .
(4)
Considérons maintenant une contrainte de cisaillement p u r appliquée à u n grain. Pour simplifier, supposons au départ le grain cubique, d'arête L, avec une compression - f σ a p p l i quée sur deux faces parallèles et — σ sur deux autres (Fig. 11). Si est le volume d'une lacune, son apparition modifie l'énergie U de ± ah\ 11 s'ensuit donc un gradient moyen de U: grad i / - 2 σ * ν < · ί . )
(5)
( L ) désignant une valeur moyenne d u trajet d'une face étirée à une face comprimée. Notons qu'il y a simultanément un gradient de la concentration c, car d'après (4) : — 0,
grad
grad U .
(6)
U n gradient de l'énergie d ' u n défaut signifie qu'une force F - - — grad U s'exerce sur ce défaut. Ces forces provoquent un déplacement d'ensemble des lacunes, se superposant à leur mouvement brownien, ce q u i équivaut à un flux de matière en sens inverse. Selon un calcul très général d'Einstein, le flux à travers une section unité vaut, D étant le coefl^icient de selfdiffusion : φ ^ — DFjkT
Ι + σ-
= D(grad U)lkT.
(7)
Ici, compte tenu de (5) :
FlG. 11. — Fluage par le processus d' Herring-Nabarro.
φ = 2 Dab^lkT
{ l/j .
(8)
Ce flux de matière provoque une déformation d u cristal. (Si toutes les lacunes allaient émerger sur les faces comprimées, le cristal diminuerait de volume, mais i l s'en forme continuellement sur les faces étirées). O n trouve ainsi une vitesse de déformation proportionnelle à la contrainte σ : Ê=
φΙ{Ε)
aDab^kTL^
(9)
en posant α = 2L^I{ L y. Ce coefficient vaut environ 25 pour un grain isodiamétrique, mais l'aplatissement d u cristal le fait diminuer. La déformation des grains est limitée par une recristallisation, et u n état de régime s'établit. C'est le fluage de Herring-Nabano, gouverné par l'équation (9) et donc de type visqueux Newtonien. A la température ambiante, ce fluage n'a pu être observé qu'avec des grains extrêmement fins. Mais i l n'en serait plus de même au voisinage immédiat d u point de fusion (cf. § 5.7).
MÉCANISMES
ÉLÉMENTAIRES
DU
FLUAGE
31
4.4. — Fluage par glissements intracristallins et seuil de plasticité. — Fluage cassant, glissement sur les j o i n t s de grain ou fluage de H e r r i n g - N a b a r r o per mettent une certaine déformation anélastique sous de très faibles contraintes, avant que le seuil de plasticité soit atteint. Dès que les contraintes deviennent plus importantes apparaissent des défor mations plastiques intracristallines, par mâclage ou par glissement sur des plans cristallographiques. L ' u n et l'autre sont possibles bien que les contraintes soient encore extrêmement faibles devant les forces de cohésion interatomiques parce que dans t o u t cristal existent des défauts linéaires susceptibles de se mouvoir, les dislocations, d o n t nous parlerons plus l o i n . Le mâclage est peu courant. O n l'observe dans la calcite, le diopside (Raleigh et Talbot, 1967), l'étain (le mâclage brusque y produit le « cri » caractéristique). Les glissements intracristallins se produisent simultanément sur des paquets de plans atomiques parallèles et voisins, en formant une zone très mince très cisaillée, une sorte de microfaillc (mais sans perte de cohésion). Bien que son épaisseur soit inférieure à 0,01 μ, la « marche d'escalier » qu'elle provoque à la limite d u cristal est visible au microscope sous forme d'une ligne sombre, la bande de glissement (slip band). U n cristal se déforme ainsi comme un paquet de cartes à jouer, chaque « carte » entre deux bandes de glissement ayant (pour fixer les idées) I μ d'épaisseur, à un facteur 100 près. Mais pour qu'un polycristal se déforme de la façon la plus générale, i l faut q u ' i l y ait 5 degrés de liberté (le tenseur de déformation a 6 paramètres liés par 1 relation, celle d'in compressibilité). Il faut donc qu'existent 5 plans de glissements indépendants, et cela ne se produit qu'au-dessus d'une certaine température et pour des contraintes suffisantes. C'est là, l'origine du seuil de plasticité macroscopique. Ainsi dans le cas de l'olivine jouent successi vement, pour des températures croissantes, le plan (100) dans la direction [001], puis les trois plans (110) dans la direction [001], enfin vers I 000 " C le plan (010) dans la direction [100] (Raleigh, 1968). Lorsque le nombre de plans de glissement par cristal est insuffisant, seuls des glissements sur joint de grain et des microfractures rendent les déformations des différents cristaux compatibles.
De toute façon, tous les cristaux d ' u n échantillon n'atteignent pas s i m u l tanément leur limite plastique. 11 apparaît des couches déformées, grossièrement parallèles, qui croissent avec la contrainte jusqu'à envahir t o u t l'échantillon. De ce fait, le seuil de plasticité n'est en général pit*-bien défini. Ces couches plastiques, d o n t l'épaisseur cette fois est de l ' o r d r e d u m i l l i mètre, peuvent être de deux types : — parallèles aux plans de glissement. Les pétrographes les appellent alors parfois des « f a i l l e s » (improprement, car i l n'y a pas perte
i P b n de glissement
de cohésion), et les métallurgistes des bandes de
^Jk ^-«>yi\^^^
Liiders (les bandes sont plus exactement les l i m i tes des lamelles à la surface de l'échantillon. S'il s'agit d'un métal oxydé, on y voit sauter l'oxyde), — à peu près perpendiculaires aux plans de X
,
^ .
,
,
Γ
glissement. O n a alors affaire a des pliages en genou. A la surface de l'échantillon, les couches
.
\^^^ΜΙ>\/Ί
^
f^'G-
...
,
\Uirectioride g'"*-"^'"""*
„,.
— Pliage en genou et ,,ι,,^ band. D'après R A L E I G H ,
1968.
32
MÉCANIQUE
DES SOUDES
: BASES
PHYSIQUES
ainsi pliées f o r m e n t des kink hands ( F i g . 12). Ces pliages en genou survien nent lorsque le glissement sur les plans de glissement se bloque dans une certaine région (Christie et al., 1964). Signalons enfin que les bandes de glissement peuvent ne pas émerger à la surface d ' u n cristal, f o r m a n t une lamelle de déformation, visible par la biré fringence q u i en résulte (Christie et al., 1964 ; Raleigh, 1968). 4.5. — Quelques mots sur les dislocations. — E n plus des défauts ponctuels en équilibre thermique, u n cristal présente des défauts linéaires hors d'équi libre thermique appelés dislocations. Leurs propriétés sont exposées en détail dans Weertman et Weertman (1970) et les processus où elles interviennent dans Friedel (1964). O n caractérise une dislocation par son vecteur de Burgers b ( F i g . 13, 14). 11 est perpendiculaire à la ligne de dislocation l o r s q u ' i l s'agit d'une dislocation coin, parallèle p o u r les dislocations vis. En général, une dislocation a une c o m p o sante coin et une composante vis.
L o r s q u ' i l n ' y a n i lacunes, n i atomes interstitiels, une dislocation ne peut pas se terminer dans le cristal. I l ne peut apparaître à l'intérieur d u cristal que
MÉCANISMES
ÉLÉMENTAIRES
DU
FLUAGE
33
des couples de dislocations coins o u des couples de dislocation vis ayant des vecteurs de Burgers opposés. 11 peut aussi apparaître une dislocation fermée sur elle-même ou boucle. Schématiquement o n peut la représenter comme deux dislocations coins parallèles reliées par deux dislocations vis, mais en réalité la boucle tend à prendre une forme circulaire. Elle tendrait aussi à se refermer et à s'annihiler, en l'absence de contraintes et si elle était isolée. M a i s en réalité, il y a des millions de dislocations traversant u n c m ^ de cristal. Elles y f o r m e n t une sorte de toile d'araignée, de réseau, et aboutissent perpendiculairement sur les faces libres. ( L ' o n peut v o i r les points d'arrivée au microscope électronique après légère attaque de la surface.) Les glissements entre plans cristallins sous l'effet de contraintes relativement faibles s'expliquent par la mobilité des dislocations situées dans le p l a n de glissement (Fig. 15). Si une boucle a u n segment dans ce plan de glissement.
FJG. 15. — Glissement ment de dislocation coin.
produit par le mouve D'après W E E R T M A N et
WEERTMAN, 1 9 7 0 .
lui seul sera mobile. Ce segment se distendra, en restant épingle à ses deux extrémités, jusqu'à se détacher sous forme d'une boucle a u t o n o m e , située entièrement dans le plan de glissement ( F i g . 16). L a boucle initiale peut indé finiment émettre des boucles. O n l'appelle source de Frank-Read. Utie variante en est la source représentée figure 17 : grâce à deux crans (jogs) i V e boucle située dans un plan de glissement est venue émerger dans u n autre p l a n de glissement, où elle constitue une source. O n d i t q u ' i l y a m u l t i p l i c a t i o n des boucles par déviation (cross-slip).
F I G . 1 6 . — Source de Frank-Read. Les dislocations vis AB et CD sont fixes, la dislocation coin BC se transforme en une boucle sous l'efTet de la scission τ, en passant par les configurations 1 , 2, 3 , 4 .
34
MÉCANIQUE
DES SOLIDES
: BASES
PHYSIQUES
F I O . 17. — Déviation (cross-slip) d'une boucle de dislocation. Son segment vis AB se déplace en CD et donne naissance à des boucles dans un plan de glissement parallèle, sous l'effet de la cission τ.
Grâce aux sources, la densité de dislocations se m u l t i p l i e énormément dans un cristal soumis à une contrainte σ. L'expérience m o n t r e que la distance moyenne entre deux dislocations est : (12)
d = Hh/fh
μ étant la rigidité d u cristal, b la longueur d u vecteur de Burgers, β un facteur sans dimension de l ' o r d r e de l'unité. Grâce à une a b s o r p t i o n o u une émission de lacunes, une dislocation c o i n peut migrer en bloc dans la d i r e c t i o n perpendiculaire à elle-même et au vecteur de Burgers ( F i g . 18). O n appelle ce phénomène montée (climb).
F I G . 18. — Montée d'une dislocation par capture d'une lacune {représentée par un carré). MAN,
D'après W E E R T M A N et W E E R T -
1970.
Une estimation de la vitesse de montée est facile en admettant que l'énergie U d'une lacune vaut — σ6-' à la distance h de la dislocation et 0 à une distance R. Le flux total de lacunes à travers une section unité est toujours donné par (7). En état de régime, le flux centripète total par unité de longueur de dislocation, Φ — 2πrφ, doit être indépendant de la distance r à la dislocation. Donc r grad U — /· d f / d r est constant et, avec les valeurs aux limites admises : (y - — σhi log (Rlr)l\oë (Rjb) .
(13)
D'où le flux Φ. Le nombre de lacunes atteignant la dislocation par unité de longueur et de temps est ¢/6-', et chacune fait monter la dislocation de b sur une longueur h. La vitesse de montée est donc : V
- (Φ/63) • b'-
Φ/Λ - 2 nDab^kTiogiRlb)
.
(14)
O n démontre que les dislocations coins parallèles, ayant leurs vecteurs de Burgers parallèles se repoussent lorsqu'elles sont dans le même plan de glisse ment, s'attirent lorsqu'elles sont côte à côte, dans des plans de glissement distincts. De ce fait, des plans de glissement t r o p riches en dislocations coins de même signe, et de ce fait incurvés, ne sont pas stables. Avec le temps, ils se polygoniseront, grâce à une montée des dislocations.
MÉCANISMES
ÉLÉMENTAIRES
DU
FLUAGE
35
Le cristal est alors divisé en sous-grains, d o n t le diamètre L est égal à un certain nombre de fois la distance initiale entre dislocations d donnée par (12). On trouve expérimentalement L = LoP/a avec LQ % 0,05 m i c r o n . Les limites des sous-grains sont appelés sous-Joints grain, en anglais tilt boundaries.
(15) de
4.6. — Fluage par diffusion dans les sous-grains et fluage de Nabarro. — Si les sous-joints de grain sont des sources et puits de lacunes, la valeur L de l'équation (15) d o i t remplacer la taille L d u g r a i n dans la l o i de H e r r i n g Nabarro (éq. (9)). O n trouve alors une vitesse de fluage ε p r o p o r t i o n n e l l e à σ ' . Nabarro de son côté avait considéré le cas où chaque j o i n t de g r a i n ne ren ferme qu'une dislocation c o i n , alternativement dans un sens et en sens contraire. La vitesse de fluage est alors contrôlée par la vitesse de montée des disloca tions (éq. (14)), et vaut :
=
06)
Ρ étant la densité des dislocations par unité d'aire, égale à 1/d^, où d est donné par l'équation (12). ρ est donc p r o p o r t i o n n e l à σ', tandis que K est p r o p o r t i o n nel à σ (éq. (14)). O n t r o u v e encore une l o i en σ'. 4.7. — Théories du fluage par glissements intracristallins. — I l existe un grand nombre de modèles de glissement et de théories différentes, d o n t certaines doivent être valables dans certains cas, mais d o n t aucune n'est prouvée par des observations directes de dislocations en mouvement. (Cette observation est possible depuis quelques années, en particulier par diffraction de rayons X ) . On peut les diviser en deux groupes : a) C'est la vitesse de déplacement des dislocations dans le plan de glissement qui contrôle le fluage. Les dislocations peuvent devoir, p o u r se déplacer, entraîner un nuage d'impuretés (nuage de C o t t r e l l ) . U n autre processus de freinage a été signalé par Eshelby et Schoeck. Dans tous les cas, la vitesse υ des dislocations est p r o p o r t i o n n e l l e à la c o n t r a i n t e appliquée σ. L a distance moyenne des dislocations dans le plan de glissement est d, donné par l'équation (12), et la distance entre plans de glissement est aussi d. L a vitesse de fluage observée est :
έ = y';
(17)
a y étant un facteur numérique de l'ordre de l'unité. O n trouve donc dans tous
36
MÉCANIQUE
DES SOUDES
: BASES
PHYSIQUES
les cas une vitesse de fluage p r o p o r t i o n n e l l e à σ^. O r rexpérience donne le plus souvent u n fluage de la f o r m e
(18) C, Uetm
étant des constantes, avec m > 3. Ces théories sont donc insuffisantes.
h) Au cours tacles,
de leur mouvement,
les dislocations
s'empilent
contre
des obs
et c'est la vitesse à laquelle elles peuvent s'échapper de « l ' e m b o u
teillage » q u i c o m m a n d e le
fluage.
L ' e m p i l e m e n t p o u r r a i t se faire contre des j o i n t s de g r a i n . Selon
Friedel
(1964, p. 315), si elles s'échappent alors par diffusion le l o n g des j o i n t s de g r a i n , cela c o n d u i t à m = 2. L ' e m p i l e m e n t p o u r r a i t se faire au sein des grains, contre des barrières de C o t t r e l l (groupe spécial de dislocations q u i peut s'installer de façon stable à l'intersection de plans de glissement diflFérents). Cela c o n d u i t km = 4 (Friedel, 1964, p. 279 et 315). Selon une théorie de W e e r t m a n (1968), i l y a u r a i t dans le cristal une densité en sources de dislocations indépendante de σ. Les boucles de dislocations de signe opposé existant dans deux plans de glissement voisins, lorsqu'elles auraient atteint une taille suffisante p o u r être face à face, se détruiraient m u t u e l l e m e n t à la suite d'une montée. Ce modèle le c o n d u i t à une l o i - a w c m = 4,5 et même, en faisant i n t e r v e n i r une c o n c e n t r a t i o n locale des contraintes, à une valeur supérieure. Bien que cette théorie de W e e r t m a n donne enfin u n exposant élevé, o n ne peut la considérer c o m m e définitive. N o u s verrons que dans le fluage permanent, les processus de recristallisation, ignorés par ces théories, sont f o n d a m e n t a u x .
s. — A N É L A S T I C Ï T É E T
FLUAGE
DES M A T É R I A U X
POLYCRISTALLINS
E T P L U S S P É C I A L E M E N T DES R O C H E S
5 . 7 . — Influence de la pression « hydrostatique » (pression moyenne)
sur le
seuil de plasticité. — De quelle f o n c t i o n des contraintes principales dépend exactement le seuil de plasticité ? Pour tenir compte de la pression moyenne, en 1900 M o h r généralisa le critère de Tresca en a d m e t t a n t que, p o u r q u ' a p p a raisse la plasticité, le g r a n d demi-cercle de M o h r , de r a y o n T„ = {σ^, — σι)/2, ne devait pas être tangent à la d r o i t e T = τ^, mais à une courbe TiN) intrinsèque).
Confondant
plasticité et r u p t u r e
(courbe
(une déformation plastique
prolongée se termine en général par la fracture de l'échantillon), confusion que souligne le terme anglais defailure
donné indistinctement aux deux phéno
mènes, o n donne à la courbe intrinsèque l'allure représentée figure 19, déduite de considérations sur la r u p t u r e de corps cassants ( c f C h a p . 3). L a plasticité apparaît lorsque le g r a n d cercle de M o h r touche la courbe intrinsèque.
FLUAGE
DES MATÉRIAUX
37
POLYCRISTALLINS
T
\
-Ν
Fie. 19. — Courbe intrinsèque donnant le seuil de plasticité, selon le critère de Mohr.
De fait, les expériences sur des métaux m o n t r e n t que l ' o r i e n t a t i o n des premières bandes de Liiders (§ 4 . 4 ) est bien celle q u i a p o u r image ce p o i n t de tangence avec la courbe intrinsèque. Elles s'écartent un peu de la d i r e c t i o n de cisaillement m a x i m a l , en se r a p p r o c h a n t de l'axe p r i n c i p a l d'allongement (Nadai, 1950). Mais, p o u r les métaux comme p o u r les roches ( M o g i ,
1971),
il est aujourd'hui prouvé que les variables q u i interviennent sont en réalité la cission efficace τ et la pression moyenne ρ = — σ^. Ce n'est que l o r s q u ' o n considère des états de c o n t r a i n t e ayant le même r a p p o r t (σ1Γ~ <^2)l{<^\ ~ ^s)^ par exemple seulement des tractions uniaxiales, o u seulement des compressions uniaxiales, ou seulement des cisaillements purs, que le critère de M o h r reste valable. Les études concernant l'infîuence de la pression moyenne sur les glissements intracristallins ont été résumées par G o r d o n ( I 9 7 I ) . Dans les métaux et cristaux covalents,
l'augmentation
relative
de
contrainte
nécessaire p o u r o b t e n i r ,
lorsqu'on augmente p, la même vitesse de fluage, est très faible. Elle est égale ou inférieure à l ' a u g m e n t a t i o n relative des modules élastiques. Selon
Mogi
(1971), i l en est de même p o u r un calcaire compact à grain fin. Dans les cristaux ioniques par contre une forte pression moyenne
facilite certains processus
de glissement intracristallin et d i m i n u e donc la viscosité τ/y ( d ' e n v i r o n 15 % pour /7 = 4 kbars dans N a C l ) . 5.2. — Cas des métaux. — Dans presque tous les métaux, le seuil de plas ticité croît avec la déformation antérieurement subie par l'échantillon. C'est le phénomène à'écrouissage (anglais : work-hardening).
11 faut donc des contraintes
de plus en plus fortes p o u r accroître la déformation. Celle-ci devient indépen dante du temps d ' a p p l i c a t i o n d'une c o n t r a i n t e donnée (le fluage signalé plus haut étant négligé), mais c'est une f o n c t i o n croissante de la c o n t r a i n t e . L'écrouissage disparaît l o r s q u ' o n élève la température au-dessus d'une cer taine température de revenu,
égale en valeur absolue à e n v i r o n 0,6 fois celle
de fusion. (Cette température de revenu ne d o i t pas être confondue avec celle de recuit, plus élevée, q u i permet une recristallisation en l'absence de t o u t e
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MÉCANIQUE
DES
SOLIDES
: BASES
PHYSIQUES
déformation). A u p o i n t de vue microscopique, l'écrouissage s'explique par un blocage progressif de toutes les dislocations mobiles présentes, et le revenu par l ' a p p a r i t i o n des processus (montée o u autres) q u i libèrent ces dislocations. Au-dessus de la température de revenu, les métaux fluent. C'est le fluage par revenu où, avons-nous d i t , trois aspects successifs prédominent, les fluages p r i m a i r e , secondaire et tertiaire. Le fluage p r i m a i r e se r a l e n t i t au cours d u temps. A température relativement basse, la déformation (pas la vitesse de déformation) obéit à une l o i en L o g ( l + bt), t étant le temps d ' a p p l i c a t i o n de la contrainte, b une constante. C'est le fluage α étudié par Weaver en 1936. A u voisinage d u p o i n t de fusion, o n observe une l o i en C'est le fluage β signalé par A n d r a d e dès 1910. Le fluage secondaire, q u i s'effectue à vitesse constante, p r o v o q u e plus o u moins rapidement une recristallisation de l'échantillon en petits cristaux plus favorablement orientés p o u r la déformation. C'est la recristallisation paracinématique, à la suite de laquelle la vitesse de fluage croît. O n o b t i e n t alors le fluage tertiaire. Si l ' o n supprime la contrainte, certains cristWix o u germes cristallins se mettent à grossir aux dépens de leurs voisins. C'est la recristallisation post cinématique, q u i est très facilitée par un recuit. 5.3. — Cas de la glace. — L a glace est le seul corps bien étudié au voisinage d u p o i n t de fusion. Elle présente la propriété de ne pas s'écrouir (avec u n m o n o cristal, o n observe même u n phénomène inverse d'adoucissement au cours d u fluage), et de n'avoir q u ' u n e seule famille de plans de glissement actifs (en général) : ceux perpendiculaires à l'axe optique. Si o n p a r t d ' u n échantillon macroscopiquement isotrope o n observe d ' a b o r d un fluage transitoire obéissant à la l o i d ' A n d r a d e . Puis un fluage tertiaire, avec une texture remarquable et inexpliquée (axes optiques groupés en plusieurs m a x i m u m s ) fait son a p p a r i t i o n sans q u ' o n puisse observer à aucun m o m e n t un fluage secondaire à l'état p u r . Si o n p a r t d ' u n échantillon où les axes optiques sont parallèles, dans la direction facilitant au mieux la déformation ( q u i se fait par glissements intracristallins sur des plans perpendiculaires aux axes optiques), la recristallisation d i m i n u e la vitesse de fluage et l ' o n peut atteindre au b o u t de quelques semaines un fluage tertiaire à vitesse constante. L a texture à plusieurs m a x i m u m s est alors apparue. La recristallisation postcinématique ne fait qu'estomper cette texture, sans l'altérer qualitativement ( L l i b o u t r y , 1964, p p . 83-89 et 120-127 ; D u v a l , 1972). Le fluage permanent (secondaire, o b t e n u en retranchant u n fluage p r i m a i r e d o n t la l o i est déterminée au cours des premiers instants, pendant lesquels i l prédomine ; o u bien tertiaire) se fait à une vitesse p r o p o r t i o n n e l l e à τ^. L a pression moyenne n'a pas d'influence si la différence de température avec le p o i n t de fusion est maintenue fixe.
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DES MATÉRIAUX
POLYCRISTALLINS
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Dans les glaciers dits tempérés, entièrement au p o i n t de f u s i o n , τ est de l'ordre du bar et la viscosité τ/y de l ' o r d r e de quelques b a r s . a n (1 b a r . a n = 3,155 x 1 0 " poises = 3,155 x 10'^ S. I.). L'influence de la température sur y est analysée en ajustant une l o i en e x p ( - WjRT). En dessous de - 10 " C , W = 16,4 kcal/mole = 0,35 eV/proton (ce qui est justement l'énergie d ' a c t i v a t i o n mesurée par self-diffusion de tritiura), mais au voisinage d u p o i n t de fusion, d'autres processus spéciaux à la glace doublent cette valeur ( L l i b o u t r y , 1971). Enfin, pour de mêmes contraintes et à la même température, la vitesse d u fluage permanent tertiaire dépend de l'origine de la glace, les plus anciennes étant les plus fluides. Probablement des inclusions submicroscopiques suscep tibles de bloquer les dislocations ( N a y a r et al., 1971) sont peu à peu repoussées aux joints de grain à la faveur de la recristallisation continuelle q u i s'opère dans les glaciers. Si nous nous sommes étendus sur ces résultats, c'est parce q u ' i l s j e t t e n t une suspicion sur les valeurs de la viscosité q u ' o n p o u r r a tirer d'expériences de laboratoire, au cours desquelles une texture paracinématique stable n'est jamais atteinte et les cristaux n ' o n t pas eu le temps de s'auto-purifier. 5.4. — Comportement des roches à la température ambiante. Subdivisions de la Terre avec la profondeur. — A la température ambiante et sous des pres sions hydrostatiques inférieures à 3 kbar (1 k b a r = 10^ pascals = pression sous 10 k m d'eau) la microfissuration des roches j o u e u n rôle p r i m o r d i a l dans leur comportement. Ces microfissures, larges en général de moins d ' u n m i c r o n et longues de plusieurs millimètres s'entrecroisent dans tous les sens et d o n n e n t à la roche une certaine perméabilité. L'eau q u i y pénètre est retenue p a r capillarité et par adsorption. De ce fait certaines roches tendres, les marnes par exemple, gonflent en présence d'eau. Même sans eau, u n cisaillement imposé à la roche, en o u v r a n t les microfissures, fait augmenter son v o l u m e (phénomène de dilatance, c f Talobre, 1967). La compression uniaxiale d'une roche gonflée d'eau donne u n taux de défor mation anormalement élevé ( u n module d ' Y o u n g E plus faible) par suite de la fermeture des microfissures perpendiculaires à la compression. E n d i m i n u a n t la pression on trouve au début u n m o d u l e élastique plus f o r t , égal à celui p o u r le squelette solide ( M o r l i e r , 1968). Dès 1939 Griggs, p o u r éviter la r u p t u r e de l'échantillon et p o u v o i r observer un fluage à la température ambiante, opérait sous une pression hydrostatique de 10 kbars. 11 observait ainsi une l o i de fluage d u type « p r i m a i r e α » (sans que cela prouve que les processus atomiques soient les mêmes que dans les métaux). Toujours à la température ambiante, Riecker et Seifert (1964) o n t opéré avec des pressions lithostatiques jusqu'à 55 kbars. Sur des minéraux suscepdbles de former le manteau supérieur (olivine, enstatite, diopside, labradorite)
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ils o n t observé une déformation plastique p a r cataclase (c'est-à-dire fracture des cristaux), avec une cission c r i t i q u e k = f.p jusque vers A" = 11 à 12kbars ( / = 0,33 à 0,40 selon les roches). Ensuite k croît moins vite, en même temps qu'apparaissent les glissements intracristallins. L ' a p p l i c a t i o n à la Terre des résultats concernant les roches suppose une connaissance des régions profondes que nous acquérons progressivement mais que nous pouvons résumer ainsi. Sous la « croûte terrestre », séparé d'elle par la discontinuité de M o h o r o v i c i c q u i correspond sans doute à un changement de c o m p o s i t i o n , o n trouve le « manteau » de la Terre ; la structure d u manteau supérieur varie encore d'une région à l'autre, à p a r t i r de quelques centaines de kilomètres et jusqu'à 2 900 k m , où commence le n o y a u , le manteau semble avoir p a r t o u t les mêmes propriétés. A cette d i v i s i o n correspondant à. la nature c h i m i q u e des m i l i e u x se super pose une d i v i s i o n de nature physique : la « lithosphère », couche superficielle c o m p r e n a n t la croûte et une partie d u manteau jusque vers 70 à 100 k m de p r o f o n d e u r , peut être considérée comme solide sans v o u l o i r p o u r l'instant préciser ce terme ; elle surmonte « Γ asthénosphère » o u couche à m o i n d r e vitesse des sismologues q u ' o n suppose être dans u n état proche de la fusion (voir § 5.7). 5.5. — Fluage des roches de la croûte terrestre en présence d'eau. — Griggs (1967), dans ses expériences faites avec d u gypse, d u sel gemme, de l'albâtre, d u q u a r t z o u divers silicates, a trouvé que des traces d'eau facilitaient la recris tallisation, et donc le fluage. A i n s i le quartz devient beaucoup plus ductile p o u r 0,13 % d'eau à 380 " C , et p o u r seulement 0,001 5 % d'eau à 1 070'>C. Avec de la calcite (marbre o u albâtre), et en présence d'eau, i l n'y a pas de seuil de plasticité net, et l ' o n observe successivement fluage p r i m a i r e , secondaire, tertiaire ( H e a r d , 1963 ; Griggs, 1967 ; F i g . 6). Le marbre étudié par le premier auteur avait un c o m p o r t e m e n t visqueux n o n linéaire, avec une vitesse de fluage permanent : ε = εο sli (σ/σο)
(1)
très sensible à la température (σο variant de 10^ à 1 0 " ^ bar entre 300" et 500"). La recristallisation groupe les axes C a u t o u r de la compression principale m a x i m u m σ^. Goetze (1971) a déformé un granité à des températures voisines d u p o i n t de fusion, sous une pression hydrostatique de 4 à 5 k b a r s e t e n présence d'eau sous une pression de 1 kbar. Dans ses expériences q u i n ' o n t duré que quelques heures, i l n'a p u observer q u ' u n fluage t r a n s i t o i r e , avec une déformation p r o p o r t i o n n e l l e à t'''^. L'eau présente j o u e certainement u n grand rôle dans la déformation des roches de la croûte terrestre, q u i s'accompagne d'une i m p o r t a n t e recristalli sation (appelée syntectonique par les géologues). Cette recristallisation peut
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DES
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POLYCRISTALLINS
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être utilisée comme indicateur des contraintes subies par la roche (Carter et Raleigh, 1969). 5.6. — Fluage des roches du manteau supérieur. —• Borg et Handin (1966)
ont étudié des échantillons à p = 4 kbars, T = 500 *'C, ce qui doit être à peu près la situation vers 18 km de profondeur. Sur des roches cristallines com plexes, ces derniers ont observé un comportement nettement de type plastique, lié aux glissements intracristallins, faciles dans la hornblende et le mica (Fig. 20). Il apparaissait des bandes de Liiders (appelées improprement « failles » par les auteurs) et des pliages en genoV(/:/«/: bands). Lorsqu'il y a une schistosité dans l'échantillon, due à la disposition des micas, les failles ont surtout lieu
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28 ^
32
p i G . 20.
FIG. 2 0 . — Déformation en fonction de la différence des contraintes (ff} — σ ι ) . Expériences de BORG et H A N D I N ( 1 9 6 5 ) sur des plutonites (en haut) et des vulcanites (en bas). FIG. 2 1 . — Cœnr de l'appareil permettant de déformer une roche sous 3 0 k b et 1 4 0 0 " C (CARTER et A V E ' LALLEMANT, 1 9 7 0 ) . W . C . —- pistons en carbure de tung stène ; oj — résistances chaulTantes ; C-^' = jaquette chauffante en graphite ; S = échantillon de roche (diamètre : 3 m m ; longueur : 8 m m ) ; T . C . : thermocouple.
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si la compression principale est voisine de la normale a u p l a n de schistosité, les k i n k bands si σ^, est proche d u plan de schistosité. La c o n s t r u c t i o n d'appareils ( F i g . 21) permettant d'atteindre 30 kbars (pres sion hydrostatique transmise par de la p y r o p h y l l i t e o u d u talc) et 1 400 °C, soit les c o n d i t i o n s régnant à 100 k m de p r o f o n d e u r , a permis récemment d'observer netteme|it^un fîuage permanent et d'établir ses lois. Carter et A v e ' L a l l e m a n t (1970) o n t étudié une d u n i t e (roche formée presque exclusivement d'olivine) et une Iherzolite (péridotite où l'olivine est associée à deux pyroxènes : l'enstatite et le diopside). A en juger par leurs propriétés physiques, ces échantillons semblent avoir la c o m p o s i t i o n moyenne d u m a n teau supérieur, bien que probablement leur grain soit bien plus fin ( < 1 m m ) . U n fluage permanent ne se p r o d u i t que lorsque les processus de p o l y g o n i sation et de recristallisation deviennent i m p o r t a n t s . Ces processus apparaissent au-dessus de 1 000 " C p o u r des vitesses de compression ε = 1 0 " * , ce seuil d i m i n u a n t de 50" environ chaque fois q u ' o n divise la vitesse de déformation par 10. Sous une pression hydrostatique de 15 kbars, en présence d'eau, le fluage permanent de la dunite obéit à la l o i : « = 6,2 X 1 0 « e - * ° « ° « ' % ^ ' * ± ° ' ^
(2)
Celle de la Iherzolite obéit à la même l o i , mais est cinq fois plus rapide. L a dunite sèche par contre se déforme selon la l o i : έ = 1,2 X 10-0 6 - ' ' ^ ° ° ° "
(3)
Carter et A v e ' L a l l e m a n t o n t extrapolé ces lois, établies p o u r des vitesses de déformation de 10~^ à 1 0 " ^ à une vitesse de déformation ε = 1 0 " " ^ , ordre de grandeur plausible p o u r les mouvements dans le manteau supérieur. L'équa t i o n (2) (dunite mouillée) c o n d u i t à : σ = 0,5 à 0,01 bar et η = σ/3 ε = \0^° à 1 0 " poises. L'équation (3) (dunite sèche à σ = 100 à 1 bar et η = 10^^ à 10^° poises, valeurs bien plus vraisemblables ( c f C h a p . 17). I l ne semble donc pas nécessaire, dans le cas général, de faire intervenir de l'eau comme «plasti fiant » dans le manteau. 5 . 7 . — Propriétés rhéologiques du manteau au-delà de 100 km. — O n admet a u j o u r d ' h u i qu'à p a r t i r de 70 o u 100 k m de p r o f o n d e u r et jusque vers 300 k m , la température a u sein d u G l o b e se rapproche d u p o i n t de fusion de l ' o l i v i n e , et que des inclusions hquides de constituants plus fusibles f o n t leur a p p a r i t i o n , d i m i n u a n t la vitesse des ondes sismiques. L'influence éventuelle de ces i n c l u sions liquides sur la plasticité n'a jamais été prise en considération. I l est impossible de reproduire en laboratoire ces c o n d i t i o n s dans des expé riences de longue durée et l ' o n d o i t se contenter d'extrapolations plus o u moins hasardeuses.
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Le fluage de H e r r i n g - N a b a r r o c o n d u i t à une viscosité newtonnienne : (4)
η = kTL'IaDb^
où α « 5 et Z)' « l O " ^ ' c m ' . Le diamètre moyen des grains, L, d o i t être compris entre 1 et 5 c m si l ' o n considère que des nodules de péridotite trouvés en Australie proviennent d u manteau supérieur et en constituent un b o n échantillon. Le coefiicient de self-diff"usion D, q u ' o n peut mesurer avec des radio-isotopes, dans la p l u p a r t des corps purs à leur température de fusion est de l'ordre de 1 0 " ^ cm^. L ' o n admet q u ' i l en est de même dans ces structures complexes que sont les roches. Weertman (1970) a comparé les vitesses de fluage a u p o i n t de fusion, f o n c t i o n de la contrainte, données par diverses théories ( F i g . 22). Le fluage de H e r r i n g Nabarro ne serait effectif que p o u r u n déviateur des contraintes inférieur à 0,1 bar. Des divers fluages p r o d u i s a n t une l o i théorique en σ ' , celui de N a b a r r o serait le plus fort et prédominerait entre 0,1 et 10 bars puis ce serait le fluage par glissements intracristallins avec contrôle par la vitesse de montée des dislocations se b l o q u a n t m u t u e l l e m e n t (processus de W e e r t m a n , l o i en σ * ' * ) . Le fait troublant est que ces dernières théories n ' i n t r o d u i s e n t pas la recristalli sation paracinématique, q u i semble exister dans le manteau supérieur car o n y a constaté une anisotropie dans la vitesse des ondes sismiques ( M o r r i s et al., 1969). Finalement W e e r t m a n préfère retenir comme processus de fluage prédominant les glissements intracristallins contrôlés par la vitesse de dépla cement des dislocations (ce q u i donne une l o i en σ ' , celle q u i apparaît dans le
FIG. 2 2 . — Vitesse de fluage en foitction de la contrainte anisotrope, à la tempé rature de fusion ; d'après WEERTMAN ( 1 9 7 0 ) . Courbes calculées en adoptant D = 1 0 - 8 cm2 s - i , 63 =
μ =
1,1 X 1 0 - 2 3 c m 3 ,
l O ' ^ dynes cm-2 , Tf = \ 8 0 0 ° K .
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plus grand n o m b r e de théories et bénéficie de ce f a i t d'une sorte de consensus général). \ L o r s q u ' o n reste en dessous d u p o i n t de fusion, W e e r t m a n admet que la vitesse de fluage, quelle que soit son origine (et pas seulement celle de H e r r i n g N a b a r r o ) varie comme le coefficient de self-diifusion, q u ' i l admet être égal à : D «
= e-i«'*^'/^
(IQ-')^'''
(5)
où Tf est le p o i n t de fusion, f o n c t i o n de la pression hydrostatique. P o u r une contrainte efficace donnée, i l admet que la vitesse de fluage ne dépend que d u r a p p o r t TjTf (nous avons v u que cela avait été prouvé dans le cas de la glace). W e e r t m a n p r e n d comme températures T et T } dans le G l o b e celles données par Jacobs en 1956, avec T = Tf entre 100 et 250 k m de p r o f o n d e u r ( F i g . 23). 11 exprime alors ses résultats par la viscosité lorsque ε = 1 0 " ' * s " \ I l vaut mieux dire q u ' i l t r o u v e entre 100 et 300 k m : k = 1 0 " ' ' ( σ / 1 bar)^ s " '
η = ^^"/(σ/Ι bar)^ poises
(6)
puis ε/σ^ décroissant, et à 3 000 k m de p r o f o n d e u r : k = 10"''(σ/1 b a r ) ' s " '
lUOOj
I I I I I 100
I 200
η = 10"/(σ/1 b a r ) ' poises .
I I 300 M O
I
I I I I I 600 800 » 0 0
(7)
_l I i'UOO ΛϋϋΟ
F I G . 2 3 . —• Température de fusion T/, température adiabatique T, TjTf et visco sité η pour une vitesse de fluage de 1 0 s ~ i , en fonction de la profondeur. Les profils de températures sont ceux donnés par Jacobs, q u i ont été calculés à p a r t i r de théories de UFFEN et de VERHOOGEN. Le processus de fluage retenu est celui avec contrôle par la vitesse de déplacement des dislocations. D'après WEERTMAN, 1 9 7 0 .
Carter et A v e ' L a l l e m a n t (1970) ne sont pas partis de lois de fluage théoriques et discutables, mais de leur l o i expérimentale trouvée p o u r la d u n i t e sèche sous 15 kbars (éq. 3). L'influence de T/Tj- sur l a vitesse de fluage n'est pas donnée par l'équation (5) mais par : D = 2,9 X 10* e x p ( - 28,7 T^/T).
(8)
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Par ailleurs ils prennent comme p r o f i l de températures T{z) celui proposé par Clark et R i n g w o o d en 1964 comme p r o f i l sous les océans, et p o u r T}(z) les températures de fusion de la péridotite données en 1967 p a r I t o et Kennedy. TjTf passe alors par un m a x i m u m égal à 0,83 seulement vers 200 k m de p r o fondeur (Fig. 24a). L ' e x t r a p o l a t i o n de Carter et A v e ' L a l l e m a n t , que, p r u d e m ment, ils ne poursuivent pas au-delà de 400 k m à cause des changements de
FiG. 24. A) Estimation de la contrainte (σι — σ - i ) et de la viscosité quand ε -= IQ-'-*, fonctions de TjTf, à diverses profondeurs, pour de la dunite sèche. T/Tf calculé à partir de la courbe de fusion de la forstérite et des températures sous les océans. Les traits continus donnent les variations de (σι — σ,ι) et de η d'après la l o i expé rimentale déterminée sous une pression de 1 5 kbar. Les lignes en tirets donnent la viscosité newtonienne p o u r u n fluage de H e r r i n g - N a b a r r o . B) Log (σι — σβ) en fonction de L o g e à 7 7 7 / = 0 , 7 5 (traits continus) et à T Tf 0 , 8 5 (tirets), calculés par extrapolation de la loi expérimentale en σ'·,» et pour le fluage de Herring-Nabarro (grains de diamètre moyen L = 1 c m et 5 c m ) . D'après CARTER et AVE'LALLEMANT, 1 9 7 0 .
phase qui doivent intervenir, est donnée figures 24a (valeurs de η p o u r ε = 10"^*) et 24b (ε f o n c t i o n de σ). Fluage de H e r r i n g - N a b a r r o et fluage plastique expérimental en σ*'^ sont cette fois d u même ordre de grandeur, et doivent figurer tous deux dans la l o i de fluage. A contraintes données, les vitesses de déformation dues à l ' u n et à l'autre processus s'ajoutent, donc aussi les inverses des viscosités ; -^2,5x η
1 0 - ^ ' -f 2 , 0 ( : ^ \1 b;
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E n conclusion dans la zone à faible vitesse, i l se p o u r r a i t que le manteau ait une viscosité à peu près newtonienne, de l ' o r d r e de 10^" à 10^' poises. E n dessous, i l semble certain q u ' i l tient davantage d u corps plastique. L e seuil de plasticité croîtrait comme iQ-'^-^r^/s-sr c'est-à-dire d ' u n facteur 200 entre 400 et 3 000 k m de p r o f o n d e u r , s'il n ' y avait pas de changements de phase et si les processus de fluage restaient les mêmes. 5.8. — Processus d'amortissement des ondes sismiques. — L'amortissement des ondes sismiques, des vibrations propres de la Terre et des marées terrestres a permis de connaître le facteur de qualité Q (défini au § 3.3) dans le manteau. L a question a été récemment exposée p a r Jackson et A n d e r s o n (1970). E n p r o f o n d e u r , l'homogénéité d u G l o b e devient suffisante p o u r que la dispersion des ondes due aux hétérogénéités ne soit plus à i n c r i m i n e r . E n général = 0,002 à 0,003 quelle que soit la période, ce q u i exclut les p r o cessus de résonance comme cause de l'amortissement. O n peut aussi exclure les frottements entre les parois de microfissures, phénomène q u i intervient dans les expériences de laboratoire. (Ces expériences o n t été toutes faites avec des ultrasons et sans forte pression surimposée, ce q u i les r e n d sans intérêt p o u r le géophysicien). L'amortissement dans le G l o b e d o i t être dû à des processus de r e l a x a t i o n , c'est-à-dire que l'énergie absorbée pendant u n demi-cycle n'est restituée qu'avec u n certain retard. Le plus souvent intervient une enthalpie d ' a c t i v a t i o n H et l ' o n a une l o i en f o n c t i o n de la fréquence et de la température de la f o r m e : Q-i
= M
ω/ωρ e x p ( -
H/RT)
1 + [(ω/ωo)exp(-
H/RT)]''
P a r m i ces processus de relaxation citons les égalisations de températures entre des points où la texture cristalline, p r o v o q u a n t des fluctuations locales des contraintes, a provoqué des fluctuations locales des températures. (C'est la relaxation thermoélastique classique mais à l'échelle d u g r a i n , et n o n plus de la longueur d'onde). M a i s la plus grande partie vient de la diff"usion des défauts (lacunes, atomes interstitiels, dislocations), appréciable dans les p o l y cristaux et à haute température. L'amortissement s'accroît d ' u n facteur 10 p o u r les ondes de cisaillement (de moins p o u r les autres) vers 100-200 k m de p r o f o n d e u r , et c'est là une des raisons p o u r lesquelles o n admet la présence d'inclusions liquides. U n e théorie sur l'influence de films liquides intergranulaires a été faite par W a l s h (1969). E n première a p p r o x i m a t i o n o n retrouve les résultats obtenus avec u n modèle visco-élastique linéaire (§ 3.4) : vitesse et amortissement des ondes de cisaillement sont indépendants de l a fréquence, alors que p o u r les ondes de compression, ils en dépendent. C o m m e la fréquence p o u r laquelle l'amortisse ment est m a x i m a l dépend de la f o r m e des inclusions, i l faut s'attendre à une bande d ' a b s o r p t i o n très étalée.
FLUAGE
DES MATÉRIAUX
47
POLYCRISTALLINS
Des vérifications o n t été faites p a r Spetzler et A n d e r s o n
(1968) avec de l a
glace renfermant des inclusions de saumure, p a r N u r (1971) avec des roches fissurées (films d'air), o u imbibées d'eau o u de glycérol. N o u s d o n n o n s figure 25 une courbe relative à la glace, q u i m o n t r e l ' a u g m e n t a t i o n
brusque de
lorsque, la température s'élevant au-dessus de celle de l'eutectique
glace-sel,
la phase liquide fait son a p p a r i t i o n .
Température, "C FIG. 25. — Q correspondant aux vibrations longitudinales d'une baguette de glace contenant 2 % NaCI. A u x basses températures, c'est une solution solide. Au-dessus de l'eutectique, le système est un mélange de saumure et de glace. D'après JACKSON et ANDERSON, 1970.
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48
MÉCANIQUE
DES
SOLIDES
: BASES
PHYSIQUES
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CHAPITRE
2
LES TREMBLEMENTS
D E TERRE
par Jean C O U L O M B
1. —
INTRODUCTION
Les tremblements de terre o u séismes sont des mouvements transitoires naturels d u sol. Les plus i m p o r t a n t s sont de redoutables calamités. N o u s ne parlerons guère de l'évaluation des dégâts, n i des règles à suivre p o u r en éviter d'autres. C'est le b u t d u génie sismique. L'étude des phénomènes mécaniques fondamentaux mis en j e u et de quelques phénomènes physiques secondaires apporte cependant, nous le verrons, des perspectives de prédiction et de pré vention. Le présent chapitre, s u r t o u t q u a l i t a t i f , sera suivi d ' u n exposé des c o n d i t i o n s de rupture (Chap. 3) et plus t a r d (Chap. 14) d'une théorie quantitative des phénomènes. 2. — C A U S E
DES
SÉISMES
La plupart des séismes débutent brusquement, ce q u i permet de les a t t r i b u e r à une rupture superficielle o u profonde de roches résistantes. E n f a i t , lorsque le séisme a laissé des traces sur le t e r r a i n , o n découvre souvent que deux compartiments terrestres précédemment solidaires o n t glissé l ' u n par r a p p o r t à l'autre, sans r o t a t i o n relative appréciable, le l o n g d'une surface appelée faille. La faille est grossièrement plane, o u plutôt grossièrement c y l i n d r i q u e , les génératrices d u cylindre étant parallèles a u glissement. Elle peut cependant, suivant la nature des terrains, se décomposer en plusieurs surfaces plus o u moins parallèles o u encore être remplacée p a r des couches atteignant quelques mètres ou dizaines de mètres d'épaisseur, broyées plus o u m o i n s finement, depuis les « brèches » grossières j u s q u ' a u x « mylonites » presque homogènes. Si A et A' (Fig. I ) , situés de p a r t et d'autre de l a faille, coïncidaient i n i t i a lement, l'écart AA' peut c o m p o r t e r u n rejet A' H suivant l a ligne de plus grande pente d u p l a n de faille et u n coulissage o u décrochement h o r i z o n t a l AH.
50
^
LES
TREMBLEMENTS
F I G . 1. — Rejet {AH)
DE
et coulissage
TERRE
{AH).
Rejet o u coulissage atteignent exceptionnellement quelques mètres dans les grandes catastrophes. Dans certains séismes c o m m e celui de T a n g o au Japon (1927), plusieurs failles encadrant u n même c o m p a r t i m e n t terrestre o n t joué presque s i m u l t a nément ( F i g . 5, 6 et 12). Par contre, d'autres séismes, même superficiels, ne m o n t r e n t pas de faille nette, mais o n soupçonne souvent l'existence d'une faille p r o f o n d e , couverte de terrains meubles. O n imagine c o m m e suit le phénomène sismique : des déformations lentes de la région intéressée y accumulent des contraintes, plus o u moins élastiquement, jusqu'à r u p t u r e des roches en u n p o i n t intérieur à la Terre ; ce p o i n t est appelé foyer d u séisme. L e p o i n t d u sol à la verticale d u foyer est l'épicentre. Les contraintes q u i o n t provoqué la r u p t u r e se reportent aussitôt sur les extrémités de la petite fracture formée, et celle-ci s'étend h o r i z o n t a l e m e n t et verticalement, continûment o u par saccades. R u p t u r e et saccades entraînent la f o r m a t i o n d'ondes sismiques q u i transportent de l'énergie et produisent les effets superficiels. Les dimensions de la région affectée sont très variables. O n connaît des cas de coulissage ( C h i l i en 1960) se répercutant (avec des dis continuités) sur des centaines de kilomètres, d o n t quelques dizaines de k i l o mètres visibles en surface. L a durée d u phénomène c o n t i n u peut alors dépasser la m i n u t e . L a r u p t u r e cesse de se propager lorsque l'énergie potentielle de déformation est épuisée. Une faille ainsi créée coupe les terrains résistants sans égard p o u r la m o r p h o logie superficielle. Après le séisme, les roches broyées o u à g r a i n fin sont p l u s o u moins soudées en p r o f o n d e u r . L a faille reste cependant une surface de m o i n d r e résistance. Si les déformations c o n t i n u e n t dans la même région c'est de préférence sur une faille déjà formée que se p r o d u i t la nouvelle r u p t u r e . Cette faille « rejoue » , et c'est là, beaucoup plus fréquemment que l a f o r m a t i o n d'une faille nouvelle, la cause o r d i n a i r e des séismes. Les rejets o u les coulissages s'accumulent sur chaque faille a u cours de séismes successifs o u parfois de déplacements c o n t i n u s ; la faille devient l ' u n des accidents géologiques classi quement désignés p a r ce n o m ; elle peut changer d'aspect p a r suite de l'érosion et de la sédimentation et n'est parfois décelable que p a r son influence sur l'hydrologie souterraine. Dans certaines régions, les failles f o r m e n t u n système d'accidents grossièrement parallèles, l'une o u l'autre des failles d u système j o u a n t à t o u r de rôle.
LES
DIVERSES
ESPÈCES
DE
51
FAILLES
La vitesse de propagation de la fracture le l o n g de la faille (de l ' o r d r e de 1 ou 2 km/s) a été étudiée sur les enregistrements, o u théoriquement en considé rant soit l'évolution d'une fissure ( 3 . 2 . 3 ) soit l a p r o p a g a t i o n d'une d i s l o c a t i o n (13.6, 14.6.5) o u enfin expérimentalement (Toksôz et al., 1971, où o n t r o u vera de nombreux résultats).
3. — L E S D I V E R S E S E S P È C E S
DE FAILLES
Plaçons-nous à l'instant q u i précède l a r u p t u r e . Dans la région focale, les efforts tectoniques s'ajoutent a u poids des terrains sus-jacents. Les contraintes principales sont toutes trois des pressions A,B,C{A > B > C). Si la c o n t r a i n t e et le milieu sont approximativement homogènes, les fractures se f o n t (Chap. 1) suivant des plans parallèles à la pression p r i n c i p a l e intermédiaire, inclinés sur la pression maximale, dans u n sens o u dans l ' a u t r e , d ' u n angle q u i dépend des propriétés d u matériau. Si l ' o n admet, ce q u i paraît vraisemblable a u voisinage de la surface, q u ' u n e des pressions principales soit verticale (et d o n c sensiblement égale au poids des terrains, o u pression lithostatique), t r o i s cas peuvent se présenter : Dans le premier ( F i g . 2a) C est verticale ; les compres sions A - C B - C créent des failles « inverses », chevauchantes. Dans le deuxième cas ( F i g . 2b), (o) A est verticale ; les compressions C - AeiB - C, autrement d i t les tensions A — C et A — B, créent des failles « normales », p o u v a n t délimiter des horsts o u des graben. Le troisième cas où B est verticale correspondrait à une faille verticale coulissant horizontalement soit « à droite» (de chaque lèvre o n v o i t ,,
J. 1
1
J
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C-A
F I G . 2.
Contraction, D) Extension,
failles failles
inverses-, normales.
1 autre se déplacer vers la droite) soit « à gauche ». Cette description classique ( A n d e r s o n , 1951) correspond assez bien à ce qu'on observe sur les séismes superficiels. L a Californie peut f o u r n i r de n o m breux exemples des trois cas, le plus célèbre étant celui de la faille de San Andréas (Fig. 3), élément majeur d ' u n système complexe de failles coulissant à droite. Elle est responsable de n o m b r e u x séismes historiques d o n t t r o i s très grands (1838 à San Francisco, 1857 à F o r t T e j o n , 1906 q u i détruisit San Francisco). Au-delà de la Sierra Nevada, l a vallée d'Owens ( F i g . 4) est encais sée entre des failles normales ; une faille intermédiaire a joué en 1872 p r o d u i s a n t sur une dizaine de kilomètres u n rejet atteignant 7 m , avec u n faible coulissage. Enfin, lors d ' u n séisme de 1952 sur la faille W h i t e W o l f (transverse par rapport au système de San Andréas), la f o r m a t i o n de petits môles de
us
TREMBLEMENTS
DE
TERRE
F I G . 3. — Zone de failles de San Andréas. Régions actuellement actives (par rupture ouiluage). D'après C . R. A L L E N , Proc. Conf. on Geol. Probl. o f San Andréas Fault System, Stanford U n i v . Pub'., Geol. Se. XI, 70-82, 1968.
Vallée dOWENS
Collines d'/fLAgAM^A _
......
^ ^ . V - i ' ^
•
'Faille principale ' du seisiTie de 1β7Ζ
^ ί ξ ^ φ ί ^ , } ^ ^ ^ ^ Trioa
métavolconique
F I G . 4. — Section schématique de la vallée d'Owens près de Loue Fine. D'après VoN HuENE, BATEMAN, ROSS (Guidebook, l U G G seismological study tour, 1963). La faille q u i descend d u flanc Est des collines d ' A l a b a m a a u n escarpement caché que les méthodes sismiques o n t montré être supérieur à l'escarpement visible de la Sierra Nevada.
INTENSITÉS
SISMIQUES,
ISOSÉISTES
53
terre a prouvé l'existence de chevauchements, les rejets étant difficiles à estimer pour une faille inverse. 4 . — INTENSITÉS S I S M I Q U E S ,
ISOSÉISTES
Les effets d ' u n séisme sur le terrain (Rothé, 1971) sont beaucoup plus complexes que la description précédente p o u r r a i t le faire croire. L e u r étude (à défaut, une enquête auprès de la p o p u l a t i o n ) apporte des indications sur la géologie superficielle et sur les dangers à craindre dans des cas analogues pour l'homme o u p o u r ses œuvres. O n s'efforce t r a d i t i o n n e l l e m e n t d'attacher à chaque point de la région ébranlée un n o m b r e entier q u ' o n appelle le degré d'intensité d u séisme en ce p o i n t . Pour le déterminer, o n compare les effets observés à une description d'effets à attendre p o u r chacun des degrés d ' i n t e n sité constituant une « échelle » conventionnelle à 12 degrés ; celle-ci est inter nationale en principe (échelle M e r c a l l i modifiée), mais les descriptions f o n t obligatoirement intervenir le type de c o n s t r u c t i o n d u pays (cependant, les premiers dégâts aux bâtiments correspondent en général à l'intensité 7). Le nombre obtenu n'a pas de signification mécanique précise ( i l est grossière ment corrélé au logarithme de l'accélération maximale). Les courbes d'égale intensité o u isoséistes s'allongent souvent le l o n g des failles ( F i g . 5) o u des lignes tectoniques dominantes, d u moins si o n élimine les influences (mobilité des sols, relief) de la pellicule où sont fondés les bâtiments. L'épicentre, q u i correspond au mouvement i n i t i a l et n o n à un paroxysme, est souvent, mais n o n pas t o u j o u r s , dans la région de degré m a x i m a l . Même
FIG. 5. — Isoséistes du tremblement de terre du Tango (7 mars 1927). D'après. A . IMUMARA.
54
LES
TREMBLEMENTS
DE
TERRE
si c'est le début q u i i m p o r t e , son a m p l i t u d e dépend de l a distance au foyer et n o n de la distance à l'épicentre. Supposons que les isoséistes soient grossiè rement concentriques, le degré d'intensité décroissant assez régulièrement l o r s q u ' o n s'éloigne de l'épicentre. Une décroissance rapide sera l'indice d ' u n foyer proche de la surface ; diverses formules tentent d'estimer sa p r o f o n d e u r (voir p a r exemple Kârnik, 1969).
5. — D É F O R M A T I O N S
DU
S O L A V A N T ET P E N D A N T
L E SÉISME
Pour m a i n t e n i r la géodésie et la topographie à j o u r dans les régions instables des pays possédant des réseaux serrés, o n a multiplié les mesures de distances et d'angles là o i i des coulissages étaient à attendre (Californie), les observa tions marégraphiques et les nivellements là où des rejets étaient probables. O n en déduit les déformations régionales, o u même les déplacements absolus si l ' o n admet l'invariance de points éloignés. U n cas assez rare où les deux espèces de mesures o n t été faites avant et après le séisme est celui de la figure 6 q u i m o n t r e u n déplacement en bloc de la péninsule de Tango au cours d u séisme de 1927 (les déplacements irréguliers des autres points sont inférieurs aux erreurs).
F I G . 6. — Changements topographiques et hypsométriques dans le district de Tango après le séisme de 1927. D'après C h . TSUBOI.
DÉFORMATIONS
DU
SOL
AVANT
ET
PENDANT
LE
55
SÉISME
En général, les déplacements mis en évidence superposent des déformations subies avant et pendant le séisme, déformations d o n t la répartition est diffé rente. Considérons en effet deux bandes de terrains situées l o i n de p a r t et d'autre d'une région faillée, et orientées parallèlement à l a trace des failles. Le déplacement de ces bandes, l'une p a r r a p p o r t à l ' a u t r e , sous l'effet des mouvements régionaux, augmente lentement j u s q u ' a u séisme au p r i x d'une déformation plus o u moins élastique de la région intermédiaire. A u m o m e n t oii une faille cède, ces bandes déjà déplacées ne bougent pas, mais le dépla cement instantané augmente l o r s q u ' o n va vers la faille, où i l est m a x i m a l . C'est le « rebondissement élastique de Reid ». Une simple considération de dimensions m o n t r e que la distance D de la faille au point à partir duquel le déplacement cesse d'être appréciable serait, en milieu homogène, propor tionnelle à la profondeur de la faille H. E n pratique, le rapport DjFI doit être de quelques unités.
L'observation des déplacements présismiques renseigne sur leur danger, mais i l faudrait savoir si les contraintes accumulées seront résolues p a r u n véritable séisme o u par u n glissement quasi c o n t i n u . Les deux sont possibles, comme le m o n t r e n t les études de détail au géodimètre o u au telluromètre (Chap. 15), relativement aisées en Californie où les failles sont généralement visibles et souvent simples. Sur une p o r t i o n active de la faille de San Andréas, le coulissage entre les deux lèvres enregistré dans u n chais près de HoUister (Tocher) et suivi par géodésie dans le voisinage ( W h i t t e n ) apparaît presque incessant et assez u n i f o r m e ( F i g . 7) ; les séismes correspondent seulement à des sursauts plus o u moins complexes. Ce coulissage est i c i de 1,3 m/siècle en moyenne (*). Si la faille se b l o q u a i t , le temps nécessaire p o u r préparer u n 'S,
1Θ57
1θ5β
1859
1860
1Θ61
1882
1863
1884
1865
1866
1867
1868
ΙΒβθ
FIG. 7. — Coulissage récent de la faille de San Andréas. D'après WHrrrEN, 1 9 6 9 . ("•) Les soulèvements de horst o u les effondrements de graben correspondent à des vitesses de quelques cm/siècle.
56
LES
TREMBLEMENTS
DE
TERRE
coulissage de quelques mètres (sur quelques dizaines de kilomètres) corres p o n d a n t à un séisme catastrophique serait donc de quelques siècles. Le raccordement géologique entre les terrains séparés par la faille de San Andréas a été tenté maintes fois. Jahns (dans A l s o p et Oliver éd., 1969) t r o u v e aussi 1,3 cm/an depuis l'Oligocène ; c'est une simple coïncidence, seuls les ordres de grandeur sont significatifs. Nous reviendrons sur la prévision des séismes. Ses difficultés apparaissent sur un dernier exemple. L a figure 8 m o n t r e les déplacements causés p a r u n séisme de 1940, ressenti le l o n g de la frontière mexicaine, là où elle est recoupée par une faille d u système de San Andréas ; ces déplacements sont obtenus grâce à une t r i a n g u l a t i o n de 1935, peu antérieure au séisme, répétée en 1941.
F I G . 8. — Déplacements dans l'Impérial Valley {Californie) entre les triangulations de 1 9 3 5 et de 1 9 4 1 . D'après MEADE, 1 9 6 3 .
Une t r i a n g u l a t i o n de 1954 ( F i g . 9) m o n t r e , rapportés aux points géodésiques situés le plus à l'est, de nouveaux déplacements de l ' o r d r e d u mètre. En se servant de la théorie des dislocations (Chap. 1 et 13) Scholz et F i t c h les rap p o r t e n t aux points de la faille ( F i g . 10) et les analysent en un coulissage p r o gressif de 17 c m (encore 1,3 cm/an !) et une déformation symétrique t y p i q u e . (Ces résultats o n t été critiqués par Savage et B u r f o r d (1971) ; seule la méthode est à retenir. Pour estimer l ' i m p o r t a n c e des déformations intérieures à chaque lèvre, le seul moyen sûr est de traiter séparément les p o r t i o n s correspondantes des deux t r i a n g u l a t i o n s ) . En fait, le premier grand séisme de la région (séisme de Borrego M o u n t a i n ) a eu lieu en 1968 sur une faille secondaire ( A l l e n et al., 1968), assez l o i n de là ( F i g . 9).
DÉFORMATIONS
DU
SOL
AVANT
ET
PENDANT
LE
SÉISME
LES
58
TREMBLEMENTS
DE
TERRE
OUEST
40
20
. ^-L
-¾ ^0 DISTANCE, KM
EST
F I G . 1 0 . — Déplacements parallèles à la faille de VImpérial Valley en fonction de la distance à la faille, de 1 9 4 1 à 1 9 5 4 . G résultat de glissements continus. D'après S c H O L Z et F I T C H , 1 9 6 9 .
Les déformations lentes d o n t nous venons de parler s'accélèrent sans doute avant u n g r a n d séisme, et des déformations notables apparaissent parfois au voisinage d u f u t u r épicentre, par exemple des fissures en échelon à Parkfield (Californie) 10 j o u r s avant u n séisme modéré ( R i k i t a k e , 1968). Ces déformations correspondraient à un changement temporaire dans le sens de l'évolution lente (Press, Brace, 1966 ; R i k i t a k e , 1968), le sens i n i t i a l étant souvent repris au m o m e n t d u séisme, c'est-à-dire quelques heures à quelques mois plus t a r d . 6. — R É P L I Q U E S E T PRÉCURSEURS
Dans une région éprouvée par u n g r a n d séisme v o n t se succéder, pendant des semaines o u des mois, des dizaines, des centaines o u des milliers de séismes plus petits. Ce sont les « répliques ». A u début, certaines sont i m p o r t a n t e s , et elles achèvent souvent les destructions. L a fréquence des secousses décroît irrégulièrement (grossièrement comme l'inverse d u temps écoulé), mais leur magnitude moyenne devient rapidement stationnaire ( F i g . 11). O n a c o u t u m e d'installer des sismographes mobiles p o u r déterminer leurs foyers, d o n t la p o s i t i o n précise la zone déformée : Les épicentres se placent près des failles ayant joué lors d u choc p r i n c i p a l ( F i g . 12), parfois sur des accidents secondaires ; ils o n t tendance à s'éloigner peu à peu d u foyer p r i n c i p a l ( M o g i , 1968). Sur les grandes failles à coulissage, celle des Aléoutiennes par exemple, u n très grand séisme et ses répliques j a l o n n e n t ainsi u n segment de la faille. U n e nouvelle zone de r u p t u r e s'insère entre celles q u i o n t joué depuis quelques dizaines d'années ; elle leur est souvent contiguë (Sykes, 1971). O n se méfiera donc des zones apparemment inactives. Sur la faille de San Andréas ( F i g . 3) le segment de 1857 menacerait Los Angeles (malgré le séisme de San F e r n a n d o , moins i m p o r t a n t , survenu dans la région en 1971).
RÉPLIQUES
ET
PRÉCURSEURS
59
F i o . U . — Evolution, en échelles loga rithmiques, de la fréquence et de la magni tude ( C h a p . 1 4 ) pour 119 répliques d'un séisme de l'Ouganda (20 m a r s 1 9 6 6 ) luimême de magnitude 6,5 à 1. noirs : n o m b r e de s e c o u s s e s f o n c t i o n d u t e m p s écoulé
Losanges par j o u r
en
depuis le séisme p r i n c i p a l ; l a d r o i t e d e pente 0,71 est ajustée a u x
7 5 3 secousses
suivant le premier dixième de j o u r . Cercles chaque
magnitude
:
moyenne
intervalle ; l a d r o i t e
correspond
à
la moyenne
pour
horizontale
3 , 6 6 après
le
premier dixième de j o u r . D ' a p r è s J . L A H R et P. W. PoMEROY,
1970.
-3.2
.01
0.1
J o u r s
après
1.0 le
10.0
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100.0
^
chocprincipo/
FIG. 12. — Epicentre des répliques du tremblement de terre de Tango (7 mars 1927). D'après A . IMAMURA. T r o i s stations portatives avaient été installées aux sommets d u triangle figuré.
U n grand séisme est parfois précédé de séismes moindres, q u ' o n baptise après coup « précurseurs » o u « prémonitoires ». Ils peuvent être presque aussi importants que le séisme p r i n c i p a l ( C h i l i , 21 m a i et 22 mai 1960) o u n o m b r e u x et faibles (Watanabe dans A l s o p et Oliver 1969). Ces précurseurs sont beaucoup moins rares q u ' o n ne l ' i m a g i n a i t autrefois, même si, p o u r éviter les coïncidences accidentelles, o n restreint l'intervalle de prémonition à quelques semaines et
60
LES
TREMBLEMENTS
DE
TERRE
si o n considère seulement les séismes appartenant à la même unité tectonique que le séisme p r i n c i p a l . Dans certains cas, peut-être t o u j o u r s liés a u volca nisme (Sykes, 1970) et à l'activité h y d r o t h e r m a l e , la d i s t i n c t i o n entre séisme p r i n c i p a l , répliques et précurseurs devient impossible. O n a u n « essaim » de séismes. L'hétérogénéité des régions superficielles, d o n t nous n'avons pas parlé j u s q u ' i c i , j o u e u n rôle essentiel dans l'interprétation de ces occurrences m u l tiples. O n ne trouve plus de séquences bien définies de répliques si le foyer est à une p r o f o n d e u r supérieure à 100 o u 200 k m (Page, 1968). Les répliques sont dues au fait que le j e u de la faille est géométriquement et mécaniquement t r o p simple p o u r annuler les contraintes ; i l peut même en faire apparaître dans le voisinage. De nouvelles déformations élimineront le résidu p a r glisse ment o u ruptures secondaires. Le séisme de Borrego M o u n t a i n (magnitude 6,3> voir Chap. 14) a i n d u i t immédiatement et sans secousses notables des dépla cements de l ' o r d r e d u c m jusqu'à 70 k m de l'épicentre sur les failles d u système de San Andréas ( A l l e n et al., 1968). Dans le cas des précurseurs, la l i m i t e de r u p t u r e est atteinte t r o p localement p o u r que la fracture puisse se propager bien l o i n ; celle-ci c o n t r i b u e néanmoins à égaliser les tensions et à préparer la r u p t u r e d'ensemble. U n e a u g m e n t a t i o n de fréquence des séismes faibles dans une région limitée p o u r r a i t donc annoncer une catastrophe quelques heures à l'avance. M a i s l'essaim de M a t s u s h i r o (700 000 séismes enregistrés depuis 1965) n'a comporté que des paroxysmes sans séisme p r i n c i p a l (voir R i k i t a k e , 1968, et divers articles dans A l s o p et Oliver, 1969). 7 . — LES SÉISMES A R T I F I C I E L S
7.1. — E x p l o s i o n s . — Les explosions nucléaires mettent en j e u des énergies analogues à celles des séismes (Chap. 14) et peuvent engendrer des répliques, faire apparaître de petits déplacements sur des failles connues, etc. Une série d'études rassemblées dans Spécial papers, 1969 et des résultats n o n publiés des explosions souterraines françaises permettent la description suivante : Le n o m b r e des microsecousses enregistrées au voisinage immédiat de l'explo sion augmente rapidement jusqu'à l'effondrement d u t o i t de la cavité, q u i intervient d ' a u t a n t plus tard que le t i r est plus puissant, puis d i m i n u e pendant des heures. Les explosions dépassant la mégatonne comme Benham ( H a m i l t o n et Healy dans Spécial papers, 1969) induisent pendant plus d ' u n mois, jusqu'à une quinzaine de kilomètres, de petits séismes sur les failles voisines ( F i g . 13). L a même explosion semble avoir déclenché sur place ( A k i et al. dans Spécial papers 1969), dès les premières secondes, u n véritable séisme de m a g n i t u d e 5,9, d'ailleurs peu dangereux (croissance lente et faible chute des contraintes). Plusieurs cas analogues o n t été signalés (Chap. 14). Par contre, les explosions même les plus fortes ( A m c h i t k a aux Aléoutiennes en 1971) ne semblent pas
LES
SÉISMES
ARTIFICIELS
61
FJG. 13. — Séismes (x) et fractures (en traits épais) causés par l'explosion Benham ( 1 9 décembre 1 9 6 8 ) sur le site du Nevada ; failles (en traits minces) et limites de calderas (en trait discontinu). D'après HAMJLTON et HEALY, 1 9 6 9 .
avoir déclenché à grande distance de séismes appréciables. Ces effets o n t été étudiés expérimentalement p a r Toksôz et al. (1971). 7.2. — Barrages. — Des séismes répétés o n t suivi (Rothé, 1970) la mise en eau de grands barrages. Ceux-ci sont fréquemment situés sur des accidents tectoniques q u i peuvent être mobilisés. L a relation avec les séismes observés devient nette dès que la p r o f o n d e u r d u réservoir, q u i semble i m p o r t e r plus que son volume, dépasse une centaine de mètres. K a r i b a sur le Zambèze (160 X 10^ m ' , hauteur 142 m ) étudié par G o u g h et G o u g h (1970) nous servira d'exemple. L'énergie totale émise (des milliers de secousses, 7 séismes i m p o r tants) était de l ' o r d r e de 2 x 1 0 ' * joules, soit le travail d'une masse de 100 x 10^ m ' abaissée de 20 c m , ce q u i correspond à peu près à la dépression élastique maximale d u f o n d . M a i s ce travail intéresse u n vaste v o l u m e . G o u g h et G o u g h supposent que des cissions de l ' o r d r e de 1 o u 2 bars p o u r r a i e n t faire jouer des failles déjà chargées à quelques dizaines de bars ( F i g . 14), mais l'effet p r i n c i p a l semble bien une réactivation de failles préexistantes, d o n t l'histoire remonte j u s q u ' a u précambrien, p a r i n f i l t r a t i o n d'eau sous pression.
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LES
TREMBLEMENTS
DE
TERRE
F I O . 1 4 . — Fréquence des secousses N, énergie sismique émise E, niveau de l'eau H ( 1 pied — 0 , 3 0 5 m ) , et volume Kt de roche dans laquelle la cission maximale τ dépasse 1 bar, pendant le remplissage du lac Kariba, de 1 9 5 9 à 1 9 6 3 . D'après G O U G H et GouGH, 1970.
L a fréquence des secousses a culminé 5 semaines après que le niveau m a x i m a l a été atteint (en une semaine 5 sur 7 des grands chocs, et des centaines de répliques). L'activité, de m o i n s en m o i n s corrélée avec les changements de niveau, et décroissant lentement à mesure de l a d i s p a r i t i o n des tensions, est susceptible de c o n t i n u e r pendant quelques années. 7.3.—Injections. — U n cas i n s t r u c t i f (HoUister et Weimer, éd., 1968) est celui des séismes de Denver ( C o l o r a d o ) . U n forage de 3 670 m avait été
PRÉVISION
ET
PRÉVENTION
DES
SÉISMES
63
exécuté dans l'arsenal p o u r se débarrasser d'eaux agressives p a r i n j e c t i o n sous forte pression dans 20 m de gneiss précambriens fissurés. Le pompage commence en mars 1962. A p a r t i r d u 24 a v r i l 1962, o n enregistre des séismes (1 400 en 5 ans) d o n t les épicentres se disposent sur 8 k m de l o n g en ligne avec le puits. E n 1965, le géologue Evans t r o u v e une corrélation entre l a fré quence des séismes et les volumes successifs injectés (600 000 m^ a u t o t a l ) . Le pompage est arrêté en 1966, mais les séismes c o n t i n u e n t , d o n t t r o i s assez importants (magnitude 5) en 1967, à une p r o f o n d e u r d ' e n v i r o n 5 k m . L'énergie d'injection suflBrait à expliquer celle des séismes, mais o n a trouvé m e n t i o n d'un séisme de 1882 dans la même région, et o n a t t r i b u e en général aux injecdons u n simple rôle de déclenchement (comparer cependant K a r p , 1970 et Simon, 1970). Suivant Snow ( H o l l i s t e r et Weimer, éd., 1968), le pompage a u r a i t créé son réservoir en c o m p r i m a n t u n peu le roc et l'eau, mais s u r t o u t en élargissant des fissures auxquelles o n peut supposer une largeur de l'ordre de 0,1 m m et un espacement de l ' o r d r e de quelques mètres dans toutes les directions. Ce processus, q u i c o n d u i r a finalement à l'égalisation des pressions, se p o u r s u i vrait encore malgré l'arrêt de l ' i n j e c t i o n . Les séismes seraient dus au déblocage des fissures i m p o r t a n t e s et convenablement orientées p a r r a p p o r t aux contraintes. Des injections d'eau o u de saumure dans des champs de pétrole à des pres sions supérieures à la pression hydrostatique jusqu'à 160 % dans le b u t de ranimer la p r o d u c t i o n o n t p r o d u i t a u moins deux fois des effets analogues, et causé la destruction d ' u n réservoir d'eau a l i m e n t a n t L o s Angeles ( H a m i l t o n et Meehan, 1971) placé sur une faille pléistocène. De l'ensemble des résultats concernant les séismes artificiels, o n retiendra que la hbération d'une énergie potentielle élastique renforce l'énergie direc tement mise en j e u , la p a r t de chacune étant souvent délicate à établir. 8. — PRÉVISION
E T PRÉVENTION
DES SÉISMES
Nous avons déjà fait allusion à la prévision des séismes, tentée depuis l o n g temps au Japon et dotée récemment, là comme aux Etats-Unis, de moyens importants (Press et Brace, 1966 ; R i k i t a k e , 1968). Pour la prévision à c o u r t terme, o n compte s u r t o u t sur l a surveillance des déformations lentes d u sol (§ 5), plus accessibles à l'enregistrement que les déplacements eux-mêmes. M a i s le plus intéressant, ce ne sont pas les défor mations q u i peuvent être localement faibles, ce sont les contraintes. Leur mesure dans des forages est t r o p coiiteuse p o u r être systématisée ; cependant, l'observation des fluctuations de pression des fluides (pétrole, gaz, eau) dans des puits en p r o d u c t i o n semble prometteuse (Sylvester en 1970). A k i et al. (1970) o n t essayé sans succès de petites explosions expérimentales, espérant déclencher une microsecousse d o n t o n étudierait les caractéristiques o u obser ver des variations des vitesses sismiques q u i renseigneraient sur la pression.
64
LES
TREMBLEMENTS
DE
TERRE
Outre les paramètres élastiques, o n s"est adressé à d'autres phénomènes, magnétiques ou électriques. Les enregistrements magnétiques en zone sismique n'ont p u , malgré quelques coïncidences ( R i k i t a k e , 1968) mettre en évidence aucun effet net. O n ne d o i t pas en être surpris : Si on met à part des phénomènes indirects (déformations permanentes d u sol, modification des courants telluriqucs duc aux changements de conductivité) les cfl"ets à attendre sont une décroissance de la susceptibilité magnétique des roches sous l'efTct de la compression, déjà évoquée par Kalashnikov dès 1954, et une décroissance de l'aimantation permanente. Dans les deux cas, le taux de décroissance relative est de l'ordre de 10 ' par Pa, ce q u i peut conduire à une anomalie superficielle de l ' i n d u c t i o n magnétique de l'ordre de I gamma ( 1 0 " ' tesla) par MPa, donc peut-être quelques gammas au t o t a l . Pour éliminer les fluctuations du champ, on opère par dilTérencc entre magnétomètres nucléaires distants de quelques dizaines de k m ; cela laisse un bruit de fond du même ordre (un peu inférieur les j o u r s magnétiquement calmes). Le paramètre q u i donne les plus grands espoirs est la résistivité électrique. Elle est peu variable avec la pression p o u r des échantillons secs, en général très peu conducteurs. Mais, comme le m o n t r e la figure 15, cette v a r i a t i o n est considérable p o u r des échantillons saturés d'eau liquide bonne conductrice. Brace et Orange (I968ft) admettent que la pression ferme des pores et diminue la continuité des films liquides correspondants. Si l'échantillon n'est que partiellement saturé, sa résistivité commence cependant par décroître ; o n l'interprète par la réduction des parties occupées par de l'air o u de la vapeur, avec établissement de connexions liquides entre pores voisins. D'autre part, si la pression reste d u même ordre que celles de la figure 15, la porosité augmente avant la fracture et la résistivité d'échantillons
Sec F i G . 15. — Effet de la pression sur un granité. L a droite correspondant à l'échantillon sec représente seulement une l i m i t e inférieure, le système de mesures étant à la limite de ses possi bilités ; la résistivité pouvait atteindre celle d ' u n véritable isolant. L'échan t i l l o n « partiellement saturé » a été desséché puis saturé puis de nouveau desséché jusqu'à perte de 57 % d'eau interstitielle. D'après BRACE et ORANGE, 19686.
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P r e s s i o n , kb
saturés baisse considérablement (Brace et Orange, 1968«). Malheureusement cette réduction risque de passer inaperçue si la fracture intéresse seulement les parties soudées d'une faille superficielle, laissant par ailleurs des passages au liquide conducteur. En fait, des variations de résistivité électrique d u sol o n t bien été enregistrées, mais après les séismes, grâce à un dispositif de Yamazaki, automatisant le quadripôle des prospecteurs
BIBLIOGRAPHIE
65
(Tome Π). O n voit sur la figure 16, superposés à des variations lentes induites par les marées de l'océan voisin, les effets d ' u n grand séisme à 680 k m et d'une de ses répliques. Ces effets correspondent sans doute (Rikitake et Yamazaki, 1969) à des déformations permanentes de l'ordre de 10~2 laissées par le passage des ondes sismiques. Cela ouvre une voie encourageante vers la détection des déformations précédant les séismes proches.
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F I G . 16. — Changements de résistivité enregistrés à l'Observatoire d'Aburatsubo (Japon) les 16 et 17 mai 1968. D'après Y A M A Z A K I , 1968. Les heures de deux séismes (magnitudes 8,0 et 7,5) sont indiquées par des flèches.
Après la prévision, la prévention. O n a songé à éviter les grands séismes au iTioyen d'explosions o u d'injections de puissance croissante, q u i « tâteraient » puis réduiraient les contraintes en i n d u i s a n t de petits séismes o u des glissements continus. BIBLIOGRAPHIE K. A K I , T h . DE FAZIO, P. REASENBERG, A . N U R , 1970. A n active experiment w i t h earthquake fault for an estimation o f the « i n situ » stress, Bull. Seism. Soc. Am., 60, 1315-1336. C. R . A L L E N , A . GRANTZ, J . N . BRUNE, M . M . CLARK, R . V . SHARP, T. G, THÉODORE, E. W . WOLFE, M . WYSS, 1968. The Borrego M o u n t a i n , Caiifornia, Earthquake of 9 A p r i l 1968. Bull. Seism. Soc. Am., 58, 1183-1186. L. E. ALSOP, J . E. OLIVER, editors, 1969. Joint U . S.-Japan Conférence on premonitory phenomena associated w i t h several récent earthquakes and related problems, EOS (Transactions, American Geophysical Union), 50, 376-410. E. M . ANDERSON, 1951. The dynamics offaulting, 206 p., Oliver and Boyd, E d i n b u r g h - L o n don, 2" E d i t i o n . W. F. BRACE, A . S. ORANGE, 1968a. Electrical resistivity changes in saturated rocks d u r i n g fracture and frictional sliding, JGR, 73, 1433-1445. W . F. BRACE, A . S. ORANGE, 1968/). Further studies o f the effects of pressure on electrical resistivity o f rocks, JGR, 73, 5407-5420. D. T. G o u G H , W . 1. G O U G H , 1970. Stress and deflection i n the lithosphère near Lake K a r i b a , GJ, 2 1 , 65-78, L o a d induced earthquakes at Lake K a r i b a , ibid, 79-101. D. H . HaMiLTON, R . L. MEEHAN, 1971. G r o u n d rupture in the Baldv/in hills. Science, 172, 333-344.
66
LES
TREMBLEMENTS
DE
TERRE
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CHAPITRE
3
FROTTEMENT, RUPTURE ET O R I G I N E DES SÉISMES par Louis
1. — L O I S
LLIBOUTRY
DE
FROTTEMENT
l.l. — L o i de Coulomb du frottement solide. — A l'interface entre deux solides existe une couche limite, siège de processus plus o u m o i n s complexes, dont l'épaisseur est de l'ordre de grandeur des rugosités des deux surfaces en contact. L a vitesse relative de p a r t et d'autre de cette couche h m i t e est appelée vitesse de glissement, et les cissions moyennes, directement opposées, qui existent aux frontières de cette couche l i m i t e , parallèlement à elle, le frottement (T). L a l o i de frottement, relation entre vitesse de glissement et frottement peut être déterminée expérimentalement, o u à p a r t i r de l'analyse des processus se produisant dans la couche l i m i t e . N o u s nous bornerons à examiner les cas les plus simples, utiles en particulier dans l'étude d u mécanisme au foyer d ' u n séisme. Lorsque les solides sont réellement en contact, sans fluide interposé, ils ne le sont que sur une très faible f r a c t i o n de ce q u i , à l'échelle macroscopique, semble être la surface de contact et sert à calculer le frottement. (Cela peut être prouvé par des mesures de résistance électrique.) Plusieurs cas sont pos sibles selon la dureté des corps. Avec deux corps très durs, i l n'y a aucune déformation autre qu'élastique aux points de contact. Pour glisser, u n corps d o i t s'écarter imperceptiblement de l'autre en exerçant u n travail contre la pression mutuelle, de sorte à désemboîter les rugosités en vis-à-vis q u i bloquaient le mouvement. Sitôt l'obstacle dépassé, les deux corps se rapprochent, avec dissipation de l'énergie élastique stockée en chaleur. Et ainsi de suite. D'où u n f r o t t e m e n t p r o p o r t i o n n e l à l a pression normale, indépendant de l a vitesse {loi de Coulomb d u f r o t t e m e n t ) . Plus fréquemment i l y aura r u p t u r e des rugosités.
68
FROTTEMENT,
RUPTURE
ET
ORIGINE
DES
SÉISMES
Si l ' u n des corps est m o u , les rugosités de l'autre s'y incrusteront, l'aire de contact dépendant d u seuil de plasticité d u corps m o u et étant p r o p o r t i o n n e l l e à la pression normale. Lors d u glissement, la surface molle sera striée par les rugosités dures. Si o n l'assimile à u n plastique idéal, le frottement sera encore p r o p o r t i o n n e l à la pression normale et indépendant de la vitesse. Lorsque les deux corps sont plastiques, i l y a le plus souvent soudure aux points de contact. Le glissement augmentera l a surface de contact réel et l a cohésion. Ce n'est que par suite des impuretés présentes (oxyde p. ex., s'il s'agit de métaux) que les soudures n'augmentent pas indéfiniment et q u ' u n équilibre s'établit entre leur r u p t u r e plastique et leur création. O n obtient encore une l o i de C o u l o m b . Dans ce chapitre, nous compterons positivement les compressions, c o n t r a i rement à ce q u i a été fait au chapitre 1. L a pression normale (et n o n son opposé) sera désignée par Λ'. L a l o i de C o u l o m b s'écrit alors, / désignant une constante, le coefficient de frottement : (1)
T=fN.
O n notera que p o u r de très fortes pressions, l'aire de contact effectif ne peut s'accroître au m a x i m u m que jusqu'à l'aire totale de l'interface, si bien que la loi de Coulomb cesse d'être valable aux très fortes pressions. R u p t u r e en cisaille ment et glissement tendent alors vers u n seul et même phénomène. I l résulte aussi de cette analyse que, l o r s q u ' u n fluide de viscosité négligeable à la pression Pi (pression interstitielle) se trouve à l'interface, la pression nor male effective (au sens de Terzaghi), N — /?„ d o i t remplacer N ( H u b b e r t et Rubey, 1959). M u r r e l l (1965) a expérimenté sur un grès siliceux avec des pressions N jusqu'à 4 kbars et des pressions interstitielles jusqu'à 2 kbars. Avec le grès, après une fracture franche sur des surfaces où : T = λ(Ν -
/7,.)0·*'
(2)
ces surfaces glissent l'une sur l'autre avec u n frottement : T=f(N-pf-\
(3)
7 . 2 . — Glissement saccadé (stick-slip). — Le f r o t t e m e n t considéré j u s q u ' i c i est le frottement pendant que le glissement s'accomplit, o u frottement cinétique. O n peut définir u n frottement statique, cission nécessaire p o u r amorcer le glissement à p a r t i r de l'état de repos (pas de déplacement r e l a t i f des deux corps). Ce dernier est plus élevé car avec le temps, les soudures o u incrustations ont p u se développer entre les deux corps. Pour provoquer le glissement il faut d ' a b o r d briser u n excédent de liaisons. C o m m e les forces p r o v o q u a n t le glissement n'agissent pas directement sur la couche limite, mais par l'intermédiaire des corps, lesquels sont doués d'une certaine élasticité, ceux-ci se déforment avant la mise en m o u v e m e n t plus que lorsque le glissement est a p p a r u . Si la vitesse relative entre les deux corps
LOIS
DE
FROTTEMENT
69
loin de l'interface, est u n i f o r m e et suffisamment faible, i l peut y avoir à l'interface, grâce à ce j e u f o u r n i par l'élasticité, des cycles de b l o cage et de glissement C'est le stickslip des auteurs anglo-saxons, que nous traduirons par glissement saccadé. Le glissement saccadé entre les deux faces d'une faille suppose donc un milieu suffisamment élas tique et cassant (Byerlee, 1970). A la longue, de la poudre due aux aspérités brisées s'accumule à l'interface et fait cesser le phé nomène. La figure 1 due à Byerlee et Brace montre que les saccades sont favorisées par la pression. Pour une pression latérale p de 420 bars (*) la r u p t u r e d ' u n gabbro est suivie d'une déformation par saccades audibles mais fai bles. A 0,83 kbar la r u p t u r e nécessite une contrainte différen tielle plus importante et l'insta bilité devient apparente. A 5,1 kbars, la faille se bloque et se
5 10 Oéfoivnaf/on ax/o/o
15
20 fenpnur^cenfage)
F I G . 1. — Contrainte différentielle en fonction de la déformation suivant Taxe de Véchantillon, pour un gabbro de San Marcos. Le nombre à l'extrémité de chaque courbe représente la dé f o r m a t i o n . D'après J . D . BYERLEE et W . F . BRACE, 1968.
libère à plusieurs reprises avec des chutes de contrainte énormes. Des phénomènes analogues avaient été trouvés par B r i d g m a n dès 1960 sur des échantillons minces entre enclumes tournantes.
2. — MÉCANISMES
DE
RUPTURE
2.1. — S t a b i l i t é des corps pulvérulents et rupture des corps granuleux. — Considérons d'abord le cas d ' u n corps granuleux n o n cohérent (sable). Sur une surface de « r u p t u r e » s'exerçaient juste avant la r u p t u r e une pression N et une cission T. En admettant la l o i de C o u l o m b le l o n g de cette surface, i l s'ensuit qu'il y a rupture lorsque au sein de l'échantillon existent des plans p o u r les quels T atteint la valeur Λ' t g φ. Les demi-cercles de M o h r doivent donc être en dessous de la droite T = N tgφ p o u r q u ' i l n'y ait pas r u p t u r e , et le plus (*)
1 bar -
10" baryes (unité c. g. s) •— 10^ pascals (unité S. L ) = 0,1 M P a .
70
FROTTEMENT,
RUPTURE
ET
ORIGINE
DES
SÉISMES
grand des trois demi-cercles l u i sera tangent lorsqu'apparaîtra la rupture (Fig. 2ά). Ce cercle ayant p o u r r a y o n (N3 — N i ) / 2 , et son centre se t r o u v a n t sur l'axe des N à la distance ( N 3 - f N,)/2 de l ' o r i g i n e , i l s'ensuit :
(1)
NTTwr'''^ Donnons-en deux applications immédiates :
1° L a pente maximale α d ' u n talus de sable sera φ. E n effet sauf aux extré mités, les contraintes ne dépendent que de la distance à la surface. Les équa tions d'équilibre donnent alors, pg désignant comme t o u j o u r s le poids spé cifique : τ.., = pgy cos α τ . , Κ =
τ^^ = pgy sin α
(2)
r/7V = t g a .
(3)
2 " Considérons u n sol h o r i z o n t a l homogène q u i atteint la l i m i t e de rupture. Par raison de symétrie, à la p r o f o n d e u r z l'une des contraintes principales est verticale et vaut pgz ( o n néglige la pression atmosphérique q u i se superpose à toutes les pressions). M a i s ce peut être N 3 o u N i . L e u r r a p p o r t vaut :
^ = f ^ ^ = tg^i?- + 45°) = K > l . TV, 1 - sm ç> ^ \2 /
(4)
Les deux autres contraintes principales sont horizontales et égales. Elles peuvent valoir pgz/K (état passif de Rankine) o u pgzK (état a c t i f de Rankine).
F i a . 2. a) « Rupture » d'un corps pulvérulent. b) Rupture d'un corps granuleux, selon COULOMB.
Passons m a i n t e n a n t au cas où des liaisons fragiles existent entre les grains (grès par exemple). O n admet en général q u ' i l suffit de remplacer la droite T = fN par la d r o i t e T = TQ + fN ( F i g . 2b). Toutefois o n peut démontrer que dans la région des N négatifs (tractions), la courbe l i m i t e d o i t atteindre perpendiculairement l'axe des Λ'. L o r s q u ' u n corps pulvérulent est imbibé de fluide, celui-ci peut se glisser entre tous les grains. L a cohésion entre les grains n'est plus assurée que par la contrainte effective de Terzaghi (contrainte totale, à l'échelle macroscopique, moins contrainte dans le fluide). Ce n'est plus aussi simple dans une roche poreuse ; ce n'est que p o u r une roche très poreuse ( o u microfissurée), où presque tous les pores c o m m u n i q u e n t entre eux, q u ' o n peut conserver, en
MÉCANISMES
DE
71
RUPTURE
première approximation, la n o t i o n de contrainte effective ( N u r et Byerlee, 1971). 2.2. — Différents mécanismes de rupture. — Les essais de résistance des matériaux donnent toujours des résultats très dispersés, car la r u p t u r e d ' u n échantillon dépend de sa taille, de l'état de sa surface, de l'existence en son sein de microfissures o u de vacuoles, de la vitesse d ' a p p l i c a t i o n des contraintes. Ce n'est qu'en négligeant tous ces phénomènes q u ' o n peut parler d'une limite de rupture (en anglais ; hreaking strength). Lorsqu'elle est faible, le corps sera dit fragile (en anglais : weak). Pour y voir plus clair i l faut dès le départ envisager le mécanisme de rupture. Pour la rupture des verres o u à l'intérieur des grains d ' u n polycristal ( r u p t u r e intracristaUine) on en reconnaît trois : )o L a rupture cassante (anglais : brittle), s'observe sous des pressions moyennes ρ faibles et à température suffisamment basse, sans q u ' o n a i t quitté le domaine élastique. Elle p r o v i e n t d u développement de microfissures pré existantes. Dans les verres (et le quartz) la p r o p a g a t i o n de la microfissure se fait dans une direction f o n c t i o n de l'état de c o n t r a i n t e (et n o n de l ' o r i e n t a t i o n de la microfissure i n i t i a l e ) , d i r e c t i o n q u i varie a u cours de l a p r o p a g a t i o n ; la surface de rupture est courbe, conchoïdale. Dans l a p l u p a r t des corps cris tallisés, la rupture cassante se fait selon u n plan cristallographique. Elle est alors appelée fracture par clivage. U n e forte pression moyenne p, en refermant les microfissures, rend plus difficile la r u p t u r e cassante. 2° La rupture plastique, o u ductile, est précédée p a r d u fluage. Elle est sou vent due à une striction (anglais : necking) interne, entre des vacuoles o u d'une extrémité à l'autre d ' u n grain. C o m m e le seuil de plasticité s'abaisse l o r s q u ' o n élève la température, un corps cassant présentera une r u p t u r e ductile a u dessus d'une certaine température absolue : environ 0,1 7 } ( 7 } étant l a t e m pérature absolue de fusion) dans le cas des métaux, et e n v i r o n 0,5 Tf dans le cas des cristaux ioniques. Encore f a u t - i l que le fluage a i t le temps de j o u e r . Si la contrainte s'élève très brusquement, la vitesse d'accroissement des m i c r o fissures devient supérieure à la vitesse de déplacement des dislocations q u i commande le fluage et la r u p t u r e devient cassante. 3" Dans la rupture élasto-plastique, le seuil de plasticité n'est dépassé que très localement, juste à l'extrémité de la fente. Bien que le mécanisme local soit toujours la striction interne, i l s'ensuit une c o n d i t i o n de r u p t u r e analogue à celle nécessaire p o u r l a p r o p a g a t i o n d'une fissure dans la r u p t u r e cassante ( c f Cottrell, (1964), p. 352 et 363). Dans u n corps p o l y c r i s t a l l i n , l'existence des j o i n t s de g r a i n peut arrêter l a propagation d'une r u p t u r e cassante (cela rappelle le fait que des câbles d'acier, ou des plaques soudées entre elles seulement par points, résistent mieux à l a rupture que des barreaux o u des plaques ininterrompues, de même section totale). Mais l'existence de plusieurs types de cristaux de duretés différentes COULOMB et JOUtRT — 1
4
72
FROTTEMENT,
RUPTURE
ET
ORIGINE
DES
SÉISMES
peut au contraire, en faisant naître des contraintes locales très élevées, favoriser la r u p t u r e . 11 peut de plus y avoir rupture aux joints de grain, par coalescence de lacunes d u réseau en vacuoles, puis de vacuoles entre elles, sans que la c o n d i t i o n de r u p t u r e cassante soit atteinte. Des gouttelettes d'une phase l i q u i d e , si elles existent, peuvent probablement p r o v o q u e r une r u p t u r e analogue : c'est une éventualité à ne pas négliger p o u r expliquer les séismes. Les orientations différentes des réseaux cristallins par r a p p o r t aux contraintes principales f o n t que dans un corps p o l y c r i s t a l l i n , même p u r , o n puisse observer des cas mixtes. 2.3. — I n i t i a t i o n de la rupture cassante. — En 1924 GriflRth a établi une théorie de la r u p t u r e cassante que nous exposerons sous une forme simplifiée en supposant le problème plan. Soit une fissure de longueur L, épaisseur D. Sa f o r m a t i o n suppose u n glissement angulaire de l'ordre de DjL radian et donc une contrainte macroscopique σ « pDjL (μ étant la rigidité), à u n facteur numérique près. A u x extrémités de la fissure cette c o n t r a i n t e est multipliée localement p a r u n facteur de l ' o r d r e de D/b, si b est l a distance entre deux couches d'atomes, et v a u t donc : oD/b »
L|μb .
(5)
Pour que la microfissure s'agrandisse, cette contrainte locale d o i t vaincre la force d ' a t t r a c t i o n par unité d'aire entre couches d'atome, soit σ„. D'où la c o n d i t i o n : L > ba, μ/σ^ .
(6)
Numériquement σ„ peut être estimé par la charge de r u p t u r e de fibres de verre o u de poils métalliques (whiskers) exempts de microfissures σ„χ 10* bars. C o m m e b v 1 0 " ' ° m, μ x 1 0 ' bars, une charge de r u p t u r e σ » 1 0 ' bars implique L > 1 micron. Des microfissures de l ' o r d r e d u m i c r o n existent toujours dans les verres, c o m m e dans beaucoup de roches. (Dans les métaux de telles microfissures n'existent pas normalement, mais peuvent apparaître à la suite d ' u n empile ment de dislocations o u d'une polygonisation. C f Friedel, 1964, p p . 326-346.) Dans la théorie de G r i f f i t h complète o n calcule les contraintes a u t o u r d'une cavité de forme ellipsoïdale. E n première a p p r o x i m a t i o n , p o u r u n ellipsoïde très a p p l a t i , o n trouve u n critère de r u p t u r e de M o h r , la courbe intrinsèque ( c f Chap. 1) étant la parabole : = 4 K(N
+ K).
(7)
L a charge de r u p t u r e en t r a c t i o n est — K, les fissures q u i se développent étant alors perpendiculaires à la t r a c t i o n . L a charge de r u p t u r e en compression est 8 K, les fissures q u i se développent étant à 60° de la compression ( F i g . 3). Cette courbe intrinsèque n'est pas conforme aux résultats expérimentaux de M c C l i n t o c k et W a l s h . P o u r expliquer leurs résultats, ces auteurs admettent
MÉCANISMES
que sous l'effet de compres sions les fissures se referment, et qu'intervient alors u n f r o t tement entre leurs faces, avec un coefficient de f r o t t e m e n t tg φ élevé (voisin de l'unité). Selon Brace (1960), p o u r > 0 i l faut alors remplacer la courbe intrinsèque (7) p a r la droite de C o u l o m b : Ττ^ΙΚ+ΝΧζψ. Introduisons tangence :
DE
RUPTURE
73
F I G . 3. — Critère de rupture selon la théorie de Griffith (1) et selon celle de M C C L I N T O C K et W A L S H (2).
(8) Γ„, = (σ^ — σ^)/2 et N,„ = {σ^ + σ^)/!. A l o r s au p o i n t de
T = T„ cos φ
N = N„-
sin φ
(9)
et le critère de r u p t u r e s'écrit : T„ — N„, s'm φ + 2 K cos φ .
(10)
Les expériences de M o g i (1971) sur les roches o n t montré que la r u p t u r e cassante se produisait en réalité lorsque la cission efficace τ atteignait une cer taine valeur, f o n c t i o n croissante de N„,. A u t r e m e n t d i t i l faut que l'énergie élastique de distorsion τ'Ιμ, atteigne une certaine valeur, f o n c t i o n croissante de N„, (et n o n pas de p = (σι + σ2 + σ^ιβ comme c'est le cas p o u r le seuil de plasticité). ( C f C h a p . 1 , § 5 . 1 ) . 2.4. — Développement de la rupture cassante, à la pression atmosphérique. — En réalité la théorie précédente est inexacte, en ce sens que : 1) même dans un corps amorphe une microfissure q u i a atteint la longueur c r i t i q u e ne s'ac croît pas indéfiniment jusqu'à traverser l'échantillon de p a r t en p a r t et p r o v o quer sa r u p t u r e ; 2) la d i r e c t i o n de la fente q u i apparaît n'est pas celle de la microfissure initiale. Les phénomènes o n t été étudiés en détail par L a j t a i (1971). Que la fente ne suive pas la d i r e c t i o n de la microfissure se c o m p r e n d aisément si l ' o n considère qu'il s'agit d'une r u p t u r e par clivage, en t r a c t i o n . Elle est due à ce que, lorsque f échandllon est soumis à une compression uniaxiale d'ensemble, au voisinage d'une microfissure apparaissent des zones en t r a c t i o n , obliques p a r r a p p o r t à la direction de la compression ( F i g . 4). E n effet sur les parois de la microfissure la contrainte n o r m a l e d o i t être nulle, ce q u i entraîne une extension élastique dans la direction perpendiculaire. L a première fente q u i apparaît se propage dans l'une de ces zones en t r a c t i o n . Lajtai a ensuite étudié le développement des fentes dans un modèle amplifié, où le corps a m o r p h e était remplacé par u n corps m i c r o g r e n u , le plâtre de
74
FROTTEMENT
RUPTURE
ET
ORIGINE
DES
SÉISMES
Paris, et l a microfissure par une cavité aménagée lors de la prise d u plâtre. Les résultats sont schématisés figure 5.
B F I G . 4. — Zone en traction (en blanc) au voisinage cTune cavité très (au bas de la figure) lorsque l'échantillon est soumis à une compression. A)
applatie
Compression à 45° de la cavité.
B) Compression perpendiculaire à la cavité. Les courbes d'égale valeur de la traction principale ont été tracées. Pour une compression parallèle à la cavité la zone en traction est t r o p petite pour pouvoir être représentée à l'échelle de la figure. D'après LAJTAI, 1971.
F I G . 5. — Développement de fentes à partir d'une cavité aplatie, d'après les expé riences de LAJTAI (1971). Les nombres cor respondent à leur ordre d ' a p p a r i t i o n . 1) Première rupture en t r a c t i o n . 2) R u p ture par cisaillement (2a : perpendiculaire à l'arête de la cavité ; 2b : parallèle à cette arête). 3) Rupture en traction partir d'une fracture par cisaillement. 4) Fracture en traction lorsque les bords de la cavité viennent en contact. 5) Zone cisaillée.
MÉCANISMES
DE
RUPTURE
75
Les choses se compliquent beaucoup évidemment lorsqu'il y a de nombreuses microfissures initiales dans toutes les directions, et encore plus, comme nous l'avons dit dans un corps polycristallin (nous revenons à l'échelle véritable, au matériau réel). T o u t une série de microruptures, qu'on ne p o u r r a i t abor der que par la statistique, provoque de la dilatance, un fluage cassant (Chap. 1), puis finalement parfois la r u p t u r e complète de l'échantillon. Expérimentalement les m i c r o r u p tures qui précèdent la r u p t u r e c o m Fie;. 6. — Position des microfractures plète d'un échantillon de granité o n t dans un échantillon de granité, avant et été étudiées par Scholz (1968), à l'aide après le moment où la porosité augmente énormément (95 % de la contrainte de d'une détection acoustique soignée. rupture). D'après Sciioi.z, 1970. Avec le temps les m i c r o r u p t u r e s se concentrent au voisinage d u plan de la faille qui constitue la r u p t u r e finale ( ig. 6). 2.5. — Rupture ductile par striction. — L a déformation plastique peut devenir instable et « s ' e m b a l l e r » localement jusqu'à la r u p t u r e de plusieurs façons. Considérons d'abord un fil de section S que l ' o n étire avec une force F = oS. 11 peut se faire que la section d i m i n u e suffisamment vite p o u r que, bien que (7 croisse, / " d i m i n u e . Dès que cela se p r o d u i t dans une région, dans les autres σ diminue et toute déformation est stoppée. L a section instable seule s'étrangle, c'est la striction ( F i g . 7). Pour que cela se produise i l faut dFjaa aFIF
F I G . 7. — Striction
< 0. O r :
= άσίσ + àSIS .
d'une éprouvette et fracture
ductile par striction
(11)
interne.
FROTTEMENT,
76
RUPTURE
ET
ORIGINE
DES
SEISMES
La déformation plastique se faisant sans changement de volume, dS/S=
- de,
si l ' o n appelle ε l'allongement vrai o u l o g a r i t h m i q u e {da = dL/L et n o n pas dL/Lo). Par ailleurs p o u r un corps subissant l'écrouissage (12)
σ = Cer avec 0,1 < m < 0,3. D'où : dε = - ^ ^ . m σ
(13)
La relation (11) donne alors
/ et la c o n d i t i o n d'instabilité dFjda
σ
\
ml
< 0 devient (15)
&>m.
Souvent cette striction sera « interne », c'est-à-dire entre des p o r t i o n s limitées par des vacuoles, des fissures, des j o i n t s de g r a i n . Elle ne peut être obtenue avec u n corps massif ( D e même l'inverse de la striction n'est pas observé lors d'essais en compression, car l'échantillon d o i t être c o u r t p o u r éviter t o u t flambage.) L a striction peut aussi s'observer lors d ' u n fluage permanent, sans écrouissage. Si par exemple la relation (12) est remplacée par une l o i de déformation (16)
σ = Cè"" l'analyse précédente reste valable et la striction apparaît lorsque ε >
1/«.
2.6. — R u p t u r e ductile par échauffement local. — U n e autre instabilité d u fluage à charge constante peut apparaître lorsque la déformation est suflSsamment rapide p o u r que la chaleur qu'elle engendre n ' a i t pas le temps de se dissiper. Supposons qu'une couche d'épaisseur ô, perpendiculaire à oz, subisse un cisaillement p u r , avec des vitesses toutes parallèles à ox. τχζ et γχζ sont alors identiques aux variables efficaces τ et }·. L'équation gouvernant la température T{z, t) s'écrit, la capacité calorifique par unité de volume Cp et la conductibilité thermique Λ' étant exprimées en unités mécaniques : Cp dTjdt = K d^TIdz^ + γτ .
(17)
Soient 7Ό(ζ), }>„, τ„, les valeurs de régime, satisfaisant à : K d2Tol8z2 +
τ „ --= 0 .
(18)
APPLICATION
AUX
77
SÉISMES
Considérons une très petite perturbation de température T\, assujettie à s'annuler aux extrémités de la couche ; bornons-nous au mode fondamental : (19) où 0 n'est fonction que d u temps t. Si la contrainle tion ;
τ est fixe, γ varie comme e x p ( — E / R T ) et subit donc une petite perturba E
(20)
'RT^ L'équation de la chaleur (17) devient alors : -
"ôi-RTir
0.
(21)
Il y aura croissance exponentielle de la température, et donc instabilité, si le crochet est négatif, c'est-à-dire si ô'- EyrlKRr-
> π'- .
(22)
varie comme exp(—£//?Γ) avec EjR * 40 000 à 60 000 deg. (cf. Chap. 2). Même aux températures élevées existant au sein d u globe γΙΤ^ est donc une fonction rapidement crois sante de T. A u fur et à mesure que la température s'élève δ peut donc être plus petit, c'est-àdire l'instabilité se concentrer dans une zone plus étroite. Des calculs plus exacts conduisent à remplacer au deuxième membre de l'inéquation (22) 7γ2 par 0,88 (Griggs et Baker, 1969). Supposons maintenant que ce soit la différence de vitesse entre les deux extrémités de la couche qui soit fixe et égale à Δί/. La contrainte τ est toujours indépendante de z, mais peut être perturbée et variable au cours d u temps. L a viscosité est supposée newtonienne et variable comme e x p ( — E / R T ) . En posant comme précédemment 7 " = T„ r 0 cos (nzjS), i ! vient alors : r + s/2 A« -
c+a/2
dz -
τ
-' -(S/2
dz
δτ
'7ο
-â/2
I
-;
2E0_ nRf:
(23)
;τ - T2/// n'est plus, même en première a p p r o x i m a t i o n , une fonction linéaire de 7Ί et le calcul approché précédent est impossible. Toutefois i l est facile de calculer la chaleur totale dégagée dans la couche , γτ dz -s/2
, τ.Au
(Δ«)2„„ —.—^
2EU_ 'nRTl
(24)
Elle décroît lorsque la température s'élève et donc le régime est, cette fois, stable. Nous reviendrons sur cette différence de comportement à la f i n d u chapitre.
3. — A P P L I C A T I O N A U X SÉISMES
Les séismes superficiels o n t toujours des répliques et très souvent des pré curseurs. Us n'en o n t plus lorsque le foyer est à plus de 20 k m de p r o f o n d e u r , précurseurs et répliques disparaissent ( C h a p . 2).
78
l-ROTTEMENT,
RUPTURE
ET
ORIGINE
DES
SÉISMES
3.1. — L e s contraintes. — O n verra (Chap. 14) comment o n peut estimer la chute de contrainte lors d u séisme, p o u r chaque profondeur. Les valeurs calculées sont généralement faibles, inférieures à 100 bars. Brune, Henyey et Roy (1969) o n t obtenu une l i m i t e supérieure d u même ordre p o u r la contrainte de frottement en e x p r i m a n t le fait que la faille de San Andréas ne m o n t r a i t aucune anomalie d u Ilux de chaleur superiiciel malgré ses glissements continus ou discontinus. F,n comparant raugmentation d"éncrgic élastique d ' u n paraucupipède allongé, duns lequel se forme une fissure de G r i f l l l h , à l'énergie des ondes émises, Orowan trouve des valeurs de quelques dixièmes de bar seuiement pour !a chute de contrainte. Mais son raisonnement suppose le déplacement des lèvres infiniment lent, il introduit dans son calcul une attraction fictive entre lèvres, variable pendant le déplacement, et qui limite celui-ci, en sorte qu'une partie de l'énergie élastique, et l'énergie qui se serait transformée en chaleur pendant le déplacement supprimé, restent dans le corps. Ce calcu', souvent cité, est donc sujet à caution ( C o u l o m b et Jobert. 1967).
3.2. — Foyers superficiels. — O n verra a u chapitre 14 la d i s t i n c t i o n entre séismes à foyer superficiel et séismes à foyer p r o f o n d . L'eifet des premiers peut descendre assez bas : la faille d u grand séisme de l ' A l a s k a (1964) aurait atteint 100 à 200 k m de profondeur d'après Press. Les p r o f o n d e u r s focales sur la faille de San Andréas ne dépassent pas 10 à 15 k m . O n suppose que cette faille traverse néanmoins toute la lithosphère (Chap. 1) mais que ses parties basses j o u e n t par glissement c o n t i n u . Les précurseurs des grands séismes rappellent les microfractures audibles précédant la fracture d ' u n échantillon. Scholz (1968) et autres q u i o n t étudié les microfractures considèrent qu'ils étudient ainsi en laboratoire des iriodèles réduits de séismes. Ces résultats ont relancé les tentatives de prévision acoustique des éclate ments de roches o u « coups de t o i t » dans les mines, tentatives r e m o n t a n t à 1939 (E. A . Hodgson ; H . Labrouste). D ' a u t r e part, ils o n t poussé à organiser des observations temporaires de « microsecousses » jusque-là négligées. Elles se présentent souvent en essaims, n o t a m m e n t sur les dorsales (Sykes) et per mettent de délimiter des failles actives ; mais elles donnent peu d'indications sur la sismicité réelle, car les séismes i m p o r t a n t s en sont statistiquement indé pendants (Francis et Porter, 1971). A une échelle de temps plus longue, la succession de grands séismes inté ressant une même faille fait immédiatement penser a u glissement par saccades. Les faits semblent résumés dans la figure 8, due à Brace (1969). A déformation croissante, o n q u i t t e le domaine élastique ( 1 , 2) lorsque apparaissent des m i c r o r u p t u r e s et d u fluage cassant (3, 4). Puis apparaît une faille, q u i se bloque par suite d u frottement (5). I l y a alors à nouveau déformation élastique (6), puis glissement entre les lèvres de la faille, de plus en plus aisée à mesure que ses rugosités disparaissent (7). Si ce glissement au contraire demandait un effort croissant, le cycle se r e p r o d u i r a i t . Selon Walsh (1971) l'élasticité des terrains
APPLICATION
autour d ' u n foyer sismique est bien plus grande que dans ces expériences de laboratoire, mais cela ne peut que faciliter l ' a p p a r i t i o n des saccades.
AUX
79
SÉISMES
FAILLE
Dans les expériences de Brace et Byerlee (1970) sur le glissement par saccades (§ 1.2), les saccades disparais sent au-dessus d'une certaine tempéra CONTHAINTF ture. Jusqu'à une pression normale de quelques kbars, la l i m i t e entre le glis sement saccadé et c o n t i n u est voisine de la droite /(»C) » 0,1 p ( b a r ) , q u i correspond en gros à la v a r i a t i o n de Crfjl.'i.'iiinnp rlp Ια fi;ss;ir-';température dans les premiers k i l o "Elastique mètres de la croûte. M a i s au-delà, la Defbrmatiun température dans le G l o b e croît moins vite et le glissement par saccades F I G . 8. — Evolution idéale de ta devrait devenir la règle, alors q u ' a u contrainte en fonction de la déformation contraire les foyers se font rares. Il en compression triaxiale. D'après W . F . BRACE, 1969. doit falloir tenir compte de l'imprégna tion de la roche par l'eau ( d ' i n f i l t r a t i o n ou juvénile, mais en t o u t cas surcritique au-dessus de 374 " C et chargée en sels). Ce n'est plus la pression ρ q u i applique les deux bords de la faille l'un contre l'autre, mais seulement la pression effective /; — /;,·, p, étant une pression interstitielle f o n c t i o n d u débit dans la faille (c'est-à-dire de la perméa bilité de la roche) et des vides créés par le coulissage. N o r t h r o p et al. (1970), étudiant les séismes d u Pacifique Sud-Est, liés à la séparation de deux plaques de lithosphère à des vitesses connues (cf. T o m e I I ) ont trouvé que les moments sismiques (Chap. 14) et la vitesse moyenne de glissement due aux séismes décroissent linéairement lorsque la vitesse de séparation des plaques croît de 3 à 6 cm/an. Les séismes disparaîtraient donc aux grandes vitesses de fluage. M a i s dans le cas présent ces grandes vitesses semblent liées à des températures plus élevées (flux de matière chaude vers le haut plus grand) bien plus qu'à des contraintes plus élevées. 3.3. — Foyers profonds, — L ' e x p l i c a t i o n des foyers profonds n'est pas aussi évidente. L'idée, souvent reprise, que ces séismes soient dus à des i m p l o s i o n s consécutives à des changements de phase, n'a p u être retenue ; d'ailleurs ils restent dans la lithosphère, q u i plonge dans certaines régions ( 1 4 . 5 . 2 et Tome I I ) . On a souvent d i t que la l o i de C o u l o m b d u f r o t t e m e n t c o n d u i t à des f r o t t e ments entre lèvres de la faille d u même ordre de grandeur que la charge des terrains, et donc totalement inadmissibles. En réalité l o r s q u ' o n examine d'où provient la l o i de C o u l o m b (§ 1.1), o n v o i t qu'elle n'est plus applicable. A
80
FROTTEMENT,
RUPTURE
ET
ORIGINE
DES
SÉISMES
l'échelle microscopique, le contact est effectif p a r t o u t entre les deux surfaces en contact. U n cisaillement intense dans une zone très mince d o i t remplacer le glissement d'une surface sur une autre. U n'est donc p o i n t besoin d'imaginer une eau juvénile venant lubréfier les surfaces en contact. Sous de telles pressions la roche n ' a d'ailleurs plus aucune perméabilité due à sa microfissuration et une telle venue d'eau serait impossible. M a i s l'eau juvénile peut agir autrement, en f a c i l i t a n t la recristallisation et rendant la matière plus fluide. C'est ce q u ' o n t montré Carter et A v e ' Lallemant en c o m p a r a n t la vitesse de fluage p o u r une dunite sèche et une d u n i t e imprégnée d'eau, sous une pression hydrostatique de 15 kbar. L a principale source d'eau juvénile à laquelle o n pense est celle q u i p r o v i e n t de la déshydratation de la serpentine, dans laquelle Hess v o i t u n matériau i m p o r t a n t de la croûte océanique. De fait Raleigh et Paterson (1965) o n t trouvé que vers 500 " C la serpentine, aussi rigide que d u granité à la température o r d i n a i r e , devient plastique ( F i g . 9). L a figure 10, empruntée à T o w l e et Riecker (1969) m o n t r e que le phénomène a lieu même p o u r une roche ne renfermant que 5 % de serpentine. N o t o n s , à ce sujet que la déformation plastique, permettant une meilleure m i g r a t i o n des ions, accélère les t r a n s f o r m a t i o n s chimiques à l'état solide. A la différence des fortes pressions hydrostatiques, elle ne modifie guère les
DUCTILE
200
600
.400
Température FiG. 9 .
i°C)
15
20
25
Pression (kb)
30
35
F I G . 10.
F I G . 9 . — Domaine de ductilité et de fragilité pour une serpentine a) Peu résistant ; b) Résistant. D'après RALEIGH et PATERSON, 1965.
de Tumut
Pond.
F I G . 10. — Résistance à la cission d'une olivine à 5 % environ {en poids) de ser pentine. Remarquer la grande chute de résistance entre 300 "C et 500 " C , due à la déshydratation. D'après TOWLE et RIECKER, 1 9 6 9 .
BIBLIOGRAPHIE
81
équilibres chimiques, car les variations d'énergie libre (liées à l'élasticité) sont très faibles. Toutefois le rôle des contraintes anisotropes et d u fluage peuvent devenir appréciables l o r s q u ' i l ne s'agit que de simples changements de phase ; ségrégation de films de magma au sein d ' u n solide ( I d a , 1970), t r a n s f o r m a t i o n de l'enstatite en clinoenstatite (Riecker et R o o n e y , 1967). Elévation de température et libération de molécules d'eau et peut-être de films de magma sont des phénomènes q u i d i m i n u e n t la viscosité, « fluidisent » la roche. Le phénomène peut s'emballer et conduire à une fracture ductile, a-t-on v u , si les contraintes restent fixes, pas si les vitesses difiTérentielles restent fixes. Qu'en est-il au juste dans le G l o b e ? A l'échelle de toute la plaque de h t h o sphère, i l est très probable que les forces extérieures (pesanteur, poussées aux bords, entraînement hypothétique par des courants de convection) restent inaltérées au cours d u processus relativement rapide q u i a b o u t i t à u n séisme. 11 n'en va plus de même à l'échelle de la zone réduite intéressée par le séisme ; cette fois o n peut considérer les mouvements relatifs de cette zone et des zones voisines comme imposés et fixes. Seulement c'est oublier q u ' o n a affaire à un problème de visco-élasticité et non pas de simple viscosité (newtonienne o u n o n ) . Les déplacements relatifs, intéressant de très grands volumes, produisent d ' i m p o r t a n t e s déformations élastiques. Si la viscosité dans une couche chute et si la déformation s'y accé lère, ce d o i t être au détriment de la déformation élastique de t o u t l'ensemble. Si cet ensemble est très g r a n d , la c o n t r a i n t e varie peu, et la déformation de la couche peut devenir instable. L'intense chaleur de déformation dans la zone où se concentre le cisaille ment doit rapidement c o n d u i r e à l ' a p p a r i t i o n d ' u n disque de matière f o n d u e . En négligeant t o u t le processus d'emballement o n peut alors adopter le modèle suivant : dans u n m i l i e u déformé élastiquement apparaît brusquement u n disque sur la surface d u q u e l la cission est nulle ( C h a p . 13, 14). L'étude des ondes de v o l u m e émises c o n d u i t L i n d e et Sacks (1972) à admettre que tel est bien le cas p o u r les séismes p r o f o n d s d'Amérique d u Sud. Le disque de magma a u r a i t de 3 à 60 k m de diamètre.
BIBLIOGRAPHIE
w . F. BRACE, 1960. A n extension o f the Griffith theory o f fracture to rocks, JGR, 6 5 , 34773480. W, F. BRACE, 1969. Laboratory studies pertaining to earthquakes, Trcms. New Yorl< Acad. Se, I I 3 1 , 892-906. W. F. BRACE, J . D . BYERLEE, 1970. Caiifornia earthquakes : W h y only shallow focus ? Science, 1 6 8 , 1573-1575. J. N . BRUNE, T h . L. HENYEY, R . F. ROY, 1969. Heat flov/, stress and rate o f slip along the San Andréas fault, Caiifornia, JGR, 7 4 , 3821-3827. J. D . BYERLEE, 1970. The niechanics o f stick-slip. Tectonophysics, 9, 475-486.
82
FROTTEMENT,
RUPTURE
ET
ORIGINE
DES
SÉISMES
A . H . COTTRELL, 1964. The mechanicalproperties of matter. J . Wiley & sons, 430 p. J. COULOMB, G . JOBERT, 1967. L'énergie libérée dans les séismes et la théorie d'Orowan, Bull Soc. Roy. des Se. de Liège, 36" année, 32-37. T . J . G . FRANCIS, I . T . PORTER, 1971. A statistical study o f the M i d - A t l a n t i c ridge earthquakes, GJ, 2 4 , 31-50. J . FRIEDEL, 1964, Dislocations. Pergamon Press, 491 p. D . T . GRIGGS, D . W . BAKER, 1969. The o r i g i n o f deep-focus earthquakes, pp. 23-42 i n Properiies of matier under unusual conditions. Ed. : H . M a r k , S. Fernbach, Interscienee Publishers, p. 23. M . K . HuBBERT, W . w . RUBEY, 1959. Rôle o f fluid pressure i n mechanics o f overthrust fau!t i n g . Bull. Geol. Soc. Amer., 7 0 , 115-166. Y . IDA, 1970. T h c r m o d y n a m i c problems related to g r o w t h of magma, JGR, 7 5 , 4051-4062. E. Z . LAJTAI, 1971. A theoretical and expérimental évaluation o f the Grifïith theory o f brittle fracture. Tectonophysics, 1 1 , 129-156. A . T . LINDE, 1. S. SACKS, 1972. Dimensions, energy and stress release for South A m e rican deep earthquakes. JGR, 7 7 , 1439-1451. K . M o c i i , 1971. Effect o f the triaxial stress system on the failure o f dolomite and limestone. Tectonophysics, 1 1 , 111-127. S. A . MuRRELL, 1965. The effect o f triaxial stress system o n the strength o f rocks at atmospheric pressures. GJ, 1 0 , 231-281. J . NORTHROP, M . F. MORRISON, F. K . DUENNEBIER, 1970. Seismic slip rate versus sea-floor spreading rate on the Eastern Pacific Rise and Pacific Antarctic Ridge. JGR, 7 5 , 3285-3290. A . N U R , J . D . BYERLEE, 1971. A n exact effective stress law for elastic déformation o f rocks w i t h fluids, JGR, 7 6 , 6414-6419. C . B . RALEIGH, M . S. PATERSON, 1965. Expérimental déformation o f serpentinite and its tectonic implications, JGR, 7 0 , 3965-3985. R . E. RIECKER, T . P. ROONEY, 1967. Déformation and p o l y m o r p h i s m o f enstastite under shear stress. Bull. Geol. Soc. Amer., 7 8 , 1045-1054. C . H . SCHOLZ, 1968. Expérimental study o f the fracturing process i n brittle rock, JGR, 7 3 , 1447-1454. L . C . TOWLE et R. E. RIECKER, 1969. Shear strength o f grossly deformed solids. Science, 1 6 3 , 41-47. J . B . WALSH, 1971. Stiffness in faulting and i n friction experiments, JGR, 7 6 , 8597-8598.
CHAPITRE
4
MÉCANIQUE DES M I L I E U X CONTINUS : ÉQUATIONS TENSORIELLES. THERMO-ÉLASTICITÉ par Georges JOBI;RT
L'exposé d u chapitre 1 a été fait en utihsant systématiquement u n système de coordonnées cartésiennes. L a géométrie d u problème étudié impose souvent un choix différent ; par exemple si l ' o n veut traiter u n problème global p o u r la Terre o n d o i t avoir recours à u n système de coordonnées sphériques. N o u s allons reprendre rapidement les calculs conduisant aux expressions des déformations et des contraintes dans un système de coordonnées générales (χ') en d o n n a n t les formules par ticulières utilisées par la suite (coordonnées sphériques, coordonnées cylindriques). N o u s utiliserons aussi par la suite des coordonnées abso lument générales p o u r étudier la géométrie des rais sismiques.
1. —
DÉFORMATIONS
— Tenseur des déformations. — Désignons par x' ( / = 1, 2, 3) les coordonnées d ' u n p o i n t p. U n p o i n t i n f i n i m e n t voisin p' aura p o u r coordonnées x' + àx', les quantités d.v' étant i n f i n i m e n t petites. E n ne faisant varier qu'une coordonnée à la fois, x^ par exemple, o n obtient un p o i n t voisin, et o n définit u n vecteur de base, g i par : PPi = g i d x '
(Fig. 1).
Les vecteurs de base g,- sont tangents en p aux lignes de coordonnées passant par p. E n utilisant la convention habituelle grâce à laquelle on supprime le symbole ^ q u a n d u n même indice littéral intervient
4
ÉQUATIONS
TENSORIELLES.
THERMO-ÉLASTICITÉ
deux plus) bre peut de p
fois (et deux fois au dans u n même m e m d'une équation, o n écrire p o u r p' voisin :
pp' = g , . d x ' ( = X g , d x ' j .
L a longueur as de ce vecteur est donnée par : = pp'^ = g;d.v'.g^. dA-^' =
άχ'
àx'
en posant gij = g i - g j ·
F I G . 1. — Trièdre locat du point et trièdre du point P(Gt).
L'ensemble des neuf quantités g^j constitue le tenseur métrique du système de coordonnées choisi. Ce tenseur est évidemment symétrique : gij = gji.
p(Si)
( V o i r p. e. ( B r i l l o u i n , 1946) ( G o n t i e r ,
C)
1969).)
A la suite de la déformation les points p et p' sont venus respectivement en P et P', q u i sont eux aussi i n f i n i m e n t voisins si le déplacement est c o n t i n u . N o u s conviendrons de repérer ces points en utilisant comme coordonnées celles des points p et p' (coordonnées de Lagrange). Les nouvelles lignes de coordonnées sont donc constituées par les points d'arrivée des points c o n s t i t u a n t les lignes initiales. N o u s poserons P P ' = G; d x ' les vecteurs G, étant tangents aux nouvelles lignes de coordonnées en P. On a : aS^
= PP'^ = Gij àx' άχ>
en posant G,, = G , . . G , .
(2)
L a déformation au voisinage de P est définie par la différence d S ' - ds^ et par suite par l'ensemble des n e u f coefiRcients : (3)
85
DÉFORMATIONS
qui constitue le tenseur
; ce tenseur est symétrique :
de déformation
1.2. — E x p r e s s i o n du tenseur de déformation en fonction Calculons ce tenseur en f o n c t i o n d u déplacement
du déplacement. —
pP = y.
(4)
On voit sur la figure 1 que p o u r une coordonnée x' particulière, x^ par exemple : PPi
=
p p i + yipi)
-
y(p)
-
y(x\
ou G, dx'
= g , djc' + y(x'
+ dx\x\
x^)
x\
x^)
= (gi + v i) d x '
en posant : (4 bis) Ôx'
On peut donc écrire d'une façon générale : G, = g, + v , , .
(5)
Calculons les composantes d u vecteur dérivé sur les axes locaux. Si l'on a : v = g^, en dérivant i l vient : V.Î =
gfc.i.
+
Le second terme provient de la v a r i a t i o n des vecteurs de base le l o n g d'une ligne de coordonnées. Si l ' o n i n t r o d u i t les symboles de Christoffel r^'i définis par g.,; = n
g.
(6)
c'est-à-dire les composantes sur les vecteurs de base des dérivées partielles de ces derniers, o n peut écrire en changeant d'indice muet : v , = {ν', +
g, =
l g,.
(7)
Les quantités v'' |; sont appelées les dérivées covariantes des c o m p o santes d u vecteur v. Elles diffèrent (sauf dans le cas des coordonnées cartésiennes) des dérivées partielles de ces composantes. Ces quantités sont les composantes d ' u n tenseur d u second ordre. O n m o n t r e que : 2 n
= g'"ig,.,,; + g,,,, -
g,ij
(la quantité g'"-'' est définie a u paragraphe 1.4).
(8)
86
ÉQUATIONS
TENSORIELLES.
THERMO-ÉLASTICITÉ
Des relations (5) et (7) o n déduit : 2
Zij =
\ig,j
+
I,. g,i
+
l i υ-'
g„„
O n peut i n t r o d u i r e les composantes covariantes
\j .
d u vecteur en posant
Les dérivées covariantes des composantes d u tenseur métrique étant nulles (*), o n obtient finalement : 2 ε,,. = Vi\j + vj\i +
(9)
O n m o n t r e que :
Si la déformation est infiniment terme et écrire simplement :
o n peut négliger le troisième
petite
(10)
2e.,j = vAj + vj\i.
1.3. — E.xpression du tenseur des déformations dans les systèmes de coor données usuels. — D o n n o n s l'expression des composantes d u tenseur symétrique ε,^ dans les deux systèmes utiles, dans cette appro.ximation linéaire. Les composantes de v sur les vecteurs unités tangents aux lignes de coordonnées seront notées w, v, w. a) Coordonnées
: r = .v', 0 = x^, z = .x^.
cylindriques
ds^ = dr^ + r^ dO^ + dz^ . Symboles de Christoffel n o n nuls : r\2
= = u,
I,·,
( u
^7, = r?, = V2
= rv
1 / du '^^^2\rdd
, ('3
(W + ô?-r}'''
=
1//·.
ir,
1 /(';(/
v\
ôw\
^ - = 2 ( a z + -u7) "
/ dv
u\ y
[ idv
ôw \
\r (0
;·'
2 \dz
r dOi
^33
(Il)
(*) Remarquons en passant que les « vecteurs » de base g t ne sont pas des vecteurs inva riants et q u ' o n ne peut leur appliquer la formule de dérivation (7). L a démonstration de la propriété se fait en utilisant le caractère tensoriel des dérivées covariantes et leur annulation dans u n système cartésien.
87
DÉFORMATIONS
(Par r a p p o r t aux formules habituelles, n o n tensorielles, interviennent en plus les facteurs /· et r'.) = x', φ = x^,
b) Coordonnées sphériques : R = x',0 d i ^ = dR'
+ R' dO' + R' sin' 0 dç'
.
Symboles de Christoffel n o n nuls : =
- R ,
r^3
= - R sin^ 0,
r^3
= - sin θ cos θ ,
Γ\2 = Γΐ, = \IR , Γ\, = Γ\, = 1/R , = Ti^ = cotg Ο . y, = u, i'2 = Rv , _ du ε , ι - ^ ,
= R sin 0 w.
_ ί / ^'2 - 2 Ι κ - ^ + M
1 /
5w
'•'^ = 2 \Rs^~Odç
"
κΙ^'
cote 0
\ „,
+ R â« - - Ί Γ - N
^33 = ί - ^ - ΐ ΐ - ^ + ^ + ^ \Rsm0^φ R R
^
sin^ e .
i
.
„ ' '
(12) ^ '
1.4.—Invariants de la déformation. — A p a r t i r des composantes d ' u n tenseur o n peut former des invariants, c'est-à-dire des quantités scalaires indépendantes d u système de coordonnées choisi. E n i n t r o d u i s a n t les composantes contravariantes d u tenseur métrique g'' définies par :
g"' gjk = g i =
0
si
i
1
si
i = k
ii
on peut aussi f o r m e r : ε\ = g'^ ε^^ et l ' i n v a r i a n t K,
= ε!
(13)
puis K2=tM'
(14)
8
ÉQUATIONS
TENSORIELLES.
THERMO-ÉLASTICITÉ
et
(15)
K 3 = ε; ei ε] .
O n peut m o n t r e r que t o u t autre i n v a r i a n t formé à p a r t i r d u tenseur est une f o n c t i o n de ces trois invariants. A u lieu de K2 et ΛΓ3 ainsi définis, o n utilise de préférence des invariants définis à p a r t i r d u déterminant | ε} |. L a trace
de ce déterminant est
égale Ά Ky. Le second i n v a r i a n t J2 est la somme des mineurs des termes de la diagonale : Λ
= Κε;ε]-ε}ε/) = Κί^?-Χ2).
(16)
Le troisième i n v a r i a n t / 3 est la valeur d u déterminant :
(17)
= I ε} I .
J3
O n peut m o n t r e r que l'élément de v o l u m e άΩ
provenant,
après la
déformation, de l'élément de volume άω, est tel que + 873)ΐ'Μω.
di3 = (1 + 2 y , +
(18)
P o u r une déformation i n f i n i m e n t petite, o n a a u second ordre près : di3 = (1 + / i ) d a ) .
(19)
L a v a r i a t i o n relative de v o l u m e est égale à /^, soit, à cette a p p r o x i m a t i o n , à la divergence d u déplacement. Dans le cas particulier d'une déformation finie homogène, c'est-à-dire telle
que : ε; = -
(20)
eg)
e étant p o s i t i f p o u r une c o n t r a c t i o n , o n a : y, = -
3e
Λ
= 3
/3
=
-
et p a r j s u i t e d i 3 = (1 -
2e)'/^dco.
U n e autre représentation d'une telle déformation peut s'écrire : ε,-; =
f^ij
e et / étant liés par : 1 -
2 e = (1 + 2 / ) - 1 ;
(21)
ANALYSE
DES
89
CONTRAINTES
on a alors di3 = (1 + 2f)-^"dœ.
(22)
C'est sous cette forme que B i r c h a appliqué la théorie des déformations finies à l'étude de l'intérieur de la Terre ( 2 1 . 2 . 2 ) . 2. — A N A L Y S E
DES C O N T R A I N T E S .
ÉQUATIONS
DU
MOUVEMENT
2.1. — Tenseur des contraintes, — Soit ά Σ u n élément de surface de n o r male n dans le corps. E n désignant par ( G ^ ) le système d'axes local, on peut supposer (Chap. 1) que la résultante des forces exercées p a r la matière située d u côté vers lequel est dirigée n sur la matière située de l'autre côté, à travers l'élément άΣ, est donnée par : T d r avec : T
=
T'^,G,.
(1),
si : n =
G'J'G,..
Le tenseur τ de composantes (τ'-*) est d i t tenseur des
contraintes.
2.2.—Equations du mouvement. — Sous l'action des forces de v o l u m e et des actions superficielles, le corps se déforme et ses molécules subissent des accélérations. A p p l i q u o n s les lois de la dynamique : Considérons u n v o l u m e Ω d u corps, limité par une surface!" ; désignons par a l'accélération de la molécule située au p o i n t P de Ω, p a r f la force agissant sur l'unité de masse, par p la densité, par R le r a y o n vecteur joignant P ί un p o i n t fixe O. E n négligeant les moments de v o l u m e et de surface les équations d u mouvement s'écrivent :
apdQ
R Λ apdQ Ω
=
=
ipdQ
W
R Aîpdn
J J JΩ
Td2
+
R Λ T di .
+
(2.
(3)
J JΣ
Pour transformer les intégrales de surface en intégrales de v o l u m e on utilise une f o r m u l e q u i généralise la f o r m u l e classique de Green et qui fait intervenir la divergence d ' u n tenseur :
Π (Rappelons que
A'J n,. G ; άΣ
ί. . η +
A'
A'' \i Gj άΩ .
(4)
ο
ÉQUATIONS
TENSORIELLES.
THERMO-ÉLASTICITÉ
L a r e l a t i o n (2) étant valable quel que soit le volume Ω, l'équation de Cauchy :
o n en déduit
pa = p f + T ' ^ | , G , .
(5)
q u i fait apparaître, à côté de la force de v o l u m e pf, une force élastique F calculable à p a r t i r d u tenseur des contraintes : F =
T''^'|,.G,. =
divÎ.
(6)
En p o r t a n t la relation (5) dans (3) o n m o n t r e que τ'-' = τ-". En l'absence de couples, le tenseur des contraintes est symétrique. 2.3. — E x p r e s s i o n de la force élastique dans les systèmes usuels. — N o u s donnerons ici les composantes sur des vecteurs unités de la force élas tique et des contraintes. a) Coordonnées cylindriques
(r, 0, z) ( F i g . 2).
.M 1?·
fî
(a)
(b)
F I G . 2. — Composantes
(c)
des contraintes
s'exerçant :
a) sur un cylindre de rayon r ; b) sur un plan méridien ; c) sur un plan horizontal.
Composantes radiale, azimutale, verticale des contraintes agissant sur : — u n cylindre : (rr, rO, 7z) ; — u n p l a n méridien : (rO, 00, O z ) ; — u n plan h o r i z o n t a l : (rz, θζ,
zz).
ANALYSE
DES
91
CONTRAINTES
Les composantes de la force élastique sont données par :
F, =
drr ôr
dru drz 1 ^ ^ + — + + - (rr - ΘΘ) r vO 02 r
crO δΟΟ δΟζ Fe = - - + + ^ + - rO cr r oQ δζ r
(·/)
δrz δΟζ δζζ 1 ^ F , = - Γ - + -^Γ^ + — + -- rz . or r δυ oz r b) Coordonnées sphériques (R, 0, φ) ( F i g . 3).
(o)
(b) Fici. 3. — Composantes
(c)
des contraintes s'exerçant :
a) sur la sphère de rayon R ; b) sur un cône d'axe polaire ; c) sur un plan méridien.
Composantes agissant sur :
radiale, méridienne, suivant le parallèle, des contraintes
— une sphère : {RR,
To, Tp) ;
— u n cône d'axe polaire : (Rè, ΘΘ, θφ) ; — u n plan méridien : iRφ, Θφ, ψφ) .
92
I
ÉQUATIONS
TENSORIELLES.
THERMO-ÉLASTICITÉ
Composantes de la force élastique : dRR
dRO
δΚφ
dRO
éÔO
δΟφ
2 ^
cote 0 ^
1 ^
cote 0 ^
^
^
'^-TR-'RFO-'Rsuufr^+R''''-^^^''-^^^ δΤρ ''-
= -JR
δΟφ
δφφ
Rd-0 + R
s
u
3 ^ ^ + R^'P
IcotgO^ + --R~^'P
•
3. — ÉLASTICITÉ E T T H E R M O É L A S T I C I T É
3.1. — Puissance mécanique liée à la déformation. — Dans u n processus où, en plus de la déformation définie par un vecteur v ( M , t), on a à t e n i r compte de la création de chaleur due à des changements de phase, à des désintégrations d'éléments radioactifs, à des réactions chimiques, à des courants électriques o u à l ' a b s o r p t i o n d'énergie lumineuse, o n peut écrire la l o i de la conservation de l'énergie totale sous la forme : δΕ, + SEi = 5T3p + .5155 + // - Φ
(1)
où δ représente la v a r i a t i o n (par unité de temps, en suivant le m o u v e m e n t ) des quantités suivantes : E^ énergie cinétique, énergie interne, travail des forces de v o l u m e , TS, travail des forces de surface ; H est le taux de création de chaleur d'origine n o n mécanique, Φ est le taux de perte de chaleur par la surface d u corps. En utilisant la f o r m u l e de Green et la f o r m u l e (4), paragraphe 2, q u i permettent de transformer les intégrales de surface δΈs et Φ en intégrales de v o l u m e , et en considérant u n élément de matière i n f i n i m e n t petit a u t o u r d ' u n p o i n t donné, o n m o n t r e , compte tenu de l'équation de Cauchy (5), paragraphe 2, que la v a r i a t i o n de l'énergie interne peut s'écrire δΕ; = P + H -
(2)
Q
P étant une puissance mécanique définie par : (3)
P = τ'^ è.j èij désignant la dérivée de ε,-,· par r a p p o r t a u temps. Q est la puissance perdue, liée au flux Φ par la relation : Φ =
J J r
nq άΣ =
div q d f i =
\ Q άΩ
(4)
ÉLASTICITÉ
ET
THERMOÉLASTICITÉ
93
pour un volume Ω limité par la surface Σ ; q désigne le vecteur c o u r a n t de chaleur. 3.2. — E n t r o p i e . — Le second principe de la t h e r m o d y n a m i q u e permet d'introduire les notions d'entropie 5 et de température Θ. O n m o n t r e que la variation d'énergie interne peut être décomposée en une p a r t non thermique — q u i est, si la déformation s'effectue sans dissipation d'énergie, la totalité de la puissance mécanique P — et une part ther mique, égale, par définition, au p r o d u i t de la température par la v a r i a t i o n d'entropie. Cette part c o m p r e n d éventuellement, outre le terme {H — Q) de (2), la part de la puissance mécanique transformée en chaleur p a r dissipation. L o r s q u ' o n établit le bilan d'entropie i l est intéressant de distinguer entre ce q u i provient des échanges avec l'extérieur et ce que l ' o n peut appeler la p r o d u c t i o n d'entropie intrinsèque ; c'est-à-dire ce q u i p r o v i e n t de la conduction de la chaleur à l'intérieur d u corps o u de la chaleur créée par d'autres processus. L a v a r i a t i o n d'entropie due aux échanges avec l'extérieur est le flux d u vecteur (q/0). D'après le postulat sur la thermodynamique des processus irréversibles l'entropie intrinsèque ne décroît pas. 3.3. — Milieu élastique parfait isotrope. — I n t r o d u i s o n s maintenant l'éner gie libre F = — OS. O n d i t q u ' u n m i l i e u est parfaitement élastique si l'énergie libre dépend uniquement d u tenseur des déformations et de la température — mais n i des états passés n i des vitesses de déformation — et si la puissance mécanique n'a pas de partie thermique — c'est-à-dire que la déformation se fait sans création directe d'entropie. Dans ces conditions o n m o n t r e que les contraintes s'expriment s i m plement en f o n c t i o n des dérivées partielles de l'énergie libre par r a p p o r t aux composantes ε,·,· d u tenseur des déformations. D e son côté l'entropie est l'opposée de la dérivée partielle de l'énergie libre par r a p p o r t à la température. Le tenseur ε étant symétrique n'a que six composantes indépendantes. Pour un corps élastique l'énergie libre ne dépend donc en fait que de la température et de six paramètres liés à la déformation. U est avantageux de choisir c o m m e paramètres les trois invariants d u tenseur ε et les trois angles définissant, en chaque p o i n t , l ' o r i e n t a t i o n d u trièdre p r i n c i p a l de ce tenseur. O n d i t que le m i l i e u est isotrope si l'énergie libre ne dépend pas de l ' o r i e n t a t i o n d u trièdre p r i n c i p a l , mais seulement des invariants. 3.4. — R e l a t i o n s entre contraintes et déformations. — Dans le cas des déformations petites o n peut développer l'énergie libre F en série des puissances entières des invariants de ε et de la v a r i a t i o n de la tempéra ture δΟ (supposée également pedte).
ÉQUATIONS
94
TENSORIELLES.
THERMO-ÉLASTICITÉ
O n m o n t r e que l'hypothèse de l'isotropie entraîne que le m i l i e u devait être initialement — c'est-à-dire p o u r ε et δΟ nuls — soumis à une contrainte hydrostatique (c'est-à-dire que τ'^ devait initialement être p r o p o r t i o n n e l à
g''). Si on néglige cette contrainte — ce q u i est admissible en géophysique tant que la pression moyenne reste petite devant les paramètres élasti ques, c'est-à-dire, c o m m e nous le verrons plus l o i n , au moins jusqu'à 1 000 k m de profondeur — o n obtient les composantes mixtes des contraintes sous la forme : τ) = Αε™ g^ + 2 με; - 3 ak δΟ g)
(5)
λ et μ sont les paramètres de Lamé, homogènes à des contraintes, k = λ + ^ μ est le module d'incompressibilité, α le coefficient de d i l a t a t i o n linéaire, ε',', = Λ', est, à cette a p p r o x i m a t i o n linéaire, la divergence d u déplacement v. Inversement o n peut exprimer le tenseur des déformations à p a r t i r de celui des contraintes. O n obtient : Εή = (\ + σ)τ)-
aTZg'j
(6)
+ EaδOg'J.
Le coefficient de Poisson σ est lié aux modules de Lamé par la relation : σ = Λ/2(Λ + /0,
Ο < σ < i .
(7)
et le module de Y o u n g E est donné par : E = 3 kμ/{λ -f μ) = 2 μ(\
(8)
+ σ) .
O n obtient d'autre p a r t , à p a r t i r de l'entropie, la relation : q = -
K grad 0
(9)
liant le vecteur c o u r a n t de chaleur au gradient K est le coefficient de conductivité thermique.
de la température.
3.5.—Equations de la thermoélasticité. — E n p o r t a n t l'expression de τ ' dans l'équation (6) d u paragraphe 2 . 2 , o n obtient p o u r la force élasdque : l-=
{λgiC
en négligeant, p o u r
(10)
+ 2με)-^'xkg)δθ)\ig'
une déformation
i n f i n i m e n t petite, la
différence
entre g^' et G^'. Dans le cas d ' u n corps homogène o n obtient en développant : F = (;. + /() grad d i v v -h /( Δ ν -
3 aÂ: grad δΟ .
(11)
Dans le cas d ' u n corps hétérogène i l faut ajouter des termes dus aux variations de A,
a et k.
ÉLASTICITÉ
ET
THERMOÉLASTICITÉ
95
A partir de l'équation d u bilan d'entropie o n obtient d'autre part Oo S = pc, ÔÔ + 3 a/c; Oo ëm = H + di\ (K grad δΟ).
(12)
Le module d'incompressibilité est noté A-, p o u r indiquer q u ' i l correspond à une déformation à 0 constant, o u isotherme. Dans cette équation sont présents le coefficient c„, chaleur spécifique à volume constant et la température initiale OQ. Les points désignent les dérivées p a r r a p p o r t au temps. Les équations (12) et 4 . 2 . 2 (6) constituent les équations de la t h e r m o élasticité. Ces équations aux dérivées partielles sont couplées entre elles. En les ramenant à une forme réduite, o n m o n t r e que ce couplage dépend de la quantité : C = 9
/cf Oolp' Vf c„
(13)
avec K,^ = (A + 2 μ)Ιρ . Avec les valeurs numériques correspondant à l'intérieur de la Terre, ce coefficient est t o u j o u r s faible (de l'ordre de ΙΟ"·*), ce q u i permet de traiter séparément l'équation de l'élasticité (5) d u paragraphe 2 . 2 et l'équation (12) : p o u r u n problème mécanique, par exemple celui de l a déformation d ' u n corps élastique sous une charge, o n peut négliger le terme δΟ dans (5) d u paragraphe 2 . 2 et calculer la v a r i a t i o n de tempé rature due à la déformation à p a r t i r de (12). Inversement p o u r u n p r o blème thermique, par exemple réchauffement d ' u n corps dû à des sources de chaleur internes, o n peut résoudre (12) en négligeant le terme élastique, puis calculer la déformation corrélative à p a r t i r de (5) d u paragraphe 2 . 2 . 3.6. — Coefficients adiabatiques. — Considérons une déformation contrainte constante. O n a alors en dérivant (6) : è = ÈZ = 3 α
sous
.
L'équation de la chaleur (12) devient : = H + d i v (K grad δθ)
(14)
c> = c , ( l + 9a2A-,(Vpcg.
(15)
cpôè en posant
Le coefficient est la chaleur spécifique à pression constante. Son expression fait intervenir le coefficient de GrÎineisen : r=3al<Jpc, peu variable avec la température.
(16)
6
ÉQUATIONS
TENSORIELLES.
THERMO-ÉLASTICITÉ
O n peut maintenant considérer une compression homogène à entropie constante. O n a d'après (12) : pc^ (50 + 3 a/c; Oo È = 0 et par suite ε = ΐ/[(1
+ 3 αΓΟ^) /cj =
ijK
en i n t r o d u i s a n t le coefficient d'incompressibilité adiabatique k„. O n a : k„c,
(17)
= kiCp.
D ' a u t r e part - / f , = C(;. + 2 μ )
(18)
ζ étant le coefficient de couplage (13), ce q u i m o n t r e que l ' o n peut géné ralement négliger la difTérence entre coefficient adiabatique et coeffi cient isotherme. Si l ' o n considère au contraire une déformation sans changement de volume, un cisaillement p a r exemple, ε étant n u l , cette déformation est simultanément isotherme et adiabatique. 11 n'y a q u ' u n seul coefficient de rigidité. O n m o n t r e que les ondes sinusoïdales solutions — en première a p p r o x i m a t i o n — d u système couplé des équations de la thermo-élasticité se propagent avec les vitesses V„ et W données par p l / / = /c„ + 4/3 μ 3.7. — Expression des contraintes systèmes usuels. a) Coordonnées
et
pW'
en fonction
= μ .
(19)
du déplacement dans les
cartésiennes : V(M, V, W) x x = / l d i v v - l - 2 / i | ^ - akôO
{20a)
avec du δυ cw d i v V = - r - + — + —- . δχ δy δζ Les autres expressions se déduisent de celles-ci par p e r m u t a t i o n c i r c u laire des symboles.
ÉLASTICITÉ
ET
THERMOÉLASTICITÉ
97
b) Coordonnées cylindriques. — N o u s noterons par (M, υ, w) les c o m p o santes d u déplacement v sur des vecteurs unités tangents aux lignes de coordonnées (r, 0, z). N o u s nous bornerons à l'expression des contraintes sur une surface n o r m a l e à l'axe de symétrie : ^
tdu
dw\
^ , dw zz = Λ d i v V + 2 μ Bz
,^.
οίΙίδΟ,
/ ,. d(ru) dv dw\ d i v v = - ½ ^ -|+ ^ · \ r d r r du dz)
c) Coordonnées sphériques. N o u s noterons par (M, V, W) les c o m p o santes de V sur des vecteurs unités tangents aux lignes de coordonnées (R, Θ, φ). N o u s nous bornerons à l'expression des contraintes sur une sphère : RR
= Àd\v \ + 2μ^
-
akôO ,
(,. d(R^ u) d(vsme) dw \ div V = ^y-^' + -^^ + - — ^ R^ ÔR R sin Θ dO R sin Θ dφ'
du
dw
w
R sin 0 dç
oR
R
3.8.—Milieu élastique anisotrope. — Dans le cas général l'énergie l i b r e dépend de l ' o r i e n t a t i o n d u trièdre p r i n c i p a l de la déformation. Négli geant les effets thermiques et nous b o r n a n t a u cas des déformations infiniment petites, nous supposerons que l ' o n peut l i m i t e r le développe ment de l'énergie libre à : 3^ = c''
-f c'>'
6,,.
ε„/2 .
(21)
A cause de la symétrie d u tenseur des déformations o n peut supposer que les coefficients élastiques c sont symétriques, sans perte de généralité : c'> =
,
c ' J " = c^'" = c'J'" = c'-'-J.
(22)
Ces quantités ne dépendent pas de ε,·,- et sont des tenseurs puisque l'éner gie libre est u n i n v a r i a n t dans les changements d'axes. P o u r u n corps
ÉQUATIONS
TENSORIELLES.
THERMO-ÉLASTICITÉ
dépourvu de contraintes au début de la déformation, o n obtient à p a r t i r de (21) : τ'^' = c'>^ ε „ ,
(23)
q u i est la relation linéaire la plus générale entre tension et déformation p o u r un m i l i e u anisotrope. Les relations de symétrie (22) réduisent à 21 le n o m b r e des coefficients indépendants. Ce n o m b r e peut encore être réduit si des symétries existent.
BIBLIOGRAPHIE ANGOT, 1972. Compléments de mathématiques, 6*= édition Masson et Cie, 862 p. BRILLOUIN, 1946. Les tenseurs, Masson et Cie, 364 p. GERMAIN, 1962. Mécanique des milieux continus. Masson et Cie, 412 p. GONTIER, 1969. Mécanique des milieux déformahles. D u n o d , 580 p. E. GREEN et W . ZERNA, 1968 (4'' éd.). Theoretical elasticity, O x f o r d , 457 p.
CHAPITRE
5
PROPAGATION DES ONDES EN M I L I E U X HOMOGÈNES par Georges J O B E R T
1. —
I
i I
I I
INTRODUCTION
Lorsqu'un milieu élastique, i n i t i a l e m e n t au repos, est soumis à des forces de volume o u à des actions superficielles nouvelles, o u bien lorsque sa continuité est détruite le l o n g d'une p o r t i o n de surface, l'équilibre initial est r o m p u et u n déplacement se p r o d u i t de façon à rétablir u n nouvel équilibre. En sismologie o n considère généralement des actions concentrées à la fois dans le temps et dans des régions relativement petites (contraintes brusquement annulées sur une faille, explosion) et les ondes sismiques se propagent dans le m i l i e u à p a r t i r d'une source que l ' o n peut souvent considérer comme ponctuelle. Nous supposerons que le déplacement reste p a r t o u t i n f i n i m e n t petit de façon à p o u v o i r utiliser p o u r la force élastique l'expression simplifiée obtenue au chapitre 4. Cette hypothèse n'est pas valable a u voisinage de la source, q u i apparaît dans les expressions mathématiques c o m m e un point singulier. O n peut admettre qu'à une certaine distance de ce point la représentation redevient satisfaisante. N o u s négligerons les termes d'origine t h e r m i q u e , en supposant toutefois que le déplacement est assez rapide pour que les molécules n'aient pas le temps d'échanger de chaleur, et nous utiliserons par suite les coefficients adiabatiques. Si les contraintes initiales dans le m i l i e u sont nulles (*), l'équation de l'élasticité s'écrit : puj
= pXj
+
[{?.g)
u')
I, +
p(u'
I, +
Uj I')]
|,
X, de composantes Xj, étant la force de v o l u m e i n t r o d u i t e à l ' i n s t a n t initial, u, de composantes Uj, le déplacement p r o d u i t ; les points m a r q u e n t
(*) L'influence de contraintes initiales sera brièvement discutée chapitre 7.
au paragraphe
2 du
PROPAGATION
100
j
DES
ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
une dérivation par r a p p o r t au temps. Si le m i l i e u est homogène, λ et μ sont constants et o n a simplement : pdj
= pXj
+ Au" UJ + μ{uJ \i +
UJ)
.
o u sous forme vectorielle : pu = pX + {λ + μ) grad d i v u + μ A u
(E)
N o u s étudierons d ' a b o r d la p r o p a g a t i o n d ' u n m o u v e m e n t dans u n m i l i e u homogène indéfini, indépendamment de la source. Puis nous déterminerons les ondes produites dans u n tel m i l i e u p a r une source, et enfin les phénomènes entraînés par les c o n d i t i o n s à la surface lorsque le m i l i e u est limité, p o u r une source à distance finie o u à l ' i n f i n i .
2. — P R O P A G A T I O N D ' O N D E S D A N S U N M I L I E U . É L A S T I Q U E
I
L'équation ondes :
de l'élasticité (E)
OF
I I 1
:
HOMOGÈNE
est étroitement liée à l'équation des
= AF -
n F = 0.
(0)
E n a p p l i q u a n t aux deux membres de (E) les opérations d i v et r o t , o n constate en effet que d i v u et r o t u sont solutions de l'équation des ondes. O n préfère généralement représenter le déplacement à l'aide de potentiels (voir toutefois Richards, 1971). 2.1. — Potentiels. — O n peut chercher toute s o l u t i o n de (E) c o m m e la somme de soludons particulières [dérivant l'une d ' u n p o t e n t i e l scalaire Φ(Μ, t), l'autre d ' u n potentiel vecteur Ψ(Λ/, t) à divergence nulle : u = Up + Us,
Up = grad Φ , ϋχ = Γ θ ί Ψ ,
divy = 0.
(1)
E n p o r t a n t ces expressions dans (E) o n obtient, en l'absence de forces de v o l u m e , p o u r la partie i r r o t a t i o n n e l l e : • p Φ Ξ ΔΦ -
«p Φ = 0
(Op)
avec :
4 = Pia +
2 μ);
« P est l'indice p o u r l'onde Up. • s Ψ Ξ ΔΨ -
n|Ψ = 0
(2)
ONDES
DANS
UN
MILIEU
ÉLASTIQUE
HOMOGÈNE
101
avec :
(3)
η | = ρ/μ; Λχ est l'indice p o u r l'onde Uj. En sismologie, l'onde de célérité « p \ la plus rapide, est notée
P,
(premières ondes), l'onde de célérité ris ' est notée 5 (secondes ondes). 2.2. — Ondes longitudinales. — L ' o n d e Up, i r r o t a t i o n n e l l e , s'accompagne d'un changement de v o l u m e ( d i v Up = Δ Φ Φ 0). Supposons q u ' i l existe une surface S, ( M , /) à travers laquelle, à l'ins tant / considéré, l'accélération Up subisse une discontinuité. L a c i r c u l a t i o n de Up le l o n g d'une courbe fermée y est nulle. E n effet, d'après le théo rème de Stokes :
Up.ds=
Ij r o t U p . n . d S = 0 s
5 désignant une surface de n o r m a l e unité n limitée par y. L a c i r c u l a t i o n deup est évidemment nulle aussi. Si l ' o n prend p o u r y un petit segment AB situé à distance infinitésimale de la surface 5^ complété par un segment BA situé de l'autre côté de 5 , , o n v o i t que: [ίι·ρ].ΑΒ = 0
\
^
( F i g . 1)
Ύ en désignant par [/] la discontinuité d e / à travers F I G . 1. S^, AB étant u n segment quelconque parallèle à une tangente à 5 Ί . L a discontinuité de l'accélération n'a pas de composante tangente à S, (*). E n p a r t i c u l i e r si le déplacement est n u l d ' u n côté de S^, l'accé lération initiale est portée par la n o r m a l e au « f r o n t d'onde » S^, d'où le n o m d'onde l o n g i t u d i n a l e donné à cette onde dérivant d ' u n potentiel scalaire. 2.3. — Ondes transversales. — Considérons de même une surface de dis continuité d'accélération ^ 2 relative à la s o l u t i o n Uj p o u r laquelle div
U5
= 0.
L e flux de Uj à travers une surface fermée S est n u l . En effet : Uj.n.dS
d i v Us. d r = 0
= Γ
(*) V o i r toutefois
(A.i).
PROPAGATION
102
DES ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
T étant le v o l u m e limité p a r S et n la n o r m a l e à S. I l en est de même p o u r le flux de l'accélération. E n prenant p o u r surface S une surface fermée composée de deux calottes
infini
m e n t voisines de part et d'autre d u f r o n t ^2 et u n cylindre n o r m a l à S2 j o i g n a n t leurs bords ( F i g . 2) o n v o i t que : [usj.n = 0. L a discontinuité de l'accélération de la s o l u t i o n rotationnelle est donc tangente à u n f r o n t d'onde S2, d'où le n o m d'onde transversale donné à cette onde, q u i dérive d ' u n potentiel vecteur. des coordonnées sphériques. — V u l ' i m p o r t a n c e des c o o r d o n
2.4.—Cas
nées sphériques en Géophysique nous allons rechercher une représenta t i o n des solutions de {E)
bien adaptée à ce système. C o m p t e
de ce que d i v V = 0 o n peut réduire l'équation vectorielle {O) équations
tenu
à deux
scalaires.
E n m u l t i p l i a n t les deux membres de (O) par R = O M , o n obtient : R.AV
= ni R . y
O r p o u r un vecteur sans divergence commute avec Δ .
le p r o d u i t scalaire
par le r a y o n vecteur
O n a en effet de façon générale : A(R.V)
j
car AR
(/?'. V,) \% --- R' j g . Vi + R'. V, \'& + 2 R' I " ' . K i |,„ - A R . V + R . A V - j - 2 div V - R.A\ : 2div V
(4)
0.
O n obtient donc : •.5(R.T) = 0 . En appliquant l'operateur R . r o t aux deux membres de (Os) on obtient : R . r o t ΑΨ — « i R . r o t Î P = 0 soit, compte tenu de (4) : •s(R.rotΨ) = 0 .
Ces propriétés conduisent à décomposer le vecteur u s o l u t i o n de
(E)
en une somme de trois vecteurs Up = g r a d 0 ,
υ,^. = Γ 0 ί Ψ '
avec
divY'=0,
Κ.Ψ'=01
Us„ = r o t V "
avec
ά ί ν Ψ ' = 0,
Κ.ΓΟ1Ψ" = 0 ;
• ρΦ = ϋ^Ψ' = ϋ χ Ψ " = Ο
(5)
SOLUTIONS
ÉLÉMENTAIRES
DE L'ÉQUATION
DES
ONDES
103
car tout vecteur Ψ à divergence nulle peut être décomposé en deux vec teursΨ' etΨ" satisfaisant les relations (5). O n peut en déduire des expres sions de u ne dépendant que de scalaires. U t i l i s o n s des coordonnées sphériques (R, 0, φ) ; soient {Ψ'2, Ψί)
les composantes de Ψ '
sur les
vecteurs unités tangents respectivement a u méridien et au parallèle. O n a : sin O.div Ψ ' =
^ (sin ΟΨ'2) +-^ψ'^ ou αφ
= 0
d'où Ψ' =
V" = -
^
F est une f o n c t i o n arbitraire, analogue à l a f o n c t i o n de H e r t z utilisée en théorie de l'électromagnétisme. O n a alors : Κ.ΓΟίΨ' = -
^'F.
R~^ Δ ' étant le laplacien réduit a u x coordonnées géographiques (Θ, φ) et par suite :
/"doit être solution de l'équation des ondes transversales. Les composantes (M,, M J , « 3 ) d u déplacement Ugy sont données p a r :
sm θ δφ dR
δΟ dR
U n mouvement de ce type est d i t onde 5 ^ ( F p o u r vertical). L a r o t a t i o n qui l'accompagne se fait a u t o u r d ' u n axe h o r i z o n t a l . Pour le troisième type de m o u v e m e n t , la composante radiale d u déplacement est nulle, le déplacement se fait dans le p l a n tangent à la sphère (O, R) et est noté SH (*). 11 est donné p a r les formules valables pourΨ' : " ' = ^ '
"^ = s i n f â ^ '
3. — S O L U T I O N S
• 2 0 = 0.
"^=-%
(7)
ÉLÉMENTAIRES D E L ' É Q U A T I O N D E S O N D E S
Nous allons étudier rapidement quelques types de solutions élémen taires de l'équation : a2r.
n\F = AF ') H pour horizontal.
n^—~ δΓ
= 0
(0)
PROPAGATION
DES
ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
valables aussi bien p o u r l'équation scalaire que p o u r l'équation vecto rielle. . 1 . — Ondes planes. — Cherchons les solutions de {O) sous la forme : F=/(k.R
-
rt)
( F i g . 3)
(1)
R est le rayon vecteur O M , k un vecteur unité, c une vitesse. L ' a m p l i t u d e de l'onde est constante sur un plan P d'équation : k.R -
Cte
et =
d'où le n o m d'ondes planes. En dérivant (1) et en p o r t a n t les dérivées dans iO), o n obtient : c = ±
\jn .
F i G . 3.
Le signe est à choisir suivant que la p r o pagation a lieu dans le sens de k ( + ) o u le sens opposé ( —). A l'instant t, o n retrouve en u n p o i n t d ' u n plan P perpendiculaire à k le m o u v e m e n t existant à l'instant /Q en u n p o i n t d ' u n autre plan PQ perpendiculaire à k , si la distance entre P et est c{t — /g). L a p r o p a g a t i o n se fait à la vitesse c , inverse de l'indice sans changement de forme d u signal, le l o n g des lignes droites o u rais parallèles à k . L ' i m p o r t a n c e de ce type de s o l u t i o n vient de la possibilité de repré senter des signaux plus complexes par s o m m a t i o n d'ondes élémentaires planes. Si le vecteur k est repéré dans l'espace par deux angles 0 et ψ, une intégrale de la forme :
άψ \ άΟ sin 0 g(0, φ) f ( n k . R J
0
J
/)
0
est également s o l u t i o n de (O), compte tenu de la linéarité de • . O n peut en p a r t i c u l i e r utiliser les propriétés de la t r a n s f o r m a t i o n de F o u r i e r et écrire la s o l u t i o n sous la forme :
f ( M , i) =
άσ g(k, ω) exp(2 iπω(nk.R -
άω
i))
(2)
|k|=l άσ étant l'élément de surface de la sphère unité. L a s o l u t i o n est alors la somme d'ondes sinusoïdales dans le temps.
