Topologie I 003

Topologie I

Vorlesungsskript von Carsten Schultz Fachbereich Mathematik FU Berlin

Berlin, Sommersemester 2000

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Inhaltsverzeichnis

1 Metrische R¨ aume und Hom¨ oomorphie Metrische R¨aume 5 Hom¨oomorphie 6 Offene Mengen 9

5

2 Topologische R¨ aume Die Kategorie topologischer R¨aume 13 Mehr Mengen 15 Mehr Stetigkeit 16 Unterr¨aume und das Produkt zweier R¨aume 18

13

3 Zusammenhang Zusammenhang 23

23

4 Kompaktheit Kompaktheit 29

Komponenten 25

Wegzusammenhang 26 29

Produkte 31

Metrische R¨aume 32

5 Produkte und mehr Initial- und Finaltopologien 35 Spezialf¨alle 37 Abz¨ahlbares 39 Produkte 40

35 Zwischenspiel:

6 Quotienten: Identifizieren und Verkleben ¨ Aquivalenzrelationen 43 Das Zusammenschlagen von Unterr¨aumen 45 Projektive R¨aume 47 Saturierte Mengen 48 Verkleben 49

43

7 Ordinalzahlen ad hoc Wohlordnungen 51 Der Wohlordnungssatz 54 Die kleinste u berabz¨ a hlbare Ordinalzahl 54 Endlich wieder Topologie 55 ¨

51

8 Konvergenz I: Folgen und Netze Folgen 57 Netze 58

57

9 Konvergenz II: Filter Von Netzen. . . 63 . . . zu Filtern 64 Erste Eigenschaften 65 Stetigkeit 67 H¨aufungspunkte 67 Kompaktheit 68 Produkte 68 Ultrafilter und der Satz von Tychonoff 69

63

3

4 10 Trennungsaxiome Definitionen und erste Eigenschaften 73 bung 75

INHALTSVERZEICHNIS 73 Beispiele 74

Verer-

11 Reellwertige Funktionen Normale R¨aume 77 Vollst¨andig regul¨are R¨aume 79

77

12 Kompaktifizierungen Kompaktifizierungen 83 Lokale Kompaktheit und die Ein˘ Punkt-Kompaktifizierung 85 Die Stone-Cech-Kompaktifizierung 86

83

13 Homotopie Homotopie 91 Homotopie¨aquivalenz 92 zu einem Unterraum 94

91

14 Die Fundamentalgruppe Wege 97 Die Fundamentalgruppe 98 Basispunktes 100 Freie Homotopie 101

Homotopie relativ

97 Der Einfluss des

¨ 15 Uberlagerungen und die Fundamentalgruppe von S 1

103

16 Erste Anwendungen der Fundamentalgruppe 109 Der Brouwersche Fixpunktsatz 109 Abbildungsgrad und der Hauptsatz der Algebra 110 17 Der Satz von Seifert und van Kampen 113 Push-Out-Diagramme 113 Der Satz von Seifert und van Kampen 115 18 Der Effekt des Anheftens von Zellen auf die Fundamentalgruppe 121 Das Anheften einer Zelle 121 Der Effekt auf die Fundamentalgruppe 123 Projektive R¨aume 124 19 Eine Eigenschaft von Drehungen im dreidimensionalen Raum 127 Das Experiment 127 Modellierung 127 Ein wenig u ¨ber Ma¨ trixgruppen 129 Uber SO(3) 129 Zur¨ uck zum Experiment 132

Lieferung 1

Metrische R¨aume und Hom¨oomorphie

Metrische R¨aume Eine ebenso richtige wie nichtssagende Antwort auf die Frage, was denn Topologie sei, w¨are das Studium stetiger Abbildungen.“ Stetigkeit kennen wir ” bisher als Eigenschaft von Funktionen zwischen Teilmengen des euklidischen Raums oder allgemeiner zwischen metrischen R¨aumen. 1.1 Definition. Sei X eine beliebige Menge. Eine Metrik auf X ist eine Funktion d : X × X → R, so dass (i) d(x, y) ≥ 0 f¨ ur alle x, y ∈ X und d(x, y) = 0 genau dann, wenn x = y, (ii) d(x, y) = d(y, x) f¨ ur alle x, y ∈ X

(Symmetrie),

(iii) d(x, z) + d(z, y) ≥ d(x, y) f¨ ur alle x, y, z ∈ X

(Dreiecksungleichung).

Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d) bestehend aus einer Menge X und einer Metrik d auf ihr. Wir werden den metrischen Raum (X, d) nur mit X bezeichnen, wenn keine Verwechslungsm¨oglichkeit besteht. 1.2 Beispiele und Definitionen.
1 P 2 2 . Der euklidische Raum Rn mit der Metrik d(x, y) = k (xk − yk ) ist wohl der metrische Raum, den wir am besten kennen. Wenn wir von dem Rn als metrischen Raum reden, ohne n¨aher die Metrik zu bestimmen, werden wir immer diese meinen. . Ist (X, d) ein metrischen Raum und Y ⊂ X, so ist auch (Y, d|Y ×Y ) ein metrischer Raum. Insbesondere k¨onnen wir also jede Teilmenge eines euklidischen Raumes als metrischen Raum auffassen. 5

6

1. Metrische R¨ aume und Hom¨ oomorphie . Eine beliebige Menge X wird durch die diskrete Metrik d: X × X → R ( 0, x = y (x, y) 7→ 1, x = 6 y zu einem (nicht sehr spannenden, aber durchaus wichtigen) metrischen Raum.

1.3 Definition (Stetigkeit). Es seien (X, dX ) und (Y, dY ) metrische R¨aume und f : X → Y eine Funktion. Ist x ∈ X, so heißt f stetig in x, wenn zu jedem ε ∈ R, ε > 0, ein δ ∈ R, δ > 0 exisitiert, so dass f¨ ur alle x0 ∈ X mit dX (x, x0 ) < δ gilt, dass dY (f (x), f (x0 )) < ε. Die Funktion f heißt stetig, wenn sie in jedem x ∈ X stetig ist. F¨ ur ein paar wichtige Teilmengen von euklidischen R¨aumen legen wir Bezeichnungen fest. 1.4 Notation. Es sei I := {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} das Einheitsintervall und f¨ ur n ∈ N Dn := {x ∈ Rn : kxk ≤ 1} die n-dimensionale Scheibe (auch Ball oder Kugel genannt) und S n := {x ∈ Rn+1 : kxk = 1} die n-dimensionale Sph¨ are, wobei k•k die euklidische Norm bezeichne.

Hom¨oomorphie In der Topologie betrachtet man R¨aume meist nur bis auf Hom¨oomorphie, ¨ eine Aquivalenzrelation, die wir jetzt definieren. 1.5 Definition. Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen R¨aumen heißt ein Hom¨ oomorphismus, wenn f stetig ist und es eine stetige Abbildung g : Y → X gibt, so dass f ◦ g = idY , g ◦ f = idX . Zwei R¨aume X und Y heißen hom¨ oomorph, X ≈ Y , wenn zwischen ihnen ein Hom¨oomorphismus existiert. Etwas direkter ausgedr¨ uckt ist ein Hom¨oomorphismus also eine stetige Bijektion, deren Umkehrfunktion auch stetig ist.

Hom¨ oomorphie

7

1.6 Beispiel. Man betrachte I n = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : xk ∈ I f¨ ur alle k}. Die Abbildung I n → Dn ( x−(1/2,1/2,...,1/2) 2 kx−(1/2,1/2,...,1/2)k maxk |xk − 1/2|, x 7→ 0,

x 6= (1/2, 1/2, . . . , 1/2), x = (1/2, 1/2, . . . , 1/2),

ist ein Hom¨oomorphismus mit inverser Abbildung Dn → I n x 7→ (1/2, 1/2, . . . , 1/2) +

(

x 2 maxk |xk | kxk,

x 6= 0,

0,

x = 0,

wie man durch Nachrechnen feststellt. 1.7 Beispiel. Die Abbildung [0, 2π) → S 1 := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} x 7→ (sin x, cos x) ist stetig und bijektiv, aber kein Hom¨oomorphismus, denn die Umkehrabbildung ist bei (0, 1) ∈ S 1 unstetig. In der Tat sind [0, 2π) und S 1 nicht hom¨oomorph; um das zu zeigen, k¨onnte man die Kompaktheit von S 1 ausnutzen, oder dass [0, 2π) einen Randpunkt hat, S 1 aber nicht, oder dass S 1 nie in zwei Teile zerf¨allt, wenn man einen Punkt herausnimmt, oder . . . Zu alledem sp¨ater mehr. 1.8 Beispiel. Man betrachte einen Doughnut1 und eine Kaffeetasse als Unterr¨ aume des R3 . Diese sind hom¨oomorph, wie wir jetzt andeuten wollen. Zun¨achst schlagen wir von der Tasse den Henkel ab, markieren aber auf beiden Teilen die Bruchstelle. Ebenso schneiden wir den Doughnut so in zwei Teile, dass jeder von ihnen wie ein Henkel aussieht. Nun gibt es schon einmal einen Hom¨oomorphismus von dem Tassenhenkel zu der einen Doughnuth¨alfte, der Bruchstelle auf Schnittstelle abbildet. Die zweite Doughnuth¨alfte ist ein (gebogener) Zylinder, also, da wir ja bereits in Beispiel 1.6 gesehen haben, dass Kanten nichts ausmachen, ein Ball. Von dem von der Tasse u ¨briggebliebenen Becher bemerken wir, dass er auch bis auf Hom¨oomorphie nichts anderes ist als ein Ball, auch wenn er recht platt ist und gebogen im R3 liegt. Nun gibt es zwischen diesen beiden St¨ ucken also wieder einen Hom¨oomorphismus, und zwar sogar einen, der wieder Bruchstelle auf Schnittstelle abbildet. Das ganze l¨asst sich so einrichten, dass die beiden Hom¨oomorphismen an der Bruch- beziehungsweise Schnittstelle zusammenpassen und so einen Hom¨oomorphismus von der Tasse zum Doughnut liefern. 1

Man verzeihe die Amerikanisierung. Nat¨ urlich gibt es auch deutsches Geb¨ ack gleicher Form, und das schmeckt sicher auch zu Kaffee.

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1. Metrische R¨ aume und Hom¨ oomorphie

Abbildung 1.1: Torus in Mathematica 1.9 Beispiel. Den Doughnut aus dem letzten Beispiel nennen wir u ¨blicherweise den Volltorus, seinen Rand den Torus. Als Rotationsk¨orper im R3 erh¨alt man sie zum Beispiel als {(x sin φ, x cos φ, y) : (x, y, φ) ∈ R3 , (x − 2)2 + y 2 ≤ 1} f¨ ur den Volltorus und {(x sin φ, x cos φ, y) : (x, y, φ) ∈ R3 , (x − 2)2 + y 2 = 1} f¨ ur den Torus, man vergleiche mit Abbildung 1.1, die die Mathematica– Ausgabe f¨ ur ParametricPlot3D[ {Sin[phi](Sin[rho] + 2), Cos[phi](Sin[rho] + 2), Cos[rho]}, {phi, 0, 2Pi}, {rho, 0, 2Pi}] zeigt. Hier wurde also auch noch {(x, y) : (x − 2)2 + y 2 = 1} durch (sin ρ + 2, cos ρ) parametrisiert. Nat¨ urlicher jedoch erh¨alt man diese R¨aume als Teilmengen des R4 = R2 × R2 , n¨amlich den Volltorus als S 1 × D2 und den Torus als S 1 × S 1 . Ein Hom¨oomorphismus ist in beiden F¨allen die Einschr¨ankung der Abbildung R 4 → R3 (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7→ ((x3 + 2)x1 , (x3 + 2)x2 , x4 )

Offene Mengen

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und die Umkehrabbildung die Einschr¨ankung von (R2 \ {0}) × R → R4 (x1 , x2 , x3 ) 7→

x1 p

x21 + x22

x2

,p

x21 + x22

,

q

x21 + x22 − 2, x3

!

Das Nachrechnen ist l¨astig, aber elementar. 1.10 Beispiel. Ist X eine Menge, auf der zwei Metriken d und d0 definiert sind, und gibt es eine Konstante C > 0, so dass d0 (x, y) ≤ Cd(x, y) f¨ ur alle x, y ∈ X, so ist die Abbildung i : (X, d) → (X, d0 ) x 7→ x stetig (setze δ := Cε ); gibt es außerdem ein C 0 > 0, so dass d(x, y) ≤ C 0 d0 (x, y), so ist i ein Hom¨oomorphismus. Dies l¨asst sich auf die Metri1 P ken dp (x, y) := ( k |xk − yk |p ) p , p ≥ 1 und d∞ (x, y) := maxk |xk − yk | auf Rn anwenden, die also alle hom¨oomorphe R¨aume liefern, denn es ist ja d∞ (x, y) ≤ dp (x, y) ≤ d1 (x, y) ≤ nd∞ (x, y). 1.11 Beispiel. Die Abbildung tan : (−π/2, π/2) → R ist ein Hom¨oomorphismus, denn sie ist stetig und hat die stetige Umkehrabbildung arctan. Das letzte Beispiel zeigt, dass Vollst¨andigkeit keine Eigenschaft ist, die von einem Hom¨oomorphismus erhalten bleibt: R ist vollst¨andig, aber das offene beschr¨ankte Intervall (−π/2, π/2) nicht. Das liegt daran, dass stetige Abbildungen im allgemeinen Cauchy-Folgen nicht auf Cauchy-Folgen werfen, das ist nur f¨ ur gleichm¨aßig stetige Funktionen der Fall. Die letzten beiden Beispiele zeigen, dass eine Metrik viel mehr Information tr¨agt, als man wirklich braucht, wenn man nur an Eigenschaften interessiert ist, die unter Hom¨oomorphie erhalten bleiben. Eine wesentlichere Rolle als die Metrik selbst werden die offenen Mengen spielen, die von ihr bestimmt werden.

Offene Mengen 1.12 Definition. Sei X ein metrischer Raum. F¨ ur ε > 0 ist die ε-Umgebung 0 eines Punktes x ∈ X die Menge Bε (x) := {x ∈ X : d(x, x0 ) < ε}. Eine beliebige Menge U ⊂ X heißt Umgebung von x, wenn es ein ε > 0 gibt, so dass Bε (x) ⊂ U . Eine Menge U ⊂ X heißt offen, wenn sie Umgebung eines jeden der Punkte ist, die sie enth¨alt.

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1. Metrische R¨ aume und Hom¨ oomorphie

1.13 Bemerkungen. . Aus der Dreiecksungleichung folgt sofort, dass Bε (x) offen ist. . Wir haben den Begriff der offenen Menge mit Hilfe des Begriffes der Umgebung definiert. Andersherum gilt: Eine Menge U ist Umgebung von x, wenn eine offene Menge O existiert, so dass x ∈ O ⊂ U . Beachte, dass wir, im Gegensatz zu einigen Autoren, nicht fordern, dass U selbst offen ist. 1.14 Beispiel. Ist X mit der diskreten Metrik versehen, so gilt f¨ ur jedes x ∈ X, dass B1/2 (x) = {x} ist, also ist {x} eine Umgebung von x und jede Teilmenge von X offen. Um stetige Abbildungen zu beschreiben, gen¨ ugt es v¨ollig, die offenen Mengen der beteiligten R¨aume zu kennen. 1.15 Proposition. Seien X, Y metrische R¨ aume und f : X → Y eine Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen ¨ aquivalent. (i) f ist stetig. (ii) F¨ ur jede offene Menge U ⊂ Y ist auch f −1 [U ] offen. Beweis. ⇒“: Sei f stetig und U ⊂ Y offen. Sei x ∈ f −1 [U ], also f (x) ∈ U . ” Da U offen ist, gibt es dann ein ε > 0, so dass Bε (f (x)) ⊂ U . Aufgrund der Stetigkeit von f existiert nun ein δ > 0, so dass f [Bδ (x)] ⊂ Bε (f (x)). Das heißt, dass Bδ (x) ⊂ f −1 [U ]; also ist, da x beliebig gew¨ahlt war, f −1 [U ] offen. ⇐“: Sei f nicht stetig. Dann existiert ein x ∈ X und ein ε > 0, so ” dass es zu jedem δ > 0 ein x0 ∈ Bδ (x) gibt, so dass f (x0 ) ∈ / Bε (f (x)). Es gibt also kein δ > 0, so dass Bδ (x) ⊂ f −1 [Bε (f (x))] w¨are. f −1 [Bε (f (x))] ist also keine Umgebung von x und damit nicht offen, obwohl Bε (f (x)) offen ist.  1.16 Korollar. Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen R¨ aumen ist genau dann ein Hom¨ oomorphismus, wenn f bijektiv ist und f¨ ur alle Mengen M ⊂ X gilt, dass f [M ] genau dann offen ist, wenn M offen ist.  Die offenen Mengen sind also tats¨achlich, worauf es ankommt, wenn man R¨aume bis auf Hom¨oomorphie betrachtet. Die folgenden Eigenschaften der Familie der offenen Mengen eines metrischen Raumes sind so fundamental, dass wir sie bald zu Definitionen erheben werden. 1.17 Proposition. In einem metrischen Raum X gilt: (i) Der Schnitt einer endlichen Menge von offenen Mengen ist offen. (ii) Die Vereinigung einer beliebigen Menge von offenen Mengen ist offen.

Offene Mengen

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(iii) Sind x, y ∈ X und ist x 6= y, so existieren offene Mengen U, V ⊂ X mit x ∈ U , y ∈ V , U ∩ V = Ø. T Beweis. Zu (i): Seien U1 , . . . , Ur offen, r ∈ N, und sei x ∈ k Uk . Dann gibt es εT k > 0, so dass Bεk (x) ⊂ Uk . Mit ε := min{εk } ist ε > 0 und Bε (x) ⊂ k Uk . S Zu (ii): Sei U ⊂ P(X), und U offen f¨ ur alle U ∈ U. Sei nun x ∈ U. DannSgibt es ein U ∈ U, so dass x ∈ U , und damit ein ε > 0 mit Bε (x) ∈ U ⊂ U. Zu (iii): Ist x 6= y, so ist ε := d(x, y)/2 > 0. Sei nun z ∈ Bε (x). Dann ist nach der Dreiecksungleichung z ∈ / Bε (y). Also ist Bε (x) ∩ Bε (y) = Ø. 

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1. Metrische R¨ aume und Hom¨ oomorphie

Lieferung 2

Topologische R¨aume

Die Kategorie topologischer R¨aume Wir haben gesehen, dass es, wenn man R¨aume — das waren bisher metrische R¨aume — bis auf Hom¨oomorphie betrachtet nur auf die offenen Mengen ankommt und haben angek¨ undigt, die Eigenschaften aus Proposition 1.17 zu Axiomen zu machen. Das geschieht nun. 2.1 Definition. Sei X eine beliebige Menge. Eine Topologie auf X ist eine Teilmenge T der Potenzmenge von X, so dass die folgenden beiden Bedingungen erf¨ ullt sind. S (i) F¨ ur alle O ⊂ T ist O ∈ T . T (ii) Sind O1 , . . . , On ∈ T , n ∈ N, so ist nk=1 Ok ∈ T . Eine Teilmenge von X heißt offen, wenn sie in T enthalten ist. Ein topologischer Raum ist eine Paar (X, T ) bestehend aus einer Menge X und einer Topologie T auf ihr. 2.2 Bemerkung. H¨aufig fordert man auch noch Ø ∈ S T und X ∈ T , aber das ist in obigem bereits enthalten: Es ist Ø ⊂ T und Ø = Ø, außerdem T T 0 ∈ N und 0k=1 Ok = Ø = X. Wie auch schon bei metrischen R¨aumen werden wir den topologischen Raum (X, T ) nur mit X bezeichnen, wenn keine Verwechslungsm¨oglichkeit besteht. Eine der Eigenschaften, die wir in Proposition 1.17 festgestellt haben, fehlt noch. 2.3 Definition. Ein topologischer Raum (X, T ) heißt hausdorffsch und damit ein Hausdorff-Raum oder auch T2 -Raum, wenn zu je zwei Punkten x0 , x1 ∈ X, x0 6= x1 , Mengen O0 , O1 ∈ T mit xi ∈ Oi und O0 ∩ O1 = Ø existieren. Das T in T2 kommt daher, dass es sich um eine Trennungseigenschaft handelt: Je zwei verschiedene Punkte k¨onnen durch offene Mengen getrennt werden. Die 2 in T2 verspricht, dass es derer noch mehr gibt. Die n¨achste Definition ist durch Proposition 1.15 motiviert. 13

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2. Topologische R¨ aume

2.4 Definition. Es seien (X, TX ) und (Y, TY ) topologische R¨aume. Eine stetige Abbildung f : (X, TX ) → (Y, TY ) ist eine Funktion f : X → Y , so dass f −1 [O] ∈ TX f¨ ur alle O ∈ TY . Trivial, aber so wichtig, dass wir es notieren: 2.5 Proposition. Ist X ein topologischer Raum, so ist die Identit¨ at idX eine stetige Abbildung. Sind X, Y , Z topologische R¨ aume und f : X → Y , g : Y → Z stetige Abbildungen, so ist die Komposition g ◦ f : X → Y eine stetige Abbildung.   Beweis. Es ist id−1 [O] = O und (g ◦ f )−1 [O] = f −1 g −1 [O] .  Und schließlich wiederholen wir in diesem neuen Kontext die Definition der Hom¨oomorphie. 2.6 Definition. Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen R¨aumen heißt ein Hom¨ oomorphismus, wenn f stetig ist und es eine stetige Abbildung g : Y → X gibt, so dass f ◦ g = idY , g ◦ f = idX . Zwei R¨aume X und Y heißen hom¨ oomorph, X ≈ Y , wenn zwischen ihnen ein Hom¨oomorphismus existiert. Hom¨oomorphie war bei metrischen R¨aumen nur eine von mehreren sinn¨ vollen Aquivalenzrelationen, und eine recht schwache noch dazu, das heißt eine, die einiges an Information ignorierte. Bei topologischen R¨aumen hinge¨ gen ist Hom¨oomorphie eine sehr nat¨ urliche Aquivalenzrelation, in gewisser ¨ Weise die st¨arkstm¨ogliche sinnvolle Aquivalenzrelation. Insbesondere ist, wenn T1 und T2 Topologien auf derselben Menge X sind, die Funktion i : (X, T1 ) → (X, T2 ) x 7→ x genau dann ein Hom¨oomorphismus, wenn T1 = T2 . Nun ist es aber Zeit f¨ ur ein paar Beispiele. Eigentlich jedoch war der letzte Teil schon voll von ihnen: 2.7 Beispiel und Definition. Ist X eine Menge und d eine Metrik auf X, so bilden die bez¨ uglich d offen Teilmengen von X eine Topologie auf X, die von der Metrik d induzierte Topologie. Diese Topologie ist hausdorffsch. Ist Y ein weiterer metrischer Raum, so ist eine Funktion f : X → Y genau dann stetig als Abbildung zwischen metrischen R¨aumen, wenn sie es als Abbildung zwischen den induzierten topologischen R¨aumen ist. 2.8 Beispiele und Definitionen. Ist X eine Menge, so ist die Potenzmenge P(X) selbst eine Topologie, die diskrete Topologie. Wir haben bereits in Beispiel 1.14 gesehen, dass sie von der diskreten Metrik induziert wird.

Mehr Mengen

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{Ø, X} ist ebenfalls eine Topologie auf X, sie wird manchmal die indiskrete Topologie oder auch anschaulicher die Klumpentopologie genannt. Hat X mindestens zwei Elemente, so ist sie nicht hausdorffsch, also gibt es keine Metrik, die diese Topologie induzieren w¨ urde. Wir werden sp¨ater auch Hausdorff-R¨aume kennenlernen, die von keiner ¨ Metrik induziert werden. Uberhaupt kann man sich fragen, wie die topologischen R¨aume charakterisiert werden k¨onnen, die von einer Metrik induziert werden, die also, wie man sagt, metrisierbar sind. Vielleicht werden wir uns dieser Frage sp¨ater genauer zuwenden. In jedem Fall werden wir noch notwendige Kriterien finden. 2.9 Beispiel. Ist X eine beliebige Menge, so bilden all die Teilmengen von X, deren Komplemente endlich sind zusammen mit der leeren Menge eine Topologie auf X (Nachrechnen!), die kofinite Topologie. Ist X unendlich, so ist auch die kofinite Topologie auf X nicht hausdorffsch. Nun scheint das wieder eine sehr komische“, nur zum Konstru” ieren von Gegenbeispielen geeignete Topologie zu sein. Das t¨auscht aber, denn in der Tat geben algebraische Geometer gerne der eindimensionalen Linie diese Topologie.1 Wir tun also gut daran, nicht nur Hausdorff-R¨aume zu betrachten.

Mehr Mengen Wir definieren nun f¨ ur Teilmengen topologischer R¨aume ein paar Eigenschaften und Operationen, die zumindest f¨ ur Teilmengen des Rn schon aus der Analysis-Grundvorlesung bekannt sein sollten. 2.10 Definition. Sei X ein topologischer Raum. Eine Teilmenge von X heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Da Schnitte von Komplementen Komplemente von Vereinigungen und umgekehrt sind, folgt sofort aus der Definition einen topologischen Raumes. 2.11 Proposition. Sei X ein topologischer Raum, dann gilt: (i) Beliebige Schnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. (ii) Endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Ist X eine Menge, T ⊂ P(X), und ist die Menge {A ⊂ X : X − A ∈ T } abgeschlossen gegen¨ uber beliebigen Schnitten und endlichen Vereinigungen, so ist T eine Topologie auf X.  1

Dies ist ein sehr spezieller Fall der Zariski-Topologie.

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2. Topologische R¨ aume

Eine Topologie kann also genau so gut wie durch Angabe der offenen Mengen durch Angabe der abgeschlossenen Mengen definiert werden. 2.12 Beispiel. In einem mit der kofiniten Topologie versehenen Raum ist eine Menge genau dann abgeschlossen, wenn sie endlich oder gleich dem ganzen Raum ist. Dass dies eine Topologie ist, liegt also im wesentlichen daran, dass Schnitte endlicher Mengen eindlich sind und ebenso endliche Vereinigungen endlicher Mengen. Was wir in Bemerkung 1.13 f¨ ur Umgebungen in metrischen R¨aumen festgestellt haben, machen wir wieder zur Definition. 2.13 Definition. Sei X ein topologischer Raum und x ∈ X. Eine Menge U ⊂ X heißt Umgebung von x, wenn eine offene Menge O existiert, so dass x ∈ O ⊂ U. 2.14 Definitionen und Propositionen. Sei X ein topologischer Raum und A ⊂ X. [ int A := {U ⊂ A : U offen} ist die gr¨oßte in A enthaltene offene Menge und heißt das Innere von A. \ A := {C ⊂ X : A ⊂ C, C abgeschlossen} ist die kleinste abgeschlossene Menge, die A enth¨alt und heißt der Abschluss von A. dA := A − int A heißt der Rand von A. Ein Punkt x ∈ X heißt innerer Punkt von A, wenn x ∈ int A, Ber¨ uhrpunkt von A, wenn x ∈ A und Randpunkt von A, wenn x ∈ dA. An dieser Stelle sei es den StudentInnen ans Herz gelegt, die verschiedenen ihnen bereits bekannten Charakterisierungen und Eigenschaften dieser Begriffe aus diesen Definitionen herzuleiten. 2.15 Definitionen. Sei X ein topologischer Raum. Eine Teilmenge A ⊂ X heißt dicht, wenn A = X, nirgends dicht, wenn int A = Ø.

Mehr Stetigkeit Wir haben Stetigkeit bisher nur global definiert. Von metrischen R¨aumen her kennen wir auch den lokalen Begriff der Stetigkeit in einem Punkt. 2.16 Definition. Seien X, Y topologische R¨aume, x ∈ X und f : X → Y eine Funktion. f heißt stetig in x, wenn f¨ ur jede Umgebung U von f (x) das −1 Urbild f [U ] eine Umgebung von x ist.

Mehr Stetigkeit

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Wir bemerken: 2.17 Proposition. Eine Funktion f : X → Y zwischen topologischen R¨ aumen ist genau dann stetig, wenn sie in jedem x ∈ X stetig ist.  Eine einfache Umformulierung der Definition ist 2.18 Proposition. Eine Funktion f : X → Y zwischen topologischen R¨ aumen ist in x ∈ X genau dann stetig, wenn es zu jeder Umgebung V von f (x) eine Umgebung U von x gibt, so dass f [U ] ⊂ V . Beweis. Sei V eine Umgebung von f (x). Ist f in x stetig, so ist f −1 [V ] eine  −1 Umgebung von x, und es ist f f [V ] ⊂ V . Existiert andererseits eine Umgebung U von x mit f [U ] ⊂ V , so ist U ⊂ f −1 [V ] und auch f −1 [V ] eine Umgebung von x.  F¨ ur metrische R¨aume stimmen diese Definitionen mit denen u ¨berein, die wir bereits hatten. 2.19 Proposition. Seien (X, dX ), (Y, dY ) metrische R¨ aume, x ∈ X und f : X → Y eine Funktion. Seien außerdem TdX und TdY die von den Metriken induzierten Topologien. Dann sind ¨ aquivalent: (i) f : (X, dX ) → (Y, dY ) ist stetig in x. (ii) f : (X, TdX ) → (Y, TdY ) ist stetig in x. Beweis. ⇒“: Sei V eine Umgebung von f (x). Es existiert ein ε > 0, so dass ” Bε (f (x)) ⊂ V . Nun existiert ein δ > 0, so dass f [Bδ (x)] ⊂ Bε (f (x)) ⊂ V . ⇐“: Sei ε > 0. Dann gibt es eine Umgebung U von x, so dass ” f [U ] ⊂ Bε (f (x)). Nun gibt es wiederum ein δ > 0, so dass Bδ (x) ⊂ U , also f [Bδ (x)] ⊂ Bε (f (x)).  Wir schauen uns den Beweis noch einmal an: Die ε-δ-Definition der Stetigkeit ist fast genau die Beschreibung in Proposition 2.18, nur dass sie nur ε-Umgebungen anstelle beliebiger zul¨asst. Da es aber gen¨ ugend viele ε-Umgebungen gibt, macht das keinen Unterschied. Wir formalisieren nun dieses gen¨ ugend viele“. ” 2.20 Definition. Sei X ein topologischer Raum und x ∈ X. Eine Umgebungsbasis von x ist eine Menge B von Umgebungen von x, so dass es zu jeder Umgebung U von x ein V ∈ B gibt, so dass V ⊂ U . Was wir also soeben die folgende Tatsache benutzt. 2.21 Proposition. Ist X ein metrischer Raum und x ∈ X, so ist die Menge {Bε (x) : ε > 0} eine Umgebungsbasis von x.  Und eigentlich haben wir das folgende gezeigt.

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2. Topologische R¨ aume

2.22 Proposition. Es seien X, Y topologische R¨ aume, x ∈ X, f : X → Y eine Funktion. Sei außerdem B eine Umgebungsbasis von x, B 0 eine Umgebungsbasis von f (x). Dann ist f in x genau dann stetig, wenn es zu jedem V ∈ B 0 ein U ∈ B gibt, so dass f [U ] ⊂ V .  Das ist typisch: Anstatt eine Eigenschaft f¨ ur alle Umgebungen eines Punktes nachzupr¨ ufen, gen¨ ugt es h¨aufig, dies nur f¨ ur alle Elemente einer Umgebungsbasis zu tun. Man lasse sich nicht von dem Wort Umgebungsbasis verwirren. Vergleicht man die Situation mit Vektorr¨aumen, so entspricht das eher einem Erzeugendensystem. Zum Beispiel ist ja immer die Menge aller Umgebungen eines Punktes eine Umgebungsbasis.

Unterr¨aume und das Produkt zweier R¨aume Eine Teilmenge eines topologischen Raumes wird auf nat¨ urliche Art selbst zu einem topologischen Raum. 2.23 Definition und Proposition. Sei (X, T ) ein topologischer Raum und Y ⊂ X. Dann ist {O ∩ Y : O ∈ T } eine Topologie auf Y , die Unterraumtopologie. Y versehen mit der Unterraumtopologie heißt ein Unterraum von X. Die Unterraumtopologie ist gerade so gemacht, dass die Inklusionsabbildung stetig wird. Um das besser formulieren zu k¨onnen, f¨ uhren wir zwei Begriffe ein. 2.24 Definition. Seien X eine Menge und T1 , T2 Topologien auf X. T1 heißt gr¨ ober als T2 und T2 feiner als T1 , wenn T1 ⊂ T2 . 2.25 Proposition. Ist X ein topologischer Raum und Y ⊂ X, so ist die Unterraumtopologie die gr¨ obste Topologie auf Y , so dass die Inklusionsabbildung i : Y → X stetig ist.  Wir notieren noch eine weitere einfache aber wichtige Eigenschaft. 2.26 Proposition. Seien X, Z topologische R¨ aume, Y ⊂ X mit der Unterraumtopologie versehen und i : Y → X die Inklusion. Eine Funktion f : Z → Y ist genau dann stetig, wenn i ◦ f stetig ist. Beweis. Ist f stetig, so auch i ◦ f , da i stetig ist. Sei nun i ◦ f stetig und U ⊂ Y offen. Dann gibt es eine offene Menge O ⊂ X mit U = O ∩ Y , also U = i−1 [O]. Es folgt, dass f −1 [U ] = f −1 [i−1 [O]] = (i ◦ f )−1 [O] offen ist.  Eine weitere wichtige Konstruktion ist das Produkt von R¨aumen. Wir werden Produkte —auch unendlich vieler R¨aume— sp¨ater noch genauer behandeln, daher begn¨ ugen wir uns hier mit dem Produkt zweier R¨aume.

Unterr¨ aume und das Produkt zweier R¨ aume

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Mengen der Form U × V sollten f¨ ur offene U, V offen sein; diese bilden allerdings noch keine Topologie, da die Vereinigung zweier Mengen dieser Form nicht wieder von dieser Form zu sein braucht. Wir m¨ ussen also Vereinigungen auch noch hinzunehmen. Wir machen dies nun systematisch. 2.27 Definition. Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Eine Basis der Topologie T ist eine Familie von offenen Mengen B ⊂ T , so dass Sjede offene Menge Vereinigung von Elementen aus B ist, so dass also T = { M : M ⊂ B} gilt. Da eine Basis offenbar die Topologie bestimmt, kann man die Topologie beschreiben, indem man eine Basis angibt. Dabei ist es hilfreich, zu wissen, wann eine gegebene Familie von Teilmengen Basis einer Topologie ist. 2.28 Proposition. Sei X eine Menge, S und B ⊂ P(X). Ist B abgeschlossen unter endlichen Schnitten, so ist { M : M ⊂ B} eine Topologie auf X mit Basis B.  2.29 Bemerkung. Die Voraussetzung in dieser Proposition kann noch abgeschw¨acht werden, wir brauchen das aber im Moment nicht. Wir sind nun bereit, das Produkt zweier topologischer R¨aume zu definieren. 2.30 Definition. Seien (X, TX ) und (Y, TY ) topologische R¨aume. Die Produkttopologie auf X × Y ist die Topologie mit der Basis {U × V : U ∈ TX , V ∈ TY } . X × Y versehen mit dieser Topologie heißt das Produkt der R¨aume (X, TX ) und (Y, TY ). Wenn nichts anderes gesagt ist, werden wir immer davon ausgehen, dass X × Y die Produkttopologie tr¨agt. Bevor wir wichtige Eigenschaften von Produkten betrachten, noch ein weiterer Begriff. 2.31 Definition. Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Eine Subbasis der Topologie T ist eine Familie von offenen Mengen S ⊂ T , so dass jede offene Menge Vereinigung von endlichen Schnitten von Elementen von S ist, so T dass also { nk=1 Ok : n ∈ N, Ok ∈ S} eine Basis von T ist. Wir bemerken kurz: 2.32 Proposition. Ist X eine Menge, so ist jede Teilmenge von P(X) eine Subbasis einer Topologie auf X. Doch nun weiter: T Beweis. { nk=1 Ok : n ∈ N, Ok ∈ S} ist unter endlichen Schnitten abgeschlossen und daher nach Proposition 2.28 die Basis einer Topologie. 

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2. Topologische R¨ aume

2.33 Proposition. Seien (X, TX ) und (Y, TY ) topologische R¨ aume. Dann ist die Menge {O × Y : O ∈ TX } ∪ {X × O : O ∈ TY } eine Subbasis der Produkttopologie auf X × Y .



2.34 Proposition. Seien X, Y topologische R¨ aume und p1 : X × Y → X

p2 : X × Y → Y

(x, y) 7→ x

(x, y) 7→ y

die kanonischen Projektionen. Die Produkttopologie ist die gr¨ obste Topologie auf X × Y , so dass p1 und p2 stetig sind. Beweis. p1 ist genau dann stetig, wenn p−1 ur alle offenen 1 [O] = O × Y f¨ O ⊂ X offen ist. Ebenso ist p2 genau dann stetig, wenn alle X × O, O ⊂ Y offen, offen sind. Nun ist eine Topologie offenbar genau dann die gr¨obste, in der diese Mengen offen sind, wenn diese Mengen eine Subbasis von ihr bilden.  Um Stetigkeit nachzupr¨ ufen, gen¨ ugt es eine Subbasis zu betrachten: 2.35 Proposition. Seien X, Y topologische R¨ aume und S eine Subbasis der Topologie von Y . Eine Funktion f : X → Y ist genau dann stetig, wenn f −1 [O] f¨ ur alle O ∈ S offen ist. Beweis. ⇒“ ist klar, denn alle O ∈ S sind offen. “⇐ : Sei U ⊂ Y offen. ” ” Dann gibt es eine IndexmengeSI, nT ur alle i ∈ I und Oik f¨ ur alle i ∈ N f¨ i Oik . Nun ist f −1 [Oik ] f¨ ur alle i, k i ∈ I, 1 ≤ k ≤ ni , so dass U = i∈I nk=1 offen. Damit ist auch " # ni ni [\ [\ −1 −1 f [U ] = f Oik = f −1 [Oik ] i∈I k=1

i∈I k=1

offen.