SOLUTIONS
ÉLÉMENTAIRES
DE L'ÉQUATION
DES
ONDES
105
On utilise aussi, de façon équivalente, la t r a n s f o r m a t i o n de Laplace : 0 =
dff g(k, p) e x p ( p ( i
dp
-
nk.R))
(3)
l
|k| =
35 étant une droite d u p l a n complexe (p) d'équation R e p = Cte > 0. 3.2. — Ondes sphériques. — Les ondes planes peuvent être considérées comme produites p a r une source située à l ' i n f i n i dans la d i r e c t i o n d u vecteur k. Si la source Ω, ponctuelle, est à distance finie et rayonne symé triquement, o n peut chercher une s o l u t i o n de (O) q u i ne dépende que de la distance R de M à. Ω. En coordonnées sphériques l'équation (0) s'écrit :
R' dR
dR
dt'
En posant F = q/R o n o b t i e n t :
dR'
dt'
qui est l'équation des ondes unidimensionnelles et a p o u r solutions : q = q(nR ± t) ; par suite la solution radiale générale de (O) est : F = [q,(nR
-
t) + q^inR
+ 0]/Λ •
La première onde, q^, diverge à p a r t i r de Ω, la seconde, q2, converge vers Ω. Pour l'onde élastique l o n g i t u d i n a l e divergente p a r exemple o n aura : u, = grad[«,(nR =
im\
-
/)/R]
qJR-\ v/R
V étant le vecteur radial unité. Pour une « phase » (nR — t) donnée, le terme prépondérant au v o i sinage de la source est le terme — qJR'. A grande distance le terme pré pondérant est a u contraire q'i njR, déphasé p a r r a p p o r t au précédent. La forme d u signal change donc lors de la p r o p a g a t i o n . Toutefois si le signal à la source est limité dans le temps, i l garde la même durée lors de la p r o p a g a t i o n . Dans la suite nous rencontrerons le cas où une onde émise par une source à symétrie sphérique rencontre une surface de discontinuité sphérique mais n o n concentrique à la source. Le problème admet alors une symétrie de révolution a u t o u r de l'axe des centres. P o u r résoudre
PROPAGATION
DES
ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
des problèmes admettant une telle symétrie, o n peut utiliser la décompo sition d'une onde sphérique d u type précédent en une série de solutions élémentaires ( v o i r Chap. 25 § 2), ne dépendant pas de la longitude. Ces dernières sont données en coordonnées sphériques (R,0) Φ = e"'™' i i „ + , / 2 ( " p (oR)
P„(cos 0)/^ V
par :
ω1?
= e-''"'C„K«R)P„(cosO) p o u r le potentiel versales, i l suffit une f o n c t i o n de mière (//^") ou
(4)
des ondes longitudinales. P o u r ceux des ondes trans de remplacer Πρ par « j . Dans cette expression P„ est Legendre, / / „ + ] / 2 . une f o n c t i o n de H a n k e l , de pre de seconde espèce (//*^').
O n peut rattacher l'expression de Φ à la théorie des ondes planes et des rais (voir 4.2) en utilisant des expressions approchées de ces fonctions. On obtient pour Φ une expres sion de la forme : Φ ~' Φο exp(i.s+)
Φο e x p ( i i - )
— les phases étant données pour une fonction //(') = ^\n,. (oR)'- — (n
par ;
1 i ) ^ — ( « -1- i ) A r c cos [{n -\ i)lnr
M
oR]
± (n ^ i) 0 ~ vH
— valable pour nr (oR > n ^ i , c'est-à-dire pour les fréquences élevées (Bremmer, 1949). En posant : d ^ (n -y i)lnr
ω
sin φ ^ d/R (Fig. 4), M étant le point de coordonnées (R, 0), A le point (d, 0), H et H ' les points où les tangentes au cercle Γ (O, d) issues de M touchent F, on voit que : i+ = ω[η,.(ΐΪΜ — HA) — /] , s- = 0){niÏH'M
— W\4)
— f] .
Les fronts d'ondes, c'est-à-dire les surfaces à phase constante, sont donnés à u n instant F I G . 4. — Ondes sphériques. Repré sentation par des ondes progre.ssives divergentes.
/ donné, par HM — HA = Cte. Ce sont des développantes d u cercle {0,d). Les rais, trajectoires orthogonales de ces fronts, sont les tangentes à ce cercle.
L a f o n c t i o n de H a n k e l de première espèce 7/*'* apparaît ainsi c o m m e hée à une onde q u i se propage vers les 7? croissants. Les calculs faits p o u r une f o n c t i o n de seconde espèce 7/^^' montreraient de même que cette f o n c t i o n correspond
à une onde convergeant vers le centre.
remarques seront utilisées au paragraphe
7.
Ces
DISCONTINUITÉS
DANS
UN
MILIEU
ÉLASTIQUE
HOMOGÈNE
107
4. — P R O P A G A T I O N DE D I S C O N T I N U I T É S DANS
U N MILIEU
ÉLASTIQUE HOMOGÈNE
L'étude de la propagation d ' u n déplacement d i s c o n t i n u ( o u à dérivées discontinues) dans un m i l i e u homogène nous servira de base p o u r l'ex tension au cas d ' u n milieu hétérogène (Chap. 6). 4.1. — Discontinuités à travers une surface. — Pour définir des fonctions dis continues (ou à dérivées discontinues) à travers une surface i7, d'équation Φ = 0, i l est commode (voir C o u r a n t et H u b e r t , tome I I , pages 621 sq.) d'introduire une d i s t r i b u t i o n 5Ό(Φ) de la « variable de phase » Φ, définie comme une dérivée d'une f o n c t i o n c o n t i n u e Ρ(Φ) :
^«- = ^^?· A partir de la d i s t r i b u t i o n SQ o n c o n s t r u i r a une famille de d i s t r i b u t i o n s ( i ' J de moins en moins singulières q u a n d v augmente, définies par :
On admettra qu'en dehors de Φ = 0
les d i s t r i b u t i o n s S^ sont des
fonctions régulières de Φ. H étant la f o n c t i o n de Heaviside, δ la d i s t r i bution de Dirac, on p o u r r a prendre par exemple :
Ρ,=\\Φ\, 2
dΦ
=//(Φ)-^, 2
^ =<5(Φ) dΦ^
ou
Si la fonction étudiée U a, sur Σ, une discontinuité p r o p o r t i o n n e l l e à SQ, o n obtiendra une f o n c t i o n m o i n s singulière en l u i retranchant u n terme de la forme SQ. O n cherchera, par suite, à représenter U par un développement de la forme :
[/ =
X
5,(Φ) + R
v= 0
où A, et R sont des fonctions réguhères.
(2)
108
PROPAGATION
DES
ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
4.2. — S o l u t i o n s discontinues de l'équation des ondes. — P o u r nous f a m i liariser avec cette méthode, nous allons d ' a b o r d chercher une s o l u t i o n de l'équation des ondes : nu
= 0
(O)
discontinue sur une surface 2', variable dans le temps. N o u s supposerons que l'équation de cette surface est mise sous la forme : φ = T(M)
-
t = 0 .
(3)
U sera écrite sous la forme (2). E n p o r t a n t cette expression dans (O) o n trouve que le terme le plus singulier d u développement de • Î7 p r o v i e n t
de Ao 5_2 (grad^ T - n^). O n o b t i e n t ainsi la c o n d i t i o n (appelée équation de l'eikonal) p o u r qu'une discontinuité puisse se propager sur une surface Σ, d'équation T(M) = r:
grad^ T -
= 0.
(4)
Les familles de surfaces solutions de (4) sont dites fronts d'onde. O n les rencontre aussi comme surfaces caractéristiques dans l'étude d u problème de Cauchy. Ce sont des surfaces parallèles et leurs trajectoires o r t h o g o nales, dites rais, sont des droites. D'après (4) la distance entre deux f r o n t s 2:(/0) et Σ(1)
est :
d={t
-
to)ln .
U n f r o n t d'onde se propage à la vitesse l/n. Le temps de p r o p a g a t i o n de l'onde entre deux points est évidemment m i n i m u m le l o n g d u r a i (Principe de Fermât). Si Σ est u n f r o n t d'onde, le terme le plus singulier d u développement d u premier membre de (O) est :
(2grad^o-grad
Γ+/ΙοΔΓ) .
(5)
L ' a n n u l a t i o n de ce terme permet d'évaluer la v a r i a t i o n le l o n g d ' u n rai de 1'« a m p l i t u d e » AQ. Les coordonnées d ' u n p o i n t d ' u n r a i p a r t i culier étant évaluées à p a r t i r des coordonnées d u p o i n t d u r a i situé sur u n f r o n t d'onde donné et d u temps, /, o n obtient p o u r AQ l'équation, dite équation de transport ; d log
^0
ΔΓ
Pour les termes suivants, o n obtient une récurrence à deux termes q u i permet de calculer successivement toutes les amplitudes. O n o b t i e n t de la sorte la s o l u t i o n sous forme d'une série d o n t les termes sont de moins en moins singuliers sur Σ.
DISCONTINUITÉS
DANS
UN MILIEU
ÉLASTIQUE
HOMOGÈNE
109
On peut donner une interprétadon géométrique de l ' a n n u l a t i o n de (5). En multipliant le crochet p a r Ας,, o n peut écrire : div M o - g r a d T ) = 0 . Le flux d u vecteur /^o-grad T est donc conservatif. Si l'on considère un volume Ω limité p a r deux fronts d'onde Σ{ί') et I{t)t\. le tube de rais défini par une courbe fermée y atE(t') ( F i g . 5), o n a:
div {Al grad T ) d ω = 0 =
A l grad T . v d Z '
V désignant la normale unité à la surface Σ' q u i limite Ω. Le l o n g d u tube, v est
gradT
perpendiculaire à grad T. Le flux de AI
grad T à
travers les deux sections d u tube est donc le même. E n prenant u n élé ment άΣ' sur le f r o n t E(t') a u t o u r de M' et l'élément correspondant άΣ a u t o u r de M sur Σ(ί), on a : Al{M')
άΣ' =
Al{M) άΣ .
Le carré de 1'« a m p l i t u d e » varie c o m m e l'inverse de la section d r o i t e d u tube de F I G . 5. — Le volume Ω est rais. L'atténuation se fait p a r simple limité par une surface i " , tube expansion géométrique. de rais s'appuyant sur y. U n renforcement considérable de l ' a m plitude est à attendre dans les régions où u n tube de rais a une petite section et, a fortiori, l o r s q u ' i l y a focalisation, soit que les rais s'ap puient sur u n segment focal ( F i g . βά), soit q u ' i l s convergent en u n
F I G . 6.
a) Rais s'appuyant sur un segment b) Rais passant par un foyer.
focal.
PROPAGATION
DES ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
p o i n t ( F i g . eb). N o u s ne poursuivons pas d'avantage ici l'étude de ces cas particuliers, mais nous examinerons plus l o i n le cas des caustiques. 4.3. — Solutions discontinues de l'équation de l'élasticité. — L a méthode décrite ci-dessus s'applique, à peu de changements près, à l'équation vectorielle de l'élasticité. L e calcul devant être fait sur les trois compo santes, i l est c o m m o d e d'utiliser les n o t a t i o n s tensorielles avec lesquelles l'équation s'écrit : Lfc(u) = {λ + 2μ) UJ \i + μα,
Yj - pu, = 0 .
Le déplacement sera cherché sous la f o r m e : u = Σ
A,(M) S,(T(M) - t ) + R(M, 0 ,
(7)
v= 0
les vecteurs A , et R étant réguliers. En développant l'expression de L ( u ) o n peut m o n t r e r que l ' a n n u l a t i o n d u terme le plus singulier d u développement c o n d u i t à deux types de solutions. P o u r le premier, o n a : Ao = a g r a d r ,
(8)
T satisfaisant l'équation de l ' e i k o n a l (4) avec u n indice correspondant aux ondes P : ni = ρι(λ
+
2μ).
L a partie la plus discontinue de déplacement est orthogonale a u f r o n t d'onde ; l'onde est l o n g i t u d i n a l e en première a p p r o x i m a t i o n . Pour le second type de s o l u t i o n , o n a :
Ao = P,
p.grad 7 - = 0 .
(9)
T satisfait l'équation (4) avec cette fois n' = ni = ρ/μ, indice corres p o n d a n t aux ondes S. L a partie la plus discontinue de déplacement est tangente au f r o n t d'onde : l'onde est transversale en première a p p r o x i m a t i o n . Les propriétés obtenues p o u r les f r o n t s d'onde au paragraphe 4 . 2 sont valables p o u r chacun des types trouvés ici : les fronts sont des surfaces parallèles et les rais sont rectilignes. O n retrouve p o u r 1'« a m p l i t u d e » UQ et p o u r le vecteur PQ les relations : d log dt
«0
^ _
ΔΓ_ 2 ni
DISCONTINUITÉS
DANS
UN
MILIEU
ÉLASTIQUE
HOMOGÈNE
111
et dPo
(11)
di analogues à (6) et q u i s'interprètent de la même façon.
Il faut remarquer q u ' u n f r o n t d'onde q u i se propage à la vitesse des ondes longitudinales peut porter u n déplacement transversal, m o i n s singulier sur le f r o n t que le déplacement l o n g i t u d i n a l , et inversement. Sous cette forme, particulièrement développée par les sismologues soviétiques, la théorie des rais permet de calculer des a p p r o x i m a t i o n s successives des solutions de l'équation des ondes. 4.4. — Action d'une force de volume concentrée en un point. — Supposons qu'à l'origine des coordonnées une force de v o l u m e X est exercée à p a r t i r d'un instant choisi comme origine des temps et varie ensuite comme f{t) conservant une d i r e c t i o n fixe choisie c o m m e axe des z. Les ondes émises par cette source v o n t se propager dans le m i l i e u . L a méthode employée pour les déterminer consiste à utiliser p o u r la force de v o l u m e une décomposition en potentiels scalaire et vecteur. N o u s i n t r o d u i r o n s ensuite ces quantités dans les seconds membres des équations satisfaites par les potentiels d u déplacement. O n peut écrire : X = k<5(R)/(i) = grad φ + r o t ψ .
(12)
Compte tenu de la symétrie d u problème, o n utilisera des coordonnées cylindriques {r, z) et o n posera : ψ = ψ{r, ζ, Ο g , g étant le vecteur unité tangent au cercle d'axe Oz passant p a r le p o i n t M considéré. Les potentiels φ et φ sont alors donnés par : αφ
δψ
δr
δζ
= Ο
δζ
δr
r
On posera :
δζ
Φ =
δχ dr
d'où : Δχ = 5(R)/(/) .
<5(R)/(0 .
il
PROPAGATION
DES ONDES
EN MILIEUX
HOMOGÈNES
U n e s o l u t i o n particulière est : 1
m .
Le déplacement u sera pris sous l a forme :
u = gradΦ + rot V g . Les potentiels sont solutions de : ^''^ = ii-^^'^è(i)
ν -
Φα< 0)
'
"^ = 7 ^ / ( 0 ^ {]\, 4 π dr ^R'
Φ(ί<ο)
= 0 =
Ψ ( ΐ < 0 ) ^ 0 =
Ψ(ί<0),
O n peut p o u r résoudre ces équations n o n homogènes, avec les c o n d i t i o n s initiales données, utiliser l a méthode des potentiels retardés ( C o u r a n t et H i l b e r t , tome 11, p. 204) o u chercher les solutions sous l a forme :
On trouve p o u r Gj l'équation :
-^'
'
R dR
4π-^^'
Cette équation admet p o u r s o l u t i o n , nulle et à vitesse nulle p o u r / < 0 : G, =
-
_1_
niK rf{t
4π
-
T) d r
(Love, 1944, p. 304)
puisque / ( i < 0) = 0. C o m p t e tenu de ce que : rot r g = 2 k ,
rg = k Λ vR
R =
si
vR.
o n trouve, toutes réductions faites : 4 πυ = k R - 3
rn,R Tf{t
- τ ) d t + ni R'^fU
+ vz dR
R -3
-
n^. R)
+
rniR τ/(ί - τ ) d r
(13)
L e déplacement est n u l jusqu'à l'arrivée d u f r o n t d'équation : n^ R = t correspondant aux ondes P ( « 2 > « i ) . Si l'excitation de la source a une
ONDES
PLANES
DANS
DES
DEMI-ESPACES
ÉLASTIQUES
113
durée limitée T, le signal redevient n u l après le passage d u f r o n t arrière des ondes transversales d'équation : n2 R + T =
t.
On peut déduire de l'expression (13) celles q u i correspondent à des systèmes de forces concentrées : couple avec o u sans m o m e n t , systèmes de couples (voir Chap. 13). s.-ONDES
P L A N E S D A N S DES DEMI-ESPACES
ÉLASTIQUES
Après avoir étudié la p r o p a g a t i o n d'ondes élastiques dans u n m i l i e u homogène indéfini, nous allons rechercher les phénomènes p r o d u i t s par la présence de frontières l i m i t a n t ce m i l i e u . N o u s étudierons d ' a b o r d le cas où l ' o n peut négliger la c o u r b u r e de cette frontière et assimiler le milieu à un demi-espace. N o u s traiterons en fait le cas plus général de deux demi-espaces soudés le l o n g d ' u n plan, le second p o u v a n t être le vide. Nous examinerons d ' a b o r d le cas d'une source située à l ' i n f i n i pour lequel les fronts d'onde sont plans. 5.1. — Ondes planes rencontrant une discontinuité plane. — N o u s suppo serons qu'une onde plane de n o r m a l e unité v t o m b e sur une surface plane Σ, de normale unité k , séparant deux m i l i e u x où les indices p o u r les ondes P et S sont respectivement « i , « 2 , « Ί , « 2 · Les c o n d i t i o n s aux limites à satisfaire sont : — la continuité d u déplacement et des contraintes sur Σ si les deux milieux sont solides ; — la continuité de la composante d u déplacement suivant v et de la contrainte normale si l ' u n des m i l i e u x est fluide (dans ce cas en effet un glissement peut se p r o d u i r e le l o n g de 2") ; — l ' a n n u l a t i o n des contraintes si le second m i l i e u est le vide. Nous i n t r o d u i r o n s un système de coordonnées cartésiennes (x, y, z) d'origine O sur Σ, d'axe Oz parallèle à k , l'axe Ox étant dans le plan contenant v si l'incidence de l'onde n'est pas normale. Soit j le vecteur unité de l'axe Oy (Fig. 7). Pour une onde P le potentiel sca laire a la forme : φ = / [ n , ( . Y s i n /, + z cos /,) — i ]
F I G . 7. — Front d'onde plan π. tombant sur un plan Σ.
PROPAGATION
DES ONDES
EN
MILIEUX
/, étant l'angle d'incidence : cos /, = v.k. dant :
u = grad φ,
HOMOGÈNES
Le déplacement c o r r e s p o n
contenu dans le p l a n {Ox, Oz), sera p r o p o r t i o n n e l à la
d é r i v é e / ' , et les contraintes à / " . P o u r une onde S deux polarisations particulières sont possibles (le cas général étant une c o m b i n a i s o n de ces deux types d'ondes) : le déplace ment peut être ; — parallèle à Oy (onde SH) : u = / [ « 2 ( x sin /2 4- z cos /2) — /] j —
o u bien contenu dans le plan (x, z) (onde SV) : u = rot ijj'],
avec
ψ = g\n2{x
sin /2 + z cos /'2) — i ] .
Ces ondes correspondent, dans le cas plan étudié, aux ondes SH ei SV introduites au ( 2 . 4 ) . Les c o n d i t i o n s aux limites étant à satisfaire sur le plan z = 0 quels que soient x et t, les potentiels des diflFérentes ondes produites p a r le passage de l'onde
incidente d o i v e n t être p r o p o r t i o n n e l s a u potentiel
de celle-ci. De plus p o u r z = 0 les arguments des fonctions d o i v e n t être égaux. L a quantité : p = n sin /, dite paramètre d u r a i associé au f r o n t d'onde, d o i t être la même p o u r tous les types d'ondes. O n v o i t immé diatement q u ' i l y a un couplage possible entre les ondes P et SV, et que l'onde SH est découplée des deux autres types. N o u s étudierons d ' a b o r d le cas plus simple de cette onde. .2. — Réflexion
et réfraction
d'une
onde
SH. — L ' o n d e incidente :
u = / [ « 2 ( x sin /2 + z cos /2) -
/] j
(1)
p r o d u i t sur le plan z = 0 une c o n t r a i n t e de cisaillement réduite à : μ^\ oz
= μη cos iifXn^
x sin /, -
i] j .
Deux c o n d i t i o n s seulement sont à satisfaire. I l suffit donc d ' i n t r o d u i r e deux ondes induites : l'une se propage dans le premier m i l i e u d'indice « 2 et a u n angle d'incidence (π -
/2) puisque son paramètre est égal à :
« 2 sin /2 :
u =
if{.f\n2(x
sin /2 — z cos /3)
-
:\\ étant u n coeflîcient de réflexion. L ' a u t r e se propage dans le second m i l i e u d'indice « 2 et de rigidité μ', u' =
sous l'incidence /2 ( F i g . 8)
G / [ n 2 ( x sin / j - I - z cos /'2) — <] j
ONDES
PLANES
DANS
DES DEMI-ESPACES
ÉLASTIQUES
115
•6 est u n coefficient de transmission. O n doit avoir : «2
sin
Î2 =
n'j sin i'j
(D)
(Loi de Descartes-Snellius). La continuité d u déplacement et de la contrainte se t r a d u i t par : 1 +
= IS
(2)
g
^φ^ΐαη
réfraction d'une onde SH.
μη2 cos
/2(1 - ·Ή) = μ'
n'2 cos i'2 6 .
(3)
La c o n d i t i o n ( D ) peut t o u j o u r s être satisfaite si n'2 > « 2 · Par contre, si la vitesse dans le second m i l i e u est supérieure à la vitesse dans le premier, il n'y a d'onde réfractée que si l'angle d'incidence /2 est inférieur à u n angle limite /. défini par : sin /. =
«2/^2
•
(4)
Pour une incidence supérieure à cet angle limite o n ne peut plus décrire le phénomène avec les seules ondes planes progressives. L'étude d u cas de la source à distance finie permettra de c o m p r e n d r e l ' o r i g i n e de cette difficulté (§ 6.2). Dans le cas où le second m i l i e u est le vide, o n a seulement la c o n d i tion (3) avec μ' = 0, d'où : .'K = L L a réflexion se fait avec conservation de l ' a m p l i t u d e . 5.3. — Réflexion et réfraction
des ondes P et SV. — Supposons m a i n t e n a n t
qu'une onde P dérivant d u p o t e n t i e l / [ « i ( x sin /\ -I- z cos /, ) — /] t o m b e sur le plan z = 0. Le déplacement correspondant est : u = «,[sin ("1 i + cos i\ k]f'
(5)
et les contraintes ;
τ=
η^,[μ sin 2 /',
i
+ (/. + 2 μ) cos^ l'i
k]/" .
Pour une onde dérivant de/[/72(^: sin /'2 + z cos /2) ~ ^ les q u a n tités correspondantes sont :
u =
n 2 [ -
cos
(2
i
+ sin
/2
k]/'
(6)
et τ = nll—
μ cos 2 ('2 i 4- μ sin 2
k]/"
.
Pour z = 0, o n a quatre c o n d i t i o n s aux hmites à satisfaire. 11 f a u t donc i n t r o d u i r e quatre ondes nouvelles : les ondes réfléchies dans le
16
PROPAGATION
DES
ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
premier m i l i e u et les ondes réfractées dans le second ( F i g . 9). P o u r une onde incidente P p a r exemple les potentiels correspondants seront notés : sin l'i — z cos i^)-
t] ,
φ' = lSppf[n[(x
sin l'i + z cos ('ί) -
ί] ,
ψ
sin Î2 -
z cos /2) -
i] j ,
sin i'2 + z cos i'2) -
t]'}.
φ
= Sippf[ni{x
3lps/[«2(^
=
ψ' = '^psf[n'2(x Pour
une onde
incidente SV,
noterait les coefficients '.Rgp, '11^^,
on
Les arguments doivent être égaux p o u r z = 0 : p =
«1
sm I , = n , sm / , =
sm
«2
I2 =
"2
(7)
sm I2 .
Les coefficients de réflexion et de transmission sont donnés par les c o n d i t i o n s de continuité. Par exemple p o u r une onde incidente P, on aura, p o u r deux milieux solides soudés : n , sin /,(1 + 'Λρρ) +
«2
cos
/2
''Ips = n'^ sin /', X^pp — n'2 cos i'2 Έρχ
(8)
?7j cos / [ ( l — ·Ήρρ) + « 2 sin /2 ·'Κρχ = « Ί cos /", Tîpp + « 2 sin ('2 "δρχ J p[cos 2 / 2 ( l + .'Jlpp)-sin 2 /2 ^ips]
= p ' [ c o s 2 /2 Tipp + sin 2 /2 Î?PS]
sin 2 /,(1 - . ' l i p p ) - c o s 2 /2 .'ftps] = /o'[)''^ sin 2 /', Î p p - c o s 2 i'2 Sps] (9) en posant : «i/«2.
y =
SV
n'jn'2,
p et p' désignant la densité de chaque
z
\
y' =
milieu. La
discussion
sur la réalité des
angles de réfraction i'i et i'2 donnés réfr.
par (7) est analogue à celle q u i a été S>
faite
p o u r les ondes SH.
P o u r une
onde incidente P i l y a t o u j o u r s une P
,
incld.
onde
réfléchie
existe
une incidente l i m i t e p o u r les
SV.
Par
contre,
il
ondes SV au-delà de laquelle i l n ' y a plus d'onde P réfléchie. D a n s le cas où le second m i l i e u est le vide, le système se réduit à l ' a n n u
F I G . 9. — Réflexion et réfraction d'une onde P.
l a t i o n des premiers membres des équa tions (9). N o u s renverrons à ( G u t e n -
ONDES
PLANES
DANS
DES DEMI-ESPACES
ÉLASTIQUES
117
berg, 1944) p o u r une discussion de l a v a r i a t i o n des coefficients en fonc t i o n de l'angle d'incidence et nous bornerons à i n d i q u e r c o m m e n t se répartit l'énergie p o u r le cas l i m i t e d'une incidence n o r m a l e , p o u r u n second m i l i e u quelconque. D a n s ce cas, q u a n d / j devient très petit, 'Â PS et TSps sont de l ' o r d r e de /Ί et en négligeant ces termes o n o b t i e n t : 6pp =
IIP'IP
+ n\ln{]
' = 2
'Sipplp'jp
-
n'Jn.T
(10)
U n calcul analogue peut être fait p o u r une onde incidente SV. Pour une incidence quasi n o r m a l e l'énergie incidente se répartit seulement entre l'onde réfléchie et l'onde réfractée de même nature que l'onde incidente. L ' a m p l i t u d e de l'onde réfléchie est d ' a u t a n t plus grande que le r a p p o r t des « i m p é d a n c e s » \/ρ{λ + 2μ) diffère plus de l'unité. Elle est nulle q u a n d cette quantité est c o n t i n u e à travers l'interface. Q u a n d le plan Σ ne constitue pas une discontinuité dans le m i l i e u , o n a évidemment transmission de l'onde incidente sans t r a n s f o r m a t i o n . Q u a n d la discontinuité est très faible, o n a p o u r une onde incidente P : Έρρ # 1, les autres coefficients étant de l ' o r d r e de la v a r i a t i o n relative des p a r a mètres élastiques et des indices. Cette remarque peut être utilisée lorsque l ' o n assimile u n m i l i e u où les propriétés varient de façon c o n t i n u e à u n milieu composé de couches homogènes (Jeffreys, 1970, p. 36). 5.4. — Milieu stratifié. Méthode de Thomson-Haskell. — N o u s allons pré senter le calcul des coefficients de transmission et de réflexion d'ondes de v o l u m e à travers u n empilement de couches planes homogènes, en nous b o r n a n t a u cas des ondes sinusoïdales (/(z) = exp(i/?z)). L a méthode de T h o m s o n - H a s k e l l consiste à i n t r o d u i r e u n vecteur S„ ayant p o u r composantes toutes les quantités scalaires q u i figurent dans les conditions de continuité : composantes d u déplacement, composantes des contraintes q u i s'exercent sur la frontière plane d'une c o u y che. Soit S„ le vecteur corres pondant à la couche de r a n g n. 0 En passant d u sommet (de cote y z = z „ _ , ) de cette couche a u sommet (de cote z = r„) de l a couche sous-jacente, de r a n g ( « - I - 1) ( F i g . 10), o n o b t i e n t p o u r les vecteurs S„ et S„+i une r e l a t i o n linéaire définie p a r la matrice de transfert G„ :
2n-i Cbuche n
Hn
Zn Couche (n+l)
S„+i(z„) = G „ S „ ( z „ _ i ) .
(11)
N o u s étudierons successivement le cas des ondes SH et celui des
F I G . 10.
PROPAGATION
18
DES ONDES
EN MILIEUX
ondes P et SV. N o u s désignerons par H„ =
HOMOGÈNES
z„ — z „ _ i l'épaisseur de
la couche de rang n. Ondes SH. — L e déplacement u = F j résulte de la superposition de deux ondes : V" = A e x p ( i ( / x - pt) -
isz)
se propageant vers le h a u t , et V
= B e x p ( i ( / v - pt) + isz)
se propageant vers le bas. O n prendra p o u r vecteur S à la p r o f o n d e u r v: + S„ =
Dans
la p r o p a g a t i o n ,
dV„ =
:
v:
μη ^nivn - V':) •
la vitesse apparente h o r i z o n t a l e c = pif
est
constante, alors que le paramètre ί lié à l'incidence / varie : 5 = /7 cos 'ήβ ,
β étant la vitesse des ondes S. L a continuité d u déplacement à l'interface z = z„ s'exprime p a r : . =
+ C + i = v: exp(is„ H„) + v: e x p ( -
is„H„),
o u en séparant partie réelle et partie imaginaire dans exp : 1 + C + . = (V: + v:)
cos s„ H„ + i(F„' -
v;') sin s„ H„.
De même p o u r la c o n t r a i n t e :
dz
= ΐμ„ s„[F„'exp(is„ H„) -
V; e x p ( - is„ //„)]
ou : μ„+1
1-
^n^AVU
ι ) = μ„ S n [ ( K . ' - 1 ^ ; ) cos s„ //„ + i(F,; + F,,") sin s„ //„] .
D'où la matrice de transfert : ( "
cos ^n"n s„ //„
\iu„s,.sin.s„//„ V^„s„'.'
1(μ„ s j ' sin s„ H„\ 'U'n cos .s- H,. /•
^
'
ONDES
PLANES
DANS
DES DEMI-ESPACES
ÉLASTIQUES
119
Nous supposerons que l a couche de r a n g n est d'épaisseur infinie alors que la première couche a sa surface l i b r e . Par conséquent en surface S j , a sa seconde composante nulle. A u sommet d u m i l i e u indéfini o n a :
L!(i-K„")
=
^ — • ^ - ^ -
0
Soit A le p r o d u i t des matrices G; : A =
M i l ^ 2 l \ U l 2 "' « 1 2 ^22'
I l vient : v: + K„" = Vn-
A,,V,
v: =
A2,VJp„s„.
D'où le coefficient de réflexion : .% = VJV: = {μ„ s„ A,, + Α2,)Ι(μ„ s„A,,-
A^,)
(13)
et le déplacement superficiel : - A2,).
V, = ν:.2μ„3„Ι(μ„3„Α^,
(14)
Pour une incidence donnée, q u a n d l a période des ondes varie, l ' a m p l i tude d u m o u v e m e n t en surface passe p a r des extremums correspondant aux m i n i m u m s de \ μ„ s„ A^ — AjilPar exemple, dans le cas d'une couche d'alluvions de 100 m d'épaisseur (β = 0,25 km/s, p = 1,7 g/cm^), p o u r une incidence n o r m a l e le déplacement superficiel peut atteindre 22 fois le déplacement dans une couche sous-jacente granitique (β = 3,5 km/s, p = 2,7 g/cm^), les périodes de résonance correspondantes étant 1,6 s, 0,53 s... (Haskell, 1960). Ces périodes existant dans le spectre des mouvements observés dans les régions épicentrales, l'effet de réso nance peut expliquer l a vulnérabilité des structures construites sur u n sol n o n consolidé. Ondes P et SV. — E n prenant l'axe Oy sur l'intersection d u p l a n de stratification et d u f r o n t d'onde, o n peut mettre le déplacement sous la forme : _ δφ
δφ
δχ
δζ
120
PROPAGATION
DES
ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
les différents potentiels étant de la forme : ί φ' = A e x p [ i ( / x - pt) + i r z ]
Pour les ondes P
φ" = B e x p [ i ( / x — pt) — i r z ] avec : 2 „2
ψ' = C exp[i(/x - p i ) + i s z ] Pour les ondes SV [ψ"
= D exp[i(/x - p i ) - i s z ]
avec ;
Dans la couche de rang n, introduisons le vecteur Φ„ de composantes (Ψη, Ψ'η,
^'ή) •
Le vecteur S„(H„, W„, ZZ, XZ) s'en déduit par : S„
=
Τ.Φ„
T„ étant la matrice : K
i/
i/ 2p„/s„
μ„ q„
-
μη
- μη<1η
\ - 2 p„>„
\ i/ 2 P„/s„
(15)
2μ„/Γ„
avec
Posons :
O n obtient en inversant T„ :
φ
=
S
avec /2iμ„/r„s„ in 2ίμ„/'-„ s„ \-ψη
qr,r„
rnSn 2ip„fr„s„ Ψη Qn S„
2 'ψ„^„ s„
fVn rnS„ -fr-n
fSn \ -r„s„ ~r„sj
. (16)
ONDES
PLANES
DANS
DES
DEMI-ESPACES
ÉLASTIQUES
121
Lorsque, dans la couche de r a n g n, o n passe de la p r o f o n d e u r z „ _ i à la profondeur z„, o n a : Φ„(ζ„)
£„Φ„(ζ„_,)
=
E„ étant la matrice diagonale d'éléments (exp(i/-„ //„), exp(ii„ H„), e x p ( - ir„ //„), e x p ( - \s„ H„)).
(17)
On en déduit la t r a n s f o r m a t i o n p e r m e t t a n t de passer d'une couche à la suivante : S„+,(z„) = S„(z„) = r„ Φ„(ζ„)
= T„ E„ Φ„(ζ„_ι)
= T„ E„ T „ - ' S „ ( z „ _ i )
d'où : G„ = T „ £ „ 7 ' - ' .
(18)
Nous ne ferons le calcul que p o u r une onde incidente P a r r i v a n t sur la base d ' u n empilement de couches analogue à celui étudié plus haut. A la surface libre le vecteur a p o u r composantes : («1, Wi, 0, 0 ) . On a donc au sommet de la couche infinie de r a n g /; :
S„(z„_,) = A
(19)
0 0
A désignant la matrice p r o d u i t : A = G „ - i . G „ _ 2 ... C2.G1 . De: (19) o n déduit : u
"1 φ„ =
T-'A
w,
0 0
= R
w 0 0
avec
R = r'^
A =
Λ21
Rl2
RX3
R22
« 2 3
R32
R33
« 3 4
R42
« 4 3
R44.!
RiA
122
PROPAGATION
DES ONDES
EN MILIEUX
HOMOGÈNES
O r , p a r hypothèse, l ' o n d e incidente est une onde P p u r e , d o n c φ"„ — 0. On
obtient
les relations : ψ'„ = R , , M , +
R,2 w ,
Vn = «21 " l +
«22 W,
I
(20)
> •
= 0
«31 " l + « 3 2 VV, ^
=
U, +
W, ;
Posons Δ = i?3i.«42 — Λ 4 1 . Λ 3 2 • O n obtient : —
P o u r le déplacement superficiel : "1
—
= «42 ψ'ήΜ
Vf, =
(21)
R 4 1 φ';ΐΔ
P o u r l ' o n d e P réfléchie : Ψη = ( « 1 1 « 4 2 -
—
-
«12«4l)V';7^.
P o u r l ' o n d e SV réfléchie : φ: = ( « 2 . « 4 2 -
« 2 2 «41 ) (^:/^ • Ί—Γ
40
50 60
PÉRIODE(SLC)
F I G . 11. — Répartition de l'énergie entre ondes P et SV réfléchies en fonction de la période et de l'angle d'incidence à la base de la croate. Le modèle choisi comporte une couche homogène de 37 km d'épaisseur (a = 6,285 km/s, β = 3,635 km/s, p = 2,869 g/cm3) sur u n milieu indéfini (a = 7,960 km/s, β = 4,600 km/s, p = 3,370 g/cm3). D'après HASKELL, 1962.
SOURCE
A DISTANCE
FINIE
D'UNE
123
DISCONTINUITÉ
La figure 11 donne un exemple de répartition d u flux d'énergie dans l'onde P réfléchie p o u r u n modèle de croûte continentale, en f o n c t i o n de la période et de l'angle d'incidence à l a base de la croûte. Les valeurs indiquées correspondent à la f r a c t i o n de l'énergie réfléchie sous f o r m e d'onde P. L a même figure peut être utilisée p o u r la réflexion d'ondes 5 en utilisant la seconde échelle d'ordonnées. 6. — S O U R C E A
DISTANCE FINIE
D'UNE
DISCONTINUITÉ
PLANE
Nous examinerons maintenant le cas d'une source à distance finie de la frontière d u milieu ; la c o u r b u r e des fronts p r o d u i t alors des phéno mènes de diffraction. O n peut définir une source soit, c o m m e dans ( 4 . 4 ) , par des forces de volume concentrées en u n p o i n t o u réparties dans u n certain v o l u m e , soit par des forces de surface s'exerçant sur la frontière du milieu étudié. Dans les deux cas, compte tenu de la linéarité des équations de l'élasticité, o n peut se borner à une e x c i t a t i o n dans le temps définie par une d i s t r i b u t i o n de Dirac. L a s o l u t i o n u correspondant à une l o i / ( t ) sera obtenue par c o n v o l u t i o n de la s o l u t i o n élémentaire U o ( M , t) obtenue précédemment, par cette l o i : u ( M , f) =
fit
-
t ) Uo(M, τ ) d r
O n p o u r r a de même o b t e n i r la s o l u t i o n p o u r une source étendue dans l'espace par c o n v o l u t i o n de la s o l u t i o n valable p o u r une source ponctuelle ou linéaire avec la f o n c t i o n densité de source. Les problèmes à résoudre peuvent se décrire c o m m e suit : ) formulation : Source définie par une d i s t r i b u t i o n de forces de v o l u m e . E q u a t i o n de l'élasticité n o n homogène L(u) = (/. + μ) grad d i v u + μ Au - pu = ρδ{ί -
ÎQ) δ{Μο M ) k ,
ou équations d'onde n o n homogènes p o u r les potentiels. C o n d i t i o n s aux limites homogènes : u et τ continues sur les interfaces soudées ou τ = 0 sur une surface libre u (00) = 0 . M i l i e u i n i t i a l e m e n t au repos u ( i < 0) = 0 = u ( i < 0 ) . 2*! formulation superficielles.
: Source définie par une d i s t r i b u t i o n de contraintes
PROPAGATION
DES
ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
E q u a t i o n de l'élasticité homogène : L(u) = 0 . C o n d i t i o n s aux limites n o n homogènes, Par exemple : τ = (%t -
to) δ{Μο M ) k ,
MoeZ.
M i l i e u initialement au repos u ( i < 0) = 0 = i l ( i < 0 ) . E n utilisant, dans le m i l i e u q u i contient la source, la s o l u t i o n élémen taire déterminée p o u r un m i l i e u indéfini en (4.4), o n peut passer d u cas I au cas 11. Pour résoudre le problème, o n utilise généralement une trans f o r m a t i o n de F o u r i e r o u de Laplace p o u r ramener l'équation de l'élas ticité, o u l'équation des ondes satisfaite par les potentiels, à une équation ne contenant plus de dérivée par r a p p o r t a u temps. O n peut opérer de même une t r a n s f o r m a t i o n par r a p p o r t à une variable d'espace choisie en f o n c t i o n des symétries d u problème. Par exemple, o n effectuera une t r a n s f o r m a t i o n de F o u r i e r par r a p p o r t à une coordonnée cartésienne si le phénomène ne dépend que de deux de ces coordonnées (déformation plane), et une t r a n s f o r m a t i o n de H a n k e l si le problème admet une symétrie de révolution a u t o u r d ' u n axe. N o u s étudierons plusieurs exemples de problèmes d u type 11 dans u n ordre de complexité croissante, de façon à faire apparaître successive ment différents éléments caractéristiques de la p r o p a g a t i o n d'ondes dans un m i l i e u limité p a r u n p l a n en utilisant une méthode due à L. C a g n i a r d (1939). N o u s commencerons p a r le cas d'une ligne de sources parallèle à la surface libre de façon à n'avoir que deux coordonnées d'espace. 6.1. — Ligne de sources SH sur la surface libre d'un demi-espace. — N o u s considérerons le cas où les contraintes superficielles sont exercées le long d'une droite — prise p o u r axe Oy — parallèle ment à cette d r o i t e ( F i g . 12). Le déplacement est, par raison de symétrie, parallèle à Oy et ne dépend que des coordonnées x et z. L'équation sadsfaite p a r la composante υ d u déplacement est celle des ondes SH :
z FIG.
12.
—
Ligtie
de
sources SH à la surface d'un demi-espace.
n étant l'indice d u m i l i e u {n' = p//<)-
SOURCE
A DISTANCE
FINIE
D'UNE
DISCONTINUITÉ
125
Les contraintes sur la surface libre z = 0 se réduisent à :
La source sera définie par : z = 0,
(2)
7} = oix)f(t)
avec < 0) = 0 .
fU
La méthode de Cagniard consiste à i n t r o d u i r e la transformée de Laplace (notée ultérieurement T . L.) d u déplacement (des potentiels, dans le cas général). N o u s poserons : •oc
v(x, z, s) =
e - " lix, z, f) d i .
(3)
•I 0
Toutes les intégrales de ce type utilisées par la suite sont supposées exister, c'est-à-dire q u ' i l existe un réel SQ positif, tel que (3) soit conver gente p o u r : Re s > SQ
.
Si les fonctions υ et υ sont nulles et continues p o u r ί = -I- 0, et finies o u de croissance exponentielle au plus p o u r ί = -f- oo (points q u i d o i v e n t être vérifiés à la fin des calculs), o n peut écrire : e ~ " Av d i = 0
e " ^ V dt =
v.
' 0
Soit : ύ .
Δυ =
(4)
Des solutions élémentaires de cette équation o n t la forme : !;-t = e x p [ i t o + Jk^ +
sz] .
(5)
Elles correspondent à des ondes planes. N o u s prendrons : Re + > 0 ; par suite, υ_ tendant vers zéro à l ' i n f i n i dans le m i l i e u est l a s o l u t i o n élémentaire convenable, si l'axe des z est dirigé vers l'intérieur. U n e s o l u t i o n plus générale a p o u r expression : V =
P(k)
exp[iksx
-
sjk^ +
sz] dk
(6)
PROPAGATION
DES
ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
P(k) étant une f o n c t i o n choisie de façon à satisfaire la c o n d i t i o n aux limites (2). E n prenant la T . L . de (1) et (2), o n obtient p o u r z = 0 si =
fis) -
/(S
T.L./(i): dfc = (5(x)/(s).
Pik) exp(i/csx) V/c^ +
Or, + 'Xi
δ{χ)
=
2π
exp(ifcsx)
disk).
— GO
O n peut donc prendre : Pik)
= -
7(.s) [ 2 πμ ^k'
+ n ^ " ' .
L a T . L. d u déplacement est par suite : dk 2πμ
e x p [ i t e - \Jk^ +
sz] .
il)
J
Elle apparaît c o m m e le p r o d u i t de la T . L. d u signal à la source et d'une f o n c t i o n q u i t r a d u i t l'influence de la p r o p a g a t i o n : V
= -
^fis) λ πμ
Fix, z, s) .
L a f o n c t i o n f est la T . L. d'une fonction Fix, z, 0 · Le déplacement est donc obtenu par c o n v o l u t i o n d u signal fit) de la f o n c t i o n , F, réponse impulsionnelle d u m i l i e u : vix, z, 0 = - ^ 2πμ
[ / ( i - τ ) Fix, z, t ) d r . J0
et
(8)
I l suflit donc de déterminer l ' o r i g i n a l de F. L a clé de la méthode de L . Cagniard consiste à transformer l'exposant de (7) de façon à écrire l'intégrale sous une forme analogue à (3). Posons : -
t = ikx -
sjk^ + rp- z .
(9)
O n opère un changement de la variable /c à la variable t. L a présence des radicaux oblige à quelques précautions. Le radical est n u l p o u r k = ±m. Les trajets d'intégration se faisant dans le p l a n complexe k = a + ίβ, nous devons rendre le radical u n i f o r m e et p o u r cela nous nous interdirons de franchir les demi-droites i + in, + i oo) i - in, — i oo)
SOURCE
A DISTANCE
FINIE
D'UNE
DISCONTINUITÉ
127
en introduisant des coupures sur l'axe imaginaire Οβ. N o u s choisirons la détermination arithmétique d u radical p o u r A; = 0. Si l ' o n résout l'équation (9) par r a p p o r t à k, o n obtient : k = (i.x-r ± z V ' i ^ - rP- r^)jr^ = ( i i sin 0 + cos 0 V ' ^ -
r^)lr
en i n t r o d u i s a n t les coordonnées polaires : z = r cos et x = r sinO. 0 est l'angle de O M avec Oz. Par raison de symétrie, o n p o u r r a se borner au cas où 0 ^ 0 < π/2. Pour / ^ nr o n a α = Re Â: = cos θ V i ^ -
r^/r
j5 = I m Â; = sin O.t/r et par suite : (β^/sm^ 0) -
(10)
(a^/cos^ Θ) =
Pour un p o i n t M(r, 6)fixe, le lieu de l'affixe de k, q u a n d t varie de nr à l ' i n f i n i , est une branche de l'hyperbole H (10) ( F i g . 13). Le sommet de cette hyperbole est le p o i n t (0, n sin 0) situé a u dessous de la coupure. L ' i n tégrale de (6) est prise le l o n g de l'axe réel. L ' a p p l i c a t i o n d u théorème de Cauchy nous permet de passer à une inté grale prise le l o n g de (H). Rappelons que l'intégrale le l o n g d ' u n c o n t o u r fermé d'une f o n c t i o n h o l o m o r p h e à l'intérieur d u c o n t o u r est nulle. I n t r o d u i s o n s des arcs de cercle de centre O, de r a y o n K j o i g n a n t les points de l'axe réel aux points de la branche d'hyperbole. O n a le l o n g de la courbe Γ ainsi constituée : ak r-ylk'
= exp[i/c.9x + n^
V/c^ +
5z] = 0
soit : -I-
+
= 0,
en désignant par y les deux arcs de cercle, par H' la partie de la branche d'hyperbole intérieure a u demi-cercle.
PROPAGATION
DES ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
Q u a n d K = \ k \, p o u r k e y, tend vers l ' i n f i n i ,
l'intégrale
tend
vers zéro à cause de l'exponentielle. O n peut écrire à la l i m i t e : F
=
·+
dA\/k'
exp(iA's.\- -
yjk'
+ n' sz)
+ n
e-»'G(A,)^tdi
-
r-G(A'_)^^df
G représentant la f o n c t i o n à intégrer, k+{t)
et A-_(i) les deux solutions
possibles correspondant aux demi-branches H'+ et H-
parcourues comme
l ' i n d i q u e la figure 13. O n a : /r_ = kX (k*
complexe conjugué de Â-) ; par suite,
G(fe_) = G ( - A i ) = G*(A J puisque G ne dépend que de k' et de n réel. A i n s i F = 2 Re O n v o i t ainsi que F est la transformée de Laplace de la f o n c t i o n : F = 2 Re H
( G(A^)
H(t -
étant la f o n c t i o n de Heaviside,
nr),
(11)
avec :
k^ = ( i r v -I- z v'/^ - n' r')lr'
.
U n calcul simple m o n t r e que : -
ΠI·^
F = 2 " ï ~ '"•^ V i ' " - n' r'
(12)
O n retrouve une s o l u t i o n bien connue de l'équation des ondes cylin driques ( C o u r a n t et H u b e r t , 11, p. 685). Le front d'onde est le cylindre t = nr, p o r t e u r d'une discontinuité faible. Revenons à la s o l u t i o n complète : _
_
1 πμ
SOURCE
A DISTANCE
FINIE
D'UNE
DISCONTINUITÉ
129
Le déplacement et la vitesse sont bien nuls p a r t o u t (sauf p o u r r = 0) à l'instant initial. L a singularité à l'origine vient de ce que la charge est concentrée. Pour une charge distribuée sur l'axe Ox, le déplacement serait obtenu par c o n v o l u t i o n de la solution précédente et de la l o i d o n nant la densité de c o n t r a i n t e sur Ox. 6.2. — Ligne de sources SH à la frontière de deux demi-espaces soudés. — Pour mettre en évidence la f o r m a t i o n d'ondes diffractées, nous suppose rons maintenant que la ligne source est située sur la frondère entre deux demi-espaces homogènes différents d'indices n et (n > « , ) et de r i g i dités μ et μ,. L'indice 1 sera affecté au m i l i e u z < 0. La solution dans le m i h e u supérieur (z > 0) a la forme (6). Dans le milieu inférieur o n a : r + vj f,
=
Pi{k)
exp[iA:.sx + \/k' + nf sz] dk ,
(6i)
le radical étant l u i aussi r e n d u u n i f o r m e par la coupure (-1- i n j , + i co) dans le demi-plan I m A: ^ 0. L a continuité d u déplacement p o u r k = 0 entraîne : P{k)
=
P,(k).
La c o n d i t i o n à la frontière s'exprime, p o u r l a charge (2), par : μ-^-
μ,^
= δ(x)fit)
pour
z = 0,
(14)
J k' + « ^ ) ] " ' .
(15)
par suite : P = - / ( s ) . [ 2 π{μ V/c" + n' + μ,
La méthode précédente s'applique p o u r le calcul des intégrales (6) et (oj). On posera : -
t = ikx — \Jk' + n' ζ
p o u r (6)
-
t = ikx + yjk'
pour (6,).
+ n\ ζ
Aucune difficulté ne se présente p o u r l'évaluation de l'intégrale corres pondant au milieu à vitesse plus grande, le sommet de l'hyperbole étant toujours au-dessous d u p o i n t de branchement le plus bas. O n a donc dans ce milieu une onde SH k f r o n t c y l i n d r i q u e t = iii r, mais d ' a m p l i t u d e plus compliquée à cause de la forme de ( 15). Dans le milieu à vitesse plus faible, l'hyperbole ne traverse pas la c o u pure et o n a u n f r o n t c y l i n d r i q u e / = nr, si son sommet est au-dessous d u p o i n t de branchement, c'est-à-dire si : n sin 0 < rt, .
(16)
30
PROPAGATION
DES
ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
L'égalité des deux membres correspond à l'angle l i m i t e OQ de la loi de Descartes-Snellius : sin OQ = njn. Cette partie d u f r o n t d'onde est donc constituée d'une partie de cylindre ( F i g . 14). Dans la région OQ < θ < π/2, l'hyperbole rencontre la coupure et, p o u r appliquer correctement le théorème de Cauchy, i l faut i n t r o d u i r e un arc symétrique par r a p p o r t à Οβ c o n t o u r n a n t les points de branchement ( F i g . 15).
t = nr
Fia. 15.
espaces.
O n m o n t r e aisément que la c o n t r i b u t i o n d u demi-cercle de centre irii tend vers zéro avec le r a y o n de celui-ci. Le l o n g d ' u n segment i n f i n i m e n t voisin de l'axe Οβ o n peut poser : k = + δ + i[tsmO
-
cosO V « '
-
t^]lr
(17)
δ étant réel, infinitésimal et / étant c o m p r i s dans l'intervalle : nr ^ t ^ nr cos (0 -
θ^).
(18)
Le calcul de l ' a m p l i t u d e nécessite une discussion sur la valeur de V/c^ + ni de p a r t et d'autre de la coupure. N o u s nous bornerons à remarquer q u ' i l s ' i n t r o d u i t u n nouveau f r o n t d'onde d'équation ; t = nr cos (0 -
θο) = nicosOg-z
+ sinOo-^^)
(19)
dans la région OQ 0 ^ π/2. Ce f r o n t coupe l'axe des x au p o i n t où arrive le f r o n t c y l i n d r i q u e d u m i l i e u inférieur et peut être considéré c o m m e l'effet de l'excitation d u m i l i e u supérieur p a r les contraintes dues au passage d u f r o n t dans le m i l i e u inférieur. P o u r Θ = OQ, o n retrouve t = nr. Le f r o n t p l a n est donc tangent au f r o n t c y l i n d r i q u e / = nr ( F i g . 14).
SOURCE
On
A DISTANCE
FINIE
D'UNE
DISCONTINUITÉ
131
peut montrer que les rais correspondants satisfont le principe de
Fermât. On peut vérifier (en utilisant par exemple le théorème sur la v a r i a t i o n de l'argument) que la f o n c t i o n au dénominateur n'a pas de zéros dans le demi-plan considéré. Par suite, en dehors d'une éventuelle discontinuité sur le front, l'amplitude reste 6.3. — Ligne
de sources
l'intérieur ondes
SH
à
16). —
(Fig.
demi-espace
finie.
du milieu,
nouvelles :
les
on
Si
l'intérieur la
voit
ondes
apparaître
réfléchies
Z
d'un
source est à
~
des
p a r la
surface libre. Soit H la p r o f o n d e u r de la ligne. Dans la bande O ^ z ^ H, o n utilisera la s o l u t i o n sous
J:^,,'^^S^,^:, d'un
demi-espace.
la forme complète : V
P+{li)
=
exp[ifcsx + V/c' + n' s(z -
//)] dfc +
(- + CC -I-
exppfcsx -
P_{k)
V f c ' + n' s(z - //)] àk .
Dans le demi-plan z > H on p r e n d r a l'expression analogue à (6) r + co V
P(k)
=
exp[ifc.sx -
^k'
+ n' s{z -
H ) ] dfc .
L a continuité d u déplacement c o n d u i t à : P = P+ -l·
(20)
P-.
La discontinuité des contraintes sur la surface z = H, 'a : μ J e + n\P^
-
P_
+ P)=
- /(,)/2 π .
(21)
L'absence de c o n t r a i n t e s superficielles à ; P + e x p ( - sH yjk'
-
P_ exp{sH
Jk'
+ n')
obtient dans la couche (au facteur —/(.9)/4 πμ
On V
+ n')
=
dk I - = : - - - ^ = exp[i/csx + \Jk' -\- n' s{z J e
+
n'
= 0.
près) :
//)] +
(22)
PROPAGATION
DES
ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
Ces intégrales peuvent être évaluées comme celle de 6 . 1 . L a première onde est dirigée vers la surface, l a seconde p r o v i e n t d'une source fictive symétrique de l a première p a r r a p p o r t à l a surface libre. Dans le m i l i e u inférieur, o n o b t i e n t : àk
exppfcsx - Vfc^ + r + 00
àk
+
exp[i/csx -
s(z + H)\ .
sjk^
O n obtient les deux ondes issues de la source et de la source image. Les fronts correspondants sont des p o r t i o n s de cylin dres circulaires ( F i g . 17). Ce résultat était bien entendu évident d'après la géométrie des rais.
-H
/ V "
s(z - H ) ] +
y
F I G . 17. — Fronts d'onde incident et réfléchi.
z
. 4. — Ligne de sources SH dans un demi-espace soudé à un autre. — Si le m i l i e u q u i c o n t i e n t l a ligne de sources est soudé à u n autre demi-espace de propriétés différentes, les phénomènes correspondent à une c o m b i n a i son des effets obtenus en 6 . 2 et 6 . 3 . Les calculs s'effectuent de l a même façon. 11 faut seulement i n t r o d u i r e dans le second m i l i e u de cote z < 0, d'indice n , et de rigidité μι, u n déplacement d o n t la T . L . a l a forme : Q{k)
exppfesx + Jk^ + ni sz] dfe .
L a troisième des c o n d i t i o n s d u cas précédent (22) est à remplacer par la c o n d i t i o n de continuité d u déplacement p o u r z = 0 : Q = P+ e x p ( - sH^/k^
+
+ P-
e x p ( + sH^Jk^
+
et p a r la c o n d i t i o n de continuité des contraintes :
= μ^/k^ +
[ P + e x p ( - sH V f e ' -f- n^) - P _ e x p ( + sH slk^ -t- « ' ) ] .
Dans les expressions de v p o u r le premier m i l i e u l a c o n t r i b u t i o n corres p o n d a n t à l'onde directe P+ n'est pas modifiée. Par contre l ' a m p l i t u d e P_
SOURCE
A DISTANCE
FINIE
D'UNE
DISCONTINUITÉ
133
est perturbée par la présence d u second m i l i e u . N o u s n'écrirons pas l'ex pression correspondante q u i est la forme : F{k)
àk exp[i/csx -
J k' + n' s(z +
H)]
F contient les deux radicaux J e + n et J e + n\. L a coupure sur l'axe Οβ doit inclure les deux points i « et iw,. A u c u n e difficulté n'est rencontrée dans l'évaluation de l'intégrale si AÏ, > « . Le f r o n t d'onde réfracté dans le second m i l i e u reste accroché aux fronts incident et réfléchi dans le premier m i l i e u ( F i g . 18a). Par contre si « , < n une onde diffractée est p r o d u i t e q u a n d l'incidence d u f r o n t direct sur l'interface a dépassé l'angle l i m i t e OQ = A r c sin (njn) ( F i g . ISb, c).
θ<
n,< n rc ai n
QQ = A
,^η)
6^ (c)
F I G . 18. — Ligne de sources SH dans un demi-espace soudé à un autre. a) Cas où le second milieu a u n indice supérieur à celui d u milieu contenant la source ; b) Cas OÎJ le second indice est infé rieur, avant le décrochement d u front réfracté ; c) I d . après décrochement.
Dans le second m i l i e u la T . L. d u déplacement est donnée p a r : υ, ~
= 2 dk exp[iksx μJe
+ J e +nl e
sz -
+ μ^Je
J e + n' sH] μ + n\
PROPAGATION
DES
ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
L a présence dans l'exponentielle des deux radicaux r e n d l a discussion plus complexe. A u lieu de suivre la méthode employée plus h a u t nous utlHserons une méthode approchée, dite méthode d u c o l (voir chap. 25 § 2.9). Pour
l'intégrale I G(/c)exp(-
ΰ, =
s0{k))ak.
Le c o l est donné par : Φ'{ko) = 0 . Ici : 0{k)
= - [ifex
+ Jê
+ n\z -
sjk'"+
e
//] .
D'où : Φ'(Αο) = -
[ i x + fco z/VfcÎ + n\ -
ko Hjjkl
+ w'] = 0 .
N o u s poserons — \ko = n sin θ = Πι sin θ, .
(D)
D'où : X = Htge 0(ko)
-
= (nH/cos 0) -
ztgO, ( « i z/cos 0 , ) .
O n peut interpréter ces rela tions en considérant u n r a i issu de la source s sous l'incidence Θ, réfracté sur le p l a n z = 0 sous l'angle ( F i g . 19) lié à 0 par la r e l a t i o n de Descartes-SneUius (D). X représente la distance horizontale parcourue, 0iko) le temps mis à p a r c o u r i r le r a i SM. L'expression approchée de ûj fait apparaître le terme exp(— s0(ko)) et l a trans formée inverse de Laplace donne p o u r Vi une a m p l i t u d e p r o p o r t i o n FiG. 19. nelle à H{t - Φ(Α:ο)) c'est-à-dire fait apparaître u n f r o n t d'onde o r t h o g o n a l à tous les rais réfractés. O n peut m o n t r e r que ce f r o n t est parallèle à une ellipse ayant S p o u r foyer et O p o u r centre.
SOURCE
A DISTANCE
FINIE
D'UNE
DISCONTINUITÉ
135
6.5. — Ligne de pressions normales à la sur face libre d'un demi-espace ( L a m b en 1904) (Fig. 20). — Par raison de symétrie, le dépla cement est contenu dans u n p l a n parallèle à xOz et ne dépend pas de y. Les contraintes superficielles sont définies p a r : u
ί ^
=
à{x)f{t)
1 9 = 0. On recherche les potentiels ψ{χ, z) et ψ = i/r (x, z ) . j (j vecteur unité de Oy) d'où dérive le déplacement de composantes (M, W). O n a : U
=
Οψ Jx
dz
dz
dx
F I O . 20. — Ligne de pres sion normale à la surface d'un demi-espace.
Αφ = n\ ψ
et Αφ =
ηΐφ
Les T . L . des potentiels o n t des expressions de l a f o r m e (6) avec n = ou «2 et deux poids Pi et P2. E n prenant la T . L . des c o n d i t i o n s à l a surface, o n obtient deux ^ q u a t i o n s linéaires p o u r Pi et Ρ2· trouve finalement, à un facteur f(s)/2 nps près : P i = i2k^ Δ
P2 =
+ nl)/A
= (2 /c' + nlf
- 2 i/c V/c^ -F n^M
- 4 fc' Vfc^ + n] V/c^ + ni •
L a suite de la discussion est analogue à celle faite plus haut p o u r les ondes SH. Avec la détermination choisie p o u r les radicaux, Δ admet des zéros sur l'axe Οβ, sur les coupures ( + 1 « , -I- i 00) et (— i 00, — i « ) . En posant k = i/c, la valeur de la vitesse c est racine de : (2 -
c- nlf
- 4 V(l -
n?) (1 -
ni) = 0
(23)
( E q u a t i o n de Rayleigh) En particulier p o u r 2 = μ, o n t r o u v e c = 0,919 Le calcul des quantités q u i dérivent d u potentiel φ ne présente pas de difficultés. L a branche d'hyperbole correspondant au changement de variable k t passe t o u j o u r s au-dessous de la coupure dans le d e m i - p l a n supérieur. O n t r o u v e p o u r l'onde l o n g i t u d i n a l e une expression de la forme (11) avec u n f r o n t H(t - n , r), d ' a m p l i t u d e plus complexe que p o u r l'onde SH. P o u r le calcul des quantités q u i dérivent de φ, o n retrouve u n angle Hmite OQ, défini p a r : sin OQ ~ η^ηχ.
36
PROPAGATION
DES
ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
Si l'angle (Oz, OM) d u r a y o n vecteur avec la verticale est inférieur à OQ, le calcul est analogue a u précédent et o n t r o u v e u n f r o n t cylindrique d'ondes SV. Si (Oz, OM) > θο, l a branche d'hyperbole a son sommet sur la coupure et o n d o i t , c o m m e a u paragraphe 6 . 2 ci-dessus, introduire u n c o n t o u r supplémentaire. 11 se p r o d u i t alors une onde plane transver sale s'appuyant sur le f r o n t SV précé dent et la trace de l ' o n d e P sur la sur face libre ( F i g . 21). Cette onde diffractée est nécessaire p o u r annuler les contrain tes superficielles induites p a r le passage de l'onde l o n g i t u d i n a l e . Le déplacement superficiel d o i t être traité à p a r t , car l'hyperbole corres pondante se replie sur la coupure (iw,, i oo). E n prenant les expressions précé Fie;. 2 1 . — Fronls d'onde Pet dentes p o u r z = - I - e et en faisant SV engendrés par la source en tendre ε vers zéro o n constate que le sur/ace. déplacement superficiel présente une singularité. L a f o n c t i o n G(k+) contenant ]/A en facteur devient infi nie p o u r k = i/c = it/x, soit x = et. Ceci correspond à la propagation d'ondes de surface, dites ondes de Rayleigh, d o n t l'étude sera faite plus l o i n (Chap. 8). 6.6. — Source linéaire à l'intérieur d'un demi-espace soudé à un autre demiespace. — L a méthode décrite plus h a u t est applicable. N o u s nous bor nerons à décrire les différents types de fronts d'onde possibles. T a n t que les fronts d'onde cylindriques des ondes P et S émis par la source n'ont pas atteint l'interface, o n peut utiliser les expressions d u ( 2 . 6 ) . L'arrivée sur l'interface d u f r o n t P p r o d u i t deux fronts réfractés et réfléchis P et S. I l en sera de même plus t a r d p o u r le f r o n t S. Si les vitesses des ondes dans le second m i l i e u sont inférieures aux vitesses correspondantes dans le m i l i e u q u i contient la source, les fronts réfractés ne se décrochent pas des fronts incidents et réfléchis ( F i g . 22a). Par contre, si les vitesses y sont plus grandes, o n a diverses possibilités p o u r la f o r m a t i o n de fronts diffractés dans le premier m i l i e u après le décrochement des ondes réfractées ( F i g . 22h, c, d). 6.7. — Source SH ponctuelle à la surface d'un demi-espace. — N o u s étu dierons maintenant u n problème à symétrie de révolution p o u r donner u n exemple d ' a p p l i c a t i o n de la t r a n s f o r m a t i o n de Fourier-Bessel. A la surface d ' u n demi-espace o n exerce u n cisaillement défini en coordonnées cylindriques ( F i g . 23) p a r : zz = 0 ,
zr = 0 ,
ζθ = pf(t)
g(r).
SOURCE
A DISTANCE
FINIE
D'UNE
DISCONTINUITÉ
137
c;
F I G . 22. — Propagation dans deux milieux soudés, a) Les vitesses dans le milieu contenant la source sont plus fortes ( K ' = 8 km/s, K = 6 , W'=\,5, li^=-3,5) : les fronts ne se décrochent pas (/=6 s, h = OS=i km). b) Les vitesses dans le m i l i e u contenant la source sont plus faibles ( K = 6 km/s, V = %, W = 3,5, W — 4,5). Pour / = 1,8 s les fronts ne sont pas encore décrochés (A = 8 k m ) . c) Pour / = 8 s, l'onde réfractée est décrochée (Λ = 8 k m ) .
En
un point
cercle
le déplacement p r o d u i t
M
est, par raison d'axe
de Oz
symétrie, tangent a u et
indépendant
de
l'azimut :
y{M,
V
satisfait
s'écrit
t) = v{r, z, t) g
l'équation
de
(24)
l'élasticité q u i
ici : dv
d'v
rôr
δζ'
. V
2
. <^^V
(25)
F I G . 23. — Source SH ponctuelle à la surface d'un demi-espace.
38
PROPAGATION
DES
ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
et les c o n d i t i o n s aux limites : Ci,'
^
= fit)
pour
nr)
z = 0
t' ( i < 0) = ύ ( i < 0) = 0 . C o m m e plus haut o n recherche la T . L . d u déplacement v(M,
V =
1)6'"'dt.
Cette quantité satisfait les relations : d'v
dv
d'v
v
dr
r dr
dz'
r'
1^
= f(p)
gir)
m
=
2
2-
(26)
= 0
pour
avec /(Oe-'"di.
(27)
•> 0 Rappelons la propriété de réciprocité de la t r a n s f o r m a t i o n de FourierBessel ( o u de H a n k e l ) : Si : g(r)
G{k)JJkr)kdk
=
(28) =
G{k)
g ( r ) J J , k r ) r dr . J
0
étant une f o n c t i o n de Bessel d ' o r d r e m. C o m p t e tenu de la forme de (26) et de l'équation différentielle satisfaite p a r : y = J„(x) : x' y" + xy' + (x'
-
m')y
= 0
(29)
nous rechercherons la s o l u t i o n de (26) sous la f o r m e : V
V(p, z, k) kJ,{kr)
=
J
dk
(30)
0
p o u r laquelle o n d o i t avoir : dV ^
= fip)
Gik)
pour
G étant donné p a r (28) avec m = 1.
z = 0,
(31)
SOURCE
A DISTANCE
FINIE
D'UNE
DISCONTINUITÉ
139
On a alors p o u r V l'équation : f-~ dz
= in' p' + k') V
dont les solutions sont : F± = Qxçl±
z si n' p'
+ k']
.
La solution q u i satisfait la c o n d i t i o n (31) et q u i s'annule à l ' i n f i n i si l'axe Oz est dirigé vers l'intérieur d u m i l i e u est : 1/ = - / ( p ) G(fe) e x p [ - zsin'
p' + k'^j^n'
p' +
k'.
Par suite : V = - f(p)
J0
G{k) e x p [ - z V n ^ p' +
fc'].(n'
p' + k'y'^'
(32)
dk .
Cette formule est à r a p p r o c h e r de la f o r m u l e obtenue au paragraphe 4 . 1 pour le cas de la ligne de sources. O n p e u t en p a r t i c u l i e r utiliser p o u r la représentation de F o u r i e r : Ji(kr)
2 = - Im π
J o
e x p [ — ikr cos co] cos ω dœ .
A u facteur pf(p) près, correspondant à l ' e x c i t a t i o n temporelle de la source, la T. L. d u déplacement est donnée p a r : 1/2
u = Im
COS ω d ω X J
0 Gipu)
e x p [ — p [ z \/n' + u' + iur cos ω ] ] - xu'
u du +
n'
Le traitement de cette expression est analogue à celui de l'expression (7) du paragraphe 4 . 1 , mais plus complexe. O n en t r o u v e r a u n exposé détaillé dans ( C a g n i a r d , 1939) o u ( C a g n i a r d , F l i n n , D i x , 1962). Après plusieurs changements de variable o n m o n t r e que cette expression correspond à la T . L . d ' u n e f o n c t i o n n u l l e avant le passage d u f r o n t d'onde émis p a r la source à l'instant i n i t i a l et se propageant à la vitesse 1 /n. O n retrouve toutes les particularités mises en évidence dans l'étude des lignes de sources. Dans le cas où une onde diflfractée existe son f r o n t est conique, d'où le n o m d'ondes coniques (angl. head waves) donné aux ondes diffractées.
140
PROPAGATION
DES
7. — S O U R C E
ONDES
DANS
EN
MILIEUX
U N E SPHÈRE
HOMOGÈNES
HOMOGÈNE
L'étude des déplacements causés p a r une source ponctuelle dans une sphère élastique présente des difficultés dues aux n o m b r e u x trajets que p e u t suivre l'énergie émise p o u r atteindre le p o i n t d'observation et la diffraction des fronts par la surface concave de la sphère. N o u s ne pourrons ici que donner une idée des méthodes utilisées en nous b o r n a n t de plus aux cas où u n seul type d'onde se propage, soit q u ' i l s'agisse d'ondes S H dans une sphère élastique ( A l t e r m a n et K o r n f e l d , 1965), o u d'ondes P dans une sphère liquide (Jeffreys et L a p w o o d , 1957). Le cas général a été traité (Scholte, 1956) ( T a n y i , 1966) par des méthodes généralisant celles q u i sont valables p o u r la propagation d ' u n seul type d'onde. Le déplacement à la source est supposé dériver d ' u n potentiel iso trope. O n étudie d ' a b o r d le cas où le potentiel sca laire d'où dérive le signal est une fonction R I exponentielle d u temps, le cas d'une excitation ) quelconque étant obtenu p a r une transforma i s / t i o n de F o u r i e r o u de Laplace. Si D représente la distance d u p o i n t M à la source S ( F i g . 24) o n p r e n d le potentiel de l'onde émise en S sous la forme : G{M,
t) = e x p [ -
p{t
-
ND)]lpND
(1)
F I G . 2 4 . — Source dans une
N étant l'indice d u m i l i e u , p réel p o s i t i f ou imaginaire p u r . O n peut exprimer le potentiel à l'aide des coordonnées sphériques {R, Θ) de M dans la sphère grâce à la f o r m u l e de Clebsch :
sphère élastique homogène.
X exp(i/cZ))/i/cD =
Σ
vj„(/c m i n (R, d)) ζ[' \k max (R, d)) P„(cos 0)
(2)
/1 = 0 OÙ
û? = I o s I et où 2j„ = (!,"
+ Cn',
a ' V z ) = JWz.H^'iz)
,
(V = u + 1/2)
sont les fonctions de Bessel et de H a n k e l sphériques (Chap. 25). L ' a m p l i t u d e de l'onde élémentaire de r a n g n c o m p o r t e u n terme, t i ' ^ A : , R), c o n t i n u a u niveau de la source et u n terme d i s c o n t i n u sur la sphère de r a y o n d. L a partie continue correspond à une onde q u i se propage à p a r t i r d u centre O de la sphère. L a partie discontinue peut être interprétée c o m m e une onde émise par l'ensemble de la sphère de rayon Î/ à la fois vers l'extérieur (terme en ζ^' \kR)) et vers l'intérieur
SOURCE
(terme en Ci"(kR))
DANS
UNE
SPHÈRE
HOMOGÈNE
141
(voir § 3 . 2 ) ; c'est d'ailleurs ce dernier q u i se trans
forme en la partie continue en passant p a r l'origine. Les conditions aux limites à satisfaire se réduisent, dans le cas étudié, à l'annulation des contraintes à la surface de la sphère (de r a y o n a) et à la régularité d u c h a m p p o u r R = 0. O n supposera m a i n t e n a n t q u ' i l s'agit d'une onde 5//(§2.4) ; la seule composante n o n nulle des c o n t r a i n tes est d'après (7) de ( 2 . 4 ) et (20c) de ( 4 . 7 ) ;
«=-"»^;^*· Le développement (2) étant fini p o u r /? = 0, o n d o i t i n t r o d u i r e une onde complémentaire d o n t le potentiel est de la forme : G*=
Σ
vA„UkR)P„(cose)exp(-
pt)
(4)
avec : iA- = pN, de façon que d
lôR
[G +
G']
= 0.
(5)
J =D
On obtient ainsi : AnUjRYa+Likd)
(c:'/R):
=
o.
Introduisons u n coefficient de réflexion σ p o u r une onde divergente ζ ή " se réfléchissant sur la sphère de r a y o n α et y devenant σζΙ,'Κ Ce coefficient est donné p a r la f o r m u l e déduite de (5) : (ζl,'>/R): +
σ(ζ],'ηR):^0.
Compte tenu de l'expression de J en f o n c t i o n des ζ^'' o n obtient l'expres sion d u potentiel de l'onde réfléchie sous la forme : G* =
f n=0
^Jn(kd) J„ikR) γ^^^. P„(cos 0) e x p ( - pt). \^ ~ "ni
(6)
Au-dessus de la source l ' a m p l i t u d e d'une onde élémentaire de rang /;, résultant de l'onde incidente de potentiel G et de l'onde réfléchie de potentiel G * , contient le facteur ( ς ί " + σ„ζ1^')/(1 — σ„) ; en dévelop pant la f r a c t i o n o n fait apparaître des termes σΐ?(ζ1" -I- ζΐ^' σ„) que l ' o n peut considérer c o m m e des ondes ayant subi 1, 2, m réflexions à la surface. L'inconvénient d u développement vient de sa faible convergence. Pour étudier plus commodément des expressions de cette forme.
142
i
PROPAGATION
DES
ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
W a t s o n a i n t r o d u i t l a t r a n s f o r m a t i o n suivante : ( c f Jeffreys et Lap w o o d , 1957) /(V)
n=0 j I
^ '
]
P , ( - cos 0) dv
(7)
OÙ L est u n c o n t o u r d u p l a n complexe v q u i entoure les p o i n t s v = 0 , 1 , 2 , . . . et exclut les singularités de / ( v ) . R e m a r q u o n s que les pôles d u terme d ' o r d r e n d u développement sont donnés p a r : σ„ = 1
I I
. «in VTT
ou
[y„(/cR)/R];,=„ = 0 .
(8)
Ils correspondent aux v i b r a t i o n s propres toroïdales de la sphère homo gène (Chap. 7 et 8). P o u r évaluer la c o n t r i b u t i o n des ondes de v o l u m e o n peut soit trans former le c o n t o u r L en d e m i - d r o i t e parallèle à l'axe réel, puis clore le c o n t o u r p a r un demi-cercle et déterminer les résidus des pôles situés dans le d o m a i n e , soit utiliser la méthode approchée d u c o l ( v o i r C h a p . 25.2). O n t r o u v e r a dans l ' a r t i c l e de Jeffreys et L a p w o o d une discussion détaillée des c o n d i t i o n s d ' a p p l i c a t i o n de cette dernière méthode. O n remplace les fonctions à intégrer p a r leurs expressions asymptotiques valables p o u r les hautes fréquences d u spectre d u signal. O n obtient ainsi des expressions de la f o r m e :
i
g(x,)exp[zç)(x,)]dx, JL OÙ Z est g r a n d et g(xi) p e u variable. Les « cols » sont donnés par : φ'(Χι) = 0. P o u r une s o l u t i o n x de cette équation une valeur approchée de l'intégrale p o u r z g r a n d est p r o p o r t i o n n e l l e à g(x)
I i
exp[z(p(x)] .
P o u r calculer le déplacement au p o i n t M(R, des relations de la forme : 0 = 2m A r c sin (x/a) + ε, A r c sin (x/R)
^
+
- f 2 Λ:π + 0 -
0) o n trouve p o u r les cols x
A r c sin (xjd)
+
(2 w -h ε, + ε^) π/2
(9)
où m représente le n o m b r e de réflexions sur la surface libre, k le nombre de circuits a u t o u r d u centre, ε, 2 = ± 1 suivant les rais. D e telles relations o n t une interprétation géométrique simple ; t o u t rai émanant de la source et atteignant M après u n n o m b r e donné de réflexions reste tangent à u n cercle Γ de r a y o n x, puisque ces réflexions se f o n t sans changement d'incidence. Selon l a p o s i t i o n d u récepteur M u n r a i peut p a r t i r de la source — et a r r i v e r en M — avant o u après a v o i r été tangent
SOURCE
DANS
UNE
FIG. 25. — Différents rais pouvant
SPHÈRE atteindre
HOMOGÈNE le point
143
M à partir
de la source
S.
Notations : OS -~ d
OM SOM
= R = 0
OA
a
OI = x = a sin a ^ R sin β = dun γ
N o m b r e de réflexions à la surface = m N o m b r e de circuits a u t o u r de O — /c.
Les rais sont tels que : 2 ma - i - ει yî
-1- £2 •/
2 kn + 0—Ç.
m + ε, -|
£2) π/2
0
(ε = ±
1) .
à) Onde directe (rn = k = 0), tangente au cercle Γ de rayon x après Mu avant M2 ε, = — 1 εζ = + l
Ml -.Ot = βι — γ M2 : π — 02
βΐ -i ;·
b) Onde ρΡ (m = 1,
M l : Οι -- γ —a
£2 =
£i = M2:
ει = £2 =
-!
—
βι ^ y — a -. π ei =
+ 1
—
1 .
= 0)
£2^
— α 1
— (a -r- ^2) — 1.
f ) Onde PP M}-.
Oi = π — (γ ^ a) £ 1 = - - 1
£2
Λ/4 : ^ 4 = π — ()'
4 α)
£|
£2 =
— + 1
-Γ π — (^4 -
a)
+ 1 .
F I G . 26. — Position des trois rais pP, PP et P'P par rapport à la caustique des ondes réfléchies
PROPAGATION
DES
ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
à Γ. Les cols correspondants sont obtenus p o u r des valeurs différentes des 8;. Quelques exemples sont donnés sur les figures 25a, b, c. O n m o n t r e q u ' u n p o i n t de la surface peut être atteint p a r u n o u trois rais ayant subi une seule réflexion ( F i g . 26). Le calcul de l ' a m p l i t u d e des ondes correspondantes m o n t r e une différence notable entre les ondes provenant en M après une réflexion en ^4, au voisinage de l'épicentre {pP o u sS) o u en sur le demi-méridien q u i ne contient pas M (PP' o u SS') et l'onde correspondant au trajet SA2 M (PP o u SS). Tandis que les deux premières s'expriment à l'aide d'une f o n c t i o n de Heaviside si le signal à la source correspond à une v a r i a t i o n brusque de pression dans une sphère fluide, la troisième fait intervenir la f o n c t i o n associée / / j = — (1/π) l o g \ t \. Ceci explique le caractère différent des ondes obser vées en sismologie p o u r les ondes pP et PP : les premières o n t u n début net, les secondes, d ' a m p l i t u d e plus grande, o n t u n début progressif O n peut m o n t r e r que le trajet SA^ M correspond à u n m i n i m u m p o u r les rais réfléchis une fois, le trajet SA3 M à u n m a x i m u m . Le trajet SA2 M est m a x i m u m p o u r les trajets situés dans le plan méridien et m i n i m u m p o u r des trajets sortant de ce p l a n . L'énergie peut ainsi suivre de n o m breux trajets voisins d u r a i et de durée voisine de la valeur stationnaire, mais plus longue o u plus courte, ce q u i explique les grandes amplitudes observées et le manque de netteté des débuts. Par contre p o u r u n véritable e x t r e m u m i l n'existe que très peu de trajets voisins d u r a i et leur durée est t o u j o u r s o u supérieure o u inférieure, ce q u i explique les faibles amplitudes et la netteté des débuts ( o u de la fin). O n peut aussi interpréter la différence dans la forme des signaux en r e m a r q u a n t que p o u r les trajets SA^ M et SA^ M Is r a i est tangent à la caustique (enveloppe de la d r o i t e support d u r a i après sa réflexion) sur le trajet SM, alors que 5.42 M l u i est tangent virtuellement ( F i g . 26). Chaque contact avec la caustique p r o d u i t une m u l t i p l i c a t i o n de l ' a m p l i tude des composantes élémentaires de F o u r i e r p a r /, ce q u i explique le déphasage des composantes pP et PP. Des méthodes analogues o n t été développées p o u r l'étude d'une sphère composée de couches concentriques homogènes (Scholte, 1956). I. — S I S M O G R A M M E S
SYNTHÉTIQUES : MÉTHODES
NUMÉRIQUES
U n e bonne p a r t des résultats f o u r n i s par la Sismologie (voir Chap. 10 et C h a p . 11) a été obtenue par l'étude des seuls temps d'arrivée de diverses phases (à durée de trajet m i n i m a l e ) en f o n c t i o n de la distance épicentrale (hodochrones). Si l ' o n veut tirer u n meilleur p a r t i de l ' i n f o r m a t i o n conte nue dans les sismogrammes observés — en p a r t i c u l i e r de l ' a m p l i t u d e des phases — o n peut les comparer à des sismogrammes théoriques correspondant à la p r o p a g a t i o n d'ondes à p a r t i r d'une source conve nable dans un modèle donné — p a r exemple u n modèle déduit de l'étude
SISMOCRA
M MES
S YNTHÉTIQ
UES
145
des hodochrones. O n peut envisager de calculer de tels sismogrammes « synthétiques » à p a r t i r de l'expression analytique complète f o u r n i e par la théorie. N o u s avons v u que ces expressions sont vite f o r t complexes même pour des modèles simples. Si l ' o n étudie des propagations à grande distance de la source o n ne peut négliger la c o u r b u r e de la Terre. O n peut alors utihser le fait que les vibrations propres d'une sphère constituent une suite complète per mettant de représenter t o u t déplacement comme une série de termes correspondant à ces v i b r a t i o n s (Chap. 7 et 8). Une autre approche est possible aussi bien p o u r le cas p l a n que p o u r le cas sphérique : elle consiste à intégrer numériquement les équations de propagation par la méthode des différences finies. C'est dans cette voie que s'est engagé le groupe de Z . A l t e r m a n q u i a appliqué la méthode avec succès à divers problèmes ( A l t e r m a n , K a r a l , 1968). N o u s présentons à titre d'exemple le cas de la p r o p a g a t i o n d'ondes à p a r t i r d'une source ponctuelle SH dans u n demi-espace composé de couches horizontales homogènes. Les dérivées q u i interviennent t a n t dans les équations d u m o u v e m e n t que dans les conditions aux limites sont remplacées par des différences entre les valeurs prises en des points voisins dans u n réseau régulier. A cause de la croissance rapide d u n o m b r e de mémoires d ' o r d i n a t e u r nécessaires au calcul, o n ne peut actuellement traiter que des problèmes à deux dimensions. N o u s supposerons que le problème admet une symé trie de révolution. U suffit donc de construire u n réseau dans u n p l a n méridien en i n t r o d u i s a n t des points de coordonnées cylindriques {m ài; n Δ ζ ) . De même dans le temps o n considérera des instants p Δ ί . On remplacera dans l'équation d u mouvement : d'V
ÔV
d'V
dr'
r dr
dz'
_
V _ r'
~ β'
ê'V dt'
où β est la vitesse des ondes S, écrite a u p o i n t (m Ar, n Az, p At) ÔVjdr
par:
( F „ F „ _ i , „ , p ) / 2 ΔΓ
ô'VIdr'
par :
{V„^,,„,,
-
2 F^,„,, + F„_i.„,p) Ar'
etc.
les indices correspondant aux facteurs des pas {Ar, Az, At) dans les coor données d u p o i n t d u réseau. O n t r o u v e ainsi la r e l a t i o n de récurrence :
+ y'iArjAzf
(F„,.„+i,, - 2 K„,,„.p +
V^_„^,J
PROPAGATION
DES
ONDES
EN
MILIEUX
HOMOGÈNES
avec : y = β At/Ar . Cette relation permet de passer des valeurs calculées partant aux instants p At et (p - 1) Δ ί a u x valeurs à l'instant {p + 1) Δ ί . Par raison de symétrie V est n u l le l o n g de l'axe Oz :
O n d o i t vérifier que le calcul numérique se p o u r s u i t sans instabilité, c'est-à-dire sans détérioration progressive de la précision. P o u r des points assez éloignés de l'axe o n t r o u v e que la stabilité est assurée pour le schéma donné plus h a u t si le pas temporel satisfait une inégalité de la forme (si Ar = Az) : PAt
se t r a d u i t p a r :
K,„,,,, = |/,„__
.
11 convient donc d ' i n t r o d u i r e une ligne fictive au-dessus de la surface (z = - Δ ζ ) . E x a m i n o n s m a i n t e n a n t l a question de la source. Dans le traitement de problèmes à l'aide des potentiels, Z . A l t e r m a n choisit généralement p o u r ceux-ci a u voisinage de la source des fonctions de la forme :
différence finie d'ordre n d ' u n polynôme /(/) de degré n. Par exemple pour n = 3 :
-
3/(1 /(/)
-
At)
+ 3 / ( / - 2 Δ/) - fit
= Ait - ΚΙβγ
-
3 Δ/)](/Δ/)3
H(t - Κ/β)ΙΚ ,
R étant la distance à l a source. U n e telle expression est infinie à l a source même ; le déplacement est très g r a n d et varie très vite dans son voisinage, ce q u i est incompatible avec l ' a p p l i c a t i o n de la méthode des différences finies. O n peut entourer la source d ' u n cylindre où une partie d u déplacement est calculée exacte-
SISMOGRAMMES
SYNTHÉTIQUES
FIG. 2 7 . — Exemple de sismogrammes synthétiques calculés par la méthode des différences finies (d'après J . M . FRTZONNET) : Propagation dans un demi-espace homogène d'ondes émises par une source constituée par un champ de forces radiales réparties dans une sphère {centrée à 4 , 8 k m de profondeur). L a vitesse dans le milieu, à coeffieients de Lamé égaux, est de 6 km/s. L ' a m p l i t u d e de la composante radiale pour des points de la surface est multipliée (pour normalisation) par le facteur D^'^, D étant la distance au centre de la source. O n observe les ondes longitudinales P et les ondes de Rayleigh R.
147
148
PROPAGATION
DES ONDES
EN MILIEUX
HOMOGÈNES
m e n t p a r l'expression c o r r e s p o n d a n t à l ' o n d e incidente ; le reste étant dû aux ondes réfléchies o u réfractées sur des interfaces éloignées de l a source p e u t être calculé p a r l a méthode des différences finies. Les valeurs ainsi obtenues sur le c y l i n d r e servent a u c a l c u l à l'extérieur de celui-ci. Cette méthode i n t e r d i t de placer l a source a u voisinage de l a surface l i b r e o u d ' u n e interface. P o u r éviter cette difficulté, A l t e r m a n et A b o u d i (1970) o n t utilisé p o u r source une force de v o l u m e répartie, ce q u i revient à t r a i t e r le problème avec l a première f o r m u l a t i o n d u p a r a g r a p h e 6.
BIBLIOGRAPHIE
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CHAPITRE
6
ONDES E N M I L I E U ÉLASTIQUE ISOTROPE HÉTÉROGÈNE par Georges J O B E R T
1. — É Q U A T I O N
DE
L'ÉLASTICITÉ
O n a v u (Chap. 4) que p o u r u n m i h e u élastique isotrope hétérogène l'équation de l'élasticité prenait la forme : [Agi uj Y +
r' + w' I,)] j ; - p u , = 0 .
(1)
En développant cette expression o n t r o u v e en plus des termes de l'équa tion (E) des m i l i e u x homogènes, des termes : A|,MyK + M l i ( « j ' + M' U)
(2)
dus aux variations des paramètres élastiques. Leur présence empêche d'utiliser avec succès les potentiels scalaire et vectoriel, bases des méthodes d u chapitre précédent. U n couplage s'exerce en effet entre les parties rotationnelle et i r r o t a t i o n n e l l e d u déplacement. On peut imaginer de traiter l'équation (1) comme une équation per turbée si les variations de λ et μ sont faibles p a r r a p p o r t à celles d u déplacement. P o u r u n déplacement sinusoïdal dans le temps o n peut par exemple considérer comme des p e r t u r b a t i o n s petites, celles q u i sont dues à des variations relatives de λ et μ petites sur une distance comparable à la longueur d'onde. On préfère en général utiliser une extension de la méthode des rais décrite plus haut [ 5 . 4 ] . 2. — T H É O R I E
DES F R O N T S
D ' O N D E E T DES R A I S
O n recherche c o m m e plus h a u t une s o l u t i o n de (1) d u paragraphe 1 ayant sur une surface Σ d'équation : T(M)
— ί = 0, une singularité représentable par le développement : u =
X v= 0
A,(M) S,(T(M) -
i) + R
(l)
ONDES
EN
MILIEU
ÉLASTIQUE
ISOTROPE
HÉTÉROGÈNE
les S„ étant des d i s t r i b u t i o n s définies a u paragraphe 5 . 4 , A , et R des vecteurs réguliers sur Σ. O n v o i t que les termes supplémentaires de la f o r m u l e (2) d u paragraphe 1 ne contiennent pas de dérivée seconde 5"'. L'équation de l ' e i k o n a l n'est par conséquent pas modifiée. U n résultat i m p o r t a n t apparaît ainsi : Dans un milieu des surfaces porteuses de discontinuités peuvent se propager. 1° des ondes longitudinales satisfont la r e l a t i o n :
hétérogène, Il existe :
en première approximation,
d o n t les fronts
+ 2 μ) ,
(2)
grad' Γ = π ^
=
mais l'indice est ici f o n c t i o n d u p o i n t considéré. 2" des ondes transversales satisfont la relation :
en première approximation,
g r a d ' T = nl,
d o n t les fronts
n\ = ρ/μ .
(3)
C o m p t e tenu de la v a r i a t i o n de l'indice, les fronts d'onde ne sont plus des surfaces parallèles. L'influence de l'hétérogénéité se fait sentir dans les équations de récurrence et, en particulier, dès la première équation de t r a n s p o r t . P o u r r « a m p l i t u d e » «o de l'onde longitudinale o n t r o u v e p o u r la première a p p r o x i m a t i o n : 2 n\ Ë J ? Â ^ = _ Λ Γ - grad l o g p . g r a d Γ .
(4)
L a v a r i a t i o n de l ' a m p l i t u d e dépend, n o n seulement de la divergence géométrique, mais également de l'inclinaison d u f r o n t sur les surfaces d'égale densité. O n peut écrire aussi l'équation de t r a n s p o r t sous la forme : (ρΓΐ' α^) h = 0
ou
div {prxl grad T ) = 0 .
(5)
En i n t r o d u i s a n t c o m m e au paragraphe 5 . 4 . 2 un tube de rais, o n v o i t que la quantité pVAl àS est conservée à travers un tube de rais {V = 1/«,). Pendant le temps dt la masse de matière traversée par le f r o n t est p dSV dt. 11 y a, en première a p p r o x i m a t i o n , conservation de 1'« énergie » le l o n g d ' u n tube de rais. De la même façon o n m o n t r e que p o u r l'onde transversale, l ' a m p l i t u d e subit, en plus de l'atténuation géométrique, u n effet q u i dépend de l ' i n c l i naison d u f r o n t d'onde sur les surfaces d'égale rigidité. O n peut écrire aussi l'équadon de t r a n s p o r t sous la forme : (μΤ I '• A ^ I ; = 0 La quantité pWdS
ou
d i v [μΑ'ο grad T ] = 0 .
Ao est conservée dans u n tube de rais (Η-' =
(6) l/wj)-
GÉOMÉTRIE
DES
RAIES
151
3. — GÉOMÉTRIE D E S R A I S
3.1. — Courbure des rais. Rais rectilignes. — Les rais sont les trajectoires orthogonales d'une famille de f r o n t s d'onde. N o u s avons v u q u e ceuxci satisfont l'équation de l ' e i k o n a l : (1)
gTza'T=n\M).
Les résultats que nous allons obtenir peuvent être établis, soit en utilisant les propriétés des opérateurs vectoriels ( e n particulier
grad(V^) = (V.grad)V.), soit en utilisant u n système de coordonnées cartésiennes, soit de façon plus compacte — que nous choisirons — en utilisant les notations tensorielles. (1) s'écrit alors : TYT\j
(2)
= n'.
En chacun de ses points u n r a i d o i t être n o r m a l a u f r o n t , d'équation T{M) = t, donc parallèle à grad T. I n t r o d u i s o n s le vecteur unité tangent au r a i , Θ, et l'élément d'arc ds d u r a i : θ = dM/ds
= grad T/n
(3)
ou ( F i g . 1)
dx'' = TYds/n.
Prenons le gradient des deux membres de (1) o u dérivons (2) : TYTy
(4)
= nnU.
L a v a r i a t i o n de grad T le l o n g de l'arc d M est donnée p a r : d(grad T) = a(TUg')
= TUjdxJg'.
(4.1.2)
ONDES
EN
MILIEU
ÉLASTIQUE
ISOTROPE
HÉTÉROGÈNE
O n a donc compte tenu de (3) et de (4) :
d(grad Γ ) = rt Ii d i g' = grad n.ds .
(5)
I n t r o d u i s o n s l a normale principale d u r a i , v, le r a y o n de c o u r b u r e (posi t i f ) p et le logarithme de l'indice, /V = l o g
rt
(6).
on a : dj) _
V
ds
p'
(7)
O n peut écrire (5) sous la forme : ά{ηθ) ds
V
dn„
p
ds
.
= n ~ + — θ = grad n
ou : V
dN
p
ds
gradiV = - + Θ .
(8) ^ '
Le p l a n osculateur au r a i contient la normale à la surface iT^ d'égal indice. Posons
J =
I grad N\,
ω = (grad N)/J,
si J Φ Q .
(9)
Soit /' l'angle des normales a u f r o n t d'onde et à la surface d'égal indice, angle plus précisément défini par : θ.ω
= cos /•
ν.ω
= sin /.
(10)
^ = J sin i.
(U)
O n tire de (8) : ds
= J cos /,
P
pctJ étant positifs, / est toujours compris entre 0 et π. Si le r a i est orienté vers une région où l'indice croît, l'angle / est aigu. L a concavité d ' u n r a i est dirigée vers la région où l'indice croît. E n u n p o i n t où le r a i est n o r m a l à une surface d'égal indice, la courbure est nulle ; ce p o i n t est u n p o i n t d'inflexion d u r a i . Le second cas d'inflexion possible est celui où le r a i coupe une surface où l'indice passe par u n e x t r e m u m (/ = 0). Pour q u ' u n r a i soit rectihgne, i l f a u t que J sin / soit n u l t o u t le l o n g d u rai. E n dehors d u cas d u m i l i e u homogène (N = Cte, / = 0), i l n ' y a que la s o l u d o n sin / = 0 : le r a i d o i t être n o r m a l à toutes les surfaces d'égal indice rencontrées q u i admettent donc une n o r m a l e commune. Les rais rectilignes sont les normales communes à une famille de surfaces d'égal indice.
STRATIFICATION
PLANE
153
3.2. — Recherche des rais plans. — Si u n r a i est contenu dans u n p l a n π, le vecteurs θ et v en u n p o i n t d u •re rai étant dans π, i l en est de gradN T même de grad N (8) ( F i g . 2). L e long d u r a i , le p l a n d u r a i est n o r m a l à toutes les surfaces d'égal \ 7 indice rencontrées. Si l a famille tu des surfaces d'égal indice 27^ admet u n p l a n n o r m a l c o m m u n — par exemple u n p l a n méridien si les surfaces iTjy sont de révolu tion — i l existe une famille de rais F I G . 2. — Etude d'un rai contenu dans contenue dans ce p l a n . le plan π ; mêmes notations que pour la
Supposons m a i n t e n a n t que tous figure 1. les rais possibles soient plans. Considérons u n f r o n t particulier 27^^. Les normales à Lfi le l o n g d'une section par u n p l a n n o r m a l π quelconque sont alors contenues dans π. Les n o r males à i7jy en t r o i s p o i n t s quelconques de 2"jv sont donc concourantes. Si le p o i n t de rencontre Ω est à distance finie, est une sphère ; si Ω est à l'infini, est u n p l a n . Les surfaces d'égal indice ne p o u v a n t se couper, sont donc des sphères concentriques o u des plans parallèles. Cette c o n d i tion nécessaire est aussi suffisante. 4. — S T R A T I F I C A T I O N
PLANE
4.L — Hodochrones. ~ Consiàérom u n m i l i e u élastique où l'indice ne dépend que de la p r o f o n d e u r au-dessous d ' u n p l a n donné, que nous dirons h o r i z o n t a l . Les rais sont alors des courbes contenues dans des plans verticaux. Prenons dans l ' u n d'eux u n système de coordonnées carté siennes {x, y), l'indice étant f o n c t i o n de y seulement. Si i et j désignent les vecteurs unités des axes de coordonnées, l'équation (5) d u paragraphe 3 s'écrit : ÔT.
ÔT.
dx' '^Ty^l
=
n[iy)as.\.
A i n s i le l o n g d ' u n r a i : dT
F I G . 3. — Vitesse apparente d'un front d'onde sur des sur faces horizontales.
dx ,
^
= p = Cte ; ,
(1)
.
p est le paramètre d u r a i . Considérons deux plans h o r i z o n t a u x et les p o i n t s A tt B où u n r a i de paramètre p coupe ces plans ( F i g . 3). L a vitesse apparente de p r o p a g a t i o n d u f r o n t d'onde sur les plans h o r i z o n t a u x en ^ et 5 est égale à {δΤΙΒχΓ'
=
\lp.
ONDES
154
EN
MILIEU
ÉLASTIQUE
ISOTROPE
HÉTÉROGÈNE
Elle est donc constante le l o n g d ' u n r a i . L a vitesse apparente horizontale étant égale à la vitesse vraie en u n p o i n t d u r a i où la tangente a u r a i est horizontale, o n v o i t que le paramètre d u r a i est égal à l'indice d u m i l i e u en u n t e l p o i n t . E n orientant convenablement l'axe des x (dans le sens des Γ croissants), on peut prendre p positif. O n a : = j . g r a d T = F.(o.nQ = m cos /
avec
ε = signe ( η ' ) .
Comme :
o n obtient : p = « sin /.
(2)
Cette propriété est la générahsation de la l o i de Snellius-Descartes p o u r les m i l i e u x continûment hétérogènes. Partant des relations : αΤ
=
n as
=
^
dx
àx
+
dT
-TT-ày
dy
dx . . dv — = sm I — = ε cos i ds ds o n peut calculer x et Γ en f o n c t i o n de la p r o f o n d e u r y p o u r un r a i de paramètre p. àx = ε t g / d ; ' = p
Idj
|/V«^ -
àT = m dj/cos i = n'\ ày\jsjn'
p' - p' .
(3)
O n remarque que la c o m b i n a i s o n : d r — p àx = άτ régulière p o u r p = n{y) :
est une f o n c t i o n
d r = ^n'
-p'\ày\.
(4)
N o u s utiliserons plus l o i n cette f o n c t i o n . N o u s étudierons p o u r commencer les rais p a r t a n t d ' u n p o i n t à la surface d ' u n demi-espace. N o u s appellerons Y{p) la profondeur où Findice est égal pour la première fois au paramètre du rai, c'est-à-dire la p r o f o n d e u r : Y(p)
= mf {y \n(y)^p}.
(5)
Lorsque le rai atteint cette p r o f o n d e u r i l devient tangent à la d r o i t e y
=
Y(P).
STRATIFICATION
PLANE
155
L'arc décrit ensuite est symétrique de l'arc d'arrivée ( F i g . 4) p a r r a p p o r t à la parallèle à l'axe Oy passant par le p o i n t extrême. La f o n c t i o n Yip) définie p a r (5) est une f o n c t i o n n o n croissante de p. Plus l'incidence /Q au départ d i m i n u e , le r a i se r a p p r o c h a n t de la n o r m a l e , plus la p r o f o n d e u r atteinte par le r a i augmente. Ceci est évident si n est une f o n c t i o n d ' a b o r d décroissante à p a r t i r de la surface ( F i g . 5). Si n est a u contraire croissante, Y(p) = 0, u n r a i p a r t a n t sous une incidence presque rasante ne ressort pas au voisinage de la source. Ce phénomène (zone d ' o m b r e ) sera étudié plus l o i n .
n(Y(p)) = p
FIG.
4.
FIG. 4 . — Symétrie d'un rai par rapport à la verticale de son point le plus bas.
Y(pi)Y(p2)Ylp')YfP4)
FIG. 5. — Indice fonction de la pro fondeur. Définition de la fonction Y{p).
Yips)
y
F i G . 5.
Considérons u n r a i de paramètre p p a r t a n t à l'instant i n i t i a l d ' u n p o i n t M o {O, yo). A l'instant T, le f r o n t coupe le r a i en M {x, y) ( F i g . 6). Si l'arc M Q M ne contient pas le p o i n t de 0 p r o f o n d e u r Y(p), o n a :
P d>'
T
=
J e τ =
Γ
yo Mo
n' ày -
V n ' - p' dy
/M'
p' (6)
yo
Y
en o r i e n t a n t l'axe Oy dans le d e m i - p l a n F I G . 6. pénétré p a r le r a i . Si l'arc MQ M' contient le p o i n t de p r o f o n d e u r Y{p} : r>'(p) X
pdy
=
J e
r -
=
+
e J e
dy -
(7) p'
En particulier, si le p o i n t M est à la même p r o f o n d e u r que la source, en
ONDES
EN
MILIEU
ÉLASTIQUE
ISOTROPE
HÉTÉROGÈNE
surface p a r exemple, l'abscisse Δ d u p o i n t de sortie d u r a i et le temps d'arrivée T de l'onde sont donnés p a r : f'"*
pày Ρ τ = 2
ο
\'η'
— p' dy .
(8)
Le graphe T(A) est appelé hodochrone o u courbe de propagation. Les formules (6) et (7) d o n n a n t la représentation paramétrique de l ' h o d o chrone. .2. — Propriétés générales des hodochrones. — N o u s supposerons que la source et le récepteur sont en surface, la méthode employée étant aisément adaptable a u cas d'une source interne. Si la f o n c t i o n Y{p) est dérivable, o n peut m o n t r e r que :
-d-p-^"''^^^C o m m e d'autre p a r t : τ = T — ρΔ,
o n obtient :
dr
P = dzl
(9)
f o r m u l e équivalente à (1). La pente de Vhodochrone en un point (A, T) est égale au paramètre du rai sortant à la distance A. L a tangente à l ' h o d o c h r o n e ayant p o u r équation :
o n v o i t que τ représente l'ordonnée à l'origine de cette tangente ( F i g . 7). N o u s avons v u que Y{p) était en général une f o n c t i o n n o n croissante de p. L e radical de (8) est une f o n c t i o n strictement décroissante de p. A i n s i τ est une f o n c t i o n décroissante de p. L'ordonnée à l'origine de la tangente à l ' h o d o c h r o n e augmente constamment q u a n d l'angle d'incidence (donc p) d i m i n u e . Si le p o i n t de sortie s'éloigne de la source, la conca vité de l ' h o d o c h r o n e est dirigée vers le bas. Si, a u c o n t r a i r e , i l s'en rapproche, la concaFiG.7.-//«rf.cAr.„.r(^), ^'^é est dirigée vers le haut. L a courbe préordonnée à l'origine de la tan«ente u n p o m t de rebroussement lors d u n gente τ. changement d u sens.
STRATIFICATION
PLANE
157
4.3. — Points singuliers des hodochrones. — Les coordonnées (A, T) d ' u n p o i n t de Thodochrone H sont des fonctions continues de p si la l o i n{y) est c o n t i n u e . L a pente, étant égale a u paramètre, varie régulièrement et les seuls p o i n t s singuliers p o u r une l o i c o n t i n u e sont des points de rebroussement. I l suffira d'étudier la f o n c t i o n A(p). O n aura u n p o i n t de rebroussement p o u r H si Δ passe p a r u n e x t r e m u m p o u r une valeur de p e (0, /7(0) = « o ) . Deux cas peuvent se p r o d u i r e selon que dAjdp
existe o u n o n en ce p o i n t :
a) Extremum correspondant à dA/dp = 0 et dériver directement l'expression intégrale de singulier p o u r y = Υ(ρ). E n supposant N'(y) on o b d e n t facilement à p a r t i r de l'expression de
continu. — O n ne peut A(p), l'intégrant étant = n'/n φ 0 et dérivable, Tet de (9) : (10)
dp
Kj„l-p^
0
Jn~^-~p''
w
N o u s considérerons seulement une l o i p o u r laquelle la vitesse croît avec la p r o f o n d e u r à p a r t i r de la surface -.No < 0 (*). I l ne peut y a v o i r de rebroussement que si l'intégrale devient positive, donc si Λ'^" < 0. C o m m e l'intégrale est n u l l e p o u r p = UQ et tend en général vers - oo pour Y 00 {p ->• 0), l ' h o d o c h r o n e ne peut avoir que zéro o u u n n o m b r e pair de points de rebroussement ( F i g . 8). A u voisinage d ' u n zéro de dA/dp dA dp
= fl.(P - P.) + 0 ( p -
H G . 8. — Rebroussement
on a : p,.)'
/=1,2,...
de l'hodochrone correspondant de la vitesse.
à une croissance
rapide
(*) C'est pratiquement toujours le cas pour les couches superficielles de la Terre.
ONDES
EN
MILIEU
ÉLASTIQUE
ISOTROPE
HÉTÉROGÈNE
donc Ai + iai(p-PiY
+
0(p-p.f
et T=Ti+
PiiA
-
Ai)±
i{2{A
-
^,)^^,]½
.
(11)
b) Extremum correspondant à un point anguleux. — Supposons que, n étant c o n t i n u , N' ait une discontinuité à une certaine p r o f o n d e u r >Ί, mais reste dérivable de p a r t et d'autre de y^. O n peut utiliser l a f o r m u l e (10) directement p o u r p > niy^) et en i n t r o d u i s a n t des termes complémentaires p o u r p < niy^). Les calculs peuvent se mener à terme dans le cas où Λ^' est constant dans chaque couche, l'indice étant alors une f o n c t i o n exponentielle de l a profondeur. L ' h o d o c h r o n e présente u n véritable p o i n t de rebroussement p o u r p = p* (Fig. 9) et u n p o i n t d'arrêt p o u r p = n^.
F I G . 9. — Rebroussement
dit à une discontinuité du gradient de vitesse.
Dans ces deux cas, le rebroussement est dû à une forte augmentation d u gradient de vitesse, c o n t i n u o u d i s c o n t i n u , q u i p r o v o q u e une courbure des rais. Toutefois, alors que dans le premier cas d'T/dA' = dp/dA était infini p o u r les deux p o i n t s de rebroussement, dans le second i l n'est infini que p o u r le p o i n t le plus près de l'épicentre, la c o u r b u r e discontinue étant finie o u nulle à l ' a u t r e . Cette particularité a une grande influence sur les amplitudes observées c o m m e nous le verrons ( 4 . 6 ) , et se rattache à la présence de caustiques a u voisinage de l a surface. E n effet, u n p o i n t de caustique est défini p a r dx/dp = 0 et ne peut correspondre en surface qu'à u n v r a i p o i n t de rebroussement.
STRATIFICATION
PLANE
159
C) Supposons m a i n t e n a n t q u ' i l y a i t une discontinuité de vitesse à l a profondeur . D e u x cas se présentent suivant q u ' i l s'agit d ' u n saut p o s i t i f ou négatif c,) Supposons d ' a b o r d S = n{y\ + 0) — n(y\ — 0) < 0. Le r a i q u i arrive sous incidence rasante à l a p r o f o n d e u r est réfléchi ainsi que tous ceux p o u r lesquels le paramètre reste supérieur k pi = η(>Ί + 0). Le r a i qui a p Γ p o u r paramètre est réfracté sous incidence rasante. Ensuite le point le plus bas pénètre dans le m i l i e u inférieur ( F i g . 10).
dp
0
F I G . 10. — Rebrousse ment dû à une augmentation discontinue de ta vitesse. Ondes réfléchies et réfractées.
Dans l'intervalle > p > pï = « ( j , — 0) l ' h o d o c h r o n e est définie par les formules normales. Dans l'intervalle pï > p > pt = n(y^ + 0), on a seulement des ondes réfléchies et la f o r m u l e (10) peut être utilisée entre y = Q et y = y^ — 0. Au-dessous o n a encore des ondes réfléchies mais également des ondes réfractées. Les deux points de rebroussement définis p a r le passage des ondes directes aux ondes réfléchies et des ondes réfléchies aux ondes réfractées, sont a n o r m a u x et correspondent à une courbure de l ' h o d o c h r o n e discontinue et finie ( F i g . 10). C2) Supposons m a i n t e n a n t que 5 > 0. Le r a i q u i atteint la couche y^ sous incidence rasante est réfracté dans le m i l i e u inférieur sous l ' i n c i dence ;" : sin /[ = nij^ — 0)/n(yj + 0). Si la vitesse croît dans le m i l i e u sous-jacent, i l finit par revenir en surface, mais à une certaine distance d u p o i n t de sortie antérieur. L e p o i n t de sortie rétrograde généralement (Fig. 11).
ο
ONDES
EN
MILIEU
ÉLASTIQUE
ISOTROPE
HÉTÉROGÈNE
0
F I O . 11. — Points d'arrêt dus à une couche à faible
Δ,
Δζ
Aj
Δ
vitesse.
R E M A R Q U E S . — D a n s le cas où N' = Cte on peut écrire : n = «o e'^"'O n en déduit aisément l'équation de l ' h o d o c h r o n e : T =
^^5-sin \No\
I i V ; 1/2) .
A u voisinage de l ' o r i g i n e p ~ n(0), dA/àp tend vers l ' i n f i n i ,
(12)
d'T/dA'
tend vers zéro avec A. O n peut donc écrire : T = ng A — aA^, p o u r A petit. 4.4. — Inversion
des hodochrones. Formule
de Herglotz-Wiechert,
— Sup
posons que l ' o n ait déterminé l ' h o d o c h r o n e de façon c o n t i n u e de l'épi centre jusqu'à une certaine distance. N o u s avons v u que la pente en un p o i n t de l ' h o d o c h r o n e est égale à l'indice au p o i n t le plus bas d u rai correspondant. P o u r déterminer la l o i de vitesse, i l faut donc t r o u v e r la p r o f o n d e u r atteinte p a r le r a i . Le problème a été résolu p a r H e r g l o t z en 1907 et la s o l u t i o n simplifiée p a r W i e c h e r t en 1910 f u t appliquée par l u i p o u r déterminer la l o i de vitesse dans le m a n t e a u . L a méthode suppose q u ' i l n ' y a pas de guide d'onde, c'est-à-dire de couche où l a vitesse est plus faible q u ' a u sommet de cette couche. D a n s ces c o n d i t i o n s , la fonc tion : /(>·) =
inf{/7(z)|ze[0,>']}
(13)
STRATIFICATION
est confondue
avec n{y).
(n(0) > q > 0)
PLANE
161
q étant une valeur possible
d u paramètre
nous désignerons par
Dl l'ensemble de points d u p l a n {y, p) défini par : D« = { M{y, p ) I 0 < y <
Y{q), n(y)^f(y)
(Fig. 12).
q
(14)
Nous tirerons p a r t i de la relation : C
pdp
" J(b'
-
p') ip'
pour écrire, puisque f(y) Y{q)
dy =
=
-
a')
F I G . 1 2 . — Domaine d'intégration quand niy) décroît à partir de la surface.
= n(y) :
πΊ
pdp
dy t
Jin'
-
p')(p'
-
q'] FqiP, y) ày dp .
L a f o n c t i o n F étant intégrable dans Dl, intégrations. O n obtient ainsi : 1
Y{q)
=
Γ"(0)
π ·' 1
dp
f'"»
Vp2 - q' J
0
2 pdy
on peut inverser l ' o r d r e des
1 Γ"'°^
Vn' - p'
π J«
J(p)dp
Vp'
(15)
Si l ' o n a p u paramétrer l ' h o d o c h r o n e , c'est-à-dire déterminer A p o u r toutes les valeurs utiles de p, o n peut calculer la p r o f o n d e u r atteinte p a r le rai donc t r o u v e r la l o i de vitesse puisque n{Y(q)) = q. On peut encore écrire : A dp 1 r = - ίΑμΤο" - ^ pdA π π J A, avec p = q c h μ, n{0) = q ch Po, A^ =
=π
0
A r g ch - dA q
(16)
A(q).
L'avantage de cette f o r m u l e (16) sur la précédente (15) vient de ce que, le plus souvent, les tables utilisées d o n n e n t les valeurs de T p o u r des valeurs également espacées de A, ce q u i permet de calculer p{A) p o u r ces valeurs, alors que le calcul p a r la f o r m u l e (15) nécessite des valeurs de
ONDES
162
EN
MILIEU
ÉLASTIQUE
ISOTROPE
HÉTÉROGÈNE
Δ p o u r des valeurs de p également espacées. Jeffreys a donné des for mules d'intégration approchée valables p o u r le voisinage de J , , où μ varie comme (Δχ — Δψ^. 4.5. — Formule de Gerver et Markushevitch (1967, 1968). — Gerver et Markushevitch ont généralisé la méthode au cas où des couches à moindre vitesse sont présentes. Désignons par (yi-., yic) le A--ième guide d'onde-segment où l'indice est supérieur à la valeur pi- ^ n(yi,). Sur ce segment la fonction f{y) définie plus haut (3), est constante et égale à pi,. Nous introduirons l'ensemble D« défini par : D" -
< y <
{M(y,p)\0
Y(q),
q < p < n{y) } et les ensembles DI Dl^-
:
{ M(y,p) I yi, < y < yk, I^K- - f{y^ < P < n(y)] (Fig. 13).
Si q est compris entre les guides d'onde de paramètres Pm+\ et p,,,. on peut écrire : Yfql F i e . 13. — Domaines une couche à moindre
rMyi Y{q)
Dl.
k=0 O n a comme plus haut :
F(p,
p^-)(p^--q^)
J(n'-—
U
D"
pdp
dv
π
y
d'intégration quand vitesse est présente.
y) dy dp .
L'intégrale dans le domaine Dl a déjà été calculée. On a d'autre part : My) Akiq)
F(p,
-
y) dy dp
-
dv
Dî
A r c tg a ^0>^—p^)(p^
—
'l-)
Adq)
=
p dp
-^=:.-: (q < f(yk) (p2-q2)
j-y(n2-p2)
/
=Arctg
S] p^ — q'-] „
/
\1 a^~
-
/);.),
, q'-
par suite :
π
/n\y)-pl
dy A r c tg V
pi~q'-
-
(IV)
O n peut donc écrire : m Yiq)
=
0(q)
1- X
AK-UI) = 0(q)
-
Ψ(α)
(18)
STRATIFICATION
163
PLANE
en posant = J'o = 0 .
Prn+ \ < q < Pm •
Comme /1¾ > 0, o n a toujours : Yiq) >
Φ(q).
On v o i t que la donnée de Δ en f o n c t i o n de p ne suffit pas à déterminer la profondeur atteinte par le r a i après la première zone d ' o m b r e {q < p^). 11 est nécessaire de connaître également la l o i de vitesse dans la couche à moindre vitesse p o u r déterminer A^. Gerver et M a r k u s h e v i t c h o n t étudié les propriétés des fonctions Φ et Ψ et o n t obtenu les c o n d i t i o n s nécessaires et suffisantes p o u r q u ' u n e loi n{y) soit une s o l u t i o n d u problème inverse. Ils o n t donné u n procédé permettant de construire des familles de lois satisfaisantes et le domaine plan dans lequel sont contenues toutes les lois possibles. Ne p o u v a n t donner ici plus de détails sur les résultats obtenus, nous nous bornerons à m o n t r e r qu'en présence d'une couche à m o i n d r e vitesse le problème inverse admet une infinité de solutions q u i conservent la même d i s t r i b u t i o n en dehors d u guide. Considérons u n guide d'ondes tel que dans cette couche ( j i , j i ) la même vitesse soit obtenue p o u r deux profondeurs seulement ( F i g . 14). L'hodochrone correspondante est discontinue. L'ordonnée à l ' o r i g i n e de la tangente subit une discontinuité q u i v a u t :
=
Τ(ΡΓ) -
=
^n\y)
-
p\ ày
(Fig.
15)
O n peut écrire encore : Γι Jp,
liày'
ày\
f"-"
"^'Idn
àn
J p,
làl dn
,
164
ONDES
EN
MILIEU
ÉLASTIQUE
ISOTROPE
HÉTÉROGÈNE
l(n) = / - y étant la l o n g u e u r d u segment où la vitesse est inférieure o u égale à n. L'intégrale a la même valeur p o u r une l o i n* telle que : et
1(η*) = l(n)
(Fig. 16).
(19)
P o u r une l o i « * (satisfaisant les conditions nécessaires et suffisantes données p a r Gerver et M a r k u s h e v i t c h , mais telle que les conditions (19) ne soient pas satisfaites), la l o i au-dessous d u guide sera également modifiée.
"maxl
I 0
/
y^
1
Indiquons enfin q u ' i l existe des lois de vitesse p o u r lesquelles les hodochrones ne sont pas paramétrables de façon unique. On peut p a r t i r par exemple de la l o i u(y) = ch j qui correspond à une hodochrone réduite au p o i n t T = π ; Λ = π.
y
F I G . 1 6 . — Lois de vitesses équivalentes AB Pour
-
CD.
les lois : ic(y) ^ chy «(>•)
pour 0 < >> ^ A r g c h p ô ' . 0 < po ^
i
s h > ' . ( 2 p „ c h : i ' — p 2 — 1 ) - 1 / 2 pour y > A r g c h ; ; ô ' .
l'hodochrone se réduit aux deux points (π, π) et (2 π, 3 π/2).
4.6. — Densité d'énergie sur un front d'onde. — Considérons une source S placée à la p r o f o n d e u r h, q u i rayonne une énergie E p a r unité d'angle solide, sous forme d'ondes P p a r exemple. Les rais p a r t a n t de S avec des incidences comprises entre les angles ÏQ et /Q + d/O e m p o r t e n t une énergie égale à ( F i g . 17) : 2 π d/o £(/0) sin /Q · Les rais correspondant aux limites de ce pinceau sortent aux distances épicentrales Act Δ + dA. La surface d u f r o n t d'onde au voisinage de la surface est : 2πΔ
F I G . 17.
IdA \ cos e
e étant l'angle d'émergence. C o m p t e t e n u de la constance d u flux d'énergie dans u n tube de rais (§ 2), la densité d'énergie p a r unité de surface en M à la distance épicentrale A est donc : E
sin ίο dip
A
cos e
O r , p = HQ sin /Ό = «1 sin e = dT/dA, en S.
dA etwo étant les indices en M et
STRATIFICATION
On en déduit : àpja = ά'Τ/άΔ'
n, £
n, E
165
SPHÉRIQUE
= «o cos ig àio/dA. A i n s i dT
I d'T I
dAl
dA'
p\p'\
20)
(*)
«0 A J { n \ - p')(n^ -
p')
Cette f o r m u l e permet de calculer la densité d'énergie à p a r t i r de l'hodochrone si l a vitesse au foyer et en surface est connue. O n v o i t en particulier que l'énergie est grande aux p o i n t s situés sur la caustique [ά'ΤΙάΑ' infini). P o u r en déduire l ' a m p l i t u d e d u m o u v e m e n t d u sol, i l faudrait tenir compte des ondes réfléchies à la surface ( v o i r Chap. 5). 5. — S T R A T I F I C A T I O N S P H É R I Q U E
5.L — Hodochrones. — Supposons maintenant que l'indice n ne dépende que de la distance /? à u n p o i n t O. N o u s avons v u que dans ce cas les rais sont contenus dans des plans passant par O. O n peut se ramener a u cas de la stratification plane par une t r a n s f o r m a t i o n conforme. U n p o i n t u du plan étant repéré p a r ses coordonnées polaires {R, 0) o n p e u t écrire : u = R e'*. L a t r a n s f o r m a t i o n z = x + i ; ' = i l o g (α/κ) fait passer d u cercle R ^ a — o u plus exactement de la surface de R i e m a n n correspon dant aux diflFérentes déterminations de 0 — au demi-plan y 0. O n a en effet : X + i v = i l o g (a e-'^R)
= θ + ilog
(a/R).
Le rapport des longueurs d'arcs correspondants est donné par : I ds/da I =
I dz/dw | =
\l/u\ =
l/R.
Si l'indice dans le m i h e u sphérique est n{R), l'indice correspondant dans le milieu p l a n est donc : n^iy) = Rn(R) = a e^" ii(a e'"). La t r a n s f o r m a t i o n conforme conservant les angles, l'angle i d u r a i d u milieu sphérique avec le r a y o n vecteur est égal à l'angle d u r a i dans le milieu à stratification plane avec l'axe Oy. L ' i n v a r i a n t d u r a i s'écrit : p = en posant
«1
sin i = Rn{R) sin i = /7 sin i η =
(1)
Rn(R).
(*) Cette formule est encore valable dans le cas sphérique (voir § 5) à c o n d i t i o n de remplacer « par Rn et A par R^ sin A.
66
ONDES
EN
MILIEU
ÉLASTIQUE
ISOTROPE
HÉTÉROGÈNE
Les formules obtenues plus h a u t s'adaptent p o u r donner : pdR R V n ' R'
«o
-
Γ =
p'
-
r«
Rn' d R
*o V n ' R ' -
(2) p'
si le r a i n'atteint pas la p r o f o n d e u r R^, où : (Fig. 18).
R^n(R^)=p
(3)
Pour u n r a i p a r t a n t de la surface (R = α) et y revenant o n a ( F i g . 19) : pdR
Δ = 2
R sjn' R'
F I G . 18. — dans
une splière
T = 2 -
p'
"
Rn'
RpJn'R'
Rai
dR -
(4) p'
F I G . 19.
hétérogène.
Les remarques faites p o u r la forme des rais dans le cas p l a n sont valables p o u r le cas sphérique. E n particulier, l a pente de l ' h o d o c h r o n e en un p o i n t (Δ, T) est égale au paramètre d u r a i q u i sort à l a distance Δ de la source ; la valeur de la vitesse au p o i n t M^, le plus bas d u r a i de para mètre p vaut : Rp/p, si OMp = Rp. 5.2. — Lois particulières. — a) Rais circulaires. — Les formules (11) d u paragraphe (3.1) et (1) m o n t r e n t que le r a i est circulaire si J =\N'\=2
KRn(R),
soit : n'/n'
= 2KR,
V = l/n = VQ -
KR'
.
(5)
O n a alors : p = 1/2 Kp. T o u s les rais p a r t a n t d ' u n p o i n t de l a surface sont centrés sur une d r o i t e située à la hauteur Λ = p sin «Ό = 1/2 Κηο ( F i g . 20).
VARIATION
CONTINUE
QUELCONQUE
DE
L'INDICE
167
I l est possible d'exprimer explicitement Δ et T e n f o n c t i o n de /Q- Cette l o i est parfois utilisée p o u r étudier des modèles à couches hété rogènes. b) O n voit aisément que les intégrales (2) sont calcu lables si : n{R) = AR'". L'équa tion de l'hodochrone s'écrit : T = αηο sin (Δ/α) avec α = 2/(1 + m)
(m # -
1). (6)
Cette formule correspond à celle obtenue p o u r le cas p l a n à partir de l'expression de (dA/dp) pour (]/Ν')' = 0 .
F I G . 20. — Loi de vitesse parabolique K = Ko — kR2. Rais circulaires.
5.3. — Singularités des hodochrones. — Les résultats obtenus plus haut pour une stratification plane s'appliquent immédiatement a u cas de l a stratification sphérique. O n t r o u v e r a dans ( B u l l e n , 1961) u n exposé construit directement sur les lois (2). 5.4. — Formule de Herglotz-Wiechert. — V u son i m p o r t a n c e en sismologie, nous donnerons la f o r m u l e analogue à (16) d u paragraphe (4.4) valable pour le cas sphérique (Jeffreys, 1970, p. 50) : Rp étant le r a y o n superficiel, R la distance m i n i m a l e a u centre d u r a i q u i sort à la distance épicentrale Δ, on obtient : ,
1
^0
ou chq
=
q dJi
(7)
(àT/dA), (dT/dA)
est le r a p p o r t des pentes à l ' h o d o c h r o n e a u p o i n t c o u r a n t , zl^, et a u p o i n t où l ' o n fait le calcul, A. Cette f o r m u l e n'est valable qu'en l'absence d'une couche à m o i n d r e vitesse. 6. — M I L I E U H É T É R O G È N E A VARIATION CONTINUE
QUELCONQUE
DE L'INDICE
6.1. — Hodochrones. — Les formules obtenues pour les cas de stratification plane o u sphérique pour les hodochrones et pour la densité d'énergie (§ 4 (20)), sont des cas particuliers de formules générales valables quand l'indice d u m i l i e u varie de façon
ONDES
EN
MILIEU
ÉLASTIQUE
ISOTROPE
HÉTÉROGÈNE
quelconque (Jobert, 1971). Pour le montrer nous partirons des formules d u para graphe 3. Nous prendrons un système de coordonnées basé sur les surfaces Σ d'égal indice. Plus précisément nous prendrons : .v' = n, et .v' correspondant à des coordonnées curvilignes sur Σ et pour le vecteur contravariant : G' = gradn.
(I)
La formule (5) du paragraphe 3 montre que les composantes Ti et Ti de grad T sont des invariants le long d'un rai. Soit β et y leurs valeurs pour ce r a i . E n un point .V/ du rai nous écrirons : t = grad r = a C + y8G2 !• yGJ .
(2)
Comme 1 grad T \ = n, (3), o n peut calculer α en fonction de β et y : o n peut ensuite exprimer l'élément d'arc en fonction de la variation d'indice le long d u r a i : d;; - grad n. t d.s/« -== / ' dslii ^ ( x G i ' + y?C' ^ - yGi ^) ds/n
(4)
et compte tenu de (3) ndn
= ±
[(/9C12 + γΟ'ψ
Le signe
(β^ G^^ + γΐ G H -| 2βγΟϊί))]"^
-- G"(n'-—
ds .
(5)
correspond à u n déplacement le long d u rai dans la direction où l'indice
croît. Sur un arc de rai MQ MI
le temps de propagation est donné par :
n ds MoMi
«2Id« 1
7(^012 +
-/G'3)2
^ G i " ( « 2 —(;?2G22 +
G" + 2
fiyG^i))'
(6)
Cette expression implique la connaissance, tout le long d u r a i , des composantes du tenseur métrique fonction d u point et par suite des coordonnées (.\r2, xi) d ' u n point d u r a i en fonction de n, β, γ. La formule (3) d u paragraphe 3 montre que : dA-' - t' dsin = ( a G " + βΟ^' + yG^') ds/n
(7)
ce q u i permet de calculer x'(M) compte tenu de (5). Nous introduirons la quantité : (8)
τ=Τ—βχ2—γχΚ On~voit facilement que : ^^
, α dn
(9)
MoMi
et que : TJ
—
-V-,
T,y =
.V^ .
Ceci montre que si l'on mesure les temps d'arrivée le long d'une ligne de coordonnées (.v' = .V = Cte, .γ3 = Cte), la variation d u temps d'arrivée est donnée par : ΛΓ2 =
β.Αχ^
β et }' sont donc donnés par les pentes des hodochrones mesurées le long des lignes de coordonnées.
169
BIBLIOGRAPHIE
6.2. — Densité d'énergie sur un front d'onde. — Supposons que la source en M Q rayonne avec une densité d'énergie Ε(β, γ) par unité d'angle solide dans u n tube de rais de paramètres voisins de y). O n montre aisément que 1 énergie contenue dans le tube Έ correspondant aux rais de paramètres compris entre {β β + άβ) (γ, γ + dy) est : ύΕ = Ε\άβάγ
\/[η„ \ tHM„)
\ Jg]
(10)
g étant le déterminant du tenseur métrique en Mg. La section de C normale au rai au point d'arrivée Mi est donnée par : dat
= \tKMÙ\
JG,δ\\dβdγ\|nι
(11)
avec ί = 44-A-.Vvf,î
(12)
et G désignant le déterminant d u tenseur métrique en M j . Pour des rais émergeant le long d'une ligne de coordonnées . γ 2 , l'inverse de cette quantité peut se mettre sous la forme : (.3) A.x^..\_.. ou est ainsi proportionnelle à la courbure de l'hodochrone. E n utilisant (10) et (11) o n peut écrire pour la densité d'énergie : c =
άσι
= E
;
(14) nojGg\t'(M„)tKMO\
Cette formule généralise les formules classiques pour les stratifications plane (4.6) et sphérique. On peut envisager une application de ces formules pour la propagation d'ondes dans u n milieu constitué de couches planes à faible rugosité o u pour déterminer des corrections d'ellipticité.
BIBLIOGRAPHIE
E. B U L L E N , 1961. Seismic ray theory. GJ 4, p. 93-105. L. GERVER et V . M . M A R K U S H E V I C H , 1966. Détermination o f seismic wave velocity f r o m the traveltime curve. GJ II, p. 165-173. 1967. O n the characteristic properties o f travel-time curves. GJ 13, p. 241-246. Articles plus détaillés en russe dans : Sistnologie, N ° J et 4 E d . Nauka, Moscou. JEFFREYS, 1970. The Earth. Cambridge University Press, 525 p . JOBERT, 1971. Inversion des hodochrones pour des rais sismiques n o n plans. CRAS, 273, 1066-8.
CHAPITRE
7
DÉFORMATION D'UNE SPHÈRE ÉLASTIQUE G R A V I T A N T E par Georges J O B E R T
1. —
INTRODUCTION
Si, p o u r la p l u p a r t des cas étudiés en sismologie, i l est légitime de négli ger l'influence de la g r a v i t a t i o n , ceci n'est plus possible p o u r des phéno mènes q u i intéressent la totalité d u G l o b e , q u ' i l s'agisse de v i b r a t i o n s propres (Chap. 8) o u de v i b r a t i o n s forcées (Chap. 18). 11 est alors néces saire de tenir compte, n o n seulement d u potentiel de g r a v i t a t i o n (Chap. 16), mais aussi de ses variations causées par les r e d i s t r i b u t i o n s de masses q u i accompagnent le déplacement. N o u s développerons ici des calculs q u i fournissent des résultats utilisés par la suite, en nous plaçant dans le cas d'une sphère élastique gravitante soumise à des forces de v o l u m e dérivant d ' u n potentiel p e r t u r b a t e u r W ou à des contraintes superficielles. L a même méthode appliquée en l'ab sence de p e r t u r b a t i o n interne o u superficielle f o u r n i t les modes de v i b r a tions propres. N o u s supposerons que toutes les propriétés de la sphère — de r a y o n a — ne dépendent que de la distance R à son centre O. L'étude de cas plus réalistes, avec des hétérogénéités latérales, présente de grandes difficultés. Jusqu'ici n'a été abordée que l'étude de modèles avec u n aplatissement en r o t a t i o n ( D a h l e n , 1968, 1969). 2. — C A L C U L
DES F O R C E S A G I S S A N T S U R U N E M O L É C U L E
En l'absence de p e r t u r b a t i o n une molécule subirait, d'une p a r t l'attrac tion newtonienne de toutes les autres molécules d u corps, d'autre p a r t des contraintes exercées par les molécules voisines. O n suppose en général que ces contraintes sont équivalentes à une pression h y d r o s t a t i q u e . Cette hypothèse, que l ' o n justifie souvent en faisant appel à une éventuelle
172
DÉFORMATION
D'UNE
SPHÈRE
ÉLASTIQUE
GRAVITANTE
relaxation des cissions, est en fait rendue nécessaire p a r le n o m b r e insuf fisant d'équations (trois p o u r les six composantes indépendantes des contraintes) q u i i n t e r d i t le calcul de ces cissions, sauf si l ' o n introduit des hypothèses supplémentaires (par exemple, G . Jobert, 1962, 1966). Par r a p p o r t à cet état d'équilibre idéal, le corps soumis à des contraintes en surface o u à u n potentiel p e r t u r b a t e u r est déformé. L a molécule située en M Q dans l'état n o n perturbé se déplace en M , M Q M = u. Les contraintes en M, de tenseur T{M), se composent des contraintes supportées dans le premier état en MQ (tenseur TQ{MQ)) et de celles dues à la déformation (tenseur τ ( υ ) ) : T{M)
= ToiMo)
+ T(U) .
L'hypothèse h y d r o s t a t i q u e se t r a d u i t par : ToiMo)
= -
P{Mo).E,
E étant le tenseur unité et P la pression hydrostatique. L'équation d'équi libre s'écrit alors :
div
ΓΟ(ΜΟ) =
- grad Ρ{Μο)
= - Po(Mo).grad
U(Mo)
Po étant la densité et U le potentiel newtonien. On a AU
= -
AnGpo
,
G étant la constante de N e w t o n . L a force élastique en M est donnée par : F = div T{M). P o u r la calculer, i l f a u t e x p r i m e r toutes les quantités en f o n c t i o n des coordonnées de M. A u second ordre près en u o n a :
P{Mo)
= P(M - u) = P(M) - u.grad P = = P{M) - Po u.grad U = P + po^g
en posant :
grad U = — gv
v = OM/R
M = u.v
V est le vecteur radial unité, g l'intensité de l ' a t t r a c t i o n newtonienne, u la composante radiale d u déplacement. Ainsi : divM P(Mo)
E
= grad Ρ{Μ)
+ po
grad gu
+ gu
grad po
.
L a densité en M est donnée p a r : p(M)
=po(Mo)(l -
divu)
par suite : P o ( M ) = p o ( M o -I-
u) =
p ( M ) (1 - j - d i v
u) + u.grad Po
=
= p ( M ) + Po d i v
u
-t- upo .
POTENTIEL
PERTURBATEUR
HARMONIQUE
173
En désignant p a r w la v a r i a t i o n en M d u potentiel newtonien de la sphère, la force totale subie en M p a r une molécule s'écrit : F + p grad ( {/ + H ' + W) = A\y τ + + p grad (W + w — gu) + pg à\\ u.\ .
(1)
La formule de Poisson p o u r le potentiel w s'écrit : Δνν = - 4 nG{p(M)
-
Ρο(Μ))
= 4 πΟ(ρο d i v u + upO).
(2)
La f o r m u l e (1) m o n t r e que les hypothèses faites sur la c o m p o s i t i o n des contraintes initiales — supposées réduites à une pression h y d r o statique — et des contraintes dues à la déformation, conduisent à introduire en plus de la p e r t u r b a t i o n de la force de gravité, dérivant d u potentiel {IV + w - gu), une force radiale p r o p o r t i o n n e l l e à l a v a r i a t i o n du volume de la molécule (pg di\u). L a v a r i a t i o n i n d u i t e d u potentiel gravifique, M', correspond, elle, à une répartition de masses définie p a r la v a r i a t i o n de densité au p o i n t d'arrivée de la molécule. 3. — DÉPLACEMENTS A
U N POTENTIEL PERTURBATEUR
FORCÉS D U S HARMONIQUE
(SURFACE
LIBRE)
Supposons que le potentiel p e r t u r b a t e u r soit de la forme : W = AR" S„{0, φ) = AR" P^(cos Θ) cos ηιψ
(1)
où 5„ est une f o n c t i o n h a r m o n i q u e de surface et P,'"(cos 0) une f o n c t i o n de Legendre associée ( C h a p . 25), 0 et φ étant la colatitude et la l o n g i tude de M. Love a montré que le déplacement peut être cherché sous la f o r m e : u = V, ( Λ ) S„. V + Ry^iR)
grad S„.
(2)
Pour éviter le calcul des dérivées des fonctions p, λ, μ déterminées expé rimentalement, o n i n t r o d u i t c o m m e inconnues, à la suite d ' A l t e r m a n et al. (1959), outre y^ et y^, p r o p o r t i o n n e l l e s à la composante radiale et aux composantes horizontales d u déplacement, les quantités : j'2 p r o p o r t i o n n e l l e à la c o n t r a i n t e radiale
RR,
V4 p r o p o r t i o n n e l l e aux contraintes Re et Ρφ, >'5 p r o p o r t i o n n e l l e au potentiel (IV + w), J6 liée au gradient de ce potentiel. En utilisant les expressions (8) de ( 4 . 2 . 3 ) , (20c) de ( 4 . 3 . 7 ) et les p r o priétés de Δ 5 „ (Chap. 25), o n obtient : div u = {(R' RR
;-,)'
-
„(n + 1) Ry,) SJR'
= y2 S„ =
d i v u + 2 μy[ S„
= XS„
(3)
74
DÉFORMATION
D'UNE
SPHÈRE
ÉLASTIQUE
GRAVITANTE
d'où : y\ = ( RO
=
2 Xy, + Ry^ + n{n + 1) Xy,)l{R{X grad S„ = μ(Ry',
Ry^iR)
+ 2 μ))
(4)
y^ + yô grad S„
-
Rç I d'où : ^ 3 = ( - ^ 1 + W+w
y 3 ) / « + ^4/ίί
= y,{R)
(5)
S„
Δ ( ^ 5 S„) = (y^ + 2 y i / R - n ( n + l ) j ; , / ^ ' ) S„ = 4 πΟίρο X +pOyt)
S„.
O n pose : / 5 = ^ 6 + 4nGpo ) ' i .
(6)
11 vient alors : =
4 πΟρο n ( « + 1)
+ « ( " + 1) J's/R -
2 y^V^ ·
(7)
Dans le cas où l ' o n peut négliger dans l'accélération absolue les termes dus à la r o t a t i o n d u trièdre de référence devant l'accélération relative et où l ' o n a affaire à un mouvement périodique de pulsation ω,
ê'ujôt',
on o b t i e n t , toutes réductions faites : Po ω ' - 4 Po g/R + 4 p(3 A + 2 μ)Ι(Ρ\Χ
y'2 = [ -
4 μy2|iRiλ
-
+ 2 p ) ) ] y,
+ 2 μ))
+ [po gn(n + 1) -
2 p(3 A + 2 p) « ( n + 1)/(R(;. + 2 p ) ) ] y,/R
+
PoVt,
n(n + \)yJR
y ; = [Po gR + [-
-
(8)
2 p(3 1 + 2 μ)/(λ + 2 p ) ] V , / R ' -
Po ω ' + 2 p[A(2 n ' + 2 n -
+ 2 p(n' + n -
Xy^/iRiX
+ 2 p)) +
1)
1)]/(R'(A + 2 p ) ) ] >'3 -
3 V4/R - Po ys/R • (9)
D a n s u n m i l i e u dépourvu de rigidité, o n d o i t prendre : p = 0
et
>'4 = 0 .
Les équations se simplifient : y\ = =
-
2 yJR
+ Ροί-
+ y^/X + n ( n + 1) >-3/R ( ω ' + 4 g/R)
(6) et (7) restant inchangées.
+ « ( « + 1) gyJR
(4') -
y^]
(«')
POTENTIEL
PERTURBATEUR
(9) donne directement le déplacement .>3 = (.?>Ί - yJpo
175
HARMONIQUE
-
: (5')
ysViRo)').
Les paramètres po, λ, μ étant supposés connus, o n peut intégrer le système (4)-(9) numériquement, p a r exemple à p a r t i r de la surface. L a solution générale ¥(>',, J S , ···) sera obtenue comme c o m b i n a i s o n linéaire des solutions particulières Y^'' définies p a r : yna)
=
ô).
On écrira : Y = //Y"> + Λ/γ(2) + ^ γ ( 3 ) + ;^γ(4) ^ ^ γ ( 5 ) ^
ργ(6)
les six constantes H, L, K, ... seront choisies de façon à satisfaire les c o n d i tions aux limites. A la surface libre (/? = o) aucune c o n t r a i n t e ne d o i t être créée, par suite : r'2'(fl) = r'*'(a) = 0 ,
donc
M=N
= 0,
(10)
et i l n'est pas nécessaire de calculer Y*^' et Y'*'. Le déplacement radial i n t r o d u i t une densité de surface ; o n d o i t a v o i r : fë)
-(S)
^CK'
R=a + 0
^CK.'
= -4nGpoia)y,ia)S„.
(11)
- AcT) S„
(12)
R=a-0
Or, en surface : w{a) = ys(a) S,. -
W = (ysia)
et à l'extérieur ce potentiel est prolongé p a r la f o n c t i o n h a r m o n i q u e : w (R^a)
= {y,{d)
-
Aa")
SJR"^'
.
A l'intérieur : Μ· {R^a)
= (y,{R)
-
AR")
S„.
L a c o n d i t i o n (11) donne donc : ay^ia)
+ (n + l) yM
= {2n+
^Aa".
A la suite de L o v e , o n i n t r o d u i t le n o m b r e k — dépendant de « — r a p port en surface d u potentiel i n d u i t w a u p o t e n t i e l p e r t u r b a t e u r W : w(a) = kW{a). O n a donc : y^(a)
= K=iï
+ k) Acf
(13)
DÉFORMATION
D'UNE
SPHÈRE
ÉLASTIQUE
GRAVITANTE
et y(,(a)
(14)
= Q = {n-{n+\)k)cf-'A.
T o u t e s o l u t i o n q u i satisfait les c o n d i t i o n s en surface s'écrit donc : Y = //y<'» + L Y < 3 > + (1 + Â:)^a"Y<^> + ( « -
(n + \) k)
Acf-'Ψ^Κ
Si les propriétés d u m i l i e u sont discontinues p o u r certaines valeurs de R, on devra écrire les condiUons de continuité des contraintes, d u déplace ment r a d i a l , et, si le m i l i e u est solide de part et d'autre de la disconti nuité, d u déplacement h o r i z o n t a l . P o u r une discontinuité de la densité, o n utilisera une relation analogue à (11) p o u r la densité de surface propor tionnelle à la différence des densités de p a r t et d'autre de la discontinuité. Le déplacement d o i t être n u l a u centre de la sphère ainsi que le poten tiel : j,(0)
= ;;3(0) =
=
0 .
(15)
O n obtient ainsi le système linéaire : H.vl'YO) + Ly\^\0)
+ (1 + k)Aa"yY\0)
+
+ (n - (n + l ) / c ) / l f l " - ' > f ' ( 0 ) = 0 l'indice / prenant les valeurs i , 3 et 5. Ce système permet de calculer les trois quantités H, ket L. //et L sont proportionnelles à Aa" = W(a)/S„. Le déplacement superficiel s'écrit : u = HS„.v
+ L a grad S„.
O n peut le comparer au déplacement radial que subirait une surface équipotentielle dans le cas d'une sphère indéformable, souvent appelé déplacement statique. Ce dernier est donné par : ζ = Η^(α)Μα).
(16)
L o v e a i n t r o d u i t le n o m b r e h : h = u/ζ = Hg{a)/Aa"
.
(17)
Shida a i n t r o d u i t le n o m b r e analogue p o u r la composante horizontale : l=Lg{a)IAa".
(18)
L'ensemble des trois nombres Λ, k et / caractérise les propriétés obser vables à la surface de la sphère, p o u r l ' h a r m o n i q u e de r a n g n.
VIBRATIONS
177
PROPRES
4. — V I B R A T I O N S
PROPRES
Les calculs précédents d o i v e n t être légèrement modifiés p o u r l a recher che des mouvements compatibles avec les c o n d i t i o n s a u x limites en l'absence de t o u t potentiel excitateur = 0). O n recherche d ' a b o r d des solutions de l a f o r m e (2) d u paragraphe 3. La seule m o d i f i c a t i o n porte sur la c o n d i t i o n à la surface (12) paragra phe 3. O n a cette fois : (1)
w{a) = y^(a)S„.
La relation (14) paragraphe 3 est remplacée par la relation homogène : ay^(a)
+ {n + \) y^id) = Q .
(2)
La solution a donc p o u r f o r m e générale : Y = //Y<" + LY<^' + /(:(αΥ(^' - ( « + 1) Υ<*') .
(3)
Les conditions (15) paragraphe 3 a u centre conduisent à u n système linéaire homogène en H, L et K q u i n'admet des solutions n o n i d e n t i quement nulles que p o u r certaines valeurs de a» : les valeurs propres, correspondant à des oscillations « sphéroïdales ». Si u n phénomène perturbateur a une fréquence égale à une de ces valeurs propres, i l n'est plus possible de déterminer la s o l u t i o n d u système en H, K et L. O n a u n phénomène de résonance. Par contre, i l existe d'autres espèces d'oscillations q u i demandent p o u r être excitées des causes d ' u n autre type que ceux considérés a u p a r a graphe 3. I l s'agit d'oscillations toroïdales p o u r lesquelles le déplace ment peut être représenté p a r : u = Ry(R) r o t S„ v
(4)
et q u i correspondent à u n déplacement à divergence nulle et à c o m p o sante radiale nulle (oscillations de t o r s i o n ) . Cette déformation ne s'ac compagne d'aucun effet g r a v i t a t i o n n e l . Les formules (20c) de ( 4 . 3 . 7 ) m o n t r e n t que la c o n t r a i n t e n o r m a l e radiale RR est nulle, que RO et Ρφ sont p r o p o r t i o n n e l l e s à Rp{y/R)' et les autres composantes à py/R. Les équations d u m o u v e m e n t (5) de ( 4 . 2 . 2 ) se réduisent finalement à l a seule équation : R'y"
+ Ry'(2 + Λ/ί'/μ) + y{-
n{n + 1) -
Rμ'/μ + R^ ω ' ρ/μ)
= Ο.
On i n t r o d u i r a une quantité z p r o p o r t i o n n e l l e à la c o n t r a i n t e horizontale : z = μ(/
-
y/R)
DÉFORMATION
D'UNE
SPHÈRE
ÉLASTIQUE
GRAVITANTE
d'où (5)
y' = ζ/μ + y/R . O n a alors : z' + 3 z/R + μy(n + 2) ( « -
\)/R' = 0 .
(6)
L'absence de c o n t r a i n t e à la surface libre se t r a d u i t par : z{a)
= 0 .
(7)
L a régularité de la s o l u t i o n au centre par : >'(0) = 0 .
(8)
Les v i b r a t i o n s propres correspondent aux valeurs propres de ce système (5) (6) d'équations différentielles satisfaisant les c o n d i t i o n s homogènes (7) (8). s. —
DÉFORMATIONS
D U E S A DES A C T I O N S S U P E R F I C I E L L E S
Les formules d u paragraphe 3 peuvent être utilisées avec peu de chan gements p o u r traiter le cas où la surface de la sphère est soumise à des contraintes. 11 suffit en effet d'en modifier les conditions aux limites (10) et (11). N o u s traiterons seulement le cas des déformations sphéroïdales. Supposons donc que les actions superficielles soient données sous forme de séries en f o n c t i o n des coordonnées géographiques ; soit p o u r la compo sante radiale de la force : T
= f fc„
S„{0, φ)
(I)
et p o u r les composantes horizontales : Θ = Σ
c„ grad S„{0,
ψ).
Pour l ' h a r m o n i q u e de rang n les conditions (10) sont à remplacer par : M
+ b„ = N+c„
= Q.
(2)
Le calcul des soludons Υ'^' et Y<*' est donc nécessaire dans ce cas. Si la charge n o r m a l e à la surface est due au poids de masses superfi cielles, i l faut tenir compte de plus de leur effet g r a v i t a t i o n n e l . Si o n peut considérer ces masses comme réparties sur une couche d'épaisseur négligeable, leur densité de surface est donnée p a r :
σ = g{a)
T/già)
étant l'accélération de la gravité en surface.
(3)
DÉFORMATIONS
DUES
A DES
ACTIONS
SUPERFICIELLES
179
Le potentiel p e r t u r b a t e u r W qu'elles engendrent à l'intérieur de l a sphère peut être calculé à l'aide de la f o r m u l e (11) d u paragraphe 3 : dW
dW
^ ( R
= a + 0 ) - ^ ( R
= a - 0 ) =
-4πΟσ.
(4)
A l'extérieur le potentiel a la forme : W {R>
a)=
Y^A„S„y-^
.
A l'intérieur, p u i s q u ' i l est h a r m o n i q u e et c o n t i n u , o n a : n=0
\ « /
Les coefiRcients A„ sont déduits de (4) /f„ = - 4 nGab,J{{2
n + 1) g{a)] .
(5)
La déformation est la résultante de deux effets de sens opposés ; si l ' o n suppose p a r exemple q u ' i l s'agit de la pression exercée sur la Terre p a r un inlandsis, o n aura d'une p a r t une dépression sous la charge et d ' a u t r e part un effet d ' a t t r a c t i o n vers les masses superficielles. On p o u r r a , c o m m e l ' o n t suggéré M u n k et M a c d o n a l d (1960), i n t r o duire de nouveaux nombres de Love dans le cas d ' u n potentiel accompa gné de contraintes superficielles radiales, par des définitions analogues à (13), (16), (17), (18) d u paragraphe 3. Dans le cas d'une sphère homogène incompressible, montré que la déformation due à une c o n t r a i n t e radiale lente à celle d ' u n potentiel p e r t u r b a t e u r T/p, p étant ces conditions le potentiel w i n d u i t par la déformation par : Il
Chree en 1889 a Γ ( 1 ) était équiva la densité. Dans totale est donné
n
et (en notant k et k' avec Tindice n) : w„ = k„'M/„ = /c„ir„ + /c„-^. Or :
b„=
~(2n+
\)g(a)
k: = k„(Î
-(2n+
WJAnGa
= ~ {2 n + \) pWJ3
Ainsi : 1)/3) = 2 k„(Î
~n)l3.
.
180
DÉFORMATION
D'UNE
SPHÈRE
ÉLASTIQUE
GRAVITANTE
O n aura de la même façon : h'„ = 2
-
n)/3 .
Ces formules ne sont valables que p o u r une sphère homogène incompressible. Elles m o n t r e n t que les effets gravitationnel et de simple déformation sont d u même ordre de grandeur p o u r les harmoniques de r a n g peu élevé, correspondant à une répartition superficielle de caractère g l o b a l , mais que les effets de déformation l ' e m p o r t e n t très vite sur les effets gravita tionnels q u a n d l ' o r d r e n augmente, c'est-à-dire p o u r les charges concentrées. Les déformations causées par des contraintes de cisaillement (vents en surface, f r o t t e m e n t d ' u n n o y a u fluide visqueux sur le manteau) seraient calculées de façon analogue en utilisant p o u r le déplacement la for mule (4) d u paragraphe 4.
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z.
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of
the Earth.
Cambridge Univ.
CHAPITRE
8
ONDES GUIDÉES. VIBRATIONS
PROPRES DE L A TERRE : THÉORIE par Nelly
JOBERT
1. — I N T R O D U C T I O N
La première constatation faite par u n observateur disposant, p o u r u n séisme assez i m p o r t a n t , d'une série d'enregistrements obtenus à des distances variables à l'aide de sismographes à large bande passante, est celle d ' u n allongement régulier de la durée d u signal avec la distance épicentrale ; en même temps s'accroît le n o m b r e de « phases » identifiables, q u i se séparent et prennent des importances relatives variables. Si le foyer est superficiel, o n commence à distinguer vers 1 600 k m , distance où les phases P et S (ondes de volume) sont bien séparées et généralement nettes, une troisième phase d'aspect différent : contrairement aux deux premières, d'aspect impulsif, elle se présente sous f o r m e d'une succession d'oscillations relativement régulières, à longue période, d o n t l'amplitude, t o u t d ' a b o r d faible, croît a p p a r e m m e n t en même temps que leur période apparente d i m i n u e ; après u n m a x i m u m d ' a m p l i t u d e , se développe à la fin d u t r a i n d'ondes une série de battements ( « c o d a » ) d'aspect complexe (Fig. 1). A grande distance, cette phase, dite d'ondes longues, devient prépon dérante. Dans la mesure où l ' o n peut apprécier son début, o n constate qu'elle se propage à vitesse constante, c o n t r a i r e m e n t à ce q u i se passe p o u r les ondes de volume, donc en suivant la surface de la Terre : i l s'agit d'ondes superfi cielles. Sur un enregistrement de sismographe vertical l'arrivée paraît plus tardive : ceci est dû à l'existence de deux ondes superficielles distinctes ; l'onde de L o v e , plus rapide, n'apparaît que sur les enregistrements de sismographes h o r i z o n taux et est purement transversale. L ' o n d e de Rayleigh (R), u n peu plus lente, donne lieu, lors de son passage, à u n déplacement d u sol dans le plan vertical de p r o p a g a t i o n , suivant une trajectoire rétrograde p o u r u n observateur placé de sorte que les ondes progressent vers sa d r o i t e . Deux appareils h o r i z o n t a u x convenablement orientés par r a p p o r t à l'épicentre peuvent séparer la c o m p o sante l o n g i t u d i n a l e de l'onde de Rayleigh et l'onde de L o v e ; o n observe alors
182
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
DE LA
TERRE
Fici. 1. — Des.sm de VenregistrcinenI magné!ique numérique de l'onde de Love du aéisme de Nouvelle-Irlande du 28-12-1970, à Villiers-Adam. Δ --^ 14 4 3 4 k m .
(Fig. 2) u n déphasage d ' u n q u a r t de période entre les enregistrements l o n g i t u d i n a l et vertical, si l'onde de Rayleigh est assez développée p o u r avoir un aspect périodique. Dans le cas où le foyer est p r o f o n d , les ondes superficielles n'apparaissent que si le sismographe est sensible aux très longues périodes : en effet, les ondes superficielles, formées p a r diffraction à peu de distance de l'épicentre, o n t
® © F I G . 2. — Séisme du 4-03-1924, enregistré à Strasbourg
par des pendules
A =- Composante transversale, onde de love L. B Composante longitudinale Onde de Rayleigh R. C ^ Composante verticale D'après Y .
DAMMAN, 1927.
Galitzine.
INTRODUCTION
183
alors un contenu spectral à basse fréquence, limité aux longueurs d'onde de l'ordre de la p r o f o n d e u r d u foyer. D u fait de leur complexité, les ondes superficielles nécessitent p o u r leur étude des traitements relativement élaborés ; en revanche, o n peut o b t e n i r , avec u n nombre réduit de stations (et même une seule), des i n f o r m a t i o n s for mant un ensemble alors que p o u r les ondes de v o l u m e i l f a u t grouper les données d ' u n grand n o m b r e de stations. E n effet, le c o m p o r t e m e n t d'une onde superficielle intègre, dans chacune de ses composantes spectrales, les propriétés physiques d u m i l i e u à la surface duquel elle s'est propagée, t o u t le long de son trajet, p o u r des profondeurs de l ' o r d r e de grandeur de la longueur d'onde (ce q u i est particulièrement intéressant p o u r les régions inaccessibles, océaniques en p a r t i c u l i e r ) . Le m i l i e u j o u e en quelque sorte le rôle d ' u n spectrographe en d o n n a n t à chaque composante spectrale une vitesse caractéristique de sa période, de sorte que ces composantes se séparent au cours de leur propagation : c'est le phénomène de dispersion, q u i transforme u n choc i n i t i a l en une suite d'oscillations. Des i n f o r m a t i o n s sur l'intérieur d u G l o b e , complé mentaires de celles provenant des ondes de v o l u m e , peuvent donc être tirées d'analyses d'ondes superficielles ; les progrès récents de traitement de l ' i n f o r mation ont permis d'augmenter la précision des analyses dans ce domaine ; mais le développement de l'étude des ondes superficielles a été lié essentielle ment aux progrès réalisés dans la mise en œuvre de sismographes à longue période et à leur i n s t a l l a t i o n dans le monde entier. Si la théorie de l'onde de Rayleigh à la surface d ' u n demi-espace homogène, parfaitement élastique et isotrope, et celle de l'onde de Love p o u r u n d e m i espace stratifié datent respectivement de 1885 et 1911, leur d i s t i n c t i o n expéri mentale date de 1907 et les premières études quantitatives d'ondes longues (L) sont plus tardives ; Stoneley avait étudié d'une façon statistique ( I . S. S.) les débuts de la phase L et avait groupé les arrivées a u t o u r des deux vitesses moyennes, 4,4 km/s p o u r les ondes de L o v e , 4 km/s p o u r les ondes de Rayleigh. Mme Labrouste i( 1927) les sépare vraiment. G u t e n b e r g ( 1924) a été le p r e m i e r à introduire la n o t i o n de dispersion, base des interprétations dans le d o m a i n e expérimental des ondes longues, en distinguant u n c o m p o r t e m e n t différent des ondes superficielles suivant que le trajet est océanique o u c o n t i n e n t a l . La comparaison avec des calculs théoriques p o u r des modèles simples (Jeffreys, Stoneley) a permis les premières estimations, par cette méthode, des propriétés de la croûte terrestre, de son épaisseur en particulier, c o n f i r m a n t les études par ondes de v o l u m e . En ce q u i concerne l'étude d u manteau, G u t e n b e r g avait commencé en 1926 l'étude des ondes de L o v e de longue période, notées depuis ondes G. C'est en 1954 (Ewing), grâce à l ' u t i l i s a t i o n d'appareils verticaux à longue période, que des ondes de Rayleigh intéressant le manteau o n t p u être mises en évidence. A la même époque, lors d u séisme d u K a m t c h a t k a de 1952, H . Benioff (Benioff, G u t e n b e r g et Richter, 1954) pensa t r o u v e r , sur u n enregistrement de son extensomètre en silice fondue, à Pasadena, les traces d'une oscillation
184
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
DE LA
TERRE
p r o p r e de l'ensemble de la Terre, de période voisine de 1 h . Les nouvelles possi bilités de calcul offertes p a r les ordinateurs p e r m i r e n t a u x théoriciens, inté ressés p a r cette observation, de t r a i t e r les problèmes de v i b r a t i o n s propres de modèles tenant compte de l'hétérogénéité de la Terre ; les études théoriques déjà anciennes (Poisson, 1829 ; L a m b , 1882) p o r t a i e n t sur des modèles de sphères très schématiques. Les mêmes ordinateurs permettaient en même temps une analyse systématique des enregistrements, en vue de la détermination de leurs spectres d'énergie. C'est à l'occasion d u grand séisme d u C h i l i de 1960 q u ' u n e première comparaison p u t être faite, au X I P Congrès de l ' U . G . G . 1. à H e l s i n k i , entre les positions des pics des spectres expérimentaux obtenus par H . Benioff, F. Press et S. W . S m i t h d'une part, L . B. Slichter, N . F. Ness et J . H a r r i s o n d'autre part (ces derniers à p a r t i r d'enregistrements de la marée gravimétrique) et les périodes théoriques calculées en p a r t i c u l i e r par Z . A l t e r m a n , H . Jarosch et C. L. Pekeris. Depuis, des oscillations propres o n t p u être mises en évidence sur des spectres d'enregistrements à longue période toutes les fois que le séisme était assez i m p o r t a n t p o u r engendrer des ondes super ficielles encore décelables après avoir p a r c o u r u plusieurs tours de Terre. 2. — ONDES
GUIDÉES
2.1. — Généralités. — Nous considérerons des v i b r a t i o n s sinusoïdales en f o n c t i o n d u temps. Pour des ondes de très grande période, o n utilise des modèles à symétrie sphérique, les écarts à la sphéricité de la Terre réelle étant faibles. P o u r des périodes plus courtes, o n peut tenir compte de l'effet de cour bure c o m m e terme correctif, o u le négliger, en prenant p o u r modèle u n demiespace à stratification horizontale. O n cherche une v i b r a t i o n propre d u demiespace en considérant un régime permanent de p r o p a g a t i o n d'une onde sinusoïdale pure parallèlement au sol ; cette v i b r a t i o n p r o p r e est une compo sante spectrale de l'onde superficielle, prise sous forme d'intégrale de F o u r i e r . O n cherche la v i b r a t i o n propre sous forme d'une onde progressive suivant la d i r e c t i o n horizontale, et stationnaire suivant la p r o f o n d e u r , tous les points sur une même verticale oscillant en phase ; si les c o n d i t i o n s sont telles que l ' a m p l i t u d e de la v i b r a t i o n devient négligeable à grande p r o f o n d e u r , o n a bien affaire à une onde superficielle : l'énergie est localisée près de la surface et peut se propager à grande distance. L ' o n d e est en quelque sorte canalisée le l o n g de la surface libre, mais elle ne peut être considérée c o m m e une onde guidée que si sa vitesse de p r o p a g a t i o n C (vitesse de phase) est supérieure à la vitesse des ondes de v o l u m e dans le m i l i e u . Ce n'est pas le cas lorsque le demi-espace est homogène, car l'onde de Rayleigh, seule v i b r a t i o n p r o p r e existant alors, a une vitesse inférieure à celle des S. E n fait, les vitesses des ondes sismiques augmentant avec la p r o f o n d e u r près de la surface, les ondes superficielles observées peuvent être considérées c o m m e des ondes guidées dans la partie superficielle de la Terre. Le principe d ' « interférence constructive », spécifique des ondes guidées, peut donc leur être appliqué. N o u s
ONDES
185
GUIDÉES
exposerons cependant en premier lieu des méthodes générales de recherche des vibrations propres s'apphquent quelles
(établissement d'une
équation de dispersion), q u i
que soient les variations des propriétés physiques d u
demi-espace stratifié. 2.2. — Ondes superficielles planes. — Soit u n demi-espace élastique et isotrope ; l'axe des x est pris suivant la trace de la surface l i b r e sur le plan de p r o p a g a t i o n , l'axe Oz perpendiculaire vers le bas. L a densité p, les paramètres de Lamé λ ti μ sont supposés fonctions de z. N o u s cher cherons, p o u r une onde sinusoïdale de période T = 2 π/ρ, u n régime permanent de p r o p a g a t i o n suivant Ox, tel que le déplacement d soit de la forme : d = a(z) exp(i/7(i -
x/C)).
Le déplacement d d o i t satisfaire aux équations d u m o u v e m e n t (Chap. 2), et par suite les composantes de a(z) doivent sadsfaire u n système d'équa tions différentielles d u second ordre. C o m m e la stratification d u m i l i e u permet une séparation des ondes de v o l u m e en ondes SH d'une p a r t , P et SV de l'autre, i l en résulte une séparation des ondes superficielles. a) Ondes de Love. plitude ν(ζ)
— Le déplacement d a une seule composante t;, d ' a m
suivant Oy. L'équation différentielle peut se mettre sous la
forme d ' u n système de deux équations différentielles linéaires d u premier o r d r e ; i n t r o d u i s o n s le vecteur S de composantes
( F , τ = μάν/άζ)
;
nous écrirons
S'(z) = M i S
(I)
avec
oùf
μ-'
0
Mi =
(Gilbert, et al. 1966)
= p/C.
b) Ondes de Rayleigh.
— L e déplacement d est dans le p l a n vertical de
p r o p a g a t i o n , les composantes
de a(z) sont U{z),
W{z),
et celles de la
c o n t r a i n t e (xz, zz) sur une surface h o r i z o n t a l e sont notées τ, et σ ; si nous considérons le vecteur S(i/, W, σ, τ ) , i l d o i t satisfaire le système : S'(z) =
S
(2)
avec 0 λΚλ
+
0
0 -
pp'
+Af
μ{λ
0
-f 2μΤ'
{λ + 2μ)-'
-pp' + μΜλ
+
2μ)-'
0
-λί{λ
Ο + 2μ)-'
μ-' Ο / Ο
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
DE LA
TERRE
Sauf p o u r certains cas particuliers de lois de v a r i a t i o n de p, Àet μ avec la p r o f o n d e u r , les systèmes (1) et (2) n ' o n t pas en général de solutions analytiques simples ; o n a donc recours à des procédés de résolution numérique, q u i consistent à calculer de proche en proche, à p a r t i r d'une p r o f o n d e u r initiale, un ensemble de solutions indépendantes p o u r S q u i constituent la matrice « propagateur ». L a s o l u t i o n particulière q u i convient p o u r une onde superficielle est déterminée p a r les conditions aux limites : a n n u l a t i o n des composantes de la c o n t r a i n t e sur la surface libre z = 0, et a n n u l a t i o n d u déplacement (et des contraintes) p o u r une p r o f o n d e u r infinie. L'existence de cette solu t i o n particulière est liée à une c o n d i t i o n sur la vitesse de phase, telle que celle-ci (sauf p o u r l'onde de Rayleigh à la surface d ' u n demi-espace homogène) varie suivant la période de l'onde. .3. — Méthode de Thomson-Haskell [1953] : Ondes de Love. — SL) L a variation des paramètres physiques avec la p r o f o n d e u r est représentée par une succession d'échelons ; le modèle étant alors u n empilement de (/ — 1) couches homogènes recouvrant u n demi-espace, les solutions de (1) et (2) dans chaque couche s'expriment simplement sous f o r m e de fonctions exponentielles o u sinusoïdales de la profondeur. Soient z „ _ i et z„ les profondeurs limites d'une couche de r a n g n compté à p a r t i r de la surface, et H„ = z„ - z „ _ i l'épaisseur de la couche. Dans la couche de rang n, (1) a deux solutions indépendantes, q u i p o u r la composante V sont de la forme :
avec s^ = f '
C
=
y-
=
B;
exp(.s„(z -
z„_,))
exp(-
-
- p' ρ„/μ„ ; soit Φ„(ζ)
s„(z
z„_i))
le vecteur (Vil,
V„ ) ; i l vient :
O n peut relier les vecteurs Φ„ aux fonctions de la couche par la relation : Φ„(^„)
£„Φ„(ζ„-ι)
avec E,'n
0
exp(s„ H„) 0
exp(-
s„H„)
d'où S„(z„) = T„ E„
S„(z„_,) = G„S„(z„_,) .
(3)
ONDES
GUIDÉES
187
Le vecteur S„(z„) étant c o n t i n u q u a n d o n passe à travers la discontinuité dans la couche (AJ + 1), la r e l a t i o n (3) permet de faire avancer la s o l u t i o n générale S„ d u sommet d'une couche à l'autre. O n aura donc, en p a r t a n t par exemple de la surface où la c o n t r a i n t e est nulle, τ = 0 : So = ( Vo, 0) et dans le milieu inférieur d'indice / : Φ, = 7 ] " '
G„.G„_,
G,.So = R S o .
(4)
Dans ce milieu o n ne peut accepter que la composante
(amortis
sement exponentiel avec la p r o f o n d e u r ) . L a relation (4) où Φ, = (0, c o n d u i t à une c o n d i t i o n sur le terme (1,1) de la matrice R : Λ,,(Α./) = 0 ; on détermine ainsi une vitesse de phase
(5) C{p).
b) Application à un modèle comportant une couclie Prenons 1 = 2; soient 'W, = (pjp^y et'li^ = iPilPi)''^ ondes S dans les deux m i l i e u x .
superficielle. — les vitesses des
L'équation (5) n'a pas de racines si .v, est réel (C < 'Ιϋ,) ; i l faut donc •U\ < '\V2, 'Ui, < C < ΙΌ2 ; si o n pose s, = \s\, i l vient : Pi s', t g s\ H = P2
S2 .
(5')
Si o n se fixe une valeur de C comprise entre ""U), et 'lOj, cette équation admet une infinité de racines, la racine de r a n g m étant telle que s\ H est compris entre nm et (m + ; m = 0 correspond au mode f o n d a mental, p o u r lequel la vitesse de phase (et aussi la vitesse de groupe U, que nous définirons plus l o i n ) tend vers l U j aux basses fréquences etΊ ϋ , aux hautes fréquences. Lorsque m n'est pas n u l , le p o i n t C = f/ = ΊΟ2 correspond à une fréquence n o n nulle (fréquence de coupure), d ' a u t a n t plus élevée que m est grand : o n a affaire à u n h a r m o n i q u e de l'onde de Love. L a r e l a t i o n τ = 0 p o u r z = 0 m o n t r e que le déplacement, m a x i m u m en surface, varie c o m m e cos (s'i z) dans la couche ; i l y présente m nœuds, le nœud le plus p r o f o n d descendant au f o n d de la couche aux fréquences infinies. Dans le cas d ' u n n o m b r e / de couches quelconque, l'onde n'existe que si l u dans l'une des couches a u moins est inférieure à 11), (sinon i l y a u r a i t rayonnement d'énergie dans le m i l i e u inférieur) ; dans ce cas la vitesse de phase est comprise entre la plus petite valeur de Ίϋ et ' l u , . Dans le domaine des périodes inférieures à deux minutes, les ondes de L o v e observées à la surface de la Terre doivent leur existence à la
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
DE
LA
TERRE
présence, près de la surface, des plus faibles vitesses p o u r les ondes S. O n t r o u v e en effet dans la croûte des vitesses de l'ordre de 3,5 km/s alors qu'à plus grande p r o f o n d e u r elles sont supérieures à 4 km/s. 2.4. — Méthode de Thomson-Haskell : Ondes de Rayleigh. — a) Considé rons le même demi-espace constitué de couches empilées : en m i l i e u homogène, le déplacement d dérive de deux potentiels Φ (ondes P) et Ψ (ondes SV) tels que : d = grad Φ -h r o tΨ . P o u r une onde plane, Φ est f o n c t i o n de x , z et ί seulement, et o n peut prendre Ψ„(χ, z, t) porté par Oy ; les composantes de d sont données par ( H . L a m b , 1904) : H = ΒΦΙοχ
-
dTjdz
w = ΟΦΙδζ + δΨΙδχ . Les potentiels sont pris sous la forme (Φ, V ) = ( φ ( ζ ) , φ{ζ))
exp(i(/7i -
fx)).
A p a r t i r des équations d u mouvement o n obtient les deux équations : φ" - / ' φ = φ" -f^
- h ' ç ,
ψ= -
' U = ((A + 2 μ)/ρ)^
h=piri,
k' φ ,
k=
ρΙ'\β
q u i admettent p o u r s o l u t i o n générale dans le m i l i e u n : ψ = B:
exp[r„(z - z „ _ , ) ] + B;
e x p [ - r„(z -
z„_,)]
φ = C* exp[s„(z - z „ _ , ) ] + c ; e x p [ - s„(z -
z„_i)]
= Ψη + Ψη
= Φ:
+
Φ:
où s est donné au paragraphe précédent, et le vecteur Φ„(ψ;^, φη , Ψη, Φη),
= f '
— h' ; i n t r o d u i s o n s
le vecteur S„(C/„, fV„, σ„, τ„) s'en déduit
par S„ = T„ Φ„, où T„ est l a matrice ( D u n k i n , 1965) : -
-
if
s„
-if
-if avec
- i f
2 ip„fr,n βη K
In=f'+S'n.
2ipjr„ n
-
μη In
ONDES
GUIDÉES
189
O n peut appliquer à S„ les raisonnements d u paragraphe précédent : on passe d u niveau z „ _ i (couche n) a u niveau z„ (couche n + \) p a r l a transformation S „ + , ( z „ ) = C„ S „ ( z „ _ i ) où C„ = 7 ; ( ζ „ ) . £ · „ . Γ „ " ' ( ζ „ _ , ) . £„, matrice d'avancement de H„ d u vecteur Φ„, ne c o m p r e n d que des termes diagonaux : exp(/-„ //„), exp(5„ //„), e x p ( - /·„ //„), e x p ( - s„ H„). Pour relier le potentiel Φί(0, 0, ψϊ, ψΓ) dans le m i l i e u inférieur au dépla cement à la surface SO(UQ, W^, 0, 0) o n aura, cette fois-ci p o u r des vec teurs à 4 dimensions : = RSo
(5")
d'où la c o n d i t i o n : /^11^22-/^12^21=0
(6)
entre les éléments de R, q u i détermine une vitesse de phase C{p) ; si (6) est réalisée, les composantes d u déplacement en surface sont alors telles que : ujWo
= - R,2lRii
•
b) Demi-espace homogène. — N o m b r e de couches / = l, R = 7 " " ' , en utilisant l'expression de Γ ρ . 188, l'équation (6) devient : I'
-Af-rs
= 0.
Elle est en réalité indépendante de p et se réduit à une équation d u 3" degré en C/'IU. D u fait que r et ί doivent être réels p o u r assurer u n amortissement exponentiel de l ' a m p l i t u d e avec la profondeur, seule l'une des racines est acceptable. Dans le cas où A = μ CJ'W
= 0,92 .
Le déplacement en surface est tel que l a composante HO est en avance d ' u n q u a r t de période sur l a composante longitudinale ; le r a p p o r t des axes de l'ellipse, de 1,47 en surface p o u r λ = μ, augmente avec l a p r o fondeur ; le sens de parcours change à une p r o f o n d e u r de l ' o r d r e de 0,2Λ (U étant n u l ) . Au-delà d'une longueur d'onde le déplacement est négligeable. c) .Milieu recouvert d'une couche superficielle d'épaisseur H, où les vitesses sont plus faibles. — Dans l a relation (6), C est f o n c t i o n de pH, de sorte que p o u r le mode f o n d a m e n t a l les limites des vitesses de phase et de groupe sont respectivement C,;, p o u r les hautes fréquences, et
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
DE LA
TERRE
p o u r /; = 0 ; le r a p p o r t des axes de l'ellipse en surface varie également avec la fréquence ; i l en est de même dans le cas plus général de plusieurs couches, si les vitesses les plus grandes sont dans le m i l i e u inférieur, et les plus faibles en surface. Sauf p o u r un milieu homogène, l'équation (6) admet, en plus d u mode f o n d a m e n t a l , p o u r une vitesse de phase donnée inférieure o u égale à la vitesse des ondes S dans le m i l i e u inférieur, une infinité de racines à période d ' a u t a n t plus courte que leur rang est plus élevé : ce sont des harmoniques de l'onde de Rayleigh, d o n t la vitesse de phase varie depuis 11), p o u r la fréquence de coupure (d'où leur dénomination « shear modes » ou modes à cisaillement) jusqu'à aux hautes fréquences. O n peut rapprocher le déplacement correspondant de celui q u i existerait lors de la v i b r a t i o n de la couche superficielle intéressée si elle était isolée d u m i l i e u inférieur, ce q u i permet de classer les v i b r a t i o n s des harmoniques en modes symétriques (Λ/,-^) et antisymétriques (Μ,-^) de la couche super ficielle considérée ; le mode f o n d a m e n t a l est désigné par Μγ^. Les calculs numériques par la méthode matricielle deviennent imprécis aux hautes fréquences p o u r l'onde de Rayleigh : d u fait de l'existence dans les matrices G„ d'exponentielles positives, i l apparaît dans les termes de R des éléments très grands, q u i théoriquement doivent se compenser dans (6) mais pratiquement amènent des imprécisions d ' a u t a n t plus gênantes que la fréquence est plus élevée. D u n k i n (1965), K n o p o f f (1964), ont proposé des méthodes p o u r éviter cet inconvénient. Celle de D u n k i n consiste à décomposer les déterminants d u second ordre de R q u i figure dans (6) en une somme de p r o d u i t s de mineurs d u second ordre formés avec les éléments des C„, où ne figurent plus les exponentielles d'argument 2 r„ H„ et 2 s„ H„ q u i devraient disparaître dans (6). Cette f o r m u l a t i o n permet de v o i r q u ' a u x très hautes fréquences, les exponentielles positives deviennent prépondérantes et qu'en plus des racines relatives à des modes de Rayleigh, apparaissent des racines relatives à des modes d'inter face, q u i tendent aux fréquences infinies vers des ondes dites de Stoneley, ondes se propageant dans certaines conditions le l o n g de la discontinuité entre deux demi-espaces ayant les propriétés respectives des couches de p a r t et d'autre. C'est un inconvénient de la méthode d ' H a s k e l l , dû à l ' u t i l i s a t i o n d ' u n modèle c o m p o r t a n t des discontinuités. 2.5. — Intégration numérique des équations différentielles. — P et f étant fixés, o n peut intégrer numériquement les systèmes (1) et (2) en cher chant les valeurs des fonctions p o u r des valeurs discrètes de la p r o f o n deur ; o n o b t i e n t pas à pas les accroissements des fonctions cherchées, en remplaçant leurs dérivées p a r des expressions approchées où figurent les valeurs connues des paramètres physiques et des fonctions aux pas précédents. Y . Sato (1959) a été u n des premiers à appliquer cette méthode aux ondes superficielles, en p a r t a n t de la surface z = 0 avec p o u r les
ONDES
191
GUIDÉES
ondes de Love la c o n d i t i o n τ = 0. L a f o n c t i o n V{z) obtenue diverge en profondeur, à une p r o f o n d e u r d ' a u t a n t plus grande que le r a p p o r t C = pif approche plus de la vitesse de phase cherchée ; l'auteur recherche systé matiquement cette valeur,/étant fixé, en faisant varier C pas à pas. P o u r les ondes de Rayleigh, i l se donne le r a p p o r t des deux composantes n o n nulles de S„ (composantes d u déplacement) e t , / é t a n t fixé, i l fait varier pas à pas à la fois ce r a p p o r t et la vitesse de phase jusqu'à approcher d'une s o l u t i o n convergente p o u r S„(2). O n peut aussi,/étant fixé et C donné, intégrer en p a r t a n t de la surface le système d'équations différentielles simultanément p o u r les c o n d i t i o n s initiales S„ = ( 0 , 1 , 0 , 0 )
1
i ! , I
et
S„ =
(1,0,0,0)
de façon à obtenir la moitié d u propagateur. E n fin d'intégration, la valeur de C peut être corrigée par la méthode de N e w t o n . E n répétant l'opéra t i o n , o n atteint par a p p r o x i m a t i o n s successives la valeur cherchée p o u r C et en même temps le r a p p o r t convenable entre les deux solutions, q u i permet de les combiner linéairement p o u r avoir les composantes cherchées. Ces méthodes d'intégration numérique o n t u n inconvénient, illustré par la divergence des solutions en dehors des valeurs propres (valeurs cherchées p o u r C) : la s o l u t i o n q u i serait une exponentielle positive dans un milieu homogène devient prépondérante à grande p r o f o n d e u r , si elle n'est pas exactement éliminée. I l peut en résulter des imprécisions dans les calculs numériques, p o u r les ondes de Rayleigh, l o r s q u ' o n a à estimer en fin d'intégration le déterminant d u second ordre (représenté par la condition (6) de la méthode d ' H a s k e l l ) q u i exprime la compatibilité des deux conditions aux limites ; la présence de deux grands termes q u i sont près de se compenser au voisinage d'une valeur propre i n t r o d u i t des erreurs ; o n y remédie en intégrant n o n plus le système d'équations diffé rentielles (2) de S(z) p o u r avoir le propagateur, mais le système q u i a p o u r solutions les mineurs d u second ordre d u propagateur ; comme l ' a montré G i l b e r t (1966) ce système c o m p o r t e 6 équations au lieu de 4 dans (2) mais la précision est améliorée ; cette méthode a été utilisée p a r A b r a m o v i c i (1968). L'intérêt des méthodes d'intégradon numérique est de p o u v o i r utiliser u n modèle où les paramètres physiques varient d'une façon continue avec la p r o f o n d e u r ; mais en général les calculs sont plus longs que p a r la méthode d ' H a s k e l l . Remarquons que la présence d'une couche à faible vitesse dans le modèle n ' i n t r o d u i t aucune particularité dans les équations utilisées.
2.6. — Ondes guidées. — Supposons q u ' i l existe une couche où les ondes de volume q u i y sont engendrées restent canalisées par des réflexions succes sives aux frontières, constituées p a r une surface libre, o u u n m i l i e u à plus grande vitesse (s'il s'agit d'une couche à faible vitesse) ; o n peut alors t r o u v e r dans
ONDES
192
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
DE LA
TERRE
certains cas la v i b r a t i o n propre sous forme d'onde guidée, formée par interfé rence entre les différentes ondes de v o l u m e et se propageant le l o n g de la couche. P o u r une onde de v o l u m e de vitesse ' U , de période déterminée, cette interfé rence n'est « constructive » que p o u r certains angles d'incidence θ liés à la vitesse de phase de l'onde guidée C = 'U/sin Θ. Cette c o n d i t i o n permet de t r o u v e r géométriquement la r e l a t i o n de dispersion C{T) obtenue p a r des méthodes plus générales aux paragraphes précédents. Par exemple, considérons une onde S H plane et sinusoïdale de vitesse l u , , canalisée dans une couche homogène entre la surface libre et une surface q u i la sépare d ' u n demi-espace où la vitesse I D j est plus grande, dans le cas de la réflexion totale (0, > arc sin'lOi/'lDj). E n écrivant que le déphasage dû au trajet géométrique le l o n g d u rai et au déphasage - 2ψ par réflexion sur le f o n d est u n n o m b r e entier de tours, o n obtient, avec x = IH.tgO,, αϋ, ί = 2 ///cos 01 : p(t -
X sin (?ι/1ϋ,) -
D ' a u t r e part, C = -WJsin
2 φ = 2 π. 2 // cos OJ'W, T -
2 ψ = 2 Κπ .
Oy et
t g
sin' O./IDf ) -
\Y"IW,
cos 0, ;
en éliminant 0, et φ entre ces relations, et en reprenant les n o t a t i o n s d u para graphe précédent, o n retrouve l'équation de dispersion des ondes de Love : p,
s\ t g s', H
= μ2Β2.
(5')
Κ, ordre d'interférence, est aussi le rang de l ' h a r m o n i q u e , représenté c o m m e nous l'avons v u par le n o m b r e de nœuds de déplacement dans la couche p o u r cette onde stationnaire guidée. D a n s le cas d ' u n demi-espace où la vitesse croît d ' u n e façon c o n t i n u e avec la p r o f o n d e u r , lorsque la longueur d'onde est assez courte p o u r q u ' o n puisse représenter a p p r o x i m a t i v e m e n t la v a r i a t i o n de phase le l o n g d u trajet suivi par l'onde de v o l u m e , o n peut encore écrire une c o n d i t i o n d'interférence constructive approchée p o u r le trajet entre deux réflexions, en ajoutant un déphasage π/2 ( H . Jeffreys, 1954) au point le plus bas d u rai p o u r le r e t o u r vers le haut : φ] + π/2 = 2 Κ π avec
C = dx/dt étant la pente de la tangente à la courbe de p r o p a g a t i o n de l'onde SH p o u r la distance x.
ONDES
193
GUIDÉES
Le cas des interférences entre ondes P SV rétlccliies sur les parois libres d'une plaque a été traité par Tolstoy et Usdin (1953), reprenant une méthode de Fay et Fortier (1951). Considérons u n point E tout près de la surface ( F i g . 3). Les ondes planes q u i arrivent en E après deux réflexions ont pu suivre différents rais, issus de points A, B, C, D... au même niveau. O n considère qu'en régime permanent o n retrouve, dans la somme des amplitudes des ondes P o u 5 K d c tous les rais q u i arrivent en £, respectivement l'amplitude des P en A et celle des SV en D, le rapport R de ces deux amplitudes dépendant de l'angle d'incidence et de la période. En posant r = p cos 0 eX. s — p cos y, OÎ ei — α étant respectivement les coefficients de réflexion PP et SS, β et δ les coefficients de réflexion PS et SP, o n obtient deux équations dont les termes correspondent aux ondes indiquées en dessous : R{a'- exp(2 irH) PPP !(2 exp(2 UH) SSS
: βδ exp(i(r + s) H)) PSP βδ exp(i(/SPS
s) H) τ
— αδ exp(i(r 1 .s) H) + «δ exp(2 iiH) SSP SPP R(μβ exp(i(/- + s) H) PPS
αβ exp(2 isH)) PSS
•= R
1
avec a2 - βό - 1.
FiG. 3. L'élimination de R entre ces deux relations donne une c o n d i t i o n aux périodes où figurent les angles de réflexion 0 et γ. Pour avoir l'équation de dispersion de la plaque o n i n t r o d u i t la vitesse de phase C égale à 'U/sin 0 o u 10/sin y. L'utilisation d'arguments rffl2 et sH/l permet d'y mettre en évidence deux déterminations liées respectivement aux modes symétri ques et antisymétriques. Le cas d'une couche superficielle solide est traité de la même façon, dans le domaine où C > U i , en introduisant des déphasages lors des réflexions totales sur le f o n d . Dans ce domaine o n retrouve ainsi l'équation de dispersion des ondes de Rayleigh. 2.7. — M o d e s à perte.— Revenons au cas plus simple d'une couche d'eau recouvrant un demi-espace élastique (guide océanique) ; pour des angles d'incidence tels que sin 0 > a/Il) (ff > Ocsv) le son, de vitesse a, réfléchi en surface avec un déphasage de π, est réfléchi totale ment à la base de la couche d'eau, avec u n déphasage — 2 ψ. O n peut écrire la c o n d i t i o n d'interférence constructive : 2π.2
HcosOloiT—2ii/+
π ^ 2 Κπ
(7)
équivalente à la relation de dispersion des ondes de Rayleigh, comprenant le mode fondamen tal ( C < C R J ) et les harmoniques (shear modes) dont les fréquences de coupure correspon dent à C = 1U2. Considérons maintenant le cas où les incidences dans la couche sont plus grandes que l'incidence critique Ocs^ pour les S, tout en restant inférieures o u égales à l'incidence critique
194
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
DE LA
TERRE
pour les P (sin Ocr =- a/'D) ; les ondes P ne sont plus totalement réfléchies sur le fond, et per dent donc de l'énergie à chaque réflexion par conversion en ondes SV rayonnées dans le milieu inférieur ; ce rayonnement est cependant peu intense au voisinage de C = 'U2, le coefficient de réflexion étant voisin de l'unité. 11 en résulte q u ' o n peut espérer obtenir encore une onde guidée peu amortie, dont la dispersion est approximativement donnée par ( 7 ) ; en particulier, pour C 'O 2, v ^ 0, o n a un guide de Pekcris (couche liquide sur u n demiespace liquide) et on obtient facilement la fréquence de coupure de cette onde imparfaite ment guidée. Par exemple pour un guide océanique, avec H ~ 5 k m , 1 ) ^ 7 , 8 km/s et α 1,5 km/s o n trouve pour le mode le plus grave Te = 1 3 s ; o n conçoit que par suite de son faible amortissement, une onde ayant cette période, contrairement à ce q u i se passe pour un mode normal où toutes tes périodes peuvent se propager, se trouvera privilégiée et pourra être observée effectivement à grande distance : c'est l'onde PL océanique ( F i g . 4), observée et interprétée à l'aide de l'équation ( 7 ) par Oliver et Major (i960). Une interprétation exacte en est donnée par Phinney (1961). Les dilîérences entre la dispersion exacte et celle donnée par ( 7 ) proviennent de la difficulté de représenter u n signal transitoire (onde amortie) par des considérations relevant de régimes permanents ; au voisinage de la période de coupure, il y a un couplage de la pseudo-onde guidée avec une v i b r a t i o n à longue période propre au demi-espace.
F I G . 4 . — Onde PL : trajet de Tonga à Suva, séisme du 2 1 - 0 8 - 1 9 5 8 . A =
8 7 0 k m . D'après O L I V E R et M A J O R , 1 9 6 0 .
D'autres guides existent pour l'onde PL, dont la croûte, pour un trajet continental, inter fèrent alors n o n seulement les P, mais les SV, et ces dernières ondes aussi perdent de l'énergie à travers le f o n d . Le problème devient trop complexe pour procéder par interférence constructive.
I
! I
Reprenons l'équation de dispersion exacte sous la forme Dip, C) = 0 pour les modes normaux à la surface d ' u n modèle stratifié, où la vitesse des 5 e s t d a n s le milieu inférieur. Ces modes normaux ont leur domaine d'existence pour des vitesses de phase C< '\C. Pour C > W les ondes de volume des couches superficielles perdent de l'énergie, au moins sous forme d'ondes 5 K dans le milieu inférieur. O n peut encore t r o u ver des racines de l'équation de dispersion, mais dans le domaine complexe ; la partie imaginaire de la pulsation p représente u n amortissement en fonction d u temps. Une telle étude des modes amortis pour différents modèles de guides imparfaits a été faite par Gilbert (1964). L'onde PL proprement dite correspond aux fréquences les plus basses ; d'autres racines appartiennent à des harmoniques ; leur existence physique est la plus probable dans les domaines spectraux où leur amortissement est le plus faible. La dispersion dans ces domaines peut être retrouvée par une méthode plus rapide : de même q u ' o n peut considérer D{p, C) ^ 0 comme une c o n d i t i o n de résonance (par interférence constructive) de guide d'onde pour les modes normaux, o n obtient une condition de semi-résonance en cherchant le m a x i m u m d'amplitude d u dépia-
DISPERSION
ET
MÉTHODES
D'ANALYSE
195
cernent dans le guide pour une onde plane et sinusoïdale provenant d u m i l i e u inférieur (Haskell, 1962); les composantes de ce déplacement ayant en dénominateur D, la recherche du m i n i m u m de j O | (Oliver et Major, i960) donne des résultats aussi satis faisants si le mode est peu a m o r t i (Su et D o r m a n , 1965).
3. — D I S P E R S I O N
ET MÉTHODES
D'ANALYSE
3.1.—Propagation d'une onde superficielle dispersée. — N o u s avons v u que par suite de la complexité d u m i l i e u , une onde superficielle plane et sinu soïdale se propage à la surface avec une vitesse de phase q u i varie suivant sa période ; or, le choc q u i est à l'origine d u séisme peut être considéré comme la somme d'une infinité de composantes sinusoïdales, et chacune d'elles a u n comportement propre, d'où une déformation d u signal résultant a u cours de la propagation. Supposons un déplacement concentré à l'instant / = 0 suivant une ligne de sources en jr = 0, et n u l p a r t o u t ailleurs ; une composante d u vecteur dépla cement de l'onde superficielle p o u r r a être représentée en .v = 0 p a r une inté grale de Fourier : V{t)=
F(p) cos (pt + ψο) dp
(1)
J 0
ψο est déterminé p a r les c o n d i t i o n s initiales : p a r exemple si = 0 le dépla cement est sans vitesse initiale, ψο = π/2 correspond à une i m p u l s i o n . Même si le foyer est p r o f o n d , l'onde superficielle prenant naissance en surface à quelque distance d u foyer, t o u t se passe p o u r u n observateur à grande dis tance comme si elle avait été émise à l'épicentre à l'instant origine ; p o u r ? # 0, à une distance x o n obtiendra donc l'expression de v en considérant que dans (1) sous l'intégrale chaque composante s'est propagée avec la vitesse de phase C(p) :
v(t) =
F(p) c o s j p
- -^j + v o j d p ;
(2)
on voit alors que ces composantes, q u i se renforçaient par interférence en X = 0 puisqu'elles avaient la même phase ψο, présentent toutes des phases différentes p o u r x et / quelconques donnés. O n peut cependant t r o u v e r une valeur particulière Po telle que les phases des composantes de pulsations voisines soient pratiquement les mêmes (phase stationnaire) : ces ondes se renforceront par interférence p o u r donner u n « groupe prédominant » de p u l s a t i o n pg, représentant la partie principale d u signal cherché, alors que les effets des ondes de fréquences plus différentes se détruisent p a r suite de leurs différences de phase.
196
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
DE LA
TERRE
Posons / = pjC. L a phase est stationnaire p o u r des fréquences voisines de Po/2 π si à{pt — fx + φο)Ιάρ = 0 p o u r p = po ou U = àp/df = x/t. O n appelle « vitesse de groupe » cette quantité U q u i , comme C, dépend de p ; elle représente la vitesse de p r o p a g a t i o n de l'énergie associée au groupe. E n une station donnée, sur l'enregistrement à chaque instant t le groupe pré d o m i n a n t a une période apparente 2 π/ρο donnée par : U(Po)
= x/t,
(3)
ce q u i permet de déterminer p^ en f o n c t i o n de t et de prévoir l'apparence d u signal ( F i g . 5) : si la vitesse de groupe décroît avec T = 2π/ρ (dispersion n o r male), la r e l a t i o n (3) donne une période apparente 2 π/ρο décroissant le l o n g de l'enregistrement. D ' a u t r e part, une période TQ déterminée apparaîtra à des instants satisfaisant (3) a u cours de la p r o p a g a t i o n , c'est-à-dire à vitesse constante U(PQ) caractéristique de l a période — mais la phase est quelconque comme o n peut le v o i r sur la figure 6 ; p a r contre, une crête (de phase π/2 - f 2 Κ π ) se propage à la vitesse de phase C(po) ; mais p^ change au cours de la p r o p a g a t i o n : la crête s'élargit et la vitesse C varie.
F I G . 5. — Aspect d'un train d'ondes à un instant déterminé (en bas), d'après les phases respectives des différentes composantes sinu soïdales. Le groupe prédominant a une longueur d'onde Λ ο = 2 π//ο déterminée par la c o n d i t i o n de phase stationnaire. ·
O
points à phase constante. points où la phase est stationnaire.
U n t r a i n d'ondes, représenté p a r exemple p a r la succession de groupes prédominants dans une bande de fréquence limitée, et donc Hmité dans l'espace, avance avec une vitesse moyenne q u i est a p p r o x i m a t i v e m e n t celle d u groupe prédominant central ; le groupe de tête et le groupe de queue avancent respec tivement avec les vitesses correspondant aux fréquences limites de la bande. A l'intérieur les crêtes individuelles avancent avec une vitesse différente, q u i est la vitesse de phase associée à leur période ; elles avancent donc à l'intérieur d u t r a i n avec la vitesse relative C — Î7 et viennent disparaître en tête, d'où une déformation d u t r a i n , caractéristique de la dispersion.
DISPERSION
ET
MÉTHODES
la phase reste
F i C i . 6.
constante
au cours
la période apparente 2 n/f reste D'après OFFICFR, Introduction
197
D'ANALYSE
to the theory of sound
de la
propagation,
constante.
transmission.
3.2. — Représentation approchée du groupe prédominant : formule de Lord Kelvin. — Considérons l'expression (2), où nous prendrons / = 2π/Λ comme variable ; au voisinage de / Q correspondant à PQ donné p a r (3), supposons q u ' o n puisse représenter la v a r i a t i o n de la phase p a r u n déve loppement suivant les puissances de f — /o, limité aux trois premiers termes ; le deuxième étant n u l d'après (3), si o n pose Φο = Po t — fo ^ + 9o il vient : v{x, t) ~
A(f)
cos Φο +
(/-/o)
tidU/df)o
d/.
2
O n suppose que l ' a m p l i t u d e spectrale varie peu a u t o u r de /o, de sorte q u ' o n peut la considérer comme constante ; posons = 11 dC//d/|o(/ - /o)^/2 ; les limites de l'intégrale d o i v e n t être telles que ce terme, représentant la v a r i a t i o n de la phase, soit i m p o r t a n t : /Q ne d o i t pas être t r o p voisine de zéro p o u r que la l i m i t e inférieure en σ soit grande, c'est-à-dire que / d o i t être assez g r a n d ( t r a i n d'ondes bien dispersé) et Uô pas t r o p faible, cette c o n d i t i o n étant déjà nécessaire p o u r l a l i m i t a t i o n ci-dessus d u dévelop pement ; dans ces c o n d i t i o n s o n peut écrire : 1/2
A(fo)
cos (Φο ± σ') dff ,
+ si U'o >^0 -
si u ; , < 0
ONDES
GUIDEES.
VIBRATIONS
PROPRES
DE LA
TERRE
et en utilisant les intégrales de Fresnel :
-00
Sin
\2/
on obtient Î ; ( X , 0 ~ (2 π/ί I Ό'^ [)"'
A(fo)
+ Ψο + π/4) .
cos (Ροί-/οΧ
L e groupe ainsi o b t e n u a bien les caractères généraux décrits précédeiTiment ; en p a r t i c u l i e r , en une station déterminée, la phase, où / Q et PQ sont des fonctions de ί données p a r (3), est bien telle que sa dérivée à un instant / soit pg. D a n s le cas d'une onde superficielle de grande période, ayant p u par c o u r i r plus d ' u n t o u r de Terre, o n tient c o m p t e d u passage de l'onde par des points focaux en ajoutant à la phase initiale π/4, (déplacement concentré à l'épicentre) et u n terme supplémentaire (m - 1) π/2 si l ' o r d r e de l'onde est m (onde ayant convergé (m - 1) fois à l'épicentre et aux antipodes) ; d'autre p a r t , la distance épicentrale angulaire étant Θ, on tient c o m p t e d ' u n facteur d'expansion géométrique ( s i n O ) " ' ' ^ d'où l'expression approchée [Toksôz et Ben M e n a h e m , 1963] νφ,
t) ~ (2 π/ί I U'o I sin 0)"'
cos (po t - fo αθ ± π/4 + + Ψο + π/4 + ( m -
1) π/2) .
où a est le r a y o n terrestre. 3. — Cas d'un extremum de la vitesse de groupe. — Lorsque W est faible o u n u l , o n ne peut plus utihser la f o r m u l e de K e l v i n . Supposons que U passe par un m i n i m u m U„ p o u r / = /„„ et q u ' o n puisse représenter sa v a r i a t i o n dans le domaine utilisé par l'expression : U = [/„, + i / ; ( / - y j ^ / 2 L'expression τ = t -
t/;>o.
(2) devient alors, en posant Φ„, =
p„
t -
f„x
+
x/U„„
v{x, t) = j ^ " A(f)cos{0„,
E n posant A{f)
+ (f-fj
+ υ
-LY
^ j d / .
~ / ( ( / J , en p r e n a n t p o u r variable d'intégration s = ( [ / ; i/2)'/^
et en posant
υ„τ
( / - / J ,
φ^,
DISPERSION
ET
MÉTHODES
D'ANALYSE
199
on voit apparaître, si /„ et t sont assez grands, l'intégrale d ' A i r y ( H . et B. Jeffreys, 1946) cos|sz + y ) d i ' =
Ai{z)
d'où v(x, t) = 2 π(2/ί/;; 0 " ' A{f,„) Ai{z) cos ( p „ t - /„, x + φ^) . Le groupe se présente en une station sous forme d ' u n t r a i n ayant la période du m i n i m u m de vitesse de groupe, modulé en a m p l i t u d e p a r Ai{z) (Fig. 7). Pour τ < 0 apparaissent des battements dus à l'interfé rence des groupes correspondant aux deux branches de la courbe de dispersion. L'enregistrement se présenterait en sens inverse dans le cas d'un m a x i m u m de vitesse de groupe. O n peut remarquer que d u fait de la présence d u facteur t~^^^ au lieu de t~^'' p o u r u n groupe de K e l v i n , la phase d ' A i r y tend à prédominer à grande distance.
ΑΛ A A
-14-13-12-11-10 - 9 - i
/ U V/ V
/1 - 6/-
1--0-6 F I G . 7. — Fonclion D'après BUIJIJEN, Propagation
d'Airy
Ai(Ç).
of radio waves in the ionosphère.
3.4. — M é t h o d e s d'analyse. Mesure des vitesses. — Sur u n enregistrement, on peut repérer les positions des crêtes et des creux si le t r a i n est assez dispersé, et les déplacer p o u r retrouver leur p o s i t i o n dans le mouvement d u sol en tenant compte de la réponse de l'appareil. L ' u t i l i s a t i o n de plusieurs stations équipées d'appareils identiques permet d'éliminer cette correction. L a vitesse de groupe s'obtient en mesurant le temps d'arrivée d'une période apparente déterminée, indépendamment de sa phase. L a vitesse de phase et la d i r e c t i o n d'arrivée des ondes peuvent être déduites des temps d'arrivée des crêtes, en trois stations assez voisines p o u r q u ' o n puisse identifier ces crêtes malgré leur p r o p a g a t i o n , et que leur période appa-
200
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
DE LA
TERRE
rente n'ait pas le temps de varier. Par suite des hétérogénéités locales les meilleurs résultats sont obtenus si deux des stations sont pratiquement alignées avec l'épicentre (KnopofT et al., 1966). En reconstituant la p o s i t i o n des crêtes de la composante élémentaire sinu soïdale de période T par des décalages d ' u n nombre ender de périodes à partir de la position de la crête la plus voisine d u groupe, prédominant au temps 1 = .xjUiT), o n peut encore mesurer la vitesse de phase entre deux stations éloignées ; l'indétermination sur le rang de la crête étudiée nécessite l'utilisation d'une troisième station sur le même grand cercle ; cette méthode a été utilisée par Brune et Nafe (1960) p o u r des passages successifs d'ondes à longue période en une station. Actuellement, ces mesures directes sur l'enregistrement sont plutôt remplacées par des procédés plus automatiques : le développement des traitements de données sur ordinateur permet l'utilisation systématique des transformées de F o u r i e r ; o n peut traiter en même temps les données numérisées pour renforcer les signaux étudiés et calculer d'autres caractéristiques d u spectre ; la vitesse de phase est calculée en effectuant la différence des phases q u i est aussi la phase de la transformée de la f o n c t i o n d'intercorréladon entre les enregistrements en deux stations. Le dernier procédé s'applique particulièrement bien aux enregistrements d'ondes de surface d o n t les trajets diffèrent d ' u n n o m b r e entier de tours de Terre ( D z i e w o n s k i et L a n d i s m a n , 1970), la fonction utilisée est alors une autocorrélation de l'enregistrement. L a vitesse de groupe
F I G . 8. — Diagramme d'énergie de l'onde de Love du séisme des Philippines du 10-01-1970, enregistré à Moulis. A — I l 546 k m .
DISPERSION
ET
MÉTHODES
201
D'ANALYSE
est obtenue par dérivation de la phase ; o n peut aussi, par des procédés de fenêtre glissante ou de
filtrage
multiple (Dziewonski
et al.,
1969), o b t e n i r
par transformation de Fourier u n d i a g r a m m e d o n n a n t la répartition de l'énergie en fonction du temps et de la période de chaque composante
spectrale ; le
lieu des maxima d'énergie est la courbe de dispersion cherchée ( F i g . 8). 3.5. — Estimation des différences régionales de vitesse. — Dans le cas où le milieu parcouru par l'onde présente des hétérogénéités régionales, le calcul exact de la dispersion n'est pas possible. O n suppose alors une j u x t a p o s i t i o n de modèles stratifiés, au n o m b r e de deux p a r exemple sur les trajets avec pour une période déterminée des vitesses de groupe
et Δ2,
respectivement
[/i et i / j . D'après les temps de p r o p a g a t i o n /, = Δ^Ιϋ^^ et Ιχ =
^2/^^2
du
groupe d'ondes de période T dans ces deux m i l i e u x o n peut écrire, p o u r le temps de parcours t o t a l t sur la distance épicentrale Δ : t
= AJUi
Δ = Al
+ ZI2/Î/2 =
Δ/υ
+ Δχ .
Ces équations, p o u r un certain n o m b r e de trajets, permettent de déterminer U; à différentes périodes p o u r / modèles régionaux homogènes à p a r t i r de mesures de U sur des trajets mixtes. D'autre part, l'équation aux vitesses de groupe peut s'écrire : \/U = àf/dp = ( A J A ) dfjdp
+ (Α2/Δ)
d/2/dp
d'où en intégrant : f(p)
+
= {AJA)MP)
(A2/A)f2(p)
et en divisant par /; : 1/C= (zl,/zl)l/C,
+
(A2/A)]/C2
ce qui permet de la même façon la détermination des vitesses régionales. 3.6. —-Mesure
de l'amortissement.
— Les ondes superficielles
se prêtent
plus facilement que les ondes de v o l u m e aux mesures de v a r i a t i o n d'ampHtude avec la distance. C o m p t e t e n u de la v a r i a t i o n d ' a m p l i t u d e due à l'expansion géométrique, les ondes superficielles de longue période s'amortissent d'autre part avec la distance par suite de l'effet
des imperfections d'élasticité des
couches superficielles de la Terre. O n caractérise cet amortissement ( 1 . 3 . 3 ) par un facteur de qualité Q, sans d i m e n s i o n , associé à un facteur d'amortissement p/2 Q en f o n c t i o n d u temps, p o u r une onde sinusoïdale de période p = 2 π/Τ. Si cette onde se propage avec la vitesse de phase C, i l en résulte u n facteur d'amortissement avec la distance p/2 QC ; mais c o m m e o n suit u n groupe a u cours de sa p r o p a g a t i o n (en suivant une période apparente sur des enregis-
202
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
DE LA
TERRE
trements q u i ne sont pas purement sinusoïdaux) c'est la vitesse de groupe U q u i intervient et le facteur d'amortissement est y = ρβ QU. Si les amplitudes d u mouvement d u sol mesurées aux distances épicentrales angulaires A' et A sont respectivement A' et A, o n en déduit y : y = ( L o g {A'/A)
-
0,5 L o g (sin A/sin A') -
a L o g {A/A')la(A
-
A'))
avec α = 1/2 o u 1/3 suivant q u ' i l s'agit d ' u n groupe ordinaire o u d'une phase d ' A i r y , et α = 0 s'il s'agit d ' a m p l i t u d e spectrale. 3.7. — Interprétation. — L a recherche d u modèle de Terre d o n t la dispersion théorique coïncide avec une courbe expérimentale fait partie des problèmes généraux d'inversion. U n'existe malheureusement pas de méthode inverse analogue à la méthode d'Herglotz-Wiechert p o u r les ondes de volume, et la complexité des opérations nécessaires à l ' o b t e n t i o n des valeurs propres (§ 2 . 3 , 2 . 4 et 2 . 5 ) m o n t r e que les paramètres physiques d u modèle n'interviennent pas de façon linéaire. O n peut, à la suite d'essais successifs, t r o u v e r par tâtonnements u n modèle d o n t la dispersion est assez proche des valeurs observées ; o n peut alors linéariser le problème si les variations à faire subir au modèle p o u r l'améliorer sont assez petites.
I I I i
Soient par exemple N valeurs C,j, de la vitesse de phase observée, considérées c o m m e indépendantes ; si o n représente le modèle par un échantillonnage de valeurs des paramètres physiques pj : ρ (densité), ?.ct μ (paramètres de Lamé) en M niveaux, o n p o u r r a écrire Λ' équations à 3 M inconnues Apj (perturbations concentrées au voisinage des niveaux /) Σ (dCJdpj)
Apj = (C,.„ -
C,) = A C ,
(4)
l'indice t étant r e l a t i f au modèle d'essai. E n principe, la connaissance des modifications Ap se ramène alors à l'inversion d u système (4), si les coeffi cients d'influence {dCJdpj) sont connus. 3.8. — Calcul des coefficients d'influence. — O n peut les obtenir en pertur bant directement et successivement les 3 M paramètres physiques d u modèle, et en cherchant l'efTet sur les différentes vitesses C,-^. Ce procédé a été utilisé lors des premiers essais de D o r m a n et E w i n g (1962), mais i l est peu précis et très l o n g si M est g r a n d . Des méthodes de p e r t u r b a t i o n s basées sur le principe de Rayleigh ( H . Jeffreys, 1961) permettent d ' o b t e n i r les coefficients cherchés sous forme de rapports d'intégrales, calculables de façon précise à tous les niveaux j en même temps que la vitesse de phase C,-, et les composantes de S. Par exemple, p o u r des ondes de Rayleigh où / est fixé o n a trouvé (§ 2 . 4 et 2 . 5 ) une valeur propre P = p' et u n vecteur S satisfaisant aux
DISPERSION
ET
MÉTHODES
D'ANALYSE
203
équations d u mouvement ainsi q u ' a u x c o n d i t i o n s à la surface z = 0 et a u fond z = + 00 ; de ce fait, l'égalité des énergies potentielle U et ciné tique 13 résulte de l ' a n n u l a t i o n d u Lagrangien : L = 75 -
a) = PIp -
(f
/,
+//,
+
/3)
= 0,
(5)
relation q u ' o n peut o b t e n i r en m u l t i p l i a n t les lignes 3 et 4 d u système (2) paragraphe 2 . 2 par les composantes 2 et 1 de S et en intégrant par par ties compte tenu des c o n d i t i o n s aux limites. L'intégrale /Q, dans le terme d'énergie cinétique, est de la forme :
/0
p{U'
= J
dz ;
-f- W')
0
les intégrales /,, /2 et /3 dans l'énergie potentielle élastique HT p o r t e n t sur des expressions de la forme XD + μΕ où les composantes de S figurent au deuxième degré dans D et E. Si nous remplaçons dans la m u l t i p l i c a t i o n q u i a c o n d u i t à (5) les composantes de S par de petites p e r t u r b a t i o n s de ces composantes, o n a encore sans a p p r o x i m a t i o n : Ρδίρ = / 2 Sf
+ fSIx
+ SI,
(6)
où GO J 0
ce qui m o n t r e que (5) reste satisfaite au deuxième ordre près, si les c o m p o santes de S sont affectées de petites p e r t u r b a t i o n s : c'est le p r i n c i p e de Rayleigh. Si o n applique ce p r i n c i p e en utilisant les mêmes composantes de S, mais à l'onde d o n t la pulsation est p + dp el le n o m b r e d'onde / -I- d/, on obtient p o u r la vitesse de groupe U = dp/df : dPld(p)
= CU=
(//,
+
/2)///0
(7)
plus précise q u ' u n e expression basée sur des différences, d u fait qu'elle utilise des intégrales. O n a une expression analogue p o u r les ondes de Love ; c'est une méthode exposée à l'origine par E. Meissner (1926) et H . Jeff'reys (1961). Si maintenant o n fait varier l ' u n des paramètres pj o n peut, d'après le principe de Rayleigh, négliger dans la p e r t u r b a t i o n des intégrales contenues dans (5) le terme dû à la v a r i a t i o n des composantes de S. L a perturbation AP résultante est alors donnée par : AP =
AI, + / Δ / 2 + Δ / 3 -
P Δ/ο)//ο
(8)
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
DE LA
TERRE
indépendamment des variations de S ; supposons la v a r i a t i o n d u para mètre pj constante et égale à Apj sur une épaisseur déterminée h, assez petite p o u r que les facteurs sous le signe d'intégration puissent être consi dérés comme constants ; d u fait de l a linéarité en p, À, μ, des intégrandes, les termes en A/ sont de la forme : Fj.li.Apj et l'expression (8) donne les cPjcpj ~ AP/lpj en f o n c t i o n des composantes de S a u niveau / C'est ainsi que Takeuchi et al. (1964) t r o u v e n t les expressions des coefficients d o n n a n t l'influence de perturbations de p, λ et μ sur la vitesse de phase des ondes de Love et de Rayleigh. Si maintenant o n veut chercher l'effet de la v a r i a t i o n d ' u n paramètre /?,· sur la vitesse de groupe, o n utilise la relation (7) mais comme elle n'exprime plus le principe de Rayleigh, o n d o i t tenir compte, dans la v a r i a t i o n des intégrales, des variations des termes dépendant de S, q u i ne sont pas limitées au niveau /'. L e calcul est donc beaucoup plus long. O n peut aussi, plus rapidement, effectuer des différences sur les coefficients relatifs aux valeurs propres p o u r des nombres d'ondes différant de Δ/, de même q u ' o n peut o b t e n i r U p a r le r a p p o r t des différences Ap/Af, o u utiliser une for mule d ' i n t e r p o l a t i o n plus précise. De même qu'une petite v a r i a t i o n réelle des paramètres entraîne une v a r i a t i o n réelle de la valeur p r o p r e , l'équation (8) peut s'écrire en termes de variations purement imaginaires ; elle exprime alors un amortissement global de l'onde en f o n c t i o n des parties imaginaires de μ, λ ei p à. diffé rentes profondeurs, o u encore l'énergie totale dissipée en f o n c t i o n des énergies partielles dissipées à chaque profondeur. Par exemple p o u r les ondes de Love o n a : pV'dz 0
=
Pif
V' + V") dz .
o
Si p = — i P * , P*/P = correspondant à un coefficient d ' a m o r t i s sement n = pjlQ (Chap. 3, § 3) dû uniquement à une imperfection — '\μ*{ζ) de la rigidité, δ " ' = ί ' ' - - * μ ( / ' Κ ^ + V")dzl
Q-^-l^
Γ μ{ί'ν' ο
+ K'^)dz
(9)
c'est-à-dire que le facteur de qualité global est une somme des rapports des énergies dissipées dans chaque couche à l'énergie élastique totale (Ander son et ai, 1964 et 1965, K n o p o f f , 1966, 12). Les relations telles que (9) où β a été mesuré p o u r différentes périodes permettent en principe de trouver ).*, μ*, p* à différentes profondeurs en supposant que ces coeffi cients, d o n t seul semble être i m p o r t a n t , sont indépendants de la période.
VIBRATIONS
PROPRES
DE LA
TERRE
205
En réalité cette hypothèse amène à d o u t e r de la réalité d u modèle auquel on aboutit en utilisant des données expérimentales de p o u r diffé rentes périodes ; Jackson (1971) est amené à proposer une dépendance de Qf avec la période. 4. — V I B R A T I O N S P R O P R E S
DE L A TERRE
4.1. — Introduction. — L a c o u r b u r e de la Terre n'est plus négligeable p o u r l'étude des ondes superficielles de très longue période (ondes dites d u manteau) : en un point de la surface arrivent successivement les ondes de différents « ordres », dont les trajets diffèrent d u trajet direct o u complémentaire d ' u n nombre entier de tours. Pour des périodes bien déterminées, u n accord de phase peut se p r o d u i r e en t o u t p o i n t entre les ondes sinusoïdales de différents ordres ; cette interférence constructive p r o d u i t des v i b r a t i o n s de l'ensemble du Globe stationnaires à la fois suivant la p r o f o n d e u r et parallèlement à la surface. On peut en déduire immédiatement une r e l a t i o n entre le degré K d'interfé rence et la vitesse de phase de l'onde progressive : en u n p o i n t donné au même instant, entre deux ondes progressives d o n t les trajets diffèrent d ' u n t o u r de Terre 2 πα, la phase a varié de Δ Φ = 2 πα x 2 π/Cr - π, le terme supplé mentaire π traduisant l'effet des convergences cylindriques au foyer et à l ' a n t i pode. La c o n d i t i o n ΑΦ = 2 Κπ c o n d u i t à : C = 2πα/(Α: + 1/2) T.
(1)
Nous verrons bientôt que la forme d u déplacement en surface p o u r un o r d r e d'interférence élevé c o n d u i t à identifier K avec l ' o r d r e n de la f o n c t i o n sphé rique représentant ce déplacement en f o n c t i o n de la colatitude 0. L'expression ( 1 ) devient alors celle de Jeans (1923) q u i a montré sur le cas de la sphère h o m o gène qu'une v i b r a t i o n p r o p r e p o u v a i t être décomposée en ondes superficielles se propageant en sens inverse a u t o u r de la Terre. Nous considérerons t o u t d ' a b o r d , en l'absence de r o t a t i o n , un modèle de Terre à symétrie sphérique. C o m m e i l a été exposé au chapitre 7, le problème théorique consiste à chercher p o u r un déplacement sinusoïdal de période arbitraire 2 π//;, les solutions d ' u n système d'équations différentielles linéaires. Seules sont acceptables les solutions s'annulant au centre de la Terre, et telles que la surface soit libre d'effort ; elles doivent de plus satisfaire à des c o n d i d o n s de continuité des déplacements et des tensions à travers les surfaces de d i s c o n t i nuités physiques d u m i l i e u . O n détermine ainsi les périodes q u i conviennent, comme suite de valeurs propres d u système différentiel. Deux modes de v i b r a t i o n , correspondant aux deux classes de L a m b (1882) sont possibles : à la première classe appartiennent les v i b r a d o n s de t o r s i o n , issues d'ondes SH, et à la deuxième les v i b r a t i o n s sphéroïdales, issues d'ondes P et SV, et influencées par les effets de g r a v i t a t i o n p o u r les modes les plus graves.
2C6
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
DE LA
TERRE
Les déplacements correspondants sont donnés respectivement par les équations (2) (7, § 3) et (4) (7, § 4) : n,. = ry{p,r).roi
(2)
{S„v)
i "s = y\{p,r).S„.\
+ ry^ip,
r) grad S„
où S„{0, ψ) = O c o s 0).cos τηφ, -
n ^ m ^ + n ;
si le pôle de coordonnées est situé à l'épicentre d u séisme, les indices m sont liés aux propriétés de symétrie de l a source (*). Les valeurs propres p et les fonctions propres y sont obtenues, p o u r un degré n fixé, par les méthodes numériques exposées au chapitre pré cédent : soit une intégration numérique d u système diflférendel, soit l ' u t i l i s a t i o n de la méthode de Haskell dans le cas des vibrations de t o r s i o n , o u lorsque n est assez élevé p o u r que la gravité n'influence plus les vibrations sphéroïdales (**). P o u r une valeur de n fixée, o n obtient une suite de valeurs possibles p„, correspondant à des périodes de plus en plus courtes.
'
Les expressions (2) m o n t r e n t que la composante radiale d u déplace ment s'annule suivant 2 m méridiens et n — m parallèles ; en outre, le déplacement c o m p o r t e en p r o f o n d e u r u n n o m b r e de nœuds d'autant plus élevé que le r a n g de l a valeur propre est élevé : i l l u i correspond u n ordre radial / d u mode de v i b r a t i o n . A u x trois indices « , m et /correspond donc une triple infinité de périodes propres possibles p o u r chaque classe de v i b r a t i o n ; mais dans le cas (*) Lorsque n est grand, la fonction sphérique peut être approchée par le premier terme de son expression asymptotique (Chap. 2 5 ) : Pn(cos
0) ~ (2/π sin 0)"\n"'-^iKcos{(n
i) fl + (2 m — 1) π/4) .
Cette décomposition en ondes progressives, où la distance A ^ aO, fait apparaître la vitesse de phase donnée par (1). (**) Dans le cas où le modèle est représenté par une superposition de couches homogènes, les fonctions y, y] et yj figurant dans les équations (2) sont dans chaque couche des combi naisons linéaires de fonctions de Bessel sphériques : Cn+1/2(2) = Dn / » + 1 / 2 ( 2 ) I- E„ 1/2(2) (Chap. 2 5 ) , remplaçant les exponentielles d u problème plan. Pour les vibrations de torsion : y = C„+i/2(Arr)/i-i/2,
où
k=pl'Vû.
Pour les vibrations sphéroïdales : y, = An à(C„-,u2{hr)lril2)/dr yj
avec
h = p/tJ.
= An C„+,/2(/li-)/i-3/2 +
+ Bn n(n + 1 ) (Bnir)
d{Cn - M 2(kr).
C„+ii2(kr)lrin ,'^ΐψ,-,
VIBRATIONS
PROPRES
DE LA
TERRE
207
considéré jusqu'ici, d ' u n modèle à symétrie sphérique i m m o b i l e , les modes en m sont « dégénérés » et la période p r o p r e est indépendante de l'indice m. Les modes les plus graves sont obtenus p o u r « = 2, 1 = 0. L o r s de la vibration de première classe correspondante, le déplacement est une torsion en sens inverse des deux hémisphères, le noyau liquide ne p a r t i cipant pas à la v i b r a t i o n . Sa période est voisine de 44 minutes. Pour la vibration de 2'^ classe, la Terre prend au cours d'une v i b r a t i o n la f o r m e d'un ellipsoïde allongé puis aplati. Sa période est de l'ordre de 54 minutes. Le noyau liquide et la graine participent aux oscillations des premiers modes fondamentaux en n ; l'énergie est pratiquement localisée dans le manteau pour des valeurs de n supérieures à 18. Pour une sphère de la dimension de la Terre, l'importance relative de l'énergie gravitationnelle mise en j e u lors d'une v i b r a t i o n sphéroïdale est de l'ordre de 10 % pour n = 2, et décroît ensuite q u a n d n augmente. Son importance croîtrait avec les dimensions d u solide considéré. Le mode n = i n'existe pas p o u r / = 0 car il l u i correspondrait u n déplacement d u centre de gravité ; le mode sphéroïdal « = 0 et ses harmoniques sont des modes de déplacement purement radial. 4.2. — E f l ' e t de la rotation de la Terre et des écarts à la sphéricité (hétéro généités latérales). — Les périodes de v i b r a t i o n 2 π/ρ sont faibles p a r rapport à celle de la r o t a t i o n de la Terre 2 π/Ω. Relativement à la Terre prise dans son ensemble, les écarts à la sphéricité sont petits. Les méthodes utilisées consistent en calculs de perturbations d ' u n modèle sphérique, limités à des termes (écarts à la sphéricité, o u r a p p o r t Ω/ρ) d ' o r d r e peu élevé. a) Effets du premier ordre. — Considérons t o u t d ' a b o r d l'effet de la rotation. Dans l'expression (2) d u déplacement, transformée de façon à prendre pour origine le pôle de r o t a t i o n , le facteur nouveau a z i m u t a l cos ηιφ peut être combiné au facteur dépendant d u temps cos pt p o u r être décomposé ensuite en deux termes représentant deux ondes progressives se propageant l'une vers l'Est, l'autre vers l'Ouest. Dans une sphère immobile ces deux ondes se c o m p o r t e n t symétriquement quel que soit m ; dans un système lié à la sphère en r o t a t i o n , une particule en mouvement se trouve soumise à la force de C o r i o l i s (2 ρ dn/dt Λ Ω par unité de volume). L'effet en est différent suivant le sens de p r o p a g a t i o n , de sorte que l'onde q u i va vers l'Est se trouve ralentie et l'autre accélérée. L a symé trie étant détruite, leur superposition donne une configuration d'onde stationnaire q u i se déplace lentement vers l'Ouest. Pour u n observateur fixé sur la sphère, t o u t se passe comme si l'onde stationnaire avait une amplitude lentement variable avec le temps, soit une apparence de batte ments entre deux fréquences différant de (Ap)J2 π. A chaque valeur de m
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
DE
LA
TERRE
correspond u n décalage p a r t i c u l i e r en fréquence, d'où la séparadon d'une valeur propre d u modèle i m m o b i l e en (2 n + 1) multiplets symétriques (- n ^ m ^ + n) : les valeurs propres ne sont plus dégénérées. Cet effet, étudié par différents auteurs p o u r des fluides en r o t a d o n ( H . L a m b , 1932) est un analogue mécanique de l'effet Zeeman en spectroscopie. Dans le cas de la Terre, les calculs au premier ordre, effectués par Backus et G i l b e r t (1961), M c D o n a l d et Ness (1961), Pekeris, A l t e r m a n et Jarosch (1961) d o n n e n t : (Ap)„
= ηι.β,,.Ω
(3)
où ,βΐ
= \/η{η +
1)
ne dépend ni de / n i d u modèle p o u r les v i b r a d o n s de t o r s i o n , tandis que X est u n r a p p o r t d'intégrales p o r t a n t sur les composantes d u déplacement sphéroïdal. L'écart le plus i m p o r t a n t à la sphéricité est le bourrelet équatorial qui donne à la Terre une f o r m e proche d ' u n ellipsoïde de révolution. Des valeurs propres de v i b r a t i o n s d'ellipsoïdes peu aplatis o n t été calculées par M . C a p u t o (1963) et U s a m i et Sato (1962) ; à la place d'une valeur propre d u modèle sphérique apparaissent n m u l t i p l e t s . b) Effets du second ordre. — En utilisant le principe de Rayleigli, dont nous avons donné un exemple d'application au paragraphe 3.7, F. A . D a h l e n (1968) retrouve les résultats d u premier ordre et utilise le calcul de perturbations au second ordre fait par Backus et Gilbert (1961) pour la r o t a t i o n , en tenant compte d'éventuels écarts à l'isotropie et à l'hypothèse hydrostatique, que nous négligeons ici. Dans l'expression des forces subies par un élément de volume (Chap. 7, § 2) i l faut ajouter aux termes comportant la variation W d u potentiel de gravité, un potentiel dû à la r o t a t i o n (Chap. 16) V(r) = ( ( Ω . Γ ) 2 — β 2 ^2)/2 et tenir compte de la force de Coriolis 2\p„pu A
SI.
L'application du principe de Rayleigh (§ 3.8) à un modèle perturbé par une rotation lente et des écarts à la sphéricité permet d'écrire : ôpi I = όν — ρ'-δΙ
+ Ψ +
2pW
où p-1 est l'énergie cinétique, V l'énergie potentielle élastique, et W si Ψ des énergies représentées par des intégrales portant respectivement sur les termes découlant de la force de Coriolis et de la force centrifuge. Ce dernier est d u second ordre en Qjp. Dans le cas d'une faible ellipticité ε, au terme (3), d u à la r o t a t i o n , symétrique par rapport à m 0, s'ajoute : (4)
VIBRATIONS
PROPRES
DE LA
TERRE
209
on voit ici que le multiplet dû à l'ellipticité est complètement dissymétrique, le terme m = 0 étant d'un côté d u multiplet et de toute façon décalé d'une quantité constante εοί par rapport à la valeur propre d u modèle n o n perturbé. L'effet des termes d u second ordre dus à la r o t a t i o n est aussi de la forme (Δ/7)„. = {ΩΙΡΫ
(,οίη + rn
,γ''„).,ρη
et pour les modes les plus graves i l est aussi i m p o r t a n t que l'effet d u premier ordre dû à l'ellipticité. A u premier ordre, les modes purement radiaux ne sont pas affectés par la r o t a t i o n et l'ellipticité. Notons iff"' le déplacement p o u r une v i b r a t i o n sphéroïdale et J T " p o u r une v i b r a t i o n toroïdale du modèle sphérique i m m o b i l e ; l'effet de l'ellipticité et d'une r o t a t i o n lente est d'ajouter les déplacements perturbés d u premier ordre de forme, respectivement :
et "n+1
:
Xn±2•
Lorsque l'ordre n augmente, l'effet d'ellipticité domine l'effet de r o t a t i o n . Pour des vibrations d'ordre n élevé, les hétérogénéités latérales superficielles prennent de l'importance et les effets perturbateurs sont tels que dans les déplacements appa raissent des combinaisons beaucoup plus compliquées de σ et de t de tous ordres n et m. Zharkov et L y u b i m o v (1970) o n t montré q u ' a u premier ordre seuls o n t u n effet les termes pairs d u développement des hétérogénéités en harmoniques sphériques. I l résulte de ces considérations que la r o t a t i o n et l'ellipticité peuvent provoquer des couplages pour les modes les plus graves entre vibrations de même classe, d'ordres n différant de deux unités, o u de classes différentes d'ordres différant de l'unité, si en
Energie des vibrationa sphéi-oï()aie,s
/77 = 0 0^19 Ι.7452-Ι0·* Rodions S"'
m=0
II 0 ^ 0
1.7453 10-2 Rodions s"' Energie
des
vibrations
de t o r s i o n
/77 = 0 F I G . 9. — Energie
de l'ensemble
/77=0 des modes mS\9 et mTzo.
D'après G . D A H L E N , 1968.
210
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
DE LA
TERRE
l'absence d'effets perturbateurs les fréquences propres de ces vibrations sont voisines. Le couplage est très fort si l'écart entre ces fréquences devient faible devant l'écart entre multiplets ; i l peut atteindre 40 % si l'écart relatif est de l'ordre de 10"^ : c'est le cas des modes „,5ii) et mTia, dont les multiplets sont représentés figure 9 en fonction de leur répartition en énergie. En ce q u i concerne les hétérogénéités latérales superficielles perturbant les modes d'ordre élevé, elles provoquent certainement aussi des effets de couplage, difficiles à estimer, entre modes d'ordre très différent.
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9
CHAPITRE
SISMOGRAPHES par Jean
COULOMB
et M a r c
SOURIAU
1. — I N T R O D U C T I O N
Les sismographes sont étymologiquement des enregistreurs de séismes, mais e principe de certains d'entre eux peut être utiUsé p o u r observer les variations géographiques de la pesanteur (gravimètres) o u les inchnaisons d u sol (clinomètres). U n sismographe moderne c o m p o r t e : — un capteur des déplacements d u sol (en général u n capteur à inertie, parfois u n capteur de déformation) ; — u n transducteur (électrostatique, électrodynamique, magnétodynamique, parfois même à effet H a l l , etc.) ; — un amplificateur (mécanique, o p t i q u e , électronique, paramétrique, etc.) ; — u n enregistreur (à encre, à style chauffant, à style électriquement chargé, photographique, magnétique-analogique o u magnétique-numérique, etc.), permanent o u déclenché p a r le séisme à travers u n dispositif à retard ( C h o u dhury et H o u r i , 1972). O n a donc le schéma d u tableau 1, mais u n même organe, p a r exemple u n galvanomètre, peut assurer simultanément plusieurs fonctions. L e capteur d o i t être situé dans une région stable (granitique) et e n f o u i aussi profondément que possible p o u r éviter les p e r t u r b a t i o n s superficielles. L'enregistreur peut en être éloigné (centralisation p a r fil o u radio). TABLEAU 1
1 Capteur 1
<
Transducteur
> <
Amplificateur
y Enregistreur
Certains systèmes c o m p o r t e n t une réaction sur le capteur (à inertie), o u p l u s fréquemment une contre-réaction. O n peut ainsi utiliser de faibles masses.
SISMOGRAPHES
214
obtenir de grandes périodes en gardant la stabilité mécanique d ' u n capteur à courte période, etc. O n s'efforce d ' o b t e n i r des systèmes linéaires (voir cependant R o d g e r s , 1966) d o n t les oscillations propres soient amorties. Le gain et le déphasage sont fonctions de la période. U n sismographe est donc aussi u n filtre, d o n t o n peut j o u e r p o u r atténuer les bruits de f o n d t o u j o u r s présents, même dans les installa tions souterraines : déformations lentes, a g i t a t i o n microsismique naturelle, centrée vers 4 à 6 secondes, o u artificielle, de fréquence très supérieure. Le tableau 2, d o n t les indications correspondent seulement à des ordres de g r a n deur, donne une idée des périodes à observer (voir § 9).
TAnLFAU 2
Période en secondes 0,01
0,1
1
10
100
1000
Ondes Vibrations; A g i t a t i o n E x p l o s i o n s O n d e s d e O n d e s Vibrations superfi propres de industrielle. lointaines, volume des superfiindus Séismes séismes. c i e 11 es c i e l l e s la Terre, t r i e l l e s Explosions Agitation rapprochées très directes indirectes Marées nat urelle ( o n d e s du terrestres proches permanente manteau)
Deux « fenêtres » situées vers 1 j e t vers 30-40Λ· peuvent permettre des a m p l i fications a p p r o c h a n t 500 000 (Pomeroy et ai, 1969) dans des sites exception nellement calmes. O n peut avoir des enregistrements visibles o u sismogrammes correspondant à des bandes passantes variées en utilisant plusieurs transducteurs o u en r e j o u a n t avec divers filtres u n enregistrement magnétique, analogique o u numérique. Certains appareils modernes ( B l o c k et M o o r e , 1970) sont sensibles à la fois aux ondes de volume et aux marées terrestres. Sauf dans des cas d'espèce comme u n appareil à descendre dans u n sondage ( M e l t o n et K i r k p a t r i c k , 1970), les sismographes sont polarisés dans les direcdons WE, SN, et verticale lorsque la source est inconnue (séisme), dans les directions radiale, tangentielle, et verticale s'il s'agit d'une explosion proche.
2. — C A P T E U R S A I N E R T I E O U P E N D U L E S
2.L
— Généralités. — Les capteurs à inertie sont souvent appelés pendules,
d u n o m d u plus ancien
d'entre
eux. Ils comprennent
schématiquement :
\° U n bâti 5Ό rigidement lié au sol o u au f o n d de l'océan (signalons cepen-
CAPTEURS
A INERTIE
OU
PENDULES
215
dant le sismographe de Bradner et al., 1970, flottant entre deux eaux p o u r l'étude de l ' a g i t a t i o n naturelle dans les océans). 2° U n système S de masses élémentaires m, mobiles par r a p p o r t à .^o» d o n t les positions sont des fonctions d ' u n paramètre u n i q u e q (signal de sortie d u capteur). Supposons 5o i m m o b i l e par r a p p o r t à u n repère absolu et S dans sa position d'équilibre stable ; le centre de gravité G de S est en C Q ; η' prend une valeur q u ' o n supposera nulle. Si SQ se déplace, le pendule est en général sen sible aux translations et aux rotations de son bâti. Pour les périodes des séismes on montre (voir C o u l o m b , 1956) que les r o t a t i o n s sont en général négligeables, et que les petits déplacements d u pendule e x p r i m e n t la t r a n s l a t i o n de 5Ό sui vant la tangente initiale GQ au déplacement d u centre de gravité G. Plus préci sément, si les forces de rappel de 5 vers sa p o s i t i o n d'équilibre sont p r o p o r t i o n nelles à η' et si les oscillations propres de S a u t o u r de l'équilibre sont amorties par des forces proportionnelles à la vitesse q (en général par i n d u c t i o n dans u n circuit bobiné m u n i d ' u n shunt convenable), le déplacement d u sol ξΟ) (signal d'entrée d u capteur) dans la direction — GQ est lié à q par une équation de la forme : q + 2 αω<7 +
q = — Υξ
(l)
qui dépend des trois constantes V (grandissement), α (amortissement) et ω (pulsation propre). Nous nous contenterons de rétablir cette équation dans quelques cas p a r t i culiers suggestifs. Ses conséquences, dans le cas simple où l'ordonnée d'en registrement est p r o p o r t i o n n e l l e à q, sont étudiées en physique à p r o p o s des galvanomètres. Le signal de sortie n'est pas lié simplement a u mouvement d u sol. Cependant, si ω est grand p a r r a p p o r t à la bande de pulsations contenues dans {, o n p e u t écrire q Υξ/ω' et o n a a p p r o x i m a t i v e m e n t u n accéléromètre. Siω est p e t i t , q ~ — νξ ; on enregistre a p p r o x i m a t i v e m e n t le déplacement. Si la bande est étroite et contient ω, q = -
νξ/2 αω ; o n enregistre a p p r o x i m a t i v e m e n t la
vitesse (*). L'amortissement critique α = 1 est celui q u i fait disparaître le plus rapide ment possible les v i b r a t i o n s propres et rend ainsi le sismogramme le plus lisible. 2.2. — Pendules pour la composante horizontale,— Pendule à translation. — Dans le sismographe Benioff ( F i g . 1) une masse Ai d'une centaine de k g est guidée par des rubans d'acier. Ceux-ci fournissent aussi des forces de rappel élastiques, donc linéaires t a n t que le mouvement r e l a t i f de la masse ( q u i est i c i une translation x(t)) reste petit. (*) Bien entendu une telle classification peut être modifiée aux niveaux d u transducteur et de l'amplificateur. La mesure des accélérations s'impose près de la source (étude des bâti ments), celle des déplacements au l o i n ; beaucoup de sismographes « à tout faire » sont des enregistreurs de vitesse.
216
SISMOGRAPHES
Si le déplacement d u bâti dans la d i r e c t i o n des x est ξ{ΐ), la force de rappel - Cx{t), la force d'amortis sèment — fx{t), l'équadon d u m o u v e m e n t d u centre gravité est : Mx
+fx
Μξ
+ Cx=-
il)
évidemment de type (1).
F I G . 1. — Principe du sismographe horizontal de Benioff. Masse 100 kg ; T transducteur magnétody namique ; R. ..R rubans d'acier.
A l u i seul, u n tel dispositif ne permet pas de grandes pé riodes {CIM ne peut être petit puisque les rubans soutiennent la masse). M a i s i l peut être associé à des galvanomètres de longue période (§ 3).
Pendule à rotation. — C'est en général l a pesanteur q u i f o u r n i t les forces de rappel. L a masse M, de l'ordre d u k g , t o u r n e a u t o u r d ' u n axe incliné d ' u n angle / sur la verticale, axe matérialisé p a r deux minces lamelles d'acier /, /' travaillant s o u s t r a c t i o n ( F i g . 2). / est en général faible ; o n d i t q u ' o n a u n «pendule horizontal». Soit L la distance O G de l'axe au centre de gravité G, 0 l'angle de O G avec la p o s i t i o n d'équilibre, K le m o m e n t d'inertie de la masse par r a p p o r t à l'axe. Dans u n sys tème d'axes Oxyz où Oy est sui vant OGQ et Oz suivant l'axe de r o t a t i o n dirigé vers le haut, le Fio- 2. — Pendule horizontal. centre LcosO,
de gravité
(-
L sin Θ,
0) est soumis à la pesanteur (0, Mg sin i, -
d'inertie (Μξ, Μ η , Μ ξ ) ,
Mg cos i),
à la force
et à une force d'amortissement p r o p o r t i o n n e l l e à Θ.
Le théorème d u m o m e n t cinétique s'écrit donc : KO +fè
+ MgL sin i sin θ = - Μ 1 ξ ο ο 5 θ - Μ Ε η
sin θ .
(3)
A u premier ordre en 0 l'équation (3) est de type (1) si o n peut négliger η, q u i correspond à une « accélération en b o u t » (parallèle a u bras), devant g sin /. Les accélérations des séismes sont petites devant g, sauf près d u foyer, mais / est lui-même choisi petit p o u r rendre l'appareil sensible aux grandes périodes, d'où une difficulté sur laquelle nous ne pouvons insister ( C o u l o m b , 1956). O n peut v o i r sur le même exemple l'effet des inclinaisons lentes d u bâti. U n e r o t a t i o n a u t o u r de Ox change seulement la période p r o p r e . Supposons
CAPTEURS
A INERTIE
OU
PENDULES
217
maintenant que le bâti tourne de ω autour de l'horizontale de yOz, autre ment dit, que la verticale s'incline de — ω par rapport au bâti. L a position d'équilibre tourne de 0 tel que le moment de la pesanteur reste nul. O n trouve que : tg θ = tg ω/sin /' ~ ω/ί.
(4)
Les sismographes ordinaires coupent les dérives causées par les inclinaisons. Mais les pendules horizontaux à grande période peuvent servir d'inclinomètres ; on emploie alors une suspension à deux fils (voir Chap. 18) qui donne de très faibles couples de rappel élastique. 2 . 3 . — Pendules pour la composante verticale. — U n e masse qui se déplace verticalement est soutenue par un ressort (exceptionnellement par des aimants). E n général, le ressort fournit aussi la force de rappel, et on rencontre le même genre de difficulté pour obtenir de grandes périodes que dans le sismographe horizontal de Benioff". O n « astatise » en général les sismographes verticaux en plaçant la masse au bout d'un levier qui tourne autour d'un axe horizontal 0 (Fig. 3). L e ressort P Q tire sur un point Q du levier, à déterminer. A u repos, OG (G centre de gravité) est horizontal en OGQ. L e théorème des moments par rapport à l'axe donne, avec les notations de la figure 3 et un amortissement linéaire, l'équation différentielle : κθ+/θ -
τφ)
pq sin (a + β + 0) 1{Q)
+ MgL cos θ = =
-
MgL^'cos 0 - Μ ΐ ΐ η sin 0
(5)
et la condition d'équilibre : -
7-(0)
pq sin (a -t- β) /(0)
+ MgL = 0 .
F I G . 3. — Pendule pour la composante verticale. En O, lamelle (travaillant à la traction) qui sert d'axe.
(6)
218
SISMOGRAPHES
Le facteur T(0)/l{0) devient constant si l ' o n emploie des ressorts « de longueur nulle » , construits p o u r la première fois par L a Coste en 1934 ; en fait, ce q u i est n u l , c'est la longueur Ig q u i intervient dans la r e l a t i o n linéaire habituelle : T = k(l - /0) liant dans un certain intervalle la tension T d u ressort à sa l o n gueur /. O n s'arrange d'autre p a r t p o u r que le ressort soit v u de O sous un angle a + β presque d r o i t , soit : a + β = π/2 — ε. A u premier ordre en ε, l'équation (5) est alors identique à l'équation (3), sin / étant remplacé par ε. Malgré t o u t , la c o n s t r u c t i o n de sismographes verticaux à grande période reste délicate (fatigue des ressorts, effets de température et de pression). Les gravimètres de prospection sont construits comme des sismographes verticaux, mais ils utilisent une méthode de zéro ; le ressort est généralement en quartz et sa longueur n'est pas nulle. M a i s les gravimètres fixes q u i mesurent les marées terrestres peuvent être plus complexes, tel le gravimètre supraconduc teur de P r o t h e r o et G o o d k i n d , 1970. 2.4. — Mesure inertielle des déformations statiques. —· O n cherche parfois à obtenir les déformations statiques que produisent les très grands séismes jusqu'à plusieurs milliers de k m , en intégrant deux fois l'accélération donnée par les capteurs à inertie ; mais l'effet des rota tions n'est plus négligeable. O n peut séparer les deux effets en utilisant des axes de référence gyroscopiques, par exemple en comparant les déplacements angulaires de deux pendules constitués par des gyroscopes (supportés électrostatiquement) tournant en sens inverse ( F a r r e l l , 1969).
3. — CAPTEURS
DE
DÉFORMATION
M i s à p a r t des dilatomètres occasionnels (aquifères ; c f Bodvarsson, 1970) les capteurs de déformation généralement utilisés depuis 1935 (Benioff) sont des extensomètres q u i mesurent la v a r i a t i o n de distance entre deux points d u sol sur une même horizontale ( o u , rarement, sur une même verticale), à quelques dizaines de mètres l ' u n de l'autre. O n n'a pas besoin d'une énorme précision relative si o n réduit, au moyen d'une tige de quartz, supposée de longueur constante (voir cependant Boulatsen, 1966), l'intervalle effectivement mesuré. O n emploie alors des transducteurs analogues à ceux des pendules, q u i peuvent être étalonnés p o u r chaque fréquence en déplaçant l'extrémité de la tige d'une quantité mesurable avec u n interféromètre (Hade et al., 1968). Des méthodes optiques directes sont p a r t o u t en développement ( B o s t r o m , 1970). E n v o i c i deux exemples : V a n Veen et al. (1966) mesurent les variations de fréquence correspondant à des variations de distance entre m i r o i r s d ' u n laser o p t i q u e , ce q u i leur permet d'atteindre des différences relatives de déformation A^5'-£'H^aussi faibles que 1 0 " ' sur des distances de 1 m . Berger et L o v b e r g (1970) construisent u n interféromètre de M i c h e l s o n avec u n bras de 800 m , en faisant passer dans u n tube vidé le faisceau f o u r n i p a r u n laser stabilisé en fréquence, et ils obtiennent une précision de 10~^° avec une a m p l i fication constante entre 0 et 1 M H z .
SISMOGRAPHES
ÉLECTROMAGNÉTIQUES
219
U n extensomètre, h o r i z o n t a l par exemple, n'est évidemment pas sensible a u déplacement absolu, mais à son gradient ëujdx dans la d i r e c t i o n de la tige o u du faisceau. Six extensomètres f o r m a n t un tétraèdre f o u r n i r a i e n t toutes les composantes de la déformation, à l'exception des translations et r o t a t i o n s d'ensemble (Smith et Kasahara, 1969). Si le mouvement superficiel est assimilable à une onde rectiligne U{X—ct)st propageant dans une d i r e c t i o n d ' a z i m u t a, avec une vitesse c, o n a u r a : .Y = A'/cos α et : du 2 du u = U cos α , = cos a —, dx dX pour une onde P, SV, o u p o u r une composante sinusoïdale d'onde de Rayleigh ; du . du — = — sin α cos a — ex dX
u = — Usina,
pour une onde SH ou p o u r une composante sinusoïdale d'onde de Love. La répartition des amplitudes en f o n c t i o n de a est donc très différente p o u r u et cujdx. O n peut utiliser cette différence. Par exemple, l'association de pendules donnant dU/dtet de capteurs de déformation d o n n a n t dU/cx permet d'estimer la vitesse de phase c = — (dUjdt)l(dU/dx) ( A k i ) . L a c o m b i n a i s o n de pendules et de capteurs de déformation diversement orientés permet de mettre en évidence des ondes polarisées o u de supprimer celles q u i seraient gênantes, par exemple les ondes de Rayleigh de l ' a g i t a t i o n naturelle (Shopland et K i r k l i n , 1970). 4. — S I S M O G R A P H E S
ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Les sismographes électromagnétiques, composés d ' u n pendule, d ' u n trans ducteur à i n d u c t i o n (bobine dans u n a i m a n t à c h a m p radial) o u à v a r i a t i o n de réiuctance, et d ' u n galvanomètre shunté, sont encore a u j o u r d ' h u i les plus répandus, bien q u ' i l s r e m o n t e n t a u début d u siècle (Galitzine, 1903). Θ, déviation angulaire d u pendule et 0, déviation angulaire d u galvanomètre, sont données par deux équations couplées (voir C o u l o m b , 1956) : Θ + 2 βΩ(Θ 0+2
αωφ
-
rè)
+ Ω' Θ
= -
(1//) ξ
γΘ) + ω ' Θ = Ο
où α et β sont les amortissements, ω et Ω les pulsations propres, y et Fies réac tions. / = KjML est la longueur réduite d u pendule. L'élimination de 0 c o n d u i t à une équation d u ordre en Θ, avec second membre p r o p o r t i o n n e l à ξ . O n dispose a u j o u r d ' h u i de galvanomètres ayant de faibles moments d'inertie et des constantes électrodynamiques élevées, avec des périodes a l l a n t d'une f r a c t i o n de seconde à plusieurs minutes. Associés à des capteurs appropriés, ils per mettent u n grand n o m b r e de combinaisons répondant à la p l u p a r t des besoins
220
SISMOGRAPHES
sismologiques. Des montages en p o n t permettent d ' a p p l i q u e r au pendule des signaux d'étalonnage sans perturber le galvanomètre. Le montage en p o n t est aussi une bonne méthode p o u r i n t r o d u i r e des fihrages et des contre-réactions électroniques (Russel, M e l d r u m , Jensen, 1968). 5. — A M P L I F I C A T E U R S
L ' a m p l i f i c a t i o n est restée longtemps une propriété intrinsèque de la sonde (masse m o b i l e , réiuctance d u circuit magnétique, n o m b r e de tours de la bobine...) et d u système d'enregistrement (levier mécanique, levier optique, sensibilité d u galvanomètre). Les amplificateurs électroniques o n t actuelle m e n t une grande fiabilité et sont construits « sur mesure » , selon le capteur et le système enregistreur. Des amplificateurs couplés à des enregistreurs magné tiques analogiques o u numériques o n t permis d'élargir considérablement la gamme des énergies (dynamique) et la gamme des fréquences. E n ce d o m a i n e , c'est l'amplificateur à gain variable q u i présente la plus grande eflRcacité ; i l dérive d ' u n principe identique à celui de la virgule flottante utihsée p o u r le calcul numérique sur o r d i n a t e u r .
6. — F O N C T I O N
DE TRANSFERT E T
DÉCONVOLUTION
O n appelle f o n c t i o n de transfert l'opérateur q u i permet de passer d u signal d'entrée au signal de sortie d u sismographe ( F a l l u de la Barrière, 1965). En général, les éléments d u sismographe sont linéaires ; l'entrée e(t) et la sortie s(t) sont liées par l'équation de convolution : s(0 =
[' / ( τ ) e(t - τ ) d r ,
(7)
•J 0
o u sous f o r m e symbolique applicable aux d i s t r i b u t i o n s : s = f me . Si l'entrée est la d i s t r i b u t i o n de D i r a c δ ( i m p u l s i o n à l'origine), la réponse est s{t) = f (t), puisque f * δ = f. C'est p o u r q u o i / (t) s'appelle la réponse impulsionnelle. O n m o n t r e que les transformées de F o u r i e r de ces fonc tions, désignées p a r des majuscules, sont liées p a r la r e l a t i o n : 5 ( ω ) = Ρ(ω).Ε(ω),
ω = 2πσ,
σ : fréquence.
(8)
O n appelle f o n c t i o n de transfert o u encore réponse h a r m o n i q u e la fonc t i o n complexe F(œ). Soit : F{œ) = ^ ( œ ) . e ' * ( " > ^ et Φ sont réels et représentent respectivement déphasage d u sismographe.
l ' a m p l i f i c a t i o n et le
FONCTION
DE
TRANSFERT
ET
DÉCONVOLUTION
F I G . 4. — Déconvolution numérique en vitesse et en déplacement d'une trace enre gistrée par un sismographe composé d'un pendule de fréquence propre 1 H z , d'un amplificateur, et d'un galvanomètre de fréquence propre 2 Hz. I l s'agit de l'enregis trement d ' u n t i r de carrière à 60 k m d u point de t i r . Les basses fréquences, de l'ordre de 1 H z , renforcées sur la trace déconvoluée en déplacement appartiennent à l'agi tation microséismique.
221
222
SISMOGRAPHES
O n t r o u v e r a dans R o d e a n , 1971 (§ 7 . 4 ) d'intéressantes détermina tions de réponses de sismographes. Le sismographe est u n filtre linéaire et i l est parfois utilisé c o m m e tel. Actuellement, o n préfère garder toute la bande passante de la sonde en réservant le filtrage p r o p r e m e n t d i t à u n stade ultérieur. O n s'efforce alors de restituer l'entrée connaissant la sortie et la f o n c t i o n de transfert. C'est la déconvolution, opération inverse de la c o n v o l u t i o n . Elle serait inutile s'il y avait grandissement d u signal sans déformation. C'est ce q u i se passerait si la réponse impulsionnelle était assimilable à une i m p u l s i o n de Dirac, o u , en raisonnant sur la f o n c t i o n de transfert, si l ' a m p l i f i c a t i o n était constante et le déphasage linéaire sur l'étendue spectrale d u signal. E n p a r t a n t de l'équadon (8), l'opérateur de déconvolution a p o u r fonc t i o n de transfert 0(ω) = \IF{œ). E n dehors de la bande passante d u sismographe, | F{œ) | 0 ; donc | D(œ) | oo. I l n'y a pas de solu t i o n exacte bornée de l'équation (8). Pour une raison analogue, la solu tion temporelle exacte de l'équation (7), d, définie p a r / * d = δ, transfor mée inverse de Γ ( ω ) . Ζ ) ( ω ) = I , n'est pas bornée. E n p a r t a n t des d i s t r i b u tions, n
g = Σ J=0
m
^jh.
<^ = Σ /(./'') ^jh > j=0
((5,·,, : d i s t r i b u t i o n de Dirac à l'abscisse /Λ ; Ii : pas d'échantillonnage) o n m o n t r e q u ' i l existe une s o l u t i o n numérique approchée g, respectant la c o n d i t i o n de causalité, c'est-à-dire nulle p o u r / < 0, telle que l ' e r r e u r m
quadratique ^ [(δ - g * φ)•δj^Y soit m i n i m u m (critère des m o i n d r e s j =o carrés). C'est un cas particulier d u filtre o p t i m u m de W i e n e r - L e v i n s o n (Wiener, 1949), (Levinson, 1947), (Radix, 1970). O n peut choisir c o m m e variable d'entrée l'accélération, la vitesse o u le déplacement d u sol. L a figure 4 m o n t r e l ' a p p l i c a t i o n à une trace sismique de la déconvolution numérique dans le b u t d ' o b t e n i r successivement la vitesse et le déplacement. O n s'aperçoit que l'appareil utilisé est a p p r o x i mativement un enregistreur de déplacement, compte tenu des fréquences présentes dans le signal. 7. — NAPPES DE S I S M O G R A P H E S
L a lecture des sismogrammes provenant d'une station simple, souvent brouillés par des bruits locaux et par des interférences entre phases sismiques, peut c o n d u i r e à des interprétations erronées. E n collectant l ' i n f o r m a t i o n p r o venant de sondes disposées en nappe, o n améliore le r a p p o r t signal/bruit. Si la nappe a des dimensions comparables à la longueur d'onde apparente d u signal sur la surface d u G l o b e , o n peut déterminer la vitesse apparente des
NAPPES
DE
223
SISMOGRAPHES
différentes phases sismiques et faire ainsi le départ, soit entre plusieurs signaux en interférence, soit entre un signal et des bruits transitoires, en p a r t i c u l i e r les bruits engendres par le signal lui-même sur les structures proches de la sur face (Whiteway, 1966). En supposant le signal constitué p a r la propagation d'une onde plane, le retard, au sens algébrique, d u signal sur le sismographe /, par r a p p o r t au signal enregistré par un sismographe analogue centré à l'origine des coordonnées, est défini par ; r,- = r,..u/c r,. : vecteur des coordonnées d u sismographe, u : direction d u signal incident, c : vitesse d u signal. En assignant à chaque sismographe le retard correspondant à une d i r e c t i o n et une vitesse données, o n focalise par s o m m a t i o n l a nappe sur u n a z i m u t et une inclinaison ; si la vitesse est inconnue, o n focalise la nappe sur u n a z i m u t et une vitesse apparente. Avec une v a r i a t i o n adéquate des retards, o n effectue un balayage systématique des paramètres. Retards et s o m m a t i o n sont des opérations linéaires ; o n peut effectuer sur l ' i n f o r m a t i o n recueillie des filtrages plus élaborés. O n a rassemblé dans le tableau 3, par ordre de complexité croissante, les p r i n c i p a u x types de filtres et leur effet sur les bruits ambiants (Green et a!., 1966). TABLEAU
3
Effet
Type
1. Sommation
Atténuation d u bruit isotrope
2. Retards
t- sommation
Atténuation d u bruit isotrope
' sommation pondérée
Atténuation d u bruit anisotrope
' 3. Retards
4. Retards I- filtrage temporel de chaque trace !- sommation
Forte
atténuation
d u bruit
anisotrope I
I
L'efficacité des types 1 et 2 dépend uniqueinent de la géométrie de la nappe. Le type 3 nécessite une étude préalable o u une analyse permanente d u b r u i t microséismique ; le type 4 demande une analyse d u signal o u une hypothèse sur son mode de p r o p a g a t i o n . Le problème de la détection et de l'identification des explosions nucléaires souterraines a suscité l ' i m p l a n t a t i o n de nappes de sismographes de grandes dimensions en Airiérique et en E u r o p e (Canada, Etats-Unis, Grande-Bretagne,
SISMOGRAPHES
224
F I G . 5. — Disposition générale du LASA ; chaque lettre correspond elle-même à une nappe dont la configuration est explicitée sur la droite de la figure. D'après J . C A P O N , R . J . G R E E N F I E L D , et R . T . LACOSS, Geophysics,
33, 3, p. 453, 1 9 6 8 .
1 2 4 2' 4'
20
30
BO
60
120
130
MO
F I G . 6. — Séisme du Kamtchatka du 11 novembre 1964 à 18 h 03 m n . L a trace supérieure représente l'enregistrement d'une seule sonde. Les numéros des traces suivantes correspondent aux filtres d u tableau (voir texte), en choisissant d'abord la direction d u K a m t c h a t k a , puis celle d u Pérou (numéros primes). D'après P. E . G R E E N , E . J . K E L L Y et M . J . L E V I N , Geophysical Journal of the Royal Astrono mical Society, 1 1 , p p . 78-81, 1966.
150
L'AGITATION
MICROSISMIQUE
215
Norvège, Suède). Le L A S A (Large A p e r t u r e Seismic A r r a y ) dans le M o n t a n a aux Etats-Unis, représente la plus vaste i n s t a l l a t i o n réalisée jusqu'à ce j o u r . On voit sur la figure 5 la disposition géométrique de la nappe ; la figure 6 montre l'application des différents types de filtre à u n séisme d u K a m t c h a t k a . Avec de telles dimensions, le p o u v o i r séparateur de la nappe est essentiellement limité par les anisotropies latérales des vitesses dans la croûte et le manteau supérieur (Glover et al., 1969). La détermination des foyers sismiques à l'échelle de la planète est faite à p a r t i r d'un réseau m o n d i a l d'observatoires encore disparate. 11 semblerait souhaitable de remplacer les stations simples par des nappes ; p o u r des raisons économiques évidentes, i l est impossible de m u l t i p l i e r les nappes, même de dimensions res treintes ; or, la dispersion géographique représente en ce domaine u n avantage certain. L'existence concurrentielle aux Etats-Unis de deux types de réseau, stations simples et nappes de faible ouverture (une vingtaine de sismographes sur quelques kilomètres), a permis d'estimer q u a n t i t a t i v e m e n t les performances des deux dispositifs. O n a montré q u ' u n n o m b r e restreint de nappes sur des sites favorables permettait de réduire la dispersion dans la localisation des épicentres et qu'en disposant 25 nappes de faible ouverture sur des aires c o n t i nentales d u Globe, i l serait possible de localiser correctement tous les séismes de magnitude supérieure à 3,5 (Evernden, 1971).
8. — S I T U A T I O N A C T U E L L E
Les stations simples sont encore actuellement la règle. Les sismographes électromagnétiques restent les plus employés p o u r les hautes et moyennes fréquences (25 à 0,05 H z ) , mais o n i n t r o d u i t souvent u n amplificateur entre le transducteur et le galvanomètre et le galvanomètre lui-même peut être remplacé par un enregistreur magnétique. Les systèmes d ' a m p l i f i c a t i o n et d'enregistre ment sont en pleine évolution ; celle-ci devrait a b o u t i r à une généralisation de l'enregistrement numérique, l'enregistrement graphique représentant soit une sortie annexe de contrôle, soit le résultat différé d'une analyse o u d'une synthèse.
9. — L ' A G I T A T I O N M I C R O S I S M I Q U E
Le tableau 1 donne une première i n d i c a t i o n sur l'origine d u b r u i t de f o n d . En fait, les sismogrammes m o n t r e n t t o u j o u r s u n frémissement plus o u m o i n s important : les appareils à courte période sont sensibles à l'activité industrielle ; les appareils à longue période insuffisamment isolés enregistrent des m o u v e ments convectifs p r o d u i t s dans leur cage par les variations de température ; tous inscrivent les rafales de vent agissant sur les bâtiments, sur les arbres o u sur le r e l i e f le brisement des vagues sur une côte très proche, e t c . . Ces phéno-
226
SISMOGRAPHES
mènes locaux étant écartés,
Période
7.
reste un phénomène intéressant, avec des a m p l i tudes plus o u moins grandes (Letouzay et Mechler, 1972), des pays entiers, sismiques o u n o n . Cette « agitation microsismique générale » procède par « tempêtes » q u i d u r e n t quelques jours, pendant lesquelles s'enregistrent des groupes assez réguliers, c o m p o r t a n t chacun une demi-douzaine d'oscilla tions, séparés par des intervalles dont la durée est de même ordre et oîi l'am plitude est faible. L a période, assez stable, est généralement comprise entre 4 et 10 secondes.
faeconde^
Spectre d'énergie du bruit sismique en surface et à 2 890 m de pro fondeur ; station de Grapevine, Texas (3 minutes d'enregistrement). D'après FIG.
DOUZE,
1967.
L a figure 7, empruntée à Douze (1967), m o n t r e les spectres observés sur des sismographes verticaux à courte période placés dans u n forage à Fort S t o c k t o n , Texas. Ces spectres m o n t r e n t deux m a x i m u m s correspondant respec tivement à l ' a g i t a t i o n due au vent o u à l'industrie, et à l ' a g i t a d o n générale. L ' a m p l i t u d e est très réduite, surtout p o u r les périodes courtes, sur l'enregis trement obtenu à 2 890 m de p r o f o n deur. C'est que la partie la plus i m p o r tante de cette agitation est constituée par des ondes superficielles, c o m m e o n le verra au chapitre 8.
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CHAPITRE
L A CROÛTE
10
TERRESTRE
par Guy
PERRIER
1. — I N T R O D U C T I O N
Lorsqu'un séisme est enregistré dans différentes stations, la p o s i t i o n de l'épi centre, la p r o f o n d e u r d u foyer, l'heure origine d o i v e n t être estimées à p a r t i r des observations elles-mêmes. Pour tracer la courbe de p r o p a g a t i o n o u donnant la durée de propagation
hodochrone
t des ondes en f o n c t i o n de la distance
épicen
trale A, i l faut supposer que les phénomènes sont comparables dans les diffé rentes directions à p a r t i r de l'épicentre, donc que les propriétés élastiques des milieux traversés par les ondes dépendent seulement de la p r o f o n d e u r . Cette hypothèse est assez bien vérifiée aux grandes distances mais des différences de temps pouvant atteindre plusieurs secondes apparaissent l o r s q u ' o n se r a p proche de l'épicentre. Cette observation impose l'idée q u ' i l existe une zone super ficielle appelée croûte terrestre
o u écorce d o n t les propriétés élastiques ne sont
pas uniformes. Par une étude détaillée de séismes d ' E u r o p e centrale enregistrés en 1909 dans des observatoires peu éloignés, A . M o h o r o v i c i c (1909) a montré que les ondes longitudinales a r r i v a n t au-delà d'une certaine distance ( e n v i r o n 150 k m ) n'appartenaient pas à la même catégorie que celles q u i étaient enregistrées près de l'épicentre. Par u n phénomène analogue aux ondes coniques, les ondes qui passent par les couches profondes plus rapides a r r i v e n t avant celles q u i prennent le c h e m i n superficiel direct. A i n s i était mise en évidence, à la base de la croûte, une discontinuité, dite discontinuité de Mohorovicic
(ou « M o h o » )
que l ' o n retrouve p r a t i q u e m e n t sur t o u t e l'étendue d u G l o b e et q u i constitue, par définition, la l i m i t e entre la croûte et le manteau terrestre. Dans ce chapitre, nous étudierons les différentes méthodes utilisées p o u r déterminer la structure de la croûte et les différents types de structure rencontrés sur la Terre. Nous rappellerons d ' a b o r d , p o u r les lecteurs n o n théoriciens,
quelques
notions importantes sur la p r o p a g a t i o n des ondes sismiques (cas p l a n ) .
LA
230 2. — F R O N T
CROÛTE
D'ONDE.
TERRESTRE P R I N C I P E DE H U Y G H E N S
U n front d'oncle est la surface lieu des points atteints à u n instant donné p a r u n ébranlement ( F i g . 1). Les trajectoires orthogonales des fronts d'onde sont appelées rayons o u rais sismiques. O n peut considérer chaque p o i n t d ' u n f r o n t d'onde comme une source indé pendante q u i émet des ondes élémentaires appelées ondelettes. Les v i b r a t i o n s qu'elles engendrent se détruisent p a r t o u t m u t u e l lement par interférence destructive sauf sur une surface q u i est l'enveloppe des F;-Ont3 d'onde ondelettes et q u i constitue elle-même u n f r o n t d'onde : c'est le principe de H u y F I G . 1. F i G . 2. ghens ( F i g . 2).
3 . —
RÉFLEXION
E T RÉFRACTION ONDES
DES O N D E S
SISMIQUES.
CONIQUES
L o r s q u ' u n f r o n t d'onde rencontre une surface où les propriétés physiques changent brusquement, une partie de l'énergie revient en arrière dans le premier m i l i e u (réflexion), une autre partie est transmise dans le second m i l i e u (réfrac t i o n ) . I l n'est alors plus possible de considérer séparément les ondes l o n g i t u d i nales P et transversales 5 : en effet, lorsque les rayons sismiques se réfléchissent et se réfractent suivant les lois de Descartes, une onde P ( o u S) donne naissance à deux ondes réfléchies ( P et S) et à deux ondes réfractées (P et S). Si nous décomposons une onde 5 quelconque en deux ondes 5*1^ (polarisée dans le p l a n d'incidence, vertical si la surface de séparation est horizontale) et SH (polarisée perpendiculairement au p l a n d'incidence), p a r raison de symétrie : — P peut donner seulement P et 5 F ; — SV peut donner P et 5 F ; — SH ne peut donner que SH. Dans l'étude des zones superficielles de la Terre (couches sédimentaires et croûte), o n peut en première a p p r o x i m a t i o n supposer le m i l i e u composé de bancs homogènes séparés par des surfaces planes. U n séisme o u une explosion engendrent des ondes P et 5 q u i subissent des réflexions et réfractions succes sives. L a théorie des phénomènes a été faite au chapitre 5. N o u s rappellerons rapidement les résultats en ne considérant q u ' u n seul type d'ondes. U n e onde incidente (/), provenant d ' u n foyer F ponctuel se propage à la vitesse F dans u n premier m i l i e u homogène. Elle rencontre une interface plane et donne naissance à une onde réfléchie (R) et à une onde transmise o u réfrac tée (T) q u i se propage dans le second milieu à la vitesse F ' . O n suppose F ' > V. Jusqu'au m o m e n t où l'ébranlement atteint l'interface, le f r o n t d'onde est une
RÉFLEXION
ET
RÉFRACTION
DES
ONDES
SISMIQUES
231
sphère. A partir de ce m o m e n t , i l c o m p o r t e trois nappes ( Fig. 3a) : l'onde directe sphérique s'arrête au cercle d'intersection de la sphère avec l'interface ; l'onde réfléchie est symétrique de la calotte m a n q u a n t dans l'onde précédente ; l'onde réfractée est une surface de révolution (parallèle à un ellipsoïde) limitée au même cercle.
(a)
(b)
FIG.
3.
a) Fronts d'onde ; b) Rais
sismiques.
Les trois surfaces f o n t avec l'interface les angles /, π — /, /' et sin / _ sin i'
La figure 3ft décrit le même phénomène en utilisant les rais. Seul le front d'onde a une signification physique, le rai ne représentant que la normale au f r o n t . A mesure que le temps s'écoule, / augmente jusqu'à l'angle l i m i t e /Q tel que sin /'o = VI y (/' = π/2). A partir de ce m o m e n t , le f r o n t réfracté étant devenu normal à l'interface ne peut que l u i demeurer n o r m a l . La trace de l'onde réfractée se propage donc avec la vitesse V. M a i s la trace c o m m u n e aux ondes incidente et réfléchie continue à se propager avec la vitesse K/sin / < K/sin /Q = V : l'oiule réfractée se décroche des ondes incidente
et réfléchie ( F i g . 4).
Puisqu'elle est en avance sur celles-ci, elle réagit à son t o u r sur le m i l i e u supé rieur. L ' a p p l i c a t i o n d u principe de Huyghens permet de trouver le nouveau front d'onde : c'est l'enveloppe de toutes les ondelettes créées dans le milieu supérieur par le passage d u f r o n t réfracté.
LA
232
CROÛTE
TERRESTRE
do)
(I,)
I
FK,.4.
Si nous considérons les fronts d'onde aux temps t^, tg, te ( F i g . 5) tels que to < U < < tci Ό étant l'instant où se p r o d u i t le décrochement, nous voyons que les ondelettes sont homothétiques par r a p p o r t a u p o i n t C : leur enveloppe est leur tangente c o m m u n e et l ' o n a : sin A' CA = AA'IAC
= V{tc -
t^)IV'(tc
-
' J = ^7^ '
A' CA = io . L'angle
du front
résultant avec l'interface
est constant et égal à l'angle limite /Q.
:.. 5.
= V'(tc = D est c o n f o n d u avec C .
OC
-
/o)
RAIS
Le front
233
SISMIQUES
résultant s'appuie sur l'onde
réfléclne.
En résumé, le f r o n t d'onde résultant p r o d u i t par la source annulaire mobile que constitue la trace de l'onde réfractée à l'interface est un u-onc de cône passant p a r cette trace, faisant l'angle limite /Q avec l'interface et limité à l'onde réfléchie sur lequel i l s'appuie. Tout se passe comme si l'ébranlement corres pondant à l'onde conique avait suivi dans le second milieu le rai rasant puis était ressorti dans le milieu supérieur sous l'angle l i m i t e
F i e ; . 6.
(Fig. 7). Ce rai satisfait néanmoins au principe de Fermât c'est-à-dire que le temps de propagation p o u r aller de £ à 5 est m i n i m a l sur le rai sismique.
V>V
V >v F I G . 7.
4. — R A I S S I S M I Q U E S D A N S
UNE STRUCTURE PLANE
STRATIFIÉE
Si les structures étudiées sont de plus en plus profondes, considérer le m i l i e u comme composé de bancs homogènes devient rapidement insufliisant. O n d o i t alors utiliser un modèle « stratifié » dans lequel la vitesse des ondes varie d ' u n e façon continue avec la p r o f o n d e u r : les rais sismiques sont courbes. 4.1. — Propriétés des rais sismiques. — Supposons que la vitesse K s o i t une fonction croissante et continue de la p r o f o n d e u r . N o u s pouvons appliquer la l o i de Descartes à des tranches i n f i n i m e n t petites d o n t la vitesse constante s'accroît progressivement d'une couche à la suivante : le r a i subit une réfraction progres sive et s'écarte de la normale ( F i g . 8). P o u r u n r a i donné, nous pouvons écrire sin V
1
sin i V
sin / V"
= Cte = p > 0
o u , d'une façon générale sin i(z) F i G . 8.
^ ( z T
= /i(z) sin /'(z)
(2)
LA
234
CROUTE
TERRESTRE
p est appelé paramètre du rai. Il est constant pour un rai donné ; n, inverse de la vitesse, est l'indice d u m i l i e u . O n en déduirait aisément q u ' u n rai se dirigeant vers la p r o f o n d e u r passe par un p o i n t bas P puis remonte symétriquement par r a p p o r t à la verticale de P. En Λ z = Λ , / = π/2 ( F i g . 9), p = l/K(/î) = le paramètre du rai est égal à llnrerse
n(li)
de la vitesse de Tonde en son point le plus bas.
Considérons maintenant deux rais i n f i n i m e n t voisins issus d u même foyer, coupés en /4 et β par un plan h o r i z o n t a l ( F i g . 10).
P F I G . 10.
Fici. 9.
Soit AH k f r o n t d'onde a r r i v a n t en A, V la vitesse de l'onde, Ôt le temps i n f i n i m e n t petit que met le f r o n t d'onde p o u r aller de // en β. Si /(β = δχ. sin / = BHjAB
=
νδιίδχ
soit p = sin // K = δΐΐδχ . En particulier, si le plan h o r i z o n t a l est la surface de la Terre, et si A est la distance épicentrale, i p = d//dzi ; .
(3)
Le paramètre du rai est égal à la pente de la tangente à la courbe de propagation t = t(A). Son inverse [/p = dA/dt = V„ donne la vitesse apparente de l'onde en surface. Pour u n r a i issu d ' u n foyer superficiel, l'angle / varie de /Q ( Z = 0) en surface à / = π/2 (z = /;) au point le plus bas. Pour deux points d u rai M et M' infini ment voisins ( F i g . 11), d.v = dz t g /
et
d.y = dz/cos /.
ANOMALIES
DES
COURBES
DE
PROPAGATION
235
On en déduirait l a distance d'émergence Δ et la durée d u trajet t (voir § 6 . 4 . 1 ) sous forme d'une intégrale en z. 4.2. — Recherche de la loi de vitesse en profondeur. — Le problème fonda mental est de t r o u v e r les propriétés internes des zones profondes à p a r t i r des observadons superficielles : o n recherchera la l o i de vitesse K(z) à p a r t i r de l'hodochrone déterminée expérimentalement. De la courbe t(A), o n déduit K„(zl) = άΔ/άΐ par une opération délicate. C'est aussi Vili) mais o n ignore li. Si Δ, est une distance particulière telle q u ' o n ait déterminé ν„{Δ) p o u r 0 < zl ^ zf,, ce q u i i m p l i q u e q u ' i l n'y a pas eu d'inter ruption dans l'émergence des rais sismiques, o n aura
h(A,)
=
1 π
J
0
A r g ch
dA
(4)
C'est la formule d'Herglotz-Wiechert p o u r le plan. Ainsi, la connaissance de la courbe de p r o p a g a t i o n des ondes P et S entraîne celle des répartitions en p r o f o n d e u r des vitesses correspondantes K(z) et lV{z). Malheureusement, la courbe de p r o p a g a t i o n ne conserve pas t o u j o u r s une allure simple. 5. — A N O M A L I E S
DES C O U R B E S
DE
PROPAGATION
5.1. — Cas où la vitesse V(z) se met à croître rapidement avec la profondeur (Fig. 12). — O n m o n t r e facilement que la c o u r b u r e d ' u n r a i sismique est pàVIdz. Tant que les points les plus bas des rais restent entre la surface et la p r o f o n deur Z], la distance d'émergence croît régulièrement. Si, à p a r t i r de z,, V(z) se met à croître plus vite, les rais sont fortement courbés et leur p o i n t d'émer gence rétrograde : o n a u n rehrou.iseinent ( p o i n t B') sur la courbe de propa gation. Si à la profondeur Z j , la croissance redevient normale, le p o i n t d'émer gence progresse à nouveau. I l y a f o r m a t i o n d'une boucle et triplement de l'onde entre les deux rebroussements. Dans tous les cas, la pente décroît régulièreViz)
E
iç
B
F i c i . 12.
p Δ
It
236
LA
CROÛTE
TERRESTRE
ment, B'C a sa concavité tournée vers les / > 0. Si o n parvient à observer les trois branches, la f o r m u l e d ' H e r g l o t z - W i e c h e r t reste valable : l'intégrale est à prendre négativement sur le segment rétrograde (ou inverse). A u x points B' et C , dits i m p r o p r e m e n t points focaux, correspondent des amplitudes exceptionnellement grandes. 5.2. — Cas où y(z) passe par un minimum ( F i g . 13). — Le premier rai qui atteint la p r o f o n d e u r Z i où V se met à décroître bifurque. A la branche mon tante correspond un p o i n t d'arrêt B. Si, plus bas, V{z) se remet à croître, la branche descendante présente une inflexion à la p r o f o n d e u r Z j q u i correspond au m i n i m u m de V, atteint la p r o f o n d e u r Z j telle que K i z j ) = K(Z|) puis remonte symétriquement et émerge en C. Les tangentes à l ' h o d o c h r o n e en B' et C sont parallèles. Le trajet HKL étant plus l o n g et p a r c o u r u à vitesse moindre
E'
Δ·
F i c i . 13.
que HL, le p o i n t C est au-dessus de la tangente en B' à l ' h o d o c h r o n e . Selon les caractéristiques de la zone à d i m i n u t i o n de vitesse, le p o i n t d'émergence peut rétrograder j u s q u ' e n D' et progresser à nouveau ( p o i n t de rebroussement) o u bien progresser régulièrement à p a r t i r de C . E n t r e B' et D' ( o u B' et C ) s'étend une « zone d'ombre ». I l y a lacune dans la courbe de p r o p a g a t i o n . Elle interdit le calcul o r d i n a i r e de Herglotz-Wiechert. Si le foyer est au-dessous de la p r o f o n d e u r z, ( F i g . 14), seuls les rais voisins de la verticale atteignent la surface. I l leur correspond une courbe de propaga-
FiG. 14.
LES
SÉISMES
PROCHES
LA
238
CROÛTE
TERRESTRE
t i o n . A p a r t i r d ' u n r a i l i m i t e tangent à l ' h o r i z o n t a l e de z,, les rais sont renvoyés vers le bas. Ils seront ensuite renvoyés vers le h a u t par les couches inférieures à vitesse croissante, r e p a r t i r o n t vers le bas et ainsi de suite. L a couche à moindre vitesse j o u e le rôle d ' u n guide d'ondes. 6. — LES SÉISMES
PROCHES
L'étude des courbes de dispersion des ondes superficielles peut apporter beaucoup à la connaissance de la structure de l a croûte. Ce problème étant traité en détail dans le chapitre 12, nous nous liiniterons ici aux ondes de volume. Pour u n observatoire sismologique, est séisme proche t o u t séisme d o n t la distance épicentrale est inférieure à 1 000 k m (9"). E n effet, jusqu'à cette dis tance, les trajets des différentes ondes enregistrées n ' o n t intéressé que la croûte et les premiers kilomètres d u manteau. Au-delà, l'effet de la c o u r b u r e de la Terre devient i m p o r t a n t et seules sont perçues les ondes q u i o n t pénétré plus p r o f o n dément dans le manteau. Le sismogramme d ' u n séisme proche ( F i g . 15) se reconnaît, d'une p a r t à sa durée relativement courte, les principales phases se t r o u v a n t à l'intérieur de deux minutes d'enregistrement e n v i r o n , d'autre part à l ' i m p o r t a n c e relativement grande des fréquences élevées (1 à 10 H z ) . L ' a m plitude de ces dernières d i m i n u e lorsque la distance épicentrale augmente. 6.1. — Croûte plane homogène. — Considérons le cas d'une croûte h o m o gène ( F i g . 16) d'épaisseur H où les vitesses des ondes longitudinales P et trans versales S sont respectivement Kg et (Fg, s u r m o n t a n t un m i l i e u également homogène, le sommet d u manteau, de vitesses K, et H ' , telles que Δ E
La surface de discontinuité est sup posée plane et horizontale. Soient F le foyer d ' u n séisme situé à une p r o f o n d e u r /;, E son épicentre, 5 la station d'observation. N o u s posons E S = A (distance épicentrale). Les rais considérés sont contenus dans le p l a n vertical passant par E et 5.
s
T r o i s ondes longitudinales peu vent être perçues à la station 5 : — l'onde directe P^ (c : croûte) (ou Pg) d o n t la durée de p r o p a g a t i o n /(P,) = P , = FS/Vo , 0
Distance critique FIG.
16.
Δ
soit P , = (A'
+ Ity^'lVo
(5)
LES
— l'onde PMP
SÉISMES
PROCHES
239
réfléchie sur la discontinuité ( M : M o h o ) telle que l(PMP)
= PMP
= (FI + IS)IVo
,
soit PMP
= [A'
+ (2H
-
/;)']'"/Ko .
(6)
Les hodochrones de ces deux ondes sont des hyperboles d o n t l'asymptote est la droite t = Z I / F Q ; — à partir d'une certaine distance A^, appelée distance critique, l'onde conique P„ (n : n o r m a l e m e n t observée par la suite) réfractée sous la d i s c o n t i nuité telle que t{P„) = P„ = (FA + BS)/Vo + AB/V, , soit P„ = {2H
-
h) cos /o/Ko + AlV,
avec
sin /Q = V^jV, .
(7)
L'hodochrone est une d r o i t e de pente l / K p Pour A = A^ = 2 Htg i^, l'onde réfléchie et l'onde réfractée sont superposées (grandes amplitudes). A partir d'une distance A,, appelée distance au point de brisure, l'onde conique s'étant propagée plus rapidement dans le milieu inférieur arrive avant l'onde P^. On dit alors que Ponde réfractée est en première arrivée. D'une manière générale, à l'exception de l'onde directe, toute onde enregistrée en première arrivée est une onde réfractée. L a réciproque n'est pas obligatoirement vérifiée. 11 est évident que les résultats obtenus p o u r les ondes P se retrouvent p o u r les ondes 5 que nous pouvons enregistrer sous les trois formes, directe ( o u Sg), réfléchie SMS et réfractée S„. P o u r connaître leurs hodochrones, i l suffit de remplacer dans les équations ci-dessus, VQ par WQ et K, par W,. De plus, chaque onde P (ou SV), lorsqu'elle rencontre une discontinuité, se réfléchit o u se réfracte en onde P et SV : si WQ < < V^ < K,, nous pourrons avoir des ondes telles que SPS, SPP, PPS, SMP, PMS (t^up = /'PMS. hpp = hps)- Ces ondes de plus faible énergie sont appelées ondes mixtes ( F i g . 17. Une onde de type PSP, SSP ou PSS (tssp = tpss) p o u r r a exister à la condition que la vitesse des P dans le m i l i e u supé rieur soit plus pedte que la vitesse des S dans le milieu inférieur (WQ < VQ < < K j ) : c'est souvent le cas entre les sédiments et le socle crisF I G . 17. tallin sous-jacent. Dans un tel modèle, la connaissance des hodochrones des trois ondes l o n g i tudinales permet de déduire H, li, VQ et K,. Si nous prenons u n foyer super ficiel (Il = 0), Ko = 6,2 km/s, K, = 8 , 1 km/s, H = 30 k m . A, et Af, sont égales respectivement à 71,4 et 1 6 4 , 7 k m . LaquanUtéa = 2//cos IQ/VQ = 6,23 s. Ainsi, si l ' o n veut connaître // avec une précision supérieure à 2 k m , l'erreur sur a, donc sur l'heure origine HQ, devra être inférieure à 0,4 s, précision rare ment atteinte par les centres sismologiques.
240
LA
CROÛTE
TERRESTRE
L'étude de la croûte au moyen des séismes proches, basée sur la détermina t i o n des hodochrones et sur l'étude des amplitudes a souvent c o n d u i t à des erreurs, faute d ' u n réseau serré de stations sismologiques modernes. Devant ces difficultés, il est vite a p p a r u que les résultats obtenus au moyen des séismes artificiels étaient beaucoup plus sûrs : ceux q u i concernent l'étude des couches sédimentaires appartenant au domaine de la prospection sismique f o n t l'objet d ' u n chapitre particulier (voir Chap. 23) ; ceux q u i intéressent les milieux plus profonds appartiennent au domaine de la sismologie expérimentale (§ 7). 6.2. — M é t h o d e de Choudhury. — C h o u d h u r y (1961) remarque que, sans faire aucune hypothèse, i l est presque toujours possible, dans les séismes proches d ' E u r o p e , d'identifier, à une fraction de seconde près, P„, et S^.. la phase S„ n'étant observée que dans des cas t r o p peu n o m b r e u x (son a m p l i tude est d u même ordre de grandeur que la fin o u coda des P^). I l utilise les différences de temps d'arrivée P^. - P„ et S,. — P^, directement mesurables sur les sismogrammes. Cette méthode est efficace si les stations sont sensiblement alignées avec la zone sismique et si la croûte ne présente pas des variations de structure t r o p importantes. O n d o i t remarquer que les phases, en général importantes, identifiées comme P^ et sont plus probablement les ondes PMP et SMS réfléchies à la base de la croûte. L a méthode de C h o u d h u r y reste valable : i l suffira de remplacer, cidessous, P^. et S,, respectivement par PMP ti SMS. O n peut v o i r là une explica t i o n d u fait que, dans certaines régions où le M o h o n'est pas une discontinuité franche, ces phases soient plus diffuses. Puisque la différence des heures d'arrivée H(P^) et H{S^ en une station est égale à la différence des durées de propagation P^ et S^, nous pouvons écrire, p o u r les distances inférieures à I 000 k m ,
H(S,)
-
H(P,)
= S, -
V
— W
P, = - ° - , τ Γ ~ " Pc = {>• -
n
"0
-
/ίο]
où //,, est l'heure origine d u séisme et λ = Kg/H^o- S^ - P,. est une fonction linéaire de H(P^) ce q u i permet de déterminer λ et HQ. L a précision sur MQ est d'autant plus grande que le coefficient de Poisson σ = f (λ) est moins variable à l'intérieur de la croûte. O n peut porter de même P,, - P„ en f o n c t i o n de S^ — P,.. P o u r les distances supérieures à la distance au p o i n t de brisure Ai,, o n m o n t r e que P, -
P„ Λ- (S, -
P,)--~^-
a
où 7.=
Ko/F,
et
a = (2H
-
h)œsio/Vo.
LES
SÉISMES
241
PROCHES
Si on prend p o u r K, la moyenne des valeurs obtenues p a r les grandes e x p l o sions (voir plus l o i n ) , o n o b t i e n t VQ.
-
P„ peut alors être calculé p o u r p l u
sieurs modèles. Pour q u ' u n modèle puisse représenter la vraie s t r u c t u r e de l a croûte, i l f a u t que tous les p o i n t s d u g r a p h i q u e restent à l'intérieur des courbes l i m i t e s ( F i g . 18) correspondant P ^c
La
aux
valeurs
minimales
(/; = 0)
et
maximales
(Λ =
H)
P ' il-
formule
donne une valeur approchée de la distance.
5 c - P c (s) F-iG. 18. — Structure nwyenne de la croûte terrestre en Europe occidentale obtenue à partir de l'étude des séismes proclies. D'après CHOUDHURY, CRAS. 1961, 2 5 2 , p. 1362. 1, lac d u Bourget ; 2, île d'Oléron ; 3, au large de la Catalogne ; 4, Basses-Pyré nées ; 5. efTondrement de R o n c o u r t : 6, au large de la Vendée ; 7, au large de la Camargue ; 8, vallée de l'Ubaye ; 9, vallée de l'Ubaye ; 10, vallée de l'Ubaye : I I . Alpes de Vénétie ; 12, vallée de l'Ubaye : 13, explosion en mer (Belgique) ; l4, Savoie, France; 15, A l s a c e ; 16, explosion en mer (Belgique) ; 17. Alpes Bernoises ; 18, Zollernalb ; 19, Zollernalb ; 20, Bas-Rhin ; 2 1 , Bas-Rhin ; 22, Jura Alsacien ; 23, frontière Pays-Bas-Belgique ; 24, ? ; 25, région de Bourg ( A i n ) ; 26, Pyrénées : 27, .Apennins Etrusques ; 28, Alpes Bernoises.
de
242
LA
CROÛTE
TERRESTRE
Avec cette méthode, C h o u d h u r y a montré : 1. que le modèle le mieux adapté à l'étude des séismes européens était un modèle où F Q était constante (modèle A, FQ = 6,0 + 0,1 km/s) ; 2. que l'origine de presque tous les séismes se t r o u v a i t soit dans la partie supérieure de la croûte, soit dans sa partie inférieure ; 3. que les séismes alpins étudiés, sauf les n">^ 11 et 28, avaient leur foyer dans la partie supérieure de la croûte. 7 . — L A S I S M O L O G I E EXPÉRIMENTALE
L a sismologie expérimentale est l'étude de la croûte et d u manteau sousjacent (lithosphère) au moyen des séismes artificiels p r o d u i t s par des explosions provoquées (tirs en forage, tirs de carrière, tirs nucléaires, e t c . . ) en un lieu et à un instant connus avec précision. P a r m i les problèmes, nous pouvons citer : — la v a r i a t i o n de la vitesse des ondes sismiques avec la profondeur, la mise en évidence d'hétérogénéités latérales ; — la mise en évidence de la discontinuité de M o h o r o v i c i c , la forme et la p r o f o n d e u r de cette discontinuité, la vitesse des ondes sous cette dernière ; — l'existence de discontinuités dans la lithosphère ; — la répartition spectrale de l'énergie, l'amortissement des ondes dans les différents milieux traversés, les caractéristiques physico-chimiques de ces der niers, e t c . . P o u r cette étude, des stations identiques entre elles (homogénéité des docu ments) sont disposées, dans la mesure d u possible, sur des massifs géologiquement homogènes : — soit sur des profils continus serrés pouvant atteindre quelques centaines de kilomètres, alignés avec le p o i n t de t i r (mesure des vitesses) : — soit en éventail, à une distance constante de l'explosion, en général à la distance critique (forme des surfaces réfléchissantes). U n e station c o m p o r t e un capteur vertical Z et deux capteurs h o r i z o n t a u x // orientés, l ' u n dans la d i r e c t i o n d u t i r ( l o n g i t u d i n a l L), l'autre perpendiculaire ment (transversal T). Ces capteurs sont reliés par l'intermédiaire de transduc teurs et d'amplificateurs (voir Chap. 9) à un système d'enregistrement magné tique analogique à déroulement rapide (par ex. 4,5 o u 9 cm/s). Parallèlement sont enregistrés des signaux de temps o u signaux lu)raires (seconde, m i n u t e , heure) émis par les stations internationales ( p o u r l'Europe occidentale, Genève-Prangins H B G émet en permanence sur 75 k H z ) . Une base de temps interne est également enregistrée. U n e précision de 0,01 s sur la détermination d u temps peut ainsi être obtenue. La position des emplacements des capteurs est pointée sur des cartes géographiques à grande échelle (1,25 000) o u à défaut sur des photos aériennes. Les distances sont alors calculées avec une précision de 20 à 100 m .
LA
SISMOLOGIE
243
EXPÉRIMENTALE
7.1. — Principe de la méthode. — Les méthodes d'enregistrement et d'inter prétation sont analogues à celles de la prospection sismique, l'échelle étant cependant dix fois supérieure. D e u x méthodes sont utilisées : — réflexion près de la source et au voisinage de la distance c r i t i q u e ( M o h o ) ; — réfraction à grandes distances. Enregistrer dans une seule d i r e c t i o n n'est cependant pas suffisant p o u r connaître la vitesse vraie des ondes réfractées. E n effet, supposons que, dans le modèle décrit au paragraphe 6 . 1 , la discontinuité ne soit plus parallèle à la surface mais fasse un angle 0 avec l'horizontale. 0 est compté positivement si la pente est ascendante de E vers S. La \hesse apparente K„ des ondes entre deux stations étant la vitesse de la trace d u front d'onde Z" à la surface, la figure 19 m o n t r e que K„ =
Fo/sin (/o - 0 ) >
V,
avec
sin i^ = VJV,
.
(8)
Pour connaître K,, o n fait une explosion à l'autre b o u t d u profil et o n enregistre dans la direction opposée : ce p r o f i l est appelé profil irwerse. La nouvelle vitesse apparente est K ; = Ko/sin(/o + 0) < K , . Si nous supposons KQ c o n n u , l'élimination de /o ' et de 0 nous c o n d u i r a à une équation bicarrée
F i G . 19.
dont la s o l u t i o n comprise entre K„ et V'a est K,. En pratique, W étant souvent inférieur à 5" (pente de 9 % ) , nous utiliserons la f o r m u l e approchée (cos 0 ~ 1)
v„ +
v:
(9)
Si K, # 8 km/s, l ' e r r e u r èV, sera inférieure à 0,03 km/s. I l est ensuite facile de déterminer 0. Pour que les deux profils soient réellement inversés, i l ne suffit pas, compte tenu du décalage des rais en p r o f o n d e u r , d'occuper les mêmes emplacements pour chacun des tirs E et E' ( F i g . 20). Il faut s'assurer que la partie AB est commune. Remarque. L'enregistrement en une seule station de plusieurs tirs alignés sur un profil est équivalent à celui d ' u n t i r d o n t l'épicentre serait la station et les stations, les différents points de t i r . Cette méthode est parfois utilisée p o u r l'étude des structures profondes sous-marines à Fi(i. 20. p a r t i r de stations continentales.
LA
244
CROUTE
TERRESTRE
En résumé, l'étude fine d ' u n c o m p a r t i m e n t crustal au moyen des ondes réfléchies près de la verticale et au voisinage de la distance c r i t i q u e ainsi que des ondes réfractées en première arrivée, peut être faite à p a r t i r d u dispositif de la figure 2 1 , que l ' o n inverse symétriquement par r a p p o r t à XX'. P o u r fixer les idées, donnons comme exemple l'opération française « Grands Profils Sismiques » de 1970. Les stations étaient au n o m b r e de 30. L'épaisseur moyenne de la croûte étant de 30 k m , les valeurs suivantes avaient été choisies : AB = BM = MC = CD = Δ, = Ί5 k m , soit une stadon tous les 2,5 k m . Lorsque les stations étaient implantées sur BM, les explosions avaient lieu en B (400 kg), C (800 k g ) , D (2 000 kg) ; lorsqu'elles étaient en CM, des charges identiques explosaient respectivement en C, B, A. P o u r les deux tirs lointains A et D, la densité des stations était légèrement diminuée afin de c o u v r i r un domaine de distance plus étendu.
X
'
^
Explosions FIG. 21. —
COMPARTIMENT
i Di.spasilif
ÉTUDIÉ
'
n i Emplacement des stationa d'cnrcgistremenl
de ta croûte continentale
au moyen
pour
l'étude
d'explo.sions.
LA
SISMOLOGIE
EXPÉRIMENTALE
246
LA
CROÛTE
TERRESTRE
7.2. — L e dépouillement. — A f i n de mieux suivre les différentes ondes en f o n c t i o n de la distance, i l est réalisé un assemblage
( F i g . 22) des enregistrements
dans lequel, en abscisses, la distance des traces est p r o p o r t i o n n e l l e à la distance des
stations au p o i n t d'explosion.
enregistrements
sont
ramenés
Tous les
à une même
échelle de temps et sont représentés en temps réduit, c'est-à-dire que les ordonnées sentent vitesse
la quantité t peut suivre
repré
est appelée
( F i g . 23).
de réduction
On
d/F,.
ainsi l'évolution continue
de l ' a m p l i t u d e et de la phase des différentes ondes. Celles-ci étant carrelées, o n détermine FiG.
2.·!.
leurs durées de p r o p a g a t i o n . P o u r leur inter prétation, o n ramènera toutes les stations à
une a l t i t u d e moyenne (correction d ' a l t i t u d e ) et o n tiendra compte des couches superficielles sédimentaires o u cristallines (correction de surface) : Correction
d'altitude.
— P o u r l i m i t e r les erreurs de correction dues à la
mauvaise connaissance des vitesses des ondes en surface, i l est recommandé de prendre l ' a l t i t u d e moyenne des stations ho c o m m e niveau moyen de réfé rence. Si h^ et Λ, sont les altitudes, respectivement d u p o i n t de t i r et de la station, la correction est donnée par ôt = (/lo -
h,) cos i'olVO + (ho -
Ih) cos i'^/Vo
(10)
ou sin i'o = KoVK,
et
sin
= V;/V,
Ko est la vitesse en surface sous £, KO' sous 5 ; K„ est la vitesse apparente de la phase corrigée. Correction
de surface.
— L a vitesse en surface Ko (variable) étant t o u j o u r s
inférieure à la vitesse moyenne Kg de la première couche p r o f o n d e , i l convient de corriger les durées de p r o p a g a t i o n (côté t i r et côté stations) en remplaçant le m i l i e u lent par le milieu plus rapide. O n a ôt = <5/i(cos /"o/Ko -
cos i'olVO)
(11)
ou sin
=
Vo/Va
et
sin /g =
Ko/K„
(•)/; est l'épaisseur (variable) de la couche superficielle. REMARQUE.
—
Lorsque les couches
superficielles sont épaisses, c'est leur
vitesse moyenne q u i est choisie de préférence à Ko.
MODÈLES
A COUCHES
DE
VITESSES
8. — L'INTERPRÉTATION A
COUCHES
247
CONSTANTES
P A R DES MODÈLES
DE VITESSES C O N S T A N T E S
8. L — Formules générales. — Supposons, que la croûte soit constituée d'une suite de couclies de vitesses constantes séparées par des discontinuités de vitesse. Adachi a montré en 1954 ( F i g . 24) que l'expression de la durée de propagation d'une onde réfractée dans le milieu de vitesse Vn pouvait s'écrire
Σ
n\ . ssinjSi in PI
Λί , Vi (cos «i —
I- cos βί)
1- — •
, A
ES= ai
Bi
Δ (12)
ai \- ojiv i — bi — (Oi+1 .
fuj+i > 0 si la surface est ascendante de E vers S. Δ
E 1, "1
-
£
k.
«-2
'
V,
h, •
Vp
ho
V3
Pi Pa
i
λ/
^
4 - —
-4i
Vn-1
hn-ti
Vn F I G . 24.
La durée / peut s'exprimer directement par une fonction linéaire de la distance. Il n'en est pas de même pour les ondes réfléchies ( « > 1). Meyer (Steinhart et Meyer, 1961) a montré que / et Δ avaient pour expressions paramétriques ( F i g . 25)
J -
£
.x,H
1=1
; X xpi
(13)
i=I n- I
hn + (tg ω „ — tg oj„ , i) ^
ί= cofa«
x„i 1
i tgfj,,. I
avec .v„,
hn Xpri
-
—
cot oti -- tg ω 2
(tg
fO„
cot βη
tg 0)„
l) ^
tg (•)„
Xni
248
LA
CROÛTE
TERRESTRE
avec Λΐ
— tg 0)2 {
Χ,,ί \ Ϋ
\i=\ 1=
I
Xpl\
i= n
'
cot^r Ytai+
T^
tpi
/ai Cas particulier
(14)
i=l
/=1 Xai
Xpi
tpl
Vi sin (Xi
Κ,· sln β! "
d'une couche unique :
— Réfraction : ( F i g . 26) 2 Hcos 0cos/ T --= _
, A
_sin(/-0) (15)
2 // tg / 1 + l g 7 tg"(^ avec sm,=--^
E TS
sin ( i — 0) cos (/ + 0)
he -= cos ; . As
(//—
J tg (9) cos 0 „, . cos(i — 0 ) cos /
A, - /ie tg (/ ~ (/)
A—A,^
h, tg (/· — 0)
0 > 0 si la surface est ascendante de £ à 5 , 0 < 0 si la surface est descendante de £ à 5 . Si (? = 0
( F i g . 27) Λ
^
2//COSI
A
=
2HX%i .
.
Vi F I G . 27. — Réflexion : ( F i g . 28). (Α'- + 4H'- cos'- 0 — 4 HA sin 0 cos Oyn - -
(17)
cos (/ - r Θ)
Λ cos /
.4' • / i t g ( / + 0) avec les mêmes conventions de signe de 0 que pour la réfraction.
MODÈLES
Si 0 - 0
A
COUCHES
DE
VITESSES
CONSTANTES
249
(Fig. 29)
T
=
( j 2 4. 4
Ηψ'Ι
(18)
h,, Ae, Ils, As sont les coordonnées des deux points de réfraction, h et A', la profondeur et la distance d u point de réflexion.
F i G . 29.
8.2. — Ondes réfractées. — O n peut tenter une interprétation basée sur les premières arrivées q u i sont, nous l'avons v u , obligatoirement des ondes directes ou réfractées. L a connaissance des différents segments de droites de vitesses apparentes K„,, V„^, ... (en inverse, V^,, F^'j, ...) permet de calculer les vitesses vraies K,, K j , ... des différents m i l i e u x traversés (Fig. 30). L'équation générale de la réfraction d o n n e r a /;,, A j , . . . Cette méthode simple peut conduire à des erreurs car certaines ondes réfrac tées peuvent être oubliées (Fig. 31) : par exemple, si l ' o n considère u n modèle à 2 couches horizontales d'épaisseurs T/, et / / j , de vitesses = 6 km/s et V2 = 6,5 km/s, s u r m o n t a n t u n manteau de vitesse V3 = 8,2 km/s, l'onde réfractée de vitesse 6,5 km/s ne p o u r r a pas être en première arrivée si //2 ^
soit pour / / 1 + / / 2
= 30 k m , //, ^
//,
X
1,173
13,8 k m .
F I G . .30.
FIG. 3 1 .
Aux grandes distances, dès que l'onde Pn est en première arrivée, o n continue souvent d'observer des brisures successives sur l'hodochrone. Ces brisures n'impliquent pas obliga toirement l'arrivée d'ondes réfractées à plus grandes profondeurs dans le manteau supérieur, mais peuvent signifier des changements de pcndage d u M o h o . Sur u n fond ondulé (pendages inférieurs à 1 0 " ) , on peut admettre que l'onde considérée correspond à une propagation le long du f o n d . En effet, si le fond est convexe vers le haut, l'onde conique est moins rapide que l'onde réfractée mais leur différence de temps est faible. S'il est concave, il n'y a pas d'onde réfractée (Fig. 32). L'équation de l'hodochrone, p o u r un modèle à une seule couche homogène, s'écrit (Perricr)
'"
• 'v}
['^°^ ¢'0
' Oi)
— cos (;•„
J=l + — sin (i„ — (?„) .
(19)
LA
250
A =
Xj
Σ
CROUTE
K, -
TERRESTRE
K„/sin((o—ίί„)
sin/o =
K„/K,
J=l hj
E
Λ;-ι
— Λ; tg Oj .
X,
Vo hn-i
h,
V a
^
'
/
hn
la/
—
\
F I G . 32.
Si la couche s'épaissit o u s'amincit brusquement en certains endroits (cas de la « d'escalier
marche
» ) , i l suffit de rajouter le terme — ^ O / I ; C O S ( Î O — On)IVa dans l'équation (19).
ôhj est > 0 pour u n amincissement. L'équation (19) montre la nécessité d'avoir des observations sur u n profil continu depuis l'origine. En effet, si, comme c'est le cas dans les Alpes, l'épaisseur de la croûte varie forte ment d'une région à l'autre, l'onde Pn garde en mémoire toutes ces variations et, en ignorer certaines, revient à fausser de plusieurs kilomètres l'estimation de la profondeur à grandes distances. Une autre méthode pour suivre les ondulations du M o h o consiste à calculer, de proche en proche, la profondeur et la position des points de réfraction ( F i g . 33) : si ôA et ôt sont les différences de distance et de temps d'arrivée de l'onde réfractée entre S\ et 5 2 , o n a
Sh =
^ { 6 t - f )
cosfoV
6Δ1 = 5zf
F I G . 33.
(20)
V\l
— ôh tg i'o ·
F I G . 34.
MODÈLES
A COUCHES
DE
VITESSES
CONSTANTES
251
On suppose a priori que 0 —- 0. Si un pendage apparaît, i l est facile d'établir des équations semblables qui en tiennent compte. Deux itérations suffisent généralement pour définir le modèle.
Les ondes réfractées s'observent difficilement en seconde arrivée. Les grandes phases enregistrées en arrivée tardive d o i v e n t être interprétées, en général, comme des ondes réfléchies sur une discontinuité. Si les discontinuités sont des discontinuités de vitesse, o u discontinuités de premier ordre, à chaque onde réfractée doit correspondre l'onde réfléchie q u i l u i est tangente. Si le prolonge ment vers les courtes distances de l'onde P„ coupe la phase de grande a m p l i tude (Fig. 34), cela i m p l i q u e une d i m i n u t i o n d u gradient de vitesse avec la p r o fondeur ; la discontinuité est au moins d u second ordre. I l faut v o i r là u n test de l'existence d'une zone de transition. 8.3. — Ondes réfléchies. — Méthode des ί', Δ'. — C'est la méthode d'interprétation la plus utilisée. N o u s avons v u au paragraphe 8 . 1 que dans le cas d'une couche horizontale, t' était égal à (Δ' + AH')IV,. La fonction t' = f(A') étant une d r o i t e , l'inverse de la pente est Vl. Dans le cas d'une seule couche, V, est la vitesse vraie ; mais si les couches sont multiples, est la vitesse moyenne d u milieu situé entre la surface et la discontinuité. L a méthode appliquée après épluchages successifs des couches connues permet de connaître la vitesse vraie de chaque milieu. Cette méthode donne de bons résultats aux courtes distances mais elle devient rapidement imprécise lorsque Δ croît. Ceci est dû au fait que la longueur d u trajet augmente avec la distance alors que, p o u r une onde réfractée, la p o r t i o n d u rai dans le milieu supérieur est constante. L a figure 35 donne, p o u r plusieurs valeurs de l'erreur sur la vitesse moyenne δ V, la v a r i a t i o n de l'erreur δ H en fonc tion de la distance Δ dans le cas des ondes réfléchies et réfractées. Pour 5H(km)
SVnQOS
8V=aOf A(km)
ûc
100 FIG. 35.
200
252
LA
CROÛTE
TERRESTRE
une croûte normale {H = 30 k m , V = 6,2 km/s), la méthode est acceptable si les distances sont inférieures à 120 k m . Jusqu'ici, nous avons supposé que la discontinuité était horizontale. Si cette hypothèse est exacte, la méthode des t'. A' appliquée aux réflexions obtenues dans le t i r inverse et enregistrées dans le même domaine de distance et dans la même région, d o i t donner une vitesse moyenne identique. Si ce n'est pas le cas, la méthode ne s'applique plus : o n d o i t étudier la v a r i a t i o n de en f o n c t i o n de zJ. E n effet, l'équation (17) nous m o n t r e que p o u r 0 # 0, , t'
A'
= —
4 HA sin 0 cos Θ
- +
4
H'cos'Q
, -—
= aA' + βΔ + y
K,, // et 0 sont calculés à p a r t i r des coefficients a, /? et y d u polynôme de régression, ce q u i nécessite une répartition régulière et dense des stations. Méthode des ellipses. — Si nous connaissons la vitesse moyenne avons, p o u r une durée de p r o p a g a t i o n t donnée ( F i g . 36) El
+ IS=
V,
nous
Vt = Cte .
Le lieu d u p o i n t de réflexion est donc u n ellipsoïde de foyers E et S. Si le p l a n de p r o p a g a t i o n des rais est le plan vertical, l'équation de Vellipse est
L a surface réfléchissante est l'enveloppe p o u r tous les couples (A, t).
des ellipses ( o u des ellipsoïdes) tracées
Remarque. — Si la surface réfléchissante est une zone de transition dans laquelle la vitesse croît rapidement avec la profondeur, les réflexions à courtes distances sont absentes.
DÉTERMINATION
9. — D É T E R M I N A T I O N
DE
LA
LOI
DE
VITESSE
DE L A L O I DE VITESSE
253
V = v(z)
Le cas où la croûte est constituée d'une suite de couches de vitesse constante séparées par des discontinuités de vitesse n'est qu'une première a p p r o x i m a t i o n . Des données expérimentales de meilleure qualité o n t c o n d u i t plusieurs auteurs (Giese en 1966, Meissner en 1967, Pavlenkova en 1968) à i n t r o d u i r e des gra dients de vitesse. De plus, la possibilité d'existence de zones à m o i n d r e vitesse ne doit pas être écartée. 9.1. — Variation linéaire de la vitesse avec la profondeur. — Si la vitesse varie linéairement avec la profondeur selon la l o i F = VQ + kz {k > 0), les rais sismiques ne sont plus rectilignes. D'après le paragraphe 5 . 1 , le r a y o n de courbure a p o u r valeur R Les rais sont des cercles
pk
( F i g . 37).
La durée de propagation est donnée p a r
(22)
Si V{z) a une v a r i a t i o n quelconque, ( d K > 0), i l sera t o u j o u r s possible de l'approcher par une somme de variations linéaires V = A + kiZ où (Fig. 38) Dans le cas où le modèle est symétrique, n- 1
A r g ch
pVi
•ArgchP Vi^ I
,^- A r g c h - J " kn pV„ (23)
/ ZI ^ 2 i= I
J pk
[Vl
F i o . 37.
Vf -
V l - p ' Vf, , ] + :^-. V l pkn
F I G . 38.
- p'
Vl .
LA
254
CROÛTE
TERRESTRE
Si la vitesse Kest constante entre deux niveaux y et j + 1 (épaisseur Sz) \
δζ
(24) ôA]j+1
^ <5z -
^1
pV
—pivi
Ces formules sont particulièrement bien adaptées au calcul par ordinateur. Elles offrent la possibilité d'introduire certaines dissymétries dans le modèle.
9 . 2 . — P r o b l è m e inverse. — N o u s savons que la méthode d ' H e r g l o t z Wiechert ( § 4 . 2 ) permet de calculer la l o i de vitesse en f o n c t i o n de la p r o f o n d e u r à p a r t i r de l ' h o d o c h r o n e lissée t = t{A). L a p r o f o n d e u r z à laquelle la vitesse ν(Δγ) est atteinte est donnée par
1
Δ <
π
Δ,.
(25)
11 faut en intégrant suivre les boucles éventuelles en c o m p t a n t négativement les parties où άΔ est négatif D ' a u t r e part, l ' h o d o c h r o n e d o i t être i n i n t e r r o m p u e et p a r t i r de l'origine ; sa pente d o i t décroître d'une manière continue. Or, les hodochrones suggérées par les différents auteurs sont, dans la p l u p a r t des cas, interrompues. Cette i n t e r r u p t i o n peut être causée (Giese, 1970) par plusieurs raisons : 1" 11 existe une discontinuité de 1·*"^ ordre ( F i g . 39a). L a distance d u p o i n t B est infinie (en réalité, la boucle se ferme à grande distance d u fait de la c o u r b u r e de la Terre).
T
T
Ί F I G . 3 9 . — Différents cas d'interruption de l'hodochrone. Les parties inconnues sont indiquées par des pointillés. D'après GIESE, 1 9 7 0 .
DÉTERMINATION
DE LA
LOI
DE
VITESSE
255
2" Le profil est t r o p c o u r t , une p a r t i e de la boucle est en dehors d u p r o f i l connu (Fig. 39è). 3" La corrélation entre toutes les parties de l ' h o d o c h r o n e n'est pas claire. Seuls, des segments discrets sont établis (c'est le cas, en particulier, où deux boucles se superposent) ( F i g . 39c). 4" 11 existe une couche à m o i n d r e vitesse dans la croûte ( F i g . 39Î/). Dans tous ces cas, i l y a lacune et la détermination de V(z) n'est plus u n i q u e . Nous pouvons utiliser la méthode directe et trouver une l o i V(z) q u i approche au mieux les hodochrones observées ( M u e l l e r et L a n d i s m a n , 1966). Ceci peut être long. Giese a proposé une méthode d'inversion. N o u s l'étudierons en détail. 9.3. — Méthode de Giese. — N o u s appellerons segments n o r m a u x , des seg ments d'hodochrone où la distance croît q u a n d la p r o f o n d e u r de pénétration maximale croît, segments inverses, ceux où la distance décroît. En chaque p o i n t d'une hodochrone, nous connaissons la distance Δ, la durée de propagation correspondante / et la vitesse apparente aAjat. a) Détermination de la profondeur maximale ζ^^χ. — Pour une onde réfléchie qui a traversé u n m i l i e u supérieur homogène, l'équation
(26)
fournit la p r o f o n d e u r correcte d u réflecteur. Sinon, le principe de Fermât implique que la valeur obtenue soit plus grande que la p r o f o n d e u r réelle. Pour chaque valeur de âAjat = V (vitesse au p o i n t le plus bas d u r a i corres pondant), nous aurons la relation
La profondeur maximale peut être calculée aussi bien p o u r tous les points de segments n o r m a u x que de segments inverses. P o u r des segments n o r m a u x , la quantité dK/dz^^^^, dérivée de la courbe V = V{z„^,^) est t o u j o u r s positive. Pour des segments inverses, trois cas sont possibles : I " dV/dz^,^^ = 0 : la vitesse moyenne est indépendante de l'angle d ' i n c i dence. Le milieu est homogène. L a méthode des t' - A' est applicable. 2° dK/dz^a,; < 0 : le m i h e u supérieur est inhomogène, la vitesse rapidement dans l'intervalle de p r o f o n d e u r correspondant.
croît
3° dV/dz^^^ > 0 : le gradient réel dV/dz est l u i aussi p o s i t i f U n e zone de transition existe ( F i g . 40). Cette méthode très simple permet donc de distinguer entre une discontinuité brutale et une zone de t r a n s i t i o n .
LA
256
0
CROÛTE
8 [km/sl
TERRESTRE 8 C km/si
6
8 Ckm/d
1
1020 30
\
•
Ckm]
1
Ckml
Ckml
F I G . 4 0 . — Différents types de la fonction ZmaxLa fonction modèle est indiquée par les pointillés. D'après GIESE, 1 9 7 0 .
b) Détermination de la profondeur minimale ζ^|„. — Dans le cas de seg ments séparés, une p r o f o n d e u r m i n i m a l e peut être calculée en utilisant l'inté grale d'Herglotz-Wiechert p o u r les segments connus : V(A ) A r g c h ^ ^ d ^ V{A) u 0
+
'''^^ Δι
V(A λ A r g ch
V{A) . 1 ^ ^
àA +
A r g c h ^ d .
(27)
8 km/s z „ i „ peut être calculée p o u r tous les points de segments n o r m a u x o u inverses.
c) Détermination des cour bes solutions. — U n e fois les hodochrones fixées, la fonc t i o n inconnue V{z) d o i t être située entre les deux courbes limites z ^ , , , et z ^ , , , , diff'érentes p o u r une même valeur de àAlàt. P o u r obtenir la famille des courbes solutions, o n a d m e t t r a que àVjaz change linéairement entre z^^^ et z^^^. L a figure 41 m o n t r e u n exem ple de la méthode q u i vient d'être décrite. F I G . 4 1 . — Exemple d'estimation de Zmax et Ziiiin. Courbes solutions intermédiaires. Les points noirs représentent la fonction modèle. D'après GIESE, 1 9 7 0 .
d) Sélection des distributions distinctes de vitesse. — Les courbes solutions avec u n
DÉTERMINATION
DE LA
LOI
DE
VITESSE
257
gradient de vitesse négatif doivent être rejetées. D e plus, o n peut réduire le nombre des solutions en prenant en compte des paramètres supplé mentaires. Ainsi, dans le cas d'une zone à m o i n d r e vitesse ( F i g . 42), s'il est possible de déterminer les coordonnées des points A ei B ainsi que leur vitesse apparente g, o n peut estimer l'épaisseur maximale δζ^^,^ et la vitesse moyenne de la zone d'inversion ><^δΛ_ \ οζ^,,, 2
Ιδί' V Μ
(28)
_
δΔ δί
= ί(Β)
=Δ{Β)-Δ{Α) - ί{Α)
avec 'δί
^'-"
^'-"
~ '
di~~~
άί
Ces expressions supposent une couche homogène de basse vitesse, δζ^^,^ est donc la l i m i t e supérieure p o u r l'épaisseur de la zone d ' i n v e r s i o n , la l i m i t e inférieure étant nulle. Nous pouvons donc écrire, p o u r une zone d'inversion inhomogène 0 < <5z < i z „ „ , . Si o n remplace la f o n c t i o n de vitesse inhomogène de la zone d'inversion par Vi, la c o n t r i b u t i o n aux durées de p r o p a g a t i o n de la zone peut être calculée pour les rais pénétrant plus profondément : nous éliminons par épluchage cette zone à m o i n d r e vitesse ainsi que le m i l i e u q u i la surmonte. L a méthode
LA
258
CROÛTE
TERRESTRE
d ' H e r g l o t z - W i e c h e r t peut alors s'appliquer, l ' h o d o c h r o n e ainsi réduite est devenue continue. e) Méthode d'approximation pour la détermination de la profondeur. — Giese ayant remarqué ( 1 9 6 6 , 1 9 6 8 ) que le gradient de vitesse dV/dz avait une influence importante sur la déter m i n a t i o n de la profondeur z a sup posé plusieurs distributions de vitesse acceptables p o u j la croûte (V varie entre 5 et 8 , 2 km/s) et, après avoir calculé les hodochrones, a porté sur un diagramme la quantité z/A en fonction de Vt/A ( F i g . 4 3 ) . I l est apparu que tous les points apparte nant au même gradient de vitesse dV/dz pouvaient être décrits approxi mativement par une courbe, la dis persion des points étant plus grande pour les gradients faibles que p o u r les gradients forts. Lorsque le gra dient de vitesse augmente, les cour bes approchent de la courbe limite dV/dz -> co q u i est identique avec Zmax (Fig. 4 3 ) .
Ainsi pour approcher la solution réelle, i l suffit de partir de la courbe Zmax et d'en déduire le gradient dK/dzmax- E n prenant ce gradient FiG. 4 3 . — Variations de zjA ^ f (Vt/A) pour comme nouveau paramètre, le dia différentes valeurs de dV/dz. D'après GIESE, 1 9 7 0 . gramme nous donne une nouvelle profondeur r pour une valeur parti culière de A (ou de V). Ce procédé est répété deux o u trois fois jusqu'à ce que la courbe V{z) ne soit plus modifiée. Une seule solution ( o u une bande étroite de solutions) est t r o u vée : ceci est d û au fait que le diagramme a été construit à partir des vitesses probables dans la croûte.
la a)
Giese a également déterminé d'une façon empirique deux équations permettant d'approcher solution : avec
- " ' ^ ^ 2 V T " '
p -—
où a = (V— Ko)/z est le gradient moyen de vitesse {V„, vitesse en surface) β = d Vjdz est le gradient local de vitesse. b)
z/A =
Vt
1 - 0 , 1 5
1
+
I
( < ? - ] ) (
dK dz •
FOCALISATION
DES
ONDES
Les segments d'hodochrones étant interrompus, la fonction V{z) est disjointe. O n peut cependant estimer la vitesse moyenne maximale pour la zone d'inversion en écrivant que (Fig. 44) δζ
dz
dz^
Vi
ν(ζΥ
K(z)
u =
259
SISMIQUES
3;
8z
F I O . 44.
Jz2 + (^/2)2 .
L'erreur sur la détermination de la profondeur dépend d u gradient dK/dz au point le plus bas du r a i . Si le gradient est fort ( > 0,1 km/s/km), l'erreur est d'environ 3 %. Elle croît jusqu'à 5-10 % pour des gradients plus faibles (entre 0,01 et 0,1 km/s/km).
Toutes les méthodes exposées dans ce paragraphe supposent que la vitesse V dépend de la seule p r o f o n d e u r z (lignes d'égale vitesse horizontales). Ceci est en réalité assez rare. O n peut cependant, à p a r t i r de profils inverses, obtenir une bonne a p p r o x i m a t i o n p o u r l'angle d ' i n c l i n a i s o n en interprétant chaque p r o f i l de réfraction comme u n modèle local h o r i z o n t a l . A p a r t i r de la l o i F(z), quelques valeurs de vitesse sont portées sur une coupe au p o i n t le plus bas d u rai correspondant, puis les points d'égale vitesse sont reliés entre eux. L e signe de l'inclinaison de la ligne V = Cte est correct mais la valeur de l'angle 0 est un peu t r o p petite. M i s h e n ' k i n a a démontré en 1967, dans le cas d'une variation linéaire de la vitesse, que l'effet d ' u n gradient h o r i z o n t a l de vitesse était négligeable si θ restait inférieur o u égal à 10». Il est évident que toutes les méthodes exposées dans les paragraphes 7 à 10 peuvent s'appliquer également aux ondes transversales S. 10. — F O C A L I S A T I O N
DES O N D E S
SISMIQUES
Mechler et R o c a r d o n t montré (1962, 1964) que l a c o u r b u r e de la d i s c o n t i nuité de M o h o r o v i c i c p o u v a i t avoir u n effet notable sur l ' a m p l i t u d e des signaux sismiques. Si nous considérons une croûte homogène de 30 k m d'épaisseur, de vitesse moyenne 6 km/s s u r m o n t a n t u n manteau de vitesse Sol / 8 km/s et si nous supposons qu'elle c o m p o r t e ΓΤ7ΎΎ7Ύ77Τ7 à sa base une lentille correspondant à u n 30jhm Moho y épaississement de 2 o u 4 k m ( F i g . 45) (le d i o ptre a p o u r foyer F j o u F2), la c o n c e n t r a t i o n d'énergie peut varier de 4 en à l ' i n f i n i en F , o u si l ' o n tient compte de la d i f f r a c t i o n de 4 à 5 o u 6.
A
FIO. 45. — D'après MECHLER et ROCARD, CRAS, 1964, 2 5 9 , p. 2269.
L'analyse des amplitudes peut donc être utilisée p o u r déterminer l a c o u r b u r e d u M o h o
LA
260
CROÛTE
TERRESTRE
suivant divers azimuts a u t o u r des stadons sismologiques et p o u r en déduire des sites où la réception des signaux venant de l o i n est favorisée, le r a p p o r t atteignant parfois la valeur de 5. D e même, M e r e u , dans le cas d'une croûte continentale, a montré en 1969 l ' i m p o r t a n c e de l'effet de focalisation (gain d ' a m p l i t u d e de 2 à 3) lorsque l'angle d'incidence des ondes P à l a base de la croûte est supérieur à 40·' et lorsque le r a y o n de c o u r b u r e d u M o h o est inférieur à 100 k m . 11. — LA SISMIQUE
MARINE
P o u r l'étude de la croûte océanique, les méthodes de sismique réflexion et réfraction, développées au paragraphe 7 sont les plus utilisées. En sismique réflexion,
l'enregistrement s'effectue selon deux techniques :
— en station fixe (sismique réflexion conventionnelle). D e u x bateaux sont généralement nécessaires : le boutefeu, chargé des explosions et le bateau enregistreur t i r a n t derrière l u i des hydrophones (12, 24, 48...) régulièrement espacés le l o n g d ' u n câble {flûte) p o u v a n t atteindre 3 000 m . Une fois l'explo sion enregistrée, les bateaux se déplacent d ' u n demi-dispositif de façon à a v o i r un recouvrement des mesures. — En sismique réflexion continue. U n seul bateau assure les explosions et les enregistrements ( F i g . 46), sa vitesse variant de 4 à 7 nœuds. Les flûtes o n t une densité égale à celle de l'eau de mer. Plusieurs types de source sismique sont utilisées : l'étinceleur (sparker), le canon à air, le flexotir, e t c . .
F I O . 4 6 . — Dispositif « Flexotir» : B . E . , bateau avec laboratoire d'enregistre ment ; T , treuil de flûte ; G , grue ; P. V., pompe et vanne de chargement ; F, flexi ble ; F l , flûte ; S, source ; D'après MURAOUR, 1 9 7 0 .
Les enregistrements sont souvent perturbés p a r les réflexions multiples, les réverbérations, l'eflFet bulle... L'étude de ces p e r t u r b a t i o n s parasites est faite au chapitre 23. En sismique réfraction, le bateau enregistreur est fixe tandis que le bateau boutefeu s'en éloigne à vitesse régulière. Par souci d'économie, le bateau enregistreur est souvent remplacé par une bouée à laquelle est suspendu un
SISMOG
RA M M E S S YNTHÉTIQ
UES
261
hydrophone. Les signaux sismiques sont envoyés par radio et enregistrés sur le bateau boutefeu. En début de profil, les points de t i r doivent être serrés (50 à 100 m) si o n veut avoir en première arrivée les ondes réfractées sous les couches superficielles. Par contre, p o u r l'étude des discontinuités plus profondes, les écarts entre tirs peuvent atteindre de 2 à 5 k m . Le calcul des distances se fait à partir des temps de parcours de l'onde directe propagée dans la mer o u de l'onde réfléchie sur le f o n d . Les deux méthodes d u p r o f i l c o n t i n u (avec profils inverses) et d u t i r en éventail sont utilisées, la longueur des profils p o u v a n t atteindre 70 k m .
12. — S I S M O G R A M M E S RÉFLEXIONS
SYNTHÉTIQUES.
CRUSTALES
PROFONDES
Les techniques d'observation s'étant considérablement améliorées ces dernières années, les modèles de croûte sont devenus de plus en plus compliqués. D'une croûte à deux o u trois couches séparées p a r des discontinuités de vitesse (de premier ordre), nous sommes passés progressivement à une croûte où les couches plus nombreuses sont hétérogènes et séparées les unes des autres par des zones de transition plus o u moins larges. Les méthodes d'inversion étaient basées sur les lois de l ' o p t i q u e en supposant que les variations des modules élastiques et de la densité étaient négligeables sur une longueur d'onde. Or, nombreux sont les modèles proposés q u i ne respectent pas cette c o n d i t i o n initiale, la longueur d'onde étant souvent de l ' o r d r e de l'épaisseur de la couche. De plus, nous avons négligé la forme d u signal et n'avons pas vérifié que son spectre d'amplitude et de fréquence était compatible avec le modèle proposé. Ces deux remarques nous conduisent naturellement à calculer des sismo grammes synthétiques et à les comparer aux sismogrammes réels. 12.1.—Sismogrammes synthétiques. — L a s o l u t i o n exacte de l'équation du mouvement dans des milieux n o n homogènes a été trouvée seulement p o u r des cas particuliers, même lorsque l'incidence était verticale. M a i s les signaux sismiques o n t une bande de fréquence limitée. I l est possible de simuler une propagation d'onde en m i l i e u hétérogène en divisant ce dernier en couches homogènes suffisamment minces eu égard au domaine de fréquence choisi et à la précision souhaitée. Pour des ondes émises d ' u n p o i n t source, deux méthodes o n t été utilisées : — l'une somme dans le domaine temporel toutes les réflexions multiples possibles (Pekeris, A l t e r m a n , A b r a m o v i c i , M u l l e r G., Helmberger, etc.) mais rencontre des difficultés dès que les couches deviennent très minces (méthode d u rai théorique) ; — l'autre utilise, dans le domaine de fréquence, la méthode matricielle de Thomson-Haskell (milieux stratifiés) t o u t en incluant les réflexions multiples
LA
262
CROÛTE
TERRESTRE
( H a r k r i d e r , Phinney). Elle pose des problèmes de temps d'exécudon et de mémoires p o u r les calculateurs. En 1968, Fuchs a calculé numériquement les réflexions d'une onde sphérique (comprenant à la fois les ondes coniques et les ondes continûment réfractées) sur une zone de transition n o n homogène. I l place une zone de t r a n s i t i o n stra tifiée ( F i g . 47) entre deux demi-espaces homogènes à une p r o f o n d e u r h au des sous d ' u n p o i n t source S localisé dans le demi-espace supérieur. L e récepteur E est placé à une distance horizontale r et à une p r o f o n d e u r z au-dessous de la source. L a surface libre est supprimée, ce q u i i m p l i q u e l'absence d'ondes de surfaces et d'interférences avec les ondes multiples réfléchies à la surface tandis que les interfaces sont planes et horizontales. De plus, la quantité (2 h - z) est prise suffisamment grande p o u r exclure les ondes d'interface de type Stoneley (Chap. 12), ce q u i justifie l'intégration sur les angles d'incidence réels.
E(r,z)
'^ I
I
I
I
I (0) (I)
Zo
]—T
"dl m . Zn..-
Fro. 47.
Une estimation rapide des caractéristiques principales de l'onde réfléchie en f o n c t i o n de la fréquence, de la vitesse de phase et de la distance est d ' a b o r d faite en a p p l i q u a n t la méthode de la phase stationnaire à la représentation intégrale de l'onde réfléchie : Wo(z, r, ω )
=
Ε(ω)
^1 ^ ^
Λρρ(ω, y) expijk^^
cos y(z -
X JoirKo
2 h) x
sin l) ^lo
T cos y ày
(29)
SISMOGRA
M M ES
S YNTHÉTIQ
UES
263
OÙ W'o est le déplacement vertical, L(œ) la transformée de Fourier d u potentiel de déplacement d u signal incident, Rpp la réflectivité complexe de la zone de transition p o u r des ondes planes de type PP, k^^ le n o m b r e d'ondes dans le milieu supérieur, y l'angle d'incidence au sommet de la zone de t r a n s i t i o n . Au-delà de la distance critique, le module de Rpp varie lentement alors que sa phase change rapidement. Pour une discontinuité de 1'''' ordre, Rpp est indé pendante de la fréquence. Le sismogramme synthétique est ensuite calculé par intégration numérique directe par rapport au nombre d'ondes et par t r a n s f o r m a t i o n de Fourier rapide inverse. La figure 48 montre les sismogrammes synthétiques obtenus pour les trois modèles suivants : — discontinuité de vitesse (48«) ; - zone à gradient linéaire (A'&h) ; --- zone à gradient linéaire sous une discontinuité de vitesse (48f). Le signal de la source est pris égal à ' sin 10 nt m
0
=
0,5 sin 20 nt
0 ^ ί s; 0,2 s /< 0 r > 0,2 s .
Dans le premier cas, o n remarque que l'onde P„ arrivant en tête a, en accord avec la théorie (Heelan en 1953) la forme de l'intégrale de temps d u signal incident. Les amplirucles maximales n'arrivent pas à la distance critique r^ mais sont décalées vers les grandes distances. Ceci est en accord avec les résultats de Cerveny en 1961. O n observe également, p o u r l'onde réfléchie, u n change ment de phase de près de 180" entre la distance critique et 140 k m . Le deuxième cas diffère d u premier par le fait que les amplitudes d u signal réfléchi sont plus petites aux distances inférieures à la distance critique. Pour /· > une onde continuellement réfractée remplace la réflexion. Dans le troisième cas, l'onde P„ n'est plus tangente à l'hyperbole des réflexions sur la discontinuité de vitesse. Les phases q u i suivent l'onde P„ ne peuvent pas être expliquées par la théorie des rais : ce sont des réflexions multiples, réfractées d'une façon continue en dehors de la zone de t r a n s i t i o n , interférant entre elles d'une manière constructive. Leur vitesse de phase varie de 7,6 à 8,2 km/s et leur a m p l i t u d e décroît très rapidement à p a r t i r de 160 k m . Ces ondes interprétées par la théorie classique des rais donneraient des modèles de vitesse faux. Elles semblent donc être un critère p o u r définir l'acuité d'une zone de transition. Récemment, la méthode de Fuchs, appelée aussi méthode de la réflectivité, a été améliorée en ajoutant des interfaces réfractants au-dessus de la surface réfléchissante et en i n c l u a n t les pertes d'énergie subies, à ces interfaces, par les ondes réfractées (Fuchs et M u l l e r G., 1971). Ceci est justifié p o u r les études de COULOMB
el
JOBtRT
—
I
11
LA
264
CROÛTE
TERRESTRE
m 1
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VITESSE ItÊÊtM) 1 « ? · · LONGUEUR ET
ι„·ηη
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a) Réflexion et réfraction pour une disconti nuité de 1''' ordre.
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VITESSE 3 4 S
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9 LONGUEUR ET '· FORME DU I . S H . - ; t ! Isl SIGNAL INCIDENT DISTANCE CRITIQUE <^ ι„.7·«» M
•5:" 30 32 S i DOeitÉ ljftm°)
F I G . 48(/-486. — Sismogrammes
b) Réflexion et réfraction pour une zone de transition. symhétiques. D'après F u c u s , J . Phys. Earth,
1968, 16.
SISMOG
RA MM E S
S YNTHETIQ
265
UES
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r i m n l 1M
VITESSEIti-iii) LONGUEUR ET FORME DU S t G N A L rNClDENT
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t · SOI' int ui DISTANCE CRITIQUE r.,>*ll tkm]
c) Réflexion et réfraction pour une zone de transition sous une discontinuité de K'' ordre. F I G . 48<:·. — Sismogramme
synthétique.
la croûte terrestre p u i s q u ' o n s'intéresse plus particulièrement à la frontière croûte-manteau, les réflexions dans la partie supérieure de l a croûte p o u v a n t être négligées o u calculées séparément. Cette méthode q u i ne considère que des angles réels et q u i utilise une forme asymptotique p o u r les fonctions de Bessel a été comparée à l a méthode d u r a i théorique q u i néglige les conversions P, S, P et se l i m i t e à certains rais m u l tiples réfléchis P (Helmberger, M o r r i s , M u l l e r G., 1968-1971). Les a p p r o x i m a tions de la méthode de la réflectivité o n t été testées en l ' a p p l i q u a n t à des m i l i e u x liquides pour lesquels l a méthode d u r a i théorique est exacte. U n très b o n accord a été obtenu. Dans certains cas, une utilisation combinée des deux méthodes optimisera les techniques d'observation. Ainsi, le sismogramme synthétique constitue un nouvel outil d'inversion. Cet outil sera eflRcace si les i n f o r m a t i o n s que l ' o n peut tirer des amplitudes des phases observées sont suffisantes : nous devons p o u v o i r comparer entre elles, non seulement les amplitudes des différentes phases enregistrées en une station mais les amplitudes dans des stations voisines. Cela suppose une bonne connais sance des caractéristiques instrumentales. De plus, la comparaison avec les sis mogrammes observés sera facilitée si u n filtrage approprié élimine o u atténue les hautes fréquences produites par les petites inhomogénéités des m i l i e u x traversés. 12.2. — Réflexions crustales profondes. — L e fait que les parties profondes de la croûte réfléchissent l'énergie sismique n'est plus mis en doute. D e n o m breuses observations o n t été faites dans toutes les parties d u monde ( E u r o p e , URSS, Canada, U S A , e t c . ) . N o u s donnerons en exemple les réflexions obtenues à courtes distances en 1971 dans le Massif Central par H i r n et Ruegg ( F i g . 49).