2.36 Proposition. Seien X, Y topologische R¨ aume, dann ist die Produkttopologie die feinste Topologie auf X ×Y , so dass f¨ ur alle topologischen R¨ aume Z und alle stetigen Abbildungen f : Z → X und g : Z → Y die Abbildung (f, g) : Z → X × Y z 7→ (f (z), g(z)) stetig ist.

Unterr¨ aume und das Produkt zweier R¨ aume

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Beweis. Wir zeigen zun¨achst, dass X × Y mit der Produkttopologie diese Eigenschaft hat. Dazu gen¨ ugt es nach Proposition 2.35, Urbilder von Elementen einer Subbasis zu betrachten. Sei daher U ein beliebiges Element der Subbasis aus Proposition 2.33, etwa O × Y mit O ⊂ X offen. Nun ist (f, g)−1 [U ] = (f, g)−1 [O × Y ] = f −1 [O] offen, da f stetig ist. Bezeichnen wir nun die Produkttopologie mit T und nehmen wir an, T 0 sei eine weitere Topologie auf X × Y der Eigenschaft aus der Proposition. Wir betrachten die Abbildung i : (X × Y, T ) → (X × Y, T 0 ) x 7→ x. Es ist i = (p1 , p2 ) und nach Proposition 2.34 sind p1 und p2 stetig. Nach der Vorraussetzung an T 0 ist also i stetig. Das heißt aber gerade, dass T0⊂T.  Die Propositionen 2.34 und 2.36 ergeben zusammen eine wichtige Charakterisierung der Produkttopologie. 2.37 Korollar. Seien X, Y R¨ aume. Die Produkttopologie ist die einzige Topologie auf X × Y , die die folgenden Eigenschaften gleichzeitig erf¨ ullt: (i) Die kanonischen Projektionen auf die Faktoren sind stetig. (ii) F¨ ur einen beliebigen Raum Z und stetige Abbildungen f : Z → X und g : Z → Y ist die Abbildung (f, g) : Z → X × Y stetig. 

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2. Topologische R¨ aume

Lieferung 3

Zusammenhang

Zusammenhang 3.1 Definition. Ein Raum X heißt zusammenh¨ angend, wenn er außer X und Ø keine Teilmengen hat, die zugleich offen und abgeschlossen sind. Ein Raum X ist also genau dann nicht zusammenh¨angend, wenn er sich als disjunkte Vereinigung A ∪ B nicht-leerer offener (oder abgeschlossener) Mengen schreiben l¨asst. Man beachte, dass die Topologie auf X in diesem Fall vollst¨andig von den Unterraumtopologien auf A und B bestimmt wird, denn U ⊂ X ist dann genau dann offen, wenn U ∩ A und U ∩ B offen sind. Man kann in dieser Situation tats¨achlich oft A und B einzeln betrachten. 3.2 Beispiele. . Ein diskreter Raum ist genau dann zusammenh¨angend, wenn er nur einen Punkt hat. . R − {0} ist nicht zusammenh¨angend, wie die Zerlegung R − {0} = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) zeigt. Ein nicht-triviales Beispiel eines zusammenh¨angenden Raumes liefert die folgende Charakterisierung. 3.3 Proposition. Sei X ein Raum. Dann sind ¨ aquivalent: (i) X ist zusammenh¨ angend. (ii) Ist f : X → R eine stetige Funktion und sind y, y 0 , m ∈ R mit y, y 0 ∈ Im f , y < m < y 0 , dann ist auch m ∈ Im f . Beweis. ⇒“ Seien f, y, y 0 , m wie in der Proposition. Dann sind die Men” gen f −1 [(−∞, m)] und f −1 [(m, ∞)] disjunkte offene und nicht-leere Teilmengen von X. Da X zusammenh¨angend ist, kann die Vereinigung dieser beiden Mengen nicht ganz X sein, also ist m ∈ Im f . 23

24

3. Zusammenhang

⇐“ Sei X = A ∪ B eine Zerlegung in disjunkte offene Mengen. Dann ” ist die Funktion f: X →R ( −1, x 7→ 1,

x∈A x∈B

stetig. Da 0 ∈ / Im f , k¨ onnen 1 und −1 nicht beide im Bild von f liegen. Also ist A oder B leer.  Einen zusammenh¨angenden Raum kennen wir also aus Analysis I. 3.4 Proposition (Zwischenwertsatz). Das Einheitsintervall I ist zusammenh¨ angend.  Auf eine Wiedergabe des aus dem ersten Semester bekannten Beweises verzichten wir, bemerken aber, dass die Vollst¨andigkeit von R wesentlich war. Im Beweis von Proposition 3.3 haben wir nebenbei schon fast gezeigt, dass stetige Bilder zusammenh¨angender R¨aume zusammenh¨angend sind. 3.5 Proposition. Seien X, Y R¨ aume, X zusammenh¨ angend und f : X → Y stetig und surjektiv. Dann ist Y zusammenh¨ angend. Beweis. Sei Y = A∪B eine Zerlegung in disjunkte offene Teilmengen. Dann ist X = f −1 [A] ∪ f −1 [B] und f −1 [A] ∩ f −1 [B] = f −1 [A ∩ B] = Ø, und da f stetig ist, sind f −1 [A] und f −1 [B] offen. Da X zusammenh¨angend ist, ist f −1 [A] = Ø oder f −1 [B] = Ø. Aus der Surjektivit¨at von f folgt A = Ø oder B = Ø.  Nun noch zwei Propositionen, die sp¨ater n¨ utzlich sein werden. 3.6 Proposition. Ist X ein Raum und D ⊂ X dicht und zusammenh¨ angend, so ist X zusammenh¨ angend. Beweis. Sei A ⊂ X offen-abgeschlossen und nicht-leer. Da A offen und nicht-leer und D dicht ist, ist A ∩ D 6= Ø. Da D zusammenh¨angend und A ∩ D offen-abgeschlossen in D ist, ist nun A ∩ D = D, also D ⊂ A. Damit ist auch A dicht in X. Da A abgeschlossen ist, ist A = X.  3.7 Proposition. Sei X ein Raum und M ⊂ P(X). Sind alle M ∈ M S zusammenh¨ angend und ist X = M, M ∩ M 0 6= Ø f¨ ur alle M, M 0 ∈ M, so ist X zusammenh¨ angend. Beweis. Sei A ⊂ X offen-abgeschlossen. Dann ist A∩M offen-abgeschlossen in M f¨ ur alle M ∈ M. Sei nun A 6= Ø. Dann gibt es ein M ∈ M mit A ∩ M 6= Ø. Da M zusammenh¨angend ist, ist A ∩ M = M . F¨ ur beliebiges 0 0 0 0 M ∈ M ist nun Ø 6= M ∩ M ⊂ A ∩ M , also, da M zusammenh¨angend ist, A ∩ M 0 = M 0 . Damit ist A = X. 

Komponenten

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Komponenten Wir wollen nun einen gegebenen Raum X als disjunkte Vereinigung zusammenh¨angender Unterr¨aume darstellen. Man k¨onnte nun hoffen, dass dies immer so m¨oglich sei, dass jeder dieser Unterr¨aume zugleich offen und abgeschlossen ist. Dies wird aber im allgemeinen nicht m¨oglich sein, wie schon das Beispiel X = {1/n : n ∈ N, n > 0} ∪ {0} zeigt: Jeder Unterraum mit mehr als einem Punkt ist nicht zusammenh¨angend, denn das gr¨oßte Element kann von dem Rest durch eine offen-abgeschlossene Menge getrennt werden. Andererseits ist aber {0} nicht offen in X. Um dennoch jeden Raum als disjunkte Vereinigung m¨oglichst großer zu¨ sammenh¨angender Teilr¨aume darzustellen, betrachten wir die folgende Aquivalenzrelation. 3.8 Definition. Sei X ein Raum. Wir definieren auf X eine Relation ∼z durch p ∼z q :⇐⇒ Es gibt einen zusammenh¨angenden Unterraum Z ⊂ X mit p, q ∈ Z. ¨ 3.9 Proposition. ∼z ist eine Aquivalenzrelation. Beweis. Zur Reflexivit¨at bemerke, dass einelementige Unterr¨aume zusammenh¨angend sind. Symmetrie ist klar. Die Transitivit¨at folgt aus Proposition 3.7.  ¨ 3.10 Definition. Die Aquivalenzklassen der Relation ∼z heißen die Zusammenhangskomponenten oder kurz Komponenten des Raumes. 3.11 Proposition. Sei X ein Raum. (i) Die Komponenten von X sind nicht-leer, und X ist disjunkte Vereinigung seiner Komponenten. (ii) Jede zusammenh¨ angende Teilmenge von X ist in einer Komponente enthalten. (iii) Die Komponenten sind abgeschlossen und zusammenh¨ angend. Die Komponenten sind also maximal zusammenh¨angende Teilmengen. ¨ Beweis. (i) folgt daraus, dass ∼z eine Aquivalenzrelation ist, (ii) direkt aus der Definition von ∼z . Sei nun K eine Komponente und x ∈ K. K ist die Vereinigung aller zusammenh¨angenden Teilmengen, die x enthalten. Nach Proposition 3.7 ist K zusammenh¨angend. Da nach Proposition 3.6 der Abschluss von K ebenfalls zusammenh¨angend ist, muss nach dem bisher gezeigten K selbst abgeschlossen sein. Damit ist auch (iii) gezeigt. 

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3. Zusammenhang

3.12 Beispiel. Die Komponenten von R − {0} sind (−∞, 0) und (0, ∞). 3.13 Beispiel. Obiger Diskussion ist zu entnehmen, dass jede einelementige Teilmenge von {1/n : n ∈ N, n > 0}∪{0} eine Komponente ist. Dieser Raum enth¨alt also mit {0} eine Komponente, die nicht offen ist. Das Verst¨andnis der Komponenten vereinfacht den Beweis des folgenden Satzes. 3.14 Proposition. Sind X und Y zusammenh¨ angende R¨ aume, so ist auch X × Y zusammenh¨ angend. Beweis. Seien (x, y) und (x0 , y 0 ) beliebige Punkte von X × Y . Da {x} × Y ≈ Y zusammenh¨angend ist, liegen (x, y) und (x, y 0 ) in der selben Komponente von X × Y . Da X × {y 0 } zusammenh¨angend ist, liegen (x, y 0 ) und (x0 , y 0 ) in der selben Komponente. Damit liegen (x, y) und (x0 , y 0 ) in der selben Komponente, und da sie beliebig gew¨ahlt waren, hat X × Y nicht mehr als eine Komponente.  Eine Situation, in der die Zerlegung in Komponenten besonders angenehm ist, ist die folgende. 3.15 Definition. Ein Raum heißt lokal zusammenh¨ angend, wenn jeder Punkt eine Umgebungsbasis aus zusammenh¨angenden Umgebungen besitzt. 3.16 Proposition. Die Komponenten eines lokal zusammenh¨ angenden Raumes sind offen-abgeschlossen. Beweis. Sei K eine Komponente und x ∈ K. Dass K abgeschlossen ist, haben wir bereits gezeigt. Nun besitzt x eine zusammenh¨angende Umgebung. Diese muss in K enthalten sein, also ist K selbst Umgebung von x. Da x beliebig gew¨ahlt war, ist K offen. 

Wegzusammenhang Ein anderer wichtiger Zusammenhangsbegriff ist der des Wegzusammenhangs. Wir gehen nun etwas schneller vor und definieren gleich die entspre¨ chende Aquivalenzrelation. 3.17 Definition. Sei X ein Raum. Wir definieren eine Relation ∼w durch p ∼w q :⇐⇒ Es existiert eine stetige Abbildung w : I → X mit w(0) = p, w(1) = q. Eine solche Abbildung w heißt einWeg von p nach q. ¨ 3.18 Proposition. ∼w ist eine Aquivalenzrelation.

Wegzusammenhang

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Beweis. Seien p, q, r ∈ X. Der konstante Weg cp : I → X t 7→ p zeigt p ∼w p und damit die Reflexivit¨at. Sei nun p ∼w q und w ein Weg von p nach q. Dann ist w− : I → X t 7→ w(1 − t) ein Weg von q nach p, was q ∼w p und die Symmetrie zeigt. Sei schließlich zus¨atzlich q ∼w r und w0 ein Weg von q nach r. dann ist w ∗ w0 : I → X ( w(2t), t ≤ 12 , t 7→ w0 (2t − 1), t ≥ 12 , ein Weg von p nach r, was p ∼w r und die Transitivit¨at zeigt.



¨ 3.19 Definition. Sei X ein Raum. Die Aquivalenzklassen bez¨ uglich ∼w heißen die Wegzusammenhangskomponenten oder Wegkomponente von X. Ein Raum heißt wegzusammenh¨ angend, wenn er nicht mehr als eine Wegzusammenhangskomponente besitzt. 3.20 Proposition. Sei X ein Raum. Ist X wegzusammenh¨ angend, so auch zusammenh¨ angend. Beweis. Seien p, q ∈ X beliebig. Da X wegzusammenh¨angend ist, existiert ein Weg w : I → X von p nach q. Da nach Proposition 3.4 I zusammenh¨angend ist, ist nach Proposition 3.5 auch w[I] zusammenh¨angend, also liegen p und q in der gleichen Komponente. Damit hat X nicht mehr als eine Zusammenhangskomponente.  ¨ Dass die Umkehrung im allgemeinen nicht gilt, macht man sich als Ubung  1 2 an dem Beispiel {0} × [−1, 1] ∪ (x, sin x ) : x > 0 ⊂ R klar. 3.21 Definition. Eine Teilmenge X ⊂ Rn heißt sternf¨ ormig, wenn ein v ∈ X existiert, so dass f¨ ur alle p ∈ X und s ∈ I auch sv + (1 − s)p ∈ X. 3.22 Proposition. Ist X menh¨ angend.

⊂ Rn sternf¨ ormig, so ist X wegzusam-

Beweis. Sei v ∈ X wie in Definition 3.21 und p ∈ X beliebig. Dann ist p ∼w v.  3.23 Korollar. Ist X ⊂ Rn konvex, so ist X wegzusammenh¨ angend.



28

3. Zusammenhang

3.24 Definition. Ein Raum heißt lokal wegzusammenh¨ angend, wenn jeder Punkt eine Umgebungsbasis aus wegzusammenh¨angenden Umgebungen besitzt. 3.25 Proposition. Die Wegzusammenhangskomponenten eines lokal wegzusammenh¨ angenden Raumes sind offen-abgeschlossen und stimmen mit den Zusammenhangskomponenten u ¨berein. Beweis. Sei K eine Wegzusammenhangskomponente und x ∈ K. Nun existiert eine wegzusammenh¨angende Umgebung U von x. Da x0 ∼w x f¨ ur 0 alle x ∈ U , ist U ⊂ K. Damit ist K offen. Da das Komplement von K aber die Vereinigung aller anderen Wegzusammenhangskompenten ist, ist das Komplement von K auch offen. Damit ist K offen-abgeschlossen. Nun ist, da die Wegzusammenhangskomponenten zusammenh¨angend sind, jede Zusammenhangskomponente disjunkte Vereinigung von Wegzusammenhangskomponenten. Da die Zusammenhangskomponenten selbst zusammenh¨angend und die Wegzusammenhangskomponenten offen-abgeschlossen sind, kann keine Zusammenhangskomponenten disjunkte Vereinigung von mehr als einer Wegzusammenhangskomponente sein. 

Lieferung 4

Kompaktheit

Kompaktheit Den Begriff der Kompaktheit muss man wohl f¨ ur jemanden, der eine Analysisvorlesung geh¨ort hat, nicht weiter motivieren. F¨ ur uns ist es nur wichtig, aus den verschiedenen Charakterisierungen, die dort kennengelernt wurden und die f¨ ur Teilmengen des Rn ¨aquivalent sind, die richtige als Definition herauszupicken. 4.1 Definition. Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Eine Familie C ⊂ P(X) S ¨ von Teilmengen von X heißt Uberdeckung (von X), wenn C = X, offene ¨ ¨ Uberdeckung, wenn zus¨atzlich C ⊂ T . Eine Teilmenge einer Uberdeckung, ¨ die selbst Uberdeckung ist, heißt Teil¨ uberdeckung. 4.2 Definition. Sei X ein topologischer Raum. X heißt quasikompakt, ¨ wenn jede offene Uberdeckung von X eine endliche Teil¨ uberdeckung besitzt. Der Raum X heißt kompakt, wenn er quasikompakt und hausdorffsch ist. H¨aufig werden quasikompakte R¨aume schon kompakt genannt, man lasse also beim Literaturstudium Vorsicht walten. Da schon bekannt sein sollte, wann Unterr¨aume von euklidischen R¨aumen kompakt sind, heben wir uns diese noch ein wenig auf und begn¨ ugen uns mit einem Beispiel, das zeigt, dass Kompaktheit als Verallgemeinerung von Endlichkeit angesehen werden kann. 4.3 Beispiel. Jeder endliche Raum (in der Tat jeder Raum mit nur endlich vielen offenen Mengen) ist quasikompakt. Ein diskreter Raum X ist genau dann quasikompakt (und damit kompakt), wenn er endlich ist (betrachte ¨ die Uberdeckung {{x} : x ∈ X}). Nun wieder ein wenig Pr¨ ufungsvorbereitung f¨ ur die, die die Analysispr¨ ufung noch nicht hinter sich haben. 4.4 Proposition. Ein abgeschlossener Unterraum A eines quasikompakten Raumes X ist quasikompakt. 29

30

4. Kompaktheit

¨ Beweis. Sei C ⊂ P(A) eine offene Uberdeckung von A. Betrachte nun C 0 := {U ⊂ X : U offen, U ∩ A ∈ C}. Nach der Definition der Unterraumtopologie gibt es zu jedem V ∈ C ein U ∈ C 0 mit U ∩ A = V . Daher ist C 0 ∪ {X − A} ¨ eine offene Uberdeckung von X und hat eine endliche Teil¨ uberdeckung C 00 . 00 {U ∩ A : U ∈ C } ist nun eine endliche Teil¨ uberdeckung von C.  4.5 Proposition. Eine quasikompakte Teilmenge K eines Hausdorffraumes X ist abgeschlossen. Beweis. Sei x ∈X − K. Es ist zu zeigen, dass X − K Umgebung von x ist. Setze C := X − U : U Umgebung von x . Da X hausdorffsch ist, ist S ¨ C = X − {x}, also C 0 := {U ∩ K : U ∈ C} eine offene Uberdeckung von K. 0 Nun existiert eine endliche Teil¨ uberdeckung S von C , also auch eine endliche  Menge U von Umgebungen X − U : U ∈ U ⊃ K, also T T von X, so dass U ⊂ X − K. Nun ist U eine Umgebung von x, also ist auch X − K eine Umgebung von x.  Stetige Bilder quasikompakter R¨aume sind quasikompakt. 4.6 Proposition. Sei f : X → Y stetig und surjektiv und X quasikompakt. Dann ist auch Y quasikompakt.  ¨ Beweis. Sei C eine offene Uberdeckung von Y . Dann ist f −1 [U ] : U ∈ C ¨ eine offene Uberdeckung von X. Es gibt daher eine endliche Teilmenge  −1 0 ¨ C ⊂ C, so dass f [U ] : U ∈ C 0 eine Uberdeckung von X ist. Aus der 0 ¨ Surjektivit¨at von f folgt, dass C eine Uberdeckung von Y ist: Sei y ∈ Y und x ∈ X mit f (x) = y. Nun existiert U ∈ C 0 mit x ∈ f −1 [U ], also y = f (x) ∈ U .  Kompaktheit kann sehr n¨ utzlich bei der Konstruktion stetiger Abbildungen sein. 4.7 Proposition. Seien X, Y R¨ aume, X quasikompakt, Y hausdorffsch und sei p : X → Y eine stetige Surjektion. Dann ist f¨ ur jeden Raum Z und jede Funktion f : Y → Z, so dass f ◦ p stetig ist, bereits f stetig. 4.8 Bemerkung. Man kann das auch wie folgt ausdr¨ ucken: Sind X, Y, Z und p wie eben beschrieben und ist g : X → Z eine stetige Abbildung, so dass g(x) = g(x0 ) f¨ ur alle x, x0 ∈ X mit p(x) = p(x0 ), so existiert genau eine stetige Abbildung f : Y → Z, so dass p /Y AA AA f g AA 

XA

Z

kommutiert.

Produkte

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Beweis. Sei A ⊂ Z abgeschlossen. Es ist zu zeigen, dass f −1 [A] abgeschlossen ist. Da f ◦ p stetig ist, ist p−1 [f −1 [A]] abgeschlossen, also nach Proposition 4.4 quasikompakt. Nach Proposition 4.6 ist p[p−1 [f −1 [A]]] quasikompakt und nach Proposition 4.5 abgeschlossen. Da p surjektiv ist, ist p[p−1 [f −1 [A]]] = f −1 [A].  4.9 Beispiel. Ist Z ein beliebiger Raum und g : I → Z eine stetige Funktion mit g(0) = g(1), so gibt es eine stetige Funktion f : S 1 → Z mit f (sin(2πt), cos(2πt)) = g(t) f¨ ur t ∈ I. Nat¨ urlich h¨atte man das auch noch leicht per Hand nachrechnen k¨onnen. 4.10 Korollar. Ist h : X → Y eine stetige Bijektion von einem quasikompakten Raum in einen Hausdorffraum, so ist h ein Hom¨ oomorphismus. Beweis. Es ist zu zeigen, dass h−1 : Y → X stetig ist, und nach dem eben gezeigten ist das der Fall, da h−1 ◦ h = idX stetig ist. 

Produkte Eine typische Anwendung von Kompaktheit ist auch die folgende Proposition. Man benutzt sie zum Beispiel, um zu zeigen, dass ein lokaler Fluss auf einer kompakten Mannigfaltigkeit (oder ein lokaler Fluss auf Rn , der außerhalb eines Kompaktums konstant ist) zu einem globalen Fluss erweitert werden kann. 4.11 Proposition. Seien X, Y R¨ aume. Ist Y quasikompakt, x ∈ X und O ⊂ X × Y offen mit {x} × Y ⊂ O, so existiert eine Umgebung U von x, so dass U × Y ⊂ O. Beweis. Wir erinnern uns, dass {V × W : V ⊂ X offen, W ⊂ Y offen} eine Basis der Produkttopologie ist. Daher gilt, wenn wir C := {V × W : V Umgebung von x, W ⊂ Y offen, V × W ⊂ O} S setzen, {x} × Y ⊂ C. Nun ist {W ⊂ Y : Es ex. V ⊂ X mit V × W ∈ C} ¨ eine offene Uberdeckung von Y . Aus der Quasikompaktheit von Y folgt nun die Existenz von n ∈ N und f¨ ur 1 ≤ k ≤ n Umgebungen Sn Vk ⊂ X von x und offenen T Mengen Wk ⊂ Y , so dass Vk × Wk ⊂ O und k=1 Wk = Y . Nun ist U := nk=1 Vk eine Umgebung von x und U ×Y =U ×

n [

k=1

wie gefordert.

Wk ⊂

n [

(Vk × Wk ) ⊂ O,

k=1



32

4. Kompaktheit

Dies ist auch ein Schritt im Beweis der folgenden Proposition, den wir ¨ trotz ihrer Wichtigkeit als Ubung stellen, da sie sp¨ater noch in gr¨oßerer Allgemeinheit bewiesen werden wird.1 4.12 Proposition. Das Produkt zweier quasikompakter R¨ aume ist quasikompakt. ¨ Skizze. Nimm eine beliebige offene Uberdeckung von X × Y . F¨ ur beliebiges x ∈ X zeige, dass es eine endliche Teil¨ uberdeckung von {x}×Y gibt. Wende dann Proposition 4.11 an und schließlich noch die Kompaktheit von X.  Da wir das bisher vers¨aumt haben, notieren wir auch noch: 4.13 Proposition. Das Produkt zweier Hausdorffr¨ aume ist hausdorffsch. Beweis. Seien X, Y Hausdorffr¨aume, (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ X×Y , (x, y) 6= (x0 , y 0 ). Dann ist x 6= x0 oder y 6= y 0 , oBdA x 6= x0 . Seien U, U 0 disjunkte Umgebungen von x beziehungsweise x0 . Dann sind U × Y und U 0 × Y disjunkte Umgebungen von (x, y) beziehungsweise (x0 , y 0 ). 

Metrische R¨aume Wenn wir uns nicht zu sehr auf das in der Analysis gezeigte beziehen wollen, sollten wir nun noch zeigen, dass eine Teilmenge eines euklidischen Raumes genau dann kompakt ist, wenn sie abgeschlossen und beschr¨ankt ist. Aufgrund des bisher gezeigten, w¨ urde es gen¨ ugen, zu zeigen, dass das Einheitsintervall kompakt ist; man u ¨berlege sich das. Das ginge auch schnell, w¨are aber nicht sonderlich spannend. In [Mun75, Chap. 3, Thm. 6.1] findet man eine Verallgemeinerung auf gewisse geordnete R¨aume. Wir werden eine Verallgemeinerung auf metrische R¨aume behandeln, wie sie zum Beispiel in [Bre93, I.9] dargestellt ist. Dazu m¨ ussen wir allerdings f¨ ur metrische R¨aume gewisse Begriffe wie Cauchy-Folgen als bekannt voraussetzen. 4.14 Definition. Ein metrischer Raum heißt vollst¨ andig, wenn in ihm jede Cauchy-Folge konvergiert. 4.15 Definition. Ein metrischer Raum heißt total beschr¨ ankt, wenn er f¨ ur ¨ beliebiges ε > 0 eine Uberdeckung durch endlich viele ε-Kugeln besitzt. 4.16 Proposition. In einem metrischen Raum X sind die folgenden Aussagen ¨ aquivalent. (i) X ist kompakt. (ii) X ist vollst¨ andig und total beschr¨ ankt. 1

Der sp¨ atere Beweis wird allerdings das Auswahlaxiom ben¨ otigen, was hier nicht der Fall ist.

Metrische R¨ aume

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Der Beweis ist im wesentlichen der, mit dem in Analysis II h¨aufig gezeigt wird, dass I n kompakt ist. Insofern ist die Formulierung der Proposition vielleicht interessanter als der Beweis, da hier in gewisser Weise die richtige Verallgemeinerung gefunden wurde. Beweis. ⇒“ Sei X nicht vollst¨andig und (an ) eine nicht konvergente Cau” chy-Folge. Zu beliebigem x ∈ X existiert dann ein ε > 0, so dass unendlich viele Folgenglieder nicht in Bε (x) liegen. Da (an ) Cauchy-Folge ist, folgt daraus, dass es ein εx gibt, so dass nur endlich viele Folgenglieder in Bεx (x) ¨ liegen. Nun ist {Bεx (x) : x ∈ X} eine offene Uberdeckung von X. Da in ¨ jedem Element dieser Uberdeckung nur endlich viele Folgenglieder liegen, kann sie keine endliche Teil¨ uberdeckung haben. Damit ist X nicht kompakt. Sei nun X kompakt und ε > 0. Die Menge aller ε-B¨alle u ¨berdeckt X und aufgrund der Kompaktheit gen¨ ugen tats¨achlich endlich viele. Damit ist X total beschr¨ankt. ¨ ⇐“ Sei X vollst¨andig und total beschr¨ankt und C eine offene Uber” deckung von X. Wir werden die Annahme, dass C keine endliche Teil¨ uberdeckung habe, zum Widerspruch f¨ uhren. Setze zun¨achst A−1 := X. Angenommen An−1 ⊂ X sei definiert und werde von keiner endlichen Teilmenge von C u ¨ber¨berdeckt. Dann k¨onnen wir X mit endlich vielen 21n -Kugeln u decken, und eine von denen, die An−1 treffen wird wiederum von keiner endlichen Teilmenge von C u ¨berdeckt. Sei An eine solche Kugel und xn ihr Mittelpunkt. Nun ist (xn ) eine Cauchy-Folge und B 1n (xn ) wird von keiner 2 endlichen Teilmenge von C u ¨berdeckt. Da X vollst¨andig ist, konvergiert (xn ) gegen einen Punkt, den wir y nennen wollen. Nun gibt es ein O ∈ C und ein ε > 0 mit Bε (y) ⊂ O. Nun gibt es aber ein n, so dass xn ∈ Bε/2 (y) und 1 ε uhrt.  2n < 2 , was zu einem Widerspruch f¨ 4.17 Korollar. Eine Teilmenge X ⊂ Rn ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und in der euklidischen Norm beschr¨ ankt ist. Beweis. Der Unterraum X des vollst¨andigen metrischen Raumes Rn ist genau dann vollst¨andig, wenn er abgeschlossen ist. Wir zeigen nun noch, dass er genau dann beschr¨ankt ist, wenn er total beschr¨ankt ist. Es ist leicht zu sehen, dass ein unbeschr¨anktes X nicht total beschr¨ankt sein kann. Sei nun X beschr¨ankt und ε > 0. Wiederum ist leicht zu sehen, dass es m¨oglich ist, X mit endlich vielen 2ε Kugeln in Rn zu u ¨berdecken. Lasse nun jede Kugel ¨ einer solchen Uberdeckung weg, falls ihr Schnitt mit X leer ist und ersetze sie ansonsten durch die ε-Kugel um einen Punkt in diesem Schnitt. Dies ¨ ergibt eine Uberdeckung von X mit endlich vielen ε-Kugeln. 

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4. Kompaktheit

Lieferung 5

Produkte und mehr

Initial- und Finaltopologien Wir beginnen mit zwei Definitionen. Diese sind recht abstrakt, aber wir werden sogleich sehen, dass sie uns bereits Bekanntes verallgemeinern. 5.1 Definition. Sei X eine Menge, J eine beliebige Indexmenge, und seien Yj R¨aume und fj : Yj → X Funktionen f¨ ur j ∈ J. Wir nennen eine Topologie T auf X Finaltopologie bez¨ uglich der fj , wenn folgendes gilt: (i) Die fj : Yj → (X, T ) sind stetig. (ii) F¨ ur alle R¨aume Z und Funktionen g : X → Z gilt: Sind alle g ◦ fj : Yj → Z stetig, so ist g : (X, T ) → Z stetig. Yj TJTTT JJ TTT JJ TTTTg◦fj JJ TTTT J TTTT fj JJ$ TTTT */ (X, T ) g Z 5.2 Definition. Sei X eine Menge, J eine beliebige Indexmenge, und seien Yj R¨aume und fj : X → Yj Funktionen f¨ ur j ∈ J. Wir nennen eine Topologie T auf X Initialtopologie bez¨ uglich der fj , wenn folgendes gilt: (i) Die Abbildungen fj : (X, T ) → Yj sind stetig. (ii) F¨ ur alle R¨aume Z und Funktionen g : Z → X gilt: Sind alle fj ◦g : Z → Yj stetig, so ist g : Z → (X, T ) stetig. g

Z TTTTT / (X, T )J TTTT J TTTT JJJfj TTTT JJJ TTTT JJ fj ◦g TT*$ Yj Auch wenn wir die Diagramme noch gespiegelt haben, sieht man: Die beiden Definitionen gehen durch Umkehren aller Pfeile ineinander u ¨ber. Bei der Initial topologie steht der Raum X vorne an den zu fj geh¨origen Pfeilen, bei der Final topologie steht er hinten. 35

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5. Produkte und mehr

5.3 Beispiel. Ist Y ein Raum und X ⊂ Y , so ist die Unterraumtopologie auf X Initialtopologie bez¨ uglich der Inklusion i : X → Y . Das haben wir in Proposition 2.26 gesehen. 5.4 Beispiel. Sind X, Y R¨aume, Y quasikompakt und X hausdorffsch und p : Y → X eine stetige Surjektion, so ist die Topologie von X Finaltopologie bez¨ uglich p. Das haben wir in Proposition 4.7 gezeigt. 5.5 Beispiel. Sind X, Y R¨aume, so ist die Produkttopologie auf X × Y Initialtopologie bez¨ uglich der kanonischen Projektionen p1 : X ×Y → X und p2 : X × Y → Y . Das haben wir in Korollar 2.37 gezeigt. Das letzte Beispiel ist f¨ ur uns im Moment insofern das wichtigste, als wir f¨ ur das Produkt zweier R¨aume eigentlich schon alles gezeigt haben, was es f¨ ur Initialtopologien zu zeigen gibt. Wir werden nun Existenz und Eindeutigkeit von Initial- und Finaltopologien zeigen. Der Beweis der Eindeutigkeit ist so formal, dass es gen¨ ugt, ihn f¨ ur Initial- oder Finaltopologien durchzuf¨ uhren. Der andere Beweis folgt dann durch Umkehren aller Pfeile. 5.6 Proposition. Sei X eine Menge, J eine beliebige Indexmenge, und seien Yj R¨ aume und fj : Yj → X Funktionen f¨ ur j ∈ J. Es seien T1 und T2 Topologien auf X, so dass T1 Eigenschaft (i) aus der Definition der Finaltopologie hat und T2 Eigenschaft (ii). Dann ist T1 gr¨ ober als T2 . Beweis. Sei i : (X, T2 ) → (X, T1 ) die Funktion, die auf X die Identit¨at ist. Es ist die Stetigkeit von i zu zeigen. Da T2 Eigenschaft (ii) hat, gen¨ ugt dazu die Stetigkeit aller i ◦ fj , und das ist gerade die Eigenschaft (i) f¨ ur T1 .  5.7 Korollar. Sei X eine Menge, J eine beliebige Indexmenge, und seien Yj R¨ aume und fj : Yj → X Funktionen f¨ ur j ∈ J. Existiert die Finaltopologie bez¨ uglich der fj , so ist sie eindeutig bestimmt.  5.8 Proposition. Sei X eine Menge, J eine beliebige Indexmenge, und seien Yj R¨ aume und fj : X → Yj Funktionen f¨ ur j ∈ J. Es seien T1 und T2 Topologien auf X, so dass T1 Eigenschaft (i) aus der Definition der Initialtopologie hat und T2 Eigenschaft (ii). Dann ist T1 feiner als T2 . Beweis. Wie Proposition 5.6, nur mit umgekehrten Pfeilen.



5.9 Korollar. Sei X eine Menge, J eine beliebige Indexmenge, und seien Yj R¨ aume und fj : X → Yj Funktionen f¨ ur j ∈ J. Existiert die Initialtopologie bez¨ uglich der fj , so ist sie eindeutig bestimmt.  Wir m¨ ussen also nur noch die Frage der Existenz kl¨aren. Die eben gezeigten Propositionen zeigen schon, wie Final- und Initialtopologien aussehen m¨ ussen, wenn sie existieren: Die Initialtopologie muss die gr¨obste sein, so dass die fj stetig sind, die Finaltopologie die feinste.

Spezialf¨ alle

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5.10 Proposition. Sei X eine Menge, J eine beliebige Indexmenge, und seien Yj R¨ aume und fj : Yj → X Funktionen f¨ ur j ∈ J. Dann ist n o T := O ⊂ X : fj−1 [O] offen in Yj f¨ ur alle j ∈ J die Finaltopologie auf X bez¨ uglich der fj . Beweis. Zun¨achst ist zu bemerken, dass T tats¨achlich eine Topologie ist, da f −1 mit Vereinigungen und Schnitten vertauscht. Dass die fj : Yj → (X, T ) stetig sind, ist offensichtlich. Sei nun Z ein Raum und g : X → Z eine Funktion, so dass g ◦ fj f¨ ur alle j ∈ J stetig ist. F¨ ur offenes U ⊂ Z ist dann f¨ ur alle j ∈ J die Menge (g ◦ fj )−1 [U ] = fj−1 [g −1 [U ]] offen, also g −1 [U ] ∈ T . Damit ist g : (X, T ) → Z stetig.  5.11 Proposition. Sei X eine Menge, J eine beliebige Indexmenge, und seien Yj R¨ aume und fj : X → Yj Funktionen f¨ ur j ∈ J. Dann ist die durch die Subbasis o [n fj−1 [O] : O ⊂ Yj offen S := j∈J

definierte Topologie auf X die Initialtopologie bez¨ uglich der fj . Beweis. Wie f¨ ur das Produkt zweier R¨aume in Proposition 2.34 und Proposition 2.36. 

Spezialfa¨lle Wir stellen nun die f¨ ur uns wichtigsten F¨alle zusammen, in denen Mengen mit der Initial- oder Finaltopologie versehen werden: Unterr¨aume, Produk¨ te, Quotienten und Summen. Uber Unterr¨aume haben wir bereits geredet. Endliche Produkte sind uns schon bekannt, u ¨ber beliebige Produkte wird es sogleich noch einiges zu sagen geben. Quotienten betrachten wir danach, und u ¨ber Summen gibt es nicht viel zu sagen.

Unterr¨aume 5.12 Definition. Seien X, Y R¨aume. Eine Funktion i : X → Y heißt Einbettung, wenn sie injektiv ist und X die Initialtopologie bez¨ uglich i tr¨agt. Die Funktion i ist also gerade dann eine Einbettung, wenn sie ein Hom¨oomorphismus zwischen X und dem mit der Unterraumtopologie versehenen Bild i[X] ist.

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5. Produkte und mehr

Produkte Bevor wir beliebige Produkte topologischer R¨aume definieren, erinnern wir an das kartesische Produkt von Mengen und legen daf¨ ur Notation fest. 5.13 Notation. Sei J eine beliebige Menge und Mj eine Menge f¨ ur alle j ∈ J. Das kartesische Produkt der Mj ist   [ Y ur alle j ∈ J . Mj := x : J → Mj x(j) ∈ Mj f¨ j∈J

j∈J

Anstelle von x(j) schreiben wir meist xj und dementsprechend auch (xj )j∈J anstelle von x. Die kanonischen Projektionen sind die Abbildungen Y pk : Mj → Mk , k ∈ J, j∈J

x 7→ xk . Wir bemerken, dass f¨ ur Mengen M und N M N := {x : N → M } gerade der Spezialfall M N =

Q

j∈N

M ist.