266
LA
CROÛTE
TERRESTRE
SISMOGRAMMES
SYNTHÉTIQUES
267
Les principales caractéristiques de ces réflexions sont les suivantes (Fuchs, 1969) : 1. Elles semblent p r o v e n i r d ' u n large d o m a i n e en p r o f o n d e u r t o u t en s'accumulant à certains niveaux ; 2. Le long d ' u n p r o f i l , l'énergie d u signal change souvent jusqu'à disparaître complètement ; 3. Leur fréquence inférieure de c o u p u r e est e n v i r o n de 10 H z ; 4. Leur a m p l i t u d e est grande. Ces importantes observations permettent de rejeter à la fois le modèle clas sique de croûte avec discontinuités de vitesse et le modèle avec zones de t r a n sition dans lesquelles la vitesse croît linéairement avec la profondeur. En effet, une discontinuité de vitesse n'explique aucune des quatre observa tions. En particulier, elle réfléchit également bien toutes les fréquences et les amplitudes calculées sont bien inférieures aux amplitudes observées. D ' a u t r e part, si la zone de transition peut rendre compte des deux premiers points, sa réflectivité décroît q u a n d la fréquence augmente et, p o u r un contraste de vitesse identique, p r o d u i t des amplitudes plus petites que celles obtenues p o u r une discontinuité de vitesse. A la l i m i t e , elles deviennent égales p o u r les grandes longueurs d'onde. Ceci a amené Fuchs à proposer c o m m e modèle possible des réflecteurs profonds de la croûte ( d u M o h o , en particulier) des zones de transition en lamelles avec renversements de vitesse ( F i g . 50), le r a p p o r t de l'épaisseur H
FIG. 50. — AinpUlude de ta réflectivité verticale en totiction de la fréquence réduite vHiy.t dans le cas de zones de transition en lamelles. D'après Fuc'HS. Z. f. Geophys., 1969, 35, p. 133.
LA
268
CROÛTE
TERRESTRE
d'une lamelle à la longueur d'onde étant constant. O n remarque que la bande de haute réflectivité est centrée sur H = λ/4, les amplitudes étant faibles à l'extérieur. P o u r 3 lamelles seulement, la réflectivité voisine de l'unité est t r o i s fois supérieure à celle obtenue p o u r une discontinuité de vitesse. Si o n admet 10 H z comme valeur de la fréquence inférieure de coupure, l'épaisseur m a x i male d'une lamelle est trouvée égale à 120 m . D ' u n e façon générale, l ' a m p l i t u d e à l'intérieur de la bande réfléchissante croît avec le n o m b r e de lamelles tandis que la bande devient plus étroite et ses flancs plus abrupts ; la p o s i t i o n d u m a x i m u m reste inchangée. D e même, la réflectivité augmente avec le contraste de vitesse. Par contre, à l'intérieur de la bande, on n'observe aucune différence, que le demi-espace inférieur soit à grande o u à faible vitesse ; ceci peut justifier le fait que seules des réflexions (et n o n la réfractée) soient observées dans certains cas. Des sismogrammes synthétiques ( F i g . 51) o n t été calculés pour diflFérentes zones de transition laminées. Les signaux calculés sont très voisins des signaux observés. I l n'est cependant pas prouvé que nous ayons là le seul modèle possible p o u r les réflecteurs p r o f o n d s dans la croiite.
F I G . 5 1 . — Sismogrammes zones
de transition
synihétiques
à 3 lamelles
et pour
de réflexions trois
valeurs
profondes de l'angle
pour
différentes
d'incidence.
Les
réflexions verticales sur une discontinuité de l''"" ordre ayant le même contraste d'impédance sont montrées en comparaison. D'après FUCHS, Z . /'. Geophys., 1969, 35, p. 1 3 3 .
12.3. — Réflexions crustales profondes et atténuation sismique. — Les ondes sismiques réfléchies contiennent aussi des i n f o r m a t i o n s sur les propriétés anélastiques des m i l i e u x traversés. A p a r t i r des spectres d'énergie des réflexions à incidence quasi verticale enregistrées au Canada, Clowes et Kanasewich (1970) ont recherché la v a r i a t i o n d u facteur de qualité Q (Chap. 7) avec la p r o f o n d e u r , ont comparé les spectres d'énergie observés avec les spectres calculés à p a r t i r
INTERPRÉTATIONS
SISMOLOGIQUE
FlG. 5 2 . — Variation de Q avec la profondeindans la croi'ite. D'après CLOWES et KANASEwrcFi. 1970.
ET
GRAVIMÉTRIQUE
0 0.0 | - =
400
600 „
269
3000
0.4
des sismogrammes synthétiques et o n t étudié la nature des zones de transition q u i réfléchissent l'énergie sismique. Ces auteurs t r o u v e n t ( F i g . 52) que Q varie très rapidement dans les deux premiers k i l o mètres, sa valeur moyenne étant voisine de 300. Ensuite Q croît probablement avec la profondeur jusqu'à l a base de la croûte, sa valeur moyenne étant de 1 500.
c 0.8
1.2
1.6
>- H - ,
20
De plus, ils confirment les résultats obte nus par Fuchs à savoir que les zones de
Ver-6 Moho
transition doivent être lamellées avec succession de couches de grande et faible vitesse de moins de 0,2 k m d'épaisseur, l'étendue totale de la zone de transition étant inférieure à 1 k m . Le problème i m p o r t a n t q u i reste à résoudre est de savoir par quels processus naturels une telle zone a p u se former.
Vp(hm/s) 10 L
2L
F K ) . 5 3 . — Vitesse des ondes P en fonction de la densité. D'après NAFE et D R A K E , The Sea. 1 9 6 3 . vol. 3, p. 807.
13. — I N T E R P R É T A T I O N S ET GRAVIMÉTRIQUE
SISMOLOGIQUE CONJOINTES
L a connaissance sismique de la croûte est devenue a u j o u r d ' h u i u n complément indis pensable à l'interprétation gravimétrique (Chap. 16). Si les couches sismiques sont bien définies et si, en étudiant les roches, une correspondance empirique peut être éta blie entre les vitesses et les densités, comme par exemple celle de Nafe et D r a k e (1963) (Fig. 53), les données gravimétriques peuvent être utilisées p o u r préciser la frontière des massifs. Elles peuvent aussi, dans certains cas où la structure sismique est m a l définie, f o u r nir les variations de p r o f o n d e u r d'une dis continuité reconnue en u n p o i n t de la coupe étudiée. Pendant longtemps, p o u r le calcul des anomalies isostatiques, o n a supposé que le
270
LA
CROUTE
TERRESTRE
contraste de densité entre la croûte et le manteau était de 0,6 g/cm^ (2,67 p o u r la croûte). — Plusieurs auteurs pensent que la valeur de ce contraste est t r o p élevée. Ils proposent u n A p variant entre 0,39 ( W o o l l a r d en 1966) et 0,53 ( T a l w a n i ei al., 1959). W o o l l a r d , admettant une croissance de la densité avec la profondeur, estime que la valeur moyenne de la densité d'une croûte continentale est comprise entre 2,87 et 3,00 g/cm-\ La figure 54« m o n t r e la coupe sismique nord-sud obtenue le l o n g d u méridien 11.4° E,
no
FiCi. 54e. — Section
«00
sisniic/iie à travers la partie est des Alpes.
D'après M U K L L K R et T A I . W A N I . 1971.
INTERPRÉTATIONS
SISMOLOGIQUE
ET
GRAVIMÉTRIQUE
271
1. Par la sismique-réfraction dans les Alpes orientales et le bassin molassique bavarois (Prodehl, 1965) (à gauche) ; 2. Par l'étude des séismes dans la vallée d u P ô et les A p e n n i n s ( C a l o i , 1958) (à droite). Les nombres représentent les valeurs de la vitesse des ondes P en km/s. Le modèle B 2 est plus récent que le modèle A . Le modèle gravimétrique correspondant a été calculé p a r M u l l e r S. et Talwani (1971) ( F i g . 54ft). Les nombres représentent ici les valeurs de la densité en g/cm^. La partie supérieure de la figure représente, en traits pleins, l'anomalie de Bouguer observée (avec quelques corrections), en traits-points, l'anomalie calculée à partir d u modèle. Les tirets m o n t r e n t la c o n t r i b u t i o n des couches profondes à l'anomalie de Bouguer, l'efTet d ' a t t r a c t i o n des couches de densité inférieure à 2,8 g/cm"^ ayant été retranché.
MOUme
I
ο
,
ALPES
1———,
100
,
200
F K ; . 5 4 6 . — Section dcms la partie
AKlmiNS
« M L L E E OU PO
r I —' SOO 400 OISTAMCE (hm) sismii/iic
est des Alpes,
1 900
et grciviniétrii/iu' mêmes auteurs.
Ι «00
LA
272
CROÛTE
TERRESTRE
P o u r les A p e n n i n s , o n r e m a r q u e le p r o f o n d désaccord entre les interpréta tions sismique et gravimétrique ; les pointillés i n d i q u e n t toutefois que le modèle de structure proposé est t o u t à fait spéculatif. Cela nous m o n t r e que l'interprétation gravimétrique conserve encore une grande p a r t d ' a r b i t r a i r e : par exemple, i l peut être impossible de choisir entre u n épaississement de la croûte (racine des montagnes) et u n changement dans la nature des roches.
14. — T R A I T S G É N É R A U X D E L A C R O U T E . LES D I F F É R E N T S T Y P E S D E S T R U C T U R E
14.1.
— La croûte continentale.
— L'étude de la croûte continentale a fait
l'objet de très n o m b r e u x travaux, d ' a b o r d à p a r t i r des observations des séismes proches, depuis 1950 à p a r t i r des données de la sismologie expérimentale. N o u s n'en donnerons que les caractéristiques générales. Le lecteur t r o u v e r a dans la bibliographie la liste des p r i n c i p a u x articles où sont résumés les résultats. M o h o r o v i c i c étudiant le séisme de Croatie d u 8 octobre 1909 enregistré en plusieurs stations européennes, interprète le dédoublement des phases P c o m m e révélant la présence d'une croûte : son épaisseur était trouvée voisine de 54 k m , la vitesse des ondes P, et P„ étant égales respectivement à 5,6 et 7,8 km/s. Quelques années plus t a r d , C o n r a d , en étudiant u n séisme a u t r i c h i e n ( T a u e r n , 28 novembre 1923) crut reconnaître deux nouvelles phases P* et 5 * (appelées aussi Pf, et S^) de vitesses 6,3 et 3,6 km/s q u ' i l identifie à deux ondes réfractées vers 20 k m de p r o f o n d e u r , sous une discontinuité intermédiaire, appelée depuis discontinuité de C o n r a d . Après ces découvertes, i l f u t généralement admis que la croûte continentale était composée de 3 m i l i e u x : les terrains sédimentaires, une couche dite « g r a n i t i q u e » , de « sial » ( s i l i c i u m , a l u m i n i u m ) et une couche dite « basal tique », de « sima » ( s i l i c i u m , magnésium), l'épaisseur et la vitesse de ces m i l i e u x p o u v a n t présenter des différences i m p o r t a n t e s d'une région à l'autre. Bien que certains auteurs aient montré que, dans de nombreuses régions, les vitesses des
Pg;5,57krn/s
Surface
Sg;3,3ekrn/s 'o Q;
15km
1
Pb^e.SOhr n/3 n/s
J3km
— Moho Pn:7,76hm/G
§
"Conrad"
Sn-4v;6hm/s
<
F I O . 55.
TRAITS
GÉNÉRAUX
DE
LA
273
CROUTE
ondes P„ et S„ étaient plus proches de 8,2 et 4,7 km/s, Jeffreys, à p a r t i r des séismes européens, a d o p t a i t en 1939, p o u r ses tables de p r o p a g a t i o n , le modèle décrit dans la figure 55 Vers 1950, apparaissent les premiers résultats de sismologie expérimentale. Ils montrent que les valeurs de vitesses admises sont t r o p faibles ; en p a r t i culier, la vitesse des ondes Pg propagées dans la partie supérieure de la croûte reste toujours comprise entre 5,9 et 6,2 km/s alors que celles q u i sont obtenues à partir des séismes proches sont voisines de 5,6 km/s. G u t e n b e r g (1951, 1954) suggère l'existence d'une zone à m o i n d r e vitesse vers 15 à 25 k m de p r o f o n d e u r . Cette idée a été reprise par quelques auteurs : M u e l l e r et L a n d i s m a n en 1966, observant sur de n o m b r e u x profils, une seconde après P^ et à 50-60 k m d u point de t i r , une onde de grande a m p l i t u d e appelée P^ (ne pas confondre avec l'onde P^ définie a u § 6), l'interprètent c o m m e onde réfléchie vers 10 k m de profondeur (discontinuité de Foertsch) à la base d'une zone sialique à m o i n d r e vitesse de quelques kilomètres d'épaisseur ( F i g . 56).
t-iy6(s)
0
4-0
ÔO
120
ιβο
zoo
240 Δ h m
8 Vp(hin/s) T
10L 20L 30 _
Γ F I G . 5 6 . — Modèle de croûte avec zone sialkiue à moindre vitesse et hodo chrone réduite correspon dante. D'après MUELLER et LANDISMAN, G. J . , 1 9 6 6 , 10, p. 5 2 5 .
Z(hm)
En Allemagne d u s u d , Meissner t r o u v e en 1967 une zone à m o i n d r e vitesse entre 12 et 18 k m de p r o f o n d e u r . Pour les Alpes et l'ouest de l ' A l l e m a g n e , Giese, Prodehl et Behnke (1967) proposent plusieurs lois de vitesse ( F i g . 57). Cette indétermination ne peut surprendre, car s'il y a réellement une couche à
274
LA
CROUTE
TERRESTRE
F K I . 5 7 . — Modèle de croiile et hodochrone réduite pour les Alpes et l'ouest de l'Allemagne. D"apràs G I K S E , P R Î ) I ) E H I . , B K H N K K , Z. f. Geophys., 1 9 6 7 , 33, p. 2 1 5 .
m o i n d r e vitesse, elle interdit l'inversion des données par la méthode d ' H e r glotz-Wiechert (§ 4 . 2 ) . L'existence universelle de la discontinuité de C o n r a d , longtemps admise, est fortement mise en doute. Dans la p l u p a r t des cas, les ondes P,, (et S^) ne sont autres que les ondes PMP (et SMS) réfléchies à la base de la croûte. O n n'ob serve pas l'onde réfléchie de grande a m p l i t u d e q u i serait associée à une telle discontinuité et d o n t l'hodochrone serait tangente à celle de l'onde P,, à la distance critique. Par contre, Kosminskaya en 1965 et G u t e r c h (1970) reconnais sent, dans certaines régions, 3 o u 4 discontinuités de vitesse à l'intérieur de la croûte. O n reconnaît, de plus en plus souvent, au-dessus de la discontinuité de M o h o r o v i c i c , une couche de vitesse comprise entre 7,1 et 7,7 km/s d o n t l'épais seur peut varier de 5 à 20 k m ( G u t e r c h , 1970 et grands profils sismiques en 1971 ). Devant la diversité des résultats, il serait illusoire de donner un modèle type de structure p o u r la croûte continentale : son épaisseur peut varier de 20 à 75 k m ; le nombre et la répartition en profondeur des diverses couches diffèrent considérablement d'une région à l'autre. I l en résulte une forte v a r i a t i o n (de 6 à 6,4 km/s) de la vitesse moyenne à l'intérieur de la croûte. 14.2. — L a croûte océanique. — L ' e x p l o r a t i o n sismique des océans a été commencée vers 1935 par M . Ewing. Depuis, plusieurs centaines de milliers de kilomètres de profils o n t été couverts aussi bien par la sismique réflexion que par la sismique réfraction. Les résultats, contrairement à ceux obtenus sur les continents, sont très cohérents si o n élimine les crêtes des dorsales, les fossés océaniques et les marges continentales. Sous la couche d'eau, épaisse en moyenne de 4,5 k m (V = 1,5 km/s), nous t r o u v o n s : — Une première couche constituée de sédiments non consolidés o u semiconsolidés d o n t l'épaisseur varie beaucoup. Elle est de 300 m en moyenne. L a vitesse augmente avec le tassement ; elle est voisine de 2 km/s.
TRAITS
GÉNÉRAUX
DE
LA
CROUTE
275
— Une deuxième couche, appelée souvent « socle » (en anglais, basement), constituée d'épanchements volcaniques recouvrant plus o u moins des basaltes métamorphisés et surmontée parfois de sédiments consolidés (réflecteur B ) . Son épaisseur est de l'ordre de 1,7 ± 0,8 k m et sa vitesse varie de 4 à 6 km/s. — Au-dessous de ces deux couches, donc à p a r t i r d'une p r o f o n d e u r de 6 à 8 km sous le niveau de la mer, une troisième couche, dite « couche océanique » que l'on trouve sous tous les océans, variant peu en vitesse (6,70 ± 0,25 km/s) et en épaisseur (4,8 ± 1,4 k m ) avec cependant l ' i n d i c a t i o n d ' u n épaississe ment progressif à partir de la zone axiale des dorsales. Vers 10 à 12 k m de profondeur, la vitesse passe à 8,1 ± 0,3 km/s en traver sant le M o h o océanique. C'est la valeur trouvée sous le M o h o continental à des profondeurs très supérieures et beaucoup plus dispersées. Hess en 1964, puis Raitt, Shor, Francis et M o r r i s en 1967 o n t mis en évidence, dans le nord-est du Pacifique, une anisotropie de vitesse dans le manteau supérieur. Les varia tions peuvent atteindre quelques dixièmes de km/s, la vitesse étant maximale dans une direction parallèle à la ligne présumée de l'écoulement (hypothèse de l'expansion des fonds océaniques). Dans quelques régions (par exemple, aux iles Kouriles), une nouvelle discontinuité ( K = 8,8 - 9 km/s) est observée, 12 à 15 k m en dessous d u M o h o (Zverev, 1970). Sous les dorsales, dans la zone axiale limitée par l'isobathe 3,5 k m , la couche océanique devient confuse, la vitesse des ondes dans le manteau supérieur
Fici. 58. — Coupe sous la crête de la dorsale
sismujue
et anomalies
de Reykjanes.
gravimétriques
D'après ΤΑυνιΆΝι et al., 1971.
LA
276
CROÛTE
TERRESTRE
variant de 7,1 à 7,6 km/s ( F i g . 58). L'existence de ce manteau a n o r m a l sous la croûte des dorsales est u n résultat général. L'étude des ondes de surface a montré que l a vitesse des ondes S y était également faible. D e p a r t et d ' a u t r e de la zone axiale, o n observe à nouveau la vitesse n o r m a l e de 8,1 km/s e n v i r o n . Sous les marges continentales et les fossés, l a continuité des deux M o h o s c o n t i n e n t a l et océanique semble bien établie ( F i g . 59). Dans tous les cas étudiés, on remarque une remontée très rapide d u M o h o à p a r t i r d u c o n t i n e n t (20 %) puis celui-ci tend de plus en plus lentement vers sa p r o f o n d e u r océanique. U n e coupe structurale entre la crête médio-atlantique et la b o r d u r e c o n t i nentale nord-américaine (J. E w i n g en 1969) vers 32° N m o n t r e la continuité de ces 3 types de structure océanique ( F i g . 60). ALTIPLANO 100
0 4 8 12
6.C
161
β
2
201 |24 28 52 36 40i 44 48 52 56 60| 64
(d) d'après RAITT ( n o n p u b l i e )
rioprés WOOLLARD 13Θ0
FIO. 5 9 . — Coupe sismique sous la marge continentale Océan Pacifique-Chili. D'après FISHER et Hi:ss, Tlie Sea, 1 9 6 3 , 3, p. 4 1 1 .
BOUCUER
(''ml
GLACIS PRÉ-CONTINENTAL
1000
CRETE DES BERMUDES
PLAINE ABYSSALE DE 3 0 H M
2000
DORSALE MÉDIO-ATLANTIQUE
5000
(hm)
F I G . 6 0 . — Structure profonde océanique entre le bouclier continental n:nd-américain et la dorsale médio-atlantique. D'après J . E W I N G , Geophvs. Monograph., 1.3, 1969.
TRAITS
GÉNÉRAUX
DE LA
CROUTE
277
14.3. — Les différents types de structure. — Malgré l a diversité des s t r u c tures mises en évidence p a r les sondages sismiques p r o f o n d s et p a r l a d i s p e r s i o n des ondes de surface,
i l est possible de classer les différents types de croûte
en sept groupes p r i n c i p a u x ( B r u n e en 1969) réunis dans le tableau I . Les types F et G appartiennent a u d o m a i n e océanique, les 5 autres a u d o m a i n e c o n t i n e n t a l . A ce tableau, i l f a u t ajouter deux types p a r t i c u l i e r s de s t r u c t u r e q u i ne c o u v r e n t qu'une faible partie de l a surface terrestre {a) les marges continentales
et les
fossés ; {h) les rifts (graben) c o n t i n e n t a u x caractérisés d ' u n e p a r t p a r u n « cous-
TABLEAU I
Type de croûte
Epais seur moyenne {km)
A . BOUCLIKR
35
1
Vitesses \ des ondes ' Pn et S„ (km/s) 8,3 4,7-4,8
Anomalie de Bouguer (mgal)
'— '
Caractéristiiiiw tectonique
l O à — .30 Très stable
•
B, M ÉD I 0 CONTINF.NTAL
38
8,2 4,6
C. C H A Î N E S ET BAS SINS
30
7,8 4,4
— 10 à — 40 Stable
i i
— 200 à — 250
8,0 4,3
E.
30
7,6-7,8 4,3-4,5
u
8,1-8,2 4,7
10
7,4-7,7 4,2-4,4
GRAND ARC INSU LAIRE . . .
F, B A s s 1 Nj OCÉANI-l QUE PRO-| FOND . . . ;
— 200 à - . 3 0 0 Très instable
Soulèvement rapide récent. Intrusion re lativement récente, j Forte altitude m o yenne.
—
Fort volcanisme. Plissement et fail lage intenses.
50 à i 100 Très instable
' 250 à r 350 Très stable
1 G . CRÊTE MFDIO-OCÉANIQUE . . .
Sédiments post-cambriens moyenne ment épais. Faillage normal ré-1 cent. Volcanisme et i n t r u s i o n . F o r t e i altitude moyenne. |
1
55
Peu o u pas de sédi ments. E n surface, roches batholitiques d'âge précam brien.
Très instable
j D. ALPIN . . .
Particularités géologiques
-•r- 200 à ··- 250 i Instable i 1
Sédiments très m i n ces surmontant des! basaltes. Anomalies! magnétiques liné aires. Pas de sédi ments paléozoïqucs épais. I Volcanisme basalti que actif. Peu o u ! pas de sédiments.!
LA
278
CROÛTE
TERRESTRE
sin » de vitesse 7,6-7J km/s s u r m o n t a n t le manteau de vitesse 8,2 km/s, d'autre part par u n épaississement et une dissymétrie de la zone sialique à m o i n d r e vitesse sous le graben proprement d i t ( M u e l l e r et al. en 1967). U n intérêt particulier s'attache aux variations géographiques de la p r o f o n deur d u M o h o et à celles des vitesses sismiques observées immédiatement a u dessous. O n a trouvé, par exemple, aux Etats-Unis, de grandes différences dans la vitesse des P„, celles-ci étant plus basses à l'est des Rocheuses que dans le nord-est (Fig. 61« et h). Des manteaux « a n o r m a u x » avec des vitesses descen dant parfois jusqu'à 7,3 km/s ont été trouvés dans quelques régions terrestres telles que l'Islande et la zone d ' i v r e a (Fig. 62).
IVitesse moyenne B.Zkm/sC >6.5hni/5 Vit.moy.
Vit. moy. Ligne d&jole Ligne degalp <0,2kin/r. t!p(ii.-i.-îeurde vit. ôkm/s croûte hachures du côté ci: 1(1 vit. est:<8kni/s)
FIG. 6 1 . a) 58,
Vitesse des ondes P„ .sons les Etats-Unis. p.
D'après TUCKER et al.,
BSSA,
1968,
124.3.
b) Variations de l'épaisseur et de la vitesse moyenne des ondes P sous les Unis. D'aprèi PAKISER et STEINHART, Res. in Geophys., 1 9 6 4 , 2 , p. 1 2 3 .
Etats-
TRAITS
GÉNÉRAUX
DE
LA
CROUTE
279
F I G . 6 2 . — Lignes d'égale épaisseur de la croûte terrestre sous les Alpes occi dentales. Hypothèse d'une croûte à une seule couche de vitesse moyenne 6 , 0 7 km/s surmontant u n manteau de vitesse 8 , 1 3 km/s. A droite, mise en évidence d ' u n manteau anormal sous la zone d'Ivrea. D'après Y . LABROUSTE, BALTENBERGER, PERRiER>t RECQ, CRAS, 1 9 6 8 , 2 6 6 , p. 6 6 3 . COULOMB et JOBERT —
I
12
280
LA
CROÛTE
15. — C O M P O S I T I O N
TERRESTRE
DE
LA
CROUTE
L'étude c h i m i q u e et minéralogique des matériaux c o n s t i t u a n t la croûte est principalement fondée sur la comparaison des vitesses sismiques avec les mesures faites en laboratoire dans certaines conditions de pression et de tempé rature. 15.1. — Croûte continentale. — Sous les continents, la basicité augmente en gros avec la p r o f o n d e u r . Bien que la vitesse des ondes P dans la partie supé rieure de la croûte continentale soit en accord avec celle observée sur des gra nités à une pression de 1 kbar, le fait que la densité des roches d u socle cris t a l l i n (2,75-2,80 g/cm'') soit supérieure de 0,10 à 0,15 g/cm^ à celle d u granité (2,67 g/cm^) laisse supposer que la c o m p o s i t i o n moyenne de la croûte supérieure se place entre la g r a n o d i o r i t e et la d i o r i t e ( B o t t , 1971). Ceci peut s'expliquer en partie par l'abondance dans le socle de roches plus denses mais moins rapides. A la base de la croûte, la vitesse des ondes est souvent trouvée comprise entre 6,5 et 7,6 km/s. U n e simple croissance de la vitesse avec la pression ne pouvant pas expliquer des vitesses aussi grandes, i l a été souvent admis que l ' o n se t r o u v a i t en présence de basalte o u de gabbro. O r , Green et R i n g w o o d (1966) o n t montré que la forme stable des roches basiques à la base de la croûte était féclogite de vitesse 8,0 km/s et n o n le gabbro. Plusieurs solutions o n t alors été proposées : soit, en milieu sec, des formes à haute pression de roches acides et intermédiaires telles que la granulite à grenat et Féclogite plus riche en silice, ou bien la d i o r i t e et la g r a n o d i o r i t e , soit des roches basiques telles que l ' a m p h i bolite (avec quelques roches riches en silice) avec présence de vapeur d'eau. —
océanique. — Si la jcouche 1 est constituée de sédiments non consolidés, la couche 2 de sédi M O Y E N N E DES CONTINENTS ments consolidés, délaves basaltiques BOUCLIER PRÉCAMaHIÉN^CROUTE et de roches intrusives, deux h y p o thèses o n t été avancées sur la c o m p o DUNITE a sition de la couche 3 : selon Hess en PÉRIDOTITE 1965, elle serait obtenue à p a r t i r de péridotites d u manteau par serpentinisation à 70 %. C a n n en 1968, y v o i t a u contraire des a m p h i b o l i t e s provenant de la métamorphisation des basaltes d u socle. L'épaississe400 ment progressif de la couche océani El AMPHOLITE que à p a r t i r de la zone axiale p o u r r a i t [ x ] PYROLITE À PYROXÈNE s'expliquer, dans l'hypothèse de Hess, El PYROLITE À GRENAT comme une h y d r a t a t i o n progressive F I G . 6 3 . — Modèle pétrologique pour le d u sommet d u manteau (Le Pichon, manteau supérieur. D'après CLARK et R I N G 1969). 15.2.
Croûte
WOOD, Rev. Geophys.,
1 9 6 4 , 2, p. 3 5 .
BIBLIOGRAPHIE 75.5. — Nature changement supérieur
de la
discontinuité
281
de Mohorovicic.—
L'hypothèse d ' u n
de phase entre une croûte inférieure gabbroïque et u n m a n t e a u
éclogitique
est m a i n t e n a n t
abandonnée.
E n effet,
l'examen
des
courbes de température-pression, différentes sous les c o n t i n e n t s et les océans, montre que le M o h o ne peut pas être p r o d u i t p a r le même changement phase sous les deux types de s t r u c t u r e . Bien q u ' u n changement
chimique
de fai
sant passer de roches acides et intermédiaires à des éclogites puisse encore être envisagé, l'hypothèse la plus souvent admise est le passage de granulites acides et intermédiaires à des roches ultrabasiques, péridotites et pyroxènes
(Bott,
1971). Sous les péridotites, R i n g w o o d
d'une
roche hypothétique q u ' i l appelle pyrolite
a supposé en
1954 l'existence
composée en poids de 1 basalte p o u r
3 de d u n i t e ( T o m e 11). Le f r a c t i o n n e m e n t de la p y r o l i t e p a r fusion
partielle
dans la couche à m o i n d r e vitesse d u manteau supérieur p r o d u i r a i t le m a g m a basaltique et laisserait
les péridotites c o m m e résidu ( F i g . 63).
BIBLIOGRAPHIE Seuls sont indiqués les ouvrages généraux et les articles récents. Le lecteur trouvera là, ou dans les légendes, toutes les références aux auteurs cités dans le chapitre. Anonyme. 1968. Graben Problems, Proceedings of an international rift, K a r l s r u h e , l U M P , Scientific Report n " 27. M . H . P. BoTT, 1971. The interiorof the Earth, 316 p., E d w a r d A r n o l d , Londres. V. I . BuNE, 1968. Proceedings of the X Assetnhly ofthe E. S. C, 1 , Leningrad. R. M . CLOVk-ES et E. R. KANASEWICH, 1970. Seismic atténuation and the nature o f reflecting horizons w i t h i n the crust. JGR, 75,6693-6705. J. COULOMB, 1969. L'expansion des fonds océanic/ues et ladérive des continents, 2 2 4 p . , Presses Universitaires de France. K. FucHS, 1969. O n the properties o f deep crustal reflections, Zeits.fiir Geophys., 35, 133-149. K. Fucus et G . M U L L E R , 1971. C o m p u t a t i o n o f synthetic seismograms w i t h the reflectivity mcthod and comparison w i t h observations. GJ, 23, 417-433. P. GIESE, 1970. The détermination of the velocity-depth distribution for separated travel-time segments. A. GuTF.RCH, 1970. Kinematics and dynamics of seismic waves in selected heterogeneously stratified models of the continental earth's crust. P u b l . Inst. Geophys. Polish A c a d . S e , Varsovie. P. J. HART, 1969. The Earth's crust a n d upper mantle, Geophys. monograph, 13, A m . Geophys U n i o n , Washington. L. KNOPOFF, C . L . D R A K E et P. J . H A R T , 1968. The crust a n d upper mantle o f the Pacific Area, Geophys. monograph, 12, A m . Geophys. U n i o n , Washington. Y. LABROUSTE et H . CLOSS, 1953, rédacteurs. Recherches sismologiques dans les Alpes occi dentales au moyen de grandes explosions en 1956, 1958 et 1960. Mémoire collectif, CNRS. X. LE PICHON, 1969. Models and structure o f the oceanic crust. Tectonophysics, 7, 385-402. S. MUELLER et M . T A L W A N I , 1971. A crustal section across the Eastern Alps based o n gravity and seismic refraction data. Pure and Appt. Geophys., 85, 226-239. P. MURAOUR, 1970. Eléments de Géophysique marine, 190 pages, Masson et Cie. J. S. STEINHART et R. P. MEYER, \96\. Explosion studies of continental structure. Carnegie Institution o f Washington, p u b . 622. J. S. STEINHART et T . J . SMITH, 1966. The E a r t h beneath the continents. Geophys. monograph, 10, A m . Geophys. U n i o n , Washington. M. TALWANI, C. C. WINDISCH et M . G . LANGSETH, Jr, 1971. Reykjanes ridge crest : a detailed geophysical study. JGR, 76, 473-517. S. M . ZVEREV, 1970. Problems i n seismic studies o f the oceanic crust. Izvestiya, English éd., 4, 237-246.
CHAPITRE
OBSERVATION
11
DES ONDES D E V O L U M E
A Y A N T TRAVERSÉ L E
MANTEAU
ET L E N O Y A U par Mansur Ahmed
1. —
CHOUDHURY
INTRODUCTION
Les ondes élastiques longitudinales ( o u irrotationnelles) P et transversales (ou rotationnelles) S émises lors d'une r u p t u r e , d'une part se progagent par réfraction et réflexion à l'intérieur de la Terre (ondes de volume) et d'autre part forment des ondes guidées (ondes de surface). L'observation des ondes de v o l u m e est desdnée à bien connaître la structure de l'intérieur de la Terre. O n peut mesurer en surface les temps d'arrivée des diverses ondes, leurs amplitudes et leurs périodes. Les courbes d o n n a n t les deux premiers paramètres en f o n c t i o n de la distance entre l'épicentre et les points d'observation sont, avec le spectre des ondes observées, les données fondamentales en sismologie. Par l'inversion de ces deux courbes o n o b t i e n t la d i s t r i b u t i o n de vitesse et l ' a b s o r p t i o n d'énergie à l'intérieur de la Terre p o u r l'onde considérée. Actuellement la première est assez bien connue, la seconde approximativement. O n verra a u chapitre 14 que certains séismes o n t des foyers situés à des p r o fondeurs p o u v a n t atteindre 700 k m . Mais les séismes superficiels et les séismes profonds ne consdtuent pas des classes séparées. L a transition est progressive. Nous devons en tenir compte p o u r suivre l'évolution des ondes de volume en fonction de la distance à l'épicentre, autrement d i t p o u r établir un classement des observations tenant compte des accidents dans les courbes de durée de propagation. N o u s présenterons simultanément les aspects généraux des spectres observés. Enfin l ' e x p l o i t a d o n des enregistrements ne peut être faite correctement qu'à l'aide des tables de durée de p r o p a g a t i o n . L a c o n s t r u c t i o n des tables et la déterminadon des paramètres d u foyer sont liées. N o u s évoquerons brièvement les méthodes correspondantes et présenterons les tables récentes. Jusqu'à 1968, les tables d ' u t i l i s a t i o n courante étaient celles de Jeffreys et Bullen et celles de
284
ONDES
AYANT
TRAVERSÉ
LE MANTEAU
ET LE
NOYAU
G u t e n b e r g et Richter, publiées respectivement en 1940 et 1936-37. N o u s enten drons par modèle de Jeifreys-BuUen o u de Gutenberg-Richter la d i s t r i b u t i o n verticale de vitesse des ondes élastiques déduite de ces deux tables. 2. — PARAMÈTRE ET FORME D ' U N RAI SISMIQUE
Soient α et ^ les vitesses respectives des ondes P et S. Elles sont liées (Chap. 5) aux coefiicients élastiques λ, μ
et /r et à la densité ρ p a r
D a n s un modèle à couches concentriques homogènes, o n a ( F i g . 1) O P , sin i , O P , sin /, O P , sin i , !ί = —— = γ n M ''z
• , o . i ( l o i de Snelhus Descartes)
où V désigne la vitesse des ondes P o u S. Si l ' o n désigne par R la distance a u centre de la Terre, o n peut donc écrire d'une façon générale R sin i - - ^ -
= ^-
Le paramètre p caractérise le trajet des ondes entre le foyer et u n p o i n t sur la surface de la Terre. Supposons q u ' u n r a i s'enfonce (0 < / < π/2), au départ d u foyer que p o u r simplifier nous considérerons superficiel ( F i g . 2), dans u n m i l i e u où VjR croît avec la p r o f o n d e u r . E n vertu de la r e l a t i o n sin i = pV/R, sin / va croître, donc /,
j u s q u ' a u m o m e n t où o n a u r a / = π/2, V(R)jR
= l/p (sommet S o u p o i n t bas
d u r a i ) ; / c o n t i n u e alors à croître mais V/R décroît. Le r a i remonte (π/2 < / < π) symétriquement par r a p p o r t au r a y o n OS. Les circonstances q u i peuvent se présenter p o u r la d i s t r i b u t i o n des rais o u des ondes suivant la l o i de v a r i a t i o n de V(R)/R
o n t été détaillées au chapitre 5,
FORMES
PARTICULIÈRES
285
D'HODOCHRONES
et reprises au chapitre 10 p o u r la stratification plane (dans laquelle la v a r i a tion V{Z) de la vitesse i^avec la p r o f o n d e u r Z j o u e un rôle analogue à V{R)jR). Nous n'y reviendrons pas ; nous décrirons seulement les circonstances q u i se présentent réellement dans la Terre, o u t o u t au moins celles q u i apparaissent aujourd'hui probables. La durée de p r o p a g a t i o n Γ d'une onde entre le foyer F et les diverses stations est une f o n c t i o n de la distance épicentrale Δ et de la p r o f o n d e u r d u foyer /;. La courbe représentant la r e l a d o n Τ{Δ) est appelée Γ hodochrone. Considérons deux rais voisins issus d ' u n même foyer F (Fig. 2). I l s aboutissent à deux points S, et 82- Soient, Δ, et 'es angles au centre sous lesquels sont vus les deux arcs FS^ et F S j .
S7S2 = ΚΔ2 -
Δ,).
La différence des temps de p r o p a g a t i o n est _ Κ{Δ2
-
^ i ) s i n /Q
où V est la vitesse à la surface. A la l i m i t e , R sin I'O "
l
^
dT = d l = ^-
Ainsi, le paramètre p est égal à la pente de l ' h o d o c h r o n e Τ(Δ) 3. — F O R M E S PARTICULIÈRES
au p o i n t ( Γ , Δ).
D'HODOCHRONES
Les p r i n c i p a u x accidents des hodochrones sont des conséquences des varia tions discondnues de V(R)IR. entre la l o i V(R)/R
N o u s rappellerons brièvement la correspondance
et l ' h o d o c h r o n e dans trois cas : 1) a u g m e n t a d o n brusque
de V(R) ; 2) d i m i n u t i o n brusque de V(R) 3.1. — Cas d'une augmentation
; 3) c o m b i n a i s o n des deux premiers.
brusque de V(R).
schémadquement la d i s t r i b u t i o n de V(R)/R
F I G . 3. — Accroissement
— L a figure 3 m o n t r e
et l ' h o d o c h r o n e correspondante.
brusque de vitesse, et forme de l'hodochrone.
286
ONDES
AYANT
TRAVERSÉ
LE
MANTEAU
ET
LE
NOYAU
Lorsque le p o i n t bas d u r a i pénètre de plus en plus profondément j u s q u ' a u p o i n t C , l ' h o d o c h r o n e progresse régulièrement j u s q u ' a u p o i n t C, puis rebrousse jusqu'à D. L a branche CD correspond aux réflexions totales sur la surface de discontinuité de vitesse correspondant à C D'. Elle a sa concavité vers le haut comme toutes les branches rétrogrades. L ' a m p l i t u d e est i m p o r t a n t e au p o i n t D. Les rais incidents sous des angles inférieurs à l'angle critique / (sin / = ViJVj) se réfléchissent d'une p a r t et se réfractent d'autre p a r t dans le m i l i e u inférieur. L a branche DF correspond aux ondes réfractées. A u p o i n t bas d u r a i , p = R/V(R) et p a r conséquent la pente au p o i n t D est inférieure à celle au p o i n t C. 3.2. — Cas d'une diminution brusque de vitesse. — Dans ce cas le fait p a r t i culier est une zone d ' o m b r e géométrique entre z l , et A 2 ( F i g . 4). Si à u n niveau inférieur à A', V{R)/R dépasse sa valeur au niveau X', l'onde émerge et les hodochrones sont décalées. Suivant la croissance plus o u moins rapide de VjR, l ' h o d o c h r o n e présente o u n o n une branche rétrograde. D e toute façon les rais q u i s'enfoncent au-dessous d ' u n certain niveau B' sortent à des distances supérieures k A2 ; \a branche BC est prograde avec sa concavité vers le bas. A passe par u n m i n i m u m au p o i n t B q u i est d i t p o i n t focal ( 6 . 5 . 3 ) .
V(R)/R
FiCi. 4. — Diminution brusque de vitesse, et forme de l'hodoclirone. Les tangentes aux points X et A sont parallèles.
3.3. — Cas d'une diminution brusque suivie d'une augmentation brusque de vitesse. — Ce cas se présente p o u r les ondes P dans la Terre, l a d i m i n u t i o n correspondant (§ 4 . 4 ) a u passage d u « manteau » au « noyau », l'augmenta t i o n d u passage d u noyau à la « graine ». O n a t o u j o u r s la zone d ' o m b r e entre Al et A2 ( F i g . 5). Les branches AB et BC sont les mêmes que dans le cas précé dent. A u p o i n t C nous retrouvons les conditions d u premier cas ; la branche CD est réfléchie et DF correspond aux ondes réfractées dans le m i l i e u inférieur à C D'. L a boucle ABCDF représente les hodochrones des ondes q u i se sont
PHASES
SISMIQUES
287
propagées dans le n o y a u et la graine (§ 5 . 4 et 5.5). L e p o i n t B est t o u j o u r s u n point focal.
^1 F I G . 5. — Diminution brusque suivie d'un accroissement brusque de vitesse, forme de rirododirone. Les tangentes aux points X et A sont parallèles.
et
4. — P H A S E S S I S M I Q U E S
On peut distinguer sur chaque enregistrement d ' u n tremblement de terre o u sismogramme des p o r t i o n s o u pliases sismiques q u i représentent l'arrivée d'ondes ayant suivi des trajets différents. Les ondes directes P et S en sont u n cas particulier. Chaque phase a son h o d o c h r o n e . L e n o m b r e de phases obser vées dépend de la distance épicentrale. N o u s allons étudier les principales phases, en supposant t o u j o u r s une symétrie sphérique. 4 . 1 . — Phases réfléchies. Propagation dans le manteau. — L o r s q u ' u n r a i sismique arrive à la surface de la Terre o u sur une surface de discontinuité de V(R), i l se réfléchit. L'angle d'incidence est le même que l'angle de réflexion si celle-ci se fait sans changement de nature. Si l ' o n passe d ' u n r a i P faisant l'angle / avec la verticale à u n r a i 5 faisant l'angle J (réflexion mixte) o n a sin /•
sin j
a et β étant les vitesses des deux ondes. L a même équation convient p o u r la réflexion P d'une onde S, mais le sinus de l'angle d'incidence j d o i t être inférieur à βία. Soit F u n foyer p r o f o n d situé sur le rai AA' ( F i g . 6) entre le sommet K et
F I G . 6. — Ondes réfléchies pP, sS (FA' B') et PP, SS (FAB).
288
ONDES
AYANT
TRAVERSÉ
LE
MANTEAU
ET LE
NOYAU
le p o i n t A'. L ' o n d e se dirige de F en ^4 et de F en A' suivant le même r a i dans deux directions opposées. L a figure 6 m o n t r e deux rais réfléchis AB et A' B'. Le trajet FA' est désigné suivant le cas p a r p o u s, le trajet FA p a r P o u S, les trajets AB, A' B' par P, S. L ' o n d e réfléchie a r r i v a n t en B' est pP, pS, sP o u sS. L ' o n d e réfléchie a r r i v a n t en B est PP, PS, SP o u SS. Elles n'existent qu'à p a r t i r d'une certaine distance correspondant au r a i p a r t i horizontalement d u foyer. Si le foyer est superficiel, la c o n d i t i o n sin J < β/χ i m p l i q u e que la phase PS o u la phase SP ( q u i arrive en même temps dans ce cas) n'existe qu'à p a r t i r d'une distance d ' e n v i r o n 40°. 4 . 2 . — Particularités des hodochrones de P et S issues d'un foyer profond. — Considérons u n foyer à la p r o f o n d e u r h ( F i g . 7) situé dans u n m i l i e u où - d { V(R)/R }ldR < 0. Lorsque / décroît de π à π/2, le paramètre p ( = dT/dA) croît de 0 à R/V(R) ; l ' h o d o c h r o n e q u i p a r t horizontalement est concave vers le haut. Puis / continue à décroître, les points bas des rais se situent à des profondeurs supérieures a h et p se met alors à décroître ; l ' h o d o c h r o n e est concave vers le bas. P o u r / = π/2, le r a i p a r t horizontalement et émerge à la distance EC, l ' h o d o c h r o n e a une inflexion au p o i n t M. E n ce p o i n t dt/dA = R/V(R). L a pente de l ' h o d o c h r o n e P o u 5' au p o i n t M f o u r n i t donc directement la vitesse à la p r o f o n d e u r h (Gutenberg, 1953, K a i l a et al., 1969).
F I G . 7. — Particularités de propagation de P et S issues d'un foyer profond, et hodochrone correspondante. Point d'inflexion M. L a figure est tracée en négli geant !a courbure de la Terre. 4 . 3 . — Particularités des hodochrones de pP et de PP. — Considérons le r a i réfléchi FCD ( F i g . 8) parti horizontalement d u foyer F(i = π/2). Ce rai est c o m m u n , à la limite des tra jets, à pP et PP. Les rais q u i partent vers le bas (/ < π/2) sont PP et aboutissent aux distances supérieures à ED (le rai FAB par exemple) ; ceux q u i partent vers le haut {i > π/2) sont pP et émergent aux distances inférieures à ED (le r a i Fab par exemple). Lorsque le point de réflexion (X) s'éloigne de C vers A le point d'émergence de PP s'éloigne régulièrement de D.
PHASES
289
SISMIQUES
L'hodochrone de PP commence à la distance ED et progresse régulièrement. Par contre, lorsque le point X s'approche de £, le p o i n t d'émergence de pP, dans u n premier temps, s'approche également de E, jusqu'à ce que ^ p a r v i e n n e en u n certain point a. Si A'se rapproche davantage de E, le rai aboutit à u n p o i n t situé au-delà de b. b est u n point de rebroussement. L'hodochrone pP a donc (Bullen, Lehmann) une branche rétrograde entre les distances ED et Eb, puis une branche normale au-delà de Eb ( F i g . 9). L'amplitude au point b (point focal) doit être grande comme dans le cas de PKP (§ 5.5). L e point M (Fig. 9) est u n point d'inflexion de l'hodochrone. L a différence de distance entre les points D et b ( F i g . 9) varie en fonction
F i G . 8. — Particularités de propagation de pP et de PP.
F i G . 9. — Hodochrones de pP et de PP. Point d'inflexion M.
800^
600L
400L
200L
A"(m:ri)
F I G . 10. — Distance minimale d'observation
de pP et de PP.
290
ONDES
AYANT
TRAVERSÉ
LE
MANTEAU
ET
LE
NOYAU
de la l o i V{R)IR et la profondeur d u foyer. Avec la l o i de vitesse de H e r r i n et al. 1968, les deux points ne s'écartent pas de plus de 3". L'examen des phases pP et PP au point de vue du principe de Fermât (5.7) montre que la durée de trajet entre F et une station avec réflexion en X, passe par u n m i n i m u m , pour pP, par u n m a x i m u m pour PP. Le m a x i m u m correspond à une symétrie de rais, rigoureuse lorsque le foyer se trouve à la surface, appro chée dans les autres cas. L a figure 10 montre la distance minimale d'observation des phases pP et PP en fonction de la profondeur d u foyer.
4.4. — Phases relatives au noyau et à la graine. — L a courbe de propagation des ondes P et S est régulière jusqu'à une distance épicentrale de 105°. Le rai sismique correspondant s'enfonce de plus en plus profondément. A la dis tance Δ = 105", correspondant à u n angle d'émergence (e = π/2 — ί), l ' h o d o c h r o n e s ' i n t e r r o m p t . Le fait s'interprète p a r l'existence à la profondeur d ' e n v i r o n 2 900 k m d'une discontinuité où la vitesse des ondes P tombe brus quement de 13,7 km/s à 8,1 km/s. O n d i t q u ' o n est passé d u manteau au noyau. Ce passage est accompagné d'une zone d ' o m b r e géométrique p o u r les ondes P. Les ondes S ne se propagent pas dans le n o y a u , ce q u i a c o n d u i t à admettre que sa rigidité est p r a t i q u e m e n t nulle. Le rai Î\ est tangent à la surface d u n o y a u . P o u r les valeurs e > e„ les ondes P et S t o m b a n t sur la surface d u n o y a u engendrent d'une p a r t des ondes réfléchies de même nature, PcP et ScS, et des ondes mixtes, PcS et ScP, d'autre p a r t une onde réfractée sans changement de nature, PKP o u des ondes mixtes PKS, SKP, SKS. O n désigne par AT (de l'allemand K e r n ) le trajet dans le noyau. Les ondes K sont des ondes longitudinales. Elles peuvent se réfléchir sur la frontière d u manteau. Lorsque e augmente, le r a i pénètre de plus en plus profondément et vers 5 000 k m devient tangent à la graine. Puis les rais incidents sur la surface de la graine donnent naissance, d'une p a r t , à des ondes réfléchies PKiKP et d'autre p a r t , à des ondes réfractées PKIKP. L a graine est considérée c o m m e rigide. 11 d o i t donc exister des ondes mixtes PKJKP (où / désigne le trajet dans la
partant
du foyer
comme
ondes
longitudinales
et intéressant le noyau et la graine.
tant
du foyer
comme
ondes
transversales
intéressant le noyau et la graine.
et
PHASES
SISMIQUES
291
graine sous forme d'onde 5 ) . Pour cette phase des observations sûres f o n t encore défaut. L a figure 11 m o n t r e , schématiquement, les trajets des rais par tant d u foyer comme P et relatifs a u n o y a u et à la graine. Comme la vitesse des ondes 5 au bas d u manteau est 7,3 km/s, et celle des ondes K au sommet d u n o y a u est 8,1 km/s, l a phase SKS émerge bien avant que S ne s'arrête. D'après les Tables J - B 40 (Jeffreys et B u l l e n , 1940) SKS émerge vers 62° p o u r u n foyer superficiel. L a figure 12 m o n t r e les principales phases q u i partent d u foyer comme 5. 4.5. — Particularités des hodochrones de PKP et SKS. — Si l'angle d'émer gence est égal à e^, la branche réfractée, PKP, émerge à la surface à une distance supérieure à 180°. Le p o i n t bas d u r a i est alors le plus proche de la surface du noyau. O n retrouve ensuite les circonstances décrites au paragraphe 3 . 3 . Lorsque e croît le p o i n t d'émergence recule ( F i g . 13) et la durée de p r o p a g a t i o n diminue. Cette branche AB est rétrograde. B, vers 143°, est u n p o i n t de rebrous sement. L ' a m p l i t u d e y est très grande ( F i g . 30). L a branche rétrograde AB est appelée P A : P 2, la branche BC, PKP 1. ;
F I G . 13. — Trajets de diverses ondes PKP et forme de leurs
hodochrones.
Lorsque le r a i est tangent à la surface de l a graine, i l rencontre une brusque augmentation de vitesse (de 10 km/s à 11 km/s environ), sans doute précédée d'une faible d i m i n u d o n . Les rais suivants sont réfléchis sur la surface de la graine, la réflexion au début étant totale. Le p o i n t d'émergence rétrograde de C (vers 157°) en D (vers 110°). L a branche CD, diflScile à observer, est PKiKP. A p a r t i r d u p o i n t D l'énergie, très faible dans les ondes réfléchies, passe dans l'onde PKIKP, réfractée dans la graine. PKIKP progresse d u point i ) jusqu'à l'antipode. C et D correspondent à une augmentation brusque de V(R) et de ( - dVjdR) à travers la surface de la graine. Dans ce cas ( 6 . 4 . 3 ) ni C n i £) ne correspond à u n p o i n t focal. L ' a m p l i t u d e en ces points est faible. Les ondes SKS f o r m e n t une boucle d u type montré au paragraphe 3 . 1 .
292
ONDES
62°
AYANT
TRAVERSÉ
83° 99° 105'
F I G . 14. — Formes d'hodochrones des ondes issues du foyer comme ondes trans versales et intéressant le manteau, noyau et la graine. A noter les boucles formées par S-ScS-SKS et SKS-SKiKS-SKIKS.
LE
MANTEAU
ET
LE
NOYAU
Elle se détache de ScS vers 62°. L a boucle C D' C ( F i g . 14) est la consé quence de l'excès de vitesse de K sur S. C D' correspond à ScS, réfléchie sur la surface d u n o y a u , D' Ck SKS, réfractée dans le n o y a u . CD correspond à SKiKS réfléchie sur la surface de la graine, DF à SKIKS réfractée. L ' h o d o c h r o n e de SKS s'étend de 6 2 " à 133°, celle de SKIKS de 133« à 180°. N o u s présentons dans la figure 15 les hodochrones des principales phases inté ressant le manteau, le n o y a u et la graine.
5 . — C L A S S I F I C A T I O N DES S I S M O G R A M M E S
L e n o m b r e et la netteté des phases enregistrées dépendent de la distance épicentrale. E n pratique, l'aspect des sismogrammes est différent selon q u ' o n les obtient au moyen d'appareils à courte période, à longue période o u à large bande passante. N o u s verrons ces différences sur des cas particuliers. L a classification proposée ici en f o n c t i o n de la distance épicentrale est basée sur l'homogénéité des familles de rais P, PKP, S et SKS. Les limites entre classes ne sont qu'indicatives. E n changeant de classe, i l faut s'attendre soit à la d i s p a r i t i o n progressive d'une phase soit à l ' a p p a r i t i o n d'une nouvelle. Certaines phases présentent parfois a u lieu d ' u n début unique plusieurs arrivées successives dues à des réflexions o u réfractions soit dans la croûte soit en p r o fondeur ( « multiplicité » c f F i g . 16 et 17). Classe
Distance en degrés
Phases Apparition/Disparition
Principales phases observées
§
1
1 2 ^ - -
4
0 < A < 8 < A < 30 < zl <
8
\Pg, Pn, Sn, Sg
30 P, S, Pg, Sg (multiples)
P, S, PcP, ScS,
70 (multiplicité de P, S)
P, PP, (PPP), PcP, s, (SKS), SS, P'P'
ScS,
p, PP, PPP, PS, SKKS, SS, PKKP
SKS, 5.3
10 < A < 105 SKS,
SKKS
5"
105 < .d < 143 PKIKP, ScS
SKP,
6
m
PKPl
< A < 180 PKP\,
p, PcP,
s, p
~57Γ
(PP)
(diffractée), (PKiKP) 5.4 PKIKP, PP, PPP, SKS, SKIKS, SKKS, SS, SSS, PS, PPS
PKIKP, PKPl, PPP, SKIKS, PPS, SS, SSS
PKPl, SKKS,
PP, 5.5 PS,
Les phases entre parenthèses doivent théoriquement être observées ; pratiquement leur observation est incertaine.
CLASSIFICATION
DES
SISMOGRAMMES
293
294
ONDES
AYANT
TRAVERSÉ
LE
MANTEAU
ET
LE
NOYAU
Le premier groupe concerne la propagation dans la croûte terrestre et le long de la discontinuité séparant la croûte et le manteau. L'observation des ondes pour 0 < Δ < 8° a été discutée au chapitre 10. Nous n'y reviendrons pas. 5.1. — Sismogrammes aux courtes distances (8" <Δ < 30"). — Les ondes P et S se propagent entièrement dans le manteau supérieur où V n'est pas une fonction régulière de R. La multiplicité des phases ainsi que leur amplitude dépendent de la nature des irrégularités. L'amplitude d'une onde émergeant à une distance Δ dépend de l'expansion géométrique des rais, indépendante de la fréquence, et de l'atténuation ou perte d'énergie (1) qui en dépend. L'eflFet de l'expansion géométrique est donné (6 et 14) par : Ε(Δ)
I
^
Vj-cotgef
d'T
sin J sine ά Δ '
où Ε{Δ) est l'énergie par unité de surface du front d'onde, / l'énergie par unité d'angle solide émise au foyer, Cf l'angle d'émergence au foyer, e l'angle d'émer gence à la surface, Rf la distance entre le foyer et le centre de la Terre, R le rayon de la Terre et Vj- la vitesse au foyej\ L'amplitude étant proportionnelle à Vd^T/dJ^, il est possible de contrôler un modèle de V(R) déduit d'une fonction Τ{Δ). Mais la comparaison de l'am plitude observée à celle correspondant au modèle se heurte à des difficultés pratiques. Lorsqu'on inverse une fonction Τ(Δ) (6), on obtient des valeurs discrètes de V{R). La méthode d'interpolation qui fournit des valeurs continues joue un rôle important. Ainsi une interpolation par V = aR'' où a et h sont constantes dans chaque couche donne des discontinuités de second ordre dans άΤ/άΔ et des singularités dans ά'Τ/άΔ' qui n'ont aucune signification géophysique alors que l'utilisation d'un polynôme du 3*' degré en K et Λ fournit une courbe lisse de d'T/dA' en fonction de Δ (Chapman, 1971). Cette dernière peut être alors directement comparée avec l'amplitude observée ; mais la croûte terrestre et les couches superficielles modifient l'amplitude énormé ment, rendant de telles comparaisons difinciles. Les calculs de sismogrammes synthétiques pour des modèles particuliers, en tenant compte de la structure sous la station, permettront des contrôles efficaces. Les exemples en sont encore peu nombreux. Les observations avant 1960 ont été faites sur des stations sismologiques isolées ; la corréladon des ondes en dehors de la première arrivée était diflicile. Depuis, des réseaux de stations, dont quelques-uns conçus de façon à pouvoir rechercher l'origine d'événements particuliers (nappes, Chap. 9) ont été ins tallés dans certains pays. La figure 16 montre un assemblage obtenu à partir d'un réseau rectiligne traversant la France (distance entre stations de 1° environ), en utilisant quatre séismes de Grèce. Derrière l'hodochrone de la phase P (a) on suit deux autres phases b (peu nette) et c (nette.) De nombreuses explosions nucléaires ou chimiques ont permis, à partir de réseaux permanents ou installés
CLASSIFICATION
FIG. 16. — Assemblage de sismogrammes obtenus en France à partir de 4 séismes de Grèce montrant l'aspect multiple des ondes P entre 12" et 2 7 " (enregistrements des stations d e l a R C P N " 1 3 du CNRS). L'ordonnée est en temps réduit à la vitesse de r V l O s (' 11.1 km/s).
DES
SISMOGRAMMES
295
296
ONDES
AYANT
TRAVERSÉ
LE
MANTEAU
ET
LE
NOYAI'
temporairement, d ' o b t e n i r des assemblages de sismogrammes intéressant le manteau supérieur. L a figure 17 m o n t r e un autre exemple, obtenu aux EtatsU n i s , sur lequel sont superposées les hodochrones dérivées d ' u n des modèles de l o i de vitesse de la figure 18. ( L a figure 18 montre égalcmsnt les trajets des rais p o u r l ' u n des modèles.)
Δ, deg. F I G . 17. — Assemblage des enregisiremenis du profil NE du tir mujéaire du Nevada. Les hodochrones sont celles d u modè'e N T S de la figure 2 0 . L'ordonnée est en temps réduit à la vitesse l " / I O , 8 s (- 1 0 . 2 8 8 km/s). D'après J U L I A N et A N D I - R S O X . 1968.
Sur les deux exemples, o n v o i t un changement net de la vitesse apparente l ' u n vers 18" (Amérique) et l'autre entre 19" et 20". Leur comparaison permet déjà de soupçonner l'existence de variations régionales dans la struc ture d u manteau supérieur. Cependant les lois de vitesse de la figure 18 peuvent être considérées comme plus représentatives en moyenne que celles de Jeffreys ou de Gutenberg. Ces modèles manifestent trois particularités : (àAlàt),
! " L'existence d'une couche à m o i n d r e vitesse entre la base de la croûte et une p r o f o n d e u r d ' e n v i r o n 200 k m , l'épaisseur et la position de cette couche étant variable d'une région à une autre. 2" Une augmentation brusque de vitesse vers 400 k m de profondeur. 3" Une seconde a u g m e n t a t i o n , moins brusque, vers 600 k m . De plus grandes précisions sur la mesure directe de àTjàA, en tenant compte des erreurs dues à la croûte et aux couches superficielles sous chaque point
CLASSIFICATION
CIT204
DES
SISMOGRAMMES
297
MODIFIÉ
Fi(i. 18. —'Distribution de vitesse des ondes P dans le manteau supérieur pour différents modèles (en haut) et trajets des rais correspondant au modèle C I T 204. D'après JULIAN et ANDERSON, 1 9 6 8 .
d'observation (lyer, 1971), pourraient modifier ces modèles. Actuellement les deux augmentations de vitesse sont considérées comme générales. Par contre, il y a des divergences en ce q u i concerne l'existence de l a couche à m o i n d r e vitesse dans toutes les structures (celles des océans, celle des régions c o n t i n e n tales orogéniques et celle des boucliers).
298
ONDES
AYANT
TRAVERSÉ
LE MANTEAU
ET LE
NOYAU
U n solide ayant une rigidité μ complexe mais une incompressibilité k et une densité p réelle absorbe l'énergie des ondes P et S. L ' a m p l i t u d e d i m i n u e sui vant u n facteur _ds
ω exp|-2j
QV
où ω est la pulsation, às u n élément de r a i , Q le facteur de qualité, et où F = α ou β. Soient et les valeurs de Q p o u r les ondes P et 5 respectivement ; o n a (Chap. 1) : QJQ,
=
^aηAβ\
Le r a p p o r t a/^ varie en f o n c d o n de l a p r o f o n d e u r ; i l est lié a u coefficient d u Poisson σ p a r α'Ιβ' = 2(1 - σ)/(1 - 2 σ ) . σ varie de 0,25 à 0,30 dans le manteau. Si p o u r simplifier l ' o n suppose σ constant, P et 5· a u r o n t le même trajet ; en désignant p a r Tp, Tg les durées correspondantes, et e n surlignant les valeurs moyennes, o n a : TsJTp
= αΐβ ,
Avec
TsIQp
σ = 0,28 ,
= 3
TpjA β'
Γ^/β^ ~ 4,4
. Tp/Q,.
L a valeur de TplQ^ varie peu entre 30° et 80". Elle d i m i n u e légèrement p o u r Δ < 30° et augmente rapidement p o u r Δ > 80° (Teng, 1966. M i k u m o et K u r i t a , 1968). P o u r Tp/Q^ ~ 1, valeur m i n i m a l e d'après divers modèles de connus a u j o u r d ' h u i , les ondes S d'une seconde de période s u b i r o n t une atténuation en a m p l i t u d e plus de 10* fois supérieure à celle des ondes P mais le r a p p o r t tombe à 6 p o u r les ondes de 10 s (Carpenter et F h n n , 1965). L a figure 19 illustre cet aspect. L ' o b s e r v a t i o n des ondes PP et SS dépend beaucoup de l a l o i de vitesse régionale dans le manteau supérieur. Elles sont rarement observées avant 30°. 0,05-4Hz
1,
0 , 3 - 4 Hz
-.^^.^.^^.-^-.-..^^.^-^^^/VWVv^.A^ Jl!
.
1min. F i G . 19. — Composante verticale du séisme du J2-5-1971 {A = 22°8) enregistré à Paris. Transcription d'une bande magnétique m o n t r a n t avec la même sensibilité des enregistrements : a) à large bande passante ; b) à composantes longues périodes ; f) à composantes courtes périodes.
CLASSIFICATION
1 0 —
DES
SISMOGRAMMES
12
1000
EOOOL
3000L
FIG. 20. — Distribution des vitesses α et β en fonction de la profondeur. D'après HERRIN et al., 1 9 6 8 , pour α ( Λ ) et R A N D A L L , 1 9 7 1 , pour β{Ρ).
15.5.70
PcP Z
29m
17h24ni PP
ScP
H
29in
34m ScS
SS
N-S 34m
N-S
-WM
Î/1
ni
F I G . 21. — Enregistrement obtenu à Paris (A = 54°3, Λ = 33 k m ) montrant Vaspect des principales phases P (sur la composante verticale, Z ) et S (sur la composante horizontale, N - S ) arrivant isolées les unes des autres (transcription d'une bande magnétique).
ONDES
AYANT
TRAVERSÉ
LE
MANTEAU ET
LE
NOYA
CLASSIFICATION
DES
SISMOGRAMMES
301
5.2. — Sismogrammes aux distances 30" < J < 70'\ — C o n t r a i r e m e n t à l'aspect multiple des ondes P du paragraphe précédent ( F i g . 16 et 17), les enre gistrements, dans le présent intervalle de distance, sont relativement simples. C'est que les points bas des rais P et S émergeant entre 30° et 7 0 " sont dans un milieu (entre 700 et 1 900 k m de profondeur) où n i V{R) n i dV/dR ne pré sentent de variations discontinues. I l n'y a pas de f o r m a d o n de boucle, donc pas de phases multiples. L a figure 20 m o n t r e la v a r i a t i o n a(R) et β(R) en fonc tion de la profondeur. Les sismogrammes sont caractérisés par l'arrivée de phases séparées les unes des autres lorsqu'elles sont bien observées. L a figure 21 m o n t r e un exemple. PcP n'est pas t o u j o u r s aussi nette que PP q u i devient i m p o r t a n t e au-delà de 4 0 " environ. ScS de courte période n'est pas observée avec la même netteté dans différentes régions d u globe. Tandis qu'elle est très nette même à très courte distance (A x 10") en Amérique d u Sud (Gershanik et al, 1966, Sato et Espinosa, 1967), elle est rarement observée en France. En Terre Adélie ( F i g . 22) elle est souvent enregistrée très nettement entre 4 0 " et 70". A u t o u r de 6 0 " arrive, 29,4 m n après P, la phase PKPPKP (appelée P' P' par brièveté). Cette phase, de courte période et d ' a m p l i t u d e faible, n'est observée que sur les enregistrements à gain élevé. E t a n t due à la réflexion
FR.. 23. — Courbes de propagation des difl'érentes branches de PKPPKP et de pour quatre valeurs de h. D'après ENGDAHL et F L I N N , 1 9 6 9 .
SKKKP
AYANT
TRAVERSÉ
LE
MANTEAU
ET
LE
N
CLASSIFICATION
DES
SISMOGRAMMES
303
de PKP, elle a u n p o i n t focal à 74« (360° - 286°). Elle est assez confuse a u x distances inférieures à cause de ses m u l t i p l e s branches. Les figures 23 et 24 montrent les hodochrones et quelques exemples d'enregistrements. Cette phase a une importance particulière lorsque l ' o n désire connaître l a distance épi centrale d ' u n séisme en absence de t o u t autre renseignement. L'écart P' P' — P est très sensible à l a v a r i a t i o n de la distance épicentrale mais très peu sensible à la variation de l a p r o f o n d e u r d u foyer. P' P' est perturbée p a r SKKKP, surtout p o u r les séismes d o n t l a p r o f o n d e u r d u foyer est inférieure à e n v i r o n 300 km. SKKKP de très faible a m p l i t u d e ne se distingue réellement que p o u r les séismes très profonds. SKS
SKS Δ = 88,0 h = 319
Δ = 90,0 h
= 21
Δ = 92,1
Δ =101,0
S K K S
N-S
S K K S
E - W
FIG. 2 5 . — Position relative des phases SKS, SKKS et S aux différentes (enregistrements courtes périodes de Terre Adélie).
distances
CLASSIFICATION
DES
SISMOGRAMMES
305
Vers 62" SKS se sépare de ScS, mais elle est difficile à distinguer aux distances inférieures à 7 5 " 5.3. — Sismogrammes aux distances 70" < Δ < 105". — Tandis que les ondes PcP continuent à s'approcher des ondes P, la famille S s'enrichit par l'arrivée des ondes SKS. L a vitesse apparente άΔ/άΤ de SKS est supérieure à celle de S. Les premières SKS sortent vers 6 2 " et les deux hodochrones se croisent vers 83". Au-delà de cette distance, SKS précède S et c'est seulement à partir de là que SKS est nettement observée. Le sismogramme se complique au fur et à mesure que la distance augmente. SKKS suit SKS de près à p a r t i r de 85". Ainsi l'intervalle 7 0 " < J < 105" est caractérisé par l'arrivée de SKS, SKKS et S ( 5 ^ 5 se confondant avec 5 ) dans un intervalle de 1,25 m n . La figure 25 montre ces phases sur des portions de sismogrammes de courte période. SKKS reste faible p o u r A < 95". Sur les enregistrements de longue période pour Δ < 100" SKS et SKKS sont mélangées surtout p o u r les séismes super ficiels. Sur la figure 26 u n exemple de sismogramme donne u n aperçu de l'en semble des phases. L'importance de la phase SKS réside dans le fait qu'elle est avec SKP la seule à traverser la partie supérieure d u n o y a u , permettant ainsi la construction de la courbe de propagadon {§ 8 . 3 ) . 5.4. — Sismogrammes aux distances 105" < Δ < 143". — C o m m e nous l'avons déjà d i t , les hodochrones de f et 5* directes s'interrompent vers 105", par suite d'une d i m i n u d o n brusque de vitesse des ondes P. d(ajR)/dR est p o s i t i f dans le noyau ; les rais (e > e^) o n t leurs concavités vers le haut et émergent mais seulement à 143". Les courbes de propagation de P et PKP sont distinctes
F K I . 27. — Amplitude des ondes P diffractées par le noyau, d'après SACKS, 1 9 6 6 et les courbes théoriques de Phinney. D'après PHIN'NEY et CATHLES, 1 9 6 9 .
ONDES
AYANT
TRAVERSÉ
'Il
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•a o
XI
o α
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Ε o a
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3UJ (,Ο m
Q.
a
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i
Ι
Z
II
Si
II
•2
MANTEAU
ET
LE
NOYAU
et décalées. Cependant, dans la zone d ' o m b r e géométrique, la phase P c o n t i nue à être observée ; l ' h o d o c h r o n e , concave vers le bas jusqu'à 105°, devient rectiligne. L a vitesse apparente est constante, donc aussi OL{R)/R ; le p o i n t bas d u r a i reste au même niveau. E n fait, la phase P se propage le l o n g de la surface d u n o y a u par diffraction. L ' a m plitude s'affaiblit, particulièrement les composantes de hautes fréquences. L a figure 27 m o n t r e l ' a m p l i t u d e des ondes P mesurée p a r Sacks (1966) et les courbes théoriques de diffraction de Phinney et Cathles(1969). A u paragraphe précédent, nous avons montré que la partie d u sismogramme des ondes S p o u r 70° < zl < 105" est complexe ; i l en est de même, mais à un m o i n d r e degré, p o u r les ondes P vers 110". L a phase P A ' / A : P apparaît, mais sa position exacte n'est pas connue à cause de la branche CDE ( F i g . 13) de la boucle de PKP. Celle-ci est très aplatie ; près d u p o i n t D , PKiKP (branche CD) et PKIKP (DEF) sont presque superposées. D'après B o i t et ai. ( 1968) PKiKP est observée même à 105°. Vers 110°, PP, l a phase la plus i m p o r tante, arrive 40 s après, suivie de PPP. PKS{= SKP pour It = 0) n'émerge qu'à p a r t i r de 105° e n v i r o n et accuse u n retard de 3 m n 25 s sur PP et 1 m n 11 s sur PPP. Faible au début, elle est très i m p o r t a n t e vers 130". L a figure 28 m o n t r e u n exemple.
c
^< 1 %
I
ίΙΙί
II»
LE
co uî
E S i.
Q
Entre 130° et 143" e n v i r o n , des ondes de fréquences relativement élevées ( / > 1 H z ) précèdent PKIKP. Leurs amplitudes sont faibles ( F i g . 29). Malgré de nombreuses observations, leur inter prétation n'est pas encore sûre. Néan moins, o n peut affirmer que ces obser vations correspondent à une boucle
^
ί
·ί
Δ = 128?e
—
7, //."^y'^\ν>*Ν^« ν,ν,'Λ". iVv*^.^^W^y•/,'Λ',^^V/Vvv^vv««Λ•
Λ = 133,'S 10 s
ΡΚΙΚΡ
(Ί) Δ = 13655 Δ = 137=4
?ι PKP(diffr.)'
ΡΚΙΚΡ
11s.
F I G . 29. — Exemples des ondes de fréquences relativement élevées qui précèdent PKIKP aux distances comprises entre 130" et 143". D'après H A Ï , 1963.
UPSALA
SKAUSTUGAN F I G . 30. — Point focal B des ondes PKP. D'après H A Ï , 1963. a) 1-5-1958 (Λ - 200 k m ) ; b) 10-4-1959 (Λ ~ 600 k m ) .
308
ONDES
AYANT
TRAVERSÉ
LE MANTEAU
ET LE
NOYAU
supplémentaire aplatie a u t o u r de 143° et qu'elles sont liées à certains détails de la v a r i a t i o n de a(R) dans le n o y a u . 5.5. — Sismogrammes aux grandes distances {A > 143"). — Vers 143" se trouve le p o i n t focal B des PKP. L ' a m p l i t u d e est très grande en ce p o i n t (Fig. 30). A u x distances supérieures, les différentes phases se séparent r a p i dement. O n observe essentiellement les trois phases : PKIKP, PKP 1 et PKP 2 (Fig. 31). PKP 1 q u i a la plus grande a m p l i t u d e près de 143", s'affaiblit progres-
Δ
PKIKP
PKIKP
PKPl I
F I G . 3 1 . — Pha.scs PKIKP,
PKPl
FKP2
PKPl
PKIKP
= 150Î7
PKP2
PKPl
et PKPl
enregistrées à la station
(Nièvre, F r a n c e ) : 1 ) 1 5 - 6 - 1 9 5 8 , 2 ) 1 5 - 9 - 1 9 5 9 , 3 ) 1 0 - 4 - 1 9 5 9 . D'après
de Garchy HAÏ, 1963.
SÉISMES
PROFONDS
309
sivement et disparaît vers 157" (Haï, 1963). Au-delà de cette distance, seules PKIKP et PKP 2, séparées de plus de 33 s, restent visibles et nettes. PP, nette elle aussi, arrive 4 m n 12 s après PKIKP. L a disposition des trois phases res semble à celle de P, pP et PP d ' u n séisme de p r o f o n d e u r /; = 130 k m , à la distance Δ = 100". A i n s i , i l y a risque de confusion entre les séismes peu profonds à plus de 160" et profonds d ' e n v i r o n 150 k m vers 100". Cette confusion est parfois difficile à éviter l o r s q u ' o n possède seulement des sismogrammes de courte période. Les sismogrammes de grande période m o n t r e n t un grand n o m b r e de phases, essentiellement des ondes réfléchies : PP, PPP, PS, PPS, SS, etc. Elles pré sentent peu d'intérêt dans l'étude des durées de p r o p a g a t i o n . Les détails de la d i s t r i b u t i o n de vitesse dans le n o y a u restent encore à préciser. Comme nous l'avons indiqué ( 5 . 4 ) , les ondes a r r i v a n t avant PKIKP entre 130" et 143" ( F i g . 29), nécessitent l ' i n t r o d u c t i o n de branches supplémentaires dans la boucle de PKP, m a l connues à cause des faibles amplitudes p o u r A < 143" et de la diflRculté de les séparer des autres PKP p o u r A > 143".
6 . — SÉISMES
PROFONDS
On peut faire correspondre à t o u t séisme p r o f o n d un séisme superficiel (au point A') sur le même r a i (AA' de la figure 6, par exemple). L a p r o p a g a t i o n de toutes les ondes de volume est donc la même que dans le cas d ' u n séisme superficiel, avec, toutefois, une durée de p r o p a g a t i o n plus courte aux mêmes distances épicentrales et l ' a p p a r i t i o n de nouvelles phases, pP, sS, etc. L'aspect du sismogramme évolue avec la p r o f o n d e u r d u foyer ; lorsque celle-ci dépasse une cinquantaine de k m , l'évolution devient manifeste grâce à : a) l'affaiblis sement des ondes de surface ; i l est d ' a u t a n t plus i m p o r t a n t que le foyer est plus profond ; b) une relative pureté des phases ; le n o m b r e d'oscillations d i m i n u e en général et le m a x i m u m d ' a m p l i t u d e se situe dans les premières oscillations. La détermination de la p r o f o n d e u r d u foyer se fait principalement à p a r t i r de l'intervalle de temps pP — P. O n peut aussi utiliser sP — P, pPP — P, sS - S, pPKP - P, ScS - P (40" < A < 70"), SKS - P (Δ > 85"), mais la précision est souvent inférieure. pP — P varie peu en f o n c t i o n de la distance épicentrale, ce q u i permet la détermination même si l ' o n ne connaît la distance épicentrale que très a p p r o x i m a t i v e m e n t . L a figure 32 m o n t r e , p o u r t r o i s valeurs de /;, l'intervalle pP — P en f o n c t i o n de la distance. La phase pP n'est pas t o u j o u r s nette. Son a m p l i t u d e rapportée à celle de P varie dans de grandes p r o p o r t i o n s . Elle dépend de la déformation des ondes par les couches superficielles (§ 9) au p o i n t de réflexion mais s u r t o u t de la direction d u départ de l'onde. L'étude sur le mécanisme au foyer des séismes profonds m o n t r e que la d i r e c t i o n d u mouvement est t o u j o u r s inclinée par
ONDES
310
AYANT
TRAVERSÉ
LE
MANTEAU
ET
LE
NOYAU
4m,
F I G . 3 2 . — Ecarts des durées de propagation pP—P et PP — P pour trois valeurs de la profondeur du foyer. D'après les tables de HERRIN et al., 1968.
r a p p o r t à l'horizontale. Si l ' o n représente ce mécanisme par une faille, cette dernière serait d u type à rejet prédominant. L a composante de la vitesse d u mouvement d u sol, dans le cas d'une faille à rejet p u r (Chap. 14) est p r o p o r t i o n n e l l e à sin 2 θ cos φ, où R, 0, φ sont les coordonnées sphériques d u p o i n t A ( F i g . 33). φ définit l'angle entre le plan vertical contenant la d i r e c t i o n d u mouvement et le p l a n de p r o p a g a t i o n , Θ est l'angle dans le p l a n de p r o p a g a t i o n entre la projection de la d i r e c t i o n d u mouvement et la d i r e c t i o n de départ d u r a i .
SÉISMES
311
PROFONDS
La ( i g L i r c 34 représentant le plan de p r o p a g a t i o n m o n t r e schématiquement la distribution de l ' a m p l i t u d e des ondes P. XX' est la projection de la direction du mouvement sur ce plan. L ' a m p l i t u d e dans le plan de p r o p a g a t i o n est maximale pour 0 = 4 5 " et minimale p o u r Q = 0 " o u 90". Pour une o r i e n t a t i o n de la direction d u mouvement (XX' o u ΥΥ') et des directions de départ de P et pP, telles que les m o n t r e la figure 34 la station située vers A recevra une
liqucs du pjini Λ et l'angle 0. ilai::: h' plan de propagation OAZ.
F i G . 3 4 . — Distribution d'amplitude dans le plan de propagation en fonction de l'angle (I entre la direction du mouvement et la direction du départ des rais P et pP.
onde p d'amplitude bien inférieure à celle de pP. Par contre, la station vers B montrera un rapport d'amplitudes inversé, ce q u ' i l l u s t r e le séisme d u 27/5/70 enregistré à Paris (Δ = 96") et à D u m o n t d ' U r v i l l e (Δ = 93,5") dans des directions pratiquement opposées ( F i g . 35). Lorsque pP ou sP ne sont pas bien observées, on peut utiliser les intervalles ScS-P (40" < z) < 70") ou SKS-P (A > 85"). ScS-P varie peu en fonction de la distance. L'écart passe par un m i n i m u m vers 55" et ne dépasse par 10 s pour 40" < A < 70". Par contre, i l est très sensib'e à la variation de la profondeur. La table ci-dessous montre ScS-P et SKS-P pour quelques valeurs de distances et de profondeurs. SKS-P a pratiquement les mêmes avantages pour Λ > 85" oit SKS est nettement observée.
SKS-P
ScS-P 1 ^ \^^^'·^'
100
'
350
1
600
!
40 50 60 70
9 mn 55 s 9 m n 2 5 s 8 m n 5 7 s 38 '9 11 8 45 37 9 12 8 48 50 9 25 Î9 03
,9 9 19
.A"
\ h km \^
!
100
350
600
\ 85 90 95 lOJ
lOmn 10 10 10
12 s 9 m n 48 s 20 9 56 25 10 00 28 10 03
9 mn 20 s 9 34 9 38 9 41
14
FiCi. 36. — Les ondes Ρ de irais séismes de méim'origine (ψ · 4 0 " 2 N , A — 1 4 3 " ! E , Hondo, Japon) et leurs spectres en accélération du mouvement du sol montrant VélargissemeiU du spectre lorsque la magnitude augmente.
314
ONDES
AYANT
TRAVERSÉ
7. — S P E C T R E
LE
MANTEAU
DES O N D E S
ET
LE
NOYAU
DE V O L U M E
L a possibilité d'observer différentes phases d ' u n séisme dépend des spectres de ces phases et de la courbe d ' a m p l i f i c a t i o n des appareils utilisés. P o u r obtenir de bons enregistrements des phases P, pP, PcP, etc., o n utilise habituellement des appareils de courte période, par contre, les phases PP, S, SS, SKS, etc., s'enregistrent mieux sur les appareils de grande période. Ce fait s'explique par une absorption des courtes périodes lorsque l'onde se propage longuement dans le manteau, en particulier dans le manteau supérieur. L a forme des spec tres et la p o s i t i o n d u m a x i m u m d ' a m p l i t u d e dépendent beaucoup d u mécanisme au foyer et de la magnitude d u séisme. En général, le spectre des ondes P est d'autant plus large et irrégulier que le séisme est plus i m p o r t a n t ( F i g . 36). L'iniÎuence d u mécanisme au foyer se m o n t r e très bien dans l a comparaison des spectres d'une explosion nucléaire, ponctuelle dans le temps et dans l'espace, et d ' u n séisme naturel de même importance ( F i g . 37) (Chap. 14). Les positions relatives des m a x i m u m s spectraux, p o u r différentes phases, dépendent également de la p r o f o n d e u r d u foyer. 1—1—1—1—1
1
·—Γ
1
1
)
!
i—1—1
A
1,0 • L O S A N G E L E S 9 . 2 71 (SEISME; m = 6,2)
^
y ^ - ^ ^ N E V A D A 26.3.70\ ( E X P L NUCL. X \ m = 6,5)
/
f
0,5
/
\
\
-
0,2
0,5
0.1
1,0 H z
F K ; . 3 7 . — Comparaison des spectres d'une explosion nucléaire (source et d'un séisme (source étendue) à la même distance. 8. — D É T E R M I N A T I O N TABLES
D E S PARAMÈTRES D U
DE DURÉE D f
ponctuelle)
FOYER.
PROPAGATION
L a détermination des paramètres d u foyer d ' u n séisme et la c o n s t r u c t i o n des tables de durée de propagation sont i n t i m e m e n t liées. Les paramètres du foyer sont ; les coordonnées géographiques ψο, Àg de l'épicentre E (dans les calculs sismologiques o n utilise la latitude géocentrique définie p a r tg ψ' = 0,993 277 tg φ ,
DÉTERMINATION
DES
PARAMÈTRES
DU
FOYER
315
qui minimise l ' e r r e u r d'ellipticité), la p r o f o n d e u r d u foyer h, et l'heure origine TQ. L a durée de p r o p a g a t i o n distance épicentrale Δ.
T(A}
jusqu'à une station 8(φ, λ) dépend de la
Cette distance s'exprime soit en kilomètres d'arc ES,
soit en degrés d'angle a u centre. Dans ce cas Cos Δ =
AAo + BBo +
CCQ
où Ao, Bg, Co sont les cosinus directeurs d u rayon OS ; A, B, C ceux q u i cor respondent à la s t a t i o n . 8.1. — Méthode des couples de stations. — Une détermination conjointe des quatre para mètres nécessite la connaissance précise de la fonction T(A). Par contre, o n peut déterminer et /.|| sans faire intervenir la fonction T(A) sauf pour de petites corrections. L a méthode des couples de stations connue depuis longtemps (Galitzinc) a été améliorée successivement par plusieurs auteurs. C o u l o m b (1957) a indiqué qu'une solution par moindres carrés de la méthode telle qu'elle était utilisée, pouvait conduire à des résultats inexacts. Nous donnons brièvement la méthode qu'il a proposée. (Pour les détails voir aussi Choudhury, 1957.) Soient S(A, B, C) une station (Α'- • Β'- -ι- C- - 1) et S'(,A + a, B - P, C : 7) la deuxième station d u couple, telle que les distances épicentrales Ά et A' soient voisines. On a l'équation fondamentale AaOL \Β„β
Cos A' — Cos, A
i C,, ;•.
Si la diflerence de durée de propagation ôt entre les deux stations est due seulement à une différence A' — A, o n peut remplacer cos A' — c o s A par — 2 sin A,„. sin V (dzl/d/) ât, avec Ai„ - {Λ' r /))/2. Si l ' o n connaît un épicentre approché, o n a A,„ et on peut tirer d.d/d/ des tables. I l est ainsi possible de ramener les deux stations à l a même distance épicentrale, mais en pratique, en raison des erreurs q u i affectent les données, o n ne peut obtenir (cos^' — co% A) - 0 pour tous les couples. O n cherchera le m i n i m u m de l'expression ^ ( c o s J ' —coszl)^
\ Β„β \-
Y^(A„y.
la somme étant étendue à tous les couples. En introduisant le multiplicateur de Lagrange : Β„β
U(A„,B„,C„)--Y^{A„7.
on cherchera l'cxtremum de ] BI r cl — \)
\ C„ yV-—/.{AI
ce qui entraîne, 2
3;
2 FB„
=
-
^ο(Σ
-
Σ
:
^ 0
+ B„
X α/ί
βο(Σ β^ -
λ)
- f
Co
+ C„
0
Χ Λ' = Ο
λ est une des racines de l'équation d u 3'' degré
liî^-A
Σ'-
Σ>^
On prendra pour /. la valeur m i n i m u m .
X)Î7
Σ'^~^
1=0.
316
ONDES
AYANT
TRAVERSÉ
LE MANTEAU
ET LE
NOYAU
8.2. — Méthode de Jeffreys. — U n e grande majorité des séismes se p r o d u i t à des profondeurs inférieures à 50 o u 60 k m . O n les désigne c o m m e « séismes n o r m a u x ». En utilisant seulement de tels séismes, o n peut en première a p p r o x i m a t i o n négliger le paramètre h. Soit Τ{Δ) l'heure d'arrivée, à la distance Δ de l'épicentre, de l'onde P émise au temps TQ. O n possède u n epicentre provisoire situé à .τ" E et y" N de l'épi centre v r a i , et des tables approximatives d o n n a n t la durée d u trajet t{a) en f o n c t i o n de la distance σ à l'épicentre provisoire. O n a la relation A = σ +
.X
sin Z + y cos Z
où Z est l ' a z i m u t de la station par r a p p o r t à l'épicentre. O n en déduit Τ(Δ)
-
T ( 0 ) = ί(σ) + (xsinZ
+ y cos Z )
ασ
+ η(σ) + ε
où ε est l'erreur de mesure, η(σ) l'erreur des tables approximatives. C'est une équation de c o n d i t i o n entre 7^(0), .γ, y, η. O n minimise l a somme ^ ε' p o u r l'ensemble des observations correspondant à la même distance. O n peut écrire a u j o u r d ' h u i des équations analogues i n t r o d u i s a n t les p r o fondeurs focales Λ et Λ + z à côté des distances épicentrales A et σ : Τ(Δ,
h + ζ) -
Τ ( 0 ) = ί(σ, h) + (χ sin Ζ + ν cos Ζ )
f-- + ζ t r
ΰσ
+ ^/(σ, /ι) + ε ·
en
L ' u t i l i s a t i o n d ' u n grand n o m b r e de paramètres et d'une grande quantité de données ne pose plus aucun problème. L a précision dépend essentiellement de la précision d u temps d'arrivée aux diverses stations et d'une bonne couver ture en azimut des observations. Grâce a u réseau m o n d i a l W W N S S ( W o r l d w i d e N e t w o r k o f Standard Seismograph Stations) de l ' U S C G S ( U n i t e d States Coast and Geodetic Survey) et à de nombreuses stations modernes dans diffé rents pays, les déterminations de E R L ( E n v i r o n m e n t a l Research L a b o r a t o ries), I S C ( I n t e r n a t i o n a l Seismological Centre) o u B C I S (Bureau Central I n t e r n a t i o n a l de Séismologie) o n t une précision moyenne sur et ÂQ de 0.05". sur h de 5 k m et sur TQ de 0,5 s. 8.3. — Tables de durée de propagation. — Les premières tables complètes en f o n c t i o n de la distance épicentrale et de la profondeur d u foyer p o u r une Terre sphérique o n t été publiées par Jeffreys et Bullen (1940). Elles c o m p o r t e n t des corrections, d o n t nous parlerons plus l o i n , p o u r tenir compte de l'apla tissement. Les recherches ultérieures, d o n t certaines par Jeffreys lui-même, o n t montré que la durée de p r o p a g a t i o n des ondes P p o u r Λ = 0 était systématiquement t r o p grande de plusieurs secondes et q u ' i l existait des variations régionales. L ' u t i l i s a t i o n des explosions nucléaires et de nombreuses installations nouvelles
DÉTERMINATION
DES
PARAMÈTRES
DU
FOYER
317
depuis 1945 o n t permis de préciser les tables. L a précision sur la lecture d u début de la phase P a atteint 0,1 s en moyenne. Elle a permis de mettre en évi dence l'influence sur Τ(Δ) de la structure locale de la station. P o u r construire des tables moyennes, i l faut tenir compte de la v a r i a d o n régionale et de la correction de station. Un groupe de travail présidé par E. H e r r i n a entrepris en 1965 la lourde tâche de réviser les tables J-B 40. E n divisant la Terre en zones de 1" de côté, et en utilisant 13 sources d'explosions nucléaires et 278 sources naturelles, il a construit en 1968 des tables p o u r les phases P, PcP, pP et PP. Ces tables sont véritablement moyennes p o u r les distances supérieures à 20". A u x dis tances inférieures, elles correspondent à u n modèle sans couche à m o i n d r e vitesse. La figure 38 m o n t r e l'écart p o u r la phase P aux tables J-B 40 et à cer taines autres récentes.
Le calcul des tables de la phase 5 utilise en général les épicentres déduits de la phase P. Les tables J-B 40 de S, encore d'usage fréquent, o n t été partielle ment révisées par Haies et Roberts (1970) et Randall (1971). Les tables des phases P et 5 sont les bases p o u r construire celles des autres, à partir de relations simples entre les durées de p r o p a g a t i o n . Les plus simples donnent PP, PPP, etc. A i n s i , soit Ρ,ρ la durée de propagation de P P P p o u r un foyer superficiel : Τ,ρ(Δ)
= 3 Γρ(ζ1/3) .
318
ONDES
AYANT
TRAVERSÉ
LE MANTEAU
P o u r les phases mixtes, telles que PS,
ET LE
NOYAU
etc., on se sert p o u r placer le
PPS,
p o i n t de réflexion d u fait que le paramètre d ' u n rai est le même avant et après ; on obtient Tpsizd,
+
A,)
=
T,.{A,)
7-pps(zl, +
A.)
=
T2p(A,)
+
TsiA,)
+
TsiA,).
L a r e l a t i o n entre les durées de p r o p a g a t i o n de ScS, SKS, et SKKS i m p o r t a n t e . Elle permet d ' o b t e n i r
la courbe de p r o p a g a t i o n
n o y a u . E n négligeant la p r o f o n d e u r Τκ(Δκ) άΤκ dA^
le
d u foyer o n a
= W ^ 2 ) -
Ts,s{A,)
^ d 7 ^ ^ dT^s dA2
est très
7,^(Adans
dA,
A,
= A, -
A,
A,
+ A. = 2 A^ .
o n a aussi
dzlj
dzl2
dzl,
8.4. — Correction pour l'ellipticité de la Terre. — Les tables de propagation sont présen tées pour une Terre à symétrie sphérique. Les surfaces d'égales vitesses sont concentriques. Pour passer au cas de la Terre réelle, il faut tenir compte de son aplatissement. La différence de hauteur (ôR) entre la surface de la Terre et celle d'une sphère concentrique de même volume est de — 14 k m aux pôles et de 7 k m à féquateur. Les corrections à apporter dépendent donc des latitudes de l'épicentre et de la station. Pour ramener les deux extrémités d ' u n rai situées sur la surface d'une sphère à celle de la Terre, i l faut ajouter (ou retrancher selon le signe de ôR) une longueur q u i dépend de l'angle d'incidence, donc de la distance épicentrale. D'autre part les surfaces d'égale vitesse ne sont pas sphériques mais on peut connaître leur forme dans l'hypothèse de l'équilibre hydrostatique (Chap. 21). Les corrections seront différentes pour les ondes P et S. Pour les ondes mixtes, o n devra tenir compte des angles d'incidence et d'émergence. Jeffreys a donné pour la correction la formule approchée T
f(A) (lu I- h.)
oùf(A) est fonction seulement de la distance épicentrale ; he et sont les hauteurs de l'épi centre et de la station au-dessus de la sphère de référence. La formule ci-dessus est applicable aux phases P, S, PKS, SKS, SKKS, PcP, PcS, ScP et ScS. Pour PKS et SKP les formules sont respectivement T
f(A)
^he - ^ / K )
T
f(A)
{^^lu + h)j .
et
319
BIBLIOGRAPHIE
9. — D E F O R M A T I O N D E S O N D E S ET
PAR L A C R O U T E
DES C O U C H E S S U P E R F I C I E L L E S
Lorsque une onde P ou 5, réfléchie sur la surface de la Terre, atteint la base de la croûte, une part est transmise dans le milieu inférieur et l'autre réfléchie dans la croûte. La différence de temps entre l'arrivée des ondes directe et réfléchie dépend de l'épaisseur de la croûte, de la vitesse des ondes et de l'angle d'incidence. La déformation introduite par la croûte est peu visible sur l'enregistrement, mais l'amplitude spectrale varie par suite de l'interférence entre les deux ondes. Lorsque la partie supérieure de la croûte est constituée de couches sédimentaires, surtout non consolidées, le mouvement du sol est fortement amplifié ( 5 . 5 . 4 ) . L a figure 39 montre les enregistrements de courte période de deux stations voisines au centre de la France, l'une à Garchy située sur des couches sédimentaires et l'autre à Crescent sur le granité.
. '
X
- •.-.,^-^--
r--^•'VÀ•ΛWΛ^WΛ.•'Λv^^,\¾>^^^ _J™.wv..-,w~s.,-
CRESCENT
--—
GARCHY
--^'-vwww
·."-
·
.j»>>>;Î^iiWi>w.v^~
^ ^ ^ ^ ^ ^
F i G . 39. — Comparaison de l'amplitude à deux stations voisines, l'une sur des couches sédimentaires (Garchy) et l'autre sur le granité (Crescent) ; les deux sismo graphes ont la même courbe d'amplification. D'après H A Ï , 1963.
BIBLIOGRAPHIE
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320
ONDES
AYANT
TRAVERSÉ
LE
MANTEAU
ET
LE
NOYAU
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CHAPITRE
12
ONDES GUIDÉES. VIBRATIONS PROPRES : RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX par Nelly JOBERT
1. — O B S E R V A T I O N
DES V I B R A T I O N S
PROPRES
Les périodes propres sont déterminées expérimentalement d'après le spectre d'énergie d'une longueur suffisante d'enregistrement de gros séismes. Le spectre présente ( F i g . 1) une succession de pics c o r r e s p o n d a n t principalement aux différents modes en n d u fondamental, notés respectivement QS„ p o u r les v i b r a tions sphéroïdales et QT„ p o u r les v i b r a t i o n s de t o r s i o n . D u fait de leur resserre ment en fréquence, ces différents pics ne sont résolus entre eux que si l'enre gistrement contient des trains d'ondes superficielles ayant fait jusqu'à deux fois au moins le t o u r de la Terre ; le séisme d o i t donc être assez i m p o r t a n t p o u r que les v i b r a t i o n s , q u i s'amortissent en raison des imperfections élastiques de la Terre, soient encore au-dessus d u b r u i t de f o n d . Les vibrations de t o r s i o n apparaissent sur les spectres d'enregistrement de la composante transver sale, les v i b r a t i o n s sphéroïdales sur ceux des composantes l o n g i t u d i n a l e et verticale. Les gravimètres ne sont sensibles q u ' a u x v i b r a t i o n s sphéroïdales. Les premières observations o n t eu lieu à la suite d u séisme d u C h i l i de 1960 ; depuis, des observations o n t été faites en différents points d u G l o b e à la suite de très gros séismes ( A l s o p , 1964 ; B l u m et al., 1964 ; N o w r o o z i , 1965 et 1966 ; Smith, 1 9 6 6 ; L. B. Slichter, 1967); celles publiées j u s q u ' e n 1968 o n t été groupées et utilisées par J . S. D e r r (1969) en vue d'une inversion (Chap. 21, § 3 . 1 ) ; les observations faites en France à l'aide des pendules P. A . B l u m en silice fondue o n t été traitées p a r R. G a u l o n (1971, 1972). Les périodes propres trouvées par ces auteurs sont en accord dans les limites de la précision obtenue (2 à 3 "/oo), la précision des périodes de t o r s i o n étant meilleure chez G a u l o n par suite de l ' u t i l i s a t i o n systématique d'appareils h o r i z o n t a u x . Dans cette étude, le c o m p o r t e m e n t a n o r m a l de certains pics n o n séparés malgré
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
OBSERVATION
DES
VIBRATIONS
PROPRES
324
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
le n o m b r e d'observations est attribué au couplage dû aux effets conjugués de la r o t a t i o n et de l'ellipticité ( S ' j g - r j o , C h a p . 8, § 4 . 2 ) . L a structure fine des pics des modes les plus graves (n = 2 et H = 3) a p u être mise en évidence p a r des analyses spectrales de séries très longues, de plus d'une dizaine de j o u r s (Benioff et al., 1961) ; les positions des 2 n + 1 lignes spectrales d u m u l t i p l e t sont en accord avec la théorie a u premier ordre de l'effet de la r o t a t i o n de la Terre, et leurs amplitudes relatives avec celles résultant d'une source brusque ( F i g . 2). Pour ces modes, la présence de m u l t i plets cause un élargissement apparent des pics si la résolution n'est pas suffi sante p o u r séparer leurs composantes ; d'où la nécessité d'une très grande résolution si o n veut mesurer le facteur de qualité Q d'après la largeur relative Ασ/σ d u pic spectral ; p o u r les ordres élevés ce n'est plus nécessaire.
-
2
-
1
0
1 1=?
ISABELLA T = 16000 MIN
1
\ 300
1 1 l\
V! Ο.ΟίϋΟ
0.01S2
Fréijfue-nce
\
A i\ /
A/V
00!8·ί en
n
A. 0.0136
COIOB
cyc/es
^ar"
1 •1/
i /
/'
1
ί
O.O'SO
0.0132
m/nu/'ί'
FiCi. 2. — Intensité spectrale du séisme du Chili du 22-05-1960, observé par Beniojf, Press et Smith ; les flèches indiquent les amplitudes théoriques p o u r le multiplet de la vibration sphéroïdale )/ ^ 2. D'après C. L . PEKERIS et al., 1961.
L'évolution de l ' a m p l i t u d e d ' u n pic déterminé p o u r des séries décalées dans le temps permet aussi la mesure de Q ( F i g . 3) ; p o u r les modes les plus graves, des précautions doivent être prises ( L . E. A l s o p et al., 1961) en raison des variations d ' a m p l i t u d e dues aux battements entre les composantes spectrales du multiplet.
OBSERVATION
DES
VIBRATIONS
PROPRES
325
F I G . 3 . — Amortissement du pic spectral de la vibration sphéroïdale oSg. D'iiprès L. B. SLICHTER et al., 1 9 6 1 , J G R , p. 6 2 8 .
Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs d u facteur de qualité :
I!
Qs
Qr
\ ,
2
'350-370
3
5
8
380
9
10
366 300
250
200
12
18
22. I
280
170
i <
200
Des valeurs en accord avec ce tableau o n t également été publiées par Connes et al. (1962), N o w r o o z i (1968), A b e et al. (1970) ; p o u r le premier h a r m o nique ,5„ N o w r o o z i trouve une valeur de 180 p o u r n entre 3 et 7. La décroissance de Q p o u r le mode fondamental lorsque n augmente, c'est-àdire quand la profondeur intéressée par la v i b r a t i o n d i m i n u e , confirmée par les résultats relatifs aux ondes d u manteau, indique une croissance avec la profondeur d u facteur de qualité intrinsèque Qp des matériaux terrestres, si on le suppose indépendant de la fréquence. D u fait de leur excitation, faible relativement au mode fondamental p o u r un séisme superficiel, les pics correspondant aux harmoniques sont difficiles à mettre en évidence. Les séismes profonds exceptionnellement forts de PérouBolivie d u 15 août 1963 ( A l s o p et Brune, 1965) et de C o l o m b i e d u 31 j u i l l e t 1970 (R. G a u l o n , 1971, 1 9 7 2 ; D r a t l e r et al., 1971) o n t favorisé l'étude des harmoniques. I l est difficile de les identifier par leur période seule à cause d u voisinage de plusieurs pics d'harmoniques différents ; o n les caractérise aussi par les rapports théoriques des amplitudes des composantes verticale et l o n g i tudinale, et par un facteur d'amortissement lié à la c o n t r i b u t i o n plus o u m o i n s
ONDES
326
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
grande de la rigidité dans l'énergie élastique de v i b r a t i o n . U n g r a n d progrès a été réalisé dans l'étude de D r a t l e r et ai, les spectres de séries commençant plus de 20 heures après le séisme m o n t r a n t la présence, au-dessus des pics d u fondamental déjà a m o r t i , de pics correspondant à certains harmoniques p a r m i lesquels des modes radiaux ,5o (/ de 2 à 6), d o n t le facteur Q mesuré est de Tordre de 1 000, et ,5Ί (/ de 4 à 10) avec u n facteur Q de plusieurs centaines. Les périodes propres de ces modes sont relativement sensibles aux propriétés de la graine, et o n t été utilisées p o u r en préciser la rigidité ( D z i e w o n s k i , 1971). Pour des ordres n d u mode fondamental dépassant 50, les effets des hétéro généités latérales prennent une importance relative telle que les pics deviennent brouillés dans le spectre en une station ; les périodes propres correspondantes peuvent encore être trouvées par le principe d'interférence constructive appliqué à la v a r i a d o n de la phase des ondes superficielles p o u r un t o u r de Terre ; les périodes trouvées dépendent des régions traversées par le grand cercle passant par la stadon et l'épicentre, de même que la vitesse de phase corres pondante C = 2 παΙ(η + 1/2) T.
1
10
1000
100
10000 Γ.3.
FIG.
4 a. DispL'r.sion
des ondes
de Rayleigh.
D'après
OLIVER,
1962.
OBSERVATION
DES
ONDES
2. — O B S E R V A T I O N DES O N D E S
SUPERFICIELLES
327
SUPERFICIELLES
L a figure 4 m o n t r e les courbes de dispersion (vitesse de groupe et vitesse de phase) obtenues p o u r le mode f o n d a m e n t a l . O n y distingue deux domaines de périodes. 2.1. — Ondes dites du manteau (T > 60 s). — Ces ondes o n t une l o n gueur d'onde assez grande p o u r être peu influencées par les structures superfi cielles ; leur c o m p o r t e m e n t dépend des propriétés d u manteau ( d u manteau supérieur p o u r les premiers ordres). L'ordre k des ondes superficielles q u i o n t p a r c o u r u sur une distance Δ,^ la Terre dans u n sens o u dans l'autre est défini ainsi : soit AQ\Q. petit arc, Δ^ le grand arc ; l'onde d ' o r d r e 2 k + l a p a r c o u r u Δρ + k x 360", l'onde d'ordre 2k + 2a p a r c o u r u z l i + Â; x 360". Lors d u séisme de M o n g o l i e d u 4 décembre 1957 (Toksôz et Ben M e n a h e m , 1962) les ondes de Rayleigh o n t p u être observées jusqu'à R^^.
ττπ
m 7,0
/ Vibrationsx . propres
6,0
5,0
rA-,0
I
i:5
3.0
2,0
1,0
10
100
1000
10000 7:5.
F I G . 4 b. Dispersion des ondes de Love
(ib.).
328
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
Les vitesses sont mesurées en c o m p a r a n t les phases et les groupes d'ondes (Chap. 8, § 3.4) correspondant à des passages successifs dans le même sens en une station. I l est nécessaire de leur faire subir u n filtrage variable dans le temps (Toksôz et A n d e r s o n , 1966) p o u r séparer entre les diflFérents ordres, q u i interfèrent, dès que l'ordre augmente, en raison de l'étalement des trains. a) Ondes de Rayleigh. — Les trains d ' o r d r e 2 et 3 (et même 1 si Δ est assez grand) sont caractérisés ( F i g . 5) p a r un aspect de dispersion inverse. Ensuite, p o u r les ordres plus grands, prédomine une phase d ' A i r y d ' e n v i r o n quatre minutes de période, avec une vitesse de groupe m i n i m a l e voisine de 3,6 km/s. L a vitesse de phase observée p o u r les périodes plus longues rejoint celle q u ' o n peut tirer des vibrations sphéroïdales observées, et i l en est de même des ondes de Love et des vibrations de t o r s i o n (Brune et al., 1961).
10 m i n . F I G . 5. — Onde R, du .iéisme de l'Ouganda du 20-03-1966, enregistrée à Villiers-Adams (A = 6 0 1 3 k m ) .
D o r m a n , E w i n g et Oliver o n t montré dès 1960 qu'une couche à faible vitesse était nécessaire p o u r expliquer le m i n i m u m de la vitesse de groupe. Λ) Ondes de L o v e . — Lors de grands séismes, l'onde de Love enregistrée à grande distance prend la forme d'une ondelette de grande a m p l i t u d e ( F i g . 6),
5min
FiG. 6. — Ondes G du .séisme du 12-03-1966 (Taiwan, zl enregistrées à Moulis.
10 459 k m )
OBSERVATION
DES
ONDES
SUPERFICIELLES
329
dont la période apparente est de l ' o r d r e de 3 ran : c'est l'onde G de G u t e n b e r g . Sa vitesse de p r o p a g a t i o n est de 4,4 km/s. O n peut observer une onde G d'or dre 1, p o u r des séismes plus faibles, si le trajet direct est océanique. Sa période apparente est alors de l ' o r d r e de la minute. La forme concentrée de l'onde est due à l'aplatissement de la courbe de dispersion (vitesse de groupe), plus marqué p o u r les ondes de Love océaniques que p o u r les ondes condnentales : p o u r les premières, le palier se situe entre 25 et 300 s au lieu de 120 et 300 s p o u r les dernières. c) Effets de régionalité. — L'influence de la croûte devient prépondérante pour des périodes inférieures à 120 s p o u r l'onde de L o v e , 70 s p o u r l'onde de Rayleigh ; p o u r les ondes d u manteau o n s'est aperçu ( T o k s o z et Ben M e n a h e m , 1963) que les vitesses de phase et de groupe diffèrent suivant le grand cercle parcouru. Les différences peuvent atteindre 3 "/oo, les vitesses les plus élevées étant obtenues, p o u r les ondes de Love, p o u r les trajets apparemment les plus océaniques. Le manteau sous la croûte présente donc, sur plusieurs centaines de kilomètres de p r o f o n d e u r , des variations latérales de structure. O n y distingue souvent océans, boucliers et régions tectoniques. M a i s D z i e w o n s k i (1970) remarque que la régionalité des structures profondes p o u r r a i t être différente de la régionalité des structures plus superficielles. Dziewonski udlise les ondes de Rayleigh entre 150 et 300 s p o u r caractériser ces structures. K a n a m o r i (1970) trouve des résultats différents p o u r les périodes inférieures à 200 s. Les disper sions q u ' i l donne p o u r les ondes de Love sont voisines de celles de T o k s o z et al. (1966) avec une différence moins marquée entre océans et boucliers. Les
10
100
1000
P e'riode.sec F I G , 7. —
Variation
du facteur de qualité Q, en fonction D'après ANDERSON et al., 1 9 6 4 .
de la période.
330
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
modèles régionaux correspondant aux dispersions trouvées sont discutées au chapitre 2 1 (§ 3.5). d) Amortissement. — Le facteur de qualité Q condnue à décroître avec la période, à p a r t i r de valeurs voisines de celles trouvées p o u r les v i b r a t i o n s propres, g/, p o u r les ondes de Love restant inférieur à p o u r les ondes de Rayleigh. Ben M e n a h e m (1965) trouve entre 50 et 150 s ρ^. ~ 105 et ~ 145. Entre condnents et océans n'apparaissent pas de différences systématiques. K a n a m o r i (1970) trouve des valeurs q u i d i m i n u e n t de 180 à 125 p o u r entre 300 et 180 s, et des valeurs de de l'ordre de 110 entre 300 et 100 s, plus faibles que celles de Ben M e n a h e m et A n d e r s o n et al. (1965). Les résultats de Tsai et A k i (1969) m o n t r e n t u n m a x i m u m de g ^ vers 25 s, et un m i n i m u m de l ' o r d r e de 100 vers 100 s. L a figure 7 résume un ensemble d'observations d u facteur Q p o u r des ondes superficielles et des vibrations propres. 2.2. — Ondes de la croûte ( Γ < 60 s). — Ces ondes o n t un c o m p o r t e m e n t très différent suivant le trajet p a r c o u r u , et l'apparence de leurs courbes de dispersion permet de les grouper en deux grandes catégories (Fig. 4), suivant que leur trajet est océanique o u continental. En effet dans ce domaine de périodes, l'effet de la croûte (et, éventuellement, celui de la couche d'eau q u i la recouvre) devient prépondérant ; cependant l'effet d u manteau supérieur, et surtout d u m i l i e u immédiatement sous la croûte est encore i m p o r t a n t , d'où des g r o u pements régionaux dans chacune des deux catégories. Depuis dix ans, u n très grand n o m b r e d'observations o n t été faites et inter prétées quantitativement. Les résultats sont obtenus soit localement en u t i l i sant plusieurs stations ( K n o p o f f et ai, 1966 ; Savarensky et al., 1969 ; G . Payo, 1970 ; James, 1971), soit en disdnguant des régions tectoniquement caracté ristiques traversées, à p a r t i r des dispersions globales sur u n grand n o m b r e de trajets assez longs (T. Santô, 1966 ; Saito et ai, 1966). Santô, commençant par l'Océan Pacifique, a défini une dizaine de types de dispersion (vitesses de groupe) se classant p a r vitesses décroissantes des plus océaniques aux plus continentales. L a figure 8 résume l'ensemble de ses résul tats. O n y distingue en particulier de grands bassins océaniques (0) tectonique ment stables (devenus région F de la classification de Brune (1969)) et des zones anormales (A, B o u C ) le l o n g des crêtes médio-océaniques (région G de Brune). E n réahté, les courbes intermédiaires de Santô ne correspondent pas bien à des régions de structures tectoniques bien séparées telles q u ' o n les connaît actuellement. Saito et al. (1966) o n t continué l'étude des régions d u Pacifique en interprétant les dispersions régionales en termes de structure de la croûte et d u manteau. a) Ondes de Rayleigh. — Les ondes de Rayleigh océaniques sont carac térisées par de longs trains d'ondes à période presque constante ( F i g . 9) ; cet aspect est dû à la pente très grande de la vitesse de groupe ( F i g . 4, § 2.1) ; si le trajet est assez long, les appareils à période relativement longue enre-
VIBRATIONS
PROPRES
gistrent ( F i g . 10) une arrivée i m p u l sive correspondant à un m a x i m u m de vitesse de groupe de 4 km/s, la courbe de dispersion océanique rejoignant vers 40 s de période celle relative aux ondes d u manteau. L a vitesse de phase corres pondante ( F i g . 11) est presque cons tante, la dispersion dans ce d o m a i n e étant commandée p a r la minceur de la croûte océanique ; à plus courte période, la très grande dispersion est due au contraire presque uniquement à la présence de la couche d'eau des océans ; c'est dans ce dernier domaine que se distinguent les types F et G cités plus haut. En ce q u i concerne les continents, la figure 4 d u paragraphe 2 . 1 m o n t r e que la dispersion n'est pas très grande ; la vitesse de groupe passe p a r u n m i n i m u m vers 20 s ; la branche à courte période correspond à des ondes dites Rg caractéristiques d'une propagation continentale. L'épaisseur de la croûte déduite des courbes de dispersion, est sauf exceptions, de 30 à 40 k m . Sur la figure 11 o n t été portées les vitesses de phase observées p o u r des régions particulièrement caractéristiques ; elles sont beaucoup plus variables avec les régions que p o u r les océans. O n y distingue, caractérisés p a r de grandes vitesses de phase et de groupe, les b o u cliers, les régions centrales des c o n t i nents à vitesse u n peu plus faible, et les régions « alpines » (type D de Brune) où la vitesse de phase augmente moins vite avec la période (donc où la vitesse de groupe est relativement faible), q u i correspondent à une grande épaisseur de croûte et à u n manteau supérieur lent. Deux autres types, de vitesses intermédiaires, peuvent être également distingués.
OBSERVATION
DES
ONDES
SUPERFICIELLES
333
ANDREANOF ISLANOS
1 0 . — Enregistrement
FIG.
de Tonde
Fidji) du séisme des îles Andreanof B u l l . Seism.
al,
(composante verticale, Suva,
de Rayleigh
du 2 2 - 2 - 1 9 5 8 ; A ^ 1 (,ΐΐ
Soc. A m . , 1 9 6 2 , p. 333. Les
auteurs
k m . D'après K u o et
o n t matérialisé la ligne
moyenne, à travers les oscillations à courte période p o u r faire apparaître la branche à dispersion inverse.
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F I G . I I . — Exemples
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I
de dispersion
I
I
pour
les ondes de Rayleigh
de courte
l>ériode. E n ordonnées : vitesse de phase en km/s, en abscisses : période en secondes. D'après J . DORMAN, 1 9 6 9 .
334
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
Le tableau ci-dessous (Brune, v o i r aussi celui d u chapitre 10, § 14.3) résume les traits p r i n c i p a u x des modèles correspondant aux diflFérents types :
Epaisseur de la croûte
Vitesse moyenne croûte
Vitesse moyenne dans le manteau supérieur jus qu'à 125 k m
35 k m
3,72 km/s
4,70 km/s
(Smith, 1962)
30
3,27
4,40
S P L A N 50, ( K n o p o l T e / al, 1966)
55
3,75
4,28
30
3,44
4,34
F. Bassin océanique Océan Pacifique, profond (Saito et al., 1966)
11
3,80
4,48
G. Crête médio-océanique peu profon de
10
3,2
4,30
Modèles
i
1 1
Modèle C A N S D , (Brune et D o r m a n , 1963)
A. Boucliers C. Bassins D. Alpin j E. G r a n d laire
arc
insu 6
EJ ( A k i , 1961)
Islande, (Tryggvason, 1962)
b) Ondes de Love. — L a couche d'eau n'intervenant pas, la dispersion des ondes océaniques est commandée uniquement par la minceur de la croûte et la vitesse dans le manteau supérieur. Les vitesses de groupe atteignent très rapidement, vers 20 s, le palier de 4,4 km/s, la l i m i t e étant plus faible p o u r les crêtes médio-océaniques à manteau supérieur plus lent. Pour les continents, la vitesse de groupe varie d ' e n v i r o n 3,2 km/s vers 15 s à 4,4 km/s vers 100 s. Des ondes dites L^, de 0,5 à 12 s de période, se p r o pageant avec une vitesse voisine de 3,5 km/s, et caractéristiques d ' u n trajet continental sont attribuées plutôt à u n mode supérieur. Les variations régio nales de la dispersion sont aussi importantes que pour les ondes de Rayleigh, avec des vitesses plus élevées p o u r les boucliers et plus faibles p o u r les régions montagneuses tectoniquement instables. L a figure 12 m o n t r e les vitesses de phase de l'onde de Love p o u r quelques trajets caractéristiques. <•) Ondes PL. — O n peut espérer obtenir avec l'onde PL des renseignements indépen dants de ceux q u i proviennent des ondes superficielles, lesquelles sont sensibles à la vitesse des ondes 5. En effet, dans certains domaines, l'onde PL est plus sensible à la vitesse des ondes P. L'onde PL est observée à distance relativement courte pour des trajets océaniques (Chap. 8, § 2.6) et pour des trajets continentaux (Oliver, 1964). Le mode fondamental est bien observé jusqu'à des périodes de l'ordre de la minute si le trajet est assez homogène, et sa dispersion est utilisable pour déterminer l'épaisseur de la croûte ( I b r a h i m , 1969). Cet auteur observe
OBSERVATION
DES
ONDES
SUPERFICIELLES
335
L A —
—
5.0
....
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TT
- •
4.5
^
•
΀
•
•
•= Boucliers
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4 . [•)
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1
30
4Π
F I G . 1 2 . — Exemples
• Gr'^corcles
—
/Courbet régionales 80
200
IGD
300
de courbes de dispersion pour les ondes de Love. D'après J . DORMAN, 1 9 6 9 .
aussi des trains à plus grande vitesse et plus courte période, suivant la phase PP, q u ' i l inter prète comme des harmoniques d ' u n type désigné par PLHI, déjà étudiés par Su et Dorman ( 1 9 6 5 ) . D'autres études sur la dispersion des P L utilisent les oscillations de période 2 0 à 8 0 s q u i suivent communément l'arrivée des 5 : P L ( S ) ( F i g . 1 3 ) . Ce sont les ondes Ctj étudiées par
RIO 25MAY60
PL(S)
LQ i
0 8 4 U ..
F I G . 1 3 . — Enregistrement 25 mai 1 9 6 0 . A =
à Rio de Janeiro d'un séisme du Sud du Chili, 3 4 " 6 6 . D'après Su et DORMAN, 1 9 6 5 .
336
ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
Caloi (1955). Suivant Oliver (1961) ce sont des ondes PL excitées dans la croûte par une arrivée d'ondes 5 remontant d u manteau à faible distance de la station ; o n peut alors étudier localement la vitesse de phase des PL à l'aide de la vitesse de groupe observée et de la courbe de propagation des S (Su et D o r m a n , 1965). U n couplage PL(SS), PL(SSS),... est possible. Par comparaison avec des sismogrammes synthétiques basés sur cette méthode, Chander et al. (1968) trouvent des vitesses de phase d'ondes PL pour les boucliers baltique et canadien, la plateforme russe, les Etats-Unis et le Nord-Ouest de l'Océan Atlantique ; les différences relatives peuvent être expliquées par les différences de structure de la croûte dans ces régions.
2.3. — Effets d'une couche d'eau. Cause et propagation de l'agitation microsismique générale. — L ' a g i t a t i o n microsismique générale (9.9) est d'origine météorologique. Son lien avec les situations dépressionnaires, en particulier avec les cyclones t r o p i c a u x , a été entrevu depuis longtemps. Vers 1940 Ramirez à Saint Louis, B e r n a r d à Paris, o n t montré que les tempêtes microsismiques se composaient essentiellement d'ondes superficielles progressives ( C o u l o m b , 1956). L a comparaison d'enregistrements superficiels et profonds (9.9), l ' u t i l i s a t i o n des grandes nappes de sismographes (9.7) et l'usage de modèles de b r u i t (aléatoire, stationnaire et gaussien dans ( H a u b r i c h et M c C a m y , 1969)) o n t montré : la prépondérance d'ondes de Rayleigh d u mode fondamental avec u n spectre étroit concentré vers 6 o u 7 s, q u i donne aux enregistrements un aspect de groupes successifs, la présence de modes supérieurs correspondant à des périodes plus courtes, et celle d'ondes de Love en p r o p o r t i o n i m p o r tante, au moins p o u r les sources côtières. Des ondes de volume sont aussi observées. L a forme des ondes de Rayleigh peut renseigner sur l'épaisseur des sédiments (Lee, 1932, 1934). L'idée que les microséismes sont dus aux vagues a été exprimée par W a l k e r dès 1913. L a pression décroît exponentiellement avec la p r o f o n d e u r sous les houles progressives. M a i s M i c h e a montré en 1944 que sous une houle sta tionnaire ζ ~ a cos/v cos pt il reste, à une p r o f o n d e u r où la v a r i a t i o n d'ordre a est devenue négligeable, une v a r i a t i o n de pression - ^ a' p' p' cos 2 pt (p étant la densité de l'eau supposée incompressible). E n 1950 Longuet-Higgins considère une d i s t r i b u t i o n de vagues irrégulière mais d o n t o n puisse extraire des composantes d ' a m plitude coinparable se propageant en des sens opposés. Le terme de pression découvert par Miche est alors présent à quelques dizaines de mètres de p r o fondeur ; de là j u s q u ' a u f o n d la propagation fait intervenir la compressibilité de l'eau, sans altérer le doublement de fréquence. Les variations de pression engendrent les ondes de Rayleigh, auxquelles s'ajoutent les ondes de Love si le fond est irrégulier. Les interférences de la houle nécessaires à la f o r m a t i o n d'ondes stationnaires se produisent, comme l'avait v u Bernard, dans deux circonstances : par réflexion de la houle sur l a côte, et p a r convergence des vents dans u n cyclone o u une dépression mobile. Le doublement de fréquence a été observé directement sous les cyclones (à 5,7 k m de p r o f o n d e u r par L a t h a m et al. (1967)) et près
BIBLIOGRAPHIE
337
des côtes (à 200 k m , la p r o f o n d e u r étant 3,9 k m par L a t h a m et N o w r o o z i , 1968). Les ondes de Rayleigh ainsi produites et guidées dans la couche d'eau (Chap. 8, § 2 . 6 ) , sont constituées de groupes q u i tendent à prédominer au cours de la p r o p a g a t i o n , et d o n t la période dépend de la p r o f o n d e u r de la mer et de la nature d u f o n d . U n modèle schématique de couche d'eau sur u n d e m i espace homogène (Press et E w i n g , 1948) donne p o u r la vitesse de groupe d u premier h a r m o n i q u e un m a x i m u m et un m i n i m u m voisins, en b o n accord avec les observations. Des particularités analogues apparaissent sur la disper sion des modes plus élevés, et i l leur correspond dans le milieu considéré un maximum d'excitation (Longuet-Higgins, 1950). A b r a m o v i c i (1968, p. 443 et 444) publie des courbes de dispersion p o u r u n modèle avec deux couches, entre la couche liquide et le demi-espace, où o n v o i t p o u r le deuxième h a r m o nique de l'onde de Rayleigh un palier de vitesse de groupe se situant bien dans le domaine considéré ci-dessus. La propagation sur la partie continentale serait analogue à celle des Rg o u L^. 2.4. — Ondes T. — Les ondes T sont u n autre exemple d'ondes guidées par l'océan, mais dans un guide beaucoup plus superficiel : d u fait de la d i m i nution de température dans la mer quand on s'enfonce, et de l'effet de pression qui est en sens inverse, la vitesse d u son passe par u n m i n i m u m vers I k m de profondeur. I l en résulte une canalisation très eflîcace des ondes P sur des trajets océaniques, avec une vitesse voisine de 1,5 km/s (Shurbet, 1955). Elles peuvent se réfléchir sur les talus conUnentaux, mais la façon d o n t l'énergie du séisme entre dans le guide est encore mal connue ( A u b r a t , 1963).
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ONDES
GUIDÉES.
VIBRATIONS
PROPRES
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CHAPITRE
13
MODÈLES MATHÉMATIQUES DE FAILLES
SISMIQUES
par Georges J O B E R T
1. —
INTRODUCTION
L a détermination des mécanismes agissant au foyer des séismes est u n des objectifs fondamentaux de la sismologie. Elle est évidemment essen tielle à la compréhension d u phénomène lui-même et à la mise en évidence de schémas typiques de l'évolution des contraintes dans une région donnée, schémas interprétables avec les conceptions géodynamiques actuelles (voir tome I I ) . Elle est également intéressante p o u r une étude complète des ondes observées à distance puisque la f o r m e des signaux dépend des c o n d i t i o n s à la source et peut être utilisée p o u r remonter à celles-ci. Les sismologues se sont longtemps contentés de modèles rudimentaires de sources sismiques, les réduisant à de simples points singuliers p o u r une solution mathématique (Chap. 5, § 4 . 4 ) . Des modèles plus complexes, c o m p o r t a n t la p r o p a g a t i o n d'une r u p t u r e , mais présentant parfois un aspect empirique assez peu satisfaisant, seront indiqués au chapitre 14. Une autre approche consiste à considérer que les séismes sont p r o d u i t s par la relaxation brusque de contraintes existant dans le m i l i e u élastique. Sans entrer dans le détail des phénomènes q u i accompagnent la r u p t u r e on peut étudier le c h a m p de déformation correspondant a u passage d ' u n premier état d'équilibre où des contraintes importantes s'exerçaient sur la future surface de la faille, à un second état où ces contraintes o n t disparu (partiellement o u en totalité). Cette méthode a été développée en p a r t i c u lier p a r A r c h a m b e a u (1968). L a surface de r u p t u r e constitue une singularité dans le m i l i e u et i l est par suite logique de faire appel à la théorie des dislocations, comme l ' a fait Vvedenskaya en 1956. Rappelons que cette théorie, initialement conçue par V o l t e r r a en 1907 c o m m e une théorie élastique macroscopique, s'est transformée avec T a y l o r en 1934 et Burgers en 1939 en théorie des
342
MODÈLES
MATHÉMATIQUES
DE FAILLES
SISMIQUES
imperfections d u réseau cristallin et a depuis joué un rôle f o r t i m p o r t a n t dans la physique des solides ( W e e r t m a n et W e e r t m a n , 1970). Considérons u n séisme q u i a débuté en u n p o i n t F d'une faille interne. A u n instant ultérieur ce foyer F est entouré d'une aire Σ, surface de dislocadon, sur laquelle l a faille a déjà joué. Σ peut être considérée c o m m e une coupure dans le corps élastique complexe T auquel o n peut assimiler la Terre. E n traversant i7 o u en faisant un t o u r a u t o u r de son b o r d σ, o n n e trouve plus le même déplacement ( F i g . 1). Choisissons u n sens p o s i t i f sur σ ce q u i définit u n sens sur la normale à l a surface Σ. D e u x aires élé mentaires situées sur chacune des lèvres de Σ et initialement confondues sont écartées après la r u p t u r e d ' u n vecteur a, appelé vecteur de dislocation o u vecteur de Burgers. Déterminer le mécanisme d u séisme revient à déterminer Σ et le c h a m p a ( M , /).
BQ
Bo t=o
B<
t=t,
Fie;. 1. — Après la rupture, des points A, B initialement placés en regard l'un de l'autre sur les deux lèvres de la faille, se sont déplacés de façon différente. E n effec tuant un circuit γ autour d u bord σ de 27 on obtient u n déplacement différent.
O n suppose souvent que le glissement est instantané et que les lèvres de la faille se recollent une fois la r u p t u r e p r o d u i t e , de sorte que le vecteur de Burgers a la forme : a ( M , t) = &(M).H{t
τ(Μ))
-
où τ ( Μ ) représente le temps nécessaire à la r u p t u r e p o u r parvenir d u foyer (où elle se p r o d u i t à l'instant ί = 0) au p o i n t considéré M. A u n instant donné t, le lieu des points M défini par τ{Μ) = t constitue alors une ligne de dislocation. O n i n t r o d u i t les notions de dislocation vis et de dislocation c o i n (Chap. 1, § 4 . 5 ) , correspondant a u x cas les plus simples d ' u n gUssement parallèle à la ligne de dislocadon : vis : a . grad x{M)
= 0
ou perpendiculaire à cette direction : coin : a = /1 grad x{M)
.
FORMULE
DE
BETTI
343
Le l o n g des lignes de dislocadon les déformations et les contraintes présentent des singularités. O n admet généralement que le m i l i e u perd ses propriétés élastiques dans un petit v o l u m e e n t o u r a n t la surface Σ, mais o n définit toutefois les c o n d i t i o n s aux fimites que doivent sadsfaire les solutions de l'équation de l'élasticité sur Σ même. N o u s allons m o n t r e r que le déplacement p r o d u i t dans le m i l i e u par le jeu de la faille Σ est identique à celui que p r o d u i r a i t dans u n m i l i e u n o n faille l ' a p p l i c a t i o n d ' u n système de couples sur Σ.
2. — F O R M U L E D E B E T T I
Considérons u n m i l i e u élasdque homogène occupant u n domaine Ω limité par une surface fermée fixe S, et deux champs de déplacement u et u, soludons dans Ω de l'équadon de l'élasticité lorsque le m i h e u est soumis à des forces de v o l u m e f et f. Soient (τ'·*) et (τ'-') les tenseurs des contraintes correspondants. O n a p o u r la composante j l'équation : x'i\i+f'=pa'
{E)
et une équation analogue (É) p o u r le c h a m p u, a désignant l'accélération. En m u l t i p l i a n t les deux membres de (E) par Wy et ceux de (E) p a r Uj et en soustrayant membre à membre o n obtient :
(τ'^- UJ
- τ'^
Uj)
I, -
{τ'^ Uj
|, -
τ''
Uj
|,) + Γ
û, -
Γ
Uj
=
Le m i l i e u étant élastique, o n peut calculer τ (Chap. 4, § 3.8) en f o n c t i o n d u tenseur des déformations y :
les coefficients élastiques c'^''' sont symétriques en l'absence de couples répards (§ 3.8 d u chapitre 4) :
et par suite : T'-^" = C ' ^ > M J , .
(2)
Le second terme de ( I ) est n u l . Si les deux champs de déplacement et de vitesse sont nuls à l ' i n s t a n t i n i d a l (/ = 0) et égaux p o u r t infini, o n obtient en intégrant (1) p a r r a p p o r t à t u n second membre n u l . Intégrons à n o u -
344
MODÈLES
MATHÉMATIQUES
DE FAILLES
SISMIQUES
veau dans Ω. L a première intégrale p o r t a n t sur la divergence d ' u n vecteur se ramène à une intégrale de surface ; o n obtient finalement : àt
{τ''
τ^' Uj) n^aS
Uj -
n, de composantes
+
(fuj
àt
-ruj)
àQ = Q
étant la normale unité extérieure de S.
Si sur une partie S' de S les deux champs satisfont une même c o n d i t i o n aux limites, homogène, liant la contrainte à la surface θ a u déplacement u : (4) la c o n t r i b u t i o n de 5" à la première intégrale est nulle. Si S' = S o n obtient un théorème de réciprocité : àt
Γ
Uj άΩ
=
dt ί
Uj άΩ .
(5)
Nous i n t r o d u i r o n s les fonctions de Green d u problème en choisissant p o u r f une force concentrée en u n p o i n t MQ à l'instant ÎQ (to > 0) et s'exerçant parallèlement à un vecteur de base S J M Q ) , (voir Chap. 4, § 1.1) Ï{M,
t) = ô(t -
to) Ô(MMQ)
gJMo).
(6)
Nous écrirons p o u r le c h a m p correspondant : Uj{M,
τ''(Μ,
t) = Gj{m t) = T'{m
I MQ, to ; M, t) I MQ, ÎQ ; M, t)
(7)
en faisant ainsi apparaître le p o i n t où s'exerce la force et sa d i r e c t i o n . Des fonctions de Green G satisfaisant sur 5 la même c o n d i t i o n h o m o gène (4) sont symétriques. Prenons en effet : f ( M , i ) = .5(i -
tO)è{MM'Q)g^{MO).
Avec les notations de (7) i l l u i correspond le c h a m p ; « , ( M , i) = G / < 7 I M'Q, t'o ; M , 0 . En p o r t a n t ces expressions dans (5) o n obtient : G , ( m I M o , ίο ; M'o, t'o) = G,„iq | M'Q, Î'Q ; M o , ÎQ) ·
(8)
S o i t r i a partie de 5 complémentaire de 5" sur laquelle (4) est satisfaite. Portons dans (3) les expressions (6) et (7). I l vient : di
"m(Wo, ίο) =
àt
+ -
f\M,
r\m
t) G,(m I M o , ίο ; M, t) άΩ +
ά Σ η ι [ τ ' \ Μ , t) Gj(m \ MQ, ÎQ ; M , i )
I M o , ίο ; M , i) UjiM,
i)] .
APPLICATION
AU
J E U D'UNE
FAILLE
345
En particulier, si le déplacement étudié se p r o d u i t en l'absence de forces de volume i l ne reste que la seconde intégrale. U t i l i s o n s encore (2) dans celle-ci ; i l vient : M „ ( M o , ίο) =
/ι,[τ·^' Gj{m I M Q , ÎQ ; M , Î ) -
di
- c'^^' G, I, (m I M o , ίο ; M , i) 3. — A P P L I C A T I O N
A U JEU D'UNE
M / M , Î)] .
(9)
FAILLE
N o u s supposerons que la surface S' q u i l i m i t a i t le corps avant la r u p ture est assez éloignée de la faille p o u r p o u v o i r être considérée c o m m e fixe. Sur S' une c o n d i t i o n homogène c o m m e (4) d u paragraphe 2 est supposée valable. Après la r u p t u r e , le corps est limité par : S = S' + Σ*
+ Σ-
,
et27~ désignant les deux lèvres de la faille Σ (Fig. 2). Dans le v o l u m e intérieur à S, le dépla cement est une f o n c t i o n univalente de ( M , t) et par suite la théorie précédente et la f o r m u l e (9) du paragraphe 2 peuvent s'appliquer. Sur Σ^ la n o r m a l e extérieure à Ω est n^ = — n ; sur Σ~ elle est n " = 4- n. O n peut écrire :
F I G . 2.
Wm(Mo, ίο) = en sous-entendant les arguments des fonctions de Green et en posant : = u
—u
b =
-
θ
(1)
a est le vecteur de la dislocation o u vecteur de Burgers, b représente la discontinuité des contraintes à travers Σ. Les fonctions Gj et G^ |, sont continues sur Σ. O n admet généralement que la r u p t u r e se p r o d u i t sans intervention de contraintes extérieures sur la faille. Dans ces c o n d i t i o n s b = 0. I l reste donc : uJMp,
ίο) =
di
àXc''"' « , aj G, I , (m | M o , ÎQ ; M , Î ) .
(2)
Cette f o r m u l e f o u r n i t l'expression d u déplacement en u n p o i n t en fonction d u vecteur de dislocation sur la surface Σ. D'après (8) d u para graphe 2 o n a ; G^{m I M o , ίο ; M , ί ) = G^{q \M,t;
Mo, to) .
MODÈLES
MATHÉMATIQUES
DE FAILLES
SISMIQUES
C'est aussi d'après (7) d u paragraphe 2 la composante d'indice m d u déplacement en (MQ, ÎQ) causé par une force de la forme (6) d u para graphe 2 agissant au p o i n t (M, t) parallèlement à g,(A/). Si en deux points infiniment voisins Λ/ et M + Δα g , ( M ) agissent en sens opposés deux forces de ce type, de grandeur Ι/Δα, le déplacement résultant est donné par : G, \,(m I Mo, to ; W, 0 • Le déplacement (2) peut donc être considéré comme p r o d u i t p a r de tels couples d o n t la densité sur la surface Γ par unité de temps est : M"'
= c'"'
rii aj(M,
(3)
t) .
Le m o m e n t résultant de ces couples est n u l à cause de la symétrie des coefficients élastiques ( F i g . 3 « ) . E n t o u t p o i n t A/ de 2" la matrice symétrique d'éléments Μ'" admet
FiG. 3. a) Aux neuf éléments Mç/r de la matrice correspondent trois systèmes de trois doubles forces. Compte tenu de la symétrie de JC o n peut les grouper en 3 couples sans m o m e n t portés par les axes (par exemple M^^, — M ^ ^ j et en 3 doubles couples, par exemple ( M ^ i , — M ^ i ) ( M 12, ^ M12). b) En choisissant pour trièdre local celui des directions principales de JL on a simplement trois couples sans moment. (b)
APPLICATION
AU
J E U D'UNE
FAILLE
347
trois directions principales orthogonales (g/). Dans le trièdre correspon dant à ces directions, la matrice devient diagonale. E n deux points i n f i n i ment voisins portés p a r un tel vecteur propre g,, les seules forces n o n nulles sont elles aussi portées par et sont donc sans m o m e n t ( F i g . 2>b). Si le milieu est anisotrope, les axes p r i n c i p a u x de JL sont quelconques par r a p p o r t aux directions de la normale à Γ et d u vecteur de dislocadon. Par contre si le m i l i e u est isotrope, o n a :
λ et μ étant les coefficients de Lamé (Chap. 4, § 3.4). Par suite : M"'
= la' tii g'*' + μ{η' a" + if cÎ) .
(4)
Si la fracture Σ est plane et si le glissement a se fait dans le plan de Σ, c'est-à-dire s'il n'y a pas d'injection de matière dans la faille, o n a simple ment : M"'
= /((// a" + if d)
(5)
puisque a.n = 0 . Dans le trièdre local unitaire c o n s t r u i t sur a, n, a Λ n, les seuls éléments n o n nuls de JL sont : Λ/'^ = Μ^'
= μα
(a =
Les axes p r i n c i p a u x de JL sont donc portés par a Λ n et les bissectrices de l'angle (a, n). Le double couple obtenu est donc équivalent à deux doubles forces sans m o m e n t , orthogonales et à 4 5 " des direc tions d u glissement a et de la normale n àiT, dans leur plan ( F i g . 4). Si au contraire la discontinuité de dépla cement se p r o d u i t normalement au plan de la fracture, o n peut construire u n trièdre o r t h o g o n a l basé sur cette normale ( p o r t a n t le vecteur g,) et o n a : M''
= {À + 1μ)α
| a |) .
(5 bis)
\
\
n
/
-y F I G . 4. — Doubles couples équi valents à une fracture dans le cas d'un milieu isotrope quand le glis sement est contenu dans le plan de la fracture.
Λ / " = M " = λα .
O n peut interpréter cette d i s t r i b u t i o n comme étant due à trois doubles forces sans m o m e n t o u à un centre de d i l a t a t i o n {λα) et une double force sans m o m e n t (2 μα) suivant n. C o m m e o n le voit dans l'expression d u m o m e n t M"' la n o r m a l e n
348
MODÈLES
MATHÉMATIQUES
DE FAILLES
SISMIQUES
et le vecteur de dislocation a j o u e n t des rôles t o u t à fait symétriques. P o u r une source réduite à u n p o i n t , le glissement et la n o r m a l e à la faille sont donc indiscernables. N o u s étudierons maintenant le cas d ' u n foyer étendu. 4. — R A D I A T I O N A G R A N D E
DISTANCE D ' U N FOYER
ÉTENDU
N o u s avons o b t e n u au paragraphe 4 . 4 d u c h a p i t r e 5 l'expression d u déplacement u causé au p o i n t M à l ' i n s t a n t t p a r l ' a c t i o n d'une force concentrée à l'origine, excitée suivant la l o i /(/) et parallèle à un vec teur k , dans le cas d ' u n m i l i e u indéfini. C'est cette expression que n o u s utiliserons c o m m e f o n c t i o n de Green
car nous supposerons
la sur
face S' rejetée à l ' i n f i n i . Nous examinerons plus l o i n les modifications à apporter dans le cas où, par exemple, une surface libre est à distance finie
de la faille. En i n t r o d u i s a n t la f o n c t i o n :
je = - tm
-
np R) H(-
t
+ ns R)IR^
(Il
où H est la f o n c t i o n de Heaviside, o n peut écrire cette expression forme de la c o n v o l u t i o n défit) 4 npu = f *
fc(X
+
sous
par la réponse impulsionnelle d u m i l i e u :
/ne ti'sR-'
ô(t -
nsR))
+
(2)
vz~
p étant la densité, v le vecteur unité radial (R = O M = Rv, z = k . R ) . Nous avons i n t r o d u i t le facteur p parce que dans {E) f est une force par unité de volume. Surlignons maintenant les transformées
de
Fourier
par r a p p o r t au temps des fonctions présentes dans (2). En posant : kps
=
(onps
(3)
(O étant la p u l s a t i o n , o n peut écrire : 4 npu = /.
k(jë + Hs R
' exp(i/cs R))
+ vz
d3C
= 7.4πρΟ
On a : rnsR {—t)dtCKp(,i(ijt)/R^ ' npR
=
— exp(iA;p R) (ikp R — 1)]/ω^
[e\p(\ks R) (iks R—ï)
R^.
O n fait ainsi apparaître dans la T . F. de la réponse impulsionnelle une contribution G'' des ondes Λ correspondant au nombre d'ondes/:/- et une contribution G^' des ondes S, correspondant au nombre d'ondes k.s. Nous nous limiterons ici au calcul d u déplace ment à distance grande par rapport aux longueurs d'onde présentes dans le signal, ce q u i correspond à l'approximation de la théorie des rais. O n a donc par hypothèse pour les fréquences présentes dans le spectre de / : kp R>
l
ksR>
l .
(4)
RADIATION
A GRANDE
DISTANCE
D'UN
FOYER
ETENDU
349
Dans ces conditions, une valeur approchée des expressions précédentes s'écrit : GP = [(kl\k,.) Gs
- v z ] IniR)
(5)
[kR — vz] /is(R)
(6)
— np,s exp(iA;',.v R)IR- .
(7)
avec : 4 nphr.s
Si l'axe k correspond à la troisième coordonnée o n peut écrire avec les notations de (7) d u paragraphe 2 : G(3 I 0,0 ; M, t)
=
G(OIVI, OJ, k) exp(— \o>t) do
In
que l ' o n peut généraliser en : Gifl \M.t-
Mo, /o) =
G(.VfMo, OJ, g,) e x p ( — icX/o — t))doj.
~-
zπ
(8)
Compte tenu de (8) d u paragraphe 2, la quantité à calculer est : df
Γ
dlMir
G.,U/ \ M,
t;
M » , t„) .
O n voit que la T . F. u de u est donnée en fonction de la dérivée G,r = X/cx''
(9) par :
• + X
dî exp(ii'ji)
dXM"'
G,r(MMo,w, g,).
(10)
On a : C ' ' ( M M „ , OJ, g,) = [g„/iA:/. - r Vv, R] h,. G«(IVIMo, OJ, g,) - [/{g, — V f , R] hs . Remarquons
que : ••• — Vr ,
R,r
- — gr ,
(RV).r
(Rv„),r = — i V .
(11)
en supposant le trièdre (g) cartésien. D'autre part, à l ' a p p r o x i m a t i o n retenue, en dérivant par rapport à R (R'"
O n obtient
finalement
G^r =
-
: V, g , + v g „ + vv, V, i/cp R) hp
(12)
V, g , iRfcs + v g , , + vv, V, \Rks) hs •
(13)
(Vr g , +
Gf, = ( v , g , -
~ iR'" k,.,s h,',s .
hi;s)'
Si le milieu est isotrope et si la surface de rupture est plane, en prenant la normale à Σ comme axe des z (q 3), o n a : Ml'
Xg"'(a.
n) -|- nig^ a" + g'i, a')
MODÈLES
MATHÉMATIQUES
DE
FAILLES
SISMIQUES
et par suite, toujours à la même a p p r o x i m a t i o n : Mir
G!^. - — v [ ; . ( a . n ) i 2 //(n.v) (a. v ) ] ikp Rhr
Ml'
G%
/'(2 V ( n . V ) ( a . V ) — a ( n . v ) — n ( a . v ) ) iA.s Rh.s .
Introduisons le rapport des indices : 7 ~- «p/ns. O n peut mettre la première expres sion sous la forme : Μ·"
G^r -- v(A:p[(l — 2
n - 2 γ'-(η.\) v ] a) exp(i kr Λ)/(4 inR) .
(14)
O n a de même : MvrGfr
= — A - . s [ 2 v ( n . v ) ( a . V ) — a ( n . v ) — n ( a . v ) ] X exp(iAr.s Λ)/(4 Ι π Λ ) .
(15)
Nous supposerons que les dimensions de Σ sont petites devant la distance de M à cette surface. Soit O un point particulier de Σ tel que : O M , , R„ VQ, O M = d ; pour le point M de Γ on peut écrire : M M » = «V Λ = /?ο
«0
Vo
—d
—d.v
(16)
en négligeant les termes d'ordre supérieur en | d [//ÎQ- O n peut se limiter dans les expressions précédentes à remplacer v par Vo et R par (16) dans les exponentielles seulement. Par la suite nous supprimerons les indices 0.
N o u s supposerons de plus que la surface plane Σ ne dépend pas d u temps et que seul le vecteur de dislocadon a en dépend. O n v o i t dans ces conditions, en p o r t a n t (14) et (15) dans (10), que : a) ΰ*" est bien r a d i a l (en première a p p r o x i m a t i o n ) ; son a m p l i t u d e est donnée par : 2 7') n + 2 y ' ( n . v ) v ) kp{exp(ikp
Μ'" = ((1 -
R)/4 inR)
dIâ{M, ω) e x p ( -
x \kp d . v )
(17)
à étant la T . F. de a. b) est transversal (en première a p p r o x i m a t i o n ) , c'est-à-dire perpen diculaire au r a y o n m o y e n O M o - O n peut le décomposer en un vecteur parallèle au plan de faille : u? = "
ksin.v)
^^P('^s^) ί 4 ιπΚ
J 2·
dlâexp(- ik^d-v)
et une composante contenue dans le plan perpendiculaire contenant le rayon vecteur : ûi = kJn
-
2 v ( n . v ) ] ^^P^l^s^) ( v . f 4 ιπΚ
\
J Σ
(18)
à la faille
d l â e x p ( - i/cj d . v ) ) . '
(19)
PROBLÈME
INVERSE
351
Supposons maintenant que le vecteur a ait une direction constante ag sur la surface Σ. O n v o i t d'après (17) que l ' a m p l i t u d e de l'onde l o n g i t u d i nale est p r o p o r t i o n n e l l e à : (1 -
2 y 2 ) n . a o + 2y\n.x)
{ao.\).
Pour une faille sans séparation des lèvres, le déplacement est n u l (en première a p p r o x i m a t i o n ) dans deux plans, l ' u n perpendiculaire au glisse ment, l'autre c o n f o n d u avec le plan de faille. O n obtient les mêmes plans nodaux que pour une source p o i n t . Les expressions (18) et (19) m o n t r e n t que le déplacement est n u l p o u r des points situés dans le plan de faille et que la composante est nulle dans le p l a n perpendiculaire au glisse ment. V u la forme des relations (17), (18), (19) la détermination d u c h a m p d e déplacement p o u r différents modèles de faille n'est pas aisée et le passage au calcul numérique est le plus souvent nécessaire dès le début. M o s k vina (1969) a traité de la sorte plusieurs modèles de r u p t u r e d'une faille en supposant que le glissement avait une d i r e c t i o n fixe dans le p l a n de la faille et que la r u p t u r e s'effectuait avec une vitesse constante (prise égale à 0,9 fois la vitesse des ondes S) dans ce p l a n à p a r t i r d u foyer F. Elle a examiné en particulier l'influence de l a f o r m e de la surface Σ (cercle, carré, rectangle, centrés sur F, rectangle avec F sur u n petit côté) sur les figures de rayonnement à grande distance. Les figures correspondant à une propagation bilatérale (sources centrées sur F) ne diffèrent pas sensi blement de la figure correspondant à une source ponctuelle. P o u r une propagation unilatérale par contre une forte asymétrie est observée à la fois p o u r les ondes P et les ondes S. 11 i m p o r t e de remarquer que les auteurs q u i o n t développé cette méthode considèrent le c h a m p a ( M , t) comme une donnée et ne cherchent pas à le déterminer à p a r t i r d u c h a m p des contraintes initiales sur Σ. s. — PROBLÈME
INVERSE
Pour déterminer la direction d u vecteur n o n utilise les amplitudes des ondes longitudinales q u i arrivent les premières aux stations. Elles émanent d u foyer, c'est-à-dire d u p o i n t où la r u p t u r e a commencé (car celle-ci se propage à une vitesse inférieure à la vitesse des ondes P). O n peut alors considérer q u ' i l s'agit d'une source p o i n t ; nous avons v u que dans ce cas le glissement (initial) et la normale sont indiscernables. Les plans nodaux correspondent à :
(n. v) = 0
ou à
(ao. v) = 0 .
Choisissant une de ces solutions p o u r n o n peut tirer parti des relations (17) à (19) d u paragraphe 4 p o u r déterminer le spectre d u glissement sur Γ. ( K o s t r o v , 1970).
MODÈLES
MATHÉMATIQUES
6. — C H A M P AU
DU
DE FAILLES
SISMIQUES
DÉPLACEMENT
VOISINAGE D'UNE
FAILLE MOBILE
Les calculs approchés présentés au paragraphe 4 ne sont plus valables au voisinage de la faille. I l est alors nécessaire de conserver tous les termes de la f o r m u l e (2) d u paragraphe 4. Les formules correspondantes o n t été données par M a r u y a m a . A k i (1968) les a utilisées p o u r u n calcul numé rique d u c h a m p de déplacement dans le cas d'une source finie en m o u v e ment u n i f o r m e . L a surface de la faille est décomposée en u n grand n o m b r e de petits éléments ά Σ et o n effectue la s o m m a t i o n des effets de ces éléments. Les difiîcultés dues à la présence d'une surface libre — q u i obligerait en principe à utiliser les fonctions de Green d u demi-espace — o n t été tournées par A k i dans le cas particulier étudié d'une faille verticale à décrochement h o r i z o n t a l par l ' i n t r o d u c t i o n d'une source image de la faille par r a p p o r t à la surface libre. 11 a montré que p o u r une station à quelque distance des extrémités de la faille les effets de début et de fin de la r u p t u r e sont négligeables car ils correspondent à des effets de c h a m p à grande distance. Boore et al. (1971) o n t repris l'étude d'une faille verticale rectangulaire avec un coulissage h o r i z o n t a l . I l s étudient les effets de la p r o p a g a t i o n de la r u p t u r e à une vitesse K constante, en utilisant u n trièdre m o b i l e accom pagnant la r u p t u r e , suivant une idée de F r a n c k (1949). Ils se l i m i t e n t d'ailleurs au cas d ' u n mouvement indépendant de la p r o f o n d e u r et à composante verticale nulle. Les potentiels d'où dérive le déplacement sont solutions d'équadons q u i f o n t intervenir les nombres de M a c h de la r u p t u r e : Mps = K/jp χ. Avec les coordonnées d u trièdre m o b i l e ces équations sont ehiptiques si le mouvement est subsonique (Ms < 1). Si l ' o n se donne la discontinuité d u déplacement sur le p l a n de la faille o n trouve aisément le c h a m p d u déplacement. Malheureusement les hypothèses simplificatrices introduites enlèvent beaucoup d'intérêt à cette étude ; en particulier les conditions à la surface ne sont pas celles d'une surface libre et la vitesse des ondes de Rayleigh, q u i j o u e u n rôle i m p o r t a n t dans ces études (Burridge, 1971) ne peut apparaître dans les calculs. Haskell (1969) a repris les calculs à p a r d r de la f o r m u l e complète (2) d u paragraphe 4 mais en renonçant l u i aussi à utiliser la f o n c t i o n de Green d u demi-espace et en négligeant en p a r t i c u l i e r les ondes de surface. Le modèle étudié est encore constitué d'une ligne de dislocation mobile sur une surface rectangulaire avec une vitesse constante ( I/%) le glissement étant défini p a r : a = 0 D
si
t
si
t > Πρ.χ
(t - Πρ.χ) +
T.
D/T
si
0 < t -
iip.x
< T
DÉFORMATIONS
STATIQUES
353
L'intégration numérique est effectuée p o u r u n p o i n t placé en surface (en fait sur le p l a n médiateur d ' u n petit côté de la faille rectangulaire, Fig. 5a). L a figure 5h donne un exemple des résultats obtenus. L a compa raison avec les résultats des observations p o u r le séisme de Parkfield m o n t r e que les déplacements observés en surface ne sont pas nécessaire ment représentatifs de la dislocation sur la faille en profondeur.
-w/2
y
/Χ3/Γ VV/2-
/
/
(°) F I G . 5. a) Modèle de faille Haskell (1969).
étudié par
L = 10, =
w = 2,5,
2,25 ,
«,.·/?=
6,0
-8,0
Ô,0
-6,0
10,0
-4,0
12,0
/V-
-^P
ί
0,0
Unités sans dimension iiFOi
-10,0
1,30
(a, β vitesses des ondes P, S). b) Composante du déplacement suivant l'axe Oxi en fonction du temps pour des points M(xi, 0, 3).
-/ 0,0
rJ, , , , 10,0
20,0
1Ô,0
40
2Q0 0,0
30,01
10,0
20,0
STATIQUES
7.1. — Dislocation dans un milieu indéfini. — O n peut obtenir p a r une méthode t o u t à fait analogue à celle suivie p o u r établir la f o r m u l e de B e t t i , mais sans intégration p a r r a p p o r t au temps, l'expression d u déplacement statique, c'est-à-dire de la l i m i t e d u déplacement longtemps après le passage des ondes émises p a r la dislocation. O n obtient :
uJMo)
Le vecteur de Green p. 185) p a r :
= J ^ dlM"'
16,0
2.0
(b)
7. — D É F O R M A T I O N S
14,0
G , 1, ( m 1 M o ; M ) .
(l)
p o u r u n m i l i e u indéfini est donné (Love, 1944,
G(3 I 0 ; M ) = (zv -f- /?/?k) A/R'
30,01
354
MODÈLES
MATHÉMATIQUES
DE FAILLES
SISMIQUES
avec : y = V % ,
- y'),
η = (\ +
= (l -
A
ou en généralisant au cas d'une force de d i r e c t i o n G{q\
M;Mo)
y^)/8 πμ ,
(2)
s'exerçant en M :
= A(vv^ + ng,)/R .
C o m p t e tenu de ( I I ) d u paragraphe 4, la dérivée de G s'écrit : G,r = A{2 VV,
+
V, -
g r V, -
g,r
v)/^^ ·
Pour un milieu isotrope et un glissement contenu dans le plan de faille on obtient finalement : u(Mo)
= (1/4 π Κ ' )
I
d l [ 3 ( l - /)
v(a.v) (n.v) + y'(a(n.v) + n(a.v))]. (3)
La composante l o n g i t u d i n a l e , p o u r un glissement u n i f o r m e sur Σ, est n u l l e en première a p p r o x i m a t i o n sur le plan perpendiculaire au glisse ment a et sur le plan de faille. 7.2. — Faille dans une sphère. — Ben M e n a h e m et al. (1969) o n t attaqué le problème d u calcul d u c h a m p de déformation dans une sphère h o m o gène n o n gravitante. L'intérêt de tels calculs a été souligné par Press (1965) et s'est encore accru après la suggestion de M a n s i n h a et Smylie que les déformations engendrées par des séismes p o u r r a i e n t — en m o d i f i a n t le tenseur d'inerde de la Terre — exciter le m o u v e m e n t de Chandier (voir Chap. 19 et M a n s i n h a et al. 1970). Le déplacement dû à la dislocation contenue dans le plan de r u p t u r e est calculé à l'aide de la f o r m u l e (2) d u paragraphe 4. M a i s cette fois c'est le vecteur de Green de la sphère q u i est i n t r o d u i t sous la f o r m e d ' u n développement en série des vecteurs propres de l'équation de l'élasticité. Les auteurs étudient divers cas de failles et celui d'une explo sion. L a convergence des séries est rendue plus rapide par certaines transformations. La répartidon sur la surface des amplitudes est donnée. O n t r o u v e par exemple que p o u r un séisme de magnitude 8 des déformadons de l ' o r d r e de lO""* peuvent être produites dans l'hémisphère opposé à l'épicentre. Les auteurs comparent également leurs résultats à ceux f o u r n i s par les calculs dans u n demi-espace. Pour des sources analogues le r a p p o r t des déplacements peut atteindre 3. Les calculs de Ben M e n a h e m et al. o n t été étendus par Smylie et M a n s i n h a au cas d'une sphère hétérogène. Leur méthode, incorrecte dans le n o y a u , a été critiquée par D a h l e n (1971), q u i a trouvé p o u r sa part u n effet légèrement décroissant q u a n d la p r o f o n d e u r d u foyer augmente
BIBLIOGRAPHIE
8. — A U T R E S T Y P E S
I I ! i
j I
! i
!
DE
SOURCES
Evison a suggéré en 1963 que certains séismes pourraient être dus à des changements de phase se produisant de façon explosive au foyer. Diverses transformations (éclogite pyroxène à grenats, changement de système cristallin pour l'enstatite) ont été envisagées ; nous ne discuterons pas les difficultés soulevées par cette hypothèse. ICnopoflF et Randall ont étu dié (1970) les effets que produirait un changement brusque de la densité ou des paramètres élastiques dans un domaine autour du foyer. Si les dimensions de ce domaine sont petites devant les longueurs d'onde pré sentes dans le spectre émis, on n'a pas, dans une première approximation, à connaître sa forme exacte. U n changement du module d'incompressibilité doit produire, comme un changement de la densité, un effet radial isotrope, sans déplacement transversal, analogue à celui d'une explosion. L'effet d'un changement de la rigidité dépend de la déformation présente à ce moment. Ce cas est important si les foyers profonds sont dus à une fusion brusque. Pour une déformation de cisaillement, cet effet est analogue à celui d ' u n double couple. On ne peut en principe pas distinguer entre les deux types de source : faille et changement de rigidité dans un milieu déformé par cisaillement. Pour une déformation axiale l'effet est celui d'un dipôle de forces sans moment. Les auteurs ont discuté la possibilité d'une discrimination entre les deux systèmes de forces : doubles couples et dipôle sans moment, en représentant les amplitudes des ondes P ramenées sur la sphère focale sous forme d'une somme :
;
:
355
2
« = ίο +
Σ m= - 2
' m P'sCcos 0) exp(iw
Le premier terme représente la compression correspondant à une explo sion (ou la dilatation due à une diminution brusque de la densité) ; les cinq autres termes correspondent aux trois degrés de liberté nécessaires pour repérer un double couple dans l'espace et aux deux degrés de liberté nécessaires pour un dipôle linéaire. En général plusieurs combinaisons de doubles couples et de dipôles sont des solutions possibles pour une répar tition donnée du déplacement longitudinal sur la sphère focale. BIBLIOGRAPHIE K . A K I , 1 9 6 8 . Seismic displacements near a fault. JGR, 7 3 , 5359-76. Ch. ARCHAMBEAU, 1968. General theory o f elastodynamic source field. Rev. of Geoph., 6,1, 3, 241-288. A . BEN MENAHEM, S. J . SINGH, F. SOLOMON, 1969. Static déformation o f a spherical Earth model by internai dislocations. BSSA, 5 9 , 813-854.
356
MODÈLES
MATHÉMATIQUES
DE
FAILLES
SISMIQUES
D . M . B o o R E , K . A K I , T . T O D D , 1971. A two-dimensional m o v i n g dislocation model for a strike-slip fault. BSSA, 6 1 , 177-194. R. BURRIDGE, 1971. Source mechanisms and fracture produced wave sources, p. 15-30. I n Dynamic waves in civil engineering. Wiley éd. F . A . DAHLEN, 1971. The excitation o f the Chandler wobble by earthquakes. GJ. 2 5 , 1 5 7 - 2 0 6 . F . C. FRANCK, 1949. O n the équations o f m o t i o n o f crystal dislocation. Proc. Phys. Soc, A 6 2 , 131-4. N . A . HASKELL, 1969. Elastic displacement i n the near-field o f a propagating fault. BSSA, 5 9 , 865-908. L . KNOPOFF, M . J . RANDALL, 1970. The compensated linear vector dipole. JGR, 7 5 , 4957-63. B . V. K o s T R O V , 1970. The theory o f the focus for tectonic earthquakes. Izv. Earth Phys. trad. angl., 4 , 84-101. A . E. H . LOVE, 1944. Theory of elasticity. Dover 4" éd. L . MANSINHA, D . E. SMYLIE, A . E . BECK, 1970. Earthquake, displaceinent fields and the rota tion of the Earth. Reidel p u b l . A . C. MosKViNA, 1969. Study o f the displacement field o f elastic waves i n dependence o f characteristics o f earthquake foci. Izv. Earth Phys. trad. angl., 9 , 545-52. F . PRESS, 1965. Displacements, strains, and tilts at teleseismic distances. JGR, 7 0 , 23952412. J . WEERTMAN, J . R. WEERTMAN, 1970. Théorie élémentaire des dislocations. Masson et C'".
CHAPITRE
14
PARAMÈTRES DES SOURCES SISMICITÉ
SISMIQUES.
par Jean
1. —
COULOMB
INTRODUCTION
L e présent chapitre complète la description qualitative des sources sismiques contenue dans le chapitre 2, en utilisant les théories des chapitres qui ont suivi. On se permettra d'en rétablir intuitivement quelques points. Sauf au para graphe 2, l'étude porte, non seulement sur le phénomène focal proprement dit (rupture initiale), mais sur l'évolution complète de la source. L e s résultats obtenus ne sont en général que des ordres de grandeur ; ils apportent néan moins des informations très utiles. Nous nous bornons au cas de sources comportant des dislocations tangentielles de type simple, sans nier l'intérêt éventuel de modèles plus compliqués.
2 . — D I R E C T I O N D U PREMIER M O U V E M E N T
D ' U N SÉISME
2 . 1 . — La répartition en quadrants. — L e premier mouvement d'un séisme peut être dirigé vers l'épicentre (on dit qu'il correspond à une dilatation) ou vers la station qui l'observe (compression). L a distinction se lit sur les enregis trements de la composante verticale, dont les phénomènes de réflexion ne peuvent changer le sens. T. Shida semble le premier à s'être aperçu, vers 1927, que pour certains séismes à foyer superficiel les compressions et les dilatations observées au voisinage de l'épicentre se répartissaient en quadrants opposés. L a figure 1 en est un bon exemple. L a figure 2 superpose un grand nombre d'observations concer nant l'essaim de Matsushiro ; elle donne une idée du pourcentage d'erreurs possibles, dues au fait que le début de l'onde P arrive parfois dans de l'agi tation et qu'on a souvent à choisir, lorsqu'on est près d'une des droites sépa ratrices, entre un petit crochet dans un sens et un grand impetus en sens inverse qui suit immédiatement.
8
PARAMÈTRES
DES
SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÈ
F I G . 2. — Condensations et dilatations. Figure composite obtenue par super position des données de séismes appartenant à l'essaim de Matsushiro, les épi centres étant ramenés au même point (anonyme, 1966).
DIRECTION
DU
PREMIER
MOUVEMENT
L a répartition en quadrants peut être rattactiée intuitivement (Gutenberg) à la théorie d u rebon dissement élastique (Chap. 2) en considérant dans la figure 3 le cas d'une faille verticale Fcouhssant horizontalement et vue par dessus. L a ligne AB p r i m i t i v e m e n t n o r m a l e à la faille a été déformée en A' EB' avant le séisme ; sa r u p t u r e en deux segments A' Η',Β' K' i n d i q u e l'allure d u mouve ment sur chaque lèvre. L a trace de la faille et l'horizontale perpendiculaire passant p a r l'épi centre E séparent les régions éloignées en qua drants de compression et de d i l a t a t i o n , mais observer cette d i s t r i b u t i o n ne permet pas de savoir quelle est celle des deux séparatrices q u i correspond à la faille ; o n peut se t r o m p e r de 90".
D'UN
SÉISME
359
V
A | nA'
H'
\
/ B'
ÎB
F I G . 3. — Répartition en quadrants d'après la théorie du rebondissement élastique (GUTENBERG). L a figure repré sente la surface terrestre vue de dessus.
O n a v o u l u lever cette ambiguïté en s'adressant aux ondes S. M a i s p o u r ces ondes le schéma de la figure 3 ne f o u r n i t pas d'indications suffisantes. L a répartition des premiers mouvements des S est restée sujette à controverse t a n t que l'amélioration des observations d'une p a r t , la théorie des dislocations de l'autre (Chap. 13), n'a pas imposé pratiquement comme modèle de foyer en m i l i e u élastique l a I ^ ^ I
disparition de deux couples coaxiaux opposés ( F i g . 4) o u , ce q u i revient a u même, de deux dipôles o r t h o gonaux, l ' u n d'extension, l ' a u t r e de compression, les quatre forces correspondantes ayant la même i n t e n sité. Dans ce modèle les ondes S sont polarisées dans le plan des couples, et leur a m p l i t u d e s'annule en changeant de sens sur les bissectrices des quadrants des P. L ' o b s e r v a t i o n des S ne permet donc pas de choisir entre le plan de faille et le p l a n perpen diculaire.
Même lorsque le doute ne peut être levé par des considérations de tectonique générale, l'observation des compressions et dilatations des P est néan F I G . 4. moins précieuse parce qu'elle f o u r n i t les directions (bissectrices des quadrants) sur lesquelles s'exercent a u foyer des pressions et des tensions. 1
Des critiques sont parfois encore élevées contre le modèle de la figure 4 p o u r des raisons variées : attachement persistant à l'hypothèse de séismes par changement de phase ; désir de généralité plus g r a n d c o m m e dans les travaux de K n o p o f f et R a n d a l l (Chap. 13), cas aberrants de plans n o d a u x non o r t h o g o n a u x , probablement p a r suite de réfractions superficielles (That cher et B r u n e , 1971) etc. L ' a c c o r d des calculs d'amplitudes commencés p a r N a k a n o en 1923, et d o n t nous verrons la généralisation au paragraphe 7,
PARAMÈTRES
360
DES
SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÉ
avec les observations, d o n t la précision est a u j o u r d ' h u i bonne, semble m o n t r e r que le modèle est actuellement suffisant.
p,Q
5
2.2. — Cas des séismes lointains. — Bien entendu, si l ' o n observe à grande distance les premiers m o u vements engendrés par une source profonde i l faut transporter, de la station S au foyer F, le l o n g des rais sismiques, l ' i n f o r m a t i o n obtenue. U n procédé c o m m o d e consiste à remplacer S par sa « p o s i t i o n extra polée » ( « extended distance » de Byerly) S, sur la tangente en F au départ d u r a i FS (Fig. 5). O n repré sente ensuite la d i r e c t i o n FS, sur une carte de la sphère de centre F, de r a y o n unité, par exemple par une
F I G . 6. — Mécanisme au foyer du séisme d'Arette {Pyrénées atlantiques, 1 3 août 1 9 6 7 ) obtenu par calcul statistique: · compressions, Δ dilatations, P pression maximale, Γ pression minimale (tension). D'après H O A N G TRONC. PHO et ROULAND, 1971.
ESTIMATION
DE VÉNERGIE
ÉMISE
AV
COURS
D'UN
SÉISME
361
projection stéréograptiique ayant p o u r pôle u n des p o i n t s de l a sphère sur la verticale de F. Si o n choisit le p o i n t inférieur A, la distance extrapolée de S, soit Fs^ = c o t g //2 est donnée p a r des tables en f o n c t i o n de la distance angulaire Δ dt S ( H o a n g T r o n g P h o , à l ' i m p r e s s i o n , 1972). La détermination des séparatrices, o u lignes nodales, q u i sont des cercles en p o s i t i o n stéréographique peut se faire à vue o u par divers procédés sta tistiques, q u i d o n n e n t u n poids m o i n d r e aux observations dans les régions frontières. L a figure 6 donne u n exemple récent (séisme d ' A r e t t e ) de cette détermination des lignes nodales. L o r s q u ' o n a p u , en général, par des considé rations de tectonique générale, choisir l'une d'elles comme p l a n de faille, on d i t q u ' o n a déterminé le « mécanisme a u foyer » . La mise en service de sismographes fiables à longue période a donné u n développement considérable à ces déterminations a u foyer ; o n verra au t o m e I I les précisions qu'elles o n t apportées sur les fractures océaniques.
3. — E S T I M A T I O N D E l'ÉNERGIE
CLASSIQUE
ÉMISE A U C O U R S D ' U N SÉISME
3.1. — Généralités. — Pour évaluer l'énergie E émise au cours d ' u n séisme, il suffirait théoriquement de déterminer l'énergie contenue dans les ondes directes P et 5 enregistrées en une seule station, à c o n d i t i o n de connaître parfaitement le mécanisme focal et les m i l i e u x traversés. Encore
faudrait-il
que la station ne corresponde pas à u n r a i situé a u départ dans u n p l a n n o d a l . En pratique, o n fait énormément d'hypothèses simplificatrices, que nous allons passer en revue. 3.2. — Énergie d'une onde plane. — L'énergie transportée p a r une onde élastique en m i l i e u homogène et i s o t r o p e indéfini s'obtient aisément à p a r t i r des formules générales d u chapitre 13. Retrouvons-la p a r u n calcul simple en assimilant localement l'onde à une onde plane et en considérant p o u r fixer les idées une onde S, polarisée parallèlement à Ox, avançant suivant Oz. L'onde traverse au cours de sa p r o p a g a t i o n u n petit parallélépipède d o n t la position au repos correspond à O < A : < a ,
0 < > ' < ό , 0 < z < c ,
et d o n t
un p o i n t matériel subit au temps t u n déplacement u{z, t). Les p o i n t s de cote nulle au repos subissent pendant le temps dî u n déplacement {dulôt)o dt ; le point de cote c u n déplacement
Si on néglige les forces de v o l u m e , les seules forces q u i s'exercent lélépipède sont les tensions ( -
sur le p a r a l
τ)ο sur la face z = 0, (τ + c δτίδζ)^
sur la face
362
PARAMÈTRES
DES
SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÉ
Z = C. Le travail de ces forces dans le déplacement précédent est, en suppri mant
les indices :
o u au premier ordre :
Soit D{z, t) la densité d'énergie par unité de v o l u m e , c o m p r e n a n t l'énergie cinétique et l'énergie potentielle (les échanges de chaleur sont supposés négli geables). Si l'onde avance à la vitesse W, le flux d'énergie e n t r a n t par la face z = 0 est WDab, le flux sortant par la face c est(H^D + (djôz) WDab), l'éner gie gagnée pendant le temps at est — (djdz) WDabc àt. O n a donc : _ dWD _
du\
~ dz y
'~δΓ
dt) '
d'où, en négligeant u n terme d'évolution sur place, \
du
l
du du
' ' = - w ' T t ^ - ^ ^ w T z T t
μ étant la rigidité. Si M = F(z - Wt), D = 2 pF"(z Wt). L'énergie se propage à la vitesse de l'onde. P o u r une p r o p a g a t i o n sinusoïdale : u =
Uo s i n / ( z -
Wt),
D =
2 μf'
ul cos'f(z
-
Wt) ,
l'énergie est p r o p o r t i o n n e l l e a u carré de l ' a m p l i t u d e . Sa valeur moyenne sur une demi-période est μ/' UQ = 4π' ρ w' ul co', ρ étant la densité d u m i l i e u et ω la p u l s a t i o n considérée. Le dernier résultat est valable p o u r une onde P en changeant W en V. M a i n t e n a n t q u ' o n fait commodément les analyses de F o u r i e r numériques, on peut calculer la somme des énergies élémentaires correspondant aux diverses fréquences d u spectre, en a p p l i q u a n t à chacune les corrections d o n t nous allons parler dans les prochains paragraphes. M a i s la p l u p a r t des déterminations ont été faites en assimilant simplement les arches successives des trois c o m p o santes enregistrées à des demi-périodes synchrones d'ondes sinusoïdales, et en faisant des sommes de termes de la forme :
u'jT'
= ( u | +ul
+ ul)IT'
,
les amplitudes et plus rarement les phases étant corrigées des effets i n s t r u mentaux. Puis, dans un effort d'extrême simplification, Richter, en 1935, et G u t e n berg o n t fondé la n o t i o n de magnitude
sur la seule quantité U]IT',
OÙ M , est
ESTIMATION
DE
L'ÉNERGIE
ÉMISE
AU
COURS
D'UN
SÉISME
363
le m a x i m u m d ' a m p l i t u d e apparente sur une composante et dans une phase déterminée, la période correspondante. U n étalonnage des magnitudes nécessiterait des comparaisons avec des déterminations d'énergie émise ; mais o n s'est surtout préoccupé de rendre cohérentes entre elles les magnitudes calculées. 3.3. — Corrections de trajet en théorie des rais. — Les déplacements sont observés à la surface de la Terre. I l s résultent d o n c de la superposition de l'onde incidente et des ondes réfléchies. O n sait ( 5 . 5 ) remonter de l ' a m p l i tude apparente des trois composantes enregistrées à l ' a m p l i t u d e vraie de l'onde P o u 5 incidente ; o n connaît donc le flux d'énergie (WD) άσ = άσ à travers une petite aire άσ n o r m a l e au rai incident ( F i g . 7). S'il n ' y avait pas de pertes sur le trajet, le même flux serait émis au foyer dans l'angle solide dû d u cône de rais aboutissant à dff. O n sait théoriquement (passons sur notre ignorance des détails de la croûte) calculer les pertes provenant des réflexions et réfractions sur les discontinuités internes. O n tient compte des autres, q u i sont énormes, en adoptant p o u r le flux au départ du foyer l'expression :
Φ di2 = Φο exp ( ] \ d , ) d . F I O . 7.
où L est la longueur d u trajet, a le coefficient d'atténuation. E n m i l i e u homogène (Chap. 1) : α = n/AQ (A l o n gueur d'onde, Q facteur de qualité). P o u r a v o i r u n ordre de grandeur, prenons A=5km,Q = 600, donc α = 0,001 km'^ ; p o u r L = 3 000 k m , exp(a£,) est de l'ordre de 20. E n fait les hautes fréquences sont diffusées p a r les défauts d'homogénéité de la croûte et l'hypothèse d ' u n facteur de qualité constant est très sommaire. S\ A, φ sont les coordonnées polaires de la station p a r r a p p o r t à l'épicentre, a le rayon terrestre, IQ l'angle d'émergence, o n a ( F i g . 7) :
dû = sin i da d'où Φ(/, φ) en / et ψ.
dA
= ds cos
connaissant Φο(Λ,
dA dm
ÎQ
φ).
= a' cos
ÎQ
sin A dA dcp
O n o b t i e n t l'énergie totale en intégrant
364
PARAMÈTRES
DES
SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÈ
Le calcul p o u r r a i t , nous l'avons d i t , être limité aux ondes P et 5 directes. Elles sont déjà malaisées à distinguer de certaines réflexions. Mais on fait en générai comme si on ignorait le mécanisme au foyer et comme si Pénergie était émise de façon isotrope (Φ indépendant de / et de φ), q u i t t e à comparer ensuite les valeurs obtenues en diverses stations. 3.4. — Utilisation des ondes de surface. — Si la p r o f o n d e u r d u foyer est assez faible p o u r que les ondes de surface soient bien développées, o n peut les u t i liser p o u r obtenir des renseignements sur l'énergie émise. T a n t q u ' o n veut ignorer le mécanisme a u foyer, o n n'en tire qu'une méthode relative, à étalotiner par comparaison avec des énergies déduites d'ondes de volume. Par contre, l'atténuation est facile à déterminer en c o m p a r a n t les amplitudes p o u r une même période en deux stations d ' u n même continent ( p o u r éviter les réfractions latérales à la traversée des marges). O n se rappellera que l'énergie se propage à la vitesse de groupe (Chap. 8) et o n tiendra compte d u facteur géométrique (sin A)~^'^. Bernard (1941) t r o u v e entre deux passages des ondes de Rayleigh u n coefficient d'atténuadon α = 0,(K)0 17 k m ~ ^ vers 15 à 18 s. 4. — M A G N I T U D E S
4.L — Définition des magnitudes. — L a magnitude a été définie en 1935 par Richter p o u r les séismes locaux de Californie à p a r t i r de l ' a m p l i t u d e m a x i m u m qu'enregistrerait u n sismographe particulier à 100 k m de l'épicentre. Elle a été étendue p a r G u t e n b e r g et Richter, aux séismes éloignés ; la m a g n i tude m déduite des ondes de v o l u m e est définie par la f o r m u l e conventionnelle : m = log^-f/i(zl,/i)-f
C,
(2)
Δ est la distance, h la p r o f o n d e u r d u foyer. M J et 7', sont l ' a m p h t u d e maximale et la période apparente correspondante d'une phase déterminée des ondes de v o l u m e ( o u d'une composante particulière de cette phase). / , ( z l , h) est u n f o n c t i o n empirique. C j est une correction, supposée indépendante d u séisme, à déterminer empiriquement en chaque station. Des tables et des abaques o n t été donnés par G u t e n b e r g et Richter (voir Gutenberg et Richter, 1956) p o u r PV{¥ïg. 8), PH, PPV, PPH, 5·//( K composante verticale, //composante horizontale). S'il y a discordance, o n prend une moyenne « pondérée ». L a méthode, d o n t o n ne peut nier l'utilité pratique, est peu précise et les nombreuses tentatives faites p o u r l'améliorer ( B a t h , 1966 ; H o w e l l et al., 1970) o n t accru la confusion. Les valeurs de m obtenues p o u r u n même séisme en différents observatoires diffèrent souvent d'une demi-unité. H o a n g donne même u n exemple (séisme de l ' A l a s k a , 4 a v r i l 1964) où les estimations allaient de 5 (Port M o r e s b y ) à 7 ( M a t s u s h i r o , M o s c o u ) . P o u r les séismes superficiels distants, G u t e n b e r g et Richter avaient défini une magnitude M déduite des ondes de surface ayant une période de 20 s
( + 2) ( q u i correspondent en général à la phase d ' A i r y des ondes de Love). Vanek et al. (1962) en o n t déduit la f o r m u l e suivante : + 1,66 l o g Δ + 3,30 +
M = log ^ i
(3)
2
applicable en principe à toutes les ondes de surface et largement utilisée depuis 1967. m et M devraient coïncider p o u r les séismes superficiels ; ce n'est pas le cas, même en moyenne où : m = 0,56 M + 2,9
(4)
d'après Bath (1966). O n t r o u v e r a des détails dans Kârnik (1969) ; Buné et Golubeva (1971). Par ailleurs, n i m, n i M ne se raccordent bien à la définition p r i m i t i v e de Richter, liée aux structures californiennes. M semble bien débar rassée de l'influence de Δ, et même des influences régionales (Evernden et Filson, 1971), beaucoup mieux que m en tous cas. Dans les explosions atomiques, les ondes de surface sont généralement moins développées que dans les tremblements de terre superficiels de même énergie à cause de la différence des dimensions focales. O n observe donc des écarts entre m et M déduits des ondes de surface ; ce sont en général des ondes de Rayleigh, et o n s'en est servi p o u r la d i s c r i m i n a t i o n entre séismes et bombes
PARAMÈTRES
366
D E S SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÈ
(voir par exemple Pasachnik et al., 1970). M a i s certaines explosions engendrent des ondes de L o v e i m p o r t a n t e s p a r libération de contraintes préexistantes (Toksoz et al., 1971), c o m m e dans u n véritable séisme. Sur une dizaine d'exemples de T o k s o z et K e h r e r (1971), le r a p p o r t de l'énergie contenue dans les ondes de surface p o u r la composante tectonique (double couple, v o i r § 7) et p o u r la composante isotrope varie de zéro p o u r u n t e r r a i n meuble à 14 dans u n cas d'explosion dans d u granité. D ' a u t r e p a r t , o n a été vite c o n d u i t p o u r m à des révisions i m p o r t a n t e s ( K a i l a , 1970), p o u r M à des distinctions entre ondes de L o v e continentales Lg vers 4 o u 5 s (Baker, 1970), ondes de Rayleigh continentales de période 8 à 14 s (Basham, 1971), ondes de 18 à 22 s consi dérées p a r G u t e n b e r g et R i c h t e r , ondes de 40 à 60 s ( M o l n a r et al., 1969). L a m a g n i t u d e ne d o i t évidemment pas être confondue avec l'intensité d ' u n séisme en u n lieu (Chap. 2). P o u r les séismes superficiels, elle peut cepen dant être mise en r e l a t i o n avec l'intensité maximale / Q . Selon Gutenberg, 1956 : P o u r / Q = 11 ; 12 (catastrophes) m > 7,4 10
(dommages sérieux, rails t o r d u s ) 7,3 > m > 7,0
8 ; 9 (dommages i m p o r t a n t s aux bâtiments) 6,9 > m > 6,2 7 (dommages légers aux bâdments) 6,1 > m > 5,5 6 (ressenti p a r t o u t le m o n d e ) 5,A > m > 4,9 4 ; 5 (ressenti p a r beaucoup) 4,8 > m > 4,3 2 ; 3 (ressenti p a r certains) 4,2 > m > 3,5. P o u r l'influence de la p r o f o n d e u r , o n p o u r r a v o i r K a r n i k , 1969. 4.2. — Relation
entre la magnitude
et l'énergie émise. — L a correspondance
entre magnitude et énergie semble m o i n s mauvaise q u ' o n ne p o u v a i t l'attendre de méthodes grossières. On se contente en général d'une f o r m u l e linéaire. P o u r G u t e n b e r g et R i c h t e r (1956) : l o g ^ j o u i e s = 4,8 - f 1,5/W.
(5)
I l n'est pas sûr que cette f o r m u l e soit applicable aux explosions atomiques. Supposons-le. Leur énergie chimique est exprimée en kilotonnes de tolite (1 k i l o t o n n e = 4,2.1012 j ) . Pour des explosions dans d u rocher, quelques résultats d'Evernden et Filson (1971) permettent d'écrire : M
= 1,4 + 1,3 l o g E' (kilotonnes)
(6)
où £" est l'énergie mise e n j e u ; o n trouverait ainsi, p o u r le rendement de l'explosion η = £/£", des valeurs de l'ordre de 1/10(X), certainement t r o p faibles.
4.3. — Statistique
des séismes par magnitude.
— L a « sismicité » d'une région
a longtemps été caractérisée p a r le n o m b r e de séismes « i m p o r t a n t s » ressentis ou
enregistrés en moyenne annuelle. M a i s les énergies des séismes sont si
variées q u ' u n classement l o g a r i t h m i q u e s'impose, ce que permettent les m a g n i -
MAGNITUDES
367
tudes. Les magnitudes observées v o n t en fait de — 1 (Brune et A l l e n , 1967a) à 8,5 avec des définitions malheureusement variables. Si TV est le n o m b r e annuel de séismes de magnitude comprise entre m — \ et /77 + i p a r exemple, o n trouve souvent q u ' u n e décroissance linéaire : \og N = a — bm
(7)
interprète convenablement les statistiques. M a i s la f o r m u l e n'est pas additive. a et même b varient avec la famille de séismes, la densité et la qualité des sis mographes, le d o m a i n e de magnitudes considéré. Pour le G l o b e entier, la figure 9 de Gutenberg, 1956, m o n t r e le n o m b r e de séismes superficiels, intermédiaires, et p r o f o n d s tels que m ^ 6,0 (voir aussi Brazee et Stover, 1969, Buné et Golubeva, 1971). (4), (5), (7) permettent d ' o b t e n i r l'énergie totale annuelle émise p a r tous les séismes d'une famille dans un intervalle unité de magnitude, par exemple log NE = 4,0 + 1 , 8 m p o u r l'ensemble des séismes superficiels tels que 6 < m < 7 ( F i g . 9). Malgré la décroissance de N, NE croît rapidement avec m. L'énergie est émise essentiellement p a r les plus grands séismes ; leur prévention (Chap. 2) serait impossible si la libération d'énergie potentielle suivait les mêmes lois ; mais o n verra que le « rendement sismique » baisse peut-être avec la magnitude ( K i n g , 1969).
F I G . 9 . — Nombre annuel moyen N de séismes par dixièmes d'unité de magnitude m, et valeurs correspondantes des énergies E en ergs (log E en échelle horizontale supé rieure). D'après GUTENBERG, 1 9 5 6 .
368
PARAMÈTRES
DES
SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÉ
Le lecteur trouvera des déterminations régionales de N(m) dans Shlien et Toksôz, 1970 ; Kârnik, 1971, etc. L a r e l a t i o n (7) a été appliquée localement, par exemple aux répliques d ' u n séisme (Kârnik, 1969) o u d'une explosion, à des essaims (Sykes, 1970), etc. Elle a aussi servi à prédire la plus grande magnitude à attendre dans une région donnée, généralement par a p p l i c a t i o n d'une théorie statistique de G u m b e l (voir par exemple Kârnik, 1971 ). A l'opposé, l'existence d'une magnitude m i n i m a l e est souvent suggérée sans preuves.
5 . — SISMICITÉ
5.1. — Cartes de sismicité. — P o u r une description de la sismicité régionale, la détermination des magnitudes permet de substituer aux simples cartes d'épicentres o u de fréquence des secousses des cartes plus importantes p o u r les applications, telles que des cartes de fréquences p a r catégories de magnitudes, d'intensité m a x i m u m à craindre, o u de densité d'énergie émise pendant une période. Les cartes « séismotectoniques » i n c o r p o r e n t en o u t r e les connais sances possédées sur la structure géologique de la région (Beloussov et al., 1967). Malheureusement les statistiques sismiques devraient porter sur quelques centaines d'années p o u r permettre une e x t r a p o l a t i o n sérieuse ; elles portent sur une cinquantaine. 5.2. — Répartition géographique des séismes normaux et profonds. — L a carte ( F i g . 10a) des épicentres déterminés par le Coast a n d Geodetic Survey de 1961 à l967(Baranzagi et D o r m a n , 1969) et la carte annexe (Fig. 106) donnent une première idée de la sismicité mondiale. Dans le présent chapitre, nous nous contenterons de la commenter brièvement. Elle t r o u v e r a son interpréta t i o n au tome I I dans le phénomène d u renouvellement des fonds océaniques. Les séismes i m p o r t a n t s s'alignent d'une p a r t , le l o n g de régions plissées à l'époque tertiaire, d'autre p a r t , le l o n g de lignes étroites q u i coïncident avec des crêtes de dorsales océaniques, enfin le l o n g des régions d'effondrement q u i prolongent ces lignes au sein des continents (mer Rouge, cassures africaines, bassins et chaînes de l ' U t a h , etc.). Les séismes correspondant à des plissements anciens sont parfois n o m b r e u x (séismes d'Ecosse) mais ils sont faibles. Les épicentres sont exceptionnels dans le Pacifique Central et sur les boucliers continentaux, ces régions stables étant cernées par les lignes précédentes. Les plissements tertiaires occupent essentiellement deux grandes zones : L a ceinture d u Pacifique, ouverte au Sud de la Patagonie à l'île M a c q u a r i e , renferme les quatre cinquièmes des épicentres connus ; sur elle se branche aux M o l u q u e s l a zone méditerranéenne o u alpine q u i borde le c o n t i n e n t Eurasien a u S u d de la suite de dépressions a l l a n t de la mer N o i r e a u lac BaïkaI ; cette zone se termine à G i b r a l t a r . L'ensemble des deux contient n o t a m m e n t les grandes failles à coulissage, et la totalité des séismes intermé diaires ou profonds.
SISMICITÈ
370
PARAMÈTRES
DES
SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÈ
180·
90*W
0· F I G . lOè). — Epicentres des régions arctiques déterminés par le Coast and Geodetic Survey du \" janvier 1961 au 30 septembre 1969. Les foyers de Nouvelle Zemble sont probablement des explosions nucléaires. D'après BARANZAGI et DORMAN, 1970.
Le système des dorsales a une l o n g u e u r totale de l ' o r d r e de 50 000 k m . Son p r o t o t y p e est la dorsale médio-atlantique, q u i va d u G o l f e d ' A d e n à l'embouchure de la Léna en faisant le t o u r de l ' E u r a f r i q u e . Elle est profonde de 2 à 3 k m sur sa crête où se produisent les séismes ; de p a r t et d'autre, le f o n d de l'océan descend latéralement sur quelques centaines de kilomètres vers les bassins latéraux p r o f o n d s de 5 o u 6 k m . Elle présente souvent à la crête un fossé d'effondrement ( r i f t ) où les séismes résultent de failles normales (Sykes). Elle est recoupée p a r des failles à couhssage, elles-mêmes sismiques. Cet aperçu de la sismicité m o n d i a l e d o i t évidemment être complété par des études régionales tenant compte des magnitudes et par la considération des profondeurs de foyer.
SISMICITÉ
371
Le mémorable catalogue m o n d i a l des séismes bien observés établi par G u t e n berg et Richter (1954) a été complété p a r J . P. Rothé (1969). Pendant la période de 13 ans sur laquelle porte ce complément, la moyenne annuelle cataloguée a été : séismes normaux
intermédiaires
7 900
profonds
3 800
Total
500
12 2 0 0
mais la période a été relativement peu active, s u r t o u t hors d u Pacifique. L a limite 300 k m établie par G u t e n b e r g entre séismes intermédiaires et p r o f o n d s correspond à la fin d'une décroissance rapide de la fréquence et de l'énergie, comme le m o n t r e n t les statistiques (contestables car superposant des situa tions géographiques très diverses). V o i c i celle de M i z o u e , reproduite p a r M i y a m u r a (1969), q u i porte sur la période de j a n v i e r 1963 à j u i n 1966. Les valeurs de h sont les bornes inférieures des intervalles correspondants.
Il ,v 100 l o g E
II N 100 l o g e
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
2 469
10 131
1 336
912
655
481
256
221
128
83
59
55
66
226
234
234
226
223
221
215
217
215
198
207
192
203
390
420
450
480
510
540
570
600
630
660
690
57
54
71
88
122
179
108
125
46
8
2
17712
199
200
201
208
214
212
209
213
212
186
185
238
Total
Les séismes intermédiaires o u profonds d u cercle Pacifique se rencontrent au voisinage de fossés océaniques, longues fosses étroites et allongées à flancs dissymétriques, généralement arquées, où se rencontrent les plus grandes profondeurs connues. L a p r o f o n d e u r des foyers augmente dans l a concavité du fossé, q u i correspond à la d i r e c t i o n d u continent voisin o u exceptionnelle ment à la direction opposée (Nouvelles Hébrides, lies Salomon). Les séismes intermédiaires sont sous la chaîne o u l'arc insulaire, les séismes p r o f o n d s au-delà. Les foyers se t r o u v e n t ainsi sur des surfaces inclinées d'une c i n q u a n taine de degrés, occupées seulement à certaines profondeurs ( F i g . 11). Des structures analogues le l o n g desquelles la lithosphère plonge dans l'asthénosphère, existent en Méditerranée. Dans les régions continentales, des séismes intermédiaires se groupent au voisinage des coudes présentés p a r les chaînes arquées : Birmanie, H i n d o u - K o u c h , Carpathes, avec de curieuses répétitions en des foyers presque identiques. Toutes ces circonstances, sauf peut-être la dernière, seront bien interprétées par la « Tectonique des plaques » (tome I I ) .
372
PARAMÈTRES
DES
SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÉ
F I G . 1 1 . — Epicentres des foyers intermédiaires et profonds de 1 9 2 6 à 1 9 5 6 , d'après l'Agence Météorologique du Japon. C o n t o u r s en k m . D'après SUGIMURA et UYEDA (Comité national japonais d u manteau supérieur, 1 9 6 7 ) .
ÉNERGIE
LIBÉRÉE,
RENDEMENT
SISMIQUE
373
6. — ÉNERGIE LIBÉRÉE, R E N D E M E N T S I S M I Q U E MODÈLES S T A T I Q U E S DE S O U R C E S
SISMIQUES
6.1. — Généralités. — L a n o t i o n de magnitude et ses replâtrages o n t épuisé leurs ressources. I l faut tenir compte de l'évoludon de la source dans l'espace et dans le temps ; o n accédera d u même c o u p à d'autres paramétres que l'éner gie émise. M a i s o n peut déjà tirer p a r t i de simples modèles statiques. 6.2. — Energie libérée, rendement sismique. — Soit i i , l'énergie potentielle élastique emmagasinée dans une région, Ej l'énergie potentielle élastique dans la même région après un séisme (ou une suite de séismes). Soit E rénergie émise sous forme d'ondes, que nous avons appris à estimer. Le « rendement .sismique » : η = EI{E,
-
E2)
(1)
est inférieur à 1 puisqu'une partie de l'énergie est transformée près des failles en chaleur o u en altération des roches. O n p o u r r a estimer η si l ' o n déduit « l'énergie libérée » ôEi = Ey — £"2 des déformations de la région épicentrale. Pour cela o n a recours à des modèles statiques o u quasi statiques de sources sismiques. C h i n n e r y et Petrak(1968) les divisent en trois catégories, que nous allons examiner successivement. 6.3. — Modèles à fissures aérées. — Dans les modèles les plus simples, u n milieu élastique homogène, isotrope, indéfini, est soumis à une cission u n i forme τ. O n suppose q u ' i l s'y f o r m e une fissure, vide o u aérée, en forme d ' e l l i p soïde. O n calcule en coordonnées homofocales les contraintes et les déforma tions élastiques d u m i l i e u extérieur à l'ellipsoïde, la cission τ c o n t i n u a n t d'agir à l ' i n f i n i , mais la surface de l'ellipsoïde étant libre de contraintes. O n calcule la différence d'énergie élastique entre les deux états. E n f i n , o n fait tendre vers zéro le petit axe de l'ellipsoïde et o n obtient u n modèle de fissure plane à bords aigus. Starr (1928) considère le cas d ' u n cylindre elliptique infiniment aplati, la cission à l'infini .VI'
τ étant dans l e plan de section droite. Le déplacement u, υ, w en u n point de la fissure
— a < .X < a, y -= 0, est donné par : Il
- ± τ/ι ΐ(Λ
;
(Λ +
2 fi) (α^ — . ν ^ ) ,
υ = Ο,
(V = Ο ,
le signe 4- correspondant à la lèvre supérieure, le signe — à la lèvre inférieure. Cette formule suppose cependant un maintien artificiel de la symétrie initiale (voir Hanson et al., 1971, où est considéré le problème dynamique). L'énergie de déformation par unité de longueur de la fissure est : ÔEy = I (λ
+ //)-1
Τ2α2.
374
PARAMÈTRES
DES
SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÉ
La fissure de Starr peut représenter une faille verticale profonde avec rejet, mais o n s'est aussi servi d u modèle, réduit à une demi-bande, pour figurer une faille atteignant la surface d u sol, bien que les tensions ne s'y annulent pas. L'énergie libérée est alors iôEu K n o p o f f , en 1958, considère le même cylindre elliptique mais avec yz = τ comme cission à l'infini (Burridge et Knopoff, 1968). Le déplacement sur la fissure est alors : u = 0,
w = ± τμ-^α^ — .χψΙ^
V = 0,
et l'énergie de déformation par unité de longueur : SEi
= ^/^-i
τ^α^.
L a fissure de K n o p o f f peut représenter une faille profonde avec coulissage. Les tensions s'annulant sur le plan .v = 0, la demi-bande figure bien une faille atteignant la surface. Keilis-Borok (1959) considère le cas d ' u n ellipsoïde de
révolution infiniment
aplati,
d'axe Oy, de demi-grand axe a, soumis à la tension .vy = τ à l ' i n f i n i . I l trouve pour le dépla cement sur la fissure : « = ± -τμ-Ηλ n
+ 2μ)0λ
V = T(3 ;. - r 4 / / ) - 1 A-,
+ 4 / i ) - i (α^ — χ^ —
ζψΐ'-
H- = 0
M dépend de z, et i» n'est pas nulle ; le plan de faille se t o r d . L'énergie prend une forme compli quée. O n peut en tirer u n modèle imparfait de faille à rejet en coupant par le plan x 0, un modèle de faille à coulissage en coupant par r = 0.
Soit s le déplacement r e l a t i f m a x i m a l des lèvres, U le déplacement relatif m o y e n . O n a : i / = nsj4 dans les cas de Starr et K n o p o f f , et o n peut le prendre p o u r définition de U dans les autres cas. O n retiendra des calculs ci-dessus que : μϋ = ρτα
(2)
μδΕι = qr' a' .
(3)
A l'aide des formules ci-dessus (essayer λ = μ et λ = 2μ) le lecteur établira que p est de l'ordre de 1, g u n peu inférieur à p. D a n s les applications o n peut accepter toute estimation raisonnable de μ. Revenons maintenant, en nous inspirant de Burridge et K n o p o f f 1966, W a l s h 1968, B r u n e 1970, sur l'hypothèse, faite a u paragraphe 6 . 2 , suivant laquelle les contraintes τ des modèles précédents sont annulées p a r le séisme ; cette hypothèse s'accorde m a l avec l a r u p t u r e par saccades. A d m e t t o n s que l a cission sur les lèvres décroît de l a valeur σ a u m o m e n t de l a r u p t u r e jusqu'à la cission de frottement /. Soit U le déplacement r e l a t i f m o y e n des lèvres. Retranchant u n état de cission u n i f o r m e /, nous voyons que U est le même que p o u r une cission initiale σ — / et une cission finale nulle sur l a faille. L a formule (2) est donc à remplacer par :
μυ
= ρ(σ
-f)a.
(2')
ÉNERGIE
LIBÉRÉE,
RENDEMENT
SISMIQUE
375
D'autre p a r t , le travail de la cission moyenne est : èEy = i (σ + f) Ua p a r unité de longueur de la faille. L a f o r m u l e (3) est donc à remplacer par : μδΕ,=^ρ(σ^
(3')
-f')a\
Ce t r a v a i l se répartit entre la chaleur de frottement fUa en sorte que : E = (ÔEi - fUà)
= ^(σ
et l'énergie émise E
-f)Ua
ou μΕ=\ρ{σ On obtient ainsi le rendement
~ff
a" .
sismique : (4)
n = {o-f)\{a+f).
Pour / = 0, ce raisonnement évidemment grossier c o n d u i t donc à la relation : q = Pli. 6.4. — Modèles à glissements prescrits. — Dans une famille de modèles q u i servent à interpréter les déformations superficielles (Chap. 2), et n o n à calculer l'énergie libérée, o n se donne les glissements sur la faille sans les déduire des contraintes pré-sismiques. A u t r e m e n t d i t , o n représente la faille par une d i s t r i b u t i o n de dislocations élémentaires, q u ' o n suppose en général uniformes. Par exemple, p o u r une faille verticale de très grande longueur, de p r o f o n d e u r a, ayant couhssé de U, le déplacement parallèle à la trace est donné en f o n c t i o n de la distance (Chinnery, 1970) p a r : u{x)
=
C/ arc t g
{ajx).
I l décroît lentement puisque u{a) = \ M(0). Sur la faille de San Andréas où les déplacements deviennent inobservables à quelques dizaines de kilomètres au plus, o n en déduirait p o u r a des valeurs ne dépassant pas u n petit n o m b r e de kilomètres alors que la p r o f o n d e u r des foyers californiens est de l ' o r d r e de 15 k m . Avec u n ghssement u n i f o r m e , les déplacements sont indéterminés aux limites de la faille ; les contraintes y sont infinies. P o u r l'éviter, o n peut y faire tendre les glissements vers zéro. Les figures 12 de C h i n n e r y et Petrak, 1968, m o n t r e n t , dans le cas d'une faille verticale à coulissage, les déplacements parallèles à la trace p o u r u n glissement (1) u n i f o r m e et (2) décroissant c o m m e e x p ( — z^ja^) avec la p r o f o n d e u r (a est i c i la cote d u p o i n t E où le glissement est passé de U à Uje). L a décroissance relative des déplacements avec l a distance a u p l a n de faille diffère beaucoup, en p r o f o n d e u r , d ' u n modèle à l'autre ; à la surface, la différence est insignifiante. O n ne peut ainsi expliquer l'insuflBsance des valeurs calculées de a.
376
PARAMÈTRES
DES
SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÉ
F I G . 12. — Déplacements horizontaux pour deux modèles. L a dislocation varie avec la profondeur comme i l est indiqué sur la gauche. Les contours sont en pour centages de la dislocation superficielle U. A u point E, la dislocation est Uje. D'après C H I N N E R Y
et
PETRAK,
1968.
6.5. — Modèles à frottement (quasi statiques). — Les modèles de la dernière catégorie sont physiquement bien plus satisfaisants, quoique à deux d i m e n sions et de géométrie simple (le plus simple est d'ailleurs, si l ' o n veut, le modèle grossier q u i termine le § 6 . 3 ) . O n se donne la cission c o m m e dans la première catégorie, mais elle est supposée c o n t i n u e à la traversée de la faille. Ces modèles o n t apporté des solutions possibles au paradoxe final d u para graphe 6 . 4 . Walsh (1968) considère ( F i g . 13) une faille coulissante indéfinie de pendage β s'étendant jusqu'à la p r o f o n d e u r d. Des contraintes xz, yz, à l ' i n f i n i , engendrent dans la région de la faille une cission horizontale τ^, supposée indépendante de la p r o f o n d e u r y. L a cission de f r o t t e m e n t Ty, q u i s'oppose au glissement, croît linéairement : τ^· = TQ + liy. Les tensions sont données en fonc t i o n d u déplacement u{x, y) parallèle à la trace par : x y = μ dujdx
'yz = μ dujdy .
L'équation d'équilibre est M = 0. Pour la satisfaire, o n fait une transforma t i o n conforme de Schwartz d u c o n t o u r FIG. 13. p o l y g o n a l ( - oo, 0 ) , ( - 0, 0), (/ cos β, Ιύηβ), (-f Ο, 0), (4- 0 0 , 0 ) en l'axe réel: p o u r β = mnjn {m et « entiers, ce q u i est peu restrictif) o n d o i t prendre z
=
{ξ
\m!n
\ξ
avec
+ by-""" b
=
a(n/m —
a = 1) .
ii(n/m sin β
ly-""-
ÉNERGIE
LIBÉRÉE,
RENDEMENT
SISMIQUE
377
Les déplacements s'obtiennent par des formules de M u s k h e l i s v i l i et les tensions s'en déduisent. P o u r une faille verticale p a r exemple, o n trouve : ^ xz -
tyz =
/
_ το -
2Kd\ z , ÎKZ\. ξ + d - ^ j J + ro + ( - J L o g ^ .
Les tensions sont en général infinies à la p r o f o n d e u r d (ξ = 0). L a faille croîtra donc en p r o f o n d e u r jusqu'à ce q u ' o n a i t : τ^^
=
To +
(2 Kd/π) ;
o n trouve que dans ce cas, la cission n o r m a l e à la faille est : τ„ = TQ + Kd équilibrant exactement le frottement à cette p r o f o n d e u r . L a p r o f o n d e u r d'équilibre est : d, = π(τ^ -
το)/2
K.
P o u r une faille oblique, o n trouve des résultats analogues. Walsh considère trois types de déformation : I ) Le glissement s'accompagne d'une chute de contraintes sur toute la faille. I I ) L a r u p t u r e , arrêtée p o u r une raison locale à une p r o f o n d e u r d inférieure à d^, reprend brusquement ; la p r o f o n d e u r augmente de Ôd ; le glissement intéresse toute la p r o f o n d e u r d + ôd, la chute de contraintes ôd seulement. I I I ) L a r u p t u r e , arrêtée à d^, reprend p a r suite d ' u n accroissement ôxao de ; l'équilibre étant constamment m a i n t e n u , la p r o f o n d e u r augmente de ôd^ ; i c i encore, le glissement intéresse t o u t e l a faille. D a n s les trois cas, le r a p p o r t d u déplacement absolu de la lèvre supé rieure I 1 à celui de la lèvre inférieure | tV; | est égal à (π/^) — I , ce q u i f o u r n i t u n m o y e n (difficile) d ' o b t e n i r le pendage. W a l s h compare les déplacements avec ceux obtenus par la théorie des dislocations. P o u r la faille verticale, la figure 14, où WQ est le coulissage I Wj I -f I w, I, m o n t r e que, dans le cas I I , le déplacement décroît beau c o u p m o i n s vite avec la distance que p o u r la courbe donnée p a r la théorie des dislocations. L a courbe d u cas I I I se c o n f o n d avec celle d u cas I p o u r des failles très superficielles {d = 0) o u des failles sans f r o t t e m e n t (dg = oo), c'est-à-dire avec le cas d'une fissure aérée de K n o p o f F (§ 6 . 3 ) . E n f i n , l a courbe inférieure est celle d u cas I lorsque l'équilibre est atteint. O n v o i t que l ' a d o p t i o n de ce dernier modèle est susceptible d'augmenter beaucoup les profondeurs calculées. Des déplacements, o n peut déduire les déformations, q u i sont préférables p o u r la comparaison aux observa tions ; nous n ' y insisterons pas.
PARAMÈTRES
DES SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÉ
FIG. 14.
Le modèle permet de calculer la v a r i a t i o n ôEi de l'énergie potentielle élastique p a r unité de longueur, q u i est la moitié d u t r a v a i l des tensions appliquées à la faille, calculé comme si elles étaient constantes pendant le glissement ; en particulier, p o u r k = 0, y = Tohx, on obtient :
4 \
πΙ sm β — y
qui généralise une f o r m u l e de Burridge et K n o p o f f (1966) (§ 6 . 3 ) . De façon générale, l'énergie ôE^ se dissipe en chaleur calculable stadqueinent p a r intégration de la force de f r o t t e m e n t sur l a surface de l a faille et en énergie émise E = L«3£, - E^, L étant la longueur de la faille, sup posée grande. A t i t r e d ' i n d i c a t i o n , le résultat p o u r le cas 1 est :
Le modèle f o u r n i t le rendement sismique : η = EjLôEi. il est d u même ordre dans les t r o i s cas :
"
5(-^i-(x)V(-(î)')
(•-(έ)ΐ(-ί) iii)
\
P o u r TQ = 0,
ÉNERGIE
LIBÉRÉE,
RENDEMENT
SISMIQUE
379
sauf dans le cas I I près de l'équilibre où toute l'énergie potentielle est dissipée en chaleur ; W a l s h y v o i t une explication possible des glissements de failles n o n sismiques. TQ réduit le rendement ; par exemple p o u r le cas I avec d = d^, η = (\ - y) (3 - y). Enfin Walsh se propose, comme beaucoup, de calculer la chute de contrainte Ôx. Les contraintes varient sur la faille et peuvent même croître localement a u m o m e n t de la rupture. Chinnery considérait la valeur de δτ sur la trace de la faille. Pour la faille verticale, ce serait — TQ dans le cas I , zéro dans le cas I I où i l y a p o u r t a n t glissement et rayonnement ! N o u s verrons que A k i (1966) prend δχ = μ^ν^β d. Avec cette c o n v e n t i o n Walsh trouve dans le cas I :
et dans le cas 11 : ύτ =
2 ^ ( τ . _ - τ ο ) ( ΐ - ^ ) ^
q u i peut être petit si δdest petit. Pourtant la chute de contrainte subie par la roche au m o m e n t de la r u p t u r e ne dépend que d u frottement et reste la même dans les deux cas. On peut conclure avec Walsh que les chutes de contrainte calculées sur les failles prises dans leur ensemble dépendent de nombreux paramètres et n'ont pas grand-chose à voir avec celles du laboratoire. Bien avant Walsh, Weertman (1964) avait donné u n modèle quasi statique de faille verticale à coulissage p o u r expliquer le paradoxe des profondeurs sur la faille de San Andréas (§ 6 . 4 ) . C'est u n des rares exemples (avec Boore et al. 1971) d ' a p p l i c a t i o n sismologique directe de la théorie des dislocations. W e e r t m a n considère une faille intérieure à la Terre, formée d'une bande d u p l a n y = 0 allongée perpendiculairement à Ox et p o r t a n t des dislocations infinitésimales rectilignes B{x) dx. L a cission en u n p o i n t d u p l a n de faille d'abscisse ξ, due à une dislocation vis B{x) dx, est : ^ = -
μΐ2π{ξ
-
x)y''Bix)dx.
L a cission totale est donc :
I l faut cependant exclure le cœur x = ξ de ΙΆ dislocation infinitésimale, ce q u i revient mathématiquement à prendre la valeur principale de l'inté grale au sens de Cauchy.
380
PARAMÈTRES
DES
SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÉ
O n sait inverser l'équation précédente en :
πμ J B{x)
et T(x)
X
- ξ
sont transformées de H i l b e r t l ' u n de l'autre.
E n fait, dans les problèmes d u type envisagé p a r W e e r t m a n , o n sup pose B(x) n u l en dehors d ' u n intervalle ab, et T(x) c o n n u dans cet inter valle. Le problème est u n problème mixte ; la solution finie en α et ό est :
Β(χ) = —^{b-
Τ{ξ) άξ
χ) (χ - α)
(1)
^ { ξ - χ ) ^ φ - ξ ) { ξ - α )
ημ^ à c o n d i d o n que l ' o n ait :
ηξ)άξ - ξ ) { ξ -
a^ib
a)
= 0.
(2)
A p a r t i r de ces formules, Weertman essaye de résoudre le problème suivant : la surface de dislocation correspondant initialement à —a
X
^
a,
un paquet de dislocations occupant cette surface peut-il être mobilisé par une contrainte appliquée et se déplacer lentement p o u r balayer la faille ? A ce p o i n t de vue, le résultat sera négatif : la propagation des dis locations ne relève pas d u cas quasi statique. M a i s Weertman obtient des conclusions intéressantes sur la profondeur des foyers. Le paquet de dislocations choisi par W e e r t m a n est : B{x)
= A\Ja^ — x^
B(x)
= 0
pour
pour X
—a ^ x ^ a
—a
ou
x ^ o .
O n déduit de l'équation (1) : T(x) = ^ Αμ 2 ~{χ
(x -f- \Jx^ -
a^)
χ
-
\Ιχ^ - α^)
pour
-
oo < x ^ - α
pour
— α < χ < α
pour
α ^ χ < 00 .
(fig. 15)
Si o n v o u l a i t empêcher le glissement, d faudrait appliquer entre les lèvres de la faille une contrainte de frottement/égale au m a x i m u m de | Γ |
ÉNERGIE
LIBÉRÉE,
RENDEMENT
SISMIQUE
381
FIG. 15.
soit / = Αμα/2. Supposons q u ' u n e contrainte appliquée S, tendant à p r o v o q u e r u n glissement vers les x > 0, croisse lentement de 0 à 5 < /. Pour q u ' i l y ait glissement, i l faut que S + Γ atteigne o u dépasse tant soit peu la valeur f. L'écart S + T ~ f devra alors être compensé par une contrainte effective τ(.ν) = f — S — T ^ 0 provenant de nouvelles d i s l o cations de densité β(χ). Lorsque S croît, le glissement commence immédiatement en a où T = f et τ < 0 si petit que soit 5'. 11 s'étend de part et d'autre ; soit b, c l'intervalle de glissement à un instant donné. C o m m e les créations de dis locations se font par couples opposés [
β(χ) d x = 0 .
(3)
Pour une faille profonde c > a, W e e r t m a n admet que b = — a + Ô avec 0 < δ ^ a. L'équation (1) l u i donne, au premier ordre en δ
avec g = 1
pour
b ^ X < a
g = 0
pour
a < X ^
c.
Les c o n d i t i o n s (2) et (3) d o n n e n t ensuite, a u premier ordre : δ ^ a
ΓΎ7~ = 1 _ ^ V c + a / '
O n vérifie que, lorsque 5 s'approche d e / , c est grand et δ petit. L a figure 16, tracée p o u r S = 0,8/; m o n t r e que le paquet i n i t i a l de dislo cations s'étale avec le temps au lieu de se propager dans son ensemble. Ce
382
PARAMÈTRES
DES
SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÉ
(x/a)-^ FIG.
16.
résultat est certainement général, malgré la forme particulière donnée a u paquet d'ondes et malgré la t r o p grande simplicité dans la représentation des contraintes exercées à grande distance de la faille par une c o n t r a i n t e tangentielle appliquée entre les lèvres. E n fait, les dislocations créées sur la faille doivent se déplacer rapidement, sinon les contraintes qu'elles p r o d u i r a i e n t , amèneraient la cission à une valeur supérieure a u f r o t t e m e n t ce q u i serait physiquement inadmissible ; a u c o n t r a i r e , F r a n k a montré en 1949 que des vis se déplaçant à une vitesse proche de celle des S ne produisent que des cissions très faibles sur le p l a n de glissement. (Eshelby a obtenu des propriétés analogues p o u r les coins ; elles i n t r o d u i s e n t la vitesse des ondes de Rayleigh). Dans le problème traité, la région a u t o u r àe. x = a, où la c o n t r a i n t e appa rente de frottement f - T est faible, j o u e le rôle de source des dislocations. W e e r t m a n m o n t r e q u ' o n peut avoir une source analogue si le frottement est plus faible dans une certaine région de la faille. I l examine ensuite le cas où le frottement croît linéairement sur la faille, et l'influence de la surface libre, q u i peut se t r a i t e r exactement p o u r une faille coulissante en i n t r o d u i s a n t la faille image. Les résultats sont les suivants : soit une faille verticale à coulissage, visible en surface, dans laquelle le f r o t t e m e n t / croît d ' a b o r d proportionnelle ment à la profondeur, atteignant 50 bars à 2 k m , puis présente un m i n i m u m vers 15 k m de profondeur, p r o f o n d e u r moyenne des séismes de Californie. L o r s q u e la c o n t r a i n t e appliquée S dépasse le m i n i m u m , la faille glisse lentement puis brutalement. Après que les dislocations créées o n t quité la faille par la surface et par le f o n d , o n peut obtenir les déplacements superficiels. Avec u n coefifi-
MODÈLES
DYNAMIQUES
DE SOURCES
SISMIQUES
383
cient de frottement de 0 , 1 , o n trouve un vecteur de Burgers de 1,5 m , ce q u i est un ordre de grandeur acceptable. Signalons p o u r finir que Burridge et H a l l i d a y (1971) o n t réussi à t r a i t e r le véritable problème dynamique sur u n cas idéafisé très voisin de celui de Weertman. 7. — M O D È L E S
D Y N A M I Q U E S DE S O U R C E S
SISMIQUES
7.J. — Généralités. — Le p o i n t de départ dans l'étude d'une source (et n o n plus de ses états i n i t i a l et final) c'est la comparaison de l'ensemble d ' u n sismo gramme avec u n sismogramme synthétique ; o u , ce q u i revient au même, la comparaison des spectres d ' a m p l i t u d e et de phase. Car t o u t va dépendre désor mais de la période. P o u r prendre u n exemple, le cas où la r u p t u r e réduit les contraintes sans les annuler se t r a i t a i t dans les modèles statiques en i n t r o d u i sant un simple r a p p o r t : γ = σ/f (§ 6 . 3 ) ; mais la réduction (frottement, blocage de la r u p t u r e saccadée, etc.) ne peut se p r o d u i r e n i se transmettre instantané ment ; son effet ira de zéro p o u r les périodes courtes à y p o u r les plus longues. Le modèle d y n a m i q u e à choisir dépend des circonstances. O n y i n c o r p o r e tout ce q u ' o n sait de la faille d'après les études de t e r r a i n , la p o s i t i o n d u foyer et celle des répliques, le mécanisme au foyer ( i l correspond a u premier m o u v e ment, mais o n p o u r r a supposer par exemple q u ' i l reste de même forme au cours du séisme), etc. O n représentera ensuite le phénomène source, soit par une source de dislocations sur la faille, soit si o n observe d'assez l o i n par u n d o u b l e couple en utilisant l'équivalence établie au chapitre 13. O n précisera, souvent par des hypothèses simplistes, l'évolution de la dislocation o u d u double couple dans l'espace et dans le temps. Les paramètres, en petit n o m b r e , d o n t dépend encore le modèle doivent être déduits de l'observation des ondes. Si o n pense à l'influence des couches superficielles, que l ' o n peut t r a i t e r par la méthode des matrices d ' H a s k e l l , à la divergence des rais dans la p r o p a g a t i o n profonde, aux réflexions, à l'atténuation des ondes sur le trajet, o n v o i t la variété des problèmes que l ' o n peut avoir à résoudre suivant ce q u ' o n cherche et ce q u ' o n se donne. N o u s n'aborderons que les plus i m p o r t a n t s . 7.2. — Modèle ponctuel, moment sismique. — Commençons p a r le cas simple d ' u n modèle ponctuel de source. O n le considère généralement équivalent à l ' a p p a r i t i o n d ' u n double couple (Chap. 13), dans u n milieu n o n faille, o u encore à la d i s p a r i t i o n de forces antagonistes. A k i (1966) appelle moment sismique et désigne par MQ le m o m e n t de l ' u n des deux couples, quelle que soit la façon dont cette valeur est atteinte. A u facteur MQ près, l'évolution la plus simple q u ' o n puisse supposer à ce couple est un échelon d'Heaviside, d'où l ' o n peut tirer les autres cas par c o n v o l u t i o n . L'étude des spectres rend parfois nécessaire l ' i n t r o d u c t i o n de fonctions c o m p o r t a n t une durée propre 0 (voir Haskell, 1964), celles de la rampe (0 p o u r t ^ ÎQ ; (t - IQ^O p o u r IQ ^ t ^ IQ + 0 ; I p o u r IQ + 0 ^ t), q u i c o m p o r t e une discontinuité initiale et une autre à
384
PARAMÈTRES
DES
SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÉ
l'arrêt ; o u la croissance asymptotique (0 p o u r t ^ί^,Ι - exp((io — 0/^) POur t ^ to) obtenue par Ben M e n a h e m et Toksôz. Les spectres théoriques sont multipliés par les transformées de F o u r i e r des fonctions correspondantes. Soit L la plus grande dimension de la faille, c la vitesse de r u p t u r e . L a source (observée de l o i n ) ne peut être quasi ponctuelle que p o u r les périodes T > L/c. Prenons c = 2 km/s p o u r fixer les idées. L ' a p p l i c a t i o n habituelle, valable même p o u r des longueurs de faille exceptionnelles (L ~ 1 000 k m ) , utilise les ondes d u manteau 50 i < Γ < 1 000 s. Le cas d u paragraphe 7 . 6 fera exception. L a n o t i o n de m o m e n t sismique q u i n'est nullement restreinte au modèle ponctuel f o u r n i t , à côté de l'énergie émise, u n des paramètres les plus i m p o r t a n t s des sources sismiques. 7.3. — S o u r c e à propagation uniforme. — Les plus simples des modèles dynamiques n o n ponctuels supposent une faille rectangulaire. U n segment de dislocations parallèle à l ' u n des côtés d u rectangle se met en marche, balaye la faille à vitesse u n i f o r m e , et s'arrête l o r s q u ' i l arrive au côté opposé. C'est le modèle « unilatéral ». Dans le modèle « bilatéral », deux propagations sem blables se f o n t dans des directions opposées. P o u r représenter par exemple une faille à coulissage où la r u p t u r e se propage horizontalement, o n considérera un segment de coins mobiles, alors que dans ce cas, les modèles statiques sont en général des vis. U n modèle (considéré en U R S S ) dans lequel la dislocation, p a r t o u t horizontale, se propage radialement à p a r t i r d u foyer et atteint succes sivement les bords d u rectangle serait plus clair, mais déjà bien compliqué. Si, en chaque p o i n t de la source, la r u p t u r e complète a lieu instantanément, le déplacement d ' u n p o i n t atteint par la dislocation mobile est u n échelon d'Heaviside. L a mise en route de la dislocation schématise le début d u séisme ; à l'autre b o u t de la faille, o n d o i t s'attendre à une phase d'arrêt (Savage) q u i a peut-être été observée. Pour retrouver à leur place les m a x i m u m s et m i n i m u m s (§ 8.1) des spectres observés, o n se sert, ici encore, de fonctions tempo relles plus compliquées. 7.4. —Directivité des ondes de surface. Réduction au cas ponctuel. — La première application i m p o r t a n t e des sources à p r o p a g a t i o n u n i f o r m e est due à Ben M e n a h e m (1961), q u i a mis en évidence les propriétés de directivité des ondes de surface produites par une faille rectangulaire de p r o f o n d e u r constante mais d'inclinaison quelconque. i I I I
Ben M e n a h e m considère d ' a b o r d un demi-espace homogène ; une force h a r m o n i q u e de pulsation ω, d ' a m p l i t u d e F, de direction quelconque, agit sur u n p o i n t intérieur. C o m m e a u chapitre 5, paragraphe 6, ledéplacernent est obtenu comme transformée de H a n k e l d'une f o n c t i o n ayant p o u r pôles les 3 racines de l'équation de Rayleigh écrite en n o m b r e d'ondes. A distance grande par rapport à la longueur d'onde, le déplacement est donné par le résidu correspondant au pôle de Rayleigh γω/β (β vitesse des ondes S, y = -1(3 + v 3 ) " '
si λ = μ).
MODÈLES
DYNAMIQUES
DE SOURCES
Décrivons le cas simple d'une faille verticale à coulissage unilatéral. L a force F est supposée parallèle à Ox (Fig. 17). Ben M e n a h e m superpose d ' a b o r d les expressions asymptotiques correspondant à tous les foyers d ' u n segment vertical Λ, < z < //j puis à tous les points de la faille balayés à vitesse v p a r ce segment vertical. A distance grande par rapport aux dimen sions de la faille le déplacement superfi ciel (l'onde de Rayleigh) est donné, si k = ω/β est le n o m b r e d'onde des S, par les expressions : U, = 2(kr)-"'cosO
385
SISMIQUES
FIO. 17.
Ηφ -
g,X-'
sin Xexp
(kr)-^"
sinQ
ggX-'
sin Z e x p i(
π/4)
ί/, = 2(kr)-^"
cosd
g,X-'
sin A-exp \(φ -
3 π/4)
Ug =
π/4)
avec gr = i7gB=f
f ( e x p ( - khi
Vr'"-0
- e x p ( - kh^
- r , ( e x p ( - khi ^y' - } ) - e x p ( - kh^ ^y'^mpih2
- Λ,))
g, = / , f ( e x p ( - khi v V - T ) - e x p ( - kh^ Vy' - 1)) -
r^iexpi-
khi V T ^ Ï )
- e x p ( - kh^ Vy' - i ) / 2 ^/,^ - /i,))
/ j , / 2 , Γι, Fj sont des expressions dépendant de y et calculables numéri quement, c — β/y est la vitesse de l'onde de Rayleigh. O n sépare ainsi les effets d u m i l i e u , contenus dans g,, gg, g^ ; l'effet sin X/X de la longueur de faille (effet analogue à celui de l a d i f f r a c t i o n par une fente rectangulaire) ; et enfin l'effet de p r o p a g a t i o n dépendant de φ. Pour passer d u cas ponctuel à une faille de longueur finie L, en restant dans le domaine d ' a p p r o x i m a t i o n s des ondes d u manteau, o n p o u r r a donc se contenter (sauf en ce q u i concerne les phases) d'appliquer le facteur sin X/X ainsi m i s en évidence par Ben M e n a h e m .
386
PARAMÈTRES
DES
SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÉ
Les mêmes expressions p o u r la phase et p o u r le facteur de réduction au cas ponctuel apparaissent p o u r des failles rectangulaires d ' o r i e n t a t i o n quelconque, à coulissage o u à rejet (le terme en Xjv disparaît cependant dans X si la faille à rejet est verticale, F étant dirigé suivant Oz). Le facteur de réduction au cas ponctuel reste présent si o n passe des modèles précédents à des modèles engendrés par des systèmes de forces, n o t a m m e n t par des doubles couples. Le facteur cos Q de U, et est remplacé p a r sin 2 0 p o u r les couples o u les doubles couples. M a i s , quelle que soit la directivité d u système de forces constituant la source ponctuelle, le facteur sin XjX modifie profondément la répartition azimutale des amplitudes dès que L est supérieur à }.vl(c + v), λ étant la longueur d'onde ; i l i n t r o d u i t en effet de nouveaux plans nodaux, correspondant aux racines de l'équation d'interférence destructive : cos 0 = Ό
n—, L
où n est u n entier n o n n u l . L ' a m p l i t u d e devient différente en des points situés à la même distance r mais dans des directions opposées 0 et θ + π. Cette dissy métrie n'est pas surprenante et semble avoir été reconnue par G u t e n b e r g et Richter dès 1934. U n e généralisation naturelle consistait à passer d u demi-espace homogène à des structures stratifiées. Elle pose immédiatement le problème des ondes de L o v e . Ben Menahem considère d ' a b o r d le problème de la couche homogène sur le demi-espace homogène. I c i encore, i l p a r t de la s o l u t i o n exacte p o u r les déplacements dus à une force harmonique horizontale dans la couche, passe à la source mobile et obtient des solutions asymptotiques en intégrant les c o n t r i b u tions des pôles de Love. I I applique à l'onde G (Chap. 12) les résultats corres p o n d a n t à u n simple couple en admettant que le spectre de la source est celui d'une f o n c t i o n ô(t) de Dirac. I I examine enfin c o m m e n t déduire les paramètres de la source de l'observation des ondes de surface. Nous mentionnons ces derniers points qui peuvent avoir inspiré l'article de A k i (1966) analysé au paragraphe 7 . 5 . Mais les lecteurs q u i désireraient appliquer les spectres des ondes de surface à la détermination de la source o n t aujourd'hui à leur disposition les grandes tables numériques de Ben Menahem, Rosenman, et H a r k r i d e r (1970) où sont calculés les déplacements superficiels (contenu spectral ; groupes de K e l v i n o u d ' A i r y ) produits par une source à dislocation de Dirac ayant une profondeur comprise entre 10 et 6(X) k m et une orien tation quelconque, dans trois modèles à stratification plane représentant respectivementles continents, les océans, et les boucliers, pour trois modes de Rayleigh ( Λ ι ι , R\2, Rii) et quatre de Love (/.„ à L j ) et pour six. périodes (de 50 à 300 s). Des tables d u facteur de Ben Menahem permettent de passer à des sources de longueur finie.
N o u s emprunterons à Ben Menahem et H a r k r i d e r (1964) deux exemples de la variété des solutions obtenues. Le modèle de stratification est celui de Guten berg. L a figure 18 donne la répartition azimutale de l ' a m p l i t u d e normalisée et de la phase p o u r l'onde de Rayleigh (en haut) et l'onde de Love (en bas) engen drées par un double couple représentant la r u p t u r e d'une faille normale inclinée
MODÈLES
DYNAMIQUES
DE SOURCES
SISMIQUES
F I G . 18. — Variations de l'amplitude et de la phase d'une onde de 55 secondes émise par un double couple représentant une faille normale inclinée de 15°, situé à la surface ( ] , 2) ou au fond (3, 4) de la croûte. ( 1 , 3) onde de Rayleigh ; (2, 4) onde de Love. D'après B E N MENAHEM et HARKRIDER, 1964.
F I G . 19. — Variations de l'amplitude et de la phase pour des ondes de Rayleigh de périodes 55 à 310 secondes émises par un double couple représentant une faille inverse inclinée de 45°, situé à une profondeur de 100 k m . D'après BEN MENAHEM et H A R KRIDER, 1964.
387
PARAMÈTRES
388
DES SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÉ
à 105°. L e foyer est à gauche en surface, à d r o i t e à la base de la croûte. L a figure 19 m o n t r e , p o u r u n double couple représentant l a r u p t u r e d'une faille inverse inclinée à 4 5 " , que la directivité de l'onde de Rayleigh dépend énormé ment de la fréquence (beaucoup plus que p o u r l'onde de Love d u mode fonda mental). L e cas des explosions en m i l i e u précontraint a mérité u n développement théorique particulier de A r c h a m b e a u et Sammis (1970). N o u s avons déjà cité (§ 4 . 1 ) les résultats de Toksôz et K e h r e r (1971). L a p l u p a r t des études sur les spectres des ondes de surface utilisent c o m m e celle de Ben M e n a h e m un m i l i e u semi-infini. Cependant Saito a proposé dès 1967 une méthode p o u r obtenir u n développement en modes n o r m a u x des oscillations propres et des ondes de surface issues d'une source ponctuelle intérieure à une sphère stratifiée ; i l serait possible de passer p a r intégration à une source à p r o p a g a t i o n . K a n a m o r i (1970) a utilisé la s o l u t i o n de Saito p o u r obtenir des sismogrammes synthétiques et par c o m p a r a i s o n des renseignements sur la source. 7.5. — Le moment sismique d'après les ondes du manteau.Exemple
du séisme
de Niigata. — Le travail o r i g i n a l de A k i (1966) peut t o u j o u r s servir c o m m e exemple d ' a p p l i c a t i o n . A k i étudie le séisme j a p o n a i s de N i i g a t a que les observa tions sur le terrain a t t r i b u a i e n t à une faille longue d'une centaine de k m , dirigée N ( 2 0 " o u 30") E, sur laquelle la r u p t u r e s'était propagée dans les deux sens, et d o n t le rejet p o u v a i t être, en p r o f o n d e u r , de l ' o r d r e de quelques mètres. 11 analyse les ondes de L o v e G2 venant par le grand arc. De
02(1)
=
^2(1^)
J
cos (ωί
-
φ{ω)) άω,
i l déduit la densité spectrale
0
I /"2 I et le déphasage φ. 11 corrige φ des effets i n s t r u m e n t a u x , d u passage à l'anticentre, et de la p r o p a g a t i o n , p o u r a v o i r les valeurs à la source. I l n o r m a lise I /"2 I à une distance de 9 0 " et à u n temps de p r o p a g a d o n de groupe de 7 000 s, en tenant c o m p t e d u facteur géométrique (sin z l ) ' ' ^ et de l'atténuation ε χ ρ ( ω ( ί - 7 000)/2 Q). Q est estimé à 120, o u , mieux, déduit, p o u r chaque période, d u r a p p o r t G3/G2. La comparaison des amplitudes relatives et des phases observées dans les divers azimuts aux valeurs théoriques p o u r une source ponctuelle confirme l'existence d'une faille inverse avec pendage de 7 0 " vers N 7 0 " W ( F i g . 20). Reste à utiliser l ' a m p l i t u d e absolue. P o u r une période 200 s, o n peut en pre mière a p p r o x i m a t i o n considérer c o m m e ponctuelle une source de 100 k m . A k i suppose qu'elle correspond à un double couple évoluant suivant un échelon d'Heaviside, et compare les densités spectrales dans la d i r e c t i o n de l ' u n des 4 lobes présents ( F i g . 21). L ' a m p h t u d e théorique est empruntée (1) à H a s k e l l (1964) p o u r une croûte et un manteau homogène o u (2) à Ben M e n a h e m et H a r k r i d e r (1964) p o u r u n modèle de G u t e n b e r g négligeant la c o u r b u r e de la Terre. D a n s les deux cas, l'accord est médiocre p o u r les périodes courtes, p a r effet des dimensions de la
MODÈLES
DYNAMIQUES
DE
SOURCES
SISMIQUES
389
F I G . 20. — Comparaison entre la phase théorique à la souree du séisme de Niigata (représentant le mouvement en sens inverse des aiguilles d'une montre vu de l'épi centre), avec l'amplitude observée des ondes Gz de 200 secondes. Les courbes théo riques sont calculées pour u n double couple représentant une faille inverse de trace N 20" E inclinée de 6 5 " . L'échelle des amplitudes est arbitraire. D'après A K I , 1966.
source et par insuffisance de détermination d u facteur de qualité Q. E n admet tant une progression de la r u p t u r e sur ± 50 k m à une vitesse 1,5 km/s et en utilisant le facteur de Ben M e n a h e m , la courbe (2) s'améliore en (3) ( F i g . 21). Mais, de toute façon, le moment sismique d o i t être compris entre 3 x 10^^ et 4 X 10^'' d y n e . c m . 11 est donc mieux déterminé que l'énergie libérée, connue seulement à un facteur 10 près. Si l ' o n se rappelle que les moments élémentaires sont donnés en f o n c t i o n de la dislocation a p a r M" = M ^ ' = μα (formule 5 bis d u Chap. 13, § 3), le moment sismique t o t a l
μα άΣ
s'écrira :
Mo
= μυΑ
(4)
(A aire faillée, U dislocation moyenne sur A). L a f o r m u l e appliquée au séisme de Niigata f o u r n i t à A k i ί7 = 4 m en accord raisonnable avec le rejet supposé.
PARAMÈTRES
390
DES
SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÉ
Période ( s e c ) 200
100
lOX)
SJO
( I ) Couche simple ( 2 ) Couches multiples
(3) 0.005
( 2 ) Bilatéral
0.01
0.015
0,02
Fréquence ( c y c l e / s ) F I O . 2 1 . — Comparaison entre les densités spectrales théoriques et observées du déplacement dans la direction d'un lobe (ramenées à 1 0 0 0 0 k m de distance sur u n modèle plan n o n dissipatif) ; 1 ) modèle à couche homogène sur milieu semi-infini ; 2 ) modèle de Gutenberg ; 3) modèle ( 2 ) corrigé de l'eflfet de propagation de la rup ture. Dans les trois modèles, le moment est supposé avoir la valeur indiquée. D'après AKI, 1966.
Cette f o r m u l e (4) de A k i a c o n n u u n grand succès. Jointe a u x formules de Starr d u paragraphe 6 . 3 , elle donne aussi la chute de contrainte τ = μϋ/ρα zt l'énergie libérée ôE^ = qpU^ L/p^, L étant l a longueur, a l a p r o f o n d e u r de la faille. Si o n a la magnitude, donc l'énergie émisée, o n aura enfin le rendement sismique η. A k i indique : τ = 126 bars ; £Ί = 5 x 1 0 " ergs ; M = 7,5 ; E=
\,l X 1 0 " ergs ;
η = 0,2 ; mais les incertitudes sont considérables. La
formule
f
=^(σ
-f)Ua
d u paragraphe 6 . 3 permet encore d'écrire -^^ =
{(<τ-/)μ^\η{σ+/)μ.
MODÈLES
DYNAMIQUES
DE SOURCES
Dans ce modèle la corrélation de l o g MQ avec log E, renseigne sur la chute de c o n t r a i n t e Δ τ = σ — / o u , contrainte moyenne : τ = (σ + / ) / 2 . D'autres quantités peuvent être obtenues à p a r t i r surface, n o t a m m e n t leur facteur de qualité Q o u (Tsai et A k i , 1969, 1970).
SISMIQUES
391
donc avec la magnitude, si o n se donne η, sur la d u spectre des ondes de la p r o f o n d e u r d u foyer
7.6. — La coda des séismes faibles. — Des failles de quelques centaines de mètres pour raient être considérées comme quasi ponctuelles pour des ondes de fréquence comprises entre 0 , 2 et 3 Hz) mais l'effet des couches superficielles perturberait la détermination d u moment sismique. A k i (1969) a obtenu des résultats statistiques en considérant la « coda » de séismes cali forniens de magnitude 2,5 à 5 : à quelques kilomètres de l'épicentre u n enregistrement n o r m a l dure une vingtaine de secondes ; sur un enregistrement beaucoup plus sensible apparaissent ensuite des ondes dont l'amplitude et le spectre varient peu avec la distance. A k i les suppose produites par réverbération des ondes de surface, que diffusent des accidents superficiels disposés avec une probabilité uniforme. I l écrit leur spectre P(co, t) = | 5 ( ω ) p C((u, t) où 5(ω), qui dépend de la source, est proportionnel au moment sismique et où C(co, /) est indé pendant d u lieu et d u séisme, si l'on reste dans le domaine de fréquence où i l apparaît ponctuel. On a ainsi des moments relatifs que rend absolus l'observation d'ondes de surface pour le séisme le plus i m p o r t a n t . La formule (5) du paragraphe 4 conduit enfin aux corrélations, valables pour M > 3, log /V/o(N.m) -= 8,8 r 1,5 M, en b o n accord avec la figure 20, log(£joules/Mo N . m ) = 4,4, ηΣ - 12 > 105 N . m 2 s ; |a valeur admise pour // passe de 1 à 0,1, Γ passe de 12 à 120 bars (10? Pa), de l'ordre des estimations faites pour les séismes importants. En fait ces résultats correspondent à une station permanente située sur d u granité. Une comparaison avec des stations temporaires montre u n coefficient d'amplification des spectres atteignant 8 sur des sédiments mobiles.
7.7. — O b s e r v a t i o n s près d'une faille. — Le séisme de Parkfield (28 j u i n 1966) sur la faille de San Andréas a été enregistré 20 k m au sud de l'épicentre sur la composante horizontale perpendiculaire à la faille par u n accélérographe qui en était à 80 m seulement. Le déplacement obtenu par double intégration était une i m p u l s i o n simple, unilatérale, de 30 c m en 1,5 s. A k i (1968) cherche le sismogramme théorique p o u r une dislocation en échelon d'Heaviside se déplaçant à vitesse u n i f o r m e dans u n m i l i e u homogène. Le calcul (13.6) exclut les périodes très courtes. A k i tient compte a p p r o x i m a t i v e m e n t de la surface libre en faisant varier la dislocation avec la p r o f o n d e u r suivant le modèle statique de K n o p o f f (§ 6 . 3 ) , et en d o u b l a n t l ' a m p l i t u d e p o u r tenir compte de la source image. E n fait la p r o f o n d e u r i m p o r t e peu aux fréquences et à la distance envisagées. L a vitesse de r u p t u r e , estimée à 2,2 km/s, intervient elle-même assez peu si o n se l i m i t e aux fréquences inférieures à 3. Le sismogramme synthétique représente bien l ' i m p u l s i o n réelle mais avec une dislocation de 60 c m contre 4,5 pour le coulissage observé sur la faille ; p o u r expliquer ce paradoxe, A k i suppose l'existence d'une couche superficielle de quelques dizaines de mètres peu couplée avec la p r o f o n d e u r . On v o i t l'intérêt des observations ainsi faites très près de la faille ; leur spectre dépend peu de l'aire faillée et f o u r n i t directement la dislocation U.
392
PARAMÈTRES
DES
SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÉ
Le m o m e n t sismique pUS étant déterminé par ailleurs, on en déduit l'aire faillée S, donc sa dimension verticale (3 k m ) et la chute de contrainte (quelques dizaines de bars). L a p r o f o n d e u r de certaines répliques a atteint 15 k m ; le séisme p r i n c i p a l y a u r a i t reporté les contraintes. Haskell (1969) a repris le problème (13.6) et calculé u n grand n o m b r e de modèles. L ' u n d'eux, appliqué au séisme de Parkfield, donne une d i s l o c a t i o n de 90 c m , accentuant encore le paradoxe. Boore et al. (1971) obtiennent encore u n résultat de même ordre en t r a i t a n t le problème à deux dimensions (faille infiniment longue de p r o f o n d e u r infinie). Brune (1970) essaye de comprendre physiquement l'ensemble des phénomènes au voisinage d'une faille interne ; L a contrainte tangendelle mobile appliquée à chaque lèvre de faille émet des ondes ,S' dans la lèvre jusqu'à l'arrivée des ondes P et S p r o v e n a n t des bords de la faille, q u i créent le couple antagoniste dans la représentation p a r double couple. L a source devient analogue a u d o u b l e couple à des distances telles que le mouvement provenant de la lèvre opposée soit arrivé par d i f f r a c t i o n en c o n t o u r n a n t la faille. B r u n e en tire, à chaque stade, des représentations intuitives. 11 trouve que l ' i m p u l s i o n de déplacement ne peut guère dépasser la moitié de la dislocation et confirme encore la conclusion de A k i . 7.8. — Conclusions. — Les vrais modèles dynamiques, dans lesquels les déplacements sur la fracture ne sont pas donnés mais résultent des tensions, sont encore peu n o m b r e u x : à ceux de Brune (1970) et de Burridge et H a l l i day (1971) signalés au paragraphe 7 . 5 o n ne peut guère ajouter que H a n s o n et al. (1971), numérisé dès le départ. Malgré leur intérêt, ces modèles sont encore peu utilisables p o u r les interprétations courantes.
8 . — ÉNERGIE E T M O M E N T S I S M I Q U E D'APRÈS LES O N D E S D E V O L U M E
8.J. — Généralités. — Les deux paramètres p r i n c i p a u x E et MQ d'une source sont corrélés aux deux extrémités d u spectre. L'énergie q u i p r o v i e n t des r u p tures est s u r t o u t transportée par les ondes courtes (1 à 2 s, jusqu'à 5 p o u r les très grands séismes) ; la fenêtre correspondante entre l ' a g i t a t i o n microsismique industrielle et l ' a g i t a t i o n naturelle est encore peu exploitée. Disons en u n m o t p o u r n ' y plus revenir ; L a figure 36 d u chapitre 11 concerne trois séismes superficiels de magnitude voisine mais d ' a m p l i t u d e différente, l ' a m p l i f i c a t i o n d u sismographe étant constante de 0,1 à 1 Hz. Les différences entre les spectres relatifs, q u i sont attribuables à la source disparaissent entre 0,5 et 1 H z où l o g  décroît linéairement avec la fréquence /, ce q u i paraît i n d i q u e r la présence dans ce domaine d'une atténuation à facteur de qualité Q constant (Chap. 1). O n peut ainsi ( C h o u d h u r y ) déterminer cette valeur de Q, corriger la valeur spectrale et définir une magnitude sur t o u t cet intervalle 0,5 à I H z .
ÉNERGIE
ET
MOMENT
SISMIQUE
393
Pour déterminer MQ, o n a v u q u ' o n s'adresse en principe aux ondes d u m a n teau. E n fait, si les séismes ne sont pas assez i m p o r t a n t s p o u r donner des ondes du manteau utilisables o n devra se contenter des ondes de v o l u m e enregistrées par les sismographes classiques à longue période p o u r déterminer E et MQ. La traversée des régions superficielles cause des différences importantes dans les spectres, P p a r exemple, en des stadons voisines ( F i g . 22). Cependant o n p e u t constater que d'une station à l'autre les m a x i m u m s et m i n i m u m s restent sensi blement à l a même place.
F I O . 2 2 . — Spectres d'énergie de quatre séismes (composante verticale des ondes P) en deux stations voisines (Strasbourg et Stuttgart). Durée des spectres 4 0 secondes, pas 0 , 5 seconde. D'après HOANG TRONG PHO, 1 9 7 1 .
194
PARAMÈTRES
DES SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÈ
N o u s suivrons partiellement un exposé de H o a n g T r o n g Pho, inspiré de Haskell (1964), Hirasawa et Stauder (1965), Hirasawa (1965). 8.2. — Source à propagation uniforme. Calcul des déplacements. — C o n s i dérons une fracture située dans le p l a n xOz. Elle est engendrée par une ligne de dislocation de longueur a ( o u , ce q u i revient au même, par une ligne de doubles couples élémentaires) faisant l'angle y avec Oz ( F i g . 23) et se déplaçant à la vitesse constante V, perpendiculaire à sa direction j u s qu'à p a r c o u r i r une longueur h (modèle unilatéral). Le vecteur de Burgers, supposé de d i r e c t i o n constante, s'écrit en un p o i n t M d u rectangle Σ(α, b) : B(M,t)
= Bo{t)ô(xcosy
-
zsiny
-
(1)
Vt).
F I G . 23.
11 est n u l ailleurs. Reportons-nous
à la f o r m u l e (27) d u chapitre 13,
paragraphe 4 q u i donne la T . F. U''{MQ, ω ) de la composante l o n g i t u d i nale U''(MQI, t) en u n p o i n t MQ (XQ, yo, Z Q ) quelconque (*). Elle renferme l'intégrale : I
=
άΣ B ( M , ω ) e x p ( - i K p d . v )
Kp est le n o m b r e d'onde ω/α ; v est le vecteur OMQ/RQ
(2) où RQ, distance
(*) Comme au chapitre 13, nous surlignons les transformées de Fourier.
ÉNERGIE
ET MOMENT
395
SISMIQUE
de MQ à l'origine O située dans i7 est petit p a r r a p p o r t h A tX B ·,Λ = O M où M (x, O, z) est s u r T . C o m p t e tenu de ( I ) o n a : B ( M , ω ) = Bo(co) e x p [ i w ( x cos y — z sin y)/K] . En prenant des axes de coordonnées ξ, η, dirigés suivant les côtés de Σ, on trouve : I = a 6 B o ( œ ) e x p [ - \ω{Χ + Y)\
= "Βο(ω) /^p ,
avec a
Il Y
\
b
=
IXQ sin y +
/ XQ
Zocosyj
I\Q
cos y -
2a \
ZQ
sin y
Ro
oc \ Κ/'
On obtiendrait les expressions p o u r l a composante transversale en chan geant α en β. Les coefficients sin ωΧ/ωΧ et sin ω Κ/ω K j o u e n t le même rôle que les coeffi cients analogues p o u r les ondes de surface. I l s m o n t r e n t l ' i m p o r t a n c e des dimensions de la source et modifient la directivité d u double couple. A p p l i q u o n s le calcul au cas d'une dislocation vis, le vecteur de Burgers étant dirigé suivant Ox, soit BQ = IBQ ; y = π/2. L a T . F. d u déplacement est donnée par :
Ko
\ J
a
(5)
4inR
(j"°+i>'°-2v^-^^°)^''P'^^^/,. β
\
RQ
RQ
R ' J
AinR
(6)
Finalement, en coordonnées sphériques MQ (RQ, 0, ψ), les composantes du déplacement s'écrivent : 4π/ΪΜ, =(^) ^«7 4 πβη^ =
4 πβη
s i n ' 0 sin 2 ¢)./, RQ
sin 0 cos 0 sin 2ψ.Is
β = y—sin Ro
θ cos 2φ.Ι^
)
(7)
PARAMETRES
DES
SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITE
avec ab
Λ sin ωΧρ,χ sin ωΥρ,χ
{^"^
"côï^T"
2 π J_ œ X p s
exp (ίω { t - ^ -
^p,s
= ^
Xp.s -
Yp,s) ) dœ .
(8)
j
sin θ cos φ
(9)
O n a posé
Si le r a p p o r t a/6 est petit devant l'unité, l'effet de sinωΧ/ωΧ est négli geable. L'évolution temporelle de la source affecte le spectre mais n o n la dis t r i b u t i o n des compressions et des dilatations, n i la p o l a r i s a t i o n des ondes 5. Dans une d i r e c t i o n déterminée les racines en ω des équadons wXp^s> ω^ρ,χ = entier n o n n u l ) p o u r r a i e n t expliquer certains des m i n i m u m s observés dans le spectre. M a i s les m i n i m u m s peuvent être dus à beaucoup d'autres causes, p a r exemple à des interférences entre pP et P ( G u h a et Stauder, 1970). S i / ( 0 est un échelon d'Heaviside, o n aura, en omettant les indices P dans Λ' et r : sin ωΥ 1π]^.,^ ab 2 Y
ωΥ
exp[ift;[t - ^
-
y ) j dœ
("('-TI-'O-T-^''))-
L ' o n d e (10) est une p u l s a t i o n rectangulaire ; le premier terme corres p o n d au début de la fracture et le second à la f i n . L ' i d e n t i f i c a t i o n de l a phase d'arrêt permettrait de calculer la longueur b et la vitesse v. Revenons au cas général et calculons la vitesse 4 πβυ, = (βΙαγ
Ip =
ab
'• + =°
sinω^
(BQ/^O)
sincoY
sin^ 0 sin 2φ.Ϊρ /.
/
RQ
(11) \\ (12)
ENERGIE
ET
MOMENT
SISMIQUE
397
Dans le cas d'une faille bilatérale d o n t les longueurs respectives des deux branches sont b et h', o n a (Hirasawa et Stauder, 1965) : ab^
, sin ω Χ
^ "
t.
ί
RQ
^\
\
2 π J , , sin ωΥ b„ I I cos ωΥ + + b cos ωΥ ωΥ
X
ωΥ b —ι b s i nωΥ' . / s i ωΥ n ' ωΥ ^ b' ' ωΥ'
sin ωΥ' ωΥ
άω
(13)
ou Y' = S.3. — Calcul du moment Haskell (1964) que : on
(14)
\('-+'-cose). α /
2\v
sismique et de l'énergie. — Si o n suppose avec
Bo(t) = 0 p o u r ί < 0 , a:
tjT p o u r 0 < ί ^ Γ , 1
Ρ{ω)=
Γω'
1 p o u r t>T,
.(e-'^'-l)
(15)
(16)
et s i n ' (ωΓ/2)
F(co)
(T/2)'
L'équation (13) peut se mettre sous la forme : ab
1 -
sin ωΧρ
e"
ωΧρ
2π J _
exp(iiu(i
- ^ - x ) ) x X ( ^ ( ω ) - \Β{ω))άω.
(17)
On suppose comme précédemment que | ω Χ \ est suffisamment petit devant l'unité p o u r que sinωΧ/ωΧ puisse être considéré c o m m e égal à l'unité. Dans le cas d'une faille bilatérale symétrique (b = b'), si ί/,(ω) est la T . F. de M „
υχω)
4 πβΡο
' sin θ sin 2 ψ
s i n ' ωΥ
L (ωΥ)'
+
s i n ' ωΥ' (ωΥ')
π 2 sin (ωΓ/2) ^
(Τ/2)^ 2 ^ - ^ ^ ^ COS ω ( 7 ωΥ
Υ')
(18)
398
PARAMÈTRES
DES SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÉ
comme o n le v o i t en utilisant (11) et (17) et en considérant la réciprocité des transformées de F o u r i e r . O n peut donc poser : Rl
ύχω)
P
=
Bl a' b' Giœ, 0, φ) = ^
G;
G est c o n n u si o n se donne a, b, v, T. υ,(ω) ' àoj est l'énergie de l'onde dans la bande de pulsations άω, par unité d'angle solide dans la d i r e c t i o n 0, ψ. O n peut, comme o n l'a v u au paragraphe 3, la déduire des spectres observés dans les diverses stations, en tenant compte des effets i n s t r u m e n t a u x , de l'expansion géométrique, de l'atténuation, et même des réverbérations dans la croûte (en utilisant les matrices de Haskell). L ' a p p l i c a t i o n (Hirasawa, 1965) au séisme de N i i g a t a est un excellent accord avec A k i , 1966 (§ 7.5). A p a r t i r des vitesses, des calculs de Haskell (1964) permettent encore d ' o b t e n i r les énergies : Ep
ùl àtRl sin ΟάΟάφ
= py. 0
Es = Ρβ
j
J 0 ·' - 00
(19) {ù] + M,^) d / « o s i n
θάθάφ\
Les formules, que nous n'écrirons pas, permettraient des comparaisons avec l'énergie observée. 8.4. — Modèles statistiques de sources sismiques. — L ' e x p l o i t a t i o n complète des spectres sismiques est t r o p lourde p o u r une utilisation statistique. O n peut retenir seulement la directivité des sources à p r o p a g a t i o n (Udias, 1970). M a i s o n s'est efforcé, par des méthodes diverses, d ' o b t e n i r des propriétés générales, n o t a m m e n t l'évolution d u spectre lorsque la magnitude augmente (évolution q u i se t r a d u i t par un enrichissement relatif en longues périodes). C'est un p r o blème de réduction d'échelle (scaling), q u i d o i t conduire en particulier à la détermination des deux fonctions M{m) et M^im) où M et m sont les magnitudes (§ 4 . 1 ) , MQ le m o m e n t sismique. P o u r les explosions, le problème est relativement simple ( M u e l l e r et M u r p h y , 1971 ; M u r p h y et M u e l l e r , 1971) si o n écarte les cas où elles hbèrent s i m u l t a nément de l'énergie potentielle élastique (Toksôz et Kehrer, 1971). P o u r les séismes, le problème est de v o i r ce que deviennent les spectres aux courtes périodes. Revenons aux formules (19). Elles i n t r o d u i r a i e n t des intégrales d u type : lldi
.
ÉNERGIE
ET
MOMENT
SISMIQUE
399
L'expression (8) de Ip résulte déjà d'une intégration correspondant à la propagation sur la faille. R e m o n t a n t a u x f o r m u l e s (2) o n peut écrire (Haskell, 1 9 6 4 ) : ; ; B ( ^ , r - ^ ) d ^ où B est la moyenne de la dislocation sur la largeur de la faille ( 5 = 0 pour ξ < Q tt ξ > b) oh r = RQ - ξ co% 0. H a s k e l l (1966) transforme les formules de façon qu'elles dépendent seulement de l a double autocor rélation de 'Β{ξ, t), soit :
jj"
Φ(ζ, τ ) =
m,
t) Β(ξ
+ ζ,ί
+ τ)άξ
dî
et obtient aisément : liât
φ|ς, ξ c o s - ^ j d ^ .
=
Haskell définit u n modèle statistique de source en se d o n n a n t p o u r ψ(ζ, τ) une forme particulière raisonnable : Φο(ΐ
-
K,
τ-
\ )exp
(-
^ 2
b)
ζ
qui conviendrait en p a r t i c u l i e r à une rampe ondulée. A k i (1967) adopte de même une expression exp
\
1
V
p o u r l'autocorrélation de Β{ξ, t) et m o n t r e que la densité d u spectre d'amplitude est donnée en f o n c t i o n de la p u l s a t i o n p a r les formules : 2,
-n
où « = 1 dans le cas d ' H a s k e l l (modèle en ω " ^ p o u r ω grand) ; « = j dans le cas d ' A k i (modèle en ω~^). BQ est la moyenne de B sur toute la longueur de la faille. O n a une f o r m u l e analogue p o u r S avec β rempla çant a. Enfin A k i cherche à comparer des séismes de magnitude différente ayant suivi les mêmes trajets ; i l faut p o u r cela réduire à un seul le n o m b r e des paramètres en j e u . A k i adopte donc une « l o i de s i m i l i t u d e » dans laquelle a, b, Bo varient p r o p o r t i o n n e l l e m e n t . L a c o n t r a i n t e , calculée sur u n modèle statique, devrait alors être indépendante de la magnitude ; nous y reviendrons, v est une constante ; ΑΊ et sont p r o p o r t i o n n e l s à b.
PARAMÈTRES
400
DES SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÉ
Les méthodes approchées de B r u n e ( 1 9 7 0 ) le conduisent aussi p o u r Α{ω) à une pente asymptotique en ω ~ ' mais si la chute de contraintes est seulement partielle (y = σ//, § 6 . 3 ) la pente est encore en ω " * tant que yœjO est de l ' o r d r e de 1 ( 0 mesurant, comme a u paragraphe 7 . 2 , l'évolution temporelle de la source). Citons encore Brune et K i n g
(1967),
q u i se proposent plus modestement
de comparer les amplitudes des ondes de Rayleigh de 1 0 0 s, propres à la détermination d u m o m e n t MQ, à celles de 2 0 s propres à la détermination de M. 1961)
Toutes choses égales d'ailleurs, ce r a p p o r t est (Ben M e n a h e m , : ^
sin X ( 1 0 0 ) / s i n
^ '
Χ(\00)
Λ:(20)
I X ( 2 0 )
où -
nb
lc(T)
c étant la vitesse de phase, υ la vitesse de r u p t u r e , admise à 3 km/s. R a des zéros et des pôles. Les auteurs admettent q u ' o n peut néanmoins faire passer au milieu des points Mo{M) nant la moyenne : R{b) =
observés une courbe obtenue en pre
^(20)/^^(100),
courbe q u ' i l s assimilent à trois
segments ( F i g . 2 4 ) en s'appuyant sur des déterminations antérieures de b(M)
( l i d a , Tocher, cf. Fig. 2 5 ) . Pour b g r a n d , R(b) ~ 5 . Dans l'applica
t i o n , ce modèle simple semble meilleur que le modèle en O J ' ' et s u r t o u t que le modèle en ω~^. 8.5. — Résultats : Corrélation entre magnitude et moment
sismique ; chutes
de contraintes, dimensions de la source. — I l faut maintenant donner quelques résultats. Nous prendrons comme exemple un travail soigné de Wyss
(1970)
q u i porte sur 3 7 grands séismes d'Amérique d u Sud, profonds de 0 à 1 9 0 k m et de 5 4 3 à 6 5 5 k m . Lorsque c'est possible Wyss détermine MQ
par les
ondes P et par les ondes de surface ; le r a p p o r t peut atteindre 4 (cela inci terait à distinguer W g de MQ comme o n distingue m de M). La figure 2 4 donne le m o m e n t en f o n c t i o n de la magnitude m déduite des ondes de v o l u m e . Les chutes de contrainte τ = 2 EJMQ μ ( § 7 . 5 ) v o n t de 4 à 2 0 0 0 bars. L a ligne brisée théorique de Brune et K i n g , 1 9 6 7 , f o u r n i t une moyenne entre, d'une p a r t , tous les séismes profonds et la majorité des séismes superficiels, d'autre p a r t , tous les séismes intermédiaires q u i , étant situés a u dessous de la ligne, correspondent à des contraintes relativement élevées, sur prenantes dans la couche à m o i n d r e vitesse. O n verra au T o m e I I qu'ils naissent dans une langue plongeante de lithosphère traversant cette couche. Le cas des séismes à très faibles contraintes a particulièrement attiré l ' a t t e n t i o n . Brune et A l l e n ( 1 9 6 7 6 ) , étudiant sur le terrain (Impérial Valley) u n séisme
ÉNERGIE
ET
MOMENT
dont la magnitude était seulement de 3,6, t r o u v e n t néanmoins, sur 10 k m de faille, u n déplacement superfi ciel (à vrai dire ne dépassant pas 1,5 cm). A d m e t t a n t une p r o f o n d e u r focale inférieure à 5 k m , une épais seur de croûte de 35 k m , l ' a m p l i tude des ondes de Love leur f o u r n i t MQ = 2 X 10^^ dyne/cm p o u r le double couple équivalent. L a f o r m u l e (4) d u paragraphe 7.5 donne alors pour U = 0,9 c m , μ = 2 x 1 0 " dyne/cm^ et p o u r 6 = 10 k m une hauteur de f a i l l e : a = 1,1 k m . Enfin le modèle de K n o p o f F c o n d u i t à la valeur extrêmement faible τ = 1,1 bar, puis à une énergie poten tielle c i f , = 6 X 1 0 " " ergs contre E = 2 X 10'^ ergs déduit de m. Le rendement ( m a l déterminé) serait de 0,3. Une valeur, plus faible mais plus douteuse, τ = 0,7 bar, a été trouvée par A k i (1967) p o u r la chute de contraintes au cours d u séisme de Parkfield d o n t la faille avait 38 k m de long. Pour éclaircir cette corrélation i n verse entre les chutes de contrainte
SISMIQUE
401
α
27
/
/ /o 0
-
/ 7
-
-
/
o
• 7o D
26
•
•Q'
/·
D
/
25
0
/
o
/ 64o7
•
y
0
_
o o
/
1 1 ~
1
f 1
/ •
23
1
50
•
h <
o o
5 0 < h < 2 0 0 5 0 0 < h < 7 0 0
1, Magnitude,
1
1
m
F I G . 2 4 . — Moment sismique en fonction de la magnitude déduite des ondes de volu me. Les deux nombres indiquent des pro fondeurs en kilomètres. D'après WYSS, 1970.
des séismes de magnitude voisine, et les dimensions de la source, o n a recours à une hypothèse de T s u b o i (1956). I l suggère, pour rénergie émise, la f o r m u l e : E = l μχ^ V où X est un seuil de déformation et V le v o l u m e intéressé par le séisme. T s u b o i admet en outre que c'est F plutôt que x q u i change d ' u n séisme à l'autre. En fait une statistique composite de L i e b e r m a n n et P o m e r o y (1970) montre bien cette corrélation entre les dimensions focales et la magnitude, mais elle laisse place à des variations importantes de V p o u r m donné, auxquelles doivent correspondre des variations inverses de x o u τ. Le cas extrême, V petit, τ grand, est celui des explosions nucléaires. Sur la figure 25, la d r o i t e de Press correspond en gros à une énergie des séismes modérés (m < 6,5) p r o p o r t i o n nelle à V ; elle ne représente qu'une partie des cas. L'hypothèse de T s u b o i est cependant beaucoup plus près de la vérité que l'hypothèse opposée de BenioflF, lequel prétendait suivre le j e u x d'une faille, au cours de séismes successifs, en intégrant £""•^ à V constant. Les résultats statistiques relatifs au rendement sismique sont assez contradic-
402
PARAMÈTRES
DES
SOURCES
SISMIQUES.
D i m e n s i o n de ia s o L i r c c
SISMICITÉ
{hm)
F I O . 2 5 . — Magnitude déduite des ondes de volume en fonction de la plus grande de la source. D'après LIEBERMANN et POMEROY, 1 9 7 0 .
dimension
toires. L a f o r m u l e de T s u b o i j o i n t e à τ = /tx et à (3) d u paragraphe 6.3 i m p l i querait que η soit constant. A k i (1967) trouve que η(Μ) décroît (de 0,40 à 0,003 lorsque M croît de 6,5 à 8,5) ; c'est le contraire p o u r Wyss (1970), mais i l est peu convaincant, et p o u r K i n g (1969), q u i s'appuie sur des expériences de l a b o r a t o i r e . U n e conclusion claire serait i m p o r t a n t e p o u r la prévention des grands séismes (Chap. 2) ; c o m m e le remarque K i n g , o n d o i t agir sur l'énergie potentielle en déclenchant des séismes faibles, alors que le r a p p o r t des énergies émises semble p r o h i b i t i f 8.6.—Evolution d'une région faillée.— Brune (1968) étend la f o r m u l e d ' A k i à l'aire totale de la zone de cisaillement. 11 définit d ' a b o r d une disloca t i o n ϋ réduite à l'aire totale en écrivant :
17 =
1 7 . ^
Puis i l ajoute toutes ces dislocations réduites p o u r avoir le glissement t o t a l de la faille au cours d'une série d'événements (séismes o u fluage) :
BIBLIOGRAPHIE
403
O n peut alors examiner un ensemble tel que l'Impérial Valley, la faille de San Andréas, la faille A n a t o l i e n n e , e t c . . Par exemple, p o u r le premier cas, en admet tant une longueur de 120 k m , une p r o f o n d e u r de 20 k m , une rigidité 3,3 X 1 0 " dynes/cm', o n t r o u v e , en faisant la somme p o u r tous les séismes observés de 1934 à 1963, u n glissement t o t a l : ^ t/ = 93 c m en 29 ans, soit 3,2 cm/an contre 8 cm/an f o u r n i s par la géodésie. L a différence est-elle e m m a gasinée élastiquement p o u r u n f u t u r g r a n d séisme, o u a-t-elle été dépensée en fluage lent, i l est a priori difficile de le dire. C o m m e o n l'a vu (Chap. 2), o n peut faire la p a r t d u glissement et des déformations l o r s q u ' o n dispose, à l'inté rieur de chaque lèvre, d ' u n quadrilatère triangulé. Dans le cas de l'Impérial Valley, Savage et B u r f o r d (1970) t r o u v e n t q u ' i l y a bien déformation des deux lèvres. M a i s cela n'est pas nécessairement général. O n a appliqué à t o r t la méthode aux séismes p r o f o n d s d'une région arquée en considérant comme une gigantesque faille la surface inclinée qu'ils occupent. Le lecteur verra au T o m e I I que dans les ruptures correspondantes ce sont des extensions o u des compressions, et n o n des glissements, q u i sont p a r a l lèles à cette surface.
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404
PARAMÈTRES
DES
SOURCES
SISMIQUES.
SISMICITÉ
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15
CHAPITRE
LES I N S T R U M E N T S D E GÉODÉSIE, D E TOPOGRAPHIE ET D E GRAVIMÉTRIE par Alain
COUZY
L'étude de la forme de la Terre ainsi que le besoin de localiser des observa tions nécessitent des mesures géodésiques d'angles et de longueurs ( 1 6 . 4 . 1 et 16.6.1).
1 . — GÉODÉSIE
CLASSIQUE
En Géodésie classique, o n remplace en chaque station de mesure (sommet d'un triangle) la normale à l'ellipsoïde p a r la verticale, a u t o u r de laquelle sont mesurés les angles des triangles géodésiques. Cette a p p r o x i m a t i o n n'entraîne généralement pas d'erreur sensible, compte tenu de la précision des mesures, de l'inclinaison faible des visées et des valeurs faibles de la déviation de la verticale. l.l.—Mesures angulaires. — L ' i n s t r u m e n t de mesure des angles est le théodolite. I l c o m p o r t e ( F i g . 1) une lunette d o n t l'axe optique {O) matérialise, aux corrections de réfraction près, la visée géodésique ( o u d r o i t e j o i g n a n t le point de station aux sommets voisins). L a lunette est mobile a u t o u r d ' u n axe des tourillons {T), o r t h o g o n a l à l'axe optique. L'axe des t o u r i l l o n s est lui-même mobile a u t o u r d ' u n axe o r t h o g o n a l (axe p r i n c i p a l {V)) que l ' o n rend vertical au moyen de 3 vis calantes. A u cours d'une r o t a t i o n de l'alidade {A) supportant l'axe des t o u r i l l o n s , autour de l'axe p r i n c i p a l , la p o s i t i o n d u p l a n de visée (plan vertical de l'axe optique) est repéré sur u n cercle divisé (limbe h o r i z o n t a l (//)) contenu dans u n plan perpendiculaire à l'axe p r i n c i p a l . L a différence des lectures sur le limbe donne la valeur de l'angle dièdre des plans de visées correspondants.
408
LES
INSTRUMENTS
U n cercle vertical gradué p e r m e t de repérer l a p o s i t i o n de l a lunette dans son p l a n v e r t i c a l , c'est-à-dire, après c o r r e c t i o n de la réfraction, de mesurer l a distance zénithale de la visée. V
I
V F I G . 1. — Théodolite. E n dehors des circonstances extérieures au théodolite (définition et stabilité de la visée), des imperfections limitent la précision des mesures : — Mise en station : la verticalité de l'axe principal est contrôlée par r o t a t i o n d'une nivelle torique dont la sensibilité (fonction d u rayon de courbure) impose une limite à l a précision de la mise en station. Cette sensibilité pour des instruments modernes est de l'ordre de quelques dmgr (•*). Pratiquement, si ; est l'écart de la verticale et de l'axe principal et ί la hauteur de la visée, o u complément de la distance zénithale (notations conservées dans tout ce qui suit), l'erreur sur l'azimut vaut i . t g i ' . Elle restera négligeable tant que s ne sera pas t r o p grand, ce qui est au moins le cas pour la géodésie primordiale, où les dimensions des triangles sont importantes. — Défauts de construction : non-perpendicularité des axes mécaniques — non-perpendicularité de l'axe des tourillons et de l'axe optique. Les erreurs dues à ces défauts o n t res pectivement pour partie principale ; tg s et //cos i . E n associant à chaque mesure celle que l'on fait après une r o t a t i o n de 200 g de l'alidade et retournement de la lunette, o n élimine les 2 erreurs en prenant la moyenne (la r o t a t i o n de 200 g établit une symétrie des 2 positions de la lunette par rapport a u p l a n de visée). — Erreurs dues aux irrégularités de la graduation d u limbe : o n les atténuera en décalant l'origine d u limbe en des points répartis également sur toute sa circonférence. A v e c ces précautions, des observations nombreuses c o m p o r t a n t
plusieurs
pointés et lectures d o n t o n p r e n d l a m o y e n n e , et u n c h o i x convenable des périodes d ' o b s e r v a d o n p o u r bénéficier des meilleures
conditions
atmosphé
riques, l a précision est d ' u n o u deux d m g r sur l a valeur des angles h o r i z o n t a u x . (*) décimilligrade.
GÉODÉSIE
CLASSIQUE
409
Mesurer la distance zénithale o u son complément, la hauteur, i m p l i q u e de définir une origine sur le l i m b e vertical. Cette origine est obtenue a u m o y e n d'une nivelle ; les mesures d'angles verticaux v e r r o n t leur précision limitée par la sensibilité de cette nivelle. C o m p t e tenu de l'indétermination sur la réfrac tion dans le plan vertical, cette l i m i t a t i o n n'est pas gênante. / .2. — Mesures de longueurs. — L a mesure d ' u n côté, o u mieux de plusieurs côtés de la t r i a n g u l a t i o n est nécessaire p o u r définir complètement la géométrie de l'enchaînement observé au théodolite ( 1 6 . 4 . 1 c ) . L ' u t i l i s a t i o n d'appareils électromagnétiques permet d ' o b t e n i r rapidement une précision de 3 . 1 0 ~ * sur des distances de l ' o r d r e d'une trentaine de kilomètres. Ces appareils mesurent la distance par l'intermédiaire d u temps de propaga tion d'une onde modulée entre les deux extrémités d u côté à mesurer, en sup posant connue la vitesse de propagation de l'onde. Le d i s p o s i t i f de mesure comprend u n émetteur et u n répondeur. Ce dernier renvoie vers l'émetteur une onde semblable à l'onde entretenue modulée q u ' i l a reçue de l'émetteur (ou la réfléchit). Celui-ci, o u poste maître, mesure le déphasage φ radian entre la m o d u l a t i o n aller et la m o d u l a t i o n retour. L a connaissance de la fréquence/ Hertz de la m o d u l a t i o n donne le temps par la relation T = φ/f. L a distance est 1^772. C o m p t e tenu des précisions avec lesquelles o n sait mesurer la phase et stabiliser la fréquence, la connaissance de la vitesse V c o n d i t i o n n e r a la précision d u résultat final. Mais la vitesse de propagation des ondes électroma gnétiques utilisées dépend des c o n d i t i o n s météorologiques rencontrées le l o n g du parcours. C'est la médiocre connaissance de ces c o n d i t i o n s et leur manque d'homogénéité q u i l i m i t e n t la précision d'une telle mesure. O n cherchera des périodes d'observation variées d u p o i n t de vue météoro logique, les plus favorables étant celles où le vent, brassant l'atmosphère, en améliore l'homogénéité. — Les instruments réalisés diffèrent par l'onde porteuse utilisée : O n dis tingue deux classes : — Appareils à ondes centimétriques — (type telluromètre). Ils utilisent une onde porteuse modulée par une onde de fréquence bien m o i n d r e (10 M H z p a r exemple). L a fréquence de l'onde utilisée par le répondeur est peu différente de celle de l'émetteur, et la faible fréquence des battements obtenus facilite la détection. Ces appareils f o n c t i o n n e n t par tous les temps ( b r o u i l l a r d ) p o u r v u que l'intervisibilité théorique soit réalisée entre les deux postes. Les portées sont couramment de l ' o r d r e de 50 k m . Les c o n d i t i o n s atmosphériques rencontrées, degré hygrométrique s u r t o u t , influencent le résultat et demandent à être bien connues ce q u i est difficile et entraîne une perte de précision. Les mesures sont perturbées p a r des réffexions sur le sol (effet atténué par l ' u t i l i s a t i o n successive de plusieurs fréquences p o r teuses) et rendues pratiquement impossibles si quelque obstacle métallique o u électrique se trouve sur le trajet. La précision obtenue sur la moyenne de quelques
séances est 3.10""*.
410
LES
INSTRUMENTS
— Appareils à ondes lumineuses — (type géodimètre). L a lumière peut être modulée par une cellule de K e r r (géodimètre) o u directement par une diode à Tarséniure de G a l l i u m émettant dans l'infrarouge. C o n t r a i r e m e n t aux t e l l u r o mètres, le répondeur n'a pas de rôle actif ; i l réfléchit l'émission reçue exacte ment vers l'émetteur (prismes en coins de cube). Les appareils à ondes lumineuses ne peuvent être utilisés que par bonne visibilité, leurs portées restant inférieures à celles que mesurent les t e l l u r o mètres (2 k m p o u r les appareils à diodes infrarouges, 30 k m p o u r le géodimètre à laser). Pratiquement insensibles à l'humidité, ils d o n n e n t une précision de 1 0 " ^ dès la première séance de mesure. 1.3. — Nivellements.
— Le dispositif i n s t r u m e n t a l utilisé p o u r les mesures de nivellement de précision ( 1 6 . 4 . 1 ) Directrice c o m p r e n d un niveau et des mires horizontale
(Fig. 2). Le niveau est constitué d'une lunette d o n t l'axe est par c o n s t r u c t i o n parallèle à la directrice (*) d'une nivelle très précise ( F i g . 3). L'ensemble est rendu h o r i z o n t a l p o u r les mesures grâce à la nivelle, et la lunette permet donc de viser dans le plan h o r i z o n t a l de son axe optique. Le niveau, placé entre les 2 mires verticales donne p a r différence des lectures sur les graduations des mires la dénivelée entre les points de station des mires, si d u moins ces dernières sont convenablement appariées et étalonnées. Fie,. 2. — Nivelle.
Mire
Mire Niveau à lunette
F i G . 3. — Nivellement
de précision.
L'erreur due au défaut de verticalité des mires est négligeable. O n s'attache à éliminer les erreurs dues à la réfraction de la visée optique et à la c o u r b u r e de la Terre. Ces deux phénomènes entraînent une erreur f o n c t i o n de la distance, et, p o u r les courtes distances, indépendante de l ' o r i e n t a t i o n des visées. O n éliminera leurs effets en réalisant l'égalité des portées entre niveau et mires (à quelques dizaines de c m près). Enfin, o n travaillera aux heures où l'atmosphère est calme (le m a t i n très tôt) et o n réduira la distance entre mires et niveau (50 m ) . O n élimine également par l'égalisation des portées les défauts de parallé lisme entre la directrice de la nivelle et l'axe optique (erreur de c o l l i m a t i o n ) . (*) O u direction tangente à la fiole en sa position de réglage choisie pour origine de la graduation. Elle est parallèle à la séparatrice de la bulle et d u liquide de la nivelle.
GÉODÉSIE
SPATIALE
411
L"écart type kilométrique est de 0,7 m m e n v i r o n p o u r les nivellements de haute précision (*). Dans la p r a t i q u e , les nivellements se développent s u r t o u t le l o n g des voies de c o m m u n i c a t i o n , indépendamment des sommets de la t r i a n g u l a t i o n . Seuls certains de ceux-ci sont c o m p r i s dans le nivellement de précision, les autres étant simplement reliés par nivellement géodésique : o n mesure sur le cercle vertical d u théodolite Tinclinaison de la visée géodésique et o n o b t i e n t la dénivelée, connaissant la distance horizontale séparant les 2 sommets. L a précision est de l'ordre de la dizaine de centimètres, comparable à celle des coordonnées horizontales. 2. — GÉODÉSIE S P A T I A L E
La géodésie moderne substitue aux chaînes de triangles sur la surface de référence des chaînes de polyèdres d o n t les sommets sont en partie des p o i n t s du sol, en partie des positions instantanées de satellites artificiels. Les c o o r d o n nées de ces sommets sont obtenues dans un système d'axes trirectangulaires à partir de mesures de longueurs et de directions. 2.1. — Mesures angulaires (méthodes optiques). — O n obtient la direction d'un satellite à u n instant donné en le p h o t o g r a p h i a n t sur le f o n d des étoiles. Chaque image obtenue, à laquelle correspondent deux coordonnées rectangu laires sur la plaque p h o t o g r a p h i q u e , est la trace d ' u n rayon sur la perspective conique que f o u r n i t la photographie (à la distorsion de l'objectif et à la réfrac tion de l'atmosphère près ; o n sait les mesurer, donc les corriger). O n mesure les coordonnées de l'image d u satellite et d'images d'étoiles d o n t o n connaît les coordonnées (ascension d r o i t e et déclinaison). Les coordonnées astrono miques d u lieu et l'heure de la prise de vue permettent de calculer les cosinus directeurs de la direction de chaque étoile retenue. L a connaissance des direc tions, p o u r 4 rayons perspectifs a u moins, j o i n t e à celle des coordonnéesplaque des images correspondantes permet de déterminer les coefficients des formules homographiques liant cosinus directeurs et coordonnées sur la plaque. Inversement, ces formules d o n n e r o n t la direction d u satellite. Les chambres utilisées sont, soit fixes (chambre I G N : / - 3 0 c m , champ utile i), soit entraînées par un mouvement q u i lie la perspective photographique aux étoiles ou au satel lite (**). Dans ce dernier cas, le satellite a pour image un point, mais dans les deux autres, la position d u satellite sur sa trajectoire doit être repérée, soit q u ' i l émette u n éclair (satellites Anna o u Géos gravitant entre 1 000 et 1 200 k m de hauteur), soit pour u n satellite passif (qui réfiéchit la lumière solaire ; Pagéos entre 4 000 et 4 500 k m ) q u ' o n isole cette position (*) U n grand nombre de niveaux automatiques réalisent, par des systèmes pendulaires, fhorizontalité de l'axe des visées. Ces niveaux, d'emploi très rapide, ne permettent d'obtenir que des précisions bien moindres (2 m m d'écart type kilométrique). (**) L'avantage de la « p o u r s u i t e » est d'enregistrer plus efficacement des phénomènes moins lumineux (étoiles de grandes magnitudes, petits satellites).
412
LES
INSTRUMENTS
par o b t u r a t i o n synchrone aux stations. D e même, dans les deux cas extrêmes, l ' o b t u r a t i o n sera nécessaire pour isoler la position des étoiles sur leur trace à u n instant précis. Pour photographier une même position de plusieurs stations, la synchronisation doit faire entrer en ligne de compte le temps de propagation de la lumière entre satellite et plaque photographique. Le temps doit être connu avec une assez grande précision. Une précision de 10 -3 seconde correspond à moins d'une dizaine de mètres sur la position d ' u n satellite bas (à 300 k m par exemple) ; on peut l'obtenir au moyen d'une horloge à quartz dont la marche est fréquemment contrôlée par les signaux horaires radio des observatoires. O n tient compte du temps de propagation des ondes et des corrections ultérieures du Bureau International de l'Heure. Les horloges atomiques portatives permettent d'obtenir le temps à 10 s près. Les mesures sur les plaques faites au moyen d ' u n comparateur donnent sur les coordonnéesplaque une précision de quelques microns. On atteint ainsi une précision de 10 radian sur les directions, ce qui correspond à quelques dizaines de m.ètres à quelques milliers de kilo mètres.
2.2. — Mesures de distances. — a) Télémétrie laser. — Le dispositif c o m p r e n d un laser à rubis de 1 M W , q u i émet dans la direction d u satellite, en faisceau parallèle de lumière cohérente, une brève i m p u l s i o n . Celle-ci est réfléchie par le satellite exactement en sens inverse, a u moyen d ' u n dispositif en « coins de cube » ( F i g . 4) corrigé p o u r tenir compte de la vitesse d u satellite. Quelques photons de retour reçus par un télescope actionnent u n p h o t o m u l t i p l i c a t e u r d o n t le signal i n t e r r o m p t le comptage d u temps provoqué par le départ de l ' i m p u l s i o n . La sensibilité de ce comptage est de l ' o r d r e de la nanoseconde. F l G . 4 . ^ 0;.yEn fait, la durée de l ' i m p u l s i o n émise (30 nanosecondes) positif en coin de laissant subsister une incertitude de cet ordre sur le teinps cube et trajet mesuré entraîne p o u r la précision une l i m i t e de l'ordre de d'un rayon lumi 4,5 m — soit 10"*" e n v i r o n p o u r une distance d e 4 0 0 0 k m . U n e neux. nouvelle génération d'appareils permet d'espérer u n meilleur résultat. Le dispositif laser « p o u r s u i t » le satellite grâce à des mouvements commandés électriquement, soit d'après des calculs p o r t a n t sur la trajectoire d u satellite, soit à vue par visée à l'aide d'une lunette astronomique parallèle à l'axe d u laser (cas des satellites l u m i n e u x ) . L'écho laser peut également être photographié et donner ainsi la direction correspondant à la longueur mesurée. b) D'autres dispositifs permettent la mesure de la distance d ' u n satellite à une station terrestre à quelques dizaines de mètres près. Le système S E C O R utilise u n appareillage d u type telluromètre, d o n t le répondeur installé dans le satellite est successivement interrogé par des stationsmaîtres au sol. L'appareillage géodésique D o p p l e r permet d'intégrer la fréquence D o p p l e r d'une émission r a d i o stable d u satellite entre des instants successifs. O n obtient ainsi la différence des distances i? 1 et /? 2 de la station D o p p l e r aux positions successives d u satellite sur sa trajectoire, d'où u n lieu p o u r chaque station (hyperboloïde de révolution).
TOPOGRAPHIE
ET
3. — T O P O G R A P H I E
RADIOLOCALISATION
413
ET R A D I O L O C A L I S A T I O N
L a géodésie f o u r n i t u n canevas de points connus de façon précise. E n dehors de ces p o i n t s , la lecture de la carte o u l ' u t i l i s a d o n d'appareils de topographie ou de n a v i g a t i o n permettent de déterminer toute p o s i t i o n avec une précision moindre mais pratiquement suffisante. 3.1. — Cartographie. — L a représentation cartographique plane utilise un ensemble de fonctions analytiques t r a n s f o r m a n t en coordonnées rectangulaires .V, >', les coordonnées géographiques L, M d ' u n p o i n t : x = f{L, M) ; y = g{L, M). Le choix des fonctions f ti g détermine les propriétés de cette t r a n s f o r m a tion o u p r o j e c t i o n (conforme elle conserve les angles, équivalente les surfaces, etc.). La carte c o m p o r t e , imprimé o u simplement amorcé sur les bords, u n q u a d r i l lage kilométrique parallèle aux axes de coordonnées, d o n n a n t p a r i n t e r p o l a t i o n les coordonnées d ' u n p o i n t quelconque. O n utilise parfois sur une carte établie dans une certaine p r o j e c t i o n u n repérage dans un autre système de p r o j e c t i o n ; le réseau des lignes permettant l ' i n t e r p o l a t i o n des coordonnées n'est plus alors, en principe, u n quadrillage o r t h o g o n a l mais u n « pseudo-quadrillage ». L a carte de France établie en projection conique L a m b e r t c o m p o r t e les amorces du quadrillage L a m b e r t ; elle est également éditée avec en surcharge le pseudo quadrillage UTM. A u c u n e projection ne réalise la similitude de la projection horizontale des positions réelles, et d u dessin cartographique. Dans la pratique, o n assimile les projections cartographiques à une similitude dans u n domaine restreint a u t o u r d ' u n p o i n t , et o n l i m i t e leur d o m a i n e de validité à la zone à l'intérieur de laquelle la v a r i a t i o n de l'échelle de la carte reste insensible aux mesures. C'est en s'appuyant sur cette hypothèse, justifiée par la précision utile, que la t o p o graphie détermine les positions, graphiquement à p a r t i r des points d u canevas géodésique. 3.2. — Topographie. — Le topographe met en station la « m i n u t e » ( o u carte) installée sur une planchette en la nivelant et en l ' o r i e n t a n t , soit par une visée entre points connus, soit avec u n déclinatoire (boussole) : m i n u t e et p r o j e c t i o n horizontale d u terrain sont alors homothétiques dans u n r a p p o r t égal à l'échelle. Les positions seront déterminées par intersections d ' a u moins deux lieux géométriques : trace horizontale de plans de visées, cercles lieux des points équidistants de leur centre, e t c . . Les visées ne seront exploitées que sur des longueurs au plus égales à celles des visées ayant servi à l ' o r i e n t a t i o n de la m i n u t e (longueur de l'aiguille aimantée par exemple).
414
LES
INSTRUMENTS
a) Appareils de détermination d'une visée. — Ils décomposent toute visée en sa projection horizontale q u ' o n trace, et sa pente q u ' o n mesure. Ils comportent pour cela un plan de visée vertical lié mécaniquement au biseau d'une règle horizontale qui l u i est parallèle. Le trait tracé sur la minute le long de la règle maintenue sur la position connue, q u i peut être celle d u point de station o u celle d u p o i n t visé, est la projection horizontale de la visée. Dans le plan de visée, un dispositif permet de lire la pente de la visée observée, qui permettra, lorsqu'on connaîtra la longueur, de calculer la dénivelée {*). L'appareil de ce type le plus simple est l'alidade nivelatrice (Fig. 5) : le plan de visée y est défini par un œilleton (oculaire) à une extrémité de la règle, et par un fil vertical à l'autre extrémité. Une graduation le long de la potence verticale supportant le crin, donne la valeur de la pente. Des appareils plus élaborés utilisent une lunette mobile dans un plan vertical. Son grossissement permet l'utilisation à plus longue distance et une meilleure appréciation de la pente.
F I G . 5. — Alidade
nivelatrice.
b) Appareils de mesures de longueurs. — Certains des appareils décrits pour la géodésie peuvent avantageusement être utilisés. O n ne cherchera pas à obtenir les mêmes précisions car le report graphique laisse subsister dans le piquage d'une position une erreur de l'ordre de 0,2 m m sur la carte, soit 5 m à l'échelle d u 1/25 000. Pour de courtes distances, o n préférera utiliser des rubans d'acier étalonnés ; parfois, l'appréciation au pas, l u i aussi « étalonné », suffira. Enfin, l'utilisation de certaines alidades optiques (ou de théodolites) permet des mesures stadimétriques, q u i fournissent la distance à partir de l'observation de l'angle sous lequel est vue une longueur donnée (stadia de 2 m en bois o u en invar par exemple) placée perpen diculairement à la ligne de visée. Cet angle est, soit mesuré au théodolite, soit directement « tabulé » en distance dans le plan focal de l'alidade utilisée. c) Les tachéomètres, appareils du type théodolite, comportent un système de mesure stadimétrique des distances par observation d'une mire graduée dans le plan focal équipé d ' u n abaque des distances. Ils comportent également un dispositif optique o u mécanique q u i permet de lire directement la distance corrigée de la pente (système autoréducteur). O n mesure également la pente (ou la dénivelée dans les appareils autoréducteurs). Les levés tachéométriques sont conduits par cheminements à partir de points connus. En chaque station sont
(*) Le calcul de la dénivelée comprend une correction dite de niveau apparent, propor tionnelle au carré de la distance, qui tient compte de la sphéricité et de la réfraction. O n obtiendra de proche en proche les altitudes par les dénivelées avec une précision de quelques dizaines de c m . O n peut également procéder à des cheminements barométriques donnant les altitudes à quelques mètres près.
TOPOGRAPHIE
ET
RADIOLOCALISATION
415
mesurés la distance et l'azimut de la direction des points que l'on cherche à déterminer (rayon nement). Les valeurs inscrites lors des opérations de terrain donnent lieu, au bureau, à un calcul des coordonnées ; celles-ci permettent le piquage des points sur la carte.
3.3. — Radiolocalisation. — L o r s q u ' o n ne peut utiliser directement de canevas géodésique, o n fait appel aux moyens de navigation ou de radiolocalisa tion. a) Appareils de radiolocalisation. — Ils donnent, soit des distances (sys tèmes circulaires : Radar, S H O R A N ) , soit des différences de distances (sys tèmes hyperboliques : D E C C A , T O R A N ) entre la p o s i t i o n à déterminer et des points fixes connus. U t i l i s a n t des impulsions o u plus souvent des ondes entre tenues, ils mesurent le temps (radar, S H O R A N ) o u plus souvent la phase (ou la différence de phase). Les fréquences utilisées v o n t de 1(X) k H z ( D E C C A ) à quelques 10 G H z (radar), les portées moyennes de quelques dizaines de kilomètres à 600 k m environ suivant les c o n d i t i o n s de p r o p a g a t i o n et la fréquence adoptée. L'intersection des lieux (cercles, hyperboles) nécessite, sauf dans les cas où le temps est directement mesuré, u n levé d'ambiguïté, la phase seule ne d o n n a n t pas d ' i n d i c a t i o n sur le chenal où l ' o n se trouve ( u n chenal correspond à la zone comprise entre 2 hyperboles admettant p o u r foyers le couple des stations fixes, donc à une v a r i a t i o n de différence de distance égale à la longueur d'onde). Les chenaux traversés sont préalablement matérialisés sur la carte par le tracé de leurs limites ; o n procède alors à leur comptage à p a r t i r d'une origine connue. Si la sensibilité des appareils est assez grande (quelques dizaines de mètres, car o n « l i t le l/lOO de chenal » ) , leur précision est conditionnée p a r la valeur adoptée p o u r la vitesse de p r o p a g a t i o n (influencée par les c o n d i t i o n s d u trajet). Elle varie d'une centaine de mètres à 2 k m suivant le type d'appareil et suivant la disposition des stations par r a p p o r t à la p o s i t i o n cherchée (portée, angles d'intersection des lieux). Le système américain O M E G A utilisant de très basses fréquences (10 à 14 k H z ) devrait permettre vers 1972 une couverture totale d u G l o b e grâce à 8 stations ( d o n t 4 existent) — avec une précision d ' u n mille nautique ( 1 852 m ) . h) Dès à présent, l ' u t i l i s a t i o n d u système de navigation automatique TRANSIT permet une couverture totale d u Globe, mais au p r i x d'une installation i m p o r tante : 4 satellites à orbites circulaires polaires décalées de 45^ émettent 2 fréquences très stables (150 et 400 M H z ) . Placés à 900 k m d ' a l t i t u d e , ils passent a u moins 2 fois par j o u r à portée de n ' i m p o r t e quel lieu ; o n peut donc avoir 4 positions par j o u r . O u t r e les fréquences stables, ils transmettent toutes les 2 m n u n message de navigation d o n n a n t leur p o s i t i o n (théorique, puis corrigée). Le récepteur compare la fréquence reçue à la fréquence d ' u n oscillateur à quartz 400 M H z . La mesure D o p p l e r donne la v a r i a t i o n de distance d u satellite au récepteur
416
LES
INSTRUMENTS
de 2 m n en 2 m n , ce q u i place le récepteur sur des hyperboloïdes d o n t les foyers sont les positions successives d u satellite. A u cours d ' u n passage, o n peut obtenir e n v i r o n 5 mesures différentes ; l'ensemble des données est traité dans u n calculateur. Le calcul tient compte d u déplacement d u récepteur entre 2 mesures successives. L a précision obtenue est de l'ordre d'une centaine de mètres. c) L ' u t i l i s a t i o n de théodolites permet de déterminer, par observation d'étoiles, les coordonnées astronomiques de la stadon ainsi que l ' a z i m u t d'une d i r e c t i o n . 4. —
GRAVIMÉTRIE
4.1.—Mesures absolues. — Les méthodes modernes de mesure absolue de la pesanteur utilisent l'observadon de la chute libre des corps. A u Bureau I n t e r n a t i o n a l des poids et mesures, o n enregistre les quatre instants de passage d ' u n corps mobile à deux niveaux, à la montée et à la descente ( F i g . 6) : g est alors donné CVolet) par la relation g = 4 hl{Ti^ — Ts^), où hjl est la différence des deux niveaux d'enregistrement et Ti, Ts les différences des heures de pas sage à u n même niveau (/ : niveau inférieur, s : niveau supérieur).
F I G . 6 . — Principe
de la méthode de Volet.
Le mobile est u n « coin de cube » (équivalant optiquement à un m i r o i r plan mobile hori zontal pour un rayon lumineux vertical), inséré dans u n interféromètre de Michelson, dont l'autre rayon, horizontal, permet de définir des chemins optiques différents de 2 Λ grâce à deux miroirs collés aux. extrémités d ' u n étalon de longueur h. Chaque fois que le chemin variable vertical est égal à u n chemin horizontal, o n observe des franges d'interférence. Ceci se produirait pour des niveaux successifs exactement distants de hjl. O n ne s'intéresse, dans l'expérience, qu'aux deux niveaux supérieurs pour lesquels o n enregistre les franges sur le même support photographique que les signaux d'une horloge. L a précision de détermination des longueurs est de l'ordre de 10 « m . L'étalon définissant h est constitué de 2 miroirs dont le premier, percé d'un t r o u , laisse passer vers le second, distant de 0,80 m ^ h, une partie d u faisceau, celle dont le chemin optique sera de 2 h plus long que le chemin principal (Fig. 7).
GRA
VIMÉTRIE
417
F I G . 7 . — Schéma du dispositif de mesure absolue de la pesanteur au Bureau International des Poids et Mesures (SAKUMA, 1 9 7 0 ) . La précision de l ' i n t e r p o l a t i o n entre les signaux de fréquence 10 M H z de l'horloge est de l'ordre du 1/100soit 1 0 " ^ s. L a sensibilité actuellement atteinte s u r ^ e s t de l'ordre de quelques microgals ( 3 . 1 0 « ) . Aussi les mesures doivent-elles être corrigées des effets de la marée gra vimétrique (Chap. 18) par une formule théorique. L'appareillage est monté sur un dispositif antisismique (asservissement par utilisation de cales piézoélectriques, dont l'une détecte la perturbation et l'autre la corrige grâce au signal reçu de la première) ; les vibrations résiduelles sont mesurées par un microsismomètre à longue période, de façon à corriger les valeurs de g observées. Le vide d u caisson dans lequel évolue le trièdre (lancé verticalement par u n élastique) n'a pas besoin d'être très poussé, car le freinage de l'air résiduel agit pendant l'ascension et pendant la chute dans des sens différents par r a p p o r t à la pesanteur. Aussi la précision d'un tel appareil est-elle bien supérieure à celle des appareils q u i n'utilisent que la chute proprement dite.
4.2. — Les gravimètres. — Les mesures décrites ci-dessus ne d o n n e n t une précision supérieure à 1 0 ~ * que m o y e n n a n t u n tel luxe d ' i n s t a l l a t i o n et de pré cautions que la m u l t i p l i c a t i o n des points de mesures deviendrait p r o h i b i t i v e si l ' o n n'avait recours, entre les bases (*) existantes, à des i n t e r p o l a t i o n s u t i l i sant les gravimètres. (*) Base : p o i n t où une mesure absolue at g a. été réalisée, o u bien q u i a été rattaché direc tement à une détermination absolue de g par mesures relatives très précises. (Les appareils utilisés à ces mesures étaient généralement des pendules composés, amagnétiques, oscillant dans une enceinte thermostatée et où la pression était très faible. Ils étaient associés par paires de pendules identiques oscillant en opposition de phase afin d'éliminer les erreurs causées par l'entraînement d u support. Le rapport des carrés des périodes observées est égal au rap port inversé des valeurs de 5- ; o n arrivait à obtenir une précision de 1 0 " ' ) .
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LES
INSTRUMENTS
Ces appareils mesurent des variations de la pesanteur entre points successifs en équilibrant l ' a c t i o n de celle-ci sur une masse, p a r un effet indépendant de g. A une v a r i a t i o n de g correspond, p o u r m a i n t e n i r l'équilibre, une v a r i a t i o n mesurable d u phénomène antagoniste. Ce peut être par exemple l'allongement d ' u n ressort s u p p o r t a n t la masse, e t c . . Dans la pratique, p o u r améliorer la sensibilité des appareils, o n les astatise, c'est-à-dire q u ' o n opère au voisinage d ' u n état d'équilibre indifférent ( L a Coste, voir 9 . 2 . 3 ) , obligeant ainsi, p o u r conserver l'équilibre, à des variations assez importantes d u phénomène observé. Cet effet antagoniste (des forces de rappel et de celles q u i supportent la masse) est généralement décomposé en une partie principale (ressort maître, d o n t la tension, correspondant à la valeur moyenne de g dans la zone considérée, peut être modifiée par u n b o u t o n de changement de zone), et u n a p p o i n t (ressort de mesure avec vis micrométrique). O n ramène avec cette dernière l'équipage mobile à la p o s i t i o n fixe (méthode de zéro), et o n l i t en t o u r s de vis la différence ÎS.g entre la valeur de la base et le p o i n t de stadon (*). L a mesure est très rapide : une simple lecture, d o n n a n t ensuite lieu à une t r a n s f o r m a t i o n en microgals, connaissant l'étalonnage d u ressort. Celui-ci est d'ailleurs sujet à une dérive dans le temps et la méthode de mesure, en procédant à des cheminements entre bases, permet, par une fermeture, de connaître cette dérive et de la répartir entre les différents points d u réseau (24.2). Pour assurer, à la dérive près, la fidélité des mesures, i l y a un certain nombre de précautions à prendre :
g
F I G . 8. Effet d'un dénivellement du gravimètre.
1 " Nivellement. — O n adopte comme position de mesure (méthode de zéro) la position horizontale d u fléau ; c'est pour cette position que l'erreur de mesure due à un défaut d'horizontalité ε sera la moins grande : le moment d u poids est en effet multiplié par cos ε et on mesure donc gjcos ε q u i est d u second degré en ε (Fig. 8). Le nivel lement n'aura donc pas besoin d'être aussi précis que si l ' o n avait choisi une position de mesure n o n horizontale.
2" Effet des variations des températures. — Les ressorts voient leur élasticité considérable ment modifiée par une variation de température. Deux procédés permettent de pallier cet inconvénient. a) La thermostatisation de l'enceinte grâce à un réchauffage à cycle rapide assure une température constante (à Ι"/Ί(Χ) près). Mais l'alimentation à partir de batteries reste une lourde sujétion, même dans les appareils modernes à batterie cadmium-nickel intégrée. h) La compensation thermique. L'utilisation de combinaison de matériaux dont le coeffi cient thermoélastique et le coefficient de dilatation sont faibles o u varient différemment dans un domaine donné de température (ressort d'élinvar, de silice pure fondue, e t c . . ) permet d'obtenir des gravimètres d'usage beaucoup plus simple. En fait, o n diminue seulement l'influence de la température sans pouvoir vraiment éviter la thermostatisation pour des mesures très précises, à but scientifique.
(*) I l existe un appareil LaCoste d i t w o r l d wide dont la gamme utile de 7 000 mgals permet un usage mondial sans bouton de changement de zone.
GRA
VIMÉTRIE
419
3" E n f i n , les v a r i a t i o n s de p r e s s i o n d a n s l e n c e i n t e entraînent des v a r i a t i o n s de l a poussée d'Archimède, d o n c d e s c o n d i t i o n s d'équilibre d e l'équipage. O n y pare, s o i t e n réalisant p a r construction u n e c o m p e n s a t i o n , s o i t e x c e p t i o n n e l l e m e n t ( c e r t a i n e s études d e marées t e r r e s tres) en m a i n t e n a n t c o n s t a n t e l a p r e s s i o n d e l ' e n c e i n t e étanche, où éventuellement le v i d e a u r a été fait.
4.3. — Dérive et étalonnage de l'appareil. — Des mesures répétées en un même point montrent que la dérive de l'appareil est lente, ce qui permet de la considérer comme linéaire en fonction du temps — dans un court laps de temps (2 h). — Cette condition d'emploi permet d'ailleurs d'inclure l'effet de la marée gravimétrique dans l'effet de la dérive. L'étalonnage se fera par un aller et retour rapide entre deux bases dont les valeurs de g sont assez différentes l'une de l'autre. Compte tenu des précautions décrites ci-dessus, les gravimètres permettent de mesurer des différences de g avec une grande précision ( 1 0 " ^ gai) très rapi dement et d'atteindre des variations en un même lieu de l'ordre du microgal. L'appareil LaCoste Microgal donne une précision analogue pour les micro prospections (24.6). Pour les marées enfin, on approche le nanogal. 4.4. — Mesures en mer. — Nous ne parlerons pas des mesures où l'appareil est posé sur le fond (jusqu'à 200-300 m). L e problème est alors surtout de trans mettre commandes diverses et enregistrements. Les gravimètres embarqués (bateaux, avions) sont soumis à la pesanteur et à de nombreuses accélérations parasites dont l'intensité est parfois considérable (jusqu'à lO"*, 1 0 ' mgals) ; accélérations horizontales et verticales dues à la houle, mais également accélération relative centrifuge et accélération de Coriolis (effet Eotvds en gravimétrie) dues à la vitesse du mobile sur sa route. De caractère systématique, ces deux dernières sources d'erreur donnent lieu à un calcul de correction nécessitant de bien connaître la vitesse (et en particulier le cap pour la correction d'Eôtvôs). Les accélérations verticales dues à la houle sont filtrées par un enregistrement qui donne une valeur moyenne correcte si le phénomène enregistré est bien linéaire en fonctions des variations de g. Les accélérations horizontales introduisent des effets de couplage qu'on ne peut filtrer. L a figure 9 montre comment deux accélérations horizontales de sens contraires agissant sur le fléau d'un gravimètre écarté de sa position de mesure par la composante verticale de la houle (cross coupling) ou par un dénivelle ment du gravimètre (off-leveling) ont le même effet sur la valeur mesurée par le gravimètre.
Ta F I G . 9. — Effet
de ero.s.s coupling.
Γ
- accélération h o r i z o n t a l e ;
;· — effet de c r o s s c o u p l i n g de Γ s u r g a p p a r e n t .
420
LES
INSTRUMENTS
Pratiquement, o n cherchera à éliminer ces 2 types d'erreurs de 2"^ ordre, soit par u n asser vissement d u gravimètre à l a verticale (suspension à la cardan et plateforme gyroscopique) pour le dénivellement et par l ' a d o p t i o n de dispositifs instrumentaux éliminant la cause d u cross c o u p l i n g : élimination d u fléau (recherches sur les gravimètres à corde vibrante, u t i l i sation prévue d'appareils portatifs de mesure absolue utilisant la chute libre) o u élimination des oscillations d u fléau par u n amortissement énergique (courants de Foucault dans l'Askania GSS2 et le gravimètre Bell). O n arrive ainsi à des précisions de l ' o r d r e de quelques m i c r o g a l s , suivant l'état de l a mer. Ces mesures sont rattachées à des valeurs a u p o r t en tenant c o m p t e des hauteurs de l a marée. Les
mesures aéroportées posent
des problèmes analogues, mais
la plus
grande vitesse d u m o b i l e d ' u n e p a r t et la plus grande stabilité d u v o l changent la
précision d ' u n o r d r e
de g r a n d e u r
(prépondérance des erreurs dues a u x
accélérations d'entraînement et de C o r i o l i s avec en p a r t i c u l i e r a p p a r i t i o n de l'influence de la c o m p o s a n t e h o r i z o n t a l e
de cette dernière négligée dans les
mesures en m e r ) . C o m p t e t e n u de l a vitesse, l a période apparente des v a r i a t i o n s de g est d u même o r d r e o u p l u s petite que la période des accélérations parasites. L e u r filtrage intégrera d o n c également les v a r i a t i o n s d u phénomène étudié et l a gravimétrie aéroportée ne sera pas susceptible de c o n d u i r e à la p r o s p e c t i o n .
BIBLIOGRAPHIE
J. J . LEVALLOIS, 1969. Géodésie générale, tome I , 402 p., Eyrolles p. 319 à 402. J. J . LEVALLOIS et J . KOVALEVSKY, 1970. Géodésie générale, tome I V , Géodésie spatiale, 268 p., Eyrolles p. 38 à 84. M . D u p u Y et H . M . DUFOUR, 1969. La géodésie, « Que sais-je ? » Presses Universitaires de France. A . CAILLEMER, 1971. Astronomie de position, géodésie, 284 p . Technip. R . D'HOLLANDER, 1972. Topographie générale, tome I , Eyrolles. P. MERLIN, 1972. La topographie, « Que sais-je ? » Presses Universitaires de France. J. GOGUEL, 1963. La gravimétrie, « Que sais-je ? » Presses Universitaires de France. A . C o M O L E T - T i R M A N , 1968. L e champ de la pesanteur, mesures en mer et applications, cours d'océanographie physique 35 p.. Service Hydrographique de l a M a r i n e p. 11 à 33. A . SAKUMA, 1970. Méthodes utilisées avec l'appareil de mesure absolue d uΒΙΡΜ. Bulletin géodésique n° /00, j u i n 1971, p. 159 à 161. A . SAKUMA et M . DUHAMEL, 1970. Mesure absolue de l'accélération de la pesanteur au B I P M . Bulletin d'information de TI. G. N. n° 11, j u i n 1970, 32 pages — p. 8 à 19. L . CAGNIARD 1965. Cours de géophysique appliquée (gravimétrie), chapitre 4, 26 pages.
CHAPITRE
16
C H A M P D E PESANTEUR ET FORME D E L A TERRE par Jean
1. —
KOVALEVSKY
INTRODUCTION
L a détermination de la f o r m e de la Terre est, fondamentalement, u n p r o blème géométrique. L e résultat d ' u n tel travail devrait être u n catalogue de coordonnées cartésiennes d ' u n certain n o m b r e de points fondamentaux rap portés à u n système unique d'axes de référence. Plusieurs sommets voisins d ' u n tel polyèdre p o u r r a i e n t , à leur t o u r , servir de référence à des mesures relatives locales de p o s i t i o n et ainsi, par des interpolations successives, o n p o u r r a i t imaginer obtenir les coordonnées de n ' i m p o r t e quel p o i n t de la surface de la Terre. En revanche, la n o t i o n de c h a m p de pesanteur de la Terre i n t r o d u i t celle de force : elle est basée sur la l o i de la g r a v i t a t i o n universelle de N e w t o n et sur les principes fondamentaux de la d y n a m i q u e . L a détermination de la pesanteur peut être effectuée en utilisant u n gravimètre (voir chapitre précédent) sans connaître la p o s i t i o n géométrique d u p o i n t . Cependant, ce n'est que depuis quelques années, depuis que des satellites artificiels o n t été utilisés comme mires géodésiques visibles simultanément de stations distantes de plusieurs milliers de kilomètres, que l ' o n peut aborder globalement le problème de la forme de la Terre d'une façon géométrique. Auparavant, les visées géodésiques étaient effectuées au ras d u sol, entre des points en vue directe l ' u n de l ' a u t r e (cette technique, d'ailleurs, sera encore très longtemps employée p o u r les interpolations à petite et moyenne échelle). Ces mesures doivent être rapportées à un système de référence local facilement repérable, stable avec le temps. L'erreur la plus gênante est due à la réfraction, très i m p o r t a n t e dans les visées quasi horizontales. L a d i r e c t i o n de la verticale, et le plan h o r i z o n t a l q u i l u i est perpendiculaire, constituent les éléments essen tiels d ' u n tel repère, systématiquement utilisés. M a i s cette d i r e c t i o n est, par définition et p a r c o n s t r u c t i o n , la d i r e c t i o n de la force de la pesanteur locale.
422
CHAMP
DE PESANTEUR
ET
FORME
DE LA
TERRE
C'est ainsi que s ' i n t r o d u i t la pesanteur dans la géodésie géométrique. D e plus, comme i l faut p o u v o i r rattacher entre elles les références locales, c'est de l'ensemble d u c h a m p de pesanteur que l ' o n a besoin p o u r construire u n sys tème géodésique local o u global. E n particulier, le géoïde, surface de niveau d u c h a m p terrestre se c o n f o n d a n t pratiquement avec le niveau moyen des mers, j o u e u n rôle fondamental dans la détermination et la représentation de la forme de la Terre. Les méthodes dynamiques de détermination d u potentiel de g r a v i t a t i o n ter restre à l'aide des observations de satellites artificiels ne permettent pas d'éviter de faire des hypothèses concernant les positions géocentriques des stations. A défaut d ' u n polyèdre géodésique suffisamment précis, ces positions sont prises comme inconnues en même temps que les paramètres dynamiques relatifs à la Terre. A i n s i , nous assistons à une étroite interpénétration des n o t i o n s de forme de la Terre et de son c h a m p de gravité. 11 paraît inévitable qu'elle se prolonge longtemps encore et c'est p o u r q u o i , dans ce q u i suit, nous n'essayerons pas de séparer ces notions coûte que coûte. N o u s admettrons, ainsi que nous y i n v i t e n t les méthodes de géodésie dynamique par satellites, que le phénomène fonda mental est celui d u c h a m p de gravité terrestre et nous discuterons essentielle ment ses déterminations. Les conséquences concernant la forme de la Terre et les méthodes particulières employées p o u r mesurer notre planète seront évo quées au f u r et à mesure des besoins de l'exposé. Les questions traitées o n t fait l'objet de plusieurs ouvrages récents (Levallois, 1970, Levallois et Kovalevsky, 1971, M e l c h i o r , 1971) auxquels nous renverrons à l'occasion. 2. — L E C H A M P
DE L A P E S A N T E U R
Le c h a m p de forces agissant sur une particule liée à la Terre est la c o m b i n a i son de quatre champs d'origines différentes : — le champ dérivant d u potentiel d ' a t t r a c t i o n newtonien de toutes les masses composant la Terre ; — le c h a m p d'accélération axifuge dû à l'entraînement de la particule par la r o t a t i o n de la Terre ; — les champs de forces dus à l ' a t t r a c t i o n de la L u n e et d u Soleil ; ils sont faibles et variables. N o u s les négligerons dans ce q u i suit car o n peut facilement les calculer. — les forces de cohésion. Les effets secondaires des forces extérieures sur la forme de la Terre seront étudiés plus l o i n (Chap. 18 et 19). Ces effets, faibles en comparaison avec la précision des phénomènes globaux décrits dans ce chapitre, seront p o u r le m o m e n t négligés. N o u s supposerons donc, dans ce chapitre, et sauf i n d i c a t i o n contraire, que la Terre est parfaitement rigide.
LE
CHAMP
DE LA
PESANTEUR
423
2.1. — Le potentiel de gravitation newtonien, — Rappelons la l o i de N e w t o n , dite de la g r a v i t a t i o n universelle. Deux points matériels P et Q, de masse m et m', exercent l ' u n sur l'autre une force attractive F dirigée suivant la droite PQ, directement p r o p o r t i o n n e l l e aux masses, et inversement p r o p o r t i o n n e l l e a u carré de la distance. F, = G m m ' ^ ^ - =
-
F,.
(1)
Le facteur de proportionnalité G est la constante de la gravitation universelle. Les déterminations de la valeur numérique de G se heurtent à de grandes diffi cultés causées par la petitesse de la force d ' a t t r a c t i o n qu'exerce un corps et l'impossibilité de connaître avec précision la d i s t r i b u t i o n des masses à l'intérieur de ce corps. Aussi sont-elles très rares. Heyl et C h r z a n o w s k i o n t trouvé, en 1942 : G = (6,673 + 0,003) x ΙΟ"-** c. g. s. soit, dans le système i n t e r n a t i o n a l : 6,673 X 1 0 " " m ^ k g - ^ s - ' . Plus récemment. Rose et al. (1969) o n t obtenu G = 6,674 X 1 0 " " unités S. I .
F I G . 1. — Calcul
du potentiel
terrestre.
424
CHAMP
DE
PESANTEUR
ET
FORME
DE
LA
TERRE
Revenons maintenant à la Terre ; elle est constituée de particules Q, de coordonnées ξ, η, ζ dans u n système d'axes q u i l u i est lié. Chaque particule occupe u n v o l u m e d ^ ,άη, άζ et a une densité K. L'accélération que la Terre exerce sur un p o i n t P est l'intégrale, étendue sur le v o l u m e V de la Terre, de l'accélération élémentaire due à Q : Γ =
-
^ Κ(ξ, η, ζ)
G
άξ άη άζ .
(2)
Les trois composantes de Γ sont les dérivées partielles par r a p p o r t aux coordonnées (que nous supposerons géocentriques) .v, j , z de F d u potentiel
U : Κ{ξ, η, ζ)
υ = G
QP
άζ άη άζ
(3)
où QP
= V(x - ξ)'
+ (y -
η)^ + (ζ -
0'.
I I est facile de m o n t r e r ( v o i r par exemple Levallois, 19706, p. 17) que cette expression (3) est applicable même lorsque le p o i n t P est à l'intérieur o u à la surface de la Terre. 2.2. — Le potentiel
axifuge.
— Le p o i n t / * est situé à une distance de l'axe
de r o t a t i o n de la Terre supposé fixe égale à v .v^ + y^ = r cos φ ou ψ est la latitude géocentrique de P et r sa distance au centre de la Terre. Si ω est la vitesse angulaire de r o t a t i o n de la Terre, l'accélération axifuge a p o u r composantes : X ,
>',
Ο .
Elle dérive d u potentiel W
oj^(x^ + F^) = i
=
cos^ φ .
Le p o t e n t i e l total de la pesanteur est la somme des deux potentiels c i dessus : W = U Λ- V
=
G
J ,^,"^"dςd,ίdC
A l'extérieur des masses
attirantes, ce potentiel vérifie l'équation
Poisson : divg=V^ir
+ lω^•^cos^
=
^^'^+^^'r+'^^'r=2cu^ dx
8y^
dz
(4) de
(5)
où g est le vecteur représentant l'accélération de la pesanteur. Le p o t e n t i e l de g r a v i t a t i o n vérifie, l u i , l'équation de Laplace : V^Î/=0.
(6)
LE
CHAMP
DE LA
PESANTEUR
425
2.3. — Verticales et surfaces équipotentielles ; le géoïde. — E n P, l a verti cale est définie par la d i r e c t i o n de g d o n t les composantes sont : dW
ÔW
ox I I
dy '
dW dz
C'est la direction indiquée par le fil à p l o m b o u l'axe d'une nivelle mise en position.
D'après les propriétés d ' u n c h a m p de forces dérivant d ' u n potentiel, les lignes de c h a m p sont orthogonales à une famille de surfaces équipotentielles définies par les équations W=
Cte
et qui constituent les surfaces enveloppes des plans h o r i z o n t a u x . D'après les propriétés d ' u n fluide en équilibre, la surface moyenne de grandes nappes d'eau : lacs, mers, océans est une surface équipotentielle. O n choisit l'une d'entre elles — la surface moyenne des océans — p o u r définir la surface de niveau zéro à p a r t i r de laquelle o n comptera les altitudes et q u ' o n appelle le géoïde. Classiquement, o n considère que cette surface représente la forme de la Terre. En fait, cette surface est difficilement accessible. Même sur les océans, où la houle et les mouvements de marées peuvent être moyennes, les courants, les différences de température et de salinité, les déplacements de masses d'eau dues au vent et l'évaporation dans les mers très fermées peuvent modifier le niveau moyen. Sous les continents, le géoïde n'est défini que d'une façon indirecte.
I
2.4. — Altitude d'un lieu. — Deux surfaces de niveau W(A) peuvent pas se couper. Le travail TA néces saire p o u r passer d ' u n p o i n t quelconque A de la première surface à u n p o i n t quel conque B de la seconde ne dépend pas de la p o s i t i o n de ces p o i n t s sur leurs surfaces respectives n i d u c h e m i n p a r c o u r u . I l v a u t :
et W(B)
W(8)
W(A)
C 'A
—
ne
=
g.ds
W(B)
-
WiA). F I O . 2. —
Calcul
du
travail
Choisissons A eX B sur la même ligne de entre deux sur/aces de niveau. c h a m p , et soit h l'abscisse curviligne d ' o r i gine A sur cette ligne. L a gravité φ) étant portée p a r la tangente à la ligne de c h a m p , o n a, en a p p l i q u a n t le théorème de la moyenne : rl'a
=
I
g ( / ')) d/i = g(/, J
d/j = Itg
giK),
426
CHAMP
DE PESANTEUR
ET FORME
DE LA
TERRE
OÙ est c o m p r i s entre O et h^. N o t o n s que, si sur une surface de niveau, le potentiel est constant, i l n'en est pas de même de la gravité. 11 s'ensuit que la distance
àh entre deux surfaces de niveau n'est pas
constante. A titre d'exemple, la différence de distance de deux surfaces de niveau séparées par e n v i r o n u n kilomètre change de 8 cm p o u r une différence de l a t i t u d e de V. A i n s i , si o n définissait l'altitude d ' u n p o i n t au-dessus d u géoïde par la longueur de la verticale, une surface équipotentielle ne serait pas à hauteur constante. C'est p o u r q u o i , en géodésie scientifique, o n remplace la n o t i o n d'altitude par celle de cote géopotentielle, n o t i o n théoriquement cohé rente et néanmoins se r a p p r o c h a n t suffisamment des mesures brutes données p a r le nivellement. E n posant a priori W{0) = 0 sur le géoïde, la cote géopotentielle d ' u n p o i n t B situé sur une surface de niveau \V{B) est h =
"gdii 0
W(B)
iir,
g„, étant une valeur moyenne convenablement choisie. I l existe évidemment une infinité de systèmes possibles suivant le c h o i x de g,„. L ' u n des plus logiques est celui q u i a été préconisé par M o l o d e n s k y sous le n o m d'altitude normale et q u i a été adopté t o u t récemment en France : gd/7
h = ym
où y,„ est la valeur de la pesanteur théorique de l'ellipsoïde de référence à l'altitude 6/2 (voir p. 432) au p o i n t correspondant. L a quantité g q u i entre dans ces formules est en général obtenue par des mesures gravimétriques. Bien que ce soit théoriquement incorrect, on a employé, p o u r des régions peu accidentées, des formules d ' i n t e r p o l a t i o n , ce q u i , en pratique, est à peu près équivalent. En r e p o r t a n t vers le bas, suivant la verticale d u lieu, la distance Λ, o n obtient un p o i n t q u i est voisin de la surface équipotentielle zéro, c'est-à-dire le géoïde. E n fait, ce n'est pas t o u t à fait cette surface parce que les valeurs de g le l o n g de la verticale souterraine ne sont pas connues et que ces verticales ne sont pas rigoureusement rectilignes. Aussi, la surface ainsi définie, appelée quasi-géoïde par M o l o d e n s k y , remplace pratiquement le géoïde d o n t elle ne diffère que de quelques mètres au m a x i m u m p o u r trouver sa p o s i t i o n à partir de la surface de la Terre. Dans la suite, le m o t a l t i t u d e sera employé quelle que soit la méthode utilisée p o u r la déterminer.
MODÈLES
3. — M O D È L E S
SIMPLIFIÉS
427
SIMPLIFIÉS
Le traitement des mesures géodésiques et gravimétriques de la Terre fait souvent appel à un certain n o m b r e de modèles mathématiques simples décri vant approximativement les propriétés géométriques et dynamiques de notre planète, modèles q u i sont utilisés dans l a réduction des observations modernes. A u fur et à mesure des progrès réalisés, o n a p u construire des modèles de plus en plus réalistes et de plus en plus précis, l'usage de ces modèles p e r m e t t a n t à son t o u r d'améliorer l'interprétation des nouvelles mesures. O n sait depuis la f i n d u χνιιι^ siècle que la Terre a une forme très voisine de celle d ' u n ellipsoïde de révolution. Actuellement, o n sait que les plus grandes irrégularités d u géoïde par r a p p o r t à u n ellipsoïde sont de l ' o r d r e de 100 m . Représenter le géoïde p a r u n ellipsoïde de révolution est donc une excellente approximation et c'est p o u r q u o i les modèles utilisent cette surface (*). L a construction de ces modèles est basée sur u n certain n o m b r e de résultats théoriques que nous allons donner. 3.1. — Théorème
de Stokes.
— Cet i m p o r t a n t théorème s'énonce
ainsi:
Soit une surface équipotendelle S q u i renferme en son intérieur t o u t e l a madère. Si o n modifie la répartition des masses de telle façon que 5 reste une surface équipotendelle, le potentiel extérieur à S n'est pas modifié. Supposons que la première répartition des masses donne, sur S, le potendel U = C. L a seconde répardtion donne u n autre potentiel, U' =
! I I 1 I j
C'.
Considérons la f o n c t i o n V = U — U'. De nombreuses démonstrations de ce théorème existent. Elles reviennent à m o n t r e r que F Ξ 0 en étudiant le flux à travers la surface S et une sphère de rayon très g r a n d . O n t r o u v e r a des démonstrations dans les ouvrages traitant d u potentiel newtonien (Levallois, 19706 ; Heisaken et M o r i t z 1967 ; C a p u t o , 1967, etc.). Ce théorème nous autorise à construire des modèles de potendel à l'extérieur d'une surface sans nous préoccuper si la d i s t r i b u t i o n des masses à l'intérieur de cette surface est o u n o n réaliste. Le c h a m p extérieur q u i en résultera sera de toute façon mathématiquement correct. C'est ce que l ' o n fait, en particulier, p o u r construire u n modèle de potendel d ' u n elhpsoïde à masses internes. O n peut aussi faire en sorte que ce potentiel représente au mieux celui de la Terre ( d u moins à l'extérieur
(*) O n se sert aussi de sphéroïdes de niveau, surfaces de niveau correspondant à un modèle simplifié de champ de gravité. Nous n'utiliserons pas cette référence qui n'est n i meilleure ni moins bonne q u ' u n ellipsoïde.
128
CHAMP
DE
PESANTEUR
ET
FORME
DE
LA
TERRE
d'une surface contenant l a Terre et son relief, afin de rester dans les c o n d i tions d u théorème de Stokes). L a s o l u t i o n q u i est adoptée se présente comme la superposition des potentiels engendrés par deux d i s t r i b u t i o n s : — U n ellipsoïde fluide et homogène, en r o t a t i o n avec la vitesse a n g u laire ω d o n t la surface d'équilibre coïncide avec E. L a théorie de tels ellipsoïdes a été faite p a r M a c l a u r i n , c'est p o u r q u o i ces ellipsoïdes p o r t e n t ce n o m . — L a masse totale d ' u n eUipsoïde de M a c l a u r i n de dimensions d o n nées ne peut pas être arbitraire. C'est p o u r q u o i o n superpose une couche eUipsoïdique homogène i n f i n i m e n t mince confondue avec la surface de E et ayant la masse nécessaire p o u r que l'ensemble ait la masse M de la Terre. 3.2. — Les ellipsoïdes de Maclaurin. — Le c h o i x d'une surface d'équilibre d'une masse fluide en r o t a t i o n p o u r représenter en première a p p r o x i m a t i o n la f o r m e de la Terre a été fait en se f o n d a n t sur l'idée qualitative que, étant donnée sa taille, la Terre est le siège de contraintes internes teUement élevées qu'elle ne peut y résister et qu'elle se c o m p o r t e , à la longue, c o m m e u n corps fluide. Cette idée a été confirmée par la suite. U n e de ses conséquences est l a théorie de l'isostasie d o n t nous d i r o n s quelques mots plus l o i n et q u i sera traitée en détail dans le chapitre 17. Les modèles de la Terre (voir C h a p . 21) confirment cette hypothèse t o u t en l'aménageant et en la précisant. Soit une masse M de fluide homogène et incompressible, de densité p, tournant avec la vitesse angulaire ω autour de l'axe Oz. Nous voulons trouver sous quelles con ditions l'ellipsoïde E d'équation :
peut être une figure d'équilibre. La c o n d i t i o n nécessaire et suffisante p o u r que E soit la surface d'équilibre est que l'équation fondamentale de l'équilibre hydrostatique àp ^ pAW
p{X
d.v -;- Y ày -|- Z dz)
(5)
où p est la pression et W le potentiel, soit vérifiée dans l'ensemble d u fluide et, en particulier, sur la surface (4). Les composantes de la force en u n p o i n t de la surface (coordonnées .v, y, z) sont : X = Y=Q Z =
P -i « 2 X , + (o^y,
(6)
R,
où P, Q, R sont les composantes de l'attraction de l'ellipsoïde sur un point de sa surface. Nous ne ferons pas le calcul de ces composantes : o n le trouvera dans de nombreux ouvrages de géodésie (par exemple, Levallois, J . J . , I970è) o u de mécanique céleste (Tisserand, F., 1960, v o l . 2).
MODÈLES
SIMPLIFIÉS
429
O n trouve
/ ? - — /;„ z ,
/Ό = 2 πα^- bGp et
(7) Λ(, = 2 πα^- bGp
dî g (a2 -f î ) (62 H- î ) " 2 '
qui ne dépendent que de a, b et M . Reportons ces quantités dans (6), puis (5). O n a : ^
(„2 _
(Λ· d.v +
d>') — Λ„ z d z .
Intégrons C — ^
- ( P „ — « 2 ) (Λ-2 + :μ2) + Λ „ z2 .
Cette surface est identique à (4) si la relation suivante est vérifiée : „2(/>„ _
„2) ^
i 2 Λ„ .
(8)
Les intégrales (7) étant exprimables en fonctions élémentaires, o n montre (voir Tisserand, F., 1960, v o l . 2) que, si o n appelle e' la deuxième excentricité, soit :
la relation (8) s'écrit : (3 H- e'2) arc tg e' — 3
ω2 nGp '
On voit que pour une forme et une vitesse de r o t a t i o n données, i l n'y a qu'une seule densité possible. Si donc la dimension est donnée, la masse est imposée. Elle ne coincïde pas avec celle de la Terre. E n effet, si o n prend e' =- 0,082 09, valeur estimée pour la Terre, o n trouve une masse 1,3 fois t r o p forte. I l s'ensuit que, si la Terre était un fluide en équilibre, celui-ci ne serait pas homogène. O n peut aussi calculer la pesanteur à la surface d ' u n ellipsoïde de M a c l a u r i n . Par définition, elle est normale à la surface et o n a, d'après (6) :
Compte tenu des valeurs de Ρ^ et /?„ en fonction de e', on trouve
où ô est la distance d u centre de l'ellipsoïde au plan tangent au point P considéré
(OH).
Appelons ç>, la latitude astronomique de P. Par définition, c'est l'angle de la direc-
CHAMP
DE PESANTEUR
ET
FORME
DE LA
TERRE
tion de la verticale en P avec l'équateur. C'est aussi la direction de OH. Les propriétés de l'ellipse nous permettent de démontrer que <52 =
cos2 ç> - I 62 sin2 φ .
(10)
3.3. — La formule de Somigliana. — L'ellipsoïde de M a c l a u r i n étant t r o p massif, il faut le corriger par une distribution de masses négatives q u i admette encore l'ellipsoïde donné pour surface équipotentielle. O n choisit une couche ellipsoïdique très fine, de masse négative, comprise entre deux ellipsoïdes concentriques homothétiques, l'ex térieur étant l'ellipsoïde donné. L'attraction d'une telle couche est, d'après la théorie d u potentiel, égale à 4 πσ où σ est la densité superficielle (négative) de la couche. Cette densité a est p r o p o r t i o n nelle à l'épaisseur Δί5 de la couche au point P (Fig. 3). Si // est la densité volumique de la matière, on a (II)
g·^à,πp•^6.
FiG. 3. — Propriétés d'un ellipsoïde de Mac I l est facile de montrer géométriquement que la distance parallèles de deux ellipses homothétiques est telle que : δ
Laurin. entre deux tangentes
a •
L'équation ( I I ) s'écrit donc : g'=Απρ·
ô— = Βδ. a
(12)
Superposons les deux champs issus de l'ellipsoïde de M a c l a u r i n et de la couche ellip soïdique construite de telle façon que la masse de l'ensemble soit celle de la Terre.
MODÈLES
SIMPLIFIÉS
431
L a pesanteur au point p est l a somme des deux forces de pesanteur g et g' et o n a, avec la formule 10 y
8 vg =
A ~|- Ba^ cos^ φ + Bb- sin^ φ
Βδ =
δ
(13)
Ja^ cos^ ¢) + 62 sin2
A l'équateur, p = 0, la pesanteur est : 7Ε
=
A
+
Ba'-
a
A u pôle, φ = π/2, la pesanteur est : Bb'-
II est facile de vérifier que, dans ces conditions, (13) s'écrit : _ αγκ cos2 φ - i - b)'p sin2 φ
(14)
Ja^ cos2 ¢) f- 62 sin2 ¢)
C'est l a f o r m u l e de Somigliana q u i donne, en f o n c t i o n des dimensions de l'ellipsoïde et des pesanteurs à l'équateur et au pôle, l a valeur de la pesanteur en n ' i m p o r t e quel p o i n t de l'ellipsoïde, de l a t i t u d e a s t r o n o m i q u e ψ. O n peut aussi développer en série cette f o r m u l e en posant α =
a - b
,
aplatissement de l'ellipsoïde et
JE
Ces quantités étant petites, en négligeant leurs puissances au-delà de l a seconde, o n a :
JE
1 + β s i n ' φ -^[α.β
= 7^ \ + ( β - α β -
+
s i n ' 2ψ +
y j s i n ' ψ+(αβ
+ Çjsm^
(15)
ψ +
(16)
V o i r aussi, sur ce problème, C a p u t o , 1967. 3.4.—Ellipsoïde international de référence. — N o u s avons rapidement montré c o m m e n t o n p o u v a i t construire u n ellipsoïde ayant des dimensions et une masse fixées à l'avance, t o u r n a n t avec une vitesse ω donnée et d o n t l a surface est une surface équipotentielle. L a connaissance t o u j o u r s améliorée que l ' o n a eu d u géoïde a permis de proposer successivement plusieurs modèles de plus en plus exacts.
432
CHAMP
O n a longtemps suivants :
DE
PESANTEUR
E T FORME
DE
utilisé l'ellipsoïde de H a y f o r d ,
L A
TERRE
défini p a r les nombres
α = 6 378 388 m α = 1/297 . Récemment, à la suite de l ' U n i o n A s t r o n o m i q u e I n t e r n a d o n a l e (1964), l'Association I n t e r n a t i o n a l e de Géodésie a adopté le système géodésique de référence 1967 q u i définit u n ellipsoïde de référence avec les nombres suivants : D e m i - g r a n d axe de l'ellipsoïde : α = 6 378 160 m . P r o d u i t de la constante de la g r a v i t a t i o n par la masse de la Terre : G M
= 398 603 x 1 0 ' m'/s^ .
Facteur d'ellipticité géopotentielle : / 2 = 0,001 082 7. Vitesse angulaire de r o t a t i o n de la Terre : ω = 0,000 072 921 151 467 rad/s. N o u s verrons plus l o i n l a signification de / 2 dans l'expression d u potentiel de g r a v i t a t i o n terrestre. O n a
où C et ^ sont les deux moments p r i n c i p a u x d'inertie de l'ellipsoïde. Des for mules théoriques lient / 2 à l'aplatissement et aux coeflBcients de la f o r m u l e de gravité. O n a ainsi, p o u r cet ellipsoïde. α = 6 378 160 m ; 6 = 6 356 774,516 1 m α = 1/298,247 167 4 2 7 . L a f o r m u l e de gravité correspondante est : y = 978,031 85(1 + 0,005 278 895 sin^ ψ + 0,000 023 462 s i n * ψ) gai (1 gai = l O - ^ m / s ^ ) .