5.14 Definition. SeienQ J eine beliebige Menge und Xj topologische R¨aume f¨ ur j ∈ J. Das Produkt j∈J Xj der R¨aume Xj ist das kartesische Produkt der zugrunde liegenden Mengen versehen mit der Initialtopologie bez¨ uglich der kanonischen Projektionen, die wir die Produkttopologie nennen. Q 5.15 Notation. Wir schreiben auch X0 × · · · × Xn−1 f¨ ur j∈{0,...,n−1} Xj . Nun zu den dualen Konzepten.

Quotienten 5.16 Definition. Seien X, Y R¨aume. Eine Abbildung q : X → Y heißt Quotientenabbildung, wenn q surjektiv ist und Y die Finaltopologie bez¨ uglich q ist. Diese Topologie auf Y nennen wir die Quotiententopologie bez¨ uglich q.

Summen 5.17 Notation. Sei J eine beliebige Menge und Mj eine Menge f¨ ur alle j ∈ J. Das Koprodukt der Mj ist a

j∈J

Mj :=

[

j∈J

(Mj × {j}) .

Zwischenspiel: Abz¨ ahlbares

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Die kanonischen Inklusionen sind die Abbildungen a ik : Mk → Mj , k ∈ J, j∈J

x 7→ (x, k). Die Idee hinter der Konstruktion Mj × {j} ist nur, dass so ganz sicher f¨ ur j 6= j 0 die Mengen Mj × {j} und Mj 0 × {j 0 } disjunkt sind. Sind Mj 0 f¨ und Mj` ur alle j, S j 0 ∈ J mit j 6= j 0 ohnehin disjunkt, k¨onnen wir auch einfach j∈J Mj = j∈J Mj und ik (x) = x setzen. 5.18 Definition. Seien J eine beliebige Menge und Xj topologische R¨au` me f¨ ur j ∈ J. Die topologische Summe j∈J Xj ist das Koprodukt der zugrunde liegenden Mengen versehen mit der Finaltopologie bez¨ uglich der kanonischen Inklusionen. ` 5.19 Notation. Wir schreiben auch X0 + · · · + Xn−1 f¨ ur j∈{0,...,n−1} Xj .

Zwischenspiel: Abz¨ahlbares Bevor wir uns n¨aher mit Produkten besch¨aftigen, wollen wir noch ein paar Begriffe einf¨ uhren. 5.20 Definition. Ein topologischer Raum (X, T ) heißt metrisierbar, wenn es eine Metrik auf X gibt, die T induziert. 5.21 Definition. Man sagt, ein topologischer Raum erf¨ ulle das erste Abz¨ ahl1 barkeitsaxiom, wenn jeder seiner Punkte eine abz¨ahlbare Umgebungsbasis besitzt. 5.22 Proposition. Sei X ein topologischer Raum. Ist X metrisierbar, so erf¨ ullt X das erste Abz¨ ahlbarkeitsaxiom. Beweis. Sei  d eine Metrik, die die Topologie von X induziert und x ∈ X. Dann ist B1/n (x) : n ∈ N \ {0} eine abz¨ahlbare Umgebungsbasis von X.  Die n1 -Umgebungen haben noch die angenehme Eigenschaft, ineinander zu liegen. Das kann man auch allgemein bei einem das erste Abz¨ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullenden Raum erreichen: 5.23 Lemma. Sei X ein Raum, der das erste Abz¨ ahlbarkeitsaxiom erf¨ ulle, und x ∈ X. Dann hat x eine Umgebungsbasis der Form {Un : n ∈ N} mit Un ⊂ Um f¨ ur alle n, m mit n ≥ m. 1

Diese Eigenschaft ein Axiom zu nennen, ist eigentlich etwas ungl¨ ucklich. Vor allem ist es unpraktisch, kein Adjektiv f¨ ur diese Eigenschaft zu haben. Im englischen Sprachraum hingegen sagt man auch einfach “X is first countable”, was zwar vielleicht sprachlich fragw¨ urdig, aber sehr angenehm ist.

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5. Produkte und mehr

Beweis. Zun¨achst hat x u ¨berhaupt eine abz¨ahlbare Umgebungsbasis B, also eine der Form B = {Vn : n ∈ N}. (Sollte B tats¨achlich endlich sein,Tso wiederhole man ein Element einfach unendlich oft.) Setze nun Un := k≤n Vk . Dann gilt f¨ ur m ≥ n, dass Um ⊂ Un , und die Un sind Umgebungen von x, da endliche Schnitte offener Mengen offen sind. Ist nun O eine beliebige Umgebung von x, so gibt es, da B eine Umgebungsbasis von x ist, ein n ∈ N mit Vn ⊂ O. Da Un ⊂ Vn , ist auch Un ⊂ O und damit {Un : n ∈ N} eine Umgebungsbasis von x.  5.24 Definition. Man sagt, ein topologischer Raum erf¨ ulle das zweite Abz¨ ahlbarkeitsaxiom, wenn seine Topologie eine abz¨ahlbare Basis besitzt. 5.25 Proposition. Ist n ∈ N und sind Xi , 1 ≤ i ≤ n R¨ aume, die das zweite Abz¨ ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullen, so erf¨ ullt auch X1 × X2 × · · · × Xn das zweite Abz¨ ahlbarkeitsaxiom. Beweis. Sei Bi eine Basis der Topologie von Xi , so ist {U1 × U2 × · · · × Un : Ui ∈ Bi } abz¨ahlbar und eine Basis der Topologie des Produkts, was (f¨ ur n = 2) bereits in Aufgabe ?? nachgerechnet wurde.  5.26 Proposition. Rn erf¨ ullt das zweite Abz¨ ahlbarkeitsaxiom. Beweis. Es gen¨ ugt, R zu betrachten, und in Aufgabe ?? wurde auch gezeigt, dass die abz¨ahlbare Menge {(a, b) : a, b ∈ Q} eine Basis der Topologie von R ist. 

Produkte Da Produkte so wichtig sind, wollen wir die in Proposition 5.11 f¨ ur eine Initialtopologie angegebene Subbasis f¨ ur ein Produkt explizit hinschreiben. 5.27 Proposition. Seien J eine beliebige Menge und (Xj , Tj ) f¨ ur j ∈ J R¨ aume. Dann ist   Y  Oj : Oj ∈ Tj f. a. j ∈ J, es ex. k ∈ J, s. d. Oj = Xj f. a. j 6= k   j∈J

eine Subbasis der Produkttopologie auf

Q

j∈J

Xj .

Beweis. Ist pk die kanonische Projektion und U ∈ Tk , so ist ( Y U, j = k, −1 pk [U ] = Oj mit Oj = Xj , j 6= k, j∈J und diese Mengen bilden nach Konstruktion der Initialtopologie eine Subbasis. 

Produkte

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5.28 Proposition. Seien J eine beliebige Menge und (Xj , Tj ) f¨ ur j ∈ J R¨ aume. Dann ist   Y  Oj : Oj ∈ Tj f. a. j ∈ J, Oj = Xj f¨ ur fast alle j ,   j∈J

wobei fast alle‘ Q alle bis auf endlich viele bedeute, eine Basis der Produktto’ pologie auf j∈J Xj . Beweis. Dies sind gerade die endlichen Schnitte von Elementen der Subbasis aus der vorhergehenden Proposition.  Q Man beachte, dass beliebige Mengen der Form j∈J Oj mit Oj ∈ Tj im allgemeinen in der Produkttopologie nicht offen sind. Dadurch werden die Umgebungsbasen in großen Produkten schnell groß. 5.29QProposition. Sei J u ahlbar und seien Xj R¨ aume f¨ ur j ∈ J. Ist ¨berabz¨ x ∈ j∈J Xj und gibt es f¨ ur jedes j ∈ J eine von Xj verschiedene Umgebung von xj , so hat x keine abz¨ ahlbare Umgebungsbasis. Beweis. Sei {Un : n ∈ N} eine abz¨ahlbare Menge von Umgebungen von x. F¨ ur jedes n ∈ N ist Fn := {j ∈ J : pj [Un ] 6= Xj } S endlich. Daher ist n∈N Fn abz¨ahlbar und damit ungleich J. Sei nun j ∈ J S mit j ∈ / n∈N Fn und V 6= Xj eine Umgebung von xj . Dann enth¨alt die −1 Umgebung p−1 j [V ] von xj kein Un , denn es ist pj [pj [V ]] = V 6= Xj , aber aufgrund der Wahl von j ist pj [Un ] = Xj f¨ ur alle n ∈ N. Damit ist {Un } keine Umgebungsbasis von x.  Man k¨onnte nun hoffen, dass es, wenn schon keine abz¨ahlbaren, so doch wenigstens immer ¨ahnlich Lemma 5.23 geordnete Umgebungsbasen gibt. Auch das ist nicht der Fall. 5.30QProposition. Sei J u ahlbar und seien Xj R¨ aume f¨ ur j ∈ J. Ist ¨berabz¨ x ∈ j∈J Xj und gibt es f¨ ur jedes j ∈ J eine von Xj verschiedene Umgebung von xj , so besitzt x keine Umgebungsbasis, die durch Inklusion total geordnet ist. Beweis. Sei B eine Umgebungsbasis von x. Man w¨ahle f¨ ur alle n ∈ N paarweise verschiedene jn ∈ J. Da J u ¨berabz¨ahlbar ist, ist das m¨oglich. Man w¨ ahle zu jedem n eine von Xjn verschiedene Umgebung Un von xjn . Da T ur alle n ∈ N eine Umgebung von x ist, ist es m¨oglich Vn := nk=0 p−1 jk [Uk ] f¨ zu jedem n ein Bn ∈ B mit Bn ⊂ Vn zu w¨ahlen. Da wir bereits gezeigt haben, dass x keine abz¨ahlbare Umgebungsbasis besitzt, ist insbesondere {Bn } keine Umgebungsbasis von x, und es gibt eine Umgebung W von x mit Bn 6⊂ W f¨ ur alle n ∈ N. Es gibt aber eine Umgebung C ∈ B mit

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5. Produkte und mehr

C ⊂ W . Damit ist Bn 6⊂ C f¨ ur alle n ∈ N. W¨are nun B T durch Inklusion T total geordnet, soTw¨are C ⊂ T Bn f¨ ur alle n und damit C ⊂ n∈N Bn ⊂ n∈N Vn . −1 Also w¨are n∈N Vn = ∞ k=0 pjk [Uk ] eine Umgebung von x. Dies ist aber nicht der Fall, da alle jk verschieden sind und Uk 6= Xjk f¨ ur alle k ∈ T denn −1 N, enth¨alt ∞ p [U ] kein nicht-leeres Element der in Proposition 5.28 k k=0 jk angegebenen Basis der Produkttopologie. 

Lieferung 6

Quotienten: Identifizieren und Verkleben

¨ Aquivalenzrelationen Quotiententopologien formalisieren das anschauliche Konzept des Verklebens von R¨aumen an Punkten. Um das besser zu verstehen, besch¨aftigen wir uns kurz mit surjektiven Abbildungen und ihrem Zusammenhang mit ¨ Aquivalenzrelationen. Seien zu¨achst M, N Mengen und f : M → N eine Funktion. Dann defi¨ niert f eine Aquivalenzrelation ∼f auf M durch x ∼f x0 :⇔ f (x) = f (x0 ). ¨ Ist andererseits ∼ eine Aquivalenzrelation auf M und bezeichnet M/∼ die ¨ Menge der Aquivalenzklassen, so definiert dies eine surjektive Funktion ¨ q : M → M/∼ durch q(x) := [x]∼ . Ist nun ∼ eine Aquivalenzrelation, q ¨ die zugeh¨orige Surjektion auf die Aquivalenzklassen und ∼q die hierdurch definierte Relation, so ist offenbar ∼q =∼. Ist andererseits f : M → N surjektiv, so existiert genau eine Bijektion M/∼f → N , die f // N M PPP OO PPP PPP PP x7→[x] PP' ' O M/∼f

kommutativ macht. Wenn einen also nicht interessiert, was die Elemente von N sind —und bei R¨aumen schauen wir uns ja meist nicht an, was ein Punkt‘ ist—, so wird die Surjektion f vollst¨andig durch die Relation ∼f ’ beschrieben. Wir legen entsprechend noch Notation fest. ¨ 6.1 Notation. Ist X ein Raum und ∼ eine Aquivalenzrelation auf X, ¨ so bezeichnet X/∼ den Raum, der aus der Menge der Aquivalenzklassen bez¨ uglich ∼ versehen mit der Finaltopologie bez¨ uglich der kanonischen Surjektion X → X/∼ besteht. 43

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6. Quotienten: Identifizieren und Verkleben

¨ Als Beispiel betrachten wir auf dem Einheitsintervall I die Aquivalenzrelation x ∼ y :⇐⇒ x = y ∨ (x = 0 ∧ y = 1) ∨ (x = 1 ∧ y = 0), ¨ also die von 0 ∼ 1 erzeugte Aquivalenzrelation. Den entstehenden Raum I/∼ kann man sich nun so vorstellen, dass die Punkte 0 und 1 zu einem Punkt identifiziert wurden, dass also die beiden Enden des Einheitsintervalls zusammengeklebt wurden. Die Anschauung sagt uns nun, dass dabei die Kreislinie herausgekommen sein sollte, und wir werden nun zeigen, dass sie uns nicht t¨auscht. Betrachten wir zun¨achst, wie schon mehrfach, die Abbildung p : I → S1 x 7→ (cos(2πx), sin(2πx)). Diese Abbildung ist surjektiv und fast injektiv: Nur 0 und 1 haben den selben Wert. Es ist also p surjektiv und p(x) = p(y) ⇐⇒ x ∼ y. Damit haben wir wie oben ein kommutatives Diagramm p

/ / S1 I NNN OO NNN NNN h q NNN N' ' O I/∼

und m¨ ussen uns nur noch um Stetigkeit k¨ ummern. p ist nach Konstruktion stetig. Da I/∼ die Quotiententopologie, also die Finaltopologie bez¨ uglich q tr¨agt, ist q stetig. Da h ◦ q = p stetig ist, ist auch h stetig, dies ist die zweite Eigenschaft der Finaltopologie und was Quotienten so angenehm macht. Wir wissen also bereits, dass h eine stetige Bijektion ist, und wollen nun zeigen, dass h in der Tat ein Hom¨oomorphismus ist. Normalerweise m¨ ussten wir nun anfangen zu rechnen, aber wir haben Gl¨ uck, dass I quasikompakt (sogar kompakt) und S 1 hausdorffsch ist: Nach Proposition 4.7 ist dadurch n¨amlich auch p automatisch eine Quotientenabbildung. Um die Stetigkeit von h−1 nachzuweisen, gen¨ ugt daher die Stetigkeit von h−1 ◦ p, aber h−1 ◦ p = q ist stetig. Weil das so wichtig ist, hier das gleiche Argument noch einmal etwas anders: Da I quasikompakt und q stetig und surjektiv ist, ist nach Proposition 4.6 auch I/∼ quasikompakt. (Man beachte, dass wir an dieser Stelle in der Tat ohne etwas nachzurechnen noch nicht wissen k¨onnen, dass I/∼ hausdorffsch ist.) Nun ist h eine stetige Bijektion von einem quasikompakten Raum in einen Hausdorffraum also nach Korollar 4.10 ein Hom¨oomorphismus. Wir bemerken eine wichtige Tatsache, die wir nebenbei gezeigt haben, und die entsprechend auch f¨ ur andere F¨alle von Final- oder Initialtopologien gilt. Dies ist nur eine andere Art, deren Eindeutigkeit zu formulieren.

Das Zusammenschlagen von Unterr¨ aumen

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6.2 Lemma. Seien X, Y0 , Y1 R¨ aume und qi : X → Yi Quotientenabbildungen. Ist f¨ ur alle x, x0 ∈ X genau dann q0 (x) = q0 (x0 ), wenn q1 (x) = q1 (x0 ), so existiert eine eindeutig bestimmte Abbildung h, so dass 44 Y q0 iiiiii  0 i i i iiii h X UUUUU UUUU  q1 UUUU* * 

Y1

kommutiert, und h ist ein Hom¨ oomorphismus.



Das Zusammenschlagen von Unterr¨aumen F¨ ur F¨alle wie den eben betrachteten f¨ uhren wir eine einfachere Notation ein. ¨ 6.3 Notation. Sei X ein Raum und A ⊂ X. Ist ∼ die Aquivalenzrelation auf X mit x ∼ y ⇐⇒ (x = y) ∨ (x, y ∈ A), die A zu einem Punkt identifiziert, so schreiben wir X/A f¨ ur den Quotientenraum X/∼. Sind etwas allgemeiner A1 , . . . , An ⊂ X paarweise disjunkt und x ∼ y ⇐⇒ (x = y) ∨ (x, y ∈ A1 ) ∨ · · · ∨ (x, y ∈ An ), so schreiben wir X/(A1 , . . . , An ) f¨ ur X/∼. 6.4 Proposition. Es ist I/ {0, 1} ≈ S 1 , und f¨ ur n ∈ N ist Dn+1 /S n ≈ n+1 S . Beweis. I/ {0, 1} ≈ S 1 haben wir bereits gezeigt. F¨ ur n ∈ N wollen wir n+1 n+1 eine stetige Abbildung D → S angeben, die S n auf den Nordpol wirft und ansonsten injektiv ist. Eine solche Abbildung ist nicht schwer hinzuschreiben, aber unter Umst¨anden muss man f¨ ur die Stetigkeit arbeiten, und wir wollen sie uns lieber von Quotiententopologien schenken lassen. Betrachte dazu das folgende Diagramm. n+1 f gggggg3 3 D g g g ggg p S n × D1 WWW WWWW WWWW g W+ + 

S n+1

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6. Quotienten: Identifizieren und Verkleben

Hierbei seien f und g die stetigen Abbildungen f : S n × D1 → Dn+1 g : S n × D1 → S n+1 p p s+1 (x, s) 7→ x, (x, s) 7→ ( 1 − s2 · x1 , . . . , 1 − s2 · xn+1 , s) 2 Diese sind beide surjektiv, und f¨ ur x, y ∈ S n × D1 gilt f (x) = f (y) ⇐⇒ (x = y) ∨ (x, y ∈ S n × {−1}), g(x) = g(y) ⇐⇒ (x = y) ∨ (x, y ∈ S n × {−1}) ∨ (x, y ∈ S n × {1}). Da also aus f (x) = f (y) folgt, dass g(x) = g(y), existiert eine Abbildung p, die das Diagramm kommutativ macht. Da f als stetige Surjektion von einem kompakten Raum in einen Hausdorffraum eine Quotientenabbildung ist, folgt die Stetigkeit von p aus der Stetigkeit von g. Da g surjektiv ist, ist auch p surjektiv. Mit dem gleichen Argument wie eben ist nun p eine Quotientenabbildung. Bemerken wir nun noch zus¨atzlich zu obigem, dass f −1 [S n ] = S n × {1} , so folgt f¨ ur x0 , y 0 ∈ Dn+1 p(x0 ) = p(y 0 ) ⇐⇒ (x0 = y 0 ) ∨ (x0 , y 0 ∈ S n ) und daraus mit Hilfe von Lemma 6.2, dass Dn+1 /S n ≈ S n+1 .



Wir f¨ uhren noch etwas mehr Notation ein. 6.5 Definition. Sei X ein Raum. Dann nennen wir CX := X × I/X × {1} den Kegel u ¨ber X und ΣX := X × I/(X × {0} , X × {1}) die Einh¨ angung von X. Im Beweis der letzten Proposition haben wir schon Beispiele kennengelernt: 6.6 Proposition. Sei n ∈ N. Dann ist CS n ≈ Dn+1 und ΣS n ≈ S n+1 . Beweis. Die Quotientenabbildungen f und g aus dem letzten Beweis zeigen, wieder mit Hilfe von Lemma 6.2, dass (S n × D1 )/(S n × {−1}) ≈ Dn+1 und (S n × D1 )/(S n × {−1} , S n × {1}) ≈ S n+1 . Ersetzt man D1 durch das hom¨oomorphe I und entsprechend {1, −1} durch {0, 1}, so erh¨alt man die Behauptung. 

Projektive R¨ aume

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Projektive R¨aume Bisher haben wir Quotienten betrachtet, die hom¨oomorph zu R¨aumen waren, die wir bereits gut kannten. Spannender ist es, mit Hilfe von Quotienten neue R¨aume zu erschaffen. 6.7 Definition. Sei n ∈ N. Der n-dimensionale (reell-)projektive Raum, RP n , ist definiert durch RP n := S n /∼, wobei f¨ ur x, y ∈ S n x ∼ y ⇐⇒ (x = y) ∨ (x = −y). Es werden also Antipoden identifiziert. Wir sollten kurz zwei Begriffe einf¨ uhren, auf die wir bisher verzichtet haben. 6.8 Definition. Seien X, Y R¨aume und f : X → Y eine Funktion. f heißt offen, wenn f [O] f¨ ur alle offenen O ⊂ X offen ist, abgeschlossen, wenn f [A] f¨ ur jede abgeschlossenene Menge A ⊂ X abgeschlossen ist. Man mache sich klar, dass diese beiden Begriffe nicht a¨quivalent sind. 6.9 Lemma. Sei n ∈ N und p : S n → RP n die Quotientenabbildung, die sich aus der Definition des projektiven Raums ergibt. Dann ist p eine offene Abbildung. Beweis. Es bezeichne a : S n → S n den Hom¨oomorphismus x 7→ −x. Ist nun O ⊂ X offen, so ist p−1 [p[O]] = O ∪ a[O] offen, also p[O] offen.  6.10 Proposition. Sei n ∈ N. RP n ist hausdorffsch. Beweis. Seien y, y 0 ∈ RP n . Es seien p und a wie eben. Wir w¨ahlen x, x0 ∈ S n mit p(x) = y und p(x0 ) = y 0 . Seien nun U0 , U0 0 offene disjunkte Umgebungen von x und x0 und ebenso U1 , U1 0 offene disjunkte Umgebungen von x und −x0 . Setze nun V := p[U0 ∩ U1 ] und V 0 := p[U00 ∩ a[U10 ]]. Da p eine offene Abbildung ist, sind V und V 0 offen, außerdem ist y ∈ V und y 0 ∈ V 0 . Schließlich ist

p−1 [V ∩ V 0 ] = (U0 ∩ U1 ) ∪ a[U0 ∩ U1 ] ∩ (U00 ∩ a[U10 ]) ∪ (a[U00 ] ∩ U10 ) = (U0 ∩ U1 ∩ U00 ∩ a[U10 ]) ∪ (U0 ∩ U1 ∩ a[U00 ] ∩ U10 )

∪ (a[U0 ∩ U1 ] ∩ U00 ∩ a[U10 ]) ∪ (a[U0 ∩ U1 ] ∩ a[U00 ] ∩ U10 ) = Ø ∪ Ø ∪ Ø ∪ Ø = Ø, also V ∩ V 0 = Ø.



48

6. Quotienten: Identifizieren und Verkleben

6.11 Bemerkung. Das w¨are sicherlich etwas einfacher gegangen, h¨atte man die euklidische Metrik auf S n ⊂ Rn+1 benutzt, es sollte aber gezeigt werden, dass es auch ohne sie geht. Dieser Raum wird uns sp¨ater noch besch¨aftigen. Wir zeigen schon einmal, wie man ihn auch auf eine andere Art erhalten kann. ¨ 6.12 Proposition. Sei n ∈ N. Ist ∼ die Aquivalenzrelation auf Dn mit x ∼ y ⇐⇒ (x = y) ∨ ((x, y ∈ S n−1 ) ∧ (x = −y)), so ist Dn /∼ ≈ RP n . Beweis. Sei zun¨achst h der Hom¨oomorphismus von Dn auf die obere Halbkugel von S n h : Dn → S n ,
(x1 , . . . , xn ) 7→ x1 , . . . , xn , (1 − x21 − · · · − x2n )1/2 . Da zu jedem y ∈ S n ein x ∈ Dn mit h(x) = y oder h(x) = −y existiert, ist p ◦ h surjektiv. Da Dn kompakt und S n hausdorffsch ist, ist also p ◦ h eine Quotientenabbildung. Nun sieht man, dass f¨ ur x, x0 ∈ Dn genau 0 0 dann (p ◦ h)(x) = (p ◦ h)(x ) gilt, wenn x ∼ x . Mit Lemma 6.2 folgt die Behauptung. 

Saturierte Mengen ¨ Gegeben eine Aquivalenzrelation ∼ auf einem Raum X wollen wir uns noch einmal n¨aher den Zusammenhang zwischen X und X/∼ anschauen. ¨ 6.13 Definition. Sei M eine Menge und ∼ eine Aquivalenzrelation auf M . Eine Teilmenge A ⊂ M nennen wir saturiert bez¨ uglich ∼, wenn f¨ ur alle x ∈ A gilt, dass aus y ∼ x folgt, dass y ∈ A. Ist A ⊂ M beliebig, so nennen wir ihre Saturierung die kleinste sie enthaltende saturierte Menge. Eine Menge ist also genau dann saturiert, wenn sie Vereinigung von ¨ Aquivalenzklassen ist, und die Saturierung einer Menge ist die Vereinigung ¨ ¨ aller Aquivalenzklassen ihrer Elemente. Da nun Punkte in X/∼ Aquivalenzklassen bez¨ uglich ∼ sind, entsprechen Teilmengen von X/∼ saturierten Teilmengen von X. Ist q : X → X/∼ die kanonische Quotientenabbildung, so ist diese Entsprechung gerade durch P(X/∼) → P(X) A 7→ q −1 [A] gegeben. Aus der Konstruktion der Finaltopologie (Proposition 5.10) erkennt man, dass hierbei die offenen (abgeschlossenen) Teilmengen von X/∼

Verkleben

49

genau den offenen (abgeschlossenen) saturierten Teilmengen von X entsprechen. Wir betrachten dies an einem Beispiel. ¨ 6.14 Beispiel. Sei ∼ die Aquivalenzrelation auf X := R × {0, 1}, die durch (x, n) ∼ (y, m) ⇐⇒ (x = y) ∧ ((x 6= 0) ∨ (n = m)) ¨ gegeben ist. Aquivalenzklassen sind also gerade die Mengen {(x, 0), (x, 1)} f¨ ur x 6= 0 sowie {(0, 0)} und {(0, 1)}. Wir wollen nun zeigen, dass X/∼ nicht hausdorffsch ist. Es lassen sich n¨amlich {(0, 0)} und {(0, 1)} in X/∼ nicht durch offene Mengen trennen, oder ¨aquivalent: {(0, 0)} und {(0, 1)} lassen sich in X nicht durch offene saturierte Mengen trennen. Das zeigen wir nun: Zu jeder Umgebung U von (0, 0) in X gibt es ein δ0 > 0, so dass (−δ0 , δ0 ) × {0} ⊂ U . Ist nun die Umgebung U saturiert, so enth¨alt sie die Saturierung von (−δ0 , δ0 ) × {0}, n¨amlich ((−δ0 , 0) × {0, 1}) ∪ {(0, 0)} ∪ ((0, δ0 ) × {0, 1}). Ebenso gibt es zu jeder saturierten Umgebung V von (0, 1) ein δ1 > 0, so dass ((−δ1 , 0)×{0, 1})∪{(0, 1)}∪((0, δ1 )×{0, 1}) ⊂ V . Damit ist δ := min {δ0 , δ1 } > 0 und Ø 6= (−δ, 0) × {0, 1} ⊂ U ∩ V .

Verkleben Ein weiteres Konzept, das sich mit Hilfe von Quotientenr¨aumem modellieren l¨asst, ist das Ankleben eines Raumes an einen anderen. Dazu betrachtet man R¨aume X, Y , eine Teilmenge A ⊂ X und eine stetige Abbildung f : A → Y . Man betrachtet nun Y + X mit den kanonischen Inklusionen i0 : Y → Y + X ¨ und i1 : X → Y + X und auf Y + X die Aquivalenzrelation ∼f , die von i0 (f (x)) ∼f i1 (x), x ∈ A, erzeugt wird, also i0 (y) ∼f i0 (y 0 ) ⇐⇒ y = y 0 i0 (y) ∼f i1 (x) ⇐⇒ (x ∈ A) ∧ (f (x) = y), i1 (x) ∼f i0 (y) ⇐⇒ (x ∈ A) ∧ (f (x) = y), i1 (x) ∼f i1 (x0 ) ⇐⇒ (x = x0 ) ∨ ((x, x0 ∈ A) ∧ (f (x) = f (x0 ))). 6.15 Notation. In dieser Situation bezeichnen wir den Quotientenraum (Y + X)/∼f mit Y ∪f X und sagen, er entstehe, indem man X vermittels f an Y anklebe. Bezeichnet q : Y + X → Y ∪f X die Quotientenabbildung, so nennen wir i0 / Y + X q / Y ∪f X j: Y die kanonische Inklusion und χ: X

i1

die charakteristische Abbildung.

/Y +X

q

/ Y ∪f X

50

6. Quotienten: Identifizieren und Verkleben

Die folgende Aussage ist nicht trivial, da in ihr Quotienten und Einbettungen vorkommen und sich Final- und Initialtopologien nicht immer gut vertragen. 6.16 Proposition. Seien X, Y R¨ aume, A ⊂ X und f : A → Y stetig. Dann ist die kanonische Inklusion j : Y → Y ∪f X eine Einbettung. Beweis. Die Stetigkeit von j ist klar. Die Injektivit¨at folgt daraus, dass i0 (y) ∼f i0 (y 0 ) nur f¨ ur y = y 0 . Sei nun V ⊂ Y offen. Es ist zu zeigen, dass es ein offenes U ⊂ Y ∪f X gibt, so dass V = j −1 [U ] ist. Das heißt, dass ˜ ⊂ Y + X suchen, so dass wir eine offene, bez¨ uglich ∼f saturierte Menge U −1 ˜ −1 V = i0 [U ]. Nun ist i0 [V ] ∪ i1 [f [V ]] die Saturierung von i0 [V ], aber im allgemeinen nicht offen. Da aber f −1 [V ] offen in A ist, gibt es eine offene Menge U 0 ⊂ X mit U 0 ∩ A = f −1 [V ]. Da nun f¨ ur x, x0 ∈ X − A nur dann 0 0 ˜ i1 (x) ∼f i1 (x ), wenn x = x , ist U := i0 [V ] ∪ i1 [U 0 ] saturiert. Außerdem ist ˜ offen und i−1 [U ˜] = V . U  0 Wir u ¨bersetzen die universelle Eigenschaft (Definition 5.1) der Finaltopologie in unsere Situation. 6.17 Proposition. Seien X, Y R¨ aume, A ⊂ X und f : A → Y stetig. Ist Z ein weiterer Raum und sind g : X → Z, h : Y → Z stetige Abbildungen, so dass g|A = h ◦ f , so existiert genau eine stetige Abbildung k : Y ∪f X → Z, so dass k ◦ χ = g und k ◦ j = h. A/ 

Y

/X

f j



χ g

/ Y ∪f X ! h

k

 ,# Z

Beweis. Alles bis auf die Stetigkeit folgt unmittelbar aus der Definition von ∼f . F¨ ur die Stetigkeit u ¨berlege man sich, dass daraus, dass Y + X die Finaltopologie bez¨ uglich i0 und i1 tr¨agt und Y ∪f X die Finaltopologie bez¨ uglich q, folgt, dass Y ∪f X die Finaltopologie bez¨ uglich j und χ tr¨agt. 

Lieferung 7

Ordinalzahlen ad hoc

Es u ur mengentheoretische Topologie manchmal ¨berrascht nicht, dass man f¨ Mengenlehre braucht. Die Konstruktion einiger Beispiele w¨ urden wir gerne mit Man nehme die kleinste u ¨berabz¨ahlbare Ordinalzahl“ beginnen, k¨onnen ” das aber nicht, da das Wissen um Ordinalzahlen nicht vorausgesetzt werden kann. Das Ziel dieses Abschnitts ist es, so viel Mengenlehre zur Verf¨ ugung zu stellen, um diese Konstruktionen dennoch durchf¨ uhren zu k¨onnen, selbst wenn wir hier nicht definieren, was eine Ordinalzahl ist.

Wohlordnungen 7.1 Definition. Sei M eine Menge. Eine totale Ordnung auf M heißt eine Wohlordnung, wenn bez¨ uglich ihr jede nicht-leere Teilmenge von M ein kleinstes Element besitzt. 7.2 Beispiele. . Jede totale Ordnung auf einer endlichen Menge ist eine Wohlordnung. . Die Restriktion einer Wohlordnung auf eine Teilmenge ist eine Wohlordnung. . Mit den u ¨blichen Ordnungen ist Z nicht wohlgeordnet, aber N wohlgeordnet. Letzteres ist genau das Prinzip der vollst¨andigen Induktion. . Sind (M, ≤M ) und (N, ≤N ) disjunkte wohlgeordnete Mengen und ordnet man M ∪ N so, dass zuerste alle Elemente von M und dann alle von N kommen, also durch x≤y

:⇐⇒

(x ∈ M ∧ y ∈ N ) ∨ ((x, y ∈ M ) ∧ (x ≤M y)) ∨ ((x, y ∈ N ) ∧ (x ≤N y)),

so definiert dies eine Wohlordnung auf M ∪ N : Sei A ⊂ M ∪ N . Ist A∩M 6= Ø nicht leer, so besitzt A∩M ein kleinstes Element bez¨ uglich ≤M und dieses ist kleinstes Element von A bez¨ uglich ≤. Ansonsten besitzt A = A∩N ein kleinstes Element bez¨ uglich ≤N also bez¨ uglich ≤. 51

52

7. Ordinalzahlen ad hoc . Das letzte Beispiel spezialisierend erh¨alt man aus einer Wohlordnung eine neue Wohlordnung, indem man ein weiteres Element hinzuf¨ ugt, dass gr¨oßer als alle urspr¨ unglichen ist.

7.3 Notation. Ist M eine nicht-leere wohlgeordnete Menge, so hat sie ein kleinstes Element. Dieses bezeichnen wir mit 0M oder auch nur mit 0. 7.4 Notation. Ist ≤ eine Ordnung auf einer Menge M , so benutzen wir die Intervallschreibweise, also etwa f¨ ur a, b ∈ M (a, b] := {x ∈ M : a < x ≤ b} . 7.5 Definition und Proposition. Es sei (M, ≤) eine wohlgeordnete Menge und x ∈ M nicht maximales Element von M . Dann ist {y ∈ M : y > x} also nicht leer und hat damit ein kleinstes Element. Dieses schreiben wir succ x und nennen es den Nachfolger von x. 7.6 Lemma. Sei M eine wohlgeordnete Menge und x ∈ M . Dann tritt genau einer der beiden folgenden F¨ alle ein. (i) Es existiert ein x0 ∈ M mit x = succ x0 . S (ii) Es ist [0, x) = x0 <x [0, x0 ).  7.7 Definition. Es sei (M, ≤) eine geordnete Menge. Eine Teilmenge A ⊂ M nennen wir ein Anfangsst¨ uck von A, wenn f¨ ur alle x, y ∈ M mit x ∈ A und y ≤ x gilt, dass y ∈ A. Ein Anfangsst¨ uck A heißt echtes Anfangsst¨ uck, wenn A 6= M . 7.8 Proposition. Sei (M, ≤) eine wohlgeordnete Menge und A ⊂ M . A ist genau dann echtes Anfangsst¨ uck von M , wenn ein x ∈ M mit A = [0M , x) existiert. Beweis. Dass Teilmengen der Form [0, x) echte Anfangsst¨ ucke sind, ist klar. Sei also A ein echtes Anfangsst¨ uck. Da M \ A 6= Ø, hat M \ A ein kleinstes Element x. Es ist also [0, x) ⊂ A und x ∈ / A. Da A Anfangsst¨ uck ist, gilt f¨ ur alle y ∈ A mit y ≥ x auch y ∈ / A. Damit ist [0, x) = A.  7.9 Lemma. Es seien M , N wohlgeordnete Mengen. Sind f, g : M → N Ordnungsisomorphismen auf Anfangsst¨ ucke von N (also injektive monotone Abbildungen, deren Bilder Anfangsst¨ ucke sind), so ist f = g. Beweis. Ist x ∈ M , so ist f [[0, x)] ein echtes Anfangsst¨ uck von N , also existiert ein eindeutig bestimmtes y ∈ N mit f [[0M , x)] = [0N , y). Da auch f [[0, x]] Anfangsst¨ uck ist, muss f (x) = y sein. Da selbiges f¨ ur g gilt, muss 0 0 entweder f (x) = g(x) sein oder ein x < x mit f (x ) 6= g(x0 ) existieren. Also hat B = {x ∈ M : f (x) 6= g(x)} kein kleinstes Element und ist damit leer. 

Wohlordnungen

53

Eine Wohlordnung ist eine so starke Struktur, dass es in gewisser Weise weniger Wohlordnungen gibt, als man vielleicht zun¨achst denken w¨ urde. 7.10 Proposition. Es seien M und N wohlgeordnete Mengen. Dann tritt genau einer der folgenden drei F¨ alle ein. (i) Es gibt ein eindeutig bestimmtes x ∈ M und einen Ordnungsisomorphismus zwischen [0M , x) und N . (ii) Es gibt einen Ordnungsisomorphismus zwischen M und N . (iii) Es gibt ein eindeutig bestimmtes y ∈ N und einen Ordnungsisomorphismus zwischen M und [0N , y). Beweis. Alle Eindeutigkeitsaussagen folgen aus Lemma 7.9. Zun¨achst f¨ ugen wir, um die Argumentation ein wenig zu vereinfachen, zu M ein darin nicht enthaltenes Element m hinzu und machen M 0 := M ∪ {m} zu einer Wohlordnung, indem wir festlegen, dass m gr¨oßer als alle Elemente von M sei. Es ist also M = [0M , m). Wir betrachten nun die Menge  B := x ∈ M 0 : Es gibt keinen Ordnungsisomorphismus

von [0M , x) auf ein Anfangsst¨ uck von N .