4. — F O R M E
DE L A TERRE
P A R LES M E S U R E S
(17)
A U SOL
T r o i s techniques sont utilisées p o u r étudier localement la forme et le c h a m p de pesanteur de la Terre. Ce sont : — L a triangulation ; — Le nivellement ; — L a gravimétrie. Le principe des réseaux de t r i a n g u l a t i o n et de nivellement est très simple. M a i s , dans l'interprétation des mesures, intervient systémadquement la direc t i o n de la verticale locale q u i n'est pas — en général — confondue avec l a n o r m a l e de l'ellipsoïde de référence, d'où l ' i m p o r t a n c e des mesures locales de gravité.
FORME
DE LA
TERRE
PAR
LES
MESURES
AU
SOL
433
4.L — La triangulation et le nivellement. — Pour construire un réseau de triangulation, on procède schématiquement de la façon suivante. On choisit d'abord un point origine O, dit point fondamental, pour lequel on mesure les trois quantités suivantes : a) L a latitude astronomique ψ, qui est le complément de l'angle que fait la verticale V du lieu avec la direction P du pôle (direction de l'axe de rotation de la Terre). O n l'obtient en mesurant par exemple la hauteur de culmination des étoiles de déclinaison connue à l'aide de théodolites ou d'instruments méri diens (Fig. 4). Pôle
F I O . 4. — Les coordonnées astronomiques
d'un point.
b) L a longitude astronomique L, angle entre le plan méridien de O (défini par les directions P et V ) et le plan origine, appelé méridien international, ou encore, improprement, méridien de Greenwich. O n l'obtient en déterminant l'instant de passage d'une étoile au méridien et en le comparant à l'instant, donné par les éphémérides astronomiques, de son passage a u méridien international. L a différence, exprimée en temps sidéral, est la longitude du lieu. L'instrument méridien est particulièrement bien adapté pour effectuer cette détermination. Toutefois, la méthode des droites de hauteur et plus particulière ment celle des hauteurs égales (Debarbat et Guinot, 1970) permet, par l'obser vation du temps de passage de plusieurs étoiles à une hauteur donnée, de déterminer simultanément la latitude et la longitude astronomiques d'un lieu.
434
CHAMP
DE
PESANTEUR
ET
FORME
DE
LA
TERRE
c) L a direction du méridien par r a p p o r t à une référence terrestre ou, si o n préfère, l ' a z i m u t de cette référence. Cet a z i m u t est mesuré à l'aide d'un théodo lite. On associe à ce p o i n t f o n d a m e n t a l un ellipsoïde de référence de la manière suivante : la normale à l'ellipsoïde en un p o i n t de longitude et l a t i t u d e e l l i p soïdiques égales a u x quantités a) et b) ci-dessus coïncide avec l a verticale d u lieu ; la distance d u lieu à l'ellipsoïde est l ' a l t i t u d e que l u i a t t r i b u e le nivelle ment ; la projection d u méridien local sur l'ellipsoïde est u n méridien de l'ellipsoïde. De ce fait, l'axe de révolution de cet ellipsoïde est parallèle à l'axe d u monde. Puis, à p a r t i r de ce p o i n t , o n c o n s t r u i t u n réseau de triangles, accolés, en mesurant tous les angles et l a longueur de quelques côtés. O n peut ainsi, de proche en proche, projeter ces triangles sur l'ellipsoïde suivant les normales à l'ellipsoïde sur la surface de celui-ci et o b t e n i r les coordonnées ellipsoïdiques des sommets de ces triangles. P o u r le détail de ces techniques, on se reportera à un traité de Géodésie (par exemple, Levallois, 1970a ou T a r d i et Laclavère, 1954). Le système d'altitudes est o b t e n u par un réseau de nivellement de précision déterminé p a r cheminement à travers la contrée, en c u m u l a n t les dénivelées mesurées à l'aide d ' u n niveau h o r i z o n t a l p a r les méthodes de nivellement géométrique. O n obtient les altitudes à c o n d i t i o n d'utiliser le f o r m u l a i r e d u paragraphe 2 . 4 , donc de connaître aussi la gravité. Le niveau zéro est choisi de façon conventionnelle : en France, c'est le niveau d u marégraphe de Marseille. A i n s i , o n peut donc construire de proche en proche u n système de coor données ellipsoïdiques des points topographiques auxquels sont aussi associées des altitudes. I l est à noter que ces altitudes sont comptées à p a r t i r d u géoïde et non de l'ellipsoïde d o n t le positionnement est conventionnel et admet une p a r t d ' a r b i t r a i r e . 11 f a u t encore placer le géoïde p a r r a p p o r t à l'ellipsoïde de référence. C'est à ce problème f o n d a m e n t a l que nous sommes à nouveau ramenés. N o u s allons v o i r dans ce chapitre c o m m e n t o n peut le résoudre, soit p a r une méthode géométrique (nivellement astro-géodésique, u t i l i s a n t la d i r e c t i o n de la pesanteur) soit à p a r t i r des résultats de mesure d'intensité de la pesanteur (nivellement gravimétrique). 4.2. — Les déviations de la verticale. — Si, dans un réseau de triangulation, on compare, en un point autre que le point fondamental, la direction de la verticale à la direction de la normale au point correspondant de l'ellipsoïde de référence, on constate qu'elles ne coïncident pas. L'angle que font ces deux directions s'appelle « déviation relative de la verticale ». O n a l'habitude de définir ce petit angle par ses deux composantes Nord-Sud, notée { et Est-Ouest, désignée par η. Sur la sphère céleste, centrée en un point O, appelons P, la direction du pôle, Z , la direc tion de la verticale et Z ' , la direction de la normale à l'ellipsoïde. A la direction O Z , correspondent une latitude astronomique φ et une longitude astrono-
FORME
DE LA TERRE
PAR LES MESURES
AU SOL
435
niique L que l ' o n aura mesurées en faisant, comme au point fondamental, des observations d'étoiles. Mais, on peut aussi, sur l'ellipsoïde, associer à la direction de la normale OZ', une latitude calculée ψ' et une longitude calculée L'. Des considérations élémentaires sur la figure 5 m o n trent que l ' o n a
F I G . 5. — Les composantes
ζ et η de la déviation de la verticale.
Le fait que la verticale et la normale à l'ellipsoïde ne soient pas identiques, entraîne que les azimuts mesurés (A) et ceux pouvant être calculés sur l'ellipsoïde (Α') ne sont pas identi ques. La formule de Laplace (voir par exemple Levallois, 19706) donne la relation q u i existe entre ces quantités : A — A'=
( L — L ' ) sin φ.
(2)
La quantité L — L' étant obtenue en quelques points, o n peut utiliser cette relation pour améliorer l'orientation d ' u n système géodésique. L'existence des déviatic>ns de la verticale en u n lieu donné peut être due à plusieurs causes. L'une d'entre elles est artificielle, car elle est introduite par le choix même d u point fonda mental et de l'ellipsoïde de référence. A i n s i , comme cela résulte de 4 . 1 , l a déviation relative de la verticale d u point fondamental est nulle. O n peut donc fictivement modifier cette quan tité en tout point en changeant d'ellipsoïde o u de point fondamental. M a i s même u n c h o i x j u d i c i e u x de relhpsoïde de référence ne p e r m e t pas d'annuler l a déviadon de l a verdcale sur t o u t e une région. E n effet, le géoïde n'est pas u n ellipsoïde et ses normales ne sont pas confondues avec celles d ' u n ellipsoïde. Les déviadons de l a verticale sont des indicatrices des o n d u l a t i o n s du
géoïde. Celles de ces o n d u l a t i o n s q u i o n t une grande a m p l i t u d e décrivent d o n c l a
436
CHAMP
DE PESANTEUR
ET FORME
DE LA
TERRE
f o r m e générale de l a Terre. M a i s elles peuvent aussi a v o i r u n caractère l o c a l à la suite de l a présence de montagnes o u de sous-sol hétérogène. Elles sont suffi santes, en t o u s cas, p o u r ne pas être négligées et i n t e r d i r e de c o n f o n d r e
les
coordonnées astronomiques avec les coordonnées sur l'ellipsoïde. Elles a t t e i gnent c o u r a m m e n t 10" à 15" (représentant u n écart, en p o s i t i o n de plusieurs centaines de mètres). Exceptionnellement,
des c o n d i t i o n s locales particulières
d o n n e n t , à ξ et à //, des valeurs encore plus grandes. L e record a p p a r t i e n t a u x rivages opposés de l'île de l a Réunion, distants de 60 k m et p o u r lesquels l a différence entre les déviations de l a verticale atteint 100", soit près de 3 k m sur le t e r r a i n . 4.3.—Nivellement astro-géodésique. — Supposons qu'on connaisse la surface topogra phique d'une région par des opérations de triangulation et de nivellement et des observations astronomiques. O n peut ramener toutes ces mesures à l'ellipsoïde de référence. Plaçons-nous en un point A de la surface topographique. Connaissant la déviation de la verticale, o n a la pente d u géoïde par rapport à l'ellipsoïde (angle des plans tangents des deux surfaces). E n particulier, la pente 0 d'un chemin quelconque d'azimut Z (compté depuis le N o r d ) issu de A est 0 - — ( ξ cos Z + // sin Z ) .
(3)
En un point M de la surface topographique, voisin de A, la différence des dénivelées suivant la normale à l'ellipsoïde et au géoïde est (voir Fig. 6) : ΔΛ — Δ Λ ' ^—O.AH
-^—OM.
(4)
FiG. 6. — Calculs des différences de dénivelées par rapport à Vellipsoide et au géoïde.
O n peut intégrer cette équation sur u n chemin quelconque et ainsi calculer la correction à apporter aux dénivelées pour les rapporter à l'ellipsoïde de référence. A i n s i , entre deux points A et B, o n a ^ Δ Λ ' = ; ^ Δ Λ + 5]
(5;
FORME
DE LA
TERRE
PAR LES MESURES
AU SOL
437
Nous avons vu (en 2.4) que les surfaces de niveau ne sont pas parallèles. I l s'ensuit que la détermination d'une dénivelée dépend d u cheminement. Comme la dénivelée ellipsoïdique est, elle, bien définie, o n en déduit que la quantité
A
dépend aussi d u cheminement et ne représente l a hauteur d u géoïde au-dessus de l'ellipsoïde qu'en première a p p r o x i m a t i o n , d'ailleurs suffisante, puisqu'en France, par exemple, les diffé rences n'atteignent pas u n mètre. Ainsi, de la connaissance simultanée, sur u n territoire donné, des déviations de la verticale obtenues en effectuant des déterminations astronomiques de position a u x sommets d ' u n réseau de triangulation et des altitudes obtenues par nivellement, o n peut construire, point par point, le géoïde. O n peut essayer d'améliorer ces résultats en affectant les mesures d ' u n certain nombre de corrections ; en particulier, o n corrigera les déviations de la verticale de la partie pouvant être due à l'action d u relief environnant. Comme les déviations relatives de la verticale dépendent, o n l'a v u , de l a position ds l'ellipsoïde, o n peut aussi prendre pour inconnues les paramètres fixant cette position. O n les calculera en faisant par exemple l'hypothèse que l'ellipsoïde le plus adapté est celui pour lequel l'intégrale
(ξ^ + η^) ds
est minimale ,
c'est-à-dire que, en moyenne, les déviations de la verticale sont minimisées. Avant l'ère spatiale, cette méthode a été appliquée pour obtenir la plupart des systèmes géodésiques à échelle continentale (Système Nord-américain par H a y f o r d , 1909 et 1910, Système Europe 50 de B o m f o r d , Système de l'URSS de Isotov 1950, etc.). Nous donnons, à titre d'exemple (Fig. 7), la carte d u géoïde astrogéodésique sur les conti nents américains d'après I . Fischer (i960). Mais ces travaux seuls ne permettent pas de couvrir l a Terre entière. L a liaison entre ces systèmes géodésiques pourra être faite, comme nous le verrons plus l o i n (p. 457), en visant simultanément des cibles extra-terrestres. Cependant, les mesures gravimétriques peuvent, elles, couvrir le sol et les océans et permettent d'aborder le problème de la forme globale de la Terre. 4.4.—Réduction
des mesures
gravimétriques.
— Nous
avons v u que la
représentation globale d u c h a m p de gravité se fait, en première a p p r o x i m a t i o n à p a r t i r d ' u n e surface simple, c o m m e l'ellipsoïde de référence. O n a d m e t en f a i t que ce c h a m p est défini à p a r d r d ' u n e surface de niveau et que l a f o r m u l e internationale de gravité ( 3 . 1 7 ) s'applique exactement a u géoïde. M a i s l a valeur de la gravité en u n p o i n t de l a surface t o p o g r a p h i q u e ,
est
différente, puisque l ' a l t i t u d e , si elle ne change p r a t i q u e m e n t pas la d i r e c t i o n de la pesanteur, en m o d i f i e b e a u c o u p l'intensité. Si g est l'accélération de la pesanteur en u n p o i n t M de la surface t o p o g r a phique, o n écrira g = y + r„ +
àg.
438
CHAMP
DE PESANTEUR
ET
FORME
DE LA
TERRE
F I G . 7 . — Le géoïde astro-géodésique de l'hémisphère occidental, d'après I . FIS CHER, rapporté à un ellipsoïde d'aplatissement 1/298,3 et demi-grand axe 6 3 7 8 153 m . Les hauteurs sont en mètres.
FORME
DE LA
TERRE
FAR
LES
MESURES
AU
SOL
439
OÙ :
y est la valeur donnée p a r la f o r m u l e internationale a u p o i n t correspondant P de l'ellipsoïde, Tg, appelé réduction, est la quantité q u ' i l faut ajouter à y p o u r passer de P à M en faisant certaines hypothèses que l ' o n explicitera plus l o i n (*). est un complément appelé anomalie de la pesanteur en M et dépend évidemment de la méthode choisie p o u r calculer r^. Les réductions des forces de gravité sont en général basées sur la méthode de Stokes. P o u r cela, o n simplifie le problème en considérant une Terre fictive pour laquelle toute la matière située en dehors d u géoïde est transportée à Fintérieur, ce q u i régularise le potentiel à l'extérieur de cette surface. M a i s Moiseev puis M o l o d e n s k y ( M o l o d e n s k y et al, 1962) o n t montré c o m m e n t o n peut se dégager de ces hypothèses et résoudre le problème de la détermination du champ de gravité sans passer par une régularisation préalable d u potentiel. Les réductions classiques de la gravité sont de plusieurs types (voir à ce sujet, par exemple, Heiskanen et Vening-Meinesz, 1958). a) Réduction à l ' a i r l i b r e . — Elle consiste à supposer que toute mesure faite à une altitude li peut être ramenée à l ' a l t i t u d e zéro (géoïde) en ne considérant que le gradient d u c h a m p de pesanteur. E n première a p p r o x i m a t i o n , suffisante pour les besoins pratiques, o n prendra dg ^
_
2g
dh
R
ou R est la distance a u centre de la Terre ( a p p r o x i m a t i o n sphérique). L a valeur numérique de ce gradient est : dj? dh
= - 0 , 3 0 8 6 m i l l i g a l par m
et la réduction à l ' a i r libre est donc : go - g = 0,308 6 h milligal si h est exprimé en mètres. C'est la f o r m u l e de Faye. Cette correction suppose donc que, au-dessus d u géoïde, i l n'y a aucune masse susceptible de modifier la gravité, d'où le n o m de « réduction à l'air libre ». On appellera de même anomalie à l ' a i r libre, la différence Δ^ι
=
go
-
y
entre la gravité corrigée de la réduction à l ' a i r l i b r e et la valeur y que donne, au même p o i n t sur l'ellipsoïde, la f o r m u l e internationale de gravité. (*) En généra!, o n introduit les réductions en se plaçant à un autre point de vue : ce sont les corrections à appliquer à la mesure g pour la remener au géoïde. Numériquement, les valeurs de l'anomalie que l ' o n obtient à partir des deux définitions sont les mêmes.
440
CHAMP
DE PESANTEUR
ET
FORME
DE LA
TERRE
Les anomalies à l ' a i r libre sont, en général, faibles. Toutefois, l'hypothèse q u i revient à supprimer toute matière au-dessus d u géoïde n'est pas physiquement satisfaisante. Elle ne permet pas en particulier de tenir compte des effets relatifs d u relief e n v i r o n n a n t . b) Réduction topographique, anomalie de Bouguer. — Pour rendre compte de la matière située au-dessus d u géoïde et agissant sur u n p o i n t K de la surface t o p o g r a p h i q u e d ' a l t i t u d e /;, o n est c o n d u i t à schématiser considérablement le v o l u m e qu'elle occupe. Ces schémas sont forcément arbitraires, si bien que la réduction q u i les utilise ne peut prétendre à une définition aussi stricte que celle que nous avons décrite ci-dessus. Le gros de la matière comprise entre la surface de niveau d ' a l t i t u d e h et le géoïde est assimilé à une calotte c y l i n d r i q u e de rayon R. Cette c o r r e c t i o n , dite correction de plateau est évaluée à une a t t r a c t i o n verticale de (6)
Ag = 2 nGpli
où G est la constante de la g r a v i t a t i o n universelle et μ, la densité de la matière. En prenant μ = 2,67 g/cm^, o n obtient A g = 0,111 8/; milligal . O u t r e cette correction de plateau, q u i est une c o r r e c t i o n positive, i l faut tenir compte des effets d u relief : montagnes au-dessus d u plateau, vallées en dessous qui toutes deux donnent une correction négative à Ag. Cette c o r r e c t i o n de relief est calculée en divisant la carte d u terrain e n v i r o n nant en couronnes circulaires elles-mêmes divisées en secteurs ; o n évalue l'altitude moyenne de chaque p o r t i o n de c o u r o n n e et, des formulaires per mettent d'établir la c o n t r i b u t i o n de chaque c o m p a r t i m e n t à la c o r r e c t i o n de relief A g , . Ces corrections peuvent être très importantes en montagne. A i n s i , p o u r le sommet d u m o n t Blanc, o n a A g , = 123 milligals et p o u r C h a m o n i x A g , = 46 milligals. Dans le cas des océans, les mesures sont faites près d u géoïde : leur correc t i o n à l'air libre est donc pratiquement nulle. M a i s p o u r que la réduction de Bouguer soit cohérente, on ajoute aux océans une densité (2,67-1,027)g/cm''. La c o r r e c t i o n de Bouguer est la somme de toutes ces corrections et l'anomalie de Bouguer est ^g2
= gi - y
avec g , = g - (0,308 6 - 0,111 8) /; -
I A g , I milligals
où g est la gravité observée et où o n a effectué successivement la c o r r e c t i o n à l'air libre, la c o r r e c t i o n de plateau et la c o r r e c t i o n de r e l i e f N o t o n s que les corrections de terrain deviennent faibles l o r s q u ' o n s'éloigne
FORME
DE LA
TERRE
PAR
LES
MESURES
AU
SOL
441
de la station, et souvent o n s'arrête à u n r a y o n m o i n d r e que les 166,7 k m utilisés p a r H a y f o r d , en vérifiant qu'au-delà les c o n t r i b u t i o n s sont faibles. I l n'en serait toutefois pas ainsi de la c o r r e c t i o n de calotte sphérique, mais l'intérêt essentiel de la c o r r e c t i o n de Bouguer n'est pas de ramener les mesures à une surface donnée (c'est impossible à cause de l ' a r b i t r a i r e des conventions), mais d'effectuer les corrections de relief afin de rendre les anomalies interpolables entre stations et de permettre ensuite le calcul de valeurs moyennes. C'est cette propriété q u i est très i m p o r t a n t e p o u r les prospecteurs q u i , d ' a i l leurs, ramènent parfois les mesures à une surface d ' a l t i t u d e n o n nulle (Correc tion de Bouguer des prospecteurs, v o i r C h a p . 24). c) Compensation isostatique. — O n constate que la réduction t o p o g r a phique o u la réduction de Bouguer donnent systématiquement une surcorrec tion. Les anomalies de Bouguer sont généralement très fortes et négatives sur les continents, fortes et positives sur les océans et les petites îles. Certes, ces anomalies sont moins sensibles que les anomalies à l ' a i r l i b r e aux variations rapides d u relief, mais t o u t se passe c o m m e si le relief dans ses grandes lignes avait une influence plus faible que celle q u i est calculée. C o m m e il ne peut pas en être ainsi, c'est que l'effet d u relief est partiellement compensé par un manque de matière en dessous d u géoïde. L'hypothèse q u i paraît la plus apte à résoudre cette difficulté est l'hypothèse isostatique. I l y a eu plusieurs schémas décrivant cette hypothèse. Selon Pratt, i l existerait quelque p a r t à l'intérieur de la Terre une surface de niveau q u i serait aussi une surface d'égale pression. Les blocs situés au-dessus de ce niveau seraient d ' a u t a n t plus denses q u ' i l s s'élèvent moins haut. Selon A i r y , les blocs se c o m p o r t e r a i e n t c o m m e s'ils étaient plongés dans u n m a g m a l i q u i d e et obéissaient a u principe d'Archimède. Ces schémas simpHstes o n t été affinés p a r la suite, mais i l est difficile de prendre en compte les forces de cohésion entre les blocs q u i f o n t que ceux-ci ne peuvent pas prendre indépendamment les uns des autres leur p o s i t i o n d'équilibre. O n se rapportera au chapitre 17 p o u r l'étude d u fait physique de l'isostasie. Cependant, p o u r l'objet q u i nous concerne, i l est légitime de choisir une forme conventionnelle de l'hypothèse. La réduction isostatique consiste à faire correspondre à t o u t excès o u défaut de masse par r a p p o r t à u n géoïde sans masse externe, des masses égales et de signe opposé d o n t la p o s i t i o n dépend de l'hypothèse isostatique envisagée. Dans le modèle d ' A i r y , cette correspondance est une symétrie p a r r a p p o r t à la surface intérieure d ' u n bloc ayant p o u r épaisseur, l'épaisseur n o r m a l e de la croiite. Les anomalies isostatiques sont ainsi obtenues en a n n u l a n t à l a fois les masses visibles et les masses de compensation, a u lieu des masses visibles seulement dans les anomalies de Bouguer. Ceci revient à substituer u n c h a m p de doublets ou u n potentiel de d o u b l e couche a u potentiel des masses apparentes, ce q u i a aussi l'avantage de conserver la masse.
CHAMP
442
DE
PESANTEUR
ET
FORME
DE LA
TERRE
Les anomalies isostatiques sont plus faibles que les anomalies à l'air l i b r e . Elles semblent permettre une meilleure e x t r a p o l a t i o n des mesures vers des régions où l ' o n manque d'observations. Toutefois, leur e m p l o i dans la description d u c h a m p de gravité extérieur n'est pas justifié et i l est préférable d'employer, dans ce type de travaux, les anomalies à l'air libre, ce que nous ferons en établis sant l'équation fondamentale de la géodésie physique (paragraphe suivant). Le tableau 1, d'après Levallois (1970ό), donne p o u r quelques stations d'en vironnements géographiques divers, des anomalies à l ' a i r libre, de Bouguer et isostadque suivant le modèle d ' A i r y la surface de compensadon étant à 30 k m de profondeur. TABLKAU 1
Altitude (mètres)
Zone
Colorado Alpes Vallée G r a n d Canyon
Mer
Air
r Lithuanie Hongrie Allemagne Ouest du Portugal
Bouguer
Isostatiiiue
— 102 — 153 — 215
+ 7 — 24 •\- 8
266 655 847
— 131 — 107 — 109
— 142 — 152 — 183
— — —
71 84 360
-Γ
— 5 360 — 3 250 — 890
Surface topographique
Ellipsoïde
Géoïde
F I G . 8. — Les diverses surfaces pour établir Véquation fondamentale gravimétrie.
libre
(milligals)
157 143 206
2 938 3 099 4 293
Alpes Montagne
Plaine
Anomalies
utiles de la
Γ
:—
8 25 17
7 80 -τ- 123
3 4 5
0 15 57
+ 8 + 29 — 6
+ 349 h 304 + 211
+ 18 4- 76 -1 20
-I—
4.5. — Le champ de pesanteur déduit des anomalies à l'air libre. — N o u s avons v u que le c h a m p de gravité de la Terre, aussi complexe q u ' i l soit, dépend d ' u n potendel U (voir § 2 . 1 ) . N o u s appellerons V le p o t e n tiel de l'ellipsoïde de référence sur lequel est c o n s t r u i t e la for m u l e de gravité avec laquelle o n compare les mesures de pesanteur p o u r o b t e n i r les anomalies de divers types. Plaçons-nous en u n p o i n t M de la surface t o p o g r a p h i q u e (Fig. 8). E n suivant une ligne
FORME
DE LA
TERRE
PAR
LES
MESURES
AU
SOL
443
d u champ de pesanteur, o n coupe relHpsoïde en E et le géoïde en H. U est constant sur le géoïde, V sur l'ellipsoïde, et o n peut choisir les constantes de sorte que : V{E)
=
U{H).
(7)
Soient g ( A Î ) la pesanteur mesurée en M, g{H), la valeur réduite au géoïde (correction à l ' a i r libre) et γ(Ε), la pesanteur calculée sur l'eUipsoïde. A p p e l o n s potentiel p e r t u r b a t e u r la différence T(M)
= UiM)
-
K(M).
(8)
E n a p p l i q u a n t le théorème de Stokes (§ 3 . 1 ) , o n peut changer la d i s t r i b u t i o n des masses de l'ellipsoïde et de la Terre de manière à ne pas modifier les surfaces de niveau n i le potentiel sur ces surfaces. L a c o r r e c t i o n à l ' a i r libre, p a r définition, est inchangée dans ces conditions. I n t r o d u i s o n s une nouvelle surface, Σ, telle que sur son intersection avec l a ligne de force o n a V{M')
=
M'
UiM).
Par définition o n a : rM
gih) dh =
yih) dh ,
ce q u i signifie aussi que les cotes géopotentielles de M et M' sont égales à p a r t i r de leurs surfaces de référence respectives. Or, on a rM'
V(M)
= V(E)
+
rM'
y(h) dh -
y{h) dh M
et UiM)
= UiH)
+
gih) dh .
En faisant la différence et en a p p l i q u a n t les formules (7) et (8) o n o b t i e n t rM'
TiM)
=
yih) dh = y„ J
M'M
M
où y „ est l a pesanteur moyenne de l'ellipsoïde sur
MM'.
Si o n c o n f o n d le géoïde et le quasi-géoïde M'M est égal à EH = ΔΛ, l ' a l t i t u d e d u quasi-géoïde au-dessus de l'eUipsoïde. O n en tire la f o r m u l e de B r u n s : ΔΛ = 77y„,.
(9)
CHAMP
DE PESANTEUR
ET FORME
DE LA
TERRE
Si donc, o n a le potentiel p e r t u r b a t e u r T sur la surface t o p o g r a p h i q u e , o n en déduit l a h a u t e u r d u géoïde au-dessus de l'ellipsoïde. I l reste à déterminer T. P o u r cela, nous remarquerons que l'anomalie à l ' a i r l i b r e en M est par définition : ^g = g(H} = g{M)
-
y{E) γ(Μ')
.
O r , en dérivant (8), o n a :
= jiM)
- g(M) = y(M') + M ' M ^ - g(M) .
D'où
q u i est l'équation fondamentale de la géodésie physique. Cette f o r m u l e permet de résoudre le problème suivant : connaissant les anomalies à l ' a i r libre sur la Terre, t r o u v e r le potentiel terrestre U = V + T. CQ problème revient à calculer une f o n c t i o n h a r m o n i q u e dans l'espace extérieur à la surface t o p o g r a p h i q u e , telle que le premier membre de (10) prenne les valeurs données Ag sur cette surface. Stokes a proposé une s o l u t i o n de première a p p r o x i m a d o n à ce p r o blème en assimilant la surface t o p o g r a p h i q u e à une sphère de rayon R. I l suppose que T est développable en h a r m o n i q u e s sphériques. C o m m e l'origine des coordonnées est le centre de gravité de l a Terre, o n pose
n=2
p
où p est la distance à l'origine et P„ la f o n c t i o n sphérique complète à l ' o r d r e n (Chap. 25). O n développe également en fonctions sphériques la quandté
n— 2
p
Si o n remarque que, sur l a sphère, 1 dy y dt~
2 R'
on peut substituer ces expressions dans (10) et, en identifiant sur la sphère, on a : 7; = ^ A g „ .
(11)
FORME
DE LA
TERRE
FAR
LES
MESURES
AU
SOL
445
O n peut aussi résoudre le problème sans développer Ag en harmoniques sphériques. O n peut calculer directement T à l'aide de la f o r m u l e de Stokes : T
=
4π
AgS{^)άσ
(12)
où l'intégrale est étendue à toute la surface de la sphère et où la f o n c t i o n de Stokes, Ξ ( ψ ) est : 1 — 5 cos i/^ — 6 sin ^
—J-.- sm ψ/2
3 cos i// L o g sm ~ + sm - ~ \ 2 2 )
(13)
où φ est l'angle des rayons vecteurs entre le p o i n t p o u r lequel o n cherche T et le p o i n t c o u r a n t sur la sphère. M a i s cette s o l u t i o n peut être encore améliorée en n'assimilant plus la surface t o p o g r a p h i q u e à une sphère. L a s o l u t i o n la plus élégante de ce problème est due à M o l o d e n s k y q u i représente la f o n c t i o n T comme le potentiel d'une couche de densité σ répartie sur la surface t o p o g r a p h i q u e . On a : Y ^
, , adS
où àS est l'élément de surface, l'intégrale étant étendue sur toute l a sur face t o p o g r a p h i q u e Σ. M o l o d e n s k y écrit que T, mis sous cette f o r m e , vérifie l'équation fondamentale de la géodésie physique (10). Appelons la densité de simple couche en u n p o i n t A. Le p o i n t c o u r a n t M admet une densité σ. Soient Δ, la distance AM ei « g , l'angle d u r a y o n vecteur avec la normale k Σ en A. M o l o d e n s k y (1962) a établi (voir aussi p a r exemple Levallois, 1970è) la f o r m u l e suivante : 2 πσ^ cos «Q = A g +
^ adS 2 R„ J
Δ
" C +
(14)
où est le r a y o n m o y e n de la Terre et h^f l ' a l t i t u d e normale de M. M o l o d e n s k y a montré c o m m e n t o n p o u v a i t résoudre cette équation intégrale en i n t r o d u i s a n t la topographie au-dessus de la sphère de Stokes prise c o m m e première a p p r o x i m a t i o n . Cette a p p r o x i m a t i o n équivaut à négliger «g et le 3** terme de (14). L a méthode revient donc à intégrer le troisième terme de l a f o r m u l e (14) sur la surface t o p o g r a p h i q u e . C o m m e Δ^ décroît rapidement, M o l o d e n s k y intègre en faisant l'hypothèse, que, localement, h^f — est une différence d ' a l t i t u d e au-dessus d'une sphère de référence que l ' o n peut même assimiler à u n plan.
CHAMP
446
DE PESANTEUR
ET FORME
DE LA
TERRE
L a méthode de M o l o d e n s k y nous a p p o r t e d o n c une s o l u t i o n mathé m a t i q u e satisfaisante à p a r t i r des anomalies de l a pesanteur. Si les résul tats restent décevants ( v o i r § 4 . 7 ) , c'est parce que le n o m b r e et l a réparti t i o n des mesures gravimétriques sont très insuffisants. .6. — Relations entre les anomalies de la pesanteur et les déviations de la verticale. — Par définition (voir § 4 . 2 ) , la déviation de l a verticale est l'angle que fait la verticale (c'est-à-dire la direction de — g ( M ) avec les notations d u paragraphe précédent) avec la direction de la normale à l'ellipsoïde (c'est-à-dire la direction de — Y ( / W ) ) . De la relation (8), on tire ψ = grad T = grad U — grad V — g — γ . La donnée de ce vecteur ψ est évidemment équivalente à celle des déviations de la verticale et de l'anomalie de pesanteur. Nous avons étudié dans le paragraphe précédent la composante verticale de ψ. Les projections de ψ sur le plan tangent à l'ellipsoïde sont : dTjcx dans la direction N o r d , oTjdy dans la direction Est, si Mx et My sont des axes dirigés dans ces directions. Les déviations ξ et )/ de la verticale sont donc les angles suivants : yax
Le signe moins rend compte d u fait que la verticale est de sens opposé au vecteur gravité. Comme, dans le paragraphe précé dent, o n a exprimé T en fonction de (12), o n peut en déduire aussi des expressions donnant ξ et η en fonc t i o n de Δ^. En prenant l'approximation de Stokes, o n obtient ainsi les formules de Vening-Meinesz. Δ ^ — sm ψ cos Ζ άψ d Z (16) FiG. 9. — Composantes de la déviation de la
horizontales verticale.
η =
4 πγ
Δ ^ ~ sin ψ sin Ζ άψ d Z 3ψ
où 5 est la fonction de Stokes (13) et Z l'azimut, l'intégrale étant prise pour toute la sphère (angle ψ) et pour tous les azimuts de 0 à 360". Des formules plus précises, quoique d ' u n emploi plus délicat, peuvent être déduites de la théorie et des formules de Molodensky. 4.7.
— Détermination
globale
du géoïde. — N o u s
avons
v u , au
para
graphe 4 . 3 , c o m m e n t o n p o u v a i t localement déterminer l a p o s i t i o n d u géoïde p a r r a p p o r t à l'ellipsoïde de référence p a r les techniques d u nivellement
astro-
FORME
DE
LA
TERRE
PAR
LES
MESURES
AU
SOL
447
géodésique. P o u r faire ce t r a v a i l i l fallait connaître à la fois les déviations de la verticale et les coordonnées ellipsoïdiques des p o i n t s de la surface topogra phique. Ces données n'existent que p o u r une faible f r a c t i o n de la surface de l a Terre et on ne peut espérer en tirer des renseignements sur l'ensemble d u géoïde. La connaissance des anomalies de gravité permet d'améliorer considérable ment cette situation. Bien qu'également incomplète, la couverture de la Terre en anomalies est meilleure q u ' e n p o i n t s géodésiques avec déviations de la ver ticale. On peut d'ailleurs la compléter en faisant, dans les régions n o n couvertes, des hypothèses basées sur l a connaissance de l a topographie et sur la théorie de l'isostasie. M a i s i l est évident que ces méthodes i n t r o d u i s e n t une forte incer titude dans le résultat final. A p a r t i r de ces données, o n peut procéder de plusieurs façons différentes. a) O n calcule le développement en harmoniques sphériques des ano malies de gravité ainsi définies sur t o u t e la surface de la Terre, puis o n applique la f o r m u l e (11) p o u r avoir le développement d u p o t e n t i e l p e r t u r bateur. O n en déduit les altitudes d u géoïde d u dessus de l'eUipsoïde général défini p a r le p o t e n t i e l de référence à l'aide de la f o r m u l e (9). Cette procédure a été adoptée p a r R a p p (1969) à p a r t i r de 2 261 a n o mahes moyennées sur des carrés de 5" par 5". Les deux tiers à peine de ces valeurs sont issues de mesures. Les autres sont des valeurs calculées o u extrapolées. L e résultat, sous f o r m e d'une carte des hauteurs d u géoïde au-dessus de l'elhpsoïde i n t e r n a t i o n a l , est donné figure 10. Le développement en harmoniques sphériques avait été poussé jusqu'à l ' o r d r e 8. -180--160=-140^-120--100=-80° -80° -40°-20°
0° +20» +40° + 60° + 80°+100' + 120° +140° + 160°+1β0
- 1 β Ο ° - 1 6 0 ° - 1 4 0 ° -120° - 1 0 0 ° - 8 0 ° - 6 0 ° -40°
0°
-20°
+ 2 0 ° + 4 0 ° +60° +80° +100°+120° + 140°+160°+180°
F I O . 10. — Carte des hauteurs du géoïde exprimées en mètres tirée seulement des mesures de gravité, par R . H . RAPP.
448
CHAMP
DE PESANTEUR
ET
FORME
DE LA
TERRE
b) O n peut aussi utiliser directement l a f o r m u l e de Stokes (12) p o u r calculer le potentiel perturbateur. O n calcule l'intégrale p a r une méthode numérique en prenant u n à u n l'efiFet des surfaces élémentaires p o u r les quelles o n connaît les anomalies. C'est la méthode employée p a r Levailois (1967) et q u i c o n d u i t à des résultats comparables. Notons encore que l ' o n peut compléter u n nivellement astro-géodésique en déter minant comme ci-dessus le potentiel perturbateur, puis en en déduisant les déviations de la verticale par les formules du paragraphe précédent. L a description d u géoïde que l"on obtient reste néanmoins toujours très fragmentaire, car i l reste nécessaire d'avoir aussi les coordonnées ellipsoïdiques des points sur la surface de la Terre. C'est à Molodensky, que l ' o n doit la théorie de ce « nivellement astro-gravimétrique ». Elle est basée sur la remarque que l'effet d u champ de gravité dû à des zones éloignées ne varie que peu avec les points. Aussi, détermine-t-il cet effet par différence entre le résultat des formules (16) appliquées aux proches. Ensuite, o n peut calculer complè tement les déviations de la verticale en des points où l ' o n n'a pas fait d'observations astronomiques.
S. — M O U V E M E N T
D ' U N SATELLITE ARTIFICIEL
Mesurer la pesanteur n'est pas le seul moyen de déterminer le c h a m p de gravité de la Terre. Ce n'est même plus le moyen le plus efficace, car c'est une méthode statique et i l f a u t faire une détermination longue et délicate en chacun des p o i n t s étudiés. E n revanche, le mouvement des satellites artificiels f o u r n i t une méthode d y n a m i q u e p o u r ces déterminations. E n effet, les positions successives d ' u n satellite de l a Terre ne dépendent pas t a n t d u c h a m p en ces positions, que de l'ensemble des valeurs prises par ce c h a m p sur t o u t e la trajectoire suivie depuis q u ' o n t été définies les c o n d i t i o n s initiales. N o u s allons présenter rapidement, dans ce q u i suit, les résultats de Méca nique Céleste q u i permettent de justifier les méthodes principales de géodésie spatiale. 5 . 7 . — E x p r e s s i o n du potentiel extérieur. — N o u s avons v u (formule 2.3) que l ' o n peut exprimer le potentiel de g r a v i t a t i o n de la Terre en u n p o i n t de coordonnées .v, y, z sous forme d'une intégrale étendue a u v o l u m e V de la Terre : Κ ( ξ , η, ζ) άξ άη άζ
l/(x, y, z) = G y^(x-ξΫ
+ (y-ηΫ
+
(z-ζΫ
où κ est la densité au p o i n t de coordonnées ξ, η, ζ. Cette forme est d ' u t i l i s a t i o n très i n c o m m o d e , d ' a u t a n t plus que K est inconnue. Aussi a-t-on l ' h a b i t u d e d'exprimer U sous forme d'une somme de fonctions
MOUVEMENT
D'UN
SATELLITE
ARTIFICIEL
449
dépendant d ' u n certain n o m b r e de paramètres d o n t les valeurs constituent u n modèle de potentiel terrestre. L a représentadon la plus communément udlisée est u n développement en harmoniques sphériques de la f o n c t i o n U, développement q u i est convergent à l'extérieur de toute sphère contenant la Terre, c'est-à-dire certainement dans l'espace où se meuvent les satellites artificiels. En utilisant les n o t a t i o n s maintenant classiques (Chap. 2 5 . 1 ) , o n écrit: 1 _
co
I
^
!'^P„(sin
n= 2
J?"
+
Σ i% n=2 k=l r
+
^-.*(sin φ) ( C „ , cos k?. + S„, sin kX)
où R est le r a y o n moyen de la Terre, r est l a distance d u p o i n t potentié a u centre des masses de la Terre, φ et λ sont respectivement la l a t i t u d e et la l o n g i t u d e de ce p o i n t . P„ et P„^i^ sont les polynômes et les fonctions associées de Legendre, GM est la constante de la g r a v i t a t i o n multipliée par la masse de la T e r r e . Les coefficients J„ sont les harmoniques zonaux ; les coefficients C„^ et S„^ sont les harmoniques tesséraux. O n utilise parfois le n o m d ' h a r m o n i q u e s sectoriaux p o u r les coefiicients C„„ et S„„. 11 serait plus correct de dire coefficients des harmoniques. L'usage s'est cependant répandu d'appeler h a r m o n i q u e s aussi bien les fonctions que les coefficients de ces foncdons dans les développe ments. Une formule analogue est aussi obtenue en normalisant les coefficients. alors /2(« V
^)" ! (2 n I- 1) (n - I - k) !
O n pose
/ 2 ( / / - ki\ (2 « + 1 ) ^ ^
(n + k) \
Enfin, o n écrit souvent C„lc ^ Jiik COSλ,,ί- ;
Snk = Jiik sin Xnk •
Cette représentation est utilisée pour donner une description globale d u champ de gravitation sans en donner des détails (à titre d'exemple, nous dirons qu'une o n d u l a t i o n du géoïde de quelques centaines de kilomètres est déjà u n détail). En effet, comme les satellites se meuvent à des altitudes élevées, les détails d u champ perturbent si peu les trajectoires, que les représentations en harmoniques sphériques à l'ordre 20 o u 25 sont amplement suffisantes pour prévoir à quelques mètres près la position des satellites (voir plus l o i n , p. 463). Pour des études plus fines d u champ, cette représentation n'est plus efficace, car les coefficients diminuent trop lentement (Jnk serait de l'ordre de 10 s r^^). Aussi a-t-on essayé de nombreux artifices : usage de masses discrètes enterrées, de potentiels de simple o u de double couche, etc.. Si de tels modèles o n t parfois le mérite de bien représenter le champ de pesanteur dans une petite région, leur utilisation pour le
CHAMP
DE PESANTEUR
ET
FORME
DE LA
TERRE
champ générai n'a pas été jusqu'à présent convaincante. En tous cas, toutes ces repré sentations conduisent à des formulaires beaucoup plus compliqués pour le mouvement des satellites artificiels. C'est p o u r q u o i , dans ce q u i suit, et conformément à l'usage quasi général, nous adopterons la f o r m u l a t i o n ( I ) o u (2) d u potentiel terrestre.
5.2. — Le problème des deux corps ; éléments de l'orbite. — Les coefficients J„, C„^ et S„i^ de ( I ) sont tous très pedts p a r r a p p o r t à l'unité. N o u s avons v u (§ 3.4) que J2 est de l ' o r d r e de 1 0 " ^ . Les autres sont a u moins de l ' o r d r e d u millionième. O n a donc une bonne première a p p r o x i m a t i o n d u potentiel en le l i m i t a n t à son premier terme : Uo =
GM
(3)
r
Ce potentiel est celui d ' u n p o i n t de masse M. Le m o u v e m e n t corres p o n d a n t d ' u n satellite est celui d ' u n p o i n t a u t o u r d ' u n autre, attiré selon la l o i de N e w t o n . O n appelle problème des deux corps la recherche d u m o u v e m e n t relatif de ces deux corps. N o u s ne résoudrons pas i c i ce problème. O n t r o u v e r a dans les hvres élémentaires de Mécanique Générale o u de Mécanique Céleste les calculs q u i mènent à la s o l u t i o n (voir p a r exemple, Kovalevsky, 1963, o u Levallois et K o v a l e v s k y , 1971). M a i s nous rappellerons cependant les résultats principaux. L e m o u v e m e n t se fait sur une conique d o n t u n des foyers est a u centre de la Terre. N o u s ne considérerons que le cas où cette conique est une ellipse. Soit T, le centre de la Terre, foyer de cette ellipse (voir F i g . 11).
F I G . I I . — Définition de l'anomalie
vraie et de l'anomalie
e.xcentriqiie E.
MOUVEMENT
D'UN
SATELLITE
ARTIFICIEL
451
D o n n o n s quelques définitions : Le sommet d u g r a n d axe le plus proche de T e s t le périgée {P). L ' a u t r e sommet est l'apogée {A). Si M est un p o i n t sur l'ellipse et M' le p o i n t correspondant sur le cercle p r i n c i p a l , centré au centre O de l'ellipse, o n a ( T P , T M ) = Γ (anomalie vraie) ( O P , O M ' ) = £• (anomalie e x c e n t r i q u e ) . Si a est le demi-grand axe et e l'excentricité, sur les axes de l'ellipse sont : ί X = r cos υ =
les coordonnées x e t j d e M
a(cos £ -
e)
l j ; = r sin t; = α V 1 - e' sin £ .
^'^^
L a relation liant ces angles au temps est l'équation de K e p l e r : E
-
e u n E
=- M
=
nit
-
tg)
(5)
où to est u n instant de passage au périgée et n, appelé moyen mouvement, est lié à a p a r l a r e l a t i o n η'α^
= μ
d'où
n = μ''' a'^"
(6)
M est l'anomalie moyenne. Pour repérer cette ellipse dans l'espace, o n se réfère à u n système d'axes équatoriaux : TX dirigé vers le p o i n t vernal (équinoxe de p r i n t e m p s ) , r y perpendiculaire dans le p l a n équatorial et TZ vers la d i r e c t i o n d u pôle n o r d . O n les suppose fixes, mais si cette hypothèse est jugée irréaliste, il est possible de calculer les corrections à apporter a u mouvement. Le plan de l ' o r b i t e coupe ΓΑ'Γ suivant Λ'^' TV. Soit ΓτΥ la demi-droite telle qu'à son intersection Q avec l ' o r b i t e , le satellite passe de l'hémisphère sud vers l'hémisphère n o r d (voir F i g . 12). L'angle (TX, TN) = Ω est Vascension droite du nœud ascendant (entre 0 " et 360"). L'angle / que fait le p l a n de l ' o r b i t e avec le p l a n Α Τ Γ est l'inclinaison. 11 vaut entre 0 " et 90° si le satellite est direct (la projection de son mouve ment sur XTY se fait dans le sens direct). O n le p r e n d compris entre 9 0 " et 180° dans le cas opposé (satellite rétrograde). L'angle ω = (TN, TP), q u i fixe la direction d u périgée dans le p l a n de l'orbite est l'argument du périgée. L a donnée des six quantités a, e, i, Ω, ω et tg ( o n préfère souvent la f o n c t i o n linéaire d u temps l\i = n(t - to)) définit complètement, d'une façon unique, une orbite képlérienne d u satellite. I l est aisé de calculer à chaque instant t ses coordonnées et les composantes de sa vitesse
CHAMP
DE PESANTEUR
ET
FORME
DE
LA
TERRE
Z
y
F I G . 12. — Les éléments de l'orbite. Posons : /).c = «(cos Ω cos ω — cos / sin Ω sin ω ) , Ay = a(sin Ω cos ω + cos / cos Ω sin w ) , Az = a sin / sin ω ; Βχ = a J\ — ¢•2(— cos Ω sin (o — cos / sin Ω cos ω ) ,
By = a J l — e^{— sin Ω sin ω Bz = a v ' i
— f 2 sin / cos
i- cos / cos Ω cos ω) ,
o ;
On a Α ' ^ /li(cos E — e) -I S I sin E, y = / ( ^ i c o s E — e ) i 5;, s i n £ , Z = Az(cos X = j(—
E — e)
I
Ax sin E ^ Bx cos £ ) ;
y = y
(— ^ j , sin E + S„ cos £ ) ;
Z =
(— Az sin £• +
3. — Théorie des perturbations. dant d u potentiel :
(7)
sin£;
(8)
cos £ ) .
— Le satellite est réellement soumis à des forces dépen
i / = i/o -i- ·•»! où .•(1 contient le reste de l'expression (1). O n l'appelle fonction
perturbatrice.
MOUVEMENT
D'UN
SATELLITE
ARTIFICIEL
453
En coordonnées rectangulaires, les équations d u mouvement sont : 4 : ^-
d2A; ^ vUa . ft-H d?2 ' èÂcx'
dr-
I ^•": cY + dV '
à'-Z__dU^ dn
"
dz
c% ^
sz'
Si 31 0, o n retrouve les équations d u mouvement d u problème des deux dont on vient de donner la solution.
^ '
corps
O r les équations (7) et (8) avec la relation (5) définissent u n changement de variables (X, Y, Z , X, Y, Z) ^
(a, c, /·, Ω, ω. M) .
Ce changement de variables est biunivoque, comme i l est aisé de constater en consi dérant dans u n sens les équations (7) et (8), et dans l'autre en remarquant que, dans le problème des deux corps, des conditions initiales données (coordonnées-vitesse) donnent une seule orbite, donc un seul ensemble d'éléments. Il serait fastidieux de donner le détail d u calcul des équations différentielles trans formées par ce changement de variables. Donnons seulement le résultat : les équations de Lagrange. da
1 S%
dt
na 8M
(!(-_
— JT—e^-
àt
— I
di na- J\
dt dn
dcj _ dt
c%
KJ\
Vl
—
cos /
^
na^ e
—
na^ J\
8%
— e^- sin / 8ω
(10)
ë%
I na^
i-î cK
na^ e dM
— e^- sin / 0Ω
_
I dt
dM dt
C'A ^\— cco
na^ e
e2 sin i di
cos / 8e
_ A ίί'ί: _ na 8a
na^ J\
— e^ sin i
c% 8i
1 —'^^ ^ na^ e 8e
O n constate d'abord que si .'R = 0, o n retrouve la solution d u problème des deux corps : a, e, i, Ω, co constants et M = n{t — / 0 ) · Dans le cas général, o n supposera évidemment que A est exprimé en fonction des nouvelles variables. Ces éléments-variables sont appelés éléments osculateurs. Ils représentent les élé ments de l'ellipse képlérienne que suivrait le satellite si, à l'instant t, les perturbations cessaient (c'est-à-dire que les formules d u paragraphe précédent deviendraient valables pour tout t et n o n seulement d'une façon instantanée). Sans parler d u fait que la résolution d u système (10) est plus simple que celle d u système (9), l'usage des éléments osculateurs permet une meilleure visualisation d u mouvement réel d ' u n satellite : o n dira ainsi que son plan tourne, que le périgée tourne, que l'excentricité o u l'inclinaison oscillent, etc.. i . 4. — Mouvement d'un satellite soumis à la perturbation en J2. — C'est la seconde appro ximation après l ' a p p r o x i m a t i o n képlérienne. Elle prend en compte la partie princi pale de .'/l en négligeant seulement des quantités de l'ordre de quelques millionièmes (rappelons que J2 = 1,082 7 . 1 0 - 3 ) .
CHAMP
DE PESANTEUR
ET FORME
DE LA
TERRE
On a
En résolvant les équations (10) avec cette expression de .'/i, o n trouve que les effets trouvés peuvent être classés en trois catégories. a) Rotation séculaire des nœuds et du périgée. — Dans la solution, il apparaît en effet des termes linéaires par rapport au temps pour Ω et o : 3 « 0 « 2 72 cos /„ 2
t
o(yf)
«5(1—£•5)(11)
, [3
"o
R- J l
,.
S s i n ^ o ) I 0(y|) /
où Ω(, et fOo sont des angles constants et où les autres quantités indexées par zéro sont des valeurs moyennes des éléments correspondants. O n v o i t que le p l a n de l ' o r b i t e et l'ellipse dans ce p l a n t o u r n e n t avec une vitesse l o i n d'être négligeable. L a figure
13 donne, en f o n c t i o n de
l ' i n c l i n a i s o n /g, p o u r des satellites peu excentriques, 400
k m , l a vitesse angulaire journalière de ces
d'altitude moyenne
mouvements.
Cet effet, très facile à détecter, est utilisé p o u r les déterminations de / j d U) dt
J par jour
d n.
J par j o u r
dt 30·
-5·
60·/
90·
30·
60·
30·
-5·
-10·-
FiG. 13. A gauche : Variation journalière de Varguinent de l'inclinaison du satellite. A droite : Variation journalière de l'ascension de l'inclinaison du .satellite.
du périgée due à J2, en
fonction
droite du nœud due à Jz, en fonction
MOUVEMENT h) V a r i a t i o n mouvement
de
D'UN
l a période
SATELLITE
455
ARTIFICIEL
de r o t a t i o n d u satellite. — L e
moyen
«o d u problème des deux corps est modifié p a r une quantité
de l ' o r d r e de J2, si bien que la période d u satellite est modifiée d ' e n v i r o n un p o u r m i l l e . c) Termes à courte période. — Les six éléments subissent,
de
plus,
des oscillations périodiques, d ' a m p l i t u d e telle que le satellite en est déplacé d'une dizaine de kilomètres. L a période de ces oscillations est égale o u voisine de la période d u satellite o u de ses sous-multiples enders. 11 existe aussi u n très faible terme de période égale à l a moitié de l a période d u périgée. U n e expression complète de ces p e r t u r b a t i o n s est donnée dans L e v a i lois et K o v a l e v s k y
(1971).
5.5. — Effet des autres perturbations. — Les autres harmoniques zonaux, lorsqu'ils sont introduits dans les calculs, donnent des effets assez analogues à celui de / 2 . Les harmoniques zonaux pairs (/2») produisent des modifications complémentaires des quantités ω etΩ si bien que l'expression générale des vitesses angulaires de rotation des nœuds o u d u périgée prend la forme générale suivante :
Σ "lia^, ('„,
i'o) Jii r ternies quadratiques
L,= 1
(12)
oc
/ ω = «ο +
Σ "Κ^Ό, 'Όι 'ο) J2i !- termes quadratiques Li=i
t.
Les m et ni sont certaines fonctions des éléments moyens. Les termes quadratiques sont faibles et peuvent être évalués avec des valeurs appro chées des /2
X
^ Li=2
Aik(aneoi^Jn
COS
, —\
,i„(2fcS).
(13)
Nous avons néglige cette fois les termes quadratiques. Les harmoniques zonaux impairs ne produisent aucune perturbation de ces deux types, mais des termes à longue période, de périodes égales à des sous-multiples impairs de la période d u périgée.
'(2 A;—Γ), A= 1
(14)
1-1 = 2
Ν . Β. Les séries obtenues convergent vite, et les indices de sommation peuvent être pratiquement limités à quelques unités. Enfin, tous les harmoniques zonaux produisent des termes à courte période ana logues à ceux donnés par / 2 . Les harmoniques tesséraux ont u n comportement très différent. I l s ne donnent
456
CHAMP
DE PESANTEUR
ET FORME
DE LA
TERRE
lieu n i à des termes séculaires n i à des termes à longue période. L a forme générale de ces perturbations est la suivante, p o u r u n harmonique donné Jnq 00
co J„ç y. Dnq{a„,ef,,ii,)'i°^
k = n p= co
knm
{kœ + qQ — qT—q/.„g + qriQ
— 17V +
\pM) (15)
priM
où M est la partie séculaire perturbée de l'anomalie moyenne, T est le temps sidéral de Greenwich (quantité introduite parce que la Terre tourne par rapport aux axes TX— TY): T= vt. _ _ riQ, Πω et « M sont les coefficients d u temps dans Ω, ω et M. O n voit q u ' i l peut y avoir une très grande variété des périodes. N o t o n s que, pour certaines combinaisons de q et p , le dénominateur peut devenir petit et la période du terme correspondant devient grande. Par exemple, cela se passe pour les satellites de période 2 h pour i7 = 1 2 e t i i = l . I l y a alors résonance entre le satellite et certains harmoniques. Les perturbations q u i sont occasionnées dans ce cas sont plus fortes et se prêtent particulièrement à l'analyse, pour la détermination de ces « harmoniques de résonance » . Signalons encore que les satellites artificiels sont aussi soumis à d'autres forces : attraction par la Lune o u le Soleil, forces de pression de radiation d u rayonnement d u Soleil o u d u rayonnement réfléchi o u émis par la Terre, frottement atmosphérique. Les perturbations luni-solaires sont bien déterminées et o n en tient compte dans les calculs avec toute la précision voulue. I l n'en est pas de même des autres forces qui dépendent de quantités moins bien connues : forme et propriétés de surface d u satellite, son orientation, densité locale de l'atmosphère. C'est surtout le frottement atmosphérique q u i est difficilement prévisible à mieux que 10 % car les grosses variations q u ' i l subit en fonction de l'éclairement et de l'acti vité solaire sont encore quantitativement m a l connues. C'est p o u r q u o i i l faut s'efforcer de réduire au m a x i m u m ces forces, et les satellites que l ' o n désire utiliser p o u r la géo désie dynamique doivent avoir une altitude dépassant 500 k m et si possible 700 k m , altitudes p o u r lesquelles l'atmosphère résiduelle est suffisamment faible.
6. — M É T H O D E S S P A T I A L E S Le lancement des satellites artificiels a donné à la géodésie u n i n s t r u m e n t nouveau
p e r m e t t a n t de passer des méthodes locales, limitées a u plus à u n
c o n t i n e n t , à des méthodes globales, p r e n a n t en c o m p t e t o u t e la T e r r e s i m u l t a nément. 6.1.—Les
observations
de satellites.
— L'information
géodésique
brute
consiste en certains éléments concernant la p o s i t i o n o u la vitesse d ' u n satellite. Elle a)
est de plusieurs
types.
Observations photographiques. — Des chambres
photographiques
pho
t o g r a p h i e n t le satellite sur f o n d d'étoiles. Ces caméras suivent les étoiles, u n o b t u r a t e u r h a c h a n t à des instants mesurés l a trace d u satellite, o u b i e n encore le satellite, mais alors c'est l a trace des étoiles q u i est hachée. Parfois, dans les caméras fixes, les deux types d'objets se déplacent dans le c h a m p . Des méthodes de réduction des p o s i t i o n s mesurées sur les plaques o u les films p e r m e t t e n t de calculer les coordonnées t o p o c e n t r i q u e s
apparentes d u satellite a u x instants
MÉTHODES
SPATIALES
457
notés par le chronographe (voir par exemple, Kovalevsky et Veis, 1970). On obtient ainsi la d i r e c t i o n observateur-satellite. N o t o n s encore que certains satellites ( G E O S 1 et 2) émettent des éclairs à des instants prédéterminés bien connus. Les éclairs apparaissent sous forme de points sur les clichés, ce q u i simplifie beaucoup les problèmes de réduction, car leur image est directement comparée à celle des étoiles. b) Observations laser. — Certains satellites (Diadème, G E O S , P E O L E , etc..) sont m u n i s de cataphotes réfléchissants renvoyant la lumière dans la direction d'où elle vient. Ces réflecteurs sont éclairés par u n télémètre laser q u i mesure aussi le temps écoulé entre l'envoi d u faisceau l u m i n e u x et le retour d u signal l u m i n e u x . Après diverses corrections (Bivas, 1967) o n obtient ainsi la distance observateur-satellite. c) Observations r a d i o . — Quelques satellites o n t à b o r d u n répondeur radar, si bien q u ' o n peut en mesurer la distance et aussi la vitesse relative p a r le système d i t « Range a n d Range rate » . D'autres sateUites acdfs (comme Diapason, Diadème, T r a n s i t , etc..) o n t u n émetteur très stable. Les émissions sont reçues p a r des récepteurs q u i mesurent l'effet D o p p l e r sur deux fréquences, éliminant les effets de réfraction ionosphérique et mesurant ainsi une vitesse relative moyenne p o u r la durée de l'observation entre la station et le satellite. Malgré le caractère partiel de chacune de ces i n f o r m a t i o n s , elles sont toutes utilisables p o u r la détermination de la forme de la Terre o u de son c h a m p de gravité. 6.2. — Méthodes géométriques. — Soient trois stations A^^, A2 et A^ obser vant simultanément un satellite S à l'aide de chambres photographiques. Si ces trois points sont rattachés entre eux et appartiennent à un même système géodésique, les directions de visées peuvent être ramenées à u n système unique d'axes de coordonnées et, par conséquent, o n peut en déduire les coordonnées successives S j , S j , d u satellite dans le même système ( F i g . 14). Si, aux mêmes instants, o n observe aussi le satelhte d'une station A^, o n peut par une c o n s t r u c t i o n géométrique analogue, mais à p a r t i r des points S^, S2 et déterminer les coordonnées de A^ dans le même système de référence. On a ainsi rattaché A^ au système A^^ A2 / I 3 . Et, petit à petit, o n peut recouvrir la Terre d ' u n réseau m o n d i a l de stations d o n t les coordonnées sont ainsi exprimées dans u n même système. De n o m b r e u x t r a v a u x o n t été effectués dans ce domaine à l'aide de satel lites-ballons ( E C H O , P A G E O S ) o u à éclairs ( G E O S ) . E n France, o n s'est efforcé s u r t o u t de participer à une t r i a n g u l a t i o n spatiale européenne et à des travaux de rattachement E u r o p e - A f r i q u e (Levallois). L'entreprise la plus importante est celle d u « Coast a n d Geodetic Survey » américain q u i recouvre l'ensemble de la Terre d ' u n réseau d'une trentaine de stations (Phillips, 1964) qui observent simultanément le satellite P A G E O S , se m o u v a n t à une a l t i t u d e de 4 o u 5 000 k m .
458
CHAMP
DE PESANTEUR
ET
FORME
DE LA
TERRE
F I G . 1 4 . — Rattachement du point A A aux points A\ Ai et A} par visées simultanées de satellites.
L a précision de ces rattachements est assez variable, selon la quahté des chambres employées. I l s atteignent c o u r a m m e n t la précision relative de 1/200000^, soit une incertitude de 10 m sur 2000 k m , plus faible que celle des bons réseaux géodésiques classiques. O n peut encore améliorer cette précision en faisant simultanément des observations de distance par laser d o n t la précision absolue est actuellement comprise entre 1 et 2 m . L'idéal serait de n ' a v o i r que ce type d'observations, mais i l faut, p o u r cela, que quatre stations soient simultanément en vue d u même satellite. A i n s i , en 1968 et 1969, des observations simultanées, laser et p h o t o g r a phiques, o n t permis de déterminer la distance Observatoire de H a u t e Provence à San F e r n a n d o (près de Cadix) avec une erreur interne de l ' o r d r e de 3 m et de définir le triangle formé p a r ces deux stations et celle d'Athènes à m i e u x que 5 m . U n e des difficultés de ces méthodes est de synchroniser au mieux les stations. C o m m e le satellite se déplace de 7 m en une milliseconde, une synchronisation à 10"'^ s est indispensable avec les précisions ci-dessus p o u r que l'erreur qu'elle peut i n t r o d u i r e soit négligeable. E n revanche, les observations n ' o n t pas à être synchrones car, par i n t e r p o l a t i o n , o n peut rétablir des pseudo-observations parfaitement synchrones.
MÉTHODES
SPATIALES
459
6.3. — Méthodes dynamiques. — T o u t e observation, quel qu'en soit le type, est une f o n c t i o n de la p o s i t i o n géocentrique d u satellite et de la p o s i t i o n géo centrique de la station. N o u s avons v u ( 5 . 3 et 5.4) que la p o s i t i o n d u satellite peut être calculée à p a r t i r d ' u n certain n o m b r e de paramètres q u i sont : — Les — Les — Les auxquels
éléments o r b i t a u x moyens ( « Q , ÎO>Ό > ^ O > (^Ο. ^ O ) ! harmoniques zonaux (J„) ; harmoniques tesséraux (/^^ q u i , par c o n v e n t i o n , signifiera C^,^ o u 5^,) s'ajoutent certains paramètres f o n d a m e n t a u x c o m m e GM o u R.
I l s'ensuit que, si {X, Y, Z ) sont les coordonnées de la station, une observa tion Σ est, numériquement, une f o n c t i o n déterminée de tous ces paramètres Σ = φ{Χ, F, Z , « 0 , i O - ^o, K Jp,, GM, R) .
(1)
Cette f o n c t i o n est explicitée p o u r chaque type d'observation, par exemple dans Levallois et Kovalevsky (1971). O n peut donc imaginer que, si o n a suffisamment d'observations, o n puisse résoudre le système d'équations (1) ainsi écrites p o u r déterminer toutes les inconnues. U n tel p o i n t de vue serait t r o p simpliste. E n t o u t cas, le n o m b r e et la diversité des mesures d o n t on dispose sont insuffisants p o u r appliquer cette méthode avec succès. Aussi app!ique-t-on une procédure d ' a p p r o x i m a t i o n s successives en essayant de séparer certains des paramètres. N o t o n s d ' a b o r d que G M ne peut être déterminé qu'en c o m p a r a n t la période du satellite à son demi-grand axe ( f o r m u l e 5 . 6 généralisée en tenant compte des perturbations). O n a intérêt à a v o i r u n demi-grand axe très grand p o u r q u ' i l soit déterminé avec une forte précision relative. C'est p o u r q u o i o n utilise les obser vations des sondes lunaires. a) Harmoniques zonaux. — Les paramètres q u ' i l est facile de séparer sont les harmoniques zonaux. E n effet, nous avons v u (§ 5.4 et 5.5) qu'ils sont les seuls à donner lieu à des perturbations séculaires des nœuds et d u périgée o u encore à des perturbations à longue période de tous les éléments. Pour cela, o n calcule les seconds membres de (1) à l'aide des valeurs a p p r o chées de tous les paramètres. O n m o n t r e que si les positions des stations, les éléments ou les harmoniques tesséraux sont erronés, les erreurs o n t toutes des périodes courtes (de l ' o r d r e de la révolution d u satellite o u de la r o t a t i o n de la Terre). C'est p o u r q u o i , si o n analyse les résidus (i^obs ~ ^ c a ï c ) ^ n f o n c t i o n d u temps, en lissant les irrégularités à courte période, o n trouve les termes sécu laires et les termes à longue période correspondant a u x erreurs sur les h a r m o niques zonaux employés dans les formules. Une série de plusieurs semaines o u plusieurs mois d'observation d ' u n satellite permettra d'écrire deux équations (5.12) et plusieurs équations (5.13 o u 5.14). Les coefficients des /„ dans ces équations dépendent beaucoup de l ' i n c l i n a i son. C'est p o u r q u o i o n choisira d'analyser les orbites de satellites d ' i n c l i n a i -
460
CHAMP
DE PESANTEUR
ET
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DE LA
TERRE
sons aussi diverses que possible. Jusqu'en 1969, o n disposait de satellites d ' i n clinaisons comprises entre 2 8 " et 110°. L a meilleure analyse était due à Kozaï (1969) q u i a déterminé à l'aide de 11 satellites les premiers harmoniques j u s qu'à y j i - Plus récemment, le lancement de satellites de faibles inclinaisons D I A L o u P E O L E a permis d'améliorer d'une façon significadve les résultats de Kozaï (Forestier et Cazenave, 1970) simplement parce que la répartition des inclinaisons est devenue meilleure. b) Harmoniques tesséraux. — N o u s venons de dire que les erreurs sur l'or bite dues aux autres causes (harmoniques tesséraux, éléments o r b i t a u x et positions des stations) sont toutes à courte période. 11 s'ensuit q u ' i l est malaisé de séparer les causes et o n est c o n d u i t cette fois à les déterminer toutes ensemble. M a i s , à cause même d u n o m b r e des paramètres à déterminer, o n emploie généralement diverses méthodes d ' a p p r o x i m a t i o n s successives q u i o n t été mises a u p o i n t . A i n s i , Iszak (1964) admet que les harmoniques zonaux et GM sont bien déterminés p a r ailleurs. 11 admet que la corrélation entre les valeurs des h a r m o niques tesséraux et les coordonnées des stations est négligeable. U n p r o g r a m m e préliminaire, avec u n modèle provisoire de potentiel terrestre, tenant compte de toutes les autres p e r t u r b a t i o n s , détermine une fois p o u r toutes les éléments moyens d o n t Iszak suppose ainsi leur détermination n o n corrélée avec les autres paramètres. E n même temps que ces éléments, o n détermine des coeffi cients empiriques représentant l'effet moyen d u frottement atmosphérique et de la pression de r a d i a t i o n . L a suite d u calcul se fait en déterminant alternativement les harmoniques tesséraux o u les positions des stations. O n calcule ainsi les harmoniques en substituant dans les équations les positions des stations obtenues lors de l ' a p p r o x i m a t i o n précédente o u vice versa. Cette méthode a été adoptée par les équipes d u Smithsonian A s t r o p h y s i c a l Observatory ( S A O ) p o u r le calcul des modèles de potentiel terrestre : Standard E a r t h 1 ( G a p o s c h k i n , 1967) o u 2 (voir plus l o i n , 6 . 5 ) . O n y i n t r o d u i t certaines variantes en a p p l i q u a n t aussi l'alternance d u calcul aux éléments o r b i t a u x . Une autre méthode, adoptée par d'autres équipes américaines (Guier et Newton ou Anderle) et par le groupe français du C N E S , a été exposée par K a u l a (1966). Ici encore o n admet que les harmoniques zonaux et GM sont déterminés indépen damment. Puis, o n divise les inconnues en deux groupes : 1» Les inconnues communes à tous les arcs observés : harmoniques tesséraux et positions des stations ; o n appellera Z i le vecteur correction de ces paramètres. 2» Les inconnues propres à chaque arc : les éléments orbitaux et une valeur empiri que de l'accélération due au frottement ; soit Zz le vecteur correction de ces paramètres. i
Après avoir écrit toutes les équations ( I ) , o n établit les équations normales de la méthode des moindres carrés, arc de satellite par arc de satellite, équations q u i ont la forme Il
Λ^η
li Λ^2ΐ
N22
i *
Zi
1
; s, S2
I
MÉTHODES
SPATIALES
461
où S i , S2 sont les vecteurs des seconds membres. O n peut alors éliminer Z2 et avoir Z,
[N^^—N^2N-2'2N2ι]-^
[S, — / V , 2 Λ'ΐΐ S2]
(2)
qui est une équation vectorielle o u ne figurent plus les éléments des satellites. O n écrit autant de systèmes (2) q u ' i l y a d'arcs observés, puis o n résout les équations ainsi obtenues en affectant à chaque système u n certain poids.
R E M A R Q U E . — 11 y a une r e l a t i o n entre le n o m b r e et la diversité des observations et le nombre d'inconnues q u ' o n peut prendre sans i n t r o duire de forte singularité dans les équations. E n particulier, p o u r réduire les corrélations entre les déterminations de certains harmoniques de même second indice et de même parité (/54, /74, /94, ...), i l faut a v o i r des satellites d ' i n c l i n a i s o n et d'excentricité très diverses. 11 f a u t aussi que chaque p e r t u r b a t i o n périodique a i t été observée à des phases diflFérentes, ce q u i exige que les stations soient réparties aussi bien que possible sur l'ensemble d u globe. C'est p o u r q u o i , i l faut arrêter à u n certain indice, en f o n c t i o n d u nombre de satellites et de stations, les développements d u potentiel sous sa forme ( 5 . 1 ) . .4. — Méthode semi-dynamique. — L a méthode semi-dynamique n'est q u ' u n cas particulier des méthodes dynamiques p o u r la déterminad o n des positions des stations seulement. Supposons que l ' o n dispose d'un modèle de Terre (potentiel et p o s i d o n des stations) q u i soit satis faisant p o u r un o u plusieurs satellites et des stations de base. Cette c o n d i t i o n est vérifiée seulement lorsque les dits satellites et les dites stations ont été utilisés p o u r construire le modèle (en effet, les c o n d i t i o n s de la remarque d u 6.3 sont actuellement t r o p m a l satisfaites p o u r que l ' a d d i t i o n de satellites ne modifie pas la s o l u t i o n ) . O n observe d o n c u n tel satellite à l'aide d'une station d o n t la p o s i t i o n est inconnue ; puis o n écrit les équadons (1) en prenant le potentiel d u modèle et les éléments o r b i t a u x obtenus à l'aide des observations p a r les stations de base. I l ne reste plus c o m m e inconnues que les coordonnées de la station et o n peut les déterminer ainsi avec une précision q u i est celle d u modèle. Cette méthode est c o u r a m m e n t utilisée par les systèmes de n a v i g a t i o n . C'est aussi sur ce principe qu'est basé le projet de système de localisation par satellites d u C N E S , appelé G E O L E . .5. — Méthodes mixtes. — Les méthodes mixtes sont des méthodes qui combinent les équations données p a r la méthode d y n a m i q u e et d'autres méthodes de géodésie globale : méthode géométrique (§ 6 . 2 ) ou gravimétrique ( § 4 . 7 ) . Les méthodes conduisent à écrire des équadons q u i lient les inconnues (positions de stations, coefficients d u potentiel, etc.) aux observations de
462
CHAMP types divers.
DE PESANTEUR
ET FORME
DE LA
TERRE
N o u s avons déjà v u , à p r o p o s des méthodes d y n a m i q u e s ,
que ces inconnues se c o m p o r t e n t différemment et q u ' i l est difficile, s i n o n dangereux, de les t r a i t e r globalement et de résoudre ces équations en bloc. Dans les méthodes mixtes, o n y ajoute en plus de nouvelles équa tions ayant des structures très différentes et d o n t les seconds membres représentent des observations ayant
des précisions absolues
beaucoup
plus faibles (ce q u i est le cas s u r t o u t des observations gravimétriques). 11 s ' i n t r o d u i t d o n c une nouvelle difficulté : d o n n e r
des poids relatifs à
ces équations. E n fait, malgré l ' u t i l i s a t i o n , dans la pondération, des variances déduites des analyses effectuées par chacune des méthodes prises séparément et des erreurs déclarées par les observateurs, i l y a, dans toutes ces méthodes n o n homogènes, une grande p a r t d ' a r b i t r a i r e . O n ne peut d o n c pas d o n n e r de méthode rigoureuse p o u r ce genre de t r a v a i l . N o u s présentons ici l a manière d o n t G a p o s c h k i n (1970) o n t procédé p o u r c o n s t r u i r e le modèle S t a n d a r d
et L a m b e c k E a r t h 2 dans
lequel ils o n t combiné des données de quatre sources diff'érentes. E n premier lieu, chaque type de données a été analysé indépendamment et u n modèle homogène a été construit séparément. d) Le système d'harmoniques zonaux a été emprunté au travail de Kozaï (1969) déjà cité ( § 6 . 3 , 1°). b) Une solution par la méthode dynamique d'Iszak améliorée a été obtenue à partir de 114 arcs de 2 à 4 semaines d'observation et se rapportant à 21 satellites différents. 28 stations sur les 5 continents p a r m i lesquelles 6 stations dotées de télémètres laser ont observé ces satellites et, en définitive, plus de 60 000 quantités observées o n t été utilisées dans la solution. E n fait, ce sont 244 arcs appartenant à 25 satellites q u i ont été traités avant que certains aient été éliminés pour diverses raisons, en particulier pour obtenir une distribution aussi régulière que possible des divers éléments et des conditions d'observation. Les inconnues étaient au nombre de 290. Ce sont les trois coordonnées de chacune des 28 stations, tous les harmoniques tesséraux jusqu'à l'ordre 12 sauf 6 et 60 harmo niques d'ordre supérieur pour lesquels des satellites présentaient des effets de résonance (§ 5.5). ί·) Une solution géométrique globale a été construite en utilisant des observations simultanées o u quasi synchrones de quelques satellites hauts ( M I D A S ) et, pour des distances inférieures à 2 500 k m , d'éclairs de G E O S 1 et 2. A u total près de 50 000 direc tions à partir de 38 stations différentes ont été incluses dans cette solution. Aucune observation laser n'a été utilisée, si bien que le réseau géodésique ainsi formé par les i>ositions relatives de ces stations est construit à u n facteur d'échelle près et sans référence au centre de gravité de la Terre. d) U n e autre solution dynamique déduite des observations des sondes lunaires ou planétaires par le Jet Propulsion Laboratory (Mottinger, 1969) avait permis de trouver les positions de 5 antennes de poursuite de J P L qui sont localement rattachées à des stations d u S A O . e) Une solution d u problème de Stokes a été construite à partir des observations gravimétriques par la méthode d u paragraphe 4.7a. O n a utilisé 935 anomalies de gra vité moyennées sur des régions de 5° par 5° couvrant 56,5 % de la surface d u globe. 38 d'entre elles o n t encore été rejetées par la suite.
MÉTHODES
! j !
^
SPATIALES
463
Le calcul a été eiTectué de façon à déterminer tous les harmoniques tesséraux jusqu'à l'ordre 16 inclusivement. La solution mixte est une combinaison des équations normales de chacune de ces solutions. O n prend pour base la s o l u t i o n dynamique. Pour y ramener les solutions géométriques, o n affecte chacune d'entre elles de quatre inconnues : le facteur d'échelle, une rotation générale d u système et une translation de façon à faire coïncider les origines avec le centre de masse de la Terre. Pour amener à u n système de pondération unique, o n a systématiquement multiplié les matrices de covariance de chacune d'entre elles par u n nombre, appelé poids de la solution. Ces nombres ont été déterminés de façon à être inversement proportionnels aux écarts quadratiques moyens pour des quantités déterminées indépendamment par deux solutions (par exemple, les vecteurs joignant deux stations des solutions dynamique et géométrique). Les équations normales étant ainsi modifiées, o n a résolu l'ensemble par les moindres carrés et obtenu ainsi u n modèle de Terre comprenant C M - 3,986 0 1 3 . 1 0 1 " mVs2 R - 6 378 155 m c --- 299 792 500 m/s^ (vitesse
de
la
lumière)
21 harmoniques zonaux de Kozaï (1969). 296 harmoniques tesséraux : tous les harmoniques jusqu'à l'ordre 16 et 28 h a r m o n i ques de résonance d'ordre plus élevé. 138 coordonnées, 3 pour les 46 stations retenues.
6.6. — Résultats obtenus. — N o u s d o n n o n s , dans ce paragraphe, une rapide description des résultats les plus significatifs obtenus à ce j o u r ( m a i 1971) dans le domaine de la géodésie p a r satellites. Ces résultats ne concernent pas seule ment les positions relatives de stations o u u n modèle de Terre, mais aussi l'interprétation de variations constatées sur certains parainètres ( m o u v e m e n t du pôle o u marées). Le modèle de Terre le plus complet q u i a i t été publié est la « S t a n d a r d Earth 2 » d o n t nous avons décrit la c o n s t r u c t i o n dans le paragraphe pré cédent. N o u s d o n n o n s , figure 15 l a carte des hauteurs d u géoïde au-dessus d'un ellipsoïde de référence (aplatissement 1/298, 255). L'erreur sur ces altitudes d u géoïde serait d'après les auteurs, en moyenne de 4 m , d u moins dans les régions où les données gravimétriques existent. I l paraît plus p r u d e n t de parler d'une erreur moyenne de 10 m , ce q u i serait déjà remarquable. De plus, localement (échelle inférieure à 1 000 k m ) des écarts supérieurs peuvent exister. L a figure 16 m o n t r e la carte des anomalies à l ' a i r libre que l ' o n peut déduire, par la f o r m u l e fondamentale de la géodésie physique (4.10), d u p o t e n t i e l perturbateur de ce modèle. O n comparera ces résultats avec l a figure 10, due à R a p p (1969), q u i m o n t r e la carte des hauteurs d u géoïde déduite des seules données gravimétriques p a r la méthode d u paragraphe 4 . 7 , tous les h a r m o n i q u e s d u potentiel jusqu'à l'ordre 8 ayant été conservés. O n v o i t que, si les grands accidents sont semblables, ce résultat est en définitive beaucoup moins fin. Les erreurs peuvent atteindre 50 m sur les hauteurs d u géoïde. A t i t r e de c o m p a r a i s o n , la figure 17 donne la
464
CHAMP
DE
PESANTEUR
ET
FORME
DE
LA
TERRE
-180=-160=-140=-120=-100=-80=-60=-40· -20= 0· +20=+40=+60=+80=+100=+120=+140=+160=+180= F I G . 15. — Hauteurs du géoïde de la Standard Earth 2 en mètres au-dessus d'un ellipsoïde de référence d'aplatissement 1/298,255. D'après GAPOSCHKIN et LAMBECK.
F I G . 16. — Anomalies de gravité {anomalies à l'air libre exprimées en milligals), déduites du modèle Standard Earth 2. D'après GAPOSCHKIN et LAMBECK.
carte des hauteurs d u géoïde obtenue par R a p p en i n c l u a n t en plus des d o n nées de satellites. Les positions de stations sont obtenues dans la Standard E a r t h par la méthode d y n a m i q u e et par la méthode géométrique. L'erreur interne de déter m i n a t i o n de ces posidons est rarement supérieure à 10 m dans chacune des deux méthodes et les écarts entre les deux solutions sont d u même ordre de grandeur. Une autre vérification indépendante a été f o u r n i e en c o m p a r a n t les résultats avec des profils de gravité effectués sur les océans p a r Le Pichon et T a l w a n i
MÉTHODES
-180·-1β0·-140"-120·-100·-80· -60· -ίΟ·
SPATIALES
-20·
Ρ·
465
+20-+40=+60^+80^+100=+120-+140^+160-+180·
F I G . 17. — Hauteur du géoïde en mètres obtenue par Rapp en mélangeant les anomalies de gravité à des observations de satellites (aplatissement 1/298,25).
1
1
I 60*
I
I 80·
I
I 100·
I
LONGITUDE F I G . 1 8 . — Comparaison des anomalies de gravité (en milligals) de la Standard Earth 2 avec les mesures de profils gravimétriques dans l'Océan Indien.
466
CHAMP
DE PESANTEUR
ET FORME
DE LA
TERRE
(1969). L a figure 18 m o n t r e l'accord à mieux que 10 milligals sur u n p r o f i l de l'Océan I n d i e n . D'autres comparaisons avec des profils dans l'Océan A t l a n tique confirment cet accord. D'autres modèles de Terre, p u r e m e n t dynamiques, o n t été construits n o t a m ment p o u r la prédiction des positions des satellites de n a v i g a t i o n dans le sys tème T R A N S I T . Les coefficients d u potentiel o u les hauteurs d u géoïde sont malheureusement secrets. Toutefois, o n sait que la remise à j o u r des éphémérides de ces satellites se fait tous les deux j o u r s à l'aide d'observations D o p p l e r faites de plusieurs sta tions. Des écarts systématiques ont pu être attribués au chan gement des coordonnées des sta tions par suite d u mouvement d u pôle. C'est ainsi que A n d e r l e et Beuglass (1969) o n t p u r e t r o u ver, à 1 m près, la p o s i t i o n d u pôle déterminée par le Bureau I n t e r n a t i o n a l de l ' H e u r e ( F i g . 19). Cette méthode donne d'ores et déjà des résultats de précision comparable à celle des réseaux d'astrolabes o u de tubes zénithaux photographiques malgré la pré F I G . 19. — Mouvement du pôle déterminé par cision relativement faible des le BIH et le service international des latitudes observations D o p p l e r (équiva {P) comparé à celui qui a été déduit de l'observa lente à 10 m en p o s i t i o n ) , mais tion des sateUites TRANSIT. Echelle en mètres. grâce à une bonne d i s t r i b u t i o n sur la Terre des stations de base d u système T R A N S I T . E n conclusion, nous d i r o n s que l'ensemble des méthodes de géodésie dyna m i q u e permet actuellement de construire u n modèle de Terre avec une préci sion intrinsèque d'une dizaine de mètres, mais que p o u r certaines quantités pardculières, comme la p o s i d o n relative d u pôle, lorsque les équations de conditions se t r o u v e n t avoir une c o n f i g u r a t i o n générale favorable, ces erreurs peuvent descendre à 1 o u 2 m . C'est aussi ce que nous avons constaté p o u r les méthodes géométriques. Cette précision est remarquable puisqu'elle améliore de deux ordres de grandeur les résultats que la géodésie classique terrestre peut donner. Cette précision reste néanmoins en deçà de ce q u ' i l f a u d r a i t o b t e n i r p o u r atteindre des phénomènes liés à la structure et aux mouvements de la croiîte terrestre. M a i s , comme nous le verrons dans la partie suivante, de nouvelles techniques se font j o u r .
CONCLUSIONS
ET MÉTHODES
7. — C O N C L U S I O N S E T M É T H O D E S
D'AVENIR
467
D'AVENIR
En 1969, la «Standard E a r t h » décrite dans les paragraphes précédents, était le meilleur modèle de Terre publié. E n 1971, l'opération I S A G E X ( I n t e r national Satellite Geodesy Experiment) a rassemblé 50 chambres p h o t o g r a phiques et d i x lasers appartenant à seize pays différents ; sept satellites m u n i s de réflecteurs laser o n t été observés pendant sept mois consécutifs. L ' i m p o r t a n t matériel d'observation ainsi rassemblé est analysé par de nombreuses équipes appartenant à divers pays. I l en résultera une amélioration d u modèle de Terre, ne serait-ce que parce que la p r o p o r t i o n de mesures laser à 1,5 m près a u r a considérablement augmenté. Mais la conception même de tels modèles impose une l i m i t e à leur amélio ration. En effet, nous avons admis que le potentiel terrestre était développable en séries d'harmoniques sphériques (formule 5.1) et que l ' o n p o u v a i t n'eu considérer que les premiers termes. O r , ces développements ne convergent que très lentement et ne se prêtent pas à la représentation c o m m o d e des irrégu larités de faible a m p l i t u d e spatiale. Pour décrire des détails ayant des d i m e n sions de l ' o r d r e de 100 k m , i l f a u d r a i t en effet pousser ce développement j u s qu'à n - 300 e n v i r o n , ce q u i exigerait de déterminer plus de 45 000 inconnues et i m p l i q u e r a i t une a u g m e n t a t i o n parallèle d u n o m b r e de stations et de satel lites. D'autres représentations d u potentiel terrestre seraient indispensables dans ce cas. Cependant, l'amélioration prévisible des techniques p e r m e t t r a de faire des progrès n o n seulement dans la détermination d u c h a m p de gravité et de la forme de la Terre, mais dans de n o m b r e u x domaines connexes. C'est a u cours d ' u n colloque à W i l l i a m s t o w n ( M I T , 1970) que, p o u r la première fois, o n a fait le p o i n t des différentes possibilités nouvelles, et que la géodésie spatiale, appliquée à la Physique d u G l o b e et à l'Océanographie a redéfini ses objectifs, ce q u i a eu p o u r conséquence l ' a p p a r i t i o n d'une m u l t i t u d e de nouveaux p r o grammes. Examinons-en quelques-uns, en f o n c t i o n des méthodes de géodésie spatiale décrites précédemment. 7.1. — Méthodes géométriques. — Les télémètres laser v o n t avoir une préci sion améliorée par u n facteur 50. Des lasers expérimentaux de puissance suffisante o n t des largeurs d ' i m p u l s i o n de 0,2 nanoseconde, ce q u i donne une précision n o m i n a l e de mesure des distances de 3 c m . Par ailleurs. M i s s H o p field (1971) a montré que, p o u r les sites de visée des satellites, des mesures de température, pression et degré hygrométrique au sol suffisaient p o u r prédire dans 90 % des cas la réfraction à mieux que quelques millimètres près. Les lasers construits sur ces principes, visant sur des satellites sphériques et très denses c o m m e C A N N O N B A L L proposé au p r o g r a m m e spatial améri cain, p e r m e t t r o n t donc, p a r la méthode d u 6 . 2 , de mesurer la distance de deux stations à quelques centimètres près. Si le satellite a une a l t i t u d e de
468
CHAMP
DE
PESANTEUR
ET
FORME
DE LA
TERRE
4 000 k m , c'est d o n c la distance entre des points distants de 5 000 k m q u i p o u r r a i t être mesurée avec la même précision. I l en résulte que, en quelques années, o n p o u r r a mesurer directement le mouvement des plaques tectoniques les unes par r a p p o r t aux autres à 1 c m p a r a n près. L a technique de radio-interférométrie à longue base, appliquée depuis 1968 à la mesure des diamètres de radio-sources, permet aussi de mesurer la distance entre les deux antennes à une demi-longueur d'onde près. Si la source est une source artificielle (à b o r d d ' u n satellite), o n n'a pas besoin de grosses antennes et l'appareillage est moins coûteux q u ' u n télémètre laser. I l permet en o u t r e de mesurer des déplacements angulaires à 0",001 près p o u r des bases de p l u sieurs milliers de kilomètres. T o u t comme la précédente, cette technique, apportera des i n f o r m a t i o n s de même qualité sur le mouvement r e l a t i f des stations. P a r m i les objets d o n t les télémètres laser peuvent mesurer la distance, figurent aussi des réflecteurs-cataphotes déposés sur la Lune. I c i encore, si deux o u plusieurs stations observent simultanément ces réflecteurs, o n peut déterminer leur distance. M a i s si la mesure se prolonge et si o n suppose que l ' o n connaît bien le mouvement de la Lune, o n peut aussi déterminer le m o u vement de la station, c'est-à-dire sa distance à l'axe de r o t a t i o n de la Terre. N o u s avons là une méthode unique p o u r atteindre l'axe de r o t a t i o n de la Terre et en étudier le mouvement par r a p p o r t à des stations autrement qu'en direction. Avec les lasers centimétriques, o n peut espérer étudier le mouvement d u centre de gravité de la Terre par r a p p o r t aux stations. En même temps q u ' o n déterminera ainsi l'axe de r o t a t i o n de mouvements verticaux des stations dus aux marées terrestres mesurés. Bien entendu, d'autres inconnues se r a p p o r t a n t aux de la L u n e devront être aussi introduites dans la réduction des (voir par exemple Calame et al., 1970).
la Terre, les seront aussi mouvements observations
7.2. — Méthodes semi-dynamiques. — Si la théorie d u mouvement d u satel lite observé par ces méthodes est suffisamment bien connue, ce q u i est le cas des satellites élevés sur lesquels les h a r m o n i q u e s d ' o r d r e élevé n ' o n t pas d'effet sensible, i l est possible d'employer la méthode semi-dynamique (voir 6.4) p o u r déterminer la p o s i t i o n des stations et constater des variations individuelles ou globales de leurs coordonnées. Les satellites d u type C A N N O N B A L L se prêteront particulièrement bien à ces déterminations. Les variations des posi tions dues aux marées terrestres, à la r o t a t i o n de la Terre et a u m o u v e m e n t d u pôle p o u r r o n t ainsi être déterminées avec des précisions comparables à celles des mesures laser, c'est-à-dire de quelques centimètres. L a mesure précise de ces mouvements sera une source précieuse de renseignements sur la structure de la Terre (voir C h a p . 21). 7.3. — Méthodes dynamiques. — N o u s avons v u que l ' e m p l o i des méthodes dynamiques avec cet ordre de précision se heurtera a u problème de la repré sentation d u potentiel terrestre. D e n o m b r e u x t r a v a u x sont à présent consacrés
CONCLUSIONS
ET
MÉTHODES
D'AVENIR
469
à ce problème. E n le supposant résolu, i l reste deux difficultés : la présence de forces n o n gravitationnelles agissant sur le satellite et la difficulté d'avoir une couverture totale de l ' o r b i t e d ' u n satellite. En effet, p o u r étudier de façon détaillée le c h a m p de g r a v i t a t i o n , o n a inté rêt à a v o i r des satellites bas. M a i s , à des altitudes de 200 o u 300 k m , le f r o t t e ment atmosphérique est très f o r t et impossible à calculer. P o u r le compenser exactement, o n m u n i t les satellites d ' u n système compensateur de traînée. Une bille est placée au centre d'une cavité munie de senseurs et, dès qu'elle se rapproche d'une p a r o i , une poussée est appliquée au satellite et ramène les parois à la p o s i t i o n initiale par r a p p o r t à la bille. L a bille n'étant soumise qu'aux forces de g r a v i t a t i o n , le satellite se déplace sur la trajectoire q u ' i l aurait eue si ces seules forces existaient. Pour assurer une poursuite continue d u mouvement d ' u n satellite, o n a imaginé de le faire observer par u n o u plusieurs autres satellites. Dans u n projet américain, i l est observé p a r trois satellites géostationnaires. Dans u n projet français, o n place deux satellites sur des orbites tellement voisines, qu'ils restent en vue l ' u n de l'autre pendant plusieurs semaines. Dans le premier cas, on détermine la p o s i t i o n des satellites de poursuite p a r des méthodes géomé triques et semi-dynamiques ce q u i permet de reporter sur la p o s i t i o n d u satel lite étudié toute la précision des systèmes de poursuite. Le projet des satel lites j u m e a u x à traînée compensée est de dépouillement plus délicat, mais o n montre qu'avec quelques mesures de p o s i t i o n à partir d u sol, o n peut avoir en quelques mois de poursuite réciproque, une couverture totale d u c h a m p de gravité de la Terre. Si les méthodes de poursuite adoptées o n t des précisions de l'ordre de 3 c m c o m m e c'est maintenant possible, la précision avec laquelle o n connaît le c h a m p de gravité terrestre p o u r r a i t être augmentée de deux ordres de grandeur. O n déterminera en même temps ses variations dues aux mouvements des pôles, aux marées, etc.. 7.4. — Satellite altimétrique. — Si, par l'une des méthodes ci-dessus, o n peut déterminer la trajectoire d ' u n satellite et que ce satellite mesure, à l'aide d ' u n radar embarqué, sa distance à la surface de la mer, o n peut ainsi rétablir la forme exacte de la surface des océans p a r r a p p o r t au système de référence de l'orbite d u satellite. T e l est le principe d u satellite aldmétrique. L a première expérience de ce type sera embarquée à b o r d d ' u n Skylab américain. Dans u n premier stade, lorsque la mesure se fera à quelques mètres près, on p o u r r a confondre le niveau des océans avec le géoïde et o n o b t i e n d r a ainsi une nouvelle détermination indépendante de la f o r m e de la Terre. Plus t a r d , lorsque l a précision a t t e i n d r a une f r a c t i o n de mètre, o n mesurera l'écart entre le niveau des mers et le géoïde déduit d u potentiel terrestre et les mesures seront d ' u n intérêt majeur p o u r l'Océanographie. 7.5. — Conclusion. — L a diversité des techniques nouvelles possibles per m e t t r o n t de mesurer indépendamment avec une très grande précision les
CHAMP
470
DE PESANTEUR
ET FORME
DE LA
TERRE
divers paramètres géodésiques (champ de gravité et forme de la Terre), les mouvements
lents de l'écorce terrestre, ses déformations rapides
les composantes
et
toutes
de son mouvement de rotation. Toutes ces quantités ainsi
qu'il est expliqué dans plusieurs chapitres de ce livre, sont fondamentales dans l'étude de la Terre. O n peut donc dire que l a géodésie spatiale va devenir un instrument essentiel dans l'exploration d u globe terrestre et dans l'étude de sa structure
interne.
BIBLIOGRAPHIE
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CHAPITRE
17
ISOSTASIE, PROPRIÉTÉS RHÉOLOGIQUES D U M A N T E A U SUPÉRIEUR par Louis L L I B O U T R Y
1. — C O N C E P T S DE
RÉGIONALITÉ,
D'ISOSTASIE,
ET ANCIENS
MODÈLES
1.1. — Equilibre isostatique et anomalie isostatique. — Dès 1749, Bouguer trouvait u n déficit dans l'intensité de la pesanteur a u C h i m b o r a z o . A u m i l i e u du siècle dernier, le géodésien anglais Everest s'apercevait que la déviation de la verticale au voisinage de l ' H i m a l a y a n'était que le tiers de celle q u ' a u r a i t dû p r o v o q u e r cet i m p o s a n t relief (Jeffreys, 1970, p. 210 et suiv.). L e globe terrestre est donc plus léger là où i l y a des montagnes qu'ailleurs. I l d o i t en être ainsi à p a r t i r d u m o m e n t où l ' o n admet q u ' e n p r o f o n d e u r l a matière est moins rigide q u ' e n surface, de façon à permettre des mouvements verticaux, n o t i o n bien établie p a r les géologues. Les montagnes doivent flotter sur une couche fluide à l'échelle des temps géologiques, couche baptisée par les géo logues asthénosphère ( d u grec asthénès, faible). L a couche rigide et flottante dessus sera la Uthosphère. E n état d'équilibre statique (nous excluons p o u r l'instant la possibilité de courants permanents de matière), les contraintes dans l'asthénosphère doivent se réduire à une pression hydrostatique, u n i f o r m e à un niveau donné dès q u ' o n est en dessous d ' u n certain niveau de compensation. I l est évidemment intéressant de savoir jusqu'à quel p o i n t cet état d'équi libre, appelé équilibre isostatique, est réalisé, et naturel de s'adresser p o u r cela aux mesures gravimétriques. Supposons q u ' u n e montagne crée u n excédent de masse au-dessus d u niveau de la mer, d o n t le poids est équilibré ( o n néglige ici la c o u r b u r e de la Terre) p a r u n déficit de masse, égal en valeur absolue, en profondeur. L a pesanteur mesurée en surface, après c o r r e c t i o n à l ' a i r l i b r e (Chap. 16), devra être comparée à la pesanteur théorique n o r m a l e à cette latitude, augmentée de l ' a t t r a c t i o n de la masse de la montagne, diminuée de l ' a t t r a c t i o n de la masse absente en p r o f o n d e u r . Ces deux masses étant égales.
474
ISOSTASIE
mais à des distances de la surface différentes, les anomalies gravimétriques qu'elles p r o v o q u e n t ne se compenseront pas. Pour simplifier, supposons une montagne en forme de plateau circulaire d ' a l t i t u d e h, de rayon R, de densité p. L ' a t t r a c t i o n due à ce plateau, à sa surface et en son centre, est, G étant la constante de g r a v i t a t i o n : g , = 2 nGpih
- χ/Λ' + A ' + R).
(1)
Supposons que cette masse soit équilibrée p a r u n déficit de densité Δ ρ sur une épaisseur Δ ζ , à la p r o f o n d e u r z, et dans u n même rayon R ( F i g . 1 ). Le déficit de pesanteur correspondant a u même p o i n t est : g2 =
-2nG
Δ ρ [ Δ ζ - J R'
+ (/, + z + àzf
+ ^1 R' + {h + zf]
(2)
Si h et Δ ζ sont très petits devant R gi Λ 2 g, *
nGph
— 2
Δρ Δ ζ
1
h + ζ + (h +
(3) ζΫ^
Si l'équilibre isostatique est réalisé ph = Δ ρ . Δ ζ . Les deux p e r t u r b a t i o n s h t s'annuleront seulement si (h + z) est petit devant R. Encore faut-il tenir compte d u fait que, en dehors de ζ l'axe, en surface, la verticale est modifiée p a r la présence de la m o n y tagne, la verticale descendante y converge vers l'axe, et donc le géoïde présente une bosse de hauteur Λ^. Δ ζ L ' a l t i t u d e de la montagne n'est plus h, mais h - N. L e calcul de n'est pas simple, car i l résulte d'une inté F I G . 1. — Calcut de l'anomalie gravimé grale étendue à t o u t l'ensemble d u trique créée par un plateau cylindrique de Globe. Pour l'instant, nous négli luiideur li et par sa racine d'épaisseur isz. gerons cette c o r r e c t i o n . Dans ce cas, l'équilibre isostatique a u r a créé une parfaite compensation isostatique (sous-entendu : des anomalies gravimétriques). Les montagnes n'affecteront pas plus la pesanteur que si elles étaient creuses, et i l n ' y aura pas lieu d'appliquer, aux valeurs de la pesanteur mesurée, la c o r r e c t i o n de B o u guer correspondante (correction « de plateau » et c o r r e c t i o n « t o p o g r a p h i q u e » , Chap. 16 et 24) ; d u moins p o u r des études à l'échelle régionale, car à l'échelle locale (prospection gravimétrique) i l devient absurde de supposer que chaque butte et chaque v a l l o n sont i n d i v i d u e l l e m e n t compensés. U n certain lissage s'opère, sur lequel nous reviendrons.
if)
ι
CONCEPTS
D'ISOSTASIE,
DE
RÉGIONALITÉ
475
En négligeant toujours la p e r t u r b a t i o n apportée a u géoïde, mais en tenant compte des extensions latérales finies q u ' o n t les p e r t u r b a d o n s , o n p o u r r a modifier la c o r r e c t i o n de Bouguer de façon à tenir compte des p e r t u r b a t i o n s de densité en p r o f o n d e u r . L ' a n o m a l i e de la pesanteur résiduelle deviendra l'anomalie isostatique, terme a m b i g u car l'équilibre isostatique n'est j a m a i s réalisé : en plus de l'influence des dimensions finies des masses, signalé plus haut, i l peut y avoir des anomalies de densité dans l'asthénosphère o u en des sous, q u ' a u c u n mouvement vertical d'origine isostalique ne saurait annuler. 1.2. — Modèle d'Airy-Vening Meinesz. — Pendant longtemps, les géodésiens préoccupés de déterminer la forme d u géoïde o n t effectué une c o r r e c t i o n iso statique standard en utilisant l ' u n o u l'autre des deux modèles simplistes de Globe proposés dès 1854. Dans les deux modèles, la lithosphère a une densité uniforme le l o n g d'une verdcale, inférieure à celle de l'asthénosphère. Dans le modèle de Pratt la l i m i t e inférieure de la lithosphère est une surface de niveau, et il y a dans la lithosphère des variations latérales de densité. Dans le modèle d'Airy ( F i g . 1) la lithosphère a une densité u n i f o r m e p, mais elle s'enfonce plus o u moins dans l'asthénosphère, de densité ρ + Αρ. ( A u niveau de l ' i n t e r face, i l continue donc d'y avoir des variations latérales de densité, puisque à profondeur constante, la densité prend l'une o u l'autre de ces deux valeurs selon les lieux.) Les montagnes seraient ainsi supportées par des « racines » reproduisant en négatif le relief de la surface, plus o u moins lissé, et amplifié par un facteur p/A/;. Inversement, sous les dépressions de la surface, l'asthé nosphère s'élèverait en « antiracines » . Dans l ' u n o u l'autre modèle, o n a admis au début q u ' i l y avait compensa tion isostatique séparément p o u r chacun des prismes verticaux de lithosphère dont o n suppose la hauteur u n i f o r m e dans les calculs effectués. Puis V e n i n g Meinesz i n t r o d u i s i t dans le modèle d ' A i r y l'idée de régionalité de la compen sation. Ses arguments, basés sur l'identification fausse de la lithosphère avec la croûte des sismologues, sont sans valeur, mais l'idée, elle, est bonne. L a lithosphère peut être considérée c o m m e une plaque élastique mince, q u i se déforme en cuvette sous l a charge concentrée d ' u n prisme. L a « racine » calculée p o u r chaque prisme d o i t être étalée selon une certaine l o i (cf. § 5 . 2 et figure 2). Dans le modèle d ' A i r y - V e n i n g Meinesz s ' i n t r o d u i t ainsi u n deuxième para mètre i n c o n n u et ajustable, lié à l a rigidité de l a croiite. L'hypothèse q u ' u n e montagne est isostatiquement compensée n'impose plus la valeur de Δ ζ Δ ρ , mais celle de Δ ζ ( Δ ρ , / / 2 ) ' ' ^ , //^ étant l'épaisseur de l a lithosphère. A l'inverse de ce q u i se produisait dans la compensation locale, o n peut d i m i n u e r le contraste de densité en supposant q u ' i l se p r o d u i t à une p r o f o n d e u r H suffisante. L a découverte d u M o h o , séparant une croûte d ' u n manteau avec u n saut de densité de l ' o r d r e de 0,6 g/cm^ suggéra l'idée, q u ' o n sait a u j o u r d ' h u i fausse, q u ' i l fallait assimiler la lithosphère à l a croûte des sismologues. Partant de l'idée (que rien ne justifie) que l'anomalie à l'isostasie p o u v a i t ne pas être nulle.
476
ISOSTASIE
(α)
F I G . 2.
a) Modèle d'Airy
;
b) Modèle de Vening-Meinesz,
où la racine a été étalée.
mais devait être u n i f o r m e sur de vastes régions, Heiskanen t r o u v a i t une épais seur de 52 k m p o u r la lithosphère sous le bassin de Ferghana, 31 k m sous les Alpes, 18 k m sous les océans, soit des valeurs acceptables à l'époque p o u r l'épaisseur de la croûte. 1.3. — Conceptions actuelles. — L ' a u g m e n t a t i o n de nos connaissances sur l'intérieur d u G l o b e a r e n d u caducs ces modèles, même en ne c o n f o n d a n t plus croûte et lithosphère et en conservant la n o t i o n de compensation régionale de V e n i n g Meinesz. D i x ans après u n exposé se v o u l a n t définitif des corrections isostatiques (Heiskanen et V e n i n g Meinesz, 1958), elles sont totalement abandonnées par les gravimétristes. A u j o u r d ' h u i ceux-ci se contentent d'effec tuer les corrections à l ' a i r l i b r e et de Bouguer, en attendant que la sismologie, et éventuellement des forages, a p p o r t e n t d'autres i n f o r m a t i o n s sur la région considérée. L e modèle est ensuite élaboré à p a r t i r de toutes les i n f o r m a t i o n s disponibles. Les concepts d'isostasie et de régionalité n ' o n t pas d i s p a r u p o u r a u t a n t , n i même l'idée que les variations latérales de densité pouvaient être soit réparties dans toute l'épaisseur d'une couche (modèle de P r a t t ) , soit concentrées à des interfaces (modèle d ' A i r y ) . Seulement o n sait a u j o u r d ' h u i que :
ORIGINE
DES
ANOMALIES
GRAVIMÉTRIQUES
Ail
1° L'asthénosphère n'est pas hmitée par des contrastes de densité i m p o r tants. Les plus i m p o r t a n t s sont ailleurs. I l y en a dans la lithosphère q u i , p a r un déplacement vertical d'ensemble, peuvent assurer l'isostasie. M a i s la flui dité permettant ces déplacements se trouve à un niveau inférieur. 2° Les limites de l'asthénosphère n'étant pas matérielles, mais corres pondant à une certaine r e l a t i o n entre température et pression, i l peut y a v o i r eu enfoncement de la lithosphère et d o n c d u M o h o sans que la l i m i t e l i t h o sphère-asthénosphère soit nécessairement déprimée. 30 11 y a aussi des variations latérales de densité dans l'asthénosphère et en dessous. T o u t e compensation isostatique parfaite est donc exclue. 40 A l'échelle d u G l o b e , celui-ci n'est pas en parfait équilibre hydrostatique par suite de courants permanents de matière dans le manteau (tome 11). 2. — LE PROBLÈME ORIGINE
DES A N O M A L I E S
INVERSE : GRAVIMÉTRIQUES
L o r s q u ' o n cherche à interpréter les données gravimétriques à l'échelle d u Globe, o n ne peut plus négliger les p e r t u r b a t i o n s apportées au géoïde par les variadons latérales de densité. Ce sont d'ailleurs les o n d u l a t i o n s d u géoïde (TV), ainsi que la p e r t u r b a t i o n d u géopotentiel à l'extérieur d u G l o b e {V), c'est-à-dire la différence avec le potentiel p r o d u i t par u n géoïde sphérique (formé de couches homogènes sphériques concentriques) que l ' o n déduit a u j o u r d ' h u i des éphé mérides des satellites artificiels. O n obtient ainsi les amplitudes des h a r m o niques sphériques correspondants (Chap. 16). Soit θ la colatitude géocentrique, φ la l o n g i t u d e , Y„JO, φ) les h a r m o n i q u e s sphériques normalisés, q u i sont des polynômes de degré n en cos 0 (Chap. 25).
(1)
L'anomalie
gravimétrique
est de même : (2)
A une distance r' d u centre d u G l o b e , la densité fluctue de à.p{r', Θ, φ) a u t o u r de sa valeur moyenne à cette distance (ce peut être une v a r i a t i o n d u type P r a t t , sur toute l'épaisseur d'une couche, o u d u type A i r y , là où existe une interface à contraste de densité de p r o f o n d e u r variable). co
Δρ
=
Σ
m
Σ
PnÀr')
φ).
(3)
ISOSTASIE
478
O n démontre les relations suivantes, valables si le géoïde c o n t i e n t toutes les masses ( C h a p . 16). ( L ' a n o m a l i e gravimétrique considérée est d o n c celle à l ' a i r hbre.)
y.,.
g'y'.n,
(2η
+
\)α·
r'""'p„.(r')dr'.
(4)
11 en ressort que plus les v a r i a t i o n s de densité sont p r o f o n d e s {r'/a p e t i t ) et plus elles sont locales ( « et m élevés), plus elles d o i v e n t être fortes p o u r créer une a n o m a l i e donnée. Signalons quelques travaux récents, n o n parce qu'ils aboutissent à des conclusions indis cutables, mais parce qu'ils semblent o u v r i r de nouvelles voies de recherche. Avec u n modèle n'admettant qu'une seule surface à contraste de densité de profondeur variable, mais sans variations latérales à l'intérieur des couches, Higbie et Stacey (1971) doivent la situer à moins de 1 000 k m de profondeur (vers 650 k m ?) pour rendre compte des variations d u géopotentiel. Ce modèle est évidemment t r o p grossier. A r k a n i - H a m e d (1970) part aussi des variations mesurées d u géopotentiel, mais i ! calcule directement l'effet des 50 k m les plus voisins de la surface. Pour cela i l tient compte de la topographie d u G l o b e et des densités dans cette couche, déduites de la vitesse des ondes sismiques par la formule de B i r c h (Chap. 21). Cette couche est plus légère (— 0,35 g/cm') à l'emplacement des boucliers cristallins, plus lourde (+ 0,16 g/cm-') à l'emplacement des bassins océaniques. Ne préjugeant aucun équilibre isostatique, il écrit ensuite que le Globe est en équilibre élastique en utilisant les relations de la théorie des marées terrestres. Les paramètres élastiques sont supposés ne dépendre que de r', mais non la densité. Enfin, pour que le problème soit déterminé (il p o u r r a i t y avoir par exemple une coque en état d'extension ceinturant u n cœur en état de compression), i l admet que l'énergie totale de distorsion dans tout le manteau est minimale. Ce serait rigoureusement vrai, vu que les contraintes peuvent se relaxer par fluage, s'il n ' y avait pas de courants de convection dans le manteau, et pas de forces exercées par
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F i G . 3. — Variations latérales de densité entre 125 et 225 k m de profondeur (en g/cm'), selon A R K A N I - H A M E D , 1970.
ORIGINE
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F I G . 4 . — Variations latérales de densité entre 4 0 0 et 1 0 0 0 k m de profondeur (en g/cm^), selon A R K A N I - H A M E D , 1 9 7 0 .
des courants dans le noyau. Les variations latérales de densité q u ' i l trouve sont inversées par rapport à la surface entre 5 0 et 4 0 0 k m , de même signe entre 4 0 0 et I 0 0 0 k m (Fig. 3 et 4 ) . L'amplitude q u ' i l leur trouve dans cette couche profonde est peu vraisemblable. D o r m a n et Lewis ( 1 9 7 0 ) se servent exclusivement des données gravimétriques, en admettant q u ' i l y a u n équilibre isostatique régional. Plus précisément ils admettent une relation linéaire entre les fluctuations de densité en u n p o i n t (β', φ', r') et l'altitude h de la surface au p o i n t (0", φ", a). La fluctuation de densité au point ( C , φ', r') peut alors s'exprimer par une intégrale, étendue à toute la surface d u Globe, de la fonction h(P", φ") multipliée par u n certain noyau k(r', y"), où γ" est la distance angulaire entre les points (0", φ") et (Ο', φ') d'une même sphère : Al>(0', φ', r')
=
h(0", ψ").kir',
f).dS".
(5)
Etendant au domaine sphérique la définition des convolutions sur l'axe des réels, nous dirons que Ap résulte de la c o n v o l u t i o n des fonctions Λ et ^ et l'écrirons : Ap = Λ * k
(6)
A u p o i n t φ, φ, a), situé à une distance p de (β', φ', r'), le potentiel créé sera G Ap/p. Désignons par la distance angulaire entre les points (Ο', φ') et (0, φ) d'une même sphère, et par d(r', γ') la valeur de 8(ljp)/dr pour r = a. Le champ créé par Ap en (Ο', φ', r') au point (0, φ, a) est G Ap.d(r', γ'). Les Ap existant à tous les (Ο', φ', r') du G l o b e provoquent une anomalie gravimétrique en (0, φ, a) : ^g(0,
φ) = G
Gh *
h(0", φ").kir', •/').dir',
k(r',-/')
* dir,-/).0/
.
;'').dS".di'.d5'
(7)
ISOSTASIE
480
Définissons une fonction « réponse gravimétrique » : '« r W - G
k(r\-/)*d(r\y').dr'
.
(8)
• 0
Elle ne dépend plus que de ;•, distance angulaire entre les points (Θ, φ) et (0", φ'). Alors : Ag(0,
φ)
h(0% φ") * r(y) .
(9)
L'anomalie gravimétrique que l ' o n calcule ainsi est celle de Bouguer, car o n n'intègre que jusqu'à r' = a, sans tenir compte de la topographie. Cette anomalie provient des déficits de masse en profondeur qui assurent l'isostasie. (Si o n ajoutait l'action du relief, o n aurait la différence de deux quantités voisines, toutes deux fonctions linéaires de la topographie, et les termes en deviendraient prépondérants.) O n sait que la transformée de Fourier d'une c o n v o l u t i o n de deux fonctions est le produit ordinaire des transformées de Fourier de ces deux fonctions. U n e propriété analogue existe pour des convolutions sur la surface d'une sphère, en remplaçant transformées de Fourier par harmoniques sphériques (désignés par les mêmes lettres affectées des indices n, m) : 4π g ii m ^ 2 IJ i
'
A y a n t calculé les g,im et les li,„„, o n en déduit les rnm. (Dans la pratique pour calculer les hnm o n peut négliger la courbure de la Terre : la décomposition en harmoniques sphériques se réduit alors à une transformation de H a n k e l , utilisant les fonctions de Bessel.) Le pôle étant situé au p o i n t où l ' o n calcule la réponse gravimétrique r(y), celle-ci doit être indépendante de φ et i l ne doit apparaître que des termes r„ avec m = 0. S'il n'en est pas ainsi, par suite d'une anisotropie due à des phénomènes géologiques (variations latérales de constitution en profondeur dans l'esprit des auteurs, phénomènes géodynamiques détruisant l'isostasie selon nous), o n fera une moyenne pour tous les azimuts φ. Pour tenir compte de la rigidité de la croûte, les auteurs suppriment préalablement dans Ihim et dans Ag„m toutes les courtes longueurs d'onde (n élevés). Q u ' i l faille faire ainsi est prouvé par la bonne corrélation q u i apparaît alors entre la topographie h et l'anomalie de Bouguer Ag. Connaissant les r„, i l faut ensuite calculer k{r', γ"). D o r m a n et Lewis établissent la formule suivante, où ju = r'/a
Rii
-••^
A/ — T V 4π
r„
-
o2
(n
k(M).fi''dfi.
1)
(Il)
0
Cette dernière relation peut être inversée, mais non sans m a l , et en faisant appel à un software de haut niveau. Bien que partant de 80 000 données gravimétriques sur le territoire des U . S. A . rassemblées par W o o l l a r d , les résultats de D o r m a n et Lewis ne sont pas, à leur avis, définitifs. Le contraste de densité Ap trouvé dépend d u filtrage des courtes longueurs d'onde de la topographie et des données gravimétriques adoptées, autrement d i t de la régionalité de la compensation adoptée. Dans tous les cas l a présence de montagnes s'accompagnerait d'une d i m i n u t i o n de densité autour de 60 k m et 250 k m de profondeur, mais aussi d'une augmentation de densité vers 120 k m et vers 400 k m (Fig. 5).
MOUVEMENTS
g / cm
VERTICAUX
481
(q / cm^)x Km X 10 m
4
-1
TO
0
+60
+ 120
ë
+ 2 5 0
I
1 — 9 5 %
Intervalle de confiance
+
400
(°)
(b)
F I G . 5. — Modification de la densité Ap{z) à la profondeur z par mètre de relief en surface, calculée par DORMAN et LEWIS ( 1 9 7 0 ) , par inversion des données gravi métriques relatives aux USA. a) Résultat en adoptant pour Ap{z) des polynômes de divers degrés ; b) Résultat en adoptant
p o u r Ap{z) une d i s t r i b u t i o n à des niveaux
(Les niveaux doivent être choisis a priori
discrets.
pour que la procédure soit convergente).
En analysant leurs résultats à la lumière de la théorie de Backus et G i l b e r t (Chap. 20), D o r m a n et Lewis (1972) concluent que les fluctuations de densité vers 120 et 250 k m ne sont pas significadves. Celle vers 60 k m peut t o u t aussi bien être vers 40 k m et d o i t correspondre à l'enfoncement d u M o h o . Quant à l ' a u g m e n t a t i o n de densité vers 400 k m , elle d o i t correspondre à une remontée de la discontinuité olivine-spinelle sous l'effet de la pression. 3. — M O U V E M E N T S
VERTICAUX
3.]. — Variation du niveau des océans. — Les géologues, t r o u v a n t des sédi ments marins plissés à des miOiers de mètres d ' a l t i t u d e o u des faciès néritiques crétacés à 2 000 m de p r o f o n d e u r sous l'océan (au sommet de guyots), nous o n t habitué à l'idée de mouvements verticaux i m p o r t a n t s de l'écorce terrestre. Evidemment ces mouvements ne sont repérés que p a r r a p p o r t a u niveau des océans. O n admet a u j o u r d ' h u i volontiers que les eaux océaniques (1,37 X 10*^ k m ^ ) , ainsi que l'atmosphère, o n t été libérées lors de la f o r m a d o n
ISOSTASIE
482
de la croûte à p a r t i r d u manteau ( i l y a accord q u a n t i t a t i f p o u r l'eau c o m m e p o u r l ' a r g o n atmosphérique, selon M a g n i t s k y , 1964), et cette f o r m a t i o n de croûte se p o u r s u i t aux crêtes à la cadence de 1,8 k m ' / a n depuis la solidification d u G l o b e (320 k m ^ par kilomètre de crête pendant les derniers 10 m i l h o n s d ' a n nées selon M e n a r d , 1967). 1/9 de l'océan a donc p u se constituer au cours des temps fossilifères, mais cela ne fait qu'une élévation de moins de 1 m d u n i v e a u des océans par m i l l i o n d'années. O n a parfois invoqué les déplacements d u pôle : le gonflement équatorial (22,6 x cos^ φ k m , si ψ est la latitude) des océans est instantané, celui de la Terre suit avec u n retard q u i ne semble pas p o u v o i r être supérieur à celui que met le relèvement isostatique post-glaciaire p o u r s'effectuer, mettons 10 000 ans. 11 f a u d r a i t que le pôle se déplace de quelques degrés pendant ces 10 000 ans p o u r retrouver l ' o r d r e de grandeur de l'enfoncement des guyots : c'est totalement exclu. O n verra a u tome 11 que cet enfoncement des guyots est dû en grande partie à leur t r a n s p o r t de la crête des dorsales vers les bassins latéraux. Plus importantes sont les fluctuations d u niveau des océans dues aux glaciadons (variations glacio-eustadques). 11 a dû baisser d ' e n v i r o n 140 m au m o m e n t d u m a x i m u m glaciaire, comme en témoigne une plage immergée assez générale sur le globe. Les variations au cours des derniers 10 000 ans sont assez bien connues (Schofield, 1964 ; nous les reproduisons F i g . 6). L a fonte totale des
T
1
1
1
r-—I
1
1
Mètres 1 1
F I G . 6. —
(I) (4)
auteurs.
Variation
du niveau
Mètres
1
1
1
des océans au cours
Valeurs rassemblées et discutées par
ROSENDAHL,
MCFARLAN,
1956.
1961.
(5)
(2)
GODWIN
SCHOFIELD,
1
1
1
1
1
1
1
I 1 1 1 I I I L 1 1 I 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Ans a v a n t le présent (xlOOO)
Ls_i Ù I I 1 \ 1 1 1 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Ans avant le présent ( x 1000 )
divers
I
et
1964.
al., (6)
des derniers
SCHOFIELD, 1958.
(3)
THOMSON,
1 0 0 0 0 ans
selon
1964. FAIRBRIDGE, 1964.
1961.
MCFARLAN
a
utilisé les données d u delta d u Mississipi, S C H O F I E L D celles de Nouvelle-Zélande, R O S E N D A H L et T H O M S O N celles de Fennoscandie (compte tenu d u relèvement post-glaciaire), G O D W I N et al. et F A I R B R I D G E des données diverses, assez hétérogènes.
MOUVEMENTS
VERTICAUX
483
glaces actuelles ferait m o n t e r le niveau (compte tenu de l ' i n o n d a t i o n des basses terres et d u réajustement isostatique) d'une cinquantaine de mètres. L a dégla ciation actuelle a fait m o n t e r le niveau des mers de 6,1 c m entre 1900 et 1950 (Maksimov, i960), v a r i a t i o n q u i apporte seulement un terme c o r r e c t i f lors des mesures géodésiques des mouvements actuels de la croûte terrestre. 3.2. — Mouvements tectoniques. — L'érosion des chaînes de montagnes jeunes est de l ' o r d r e de 200 m / M a n ; celle de l'ensemble des continents serait en moyenne de 90 m / M a n (33 m / M a n p o u r l'ensemble des U . S. Α . ) . S'il n'y avait pas de surrections, t o u t le relief actuel serait arasé en 10 millions d'années. M a i s par ailleurs les Andes centrales par exemple se sont élevées de 6 k m en 13 m i l l i o n s d'années, et le cisaillement des moraines wiirmiennes, abandonnées par la glace i l y a 10 000 o u 15 000 ans, à leur débou ché dans des rifts ( q u i ne sont en général que des blocs s'étant moins soulevés que les autres), atteste que ce soulèvement se p o u r s u i t pendant le Récent (le p o s t - W u r m ) . Les vieilles terrasses émergées de la Méditerranée occidentale, montrent, surimposé à des fluctuations d ' o r i g i n e glacio-eustadque, u n soulève ment d'une centaine de mètres a u cours d u dernier m i l l i o n d'années. Inversement, des zones où la sédimentation est forte s'affaissent : deltas du Mississipi o u d u N i l , plate-forme continentale des bords de l ' A t l a n t i q u e (c'est la « flexure continentale » i n t r o d u i t e par B o u r c a r t ) . O n l'a souvent attribué à un enfoncement isostatique sous le poids des sédiments, mais ceux-ci ayant une densité très inférieure à celle d u manteau supérieur (et de plus i l faut en retrancher la densité de l'eau de m e r ) , le mouvement a u r a i t dû vite s'arrêter, le niveau des sédiments atteignant celui de l'Océan. La sédimentation prolongée est donc la conséquence, et non la cause de la subsidence. D a n s le cas de la flexure continentale, o n peut mettre en cause le couple s'exerçant sur le bord des continents ; à la base de la croûte continentale, la pression dans la roche (pression lithostatique) équilibre celle d u domaine océanique adjacent ; plus haut, elle l u i est supérieure. Cette explication ne vaut pas p o u r des bassins sédimentaires a u sein des continents, comme celui de M o s c o u , q u i se sont affaissés pendant presque toute la durée des temps géologiques, de 6 à 10 k m a u t o t a l . N o t o n s que la cause première d o i t en être recherchée au niveau de la lithosphère, p u i s q u ' i l semble a u j o u r d ' h u i certain que les plaques de lithosphère dérivent par r a p p o r t aux couches sous-jacentes. La conclusion de ce rapide survol, c'est q u ' i l y a sur le G l o b e d ' i m p o r t a n t s mouvements verticaux, dans les deux sens, q u ' o n ne peut pas expliquer par le jeu de l'isostasie. L a d i s t i n c t i o n entre mouvements « isostatiques » (subsidence si l'anomalie gravimétrique est positive, émergence si elle est négative) et m o u vements « anti-isostatiques » où c'est l'inverse, faite par A r t y u s h k o v et Mescherikov (1969) sera peut-être utile p o u r élucider les causes des mouvements, mais ces dénominations sont fallacieuses. Citons-en des exemples : Subsidence,
anomalie positive : plaine hongroise ;
484
ISOSTASIE
Emergence, anomalie négative : côte d ' A f r i q u e d u S u d , zone B a l k a c h - I l i ; Subsidence, anomalie négative : bassin de Ferghana ; Emergence,
anomalie positive : Balkans.
Les seuls cas où l ' o n a i t i n d u b i t a b l e m e n t des mouvements isostatiques à l'état p u r , parce q u ' i l s'agit de vieux socles précambriens t e c t o n i q u e m e n t stables (mêmes s'ils ne sont pas absolument exempts de t o u t séisme), et que l a cause d u soulèvement est connue, c'est le relèvement post-glaciaire de la Scandi navie et la Finlande (Fennoscandie) et d u bouclier canadien. O n peut y ajouter la région d u G r a n d Lac Salé, reste d u grand lac Bonneville a u j o u r d ' h u i asséché (bien que la b o r d u r e Est soit tectoniquement active). L'étude de ces soulè vements est précieuse p o u r la connaissance des propriétés rhéologiques d u manteau supérieur, aussi en donnerons-nous une description détaillée. 3 . 3 . — Soulèvement post-glaciaire. — L e relèvement q u i a suivi l a d i s p a r i t i o n des grandes calottes glaciaires nous est c o n n u à l'époque h i s t o r i q u e p a r l'exhaus sement des quais dans les p o r t s de la Baltique. I l a été v o i s i n d u mètre p a r siècle. A i n s i S t o c k h o l m f u t bâti à l a sortie d ' u n f j o r d , devenu a u j o u r d ' h u i le lac M a l a r auquel o n d o i t accéder p a r u n système d'écluses. I l y a aussi eu des nivellements géodésiques de la F i n l a n d e en 1900 et 1945. M a i s la masse des i n f o r m a t i o n s p r o v i e n t des anciennes plages marines a u j o u r d ' h u i soulevées istrandlines). Ces plages se sont formées lors de montées générales d u niveau des océans, q u i , égalant l'exhaussement d u sol, stabilisaient le niveau atteint p a r l a m e r pendant de nombreuses années. Elles o n t été très exactement datées sur le p o u r t o u r de l a Baltique p a r D e Geer et son école à l'aide de varves. Les varves sont des sédiments à granulométrie alternée, de période annuelle, p a r suite de l'intense fonte estivale des calottes glaciaires en récession. Les séquences peuvent être corrélées sur des dépôts éloignés. Les datages a u C } i de bois flottés o n t confirmé l'exactitude de cette méthode, et o n t été extensément u t i lisés ailleurs. U n e erreur possible est de tenir p o u r marines celles q u i furent des plages lacustres (la Baltique f u t ainsi u n lac pendant u n certain temps), mais les coquillages q u ' o n y trouve permettent de le savoir. U n e c o r r e c t i o n d o i t être faite p o u r tenir compte de la v a r i a t i o n d u niveau des océans. U n e autre n o n faite car t r o p difficile devrait compenser la m o d i f i c a t i o n d u géoïde causée par la d i s p a r i t i o n de la glace en dehors de toute déformation d u G l o b e . Les plages n'ayant p u se f o r m e r qu'à p a r t i r d u m o m e n t où la glace avait quitté les lieux, o n n ' a pas les premières étapes d u soulèvement dans les zones centrales : côte suédoise entre l a rivière A n g e r m a et U m e a (plus haute terrasse, âgée de près de 9 200 ans, 280 m , 314 m après c o r r e c t i o n ) , côte Ouest de l a baie d ' H u d s o n (plus haute terrasse âgée de 7 000 ans : 210 m , 230 m après correction). E n se référant à une même terrasse bien caractérisée, o n peut tracer des lignes d'égal soulèvement o u isobases ( F i g . 7). Ce sont des ovales réguliers, concentriques aux moraines terminales q u i , à la périphérie, m a r q u e n t
F I G . 7. — Moraines périphériques (avec leur âge av. J.-C.) et isobases en Fennoscandie. D'après LLIBOUTRY, 1965.
ISOSTASIE
486
les longues périodes de stationnement o u les avances momentanées de la calotte glaciaire. N e citons que les dernières moraines bien développées, correspondant à une époque où la calotte glaciaire a dû atteindre u n p r o f i l d'équilibre, et que l ' o n peut prendre comme p o i n t de départ p o u r étudier le phénomène. E n Scandinavie, les moraines de Salpausselka, dans le Sud de la F i n l a n d e , et celle de S t o c k h o l m se formèrent entre 10 700 et 10 000 ans avant le présent. La calotte avait alors 800 x 1 440 k m , soit la taille de l'Indlandsis groenlandais actuel. ( L l i b o u t r y , 1965, p. 856-867.) Cette calotte a disparu en 800 ans ( F i g . 8). Il
»
Angermanlond
Km - 4 0 0
-200
0
Salpausselka
200
FiCi. 8. — Profit transversal de la calotte glaciaire de Fennoscandie D'après LLIBOUTRY, 1971.
400 Km.
(schématique).
A u Canada la dernière avance f u t celle de Valders, q u i détruisit une forêt 11 800 ans avant le présent (Broecker, 1966). Cette m o r a i n e f o r m e les rives Sud des lacs Supérieur et O n t a r i o actuels. U n lac unique, le lac A l g o n q u i n , c o u v r a i t alors les lacs M i c h i g a n et H u r o n actuels et se déversait dans le Mississipi. L a taille de la calotte peut se déduire des isobases mais aussi de l ' a n o malie gravimétrique négative actuelle sur t o u t e l'aire alors englacée ( W a l c o t t , 1970a). L a calotte s'étendait des G r a n d s Lacs et d u L a c W i n i p e g actuels a u x montagnes de la Terre de Baflfin et d u L a b r a d o r (2 400 k m ) ; de Terre-Neuve aux Grands Lacs de l'Esclave et de l ' O u r s (4 000 k m ) . C'est la taille de l ' A n t a r c tide orientale. Elle m i t 4 000 ans à disparaître, ce q u i ne veut pas dire qu'elle ait été 5 fois plus épaisse que celle recouvrant la Scandinavie : une calotte glaciaire de cette taille modifie suffisamment le c l i m a t p o u r résister aux varia tions mondiales d u c l i m a t . L'anomalie gravimétrique a u Canada est m i n i m a l e sur la côte Ouest de l a baie d ' H u d s o n ( - 50 mgal) ( F i g . 9). E n Scandinavie, après lissage, son m i n i m u m semble être — 25 mgal. Très intéressante est l'évolution d u p r o f i l transversal de l a dépression. E n Scandinavie o n peut bien l'étudier en suivant le l o n g de l a Baltique le p r o f i l actuel d'une même plage soulevée (Sauramo, 1939). Plusieurs « charnières » (htnge-lines) o n t joué successivement ( F i g . 10). Elles se sont succédées en sui vant les glaces dans leur retrait, j a m a i s distantes de plus de 100 k m d u b o r d de la calotte. Ce n'est que lorsque la dernière a disparu, i l y a 8 500 ans, que
MOUVEMENTS
F I G . 9. — Anomalies
487
VERTICAUX
à l'air libre sur le Bouclier D'après WALCOTT, 1970a.
Canadien, lissées.
toute la Scandinavie a continué à se soulever d'une façon régulière. Des c h a r nières o n t été reconnues aussi a u Canada. O n a souvent prétendu q u ' u n bourrelet périphérique, dû à la matière déplacée dans l'asthénosphère, e n t o u r a i t l a dépression créée p a r la calotte. Les terrasses très horizontales d u Lac A l g o n q u i n o u d'ailleurs p r o u v e n t q u ' i l n'en est rien à petite échelle. M a i s u n gonflement très étalé, 1 000 o u 2 000 k m en dehors de l'isobase zéro, n'est pas totalement exclu. Sur la côte N o r d - E s t des U . S. Α . , i l y a u r a i t eu u n enfoncement de 80 m lors d u Récent. E n E u r o p e o n cite l'enfoncement des Pays-Bas, mais i l est peut-être lié à des phénomènes o r o géniques dans le Bassin Rhénan. T e r m i n o n s en signalant que dans le détail i l n'y a pas u n soulèvement h o m o gène et c o n t i n u . Des séismes sont assez fréquents, s u r t o u t dans les régions marginales, et le j e u des failles permet à certains blocs de se soulever plus vite que d'autres. Ce n'est qu'à l'échelle d u siècle o u davantage que le soulèvement est régulier. COULOMB et JOBERT — I
20
488
ISOSTASIE
RELÈVEMENT
4. — T H É O R I E S
DU
ISOSTATIQUE
489
POST-GLACIAIRE
RELÈVEMENT I S O S T A T I Q U E P O S T - G L A C I A I R E
N o t r e description d u relèvement post-glaciaire prouve q u ' i l est causé par le départ des glaces et n o n p a r des processus orogéniques c o m m e l ' o n t soutenu quelques auteurs russes. O u t r e l'isostasie o n peut i n c r i m i n e r la décompression élastique de la lithosphère (une trentaine de mètres) q u i a dû survenir t o u t a u début, et la flexion élastique de cette lithosphère, que nous négligerons p o u r l'instant. 4.1. — Equations pour une viscosité linéaire uniforme. — Faisons d ' a b o r d la théorie en supposant une asthénosphère à viscosité n e w t o nienne u n i f o r m e , d'épaisseur u n i f o r m e H à l'équilibre, reposant sur une mésosphère rigide, et surmontée d'une lithosphère sans rigidité en flexion. Nous négligeons la courbure d u G l o b e et nous supposons l'extension infinie dans le sens de la longueur. L'origine est prise au centre, à l'interface asthénosphère-lithosphère au repos, o u vers le bas. Les équations de Navier-Stokes et l'équation de continuité donnent trois équations pour les deux composantes ii, w de la vitesse et la pression moyenne p (Chap. 1). O n efl'cctue une transformation de Fourier par rapport à .x, c'est-à-dire q u ' o n cherche des solutions de la forme : H - / ( r ) . s Î n kx w -- g(z).cos,
P — Po
kx
(I) Pa àk -
/î(z).cos kx
pgz . ^1
Les trois équations deviennent : f"
-k^-f=-
g"-k^g
-khin ^ h'I'i
]
(2)
En éliminant Λ et / o n obtient d4g./dz4 —
2 A:2 d 2 g - / d z 2 +
Ar-4
=
0
(3)
d'où. A, B, C, D n'étant f o n c t i o n que d u temps / et d u nombre d'onde k : g -
(A
Bkz) e*^ + ( C
τ
Dkz)
e-*^
\ V Dkz) e''^^^
— (A + B + Bkz) e*^^ + (C—D Λ -- 2 rik(B e*^^
(4)
f D e ''') .
A l'interface asthénosphcre-mésosphère ( z H), f et g doivent être nuls. A la limite supérieure, la vitesse horizontale u, et donc / doit être nulle. Cette limite supé rieure est z ^ ζ(.ν), mais comme kÇ \, on écrira la c o n d i t i o n p o u r z = 0, ce q u i donne : A + B—C~^D
= 0.
(5)
(S'il n'y avait pas de lithosphère, la c o n d i t i o n serait 7iz -
: cwjcx
0 ,
d'où
A
, B ^ C — D ^0)
.
ISOSTASIE
90
L a dernière condition est Oz ^ Po pour z = ζ, car on néglige la rigidité de l'asthéno sphère.
σζ
ρ — 2η
cw
=
2 vkf) cos kx dk + pgC - 0
(h+
(6)
J 0
ce q u i s'écrit, d'après (4), (5) et (6) où l ' o n fait z = ς « 0 (A-'Okœs
kx.dk
=
.
(7)
Les 4 équations (5), (7),/(//) = OetgiH) ^ 0 sont linéaires en/1, B, C, D. Résolvonsles dans deux cas extrêmes : kH |> 1 et kH <^ 1. 4.2. — Asthénosphère extrêmement épaisse {kH > 1). — A = B = 0 ; et C = D, q u ' i l y ait o u non une lithosphère. D'après (1) et (4) la vitesse verticale pour z = ζ = 0 est :
K
C cos kx. dk .
et
(8)
0
N'oublions pas que C est fonction de k, si bien que cette intégrale peut être conver gente. E n comparant cette valeur de cÇIct à celle tirée de (7) :
et
2 ,/k
C = - - - T(k)-
(9) ^'
D'où C par intégration et finalement ζ sous forme d'une intégrale de Fourier ;
C =
a(/c)e-'/''*'"/ccos/cxd/c.
(10)
L a « constante de temps » T{k) dépendant de la longueur d'onde / = 2 π/Α:, le r e t o u r à l'équilibre ne se fait pas selon une l o i exponentielle, comme o n l'a t r o p souvent écrit. Si par exemple p o u r t = 0 : C(0) = Co cos (πχ/2 L )
(11)
dans l'intervalle ( — L , -t- L ) et ζ(0) = 0, ailleurs, la transformée de F o u rier correspondante est, démontre-t-on :
C(k) = 4nL
l'^°^,
π' -
Ak'
U
= 2na{k).k.
(12)
L a densité spectrale varie peu lorsque k varie de 0 à π/2 L. C o m m e 7^(^:) = 2 ηk/ρg, toutes les constantes de temps entre zéro et πη /pgL seront aussi bien représentées, et n o n pas seulement cette dernière c o m m e dans u n exposé élémentaire, où l ' o n assimile le p r o f i l ζ{χ) à une sinusoïde indéfinie.
RELÈVEMENT
ISOSTATIQUE
491
POST-GLACIAIRE
4.3. —Asthénosphère très mince (kH<^ 1). — L a c o n d i t i o n (5) nous permet de poser A -i- B ^ C—D
(13)
= a.
Posons également : A + C == h,
A^C
(14)
= c.
Les conditions à la limite inférieure s'écrivent alors, en ne conservant que les deux premiers termes d u développement limité : /(//)
= kH(4 a — b) —
g(H)
= b + k2 / / 2 ( 4 a — b)l2 .
k^Hïc
(15)
D'où b ==-—cki //3/2 . Compte tenu de ^-(0) = A + C = b, \a vitesse verticale en z = ζ x 0 est b(k,t).cos
^1
8t
kx.dk
=
γ-
c(k, t).ki cos
kx.dk
(16)
alors que d'après (7) :
c=
PS
c(k, t).k.cos
J
kx.dk
(17)
.
E n comparant ces deux équations : //3
2>iëc
(18)
Trk^ c
=
pg et
2
d'où ί·, et finalement ζ sous la forme d'une intégrale de Fourier : .e,,p{-''-^fl).
Les constantes de temps T(k) nelles à k c o m m e p o u r H =
kcoskx.dk.
(19)
= 4 η/pgH^ k^ ne sont plus p r o p o r t i o n
co, mais à k~^. Si nous reprenons l ' e x e m p l e
de l'évoludon d ' u n e dépression ayant à l ' i n s t a n t ί = 0 l a f o r m e d ' u n arc de sinusoïde, l a densité spectrale est t o u j o u r s l a même (éq. (11)), le spectre des constantes
de temps est cette fois
T{n/2L) et
=
bien f o u r n i
mais
entre
\6nL^/n^pgH^
l'infini. O n p e u t aussi bien d r e r de (16) et (17), o u directement
équation
simple
de (19) une
en ζ (*)
avec
D
=
(20) 4η
(*) Des calculs inexacts quant aux conditions aux limites avaient précédemment conduit des facteurs 1/3 (van Bemmelen et Berlage, 1954) o u 1/12. ( L l i b o u t r y , 1965, 1971 ; A r t y u s h ov, 1967), au lieu de 1/4.
ISOSTASIE
C'est une équation de diffusion, ce q u i ne d o i t pas surprendre car, dans une tranciie de largeur (selon oy) unité, le v o l u m e d'asthénosphère se conserve, et son flux, le débit q est p r o p o r t i o n n e l au gradient de ζ : dqjdx q =
0
=
(21)
δζΙδί
c ( f e ) k' sin kxàk=
D^. ox
(22)
Notons que si au départ H n'était pas uniforme, mais valait H + H\{x) {H\ <ξ H), D deviendrait D ( l + 3 H\IH). L a valeur de q (éq. (22)) est modifiée, et en la portant dans (23) o n n'obtient plus exactement l'équation de diffusion (20) mais :
O n peut alors observer une onde de crue se propageant à la vitesse — 3 DHi/H et s'étalant par diffusion au cours de sa propagation. En particulier le simple enfonce ment C = — H i crée une telle onde, q u i sera centripète puisque 8ζ/8χ = —• H{ < 0. La solution de l'équation de diffusion (20) q u i prend la valeur f ( x , 0) à l'instant t = 0 est, sait-on : ς(Λ-, t)
=
-,_ jAnDt
(χ — χΎ
d A - ' . ζ{χ', 0).exp
4Dt
J _
(23)
O n approchera le profil de départ ζ(χ, 0) par une fonction permettant l'intégration. V a n Bemmelen et Berlage avaient pris (24) O n trouve alors :
ζ(χ,0)
-
C„exp(—xilLi).
(25)
(1 - I - 4 D / / Z . 2 ) i /
A l'origine la l o i suivante q u i , verrons-nous, est bien vérifiée par les mesures, lie ζ(0, /) à la vitesse de soulèvement v = — 8f(0, t)ldt : ζ'ΐυ = ζΐ
L'I2
D.
(26)
Avec le profil de départ (24) l'isobase 0 serait à l'infini. Aussi A r t y u s h k o v (1967) prend un profil de la forme : ζ{χ, 0) = C„
(l -
g) . Σ
C„ exp
(- g) .
(2T)
n La l o i (26) n'est alors valable qu'en première a p p r o x i m a t i o n , pour / <^ L^I4 D. 4. — Modèles plus complexes. — O n peut facilement étendre la théorie au modèle tridimensionnel. Si o n reste dans l'hypothèse d'une asthénosphère mince, l'équation de diffusion (20) deviendra : (28)
RELÈVEMENT
ISO STATIQUE
POST-GLACIAIRE
493
La solution en est
V4
dx' dy'.ζ(χ', y', 0).exp
nDtjJ_
(29)
4Dt
En particulier si l ' o n adopte avec Artyushlcov (1967)
- Γ,
•^^
//0,6 0 , 6Λ^ 2η
ν
^
Γ
•^•^
/0.6
2
(30)
la solution peut s'obtenir sous forme finie.
11 y a s u r t o u t intérêt, en restant dans le cas bidimensionnel, à passer à des modèles à plusieurs couches, chacune ayant une viscosité et u n e densité uniformes. Les transformées de F o u r i e r /, g, h, etc. obéiront t o u j o u r s à des équations différentielles linéaires à coefficients constants analogues au système (2), et a u r o n t d o n c des solutions où i n t e r v i e n d r o n t linéairement des constantes arbitraires A, B, C, D... c o m m e dans (4). P o u r égaliser vitesses et contraintes à toutes les interfaces, et écrire les c o n d i t i o n s à la surface libre, o n p r e n d r a les valeurs d e / , g, h... aux i n t e r faces dans leur p o s i t i o n initiale (de même q u ' o n avait pris leur valeur p o u r z = C S i 0). Les équadons en A, B, C, D... sont alors toutes linéaires et homogènes (sans second membre), à l'exception de celle d o n n a n t l a pression en surface, c'est-à-dire traduisant la cause des déplacements (éq. (7) dans le cas d'une seule couche). F(A, B, k, t) étant une f o r m e linéaire en A, B, C, D... cette dernière équation sera :
C(x,
0
F(A,
=
B,
k, t) cos kx dk
(31)
Le problème serait en général très pénible à résoudre, si nous voulions obtenir ζ(χ, t). Mais i l en va tout autrement si l ' o n part d ' u n profil ζ(χ) mesuré sur le terrain à un certain instant /„. O n peut alors en faire l'analyse de Fourier, qui donne Z{k) et la dernière équation devient également linéaire : F(A,B,...,k,
to)^-Zik).
(32)
C'est ce genre de calculs qu'a fait M e Connell (1965). I I considère également le cas où la première couche, la lithosphère serait élastique. Pour cette couche élastique, u et M' représentant cette fois les déplacements, f et g leurs transformées de Fourier en cos kx, λ et μ les coefficients de Lamé : f"
—
k'-f^—khlp
g" — k^g = h'iM g' +kf=-~hl(À
(33) +
μ).
Autrement d i t le cas de la viscosité est formellement identique à celui de l'élasticité en faisant 1 = aj, μ ----- ëiijiit. T o u t ce q u ' o n vient de dire reste donc valable, le système linéaire d'équations algébriques en A, B... devenant u n système linéaire d'équations différentielles d u premier ordre en A, B...
94
ISOSTASIE
M e C o n n e l l a ainsi o b t e n u le spectre des constantes de temps
T{k)
p o u r différents modèles. O n a v u que p o u r une lithosphère d'épaisseur négligeable et une seule couche visqueuse si
T{k)
= 2 ηk|pg
T(k)
= 4 η/pgH^ k^
kH > \ si
kH <\.
^^^^
L a figure 11 m o n t r e c o m m e n t l ' o n passe de l'une à l ' a u t r e l o i selon la valeur de kH. L a figure 12 correspond à 2 couches visqueuses super posées et la figure 13 a une couche élastique s u r m o n t a n t u n demi-espace visqueux. E n les c o m p a r a n t o n notera que l'effet d'une couche élastique o u d'une couche m o i n s visqueuse que le demi-espace dessous sont assez semblables. A cause de cela i l f a u d r a t r o u v e r u n m o y e n indépendant p o u r calculer les propriétés de l a lithosphère. U n e dernière extension de l a théorie est de passer a u problème t r i d i mensionnel dans une sphère formée de couches homogènes concentriques, c o m m e l ' o n t fait T a k e u c h i et Hasegawa (1965). O n a d m e t t r a toutefois que le vecteur vitesse est r a d i a l en posant : u = F„{r).grad
W„ + G„{r).T.W„
(35)
où W„ est u n h a r m o n i q u e sphérique de degré n d u géopotendel. Les calculs sont si compliqués que ces auteurs ne les o n t fait que dans le cas d'une seule couche visqueuse.
F I G . 1 1 . — Constante de tettips T fonction du nombre d'onde k, dans le modèle d'une couche visqueuse homogène d'épaisseur H recouvrant un demi-espace rigide. D'après MCCONNELL, 1 9 6 5 .
RELÈVEMENT
ISO STATIQUE
POST-GLACIAIRE
495
Une autre voie de recherche est d'étudier les effets d'une viscosité non linéaire, mais fonction des contraintes (Lliboutry, 1971).
496
ISOSTASIE
4.5. — Exploitation des données du soulèvement post-glaciaire de la Fenno scandie. — L a l o i d u soulèvement a u cours d u temps n'étant pas exponentielle, il n'est pas étonnant q u ' o n trouve p o u r le centre de l a Fennoscandie une cons tante de temps apparente T{k) croissant de 700 ans pendant les premiers siècles à 10 600 ans p o u r les derniers 4 000 ans ( F i g . 14). Sur l a périphérie des calottes seule la première valeur est perceptible, d'après l'étude de W a s h b u r n et Stuiver p o u r le N o r d - E s t d u G r o e n l a n d o u de Broecker (1966) p o u r les terrasses d u lac A l g o n q u i n . Parce q u ' i l suppose une seule constante de temps, les c o n c l u sions de C r i t t e n d e n (1967) concernant l'assèchement d u lac Bonneville son sans valeur.
F I G . 14. — Enfoncement de la Fennoscandie en fonction du temps, en coordonnées semi-logarithmiques. L'enfoncement subsistant à l'époque actuelle a été estimé égal à 170 m , par extrapolation de la droite ( F i g . 15). L a pente de la courbe f o u r n i t une constante de temps apparente T, q u i croît à mesure q u ' o n se rapproche de l'équilibre. D'après LLIBOUTRY, 1971.
D e même est périmée l'idée de M u n k et M e D o n a l d selon laquelle le gonfle ment équatorial d'origine n o n hydrostatique p r o v i e n d r a i t de l a réponse retar dée d u G l o b e a u ralentissement de sa r o t a t i o n (Chap. 19), o u même de l a réponse à la fonte des calottes polaires ( M e Kenzie, 1967 réfute cette deuxième h y p o thèse, et c r o i t ainsi p r o u v e r la première). O n ne dispose donc d'aucune étude correcte des réajustements isostatiques comparés de régions de tailles très différentes. L a vitesse de soulèvement υ d u centre de la Fennoscandie a suivi très cor rectement la l o i de v a n Bemmelen et Berlage (éq. (4.26)), c o m m e le m o n t r e
RELÈVEMENT
ISOSTATIQUE
POST-GLACIAIRE
497
la figure 15 où t;''^ a été porté en fonction de la hauteur actuelle h de la plage formée à l'instant t. On ne s'écarte d'une droite que pour les premiers siècles, où le mouvement a été ralenti par suite de la glace subsistant encore, mais très augmenté par la décompression élastique accompagnant la fonte de cette glace. En prolongeant la droite, i; = 0 pour h = — hg, avec Λο = 170 ± 15 m . C'est là le soulèvement restant à s'accomplir, valeur qui concorde bien avec celle tirée de l'anomalie gravimétrique : - /îo ~
— = 7,1 m/mgal
(36)
soit 170 m si Ag- = — 24 mgal. La pente de cette droite, υ^^^/ζ, donne ; ζ V u = Co L'/2 Z) = 580 ± 100 k m ^ a n .
-170
-100
0
100
200
(37)
H (m)
300
F I O . 15. — Vitesse de soulèvement de la Fennoscandie à l'instant t, élevée à la puissance 1/3, en fonction de la hauteur actuelle de la plage formée à l'instant t. Quelques valeurs de / sont portées à côté des points correspondants. L a droite a été ajustée en omettant le point correspondant à 7042 av. J . - C .
La dépression à l'instant ί = 0 fut 314 m (hauteur de la plus ancienne ter rasse, formée i l y a 9 000 ans) -t- 170 m restant à se soulever -t- le soulèvement pendant le premier millénaire, alors que la limite de la calotte régressait de l'emplacement de Stockholm à l'embouchure de l'Angerma. En estimant ce dernier terme à 100-120 m, = 0,60 + 0,03 km. L « 400 km, mais notre
498
ISOSTASIE
modèle envisage une calotte indéfiniment allongée. U n meilleur calcul, en écri vant l'équilibre hydrostadque d'une calotte de la taille et de l'épaisseur de r i n d l a n d s i s groenlandais, donne ( L l i b o u t r y , 1971) L = 380 k m . O n tire alors de (37) D = 42,2 ± 6 km^/an
(38)
et l'instant ? = 0 se situe 9 900 ans avant le présent. ( O n sait que les glaces commencèrent à évacuer la région entre 10 000 et 10 700 ans avant le présent, mais le modèle suppose une fonte instantanée.) L a r e l a t i o n D = pgH^jA =
η c o n d u i t alors à :
324 bars/km
^3 ^
^ ^ ^ 2 0 ^ (^/100 k m ) ^poises .
(39)
4 X 42,2km7an Reste une inconnue, l'épaisseur H de cette couche sous la Fennoscandie. A r t y u s h k o v (1967) adopte une s o l u d o n plus exacte (éq. (30), où C j = 0,68 ; C2 = - 0,85 ; C 3 = 0,69 ; C 4 = 0,48). Les étapes d u relèvement sont alors très bien restituées si Λο = 150 m et τ = 4 DtjL^ = 0,75. I l adopte t = 10 000 ans et considère que la calotte disparue avait p o u r grands axes 1 800 x 3 000 k m (au lieu de 840 x 1 400 k m ) ; d'où £ ) = 1 5 km^/an {D = 3,3 km^/an avec des dimensions plus vraisemblables). C o m m e son expression de r\ en f o n c t i o n de D est aussi erronée d ' u n facteur 3, c'est finalement η = 1,1 X 10^" x (///100 kmf que l ' o n t r o u v e r a i t , et n o n c o m m e
i l l'annonce 0,6 x 10^° {HIlOO k m ) ^ .
E n prenant des modèles à plusieurs couches, signalons u n résultat récent de Cathles (1971) : η = 4 x 10^° poises dans une première couche visqueuse de 75 k m , et = 10^^ poises en dessous. L a méthode de M e C o n n e l l se heurte à la difficulté de faire une bonne ana lyse h a r m o n i q u e des profils, s u r t o u t dans le domaine des grandes longueurs d'onde. Aussi ne cherchent-ils à rendre compte que de l a partie d u spectre des T{k) p o u r les fortes valeurs de k. L a figure 16 donne deux modèles satis faisants. E n résumé, le soulèvement post-glaciaire semble m o n t r e r l'existence d'une couche plus fluide de viscosité inférieure à 10^^ poises que l ' o n a toutes raisons d'assimiler à la couche à faible vitesse des sismologues, entre 100 et 200 k m de p r o f o n d e u r e n v i r o n . M a i s en dessous la viscosité n'est multipliée que p a r u n facteur entre 10 et 100. P a r m i les modèles avancés p a r différents auteurs, le modèle de Cathles semble le plus vraisemblable. Par ailleurs le relèvement post-glaciaire ne f o u r n i t a u c u n a r g u m e n t q u i permette d'affirmer que la viscosité n'est pas newtonienne dans l'asthénosphère.
PROPRIÉTÉS
MÉCANIQUES
DE
LA
LITHOSPHÈRE
499
Ί',ν/
Ί V'/V ^,,,^11^ Elastiqueu=6,5x10 baryes - t l a s t i q u e ^ = 6 , 2 x l 0 baryes / / i ; Π i , , / / /, , ,
ε
S o α
βοο
1000 1200 21 Loq
22 10
20
21
22
(Viscosité en poises)
F I G . 1 6 . — Modèles qui rendent compte du profil des plages soulevées de D'après M C C O N N E L L , 1 9 6 5 .
5. — PROPRIÉTÉS
MÉCANIQUES
DE L A
Fennoscandie.
LITHOSPHÈRE
5.1. — Rigidité en flexion de la lithosphère : problème bidimensionnel (chaîne de volcans). — N o u s avons déjà i n t r o d u i t au paragrapiie 1.2 le concept de régionalité. L o r s q u ' u n e charge concentrée existe sur la lithosphère, celle-ci, agissant c o m m e une plaque élastique, répartit les efforts sur une large surface. I l y a équilibre isostatique régional mais, localement, l ' o n observe une forte anomalie gravimétrique à l ' a i r libre. Faisons-en la théorie, q u i permettra d'étudier les propriétés mécaniques de la lithosphère. L a lithosphère est considérée c o m m e une plaque indéfinie plane d'épais seur ( c f Jeffreys, 1970, § 6 . 8 , p o u r ce q u i est de l'influence de la c o u r b u r e d u G l o b e ) . Soient t o u j o u r s ζ sa déflexion vers le bas, x ei y les coordonnées horizontales. Calculons les contraintes en ne tenant pas compte de la pesanteur ( q u i ajoutera u n terme à seulement). Les équa tions générales de l'élasticité (Chap. 1) sont :
ISOSTASIE
500
σ
= Ο et, p o u r le problème bidimensionnel ε, =
-
1 -
= 0. D o n c σ,, = νσ^ et (2)
O n admet que les paramètres élasdques ne dépendent pas de la p r o f o n deur, et que l'épaisseur de la plaque ne varie pas de façon appréciable lors de sa déformation. Prenons l'origine a u centre de la plaque, oz dirigé vers le haut. O n démontre facilement que : ε^ = -
z.d^/dx^
(3)
Le m o m e n t des forces horizontales p a r unité de largeur ( m o m e n t fléchis sant) est :
! i
F I G . 17. — Profil à travers l'archipel des Hawaï, montrant la fosse puis le bom bardement qui bordent de part et d'autre cette chaîne volcanique, ainsi que les vitesses des P (en km/s) fournies par la sismique réfraction. Hauteurs exagérées 16 fois, Au-dessus, anomalie à l'air libre. D'après WALCOTT, 1 9 7 0 6 .
PROPRIÉTÉS
MÉCANIQUES
DE
LA
LITHOSPHÈRE
501
Γ est appelé la rigidité en flexion (flexiiral rigidity). C o m m e le m o m e n t fléchissant varie avec x, i l d o i t s'exercer sur une section x = Cte une force par unité de largeur tendant à cisailler la plaque (effort t r a n c h a n t ) dC/dx. L a pression verticale supplémentaire due à l'élasticité de la plaque est à son t o u r la dérivée de l'effort t r a n c h a n t . Considérons m a i n t e n a n t , p o u r fixer les idées, u n bassin océanique sur lequel s'est construite une chaîne de volcans (îles H a w a i i par exemple) ( F i g . 17, 18). Prenons l'ancien niveau d u f o n d de l'océan c o m m e niveau de référence. L a surface de l'océan est actuellement à l ' a l t i t u d e h„, l a surface d u sol à l ' a l t i t u d e variable h. (h peut être négatif ; en p a r d c u l i e r hors de la charge h = - ζ.) Soit p„ la densité de l'asthénosphère, Pc celle des roches de surface, p„ celle de l'eau (notations de W a l c o t t , \910b et c). Dans un prisme vertical de section unité, la masse d'asthénosphère déplacée est p„, ζ. L e poids supplémentaire est : (Pr — p») h + PcC si le l i e u est en dessous d u niveau de l'océan {Pc — pir) h,c + Pc Z + Pc ζ si le lieu s'élève à Z au-dessus d u niveau de l'océan. N e traitons que le premier cas. L'équilibre vertical s'écrit alors :
Γ. d4Ç/dA-t
{pm — Pc) gÇ = (Pc — p,„) gll .
p
(5)
=3,3
/ m
F I G . 18. — Schématisation de la figure 17, et notations employées dans le texte.
Hors de la charge, h •
ί et ( 5 ) devient :
Γ ά^ζΙάχ'^ + (pn, — p„) g(
(6)
= 0.
Nous poserons : {Pm — Pc) glT
= 4l<xi
{ρ,η — Pu:) gir
=
.
(7)
La solution générale de (6) est, les Ai étant des constantes : ζ ^ A] e^'^ic cos (xlocic) f A2 β^'^Ί" sin (.ϊ/α„·) - f A} e •^'=""· cos (χία,ν) + + A4 e-^/'" sin (jc/a,„).
(8)
La solution générale de ( 5 ) sera la même expression, ot,» étant remplacé par «c, plus une solution particulière de ( 5 ) . Pour .Y — 00, i l n'y a pas de charge, la solution est de la forme (8) et d o i t être bornée. D o n c A} ^ A4 0. Dans l'intervalle où i l y a une charge, ζ(χ) est solution de ( 5 ) avec quatre nouvelles constantes arbitraires S i , B 4 . Mais i l faut qu'en passant de l'une à l'autre i l y ait continuité de ζ, d u moment fléchissant Γ ά^ζ/άχ^ et de l'effort
ISOSTASIE
502
tranchant Γά^ζΙάχ^, c'est-à-dire de ζ et ses trois premières dérivées. D'où quatre relations p o u r déterminer B\, ...,84 en fonction de /11 et A2. Enfin en revenant dans une zone sans charge, et jusqu'à x = 4 œ , c'est une nouvelle solution de (6) q u ' i l faudra prendre, avec quatre constantes C i , C 4 . L a continuité de ζ et de ses trois premières dérivées permettra de déterminer ces quatre constantes en fonction de A1 et /42. Par ailleurs p o u r que ζ reste borné à l'infini C i = C2 = 0, ce q u i détermine Al et A2. Avec u n tel calcul, p o u r retrouver une deflection de la lithosphère sous la chaîne des H a w a i i correcte, o n d o i t admettre une rigidité en flexion très faible, totalement inacceptable. Aussi W a l c o t t (1970 b) admet me fracture de la lithosphère sous l'axe des H a w a i i . M o m e n t fléchissant et eff"ort tranchant doivent alors être nuls en ce lieu, ce q u i f o u r n i t les deux c o n d i t i o n s nécessaires p o u r finir de déterminer Bi, B4. 5.2. — Rigidité en flexion de la lithosphère : cas général. — Traitons d'abord le cas d'une charge ponctuelle, pour trouver une fonction de Green d u problème. L'enfoncement dC n'est fonction que de la distance r à cette charge. O n montre q u ' i l suffit de remplacer dans l'équation (5) d'^jd.x'* par [ d V d r ^ + (1/*·) d/dr]2. O n se ramène facilement à une équation de Bessel de variable complexe, dont la solution générale est : άζ ^ A,ber(
J2 r/a) + A 2 bei{ J2 r/a) ~\ A^ ker{ J2 rjy)
+ A 4 kei{ ^ 2 rjoi) .
(9)
Pour la définition et des tables des valeurs de ces fonctions cf. par exemple A n g o t , 1961. Les deux premières n'étant pas bornées p o u r /-
0 0 et la troisième p o u r r = Q,
seule la quatrième convient. Elle vaut — π/4 p o u r r = 0, s'annule p o u r J2 r/a = 3,92 et
présente
J2
r/7. == 4,94, valant 0,0112).
des
oscillations
extrêmement
amorties
(premier
maximum
pour
L'équilibre isostatique entraîne, si àS est l'aire infinitésimale d'application de la charge : d i ( r ) . r dr -
{pm — p,r)g 2 π
[(Pc—Pu)gh
+ p,, Z -
pc C(0)]d5
(10)
•1 0
le terme en Z étant supprimé si Z < 0. E n posant .^2 r/a = u : • GO
(pm — p».)g ποι^ A4 J
0
u. du. kei u ^ [(pc — Pw) gh + p,,- Z + pc C(0)]d5 .
O n démontre que l'intégrale vaut — 1. D o n c ^
_
[(Pc -
Pjc) h +p^Z
finalement
+ p , C(0)]dS f^^jj2r\
(Pm — /^c) πα2
(11)
\ α
^I / •
Prenons cette fois l'origine des axes au p o i n t où l ' o n veut connaître ζ. E n appelant h(r) la moyenne de h(r, 0) le long d'une circonférence de rayon r, on trouve finalement : Ç ^ _
2(pc — Pw)
2 ( P ^
(Pm—Pc)jg
•^^.)...d../t./(>/^^).
(13,
V a /
C'est ce profil q u i a été utilisé par Vening-Meinesz p o u r étaler les racines dans le modèle d ' A i r y (§ 1.2).
PROPRIÉTÉS
MÉCANIQUES
DE
LA
LITHOSPHÈRE
503
5.3. — E v o l u t i o n au cours du temps. — Jusqu'ici o n a admis que l'état d'équi libre était atteint. I l en est rarement ainsi à cause des phénomènes suivants : 1" L a charge évolue au cours d u temps, soit que les volcans s'accroissent de nouvelles coulées de laves, soit q u ' i l s soient démantelés p a r l'érosion. 2" O n a supposé que l'interface lithosphère-asthénosphère était u n niveau matérialisé. M a i s si, selon toute probabilité, i l ne s'agit que de l a l i m i t e d'une fusion partielle, i l y aura toute une évolution t h e r m i q u e complexe, dépendant non seulement de l'enfoncement ζ, mais aussi des variations d'épaisseur de la couverture et de t o u t ce q u i survient dans l'appareil volcanique. 3° L a viscosité de l'asthénosphère a été négligée. Si o n revient au modèle simple bidimensionnel d u paragraphe 4 . 1 , i l faut modifier l'équation 4 . 6 . Pour kH I o n est alors conduit au système :
c(k, /).A;3.cos
kx.dk (14)
pgZ -T
= 2 //
c(k, t).k.cos
kx.dk
d'où l'équation suivante q u i doit remplacer l'équation (5) : fdxK dt
(15)
4° Enfin o n a négligé la viscosité de la lithosphère elle-même. Si elle est négligeable à l'échelle de 10 000 ans, l o r s q u ' o n étudie les soulèvements post glaciaires, elle devient appréciable au-delà d u m i l l i o n d'années, comme le montre la figure 19, tirée de W a l c o t t (1970c). Les rigidités en flexion Γ déter minées sont d ' a u t a n t plus faibles que la mise en place de la charge est plus ancienne. (Les calculs de W a l c o t t sont i n c o m p l e t s , mais le résultat q u a l i t a t i f demeure.) Ll nous faut en effet reprendre le calcul de W a l c o t t , q u i a adopté un modèle unidimensionnel de visco-élasticité alors que les milieux continus o n t trois dimensions. En prenant pour schéma rhéologique u n corps de Maxwell tridimensionnel on aboutit aux équations 1-3-15 et 1-3-16, soit pour Oz n u l :
Edt^
Ll
1
7, η et
—
32
£2
" èti
2 —
,
1
βχ .
(16)
Le calcul se poursuit alors comme au paragraphe 5 . 1 . E n posant : {Pm — Pw) g 4Γ
(17)
3
o n obtient finalement l'équation suivante q u i doit remplacer (6) : Ô2
C
CX'-
CT
8^
+ 4
62
'm
d
V
. 7Γ.
X—v^dt
+
4(1 — v2)
c = 0.
(18)
ISOSTASIE
ρ
Lake
Agossiz
S
25
c
2 4 H ^ " ^ ^ Algonquin
\ V/ÎL/Ll ι 1 ^ ° * ° ' ' ° " Archipelago v-/^ff7m\ Island Arcs
^
Caribou MountainT c
231T= 10* ans
ce
22|-
AtzA-g
^\
\
Bonneville
o Log^Q ( T e m p s
en années)
F I O . 19. — Rigidité en flexion apparente de la lithosphère, ealculée à partir de charges apparues ou disparues à des époques plus ou moins reculées. D'après WALCOTT, 1970c. Cherchons des solutions de la forme ζ = Ε{τ).Ζ(Χ). E n substituant cette valeur dans (18) o n obtient le système suivant où λ est une constante arbitraire : d^Z àX*
4
; . z=0
2—v
dF
I _V2
dt
(19)
3F 7 = 0. ' 4(1 — v2)
(20)
L'équation (19) n'a de solutions bornées à l'infini que si A est positif. Elles seront d u type (8), OÎW étant remplacé par ιχινίλ"·*. L'équation (20) a pour solution : F = Al
pi _λ pt^~
ePi'
+ Al
(21)
t"2
— 2 + αν± JX^ — αλ + ai 2(1-;.)