Ist B leer, so ist insbesondere m ∈ / B, und es tritt Fall (ii) oder Fall (iii) ein. Ist B nicht leer, so hat B ein kleinstes Element x. F¨ ur alle z < x existiert also ein Ordningsisomorphismus fz von [0M , z) auf ein Anfangsst¨ uck von N . Aus Lemma 7.9 folgt, dass diese eindeutig bestimmt sind, und f¨ ur z 0 < z, dass fSz |[0,z 0 ) = fz 0 . W¨are nun x kein Nachfolger, also nach Lemma 7.6 [0, x) = abe es daher eine eindeutig bestimmte Funktion g : [0, x) → z<x [0, z), so g¨ N mit g|[0,z) = fz f¨ ur alle z < x. Diese w¨are im Widerspruch zu x ∈ B ein Ordnungsisomorphismus auf ein Anfangsst¨ uck von N , also existiert ein x0 ∈ M mit x = succ x0 . Nun ist fx0 [[0, x0 )] ein Anfangsst¨ uck von N . W¨are es ein echtes Anfangsst¨ uck, sagen wir [0N , y 0 ), so w¨ urde g|[0,x0 )] = fx0 , g(x0 ) = y 0 einen Ordnungsisomorphismus von [0M , x0 ] auf [0N , y 0 ] definieren. Da aber [0, x0 ] = [0, x), ein solcher Ordnungsisomorphismus also wegen x ∈ B nicht existiert, ist fx0 [[0, x0 )] = N und wir haben Fall (i).  Wir haben in den letzten Beweisen gesehen, dass man f¨ ur wohlgeordnete Mengen ganz ¨ahnlich wie f¨ ur N Induktionsbeweise f¨ uhren und Objekte rekursiv definieren kann. Man darf nur nicht vergessen, dass nicht jedes Element Nachfolger ist und auch der andere Fall aus Lemma 7.6 zu behandeln ist. In jedem Fall ist es sehr n¨ utzlich auf einer Menge eine Wohlordnung zu haben.

54

7. Ordinalzahlen ad hoc

Der Wohlordnungssatz Der folgende Satz‘ ist eine der bekannten Aussagen, die ¨aquivalent zum Aus’ wahlaxiom sind. Wir werden ihn aus dem Zornschen Lemma folgern, da dies die Form des Auswahlaxioms ist, die auch meist in der Anf¨angervorlesung u ¨ber Lineare Algebra benutzt wird. 7.11 Satz (Wohlordungssatz). Jede Menge l¨ asst sich wohlordnen. Beweis. Sei M die Menge, von der wir zeigen wollen, dass es auf ihr eine Wohlordnung gibt. Wir betrachten alle Wohlordnungen von Teilmengen von M : W := {(A, ≤) : A ⊂ M , ≤ Wohlordnung auf A} . W ist nicht leer, da die leere Menge Teilmenge von M ist und die einzige Ordnung der leeren Menge eine Wohlordnung ist. Wir definieren auf W eine partielle Ordnung  durch (A, ≤)  (A0 , ≤0 )

:⇐⇒

A ist Anfangsst¨ uck von (A0 , ≤0 ) und ≤ ist Einschr¨ankung von ≤0 .

Sei nun C ⊂ W eine Kette. Wir setzen [ B :=

A.

(A,≤)∈C

F¨ ur x, x0 ∈ B gibt es nun (A, ≤) ∈ C mit x, x0 ∈ A. Wir setzen nun x ≤B x0 ⇐⇒ x ≤ x0 . Da f¨ ur (A0 , ≤0 ) ∈ C entweder ≤0 Einschr¨ankung von ≤ ist oder umgekehrt, ergibt dies eine wohldefinierte Ordnung ≤B auf B. Dadurch, dass f¨ ur alle (A, ≤), (A0 , ≤0 ) ∈ C gilt, dass A ein Anfangsst¨ uck 0 von A ist oder umgekehrt, folgt, dass f¨ ur jedes (A, ≤) ∈ C die Menge A ein Anfangsst¨ uck von B ist und damit, dass ≤B wieder eine Wohlordnung ist. (B, ≤B ) ist also eine obere Schranke von C. Aus dem Zornschen Lemma folgt nun, dass (W, ) ein maximales Element (N, ≤) hat. Nehmen wir nun an, dass N 6= M und w¨ahlen wir ein x ∈ M \ N . Indem wir wieder x als gr¨oßtes Element zu M hinzuf¨ ugen, erhalten wir eine Wohlordnung auf M ∪ {x}, die ≤ erweitert und M als echtes Anfangsst¨ uck hat. Da dies ein Widerspruch zur Maximalit¨at von (N, ≤) w¨are, ist N = M und ≤ eine Wohlordnung auf M . 

Die kleinste u ¨berabz¨ahlbare Ordinalzahl Wir sind nun bereit, die Wohlordnung zu konstruieren‘, die wir f¨ ur ei’ nige Beispiele benutzen werden. Wir beginnen dazu mit einer beliebigen u ¨berabz¨ahlbaren Menge M , zum Beispiel der Menge der reellen Zahlen. Auf

Endlich wieder Topologie

55

dieser legen wir eine Wohlordnung fest. Nun nehmen wir irgendein Objekt α, das nicht in M ist und erweitern die Wohlordnung auf M zu einer auf M 0 := M ∪ {α}, in der α gr¨oßtes Element ist. Wir betrachten nun 

x ∈ M 0 : [0, x) ist u ¨berabz¨ahlbar .

Da M = [0, α), enth¨alt diese Menge α, ist also nicht leer. Damit enth¨alt sie ein kleinstes Element. Dieses nennen wir ab jetzt immer1 ω1 . Wir halten die (best¨ urzende?) charakterisierende Eigenschaft von ω1 fest: 7.12 Proposition. [0, ω1 ) ist u ahlbar und f¨ ur jedes x ∈ [0, ω1 ) ist ¨berabz¨ [0, x) abz¨ ahlbar.  Dies charaktersiert diese Wohlordnung tats¨achlich: 7.13 Proposition. Ist N eine wohlgeordnete u ahlbare Menge, derer ¨berabz¨ echte Anfangsst¨ ucke alle abz¨ ahlbar sind, so existiert ein Ordnungsisomorphismus zwischen N und [0, ω1 ). Beweis. Ist x ∈ [0, ω1 ), so kann es keinen Ordnungsisomorphismus zwischen [0, x) und N geben, da ersteres abz¨ahlbar, letzteres aber u ¨berabz¨ahlbar ist. Ebenso kann es keinen Ordnungsisomorphismus von [0, ω1 ) auf ein echtes Anfangsst¨ uck von N geben. Damit muss die dritte Alternative aus Proposition 7.10 zutreffen, es also einen Ordnungsisomorphismus zwischen N und [0, ω1 ) geben.  Mit dem gleichen Argument ist die Menge der nat¨ urlichen Zahlen versehen mit der u uck ¨blichen Ordnung isomorph zu einem echten Anfangsst¨ von [0, ω1 ). Es gibt also ein ω0 ∈ [0, ω1 ) und einen Ordnungsisomorphismus f : N → [0, ω0 ). Auch die Notation ω0 wollen wir beibehalten. Weiterhin werden wir uns erlauben, die Elemente von [0, ω0 ) mit den nat¨ urlichen Zahlen zu identifizieren. Wir notieren kurz: 7.14 Proposition. [0, ω0 ) ist unendlich, und f¨ ur jedes x ∈ [0, ω0 ) ist [0, x) endlich.  Das nun charakterisiert ω0 .

Endlich wieder Topologie Versehen mit den entsprechenden Ordnungstopologien (siehe Aufgabe ??) werden die soeben eingef¨ uhrten geordneten Mengen zu topologischen R¨aumen mit interessanten Eigenschaften, die uns auch in Zukunft noch als Beispiele dienen werden. Hier nur ein Vorgeschmack. 1

Zumindest bis wir genug Mengenlehre k¨ onnen, um es besser zu wissen.

56

7. Ordinalzahlen ad hoc

7.15 Proposition. Wir betrachten den mit der Ordnungstopologie versehenen Raum [0, ω1 ]. ω1 liegt im Abschluss von [0, ω1 ) aber nicht im Abschluss irgendeiner abz¨ ahlbaren Teilmenge von [0, ω1 ). Wir zeigen zun¨achst: 7.16 Lemma. Jede abz¨ ahlbare Teilmenge von [0, ω1 ) ist (nach oben) beschr¨ ankt. Man vergleiche das mit der einfachen Tatsachen, dass jede endliche Teilmenge von [0, ω0 ) beschr¨ankt ist. S Beweis. Sei C ⊂ [0, ω1 ) abz¨ahlbar. a∈C [0, a) ist als abz¨ahlbare Vereinigung abz¨ahlbarer Mengen abz¨ahlbar, [0, ω1 ) aber u ¨berabz¨ahlbar. Also existiert S ein b ∈ [0, ω1 ) \ a∈C [0, a). Dieses ist obere Schranke von C.  7.17 Lemma. ω1 ist kein Nachfolger. Beweis. Ist a ∈ [0, ω1 ), so ist [0, succ a) = [0, a] = [0, a) ∪ {a} abz¨ahlbar, also succ a 6= ω1 .  Beweis von Proposition 7.15. Aufgrund der Definition der Ordnungstopologie ist {(a, ω1 ] : a ∈ [0, ω1 )} eine Umgebungsbasis von ω1 . Ist nun (a, ω1 ] ein beliebiges Element aus der beschriebenen Umgebungsbasis von ω1 , so enth¨alt es succ a ∈ [0, ω1 ). Damit liegt ω1 im Abschluss von [0, ω1 ). Sei andererseits C ⊂ [0, ω1 ) abz¨ahlbar. Dann besitzt C eine obere Schranke m ∈ [0, ω1 ) und (m, ω1 ] ist eine Umgebung von ω1 , die C nicht trifft.  Man beweist ebenso oder folgert daraus: 7.18 Proposition. In [0, ω1 ] besitzt ω1 keine abz¨ ahlbare Umgebungsbasis. 

Lieferung 8

Konvergenz I: Folgen und Netze

In metrischen R¨aumen kann man topologische Begriffe wie Stetigkeit, Abschluss, Kompaktheit auch mit Hilfe von Konvergenz von Folgen charakterisieren. Die Konvergenz einer Folge l¨asst sich auch in einem topologischen Raum definieren, es stellt sich jedoch heraus, dass im allgemeinen Folgen nicht zur Beschreibung eines topologischen Raumes ausreichen. Es gibt jedoch zwei andere Konvergenztheorien, die f¨ ur topologische R¨aume das leisten, was folgen f¨ ur metrische R¨aume leisten: die der Netze und die der Filter. Netze sind eine direkte Verallgemeinerung von Folgen, was sie zun¨achst anschaulicher und vertrauter macht. Auch scheint, dass einige Analytiker eher wissen, was Netze sind, als was Filter sind; und mit denen wollen wir uns ja schließlich unterhalten k¨onnen. Andererseits m¨ogen Mengentheoretiker Filter mehr, und in gewisser Weise ist die Theorie der Filter die einfachere. Vor allem ergibt sich nat¨ urlich das m¨achtige Konzept des Ultrafilters. Es gibt zwar auch ein entsprechendes Konzept f¨ ur Netze, aber das ist weniger naheliegend. Wir werden daher so vorgehen, nach einem kurzen Blick auf Folgen zun¨achst Netze zu betrachten, dort aber nur soviel beweisen, wie n¨otig ist, um eine Vorstellung davon zu gewinnen, wie diese Theorie aufgebaut ist. Danach wenden wir uns der Theorie der Filter zu, die wir zu unserer“ ” Konvergenztheorie machen wollen.

Folgen 8.1 Definition. Sei X ein Raum. Eine Folge a in X ist eine Funktion a : N → X. 8.2 Definition. Sei X ein Raum, a eine Folge in X und x ∈ X. Wir sagen a konvergiere gegen x und schreiben a → x, wenn f¨ ur jede Umgebung U von x ein n ∈ N extistiert, so dass am ∈ U f¨ ur alle m ≥ n. 8.3 Proposition. Sei X ein Raum, A ⊂ X und x ∈ X. Existiert eine Folge a mit an ∈ A f¨ ur alle n ∈ N und a → x, so ist x ∈ A. Beweis. Ist U eine beliebige Umgebung von x, so existiert ein n ∈ N mit an ∈ U , also ist U ∩ A 6= Ø.  57

58

8. Konvergenz I: Folgen und Netze

8.4 Warnung. Die Umkehrung gilt aber im allgemeinen nicht: Ist n¨amlich X = [0, ω1 ] (mit der Ordnungstopologie versehen), so ist ω1 ∈ [0, ω1 ), aber f¨ ur eine beliebige Folge a in [0, ω1 ) haben wir in Proposition 7.15 gesehen, dass ω1 nicht im Abschluss der abz¨ahlbaren Menge {an : n ∈ N} liegt und damit a 6→ ω1 . Es gilt aber: 8.5 Proposition. Sei X ein Raum, A ⊂ X und x ∈ A ein Punkt, der eine abz¨ ahlbare Umgebungsbasis besitzt. Dann gibt es eine Folge a in A, die gegen x konvergiert. Beweis. Sei {Un : n ∈ N} eine Umgebungsbasis von x, nach Voraussetzung existiert eine solche. Wie in Lemma 5.23 k¨onnen wir ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit annehmen, dass Um ⊂ Un f¨ ur alle m, n mit m ≥ n. Da x ∈ A, ist Un ∩ A 6= Ø f¨ ur alle n ∈ N. Wir w¨ahlen (!) nun eine Folge a mit an ∈ Un ∩ A f¨ ur alle n ∈ N. Ist nun V eine beliebige Umgebung von x, so existiert, da {Un } Umgenungsbasis ist, ein n ∈ N mit Un ⊂ V und daher Um ⊂ Un ⊂ V f¨ ur alle m ≥ n. Damit konvergiert a gegen x.  Wir fassen zusammen: 8.6 Proposition. Sei X ein Raum, A ⊂ X und x ∈ X. Existiert eine Folge in A, die gegen x konvergiert, so liegt x im Abschluss von A. Erf¨ ullt X das erste Abz¨ ahlbarkeitsaxiom, so gilt die Umkehrung, im allgemeinen aber nicht. 

Netze Definitionen Wir suchen nun einen Ersatz f¨ ur Folgen, durch den wir auch in beliebigen R¨aumen topologische Eigenschaften beschreiben k¨onnen. Wir haben gesehen, dass Folgen nicht ausreichen, da die (abz¨ahlbare) Menge der nat¨ urlichen Zahlen als Indexmenge zu klein ist. Wir m¨ ussen also auch gr¨oßere Mengen erlauben. Damit man dann wieder den Begriff der Konvergenz definieren kann, muss diese Menge geordnet sein. Dass wir im Beweis von Proposition 8.5 eine total geordnete Umgebungsbasis benutzt haben, wir aber aus Proposition 5.30 wissen, dass solche nicht immer existieren, legt nahe, dass wir von den Indexmengen nicht fordern d¨ urfen, total geordnet zu sein. Es stellt sich heraus, dass der folgende Begriff geeignet ist. 8.7 Definition. Eine gerichtete Menge ist eine nicht-leere Menge D zusammen mit einer Halbordnung ≥, so f¨ ur alle k, l ∈ D ein m ∈ D mit m ≥ k und m ≥ l existiert.

Netze

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8.8 Definition. Sei X ein Raum. Ein Netz in X ist eine Abbildung a : D → X, wobei D eine gerichtete Menge ist. 8.9 Bemerkung. Folgen sind spezielle Netze. Ein Netz a k¨onnen wir wieder (aj )j∈J schreiben, und es wird in der Notation fast wie eine Folge aussehen. 8.10 Definition. Sei X ein Raum, (ak )k∈D ein Netz in X und x ∈ X. Wir sagen a konvergiere gegen x und schreiben a → x, wenn f¨ ur jede Umgebung U von x ein k ∈ D extistiert, so dass al ∈ U f¨ ur alle l ≥ k.

Erste Eigenschaften Nun haben wir, was wir wollten: 8.11 Proposition. Sei X ein Raum, A ⊂ X und x ∈ X. x liegt genau dann im Abschluss von A, wenn ein Netz in A existiert, das gegen x konvergiert. Beweis. Sei (ak )k∈D ein Netz in A, das gegen x konvergiert. Ist nun U eine beliebige Umgebung von x, so existiert ein k ∈ D mit ak ∈ U , also ist U ∩ A 6= Ø. Damit ist x ∈ A. Sei nun x ∈ A. Wir setzen D := {U ∩ A : U Umgebung von x} und ordnen D durch umgekehrte Inklusion, setzen also B ≤ C :⇐⇒ C ⊂ B. Dies macht D zu einer gerichteten Menge, denn sind U und V Umgebungen von x, so auch U ∩V und es ist U ∩A ≤ (U ∩V )∩A, V ∩A ≤ (U ∩V )∩A. Nach Voraussetzung ist M 6= Ø f¨ ur alle M ∈ D. Es gibt also eine Auswahlfunktion a : D → X mit a(M ) ∈ M f¨ ur alle M ∈ D. Dies ist ein Netz in A und a → x, denn ist U eine Umgebung von x, so ist M := U ∩A ∈ D und f¨ ur alle N ∈ D mit N ≥ M ist a(N ) ∈ N ⊂ M ⊂ U .  Bisher ist vielleicht noch nicht klar geworden, warum wir in der Definition einer gerichteten Menge gefordert haben, dass je zwei Elemente eine gemeinsame obere Schranke haben. H¨atten wir das aber nicht getan, sondern beliebige Halbordnungen zugelassen, so k¨onnten wir f¨ ur einen beliebigen Raum X den Raum selbst durch Gleichheit ordnen und h¨atten ein Netz“ ” a : X → X mit ax = x, so dass a → x f¨ ur alle x ∈ X. Das w¨are offenbar unerw¨ unscht gewesen. Nun kann man u ¨ber Eindeutigkeit von Grenzwerten folgendes sagen: 8.12 Proposition. Sei X ein Raum. Dann sind ¨ aquivalent: (i) X ist hausdorffsch. (ii) Jedes Netz in X konvergiert gegen h¨ ochstens einen Punkt.

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8. Konvergenz I: Folgen und Netze

Beweis. ⇒“ Sei (ak )k∈D ein Netz, x, y ∈ X, x 6= y, a → x. Ist X ” hausdorffsch, so gibt es eine Umgebung U von x und eine Umgebung V von y, so dass U ∩ V = Ø. Nun gibt es ein k ∈ D, so dass ak0 ∈ U f¨ ur alle k 0 ≥ k. Ist nun l ∈ D beliebig, so gibt es ein m ∈ D mit m ≥ k und m ≥ l. Es ist dann am ∈ U , also am ∈ / V . Damit konvergiert a nicht gegen y. ⇐“ Sei X nicht hausdorffsch. Dann existieren x, y ∈ X, x 6= y, die ” sich nicht durch Umgebungen trennen lassen. F¨ ur solche x, y setzen wir D := {U ∩ V : U Umgebung von x, V Umgebung von y} . Wir ordnen D durch umgekehrte Inklusion, das ergibt wieder eine gerichtete Menge. Da Ø ∈ / D gibt es eine Auswahlfunktion a : D → X, also ein Netz mit a(M ) ∈ M f¨ ur alle M ∈ D. Ist nun U eine beliebige Umgebung von x, so ist U = U ∩ X ∈ D und a(M ) ∈ M ⊂ U f¨ ur alle M ∈ D mit M ≥ U . Damit konvergiert a gegen x und ebenso gegen y. 

H¨aufungspunkte und Teilnetze 8.13 Definition. Sei (ak )k∈D ein Netz in einem Raum X und x ∈ X. x heißt H¨ aufungspunkt von a, wenn f¨ ur jede Umgebung U von x und jedes k ∈ D ein l ∈ D, l ≥ k mit al ∈ U existiert. Man denkt nun vielleicht, dass, wenn x ein H¨aufungspunkt des Netzes a ist, a ein Teilnetz besitzt, das gegen x konvergiert. Das ist auch wahr, nur dass der Begriff des Teilnetzes nicht der ist, den man vielleicht naiv angenommen h¨atte. 8.14 Definition. Sei (ak )k∈D ein Netz in X. Ein Teilnetz von a ist ein Netz (bl )l∈E in X zusammen mit einer kofinalen Abbildung i : E → D, so dass bl = ai(l) f¨ ur alle l ∈ E. Dabei heißt hier i kofinal, wenn zu jedem k ∈ D ein l ∈ E mit i(l0 ) ≥ k f¨ ur alle l0 ≥ l existiert. Man sei hier vorsichtig mit dem Begriff kofinal‘, der leider nicht ein’ heitlich verwandt wird. Es ginge wohl auch, zu fordern, dass i zus¨atzlich monoton ist, dann ließe sich auch die Bedingung der Kofinalit¨at leichter beschreiben. Man darf aber nicht fordern, dass i streng monoton ist, denn dann w¨ urde die folgende Proposition falsch. 8.15 Proposition. Sei (ak )k∈D ein Netz in X und x ∈ X. Dann ist x genau dann H¨ aufungspunkt von a, wenn es ein Teilnetz von a gibt, das gegen x konvergiert. Beweis. Sei (bl )l∈E mit bl = ai(l) ein Teilnetz von a, das gegen x konvergiert. Sei nun k ∈ D und U eine Umgebung von x. Da b gegen X konvergiert, gibt es ein l ∈ E, so dass bl0 ∈ U f¨ ur alle l0 ≥ l. Da i kofinal ist, gibt es ein r ∈ E mit i(r0 ) ≥ k f¨ ur alle r0 ≥ r. Nun gibt es eine obere Schranke m von

Netze

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r und l und i(m) ≥ k und ai(m) = bm ∈ U . Da U und k beliebig waren, ist x H¨aufungspunkt von a. Sei nun andererseits x ein H¨aufungspunkt von (ak )k∈D . Wir betrachten die folgende Teilmenge von D × P(X). E := {(k, U ) : U Umgebung von x, ak ∈ U } . Wir ordnen E durch (k, U ) ≤ (k 0 , U 0 ) :⇐⇒ k ≤ k 0 und U 0 ⊂ U . Sind nun (k, U ), (k 0 , U 0 ) ∈ E, so gibt es ein m ∈ D mit m ≥ k und m ≥ k 0 . Da x H¨aufungspunkt von a ist, gibt es dann ein m0 ≥ m mit am0 ∈ U ∩ U 0 . Es ist dann (m0 , U ∩ U 0 ) obere Schranke von (k, U ) und (k 0 , U 0 ), was zeigt, dass E gerichtet ist. Betrachten wir weiter i: E → D (k, U ) 7→ k. Diese Funktion ist kofinal, denn sogar ordnungserhaltend und surjektiv. Dies gibt uns das Teilnetz (ai(l) )l∈E von a. Ist nun U eine beliebige Umgebung von x, so gibt es, da x H¨aufungspunkt von a ist, ein k ∈ D mit (k, U ) ∈ E f¨ ur alle l ≥ (k, U ) ist damit ai(l) ∈ U . Also konvergiert das Teilnetz (ai(l) )l∈E gegen x. 

Stetigkeit Die folgenden Tatsachen u ¨ber Netze werden wir nicht mehr beweisen. Die entsprechenden Tatsachen f¨ ur Filter werden aber bewiesen werden. Wie wir das von Folgen in metrischen R¨aumen gewohnt sind, kann man Funktionen zwischen topologischen R¨aumen mit Hilfe von Netzen auf Konvergenz untersuchen. 8.16 Proposition. Seien X, Y R¨ aume, x ∈ X und f : X → Y eine Funktion. Dann sind ¨ aquivalent: (i) f ist stetig in x. (ii) F¨ ur jedes Netz (ak )k∈D in X, das gegen x konvergiert, konvergiert das Netz (f (ak ))k∈D gegen f (x). Beweis. Als Aufgabe ??.



Produkte und Kompaktheit Die folgende Tatsache gibt vielleicht ein besseres Gef¨ uhl f¨ ur die Produkttopologie. Diese ist n¨amlich die Topologie der punktweisen Konvergenz“. ”

62

8. Konvergenz I: Folgen und Netze

8.17 Proposition. Seien J eine Menge und XQ ur j ∈ J R¨ aume. Dann j f¨ konvergiert ein Netz (ak )k∈D im Produktraum j∈J Xj genau dann gegen einen Punkt x, wenn f¨ ur jedes j ∈ J das Netz ((ak )j )k∈D in Xj gegen xj konvergiert. ¨ Wir verzichten auf den Beweis, der keine Uberraschungen birgt. 8.18 Proposition. Ein Raum ist genau dann quasikompakt, wenn in ihm jedes Netz einen H¨ aufungspunkt besitzt. Dass in einem quasikompakten Raum jedes Netz einen H¨aufungspunkt besitzt zeigt man wie die entsprechende Eigenschaft f¨ ur Folgen und metrische R¨aume. Da der Beweis der Umkehrung zwar einfach aber vielleicht nicht offensichtlich ist, werden wir auf ihn noch zur¨ uckkommen, wenn wir die entsprechende Eigenschaft f¨ ur Filter beweisen. Wir werden sp¨ater den Satz von Tychonoff beweisen, der besagt, dass beliebige Produkte quasikompakter R¨aume quasikompakt sind. Wollten wir die soeben vorgestellten Tatsachen zum Beweis nutzen, so h¨atten wir das Problem, eine Charakterisierung von Quasikompaktheit mit Hilfe von H¨aufungspunkten zu haben, aber keine ausreichend einfache Beschreibung von H¨aufungspunkten in einem Produkt. Andererseits haben wir eine gute Beschreibung von Konvergenz in einem Produktraum, aber keine passende Charakterisierung von Quasikompaktheit. Nun kennen wir einen Zusammenhang zwischen Konvergenz und H¨aufungspunkten, n¨amlich dass H¨aufungspunkte gerade die Grenzwerte von Teilnetzen sind, doch dieser Zusammenhang ist hier nicht stark genug. Diese L¨ ucke werden wir f¨ ullen.

Lieferung 9

Konvergenz II: Filter

Von Netzen. . . Schauen wir uns noch einmal die Beweise an, in denen Netze konstruiert werden mussten, so sehen wir, dass die Netze alle folgende Form hatten: Die gerichtete Menge war eine Menge von nicht-leeren Teilmengen des Raumes, die durch umgekehrte Inklusion geordnet war, und die Abbildung von der gerichteten Menge in den Raum war eine zugeh¨orige Auswahlfunktion. Eine Ausnahme bildete das Netz, das wir konstruiert haben, um zu zeigen, dass jeder H¨aufungspunkt eines Netzes Grenzwert eines Teilnetzes ist, das lag aber daran, dass dem Netz, von dem wir ein Teilnetz konstruieren wollten bereits eine beliebige gerichtete Menge zugrunde liegen konnte. Es liegt jedenfalls nahe, dass man auch dann eine befriedigende Konvergenztheorie erh¨alt, wenn man nur Netze der eben beschriebenen Art zul¨asst. Wir wollen das nun n¨aher untersuchen. 9.1 Proposition. Sei X ein Raum und B ⊂ P(X). B wird genau dann durch umgekehrte Inklusion zu einer gerichteten Menge, wenn (B1a) B = 6 Ø und (B1b) f¨ ur alle B, B 0 ∈ B ein B 00 ∈ B mit B 00 ⊂ B ∩ B 0 existiert. Ist dies der Fall und außerdem (B2) Ø ∈ / B, so sind f¨ ur x ∈ X die folgenden beiden Aussagen ¨ aquivalent: (i) F¨ ur jede Auswahlfunktion a : B → X konvergiert das Netz (aB )B∈B gegen x. (ii) Zu jeder Umgebung U von x existiert ein B ∈ B mit B ⊂ U . ¨ Beweis. (B1a) und (B1b) sind genaue Ubersetzungen der Bedingungen an eine gerichtete Menge. 63

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9. Konvergenz II: Filter

Ist a : B → X eine Auswahlfunktion, U eine Umgebung von x und B ∈ B mit B ⊂ U , ist a(B 0 ) ∈ B 0 ⊂ B ⊂ U f¨ ur alle B 0 ∈ B mit B 0 ⊃ B. Deshalb folgt (i) aus (ii). Ist U eine Umgebung von x, so dass B ∩ (X \ U ) 6= Ø f¨ ur alle B ∈ B, so gibt es eine Auswahlfunktion a : B → X mit a(B) ∈ / U f¨ ur alle B ∈ B. Da dieses (aB )B∈B dann nicht gegen x konvergiert, folgt (ii) aus (i).  Sieht man sich diese Charakterisierung der Konvergenz genauer an, kommt man auf weitere Ideen. Zun¨achst k¨onnen wir die Auswahlfunktionen ganz weglassen; dann lauert auch nicht mehr hinter jeder Proposition das Auswahlaxiom, und das freut die Mengentheoretiker. Außerdem gen¨ ugt es, um Konvergenz gegen x ∈ X zu pr¨ ufen, alle Obermengen von Elementen von B zu kennen, denn wir m¨ ussen ja nur wissen, ob die Umgebungen von x solche sind. Das f¨ uhrt uns zu den folgenden Feststellungen. 9.2 Proposition. Sei X ein Raum, B ⊂ P(X) und F := {A ⊂ X : Es ex. B ∈ B mit A ⊃ B} . Dann erf¨ ullt B genau dann die Bedingungen (B1a), (B1b) und (B2) aus Proposition 9.1, wenn F die folgenden Bedingungen erf¨ ullt. (F1a) X ∈ F. (F1b) F¨ ur alle A, A0 ∈ F ist A ∩ A0 ∈ F. (F2) Ø ∈ / F. Außerdem gilt nach Definition: (F3) F¨ ur alle A ∈ F und A0 ⊂ X mit A0 ⊃ A ist A0 ∈ F. Weiterhin erf¨ ullt B genau dann Eigenschaft (ii) aus Proposition 9.1 f¨ ur ein x ∈ X, wenn jede Umgebung von x in F enthalten ist.  9.3 Bemerkung. Wir k¨onnen die Bedingungen (F1a) und (F1b) auch wieder gemeinsam wie folgt formulieren. (F1) F ist abgeschlossen unter endlichen Schnitten. T Dabei benutzen wir wieder Ø = X.

. . . zu Filtern ¨ Wir leiten nun aus den soeben gemachten Uberlegungen einige Definitionen ab. 9.4 Definition. Sei M eine Menge. Ein Filter auf M ist eine Menge F ⊂ P(M ), die die folgenden Eigenschaften erf¨ ullt.

Erste Eigenschaften

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(F1a) M ∈ F. (F1b) F¨ ur alle A, A0 ∈ F ist A ∩ A0 ∈ F. (F2) Ø ∈ / F. (F3) F¨ ur alle A ∈ F und A0 ⊂ X mit A0 ⊃ A ist A0 ∈ F. 9.5 Definition. Sei M eine Menge und F ein Filter auf M . Eine Filterbasis von F ist eine Menge B ⊂ P(M ), so dass F = {A ⊂ X : Es ex. B ∈ B mit A ⊃ B} . 9.6 Bemerkung. B ist also genau dann Filterbasis von F, wenn B ⊂ F, und zu jedem A ∈ F ein B ∈ B mit B ⊂ A existiert. 9.7 Definition und Proposition. Ist X ein Raum und x ∈ X, so ist die Menge aller Umgebungen von x ein Filter auf X. Diesen nennen wir den Umgebungsfilter von x und bezeichen ihn mit U(x). Eine Filterbasis des Umgebungsfilters ist gerade eine Umgebungsbasis von x. 9.8 Proposition. Sei M eine Menge und B ⊂ P(M ). Es gibt genau dann einen Filter auf M , von dem B eine Filterbasis ist, wenn die folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind. (B1a) B = 6 Ø. (B1b) F¨ ur alle B, B 0 ∈ B existiert ein B 00 ∈ B mit B 00 ⊂ B ∩ B 0 . (B2) Ø ∈ / B. Dieser Filter ist dann eindeutig bestimmt.



9.9 Definition. Es seien M eine Menge und F, F 0 Filter auf M . F 0 heißt eine Verfeinerung von F und feiner als F, wenn F ⊂ F 0 . F 0 heißt eine echte Verfeinerung von F, wenn zus¨atzlich F 0 6= F. 9.10 Definition. Es sei X ein Raum, x ∈ X und F ein Filter auf X. Wir sagen, F konvergiere gegen x und schreiben F → x, wenn F eine Verfeinerung des Umgebungsfilters U(x) von x ist.

Erste Eigenschaften Wir wollen nun sehen, dass Konvergenz von Filtern tats¨achlich zur Beschreibung von topologischen Eigenschaften ausreicht. Wir beginnen mit einer Charakterisierung von Hausdorffr¨aumen. 9.11 Proposition. Sei X ein Raum. Dann sind ¨ aquivalent:

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9. Konvergenz II: Filter

(i) X ist hausdorffsch. (ii) Jedes Netz in X konvergiert gegen h¨ ochstens einen Punkt. Beweis. ⇒“ Seien x, y ∈ X und F ein Filter, der gegen x und gegen y ” konvergiert, also gemeinsame Verfeinerung von U(x) und U(y) ist. Ist U ∈ U(x) und V ∈ U(y), so sind U, V ∈ F, also U ∩V ∈ F und damit U ∩V 6= Ø. Ist nun X hausdorffsch, so folgt x = y. ⇐“ Sei X nicht hausdorffsch. Dann existieren x, y ∈ X, x 6= y, so ” dass f¨ ur beliebige U ∈ U(x), V ∈ U(y) gilt, dass U ∩ V 6= Ø. Da U(x) und U(y) Filter sind, folgt daraus, dass {U ∩ V : U ∈ U(x), V ∈ U(y)} eine Filterbasis ist. Da B ⊃ U(x) und B ⊃ U(y), gibt es damit einen Filter, der gemeinsame Verfeinerung von U(x) und U(y) ist.  Wir notieren kurz, was wir nebenbei gezeigt haben: 9.12 Lemma. Sei M eine Menge und F, F 0 Filter auf M . F und F 0 haben genau dann eine gemeinsame Verfeinerung, wenn A∩A0 6= Ø f¨ ur alle A ∈ F 0 0 und A ∈ F .  Nun wollen wir gerne zeigen, dass es f¨ ur A ⊂ X und x ∈ A einen Filter auf A gibt, der gegen x konvergiert. Leider ergibt das keinen Sinn, da ein Filter auf A kein Filter auf X ist. Das ist ein Spezialfall (n¨amlich der einer Inklusionsabbildung) des Problems, das Bild eines Filter unter einer Funktion zu definieren. 9.13 Definition und Proposition. Seien M , N Mengen, F ein Filter auf M und f : M → N eine Funktion. Dann ist B := {f [A] : A ∈ F} eine Filterbasis. Den von ihr erzeugten Filter auf N nennen wir den Bildfilter von F unter f und bezeichnen ihn mit f∗ (F). Beweis. Da F = 6 Ø, ist B = 6 Ø. Da Ø ∈ / F, ist Ø ∈ / B. Sind A, A0 ∈ F, so ist A ∩ A0 ∈ F und f [A ∩ A0 ] ⊂ f [A] ∩ f [A0 ].  9.14 Proposition. Sei X ein Raum, A ⊂ X, i : A → X die Inklusionsabbildung und x ∈ X. Dann sind ¨ aquivalent: (i) x ∈ A. (ii) Es gibt einen Filter F auf A, so dass i∗ (F) → x. Beweis. ⇐“ Sei F ein Filter auf A, so dass i∗ (F) → x, und U ∈ U(x). ” Es ist U ∈ i∗ (F), also existiert ein C ∈ F mit C = i[C] ⊂ U . Da C ⊂ A und C 6= Ø ist U ∩ A 6= Ø. Es folgt x ∈ A.

Stetigkeit ⇒“ ”

67 Sei x ∈ A und F := {U ∩ A : U ∈ U(x)} .

Da x ∈ A ist Ø ∈ / F. Da U(x) ein Filter ist, folgt daraus, dass F ein Filter ist. Sei nun U ∈ U(x). Da U ⊃ U ∩ A = i[U ∩ A], ist U ∈ i∗ (F). Also U(x) ⊂ i∗ (F), das heißt i∗ (F) → x. 

Stetigkeit 9.15 Proposition. Seien X, Y R¨ aume, x ∈ X und f : X → Y eine Funktion. Dann sind ¨ aquivalent: (i) f ist stetig in x. (ii) F¨ ur jeden Filter F auf X, der gegen x konvergiert, konvergiert der Filter f∗ (F) gegen f (x). Beweis. Ist F ein Filter auf X, der gegen x konvergiert, also F feiner als U(x), so ist f∗ (F) feiner als f∗ (U(x)). (ii) gilt daher genau dann, wenn f∗ (U(x)) → f (x). Sei nun B = {f [U ] : U ∈ U(x)} die definierende Filterbasis von f∗ (U (x)). Genau dann ist f∗ (U(x)) eine Verfeinerung von U(f (x)), wenn zu jedem V ∈ U(f (x)) ein B ∈ B mit B ⊂ V , also ein U ∈ U(x) mit f [U ] ⊂ V existiert. Das ist aber gerade die Stetigkeit von f in x, um genau zu sein Proposition 2.18. 

H¨aufungspunkte 9.16 Definition. Sei X ein Raum, x ∈ X und F ein Filter auf X. x heißt H¨ aufungspunkt von F, wenn U ∩ A 6= Ø f¨ ur alle U ∈ U(x) und A ∈ F. 9.17 Proposition. Sei F ein Filter auf X und x ∈ X. Dann ist x genau dann H¨ aufungspunkt von F, wenn es eine Verfeinerung von F gibt, die gegen x konvergiert. Beweis. Dies ist gerade Lemma 9.12 angewandt auf F und U(x).



Verfeinerungen von Filtern spielen also hier genau die Rolle, die Teilnetze in der Theorie der Netze spielen.

68

9. Konvergenz II: Filter

Kompaktheit 9.18 Proposition. Ein Raum ist genau dann quasikompakt, wenn in ihm jeder Filter einen H¨ aufungspunkt besitzt. Wir bemerken zun¨achst: 9.19 Lemma. Sei X ein Raum. Dann sind die folgenden Aussagen ¨ aquivalent. (i) X ist quasikompakt. (ii) F¨ ur jede Menge A von abgeschlossenen Teilmengen von X mit \ E 6= Ø f¨ ur alle endlichen E ⊂ A ist

T

A 6= Ø.

Beweis. Dies ergibt sich direkt aus der Definition der Quasikompaktheit ¨ durch Ubergang zu Komplementen und Kontraposition.  Beweis der Proposition. Sei F ein Filter auf X. Wir bemerken zun¨achst, dass \  H := H mit H := A : A ∈ F die Menge der H¨aufungspunkte von F ist. Nun sind alle endlichen Schnitte von Elementen aus H nicht-leer, da ja schon alle endlichen Schnitte von Elementen von F nicht-leer, da selbst in F, sind. Ist X quasikompakt, so ist also H 6= Ø. Sei nun X nicht quasikompakt. Dann existiert eineTMenge A von abgeschlossenen Teilmengen von ur B := { E : E ⊂ A endlich} T X, so dass wir f¨ haben, dass Ø ∈ / B aber A = Ø. Da B offenbar unter endlichen Schnitten abgeschlossenTist, Sei nunTF der von B erzeugte Filterbasis.  ist B eine T Filter. Dann ist A: A ∈ F ⊂ A : A ∈ A = A = Ø, also F ohne H¨aufungspunkte.  W¨ahlt man zu der im Beweis f¨ ur einen nicht quasikompakten Raum konstruierten Filterbasis B eine Auswahlfunktion, so erh¨alt man ein Netz ohne H¨aufungspunkt. Das l¨ost das nach Proposition 8.18 gegebene Versprechen ein.

Produkte 9.20 Proposition. Seien J eine Menge und XQ ur j ∈ J R¨ aume. Dann j f¨ konvergiert ein Filter F auf dem Produktraum j∈J Xj genau dann gegen einen Punkt x, wenn f¨ ur jedes k ∈ J der Filter (pk )∗ (F) auf Xk gegen xk konvergiert, wobei pk die kanonische Projektion auf Xk bezeichne.

Ultrafilter und der Satz von Tychonoff

69

Q Q Beweis. Sei x ∈ j∈J Xj und F ein Filter auf j∈J Xj . Gilt F → x, so auch (pk )∗ (F) → xk f¨ ur alle k ∈ J, da die pk stetig sind. Sei nun andererseits F derart, dass (pk )∗ (F) → xk f¨ ur alle k ∈ J. F¨ ur k ∈ J und U ∈ U(xk ) ist dann U ∈ (pk )∗ (F). Damit existiert ein A ∈ F mit −1 pk [A] ⊂ U also A ⊂ p−1 k [U ]. Es folgt pk [U ] ∈ F. Aus der Konstruktion der Initialtopologie, Proposition 5.11, siehe auch Proposition 5.28, folgt aber, dass die Menge ( n ) \ −1 pkr [Ur ] : n ∈ N, kr ∈ J, Ur ∈ U(xkr ) r=1

eine Umgebungsbasis von x, also eine Filterbasis von U(x) ist. Da F unter endlichen Schnitten abgeschlossen ist, enth¨alt F diese Menge. Damit ist F eine Verfeinerung von U(x).  Am Ende des Abschnitts u ¨ber Netze haben wir uns u ¨berlegt, was das Problem w¨are, wenn wir den Satz von Tychonoff, der besagt, dass Produkte quasikompakter R¨aume quasikompakt sind, beweisen wollten. Wir sind nun in genau der selben misslichen Lage. Doch Hilfe naht. . .

Ultrafilter und der Satz von Tychonoff 9.21 Definition. Ein Filter heißt Ultrafilter, wenn er keine echte Verfeinerung besitzt. Das Praktische an Ultrafiltern ist, dass wir nicht zwischen Grenzwerten und H¨ aufungspunkten zu unterscheiden brauchen. 9.22 Lemma. Sei X ein Raum, x ∈ X und F ein Ultrafilter auf X. Dann konvergiert F genau dann gegen x, wenn x H¨ aufungspunkt von F ist. Beweis. Ein Grenzwert ist immer auch H¨aufungspunkt. Ist andererseits x H¨aufungspunkt von F, so hat F nach Proposition 9.17 eine Verfeinerung, die gegen x konvergiert. Da F aber gar keine echte Verfeinerung besitzt, muss es sich dabei um F handeln.  Wenn Ultrafilter so praktisch sind, muss man sich nat¨ urlich fragen, wie viele es davon u ucklicherweise liefert sie uns das Zornsche ¨berhaupt gibt. Gl¨ Lemma in ausreichender Anzahl. 9.23 Proposition. Jeder Filter besitzt eine Verfeinerung, die ein Ultrafilter ist. Beweis. Sei F ein Filter auf einer Menge M . Wir betrachten die Menge aller Verfeinerungen von F und ordnen sie durch Inklusion. Die Proposition behauptet nun gerade, dass diese Halbordnung ein maximales Element

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9. Konvergenz II: Filter

besitzt. Verm¨oge des Zornschen Lemmas gen¨ ugt es zum Beweis, zu zeigen, dass jede Kette eine obere Schranke besitzt. Sei also C eine Kette. Dann ist S 0 G := C ein Filter: Da C 6= Ø und Ø 6= F ⊂ F f¨ ur alle F 0 ∈ C, ist G 6= Ø. 0 0 Da Ø ∈ / F f¨ ur alle F ∈ C, ist Ø ∈ / G. Sind A, B ∈ G, so existiert, da C eine Kette ist, ein F 0 ∈ C mit A, B ∈ F 0 und es ist A ∩ B ∈ F 0 ⊂ G. G ist also Filter und offenbar obere Schranke von C.  9.24 Proposition. Sei X ein Raum. X ist genau dann quasikompakt, wenn jeder Ultrafilter auf X konvergiert. Beweis. Ist X quasikompakt, so hat nach Proposition 9.18 jeder Filter auf X einen H¨aufungspunkt, nach Lemma 9.22 ist dann also jeder Ultrafilter konvergent. Ist X derart, dass jeder Ultrafilter auf X konvergiert, so hat jeder Filter auf X nach Proposition 9.23 eine konvergente Verfeinerung, also einen H¨aufungspunkt. Damit ist X nach Proposition 9.18 quasikompakt.  9.25 Proposition. Seien M , N Mengen, F ein Ultrafilter auf M und f : M → N eine Funktion. Dann ist f∗ (F) ein Ultrafilter. Beweis. Sei G eine Verfeinerung von f∗ (F) und B ∈ G. Dann ist B ∩ f [A] 6= Ø f¨ ur alle A ∈ F, also A ∩ f −1 [B] 6= Ø f¨ ur alle A ∈ F. Damit haben die 0 0 −1 Filter F und A ⊂ M : A ⊃ f [B] nach Lemma 9.12 eine gemeinsame Verfeinerung; da aber F Ultrafilter ist, muss f −1 [B] ∈ F sein. Es ist also B ⊃ f [f −1 [B]] ∈ f∗ (F) und damit B ∈ f∗ (F). Da B ∈ G beliebig gew¨ahlt war, ist f∗ (F) = G, und da wiederum G eine beliebige Verfeinerung war, ist f∗ (F) Ultrafilter.  9.26 Satz (Tychonoff ). Seien J eine Menge Q und Xj f¨ ur j ∈ J quasikompakte R¨ aume. Dann ist auch der Produktraum j∈J Xj quasikompakt. Q Beweis. Sei F ein Ultrafilter auf j Xj . Nach Proposition 9.25 sind dann auch alle (pj )∗ (F), pj hier wieder die kanonischen Projektionen, Ultrafilter. Da die Xj quasikompakt sind, existiert nach Proposition 9.24 zu jedem j ∈ J ein xj mit (pj )∗ (F) → xj . F¨ ur x = (xj )Q 9.20 j∈J gilt nun nach Proposition Q F → x. Da also jeder Ultrafilter auf j Xj konvergiert, ist j Xj nach Proposition 9.24 quasikompakt.  Da dieser Beweis nun wirklich sch¨on, kurz und konzeptionell war, hier die Bemerkung, die an dieser Stelle immer folgt: Der Satz von Tychonoff ist schwer. Die Eleganz des Beweises, die hoffentlich auch in der vorliegenden Darstellung erkennbar ist, zeugt davon, dass Konvergenz von Filtern eine gute Theorie ist. Man beachte auch, dass wir im Beweis an zwei Stellen das Auswahlaxiom benutzt haben: Zun¨achst in Gestalt des Zornsches Lemmas beim Beweis von Proposition 9.23 und im eigentlichen Beweis, als wir zu jedem

Ultrafilter und der Satz von Tychonoff

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der Filter (pj )∗ (F) einen Grenzwert gew¨ahlt haben. Will man den Satz von Tychonoff nur f¨ ur kompakte (also hausdorffsche) R¨aume beweisen, so ist diese zweite Anwendung nat¨ urlich u ussig. Es ist bekannt, dass der ¨berfl¨ Satz von Tychonoff wie wir ihn formuliert haben, also f¨ ur quasikompakte R¨aume, zum Auswahlaxiom a¨quivalent ist, w¨ahrend Proposition 9.23 und damit die Fassung f¨ ur kompakte R¨aume echt schw¨acher ist, der Satz von Tychonoff aber auch in dieser Fassung nicht in der u ¨blichen Mengenlehre ohne Auswahlaxiom bewiesen werden kann.

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9. Konvergenz II: Filter

Lieferung 10

Trennungsaxiome

Wir haben gesehen, dass die Eigenschaft hausdorffsch‘ eine wichtige Rol’ le spielt. Wir werden nun verwandte Eigenschaften vorstellen, die sp¨ater Verwendung finden werden.

Definitionen und erste Eigenschaften 10.1 Definition. Sei X ein Raum. Ein Raum heißt ein Ti -Raum, i ∈ {1, 2, 3, 4}, wenn er die entsprechende der folgenden Eigenschaften erf¨ ullt. (T1 ) F¨ ur alle x0 , x1 ∈ X mit x0 6= x1 existiert eine offene Menge O ⊂ X mit x0 ∈ O, x1 ∈ / O. (T2 ) F¨ ur alle x0 , x1 ∈ X mit x0 6= x1 existieren offene Mengen O0 , O1 ⊂ X mit xi ∈ Oi und O0 ∩ O1 = Ø. (T3 ) F¨ ur alle Punkte x ∈ X und abgeschlossenen Mengen A ⊂ X mit x∈ / A existieren offene Mengen O0 , O1 ⊂ X mit x ∈ O0 , A ⊂ O1 und O0 ∩ O1 = Ø. (T4 ) F¨ ur alle abgeschlossenen Mengen A0 , A1 ⊂ X existieren offene Mengen O0 , O1 ⊂ X mit Ai ⊂ Oi und O0 ∩ O1 = Ø. Der Raum X heißt regul¨ ar, wenn er T3 und T1 erf¨ ullt, normal, wenn er T4 und T1 erf¨ ullt. 10.2 Proposition. . T1 -R¨ aume sind genau die R¨ aume, in denen alle einelementigen Mengen abgeschlossen sind. . T2 -R¨ aume erf¨ ullen T1 . . Regul¨ are R¨ aume erf¨ ullen T2 . . Normale R¨ aume sind regul¨ ar.  73

74

10. Trennungsaxiome

10.3 Bemerkung. Alle nicht in der Definition oder dieser Proposition notierten Implikationen gelten nicht. Zum Beispiel gibt es T3 -R¨aume, die nicht T2 erf¨ ullen, und T4 -R¨aume, die nicht T3 erf¨ ullen. ¨ Wir erinnern an eine einfache Umformulierung, die wir bereits als Ubung gezeigt haben. 10.4 Proposition. Ein Raum X ist genau dann ein T2 -Raum, wenn f¨ ur jeden Punkt x ∈ X \ {x} = U : U ∈ U(x) gilt.



F¨ ur T3 haben wir eine ¨ahnliche Charakterisierung. 10.5 Proposition. Ein RaumX ist genau dann ein T3 -Raum, wenn f¨ ur jeden Punkt x ∈ X die Menge U : U ∈ U(x) eine Umgebungsbasis von x ist. Beweis. Sei x ∈ X. Sei X ein T3 -Raum und V ∈ U(x), also x ∈ / X \ V . Dann existieren offene disjunkte Mengen U, U 0 mit x ∈ U und X \ V ⊂ U 0 . Es ist also U ∈ U(x) und U ⊂ X \ U 0 ⊂ X \ X \ V ⊂ V . Damit ist U : U ∈ U(x) eine Umgebungsbasis von x.  Sei nun andererseits U : U ∈ U(x) eine Umgebungsbasis von x und A ⊂ X abgeschlossen, x ∈ / A. Dann ist X \ A eine Umgebung von x, also existiert ein U ∈ U(x) mit U ⊂ X \ A. Es ist also x ∈ int U =: O0 , A ⊂ X \ U =: O1 und O0 , O1 offen und disjunkt. 

Beispiele ¨ Die folgenden Uberlegungen werden zeigen, dass kompakte R¨aume normal sind. Die Zwischenschritte sind es aber wert, notiert zu werden. 10.6 Proposition. Sei X ein T2 -Raum, K ⊂ X kompakt. Dann ist \ K= O : O ⊃ K, O offen . Beweis. Sei x ∈ X \ K. Es ist zu zeigen, dass eine offene Menge O mit K ⊂ O und x ∈ /TO  existiert.  ¨ Da {x} = U : U ∈ U(x) , ist K \ U : U ∈ U(x) eine offene Uberdeckung von K. Da K kompakt ist, existieren n ∈ N und Uk ∈ U(x), 1 ≤ k ≤ n, so dass K⊂

n [

k=1

(X \ U k ) = X \

n \

k=1

U k =: O.

Vererbung

75

O ist offen und X \ O = int

n \

Uk =

k=1

n \

int U k ⊃

k=1

n \

Uk 3 x.

k=1

 10.7 Proposition. Sei X ein T2 -Raum, K0 , K1 ⊂ X kompakt und disjunkt. Dann existieren offene Mengen O0 , O1 ⊂ X mit Ki ⊂ Oi und O0 ∩ O1 = Ø. Beweis. Wir wiederholen den vorherigen Beweis mit K0 an der Stelle von x, K1 an der Stelle von K und der soeben gezeigten Eigenschaft an der Stelle der Hausdorff-Eigenschaft.  T U : U ⊃ K0 , U offen , ist K1 \ U : U ⊃ K0 , U offen eine Da K0 = ¨ offene Uberdeckung von K1 . Da K1 kompakt ist, existieren n ∈ N und offene Uk ⊃ K0 , 1 ≤ k ≤ n, so dass K1 ⊂

n [

(X \ U k ) = X \

k=1

n \

U k =: O1 .

k=1

O1 ist offen und mit O0 := X \ O1 = int

n \

Uk =

k=1

n \

int U k ⊃

k=1

n \

Uk ⊃ K0 .

k=1

ist auch O0 offen und O0 ∩ O1 = Ø.



10.8 Korollar. Kompakte R¨ aume sind normal.



10.9 Proposition. Metrisierbare R¨ aume sind normal. Beweis. Sei X ein Raum, d eine Metrik auf X, die die Topologie induziert und A0 , A1 ⊂ X abgeschlossen und disjunkt. F¨ ur i, j ∈ {0, 1}, i 6= j, 1 0 0 x ∈ Ai setze εxS:= 2 inf {d(x, x ) : x ∈ Aj }. Da x ∈ int(X \ Aj ), ist εx > 0. Mit Oi := x∈Ai Bεx (x) ist Oi offen und Ai ⊂ Oi . Ist nun x ∈ A0 , y ∈ A1 , so ist εx ≤ 12 d(x, y) und εy ≤ 12 d(y, x). F¨ ur beliebiges z ∈ X folgt d(x, z) + d(z, y) ≥ d(x, y) = 12 d(x, y) + 12 d(y, x) ≥ εx + εy , also z ∈ / Bεx ∩ Bεy . Damit ist O0 ∩ O1 = Ø. 

Vererbung Auf Quotienten vererben sich die Trennungseigenschaften im allgemeinen nicht, das heißt Quotienten eines Ti -Raumes m¨ ussen nicht Ti erf¨ ullen. Es soll uns gen¨ ugen, darauf hinzuweisen, dass wir in Beispiel 6.14 einen Quotienten des normalen Raumes R + R betrachtet haben, der nicht hausdorffsch ist. Zumindest die ersten drei Trennungsaxiome vererben sich aber auf Unterr¨aume und Produkte, wie wir jetzt zeigen werden. Dass dies f¨ ur T4 nicht ¨ gilt, werden wir zumindest teilweise in einer Ubung sehen.

76

10. Trennungsaxiome

10.10 Proposition. Erf¨ ullt ein Raum die Eigenschaft Ti , i ∈ {1, 2, 3}, so erf¨ ullen auch alle seine Unterr¨ aume diese Eigenschaft. Beweis. Wir betrachten nur T3 , die anderen F¨alle sind einfacher. Sei X ein T3 -Raum und Y ⊂ X ein Unterraum. Sei x ∈ Y , A ⊂ Y abgeschlossen in Y und x ∈ / A. Dann existiert ein abgeschlossenes A0 ⊂ X 0 mit A ∩ Y = A. Da x ∈ / A0 , existieren in X offene, disjunkte Mengen U, V mit x ∈ U , A0 ⊂ V . Nun sind U ∩ Y und V ∩ Y disjunkt und offen in Y , x∈U ∩Y, A⊂V ∩Y.  10.11 Proposition. Ein Produkt von Ti -R¨ aumen, i ∈ {1, 2, 3} erf¨ ullt Ti . Beweis. Wir betrachten wieder nur T3 . Seien Q also J eine Menge und Xj f¨ ur j ∈ J R¨aume, die T3 erf¨ ullen. Sei nun x ∈ j∈J Xj beliebig. Es ist zu zeigen, dass f¨ ur beliebiges U ∈ U(x) ein abgeschlossenes U 0 ∈ U(x) mit U 0 ⊂ U existiert. Nun existieren f¨ ur U ∈ U(x) ein n ∈ N und f¨ ur 1 ≤ k ≤ n Indizes jk ∈ J und Vk ∈ U(xjk ) mit n \

(pjk )−1 [Vk ] ⊂ U.

k=1

Da die R¨aume Xj Eigenschaft T3 erf¨ ullen, existieren abgeschlossene Vk0 ∈ 0 U(xjk ) mit Vk ⊂ Vk . Nun ist U 0 :=

n \

(pjk )−1 [Vk0 ] ⊂ U

k=1

und U 0 eine abgeschlossene Umgebung von x.



Lieferung 11

Reellwertige Funktionen

In diesem Abschnitt behandeln wir R¨aume, die in gewisser Hinsicht viele stetige reellwertige Funktionen zulassen. Zun¨achst zeigen wir, dass normale R¨aume zu diesen geh¨oren. Danach betrachten wir vollst¨andig regul¨are R¨aume, eine Klasse von R¨aumen, die per Definition viele stetige reellwertige Funktionen zulassen. Sehr spezielle reellwertige Funktionen sind Metriken; ein einfacher Metrisationssatz f¨ ur vollst¨andig regul¨are R¨aume schließt sich an.

Normale R¨aume Wir formulieren zun¨achst die Trennungseigenschaft T4 analog zu Proposition 10.5 um. 11.1 Proposition. Ein Raum X ist genau dann ein T4 -Raum, wenn f¨ ur jede abgeschlossene Menge A und jede offene Menge O mit A ⊂ O eine offene Menge U mit A ⊂ U ⊂ U ⊂ O existiert. Beweis. Sei X ein T4 -Raum und A ⊂ O ⊂ X, A abgeschlossen, O offen. Da X \ O abgeschlossen und disjunkt zu A ist, existieren offene U, V ⊂ X mit A ⊂ U , X \ O ⊂ V und U ∩ V = Ø. Es ist dann U ⊂ X \ V ⊂ O. Hat andererseits X die Eigenschaft aus der Proposition und sind A, B ⊂ X disjunkt und abgeschlossen, so existiert eine offene Menge U mit A ⊂ U ⊂ U ⊂ X \ B. F¨ ur die offene Menge V := X \ U gilt dann U ∩ V = Ø und B ⊂ V . Damit ist X ein T4 -Raum.  11.2 Satz (Urysohnsches Lemma). Sei X ein T4 -Raum und A, B ⊂ X abgeschlossen und disjunkt. Dann existiert eine stetige Funktion f : X → [0, 1] mit f [A] ⊂ {0}, f [B] ⊂ {1}  S Beweis. Sei Dn := 2mn : 0 ≤ m ≤ 2n f¨ ur n ∈ N und D := n∈N Dn . Wir zeigen zun¨achst, dass es offene Mengen Ud , d ∈ D mit A ⊂ U0 , U1 = X \ B und U d ⊂ Ue f¨ ur alle d, e ∈ D mit d < e. Setze dazu U1 := X \ B und w¨ahle mit Hilfe der vohergehenden Proposition U0 , so dass A ⊂ U0 ⊂ U 0 ⊂ X \ B. Ist nun n ∈ N und Ud f¨ ur alle d ∈ Dn definiert, so setzen wir die Definition 77

78

11. Reellwertige Funktionen

m mit geraden m ist Ud f¨ ur alle d ∈ Dn+1 wie folgt fort. F¨ ur alle d = 2n+1 bereits definiert. Ist nun m ungerade, so ist U m−1 ⊂ U m+1 und wir k¨onnen 2n+1

U

2n+1

m m so w¨ahlen, dass U m−1 ⊂ U n+1 ⊂ U n+1 ⊂ U m+1 . 2 2 2n+1 2n+1 F¨ ur diese Ud definieren wir nun

m 2n+1

f : X → [0, 1] ( inf {d ∈ D : x ∈ Ud } , x ∈ U1 x 7→ 1, x∈ / U1 Es ist offenbar f [A] S ⊂ {0} und f [B] ⊂ {1}. S Seien nun r, sS∈ [0, 1]. Es sind f −1 [[0, r)] = ds (X \ Ud ) = d>s (X \ U d ) offen, dabei gilt die letzte Gleichheit, da zu jedem d ∈ D mit d > s ≥ 0 ein d0 ∈ D mit d > d0 > s existiert. Da {[0, r) : r ∈ [0, 1]} ∪ {(s, 1] : s ∈ [0, 1]} eine Subbasis der Topologie von [0, 1] ist, zeigt das die Stetigkeit von f .  11.3 Bemerkung. Das charakterisiert die T4 -R¨aume, denn ist f : X → [0, 1] eine stetige Funktion   mit f [A] ⊂ {0} und f [B] ⊂ {1}, so sind f −1 [0, 21 ) und f −1 ( 12 , 1] offene Mengen, die A und B trennen. Bevor wir fortfahren, m¨ ussen wir uns vergewissern, dass ein Konzept, das wir aus der Analysis I f¨ ur den Raum R kennen, auch allgemeiner sinnvoll ist. 11.4 Definition. Sei M eine Menge und (Y, d) ein metrischer Raum. Wir sagen, eine Folge (fn )n∈N von Funktionen fn : M → Y konvergiert gleichm¨ aßig gegen eine Funktion g : M → Y , wenn zu jedem ε > 0 ein n ∈ N existiert, so dass |g(x) − fm (x)| < ε f¨ ur alle x ∈ M und m ≥ n. 11.5 Proposition. Sei X ein topologischer Raum, (Y, d) ein metrischer Raum und (fn )n∈N eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichm¨ aßig gegen eine Funktion g : X → Y konvergiert. Dann ist g stetig. Beweis. Sei x ∈ X und ε > 0. Dann existiert ein n ∈ N, so dass |fn (x) − g(x)| < ε/3 f¨ ur alle x ∈ X und eine Umgebung U von x, so dass f [U ] ⊂ Bε/3 (f (x)). Damit ist |g(x0 ) − g(x)| ≤ |g(x0 ) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − fn (x)| + |fn (x) − g(x)| ε ε ε < + + =ε 3 3 3 f¨ ur alle x0 ∈ U , und g ist in x stetig.



Als n¨achstes wollen wir zeigen, dass sich in T4 -R¨aumen auf abgeschlossenen Teilmengen definierte stetige reellwertige Funktionen auf den ganzen Raum fortsetzen lassen. Wir beginnen mit einem Teilergebnis.

Vollst¨ andig regul¨ are R¨ aume

79

11.6 Lemma. Ist X ein T4 -Raum, A ⊂ X abgeschlossen, b ∈ R und f : A → [0, b] stetig, so existiert eine stetige Funktion g : X → [0, 13 b] mit 0 ≤ f (x) − g(x) ≤ 32 b f¨ ur alle x ∈ A.     Beweis. Setze B0 := f −1 [0, 13 b] und B1 := f −1 [ 23 b, b] . Nach dem Urysohnschen Lemma existiert dann eine stetige Funktion h : X → [0, 1] mit h[B0 ] ⊂ {0}, h[B1 ] ⊂ {1}. Mit g(x) := 13 b · h(x) erh¨alt man eine Funktion mit den gew¨ unschten Eigenschaften.  11.7 Satz (Tietze). Ist X ein T4 -Raum, A ⊂ X abgeschlossen und f : A → [0, 1] stetig, so existiert eine stetige Funktion F : X → [0, 1] mit F |A = f . Beweis. Zur Vereinfachung der Notation setzen wir f0 := f . Nun verschaf
 2 n fen wir uns rekursiv f¨ u r n ∈ N stetige Funktionen f : A → 0, und n 3
 2 n 1 gn : X → 0, 3 · 3 mit fn+1 (x) = fn (x) − gn (x) f¨ ur alle x ∈ A. Den Rekursionsschritt liefert dabei Lemma 11.6.

P P 1 2 n Da ∞ = 1, ist die Reihe gn gleichm¨aßig konvergent und n=0 3 · 3 P definiert eine stetige Funktion F : X → [0, 1] durch F (x) := ∞ g (x). n n=0 F¨ ur x ∈ A und n ∈ N gilt außerdem f (x) −

n X

gn (x)

k=0

= f0 (x) − (f0 (x) − f1 (x)) − (f1 (x) − f2 (x)) − · · · − (fn (x) − fn+1 (x)) = fn+1 (x),  und da fn : A → 0,


 2 n 3

und


2 n 3

→ 0 folgt F |A = f .



Vollst¨andig regul¨are R¨aume Wir f¨ ugen der Liste der Trennungseigenschaften noch eine weitere hinzu. 11.8 Definition. Sei X ein Raum. Wir sagen, X sei ein T3a -Raum, wenn er die folgende Eigenschaft erf¨ ullt. (T3a ) Zu jedem Punkt x ∈ X und jeder abgeschlossenen Menge A ⊂ X mit x∈ / A existiert eine stetige Funktion f : X → [0, 1] mit f (x) = 0 und f [A] ⊂ {1}. Ein Raum heißt vollst¨ andig regul¨ ar, wenn er T3a und T1 erf¨ ullt. 11.9 Proposition. T3a -R¨ aume erf¨ ullen T3 .



11.10 Proposition. Normale R¨ aume sind vollst¨ andig regul¨ ar. Beweis. Gegeben eine abgeschlossene Menge A und ein x ∈ / A wende man das Urysohnschen Lemma auf {x} und A an. 

80

11. Reellwertige Funktionen

Die folgende Propositition zeigt die Bedeutung der Existenz reellwertiger stetiger Funktionen, wie sie f¨ ur T3a -R¨aume gegeben ist. 11.11 Lemma. Sind X ein Raum, J eine Menge und fj : X → [0, 1] stetige Funktionen, so dass f¨ ur jeden Punkt x ∈ X und jede abgeschlossene Menge A ⊂ X mit x ∈ / A ein j ∈ J mit fj (x) = 0 und fj [A] ⊂ {1} existiert, so tr¨ agt X die Initialtopologie bez¨ uglich der fj . Beweis. Da die fj als stetig vorausgesetzt sind, reicht es nach der Konstruktion der Initialtopologie aus Proposition 5.11, noch zu zeigen, dass f¨ ur jedes x ∈ X und jede offene Umgebung U von x ein j ∈ J und eine offene Menge V ⊂ [0, 1] mit x ∈ f −1 [V ] ⊂ U existieren. Nach Voraussetzung existiert aber ein j ∈ J, so dass fj (x) = 0 und fj [X \ U ] ⊂ {1}, also x ∈ f −1 [[0, 1)] ⊂ U .  Die Eigenschaft, Initialtopologie bez¨ uglich einer Menge von Funktionen zu sein, wollen wir umformulieren. 11.12 Proposition. Sei X ein Raum, Yj f¨ ur j ∈ J R¨ aume und fj : X → Yj Funktionen. Dann tr¨ agt der Raum X genau dann die Initialtopologie bez¨ uglich der Funktionen fjQ , j ∈ J, wenn er die Initialtopologie bez¨ uglich der Funktion (fj )j∈J : X → j∈J Yj tr¨ agt. Beweis. Aus der universellen Eigenschaft der Produkttopologie folgt: . (fj )j∈J ist genau dann stetig, wenn fj f¨ ur alle j ∈ J stetig ist. . Ist Z ein Raum und g : Z → X eine Funktion, so ist (fj )j∈J ◦ g genau dann stetig, wenn fj ◦ g f¨ ur alle j ∈ J stetig ist. Die Behauptung folgt damit unmittelbar aus der universellen Eigenschaft der Initialtopologie in Definition 5.2.  11.13 Proposition. Ist X ein vollst¨ andig regul¨ arer Raum, der das zweite Abz¨ ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullt, so existiert eine abz¨ ahlbare Menge C und eine Einbettung h : X → [0, 1]C . Beweis. Wir zeigen zun¨achst, dass X eine abz¨ahlbare Menge von Funktionen besitzt, die die Bedingungen aus Lemma 11.11 erf¨ ullt. Sei dazu B eine abz¨ahlbare Basis der Topologie von X. Zu jedem Paar (U, V ) ∈ B × B w¨ahlen wir, wenn eine solche existiert, eine stetige Funktion f : X → [0, 1] mit f [U ] ⊂ {0} und f [X \ V ] ⊂ {1}. Dies liefert uns eine abz¨ahlbare Menge C von Funktionen. Ist nun x ∈ X und A ⊂ X abgeschlossen mit x ∈ / A, so existiert ein V ∈ B mit x ∈ V ⊂ X \ A und, da X ein T3a -Raum ist, eine stetige

Vollst¨ andig regul¨ are R¨ aume

81

Funktion g : X → [0, 1] mit g(x) = 0 und g[X \ V ] ⊂ 1. Betrachten wir nun die stetige Funktion t : [0, 1] → [0, 1] ( 0, s≤ s 7→ 2s − 1, s ≥

1 2 1 2

und setzen wir g 0 := t ◦ g, so ist (g 0 )−1 [{0}] ⊃ g −1 [[0, 12 )] eine Umgebung von x, also existiert ein U ∈ B mit x ∈ U und g 0 [U ] ⊂ {0}. Da u ¨berhaupt eine 0 Funktion, n¨amlich g , mit diesen Eigenschaften existiert, existiert auch ein f ∈ C mit f (x) ∈ f [U ] = {0} und f [A] ⊂ f [X \ V ] ⊂ {1}. Da also C die Voraussetzungen von Lemma 11.11 erf¨ ullt, tr¨agt X die Initialtaltopologie bez¨ uglich der f ∈ C. Mit Proposition 11.12 umformuliert tr¨agt X die Initialtopologie bez¨ uglich der Abbildung h : X →[0, 1]C x 7→h(x) h(x)f := f (x). Es ist nur noch zu zeigen, dass h injektiv ist. Das ist genau dann der Fall, wenn C Punkte trennt, wenn es also zu x, y ∈ X mit x 6= y immer ein f ∈ C mit f (x) 6= f (y) gibt. Da aber X ein T1 -Raum ist, ist in dieser Situation {y} abgeschlossen und die Argumentation des letzten Absatzes angewandt auf x und {y} liefert ein f ∈ C mit f (x) = 0 6= 1 = f (y).  11.14 Proposition. Abz¨ ahlbare Produkte metrisierbarer R¨ aume sind metrisierbar. Beweis. Als Aufgabe ??.



11.15 Satz. Ist X ein vollst¨ andig regul¨ arer Raum, der das zweite Abz¨ ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullt, so ist X metrisierbar. Beweis. Nach Proposition 11.13 und Proposition 11.14 ist X hom¨oomorph zu einem Unterraum eines metrisierbaren Raumes.  Dies ist ein recht schwacher Metrisiationssatz, doch wir wollen uns mit ihm begn¨ ugen. Mehr zu diesem Thema findet man in [Que73, Kap. 10]. Dort erf¨ahrt man zum Beispiel, dass Regularit¨at an Stelle von vollst¨andiger Regularit¨at ausgereicht h¨atte.

82

11. Reellwertige Funktionen

Lieferung 12

Kompaktifizierungen

Kompaktifizierungen 12.1 Definition. Sei X ein Raum. Eine Kompaktifizierung von X ist ein kompakter Raum K zusammen mit einer Einbettung e : X → K, so dass e[X] dicht in K ist. 12.2 Bemerkung. Um eine Kompaktifizierung zu besitzen, muss X nat¨ urlich hausdorffsch sein. Mehr noch: Da kompakte R¨aume vollst¨andig regul¨ar sind und sich vollst¨andige Regularit¨at auf Unterr¨aume vererbt (das zeigt man wie f¨ ur Regularit¨at), muss X vollst¨andig regul¨ar sein. Wir werden bald sehen, dass vollst¨andig regul¨are R¨aume tats¨achlich immer eine Kompaktifizierung besitzen. 12.3 Beispiele. . In Aufgabe ?? haben wir gesehen, dass die stereographische Projektion eine Einbettung s : Rn → S n liefert, so dass S n \ s[Rn ] aus einem einzigen Punkt besteht. Da f¨ ur n > 0 kein Punkt von S n isoliert ist, n n ist in diesem Fall s : R → S eine Kompaktifizierung von Rn . (Zum Fall n = 0 beachte, dass R0 selbst kompakt ist.) Genau dann konvergiert f¨ ur eine Folge (an ) in R die Folge (s(an )) gegen diesen zus¨atzlichen Punkt, wenn die urspr¨ ungliche Folge bestimmt gegen unendlich konvergiert. Man kann sich diese Kompaktifizierung also so vorstellen, dass ein unendlich ferner Punkt zu Rn hinzugef¨ ugt wurde. . Die Abbildung t : Rn → D n kxk x 7→ ·x 1 + kxk2 bildet Rn hom¨oomorph auf das Innere der Scheibe ab und ist daher auch eine Kompaktifizierung von Rn . F¨ ur den Fall n = 1 entspricht das dem Hinzuf¨ ugen eines Punktes +∞ und eines Punktes −∞ zu R. 83

84

12. Kompaktifizierungen . Die Inklusion Q ∩ I → I ist eine Kompaktifizierung von Q ∩ I. Im Gegensatz zu den vorhergehenden Beispielen ist hier Q ∩ I nicht offen in I. Dies liegt daran, dass Q nicht die Eigenschaft der lokalen Kompaktheit besitzt, eine Eigenschaft, die wir bald definieren werden.

12.4 Definition. Sei X ein Raum. Zwei Kompaktifizierungen e1 : X → K1 und e2 : X → K2 heißen ¨aquivalent, wenn es einen Hom¨oomorphismus h : K1 → K2 gibt, so dass 5K e1 kkkk 1 k k k kkk ≈ h X SSSS SSS S e2 SS) 

K2

kommutiert. 12.5 Lemma. Seien X ein Raum und e1 : X → K1 und e2 : X → K2 Kompaktifizierungen. Existieren stetige Abbbildungen f und g, so dass die beiden Diagramme 5K e1 kkkk 1 k k k kkk f X SSSS SSS S  S e2 S)

5K e2 kkkk 2 k k k kkk g X SSSS SSS e1 SSS) 

und

K2

K1

kommutieren, so sind e1 und e2 ¨ aquivalente Kompaktifizierungen. Beweis. Durch Zusammensetzen der beiden Diagramme erhalten wir das kommutative Diagramm 5K e1kkkkk 1 k k kkkk ≈ g◦f X SSSS SSS S e1 SS) 

K1 ,

die stetige Abbildung g ◦ f stimmt also auf der dichten Menge e1 [X] mit der stetigen Abbildung idK1 u ¨berein. Da K1 hausdorffsch ist, folgt daraus, dass g ◦ f = idK1 . Das haben wir bereits in Aufgabe ?? gezeigt, tun es aber hier in der Hoffnung, dass es instruktiv ist, noch einmal: Sei y ∈ K1 . Da y ∈ e1 [X], existiert ein Filter F auf X, so dass (e1 )∗ (F) → y. Da g ◦ f stetig ist, konvergiert (g ◦ f ◦ e1 )∗ (F) = (g ◦ f )∗ ((e1 )∗ (F)) gegen (g ◦ f )(y) (f¨ ur die Gleichheit siehe Aufgabe ??). Andererseits ist (g ◦ f ◦ e1 )∗ (F) = (e1 )∗ (F), konvergiert also gegen y. Da in dem Hausdorff-Raum K1 Grenzwerte eindeutig sind, folgt (g ◦ f )(y) = y. Ebenso ist f ◦ g = idK2 . Damit ist f ein Hom¨oomorphismus. 