_ 1 —2 v ""l.Z'v^f
(22)
p\ reste toujours assez voisin de — 1, ce q u i donne une constante de temps voisine de 3 ηΙΕ. Pour 0 < A < 1, P2 < — 1 ; lorsque À tend vers 1 par valeurs inférieures, — 0 0 . O n a donc alors une constante de temps plus courte, et le terme corres pondant sera rapidement a m o r t i . Par contre pour A > 1, une instabilité apparaît : des plissements très amortis de longueur d'onde 2 πα,ί,/Α'/'· se développent et la charge coule à pic dans l'asthénosphère. L a théorie des plaques minces cesse toutefois d'être valable lorsque la longueur d'onde devient d u même ordre de grandeur que l'épaisseur de la lithosphère.
BIBLIOGRAPHIE
505
^ e s t de l'ordre de 10 11 pascals 10'2 baryes. Si Test de l'ordre de 105 ans » 3 :< 10'2 s, comme l'affirme Walcott, la viscosité moyenne de la lithosphère est = ETji % 102·* poises. N'oublions pas que cette théorie suppose que la lithosphère a une certaine viscosité linéaire, c'est-à-dire ne subit aucun écrouissage, ce q u i est extrêmement douteux à basse température. BIBLIOGRAPHIE
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CHAPITRE
18
MARÉES TERRESTRES par Georges
JOBERT
1. — I N T R O D U C T I O N
Les marées terrestres sont de petits phénomènes p r o d u i t s à l'intérieur de la Terre p a r le c h a m p newtonien des astres d u système solaire. A l o r s que p o u r étudier les mouvements de r o t a d o n de la Terre dans ce c h a m p , i l est indis pensable de prendre en considération l'aplatissement de l a planète, cela n'est pas nécessaire p o u r étudier les marées terrestres, au moins dans une première a p p r o x i m a t i o n où l ' o n néglige les courants dans le n o y a u fluide. N o u s développerons d ' a b o r d la théorie q u i donne l'expression d u c h a m p perturbateur dérivant d u potentiel de marée, puis nous m o n t r e r o n s c o m m e n t ce c h a m p se manifeste, compte tenu de la déformation d u Globe. N o u s décri rons rapidement les méthodes et les instruments utilisés, puis les résultats obtenus p a r l ' e m p l o i des pendules h o r i z o n t a u x et des gravimètres. Les mesures sont affectées p a r les marées océaniques, q u i constituent la réponse des mers et des océans a u même p o t e n t i e l perturbateur. U n e certaine dissipation de l'énergie mécanique, inévitable dans u n solide imparfaitement élastique, se t r a d u i t en principe p a r u n déphasage entre l'effet observé et l'eflfet théorique et p r e n d une i m p o r t a n c e considérable dans l'évo l u t i o n d u système Terre-Lune. Si l ' o n tient c o m p t e des c i r c u l a t i o n s possibles dans le n o y a u fluide, o n p e u t mettre en évidence, sous certaines c o n d i t i o n s et en négligeant t o u t effet élec tromagnétique, une v i b r a t i o n p r o p r e a u voisinage de 24 heures. Ces résultats théoriques ne sont pas nettement confirmés p a r l'observation, à l'heure actuelle. 2. — F O R C E S
E T P O T E N T I E L D E MARÉE
C o m p t e t e n u de leur faible a m p l i t u d e i l est légitime de composer linéaire ment les forces de marée dues aux différents astres.
08
MARÉES
TERRESTRES
Considérons donc deux astres {A) et {A') de masses respectives M et M', à symétrie sphérique a u t o u r de leurs centres A et A'. U n e p a r t i cule de {A), de masse unité, placée au p o i n t P, subit de la p a r t de l'astre {A') une a t t r a c t i o n q u i est la même que si la masse M' était concentrée en A' : γ = GM'
{G constante de N e w t o n ) .
PA'iPA'y^
Le m o u v e m e n t de A, centre des masses de (A), est celui d ' u n p o i n t de masse M soumis à la résultante de toutes les forces subies p a r les p a r t i cules de (A). L ' a c t i o n de (A) sur (Α') étant égale et opposée à celle de (Α') sur (A), cette résultante 31 est portée p a r A A ' et égale à : 31 =
GMM'
ΑΑ'(^^')
-3
Dans u n trièdre de référence lié à (A), en m o u v e m e n t de t r a n s l a t i o n , l'accélération d'entraînement de toute molécule P de (A) est donc égale à ÎR/M. L a force apparente due à l ' a c t i o n perturbatrice de l'astre (Α') sur la masse unité placée en P est donc dans ce trièdre : f = γ -
=
GM'[PA'(PA')-''
-
AA'(AA')-^~\
.
(1)
Cette force, appelée force de marée, apparaît comme u n effet différentiel dû aux dimensions finies de l'astre (A) (Fig. 1) :
F I G . 1. — Attraction
de (Α') sur P et force
+ GM'{(PA')-' W
est le p o t e n t i e l de marée.
-
de marée résultante f.
AP.AA'(AAT^)
FORCES
ET POTENTIEL
509
DE MARÉE
Posons : PA=^
R
AA' = D
( F i g . 1)
PAÂ' = z
z ne diffère de la distance zénithale Z de A' en P que d ' u n angle inférieur à l a parallaxe de A'. U t i l i s o n s l a f o r m u l e d u développement de {PA')~^ ( C h a p . 2 5 , f o r m u l e (5)). ce
(PA'y'
= (R^ +
-
2 DR cos ζ)-"""
= D " ' X (Λ/D)" P„(cos z ) . n= 0
Par ailleurs ; A P . A A ' = RD cos z = RDPi{cos ! I
z) .
Ainsi :
• ^ - ^ . Σ
(^)"^c„sz)
(2,
à l a quantité {l/D) près, constante dans (A).
j
L'astre (A) étant l a Terre, les astres d u système solaire sont à des distances D considérables p a r r a p p o r t au r a y o n R. O n se borne en général, p o u r le potentiel de marée, a u p r e m i e r terme de l a série : W2 = GM'
R\3 cos^ z -
1)/2Z)3 .
(3)
C o m p a r o n s ce potentiel a u potentiel d ' a t t r a c t i o n de l a Terre en P : GMR~^ ; leur r a p p o r t est a u m a x i m u m : Γ = ( M ' / M ) {RjDf
.
Pour l a L u n e ( A n n u a i r e d u B u r e a u des Longitudes, 1971) : M'/M R/D = 1/60,27 p o u r u n p o i n t de l'équateur terrestre, d'où :
= 1/81,30
= 5,618.10"» . Pour le Soleil : M'/M
= 332 958
R/D = 1/23 455
d'où Ps = 2 , 5 8 0 . 1 0 - ' = 0,46 A · Les autres planètes n'interviennent p r a t i q u e m e n t pas ( v o i r p o u r t a n t p . 523). Le terme suivant d u développement, W^, est p o u r l a L u n e 60,27 fois plus p e t i t que O n peut déduire de (3) les valeurs des composantes de la force de marée
MARÉES
510
TERRESTRES
agissant en P suivant le r a y o n vecteur et l a d i r e c t i o n perpendiculaire dans le p l a n PAA' ( F i g . 1) fr
L
=
=
dW^ _ GM' R : (3 cos^ z BR ~ D' ôW
3GM'R —
R dz
1) (4)
. sm z cos z .
L a force f est radiale et maximale — à une distance R donnée de ^ — p o u r les points d u diamètre AA' et a des valeurs égales et opposées en deux p o i n t s β et B' symétriques p a r r a p p o r t à A ( p o u r la première a p p r o x i m a t i o n (^2)· Ceci p r o v i e n t évidemment de ce que l ' a t t r a c t i o n de (Α') sur B est supérieure à celle sur A, cette dernière étant à son t o u r supérieure à celle sur B'. Les effets de la L u n e et d u Soleil se c o m b i n e n t de façon complexe, compte tenu de la p o s i t i o n de ces astres p a r r a p p o r t à la Terre. L'effet résultant est m a x i m a l lorsque la L u n e et le Soleil sont en c o n j o n c d o n o u en o p p o s i t i o n et particulièrement lors des éclipses. Pôle Nord
3. — O N D E S
Lune
F I G . 2. —
Calcul de la distance zénithale z en fonction de H, δ et Θ.
P„(cos z) = P„(sin 01 P„(sin δ) +
Σ
D E MARÉE
Dans les expressions (3) et (4) d u paragraphe 2 l'angle z et la distance D sont variables dans le temps. O n peut calculer (Fig. 2) z en f o n c t i o n de l'angle horaire H et de la déclinai son δ de l'astre perturbateur, de la latitude θ et de la l o n g i tude φ d u p o i n t d'observa d o n P, en u d h s a n t la f o r m u l e d ' a d d i t i o n des fonctions de Legendre (chap. 25, f o r m u l e (19)) :
^ « ( s ' " '^) ^""(«ίη δ) cos m(H -
φ)
m=l
avec le cas particulier (n = 1) : cos z = sin θ sin δ + cos θ cos δ cos {H — ψ). Au
facteur c o m m u n GM'
près, o n a trois termes dans le
R^
potentiel W2 : Zonal : W2,o = P2(sin Θ) PAsm
δ)
( F i g . 3) .
ONDES
DE
MARÉE
511 'A'
F I G . 3. — Répartition du potentiel
de marée :
a) Terme zonal ; b) Terme tesséral ; c) Terme sectoriel.
Tesséral : W2,i=
P l ( s i n Θ) Plisin Pi(sm
δ) cos (H -
ψ),
0) = 3 sin 0 cos 0 .
Sectoriel : W2,2 = Plism Plisin
0) Plisin
δ) cos 2 ( H -
φ),
Θ) = 3 cos^ 0 .
Le facteur c o m m u n a une période annuelle p o u r le Soleil, mensuelle (28 j ) p o u r la L u n e . (sin δ) varie c o m m e sin 2 <5 o u cos 2 5 et corres p o n d donc à des marées semi-annuelles p o u r le Soleil et semi-mensuelles p o u r la L u n e . L e terme cos (H — φ) a une période d i u r n e , le terme cos 2(// — φ) une période semi-diurne. C o m p t e tenu de l'ellipticité de l ' o r b i t e de la Terre a u t o u r d u Soleil, et de la trajectoire complexe de la L u n e , δ et H varient de façon complexe et o n a intérêt à i n t r o d u i r e des quantités variant peu en f o n c t i o n d u temps.
MARÉES
12
TERRESTRES
D o o d s o n (1954) a utilisé la théorie d u m o u v e m e n t de la L u n e de B r o w n et employé les quantités suivantes : τ : temps lunaire m o y e n , \ seth:
longitudes moyennes de la L u n e et d u Soleil,
I p et Ps : longitudes d u périgée l u n a i r e et d u périhélion,
(1)
N : longitude d u nœud ascendant de la L u n e . Le temps solaire moyen t est lié a u temps sidéral =
et à τ par les formules :
t + h = τ + s.
(2)
Si T est le temps compté en siècles de 36 525 j solaires moyens (jsm) à p a r t i r d u l " j a n v i e r 1900 à 0 h ( T U ) o n a p a r exemple : s
=
2770
022 362 + 481 267,883 142 T -
0,001 133
+ 0,000 002
.
U n e fois tous les termes développés en fonctions h a r m o n i q u e s des combinaisons linéaires des quantités (1) o n o b t i e n t les « ondes de marée » . L ' a m p l i t u d e étant évaluée en cm^/s^, les ondes principales, d ' a m p l i t u d e supérieure à 1 000 cm^/s^, sont les suivantes (Bartels, 1957). (Cette a m p l i tude d o i t encore être multipliée p a r u n facteur inférieur o u égal à l'unité dépendant d u type d'ondes et des coordonnées géographiques) : 1" Oiuks
à grande
période
Période (jsm)
SSa
Mm Mf
A m p l i t u d e (cm'/s^)
182,621 27,555
1 909,6 2 163,0
13,661
4 099,1
Origine {_ : lunaire 0 : solaire déclinaison Θ ellipticité :( orbite déclinaison ;(
2" Ondes diurnes : Période (h mn) βι O, Mi Px Kl
26 25 24 24 23
53 49 50 04 56
1 891,0 9 876,8 1 229,1 4 600,2 13 902,3
ellipticité ÎQ onde principale i[ ellipticité C onde principale Θ déclinaison ((_ Θ (jour sidéral)
4 556,4 23 798,2 11 081,5 3 015,3
ellipticité ^ onde principale J onde principale O déclinaison ί 0
3" Ondes semi-diurnes : N2 S2 K2
12 12 12 II
39 25 00 58
Nous ajouterons à ces ondes l'onde tiers diurne lunaire, provenant de WT, : M}
8 17
311,3
aisément mise en évidence dans les analyses.
DÉFORMATIONS
DE LA
TERRE
DUE
AUX
MARÉES
513
Chacune des ondes principales est accompagnée d ' u n n o m b r e parfois i m p o r t a n t de raies satellites. O n a u n spectre théorique très riche, c o m p tant p a r exemple près de 20 ondes diurnes d ' a m p l i t u d e supérieure à 100 cm^/s^. Les résultats de D o o d s o n o n t été confirmés p a r une étude récente ( C a r t w r i g h t et Tayler, 1971). 4. — D É F O R M A T I O N S
DE L A TERRE
D U E A U X MARÉES
Le potentiel p e r t u r b a t e u r étant très p e t i t devant le potentiel n e w t o n i e n p r o p r e de la Terre, les déformations élastiques q u ' i l p r o v o q u e relèvent de la théorie linéaire (Chap. 4 ) . O n peut dans ces calculs négliger l ' a p l a dssement de la Terre et par suite utiliser les résultats d u chapitre 7. N o u s avons v u que sous l ' a c t i o n d ' u n potentiel p e r t u r b a t e u r h a r m o nique : S2 = P^ism Θ)
avec
W = AR^ S2
' ^ . ^ ^ " ^ ^ = 0,1,2) sin ιηφ
(1)
0, φ étant la latitude et la longitude d u p o i n t à la distance R d u centre, le déplacement élastique dans une sphère gravitante peut s'écrire : u = y,iR)S2.v
grad ^
+ Ry^iR)
,
(2)
V est le r a y o n vecteur unité. N o u s poserons encore : V * = (R grad S2)IS2
;
(3)
7, et y^ sont solutions d u système d'équations différentielles (Chap. 7, § 3) qui f o u r n i t également le potentiel : iV+w
= y,iR)
S2
(4)
où w représente la v a r i a t i o n d u potentiel newtonien U, p r o d u i t e p a r la v a r i a t i o n de la densité q u i accompagne la déformation ; le calcul f o u r n i t aussi : = y',(R)
y,iR)
-
4 nGpç,(R) y,(R).
(5)
Cette quantité est p r o p o r t i o n n e l l e à la composante radiale d u gradient extérieur d u potentiel W + w (Chap. 7, § 3). Les valeurs superficielles de ces fonctions (pour R = a) f o n t inter venir les nombres de L o v e h, k et /, eux-mêmes déterminés par les c o n d i tions de régularité des solutions a u centre de la Terre, où le déplacement et le potentiel doivent évidemment s'annuler. O n a : w(a) =
kW{a)
u(a) = {hx + /v*) ς S2 y,{a)
= (1 + /c) W{a)
S2
= (2 -
J^6(«)
3 /c)
W{a)la
MARÉES
514
TERRESTRES
avec ζ =
Wia).Cit.
Le choix de la constante est arbitraire ; elle est prise égale à l'inverse \lg(a) de l'accélération de la gravité en surface, ζ est improprement dit « soulèvement statique », terme emprunté à la théorie des marées océa niques. 5. — P H É N O M È N E S
OBSERVABLES
Nous nous bornerons à une description rapide des principaux phénomènes renvoyant pour plus de détails aux ouvrages de Bartels (1957) et Melchior (1966). 5.1.
— Surface d'équilibre d'un corps fluide. — La surface libre d'un corps
fluide en équilibre matérialise une surface équipotentielle, d'équation : U + W+w
=
Cie
U désignant le potentiel de la gravité terrestre en l'absence de déformation (ou celui de la pesanteur). Le déplacement vertical de la surface équipotentielle est donné par : ζ' =
{W+w)lg
g étant l'intensité de la pesanteur, soit encore en surface : Ç = (\ +k)W{a)|giά)
(1)
= (^+k)ζ.
Mais cette surface est repérée par rapport à la Terre, et la surface solide s'est elle-même soulevée, d'après (6) du paragraphe 4, de M = Λζ. Alors que pour un Globe indéformable la variation du niveau serait donnée par ζ, elle l'est donc par yC pour un Globe déformable, avec (Fig. 4) : y = {\ + k -
1
Λ-
h)
Ύ7777777777Τ
7777777777°
a
°////////// a)
(2)
°//////////
1 b)
F I G . 4. — Surface équipotentielle : a) Globe indéformable : 1 : surface, U = Cte, 2 : surface perturbée : U+ fV^Cte, ζ : déplacement statique ; b) Globe déformable : 0 : surface d u sol n o n perturbé, 3 : surface d u sol per turbé, h et k : nombres de Love.
PHÉNOMÈNES
515
OBSERVABLES
D a r w i n , sur une idée de K e l v i n , f u t le premier, en 1881, à chercher à déter miner ce coefRcient en utilisant les enregistrements de la marée océanique en 14 ports. 11 convient d'utiliser seulement les composantes à longue période (15 j o u r s o u I mois) car les marées à plus courte période ne suivent pas la théorie statique et sont perturbées par de n o m b r e u x phénomènes. O n ne sait d'ailleurs pas si les marées à longue période suivent la marée statique o u si elles c o m p o r t e n t des courants permanents. Les résultats obtenus p o u r y par D a r w i n et ultérieurement par Schweydar sont de l'ordre de 0,6-0,7. P r o u d m a n a appliqué la même méthode aux ondes diurnes et semi-diurnes observées dans les marées de grands lacs, p o u r lesquelles les périodes de résonance sont relativement courtes. O n ne dispose pas d'analyse p o r t a n t sur de longues séries temporelles. En 1914, Michelson et Gale entreprirent une expérience permettant de s'af franchir des difficultés rencontrées dans les milieux naturels en étudiant les variations de niveau dans deux longs tubes (153 m de longueur). Cette mesure, effectuée à l'Observatoire de Yerkes au centre d u continent nord-américain, fournit des valeurs de l ' o r d r e de 0,7 considérées comme significatives. Des expériences analogues furent réalisées p a r la suite en Norvège, au D a n e m a r k , à Washington. L a méthode est toutefois assez lourde et a été p r a t i q u e m e n t abandonnée au bénéfice de la méthode suivante.
\ !
I
5.2. — Déviation de la verticale par rapport au sol. — L a direction de la verdcale en un p o i n t est donnée p a r celle d u gradient d u potentiel total ( i / + -t- w). O n a en surface (en négligeant l'aplatissement de la Terre) : grad {U +W
+ vi)=
-
g(a) v + y'^ia)
v + y,(a)
v*/a .
(3)
L a déviation vectorielle de la verticale par r a p p o r t à la d i r e c t i o n n o n perturbée est donc : ysia)
\
S2 yVag(a)
= v * ( l + k) lV(a)/ag(a)
= (ζ'/α) v * .
M a i s cette direction est repérée par r a p p o r t au sol, lui-même déformé (Fig. 5). A une a p p r o x i m a t i o n suffisante, l'équation de la surface libre est donnée p a r : R = a + Ιιζ. L a normale à cette surface est déviée p a r r a p p o r t à la normale n o n perturbée v, l'écart étant : Λζν*/α.
A l o r s que sur un G l o b e indéformable la déviation de la verticale par r a p p o r t au sol serait donnée par : ζ ν * , sur un G l o b e déformable, elle est réduite à yζ\* avec le même coefficient y = \ + k — h q u ' a u paragraphe 5 . 1 . Remarquons que p o u r un G l o b e recouvert de fluide parfait o n aurait 7 = 0. Pour mesurer ces déviations o n utilise généralement des pendules à axe
MARÉES
516
TERRESTRES
D
\
V
\
Vl
ht
1)
F I O . 5. — Déviation relative de la
Ξ7·
verticale.
a) Globe indéformable : 0 : normale au sol fixe ; 1 : pesanteur non perturbée : grad U ; 2 : pesanteur perturbée ; grad ( C 4 W). b) Globe déformable : 3 : pesanteur perturbée : grad {U + IV -\w) ; 4 : normale au sol déformé : ε ζ/α. La figure est faite dans le plan (v, v * ) .
presque vertical. P o u r u n tel corps la p o s i t i o n d'équilibre d u centre de gra vité G est contenue dans le p l a n vertical de l'axe. U n e petite déviation ζ de l'axe perpendiculairement à ce p l a n , o u inverse ment de la verticale par r a p p o r t au sol, se t r a d u i t par une r o t a t i o n ψ d u p l a n d'équilibre donnée par ; φ = ζ/ί, i étant l'angle, supposé petit, de verticale l'axe et de la verticale ( F i g . 6).
FiCi. 6 . — Rotation φ d'un pendule dont l'axe fait l'angle i avec la verticale quand l'axe tourne de ξ.
P o u r éviter les frottements, o n utilise généra lement une suspension p a r fils, dite suspension Zôllner, q u i laisse au pendule des degrés de liberté parasites (Jobert, 1959). P o u r garantir une bonne stabilité des appareils, o n fait appel aux propriétés de la silice fondue ( B l u m et G a u l o n , 1971). L a figure m o n t r e le détail de construction ( F i g . 7) d ' u n tel appareil. O n dis cutera plus l o i n les résultats obtenus p a r cette méthode.
5.3. — Variation de l'intensité de la pesanteur. — L a f o r m u l e (3) montre que l'intensité de la pesanteur — p r a t i q u e m e n t celle de l a composante radiale d u gradient — est également modifiée par le phénomène des marées. I l est plus c o m m o d e de p a r t i r de (14) d u ( 7 . 3 ) q u i donne le gra dient extérieur : W{a)
Mais la station de mesure s'est également déplacée verticalement, et la pesanteur normale q u ' o n y mesurerait serait : gia + u)=
g(a) -
2 ug{a)la
= g(a) -
2 hW{a)la
.
PHÉNOMÈNES
517
OBSERVABLES
Queusot
- Point d'attache du f i l supérieur Fil supérieur
-Fenêtre optique pyrex
Fil infe'rieur
- - P l a q u e d'argent
-Point d'attache du f i l infe'rieun
l^;;-Résine
..^Miroirs
polyme'risable
J - - Pyrex
Silic'e opaque
Silice transparente --Roche
F i G . 7. - • Détail de construction
d'un pendule Itoriiontat
en silice fondue, sous vide
a) Cloche vidée ; /)) Equipage mobile.
Suivant la verticale dirigée vers l'extérieur, l'effet mesuré est donc :
alors que sur u n G l o b e indéformable o n aurait seulement ; 2 lV(a)/a. port de ces variations est donc : δ = (\ -
ik
+
h).
Le r a p
(4)
La mesure des variations de pesanteur se fait à l'aide de gravimètres spécia lement aménagés p o u r g a r a n t i r une bonne stabilité (thermostatisation, pres sion constante) et une grande sensibilité (de l ' o r d r e de 1 pgal o u mieux). On a aussi utilisé la v a r i a t i o n de marche d'horloges à balancier p o u r déter miner le facteur δ des marées annuelles. 5.4. — Variation de la direction de la verticale par rapport à l'axe des pôles. — Les instruments astronomiques sont généralement réglés à l'aide de niveaux. Leur repérage se fait donc p a r r a p p o r t à la surface équipotentielle d u potentiel
MARÉES
518
TERRESTRES
t o t a l . D ' a u t r e p a r t , les coordonnées géographiques d ' u n p o i n t sont modifiées puisque la station subit u n déplacement h o r i z o n t a l : 1ζ\*. Les mesures de l o n g i t u d e et de l a t i t u d e sont donc perturbées p a r les marées. Par r a p p o r t à l'effet η q u i serait p r o d u i t sur u n G l o b e indéformable, l'effet p o u r u n G l o b e déformable est donné p a r λη avec : λ=\
+ k -
(5)
l.
L a détermination de cet effet dans les mesures de latitude est extrêmement diflBcile, puisque celles-ci sont effectuées de façon irrégulière le l o n g de l'année ce q u i ne permet pas une analyse correcte des séries. Les valeurs obtenues p o u r /. varient entre 1,08 et 1,66. D e plus les visées se f o n t à travers les couches de l'atmosphère soumises elles aussi à des marées q u i p r o v o q u e n t des variations de la réfraction. 5.5. — Détermination des nombres h et lpar des mesures d'extension. — O n peut en principe déduire ces nombres des mesures de l'extension de seg ments h o r i z o n t a u x à la surface de l a Terre. Si l ' o n utilise l'expression d u déplacement u (6) d u paragraphe 4 et les formules (12) (§1.3) d u chapitre 4, o n peut écrire : ε
y , i = (/) + ah'{a)) d'S_ S2 dO y
=\h
+
cotg 0
, eHS2lsin
S2 se
+
-- ε , S2 siP Θ δψ
Θ)
^" = ' " s ; w â ^ ^ '
.
^'- = ^ . 3 = 0
avec ε = C/« . y , , fait intervenir la dérivée d u r a p p o r t /; par r a p p o r t au r a y o n . E n c o m b i n a n t 722 ^ t 733 o n obtient : 722 +
V33
= 2 ε(Λ - 3 /)
A étant u n coefficient phiques.
V22 -
Vas = ΛΙε
dépendant seulement des coordonnées géogra
L'incertitude des mesures différentielles utilisées en extensométrie est telle que les rares résultats obtenus j u s q u ' i c i ne peuvent être considérés comme très significatifs. A l'imprécision propre des mesures s'ajoute u n effet indéter miné lié aux c o n d i t i o n s locales.
OBSERVATION
CONCERNANT
LES
FACTEURS
y ET ô
519
5.6. — Détermination du nombre k : rotation de la Terre, orbite de satellites. — On verra dans le chapitre 19, c o m m e n t o n peut déduire de la r o t a t i o n de la Terre une valeur de k. L a valeur généralement admise est k = 0,29. M a i s l'influence des mouvements des parties fluides de la Terre est très sensible et une discussion de cette valeur s'impose. I l est apparu récemment possible de déterminer l'influence des marées ter restres sur le mouvement des satellites artificiels de la Terre. O n peut étudier les perturbations de l ' i n c l i n a i s o n et des nœuds des orbites. C'est ainsi que Kozai (1968) et N e w t o n (1968) o n t obtenu des valeurs de k comprises entre 0,28 et 0,44. K a u l a (1969) a suggéré que ces résultats m o n t r a i e n t une v a r i a t i o n réelle du facteur k avec la p o s i t i o n géographique et a étudié de quelle façon réagirait u n satellite dans le cas où le facteur k et un déphasage entre excitadon et réponse seraient fonctions de la latitude. U n e telle v a r i a d o n i m p l i q u e r a i t des hétérogénéités latérales dans la Terre. C'est u n c h a m p nouveau q u i s'ouvre ainsi et q u i peut apporter des résultats fort i m p o r t a n t s dans les années q u i viennent, v u l'amélioration des techniques spatiales.
6. — RÉSULTATS
D'OBSERVATION
C O N C E R N A N T LES F A C T E U R S y Ϊ.Ύ δ
6.1. — Méthodes d'analyse. — Les enregistrements f o u r n i s par les g r a v i mètres o u les inclinomètres sont digitalisés avec, en général, u n pas d'échantil lonnage de u n p o i n t par heure. A v a n t l ' i n t r o d u c t i o n des ordinateurs on procédait par filtrage numérique c'est-à-dire par combinaisons linéaires d'or données à coefiicients simples (Lecolazet, 1956). L'analyse p a r t r a n s f o r m a t i o n de Fourier ( T F ) est maintenant utilisée même p o u r des séries très longues (transformation rapide p a r l ' a l g o r i t h m e de Cooley-Tukey). L e spectre obtenu représente — à l'effet de repliement (aliasing) dû à l'échantillonnage près — le p r o d u i t de c o n v o l u t i o n d u spectre de raies (réponse de la Terre a u phéno mène excitateur considéré) et de la « f o n c t i o n d'appareil » ( T F de la f o n c t i o n égale à 1 pendant les périodes d'enregistrement udlisées, à zéro ailleurs). On peut chercher à « déconvoluer » le spectre en calculant les amplitudes et les phases (à une heure donnée de la série) de raies o u groupes de raies, aux fréquences prévues par la théorie. O n m o n t r e aisément que cette méthode correspond exactement à l ' a p p l i c a t i o n des moindres carrés à la série donnée. Dans cette dernière méthode o n cherche à représenter au mieux cette série par une somme de fonctions harmoniques de fréquences connues, les a m p l i tudes et phases de ces composantes (considérées individuellement o u regrou pées) étant les inconnues à déterminer. Pour i n t r o d u i r e dans les comparaisons des résultats d'observation avec les valeurs théoriques le m i n i m u m de perturbations dues au traitement numérique, on opère généralement de la même façon avec une série temporelle correspon-
520
MARÉES
TERRESTRES
d a n t au phénomène théorique, calculé à p a r t i r des expressions d u paragraphe 2 o u des quantités (5) d u paragraphe 3. 6.2. — Marée gravimétrique. — N o u s donnerons ici à titre d'exemple les résultats obtenus p a r R. Lecolazet et L . Steinmetz ( I n s t i t u t de Physique du G l o b e de Strasbourg) à p a r t i r de l'analyse d'une série de 25 000 valeurs horaires de la marée gravimétrique observée avec u n gravimètre N o r d - A m e r i c a n m o d i fié p a r les auteurs, de 1964 à 1967. A p a r t i r de l'analyse spectrale les amplitudes et phases sont déterminées pour les h u i t ondes principales g i 0^ AT, Ni Mj S2 K2 p o u r la série d'observations SE et la série correspondante de la marée théorique, calculée à p a r t i r de 379 termes d u développement de D o o d s o n . O n construit ensuite deux séries S'E ST en extrayant des séries initiales les 8 ondes déterminées, et la série S" = S'E — δ(Κι) ST obtenue en retranchant heure p a r heure à la série obser vée la marée théorique multipliée par le r a p p o r t déterminé p o u r l'onde diurne A^i ( d o n t le déphasage est très faible). De la sorte sont mises en évidence, par analyse de la série S", les ondes d o n t le facteur d ' a m p l i f i c a t i o n serait notable ment différent de celui de AT,. Les résultats sont présentés dans le tableau I avec une évaluation de l'erreur p o u r les ondes diurnes, semi-diurnes, tiers-diurnes et à longue période.
TABLEAU 1
δ
m»
Φ
ηΐΦ
MF
1,208 1
0,030 0
— 7» 92
1M6
Qt
7 9 9 4
0,004 0,001 0,001 0,000
8 0 8 6
— — — —
1°07 0» 85 0=71 0°74
00 23
Kl
1,168 1,178 1,168 1,161
N2 M2 S2 Ki
1,179 6 1,203 8 1,207 8 1,2104
0,002 0,000 0,000 0,003
2 4 9 3
2° 03 1° 16 0» 15 0"23
0" 11 0<Ό2 0<Ό5 0° 16
Mi
1,095 5
0,048 0
— 5» 29
2° 50
Onde.t
Semi-mensuelles
Diurnes
Semi-diurnes
Tiers-diurne
0,
0°05 0» 09 0° 03
L a figure 8 m o n t r e le spectre de 5 " . U n pic est visible à la fréquence de 5, (onde d i u r n e solaire de 24 h ) . I l correspond aux nombreuses perturbations dues a u r y t h m e d i u r n e de l'acdvité humaine.
RÉSULTATS
521
THÉORIQUES
Κ,
0,
5μ.0ΑΙ
OÙ,
1.
Α .
.
-1-
Ο,ΙμβΑί "M,
j
. ..i. . .... I.LJUlii.i
Ro,j
H..
.
«oc Roc 1
F I G . 8.
a) Spectre des marées gravimétriques. b) Après soustraction du spectre théorique multiplié par le facteur périodes des ondes mineures J\ Oi 00\ sont données à la figure 10.
7. — RÉSULTATS
δ{Κι).
Les
THÉORIQUES
Les premiers calculs des nombres de L o v e furent effectués p o u r une sphère homogène et incompressible. Par la suite o n étudia des modèles où les para mètres physiques (densité, rigidité) étaient donnés p a r des lois simples en fonction de l a p r o f o n d e u r . E n 1950, T a k e u c h i calcula ces quantités p a r intégra tion numérique des équations de l'élasticité dans l'hypothèse statique, en utilisant p o u r λ, μ et p les lois tirées p a r B u l l e n de l'étude de la p r o p a g a t i o n des ondes sismiques. Les résultats dépendent de la rigidité supposée p o u r le noyau. L e tableau I I donne quelques résultats obtenus p a r différents auteurs. L'influence de l'inertie sur h et k n'est pas négligeable, c o m m e l ' o n t montré Alterman, Jarosch et Pekeris (1959), mais une compensation s'effectue p o u r les combinaisons y et ô. L e tableau donne leurs résultats p o u r des périodes de 6 h, 12 h et une période infinie (cas statique). N o u s donnons également dans la dernière ligne d u tableau, les nombres de Love et les facteurs y et δ calculés par Molodensky et K r a m e r (1961) p o u r les harmoniques tiers-diurnes ( « = 3) pour lesquels o n a : ( c f (1) d u ( 7 . 3 ) ) : 5 = 1 + 2Λ/3 - 4/c/3. La comparaison de ces résultats théoriques m o n t r e que les facteurs y et δ dépendent relativement peu d u modèle choisi. Q u a n d la rigidité d u n o y a u augmente de 0 à 10'^ cgs, y croît et δ décroît de quelques pour-cent. L'étude des marées terrestres permet donc en principe de donner des limites p o u r la rigidité d u n o y a u .
522
MARÉES
TERRESTRES
TABLEAU I I
Auteurs
ALSOP-KUO (1964) Modèle Gutenberg LONGMAN (1966) Modèle Gutenberg-Bullen A . . . DERR (1969) Modèle D l - 1 1
/
A
k
δ
0,607
0,300
0,083
0,683
1,157
0,612
0,302
0,083
0,690
1,159
0,615
0,303
0,086
0,688
1,161
Rigidité d u noyau MOLODENSKY (1953) Modèles : 6 0 7 7,3.101" 8 7,3.10"
0,619 0,596 0,458
0,310 0,298 0,229
0,091 0,091 0,090
0,691 0,702 0,771
1,154 1,149 1,115
ALTERMAN et al. (1959) T ^ 6h r 12h 0 T--r.
0,629 0,618 0,590
0,309 0,304 0,275
0,089 0,088 0,086
0,680 0,686 0,685
1,165 1,162 1,177
MOLODENSKY et KRAMER n - 3 (1961) 0
0,293
0,095
0,013 5
0,802
1,069
P o u r les modèles élastiques considérés, i l ne peut y avoir de déphasage entre phénomène excitateur et eflfet observé. L a présence de tels déphasages dans les résultats expérimentaux m o n t r e q u ' i l existe des facteurs q u i n ' o n t pas été pris en considération. Ils peuvent être dus à des imperfections de l'élasticité de l'intérieur d u G l o b e o u à des phénomènes perturbateurs externes, c o m m e les inarées océaniques. Le déphasage à prendre en considération diffère de la valeur inesurée ( F i g . 9). M o l o d e n s k y (1963) a étudié l'influence de la viscosité p o u r u n modèle à rigidité μ complexe et m o d u l e d'incompressibilité réel ; les équations de l'élas ticité sont résolues p a r la méthode des perturbations, la partie imaginaire m de μ étant supposée petite. L a méthode permet de calculer les parties imagi-
FlG. 9. — Pour un ejfet théorique A on mesure un ejfet B , déphasé de l'angle φ.
B=8A
a) Pour les marées gravimétriques, | B | — <5 | A !. B contenant en toute hypothèse A sans déphasage, la différence ( B — A ) due à la déformation de la Terre et à des phénomènes parasites est déphasée de l'angle ψ.
a)
b)
b) Pour les marées d'inclinaison o n a : i B I >' I A I et le déphasage est ψ p o u r la diffé rence ( B — A ) .
PHÉNOMÈNES
PERTURBATEURS
523
naires des nombres de Love p o u r toute l o i m{R) dans le manteau. L a théorie des marées d ' u n G l o b e ayant u n n o y a u fluide visqueux semble beaucoup plus difficile à établir. O n discutera aux chapitres 19 et 21 l'influence de la dissipation d'énergie mécanique dans le phénomène des marées, sur le mouvement r e l a t i f de la Terre et de la L u n e . N o u s nous bornerons à i n d i q u e r ici q u ' u n e influence analogue (résonance synodique) a été suggérée p o u r expliquer les particularités de la r o t a t i o n de Vénus.
8. — P H É N O M È N E S
PERTURBATEURS
Le phénomène perturbateur le plus évident sur les enregistrements est souvent constitué par une dérive lente et de sens parfois variable. Dans le cas des gravimètres, cette dérive est due aux phénomènes d'anélasticité dans le ressort de suspension de la masse ( o u , dans des dispositifs imparfaits, à u n vieillissement des détecteurs). Dans le cas des inclinomètres la dérive peut être d'origine instrumentale, mais les appareils entièrement construits en silice fondue ne présentent généralement pas de dérive gênante de ce type. Elle peut aussi être due aux conditions locales (variations hygrométriques dans la roche, charges locales...). O n peut éliminer ces phénomènes par des filtrages passe-haut convenables, mais o n ne peut éviter une perturbation dans les analyses pour les marées de longue période. O n sait que l'échantillonnage d'une série temporelle continue permet une estimation correcte d u contenu spectral de cette série si le pas choisi correspond à une fréquence supé rieure à la fiéquence de coupure de l'instrument de mesure. Dans le cas contraire, par suite d'un effet stroboscopique (aliasing) qui replie la partie haute tréquence d u spectre sur la partie à basse fréquence, le bruit de fond à haute fréquence perturbe les parties utiles d u spectre. Les appareils utilisés dans l'étude des marées terrestres o n t en général des bandes passantes s'étendant jusque vers I H z et le pas d'échantillonnage généralement utilisé de 1 point par heure est en principe tout à fait insuffisant. I l convient donc de réduire au m a x i m u m les perturbations de courte période, qu'elles soient d'origine thermique (courants de convection dans les enceintes, défauts de thermostatisation...) ou d'origine barométrique. Les appareils doivent être installés dans des caves profondes o u soigneusement thermostatés, et les gravimètres doivent être placés dans des caissons étanches indéformables.
L'analyse spectrale permet de toute façon d'estimer le niveau d u b r u i t de f o n d en dehors des raies. Beaucoup plus dangereux sont les phénomènes d o n t le spectre recouvre celui d u phénomène étudié. Le potentiel luni-solaire agit non seulement sur les parties solides de la Terre, mais aussi sur les océans et l'atmosphère. E n p a r t i c u l i e r , les marées océaniques o n t u n spectre analogue à celui des marées terrestres ; i l en diffère, en certains p o i n t s , p a r la présence d'harmoniques supérieurs dus aux effets n o n linéaires q u i accompagnent la p r o p a g a t i o n des courants dans les mers peu profondes. I l faut donc t e n i r compte d u déplacement des masses d'eau et de la pression qu'elles exercent sur les fonds marins, d ' a u t a n t plus que les marées océaniques sont souvent renforcées le l o n g des côtes. D e la même façon — mais avec u n effet m o i n d r e — les marées de l'atmosphère se traduisent p a r une v a r i a t i o n de son attrac t i o n sur les molécules de l'intérieur et une v a r i a t i o n de la pression atmos phérique.
MARÉES
524
TERRESTRES
O n se trouve donc placé dans les conditions examinées aux paragraphes 3 et 5 du chapitre 7 : la déformation est due à la fois à des forces de volume et à des forces superficielles. Bornons-nous à prendre en considération l'effet d u « bourrelet océanique», répartition de masses correspondant à la variation des masses océaniques entre l'état non perturbé et l'état final perturbé par la marée luni-solaire totale (effet des astres, de l'océan et des parties solides). Nous désignerons par ÎV' le potentiel newtonien de ce bourrelet o u , pour simplifier, u n harmonique d u second ordre d u développe ment de ce potentiel. E n surface, le déplacement u d ' u n point d u Globe solide sera donné par : g(a) u = (Λν + /V*) fV + Wv
+ 1' V * ) W
II', k' et /' étant les nombres de Love modifiés correspondant à l'effet d'un potentiel accompagné d'une pression superficielle. O n peut, à partir de cette relation et de l'expression d u potentiel •,w = kW + k' W, trouver l'influence des marées océaniques sur les observations. Cette méthode suppose que l a distribution des marées océaniques est connue par tout et a donc p u être représentée sous forme de série de fonctions harmoniques de surface. Remarquons que le soulèvement océanique est grand et peut être calculé en négligeant le soulèvement d u f o n d . Le plus souvent o n procède seulement au calcul direct de l'attraction d u bourrelet formé sur les mers voisines de la station. I l faut ensuite calculer la déformation élastique à l a station due à la charge de ce bourrelet. Cette méthode semble donner des résultats suffisants en ce q u i concerne les marées gravimétriques ( K u o et al., 1970) ; par contre, pour les marées d'inclinaison, où l'effet est plus i m p o r t a n t , puisque l'attraction d u bourrelet océanique est voisine de l'horizontaie, les résultats ne sont pas concluants. Toutefois, une partie d u déphasage observé est sans aucun doute à attribuer à l'effet océanique.
i I
L'étude des résidus de l a marée gravimétrique observée, après soustraction des v a r i a t i o n s dues aux marées théoriques, m o n t r e que l'efîet de la pression atmosphérique sur les régions q u i e n t o u r e n t l a s t a t i o n est décelable. 9. — EFFETS D Y N A M I Q U E S D U S A U N O Y A U
FLUIDE
Les marées diurnes p r o v o q u e n t u n déplacement de l'axe de r o t a t i o n de la T e r r e puisqu'elles m o d i f i e n t les p r o d u i t s d ' i n e r t i e de la T e r r e . Le mouvement des
parties
fluides
contrairement sont
d u noyau
dépend
f o n d a m e n t a l e m e n t de cette rotation,
à celui des parties solides p o u r lesquelles les forces élastiques
prépondérantes. L'étude de la déformation d ' u n corps solide contenant u n noyau fluide a été atta quée à l a fin d u siècle dernier. Poincaré, en particulier, a i n t r o d u i t en 1910 une méthode dans laquelle la vitesse relative dans le fluide est supposée dépendre linéairement des coordonnées. Le fluide étant contenu dans u n ellipsoïde de demi-axes constants a, b, c, il suppose que la vitesse V est donnée en fonction d u vecteur position R par : v = L i î i Λ ( £ - 1 R)
ί
!
L étant la matrice diagonale d'éléments a,b,c;L^^ son inverse ; i i i un vecteur corres pondant à une r o t a t i o n fictive. O n vérifie aisément que la vitesse n'a pas de compo sante sur la normale i - " ^ R à l'ellipsoïde. L a vitesse absolue s'obtient en ajoutant à V le vecteur Ω Λ R, Ω correspondant à la r o t a t i o n instantanée de la coque indéformable.
EFFETS
DYNAMIQUES
DUS AU NOYAU
FLUIDE
525
A partir du calcul de l'énergie cinétique du corps et des équations d'HelmhoItz (Lamb, 1945, p. 725) on obtient, pour le cas d'un ellipsoïde de révolution, un effet important pour les nutations semi-annuelles et de quinzaine (voir Chap. 19) et pour les marées diurnes /Ί et O i , effet qui dépend de l'aplatissement dynamique du noyau (différence relative des moments d'inertie). Jeffreys et Vicente (1957) ont repris cette méthode en utilisant les calculs de Takeuchi pour tenir compte de l'élasticité du manteau. Molodensky (1961) a étudié le même problème par une méthode originale, ne faisant pas appel à l'hypothèse de Poincaré. Les deux études font apparaître une vibration propre possible de période inférieure d'environ 3 minutes à un jour sidéral.
j I
i
Le tableau I I I d o n n e de JeflFreys-Vicente
les résultats théoriques obtenus p o u r deux
et deux
modèles de M o l o d e n s k y TABLEAU
modèles
( F i g . 10).
III
Propriétés du noyau dans les modèles étudiés J.-V. I : ellipticité : 0,002 567, homogène, masse ponctuelle au centre, rayon 6 = 3 471 km. J.-V. I I : densité suivant la loi de Roche : p = 12,91—3,68 {Rlby g/cm3. M. I : excentricité é- = 0,007 13, rapport du moment d'inertie à celui de la Terre : r = 0,118. M. I l : densité de Bullen dans le manteau ; e = 0,007 12 ; r = 0,106 ; graine fluide.
Facteur Modèle
Ondes
J.-V. 1 J.-V. I I
0, ... Λ ... Kx ... ψ\ (voir fig. 10) (0, -
0,658 0,676 0,714
Jx Ondes
Au
—
0,695
-
—
semi-diurnes 0,704
voisinage
variation
δ
}'
M. I
M. I I
J.-V. I
J.-V. 11
0,686 0,697 0,727 0,527 0,658 0,682
1,221 1,209 1,183
1,211 1,172 1,185
0,588 —
0,688 0,699 0,730 0,521 0,658 0,684
1,196
1,263
0,675
0,686
0,685
1,152
1,188
0,658 0,696 0,693
—
de la période p r o p r e
— —
les coeiRcients subissent
q u i se t r a d u i t p a r une d i m i n u t i o n
et δ{Κ^) et une a u g m e n t a t i o n des coefficients O n cherche
— —
sensible jiK^)
M. I
M. II
1,159 1,154 1,138 1,241 1,174 1,161
1,164 1,158 1,144 1,246 1,178 1,167
1,160
1,165
une rapide
des coefficients
et δ(^^)
νίΆι)
( F i g . 10).
le p l u s souvent à m e t t r e en évidence l a différence des valeurs
entre les ondes O , et AT,. O n a en effet :
dans les modèles de
~ 0,02
δ(0,)
-
ô(Ki)
y(K^)
-
y ( 0 , ) = 0,04
Molodensky.
Des différences de cet o r d r e sont b i e n observées. M a i s l a précision des déter m i n a t i o n s et l'éliminadon de l'effet océanique ne sont pas suffisantes mettre en évidence l a v a r i a t i o n des coefficients
pour
a u voisinage de i / ^ . D e t o u t e
MARÉES
526
TERRESTRES
00.
2_Q, 1,20 L MH
1,179r
-1,105 - 1,15
1,165-
1,15
Ιι,ιο
1,10
J0,95
(a)
_L 0,0425
0,040
0,0375
0,035
0,045 Cyc/e/heure
PÉRIODE ET AMPLITUDE DES ONDES DIURNES MINEURES
2a,
σι P\ X\
Ψ\ φ\ Οι
0,7-
/, 0,6-
OO,
28 h 04 m n 27 51 26 43 24 43 24 08 52 23 23 48 12 23 23 06 22 25 22 18
250 cm:/s302 359 148 270 111 198 148 777 129 425
0,5.
0,4. F I G . 1 0 . — Variation des facteurs ô et y en fonction de la fréquence pour les ondes diurnes. I£n tirets : courbe théorique. Les points expérimentaux sont indiqués avec une estimation de l'erreur. (Les valeurs pour sont obtenues par BLUM, 1970).
0,3 _
0,2 _
0,035 (b)
I
I
I
L
0,040
0,045 Cyc/e/heure
527
BIBLIOGRAPHIE façon les valeurs numériques concernant
le n o y a u , q u i sont utilisées dans les
calculs, sont elles-mêmes assez incertaines. M o l o d e n s k y t r o u v e que le r a p p o r t kjh dépend p e u de l'effet de résonance ; il est égal à 0,495 p o u r le p r e m i e r modèle et à 0,489 p o u r le second. M o l o d e n s k y a récemment (1967) généralisé sa théorie a u cas d ' u n m a n t e a u sphéroïdal, mais n ' a pas donné de résultats numériques. I l a également étudié l'influence de la force de C o r i o l i s
(1970).
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CHAPITRE
VARIATION
19
D U POLE ET D E L A
DE ROTATION
DE LA
VITESSE
TERRE
par Bernard
GUINOT
1 . — GÉNÉRALITÉS
.e problème abordé ici est celui de la r o t a t i o n d'ensemble de la Terre a u t o u r son centre des masses. Les mouvements relatifs des particules q u i f o r m e n t "erre solide (à l'exclusion de l'atmosphère et des océans), à laquelle sont liés instruments de mesure, sont assez lents, p o u r que les n o t i o n s d'axe i n s t a n ί et de vitesse instantanée de r o t a t i o n conservent leur sens h a b i t u e l . )eux systèmes de référence sont à considérer. Le premier a ses d i r e c t i o n s s dans l'espace ; dans l ' a s t r o n o m i e usuelle, i l est représenté p a r les direc ts des étoiles corrigées de faibles mouvements propres d o n t les effets sont nuls noyenne. Le deuxième système de référence accompagne la Terre dans son jvement d'ensemble de r o t a t i o n ; p a r suite des déformations de la Terre, sa n i t i o n est délicate, elle peut dépendre de la nature d u problème étudié et elle : être soigneusement précisée. es forces extérieures sont celles exercées p a r les astres ; ce sont essentielleit les forces de g r a v i t a t i o n exercées p a r la L u n e et le Soleil. Elles dérivent 1 potentiel d o n t le développement n'offre pas de difficulté fondamentale r le Chap. 18). (ne fois les axes de référence choisis, l'observation f o u r n i t , sous f o r m e de ;s temporelles, les 3 paramètres q u i décrivent le m o u v e m e n t de r o t a t i o n s chacun des systèmes d'axes. L a f o r m e de ces 6 paramètres est aisément mue q u a n d o n suppose la Terre indéformable. L ' o b j e t d u présent chapitre l'étudier les altérations apportées p a r les mouvements internes relatifs de la -e, de son atmosphère et de ses mers. es données d'observation p r o v i e n n e n t essentiellement de Tastronomie q u i nit, depuis le début de ce siècle, des données précises. Cependant l'astro-
530
VARIATION
DE
LA
VITESSE
DE
ROTATION
DE LA
TERRE
nomie renseigne m a l sur les effets à l o n g terme bien qu'elle ait permis dans certains cas d'interpréter des observations de l'antiquité (depuis 3000 av. J . - C ) . Pour l'évolution à très l o n g terme (au cours de quelques centaines de millions d'années), o n a tenté de faire appel à la géologie. Le modèle d'une Terre indéformable a le mérite d'être simple. 11 f o u r n i t une bonne première a p p r o x i m a t i o n d o n t les insuffisances seront décrites avant d'être interprétées. 2. — R O T A T I O N
DE L A TERRE
INDÉFORMABLE
Les axes liés à la Terre, Oxyz, seront confondus avec les axes principaux d'inertie, les moments p r i n c i p a u x d'inertie étant A, B, C. Si L, M, N sont les composantes d u m o m e n t des forces extérieures et p, q, r, celles d u vecteur r o t a t i o n instantanée ω , le mouvement peut être déduit de l'intégration des équations d ' E u l e r ( q u ' o n obtient en écrivant le théorème d u m o m e n t cinétique dans les axes mobiles) : Ap + (C
- B)qr
= L ,
Bq + (A
- C) rp = M ,
Ci- +{3
~ A)pq
(1)
= N .
P o u r compléter la description d u mouvement, il faut adjoindre les trois équa tions cinématiques q u i le r a p p o r t e n t aux axes fixes OXYZ. Dans le développement de l a théorie, o n admet que B = A. Les forces exté rieures sont exprimées en f o n c t i o n d u potentiel des astres perturbateurs (Wool a r d , 1953) o u bien décomposées en ondes de marées ( M e l c h i o r et Georis, 1968) ( v o i r le Chap. 18). Le seul paramètre décrivant la Terre est le rapport γ = (C — A)jA d o n t la détermination expérimentale reste nécessaire. Le mouvement de l'axe de r o t a t i o n p a r r a p p o r t au repère fixe est appelé précession et nutation luni-solaires. N o u s n'en ferons pas la théorie q u i relève de l'astro n o m i e ; nous indiquerons seulement les p r i n c i p a u x résultats. 2.1.—Précession et nutation. — A u t o u r d'une perpendiculaire au plan de l'écliptique, l'axe de r o t a t i o n décrit u n cône de demi-angle au sommet d ' e n v i r o n 23° (obliquité), à une vitesse angulaire de 50" par an (période de 26 000 ans) connue à 2 x 1 0 " ^ près en valeur relative ; la mesure de cette vitesse f o u r n i t y q u ' o n t r o u v e égal à 1/305. A ce mouvement désigné par précession luni-solaire, i l se superpose des termes périodiques q u i forment la nutation (astronomique). L e plus g r a n d de ces termes, le terme principal de la nutation, fait décrire à l'axe de r o t a t i o n u n cône de base elliptique d o n t les demi-angles au sommet sont 9",2 et 6",9 ; sa période est de 19 ans, période de révolution des nœuds de l ' o r b i t e lunaire. A p a r t i r d u taux de la précession, donc de y, la théorie f o u r n i t toutes les amplitudes des nutations. L a précision
ROTATION
DE LA
TERRE
INDÉFORMABLE
531
est surabondante vis-à-vis de la précision des observations astronomiques (0",01 à 0",0OI). La précession-nutation n'est pas u n témoin très sensible des déformations de la Terre, car ces déformations ne produisent pas de changements i m p o r tants, sauf toutefois sur les points a) et b) suivants. a) Dans l ' a m p l i t u d e d u terme p r i n c i p a l de la n u t a t i o n où u n écart avec la théorie de 0",02 e n v i r o n est attribué aux effets dynamiques d u noyau l i q u i d e (Jeffreys et Vicente, 1957, M o l o d e n s k y , 1961). (Signalons que les astronomes utilisent, p o u r le m o m e n t , des amplitudes empiriques, déduites de l'observa tion, sans appel à la théorie d ' u n modèle de Terre déformable.) h) Dans la décroissance de l'obliquité où l'écart de 0",3 par siècle p o u r r a i t être dû a u frottement entre le noyau et le manteau ( A o k i , 1969). 2.2. — Polhodie et vitesse de rotation. — A de petits termes près d o n t l ' a m plitude totale reste inférieure à 0",04 et d o n t o n peut tenir compte, le m o u v e ment de l'axe de r o t a t i o n p a r r a p p o r t à la Terre ainsi que l a vitesse de r o t a d o n ω sont ceux que l ' o n o b t i e n d r a i t en l'absence de forces extérieures. Les équa tions (1) aux seconds membres nuls o n t p o u r s o l u t i o n , avec A = B, ( p = α cos yr^it q = α sin yr^it -
ÎQ) , to),
(2)
. r = r o ( = Cte), d"où = (r^ -h a ' ) ( = C t e ) .
(3)
α et Γο, constantes d'intégradon, doivent être fournies p a r l'observation. O n verra que l'angle entre ω et Oz est inférieur à 0",5, o u 2,5 x 1 0 ~ * r a d i a n , de sorte que a/rg < 2,5 x 1 0 ~ * : o n a pratiquement ω = Γο .
(4)
La Terre effectuant une r o t a t i o n en u n j o u r sidéral de 23 h 56 m n , l ' o r d r e de grandeur de ω est ω = 7,292 X 1 0 " ' r a d / s . C o m m e y = 1/305, les équations (2) m o n t r e n t que l'axe de r o t a t i o n devrait décrire p a r r a p p o r t à la Terre un cône de demi-angle a u sommet α/ω à la vitesse angulaire de 0,024 0 x 1 0 " ^ rad/s, soit avec une période de 304 j o u r s : c'est la nutation eulérienne q u i ferait décrire au pôle une polhodie circulaire, sur le sol, d o n t le r a y o n constant serait αα/ω {a rayon de la Terre) ; en v e r t u des Umites indiquées précédemment, le diamètre de la polhodie est donc inférieur à 30 m . N o u s verrons que n i l'invariabilité de α et ω n i la période de la n u t a t i o n eulé rienne ne sont confirmées par l'expérience.
532
VARIATION
DE LA
3. — M É T H O D E S
VITESSE
DE ROTATION
D E L'ASTROMÉTRIE
DE LA
TERRE
CLASSIQUE
3.1. — Principes généraux. — N o t r e connaissance expérimentale précise de la r o t a t i o n terrestre dépend encore entièrement des observations optiques des étoiles q u i fournissent les directions d ' u n système de référence inertiel. E n eflfet, à de petites corrections près, dues aux mouvements propres stellaires et à la r o t a t i o n galactique, les directions des étoiles sont fixes dans u n système d'inertie. L'échelle de temps de référence q u i permet d'exprimer les vitesses et que nous appellerons θ d o i t être d ' u n h a u t degré d'uniformité. L'étude des mouvements o r b i t a u x l ' a f o u r n i e j u s q u ' e n 1955 (temps des éphémérides T E ) ; à p a r t i r de cette date, i l a été plus avantageux de faire appel aux étalons atomiques de temps (temps a t o m i q u e i n t e r n a t i o n a l T A l ) . Le principe des mesures est d'une grande simplicité. Par r a p p o r t a des direc tions de référence locales q u ' o n suppose liées rigidement à la Terre, o n mesure à u n instant θ (selon l'usage c o u r a n t , o n désigne p a r la même expression une échelle de temps et sa lecture à u n instant donné) les directions des étoiles. C o m m e , p a r ailleurs, le développement de la précession/nutation fait connaître p o u r θ la position de l'axe instantané de r o t a t i o n p a r m i les étoiles, cet axe se trouve situé p a r m i les repères locaux. O n obtient de même la position angulaire de la Terre a u t o u r de son axe, mesurée à p a r t i r d'une origine prise p a r m i les étoiles (le p o i n t vernal). C o m m e i l est impossible, à l ' a p p r o x i m a t i o n requise, de conserver les directions liées à la Terre par des repères matériels, o n préfère se rapporter à une unique d i r e c t i o n naturelle, celle de la verticale ; il faut alors au moins deux observatoires convenablement situés p o u r obtenir les 3 paramètres caractérisant la p o s i t i o n angulaire de la Terre. E n fait, o n en utilise bien plus (80 environ). L a synthèse des résultats est effectuée par le Service I n t e r n a t i o n a l d u M o u v e m e n t Polaire ( S I M P ) et par le Bureau I n t e r n a t i o n a l de l ' H e u r e ( B I H ) . 3.2. — Choix des paramétres décrivant la rotation terrestre. — Dans les méthodes de l'astrométrie classique, o n mesure uniquement des directions rapportées aux verticales : on ne p o u r r a donc obtenir que les déplacements angulaires de l'axe instantané de rotation ( A I R ) par rapport aux verticales. U n e description commode consiste à représenter les ver ticales par les points où leurs parallèles issues d ' u n point O percent une sphère de rayon 1 et de centre O. Cette sphère des zéniths est percée en P par la direction N o r d de l ' A I R et l ' o n appelle polhodie le lieu de P. Une origine des excursions de P est fixée en attribuant conventionnellement des valeurs numériques invariables aux latitudes d'observatoires choisis une fois pour toutes (*) : nous la désignerons par P„ et elle est appelée Origine Conventionnelle Internationale ( O C I o u , en anglais, C I O ) . L'écart entre P et Ρ„, généralement exprimé en secondes de degré ( 1 " « 30 m à la surface de la Terre), est donné par ses deux composantes x et y respectivement le long d u méridien de Greenwich et d u méridien 90° W. O n représente la polhodie dans le plan tangent en Po à la sphère des zéniths. L a figure I (*) Ces observatoires, au nombre de 5, sont situés sur le parallèle 39" 8' N . Ils ont été choisis car ils poursuivent des observations coordonnées qui éliminent les incertitudes ducs aux erreurs sur les positions et mouvements propres des étoiles.
MÉTHODES
DE VASTROMÉTRIE
CLASSIQUE
533
donne u n exemple d u tracé de la polhodie. Une question d'une extrême importance par ses implications géophysiques se pose dès maintenant : la direction de P„ est-elle liée à la Terre ? Nous reviendrons à plusieurs reprises sur cette question, mais disons tout de suite qu'elle n'a pas reçu de réponse satisfaisante. C'est, en tous cas, une erreur de considérer a priori que le lieu de P autour de P „ sur la sphère des zéniths est homothétique d u lieu d u pôle sur la Terre : cependant cette dernière représentation est souvent employée car elle est d ' u n énoncé simple.
F I G . 1 . — Polhodie établie par le Bureau international de l'Heure, de 1 9 6 4 à 1 9 7 0 (valeurs brutes calculées pour chaque 1/20 d'année).
Jusqu'en 1956 le m o u v e m e n t de l a T e r r e a u t o u r de son axe a été utilisé c o m m e horloge f o n d a m e n t a l e et, p o u r cela, o n en a déduit une échelle de temps appelée temps
universel
T U . O n désigne p l u s précisément p a r T U 1 l'échelle obtenue
après c o r r e c d o n d'effets locaux dus au m o u v e m e n t
d u pôle. D a n s l'hypothèse
de la T e r r e indéformable où ω est constant, la définition de T U 1 est telle que
VARIATION
DE LA
VITESSE
DE ROTATION
DE LA
TERRE
ce temps est u n i f o r m e et que la durée d u j o u r (intervalle de temps q u i s'écoule lorsque
T U 1 croît de 24 h) est constante.
Les irrégularités d u m o u v e m e n t
angulaire de la T e r r e a u t o u r de son axe p o u r r o n t être décrites soit p a r la diffé rence T U 1 — 0 en f o n c t i o n de 0, soit p a r sa dérivée.
O n exprimera
cette
dérivée sous f o r m e d ' u n e inégalité relative de vitesse Αω/ω^ p a r r a p p o r t à la vitesse WQ q u i c o r r e s p o n d r a i t à T U [ -
0 — Cte. O n t r o u v e r a aisément que si,
par exemple, la durée d u j o u r excède de 1 ms la durée de 24 h de 0, ω = ωο + Δ ω
avec
Αω/ω^ =
— 1,2 χ
10"* .
N o u s ne p o u v o n s pas étudier ici les mérites comparés des réalisations p r a tiques de 0. O n p o u r r a consulter l'ouvrage de Decaux et G u i n o t (1969). A l o r s que le temps a t o m i q u e , établi depuis
1955, n ' i n t r o d u i t que des erreurs négli
geables t a n t sur Δω/ωο que sur la lecture de T U 1 — 0, le temps des éphémé rides, malgré sa bonne uniformité, ne p e r m e t t a i t que des études à l o n g terme à cause de sa mauvaise précision de lecture (0,1 s à I s). A v a n t l ' a p p a r i t i o n d u temps a t o m i q u e
o n a toutefois
p u utiliser avec succès les horloges à q u a r t z
ou à pendule p o u r des recherches sur des phénomènes à l'échelle de l'année au
plus.
3.3. — Réduction des observations astronomiques. — Dans un observatoire /, l'observation des étoiles fournit la latitude instantanée φι et !a différence Ti — 0 entre le temps civil local et le temps uniforme. Pour calculer .v, y et ( T U 1 — 0 ) , o n adopte des coordonnées initiales fixes pour l'observatoire : C/JO,,-, latitude ; Lo.i longitude, voisines des valeurs instan tanées de ces quantités. O n établit les équations à résoudre en considérant les effets différen tiels d ' u n petit déplacement d u pôle sur la latitude et la longitude. Elles sont des types .V cos Ζ-ο,ί + y sin Ln,i
φι — φη,ι,
— Α-.ν tg «οο,,· sin Lo.i + /π· tg ç>o,/ cos L<s,i -f- ( T U 1 — 0) = Τ",· + La.i — 0 ,
(1) (2)
où k = 0,997... Les équations doivent être écrites pour des dates communes à tous les observatoires. Dans la solution du Service International du Mouvement Polaire ( S I M P ) , seules sont consi dérées les équations du type (1) provenant des cinq stations identiques réparties sur le paral lèle 39" 8' et q u i définissent l ' O C I . A u prix de l ' i n t r o d u c t i o n d'une inconnue auxiliaire r dans les équations (!) qui deviennent -V cos Lo.i I- >' sin L(),i + z ^ φι — φα,ι,
(3)
on peut éliminer les erreurs communes à toutes les stations. En particulier les erreurs sur les positions des étoiles n'ont aucune influence. C'est le système des valeurs numériques des cinq ρο,ί q u i définit O C I ; elles o n t été choisies pour que le O C I coïncide avec le barycentrc de la polhodie pour l'intervalle 1900-1906. L a solution d u S I M P est géométriquement par faite, mais elle peut introduire une dérive fictive de O C I si les stations dérivent o u si leurs verticales varient. L a réduction des équations (3) est effectuée chaque mois, sur des valeurs moyennes mensuelles des seconds membres, par la méthode des moindres carrés ; les coor données d u pôle sont ensuite lissées et interpolées. Les résultats provisoires sont publiés dans les « M o n t h l y Notes o f the International Polar M o t i o n Service » et les rapports annuels de ce service. Les résultats définitifs paraissent avec plusieurs années de retard.
MÉTHODES
DE
VASTROMÉTRIE
535
CLASSIQUE
Le S I M P a commencé à fonctionner en 1900 avec une précision q u i fut d'emblée celle qu'il obtient actuellement. Malheureusement, plusieurs changements d'emplacement des appareils sont venus rompre l'homogénéité des résultats. Les erreurs sur x et y dépendent de la fréquence et devraient être représentées par leur densité spectrale. Nous dirons seulement, pour fixer leur ordre de grandeur, qu'elles sont de 0",02 à 0",04, mais que sur plus ieurs dizaines d'années, des dérives de l'ordre de 0",1 sont possibles. Le Bureau International de T Heure ( B I H ) utilise simultanément les équations (1) et (2) pour toutes les séries de mesures [40 de type (1), 60 de type (2)]. L'origine de sa polhodie et de T U 1 a été fixée par u n choix initial des φο,ί et Ζ,ο,ί. Pour la polhodie, l'origine coïnci dait avec O C I en 1967, elle est depuis conservée indépendamment de celle d u S I M P . Des
T UI-TUC ms
0
_20L
-40 L
- 6 0 l_ Date
J
Jan.
1
Fév.
1
1 1 I 1 I I I Mars Avril M a i Juin Juil. A o û t S e p t . Oct.
Nov.
Dec.
1970
F I G . 2. — Valeurs brutes de x, y, TUl-TUC, obtenues par le Bureau international de l'Heure pour chaque période de 5 jours. T U C n'est pas le temps atomique, mais une échelle de temps uniforme q u i s'en déduit par une transformation linéaire pour annuler la majeure partie de la pente.
536
VARIATION
DE LA
VITESSE
DE ROTATION
DE LA
TERRE
précautions sont prises pour que les résultats ne subissent pas d'erreurs systématiques d u fait des changements des instruments d'observation. L'élimination des erreurs sur les positions des étoiles étant impossible, l'origine n'est pas conservée strictement comme dans le cas du S I M P , mais sa conservation statistique est bonne par suite d u grand nombre de stations participantes ; elle peut même être meilleure dans le cas de mouvements incohérents locaux des stations. Les réductions d u B I H sont faites tous les 5 j o u r s , à partir de toutes les données brutes obtenues pendant 5 j o u r s . Les écarts-types de x, y et T U 1 — Θ pour les valeurs brutes de 5 jours sont respectivement 0",015, 0",015 et 0",001 7. Les résultats bruts et lissés sont publiés dans les circulaires mensuelles D et les rapports annuels d u B I H . Sous la forme q u i vient d'être décrite, la polhodie d u B I H n'est obtenue que depuis 1967 ; il est encore t r o p tôt pour tirer des conclusions sur de possibles mouvements relatifs entre O C I et l'origine d u B I H . Les valeurs de T U 1 — temps atomique, depuis 1955, ont été publiées par le service. La figure 2 montre les résultats d u B I H pour 1970.
4. — M É T H O D E S
NOUVELLES
4.1. — Interférométrie, — O n espère u n gain de précision par radio-inter férométrie sur radiosources quasi ponctuelles. Cette méthode est semblable à celle de l'astrométrie classique dans son essence, mais les longueurs d'onde centimétriques o u décimétriques demandent que l'objectif de la lunette soit remplacé p a r deux petites p o r t i o n s de surface, les bases de l'interféromètre, q u i doivent être séparées par plusieurs milliers de kilomètres. Le rayonnement est enregistré sur bandes magnétiques à chaque base, en f o n c t i o n d u temps, et les franges sont calculées par u n o r d i n a t e u r . L a d i r e c t i o n de la radiosource, rap portée à la ligne des bases, peut être obtenue si les horloges des bases sont synchrones. L e synchronisme d o i t être assuré à une f r a c t i o n de nanoseconde près p o u r obtenir la précision escomptée de 0",001 a u m o i n s . 11 f a u t noter que la référence terrestre n'est plus la verticale, mais une d i r e c t i o n définie par la p o s i t i o n des antennes. 4.2. — Méthodes dynamiques. — Les méthodes dynamiques consistent à prendre l ' o r b i t e de satellites de l a Terre c o m m e moyen d'accès a u système de référence inertiel. E n effet, la théorie mécanique exprime le m o u v e m e n t de ces corps dans u n système d'inertie, en f o n c t i o n d u temps u n i f o r m e 0 ( T A I en pratique). Ils peuvent donc servir a u même titre que les étoiles, mais ils offrent de bien meilleures possibilités d'observation p a r télémétrie à laser et par effet D o p p l e r . Les imperfections de notre connaissance d u c h a m p de g r a v i t a t i o n dans lequel ces corps évoluent peuvent conduire à des erreurs d o n t celles à long terme sont les plus redoutables. E n ce q u i concerne la p o l h o d i e , les erreurs à l o n g terme peuvent être éliminées p a r une s o l u t i o n semi-géométrique où l ' o n demande seulement une précision interne suffisante sur u n arc d ' o r b i t e relative ment c o u r t , quelques heures à quelques j o u r s . L a même possibilité n'existe pas p o u r mesurer la p o s i t i o n angulaire de l a Terre a u t o u r de son axe, mais les méthodes dynamiques paraissent aptes à déceler les inégalités de vitesse à
ROTATION
TERRESTRE
DANS
LES
TEMPS
GÉOLOGIQUES
537
court terme. D e premières applications sont en cours, p a r mesures D o p p l e r sur les satellites T r a n s i t , par télémétrie à laser sur les satellites artificiels et sur des panneaux de cataphotes lunaires. E n 1970, la précision ainsi obtenue sur les coordonnées d u pôle est déjà d u même ordre que celle de l'ensemble des mesures astronomiques classiques, mais l'influence des erreurs à l o n g terme (supérieure à l'année) n'est pas encore claire. 4.3. — Remarque. — Les méthodes nouvelles (interférométrie, méthodes dynamiques) fixent l a p o s i t i o n de l'axe instantané de r o t a t i o n p a r r a p p o r t à u n polyèdre lié à l a Terre, tandis que l'astrométrie classique donne seulement la direction de cet axe p a r r a p p o r t aux verticales. Cette différence ne d o i t pas être perdue de vue lors de l'interprétation des résultats, car les mouvements relatifs des verticales peuvent ne pas être liés simplement aux dérives des stations. 5. — L A R O T A T I O N T E R R E S T R E
DANS
LES T E M P S
GÉOLOGIQUES
5.1. — Déplacement des pôles. — Le paléomagnétisme, par l'étude de l'aimantation réma nente des laves et sédiments permet d'étudier le mouvement d u pôle magnétique dont o n admet, en général, q u ' i l est resté voisin d u pôle de r o t a t i o n . Le lecteur pourra consulter à ce sujet le chapitre sur le paléomagnétisme (tome I I ) et aussi Runcorn (1962). La paléoclimatologie apporte des données sur le mouvement des pôles de r o t a t i o n euxmêmes. Bien que ces deux sciences s'accordent pour montrer des dérives du pôle de plusieurs dizaines de degrés par rapport aux continents, l'interprétation des résultats est fort difficile, à cause des dérives continentales.
5.2. — Vitesse de rotation. — Les coraux déposent une couche de croissance par j o u r , couche d o n t l'épaisseur varie avec l'éclairement q u i a une périodicité annuelle. L a Mécanique Céleste m o n t r a n t que l'année a conservé une durée presque invariable, le n o m b r e de couches déposées p a r a n donne Δω/ωοLes valeurs d u tableau suivant sont empruntées à A . Stoyko (1970) :
Ere
géologique
Crétacé supérieur Permien inférieur Carbonifère supérieur Dévonien moyen Silurien inférieur
Age 10* ans
Nombre de jours par an
Δω/ωο
72 270 298 380 440
370 384 388 399 407
0,014 0,052 0,063 0,093 0,115
O n en déduit une v a r i a d o n annuelle de Δω/ωο q u i est - 0 , 2 1 5 . 1 0 " ^ a n " ' . Les variations d'éclairement suivent aussi le r y t h m e de la lunaison à cause d u rayonnement direct de l a L u n e et des variations de l'épaisseur d'eau par suite des marées. O n peut étudier l a durée d u mois lunaire q u i est affectée p a r la
538
VARIATION
DE LA
VITESSE
DE ROTATION
DE LA
TERRE
r o t a t i o n terrestre à cause des marées sectorielles c o m m e nous le verrons ulté rieurement. 6. — P R I N C I P A U X
RÉSULTATS
EXPÉRIMENTAUX
Dans cette section sont données seulement les propriétés principales de la polhodie et de l a vitesse de r o t a t i o n terrestre, telles que les analyses les plus grossières les révèlent. Les discussions sur la valeur des résultats, les interpréta tions géophysiques et les analyses fines qu'elles suggèrent sont exposées dans le paragraphe 8, après l'étude théorique d u mouvement de la Terre déformable. 6.1.—Polhodie. — L'analyse spectrale p o r t a n t sur les résultats obtenus depuis 1900 ( F i g . 3) m o n t r e une raie fine p o u r l a période d ' u n a n (terme annuel) et u n e raie élargie à la fréquence de 1,2 a n e n v i r o n . Cette dernière périodicité a été découverte par Chandler en 1891 et l'oscillation correspondante d u pôle est appelée oscillation chandiérienne. L a n u t a t i o n eulérienne n'appa raît pas. Vers les longues périodes apparaîtrait une large bande p o u v a n t être interprétée comme des effets séculaires (dérives) o u des irrégularités à longues périodes.
ϋ
// y (O^Oll/cycles p a r a n
Έ
o U
. 3000
«> E
ω
I ir*^ . . . * . , 1,0 1,1 cycles par an F I O . 3. — Spectre de puissance de la coordonnée x du pôle, d'après les résultats de 1 9 0 0 à 1 9 5 4 du Service international des latitudes. Le spectre de y est presque iden tique. D'après M U N K et M A C D O N A L D , 1 9 6 0 .
PRINCIPAUX
RÉSULTATS
EXPÉRIMENTAUX
539
L a séparation des composantes par combinaisons d'ordonnées a fait l'objet d ' i n n o m b r a b l e s travaux. Elle ne peut se faire sans fixer a priori certaines c o n d i tions de la séparation des termes et le plus souvent elle repose sur l'hypothèse de l'invariabilité d u terme annuel pendant quelques années. O n trouve, dans ces conditions que le terme annuel est de forme ovale, allongé vers G r e e n w i c h . Dans les axes PQ xy, le mouvement est rétrograde. Les amplitudes totales moyennes sont 0",16 sur P Q X , 0 " , \ 4 s u r 7 . Ces amplitudes m o n t r e n t , à l o n g terme, de considérables variations (correspondant à u n facteur de 0,5 à 1,5) d o n t la majeure partie est probablement d'origine instrumentale. L ' o r i e n t a d o n d u grand axe est très mal déterminée. Sur une période, l'oscillation chandiérienne peut être considérée comme circulaire de même sens que le terme annuel ; mais son a m p l i t u d e totale varie progressivement : elle dépassait légèrement 0",50 vers 1915 et 1950, elle s'annu lait presque vers 1925. O n y v o i t généralement une oscillation p r o p r e nécessaire ment amortie. M a i s les divers auteurs o n t trouvé des temps de relaxation diffé rents allant de quelques années à un siècle. O n estime parfois que la période est variable dans les limites de 400 à 440 j o u r s ; les plus courtes périodes étant observées aux alentours de 1926. Mais vers cette date i l est probable q u ' u n brusque déphasage a pris naissance ( G u i n o t , 1972) ; la pedte a m p l i t u d e q u ' a v a i t alors l ' o s c i l l a t i o n chandiérienne, par r a p p o r t aux erreurs d ' o b s e r v a t i o n , permet une diversité d'interprétations. En admettant ce saut de phase, o n t r o u v e une période moyenne de 436 j o u r s (1,193 an). A ces deux termes p r i n c i p a u x se superpose une dérive du pôle q u i s'exerce en moyenne vers le méridien 8 5 " W à la vitesse de 0",004 par an (0,13 m/an sur le sol) ; de larges irrégularités accompagnent cette dérive générale ( F i g . 4). L a réalité de ces résultats est extrêmement controversée. Certains auteurs les a t t r i b u e n t à une dérive de O C I par r a p p o r t à la Terre p r o d u i t e par des mouve ments des stations d'observation. 1891
F I G . 4. — Mouvement séculaire du pôle instantané d'après les stations nord du S. l. L. D'après M m e A . STOYKO.
540
VARIATION
DE LA
VITESSE
DE ROTATION
DE LA
TERRE
6.2. — Vitesse de rotation. — L a discussion des observations d'éclipsés de l'antiquité révèle u n ralentissement progressif tel que d(Aœ/cuo)/dO = - 2,1 x 1 0 " » par siècle, en b o n accord avec celui obtenu à l'aide des c o r a u x fossiles. En d'autres termes, la durée d u j o u r s'accroît chaque siècle de 2,1 x 1 0 ~ * x 86400 s soit 1,8 ms. O n constatera par intégration que le r e t a r d de T U 1 sur θ cumulé en 20 siècles atteint 4 h , c'est p o u r q u o i des observations astronomiques anciennes peu précises o n t p u être utiles. L a comparaison de T U 1 aux indications des horloges puis au temps ato mique a montré une v a r i a d o n saisonnière de T U 1 — 0, d ' a m p l i t u d e 60 ms e n v i r o n , le m a x i m u m étant atteint en septembre et le m i n i m u m en m a i . Les inégalités correspondantes de Δω/οοο sont au plus de 1 x 1 0 ~ * . Ce terme semble subir des variations de phase de l ' o r d r e d ' u n mois. O n désigne p a r T U 2 le T U 1 régularisé p a r l ' a d d i t i o n d'une correction conventionnelle q u i tient compte de la majeure partie de la v a r i a t i o n saisonnière. O n observe, de plus, des fluctuations irrégulières de T U 1 — θ q u i o n t des amplitudes de plusieurs dizaines de secondes et q u i mettent en j e u des fluctua tions de vitesse de l'ordre de 1 x 1 0 " ^ . Dans u n intervalle de quelques siècles, ces fluctuations masquent le ralentissement progressif ; la répartition de ces deux termes est sujette à un certain arbitraire. L a figure 5 représente la v a r i a d o n de T U 1 - 0 de 1680 à 1970. L a partie encadrée, de 1955 à 1970, est reproduite p a r l a figure 6 avec la résolution supérieure permise par les étalons atomiques de temps. TUl-θ
F I G . 5. — Variation de TUl-θ depuis 1 6 8 0 . Les détails de la partie encadrée sont donnés par la figure 6 .
ROTATION
DE LA
TERRE
541
DÉFORMABLE
TU2_e'
,1956, 57 , 58 , 59 , 60 ,61
,62,63,
¢4,65,
66 , 67 , 68 , 69 , 70
F I G . 6 . — Irrégularités du temps universel. L a figure représente T U 2 - 0 ' : T U 2 est le temps universel régularisé par addition d'une correction périodique annuelle ; 0' est déduit de 0 par addition d'une correction proportionnelle au temps (de — 1,666 7 s/jour) afin d'annuler la pente générale.
7. — R O T A T I O N
DE L A TERRE DÉFORMABLE, BASE
7.1.—Equations
de Liouville.
— Soit
THÉORIQUE
u n système de référence m o b i l e
s{Ox^ X2 X3) en r o t a t i o n ω ( ω ι , W j , 0)3) p a r r a p p o r t au système fixe dans l'espace 3{0Χγ
Xj X-i) q u i coïncide avec s à l'instant considéré. Le système
s peut être quelconque et n'accompagne pas nécessairement la Terre dans sa r o t a t i o n . Les équations d ' E u l e r s'écrivent :
i>t
=
+
« 2 H3
-
«3
i / 2 , ...
(1)
(d'une façon générale nous n'écrirons que la première des trois équations, les deux autres s'en déduisant p a r p e r m u t a t i o n circulaire des indices). L i , ... sont les composantes d u couple t o t a l exercé sur les particules de la Terre ; //,,... les composantes d u m o m e n t cinétique dans 5. L a vitesse de chaque particule de masse p àV{p
densité) peut être considérée c o m m e
VARIATION
DE LA
VITESSE
DE ROTATION
DE LA
TERRE
la somme de la vitesse d ' u n p o i n t de s q u i coïncide avec elle et de sa vitesse relative à Î ( M , , U J , M3). H^, ... se met alors sous la forme : 3
i= 1 avec hi =
p{x2 J
"3 -
^3 "2)dK
, ...,
V
l'intégrale étant étendue à t o u t le v o l u m e V de la Terre. Les Cjj sont les moments d'inertie, variables avec le temps, calculés par Cu
=
I
p{xl
+
xl)àV
J V
p(— Xj XJ) dV J
iΦ j .
pour
y
Les équations (1) prennent alors la forme ^-1=^( .Σ
ω,· +
/î, ) + «2 ( X
C3;
+ /13)-
-ω^Σ
€2,ω,
+ lu]
(2)
\k=l
Ce sont les équations de L i o u v i l l e . O n constate qu'elles se réduisent aux équations (1) d u paragraphe 2 p o u r la Terre indéformable en coïncidence avec s. Ces équations sont rigoureuses et générales, mais i l faut veiller à définir soigneusement les volumes d'intégration V et faire intervenir les couples créés p a r t o u t ce q u i est extérieur à V. Par exemple, si V est limité par la surface d u sol, la pression d u vent sur les montagnes est i n t r o d u i t e dans le calcul des L ; ; si l'atmosphère est comprise dans V, i l faut estimer son m o m e n t cinétique et sa c o n t r i b u t i o n dans les L ; est nulle. Si u n axe p r i n c i p a l d'inertie est proche de l'axe de r o t a d o n , ce q u i est le cas p o u r la Terre, o n peut prendre ^ 3 au voisinage de cet axe et écrire, compte tenu d u fait que les moments d'inertie équatoriaux sont très peu différents, C ] 1 = /1 + c, , >
^22
= -4 + 022,
C33
= C +
C12
Ci3
=
C23
=
=
C12 ,
Ci3 ,
f33 ,
C23 ,
A et c étant des constantes, les c,y étant petits et variables avec t ; ω ι = ωο
,
ω2 = ωο W2
,
«3
= ωο(1 + m^) ,
ROTATION
DE LA
TERRE
543
DÉFORMABLE
W Q étant la vitesse angulaire moyenne de la Terre. O n négligera les termes en c^jC, m^, h/C, cm/C, ... de sorte que les équations de L i o u v i l l e s'é crivent, avec ( C — A)/A = y, —
i thi
•
+
ηΐ2 = F2 ,
1
(3)
P
' " ^ - " ' = -^1 thi
=
F 3 ,
avec (C -
A) ûJo
^(C -
/1)ωο
I
/"1
CF3
= c , 3 ωο + =
C23
=
-
C23
ωο C33
ωο + /ί, ωο WQ
-
+
/12
«o L3
+
ωο
-I-
/½ - L j , /ii
-I-
,
(4)
dt.
ο
ωο
N o u s allons intégrer les équations (3) p o u r les principales formes des fonctions d'excitation Ff. 7.2. —· Nutation libre de la Terre déformable. — Lorsque l'axe d'inertie ne coïncide pas avec l'axe de rotation, il tend à s'en rapprocher par suite des déformations dues à la force axifuge. Nous montrerons que cette tendance est mesurée par le nombre de Love k dont nous rappelons la définition. Si la Terre, considérée comme u n corps élastique, est soumise à u n potentiel per turbateur Uz représenté par l'harmonique sphérique de degré 2, la déformation de la Terre crée un potentiel additionnel q u i est aussi représenté par un harmonique sphérique de degré 2 et qui est, à la surface, kUz. Cette propriété ne s'applique, bien entendu, qu'aux déformations quasi statiques. Pour appliquer les formules (4), nous évaluerons les moments et produits d'inertie après action de la force axifuge. Nous rechercherons d'abord une expression générale, pour une petite déformation, d u potentiel K e n u n point extérieur Α(.\Ί, -Va, Xi) à la distance r d u centre des masses O de la Terre : V y» (potentiel avant la déformation), +
Vz (potentiel créé par la déformation, réduit au 2'' ordre).
D'une façon générale
I>
3 cos2 ψ — \
. Α^άυ
(5)
oij p άν est la masse d"un élément M de la Terre à la distance A de O. Dans l'intégrale, pA'2- άν n'est autre que le moment d'inertie /„ par rapport à son centre des masses O. Quant à A^ cos- ψ, on l'évalue en abaissant la perpendiculaire MH sur OA (Fig. 7) : cos2 ψ = ΟΜ'- — MH^ ,
544
VARIATION
DE LA
VITESSE
DE ROTATION
DE LA
TERRE
d'où, loA étant le moment d'inertie par rapport à OA :
pA^ cos-ψ
du = Io~
loA .
On a finalement (théorème de MacCullagh) :
F i o . 7.
j
O n évalue les moments d'inertie en fonction des cosinus directeurs .vi/r, direction OA, de sorte que ^2 -
j
F I G . 8.
2 ¾ [ C l '(-^2
^
-v? -
2 x\) + - -
6 C,2
.V,
.V2 -
(6)
les points représentant les deux termes q u ' o n peut obtenir par permutation circulaire des indices. Le potentiel de la force axifuge est (Fig. 8) (/ = i co^ AH'^ diculaire abaissée de A sur O)). Comme OH'
:
···] ,
de la
= — (o)] ω
X]
+ ωζ
X2
+ u) \
{H'
pied de la perpen
Xi),
o n peut écrire après regroupement des termes t/ - ^ ω2 /-2 t- i [ω\(χΙ -! Λ-f — 2 .vf)-^ ··· — 6 ( U l
.vj — •··] .
(7)
Le premier terme d u second membre conduit à une déformation de symétrie sphé rique et ne nous intéresserait que pour l'étude de la vitesse de r o t a t i o n , mais les effets q u ' i l produit sont négligeables. O n reconnaît dans le deuxième terme u n harmonique sphérique de degré 2, Uz. Par confrontation des relations (6) et (7) écrites après avoir
ROTATION
DE
LA
TERRE
DÉFORMABLE
a m e n é le p o i n t Aa.\a. s u r f a c e d e l a T e r r e o ù Vz = kUz,
545
o n o b t i e n t les p r o d u i t s d ' i n e r t i e ,
i n t r o d u i t s p a r l a f o r c e a x i f u g e , q u i seuls n o u s s o n t u t i l e s i c i : ^
/cflS
3 c " '
^QS
C31
3^f'''2f03,
"'^'
=
^-^fJj
.
(8)
P o u r f o r m e r les d e u x premières é q u a t i o n s ( 3 ) r e l a t i v e s à l a p o l h o d i e , o n
remarque
q u ' o n p e u t é l i m i n e r les t e r m e s d u s e c o n d o r d r e e n m, q u e l a d é f o r m a t i o n n e d o n n e l i e u q u ' à des m o u v e m e n t s d e masses d e f a i b l e a m p l i t u d e et très l e n t s e t l ' o n n é g l i g e les f o r c e s extérieures c o m m e p o u r les équations d ' E u l e r . O n p o s e
α^ωΐ
C~A
3 G de sorte q u e k
cxi = (C — A)-nn, r
, X
k
t-i = - nii -\
k
k
czi = {C —
K
·
^
mz ,
A)-mz,
K
1
k
hz = - mz
D a n s les é q u a t i o n s ( 3 ) , les f a c t e u r s d e nu
k
·
m\ . + klK)lo}„.
e t mz s o n t
(10)
Or
on
verra
q u e kJK ~ 0 , 3 , t a n d i s q u e l / y = 3 0 5 . E n n e c o m m e t t a n t q u ' u n e e r r e u r d e 1/1000 :
mi
—
\
ω„ γ 1 —
" •
kJK
+
„ 0 ,
m2
-
»?2
I
•
ω „ γ I — κ/κ
mi = 0 .
L ' i n t é g r a t i o n i m m é d i a t e e x p r i m e q u e l a p o l h o d i e est c i r c u l a i r e et q u e sa p é r i o d e est l a p é r i o d e d ' E u l e r ( 3 0 4 j o u r s ) multipliée p a r le f a c t e u r /C/(ÎC — k ) : c'est l a n u t a t i o n chandiérienne révélée p a r les o b s e r v a t i o n s e t d o n t l a p é r i o d e c o n d u i t à «:/(«• — k ) = 1,43. Les observations facteur
d e s a t e l l i t e s a r t i f i c i e l s p e r m e t t e n t u n e é v a l u a t i o n précise d e κ.
d'ellipticité
( C — A)IMa^,
géopotentielle
Jz
(Jz =
=
1 0 ^ 3 ) est, e n
effet,
égal
Le à
M étant l a m a s s e d e l a T e r r e . A i n s i :
ωΐ .
K = 3 GMJzIa^ A v e c GM
1,082 7 x
398,6 x
l O ' ^ m3
s ' ^ et α = 6,378 x k
=
10^ m , o n o b t i e n t κ ^ 0 , 9 4 , p u i s
0,28 ,
résultat e x p é r i m e n t a l d ' u n e très g r a n d e i m p o r t a n c e . I l i m p o r t e d e n o t e r q u e l e présent d é v e l o p p e m e n t n ' e s t v a l a b l e q u e p o u r u n m o d è l e de Terre
élastique. C e t t e c o n d i t i o n est a c c e p t a b l e
l'année, c o m m e c'est le c a s i c i , et a fortiori
p o u r des périodes de l ' o r d r e d e
p o u r des périodes p l u s c o u r t e s ( v o i r 7 . 4 ) .
E l l e n ' e s t p a s réalisée à l'échelle des durées g é o l o g i q u e s p u i s q u e l a T e i r e p r e n d u n e f o r m e très p r o c h e d e c e l l e d e l'équilibre h y d r o s t a t i q u e . D a n s l a s u i t e d e s d é v e l o p p e m e n t s , n o u s c a l c u l e r o n s les v a l e u r s d e Fi c o m m e si l a T e r r e était i n d é f o r m a b l e , m a i s n o u s l e u r a j o u t e r o n s l a p a r t d u e à l a f o r c e
axifuge
e x p r i m é e p a r les é q u a t i o n s ( 1 0 ) . I l est a l o r s c o m m o d e
d'exci
tation
modifiées
(Munk
et
MacDonald,
^. = ^ / ^ ,
d e définir les f o n c t i o n s
i960, p. 41)
/=1.2,
VARIATION
546
DE LA
VITESSE
DE
ROTATION
DE LA
TERRE
où les Fl sont calculés pour la Terre indéformable. En négligeant encore l/y devant kJK, et en introduisant les fonctions complexes m
n!\
+ i«;2
y/ -
ψ\
•••• \ψ2 ,
,
ainsi que la vitesse angulaire chandiérienneCTQ: "'ο = •/•f^d
—kJK),
les deux premières équations (3) deviennent : m =- 1σ„(/)! — ψ).
(II)
La solution générale de cette équation est :
"Ό ~
1^0
e~''O'
ψ(τ)
dr
(12)
où in„ est une constante arbitraire. 7.3. — Polhodie annuelle. — La polhodie annuelle ne doit pas être confondue avec la trajectoire d u pôle d'inertie. Nous allons montrer par u n exemple simple q u ' u n effet de résonance se p r o d u i t . Nous considérerons que le pôle d'inertie a u n mouvement elliptique, et que les h et h restent relativement petits. Dans les fonctions F\ et Fj, les quantités C]yl{C—A) et czjliC — A) représentent alors les composantes vers Oxt et Oxz de l'écart angulaire entre l'axe de l'ellipsoïde d'inertie et Ox}. Pour démon trer cette propriété, o n calcule l'inertie par rapport à une droite fixe passant par le centre des masses en prenant d'abord comme système de référence les axes principaux d'inertie, puis en faisant subir au système de référence des petites rotations autour de chacun de ses axes. Si par exemple, Oxl xlxl sont les axes principaux d'inertie, le moment d'inertie par rapport à OA est : loA
-r C.iixilrY
= Cn(x\lrr
-
C.,.,(.v;,V)'·
Dans le système Oxi xz .vj obtenu par r o t a t i o n de ei autour de O.vi, o n trouve, en se limitant au 1'''' ordre en ει : loA
-
C,|(.V|//-)2 ^
CzlUzIl-r-
+
C,j(jr3//-)2 — 2 ε,(Λ·2.ν.,//-2) (C22 — C , 3 ) .
Par identification et en reprenant le cas de la Terre, on a bien fl = i-23/(C—A). C o m m e précédemment, on prendra Li = 0. Puisque nous avons admis la symétrie de révolution de la Terre, nous pouvons, sans perte de généralité, placer les axes de la trajectoire du pôle d'inertie suivant les directions de Ox\ et Oxz et écrire : ciyl(C—A) = ai cos ft, eziliC — A) = az sin ft. D'après (4) on a : F l = ai cos// + az ^ cos//,
F2 = ···
ROTATION
DE LA
TERRE
DÉFORMABLE
547
Comme nous n'envisagerons que des mouvements d u pôle d'inertie à période beaucoup plus longue que le j o u r , le rapport y/f;j„ sera petit ; i l n'est, par exemple, que 0,003 pour des perturbations annuelles. I l est ainsi possible de négliger le terme en et l ' o n a : a\ cos ft,
F[
Fz = az s i n / / .
L a fonction d'excitation complexe modifiée ψ est : ψ ^ hx ei/' +
hze-^-i'
avec b\ ^ -~^rτ-^a^ 1 — k/K
-• az) ,
hz
γ ^•-. j (a, ^ az) . 1 — kJK
et la solution générale (12) est n,„
-i-
e"O'
ei/' -f
> ,
Λ2
e-'/'.
Le 1 " terme est à nouveau l'oscillation chandiérienne dont l'amplitude est une constante d'intégration. Les deux termes suivants dont la somme sera désignée par m/ représentent une composante elliptique de la trajectoire d u pôle, appelée souvent nutation forcée, de même période que la trajectoire d u pôle d'inertie. Pour calculer les amplitudes de /«/, o n pose : iiif
'4
-
1
Az
. At — A2 ,,, • - — •- e-'/'
c'"
de sorte que n:/ = A 1 coift
f- \Az sin fr.
Finalement compte tenu des expressions de ni et 62 : Αχ
(•)„ γ(αί -
—--
σ„
~- azf)
—,-
. -,
fo„ -/(«i / - r
/12 =
az
,
(Τ„)
.
L'amplitude de la nutation torcée croît donc lorsque la fréquence forcée s'approche de la fréquence chandiérienne. Cette résonance joue un rôle considérable pour les perturbations annuelles d'origine météorologique. On constate enfin que la nutation forcée est circulaire si le pôle d'inertie décrit u n cercle d ' u n mouvement uniforme. 4. — Effet des marées zonales sur la vitesse instantanée de rotation. — Une approxima tion suffisante consiste à supposer que la Terre n o n soumise à l'action des forces exté rieures est une sphère de rayon a. Les marées luni-solaires dont o n adoptera le déve loppement en harmoniques sphériques limité au 2"^· ordre contiennent des termes zonaux (voir Chap. 18). Ces termes, par définition, conservent la symétrie de révolution autour de l'axe de rotation et ils ont des périodes assez longues pour q u ' o n puisse ne traiter que les effets statiques. O n a alors, dans l'expression (6) de Vz : Cij = ctj = 0 C|l^C22,
pour d'où
;• / y , ill=C22.
A u sol, K2 = Ai/2 et l ' o n obtient : kUz
=
^ (cn — c\\) (xi + .V2
— 2 ^3)
VARIATION
DE LA
VITESSE
DE ROTATION
DE LA
TERRE
o u encore, en introduisant la latitude φ : kU2
=
^^(C33 — C i l )
—sin2
.
I l reste à trouver une relation entre C33 et e n ; i l faut pour cela préciser les conditions de la déformation. O n admettra que les déformations répondent aux hypothèses de Love : sous l'action d ' u n potentiel W développé en harmoniques sphériques W„, u n élément de la Terre subit u n déplacement radial A r et une variation de densité Ap donnés par : Ar =Y^An
hn(r) Wn
n = 2.
Wn
Ap = Y^B„mr)
où les An et En sont des constantes et hn e t / n des fonctions de r seul. Comme la somme des moments d'inertie est Cii = 2
/ 0
r^pdv,
= 2
la somme de leurs accroissements est 3
Σ
=
4
r Arp dy + 2
r^ Ap dv .
i= 1 O n constate que les deux intégrales de volume contiennent des intégrales sur des sphères de rayon r, du type Γ
W„ds,
« = 2,...
Ces intégrales sont nulles comme o n peut s'en assurer en les multipliant par la fonction harmonique de degré 0, ZQ = 1 (orthogonalité). I l en résulte que Σ
cu=0.
Dans le cas examiné ici, il vient
Dans le développement de U2, o n ne conserve que le terme zonal et le facteur ( 1 / 3 — s i n ^ φ) s'élimine. C33 est donc proportionnel à ( 1 / 3 — s i n ^ (5) (cm/c)3 où δ est la déclinaison de l'astre perturbateur et où Cm/c est le rapport entre sa distance moyenne et sa distance réelle. D'après (3) et (4), Δω/α)„ = m 3 = — C 3 3 / C . L a perturbation dans la vitesse de rotation terrestre est proportionnelle à A: ; sa mesure expérimentale conduira à une nouvelle estimation de ce nombre. Après développement d u potentiel luni-solaire et en retenant seulement les termes de T U 1 — θ d'amplitude supérieure à Ο',ΟΟΙ k , o n obtient les ondes suivantes exprimées sous la forme : coeffi cient X sin (argument)
ROTATION
Coefficient
— — — — — —
L g Ω Θ g'
0»,002 OsOOI 0»,002 Os015 0»,004 0«,515
47 k 02 k 63 k 29 k 88 k 0 k
: longitude moyenne : anomalie moyenne : longitude moyenne : longitude moyenne : anomalie moyenne
DE LA TERRE
DÉFORMABLE
Argument
Période
2L
13,66j 13,63 j 27,6 j 183 j 365 j 18,6 ans
2L-n g 2Θ g' Ω
549
Marée
Mf M,Im
Ss. Sa
de la Lune de la Lune du nœud ascendant de la Lune d u Soleil d u Soleil.
Seuls les termes mensuel et semi-mensuel ne se trouvent pas inextricablement mêlés à d'autres inégalités. Leurs amplitudes conduisent à des valeurs de l< encore peu précises (3 à 10 % en valeur relative) q u i sont compatibles avec les résultats déduits de la période de l'oscillation chandiérienne. Cet accord n'est pas évident a priori car k peut dépendre de la période de la perturbation. Des résultats plus précis, tels q u ' o n peut espérer en obtenir par les nouvelles techniques d'étude de la r o t a t i o n terrestre seront, à cet égard, très utiles.
! 1
7.5. — E f f e t de mouvements cycliques sans changement des moments d'inertie. — O n peut concevoir, dans la masse de la Terre, des mouvements cycliques que l ' o n peut schématiser comme la circulation de veines de matière refermées sur elles-mêmes. C'est le cas, par exemple, des courants océaniques. Ces mouvements ne changent pas les moments d'inertie. Si de tels mouvements persistent indéfiniment, ils donnent lieu à des moments cinétiques h\, hz, hi constants et la solution des équations (3) est de la forme
m} = constante.
j • I
Le pôle de la nutation chandiérienne ne coïncide plus avec le pôle d'inertie de la Terre. Si le mouvement cyclique prend naissance o u cesse comme dans l'évolution d ' u n cyclone tropical, le pôle de la nutation chandiérienne et, par suite, son rayon sont changés ; dans ces mêmes conditions, la vitesse de r o t a t i o n fournie par ms change brusquement elle aussi. 7.6. — Cas général. — Les mouvements des masses terrestres agissent, en
général, simultanément sur les m o m e n t s d'in ertie, les m o m e n t s cinédques et leurs dérivées. D a n s les études précédentes, nous avons traité séparément l ' u n ou l'autre de ces aspects ; i l i m p o r t e , dans les cas réels de s'assurer que de telles a pp rox imations sont acceptables. U n e autre c o m p l i c a t i o n p r o v i e n t d u fait que
550
VARIATION
DE LA
VITESSE
DE
ROTATION
DE LA
TERRE
la Terre cède p a r élasticité sous une surcharge locale et ceci d'une façon diffé rente suivant que la surcharge porte sur la terre o u la mer. I l faut encore examiner les causes de dissipation d'énergie — p a r viscosité et frottements, en particulier. E n ce q u i concerne les mouvements de l'atmosphère de périodicité annuelle, la répardtion différente des masses d'air suivant la saison exige u n t r a n s p o r t de masses q u i se superpose à la c i r c u l a t i o n générale de l'atmosphère et aux vents locaux. Ce t r a n s p o r t peut se faire, évidemment, suivant u n trajet quelconque ; mais o n peut chercher à l'effectuer de sorte que sa c o n t r i b u t i o n dans les h et h soit m i n i m a l e . O n constate que, dans ces c o n d i d o n s , i l ne donne lieu qu'à des déplacements très lents d o n t les effets sur les moments cinétiques et leurs dérivées sont négligeables. O n peut donc étudier séparément la répartition des masses d'air et les vents. 8. — I N T E R P R É T A T I O N
DÉTAILLÉE TERMES
D E S RÉSULTATS
EXPÉRIMENTAUX.
ANNUELS
Le terme annuel de la polhodie est principalement dû à la répartition diffé rente des masses d'air suivant la saison ; l ' a c c u m u l a t i o n de masses d'air sur l'Asie en hiver j o u e un rôle essentiel. Les masses d'eau o u de neige déposées sur le sol sont aussi à considérer. Par contre, les vents et courants sont négli geables. Le budget général c o n d u i r a i t à u n mouvement d u pôle d'inertie d ' a m p l i t u d e t r o p grande, mais l'accord avec les observations est amélioré p a r les corrections d'isostasie. Les phénomènes métérologiques n'étant pas rigoureusement reproductibles d'année en année, o n p o u r r a i t s'attendre à des variations réelles de la p o l h o d i e annuelle. M a i s ces variations sont difficiles à séparer des variations fictives introduites p a r les techniques classiques d'observation : effets thermiques instrumentaux, rôle des erreurs sur les catalogues d'étoiles, réfractions zéni thales. Ces erreurs sont illustrées p a r la différence des polhodies déduites des mesures de latitudes et de longitudes. Les observations de satellites, n o n sou mises à la périodicité annuelle, devraient être exemptes de ces erreurs. N o u s avons déjà noté que la séparation entre les oscillations annuelle et chandiérienne est très difficile. Certains auteurs o n t discerné des corrélations entre l ' a m p l i t u d e d u terme annuel d'une p a r t , l ' a m p l i t u d e et la période de l'os c i l l a t i o n chandiérienne d'autre part. Ces résultats restent f o r t incertains et n ' o n t pas été justifiés par la théorie. L a variation saisonnière de T U 1 — 0 contient, o n l ' a v u , des termes annuels et semi-annuels dus aux marées zonales. M a i s l'effet p r i n c i p a l est dû également aux mouvements de l'atmosphère. Cependant, i c i , l a répartition des masses est pratiquement sans effet et c'est la c i r c u l a t i o n zonale q u i est en cause. Dans la troposphère, cette c i r c u l a t i o n est variable suivant la saison, mais la symétrie entre les deux hémisphères n'est pas assurée : c'est donc u n effet différentiel q u i est estimé d'après le sdonnées météorologiques et la marge d'incertitude est
L'OSCILLATION
551
CHANDLERIENNE
grande. Dans la stratosphère, o n a récemment découvert une mousson s t r a t o sphérique d o n t les renversements b r u t a u x o n t lieu en avril/mai et septembre. Une corrélation entre les dates de changement de signe de Δω/ωο ^ t des ren versements de la mousson stratosphérique paraît exister et i l se peut que cette mousson soit la cause essentielle de la v a r i a t i o n saisonnière de T U 1 - 0. Cependant la corrélation repose surtout sur les propriétés anormales de Tannée 1959, tant p o u r la mousson stratosphérique que p o u r la r o t a t i o n ter restre : ce problème appelle de futures études. 9. — L ' O S C I L L A T I O N C H A N D L E R I E N N E
9.1. — Période de l'oscillation. — La théorie développée dans la section 7 . 2 a montré que l'oscillation chandiérienne n'était autre que la n u t a t i o n d'Euler allongée par l'élasticité de la Terre. Mais elle n'explique pas les variations d'amplitude, n i éventuellement de période. 9.2. — Amortissement de l'oscillation. — L'élargissement de la raie spec trale correspondant à l'oscillation chandiérienne peut être causé par une variation réelle de la période mais cela c o n d u i r a i t à des variations d u n o m b r e de Love k q u i sont inexplicables. I l est plausible de rejeter cette hypothèse. L'interprétation la plus couramment admise est que la Terre se c o m p o r t e comme un oscillateur a m o r t i de fréquence propre constante et soumis à une excitation irrégulière aléatoire. Cette hypothèse ne permet pas une bonne esti mation d u temps de relaxation : o n a déjà noté la divergence des estimations. Jeffreys (1968) adopte un temps de relaxation de 23 ans (les limites fixées par l'écart-type sont 14 et 70 ans !). L'amortissement exige une dissipation d'inertie. Pour la caractériser on fait fréquemment usage d u fadeur de qualité Q défini ( 1 . 3 . 3 ) comme l'inverse de la perte relative d'énergie au cours d ' u n cycle : Eût où E est l'énergie totale d u système. A l'amortissement de Jeffreys correspond Q % 50. Cette valeur de Q étant mal déterminée et sa petitesse surprenante par comparaison à ce que l ' o n p o u r r a i t attendre d'après les marées terrestres et les oscillations libres de la Terre, le doute sur une interprétation correcte des obser vations c o n d u i t à chercher une c o n f i r m a t i o n dans des observations autres que les mesures astronomiques (voir les Chap. 11 et 12). Etant donné la longue période des variations d u potentiel de la force axifuge, o n peut supposer que les océans s'approchent de la forme d'équilibre hydrostatique. O n doit donc observer, mesurée par rapport au sol, une marée polaire à la fréquence chandiérienne. Cette marée apparaît effectivement sur les marégraphes et l'analyse spectrale révèle une raie aussi fine que la qualité des données le permet, pour laquelle Q serait au moins égal à 100. Ces contiadictions ne sont pas élucidées et le mécanisme provoquant un fort amortissement nest pas c o n n u . L'explication par le frottement associé à la marée polaire, bien q u ' i l soit COULOMB
e t JOBERT —
1
22
552
VARIATION
DE LA
VITESSE
DE ROTATION
DE LA
TERRE
insuffisant dans l'hypottièse de la marée statique, ne peut pas être éliminée car des effets dynamiques peuvent exister dans les bassins ayant une fréquence de résonance voisine de la fréquence de Chandier. Les frottements dans le manteau ne peuvent expliquer Q ~ 50, mais conviendraient pour le Q de la marée polaire. L'absorption d'énergie peut être située au niveau intermédiaire entre le noyau et le m a n teau, l'inertie du noyau s'opposant à son entraînement par le manteau. Le couplage électro magnétique a été jugé insuffisant par Rochester et Smylie (1965). Le couplage mécanique ne paraît pas n o n plus satisfaisant (voir § 15.3).
10. — E X C I T A T I O N D E L ' O S C I L L A T I O N C H A N D L É R I E N N E
Si le taux d'amortissement
observé est très incertain, i l n'en est pas moins
sûr que l'oscillation chandiérienne s ' a m o r t i t et le fait qu'elle subsiste après des m i l l i o n s d'années impose une source d'excitation. N o u s allons v o i r les explica tions proposées, bien qu'aucune n'ait été déiînitivement acceptée. 10.1.
—Mouvements
atmosphériques et océaniques. — L'explication la plus
évidente et la plus c o u r a m m e n t admise est la v a r i a t i o n n o n strictement pério dique des moments d'inertie par suite des mouvements saisonniers des masses d'air. Sous sa forme
mathématique, le problème est simple p u i s q u ' i l suffit
d'intégrer numériquement les équations (3) d u paragraphe 7 après une évalua t i o n des fonctions d'excitation (4) d u paragraphe 7 au moyen des relevés météo rologiques. M u n k et Hassan (1961) o n t conclu, par l'étude de 75 ans de relevés météorologiques que ces déplacements atmosphériques étaient de 10 à 100 fois t r o p faibles. Le rôle des océans est, d'après eux, négligeable, mais ce p o i n t est controversé
par Sekiguchi
(1966).
10.2. — I m p u l s i o n s . — U n e hypothèse d ' u n grand intérêt a été émise par R u n c o r n (1970) q u i a étudié le rôle de couples-impulsions,
à la fois sur la
p o l h o d i e et sur la vitesse de r o t a t i o n de la Terre. Supposons que l'impulsion survienne à / = 0. Dans la solution générale (12) du paragraphe 7, o n prend ψ(τ) = Νδ{τ), où ο{τ) est la distribution de D i r a c et où N est complexe. On obtient : m = m n e'^o',
pour
/< 0,
»; = («)„ — \a„N)c^''o\
pour
/ > 0 .
Ces équations m o n t r e n t que le couple-impulsion déplace soudainement
(1)
le
pôle de r o t a t i o n , mais qu'ensuite la p o l h o d i e est un cercle concentrique à la p o l h o d i e initiale. Cette hypothèse représente bien les caractéristiques de l'oscil l a t i o n chandiérienne, en supposant que l ' i m p u l s i o n est en fait répartie sur une durée de l ' o r d r e de l'année. L a figure 9 m o n t r e , p a r exemple, le changement de l ' a m p l i t u d e de l'oscillation chandiérienne au cours de 1967. 11 est manifeste que ce changement
a eu lieu sans changement
mules (1) i m p l i q u e n t u n déphasage possible.
appréciable de centre. Les for M a i s ce déphasage n'apparaît
EXCITATION •4
DE
L'OSCILLATION
•3
.2
CHANDLERIENNE
553
Ο'.Ί
0
Λ.o·:^
OCI
0
y
X
•0.1
Fio. 9. — Changement
de l'amplitude
de l'oscillation
chandiérienne en 1967-1968.
pas en général : i l faut donc supposer que les couples-impulsions sont équa toriaux. Les impulsions surviendraient à des intervalles irréguliers de l ' o r d r e de 5 ans. R u n c o r n (1970) propose p o u r origine de l ' i m p u l s i o n u n couplage électroma gnétique entre le n o y a u et le manteau, bref mais intense, dû à l'émergence de perturbations magnétohydrodynamiques à la surface d u n o y a u . A l a vitesse de p r o p a g a t i o n de 1 cm/s, une p e r t u r b a t i o n de quelques centaines de kilomètres de diamètre agirait pendant u n a n . Ces excitations n'étant pas aléatoires, les méthodes d'analyse appliquées p o u r déterminer l'amortissement de l'oscillation chandiérienne t o m b e n t en défaut et R u n c o r n met en doute les taux trouvés. 10.3. — Séismes. — L'idée que les séismes peuvent être la cause de l'excita tion de la p o l h o d i e chandiérienne date d u début d u siècle. Elle a été récemment reprise p a r M a n s i n h a et Smylie (1967, 1970) q u i o n t étudié le rôle des change ments des moments d'inertie q u i accompagnent les réarrangements de matière au cours d ' u n séisme. Dans les équations d'excitation, o n conserve les termes en e u , £ 2 3 et leurs dérivées. Après calcul des équations d'excitation modifiées, la relation (11) d u paragraphe 7 conduit à : e-ii'oT[iW|,(ci3 +
ic2}) + C l 3 + iczi] d r
.
(2)
554
VARIATION
DE LA
VITESSE
DE
ROTATION
DE
LA
TERRE
O n supposera que le séisme survient à l'instant t = 0. Avant et après cet instant, les Ci} sont constants et les c,- = 0. Avant le séisme, le pôle décrit un cercle donné par I /«o I ^ Cte, l'origine étant fixée par les (¾. Pour simplifier l'écriture o n désignera désormais par Acij la modification aux produits d'inertie à l'instant ?„ et l ' o n recher chera les changements de rayon et de centre de la polhodie. I l est clair qu'après le séisme la polhodie sera à nouveau circulaire. Suivant Mansinha et Smylie, on repré sentera les cij par une fonction échelon ii{t) et leurs dérivées par la fonction de Dirac SU) : I
(M
ic2.i
I
ίΊ.ι ί i c 2 . 1
(Δί'υ
-
ià.C2i)it(t)
(ΔίΜ.ι : 1Δί·2.ι)ί5(Μ
I iiU)
0,
I
1,
/ <
0,
l>0.
On obtient alors, en laissant le terme en m„ : mU) I
^
e ' " » ' ( Δ η Ασ„
, • ΙΔ<·2,)^ •
( Δ η , : ΙΔί·,,). Ασ„
rTjo>„ étant inférieur à 0,05 %, on a la conclusion qui suit.
A l'instant d u séisme, la modification d u rayon de l'oscillation chandiérienne est opposée au déplacement de son centre : i l n'y a pas de déplacement soudain d u pôle, mais un p o i n t anguleux dans sa trajectoire. M a n s i n h a et Smylie o n t effectivement retrouvé dans les polhodies d u S I M P et d u B I H des cassures d u terme chandlérien d o n t les dates coïncident à une dizaine de j o u r s près avec celles des séismes les plus i m p o r t a n t s . Le niveau de signification de cette corrélation est l'objet de controverses, mais o n admet généralement que la corrélation est réelle. Les mêmes auteurs o n t trouvé que les cassures surviennent, en moyenne, avec une avance de quelques j o u r s sur les séismes. Ce dernier résultat est f o r t douteux, car i l peut être aisément affecté par des erreurs systématiques.
!
Il reste à montrer que le champ des déformations de la Terre, après un séisme, est suffisant pour modifier les dj des quantités voulues. I l ne suffit pas de traiter les dépla cements au voisinage de la faille qui a causé le séisme : les déformations s'étendent très l o i n (Chap. 13). N o u s ne pouvons pas développer ici les calculs de Mansinha et Smylie. Leur résultat est compatible avec les variations observées de l'oscillation chand iérienne. I l peut aussi expliquer la dérive observée d u pôle.
10.4. — Couples-impulsions ou séismes '!— Si l ' o n accepte les estimations des ordres de grandeur des effets géophysiques i n t r o d u i t s par R u n c o r n , M a n sinha et Smylie (mais i l faut préciser qu'elles ne sont pas universellement admises), les mécanismes proposés expliquent bien, q u a n t i t a t i v e m e n t et q u a l i tativement certaines particularités de la polhodie. 11 n'est certes pas impossible que les deux mécanismes agissent séparément. 11 est aussi concevable que les perturbations dans le noyau, admises par R u n c o r n , déclenchent les séismes en des régions où les tensions se sont élevées à proximité d u p o i n t de r u p t u r e . C o m m e , d'autre p a r t , ces mêmes mécanismes conduisent à des résultats plausibles sur la vitesse de r o t a t i o n terrestre et la dérive d u pôle, ils méritent une grande a t t e n t i o n .
EXCITATION
DE L'OSCILLATION
555
CHANDLERIENNE
10.5. — Battements. — La variation de l'amplitude chandiérienne depuis 1900 est repré sentée par la figure 10. Cette figure suggère l'existence de battements sur une période de 40 à 45 ans, entre deux composantes de périodes voisines de 1,19 an et différant entre elles de 0,032 an environ. D u point de vue de l'analyse des données, ces battements seraient confir més par le saut de phase en 1926 et par le dédoublement de la « raie » chandiérienne dans les analyses spectrales, mais ils n'expliquent pas les irrégularités de la variation de l'amplitude. Du point de vue géophysique, i l n'est pas possible d'expliquer le battement par le couplage manteau/noyau car la fluidité d u noyau conduit à une période d'oscillation libre beaucoup trop longue. C o l o m b o et Shapiro (1968) proposent un battement entre les oscillations chandlérienncs de deux couches d u manteau séparées à la profondeur compiise entre 400 et 1 000 k m , la séparation de ces couches étant suggérée par une anomalie de vitesse des ondes sismiques : le couplage impliqué reste mal compris. O n peut se demander si le couplage entre deux périodes aussi voisines ne peut pas être la cause de relâchements soudains de tension q u i seraient la source des impulsions de R u n c o r n . A notre connaissance, cette hypothèse n'a pas été examinée.
C
(semi.amplitude
3
-
.o'3
.0*2
\
/
date
1
1905.0 1
Fia.
11.01
17.0 1
23.0
29.0
!
1
3 5.0
10. — Variation de la demi-amplitude
41.0
1
4 7.0
5 3.0 1
de l'oscillation
59.0 1
eS.O
J . ...
71.0
1 ..
chandlérieime ( G U I N O T , 1 9 7 2 ) .
Ces battements pourraient expliquer que l'oscillation chandiérienne totale garde une a m p l i tude maximale presque constante et q u ' o n n'ait p u observer dans le passé des amplitudes supérieures à celles d u x x ' ' siècle. E n effet, les mesures astronomiques d u x i x ' ' siècle, bien qu'elles ne fussent pas assez précises pour mettre en évidence les détails d u mouvement d u pôle, permettent de fixer une limite supérieure de l'ordre de 1 " à son amplitude totale. D'autre part, on ne trouverait plus alors l'amortissement inexplicable de l'oscillation chandiérienne. 11 est intéressant de noter que si les battements se confirment, un nouveau renversement de 180" de la phase devrait survenir entre 1970 et 1980, la précision accrue des résultats le montrerait alors sans conteste. 10.6. - - Autres
excitations.
— Le rôle des cyclones t r o p i c a u x a été examiné.
On peut m o n t r e r par l'examen des équations (3) et (4) d u paragraphe 7 que les cyclones agissent p a r l'intermédiaire d u i n o m e n l cinétique et de la v a r i a t i o n d'inertie par perte de masse a u centre d u cyclone. Les effets sont de même sens dans l'hémisphère N o r d ,
mais opposés dans l'hémisphère S u d . Cette dissy
métrie peut être une cause d ' e x c i t a t i o n dérive d u pôle.
de l ' o s c i l l a t i o n
chandiérienne et de
556
VARIATION
DE LA
VITESSE
DE
ROTATION
11. — L A DÉRIVE D U
DE LA
TERRE
POLE
N o u s venons de v o i r q u ' u n e p e r t u r b a t i o n de la f o n c t i o n d'excitation provo q u a i t , en général, l ' a p p a r i t i o n simultanée d'une m o d i f i c a t i o n de la polhodie chandiérienne et d'une dérive d u pôle moyen. Les phénomènes que nous envisagerons maintenant se situent à u n niveau de durées beaucoup plus élevé et nous verrons qu'ils excitent peu l'oscillation chandiérienne ; de plus, même si l'amortissement est beaucoup plus lent que ne le laissent supposer les observa tions astronomiques, i l peut s'exercer. '
11.1. — L'aplatissement fossile et la dérive du pôle. — Nous avons v u ( § 7 . 2 ) que les satellites artificiels fournissent le facteur d'ellipticité géopotentiel J2 q u i est :
i ;
J ^
^ C - ^ _ Ma2
y 1+
1
7 Ma^
'
d'où l ' o n déduit
Λ& = Μ ' + ΰ '
; ! I '
relation dans laquelle /2 est c o n n u à environ ± 5 x 1 0 " ' près en valeur relative. Mais d'autre part, C/A/a^ peut être calculé en supposant que la Terre est en équilibre hydrostatique et en tenant compte de la variation de masse spécifique avec la profon deur dans difTérents modèles de Terre (voir Chap. 21). Jeffreys (1970) aboutit ainsi à la valeur la plus probable de J2 hydrostatique (désignée par j'2)
I
/ 2 = (1 072,1 ± 0 , 4 ) 1 0 - 0 . L'écart entre J2 c\ j ' i est significatif.
L'explication souvent proposée est que la Terre a conservé la f o r m e qu'elle avait lorsque sa vitesse angulaire de r o t a t i o n était plus élevée. Pour fixer l'échelle de temps de ces phénomènes, cherchons la date où Jj aurait corres p o n d u à l'équilibre hydrostatique en admettant que le taux de ralentissement de la r o t a t i o n terrestre d
ω
àt
WQ
est resté constant et égal à — 2,1 x 10"**. C o m m e (§ 7 . 4 ) , Δω _
_
ω et
AC C
que A C _ Δ72 C
~
J2
_
10^
~ ï 082,7
LA
DÉRIVE
DU
557
POLE
on trouve -
i l = - 4,7 X 10* ans .
Cet énorme retard c o n d u i t a u n e viscosité de la Terre de 8 x 10^^ dynes. s. c m " ; viscosité si élevée qu'elle interdirait pratiquement toute dérive d u pôle. Ce résultat est en c o n t r a d i c t i o n avec les indications d u paléomagnétisme ; de plus, les réajustements isostasiques après d i s p a r i t i o n des surcharges glaciaires (relèvement fînno-scandinave, par exemple) donnent des viscosités 10* à 10' fois plus faibles. 11.2. — M o u v e m e n t s relatifs lents au sein de la Terre. — G o l d r e i c h et T o o m r e (1969) o n t calculé les effets de mouvements extrêmement lents de faibles masses sur une sphère en r o t a t i o n . L e u r conclusion est que l'axe de r o t a t i o n peut avoir des déplacements i m p o r t a n t s q u i accompagnent ceux de l'axe p r i n c i p a l d'inertie. De tels mouvements n'excitent pratiquement pas l'oscillation eulérienne. Dans le cas de la Terre, cette théorie se heurte à celle de l'aplatissement fossile. TI faudrait en effet que la Terre puisse adapter sa forme à la p o s i t i o n de l'axe instantané de r o t a t i o n en des temps beaucoup plus courts que ceux q u i sont impliqués par la mémoire d'une vitesse de r o t a t i o n ancienne. M a i s G o l d reich et T o o m r e mettent en doute l'existence de l'aplatissement fossile. Si l'équilibre hydrostatique était réalisé, les moments d'inertie C , , et C22 seraient égaux : i l n'en est rien c o m m e le m o n t r e n t les harmoniques sectoriels d u déve loppement d u potentiel terrestre. Si l ' o n appelle C i ' i , C22, C 3 3 l'excès des moments p r i n c i p a u x d'inertie sur ceux que donnerait l'équilibre hydrostatique (Chap. 21), G o l d r e i c h et T o o m r e obtiennent C33
-
C'22=
C22
-
C ' i , = + 7,2 X 1 0 ' " M a ' .
+
6,9
x
1 0 " " Ma^
,
L'écart à l'équilibre hydrostatique se t r a d u i t par u n ellipsoïde à 3 axes inégaux d o n t la probabilité de réalisation, p o u r des corps quasi sphériques pris a u hasard est très grande. Si l ' o n rejette l'hypothèse de l'aplatissement fossile, on peut expliquer les écarts à l'équilibre hydrostatique par des mouvements convectifs dans le manteau q u i s'accompagnent de variations de densité et q u i donnent lieu aux dérives des continents ; les diflRcultés concernant la viscosité tombent. L ' e x p l i c a t i o n de la dérive d u pôle par les mouvements dans le manteau, proposée depuis longtemps, reste donc très plausible et n'est pas en réelle contradiction avec les données récentes sur les harmoniques zonaux. 11.3. — Fonte des glaces. — Par suite de la dissymétrie des continents et des calottes glaciaires, la fonte des glaces affecte le mouvement d u pôle p a r lente modification des moments d'inertie. A cet égard, la c o n t r i b u t i o n d u G r o e n l a n d
558
VARIATION
DE LA
VITESSE
DE
ROTATION
DE LA
TERRE
est prépondérante et la fusion de ses glaces déplace le pôle dans sa direction, ce q u i est conforme aux données des observations astronomiques d u x x ^ siècle. M a i s , cette fusion élève le niveau des océans, accroît C 3 3 et d i m i n u e la vitesse de r o t a t i o n terrestre. O r , cette vitesse s'est accrue de 1910 à 1940. Cette contra d i c t i o n ne suffit pas, toutefois, à condamner la fonte des glaces comme cause de la dérive d u pôle ; la vitesse de r o t a t i o n peut varier sous l'effet d'autres phéno mènes géophysiques. 11.4.—Irrégularités de la dérive. — M a r k o w i t z (1960) a interprété les irrégularités de la dérive, montrées par la figure 4, en superposant une nutation de 24 ans à une dérive linéaire. Cette n u t a t i o n est peu justifiée par sa significa t i o n statistique. Busse (1970) estime cependant que cette n u t a t i o n p o u r r a i t venir d ' u n battement entre les oscillations libres d u manteau et de la graine. Les irrégularités peuvent aussi s'expliquer par les excitations de l'oscillation chandiérienne, suivant le processus décrit en 10.3, par des mouvements locaux des stations et peut-être même par des erreurs systématiques des mesures astronomiques. M e l c h i o r (1958) a, en effet, remarqué que les points anguleux de la dérive survenaient lors des changements de listes d'étoiles des stations du S I L : bien que le procédé d ' i n t r o d u c t i o n de ces erreurs soit obscur, ces coïnci dences restent troublantes. 12. — P E T I T S M O U V E M E N T S
PÉRIODIQUES
DU
POLE
N o u s examinerons maintenant, pour terminer l'étude d u mouvement du pôle, deux composantes périodiques de petite a m p l i t u d e q u i o n t été révélées par la théorie. Ces composantes apparaissent évidemment dans les mesures de latitude et de temps universel (par l'intermédiaire de la longitude). Elles sont à la l i m i t e de la précision des mesures et leur existence est mieux démontrée si on les retrouve p o u r chaque instrument, plutôt que dans une combinaison des mesures p o u r obtenir les coordonnées x et y d u pôle. De plus, i l convient de corriger individuellement les séries d'observations p o u r tenir compte de tous les termes de petite a m p l i t u d e q u i viendraient altérer les résultats. Parmi ceux-ci, il faut mentionner ceux q u i proviennent des insuffisances des développements de la n u t a t i o n astronomique, de la mauvaise connaissance de certaines cons tantes astronomiques (comme celle de l'aberration) et s u r t o u t ceux q u i sont dus aux marées terrestres. La verticale, par rapport à Taxe instantané de rotation terrestre est défléchie par l'attrac t i o n luni-solaire ; cet effet est aisément calculable pour la Terre indéformable mais il doit être multiplié par la combinaison / ^ (1 I k — /) des nombres de Love pour la Terre élastique. Les marées les plus importantes sont les marées lunaires diurnes et semi-diurnes ; l'étude de leur influence sur les mesures de latitude et de temps universel permet la détermi nation expérimentale de ).. 12.1. — Nutation diurne. — O n désigne sous ce n o m les mouvements de l'axe de rotation par rapport à la Terre q u i sont induits par la précession et la nutation. Dans l'hypothèse
PETITS
MOUVEMENTS
PÉRIODIQUES
DU
POLE
559
d'une Terre indéformable, leurs périodes et phases sont parfaitement connues et leurs a m p l i tudes sont déduites des termes de la précession et de la n u t a t i o n avec une précision surabon dante. Les 3 termes de quelque importance o n t des demi-amplitudes de 0", 087, 0", 062 et 0", 029, les périodes sont très voisines d u j o u r sidéral. Mais d u fait que les observations sont toujours faites aux alentours de minuit local, o n observe u n effet stroboscopique et le seul terme qui peut être déterminé (car les autres se trouvent mêlés aux erreurs de caractère annuel de sources diverses) a pour période 14,2 j . Mais ce terme a exactement le même argument que celui q u i est dû à la marée terrestre diurne. Le fait est regrettable, car Fedorov (1958) a montré que par suite de l'élasticité de la Terre, les amplitudes devaient être multipliées par un facteur inférieur à 1 (qu'il estime à 0,76) et dont la détermination expérimentale aurait été utile. 12.2. — Nutation presque diurne. — Molodensky (1961), Vicente et Jeffreys (1964) o n t montré que la présence d ' u n noyau liquide provoquait une n u t a t i o n de l'axe de r o t a t i o n terrestre dont la période pour différents modèles de Terre est inférieure de quelques minutes au j o u r sidéral (Chap. 18). Si l'on observe à heure fixe dans la nuit, l'effet stroboscopique mentionné en 12.1 transforme la période en 200 jours environ. Si l ' o n observe toujours la même étoile, la période transformée est de l'ordre de l'année. I l est très difficile de mettre en évidence des termes à si longue période car ils se séparent mal des inégalités de T U et de la latitude. L'analyse spectrale révèle le plus souvent une profusion de raies dont l'interprétation est douteuse (Chollet et Débarbat, 1972). I l apparaît néanmoins que cette nutation presque diurne ne doit pas excéder en a m p l i tude 0", 0 1 . Il est clair que la détermination expérimentale précise de sa période permettrait le choix entre les divers modèles proposés.
13. — R A L E N T I S S E M E N T P R O G R E S S I F
DE L A R O T A T I O N
Ce ralentissement, bien mesuré, est convenablement expliqué par le retard de la marée sectorielle sur l'astre q u i l'a provoquée. Pour décrire succinctement le mécanisme de cette a c t i o n , nous considérerons que l'astre est dans le p l a n équatorial, q u i est celui de la figure 11. L a Terre, par suite de viscosité ( o u frottements océaniques), entraîne dans sa r o t a t i o n le renflement provoqué par
\ de rotation de
la
Terre
t
F i G . 11. — Ralentissement de la rotation terrestre. Les forces F\ et Fz agissant sur des point symétriques /( i et /12 se réduisent à un couple et des forces compensées par le mouvement o r b i t a l .
560
VARIATION
DE
LA
VITESSE
DE
ROTATION
DE
Tastre perturbateur L. L'observateur lié au sol observe de L au méridien puis la marée haute. I l apparaît alors un r o t a t i o n terrestre. Une étude plus poussée m o n t r e r a i t qu'en l'énergie perdue par la Terre est transférée au mouvement rayon de l ' o r b i t e croît et le moyen m o u v e m e n t d i m i n u e .
LA
TERRE
d ' a b o r d le passage couple q u i freine la outre une partie de de la Lune d o n t le
La part relative des marées terrestres et océaniques n'est pas encore connue. Le retard de la marée océanique atteint parfois plusieurs heures et la déperdition d'énergie se fait par frottements dus aux courants dans les mers peu profondes et les détroits. Les estimations de ces pertes sont assez peu concordantes, mais leur ordre de grandeur convient. La marée terrestre est beaucoup moins décalée. O n observe un retard de quelques degrés, mais parfois aussi une avance, et d'aussi petits déphasages peuvent être entachés d'erreurs systématiques dues aux instruments et surtout aux perturbations causées par les marées océaniques. L ' i m p o r t a n c e des marées terrestres tient à ce qu'elles agissent dans toute la Terre et n o n seulement sur une couche superficielle c o m m e les océans. Si le ralentissement leur était entièrement dû, il faudrait un décalage de 5". L'énergie cinétique perdue serait dissipée en chaleur dans les déformations visqueuses ; le flux thermique ainsi engendré n'est pas incompatible avec les données expérimentales. 14. — IRRÉGULARITÉS P É R I O D I Q U E S DE L A V I T E S S E D E R O T A T I O N Nous rappelons pour mémoire celles qui sont dues aux marées zonales et qui ont été étu diées en 7.4, ainsi que l'inégalité annuelle étudiée en 8. Les valeurs précises de T U 1 — θ (on rappelle que T U 1 est corrigé des inégalités dues au mouvement d u pôle et que 0 est le temps uniforme) ne sont disponibles que depuis 1955. Elles se prêtent donc mal à l'analyse spectrale pour rechercher des périodes cachées supérieures à l'année. Cependant, De Prins (1966), lijima et Okasaki (1966) ont trouvé dans T U 1 — 0 un terme presque bi-annuel de 9 ms de demi-amplitude q u i correspondrait à la variation de la vitesse de la circulation stratosphérique de période 26 mois : ceci confirmerait le rôle important de la circulation stratosphérique dans la variation saisonnière de T U 1 — ϋ. Le moment cinétique relatif de ces vents a été estimé et il convient.
15. — F L U C T U A T I O N S IRRÉGULIÈRES DE L A V I T E S S E DE
ROTATION
Nous entrons ici dans un domaine extrêmement mal connu, tant d u point de vue expéri mental que d u point de vue théorique. Si l ' o n considère la 3" équation (4) d u paragraphe 7, o n peut rechercher l'origine des fluctuations dans chacun des trois termes de droite. J 5 . I . — E x i s t e n c e d'un couple interplanétaire (L^). — O n peut penser à une interaction entre la Terre et le plasma interplanétaire. Les fluctuations de l'activité solaire pourraient amener des variations d u couple par l'intermédiaire de variations de la conductibilité d u milieu interplanétaire. U reste difficile d'expliquer des accélérations de la r o t a t i o n . D u point de vue empirique, plusieurs auteurs ont discerné des corrélations entre l'activité solaire et la r o t a t i o n terrestre ; mais ces corrélations sont très incertaines. 15.2. — Variation du coefficient d'inertie C 3 3 . — Les ordres de grandeur donnés par les fluctuations du niveau des océans ne sont pas incompatibles avec les variations de vitesse
FLUCTUATIONS
DE LA
VITESSE
DE
ROTATION
561
observées. Nous avons v u , cependant, que le déplacement d u pôle moyen ne correspond pas à ces variations. I l ne semble pas possible, d'autre part, d'expliquer ainsi les fluctuations à l'échelle de quelques années. Les mouvements verticaux de blocs continentaux se révèlent insuffisants. I l est donc très probable que seuls des moments cinétiques relatifs par r a p p o r t a u n système de référence lié à la croûte ( q u i porte nos instruments d'observation) peuvent rendre compte des observations.
15.3. — Mouvements relatifs de matière {action sur A 3 ) , — I l est générale ment admis que les mouvements d u noyau et sa turbulence p r o v o q u e n t les fluctuations de la r o t a t i o n terrestre. L a dérive vers l'ouest d u c h a m p magnétique (voir tome I I ) révèle une r o t a t i o n différentielle d u n o y a u par r a p p o r t a u m a n teau. Toutefois, si ce mouvement se produisait sans couplage, i l ne p r o d u i r a i t aucune fluctuation (ni mouvement d u pôle). Dans l'éventualité d ' u n couplage, toute irrégularité de r o t a t i o n d u manteau d o i t être compensée par une inégalité de la dérive d u c h a m p magnétique. Ces corrélations o n t été effectivement trouvées par Vestine (1952), Bail et al. (1968). De n o m b r e u x mécanismes de couplage o n t été envisagés (voir Rochester, 1970). Le couplage par inertie est dû à l'ellipticité de la frontière-manteau n o y a u . Si une r o t a t i o n relative a lieu suivant u n axe incliné sur l'axe de figure, i l crée des mouvements dans le sein d u noyau fluide. I l y a donc échange d'énergie cinétique, même si le fluide est parfait. U n processus analogue serait suivi si la frontière présentait des irrégularités locales même de dimensions modestes q u i peuvent être figurées par une rugosité. Les développements les plus poussés exigent que la viscosité soit prise en compte, ainsi que la présence de la graine. L a viscosité d u n o y a u , par les frottements même qu'elle i m p l i q u e , est une cause de couplage, mais elle est m a l connue. Le problème inverse q u i consiste rait à déterminer la viscosité d'après le couplage n'est guère p r o m e t t e u r , car i l existe de nombreuses autres possibilités de couplage. Le couplage électromagnétique est le plus généralement admis, par i n d u c t i o n de courants électriques dans la partie inférieure conductrice d u m a n t e a u .
-ΐχίο-
.8
1 956
57
58
59
60
61
63
64
65
F I G . 12. — Irrégularités de la vitesse de rotation moyennes annuelles de Δω/ωο.
66
67
terrestre,
68
562
VARIATION
DE
LA
VITESSE
DE
ROTATION
DE
LA
TERRE
Tous ces mécanismes de couplage peuvent expliquer des variations de Δω/ωο de l'ordre de quelques unités de 1 0 " ' ° par an. Mais o n sait, depuis l ' a p p a r i t i o n d u temps a t o m i q u e que Δω/ωο peut varier de plus de 3 x 1 0 " ^ par an ( F i g . 12). O n doit attribuer ces fluctuations amples et à relativement court terme (quelques années) à un processus différent (voir 10.2). 16. —
CONCLUSIONS
O n a souvent d i t que notre connaissance de la r o t a t i o n terrestre n'avait pas progressé depuis le début d u siècle. Ses caractéristiques principales avaient été en effet découvertes entre 1890 et 1900, la période de l'oscillation chandiérienne avait été expliquée par N e w c o m b en 1892. Les travaux de Poincaré, sur la r o t a t i o n des corps déformables, et de Love remontent à la première décennnie de ce siècle. En réalité, ce q u i empêche de progresser est le peu de précision des observa tions astronomiques. L a précision des coordonnées d u pôle d u Service inter national des Latitudes n'a pas augmenté depuis 1900, elle s'est même dégradée d u r a n t certaines périodes, après l'enthousiasme des découvertes d u début. La solution d u Bureau international de l'Heure apporte une amélioration : certaines erreurs sont divisées par 2 o u 3 ; amélioration bien modeste si o n la compare au progrès des autres sciences. En revanche, de très n o m b r e u x travaux théoriques de géophysique o n t été poussés, surtout après 1950. Mais ils restent dans le domaine de la spéculation tant qu'ils ne peuvent pas être expérimentalement contrôlés. La r o t a t i o n de la Terre peut être une excellente voie d'accès à la connaissance de l'intérieur de la Terre et i l est vraisemblable que dans peu d'années les nouvelles techniques de mesure de coordonnées d u pôle et de la vitesse de rota t i o n p e r m e t t r o n t d'en tirer beaucoup plus d'enseignements que nous n'avons pu le faire jusqu'à maintenant. Nous conseillerons enfin, au lecteur q u i désirerait a p p r o f o n d i r ces questions, la lecture de l'excellente monographie de M u n k et M a c D o n a l d ( i 9 6 0 ) . C'est une étape nécessaire p o u r c o m p r e n d r e les travaux plus récents sur les implica tions géophysiques de la r o t a t i o n terrestre.
BlBLIOGRAPHll-
Oiirniges
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564
VARIATION
DE LA
VITESSE
DE ROTATION
DE LA
TERRE
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CHAPITRE
20
PROBLÈMES INVERSES EN GÉOPHYSIQUE par Georges J O B E R T
1. —
INTRODUCTION
Dans chacune des disciphnes géophysiques, p o u r construire u n modèle de Terre q u i rende compte de façon satisfaisante de phénomènes observés, o n ne porte son a t t e n t i o n que sur un n o m b r e limité de propriétés physiques. En sismologie, par exemple, o n cherche à déterminer les lois d o n n a n t , en f o n c t i o n de la p o s i t i o n , la vitesse des ondes longitudinales et celle des ondes transversales, et les facteurs de qualité correspondants, o u bien l'incompres sibilité, la rigidité et la densité ; en géomagnétisme o n s'intéresse à la conduc tivité électrique ; en géophysique nucléaire à la concentration des différents éléments en f o n c t i o n de la p o s i t i o n et d u temps. U n modèle de Terre sera donc défini par u n n o m b r e fini de fonctions de la position, et éventuellement d u temps. Deux types de problèmes peuvent alors être abordés ; les problèmes directs et les problèmes inverses. Dans un problème direct o n se donne u n modèle a priori et on étudie des phénomènes influencés par les propriétés d u modèle. Par exemple en sismologie o n peut se donner un modèle de Terre composé de couches sphériques homogènes et y étudier la p r o p a g a t i o n de différents types d'ondes p o u r comparer les résultats à ceux de l'observation. Dans les problèmes inverses o n cherche au contraire à déduire de la mesure de certains paramètres, généralement faite à la surface de la Terre, certaines propriétés de l'intérieur. En sismologie par exemple, o n cherchera à déduire la l o i d o n n a n t la vitesse d'une onde de volume en f o n c t i o n de la profondeur, à p a r t i r de l'observation en surface d u temps de p r o p a g a t i o n Γ de cette onde en f o n c t i o n de la distance épicentrale Δ (voir Chap. 6). L'étude de tels problèmes inverses a fait récemment de grands progrès. D'une part, des problèmes particuliers o n t pu être étudiés rigoureusement (ondes de v o l u m e : Gerver et M a r k u s h e v i t c h (1967, 1968, 1969) ; ondes de surface : Gerver et K a j d a n (1969) ; conductivité électrique : Bailey (1970)...). D ' a u t r e part, Backus et G i l b e r t (1967, 1968, 1970) o n t élaboré une théorie
566
PROBLÈMES
INVERSES
EN
GÉOPHYSIQUE
générale des problèmes inverses, d o n t nous allons présenter les éléments et les résultats essentiels. A la différence des problèmes inverses théoriques mentionnés plus h a u t , cette théorie est basée sur le fait qu'à une époque quelconque o n ne dispose j a m a i s que d ' u n n o m b r e fini de données sur le m i l i e u étudié. Ceci est évident si les paramètres étudiés constituent une suite discrète (par exemple, v i b r a t i o n s propres de la Terre, couples (T, Δ) p o u r des ondes sismiques...), mais nécessite une justification p o u r des quantités mesurées de façon c o n t i n u e (par exemple l'intensité d u c h a m p magnétique dans un profil effectué en bateau o u en avion). Dans ce cas l'existence d'une bande passante finie p o u r t o u t appareil de mesure physique et la durée finie de toute mesure entraînent que l ' o n ne peut disposer que d ' u n n o m b r e fini de données indépendantes. E n effet le p o u v o i r sépara teur en fréquence d'une analyse de Fourier effectuée sur un enregistrement de longueur T e s t de l ' o r d r e de Ι / Γ ; p o u r une bande passante de l o n g u e u r 5 , o n a donc au plus BT i n f o r m a t i o n s indépendantes. De plus toute mesure est nécessairement entachée d'erreurs expérimentales. L'influence de ces dernières est i m p o r t a n t e et oblige à une m o d i f i c a d o n de la méthode valable p o u r des données exactes. Dans l'état actuel des connaissances, o n peut se borner a u cas où toutes les propriétés intéressantes ne dépendent que de la distance au centre de la Terre, c'est-à-dire au cas des modèles à symétrie sphérique. Le cas général, q u i peut s'imposer si l ' o n veut tenir compte des effets de la r o t a t i o n , de l'ellip ticité o u des hétérogénéités et des anisotropies latérales, serait c o n d u i t de façon analogue. 2. — M O D È L E S . NON-UNICITÉ ! • ; I
FONCTIONNELLES. DE L A S O L U T I O N
Le langage des espaces vectoriels facilitant considérablement l'exposé, nous considérerons un modèle comme u n vecteur m(P) dont les composantes sont les fonctions de la distance Λ de P au centre qui définissent les propriétés physiques étudiées. Nous nous bornerons ici à des fonctions réelles, continues par segments. Pour se placer dans le cas simple des espaces vectoriels, il est nécessaire d'accepter comme modèles les combinaisons linéaires de modèles ; si mi(/?)ctm2(/?)sontdeuxmodèles,ilenestdemêmede : m(i-) = a i m , ( ^ ) + a2m2(/?).
i j ' ' 1 ! 1 i
Bien entendu, tous les modèles ainsi définis ne sont pas acceptables. Les composantes de m doivent satisfaire des conditions restrictives (.'K) : Elles seront en général positives ou nulles, et bornées. Toutes les fonctions continues par segments sur le segment (0,1) (le rayon de la Terre étant pris comme unité) peuvent être considérées comme des éléments d ' u n espace à une infinité de dimensions et l'espace des modèles sera donc un espace linéaire M, p r o d u i t cartésien de ces différents espaces. Les éléments de M, dont les composantes satisfont les conditions précédentes (.'R), seront dits des modèles raisonnables. O n introduira une métrique dans cet espace en définissant u n p r o d u i t scalaire de deux modèles et une norme : Par exemple pour les modèles de la sismologie, m sera
MODÈLES.
567
FONCTIONNELLES
le triplet (p, μ, k) des lois de densité, de rigidité et d'incompressibilité. O n pourra prendre : (m, m ) =
I
(p(R)p\R)
+ p{R) p'(R)
+ k{R) kXR))f(R)
dR
/ ( Λ ) étant un poids adéquat, R^ par exemple, et jl m || = (m, m ) " 2 . Toute règle q u i associe à un modèle m raisormable un nombre g{m) sera appelée fonctionnelle globale (Exemples : la masse de la Terre, ses moments d'inertie, les fré quences de ses vibrations propres, ses nombres de Love) et la valeur γ observée pour la Terre réelle sera appelée donnée globale. Résoudre le problème inverse pour une collection G de yV fonctionnelles globalesg'i(ni) consiste à décrire la multiplicité de tous les modèles de Terre m, raisonnables et accep tables, c'est-à-dire tels que : gi(m)^yi,
ie(\,N)
m satisfait (.'«) . Les points de M correspondant à la Terre réelle (si celle-ci peut être représentée par un vecteur de l'espace M !) et à tous les modèles acceptables pour la collection G, sont donc sur l'intersection des Λ' hypersurfaces d'équation (1). On peut penser que les solutions sont en nombre infini puisque M est infini. L'exemple suivant montre que ce point n'est pas évident : ri pour
gi(m) = 4
Λ2 dR((p — 3)2 -μ (M — 2)2 -I (k — \ )2)
la seule condition γι — 4 définit une solution unique m (3, 2, 1). Pour supprimer ce genre d'anomalies Backus et Gilbert ne considèrent que les fonctionnelles différentiables au sens de Fréchet : O n dit qu'une fonctionnelle g est diflFérentiable en m e M , s'il existe un élément non n u l de M , E , déterminé par g et m, tel que, pour tout dm e M, o n ait : ^(m
r dm) = g(m)
(2)
' ( E , dm) -τ £(dm)
e(dm)/|| dm |1 tendant vers zéro avec |[ dm I! . La masse est évidemment une fonctionnelle linéaire différentiable. Le noyau E correspondant est : E = (4 π, 0, 0). On peut montrer que toutes les grandeurs habituelle ment mesurées correspondent à des fonctionnelles différentiables. De plus leurs noyaux E N
sont en général linéairement indépendants, c'est-à-dire
que ^ E , at = 0 entraîne 1
at = 0. O n peut alors montrer qu'au voisinage d'une .solution particulière m„ du système (1) /7 y a une infinité de solutions possibles. En effet si E " sont les noyaux correspondant aux fonctionnelles gi en m^, o n peut toujours, Λ' étant fini, trouver u n modèle n, orthogonal à tous les noyaux, c'est-à-dire tel que si : ie{\,N)
(E?, n ) - = 0 .
La définition (2) montre que si a est assez petit, m„ + an est solution de (1) au second ordre près en a ; on peut, pour une valeur finie de a, construire à partir de m,, un terme complémentaire pour obtenir la solution exacte de (1). O n peut ainsi engendrer une famille de solutions différentes de m,,, et ceci d'une infinité de façons. L a non-unicité de la solution d u problème inverse vient de ce que les noyaux Ei ne constituent pas une base complète de l'espace Λ/.
PROBLÈMES
INVERSES
EN
GÉOPHYSIQUE
3. — M O D È L E M O Y E N E T P O U V O I R SÉPARATEUR P O U R U N E C O L L E C T I O N D E F O N C T I O N N E L L E S LINÉAIRES
U n e question fondamentale sera donc de déterminer si les différents modèles diffèrent entre eux seulement dans les détails, c'est-à-dire si la collection G de données ne permet d'avoir q u ' u n p o u v o i r séparateur fini, ou bien si au contraire i l existe des solutions différant entre elles qualita tivement. Backus et G i l b e r t o n t donné une méthode permettant de déterminer le p o u v o i r séparateur d'une telle collection et, dans les limites de ce p o u v o i r séparateur, de calculer les traits essentiels des solutions. N o u s étudierons d'abord le cas o u toutes les fonctiormelles de G sont linéaires et linéairement indépendantes en nous bornant au cas où une seule fonction est inconnue (m scalaire). Les fonctionnelles linéaires différentiables peuvent s'écrire :
Gi(R)m(R)aR
(I)
0
Gi étant des fonctions connues. Les modèles acceptables sont tels que :
n Gi(R)
m(R)dR.
0
A p a r t i r de ces TV données, nous allons essayer de déterminer p o u r un p o i n t Ro u n n o m b r e < w > (RQ) q u i soit, d'une certaine façon, une moyenne des valeurs de m dans u n petit intervalle e n t o u r a n t RQ. Si une telle locale
moyenne
la même pour
peut
être obtenue
à partir
des seules
tous les modèles acceptables
valeur
données y,-, ce sera
et par conséquent ce sera la
meilleure i n f o r m a t i o n que l ' o n p o u r r a avoir dans l'état actuel des connais sances. L'idéal serait évidemment que l ' o n ait : Ô(R — /{„) m{R) dR =
m(Ro).
A cause d u nombre fini des données accessibles ceci est exclu. O n peut, en se bornant aux moyennes linéaires, écrire : <
A(R,
) (Λ„) =
Ro)ni(R)dR
(2)
0
ie noyau A étant pris de moyenne unité : rl A(R, Ro) dR = \ .
(3)
MODÈLE
MOYEN
ET POUVOIR
569
SÉPARATEUR
O n cherchera bien entendu à donner le poids m a x i m u m aux points voisins de Λ,,, et u n poids faible aux points éloignés. Le pouvoir séparateur pourra être évalué à partir de la largeur d u voisinage de /?„ où les poids sont supérieurs à une fraction donnée d u poids m a x i m u m . L a moyenne {m) est supposée ne dépendre que des fonctionnelles g;. O n peut montrer que la linéarité des différents opérateurs entraine que : N
Par suite pour les modèles acceptables : (4)
et compte tenu de la définition de A : A(R,
R„} = £ Λ ( Λ Ο )
GiiR).
(5)
Le problème est donc de choisir les coefficients Oi de façon que A soit aussi voisin que possible d'une distribution de Dirac. L a théorie des séries de Fourier montre que cela n'est pas toujours possible. I l est nécessaire que la collection G soit bien choisie. Dans les problèmes géophysiques les facteurs Gt sont en général calculés numérique ment et i l faut utiliser des méthodes empiriques pour construire des filtres à bande passante étroite. O n peut ainsi utiliser une fonction très petite dans le voisinage de Λο, par exemple JiR, Rg) = (Λ — Λο)2, et former la quantité : • 1
A(A)
^
J(R,Ro)A^R,R„)àR.
(6)
Jo O n déterminera, pour la fonction J choisie, le noyau A (de moyenne unité) tel que A soit m i n i m u m . O r A est une fonction quadratique définie positive des coefficients a;. O n obtient donc ces derniers en utilisant u n multiplicateur de Lagrange i , . O n a : J(R,
/?o) M Gi Oj Gj àR
minimum
rl
ai GiàR=
\
T Jo et par suite 1
Σ
HR,
R„) Gi(R) Gj(R)
tai
dR
ai
Gi{R)
Gi(R)dR
= 0,
ie{\,N)
d« = 1 .
1
Ce système de (TV + 1) équations fournit donc en général les coefficients ûi et L. Une fois ceux-ci calculés o n peut former .4. Si le filtre ne ressemble pas à une distri bution de D i r a c , quelle que soit la fonction test / choisie, c'est q u ' i l n'est pas possible d'obtenir à partir des valeurs observées y» une valeur moyenne correcte de m en R^.
PROBLÈMES
INVERSES
EN
GÉOPHYSIQUE
Dans les cas favorables au contraire la largeur d u pic donne le pouvoir séparateur de la collection G. La
figure
1 m o n t r e les résultats obtenus par Backus et G i l b e r t p o u r le
facteur de qualité Q ( v o i r C h a p . 1, § 3) à p a r t i r d ' u n e c o l l e c t i o n de valeurs relatives
à des v i b r a t i o n s
Lorsqu'on
propres.
étudie simultanément
plusieurs propriétés physiques
difficulté supplémentaire p r o v i e n t de la c o n t a m i n a t i o n éventuelle
une d'une
composante par d'autres (Backus et G i l b e r t , 1968, p . 177).
A(R,Rc
1
T
1
1
••
1
1
1
1
Ro = 0 , 8 0
Ro=0,55 A(R,Ro)
1
1
1
1
1
1
1
1
i\
J
1
Ro=:0,94-
Ro=0,60 A(R,Ro)
1
1
1
•
Γ
1
1
1
1
1
1
'
R o = 0,9e
Ro = 0,70 A(R,Ro)
,
1
1
1
1
1
l
J R o = Q,98
1
1
1
1
1
1
1
10
F I G . 1. — Noyau optimal A(Ro, R) pour Q~HR) et diverses valeurs de Ro {ligne verticale). Le rayon de la Terre est pris pour unité. Les données globales utilisées sont les amortissements q u i pourraient être observés p o u r les modes sphéroïdaux suivants : nSu, iSo, 2S0, }So, 2S1, 0S2, 1S2, 2S2, 0S3, 1S3, 2S3, 0S4, 184, 2S4, 4S4, 0S5, 1 S 5 , 2S5, 4 S s , 0S6, 0S7, nSs, iSg, oSi), iSio- D'après BACKUS et GILBERT, 1 9 6 8 . O n voit que la largeur de résolution correspondant à cette série de données, de .'ordre de 4 0 0 k m en surface, atteint plus de I 0 0 0 k m à 2 0 0 0 k m de profondeur.
En effet dans ce cas i l est nécessaire d'introduire des vecteurs m, G i et une matriceΛ à la place des scalaires m, Gi et A. Comme o n ne peut réduire cette matrice à un seul
CAS
DE
MESURES
ENTACHÉES
D'ERREURS
571
clément diagonal de la forme o(R — R„), on voit d"après (4) qu'une composante, nu par exemple, peut être contaminée par d'autres composantes de m. 4. — C A S D E M E S U R E S
ENTACHÉES
D'ERREURS
Supposons que les valeurs mesurées soient entachées d'erreurs d o n t o n connaît la valeur probable. Les moyennes < m > (RQ) étant des c o m b i naisons linéaires des données, o n en déduit directement l'erreur probable sur < m >. A i n s i d'une part la collection de données ne f o u r n i t le résultat qu'avec une imprécision due au p o u v o i r séparateur fini, et d'autre p a r t les erreurs expérimentales interviennent directement par la même c o m b i n a i son. O n souhaiterait rendre m i n i m u m simultanément ces deux types d'erreurs par un choix convenable des facteurs Oj, mais o n peut m o n t r e r que cela est en général impossible. En eflfet la largeur de résolution .s peut être prise proportionnelle à z/ et o n peut écrire : (1)
s-Y^UiOiSii '../
S étant une matrice q u i dépend des G, et de /?„. Si Oi est l'erreur probable sur l'erreur probable sur < m > , ε, est donnée par : ,v £2 -
^
(2)
ai ai
i= J
si les erreurs sont indépendantes. On ne peut minimiser à la fois .v et ε par un choix convenable des seuls aj. Backus et Gilbert (1970) cherchent à minimiser la quantité mixte : ρ ( α , ) - (1 -
M/).v +
(3)
(^6-2
W étant un poids qui t r a d u i t l'importance donnée à la minimisation de l'effet des erreurs expérimentales. Ils obtiennent ainsi pour chaque valeur de W une valeur de la largeur de résolution s et de l'erreur probable ε.
U n résultat i m p o r t a n t est que, lorsque varie de 0 à I , l'erreur ε et la largeur de résolution s varient en sens opposés. A u t r e m e n t d i t , on peut améliorer la précision en réduisant l'effet des erreurs expérimentales au prix d'une diminution du pouvoir séparateur ou, au contraire, avoir une valeur correspondant à un voisinage très réduit d'une profondeur particulière, mais fortement entachée par les erreurs. C'est là une forme d ' u n principe d'incertitude. s . — C A S DES F O N C T I O N N E L L E S
NON
LINÉAIRES
L a quasi-totalité des problèmes inverses rencontrés en géophysique ne sont malheureusement pas linéaires. Le plus souvent i l n'est même pas possible d'expliciter la relation liant la donnée observable y au modèle m .
72
PROBLÈMES
INVERSES
EN
GÉOPHYSIQUE
L a seule méthode envisageable est alors la linéarisatioi modèle mo satisfaisant à peu près les c o n d i t i o n s , c'est résultat correspondant yo soit voisin d u résultat obse T i r a n t parti de la propriété de difTérentiabilité ( 2 ) d u paragraph /•1 7 — 7ο =
( ι η ( Λ ) — π ι „ ( Λ ) ) . Ε ( Λ ) AR +
m — m„
Si l ' o n peut négliger le terme d u second ordre, o n est ramené à i avec la différence δγ = γ — y„ comme donnée et le noyau ôm · m — m,,.
O n obtiendra par la méthode précédente u n résultat i fondeur donnée si la collection de données y le permet, dépendra d u modèle initialement choisi. O n ne peut gara: d ' u n autre modèle mo o n o b t i e n d r a u n résultat voisin, propagation des ondes sismiques dans u n milieu conte à m o i n d r e vitesse le m o n t r e bien (Chap. 6, § 4 . 5 ) . G i l b e r t et Backus o n t montré que par u n choix adéc et des opérations sur les matrices, ils pouvaient réduire <
F I O . 2 . — Etalement s des noyaux optimaux en fonction de la ^ manteau {Rja) et de Veneur relative ΑσΙσ pour la conductivité élec. les données de Banks, 1 9 6 9 . D'après PARKER, 1 9 7 1 .
BIBLIOGRAPHIE
573
rable la durée des calculs d ' o p t i m i s a t i o n . Leur méthode s'applique ainsi de façon commode à tous les problèmes inverses p o u r lesquels on sait résoudre le problème direct correspondant (par exemple p o u r les ondes sismiques de volume, Johnson et G i l b e r t , 1972). L a figure 2 donne à t i t r e d'exemple u n résultat obtenu par Parker (1971) p o u r la conductivité électrique σ à partir de données de R. J . Banks. Si Ton souhaite l i m i t e r à 20 % les erreurs relatives sur σ à toute p r o f o n d e u r , on ne trouve un p o u v o i r séparateur acceptable que p o u r les parties t o u t à fait superficielles d u manteau. De toute façon la largeur de résolution .y est encore supérieure à 0,04 a soit 250 k m (voir Le Mouël in T o m e I I ) . BiBLlOGRAPHIH
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21
CHAPITRE
MODÈLES D E L'INTÉRIEUR D E L A TERRE (DENSITÉ, ÉLASTICITÉ) par Jean C O U L O M B
1. — L'HYPOTHÈSE
HYDROSTATIQUE
/. /. — Condition d'équilibre. — Sans posséder aucune i n f o r m a t i o n sur la c o m p o s i t i o n de la Terre, les géodésiens et les astronomes o n t cherché à estimer sa densité interne en utilisant l'hypothèse suivante : Malgré la persistance des reliefs superficiels et l'existence (reconnue depuis) des séismes profonds, la Terre prise dans son ensemble cède aux efforts de longue durée comme le ferait u n liquide très visqueux : les tensions passagères dues aux ondes sismiques, a u x marées, aux déplacements d u pôle, etc., perturbent à peine l'équilibre entre la pesanteur de potentiel W, et la pression hydrostatique p. Soit p la densité en un p o i n t quelconque intérieur à la Terre. L'équation d'équilibre est : grad p = - pg = p grad H^. Sur les surfaces équipotentielles la composante tangentielle de grad IV est nulle, donc celle de grad p. Ce sont donc des surfaces d'égale pression, et d'égale densité : p = àpjàW. O n admet qu'elles o n t la forme de sphères légèrement aplaties par la r o t a t i o n . N o u s nous contenterons toujours de l ' a p p r o x i m a t i o n de premier ordre p a r r a p p o r t à l'aplatissement (Chap. 16). A u t r e m e n t d i t nous supposerons que le rayon vecteur R de la surface ayant /• p o u r rayon moyen est donné en f o n c t i o n de la latitude L par l'équation d ' u n sphéroïde : R = r{\ -
l oi(r)P2(sin
L))
(1)
où Piix) = iO -v' - 1) est le polynôme de Legendre de degré 2, et nous négli gerons les termes d'ordre α'. Si a(r) et c{r) sont les rayons équatorial et polaire d u sphéroïde, on m o n t r e r a aisément que son volume 4 πα^αβ est celui de la sphère de rayon r. Le géoïde correspond a r = r^, rayon moyen de la sphère ayant même volume que la Terre. N o u s insisterons surtout sur l ' a p p r o x i m a t i o n d'ordre zéro où l'aplatissement
57ο
MODÈLES
DE L'INTÉRIEUR
DE LA
et la force centrifuge sont négligés. O n a alors : g(r) constante de la g r a v i t a t i o n universelle, M{r)
4 π/·" p(r) dr = - nr'
=
TERRE
= GM(r)/r^.
G est la
pjr)
->
0
est la masse intérieure à la sphère R = r, p,„(r) sa densité moyenne. Jointes à l'équation d'équilibre : <^P = -
Pgàr,
(2)
ces équations pourraient f o u r n i r les fonctions inconnues p(r) et p(r) à p a r t i r de c o n d i t i o n s aux limites convenables si l ' o n connaissait la température interne T(r)ct l'équation d'état de la matière aux différentes profondeurs F(p,p, T) = 0. Connaissant p{r) on aurait M{r), puis g{r), et enfin : Po =
pir) g(r) d r .
1.2.—Conditions supplémentaires classiques. — O n connaît de mieux en mieux les propriétés des corps sous haute pression mais très m a l la c o m p o s i t i o n c h i m i q u e et s u r t o u t la température de la Terre. O n cherche donc des c o n d i t i o n s supplémentaires indépendantes de la température à r e m p l i r par la d i s t r i b u t i o n des densités. Les conditions le plus anciennement considérées sont les suivantes : a) L a l o i de densité d o i t redonner la masse M de la Terre, connue indépen d a m m e n t , o u sa densité moyenne, soit 5,517 si o n prend le v o l u m e de l'eMipsoïde i n t e r n a t i o n a l 1967. L a densité d o i t donc augmenter beaucoup en p r o f o n deur par compression et enrichissement en atomes lourds. b) L a précession des équinoxes est due aux couples exercés par la L u n e et le Soleil sur le bourrelet équatorial. Si ^ et C sont les moments d'inertie p r i n c i paux de la Terre, calculables à p a r t i r des densités, le couple exercé p a r la Lune est p r o p o r t i o n n e l à C — Le taux de précession correspondant est p r o p o r tionnel au couple et inversement p r o p o r t i o n n e l au moment cinétique Cco de la Terre. L'observation astronomique f o u r n i t donc la constante de précession o u « aplatissement d y n a m i q u e » : H = {C — A)/C d o n t la valeur est e n v i r o n 3,273 X 1 0 " ^ (Chap. 19). Le calcul est valable même si la Terre est légèrement déformable. c) Le coefficient J2 d u développement de fV en fonctions sphériques est connu (Chap. 16), soit J2 = 1 0 8 2 , 7 . 1 0 " " . O n connaît donc : C/Ma^
= J2/H = 0,330 9 .
1.3. — L'équation différentielle de Clairaut. — Les données M et C peuvent être utilisées même si o n connaît l'aplatissement. Débarrassons-nous d ' a b o r d de la c o n d i t i o n (b), laquelle n'a de sens que si la Terre est aplatie.