Lokale Kompaktheit und die Ein-Punkt-Kompaktifizierung

85

Lokale Kompaktheit und die Ein-Punkt-Kompaktifizierung 12.6 Definition. Sei X ein Hausdorff-Raum. Dann setzen wir X + := X ∪ {∞}, wobei ∞ irgendein Punkt sei, der nicht in X ist, und versehen X + mit der Topologie  T := {O ⊂ X : O offen in X} ∪ X + \ K : K ⊂ X kompakt . 12.7 Proposition. Die Menge T aus der Definition ist tats¨ achlich eine + + Topologie auf X , und die Inklusion X → X ist eine Einbettung und X offen in X + . Beweis. Wir bezeichnen die erste Menge aus der Definition von T mit TX , die zweite mit T∞ , also TX = {O ∈ T : ∞ ∈ / O}, T∞ = {O ∈ T : ∞ ∈ T }. + Dass X offen in X ist, ist klar. Dass die Inklusion eine Einbettung ist, heißt gerade, dass die Topologie, die X als Unterraum von X + erh¨alt, die urspr¨ ungliche ist. Da TX gerade diese urspr¨ ungliche Topologie von X ist, bleibt nur zu zeigen, dass O ∩ X ∈ TX f¨ ur alle O ∈ T∞ . Das gilt aber, da kompakte Teilmengen eines Hausdorff-Raumes abgeschlossen sind. S Sei nun O ⊂ T . Ist O ⊂ TX , so ist, da ja TX eine Topologie auf X ist, O ∈ TX ⊂ T . Ist O 6⊂STX , so existiert eine K von S kompakte Teilmenge S + + X mit X \ KS∈ O, und O = X \ (K \ S O). Da aber X ∩ O offen in X ist, ist K \ O kompakt, also X + \ (K \ O) ∈ T∞ ⊂ T . Sei nun n ∈ N und Oi ∈ T f¨ ur 1 ≤ i ≤ n. Ist Oi ∈ T∞ f¨ uSr alle i, so ist + X \TOi f¨ ur alle i eineSkompakte Teilmenge von X, also auch ni=1 (X + \ Oi ) n n + + / T∞ , und T i=1 Oi = X \ i=1 (X \ Oi ) ∈ T∞ ⊂ T . Existiert ein i mit Oi ∈ ⊂ X, also,Tda wir schon gesehen haben, dass O ∩ X ∈ TX f¨ ur so ist i Oi T  alle O ∈ T , ni=1 Oi = ni=1 (Oi ∩ X) ∈ TX ⊂ T . 12.8 Proposition. Sei X ein Hausdorff-Raum. Dann ist X + quasikompakt. ¨ Beweis. Sei C eine offene Uberdeckung von X + . Dann existiert ein O ∈ C mit ∞ ∈ O. Da X + \O kompakt ist, existiert eine endliche Teilmenge von C, die X + \ O u ¨berdeckt. Zusammen mit O ergibt dies eine endliche Teilmenge von C, die X + u  ¨berdeckt. 12.9 Proposition. Sei X ein Hausdorff-Raum. Dann ist genau dann X dicht in X + , wenn X nicht kompakt ist. Beweis. Genau dann ist X nicht dicht in X + , wenn {∞} offen ist, wenn also X + \ {∞} = X kompakt ist.  12.10 Proposition. Sei X ein Hausdorff-Raum. Dann ist genau dann X + hausdorffsch, wenn jeder Punkt x ∈ X in X eine kompakte Umgebung besitzt.

86

12. Kompaktifizierungen

Beweis. Da X hausdorffsch ist, ist X + genau dann hausdorffsch, wenn zu jedem x ∈ X offene Mengen U, V ⊂ X + mit U ∩ V = Ø, x ∈ U und ∞ ∈ V existieren, wenn also zu jedem x ∈ X eine offene Menge V ⊂ X + mit ∞ ∈ V existiert, so dass X + \ V eine Umgebung von x ist. Betrachtet man das Komplement von V , so ergibt sich die Behauptung.  12.11 Definition. Sei X ein Raum. X heißt lokal kompakt, wenn X hausdorffsch ist und jeder Punkt von x eine kompakte Umgebung besitzt. Wir fassen zusammen: 12.12 Definition und Proposition. Ist X ein lokal kompakter, nicht kompakter Raum, so ist X + (zusammen mit der Inklusion X → X + ) eine Kompaktifizierung von X. Diese nennen wir die Ein-Punkt-Kompaktifizierung von X. 

˘ Die Stone-Cech-Kompaktifizierung Konstruktion 12.13 Notation. F¨ ur beliebige R¨aume Y , Z setzen wir C(Y, Z) := {f : Y → Z : f stetig} . 12.14 Definition. Sei X ein vollst¨andig regul¨arer Raum. Wir setzen mit I = [0, 1] Φ : X → I C(X,I) x 7→ (µ(x))µ∈C(X,I) , das heißt, wir haben Φ(x)(µ) = µ(x), und βX := Φ[X]. ˘ Wir nennen Φ : X → βX die Stone-Cech-Kompaktifizierung von X, was wir sogleich rechtfertigen werden. 12.15 Proposition. Sei X ein vollst¨ andig regul¨ arer Raum. Φ : X → βX ist eine Kompaktifizierung von X. Beweis. Da X ein T3a -Raum ist, tr¨agt X nach Lemma 11.11 und Proposition 11.12 die Initialtopologie bez¨ uglich der Abbildung Φ. Da X zus¨atzlich ein T1 -Raum ist, trennt C(X, I) Punkte, und Φ ist injektiv, also eine Einbettung. Φ[X] ist nach Definition dicht in βX. Da I kompakt ist, ist nach dem Satz von Tychonoff auch I C(X,I) kompakt, also auch die abgeschlossene Teilmenge βX. 

˘ Die Stone-Cech-Kompaktifizierung

87

Funktorialit¨at 12.16 Definition und Proposition. Sind X, Y , Z R¨aume und f : X → Y eine stetige Funktion, so induziert f eine Funktion f ∗ : C(Y, Z) → C(X, Z) g 7→ g ◦ f. 12.17 Definition und Proposition. Sind X ein Raum und J1 , J2 Mengen, so induziert eine Funktion t : J1 → J2 eine stetige Abbildung t∗ : X J 2 → X J 1 x 7→ x ◦ t. Beweis. Es bezeichne f¨ ur i ∈ {1, 2}, j ∈ Ji , pij die Projektion pij : X Ji → X x 7→ x(j). F¨ ur beliebiges j ∈ J1 und x ∈ X J2 ist dann p1j (t∗ (x)) = (x◦t)(j) = x(t(j)) = 2 pt(j) (x), also p1j ◦ t∗ = p2t(j) . Damit ist f¨ ur alle j ∈ J1 die Abbildung p1j ◦ t∗ stetig. Es folgt, dass t∗ stetig ist.  12.18 Proposition. Seien X, Y vollst¨ andig regul¨ are R¨ aume, f : X → Y ∗∗ C(X,I) C(Y,I) eine stetige Funktion. Dann ist f : I →h I i eine stetige Abbildung und f ∗∗ ◦ ΦX = ΦY ◦ f . Insbesondere ist f ∗∗ Φ[X] ⊂ Φ[Y ]. Beweis. Wir rechnen f ∗∗ ◦ ΦX = ΦY ◦ f nach: F¨ ur x ∈ X und µ ∈ C(Y, I) ist (f ∗∗ ◦ ΦX )(x)(µ) = (ΦX (x) ◦ f ∗ )(µ) = ΦX (x)(µ ◦ f ) = = (µ ◦ f )(x) = µ(f (x)) = ΦY (f (x))(µ).  Dies erm¨oglicht die folgende Definition. 12.19 Definition. Seien X, Y vollst¨andig regul¨are R¨aume, f : X → Y eine stetige Funktion. Dann definieren wir βf : βX → βY x 7→ f ∗∗ (x). Ebenfalls gezeigt haben wir:

88

12. Kompaktifizierungen

12.20 Proposition. Seien X, Y vollst¨ andig regul¨ are R¨ aume, f : X → Y eine stetige Funktion. Dann ist βf stetig und das Diagramm X

ΦX

f



ΦY

Y

/ βX βf



/ βY

kommutiert.



Universelle Eigenschaft 12.21 Proposition. Sei X vollst¨ andig regul¨ ar, K kompakt und f : X → K stetig. Dann existiert eine eindeutige stetige Fortsetzung f˜ von f auf βX, also eine stetige Funktion f˜, so dass / βX BB BB ! f˜ f BB ! 

XB B

Φ

K

kommutiert. Beweis. Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass Φ[X] dicht in βX ist. Zur Existenz betrachte X

ΦX

f



K

ΦK

/ βX 

βf

/ βK

und bemerke, dass, da K kompakt und ΦK [K] dicht in βK ist, ΦK [K] = βK also ΦK ein Hom¨oomorphismus ist. Setze nun f˜ := (ΦK )−1 ◦ βf .  Insbesondere gilt das, wenn f eine Kompaktifizierung ist. Dies charak˘ terisiert die Stone-Cech-Kompaktifizierung. 12.22 Proposition. Sei X ein vollst¨ andig regul¨ arer Raum, e : X → K eine ˘ Kompaktifizierung. Genau dann ist e : X → K ¨ aquivalent zur Stone-Cech0 0 Kompaktifizierung, wenn f¨ ur jede Kompaktifizierung e : X → K eine stetige 0 Abbildung g : K → K existiert, so dass e / K BB BB g B e0 BB 

XB

K0

kommutiert. Beweis. Das folgt sofort aus Proposition 12.21 und Lemma 12.5.



˘ Die Stone-Cech-Kompaktifizierung

89

Bemerkungen ˘ Die Stone-Cech-Kompaktifizierung ist f¨ ur den geometrisch Interessierten weniger wichtig als f¨ ur Mengentheoretiker und gewisse Analytiker. Sie ist im allgemeinen sehr gross und kompliziert. Zum Beispiel ist |βN| = |P(R)|, und es gibt topologische Eigenschaften von βN, die unabh¨angig von den Axiomen der Mengenlehre sind. ˘ Andererseits muss die Stone-Cech-Kompaktifizierung nicht gross sein: ˘ F¨ ur [0, ω1 ) stimmen die Stone-Cech-Kompaktifizierung und die Ein-Punkt¨ Kompaktifizierung (bis auf Aquivalenz) u ¨berein und sind ¨aquivalent zur Inklusion [0, ω1 ) → [0, ω1 ]. Das liegt im Wesentlichen daran, dass man jede stetige Funktion von [0, ω1 ) in die rellen Zahlen auf [0, ω1 ] fortsetzen kann, was man elementar, aber vielleicht etwas trickreich, zeigen kann. Mit Pro¨ position 12.22 folgt also, dass [0, ω1 ) bis auf Aquivalenz genau eine Kompaktifizierung besitzt.

90

12. Kompaktifizierungen

Lieferung 13

Homotopie

Wir betrachten nun das Deformieren einer Abbildung in eine andere und ¨ erhalten dabei auch eine Aquivalenzrelation auf der Klasse der topologischen R¨aume, die viel schw¨acher als Hom¨oomorphie ist.

Homotopie 13.1 Definition. Seien X, Y topologische R¨aume und f0 , f1 : X → Y stetige Abbildungen. Eine Homotopie zwischen f0 und f1 ist eine stetige Abbildung F : X × I → Y , so dass F (x, 0) = f0 (x) und F (x, 1) = f1 (x) f¨ ur alle x ∈ X. Wir nennen f0 und f1 zu einander homotop und schreiben f0 ' f1 , wenn eine Homotopie zwischen f0 und f1 existiert. F¨ ur die Anschauung mag es manchmal sinnvoll sein, sich F als Abbildung vom Zylinder X × I vorzustellen, und manchmal, F als eine mit der Zeit t ∈ I variierende Schar von Funktionen ft : X → Y x 7→ F (x, t) anzusehen. ¨ 13.2 Proposition. Seien X, Y R¨ aume. Die Relation ' ist eine Aquivalenzrelation auf der Menge der stetigen Funktionen von X nach Y . Beweis. Es seien f, g, h : X → Y stetig. Die stetige Funktion X ×I →Y (x, t) 7→ f (x) zeigt f ' f und damit die Reflexivit¨at von '. Ist f ' g und F eine Homotopie zwischen f und g, so ist mit r: I → I t 7→ 1 − t 91

92

13. Homotopie

F ◦(idX ×r) eine Homotopie zwischen g und f , also g ' f , was die Symmetrie von ' zeigt. Ist f ' g und g ' h und mit zugeh¨origen Homotopien F und G, so ist X ×I →Y ( F (x, 2t), t ≤ 12 , (x, t) 7→ G(x, 2t − 1), t ≥ 12 , eine Homotopie zwischen f und h. F¨ ur die wohldefiniert beachte, dass F (x, 1) = g(x) = G(x, 0) und f¨ ur die Stetigkeit, dass X ×[0, 12 ] und X ×[ 12 , 1] in X × I abgeschlossen sind. Dies zeigt f ' h und die Transitivit¨at von '.  ¨ Die Komposition von Abbildungen respektiert die Aquivalenzrelation Homotopie: 13.3 Proposition. Seien X, Y , Z R¨ aume und f, f 0 : X → Y , g, g 0 : Y → Z stetige Abbildungen. Ist f ' f 0 und g ' g 0 , so ist g ◦ f ' g 0 ◦ f 0 . Beweis. Ist F eine Homotopie zwischen f und f 0 , G eine Homotopie zwischen g und g 0 , so ist G ◦ F eine Homotopie zwischen g ◦ f und g 0 ◦ f 0 . 

Homotopie¨aquivalenz 13.4 Definition. Seien X, Y R¨aume. Eine Homotopie¨ aquivalenz zwischen X und Y ist eine stetige Abbildung f : X → Y , so dass eine stetige Abbildung g : Y → X mit g ◦ f ' idX

und

f ◦ g ' idY

existiert. In dieser Situation nennen wir g homotopieinvers zu f . Wir sagen, X und Y seien homotopie¨ aquivalent, und schreiben X ' Y , wenn zwischen ihnen eine Homotopie¨aquivalenz existiert. ¨ 13.5 Proposition. Homotopie¨ aquivalenz ist eine Aquivalenzrelation. Beweis. Seien X, Y , Z R¨aume. idX : X → X zeigt X ' X und damit die Reflexivit¨at. Symmetrie ergibt sich sofort aus der Definition. Seien nun f : X → Y und g : Y → Z Homotopie¨aquivalenzen mit Homotopieinversen f 0 und g 0 . Dann ist (f 0 ◦ g 0 ) ◦ (g ◦ f ) = f 0 ◦ (g 0 ◦ g) ◦ f ' f 0 ◦ idY ◦ f = f 0 ◦ f ' idX und ebenso (g ◦ f ) ◦ (f 0 ◦ g 0 ) ' idZ , also g◦f : X → Z eine Homotopie¨aquivalenz. Das zeigt die Transitivit¨at. 

Homotopie¨ aquivalenz

93

13.6 Beispiel. Wir zeigen f¨ ur n ∈ N, dass Rn+1 \ {0} ' S n . In der Tat sind die Abbildungen i : S n → Rn+1 \ {0} , x 7→ x

r : Rn+1 \ {0} → S n x x 7→ kxk

homotopieinvers zueinander: Es ist r◦i = idS n , also insbesondere r◦i ' idS n . Betrachtet man nun H : (Rn+1 \ {0}) × I → Rn+1 \ {0}   1−t (x, t) 7→ t + x, kxk so ist H(x, 0) = idRn+1 \{0} .

x kxk ,

H(x, 1) = x f¨ ur alle x ∈ Rn+1 \ {0}, also i ◦ r '

13.7 Bemerkung. Zu zeigen, dass zwei R¨aume nicht homotopie¨aquivalent sind, ist keinesfalls einfach. Zum Beispiel legt die Anschauung nahe, dass f¨ ur n, m ∈ N mit n < m gilt, dass S n 6' S m . W¨ahrend das wahr ist, ist es nur f¨ ur n = 0 mit elementaren Mitteln beweisbar. Den Fall n = 1 werden wir immerhin mit Hilfe der Fundamentalgruppe, auf deren Theorie wir den Rest der Vorlesung verwenden werden, l¨osen k¨onnen. Der allgemeine Fall entzieht sich den Mitteln, die wir in dieser Vorlesung zur Verf¨ ugung haben. In der algebraischen Topologie ist das jedoch eines der ersten Ergebnisse. 13.8 Definition. Ein Raum heißt zusammenziehbar, wenn er homotopie¨aquivalent zu dem einpunktigen Raum ist. Eine einfache Umformulierung ist: 13.9 Proposition. Sei X ein Raum. Dann ist X genau dann zusammenziehbar, wenn idX homotop zu einer konstanten Abbildung ist.  13.10 Proposition. Ist X ⊂ Rn sternf¨ ormig, so ist X zusammenziehbar. Beweis. Sei X sternf¨ormig bez¨ uglich p ∈ X. Dann ist H: X ×I → X (x, λ) 7→ λp + (1 − λ)x eine Homotopie zwischen idX und der Abbildung, die konstant p ist.



13.11 Korollar. Ist X ⊂ Rn konvex, so ist X zusammenziehbar.



94

13. Homotopie

Homotopie relativ zu einem Unterraum 13.12 Definition. Seien X, Y R¨aume, A ⊂ X und f, g : X → Y stetige Abbildungen. Wir sagen, f sei relativ zu A homotop zu g, f ' g rel A, wenn eine Homotopie F : X × I → Y zwischen f und g existiert, so dass F (a, t) = F (a, 0) f¨ ur alle a ∈ A, t ∈ I. Damit f ' g rel A gelten kann, muss nat¨ urlich f |A = g|A erf¨ ullt sein. 13.13 Proposition. Seien X, Y R¨ aume, A ⊂ X. Dann ist Homotopie ¨ relativ zu A eine Aquivalenzrelation. Beweis. Man wiederhole den Beweis, den wir oben f¨ ur A = Ø gegeben haben.  Ebenso verallgemeinern wir: 13.14 Proposition. Seien X, Y , Z R¨ aume, A ⊂ X und f, f 0 : X → Y , 0 g, g : Y → Z stetige Abbildungen. Ist f ' f 0 rel A und g ' g 0 rel f [A], so ist g ◦ f ' g 0 ◦ f 0 rel A.  N¨ utzlich ist auch die folgende Tatsache. 13.15 Proposition. Seien X ein Raum, A ⊂ X, Y ⊂ Rn , f, g : X → Y . Ist f |A = g|A und Y konvex, so ist f ' g rel A. Beweis. Betrachte H: X ×I → Y (x, λ) 7→ (1 − λ)f (x) + λg(x). Es ist H(x, 0) = f (x) und H(x, 1) = g(x) f¨ ur alle x ∈ X. Außerdem ist H(a, λ) = f (a) = g(a) f¨ ur alle a ∈ A, λ ∈ I.  13.16 Beispiel. Ist X ein Raum und sind w, w0 : I → X stetige Wege mit gleichem Anfangspunkt, also w(0) = w0 (0), so ist w ' w0 rel {0}: Ist c0 : I → I die Abbildung, die konstant 0 ist, so ist n¨amlich, da I konvex ist, c0 ' idI rel {0} und daher w = w ◦ idI ' w ◦ c0 rel {0} = w0 ◦ c0 ' w0 ◦ idI rel {0} = w0 . Andererseits scheint auch offensichtlich, dass f¨ ur w : I → S1, s 7→ (cos sπ, sin sπ)

w0 : I → S 1 s 7→ (cos sπ, − sin sπ),

Homotopie relativ zu einem Unterraum

95

also zwei Wege in von (1, 0) nach (−1, 0) in S 1 , wobei einer oben, der andere unten entlang geht, gilt, dass w 6' w0 rel {0, 1} , dass es also nicht m¨oglich ist, den einen Weg in den anderen zu u uhren, ¨berf¨ wenn man beide Endpunkte festh¨alt. Das ist auch in der Tat wahr, wir werden aber noch einiges an Vorbereitung ben¨otigen, um das zu zeigen.

96

13. Homotopie

Lieferung 14

Die Fundamentalgruppe

Wege 14.1 Definition. Seien X ein Raum und w, w0 : I → X Wege in X mit w(1) = w0 (0). Wie bei der Diskussion des Wegzusammenhangs bezeichnen wir mit w− den Weg w− : I → X t 7→ w(1 − t) und mit w ∗ w0 den Weg w ∗ w0 : I → X ( w(2t), t ≤ 21 , t 7→ w0 (2t − 1), t ≥ 12 . Außerdem bezeichnen wir f¨ ur x ∈ X mit cx den konstanten Weg cx : I → X t 7→ x, der in {x} verl¨auft. 14.2 Proposition. Seien X, Y R¨ aume, f : X → Y stetig, w, w0 : I → X 0 stetig mit w(1) = w (0). Dann ist (f ◦ w)(1) = (f ◦ w0 )(0) und (f ◦ w) ∗ (f ◦ w0 ) = f ◦ (w ∗ w0 ).  14.3 Proposition. Sind v, v 0 , w, w0 : I → X stetig mit v(1) = w(0), und ist v ' v 0 rel {0, 1}, w ' w0 rel {0, 1}, so ist v ∗ w ' v 0 ∗ w0 rel {0, 1}. Beweis. Sei F die Homotopie zwischen v und v 0 , G die Homotopie zwischen w und w0 . Dann ist I ×I →X ( F (2s, t), s ≤ 12 , (s, t) 7→ G(2s − 1, t), s ≥ 12 0 0 eine Homotopie  1 zwischen v ∗ w und v ∗ w , und diese Homotopie h¨alt {0, 1} (sogar 0, 2 , 1 ) fest. 

97

98

14. Die Fundamentalgruppe

14.4 Proposition. Sei X ein Raum, w, w0 , w00 : I → X stetig, w(1) = w0 (0), w0 (1) = w00 (0). Dann gilt: (i) (w ∗ w0 ) ∗ w00 ' w ∗ (w0 ∗ w00 ) (ii) cw(0) ∗ w ' w ' w ∗ cw(1) (iii) w ∗ w− ' cw(0)

rel {0, 1},

rel {0, 1},

rel {0, 1}.

Beweis. Zu (i): Man kann die Homotopie direkt angeben, und das sei zur ¨ Ubung empfohlen. Wir gehen hier etwas anders vor: Wir definieren zun¨achst f : [0, 3] → X   0 ≤ s ≤ 1, w(s), 0 s 7→ w (s − 1), 1 ≤ s ≤ 2,   00 w (s − 2), 2 ≤ s ≤ 3, f ist stetig, und f¨ ur a, b ∈ R, la,b : I → R s 7→ s · b + (1 − s) · a. Dann ist zum Beispiel w0 = f ◦ l1,2 , also (w ∗ w0 ) ∗ w00 = f ◦ ((l0,1 ∗ l1,2 ) ∗ l2,3 ) und w ∗ (w0 ∗ w00 ) = f ◦ (l0,1 ∗ (l1,2 ∗ l2,3 )). Wegen Proposition 13.14 gen¨ ugt es nun, zu zeigen, dass (l0,1 ∗ l1,2 ) ∗ l2,3 ' l0,1 ∗ (l1,2 ∗ l2,3 )

rel {0, 1} ,

beide Seiten aufgefasst als Wege in [0, 3]. Da beide Wege Anfangspunkt 0 und Endpunkt 3 haben, folgt dies aber mit Proposition 13.15 aus der Konvexit¨at von [0, 3]. Zu (ii): Es ist cw(0) ∗ w = w ◦ (c0 ∗ idI ) und w = w ◦ idI . Nun sind c0 ∗ idI und idI beides Wege in I mit Anfangspunkt 0 und Endpunkt 1 und cw(0) ∗ w ' w rel {0, 1} folgt wie eben, und w ' w ∗ cw(1) rel {0, 1} ebenso. Zu (iii): Wie eben mit w ∗ w− = w ◦ (l0,1 ∗ l1,0 ), cw(0) = w ◦ c0 . 

Die Fundamentalgruppe Diese Untersuchungen machen die folgende Definition m¨oglich. 14.5 Definition. Sei X ein Raum und x0 ∈ X. Dann bezeichnen wir mit ¨ π1 (X, x0 ) die Menge der Aquivalenzklassen von stetigen Wegen w : I → X mit w(0) = w(1) = x0 bez¨ uglich Homotopie relativ zu {0, 1}. Einen Weg w mit w(0) = w(1) = x0 nennen wir einen geschlossenen Weg bei x0 oder eine Schleife bei x0 .

Die Fundamentalgruppe

99

Auf π1 (X, x0 ) ist durch [w] · [w0 ] := [w ∗ w0 ] eine Multiplikation erkl¨art, die π1 (X, x0 ) zu einer Gruppe mit neutralem Element [cx0 ] macht. π1 (X, x0 ) heißt die Fundamentalgruppe von X mit Basispunkt x0 . 14.6 Definition. Ein Raum mit Basispunkt ist ein Paar (X, x0 ), wobei X ein Raum ist und x0 ∈ X. Sind (X, x0 ), (Y, y0 ) R¨aume mit Basispunkt, so heißt eine Abbildung f : X → Y basispunkterhaltend, wenn f (x0 ) = y0 . Wir schreiben hierf¨ ur f : (X, x0 ) → (Y, y0 ). Sind f, g : (X, x0 ) → (Y, y0 ) basispunkterhaltende Abbildungen, so werden wir unter einer Homotopie zwischen f und g, wenn wir nichts anderes bemerken, immer eine Homotopie relativ zu {x0 } verstehen. Wollen wir explizit sagen, dass eine Homotopie nicht relativ zum Basispunkt zu sein braucht, so reden wir von einer freien Homotopie. 14.7 Definition und Proposition. Seien (X, x0 ) und (Y, y0 ) R¨ aume mit Basispunkt, f : (X, x0 ) → (Y, y0 ) stetig. Dann definieren wir π1 (f ) : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ) [w] 7→ [f ◦ w]. Dies ist wohldefiniert und ein Homomorphismus von Gruppen. An Stelle von π1 (f ) schreiben wir auch f# . Beweis. Die Wohldefiniertheit folgt aus Proposition 13.14, die Vertr¨aglichkeit mit der Multiplikation aus Proposition 14.2.  14.8 Proposition. Seien (X, x0 ), (Y, y0 ), (Z, z0 ) R¨ aume mit Basispunkt, 0 f, f : (X, x0 ) → (Y, y0 ), g : (Y, y0 ) → (Z, z0 ) stetig. Dann gilt: (i) Ist f ' f 0 (relativ zu {x0 }), so ist π1 (f ) = π1 (f 0 ). (ii) Es ist π1 (id(X,x0 ) ) = idπ1 (X,x0 ) . (iii) Es ist π1 (g ◦ f ) = π1 (g) ◦ π1 (f ). Beweis. (i) folgt aus Proposition 13.14, (ii) und (iii) sind klar.



Die Fundamentalgruppe erlaubt es uns, topologische Situationen in algebraische zu u ¨bersetzen, wobei man dann hofft, dass letztere einfacher sind. Zum Beispiel hat man: 14.9 Proposition. Seien (X, x0 ), (Y, y0 ) R¨ aume mit Basispunkt, f : (X, x0 ) → (Y, y0 ), g : (Y, y0 ) → (X, x0 ) stetig. Ist g ◦ f ' id(X,x0 ) , f ◦ g ' id(Y,y0 ) , so ist f# : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ) ein Isomorphismus.

100

14. Die Fundamentalgruppe

Beweis. Aus g ◦ f ' id(X,x0 ) folgt g# ◦ f# = (g ◦ f )# = (id(X,x0 ) )# = idπ1 (X,x0 ) . Aus f ◦ g ' id(Y,y0 ) folgt, dass f# ◦ g# = idπ1 (Y,y0 ) . Das heißt gerade, dass f# ein Isomorphismus und invers zu g# ist.  Da wir hier fordern, dass die Homotopien den Basispunkt erhalten, ist die Voraussetzung der Proposition st¨arker als die Homotopie¨aquivalenz von X und Y . Das werden wir jedoch noch beheben. Haben wir das getan, und wissen wir dann von zwei R¨aumen, dass sie nicht isomorphe Fundamentalgruppen haben, so werden wir also wissen, dass sie nicht homotopie¨aquivalent sind. Bisher allerdings wissen wir nicht einmal, dass es einen Raum gibt, dessen Fundamentalgruppe nicht trivial ist, doch wir werden noch Hilfsmittel kennenlernen, um die Fundamentalgruppen in vielen Situationen zu bestimmen.

Der Einfluss des Basispunktes Da I (der Raum in dem Wege starten) und I × I (der Raum in dem Homotopien von Wegen starten) wegzusammenh¨angend sind, sieht‘ π1 (X, x0 ) ’ nur die Wegkomponente von X, in der x0 liegt. Liegen allerdings x0 und x1 in der selben Wegkomponente, so werden wir nun sehen, dass π1 (X, x0 ) und π1 (X, x1 ) isomorph sind. 14.10 Definition. Sei X ein Raum und p : I → X stetig, p(0) = x0 , p(1) = x1 . Dann definieren wir hp : π1 (X, x1 ) → π1 (X, x0 ) [w] 7→ [p ∗ w ∗ p− ]. Die Wohldefiniertheit folgt aus Proposition 14.3 (und Proposition 14.4). 14.11 Proposition. Sei X ein Raum, p, p0 , q : I → X stetig, p(1) = q(0), x0 ∈ X. Dann gilt: (i) hp ist ein Homomorphismus. (ii) Ist p ' p0 rel {0, 1}, so ist hp = hp0 . (iii) Es ist hcx0 = idπ1 (X,x0 ) . (iv) Es ist hp∗q = hp ◦ hq . Beweis. Das sind alles einfache Folgerungen aus Proposition 14.4.



14.12 Proposition. Sei X ein Raum, x0 , x1 ∈ X. Liegen x0 , x1 in der selben Wegkomponente von X, so ist π1 (X, x0 ) ∼ ur jeden = π1 (X, x1 ), denn f¨ stetigen Weg p : I → X mit p(0) = x0 , p(1) = x1 ist hp : π1 (X, x1 ) → π1 (X, x0 )

Freie Homotopie

101

ein Isomorphismus. Sind p, q zwei solche Wege, so ist q ∗ p− eine Schleife bei x0 und mit α := [q ∗ p− ] ∈ π1 (X, x0 ) ist hq (β) = αhp (β)α−1

f¨ ur alle β ∈ π1 (X, x0 ),

hp und hq unterscheiden sich also um einen inneren Automorphismus von π1 (X, x0 ). Beweis. Ist p ein stetiger Weg von x0 nach x1 , so ist hp ◦ hp− = hp∗p− = hcx0 = idπ1 (X,x0 ) und ebenso hp− ◦ hp = idπ1 (X,x1 ) . Damit ist hp ein Isomorphismus. Ist q ein weiterer stetiger Weg von x0 nach x1 und w eine Schleife in x1 , so ist hq ([w]) = [q ∗ w ∗ q − ] = [q ∗ p− ∗ p ∗ w ∗ p− ∗ p ∗ q − ] = [q ∗ p− ] · [p ∗ w ∗ p− ] · [p ∗ q − ] = [q ∗ p− ] · hp ([w]) · [(q ∗ p− )− ] = [q ∗ p− ] · hp ([w]) · [q ∗ p− ]−1 . Das zeigt die Gleichung aus der Proposition.



W¨are hp ganz unabh¨angig von p, so k¨onnten wir f¨ ur wegzusammenh¨angende R¨aume den Basispunkt ganz vergessen; so k¨onnen wir das nicht immer.

Freie Homotopie Wir werden nun untersuchen, was man u ¨ber die von homotopen Abbildungen induzierten Homomorphismen sagen kann, wenn die Homotopien den Basispunkt bewegen d¨ urfen. 14.13 Proposition. Seien X, Y R¨ aume, x0 ∈ X, f, g : X → Y stetig und f ' g. Ist H : X × I → Y eine Homotopie zwischen f und g, H(•, 0) = f , H(•, 1) = g, und p : I → X der Weg H(x0 , •) in Y , y0 := p(0), y1 := p(1), so ist das Diagramm g

# / π1 (Y, y1 ) MMM MMM ∼ M = hp f# MMM& 

π1 (X, x0 )

π1 (Y, y0 ) kommutativ. Ist insbesondere eine der beiden Abbildungen f# , g# ein Isomorphismus, so auch die andere.

102

14. Die Fundamentalgruppe

Beweis. Sei w eine Schleife bei x0 . Wir betrachten die Wege l, r, t, b : I → I × I, b(s) := (s, 0),

t(s) := (s, 1),

r(s) := (1, 1 − s).

l(s) := (0, s),

Da I × I konvex ist, ist b ' l ∗ t ∗ r rel {0, 1}. Nun ist f ◦ w = H ◦ (w × idI ) ◦ b,

p = H ◦ (w × idI ) ◦ l,

g ◦ w = H ◦ (w × idI ) ◦ t,

−

p = H ◦ (w × idI ) ◦ r.

Also ist f ◦ w ' p ∗ (g ◦ w) ∗ p− rel {0, 1}, das heißt f# ([w]) = hp (g# ([w])).  14.14 Proposition. Seien X, Y R¨ aume, f : X → Y eine Homotopie¨ aquivalenz. Dann ist f¨ ur x0 ∈ X die Abbildung f# : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, f (x0 )) ein Isomorphismus. Beweis. Sei g : Y → X eine Homotopieinverse. Wir betrachten π1 (X, x0 )

f#

/ π1 (Y, f (x0 ))

g#

/ π1 (X, g(f (x0 )))

f#

/ π1 (Y, f (g(f (x0 )))),

wobei die erste und dritte Abbildung nat¨ urlich verschieden sind, obwohl sie gleich bezeichnet sind. Da g ◦ f ' idX und (idX )# : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x0 ) ein Isomorphismus, n¨amlich die Identit¨at, ist, ist nach der vorherigen Proposition auch (g ◦f )# : π1 (X, x0 ) → π1 (X, (g ◦f )(x0 )) ein Isomorphismus. Also ist die Komposition der ersten beiden Abbildungen unseres Diagrammes ein Isomorphismus. Ebenso folgt aus f ◦ g ' idY , dass die Komposition der letzten beiden Abbildungen ein Isomorphismus ist. Damit ist die mittlere Abbildung sowohl ein Epimorphismus als auch ein Monomorphismus, also ein Isomorphismus. Daher m¨ ussen auch die anderen beiden Abbildungen Isomorphismen sein, insbesondere die erste.  14.15 Korollar. Ist X ein zusammenziehbarer Raum und x0 ∈ X, so ist π1 (X, x0 ) trivial. Beweis. Da homotopie¨ aquivalente R¨aume isomorphe Fundamentalgruppen besitzen, brauchen wir die Behauptung nur f¨ ur den einelementigen Raum zu zeigen. In diesem gibt es aber u ¨berhaupt nur eine einzige Schleife, n¨amlich die konstante. 

Lieferung 15

¨ Uberlagerungen und die Fundamentalgruppe von S 1

¨ Dass Uberlagerungen (die Definition folgt weiter unten) in engem Zusammenhang mit der Fundamentalgruppe stehen, werden wir noch sehen.1 Zun¨achst wollen wir uns von einem konkreten Beispiel leiten lassen, die Beweise aber gleich in ausreichender Allgemeinheit f¨ uhren. Wenn wir die Theorie der Fundamentalgruppe gewinnbringend anwenden wollen, m¨ ussen wir wohl endlich die Fundamentalgruppe eines Raumes bestimmen, f¨ ur den sie nicht trivial ist. Der grundlegende Fall ist die Kreislinie. Wir betrachten f¨ ur k ∈ Z die Abbildung uk : I → S 1 s 7→ (cos 2πkt, sin 2πkt). Das ist eine Schleife bei (1, 0). Anschaulich wickelt diese das Einheitsintervall k-mal um die Kreislinie herum. Wir werden im folgenden zeigen, dass uk ' ul rel {0, 1} nur f¨ ur k = l und dass zu jeder Schleife w in S 1 bei (1, 0) ein k ∈ Z existiert, so dass w ' uk rel {0, 1}. Wir werden also zeigen, dass Φ : Z → π1 (S 1 , (1, 0)) k 7→ [uk ] eine Bijektion (und in der Tat ein Isomorphismus von Gruppen) ist. Dabei wird es sich als hilfreich erweisen, die Abbildung p : R → S1 r 7→ (cos 2πr, sin 2πr) und die Wege vk : I → R s 7→ ks in R mit Anfangspunkt 0 und Endpunkt k zu betrachten. Es ist dann ¨ uk = p ◦ vk . Die Abbildung p : R → S 1 ist ein Beispiel einer Uberlagerung. 1

Auch wenn die noch vorhandene Zeit bestimmen wird, in welcher Ausf¨ uhrlichkeit wir uns mit diesem Thema besch¨ aftigen werden.

103

104

¨ 15. Uberlagerungen und die Fundamentalgruppe von S 1

¨ 15.1 Definition. Eine Abbildung p : X → Y heißt eine Uberlagerung, wenn X und Y wegzusammenh¨angende und lokal wegzusammenh¨angende Hausdorffr¨aume sind, p surjektiv ist und zu jedem y ∈ Y eine offene Umgebung U existiert, so dass f¨ ur jede Wegkomponente V von p−1 [U ] die Einschr¨ankung von p einen Hom¨oomorphismus V → U ergibt. Mengen U dieser Art nennen wir gleichm¨ aßig u ¨berdeckt oder elementar, die Wegkomponenten von p−1 [U ] die Bl¨ atter u ¨ber U . 15.2 Proposition. Die oben beschriebene Abbildung p : R → S 1 ist eine ¨ Uberlagerung. Beweis. Zun¨achst sind R und S 1 zusammenh¨angend, lokal wegzusammenh¨angend und hausdorffsch. Außerdem ist p surjektiv. Sei nun x ∈ S 1 beliebig, etwa x = p(r). Wir zeigen, dass U := S 1 \ {x} gleichm¨aßig u ¨berdeckt ist. U ist −1 offen und p [U ] = R \ {r + z : z ∈ Z}. Die Wegkomponenten von p−1 [U ] sind also die offenen Intervalle (r + z, r + z + 1) f¨ ur z ∈ Z. F¨ ur jedes z ∈ Z ist die Einschr¨ankung von p (r + z, r + z + 1) → U z 7→ (cos 2πx, sin 2πx) ein Hom¨oomorphismus. Ist nun y ∈ S 1 beliebig, so liegt y in der gleichm¨aßig u  ¨berdeckten Menge S 1 \ {−y}. ¨ Ist Z ein Raum, p : X → Y eine Uberlagerung und f : Z → Y eine stetige Abbildung, so k¨onnen wir uns fragen, ob eine stetige Hochhebung von f , also eine Abbildung f˜: Z → X mit p ◦ f˜ = f , existiert. Das wird im allgemeinen von Z und f abh¨angen. F¨ ur Wege, also f¨ ur Z = I, werden wir nun aber sehen, dass eine stetige Hochhebung immer existiert und zwar f¨ ur jedes x ∈ p−1 [{f (0)}] genau eine mit f˜(0) = x. Ist der Weg so kurz, dass er ganz in einer gleichm¨aßig u ¨berdeckten Menge verl¨auft, so ist dies klar. Im allgemeinen werden wir den Weg in so kurze St¨ ucke zerlegen, dass dies f¨ ur diese gilt. Dies wird das Lebesgue-Lemma leisten, das wahrscheinlich aus der Analysis-Grundvorlesung bekannt ist. Wir erinnern kurz daran. 15.3 Lemma (Lebesgue). Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum und ¨ C eine offene Uberdeckung von X. Dann existiert ein δ > 0, so dass f¨ ur jedes x ∈ X ein O ∈ C existiert, so dass Bδ (x) ∈ O. Beweis. Zu jedem x ∈ X gibt es ein εx > 0, so dass B2εx (x) in einem ¨ Element von C liegt. Da {Bεx (x) : x ∈ X} eine offene Uberdeckung von X ist, existiert aufgrund der Kompaktheit von X ein n ∈ N und x , . . . , xn , so 1 S dass X = nk=1 Bεxn (xn ). Setze δ := min {εxn : 1 ≤ k ≤ n}. Ist nun y ∈ X beliebig, so existiert ein k mit y ∈ Bεxk (xk ). Nun ist Bδ (y) ⊂ B2εxk und liegt damit ganz in einem Element von C. 

105 ¨ 15.4 Proposition (Hochheben von Wegen). Ist p : X → Y eine Uberlagerung, w : I → Y stetig und x0 ∈ X mit p(x0 ) = w(0), dann gibt es genau eine stetige Abbildung w ˜ : I → X mit w(0) ˜ = x0 und p ◦ w ˜ = w. Beweis. Sei {Uj : j∈ J} die Menge der gleichm¨aßig u ¨berdeckten Teilmengen ¨ von X. Dann ist w−1 [Uj ] : j ∈ J eine offene Uberdeckung von I. Nach dem Lebesgue-Lemma gibt es alsoein N ∈ N \ {0}, so dass zu jedem k k mit 0 < k ≤ N ein j ∈ J mit w k−1 ⊂ Uj existiert. F¨ ur solches N ,N N werden wir f¨ u r 0 ≤ k ≤ N induktiv zeigen, dass es genau ein stetiges  k w ˜k : 0, N → X mit w ˜k (0) = x0 und p ◦ w ˜k = w|[0, k ] gibt. Der Fall k = N N   k zeigt dann die Behauptung. Wir setzen Ik := k−1 , N N . w ˜0 (0) = x0 erledigt k = 0. Sei nun 0 < k ≤ N und Existenz und Eindeutigkeit ˜k−1 bereits gezeigt. Dann muss w ˜k , wenn es existiert,  von w  mit w ˜ u bereinstimmen. Es bleibt also zu zeigen, dass es auf 0, k−1 ¨ k−1 N
k−1 k−1 genau ein stetiges f : Ik → X mit f ( N ) = w ˜k−1 N und p ◦ f = w|Ik gibt. w ˜k erh¨alt man dann durch Zusammensetzen von w ˜

k−1 und f . Nun
k−1 gibt es ein j ∈ J mit w[Ik ] ⊂ Uj . Es ist p w ˜k−1 N = w k−1 ∈ N
Uj . Sei V die Wegkomponente von p−1 [Uj ], in der w ˜k−1 k−1 liegt. Jede N stetige Abbildung f mit den geforderten Eigenschaften muss nun, da Ik wegzusammenh¨angend ist, ihr Bild in V haben. Da die Einschr¨ankung von p einen Hom¨oomorphismus V → Uj liefert, gibt es genau ein solches f , n¨amlich die Komposition von w|Ik mit dem Inversen dieses Hom¨oomorphismus.  15.5 Korollar. Die Abbildung Φ ist surjektiv. Beweis. Sei α ∈ π1 (S 1 , (1, 0)), α = [w]. Wir betrachten die oben beschrie¨ bene Uberlagerung p : R → S 1 . w l¨asst sich zu einem Weg in R mit Anfangspunkt 0 hochheben, das heißt es gibt einen stetigen Weg w ˜ : I → R mit w(0) = 0 und p ◦ w ˜ = w. Aus p(w(1)) ˜ = w(1) = (1, 0) folgt, dass w(1) ∈ Z, sagen wir w(1) = k. Nun ist aber R konvex, also ist w ˜ ' vk rel {0, 1}. Damit ist α = [w] = [p ◦ w] ˜ = [p ◦ vk ] = [uk ] = Φ(k).  Als n¨achstes wollen wir zeigen, dass Hochhebungen homotoper Wege mit gleichem Anfangspunkt homotop sind. 15.6 Proposition (Hochheben von Homotopien). Sei p : X → Y eine ¨ Uberlagerung und F : I × I → Y stetig. Ist f˜: I → X stetig mit p ◦ f˜ = F (•, 0), so existiert eindeutig eine stetige Abbildung F˜ : I × I → X mit F˜ (•, 0) = f˜ und p ◦ F˜ = F . Beweis. Existiert ein solches F˜ , so ist f¨ ur jedes s ∈ I die Einschr¨ankung F˜ (s, •) eine Hochhebung des Weges F (s, •) zu einem Weg mit Anfangspunkt f˜(s). Aus der Eindeutigkeit von Hochhebungen von Wegen folgt also schon die Eindeutigkeit von F˜ . Außerdem definiert dies F˜ bereits, so dass wir nur noch die Stetigkeit nachzupr¨ ufen haben.

106

¨ 15. Uberlagerungen und die Fundamentalgruppe von S 1

Ausdem Lebesgue-Lemma   k k+1  folgt wieder die Existenz eines N ∈ N, so dass F Nl , l+1 f¨ ur alle 0 ≤ k, l < N in einer gleichm¨aßig N × N, N u dass ur alle 0 ≤ ¨berdeckten Menge enthalten ist. Es gen¨  ugt, zu zeigen,  k k+1  f¨ k, l < N die Einschr¨ankung von F˜ auf Nl , l+1 × , stetig ist, da N N N I × I die Vereinigung dieser endlich vielen abgeschlossenen Mengen ist. Wir tun ur festes lper Induktion u urzung setzen wir B := ¨ber k. Zur Abk¨  f¨   l dies l+1 k k+1 , und I := , . k N N N N ˜ ur alle k 0 < k auf B × Ik0 stetig. Dann ist Sei also 0 ≤ k < N und F f¨ k F˜ zumindest auf B × N stetig. (F¨ ur k = 0 folgt das aus der Stetigkeit ˜ von f .) Sei ¨berdeckte Menge, die F [B × Ik ] enth¨alt.  U eine gleichm¨aßig u Da B × Nk wegzusammenh¨angend ist, folgt nun aus der Stetigkeit von    F˜ auf dieser Menge, dass F˜ B × Nk ganz in einer Wegkomponente V −1 von p [U ] liegt. Da ja die Einschr¨ankung von p einen Hom¨oomorphismus von V auf U ergibt, existiert eine stetige Abbildung G : B × Ik → V mit p ◦ G = F |B×Ik und G|B×{ k } = F˜ |B×{ k } . F¨ ur jedes r ∈ B sind G|{r}×Ik N N

und F˜ |{r}×Ik Hochhebungen von F |{r}×Ik mit G r, Nk = F˜ r, Nk . Aus der Eindeutigkeit von Hochhebungen von Wegen bei vorgegebenem Anfangspunkt folgt, dass F˜ auf B × Ik mit G u ¨bereinstimmt und daher dort stetig ist.  ¨ 15.7 Korollar. Sei p : X → Y eine Uberlagerung, v, w : I → Y stetig. Ist v ' w rel {0, 1} und sind v˜, w ˜ : I → X stetige Hochhebungen mit gleichem Anfangspunkt, also v = p◦ v˜, w = p◦ w, ˜ v˜(0) = w(0), ˜ so ist v˜ ' w ˜ rel {0, 1}, also insbesondere v˜(1) = w(1). ˜ Beweis. Sei F eine Homotopie relativ zu {0, 1} zwischen v und w. Dann existiert nach dem eben gezeigten eine stetige Abbildung F˜ : I × I → X mit F˜ (s, 0) = v˜(0) f¨ ur alle s ∈ I. Da F˜ (0, •) eine stetige Hochhebung des konstanten Weges F (0, •) ist, konstante Wege aber sicher eine konstante Hochhebung besitzen, folgt aus der Eindeutigkeit der Hochhebung eines Weges bei gegebenem Anfangspunkt, dass F (0, t) = v˜(0) f¨ ur alle t ∈ I und ebenso F (1, t) = v˜(1). Nun sind F˜ (•, 1) und w ˜ beides stetige Hochhebungen von F (•, 1) = w und F (0, 1) = v˜(1) = w(1), ˜ also F˜ (s, 1) = w(s) ˜ f¨ ur alle ˜ s ∈ I. Wir haben gezeigt, dass F eine Homotopie zwischen v˜ und w ˜ relativ zu {0, 1} ist.  15.8 Korollar. Die Abbildung Φ ist injektiv. Beweis. Seien k, l ∈ Z, Φ(k) = Φ(l), also [uk ] = [ul ]. vk und vl sind Hochhebungen von uk beziehungsweise ul und vk (0) = 0 = vl (0). Aus [uk ] = [ul ] folgt nun k = vk (1) = vl (1) = l.  15.9 Korollar. S 1 ist nicht zusammenziehbar. Beweis. Zusammenziehbare R¨aume haben triviale Fundamentalgruppen, aber π1 (S 1 , (1, 0)) ist nicht trivial. 

107 15.10 Proposition. Die Abbildung Φ : (Z, +) → π1 (S 1 , (1, 0)) ist ein Isomorphismus. Beweis. Wir haben bereits gesehen, dass Φ eine Bijektion ist, m¨ ussen also nur noch zeigen, dass Φ ein Homomorphismus ist. Seien k, l ∈ Z. vk ist eine Hochhebung von uk mit Anfangspunkt 0 und Endpunkt k. Nun ist w: I → R s 7→ k + ls eine Hochhebung von ul mit Anfangspunkt k und Endpunkt k + l. Wir k¨onnen also vk ∗ w bilden, und da R konvex und dies ein Weg mit Anfangspunkt 0 und Endpunkt k + l ist, gilt vk ∗ w ' vk+l rel {0, 1}. Es folgt Φ(k)Φ(l) = [uk ][ul ] = [uk ∗ ul ] = [(p ◦ vl ) ∗ (p ◦ w)] = [p ◦ (vl ∗ w)] = [p ◦ vk+l ] = [uk+l ] = Φ(k + l).  Dies erm¨oglicht nun schon einige Anwendungen, die aus Motivationsgr¨ unden hier sofort folgen sollten, die wir aber aus Zeitgr¨ unden noch aufschieben wollen. Sorry!

108

¨ 15. Uberlagerungen und die Fundamentalgruppe von S 1

Lieferung 16

Erste Anwendungen der Fundamentalgruppe

Anstatt sich f¨ ur etwas zu entschuldigen, soll man es lieber besser machen. Hier kommen daher die Anwendungen, deren Aufschiebung wir gerade beklagt haben.

Der Brouwersche Fixpunktsatz Bisher haben wir nur die Fundamentalgruppen des Punktes und der Kreislinie und damit auch aller R¨aume, die zu einem dieser homotopie¨aquivalent sind, berechnet. Das gen¨ ugt aber schon f¨ ur die folgende Proposition. 16.1 Proposition. Es gibt keine stetige Retraktion von der Kreisscheibe auf die Kreislinie, das heißt keine stetige Abbildung r : D2 → S 1 mit r|S 1 = idS 1 . Beweis. Sei p ∈ S 1 ein Punkt, i : (S 1 , p) → (D2 , p) die Inklusion, und r : (D2 , p) → (S 1 , p) stetig. Wir betrachten die induzierten Homomorphismen π1 (S 1 , p)

i#

/ π1 (D 2 , p)

r#

/ π1 (S 1 , p).

Da D2 zusammenziehbar (sogar konvex) ist, ist π1 (D2 , p) trivial. Damit ist auch die Komposition r# ◦ i# = (r ◦ i)# trivial. Da aber π1 (S 1 , p) ∼ = Z nicht trivial ist, ist idπ1 (S 1 ,p) = (id(S 1 ,p) )# nicht trivial. Es ist also r ◦ i 6' id(S 1 ,p) und insbesondere r ◦ i 6= id(S 1 ,p) .  Dies ist auch f¨ ur Abbildungen Dm+1 → S m wahr. Der Fall m = 0 ist gerade der Zwischenwertsatz, der Fall m > 1 liegt nicht im Bereich der Methoden, die wir im Moment zur Verf¨ ugung haben. Als direkte Folgerung haben wir: 16.2 Satz (Brouwerscher Fixpunktsatz in Dimension 2). Jede stetige Abbildung f : D2 → D2 hat einen Fixpunkt. 109

110

16. Erste Anwendungen der Fundamentalgruppe

Beweis. Sei f : D2 → D2 stetig und fixpunktfrei. Wir zeigen, dass die Existenz einer stetigen Retraktion r : D2 → S 1 folgt, was der vorhergehenden Proposition widerspricht. Die folgende Konstruktion ist an dieser Stelle die u ¨bliche, da man dazu eine gute Zeichnung anfertigen kann. Man tue dies und merke sich diese Konstruktion. Sei x ∈ D2 . Da f (x) 6= x existiert ein eindeutig bestimmter von f (x) ausgehender Strahl, der durch x geht. Man definiere r(x) als den Schnittpunkt dieses Strahls mit S 1 . Offenbar ist f¨ ur x ∈ S 1 dann r(x) = x. Leider ist es etwas l¨astig, die Stetigkeit von r nachzurechnen. Wir geben daher noch eine weitere Konstruktion an. Dazu definieren wir zun¨achst g : D2 → D2 (1 x 7→

2 f (2x),

(1 − kxk)f



x kxk



kxk ≤ 12 , , kxk ≥ 12 .

g ist stetig und auch fixpunktfrei: F¨ ur kxk ≤ 12 folgt aus g(x) = x, dass f (2x) = 2x, und f¨ ur kxk > 12 ist kg(x)k < 12 . g hat aber die zus¨atzliche Eigenschaft, dass g(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ S 1 . Daher ist die stetige Abbildung r : D2 → S 1 x − g(x) x 7→ kx − g(x)k eine Retraktion.



Abbildungsgrad und der Hauptsatz der Algebra 16.3 Definition. Sei f : S 1 → S 1 eine stetige Abbildung. Wir definieren den Grad von f , deg f , als die ganze Zahl, die das Diagramm π1 (S 1 , p) O

f#

/ π1 (S 1 , f (p))

∼ = Φ

/ π1 (S 1 , p) O ∼ = Φ

· deg f

Z

hw ∼ =

/Z

kommutativ macht, wobei p = (1, 0), w ein beliebiger stetiger Weg von p nach f (p), hw der Isomorphismus aus Definition 14.10 und Φ der Isomorphismus aus Proposition 15.10 ist. 16.4 Proposition. Der Grad von f ist wohldefiniert, und sind f, g : S 1 → S 1 homotope Abbildungen, so ist deg f = deg g.

Abbildungsgrad und der Hauptsatz der Algebra

111

Beweis. Da alle Abbildungen in dem definierenden Diagramm Homomorphismen sind und jeder Homomorphismus von Z nach Z die Multiplikation mit einer ganzen Zahl ist, existiert eine ganze Zahl deg f , die das Diagramm kommutativ macht und f¨ ur die Wohldefiniertheit ist nur die Unabh¨angigkeit von der Wahl des Weges w zu zeigen. Ist w0 ein weiterer Weg von p nach f (p), so haben wir in Proposition 14.12 gezeigt, dass sich hw und hw0 nur um einen inneren Isomorphismus von π1 (S 1 , p) unterscheiden. Da aber π1 (S 1 , p) ∼ = Z abelsch ist, ist dann hw = hw0 . Seien nun f, g : S 1 → S 1 homotop und v ein Weg von f (p) nach g(p). In dem Diagramm g#

/ π1 (S 1 , g(p)) NNN NNN NNN NNhNw∗v NNN NNN hv NN' NN' f#  1 / π1 (S 1 , p) π1 (S , f (p))

π1 (S 1 , p)

hw

kommutiert nun das linke Dreieck wegen Proposition 14.13 und das rechte Dreieck wegen Proposition 14.11. Da w ∗ v ein Weg von p nach g(p) ist, folgt deg f = deg g.  16.5 Proposition. Sei k ∈ Z und S 1 aufgefasst als die Menge der komplexen Zahlen vom Betrag 1. Dann ist der Grad der Abbildung S1 → S1 z 7→ z k gleich k. Beweis. Sei f die Abbildung f (z) = z k . Da f (1) = 1 ist, k¨onnen wir den in der Definition von deg f vorkommenden Weg w konstant w¨ahlen, also ist hw = idπ1 (S 1 ,1) , und wir werden hw in der Notation unterdr¨ ucken. Sei l ∈ Z. Der Weg ul , der in der Definition von Φ vorkam, war gerade durch ul (r) = exp(2πi · lr) gegeben, auch wenn wir es dort anders formuliert haben. Dann ist f (ul (r)) = exp(2πi · lr)k = exp(2πi · klr) = ukl (r), also f# (Φ(l)) = f# ([ul ]) = [f ◦ ul ] = [ukl ] = Φ(kl), also, da l beliebig war, deg f = k.  Pn k 16.6 Korollar (Hauptsatz der Algebra). Sei p(z) = k=0 ak z ein komplexes Polynom vom Grad n, also an 6= 0. Hat p keine Nullstelle, so ist n = 0. Beweis. Die Idee ist die folgende: Da p keine Nullstelle hat, ist f¨ ur jede nicht-negative reelle Zahl r die Abbildung fr : S 1 → S 1 p(rz) z 7→ |p(rz)|

112

16. Erste Anwendungen der Fundamentalgruppe

definiert, die das Verhalten von p auf dem Kreis mit Radius r wiedergibt. Nun ist f0 konstant, aber f¨ ur r → ∞ geht die Abbildung fr gegen die n Abbildung z 7→ z . Das zeigt, dass die Abbildung z 7→ z n homotop zu einer konstanten Abbildung und damit vom Grad 0 ist. Die Sache mit dem Grenz¨ ubergang muss man nat¨ urlich genauer machen, und das werden wir nun tun. Zun¨achst definieren wir F : S1 × I → S1 (z, r) 7→ fr (z). F ist stetig und damit f0 ' f1 . Weiter definieren wir f¨ ur r ∈ R gr : S 1 → S 1 Pn ak rn−k z k , z 7→ Pnk=0 | k=0 ak rn−k z k |

G : S1 × I → S1 (z, r) 7→ gr (z).


F¨ ur r > 0 ist der Nenner von gr (z) gleich rn |p zr | = 6 0. (Also, nach K¨ urzen, gr = f1/r , was die Verbindung zum einleitenden Absatz schafft.) Es ist n g0 (z) = |aann zz n | = |aann | z n . Damit ist gr tats¨achlich f¨ ur alle r ∈ R definiert, und da G stetig ist, ist g0 ' g1 . Da aber g1 = f1 , folgt g0 ' f0 . Nun ist f0 (z) = |aa00 | = |aa00 | z 0 , g0 (z) = |aann | z n . Es folgt n = deg g0 = deg f0 = 0. Bei der Berechnung des Grades haben wir noch benutzt, dass f¨ ur b ∈ S 1 die Abbildung z 7→ bz homotop zur Identit¨at ist. Um das einzusehen betrachtet man einen Weg von b nach 1.  16.7 Bemerkung. Man kann diesen Beweis auch f¨ ur reelle Polynome 0 durchf¨ uhren. Man erh¨alt dann Abbildungen fr : S → S 0 und dass die Abbildung S 0 → S 0 , x 7→ |aann | xn homotop zu einer konstanten Abbildung ist. Da idS0 nicht homotop zu einer konstanten Abbildung ist (Zwischenwertsatz!), folgt, dass n ungerade ist. Das ist wohl in etwa die komplizierteste Art, zu zeigen, dass ein reelles Polynom ungeraden Grades eine Nullstelle hat.

Lieferung 17

Der Satz von Seifert und van Kampen Sind X ein Raum, U, V ⊂ X und p ∈ U ∩ V , so geben uns die verschiedenen Inklusionen ein kommutatives Diagramm (U ∩ V, p)

/ (U, p)



 / (X, p).

(V, p)

Daraus resultiert ein kommutatives Diagramm π1 (U ∩ V, p)

/ π1 (U, p)



 / π1 (X, p).

π1 (V, p)

Wir werden sehen, dass unter gewissen Voraussetzungen, darunter U ∪ V = X, dieses Diagramm eine gewisse Eigenschaft hat, die unter anderem dazu f¨ uhrt, dass es bis auf Isomorphie (wir werden das noch genauer formulieren) bereits von dem Teildiagramm / π1 (U, p)

π1 (U ∩ V, p) 

π1 (V, p) bestimmt wird. Wenn wir diese drei Fundamentalgruppen und die von den Inklusionen induzierten Homomorphismen zwischen ihnen kennen, k¨onnen wir also π1 (X) ausrechnen‘. Die Eigenschaft, die hierzu f¨ uhrt, werden wir ’ nun kennenlernen.

Push-Out-Diagramme 17.1 Definition. Es sei G 

g

h

K

j

113

/H 

i

/L

114

17. Der Satz von Seifert und van Kampen

ein Diagramm von Gruppen und Homomorphismen. Dieses Diagramm heißt ein Push-Out-Diagramm, wenn es kommutiert und f¨ ur jede Gruppe L0 und alle Homomorphismen i0 : H → L0 , j 0 : K → L0 , so dass i0 ◦ g = j 0 ◦ h, genau ein Homomorphismus k : L → L0 existiert, so dass k ◦ i = i0 und k ◦ j = j 0 . g

G

/H i

h



K



j

i0

/L k ! j0



+

L0

Ist das Diagramm ein Push-Out-Diagramm, so nennen wir L, beziehungsweise genauer (L, i, j) das Push-Out des aus g und h bestehenden Teildiagramms. 17.2 Proposition (Eindeutigkeit des Push-Outs). Sind G 

g

/H

h

K

j

G und

i



/L



g

h

K

j0

/H 

i0

/ L0

Push-Out-Diagramme, so existiert ein Isomorphismus k : L → L0 , so dass H i



K

j

0

i /L AA AAk A ∼ = AAA 0  j +

L0

kommutiert. Beweis. Die Existenz eines Homomorphismus k, so dass das Diagramm kommutiert folgt daraus, dass L ein Push-Out von g, h ist. Ebenso folgt daraus, dass L0 ein Push-Out ist, die Existenz eines Homorphismus k 0 : L0 → L, so dass das Diagramm mit k 0 an Stelle von k kommutiert. Es ist nun nur noch zu zeigen, dass k und k 0 invers zu einander sind. Dazu bemerken wir, dass das Diagramm G 

g

/H

h

K



j

i

/L j

i

@@k0 ◦k @@ @@ @@  ,

L

Der Satz von Seifert und van Kampen

115

kommutiert. Da das Diagramm auch mit idL an Stelle von k 0 ◦k kommutiert, folgt aus der Tatsache, dass L ein Push-Out ist, es also nur einen Homomorphismus an dieser Stelle gibt, der das Diagramm kommutativ macht, dass k 0 ◦ k = idL . Ebenso folgt aus der Tatsache, dass L0 ein Push-Out ist, dass k ◦ k 0 = idL0 . Damit ist k ein Isomorphismus.  An dieser Stelle w¨are es sch¨on zu wissen, ob Push-Outs (f¨ ur Gruppen, wie hier definiert) immer existieren—sie tun es—und wie sie konstruiert werden. Da Gruppen keine ganz einfachen Objekte sind, ist dies leider technisch nicht ganz unaufw¨andig, so dass wir hier darauf, verzichten, da wir diese Tatsache nicht unbedingt brauchen. Es bleibt zu hoffen, dass der Beweis des folgenden Satzes und die nachfolgenden Spezialf¨alle ein ausreichendes Gef¨ uhl f¨ ur die Struktur von Push-Outs vermitteln.

Der Satz von Seifert und van Kampen 17.3 Satz (Seifert und van Kampen). Sei X ein Raum und U0 , U1 ⊂ X offene Teilmengen, x0 ∈ U ∩ V . Ist X = U0 ∪ U1 und ist U0 ∩ U1 wegzusammenh¨ angend, so ist das Diagramm π1 (U0 ∩ U1 , x0 ) 

0 j#

/ π1 (U0 , x0 )

1 j#

i1#

π1 (U1 , x0 )



i0#

/ π1 (X, x0 )

ein Push-Out Diagramm. Hierbei seien i0 , i1 , j 0 , j 1 die offensichtlichen Inklusionen zwischen den verschiedenen R¨ aumen.

Beweis des Satzes Die Kommutativt¨at des Diagramms ist klar. F¨ ur den Beweis, dass es ein Push-Out-Diagramm ist, betrachten wir ein Diagramm π1 (U0 ∩ U1 , x0 ) 

0 j#

/ π1 (U0 , x0 )

1 j#

π1 (U1 , x0 )

i1#



i0# φ0

/ π1 (X, x0 ) ψ ! φ1

$- 

G,

wobei G eine beliebige Gruppe ist und φ0 , φ1 beliebige Homomorphismen sind, so dass das Diagramm ohne ψ kommutiert. Wir haben dann zu zeigen, dass es genau einen Homomorphismus ψ gibt, so dass das gesamte Diagramm

116

17. Der Satz von Seifert und van Kampen

kommutiert. Dazu gehen wir nach einem beliebten Schema vor: Wir zeigen zun¨achst, dass der Homomorphismus, wenn er existiert, eindeutig bestimmt ist. Dabei werden wir sehen, wie der Homomorphismus aussehen muss und werden dies zu seiner Definition nutzen. Der n¨achste Schritt wird dann darin bestehen, zu zeigen, dass er dadurch wohldefiniert ist. 17.4 Beweisschritt. Die Bilder von i0# und i1# erzeugen zusammen π1 (X, x0 ). Beweis. Sei γ ∈ π1 (X, x0 ) repr¨asentiert durch den geschlossenen Weg w. Da ¨ {U0 , U1 } eine offene Uberdeckung von X ist, liefert uns das Lebesgue-Lemma ein N ∈ N, so dass f¨ ur alle k mit 0 ≤ k < N ein rk mit w [[k/N, (k + 1)/N ]] ⊂ Urk existiert. Es ist bereits w(0) = w(1) = x0 , und wir zeigen nun, dass wir es immer so einrichten k¨onnen, dass w(k/N ) = x0 f¨ ur alle k mit 0 ≤ k ≤ N . Dazu w¨ahlen wir zu jedem k mit 0 < k < N einen Weg vk von w(k/N ) nach x0 . Da U0 ∩ U1 wegzusammenh¨angend ist, k¨onnen wir es so einrichten, dass vk in Urk−1 ∩ Urk verl¨auft. Zur Vereinfachung der Notation setzen wir außerdem v0 = vN = cx0 . Nun ersetzen wir w durch einen Weg w0 , indem wir f¨ ur 0 ≤ k < N am Anfang des St¨ ucks w|[k/N,(k+1)/N ] den Weg vk− und am Ende den Weg vk+1 einsetzen. Wir machen das an dieser Stelle exakt und werden uns sp¨ater mit solchen verbalen Beschreibungen begn¨ ugen: w0 : I → X  −

k  vk 3N s − N ,

s 7→ w Nk + 3 s − 3k+1 3N

,   3k+2 vk+1 3N s − 3N ,

k N ≤ 3k+1 3N 3k+2 3N

s ≤ 3k+1 3N , ≤ s ≤ 3k+2 3N , k+1 ≤s≤ N .

Da wir an den Enden konstante Wege und an den Stellen k/N f¨ ur 0 < k < N die Wege vk ∗ vk− , die relativ zu {0, 1} homotop zu konstanten Wegen sind, eingef¨ ugt haben, ist [w0 ] = [w] = γ. Aufgrund der Wahl der 0 vk ist auch w [[k/N, (k + 1)/N ]] ⊂ Urk . Da nun w0 (k/N ) = x0 f¨ ur alle k, repr¨asentiert w|[k/N,(k+1)/N ] ein αk ∈ π1 (Urk ), 0 ≤ k < N . Damit ist r γ = ir#0 (α0 )ir#1 (α1 ) · · · i#N −1 (αN −1 ).  Damit ist schon die Eindeutigkeit von ψ gezeigt: Ist n¨amlich γ ∈ π1 (X, x0 ) beliebig und ist mit den gerade benutzten Bezeichnungen γ = r ir#0 (α0 ) · · · i#N −1 (αN −1 ), so muss f¨ ur ein ψ, das das Diagramm kommutativ macht, r

ψ(γ) = ψ(ir#0 (α0 ) · · · i#N −1 (αN −1 )) r

= ψ(ir#0 (α0 )) · · · ψ(i#N −1 (αN −1 )) = φr0 (α0 ) · · · φrN −1 (αN −1 ) gelten.

Der Satz von Seifert und van Kampen

117

17.5 Beweisschritt. Durch ψ : π1 (X, x0 ) r r0 i# (α0 ) · · · i#n−1 (αn−1 )

→G 7→ φr0 (α0 ) · · · φrn−1 (αn−1 )

wird ein Homomorphismus definiert, der das Diagramm kommutativ macht. Beweis. Wir haben bereits gesehen, dass sich jedes Element aus π1 (X, x0 ) auf die angegebene Art darstellen l¨asst. Auch ist klar, dass ψ so, wenn es denn wohldefiniert ist, zu einem Homomorphismus wird. Es ist also nur noch zu zeigen, dass verschiedene Darstellungen des selben Elementes den gleichen r

r0

r0 0

Wert liefern, dass also aus ir#0 (α0 ) · · · i#n−1 (αn−1 ) = i#0 (α00 ) · · · i#n −1 (αn0 0 −1 ) 0 0 folgt, dass φr0 (α0 ) · · · φrn−1 (αn−1 ) = φr00 (α00 ) · · · φrn−1 (αn−1 ). Da alle beteiligten Abbildungen Homomorphismen sind, gen¨ ugt es zu zeigen, dass aus r ir#0 (α0 ) · · · i#n−1 (αn−1 ) = 1 folgt, dass φr0 (α0 ) · · · φrn−1 (αn−1 ) = 1. Sei also n ∈ N und f¨ ur 0 ≤ k < n sei rk ∈ {0, 1} und αk ∈ π1 (Urk , x0 ), so dass φr0 (α0 ) · · · φrn−1 (αn−1 ) = 1. Es sei H : I × I → X eine Homotopie, die diese Gleicheit zeigt, und zwar sei H(0, •) = H(1, •) = H(•, 1) = cx0 und H(•, 1)|[k/n,(k+1)/n] repr¨asentiere αk . Nun wenden wir wieder das LebesgueLemma an, um ein m ∈ N zu erhalten, so dass mit N := mn f¨ ur alle k, l mit 0 ≤ k, l < N ein sk,l mit w [[k/N, (k + 1)/N ] × [l/N, (l + 1)/N ]] ⊂ Usk,l existiert. Wir k¨onnen diese sk,l so w¨ahlen, dass sk,0 = rbk/mc f¨ ur alle k. Zun¨achst zeigen wir, dass wir es so einrichten k¨onnen, dass H auf allen Gitterpunkten den Wert x0 annimmt, dass also H(k/N, l/N ) = x0 f¨ ur alle 0 ≤ k, l ≤ N . Dazu definieren wir f¨ ur alle 0 < k < N , 0 ≤ l < N einen Weg vk,l : I → Usk−1,l ∩Usk,l durch vk,l (t) := H(k/N, (l+t)/N ) und einen Weg wk,l von H(k/N, l/N ) nach x0 , der in U0 verl¨auft, falls H(k/N, l/N ) ∈ U0 , in U1 , falls H(k/N, l/N ) ∈ U1 und konstant ist, falls H(k/N, l/N ) = x0 . Außerdem setzen wir wk,N = cx0 f¨ ur 0 < k < N . Dann w¨ahlen wir f¨ ur alle 0 < k < N , 0 ≤ l < N eine Abbildung Fk,l : I × I → Usk−1,l ∩ Usk,l mit Fk,l (0, •) = − − Fk,l (1, •) = vk,l und Fk,l (•, 0) = wk,l ∗ wk,l , Fk,l (•, 1) = wk+1,l ∗ wk+1,l . Dies ist m¨oglich, da die auf dem Rand vorgegebene Abbildung homotop zu einer konstanten Abbildung ist (siehe Aufgabe ??). Nun k¨onnen wir H, indem wir an der Stelle {k/N } × [l/N, (l + 1)/N ] die Abbildung Fk,l einpassen, so ab¨andern, dass die oben bemerkten Eigenschaften von H erhalten bleiben und H zus¨atzlich auf allen Gitterpunkten den Wert x0 annimmt. Wir werden diese ge¨anderte Abbildung weiterhin H nennen. Die alten w und v vergessend definieren wir nun Wege wk,l : I → X, t 7→ H((k + t)/N, l/N ),

0 ≤ k < N, 0 ≤ k ≤ N,

118

17. Der Satz von Seifert und van Kampen

und vk,l : I → X,

0 ≤ k ≤ N, 0 ≤ k < N,

t 7→ H(k/N, (l + t)/N ).

F¨ ur 0 ≤ k, l < N gibt uns das Klassen βk,l , γk,l , δk,l , k,l ∈ π1 (Usk,l ) durch βk,l := [wk,l ],

γk,l := [wk,l+1 ],

δk,l := [vk,l ],

k,l := [vk+1,l ].

Nun ist αk = βmk,0 βmk+1,0 · · · βm(k+1)−1,0 f¨ ur 0 ≤ k < n und γk,N −1 = 1 f¨ ur alle 0 ≤ k < N . Es gen¨ ugt daher zu zeigen, dass φs0,0 (β0,0 )φs1,0 (β1,0 ) · · · φsN −1,0 (βN −1,0 ) = = φs0,N −1 (γ0,N −1 )φs1,N −1 (γ1,N −1 ) · · · φsN −1,N −1 (γN −1,N −1 ). Wir tun dies in zwei Schritten. F¨ ur alle 0 ≤ k < N und 0 ≤ l < N − 1 ist φsk,l (γk,l ) = φsk,l+1 (βk,l+1 ): Nach Definition ist γk,l = [wk,l+1 ], βk,l+1 = [wk,l+1 ]. Ist sk,l = sk,l+1 , so ist γk,l = βk,l+1 und alles klar. Ist sk,l 6= sk,l+1 , so leben γk,l und βk,l+1 in verschiedenen Gruppen. In diesem Fall verl¨auft aber wk,l+1 ganz in U0 ∩ U1 , so dass wir ein ρ ∈ π1 (U0 ∩ U1 ) durch ρ := [wk,l+1 ] definieren k¨onnen. Es ist s s dann φsk,l (γk,l ) = (φsk,l ◦ j#k,l )(ρ) = (φsk,l+1 ◦ j#k,l+1 )(ρ) = φsk,l+1 (βk,l+1 ). F¨ ur alle 0 ≤ l < N ist φs0,l (β0,l ) · · · φsN −1,l (βN −1,l ) = φs0,l (γ0,l ) · · · φsN −1,l (γN −1,l ) : Zun¨achst zeigt H|[k/N,(k+1)/N ]×[l/N,(l+1)/N ] f¨ ur 0 ≤ k < N , dass βk,l = . Es ist also δk,l γk,l −1 k,l φs0,l (β0,l ) · · · φsN −1,l (βN −1,l ) = −1 = φs0,l (δ0,l γ0,l −1 0,l ) · · · φsN −1,l (δN −1,l γN −1,l N −1,l ) =

= φs0,l (1)φs0,l (γ0,l )φs0,l (0,l )−1 · · φs1,l (δ1,l )φs1,l (γ1,l ) · · · · · · φsN −2,l (γN −2,l )φsN −2,l (N −2,l )−1 · · φsN −1,l (δN −1,l )φsN −1,l (γN −1,l )φsN −1,l (1). Es gen¨ ugt also, f¨ ur 0 ≤ k < N − 1 zu zeigen, dass φsk,l (k,l ) = φsk+1,l (δk+1,l ). Nun werden k,l und δk+1,l beide von vk+1,l repr¨asentiert, so dass sie f¨ ur sk,l = sk+1,l gleich sind und es ansonsten ein ρ ∈ π1 (U0 ∩ U1 ) mit k,l = s s j#k,l (ρ), δk+1,l = j#k+1,l (ρ) gibt, so dass dies wieder aus der Kommutativit¨at des Diagramms folgt.  Damit ist auch der Satz bewiesen.