L'HYPOTHÈSE
HYDROSTATIQUE
577
C l a i r a u t a montré en 1743 (voir par exemple Jeffreys, 1970) que l'aplatis sement a{r) d ' u n fluide en équilibre satisfait à l'équation différentielle :
1
a" - α + ( r ' + a)
6
P,„
= 0.
dite depuis équation de C l a i r a u t , et à la c o n d i t i o n superficielle (r = TQ) : aoc'o +
O n a posé q =
2OÎO =
^ q .
a^/GM.
q = 1/288 et « 0 = 1298,25 sont connus, donc aussi αό- Sip{r) est c o n n u , o n en déduit a(r), puis H, q u ' o n p o u r r a i t comparer à sa valeur expéri mentale. Malheureusement la théorie m o n t r e que la valeur calculée dépend très peu de la l o i de densité. E n i n t r o d u i s a n t la variable η(Γ)
=
r da/i3i d r ,
Radau (1885) met l'équation de C l a i r a u t sous une forme q u i l u i permet une intégration approchée. O n a, au millième près sans doute : 1 _ 1 I^A _ 5 V 2 ao
1 = « 0 - g/2 H •
U n désaccord n ' i m p l i q u e r a i t donc pas que la l o i de densité soit inexacte ; il i m p l i q u e r a i t que l'équilibre hydrostatique n'est pas réalisé. 1.4.—L'aplatissement hydrostatique. — L a question est généralement présentée en sens inverse : E n tenant compte des termes d u 2" ordre en α et d'une l o i de densité approchée (intervenant dans des termes correctifs), B u l l a r d (1948) obtient : = 1/297,34 p o u r l'aplatissement d ' u n globe fluide ayant même H que la Terre (corrigé en \ 1291,29 ± 0,05 par K h a n en 1969). O n a donc : a i > ao (ao valeur internationale obtenue p a r l a f o r m u l e d'aplatissement avec J2 déduit des satellites), et l'équilibre ne semble pas réalisé. M a i s la question est complexe : E n utilisant (avec des termes correctifs) la f o r m u l e approchée de R a d a u sous la forme : 3 2 H
^
^ J_ 2 2 Ma^
/ 5 ^ " " ,
5 V 2 ao
c o m m e l'a fait H e n r i k s e n dès 1959, o n obtient, p o u r l'aplatissement «2 d ' u n globe fluide ayant même CjMa^ que la Terre, a.2 = 1/299,75 ± 0,05 (Jeffreys en 1964 ; K h a n en 1969) et cette fois : < ao. 0.2, « aplatissement hydrostatique », est plus intéressant que a , car C, M et a sont moins susceptibles que H d'avoir varié d'une f r a c t i o n i m p o r t a n t e de leur valeur a u cours de l'évolution terrestre ; a j peut d o n c nous renseigner sur cette évolution.
578
;
MODÈLES
DE L'INTÉRIEUR
DE LA
TERRE
L'écart r e l a t i f (a^ — oc2)/c(o — '^^l<^- ~ 1/200 c o n d u i t à u n écart ÔR 2 „ . o = - ï aPzisin L)
-
de l ' o r d r e de 1 0 " , donc ôR de quelques dizaines de mètres au m a x i m u m , o u à une anomalie gravimétrique Sgde l'ordre de 2 ^d/î//î correspondant à 10 o u 20 mgal. Cet écart entre la Terre réelle et une Terre fluide est significatif parce que zonal et n o n local. I l a été attribué à une résistance permanente de la matière (la cission p o u r r a i t atteindre une centaine de k b ) , à un courant convectif à symétrie axiale, et surtout au ralentissement de la r o t a t i o n terrestre par le frottement des marées ( M u n k et M a c D o n a l d en 1960, v o i r Chap. 19). Si le manteau était élastico-visqueux, avec la décélération actuellement observée, «2 correspondrait à la figure d'équilibre i l y a 10^ ans ; la viscosité moyenne d u manteau serait de 10^" poises (unité C G S ) o u 10'^ poiseuilles (unité SI). La viscosité d u manteau supérieur déduite de la réaction isostatique des régions chargées de sédiments et des régions déchargées par l'érosion au départ des glaciers (Fennoscandie, Canada) o u simplement de la baisse du niveau d'eau (Lac Bonneville, U t a h ) est de l'ordre de 1 0 " o u 10^^ poises (Chap. 17). O n a beaucoup comparé ces valeurs à la précédente. Malheureuse ment p o u r les déductions faites, le calcul de M u n k et M a c D o n a l d suppose implicitement que le pôle s'est peu déplacé. O r la r o t a t i o n serait instable pour un G l o b e fluide, o u p o u r un G l o b e à symétrie sphérique. En fait, G o l d r e i c h et T o o m r e (1969) o n t remarqué que le terme p r i n c i p a l zonal dans le dévelop pement h a r m o n i q u e d u potentiel n'est plus, après suppression de l'aplatisse ment hydrostatique, que très faiblement prépondérant sur les termes tessé raux (Chap. 19). E n l'absence de r o t a t i o n les moments d'inertie p r i n c i p a u x de la Terre seraient donc peu différents. Dans ces conditions l'axe de r o t a t i o n est susceptible de se déplacer rapidement (Chap. 19) sous l'influence des cou rants aériens ou océaniques et des modifications dans les masses (déplacements tectoniques, fonte des glaces polaires, etc.) p o u r se rapprocher de l'axe princi pal d'inertie.
2. — L A DENSITÉ
DÉDUITE
DES O N D E S
DE V O L U M E
2.1. — Critère de Bullen. Condition d'Adams et Williamson. — L ' i n t r o d u c t i o n des données sismiques a ouvert une nouvelle période dans la recherche des densités. Les vitesses V eX W étaient obtenues par la méthode d ' H e r g l o t z Wiechert. Après a v o i r o b t e n u p(r) o n peut vérifier (Ben M e n a h e m et W e i n stein, 1970) que le couplage entre ondes P S i n t r o d u i t par les variations avec la profondeur est négligeable. Les déterminations modernes d o n t les premières (1936) sont dues à Bullen, se bornent à l ' a p p r o x i m a t i o n sphérique mais u t i -
LA
DENSITÉ
DÉDUITE
DES
ONDES
DE
VOLUME
579
lisent des i n f o r m a t i o n s supplémentaires, d o n t les principales jusqu'à une époque récente étaient les suivantes : a) O n m o n t r e aisément que le moment d'inertie I(r) est : /('-) =
f
de la sphère de rayon r
Pir) /·* d r = z(r) M ( r ) .
Si la densité était constante, o n aurait z(r) = 2/5. U n e valeur supérieure i m p l i querait u n transfert de masses vers la périphérie, donc une instabilité. Si o n exclut cette éventualité, on d o i t avoir quel que soit r : z(r)
< 0,40 .
Ce « critère de Bullen » devient peu contraignant lorsque r/r^ devient faible. b) Dans toute couche que l ' o n a des raisons de supposer c h i m i q u e m e n t homogène la densité augmente par compression. Des vitesses sismiques V(r) et W(r) on déduit :
p
3
étant l'incompressibilité adiabatique (à entropie 5 constante).
Si o n peut confondre la v a r i a t i o n adiabatique de p avec sa v a r i a t i o n dans la Terre o n aura : dp/p dr = g/φ, équation intégrodifférentielle en p(r). U n e intégration numérique donnera p, puis g, p, a, dans la couche à p a r t i r de valeurs frontières. C'est le procédé d ' A d a m s et W i l l i a m s o n , q u i remonte à 1923. I l suppose que le gradient de température interne n'est pas t r o p différent d u gradient adiabatique, ce qu'en fait o n ignore.
I
2.2. — Equations de Birch-Murnaghan. — Dans le même ordre d'idées, Birch (1952) a utilisé la théorie des déformations élastiques finies ( L . B r i l l o u i n , F. D . M u r n a g h a n , v o i r Thomsen au T o m e I I ) . D o n n o n s simplement une idée d u raisonnement. Ignorons l'effet de la température et supposons que l'état de la matière à grande p r o f o n d e u r soit tel que si o n supprime la pression hydrostatique p à laquelle elle est soumise, o n revienne par une déformation élastique et isotrope, mais finie, à u n état naturel sans contraintes auquel correspondra l'indice zéro ( B i r c h sup posait la déformation isotherme, mais le raisonnement reste valable p o u r une déformation adiabatique avec les paramètres appropriés).
580
MODÈLES
DE L'INTÉRIEUR
DE LA
TERRE
P o u r une déformation finie o n définit l'extension d ' u n élément às par : / = (dio -
dj^)/2 d.y^ et n o n p a r e = {às^ -
às)làs c o m m e dans le cas
habituel. Puisque f = β + \ e'^, les deux définitions coïncident a u pre mier ordre. Si v est le v o l u m e spécifique (22 d u 4 . 1 . 4 ) : pIPo
= vo/v = àsllàs'
= (1 + 2fY"
.
(3)
Si o n admet alors l'existence d'une densité d'énergie potentielle élastique u, on a dw = — p dt> a u cours de la décompression, u est une f o n c t i o n de / q u ' o n peut développer en série limitée : u = u^f + Uif^ + •··. O n en déduit :
I
_
I
^ "
_ ^
du/d/
dt; ~
àv/df '
I
OÙ
| = U i + 2 « , /
+ - ,
P o u r / = 0, /7 = 0 donc
-3voii+2f)-^'\
^ =
est n u l . O n peut ensuite calculer l'incompres
sibilité : :
dp
àplàf
\
àv
àv/àf
P o u r / = 0, K = KQ = 2 «2/9 Vo, d'où Wj-
I
O n t r o u v e ainsi : P = 3KO/(1 +2/)=/^
I
1
i^lP = (1 + 7 / ) / 3 /
:
.
(4)
dK-/dp = (12 + 49/)/3(1 + 7 / ) j I
Ces équations, où KQ est le seul paramètre ajustable, conviennent à de n o m b r e u x corps j u s q u ' à / très élevé. Des équations de ce genre, o u même des relations p u r e m e n t empiriques ( d ' a u t a n t plus précises qu'elles c o n t i e n nent plus de paramètres et q u ' o n les applique à u n ensemble de matériaux plus limité) et des équations d'état (faisant intervenir en o u t r e la tempé rature) o n t été proposées en g r a n d n o m b r e ( v o i r T o m e I I ) et employées dans certaines déterminations récentes de la densité ( W a n g , 1970). Jobert a essayé de les utiliser p o u r s'affranchir de l'hypothèse hydrosta-
;
tique. 2.3.
— Relations
empiriques.
— D o n n o n s seulement c o m m e exemples de
relations empiriques utilisables la simple corrélation entre l a vitesse V des ondes P et la densité p : D a n s les silicates sous haute pression q u i constituent
LA
DENSITÉ
DÉDUITE
DES
ONDES
DE
VOLUME
581
sans d o u t e le manteau terrestre, les atomes d'oxygène occupent le plus g r a n d v o l u m e ; densité, compressibilité isotherme, vitesses sismiques, doivent donc être corrélées avec leur réseau. O n tient compte, plus o u moins bien, de l'ensemble des atomes l o u r d s en i n t r o d u i s a n t une masse a t o m i q u e moyenne M : p o u r un composé défini o n p r e n d p o u r M
la masse molaire divisée par le n o m b r e
d'atomes dans la molécule ; p o u r une roche, o n p r e n d p o u r 1/M la moyenne pondérée des inverses des masses correspondant aux divers oxydes d o n t on peut supposer cette roche constituée. Les roches ignées courantes, corres p o n d a n t k 20 < M < 22, o n t f o u r n i à B i r c h en 1961 la relation linéaire : y (km/s) = 3,31 p (g/cm^) -
2,55 .
A u x valeurs plus grandes de M (roches riches en fer) correspondent des vitesses plus faibles. I l semble qu'une relation linéaire liant p a U, « vitesse hydrodynamique » définie par 4 yi = V2— - W2 = φ, soit préférable. O n voit en effet sur quelques exemples de W a n g (1970) que la substitution de i / à K divise par u n facteur (négatif) supérieur à 3 en valeur absolue l'écart relatif , l{tVlq>)j,
—
(tVlcp)r\
~ \(cV]-op)j, -^:\-ΰνΐΪ·ρ)τ) entre les taux de variation avec la température d'une part, avec la pression d'autre part, et diminue ainsi les erreurs à craindre d u fait de l'ignorance des conditions de température. Pour une masse atomique voisine de 21 on a : dU/àp = 2,36 k m . s " ' / g . c m - 3 .
Les relations de ce genre, souvent employées dans le manteau supérieur, ne supposent pas son homogénéité mais seulement une certaine constance de la masse a t o m i q u e
moyenne.
2.4. — Hétérogénéité du manteau supérieur. — En faisant toujours les h y p o thèses d ' A d a m s et W i l l i a m s o n , le lecteur établira que : dfCj.
dp
J
~
1
άφ
g
dr
peut être déduit de V et W, malheureusement par des dérivations peu précises. En c o m p a r a n t aux formules (4), Birch a trouvé en 1952 que le manteau ne p o u v a i t pas être homogène, au moins jusqu'à 900 k m . Des méthodes plus sûres o n t confirmé ce résultat. L'hétérogénéité peut d'ailleurs résulter de transfor mations p o l y m o r p h i q u e s sans que la c o m p o s i t i o n globale change nécessaire ment. A n d e r s o n et al. (1971), en utilisant des équations analogues à (3) et (4) mais concernant aussi μ et c o m p o r t a n t un développement plus poussé, m o n t r e n t
582
MODÈLES
DE L'INTÉRIEUR
DE LA
TERRE
que p a r contre le manteau inférieur se comporte en gros comme s'il était homogène. 3. — M O D È L E S
RÉCENTS
3.1. — Emploi des ondes longues et des oscillations propres. — S'il existe des couches à m o i n d r e vitesse, V(r), W(r) ne peuvent être déterminés par l'obser v a t i o n des ondes de volume. A u contraire, les vitesses de p r o p a g a t i o n des ondes de Love o u de Rayleigh (Chap. 8) et les périodes propres ,„5„ et „,T„ des oscil lations sphéroïdales et des oscillations de t o r s i o n p o u r une sphère n o n tour nante (m n o m b r e de sphères nodales) dépendent des valeurs de V(r), W(r), p(r) à toute p r o f o n d e u r et renseignent sur ces couches à m o i n d r e vitesse. L ' i n t r o d u c t i o n des périodes propres vers 1965 (Pekeris en 1966) a changé le problème des densités en u n problème de détermination simultanée des trois fonctions V, W, p. O n p o u r r a i t d'ailleurs en ajouter d'autres en partant de données encore moins élaborées, mais o n est arrêté par le v o l u m e des calculs nécessaires. Même si les données possédées étaient théoriquement suffisantes pour définir une s o l u t i o n unique, ce q u i n'est pas, les erreurs que c o m p o r t e n t ces données ne permettraient de définir avec précision que des moyennes prises sur des profondeurs convenables (Chap. 20). A u t r e m e n t d i t o n d o i t rechercher des courbes lissées. L a présence de discontinuités dans les solutions semble contredire cette a f f i r m a t i o n . M a i s leur existence résulte t o u j o u r s d'une hypo thèse, et leur place reste difficile à définir. Par exemple Bullen et H a d d o n (1967) considèrent comme établie par leurs calculs une réduction dans la pro fondeur d u n o y a u , q u i passerait de 2 900 k m à 2 880 k m e n v i r o n . D e r r (1969) q u i a étudié l'influence des erreurs correspondant aux diverses périodes propres, trouve qu'en changeant de 5 k m la p r o f o n d e u r d u noyau o n modifie en effet, de façon appréciable, les périodes de à QS(,. M a i s le reste du modèle devrait alors être défini par les autres périodes, et finalement D e r r emprunte sa valeur 2 894 k m à une étude de Taggerl et Engdahl sur l'onde PcP. Les méthodes de résolution d u problème sont en général de deux sortes : tâtonnements systématiques à partir d'une s o l u t i o n approchée ; méthode de M o n t e C a r l o . Dans les deux cas o n astreint les solutions cherchées à des « contraintes » plausibles empruntées en général aux c o n d i t i o n s que nous avons énumérées. Les paramètres inconnus, en particulier le n o m b r e de couches diffèrent suivant les auteurs. 3.2. — Modèles de Bullen et Haddon. — Comme exemple des premières méthodes, donnons d'abord ( F i g . I ) deux modèles Bx et Bi de B u l l e n et H a d d o n (1967). Si ,„5„ et „ Γ „ représentent les périodes des oscillations sphéroïdales et des oscillations de torsion pour une sphère non tournante, m étant le nombre de sphères nodales, Bullen et H a d d o n utilisent les oscillations fondamentales (m - 0) q u i sont les mieux déterminées, pour des valeurs de n correspondant respectivement à 0 ί /7 ί 48 pour mSn et 2 ^ /î ^ 44 pour τηΤη·, et les premiers harmoniques
MODÈLES
RÉCENTS
583
F I G . 1 . — Modèles de Bullen et Haddon ( 1 9 5 7 ) . Unités en ordonnées : mégabars ( 1 0 " pascals) pour p, k, μ ; g . c m " ' pour /) ; m . s " ^ pour g.
(m = 1 o u 2 ) pour /; ^ 2 0 . Ils supposent en outre κ et àKJap continus. L'hypothèse est admissible à l'entrée d u noyau, bien qu'elle implique u n contraste de densité que les réflexions de PePsX PKP ne semblent pas confirmer (Buchbinder, 1 9 6 8 ) . Elle est contestable à l'entrée de la graine, où elle conduit à des valeurs d c / j q u i paraissent élevées si o n en juge par les expé riences sur le fer, au moyen des ondes de choc (Tome I I ) . Bi suppose que H^suit dans la graine une variation analogue à K ; au centre p -= ]5 g/cm'. Bi adopte dans la graine la l o i de W qui rend p(0) le plus petit possible (soit 1 3 g/cm^) au prix d ' u n étrange comportement de //. On remarquera que les écarts sur p influent peu sur p et g, obtenus par des intégrations. Les modèles de Bullen et H a d d o n ont été utilisés par Al'tshuler et Sharipdzhanov ( 1 9 7 1 ) pour obtenir des indications sur la composition du manteau inférieur et d u noyau terrestre, à partir des vitesses obtenues par ondes de choc.
—
3.3. Modèles de Derr. — D e r r ( 1 9 6 9 ) admet l'existence d ' u n saut de densité à l'entrée de la graine, saut pour lequel i l trouve la valeur élevée de 2 g/cm^. I l n'utilise, ni la relation linéaire de Birch, n i la condition d'Adams et Williamson (bien que son modèle y satisfasse dans le manteau au-dessous de 1 1 0 0 k m ) , n i l'hypothèse de Bullen sur la continuité de κ (même en tenant compte de l'erreur sur κ, i l semble contredire cette hypothèse à l'entrée de la graine, mais n o n à l'entrée d u noyau).
D o n n o n s (tableau I ) quelques valeurs caractéristiques d u modèle de D e r r , qui correspond à une croûte intermédiaire entre la croûte océanique (avec océan incorporé) et la croûte continentale.
584
MODÈLES
DE L'INTÉRIEUR
DE LA
TERRE
TARLEAU I i ProfomU'iir en k m
0 40 100 1 000 2 894 5 150 6 371
3.4.
V km.S"
6,00 6,75 8,05 8,12 11,44 13,67 7,99 10.28 11,18 11,27
— Modèles
1
K
P
i 1
km.s
3,50 4,50 4,70 4,35 6,39 7,15 0,00 0,00 2,18 2,18
de Press,
g . cm
1
cm s -
2,40 3,32 3,45 ' 3,43 4,59 5,51 i 9,70 ' 12,35 14,35 14.76 ;
kbars
982,37 985,31
0,0 11,1
986,78 994.7.·; 1 073,52
31,5 389,6 1 359,2
495,14
3 347,4
0,0
3 773,9
: 10 i - dyr.e.cni 0,47 0.62 1,22 1,40 3,51 6,54 6,19 13,05 17,03 17,81
0,29 0,67 C,76 0,65 1.87 2,82 0.00 0,00 0,68 0,70
— Grâce à des moyens de calculs puissants et bien
employés, Press (1970a, b) a appliqué l a méthode de M o n t e C a r l o a u problème
o
5
10
15 K m x 10*
20
25
F I G . 2. — 27 modèles satisfaisants pour la vitesse des ondes S dans le manteau. Les points où les paramètres o n t subi des variations aléatoires sont marqués sur les bornes inférieure et supérieure. D'après PRESS, 1970a.
ο
?00
10CO
1500
2000
2500
Km
F I O . .3. — Densiié ώ.ιιη le manteau (voir légende de la figure 2).
des densités. Elle consiste à fabriquer, soit directement, soit au moyen de per turbations linéarisées, mais t o u j o u r s de façon quasi aléatoire, u n g r a n d n o m b r e de modèles où V{r), W{r), pir) sont choisis dans des limites raisonnables. O n confronte ensuite les modèles avec les données existantes, et o n garde ceux q u i conduisent à des écarts acceptables. Dans Press (1970a) la croûte et le manteau supérieur sont de type océanique ; la p r o f o n d e u r d u noyau est choisie au hasard entre 2 873 et 2 923 k m ; le gra dient de température dans le n o y a u fluide est supposé adiabatique, la graine sans rigidité. Les limites de V, IV, p s'inspirent des d i s t r i b u t i o n s calculées en 1969 par Johnson d'une part, par F a i r b o r n de l'autre, q u i dépendent direc tement des enregistrements obtenus par les grandes nappes américaines de sismographes, L A S A et T o n t o Forest (Chap. 9 et 11). Les modèles, définis par des lois de vitesses et de densité dans 88 couches successives, subissent des épreuves p o r t a n t d ' a b o r d sur les durées de propagation de P et P c P d'après H e r r i n et al. (Chap. 11) et sur les périodes propres „,S„ ( p o u r m = 0 et « = 0, 2 à 22 ; p o u r m = I et = 2, 3, 5, 6, 8, 12 ; p o u r w = 2 et « = 4, 6, 10), ,„T„ ( p o u r m = 0 et « = 3 à 21). Press utilise en outre les vitesses de phase des
586
MODÈLES
F I G . 5. —
DE L'INTÉRIEUR
DE
LA
TERRE
Densités dans le manteau supérieur et modèles de Clark pour la pyrolite et l'éelogite. D'après PRESS, 1970ύ.
et
Ringwood
2
MODÈLES
RÉCENTS
3
4
587
5
6
Densité (g crrï-^) F I G . 6 . — Vitesse hydrodynamique posées à une grille de poids atomiques varier la proportion
de Fayalite
et densité dans le manteau
supérieur, super
moyens m, obtenus en 1 9 7 1 par Chung en faisant
et de Forstérite dans l'olivine.
D'après FORSYTH et
PRESS, 1 9 7 1 .
ondes superficielles p o u r des trajets océaniques dans les intervalles 125 à 135 s p o u r les ondes de Rayleigh, 80 à 340 s p o u r les ondes de L o v e . Là où les modèles ayant réussi sont tous voisins les uns des autres, o n peut en déduire des conclusions certaines ; mais si une courbe ayant réussi reste isolée, elle peut en principe représenter la « réalité » aussi bien que les autres
588
MODÈLES
DE L'INTÉRIEUR
DE LA
TERRE
( d o n t le groupement en faisceau p o u r r a i t être dû à une insensibilité des résul tats vis-à-vis de la v a r i a t i o n d ' u n paramètre dans u n domaine particulier). P o u r parer à cette objection, Press fait u n essai préliminaire dans lequel i l assujettit seulement V, W, p k ne pas dépasser les limites jugées raisonnables, sans les astreindre à satisfaire aucune autre donnée géophysique, et i l vérifie que les courbes obtenues remplissent, assez uniformément en général, l'espace c o m p r i s entre les limites. O n s'aperçoit d'ailleurs, en même temps, que les limites choisies contraignent W à m o n t r e r la discontinuité vers 400 k m q u i résulte des valeurs de dT/dA observées a u L A S A , et le déterminent pratique ment à p a r t i r de 800 k m . Les résultats p o u r W et p dans le manteau, p o u r p dans le n o y a u , sont donnés p a r les figures 2, 3, 4, 5. L e u r nuage, repris figure 6, m o n t r e la linéarité de U(p) indiquée au paragraphe 2 . 3 . Tous les modèles ayant réussi m o n t r e n t u n m i n i m u m de W entre 150 et 250 k m . L a densité croît sous le M o h o et dépasse 3,4 g . c m " ^ entre 100 et 150 k m , généralement p o u r redescendre et passer p a r u n m i n i m u m vers 300 o u 400 k m . Ces densités élevées dépendent cependant, comme l'avait indiqué Press en 1969, d'une précision de 1 % sur les vitesses de phase des ondes super ficielles. Ce résultat, s'il est confirmé (voir § 3 . 5 ) est susceptible d'orienter beaucoup nos idées sur la c o m p o s i t i o n d u manteau (tome I I ) . L a figure 5 de Press m o n t r e en effet que l a p y r o l i t e , o u les péridotites, ne conviendraient plus p o u r représenter le manteau supérieur entre 80 et 150 k m . L'éelogite conviendrait, et aussi ( B i r c h , 1970) d'autres roches riches en fer, q u i p o u r r a i t être présent par exemple sous f o r m e de grenats. Dans le manteau inférieur, la densité croît rapidement jusque vers 700 k m . A p a r t i r de là, elle est définie à 0,2 g . c m " ^ près. Elle varie moins vite que dans l'hypothèse adiabatique, q u i correspondrait en gros à la l i m i t e inférieure choi sie ; o n serait donc dans une région instable o u proche de l'instabilité. L a p r o f o n d e u r d u n o y a u est comprise entre 2 895 et 2 908 k m . Les densités concordent entre elles à 0,25 g . c r n " ^ près dans le n o y a u extérieur, mais sont très m a l déterminées dans la graine ; le signe des résidus p a r r a p p o r t à m o n t r e q u ' o n aurait dû supposer à la graine une certaine rigidité. 3.5. — Modèles régionaux. — P o u r les ondes de L o v e et de Rayleigh dans le domaine de périodes où elles intéressent s u r t o u t le manteau, o n possède (Chap. 12) des courbes de dispersion moyennes p o u r les océans, les boucliers et les régions tectoniques. L e u r séparation est cependant u n peu floue, car les parcours entrant dans la moyenne sont nécessairement assez longs ; les « b o u cliers » par exemple correspondent à de grandes régions continentales stables. Cependant cette d i s t i n c t i o n permet de construire des modèles ayant toujours la symétrie sphérique, mais des propriétés superficielles différentes. Press (19706) emploie les données de K a n a m o r i . I l o b t i e n t t r o i s familles de modèles q u i ne se distinguent plus guère à p a r t i r de 350 k m de profondeur. L a couche à m o i n d r e vitesse océanique commence plus tôt et est plus accentuée que la couche continentale. Sous les régions tectoniques, elle n'apparaît pas
MODÈLES
RÉCENTS
589
toujours, mais elle semble en général débuter a u M o h o . Les densités moyennes p o u r la zone allant de 70 à 170 k m dépassent t o u j o u r s 3,4 g . c r n " ^ . Elles sont particulièrement élevées dans les régions tectoniques où tous les modèles (contre une partie seulement dans les deux autres cas) présentent une couche à m o i n d r e densité. D z i e w o n s k i (1971), d o n t les données diffèrent u n peu de celles de K a n a m o r i , juge i n u d l e de chercher des modèles compliqués : les données représentent seulement des moyennes, et l'inversion nécessite aussi q u ' o n fasse des moyennes (Chap. 20). D z i e w o n s k i se propose donc de réduire le plus possible le n o m b r e des valeurs de W et de p, sans p o u r autant dépasser les erreurs sur les données. 11 l u i suffit en fait d'assigner des valeurs fixes de W ei àe p a la lithosphère, à la couche à m o i n d r e vitesse et à la couche précédant la discondnuité probable à 400 k m . a) Si la couche à m o i n d r e vitesse commence à 100 k m p a r exemple, la densité est si m a l déterminée q u ' o n peut sans inconvénients la supposer constante sous la croûte. W est bien définie sous les océans et dans les régions tectoniques, m a l définie sous les boucliers où D z i e w o n s k i donne deux solutions 1 et 2. V est supposée donnée (tableau I I ) . TABLEAU I I
Océans V
1,520 6,300 8,000 7,700 8,558 9,674
Boucliers
1
Boucliers 2
p
1,030 2,840 3,395 3,395 3,395 3,797
Profondeur
W
Oà 3 3 à 10 10 à 110 120 à 190 200 à 380 400 à 620
0 3,700 4,695 3,951 4,642 5,188
Profondeur
Oà 33 à 140 à 240 à 400 à
33 130 230 380 620
W
3,700 4,597 4,576 4,576 5,240
Profondeur
Oà 33 à 140 à 240 à 400 à
33 130 230 380 620
W
3,700 4,700 4,418 4,674 5,174
Régions tectoniques Profondeur
Oà 41 à 120 à 200 à 400 à
41 110 190 380 620
W
3,700 4,415 4,139 4,827 5,106
L a couche à m o i n d r e vitesse d u modèle océanique est i c i plus accentuée encore que dans Press (19706), ce q u i favorise une interprétadon p a r fusion partielle. Dans le modèle Boucliers 1, IK est p r a t i q u e m e n t constante de 33 à 380 k m , mais la s o l u t i o n 2 semble en meilleur accord avec les vitesses ( n o n utilisées) des ondes superficielles a u x périodes de l ' o r d r e de la m i n u t e . De toute façon le manteau c o n t i n e n t a l et le manteau océanique diffèrent peu sous les couches à m o i n d r e vitesse. O n remarquera p a r contre dans les régions tecto niques les valeurs élevées de W entre 200 et 380 k m . D z i e w o n s k i y v o i t u n effet des langues de lithosphère plongeant sous les arcs (Chap. 14, et t o m e I I ) . h) Si la lithosphère océanique est moins épaisse, 70 k m p a r exemple, c o m m e le t r o u v e n t K a n a m o r i et Press (1970), i l devient nécessaire d ' i n t r o d u i r e une
MODÈLES
590
DE L'INTÉRIEUR
DE LA
TERRE
couche à m o i n d r e densité dans les premiers 400 k m . O n r e t r o u v e a l o r s
des
valeurs de l a densité élevées dans l a lithosphère ( 3 , 6 8 g . c m " ^ ) e t faibles ensuite (3,20 g . c m " ^ ) , c o m m e dans les modèles de Press (avec toutefois une différence, c'est que D z i e w o n s k i
impose assez raisonnablement
une coïncidence entre la
couche à m o i n d r e vitesse et la couche à m o i n d r e densité). 3.6. — Modèles de Dziewonski et Gilbert. — Les eflbrts portent aujourd'hui sur une meilleure détermination des densités centrales grâce à l'observation d'harmoniques supérieurs à facteur de qualité élevé, au cours de très grands séismes (Alaska, 28 mars 1964) o u de séismes profonds (Colombie, 31 j u i l l e t 1970). Le travail récent de Dziewonski et Gilbert (1972) conduit à deux modèles peu différents, tous deux avec une graine solide, que semblent imposer les données nouvelles. Indiquons (tableau I I I ) quelques valeurs caractéristiques du modèle A. TABLEAU 111
h
Oà 10 lOà 110 120 à 190 200 à 380 400 à 650 670 à 1 000 2 889 2 889 5 150 5 150 6 371
V
w
P
4,86 7,92 7,92 8,72 9,54 11,23 13,69 8,24 10,16 11,09 11,09
2,59 4,65 4,14 4,60 5,17 6,28 7,27 0,0 0,00 3,53 3,53
2,2 3.42 3,42 3,42 3,83 4,55 5,44 9,94 12,29 13,21 13,49
4. — A U T R E S
1
1
PARAMÈTRES
4.1.—L'aplatissement interne. — Connaissant la densité o n peut intégrer l'équation différentielle de Clairaut et obtenir raplatisscmcnt a(r) des surfaces de niveau sur la Terre « hydrostatique ». E n 1948, B u l l a r d , partant d u modèle p r i m i t i f de Bullen, trouvait que α décroissait de 0,03 à 0,02 environ de la surface à l'entrée de la graine. Conservant les termes en a- et qa, i l obtenait en outre l'écart à une forme ellipsoïdale. Le calcul ne semble pas avoir été refait. La connaissance de « ( r ) permet de corriger les données sismologiques, mais pour cela la théorie approchée de Radau semble sufTisante, comme l'a montré D a h l e n (1969) p o u r les vibrations propres ; avec les notations des paragraphes 1.3 et 2 . 1 :
"W = ï ( ' - ^ w ) ' - i > a(fo) = 5 i//2(/;(/-„) + 2) et 3!(r)
= α(ί-ο) exp
MODÈLES
RÉCENTS
591
4.2. — Les nombres de Love. — A partir d ' u n modèle de densité et d'élasticité, i l est possible de calculer exactement les nombres de Love (Chap. 18) q u i définissent une déformation statique harmonique d'ordre deux, d u moins si l ' o n admet (Longman, 1966) que la variation de densité dans le noyau liquide correspond à une compression adiabatique (condition d'Adams et Williamson). Les résultats obtenus par D e r r (1969) sont : h = 0,615 ; k = 0,303 ; / = 0,086. (Jobert a montré que, sous des condi tions très générales : k/h ζ 0,504.) 4.3. — La température dans la Terre. — Si l ' o n ne s'est pas servi d u procédé d'Adams et Williamson pour déterminer la densité, o n peut comme l ' a fait Verreault (1966) en tirer des renseignements sur la variation de température dans une couche homogène, dont l'état dépend des deux variables indépendantes Γ et p. Le changement de densité avec la distance au centre est donné (Birch, 1952) par : dp ^ /ίρ\ dr [dplrdr
dp
ldp\ d r ^ [dTjpdr
_ κτ
dr dr '
où KT est le module d'incompressibilité isotherme : ; , — - et a est le coefficient de ((ρΐύρ)τ dilatation thermique en volume : —^'î'^I'^Th. O n passe de l'incompressibilité iso therme à l'incompressibilité adiabatique par la formule classique : L
= J
Ks
KT
+
'^^ •
pc '
C est la chaleur spécifique à pression constante. K.slp = φ étant connu, o n a donc :
p dr
φ
V dr
C /
Pour que la méthode d'Adams et Williamson soit correcte, — a T g j C doit être le gradient adiabatique (dr/dr),v ; o n le vérifie immédiatement à partir de la formule de thermodynamique : d Q = C d r —αΤρ dp q u i exprime la chaleur échangée dans une transformation réversible. O n remarquera d'abord que dp/dr peut devenir positif si la température croît avec la profondeur beaucoup plus vite que l'adiabatique. Nous avons rencontré de tels cas, évidemment instables, dans certaines distributions de densité, en liaison notamment avec la couche à moindre vitesse. L'équation (5) fournirait une équation diiTérentielle en T si o n connaissait a(r) et C(r). Verreault applique la méthode à la « couche D » de Bullen (984 à 2 898 k m ) , qui pourrait être chimiquement homogène (mélange d'oxydes), dans laquelle la tem pérature caractéristique de Debye est largement dépassée et où o n peut donc prendre la limite classique C = 3 R, /î étant la constante de Boltzmann ( Λ = 8,31 joules/^K.mole). L a masse atomique moyenne déterminée par les relations empiriques de Birch ( § 2 . 4 ) est 21,1, d'où Verreault tire : C = 1 180 joules/kg."K. I l est beaucoup plus difficile d'estimer a, o u encore, ce q u i est équivalent, le paramètre de Griineisen aφjC. Nous n'y insisterons pas. L a méthode n'a quelque intérêt que parce q u ' o n a peu d'indications sur les températures profondes (voir tome I I ) .
4.4. — L'inélasticité de la Terre. — N o s connaissances sur l'atténuation des ondes et des v i b r a t i o n s propres ne fournissent pas encore de modèles satisfai-
592
MODÈLES
DE
L'INTÉRIEUR
DE
LA
TERRE
sants p o u r les facteurs de qualité Qp et Qg aux diverses profondeurs (Chap. 11 et 12). Les essais récents (Jackson, 1971) f o n t seulement douter de leur indépen dance vis-à-vis de la fréquence.
BIBLIOGRAPHIE
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CHAPITRE
22
GÉNÉRALITÉS SUR L A PROSPECTION GÉOPHYSIQUE par Robert N E U M A N N
1 . — LES O B J E C T I F S D E L A P R O S P E C T I O N
GÉOPHYSIQUE
L e sous-sol contient des substances utiles (pétrole, minerais, eaux souter raines) ; de plus, sa composition c o n d i t i o n n e certains t r a v a u x d ' u r b a n i s m e o u de génie c i v i l . L'étude d u contenu d u sous-sol présente donc u n intérêt écono mique évident. Cette étude constitue une branche particulière de la géologie, q u i p o r t e le n o m de géologie appliquée. O r , les objectifs de la prospection géophy sique, o u géophysique appliquée, sont exactement les mêmes ; elle s'applique à des problèmes q u i s'énoncent, et doivent être résolus, en termes géologiques. L ' o b j e c t i f p o u r r a être de rechercher directement les substances économique ment intéressantes : o n s'appliquera alors à mettre en évidence l'effet sur les résultats obtenus de certaines propriétés physiques caractéristiques de ces substances (l'exemple le plus simple est f o u r n i , en prospection minière, p a r les propriétés magnétiques des p r i n c i p a u x minerais de fer). M a i s o n p o u r r a égale ment cliercher à faire ressortir les conditions géologiques favorables à la présence de telle o u telle substance, n'exerçant p a r elle-même a u c u n effet perceptible sur les mesures géophysiques. I l s'agit alors de prospection structurale, ou indirecte, d o n t l'exemple le plus classique est celui de l a recherche de pétrole.
2. — LES M É T H O D E S
L a partie supérieure de l'écorce terrestre est caractérisée p a r son hétérogé néité, q u i se t r a d u i t p a r des variations dans les propriétés physiques des roches. O r , ces propriétés c o n d i t i o n n e n t , p o u r une p a r t plus o u m o i n s i m p o r t a n t e , l a valeur, mesurée à l a surface même d u sol, de certains champs physiques, q u ' i l s soient naturels o u créés p a r l ' h o m m e . L e prospecteur géophysicien va d o n c s'attacher à mesurer sur le t e r r a i n — o u en son voisinage immédiat dans le cas
594
GÉNÉRALITÉS
SUR
LA
PROSPECTION
GÉOPHYSIQUE
de la prospection aérienne — u n c h a m p physique, p o u r en repérer les anomalies. Son rôle sera double : 1° Réaliser des mesures, à p a r t i r desquelles i l s'agira de mettre en évidence les anomalies significatives : c'est là u n travail de physicien. 2o Interpréter ces mesures, c'est-à-dire essayer de remonter de l'effet à la cause, ce q u i constitue à la fois u n t r a v a i l de mathématicien et de géologue. Le prospecteur dispose fondamentalement de quatre groupes de méthodes : a) Les méthodes gravimétriques, reposant sur la mise en évidence des ano malies de la pesanteur ( o u de ses dérivées), provoquées par l'inégale répartition des densités dans le sous-sol. b) Les méthodes magnétiques, q u i s'adressent à Vaimantation des roches ou de certains minerais, laquelle i n t r o d u i t des anomalies du champ magnétique terrestre. c) Les méthodes électriques, essentiellement fondées sur l'inégale répartition en p r o f o n d e u r des résistivités, q u i c o n d i t i o n n e l'allure des phénomènes élec triques mesurés en surface. d) Les méthodes sismiques, q u i f o n t appel aux vitesses de propagation des ondes élastiques dans les différentes f o r m a t i o n s d u sous-sol. Ces ondes, q u i se sont réfléchies et réfractées sur la surface de séparation entre m i l i e u x de vitesses différentes, o n t p a r c o u r u des trajets que le prospecteur s'efforce de reconstituer à p a r t i r des i n f o r m a t i o n s rassemblées sur les sismogrammes. D'autres méthodes, d o n t l ' i m p o r t a n c e économique est actuellement assez réduite, méritent d'être citées : la radio-activité (le c o m p t e u r de Geiger est u n instrument de prospection géophysique...), les mesures géothermiques, géochi miques, géomicrobiologiques. Ces dernières méthodes sont caractérisées par de grandes difficultés d'interprétation. 11 convient également d'évoquer ici u n aspect particulier de la prospection géophysique, q u i concerne Yexploration verticale, réalisée à la faveur de forages mécaniques. O n sait t o u t le p r o f i t que le géologue peut tirer de l'analyse des carottes prélevées dans le sous-sol au f u r et à mesure que s'enfoncent de tels forages. De même, le prospecteur peut réaliser des carottages géophysiques, en plaçant ses instruments de mesure à l'intérieur des t r o u s de sonde. Théorique ment, toutes les méthodes précédentes seraient applicables à ce genre d'explo r a t i o n ; en pratique, o n utilise surtout l'électricité, la radio-activité et la sismique. Cette e x p l o r a t i o n verticale constitue le meilleur m o y e n d'étalonner les mesures faites en surface, puisqu'elle permet d'accéder à certaines caractéris tiques physiques des roches en place, par des mesures directes o u indirectes. Les diagraphies de résistivités ou de vitesses sont utilisées en prospection élec trique o u sismique, et certaines diagraphies de radio-activité provoquée permet tent d'établir des diagrammes de densité utilisables en prospection gravimé trique.
ASPECT 3. — C H A M P S
TRADITIONNEL
595
D ' A P P L I C A T I O N D E S DIFFÉRENTES M É T H O D E S ; ASPECT T R A D I T I O N N E L
Les méthodes géophysiques fondamentales peuvent être classées en deux catégories, suivant que la prospection sur le terrain consiste à effectuer seulement des mesures, o u à réaliser de véritables expériences de physique. A la première catégorie appartiennent évidemment la gravimétrie et le magnétisme, méthodes reposant sur la mesure d ' u n champ physique naturel. c'est-à-dire existant indépendamment de l'expérimentateur. Par contre, les méthodes élec triques et sismiques exigent en prospection industrielle la création du champ à mesurer, ce q u i implique la mise en place sur le terrain d ' u n véritable dispositif expérimental. Cette distinction ne doit pas cependant faire oublier que la prospection électrique, sous certaines de ses formes, s'adresse à des champs naturels (*) : i l s'agit d'une part des mesures de polarisation spontanée, phénomène électrique que l ' o n observe en particulier à l'aplomb de certains gîtes minéraux, d'autre part de la prospection tellurique, q u i repose sur la mesure du champ électrique terrestre. Plus récemment, o n a v u naître la prospection magnéto-tellurique, qui comme son n o m l'indique, consiste en des mesures simultanées des champs magné tique et électrique. A ces exceptions près, la distinction précédente subsiste ; elle permet de définir, au moins grossièrement, les possibilités et les domaines d'application des différentes méthodes. Les résultats gravimétriques et magnétiques auront des propriétés intégrantes, en ce sens que le champ mesuré sera nécessairement affecté par u n grand nombre de contrastes de densité ou d'aimantation, de profondeurs très différentes. E n conséquence, les renseignements utiles, c'est-à-dire les anomalies répondant au problème spécifique posé à l'exploration géo physique, se trouveront noyés dans une masse d'informations sans intérêt. A l'opposé, les méthodes faisant appel à des champs créés permettent au géophysicien de rester maître, dans une large mesure, de la profondeur d'investigation, q u i dépend évidemment des carac téristiques géométriques et physiques d u dispositif expérimental implanté sur le terrain : en électricité la longueur des lignes d'envoi de courant, en sismique la distance entre sismo graphes et point d'explosion, l'importance de la charge, etc. T o u t naturellement, les méthodes d u premier groupe sont considérées comme des métho des de reconnaissance générale o u , si l ' o n veut, de dégrossissage, celles du second groupe étant par excellence réservées aux études de détails. Si l ' o n envisage par exemple l'exploration d ' i m bassin sédimentaire à des fins pétrolières, la mise en œuvre des méthodes de prospection géophysique devrait s'effectuer dans l'ordre suivant : aéromagnétisme et gravimétrie, puis sismique. Bien entendu, l'application des méthodes de reconnaissance s'effectue dans le même temps que les relevés topographiques et géologiques, de sorte que la confrontation de CCS divers résultats permet de se faire une première idée de la structure d u bassin sédimen taire prospecté. A ce stade, les « anomalies » présentes sur les cartes magnétiques et gravi métriques sont difficilement interprétables, faute d'une connaissance suflisante des paramètres caractérisant les formations géologiques profondes. 11 appartient ensuite à des méthodes de détail, la sismique surtout, l'électricité plus rarement, d'en préciser la signification, éventuelle ment l'intérêt pétrolier. Le rôle d u magnétisme et de la gravimétrie est ici davantage de poser des problèmes que d'en résoudre. Pourquoi dans ces conditions ne pas renoncer aux méthodes de reconnaissance ? I c i interviennent des facteurs économiques. I l est bien évident que la réalisation sur le terrain d'expériences de physique répétées, exigeant la mise en action d ' u n matériel considérable et par conséquent, d'une main-d'œuvre abondante, est nettement plus coûteuse que l'exécution de simples mesures. De sorte que l'intérêt des méthodes de reconnais sance consiste essentiellement à réduire le domaine d'application des méthodes de détail, qui n'ont plus à intervenir que sur une fraction de la surface prospectée, celle qui concerne justement les « anomalies » dont nous avons parié.
(*) Notons que, jusqu'à présent, l'étude des ondes élastiques engendrées par les séismes naturels n'a pas reçu de véritables applications industrielles.
596
GÉNÉRALITÉS
SUR
LA
PROSPECTION
GÉOPHYSIQUE
E n matière d'exploration pétrolière, l'aboutissement de toutes ces démarches successives est l ' i m p l a n t a t i o n d ' u n o u plusieurs forages mécaniques, dont l'exécution fort coûteuse représente la part la plus importante d u budget consacré à l'exploration. Le rôle des pros pections géologique et géophysique est de réduire autant que possible la p r o p o r t i o n de forages improductifs. 4. — Q U E L Q U E S A S P E C T S A C T U E L S D E L A P R O S P E C T I O N
GÉOPHYSIQUE
I l s'en faut de beaucoup, cependant, que cette division des méthodes géophysiques limite leur emploi, pour les unes à la reconnaissance, p o u r les autres aux études détaillées. I l arrivera qu'à leur tour, les résultats magnétiques et gravimétriques puissent éclairer les données sismiques, dans la mesure où celles-ci laisseraient encore subsister quelques incertitudes, cet appui des méthodes de reconnaissance pouvant aller jusqu'à l'exécution d'études complé mentaires, méritant cette fois le qualificatif de « détaillées » . O n doit d'ailleurs rappeler que, depuis longtemps, les méthodes magnétiques (terrestres) constituent u n outil de choix en prospection minière, en particulier pour la recherche des gisements ferrifères ; or, ce type de prospection nécessite sur le terrain une grande densité de stations de mesures. I l existe également des problèmes spécifiques d'exploration pétrolière q u i peuvent être résolus sans faire appel aux méthodes sismiques, o u en ne leur demandant qu'une confirma t i o n . L'exemple le plus frappant concerne la recherche des dômes de sel, q u i constituent sou vent des « structures pétrolifères » de choix. D e tels dômes sont particulièrement abondants le long de la G u l f Coast, au Texas et en Louisiane, et beaucoup d'entre eux o n t été découverts par prospection gravimétrique, utilisée seule. Les dimensions des anomalies provoquées par de telles structures sont sufiîsamment réduites p o u r exiger des mesures assez denses (plusieurs stations par kilomètre carré) et l ' o n ne peut plus parler seulement de « reconnaissance » gravimétrique. Beaucoup plus récemment, grâce en particulier à des améliorations apportées aux instru ments de mesure, les méthodes magnétique et gravimétrique ont v u leur champ d'application s'étendre à des études nouvelles, relevant de la prospection de très fin détail. C'est ainsi que l'emploi des magnétomètres modernes s'étend aujourd'hui au domaine des recherches archéo logiques, auquel commence également à s'appliquer la gravimétrie. Cette dernière méthode, en tous cas, est de plus en plus largement utilisée pour la détection de cavités, naturelles o u artificielles. Dans ce type de prospection, les stations de mesure peuvent être placées tous les cinq mètres, parfois moins... A l'opposé, o n constate depuis quelques années que les méthodes sismiques sont de plus en plus utilisées à des fins de reconnaissance. I l y a à cette évolution des raisons techniques, liées aux conditions géologiques, et aussi, bien entendu, des raisons économiques. Lorsque, vers 1950, débutèrent les prospections au Sahara, i l devint vite évident que le contexte géolo gique se prêtait assez m a l à l'emploi intensif de la méthode gravimétrique. I l apparut même que la meilleure façon de procéder en reconnaissance était de faire appel à la sismique-réfrac tion, méthode q u i avait connu environ dix ans de prospérité à partir de 1924, mais avait ensuite été abandonnée (à tort) au profit de la sismique-réflexion. C'est ainsi que fut découvert en 1954 le gisement d'Hassi-Messaoud, et d'autres après l u i . Avec le développement des prospections en mer, de nouveaux problèmes se posèrent aux géophysiciens. Les prix de revient se trouvent dans ce cas fortement grevés par le coût du mode de transport (navire et équipage) et celui d u repérage topographique (radionavigation). O n ne peut donc plus invoquer la « légèreté » de l a prospection gravimétrique, tandis que, paradoxalement, la sismique-réflexion se trouve, en mer, réellement allégée ; i l n'est plus besoin d'enterrer la charge explosive, ce q u i nécessite en prospection à terre u n important et onéreux matériel de forage ; i l n'est plus besoin d'implanter u n nouveau dispositif sismographique pour chaque mesure, l'exploration en mer devenant quasi continue (les simographes sont en effet attachés à u n câble remorqué par le bateau). Dès lors, le coût de la pros pection gravimétrique augmente beaucoup plus que celui de la prospection sismique, lorsque
L'INTERPRÉTATION
DES
RÉSULTATS
597
Ton passe d u dciriaine tcifestrc au domaine m a r i n : on utilise d'emblée, donc au stade de la reconnaissance, ia sismique-réncxion. Dans la même optique, l'avion a permis de faire entrer l'électricité dans le domaine de la prospection de reconnaissance. On assiste en effet, depuis quelques années, à une évolution de ce mode de prospection vers un emploi intensif des méthodes électromagnétiques, moins lourdes que !cs méthodes faisant appel au courant continu, et présentant l'avantage de pouvoir clïectuer des mesures en mouvement. Ces intéressantes propriétés ont conduit les géophysi ciens à réaliser des appareils de prospection électromagnétique utilisables en avion et prenant p'acc de ce fait parmi les outils de reconnaissance. 5. — L'INTERPRÉTATION
DES RÉSULTATS
L'interprétation géophysique revêt généralement deux aspects : q u a l i t a t i f et quantitatif a) Ut'nterprétatioti qualitative : la lecture d ' u n document géophysique (carte ou coupe) n'est pas aussi évidente que celle, par exemple, d ' t i n d o c u m e n t t o p o g r a p h i q u e , où se reconnaissent facileinent les collines, les vallées, les falaises, e t c . . P o u r t a n t , les courbes « isanomales » d'une carte gravimétrique ou magnétique, comme les « isochrones » d'une carte sismique, o n t bien quelque chose à v o i r avec des courbes de niveau, mais i l s'agit cette fois de niveaux profonds (au p l u r i e l ) q u i , dans le cas des méthodes de champs naturels, sont tous présents en même temps sur la carte. O r , le prospecteur s'intéresse générale ment à un seul de ces niveaux, o u à un petit n o m b r e d'entre eux, situés entre des limites de p r o f o n d e u r assez bien définies. 11 s'agit donc p o u r l u i d'essayer dlsoler les anomalies relatives à ces terrains et, si possible, de leur restituer la forme qu'elles auraient eue si elles avaient été présentes seules. C'est là u n problème de filtrage. U n aspect particulier de ce problème apparaît en magnétisme, où le dessin des anomalies ne reflète v r a i m e n t la position et la forme des « structures » responsables q u ' a u x pôles magnétiques, là où le champ mesuré est vertical. P a r t o u t ailleurs, l'effet de l'inclinaison d u c h a m p ( j o i n t à celui de la polarité) se t r a d u i t par une déformation des anomalies, d o n t le dessin est finalement sans r a p p o r t évident avec celui des structures q u i les p r o v o q u e n t . h) Vinterprétation quantitative : les résultats les plus sûrs dans ce domaine sont fournis par la méthode sismique, laquelle permet seule, sous certaines c o n d i t i o n s , de dessiner de véritables coupes d u terrain o u cartes d'isobathes. Toutefois, le degré de certitude de ces i n f o r m a t i o n s demeure f o n c t i o n de la connaissance des vitesses de p r o p a g a t i o n des ondes élastiques dans les couches géologiques successives, ce q u i suppose que cette « l o i des vitesses » a p u être définie et contrôlée à l'aide de mesures dans des forages, o u dégagée comme o n sait le faire maintenant à p a r t i r des sismogrammes eux-mêmes. Pour toutes les autres méthodes géophysiques, l'interprétation q u a n t i t a t i v e se heurte à u n obstacle redoutable, Viiulétermination fondamentale, laquelle, en électricité comme en magnétisme et en gravimétrie, résulte de la nature même du c h a m p mesuré. S'il est toujours possible, au moins théoriquement, de
598
GÉNÉRALITÉS
SUR
LA
PROSPECTION
GÉOPHYSIQUE
calculer l'anomalie créée par une structure de caractéristiques (géométriques et physiques) données, le problème inverse demeure indéterminé : à toute ano malie peut être associée une infinité de « structures » différentes. Cette fâcheuse propriété, c o m m u n e à tous les champs harmoniques, paraît réduire singuliè rement l'intérêt de l'interprétation q u a n t i t a t i v e . 11 n'en est rien, heureusement, car certains facteurs (telle la valeur d u contraste de densité en gravimétrie) per mettent le plus souvent d'isoler entre des limites relativement étroites l'ensemble des solutions géologiquement vraisemblables. D e plus, u n aspect particulière ment fructueux de l'interprétation quantitative consiste à utiliser les données rassemblées par les géologues, c'est-à-dire à calculer les anomalies correspon dant aux divers « modèles » qu'ils o n t été amenés à envisager, puis à comparer ces anomalies aux résultats expérimentaux : c'est l'interprétation « indirecte ». C o m m e p o u r l'interprétation qualitative, le prospecteur dispose dans le domaine q u a n t i t a t i f d ' u n grand n o m b r e d ' o u t i l s . Entre des mains inexpéri mentées, ces o u t i l s risquent d'être dangereux, dans la mesure où beaucoup d'entre eux paraissent lever l'indétermination fondamentale, et c o n d u i r e à une s o l u t i o n unique. C'est le cas en particulier lorsque la s o l u t i o n recherchée se présente sous la forme d'une structure d o n t les éléments géométriques (généra lement simples) sont donnés à l'avance (sphère, prismes, e t c . ) . U n e fois trouvée une solution de ce type, o n a parfois tendance à oublier que d'autres solutions seraient t o u t aussi valables... P a r m i les meilleurs outils à la disposition d u géophysicien figurent les cata logues d'abaques, grâce auxquels l'interprétateur peut trouver, toutes calculées, de très nombreuses anomalies correspondant à des « structures » de caractéris tiques géométriques variées, et par conséquent, découvrir celles d'entre elles q u i sont superposables à l'anomalie q u ' i l cherche à interpréter. L a p l u p a r t de ces catalogues sont conçus de façon à f o u r n i r , o u t r e les éléments géométriques, les valeurs des paramètres physiques (résistivités, densités, aimantations), ce q u i permet d'apprécier d u p o i n t de vue géologique la qualité des interprétations ainsi obtenues. L a tendance actuelle, en géophysique appliquée, est de faire de plus en plus appel aux techniques mathématiques de traitement de l'information, et de les faire intervenir au niveau de la mesure, c'est-à-dire avant l'interprétation pro prement dite. C'est ainsi par exemple qu'en sismique-réflexion, comme en aéromagnétisme, o n utilise presque systématiquement Venregistrement numé rique, conduisant directement au traitement des mesures en ordinateurs. De ce fait, i l est possible de faire appel aux ressources d u filtrage mathématique q u i sont beaucoup plus riches et variées que celles d u filtrage électrique. Grâce à cette forme de traitement, i l devient possible de recommencer en laboratoire, aussi souvent q u ' i l apparaît nécessaire, les expériences réalisées sur le terrain, en m o d i f i a n t chaque fois certains paramètres.
CHAPITRE
23
LES MÉTHODES D E PROSPECTION SISMIQUE par Jean
F O U R M A N N et
1. — R E M A R Q U E
Robert N E U M A N N
PRÉLIMINAIRE
Le document de base p o u r l'interprétation sismique est le sismogramme, o b t e n u à p a r t i r d ' u n ébranlement provoqué (explosion, chute de poids, etc.). Le prospecteur ne cherche pas à tirer p a r t i de la totalité des i n f o r m a t i o n s contenues dans le sismogramme ; i l souhaite isoler d ' a b o r d , identifier ensuite l ' i n f o r m a t i o n intéressante, appelée le signal sismique. U n sismogramme de prospection se présente, nous le verrons, comme la j u x t a p o s i t i o n de plusieurs traces sismographiques, offrant l'image d ' o n d u l a t i o n s pseudo-sinusoïdales, p r a t i q u e m e n t ininterrompues et d ' a m p l i t u d e à peu près constante d ' u n b o u t à l'autre de la trace. Le problème est de découvrir et de « p o i n t e r » le signal sismique, ce q u i nécessite d'améliorer le r a p p o r t signal/ b r u i t en d o n n a n t le n o m de « b r u i t » à t o u t ce q u i , sur le sismogramme, n'est pas l ' i n f o r m a t i o n intéressante. Le prospecteur tentera dès Venregistrement d'utiliser u n dispositif expérimen tal adapté (géométriquement et physiquement) à la résolution de son problème, donc .sélectif vis-à-vis des ondes et des trajets intéressants. D e ce fait, le pros pecteur accepte, et même s'efforce, de supprimer o u d'estomper une quantité d ' i n f o r m a t i o n s . L o r s q u ' i l n ' y arrive pas dès l'enregistrement, i l cherche à atteindre cet objectif par des traitements numériques.
2. — LES DIFFÉRENTS T Y P E S
DE TRAJETS
SISMIQUES
(Voir 10.3) Considérons ( F i g . 1) le cas simple de la superposition de deux terrains (supposés homogènes et isotropes) séparés p a r une surface horizontale, la sur face d u sol étant elle-même horizontale. Les vitesses de p r o p a g a t i o n respectives
600
LES
MÉTHODES
DE PROSPECTION
SISMIQUE
des ondes longitudinales (*) sont K, p o u r le terrain supérieur, p o u r le terrain inférieur, avec V2 > V^. Soit x la distance (mesurée) entre l'origine E de l'ébranlement et u n sismographe S (nous dirons désormais u n « sismo » ) , /; l'épaisseur d u recouvrement, à déterminer. Entre E et S, les ondes sismiques se propagent suivant t r o i s types de trajets privilégiés, t r a n s p o r t a n t la plus grande partie de l'énergie libérée p a r l'explosion : a) Le trajet direct ES, p a r c o u r u à la vitesse K,, p o u r lequel le temps de par cours est évidemment ?, = x/K, .
(1)
Remarque : l'onde directe ne se propage pas au voisinage immédiat de la surface d u sol, mais sous la zone d'altération, ou « weathered zone » ( W Z ) :
Fici. 1. — Les différents types de trajets F I G . 2. —
sismiques.
Dromoetironiques.
(*) Ce sont les seules que l ' o n utilise en prospection ; cependant, on étudie depuis peu (notamment en France) l'utilisation des ondes transversales. Ces recherches, dont certaines font appel aux sismogrammes synthétiques dont il sera question plus l o i n , semblent prêtes d"aboutir, ouvrant ainsi de nouvelles perspectives à la prospection sismique.
LA
MÉTHODE
SISMIQUE-RÉFRACTION
601
il s'agit d ' u n m i l i e u hétérogène, de vitesse lente, très absorbant, épais de quelques dizaines de mètres, d o n t le prospecteur cherche généralement à s'affranchir en plaçant la charge explosive sous la W Z . b) Le trajet réfléchi EIS, l u i aussi p a r c o u r u à la vitesse et auquel, p o u r un même sismo, correspond u n temps de parcours plus l o n g que le précédent : ?2 = sjx^ +4/i^/V,
.
(2)
c) Le trajet réfracté EMNS, q u i concerne les ondes coniques étudiées aux chapitres 5 et 10. EM et NS sont parcourus à la vitesse et MN, le l o n g d u « marqueur » sismique, à la vitesse K j . Le temps de parcours correspondant se calcule facilement : /3 = X/V2 + 2 Λ cos//F,
(3)
/ étant l'angle l i m i t e au-delà duquel se p r o d u i t le phénomène de réflexion totale. Sa valeur est donnée par : sin / = F j / F j . Les trajets α et c intéressent la méthode sismique-réfraction, tandis que les trajets b concernent la méthode sismique-réflexion. 3. — P R I N C I P E D E L A M É T H O D E S I S M I Q U E - R É F R A C T I O N ; LES
DROMOCHRONIQUES
Cette méthode reposait autrefois sur l'étude des « premières arrivées » aux sismos. Le trajet b, t o u j o u r s plus l o n g que a, n'intervenait pas dans l'exploita t i o n des mesures. Par contre, le temps de parcours t^ peut devenir inférieur au temps ?, lorsque la p o r t i o n MN devient suffisamment grande. Les dromochroniques o u hodochrones (5 et 10), sont des représentations graphiques des trajets précédents ( F i g . 2) : la pente de la d r o i t e représentative de i , ( x ) est l / K j , celle de la d r o i t e ^3(^) étant l / F j ; l'hyperbole représentative de t2(x) est asymptote à la d r o i t e ti{x) et tangente à la droite ^3(^) au p o i n t C, « point critique » à p a r t i r d u q u e l débute l'onde conique. U n sismo S^ placé à la distance reçoit en même temps l'onde réfléchie et l'onde conique : le p o i n t correspondant sur le m a r q u e u r est évidemment le p o i n t M de la figure 1. Le p o i n t B, intersection des deux droites, est appelé « point de brisure » : un sismo Sg d'abscisse Xg reçoit en même temps l'onde directe et l'onde conique. Au-delà de B, c'est l'onde conique q u i arrive la première a u sismo. Si le m a r q u e u r possède u n certain « pendage », o n o b t i e n d r a u n graphique semblable, à p a r t i r duquel la vitesse Vj, déduite de la pente de la d r o i t e Î 3 , sera une « vitesse apparente » ; α étant l'angle d u m a r q u e u r avec l'horizontale, on a V2 = V2 sin //sin (/ + a ) . P o u r accéder à la vitesse vraie, une nouvelle expérience, réalisée en inversant les positions respectives d u p o i n t d'explosion et des sismos, est nécessaire : c'est
602
LES
MÉTHODES
DE PROSPECTION
SISMIQUE
le « t i r inverse » d o n t les résultats, combinés avec ceux d u t i r direct, fournissent les d r o m o c h r o n i q u e s d ' u n « sondage-réfraction ». 4. — E X P L O I T A T I O N D E S RÉSULTATS E N
SISMIQUE-RÉFRACTION
a) L'Offset est la distance SN' ( F i g . 1) ; elle permet de situer l'origine de l ' i n f o r m a t i o n reçue en S, laquelle est relative au p o i n t d u marqueur, projec t i o n de N'. b) Le délai (delay-time) est la différence entre les temps de parcours d u rayon sismique dans le recouvrement (suivant Λ'^) et de l'onde réfractée sur le mar queur, suivant la p r o j e c t i o n Λ'5' de NS. Pour un sismo S, o n aura : /;
_NS_NS^_
~
Kl
V2 ~ K, cos /
_ /itg/ K2
'
donc Ds = ^ - ' ^ ^ .
(4)
A u p o i n t d'explosion E correspond u n délai D^, égal à (5 si le marqueur est h o r i z o n t a l . Dans le cas d'une succession de terrains d'épaisseurs /;^ et de vitesses V^, le délai total est la somme des délais relatifs à chaque marqueur: ^ ^ ^ /it cos k
K
c) Lintercept est l'ordonnée à l'origine de la d r o i t e /3, donc 2 /; cos lj\\, soit 2 δ dans le cas de la figure 1 (marqueur h o r i z o n t a l ) . Plus généralemeni r i n t e r c e p t / est la somme d u délai-sismo et d u délai-explosion. Remarque : dans les conditions habituelles d ' u t i l i s a t i o n de la sismique réfraction, o n admet que le délai en un p o i n t donné est isotrope, indépendant de la « direction » d u t i r sismique. Très généralemeni, l'objectif assigné à cette méthode est de suivre un marqueur donné, le mode opératoire étant celui d u tir en ligne (sismos alignés par rapport au p o i n t d'explosion). O n réalise d ' a b o r d des sondages-réfraction q u i per mettent de déterminer les paramètres : vitesses, distances entre points remar quables des d r o m o c h r o n i q u e s . O n utilise ensuite u n dispositif sismographique destiné à enregistrer seulement la p o r t i o n de d r o m o c h r o n i q u e intéressante, en « arrivées premières » : dans le cas de la figure 2, i l s'agit de la demi-droite représentative de /3, au-delà d u « p o i n t de brisure » B. Ce d i s p o s i t i f constitué par n sismos alignés, subit une t r a n s l a d o n après chaque t i r , en conservant au moins deux sismos communs à deux tirs successifs. L ' e x p l o i t a t i o n des résultats est généralement fondée sur l'étude des délais D^,
VARIANTES
DE LA
MÉTHODE
SISMIQUE-RÉFRACTION
603
d o n t les variations traduisent celles de la p r o f o n d e u r h d u m a r q u e u r . Dans la méthode Gardner, on calcule à l ' a p l o m b de chaque sismo l'intercept : / = ί - x/V^ = Ds +
DE
{V^ est la vitesse d u m a r q u e u r ) . P o u r u n t i r donné, D^ (délai-explosion) est constant et Dg varie légèrement : la v a r i a t i o n de l'intercept rend compte de celle de Dg, donc de h. O n obtient ainsi p o u r chaque t i r ( F i g . 3) des courbes Γγ, Γ2, e t c . , décalées en ordonnées les unes par r a p p o r t aux autres en raison de la v a r i a t i o n AD^ d ' u n t i r au suivant. Grâce aux sismos c o m m u n s à deux tirs successifs, i l est aisé de faire les raccords entre / " j et J T J , A et Γ^, etc., p o u r obtenir Γ, courbe relative unique. L ' e x p l o i t a t i o n analogue des tirs inverses f o u r n i t une autre courbe relative Γ', décalée l o n g i t u d i n a l e m e n t par r a p p o r t à Γ d'une longueur égale à deux oflfsets, puisque ces deux courbes Γ et Γ' o n t été construites en position sismo. L e u r comparaison permet d ' o b t e n i r la valeur de l'offset et de dessiner une courbe relative unique C, en position offset. L'exécution sur le terrain de profilsréfraction entrecroisés et le r e p o r t s, S g Sn-iSn sur carte des valeurs correspondant aux courbes C permettent de des siner des courbes à'iso-délais, puis d'accéder à une véritable carte d'isobathes du marqueur. 5. — Q U E L Q U E S
V A R I A N T E S DE
j
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FIG. 3 . L A MÉTHODE
SISMIQUE-RÉFRACTION
Le mode opératoire précédent est de beaucoup le plus utilisé, mais d'autres méthodes sont employées avec succès : a) Le tir en éventail, q u i consiste à disposer les sismographes à des distances p r a t i q u e m e n t égales a u t o u r d u p o i n t d'explosion. O n met ainsi en évidence des variations de temps de parcours dues à la présence de « structures » localisées (horsts, dômes de sel) généralement à faible profondeur. b) Les tirs déportés, consistant à associer à u n même p o i n t de t i r plusieurs profils parallèles de sismos en ligne. Cette technique est utilisée lorsque l ' o n a à réaliser des profils courts, destinés à préciser les contours d'une structure déjà reconnue. O n réduit ainsi la longueur des dispositifs et p a r t a n t , la durée des opérations. Ce souci de réduire les distances de tir, qui o n t dépassé 50 k m au Sahara, et aussi la consom m a t i o n d'explosifs, de l'ordre d'une tonne par t i r « lointain », a conduit depuis quelques années à une nouvelle méthode. L'idée est d'utiliser le secteur q u i , h la surface du sol, corres pond au point critique C de la figure 2 : c'est le secteur voisin d u sismo 5c de la figure 1. Cette « zone critique » est le siège de phénomènes particuliers quant à l'amplitude de l'énergie transmise aux sismos : lorsqu'on franchit le point critique, o n constate à la fois une brusque augmentation de l'énergie réfléchie correspondant au début de la réflexion tota'e, et l'appa-
604
LES
MÉTHODES
DE PROSPECTION
SISMIQUE
r i t i o n d'énergie réfractée (ondes coniques) ; au p o i n t critique lui-même, les deux trajets, réfléchi et réfracté, sont confondus géométriquement et les arrivées correspondantes sont en phase. L a mise en évidence de cette arrivée réfléchie/réfractée sur u n sismo placé au point critique exigera, d u fait de sa grande amplitude relative, une moindre quantité d'énergie à l'explosion que celle nécessaire en réfraction classique, et ceci en dépit d u fait q u ' i l s'agira d'observer cette amplitude en « arrivée seconde », l'onde directe atteignant la première le sismo Se. E n pratique, la distance xc, égale a u double offset, est variable avec h ; elle ne peut donc être connue pour chaque dispositif. O n tourne la difficulté en exploitant les enregistre ments obtenus en des sismos Sk voisins d u point Se, et situés à des distances constantes xk du point d'explosion. 6. — P R I N C I P E D E L A M É T H O D E
SISMIQUE-RÉFLEXION
L ' o b j e c t i f est la mesure d u temps de parcours aller et retour de l'onde sis mique entre la source et u n « m i r o i r » p r o f o n d . A p a r t i r de cette mesure, o n cherche généralement à suivre, le l o n g d ' u n p r o f i l , l'évolution de la p r o f o n d e u r des niveaux réfléchissants. Théoriquement, i l suffirait d ' u n seul sismo associé à chaque p o i n t d'explosion p o u r enregistrer le temps de p r o p a g a t i o n de l'onde réfléchie. M a i s l'énergie réfléchie n'étant q u ' u n e f r a c t i o n très faible de l'énergie émise, 1'« arrivée réfléchie » serait masquée p a r des phénomènes superficiels, correspondant à des trajets réfléchis et réfractés voisins d u trajet direct. U identification du signal est fournie par u n « d i s p o s i t i f d'écoute » , assorti de c o n d i t i o n s particulière^ d'enregistrement et de traitement de l ' i n f o r m a t i o n . Le d i s p o s i t i f usuel c o m p r e n d une source sismique et 24 « traces » (*) i m p l a n tées sur le p r o f i l , de p a r t et d'autre de la source en prospection terrestre, d ' u n seul côté en prospection marine ; la « trace » la plus l o i n t a i n e se t r o u v e à une distance atteignant 1 200 m dans le premier cas, 2 400 m dans le second. Chaque « trace » est constituée p a r u n groupe de sismos (entre 20 et 50 en général), reliés électriquement entre eux. Cette multiplication a p o u r effet d'améliorer le r a p p o r t signal/bruit : l'onde réfléchie, d'origine l o i n t a i n e , atteint en phase les n sismos d u groupe, de sorte que le signal est multiplié p a r n. Les ondes parasites, d'origine superficielle, atteignent les sismos de façon aléatoire, leur a d d i t i o n est statistique, et le b r u i t est multiplié seulement_par \Jn. Le r a p p o r t signal/bruit est donc multiplié par une valeur proche de V«. A cette m u l t i p l i c a t i o n des sismos est souvent associée une « m u l t i p l i c a t i o n des points de t i r », la charge d'explosif étant répartie en plusieurs points : leur n o m b r e classique, comme celui des « sismos p a r trace », est de l ' o r d r e de 20, mais peut atteindre exceptionnellement la cen taine... Le rôle des « tirs de b r u i t », expériences précédant t o u t e campagne de prospection, est de déterminer les caractéristiques des ondes indésirables, et p a r t a n t , la distance o p t i m a l e , quelques mètres, entre sismos (et p o i n t s de t i r ) multiples. (*) Le prospecteur donne le n o m de « trace » à la fois au sismogramme et au dispositif expérimental correspondant.
LES
CORRECTIONS
605
Les « traces » sont branchées sur un câble, la flûte sismique, qui transmet les tensions délivrées par les sismos au laboratoire d'enregistrement. Chaque tir est enregistré pendant environ 6 s. Les informations sont généralement transcrites sur bande magnétique, de plus en plus sous forme numérique, les bandes ainsi obtenues pouvant être directement relues par un ordinateur. Immédiatement après le t i r , o n obtient une image de l'enregistrement par procédé photographique o u thermoélectrique, ce q u i permet de contrôler sa qualité, et de préparer l'exploitation q u i se fera loin de la mission, en un service central disposant d ' o r d i nateurs. Pour ne pas limiter les possibilités de cette exploitation ultérieure, o n s'efforce sur le terrain, d'enregistrer les mouvements d u sol le plus fidèlement possible : filtrages électriques réduits, gain des amplificateurs enregistré, etc. 7. — C O M P O S I T I O N ; C O U V E R T U R E
MULTIPLE
L a « m u l t i p l i c a t i o n » avait p o u r objet d'améliorer le caractère des réflexions ; la composition, ou mixage, vise à améliorer la mise en pliase. L a m u l t i p l i c a t i o n composait les signaux à l a sorde des sismos, le mixage les compose à l a sortie des amplificateurs o u mieux, a u rejeu, sur des traces corrigées. 1" Mixage d'appareillage : la tension de sortie relative à une trace d'ordre n est répartie suivant certaines proportions sur les traces voisines n— 1 e t « - j - I . Par exemple, 15-70-15 signifie 15 % sur « — 1 et n — I , 70 % sur n . L a ressemblance entre deux traces successives est ainsi améliorée. 2" Mixage de dispositif : chaque trace étant relative à n sismos répartis sur une longueur L, si l ' o n adopte u n espacement entre traces inférieur à L , i l y a chevauchement des sismos entre une trace et sa voisine. U n élément c o m m u n entrant dans la définition de ces deux traces leur confère u n « air de parenté » . Le mixage, procédé artificiel, peut être dangereux ; t r o p poussé, i l accentue la ressemblance au point qu'aucune discrimination n'est plus possible. Par ailleurs, le mixage peut introduire certaines déformations des signaux et en altérer le caractère.
Beaucoup plus n a t u r e l , et p a r t a n t plus efficace, est le procédé moderne de mise en œuvre appelé couverture multiple. Chaque trace donne des i n f o r m a tions sur les p o i n t s - m i r o i r s d o n t la projection sur la surface d u sol se situe a p p r o x i m a t i v e m e n t à m i - c h e m i n entre la source et la trace. U n dispositif de longueur L donne donc à chaque d r des i n f o r m a t i o n s relatives à une l o n g u e u r L/2 sur le p r o f i l . E n déplaçant l'ensemble d u dispositif de L/2 à chaque t i r , on obtient ainsi une i n f o r m a t i o n continue appelée « couverture simple ». Avec des déplacements plus petits, sous-muhiples d u précédent, o n o b t i e n t une i n f o r m a t i o n redondante, dite « couverture m u l t i p l e », couverture double (L/4), t r i p l e , dodécuple (L/24, déplacement égal à u n intertrace). 8. — LES C O R R E C T I O N S
Chaque enregistrement fait l'objet d ' u n traitement desdné à ramener les différents temps de trajet à une même référence : surface horizontale, d i t e datum-plane ( D P ) , invariable t o u t le l o n g d ' u n p r o f i l , et à éliminer l'influence des terrains altérés superficiels. Les données permettant de calculer les correc-
606
LES
MÉTHODES
DE PROSPECTION
SISMIQUE
l i o n s correspondantes sont fournies par des mesures topographiques et p a r la méthode sismique-réfraction : tirs spéciaux o u utiHsation des arrivées premières des tirs de sismique-réflexion, permettant de définir la base de la zone altérée. Ces corrections se traduisent p o u r chaque trace par u n décalage d'ensemble q u i n'est pas f o n c t i o n d u temps d'arrivée des signaux réfléchis, d'où leur n o m de corrections statiques. Après ces corrections, les temps d'arrivée suivent a p p r o x i m a t i v e m e n t une l o i hyperbolique en f o n c t i o n de la distance de t i r , c o n f o r m e à la f o r m u l e (2) d u paragraphe 2. Les corrections dynamiques, d o n t l'objectif est de ramener a u cas où la source et le p o i n t de mesure seraient confondus, o n t p o u r effet de redresser les hyperboles, d o n t la courbure est une f o n c t i o n décroissante de la profondeur et de la vitesse des terrains traversés. P o u r calculer ces corrections, o n p o u r r a i t se servir de la f o r m u l e théorique si l ' o n connaissait bien les vitesses de propagation. E n général, c'est l'inverse que l ' o n fait : o n détermine, sur les enregistrements, la forme des hyperboles et l ' o n en déduit d'une part les corrections dynamiques, d'autre p a r t des i n f o r mations sur les vitesses. Ces i n f o r m a t i o n s peuvent être précisées lors d u traite ment sur ordinateur : c'est 1'« analyse des vitesses ». 9. — LES R É F L E X I O N S M U L T I P L E S
L a relation liant la vitesse et la courbure des hyperboles a une conséquence très i m p o r t a n t e en ce q u i concerne les réflexions multiples correspondant à des trajets analogues à celui de la figure 4 : l'arrivée au sismo S risque d'être m a l interprétée, et de faire croire à l'existence d ' u n réflecteur p r o f o n d en M'. Les différences de c o u r b u r e permettent d'éviter cette erreur. En effet, la c o u r b u r e de la réflexion m u l t i ple correspond à une vitesse moyenne de l'ordre de celles q u i caractérisent les terrains au-dessus de M , et Λ/3. A u n réflecteur réel situé en M' devrait correspondre une vitesse plus forte (car la vitesse moyenne croît avec la p r o f o n d e u r ) , et par consé quent une courbure plus faible. Si l ' o n applique des corrections dynamiques correspondant aux « arrivées réelles », les « a r r i vées multiples » seront insuffisamment corrigées ; elles présenteront un « résidu de c o u r b u r e » caractéristique, aussi bien en couverture simple qu'en couverture m u l t i p l e . F I G . 4.
10. — REPRÉSENTATION
DES RÉSULTATS : L A S E C T I O N
Dans les cas les plus simples (sismique terrestre, couverture simple), le traite ment s'arrête aux corrections. O n procède a u rejeu des bandes magnétiques
REPRÉSENTATION 53pU033SI|||UJ
DES RÉSULTATS:
LA SEC!
608
LES
MÉTHODES
DE PROSPECTION
SISMIQUE
corrigées, et l ' o n réalise un montage j u x t a p o s a n t la succession de tous les films sismiques relatifs à u n même p r o f i l : c'est la coupe-film, o u section. A l'ancienne représentation galvanométrique a été substituée une figuration sous forme d ' « aires variables » ( F i g . 5), consistant à renforcer, en n o i r , la partie corres p o n d a n t aux « aires positives » de chaque trace, o u de « densité variable » , fondée sur une gamme de teintes allant d u blanc a u n o i r en f o n c t i o n de l ' a m p l i tude des oscillations. Les arrivées réelles, si elles o n t été bien « redressées » par les corrections traduisent la forme des réflecteurs, alors q u ' a u x arrivées multiples correspondent des festons très caractéristiques. En couverture m u l t i p l e , les sections sont construites après a d d i t i o n des traces q u i , p o u r chaque t i r , correspondent aux mêmes p o i n t s - m i r o i r s ; les « arrivées réelles » s'additionnent en phase, tandis que les multiples se pré sentent avec des résidus de c o u r b u r e disparates et sont fortement atténués : c'est là le p r i n c i p a l intérêt de la couverture m u l t i p l e . C o m m e o n dispose de données redondantes, o n peut également faire u n choix avant addition ; c'est le principe d u « mute », q u i consiste en particulier à éliminer, pour les niveaux peu profonds, les traces les plus lointaines, souvent perturbées par les arrivées réfractées. Sur une section, les ordonnées sont des temps ; pour obtenir la forme réelle des réflecteurs, il faut transformer ces temps en profondeurs, et tenir compte de ce que, généralement, les trajets ne sont pas verticaux : c'est le problème de la « restitution » des miroirs. Cette opéra t i o n nécessite la mesure d u « gradient-temps », pente de l'horizon telle qu'elle apparaît sur la section, et l'utilisation d'abaques calculés en fonction des vitesses, supposées connues. Ce type de restitution, t r o p artisanal, n'est plus guère utilisé que p o u r certains problèmes particulièrement compliqués. O n a de plus en plus recours à u n traitement sur ordinateur, appelé « m i g r a t i o n », q u i consiste à déplacer, n o n plus quelques m i r o i r s isolés, mais l'ensemble de la section.
11. — D É C O N V O L U T I O N ; ANTI-RÉSONANCE
L a source sismique (explosion dans la p l u p a r t des cas) engendre une i m p u l sion très brève, de l ' o r d r e de la milliseconde, à p a r t i r de laquelle o n p o u r r a i t espérer enregistrer une « trace impulsionnelle », où les arrivées réfléchies seraient repérables avec une grande précision. En fait, l'onde sismique subit des filtrages, par le terrain et par l'appareillage, d o n t l'effet est de remplacer l ' i m p u l s i o n initiale par un train d'ondes plus o u moins l o n g . E n sismique marine la réso nance (réflexions multiples entre la surface et le f o n d de l'eau) i n t r o d u i t u n filtrage particulièrement redoutable en raison de l ' a m p l i t u d e et de l'extension d u phénomène. Soit s{t) la trace sismique à la sortie d u laboratoire d'enregistrement ; elle apparaît c o m m e la c o n v o l u t i o n d'une trace q u i représenterait seulement les réflexions simples, /·(/), p a r u n filtre / ( i ) i n c o n n u : s{t)
= rit) * / ( 0 .
L a « déconvolution » o u « anti-résonance » (en sismique marine) consiste à
609
BIBLIOGRAPHIE
déterminer r(t) à p a r t i r de l a seule connaissance de s{t). Cette opération est réalisable sur o r d i n a t e u r ; elle n'a de sens physique que si le filtre/(i) obéit au critère de stabilité, c o n d i t i o n suffisante p o u r donner au problème une s o l u t i o n unique. Dans le cas de la couverture m u l t i p l e , la déconvolution sera réalisée sur les traces individuelles, avant a d d i t i o n . D e plus, chaque trace peut être divisée en tronçons successifs, déconvolués séparément, de façon à tenir compte de l'évolution d u filtrage en f o n c t i o n d u temps de parcours. 12. — I N T E R P R É T A T I O N
Le géophysicien travaille sur les sections fournies par l ' o r d i n a t e u r . Leur qua lité est très variable : i l s'agira tantôt de faire u n choix p a r m i u n t r o p g r a n d n o m b r e d'horizons, tantôt d'interpoler entre des réflecteurs sporadiques. L'interprétation d o i t t o u j o u r s utiliser la totalité des i n f o r m a t i o n s à sa disposi t i o n : croisements entre profils sismiques, données géologiques, etc. Lorsque l'ensemble des profils forme u n réseau couvrant toute une surface, les meilleurs horizons peuvent faire l'objet d'une carte d'isochrones, éventuelle ment soumise à la m i g r a t i o n et convertie ainsi en carte d'isobathes. L'interprétation géologique gagne t o u j o u r s à être appuyée sur les résultats d ' u n forage p r o f o n d , à l'intérieur duquel o n réalise, p a r carottage sismique, la mesure des vitesses. Les coefficients de réflexion kjj sont, en première a p p r o x i m a t i o n , liés aux contrastes de vitesses entre couches successives : (V,-
K,)/(K, +
Vj).
L a connaissance des vitesses permet donc de calculer les coefficients kjj successifs, et par suite une véritable « trace synthétique », r{t) (§ 11), q u i peut être convoluée p a r une f o n c t i o n / ( t ) convenable p o u r la rendre comparable à la trace expérimentale. L a ressemblance, souvent frappante, permet d'iden tifier les horizons sismiques, et de les dater géologiquement. L a c o m p a r a i s o n des traces expérimentales avec les traces synthétiques calculées avec et sans réflexions multiples permet aussi de repérer les horizons multiples q u i auraient échappé à la destruction par la couverture m u l t i p l e .
BIBLIOGRAPHIE
Plus encore que toute autre méthode de prospection géophysique, la sismique est en perpé tuelle évolution, de sorte que la plupart des ouvrages de fond, même récents, sont rapidement périmés. C'est p o u r q u o i la meilleure source d ' i n f o r m a t i o n dans ce domaine est constituée par les revues spéciatisées dont les plus documentées sont : Geoptiysics, publication de la « Society o f E x p l o r a t i o n Geophysics » (SEG), organisme américain. Geopfiysicat Prospecting, j o u r n a l de Γ « European Association o f E x p l o r a t i o n Geophysicists ». Le lecteur trouvera également des articles en langue française sur la sismique moderne dans la Revue de l'Institut Français du Pétrole.
CHAPITRE
24
PROSPECTION GRAVIMÉTRIQUE par Robert N E U M A N N
1. —
INTRODUCTION
L ' o b j e c t i f de la prospection gravimétrique est l'étude des anomalies de la pesanteur dues à l'inégale répartition des densités dans le sous-sol. Evaluons l ' o r d r e de grandeur de ces anomalies : si, à une d i s t r i b u t i o n donnée des densités, nous ajoutons l'effet d'une tranche de terrain horizontale indéfinie d'épaisseur e (en mètres) et de densité relative σ, l'anomalie correspondante est donnée en milligals par l'expression : Ag = oe/24. U n e anomalie d ' u n m i l l i g a l correspond donc à une épaisseur de 200 m p o u r un contraste de densité (*) de 0,12 (valeur courante en prospection structurale), o u à une épaisseur de 15 m p o u r u n contraste de 1,6 (admissible en prospection minière). A u x structures pétrolifères étendues et volumineuses correspondront généralement des anomalies de plusieurs milligals, tandis que les amas o u filons minéralisés se t r a d u i r o n t par des anomalies de quelques dixièmes de m i l l i g a l . Les meilleurs gravimètres modernes sont, nous le savons (Chap. 15), des pesons à ressort perfectionnés, q u i permettent de réaliser des mesures relatives de g à la précision d u centième de m i l l i g a l . Les prospecteurs n'ont pas toujours utilisé le gravimètre. Les premières découvertes de structures pétrolifères attribuablcs à la gravimétrie sont à mettre au crédit de la balance de torsion, inventée par le hongrois Eôtvôs. Cet appareil permettait de mesurer non le champ g, mais son gradient horizontal {Sgldx et Sgjdy). Largement utilisée vers 1930, la balance de torsion a été abandonnée après 1940, cédant la place au gravimètre, de mise en œuvre beaucoup plus rapide. 2. — M E S U R E S
ET
CORRECTIONS
E n prospection terrestre classique, o n réalise une lecture sur le cadran d u gravimètre en des stations d o n t l'espacement, choisi en f o n c t i o n d u problème, (*) L'usage, en prospection, est d'utiliser le terme « densité » à la place de « masse vo!umique » ; de ce fait, les valeurs numériques sont des nombres sans dimension, alors qu'il faudrait les exprimer en g/cm^.
612
PROSPECTION
GRAVIMÉTRIQUE
peut varier entre quelques mètres et quelques kilomètres. Ces lectures succes sives ne permettent pas d'obtenir, p a r simple différence, des mesures de Ag de précision suffisante car elles ne sont pas constantes dans le temps. Ce phé nomène a p o u r cause, d'une p a r t l a marée gravimétrique (voir C h a p . 18), d'autre p a r t l'existence d'une dérive instrumentale, a t t r i b u a b l e à l'évolution de la texture des ressorts. L'inffuence de la marée peut être corrigée à l'aide de tables q u i en fournissent la valeur d'heure en heure (la revue Geophysical Prospecting en p u b l i e chaque année). Par contre, l ' a m p l i t u d e de la dérive instrumentale est imprévisible ; o n ne peut la définir qu'en stationnant pério diquement en des p o i n t s connus, appelés « bases ». Lorsque ces « retours aux bases » sont suffisamment rapprochés dans le temps (2 heures o u moins), la dérive peut être considérée comme linéaire, l'erreur restant d u même ordre que l'erreur de lecture. U n p r o g r a m m e de mesures c o m p o r t e en général 10 à 20 stations entre deux passages à la base. Les valeurs de g obtenues ne sont pas directement utilisables p a r le pros pecteur ; leurs différences sont attribuables principalement à la forme générale de la Terre et à celle de sa surface t o p o g r a p h i q u e (Chap. 16). P o u r mettre en évidence des anomalies d'origine profonde, des corrections aux mesures sont indispensables, d o n t nous n'évoquerons i c i que la signification physique. 11 s'agit de soustraire à la valeur expérimentale g{x, y, z) observée à la sta t i o n S une valeur théorique calculée à p a r t i r d ' u n modèle de Terre obtenu en superposant à l'ellipsoïde de référence u n plateau horizontal d ' a l t i t u d e z (c'est le modèle de Bouguer) d o n t o n corrige l'influence p o u r tenir compte de l'exis tence d u relief a u t o u r de la station. E n 5Ό sur l'ellipsoïde, à la verticale de S, la pesanteur est gç, = g(x, y, 0). Le passage de SQ Ά S, h. l ' a i r l i b r e , i n t r o d u i t une correction égale à — 0,308 6 z, où 0,308 6 est la valeur d u gradient vertical de g au voisinage d u niveau zéro, en milligals par mètre. L'effet d u plateau de Bouguer constitué par une tranche de terrain de densité d s'ajoute en S à celui de l'ellipsoïde ; sa valeur est 2 G.d.z, soit 0,041 9 d.z., en mgal/m. Ces deux termes étant p r o p o r t i o n n e l s à z, l'usage en prospection est de les grouper, en utilisant u n coefficient C = 0,308 6 - 0,041 9 d. Le relief a u t o u r de S se t r a d u i t , p a r r a p p o r t au niveau d u plateau de Bouguer, p a r des déficits (vallées) o u des excès (collines) de masse, q u i c o n t r i b u e n t à diminuer g : la « correction de terrain » T appliquée à notre modèle est donc soustractive. Finalement, la valeur théorique calculée est gQ — C.z — T. O n la soustrait de la valeur mesurée p o u r obtenir Vanomalie de Bouguer : B = g -
(gQ -
C.z -
T).
(!)
Présentée sous cette forme, l'anomalie de Bouguer s'applique en S, c'està-dire à la surface du sol. C'est p o u r q u o i i l est préférable, en prospection, de ne pas utiliser l'expression « réduction au niveau de la mer ». Cette idée s ' i n t r o d u i t lorsque l ' o n écrit l'anomalie de Bouguer : B = g + C.z + T —gQ, ce q u i donne à penser que la mesure g{x, y, z) a été rendue par les corrections comparable à la valeur théorique gQ au niveau de l'ellipsoïde. L a mesure c o r r i -
INTERPRÉTATION
DES
RÉSULTATS
613
gée risque alors d'être traitée c o m m e si elle avait été réalisée à ce niveau, ce q u i est bien sûr inexact. 11 est possible, sous certaines c o n d i t i o n s , de calculer à p a r t i r d u c h a m p mesuré à la surface d u sol le « c h a m p prolongé » à un niveau inférieur, mais c'est un problème différent q u i sera examiné plus l o i n . Le calcul de la correction de terrain T est effectué dans un rayon m a x i m u m d'une ving taine de kilomètres autour de chaque station (ce n'est pas que l'influence d u relief plus lointain soit nég'igeab'e, mais ses variations d'une station à l'autre sont assez faibles et régulières pour pouvoir être intégrées à l'ano malie régionale, dont il sera question plus loin). O n superpose à une carte en courbes hypsométriques un abaque, tracé sur transpa rent, formé de circonférences concentriques et de rayons vecteurs régulièrement espacés (Fig. 1). Le centre de l'abaque est placé sur la station S de cote Zs, et le prospecteur apprécie l'altitude moyenne Zn à l'intérieur de chaque compartiment ; la correction correspondante est donnée par des tables, en fonction de Λ ^ Zs - Z . „ . Si l ' o n consi' • - ^^"'l"'] P""' ^-"rrecthn dère une masse de densité d occupant le teitam. volume compris entre deux cylindres concen triques, de rayons R[ (intérieur) et Ri (extérieur), et de hauteur h, l'attraction exercée a u centre de la base est donnée par : a
2nG.
Ri
:- \ R^ + lû-^Ri
-|- h^)
(2)
expression à diviser par n (nombre de rayons vecteurs) pour calculer une fois pour toute des tables donnant a en fonction de h. F i n a l e m e n t , le prospecteur dresse une carte
des anomalies
de Bouguer,
obte
nue en traçant à p a r t i r des valeurs de B u n réseau de courbes isonomales, appelées « isogammes » , d o n t l'espacement est f o n c t i o n
de l a précision des
mesures et de l'échelle de la prospection : de 5 en 5 mgals p o u r une carte de grande reconnaissance, de 0,01 en 0,01 mgal p o u r une prospection couvrant
quelques
détaillée
hectares.
3. — I N T E R P R É T A T I O N
D E S RÉSULTATS
L'idéal serait de déterminer les cléments géométriques (dimensions, profondeurs) et phy siques (contrastes de densité) des « structures » responsables des anomalies significatives, c'est-à-dire répondant au problème posé. Voici quelques relations liant l a géométrie des « structures » à celle des anomalies qu'elles provoquent : d) L'anomalie duc à une spitère homogène se présente en coupe comme une courbe en cloche d o n t l'ordonnée, à une constante près, est : g = A(\ + ^ 2 ) - 3 / 2 ^ en prenant comme unité de longueur la profondeur d u centre. O n vérifie facilement que ta distance entre points d'inflexion est égale à cette profondeur.
614
PROSPECTION
GRAVIMÉTRIQUE
h) L'anomalie due à u n cylindre horizontal homogène, qualitativement de la même forme en coupe, a pour équation : g = β(1 i - Λ·^) i , l'unité étant la profondeur de l'axe d u cylindre. I l est visible que cette profondeur est égale à Tabseisse du point où l'anomalie vaut la moitié de sa valeur maximale. c) L'anomalie due à une fadle profonde est assimilable à celle provoquée par u n demiplan au niveau duquel serait concentré tout l'excès de masse. Son équation est de la forme : g •-- Carctg.ï, l'unité étant la profondeur z d u demi-plan. Cette profondeur est égale à l'abscisse du point où l'anomalie vaut I /4 (ou 3/4) de son amplitude totale, l'origine étant prise au point d'inflexion, où l'anomalie vaut 1/2.
Les « structures » à l'origine des anomalies gravimétriques sont grossière ment assimilables soit à des sphères (dômes salifères, amas minéralisés, cavités souterraines, etc.), soit à des cylindres (anticlinaux o u synclinaux allongés, filons métallifères, galeries, etc.), soit à des demi-plans (failles, flexures, contacts sub verticaux entre f o r m a t i o n s différentes, etc.). Les données précédentes cons tituent a u t a n t d'éléments permettant d'une p a r t de définir la d i s t r i b u t i o n des stations la mieux adaptée à la résolution d u problème posé, d'autre p a r t d'identifier et, si possible, d'isoler les anomalies significatives (interprétation qualitative). 4. — T R A I T E M E N T DES RÉSULTATS
11 est rare que le seul examen de la carte des anomalies de Bouguer, éven tuellement accompagnée d ' u n calcul simple, fournisse directement la réponse au problème posé. L a figure 2 illustre u n cas de ce genre : i l s'agit de la carte de reconnaissance de la Côte-d'lvoire, où l'étendue des terrains sédimentaires justifiait une étude préliminaire destinée à définir les zones d'approfondisse ment m a x i m a l des sédiments, et à orienter ainsi les recherches pétrolières ulté rieures. O r cette carte, en dehors d'anomalies secondaires liées à la c o m p o s i t i o n d u socle cristallin, met en évidence un phénomène unique, u n très f o r t gradient perpendiculaire à la côte. U n tel accident ne p o u v a i t être interprété que comme une faille affectant un terrain de forte densité, quasi affleurant dans son c o m p a r t i m e n t relevé. 11 s'agissait évidemment d u socle cristallin, q u i présente là une fracture presque verticale d o n t le rejet, p o u r u n contraste de densité « plausible » de 0,4 g/cm'', a été évalué à environ 3 000 m . U n forage ayant atteint le socle dans la région d ' A b i d j a n à moins de 200 m , i l est facile d'en déduire que jusqu'à la ligne d'inflexion (voisine de la courbe zéro), le socle d o i t être p a r t o u t à faible p r o f o n d e u r : la partie terrestre d u bassin sédimentaire est donc réduite à une bande allongée et très étroite. U n e pareille étude a une grande valeur économique, puisqu'à elle seule elle l i m i t e considé rablement le t e r r i t o i r e où d o i t porter l'effort des prospecteurs. Il s'en faut de beaucoup cependant que l'interprétation soit t o u j o u r s aussi aisée ; les difficultés proviennent de deux sources : a) L a gravimétrie est une méthode intégrante : les i n f o r m a t i o n s rassemblées sur une carte concernent la totalité de l'écorce terrestre. Rappelons que la
TRAITEMENT
DES
615
RÉSULTATS
F t G . 2. — Carte gravimétrique de la
Côte-d'Ivoire.
base de l'écorce constitue u n excellent « m a r q u e u r » gravimétrique, puisque l'analyse des anomalies de Bouguer à l'échelle de la Terre entière, en liaison avec l'étude des déviations de la verticale, est à l'origine de la théorie de Yisostasie. L a figure 3 illustre le problème posé par ce caractère intégrant de la méthode. O n y observe trois types d'anomalies : l'une, à grand r a y o n de c o u r b u r e , t r a d u i t l'eifet d ' u n contraste de densité p r o f o n d (*) ; deux autres, A et B, sont relatives à des structures situées à moyenne p r o f o n d e u r ; enfin, les F i G . 3. — Profil gravimétrique nombreuses o n d u l a t i o n s locali rassemblant trois types d'anomalies. sées traduisent nécessairement l'influence de phénomènes superficiels. Si le problème posé à l a prospection intéresse les anomalies A et B, leur mise en évidence i m p l i q u e u n problème classique de filtrage passe-bande, éliminant à la fois les hautes fréquences (anomalies « étroites » ) et les basses fréquences (anomalies « larges » ) . (*) O u celui d'une structure géologique superficielle, mais de grande extension et de forme régulière (exemple d u Bassin Parisien), dont l'influence « régionale » est indiscernable de celle d'une cause beaucoup plus profonde. COULOMB et JOBERT —
I
24
PROSPECTION
616
GRAVIMÉTRIQUE
Pour des raisons économiques évidentes, le prospecteur adopte u n espacement entre stations adapté à son objectif : si celui-ci se situe à une profondeur p, i l est légitime, en fonction des relations géométriques établies au paragraphe précédent, d'utiliser u n espacement de l'ordre de /)/2, grâce auquel les anomalies intéressantes seront convenablement définies. Le filtrage des hautes fréquences se trouve ainsi réalisé, les amplitudes q u i leur sont associées étant le plus souvent faibles devant celles des anomalies significatives.
Le v r a i problème concerne Γ « anomalie régionale » , en désignant ainsi la surface, représentable p a r une f o n c t i o n nécessairement régulière, à laquelle sont superposées les anomalies intéressantes. Cette f o n c t i o n peut être obtenue graphiquement, p a r « lissage » des isogammes, o u mathématiquement, par divers procédés d o n t le plus simple consiste à admettre que l'anoinalie régionale en u n p o i n t est la moyenne des valeurs en n stations équidistantes sur une cir conférence centrée en ce p o i n t . O n peut également rechercher p a r la méthode des moindres carrés, le polynôme de degré n représentatif de la surface analy tique q u i se « moule » le mieux sur la surface expérimentale. Ces procédés c o m p o r t e n t une p a r t d ' a r b i t r a i r e et les méthodes mathématiques ne sont pas plus objectives que le lissage graphique : i l faut choisir le r a y o n de la c i r c o n férence, le degré d u polynôme, le m o d e d'échantillonnage de la carte, etc. Finalement, l'anomalie régionale est ce que le prospecteur a v o u l u qu'elle soit en f o n c t i o n d u problème posé, en tous cas assez régulière p o u r être assimilable à son p l a n tangent au d r o i t d'une anomalie significative. b) Le problème précédent donne une i n d i c a t i o n sur la séparation « v e r t i cale » des masses causant les anomalies ; i l existe aussi u n problème de sépara t i o n « h o r i z o n t a l e » , illustré p a r la figure 4. Des « structures » distinctes situées Profil r r t e ; 3 u r é ^
Surface"'^^^
—;~.
:::-....,^
• ^ " - — — l l : ^ —
PrQf!rprolong^^'=5^^^^^'^\^y^:='^
M ¥\Q.
A. — Coalescence et prolongement du champ vers le bas.
à des profondeurs comparables peuvent être suffisamment proches p o u r p r o v o q u e r p a r « coalescence» une ano malie gravimétrique unique, d o n t l'examen ne permet pas de conclure à une origine m u l t i p l e . L a figure illustre en outre l'intérêt que présenteraient des mesures faites au-dessous de la surface d u sol, à proximité d u t o i t des structures profondes : la séparation des e ^ t s devient évidemment plus nette.
C o m m e i l n'est pas question de réaliser de telles mesures, o n cherchera à les calculer à p a r t i r des résultats obtenus à la surface. Ce calcul d u « c h a m p prolongé vers le b a s » , g ( - z), possible sous certaines c o n d i d o n s (*) (Baranov), a p p o r t e r a i t effectivement une s o l u t i o n a u problème (*) Le champ g subit une discontinuité à la traversée des masses perturbatrices ; i l ne peut donc être « prolongé » (c'est le problème classique de D i r i c h l e t ) , qu'à l'extérieur de ces masses ; or, o n ignore leur position...
TRAITEMENT
DES
RÉSULTATS
617
de la séparation horizontale, mais ce n'est pas en général celle que l ' o n choisit. O n préfère le plus souvent calculer les dérivées verticales dg/dz ou d'^g/dz^. Le champ étant h a r m o n i q u e , la r e l a t i o n
dx'
dy'
dz'
f o u r n i t la valeur de la dérivée seconde : c'est la somme, changée de signe, des courbures, suivant deux axes rectangulaires, de la surface représen tative d u c h a m p mesuré. R e m a r q u o n s que les dérivées d'g/dx' et d'g/dy' n ' o n t pas été mesurées directement, mais déduites de la forme de l a sur face g(x, y), elle-même définie par des mesures espacées. Ces dérivées sont donc des valeurs moyennes, o u lissées, ce q u i constitue u n facteur favorable. En effet, la valeur vraie d'une dérivée seconde en u n p o i n t serait beaucoup t r o p sensible à l'influence des masses très proches p o u r être utilisable en prospection. En ce q u i concerne la dérivée première ogjdz, sa valeur exacte (Baranov) est donnée par l'intégrale g'ÀO)
[
=
^^^-β^^6ρ p
(3)
0
dans laquelle O est l'origine des coordonnées semi-polaires p, 0, zetg(p) la valeur moyenne de g dans le plan (p, 0) sur une circonférence de centre O et de r a y o n p.
Pratiquement, le calcul d'une carte transformée T — c h a m p prolongé o u dérivée d''gldz" — est réalisé de façon approchée, le résultat étant f o u r n i par une f o r m u l e d u type T = ag(0)
+ bgil)
+ cg(2 /) + dg(3 /) + -
(4)
dans laquelle g(0) est la valeur à l'origine et g(nl) la valeur moyenne sur une circonférence de rayon ni ; / est le « pas », d o n t le choix c o m p o r t e une part d ' a r b i t r a i r e . Les coefficients a, h, c, ... sont calculés une fois p o u r toutes p o u r chaque type de t r a n s f o r m a t i o n ; ils obéissent aux conditions suivantes : a + h + c + ••• = + l s'il s'agit d ' u n c h a m p prolongé , a + b + c + ••· = 0 s'il s'agit d'une dérivée verticale . Ces c o n d i t i o n s i m p l i q u e n t que l'anomalie régionale est conservée dans le premier cas et éliminée dans le second. Pour le voir, i l suflfit de traiter une ano malie en forme de plan incliné par l'une o u l'autre f o r m u l e : le prolongement conserve l'anomalie, la dérivation en fait u n plan h o r i z o n t a l . L ' a p p l i c a t i o n des formules (4) appelle une remarque : ces formules ne sont applicables que si les valeurs de g sont relatives à un plan. O r , nous l'avons v u , l'anomalie de Bouguer reste attachée à la surface d u sol. Ce n'est donc que dans
618
PROSPECTION
GRAVIMÉTRIQUE
le cas où cette surface peut être considérée c o m m e pratiquement h o r i z o n t a l e que de tels calculs sont légitimes. E n prospection pétrolière, où les objectifs sont profonds, u n relief c o m m e celui de la partie centrale d u Bassin Parisien ne j o u e aucun rôle à cet égard, mais i l n'en est pas de même de celui d u M o r v a n o u des Ardennes. E n prospection minière o u de Génie C i v i l , où les objectifs sont peu profonds, i l n'est presque jamais licite d'employer les formules (4). Le problème d u calcul des dérivées dans les régions à relief accentué peut être résolu de la façon suivante : o n commence par calculer le c h a m p prolongé vers le haut à niveau constant (en choisissant par exemple celui de la station la plus élevée de l'étude), et l ' o n calcule ensuite la dérivée de ce c h a m p prolongé. U n exemple très classique de l'efficacité de ces traitements est présenté figure 5. I l s'agit de recherche pétrolière au Texas : la carte brute montre une anomalie négative, q u i avait été interprétée comme provoquée par u n dôme de sel unique ; o n espéra atteindre celui-ci à l'aide de trois forages, placés sur le m i n i m u m central, dont les résultats furent négatifs. Ultérieurement, le calcul d'une dérivée m o n t r a l'influence combinée de plusieurs dômes de sel, maintenant bien séparés ; chaque dôme ayant fourni une p r o d u c t i o n de pétrole apprécia ble, i l s'agit là d ' u n incontestable succès des méthodes de filtrage. Car c'est bien encore de filtrage q u ' i l s'agit, l ' i m p o r t a n t étant beaucoup moins de calculer telle o u telle dérivée — d'ailleurs de façon approchée — que de donner aux coefficients a, b, c,... des valeurs numé riques conférant à la formule (4) (qui est bien une formule de filtrage linéaire) des propriétés adaptées au problème posé.
a) Anomalie de Bouguer ; b) Dérivée seconde.
DÉVELOPPEMENT
DE LA
PROSPECTION
GRAVIMÉTRIQUE
619
5. — I N T E R P R É T A T I O N Q U A N T I T A T I V E Le même effet gravimétrique peut correspondre à une infinité de distributions différentes des masses (forme, profondeur, contraste de densité) ; mathématiquement, le problème de l'interprétation quantitative directe — trouver la « structure » à partir de l'anomalie — est indéterminé. Heureusement, des considérations de vraisemblance géologique o u physique contribuent à réduire l'indétermination. C'est ainsi qu'en prospection structurale, les contras tes de densité entre les roches usuelles demeurent de l'ordre de 0,5 et sont le plus souvent inférieurs. De même, si l ' o n recherche des cavités à l'intérieur de formations de densité 2,2, un contraste inférieur à — 2,2 fera écarter la solution correspondante. I l reste que le rôle de l'interprétation quantitative en gravimétrie est limité. O n se contente le plus souvent de dégager des ordres de grandeur, et surtout de découvrir si l'anomalie étudiée est compatible avec telle o u telle hypothèse géologique. I l est b o n d'apporter des précisions quantitatives lorsque plusieurs solutions peuvent être envisagées. Ce cas se présente souvent en prospection minière : tel minerai dense {d ^ 4,5) se trouvera associé à des roches basiques (d = 3,0), elles-mêmes encaissées dans des roches plus acides {d = 2,7) ; une ano malie positive sera attribuable soit au minerai, soit aux. roches basiques seules, soit aux deux à la fois, et l ' o n p o u r r a rarement trancher sans faire appel à une autre méthode géophy sique..., o u au forage. Le prospecteur « dégrossit » d'abord le problème. I l dispose de nombreux ahiicjucs, q u i se ramènent à deux types : les uns permettent de calculer de façon approchée l'influence d'une structure donnée, les autres constituent u n catalogue d'anomalies provoquées par des structures de forme simple. Dans le premier cas, le géologue ayant fourni u n modèle, o n compare son effet à la carte expérimentale, et o n le « retouche » éventuellement. Dans le second cas, o n essaye de trouver dans le catalogue une anomalie à peu près superposable à l'anomalie expérimentale. Quelle que soit la qualité de l'accord obtenu entre l'anomalie due au modèle et les données mesurées, o n n'a trouvé qu'une solution p a r m i une infinité... Depuis quelques années, la « méthode d u catalogue » s'est enrichie d ' u n nouvel o u t i l , les abaques bilogarithmiques, utilisés depuis longtemps en prospection électrique. Le principe est simple ; considérons par exemple une structure en forme de cube : elle dépend de 3 para mètres q u i sont le côté d u cube, la profondeur au toit et le contraste de densité. Si l ' o n m a i n tient constants deux de ces paramètres en faisant varier le troisième, les anomalies obtenues se déduisent les unes des autres par des affinités, donc ne sont pas superposables en coor données arithmétiques. Elles le deviennent en coordonnées logarithmiques, car aux affinités correspondent des translations. Plus généralement, si une anomalie dépend de n paramètres, sa forme en coordonnées logarithmiques ne dépend plus que de « — 2 paramètres, d'où une réduction considérable de l'encombrement d u catalogue, et la possibilité d'y faire figurer un plus grand nombre de « modèles ».
6. — DÉVELOPPEMENTS DE L A P R O S P E C T I O N
MODERNES
GRAVIMÉTRIQUE
Jusque vers 1950, le domaine de la gravimétrie était presque exclusivement limité à la recherche pétrolière, sous forme de prospection structurale, générale m e n t peu détaillée. Puis o n s'est aperçu que les possibilités offertes par les gravimètres modernes permettaient d'envisager des études plus fines, soit en restant dans le domaine pétrolier (notre exemple de la F i g . 5), soit en élargissant le c h a m p d ' a c t i o n de la méthode. A c t u e l l e m e n t , la gravimétrie intervient p o u r u n peu plus de 10 % des dépenses de géophysique minière, et son rôle devient de plus en plus i m p o r t a n t . L ' e m p l o i
620
PROSPECTION
GRAVIMÉTRIQUE
combiné de plusieurs méthodes géophysiques a permis de constater qu'à c o n d i t i o n d'opérer avec une précision et une « maille » de mesures convenables, la gravimétrie p o u v a i t être une excellente méthode de subsurface ; en p a r t i culier, o n a souvent observé une bonne corrélation entre les paramètres densité et résistivité. U n c h a m p d ' a p p l i c a t i o n encore plus récent de la méthode gravimétrique est le domaine d u Génie Civil ; la connaissance très détaillée de la qualité des terrains concernés par des ouvrages (bâtiments, autoroutes, etc.) pose des problèmes redoutables, d o n t la résolution par forages est, soit extrêmement coûteuse, soit insuffisante si les forages sont peu n o m b r e u x . U n cas p a r t i c u lièrement difficile est celui des recherches de cavités, naturelles o u artificielles (anciennes carrières o u galeries) ; la méthode géophysique la plus efficace est a u j o u r d ' h u i la gravimétrie (*), grâce à l ' e m p l o i d'appareils permettant d'at teindre une précision de quelques microgals. Dans ces c o n d i t i o n s , le niveau des anomalies significatives peut ne pas dépasser 0,03 mgal. Parallèlement à cette évolution vers des études de plus en plus détaillées, la gravimétrie connaît u n regain de faveur dans le domaine de la grande recon naissance, grâce à la possibilité de réaliser des mesures en bateau ou en avion. I l y avait là deux problèmes redoutables : d'une p a r t les accélérations résultant d u roulis et d u tangage sont plusieurs milliers de fois supérieures aux anomalies à mettre en évidence, d'autre part, une nouvelle c o r r e c d o n , celle de la force de C o r i o l i s , est i n t r o d u i t e par le mouvement propre d u véhicule (vitesse instan tanée et direction). L ' e m p l o i de plates-formes stabilisatrices de plus en plus perfectionnées, j o i n t à celui d'accéléromètres, a apporté une s o l u t i o n convenable a u premier problème. Le second a été résolu grâce à l ' u t i l i s a t i o n de procédés radiolocatifs. E n f i n , l'enregistrement numérique des données gravimétriques permet de réaliser sur o r d i n a t e u r des traitements (filtrages, déconvolution, etc.) améliorant la qualité des i n f o r m a t i o n s significatives. D a n s les meilleures c o n d i t i o n s , la précision a t t e i n t e en bateau avoisine le m i l l i g a l ; mais elle est encore très médiocre en a v i o n : 5 mgal e n v i r o n . Obser vons p o u r finir que le développement actuel de la prospection sismique marine s'accompagne d ' u n certain renouveau de l'activité gravimétrique. E n effet, si les études faisant appel au gravimètre immergé o n t été p r a t i q u e ment abandonnées parce que t r o p onéreuses, i l est relativement peu coûteux d'embarquer un gravimètre sur le navire sismique, d o n t les coordonnées et la vitesse sont de toutes façons définies par radiolocalisation.
BIBLIOGRAPHIE
V. BARANOV, 1953. Calcul d u gradient vertical du champ de la gravité et d u champ magnétique mesuré à la surface d u sol. Geophysical Prospecling, vol. I, N " 3. (*) C'est même la seule méthode applicable en zone urbaine, les procédés électriques, parfois efficaces dans ce cas, étant condamnés par la présence des courants vagabonds.
BIBLIOGRAPHIE
621
V . BARANOV, 1954. Sur une méthode analytique de calcul de l'anomalie régionale. Geophy sical Prospecting, vol. II, N " 3. J. GOGUEL, 1963. La gravimétrie. C o l l . Que sais-je ?, Paris, P.U.F., 1963. S. HAMMER, 1953. Utilité des études gravimétriques de précision. OH and Gas Journal, septem bre 1953. H . N A U D V et R . NEUMANN, 1965. Sur la définition de l'anomalie de Bouguer et ses conséquen ces pratiques. Geophysical Prospecting, vol. XIII, N ° 1. R . NEUMANN, 1967. La gravimétrie de haute précision. A p p l i c a t i o n aux recherches de cavités. Geophysical Prospecting, vol. XV, N " 1.
25
CHAPITRE
FONCTIONS
D E L E G E N D R E ET D E BESSEL par Georges J O B E R T
1. — F O N C T I O N S DE L E G E N D R E
/./. — Polynômes orthogonaux sur (— 1 , + 1). — L a représentation d'une f o n c t i o n sous f o r m e d'une série de fonctions données permet de t r a i t e r de n o m b r e u x problèmes de physique mathématique. L a méthode donne les résultats les plus simples q u a n d les fonctions f o r m e n t un système o r t h o gonal. Dans le cas des problèmes sphériques à symétrie de révolution, oij l ' o n peut repérer un p o i n t sur une sphère par une seule coordonnée, la c o l a t i t u d e 0, on est amené à prendre .v = cos 0 c o m m e variable. Cette quantité v a r i a n t entre — 1 et + 1, o n recherchera une suite de fonctions φ„ orthogonales sur ce segment. O n part de la suite complète des puissances de X ; o n sait en effet (théorème de Weierstrass) que toute f o n c t i o n c o n t i nue dans un intervalle fermé peut être représentée uniformément sur cet intervalle par des polynômes. L a méthode d ' o r t h o g o n a l i s a t i o n consiste à construire à p a r t i r de la suite de fonctions φ„ une suite de la forme : n- 1
m= 1
telle que 'An'/'md.x = 0
ηφιη.
si
Les deux premières fonctions ψο = l, φι = x, sont orthogonales. O n prendra : φ'2 = x'
-
ax -
b
telle que : -+1
r+l
ψ'2 ΦΌ d x = J-1
1A2 ·Αί d x =
J-1
0.
24
FONCTIONS
O n t r o u v e ainsi a
DE LEGENDRE
ET DE
BESSEL
0 el h = 1/3. Les polynômes obtenus en p o u r s u i v a n t
l ' a p p l i c a t i o n de ce procédé sont alternativement pairs o u i m p a i r s . Le polynôme de rang .v est de degré n. O n normalise généralement les fonctions orthogonales en prenant : ' Φ',,' d.v = 1 , 1
o n obtient alors des fonctions orthonormées. L ' h a b i t u d e est différente p o u r les polynômes de Legendre p o u r lesquels on prend : Λ,(ΐ)=ΐ·
(1)
L'expression des premiers polynômes est donnée dans la table L /. 2. — Formule
de Rodrigues.
— I n t r o d u i s o n s la p r i m i t i v e de P„ définie par : Pn(t)dt.
En itérant o n obtient : •j( - m
+ I )( O d i
=
^
tx - /V""'
On a :
et Pn ' " * ( - 1) = 0
quel q u e soit
m > 0 entier.
Si tti < II, P,*~"'\+ 1) = 0, car P„ est o r t h o g o n a l à toutes les puissances de X de degré inférieur à //. A i n s i P„*~"'(.Y), q u i est u n polynôme de degré 2 n, admet x = + I et Λ" = -
1 comme racines d'ordre n, ce q u i le définit
à u n facteur près : P;,-"'(x) = A{x'
- 1)"
et p a r suite P„(x)
7 . 5 . — Normalisation.
= A
f^ix'
dx
- 1)".
— O n vérifie aisément que : d"
FONCTIONS
625
DE LEGENDRE
A i n s i la r e l a t i o n (1) c o n d u i t à :
Posons : ''^'p„(x)P„,(x)dx = / l „ ^ ,
ôl
=
- 1
Pour
1
si
n = m
0
si
n φ m
calculer A„ =
j^jp„(x)P„(x)dx,
o n intègre n fois par parties ; compte tenu de ce que
o n trouve par récurrence ;
/(„ = 2/(2/7+1).
(3)
Les polynômes orthonormés sont donc :
,«"+"(172) W J.4. — Equation faite par :
différentielle. — Partons de l'équation différentielle satis
u = (x'
-
1)",
En dérivant cette expression faite par P„(x) : (x'
-
1)/"
(.v' -
1)
= 2 nxu .
(/? + 1) fois o n obtient l'équation satis
+ 2 . v / ' * - n(n + 1)>' = 0 .
(4)
O n peut écrire aussi : {{x'
-
Dy')'
-
n(n + l ) j = 0 .
Si l ' o n i n t r o d u i t la colatitude 0, x = cos 0, o n obtient :
si^d^(^-^5i)+"i"+'^^
= «-
^''^
1.5. — Fonctions harmoniques sphériques de révolution. — Cette dernière équation est rencontrée dans l'étude des solutions de l'équation de Laplace. E n coordonnées sphériques le laplacien d'une f o n c t i o n F{R, 0, χ) a p o u r expression :
FONCTIONS
AF
DE LEGENDRE
ET
DE
BESSEL
- R' + , sin 0 — + dR ôR R^ sin θ οθ δΟ
=
Si l ' o n recherche des solutions de o n obtient :
--
. sin^ 0 δχ^
= 0 sous la forme F = f ( Λ ) g{0)
/ 'ÎR '^' JR + g sin i) ίθ
^s
= ° ·
Le premier terme n'est f o n c t i o n que de R, le second que de 0. Ce s o n t donc des constantes opposées. Si l ' o n pose ; ^
-, df
fdR
dR
on a : /=
ou / =
R"
R'"-'
,
et l'équation satisfaite par g est l'équation (4'). Pour /; entier les fonctions R" P„(cos 0) et fonctions harmoniques.
^ P„(cos 0) sont donc des
L'équation (4) est une équation d u type de Fuchs à trois points singu liers réguliers ( — 1 , -H 1, oo). 11 existe une s o l u t i o n analytique p o u r A- = - f 1, que l ' o n peut exprimer en utilisant la série hypergéométrique : L
.
.
a-b
ci(a + \).b(b
+ 1) 2
O n vérifie que : n + I, -
n ; 1, 1 - λ-
pour
H entier .
Pour n quelconque la série diverge p o u r χ- = - 1. L a s o l u t i o n de (4) égale à 1 p o u r .v = 1 a un p o i n t singulier l o g a r i t h m i q u e p o u r x = — 1, sauf p o u r n entier. L a suite des fonctions R" P„(co% 0) constitue la famille des fonctions propres, solutions de l'équation de Laplace, continues et finies a u voisi nage de l'origine des coordonnées. Elle constitue donc u n système complet q u i permet de représenter toute f o n c t i o n continue p a r segments et finie p o u r Λ = 0. De même la suite R~"~^ Pn(<^o^ 0) permet de repré senter toute f o n c t i o n nulle à l ' i n f i n i . .6. — Potentiel d'une source. — N o u s utiliserons cette propriété p o u r représenter le potentiel en u n p o i n t de coordonnées (R, Θ) (R < 1) d'une charge placée au p o i n t de coordonnées ( 1 , 0). Ce potentiel est donné p a r :
FONCTIONS
DE
' = -, d \ / l - 2 Λ cos 0 +
LEGENDRE
R'
^=
627
A„ R" P„(cos 0 ) .
£ " =O
Pour cos 0 = I o n a 1
donc A„ = I et ; 1 - 2 Kx +
d
_ = Σ
PnM
-
•
(5)
7 . 7 . — Relations de récurrence. — P o u r des ordres n assez grands o n calcule généralement les polynômes par récurrence. E n dérivant (5) par r a p p o r t à /? o n o b t i e n t : (2 « + 1) xP„ = « P „ _ , + ( „ + 1) />„^ ^ ;
(6)
cette relation est valable p o u r « = 0. De même en dérivant par r a p p o r t à X o n obtient :
P„ = P < V i - 2 x P i " + P < i ' i . E n m u l t i p l i a n t les deux membres de (5) p a r d'et avec (6) et (7) o n trouve encore :
(7)
en c o m b i n a n t le résultat
(2 n + 1) P„ = PiV, - P i ' - ' i .
(8)
O n obtient des formes plus symétriques en cherchant les récurrences à deux termes : P,
= ( « + l ) P „ + xPi^>
P<'_'i
= -
nP„ +
xPi'>.
1.8. — Fonctions harmoniques sphériques dans le cas général. — N o u s nous sommes bornés j u s q u ' i c i au cas de la symétrie de révolution. E x a m i n o n s maintenant le cas général où la f o n c t i o n F dépend aussi de la l o n g i t u d e χ. Si l ' o n cherche une s o l u t i o n séparée de l'équation de Laplace sous la forme : / (R) g(0) Ιι{χ), o n a p o u r ces fonctions d'une variable l'équation : 1 f
j _ _ àR
àR
d
g sin 0 άθ
.^^dg^ àO
1
d _ ^ ^ ^
h sin' 0 άχ'
N o u s poserons encore le premier terme égal à : n(n + 1 ) . L e terme d'h/hdx' ne dépend pas de 0 et d o i t être constant, h est donc une f o n c t i o n
628
FONCTIONS
DE LEGENDRE
ET
DE
BESSEL
exponentielle. Si la f o n c t i o n f e s t c o n t i n u e sur toute la sphère, /; d o i t être périodique de période 2 π et par suite : a^hjhay^ = , m étant un n o m b r e entier. L'équation satisfaite par g est donc : ' -'^sinO'^^- + U sinOdO àO \
+ l ) -
)g = 0 sin'O'
(9)
J
(9')
ou en prenant .Y = cos 0 c o m m e variable : (x' -
\)y"
1.9. — Fonctions
+
2xr' -
de Legendre
(«(/7
^
+ 1)
-
I -
r = 0 .
X >
associées. — U n e s o l u t i o n peut être trouvée
sous la forme : -
1
X +
1
X
m 12
f |/7 +
1, -
n ; 1 +
"1,-----j
q u i généralise la f o n c t i o n de Legendre obtenue p o u r m = 0. P o u r m entier positif, cette solution est nulle p o u r x = 1, p o i n t de branchement si m est i m p a i r . L a f o n c t i o n admet le p o i n t x = — 1 c o m m e p o i n t singulier l o g a r i t h m i q u e sauf si la série est i n t e r r o m p u e , c'est-à-dire si n est entier. O n retrouve l'équation (9') en dérivant (4) m fois, et en prenant p o u r f o n c d o n : u = (x^ - iy"/^ L'équation (9') admet donc p o u r s o l u t i o n la f o n c t i o n : d'" P„,„,(.v) = ( l - χ 2 ) ' " / 2 / > „ ( . v )
(10)
Il est le degré, m l'ordre de la f o n c t i o n ( f o n c t i o n de Ferrers) ('). P„ étant un polynôme de degré /;, seules sont différentes de zéro les /; premières dérivées : P„,m(x) = 0 p o u r ΠΊ > n. O n a d'ailleurs :
1.10. — Orthogonalité des fonctions
associées. — Ces fonctions étant solu
dons d'une équation d u type de L i o u v i l l e sont orthogonales si seul leur degré diffère. + 1
I
P„.,„('V) P,,„,(x) d x =
0
si
ηΦ
p.
-1
C) D'autres notations sont couramment utilisées avec, éventuellement, des facteurs de normalisation différents, par exemple : Γ " ,
P " , pn,
...
FONCTIONS
DE
629
LEGENDRE
/. //. — Relations de récurrence. — E n dérivant m fois et en m u l t i p l i a n t par (1 —Λ:2)'"/2 les relations de récurrence des polynômes de Legendre, on obtient à partir de (9) : P„
Λν-ι,,„, i(.v) -
/") J"\ — Λ-^Λ,,,η r xPn.ml
1
\.m ·>(Χ) -- (n
]
D'autres relations sont obtenues de la même façon à p a r t i r des autres A partir de la définition de P„,m o n obtient par dérivation : P„
h
P
I
,m
(11)
ί
( m ^ n ) v ' i — - V - 1 xPn.mn
équations.
^r' p'"
(12)
J\ - . V 2
1.12. — Normalisation des fonctions associées. — E n élevant les deux membres de (12) au carré et en intégrant o n obtient
- 1 " + 1
dx . •
-1
I
-
X
C o m p t e tenu de (9') on trouve Αη,,,,+
ι
= (n -
finalement
m)
(rt +
:
1) /!„,,„,
m +
et par suite :
_,
{P,
Mf
dx =
(n + m) ! (il -
m)
! 2
n +
(13)
1 •
Les fonctions orthonormées sont donc données par
V" + (i)
/in
V
-
m !)
{n (n + m) !
En fait, de même que Ton utilise de préférence les polynômes de Legendre imparfaitement normes, de même l ' h a b i t u d e est prise, dans l'étude de la pesanteur, d'utiliser les fonctions de Ferrers et, en géomagnétisme, d ' u t i liser les fonctions de Schmidt que nous noterons :
(n + m) !
dx
m > 0.
(14)
Cette définition ne d o i t pas être utilisée p o u r m = 0 ; nous poserons : P°(x)
s
P : ( X ) P ' ; ( X ) dx
=
P„ix).
Pour ces fonctions : • + 1
- 1
2TTT^"
(m Φ 0 ) .
(15)
630
FONCTIONS
1.13. — Fonctions
DE
LEGENDRE
ET
harmoniques
de surface.
s:
0)
= P^icos
DE
BESSEL
— Les fonctions
1 cos
Οηχ)
sin
constituent u n système complet de fonctions propres p o u r n et m entiers. A chaque valeur de n correspondent (2n + 1) fonctions. Celles-ci sont orthogonales sur la sphère, comme le sont les fonctions trigonométriques d'une p a r t et les fonctions de Legendre p o u r une valeur donnée de m, d'autre part. T o u t e f o n c t i o n / continue par segments sur la sphère Σ peut être représentée par une série π
00
C 0 S ,ηχ + β;
Θ).
(16)
C o m p t e tenu des relations d'orthogonalité les coefficients sont donnés par :
A'^ et B,"
φ(0, ζ ) =
Σ
Σ
(1 = 0
(^η
m= 0
sin mx)P':(cos
On a : sin 0 dO άχ [/ -
4π 2n
+
l
\ sin 0' dO'
1 =
dïfiO',
χ') P;,"(cos 0') : ° : ( - / ) .
(17)
0
O n peut donc
écrire : sin 0' dO' J
0
m=
0
X Σ
άχΊ(θ',χ') Σ
K'icos
(2n + 1) X
θ) /""(cos Ο') cos ιη(χ -
χ') .
(18j
O n peut aussi i n t r o d u i r e les fonctions : y;;" = P l ' " l e " " ^
m e ( - «, + « ) .
Ces fonctions sont telles que : Γ2π
Απ J
sin Ο dO
2 δ„„ δ,„.
C n ' d z = {2n+ -' ο
1)α„
(19)
avec : α,„ = 1 si ni # 0, ao = 2. L a série ψ représentant/est donnée p a r :
Σ
Σ
Π= Ο m= - η
(/,
0
02
η + 1)¾!,
(20)
FONCTIONS
DE
631
LEGENDRE
en i n t r o d u i s a n t le p r o d u i t scalaire : sin 0 dO
(21)
dyj-g.
g étant la f o n c t i o n complexe conjuguée de g. 1.14. — Formules d'addition. — Faisons maintenant dans les intégrales un changement d'axe polaire en prenant c o m m e axe le rayon {Θ, χ). Le p o i n t M'(Ο', χ') a p o u r nouvelles coordonnées (0^, χ , ) . C o m m e P„(cos 0) = 1 ,
P;"(cos 0) = 0
( m # 0)
la formule (18) se réduit à : φ{0, z ) =
f
Remarquons
sin 0, de,
f
dxf(M')
f
(2 « + 1) P„(cos 0 , ) .
que :
cos 0, = cos O.cos 0' + sin O.sin 0'.cos(x
— χ')
ou P,(cos Oi) = P,(cos 0) P i ( c o s Q') + PiVsin 0) Ρ\(ύη
Ο') cos(χ -
χ').
L a comparaison des formules précédentes amène à l'égalité : Q„ = P„(cos 0,) -
f
P;r(cos 0) P:(COS Θ') COS m(/
m =
-
χ) = 0 .
(22)
0
O n a en effet quelle que soit la f o n c t i o n / : '2π
sin 0' dO'
00
d / 7 ( M ' ) ^ Q„(2 n + 1) = 0 . J 0
0
E n prenant p o u r / une f o n c t i o n Q„ de rang n donné, à cause de l ' o r t h o gonalité des harmoniques de surface, o n obtient : sin 0' dO'
dï
Ql = 0
ce q u i i m p l i q u e bien g „ = 0. L a f o r m u l e (22) constitue la f o r m u l e d ' a d d i t i o n des fonctions de Legendre. 1.15. — Expressions
on
asymptotiques. — Partons de l'équation (9). E n posant : y = u/y'sin θ
obtient : u" +
M = wu
(23)
632
FONCTIONS
DE LEGENDRE
ET DE
BESSEL
avec /. = n + i ,
vv = (4 m' -
1 )/4 sin^ 0 .
En considérant le second membre de (23) comme c o n n u , o n en déduit l'expression de u sous l a f o r m e :
u =
A CQS λ\^^ -
oj
+
β s i n /.i^
-
+
/(H'M)//.
/ étant une intégrale p o r t a n t sur wu, A et B des constantes calculables à partir des équations de récurrence. On trouve finalement si : 0 < ε < 0 < π —ε et n ^ m P
(cos 0) = n"
πη sinO
cos
ITT
TAHIJ:AU Fonctions
0
1 2 3
4
I sin cos 0 | . i (3 cos^ff— 1) 3 siii tf cos ί
\'3
de iîi>rniaHsation β\\^ ^
I
15 sin'- 0 y .·; cos tf
1
J- (35 cos' β —! J sintf ; •; (35 cos' θ — — 15 cos β)
ijsin-β X -(105 cos'^ β — -15)
J
I Λ'ΙΟ
15 s i n ' tf
jl05 sin-'β I X cos tf
v'iso
, ο'Φ —~ = 0 dt'
en coordonnées cylindriques {r, 0, z) de l a forme Φ
;105 I
_ '
V'2 52Ô:
sin« tf 1 ,-ν'20160
ET DE H A N K E L
2.1. — Equation des ondes en coordonnées cylindriques. des solutions de l'équation = ΛΦ -
1 \-360
2. — F O N C T I O N S D E BESSEL
•Φ
^^η'Ι^^η,,η
3 sin- tf
I ! i (5 COS-' θ — — 3 cos tf)!i sin (15tfcos-e—3) — Λ/6 : - . 3 0 cos-tf -^3)
(24)
Ι
non norniàes /^,,^,,,(00¾ Θ} cl coefficients
j I
+ 0{η-'").
. ( " + 2 , ) ^ - 4 + -2-.
=f{r)g(0)h{z)k(t).
— N o u s chercherons
(1)
FONCTIONS
DE BESSEL
ET DE
HANKEL
633
En p o r t a n t cette expression dans (1) o n obtient : / 7 / + f'Irf
+ g"lr'
g + h"lh = v' k"lk ;
par suite : k = exp(iwr),
h = exp(wz),
g = exp(i«0)
et / est s o l u t i o n de : V "
+ rf
+ v' ω ' ) r'
+ [(m'
ν(»?·^ + v' ω ' )
E n prenant : .v =
x\f"
+ xf
+ (x'
-
n']
= 0.
r c o m m e variable o n obtient : -
(2)
n'}f^O.
Les solutions de cette équation — notées de façon générale C„ — sont appelées fonctions de Bessel. 2.2. — E q u a t i o n des ondes en coordonnées sphériques. — Recherchons maintenant une s o l u t i o n de (1) en coordonnées sphériques {R, 0, φ) de la forme : Φ = f(R)g(0) h{ψ) k(t). On
trouve :
/ 7 / + 2 f'IRf
sin 0 + h"/h s i n " 0]JR'
+ [(smQg'yig
= v' k"lk ;
par suite : k = exp(iωf),
h = exp(im(p),
g =
et / est s o l u t i o n de : R'f"
+ 2 Rf
+ \v' ω ' R- -
n(n + 1 ) ] / = 0
et donc de la f o r m e :
2.3. — Représentation intégrale. Fonctions de Hankel. — O n représente les solutions de (2) sous forme d'une transformée intégrale d'une autre fonction (Courant et H i l b e r t , I , p. 468) :
;'(.v) -
Α·(Λ-, Z) >iz)
dz
J L
L étant un contour dans le plan complexe z. O n voit que l ' o n peut prendre K
e x p ( ± i.K sin z)
n = e x p ( ± inz)
FONCTIONS
DE LEGENDRE
ET
DE
BESSEL
en choisissant convenablement L. Pour Re .r > 0 o n peut définir deux solutions dites fonctions de H a n k e l , par : ' —π //„'"(.v)
-
-
+ i
i
cxpfiHz —
i.v sin z ) d z ,
j
J -ix
(3)
- ix exp(i/7z — ix sin z ) d z . \
Ces fonctions peuvent être prolongées analytiquement dans t o u t le plan Λ'. O n montre que //") tend vers zéro quand x tend vers l'infini dans u n vecteur angulaire du demi-plan I m A- > 0 aussi voisin que l ' o n veut d u demi-plan. D e même i i < 2 ) tend vers zéro dans un vecteur angulaire d u demi-plan I m x < 0. Ces deux solutions sont indépendantes et toute solution de (2) peut s'écrire :
Cn - - α , / / 1 " + ί 7 2 « ή " . 2.4. — Fonctions de Bessel et de Neumann. — P o u r x et Λ réel //,','* et //ί,^' sont imaginaires conjuguées comme o n le v o i t à p a r t i r de leurs expres sions (3). O n écrit :
N„(x) = I m i / i " = (//i" -
Hl:^)/2i
(4)
O n déduit de (3) l'expression intégrale de J„ ( f o n c t i o n de Bessel). O n a p o u r n entier : exp(i«z - i x sin z) dz -n
π J
COS (nz — X sin z) dz .
(5)
/„ est une fonction entière q u i admet p o u r développement convergeant partout : ( - 1)"'
/x\ 2 •m
(pour n > 0 ) .
„tO m\{n + m) T \ 2 /
(6)
L a f o n c t i o n de N e u m a n n Λ'^ est singulière à l ' o r i g i n e et est par conséquent m o i n s utile en physique. J et N sont évidemment linéairement indépen dantes. 2.5. ~ Relations
de récurrence des fonctions
de Bessel. — O n m o n t r e que :
xJ'„(x) = nJ„ - J„,^i 2 nJ„(x)lx
= Λ-1
+
Λ+1
(7)
FONCTIONS
2.6. — Fonctions
d'ordre
DE BESSEL
demi-entier.
ET
DE
HANKEL
635
— On a :
(8)
et d'après (6) p o u r n > 0 : „{2χ)"^"'Λ,+
1/2(Χ) =
( -
1)
d"
/sinx
dix')
(9)
2.7.—Intégrale de Fourier-Bessel. — A p a r t i r de la t r a n s f o r m a t i o n de F o u r i e r et en utilisant la représentation (5) o n montre ( C o u r a n t et H u b e r t , I , p. 490) que toute f o n c t i o n / continue et lisse par segments, d'intégrale
\ dr finie, peut être calculée à p a r t i r de sa trans
r \f(r)
formée g : g(s)
fix)
=
x/(x) y„(sx) d x j 0
=
'
sgis) J„isx) ds ' 0
\
(10)
2.8. — Zéros des fonctions de Bessel. — Pour n réel supérieur à — 1, J„ix) n'a que des zéros réels, en n o m b r e infini, q u i sont séparés entre eux par ceux de /„'. Cette propriété peut se déduire d u développement (6). 2.9. — M é t h o d e du col. — L a méthode d u col peut être utilisée p o u r obtenir une valeur asymptotique d'une intégrale de la forme : / =
exp(x/(t)) d i ,
(U)
p o u r les grandes valeurs de x, le c o n t o u r C étant tel que Re [ / ( O ] tend vers — GO à chaque extrémité. O n déforme ce c o n t o u r de façon que les parties c o n t r i b u a n t de façon significative à / soient concentrées au m a x i m u m a u t o u r d ' u n point. A u t r e m e n t d i t , o n recherche u n trajet contenant un p o i n t p o u r lequel r = Re [ / ( 0 ] ^ u n m a x i m u m et décroît aussi vite que possible à p a r t i r de ce m a x i m u m . Si l ' o n définit une surface Σ par les coordonnées (Re [t], I m [ i ] , r ) d ' u n de ses points, les courbes de plus
FONCTIONS
DE LEGENDRE
ET DE
BESSEL
grande pente sur Σ sont les trajectoires orthogonales des courbes de niveau = Cte, c'est-à-dire les courbes I m [/(/)] = Cte. r ne peut a v o i r de vrai m a x i m u m sur Σ, mais a u plus une valeur stationnaire correspondant à u n c o l . E n u n tel p o i n t , les dérivées ( R e [ / ( 0 1 ) ' et ( I m [ / ( i ) ] ) ' d o i v e n t être simultanément nulles. Le c o l est donc t e l que :
ruo)
= 0.
Une fois trouvé le c o l , o n déforme C de façon à passer par /Q et à suivre les lignes de plus grande pente. A u voisinage d u c o l o n peut écrire : fit)
=f(to)
+ it-
i o ) V " ( ? o ) / 2 + 0(t -
to)' .
Si f'Uo) = a exp(ia), t - tg = p exp(i6)), o n t r o u v e les chemins de plus grande pente a u voisinage d u c o l en a n n u l a n t l a partie imaginaire d u produit f'Vo)
(t -
tof
= « p ' e x p [ i ( a -I- 2 0 ) ]
c'est-à-dire p o u r θ = -
ix/2,
0 =
0C/2 + π/2.
-
11 convient évidemment de prendre le second trajet p o u r lequel f(t)
=f(to)
-
ap^/2 +
O(p').
O n peut en première a p p r o x i m a t i o n écrire : I ~ exp[x/(io)] J
exp 1^ -
ap^ -j dp exp(iO)
s'il n ' y a pas d ' a u t r e c o l à traverser, soit V 2"^ exp[x/(fo) - ia/2 + ίπ/2]
(12)
vi/"(io) JO. — Application au calcul d'un développement asymptotique des fonctions de Hankel. — L a f o r m u l e (3) p o u r
par exemple est d u type (11).
N o u s poserons .v = an, et supposerons n réel et g r a n d , et a réel : //^"(ίίη) = — --
exp[in(z — a sin z ) ] dz .
Comme / ( z ) = i(z -
asinz)/a
les cols sont donnés p a r : a c o s z = 1.
BIBLIOGRAPHIE
637
D e u x cas sont à d i s t i n g u e r suivant que a est o u n o n supérieur à l'unité. O n trouve
finalement
w!,"
en posant a = 1/cha o u 1/cosa :
( 7 " ) ~ \ch a/
-
i J — J - e x p M a V ττη th α '^'- ^
J„(«/ch a) ~ exp[«(th α -
th a)] / '
α)] (2 πη th α)
(13)
\
dans le premier cas et
^"•'(cosa)
(14)
"
'cosa/
" cos n ( t g α V πη tg a
a)
-
pour le second cas.
BlBLIOGRAPHŒ
ROBIN, 1 9 5 9 . Fonctions sphériques de Legendre et fonctions sphéroïdales, Gauthier-Villars, 3 vol. ( 2 0 2 , 3 8 4 , 2 8 9 p.). ANGOT, 1 9 6 5 . Compléments de mathématiques, 8 6 2 p., Masson et Cie. COURANT, D . HILBERT, 1 9 7 0 . Methods of mathematical physics, t. I, 5 6 1 p.. Interscience publ. PETIAU, 1 9 5 5 . La théorie des fonctions de Bessel., C N R S , 4 7 7 p .
INDEX
ALPHABÉTIQUE
Les chiffres renvoient aux pages, les chiffres en italique correspondent à des termes utilisés comme titres de sections.
basalte, 280. bases gravimétriques, 417, 612. accélération en bout, 216. bassins océaniques, 277. accéléromètre, 215. Bessel (fonctions de), 632. Adams et W i l l i a m s o n (condition de), 578. Betti (formule de), 343. agitation microsismique, 214, 225, 336. Bingham (corps de), 18. Airy Birch (formule de), 478. — (fonction d'), 13. Birch-Murnaghan (équations de), 579. — (intégrale d'), 199. Boltzmann (corps de), 27. — (modèle d'), 475. boucle de dislocation, 33. — (phase d'), 199. ί bouclier, 277. Bouguer (anomalie de), 395, 440, 612. A i r y - V e n i n g Meinesz (modèle d'), 475. brisure (point de), 601. A k i (formule d'), 390. Bruns (formule de), 443. aliasing, 523. Bullen (critère de), 578. alidade nivelatrice, 414. Bullen-Haddon (modèles de), 582. altimétrie, 469. Bureau International de l'Heure, 535. altitude, 425. Burgers (vecteur de), 32, 342, 394. — normale, 426. amortissement critique, 215. — des ondes, 29, 20/. C — de l'oscillation de Chandier, 551. I amphibolite, 280. \ Cagniard (méthode de), 125. amplitude (ondes superficielles), 202. calcite, 40. — le long d ' u n r a i , 108. capteur de déformation, 218. Andrade (loi d'), 38. carottage géophysique, 594. anélasticité, 10, 36. — sismique, 609. anisotropie (milieu élastique), 97. Carson (transformée de), 27. anomalie de la pesanteur, 439, 446, 611. cartographie, 413. Cauchy (équation de), 90. — à l'air libre, 439, 442, 463. caustique, 144. — de Bouguer, 395, 440, 480, 612. — isostatique, 269, 442, 475. cavités souterraines, 620. — (contraintes autour de), 72. — régionale, 616. célérité d'une onde, 101. anormal (manteau), 278. antiracines, 475. ; centre de dilatation, 347. ; chaînes de montagnes, 277. aplatissement hydrostatique, 577. — de volcans, 499. — interne, 590. chaleur arc insulaire, 277. — (création de), 92. assemblage, 246. I — spécifique, 95. astatisation, 217. • champ de pesanteur, 421, 442. asthénosphère, 40, 473, 487, 490. — — — prolongé, 616. — (viscosité de I"), 489. Chandier (période), 538, 551. — (excitation de l'oscillation de), 552. B changements de phase, 355. bandes^de Lûders, 3 1 , 37, 4 1 . charge de rupture, 28. Choudhury (méthode de), 240. barrages (mise en eau des), 6 1 . A
640
INDEX
ALPHABÉTIQUE
ChristoiTel (coeflîcients de), 85, 86, 87. • critères de Tresca, de v o n Mises, 16. cisaillement, 7, 9. I critique (distance), 239. cission, 2. i — (point), 601, 603, 605. — efficace, 5. croûte terrestre, 40, 229, 272. — (relaxation de), 22, 172. — continentale, 272. Clairaut (équation de), 576. — océanique, 274. coalescence, 616. — (composition de la), 279. coda d ' u n séisme, 181, 391. — (fluage dans la), 40. coefficient de dilatation linéaire, 94. — élastique adiabatique, 95. — élastique isotherme, 94. — de frottement, 68. I d a t u m plane, 605. •— d'influence, 202. déconvolution d'un sismogramme, 222, 608. déformation — de réflexion, 114. — de self-diffusion, 44. — anélastique, 10. — de transmission, 114. I — élastique, 10. col (méthode d u ) , 134, 142, 635. I — finie, 9, 88, 580. collimation (erreur de), 410. j — infinitésimale, 7. compensation isostatique, 441, 474. I — d u sol, 54. — (niveau de), 473. ! —• d'une sphère élastique gravitante, 171, composantes contravariantes, 87. i — (tenseur de), 83. — covariantes, 86. \ — (vitesse de), 7. composition de traces, 604. délai, 602. conductivité thermique, 94. densité coniques (ondes), 139, 230, 601. — (corrélation avec la vitesse sismique), C o n r a d (discontinuité de), 272. 269. constante de la gravitation universelle, 423. — de la Terre, 576, 586. contraintes —• d'énergie, 164, 169. Denver (séismes de), 62. — normale, tangentielle, 7. déplacement — (directions principales des), 7. • — préséismique, 55. — hydrostatiques, 94. — statique, 176, 514. — (chute des), 379, 400. — (relation entre — et déformations), i dérive instrumentale, 419, 523, 612. ! — d u pôle, 539. 93. — (relation entre — et déplacement), 97. I dérivée : — covariante, 85. — (tenseur des), 2, 89. —· verticale de la pesanteur, 617. convolution, 123, 220, 348, 480, 608. coordonnées D e r r (modèles de Terre de), 583. Descartes-Snellius (loi de), 115, 154, 284. — cylindriques, 86, 9 1 , 136, 632. déviateur des contraintes, 4, 12. — de Lagrange, 84. — sphériques, 87, 92, 102, 106, 140, 627, déviation de la verticale, 434, 446, 517. I diagramme d'énergie, 200. 633. — de M o h r , 2. corrections diagraphie, 594. — d'altitude, 246. différences finies (méthodes des), 145. — de plateau, 440. différences régionales de vitesse, 201, 329. — statique, dynamique, 605, 606. dilatance, 39. — de surface, 246. dilatation linéaire (coefficient de), 94. — de terrain, 613. diopside, 42. cote géopotentielle, 426. i diorite, 280. coulissage, 49, 56. directions principales des contraintes, 7. C o u l o m b ( l o i de), 67, 79. dislocations, 32, 341, 379, 391. couplage électromagnétique, 561. — vis, coin, 32, 341. couplage entre vibrations propres, 209. coups de t o i t , 78. discontinuité (propagation de), 107. — de M o h o r o v i c i c , 40, 229, 250, 272, courant de chaleur, 94. 281. courbe intrinsèque, 36, 72. dispersion, 183, 195. courbes de propagation, 156, 234, 285. i — normale, 196. — (anomalies des), 235. i — inverse, 328. couverture multiple, 6()5. • — (courbes de), 327. crête médio-océanique, 277.
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ALPHABÉTIQUE
641
divergence d ' u n tenseur, 89. F dômes de sel, 596, 603, 614, 616. facteur dorsale océanique, 275. — γ, 514, 515. double couple, 347, 359, 395. — δ, 517. dromochronique, 601. — A, 518. dunite, 42, 44, 80. ! — de qualité Q (voir Q). D u n k i n (méthode de), 190. i faille, 49, 614. Dziewonski-Gilbert (modèles de Terre]^de), — inverse, normale, à coulissage, 5 1 . 590. I — sismique (modèles mathématiques de), 341. E ' fatigue statique, 28. Faye (formule de), 439. eau juvénile, 80. i Fennoscandie (soulèvement), 496, 584. écart à la sphéricité, 207. j Fermât (principe de), 108, 131. éclogitc, 280, 586. I filtrage, 223. écoulement, 11. — passe-bande, 615. écrouissage, 37, 76. j fissure de GriflRth, 72. effets sismomagnéliques, sismoélectriques, , fluage. II. 64. I — a, 28, 38, 39. eikonal, 108. — cassant, 28, 78. élasticité I — par dilîusion dans les sous-grains, 35. — parfaite, 19, 93. i — par glissements intracristallins, 31, — retardée, 19. I 35. éléments d'une orbite, 450, 452. — de Herring-Nabarro, 30, 43, 45. éléments osculateurs, 453. — par migration de lacunes, 29. ellipses (méthode des), 252. — de Nabarro, 35, 43. — plastique 45. ellipsoïde de Mac L a u r i n , 428. — (fonction de), 27. ellipsoïde de référence, 43L fluctuations de la r o t a t i o n , 540, 560. énergie fluide, 10. — de compression, 2 1 . focalisation, 109, 259. — de distorsion, 2 1 . — élastique, 2 1 . fonction de transfert d ' u n sismographe, 220. — interne, 92. i fonctionnelle — libre, 93, 97. — différentiable, 567. — totale, 92. — globale, 567. — (densité d ' — sur un front), 164, — n o n linéaire, 571. — (dissipation d'), 24. I force concentrée (action d'une), I I I . — émise et magnitude, 366, 373. — élastique, 90. — d'une onde plane, 361. — en fonction d u déplacement, 94. enstatite, 42. forme de la Terre, 421, 425. entropie, 93. ' fossés, 276. Eotvôs (correction d'), 419. Fourier (transformée de), 220, 263, 348. epicentre, 50, 58. Fourier-Bessel (transformée de), 138, 635. équations foyer, 50. — de la géodésie physique, 444. — superficiel, 78. — d u mouvement, 89, 90. — profond, 79, 288, 309. — des ondes, 100, 103, 632. foyer d ' u n séisme (détermination des coor — de transport, 108. données), 314. équilibre isostatique, 473. . fracture par clivage, 7 1 . erreurs (influence des), 571. — par corrosion, 28. essaim de séismes, 60. j Fréchet (noyau de), 567. étalonnage d ' u n gravimètre, 419. fréquence de coupure, 187. Euler (équations d'), 530. fronts d'onde, 108, 130, 230. expansion géométrique, 109, 165, 294. frottement (coeflflcient de), 68. explosion, 60. extension (taux d'), 8. ' Fuchs (méthode de), 263. extensomètre, 218. j fusion (point de), 44.
642
INDEX
ALPHABÉTIQUE
G G (ondes), 183. gabbro, 280. Gardner (méthode de), 603. géodésie — classique, 407. — spatiale, 411, 456. — spatiale : méthodes géométriques, 457, 467. méthodes dynamiques, 459, 468. méthodes semi-dynamiques, 461, 468. méthodes mixtes, 46J. géodimètre, 410. géoïde, 425, 446, 463. Gerver-Markushevitch (formule de), 162. Giese (méthode de), 255. glace (fluage de la), 38. glaciers tempérés, 39. glissement — (bandes de), 3 1 . — efficace, 9. — intracristallins, 3 1 , 35, 37, 43. — sur les joints de grain, 29. — (lignes de), 17. — saccadé, 68, 78. graben, 277. graine, 290. grandissement d ' u n sismographe, 215. granité, 40, 64, 280. gravimètre, 417. Green (fonction de), 344. — (formule généralisée de), 89. Griffith (théorie de la rupture de), 72. groupe prédominant, 195, 197. groupe (vitesse de), 196. Griineisen (coefficient de), 95. guide d'onde, 163, 238. guyot, 482. H Hankel (fonctions de), 106, 140, 633. harmoniques, 187. — (fonctions), 6J(i, 477. — sectoriaux, 449. — tesséraux, 449, 455, 460. — zonaux, 449, 455, 459. head waves, 139. Hencky (relations de), 17. H e r r i n g - N a b a r r o (fluage de), 30. Herglotz-Wiechert (formule de), 160, 235. hétérogène (ondes en milieu — quelconque), 167. hodochrones, 156, 167, 229. — (singularités des), 157, 235, 286. — (stratification plane), 153. — (stratification sphérique), 167, 285.
hornblende, 4 1 . Huyghens (principe de), 230. hydrostatique (contrainte), 94. — (hypothèse), 171, 575. — (pression), 4, 171. I
j I I i
i I I I
1
impédances, 117. inclinomètres, 517, 519. incompressibilité, 19, 94. — adiabatique, 96. — isotherme, 95. indice, 100, 101. influence (coefficients d'), 202. injections (séismes dus à des), 62. instruments de géodésie, 407. — de gravimétrie, 417. — de topographie, 414. intensité d ' u n séisme, 53. intercept, 602. intégration numérique, 190. interférence constructive, 184, 192, 205. invariants (de la contrainte), 4. — (de la déformation), 87. inversion des courbes de dispersion, 202 isochrones (carte des), 609. isogammes (courbes), 613. isoséistes, 53. isostasie, 473, 615. isostatique (anomalie), 442, 473, 475. — (équilibre), 473. — (soulèvement post-glaciaire), 489. isothermes (modules), 95. isotropie, 93. J 72, 450, 453, 576. Jeffreys (méthode de), 316. joints de grain (glissements sur), 29. K k (détermination de), 519. K e l v i n (corps de), 24. K e l v i n (formule de), 197.
lacunes, 29. lagrangien, 203. L a m b (classes de), 205. L a m b (problème de), 135. Lamé (coeflîcients de), 19, 94. lamelle de déformation, 32. Laplace (transformée de), 125. laser-Lune, 468. laser (télémétrie), 412. latitude astronomique, 429, 433.
INDEX
ALPHABÉTIQUE
Legendre (polynômes et fonctions de), 106, 449, 623. Iherzolite, 42. : Liouville (équations de), 541. lithosphère, 40, 79, 242, 473, 489, 589. — (propriétés mécaniques de la), 499. lithostatique (pression), 4. loi de similitude d ' A k i , 399. longitude astronomique, 433. Love (nombres de), 175, 176, 179, 513, 521, 591. Love (ondes de), 181, 328. Lûders (bandes de), 3 1 , 37, 4 1 .
M magnitude, 362, 364. — et énergie émise, 366. — et moment sismique, 400. manteau, 40. — anormal, 278. — (fluage dans le), 41, 42. manteau supérieur — (densité dans le), 586. — (hétérogénéité d u ) , 58L — (viscosité d u ) , 578. — (rhéologie du), 473. marée terrestre, 507. — gravimétrique, 520, 612. — polaire, 551. — (potentiel des), 507. marées zonales (effet sur la rotation), 547. — (ondes de), 510. — (perturbations des), 523. marges continentales, 276. matrice de transfert, 117. Maxwell (corps de), 23. miécanisme au foyer, 309, 341, 361. mégabar, 19. Mercalli (échelle de), 53. méridien, 434. mésosphère, 489. mesures gravimétriques (réduction des), 437. métaux (plasticité des), 37. mica, 4 1 . microfissures, 28, 39, 45, 72, 75. microruptures, 75, 78. migration, 608, 609. mise en phase, 605. mixage, 604. mode — dégénéré, 207. — fondamental, 187. — à perte, 193. modèle de Terre, 463, 467, 575. — — acceptable, 566. — — raisonnable, 566. modèles de terre régionaux, 588.
643
Mohorovicic (discontinuité de) ou M o h o , 40, 229, 250, 272, 281. M o h r (diagramme de), 2. Molodensky (formule de), 445. moment sismique, 383, 388, 392, 397. Monte-Carlo (méthode de), 584. montée d'une dislocation, 34. mouvement (équation du), 90. mouvement du pôle, 466, 469. mouvement d ' u n satellite, 453. multiplication, 604. multiplets, 324. N
N a b a r r o (fluage de), 35. nappes de sismographes, 222, 585. Navier-Stokes (équation de), 14. Neumann (fonctions de), 634. Newton (loi de), 423. nivellement, 410, 434, 436. — astrogéodésique, 436. nutation — eulérienne, 531. — libre, 543. — lunisolaire, 530. — presque diurne, 559. noyau terrestre, 40, 284. — (densité dans le), 586. — (effets dynamiques dus au), 524. — (rigidité du), 521. ; — (vibrations propres d u ) , 525. i noyau de Fréchet, 567. O observations de satellites — laser, 457, 467. — photographique, 456. — radio, 457. océans (variation d u niveau des), 481. olivine, 42. — (transformation en spinelle), 481. ondes — coniques, 139. — coniques d u M o h o Pn, S,,, 239. — de la croûte Pc, Se, Pg, Sg, 238, 240. — diffractées, 133, 136. — guidées, 181, 184. — longitudinales, 101, 110, 150. — planes, 104. — réfléchies, 251. — réfléchies à la surface pP, PP, PP, 143, 289. — — sur le noyau PcP, PcS, ScS, 290. — — sur M o h o PMP, PMS, SMS, 239. — réfractées, 249. — sphériques, 105, 140.
644
INDEX
ALPHABÉTIQUE
potentiel des ondes, 100. — perturbateur, 173. — de la pesanteur, 424. poursuite satellite par satellite, 469. pouvoir séparateur, 568. Pratt (modèle de), 475. précession — des équinoxes, 576. — lunisolaire, 530. précurseurs (séismes), 58, 77. prémonitoires (séismes), 59. Press (modèles de Terre de), 584. pression, 2. — moyenne, octaédrale, 4. — hydrostatique, lithostatique, 4. — eflèctive, 68. — (ligne de), 135. prévention des séismes, 63. prévision des séismes, 56, 63. problème des deux corps, 450. problème inverse, 565. — — en gravimétrie, 477. — — influence des erreurs, 571. — — non linéaire, 571. i — — pour le mécanisme au foyer, 351. P — — pour les ondes superficielles, 202. paramètre d ' u n r a i , 153, 234, 284. — — en sismique réfraction, 254. — élastique, 19. profils pendule — inverses, 243. — gravimétriques, 464. — à r o t a t i o n , 215. profondeur d u foyer (détermination de la), — à translation, 216. 309. péridotite, 4 2 , 2 8 1 , 5 8 8 . prolongement d u champ de pesanteur, 616. — serpcntinisée, 280. propagateur, 186. perturbations prospection géophysique, 593. — (théorie des — pour un satellite), 452. — gravimétrique, 611. — des marées terrestres, 523. — sismique, 599. pesanteur, 422. puissance mécanique, 92. phase pyrolite, 281, 586. — d'arrêt, 396. pyroxène, 42. — d ' u n sismogramme, 181, 287. — stationnaire, 195, 262. Q — (vitesse de), 184, 195. plan nodal, 351. Q (facteur), 24, 45, 201, 204, 269, 298, 324, plasticité 330, 392, 551, 592. — idéale, 15. qualité (facteur de), voir Q. — non idéale, 18. : quartz, 40. — (seuil de), 10, 15, i y , 45. ' quasi-géoïde, 426. pliages en genou, 3 1 , 4 1 . point fondamental, 433. R Poisson (cocfiicient de), 20, 94. Radau (formule de), 577. polarisation spontanée, 595. I radiation d'un foyer sismique, 348. polhodie, 531, 5 i 5 . radiolocalisation, 415. — annuelle, 546, 550. radio-interférométrie à longue base, 468, 536. position extrapolée, 360. rai sismique, 108, 149, 230, 233, 284. potentiel — circulaire, 166. — axifuge, 424. — (courbure d'un), 151. — de marée, 507. I — plan, 153. — newtonien, 423, 448, 463, 469. ondes — — —
superficielles, 181, 185. — G, 183. — de Love, 185, 328. — de Rayleigh, 136, 181, 185, 328, 385. — — L j , 334. — — PL, 194, 334. — transversales, 101, 110, 150. — (propagation en milieux hétérogènes), 149. — (propagation en milieux homogènes), 99. — T, 337. — traversant le noyau PKP, PKiKP, PKIKP, PKJKP, SKS, 290, 291. ondulations d u géoïde, 435. orbite des satellites : — anomalie vraie, excentrique, 4 5 1 . — ascension droite, périgée, 4 5 1 . — période de r o t a t i o n , 4S5. origine conventionnelle internationale, 532. oscillations sphéroïdales, 177, 206. — toroïdales o u de torsion, 177, 206.
INDEX
ALPHABÉTIQUE
rai rectiligne, 151. rais (géométrie des), 151. ralentissement de la r o t a t i o n , 540. Rayleigh — (équation de), 135. — (ondes de), 136, 181, 185, 328, 385. — (principe de), 203, 208. rebondissement élastique, 55, 359. recristallisation para, post-cinématique, 38. — syntectonique, 40. réduction, 439. —• à l'air libre, 439. —• isostatique, 441. — topographique, 440. réflexion des ondes sismiques, 114, 230. — crustale profonde, 265. — multiples, 606. réfraction des ondes sismiques, 114, 230. Reid (rebondissement élastique de), 55, 359. rejet, 49. relaxation des cissions, 22, 172. — (fonction de), 27. — (processus de), 46. rendement sismique, 367, 373, 378, 4 0 1 . répartition en quadrants, 357. répliques, 59, 77. résistivité électrique, 64. résolution (largeur de), 571. résonance (période de), 119. restitution, 608. revenu (fluage par), 38. rhéologie n o n linéaire, 27. rifts, 277. rigidité, 19, 94. — en flexion, 499. rotation séculaire des nœuds et d u périgée, 454. r o t a t i o n de la Terre, 529. — (méthodes dynamiques), 536. — (ralentissement de la), 558. rupture, 49, 69. — cassante, plastique, ductile, élastoplastique, 7 1 . — par échauffement, 76. — (limite de), 7 1 . S satellite artificiel (mouvement d'un), 448. — altimétrique, 469. — (observations), 456. — à traînée compensée, 469. sédimentation, 483. séismes — artificiels, 60. — proches, 238. — à foyer p r o f o n d , 79. — à foyer superficiel, 78.
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— (causes des), 49. — (premier mouvement des), 357. serpentine, 80. Service international d u mouvement polaire, 534. SH (ondes), 102. Shida (nombre de), 176. sismicité, 357, 368. sismique-marine, 260. sismique-réflexion (méthode de), 243, 260, 604. sismique-réfraction (méthode de), 243, 260, 601.
sismogrammes, 214. — synthétiques, 144, 2 6 1 . — (classification des), 292. sismographes, 213. — électromagnétiques, 219. — (nappes de), 222, 585. sismologie expérimentale, 242. solide, 10. Somigliana (formule de), 430. sondage réfraction, 602. soulèvement post-glaciaire, 484. sources sismiques, 351, 357. — à fissures aérées, 373. — à frottement, 376. — à glissements prescrits, 375. — (lignes de), 124. — ( l o i de similitude), 399. — (modèles dynamiques), 383. — dans une sphère, 140. source de dislocation de Frank-Read, 33. sous-joints de grain, 35. spectre des ondes de volume, 314. sphéroïde (équation d'un), 575. stabilité (condition de), 146. — ( d ' u n filtre), 609. Standard E a r t h « 2 », 462, 463, 467. statistique des séismes, 366. Stokes — (fonction de), 445. — (formule de), 445. — (théorème de), 427. Stoneley (ondes de), 190. stratifié (ondes en milieu), 117. stratification plane, 153. — sphérique, 165. striction, 7 1 , 75. subsidence, 483. SV (ondes), 103. système géodésique, 437. T tables de propagation, 314. tables de propagation de Jeffreys-Bullen, Gutenberg-Richter, 284. tachéomètre, 414.
INDEX
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ALPHABÉTIQUE
vibrations propres, 142, 204, 321, 582. tectoniques (mouvements), 483. telluromètre, 409. — sphéroïdales, 177, 206. température, 93. — toroïdales o u de torsion, 177, 206. — (effet de la rotation), 207. — interne. — (effet des écarts à l a sphéricité), 207. temps atomique international, 532. viscosité, 12. — des éphémérides, 532. visco-élasticité linéaire, 21, 24. — réduit, 246. viscosité neviitonienne, 13. — universel, 533, 550. visco-plasticité, 18. tenseur des contraintes, 8, 89. vitesse — des déformations, 83. — apparente, 234, 243. — métrique, 84. ' — de groupe, 196. théodolite, 407. — de groupe (extremum de), 198. thermoélasticité, 92. — (couche à moindre), 162, 588. — (équations de la), 94. — de phase, 184, 195. Thomson-Haskell (méthode de), 117, 186, Voigt (corps de), 23. 188. volume (variation relative de), 88. tirs en éventail, déportés, 603. V o n Mises (critère de), 16. topographie, 413. torsion (balance de), 611. W traces sismiques, 604. traînage élastique, 19. Watson (transformation de), 142. transducteur, 213. transfert (fonction de), 220. Y transport (équation de), 108. Tresca (critère de), 16, 36. Y o u n g (module de), 20, 94. triangulation, 56, 434. tube de rais, 109. Z V variations glacio-eustatiques, 482. vecteurs de base, 83. verticale, 425.
i Zeeman (effet), 208. j Zôllner (suspension de), 516. ' zone d'altération, 600. zone d'ombre, 236. i zone de transition, 251.
ERRATUM Contrairement à ce q u i est d i t au deuxième alinéa de la page 168, l ' a n n u l a t i o n des déri vées covariantes de T2 et Γ3 n'entraîne pas, en général, l'invariance de ces quantités le long d ' u n r a i . L a théorie précédente n'est donc valable que p o u r le cas où cette inva riance est réalisée, mais les formules sont encore valables si j? et y varient.
MASSON 120, boulevard
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Paris
(VI")
Dépôt légal : l " ' trimestre 1973
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