Der Satz von Seifert und van Kampen

119

Spezialf¨alle Wir notieren Spezialf¨alle, in denen sich das Push-Out leichter beschreiben l¨asst. Zun¨achst holen wir kurz eine Definition nach. 17.6 Definition. Ein Raum X heißt einfach zusammenh¨ angend, wenn er nicht-leer und wegzusammenh¨angend ist und f¨ ur ein x0 ∈ X (und damit f¨ ur alle) die Fundamentalgruppe π1 (X, x0 ) trivial ist. 17.7 Korollar. Seien X ein Raum und U0 , U1 ⊂ X offene, einfach zusammenh¨ angende Teilmengen, so dass X = U0 ∪ U1 ist und U0 ∩ U1 nicht-leer und wegzusammenh¨ angend ist. Dann ist X einfach zusammenh¨ angend. Beweis. Zun¨achst ist X nicht-leer und wegzusammenh¨angend. Sei nun x0 ∈ U0 ∩ U1 und die Notation die aus dem Satz. Dass π1 (X, x0 ) trivial ist, kann man nun einerseits aus dem Beweis des Satzes entnehmen, denn dort wurde gezeigt, dass diese Gruppe von Im i0# und Im i1# erzeugt wird, so dass sie trivial ist, wenn π1 (U0 , x0 ) und π1 (U1 , x0 ) trivial sind. Wir k¨onnen es aber auch direkt aus dem Satz folgern, denn man u ¨berzeugt sich sofort, dass, wenn wir 0 f¨ ur die triviale Gruppe schreiben, π1 (U0 ∩ U1 , x0 )

/0



 /0

0

ein Push-Out-Diagramm ist. Aus der Eindeutigkeit des Push-Outs folgt dann π1 (X, x0 ) ∼  = 0. 17.8 Korollar. F¨ ur n ≥ 2 ist S n einfach zusammenh¨ angend. Beweis. Sei x ∈ S n der Nordpol und y ∈ S n der S¨ udpol. Wir setzen U0 := S n \ {x}, U1 := S n \ {y}. Es sind U0 , U1 ≈ Rn , also zusammenziehbar und damit einfach zusammenh¨angend. Außerdem ist U0 ∩ U1 wegzusammenh¨angend (hier benutzen wir n > 1). Das vorherige Korollar liefert nun die Behauptung.  17.9 Korollar. Seien X, U0 , U1 und die sonstige Notation wie im Satz und U1 einfach zusammenh¨ angend. Wir betrachten π1 (U0 ∩ U1 , x0 )

0 j#

/ π1 (U0 , x0 )

i0#

/ π1 (X, x0 ).

0 enth¨ Es ist i0# surjektiv, und ist N der kleinste Normalteiler, der Im j# alt, 0 so ist Ker i# = N . Insbesondere ist also π1 (X, x0 ) ∼ = π1 (U0 , x0 )/N .

120

17. Der Satz von Seifert und van Kampen

Beweis. Wir betrachten das Diagramm π1 (U0 ∩ U1 , x0 )

0 j#

/ π1 (U0 , x0 ) q



0



/ π1 (U0 , x0 )/N

φ

ψ !

 -% G,

wobei q die kanonische Quotientenabbildung und G eine beliebige Gruppe 0 ⊂ N = Ker q, also q ◦ j 0 = 0. sei. Das Quadrat kommutiert, da Im j# # (Man beachte, dass der triviale Homomorphismus, den wir 0 schreiben, tats¨achlich konstant 1 ist.) Das Diagramm ohne ψ kommutiert nun genau 0 ⊂ Ker φ, also, da Ker φ ein Normalteiler ist, genau dann, dann, wenn Im j# wenn N ⊂ Ker φ. Nun ist aber eine Eigenschaft der Faktorgruppe, dass dann ein eindeutig bestimmter Homomorphismus ψ : π1 (U0 , x0 )/N → G mit ψ ◦ q = φ existiert. Da die Bedingung, dass das untere Dreieck kommutiere, leer ist, ist das Diagramm ein Push-Out-Diagramm. Aus dem Satz und der Eindeutigkeit von Push-Outs folgt nun die Existenz eines Isomorphismus h : π1 (X, x0 ) → π1 (U0 , x0 )/N , so dass h ◦ i0# = q. Die Behauptung folgt danach sofort. 

Lieferung 18

Der Effekt des Anheftens von Zellen auf die Fundamentalgruppe

Das Anheften einer Zelle Sei X ein Raum, n ∈ N \ {0} und f : S n−1 → X eine stetige Abbildung. Dann k¨onnen wir den Raum Y := X ∪f Dn betrachten. Wir sagen in dieser Situation, Y gehe aus X durch Ankleben einer n-Zelle hervor. Wir wollen nun mit Hilfe des Satzes von Seifert und van Kampen untersuchen, wie sich die Fundamentalgruppe von Y aus der von X ergibt. Mit der Notation aus 6.15 haben wir eine Einbettung j : X → Y und die charakteristische Abbildung χ : Dn → Y . Wir bemerken: 18.1 Proposition. χ|Dn \S n−1 ist eine offene Einbettung. Ist A ⊂ Dn \S n−1 und A abgeschlossen in Dn , so ist χ[A] abgeschlossen. Beweis. Y tr¨agt die Finaltopologie bez¨ uglich j und χ. Nach Konstruktion von Y ist außerdem χ|Dn \S n−1 injektiv. Ist nun O ⊂ Dn \ S n−1 , so ist j −1 [χ[O]] = Ø und χ−1 [χ[O]] = O. Ist also O offen, so auch χ[O]. Das zeigt, dass χ|Dn \S n−1 eine offene Einbettung ist. Ist A ⊂ Dn \ S n−1 , so ist j −1 [Y \ χ[A]] = X und χ−1 [Y \ χ[A]] = Dn \ A. Ist also A in Dn abgeschlossen, so ist auch χ[A] abgeschlossen.  Um den Satz von Seifert und van Kampen anwenden zu k¨onnen, setzen wir nun U0 := Y \ {χ(0)} , U1 := χ[Dn \ S n−1 ]. Wir k¨onnen U0 mit X ∪f (Dn \ {0}) identifizieren. Wenn wir annehmen, dass X wegzusammenh¨angend ist, erf¨ ullen U0 und U1 f¨ ur n ≥ 2 die Voraussetzungen des Satzes von Seifert und van Kampen. Das einzige, das hierbei vielleicht nicht sofort ersichtlich ist, ist, dass U0 wegzusammenh¨angend ist. Das folgt aber daraus, dass U0 ' X: 121

122

18. Der Effekt des Anheftens von Zellen auf die Fundamentalgruppe

18.2 Proposition. Sei n ≥ 1 und r : U0 → X die Abbildung, die durch die Kommutativit¨ at von S n−1

Inkl.

/ D n \ {0} χ

f



X



j

x7→f (x/kxk)

/ U0 II II r II II II  $id

X

gegeben ist (siehe Proposition 6.17). Dann ist r ◦ j = idX und j ◦ r ' idU0 , wobei die Homotopie H : U0 × I → U0 durch H(•, t) = ht und die Kommutativit¨ at von / D n \ {0}   MMMx7→ t+ 1−t x MMM kxk χ f MMM M&   j n \ {0} / D U0 MM X KK MMM KKK MMhMt KKK χ MMM id KKKK MM&  % / U0 X

S n−1

Inkl.

j

gegeben ist. Beweis. Das einzige Problem ist die Stetigkeit von H. Es bezeichne q : X + (Dn \ {0}) → U0 die Quotientenabbildung. Wir betrachten das Diagramm X × I + (Dn \ {0}) × I) 

∼ =

(X × (Dn \ {0})) × I 

˜ H

q×idI

U0 × I

H

 / U0 .

Die Abbildung links oben sei die offensichtliche; dass sie ein Hom¨oomorphis˜ sei durch die Kommutativit¨at des ¨ mus ist, rechne man zur Ubung nach. H Diagramms gegeben und ist stetig, denn die Restriktion auf X × I ist die Projektion auf X gefolgt von j, und die Restriktion auf (Dn \ {0}) × I ist die Komposition   (x,t)7→ t+ 1−t x kxk

(Dn \ {0}) × I

/ (D n \ {0}) × I

χ

/ U0 .

Die Stetigkeit von H folgt also, wenn q × idI eine Quotientenabbildung ist, und das folgende Lemma sagt gerade dies. 

Der Effekt auf die Fundamentalgruppe

123

18.3 Lemma. Sei q : X → Y eine Quotientenabbildung und Z ein lokal kompakter Raum. Dann ist die Abbildung q × idZ : X × Z → Y × Z eine Quotientenabbildung. ˜ := Beweis. q × idZ ist offenbar stetig und surjektiv. Sei U ⊂ Y × Z mit U −1 (q × idZ ) [U ] offen. Es ist zu zeigen, dass U offen ist. Sei (y, z) ∈ U . Da q surjektiv ist, existiert x ∈ X mit q(x) = y, al˜ . Da U ˜ offen und Z lokal kompakt ist, existiert K ∈ U(z), so (x, z) ∈ U ˜ , also auch {y} × K ⊂ U . Wir setzen K kompakt,n mit {x} × K ⊂ U o ˜ = {x0 ∈ X : {q(x0 )} × K ⊂ U }. Sei nun V˜ := x0 ∈ X : {x0 } × K ⊂ U x0 ∈ V˜ . Dann existiert f¨ ur beliebiges k o ∈ K eine Umgebung Vk von n 00 00 ˜ k, so dass Wk := x ∈ X : {x } × Vk ⊂ U Umgebung von x0 ist. Aufgrund der Kompaktheit Sn von K existieren Tn nun n ∈ N und k1 , . . . ,0kn ∈ K, so dass K ⊂ V . Dann ist k i i=1 i=1 Wki Umgebung von x und T ˜ , also Tn Wk ⊂ V˜ . Das zeigt, dass V˜ offen ist. ( ni=1 Wki ) × K ⊂ U i i=1 Nun ist mit V := {y 0 ∈ Y : {y 0 } × K ⊂ U } gerade V˜ = q −1 [V ], also ist V offen und V × K ⊂ U Umgebung von (y, z). Damit ist U offen. 

Der Effekt auf die Fundamentalgruppe Da U1 ≈ Dn \ S n−1 zusammenziehbar, also insbesondere einfach zusammenh¨angend, ist, folgt aus Korollar 17.9 f¨ ur n ≥ 2, dass mit beliebigem Basispunkt in U0 ∩ U1 in der Komposition von von Inklusionen induzierten Homomorphismen π1 (U0 ∩ U1 ) → π1 (U0 ) → π1 (Y ) der zweite Homomorphismus surjektiv und sein Kern der kleinste das Bild des ersten enthaltende Normalteiler ist. Wir k¨onnen auch die ersten beiden Gruppen identifizieren: Es ist U0 ∩ U1 ≈ Dn \ (S n−1 ∪ {0}) ' S n−1 und wie bereits gezeigt U0 ' X, also π1 (U0 ∩ U1 ) ∼ = π1 (S n−1 ) und π1 (U0 ) ∼ = π1 (X). Um daraus wirklich π1 (Y ) bestimmen zu k¨onnen, m¨ ussen wir aber auch die Homomorphismen besser beschreiben. Dazu legen wir zun¨achst Basispunkte fest. Wir schreiben 1 = (1, 0, . . . , 0) f¨ ur den Basispunkt von S n−1 und setzen x0 := f (1) ∈ X, y0 := j(x0 ) ∈ Y . Außerdem w¨ahlen wir ein y00 ∈ U0 ∩ U1 mit r(y0 ) = x0 , wobei wir hier die Bezeichnungen aus Proposition 18.2 beibehalten. Außerdem definieren wir eine Abbildung r0 : U0 ∩ U1 durch Kommutativit¨at von

x x7→ kxk '



S n−1 .

x7→χ(x)

/ U ∩ U1 l 0 l l l lll lllr0 l l u ll l

Dn \ (S n−1 ∪ {0})

≈

124

18. Der Effekt des Anheftens von Zellen auf die Fundamentalgruppe

r0 ist eine Homotopie¨aquivalenz und r|U0 ∩U1 = f ◦ r0 . Außerdem haben wir bereits festgestellt, dass H eine Homotopie¨aquivalenz zwischen der Kompoj r sition U0 − →X− → Y und der Inklusion U0 → Y ist. Wie in Proposition 14.13 sei p der Weg, den y00 w¨ahrend dieser Homotopie durchl¨auft; das ist der di’ rekte‘ Weg von y0 nach y00 . All dies liefert uns ein kommutatives Diagramm π1 (S n−1 , 1) O

0 ∼ = r#

π1 (U0 ∩ U1 , y00 )

f#

/ π1 (X, x0 ) O ∼ = r#

/ π1 (U0 , y 0 ) 0

j#

/ π1 (Y, y0 ) O ∼ = hp

/ π1 (Y, y 0 ), 0

wobei alle nicht beschrifteten Pfeile von Inklusionen induzierte Abbildungen bezeichnen. Aus dem bereits oben u ¨ber die untere Reihe gezeigten, der Kommutativit¨at des Diagramms und der Tatsache, dass die vertikalen Pfeile Isomorphismen bezeichnen, erhalten wir nun: 18.4 Proposition. Sei X ein Raum, n ≥ 2, f : (S n−1 , 1) → (X, x0 ) eine stetige Abbildung, Y := X ∪f Dn und j : (X, x0 ) → (Y, y0 ) die kanonische Einbettung. Dann ist j# ein Epimorphismus, dessen Kern der kleinste Normalteiler ist, der das Bild von f# enth¨ alt.  Wir benutzen nun noch, dass wir π1 (S n−1 ) kennen. 18.5 Proposition. Sei X ein Raum, n ≥ 3, f : (S n−1 , 1) → (X, x0 ) eine stetige Abbildung, Y := X ∪f Dn und j : (X, x0 ) → (Y, y0 ) die kanonische Einbettung. Dann ist j# ein Isomorphismus.  18.6 Proposition. Sei X ein Raum, f : (S 1 , 1) → (X, x0 ) eine stetige Abbildung, Y := X ∪f D2 und j : (X, x0 ) → (Y, y0 ) die kanonische Einbettung. Ist e ∈ π1 (S 1 , 1) ∼ = Z ein Erzeuger, dann ist j# ein Epimorphismus, dessen Kern der kleinste Normalteiler ist, der f# (e) enth¨ alt.  18.7 Bemerkung. Ist h : I/ {0, 1} → S 1 ein Hom¨oomorphismus mit h([{0, 1}]) = 1 und q : I → I/ {0, 1} die Quotientenabbildung, so ist e := [h ◦ q] ein Erzeuger von π1 (S 1 , 1). Ist nun (X, x0 ) ein Raum mit Basispunkt und α ∈ π1 (X, x0 ), α = [w], so definiert, da w(0) = w(1), f ◦h◦q = w eine Abbildung f : (S 1 , 1) → (X, x0 ), und es ist f# (e) = α. Durch Ankleben einer 2-Zelle an X mit Hilfe von f (also entlang w) kann man also das Element α gezielt abschießen‘. ’

Projektive R¨aume In Aufgabe ?? haben wir gesehen, dass man die reell-projektiven R¨aume RP n durch sukzessives Ankleben von Zellen aus dem einpunktigen Raum

Projektive R¨ aume

125

erhalten kann. Wir wollen nun sehen, wie man daraus mit Hilfe des eben gezeigten die Fundamentalgruppen dieser R¨aume bestimmen kann. Sei pn : S n → RP n die Projektion, die sich aus der Definition von RP n als Quotient von S n , bei dem gegen¨ uberliegende Punkte identifiziert werden, ergibt. In Aufgabe ?? wurde gezeigt, dass RP n ≈ RP n−1 ∪pn−1 Dn . Wir bemerken an dieser Stelle, dass man diesen Hom¨oomorphismus so erh¨alt, dass Inklusion / Sn S n−1 pn−1



RP n−1

pn j n−1

n / RP n−1 ∪p n−1 D

≈



/ RP n

kommutiert, wobei j n−1 die kanonische Inklusion bezeichne. Wir nehmen an, dass die Hom¨oomorphismen so gew¨ahlt sind und bestimmen Basispunkte xn ∈ RP n durch xn+1 = j n (xn ). Es ist RP 0 ein einpunktiger Raum, also π1 (RP 0 , x0 ) ∼ = 0. Es ist RP 1 ≈ S 1 , also π1 (RP 1 , x1 ) ∼ = Z. Einen Hom¨oomorphismus zwischen RP 1 und S 1 kann man zum Beispiel zu beschreiben: Die stetige Abbildung sqr : S 1 → S 1 , sqr(z) := z 2 , ist surjektiv, also eine Quotientenabbildung, da S 1 kompakt ist. Da nun sqr(x) = sqr(y) ⇐⇒ (x = y) ∨ (x = −y) gibt es einen Hom¨oomorphismus h : RP 1 → S 1 , so dass h ◦ pn = sqr. Da wir uns in Proposition 16.5 bereits u ¨berlegt haben, dass die Abbildung sqr vom Grad 2 ist, kann man also Isomorphismen so w¨ahlen, dass π1 (S 1 , 1) 

(p1 )#

/ π1 (RP 1 , x1 )

∼ =

Z

·2



∼ =

/Z

kommutiert. Aus Proposition 18.6 angewandt auf RP 1 ∪p1 D2 ergibt sich also π1 (RP 2 , x2 ) ∼ = Z/2Z =: Z2 . Mit Proposition 18.5 folgt nun induktiv n ∼ π1 (RP , xn ) = Z2 f¨ ur alle n ≥ 2. Zusammenfassend und etwas genauer: 18.8 Proposition. Es ist   0, n ∼ π1 (RP ) = Z,   Z2 ,

n = 0, n = 1, n ≥ 2.

Die von der Inklusion induzierte Abbildung π1 (RP n ) → π1 (RP n+1 ) ist ein Epimorphismus f¨ ur n = 1 und ein Isomorphismus f¨ ur n ≥ 2. 

126

18. Der Effekt des Anheftens von Zellen auf die Fundamentalgruppe

Lieferung 19

Eine kuriose Eigenschaft von Drehungen im dreidimensionalen Raum

Wir werden ein Gedankenexperiment (das man auch problemlos real durchf¨ uhren kann) betrachten, das einen vielleicht unerwarteten Effekt zeigt. Wir werden diesen mit der Existenz eines Elements der Ordnung 2 in π1 (RP 3 ) in Verbindung bringen und die Gelegenheit nutzen, um etwas u ¨ber die Topologie von Matrixgruppen zu lernen.

Das Experiment Wir stellen uns vor, ein Gegenstand befinde sich in einem Raum und sei mit einem dicken Gummiseil an der Decke des Raumes befestigt. Drehen wir den Gegenstand einmal um sich selbst herum, so wird das Gummiseil in sich verdreht sein. Halten wir nun den Gegenstand (und die Zimmerdecke) fest, so wird es nicht m¨oglich sein, das Gummiseil zu entdrehen, auch nicht, wenn wir es dabei um den Gegenstand herumf¨ uhren d¨ urfen. Diese wenig u berraschende Tatsache werden wir beweisen. Dreht man nun den Gegen¨ stand ein weiteres mal in die selbe Richtung um die selbe Achse, so gibt es danach eine M¨oglichkeit unter Festhalten des Gegenstandes das Gummiseil (es k¨onnen auch viele Seile sein) zu entdrehen. Warum und wie das m¨oglich ist, werden wir beschreiben.

Modellierung Wir nehmen an, dass wir auf dem Seil l¨angs drei Linien angebracht haben. F¨ ur jede Position des Seils erhalten wir nun durch Betrachten der Position der Linien drei Wege l1 , l2 , l3 : I → R3 . (Wir haben den Raum mit einer Teilmenge des R3 identifiziert.) Dabei seien l1 (0), l2 (0), l3 (0) die Positionen der Linien an dem an der Decke befestigten Seilende. Diese sind also unabh¨angig von der Seilposition. Wir nehmen an, dass die angebrachten Linien und die 127

128

19. Eine Eigenschaft von Drehungen im dreidimensionalen Raum

Beschaffenheit des Seils so sind, dass f¨ ur alle Seilpositionen und alle s ∈ I die Vektoren l2 (s) − l1 (s) und l3 (s) − l1 (s) linear unabh¨angig sind. Es gibt dann immer einen eindeutig bestimmten Vektor v(s) der L¨ange 1, der Senkrecht auf l2 (s)−l1 (s) und l3 (s)−l1 (s) steht, so dass (l2 (s)−l1 (s), l3 (s)−l1 (s), v(s)) positiv orientiert ist. Dies wiederum definiert eine Matrix G(s) ∈ GL(3) mit (l2 (s)−l1 (s), l3 (s)−l1 (s), v(s)) = G(s)·(l2 (0)−l1 (0), l3 (0)−l1 (0), v(0)). Eine Bewegung des Seils, wobei die Zeit durch I parametrisiert sei, definiert nun eine stetige Funktion (auf die Topologie von GL(3) werden wir noch zu sprechen kommen) H : I × I → GL(3) durch H(s, t) = GSeilposition zur Zeit t (s). Im Inneren des Gegenstandes, an dem das Seil befestigt ist, denken wir uns einen Punkt ausgezeichnet, den wir bei allen Bewegungen des Gegenstandes festhalten. Dann definiert eine Bewegung des Gegenstandes einen Weg w : I → SO(3) durch Stellung des Gegenstandes zum Zeitpunkt t = w(t) · Standardstellung. Die Standardstellung sei die zum Beginn unseres Experiments. 19.1 Proposition. F¨ uhren wir am Anfang des Experiments eine Bewegung des Gegenstandes durch, die durch w : I → SO(3) beschrieben wird, und beschreibt GEP : I → GL(3) die Position des Seil nach der Bewegung, so ist w ' GEP rel {0, 1} in GL(3). Beweis. W¨ahrend der Bewegung des Gegenstandes bewegt sich auch das Seil, dessen Bewegung sei wie oben durch H : I × I → GL(3) beschrieben. Es ist dann H(0, •) = c1 , wobei 1 die Einheitsmatrix bezeichne, da das eine Seilende an der Decke befestigt ist und nicht bewegt wird. Es ist H(1, •) = w, da das andere Seilende an dem Gegenstand befestigt ist und mit diesem bewegt wird. Außerdem ist H(•, 0) = c1 , da dies die Ausgangslage des Seils beschreibt und H(•, 1) = GEP . Es folgt c1 ∗ w ' c1 ∗ GEP rel {0, 1} und damit w ' GEP rel {0, 1}.  19.2 Korollar. F¨ uhren wir am Anfang des Experiments eine Bewegung des Gegenstandes durch, die durch w : I → SO(3) beschrieben wird, und ist es danach bei festgehaltenem Gegenstand m¨ oglich, das Seil in die Ausgangslage zur¨ uckzubringen, so ist [w] = 1 ∈ π1 (GL(3), 1). Beweis. Zun¨achst bemerken wir, dass w(1) = 1 gelten muss, da nur dann das an dem Gegenstand befestigte Ende des Seils in die Ausgangslage zur¨ uckgebracht werden kann. Wir fassen nun die Bewegung des Seils, bei der sich der Gegenstand wie durch w beschrieben bewegt und die anschließende Bewegung des Seils, bei der sich der Gegenstand nicht bewegt als eine Bewegung des Seils auf, bei der sich der Gegenstand wie durch w ∗ c1 beschrieben bewegt. Die Proposition darauf angewandt liefert [w] = [w ∗ c1 ] = [c1 ] = 1.  Um weitere Fortschritte zu erzielen, m¨ ussen wir also π(GL(3), 1) n¨aher untersuchen.

Ein wenig u ¨ber Matrixgruppen

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Ein wenig u ¨ber Matrixgruppen Es sei Mat(n) die Gruppe der (reellen) n × n-Matrizen. Via der Eintr¨age 2 identifizieren wir Mat(n) mit Rn und geben Mat(n) dadurch eine Topologie. Wir betrachten weiterhin die Unterr¨aume SO(n) ⊂ O(n) ⊂ GL(n) ⊂ Mat(n). Zun¨achst ein paar einfache Bemerkungen. 19.3 Proposition. GL(n) ist in Mat(n) offen. Beweis. Die Abbildung det : Mat(n) → R ist stetig, da ein Polynom in den Eintr¨agen, und GL(n) = {A ∈ Mat(n) : det A 6= 0}.  19.4 Proposition. Der von der Inklusion induzierte Homomorphismus π1 (O(n), 1) → π1 (GL(n), 1) ist ein Monomorphismus. Beweis. Bezeichnet i : O(n) → GL(n) die Inklusion, so liefert das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren eine stetige Abbildung s : GL(n) → O(n) mit s ◦ i = id. Es folgt s# ◦ i# = (s ◦ i)# = id# = id, also ist i# ein Monomorphismus.  19.5 Bemerkung. In der Tat ist auch i◦r ' id, also i# ein Isomorphismus. 19.6 Proposition. SO(n) enth¨ alt die Wegzusammenhangskomponente von O(n), die die Einheitsmatrix enth¨ alt. Beweis. Es ist det : O(n) → {−1, 1} stetig und det 1 = 1, also det A = 1 f¨ ur alle A aus der Wegzusammenhangskomponente, die die 1 enth¨alt.  19.7 Bemerkung. In der Tat ist SO(n) wegzusammenh¨angend also gleich der Wegzusammenhangskomponente von O(n), die die Einheitsmatrix enth¨alt. 19.8 Korollar. Der von der Inklusion induzierte Homomorphismus π1 (SO(n), 1) → π1 (O(n), 1) ist ein Isomorphismus.  Wir haben gesehen, dass es, um π1 (GL(n), 1) zu verstehen, gen¨ ugt, sich π1 (SO(n), 1) anzuschauen. Nun werden wir uns eine genauere Beschreibung des Raumes SO(3) verschaffen.

¨ Uber SO(3) Mit Mitteln der linearen Algebra erh¨alt man die folgende Klassifizierung von Matrizen aus SO(3): 19.9 Proposition. Ist M ∈ SO(3), so existieren A ∈ SO(3) und φ ∈ [0, π], so dass   1 0 0 M = A 0 cos φ − sin φ At . 0 sin φ cos φ

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19. Eine Eigenschaft von Drehungen im dreidimensionalen Raum

Ist M so durch A und φ gegeben und N entsprechend durch B und ψ und haben A und B Spaltendarstellungen A = (v, v 0 , v 00 ), B = (w, w0 , w00 ), so gilt: (i) Ist φ = 0, so ist M = N ⇐⇒ ψ = 0. (ii) Ist 0 < φ < π, so ist M = N ⇐⇒ (φ = ψ) ∧ (v = w). (iii) Ist φ = π, so ist M = N ⇐⇒ (ψ = π) ∧ ((v = w) ∨ (v = −w)).  F¨ ur die Beschreibung von SO(3), auf die wir abzielen, m¨ ussen wir uns nur noch um Stetigkeit k¨ ummern. 19.10 Definition und Proposition. Es gibt eine stetige Abbildung Φ : S 2 × [0, π] → SO(3), so dass f¨ ur alle v ∈ S 2 , φ ∈ [0, π] Vektoren v 0 , v 00 0 existieren, so dass mit A = (v, v , v 00 ) gilt, dass A ∈ SO(3) und   1 0 0 Φ(v, φ) = A 0 cos φ − sin φ At . 0 sin φ cos φ Beweis. Wegen Proposition 19.9 ist Φ bereits eindeutig definiert, wir m¨ ussen nur noch die Stetigkeit nachpr¨ ufen. Dies tun wir lokal bei (v, φ). Seien v 0 , v 00 ∈ R3 , so dass (v, v 0 , v 00 ) ∈ SO(3). F¨ ur u ∈ R3 setzen wir A(u) := 0 00 (u, v , v ). Da GL(3) offen in Mat(3) ist, existiert eine Umgebung U von u, so dass A(u) ∈ GL(3) f¨ ur alle u ∈ U . Sei nun s : GL(3) → O(3) die Schmidtsche Orthonormalisierungsabbildung. W¨ahlt man U klein genug, so ist s[A[U ]] ⊂ SO(3) (wieder Stetigkeit der Determinantenfunktion). Es folgt, dass f¨ ur alle (u, ψ) ∈ U × [0, π] gilt, dass   1 0 0 Φ(u, ψ) = s(A(u)) 0 cos ψ − sin ψ  s(A(u))t . 0 sin ψ cos ψ Damit ist Φ in einer Umgebung von (v, φ) stetig.



19.11 Bemerkung. Φ(v, φ) ist nat¨ urlich gerade eine Drehung um die (gerichtete) Achse v um den Winkel φ. 19.12 Proposition. Identifizieren wir wie in Proposition 6.12 RP 3 mit ¨ D3 / ∼, wobei ∼ die Aquivalenzrelation ist, die gegen¨ uberliegende Punkte in 2 S identifiziert, so induziert Φ einen Hom¨ oomorphismus ¯ : RP 3 → SO(3) Φ [rv] 7→ Φ(v, rπ),

v ∈ S 2 , r ∈ I.

¨ Uber SO(3)

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Beweis. Ist q : D3 → RP 3 die Quotientenabbildung, so betrachten wir das Diagramm / SO(3) A  φ  (v,φ)7→v· π     ≈ ¯ D3  Φ   q    

S 2 × [0, π]

Φ

RP 3 .

¯ die das Diagramm kommutativ macht, Die Existenz einer Abbildung Φ, sowie deren Bijektivit¨at folgt aus Proposition 19.9. Aus der Kompaktheit von S 2 × [0, π] und der Tatsache, dass D3 und SO(3) hausdorffsch sind, folgt, dass sowohl Φ als auch die Komposition der durch die vertikalen Pfeile bezeichneten Abbildungen Quotientenabbildungen sind. Daraus folgt, dass ¯ ein Hom¨oomorphismus ist. Φ  Wir wissen nun also nach Proposition 18.8, dass π1 (SO(3), 1) ∼ = Z2 . Wir wollen noch das nicht-triviale Element von π1 (SO(3), 1) beschreiben. 19.13 Proposition. Ist v ∈ S 2 , so ist I → SO(3) ( Φ(v, 2πs), s 7→ Φ(−v, 2π(1 − s)),

s ≤ 21 , s ≥ 21 ,

ein stetiger Weg, der das nicht-triviale Element von π1 (SO(3), 1) repr¨ asentiert. Insbesondere wird dieses Element auch von I → SO(3)   1 0 0 s 7→ 0 cos(2πs) − sin(2πs) 0 sin(2πs) cos(2πs) repr¨ asentiert. Beweis. Zun¨achst ist klar, dass die erste Aussage unabh¨angig von der Wahl von v ist, wir nehmen daher v = (1, 0, 0) an. Durch Einsetzen in die Definition von Φ erh¨alt man daraus dann sofort die zweite Aussage. Wir haben nun zu zeigen, dass I → D3 / ∼ ( [(2s, 0, 0)], s ≤ 12 , s 7→ [(2(1 − s), 0, 0)], s ≥ 12 ,

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19. Eine Eigenschaft von Drehungen im dreidimensionalen Raum

das nicht-triviale Element aus π1 (RP 3 ) repr¨asentiert. Identifizieren wir R mit R × {0} × {0}, so verl¨auft dieser Weg ganz in D1 / {−1, 1} ≈ RP 1 ≈ S 1 und repr¨asentiert dort offenbar einen Erzeuger der Fundamentalgruppe. Der Rest folgt aus Proposition 18.8. 

Zuru ¨ck zum Experiment Wir wissen nun: 19.14 Proposition. Drehen wir den Gegenstand zu Beginn des Experiments einmal um eine beliebige Achse, so ist es danach nicht m¨ oglich, bei festgehaltenem Gegenstand das Seil zu entdrehen. Beweis. Das folgt aus Korollar 19.2 und Proposition 19.13.



Um nun auch noch zu zeigen, dass man nach einer Bewegung des Gegenstands, die durch einen zum konstanten Weg homotopen Weg in SO(3) beschrieben wird, das Seil entdrehen kann, beschreiben wir zun¨achst, wie man aus einem Weg in SO(3) eine Seilposition erh¨alt. Die Postionen, die wir erhalten, werden derart sein, dass jedes Seilst¨ uck den gleichen Abstand zu dem Gegenstand hat wie in der Ausgangsposition. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass wir den Raum so mit dem R3 identifiziert haben, dass sich der Ursprung im Mittelpunkt des Gegenstandes befindet, von dem wir annehmen, dass er eine Kugel mit Radius 1 ist. Außerdem nehmen wir an, dass das nicht an der Kugel befestigte Ende des Seils im Abstand 2 vom Ursprung befestigt ist. Ein Weg w : I → SO(3) definiert einen Hom¨oomorphismus h : R 3 → R3   kxk ≥ 2, w(0) · x, x 7→ w(2 − kxk) · x, 1 ≤ kxk ≤ 2,   w(1) · x, kxk ≤ 1 und damit einen Zustand unseres Systems, in dem der Teil des Gegenstandes oder Seiles, das sich im Anfangszustand am Ort x befindet, am Ort h(x) befindet. Es ist klar, dass sich das problemlos auch auf mehrere Gummiseile verallgemeinert. 19.15 Proposition. Ist w : I → SO(3) ein stetiger geschlossener Weg mit Anfangs- und Endpunkt 1 und ist [w] = 1 ∈ π1 (SO(3), 1) das triviale Element, so ist es m¨ oglich, den Gegenstand wie durch w beschrieben zu bewegen, dabei das Seil mitzubewegen und anschließend bei festgehaltenem Gegenstand das Seil zu entdrehen.

Zur¨ uck zum Experiment

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Beweis. Sei H : I → SO(3) eine Homotopie relativ zu {0, 1} zwischen w und dem konstanten Weg c1 . Wir betrachten nun die Funktion Z : I × [0, 2] → SO(3)   t ≤ 1 − s, 1, (s, t) 7→ w(t + s − 1), 1 − s ≤ t ≤ 1,   H(s, t − 1), t ≥ 1. Z ist stetig. Es beschreibe nun Z(•, t) wie vor dieser Proposition ausgef¨ uhrt den Zustand des Systems zum Zeitpunkt t. Es ist Z(•, 0) = Z(•, 2) = c1 , so dass am Anfang und am Ende des Vorgangs der Zustand des Systems der selbe ist. Es ist Z(0, t) = 1 f¨ ur alle t, so dass das nicht am Gegenstand befindliche Seilende u ¨ber den gesamten Zeitraum unbewegt bleibt. Es ist Z(1, t) = w(t) f¨ ur t ≤ 1 und Z(1, t) = 1 f¨ ur t ≥ 1, so dass das Objekt zun¨achst die durch w vorgeschriebene Bewegung vollf¨ uhrt und danach unbewegt bleibt.  19.16 Korollar. Es ist m¨ oglich, den Gegenstand zun¨ achst zweimal vollst¨ andig um eine beliebige Achse zu drehen und danach bei festgehaltenem Gegenstand das Seil zu entdrehen. Beweis. Es sei w : I → SO(3) ein Weg, der einmaliges Drehen um eine Achse beschreibt. w ist eine Schleife bei 1, repr¨asentiert also ein Element aus π1 (SO(3), 1). Nun beschreibt w ∗ w zweimaliges Drehen um diese Achse, aber [w ∗ w] = [w]2 = 1, denn π1 (SO(3)) ∼  = π1 (RP 3 ) hat Ordnung 2. 19.17 Bemerkung. Ist die Achse, um die gedreht wird, die, auf der das Seil liegt, so ist in der Konstruktion aus dem Beweis von Proposition 19.15 die Stellung des Seils nach dem Drehen des Gegenstandes so, wie man sich das vorstellt. Es ist nun empfehlenswert, konkret eine Homotopie herzunehmen, die zeigt, dass zweimaliges Drehen das triviale Element aus π1 (SO(3)) repr¨asentiert, und die dadurch beschriebene Entdrehungsbewegung zu visualisieren.

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19. Eine Eigenschaft von Drehungen im dreidimensionalen Raum

Literatur

Das Buch zu dem Stoff, der bei uns in Topologie I behandelt wird, zu empfehlen, f¨allt schwer. Wahrscheinlich gibt es deshalb eine so große Zahl an Skripten zur Topologie I an diesem Fachbereich, denen ich hier zu allem ¨ Uberfluss auch noch eines hinzuf¨ uge. Die, die ich kenne, m¨ochte ich sogleich empfehlen: Das von Koppelberg, mit dem ich gelernt habe, das von Heindorf und die beiden von Uns¨old, von denen mir besonders das ¨altere zusagt. Meine erste Buchempfehlung sei eine, die hier eigentlich inhaltlich nicht herpasst. Das Buch von Bredon [Bre93] ist eines u ¨ber algebraische Topologie, aber fast alles von dem, was wir hier tun werden, ist dort in den Kapiteln 1 und 3 enthalten. Sollte jemand so voller Tatendrang sein, dass er sich jetzt schon sicher ist, auch Topologie II und III zu h¨oren, so kann er sich eigentlich auch u ¨berlegen, sich dieses Buch gleich zuzulegen. Drei B¨ ucher, die sich eher an die H¨orer dieser Vorlesung richten, sind [Que73], [J¨an80] und [Mun75]. Querenburg behandelt auf wenig Raum viel mengentheoretische Topologie, enth¨alt aber im Gegensatz zu den anderen beiden B¨anden kein Material u ¨ber die Fundamentalgruppe. J¨anichs Buch enth¨alt auch viele erhellende Passagen mit erz¨ahlendem Charakter, es wird sich daher wohl auch schon auf Nachttischen und nicht nur auf Schreibti¨ schen wiedergefunden haben. Uber das Buch von Munkres kann ich nicht viel sagen, es scheint aber inhaltlich gut zu unserer Vorlesung zu passen. Wem das alles zu wenig abstrakt ist, der findet wie immer bei Bourbaki Hilfe. Von [Bou65] werden wir nur Kapitel 1 und 9 ben¨otigen. Ein echtes‘ ’ Buch u ¨ber mengentheoretische Topologie ist Engelkings Werk [Eng77], in dem man angeblich alles findet. Ein Buch einer ganz anderen Art ist das von Steen und Seebach. Sucht man einen Raum mit Eigenschaften α und β aber weder γ noch δ, so hat man gute Chancen, ihn in [SS70] zu finden. ´ ements de [Bou65] Bourbaki, N. Topologie G´en´eral, Bd. 3 von El´ math´ematique. Hermann, Paris, 1965. [Bre93] Bredon, G. E. Topology and Geometry, Bd. 139 von Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1993. [Eng77] Engelking, R. General Topology. PWN, Warszawa, 1977. 135

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[J¨an80] J¨ anich, K. Topologie. Springer-Verlag, 1980. [Mun75] Munkres, J. R. Topology: a first course. Prentice-Hall, 1975. [Que73] von Querenburg, B. Mengentheoretische Topologie. SpringerVerlag, 1973. [SS70]

Steen, L. A. und Seebach, J. A., Jr. Counterexamples in Topology. Holt, Rinehart and Winston, 1970.